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Full text of "Éléments de géométrie: avec des notes"

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fiL^MENTS 



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GEOMETRIE. 






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IJMPRIMERIE 1)E FIRMIN DIDOT FRERES, 

RUK JACOB, M^ 56. 



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ELEMENTS 



GEOMETRIE, 

AVEC DES NOTES; . 

' ^ ■ y ■ ■ '■■ 

Par aVm^LEGENDRE, 

nbhube d« l'ikstitut et db li leoion d'hohhedr, 
de la societe boyale db lovdrbs, ctf. 

TBEIZIEME EDtTION. 



A PARIS, 



CHEZ FIEMIN DIDOT FRERES, 

LIBRAIRCS , RDE lACOE, s" 56. 



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V 



AVERTISSEMENT 

POUR LA TREIZlfiME EDITION. 

ijA demonstration de la theorie des paralleles, 

telle qu'elle avait^te presentee dans la 3* edition 

^ de cet ouvrage et dans les editions suivantes 

jusqu'a la 8® inclusivcnient , n'^tant pas k Fabri 
^ de toute objection, on s'^tait determine dans 

M la cf edition a retablir cette. theorie a peu pres 

sur la nieme base qu'Euclide. Des reflexions 
ulterieures faites sur le meme objet, dont on 
donnera le developpement dans \gi note II, ont 
fait decouvrir deux nouvelles manieres de de- 
montrer le th^oreme sur les trois angles du tri- 
angle, sans le secours d'aucun postutatum. On 
a en consequence insert une de ces demon- 
strations dans le texte de cette edition, en 
choisissant celle qui s'eloigne le moins des id^es 
ordinaires, et qui d'ailleurs ne semble pas plus 
difficile k comprendre que celle qui avait ete 
donn^e dans les editions precedentes, depuis 
la 3*^ jusqu'i la 8^ 

Un autre changement qui se fera remarquer 
dans cette edition , est relatif k la solidite de la 
pyramide triangulaire. On a retabli cette de- 
monstration k peu prcs telle qu'elle avait ete 
donnee dans la i'® edition de ces elements, mais 
en profitant d'une idee heureuse due a M. Querret, 
chef d'institution a Saint-Malo ; elle consiste a 
rendre egales les hauteurs des prismes exoedent 

427081 



et deficient que Ton conslruit dans les deux 
pyramides compar^es. Par ce moyen la demon- 
stration de la solidity de la pyramide parait r^- 
duite au dernier degr^ de simplicity dont elle 
est susceptible. 

Enfin , comme les tables trigonom^triques 
construites suivant la division decimale du qua- 
drant, ne sont pas aussi g^neralement r^pandues 
que celles qui se rapportent k Tancienne divi- 
sion de la circonf^ence , on a cru.qu'il ne serait 
pas inutile de joindre aux exemples de calcul 
donnes dans la trigonom^trie , les r^sultats que 
fournirait I'usage des anciennes tables. 



Le lecteur qui voudra se borner , au moins 
dans une premiere lecture , aux simples ele- 
ments ^ peut passer sans inconvenient les notes, 
appendices , eft generalement totit ce qui est 
imprinie en petits caracteres , comme eta^it 
moins utile ou exigeant une etude phjs.appro- 
fondie. II reviendra ensuite sur ces objets , s'il 
le juge k propos, en choisissant ceux qui lui 
conviendront le mieux , d*apres I'avis d'un 
professeur eclaire. 

N, B, Les nombres mis en marge indiquent ics propo- 
sitions auxq[uelles on devra recourir pour Tintelligence dcs 
demonstrations. Un seul nombre , comme 4 9 indiqiie la 
proposition iv du livre courant : deux nombres , 20. 3 , 
indiquent la xx* proposition du livre ui. Dans la Trigo- 
pbm^trie on a distingu^ les articled et les renvois par dcs 
chiffrcs romains. 



Elements 

DE GEOMETRIE 



V»^fc%^'%'%-«« %/%^ %%^««>« 



LIVRE PREMIER. 



LES PRINCIPES. 



BBFINlTIONd. 



I. JLa Geom^trie est une scleuoe qui a. pour objet 
la mesure de letendue. 

Lctemlue a trois dimensions , longueur, ]argeur 
et hauteur. 

n. La Ugne est une longueur sans largeur. 

Les extremites dune lignesappellent/;<7£rz/i;le point 
n^a done pas'TlMtendue. 

III. La Ugne droite est le plus court chemin d^un 
point a un autre. 

IV. Toute ligne qui n*est ni droite ni composee de 
lignes droites est une ligne courbe. 

Ainsi , AB est une ligne droite, ACBD une ligne fi^. t* 
brisee ou composce de lignes droites, et AEB est une 
ligne courbe. 

V. Surface est ce qui a longueur et largeur, sans 
hauteur ou epaisseur. 

VI. Le plan est une surface, dans laquelle pre- 

I 



a cioMJBt&is. 

nant deux points a tdlOttte, et jol^ant ces deux 
points par une ligne droite, cette ligiie est tout en- 
tiore. d^ns la surface. 

, i(U. Toute surface qui a'est ni plane ni compbsee 
de surfaces planes est une surface courhe. 

Vin. Solide ou corps est ce qui reunit les trois di- 
mensions de Tetendue* 

fj« a, IX. Lorsque deux llgnes droites AB, AC, se ren- 
contren^, la quantite plus ou moins grande dont elles 
sont ecartees Tune de Fautre, quant a leur position , 
sappelle angle; le point de rencontre ou dH intersect 
tion A est le sommet de Fangte; les lignes AB, AC, 
en sont les cotes. 

L'angle se deslgne quelquefofs par la lettre du, 
sommet A seulement, dautres foils par trois Ic^lres 
B AC ou CAB , ayant soin de mettre la lettre du somm^et , 
au milieu. 

Les angles sont, conime toutes les quantites, ^s* 
ceptibles tf addition, de soustraction , de nauUiplica*. 

fig. ao. tion, et de division : ainsi Tangle DGE lest lasomme 
des deux angles DCB, BCE, et Tangle DGB est la dif- 
fel'ence des deux angles DCE, BCE. 

g 3 X. Lorsque la ligne droite AB rencontre une autre 
droite CD , de telle sorte que les angles adjacents BAC , 
BAD spient egaux entre eux, chacun de cei angles 
s'appelle un angle droit; et la ligne AB est dhleper^ 
pendiculaire sur CD. 

fi * XL Tout angle BAC plus petit qu un angle droit 
est un angle aigu ; tout angle plus grand I)EF est utt 
angle ottus. 

fi- 5^ Xn. £)eux lignes sont dites paralteles^ lorsque, 
^tant situees dans le meme plan, elles rie peuvent se 
rencontrer a quelque distance qtt*on les prolonge Viine 
et I'autre. Telles sont les lignes AB, CD, 



liiTaa I. 3 

XUI. Figiwe plane est un plan termine de loutes 

parts par des lignes. 

Si les lignes sont droites , Tespace qu elles renfer- 

Tttent s*appelle figfire rectiligne ou poljrgone, el les fig. «. 

lignes elles-mSmes prises ensemble forment le contour 

o\k perimetra du polygone. 

XIV. Le poljgone de'trob cotes est le plus simple 
de tous, il sappelle triangle; celui de quatre cotes 
s^appelle quadrilatere ; celui de cmi^^pentagone; celui 
de six, hexagone^ etc. 

XV. On appelle triangle equilntiral eelui qui a ses %• ?• 
trois cdtes ^gaux ; triangle isoscele, cetiii dont deut fig. 8. 
c6tes seulement sont egaux ; triangle scaFene , celui fig. 9. ; 
qui a ses Irois xotes ifiegauX. 

XVI. Le triangle rectangle est celui qui a un. angle 
droit. Le'c6te oppose a Tangle droit s'appelle hjrpoti' 

nuse : ainsi ABC est un triangle rectangle en A, le ctti fig. io« 
BC est son hypotenuse. 

XVII. Parmi les qtiadrilat^res on distingue : 

^ Lb qunrrSy qui a ses c6t^s ^gaux et ses angles droits. £g. j,^ 
( Voyez la prop, xx , liv. i. ) 

Le rectang/ey qui a les angles droits sans aToir les fig. 19, 
edt^ ^ftux. {Yojez la nieme prop*) 

heparallelogramme ou rhombe^ qui a leA c6t^s op« t^^, 13 
pos^s paralleles* - 

lje.lo$ang6y dont les cdtes sont egaux sans que les fig, 14. 
angles, soient droits. 

£n6n le trapeze^ dont deux cdt^ seulement sont fig. tSc 
paralleles. - 

XVIU. On appelle diagonale la ligne qui joint les 
sommets de deux angles non adjacents : telle est ACL fig. 4*- 

XIX. Polygone eqailaterat est celui dont tOus les 
cotes sont egaux; folygone eguiangle , celui dont tous 
les angles sont egaux. 

XX. Deux polygoues sont eqiulateraux erur$ eux 

I. 



4 GEOMliTUlE. 

lorsqu'ils ont les cdtes egaux chacun a chacun ^ et 
places dans le meme ordre, c est- a -dire, loi-squMeii 
suivant leurs contours dans un meme sens, le premier 
c6te de Tun est egal au premier de I'autre , le second 
de Tun au second de Tautre, le troisieme au troisieme, 
et ainsi de suite. On entend de mdme ce que signifient 
deux polygones eqidangles entre eicsc. 

Dans Tun ou I'autre cas, les cotes egaux ou les 
angles egaux sappelient c6tes ou angles Iwmologues. 

JV. B, Dans les qnatre premiers liyres il ue sera question que de 
figures planes ou trac^es sur une surface plane. 

Explication des termes et des signes. 

Axiome est une proposition evidente. par ejle- 
m^e. 

Theoreme est une verite qui devient evidente au 
moyen dun raisonnement appele demonstration. 

Probleme est une question proposee qui exige une 
solution, 

Lemme est une verite employee subsidiairement 
pour la demonstration dun theoreme ou la solution 
dun probleme. 

Le nom commun de proposition sattribue indiffe- 
remment aux theoiemes, problSmes, et lemmes. 

Corollcdre est la consequence qui decoule d'une ou 
de plusieurs propositions. 

Sclijolie est une remarque sur une ou plusieurs pro- 
positions precedentes, tendant h. faire apercevoir leur 
liaison, leur utilite, leur restriction, ou leur exten- 
sion. 

Hypothese est une supposition faite soil dans 
Tenonce d'une proposition, soit dans le courant 
d'une demonstration. 



liIVHS I« 5 

Le signe =: est le signe de IVgalitc; ainsi l*expres- 
sion A=B signifie que A ^gale B. 

Pour exprimer que A est plus petit que B, on ecrit 
A<B. 

Pour exprimer que A est plus grand que B, on ^cric 
A>B. 

Le signe H- se prononce plus; il indique Taddition. 

Le signe — se prononce moins; il indique la sous- 
traction : ainsi A + B repr^sente la somme des quan- 
titesAetB; A — -, B representc leur difference ou'^ce 
qui reste en 6tant B de A ; de mSine A — B + C, ou 
A -f- C — B ^ signifie que A et C doivent fitre ajoutes 
ensemble, et que B doit etre retranclie du tout. 

I^ signe X indique la multiplication; ainsi A X B 
repVesente le produit de A multiplie par B. Au lieu du 
signe X on emploie quelquefois un point; ainsi A.B 
est la merae chose que A x B. On indique aussi le 
meme produit sans aucun signe intermediaire par AB; 
mais il ne faut employer cette expression que lors- 
quon n a pas en meme temps a employer celle de la 
Ugne AB distance des points A et B. 

L'expression Ax(B+C — D) represente le produit 

de A par la quantity B + C -^ D. S'il fallait multiplier 

-A+B par A — B + C, on indiquerait le produit ainsi 

(A + B) X (A — B + C); tout ce qui est renferme 

entre parentheses est consider^ comme une seule 



quantite, 



Un nombre mis au devant dune lighe ou d'une 
quantite , sert de multiplicateur a cette lignc ou a cette 
quantite; ainsi, pour exprimer que la ligne AB est 
prise irois fois,on ecrit 3AB; pour designer la moilie 
de Tangle A, on ecrit ~ A. 

Le quarre de la ligne AB se designe par AB; son 



O GEOMETRIB. 

cube- par AB. On expliquera en son lieu ce que 51- 
gnifient precisement le quarre et le cube d une Iig[ne. 
Le signe \/ indique une racine ^ extraire; ainsi 

\/ ij est I4 rapine quarr^e de a ; V^ A x B est la racine 

du produit A x B , ou la moyenne proportionnelle 
.«iitre A et B. 

A X I o M E s, 

I. Deux quantites egales k une troisi^mesotit egales 
etitre elles. 

a. Le tout est plus grand que sa parde . 

3. Le tout est egal k la somme des parties dftkis 
lesquelles il a ^te divis^. 

4. D*un point jt un autre on ne peut mener qu*une 
seule ligne droite. 

5. Deux grandeurs, ligne, surface ou solide, sont 
<lga]eS| lorsqu^tant plac^es Tune sur I'autre elles coin« 

' cident dans U)ute leur ^tendue. 

PROPOSITION PREMIERE, 
theorSsie. 

^Z' »6- ^^^ angles droits sont tous egaux entre eux. 

Soit la ligne droite CD perpendiculaire a AB, et 
GH a EF; je dis que les angles AC I), EGH seront 
* egaux entre eux. 

Prenez les quatre distances egales C A, GB, GE, 
GF, la distance AB sera egale a la distance EF^ et 
on pouiTa placer la ligne E F sur A B, de maniere 
que le point E tombe en A, et le point F en B. Ces 
deux lignes ainsi posees coincideront entierement 
Tune ayec Tautre; car, sans cela, il y aurait deux 



I 



r 



hlVVLB I. 7 

lig»as drnites de A en B, ce qui est impos|9ible ^., ♦«.4- 
done le point G, milieu de EF , tombera Mir le point 
G, milieu de AB. Le c6t^ G£ ^ant ainsi applique 
«ur GA, je disque le c6te GH tombera aur CD; car 
supposons, s*il est possible, qu'il tombe^ur une ligne 
CK diiferente de CD; puisque, par hy^Otbeae*, *Mf.$»' 
Tangle EGH = HGF , il faudrait qu on edt AGK =5= 
KGB. Mais Tangle ACK est plus grand que ACD» 
Tangle KGB est plus petit que BCD; dailleurs, par 
hypothese, ACI> = BCD; done ACK. est plus grand 
que KGB ; done la ligne GH ne peut tomber sur une 
lignc CK differente de CD; done elle tolnbe sur CD, 
€^tj angle £GI1 sur AGD; done tons les angles droits 
sont egaux enti*e eux. 

PROPOSITION II. 

Toute ligne droite CD , qui en rencontre une fig. 17. 
autre k^^fait avec celle-ci deux angles adja- 
cents AGD, BCD, dont la somme esi igale d 
deux angles droits, 

Au point C, ^levez sur AB la perpendiculaire CE. 
L'angle AGD est la somme des angles ACE , ECD ; 
done ACD + BCD sera la somme des trois ACE, 
ECD, BCD, Le premier de ceux-ci est droit, les deux 
autres font ensemble Tangle droit BCE; done la 
somme des deux angles ACD, BCD est ^gale ^ deui^ 
angles droits. 

Qorollaire I. Si Tun des angles ACD, BCD est droit, 
Tautre le sera pareillement. 

CoroUaire II. Si la ligne DE est perpendiculaire % *•• 
iAB, reciproquement AB sera perpendiculaire i^DE. 

Car, de cq que DE est perpendiculaire a AB, il 



8 GSOMETRIIS. . 

s*ensuit que Tangle ACD est egal a son adjacent 
DGB, et qu*ils sont tons deux droits. Mais de ce 
que Tangle ACD est un angle droit , il s ensuit que 
son adjacent ACE est aussi uu angle droit ; done 
Tangle ACE=:ACD , done AB est perpendiculaire k DE , 
fig.'Si Corollaire III. Tous les angles consecutifs BAG* 
CAD, DAE, EAF, formes d'un m^me cdte de la 
droite BF , pris ensemble, valent deux angles droits ; 
car leur somme est ^gale a celle des deux angles 
adjacents BAG , CAF. 

PROPOSITION III. 



THEOREME. 



Deux lignes droites qui out deux points com- ' 
muns coincident Vune avec V autre dans toute 
leuretendue^ etneformentqu^une seule et meme 
ligne droite. 

g Soient les deux points communs A et B; dabord 

les deux lignes n'en doivent faire qu'une entre A et 
B, car sans cela il y aurait deux lignes droites de A 

•Z.4. en B, ce qui est impossible*. Supposons ensuite que 
ces lignes etant prolongees, elles commencent a se 
separer au point G, Tune devenant GD, Tautre GE. 
Menons au point G la ligne GF , qui fasse arec CA 
Tangle droit AGF. Puisque la ligne AGD est droite, 

pr. «. j'jingje FCD sera un angle droit*; puisque la ligne 
AGE est droite, Tangle PGE sera pareillement un 
angle droit Mais la pariie FGE ne peui pas etre egale 
au tout FGD^ done les lignes droites qui ont deux 
points A et B communs^ ne peuvent se separer en 
aucun point de Icurprolongement; done elles ne 

I forment quune seiJe et meme ligne droite. 



LIVRE I. 9 

PROPOSITION IV. 

THEOHBMS. 

Si deux angles adjctcents ACD , DCB , vcUent fig- ao. 
ensemble deux angles droits, les deux cdtis ex- 
tirieurs AC, CB, seront en ligne dwite. 

Car si CB n'est pas le prolongement de AC, soit 
CE c6 prolongement ; alors la ligne ACE etant droite, ^ 
la sommc des angles ACD, DCE, sera egale k deux 
droits *. Mais , par hypolhese , la somme des angles •pr. i« 
ACD, DCB, est atissi egale a deux droits; done ACD 
-f- DCB serait egale a ACD + DCE ; retranchant de 
part et d'autre Tangle ACD, il restcrait lapartie DCB 
egale au tout DCE, ce qui est impossible^ doiic CB 
est le prolongement de AC. 

PROPOSITION V. 

THSOREME. 



Toutes les fois que deux lignes droites AB, fig. ai. 
DE , se coupent , les angles opposes au sommet 
■ sont igaux. 

Car puisque la ligne DE est droite , la somme des 
angles ACD , ACE , est ^gale a deux droits ; et puis- 
1, que la ligne AB est droite , la somme des angles ACE, 

\ BCE, est egale aussi a deux droits; done la somme 

ACD + ACE est egale a la somme ACE + BCE. Re- 
tranchant de part et d autre le meme angle ACE, il 
restera Tangle ACD egal a son oppose BCE. 

On demontrerait de meme que Tangle ACE est ^gal 
a son oppose BCD. 

SclwUe* Les quatre angles formes autour dun point 
par deux droites qui se coupent, valent ensemble 



lO 6£OMBTlllE. 

quatre angles droits; car les angles ACE, BCE, pris 
ensemble, valent deux angles droits, et les deur autres 
ACD , BCD , ont la meme valeur. 
fig. »»• En general, si tant de droites quon voudra CA, 
GB, etc., se rencontrent en un point G, la somme 
de tons lea angles consecutifs AGB, BCD, DCE, 
ECF, FGA; sera ^gale a quatre angles droits : car 
si on* formait au point C quatre angles droits au 
xnoyen de deux lignes perpendiculaires entre elles , le 
meme espace serait re^ipli, soit par les quatre angles 
droit3 9 soit par les angles successifs ACB , BCD, etc, i 

PROPOSITION VI.. 

THBOr£bI£. 

Deux triangles so nt egauXj lorsquUls ont un 
angle ^gal compris entre deux cotes egaux 
chacun a chacun. 

fig. a3 Soit Tangle A egal a Tangle D, le cote AB egal a 
DE, le .c6t^ AC egal a DF; je dis que les triangles 
ABC , DEF , seront ^gaux. 

En effet, ces triangles peuvent Stre poses Tun sur 
I'autre de maniere qu'ils coincident parTaitement. Et 
d*ahord si on place le cdte DE sur son egal AB , le 
point D tombera en A et le point E en B : mais puis, 
que Tangle D est egal a Tangle A, des que le cote 
DE sera place sur AB, le cdte DF prendra la direc- 
Xxoii AC. De plus DF est ^gal k AC; done le point F 
tombera en C, el le troisieme cdte EF couvrira exac- 
tement le troisieme c6te BC; done le trinngle D£F 

*ax. 5. esti^gal au triangle ABC*. 

Corollaire. De ce que trois choses sont ^gales dans 
deux triangles, savpir, Tangle A::::= D, le cdte AB = 
DE| et le cdte Al«:=PF, on peut conclure que les 



I 



LITUB I. 11 

tni§ tntretf lo »Qnt, savoir, YmgU B ;;i9R By IVngle 
C = F , et le cote BC = EF. 

PROPOSITION VII. 

VHio&iMB. 

Deux triangles sont igaux, hrsquHls ont un 
cdti igal adjacent a deux angles igaux c/iacun 
d ckaeun. 

Spit le e6t^ BG (£gal au c6te EF, Tangk B rfgal k fig. i3. 
Tangle E, et Tangle C egal a Tangle F; je dis que le 
triangle D£F sera egal au triangle ABC, 

Car, pour op^rcr Xl iuperposition , soit placd EF 
sur son egal BC, le point E tombera en B, et le point 
F en C. Puisque Tangle E est (igal a Tangle B, le c6te 
ED prendra la direction BA ; ainsi le point D se 
trouTera sur quelque point de la ligne BA* De mdme, 
puisque Tangle F est i^dX h Tangle G , la ligne FD 
prendra la direction CA, et le point D se trouvera 
sur quelque point du cdte CA; done le point D qui 
doit se trouver a la fois sur les deux lignes BA, CA, 
toipbera sur leur intersection A ; done les deux trian- 
gles ABCt DEF, coincident Tun avec Tautre,et sont 
parfaitenient egaux. 

Corollaire. De ce que trois choses sont egales dans 
deux triangles, savoir, BC = EF, B = E, C=;F, on 
peut conclure que les trois autres le sont, savoir, 
AB = DE, AC=DF, A=D. 

PROPOSITION VIII. 

« 

D ans tout triangle un c6t6 quelconque est plus 
petit que la somme des deux auttes^ 

Gar la ligne dfoite BG, par exemple, est le plus ^e- »'» 



12 GBOMETAIE. 



*d^£. 3. court chemin de B en C^ , done BG est plus petit que 
AB + AC. 



PROPOSITION IX. 



TBEOR£ME« 



Bg. 14. *^^ d^un point O pris du - dedans du triangle 

ABC, on mene aux extremites d'un c6ti BG les 

droites OB, OC, la somme de ces droites sera 

ntoindre que celle des deux autres cdtes AB , AC. 

Soit prolonge BO jusqu a la rencontre da c6t^ AC 

en D ; la ligne droite OC est plus courte que OD 4- 

# 8. ^^* • ^i<>wt3i'^* de part et d'autr^ BO , on aura BO -H 

* OC<BO-fOD+DG,ouBO+OG<BD-hI>C. 

On a pareillement BD < BA-f- AD 5 ajbutam de 

part et d'autre DC , on aura BD-f-DC < BA-f- AC. 

Mais on vient de trouver BO + OC < BD H-DG ; doric 

a plus forte raison , BO + OC < B A + AC 






PROPOSITION X. 



THEOREME. 



Si les deux cdtis AB , AC , du triangle ABC 

fig- a^' sont egaux aux deux cotes DE , DF , du tiiangle 

DEF , chacun a chacun ; si en meme temps V angle 

BAC , compris par les premiers , est plus grand 

que V angle EDF, compris par les seconds; je 

(Us que le troisieme cote BC du premier triangle 

sera plus grand que le troisieme EF du second. 

Faites Tangle CAC=D, prenez AG = DE, et 

joigi^ez CG , le triangle GAG sera <5gal au triangle 

DEF, puisqu'ils ont par construction un angle egal 

compris entre c6tes egaux* ; on aura done CG=EF. 

pr. 6. j^iaintenan t il pent y avoir trois cas , selon que le point 



LIVAB I. l3 

• 

G tombe hors du tiiangfe ABC, ou sur le c&t4 BC; 
ou an-dedans du meme triangle. 

Premier cas. La ligne droite GC est plus coiirte % »5- 
que GI + IC , la ligne droite AB est plus courte que 
AI + IB ; done GC+ AB est plas petit que GI + AI -f- 
IC-h IB, ou^ ce qui est la m^me chose, GC + AB < AG 
+BC. Retranchant d'un e6ti AB^et de lautre son ^gale 
AG , il restera GC < BC : or GC =r EF^ done on aura 
EF< BG. 

Secmd cos. Si le point G tombe sur le c6t^ BC, il' ^- *^* 
est evident que GC ou son egale £F sera plus petit 
que BC. - 

Troisieme cos. Enfin si le point G tombe au-dedans 
du triangle ABC, on aura, suivant le thior^me pr^- 
c^dent, AG+GC<AB+BC. Retranchant d'une part 
AG, et de lautre son ^gale AB, il restera GC < BC, ou 
EF<BG, 

Scholie. Reciproquement, si Ics deux cdtes AB, AC, 
du triangle ABC sont egaux-aux deux cdt^s DE, DF, 
du triangle DEF; si, de pius,ile troisieme c6te CB du 
premier triangle est plus gratid que le troisieme EF 
du second, je dis que Tangle/BAC du premier triangle 
sera plus grand que Tangle EDF du second. 

Car si ,qn nie cette proposition , il faudra que Tangle 
BAG soit egal a EDF, ou qu'il soit plus petit que EDF : « g^ 
dans le premier cas , le cote CB serait egal a EF* ; dans 
le second, CB serait plus petit queEF; or Tun et Tautre 
est contraire a la supposition ; done Tangle BAC est 
plus grand que EDF, 

' PROPOSITION XI. 

THEOREME. 

Deax ttiangles sontigaux^ lorsquHh ont les 
trois cdi6s Sgaux chacun a chacun. 



l4 GBOMBTHIE. 

fig. 23. Sbit le c6t^ ABs=DE, AC=DF, BC=EF, je dis 
qu on aura Tangle A=D, B=E, C=:F. 

Gar si I'an^^Ie A i^tait plus grand que Tangle D, 
comme lea cdtes AB, AG, sont egaux aux cdt^B DS, 
DF^ fch^icun a chacun , it s en^uivrait, par le th^or£me 
pr^c^dent , que le cdte BG est plus grand que EF ; 
et 01 Tangle A ^tait plu^ petit que Tangle D^ il s*en* 
suivrait que le cdte BC est plus petit qUe EF; or, BG 
est egal a EF; done Tangle A ne pent £tre Hi plua 
gtand ni plus petit que Tangle D; done il lui est egal. 
On prouvera de meme que Tangle B:i=:£, et que 
Tangle GnzF. 

Scholie. Or peut remarquer que les angles egaux 
sont opposes k des c;5t^s ^gaux : ainsi les angles ^gaux 
A et D soot opposes aux c6tes ^gaux BG, EF* 

PROPQSITION XII. 

TH]£oaiHB. 

Dans un triangle isoscele , les angles opposis 
aux cdtes Sgaux sont ^gaux. 
fig. 98. Soit le cote AB =- AC, je dis qu on aura Tangle 
G=B. 

Tirez la ligne AD da sommet A aii point D , milieu 
de la base BC , les deux triangles ABD , ADC , auront 
les trois c6tes egaux cliacun k chacuu ; savoir AD 
commun, AB=AC par hypothese, et BD = DC par 
construction ; done , en vertu du th^orSme precedent , 
Tangle B est egal a Tangle C. 

Corollaire. Un triangle equilateral est en mSme 
temps equiangle , c'est-a-dire , qu il a ses angles egaux. 

Scholie. L'egalite des triangles ABD , ACD , prouve 
en m4mft temps que Tangle BAD = DAG, et que 
Tangle BD A = ADC; done ced deux derniers sont 



1 



t 



Livns I. x5 

(Irpiu; done la lignc mefnis du sommet d^un triangle 
isoscele au jnilieu de sa base , est perpendioulaite a 
cette bqse^ et divise Vangt^du somnut en deu^ parties 
ega/es. 

Dans un triangle non isoscele on prend in^ifferem'- 
meni pour, base uii cdte quelconque* et dlora fion 
sornmee est celui de Tangle oppos^. D<«as le (riangle 
uoscele; on. prend par.uculierement pour base, I9 cate 
qui n est point egal a Tun des deux autreA. 

PROPOSITION XIII. 

THiOREME. 

JHeeiproquement ^ si deux angles sant igaux 
dans un tfiangle , les cdtis opposes seront igaux , 
)et le triangle sera isoscele. 

Soit Tangle ABC=ACB, je dis que le c6te AC sera - 
egal au c6te AB. 

Car si ces c6tes ne spnt pas egaux , soit AB le plus 
grand des deux. Prenez BD=AG, et joignez DC. 
L'angle DBC est, par hypotbese, e{?al a ACB; les 
deux cot^s Ti&^ BC sont ^gaux aux. deux AC, CB; 
done le triangle DBC * serait egat au triangle ACB. *pp, 6, 
Mais la partie ne pent pas etre egale au tout; done il 
tCy a point d megalith entre les cdtes AB, AC j done 
le triangle ABC est isoscele. 

PROPOSITION XIV. 

THEORiilE. 

*De deux cdtds d'un triangle, celui- la est le 
plus, grand qui est opposi a un plus grand 
angle , et reciprbquerneitt, de deux angles d'un 



P:.- 



l6 * GEOMBTRIB. 

triangle f celui-la est le plus grand qui est op* 

posi a un plus grand c6te. 
iig. 3o. ^^ Soit Tangle C > B , je dis que le c6t^ AB oppos^ 

h Tangle G est plus grand que le c6te AG oppose k 

Tangle B. 

Soit fait Tangle BCD^nB; dans le triangle BDG 
♦pr- »3- ^^ ^^^ * BD==:DG. Mais la ligne droite AG est plus 

courie que AD 4- DG, et AD 4- DG = AD + DB= 

AB; done AB est plus grand que AG. 

a^ Soit le cote AB > AG , je dis que Tangle G oppose 

au c6te AB sera plus grand que Tangle B oppos^ au 

c6te AG. 

Gar si on avait G<B^ il s*ensuivrait , par ce qui 

yient d'etre demontre, AB<AG, ce qui est contre la 
*pr.i3. supposition. Si on avait G = B} il s'ensuivrait * AB=r= 

AG , ce qui est encore contre la supposition ; done il 

faut que Tangle G soit plus grand que B. 

PROPOSITION XV. 

THEOREM B. 

fig. 3i. D^unpointk donni hors dHune droite DE, on 
ne pent mener quune seule perpendiculaire a 
cette droite. 

Gar supposons qu on puiss6 en mener deux AB et 
AG; prolongeons Tune d'elles AB d'une quantity BF 
r= AB, et joignons FG. 

Le triangle GBF est egal au triangle ABG : car 
Tangle GBF est droit ainsi que CBA, le c6te GB est 
comuiun, et le cot^ BF= AB; done ,ces triangles 
* P""- ^* sont egaux *, et il s'ensuit que Tangle BGF = BGA. 
L'angle BGA est droit par hypothese; done Tangle 
BGF Test aussi. Mais si les angles adjacents BGA, BGF, 
valent ensemble deux angles droits, il faut que la ligne 



t 

4 



I 



I 

1 



LIVRS !• i 17 

ACF soit droite *; d'oii il resulte qu'entre les deux *|>r.4. 
niemes points A et F, on pourrait mencr deux lignes 
droites ABF, ACF; ce qui est impossible *; done il *''^** 
est pareilleraent impossible que deux perpendiculaires 
soient menees d'un m^me point sur la mSme ligne 
droite. 

ScJvolie, Par un meme point G donne sur la ligne fig. £7. 
AB, il est egalement impossible de mener deux per- 
pendiculaires il cette ligne : car si CD et CE etaient ces 
deux perpendiculaires, Tangle DCB serai t droit ainsi 
que BCE, et la partie serait egale au tout. 

PROPOSITION XVI. 

THEOREMS. 

Si d^un point A situS hors d'une droite DE o/i 
mene la perpendiculaire AB sur cette droite^ et 
differentes obliques AE , AC, AD , etc. y a diffe- 
rents points de cette meme droite : 

I® La perpendiculaire AB sera plus courte 
'^ que toute oblique. 

2° Les deux obliques AC, AE, menees de 
part et d^ autre de la perpendiculaire a des dis- 
tances egale^ BC, BE , seront igales. 

3° De deux obliques AC et AD , ow AE 6?/ AD , 
menees comme on voudra^ celle qiii s*ecarte le 
plus de la perpendiculaire sera la plus longue. 

Prolongez la perpendiculaire AB d'une quantite 
BF= AB , et joignez FC , FD. 

i^ Le triangle BCF est egal au triangle BCA, car 
Tangle droit CBF=CBA, le cote CB est commun , el 
. le c6t^ BF=BA ; done* le troisieme cot^ CF est ^gal ^pr. 6 

■ ' ' a 



l3 GBOMBTRIS. 

au troisieme AC. Or, ABF Ugne droite est plu5 courts 
que ACF^ligne brisee; done AB moitie de ABF est 
plus courtc que AC moitie de ACF; dene i®, la per- 
pendiculaire est plus courte que toute oblique, 

2® Si on suppose BEi=:BC, comme on a en outre AB 

commun et Tangle ABE=ABC , il s'ensuit que le iri- 

*pr. 6 angle ABE est egal au triangle ABC*; done les cfit^s 

AE^ AC sont egaux; done 2^, deux obliques qui s^ecar- 

tent egalement de la perpendiculaire sont egales. 

. 3® Dans le triangle DFA la soinme des lignes AC, 

* P'» 9» CF , est plus petite * que la somme des o6tes AD , DF { 

done AC, moitie de la ligne ACF, est plus courte 

que AD moitie de ADF ; done 3*^, les obliques qui 

s'ecartent le plus de la perpendiculaire sont les plus 

" longues. 

Corollaire I. La perpendiculaire mesure la vraie 
distance dun point a une ligne, puisqu'elle est plus 
courte que toute oblique. 

II. D un meme point on ne peut mener a une meme 
ligne trois droites egales : car si cela etait, il y aurait 
d un mSme c6te de la perpendiculaire deux obliques 
egales, ce qui est impossible. 

PROPOSITION XVII. 

THEOREME. 

%3a. Si par le point C, milieu de la droite AB, 0/1 
,♦ eles^e la perpendiculaire EF sur cette droite; 
I* chaque point de la perpendiculaire sera ega- 
lement distant des deux extremites de la ligne 
AB ; 2^ tout point sitae hors de la perpendicu- 
laire sera inegalement distant des memes extri- 
mites A c^ B. 

Car, I® puisqu on suppose AC^sCB, les deux obli- 



\ 



i>ivaB I. > i§ 

ques AD, DB, s'ecartent egalement de la perpendi- 
culaire ; done elles sont egales. II en est de mSme dei 
deux obliques AE, EB, des deux AF, FB, etc. ; done 
I®, tout point de la perpendiculaire est egalement dis- 
tant des extremites A et B. 

2® Soit I un point liors de la perpendiculaire ; si 
on joint lA , IB , Tune de ces lignes coupera la per- 
pendiculaire en 1), d'oii tirant DB, on aura DB=DAi 
Mais la ligne droite IB est plus petite que la ligne 
brisee ID+DB, et ID-f-DB=ID4-DA=iIA; done . • 
IB<IA; done a", tout point hors de la perpendicu- 
laire est inegalement distant des extremites A et B. 

s 

PROPOSITION XVIII. 

TJHEOREME. ^ 

Deux triangles rectangles sont egaux lors^^ 
quails ont V hypotenuse egale et un cdtS egal. 

Soit I'hypotenuse AC=DF, et le c6te AB=DE, je fig- 33. 
dis que le triangle rectangle ABC sera egal au triangle 
rectangle DEF. 

L'egalite serait manifeste si le troisieme cdte BC 
etait egal au troisieme EF : supposons , s'il est pos- 
sible, que ces c6tes ne soient pas egaux, et que BG 
soit le plus grand. Prenez BG=:EF, et joignez AG. % 

Le triangle ABG est egal au triangle DEF; car Tangle 
droit B est egal a Tangle droit E , le cote AB=DE , et 
le c6te BG=EF; done ces deux triangles sont egaux* * pr- 6. 
et on a par consequent AG.-^:=DF; mais, par hypo- 
these, DF=AC; done AG=AC. Mais loblique AC ^ * 

ne pent 6tre egale a AG*, puisquelle est plus eloignee •pr.i6. 
de la perpendiculaire AB ; done il est impossible que, 

2. 



r 



20 GBOMBTRIE. ' 

BG differe de EF; dene le triangle ABC est igdil au 
triangle DEF. 

PROPOSITION XIX. 



TREOREME. 

Dans tout triangle^ la sommn da irois angles est 
egale a deux angles droits. 

Soit ABC le triangle propose dans lequel nous 
lig.35. supposerons (i) que AB est le plus grand cote et BG 
le plus petit , et qu'ainsi AGB est le plus grand angle, 
V* 1^ ^^ ^AC le plus petit. * 

Par le point A et par le point I milieu du c6te op- 
pose BG, menez la droite AI que vous prolongercz en 
C' jusqui ce que AG'=AB;prolonge2 de meme AB 
en B' jusqua ce que AB' soit double de AI. 

Si on designe par A^ B, G, les trois angles du tri* 
angle ABGetsemblablement par A\B',G' les trois angles 
du triangle AB'G', je dis qu on aura Tangle G'=:B+C, 
et Tangle A=A'+B', doii r^sulte A+B+G=:A'4-B' 
+ G', c*est-a-dire que la somnie des trois angles est la 
mSnie dans les deux triangles. 

Pour le prouver, faites AK = AI et joignez G'K , 
vous aurez le triangle G'AK. egal au triangle BAI. Gar 
dans ces deux triangles, Tangle commun A est coni'- 
pris entre cotes egaux chacun a chacun , savoir : AG, 
=AB, et AK=:^AI. Done le troisieme c6te G'K est egal 
au troisieme BI ; done aussi Tangle AG'K=ABG , et 
Tangle AKG = AIB. 

Je dis niaintenant que le triangle B'G'K est egal au 
triangle AGI , car la somme des deux angles adjacens 
♦ pr. a. AKG'+G'KB' est egale a deux angles droits* ainsi que 
-- t 

(i) Cette supposition n^exclut pas le casou le c6te moyen AC 
serai t ^gal & Tun des extremes AB ou BC. 



\ 



I.IVRB I. ai 

la somme des deux angles AIC+AIB; retranehant de 
part et d autre les angles egaux AKC , AIB, il restera 
Tangle C'KB'=AIC. Ges angles egaux dans les deux 
triangles sont compris entre c6t^s egaux chacun k 
chacun, savoir C'K=IB==CI,. et KB'=AK=AI» 
puisquon a suppose AB'= 2AI= aAK. Done les deux 
triangles B'C'K , AC! , sont egaux*; done le c6te C'B' •^p^* 
=AC, Tangle B'C'Kri=ACB^ et Tangle KB'C'=CAI. 

II suit de la. i^ que Tangle AC'S' design^ par C est 
compose de deux angles egaux aux angles B et G du 
triangle ABG, et qu*ainsion a C =B+G ; a^ que Tangle 
A du triangle ABC est compose de Tangle A' on 
G'AB' qui appartient au triangle AB'G' et de Tangle 
GAI egal a Tangle B' du m^me' triangle, cequi donno 
A=A'-f-B'; done A + B-4-G=A'-|-B'+C'. D^ail- 
leurs puisqu'on a par hypothese AG < AB et par con- 
sequent G'B' < AC', on voit que dans le triangle ^C'B' 
Tangle en A, designe par A', est moindre que B', 
et comme la somme des deux est egale k Tangle A 
du triangle propose, il s'ensuit qu*on a Tangle A' 
< tA. 

Si on applique la m^me construction au triatigle 
AB'C', pour former un troisieme triangle ACB" 
dont les angles seront designees par A" , B'', C , on 
aura semblablement les deux egaliles G'' = G'+B', 
A'= A''^ B" , d oil resulte A'+B'+C'=A' +B"'4-G\ 
Ainsi la somme des trois angles est la meme dans ces 
trois triangles: on aura en mSme terns Tangle A"^ <7A', 
el par consequent A" <|A. 

Continuant indefiniment lasuit&des triangles AG'B'« 
ACB", etc. on parviendra a un triangle abc dans 
lequel la somme des trois angles sera toujours la ni^me 
que dans le triangle propose ABC et qui aura Tangle 
a plus petit que tel terme qu^on voudra de la pro* 
gression d^croissante ^A , J^A, jA, etc. 

On peut done supposer cette suite de triangles 



H2 GEOMJBTHIE. 

prolong^e jusqu*^ ce que Tangle a soit moindre que 
tout angle donne. 

Et si au moyen du triangle a be on construit 
le triangle suivant a' b' c\ la somme des angles 
a' 4-3' de celui-ci sera egale a Tangle «, et sera par 
consequent moindre que tout angle donne ; d'ou Ton 
* voit que la somme des trois angles du triangle a'b'c^ 
se reduit presque au scuj angle c\ 

Pour avoir la mesure precise de cette somthe , pro- 
longeons le c6le a^c' vers d' ^ et appelons x* Tangle 
exterieur Vc^(V\ cet angle x\ joint a Tangle c' du 
triangle a!Vc\ fait une somihe egale a deux angles 
pr. 2. droits * ; ainsi en designant Tangle droit par D , on aura 
c' -::==. 2D — :r'; done la somme des angles du tpiangle 
a'c'3' sera 

2D + «' + *' — x\ 

Mais on peut concevoir que le triangle a^c^U varie 
dans %Q^ angles et sq% cdtes, de maniere a representer 
les triangles successifs qui naissent ulterieurement de 
la meme construction et s'approchent de plus en 
plusdelalimite oii les angles a' eti'seraient nuls. Dans 
cette limite la droite a^c'd' se confondant avec a'b\ 
les trois points <2',c',3\ finissent par etre exactement 
en ligne droite; alors les angles b' et x* deviennent 
mils en meme tems que a\ et la quantite 2 D+a'+3' 
— X , qui mesure la somme des trois angles du triangle 
a*c'b* , se reduit a 2 D , done dans tout triangle la 
somme deS trois angles est egale a deux angles droits, 

CoroUaire I. Deux angles d'un triangle etant donnes , 
ou seulement leur somme , on connaitra le troisieme 
en retranchant la somme de ces angles de deux angles 
di'oits. 

II. Si deux angles d*un triangle sont egaux a deux 
angles dun autre triangle, chacun i chacun , le troi- 



LIVIIB I. is 

sieme de Tun sera ^gal au troisieme de Tautre, e€ 
les deux triangles seront equiangles entre eux. 

III. Dans un triangle il ne peut y avoir qu un seui 
angle droit ; car s'il y en avait deux , le troisieme 
devrait etre nul; k plus forte raison un triangle ne* 
peut-il avoir qu'un seul angle obtus. 

IV. Dans un triangle rectangle la somme des deux 
angles aigus est egale a un angle droit. 

V. Dans un triangle equilateral cheque angle est 
le tiers de deux angles droits ou les deux tiei:s dun 
angle droit. Done si Tangle droit est exprime par t. 
Tangle du triangle equilateral le %era par |« 

VI. Dans tout triangle ABC si on prolonge le c6te 
.AB vers D^ Tangle ext^rieur CBD sera ^gal a la som- 
me des deux interieurs opposes A et C ; car en ajoutant 
de part et d*autre ABC, les deux somnies sont ^gdles 
4 deux angles droits. 

PROPOSITION XX. 

THEOEEME. 

La somme de tous les angles interieurs dun 
polygene est egale a autant de fois deux angles 
droits quit y a d^ unites dans le nombre des 
cdtes moins deux. 

Soit ABCD etc. le polygone propose; sidu sommet 
d'un m^tne angle A, on mene a tous les sommets des fig. 4a, 
angles opposes les diagonales AG , AD , AE , etc.^ 
il est aise de voir que le polygone sera partage en 
cinq triangles , s*il a sept cotes ; en six triangles , s'il 
avait huit cdtes; et en general, en autant de triangles 
que le polygone a de c6tes moins deux \ car ces trian- 
gles peuventfitr? qopsWe^-es cQinme ayantpour sommet 



a4 6EOMBTRIB. 

commun le point A, e t pour bases les diffcrents c6tes des 
polygones, excepte les deux qui forment Tangle A. On 
* voit en m^me temps quq la somme des angles de tous 
ces triangles ne differe point de la soninie des angles 
du polygone; done cette derniere somme est egale 
ii autant de fois deux angles droits qu^il y a de triangles, 
c*est-a-dire, qu'il y a d'uniles dans le nombre des cotes 
du polygone moins deux. 

Corollaire I. La somme des angles d'un quadrilatere 
est egale a deux angles droits multiplies par 4 — a , ce 
qui fait quatre angles droits* Done si tous les angles 
d'un quadrilatere sont egaux , chacun d'eux sera un 
angle droit; ce qut justifie la definition xvii oil Ton 
a suppose que les quatre angles d'un quadrilatere 
sont droits, dans le cas du rectangle et du quarre. 

11. La somme des angles d'un pentagone est egale 
a deux angles droits multiplies par 5 — 2 , ce qui 
fait 6 angles droits. Done lorsqu'un pentagone est 
'^ equiangle, cest-a-dire lorsque ses angles sont egaux 

les uns aux autres , chacun d eux est egal au cin* 
quieme de six angles droits , ou aux | d un angle droit. 

IIL La somme des angles dun iiexagone est de 
2X(6 — 2) ou 8 angles droits; done dans Thexagone 
equiangle,chaque angle est ^ou ~ dangle droit. 

fig 43. Scholie, Si on voulait appliquer cette proposition 
a un polygone dans lequel il y aurait un ou plusieurs 
angles rerUrants^ il faudrait considerer cbaque angle 
rentrant comme etant plus grand que deux angles 
droits. Mais, pour eviter tout embarras , nous ne 
considererons ici et dans la suite , que les polygones 
a angles saillants^ qu'on peut appeler autrement/?^?/^-- 
gones convexes. Tout polygone convexe «st tel , qu'une 
ligne droite, memSe comme onvoudra, ne peut rencon- 
trer le contpur de ce polygone qu en deux points. 



LivBs I. a5 



PROPOSITION XXI. 



THSOaiMB. 



Si deiix lignes droiles AB, CD, sont perpendi- fig. 36. 
culaires a une troisieme FG , ces deux lignes seront 
paralleles\ & est - a- dire qu^elles ne pourront se 
rencontrer a quelque distance qu*on lesprolonge. 

Carsi elles se rencontraient en un point O, il y aurait 
deux perpendiculaires OF, 06, abaissees d'un nidme 
point O sur une mdmeligne FG^ ce quiest impossible/ "pr.iS. 

PROPOSITION XXIL 



THEOREMB. 



Si deux lignes droites AB , CD ^ font awe une fig. 3d. 
troisieme EFy deux angles interieurs BEFj DFE^ 
dont la somme soit egale a deux angles droits, 
les lignes AB^ CD, seront par alleles. 

Si les angles BEF , DFE , etaient egaux , ils seraient 
droits Tun et Tautre, et on tomberait dans le cas de - 
la proposition precedente; supposons done qu'ils sont 
iYiegauxet par le point F , somniet du plus grand, abais. 
sons FG perpendi aula ire sur AB. 

Dans le triangle EFG, la somme Hes deux angles 
aigus FEG+EFG est egale a un angle droit *; cette •pr.ig. 
somme ctant retrancliee de la somme BEF -|- DFE *^**''-^- 
egale par hypothese k deux angles droits , il restera 
Tangle DFG egal h un angle droit. Done Jes deux li« 
gnes A B, CD, sont perpcndiculalres a une meme ligne 
FG, done elles sont paralleles*. *pr. ai« 



^6 GBOMETRIE. 

PROPOSITION XXIIL 

THEOREMS. 

fig. 37. Si deux lignes droites jdB , CD, font avec une 
troisieme EF^ deux angles interieurs d*un meme 
cdte ^ dont la somme soil plus petite ou plus 
grandeque deux angles droits^ les lignes AB , CD , 
prolongies sufjfisamment , deyront se re?icontrer. 

Soit 1° La somme BEF+EFD plus petite que deux 
angles droits , menez FG de maniere que Tangle 
EFG = AEF, vous aurezla somme BEF+EFG ^gale 
a la somme BEF+AEF et par consequent egale a 
deux angles droits , et puisque BEF + EFD est plus 
petite que deux angles droits, la droite DF sera com- 
prise dans Tangle EFG. 

Par le point F tirez une oblique FM qui rencontre 
AB en M, Tangle AMF sera egal a GF'M, puisqu'en 
ajoiitant de part et d'autre une meme quantity EFM 
rhFEM; les deux sommes sont ^gales chacune a deux 
angles droits. Prenez ensuite MN=FM et joignez FN; 
Tangle AMF , exterieur au triangle FMN , est egal a 
•pr.19. la somme des deux interieiirs opposes MFN , MNF* ; 
ceux-ci sont ^gaux entre eux , puisqu'ils sont opposes 
a des c6tes egaux MN , FM; done Tangle AMF ou son 
egal MFG est double de MFN; done la droite FN 
divise en deux parties egales Tangle GFMet rencontre la 
ligne AB en un point N situe a la distance MN=FM. 

II suit de la meme demonstration que si on prend 
NP = FN, on determinera sur la ligne AB le point P 
ou aboutit la droite FP qui fait Tangle GFP egal a la 
moitie de Tangle GFN, ou au quart de Tangle GFM, 

On peut done prendre ainsi successivement la moitie, 
le quart, le huitieme, etc.de Tangle GFM, etles 
lignes qui operent ces divisions , rencontreront la ligne 



cor. 6. 



LITRE I. 2y 

AB en des points de plus en plus iloignis , mais faclles 
a determiner, puisque MN=FM, NP=:FN, PQ= 
PF, etc. On peut mSme observer que chaque distance 
d*nn de ces points dlntersection au point fixe F , n'est 
pas tout a fait double de la distance du point d'intersec- 
tion precedent, car FN par exemple est moindre que 
FM+MN ou aFM; on a pareillement FP <aFN, 
FQ < aFP, etc. 

Mais en continuant de sous-diviser Tangle GFM en 
raison double, on parviendra bientdt a un angle GFZ 
plus petit que Tangle donne GFD , et il sera encore 
vrai que FZ prolongee rencontre AB en un point de- 
termine : done a plus forte raison la droite FO com- 
prise dans Tangle EFZ, rencontrera AB. 

Supposons 2^ que la somme des deux angles inte«* 
rieurs AEF+GFE est plus grande que deux angles 
droits, si Ton prolonge AE vers B et CF vers D, la 
somme des quatre angles AEF, BEF, CFE, EFD , sera 
egaleaquatre angles droits; done si de cette somme 
on retranche AEF-I-CFE plus grande que deux 
angles droits, il restera la sopime BEF+EFD plus, 
petite que deux angles droits. Done suivantle premier 
casles lignesEB, FD, prolongeessuffisamment^doivent 
se rencontrer. 

Corollaire. Par un point donne F on ne peut mener 
quune seule parallele a la ligne donnee AB; car ayant 
tire FE a volonte , il n y a qu une ligne FG qui fasse 
la somme des deux angles BEF-hEFG, ^gale a deux 
angles droits ; toute autre droite FD ferait la somme 
des deux angles BEF ~h EFD plus petite ou plus grande 
que deux droits; et rencontrerait par consequent 
la ligne AB. 

PROPOSITION XXIV. 



THEOREMS. 



Si deux lignes par alleles AB, CD, sont ren- fig. 38. 
contrees par une secante EF ,. la somme des 



28 gbombtrib. 

angles inteiieurs AGO , GOC , sera egale a deux 

iingles droits. 

Gar si elle etait plu3 grande ou plus petite, les deux 
droites Afi, CD, se rencontreraient d'un c6te ou de 
*pp.a3. Tautre* et ne seraient pas paralleles. 

Corollaire I. Si Tangle GOC est droit, Tangle AGO 
sera aussi un angle droit ; done toute ligiie perpen* 
diculaire a Tune des paralleles est perpendiculairc a 
Tautre. 

CoroUaire II. Puisque la somme AGO + GOC est 
eg.ile a deux angles droits, et que la somme GOD + 
GOC est aussi ^gale k deux angles droits ; si on re- 
tranche de part et d autre GOC, on aura Tangle AGO 
♦ pr.5. =GOD. Dailleurs AGO=BGE, et GOD=COF*; 
done les quatre angles aigus AGO, BGE, GOD, COF, 
sont egaux entre eux ; il en est de meme des quatre 
angles obtus AGE, BGO, GOC, DOF. On peut ob- 
server de plus qu'en ajoutant Tun des quatre angles 
aigus k Tun des quatre obtus , la somme sera toujours 
egale k deux angles droits. 

Scholie. Les angles ddnt on vient de parler , com* 
par^s deux k deux, prennent differents noms; Nous 
avons deja appele les angles AGO , GOG , interienrs 
tTiin meme cote; les angles BGO , GOD , ont le meme 
nom ; les angles AGO , GOlD , s'appellent alternes^ 
internes y ou simplement alternes\ il en est de meme 
des angles BGO , GOC. Enfin on appelle internes' 
edtternes les angles EGB , GOD , ou EGA , GOC , et 
aUernes-externes les angles EGB, COF, ou AGE, DOF. 
Cela pose on peut regarder les propositions suivantes 
comme etant deja demontrees. 

lo Les angles int^rieurs d'un m^me cAte, pris en- 
semble, valent deux angles droits. 

2** Les angles alternes-internes sont ^gaux, ainsi que 



L I y B B I. 29 

les angles intemes-externes, et les angles alternes- 
externes. 

Keciproquement si dans ce second cas, deux angles 
de mSme nom soni cgaux , on peut conclui*e qiie les 
lignes auxquelles ils se rapportent sont paralleles. 
Soit, par exeniple, Tangle AGOr=GOD; puisque GOG 
-h GOD est egal a deux droits , on aura aiissi AGO 
4- GOG egal k deux droits, done* les lignes AG, C0> V- »>» 
sont paralleles. 

PROPOSITION XXV. 

THBOBEME, 

Deux lignes AB , CD , paralleles d une troU iig. 39^ 
sieme EF, sont paralleles entre elles. 

Menez la s^cante PQR perpendiculaire a EF. 
Puisque AB est parallelc a EF , la secante PR sera 
perpendiculaire k AB*; de mdnie puisque CD est pa* *eor.i. 
rallele a EF , la secante PR sera perpendiculaire a ^^' ^' 
CD. Done AB et CD sont perpendiculaires k la ni^me 
droite PQ; done elles sont paralleles*. 'pr.ti- 

PROPOSITION XXVI. 

THEOREMB. 

Deux paralleles sont partout egalement dis- 
tantes. 

Etant donnees les deux paralleles AB, CD, si par fig-4o. 
deux points pris a volonle , on ^leve sur AB les deux 
perpendiculaires EG, FH, les droites EG, FH, serout 
en mime temps perpendiculaires a CD * ; je dis de plus •pr. 04. 
que ces droites seront egales entre elles. 

Car en tirant GF, les angles GFE, FGH, consid^res 
par rapport aux paralleles AB , CD, seront cgaux 
comme alterues - internes*; de nieme puisque \e& ♦j^.j, 
droiies EG , FH , sont perpendiculaires a une mime P'* ^* 



3o GEOMETRIE. 

droite AB , et par consequent paralleles entFe elles , 
les angles EGF , GFH , consideres par rapport aux 
paralleles GE , FH, seront egaux comrae alternes- 
internes. Done les deux triangles EFG, FGtf, ont un 
cote commun FG adjacent a deux angles egaux ^ 
chacun a chacun ; done ces deux triangles sont 
*I»«7» ^gaux*; done le cote EG qui mesure la distance des 
paralleles AB , CD , au point E , est egal au cote FH , 
qui mesure la distance de ces memes paralleles au 
point F. 

PROPOSITION XXVII. 



THEORBMB. 



%. 4i» Si deux angles BAG, DEF, ont les cdtes pa- 
ralleles y chacun d chacun , et diriges dans le 
m^me sensj ces deux angles seront egaux. 

Prolongez , s'il est n<Scessaire , DE jusqu a la ren^^ 

centre de AC en G ; Tangle DEF est egal k DGC , 

*pr.a4. parce que EF est parallele a GC*j Tangle DGC est 

egal a BAC , parce que DG est parallele a AB ; done 

Tangle DEF est egal a BAC. 

Scholie, On met dans cette proposition la restriction 
que le cote EF soit dirige dans le meme sens que AC 
et ED dans le meme sens que AB^ la raison en est que 
si on prolonge FE vers. H , Tangle DEH aurait scs 
cdtes paralleles a ceux de Tangle BAC, mais ne 
lui serait pas egal. Dans ce cas , Tangle DE ei 
I'angle BAG feraient ensemble deux angles droits. 

PROPOSITION XXVIII. 



A 



THEORBME. 



Les cdtis opposes d'un parallelo gramme sont 
igauXy ainsi que les angles opposes. 

fig. 44. Tirez la diagonale BD, les deux triangles ADB^ 



LIYBBI* 3l 

' * ■ 

DBC , ont le c6te commuu BD ; de plus , a cause des 
paralleles AD, BC, Tangle ADB=JDBC*, et a cause ♦pr.24. 
des paralleles AB , CD , langle ABD=BDC; done 
les deux triangles ADB, DBC, sout egaux*; done le •pr. 7- 
c6te AB oppose a Tangle ADB est egal au c6t^ DC 
oppose a Tangle egal DBC , et pareillement le troi- 
sieme cote AD est egal au troisieme BC ; done le^ 
cdtes opposes dun parallelogramme sont egaux. 

En second lieu , de Tegalite des monies triangles il 
s'ensuit que Tangle A est egal a Tangle C, et aussi que 
Tangle ADC, compose des deux angles ADB, BDC« 
est egal a Tangle ABC , compose des deux angles 
DBC , ABD , done les angles opposes d'un parallelo* 
gramme sont egaux. * 

CoroUaire. Done deux paralleles AB, CD, com- 
prises entre deux autres paralleles AD, BC, sont 
egales. 

PROPOSITION XXIX. 



THEORSHE. 



Si dans tin quadrilatere ABGD les cdtSs op-., fig. 41. 
poses sont egaux, en sorte qu'on ait AB=:CD, 
et AD=BC, les cdt^s egaux seront paralleles ^ et 
la figure sera un parallilogranime . 

Car, en tirant la diagonale BD, les deux triangles 
ABD , BDC , auront les trois cot^s ^aux chacun a 
chacun; done ils seront egaux; done Tangle ADB op- 
pose au c6te AB , est ^gal a I'angle DBC oppos^ au 
c6te CD ; donc*le cote AD est parallele a BC. Par *pr.a4. 
une semblable raison, AB est parallele a CD; done le 
quadrilatere ABCD est un parallelogramme. 



3a - CLB.O M £t n I B. 

PROPOSITIpN XXX. 

THEOBBME. 

latere sont igaux et parulleleSy les deux autres 
cdtes seront paredllemeRt egaux etparalleles , et 
la figure A BCD sera un parallelo gramme. 

. Soit.|irec la 4uig(malje BD4 puisque AB est pa- 

rall^lea CDyJes.angtes aUernes A.SD, BDC, sont 
♦pra4. ^gaux*: d'ailleurs le cot^ AB=DG, le cgte DB est 

coHimun y done le triangle ABP qst egal au triangle 
♦pr.6. DBC*5 done le c6te AD=iBC, Vangle ADB=:DBC, 

et par consequent AD est parallele a BCj done la 

figure ABCD est un parallelogramme. 

PROPOSITION XXXL 

THEOa^HE. . , 

fig. 45. Les deux diagonales AC , I)B , d^unparalU^ 
logramme se coupent mutuellement .en. deiix 
parties egales. , . > , 

Car, eh Tcompai^ant le triarigle ADO/^u triangle 

COB, on trouve le cote AD=:CB, Tanfffe ADO = 

. ^, CBO* ; ^t Vangle DAO=OCB: don<fe »ce$ «euk trian- 

•pr.a4, ? o ' . "'^' i ti ' 

♦pr.a;. gles sont egaux*; done AO, cote oppose' 4 1 angle 
ADO , est ^gal a OC , cote dppos^ a lahgl^' OBC j done 
aussiDO = OB. ' ^ 

Sckolie. I)ans le qas du lo^sange, les c6tes AB, BC , 
etant egaux, les triangles AOB,OBC, ont les trois 
c6t^s ^g^ux chai^un & chaoun, ^ sont par consequent 
^gaux; d'bu il suit que Taqgle AOBtnfiOC, et qu'ainsi 
les deux diagonales d'un losange se coupent mutuelle- 
ment a angles droits. 



^^^%«'«V««%«^«.^^«.^^%^'«%.%^«/%^%^^%''«/K«>'»'V^'«/««-V^%'«'%«)«^«/«/«>«.%'% %<%^%<«/V 



LIVRE II. 



LE CERCLE ET LA MESURE DES ANGLES. 



DEFINITIONS. 



L J^A circonference dii cercle est une ligne coiirbe, fig. 46. 
dont tous les points sont egalement distants d!un point 
interieur qu'on appelle centre. 

Le cercle est I'espace terniine par cette ligne courbe. 

N. B. Qae]qnefois dans le dlscours on confond le cercle avee sa 
circonference; mais il sera toiijonrs facile de retahlir Texactitude 
des expressions , en se souvenant que le cercle est une surface qui 
a longueur et largeur , tandis que la circonft^rence n'est«qu*une 
ligne. 

IL Toute ligne droite CA, CE, CD, etc., menee 
dii centre a la circonference , s*appelle rayon on dcmU 
diametre; toute ligne, comnie AB, qui passe par le 
centre, et qui est terniinee de part el d'autre a la cir- 
conference, s'appelle diametre. 

En vertu de la definition du cercle, tous les rayons 
sont egaux; tous les diametres sont ^gaux aussi, et 
doubles du rayon. 

IIL On appelle arc une portion de circonference 
telle que FHG. 

La corde ou sous^tendante de I'arc est la ligne droite 
FG qui joint ses deux extremites. 

IV. Seginent est la surface ou portion de cercle 
comprise entre Tare et la corde. 

N. B, Ala mdme corde FG repondent toujours deux arcs FUG^ 
FEG , et par consequent aussi deux segments ; mais c'est toujours 
le plus petit dont on entend parler , a moins qu*on n*exprim9 
le contraire. 

3 



34 <• BOBCBT'B IE* 

'Y. Secteur euit3L pani€ du cercle com\>i'fse e»ti*e 
an arC'i>E at lea .deux rayons CD, C£, menes avlx^ 
extremites de cet arc. • ' * *■ P 

fig. 47- VI. On appelle ligne 'inscrite dans le cercle , celle 
dont les * extremities sont a la circo Arei*ence , comma 
AB; 

Angle inscrit , un angle tel que BAG , dont le som- 
met e$t ^la circonfi^rence^ et qui est fof pie g^^ 4^]x 
cordes; 

Triangle inscrit ^ un triangle tel que I)AC^ Monties 
trois angles ont leurs sommets a la circonferenoo; 

Et en general figure inscrite ^ celle dont to us les 

angles ont leurs sommets a la circonference:en meme 

temps on dibque le cercle est circonscrit a cette figure. 

fig. 48. VII. On appelle secante une ligne qui rencontre la 

circonference en deux points : telle est AB. 

YIII. Tangente est une ligne qui na qu^un point 
de commun avec la circonference : telle est CD. 

Le point commun M ^^^"p^^poir^decontatt. 

IX. Pareillement deux circonferences sotit tan^ 
gmtes Tune h. Tautre, lorsqu'elles nont <{u'uj» point 
d^ comncmn* . .i. ■ • 

flg.i6o. X. Un polygone est circonscrit a un ccrcU^f lursqite 
tons ses cdt^» sont des tangentes a la druoQS^rence; 
dans le meme cas on dit que le cercle est inscrit dans 
le polygone. 

PROPOSITION PREMIERE. 

THEOREM B. 

I 

fig. 49. Tout diamhtre Ah divise le cercle et sa circon- 
ference en deux parties igales. 

tAx A oti aj>plique la figure AEB sur AFB , en 
conseiTant la base commune AB, il faudra que la 
ligne courbe AEB tombe exactement sur la ligne 



K.IVIUBI tl.- }5 

courbe AF]3iy Bam quoi il j aunik (hmirtme cm dans 
qui est centre la definition du cetole* 



THEORBMS. 



■^T^iifA cbf-'di est phis petite' que le dtamltre. 

Car si aux ^xtremlt^s de la corde AD on in^ne les ^' ^' 
rayons AC|'c!b, on aura la ligne droite AD < AC,+ 
CD,ouAD<AB, 

Corolfaire. Done la plus grande ligne dioite (m*on 
pujsse inscrire dans un cercle est egale a son diani6t're. 



.... ^ 



*;,,...-, 



PROPOSITION III. 






Une ligne droite ne peut rencontrer une Cfr- 
CQf^erenee en plus de deux points. 

Car » €?tte la rencon trait en trois, ces trois points 
seraient egalement distants du centre ; il y auratt done 
xrovsr droites ^gales menees d'un mSnie point sur nne 
m^iii«Kgn# droite , ce qni est imposrilde ^ *^^' '^ 

PROPOSITION IV. 

Dans un m^me cercle ou dans des cercles 
igaux, les arcs igaux sont sous'tendus par des 
cordes igales , et riciproquemer^t les cordes 
egaies sous-tendent des arcs dgaux* 
, Le rayon AC etapt egal au rayon EO, ^tl'arc AMD ^g. 5o. 
egal a Tare ENG , je.dis que \% corde AD sera egale a 
la corde EG. 

3. 



;/l<^;aBJflfjc|iwif4trffAJ'^Stfti?t egal au diametre ER, le 




cidera entierement avc9 Ip.l^ne cpurhe ^N(^K. Mins 
-Ow'«iippQ«rf>lii ^^prtiou ,4;VJP .^g^l^^ a l^ portion ^^G ; 
^oticle poiAtD.^Oil^f^^i^uf .le point G;i;donc,la corde 

,AD(eiilttgate4lft^ra^.E(^,.. ■■!-'./ i^^v''' ^''«''*' 
AKii=bEO;^ si, te| Cfiff4ft Aflf^G ^ je dis. q;ue. l>rc AMD 

Car en tirant les rayons CjPfl^^QjJ^.le&deux trian- 
gles ACD , EOG y auront les trois cotes egaux chacun 
a chacun , savoir , AC=iEO'/ CWz^OG , et AD= 
•if,i, EG; done ces triangles .^o;it egaux*; done Tangle 
ACD = EOG. Mais en posant le demi-cercle ADB sur 
''"'^^ '^ioh* ^gd EGF , puisque Tangle ACDisnEOG^fl est 
: tftjii^ ^ue le rayon CD tdiOibera sur le rayon OGt^^^et 
le point D sur le point G ; done Fare AMD e&t eg^l ^ 
TarcENG. 

' ft 

' PROPOSITION V. ' 

^ • ■» . •..-,;..' 

THEOREMS. 

' ^£(dnste meme cercle on dans descercles ^&{Xux^ 

, «w y Ze/^ grand arc est sous - tehdu par une plus 

^gr;ande corde , et reciproquement ^ si toutefois les 

^jcax^ dont il s'agit sont moindres qii^une demi- 

,cirQon/erence. , , 

• «g.*5<Ki r ^*F' .soH iVx; ^^H plus grand que AD^ et soient 

j.<;iij8fl,^e^ ,k;§^ cq^des AP^ AH , et les rayons. CD, CH : 

les deux cotes AC, CH, du triangle ACH sont egaux 

^ jjj[jli^r4pux, p6^s, jAC, CD , du triangle ACD : Tangle 

*io, i.',fWi9 S?* pH'^.^g^^l"^V4y^® ^9^ 5 done * le troisieme 
.^jijpte A]3 ,^^t. plus grand que le troisieme AD; done 
,.j|a.CQi:4^ qui sous-tcud 1^ ^|ys grand arc est la plus 
grande. 



J 



** Keciproquemcnt, srhmA^'AB^^nmppM^flus 

granifc que At), on cohbl4V4'^1^4J MiAm*r'l»iaiil6s 

^qie^ est plo^ grand (iu^(<^AG©viBt-qa!ma$i 

^* *$^fei?^!s?.' N^iis' ^upj)osoni''c|uelesa^«»dabt|<il»'agii 

sontP plus '*paib '^ • la' dfeto^ 

etaientplus grands, la pro'jirieWeontrairft^aiirJil^lteA; 
^l^*c augtnentant, li c6td^ ditmntkfrttitf «t peoifro- 

quemehV : ainsl 'Tare ' A^Rfl!) itAttt plUfr gtiuid ^ne 

AKBH , la corde AD du premtei"^e* plus< pcfilet^que 

la corde AH du secorid. 






^ ' frltiOR^&MB. •' 1 .v,sx* 



A 



_..!/ .. PROPOSITION VI, 

t'-j JLe ^raj^n CG, perpendiculaire ^ a une cor4c •«•*«• 

^'dliHckn 'eti deux parties igales. 

Menez les rayons CA, CB; ces rayons sont, par 
rapport a la perpendifculalrc CD , dea& obliques egales ; 
done ils s'ecartent c5galement de la perpendiculaire*j *i(5|i. 
done AD=DB. 
/r .ife^idcoad lieu, puisque AD=DB| CQ est une per- 
v.ifendiculaiie ele^ee sur le milieu de AB; dorvJ tout ♦xj, i. 
^<jj9int de cette perpendicuiaire doit etre egalfcment 
^ distant d^s deux extremit^s A et B. Le point Gdsttm 
de ces pointjs ; done la distance AG=BG. ' Mais sf ^la 

corde GB, Tare AG seVa <5gal 
rayon CXJl'pierpendiculaii'e a la^^jifi^i* 
sous-tpndu pafr' bettte dtfrtte^fen 
deux partitas egales au point 6.^ /. ^ .^ » ./. i 

Scholie. Xe centre C, le miUeii D d'e' la'^^cord^ *AB , 
et le milieu G de Tare sous -tehdii^ par tetW Voi^ej '^r 
^ sont trois points sitiies sur'une iheiiie'ligAe^perp^n- 
diculaire h la corde/ Oi* il sulfit de deiix pbinti^ {Wor 




V M V ' 



96 ' a^blk&TRIE. 

««l!eW!lftt*f la'j<c«iti6n'a\ine lignedroite; dorto toiite 
Ifgrfe t!toft*kf45 ^a««fe par deux des pblnte niliniiott-. 
irM?s,*pAiflf6rd h€<je^sjll^ertiem par le ivoisi^tn^ yH'B^i'k 
perpCTidiculaire a la cbfde. ' '' '"^ ^^ »in r, 

II 5'eti5Uit aiissi que fa perpendicntaMe' feA^•^i!i^ 
fe miUSll d'uM iporde passe par le centt^d Wf '2?rtP le 
miteU d& t^he JfdUi^tielupar cM^ tvrde.' ' " 
*' Car tette ^erpfettdlfculait^ nest autre qiie bdl^ itjfti 
strait abaiss^e du centre sur la mSme corde*', piiht^ 
qtt*elld*^ci^sfertt teUwi rieut par le milieu d« la 1c6H\q. 

PROPOSITION VII. 

theorSme. 

I 

flg. 5a. Pai' trois points donndsy A, B, C, fi(m.'en 
ligne droitCy on peut toujours faite passep uh^ 
Circonf&Pence y tnais bn n^en p^utfdirk ptiiset 
qu^une. 

Joignez AB, BC, et divisez ces deux droites en deux 
parties egaleft par les perpendiculaires DE, FG; je dis 
d'aburd que ces perpendiculaires se rencontreront en 
un point O. 

Car les lignes DE, FG, se couperont necGijsai- 

rement si elles ne sont pas paralleJes. Or supposons 

qu'elles f assent paralleles; la ligne'AB, perpendicu- 

*a4, 1, laira d DE) serait perpendiculaire i FG% et Tangle 

K serait droit; mais BK^ prolongenient de BD, est 

difierd^te de BF, piiisquc les trois ppints A^ B^G^ 

: ^ ■ l30 sont pas en ligne. droite; done il y aurgit deux 

i perpendiculaires BF I BR, abaissees d'un meine point 

* i5,i. sur la m^me ligne, ce qui est impossible*; done les 

' ' Jljfrp^i\dicp^aires PE, FG, se couperont toujours en 

. un point 0. . 

jyiaintenant le point 0, comme appartenant a la 

p^^'pendiculaire DE,, est a egale. distance des deux 

*^7» »• points A et B*; le meme point O, comme appartenan^ 



,ik .}^ |M^):pen(Ucuiaire FG, ^$t ,^ ^ale disiaqca .das 
.4eui^:PQintH.B.9 C; done les trois.^i^nofs OA, OB, 
.QP^t^on^i^^glftles) done la. Girconferea^ digpte du 
centre O ec dii rayon OB pa^sera par^'lea trpw poinls 

.; U^^t prquy^ paivUt qu on pent toujoura faira passer 
une eirconference par trois potnu doonei, noft an 
^nei(],^pi(^j;, j^ dia d^ plua qu'on nen peutfaire paa* 

Cai; 9^^i\ yr^wX iui« si^i^de.cir.ooiifersiica qui pat- 
sit par les trois points donnas A, B, C, son centre 
ne pourrait £tre hors'd^ld Kgrte DE^, puisqualors il * 17, i. 
serait in^galement ^loigne de A et de B; il ne pouf- 
rait etre non plus hors de la ligne FG par une raison 
semMable f done il serait Ma^fois #ur leg deux lignes 
UtE^ VGrt Or deux lignes droite^ ne peuvent se couper 
^ipi}p\\;^ d*un pal4t; done il n'y a qu'UQe circonference 
qui puisse passer par trois points donnes. 
' yj (^Kollaire, Deux circonfcirences ne peuvent se 
jT^ficontror en plus de deux points ; car si elles 
a^vaie;!^ trQXS points communS) mles aufaient le meme 
centre, et ne feraient qu'une seule et mdme circon- 

fffence^ 



- » » 



PROPOSITION VII 

THEOaiHB. 



i \' 



D^uoi cordes egales sont igalernent dioignies 
du centre i et de deux cordes in^galesj la plus 
petite est la plus eloignte da centre, 

\^ Soit la corde AB=DE; divispz ces cordes eri 
deux egalement par les perpendiculaires ^F^ CG, et 
tirez les rayons CA, GO. 

Les triangles rectangles GAF, DCG, ont les hy- 
potenuses CA , CD , Egales ; de plus le c6te AF 



fig. 53. 



'4<>- GEOABlfRlE. 

moitie de AB, e^ e^?] ,a>i cAta DG, moitie de DE; 

♦18, 1, done ces triangles sont egaux*, et le troisieme cote 
CF est ^gal au troirfeine CG; done, 1° les deux 
cord^s^ etg^)<^ AB, DEj.sQnt ^galemem.eipigfviq^idu 
centre. 

a* Soit la corde AH plus grande que DE, Tare' 

*pr. 5. AKH sera plus gran/d que Tare DME * : $ur Tare 
AKH .preneas la paitie ANB=i)ME, tire/j ^ corde 
AB, el abaissez CF, perpendiculaire sur cette corde, 
et CI, .perpendicuJaiiHj sur AH ; il est clair que CF 

*i6,i. e&t: plus^ grand que. CO, et CO plus grand que CI*; 
dope a plus forte raison .CF>CI, Mais CF=CG, 
puisque les cordes AB, DE, sont egales j done on a 
CG> CI; done de deux cordes inegales la plus petite 
est la plus eloignee du centre. 



/ • 



PROPOSITION IX. 



TnEOE:&MB« 



fig. 54. La perpendiculdire BD, men&e a Vextr^initi 
du rayon CA, est une tangente a la circonfi- 
rence. 

Car toute oblique CE est plus longue que la pcr- 

* 16, 1. pendiculaire CA*; done le point E est hors du cercle; 
done la ligne BD n'a que le point A comnaun avec la 

*d^f.8. circonference ; done BD est une tangente*. 

Scholie. On ne pent mener par un point donne A 
qu une seule tangente AD k la circonference ; car si 
on en pouvait mener une autre, celle-ci ne serait plus 
perpendiculaire au rayon CA; done, par rapport a 
^OI5tle nouvelle tangente , le rayon C A serait une oblique, 
.^l la perpendiculaire, abaissee du centre sur cette 
tangente. serait plus courte que CA; done cette pr^- 
tendueltangente entrerait dans le cercle, et serait une 
secante. 



''^I}'im'pammes AB , BE , ihterbepient sur id % i>*. 

e^atta:MN,PQ. 




,1 Si fes deiix pafatlelei^ i^oiit'ls^cantes, menez \b 
rajon Ctt perpendiculaire a lacor'de MP, il'sera en 
i^epie temps perpeniliciilaire a ^^ parallete NQ*; ddnc •a4, x 
le. pcjiiit H sera a-Ia-fois le miliiiu die Fare MHP et 
celui (Iq Tare NflQ^^;'ou aiirA^ done Tare MHr^^HP, *^^ 
et Tare' ]SfH=HQ; d^-la rgsulte MH~lJfH=HP 
— ItQ, c"est-a-direMN=tPQ; ' 

i** Si des deux paralleles AB, DE, Tune est sd- fig. 5«i 
cante, I'autre taugente; au point de contact Hmenei 
le rayon CH ; ce rayon sera perpendiculaire k la tan- 
gente DE% et nussi a sa parall^le MP. Mais puisque *9. 
CH est perpendiculaire a la corde MP, le point H est 
le milieu delarc MHP; done les arcs MH, HP, com- 
pris entre l^s paralleles AB, DE, sont egaux. 
,."^^^n&n si'le^ deux paralleles DE, IL, sont tan- •• ^ 
geliteis, I'une en ti',.raiitre en K, menez la Si^ante 
parallele AB, vous aurez, par ce qui vient d'etre . de- 
itit^hti^e,' MHt^HP et MK=KP; done IWc .entier 
*HfiMKi=HPK , et de plus on voit que chaoun de.cQS 
^rcS tirt: tin* d^eml^circonference. .. .« 

f- . r. t. ', ; . iPiROPOSITION XI. 



I -< J i r :^ " ' 



I ' ; T ; J 



TU£OR]^ME. 



^' ;deux circonfirences se dbupenf en detl^ 

points, fa ugne qui passe par leurs Centres ^era 

neruendiculaire a la corde qui joihi te'y- points 

.,4^RferseQtio^f..fiJt,,fa dtyise^^ en deux pa^ii^s 

egales. 



Car laligne AB| qui joint les points (l*intersection , 
f I* ^7 est line corde commune aux deux cercles. Or, si sur le 
milieu de cette corde on ^leve une perpendiculaire, 
* ^* elle doit passer par chacun des deux centres C et D *. 
Mais.par deux points d^^ones on napaut.uiel^r .ii^June 
seiJe ligne drpite; doojc k ligne droitp^ q^i passci^p^^ 
les centres, sera perpendioulaire sur 1^ mil^e^ <|® !** 
corde commune. . , 

PROPOSITION xri. < 



TklSOSBStB. 



.«? I * 



Si la distance des deux centres fdSt plus coUrte 
que la sofnme des rayt>ns, et si en mime t&mjM 

le plus gtand ruyon est moindre que la ^mme 
\i ""'. dti plus petit et de la distance des Centimes ^ les 

deUx cercles se couperont, ' 

^•^7 Car pour qull y ait lieu \ intersection, il fittit rjiie 

le triangle CAD soit possible : il faut done noh seii- 
^^'^' tement que CD soit < AC 4- AD, mais dussl que le 
^^'^^' plus grand rayon AD soit < AC + CD. Or, touteiJ les 

fois que le triangle CAD pourra ^tre construit, il est 

clair que les circonferences decrites des centfes C et 

D, se couperont en A et B. 

PROPOSITION* XIII. 

Si la distance CD des centres de deux cercles 
est ^gale a la somme de leurs rayons CA , AD , 
ces deux cercles se touclieront extirieurem^nt. 
'11 est clair qu*ils auront le point A commun; mais 
il^ A^auront que ce point; car, pour qu'ils eussent deux 
points' communs, il faudrait que la distance des centres 
iYit plus petite que la sonime des rayons. 



LITIS II. 43 

.',',,!„,; . PROPOSITION XIV. 

^ .. , THEORSHB. 

I) t) ..) ^'» I'j •• 

^'^^SPidamiiHii^' codes centres de deut cercles 
M9^h^&\ta iStjfirenee de lenrs rayons CA^ AD, 
bf'/n^T^Sird'ies sc touchewnt intirieurefnent. 

D'abord il est clair qiuls ont le point A commun : 
ils n^cn peuvent avoir dVvtre; car pour cela il fau- 
ilrait que le plus grand rayon AD fftt plus petit que la 
somme faite du rayon AC tt de la distance des centres 
CD*, ce qui na pas lieu. •11. 

"^CorolUUr^. Done, si deux cercles setpuchent, soit 
in'^rteureinent, soit exterieurement, les centres et le 
pouil^de .contact sent sur la ineme ligne droite. 
, ^'Sc/u^u, Tous les cercles qui ont leurs centres sur **g^ 
la droiteCD, et qui passent par le point A, sont tan- 
g^,Q,t&,}^ uns flUx autres; ils n'ont entre eux que le 
C^ujl. po^nt A de commun. Et si par le point A on mene 
4iEl jp^rpendiculaire a CD, la droite A£ sera une tan« 
geiite. commune a tous ces cercles. 

; PROPOSITION XV. 

THEOEBME. 

Dans le mime cercle ou dans des cercles igauXy fig. 61. 
les angles igaux ACB , DCE , dont le sommet est 
ail centre , interceptent sur la circonfirence des 
qrcs egaux AB, DE. 

Ji^cipj'Qquement y si les arcs AB, D15, sont 
igauXf les angles ACB, DCE , seront aussi igaux. 

Car, i^ si Tangle ACB est egal a Tangle DCE, ^es 
deux angles ppurront se placer Tun sur Tautro^^et 
comme leurs cot^ sont egaux, il est clair que le 
point A tombera en D, ^t le point B en E. Mais alors 



,v -.. 



44 aEom^iTAif. 

4*airc5A£f)tteif iit2lssir)t£ini]r)er: »ur Tare D&; .ctimi^i If^ 
deux arcs n'etaienfi pas ccnfondti^ <ea..uai^QV^^ il,y 
aiiriit dans ri un cm dans Taiifttrepd^ipotnt&^iqiigfale^ 
viemt'eloi^es ibi centre^ ce tpu: e$t in^OfieU^e^^i^fi^ 
iWcABos^DK. .... ilUi JVJi.^ .'»!>^nj 

. 12? Si' on suppose • AB;=:D£<5 je- 4ifirigHe ?l*?^^gl^ 
AGB seraegal a DCE^'Cai^ si.oes^ai3gl^ f),^($QnVp^^ 
«egaux, ftott A(]1B le iplu&gnind,! tetii^oi^ pri^.AC(=^ 
DCE; onajura^:par ce qui >vk6l;td'AtxO d4x»Wtr«,»AJ 
= DEl : mais, par hypothese, Tare ABzziDE; done 
on aurait AI^rzAB^ on l^ipatt^e eg4l)e ,a^ tout , ce qui 
est impossible ; done Tangle ACB^zDCE. 

PROPOSITION XVL 

THEOEBUE. 

fig. 6a. Dans le me me cercle ou dans des cerclesigauXy 
SI deux angles au centre kOx^^XiCX.^ sontentre 
eux comme deux nombres entierSy les arcs intet- 
ceptes AB , DE , seront entre eiix comme les 
.memes nombres ^ et on aura cette proportion: 
Angle ACB: angle DCE: :arc AB.rarc DE. / ' ' " 

Supposons, par exemple, que les an^es ACB, 
DCE, soient entre eux comme 7. est a 4? ou, ce qui 
jevient an m^me, supposons que Tangle M, qui ser- 
yir^ de commune mesure, soitcontei^u septfois dans 
Tangle ACB, et quatre dans Tangle DCE. Les angles 
partiels AC/ti, mCriy nCp^ etc. DCo:, ;z:C/, . etc., 
^.etant egaux entre eux, les arcs partiels A.m, mn, 
*i5. npy etc., D^, xj^y etc., seront aussi egaux entre eux*; 
done Tare -enti^r 4^B sera a Tare entier DE comme 
'Tififh ^ 4- P^ ^^ '^^^ evident que le meme raisonne- 
j^eQt.auijait; tpujours lieu, quand a la place de 7 et 4 
px^^urait d'autres. nombres qi^elconques ; done, si le 
rapport des angles AGB^ DCE, peut etre exprime 



i] 



^ i]PoiilIn'es''ehtfers, les aix» i^), DE,* siroM enfire 
^illL eirttmn^ les angles ACB , DQE. 
-^^S^h'i^^i^iiiiiptbquement^ si les arcs AB, DE., 
'^<KtiW^kliq^^<pukf<comme deux nombres oitiej^, im 
angles ACB , DGE , seraient entre eux comikie les 
^^mis 'm^nkkes '^ et 6h aufait toujours AGB'.DCE 
^ti\AlBvI>lS^\ <^e<les' ttros paniels A/?^, mny etc., D^r, 
^^ J ^et6'J y <«a«i t' • ^^UK yles angles partiels A Cm > 
^G >t V <6ti^vl^G;tr^ a'GT) ^^<^i ^a^ «aussi egaux. 

- PROPOSITIOM XVIL 



I ' 



THEORBME. 



Quel que soil le rapport des deux angles ACB, Cg. se^ 
ACD , ces deux angles seront toujours entre eux 

R9ff}^*^^^ 9'T9^ ^> ^^ ' l^^^^ceptes entre leurs 
Qfit^s^^t^ decrits de leurs sommets comme centres 
a^fi^ d^f rajvns e^aux. 

, l\ *^VPJP<?^-'^^ '® P'^^* petit angle place dans le plus grand: 
sila^roposition enoncee n'a pas lieu, Tangle ACB sera 
a Tangle ACD comnie Tare AB est k un arc plus grand 
ftu plus petit que AD. Supposons cet arc plus grand, 

' et representons-le par AO , nous aurons ainsi : 
Angle ACB: angle ACD :: arc AB: arc AO. 



Imaginons maintenant que Tare AB soit divise en 

S' arties egale^ dont chacune soit phis petite que DO, 
y aura au moins un point de dimion entre D et O : 
'soit I cepbirit, et joignons CI; les arcs AB, AI, seront 
entre eux comme deux nombres entiers, et on aura en 
vertu dii. tK^oreme precedent : 

Angle ACB : angle ACI : : arc AB : at-c AI. 
Rapprochant ces deux proportions Tune de Taiilre 
et obsiervant que les ahtdcedents sont les mdines, on 
/en conclura que les consequents sont proportiortnels, 
et qu ainsi 



S I . . ^ » 



lAiigltf AGD.:aingle^^ AGI i: arc AO:an; Ai. 

'Maift Fate AO eflt plus grand que iatc AI diliiiii«ix 
dnait ilofve, pour que la proportionosubsistAt^riquei 
rangto ACD fikt plus grand qtM^raf^leiACt^iOfrca^ 
coHtmre il esU plus petit; douc il 0Btdinpoaiiblei4|»er' 
IftBgle AGB soit a Tangle AGD <^0auiiaranifJlB*i^Ti< 
un arc plus grand que AD. .. '..'«t > 

On d^ontrcrait par \m catsoniieinf^iit chltiUemeiil 
semblal}le que le quatrleme terme de la pvopOTti««i>^ 
ne peut etre plus petit que AD ; done xlesi exactement' 
AD; done on* a la proportion: 

Angle AGB : angle ACD : : arc AB : arc AD. 

Corollaire. Puisque Tangle an centre dn eercle et 
Tare intercepte entre ses cdtes out une tell^ liaison 
que quand Tun augmente ou diminue dans un rap-' 
port quelconque , Tautre augmente ou diminue dab^ 
le m^rae rapport , on est en droit d^^tabiiri^und'de 
ces grandeurs pour la mesu^ de Fautrd i aitisi^ nc^' 
prexidrons d^sormais Tare AB pour la iMs^k^ A» 
Tangle AGB. II faut seulement observer, dans la f^bta- 
paraison des angles enlre eux , que les arcs qui leur 
serrent de mesure doivent etre d^orits ^Ve6 des rayona 
egauic; car cest ce que supposent toutes les proposi* 
tions pr^c^dentes. 

Scholie I. II parait plus naturel de roesurer une 
. quantii^ par une quantite de la ni^ine espece, et 
sur ce principe il conviendrait de rapporter tons 
leS' angles a Tangle droit : ainsi Tangle diE^it>4tant 
rHuite de mesure , un angle aigu sefait expHm^ pat 
uja nonibre Hsompris en^^ o et i , et un angle obtui 
pai> unnomfore- entre t et 2. Mais cett^ nsatii^re 
,x ,(;. d^estpMrner^les angles ne serait pas la plus cotomode 
dawTusage; bn a trouve beaucoup plus simple de 
les raesttrar par des arcs de eercle, a cause de la faci« 
lite de fai^ das arcs ^aux>^ des arcs donnas , et pour 
beaucoup d'autres raisons* Au Teste, si la meiure dea 



angles par Itift 6IC0 de cercle'esi fo. ()Uiill}U6.90<to 
i»d«iebt«^il nun eft pM moiw fiictle d'obidmr |^r 
leuqin^cijtfHi^&ixnesure (}irecte et f|bsolua;.Cftrril4ditg 
comp«rfiCl)kr9lj9ui aa^.de Ine9^re a.uti ahgM'aiii^^ le' 
(pa^iMiUiXfixQiiMr^nw ^ ypus i|ures& le rappMt dtf 
VAn^klH)k)nn^ ikidjingk droit, ee qui eit la inHiird 
ab^lue. 

if&ab^iittiji* .Tnut ooqui it ^.demontr^'diiis lea 
ti:Qis' fwopofiitionB precedences pour la eompaitlaoa . 
dfOiUiglta «(vctt>le6 arcs, a lieu egalemeBt pour U com* 
paraison des secteurs ayec las arcs e oar les Moteura 
sont egaux lotique li§ angles le aont^et en general ils 
aMt"i]^#i^QrlioittieIa smx angles; done deux secteurs 
AGBj^.AGO^ prk d<tnt le meme oerele ou dans dm 
c&p^l^/Ag0B»$ ^^^ ^f^*'^ ^^^ cemme les arcs AB j 
^j^l^mi^ id^ fiefi^ifrnmes $ecUurs. 

dPltffPltiP^f-'la que les area de ceroid qui s«rvent 
d(f^;BP^suri8.AUX angles peuvenl; aussi ser?ir de mesure 
anti 4i£GMWiit4,le<?tfiUf s d'un m&me cercle ou de ccrcles 



w.'A ii».i 



.* » 






., ,^|, p&QPQSITION XVIII. 



K 



THEOEBME. 



h ankle uiscnt BAD « wowr mesure la nioitii %^i 
ae / arc BD compris entre ses cotes. 



' < I » *.•.)* 



,§?iPPftWF^s ,d*abord que le centre du cercle toit 
aiWf ij4«W|/l>¥gW I\AD, on meaera Jo dwmAtre AE fig.64, 
el.J^.gg^M^s.jOB, CD.. L'angk: BCE, dKt^rieter an 
^i^T^lf rA^i ^^^ ^1 a la fiomm^ des deiui iiiterieui>a 
GAB.j,.4BC* • ">ais le triangte BAG i^taiit kdaetlb'^ *i9* »• 
TjIDgl^ CAB?;:;A1IC; $ dp^c l^^ie QGE est double ^ 
dp BAC. L'^gle BOB I comme augle a^ ee(Mre> «: 
pi^F' m^f^E^ Tare B£ ; done Tangle BAG aura pour 
mf SUTO la moiti^ deB£« Par une raiion semblable. 



43 ciOBIETRIC. ^ 

Tangle GAD aura pour mesure la nioiti^ de ED ; done 
BAC+CAD ou BAD aura pour mesure la moitie de 
BE+ED ou la moitie de BD. 

fig. 65. Supposons en second lieu que le centre G soit situe 

hors de Tangle BAD , alors menant le diametre AE , 

* Tangle BAE aura pour mesure la moitie de BE, Tangle 

DAE la moitie de DE ; done leur difference BAD aura 

pour mesure la moitie de BE moins la moitie de ED > 

. ou la moitie de BD. 

Done tout angle inscrit a pour mesure la moitie de 
larc compris entre ses c6tes. 

fig- 66. CoroUaire I. Tons les angles BAG , BDG , etc. , ins- 
crits dans le meme segment sont ^gaui^; car ils ont 
pour mesure la moitie du m^me are BOG. 

fig* 67* , II. Tout angle BAD inscrit dans le demi-cerele 
est un angle droit ; car il a pour mesure la moitie 
de la demi-circonierence BOD , ou le quart de la 
circonference. 

Pour demonti*er la m^me chose dune autre ma* 
niere , tirez ie rayon AC ; le triangle BAG est iso- 
scele , ainsi Tangle BAG = ABG; le triangle GAD est \ 
pareillement isoscele ; done Tangle GAD = ADG ; 
done BAG + GAD ou BAD == ABD + ADB. Mais 
si les deux angleS B et D.du triangle ABD valent en- 
semble le troisieme BAD, les trois angles du triangle 
vaudront deux fois Tangle BAD; ils valent d*ailleurs 
deux angles droits j done Tangle BAD est un angle 
droit. 

^' ' in. Tout angle BAG inscrit dans un segment plus 
.grand que le demi-cercle , est un an|[le aigu; car il a 
pour mesure la moitie de Tare BOG moindre quune 
demi-cireonference. 

Et tout angle BOG , inscrit dans un segment plus 
petit que le demi-cercle, est un angle obtus ; car il a 
pour mesure la moitie de Tare BAG plus grande qu'une 
demi-circonference. 



MvnR II. 49 

IV. Les angles opposes A et C tVun quadrilaiere fig. 68. 
'•#i>^p?l7 ABCD, valent ensemble detix anglei dn!)fU; 
^taflpiUa^gle BADa pour mesure lai moiti^ die RrcBCD, 
Tangle BCD a pour mesure la moitie de Viirc BAl); 
3Ji)<Hidtes^^dift)!tf atngles BAO, BCD, pris ensemble, ont 
( !^6icrrm0to*e M nioiCi^ de 1ft circonference; done leur 
Bl9aitiilneIA|uIvatfi<ji'deuxangles droits. 

^Gj M ^ ; PROPOSITION XIX. 



It 



THEOBSHS* 



^^ . LliO^ngle BAG , famii par une tangenie et une H*'^^ 
\CO^e^ a pour mesure la moitU de I'arc AMDC 

compris enire ses ootSs. 
«>>;jA«i '.point de rontaci A menez le diametie AD; * ' 
5>iirQngleiBAD est droit *^ il a pour mesure la moitie de * 9« 
u landdmifcireonference AMD, Tangle DAG a pour me- 
sure la moitie de DC; done BAD H- DAG ou BAG a 
«f fnour mesure la moitie de AMD, plus la moitie deDG^ 
-' Du la moitie de Tare entier AMDG. 

On' dciuontrerait de m^me que Tangle GAE a 
c jpoHr mesure la moitie de Tare AG compris ontre ses 
<i efites: ' ' 



-.• r 



Problemes relatifs aux deux premiers -livres. 

PROBLEME PREMIER. 

• - * 

Dmser la droite donnee AD e/z deux^ parties ^^' '•• 
^galcs* 

Dcs points A et B, comme centres^ avec im rayon 

plus grand que la nioitie de AB, diecrivca detii arcs 

qui se coupent en D; le point D sera egalement ^oi- 

^ gne des points A «t B : marqtiei de ra^me au-dessus 

4 



5o G£OM£TRlE. 

Oil au-dessous de la ligne AB un second point E <5ga- 
lement eloign^ des points A et B, par les deux points 
D, E, tirez la ligne DE; je dis que DE coupera la 
ligne AB en deux parties egales aii point C. 

Gar les deux points D et E etant chacun egalement 
eloign^s des extremites A et B , ils doivent se trouver 

/ tons deux dans la perpendiculaire elevee sur le milieu 

de AB. Mais par deux points donnes il ne pent passer 
quune seule ligne droite; done la ligne DE sera cette 
perpendiculaire elle-m^me qui coupe la ligne AB en 

\ deux parties dgales au point C. 

^ PROBLi^ME II. 

fig. 71. Par un point A , donne sur la ligne BC, ile^ 
wr une perpendiculaire a cette ligne. 

Prenez les points B et G a egale distance de A , en- 
suite des points B et G , comme centres , et d un rayon 
plus grand que BA, decrivez deux arcs qui se cou- 
pent en D; tirez AD qui sera la perpendiculaire de^^ 
mandee^ 

Gar le point D etant Egalement ^loigne de B et de 
G, appartient k la perpendiculaire elevee sur le milieu 
de BC ; done AD est cette perpendiculaire. 

ScJiolie. La m^me construction sert a faire un angle 
droit BAD en un point donne A sur une ligne don- 
nee BG. 

PROBLEMS III. 

fiK- 7a. D^un point A , donni hors de la droite BD, 
abaisser une perpendiculaire sur cette droite > 

Du point A, comme centre, et d'un rayon suffi- 
samment grand, decrivez un arc qui coupe la ligne 
BD aux deux points B et J) \ marquez ensuite un point 
E <?galement distant des points B et D, et tii^ez AE qui 
sera la perpendiculaire demandee. 

Gar les deux points A et E sont chacun egalement 



tilVKB II. " '5l 

(listants des points BetD; done la ligne AE est per- 
pendiculaire sur le milieu de DD. 



PnOBLBMB IV. 



Au point A de la ligne AB , /aire un angle fig- 73- 
egal a V angle donne R. 

Du sommet K, comnie centre, et d*un rayon k 
volont6, decrivez Tare IL termine aux deux c6tes 
de Tangle ; du point A , comme centre | et d*un rayon 
ABegal a KI, decrivez Fare indefini BO; prejiez en- 
suite un rayon t^gal k la corde U; du point B, comme 
centre ^ et de ce rayon , decrivez un arc qui coupe en 
D Tare indefini BO \ tirez AD , et Tangle DAB sera 
cgal a Tangle donne K. 

Car les deux arcs BD, LI, ont des rayons ^gaux et 
des cordes ^ales ; done ils sont egaux*; done Tangle *^' ^* 
BAD=IKL. 



PROBLBMB V. 



Dii^iser an angle ou un arc donne en deux ^^ '^' 
parties Sgales. 

i^ SUl faut diviscr Tare AB en deux parties egales, 
des pointa A et B , comme centres, et avec un mdme 
rayon , decrivez deux arcs qui se coupent en D ; par le 
point D et par le centre C tirez CD qui coupera Tare 
AB en deux parties egales au point E. 

Car les deux points C et D sont chacun egalement 
distanis des extr^mites A et B de la corde AB ; done 
la ligne CD est perpendiculaire sur le milieu de cette 
corde; done elle divise Tare AB en deux parties Egales 
au point E*. '^a. 

2" .S*il faut diviser en deux parties egales Tangle 
ACB, on commencera pur decrire du sommet C, 
comme centre, Tare AB, et le reste comme il vient 
d etre dit. II est clair que la ligne CD divisera en deux 
parties egales Tangle ACB. 

4- 



5t ' *^ GEOMETRIE. 



Scholid, On peut , par la meme construction , diviser 
chacune des moities AE^ EB, en deux parties egales ; 
ainsi, par des sous-divisions successives, on divisera 
un angle ou un arc donne en quatre parties egales , en 
huity en seize, etc. 



PROBLJBME YI. 



fig. 75. Par un point donni A , mener une parallele 
a la ligne donnie BC. 

Du point A, comme centre, et dun rayon suffi- 
samment grand, d^crivez Tare indefini EO5 dn pr' 
E, comnie centre, et du mSme rayon , decrivez Ta. ,. 
AF, prenez ED = AF, et tirez AD qui sera la parallele 
demandee. 

Car en joignant AE, on voit que les angles alternes 
AEF, EAD , sont egaux ; done les lignes AD, EF, sont 
*a4«i» paralleles*. 

PROBL^ME VII. 

fig. 7^ Deux angles k €tl^ d'un triangle etant don- 

nes, trouver le troisieme. 

Tirez la ligne indefinie DEF, faites au point E Tan- 
gle DEC = A, et Tangle CEH=B : Tangle restant 
HEF sera le troisieme angle requis ; car ces trois angles 
pris ensemble valent deux angles droits. 

PROBLEME VIII. 

H* 77* Atant donnes deux cotes B^/ C d'un triangle et 
V angle A quHlscomprenneht^ decrire le triangle. 

Ayanttire la ligne indefinie DE, faites au point. D 
Tangle EDF ^gal a Tarfgle donne A; prenez ensuite 
DG=:B, DH = C, et tirez GH ; DGH sera le triangle 
demande. 



•f. 



LIVRB II. 53 

PROBLEME IX. 

itant donnis un c6ti et deux angles d'un 
triangle , dicrire le triangle. 

Les deux angles donnes seront ou tons deux adja- 
cents au cAte donne , ou Fun adjacent , I'autre oppo- 
se : dans ce dernier cas , cherchez le troisieme *, y ous *prob.7. 
aurez ainsi les deux angles adjacents. Gela pose , tirez 
la droite DE egale au cote donne, faites au point D fig. 7s, 
Tangle EDF egal 4 Tun des angles adjacents, et au 
point E Tangle DEG egal a Tauti^; les deux lignes 
DF, EG, se couperont en H, et DEH sera le triangle 
requis. 

PROBLEME X. 

Les trois cotis A , B , C , dhin triangle itant fig. ^g. 
donniSy deer ire le triangle. 

Tirez DE egal au cole A; du point £, conime 
centre, et dun rayon egal au second cote B, dccri- 
vezun arc 5 du point D, comnie centre , et d'un rayon 
^gal au troisieme cote C, decrlvez un autre arc qui 
coupera le premier en F; tirez DF, EF, et DEF sera 
le triangle requis. 

Scholie. Si Tun des cotes etait plus grand que la 
fiomme des deux autres, les arcs ne se couperaient 
pas ; mais la solution sera toujours possible , si la 
somme de deux cotes , pris comme on voudra , est plus 
grande que le troisieme. 

PROBLEME XI. 

itant donnis deux cotes A e^ B d^un triangle ^ 
avec I'angleC oppose aucdteBy decrire le triangle. 

n y a deux cas : i® si Tangle C est droit ou obtus, £«, g^^ 
faites Tangle EDF egal a Tangle C; prenez DE=A, 
du point E, comme centre, et d'un rayon egal au 
c6le donne B, decrivez un arc qui coupe en F la 



54 GBOMBTRiB. 

ligne DF; tirez EF, et DEF sera le triangle de- 

mande. 

II faut, dans ce premier cas , que le c6te B soit plus 

grand que A, car Tangle C ^tant droit ou obtus, est 
le plus giand des angles du triangle; done le c6lc op- 
pose doit £tre aussi le plus grand. 

flg. ti, 2^ Si Tangle G est aigu , et que B soit plus grand que 
A, la m^me construction a toujours lieu, ot DEF est 
le triangle requis. 

fig. 8a. Mais si, Tangle G etant aigu , le c6te B est moindre 
cpie A, alors Tare d^crit du centre E avec le rajon 
EF=rB, coupera le cot^ DF en deux points F et G, 
situes du m^me cote de D ; done il y aiira deux trian- 
gles DEF, DEG, qui satisferont ^galement au pro- 
bldme. 

Scfiolie. Le probleme serait impossible dans tons 
les cas, si le cdte B etait plus petit que la perpendi- 
Gulaire abaissee de E s^ur la ligne DF. 

PROBtilSE %ll. 

fig. S3. Les cdtis adjacents A e^ B d^un paralUlo- 
gramme itant donnis avec V angle C quHls com- 
prennent, dicrire le parallelo gramme. 

Tire* la ligne DE = A, faitcs au point D Tangle 
rDE==C, prenez DF=B; decrivez deux arcs, Tun 
du point F comme centre , et d'un rayon FG =rDE, 
Tautre du point E comme centre, et d'un rayon 
EG=DF : au point G, oii ees deux arcs se coupent, 
tirez FG, EG ; et DEGF sera le parallelog^ammc de- 
lliande, 

Gftr , par construction , les cdtes opposes sont dgaux , 
* 5o, 1. ^onc la figure d^crite est un parallelogramme *, et ce 
paraUelogramme est forme avcc les cdtes donnas et 
Tangle donne. 

Corollaire. Si Tangle donne est droit, la figure sera 



LIVRE II. ^ 55 

un rectangle; si, depluS| les c6tessont egaux, ce ser^i 
un quarre, 

PROBLEME XIII. 

Trouper le centre (Vun cercle ou cVun arc donni. 

Prenez k voloiit^ dans la oirconferenee ou dans fig, $4. 
Varc trois points A, B, C; joignez ou imaginez quon 
joigne AB et BC, divisez ces deux lignes en deux pa]> 
ties egales par les perpendiculaires DE, FG ; le point 
O, od ces perpendiculaires se rencontrent, sera le 
centre clierche. 

Scholie, La mSme construction sert i faire passer 
une circonferenoe par les trois points donncs A, B , C, 
et aussi k decrire une circonference dans laquelle le 
triangle donne ABC soit Inscrit. 

PROBLSMB XIT. 

Par un point donni mener une tangente a 
un cercle donni. 

Si le point donue A est sur la circonference, tirez H- ^5. 
le rayon CA, et menez AU perpendiculaire k CA; 
AD sera la tangente demandee*. •9, a, 

Si le point A est hors du cercle , joignez le point ^S* ^^• 
A et le centre par la ligne droite CA; divisez CA en 
deux egalement au point O ; du point O ^ comme cen«- 
tre, et du rayon OG, decrivezune circonference qui 
coupera la circonference donn^e au point B; tirez 
ABy et AB sera la tangente demandee. 

Gar en menant CB, Tangle CBA, inscrit dans le 
demi-cercle , est un angle droit*; done AB est per- *^8» * 
pcndiculaire 4 I'extr^mit^ du rayon GB , done elle est 
tangente* 

ScIwUe. Le point A etant hors du cercle » on voit 
qu*il y a toujours deux tangentes Egales AB, AD, 
qui passent par le point A : elles sont egales, car les 
triangles rectangles CBA , CDA ont Thypot^nuse CA 



56 GEOMEXaiB. 

commune , et le c6te CB = GD ; done ils sont 
•x8,i. egaux*- done AD:=:AB, et en ni6me lemps Tangle 
CAD=CAB. 

PJ^OBLEME XV. 

fig. «7. Inscrire un cercle dans un triangle donne ABC. 

Divisez les angles A et B en deux egalement par 
les lignes AO et BO qui se rencontreront en 0\ du 
point O abai^ez les perpendiculaires OD, OE, OF, 
sur les trois cotes du triangle; je dis que ces perpen- 
diculaires seront egales entre cllesj car, par construc- 
tion , Tangle DAO = OAF, Tangle droit ADO=AFO; 
done le troisieme angle AOD est egal au troisienie 
AOF. D'ailleurs le c6te AO est commun aux deux 
triangles AOD, AOF, et les angles adjacents au cote 
egal sont egaux; done ces deux triangles sont egaux; 
done DO=OF. On prouvera de nieme que les deux 
triangles BOD, BOE, sont egaux; done OD=z OE, 
done les trois perpendiculaires OD, OE, OF, sont 
egales entre elles. 

Maintenant si. du point O, comihe centre, et du 
rayon OD, on decrit une circonference, il est clair 
que cette circonference sera inscrite clans le triangle 
ABC; car le cdte AB, perpendiculaire a Textremite 
du rayon OD, est une tangente : il en est de nieme des 
c6tesBC,AC. 

Scholie. Les trois lignes qui divisent en deux egale- 
ment les trois angles d'un triangle, concourent en un 
meme point. 

PROBLEME XVI. 

% 
fig. 88. Sur une droite donnee AB , d&crire un segment 
•' *^* capable de Vangle donne C , c'est-d-dire , un seg- 
ment tel que tous les angles qui j sont inscrits 
soient egaux a Vangle donne C. 

Prolongez AB vers D, faites au point B Tangle 
DBE-=:C, tirez BO perpendiculaire a BE, et GO per- 



LIVRE II. 57 

pendiculaire sur le milieu de AB; du point de ren- 
contre O, comme centre, et du rayon OB, decrivez 
un cercle, le segment demande sera AMB. 

Car puisque BF est perpendiculaire a I'extr^mite 
du rayon OB, BF est une tangente, et Tangle ABF a 
pour mesure la moitie de Tare AKB*; dailleurs Tan- •j9»*« 
gle AMB, comme angle inscrit, a aussi pour mesure 
la moitie de Fare AKB, done Tangle AMB = ABF = 
EBD = C; done tous les angles inscrits dans le seg- 
ment AMB sont egaux a Tangle donne G. 

Scholie. Si Tangle donne dtait droit , le segment cher- 
che serait le demi-cercle decrit sur le diametre AB. 



PROBLEMS XYII. 



Trouver le rapport numerique de deux lignes ^' ^' 
droites donnees AB , CD , si toutefois ces deux 
lignes ont entrc elles une mesure commune. 

Portez la plus petite CD sur la plus grande AB au- 
lant de fois qu'elle peut y etre contenue ; par exemple, 
<leux fois, avec le reste BE. 

Portez le reste BE sur la ligne CD , autant de fois 
qu il peut y etre contenu , une fois, par exemple , avec 
le reste DF. 

Portez le second reste DF sur le premier BE, au- 
tant de fois qu'il peut y etre contenu, une fois, par 
exemple, avec le reste BG. 

Portez le troisieme reste BG sur le second DF, au- 
tant de fois qu'il peut y etre contenu. 

Gontinuez ainsi jusqu'a ce que vous ayez un reste 
qui soit contenu un nombre de fois juste dans le pre- 
cedent. * 

Alors ce dernier reste sera la commune mesure des 
lignes proposees, et, en le regardant comme Tunite, 
on trouvera aisement les valeurs des restes precedents 
et enfin celles des deux lignes proposees, d'oii Ton 
conclura leur rapport en nombres. 



1 

* 



58 GEOUfiTRIB. 

Par exeinple, si Ton trouve que GB est contenu 
deux fuis juste dans FD, BG sera la commune mesure 
dcs deux lignes proposees, Soit BG= i , on aura FD 
ssa; mais £B contient une fois FD plus GB; done 
£jBrr3; CD contient une fois EB plus FD; done 
00:= 5; enfin AB contient deux fois CD plus EB; 
done ABx=i3; done le rapport des deux lignes AB, 
CD, est celui de i3 a 5. Si la ligne CD ^tait prise poiu* 
unite, la ligne AB serait ~-j et si la ligne AB etait prise 
pour unite, la ligne CD serait jj, 

Scholie. La methode*qupn vient dexpliquer est la 
m^me que present rariUimetique pour trouverle com- 
mun diviseur de deux nombres; ainsi elle na pas 
besoin d*une autre demonstration. 

II est possible que, quelque loin qu'on continue 
reparation, on ne trouve jamais un reste qui soit 
contenu un nombre de fois juste dans le precedent. 
Alors les deux lignes n ont point de commune mesure, 
et sor.t ce qu on appelle incommensurables : on en 
verra ci-apr^s un exemple dans le rapport de la dia- 
gonale au cote du quarre. On ne peut done alors 
trouver le rapport exact en nombres : mais en n^gli- 
geant le dernier reste, on trouvera un rapport plus 
ou moins appmche, selon que Toperation aura ete 
pousseo plus ou moins loin. 



PROBLBMB XTIII. 



fig.gi. Deux angles A et B ^tant donniSj trouver leur 
commune mesure ^ s^ils en ont une , et de Id leur 
rapport en nombres. 

DeeriTez avee des rayons ^Jgaux les arcs CD, EF, 
qui servent de mesure ^ ces angles; proc^dez ensuite 
pour la comparaison des arcs CD , EF, comme dans le 
problSmc precedent; car un arc peut 6tre port^ sur 
un arc de m^me rayon, comme une ligne droite sur 
une ligne droite. Yous paryiendrez ainsi a la com- 



LIYBS II. S9 

mune mesure des arcs CD, EF, s'ils en ont une, et a 
leur rapport en nombres, Ce rapport sera le mSme que 
celui des angles donnes*; et si DO est ia commune *i7,a. 
mesure des arcs , DAO sera celle des angles. 

Scholie, On peut ainsi trouver la valeur absolue d'un 
angle en comparant Tare qui lui sert de mesure ^ toute 
la circonference : par exemple, si I'arc CD est 4 la,cir- 
conference comme 3 est i ^5, Tangle A sera les ~ de 
quatre angles droits, ou )~ d'un angle droit. 

II pourra arriver aussi que les arcs compares n^aient 
pas de commune m^esure; alors on naura pour les 
angles que des rapports en nombres plus ou moins 
approches , selon que {^operation aura et^ poussde plus 
ou moins loin. 



*f*l^ »^^ »^<» %^^<»%,-% «/%-« %«l«r«,«^ »«.% ««%,'% %.^/% '«.^'\ « %^ V% %«>«^ «/»^%«r<»«/«^%^%'« 



y 



LIYRE III. 



LES PROPORTIONS DES FIGURES. 

DBFINITIONS. 

I. J'appelleaa \ figures equivalentes celles dont les 
surfaces sont cgales. 

Deux figures peuvent elre equivalcntes , quoique 
tr^s - (lissemblables : par exemple, un cercle peut 
Stre equivalent k un quarre j un triangle a un rec- 
tangle , etc. . 

La denomination de figures egales sera conservee a 
celles qui etant appliquees Tune sur Tautre , coincident 
dans tous leurs points : tels sont deux ccrcles dont 
les rayons sont egaux, deux triangles dont les trois 
cdtes sont eganx cliacun a chacun , etc. 

II. Deux figures sont semhlahlesy lorsqu'elles ont 
les angles egaux chacun a chacun et les cotes korno^ 
logues proportionnels. Par cotes homologues on en- 
tend ccux qui ont la merae position dans les deux 
figures, ou qui sont adjacents a des angles egaux. Ces 
angles eux-mSraes s'appellent angles homologues. 

Deux figures egales sont toujours semblables; inais 
deux figures semblables peuvent ^tre fort inegales. 

III. Dans deux cercles differents, on appelle arc% 
semblables , secteurs semblables , segments semblu* 
blesy ceux qui repondent a des angles au centre 
egaux. 

fig. 9a, Ainsi Tangle A etant egal a Tangle O, Tare BG 
est semblable a Tare DE, le secteur ABC au secteur 
ODE, etc. 

ly. La hauteur d un parallelogramnie est la per- 



livue III. 6i 

pendiculaire EF qui mesure la distance des deux cotes 
opposes AB, CD, pris pour bases. gg. j^, 

V. La hauteur dun triangle est la perpendicalaire 
AD abaiss^e du sommet d'un angle A sur le c6te dp- 
pose BC pris pour base. % 94* 

VI. La Iiauteur du trapeze est la perpendiculaire 
EF nienee entre ses deux c6tes paralleles AB, CD. 

VIL IJaire ou la surface d'une figure sont des ter-^ 
mes a-peu-pres synonymes. L'aire designe plus parti- 
culiereraent la quantite superfioielle de la figure en 
tan I qu'elle est mesuree ou comparee a dautres sur- 
faces. 

N, B, Pour rintelligence de ce livrc et des suivants, il 
faut avoir presente la theorie des proportions, pourlaquelle 
nous renvoyons anx traites ordinaires d'arithmetique et 
d'algebre. Nous ferons seulement une observation, qui est 
tres importantc pour fixer le vrai sens des propositions, ct 
dissiper toute obsenrite, soit dans Tcnonce, soit dans les 
demonstrations. 

Si on a la proportion A : 6 : : C : D , on sait que le produit 
des extremes A X D est egal au prodnit des moyens B X C. 

Cetle verite est incontestable pour les nombres; elle Test 
aussi pour des grandeurs quelconques , pourvu qu'elles s'ex- 
primenl ou qu*on les imagine exprimees en nombres ; et c'est 
cc qu'on peul toujours supposer : par exemple , si A, B, C , D , 
sont des lignes , on pent imaginer qu'une de ces quatre lignes, 
ou une cinquieme , si i'on vcut , serve a toutes de commune 
mesureet soit prise pour unite; alorsA, B, C , D,representent 
chacune un certain norabre d*unites , entier ou rompu , com- 
mensurable ou incommensurable , et la proportion entre les 
lignes A, B, C, D, devient une proportion de nombres. 

Lc produit des ligne.s A et D, qu*on appelle aussi leur 
rectangle , n'est done autre chose que le nombre d'unitea 
lincaires contenues dans A, multiplie par le nombre d*nni- 
tes lineaires contenues dansB; eton con9oit facilementque 
ce produit pent et doit ctre egal a celui qui rcsulte sembla- 
blemcnt des lignes B et C, 



6a * ciioiiiTaiB. 

Les gnndenn A et B peuyent Itrt d'aiie etpece, par 
exemple, des lignes, ei les grandeurs G et D dWe aiitro 
espece, par exemple , das surfaces; alors Hbmt toujour^ re- 
garder ces grandeurs comme des n ombres : A et B s*expri- 
meront en unites line'aires , C et D en unit& superficielleSi 
et le produit A X D sera irn nombre comme le produit B XC. 

En general , dans tontes les operations qu'on fera sur les 
proportions , il faut toujours regarder les termes de ces pro- 
portions comme autant denombres, chacun de Tespecequi 
Ini cottvient , et on n'auraiMicuue peine k concevoir ces op^ 
rations et les consequences qui en r^ultent. 

. Nous devons avertir aussi que plusieurs de nos d^mon^ 
trations sont fondees sur quelques-unes des regies les plus 
simples de I'alg^bre, lesquelles s'appuient elles-m^mes sur 
les axiomes connas : ainsi si Ton a A =s B+C, et qu*on muU 
tiplie chaque membre par une m6me quantite M , 09 en 
conclutAXM = BxM-|-CxM; pareillement si Ton aAss 
B+C et Drz£ — Gy et qu'on ajoute les quantites dgales, 
en efla^ant + G et — G qui se d^truisent, on en conclura 
A+I)=^B4-£, et ainsi des autres. Tout cela est assea 
* evident par soi-m^me; mais, en cas de difficulte, il sera 
bon de consulter les livres d*algebre» et d'entre-roMer ainsi 
r^tude des deux sciences. 

PROPOSITION PREMlfeRE. 

TfiSORiMS. 

Lesparallilogrammesqui ont des bases Sgales 
et des hauteurs igales, sont Equivalents. 
Eg. 96. Soit AB la base comroiine des deux paralUlogram* 
nie5 ABCD, ABEF , pubqu ils sont supposes avoir la 
m^me liauteur ^ les bnses superieures DC, FE, seront 
situ^es sur une m^me ligne parall^le a AB. Or on a> 
par la nature des parallelogrammes AD = BC, et AF 
= BE ; paiL la m^me raison on a DC= AB , et FE =r 
ABj done DC=: FE; done, retranchant DC et FE de 
la m^me ligne DE, les restes CE et DF seront ^gaux. 



LlVRft III. 63 

II suit de li que les triangles DAF, CBD , sont ^qui- 
lateraux entre eux, et par consequent egaux* 

Mais si du quadrilatere ABED on retranche le trt« fig. 96. 
angle ADF, il reste le parallelogramme ABEF; el si 
du mfime quadrilatere ABED on retranche le triangle 
CBE , il reste le parallelogramme ABCD ; done les 
deux parallelogranimes ABCD, ABEF, qui ont m^me 
base et m^me hauteur, sont equivalents. 

CoroUaire. Tout parallelogramme ABCD est Equi- 
valent au rectangle ABEF de mSme base et de meme fig- 97* 
hauteur. 

PROPOSITION IL 

theoeAme. 

Taut triangle ABC est la moitie du paralUlo-- fig. 99. 
gramme ABCD qui a mSme base et mSme hauteur. 

Car les triangles ABC , ACD , sont Egaux *. * *^' '* 

Corollaire I. Done un triangle ABC est la moitiE du 
rectangle BCEF qui a mdme base BC et mime hau^* 
teur AO ; car le rectangle BCEF est equivalent au pa« 
rallelogramme ABCD, 

Corollaire II. Tous les triangles qui ont des bases 
egales et des hauteurs ^gales, sont Equivalents, 

PROPOSITION III. 

THKORSHB. 

Deux rectangles de meme hauteur sont entre 
eux comme leurs bases. 

Soient ABCD , AEFD , deux rectangles qui ont pour fig • 99. 
hauteur commune AD; je dis quits sont entre eux 
comme leurs bases AB , AE. ^ ^ 

Supposons dabord que les bases AB, AE, soient 



y 



64 GEOMETRIB. 

commensurables enlW e!l«^s,' et quqlles soient, j)ar 
WiT^tfl edmTie< Us iitiin\}ircs 7 et 4 : §i pn'ditis6' AB 
ferr'^'f)Jirtiie^**«^W, ''Kt contiend'ra 4 d© ces ^at^ 
ticsViSl^i^i^-chttquiEf point ie divisioifi' iiiit^'pW|i^ii- 
dictila?tci'4 IdjWe, vous formercz siltisi'ise^ i^^iJtAii- 
gle« jmrticls, 4^ sprout ^garux entre'euij f*yq{i*its 
auront meme base et meme hauteiir; L*e 'Vfe^rfhgle 
ABC0 eanfieiidra sept rectaiiglcfs partfeb', ll^hdiH 4|ue 
A£FD<eii icotitienditi Kp&ati^e ; done ie r^tahgkf AfiGD 
^st au reotangitc'AEFf) comme 7: est i 4 9 ^^ €Ointti« 
AB est a AE. Le meme raisonnement peut etre appli* 
miA' h -tout' Sivttte rappprt qut ceim de 7^4; donC| 
'^ael qUe'sbit c^'rtipport, pourvu qnil soit commefi- 
surable, on aura, 

ABCD:AEFD::AB;AE. 
fig. loo. Supposons, en second lieu, que les bases AB, AE, 
soient in commensurables entre elies ; je dis qu on n en 
aura pas moins, 

ABCD:AEFD::AB:AE. 
, , . , Car si cetle proportion n'est pa3 Traie ^ Ips trpif pre- 
miers termes demeurant les memes, le quatr^em^ sera 
plus grand ou plus petit que AE. Supposons qu'il soit 
plus grand et qu on ait , * v 

ABCD:AEFD::AB:AO." ^ * 
^DSvisez li ligne AB en parties ^gales' pl*spetlterf que 
^E-O^il' y aura au moins un point cfe division I erttre E 
et u : par ce point ^levez sur AI la pei^pendiculaiielR; 
les'baSes AB, AI, seront commenhiraMek ehtfe'elles, 
et ainsi on aiira , par ce qui vient d*^i!re icli^motitre, 
" ^ ABCD:AlKD::AB:Al/ • ''''' 

'Klaisoti a, par hyj^ptMse i ' 

ABCfatAfeFD:: AB:AO. 
Dans ces deux proportions les antecedents sont egaiux; 
done les consequents sotit propprtionnels , et il en 
resulte, 
^ ' AlKDrAEFD::AI:AO. 



j'«' » ,^ It 



LIVRfi III. 65 

Mais AG est plus grand que AI; done, pour quo 
cette proportion subsiatat, il faudraii que Iq rectangle 
AEFD (At plus grand que AlKD; or, au contraire, il 
est plus petit; done la proportion est impossible; done 
ABCD ne peut etre a AEFD comnie AB est a une ligne 
plus grande que A£. 

Par un raisonnement entierement semblable.on 
prouverait que le quatrieine terme de la .proportion 
ne peut ^tre plus petit que AE; done il est ^al 
kAE. 

Done, quel que soit le rapport des bases, deux 
rectangles de meme hauteur ABCD, AEFD, sont 
entre ^ix comnie leurs bases AB , AE. 

PROPOSITION IV. 

THEOREMS. 

Deux rectangles quelconques AhCD, AEGF^ fig. tor, 
sont entre eux covime les produits ties bases muU 
tipliees par les hauteurs y de sorte qu^on a A^ 

ABCDrAEGF: :ABxAD:AEx AF. 

Ayant dispose les deux rectangles de maniere que 
les angles en Asoicnt opposes au sommet, prolongez 
les cotes GE, CD, jusqu'a leur rencontre en H; los 
deux rectangles ABCD, AEHD, ont menie hauteur 
AD; ils sont done entre eux conime leurs bases 
AB, AE : de meme les deux rectangles AEUD, 
AEGF, ont mfime hauteur AE, ils sont done entre 
eux comme leurs bases AD , AF ainsi on aui*a les 
deux proportions, 

ABCD:AEHD::AB:AE. 
AEHD : AEGF:: AD :AF. 

Multipliant ces proportions par ordre, et obser- 
vant que le moyen ternie AEHD pent Stre omis 

5 



68, CiOJUBTRIE. 

coaa^eojtt'on aura, , .., ,. , . .^j^ 

ABCD:AEGF:jABx AD.AExAF.. . f, ru.^ 

Scholia* Done, on peut prenclre,pouf.pi[^siir?,,#,ViBUy 
reotdngk la produit de sa base par six hai^^i^fj^ .PffWKV > 
qu'on entende par ce produit celui de 4^^f,^f)fflhif^9(i 
qui sont le nombre d'unites lin^aires contenu^s dans 
labase^et le nombre d unites lin^aires cqnten^s dans 
. lajbtauteur. 

Cette mesure, dailleurs, n'est pas absolue, mais 
seulement relative; elle suppose qu'on eyatue sem- 
blablement un autre rectan^ en mesurant ses cdtes 
par la meme unite lin^aire ; on obtient ainsi un second 
produit, et le rapport des deux produits est ^gal a 
celui des rectangles, conformement k la proposition 
qu'on vient de demontrer. '* 

Par exemple, si la base du rectangle A est de tfocs' 
unites et sa hauteur de dix , le rectangle sera reprederite 
par le nombre 3 X lo, ou 3o, nombre qui ainsi isol^' 
ne signifie rien; niais si on a un secohd rectaifigle B' 
dont la base soit de douze unites et la hauteur de sept, " 
^ le second rectangle sera represente par le nombre 7 
X 12, ou 84 : de-la on conclura que les deux rec- 
tangles A et B sont entre eux comme 3o est h. 84 ;' 
donc; si on convenait de prendre le rectjingle A pour 
Tuniti de mesure dans les surfaces, le rectangle B au-^ 
rait alors pour mesure absolue 14^ c'est-fc^-ditie quit 
serait ^gal a -54 d'unit& superGcielles. 

n est plus ordinaire et plus simple de prendre le 
quarre pour Tunit^ de surface, et on choisit le quarr^ 
dont le cot^ est lunitc^, de longueur ; alors la mesure 
qi&e hausMaTDBa regardee simplejiient comme relative 
devient absolijte : par exemple le nombre 3o, par. le- 
-j: : v^ quM nous avons mesure le rectangle A, represente 3o 
ig. loa. unites superficieUeS) ou 3o de ces quarres dont le cdte 
est ^gal & Funiti : c'est ce que la£g, J02 rend sensible* 



de deux lignes avec leur rectangle '^'ettei'l^'WpP^^' 
sion a memS ^as$6 eti amhmeti(|u* -^tik* d^igner le 
pir^dMi]%U^'4Ai}L'i^bknbre$]negaux, comme on ^mploia 
c^kl'^^H'MMxif ^xprimer k pro^uit d'un nombre 

'^'^fces ^iarMJ'iJei hombres 1 , a , 3 , etc. , sdnt t , 4t 
9, etc/ Aiissi'voif-dn que le qiiarr^'feit sur nne Hgn6 
double est quadruple; sur une ligne triple , il est tteuf fig- lo'i 
fois plus grand, et ainsi de suite. 

PROPOSITION V. 

THEORBMB. 



I . 1^ ' * ' • 



Vaire d'un parallelo gramme quelconque est 
igale.au pro duit de sa base par sa hauteur. 

Car le parall^logramme ABGD est Equivalent au iSg.g;. 
rectangle ABEF , qui a m^me base AB et ni^me hau- 
teur BE*; or celui-ci a pour mesure ABxBE**, *!.♦<» 4. 
done ABxBC est Egal k Taire du parall^logramme 
ABCP, 

CoroUaire. Les parallelogrammes de m^me base 
sont entre eux comme leurs hauteurs , et les parall<$- 
logranimes de mSme hauteur sont entre eux comme 
leurs bats^efl; oar A, B, C, Etant trois grandeurs quel- 
Qonqu^Sy OB a generalement AxC:BxG::A:B» 

pkoPOSITION VI. 

[/aire dun triangle est igiath cmpwduit d^ 
Sa base par la moitii de sa hauteur. ' 

Car le triangle ABC est la moitiE dd pLt^\i\xi^ fig.io4« 
gramme ABCE, qui a m&me base BC et v^nm -* > 
hauteur AD*: or,- la surface du paraUelogiMdin^ *^ 

5. 



*s. 




= BC X AD*; done celle du triangle =fBGo<iM)w 

'^uM'x'^M.' ''''"^ '''^^'^''' '- • • ■• • ■ . ■"' 

mime base sont entre eux cd>itime IdUr^'hliilti^fiys^ >l> 

THEOREMS. 

, '1 -> .1 .^ ! 5 «? 

fig. io5. Vaire du trapeze ABCD est igale a sa had* 
s»i-8a ^UrKi:R\f^fruiMpUee^pair\\ln€^mi des 

bases parall^les y AB> Cl>. ^ 

'^A I^VUe^j>8int I> milieu da c6t^ Cli, men^ KX; p^V 
ifidiele au Q6te dppose AD, et ptolangez DC jtuqn^ . 
|t> tienQQntre de KL. .-»' *i)\ v.\ >\ 

Dans les triangles IBIj^ IGK, on a le c6te IB^=I;:l£! 
par construction , Tangle LIB = ClK , et 1 aiigle 
•a4,,i. IBL=:ICK, puisque CK et BL sont parallM^ '^ 
*mi, doAc ces triangles sont eg»ux*;doHC ie tnapi^ze 
ABCD est equivalent au parallelogramme; ADKli,.et 
il a pour mesure EF x AL. ; ' « ; > c 

Mais on a. AL==DK, et piiisqae le ts'larigle iBIi 
asti egal au triangle KGI, le cot^ BLrrzCSf; dqnc 
AB-fCDrrizAli + DKrzraAL, et ainsi AL ^st la 
denii^somme des bases AB, CD} done eniin Yixte 
da trapeze ABCD est egale k la hauteur EF multir*^ 
pliee park demi-*somme des bases AB^ CD, <^ei]ui 

sexprime ainsi: ABCD =r=EF X f -J. 

SchaUje. S\ ff^w le^pphu Jy milieu de BC^.on mene 
IH, parallele a la base AB^ le point H sera atisst;Je 
i|)iUQu de AD, <;rar la figure AHIL est un parall^lo- 
gi*^^[Y\^e;, aiu^i ^que DHIK^ puisque les e6t^ opposd^ 
sont paralleles : on a done AH=±;1L et DH=?1K; ©jTi 
IL=IK, puisque les ti^iangles BIL^.CIK, sont egauxj 
doncAH=DH. 



L IV RE III. 6c) 

On peut rcmarquei' '(Jfiie^ *a ligne HI = ALca 

— -■: ; done 1 aire du tiapeze peut sexpnmer aussi 

^fti^fiKXrHI ud\Q est done eg»l« a la Iiaute^r du 
il^fit^imv^ti^lide par la Hgne^ qui. joint le« miU^UY 
de5fc«6t^j«i<>tt pitrallelas. . 

PRO POSITION' Till. 






TUEOREME. 



'n. 



i^?.r ?^'* 



Si ime ligne AC est diyiseeeAdeua> parties AB^ fig. ii.«. 
BC , le quarrifait sur la ligne entiitt/^ AC eo/t'^ ,^ 
Uetpdra le quairifait sur une partie AB ^ /^foi le ^^^ 
qwemri fait sur V autre partie BC < />/i« deux 
fois le rectangle compris sous les deux parties AB, 

'o/j exprime ainsi, AG oa (AB+BC) 

F*= AB>Th BCV a AB X BC. 

CoDstruisez le quarre ACDE, prenez AF=iAB, 
meiKlz EG panallele a AC , et BH parallele k AE. < 

Le quarre ABGD est divise en quatre parties : la 
pi*eaiiiere ABIF est le quarre fait sur AB, puisqtfon 
a <pris AF=AB: la seconde IGDH est le quam fait 
ftur BC; oar puisqu^ona AG = AE, et ABs^AFyila 
dilir^reix^e AG — AB est egale 4 la difrerenoe- Afi**^ 
AF.^ oe ^i donne BGa=:EF; mais a cause des paral^ 
lelca>iatb:BeV et DG=EF, done HIGD est ^»1 au 
quarre funi sur-BG. Ge$ deux parties etant retran- 
eliees dik quarre total, il reste les deux rectangles 
BGGI /EFIfl , qui ontehFtcfni poii^ ihireBure AB x BG ^ 
done le quarre fait sur AC /etc. '' * •• ^ ^ » , • ' 

Scholie. Ceite proposition mifent &* ^eelle qti^dtf 
cleifiontre en algebre- pOfur Isi'Tornittiin^'tlu'quatl*4 
d'anbindme, et qui est ainsi exprmi<?e: ' 




70 GBOMl&TlltB. 

PROPOSITION IX. 

THEOHEUE. 

fig. 107. Si la ligne AG est la difference des deux lignes 
AB, BC, le quarri fait svit AC contiendi^a le 
quarre dekB^plus le quairi de BC , moins deux 
fois le rectangle fait sar kVet BG; c'est-a-dire 

qu'on aura AC" ou ( AB — BC) = AB V Bc'— 
aABxBC. 

Confltruise?. Id quarre ABIF, pr^nex AEsrAG, 
, luenez CG parallele \ BI , HK paiallele a AB, et ache* 
TCSA le quarr^ EFLK. 

Les deux rectangles CBIG, 6LRD , ont chacun pour 
incsure AB xBC : si on les rctranche de la figure en- 

tiere ABILKEA^ qui a pour valeur AB-f-BG, il e^t 
clair quil restera le quarre ACDE, done, etc. 

Scholie. Cctte proposition revietit a la foriiiulo4'al* 
gebre (a— i)* = a'4-*'— a«** 

PROPOSITION X. 

TniOR^MB* 

Le rectangle fait sur la somme etla diffes'ence 
de deux lignes ^ est ^gal a la difference des 
fig. 108. quarres de ces lignes: ainsi on a (AB + BC) x 

(AB— BC)=AB— BC. 

Cofistruisez sur AB et AC les quarr^ ABIF , 
ACDE; prolonged AB d\ine quantit<i BK = BG, et 
acheves lo rectangle AKLE. 

La base AK du rectangle est la somitie des deux 
lignes AB , BC , sa hauteur AE est la difliirence 
d<% cfes nifimes lignes ; done le rectangle AKL15=: 
(AB4-B&) X (AB — BC). Mais ce ro^me tecungle 
est compose des deux parlies ABHE + BHLK ; et 



)> 



\- 









la partie BHLK est egale au rectangla EDGF^ car 
BH=DE et BK=EF5 dene AKtEbtiAiBHE+EDGF. 
Or, ces deux parties forment le quarre ABIF moitu 
le quarre DHIG, qui est le quarre fait $ur BC; doQQ 

'fiidii (?^^V®^) ,^ (AB— BC)=AB— BC.' ' 
'' ifc^iZi. tiette prbposlticfii revient k la formale 



s . ~ - 

t ' »/ 



PROPOSITION XI. 



THEOREllE. 



\ 




Le quarrifait sur rhypotimue d'un p'iamgte 
tvctangle est igal a la somme des quarrHfaits 
stir les deux autres cdtes. 
^ '■ ' Sbit ADC Un triangle rectangle en A : ajrant iotm& ^' ^¥^ 

i>de& qiidmes aur lea troi5 cdte$, abaiisex de Tangly 
droit 4fir Thypotenuse la perpendiculaire AD que 
- TOa^fHTolpngerez jusqu'en E^ tirez ensuite le3 dia^o* 
iiales AF, CH. 

L'angle ABF est compose de Tangle ABC plu3 Tan- 
gle droit CBF : Tangle CBH est compost du m^me 
angle ABC plus Tangle droit ABH; done Tangle ABF 
= HBC. Mais ABzzziBH comme cdtes dun naSme 
quarre, et BF=:=:BG par la meme raison ; done l£# 
triangles ABF , HBC, ont un angle egal comprb eutra 
r6tes egaux ; done ils sont <?gaux*. , ^ '• 

Le triangle ABF est la moitie du rectangle BDEF, 
(purpour abreger BE) qui a m^me base BP et m^nie 
liautieur B:D *. Le triangle HBC est pareiilement la V- H 
moitie du quarre AH ; car Tangle BAG ^tant droit 
ainsi que BAL , AG et AL ne font qii'une m^me 
ligne droite parallele alHB; done le triangle HBC et ^ 

le qiiarr^ AU, qui ont la base commune BH, ont 
nussi la hauteur commune AB \ done le. triangle est 
la n\o\3aA du quarre, . . 



: ^^5if tf ^dji ^i'6ftW^ufe'Ie triaiiglfe ABF est ^^al»'irn 
triangle HBC; done le rectangle BDEF, doubts 'rfii 
fa*iangle ABF, eftJ?quifVtilent. au qiUrre AH, double 
vclti^trkung]t^.IlBC.^On dmomrei^ de menM^u^e kr jrer<f- 
^tangle GDjSGr ^t equivalent au qi^Ai^'^ Ai^.^ni^s^t^ 
deuKxeptHQglesBDi^F^GDEG, pris eo^eja^e^fontle 
^pia»re*]^GCrI^; doiioioiiitiarir^ BCGF^;l|eMi/i'i|ivi11'^b7p0f 
nm9ae^.f. edt ogaisiila aomnie des t{,uai^H8i ASKL^^AGlKi, 
fiats sisar ba deus jiutr^s ci^tidsi; ou j \fta d^autres fienxite, 

BC=AB+AC! .^'•••'-' -■'•y-'^-'-^"-'' • * "•' ' 

Corollaire I. Dohc 1^ qvaMce d'Uri des cotes de 
louijQ^e Ai6h lest^^illau ipiaolri^de iliy^fet^iise moins 
ie-^uarrd'de laucre c6t6', t:e<<^on<exprtine -wisii; 

^=BG— AC. 
*f • "«• Corollaire II. Soit ABCD art ^uait^ , lite'^li*^dfti> 
gonale ; le triangle ABC!^ etant rectangle et isoscele ^ 

bn ama AC = AB+B(]=2AB ; done' Y^ y^f^^fe 

fatt sur la diagohale AC est double dtt quaY^e jfiiH 

sur le cote AB. -'^ ' ^ -^^^ 

On pent rendre sensible cette propriete en menant 

par les points A et C des paralleles k BD, et par les 

points B et D des paralleles a AC : on formera ainsi 

un nouveau quarre EFGH qui sera le quarre de AC. 

Or, on voit que EFGH contient huit triangles egaux 

' - ^ a ABE, et que ABCD en contient quatre^ done le 

ouarr^ EFGH est double de ABCD. 

,. Puisque AC : AB ; : a : i , on a , en extraya^in^^ la ^-ii* 
pine quarree, AC; AB : : v^a : i ; done? h.dia^i^n^U 
d^un qiuirre est incommensurable ai>ec son., cote, 

Cestcisqu^on developpcra davantage dans une autre 
occasion. 

fig. 109. ^^broildire tHi Oh a deniontre que le quarre AH 

est Equivalent au rectangle BDEF ; or , a cause <le la 

,* bduleup'icominUiiib BF, le qoarre fiCGF est au rec«» 



Jafii^i^balii^d^ l^ngl^'droiof (imsilSl)^^^ segment 
^djauaentirutoiStiS ^AtE^ fret 'JXi{&%L^^sBgla&ix adfaeanC aa 

cdt6 AC. On aurait semblablement , ^7/ |. ,j / ,»)* 

aussii la^oneiTiev liatitcpr^'jSQQtrentra. oux doirtiiaei^ivk 
bases BD, CD. Or, ces rectangles sont i^mival(mts-atm[ 

,9l^320M te> •;!-,.AB\'AG^!r BIJ': DC. - '"''3 

'^qf^les^^>qiuji^r4s ^^^. deux cate$ de Vangh droit so^f 
ffffl^^-^^^^^pop^Tte l0s segments de V hypotenuse ii(i^^\ 
cents a ces cotes. , .,,. 

.0ln=q.. .i^^QPPSITION XII. ,., . . 

'^^ ' TFSOREME. i. 

tL)/. 1)1' 'If. ■ ■ > .. ■ ' >/n»M'- ats 

^'l^'Bafts urt triangle ABC, si V ahgf& C' di&dig)^^^^ ^^ „^; 
ife qitarrS' clu cote oppose sera plus petit que^ la 
somme des quarres des cotes qui comprenneiit 
i^drt^l^^^Wii Ton abaisse kts perjp'endiculaire 
"it^^^/^^^ lit '^^^^^^^^'^^ '-^^^ ^vry,7zr' '^./^y^^/fc/^uix^i 

tan0e \ 

aedans, du triangW, 4^ ,,^9|(^«5-ajp,=g^-§p,^ 
et par eons<^U»ttu1J)(P'::^BQV£iD'm!ai)&M!luQi *;,. 




(74 GBOflllSTRIB. 

'Ajotttint de pjlrt' et d'aiilre AD, et obserrant (J«e 

les,, f:.iri^ngles rectanglep ABD, ADC, donnent Ap-jf- 

McrAB et AD+PG=AC, on aimoT^^mtk 

AC— iiBCxCD. , , 

^^ Si la perpendiculaire AD tombe hors du triangle 
*9- ABC , on aura BD=:CD'i--BGi^ et par consequents 

BD=CD + 1^^ i^CP X Ba Ajautant de ,p^Rt et 

d autre AD , on en^ coneluiti de mhae ^ 

- AbWbgVaC— aBCxCD. 

^BOPOSITION XIII. 



* 



THEOREMS. 



/ 



6g. III. Dans un triangle ABC, si V angle C est obtus^ 
Ic quarri du c6ti opposi AB sera plus grand 
que la somme des quarres des cotes qui com- 
prennent V angle C , et si on ahaisse kti perpen- 
diculaire sur BC, la difference sera igale au 
doudle durectanglehC x CH^desortequ^onauray 

, AB=AcVBcVaBCxCD. 

La perpendiculaire ne pent pas tomber au-dedans 

du triangle; car si elle tombait, par exemple, en £, 

le triangle ACE aurait a-la-fois Tangle droit £ et 

*i9.i. Tangle obtus C, ce qui est impossible*; done elle 

torobe au-dehors , et on a BD = BCh-CD. De la 

• «• r&ulte * BD = BC + CD4- aBCxCD, Ajoutant de 

part et d'auire AD et faisant les reductions comme 

dans le tlieur^me precedent , on en conclura AB 

' ts=BC**|rAC4-2BCxCD. 
: • SchoUe* Le triangle rectangle est le seul dans le- 
vpiA la somtne des qua^rres de deux cdtes soit egale 



*mj^ q^arre tlu troisieme ; car si Tangle compris pai: c^s 
c6tjes e^t aigu , la somme de leurs quair^s sera plus 
grande que le quarre du c6te oppos^; sll est obtus, 
^te Isflnr ^oindie. 






PROPOSITION XIV. 



■■•'i''"' * • THEOmlxB. 



Dd^ tin tricCngle quelcdnque A BC , ^/ on mine fig. tia. 
<&i sommtt au milieu de la base la ligne AE ^ je 

dis qu*on aura AB+ AC=2 A£ -+- a BE. ^ ^ 

Abaissez la perpendiculaire AD sur la base BG| le 
triangle AEG donnera par le theorenie xii, 

AC=AEVEG'-%a EC x ED, 
Le triangle ABE donnera par le theordme xm, 

AB= AE + EB + a EB X ED. 
Done 9 en ajoutant et observant que EBz^EC, on tura, 

AbV AC = 2 AEV 2 EB.* 

CqroUaire. Done ^ dans tout parallelogramm^j la 
sonifnft de$ quarres des cotes est egale a la somme des 
quarres dei diagonales. 

Gar les diagonales AG, BD, se coupcnt mutuelle- fig.nS. 
mem eti deux parties <Sgales au point £*; aio^i. le *3z»x. 
triangle ABC donne , 

AB V BG=2 AE V a be! 
Le triaxigle, ADC donne pareillement, 

aLV DC = 2 AE + 2 51! 
Ajoutant membre a membre, en observant que BE= 
DE, on aura, 

AbV AdV DCV BC a= 4 AE V 4 dS 

Mais 4 AE est le quarro de 2AE ou de AC; J^TiE 
est le quarre de BD ; done la somme des qnarr& des 
edt!^ est ^gale i la somnie des quarr^s des diagODiJxes. 



j6 G£OMETRIE. 



..'. I'Vl .:^iij. 'M'taiJlii Mill i- / .1^ .■.••!.». ajrii) '.i( > HH,i»i 
c, ! THEORBME. /m.JI'\ MM 

fig. X14. £A tigneuEy menee paraClilemdnLarJq oass 
V^ d^un triangle ABC , divise les c&tes ^ , AC , 
I proportionneliie^^fit^ k/j? i^rtQ i^f ^ a AD : DB 
: : AE : EC, 
Joignex BE et DC; les detii triangles BDE, DEC, 
„ .. ont ipeme base DP : lU oot aussi mSme hauteur, 
puis({uc le^ sommets B et G sent situes s^r unfe parail- 
•a, lele a la base; done c^s triangles sont ^quivaleiits*. 
*^l^s triangles ADE, BDE, dont le sommet commiin 
est E, ont meme hauteur et sont entre eut comnie 
*«. teiirs bases AD, DB*; ainsi on a, 

ADE : BDE : : AD : DB. 
lies triangles ADE, DEC, doni le sommet commui^ 

6St D, ont aussi mSme hauteur, et sont entre eux 

> 

eomme leurs bases AE , EC; done, 

ADE : DEC : : AE : EC. 

Mais le triangle BDE = DEC; done, a cause du 
rapj^ort commun dans ces deux proportions, on etl 
conclura AD : DB : : AE : EC. 

Cemlletire I. De la resulte componendo AD + DB: 
AD J : AE+EC : AE, ou AB : AD : : AC : AE, et^ttssE 
AB :BD::?AC:CE. ^ '^^ 

fig. ii5. Corollnire II. Si entre deux droitek ^, CD, ^ft 
mene tant de par alleles qiCoti voudra.jLG^ EF, GH, 
BD, etc., ces droites scront coupees proportionnelle" 
ment^ et on aura AE i (^ ; : ]EG : FH : : GB : HD, 

Car soit O le point de concours des droitps AB, 
-•* 3^ €a&VdaitiSle^tAato^!^OEF, oti li*ligneA(!l est menee 
pJliaH^n^nt i 1« basfe EP, on ^ura OE : AE : : OF : 
GBfOU OE 2 OF : :;AB^ : CP. DaA^ le trtatigle OGH, on 
9im>$eiRblal^emeDt 0£ : Z&: : OF : FH , ou OE : OF 
:: EG : F H; done, a cause du rapport commun : 



LIVRE III. 77 

OE:OF, ces'dkx//"p^opor^io^y 'llSi&m AE : CF : : 
EG : FH. On d^montrera de la m^me maniere que EG : 
FH::GB:HD, et ainsi de suite; done les lignes AB, 
CDx SMt cpupees. pcopprtionnellem^ p^^ l€^ ^(^l« ^ 
lefes EF* Gavetc. , 

n (1/ .^ vi^ROPOSItlON XVL ^s^ 

Riciproquemefit sites cot^ Ab, Ad , sphtcqu* ^z* ^»^- 
pis proportionnellement par la . ligne pJE,^f/i ^ 
jorfe (ju^on ait AD : t)B : ; AE : EG, je di$ qu^la 
ligne DE sera, parallel^ a la base C^, ,, . i f;.^ 

Car si DE n'est pas parallele a BG, SQpposons qutf D ' 
DO en soit une; alors, suivant le theoreme prec4* 
^f^^y,.on .aura AD:BD::AO:OG. Mais , par hypo* 
lhej|e,^ AD;DB:: AE:EC; done on aurait AO:OG:: 
AE:£C; proportion impossible, puisque dune part 
Tantec^dent AE est plus grand (Jue AO , et que de 
Tautr^ le conseqi;ent EC est plus petit que OC ^ done 
I4 p^^allele a BC menee par le point D ne peut diffe* 
rer de DE; done DE est cette parallele. 

Sclwlie^ La meme conclusion aurait lieu si on iop* 
posait la proportion AB:AD::AC:AE. Car cette pro^ 
portion donnerait AB — AD: AD:: AC — AE:A£, oii 
BP:AD::GE:AE, 

PROPOSITION XVlf. 

THiOR^MB. 

La ligne AD , quidiyise en deux parties dgales. ig. "7- 
V angle BAG d'un triangle, div^isera lal^asi&BC^ 
eri deux segments BD , DC, prvportionnels 4ii&c» 
c4tes adjacents AB), AG; de sorte qu6n uurm 
BD:DG::AB:AC. 



7^ cioHivfiit. 

%t% poiht'C nienra CE parallele i AD jmqu'r la 
MJricbnlriB de'BA prolonge. . .. .• o 

Ibatu 1« triangle BCE, la Ugne AD est parallel U^',' 
15. base UEi; amsi on a la proportion *, 

BD:DC::AB:AE. 

Mais le triangle ACE est isosc^e; g^jlt, a cause des 
paralleles AD, GE, Tangle ACE=D AC, it tangle 

♦a4.«. AEC=BAP * : or, par hypothese, DAC=;=?AD; 

i3,i, done I'angle ACE j=: AEC, et par suite AE= AC *j 
substltuant done AG a la place de A£ dans U propor- 
tion precidente, on aura, 

BD:DG::AB:AC, 

PROPOSITION XVIII. 



% 



TKSOEBUB 



« 



^ Deux triangles iquiangles ont les cSt^s homO' 
' loaues proportionnels et sont semblables. 
fig* X 19* Spient ABCj CDE, deux triangles qui pnt les an- 
gles egaux chacun a chacun, savoir BAG = CDE ^ 
ABC=DCE, et ACB=DECj je dis que les c6tes 
homologues on adjacents aux angles ^gaux, seront 
propprtionnels, de sorte qu'on aura BC:GE::AB: 
CD::AC:DE. 

Placez les cotes homologues BG, CE, dans la mSme 
direction, et prolongez les c6tes BA, ED , jusqua ce 
quails se rencontrent en F. 

Puisque BCE est une Ugne drgtte) e| que Tangle 

*4,i« BGA=CED, il s'ensuit que AC est parallele a DE *• 

Pareillenient, puisque Tangle ABC=:DCE, la Ugne 

AB est parallele k. DC j done la figure ACDF e^t ua 

parall elogram me. 

**^' Dans le triiangle BFE la Ugne AC est parallele 4 la 

"' ^^ lyase Flf, ainsi on a BCiCE: :BA: AF*, A la place de 

AF ibettant son ^gale CD, on aura , 

BC:CE::BA:CD. 



comme la oase, CI) est UTie par^llele ^.cette b^j^^^j^t^^ 

% I if 4E9ll?fl??R /?? : ^E " l^I? SDE, , A , f^; ' |i'aie.^e 
FD mettant iR)n eaale AC, on aura, i . .^/ 

Enfin de c/ss deiix proportions qui contiennent Iq. 
meme xappoft, uC:CE, on pent conciur&aussi, 

i\c len, friad^ 
c6tes 

di^niiltioh 11^)' Tleux'figures s6nt. semblable^ ^ lorsquo 
elles ont a-la-fois les singles dgaux chacun a chacun, 
et les cdtes homdiogues proportionnels ; done left 
triangles ^uijp^QS>B4.G|,CD£, font 4eux figures 
setnblables. 

Corollaire, Pour que ddux triangles soient iembla«» 
bles, il^uffitquils aientdeux angles egaux chacun a 
chacun 9 car alors le. troisieme sera ^gal de part et 
d autre ,^ et les deux triangles seront equiangles. 

«Sl7A<?&<ei ' nemarquez que, dans les triangles sem* 
blaoles , |es cdtes homologues sont opposes a des 
angfes egaux; ainsi Tangle A.CB etant ogal k DEC , le . 
c6'te a6 jBst homoloffue a DC ; de meme AC et DE'sbnt 
hbhiologues comme etant opposes aux angles egalii 
ABC, DC£ : les cot^s homologues etant feconhus , oh 
forme aiissilfit les proportions : 

A^:DC::AC:DE::BC:GE/ ^ 



".'J 



' • . 



. V - ^r PROPOSITION XIX» 



THBOUEBIE* 






.^l* 



..1 .|i£* 



*x <Cs 



.QiX .f'"^' 



Deux triangles qui ont les cUtSs/iomoloffues ^ 
proportionnebySont^^uiangl^s,etsemhthBtes. * ,fj*^ 

Supposons . quW ait ISC : EF : : AB:bE: : a6;6]^ : fie. w^. 
je dis que les triangles, ABC , PEF, auront les aijglei 
egaux, savoir, A==P,.B=E,jC=:F. 



80 GBOMETRIE. 

Faites.au point E Tangle FEG=P et au point F 
Tangle EFG=:C, Ic troisieme G sera egal au iroi- 
sieme A , et les deux triangles ABC y EFG , seront 
equiangles ; done on aura par le theoreme precedent 
BC:EF::AB:EG: mais, par hypothese, BC:EF:: 
AB:DE;donc EG=DE. On aura encore, par le 
meme theoreme, BC:EF: : AC:FG ; or on a, par hy- 
pothese, BC :EF::AC : DF, done FG=DF; done 
les triangles EGF, DEF, ont les trois c6tes ^gaux 
*ii, z. chacun a chacun ; done ils sont egaux ^. Mais , par 
construction , le triangle EGF est equiangle au trian- 
gle ABC ; done aussi les triangles DEF , ABC , sont 
equiangles et semhlables. 

Scliolie I, On voit paf ces deux derq^eres proposi-* 
tions, que dans les triangles, Tegalite des angles est 
une suite de la proportionnalite des c6tes, et re- 
ciproquement , de^ -sorte qu une de ces conditions 
suffit pour assurer la similitude des triangles. II n en 
est pas de meme dans les figures de plus de trois 
cotes; car, des qu'il s*agit seulement des quadrila- 
teres, on peut, sans changer les angles, alterer la 
proportion des c6tes , ou , sans alterer les c6tes , 
changer les angles; ainsi la proportionnalite des 
cdtes ne peut ^tre une Suite de Tegalite des angles, ni 
fig. lax. "vice "versa. On voit, par exemple, quen menant EF 
parallele i BC, les angles du quadrilatere AEFD 
sont egaux a ceux du quadrilatere ABCD ; mais la 
proportion des c6t& est differente : de meme , sans 
changer les quatre c^tes AB, BC, CD, AD, on peut 
rapprocher ou Eloigner le point B du point D , ce qui 
alterera les tangles. 

Sclwlie II. Les deux proposition^ pr^c^dentes qui 
n'en font proprement qu'une, jointes a celle du 
quarre de Thypotenuse , sont les propositions les plus 
import^ntes et les plus Kcondes de la geometries 
elles suffisent presque seules a toutes les applications 



p 

r 






LIVRK III. ^I 

^ jet a la resolution de tous les prol>ien)es : la raisan en 
est qiie toules les fiffure5, peuvent sh partaker en 



tiranglesl' ei un triangle quelconqiie ^n Jeux t?iiaR- 

gles, i^ectangies.. Amsi les proprietes generales des 

\ uj^^e^renferment implicitement celles de toutes tes 



figures.'"" " • 



wil iiifj w ^PROPOSITION XX. ^ 

/• x.f.,^'i >'.r.. I.. '-VfiBoaBtt'E. • .■ •. -■ 

I Deitx trica^gles^ui ont un angle Sgal oompris v/ " 

' enfre ce^ray propottionnels , 5onf semblabl^s. • - ^ 
* Soit Tangle A = D, et snpposons qu*oti a AB: fig. iai« 

"DE,: : AC : DF ; je dis que le triangle ABC est sem- 
' WaWe-^'DEF. 

' » V^nei AG = DE et menez GH parallele i EC , 
\ '-PAtt^le'AGH sera egal a Tangle ABC*; et le triangle ♦M.i. 

I ^AflH'sera-equiangle an triangle ABC ; on aura done 

)m ^AB':AG:: AC:AH: mais, par liypothese , AB:DE-: 

AG«DF^ et^par construction AG = DE j done AH = 
DF.LeS' deuk triangles AGH , DEF, ont done un 
^^gie 4i^ co'nip'ris entre cdtes egaux; done ils sont 
-rf^auK. Oi^'le triangle AGH est semblable k ABGf dohc 
'DEF est aussi senablable a ABC. 

1 . i ' ' > ■■ 1 • ' ' ' •• • t • \ . • ■< • • i -^ • " 

' ' PROPOSITION XXI. 

' i)eiix triangles qui ont les cdtis homolo^es j 

paralleles. ou qui les ont perpendiculdires cTia- /^ 
can a chacun , sont semblables. 
m . Car, i** si le ootd AB est parallele a pE , et BG a fig. i»5. 

EF , Tangle ABC sera egal a DEF* ; si de plus AC e^t ♦ «7 , «• 
^parallele i DF , l^ngle ACB sera egal a DFE , et aussi 

6 



20, X. 



8l G^OMI^tRIE. 

BAG a EDF : done les triangles ABC, DEF, soni 
equiangles j don(; ils sent semblablcs. 
f^gj^^ a"" Soit le cdt(4 DE perpendiculaire ft AB^ et le 
/ c6te DF k AC 5 dans le qiiadrilat^re AtDH les deux 
ailgles I et H seroiit droits ; les quatre angles talent 
ensemble quatre angles droits * ; done les deux res- 
tants lAH , IDH , valent deux angles droits. Mais les 
deux angles EDF , IDH , valent aussi deux angles 
droits ; done Tangle EDF est egal a lAH ou BAG : 
pareillement si le troisieme cote EF est perpendi- 
culaire au troisieme BC , on demon tr^ra que I'angle 
1)FE=C, el DEF=B ; done les deux triangles ABC, 
DEF, qui oht les c6tes perperidiculaires chacun a 
thacUh , son I ^quiangleis et seinblables. 

Schoiie. Dans le cas de$ cotes paralleles , les coles 
homologues sont les cotes paralleles, et, dans celui 
des e6ti^s perpendiculaires , ce sont les e6tes p£rpen- 
diculaiteS. Aiiisi, dans ce derhier edis, DE est llomo- 
logue i AB, DF J AC, et fiF k BC. 

Le eas des cdties perpendiculaires pourrail offrir 
uive situation Relative des deiix triangles , dift'erenle 
de celle qui est supposde dans la fig. 124,* niais Tega- 
lit^ des angles respectifs se demoiitirerait toujours , 
soit par des quadrilateres tels que AIDH , dont deux 
angles sont droits , soit par la comparaison de deux 
triangles qui , avec des angles opposes au sonimet 
auraient chaeun Un angle droit! dailleurs, on pour- 
rait toujours supposeF quon a construit au-dedans 
du triangle ABC un triangle DEF, dont les coles 
seraient paralleles a ceux du triangle compare a ABC, 
let &I0FS U deihonstration rentrerait dahs le ca^ de la 



LIVftB III. S3 

PROPt)SITION XXIL 



rrHBORSHB* 



Les Ugnes AF^ AG, ^tc.^ menies comm^ on vou- fig. 12s. yC 
dra par le sommet ttun trittngley divisent propor* 
tionnelkment la hose BC et sa parall^le DE, de 
^om qU'oft aDI:BF::lK:FG::KL:GH,et6. 

Car, pulsque DI est parallele k B3P, le triangle 
ADI est equlangle k ABF, et oh a la proportion 
DI:BF:: A1:AF; de meme IK etaht parallMe i FG, 
on a AI:AF::IK:FG ; done, h. cause du rapport 
commun AI:AF, on aura DI:BF::IK:FG. On troti- 
vera semblablement IK:FG:: KL:GH, etc.; done la 
lighe DE est divisee aux points Ij K, L, comm6 la 
base BC I'est aux points F, G, H. 

CoroUmPe, UonCj si BC ^talt divisee «n parties 
^gales ftux pointa F, G, H, la pArttll^le DE seraii di- 
visee de m^me eh patties egalea aux- points I^ K, L. 

PROPOSITION XXIII. 



THBORSMB. 



Side V angle droit kd'iin triangle rectangle on fig. ia6. 
abaisse la perpendiculaire kD sur Vhjpot^mise; -j 

ip Les deux triangles partiels ABD, ADC, 
seront semblahles entre eux et au triangle total 
ABC ; 

a'* Chdque c6te AB on AC sera moyen pro- 
portionnel entre V hypotenuse BC et le segment 
adjacent BD ou DC ; 

3<> La perpendiculaire kti sera moyenne pro- 
portionnelle entre les deux segments BD, DC. 

Ciir, 1* le triangle BAD et le triaiiglfe BAG ont 
l*ahgle commun B ; de plu3 langl* droit BDA est 
egal a Tangle droit BAG ; done le troisieme anjjle 
BAD de Tun est ^gal au troisieme C de Vautre ; done 

6. 



84 GEOMETRIE. 

ces deux triangles sont equiangles et semblables. On 
demontrera de mSme que le triangle DAC est sem- 
blable au triangle BAG; done les trois triangles sont 
equiangles et semblables entre eux. 

2® Puisque le triangle BAD est semblable au trian- 
gle BAG, leurs cdtes homologues sont proportionnels. 
Or, le cdte BD dans le petit triangle est Iiomologue 
a BA dans le grand , parce qu'ils sont opposes a des 
angles egaux, BAD, BCA; I'hypotenuse BA du petit 
est homologue a Thypotenuse BC du grand ; done on 
peut former la proportion BD:BA::BA:BC. On 
aurait de la menie maniere DC:AC:: AC:BC; done, 
a® chacun des c6tes AB, AC, est moyen propor- 
tionnel entre Thypotenuse et le segment adjacent a 
ce cdte. 

3® Enfin, la similitude des triangles ABD, ADC, 
donne , en comparant les cdtes bomologues , BD: 
AD:: AD: DC 5 done, 3*^ la perpendiculaire AD est 
moyenne proportionnelle entre les segments BD, DC 
de Thypotenuse. 

Scholie, La proportion BD : AB : : AB : BC donne , 
en egalant le produit des extremes i celui des moyens, 

AB = BDxBC. On a de meme ACmDCxBC, 

done AbVaC = BDxBC + DCxBC; le second 
membre est la meme chose que (BD+DC) X BC, 

et il se reduit a BC X BC ou BC ; done on a AB 

-|-AC=:BC; done le quarre fait sur Thypbtenuse * 

BC est egal a la somme des quarres faits sur les deux 
autres c6tes AB , AC. Nous retombons ainsi sur la 
proposition du quarre de I'hypotenuse par une voie 
tres-dififerente de celle que nous avions suivie ; d'oii 
Ton voit qu'a proprement parler , la proposition du . * 

quarre de Thypotenuse est une suite de la propor* 
tionnalit^ des c6tes dans les triangles equiangles* 



i 

J 



LIVRE III. ^ 85 

Ainsi les propositions fondamentales de la geom^trie 
se reduisent, pour ainsi dire, a celle-ci seule, que 
les triangles equiangles ont leurs cotes homologues 
proportionnels. 

II arrive souvent , comme on vlent d'en voir un 
exemple, qu'en tirant des consequences dune ou de 
plusieurs propositions , on retombe sur des proposi- 
tions deja demontrees. En general, ce qui caracterise 
particulierement les theoremes de geometric, et ce 
qui est une preuve invincible de leur certitude, c'est 
quen les combinant ensemble d'une maniere quel- 
conque, pour\'u qu'on raisonne juste, on tombe 
toujours sur des resultats exacts. II n'en serait pas de 
merae si quelque proposition etait fausse, ou n^tait 
vraie qu*a-peu-pres ; il arriverait souvent que , par 
la combinaison des propositions entre elles, Terreur 
saccroitrait et deviendrait sensible. C'est ce dont on 
▼oit des exemples dans toutes les demonstrations oil 
nous nous servons de la reduction a Vabsurde. Ces 
demonstrations , 911 Ton a poiir but de prouver que 
deux quantiles sont egales, consistent a faire voir que, 
s'il y avait entre elles la moindre inegalite , on serait 
conduit par la suite des raisonnements a une absur- 
dite manifeste et palpable ; d'oii Ton est oblige de 
conclure que ces deux quantites sont egales. 

Corollaire. Si d'un point A de la circonference on %. 129. 
mene les deux cordes AB , AC , aux extremites du 
diametre BC , le triangle BAG sera, rectangle en A * ; ♦ x8, a. 
done , I** la perpetuliculaire AD est moyenne proper^ 
tionnelle entre les deux segments BD, DC, du dia^ 

metre y ou, ce qui revient au meme, le quarre AD 
est egal au rectangle BD x DC. 

2® La corde AB est mojenne proportionnelle entre 
le diametre BC et le segment adjacent BD , ou , ce * 

qui revient au meme, AB=BD X BC, On'a sem- 



86 GEUMETIUB. 

blablenient AC= CD x BC 5 done AB • AC : ; BD : DC } 

et SI oh compare AB a BC, on aura AB : BC . : BD ; BC ; 

on auralt de m^me AC:BC :: DC:BC. Ce« rapports 
d^ quarre» des c6i^S| soit eptre qux, soit avec le 
quair^ de I^bypoteous^i gpl ^te deja donnas dans \c^ 
corol, III Qt IV de la pri^p. xi. 

PROPOSITION XXIY. 
thboh£mx. 

V^ Geu:r triangles qui ont un angle egal sont 

* entre eux cQmme hs rectangles des cotes qui 

fig; xa8. wmi^rennent f angle ig^l, Jinsi h triangle AliC 

eat au triangle ADIS eomme le rectangle AB x AC 

est an rectangle AD x AE; 

Tires BE ; leu deux triangles ABE, ADE, dont le 
sommet eommun est E, ont m^nie hauteur, et sont 
*6. entre eux comme leurs bases AB, AD * ; done, 

ABE:ADE:rAB!Al). 
Qn a de m£me, 

ABCrABE!! AC:AE. 
Mult! pliant ces deux pi^portions par ordre, et omet* 
' tant le comnuin torme ABE, op aura, 

ABC:ADE::ABxAC:ADxAE. 
(hwoUairg, Done ]es deux triangles seraient dqui* 
Talents , si le rectangle ABx AC etait ^gal au leotan* 
gle ADxAE, ou si on avait AB: AD;: AE:AC, oe 
qui ^urait lieu ^i la ligne DC ^tait parall^le a BE. 

PROPOSITION XXV. 



THEOREM B. 



Deuai triangles semblables sont entre eux 
^>^ cQinni^ k^ quarres des cdtes homologues. 



SqU VftPgl^ A:phD ei; r»ngle B=E j d'sibord k caui^ fig. laa. 
jles angle* egaux A ^t I), on aura » par la propcmi^ 
tion preeedeiue, . 

ABG:DEF:jABxAC:DExDP. 
On a flaiUwrsi a Q^me dela similitude deg (Han^W 

Afl:DE::AC:DF. 
£t $1 on multipUe cette proportion ternio a terme par 
la propartiop identique, 

AG:CF::AG:DF, 
il en resultera « 

ABxAC:DExDF::AC':5?. 
Pone, ] 

ABG:DEF::AG:Dr.' 

Done deux triangles semblables ABC , DEF| ^n% 
enlre eux comme 1^$ qnarres de3 cotes lioipplpgues 
AG, DF, on comrrie Iqs quarrel de deux autre^ pdt|?^ 
homologues quelconqwes. 

PROPOSITION XXVI. 

theorAmb. 

Deux poljgones sernhlables sont compQ^^ 
(I'un jn^fne nombre de triangles j^mblMes cha^ 
cun a chacun et semblablament disposes. 

Dans le polygone ABCDE, menez d'un nieme angle %• "9 
A les diagonalei AG, AD aux autres angles. Dans 
I'autre polygene FGHIK, menez semblablement de 
Tangle F homologue a A, les diagonales FH, FI aux 
autres. angles. 

Pulsque les polygones sont semblables, Tangle AI?C 
est ^gal k son homologue FGH *, et de plus les cdtes *^^^- *■ 
AB, BC, sont proportionnels aux cdtes FG, GH; de 
sorte qu'on a AB:FG:: BG:GH. II suit de la que les 
triangles ABC , FGH , ont na angle ^gal compri? 
entre c6t4s proportionnels j done i!j sont sembia* \r^. 




88 GEOMBTRIB. 

* ao. bles * ; done Tangle BCA est egal a GHF. Ces angles 
egaux etant retranch^s des angles egaux BCD, GHI, 
les restes ACD, FHI seront egaux : mais puisque les 
triangles ABC, FGH sont semblables, on a AC: 
FH ;: BC:GH; dailleurs, h cause de la similitude des 
* d6f. a. polygones * , BC : GH :: CD : HI ; done AC : FH :: 
CD : HI : mais on a deja vu que Tangle ACD=FHI ; 
done les triangles ACD, FHI, ont un angle ^gal com- 
pris entre cotes proportionnels, done ils sont sem- 
blables. On continuerait de meme a demontrer la 
similitude des triangles suivants, quel que fut le n om- 
bre des cotes des polygones proposes ; done deux 
polygones semblables sont composes dun meme 
nombre de triangles seniblables et semblablement 
disposes. 

Scholie. La proposition inverse est egalement vraie : 
Si deux polygones sont composes d*un mime nombre 
de triangles semblables et semblabl^psnt disposes y ces 
deux polygones seront semblables. 

Car la similitude des triangles respectifs donnera , 
Tangle ABCz=FGH, BGA=GHF, ACD=FHI ; done 
BCD = GHI, de meme CDE=HIK, etc. De plus, on 
aura AB:FG :: BC:GH :: AC:FH :: CD.HI, etc. ; done 
les deux polygones ont les angles egaux et les cotes 
proportionnels; done ils sont semblables. 

PROPOSITION XXVII. 

THBOREME. 

Les contours ou perirrtetres des polygones sern- 

\/ blablessont comme les cdtes homologues, et leurs 

surfaces sont comme les quarris de ces memes 

cotes. 
fig. la^- Car , i® puisqu on a , par la nature des figures 
semblables , AB : FG :: BC :: CD : HI: GH, etc. , on 



/ 



LITRE III. 89 

pent conclure de ceiie suite de rapports egaux : La 
somme des antecedents AB+BC + CD, etc., peri- 
raelre de la premiere figure, est a la somme des conse- 
quents FG+GH+HI, etc. , perimetre de la seconde 
figure , comme un antecedent est a son consequent , * 
ou comme le cote AB est a son homologue FG. 
2° Pujsque les triangles ABC, FGH sont sembla- 

bles, on^a* ABCrFGH :: AG':FH; de m^me les *a5. 
triangles semblables ACD, FHI , donnent ACD : FHI 

:: AC : FH; done , a cause du rapport commun 

AC\- FH, on a, 

ABC: FGH.:: ACD: FHI. 
Par un raisonnement semblable on trouverait, 

ACD:FHI :: ADE:FIK; 
et ainsi de suite, s'll y avait un plus grand nombre 
de triangles. De cette suite de rapports 6gaux on con- 
clura : La somme des antecedents ABG+ACD+ADE, 
ou le polygone ABCDE , est a la somme des conse- 
quents FGH-hFHI+FlK, ou au polygone FGHIK, 
comme un antecedent ABC est a son consequent 

a —a ' 

FGH , ou comme AB est a FG ; done les surfaces des 
polygenes semblables sont entre elles comme les quar- 
res des cotes homologues. 

Corollaire, Si on construit trois figures semblables 
dont les c6tes homologues soient^ egaux aux trois 
cotes d'un triangle rectangle , la figure faite sur le 
grand c6te sera egale a la somme des deux autrcs : 
car ces trois figures sont proportionnelles aux quarres 
de leurs cotes homologues; or, le quarre de Thypo- 
tenuse est egal a la somme des quarres des deux autres 
cotes; done, etc. 



9^ G^OMBTUIS. 

PROPOSITION XXVIII. 

THEOREM^. 

fig. x3o. Lespariies de deuj^ cor4es AB, CD, qui se 
coupent dans un cerple, sont riciproquement 
^ proportionnelles J c^est-d-dire qu^qn a AG : DO 
: : CO : OB. 

Jojffnci AC et BD : clans le3 triangles AGO , BOD, 
les angles en O sont cgaux comme opposes au sonn- 
met ; Tangle A est egal i Tangle D , parce qu iis sont 
'* *' inscrits dans le nieme segment * ; par la raeme ralson 
Tangle G=B \ done ces triangles sont semblables , et 
les cot^s homologues donnent la proportion AO:DO 
::CO:OB. 

Corollaire. On tire de la AO X OB=DO X CO : done 
le rectangle des deux parties de Tune des cordes est 
pgal au rectangle des deux parties de Tautre. 

PROPOSITION XILIX. 

trsorAme, 

fi . «3f , Si cl'un mcmepoifif 0, pris hors du cercle, on 

mene les secantes OB, OC, terminees d Varc cqjI' 

\^ QQ^^e BC, le$ secantes ^ntieres seront rMproque- 

^ ment proportionnelles a leiirs parties exterieureSf 

e*est-d^dire au'on aura OB : OC : : QD : OA. 

J. 

Oar, en joignant AC, BD, les triangles OAC, OBD, 
•18 , X oxit Tangle O commun ; de plus Tangle B=:C * ; done 
ces triangles sont semblables ; et les c6tes homologues 
donnent la proportion , 

OB:OC.:OD:OA. 
Corollaire. Done le r^tangle OAxOB, est egal au 
rectangle OC X OD. 

Scholie, On pent remarquer que cette proposition 
a beaucoup d'analogie avec la precedenle, et quelle 



\ 



n en diftere qu'en ce que les d^ux carder AB | CD, 
au lieu de §e coup^r dan;? le cerole , sc cpupenl; 
au-dehors* ]ua pFoposition suivunle peut encore etrQ 
regardee comme un cas particuU^r d^ celle-ci. 

PROPOSITION XXX. 

THJBOREME. 

Si d'un meme point O pris hors du cercle on fig. iSa. 
ir^en^ une tang^nte OA ^f ?4W ^icante OC, /a 
tangente ^ra mojenne proportioHnelle entre la 
sScanie ei sa partie extirieure ; de fOfte qui on 
aura OC : OA : : O A : CD ; ou , ce qui revient au 

memCf OA^i^OCxOD, 

Gar, ef) joignant AD et AG, les triangles OAD, 
OAG, ont Tangle O commun ; de plus Tangle OAD, 
form^ par une tangente et une corde *, a pour mesure * 19, a. 
la moitid de Tare AD, jet Tangle C a la mSme mesure 5 
done Tanglq OAD=:C ; done les deux triangles sont 
semblableis , ^t on a la proportion, 

OC:OA::0A:OD, 

qui donne 0As3=0Cx0D. 

PROPOSITION XXX . 

THiiORJ&MB. 

Dans un triangle ABC , si on <Uvlse Vaagie A eu deuj^ fig* i33* 
parties cgalc^ par la ii'g»e AD , ^ rectangle dcs cifvs AP , 
AC ^ sera egal au rectangle iles segmenu PD, UC , plus ^a 
quarre de la s^cante AP. 

Fwt^s passer une circonferenc^ par }e^ trois points Ai B. ^ ^ 

C, prolonged AD jusqu> la circonference ;*fet joign^ss CE. 

Le tria^gle BAD est sembUble an iripngle £ACf c^r, p^f 
hypothese, Tangle BAD = EAC ; de plus Tangle B;=:JE| 
pnisqn'ils onl tons deux pour mesure la moitic de Tare AC ; 
done ces triangles sont semblables , et les c6tes homologues 
donnent la proportion BA : AE;:AD : AC : de'ia resulte 



N 



pa GEOMETRIC. 

BAXAC=AEXAD; mais AE=AD-|-DE, et en multi- 
pliant de part et d'autre par AD, on a AExAD=:AD-h 
* aS AD X DE ; d'aillenrs AD X DE=BD X DC * ; done enfin 

B A X AC = AD+BD X DC. 
PROPOSITION XXXII. 

THEOEEME. 

fig. i34^ Dans tout triangle ABC, le rectangle des deux c6tes AB, 
AC, est ^gal au rectangle compris par le diametre CE du 
cercle circonscrit et la perpendiculaire AD ahaissee sur le 
troisieme c6td BC. 

Car, en joignant AE , les triangles ABD , AEC , sont rec- 
tangles, Tun en D, Tautre en A; de plus Tangle B=E; done 
ces triangles sont semblables , et lis donnent la proportion 
AB : CE : : AD : AC ; d'oii resulte AB X AC = CE X AD. 

Corollaire, Si on multiplie ces quantites egales par la 

meme quantite BC, on aura AB X AC X BC = CE X' AD X BC. 

* ^' Or, ADXBC est le double de la surface du triangle*; done 

le produit des trois cStes d^un triangle est cgal a sa surface 

multipliee par le double du diametre du cercle circonscrit, 

Le prodtiit de trois lignes s'appelle quelquefois un solide, 
par une raison qu'on verra ci-aprcs. Sa valeur se concoit 
aisement, en imaginant que les lignes sont reduites en nom- 
bres, et multipliant les nombres dont il s'agit. 

Scholie. On peut demon trer aussi que la surface d^un 
triangle est egale a son pJrimetre multiplie par la moitie du 
rayon du cercle inscrit, 
^S' ^7' Car les triangles AOB, BOC, ADC, qui out leur sommet 
» commun en O , out pour bauteur commune le rayon du 

cercle inscrit ; done la somrae de ces triangles sera egale a 
la somme des bases AB , BC , AC , multipliee par la moitie 
du rayon OD ; done la surface du triangle ABC est egale 
a son pc^rimetre multiplie par la moitie du rayon du cercle 
inscrit. 



I 



^ ^ 






LIVRE III, 93 



PROPOSITION XXXIIl. 



THEOREMS. 



Dans tout quadrilatere inscrit ABCD , le recian^e de$ ^ ,^ 
deuiie diagonales AC, BD, est egal a la somme des rectan* 
gles des c6tes opposes , de sorie qiCon a 

AC X BD = AB X CD+AD X BC. 

Frenez Tare CQ=AD , et tirez BO qui rencontre la dia- 
gonale AC en I. 

L'angle ABD=CBI, puisque Tun a pour mesure la moitie 
de AD, et I'autre la moitie de CO egal a AD. L*angle ADB= 
BCI, parce qu*ils sont inscrits dans le meme segment AOB> 
done le triangle ABD est semblable au triangle IBC, et on a 
la proportion AD:CI::BD:BC ; d'ou resulte ADxBC= 
CI X BD. Je dis maintenant que le triangle ABI est semblable 
au triangle BDC ; car Tare AD etant egal a CO, si on ajoute 
de part et d'autre OD, on aura Tare AO=DC; done Tangle 
ABI=:DBCj de plus Tangle BAI=BDC, parce qu'ils sont 
inscrits dansle meme segment; done les triangles ABI,DBC, 
sont semblables, et les c6tes homologues donnent la propor- 
tion AB : BD : : AI : CD ; d'oii resulte AB X CD = Al X BD. 

Ajoutant les deux rcsultats trouves, et observant que 
AixBD-|-CIXBD=(AI^CI)XBD=ACxBD, on aura 
AD X BG+AB X CD=: AC X BD. 

Scholie. On peut demontrer de la meme maniere iin au- 
tre theoreme sur le quadrilatere inscrit. 

Le triangle ABD semblable a BIC, donne la proportion 
BD:BC::AB:BI, d'ou resulte BIXBD = BCxAB. Si on 
joint CO, le triangle ICO, semblable a ABI, sera semblable 
a BDC , et donnera la proportion BD: CO:: DC: 01; d'ou 
re'sulte OIXBD=COxDC, ou, a cause de CO=AD, 
OIXBD=:ADxDC. Ajoutant les deux r&uUats, et obser- 
vant que BIXBDH-OIXBD sereduit a BOxBD, on aura, 

BO X BD=AB X BC+AD X DC. 

Si on eut pris BP=AD, et qu'on eut tire CKP, on au* 
rait trouve par des raisonnements semblables, 

CP X C A=AB X AD+BC X CD. 



g4 GiOBtitAIE. 

Mais Tare BP ^tant'egal a CO, si on ajoute de part et 
d'autre BC^ oa auta i'aro CBP=BCO ; done la corde CP 
est egale a la corde BO, et par consequent les rectangles 
BOXBD et CPxCA Sont entre ettx comme BD est a CA ; 
done, ^ 

fiDsGA ::AB^b<H-ADxDG:ADxAB-fBGx€^ 
Done ies tfeujc Hiagonaks tfuk quadrii»iir& ini^rit sont 

entre ^elles comme les s^vnmes des rectangles dtg €&iSi qui 

aboutissent a huts ejetrcMit^, 
Ces deux thcor^mes pent^nt soiVir k tt><m?dr !•• diago- 

nales quand on connait les c6tes. 

PHOPOSltlON XXXIV. 

THEOREME. 

fig. 1 36. Sqi^ P uff point donnS au- dedans du cercle sur te rayon 
AC, et soil pris un point Q^ au-dekors sur te prolongement 
du mime rayon , de sorte qu'on ait CP:CA :: CA:CQ ; si 
dun point quelconque M de la circonjerence on mene aux 
deuJc points P ^/ Q les droites MP, MQ, je dis que ces droi" 
tes seront pariout dans un mime rapport, et qu^on aura 
MP:M^::AP:1Q. 

Car on a, par liypothese , CP:CA::CA:CQ ; mettant 
CM & la place de CA, on aura CP:C!VI:: CM:CQ; done les 
triangles CPM , CQM , ont un angle cgal C cotopris entre 
ao, 5. e6tes proporlionnels ; done ils sorft semblables*; done le 
troisieme c6te MP est au troisieme MQ comme CP est a CM 
ou CA. Mais la proportion CP:CA::CA:CQ donne, divi- 

dendo, CP:CA;:CA— CP:CQ— CA, ou CP:CA::AP:AQ, 
done MPiMQ:: AP;AQ. 



LiVliB itu g5 

Problemes relatifs au Lwre lit. 

PROBlImB PEEHlBK. 

Dwiser une ligne droiie donnee en iant de 
pattiei iga$si quon voudray ou efi parties pfi^^^ 
pmtiortMlles d des lignes dohniies* 

I*" Sbit propose de diviser la ligne AB en dn^ fig. x3> 
parties egdles ; par YBKiremivi A on mi^nera la droite 
indilfinie AO, et prenant AG d'une grandeur quel- 
conque , on portera AG cinq foid sur AG. On joindra 
le dernier point de diTidion O et Tettr^niite 8 par la 
ligne GB , puis on menera GI parallele 4 GB ; je dia 
que AI sera la cinquieme partie de la ligne AB , et 
quainsi en portaiit Al cinq fois sur AB, la ligne AB 
sera divisee en cinq parties egales. 

Gar, puisque CI est parallele a GB, les cdt^s AG, 
. AB, sont coupes proportionnellement en G et I *. Mais * ^5. 
AC est la cinquieme partie de AG ; done AI est la cin« 
quienie partie de AB. 

a!" Soit propose de diviser la ligne AB en parties fig. i3S. 
proportionnelles aux lignes donnees P, Q, B.. Par 
rextreraite A on tirera Tindefinie AG, on prendra 
AC=:P, CD=Q, DE=:R, on joindra les exlr^mites 
E et B, et par les points C, D, on menera CI, DK, 
paralleles a EB ; je dis que la ligne AB sera divisee 
en parties AI , IK, KB, proportionnelles aux lignes 
donnees P, Q, R. 

Car, a cause des paralleles CI, DK, EB, les parties 
AI, IK, KB, sont proportionnelles ^aux parties AG, 
CD, DK *^ et par construction celles-ci sont ^ales * A 
aux lignes donnees P, Q, R, 

PROBLEME ii. 

Trduver une quatrieme proper Uonnelle a Irois 
iignes donnies A, B, C. 



4)6 . G E O M £ T R I B. 

fig* 139. Tirez l^s 4eux Ugnes indefinies DE, DF, sout un 
apgle quelconque. Si^* D£ prenez DA=: A et DB=B^ 
siir DF.prenez DC=C, joignez AG, et p?ir le point 
B ipenez BX parallele a AG; je dis qu^JXX. sera la 
quatrieme proportionnelle dema^dfa : caf , .paisque 
BX est parallele a AG^ on a la.propon^n.^P^-DB:: 
DC:DX; or, le3 ti^ois pre9iierstermesd^€ef;j^tprQp()^r* 
tion aont egaii« ^ux txoU.ligneSf doiii^«av)ttd9nc DX 
est la quatrienie proportionnelle deuiandee: 

Corolfazre* On troutcra <Je •menie une troisi^me 
proportionnelle ^aux deux Jigioes. donnees A, B, car 
ell^ sera la m^me que la qusHorieme* proportionnelle 
aux trois lignes A, B, Bj. 



PROBLEME III. 



V-. 

f 



t 



I A 



Trouver une moyenne proportionnelle etitre 
deux lignes donnees A ef B. 
fig.i4o. Sur la liigne indefinie DP prenez DE==:A, et EF=B;* 
sur la ligne totale DF comme diametrej decrivez la 
demi- circonference DGF; au point E elfevez sur le 
diametre la perpendiculaire EG, qui rencontre la cir- 
conference en G; je dis que EG sera la moyenne 
proportionnelle cherchee. 

Car la perpendiculaire GE, abaissee cfun point de 
la circonference sur le diametre , est moyenne pro- 
portionnelle entre les deux segments du diametre DE, 
* a3. EF * : or, ces segments sont egaux aux lignc^s donnees 
A etB. • ' . 

PROBLJ^MEtV. 

fip. i4r. Diviser la ligne dbnnie AB en deux pai'tiesy 
de maniere que la plus grande soit moyenne 
prdportionnelle entre la ligne entiere et Vauti^ 

partie. 

• A Textremite B de la ligne AB elevez la perpen- 
diculaire BG egale a la moitie de AB j du point C 



LIYAB Ilf. 97 

comme centre , et dit rayou CB cycrivez une circon- 
fer^nce, tirez AG, qui coupera la cireonference en D, 
et prenez AF=AD ; je dis que la Itgne AB sera divisee 
au point F de la manierc demandee, c'est-a-direqu'oir 
aura AB:AF::Ar:FB. 

Car AB'etant perpendiculaire a 1 extremite du rayon 
CB, est un&itangente ; et si on prolonge AC jusqu'a ce 
quelle rencontre de nouveau la circotiference en E, 
on aura * AE:AB:: AB:AD; done, dwidendo^ AE *So. 
— AB:AB::AB — AD: AD. Mais, pulsque le rayon 
BC est la moilie de AB, le diametre DE est egal ^ 
AB, et par consequent AE — AB=:AD=AF ; on a 
aussi) a cause de AF=AD, AB — AD=FB; done 
AF:AB::FB:AD ou AF; done, im^ertendoy AB;AF 
::AF:a 

6cholie^ Cette sorte de division de la ligne AB 
s^appelle division en inoyenne et extreme rhison : on 
en vena des usages. On peut rcniarquer que la se- 
cante AE est divisee en inoyenne et extreme raison - 
au point D ; car^ puisque AB=DE, on a AE:D£:: 
DE;AD. 

PROBLEMS V. 

Par un foint donne A dans V angle donne fig. f ♦a. 
BCD, tirerla ligne BD de maniere que les parties 
AB, AD, comprises entre le point A et les deux 
cotes de Vangle^ soient egales. 

Par le point A menez AE parallele k CD, prenez 
BE=CE, et par les points B et A tirez BAD, qui 
sera la ligne demandee. 

Car, AEetant parallele a CD, on a BE: EC:: BA: 
AD; or BE=EC; done BM=:AD. 

ko/Umi 

Faire un quarre equivalent d un paraUelB^ 
gramme ou a un triangle donne. ' 

7 • 



PROirLEME VI. 



fig. i43. 1° Soil ABCD le parallelogram me donne, AB «:i 

base, DE sa hauteur : entre AB el DE chercliet une 

♦pr. 3. moyenne proporiionTielle XY*; je (lis que le quArrf 

fait sur XY sera equivalent au parallelogramrae AOCD; 

Car on a, par construction , AB:XY:: XYtDE^ tlonc 

XYrzABxDE : or ABxDE est la mesure du pa- 

rallelogramme, et XY celle du quarre, done ils soxkt 
equivalents. 
fig.x44* 22" Soit ABC le triangle donn^, BG sa base, AD sa 
hauteur : prenez une moyenne proportionnelle entre 
BC et la moitie de AD , et soit XY cette moyenne ; 
je dis que le quarr^ fait sur XY sera ^uivalent au 
triangle ABC. 

Car, puisqu'on a BC:XY;:XY : 7 AD, il. en re- 

suite XY=BG x 7AD , done le quari^e fait sur XY est 
Equivalent au triangle ABC. 



PaOBLEUB VII. 



fig, x45. Faire sur la ligne donnie AD un rectangle 
ADEX equivalent au rectangle donne A RFC. 

Cherchez une quatrieme proportionnelle aux trois 
ligTies AD, AB, AC, et soit AX cette quatrieme pro- 
portionnelle , je dis que le rectangle fait sur AD et AX 
sera i&juivalent au rectangle ABFC. 

Car, puisqu'on a AD:AB:; AC:AX, il en resulte 
ADxAX=ABxAC; done le rectangle ADEX est 
Univalent au rectangle ABFC. 



PROBLEMS VIII. 



fig. 148. Trouver en lignes le rappoH du rectangle des 
K^ deux lignes donnees A e^ B au rectangle des deux 
lignes donnees C ef D. 

Soit X une quatrieme proportionnelle aux irois 
lignes B, C, D; je dis que le rapport des deux lignes 



A ei 2^ «eva egal a celui ties deux r^^tsm^^ A X B , 
CxA 

^ Gar , .t>^i^u^^n a B:C::D:X, il en re^suUe CxD 
c;pSxX;.doiRO.AxB:CxD::AxB:BxX:: A;X- 

£'(9r{?i//lz//i^*' Doiio, pour avoir le rapport <le$ quaf'^ 
r^$ f^its sur les lignes donnees A et G , chercliez UM 
troisieme proportionnelle X aux lignes A let G , <eii 
s6rte quon ait ArG;fG:X, et yous aurez A' :C* .: 

i»robl£mb IX. 

Trouver en lignesle rapport du produit des ^^ ,^q^ 
>s^ trois li^nes donnees A , B , C , au produit des 
' trois lignes donnees P , Q , R. J 

Aux trois lignes donnees P, A, B, cherchez ime 
quatrieuie proportionnelle X : aux trois lignes don-« 
nees G, Q^ R, clierchez une quatrieme proportion- 
nelle Y. Les deiix lignes X, Y, seront entre ellec 
comme les produits AxBxC, PxQxR. 

Car, puigque PrA::B:X , on a AxB = PxX; 
et, en multipliant de part et d'autre par G^ AxB 
xC=CxPxX. De meme, puisque G:Q:;R:Y, 
il en r^ulte Qx R=G x Y; et, multipliant de part et 
d'autre par P , on a Fx<3 X R^=^X G x Y , done le 
produit AxBxG est an produit P X Q X R oomme 
C X P X X est a P X C X Y, ou jconirae X est 4 Y, 



PROBLEME X. 



Faire un triangle ^quii'alent a un polygone 
donne. %iA6. 

Soit ABCDE le polygone donne. Tirez d'abord 
}a diagonale GE, qui retranche le triangle CDE j par 
le point D nienez DF parallele a CE ju«qua la ren* 
conlre de AE prolonge ; joignez GF , et le polygone 
ABGDE sera equivalent au polygone ABCF qui a un 
cdte de moins. 



a -• 

o 



too G£fXttt^.TliaE. , 

• 

. "iOatieS'i!rmnples£BiE^ 0F£, out la base eoipfuAlA'tf 
CE;^ iUiohti omsi .nidiii& hauteur , puisque Jesuits* )spiti^> 
BiejtilD', FVisofijtsicuesisur une ligne OFpaifatiete^jiaf 
kasepdolne eeft< triangles ik>»t equiYakHMp. '44 juDipaiib 
de part et dauti^ la^gure ABGB^ontisHki^'dfcnii^dti^ 
le polygene ABCDE , et de Va«tiie le^pJyg-one^lABCF , 
qai teront ecpxivklenti^ ' : . . J * 'A )•} ./ ::-il»> 

On peul pareillement retrancher Tangle B en^guhi& 
tuaot 411 triafigk) ABG le triangle equival^it AGK^'-^ et 
ainsi le pentagone ABD£ sera cbangie eai* ttii 'triangte 
^uivakiit GCF. 

Ziie ^mkiie precede s^appliquem a touic autre figure ; 
ear en diaunuant cTHin a chaquje fois le nombne ded 
c6tes , on finira par tomber sur le triaogle eqiuTaient^ 

Sckoli'e, On a deja vu que tout triangle pent elre 
*!».«. change en un quarre equivalent *, ainsi on trouvera 
toujours un quarre equivalent a utte figure rectiligne 
donnee; c'est ce qu'cn appelle quarrer la figure recti- 
ligne ^ ou en trouver la quadrature, ... 

Le probienie de la quadrature du cercle conai^to a 
trouver un quarre equivalent a un <5ercle dont 1q tlia- 
metre est donne. ' 



PROBLEMS XI. 



Faire un quarre qui soit egata la somme oU 
a la dijjfereiice de deux quarres donnes. 
Soient A et B les cotes des quarres donnes : 
*g. i47» i^ Sil f^^^^ trouver un quarre egal a \\ sonune de 
ces quarres, tirez les deux iignes indefinies Et), EF a 
angle droit; prenez ED=A et £0=3, joignez DG, 
et DG sera le cot^ du qniane cliel-che. 
' Car le triaftgle 1>E(& etant rectangle, le quarre fait 
txii DG^ eit rfgdl si' Ihf'^dffi^rtie ded quarrds faits sur ED 

et BG-.. .-'. «i ' ' • '.i-' '" ' 

> 7? S'llfaut trouver ua quarre egal a la differenee 

des quarres donnes, I'onnoz de n^toe Tangle droit 






dm (poinli G v> .cpaniqe oer»lre j ^ ed rd)un irajon > GHi egal i 
Kii^l^i^tiilWj^ld&Jiiiirfc^ iim arc qiii ccKipe^liHleillH^.j© 
ANS:)Qp^l^ cpi^nafajfijsiifr £11 >s@m. egal it>la) difference 
4cdr)C|iAd'i[lrQ9f6olSi^urllHAiguie^ A et B; . h 

^'Q(tllebfAr^(flbq^i^iG:EJi, ^si;:>re€tatig]e, Thj^potenusd 
GII=::A) et le cdte GE=B; clone le quarre £aitsur 

t')4$c/Wi£?i>Ott'peut ti'ouieer ains! 11111 quarre egal a la 
sdiiifne.'clestast d^iqilarres-'qiili^bik/TOudra; car la con* 
li traction qui en reduit deux a un seul , en reduira 
Irois'^ideUK, ^t oes deuK^ci a^un^ ainsi desautres. II 
ea s^iaitdemditie ed quiel'cpiei^ufis de^ quarrel devaient 
to'e soiistraits de k somme des outres, 

-)if JilrM ,. PROBLEMS XH. 



i 



.~r ; I 



)'»; M 



1 



Construire unquarri qui soit au quarri donni fig.i5o; 
ABtp'^ camme la ligne M est a la ligne N. 
"^'^ur^ la 'li'gne indefinie EG , prenez EF=M , et FG 
= N ; sur EG, comme diameti*c, decrivez une demi- 
circonference , et aa point F elevez sur le diametre la 
erpendiculaire FH. Du point H nienez les cordes 
iG, HE , que vous prolongerez Indefiniment : sur la 
prenifere prenez HK egale au cote AB du quarrid 
dpnne^ et par le point K menez KI parallele a EG j 
je'di's que HI sera le cole du quarre cherche. "^ 

^\ Cdf, a caiise des paralleles KI, GE, on a HI:HK:: 

ilEiHG; ckonc KU^m^; }1E*:,H^^^^ j;9W <l^«a Ic 
tr^ai^lje rectangle. EHG *,>, qjn^f e. d.$, .^E , <^t .au • a3. 
(ypifirr^ de HG cjQnwJie.Ie .j^egt^^n,t,Er. ^t ^u.sfgpi^ijj 

FG , ou comme M est a N, done HI:Hk;^M:IfJ 
Mais HK.=ii AB 5 done • to .qunrr^ &it> stir HI '^st au 
^lO'rd £siit sur Afi lebmtne M est Ji N. / '*-* 



lOa GfiOMETRfS. 



P&OBLBMB ZIII. 



fig. 129. «^Wr le cdii FO, komologue a AB, decrire^utik 
polygene semblable au polygone dotini ktit^Y)i&* 
Dans le polygone donne tirez les diagonafles AC, 
AD : &u point F faites Tangle GFHrirBAC, m aw 
point G Tangle FGH = ABC; lesMignes FH, Gft, se 
i^ouperont en H , et FGII sera un triangle semblable 
^ ADC : de m^ine sur FH , homologue k AC , oonstnii* 
^elB le triangle FIH seniblable.a ADC, et sur FI, homO'* 
logue k AD, construisez le triangle FIK, semblable k 
AD£. Le polygone FGHIK sera le polygone demandci , 
semblable a ABCDE. 

Car ces deux polygones sont composes dun m^me 
nombre de triangles semblables et semblablement 

♦ a6. places *. 



PaOBLEMlS XIY. 



Deux figures semblables itant donnees^ con- 
struire une figure semblable qui soitigale a leur 
somme ou a leur dijference. 

Soient A et B deux cotes homologues des figure 
donnees , cherchez un quarre egal a la son^me ou a la 
difference des quarres fails sur A et^B ; soit X le cote 
de ce quarr^ , X sera dans la figure cherchee le c6te 
homologue a A et B dans les figures donne.es. On 
construira ensuite la figure elle-meme par le probleme 
precedent. 

Car les figures semblables sont comme les quarres 
des cfltes homologues ; or le quarre du c6te X est egal 
k la somme ou a la difference des quarres faits sur les 
c6ti^4 homologues A et B ; done la figure faite sur le 
c6te X est cgale a la somme ou a la difference des 
figures semblables faites sur les cotes A et B. 



iiivRjB^ in. io3 

PltOBLBMB XV. 

ComtjmT^ une figure semblable a une figure 
donniA'^ ai qui soit a cette figure .d(m$ h rapjport 
ilMniideU u N. 

^SoU A un c6te de la figure donn^e, X le c6te homo- 
logue d^ui9 la figure cherch^ ; il fautlra que le quan^ 
dm Xi soit £l<i quarre de A corame AI est a PI ^ On trou- * ^7* 
vera' done X par le probleme »i; connaissant X , le 
reste s^ach&vera par le probleme xixi, 

■ 

PROBLBMS XT I. 

Construire une figure semblable a la figure P %• »^?< 
et iquivalente a la figure Q. 

Chercliez le c6te M du quarre equivalent a la figure 
P , et le cote N <lu quarre equivalent a la figure Q. Soit 
ensuite X une quatrieme proportionnelle aux troU 
lignes dennees M , N, AB ; sur le c6te X , lioniologue 
a AB, decrivez une figure semblable a la figure P; je 
dUqu'ell^ jiera de plus equivalente k la figure Q. 
. Car en appelant Y la figure faite sur le c6t^ X , on 

aura P:Y:: AB:X ; mais, par construction , AB:X;: 

M:N, ou AB':X::M:N*; done P:Y;:Mf:N! Mais on 
a aussi, par construction, M* = P et N*=Q; done 
P:Y::P:Q; dong Y=Q; done la figure Y est sem* 
blabliJ 3i la figure P, et equivalente k la figure Q. 

^ROBLBMB XVII, 

ComtJiiire un rectangle equivalent a un ^- '^*' 
quarre clonni C , et clont les cdtes adjacents 
f assent une somme doniiee AB* 

Sur^AB, conime diametre, decdvez une demi-cir- 
conference , rnenez parallelcnient an diametre la ligne 
EO ^ une distance AO egale au cote du quarr^ dx)nn^C, 



Ikitpqifi^C^^ o{i;)a pdrall^le coupe ia drcoofepfne^^ 
abaissez sur le diametre Li perpendicttlMre EFj je*d^ 
q^ie-AF ee Ffi seront Ui i;6tes^du rectangle* ct^sclb^. 

Gar leur ^ommee^t 6gaAo a AB;'et >lettDf.reotBi^|;le 
*a3. AT X FB est egal au <{varre da EF*^. ioiu»au>^iari?$ 
de, AD; 4onc xle reetajogle est vequivateoa touquasre 
doniie C- •'-.•• :•■ f?. - i»>*. 

Scholie^ U faut , pour <|«e;]e ^reibl^nie wak |»s6il)le^ 
que }a distance AD n'e^cedie pas le racycm^ c «t«A«dirf 
que Je c6tedu q^i^r^r&iiVxQedepas Jamoititf de ia 

H* i53. Construire un rectangle equivalent a u^quqj^re 

C J et dont les cdtes adjacents aient entre eu^ Iq^ 

■ difference donnee kVi. ,,,.^^ 

Sur la ligne donnee AB, comma diametre ,,d^prAn 
vez une circonference; a Textremite du dia^i^^r^^ 
menez la tangente AD egale au cote du quafye G : par 
le point D et le centre O tirez la secante pjl; je di* 
que DE et DFseront les cotes adjacents du Teet3<igle, 
demande. '\i J(t > 

Car, I® la difference de ces cotes est j^gi^l^.^v .dja- 
metre EF ou AB; %^ le rectangle DExDF c^s; cg^ 

#3o^ a^Ai):^; done ce rectangle sera equivalent au ^iarr4* 
donn^ G. " / 

PR6BLEMB XIX. 

Ttvm'er la commune mesure^ s^U yen\^^uri^^ ^ 
entre la diagonaleet le cote da quarre, ^..^,. , 
fig. 154. . $01 1 ABCG un q^arf4 quelconque , AC sa diagonal, . , 
il faut d'abprd porter CB sur CA autant de. fpi^ 
prob.17 T^'il P^"*^ y ^^^^ contenu *, et pour cela solt de9rU , 
"2.. Hr. du. centre C et du rayon CB le demi-ccrcle DBE ; on 
vpijt que CB est contenu une fois dans AC avec le 
rciite AI), le resultat de la premiere operation est done , 



* 



}^itpMiliB^\t siei> i le resbi IAD j qb'Uofaiik ieotn{)2li^ 

Ibisif^eoiuiitTQslel: hxaSsiromY^ «e i^ie dfcles^sbm^ts 

par. leur petitesse , ce ne serait la qu'un moyeh ttiittt* 
laiiftifykf^risA^dkf(x X'dnti^ po^iAiv tWn ctmclnre 
poiip decider si les JSgfi'Os i^Gf 68 i ^t\^ m^e}lki'6\i 
n*ont pas une commuTie^imftsiireif^i^iil^^st^titf ftioy<6ii 
tres- simple d'eviter les lignes decroissantey / ^*di 
n'iivoir a operer que sur d«SfligDeaqui restent toujours 
de la m^me graudeur. . . . /^^ . ^ 

\ En elret , 1 angle ADCi etant droit , AB est une tan^ 
genie, er Ate une secante liienee du merne point, de 
sorte qu*on a * AD:AB:: AB: AE. Ainsi dans la se- * 3o« 
cbtide Ofieratrori , oil 11 ^'agit de comparer AD avec AB , 
©ff'p^dt, au lieu du rapport de AD a AB, prendre 
de!ii dfe AB S aE : or AB ou son egale GD est conte- 
nue'deux'foW dan5 AE avec le reste AD; done le re- 
stiliiityc?1i^s^etbhde operation est: le quotient 2 aved 
le reste AD gu'il faut comparer a AB. . ' [ 

'iik ¥ft>ii!ieriie operation , qui consiste a comparer AI) 
avec AB , 's6 reduira de meme a comparer ABbiic sori^ 
e^ale CP ^v?c lAE ^et on aura encore 2 pour! quOdeHtj 
et AD pour reste. » - 5.3 > 

Dela on voit que Voperation ne sera jamais termi- 
nee , et qu'ain3^ il n y a pas de commune mesure entre 
lat diii^dh^l^ ^t fe c6te du quarre : verite qui etait deja 
connue pkHTsfci-ithmelique ( puisqiie ces dfeui lignes 
sont ehli^ ^Vts ::[/ ii : tJ%iiMi:qxd ac^uieh;'^. * tV. 
phrs grand' deg re de tU^^ p^ la' te^lntibti' |g^6- 

m6iric(ue. '• " " ^ ' ^ '^ ''""'"■ "■"' ' '"''"^ ^/ *'l '/^ " 

Sefiolie: li h^eit ddnc pas'^'^osiibte nbW pl'a^^yy-' 
trouvcV en nohifti^^le*' riipport exact de' la diagiJnjAe ' 
au cote du qtinrW^ WkU on pent en d^procher taut' ^ 



*o6 OJZOMfiTAIE. 

^'oii youdra au moyen de la fraction continue qui 
est egale a ce rapf^rt. jLa premiere operation a 
donnepour quotient i ; la seconde et toutes les autres 
a riufini donnent 2 : ainsi la fraction dont il sVgit 



est I + 



r+ 



a * r 



r' \1 



'■^'-+eic. k Vinfini. 

« . i 
Parexemple , si- on calciile cette fraction jusqu'au 

quatricme terme inclusivement , on trouve que sa 

valeur est i {| ou |*- ; de sorte que le rapport appro- 

c]\i de la diagonale au cote du quarre est :: 4i • ^9^ 

On trouverait un rapport plus approche en calculant 

un plus grand nombre de termes. 






LivRE iv::: ;:; 



.' I < . 



» ». 



LES POLYGONES REGULIERS, 
ET LA MESURE DU CERCLE. 

> I t < I , 

I 



U N polygope qui est a-la-^fois e^piiangle ct ecjuilaieral^ 
s'appelle poljgone regu!dei\ 

II y a des polygenes reguliers de tout nombre de 
cot^s. Le triangle Equilateral est celui de trois c6tEs ; 
et le quarrE , celui de quatre. 

PROPOSITION PREMIERE. 

THEOREMS. 

Deux polygojies reguliers d'un rneme nombre 
de cotes sont deux figures semblables. 

Soient , par exemple , les deux hexagones reguliers ^* '**• 
ABCDHIF , abcdef; la somme des angles est la nienie 
dans Tune et dans Tautre figure; elle est egale a huit 
angles droits *. Uangle A est la sixieme partie de *%%%x* 
cetto somme aussi bicn que Tangle a; done les deux 
angles A et a sont egaux ; il en est par cons(§quent de 
menie des angles B et ^, des angles C et <?, etc. 

De plus , puisque par la nature de ces polygenes 
les c6tes AB, BG , CD, etc. , sont Egaux ^ ainsi que aby 
be y cdy etc., il est clair qu'on a les proportions AB; 
ab :: BC:ic :: CDicdy etc. ; done les deux figures dont 
il s'l^it ont les angles egaux et les cdtes homologues 
proportionnels ; done elles sont semblables *. *^^^' ^i 



|t08 GBQMZT&IX. 

, ^)iiOn^titreiiIjeB'fp^\taettrfs de. cleiiOL polj^onesi Je- 

gulie|;^> <dnun> iBehilr<cK)^n]bfe< dd ,c6te£k !ifoiHi6Dlarc) euoa 

^ "^ oooninte'iefisodtei) komologuos^et leurs)iM]iiFfioef sotl^ 

'Stholt^,' I/afrvgle d'tm* pQlygon&tnei^ieDaftr dteeJ^ 

PIIOPOSITION II.,..,,,,.,;.,; 

?:"'• ■■■ "-•■■•■^ ¥tf^oR^Mij ' '* ' ■■ ■■"■ 

I Toiitpaly\gpne, mgttlier, peut Mtre iimcmt dam 

*«• »^' ^'Soil ABCI>Ev €tc, , \e. pisiygoneutont il "s-agk^ 4inft-* 
ginez qii'on fasse passer vine circonference '^ifcr^>leS' 
tt'ois points A, B, C; soit O son ccntrcyet Ol^^kifitr- 
pendtciilaii^ abaisseesur iemilieuducStePG^joi^tiei- 
AO etOD. ^ ' «j, nr "' 

I,e quadrilatere OPCD et le. qiiadrihrt^y© 0PBA' 
peuvent etre superposes : en efl'et le cote OP es4;'COift^" 
iftun, Tangle OPC=:OPB, putsquj'ite'Js<ii^*^'dl^its ; 
dott« le cot^ PC sappliqiieni sur 6oh ^girfif^B ;^ii«f ite> 
point Groinl')em en B. De plus, pattla' ndtiire^^ltr 
p^ygfotie, Tangle PCDznPBA, dorrc CDsprc^draiar 

' . ' d&ebti^ri BA , et puisque CD r=: BA , le point D tottv**- 
bei^ii^'On Ay ^t ies deux quadrilateres ooiwdderoi»i^*- 
tiir^tncnt lun .^viec Tautre. La distance* GD €^i <lifatT' 
egafe^a A<iX, et par consequent la m'€(yi\S6t^vimx^i^ 
passe par Ies trois pfoints A, B , C^ passfeifa ^%si pdr* 
le point D : niais , par un raisonwetttertt'k^ibhWfe/ 
on prouvera q^ue-la >c^rjcpnfer^p^e qui gasse par Ies 
trois sommets B , C , D , passera par le soramet sui- 
vanl E, et ainsi de miite; don« la m6nie circonfe- 
repcp qui passQ par Ies poipts A • B^ ,C , passe par tpus 
Ies somihets aes angles Ju polygon^, et le polygon^ 
est inscrit dans cette circonterence. 



'^jEvk\sevmid ii^^, par iiipfiovtijirtqekfielcirconleren^ey 
touts bsr odt^'ABt,BC , GD ^ eilevy «>nt desconGT^s ^altog 

si du point 0y^ci(»iii«tt«iQeiiti^, <^t ;(lu>r;tfjrOR!fOPiyron .c, -^ 
d<»SElLi£Bei^iijQEiafeirei»pei<y oeUe cijfoasCilrence tau- 
abefailBlodtoiBGi^fft loiis Hes aia&;es»o6te5 di»poi}^oney 
chacun dans son milieu, et la ciroojnfeiteiice sera ion * '^-5* 
scrite dans le polygone , ou le polygone circonscrit k 
lacirconKrence:"' -■ili.-Mrt.. .. 

Sf/iolie I. Le poini( 0,^cep_tre commun du cercle 
inscrit et du cercle circonscrit y peut etre regarde 
au^i comme le cdntre ai^ polygone , et par cett^raison 
on appelle aiigle; aU) cent/^ ^ TaisgleiN^OB, foitne ipai\ 
lesrdeiix^rayons .mencs aiix extrefnit^sd'un mai^ie .<^^j-o3 
oMe AS. ' 

. ' Ppidcjiio toutes les cordes AB , BC , etc. ^ sont egales^ 
iit^stictairquf? tous lea angles au centre sont egaux.r ^ 
et qu ainsi la valeur de cliacun se trouve en divisanjt. 
^u^tjie; ai^W^' droits par le notnbre des cotes du po* 
lygpne... . <h » ,»h . 

, 4V?Aa//ejlI>PQMT?'^nscrireun polygone regulier d'uQ 
c^rWi) iM]1il>re d^rciUis dans une circonf^erenoe doa^. 
rt^y/ih\M a'agit.que de diviser la ciroonl^rence:ien} 
autant Ale. patties egales que le polygoneidoit av^c^r dej 
CQl^'-j^CSLTi Inf arcs' ^tant egaux, les oord^$' AJBy BQi^ fig.iS^. 
CD;, eAei j ; sevctn t ^ egales ; les tria n gles ADO y BQG )^ \ 
COO^ el^.(,l$ferooit egauK liussi ^ parc<^ qu ils soAt e^uir 
liijijei'aw;r'ftn^r»^'4Jnx r done .lous les angles ABtl , BCD,. 
GOpiT'««l».»;*«>'anj egamt; done Iftfigiue ABCDE, epc,, 
scr^jttiliiKdygoue rcgulier. . > | . • 



( • I 



' " i»ROPosrTiaN'nii 



I 



i» 



I 

.'"' •-'. 'PJKiOIII*K;M;«. -S «^,iii. );,.! JiTi;7 

Insatre un quarre clans une ^ circonjirenoc 
ionnee. . 



no cioMBTRIE. 

fig- »^7' Tirex deux diametres AC , BD ^ ^jui se coupent k 
angles droits ; joignez les extremites A , B, C, D , et la 
figure A'BCD' sera le quarr^ inscrit : car" les '^Ugl^ 
AOB , BOC , etc. , ^lant ^gaux , les cordes A'B , BC ,»^c., 



sont ^gales. 



Scholie. Le triangle BOG ^tit rectangle et isosd^; 
•xi»5. on a *BC.BO :: l/' a . i ; done le cote du quarre ituerH 
est au rayon eonant la rajcine qnarree de a est h 
PunitL 

PROPOSITION IV. 



PJ10JI.SXS» 



Inscrire un hexagone r^gulier et un triangle 
iquilatiral dans une circonference donnie. 
if^ i$8. Snpposons le probl^me resolu , et soit AB un ctli 
de ITiexagone inscrit ; si on mena les rayons AO, OB , 
je dis que le triangle AOB sera Equilateral. 

Car Tangle AOB est la sixi^me partie de quatre an- 
gles droits ; ainsi en prenant Tangle droit pouriinitE , 
on aura AOB=:|=~ : les deux autres angies ABO, 
BAD, du meme triangle valent ensemble 2 — \ du 7, 
el comine ils sont egaux , chaeun d eux rr j^ done le 
triangle ABO est Equilateral \ done le cotE de Thexa- 
gone inscrit est egal au rayon. 

II suit de 1^ que pour inscrire un hexagone regti- 
lier dans une circonference donnee , il faut porter le 
rayon six fois sur la circonference , ce qui ramfenera 
au rn^me point d'ou on etait parti. 

L*hexagone ABCDEFetant inscrit, si Ton joint les 
soriimets des angles ahernativement, on formera le 
triangle Equilateral ACE. 

* Scliolit. La figure ABCO est un parallelograinme et 
ttieind un IbSange, puisque AB=i:BG=CO=:AO; 

*«i,5. done * la somme des quarres des diagonales AG-f- 
B0| est Egale hi la sonime des quarres des c6teS| 



l.t¥A]! tV. Itl 

laquelfe est 4 A.B ou 4 BO; retranchaTit 3e p^rk et 

d'autre.BO, U restera AG = 3 BO; donc.ACil^O;; 
3.,M,, tm 4^^:JB0;; k^3:i; done /^ c(?>5' ^,^ triangle 
equilateral inscrit est au rajon coimne la racing 
^^rMA^ ^,esta I'wuti. 

PROPOSITION V. 



P,aOBLEB|B. 



Inscrire^ dans un cercle chrmi un^dicagone 
teguUer, ensuite un pentagone et un pentede^ 
cagone. 

. Divisex le rayon AO en moyenne et extreme raUon feil^% 
tm point M * , prenez la corde AB e^ale au plus grai^d Ut. 3. * 
segment OM, et AB sera le cdte du decagone regulier 
qu*il fandra porter dix foisWr la circonKrenee. 

Car en joignant MB , on a par construction AO j 
OM;:OM:AM; ou, a cause de AB=OM, AO:AB 
;:AB:AM; done les triangles ABO, AMB, ont un 
angle comraun Acompris entrecot^ji proportionnels ; 
done ils sont semblables *. Le triangle OAB est isos* ' **^» 5« 
cele , done le triangle AMB Test aussi, et on a AB=? 
BM:d'aiUeurs ABz=OM;* done aussi MBzziOM; 
done le triangle BMO est isoscele. 

L'i\ngle AMB, exterieur au triangle isoscele BMO, 
est double de Tinterieur O * ; or Tangle AMB=MAB; • '9 » x 
iioTKi le ti'iangle OAB est tel que chacun des angles ^ 
la ba^e, OAB ou OB A, est double de Tangle au sonv- 
met O ; done les trois angles du triangle valent cinq 
fpis Tangle O, et.ainsi Tangle O est la ciniquienie 
panie de deux angles droits , ou la dixieme de (ff^ 
tre:donc Tare AB est ia dixieme partie de !a cir- , 
conference, et la corde AB est le c6t^ du decagone 
regulier, - % 



.? .«! 



^W clhiiMiiiL. 




Pfctfxagoue sbAara a Jnscrire' les' polygorw^'^e^Ufett 
tie t2 j 24 , 48 /etc. ,'c6tis ; Ie<ycag5rtfc,<^fe^il^bi38 
de'^o, /{o, 80 , etc. , c6t^s; le i^^U^e^SB^&m\.^ 
fOly^Aes de ^o , 60, i2b,'Ctejy fooii (fX^ji/o eal ofio!' 

PROPOSITION iViju '*rioj>^iuq Jifi 

. *'n i i probi^Smk; , 



ig. 160 




qui 

l^gone r^gulier de dix-sept cot^s, et en general celui dc ^^-{-i* 



•i»'«»'r»|- J T:> ff? 




cle ciiactiD lies autrcs arcs BC, CD, ere; <^<¥^ ^|^i}J^<f f 

^lolf ji»ip9li<^:iigW,fUpiW« Wr lea WW^s f^l^Wr 

le cote OT=ON; (Ifjrip ,,U^ , (^nl^ 5Vgai|^?^ ^, ;, itliW5 **•.». 
K*ngIe5fP#F5.HQN,,»p^.pjH- <;flRSiviHJ^^^ }a %n^.i?Il 

p^e^ p^r i^^tppim- A. ff iii^j ,4f . I'^fQ i'A'J!s ; bfJ^a «v* wr 

Ma»;r .pui^ue, Q|I ^^l, . pArallele ^ ^AJ) xt.H|?2i BQ, 

i^iC/jfeef fa|?gliB&-du poly^cxne circon3Cj;it ^pfU f^g^.Hi^ 
iifll^W'fdM^^Ciiygone ius^rit, De plus, a cause d^c^oi 
g*5m^ .pat«llele$^ on a GH;AB:: OH:OB, et HI:: 
8ft;;j6H.;jOa; aonc .GH:AB::HI:BC. Mais ABt^s 
)iMB\,49«^GH;t;UU4Par lameine raison HI=:IKj qlc,:} 
done les cotes dtt polygone circonscrit sont i^\\i^ 
entre eux; done ce polygene est regulier et semblable 
au polygone inJc^it. ' 

Corollaire I. Reciproquemcnt , si on donnait le 
polygone circonscrit Gil IK, etc. , et quil fallat tracer 

voit au il sumrait de mener auxsoninietsG, H , I^etc. • 
dii polygone donne les Jignes Ou, OH, etc. , <Jui ren- 
contreraient la circoiiference aiix poihtsA, B^ C,'etc.; 
on joindrait ensuite ces points par les cordes AB, 




^oiBMin ks^|)aint6<4& con^ati.^T^ Kv^^^tfif^^.f^A^ 
cordei TNv JfPy«P&. f of^^qui forniiBraiit^ egaieilieittuiim 
pfelygone ?fis(jrti kfettVbfaLfe art 'd^ccyhscfit.' * - ^'"^ ^ '^^ 

8 



, 'PROPOSITIOPJ V^,_.,„„.^ ( 



• i ' 



TREORiME. 



pirimitrB multiplid par la pioitii clu tajbh ^'dU 
cethle insdrit. ' ' ' ' .,-,,' 

fig. i6o. Solt, pai* exemple , le pptjrgone regulier GlflK , etc, , 
le trianorlq GOjH a pour mesure GH X^OT, le triangle 
6m a p6ur mesure HlxjOJ^f : mals ON:==OTj ' 
done les deux triangles reunis on^ pour mesure 
('6tt~|-Hl) X^OT. En continuant ainsi pour le^ 
autres' triangles ^ on verra que la somme de tous le^ 
tridngles, ou le polygone en tier a pour luesiu'e la 
somme des bases GH, HI, IK, etc., ou le perimetre 
du polygone , mulliplie par 7OT, moitie du rayon ^\x 
c^cle inscrit. 

Scliolie. Le rayon du cercle inscrit OT n'est autre 
chose quie la perpendiculaire abaissee du centre sur 
UQ 4j^f c^te«; on Tappelle quelquefois X^pgt/^imti^^n 

dj/ PROPOSITION VIII. ^ 

,. . theor£m£. 

Les perimetres des poljgones reguliers d'uni 
miSme iiombpe de c6ti$ sont comme le^inqyons 
descefcles dr^Quscrits ^ et aussi comme le^myom 
d^ H^Cc/4;s,,(nsprits; leurs suf faces sont comme les 
qui^WfiSide j:es, memes rayons. 
lig. 161. §0i|.,^^un. «dt»l de Tun d^a polygones^ dont il 
f^9iS^%%\Q^f^vG^^^,i ^t par consjquant OA le rayoa ' 
du cercU circonscrit, et OD, perpendicttlaire sur A B^ :> 



'^jij i r J;-' »» 



oa et od les rayons (ies cercl^js circonscrit et inserit. 
Les p^rimetrei des a6ux polygones^sdnt entire eux 
cbmme les c6t^3 AB et q^^ jpii^js^l^s angles A. eta sont 
egaux comxne etant chacun moiti^ de Tangle du po- 

triangles rectangles ADO, ado; dq^c ^ : fl'^ :;n4Q| ; 
fl<9 :: DQ:rfo; done les perimetres des pol7g:ones,fl«ml 
cntre eux copime lesL rayons AO , ao ; des.cemes cir-» • 
coiificrits^ rt aussi c(^upe )e^ raydns DO, rfb, om. 
cfercles insorits. * - , 

lyies surfaced de ces m ernes ^olygpnes a^nt eiffvf 
ellek comfcie les quarres des cotes honiologues AB . ai: 
elles sont par consequent aussi comme leg quarres des 
rayons des cercle^ circonsorits AO , a^ , ou comme lea 
quarres des rayons des oercles inscrits OD , od. 

PROPOSITION IX. 

iiK^Vwsrf^^/^g^ aiMrbe <m polygoiie qui envelbppe'^ 
iTune extremite a V autre Iq ligne cons^ex^ K^^^^ 
est plus longue qife la ligne em^elopfie A MB. 

Nous avons deja dit que par ligne convexe nous fig. lea. 
entendons une ligne courbe ou polygone, ou en par- 
tie cpurbe et en partie polygone, telle quuKe Hgpe 
dnjfte^^yeiit ia couper en plus de ditix point$. Si la 
li^'i-yittB;*dvaSt'des parties rehtrantes 6u dei sihu6*\*' 
siis^VeHi c^^erait d'Atre convexe , *|)kitfe qfi'il estaii^ ' 
de^ft*l}ll%«e ligne di^itij pottfi^it'fa t:^tiprt'€Vi'^iiS*'»'* 
de deux points. Les arcs de cer^^ t^nf^^^seitlifelle^V^ 
nienrooftvex€s;naai%la:|)^oposltion dont il i^a|;K ni^iti^ 

cc>adili<Mi'e%Jg4e/<'> '-''li^-', •••^ ' • ' """- " ' ' viiii*^.' ; h 



GEOMBTRIE. 



iQUjces ceiiǤ qui lenveioppeni, n exisiera parmr ces 
darnieres luie fig7ie plustourte'^ue'iiiAtyi'lt^ aiiir^ 

entre les deux lignea nieuez par-tout ou vcfus vouclrez 



e 



j^ plus cpurte, que FCDEQ: xIonc,.5i aia parw 
PGDEQ on, substitue la iisjio ciroite PO, on aura Ik 
li£rn^ enVelo 



jfi£^n^ enveloppante^ APQB nlus ' couj'te que AtTSQK 
Mais, par iiypoinese , ceile-ci cloit etre la plus cbintC' 




mie AMB: 

fig. 16I ' '^chJolle. ' On ' Jemontrera al)s6lumen't 'fle * li 4n?^m^ 
hianiere qu'une ligne conyexe e^ renti^an'ftn^in'*i^flii^ 
iiieine AMB, est plus couite queto'ute lighVquiY^Mr- 
velopperait de toutes parts, soitqiie'la^ Ifen^'eVi'^&ltl^- 
pante FitG touche AMB en un'Bu ^TuM^ iVirftti; 
soil quelle Tenvironne sans la toucher. •, ^"l^ 

t»'.''»*l' til ■ ■• . ... ,,{v.tj li -rorj ,'M\(\{\ 

-lUrrun Ml,r ,:. PROPOSITIOJf = Ji..r Mno;.7l(Vf flU 

/)e^/x circonferences concerftriquet^.^toj^t ^/fc- 
^^(^4 mix^eutii(m}Ours inscrire da^s jiaplu^^gmnde 

'pas ^dpfas petite, et onpeui aussi ^-eonsc^j^A 
fapl&spikite tJ^npd'hgow reguUer doM^ieMi^ 



1 



aula *^-'-^'ni<I /HTft \f; aifUM!/a;fi ^'>uy - • i iu -•■^^-•k'>-) 
.f64. Soient CA, CB, les rayons des aeux c^rconfererj^s 

donnees. Au point A menez la tangente DK tiering 

nee a U ffrantf^ .eirconierence^ en U ct Jl : msrnv^x 






rircf jiar les proMttmes prec& 

les arcs souS^tcnmis' par Tes 

galt}a,,Bt nlenezlM,cQrdes.de» 
fi • ii.jiKi/ !.'"-. ijii f, I. '11*-;'' 
1 un polygon^ reguhe^ dan 

e. Conttnucz'la ms^ction iie^ 

s parveniez k fth'^ plus petit 

f qu^ la corde MN sbkl plff* 

! De, fit qiiainsi'fc'porTCone 

cAt^'ne saurjiit Wacontref'lji 

est le rajon. ' . ' ' ' ." 

ant pbseesj joignei C||,o^ CN 

l-nte DE en P et Q ; PQ,aera le 

^•|^fl'fln.,goljgoi)P; circonsqrit a. la pQlite circop'fe- ^|,, . 

^fji^fipii^eifl^J^ljle an polygone inscrit dans la grande^ 

(^p»t|}p|(;^,t.ey'9l MN. Or il est clair (jue le polygon e 

dff)q9^(^rit.q;ifi R ppur c6te PQ, ne saiirait rencon- 

^(^ ^agJ:j^ptlp^^^rcQ^fe^ence,p^^S(IlleCP esf npoindr^ 

que CM. , ^,| ,11* 

Done , par la m^me construction , on pent il^crire 

un polygene reguli^ ihtCMt dans la grande cirron- 

ference, et nn polygone semLlaLle circonscrit a la 

petite, lesquels auront leurs c6[es compns entre les 

-dfe^ dVcotiffihmces: v.>v-, vv/,>i 

^^^15Bfta^;^^*i¥t'if^«5£ secteurs comufcAtriipWB FCG-, 

4CHVtiroiwD\nn^'de menie ins<:rir«,dansJeip.li*»^'a!i^ 

xita->pm*ioin<iiB poiyg<me ligulier^, mv\4^ro<H)^rV^^u 

:$to8>[*!MJM*nift portion ^oppljgi?fl^.'^1illJ^Wfl,4ft^fj^ 

)*'*fi^Is^^^^^H^:8.;<?es,^^^^L,p^SftRes,^9j^J^^ 



Nous appeprU ici poition. de nolygone resulier ra 
Ggtire terminee par une suite' ue corses ^ga[£s inscnles 



« Am )propiik(lii£^'' pmnbipftles* >dc8 ( poI^^oii0S(>Fe|^iilif5i^ 

.fOist>iitMriptfbl0 oe civeonbtviptijfahi att)Cbrqkj|iD6p6i|- 
•dliHil ellft-'ne ferait partiedWpoiygbnearejfuliQrqmi- 
pt'em^em dit^ ic^ratasnt qoe Vfliro'souflHteBdu) par/iui 
de ses o6tes s^ait line^^partie aliquote'ide ia>dit€»fi- 






\ i J f > ' ' ? ' ' J ' " . I ^ '■ -■ • ■ • • 



.. Les ^circonfirences des cercles sont ei\tre elles 
eomme le$ rayoiis^ et leurs surfaces comm&tl^s 
^Harris des ray ons . . s ' 

£g. idl DiisigiioTis ) pour abreger, par virc. CA Ia'<cin(l<m- 
fi^rence qui a pour rayon CAfjc dis <jiiort*J«lUfa 
«?/rc. CA:«>c. OB::CA:OB. - i * ^ 

Car^ si cette proportion n'a p£is lieu, CA ti(3i^a a 
OB comme circ. i\h. est k un qaair?enli3 "teWfiid |JWs 
grand 6u plus petit que ci)v. OD'r ^upposofiis-lo^pli^s 
petit) et soit) s*il est possible, GA:0fi};in»^(7. (Gj&: 
circ. OD. <...-.,! icid'oi 

''»"' Inatei*>vei dans lacirconference doiitOfiest le^rdyon 

nft^iyolygone regulier EFGKLE, dontr les'iifitfes'ife 

rtJttd^iitrewt point la circonKneuce dent- <&W>e^»ie 

tfeyoA '*f ifricrivez un polygone seniblable MOfP^'SM 

dans' ia dfconference ctont GA est. le tiaydm' " i" ' | 

Gela pose, puisque ces polygones sont sembl^lbi^, 

'♦fettr» i^i^rimierres iMPSVSM, EFGKE sont ehtre eux 

• «• •i;Wftfilie Itfi taytirtsf 'OA ^ OB ^ di^s cerdes cif c6rl»*¥its % 

'■^'Hia" ac^a MWPSM i SFGKE ?: OA: OB;^^waii^, 

par hypothese ^ CA ; OB :: circ. CA : circ. 0I>;' doflc 

\l^!fi9^% cfette 

f?:^^]' '^i^rtlfaii'lest iliip6s1ilbte; txx'Xk^ ^btitour MNP8M 

*^- >*rt^teofWdiiEf 4^<i rf/c: CA ^^-^ei^ 6u <eibb*rtijte EFGKE 



JO. 



U'>"; jii \' 



resb-^riniut'^Mihil ^fne ctro: 1OO7 dtm^i lili &fi impbsribb 

°|f6n|ifciiu3l;> lib est inifpio^l>W tptuiat> rdjIentiMifai^roh 

ivayon} esba''une><ciro«Mifi^cci|ce jrIus^ pftitesqueAfrrcii^ 

-OBHifibeiiiceijdedtiljQ cln scmiKl naf^ni -v > . . ,. ^h 
De la je conclus qu^on ne peut avoir non plufty^Sik 
est k OB corame cir^n GA^^t^ja ,iui^ circonference 
plus grande que circ, 0£i ; car si cela etait, on aurait, 
en renversant les rappoirU ; QJ^r est a CA comme une 
circonference plus grande que circ, OB est a circ. CA, 
b\i; ceqtii est la mdrtie chose, ooniiAe^dV)**OB\st a 

ODiYie^x^irconfi^nee plus^pelitft qu« circ, CA^ iloiVBim 
rayon serait a un rayon comme la circouierejice 4^6- 
€)vifteitda premier rayon est a luie circonference plus.?:". ^.? 

f^pft^titequ^Ia circonference decrite du second rayoil, 
ce qui a ete demontr^ impossible. 

i, f.Kuisque. be iquatfieme terme de la proportion CA: 

:>QI^!{.c;i>a^CA;X: ne pent, dtre ni plus petit ni plus 

^gt^nd.i|ue^'<^i(xx,0Bt'iilfaut qu'il soit egal^^/nR. OB; 

:40nc M^ (^itconferejices des cercles soiut eaotra.eUfs 
comme les rayons. Hf • 

t\}ih*t^mxjMemetit et une construction aiHi^JWPent 

.4ei»blables: serviront a demontrer que les/'S^^fafq^s 
4leS'«o(i1(tbesia(Oiit cQmme lesquarres de lQur& tray^fi^, 

//^>)fH)tfs(|)'eti^reionfi pas dans dautres details su«; c^e ov. ^ 
propositi.oa.i qui d*ailleiu*9 eH un corolUiire:de la 4i|i- ^ 

,Q^fvilatr0* Los auos s^tnbUbies .AB,|:.D^^.m|t fig..t66. 
conui^e* leurs rayons AG ^ I|0 ^ ^t tl^f ^^H^pteuns 4fK^4- B "" 
bl^& ACB;, DOE, sout^qo^ifie tf^qiiaires^ftfcesrm^n^s 

, Gar, puisqpie U$ arpstson^ sen}^;yjl|ib^qs, rfa4^;|^/ic 
»est)egat a l^flgl^ Qf rP«: raja^lct-GeiF a qiw^FfEi.^^^^s *^f'^' 
,ib{pit6 comw^iarq)^..est ^ la cij:co,i?^r<[^nfl?,,f#t4«$e -^^ * 




KilBfllt-se.'Wtla' 



,«5. wm ■•.w'^^^^'t&.W. - 




lessus, la 

iggsBi^;^^ mestire 

"" * "" ■■ e*re...CB 
du poly- 
tlus forte _ 
d^jfiere 
T,cte dofi 
moihJre. 
lone il est 



f- 



•^".gr-g. .gi .5S.5. .g. -g. -jg. .5. •^- .5. ' 



^- 



^9111)^ i^&'te^foriA^u cooiitm lets, di^m^^ef^pp) poiu^fi 

fail's cette proportion : lediaineti^<i.f«f^^|ia>(^n?(iH)fl^ 
jncsace fr.eommel^.diarneti^ jbGA>«ft.4,\}4i\s<iiv^Cfesfe- 
rltfitce qui a. pavr nijoA .GA^ dei aqH^ fnOAnHii^ 

•Ml»Uf<pIiaiit d? part' •Qtj^d'aiAirei.pwrnqr G^> iKtfrfmm 
'|iCA'V< bi>c: CA :^7t ':k-CA', '•■«« yA>f; '€A=*^'C'€A^ 

^ilahhi'^e son rayon pdf le ' i\hhifit& dt)hstaAt ir, qid 
^ipres^hte Id dirconfererice dofi't th dla)netre est i , oU 
^HrappoH delacirconfhhice audiariutre. 
" Pareillehient la surface du tch;le qui a poUf HiyOTi 

PJO^ i&ara egale a r x OB ;. or tt x CA : tt H,pD,^; 

<3A:OB; diJne? /ds surfaces das ts&rcles son)t ^ntiiiiUps 
^trmme /es quarres de leurs rayons,^ c« ijiii saoi?i»rt{£ 
avec le theor^me precedent. > > . . t . . . » ,• j « 

Sckdlu. Nous avoni) deja dit qiiie Jetprpbl^ecf^lb la 
4^ibiKlmmre du cercle consiste a troaycJir«ufilqttfeii»8 egU 
en surface i un ecrcic dont le myiaoitcBt <)Bnii|ui ^^v ion 
Vient de prouver que le cercle est (Equivalent au rec- 
tangle fait sur la circonferehc^ fet k th'ditid du rayon, 

♦pr. 6, ^^ ^^ rectangle se change eti quarreen prenant une 
liv. 3. nioyenneproportionnelleentreses deux dimensions^: 
ftinsi le probl^ine de la quadrature du cercle ^^^ re- 
diiit a ttrouver la circonterence quand on connait le 
rayon , et pour cela il suffit de connaitre le rap'^diA; 
de'la birbonferenci^ Au rayt>n ou aii drahi^tre.''"-^' ' 
'^ Jifequ'ft pf*»ent ^Vi n'a pu determine <-e ir&p^^is^H 
que dune maniere approchee; mais Tapproidti^ElllcMi 

odi sa I3t4ipmituito«9ifitiin^ que 1ft f^otihai$sAno6 iid rapfTort 
«etQOt (m'aiiMii aneuw aT&ntngi) t^I sur ' bblle An rtf^if 
^l4/apt)roclMS. Au»si cette>^nostioh ^ qui a beaucou|> 
obck^nilei g<iofiil^^s tor^qif^ l^)ifad(9h6d«$ d^ips^&Y« 



^^hid^ ^(Hltertt Tnoins connYt^y^lf mUliftllfi^VvevMe- 
^^e fai^i ieii questions oiseti^es ^^iMt* il n*e«t<pi^rMls 
^to^ft^^eU^*^^^' -ceUik qui cmt si peitMf Ids firldttlidt^ 

'i^ijfiftHAniUein '|irofciV< que le wpptort de la circidfew 
if4»^nm^>^ ^tt^tfb eit conipris 4intxe 3i)^et 3^; 
9iidsi<^t>i^-^^eAt mie valaur ddja'tWt ap^frdclioa du <0: ^ 
*tioitibi^ tqb^j nom i aTG^iw represMi^ {Air ir-^' et teiie 
premiere s^pprc^^aUon c^tforten ^s^ge.^^ca^is^^ 
sa 8impUcit^^ilfi/<^*iwi^j;r(my4^pour le .D^^if^e .fiQp^\]tr|^ 
.la valeur be?^tt(;owp plys ^apprpchea ,fnr Eofin Ja y<ar 
leur. Je IT, developpe^ jusqua un certain pftlre, ^(Jie 
deci males ^ a ei;e trouvee pa? d'autres cajculu^eurs 
^3i,^4?5fl5i55338^97933> etc^, et on a eu la pauence de 
prolonger ces dt^cimales jusqu'a la cent vingt-septiemo 
oii' m^re jtisqu*a la cent-quaraniieme. II est evidem 
.qtl^uBe teHe approximation equivaut a la vcirile,' eit 
i{u^«n>ne roERiiait pas mieux les racines des puissances 
imparfaites. 

• i On )exfiUqiiQra', idsins les problemes suhranUf deux 
id^oietiufdftSieleinefitaiFesles plus siraples pgurobtp- 



mr oes. appnoximattens. 


< ' : > 

1 \ t f 


PROPOSITION XIII. 




, , ^ , . . , PROBtBMB. 





£iaht donn^es les surfaces cVuii volyffone re- 
gi^fkr Jffscnt et dun polj gone semblable ci/r^ 
consent .i^trouver. les surfaces 4^ j?(^ljcgQ^Ji r^* 
gulf^n in^crM^t {iircom^rU d'jmn^mkf^^eMtis 

Spii AB ]e o6t4. du. pi»ljgqii<$ ddi^nd.niiMerft^^EE Eg.ifig. 
paralleie fliAfi^ joeUn du pobypane* Sfiwhybh'mifoon» 
0|erit^ G le ceot^. dutoeralef m on iitfe I«oov4i^AMn^ 



124 GEOKETRIE. 

i. circonscnt *. Ceta pose, coirtWie fa n>fl{})5j^sf^(}ftJ9fl 
aura lieu dans les ditTercnts angks egaiix a ACM, il 
suflit de oonsid.erer I'angle ACM seul , et les triangles 
qui y sont corttetius seront eiflre eiix fcdmnie les poly- 
genes entiers. Soil A la surface du poiygone inscrit 
dont Alt est un c6te,iM3a[st£r&te du polygone sem- 
LIa!>Ie circonscrit, A' la surface du polygone dont 

circonscrit; A et B sont connus^,^,.^^:^g^^d^^Jfl^^YM 
A' ei B'. . . ■, ' , ' 

I* Les ti'iangles ACD, ACiVr, (font le sommet 
cOinniun est A, sont entre eui^ co'inme leurs uasej 
^3!)j, Cj^; (I'ailleurs ces triangles sonrcomme les pfl- 

IVcnnps A' ft. A' linnt ile fniit nnvrip ■' ilnfiff A"TA'-- 



^pones A' et A' dont iU foiitpai 
CtJiCM. I^es triangles CAM , CME , (lont le sqjAimet 
contmun est M, sont entre eiix co'inme leurs oases 
6A> CKj ces niflmes triangl03.sont)(loMniieilBSj.|Ja^« 
gpries A' et B dont ils font paiticj dope A'> Bi JjCAbQL. 
Mais a cause des paralleles AD^.lJ^f 1' °?,f'' ^Vi^lfi^j, 
OV-CjEji jdonc A:A' :;A':B; don^J^' polygone A^, 
l)^n-(l^^. ^iix. que Ton cherciie,,est^niojen PiS",P^- 
^QPp^l fintre les deux polygenes cpnnus A et B , et on 

■^ — ~ —— -'! i- ■ ^'i ^. / '.J--- A jiiiTi£ no 

a'JiW- consequent A'^l/AxB. 
. a**'^A.''cause tie la hauteur commune. dfi'J'le fcian- 
g1e'ti>f .'es^iu triangle CPfe 6oiiiiikm'k^ I'mj 
mais la ? divisant en deux parties .egaies 

S'Ji':"d "'■ "■"■■" 



6u 2l^Ml ,. _„Ji soiS .entre eux cojitmc les^ly- 
TO^' J&*"ei^1i!'^i3|ont 'lls^' ion-t'^^paftiei''dpnc''B'':'En^ 
aA^:'ji4-A\ tjn'a'^ejii '(fetermine A';' cette 'iiff^-' 



mi" 










1^1 GE^ii4mi^ii« 

ordre de d^cimales , le cercle n'en diff^rera pas non 

Voici le^calcul de ces ppjyg9fjes prolonge jusqii'.^ 
ce qu'ils ne different plus dans le seplieme ordre de 

i^ecigjfil^,,c o . ^v , ^, . .... . . a / ) ^i\;>.i\wM >A 

- 4 . . ^ . . . ^,oooiobob . . . . V: 4,btiW6'tf^ ^' ^ ^'^ ^ 
8'....;.. 1^,818^1271 .;...: 3,3i37o85;":\'^ 

16^, ..,..,' 3,0614674 3.i825q7Q 

^oai^p.,^^. o,^aj44?i . . . . . ^ ^,i5ij249 
64. ^^.•.. 3,io6S485 3,1441184 

S12 •*.... 3,i4iSi38 3,i4i632i 

.e,rx' ^^^'^ 3,1416729 ...... 3,i4i6o2^/^ , .^^ 

ao48 3,i4i5877 , 3,i4^59^^ .,x',. ,, 

^oyi 3,1415914 ...... 3,141:3933 J^ I 

8192 •.,..<< ^,1415923 ...«.., 3|i4i.5k9!>S ! 

i6384 .*.... 3,i4i5925 ^^^^i/itbgaj) j^ ^ - v 

3=»768 3,1415926 3,,^f^e,^ „.^ 

De li fe conclus que la surface ^tiu cercle as « 
3|i4i3920« On ppurrait avoir du doute sur la der- 
niifre^ Sieeiiiijile k cause des erreurs qui tienuent des '^ 
paitj^f ^^g%^e5; niais le calcul 4 ete. iaii ^yee, i|iia. . 
decimale de plus, pour ^tre sAr du resultat que nous 
venb'Hs dfe trouver jusque dans la derriiere aeciiiiale. 

Puisque la surface du cercle est egale a la 4e^^*. 
circonference multipliee par le rayon, le rayon elant 
I, la demi-circohierf^p^' est 3,i4i5926; ou Lien le 
diametre etant i, la ci^cppference est 3,1415926; 
done le rapport de la circonference a^ diam^e de« 
sigfie\«;iMb8s«s^'pap. 19x^3 jf 4 ^S9^'^* 






X<? trian^e CAB 6J/ equivalent au triangle iVojcwBGfiJ^*4g. 170. 
^ai a & meme angle C ,-e^ Jo/if /.e c6ie CE ^s'^a/ a CD ^st 
mojen ^rop^ortionnef entre CA ^ CB. /><? /?/«x, ^f ^Mn^, vi 
CAB e^/ ^ff^^^^^^perpendiculairp C^ ft^baissee sur Id^bas^ 
du triangle^iso»ceie * sera rnojennp prpp^rtionnelle enpre le 
cdte CA el la Uemi-fomme des cdtc^ CA , (iB. 
- Car, I*' a caus^ de 1 angle eommun C , le triangle ABC est 
au triangle iso8celet)CEc6mmek(ikCB est aDCxCE,,ou 

DC*; doi|^ c^s triangles seront equivalents, 8iDC=|i«A^ *24f 3. 
^CB, ou^^i DC e^t moyenne prpportiof^nelle entr^.iVC 

ct CB. ^'' ' . • • -' > 

♦ 2° La p^rpendiculaire CGF coupant en deux parties egales 
Tangle ACB , pii a* A G : GB : : AC : CB , d'oii re'sti he , comco^ * 17 • S. 
nendo, AGiAG-^CB ou AB;:AC:AC + CB; mais AG 
est a AB eommie'lb triangle ACG est au triangle ACB ot| 
aCDF I d'^ll^ura, si Tangle A est droit , les trianglesrectan^ 
gles ACG ^v^F^ seront semblables, et donnerqnt ACOi ' 

CDF::A(i^'^}aoh'c, ' ' 

Mfltimtirit ie secoud^Vapport par AC , les antecedent^ ae* ,, 

-'\^ih til i.' v.-^i* ♦,* ^ • ,: 'J'V^'Mi-f- 

^^?)^^^J?»MiSf«^«S'.?^^9,aura par consequent /ffiP^iii^Hui 

(Ae.4^C»1>. ^^'^ACxf^^^^^y doric 4*^ ATan^y'i 

A est droit , la perpendiculaire CF sera moyenne uropor** 
tioiuieUe autre le cote AC et la deini-^omme des cdtis 

.1 a..i . PROPOSITION ,Xy,to>..n... .1 ,, 

Trouver un cercle qui diffpr^ i^u^Hpem gfi'cj/^iKWwfei^/^li^iiS 
poly gone regulier donne. 

Soit propose , par exemple. le quarre BMNP ; abaissez du %l' *'*• 



5x. 



Map 93 k'optu'i ienic nioisnluioo no ie : JnBviira dnd|^[ 
{9[i£«{Mnflefdm9f)(ltioei70D (^ iM?tiMi^iAfiAsS|^lA^, 

ilC£^sefbcB9iii«alenb]^«^i£in^^<^]&Br^, rfl$(^4t<l«4i^^ 








CtralTglw 
aJI 



aa 
qnarreffi^^r " ^"^ /S*. 

petit qn%»^'§iikp^e, cfTeoerclc'cifcoiiscrft^j^^A grand. 
On YfM'hWdAuef aiiisi ^isqu"a ce qtiBHiS&fcJ**rt entrc 
le nyot^A¥d^M inhcnt ctle rayon 811 ^/a^^ihfcoDscrit 
ditTere «iW8fe|)%fif ^u'(5A vtfiidra' t*e' i*egal»8?^agfs Tun et 
Tautre c^4^J56^ttTont ^tre ftfgatd^S tOmAfe^^^^^^ents au 
qtiarre propose. 

rJ 45l*d^>l'ivteid^fe ^tldi^e ¥^/WK»1afilea®cteBaeS'¥jf^ 
s«RS^WlP«blf»^^t^^r8foff' titi ^reife . i1»Jfe«?^^l^*lifFtf« 

que nous 
nelle ei!! 

-...>t8£i,i •• • so8?8ffi,i 

V « X -i^^^kfa* les Tayotis '/« *t ^ d 'urf^l^^wle etanl 




lygone suWant : el on continuera ainsi jusqu'a ce qii8& 
,4W5ftrp"H|B2il»ftrfil^dcii» ri}'ai»9iaoaf)<lrrei{tialinMniible; 

IMW![?^Pj'A¥c«pfr4Pj* w.goJygpwprapotcKl .1 joncnp 
Cel|i«tiM!fhodci«tt;£a«ye]JiiI)srali<j[Utv.>eiv ligiKIA ^^Uis^idf^ 
.<jB^*Pcf ^4\^**^/^i<f Pilvfir ^MiA4»yei»l«A pifepof tiAiiiidteiitoc- 
1 , et le premier rayon circonscriftOBfUrii V^ st ou i , A 14^ 1 3$. 

fiftfej^"^?*? wv^^l* i'aprcaja loi d^ conU^i^ii>n, .:./ ; -^ 
Void le r^snltat du calcul fait jusqu*a sept ou Imit t^iiffii^ 

: ', :' •- 

Aavovs ad circles turconscrits. Kayons des cerdes inscrita. 

«i,Iq .-, .i«4>»A?^36 ..,.,.,-. 1,0000000. 

.ba^.r-,Mh^'^'}^V'A''r-' 1,098684?. . 

91ln-. t^l^f^n-'' •' '-'■'■ i,iaio863., „. . 

jiwnc Aii^?P.\49 ,.r -T-w • • : i,ia65Q?gh , - . • -r 

J9 ni'l**^aw8§»f ••"• i,i!^79a5a im> 

06 ?Jn •H»fi*?'S«o63i,., • • ? i,i;^8a6$7, ...if... . 

igLJIga(^xfif%Am^f^^^^^ on pouwa, au lieu dq$.iiioyi5i»$ g^ 
SirfffWllfi%i«IS«^f^^ '^^y*'^^ flfitjim^tiqiwj. qiu «'^ 4*% 
%fHI qtt©tfl?^»(l^«d<»ci»»*l<» nltflricTMspi^ D^ ic^le mmuftrf 

1,12*3934 i,iaa,^^^i. 

x,iaS38oi 1,128^7^^ 

ini*:? **f»«33i9j94i u' f- ^ • j^)^ ^* >{*rt-.*f*r ?-»f »ji^*??iE^^ X ^^ V 
1,128379a • i,i2837jj2. 

9 



')? 



'V 



.1?. 



^ 



Binm v^^vs^a^fjgTi lelt a trds * pen pr^s le rjiyon dfi o^rcl^ 
^SL\en surface au qaarre dont le c6te est a..D<5 la ile^t fuT^ 
mlc^ Aa txonYev le rapport de la circonference ayi dianpietpekr 
c^r.OA a demontre que la surface du. ccrcle es% ^^l^ au 
' quarr^ de son rayon multiplie par le naiabr,e -re; doiic>,>.5,v 
on divise la surface 4 par Ic quarre de 1,128^^793 , on. aui?^^ 
la Valeur de ir, qui s^ trouve par cecalcul de ^^il^iAg^Sy e»»^ 
comme on Ta trouvee par une autre metliode. 



APPEND ICE AU LITRE IV. 

DB-FIHITIOirft. 

I, vJk appelle maximum la quantite la plus grande en.t^f 
toutes celles de la meme espece; minimum la plus petite,. 

Ainsi le diametre du cercle est un maximum, entre toutes 
les lignes qui joiguent deux points de la circonference , et 
la perpendiculaire est un minimum entre toutes les df oit^s 
menses d'un point donn^ a une ligne donnee. 

II. On appelle figures isoperimetres celles qui ont des pc- 
rimctres ^gaui. 

PROPOSITipN PREMlilRE. 



A 



THBOREMB. 



/ 



Entre tons les triangles de mime base et de mime peri- 
metre , le triangle maximum est celud dans iequel les deux 
cdtes non determines sqnt egaux. 
fig. 17a. Soit AC = CB , et AM + MB = AC + CB ; je dis que le 
triangle isoscele ACB est plus grand que le triangle AMB 
qui a ni^me base et m6me perimetre. 

Du point C 9 comme centre , et du rayon CA= CB , de- 
crivez une circonf^ence qui rencontre CA prolong^ en D; 
joigtiez DB ; et Tangle DBA , inscrit dans le demi - cercle , 
,5, a. Hera un angle droit *. Prolongez la perpendiculaire DB vers 
N ; faitcs MN =MB , et joignez AN. Eufin des points M ct C 
baissex MP et CG, J>erpcndiculaires sur DN. Pui^que CB rtr 



.i^f-i- i^a 



y 



6D e^ MN r= MB , 6n a AC.+ CB 3^iAI>,v«l JUM[+irai= 
AM^MN. Mais AC+CBs AM4-MB( (k>ne ADtts: AM>4»-», 
MN ; ^one AD > AN : or si Fobli^ae AD est fills' {fttKld^i'qiie 
l^K^Ii^u^ AN , elle doit ^tre pins eloign^e'd« ia'peirpeiMii(*U^ 
IViir^AB; 4ono DB>BN; done BG, qui est moiti6 de BD"*, * ia,i. 
^eva' plus grande que BP moili^ de BN. BTais les triangles 
Aid ^ AQJl', qui 'ontm<6me base AB , sont entre eiix comme 
leurs hauteurs BCJ, BP; done, puisqu'on a BG>BP, le tri- 
angle isoseele ABC est plus grand que le non-isoseele ABM 
de meme base et de m^me p^rimetre. 

' PR0i>05iT^0'N^fl. ' * 

Entre tous les pofygones isopenmetres et d*un fn^me 
nomhre de cSte's , celui qui est »/2 maximum a ses cdids 
egaux. 

' Car soil ABCDEF le polygone maximum ;s\ Ic cAt^ BC % *7^- 
n*est pas ^gal a CD , failes sur la base BD un triangle isos*- 
cele BOD qui soit isop^rimetre a BCD , le triangle BOD sera 
plus grand que BCD * , et par consequent le polygone * P' »• 
ABODEF sera plus grand que ABCDEF ; done ce dernier 
ne serait pas le maximum entre tous ccux qui ont le ny^e 
p6rimetr^ ^t le meme nombre de cotes , ce qui est contre la 
supposition. On doit done avoir BC = CD : on aura par la 
m^'e raison CD = DE, D£= EF, etc. ; done tous les cdt^s 
du polygone maxvnum sont egaux entre eux. 

* . 

PROPOSITION III. 



A 



THBORSME. 



De tous les trinn^es fortnes avec deux cdtcs dortnes fai- 
sant entre eux un. angle a volonte , le maximum est fielui 
dans lequel les deux c6les donnes font un an^ drqit* 

Solent les deux triangles BAG 9 BAD , qui on^ le c6t^ ^ ^- igi* 
commun, et le cote AC 1= AD ; si Tangle. BAG est <Jroit^je j. • 
dis (|ne le triangle BAG sera plus grand qn^ le triangle BA{^, 
.dwis lequel Tangle en A est aigu oti obtu^, ^ > . ..< : rA 

9- 



l3a GBOMETEIB. 

^xSar la base AB dtant'Ja nSme; ies deax triangles BAG , 

BAD, soul comme ^g^^fUlWrfvA^f jfiF " "**" la pcr- 
pendiculaire D£ «Yt pSi \hvh^^i^Prhmqne AD ou son 
^gale AC ; done le triancle BAD.est plus petit que BAG. 

«9nSHH03BT 
^*6W6ft?««<fB''#i^ #w4^i3% e^I^^nu 2oo ob ommo? r,J .«t, .:,q 

J«S^§ftlii^oBe* ^iriR<;^^f^,,j,D|i,f|:?,.ejji,ft.4fi?ii«rfAglb 

»^^'*W 4fiOifi^f^ ipqHWU«d^m^n«4nrao|, l^iiNtft^Sfq 
ABGD^DEF, telles qivelles §p^t,, (^ftgn^fPlftftBe^jIpi^r^^i 

dfi^ i}^& q^ pojygone ne.f^ifl B|u^.ptrAil*g9lft9h»«PWftD[ 
^'j'c^l^I^ip^WlW*^ parvenu^ sf}^ F?^«:«Vwn9^rtftPF jV<?Pg^ftp 

f^rence dont le c6t^ indetermin^ AF est ^^j^li^P^FfirpruoMe^ 

Scholie, Gette proposition donne lieu a une question ; sa- 
Toir , s*il y a plu^ittfrs ilbttderes dd JdbUdifii polygone a vec 
des e6t^s donnas , et un dernier inconnu qui sera le diametre 
de la demi-circonference#s^^ ItrqUl^lI^ les autres cdte^ sont 
inscrits. Avant de decider cette question , ii faut observer 
qtui ii' litafe bftil4fe^6Alc *B 'sbtti^t^d 'aek*&c«^\iJi!fft$^8te 




part et d'autrc on aura AGB< ADB. '^ ' '^'^^ "^'^r ^'"^ - ^^^T 

.jv.s> s5n^^^»o{,3f> ^1/iaA B Ic^o wv^ft .Mj^nctl :A »MfBt 
J«j> MA0'i3 anog^Ioq si fVI noiJizoqoiq b1 db junoy iiH 



•aiJiTaMoaa cSi 

f DAS eoignfihl zm^jh e^t^anrSn ^'ia^il SA ^^&d bI ibSt^ 

-idq bI eiiim : 5fL y^^-r^'ipf Ji{f»L^^ ammoa Jno« (QAS 

noe ITO CIA aijpjfi<PfHnjPd?l\rOTHjfl[ lY^SG siiBluaibadq 

.DAS 9np Jiloq «ijla i29,GAaL slanfiht 9I anob ^ DA sffl^^ 

» 

// ny a qu'unifftofiS& VSJbSrldfii&fi^f^gone ABCDEF, 
a9€C d^s cdtes donnes et un dernier inconnu qui soit le dia^ 
metre de la demi-circon^tticB tiitU Itiqueiie ies autres cdtes 
sont inscrits, 

petits. La somme de ces angles ^"^tmk i^riTabH&^dM^I^ 




ceiftw%Tffli§^i«»^«ftsfeif«4^Ai»; »c; ^^y:vY<fflt^itf WftfeiiiK^ 

-Be ^noiJeoup 9nu fi jj^*!! jji":: ;:- .4. 'joiq 9Ji'>'3 .^'sNosVd'i 
D9VB gnog^Ioq iBRQftOSiTIOlf ^WiJ^iiIqB ^ii** >iiOT 
siJoiAfi^ib A fi'i92 iiJp U'Uio >a 'y/iii:*b iiu j9 ^ «'jrrri6b <i9J69 «9b 
jnoz 29j6'j «oiJub er>l flllSp.l|J?j8yi«:* >ii:n*VifioDii'j-iai9b bJ 9b 

^4Ff^wB(rFife^«#\^Odl4^tl9«eteBBl3{gPff^^^ .«.t«* 

plus grand que Tautre. .^qA > ADA bidb no 9iJi.rB'b J9 JiBq 
Tirez le diametre EM; joignez AM, MB; sur abirzAB 

faites le triangle abm ^gal a ABM , et joignez em. 

En yertu de la proposition IV, le polygone EFGAM est 






'1S4 CioifllkTlBLlE. 

plus graniqjjte e/gam, k moins que cdui-cl ne ptasse Me 
' " ' fPfll^eilleixient. inacxut • daus une demi - circpuference dent le 
c6t^ em serait le diametre , auquel cas les deux polygdnes 
seraient ^aux en vertu de la proposiftioB Ys Pair la mdifte 
. raison le polygone EPCBM est phxs grand <jue edcbm , sauf 
la m^me exception ou il y aurait ^galit^. Done le^j^bly^oiie 
cntler EFGAMBCDE est plus grand que efgambcde^ a moins 
qu*ils ne soient entiercm^nt ^gaux : niais ife-iii! l<i'^(fht ^1, 
puisque Tun ^st inscrit. dans le cercle , et que I'autre est 
suppose nori-inscriplible; done le polygene inscrit est le 
plus grand. Retrancbant de part et d'autre les triangles 
egaux ABM , abm , il rcslera le polygone inscrit ABCDEFG 
plus grand que le non-inscriptible abcdefg* 

Scholie, On demontrera , comme dans la proposition V, 
qu*il ne pent y avoir qu'un seul cercle, et par consequent 
qu*un seul polygone maximum qui safisfasse k la quesdon ; 
et ce polygone serait encore de m6me surface , de quelque 
manicre qu*on changed t I'ordre de ses c^t^s. 

PROPOSITION VII. 

THEOaEME, 

Le poljgone rcgulier est un maximum entrc tous le^ poly' 
gones isoperimetres et d*un m^me nombre de cStes. 

Car, suiyant le th^or^me II , le polygone maximum a tous 
ses cotes egaux j et, suivaiit le thdor^me precedent , il est in- 
scriptible dans le cercle ; done ce polygone est r^gulier. 

PROPOSITION VIII. 

li E A oL E« 

Deux angles au centre , mesures dans deux cercles differ 

rents , sont entre eux comme les arcs compris divises par 

(eurs rayons. 

AH 

fig. 178K ' ' Ainsi Tangle C est a Tangle O comme 1^ rapport — --■ est 

DE 
„ eft rapport—-. 

l)*iin rayoii OF egkl k AC decrivei Tare F6 compris entre 



juivfts IV. i3S 

i * 

lei e6t^a OD9 0£ , prolong^s ; a cause des rayons ^gaux AC 9 

AB F6 ■ 
OF, on aura d'abord C : O : : AB : FG *, ou : : — - :^~-. Mais * «7- 
<' ACv f Q . 

i cause des arcs semblables FG, D£, on a'^ FG;I)i£::FO: * zi. 

•/ FG DE 

\ DO J done le rapport =— est ^gal au rapport -jrjr » €t on a 

■ ^ ^ AB DE 
parconsiSqu^ntC:Q:: — : t-^. 

PROPOSITION IX. 

THEOABHB. 

/>^ deux polygenes r^guUers isop^rimetres , celuiqui a le 
plus grand nombre de cStes est le plus grand. 

Soit DE le denii-c6t^ de Tun des polygenes , O son centre, fig. i^q. 
0£ son apoth^me ; soit AB le demi-c6te de Tautre polygone, 
> C son centre , CB son apoth toe. On suppose les centres O 
et C situ^s a une distance quelconque OC , et les apothemes, 
0£ , CB', dans la direction OC : ainsi DOE et ACB seront 
les denii*angle& au centre des polygenes , et comme ees an- 
gles ne sont pas ^gaux, les lignes CA , OD , prolongdes, te 
roncontreront en un point F ; de ce point abaissez sur OC 
la perpendiculaire FG; des points O et C« comme centres 9 
d^crivesi les arcs GI, GH > terminus aux c6t^s OF, CF. 

Cela pos^ , on aura par le lemme pr<^c^dcnt O : C : : -— : --««^ 

mais DE est au p^rim^tre du premier polygone comme 
Tangle O est a quatre angles droits , et AB est au perim^tre 
du second comme Tangle C est a quatre angles droits ; done, 
puisque les pdrimetres des polygenes sont ^gaux , DE : AB 

GI GH 

: : O : C , ou DE : AB : : — ; : — ;- . Multipliant les an tecedents 

OG CGr 

par OG et les consequents par CG, on aura DE X OG : AB X 
CG : : GI : GH. Mais les triangles semblables ODE, OFG, 
donnent OE : OG ! : DE : FG , d*ou r^sulle DE X OG = OE 
XFG; on aura de mdme AB X CG = CB X FG 5 doncOEX' 
FG : CB X FG :: GI : GH, ou OE : CB ;r GI : GH. Si done 
on fait voir que Tare GI est plus grand. que FarcGH, il 
s'en suivra que Tapothcme OE est plus, grand que CB. 




De i'autre c6te de CF soit faite la figure CKjk entierement 

^gale a la figure CGj^yde grt^i]ijl(n|i\l{:K = CG , Tangle 

HCKzrHCG , et Tare 1Ljcz=xG;Isl courbc K^eG enrelop- 

*^ pcra Tare KHG , el sera plns grands' que cet arc *. Done Gas,, 

II resulte de la que Tapoth^nie 0£ est plus grand que CB : 
mais les deux polygon^ ^^l^ifiMl^^rimetre sont entre 
'^ eux comme leurs apotb^mes^; done le polygone qui a pour 
demi-c6tdD£^est] 
AB^V^r^ftr^^ .. ^ , ,. , 

.!,.«, t>4w»il»«^i(JfH|ii>i^i a ft«^lliipfai?wfe»'^y*^gRis^^aHar^'^q 

.on^il cl fi ^lirJuoilmeqT^q U^ niilq 91 

.nrJq si oijnoonai '^n^il 
dlb'upmol ^5vv.\^x ^«sHvEO'li*«W\3?/i ^n^il onU .11 

n est d^ja prouY^ que de tous les polygo^ J|i%^#'9i^itf)$ffiq 
plus £nii|a : ainsi 11 ne s'agit plu% aUQ/J^CflifflP^E^iift^Tf^^^a 



a un polygone regulier quelconque 

5ntrc."S6it"dans Icjlie 

ent larc . 

P:fi( :iiAit«]Ctt^EMd!Bt:«I :Oil^ ^tfl«>ttt^#{a jafkoiBt'H 
iOEqui est la ine^|^^^^tfiVfiiI?Q^>f«*l9SXW««fein 



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jhqmoo a'lJfJo^ni! aocqas'I tgo aViW ^'^^A"^ •l''^ 
ainam nu no Jna'-einubf oe i«p ennlq awaiaulq '-i 



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tuioq 



inline li^ilnd xJi::. s lusa bI dJisi Jloa "iD sb bi6b diJiffi'l sQ 
^^O DHoQ .* oiB J'^D 9ffp J^Bflfi'jg 8Ulq Bi^a i9 c ^H3 oiB'l Bwq '^ 

: aD aup bnBi^j «iilq 12^ 30 9in6rf laqs'I aup bI ^b jilu^yi II 

iifoq B iirp onotj^Ioq dl onob ^^ «9in6dJoqB eiudi aminoo xu9 
, djB Jimeb.iuoq b iup iobo f)up bflBTg e0lq,3^9 SQ 6j6o-im9b 

le plan est perpendiculaire a la ligne. 

Lepied de la J|^r]^n^qi4^l9?0)l1>oint oii cette 
ligne rencontre le plan. 

II. Une llgne est pmiudUo warn plcuiy lorsqu'elle 
ne pent le rencontrer k qiielque distance qu'on les 
prolon^^lvte^P)^t>vi^^^^&^(»t»r^ Id "^W^ %k *o8 r .^a 

«I.«D^te^ftiM%Srirjbi^^7£^5 enlre eui ;i^%^'^'fe J^ 




soDliijeaf(i:^rJ^t^nctbi4'^UI)rei)noettei ifpafiSd^qf^nAie^ ^*I 

surd:) faivi^fngiel^e foii<|teiJ{^'eR^l^<^^^'^"^pr 
peixOAbhw^nmi^P c»Jis:^h1l^ft^>dd 

T.^lsir ejJt afd^ij |es ctvix^pfdns sont W&ec^wM-. * 
/a/r^5 entre eux. ^ ^* ^ 

VI. Angle solideest I'espace angrulaire compris 
entre plusieurs plans qui se r^unissent en un mime 
point. 



H' 199* . AiirJsi Tangle 5olide S est form^ par la r^njoa des 
plans ASB, BSC, CSB, DSA. 

II faut au moins trois plans ppur former un angle 
8olide« 

PROPOSITION PREMlfeRE, 



t"- » 



^THioaJtMB. 



t J 



line iigne droUe ne peut ^tre ^n parUe dans 
an plan , en partie au dehors. 

Car, suivant la definition du plan, d^s qu'une 
ligne droite a deux points communs avec un plan ,~ 
elle est tout entiere dans ce plan. 

Scliolie. Pour reconnaitre si une surface est plane^ 
il faut appliquer une ligne droite en differents sens 
sur cette surface , et voir si eMe touche la surface dans 
loute son etendue. y ' 

PROPOSITION IL 

THEOR&HB. 

Deux lignes droites qui se coupent sont dans 

un meme plan , et en detenninent la position. 

fig-»8«. Soient AB, AG, deux lignes droites qui se coupent 

en A : on peut concevoir un plan ou se trouve la 

• ligne droite AB; si ensuite on fait tourner ce plan 

autour de AB, jusqu'a ce quil passe par le point C, 

, alors la ligne AC , qui a deux de scs points A et C dans 

cc plan, y sera tout entiere, done la position de ce 

plan est determinee par la seule condition de renfer- 

^ ' mer les deux droites AB , AC. 

Coroilaire I. Un triangle ABC, ou trois points 

. A ,: P , C , pon en ligne droite , determinent la position 

d'un plan. 

fig. i8a. Coroilaire II. Done aussi deux paralleles AB, CD, 

determinent la |iosiiion d'un plan ; car si on mene la 



B^ante BF^ le plan des deux droites'AE, EF, sera "" 
celui des paralleles AB, CD. 



" i. 



PROPOSITION III. 

Si deux plans se coupent^ leur intersection 
commune sera unb ligne droite. 

Car, si dans les points communs aux deux plans 
on en trouTciif trois qui ne fusseni p«)s^ en Ugne droite , 
les deux plans dont il s'agit , passaot cbacun par o^s 
trois points, ne feraient qu'un seul et m^e plan:*", * a. 
ce qui est contre la supposition. 

PROPOSITION IV. 

^ THEOREMS. 

Si une li^ne droite AP est perpendiculaire a ^g- 183- 
deux autres PB , PC , qui se croisent d son pied 
dans le plan MN , elle sera perpendiculaire a 
une droite quelconque PQ menee par son pied 
dans le mime plan , et ainsi elle sera perpendi-^ 
culaire auplan MN. 

Par un point Q, pris a volonte sur PQ, tirez la 
droite BC dans Tangle BPC, de maniere que BQ::= 
QC^, joignez AB, AQ, AC. •jprob.iJ, 

La base BC i^tant divisee en deux parlies ^gales ati 
point Q, le triangle BPC donnera*, * i4* 3. 

PG+PB=2PQ + 2QG! 
Xe triangle BAC donnera pareillement, 

AC Hh AB= aAQ + aQC.' 
Betranchant la premiere egalite de la seconde, et 
observant que les tiiangles Al^G , APB , tous deux 

rectangles en P, donnent AC — PG==rAP, et AB — 

PB=:AP; on aura, 

APVAP»iAQ~aPQ* 



nil ciMitfUi. 



13.3. 



Xnm&OiAVVyest rictial'le enT* :,donc AK'est per- 



donn^ hors d'un plan deux perpen<£cuiaire&'% co 
plan; car soientj^,vA<Qt'^i^<]f9^<¥ff|[B'«li<^Kl3>''B^> 
alors Ic triangle APQ aurait deux angles droiU APQ, 
AQPt ce qui est impo^fite'." 

SiiytA^ 'J\,,(IA wyoy i^o'•.ll^i .-) ;"i:i-\\vt -^-MsAm 
Les obliques ^ga,i§aiipt,-<4S3iglidRb'4e^-i^J^^ t^ 

'"ilfllletafnli iSSign^i dafU'>jit7^ilfMMm>Vi"t 



,^Kiesi«i>(l<;4Pii>iiUie,i<iPn<iMtdni^/wQni "s' 



s les iistliiqesP; 



JsPKi 



) ?^ i^$* ^•fteUedo 



PE; est plus grande qiieFlJ ou son efiaieFB^ il.^t cLor., 



oi l"SiSflfffi.n°JpJ1 . • ■ ' '-■■■•' '■"I"'' 

,0<iA tlonl. ealjun /v-i . ■' ■ 1/- iLitnl ol nol'. 

' 5o// AP une perpendicuU^fe^^ ,ptan MN ef Ug. , 
BC une //^ne situee dans ce plan ; st da pied P 
de la perpendiculairip^ifrfhsitilfve PD perpendi- 
culaire sur BC , et quon joigne Ajy^je dis que 

port jj... la, ,'{)«!{l«(ifc»j9il6\^Bv tV^ iBB^ij^S'jlsa 



i4^ GKOKsiraix. 

. *^- KdbUqiie'ABcE7AC*)<dc>iic la Ugne AD a deux de ftes 
piAtkis A et D 'Ogtileiheiit disiants des extremity I^ ol» 
Gf ;d€Mic AD est perpendiculaire sur le-jnilieudeiBG^^ 
•. CoroUaire. On Toit en mSme -temps <}4ie BG eat petf 
pendiCttlaire Ott plan APD\ piilii(|i:»*$G lesbperp^dx-t. 
oulaire a4ft-»foid aux deux droUea AD^^PD/ii! ■- .i > 

Sckolle. Les deux lignes AE, BG , offrent TiSxlAjnple^ 
de deux lignes qui neaexenqontrent^point, pati€e*<)ue 
elles ne sont pas situees dans ua inline i]rfa^.La^ pliisi 
eoll];^te distance de ces lignea est la. droite PD ^ qui est 
j^-Ia-^fais peppendiculaird a la Ugne AP et, a la ligne 
BC» Xa distance PD est la plus courte entre ces deux 
lignes; car si on joint deux autres points, conune A 
■ }' et B , on aura AB > AD , AD > PD; done , a plus forte 
raison, AB>PD, 

Les deux lignes AE, CB, quoique non situeesdans 
un m6me plan, sont cens^es faire entre elles un angle 
droit, parce que AD et la parallele nienee par un de 
ses points a la ligne BG feraient entre elles un angle 
droit. De nierae la ligne AB et la ligne PD , qiii repre- 
senient deux droites quelconques non situees dans le 
mime plan, sont censees faire entre elles le oi^m^ 
' angle que ferait avec AB la parallele a PD menee paf 
un des points de AB. . ^ 

PROPOSITION VII. 

w ' . THEOREMS. 

£g. i86. Si la ligne AP est perpendiculaire an plan 
.JiljSr , toute Ugne DE parallele a AP sera perpen- 
^cidaire. au meme plan. •. 

-:iiSuivAn't,.le6iparallele6 AP, DE, eonduisez uh plan 
jdomUlUAforaeppon si^c le plan MN «era PD; dans It 
^n iWA jmeneA BG perpendiculaire a PD y et joi* 



n 



SuiYant le oorollaire du thiJor&nlA prdlMen^i^lAC! 
est perpendiculaire au pltin APDE; dpji^Vtai^eSDR\ 
est droit : inais Tangle EDP est dro|t auiii/, pviiiqae) 
AP jp9t: pe^peiidieulaire ii PD^er. ^e D£.e»t pWalllele 
itJkVf^otfobi lipie DB «st {}e]^pendsD«^ireaiiiidD<l»iia:r 
droites DP , (DB ^ ' <l6nc vile est perpendzcukare k knr 
pigpiAEfiTi 'I •• • 

«> (?()ri7ii&|/Vdr I^> JKteeiproquemeiit si tes /dcpitesr AB^ 
DC Si^t pevpendiculaires au m^tne pl^n MNy elite 
surotit paiialleles ; car sielles ue Fetaient pas/amduiK* 
sez.par le point D une parallele k AP^tqttl^ pacallelc 
sera perpendiciilaire au plan MN ; done (On poairait-i 
par tin m^me point D, elever deax perpeudicid«irjeri 
^ xin meme plan , ce qui est impossible ^« > ^ ' , 1*4. 

Corollaire II. Deux lignes xA et B, paralleles i'une 
troisieme G, sont paralleles entre elles; car imaginez 
im plan perpendiculaire k la ligne C, le» lignes A et B ^ 
paralleles a cette perpendiculaire , seront perpendicu«« 
laires au mSme plan ; done , par le corollaire prec<i«« 
dent, elles seront paralleles entre elles. 

II est entendit que les trois lignes ne sont pas dans 
be m^nve plan, sans quoi la proposition sernit dd]a / 
^^o^nue *. . * a5, 1. 

PROPOSITION VIII. ' • 



yKBOR:^XB.: 



Si la ligne AB est parallele d une droite CD % '*7* 
menee dans le plan MN , elle sera parallele a ce 
plan. ''^ ' •' ■ ''"' '' 

' Car si la Kgne AB , qui est dans le plan ABCD , reri- 
contrail le plan MN, ce ne pourrdik^dl^ <j[U eti quelque 
point de !» ligne GD ^ interseettbn (^ontni«fn# des^dfeux 
plans : or, AB ne pent renconlrer CDy puisir}u^dUetiJbi 
est paralleled done die ne rencontcieii^ pfts ^on^pim 
le planAIN; done elle est paiiallele k ce pklii^»^^^a;^ •d^. s. 






fjUoii) i>l I. ojl;.iir'il>iJ*>'^»':*<j J*-'* i^i' •»'*'} "^ 'i.trJifa 

de leur« points comtnuns, et Joignez OA, OB ; la ligne 
AB ) perpendi^ufiiir^^ ^l£i']MEK\'^^ji4r^endiculaire 
i la droite OA men^ par son pied dans ce plan ; par 
la m£ine raison AB \A ^p%f{p4n^iculaire k BO ; done 
OA ^t OB seraiept deux perpi^n4ii;ulai^i^ abaiss^a dtt 
.08. .:t aiMA poYrit O stifla in^iie^UgV^^Mi^i^^^^ 

impossible J >dbnc ffei plaWivilf ,'^!>Q.;W^p^^A^^^^ 
i^lk)!<trdr}'dbnfcilS8oi«!iiartfH^les." ^^''^' 1 ^^^V'*''^. . 

1(U * i' ■ ' J '; ..■.•.. ••'■.' ^ir^l f llivKx 

> PROPOSITION X. 1 HOiilH 

fig. i«c» , , Zef . intersections E F H G , <ie. fifeo^P i^UHif^1h> 
w^lleks MN ) PQ > /?tfr lui irQme^mi.\piMkS^\ 
^ * sont paratieies. ' ^-.il > tin • i^M •dr rcq 

Car si les lignes £F, 6H, situees dans un m^nie 
plan y ne soot .pas paralleles , prplo^gi^ files se ren* 
contreront; done les plans MN, PQ, dans lesquels 
dies sont, se renconh^eraient aiL<^i ; done ils ne se* 
raient pa5 paralleles. 

PBOPpSX-TlOK M* , j\vA^\ ^s^n-.w 
itfihnt MR fit BOV cdtKkiM 't^'^Mfi ABC ctdnt' 



rintersection arec le plan MN soit AD, rintersection 
AD sera para1lJf4^i$3tS^8i9^(l'94 AB perpendi- * '^ 
culaire au plan MN est perpendiculaire a. la droite 
^D;donc elle sera ^ft^^ef^bdiculaire a sa paral- 

dngJI fit J aO ^ AO songioi Jo ^ftmimmoD ^taJo^ Aiust nb 

li;q ; niilq 9'j ^iici) t-jiq noft •ysq sdcfjm AO ^iuib fil A 
onobjOU e diiBlirj?lm5Sc|4^^ll'f'(IA noi^im om&m a1 

Par^ les parallel^{^,,^J|^^^/%«e}j,Bft5ssrn}^ 
E6HF, qui rencontrera les plans paralleies suivant 
EF et GH. Les J2Ste)%ebiiMsr.ETl,((&JE9sont paralleies 
entre elles*, ainsi que EG^ FHj done la figure EGHP • m, 
est uh parall^logramnSe^ dofefe EG*tzrH. % 

Corollaire. U suit de la que deux plans paralleies 

iM\pSf^at "h^^h^VisikXy;^^ eai- si >eG*^t^'Fff>s\nt *'^'' '^^ 
paralleies entre elles*; done elles son^^^^1feft:^ft<\ 1$\ot . ^, 

«biipdl ^neb < p*I < / lA ^iti^^i fi'>I mob pnoio'iJrrott 
t^ Off eli r>nob fi8?.Mift4ft¥il*<o')ri^i ^ ,tt:o» ^^ffi - 

Si deux angles CAE , DBF , /lo/z situis dans le gg. ^qj^^ 
meme plan , d» »aH cdOii/Hj^caiiles et diriges 

dans le meme •^^'^^ jj?f5|gf^P seront igaux et 
leurs plans seront parallels . 



lO 



un paraUelogramme , et ainsi le cole CE^'.^[li!ffll^ 
et parallele a DF ; done ies triangles CAE, DBF, 
sont equikteratiJt' entrfe' euVj diiAfc'^^ngle CAE = 
DBF. 

En second lieu je uis que le plan ACE est parallele 
au plan BDF; c^r, ^upposons ^ue Uplan^pai-al^okj k 
Bt)F, men^ par le point A, rencontre 1^ lignet Cj) , 
EF, eh Vl'autres points que t ct E^ par exehiple en 

^'' G'''^t'fl':'al'ors,' sulvaiii la proposition', xiV^'^cs trois 
K^es AB.'GD, FII , seront egales': mals Ies trois AB,' 
Cu,ftF,'le sontdeja-, done on a^rait db'=ftO, ct' 
FH ^EF, ce qui est abisurde ; done le plan K'C'E'.esl 
parallele k BDF. . ' ',' 

'CoroUajre. Si deux plans paralU'les MN, P^sonj' 
rencontres par deux autres plans CABt)', EAltf'^ leV 

■ ' angles CAE, DBF, formes par Ies intersections 'des' 
plans paralleles, seront egaux; car rinlersectron, A|tl. 
est parallf;le a BD', AE lest a BF, done ^aWIe' 

"■ CAE^DBF. ' ■ " ■■■ ■^■'' 

PROPOSITION XIV. 

flW'' -'5/ ti-inis droits AB , CD , EF , non sith^^i' tla'ris 
ie tn^/ne jf!an , sont dgales et jtaraliefe^^Jies^ 
triangles ACE , BDF , formes de part et.d'a9lm\ 
enjoignaRX Ies extremites de ces droites, HB^arW 
e^aux, et iturs- plar^' iseront paralleJ'^s. ■'-• 

B.AB, est egale et^pMiaileJe i C]D,,ia. 

■St un paraUelogramme J done )e^<;<J*«i, 

' , parallele a BD. Par une. raison spMi- 

^. is AE, BF, somt <ega«x etj paralleles, 

, DF; done Ies «i«:K triangles ACE, 



^wUtt«j.-i:) '■■■■ M^....,,o;,;i. ■. , .„. 

.TKI . l/:j - •; .: , •!: . .lui.H : -.1 

= ,l;:) „„„PPffit»OSITIOM,XY. ..:;,. , :,, 

„Ri„„Tj.r.;i.., .^'■"•tM: 

'" pmiirWottei comprises 'etiire'tmis plans ^q- 
mtleteSfSOnicbupees en parties prop'dri/^^ 

Su'ppi^ns qiie j^ ligne Ap rencontre 1esp|w)S[>n-; Ge- 'S'' 
rMleitaMN,PCj')'liS, eA. A , Ei ', 'jB , ^.ijne,^ |4.«?' 
CD fenconfre, les mimes plans en C, F, DjiJe ^s, 
^u'onama'AE;ED;: CF: FD. ,, , , 

TiFez AT) qui rencontre Ic plan PQ en G , et joi- 
gnez j^p,, EG, GF, RD ; les jiit^rseclions EG, BD, 
des [4f4i^ P ^ PQ ) IVS , par 1e plan ADD , sont 

)»inill.el«s * AE:EB: : AG:GD; psreillement les ■ », 

ifl&ersecbon jF,etiiDt parallele5,ona AG:GU:: 

CF:jfi) ; doac, a cause du rapport cominun, AG; 
Gt), do aura AE . EB ; ; CF ; FD. 

PROPOSITION XVI. 

^^MitABCI) uit^uadriiatcre qaeto^nque litiMou.^O^ ^a4 ^f^r^ 
Aaas un mime plan ; «' on coupe let cd/A appoint pr<^or' 
tioitneiMii/iii par rfuwa- droilcs EF , Cn , de soHe qu'on ait 
jffilEB;!S&P:FC, «/BG:GC :: AH:iro;/e dU^ue let droitet 
^^Aiii„»''<to*^^wu eu un poiai M, de tnaaiire qti'.on ' 

Coi)duisez Hiivani AU un jilaii quckpiique kl/KcTi qiu ^c 
passic pat suivaat Gil; pai' les poiuts E, B, C,fi hicnez i-. 
GH1« jiaraDelei Ee, Hi, Cc, ff, qui itscontrenicepiaa' 
enCt 6,c,/. Aeanse JtsraraIItlesB*,CH, Ci'i AiJaiiri' #15^3, 
&»:JHc :: BG: OC ;■: AU:«0 ; dooc* Us triangle* AH», DiW;',' ' . ao.^ 3. 
soni «niljla(ilM. Oa.aiwa ensuire jl<:^*:i:''AB:EV!, iet 8?^'" 




iinponendo , Kei 
-—■"tiixil AHft, 

=:HI>/; done les irianglei AHe, DH/', soiit seroUayp^r^ 
4igtii«! *J«iteJi.efc'qK'aii«i lids .^•ls<ip»reHdl«p.,flp, ^^^ J/^ 

*i6i(*»nfiF» c^,i,f(pn<„f'r^|'.?»,TjCi,|rfoffMrt/f( ""W^f -5f.;f!? 

El • *(\\<S ''^'f^ construciion JeiiibiaBle, rapportje da cAld As, 

■"1,™ ';"■■'"■'•" ■ ••■"■«" ■'.-i ... .:-i.,.|/. 

)i£i.y,„!.| „ <; .: ,.i,io,4„'B... ;, . .,,,„; LJIi 

-»I" ■■■ . •- ■...„.„„„ 

. ib3 ■' ''V angle compris entre les deux plan^^h^^ 
'JXJi.^,'peutetre mesur6 , ciinformimVTk 'a>la<dl&- 
yinitioH, par rangle '^k'Pque'fi>hi'<kk\t4.eiUs 
' ies 3^ux perpendiculaires A^ ^AV-;hieiVii^'datis 
tiiacun.cte ces plans a VinterseCii&fi'H^f^hiMe 

I^w ^(^nfontrer la legitiniit^ qe cette mesure,ll 
uj^ytju^j^ty^ji" quelle est cpnstante^ 6u qu'cHesei^t 
■iJ^MQ^ft fifi mielque point Je rintersecuon-cofflmtii^e 



\,»9' li'faut pronVer que isi'i'aii^ MSr ttedx msnH 

)'!lpji*«tlrri)i iiio! ,Mi(i ,,i/ , i. ,,,,:, ,.,i ■, i,)[. ■,\(In.— 
*" 'DaiiSJ te'i^aro "FAiN . Jeotav t» idtt _-«ei|t5e.,,^. , irt 4'ffl> 

plank 1E»M; BMC,' ^tint p^i'^ifttKfilHllaiiy i'Witf wAalB 

j^9,,Jip;, 'l,*''*^ f^®"'^* P,^P? paV'un tfoiVfelie'AMW, 
geront parallele^'^j o^^c.l'y^g^ JME s^a'^at a K4d* * '' 

Appelons poiir un monieat com'Yangie forme par 
deux plana M^.MNi cela pose , sirangle DA.Petait 
egiil a DAN, il est clair que le coin DAMP serait 
egal au coin DAMN j c?c Ja .base PAD se placerait 
exactenient sur son egale DAN, la hauteur AM se- 
jifi/il&4o'ii^\lA aidme^ dony: les deux , coins. CG|nci- (^^^ . 
dWdfen* 'JtW.vee r»utre. Ou voit de 
?J5ftiglftI?lAI^,^t,co,pte(Ui,tin certain i 

port en noinbre entier a un rapport 
jconclti^ipii <t;st leffitime, et a ete demo 
.jjprconst&nce lout-a-fait semblable * j i3<)ii£ i^H que , 
■ ^^'^^^'^l^' Yappoi;'t de I'angle DAP U langle PAW ,"WSin 
DAMP sera dans ce in^me rapport avee lecbiil'PAMN; 
e,N'AP peut tStre pns poilr'Wffifesiiivi'au 
L ou de. Tangle aue font entre eiik'les aeux 

,mii. :,,„;;;/V" ";■";"' 

I en est des angles lorines par dein ptSo» 

pngles formes pa^ lieux c^oites. AiiiisiiTifi's- 

_^(^/d|ux plans se tmvciaent ipiiluelle'ni^qt.'l^s' arises 

,^pR(^es ail sommet^sont egauxj et t^ arigles'a_flJJf((ents 

^ryalei^t enseipble i^eux angles 'Sjoitsj'dfiiif;'^ urt bian '^'' 

est perpendiculaire a tin aiitre," ceiiiljc'i'feit'Hwlieimi- 

cu]aire au premier. PareiUement nans la'rc'^cOnlS^^es 



.V5b g^omei'rib. 

«tt)e^Si^^^^Ut^'e^Ue^ settles propi^^te^ qu^i£[an6'l{L 

' ' ' ' 

' ''r' y*' ■ •' Its' r^^A "• * 'V^ K'^I ^•'*' -•»">'> 

fig. '94. K' , /ffl^ n^nf:^V^pfnntperj;endicnlait^au^^^ 
,; » MN, touf »/<2rt APB, conduit suivctat KP, sera 

perpendiculaire au plan MN. 

Soit BC Thit^rseCtidtj d«s pl)ati& A3, MN; si dans 

le plan MN on mene DE perpemUculaire a BP, k Figne 

AP, etant perpendicultiire au plan MN, sera perpcn- 

w.. „a diculaire a cbacune des ^ux drpiles BG , DE : ihais 

. Tangle APD, forme par les deux perpendicuian^es PA, 

Pt), aTintersection commune BP, mesure l^anplc des 

deuxplkns AB, MN; done, puisque cet angle fe.^cdrmt, 

• def. 5. 1^^ deux plans sont perpei^diculaire^ ehtt*d etix^: ' 

ScAofe. lorsque trois droUes, t^Ues qu^ AI*y BP, 
i^ ' '*OT , sent perpendiculaires entre ellfeS^cli&'cili^iS'di'fcfes 
droites est perpendiculaire au plan dt^s'^flfeiii' {(uft^s 
et les ti'ois plans sont perpendiculaires cntre eux. 

PROPOSITION XIX. 



TAEOaEJUS. 



fig 194. Slleplan Aft est perpendicuialre ^iuplan^MH, 

et que dans ie plan AB &n mene la ligne PA^^cr- 

^p^ndiGUi€$ire d lUni^rsection commune PC ^y4 Jw 

'qub'¥Ksem pe^pefidicuiaire au plan MN. ' 

" :'Cirsi dani^'te^plkn'MW on^inene PD perpendicii- 

cli?i4*1?6^ faAgle AiPD sfcW di^lt, puisque les f>kis 

''Siif >^ltei^et^icitlaJlti ^^tre ' eat ^ ■ doric k' ligne AP 

•^a'^pfa^^dfct<raiWttitx'\iettjt tfroite^PB', PDj done 

^tWh toif '^apl^<licttlail% a -tefti-i pka MNk: ' 






je dis que cette perpendlculaire sera dans le plaj§ ^y 
car, si ellq p-jjr^ejait |)aa,| qnj poqr^t Tf^^^i* dans le 
plan AB une perpendjculaire AP a Tintersection com- 
mune BP, laquelle seiralt'en tht&me temps perpendl- 
culaire au plan MJf : done au mSme point P il y 
aurait deux perpendicvilaires au plan mrf ; ce qui est »h" -* 
unpdssiule . *• 

:--^^ •• .^^^P'R'OF6'S^'ITIO^N--*X-KJ >^i ^-'^ 

'^['\^}Si aeux plans AB , AD , sont perpendiculixires fig. 194* 
a lip trqisieme MIX , leur intersection commui}e 
f^JerjU perpendlculaire a ce troisieme plari. 

Car^i,,p?u* le point P on eleve une perpendiculaire 
ip:| pljip I^ , ^cette perpendiculaire doit se trouv^r a- 

^]4-j(i(is^^9^,}Q plan AB et dans le plan AD *" j. dope, f^e ♦cor. 19. 

^.9fijii,leijY4f5tex3ectiQn commune AP. ^ , 



PROPOSITION XXI. 



TQEOnSME. 



' '-,*i 



Si un angle solide estformd par trois angles fig- ^^* 

/pMnsi^^SGtwne de deux queltonque^ d§ ces 

ymghi S£^ pius grande que le troisieme. ,. . 

'o\\ U^nfytiileu ademonti^c^ la proportion, qua Jpi«que 

Tangle' ji?3n^qvf)i^^oaip^?e k\^.kS^^^ il^ AJiou^v?^- 

iUr«fc.^pl^g<ami qpe.fihiiqi!fn„jls,cfl[u^-j9^ gpi^^4onc 

.i'^wgte. so)Mfi,3 fowe W^. XK^t §fxg}fi» pl?ip% A§,8, 
•lASC.BSCs ^^^Wppft^ns ^pir? Vi^flgl^ A|$,p S94^1e> jj)il,gs 
;,grwAd«s ti|0i&i,je,dis (pip/i ^wra^ ASK <iAp,tf nj7^IS§4^. 
Dans le pl4i^.A&B.f«*^ r^gi^SSJ^t^^^^y^^^^ 



Les deux cdtes'BsVsiylri«n«'^s;>iias?lJtf!*<BS'«» 

sc/i^i^Ji}k*C';'ih&kVikhi Ate^Adl lieir«ftrti! dJlgtf'kS^e 

*io, t. est plus petit que le troisieme AC; done* Tangle ASD 
<ASC. AjotUAtMDJ^^^djV^^Uitt^ASD-hBSD 

ou ASB<ASC+BSC^KS,.oaHi 

'^AJoWn^ d&s^angks plaths ' qiii ^t^'Hi^C&n'^^ 
angle solide, est touj'ouri ■ rn&in'df'e ^t^^liifl^^ 
ahekydhfits: . : ' -■ >--/•' ji^-iml uo'c 

fig.V^ G6Ape« rangle solide S pdr ^n PaA ifudyoftt]^ f 
AlifcDB; tftih point O pri« datt«vce^tpfaifcn«i0fleayI8A 
tous les angles les lignes OA, OBfCfiC^DBCJiOfii^Iq cy>b 

i:iif's5ltt»i^'cl6s angles des trfar!^tes'A8B/BtS|Q/ier(Gfe, 

f(n*iil^''d^if<§^r du sommet S, je(fkiVa^a«Wr^(imi»)«*i[ 

deS^-aMflei] dtiW pareil fiombre de tHarA]rflefi^»!AOBij*if 

BeH!}»,^^er}"foiinies'ant6ur du soniihef O.NM«i!S^:*filir'> 

p6!hfl B»4e^ ' toiglefl ABO , OBC , pHs '^ttld^bl9;;^ t^^ 

rjfSg%*'ABG't*hi^'J)etit que k somme 'de^ tftfg^ddfAJSHi'fl 

•ai. SBC*; de ineme'iii p<iiin G on a 'BCO^OQS<Aja 

BG!*^^»SCEJ ;'fet ^ilsi k'xasm Its angler dd-ftolygoife 

.d * ABGDEM^iuil fi§ 4a «j[J^' 'dans les triapngfek' dimt^W i' 

sc^ni^t^jfet eif< 0-, l&Uoiftttie'dlei'anglds^a fe/^Ka^e ift«»fi 

.1 .^ ^Itts f>^it€F^^u<» ^< VinlAlbe^'dc^ i&ngies 4- la-lBiset^Bam'?? 

let^^te^ldklilid^m liet3otnmet>tesb^ S ^idbnc s\ ^v oomlT 

. peiivfib^f^ ;^ la r iionqmi^' dbs aji ^s)%>^me5 ' diitout^ ikiJ | > 

pdAilit O'JSIf^u$^]0i^Aiidbi>q|ie da sbt^ki^Hiies iti^l^s ait«<?< 1 

toUb' ^<*^omt iSJStaU.^ MMiiiiw<did^4n^les> autour-M 



somme des angles plans qui fornient l'a^l?}90lj^J^: 
es'c;a'*«lrexaHe,aMal;rf,^gl«?^rpiks,„„, ^r.i,., .h1 

*>W{e%#jt',pwflraJlt ,^ 4>n$j|f(fu^^r,g|ijdico))^,j<; 

5i ^e2/a; angies soud^f sont mm^^& de trois 
angles plans igaux %kdk^m-A ehacun^ les plans 
d9,^\kkq»^ J!«^t les wiglesigaux serpnt jig^lf- 

Soit Tangle ASC=DTF, Tangle ASB=DTE:, ei 
ra»gtec>B6Cp=£Xf ^je d» que les deux plani} ASC, \'^\^ 
ASBspftUW>n4i<^tPe.ettK:une inclinaison egsile i^qi^y^/i^ 

des plaae) pore v**TEi'' . . . v 

.Ajiii\trj)^ts,S9/^^vD]Qn.t^, menez BO per^pdicli- 

Iak(^<Ut)j>1^>A6C^4V' point O, oil c^tte^peiip^nftioWT,! 
lajUKT^n^Qrufffj Ip plau^ menez OA, 0P» p^gfipdir,^^ 
culairtfftWiriMjiSCl;. joignez AB| BG;,pr/^nez,f[psnit§f{ 
T^;^^d{4i^^n^'^^ EP. -p«rpendicttlw!B .^Hi?: )fc|fl pj^^ 
Df2?{/d»ilgQinlsR mmez PD, Pf,. pe^pen4i<?ul#i^^ i 
su^BD0TiF5)'6tlfiu joignez'DE , EF. .:. . - .m< ,^, • 

eIi©;|flw^ld^SAiB;i^t rfcctangl© ^JiiA, et 1^ lyia|igk),f 
TBEneit) l^i1:>. «f rpuiaque. I'a^Jl^ ASP :??:.D'J}Ef]qn),a /. • ^^ 
aim jSa!lA4i=5TEQ4: D'«<Ulewi$. SB^iJE; r/iowarl^^c 
trkn^e&AB^fest ognl^oii Msl^^iSOW ^\^9^^.^^^if 5, i. 

qud> SGit5»TF.^feboBG>iniEF.> (Ilek(ii(wwe ,/.ie, ifi^fiMmq 
latere Si^OC- )^t)r(eg(dr ali •quadhHatieie . >TpPF Q^ f?4Mhq 
posoQ t. * I'angld r AS£t siMh iwm ^al i QTF , . a .qaiM^ ikb? 



reillfweoli OCsHr PF.idow J^^.pQint»^0>tUInbg*tl^tor 
le point P, et on aura j^O=:DP. Maiis |es iriaijMes 
AOB, Dt*E, sont rectangles en b'et *P^j^jj^men\xse 
1b ziiDE , et ' Ho'ctt^ ' AOi=:DP i tlon^'^Uf HrlRfi|I^ 
* 18, '. spnt egaux '* J done rangle OAtJ^l^fifE: l^aS|le^Mfe 
est rincliiiaisoh des deiix ' plans' AS Bi'ASC'; 'Tingle 




jbendarit ^1 

^giy^Tfi^ciyiigld DAB n'est propfementTinclinaisonde's 
^(S^ux'plans ^SB, ASC, que lorsqtie lii 'pe^pe*ndi- 
vybldife BO tombe , par rapport 4 SA , <Ilii 'Hitm^ 
odti' que SC ; si elle tombait de Tautte c6tif ;"{fltA 
Tangle des deux plans serait obtus, et, jbint a Vitf- 
gte A du triangle OAB, il ferait deux angles* droits. 
Mais dans le m^me cas Tangle des deux^'plaii's tPDE, 
TDF, serait pareillenxent obtus, et, joitit St'Tangte 
D du triangle DPE , il ferait deuxl' ah^les^ llt'diti j 
dbridi comme Tangle A serait toujotin^ ^gal i'D^'dh 
conclurait de nidme que Tinclinaison de's deiA'plAhk 
ASB,' ASC, est dgale a celle des deux pldhs 'Tt)E , 

^'Sctioltel Si deux angles solides sbnt compcises & 
trof^ angles plans ^gaux chacun a i^haciih, et ^u^en 
nienie temps les angles egaux ou homologues'soient 
^iispQses^ de la mime, fnamcre ^jx$.'\m ^€tdifi amgles 
fii^iAeB> i ' alors ces •angles ' >erx)nt eg^ux , e| pb^^ , ilv nti 
mir i<^Ulrp iUf! i^noid^foatl £ne0«t on a ilej^ V|i 
cqft^ijle'^qufiulffllatir6i;§Ad3iu peut- /^tre pLsce $mr aixn 
;i%&l/f{>BFr|aih$i<e^>Mp^ain &A sur TD«, SC tookbe 
isurj^TF^)frt»l«)foifttr'Q!'5up, te -point P, JVlai^^iirca^se 
a^:Heg9tli^ ^tsi&f tmfi£[)e&.AOBiyipP£«iU poppemiieur 
lviWg^9a)ii)^p){in;iA^Q.;eftt/ef|^ Jkiki^p^pepdieuliiir^ 



PE 4i ^pkm tBF ; de plus ok$ ^itfBiiiS&eiiMie^si^it 
^dif%is6^'dat)s 1^ ihtoie seni; dt^ii^ l6 ^eftitiB ^kA^Vfi 
Mf te pbtht 'Ev iu lign^ SB dur H^E , et tes' <i6Uk ad^es 
'tiid}idis<boXiic(A^ront; enti^reitidnt Vun aved I^auvre;' ' 

tjetie cQuiquience cependant na lieu an en 4up- 
ppsant^que les angl^«,^lans egaux sont disposes as la 
j^hSpfe^^ajiihre.d^^s les cleux angles solides; car si 
les angles, planj^ ^gaux itAient disppsJs dans unvrdre 
ini^ersBj^ ouy c^ qui i^evient au m^me, si les,p.erp^i^ 
diculalres OB.PE, au lieu detre diri^^es. clan;;. l<e 
meme,sen$ par rapport aux plans AS(i» l)T^|,4*»fent 
dirigees e;n sens contrai^es , alors il serajc inip,Q^si);f],e 
de %ire coincide^ les deux angles soUdes .run.avec 
.}'^^]t^e..J,jl n^Qn serait cependant pas nioinj( vrai^ con- 
.fqvffiirxf^nt au th^ore.me , que les plans dans lesquels 
spnt , I^, , angles egaux seraient ^gal^ment inclines 
eptV3>ejix; Je soite.que les deux angles soUdes te.- 
r^^^nl ^9g{]|ux dans toutes leurs parties constituanti^, 
.^x^$ pe^np^oips ppuvoir etre superposes. Cette ^urte 
.d^4g^lUe>iqjW ^^'^^ P^9 absolue ou de superposition^) 
.jp(^er\\e^'^lV^ distinguee par une denomination parti- 
jcuH^r^;,??ouf lappellerons egalite par symitri^ ^ 

Jj^^ }f^ deuit angles solides dont il sagit^ qui. spoilt 
formes par trois angles plans egaux chacun a chacui^; 
.fijais jiisposds dans un ordre inverse, s'appelle^ont 
angles eggfp^ paf; sjmetrie, ou simplement anglp^ 
Sjpf^trigi^es. ^ ,. . ... -MM.^ 

'' ''Jhti- tndide remarqoe s'applique aitx angles «olidt6 
foi^^dtt plus de trois angles: pirns >: ahisi ua iiiigte 
iseliite 'forme par les angtes pliHi9iAvI>> G^ D^ E^iet 
im sai«re angle soiide form^ ^a^ks' iiitoips\>4n^fB 
duns'uit ordne intense A, £^ iD, G^;Bv pdtdtMtlAple 
t^s q«e 4e» plans' 'dans ksqueUsbnt }ei angles fgau& 
si^knc ^l^menriiiullnSs'^ntfaciui; Gb» <ieiiz;ii]iglis 
•s^^iidas, q«ii «seraiizft )d|^am •ane^'^eik supec^i^sMK^ 



^t- ' V 3 B V I i 



f&t possible, a&^^Y^c^,,qn^fi^_i,so^/i fgfl^Sif^ 
jou, ja troisieinerdiniension peat^ etre prise dans afetul 

DO/.>i<.r.).!M(,...!- -.1 ... l^j, ;; .(, •• ,,. ,(,!, 5,, ;;, 
lams.i., 1 . ■..,.,.,1 , .:,; , ,„ -i, ,., , „. ,_„,,, j ., j^^ 

p,,. Mtjantjionnds lestrotis angles pldns^buijoVniint 
^n ^ngfe .sou(iey trouper paf une, fpnsimcaon 
'plane tangle que deux de ges, pl^li^ifof^.ff^^ 

fig* »98« Soit S Tangle solide pr^pdse , ^^n^^^iielr^bp^fsoai** 
'naS^'les trois angles plans ASB^iiSC^,' JPSGf{)^P^. lie- 
*fe^ft»d^ Fang le que font entre tux\dei^.c4^x<(^f>MBfty 
"W^le^ctople les plans ASbyASC. >oi.' -i ^ufu[not 
-f^^Ma^jiGtisquon ait fait la mj§Aiye» con^^Uc^if^K^^^ 
nfelfi*^te th^oidnie precedent , Tangle 043 fm4Ui Vm^^ 
requis. II s'agit 4onc de trouver le^mei|ie>^ng}9(|>^ 
?.UJW otWWM?lif tian plane pu tracee sm'^ujp^plaii^^^^^^^ 
sio J^ow-Q^. faite^.?^r \in pLan ^ a^gles^^^'^^^^^ 



■tff 



,fi^^Si nerpendjiCuTaires siir' SA et SC\ lesquelles se 
]i€«M2piitrer<Qnt en un point O. Dii boint A commc? ceil- 



UPy qui rencontre la circonierence en ^, joignez A^, 



LtTRB T. iS; 

et Tangle EAi sera Tin clii:iaik»i''cherchee des d^i 
ett-'^rfWe'AO»"a* 

X j done te^an^ln 
IS. Mal3'rKy()ok'^ 
jBjdbric^cfeJtriaHi 
ire plane eii isil^ 

hh dans la figitre plane est ^gale a AB' dan's la'^^H 
solide. On ^e^n^Wrerif die' ifa3ni:e<:)t^t.>S0!est ^gal de 
part et d'autre ; d'on il suit que le quadrilatere SAOG 
rst egal dans I'une et dans 1 'autre figure , et qu'ainsi 



^^egiSi'dtnlcils sont ^gaTix,et I'ahgle EA&, trarn^ 
par la construction plane, est ^gal k rinclinaison-'des 
deux platut^BtiSAC, dans Tangle solide. . ,: 
')'L«¥»(]u^1b ^6'hiV O torobe cntre A et B'.dflna j^ 
<flgtt^'f1ti»i','ifRiiglc<EAA deriet^t obtus, ei mes^Ke 
toujours la vraie iniitittaisnTi des plans .:ft«$t"pigtw' 
'Mfa''qtte't^| ft'd^igne par EA^, et.noD..p«4r.,0l^^, 
^I'iweliin^isUfl'U'eMand^, afin que la -mSmdrsOUitifHi 
"Mhvl0il()s'ft<tou3tle9 cas sana exception, ■ || ,n,, .,-, 
.5c/io^/^. On" petit demander si, en 'preit»»t trois 
'an|l* plains'^ Wlbrtt^, on ^ourra former avec iCes A«is 
'jjpf^es'plans'un ansle 'solidfe. ' ■ '' ■ '■ " ;t 

iboi ' 



nes spit pTu 
jang^ie soil' 

ASG, le tn 
Ta|reB''Cai 



cl^ur, 4e jlfa^gU^ijOS^" $oni: cejlles qiti fontveibontirda. 
F^44i«;Tlt^r^ B'C «u^ fM>inU< £' /et £» il% ofa poh»tsi 
abaissez sur GS les perpendiculaires B'l, EK/qoi^ 
reppQ^Cff nc .^O J et K h.dyreonfi^eUceidparil^rAlu 
raypD SB% el; le^ Ui^iii^ de Ungle aSD'>«e]lQiiiiG&F( 



' I"' 



,.^a]$ 4tLii9 1^ tridDglie ivoseelt B'SI^ k Ugne €fif rii^ 
^g^:^ .^suQt p^rpfindteulaire t la .biise B'l, «i'a JsaiH 
g^.GSfp^C^SB'r^H^ASG^ASB'. £t dtoB fe triangle 
ifPft^^l«» ^K ) U ligne SG «iBnt perp^ndiculaird i 
£]!^^;p^ a Tangle GS&^zitzOSE. Datlieurs/a caAmedei 
triangles egaux AS£, ASB', Tan^e ASEexssAfiB^t 
done /:££ ou CS&ss ASG^ ASR'. ^ ' 

. II resulte de U que le probldme «era pottible IpiMJl: 
kfi ibis que le tmsienaA angle CSB" aera plasfietil' 
que la soinme des deux autres ASC, ASD\ et'^ilt^ 
grand que leur difference : condition qui satroorde 
avec \e thcareme xxi ; car, en Ter^ de ee tfaikw^e-, 
il faut quon alt GSB"< ASC+ASB'; iL iu^oMa^ 
iin'4;>n s^it ASG < CSB"4- ASB\ ou CSBt > ASCm-- 



II »,*■ 



PftOPOSITIOl^ XXV. 

,1 » .^ .. 



t '. 



« * # I •'' » * I • • 

Juani donnes deux des trois angles plans , 
quijprment un angle solide^ avec \l^mgl^ qu^ 
tears plans font entre euxy trouyer le tmisi^mei 

oflglfi pl^n* "i 1' • 

fig. 198. gpi^pt ASO^ASB'., W^ deux angles phn3 dooooiesV 
et^pp^onsipoijup un rownent que CSB" soitletroi*- 
sie||>9 a^]e q^e Vpn .che^che , alors, en Sadsan^t la 
iQ^f^ poti>sl;rucUQn, que dans le tproblieme precedenty 
r^l^g}{^ ({pippris: eaptre 1^ plans jdes deux ^emiere^ 
S9i;^il; jE^^. Or, de ,mme qu'qn /dotetrmine Wii^\ 



BKDijeq ade fEK^\ toe ijiiii'i^oiid^a '1^ '^'t^lilSiiitf^^a 

ijIAyanti^is>SB'^iwtent^; jAalsscit strr^A la'^^ 
fltfflicMteire ' IWI^iriie BTE,' 'faiAi^ fatigle EAft^^gaT i' 
Tangle des deux plans donnes; du point b oil 16* cilt^' 
A^'OfeiiidantRft' fai drc^nflrende didcrfe^'di <*fcritife'A^et 
dai]fai)rQai; AST^-abnissetK sup A£ lti« )>er^endictil&i^ 
AO.|.fit du^ointtOiifbaisk^z sur SO la p^fpendH^fei'i^e- 
iodefififiMt OGB% que vous termiQerea en^'B"^ dfefAaA* 
w6re qn« SB">=3:SB'; langld CSft^ -sera le trolSieme 
aai|Jfe. plan 'demand©. • ' • ^ * ''.'^' • 

Car si on forme un;aingle 'solide dfvec 1^ tt^is ahi*' 
gleftrplarifif fi'.SA, ASG, G&B", TincUnaisoh des plans 
ciutr'fifn'l:l^s ai^lefi donnes ASB', ASG , sera egale I 
lariglecdoilh^ EAi&. * 

^^iSckpUea SLun angle solide est quadruple y ou form(^ ^^ ^^ 
par..iqiflatare angtes plans ASB, BSC, CSD , DSA, la 
caaaoaisBadcedp^c^^ angles ne suftit pas pour deter- 
miner: lesjineliilaiisons mutuelles de leurs plans; car 
ayec les memes angles plans on pourrait former tin^ 
infinite d angJ^s SQlides. Mais si on ajouto ime condi- 
tion , par exemple , si on domie Finclinaison des deux 
plans ASB , BSC, alors Tangle solide est entierement 
determine, et on pourra trouver rincUnaison de 
deiiSt de'ses' plans quelconques. En effet, imagiper 
un^gle^6Tiae triple forme par les angles plans ASB^ 
I®6,*^AS0; les'deUK premiers angles sorit ddnhes^ 
ainsi que I'inclinaison de leurs plans; on pourrii done' 
d^vaaoet\y paa:* le probl^me qrfotn* Vient de resbttflre, ^^^' '^^ 
le. troidieme angle ASGj MSrwUitte',' fet^qn idOrtii'd^i''* 
Tangle fiolide triple form^ 'pai* Ic^^khglfeb plidi^' ASO,^' 
ASDv DSG ,j oca trois'|^n^te*'SOM^Dttnu^5^kftil^T«i*fW/ 
selide est (^afti^remtol^'d<>tj^rmln& 'Mliis'Tit^gl^ M)Klcl6^ 
qulE|dvuple 'est &nlie4*pati«la •♦ihltliort' de^ deiik'irf^ii^'^ 



l6o GEOMKTRIB. 

j^M^ tfipt6i cl6ht on vient de parler ; donc^'puisque 
ces angles partiels sont connus et determine, Tangle 
total sera pareUlei|i^t co|if ^i ^ Pefermine. 

L'angle des deux plans ASD, DSC, se trouTerait 
immediatement par leonoyen du second angle solide 
partiel. Quant a Tangle des deux plans BSG, CSD, il 
faudrait dans un kH^le ^s6liife '^af(i^l V;hercher Tangle 
compris entre les deux plans ASG , DSC , et dans 
Tautre Tangle compris entre les deux plans ASG , 
BSG ; la sorame de ces deux angles serait Tangle com- 
pris entre les plans BSG, DSG. , ( ) ^ 
' O^'^hititera de la meme maniere^^iie, pour d^ 
tenAinei' un' angle' solide quintuple, il faut connaitre. 
6iMelei cinq ^rt| 
des inclinaisons 
drait trois dans 
suite. 




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obilos s!§«B liuoD^?. jIj ,n*i/i>ffl '»: »i»l iirMUiii.ih^nmu 
li ,a^.L' r'>ci^ gfifcia xiJoh «i.ohoigftbl i: Ji.ciJ/ .. m -i 

^fifib J^ , D'^^Q ,i3<HA ?Mbii| XM:»i> ? -i **i a» *-» -,,;.• 

"i'i*') M.j^j^n'l Jjiiij^ o)^t;«» 'if >!? *? V. ♦ 1> .>.i: >ut''. i>. , , >r.ll 

0.^»fU . yr.ll f U.I'; .1 j'livt <*,i4vj 

cLilier teiraedre Fe solitle '^ui a quatre laces ^ }iexq€^r^ 
celui qui ent a six; octaedre celui qui en a huit; </(^ 
dicaedre celui qui en a douze ; icosaedre celui qui en 
a vingt, etc. 

Le tetraedre est le plus simple des polyedres ; car 
il faut au nioius trois plans pour former un angle so- 
lide, et ces trois plans laissent un vide qui , pour etre 
ferme, exige au moins un quatrieme plan. 

II. L^intersection commune de deux faces adjacentes 
d'un polyedre s'appelle cote ou arete Aw poly ed re. 

III. On appelle /;o/;^^rfrtf regidier celui donl toutes 
les faces sont des polygenes reguliers egaux, et dont - 
tous les angles solides sont egaux entre eux. Ces po<^ 
lyedres sont au nombre de cincj. Vojez Vappendice 
aux liif^es VI et VII. 

IV. Leprisme est un solide compris sous plusieurs 
plans parallelogrammes, termines de part et d autre 
par deux plans polygenes egaux et par^Ueles. 

Pour construire ce solide , soit ABCDE un poly* fig. loo. 
gone quelconque; si dans un plan parallele a ABC, 
on raene les lignes FG, GH, HI, etc. ,egales et pa- 
ralleles aux cdtes AB, BC, CD, etc., ce qui forraera 

n 



i * 

162 (i£0]lt£TllIE. 

)ff jfojWoii^ a ABCDE; si enatiihJ on 

jomt a iin plan a* Tautre I6s sommets de« attgfl^i'lW- 
mologues par lea droites A^ , BG J (JH , etfc. i l(8S fafd^s 
ABGF, BCHG, etc., serontdes paralleJogt^lirfnesV^^t 
le solide ainsi forriie ABCDEFGHrK ^hi till Ji^6me• 

V. tes polygenes egaux et parJliaeir"A!BGD]^, 
FGHIK, s'appeilent les bases du pr*isrne';^k!ii'it^Wis 
plans parallelogramnies pris enieriibteicbrcslilAWt la 
surface latiraU oii con^fexe dti priyrne: L^i * dr6ites 
egales AF , BG ,» CH , etc. , s'appelient les cotes du 
prisme. 

Vr. La hauteur d*un prisme est la distance de S6s 
deux bases \ ou la perpendicuhire abaisscie d'un point 
de )a base superieure siir le plan de la base infe- 
rieure. . . ^ 

VII. Un prisme est droit lorsque les cdted-AF, 
BG, etc., sont perpendiculaires aux plans des'base^: 
alors chacun d*eux est egal a la hauteur du prifsme. 
Dana tout autre cas le prisme est oblique ^ et la' hau- 
teur est plus petite que le cote. 

VIII. Un prisme est triangulaire , qnadrangk'^ 
. laircy pentagonal^ fiexagonal^ etc. , selon (juelu ba^e 

est un triangle, un quadrilatere, un peniagoUc^ nn 
hexagone, etc. 
fig. «o(5. IX. Le prisme qui a pour base un parallelogranime , 
a tbiites ses faces parallelogrammiques ; \\ s'appeile 
' paratlelipipede. 

Le parallel tpipede est rectangle lorsque' toutes sts 
faces sont des rectangles. 

X. Parmi les parallelipipedes rectangles 'On 'dis- 
tingue le cube ou liexaedre regulier compris sous six 
quarres egaux* 
£fe 'ijfc nf^' ^? pjrrqmide est te solide forme lorsque phi- 
sie\ii^$ plans triangulrares partent d'urj menie point S, 
et SQn t terniines aux VlitTerents c6tes d'un meme plan 
polygonal ABCDJE. 



''t-i'^ r^ Ti 



•i-i 



• I^.pplyg?"^ ABCDE sV^ppel^i^^^ 4eja py^^^ 
xni(le« le point Sen fest le sommef. et rensdmhfi Ues 
trji,2ing|ps 4fSB^|lV>C, €lCy, forme la surface conyexe 

^^Jff^m^A^^ h pyramidc. ,.';,.' ■ 

^ J.X4L }yft /^i{te^fi i^e, lajpyramide est la perpenuicu- 

fa|j^e)^|l^is^^€;.dLi son^met sur le plan de la bake , pro- 

iQnge A>1 ej^t.pqces-SJ^ire- * . ^ 

}X4JL{f, jU^. pyrapiide eat triungulqirey ^uadrangU" 
"h^^^ e|q.| selon que la base est qn triangle, im quA- 
.<irilaleKe,qtQ^ . . |: . . . ^. 

XIV. line pyramlde est reguliere^ lorsque la ba$e 

est urk polygene r^guUer, et qu'en ni^pie temps ta 

pprpendiculAire ahais^i^^ du somn^et s|if le plan de la 
-I^se pasae par le centj^^p de cette base : cette ligne 

sappeile alors Yaxe deMa y)yramide. 
; i%y^spiag<fnale d'uij polyedre est la droitc qui joint 

l^i^n^cts do deux angles solides non adjacents. 
,., ,,Xyi. . Jappellerai pol/edres spnctriqiies deux 
.•ptQ)y^4re$ qui, ayant une base commun6| spnt coxis^ 

truils semblablement, Tun au-dessus du plan de cette 
.^^e^^.Vs^l^trc aur^essouSf avec cette conditiqn que les 
,sati|||6t^ dea angles solidos homologues soient situas 
.i^ ega)^6 distances du plan de la base, sur une m^me 

droite perpendiculaire a ce plan. 

...Pa^* eii^efQple^ si la drqite ST est perpendicjalaire ,fig. aoa. 
. au plap ABG<, et quau point O, oil elle rencontre ce* 
plan , elle soit divisee en deux parties (5ga!es, les deux 
«.pyrji^j^s,SA£G, TADG^qui ont la base coniinunb 
ABC, seront deux polyedres symetriques. 

, .IS.yiI*. Peux pyramides triangulaires sont seinbla^ 
^iUi, lp^(;pCtlUs ont deux faces seinblables chacune 
a chacune, semblablement placees et egalement jncli* 
nees entre.elles. 

.. Ainsi, en supposant l^s angles ABCrrDEF, BAG ngt ^3. 
;:;=EDF,ABS = DET,BAS='Ebf, si en oittrelV 
clinaison des plans ABS, ABG, est egalc k celle de 

11. 



t64 G.SOJ^IEXniE. 

\mf9 :ha<wlogues. DTE^, DEF , les pyramide;;^ ^A?tti 
TD^Fy.^roj^Memhlables. ^ ,(/ i 

XVUI. Ayant forme un triaogl^ aveclj^^ 30i^ip;)c;tf 
de trpis angles pris sur uoe meme f^ice^o^ h^^.^iHn 
polyedre^ qb peut imaginer. que le^^nuQe^ .4^^^]4lf** 
(events angles solides du polyedre, situje&Jl;i9r^,,4^ 
plan de cette base ^ soient ceux dautant depyi:afni4^ 
triangulaires qui pnt pour basSe coxnn)un^ le ^rfapgl^^ 
d^igne^ et cliacune de.ces pyraoiides det^rmine^'a la 
po&itiLon dfii phaque ^ngle solide du polyedre par ^apT 
port a la base» Cela pose : 
1 uy^ i^PeuK pyljidres sont semblables. lorsquayant des 
ba^es sQinblables, les sommets des angles solides bo;« 
uiologues, liors de ces bases, sont determines. pai:,^ 
pyraraides triangiUaires semlJlables chacune a pha<^n(^ 
XIX- J'appellerai sommets d'un polyedfe les^.poi^ijl; 
situ<Ss aux sommets de ses differents angles soUdl^s^ ,.,^ 

A". B, Tous les poly^dres que noua conAid^fotis sont <fbs pMyf<fr^ 
\t imglca sailUiits ou polyedres convexes. JC^qvy app^ons. fiinsi • pfu 
dout la surface ne peat ^tre rencoutree par uoe ligote drpite, ep j^as 
de deux point*. Dans ces sortes de pulycdres le pUu prolouge d^'une 
face ne peut couper le solide; 11 est done im^asM&I<e cju^ ltf'l>dljem 
•oU AH i>artie au-deasus du plan d^uue face, cb x^rtiei an-fd^sspvtf.^iH 
est tout entler d'un mC'me c6tc de ce i)lan. 

PROPOSITION PREMiJ^llE, .! 



TnioaEHS. 



?f 



Deux polyedres ne peuvent a\*oir les viemes 
sommets et en nt4nie nombre sans QOincicler I'un 
(wecV autre. ' . 

^^^ifiit^ ^V^)po50tts Ttitt des polyidrcs deja eoixstntit 
si) i«i\ Yelii; en construire un autre^tjui ait les memos 
sommets ct en m^me nombi^^iliuudcvi que. les plans 
'^ '".- ^.^l^JKJf fle passeni,pas? tou^pai?! leis ^niS^wos poiiits 



tjm ^^ns le premier , s^tis' qnbi^ Ji^' tif^ ^itfa-A-dfettft 
pas Tun de I'autre : mais albrs il^st'clirf'r'que k|lfifl- 
qifyi-tiils dfes Tiouveaiix plans couper^iteni'le^^i-^iAier 
^tii^eaW^ SPyAttrait des sommets au-d^ansde ceg 
plkfesTj^fefde^'sdnfmetsau-dessous , ce qui trepeat con^ 
Vinit-^'nnf pblyedre coiivexe : done, si denx polyedres 
b'rit^'lfes'nu^es sommefls et en tneme nombre, ih 
abitferit riecfessnirement coincider Tun avec Fimtre. ' 
*' Sdhorie.-VAsitit donn^& dfe position les point* A, B, 
G, K, etc., qui doivent servir de sommets a un po»- 
lyedre, il est facile de decrire ItiL polyedre. 

Choisisse^ dabord trois* points voisins D, E, tl, ^** ^^* 
lels que le plan DEH passe, s*il y a lieu, par de ndu- 
Veaux points K, C, mais laisse tous les autres dun 
riliSftife c6te, tous au-dessns du plan ou tons au- * 

Qes'smis; le plan DEH ou DEHKC, ainsi determine, 
sera Uhe face du solide. Suivant un de ses cotes EH , 
ppiiduisez un plan que vous ferez tourner jusqu'a ce 
qivilf^n centre un nouveau sominetF, ou plusieurs 
»\-la.-f6is F, I : vous aurez une seconde face qui sera 
j^ji)[{.pil FEHL Continuez ainsi en fa isant. passer des 
^lans'par leg" cotes tronves jnsqu'a ce que le solide 
soit termino de toutes parts : ce solide sera le polyedre 
demande , car il n y en a pas deux qui puissent avoir 
les memes sommets, 

PROPOSITION II. 

"^jbans deux polyedres sjmetriques les faces m 

homologues sont egales chacune a chacune ^ ei 
lli^cUna f son dedeMX faces ad/acentes^ dftn^^un 
f^ fie^ soiides ^ estegale a Vinclinaisondesfase^k 
haoiologucs dun^ I'oMire^ - .ihucv. 

j'S^it ABODE Ha^ l>^«e commune aux deux polytSdreflj ^s* **^** 



sOMii^ |I^ ct ^ les sommet^ tie <^cux 'ang1c!("ibli(Ira- 

.....Wn^.'.iIJ'.'U'lV.'n .t^i »:^t;,i.l-A. ' ?il''^i' !\l"^lni Lt^'I 



quel^fiqties fie lun ties pbljeilres^ M''et'N les aoit/- 
nitits {ipiiiologu'.^s de Paulre polyedre; ii raudia.Siii-i 
vj(nt I? ilcfiaition, gue !es droites MAr, NW',' iaifentr 



perpepiiiculaires. ati plan APC. utqu'etles^sdieiif di^-'^ 
sees en Ucus parties ^gnles aux points' fR et rJ"o!l 'fellt'i^ 
rencontrent ce plan. Cela pose, je dls qii^' rA"3ista"fice' 
MN esltigale kU'hi'. ' ' ' ^ " -■'■■■'' 

Car si OR fait tourner le trapeze m M'N'ri a'iitdur 
ije m« jusqua ce que son plan s'iipplique sur l*i plaii 
mJUlNn; a cause ties angU's droits en M et en n, le 
c6te mM' tontbera sur Son egal /«M, et nPJ'sur /iff j 
tloRC les deux trapezes coincidcront , et on aura 
MN — M'N'. 

Soil P an troisieme soraniet Ju poljedi'e siipeneuPJ 
et P' son homologue dans I'aiitre, on aura de niwii^ 
MP=:rM'P' et KP=N'P'; done le tria/ig/e MWP', 
gui joint trot's sorhmets quelamques dii polfeSre sii- 
perieur, est egalau triangle M'lV'P' cim'joint les irhh 
sontmets homologues del' autre polyedrc' ' ' ' ■ ' 
. Sipgi^mi ces triangles on considerc seuTeincnt'celA 

3ui^cujit formes 4 la suifitcc des p'6lyedr'cs','dri ^i'lk 
eja con dure que les surfaces iliis deux'jjot'^dres 
sont^^piiiposees d'lin nieine ooriibie de tiiangles ^aux 
^li;^pun .1 cliacun. , ^ ' ■ '" '"' '■ 

Jcdis niaintenantque si des tiiijngles'sdnt 'datis iih 
inline plan sur une surfai^e el fdrriient'uiiii intlJiit^fade 
.polygene, lea triangles liomologues seyohf dans un 
ni6me plan siif I'aui^e surface el Ibrmeioiii utie'fiice 
polvcone etcale. . 'i >■■!■ ^i '._ 

,c]eux tnarig1^'a(f|A- 
5nie plaii'i ei soient 
>giie!i. On a rangle 
= ^W:Q; ; et ^ on 
B,'mN6' serait egar a 



LIVBS VI. 167 

l^f)i^,(}iiugiie Q est un seiil plan, on a I'angie 

I^i^^y=;:j^^ fQ: done on aura aussi M'N*l^ 

=r,^l']|;^' -+- ^j _. ^.Or, si'les Wis jilans' -M'W'P'f 
¥'S',Ov^i^'^'l; "'.^''I'k"* pas confoiKlus^eli illi' 
s^^,^^$ trois plans formeraicni un angle soli<Ie', ei 
o^..?ij^^it;.y iUgie M'l*f'Q'<M'N'P' + P'R'Q*V '»». s. 
d^oqf i^puisque cette condition n'a pas lieu , les deux 
triaTigles M'N'P', ^'N'Q', sonl Jans un memc plan. " 
. ,11 ^uit de (a que cliaque face, soil tnarigulaire, Sent" 
polygon^, dans nn poljedre, leponJ a uneface^gale 
dans Tautre, et qu'ainsi les deux p6lyeilres stihC c6ih*^ 
pris sous un (iienie nonibre <Ie plans ^gaux , cltacairi k 
chacun. ' ... 

11 reste i pronver que I'inclinaison de (l^iix Tit6i 
adja^entes quelconques dans I'un des polyedres est 
egjile.i iinclinaison des deux faces liofiioltigues danS 

.''fVM«- ... 

■ Soient MPN, NPQ, deux triangles forni<*s SUr 
1 arete commune NP duns les plans des deux faceS 
adjacentes; soient M'l*'N', N'P'Q', leuts hotiiOiO* 
gues; on p|eut concevoir en N un angle .solids fot'in^ 
.par l^a trois. angles plans MNQ, MNP, PNQ, et en 
N'i\iii angle sotide forme par les trois M'^'O", 
M.'N'P','P'N'Q'. Oi-, on a deja prouv^ que ci?4'a^glea 
plans sont egnux chacun h cliactin; done ritit^llnal'spn 
,d^dau!; plans MNP, PNQ, est cj^-ale a c'elle de Mi'tih » 
-)m?l^sl'*?V^VN'P',P']V'Q'''.' ! ."■;■■' .„,s. 

nil ^i19>!<'^.^ ?^^ polyedres synictriqne's't lei laogs 
„^pp(j^^jfii}^j( pliacune a chacune, et les plahs tte ileiu 
faces quelconques adjacentes d\in des solitlcs, ont 
entre,e|Ux la m^mc ini trsdeux 

.faces tioinplogues dc 
. ocAo//e, pn pent j^ : sotufes 

^3'ufi pofy'eilr^ ySgnt tf : shades 

^ t^ Paulre pol^iarcif^ : Tome 



^@$ GXOlfiBfrBIE. 

1^ JJ'.est fermd.pta' le^ plans IM'N'P', P'N'Q% 
Qt^f H'^ etc.- CeuiXnci pa^ssent dIspo5»^$ dans la 
IQl^ip.orclre.quc )es>autres; mais comme Iqpi deUijp 
aD^le^ «oltde& soni dans un&»tuatioii inyersi^ruiiipar 
rapport a Tautre, il sensidt que la- disposition 0*60116 
d<3S. plans qui forment I'angle solide N^ es6 i'iTrv4i*si 
de c^Ue qui a lieu dans Tangle homoiogue N.^D'ailf 
}eur& les iQ«lkiaison& des^plalis €ons«ciiit&^»t<egalef 
dans Tun et dans l^iuCrq {mglescdide; 4oiBo<ceS'8n^ei 
S€>lides SQut symetriqnes Pun de Vnntve. Foyez' te 

. C^tj^Taniarquei prouve qu-un pofyedre qmlconque 
nepeist ^uoirfu'un soul polyedre^ spnitrique. Gar si oA 
construiSait surune autre base nil' vtouveattpQly^drd 
^metrique au polyedre donn^ , le^ angles solMes 
tie 42elui*ci seraient toujours syni^trtques d^^ at^g^ 
flu polyedre donne; done lis seniient dgaiki 'ii!*ceit£. 
^'polyedre aymetrique constmit s?iir-fti ^Ij^tttf^ife 
l)ase. D'aiUeurs les faces homologues seraiimc toujetert^ 
jegales; done ces deux polyedre&'syfni^triquefr!Ct>ns* 
tmii& sur une base ou sur une autre fifo^aicmt l^estfi^)^ 
egales et les angles solides egaux f doxio ife'tJO^^fRad^ 
raient par la superposition , et ne feraient qu'un seul 
et meme polyedre. , . 

PROPOSITION III. 

TH£OR£l[E. 

De^x piismes sont egaux /or^^Vfc ont^ un 
angle solide comprls entre (Toi^planst^^:e^^t&k 

*6 *"*«• "luSbit: U'btise ABdDe 4gate ala base i^^de,'\&^4^ 
MjliH^gramnib AB©Fi'eg«il «u paralli^logKniniriie ^ih'^y 
^i*Jqfpavttli^h^mttMfie^B€»H<J^ egal tfti parafUelo^ramrtii3 
A?A^jtjeJdi^i^e lfe)prtshi^ A^Ol^sfertf^^af sin prishre 



.<5vJV .i..'l 



, < Cad* Moit ]^o^ed'la basQ ABCBE^sur^^s^ SpleAbdO^ 
ehs - deiix clias^s oomcid«rcm( : maifs ' tes Vcois 'krf^l62 
plails qiii -famie&t Wangle «olicle B «unC>>^^aUk"itU% 
tcqpiiiafigiefti plans qui ferment Tirngle' soUcib ^ ^ ^d^ 

SKMrnz^be-) d£ plu^ ees> jingles sont sembhiblement 
fila(& y^donii'lefi'anglie&solldeB' B er ^ sodh egaii^ , 4t 
pdr^oftsequtoti to'cdte' BG tdkibora -^u^r 9&ti i^gai ^^! 
Ot^ iroil aussir qu a jcimseides. paitaU^logranftmed e^^ii^ 
ABGF , ^^gfy lei cote : GF lombera sur sotn- egal ^^ 
et semblablement GH sxxx^j^v; 'done la ba^e Btip^** 
rieure F£rHlIL ciomcidem entierenient avec so^*^gale 
fy;hik^ el: . let^ . de«u^ solikles seront conlbiidus enxun 
^t^lyipi|isqu'ils aurontless mdmes sommets.^* >'- ^ » 
eAGopollaire^ Deuoc , prism es droits qui oni ifes bases 
;ffgalfj(i 0Mde»,kisu4teurs egules sont egaucc. Car ayaib; 
jkj PP^ AA^egal a ahy et la hauteur fiG egale a bg^ \% 
i'^Stol*glf ABGF aera egal au rectangle (ihgf; il cbl 
^^ajd^tvnsme des rettanglels BGHC, hglic; ainai leb 
ifpi^^pisnfiiqultfQriiient Tangle solide B sont ^aux 
^aiaaSi»t£9i9iqulfeff9)e0t Vangle solide b. Done les deux 

PROPOSITION IV. !-••'* 



THEOREME, 



i\ ,5 iQ(i9^, jRp^y' ftiirallelipip&de les^ plans - opposes 
imf^gOMM^^tpatnllelcs. \, -^.^ 

Si^iy^ijjttt Jg^^efinfttQU 4e qe $olid€?^,;W.baiea^BfiEb, *«• **** 
J^J^'OP, soxKt; dpsi pa^U^iogrmim«3r eg^juK^etiJi^rs^'''^'' 
ofM^*^ sq^%tiipj>rAJWw3!H^Aji^eit^'\d'(d[t^ dttmaftt?^>^>14«e 

<«^ 9<|tel|jB^.,^<fe ,413fiO|. WGG^i Q\r ii4*^a$tjf gal^^^^ 
parallele a BC, puisque la figure ABCD est un pawlV*' 



Irlogpamme; ; nar-uoe rsison semblable AE f^teg^Jfj, 
etf>aralle1e kSF : done Tangle DAEfSt^al J. r;i(pg)g[ 
CBF*, et le f\an DAE parall^Ie ^ CBF;. dp^f ;^j^$fi[!(7| 
parallelogram me DAEH est egal au.par^^lelf^gfii^i)^^; 
' CBFG. On <lemontrera de ni^me que lf^,pffi^)4^f^ 
grammes opposes ABFE, DCUH, s<^it ifg^i^^^e^^^a- 

raJleles.. , „ , . 

Coroliaire. Pitisofue le parallelipipede est;)in,aolidie, 
conipris sop& sixplnn^ dont Ips opposes tont, egatii. et ■ 
psralleles, ilj'ensuu. cjiuine face quetcomiue et son 
Ofiposeepeuv^it^tre prises pour les b»ses Uu.pai-al- 
lejjpipede. 

- SchaUe. Etant donnees trois draiics, AB, AEi AP| 
passant par un meme point A, et faisant entre etle?> 
des angles donnes , on peut stir ces trois droites Cffp^r, 
truire un parallelipipede j 11 Taut pour cela lyf^Jfef) 
par I'extremile de chaque droite un plan parallele 
an plan des deux autres; savoir, par le^ point B un 
plan parallele a DAE, par le point D un pUn paral- 
lele It B AE , et par le point E un plan parallele a BAD. 
Les rencontres niutuelles de ces plans formeroiit le 

' ^ardlelipt[>ede demands. i ' 'M ■i\v.^ ,\ 

*..-. „■.•..,,.•, . PROPOSITION v,'"- .v,r/.vri\ 

THEoa^HB. " ' ' ' ■ ' 

- ' Daiis tout paralliUpipede ies analiU'^lhhldes 
opposes kotit symetriques I'itnd^^Thttt^S')''^ 
les (Uagonales menees par lbs ^oihrA^tyd^'h^s 

men( ehdeUxpak^ 

Vaiisle solide A a son 
a ffiT^ ^®* aussi ^gal a 
= CGF, etVangle DAB 
;s angles 'plans qui for- 



LiVBifft.- 171: 

ment Tangf^ solide A sont <5gaut axcx troiscprifoniieiit 
lahglfe solide G, chacun k chacuti ; 'd'ailleurs il f st 
facile dfevbii- que lelir disposition est differente ditis .< f 
rtfli'lit tldii^taUfte; doac i"" les deux angles solides A. 
et G ^dfttfeynVetHques Tan de Tautre *. * a5. ^• 

Eri *sed6^Hl' Heu, imaginons detix diagonoles EC^ 
AG, menees Tune et Tautre par des sottiniefs opposes : 
puib'<lti^ AE^st t5gule et paf alleJe a CO , la figure AEGC 
cJsttifi |)drilldl(5gi'aiiime; done les diagonales EC ^ AG , 
s6 coup^rofit tiilitiielle»nient en detrx parties egales* 
On dembntfefa de niftme qae la diagbnale EG «t tii^e 
dUtre DF se couperont aussi en deux parties egales^ 
done 2** les qiiatte diagonales se couperont miituel- 
Iiehi^nl tn deux {)arties i§gales ^ dans un meme point 
qttoti peut regarder comme le centre du paralieli*- 

*^ « ! . ' ■ » 

1 . PROPOSITION VI. 



) •. I 



'! •'' 'I 



U/ tl i.'ji ,'.. I. J ' THBOREME. 
sjl KO'I'MI* l»»» ' . • • 

4. 

Le plan BDHF, qui passe par deux aretes ag. aoj, 
par alleles opposees BF, DH, divise le paraU 
lelipipede AG eft deux prismes triangulaires 
JlBDHEF, GHFBCD, symetriques Fun de 
Vautre. 

> ^\^)^pi;f}.ccts. deux solides sont des^ piUipe^j, c^r les 
^iangl^s.A^ti, EFH) ayant leurs cotes egaux et paral- 
J^JeSf^^ont fig^ux , eten meme temps les faces lateralis 
A^FE, AOkfe, i)DHF, sont des parallelograrames; 
done le solide ABDHEF est un pnsme : 11 en e^ ^e 
m^me^du solide GHFBCD. Je dis maintenant qiie oes 
deux prismes sor^rsymetriqUesiuri cle rautr'eJJ"' ' .Oos? -^ 

Sur la l)pie A]f ij.yaite3 . le, pfis^ 'Anr>eYTi4^i 
soit le syaietrigue du prisme XfiDEF^tf. |,StMit 
ce qui a ete tleiftontri^'^^ le plan' AirlrE*'esWJ|^if^i ♦ a. 



t. 

? 



Vi » 



3. 



si*'in 'coiiijpki'e' le prj^me GHFBCD J*tt"|m^lte 

ABUH'E'f"/la base GHF est egale a ABD; Je pa- 

rallelogranime GHDC^ qui est-e^t & AHFE, estaussi 

egal a ABF'E', et le parallelogramme GFBG, qui 

est egal a ADHE, est aussi ^gal a ADH'E'; done 

les trois* plans qui forment Tangle solide (j^,d^^ le 

pd3iDeG{iFBGD, sont egaux aux troii plxuu quLfoiy 

want Tajngle solide A dans le pris'me ABuM ET ^ 

Qjiacun k chacun^ dailletirs iU sont disposes sem- 

blablemenl; done ces deux prismes sont egaux *, 

^t pourrajent $tre supcq)Osrf9. Mais i'un d eux 

AftbH'ET' est symetrique du prisme ABDHEFj 

done 1 autre, GHFBCD, est aussi le symetrique de 

ABDHEF. ' 



PROPOSITION VIl. 



, 1 .. 



■' t 



L£MMB. 



^' ^""'^ Dans tout prisme ARCI , les sections IS OVQtt 
STVXY, faites par des plans pat^leles j ^fti 
des poly gones egaux. 

Car les c6tes NO, ST, sont paralleles, comtne ^tant 

l^s intersections de deux plans paralleles par urt troi- 

.^, . 4^me plan ABGF; ces memes cotes NO, ST, sont 

compris entre les paralleles NS, OT, qlii sont c6tes 

du prisme; done NO est ^gal a ST. Par une^serrlblable 

rajsopi les c6tes OP, PQ, QR, etc., db Id sect'fo^^ 

NOPQR, sont ^aux respect! vement ^lix''c6tj^|j JPV, 

YX, XY, etc., de la section STVXY. D'ameursles 

c6t^s ^gaux ^tant en mcme temps paralleles ^'ilsen- 

4i^t que les anji^SMNOP,' OPQ, etc. de la ^premiere 

gectipl? r *o^^ «^g**^ *'^^^^*^^*^^^^^ ^^^^ angles STv, 
i\YX„ 0)tci., de 'Ijiv sdcomle. Dotic leS deux sections 
NOPQR, STVXY , sont des polygon^s egaux. 



; (Jpr^//<|ir^v Toula se«:ten tirtd dan's tin prisnie pa- 
raU^emqukt a ^ac bas6 -, est egale k cetie tias^^ , . , ... 



1 1 



' « M * 



11/ r 



) jj?|lOPOStTION VIII. 



I I 



• , ,,j,^. .TW.BQRSMS. •••■ ■ 

' Ees' deuh^ ' prismes trifing^lmres ^ syMetrique^. fig.aoS. 
ABt)t^Ef!^ BCDFGH ,. tlar^ lesquels $e decompose 
te paratleliviped^ AG, sont eqm^^aienfs' entre ,% 
eux. 

Par les somme?! B et F inenez p^rpemliciilairemeiit 
ail. q9te BF, 1^$. platnsBadcy Vehg^ qui rencontreront^ 
dunq part en a^d^e ^ de Tautre en ^ , A, /o^^les frois 
autres cdtes AE, DH, CG, du meme paralleiipipecle; 
les sections Bade, T^ehgy seront des parallelogram mes 
egaux.Ces sections sontegalei, parce qu'ellessont faites 
par des plans perpendiculaires a iine nieme droite et 
par consequent parallelej$ *; elles sont des parallel©- • 7, 
grammes, parce que deux cotes opposes d'une meme •'''"' •• 
^CliM))6B^^ifeV Bont'tes intersections de deuX plans 
p^f^IleleA AJ3{r£) UCGH, par un meme plan. 

Par une raisoh semblable, la figure BaeT est un 
por^llelipgrainnie , ainsi que les autres faces lat^rales 
BFgpyCdhg^ fldlte, du solide BadcFehg; d6tic ce so- 
lide estf^n pr^sme *; et ce prisme est di^oit', puist{iiei * def. 4< 
le cote BF estperpendiculaire an plan de la ba*?o. 

, C^^,p<^sp>/^^<P^I* leplan BFUD on dirise lie prisme 
drojt BA^u deux prismes triangulaires droits aBdeYh^ 
3f^FA^^ je. ,4fs que la prisme triangiilaire oblrque 
A^DflFIi., sera «qnivaleut au prisme triangulaire 
droit ^,B</e?FA. . 

En effet ces deux privies liyafiit tuie partie toiti^ 
nym^ A^Q^^Fi il ^uffiira de ppouver quef les j^at^l^l 
restantes, sav;oU*j l^s. .bolides- BizAD^, F^EHA 4orrt 
(Bquivalefi^s wjx^t^tt^. , ^ / / n -: Jii/K)^ 



^t^*tAjEi^.«{*, ^auXfA Itur parallfile Pr,.y5f)^^itjflg^«t 

»e»Uiiie|eii:(;;iaiusi^ en vutant la pgitie. ^ppipinjif^^ ^e^^^^l 

«re$terg; A«=zQ.£;tf« Oa pmuvera cje rt^i|>ip>qi*Q,R4(^JB[/f . 

Mainteiiant, pour operer la superpositioi:i|^|>^:^[tnp^ 

soliiles BaA.Dd^ FeEttJif pla(0i)4 Ifi bafe^M-i^i^lson 

- ^td^\9aii; alons le poinle t4>ilibant] qi^ ^,>^|l^44 pop/lt 

, plan Ba4. ppAe.)^$ dmfx *o|i4e* UQPMJ.Mg"!; winci- 
deront entieremeut TuQ av^q I'avtti^ety .done lei pns^tie 
roMique BADFE^ e^t . eqi|iv^len^ au prispie droit 
BadVeh. \ .. . . . 

On deraontrera sernW^bJemisot qu§ le pTi^n^e obli- 
que BDCFH(^ est equivalent au prisma drpit f^ffi^^hg. 
. Alais les deu^ prisBies droits JiadFch, ^doPJig ^^^t 
egaux entre eu^, puisqu^ils ont meaia hauc§i|rt9Ft) 
et qm? leurs bases B^//, B^/c 3ont inoiti4s dW JQa^^ 
^^ parallelogramme ^. Done les denx pri^mes Iri^li^^ 
cor. Jaires B A DFEtl , BDCFHG , equiv^l^ot^ g d^ pfii>P»^s 
.V egaux, sonj; equivalents entre ewx»^ .. jj. -iut??'* 
Corollaire, Tout pri^mc^ mangulaire ABDH^ |e$t 
.^moitie du parallelipipede A(ir qo?v>trij4^'#9l' le 
Dieine angte soUJe A, dvec les mm««"arSl^)A¥i» 
AD, AE- 

PROPOSITION IX. ' 

TH^ORBXE. 

iJg.^oQ. Si deux par alUUpiphdes AG, AL, ont une 
bas^ commur^e, ABCY) ^ et que leurs bases snp6^ 
r/ew/ejr liFCill , IK,LM , soient comprises dans un 

c^ir.sa irn^^^ :^^^^^^^ ^^!^1'^ k^ memes pamll^les'^¥^y 
JJJ*4 9, ^^.(ieu^ pamlUlipipedes ^f front e^uivcitT 



^ -^ n ^ jfeut ' afrr iVef trois caSi^^^>04()ft>«q^§"Ci^.e5t(|)ius 
^piiAdi'phispeih ou egal ^ EP;>nTal9:Ja d^Wi^ttsitibn 
^^,9tlk iMnii^'{)Ottr 'tons : €t d ahotvi ]ed'wqvLe)& pA^me 
if^fi^UiW AEtl^HM est ^gat «u pri^tne fr£ainguliii?e 

"^^'Ett'^eifeij^piiUcrue AE est p^i*aHelc i «P et^Itlg a 
GV;^ Pk^^le AEI — DFK, HEInrGFIC, et KEAm 
GF©. i)</ fed^'ifeiK' Jingids ies'troU lyremierd fbrmeiit 
Vahj*le*st)ll^* E, \^ trois^autresfoi'ment Tangle splide 
F;' donfc', p"^'sque les angles plan^ sont ^j*au« chueun 
a cKaciiti, dt'senirblableniem dispds^s, il s^ensuit que 
les angles dolides E et F sont egmixi Moifitetiant, 8i 
on pose le prisme AEM sur le prisme BJ'L, etrfkboifJ 
la ba^e AEI sur }a base BFK, ces deux bases etant 
^ga1e$'coincideront; et puisque Tangle solkle E est 
'^g^l k l\ingle solideF, le c6t6 EH tonibera ^ur son 
!eg«il f^G r il q en faut pas d;i vantage pour prouver que 
Icfs •denx prismes coincideront dans toute leur eten- 
due; oir )a base A EI et Tar^te EH determinent le 
{ytlsiA^ A£M^ eemme la base BFK et Tarete FG d^ . 
terminent le prisme BFL * : done ces prismes sqnt *3. 
^gafei.'^*^ «' 

' Mais' ^ dalsolide AL on retranche le prisme AEM, 
Jt Wter^ le 'paralielipipcde AIL; et si da m^me so* 
lide AL on retranche }e prisme BFL , il rc$tei1i 4e 
parallelipipede ^£G ; done les deu^ parallelipipedes 
AIL I AEG 9 sont equivalents entre eu$. 

PROPOSITION X. 



y 



'^ t>eii± parallelipipedes dememe hose et' de 
mSme hauteur sont equivalents entre ^ux. 

'Soit ABCD la base comhiurie aiiii deux parallflr- l^si«« 
pipedes AG , AL ; puisqu'ils ont m&mfe hautenr, leiMi 
bases superieures EFGH, IKLM, se^on^ sui^'le it^i^fti^ 




IS •'. 



gramme N0.PQ_„)1 estt^.m,«IJ*fi ,fe,|pj)«j!l,el<)|^^ 

««f? 4sa.!,^,fWup^ufi?f .ifi?fi^ wG^i .4ftMJj.-fta si 

«g, au parallelipipede AG*, puisqu'ayant nieme base infe- 
lieure , les leases su^peqeurcs ^oot comprises dans un 
m^me plan it entre les paiafleles GQ , FN. Par la mSme 
raison ce ti'oisiemc parallelipipede serait Equivalent 
au parallelipipede AL; done les deux parallelipipedes 
^p, AL, qui ontm^me hase etineni«liam;«cU:^$ont 
.equivalents entre eux. .„ ..^ jA \s\o jiii^ 

TREOREME. ,, 

' %'fHi* paralUlipipede peut^tf% ckm^&^m'Un 
paraliSpiperle rectangle e^vtMikht' ^\h Wha, 
nf^rfth hdttteUr et une base iiqtii\>&lMte.''\^' ^ ^ 

' ByC \ p; fne«te AI, BK, CL, miL'/'^e^mSkm^s 

- au pfe^ de la base, vo«s fotmerei aiiiSHfe^^^i^irti^fipw 

pedeAL equiva!^ilt au pat^ll^lipipdilb A(?i'^it^fc/k^& 

fiices kt^rales AK , BL', etd:', sc^tbtit fldi'K/aikH^libSf'ki 

V ^ doiie la ba$e AB0D'^Wt'iih'i»6^ctatigld^,AL sfe^^jj^e^y'd^^^^ 

tlfelipi^deVectinrfe'e^KdlentiftptfiiaUaipiW^^^ 

^>^'^e»Ao:Bi^irf«^iKiDtf^t^^yi'^ 

fig. «II.^3M(yc^t M"^*l^Mi}fu1^Ves ^'^iF^Ct ;^fe^^^^ OQ et 

«PPP ^ir^f^mmA\i^'m'\^'\ik^^ le solide 

ABNOIKPQ qui sera un parallelipiprae 'rectangle : 



LiyRs VI. 177 



en effet, pur cbnstructiOQ ^ la base j^BNO etsonop- 
*-*|ioyiefe*lRPQ sont <Ies rectarigleij; les faces lalerates^n 
»• «i6ift-ain^iV piiisque les arelei AI, O.Q,*etc., sont per- 
^"tieilidSe^faites Ati plan de la base; dbbc le soli^e AP 

♦ 'Wtf liH [fa^att^ipipede rectangle. M^is les deux pa;ral* 
^AS^ipifdh^' ATi AL, pjeuvent etre censes avoir meme, 
'Ibai^iBfft et nj&me hauteur AO : done il^ sonl etjui- 

' -'#*fl^h*f'd'<Wb.le'parallelipipede A^ qu*on ayait dV fig. aio 
'- bttdl^jiyge^feti un parallelipipede Equivalent AL, se *' *"' 

• tf btive de nouteau change en un parallelipipede rec* 
- tartgfe Eqiiivalent APj qui a la hi^me hauteur Al^.et 
' dontift base ABNO est equivalente a la base AfiCD. 

'■ PROPOSITION XII. 



''■ *' TRBORBMB. 



Detix parallelipipedes rectangles AG, AL, fig*" 
qui out la meme base ABCD, sont entire eux 
comme leurs hauteurs A£, A I. 

Supposoiis d'abord que les hauteurs A£, AP, soient 

entre elles comme deux nombres entiers, parexemple, 

^pi^i^ia^^&est a 8. On divisera AE en i5 parties egales, 

.dout AI eontiendra 8, et par les points de division a:^ 

y y Zy etc.^ on menera des plans parallels i^ l^^Jtuise. 

Ccs plan? partageront le solide AG en i5 p^rallelipi- 

t>(^e^ jj^rpeis qui pei*ont tous (igaujc ^n]trp eu^ cofiime 

ayanjL ^^e^ Jjases egales et des hauteurs eg^les ;. des based 

'pal^s^ par^y que loute section comipe MIKL, faite 

anSjUu prjsnie parallelement a sa base ABCD, est egale 

^ cette ba^e*; des hauteurs egalesy parce que ces haw- * ?• 

teurS sont les divisions memes A^7 ^j ^^y <&^c. Or, 

de ces iS parallelipipedes ^gau^ > <IiH!t ^Qnt epn(e^v^ 

dans AL; doncle solide A(i est au ^olide AL cp^aiae.ni !y) 

i5 est a 8, ou er^ general, comme la hauteur AK <9i|ta 

la hauteur AI. 



12 



^1^^ il<o«ifatlB. 

' !Bh second tl^ix\ ^ le n({>poit de Afi^ k AI M ^t 
s^exprimer eti liombtes, je dis qti*on n'en «run'ptes 
moihs solid. AG': 5o/W. AL : : AE' : AL Ch!t\' «i iMte 
proportion n'a pas iieu, isupposons qu*oii aii'^.- AA : 
sol. AL : : AE : A6. Divisei AE eft pafties ^ale^ dont 
chacune soit plus petite que 01 , il j ^rtira aii moins 
un point de division m entre Oet I. Soit'Ple^l^^l- 
l^lipip^e qui a pour base ABGD et poiir liaatMr 
Am; puisque les hauteurs AE, Ain soii% entre ^fUes 
comme deux nonibresehtiers, on aura sd/. AG : P : : 
AE : A/71. Mais on a, par hypothfee, sol, AG : sol. AL : : 
AE : AO; de ia restitt^ W. AL : P :: AO : Am. MaisAO 
est plus grand que Am; done il faudrait, pour que la 
proportion ei^t lieu , que le solide AL fftt plus grand 
que P. Or au contraire il est plus petit : done il est 
impossible que le quatrieme terme de la proportion 
sol. AG : sol. AL : : AE : or, soit une ligne plus grande * 
que AL Par un raisonnement semblable on demon- 
trerait que le quatrieme twme ne pent itte plus petit 
que AI ; done il est ^gal a AI ; done les parall^lipipedes 
reetanglea de mdme base sont entre eux oomi^e leurs 
liauteurs. 

PROPOSITION XIIL 

THEOaEME. 

Deux parallelipipedes rectangles AG, AK, 
qui ojitmSme hauteur AE, sont entre eux corrifne 
'leurs base^ ABCD , AMNO. ' ^ 

Ayant place les deux solides Tun a c6te de Fautre, 

. edmme la figure les representee proloogez . le plan 

Ol^fKL, juaqu'a oe qu'il rencontre le plan DCGH sui- 

vant PQ, vous aures^un troisieine parallelipipede AQ, 

qu on pouiHra comparer a chacun des parallelipipedes 

' Af&, AX. Les deux solides AG j AQ, ayant menie l^e 



9 f 



ih9a^iAQJi^(^9iM>iit centre ^x cpmm^ . leurs hauteurs 

. ^.^AMp^^^^ on aur^i les d^iix proportions , 
nv,i) X..I ^ J ..<Ji3»^rAG: W. »AQ,;:|AP,; AQ^ . , ' 

..oifj X t f iSol^AQispl, AK. ;: AD: AM. 
■ ;HiiMipIi|n( oes dou^ propoi'tipiis par ordre , et omet^ 

«MBA^4ai^9,i^ r^sultaii le.nmltipUcateur commun W. 

AiQ^<^a!wat 

sol AG: sol AX. :; A.B x AD : AO x AM. 

Mais AB X AD repi:esepte,X^ lipase ABCD, f^t AO X AM 

sepr^ientela base AM^O ; ^donc deux p^rallelipi- 

pedcs rectangles de meme ba\iteiur sont entre eux 

iiomme lewrs bases,. 



f »' 



PROPOSITION XIV. 



' DeUx paralUUpipedes rectangles quelo4}nques 
sont entre eux tomme les produits de kurs hoses 
par leurs hauteurs , ou comme les produits de 
leurs trois dimensions^ 

Gar ajant place les deux soLides AG, AZ, de ma- fig. na. 
niere que leurs surfaces aient Tangle commun BAE9 
piH:)loBgfz les plans necessaires pour former le ti*oi- 
liieme parallelipipede AK de meme hauteur ayec le 
parallelipipede AG. On aura, par la proposition pre-* 
e^deate, 

S0L AG : soL AK :: ABCD : AMJ?IO. 
Mais les dbux parall^ipipedes hUL^hlij qui on^ pm^^e 
base AMNO, sont entre eutx QOBime. leurs h^uti^iirs 
AE, AK f ainsicrna, • I • .i.v 

" • - sol. AKysaL AZ x AE-<3AX . -;.., 

' ttidvipliairt 0$$ df^nn^ pfopwtioas pair fSffdr^^ pi /m^t" 

12. 



« n 



l8o GliOMiTRIB. 

f&k , dans le resultat/ le Hunfciplicateur commun soL 

dUC^fOBtoi^t^ no ^Extx ^'' J f' MjiliS.- j.f ^i j>t> *>j6o 

Done )dtoK> i p9sa^41)piijp^d?Pi ^V^^(»^i^\^)^mliie^m^aei^ 

Mono GWiftt$iftrt/(^ej)iE!imipe)qMf3PM^M6yai 

-iifioUr) lUhteUigencei (k) cQttQjoidflpire^ iljftnit aeJrap^ 
pderjqii oa ^(^Ad >par prpdukiidi^ d^Uaiii^aiBQ plu4 
akuvs ligneS)^ }le^produitd?a p(mibf e» timnepr&entcf^ 

tfixon p^ut praifdre a vqlpnte : te«4a pOse^^^ifwroAuit 
diss ttiKtts/dinOjefisions d*un paralleUpt{ied^.est imvdtofi^ 
|)i^A4Ui »Q Mgnifie rien en li<irni#miiv>ot^<piti«fina{ 
tttffi^entffii on avait prls uneduUjis u^i^lnxfaneatMaip 
«l0Q nmUiplie de meme les tix>i$diR9{8n6ion^*biiiaii^!yb 
]Mtf^^pip4dkl I . en les eyal(ia.n t d'api jisilxim^m^iihii^ 
llhe^in^^Jo^ deux produitfl aecoiit .eifjti^icfiixicCQihina 
]|je^Mdigiefi^ie$rdoniieraiil lid^Mde?leiidr gnuidfiiaririi^ 
lative. - ..Mrin;:»T ?,ni(>ni icr 

La grandeur d'un solide , son volume ou sdn eten- 
due constituent' q6 qd'oti apfpioUeistii^bA^^'^a, et le mot 
de solidite est employe parti culierement pour designer 
la mesure dun solide ^Ki^A'Oih tilt que la solidity d'un 
parallel 
B2si 

9!liMiii^\».^^\^'iv^^ adlidpilfiiadi'afKqXnL'-f jf,au^i ; 




.TjjiTkMoko 08 1 

cote est 3, la solidite sera 3 x 3 X 3, ou ttij^ietrnxn^Wk 
sm£i^iAiiYty<^ti!i^^\Mk^tAniiAm\m lei)iloikl]res 
1 V tt^P^^i*.^} 4efe^ &it& -'eiii4Sltri«r «^ 
sont comme le6m&m\^s^^p8i>i^YeicyiS^^iM&^ 

Si on proposait de faire un cub^'dQlfble4'UW(Ad>8 
dvnit^cji} fiaidk«lli(^')e^b64^d>ii dbb^iieiii^^^'^^u 

tioii ^to»t^k{deVt^^tM]^^^ti«L4^^'i«{f lm[U onoie 
peut pas trouver de m^ine sa racinee^btte'') <claiiiioaii 
pqc7 Ibb l»iiiple$> «iyieiQithln^ dd • la ' g^Qitietriei eUoftn- 
tdiiif ,'>Ile8qvieli«li ^n^kbm: <^ n'^fi^loyor) qpeieARf 
ki^|3M6>dTqt«esntloctiY <loti> connate d<i^X'^omu^i evulos 
eendesldNliio U^ beiitiM di: ies rayons sooti d^cetiSHbto 
}ij 'Jio 1^19^9 •de: okte diffieuhe le probUmej deUp 
dJ^pi^^fAKT^eo^ '<^& a> '^ ; o^lebre patini les -ajnlidiib 
giaoa£etn|S,iQomtiidtfMM de la triseetiem d^ /^A^sft4 
qis2&s& a^peik-ftj^nto dUiintoie ordiie* Mais> cmmoxtiliMiii 
d€tujdsii]iiiygM)iein]Mile»'«olaii^ dont ee$"J€vtesr(di9 
pitifal^iii»na«lmM(4us€6p^bles ,- iesquelle9<^'<ji|^cidRpi€( 
Hmin&QsimplesVfoefos' constructions de la>^4<3«i4teic( 
elenniiiiaiiiei^ ms'lsofot oependant'ni^'biliiQSi'^Jiktimca^ 
\\\ moins rlgoureuses. .svitBf 

-noH no?. Jjo suii«:-'f ; >- . - . .- i, iiiohnfiit^ ^.J 

loin -^ JO ,l^VA.p^RO'POSlI5TION|•X>Vi•^)»Jti^''•^i*>'l ^wl> 




; iGar 1^ unxpiraibiliftfkttiite qki^kcduqii^ e^MJ ^vitdo 
et de base equivalente^. Or la solidite de celui-ci est *^^ 



lH^ 6EOMETRIS. 

.^Ipale k.^ base mujtipliee par sa hkuteur; dcm6 la 
" : (M^lidite ^u. premier est pareillement egale' au proiiiiit 
die sa base par tfa hauteur. ' =^ " 

: . a°. Tout prisme iriangulaire est la moiti^ du par^- 
Ulipipede construit de maniere qu il ait la tnethfe haxif 
* *• teur et) une base double *. Or la soliditd de celui-ci 6«t 
4gale a $a base multipliee par^a hauteur ; done celle 
du prisme triangulaire est egale au produit de sa tase, 
moitie de celle du parallelipipede , multipliee ^ar ^a 
hauteur. 

39 Un prisme quelconque peut dtre partagtf en au- 
tant de prismes triangulaires de m^me hauteur qti'dil 
peut former de triangles dans le poljgotie qui lui sert 
de base. Mais la solidite de chaque prisme triangulaire 
est egale k sa base multipliee par sa hauteur;' at puieh* 
que la hauteur est la m^me pour tons , il s'ensuic tfm 
la somme de tous les prisme^ parcels sera egale k la 
somme de tous les triangles qui leur servent de bases, 
multipliee par la hauteur commune. Done Itf solklite 
d^un prisme polygonal quelconque est egale au pro- 
duit de sa base par sa hauteur. 

Corollaire. Si on compare deux prismes qui ont 
m^me hauteur, les produits des bases par les hau- 
- teurs ^roat comme les bases ; done deux prismes de 
meme hauteur sont entre eux comme leurs bases; par 
une raison semblable , deux prismes de mime base sont 
entre eux comme leurs hauteurs* 

PROPOSITION XVI. 

LEMME. 

g ^ Si une pyramide SABCDE est coupee par un 
plan abd paraltele a sa hase^ 

I "^Les cdtes S A , SB, SQ^,,.,etla hauteur SO, se- 
rant )livishproportionnellement ensLjh^Cj.,eto; 
' 2** La section abcdfe sera unpolygone sembla,-^ 
hie a la base ABODE. 



Or I® les plans ABC, abc^ etant pa;raUeles, leWs 
inf:j$rs^Uons AB, ab y par un troisieme plati SAB, 
sexont paralleles*; done les triangles SAB , %abi^ scmt •«•» ^. 
fsie^lables, et on a la proportion SA : S^i :: : SB : Sft/ 
, Qj\ 4urait de meme SB : S* : : SC : Sc? , et ainsi de 
.suite. Pone tpus les cAtes SA, SB, SO, etc., sent 
qoupes proportionnellement en «, i, c, etc. La hau- 
teur SO est coupee dans la nitoe propoition au 
point o; car BO et bo sont paralleles, et ainsi on a 
SO : So : : SB : S//. 

%^ PuJaque ah est parallele a AB, be 4 BC, (?^/ i 
CD, etc., Tangle aic = ABC, Tangle ftcflf=BCD, et 
ainsi de suite. De plus , a cause des triangles sembla- 
bles SAB, Sai, on a AB : ab : : SB : S* ; et i cause des 
triangles semblables SBC, Sic, on a SB : S^ : : BC ; he; 
• done AB : ab :: BC : be; on aurait de mfime BC : *e? : : 
CD : cd^ et ainsi de suite. Done les polygones ABCDE, 
abcdey out les angles egaux chacun a chacun et les 
edte&'bomologues proportionnels ; done ils sont sem^ 
blables. 

Corollau-e. Soient SABCDE, SXYZ, deux pyra« 
mides dont le somniet est commun, et qui ont meme 
hauteur, ou dont les bases sont situ^s dans un m^e 
plan; si on coupe ces pyramides par un m^me plan 
parallele au plan des bases, et qu'il en r^ulte les 
sections abode ^ ^J^y J6 dis que les sections sibcdej 
- xyz , seront entre eHes comme les bases ABCDE , XYZ. 
Car les polygones ABCDE, abcde^ &ant semblables, 
leurs surfaces sont comme les quarres des cdtds ho^ 
mologues AB, oi; mais AB : ab :: SA : Sci; done 

ABCDE : abcde : : SA : Aa. Par la m^me raison, XYZ j 

xyz : : SX : Sjt, Mais puisque abcjcjz n'e^t quun 
meme plan, on a au$si SA : Sa :: SX : Sx; done 
ABCPE : aie4^\;^'X^ia^j^; dpnc les sectigns abede^ 



/ • % 







basest jyBG^; If lie f<<{u^ igiH»u$'siiipi)6so»S'piai:e>«k dtit<^ttti^^ > ^ 
memf^iphxif sontimaivzlentes et qtii otit tn^^^^hsuU^'**^ 
teur T!A;fii 005 pyralnides' ne sont pais eqlilvWlett**S^,^*l '^' 
soit4A£«. la plds petite et soit Aorla hauteur d>Vm{^Hirm<i^'' ^^{ 
qui itaait.construit sor la base ABGy^^g^tcit^^l^^ <" '^* 
leur^ifference. - "'*»i> '' •* -**> 'Vjirrr^liiF; 

Drri^ziahautearconiittune AT en ptlrtio^gttli^l^i]'^^ ^'^ 
peti^ttiqu^ A\x,i el soil ^ une dielc^J l^i^i^^-j^^s^^iip 
poinAfa dp^idacfisiDrv de la hauteutyiUiie^ f&^s'&f di^^^^^ 
plaiuilpa^aUdiesitaU plan des bases';' lertti^ctiotk^faitlEiil '^^^^ 
parcbanunxldii'jes'pAafis fhns^esdisUK pj^raiiiidbs^,'S^r(>^^i^-^4 
•i6. equhfiateottesfy t;eltes qUe DBF et def, QHi^ '>g/^/^&J^''^^ 
^'"' Cela/po«l, Aic ^d triahgfes ABG, DSiVyGti^ ^t^i»^ti5/» >^f 
pouivbaacbv^io^'bstoaise'it 4e^ ppistties'*e3lt*lefttl^-*l](ifl'H^^ 
aieiit pour aretes les pjiriies AD, DG. GK. etc. du 
cote SA ; de inSme feuries trianlgiei de/^ ghi^ ktni , etc. > 
^ pris pour bases , construisi^S' ^^X^ J^jeconde pyramide 
des prlsnies int^rieurs qui alent pour aretes les parlies 
corr«^oBi^t©A^ dtt ic(itJ5^i<i^^X0W^es^V'feW^s<^ !^arti^I'sV 
aurQ5U\'^|wwri^a\tteaviJ^mwti^ '}a\v»\sa^v ^^ ^^^^^ ^r^^ 

La sonime A.QS prismes exterieurs de la pyrani4deN\>A 



^^'^Afn'^moko i85 ^8i 

&tTe plus grande que la difference entr« If^ji^disxifi^^ 
pyramides. 

Or a partir def ^s^ ^^^Iz^^^flteia^eK^i^ prisme 
exterieur DEFG est equivalent au premier prisme 
interieur defa, puisque .}^f^^ f)^gs^DEF, de/^ soct 
equivalentes et qu'ils ont une menie hauteur k; soul 







trieme exterieur* et le troisieme inteneur, ainsi de 
suite jusqu au dernier des uns et des autres. Done ^ 
tous^^s |M*fni«^f)0*itm©uwj'de ia< pyewnifltil SAJiGv^^*'^ '^'^ "S^ 
I'exc^ptipi^ d^.pTiefi>M^ A^CDf oeC lot^u^s ^tuviiMasi^>>(f 
dan&.{i^{)$i^^;iH^ mterh^uf^ d^Ja pjramideij^s&a^ I>prtei! hh 
le prijspii?-v(VBCtt P&l Ip difi&jf CMiee entrc U fiomnie 'dfes 
pri$i9i9^jQ^t^rl<Hir6 d&il(< pyr^mide SABC et la jSonivme 
des ^r|$^^s jj|Q^§He^U|r^ /de>i» pyran»ide s.iba^ mai&la 
difference de ces deux sommes est plus gramdetqiie 
la dyfi^Qp|}^^4§li4ef^.fyr9inides; doBc: il-faiHiEah*) 
que sl^p^9>ftiAJ8p^»/A«? plus graud que l6 prpi!j«Jf* q 
ABQ^ Q$;>^ ^QfltHai;^ il est plus petit^5ipaiHsqli'iisf(i<}q 
ont j^ij}ft;>i^ft^bgsje)iAJBG, ot que^lti liatttiialfuiBfflaiffciq 
prenpjjQf ,^i^ il^jc^in^l^l que la liautetiir'Ap tki>[scoQiEdoiGq 
Dox\(^i!)\^j^%i\f4^ ; tfo^i^ I oa 0st partf) e^lwi^taifi fiMrbirinpb bi • 
lieu^;4pnQjl/BSi jj^px'pjr^njides SABG ^ ^$ak^ ^jde^Jjos^sKl >:> 
^q"Wf\!e#lfi%Pfeife>l)aujteutrf Qg4iIesyaQ«^©«puivido»tfovi » i 

t>i)inii>f7q ^'i'*'5' f^agio'tt-fenlKJ^J^^^'^'^'^ . ' >'i'- i:!Oq -n^? 
i«.:u'u;q «* •' -^ '*^{ t;JC);| JIi.h'g ijq> .''lU'j* '••iJ' - niiri'itj (i)lii 

prisme triangulaiiQ de ^Hfftfie^ibaseetd&^mi^fn&ynin 
Sotti Si^BG li^rad) p!jr6ai(rf|d«! eri a»g»il^0 j ''ABGfe|I^'^iij^Ii^|Ci2t6 



.Vi3 



\ 



f^$m0%pi9imgmi9ApBdem^mt b»se et de iiiAm«'biiQ|»uii, 
je <ils> tpimieL pyniimde 68i le tiers du priMD^^ - . . 
« BatrmiMiet du'prame la pyraraide SABG 5 il res^f a 
!• soMde SACDE, qu^ou peut coiHiid9r«r<)Coiiifi)« Ml^e 
pyramid6^uadrangulaii*e dont le somm^X «a$v9^qi|i 
a pour base te parallologramme ACDEf tire^lft diygp- 
naleCE «tconduise2&le plan SG£ qui paifiagf^ra/la^ij,- 
ramide quadrangolaire on.deux pyraniidets irimTguIai^ea 
SACE 6DCE* Cm deux pyramides aort poiiP hau4;aur 
oomniuim la p«?pei»d»eulfiire abaiss^ du soiamet S 
sur le plan ACD& $ ^es out ieB bases ^gales, puisque 
les triangles AGE, DGE^ sont les deux moities du m^me 
^parallelogranime; done les deux pyramides SAGB , 
SDCE , sont equivalentes entre elles ; mais la pyramide 
SDCE et la pyramide SABC ont des bases egales ABC , 
DES; elles ont aussi meme hauteur, car cette hauteur 
est la distance des plans paralleles ABC, D^. Ddnc 
les deux pyramides SABC, SDCE, sont ^quivalenteis ; 
lAais on a demontrcS que la pyramids SDCE i^st <!qui« 
valente k la pyramide SACE ; done les trois pyramides 
SABC , SDCE, SACE, qui composent le pristti^ ABD 
sont Equivalentes entre elles. Done la pyranlicte SABC 
est le tiers du prisme ABD qui a mdme base et 
mdmfe hauteur. 

Coro/laire, La soliditE d'une pyramide triangulaire 
est egale aii tiers du produit de sa base par sa hauteur. 

PROPOSITION Xlt. 

THEORidME. 



Bg. m,' 1[^tite pyramide SABCDE a pour mesure le 
tiers du produit de sa base ABCDE jt^ar sa hau- 

...^Gasitfp irnrn^ pa««fri^ ptoii^iSE^i.SEC^ par les 



dkgondles EB , EC , on diTiseraJai pjrrapid^fpQlygQ- 
nale SABGDi^ en pkisieurs ^yraunde^ tnMigxiIairtf 
'^uriftutoni' tdutes la m^me baoteur SO. JMais par le 
th6otitiA^"pfited&at chaoune de ces. pyramided tfe 
hieiViife krti ^fmltipUant chacune d^ bases ABE^ BCE, 
^CDE , p^t Iki xi^H de sa hamteur SO ; done la somme 
~deis 'pyrat)$idi0s.tmngu)airBSy ou la pyraiaide polygo- 
"^tihXt SABGDE , auna pour mesure la sommQ des tri- 
angles ABE) BGE9 CDE, on le polygone ABCDE, 
'mulripfi^ pat ^SO ; done toute pyr^id^ a pour mo** 
sure le tiers du produit de sa base par' sa hafuteur. 

Corollaire I. Toute pytaniide est le tiers du prisme 
de m^me base et'de inline hauteur. 

Corollaire II. Deux pyramides de m^me hauteur 
spnt entre ell6s comme leurs bases , et deux pyra- 
mides de m6me base sont entre elles comme leui*s 
hauteurs. 

Sch^liei On peut evaluer la solidite de tout corps 
;poly^di;e en le decomposant en pyramides^ et cette 
decomposition peut . se faire de plusieurs manieres : 
up^-d^ plu3.si9iple5 est de faire passer les plans de 
4i^i^on par le sommet d'un meme angle solide \ alors 
on aura autant de pyramides partieiles quil y a de 
faces dans le polyedre, excepte celles qui forment 
TangFe solide d'ou partent les plans de division. 

PROPOSITION XX. 

TBEORBlkE. 

£>eumpofyedressymm^triqu0ssont^^wai€nt$:^^^ ,^-^ 
centre eux ou egaux en solidite. . , v* 

Gar i^ deux pyramides triangulaireb symm^trique.^^ frg. ^oi. 
lelles que ^ABGv^ABjQ , ont pour iMscHns^i^nBouune 



^,1 .IV afl?iJ 

•ffoHf^f^WJt.fle^f) ^i$§, ABC .pav, 1#, ti|Bfl$.Ue-Jkk bmtmiif 

Cffsairp.ife 111 d^montrar d'.u3n^'»i|im^e.riigouTOuate.i;I 
PROPOSITION XXX| «! ...h )-. 

.M*^f 2^^f ,/7^^'«''^^ ^-^^ (toupee ^ar mfi^ff^:. 
rff.fle/& ft ^a &ase, le trojic qui,r^^^ei,^^,^tmiU<^^ 

pX)Pcim{<t€iSi ffui , auraienC pour hduieur, ^oo mmi^n» 
laiihcmteur da tronc, et dont ie^ ^iwe^^lsdpment 
la^base in^rieiire dip tronc ^ }^a 6tis&''}lip^kMf¥}^ 
et une mqyenne proportionnelle eritM^h^^ d)iiiM 

-iJ. ;. .5.;, •».^:,...Vii ifOirj) I*; " t "^ . ! • . i .1,1 1,.| >h>/jfl'>lff 

%WPft?8R !^4SHS IWWt^'iW^^iW W^m<j pfcm jT^ 
alors le plan ^^, prolonge, determinera dans la py- 






fig. a 1 7. 



LITBB YI. l8o 

ramide triangulaire 'Sit^^cftlbfi^^^ , situ^e k la m^me 

la base FGH est a la base ABD * ;.et puisqu^ l!i^ Bii6? * '«• 

A^(d(|4MI^Rfte^4ps'i9€^t$l^s te'>sW6^'li'dis9."E^ §y- 

fira de demoiitrei'k^O]^o&hi^t)U^oii^e^;*^dii¥%i^l^i^ 

^bflsef pilrdfU^I^ ;^tftl^€tdis pomts I^, ^V^^ ^^^^^ 
d«iisesi-l6rplqn^%BV Xftitreii^ncbera Al^^billi'ld^py;^ 
raimididiuiAi^«^a»f6^F6H/CettepjramMe a'^oW-^ 
la'fease'itij^^tiettrO'FGH du tfone, elle a a\!i^si''p6ti!P 
bauteiir la hauteur^du tronc , puisque le sommet g 
est daus le pbii ie H bakd Mpiritnte/gL 

Apres avoir retranche cette pyramide , il restera la 
pyramide quadranguMre g/V/HF, dont le sommet est 
g et la base/XHF. Par les trois pointsy^ ffi^y cpn- - 
dti}keS^leyi5i\^J^S, qui partagera la pyran|ide qua- 
d^\iAg«(WrfeVAri »eUx triangulaires^I^, g/AU^C^I^ 
den^ieui^a^^OUr'base la base superieure g/A Qfc tl'ohdX 
ei pcNBfc 'bauteittv ia bautciir du tronc y.pUi^Ufe^^d<lr^ 
9^)m^t)>li fipf^i^i^nt a la base inCMeuVe :^aihAi^^o^ 
av{D(^)fiq,av4eH^v^& trois pyramided qui doivent\c6n8t«^ 

II reste k considerer la troisieme gF/il: or, ^.qi(^ 
mene^K parailele a^F, et quon imagine line nou- 
^Ite c^tjaWide/FH^Kv ddritlfe Sdirimfet iii t}^ la Vase 

eiii^ tauront aussl I^fif^dft^\i1^r j ^^Bi^^^^lbs'sdihiJii^^ 
^^,K»4int 'Wk^'s(ir >rttf^ai^he''^R^^l^^^ i ffi^ti 



r I ff nil 



'^ut*iitf^ eotiddii^e comme lyant ion fiottunfC'^sn^, 
et ainsi elle aura mSme hauteur que I0 IrOnc ;l ^UaHt 
^{(sa base FKH , jedis quelle e^t mcff ^^f^.^^^fOft^on* 
aelle entre left bases F6H,^A. En isfl^t .le$. tpiaiiK^ 
FHKy/gh; ont ^n angle igiX F^/, et i|n.a^. 4g^l 
• a4, 3. FK==^; on a done* FHK:y§^A ;: FH :/A, 0m,s^>^u^i 
FBG : FHK : : FG r FK on fg. Mais les triw^ies ^n^- 
blables FGH, fgh^ donnent FQ:/g: :FH:/A; doiyc 
PQHrFHK: :FHK:^A; etainsi la bnse FHK est 
mpyeima propoi:tiotnn)elle entre les deux bases FGH, 
^/gh, Do^t un tronc de pyramide trUngulaire^ a basics 
paralleles , equivaut a trois pyraq^ides qui ont pour 
hauteur. commune la hauteur du tronc, et dont les 
bases sont la base inferieure du tronc , sa base supie** 
Tieore, et une moyenne proportionnelle entre cfl« 
deux bases. 

PROPOSITION XXU. 

■ * * 

THEOaiMB, 

fig.ai6» *S« on coupe un prisma triangulaire dont ABC 
est la btisey par un plan DES inclini a cetifi 
base, le solide ABODES, qui r^sulte de cette 
section, sera egal a lasomme de trois pyrairUdcs 
• dont les sommets sont JiyEySj ^t la base cpfn- 
wune AUG, > .J 

Paries trois points S, A, C, faites passed life plan 

SAC, qui retranchera du prisme tronqiie ABGD'ES^ia 

''pjrraitiide tridngublte SABG : cette pyramide, 9 pour 

^ibkM^ ABO et pouc^ommet le p<»nt S. 

Mi!^r-.Apt«fe'arrqir^Tfetnattchje cetle pymmide, il/i^estera^jla 

»fpym|rnSe qiialdisangulab^vSAGSlE,.do]^ $ est le som- 

c^^dei^^^bi ACDB k hitte. Jhf Jka^^lficf^ poii^ S ^,.G, 



fnide quadraigulaire eo deux pyramidbstfiAq^lftil^s 
SAreE,-&CD£. .;, , 

Ei pyrdrt*(IS6 8AEC, qui p ipota bigfele-tFiaotgle 
AEG^^ j^dii^ skSttim^t le point S , est ^qutvatente ^ une 
pyta^iide'EABC, qui IMir^it pour base AEC et poiir 
sofftiftetlb jydint^B. Gar ces deux pyramides out zniSiibe ^ 
ba^; ^Ues ont au;ssi'm4in(9 hauteur ^puuqod laligne 
BS, etaiit {mrallele a cbacune de^ lign^s AB, CD, cist 
parallele a leur plan ACE; don o la ^yraiaide SAEC 
est equivalents a la pyramide EABC^ laqueUe peut 
£tre ttMisid^ree coHime ttfannt pour base ABC at poHr 
sDtnmet le poi&t E; . i - '.•—*'. 

Lai troisietne pyramid<^ SCD£ peut -Afre ^haifg^e 
d'abord -eri A SC D ; x?aT ' ees deui p^ramides oiit«ia 
uiSme bas^ SGD; elles ^ut amsi la ia4iii« hauosur, 
puisque AE est parallele au plan SCD; done la pyi^- 
mide SGDE est ^quivalente k ASGD. Ensuite la py- 
ramide ASCt) pmit £tre changee en ABCD , eaLT ces 
deux pyramides ont la bajse commune AGD; elles ont 
aussi la meme hauteur, puisque leurs sommets S«t B 
sont situes sur une parallele au plan de la base. Done 
la pyranilde SCDE , equivalente a ASGD, est aussi, i^.^a 
'^quivalente i ABCD; or, celle-ci peut ifitie regardee 
^onime a^ant pour base ABC et pour sOpinied %le 
poitit D. >' 

' 'Done ^nfin le prisrtie tronque ABGDSS astral a 
la somme de trois pyramides qui ont pour base cai|i« 
^mun^i ABG, et dont les sommets sont respectiyement 
l^jppints li, E, S. 

C^roWAife. Si lei ar4t^ AE^ BS^ (^, 3ont .pfwp^. 

diculaires au plan <de la basev ell^.>smtMit)X}9 wlitie 

* i^eiaiips tes hauteurs' d{3s 4rQis pjpamide&qui.cofitflpsent 

le jtrisnfi^ tr&Bftt&; de 'gone que Ja»aiJidite4ii;piii^e 

tronque ^era, expriraee far | AfiC^ A£i7K^Q«CiJPS 



i ol«Srt<|0O)H;) !.n,.l. ;;j/.ll ='lll!l — HM 8ljn.l 
jfeA G sl-jlicief) lis 10 sliJiiMiiise noEiffi anu IB*! -)A 
I," li„i Jl «l oU .•»«(M«b*J'HI19'l('«}l!»h.«l «"'•'> 
sldeldmaa lit) ,HUT lii'^'t itfw uo , (101 iila'tlii'H »l Wp 
,i, • lea , ia I' liijji iim no , llM«b«M<B'.>' !"•[' "> :"->t-^ ' 
rligflsi It a-ifiiiHijiTq xiiaii «al anob ; ;M^ li Blde((lm»« 

solidc-s homamk^0'"""''- , " f 

-omoil noK Ilia J sjliiTtia aljjffiil aaukf «[(ilt B nit IfiJ 

cs-iiucSiiHbnlilBf liiSaki^n^si^tiiaaMiifffnaMSBittifik^' 

jjtiiUSna&ma, III0fitl|isDUii«iiU>lirUel9WI<l«s'AlWtri. 

-luIXiB'q lit ilfmUali|iinleM'tiW|t>v'"^all>J|l<lil«i%!i|'tii a 

, >iUan|!laiUiScitOE'C,ilA»tl:tEO<11t«Adeit;B{F^,iSAC 

= EDF, et si en outre Vniolll1ajlowi(Uiit-^t(Ut|i SAB , 

..Mflu^ii^fei-dU qnc «isip)irtl!»i48»;M«'«l^tf <)^^yAcea 

semLbbles cliacuiie ii chacnne/-«(^s<W<glkfMlMllei 

IX. , , 

ED, BH=g^/M^ 

' ayant.prisYes c&ti 

these, ^"al a langlc DEF, le tnin 



-v^fkttltlei,' oV f fettt a'alwyfd pWeeV 

Dillkb- fitelil^ifiUi] jliiTr.-ti^itUr»'|nu}efiWfiTiwiitUIjr le 
sbioaci^Fi^ltdinUa^alEMK sen mj|iim ^fcj ' wgpiiiwf t^jjea 



51 ni^^kSliwi. foi ly'i 

_|.-^A^«Q|>MUMi ttM tnlmgMt««iif9(4n»';i«lMlf«n a 
I'angle BGH == EDF = BAG ; done GH: Utlp*nt)l^re h 
AC. Par une raison ftemUable Gi est porollele i AS; 
done le t4^ t^*<»IPP^^*1*^^M:*. De Ih il suit *,$, 
que le triangle IGH , ou son ^gal TDF, est sembhble 
i, SAC*, et que l^^««gl« 1^ , ou son ^1 TEF, en * ti 
semhlable i SBC; done les deux pyramided triangU'' 

,^_^y»pmb^b|es clif^uB^ ft:(^ha(^nev,f^,piu^ t^ 0tf^ les 

lingles solides liomolpfiues egiiux.i^ ^ , _^ \,\\„-> 

• Car on n d6ja place 1 tUt^lti fioHdie E siir son homo* - 

-.1- tiQ4;fK3k'et<«»(j^li(<nttt£idi»il^in4hibpAi(rd«ui(^utret 

. , , I angles. sOlM^*' JiibtfitihiipM^emllrt' bH yMiAktim^ate- 

;,)(|rieigi4(te^eiUi'diJ$t4s*M4idM4iiHW)togilfcAi(onilirgHu]f,"'' ^' 

^ / ff i^3«r H'Ojfc/ an^Csi ptans ^gatii' bltndAU' iii bhticbn i 

,-[., \ Pftfcl (ItMtfipT'MtiidedtrUt^iairbS'Mmlilabltt^nt 
;;, ,J[Ts^^eatb»in«leg(ies seinbUbles ei les an^es mtUjllM 

in i'^U 

= ■ .W,» 

,, .1... , , I,,-', ^..-..fi 

,.,,,l^;:,tftf,jPl<Wy«.,(e» apglea-wUdsft hwiW^o^if^Sfltit 

i! ,iIjlIjiS«nt4w!OCinpc>Ui pTratfddfeftslipghlkin SMC 

t^ iiQ'Jpl&b 6iU pafaUtier^fun^ ilMlfaai^ SAiGl^lla 

;> |ijMyiiilii pirrirllr BGj^ seis MBiblnUeiAila'p^nimlde 

4lBHil^M:fiASC&>ofti;it»cria'Ag[ekfiGf(£0>U.4'gont<8n|in- 

M^ilfe^ aUX-Uisngli^iBAS^iBAf^^ic'kacuJi illclf&ct^, .i' 

et semblableinent placiiitlDiiieGhniofiifUleun 'lA»rs 

i3 



determine par ra^poptl^ la>bf|Sidi.j«ll^ e^«tami!k fIdiM 

^HfblaJblfi^ y on pcmi|rail etl^ sidi^liiliiiei^ joifuquiiyti^ 

^nXbitti de theoremes ^ parmi lesqueU/Oiic.p^^t 4itliilif 
gk^cobiA^u B0UX pymmid^s ^(mgnhif^ ^il^^iim^ 

fig. 9o3. ^ ^ Qai^y •siHon a les proportions AB^I>£>:2 J}C£(££ :: AG 
(IH^trASt DTP.: SB : TE::SfirTt,»c».qfai^(reT<;«Btoft 
oitt({%cit}eli%bns/Ies triangles ASS y JljBGi^s8tf]rbM[^edn« 
.ju * Ys^Md^JV^it^ifiAr^^ BET, BEf!, ef mnUaUl^mU* 
phe^: ttM iUM aussi le triatigte 8B^(vtetiiU!kbfooJi 
Tfir^MdMe^Jbs^trois wangles pkns ^cdidin^lbntdvaii^ 
sdlide B , nerm^ egaux aux anglei phtip qu^iorttitol 

_ _ _ es siemblablts ont%yytii'eflio-^ 

'liH^fferf^^f fotf4.(fe«# mf'^h'nrzi. 

logue^ 4ga^. 



J 



I 



le$ sommets de deux angles $oUdbi<jlicbiidbJfrfillfedbilte| 

Liable^, I'ltildiMtscm dnrpIv'ln^Afi^i^ 
y^Ileii^^iMiii tm^erV^l^ p«ieiHfi|ilMit )M^pg^l|)dlM 

^tlyji^Ov^st^^lfiiQieetle (ksfhn^ 40^4 W^^dbw^ 
iliixm}iv6twanehb \es {)qpemMnti»>'incltnai9(Mij|''<lt«4iiV<i 
nvstiiij^ ilf-rfsteraiViiveUhaiiOfi deft plonjitN^G^ MAfii^ 
^gviie^i^^eelto^dW.fium nnici^ mm. Mak, ji.eauee do<I% 
9itnii(is^d&))Aei» tn^^n^ pyFamides > le triangle MAfi^cii 
semblaUlq a /7£i2t?, et le triangle NAG «fit ^emhlubka 
tt^::9ahd)Ibs dl!iU<p£yramM^ tni|n|[ulAi|Ks lAPlAC « io«.^^. 
OKoa^l/iQiiudpuxifiSLCbi semblables dtacute^ i^tKafiili^ 
se»bltiblfi|i€^('^a^s ^ (%ai«n)«Q| , imAwM$«fb'0pM» 

iJ^wt/ijitt^aaUeurp AM;a?n;; ABi«i4;<'diracoM^lAV 
dD^ienft 1^ 6t»}» deux amres sonmptoi^ B0iftibg«0i|^ifaHl ~ 

}^imr^f»U}f^int AB:il. I}iAi<l 9aKfifii<»mdBBt9>ai 

:: PM :/7/7/. Done /^ ^r^a^/i^^BHHbfavydmi^if^ 

angle pnm qid joint hs trois .sommeU h^nmhgu^s tU 
U^afUrepokrecli^t},^ _ . w. * . r j^. 



tyS cxomAtkic. 

■ffli' I'inclinaiiOi. il« p\»/ tW, PMN, ejt cjalf 4 

QiVmregbri ynm. Condfevez en N un aDK^SSi«y^''9Tl'j 

effn'ili, angtj, iol,j|eJforir^ ^ar B fJjois angjaBjiim,! 
ftj^'i'^^'f'phm: piAsq'ue ces angles' plans sonfeff^fjXf 
cfaacim 4 chacun , il s'ensuU que Les angles spliSes sont 
e»lt»J8 l^'nilmSn'.Sis fei plil>« Pffi ^NM , „ 

.ffiast 



■■■" triaiij 






m'eni^ F^n^ auquel cas on aurait rangfe QNMz=:0|]^^ 
-H'!^Mj''<i'''^ai"''a*i 3"*^ Tangle yf?'^=,j?''/'7^/'/^p5ni9^d 
l^^fiSux'iiSarigles ^/(f, /7/im, seraient au9ci,^^|^gj^ 
m^ie plan. _ , , ,., . ,,/ nO 

*Tpiil ce (jfui' vient d'etre demonti^ a lieu,, g!y||{^, 
'^qfii sbient les angles M, K, P,'Q, co(npiire?,a.j^j{)^,j 
homologues m, n,-p, q. 

Supposons ntaLntenant qive Jaf^Wf^^if t^e I'un des 
polyedres soit partagee en mangles ABC, ACD, 
MNP, NPQ, etc., on yoit qiift la^surface de I'autje 
polyedre contiendra un pareil nonibre' de triangles 
aAoi,\«oa^,'rtiftjB^n^', eic, se(*tffahWV"*t^SffliiBiaB^^- 
megt^pWfWSf .^si.phHietU-s triao^v^vbtMilt^^MI^,'^'^ 
N^^^ejn- , ii^tj^i^aniBnt a \m.ii mSnld v&ie\et 90nt"^ 
dans un meine plan , ieurs homologues jnjtvf ,u^^-^i)\'^ 



3a I 






egauK 



& chacun, etlincliaiiiadn ^e aeiix plans 
f^ate''i'celTe-3SeursV<l"fofiim;,fe 



__— X chacun a chacun , et rincli^^>^dn lie aeax 
adHcSlieWlfiall ■ 

IXwc eiifin iH!u!c pafyMi'es senjolnble.s ont les H^&s 
liolnolo?uCs seinM^es A Tes aiiKles golides liomo- 

qbe'si, a^c quatre'somniets dun polvedre, on fornuf 

ofioli ■ !"«* . viw i-'Hiuiuuii:uil 'liTil "111 ilrx> li 'J'^^S" '" 
utie pyramicrij- u-ianguljwe ^ ,c;:,,ttu on en, fori — ^ — 






r.^^n^fv;^". ,^/?T^ |'?^i« 



, „.ec"'lM rfuatre strtiitbets'lromoloinieM (run 

- -1/ ' V!'!^!^'^ Ill/ri: '.. -i- ' 'JJ'!"' M""j -llff^in 

— semblaoie, cesdeux pyramiues serowfcsMi- 



biiftd^Vj^lar^enes auriDni'ies cdte^ homologues pro- • 

On Toit ^fi mSme temps que deux diagonal^jbif^- 
irfoRygfeW'^',''par exemple, AN, an, sont entre ^U^f^j.'ijj i. 
cdiMtt^ 'iieVilt 'Mies homologues AB, <i6. I ,..,;j 

....b lUjIalpB^QpoSlTION XXV..- '-'\'--''', 

,a:!A ,:)UA i^-.^',.- :> ■ -■•'--"■■■■; 

a'!)jii;'l all 'j-ji;! ■■I'.T'lt R'OrRKM E. ■-"''' ■'' ; 

ayli;in;iil '.h ■vuLu..,' ■ ■ ■■ ■ -'■' '■'■"jl.^^ 

ger/^en(jj^if»4me'^n9fohre tie fiyvfunidef>tPidtt^'-"'^ 
laitvfi- sembiiiblvs -chaoune a €hiilctiHfe,'Si^se^-^ 



* ^dttitiitlh celui de ratigle a homologue ti A ; il est clalr' 

fyftdpe fi6M ^emblable a la pyramide qui ]oint les qua«- 
Vt^ BomniDtt homofb^f 9iM Q'Slitre polyfedre. Done 
deux polyddres semblables, etc. 

• ■ .--j.WAw^.^ient.J'angle soUde S coihmun/AijJii'its'eft&s 
^^^Q^j <3^p^^j 6^r0n?, paralleles4 <5ar, jptfaqut? Ifes 




con^e- 



.,,eg«\l,a. SAB, ainw qw S^f a SRCj done le otanV , 
• ,3 5, est parallele au plan ABC*. Cela ppse, '$b.ii/DU,^a 
perpendiculaire abaisstee du somnfei S sur le'' plan 
ABC, et soit o le point ou cette gerpendiculaire ren- 
contre le plan abc ; on aura, suivant ce qui a el^ deja 
» x5. dempn^re *» SO:St? :: SA:S«:: AB:<7^: et par c 

nc?i:tAr(dk|r.)e>r i^ ^^^Q,o :: A* r^iJr- m ■.( of) .<nib 

Mais les bases ABODE, ahcde. cjtanjt des figures sem- 
-•]fl:id^Jafe^^<ii9ii.;i;ipCT|jW>j^^ %Wri»9^il W 




bupcae; done deux-Byramides seniDmbTci 
elt^s iJbmiiie W$ ciibes (Ie^eui4"a^*fc6iii 



oimrbgiksy • 



lh.h !;.,<) n . A fl -M.^.f, ,„f,.| v^ .,^,„; I ,jf, i„|9^ iimiimo*. 

-li/jp as! Jdioi li/j. t;i,iau.i((j nlj; uldJ.iin-,-. inj« ftij^'r^l. 
OHoQ .oilw^loq ;nnj«:P 519 %4i«(If..r..j.l ?j-.mnio& art 

Deux pofykdrts semblable^ SDnt enfre &aa 

Car deux polyedres $emblables peuvent 6tre par- *«• *«1H 
tages en un meme nombfe cte pyramides triangulaires 

•c'WH'\^N>^ 9^WuMh^^ Or, J.es deux^yra- * .3. 

inides semplaplcs APNiM, apnm^ soitt^ eritre elles 
comme, fes chibes U^s coteV homologiiVs /^M^W/SV^du 
^ comme Ics cubes des /cotes homologued AiT, ttai Le.|^i£ .si 
^meme rapport aura lieu entre deux amres pTrainrafcs 
homolo£:ues quelconques; done la ^omm^e de totftes 
.JesopYraniides qui compos€*nt un polycdre,'Oti le^po- 
. ivedr^^ luf-meme, est a I'autre polyedre, comriie le -^^f * 
(cubfj M*un cote quelconque du premier est a'u ^fte 
d|U cote ho'raoldffue du second. ' ''^" .i J.s *' 

• ,c . . . ' ' Scholie aeniral. ..^lA 



il • r ■,?') ♦ 



On peut presenter en terroes algebriques , c est-a- 
dire, de la maniere la plus $ucci^9te, la recapituiation 
des principales propositions de ce livre concernant les 
*so!idite^des polyedres. ' ' '''• '^ ^'*i ?'i>^^ 

Soit B la base d*un prisme, H sa h^f^rf Ih'iiyi- 
dite du prismb isertt Bx-H ou Bflj »/ 
fid iis6¥t^j^4« bfii9&^'dUine pijriBpudei H.$9iJb^l^ 
solidile de la pyramide sersiiftKrp^T»r^UiiH}silft^)pu 
jBH. ,\ ;!/, ;-.,x >^.^\ . x,^.^;^; 



02 




t,<»^^^ft,i^^X^-^BTt:yA^;). ,,;, .^^^;^^ ^,^,f,^ 



Soit B la liase d'un tronc de prisme triangulaire 
H, H\ H'') les bautttui*^|cle te& Afoif Y^mmets 8upe« 
rieurs, la soiidite da 'pl'iime tron^ue sei^STjB X (H + 
H' + H"). , 

Soient enfin 1? etp les solidites de deux polyedres 
senUilablefi^ A et a ^^pW;^^f^^<*^^}tu^ diagonales 
homologues de ces polyedres, on aura V:p :: A^:a. 

.&KOiTi9iiHka 

.«i'^\^^n'> olkrjfp iioiip nionjnii Jmoq* 'su/I> * 
^££.8a.Ti:q oiiiil^M'f Ji'/'' In )'fii'' rl oi»j> -I'^nr^Mfii'lMMq nO 

"^irtnii.ili ti^ v:--'- < '*' 'I "^J vi'.- /-;" -^1. iih nuitjjfo73T i;l 

r,.% i . . « ' fi . • . '• • :»'«: ^^/.G 'jd'iuoc> 

.J oilnoD lib 
'.«,..: ' . -■ ' '•.? \^^ "^V, ^\cv^w\ OvI MI 

«j' . V > • 't .,.>,j nij j'; oilfrOD rjfi ^^n 

otyji ' • 'M» 10 xnftg) jnoe eaiJ^nnfiib 

.1 .iq • /;i eb noi^ i*)> .' • •• • '.'jtaornbb r,'io?. 11 .111 

al inq o-^fi.q in; .^ ' .^^:^•:J Wr\>, dlfoqqfi no 

^jfin *■" '[ r * >«'• '»'-*'i v;:>'Vsi'i V\1^c\ f S'lJnsD 
iijs Iiijp?/ioi 91 ''H rr> '.! !. i^v^v^'^^ ^^'^ rvP^Vs nlJ .VI 

.eofjiirj?. C8 cwt nrnKimoD Jnioq no up 
inioq iTir Jfc9 fti^rfqa fil db isNcAVd s^v^'V^ bW\ 9 J .V 
9b aJnioq e9l enoJ ob 9nj5iol9 Jn^inJnjiS QjtliiiA fil ab 
.ar.icj* jj3ot 90p *irov cial nO .9loi9a 99 ob :fnn9i9lno9iio fil 

.«9l6q XJJ9b eiiio[uoJ k ^Jlioq no b<:ng ^9b'i9o 
• 99cHjja fil 9b 9ii'ffiq smi Je9 ^i\^V\'*34\si^% bV^v*v^'»\\ .IV 
,e9bi90 iibxifii^ at; goifi elo iJ ifiq osnqinoo 9 (x^lqa fil ab 



.. -9(jii8 eJarn«o|- ^«^ ^ ofwayiftUjr.rl e^I /'H /H ^H 
.T^ •/ A :: «\: ^ «njc no f«^ib3^foq e^') ^b ?,!^irt>o[ofnof( 

DB9IlfITION8. 

I. Xja sphere est un solide termine par une surface 
courbe, dont tous les points sont egalement distants 
d'un point interieur qu on appelle centre. 

On pent imaginer que la sphere est produite par fig.aiMw 
la revolution du demi-cercle DAE autour du diametre 
DE : car la surface decrite dans ce mouvement par la 
courbe DAE aura tous ses points a egales distances 
du centre C. ^ 

II. Le rayon de la sphere est une ligne droite me- 
, n^e du centre a un point de la siu'face ; le diametre 

ou axe est une ligne passant par le centre, ct termi- 
nee de part et d'auire a la surface. 

Tous les rayons de la sphere sont egaux ; tous les 
diametres sont egaux et doubles du rayon. 

III. II sera demontr^ * que toute section de la * pr. i. 
sphere, faite par un plan , est v.n cercle : cela pose, 

on* appelle grand cercle la section qui passe par le 
centre, petit cercle celle qui ny passe pas, 
"» IV. Un plan est tangent a la sphere lorsquil n a 
qu^uh point commun aveO sa surface. 

V. Le pole d'un cercle de la sphere est un point 

de la surface egalement eloigne de tons le3 points de . • ; 
la circonference de ce cercle. On fera voir* que tout 'pr-e. 
cercle, grand ou petit, a toujours tleux p6Ies. 

VI, Triangle spherique est une par lie de la surface 
de la sphere comprise par trois arcs de grands circles. . 



toujours suppo^c^ pliiir' p^fftf (Jfle^^' dyml^MrecMfj^ 
rence. Les angles que leurs plans font entre eux sont 

les angi^' liAWgife;! ^ '^ti (^oqo/iq 

VII. Un triangle sp|;ieri(jue prend le nom de rec^' 
tangle^ isoscelcy equtmit&tl dihs les monies cas quun 
trianffle rectiligne. t - , . 

VIII. Folygone sphenque est une paiiie de Ta sur- 
face de la sphere terminee par plusieurs arcs*ae^Pl?aif3s 

;^^ IX; /^^^U^^stla'V^rtV d'^'^la'kirfade de la^t^J'^^' 
'compnse'^'tre aeiix dcmi-gftnds cerdes Vjin >^ t^ 
il^nent a uri dian^etre comnjun. '^ ' - - 

,,Xi Tappcllerai tfi>z>* on of^gl^t spJ^erique li^^Wr^k flu 
splid^ 4^ la sphere comprise entre les iiie^rei'^deini^; 
J ^. gr^zid^ <«rclp.Sj et u }aqueIlo le fuseaii sert de^iiaii&i^'' 

XI. Pjramide spherique est la mrti^,^ ^oU4^ 40 
1« sphere oomprise entre Ws plans dun anffle'jsQ^e 
AQBt le somniet est au centre. La ljia§e de la J^ypniiua^' 
oat.'lf poljryone sph^iqiie intercepte par les mi 



plans. ,. J f ' 

. ^^JjLJI. X)a appelle 2<?/jtf la partie (le la sufKce d^ 
sphere comprise i^tre deux plans p9r£lleie« oiii ^lii 
sont ks 9^^^^. L un dc oqs pian^ peut.etra ittpfifent a la 
' ?PlW^.».»i^^?;J«' ^^"« "^ ^H une b|ise,^^, ^^^ ,^. ,Y,j 
,1 Xrjy,, *%^^m/5 sphiriqw est l^ po^^ c^^^i^^^^ 
,4e. la .sphere ^f»mpi% ^ntre deux pl^iijij|^TJ^^yj5i^j^ii 

fig.ftdo* XIV. £it hauteur eTune zone ou d^^i^fSifgn^fn^^j^t 
,icts .«& sttrf^liiB^eiille* de9terfrfaiti^>,p^^ fso?iit f<e« 

XV. Tandis que le demi-cercle DAE Iriur^ant ji||i- 
'^^impc ^^^^iil^tb^t^^lSlAiksck Misp\i^e(ii^(tom ! seVltcur 



PROPOSITlbN PflDBWtEllE. 



< « r ,' ! 



2b2il^ s&i}iion de la sph^H9 fHitS p^t un Jitari. 

Sou AMB la section faite par un plan ^ahs la ¥P^,ere fig.Bii^ 

.Qulaijee.^0 3Virle pUp,^MR, et ^ifl^erentej^^lignes CM, 
CM, a different^ poiii^^^f|p^^,^qjjirl).p;3^MI? qui ^ermine 

•'iiii'^f?;'^M'iHlft^^ P^''^^^^ CB, sont egales, puisqu^elles 
*^?5^^f^l/^y9^?i ^^ ^ .*Pl*^r<^ V pl'^* .*^"^ 4pric egale- .. , . 

Jpeijt jeloigpees de la perpendiculaire CO* ; done touti^s * *t 5. 
e^ lignes OM , OM, OB, sont egales; done la section 
AMb est un cercle dpnt le point O est le centre. 

Lordllcfire I. Si la secuon passe par le centre tie la 
sphere, son rtiyon sera le rayon de la sphere f dqnq 
|qus lesgranc^ cercles sont egaux entre eux. '*.*.'- 
, U, lifeux grihas cerct^3 se coupent tbujours £?n Seux 
parties egales : car leur inter3ection commune, psuj-. 
'sant*p^ le centre, est lin diametrei * ' ""^ ''^'^'* . 

in. Tout graiid cercte divise la sphere' '(it salsVi'rafce 
''k*'iEfetfl!'p9fi9(^ Ighle^i car s?, apr^s avorf s^ii^ les ' •' ' 
''<!fei^'liyei^figr^!^,^6h les appKque sur !a 6a5e^c^- 
mune en tourylant leUr convenitis d& ik^tti^ cdM ,' les 
^d'feiikfsdrfac^s' colncideroiifTufVe '^ec FaUtre, 4ans 
quoi il y sfu^a'tfeslp6iHtS'^htf^fe 

' :' IV. Le centrfe'il\tft^p0ritiji^r4feiit e^hxi AelX'^H^hhie ig. mi, 
sont sur une mSmeOtti^tepet^eii^culQke'aW^K^du 
■*petitcercl0. '1/ n .>'.:i'r.^inivl; vl ••..^. r':>ur.Y VZ •» 

i^^^. Left pel^tS'^^p^ys fioiil^d'3tlaiii>: pliiJlpQlils i|iN^jls 



4^tfAifci..,feM'Jc«kl«-A»iB:"'"' "-'fj'J"^"' *« 1°'°^ 
VI. Par deux points donnes snr 1a~iurra63 oime 

cM)ll» l<I<nixi ipqiAb \tmtSi-'^'\e ^f^WlV%^re^ 

fi£.«a*. Jjqnsjf^ift triangle. spherique{hS£>iiitu»\€dtS«^ 
qifeiconque est. plus petit que Id stm^n^depvtbih: '-' 

fiot^ a le centre de la sph^ , 4^ S^itV'fiJab^^ \l''\ 
rajQM OA, OB, OG. Si on ihTa^#"feSf*pfe\«PA(5Kl *;^ 
AOG^,COB, -ces plans form«Wni« feif^^ififO WSifM^'' 
solide, et les angles AOB, AOC, mUfliiif&ai^oii^''^ 
mesure les'c6tes AB, AC, BQ^dufvi^Rgie sph^rique 
ABC. Or, chacun des trois angles plans qui composent 
Tangle solide est moindre qoe lb' somme des deux 

est momdVe qtxe la somme^ des deux, autres. . ^ ,^'^ 

PROPOSITION III. A-^x-y^ V^i\m^ 




pbint Al meiiez les arcsfilii igr^M§occmlf sidf A^^'MS',^ 




u,eue 5oit-tQutJS.autraii££nfiL«5ii«e^l&i^^ 




ner le point M sur le. point N , et alesnlaDligMilia^pt^I^ 
courte de M en B, quelle quell^ sok, ^5^ confondra 
avec celle de N 4rf Jyf oonc res deux chemins de A ea 
B, Tun en passant par^J^i j^*|i,i^l^ en passant par N, 
out une partie egale de M en B et de N en B, Le pm- 
mfefesjbnMip 3ft ( pa^^pdtit^se , le pltis fcotirtV oqric '*'^* '^ 
la 4^^ipei^bi»sAs^en< M^ 6»r plu^ courte que Id disiattc?^^^ ^ 
de A en N , ce qui serait absurde , puisque Tare' A^^'^^ 
est|}*^§ife?ft^4ft? 4!?^.>'4^t^f ^Mcun pd»t deila'Wg^ 

3ar"'j«iq'">^ft'ty^sitroN iv. Vk -.o ■)a^ 

jnaeoqnio-) mp .n.,!.] -'■.-■ « • - ..u..i.^,,iO JUA 




r/j^^e e^^ 'moindre que la circojiference aun 
grand cercle. H^ /.oITl^()'lC5«.4 

Soit ABC un trianglg jy:^^4(|i^'iquelconque j pro- |{g. ^04. 
longez les cdtes AB, AC, ju^qu'a ce quils se rencon- 
tren^^^^Q^VY^i^i^u:)^-^^^ ai^rvAJt^DV^AfSD ^^^\i:(^ 

se coupent toyjc^^njj^f i\^f(j^a)tjstifc qg^ldsftj^yatt^dak^'^i ^ 










* « 



Fly/fUs<ltfi f^uf t^ticofitrc! in GVtiii aura fiiy<?*e(i^ 
4^*ejt);'d6iie le Contotir du qnaAvti^eeTe' IWIf^'e^^ 
l^m petit que celui du ti^lahgle AFfi ; ce^ul-ci est^pfeSf 
If^rftrqtie k circonfdi^eiice dun grand' CjBrcV(l^;^ao^^^ 
a'pyiiori le contour du polygon e'ABtlDftfest ralS^cfife^ 
qo^ i^ette m^me circonKrence. ' ' ^"^^" ^ ' '"^''i ^"^ ^ "''^'^ 
'-'^Sahms. Gette propofcitiott^ *st W* feiid la^ Wft^^^e 
lallilH*dAKtTe-^5 car, si O dftie^y^r^^afc%^^i«&#/^ 
oW»p^ltt)| imaginer an point O uii^^ttgte^S(dM6;'fiiite#' 
jM^ leS' angles |)ians AOB/BOC'^ GOI^j^'etd;;' iil^^^N^ 
sttttmi^ Vfe <^e4 angles doit ^re plUSjtetite^^«e'^tttf»^« 
aiigftfsidmite, see qui M difti^t^ pas^de^fe prdp#ikio^^ 
present^; La- deinonftirationqu^ nomiB'|vem«|s(df» dtiii6U 
^'''ndr test different© de ceile du Uvre TjlfupfevfeyiFautrfa] 
stipposent que le pdlji^j^ne: ABCnfl> ^t^kpv^x'ti^ 4^1^ 
(|^*ftUfmn €6te ppolon^necoui^e'la «figute.i^'0 i M 




qui lui sOnt parallelet. ■■ jcn.t 

Car J}C etan^ n!'9l^"^fg'^f(T(.?Vl tf^** AMB,e3( 

perpentliculaire k toiites Ics droites QA, CM, CB, etc., 

menws par son pied ddfiS eerptdh') done tou» les arcs 

les points I) et E soht chacun egalenient eloigoes di^ 
louslespo+p^^^ we^IBj doncilpi^t' 

les, p6ie» deceit i^J (1/ '->■ ■ ?■' '^^^^'^' 

_,Ei.,Mi.cpndU Q,^EeTB«^d^^^iVe f^^i 

plS^p^jaB, ^s^.j aSo^.,p.|KJjlefs,|;j?^Q4.. 

sV)(jB,^^ 1^. obljaue^ DF» pJV , Dp ,,c^i;^ ojbUtiufls ^'^ 
rartenui^ ^al^ipent,de la perpentlicufaire Ppet Sfft\ii\ , 
ejf^esj W^is ^es ccN^tl*'^ ,et^nl egale*, 1«^ arc?^i<;^^ 
eg^iix ;q(fiic toxi^le^ ai'cs DF, DN^, DG , etu., eont eg^\^i 

FNG , et par la ni^me raison le point K est l'>>^^^ P^t.^ 
« ><fWff#f«!r*l;J-liT»»(.?rR PM mpn6 dun p^i^il fj« yure. 

<wA(ffftMfc.au*^B*i» appellcrons ppw abce((*c-|U«.. 
yi(«^&«rt*a.,owi«P)flu»dflanl, et ce (jv^draMifet «*!. 
rB^IWjte«p» llRupgladfpitave*) Tare AAiiC^J%litffl*.' 
Qfiiiit»i^i>lfr^i1tli«ula)re w plvi 4%tG«<^tobt'-.|%oi 
DMQt qlii ^fuuM paaT'la ligne>£Kj<»tip«rtwiM(ifcidaie»«U{ 
{daniiAMC n^idbnB Ikngle do coL'pilanaj'oiij uuTttDtilBi**s>^> 
Mi, ;n4'J^n^er AMD, list unMigl* diciti i. ..";.) mi 
II. Pouct>OBitSG4&f61ed{i]iiJi|pti'ilDiinri>AU)m«hMJ 
I'arc indeBui MD perpendiculaire h AJVI , prenex MD 
egal k un quadra'nt,' et le pomV D Mra un des poles 
de I'arc MD ; on bien' M^fr£ {lii^'meux pointi A et M 
l^s^af'v? AD.et M^ pecflep,iji^i(|^s ^xAM,,.!^ g(H<rj^e ^^.^i, 



Q«68 «libiii«ii«. 

» 

ill. Rfcip|'y^em^u.5j la ,^f?^^ da point D k 
chacun des points A et1\i est egaie a un quadrant ,]e 
dis que le point D.sarai leripM&de Tare AM, et qu^en 




■^- s.l 



rayons CA, CD, CSfl^pWi^ll^ i^d^h|l»»^A%i)^iH!fill, 
i tobtidiviu^ lailififite^ 60 >c^p«i(pei^ajd{fik!fc liuiDileux 
idrQife»<}A^*'€A[^{» domffeti^ dsrpefpendic^lili^tiD^eiir 

plari^*/cldii^:J& >{ioiKt4) ieifO^'p^e de^^^ f^ 

'>»fittijiM%igfes|BA>MViiiMl>^^MbtdrMl^^^ ^^ ,t{<nh 
nmi8cf$ott0.r Lefl^^9|ft)fAryt^dtisr|i6le^^dMsfei^ 
tC^iu#4«slltfj«6<^Hti«ftjpliii«il dbs tt^fd6^c<lf^le»«il«c 
*la'^j^ fltailtl^lpfife ^ilt Utie'iltfrrai^^ ptMelfiOtl''vbH, 
3l^f«ArffiJ)le j^qrf^n ^ttAirit^ot^tner !•&«; 'i)F><rti ^f^lite 
^,U!»* autre ligne de itieme intervalle autdu^ -Al^'^dlAk^tf, 

r^i^feiiM^'Fdfcrira Ife^tit c?ett;W F?fQVet^Sl>Al?»fait 

tournfer le ^adr^nt T>FA aut6W^'da''f)c8tft''E>{^*^e«- 
'fi^rillt^ A difcrira Tire de gratid't^rfele? Aftl.^''»^'^*':i"*i< 

'• Sflfout prolorlgerrarc AM,' bii sl»dn fte'tlbrt^^^ 

'Ra poin'ii A fet M par l<^%idls^^f ^tf (kfi*'jffe'iei*V^^^^ 
determinera d'abord le p61e D ]^A¥^^iyi^^dlfotf'^ 
deux arcs/ demerits des points A et M comme centres 
avec un interVallii egal aii qliSaranT.'Le p61e D ^tant 
trouv^, on d^crira du point D^ comme centre et avec 
le mdnie intervalle , Tare AM et son prolongenient. 







*- 



-eliaib Iffoia* ,(JI/.A .K/AI i6**|ofic g*>J ^qm^ dca^m 
droit, et aiiit*tl»idiitf^<^K<i|]^I4Mtil |lkl9ffgr«ild«}g|iie 

tangente5.j/|yBri«^<^,^^Htm ; jojr$(}ue la dis&9PQ(}e d^4l9U|ft 
«||^»»ft(^<i(fgfth^^..k pcvrnme ou a la diff/ercw^ de 

it a aussi.poiir mesure cArdDEj,aedmauik)im 
A comme polk ehtre les cotes AB, ATJ • proTonses 
J // ^^f necessaire. 

Car la tangente AF, menee dans le plan de Tare 
AB, est perpendicula|re au rayon AO ; la tangente 
AG, menee dans le plan de Fare AC, est perpendi- 
culaire au meme rayon AO. Done Tangle FAG est 

i4 



*i7,5. ^gal k Tangle des plans OAB, OAC*, qui est celui des 
arcs AB, AC, et qdise designe paf RAC. 

' Pareillement, si Tare AD est egal a un quadrant, 
ainsi que AE, les ligties OD,'OE, seront perpendicu- 
lalres k AO, et Tangle DOE sera encore egal k Tangle 
des plajis AOD, AOE ; done Tare DE est k mesure.de 
Tangle de ces plans, ou la mesure de Tangle CAB.' 
' Corollaire. Les angles des triangles spheriqnes J)ett* 
veiit se comparer entre eux par les arc* de grands cer- 
. cles d^crits de leurs sommets comme p61es et t^onipris 
r 9iiti« leui^ c6tif9 : sinsi il est fiicile de faiire un angle 

fig. »38.. ; ^ohoUe* Les angles opposes au sommet, teU que 
■ AGO et BCN, sent egaux ; car Fun au Tautre est tau- 
jottrs Tangle forme par les deux plans ACB , OCN« . . 

On Toit aussi que dans la i^ncontre de deux ar^s 
AQB^ OCN, les deux angles adjacetits AGO, OCB, 
pris ensemble, Talent toujours deux angles droit4. "- 

PROPOSITION IX. 



THEOREME. 



fig. »a7. jStant donne le triangle ABC , si des points 
A, B, C, comme poles ^ on decrit les arcs.lE.Fj 
FJ) , DE , quiformcnt le triangle DEF ; recipro- 
guen^fit les trois points D , E , F , seront les 
p4U$ des cdies BC, AC , AB. 

Gar le point A etant le pole de Tare EF , la disunce 
A£ est un quadrant ; le point C etant le p61e de Taxc 
DE, la distance CE est pareillement un quadrant; 

, ^ , idOac le point E est eloigue d un quadrant de chacun 
« Q ..des points A et C ; done il est le p61e de Tare AC *. 

«w. 3. .Oji.d^ontrera. de nm^me que D est le pdle de Tare 
BC , et F celui de Tare AB. • 
/ CgrolUure. Done le triangle ABC pent 6tre decrit 

i- :^A . pdp le iiio;en de DEF , comme DEF par le moyen dfe 
ABC. ^ 



■«<k i"» 



PROPOSITIOJijX.. )/ .1/ > /i, 

f J f 1 f li » ■ ' ,) ' I J » » I ♦ ■ ' . • . -if' ( ' I . . I ! ) . . ' • , « } 

» A 

' ^"tes TTtemes choses ^tdnt posees que dans le 
tli^Qveme precMent ^ chaque angle de Van des 
priangles \ BC, DEF , aura pour mesure la demi- fig. aa?. 
pirconjererice moins le cote oppos^ dans Vautre 
triangh. 

Soient prclotiges, Ml-est nccessaire, les c6tes A.B| 
AG, jusqira la rencontre de EF en G i^t'H ; puisque 
le point A est le p6le de Tare GH^ Tangle A aura pour ' - '^ 
tnesure Tare GH. Mais Tare EH est un quadrant 
ain^i que GF, puisque E est le pole de AH, et F le 
pdlo de AG ; done EH + GF vaui une demi-cireon- 

i ftreiice. Oi* EH + GF est la m£me chose que EF + 
GH ; done Tare GH qui mesure Tangle A est ^gal a 
line demi-circonference moins le c6te EF ; de mdme 
Tangle B aurd pour mesure ^ circ. — DF et Tangle G , 
-circ. — -DE. 

Gette propricte doit ^tre reciproque entre les deux 
triangles , puisquils se dc^crivent de la meme maniere 

'Tun jpar le moyen de Tautre. Ainsi on trouvera que 
les angles D, E, F, du triangle DEF, oni pour'me- 
sures respectivemenj; ^ circ, '• — BG , - circ, — AC, { cimc, 
— AB. En effet Tangle D, par exemple, a pour me- 
sute Turc MI ; or MI + BG = MC + Bi = f c^^. : ^ 
dotic Tare MI , mesure de Tangle D, :=:^eirc. — BG, 
et aitisi des autres* . v 

Scholie. li faut remarquer qu outre le triangle DEF fig. aa8, 
od en pourrait formei* trois aUtre^ par Tititersection/* * 
des trois arcs DE, EF, DF. MAis la proposition a^- -^ ■'''* 
tuelle na lieu que pour le tl*ringle eentral, qui'isst 
drstingu^ des trots autres ert ce que les deux angles A 
et D sont situiis dW m^e cdt^ de BC^ \(f^ detttrB ig. 217. 

14. '^^ ' 



fig. Mg. Etant clonne le triangle ABC, ^/ du pAlf^yk^jsi 

de rintervaNiAC/'akietSct/i^ ffi^a tfe peict cerde 

DEC : j/ du pSle B ef cfe Vinters^alle BC oa/ Jemf 

pareillement I arc DFC , ef ^r^e du point D , ow 

'^s^lir^'^Sm^^;'^'^^ mri^ les 




a celles dtitriangld AGS. ^^ ^ '^^^^^"^ ^V\c]^ 

.oEfi/jH ^I -fjai. jyar eonstructiow ie ic6te 'ADr^AC^Dbif^G, 

'^AIB -fest ebttiihun ; <tenc ce6 deux trian^lc^ \>W fesiAlSs 

^cg^Tix chacun a chacun. Je rfis ittaiht^iJlfat'^^iii ftis 

m^Jei opjposfe aiix cdte* 6g4UX ^ontt e^ati«]'>*^ oin-uu 

''En <?ffet, si le centre de la SphM-e^^^t iUgp^gsili 

^0\^dn pfeAt concevoir un angle itoiMlEi foWwAm^tiftSttt 

»0"^dHl64 trois angles plans AOB /AOti'J^IKJff f^ 

^feftlfc'fedfttevoiritfe mdme un seoortdl^ngi^'^qliaelbi^ 

^ ^«^i» angles plans AOB, A01>,' Vkm.^ *fe |^. 

que les cdtes du triangle ABC sont egaux a- *fcelik"Ai 

triangle ADB } H s^ensuit qne te^ 'aD^es plans qui 

forment un de ces angles solides sont egaux aux angles 

plans qui forment I'autre angle solide, chacun a 

^ J ^ >^la<aEln^^<^lais tians t^etsasi^a et^ idfsniondErd^^^^ les 

^^«^^ iftcli/i^tWt?(S\ m^^ ^^9^^, M ^^n^ W 4u^ti?i^5^e 



x' 



pas une egalite absolue ou <le sirgCTpSsifloi?,^?'!! 

Ut^ dont i) s'ljgiit ^iQqepqifpCftif}^ jfTftm d^ja appel^ 
une ^galit^ par srmnietrie, et par cette raison nous 
appellerons l^s triangles ACB, ADB, triangles sym-* 
)mAri^Mf\^ vt , OflA ^\^s\r>n^ ^3\ $>s\5u>^i. 'mviVA .esc .^a 

THEOBEME. , * 

pris entre cotes ^gaux fff^ci^;j^^cl^gifii,^^\^^ ^ 

ailf ftij^ngl«ii4fift.W ^^ «pn symmetriqu^ APPyj?^ ^a 
inenie mapi^ff )^q^ ^^perpose deux tri^^gjp^ /e^t;!- . 
i^S^qajM A«tjiWfj^»ele ;egal compiis fi?Hr^.,qbtes 
jl^»%J^M(*>«^Mf ie^ipani^s du triangle, gfp^/i^rqiit 
cl^am*icetk^ aIu rttW^jt? ABC ^ cVrft^-^^irSj qw!f}^t9e * 
^4ftSii(jrqWJp^r$i€^^jUii6fQiii suppos^es ^^^^^j^i^rftJe 
-fi^^ jEfC miR6,^ 4^»Pgte ABC =::; Ei;(l ^ .P\^fW^ Jj^ 

iijp ci!(f,iri ^olgka-EO^S-JTlON X^lillA bl-a/ihj 

, ^ , ,?, TUBOREMJE. . , , 



pareil des u%iA|l§J^fcH!i^eS?'>*^/^^^ ?*.«/. 



%i4 GB€MBT&IB. 

■'\ / . .PROPOSITION XIV, 



. ., 



THEOE£M£. 



iSV Jewj: triangles situh sur Id, rh^me SJ^ AeW j 
pe^ jwr eZ^j spheres ^galeSy sont iquiidt^nutas 
entre euxi Us seront aussi equiangles , et les angles 
iigaux' seront opposes aujc cotes egaux, 
fig. aag. q^j^ ^^^ manlfeste par la proposition xx, oil Tpn a 
vu qu'avec ttt>is cdtes donnes AB, AC, BC, on ne 
|>eut faire que deux triangles ACB, ABD, diff^nls 
qnant a la position des parties, mais- egaux quant a 
la grandeur de c^ memes parties. Done deux triangles 
^uilat^raux entre eux sont ou absolument egaux, ou 
au moins egaux par symmetrie ; dans Tun et Tautr/e 
r . . cas lis sont equiangles , et les angles egaux sont oppo- 
se aux cdtes egaUx. 

PROPOSITION XV. 



A 



THBOREIttB. 



JOlans tout triangle spherique isoscele les angles 
opposes aux cotes egaux sont egaux ; et r^cipro- 
quementj si deux angles d'un triangle spherique 
sont 4gaux^ le triangle sera isoscele. 
fig?a5i. . i^ Soit le cote ABr=iAG ; je dis qu'on aura Tai^gle 
G=B : car si du sommet A au point D, milieu d^^la 
base, on mene Fare AD, les deux triangles > A i^P , 
ADC, aurppt les trais ogites ogaus^ cha^y^u a jchi^cunj 
savpii!*,,AD comqmn , BDrrq PC<,^t AB::^AG : dojcy:, 
par le jthqoreme prepedient,,ces triangle? auronij Jes 
alleles egau^ , et on ^ura B n=; G. 

HH a° Soitrai|gl6B=05]e dis qu'on aura AC==:AB : 
car si le cote AB n'eatpaSHBgiJ a 'Api, 3Q\t AB le plus 



■J^ggmgmg^ 



grand des deux, prenez BO = AC, et joignex OC. 
Les deux c6tes BO; BC , sdiit egAft^ ktrt^eux AC, BC ; 
Tangle compris par les premiers OBG est egal a Tangle 
compris par les seconds ACB. Done les deux triangles 
BOG^\A:.GP^O^t les autres parties egales*,et on a *»'• 
rangle.OCB=ABC : mais l^angle ABC, par hypothese, 
= ACB; done on aurait OCB=ACB, ce qui est im- 
possible ; done oh ne pent supposes AB dilFdrent de 
AC ; done les c6tes AB , AC , opposes dux angles ^gaux 
B et C, sont egaux. »> ' 

Sekolie. La niSme d^monstratioifi prou^ que Ttiigle 
BAD = DAC , et que Tangle BDA=ADC. Dotic oofi 
d^ttx'derniers sent droits ; done ^'o/v rnene dw $Qmr 
met (Tun triangle spherique isoscele au milieu (h Sybase 
est perpendiculaire a cette base j et divise Pemgle du 
sonwiet en deux parties egcdes. 

PROPOSITION XVI. 

THEO Ad»B. 

Dans un triangle sphirique ABC, $i V angle A *g-a5i, 
est plus grand que tangle B , le cdte BC oppos6 
a Vangle A sera plus grand que le cdte AC op- 
pose a Tangle B ; reciproquement ^ si le cdti BC 
est plus grand que CA , V angle A sera plus grand 
que V angle B. 

lo Soit Tangle A> B, faites Tangle BAD=:B, tous 
aurez AD=DB '^ : mais AD + DC est plus grand que ^*^- 
AC 5 a la place de AD mettant DB, on aura DB + DC 
ouBC>AC. 

i2(° Si on suppose BC> AC, je dis que Tangle B AC 
sera plus grand que ABC':' car, si BAC etait ^al a 
ABC , on aurait BCrrr AC ; fet \4i tin ayait fiA€ < ABC, 
il s'ensuivrait , par ceqirivient d'etre dciticrrttre, qu'on 
tt 6C<AC; ce qui est contne laisuppoaiiuoii. Done 
Tangle BAG' est jdus grand) que AB& >>'• >i i" '\.> 



. /i )') I .r* tM'j ♦.f,« >n'i 5 , - "' *»•'(■ M t.'li]»''ni , Hk:> *.^^3 

TH&q R£,M£. , ,7 

no'1')n'Tt- T(. » !• • •■! >^ . M '- ft'/' ^v<«'>» > / J'*!) esJ 

fig. a53J ' Mji^ ^ 'ifett^i* cd/fo Afi^ 'Affcr,^i^^^/>*te»^^W>^- 
*' ' ^ '^tquS ABC' ^n^ ^^w^ ^rtiiir ' dmlr ddtk m}?Fi¥ , 

en me me t^mps, tan tie A est plus efand ^que 

/ cumle J),^ le ais que le troisieme cote BL.du pre- 

./wzer trian£[leJer£u\pLUs grand que le troisieme 

j,i'RF.%i'f^^?^->-.l-.Tf,.. ..! >.,o(l .'.'11 ~ /I.VI M..., 
e , • La demonstrjf {911 ^^ ^bsoJIi^^nuenA pe^ibl^ble^^ f^e 

PRbPOSITION XVIII. , J 

; , j4>V ^zor trian^es traces, ^r, Jiamer^^^t^ 

ivu i sur^ tle$ spheres egales tsontf ^qui^^^s ^n^e 

^eux^ ik'^ron^t aussi 6quilatetau)o^iu \u ?')\ r>noCI 

: f iSoient A et B ks deux triangles! donn^^^P et Qfiesfs 

^rmangl<@Eppolai«>es. Puisque les aliglds tJQntie|[aedx^idUnis 

^)ll^itnanglesr'A'et fi, les cotes serDnt'^|[faiiX'diansilBs |)o- 

* I04 Ibik-csrBtit.Q^k maii&de ce que'ies trknglfis P^t,Q>Sotot 

'^iJ^nilat^Rrusoentve. euK^ il s^emuit qwil^ k)ut)iaah6i 

♦ ,4.5j«qiHaiigle5^tf dufin, de ce que le9'ai9gMs.soiU*«g8»x 

• lo. dans les triangles P et Q, il s'ensuit * que les c6tess^t 

.'«|g[au]&[daii3'leur$ pblairei^ A eti D* Dond les^Ntiia&gles 
ti^quiafigles. A:.6t iBisonu ea meme «e@ips)eqttii^cuix 

vih IQ^ pQUt)e^<ti«>4eflk0Btit3nla>mekiie>pro^Qsition'4atis 

j je;«fl^?giilns)desr«rif ngl«s pojabnes: ile >la B»anij^*e suvKamte. 

fig. 234.^^3^ (,g)^|^tiA)BiC'y(PfiJf ^;clt;ttixi lriaii^piiBi,i&()uiah|(les (eafi^e 

u^^kidi^ sorteiiquaii/a|tiA==^^({Bs3i£v^iQx=5F|$ jedUs 



Sur le prolongement des cotes AB , AC , prenez AG 
=:DE, et AKiA)P^5))Jgti:^(Mttf ftlongez les arcs 
BC, GH, jusqu'a ce Qji'ils se rencontrent en I et K, 

Les deux c6t^s AGT, AH , sont par construction 
-^^x,Vg^v4w^^F,:P^ i |lppgj[J^<5Pinf)«i^.pA»^BAC. 

= ABfi , et lapffle AHG =; DFE^= ACa ' 






egal a deux droits, ainM que HJBK + Imx , il sensuit 
que BGK==IBG. Done les trianglesifil®^GftR\lclnt 

PareiUement , de ce que lViglFAHG'9^iaCt(,^fen 



•i3. 



conclura qM le$ trianjgj^s I,GH ,^HtIK^,ont 
adjacent k oeiix angles egaux ; done il^ 



un c6te egal 
sont egaux; 



M* 



done IH=CK, et n^:^lQ. 

Maintenant, si des egales'^BK, IG, on retranche les 
&g^l© ORVniJ^ifes^i'fete^ BC , GH, seront egaux. D'ail- 
'^tellfe^^^te*B3&A\^ et^ Tangle ABC=2±AGM. 

Done les triangfl«ft>ABGv AHG , ont an'oAte^gai^Jrtl- , 
p-jaioiip ta ^^BaQiao|ftesi:jCgaiix; done Us sbnr^agc^ix : 
?iiiibisjdcr>]|9iangleei}£dFr est egal diins^touieffjSe^^piHitit^s 
-(aM|ie£diangI)e/Ai^Gt^'doBC il est eghlHailssdil^ttiiaB^e 
tiA«<5\ifeH -rak-adna AB^rrDE, AGMrD^ifiaasxfiar ;ot * 
i^iid^Ksi dbuop triangies splidnque&^noiitiadqtiitin^fes 
xeK]^isuje,d(J3-C^tes;opposes aux aiigles iSgat^iserjnit ^^^ * 
.tiegaiaJO'j <'.*jl o"|» * ^* "■ • ' * '• '• .-^li;!!!;'!: -•»; ?ju^U .01 * 
^fib^eAalai^l Qef>(A {^ropoAtion * ii^if pas 'lhm^>dX0$Ti[es 
xuiaii^sipQcSfiJigiles^y'OUJ de» FdgalSde^dei^ angtj^fbfj iie 
pent conclure que la proportionnalite des ^^A^tisy^M^s 
ilnesa(vdisA^^ei(]((md^wa6rKptmij^ i^li se 

.dliDmei^at) )eeD^«gaiid)ieiib»jJee[ ari;dngh^'=-irb(^ig9^ofet 

aAc^I qie^nikQ;^les^^96^;;:-:3^ii;}ji>xl«lVp^^^^^ ^^i<$M^ 



:|t*8 GBAIIBrTRIJB. 

expcessemaift que ces triangles mm trao^ sur Ift 
isudme sphere ou fiur des spheres egales. Or les exes 
semblables sont proportionnels aux rayons ; done , 
sur des spheres egales , deux triangles ne peuvent 
etre semblables sans ^tre egaux. II n'est done pas 
surprenant que Tegalite des angles eniraipe Tegalite 
des cotes* 

II en serait autremcnt si les triangles etaient traces 
sar des spheres inegales; aldrs les angles etant eg^ux, 
les triangles seraient semblables , et les cotes bomo- 
logues seraient entre eux comme les rayons de3 
spheres; 

PROPOSITION XIX. 



TBEOBEMS. 



La somme des angles de tout triangle sphe^ 
riqiie est moindre que six et plus grande que 
deux angles droits. 

Car i^ chaque angle d'un< triangle apberique est 
moindre que deux angles droits {voyez h scholie ci- 
apres) \ done la somme des trois angles e^l moindi^e 
que six angles droits. 

Q? I^ mesure de chaque angle d'un triangle spbe- 
riique est egale a la demi-circonference moins le cdte ' 
*io. correspondant du triangle polaire*; done la. somme 
des trois angles a pour mesure trois demi-drcopfe- 
rences inoins la somme des cotes du triangle pplaira. 
Or cette derniere somme est plus petite qu une, cir- 
•4. conference*; done, en la retranch^nt de trois deujii- 
icirconferences,.le reste sera plus grand quune demi- 
cir^conference ^ qui est la mesure de deux angles 
.^rojts; done 2° la somme des trois angles d'un triangle 
, ^pji^riqwe e^t plus grande que deux angles droits, 
.,.j,s.Cp(1c?/&wV^ I. La somme des angles d'un triangle 
, ]qpl)^f i(ji|^ nest ]^as <x>usi;ant^. cqninie ^ell^ des tri- 



zavas iWMu * Xhff 

attiglMreetiUgnes^; dleyavie depau Amfx tBDhfl ilro|t» 
jti6<jfu*4 sii) sa3i» pouToit* 4tre dgaie 4 Tune ni ^ Vmatsm 
Umite. Aififli deux angles donn«8 ne font pas connaitre 

>^Comllaim II. tin triangle spherique peut avoir 
deiix cTu'trou angles droits,' deux ou trois angles 
obtus. 

Si i6> triangle: ABC est Id^redangia , c est- a -dire fig. a35. 
$'tl a.deux angles droits B et G, le sommet A sei^ le 
pdle de la base BC*^ ec les cdtes AB, AC, seront dea *6- 
qnadrants. 

Si en outre Tangle A est droit., le triangle ABCaeva 
tri^rectangle y seg angles seront tons droits etses cotes 
des quadrants. Le triangle tri - rectangle, est contenu 
huit fois dans la surface de la sphere ; c' est ce que Ton 
voit par la fig. 236 , en supposant Tare MN egal a un 
quadrant; 

Scfiotie. Nous avons suppose dans tout ce qui pr^ 
cede, et conformement a la definit. vi, que les trian- 
gles spherixjnes onl leurs cdt^s toujours plus petits 
que la demi-circonference ; alors il s'ensuit qne les 
angles aoi)t toujours plus petitsque deux angles droits: 
car, si le c6te AB est moindre que la demi^K^iixronfe- fig. a24. 
retit?©^ ainsi que AC, ces arcs doiyeni ^i^ prolonges 
lOus deux pour se rencontrer en D. Or les deux angles 
ABC , CBD , pris ensemble , valen t deux angles droits ; 
done Tangle ABC tout seul est moirfdre que deux 
angles droits. 

Nbus obsei"verons cependant qu'il existe des trian- 
gles spheriques dont certains cot^s sont plus grands 
^ue la demi-circonference, et fcertains angles plas 
grands que deux atigles dit>its* Car, si on prolonge 
le cflt^ AC en unte circonferertc^ eptiere ACE, ce <j(ni 
reste, en retFanchant de la denii- sphere 'le« tfiaii^le 
ABC, est un iiouveau trialiigle; quon' pl*ut dSii^^ner 
aussi par ABC, yt dont les e^es sont AB, BG, AE©C. 



lOtt' Vbltl (lMh> ^S IS'Uf^ AEDO e!^ ^lus ^aVi^ ^"^ 
■dein|i<^r6Dnf@Mn«^-AEO'V mars th.^tOiOe-it^'^ii^ 
gle oppos^ en B surpasse deux angles di^^'if^^ 

Au reste, si on a exctu deta d»1Altt'oH l^i^!Hii^M^ 

^Hl'lei'fcfiWs et 1^' atrglteb koftt'ii'giilidaV'^'^t^e 

" ledr^rfeblttrionOtt'I* dettt-rtiihatitm'Se'ffetffklipfitiyi 

■COMnfele'lei' ariglle^"ef'feS 'tal^'dti'^i'ittigte A1iC','(lnl 
wJnnahhl' iiniil*lialiem*tir'!es' amgles et'ias fcBtlfe'idii 

-.■A:: ., ■,; .pROpOSI-TI^'N ■X-XV ■ ''-'"I 

■;.,;, ,,.,,.. . TaioK&M'B, ■ ■ -'I ;uu!) mla-j 

■(iQ^/neJ'angle MAN tie cefizseaa.Gst/iuqseMjte 
iftngies droits, ou comme I'ape^i^H ifuH^ral^t^ 
emtMgle est a ia circonfereaoe. ^ •'■ . /iii;y' Jfi'iis 
: ''Sb^^ohs d'abord que Varc ■MN"Sdit i46«i!if6dtll. 
«h»iie MWrQ dans im rapport rttiofitleVi'fttV'^x^iW. 
pie, comme 5 est a 48. On divisera la fcirtbriffiWHfci 
MNPQ en 48 parties ^gales, dont MN contiendra 5; 
joignant ensuJte fe p6le A et les' pbiWts de division 
par autant de quarts de circonference, on aura 4S tri- 
angles dans la deml-s^her^ AMNPQ, iesquels seront 
tons egaux entre eux, puisgu'" 
parties e^les. t,a Sphere emit 
de ces triangles partiels , et le f 
tWWiW' ■■i'ti 'jM&rfd ' !«■ f ti^edll' et^ 
,a M B'-y6H"rtV'tfdrfiHii"S m Vi 
1'iri"MN''tet 'a iaibil*onlt^ent4. 

^f^i ^J''JHll 'tf fe^ ' 'i>^ t&MirieWiUf al)le avfic'la'ci^ 
conference, on prouvera pai* le'te^Wfe fiisOnnfemeiii 



CoroUaire 1. Deux fuseaux sont entR4;f:ii^i9iHn^ 

su^H^^'^f>^h\^i^^^"^^\-yi* 9«P 1^ swface.emitiw , 

?'H%'^iI^ ^w/;W!e4e|I?>pfc^refflf4 wpr^seniWipar .8. 

fiWrifppe ,Bpr,,?i,.[ft^ ^ptft^lflMr l'«nslfti4. ttstiiPiviiilwe 

:: A;4> H y a done ici deux unites differentes ; Tune 
pour les Bngl«^,/t.''q8it JVi^g'^ tdqojt p Igautre pour les 
surfaces, c'cstle triangle spherique tii- rectangle, ou 
celui dont tous les smiles sont droits, et les cdtcs des 
quarts de circonference. 

''' m'hpSf. ii'ohglef apherigue compris pr les plans " 
'AMft^'A^B.,' etse ^ solide eiiti«- de la sphere conitne 
i'uffiglei\A>\^ Ai^uMTV angles droits. Car tes fuiaatn 
- ^tant egaux, les onglets spheriques seront pAKtillS' 
jfl^^i^gflfi)^ \ i^pncideux onglets spWriquos so^i, sntre 
i^!^^(;ofl^n^.,Jsf, angles formes p4r lea- plans flu*. !«• 

■f-OWPffitW^X-' ■■ ■ ' ■ II. ■■,,■,1^1 

-,: ..■,l,r,..ii(,... /i' • ! 'V n;\/\/M 

,unAn\. ->1. .?,?iqPQSlTION XS4.:,„, ,„,„..„i 



, TMSonsHS 



symmetr'lqu^ sont 
™g%*J(mi^tri^«^, 

(oi>i 110 jUairjiijliioj 



h.^ 



U 



' 'i6iWW^6\e^\i petit! ^erde qui pa^serkir^p^t-lgs 

tk'oii pbJrits A i B, C (i) ; i\e ce point sdient menlid !fes 

*6. afrt» eg^ux ^ PA, PB, PC ; au poiiit F 'feiti^A l^a'n^fe 

DFQirifcACP, Tare FQ==:€P, et jdigdfe^ DQs^EQ. • 

Les c6tes DF, FQ, sont egaux aux cot^s AC, CP, 

Tangle DFQ:t3^ACP ( dotio les deiita^ Wtkngles DFQ, 

* »*• ACP , sont ^gaux dans toutes leurs parties * ; done le 

c6te DQrcAP, et P^gld DQF^APC. 

Dans les triangles proposcSs DFE, ABC, les angles 
DFJ£, ACB, opposes' aux cotes egaux DE, AB, etant 

* «»• ^gaut^*, si on eh retranche les angles DPQ, ACP, 
^ ¥gdttx*pa^^ construction, il reslera Tingle QFE egali 

PCB. D'aiHeuTs les cotds QF , "FE, sont egaux aux 
^dtesPG, CB ; done les deux triangles FQE, CPB, 
sont egaux dans toutes leurs parties ; done le ^Cie 
QEt=:PB,et Tangle FQE=CPB. 

Si on observe maintenant que les triangle* DFQ, 
ACP, qui ont les cdtes egaux chacun .a chacun, sont 
en meme temps isosceles, on verra qu'ils peuvept is'ap- 
pUquer Tun snr Tautre ; car, ayant place PA sur son 
^gal QF, le cote PC tombera sur ison egal QD, et 
aiftsi les deux triangles seront confondiis )en vtn- seul*: 
done ils sont ^gaux, done la surface DQF^na: A PG. 
Par line raison seniblable la surface FQB=rGPB, et 
la surface DQE = APB ; done on a DQF^- FQE- 
DQB^APC+CPB— APB; ou DFE=ABC; done 
les deux triangles symmetriques ABC, DfiF^spnt 
egaux en surface. 

Scholie. Les pdles P et Q pourraient ^tre situes au- 
dedans des triangles ABC , DEF ; alors il faudrait 
ajouter les trois triangles DQF, FQE, DQE, pour 

, > 

'(i)'Lc cercle itjiil pa^^e i>ar les trois points A, B, C^ ou' qui 
W- ^\r(<dtiGcm'au tmugle ABC i ne peut ^tre' qu'un ^pelH cerck 
de la sphere ; car , si c'e^U ^9 gca^^d ^^clf ,\Wf tnoi& cat^s A^> 
BC 9 AC , seraient situes dans un mdme plan , el.le triangle ABC 
e reduirait a un de ses cotes. 



^en .<?ainpOiser ie triangle DEF^ev^a^reiUe^ieftaliau- 
.dtut a jouiter les trois triangles APG , CPB > AJP0, ^w 
.ftn <;cnnpo$er )e triangle ABC; d'lttUeurs.la d^monstrf^ 
tion tt la conclusion seraia[it toujours les mdraesA '■ 

PROPOSITION XXII. 



TBSOKiM8. 



Si deux grands cercles AOB , COD , se qoup^fU 6g. a3g. 
comine.on voudra dans Vhemispliere AOCBD, ., 
la somtne des triangles opposis AOC , BOD, sera 
jsgale aufuseau dont V angle est BOD, 

'. G^r, en prolongeantlies arcs OB^ OD, dans Tautre 
hemisjihere jusqu^a leur rencontre en N , OBN sera 
une demi-circonference , ainsi que AOB ; retranchat^ 
detpdrt et d autre OB, on aura BN=: AO. Par une 
raison semblable on a DN = CO , et BD = AC ; done 
les deux triangles AOC , BDN , ont les trois c6\is egaux 
•d'ailieurs tbur position est telle quils sont symmetri- ^- 
que&iun de Tautre; done ils sont egaux en surface* *»«• 
et la somme des tnangles AOC, BOD, est equivalente 
au> fuseau OBNDO dont Tangle est BOD. 

Scholie. II l;st elair aussi que les deux pyrainides 
spheriques qui ont pour bases les triangles AOC, 
BOD , ptises ensemble , equivalent 4 l^onglet sphe^ 
fique dont Tangle est BOD. 

PROPOSITION XXIII. 

, T9£0&EME. 

4. ' ^ . " .* I » 

La Siir/ace d'un triangle sphMque quelconque 

a pour niesure Texcesde^la sQmmeds ses trois 

^ angles sur deux angles droits, '* 

Soit ABC le triangle propose ; prolongez ses cdtes % a3. ' 



90. 



10. 



aa4 GJBOMBTRIB. 

jusqua ce quils rencontrent le grand cercle DEFG, 
mene commeon voudra hors du triangle. En vertu du 
theor^me 'precedent, les deux triangles AD£, AGH , 
pris pnsemble, equivalent au fuseau.dont Tangle est 
A, et qui a pour mesure a A* : ainsi on aura ADE + 
AGH = 2A; par une raison semblable BGFh-BID 
= aB , CIH -h CFEr= 2C. Mais la somme de ces six 
triangles excede la demi-sphere de deux fois le tri- 
angle ABC, d'ailleurs la demi-sphere est representee 
par 4 ; done le double du triangle ABC est egal a a A 
4-284- aC — 4} ct par consequent ABC = A-f-B 
-4-C — a ; done tout triangle spherique a pour mesure 
la somme de ses angles moins deux angles droits. 

Corollaire I. Autant il y aura d'angles droits dans 
cette mesure, autant le triangle propose contiendra 
de triangles iri-rec tangles ou de huitiemes de sphere 
qui sont Tunit^ de surface*. Par exemple, si les angles 
sont egaux chacun aux f d*un angle droit., alqi*s les 
trois angles vaudront 4 angles droits, et le triangle 
propose sera represente par 4 — a ou a ; done il sera 
^gal a deux triangles tri-rectangles oil au quart de la 
surface de la sphere. 

Corollaire II. Le triangle spherique ABC est equi^* 

A ■!- B -I- C 

valent au fuseau dont Tangle est — -i- — -5- 1 ; de 

meme la pyramide spherique , dont lu base est 
ABC , equivaut a Tonglet spherique dont Tangle est 

A + B + C 

— ! ! I. 

a 

Scholie, En meme temps qu on compare le triangle 
spherique ABC au triangle ti'i- rectangle, la pyra- 
mide spherique qui a pour base ABC se compare avec 
la pyramide tri-rectangle , -et il en resulte la mdme 
proportion. L angle solide au sommet de la pyramide 
se compare de meme avec Tangle solide au sommet 
de 1m pyramide tri -rectangle : en feffet la comparai* 



} 

I 



.LIVRB Til. ^a5 

son s*etablit par la coincidence des parties. Or, si 
les bases des pyraniides coinoident, il est. evident que 
]es pyramides elles-nscmcs coincideront , ainsi que 
les angles sokdes h leiu* soinmet. De la resulteut plu- 
sieurs consequences. 

I*' Deux pyramides triangulaires spheriqiies sont 
entre elles cofiime leurs bases ^ et, puisquune.pyra- 
mide polygonale peut se partagcr en plusieurs pyra- 
mides triangulaires , il s*ensuit que deux pyramides 
sphcriques^quelconques sont entre elles comme les 
pblygones qui leur servcnt de bases. 

,Q? Les angles solides au sommet des niSmes pyra- 
mides sont egalement dans la proportion des bases ; 
done, pour comparer deux angles solides quelcon- 
ques J il faut placer leiu*s sommets au centre de deux 
spheres egales, el ces angles solides seront entre eux 
comme les polygones spheriques interceptes entre 
leurs plans ou faces. 

I/angle au sommet de la pyramide tri*rectangle est 
form^ par trois plans perpendiculaires entre eux : cet 
angle ^ qu'on peut appeler angle sollde droits est tres- 
propre it servir d*unite de mesure aux autres angles 
solides. Cela pose , le meme nombre qui donne Taire 
d^un polygone spherique donnera la mesure de Tangle 
sollde correspondant. Par exemple, si laire du poly- 
gone spherique est \ , c*est-a-dire , s il est les ^ du 
triangle tri- rectangle, Tangle' solide correspondant 
sera aussi les \ de Ta^Jgle solide droit. 

PROPOSITION XXIV. 

TflEOR^MB. 

La surface tVun polygone spherique a pour 

mesure la somme de ses angles^ moins le pro- 

i5 



. •> 



aa6 cioMiiTiiiB* 

duitde deux angles droits par ie nomhre des 
eStis dii pofjrgone raoins deux. 

fig. a4o. D^tin meme sommet A soient menses a tou5 les 
autres sommets les diagonales AC , AD ; Ie polygene 
ABCDE sera partage en autant rle triangles moins 
deux qu'il a de c6tes. Mais la surface de chaque tri- 
angle a pour mesure la somme de ses angles moins 
deux angles droits , et il est clair que la somme de tous 
les angles des triangles est ^gale a la somme des angles 
da potygone : done la surface du polygone est ^gale k 
la somme de ses angles diminuc^e d^autant de fois deux 
angles droits qu'il a de cotes moins deux. 

Scholie* Soit s la somme des angles d'un polygond 
spbi^rique , n Ie nombre de ses c6tes ; Tangle droit 
^tant suppose I'unite , la surface, du polygone aura 
pour mesure ^— a (»— a) ou ^ — %n+ 4* 

PROPOSITION XXV. 
thbor£kb. 

Soit S Ie nombre des angles soUdes etunpoljcdre, H ie 
nombre de ses faces ,Aie nombre de ses arStes ;je dis qu*on 
aura toujours S + H= A+ a . 

Prenes an-dedans du polyedre un point d*ou yous mene- 
rez des lignes droites aox sommets de tous ses angles ; ima- 
ginez ensuite que du m^ne point comme centre on d^criye 
une surface spli^rique qui soit rencontree par toutes ct% 
lignes en autant de points ; joignez.ces points par des arcs 
de grands cereles , de maniere a former sur la surface de la 
sphere des polygones correspdndants et «n mdme nombre 
» avec les faces du polyedre. Soit ABCDE un de ces polygones 

et soit n Ie nombre de %ts c6t^s ; sa surface sera s — a/z + 4 9 
s ^tant la sonune des angles A, B , C 9 D , £. Si on lvalue 
semblablcment la surface de chacun des autres polygones 
spherique^ , et qu*on les ajoute toutes ensemble , on en con- 
clura que leur somme, ou la surface de la sphere representee 
par &, est egale ^ la sonune de tous les angles deS polygones^ 



I«IVIiJR V|I« ^37 

moia$. 4^i|X. fqis |e nombre dc leur» c6tift , plim 4 pm aiiUnt 
de fois qu*il y a de faces. Or , coinme tons le* angles qui 
s*ajustent autour d'un meme point A valent qualie angles 
drorts , la somme de tous les iingles des polygones est egale 
8 4 pris autant de fois qu*il y'a d'angles solides; elle est 
done ^gale a 4S. Ensuite le double du nombre des c6tes AB ^ 
BC , CQ I ete. est egal au quadruple du nombre de« ar4tes 
ou=: 4A, puisquc la m6nc arete sert de €6td k deux faces : 
done on aura 8 = 4S — 4A+4H9 ou, ea prenant le quart 
decl^aque m^xnbre, a=S — A+H; done S+H=sA+a«. 

Corollaire, II suit de la que (ft somme des angles ploMS^ 
qui fom%ent les angles solidcs dun pqlySdre est egale a au-^ 
^ant de fois quatre an^s droits qu'ifj a d'ifnites dans S— ^2 , 
S etant le nombre des angles solides dupofyedre. 

Car , si on considere une face dont le nombre de c6t^ 
est n , la somtoie des angles de celte face sera 371—4 Angles 
droits'*^. Mais la somm^ de tous les in , ou le double du nom* * ^> '* 
bre des c6t<Ss de toutes les faces ,=4 A , et 4 pns autanrde 
fois qu'il y a de faces =:4H; done la somme des angles de 
toutes les faces zxz 4A'^4H. Or, par le tbeor^e qu*on rient 
de d^montrer , onaA — H=:S — a^et par consequent 4 A 
-^4H =4 (S — a). Done /a somme ties angles plans, etc. 

PROPOSITION XXVL 

THEORBME. 

Be tous les triangles sph^riques Jortrnis a^ec deux c6t4s (j«. ^^a 
donnes CB , CA , et un troisieme h volonte , le plus grand «* ay 3. 
ABC est celtti dans lequel I'angle C , compris par les cdttfs 
donnes y est egal a la somme des deux autres angles A et B. 

Prolonged les deux c6tes AC , AB . jusqu'^ leur rencontre- 
en D , TOUS aurcz un triangle sph<Srique BCD , dans lequel 
Tangle DBC sera aussi ^gal a la somme des deux autres 
angles BDC , BCD : car BCD + BCA etant ^gal k deux 
angles droits, ainsi que CBA + CBD , on a BCD4-BCA= 
CBA+CBD; ajoutant de part et d'autre BDC = BAC, ou 
aura BCD+BCA+BDC = CBA4-CBD + BAC. Or, par 
bypotb^e, BCA=:CBA-|-BAC; done CBD=BCD +BDC. 

i5. 



CIBOMi^i'ti. 




point 
*gilc disitance des trois pblfits B , C , O : par niiii irfliSli'iittft^ 
blable le point O , milieu de AB , sera egalement 'dKtihit 
4e9tMis'poliit8tA^3f C^, * ^ > '^^^' ^ 

fi«. aja Suit itttthitetf^nt CA's±:CA^ctFangl<?BCA^>BeA;f»Vop 
joiMrA'B, «l qaVin |)f6loiig«^-les arcs A^C , A*»,'}tiJq«'A 
Hitir ^teiicomrnyea ©S ra^iyCA' swa Unedeiti4-oirc»iW5^WBiicfe 
ai0s{ ^^DCAV^n«^P^is«{«»\)n a CA'ssCA ,tin au^a aiosf 
CD'sitOil. Mai^ dans le triangle CID*, <m a CI -hID? >>CD'^ 
d6it6to«>CD-^CI, ottID'>Il). 

' ' ^Dd«ti l%''ti4tf ngie isosci&l^g CIB divison^ Pangle ^n ftommet I 
ehi'd^kx'^gakki&^nt'pit laivElF qui seta' perpendiieulair^ 
^ st^ll» MilkU de BC; SI (^n prend un point L^nire t et £, la 
Ai^ahdeBLy dgal«firXC, sevtf dioihdi« qtt^ Bf ; eat^dn pent 
d^montrer , comme dans la-p^fbpi* ik^^, tSv/ 1*^, ^^^oitaf BLH* 
IC<BIH-IC ^4otiG en prensift^ WHibieidirde |lai^«t^\iu\re. 
Oil abriai^BL <BI. Maii daiM^etritogle B'tOoh (a^I^L^B^ 
— CL J « ir pins fbrie i'AW6n firt.>DCJ^eJ V <^ WL^W^ 
oil t>'L > BI ; done Wh > ^. Don^^^on ^^h^r^^ilsiir^'tfitl 
£IF un point egalement distant dfeft'^oift^t^tbit^'fi B/CJlU^I 
cepoimt'kie satirait i^ trOu^^«r qtic sittf l(s'prol6^n'^i^eM'-de 
£1' Vers f^. ^ii l^t^'poiiu oherdki y eA si^rie t^'on'siitW^^ 
^ Bl^s^icr ; 2«s trialiglerrCB , TGD^ I'B^, ^laiit isift(H^e^> 
ondih-a lei«ngl«» egaiix I'BCcrtrCB , I'BD'srrl'D'B , I^CD* 
sstriye;tMais les aftglcs D^BC+CBA' valetot dtnx angle^i 
dwfltt V ainsi qiie^ lyCB^^ fiCA' ; done ^ 

D'Bl' + I'BC -4- CBA'— 2 , 
. BCr^l'GD' + BCA'rzra, 

Ajotkftint Iks 'deux sommes et obscrvaht qti^on a I'lJCizzBCl'^ 
et D^if^-^rcD'irrBD r— rjD'C =r CD'Bi=^CA*8 , oh aura 
' 2rBC+CA'B+CBA'4-BCA'=b:4. ' *' 

Dpnc 'CA[:B •+;C;BA'+BCA'-- a (mesure (le i^ajre tlu triaii. 
gVe i'Uid ') == 2 — al'BC • de s6rte qu'on a aire A'iic = 2 — 
2 €i/i^/e I'BC ; semblablement dansle triangle ABC , on au- 
Mihird ADC'rr 2 — 2 dngle IBCi Or , dn A dcmiontre que 
TH^fe f^BGrcs^^tifii^ gt'And que lUCyS6^^Vdivi%''BC'csi 



->= . • i;i:rf;i iiii *? 9'jn >'r 



^m^ ,%M>59 .P^fiant to^i^urft. }>rq CA,\zpCS^on.pfl^^ii 
l'aflgIf:^[^BCA.; (k)nc ApC.cst Ie^tr^^gie^p^^ra^^d 

Scholie I. Le triangle ABC , le prii$ gjh'aild'eiklre^teiifliicwiJK fig* M>« 
quii<Mi( di^diKcc6l^» doniitfaGAvCB^ pait.^lT«iteftriti(dans 
tf^jdftfi^irceticle $<7nL la- c<Hrde^u.^^ificii^;e6t^ ABjlcm.!^ 
diafliii^e( car O ^lani le niilidtt de Ai9;»^Qil a^vu •^^Qfkt -dia-r 
taxioes OC ^ ^06 ^ son t ^ales ; doad la^ eiirooiixf^reir^i(l|9 p!ttf4 
ceitcle d6eH|e du.{>omt O comma p61eeldaA!bit(«itaUe'OB 
passera par les trois points A, B4 C Depliisla ligne il^ottQ 
BA «ai.uR •diamptrc? da •^ petit ic^rijlej car le o^ialrif qqi^dpit 
«« tta«it<rr«i|.la.f/(Hs d^na la plan dupyii^c^cie. et^^psj^ 
plan; da J'aTcde grandj mtfi^ BPA ^^Q.ijp«vQi?<iinftcs$5W? • pr. i, 
ramentdftns Ijiai^r&ectiancdaQf^deni^Elxlans. ^ui ^51 la.dc^lte cor. 4. 

BAi<<s|r.ajii3»(^^s,ei^^undi^i9ftf^> .< , . , 1^- 1. •, :^ 

ll» JJan^M tfiii^. ABC V VflBgla CiBtant (%al ?l laisommft 
d^: deify iajaVr^5jA «}l iB^,iil«'ie«sui^ qua la 9ommpd|^9 tjroja 
a?tf a«vf adr 4wibiJ'0-dc Wangle ^..IVXais aelta spmme est . tou- 
if^^tp^p^^a,gf^f>defqilfe.da»Xlang^c* drcpts*;^ 5 donf I'angje C # ,^ 

p5(tipl5»gr^»4..^}i'iinjdwR.nu. . ': ,. .. '< 

j:)l?A*3Sii'w pfijJor^gftJes Q^t^.CBvGA^siHaqu'aJcwur^rpn-? 
(^ptiaf aiaa >E ^ Jk trUogJe B AJS aeva. qgdl i^iqtuart^^ de 1« turfaix<4 
da^aa><aphar«. Car rangier £ rstCtsri^jklf^- GAB r^^^tsJes 
tro]a«angtoA dtt iriaagldBAE ^tfnivaleoj aux^/^atra ABG> 
ABE, CAB, BAE, dpnt la,somti^^;St>«gak>cM{a«tr.Cjatifgl£a 
droits; done la surface. 4u/tei|ingteAAE'^£^i4'mrl>^fti». ^14. 
qui est le quart de la sui:faoe deia $p}i^ta. ' i 

IV. II n'y aurait pas liau a maximwH ,.si la>$Dmme des deux 

th\i% dopfi^s CA, C^^ «5tait <^gale ou plus, ff a^?^?) 9W ^. 
demi-circoyjf^r^nce d*\in grand cercle. Carpfiiv|uc l^;|r^^Q^ 
gle ABC doit.6jtre Pff;r>^ daiis un demf-cerde da la sphere , 
la sommc des deux c6t6s CA,CB, sera. inoindre que 1^ 
demi-circqiiKrence liCA* , et par consequent moindrc; que W ♦ 3, 
"demi-arcQnicrencc d*un.feraud cerclcp , ,,, 

somgif jie^jljux.^t^s dpn^ granc^ qu^.lf 4^ji- ^ 

circonf^rence d'un grand cercle, c^est <|if*^lQrs.^jjtrji^^glf^ 



a3o GSOMETRIB. 

ftugmente de plus en plus k mesure que Tangle comprik par 
Jes cot^s donnes est plus grand ; enfin , lorsque cet angle sera 
^gal k deux droits , les trois c6t^s seront dans un mdme 
plan , et formeront une circonf^rence entiere ; le triangle 
spherique deviendra done egal a la demi - sphere , mais il 
c^ssera alors d'etre triangle. 

PROPOSITION XXVII. 

THEORBME. 

De tous les triangles spheriques formes avec un c6te donne 
el un penmetre donne ^ le plus grand ^st celui dans lequel 
les' deux c6tes non determines sont egaux, 
fig. H^. g^j^ ^g 2g j,^^^ donne commun aux deux triangles ACB , 
ADB , et soit AC + CB = AD + DB ; je dis que le triangle 
isoscele ACB , dans lequel AC = CB^est plus grand que le 
non-isoscele ADB. 

Car ces triangles ayant la partie commune AOB , il sufQt 
de faire yoir que le triangle BOD est plus petit que AOC. 
L*angle CBA egal a CAB est plus grand que OAB ; ainsi 
*'* le c6te AC est i)lus grand que OB* ; prencz OI;;=:OB , faites 
OK = OD , et joignez KI ; le triangle OKI sera egal a DOB*. 
Si on nie maintenant que le triangle DOB ou son ^gal KOI 
soit plus petit que OAC , il faudra qu*il soit ^gal ou plus 
grand ; dans Tun et Tautrc cas , puisque le point I est entre 
les points A et O , il faudra que le point K soit sur OC pro- 
longd , sans quoi le triangle OKI serait contenu dans le 
triangle CAO , et par consequent plus petit. Cela pos^ , le 
plus court cliemin de C en A etant CA , on a CK +KIH- 
lA>CA.MaisCK = OD — CO,AI=AO— OB,KI=BD; 
doncOD— CO+AO— OB+BD >CA, et en rt^duisant AD 
— CB-f-BD>CA, ou AD-|-BD>AC + CB. Or celte ine- 
galit^ est contraire a Thy polhese AD + BD = AC + CB j 
done le point K ne peut tomber sur le prolongement de OC; 
done il tombe entre O et C, et par consequent le triangle 
kOI , ou son egal ODB , est plus petit que ACO done le 
triangle isoscele ACB est plus grand que le non-isoscele ADB 
de m^me base et de m6me pcrimetre. 
Scholie. Ces deux dernidres propositions sont analogues 



xivaB VII, a3i 

aux propositions i et iii de Tappendice au liv. iv ; ainsi on 
pent en tirer , par rapport aux polygenes sph^riqucs , les 
consequences qui ont lieu pour les polygenes reclilignes. 
' Voici les principales : 

I® De tous les polyenes spheriques isoperimetres et d'un 
metne nombre de cdte's, le plus grandest an polygdne equi- 
lateral, 

M6nie demonstration que pour la prop. II de I'appendice 
au livre FV, 

2? De tous les polygones spheriques formes avec des cdtes 
donnes et un dernier a vQlonte^ leplus grand est celui qu'on 
peut inscrire dans un demicercle dont la corde du cdttf non 
determine sera le diametre. 

La demonstration se deduit de la prop. XXYI, comme 
on Ta Yu dans la prop« IV de Tappendice cite; il faut pour 
Texistence du maximum ^ que la somme des c^t^s donnas 
soit moindre que la dcmi-circonfercnce d'un ^and cercle. 

3^ Le plus grand des polygones spheriques .fonnes avec 
des c6tes donnes ^ est celui qu* on peut inscrire dans un cercle 
de la sphere, 

M^me demonstration que pour la prop. YI de rappcndice 
rHu livre IV. 

4** Le plus gixtnd des polygenes spheriques qui ont le 
.m4me p^rimetre et le 'rneme nombre de cdtes ^ est celui qui 
a ses angles egaux et ses cotes egaux, 

Ce&t ce qui resulte des corollaires z et 3 qui precedent. 

Nota, Toutes les propositions de itiaximum concernant 
les polygones spheriques s^appliquent aux angles solides 
dont ces polygones sout )ft xaesure. 



APPENDICE AUX LITRES VI ETftt 

• »_!»;{< . • . k 

LES POLTE^pii^S REGULIERS. 
P R O P OS ttWSf P R E M li t ft fe," '" '^:> ^ 



:iL'i i-Jif'H 



THEOREM E. 



• 



;^|i]^^.pAa d4fini j?o^f/f jt** v*Tf^//<Af wJux idpQt^idiats let 

aqgl<r<» ^olMIe^) #oi>t( ^j^^LiBL^ itr^Xtt: ^% *>Gos ^ccMulhioiuir xie peu^* 
vent avoir lieu que d4n^Uin»pB&Uiilomb£Qfde)i}tl> •? « • i 

foxilOker c]ipt|i:^e\:iiTvg^e;Kiiidl$\^ui|K]|lg^jdkhe a^<^ ISn^i^ licigistf^ 
de ^es tiaidngle9;r«Hti a^rep^ulilre^ oUJ^Y£<^ eii^nrdali^iii^aaic. ^ 
trei^ ^orfis reg«iiier^ ,< <^ IsttM^eUdlntcdrev KbotasedreV^'l^ 
ri«osaedre« . On &*eu peiil [Ism lehn^ uH '{ikis igrahd ^omkt'ei^ 

angksmfiteM .q^i^^^'(ki?^ka^idir0'Su<i>i$l2 ii« pmivent! fonneiri > 
*af., ST. d'angle solidc*. . v^ « J :.r/i?».t n> 

a' Si le* faces sonl des aviavrds , on peut a-ssembler leurs 
angles arois a trois ; et dc la resulte-rhexaedre ou cube. • 
.- Qi¥^t|)^i#i^g^|3f d«|;q^a,?T4^ftiValem qua^tre angles dncuts , et 
ne,ppfi]i:^,n|,jfoirn>pr^d\ajngJa.SQlide. ,, 

^VSfli^'VyJ^i^lc^'^c^Y^P^^t dcs pentagouea r<5gnliers,:on 
po^fif, encore assembler }em:s^ay)gles trojft a trois|) ct il «r 

On ne peut aller plus loin,; par trois '>angle3^4'4kcza[goo«s 
reguliers valent quatre angles droits , et trois d*heptagoncs 
encore plus. "^ ^' ''' .vs^,.o:^ 




ces cinq pol yeJre s <ixij$ieatTddleincnt^jet.x|u!oa-p «» 
cl^terminer toules les dimensions lorsqu*on connait une de 

PROPOSITION II. 



f ' . * * • -^ L ', » ' I '' » • .•• • 



P f! T 7 f ; * * - k ' tJ 



"' I 



£i^/z/t^ donnee tune ties fdces"'d*uh pofyedre reguUer, ou 
seulenientM39^cfil^,xomtruireI^ppijrGflf}e^< . 

Ce probr^me en pr^sente cinq qui vont £tre r^solus sue- 
ccssivemcnt. 

Construction cJu tetraedi^. 

Soit ABC Jvtmiig:le^«^ilat^tal qui dttif^feune^^i^ f^cei ' fig. 943. 
dm t^rrti^drd^ ah poim O 4 ciwitre tie c« ttlanglej ^l(iVczfOS 
perpendiculaite ou pilaii AB€; tietwkiM teUe p^end kriHaire 
au pmnt S , dfe sorteqile A8:£: AB j[ j^if^nM SI^ , SC , H * to 
pyramideSABCteraic't^lrH^dveyfeqttisv ' 

•GftT) a'canBedtfSi^^tmnodl^^gaitos^OAf 06, OC,']es obli- 
qBCft SA , SB r'S^ 1 s^ca!^t«fi^^at«iiietit de^ la perpcndieu- 
]aioeftO<^et'S)(lnt!^^lesYl^uue)d'oUo&SA«sr AB; ^^nc les 
qilat^isMx>>did latpiyhitliideSA&€ Mint destmngles ^gaux 
a«ttfian9l^doiuieiABC2«'I^«iHe««s>lesangtes solides deeette 
pyrttm^«Dnt*^gan]Behtve'eaX'^'>pQisqtt^ib sent forin^s cha- 
cmiftTo^ tnroisianglcs piap^'^^uir^'^iic^euepyraiiikleest 
un t^traedre rdgulier. 



«'«• • 



Construction de Vhexacdre, 

iSoit ABCD an quarrd dotttiij i ^nr T^liias^ ABtSP fciyiiitTtti. fig. M4« 
scz un prtsme droit dont la^hfttKeutf Ati sfcit ^^k\^ an ct^t6 
ABi II e^t clair que les faces de ee prismc sbnt des (^ttarr^ 
^gattx , et qtie s)es angles solides sont dgatix entre eux comhie 
^tanl formds clia'cun avec trois ftngles droits ; done cepHsmft 
est«ft^iexaMrer4gu]t^rcm cube. . < ' 

Construction de Voctaedre. ^ 

Sdlt AM% tftt 4rfarigW Equilateral donW : snrle c6le AB fig.«45» 
d^crivii tfe ^Aaw'iS'ABCD; au point , centre de ce quarr^, 
^levez sur son plan la peq)(*ridiculaire TS , tcrnnnce de part 
eid'airtW* *tt T-rf*, dfc manlfercqtrc OT=:b^ = AO; 



d34 GlSOMETAlfi. 

foignffib ettsnite SA , SB , TA , etc. , youb aures im solids 
SABCDT , coinpos<^ de deux pyramides quadrangulaires 
SABCD, TABCD, adossees par leur base commune ABCD , 
ce solide sera roctaedre rdgulier demand^. 

£n effet, le triangle AOS est rectangle eu O, ainsi que le 
triangle ADD ; les c6t6s AO , OS , OD , sont ^gaux ; done 
ces triangles sont egaux, done AS = AD. On d^montrera 
de m^me que tons les autres triangles rectangles AOT, BOS 9 
COT , etc, , sont ^gaux au triangle AOD ; done tons les 
cot^s AB , AS , AT, etc. sont ^gaux entre eux , et par con- 
sequent le solide SABCDT est compris sous huit triangles 
egaux au triangle Equilateral donnE ABM. Je dis de plus que 
les angles soltdes du pclyedre sout egaux eutre eux : par 
exemple , Tangle S est ^gal a I'angle B. 

Car il estvvisible que le triangle SAC est Egal au triangle 
DAC , et qu'ainsi Tangle ASC est droit ; done la figure 
SATC est un quarr6 Egai an-quarr^ ABCD. Mais si on com- 
pare la pyramide BASCT a la pyramide SABCD , la base 
ASCT de la premiere peut se placer sur la base ABCD de Iil 
«econde ; alors le point O elant un centre ccoftmun, la hau- 
teur OB de la premiere coi'ncidera avec la hauteur OS de la 
second e , et les deux pyramides se confdndront en une seuie^ 
done Tangle solide S est egal a Tangle solide B ; done le so- 
lide SABCDT est uu octaedre r^gulicr. 

SchoUe. Si trois droites egales, AC, BD, ST, sont per- 
pcndiculaires entre elles et se coupent dans leur milieu, les 
extremites de ces droites seront les sommets d*un octaedre 
regulier. 

Construction du dodecaedre* 

fi 9A6 ^*^^* ABCDE un pentagone regulier donnc ; soient ABP , 
CBP , deux angles plans egaux a Tangle ABC : avec ces angles 
plans formez Tangle solide B , et determinez par la propo- 
sition XXIV , livre v , Tinclinaison mutuelle de deux de ces 
plans , inclinaison que j'appeHc K. Formez scmblablement 
aux points C , D , E , A , des angles soLides egaux a Tangle 
solide B , et situEs de la mdme maniere : Ife plan CBP sera le 
meme avec le plan BC& , puisqu'ils sont inclines Tun et 
Tautre de la meme quantite K sur le pian ABCD. On peut 
done dans le plan PBCG d^crite le pentagonef BCGFP ^gal 



LITRB Ytl. a35 

au pentagone ABCDE. Si on fait de m^me dans cfaacnn des 
autres plans GDI , DEL , etc. , on anra nne surface eorfVero 
PFGH , etc. (rompos^e de six pcntagones r^uliers ^ani et 
nclines chacun sur son adjacent de la m^^e qnmdtd Ku 
Soit pf^ y etc. une seconde surface ^gale k PFGH , etc. , je 
dis que ces deux surfaces peuyent ^tre rdnnies dematui^re a 
iie fotmer qu'une seule surface convexe continue. En ^ffet, 
I'angle opfy par exemple , peat se joindre ttux d«ax angles 
OPB , BPF , pour faire un angle soiide P ^gal a I'angle B; et 
dans cette jonction il ne sera rien change k Tinclinaison des 
plans BPF , BPO , puisque cette inciiiiaison est telle qu*il le 
faut pour la formation de Tangle soiide. Mais en ni^me temps 
que Tangle soiide P*se forme, le cAt^/j/'s'appliquera snr son 
^gal PF , et au point F se trouveront r^unis trois angles 
plans PFG,/)^, efg, qui fonneront un angle soiide ^al 4 
chacun des angles deja formes ; cette jonction se fera sani 
rien changer ni a T6tat de Tangle P, fix k Cf^lui de la sulfas 
ef^ y etc. ; car les plans PFG , rfp , d6ja reunis en P , otil 
cntre eux TincHnaison ^onyemible K., ainsique les plans 
efg^ efp. Continuant ainsi de prochc CP proche, on voit 
que les deax surfaces s'ajusteront mutuellement Tune avee 
I'aulre , pour ne former qu'une seule surface continue el ren- 
trantc siir eHe-m6me : cette surface sera celle d'un dod^ 
cnedre rcgulier , puisqu'elle est composite de douze penta* 
gones r^guliers ^gaux , et que tdus ses angle^ bolides sont 
dgaux en Ire eux. 

Construction de Vicosaedre, 

Soit ABC une de ses faces ; il faut d*abord former un fi-^ 247^ 
angle soiide avcc cinq plans egaux au plan ABC et i^gale-. 
ment inclines chacun sur son adjacent. Pour cela , sur Ic 
cot^ B'C, egal a BC, faites le penlagone rcgulier B'C'irTD'; 
au centre de ce pentagons, elevcz sur son plan une peri)eniii- 
culaire , que vous tcnninerez eu A' de manicre queB'A'rrz 
B'C; joignez A'C, ATI', AT, A'D', et Tangle soiide A', 
form^ par les cinq plans B'A'C'^, C'A'H' , etc. , sera Tan;^Ie 
soiide requis. Car les obliques A'B', A'C, etc. sont egalcs, 
et Tune d'elles A'B' est egale au c6t6 JHQJ'y done tons leS 
triangles B'A'C, C'A'H' , etc. sont ^gaux entre cut et au 
triangle donn^ ABC. 



^36 OEOMETRIE. . , 

B c»t visAlc d('aille«rs qne ,le» plans B'^ft;.,, q\^^^. elCj 
sont dfi^alemcnt inclines chacun sur son adjacent ; car les 
angles Aoudes B , C , etc. sont egaux entre eux .^uUqu'ils 

, sont formes chacun avec deux, anirles de tijan^ies.^quiUt6- 
raux et uh ae peniagone regulier. Appelons K rincuna^so^ 

. des deux plans oil sont. les angles ^gaux , inclinaiion gu on 
peut determmer par la proposition xxiv, liv,. Tiianffle K 
sera en meme temps 1 mchnaison dc cbacun des plans gui 
coraposent 1 an^le sonde A sur son adjacent. , . 

Cela po^6, si on fait aux points A^ B, C , dcs angles ^ol^cs 
^xraiix' chacun a Tangle A\ on aura une surface convex.ci 
DjEPG J elp. cbinposc^e de dix triangles equilateraux, dput 
cliiicun sera ihclTn^ sur son aajacent dela cjua^litc K; et les 
angles D, £, F, etc. de son con tour ril'uniront alLernalive- 
inehf irois et deux angles de triangles ^^uilatcraux. Imagi- 
liez line secohde sunace&aje a la surface D£FG,,ctc.; ces 
dciix surfaces pourronl; s adapter mutuellcpDient , en joignant 
Ciiaque angle triple de 1 une a un angle douMe de 1 autre ; 
et , comme les plans d^ Q^s,imgje^ pi^ d^ja ^ntre eux Tincli- 
naison K necessairb pduf lornlef iin angle solide quintuple 
^gal a Tangle A , il ne s^^^^^n J^iJ^ dans cette jonction a 
retat de chaque surface en particulier , et les deux ensemble 
fiSrnneirant una^s^^^xie^i^ri^oc^. C(miinti«>v dMupos^ d^^^Sigt 
ti!UHrgles«qili(^ttoiitk4 Gkxe tedVi«^'Mrtt)i^kd^i*f^s)l6di^ 
n^gulier , puisque d*ailleurs tons les angles ^oiid^ '^Ift 
'^•"' ^gaq»iint|!e7cunt4'-vi«vf M«'/j '^i'f» i • '. •• • ^ i '«<•.* i^ 






PKOBXtESIE, 



'*'79Ju<>er tihctinaison dc deux faces aijacchtcs d^un po- 
lym^WguUery ' ' ' ' \ ' 

Cette inciinaison Se dcauil immediatement dc la conslruc- 
fionqii! Vitiil d*(&ire donn6e des cinq pbiveclrei ri^guliers ; a 
qi'^ril'firtit ajb'uWr la proiiositioi^ xxiv. liv. vl par laquelle 
eeahc aonnes les trois angles plans qui fonnent un angle 
soliae, <^^ actermine 1 angle que deux de qes plans font 

6g. 94I. Z)aiij /e tetracdre. Cnaqueangl^ solide est tdrnte de trois 



angles de trianfles ^qnilat^raux : il fan( d^nc cherclier.par 
le ftaalcmecili I'angle qne'denx 3c ces plans font eptre 
tux ,^<jct 'tiligle sera I'iocUnaUon de deux £acc* adjac^teji - * 

aix\pm4''; ';, ,!...'-: V '''.'.'■; 

iidiii'^t'Ke.^dre. L'angle de deux ifacM adja<^ntes e« un H- »**• 
angle'^^h. ' ' . . ■ , ^- ■■ ■- 

^' Dans"t*6cidedre. Forraez an angle solHe aVe<ideui_an- ^"A*- 
gle^ de"triiingres ^tjuilat^raiix ei i>n angte droil|t^nctinai- 
soti 3^ii'S«ulc ptans' on sont les, angl.es des triangles seiii , 
ccUe de denx -faces adjacentc's de I'octa^re. 

Da'ru le doilecadilre. Chaque angle solide est foani aveq ^- M0> 
trois ang :Iinaisoq ,def 

plans dc t faces adja- 

centcs di c . 

Dans i fee deox an- 's »*7- 

glcs de ti entagone re- 

gulier, r ;i orgies de(i^ 

Iriiinglcs • ri,cosfte(Ifc> 

. J^lfiaH, ^Ra^<ie, qStd-il'iM pal^tire'regMlier, tmimr le 
im^^flf;iai-^iAffrtuu«t^,M celni da- bt-ipbiref tittvt^ 
' tnrixp mhpidyidrt.' - . ■■ ,„-' r- ■■';■,•., ^^ .'■.:■•. ,T,\\'-n 

II fautd'aborddumonircrque loutpolyedveT^goltevpeat fig-***- 
jtreinscrit dans la sphere, ct qu'ilpeullui^trccirconscrit. 

Soit A6 Ic cAt( commilil 6 ildn^ fi^il^billdientes ; soient 
C et E Ics centres de ces denx faces , el CD , FJ), les perpcndt- 
culaires abaiss^es dc ces centres Wr'Ie cdt^ commun AB, 
lesquelles tomberont an point D, milieu de<xcAti^. L^9i}«ux 
pei^iendiculaircs CD, DE,font entreelles un tangle cqi^;! ^ 
I ;idjnceiites^^^tfr^ 

I dans]e))ian^CIj^, ^ 

] ,t ED iff |i«i^^.di- 

I iconlrent ,a» Q,Jy 

I Spher^ inscri^tic e| 

I in de la j>rpi^iej;if 

e'ant 9C» eir«lui,«U(la s^c9^4<^ OA., ,.^, tM,i ,\ n, ,i^ 



t88 6BOMBVRIB* 

* Eh cflbl , pmMfue les apo^^mts CD , Iffi , toat dgales, ei 
FLypotenuse DO commune, le triangle reotangleCDO'eal 
j*x8, z. dgft) an triangle rectangle ODE * et la perpendicakire OC 
est ^gale a la perpendiculaire OE. Mais AB ^tant perpcndl- 
eulaire an plan CDE , le plan ABC est perpendiculaire a 

•17,5. CI)E* , on CDE a ABC ; d'ailleurs CO , dans le plan GDE,. 
est perperkdiculaire a CD , intersection commune des plans 

*xS, 5. cjjg ^ j^BjQ . done CO * est perpendiculaire an plan ABC. 
Itar la m^eraison £0 est perpendiculaire au x)lan AB£^ 
done les deux perpendiculaires CO , £0 , meases aux plans 
de deux faces adjacentes par les centres de ces faces , se 
¥en$:antveiit en un m6me point O et sont i^gales. Supposons 
maintenant que ABC et ABE representent deux quires faces 
adjacentes quelconques, Tapo theme CDrestera toujours de 
la mtoe grandeur , ainsi que Tangle CDO , moitie de CD£ ; 
dune le triangle rectangle CDO et son e6te CO seront egaux 
pour toutes les faces du polyedrc ; done , si du point O 
comnM centre et du rayon OC on d^crit nne spheiv » cette 
sphere touchera toutes les faces du polyedre dans leurs 
^entres ( car les plans ABC , ABE ^ seFont pcrpendiculaires 
^ I'extremite d'un rayon) , et la sphere sera inscrite dana le 
polyedre, ou le polyedre circonserit k la sphere. 

Joigpez OA, OB ; a cause dc CA = CB , les deux obliques 
OA , OB , s'ecartant (^galement de la perpendiculaire, seront 
egales ; il en sera de ra^rae de deux autres lignes quelcon- 
ques menees du centre O aux extremit^s d'un meme c6t^5 
done toute^ ces lignes sont egales entre elles ; done si du 
point O comme centre et du rayon OA on decrit une sur- 
face sph^rique , cette surface passera par les sommets de, 
tous les angles solides du polyedre, et la sphere sera cir- 
_ conscrite au polyedre ou le polyedre luscrit dans la sphere. 

Cela pos^ , la solution du problt^nie propose n*a plus au- 
cune difficulte , et pent s'effectuer ainsi : 

fig. ^49. Etant donne le cote d'une face du polyedre-^ d^crivez 
cette face , et soit CD son apotheme. Cherchez par le pro- 
bl^me precedent rinclinaison de deux faces adjacentes du 
polyedre , et faites Tangle CDE ^gal a cette inclinaison. 
Prcncz DE egale a CD , menez CO et EO pcrpendiculaires 
k CD et ED; ces deux pcrpendiculaires $e rencontreront 



LIVAR VXX« 230 

tn un point O, et CO sera le rayon de la sphere inscrite 
dans fe poly ed re. 

Sur le prolongement de DC prenez CA ^gale an rayon 
du cercle circonscrlt a uoe face du polycdre , et OA sera 
le rayon de la sphere circonscrite a c.e m^me polyedre^ 

Car les triangles rectangles CDO, CAO, de la j6g. a^Q, 
sont egaux aux triangles de m^'me nom dans la figure 24^ ' 
ainsi, tandis que CD et CA sont les Rayons des cercles in* 
sprit et circonscrit a nne face du polyedre, OC et OA soiU 
lea rayons des spheres inscrite et circonscrite au mtoe po**^ 
lyedre. . i 

SchoUe. On pent tirer des propositions pr^cedeutes plu«. 
sieurs consequences. 

i^ Tout polyedre r^gulier pent etrc p^rtag^ en autant de, 
pyramides regulicres que le polyedre a de faces : le sommet 
cominun de ces pyramides sera le centre du polyedre, qui 
est en mdme temps celui des spheres inscrite et circonscrite. 

up La solidity d'un polyedre regulier est ^gale a sa surfkc^ 
mnltipli^c par le tiers dvi rayon de la sphere inscrite. 
' 3*^ Deux polyedrea r^guliers de m6me nom sont denx so- 
lides aemblables, et leurs dimensions homologues 8ontpro«* 
portionnelles; done, les rayons des spheres inscrites 091 cir^ 
^oAScrites sont entre eux comme les c6t6s de ces polyedres. 

4^ Si on insprit un polyedre regulier dans une.spher^ 
les plans menes du centre le long d&s diff^cnts cotes pgr^ 
tageront la surface de la sphere en autant de polygone^ 
sph^riques egaux et semblables que le polycdre a de faoes. 



\ 
y 



L I V R E V I H^.^ iu9j«^f. , 3 



1, ; ' ,iB.3 i^LOIS CORPS AQSTOSacq rrrl* 



: \- irWD Jflri 



Sg. %Sa^ JL I0»^fi|>dfe tg4indr9 le^lide pn$«ltklt ^4«>^\>- 
lution dun r^tftiygid ABCDj quW intiigi^e^l»liitl^r 



^ii 



toujours perpendiculaires a AB, d^crfVi^^ tf^l^^feitis 

.:. ,.* xidMukkiff-egati* RHP, •C6Q,'qUt>h'^^ les 

-^iasMiih^ayUitdpe^ 6t lo 0&ti^ tlD^n ^^rft' la 'sk^ face 

^ b li«^e ffi»Mobi)e^A»5^iipy)oUe9'^to<^ ^^^ 

.?di€!lilaiNfeBeBt j^ Kaie, es^hir ^er61fef ^i'&^l^ifcune 
,cbfibii5«^ : '^le- pen Aift* que^fe *crtMtgfIor *^^^ 
. febrtie >a««sw d«^ AB'^ M 1i^n«*f KV ^^l^nai^l Jii^ ^ 

plan n'est autre chose que la section faile pcj^eiifdi- 
. ,x -ouldtf^m^iu^j^ l!^e ki poiiit I: - * ^ 

U:>qfettfefr is^fcttott^QGH, ftilte suWant Faxe, ek tin 
-«@etimgle^d6tikte ^rectimgle gcn^m^rr ABCD: 
fig.aSi/'"' ifl.tOA appfeWe cdne le solide produitpar la revo- 
lution du triangle rectangle SAB, qu'on imagine toiu^- 
T^iiOBif^atttbui* du edt^ immobile SA. '' 
t'/^ Ditn»^ddincrutemt0nt le cdtiJ AB d^c^itiUn ]^ftin^fc?^- 
iMfai0#i9D^GE, qu^36 appdlle lAhfisi^^tSnk; 4t Yhj' 
-y biAwiCT^ SB en degrit i» surface ^dns^eace. - "^ ' 
f^iai^^pdint S^ i'ap^^He ii^ sdrkffkt iftr* M^) ^A '/^cti*^ 

.\^>^o?^Q)^ ii^^cuofi HK.FI^ fyitfi pgrpi?.m liCT ljMeg i ept i 
Taxe^ est un cercle; toule«6ctHlii^MNiY'«ftaie hu« 



.''? 



vant YaxCj est un triangle isosceie cloiiI)Ie c!u triangle 

generateurSi^J/ --ni / LI 

HI. Si du c6ne SCDB on retranche >J>Ar une sec> 
tion paffStti^ti'fA baiievIe^dih^Stllir, le^olide res- 
tant CBHF s'appelle conetronque ou tronc de cone. 

On peut supposer qu^il est decrit par la revolution 
du trapeze ABHGy do^t-^^es Mgks A et 6 sont droits, 
autour du cot^ AG. La ligne immobile AG 8*appelle 

v#f^ii;(^t,4l;^/if|j^i^).«il;BH^ent^l^>^^lkd^T wsi. nohni . 

IV. Deux cylindres Ou di^iai) elites .slmtsiiciiiMfeMg^ 

,ll^l^^Sj^e:^r^A3^s •oolen^ej^tOiaQiniiiii Ia» diaofiltres 

la base ABCDE on eleve im prisme droit^^^golioea 

CIB)a9l®'e>l^iMA*e^eil4jpi^^^ j^biq dteJm hwli, 

-iWAf^q v^ni^ v1^;t,v>^. t/ ^.>iJp '>r.i^4'> ^'i^-'i ^^''**'^ '^^•'^^ 

VI. Fareillement , si A)^ ^$A ^liGtloillygCSlA'WMifm- gg. ^53 
ji^cijA a la^b2p^.d;wJipy:iin{ire|F9!^gc|e AUl:: .i§^%9f^iAPGP 
on wi^i»u^^,^n piwn^ j4i^#4gsA «#(lbftW^i«lf^- 
Im^re^, le^Pf?^|a€>fti4it.<^§f/»^^iV«M.^^^ le.j.,^ .,; 

'Soient M, N, etc^ le%,pctu«f de,]qoQmofu4«lco6*^ 
APrt J^^9h^kWiwi*^v4e$ ipftr>kft ppi»tt,M:| N, 
fi!S- jlfs fi«li>«Sfy^we4:M NY^^i;e« ai8||liMiidtek 
base; il est/^u^^pe^€^fNsrfiei)t^^ 
foi& d|Lj^ l%^9iH^e^d|^ «^o4r9M 4ioi <>eU€t i^pdbme 
circonsc|^^<hH>^^V^#>s^'^^{eil^l^ iignof ite«^nl!^Qt«) 

16 



•^ ' - ■ 



GEOMBTRIB. 

■ I I I HH W^I H» III Wli| > >ll I Ill l»l ■ I I III! I ■ ■■! » I ■■ ^1 I I , 1 , I 

' '"Lemmes priliminaires sur les surfaces . 

fig. a54. i/iie surfaceplane OABCD est piUs pentfi fUt^ 
t0uk autre' sutfizce^ABCD y terminee aWHt^me 
corttoW^ ABCD. 

Cette pfopositlon est assez evidente pour £tre ran« 
gee au noinbre des axiomes ; car on pourrait suppo- 
ser qtie le plan est parmi les surfaces ce que la ligne 
dr6ite est parmi les lignes : la ligne droite est la plus 
eourte entre deux points donnas, de m^nie le plan 
e^tdaTiJUrfecela plus petite entre toutes celles qui bnt 
trftfWftftm contour. Cepehdant commis ii conirient de 
*Muit^ les axiomes au plus petit noinbre 'possible , 
Vdici Uh raisonnenient qui ne laissera aucnn doute 
sut^'celte proposition. " 

' Une surface ^nt une iitettdue ett lo»giieui^ et en 
ki^etir, on ne peut coneeToir qt^iine svifrfoeje sdit 
plu^ grande qU'une autre , k moins que les <lim^nk|6tiii 
d© la premiere ti'exfcedent dans qtielqties senS'cesBfei 
de la seconde-; et s*il arrive que les dirtiensio*>^»tfYiHfe 
stliface Soient'en tons sens plus petites que les'dimfc*- 
ai6hs iPuWe auitre stirfaee, 11 est evident que la pre* 
miejn^ surfa^^ eera' la plus petite des deux. Or<, dans 
qu«$k[ne 4)ens qu on fasse. passer le plan BPD , qui cou- 
pei^^ la i^utfaoe plane suivant BD, et lautre surface 
fiuiyant BPD , la ligne droite BD sera toujnurs plus 
petite que BPD \ done la surface plane OABCD , est 
pl^isfpeiite que la surface environnante PABCD, 

II. 

%.a5S. ,T(mte surface conv^xe OABCI> ^st rmxindre 
qu^une autr^ surface quelcoiique qUi^nvek^pe* 
j^ait la premiere en s^appuyant sur le m^rne *oon^ 
hiirABCT). 



MVRB VIM. 5tp 

NSMS.lipeterpiis ici.que nous eixteLidons j^^r.^wr- 
fcuic conypqce une surface <jui ne pijut 4tre repcpntr^e 
par une ligne droite en plus de deu^ points ; et ce« 
pendant il est possible qunne ligne droite s applique 
Vx^'lwimc dans un cernain a^us $iir uw luiface 
canye^c^j.on en voit des Q|Lemp)e& dans les^^^^iQi}^ 
du c6ne et du cylindre. Nous obseiy^pn aus^.que 
la^ denomination de surface conyexe n*est pas torpep 
aux seules surfaces courbes \ elle coinprend les sur- 
faces poIyedrah$ ou compos^es de plusieufs jplans^ 
et ausf i les surfaces en partte courbe^ , en partie pp- 
IjedraleSf 

Cel4 poi4, hi U surface OABQD n'esi .pa% plus 
petite qu« tout^s^^Ucs qui renyeloppent) sK^U^p^r^m 
ceUesrci PABCD la surface la plus petite qi|i 4^ft an 
plus.egale a QAfiCD. Par un point quqlconque O.9 
faites passer un plan qui toucho la surfa^^ QA,BCD 
sans Ja coupler; ce plan renqontrem la surface PABGD, 
qt la parue qu il en retranchera sera plus grande que 
le. pliin. t^rniine a la m^e surface* : done, en con- *!«"»•»• 
;»ep?yani; le reste de la surface PABCD, on pourrait 
^if^^tUier le plan a la partie retranchee.^ et ou aurait 
\mi^ PQuvelle surface qui eaveloppe^^ait t^ujours U sur- 
face 0A3GD , et qui serait plus petite que PABCP^ 

Mais celle-ei est la plus petite de toutes \m hypo«> 
these; done eette liypothese ne saurait subsisted , done 
la surface convexe OABGD est plus petite que tocrte 
autre surface qui enveloppeniit OABGD, et qui sersk 
tferminee au m^me contour ABCD. 

Scholie, Par un raisonnement entiercraent semt>IalJle 
on prouyera, 

1*^ Que, si Une surface conyexe tenuinee par deux Bg. 256. 
contours ABC , D£F > est euyeloppi^e par une aiitr^ 
s&rfaoe quekonque terminee aux memes (^ontpui^ 
la surface enyeloppee sera la plus petite -de* deuic, 

16. 



a44 G K O M E T R 1 E. 

%**?• iP-wQ^^.i ^^ ^"V^ surfacp convexe AB e$X enveloppee 
dc tpute^ p^rts par pne autre surface MlN', soit qu'irfxei 
, . aicQt (1^3 points, des lignes ou des plans communs^ 
soit quelles naient aucun point de cominub *'la siir- 
face enveloppee sera toujours plus petite que la si}v|^pe 
enyeloppante^ 

Car. parmi celies-ci il ne peut y en avoir aucpiie 
qui 6oit la plus petite de tputes, puisque dans tous Ics 
cas oiji pourrait toujours mener le plan CD tangent 
a Li surfape convexe, lequel plan serait plus petit 

*lcm.x. q^fj Ij^i^^urti^ce CMD**; et ainsi la surface CND serait 
p|i^ petite que MN , ce qui est contraire a Thypotliese 
q.\^9, ^IjN. est la plus petite d/e toutcs. Done la surface 
C0i^^^9 AB est plus petite que toutes celles qui f en- 
Y^oppent. . 

PIlQP031TIQ:?f,,PJ^,E]\ri,| . 

'■' ' ■'■ .' THEPR]SiiEr'- '■ •• ^'^''^'-"''» 

La soliaite (Tun cylinclre est Sgale ail pM^tdt 
d^ ^d hose pqr sa hauteur. ''' r-wu{\ rj 

fig. 95«. Soit CA le rayon de la base du cylindre (^(jiyi;^^^^- 
H 9ft. ^^^ui«wj.r^f|r^eutp^s,par ^iirf. CA la surface 
4i^ .cei;9l9.jdQjil,.^f.rajpn. pst CiA j je dis que la, 
SfllHlif4 .flfi, «yliJ5i^U;e , sera sn^. CA X H. Car , si 
^jr^^.iJJAX,^ ^pst pas la piesu^e du cylintjre donne, 
Cl^.ppf^flujjt spr^l la mesure dun cylindre plus grand 
o.u^pli^, pptif. Et ,d'abord oupppsons qu'il soit la, 
i^jiesmfft. d,'iip. cylindre plus .petit^ par exempli, du. 
qy^i^dpe^ dftut. CD, est le rayou 4e,la base et H la 
haute^iv. \ - ... 

^^^op^SQvxv^ mj. cercl^ do^t Ip j^ayon.est CD» un 
polygene regulier CHIP, dont lea cdtes ne re«?con- 

♦lo, 4. t^enji p^ 1^^ cir€9f}f^i:en,c0 d()nt ,CA .es]^ 1^. , kyprj * ; 
imaginez ensuite un pvis^ue dro^t fpji,ajt.pQi^r j)ftfc le 



L I V tt E V I 1 I. *45 



P9rk^"^"9' ^"ft'^^'' P^'^'' l^^^^^"'^ H, l^quil^^risirie ^' 




contraire, le cyUndre est plus petit"que^fe"j[)Vfsibe ^' 
puisqu'fl y. est contenu; done il e$t inipd^iljl'e' i|W^^ ' 




par sa hauteur ne pent mesurerrun cyliridir^^^ltii 
petit. 

Je dis efi sydftd^liiil qi/e 'de^ lA^tne^prbaiiii lie peut 
mesurer un cylindre plus ^rand : car, pour ne pas 
multiplier les figures, soit CD le rayon de la base du 
g\l,ijji4f(e^do.9A^» ef; ^^pit^^^i^est possible, ^rjfl CD X H 
la mesure d'un cylindre plus grand, par ^x<jqiplf5^ 
du cylindre dont CA est le rayon de la oase et*H la 

"^ 'Sl diifait la meme coSksfrUctidh^^^^^ 
eas, le prisme circonscrit an' cyHndf]^^^doi^i^iiui*a 
^our mesure GHIPxH : ratr6 GHH? est^ltis gWftde 
<|ii£^ surf: CD ; done la solidite dii j>^i.<m^ dtini'il 
sagit est plus grande que surf. COXff: fe'j^riSni^ 
serait dotic plus grand que le cylindre de rileitte^Hafi-^ 
tbtir qui a pour base surf. Gk. Or, au cdhtVai?fcf J^A^ 
prisVtie est pilii^ ^etrt qiie le cylindre, pnkt|u*fly'iiir 
contenu; done // est impossible que la base tPHri^^djr^'^ 
Hmlre' riiMfxj^Hih^ pdi* sh haiitent' s6it taih^u^^'^n 
&frmMpms'krMd.' ' . ''^^ nn;^.M ..n..^:vK>n 

D8ti^'ferf^il la idtidH^ dHm Vi^Hhar^e^' eSt ^^X^i} 



CoroHaire I. Les cylindre* d« m^tne hauteur sonl 
entre eux comme leufs bases, et lei cylindres de 
mdme base sont entre eux comme leurs hauteurs. 

. CorpHarre IL Les cylindres semblables 50»& comme 
Iqs cubes des hauteurs , ou comme les cubes des dia- 
metres des bases. Car les bases sont comme les quaeres 
de teurs diametres ; et puisque les cylindres sont 
semblables f les diametres des bases sont comme les 
dtfl "^^^^^^'** • <ionc les bases sont comme les quarres 
des hauteurs ; done les baseswmultlpliees par les hau* 
^urs, ou les cylindres eux- mSmes, sont comme le^ 
cube^ des hauteurs. 

Schqlie^ Soit E le rayon de la base d^un cylindref 
* 13, 4* 99 Ivmteur , la surface de la bas^, sera i?^' ^, et U 
solidite du cylindre sera jtR' xH, ou tcR^H. 



• • ( 



Proposition ii. 



Ii«MM£< 



, » •• » 



••t 



La surface cdnvexe d'unprisme droit e^igale 
aupiritnetre desa base miilUpliepwsa hauteur. 

fig. 25a. Crfr c^tte surface est ^gfdle a la somme des rcctatigles 
AFl?D,1JGHC, CHID, etc. do At clle est compos^(?e: 
or les hauteurs AF, BG, CH, etc. de ces red tangles 
sont ^gales li la hauteur du prisme; leurs bases AB, 
BC, CD, etc. prises ensemble, font Ic p^rimetre de la 
base du prisme. Done la somme de ces rectangles ou 
la surface convexe du prisme est egale au perimetre de 
ka base multiplies jiar sa hauteur. 

CoroHaire* Si deux prismes droits ont )a in^e 
, ha^tew" V les fSwrfaces convexe$ d^ ce^.p^ispes ^^cout 
jant|re>elli^^9on>me Jtes peri/u^tres de leur$ \i;^ses. 



hivjan VIII. %ij 

■ ■ > 

'"'i' PROPOSITION III. 

I ' 

^:,»{' .. t« B W Itt E» . ■ • -M- ' 

> ^ 

La surface oonvexedu cyiindr^ esiphi^ gtaAda 
que la surface convexe de toutptisine inscrit^' et 
pTus 'petite que la surface convexe de iduipHsnti 
circonscrit. 

Cat* la sui'face convexe du cyllAdre et c^ll^p du fig. a5a. 
prisz^ne inscrit ABCDEJ' peuvent 6tr6 consid^ree^t 
commd ayant mftmd lotigiieufj puisque toute Section 
faite dans Tune et dans Tiiutre pardlleleuient 4 4^F 
est ^gale ^ AF ; et si poilf avoil* les largeurs de ces 
sfli*li!e& 'Cfftr tes couf 6 ^ar AeH platls ^aialH^l^ li la 
Irase ou )jerp^tfd!cu:fah*es a TiiiSt^! AF , les *6ctfoff4 
deront i^Uh, VMne k \;sc AtmMit^nce tte W'baife^ 
Fautre au contour du polygone ABODE plui petit * 
que cette cii*coiili^ffeiidd \ Akmt , puls^u'fi longuetit* 
^gale la largeur de la surface cylindrique eiJt plus 
giatide que cell© de la' surface prismatique , il s eti- 
suit que la {ireiniere surface est plus gratide que la 

i^mnAt. ■ ■• '^ '"' ^ ' " '■" • ■ '' 

^Pat un taisontf^mewt entifei^femtent s6)iiblaM(» '^n f^„ ^2. 
prouyera que la surface convexe .du.cyliudjcc est 
plus petite que celle de tom ^ prisma fjircqnsodt 
BCDKLH. 



1 - • • 



PROPOSITION IV. 



La surfhce convexe d^un cflindre 0st ekdlp*a 
la ciroonference de sa base multipUie par sa 
htiutettr:'' ' • , ... 

Soit GA-'ftli^ybfi d'e la base dH dyKnd^e^aShw^', fig.ass. 
H sa ^iil!Afmf9i'(sn^t^ti^h^'i^^^^ 
circonfdfeitce qui a pour rajron GA , je did ^tt« 



"a. 



3. 



Cal^i^^ Jt mt nle' €6tte proposition ,^ ^ 11 fdudrap ^pM^ :^ 
€;;rp;^ClAxii soit;]aMr£aee tlun cylindra^phto'g^^siml , 
ou^plus'peut; «t d'«bb«^ supposons^ qU'^te^Wit4a^ * 
surfeiHS'dVi^> o^Uirtdpe p\m ffetit\ par etettifli'^ ^w^"^ 
cjlitiiik dc^inGD e^ te rayon de la Imse ^l^fl^k^^n 
hautetin^' ' yl r-s-.j • .fi . ' ■■: > ♦ir'^rn hnnup 

5 * Prtidiisdvrrez' aU'^cercl^ dont le- rrjrote^ est ^QEi^fi i>«. 
poi^gone^irdguilei^^^HIP, ddnt les €6t^& ne vendodl^ 
trent piiis la M^lrGOfiffiei'efice qui a CA pour i^ayoft'J ittllr- ^r 
giiii^'i^sMle'Uii' prisme drdin qui aitpo^klr'}i^iit^^ > 
H,^et pD^r bftse le polygone GHlP. £a i^u^fiRje icoa-" > 
ves^etVdd'co pristne se^'^de mi>ooy«;dtirt^\pt>lylgfdne 
GHIP multiplie par la hauleur H* : ce coiife^fve^t > 
pIiis'pi^tbMqtid laiy;fer^1frf(teBn<^^d«n»l0tttttj^n e^ 

CAf ddf|c'hi^5UHb^ 6^iV^«^^jptJSKrf^<sst^hi»^ti4 : ^^ 
que circ. CAxH. Mais circ. CAxH est, par hypt^» ^ 
these, la surface ;^n^exe.dji.cjlipdr^ dqnt CD est le 
rayop de la base, Icqiiel cylindre est inscrit dans le 
prisme; done la surface HcanvexednYrisme serai t plus 
petite que celle du cylindre inscrit. Or, au contraire, 
elle doit ^trfe ^ptes p^aM^ '^ ; doAc rhyp1()ik«sfc?'^(Pbik 
Ton est parti. est 4%^tl<»de ^ doncV i^ ^ eirbd^^m^^^^ 
4^ iu^ bas&^ i^hn*^jiifklr^^'imtJi^l^'ptir Sit liikd}^ 

plus f)^t ^'^^^ '^^'r' -'" s ^^ -'^ ■' '•' '■ '-^'^ • :-r^d':.:. 

Je dis en second lieu que ce mSme prodtiit ne 'peut 
m^uiier U surfS^ d\in cylindre pliis grand.- Car^ 
poui«'4»e'^s <*ang^ de fi^^e, Sbit GD te ^Wyoii^ ^^i^ '^^ 
la b^ kJ^i^ cyiirtdre rfonnt! , et s&k^^^^^ ^orskJbl^'^ >• ■ 
circ. CDxH la surik^e-dc^hv^^ kl^ri^ b^liid1^gF(^^^ 
avd^n# tttilille *iautett#, ^liriftf^birf hm Ws^^^i^^fe 
ph<sfgl^dVl>*^'«*^n^^i''ef cfeWe*''dc»)^^*6;'^yb«^i(t^ 
CkJ^QA ^iA^ meiiAk' c^mvmitioii^ 4We^>daM^'^»«ji 
milJ<^3l^tfe4sev '^t ^Msuffticd'^^oft^M^^ |*fenfle' 



gra^ qi^Klfr^. GD ; <dan{> la «^rfac0i du prisme ser^h 1) 

est }ai$i^rf%tl^ du Qjliiidre de ineine ba|^teul:^-4o1lti^A. r i 
eslM v%y^'^ 1|L base. Do»0 Ja^suWk^e 4» t^rtfixila^j^ 

quand meme le prisme serait inscrit dans le cylindmkfn;! 
sa AttTj^cje seiraM ,pl«s peiitei que ie9lli»<;dut cjtUndneif | « ^ 
a pbi0>rl6rlcii mi^n ^t t.eUe plti)^ ^^etitleii locsque^^H mj 
prUin0 pfi,«[^9d pa» l^isq^au cylii^e^iDoiiiP/^j^^uS 

sa km^fi^i n^if^i^i mmt^^ Us^f^m^^ ^^m\ ^**^#. j ^ 

f 'jia,'itt?j.« ? iJUvtO ..lrt»-ju t ' .ij(vi rii ^ ■ ,;> 'ur;''i? :; 

delA base; gi ofi d^n^ pf(r^^M£/^:v40tKHU^a««f^er.v 
la base , je dis que la soiidite de ce c6ne sera i%9te ||< 
suj^^AiO..)C:^oQ» ■ . .-.• ..-. -J . *M .. -,- ..! 'f.i-. )-.^. ,i<-\ .-?!• -jt 

Ell f ffc|;,,^pp$9n^ ^i *". que «^ AQx^^SQ mtthim 
soliiUt4.4'j^p f^<Vie> pb^ graod, pfjr pxepi^»,^/?iiij§p(i 
doimQp^^ ^¥J<?^Fs 4^.Ii^^teur , ajais ?4<^j PJB[^' {i^ J 
gr^n^qWl ^O-^'PSJi Jfl/ajGffi -deJa baf e^ 1 1 x (TJ . ■ x v:' 

Aujg^rfi^f 4^f ^§jjfl|79ft e*.t AO jt?ir0on$<5WJe?iiup,. , 
po^ygcfl^^#ieg^li^,|]Vf^3:3 q|ii ,ii^HKeQCQlUrei,^p..lai,l,| 
cir.<35W^qnea^M)d9jpt lflorftj[Wt-fS^6iSi^,j,ip|4e^«e%©^^^ , 4. 
»»i«^i3«>f PBra^#oq^%>8iiijpoMr .tfea?§^i?()P^Qf»ejfn 



o^ 



* 19 » 6. i^iMpnJi(ie * ' eit ^gale a Taire du polygene MNPT npil- 
' flpU^e par le tiers de la liauteur 50. Mais le jpoly** 
gone est plus grand que le cercle inscrit repr0sente 
j^iii* surf* AO ; done la pyramidc est plus gi^Ande 
que nurfy AO X ^ SO , qui , par hypothese , est la me^ 
sure du cdne dont S est le sommet et OB le rayon de 
la base. Or, au coutraire, la pyramide est plus petite 
que le cdne, puisqu^elle y e^Mioonteiiue; done i^ il 
est impossiMe que la base d'un cone multipliib par 
le tiers de sa hauteur doit la mesure d'un^cdne plus 
grand. 

- 'le^dii A^ ^ite ce m^me praduit n^ pent ^re la nie« 
sui»# d'nn edtie pltES petit. Qax\ pour ne pas dtanger 
de figure, soJt OB^le rayoi| de la base du £6ne don- 
n^^ et soit^ si) est possible, surfn OBx jSO la soli- 
ditd du cdne qui a pour hauteur SO et pour base le 
cercle dont AO est le rayon. On fera la nieme con- 
struction que ci-dessus , et la pyramide SMNPT aura 
pour mesure Taire MNt^T muitipliee par | SO. Slais 
laire MJVPT est plus petite que suff, OB; don/; la 
pyramide aurait une mesure plus petite que surf, 
OBX^ SO, et par cons^quc^nt elle serait plus petite 
que le cAne dont AO est le rayon de la base et 60 Id 
hauteur. Or, au contraire, la pyramide est plus grancle 
que le cdne, puisque le cone y est contenu: done 2^ 
il est impossible que la base d'un cdne muitipliee par 
le. j^ieit's de sa hauteur soit la mesure d*un cone plus 
petite 

Bone enfin la solidit^ d'un cdne est cgale au pro-* 
duit de sa base par le tiers de sa hauteur. 

CoroUaire. Un edne est le tiers d un cylindi*e de 
rntme base et de m^me hauteur \ d'oii il suit , 

1" Que les cdnes d'^gales hauteurs sont entre eux 
cpmni6 leurs bases ; 
^ . li** :Q^a€^ les cdneS de l>ase$ ^gales sont entre eux 



LivRfi vm. 45f 

3^. Oiie les c6neft semblables sont coihme leB (sdb^ 
d6i AiJAttihtes de leurs bases j ou comme les cube^ de • 
leurs hauteurs. 

Scholiei Soit R le rayon de la base d W cdiie , H 
sa hauteur; la solidite du c6ne sera irR* x f H ou 

PROPOSITION VL 

theorbMIi. 

£e cd/i(? tronqui kiyEQ y dontKO, DP ^Of?^ /ay %• =»^* 
rayons des bases et PO /ii hauteur ^ a pour imf- 

«^7'ei7w. OP. (aoV DPV AG X dp). 

Soit TFGH une pyramide triangulaire de mdiue 
hauteur que le cone SAB, et dont la base FGfll soit 
equivc^lente a la base du cone. On peut suppo^er que 
ces.deux bases sont placees sur un m^me plan; alors 
les sommcts S et T setont a egales dist&nces du plan 
des bases, et le plan EPD prolong^ fera dans la pjrra* 
niide la section IKL. Or je dis que cette section IKL 
est equivalente & la bas6 Dfi; car les ba^es AB, DE, 
sont enlre elles comme les quarr^s des rayorts AOj *„ 4 
DP% ou comme les quarres des hauteurs SO, SPj 
les triangles FGH, IKL, sont entre eux cotnme les 
quarrels de ces mSmes hauteurs*; done les cerdlesi *i5,6. 
AB, de, soiit entre eux comme les triangles F6H, 
IKL. Mais, par hypothese, le triangle J'GH e$t ^qui- 
▼alent au cercle AB; done le triangle IKL est equiva- 
lent au cercle DE. 

Maintenant, la base AB mulliplifc par |S0 esif Id 
Solidite du c6ne SAB, el la base FGH muliipli^e paf 
-SO est celle de la pyramide TP^GH; doftc, a cause 
des bases ^quivalentes , la solidite de la pyramide est 
egale & celle du cdne. Par ime raison seinfilaUe, la 
pyramide TIKL est t^quivalentfe au cdhe tSDE^ ddiic? 



2^2 GEOMETaiE. . ,. , . 

le troijc d^ cone ADEB est equivalent ^5ji^^tijjjn<?j,de 
pyrdmide FGHIKL. Mais la ba^ .FGJIk ^qulyf(l^flt« 
au fcercle/dont le rayon est AO, a poj^p i^ft^re 



■a » 



%JK AOy >de ; m^me. la base 1KL=:^ x)ofi<P, et Im 

rtioyenhe pfopdrtlonnelle enire t: X XO* et w^ D? 
est it'i< A©^ I)P ,^ dbiic la solidite du tioiic ^e'^rai* 
tittMSyOii belfe dtitronc de c6ne , a pour mesiire jOPb< 

ao.s. ^TC,^A9Hr.TC,xPP-i-«KA0xDPj*, qui.^st l^ m^e 

«bbf e,.q«e t« X O p X ( AOV DpV AO X D p). 
-in. . .PROP.OSITION VH„ -. . . 

THEOREME. 

f I i»'" '• ■•'>- *•> • ' .»>•" > 

f • iidf mrfuc^ isorwexe (Pun done estSgUfeA la 
eirdonfUrence de sa i^M^ niu'ftijyllie pdftd inoi- 
tie deson cdte. - - ' ''^ ' " 

fig. a59. 'S6it AO le tayon de la base du cone donne j^S son 
^6mmet, et SA son c6te; je dis que' sa surface aera 
circ.AOx^SA. Car soit, s*il est possible^ circAUX 
7SA, lia surface dun cone qui aurait poiir ^ommet le 
point S et pour base le cercle decrit du rayon OB pjus 
grand que AO. . , , ^ 

'Circohscrivez au petit cercle un polygon e regulier 
SfNt^T^ dont W cites ne rencontrent pas la cJr- 
confereiice qui a pour rayon OB; et soit SMNPT 
la^pyrarhide reguliere, qui aurait pour base le poly- 
goiie, et pour sommet le point S. Le triangljB SMN, 
1*1^11 de ceux qui composerit la surface convene de la 
pyi*amitle, a pour mesure sabase MN multipliee par 
la* ni6itie de la hauteur SA, qui eSt'en meme teriips 
18 c6*t^ >du c6rte donrie; cettebauteur etaht egale 
itaH^'tod^ les autres triangles SNP^ S*PQ, etc. il 
^^rait 'i[u4 lal surface corivexe ' de'la jbyramide ' est 
e^^c^-^alf '^6nt6ur"MN1>TM iAu^ti^'^i^^A:mis 



us 

VLB 



LiVRC viir; a53 

le contour MNFfM, est plus grand que circ. AO: 
don<i"fii*siii^fafefe''cbr][vc?xe' de' la pyraniide est plr- 
gratriiW^i/ti8 eu*c. AOx^SA, et par' consequent pli 
grattdi^ qii^ la Surface convexe du cone qui aVec te 
meme ii)mniet S auraic poiir base le ceix^le ^ ilecrit 
d^f^avoji^OB; Or, au contraire,,Ia,.§Hfikce ,cpp,v^^^ 
du cQi^p^ est plus grande que ceile.de jla-pjr^nud^^ 
car<j^i^ on aiiosse base a base la pyr^ipid^^ii, we pjfJTfr; 
mide egale, le cone a un c6ne egal, la surface desi 
d^i'cS^ries enveloppera de toutes parts la siirfab^ des 
deux pyrlntides^ donb la premiere ^nrfxcfi aepat^pldx 
grande que la seconde*, done la surface du cdne est 'l**- «• 
plus grande que cell6 fle' lu j^yi^ariride qui y est comr 
prise. Le contraire etait une suite de notre hypothese; 
done cette hypothese ne peut avoir lieu : done i*' la 
circonfi^i^eace 4^ la bas^e^dAunf^^edQulupltee pat la 
moitie de.spiji q6t^^nl?^ peut jf^swef* la suyface^ d«a 
cone plus grand. ./^ 

Je (lis 2^ que le meme prpduit ne peut mesuirer 
la surface dun cone plus petit* Car soit ,B0 le rayon 
de Ta base (fu cote donne ., et soit, sil^e^t pps^ible, 
circ. BOx^SB la surface du cone dpnt S est le son^^ 
met , ^^ ^O , plus petit que OB , le rayon de, la l^se. 

'Ayant'fait la meme construction qi^^.ii-dessus^^* 
la surface de la pyramide SMNPT sera touioiiri^ 
egale au contour MNPT multiplie par ^ ^A..^ Qr^^la. 
contour JINt^T est moindre que circ. BOl SA, est 
nioindre que SB; done par cette double ^ raison la, 
surface convexe de la pyramide est moindre que circ^ 
BO X ^SB , qui , par hypothese , est la surface du JcdntfJ 
dont AO e§t le rayon de la base; done la surface de ' 
la pyramide serai t plus petite que celle du cojae in-; 
sent. Or, au contraiye^ ' elle est plus grande j cjw* e^^ 
adossant j^^e^k.^^^s^ la. pyra^ide^a nn^ pj^^^^^^^^ 
egal 




^^y4 eiouimis. 

cons^quipnt wra la plus grande. Done a® il esj inipos«- 
ttble que la ctrconferenco de la base d'un c6ne donn^ 
xDultipIi^ par la moiti^ de son c6t^ m«sure la surface 
d'un c6ne plus petii. 

Done enfin la surface conyexe d un cAne est ^gale 
a la ciroonfereuce de sa base multiplier par la moitie 
de son c6te. 

Scholis. Soit L le cdt^ dun c6ne, U U rayon de 
aa base^ la circonference de ceite bas^ s^ra 217R1 
et la surface du c6ne aura pour mesun? 977ILK7L, 

PROPOSITION VIIL 

THiORBKS« 

Cg. afi. La surface Qonvexe du tronc de c6ne ADEB est 
igale a son c6t4 AD muliiplie par la demi^Sbrmne 
des circonjerences de ses deux bases AB, DE, 

Dans le plan SAB qui passe par Taxe SO , menez 
perpendiculairement ^ SA la ligne AF, ^gale li la 
circonference qui a pour rayon AO; joignez SF, et 
menez DH parallele k AF. " 

A cause des triangles semblables SAO , SDC, on 
aura AO:DC :: SA:SDj et a cause des triangles 
semblables SAF, SDH , on aura AF : DH : : SA : SD ; 
*ri,4. done AF : DH : : AO : DC , ou : : circ, AO : circ. DC ^ 
Mais par construction AF = circ. AO ; done DH =2 
. circ. DC. Cela pose, le triangle SAF, qui a pour 
niesure AF X ~ SA , est ^gal k la surface du o6ne 
SAB qui a pour mesure circ. AOx-JSA. Pai*une rai* 
son semblable le triangle SDH est ^gal a la surface 
du c6ne SDE. Done la siurface du trone-ADEB 
est egale k celle du trapeze ADHF.. Gelle-ci a pour 

♦ ^ ^ 3, mesure * AD X ( — '^ — J ; done la surface du 

tronc d^ cdne ADEB est egale a son c6t^ AD mul- 



tiviifi Yiir. 



ia-5R 



iVA^^ ^H*^ 



tiplie parja demirSOmthe des ciicdnferences d6 sed 



V^j'iJi'- I 



! •■•.■• 



deux Dases. 

Coroltaire. Par le point I, milieu de AD, menez 
IKL para.lle|e a AB , et IM parallele a AF ; oh dd- 
montrera conirne ci-dessus que IM^=c//'c. IK. Mais 
le trapeze ADHF = AD xIM— AD xc//r. IK. Done 
on pent dire encore que ia surface d*uh tronc Ae 
cAne est egale it son cote multiplii par la tirconfir 
rence etuhe section Jake a igdle dhiance des deudc 
bases. 

Scholie. Si une ligne AD, situiSe tout enti^i:*e 
d*un meme odtl de J« ligne OC et dans le m^me 
plan, fait une revolution autour de OC, U sur- 
face decrite par AD aura pour uie&ure AD H 

/ circ. AG -4- circ. DC\ k t\ ^. • ti/ i t 

^ ; . T ;;^ . j^ ou AD X cue. IK ;. lei Ugnes 

AOvDQj lJiL,,etwt ^t^ p^p^dicu]aire5 abaj^see? 
des ^^rcm}^^ . et du iniU^u de l» ligne AD 3U|: 
I'axe Oq. . 

yar si oUiprolonge AD ^t OC jusqu'a leur ren- 
cont^^ mutuelle en S , il est clair que la surface de- 
crite par AD e$t celle d'un cdne tronque dpnt OA 
e^,DC fpnt l^s rayons d<?^ bases , le <?6ne entier avant 
pour sppiniet le point S. Dpnc cette surfece aura la 
jwesure njentionn^'e. 

Cette mesure aurait toujour^ lieu, q^aud meme le 
point D tombe^fait en S, ce qui donnerait un c6^e 
entier,^ et ausai quand la ligne AD sera it parallele h. 
I'axe, pe qui donnerait un cylindre. Daas,le premier 
cas Dp sev^ait /\ulle, 4^ns le second DC ser^it ^ga)^ ^ 
AOetAIK, . .. ,. 



M 



'•:•». 



U 



I . 



I 

v 



M ! » I ' ; , .. 



.GKOUPTJtJE. 



,,.!-..■ ■ ■ -iv; i)"'I SKC IsT* 

ln^-?r-.(-n,,- 

>6s. Soient AB, BC, CD, plusieurs cdtis successi/s 

d'un polygon^ rigulier, Osoh centre, et OI ie 

rayon du cercle inscrit; si on suppose que la 

portion de polygone ABCD, situee tout eniiere 

d'un mSme c6t& du diametre YG, fosse line re- 

"i'dSiWoh auiour de ce diametre ^ lA^surJace de- 

^'^Wfhfar'K^(^'aurdpourmemreiX(^cutlXil^ 

MQ itant la hauteur de cettesurfacc oulapar- 

■ ili»*K& i^aa;e €ompH»' emre lei peip^Skulaires 

':--AM5DQ. -■■.,■-, .. -. ^. ■,::._.■.'.. -.^..^ i.. ' ■ , 

. ,. ,,,,lA,,point,I p^int,iu^^f^de.4|ft»j(^,Ht.i^n( jane 
perpendiculaire i I'axfl nVsw»4«i4»..BP»^Ij«*«f">"- 

'8, ,fiiced^iiepar4,^!(i)jii,jlQiM-ine|iff:^4ft^«rfit IK*. 
Menez AX p^rs^llele. d,l>3te» Ip^.t^iflrigl^ 4;i^rPI|K, 
petpendioulaH^ lfihJ^<nl^ i4,;^i«6i|ni 
SK. a AX,, ej pK.:A^BXK4w<i,ces 
ijjlaUei; et , dqunent la prppertion 
: QI r. lit ,. ou : :. ciKcl QI : cfcrc,. IK ; 
^ = M^X,ci>c. .01. D'oii I'oji, voit 
crite ptir AB est egale a saJiauAeur, 
F la circonference du cercle inherit, 
ce d^crite par BC, = NPx oirc. Ol , 
par CD, ==PQxcfre-jOI- Pone la 
ir U portion de. ppljiif)^ ABCD, 

nc eile es^ ^gale ^sa iwfUflu? paiilii- 

iferencedu{^p(eifl^i(:^nj.^,,,, - 

e polygone entif^^^i^i^i^'j^tfl^mbre 

de c6tefl Mir, ^t gue.i'axe FG j^a^^e ptq- jif^j^-^sQin- 

^.^njets oppoi& I'.^t G, III surf'acf en|^j^j;(f,d^f^^p^In 




Mai^^WA- m ■"' 






^ilill 



's«.i!i*a'if iff "■■■>■ 



mSt 



M 



I'lS 9>^«(>lilinae. Car 






'•$ 



- » 

po&'sime*, DExc/rc. CD la surface de la sphere q^^ii a 
poTit"raydn CA. On fera la merae construction (jup 
Uans le premier cas, et la surface du sotlde engendrd 
par le'pcilygohe sera toujours egale a MS xcirc. AC. 
Mais MS est plus petit que DE, et circl AC pliis petite 
que circ. CD ; done , par ces deux raiSQns , la suJbfad^ 
du soli^ decrit par le polygene serait plus petite que 
1)K'>C cjVc.'CD, et par consequent plus petite (jue^la 
smiace de ia spb^ere dont le rayon est AC. ()f, aii 
contraire, la surface decrite par le polygpn^ ^t plus 
grande que la surface de la sphere dont le rayoD e^t 
A(J!y pufsque la premiere surface envcloppe la seicpude: 
done 2<> le diametre d^lne sphere multiplie p^irla cir- 
cionterqnce de son grand cercle ne paut mesturer la 
surface dune sphere plus petite. 

Ppnc la surface de la sphere est egale a ^pn dia;- 
metr^ multiplid par la circonference de son. gravid 
cwcle. 

CoroUaire, La surface du grand cercle se Vn^itii^e. 
en multipliant sa citconference pat la moitie dilrsij/bii 
ou le quart du diametre ; done la surface de la ^Kire 
est quadruple 'de ceUe d'un grand cercle^ ' ! 

Scholie. La surface de ^ sphere ^tant ainsi mesuree 
ct comparee k des surfaces planes, il sera facile d*avoir 
la valeur absolue des fuseaux et triangles spherlques 
dont on a determine ci-dessus le rapport avec la sur- 
face entiere de la sphere. 

pVoord le fuseau dont Tangle est A,, est a la surface^ 
defti? sphere comme Tangle A est a quatre angles 
•ao, 7. droits*, ou comme Tare de grand cercle qui mesure 
Tangle A est a la circonference de ce mSme grand 
/ciercle.' Mais la surface de Id sphere e^Jti^gdle & cette 
cii^diifereiice multipliee par le dikirtiilreV done !a 
sui'fkc^ dti fiiseab est ^gale k Tare qiii' mesure 1 angle 
de ce fuseau^ multiplie par le diametre. 



JtlTRB yilXi 



Ms 



En sf»Qond ItQU tout tri^ngU sph^ri<}UfS ^^f^jmir 
vat^nt a un fuseau dont Van£[le est icn^ k In moit^e 4^ 
Vexces de la somine de ses trob angles sur deux 
apglei droits*, Soient done P, Q, R, les arc« de 
grand circle qui mesurent l6s trois angles du trian- 
gle ; soit C la circonfi^rence d'un grand cerqje 
et ID son dxametre ; le triangle sph^icjue s^|l 
^uiyalent au fuseau dont l^angle a pour mi^we 

-' " ' i^ ^ — ' ' ^ et par consequent sa surfae* sera 

Ainsi, dans le cas du triangle tri-rectangle, clia- 
cun des arcs P, Q? R? est egal ^ jC, leur somme 
est|C, Texces de cette somme sur -fC est |C, et la 
nioitie de cet exces =^ C 5 done la surface du triangle 
tri-rectarigle ==:^CxD, ce qui est la huitieme partie 
de la surface totale de la sphere. 

La mesure des polygenes jspheriques suit immedia- 

. , tem^nt celle des triangles , et d'aiUeurs elle est 

entiereinent det^^minec par la prop, xxiv, liv. vn, 

piiisque Funite de mesure^ qui est le triangle tri- 

rectangle, vient d'etre eyalu^e en surface plane. 

■ 

PROPOSITION Xi. 



* ^h 7' 



THEOREM E. 



La surface d^une zone sphMque quelcofwue 
est egale a la hauteur de cettd zone muttipliee 
par la circonference d*un grand cercle. 

Spit EF iin a^c quelcojtique plus petit ou plusgrs^)d %• ^ 
. que le quart jde circonference , et soit aLaissee F^J per* 
pejidiculaire 5ur Je rayon EC; Je.dis que la ^one^ i^ne 



' t>^?e.,ii #Wtft parja r«Jv.Qlutioi;i deiJ'Arq fiff ^^ifttOA«' 
de EG, aura pour mesure EG x ciVc. JEC^ .unjliu •. 
Qi^ .^^pposons d'abord que cette w>ae ait>Wi^)i>ie- 
^ip:e plus pptit^, e^ soit, s'il e*t posfiibte, cett^^iTioswrft 
=^,PQxciec.,CA* Xp3criv^z dans Fare, EjFuu0,pq?^^ 
dqjpljgon^ rnjgwlipr PMJSOPF dont les, ^Jdt^jinla^F* 
t(etig9.en^,p^si Ip circon%enoe decrite- du rajrOiPiQi^^y 
et ,^ais$ez.£ll .perpendiculaire sur EM 4 la ,f wfe<qd 
dccjcift^^parile^pojjgonp EMF tpurnaiit auiQUr^cteJiCii 
a^ra^^ppurjmQsur^ EGxc/rc. CI*. Cett^ q,uaiMite.est 
plus grande que EG Xc/rc. AC, qui, par hjpotike$e», 
es|^^ mesure de la zone decrit^ par. Tare E]*?« Q^no la 
&uj^ft'4e€rii^,par le polygons ,EMNOPF.45m*ai|. plus 
grande que la surface. diBcrit<? pftr 1 V<^ circonscritsEE^ 
og?y^^(COAtmire:, cetii^.darnlere^fiiurfoce est plusgrande 
que.la pj^iaiejce, puisqu'<?Ui?;.|!;eavpIoppe d© lou^cp 
partaf done i.^ la mesu^e de^tQute zoftiei i9{4wique> 
knne base ne peui^ ^tre plua patifie|4{ue la:hi»ut6(iff del 
cette zone multipliee paf la circonf^^r/^oce d*ui>gi^uMiL 
cercle. 

Je dis eh second ^ei^ que la n}esur,e de la meme 

zone ne peut eire plus grande que la hauteur de cette 

zone multipliee par la circonference d'un grand cercle. 

Car supposons qu'il s<igisse ue la zone decrile^par 

Tare AB autour de AC , et soit , s'il est possible , zone 

- A6>*Ab*kc^tf/AC.Lk surface entiere de la spliere, 

cohtp'^^r^e d^s. detix zones AB, DH, a pour mesure 

♦ 10. AMxiire; AC * , ou AD x circ. AC + DH X eirc. AC ; 

si ^^ done oit -a zone AB > AD x c«nc. AC| , il faudra 

qii^n^>Qit OptV2^ BU <DllXchv^ AC 5 co qui eH 

contraire a la premiere partie deja demon tr^* Dono 

2^ la mesure d'une zdne spherique a une base ne 

piutit^tf fe .pills grande -que? Ja hauteut' de ce^te 'flU>he 

Im^kifiUeei |wi k ciroonferenoei d'»it giatid^b^i^e; ' '^^' ' 



m6^#fiB %'^iatifelir He cette zone muliijblree '^di* hPih^ 
conference d-iih grand circle:' ' ' ' ' '^ ^' 

>«fi(ftil^fd<?ro^ maintenant ime tone ^ttcflcbitijUe*, a 
dfcsftj^fbjf^es*, d^rite par la revblution d^ Nrc FH fig-aao 
«ridl<i<idlP'diariietre DE', et ^oleiit afcaiss&s Te^^^er- 
j^iVdi^feJr^^ FO , H(^ iui* 6b dianiMjre. Li zdMId^-^ 
€i4*<^ jJi^ f ^<5 FH est la difKrence\fe ' 

eiiik^jpar les arcs DH er' DF^ celiel-^cl dfit '^biii* 
meiiitfes ' DQ X circ. CD et DO k ewt^; - GD ,* doii6 la' 
ion© <k5orilie par FH a pour meiiui*<i (DQ-^OOyi*' 
COT/ GD, ou OQ X e/m, CD. - ' ...->.,;, 

- Itowc touie zone splieriqiie 'd xm& ou a dett^ bisfel 
a j^iipj ttiesure Fa liautenr d^^ cette xone mtUtiplitle* 
par ' la 'x^iTConfereiice ^'d^tifi gran d cerete. ' ' * ^ ' * ' - '^ "' -. 

' Comliutre, Deux »ont3»* ' prises' dans uhtf infiir^' 
spke*^ ©b d^iis des sJ^Ml^esj^alies, sont erttr^'elles 
conune l^tifi' bftuteurs /^ Hh^zone* quelconque dslW 
lai 'SiirfiBice dS k»'Spft<?t^ ddmm^^la lianteur de ^eite* 



r>m.n .; -^l^^x>Sli^lbN XII. 

filfOO t);j T--' "J ■" ;: • - "f '■ J' . ' • , '■• . '"' '" 

9()j.3 . ; ; . .. :", ^^ • , t' . ;,.. . . ' ">• 'r« i fll'J^. ' '■^. 

THEORSME. 

.S/ /e* triangle Ji AC^ ^l^ r^ctit^^^B^ «f-J^- 
/;i?e?A«e base et de .miSme hauteur toMrn^ntjim^lr 
tanpnent au^ur de la b<ise commimeiBGjvl^sQ-f 
lid^.decrlt par la rtis^6lutian dutricuigie seoKi^le^^ 
tms d^ eylindre de&rk par la' re{^oiu$iewdu;\ 
reotdhgiev •.'*'^' •'''.■■ -•' >■•• ' '• ■' ^' "'''^f.!)'.' 

,A\mwGik sui! Vaxe^Ia perpei^iculaine AD?; le'cdne ***«• *^^* 
decrijr)^Ai^4d)trt!t|)gIe'A^jeat'ie tiers du'r^fHclirfid^a . * 



262 6B0METRIB. 

par le triangle ADC est le tiers du cylindre decrit par 
le rectangle ADCE ; done la somme des deux cAneS on 
l6 solide decrit par ABC est le tiers de la ^omme des 
deux cylindres-ou du cylindre decrit pat li rectangle 
BCEF. 
fig.d65. ' Si la perpendiculaire AD tombe au- dehors du 
triangle , alors le solide decrit par ABC sera 1% dif- 
fiirence des c6nes debrits par ABD et ACD; mais on 
m^me temps le cylindre decrit par BCEF sera la 
diff<iSre0ce des cylindres decrits par AFBD, AECD. 
Done le solide decrit par la revolution du triangle sera 
toujours le tiers du c}'lindre, decrit par la revolution 
du irectangle de niSme base et de meme hauteur. 
Scholic* Le cercle dont AD est le rayon a pour 

suvface ir x AD ; done tc X AD x BC est la mesure du 

cylindre decrit par BCEF, et ^Ttx ADxBC est telle 
du solide decrit par le triangle ABC. 

PROPOSITION XIII. 



PROBLBMB. 



fig. a66# Le triangle CAB dtant suppose faire une revo- 
lution autour de la ligne CD, menee comme on 
voudra hors du triangle par son somrnetCy trou- 
ver la, mesure du solide ainsi engendre. 

Prolongez le c6te AB jusqu'k ce qu'il rencontre 
Faxe CD en D , des points A et D abaissez sur Taxe 
les perpendiculaires AM , BN. 

Lo solide decrit par le triangle GAD a po.ur me- 

♦ la. sure* -jW X AM x CD le solide d^erit par le triktigle 
CBD a pour mesure jw x BN x CD; done la diffe- 



LIVRB vni. a^3 

rence de ces solides ou le solide decrit par ABC aura 

pou^, Wf«ttr^ i^- (am ~ BN j X CD, 

Pn.pfl^t donner a cette expression une autre forme. 
iI)u,p0iQ(^ I^ milieu d^ AB, menez IK perpendicutaiie 
k CD, et psir le point B menez BO parallele a GD^, 
m nwa AM+BN=2lK* et AM--BNc*i;,AOj done, * 7, 3. 

(AM + BN) X (AM— BN), ou AM'— BN'==r»IKx 
AD*. La mesure du solide dont il s'agit est done * ^o ,Si 
exprifnee aussi par fTT X IKx AO X CD. Mais 'Isi '6ti 
abaisse CP perpendiculaire sur AB, les trlang-t^S A60, 
DCP, seront semblables , et donneront H p'roportiAh 
Ad : CP :^ AB : CD ; d'ofi resulte AO X CD r^CP X 
AB ; d^ailleurs CP X AB est le double da Fair* du 
triangle ABC ; ainsi on a AOXCDrrz^aABC;^ done 
le soiiddi deceit par 1^ tri«Li>gle ABC a aussi p%toir:«ie- 
aw^ ^m >4?APQ }(i^K^Q^ , oe q^ ^^t 1^^ me^up <?|?fl?e,, 

ABCX.|c/rc. IK;. (car c^c.J[K=;:;=2ir, IK.) JJioric le 
solide diet it par la rci^olution du triangle ABC , a 
pour mesure Voire de ce triangle multipliee par les 
deux tiers de la circonference qiie decrit le point 1 
milieu de sa base, 

Corollaire, Si le c6te AC=CB, la Hgne CI sera ^„^. 
perpendiculaire a AB.^ 1 Vre >ABCJ sp ra egale .a ^B X 
^CI, et la solidite |r X ABC X IK deviendra |7C X 
AB X IK X CI. Mais les triangles ABO, Ctit, sont 
semblables et donnent la proportion AB : BO ou 
MN :: CI : IK ; done AB X IK = MN X CI ; done te 
solide decrit par le triangle isoscele ABC aura pour 

mesrurelir x. MN X cf. . .. , 

Scholie. La solution generale parait siitpposery quie 
la 4ig^e^ AB' prblongee renoontre Taxe ; mais'les 
resi^U^liS: n'l^n ^eraient pas inoiii$ vrais ^ quand la 
ilgi^e AB serait parallele a Faxe. 



ju. I *• I 



Eneffet, le cylmdre decrit par AMNB a pour luer 
sure n. AM. MI^^ le c^pfi d^'cfif |^r ^<^=:'^'r;. AM. 
CM, et le c6ne diciit par BCN=i7c. AM'.CN. Ajou- 
tant ies deux preiui^i^ ^Udes et retranchant le 
troisieme, on aura pour le solide decrit par AOC, 
r.^°,CWl!?,ir.i,CM-T.iCN) : el pui<qiie,CI8.-*^<IM 
= SE4;c«te"e»pp?saon it i^uiti n. ASifMJ^ otf^^.' 

iTtVCP.'MN'J'ce ijul' s^accorde avcc lc3 resultals uiaa' 

trouves. -:■'-■'•:-.■ v. . ■ , . , 

■■■ -oAt " P-fiOPOSITI'ON.XIV.' "'^ ■ ■■■- 
'»/■ T: « ■ >i Ta^oWiWEl' it' '■■! >''';^'''' *■ 

teur pplygofial AO0,,,^«^T«^'t?fi,/w^»fll*f^4'''*''i' 
ce diametre, le solide decrit aura pour mesWi^- '■- 

nee pat^'ies'peYp&n^aMtes tfai^rtieJ'^lVl^, B'tJ'.'^ V 
EiifBatt,'.piiW^e T^ ^^tihg'one esi regulier, low/ ' 
lea tS^ijW^^il A'(WJ;"B0C , etc. sorit igaux et isosceles. 
Ori^'SfiMirti' te' fcb>otlaft?^ de'^la proposidqn pruce- 
denti'J'U'iblide p^oduit par le triai^le i^oscele AOB 
a, pour inesure 4^._UI.MN, le solide decrit par le 
our inesure ^1; . W , ^ , et k solidip . 

iifgJe.CJpO.a, pftiv.iij?suK^,;-f5;,fliv.; . 
ne fie t^s solide? ,; m lq;|ol^de pFfip'' 
^ur^ly'gf^palA|60jyau^:yo)igj^,. 
surefir. 01. (MN + NP-t- PQ) ou^tt.OI.MQ."-/ 

u.q j-3 iJ.f i^' '- '^o*(fii aidjjofa 9IJ*> '■■* 



LI^RB Villi 


a65 


O r ^'^R 6 POSITION iv. 




,OjK ./•^'l'.- ■ '■' ■■ ■ ■'■■ 


.51 3 « »■ 


,' inwf-'-J!::..- ' THi<yB-£a!]^: ' ^ i ! '' 


:> 


, JOA tii'l <i ■• ■•■ ■ '•■'; • ■ ' ' ■■ 





>: 



VTdMski^tewr sphMqued pour ihesUrk ia z6nt 
qvS^Jup'gertxde base multipUie par-W'tierySki- 
rayoTiy et la sphere entiere a pour irtfsure^yi^ 
surface muhipHie par le tiers du rayon. ... ■„ 

Soit ABC Ic seciem* einculaifQ qui ^ ^ar sa r^vo- ^' * ^* 
iution autoiir de AC, decrit le secteur sph^rique; la 
zone d^crite par Afi euut AD Xcenc. AC ou 277 . AC. 
AD*, je dis que le secteur spherique aura pour me- 

sur^ cctte ttuie tmiUlpll^^pAV t^(i\ ou }it . AC . AD/ 
Eh feCfet^ i.*> Ati^p^sdns/Zil '(6»tp^sible; qa^ fcetie 

quaiititi>'f ^\\AC\ fijy sMt la ^ meisure d'uii secteur 
sphrfriqiie^flu*'gt»aind; par'^it^ftipl^', <!u secteur sphe- ' 
riqu^ deeritpar le sebteur cii^tilaire £CI«^ semblable 

Iif ^i;l^e% , daps .rare -Rl?' fev pwri^in xi6 polyjgdi&e 
regu^V Q^UfF dant les i^^i^s^ xle.j^^^<^Qntrent.{>a5 
l*arc AB, imaginez ensuite que 1^ s^f^teu^, poljig^nalr 
ENl^C tourne autour de EC. en i^i^me tten^ps -qu^ le . 
secteur circulaire ECF. Soit CI te rajoiQ^ du cefcle .; 
inscrit dans le poljgone, el soit abaisse^ FG peppen**, . 
diculaire sur EC. Xe solide deci*it par le secteur 

polygonal aura ,jppur mesure fir, CI. EG*.^:, oif^j^ 
est jpfus^'^grahd que AC par construction , qt EG est 
plus ^lia. qti^AD : ciii^s joi^naiit AB, £^, les'l^ian^ 
gles Ere;^:A!B»V ^tti sont seitiMables, donneiit la' 
prop^*U^il^EffVAD1V¥t^: BBV:Ca^ i'C^^ (ibnc EG 

— — • 

Par eette double raison fir. CL EG est plus 



2l66 GEOJlBTniB. 

griand que |tc, CA. AD : la premie i^ expre^ision. est 
la mesure du solide d^crit par le secteur polygonal ^ 
la seconde est par hypothese celle du secteur aphe- 
rique d^crit par le secteur circulaire ECF ; done le 
solide decrit par le secteur polygonal serait plus^ 
grand cjue le secteur spherique decrit par le secteur 
circulaire. Or, au coiitraire, le solide doBtiil«Vgit 
est moindre que le secteur spherique , puisqu*U y est 
contenu; done Thypothese d'oii on est parti ne «au-» 
rait subsister ; done i** la zone ou base d'un secteur 
spherique multipliee par le tiers du rayon ne peut me^ 
ftiiter tin secteur spherique plus grand. 

J^.dis 2° que le m^me produit ne pent mesurer un 
secteur spherique plus petit. Car, soit CEF* le secteur 
circulaire qui par sa revolution produit le secteur 
spherique donne, et supposons, s'il est possible, que 

fi7.CE. EG soitia mesune . d\i^Q ^ecteur spherique 
plus petit, par exemple, de celui qui provient du 
secteur circulaire AGB^ • ' 

La construction precedente restant la meme , le 
sdlide decrit par le secteui* poly^oaal auraxtpiijAurs 

pour mesure |ir. CI.'EO. Mais CI est moindfe que 

CE ; 4onc .1^ solide est moindre qucjir. CE. EG, qui, 
par hypothese, est la mesure du secteur spherique 
:'- deei^it par le secteur circulaire ACB. Don^ le solide 
tieerit par le secteur polygonal serait moiridre que le 
sectuur sphdrique decrit par ACB. Or, au contraire, 
Ite'sdljde dont il sagir est plus grand que le secteur 
«ph(irique, puisque celui-ci est contenu dans Faiitre. 
Don(^ 2^ il est impossible que la zone d'un secteur 
spli^rique: multipliee par le tier^ .(}^ i^.on soit la 
kttesore.d'ali secteur spherique plus petit. 
' ^DoBc>t€niit S€»^tmur spherique a pour mesure la zone 

* ^uftM>)ier];gde'b«&enwlti|^i4f .pjiK.^eLHl!^^^ 



! 



LIVRE Vlir. 2^ 

Un siecteur circulaire ACB peut augmenler jus- 
qu'a devenir ^gal au demi-cercle; gilors le secteur; 
spheriqtie decrit par sa revolution est la sphere en- 
tiere. Done la solidite de la sphere est egale a sa sur^ 
face rrmltipliee par le tiers de son rayon. 

Corollaire, Les surfaces des spiieres elant eotmme 
les quarres de leurs rayons, ces surfaces multipliees 
par les rayons sont comnie les cubes des rayons,^ 
Done les solidites des deux spheres sont com^ne les^ 
cubes de tears rayons, ou comnie les cubes de leurs 
diametres. , . 

Scholie. Soit R le rayon dune sphere, sg sur- 
face sera 4 '>^R% et sa solidite 4 w R* X jR, ou j tt R'. 
Si on appelle P le diametre, on aura Rrr^D^ et 
R^=;=~D^; done la $olidite s^exprimera aussi par 
4^ XiD?,ou^wD^ 

PROPOSITION XVI. 

t 

TRI&ORBIIS, 



• • I 



£a surface de la sphere est d la surface tatale 
du cytindre circonscrit ( en y comprenant ses 
bases) comme a est a 3. Les solidites de ces deuod 
corps sont entre elles dans le me me rapport 

Soit MPWQ le grand cercle de la sphere , ABCD «§• 370. 
le quarrc circonscrit; si on fait tonttier a la. fois le 
demi-cercle PMQ ct le demi<^uan*^ PADQ auDour 
du diameitre PQ , le demi-cercle dcicrira la jphere^y 
et le demi-quarte d^crim le eylindre eiroonicrit^i 
la sphere, . ■• 

La hauteur At) de ce eylindre est ^al^ {iu> «lm* 
metre PQ, la base da eylindre est ^gale au^^grand 
cercle, pais(][h*ell&'d pour diametre AB dgmle^JlMN; 
done la sut&ce' conTexe du eylindre^ ^st^^gafe^ iia ^4. 



J 



2&& GioiiitiRt^. 

diumeilne* Gett€l'inesum 6St la n^4^e %[u« %fd)te«"<te 

*io. Is^.^iirface defa sphse^e* : doii il sttit c(iite ^Mt^ 

fa0^\Sp^ M sph^e est egcde a la $ur/ac^i}l^oni>etxi^ 

' Mais la surface de la sphere est egale a quatre gi*aiitls 
cqr^Ie^^i dqi^c la auriiikc^^ conYcxe du ey|inids^reim&n« 
S9r^^<:P^,^al6^aus9i:a quntre gi^nds eerciec; :<iSJ> dd' y 
joint les deux bases qui valent deux gra»ds'ifief des , 
la surface totale du cylindre circonscrit sera egale 
a six grands tekdtesi do^o la surfade^^di^ la sphere 
est a la surface totale du cylindre circonscrit comme 
4 est a 6 , ou comme b^ est a ^3. C est le premier point 
qu'il sasfissait de demon trer. 
, Y' Tiii' d6cona lieu , puisque la base du xyhticlre cir-\ 
constrit e^ egale a un grand cercle et sa hauteur au 
di4hii§tre ,' la solrdite du^ cyliridi e serT'#gale^ au grand 

*i. cercle multiplie par le diametre *. Mais la sotiaUe' de 
la sphere est ej^ale ^atre^ grapd^^c^r<^s ^M}^^ 

*.6, par le tiers du rayo^ ^ ' ce ^^quj r^^i^f^.a ju^^gj^rf;. 
cercle multiplie par j dx^ )c9jij>n^ pu f^jii (][|jLnn^tr^{_ 
done la sphere est au cylindre circonscrit comme 
a^a^l k 3^-eX f)alf*- ct>iiSe<|tietit les solidtles'^'de Hs. 
deux coTpl ^oVlf eiitre elles comme lelirs surfaces. 
«^cAp^i£^,?!\>p5 jiRagine.ua dont toutes lei 

faces touchent la sphere, ce polyedre pourra etre 
cd^lsiuere comme compose de pyramides qui ont 
toiitet.pour^ '^ommet 'le lientre de Ik sphcfre, et dont 
lesb|i^e^.sf>i)t les dilfer^nt^^; fm^Si diXipdljMw^rOv 
-*U 4|s,^ clair qu^^tp^tQs.9es pyranjiidesaitrpnl pour 
hauteur commune le rayon de la sp)\erei;de sorte 
que? 'i;lia(|ui^ pyramide ,'sera ^gaje Ji la face du _po- 
lyiifeftVqifi/iud sen de Ua^^ multi^Kee'p^r le tiers 

du -T^QU^:^ d^nq^ le |}ftlyfJ^I*f ,W^mim^9ii4e^ ^f^ 
surface 'multipli^e par le tiers du rayoikde ia-ppliere 



>inscnte 



• 



I, IV, 1^1^ VIII, ig^ 

eojis0tft||( hf\^ spbete $ont entre . elles coiKttie kl^ 
siirfiiqes 1^ 909 i»eine$. polyedtos. Aimi, la' pro^^ 
priet^ qu$ ]3tou3 avoDS deraontree^pour Ic cyllndi^ 
circonscrit est commune k une infinite dTdutres 

corps.;, jrr'^ '•■•':• '.L' r 

Ostiauraiit pu remarquer ^alement que les sUr* 
faces,* des; polygenes circonscrits au cercle-$ontentr^ 
elles comixH»> l9ur& coBtoim. ' ! ' 

! PROPOSITION XVIRV • t. i. 






--,'«.;■ . , . " •'}• 






Le se foment circiildire BMD etant suppose ^ 
faire une f evolution ctutpur a un diamatre fix?\ : 
fMeura ce fiegmerzt , trgusf^r lav^leur dusolide 



^ _ I J.r5ja 



ABais)s6i stir Taxe les •perpendiciilair^^ DFj. , 

du'<tewti*e^G'nieriezX sur la corde 

B0;Wt^ttiezTfes rayons CB,Cb. " ' \ 

I^ §pli^!^,4^crit p(ir l9.^e€;^^^ Bi(54 s^^^i-re^.GB^ 
AE* ^ri^,^scaide dpcjrit ,pap ie, Sftqte^ri.PCi)i.3=2 f^.^ 

CB^AF; done la diffei^tif e de ceS'dtiuk'idTfdesVoule 

> > . . . I • I < I t.'a V • ' ' • ■ ' • 

sollde decrirpar le secteur DCB r= 4 tt. CB. (AF — » 
AE)x:^ f ir,,CB. Elf. Mais lesolide d^rit parle friaiiA^^^ 

gle IsosdAie DCR a podr mesut-e |^. a;EF*f doiri^ 

le soUdfr' dterit pa* le segment BMD =r | if ; £^. '* * 

{ CB — 'LI J. /Oi; dans le triangle rectangle CBI, . 
on a C B -^ , G I ^^ , IJ 1 sbc f fi H ; doirc le solid© drfc^it 
parlese^nt'Mroift^a podit hiesdrei*. EF^i b5''' 



^ SchoUe. Le bolide decrit par le segment BMD est a 
la sphere qui a pour diametre BD, cojxime ^ ir! BD. 
£F ^t a i t:. BP ,Tu : : EF : BD. 

PROPOSITION XVIII./ 



thbor£me. 



Tout segment de sphere , compris entre deux 
plans paralteles , a pour mesure la demi-somme 
de ses bases multipliee par sa hauteur^ plus la 
^oHditi de la sphere dont cette fneme hauteur 
est le diametre. 

ig.ik'ju Solent BE, DF, les rayons des bases du segment, 
EF sa hauteur, de sorte que le segment solt produit 
par la revolution de I'espace circulalre BMDFE 
autour de Taxe FE, Xe solide decrit par le seg- 

*'7- ment BMD * =:|7c. BD.EF, le tronc de cApe decrit 

*e. par le trapeze BDFE*==:|w.EF.(beVdfV'BE. DP ) 
done le segment de sphere qui est la somme de ces 

deuxsolides==:i|ir.EF.(2BE + aDF+2BE.BF+^)^ 
Ittais , en menant BO parallele k EF , on aura D6 irr 

Dr?-BE, D0i=::1dF— aDF.BE+BE% etparconse- 



^9»3. 






quent BD 3= BO + DO rz= EF + DF— a DF x BE+BE. 

Mettant cette valeur k la place de BD dans I'expres- 
dion du segment, et effa^nt ce qui se detruit, on 
atirisi^our la sotidit^ du segment , 

iit.EF.(3BE + 3DF+EF7, 
expression qui se decompose en deux parties ; Tune 

i« : EF.'( 351 + 35?), ou Ef . (jl^i±l£f) 
est la demi-somme des bases multipliee par la hauteur ; 



LIVRE Vril. «! 

I'aittre ^n: . EF represente la sphere dont EF est le 
diametfe^': done tout segment de sphere, etc, ♦iS.sch. 

Corollaire. Si Tune des bases est Ytulle^ le'sfgmifit 
dont il s'agit devient un segment spherique a une 
seule base ; done tout segment sphiriqtm a une base 
dquwaut a la mouie du cyltndre de meme ba^ et de 
meme hauteur, plus la sphere dont cette hauteur est 
le diametre. 

Schalie general. 

Soit B. le rayon de la bas^e d'uii cylindr^^ |i^sa 
hauteur ; la solidite du cylindrc sera 7rR\x]H(,.ou 

Soit R le rayori de la base d^un c6f\e , H sa hauSeur • " 
la solidite du c6ne sera tt R*. | H , oU i w R'H. 

Soient A et B les rayons des basses d'un cdne tron- 
que, H sa hauteur; la solidite du txone de cdne sera 

Soil R. le rayon dVi^ e spher<^ | sa solidite sera 
fi:R!.,:s - . . . ■ . , ,_, 

Soiv R< le rayon d'un secteur spherique, H la 
hauteur de !a zone qui lui sert de base ; la solidite du 
secteur sera | lu R' H. 

Soient P et Q les deux bases d-un segment sph^ 
rique, H sa hauteur, la solidit^ de ce.segoiept,^era 

/P+Q 



)\H4.iH\ 



Si le segment spherique n'a qu'uue base P, Tautre 
^tant nuUe, S2^ solidite , sera ^PH + 1 t: IV. 



f . ^. 



\ni» DBS bi:.4mieJ^ts pb geom^ie. 



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81 



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NOTES 

SUR LES ELEMENTS DE GEOMETRIK 



NOTE I. 
Sur quelques noms et definitions. 

\Jif a iatroduit dans cet ouvrage qnelques expressions et 
definitions nouTelles qui tendent a donner au langage g^o- 
m^triqae plus d*exactilude et de precision. Nous allons 
rend re cample de ces changements, et en proposer quel- 
ques autres qui pourraient remplir plus conipletement les 
mdmes vues. 

Dans la definition ordinaire dn parallelogramme rec* 
tangle et flu quarr^, on dit que les angles de ces figures sont 
droits; il serait plus exact de dire que leurs angles sont 
4^gaux. Car, supposer que les quatre angles d'un quadrila- 
tere peuyent 6tre droits, et m^me que les angles droits 
sont egaux entre eux , c*est sup})oser des propositions qui 
ont besoin d*^tre demontrees. On eviterait cet inconv^* 
nient et plusieurs autres du m^me genre, si, au lieu de 
placer les definitions, suivant Tusage, a la t^te d'un livre, 
on les distryatuait dans le courant du liTre , cliacune ^ la 
place oil ce qu^elle suppose est deja demontr^. 

Le mot inclinaison doit ^ire entendu dans le tatme sens 
que celui d'angle ; Tun et Tautre indtquent la maniere, 
d'f^tre de deux lignes ou de deux plans qui^e rencontrent, 
ou qui , prolonges , se rencontreraient. L*inclinaison de 
deux lignes est nulle lorsque Tangle est nul , c'est-a^dire 
lorsque les lignes sont paralleles ou coincidentes. L'incli- 
naison est la plus grande lorsque Tangle est le plus gran<l , 
on lorsque les deux lignes font entre elles un angle tres— 
obtus. La qualite de pencker est prise dans un sens diff^ 
rent ; une ligne/7e/icAe d*autant plus sur une autre qu*elle 
s*^arte plus de la perpendiculaire a celle-ci* 

i8 



$jr4 irovs I. 

Nuclide ei d'autret auteurs aj^leat asBes s<mll:ep^t,manr^ 
g(^ egaux de$ triangles qm ne sont ^^aux .quVn fiu^f^ce , 
et soliifes egaux des solides qui ne sont ^^ux qu*ei^ solid ite. 
II npgf a paru plus coQyenable d'appeler !oes trjiaiiglf^ pu 
ces solides triangles ou solides equivalents, et de r^seryer la 
denomination de triangles egaux ^ solides €g^M^» k( P^^ qu} 
pi^uy^nt comcider par la superposition. 

U est de plus ndcessaiire de dis^iaguer dans {es. solides et 
les surfaces courbes deux sortes dYgalit^ qui sont diffe- 
rentes. En effet , deux solides , deux angles solides , deux 
triangles ou polygones spheriques , peuvent ^tre egaux 
dans toutes leurs parties constituantes , sans neanmoins 
co'ii:M;ider par la superposition. II ne parait pas que cette 
9b^e^ation ait ^t^ faite dans les liyres d*^l^ments ; et ce- 
pendant , faute d'y avoir ^gard , certaines demonstrations 
fondles sur la coincidence des figures ne sont pas exactes. 
Telles sont les demonstrations par lesquelles plusicurs au- 
teurs pretendent prouver Tegalitd des triangles spheri- 
ques dans les m^mes eas et de la m^me maniere que celle 
des triangles rectilignes : on en voit surtout un cxemple 
frappant , lorsque Robert Simson (i) , attaquant la demons* 
tration de la prop, xxviii, liv. xi, d'Euclide, tombe lui- 
m^me dans rincony^nient de fonder sa demonstration sur 
une coincidence qui n*existe pas. Nous ayons done cru de- 
yoir donner un nom particulier a cetlc ^galite qui n'en- 
traine pas la coincidence ; nous Tayons appel^e cgalite par 
symmetrie ; et les figures qui sont dans ce cas , nous les ap- 
pelons figures syrnmdtnques, 

Ainsi les denominations de figures egales, figures symme* ^ 
triques, figures equivalentes y se rapportent a des cboses 
differentes , et ne doiyent pas etre confondues en nne seule 
denomination. * 

Dans les propositions qui con«ernent les polygones , les 
angles solides et les polyedres , nous ayons exclus formel- 
lement ceux qui auraient des angles rentrants. Car, outre 
qull conyieiit de se'bomer dans les elements aux figures les 

• 

,|[^} Yoyftz roavrB|;ede cet aatear, intitale : EncU4i$Elctnentortun 
ihrii€X^€ic,Glas^uaf,ijS6» 



fXtii iiiapti^'; ^i ttitt exckision n'tirait pal fieit, eekttin^s 
pro{idlfHibhd 6u ne serai^nlt pas T)raie$, ou auraiem beaFoitf 
de mddification. Nous nous sommes dono r^aits a ia eoA4 
flid((^faiibti des lignes et des surfaces que iious «ppeions tsom^ 
vedses , et (jui sont telles qu*une ligne droite ne peut itt 
e(»uper eti plus 4e deux points » ' - "t 

!Nous avons employ^ assee fr^queaunent rexpressioii 
produit de deux ou d'ufi plus grand nombre de Itgnes/j^sLV 
ou noils eiitendons le produit des nombres qui rcptiil- 
sentent ces lignes , en les evaluant d*apri^s uhe nnit^ lin^aiti^ 
prise a yolonte. Le sens de ce mot ^tant ainsi fixe, iln^ a 
aucune difEculte k en faire usage* On ent'endrait cle mdmi 
ce que signifie le produit d^urte surface piar une ligne , d'une 
surface par un solide , etc. : il sufiit d*avoir dtabli une foiii 
pour toutes que ces produits sont ou doivent dire consi^ 
deres copame des produits de nombres , chacun do Tespeca 
qui lui convient* Ainsi le produit d'une surface par un solide 
p'est autre chose que le produit d'un nombre d'unlt^s so* 
perficielles par un nombre d*unit^s solides. 

Souyent, dans le discours , on se sert du mot angie pour 
designer le point situ^ a son sommet : celte expression est 
vicieuse, II serait plus clair et plus exact de designer par un 
nom particulier« tel que celui de sommets, les points situ^s 
-^ux sommets des angles d'un polygone et d'un polyedre. 
CVst ainsi qu on doit entendre la denomination de sommeis 
d'un polygone et tVun poljedre dont nous avoiis fail usage* 

Nous avons suivi la definition ordinaire des Jigures rficti- 
lignes semblables ; mais nous observerons qu'elte contien^ 
troi^ conditions superflues. Car, pour constriiire un poly?- 
gone dont le nombre des c6tes est /!•) il faut d-abord con^ 
naitre un cote, et ensuile avoir la position des sommets des 
angles situes liors de ce c6t<^. Oryle nombre de ces angli^s 
est n-r^% , et la position de cliaque sommet exige deux dtmr 
n^es ; d*ou il suit que le nombre total des donn^es ndcek- 
sairespQurconstruireun polygone de/>c6t(5s est 1 4-a«— 4 > 
Ou 2/Z'— 3. Mais dans le polygone semblable H y a un cdte 
a Tolont^ \ ainsi le nombre de conditions pour qu'un poly- 
gone s6lt s^blable^& uii po^lygone doiihif , est 2/i^'4*Or U 
detiailion ordinaire eiiige, i^ que lea augle^^fti^fekit igi^^ 

i8. 



composer la definition e^i,^^ ^^^ ^utres , ^^,f€>lf,i»ft')i^?,-j^ 
On pent mep^ <^ ^^ ftfjgjf ^ jh^nfojij^^s ^p^ .^jgoi^ale^ 

un tWor^me qu'on pourra demonjtvr^^^.^i^diateiiiij^jpj^^ j,,.. 

Si la definition des figures rectilignes semblables est im- 

parfaite dans les livres d*elements^ celle des soUdes polye" 

dres semblables i'est encore4>len cfayantage. Dans Euclide , 

cette definition depend d*un theoreme non d^montre \ dans 

^d^jtitres\«iii!f3ntr9y^em a^^^i&CDInrenie]y^'dftee.li>rt^^edol|[* 

t^ft«^.cW^^V9»*^4<wic ^^^.<«^defoitwis^4ps sAlJdes 

semblables , el nQii^.||pr en a^^n^^^ub^t^^^^^^ij^^^p^^^^^ sur 

les prineipes que notis venous d*exposer. Mais, comme il y 

a heaiicoup d*autres observations a fa ire a ce sujet, nous r 

reviendrons dans une note particuliere. .. , ,, 

illUi blJ^^'*; jj 'Mr p^ ^r ♦] '••*^J/'^-j J<"»,, Xl/ ai»ji.v ,-'■ • 

, La denniaon de Vii -perpendicucaire aun puinpent ctro 

reffardee comme uittneorcmie; celle aeiinchnaisdn de deux 

. i7Za/?4,a De^(nu,aus$i aetre ju&tinee Pcv l^P raiipniiement; 






^-mWjjiit 




sonde fornix par la renconttUiitAiitMiflSti^mtji^iSmt 

Hers. SaihV^^iHf est dlfffcilW'ff^it^'T^aiftMtg'ft TS^fi^ 
MlbMioWi l8rsqii'6il'pdrl^'<}^^afi^dii^^n¥VA pMf^vi 

tJe fc6i/'s6?ffr^s'a'^t^ p6& •<!UtU»^i^$ tJ«k^ 




tMi m'^WAifMmM^mmik mm) jaha'^ifi^ 

^{|iiii^^'iaiailiiWi>iiy'd«MW%fg/i^'d<6i^lcrCet'ii'|{8&<^eflis 

- \. "«, . . '. r. '^ *'.j^.5jn>nTiI'>'l) <»*n v'if eol «ncb dliijliBq 

^(U^K* ; 111 *'nr.b fH'tl ;/-'j:;'? yjAi iiii': Lni^'l'At fiolilflhiib itHfyj 

La cfemo nitration qne nous doimons dans le texle He Ta 
proposition, XIX, est pem-clre Ta plus simple, ,^t la nius 

dir.eclc nu orf puiAse ^irouver dans le cenre purement ele- 

' . -I '-^b ivt)>.ij\s\A.>s\iT,bi> Mr>aiai'*>io-j.?inio 9jmTno;Ts*iOiB]t»tj'i 
mcntaire; nous esperons qu elle sera accueiXlie par les aina- 

teurs ae 1 exactituae^geomeirique et qn elie Tera enun aii * 



.pamltre 4e$ elteenttrimperfeoiioti « l»qiiellr I%r9tMar|e 
d«i'parall«I«s m4i4 injelte jasqu'ti present. ..... 

Ifoitt saitiroDtf cttt« aecasion de fairo quelc(«H>i. ^ouvellf s 
venanqiieaaurla demonMraliofi qm wm$ avio)a#.U9«iiee de 
^a m^me proposition , dans la S^"'* edition de-^AtQUvrage^ p«i- 
bli6e«n 1800, ctdaoslMeditionaauivaotea ji»$<||i'aU8^"*'ii|- 
ciusiTement ; U est'ne4{«8sair« pour c«]ad€Fappekrfiipeude 
motsie pr^ipc snr leqtteleettedemonfitjration^taitCQadie. 

WcMS a^ons prouuve d'idsord d'une maniere rigQiir«u&e 
qjie la somine des angke d'un triangle ne pQut, 4|re pli|$ 
l^nda qB« deux angles droits , proposition qui separe tout 
dWtt eoivp par uue difference essentiellcj ies triangles rec- 
tSMgnes des triangles sph^riqties» Cette premiere partie ^taut- 
etaUie ^ il restidt a pronyer que la sonnne des angles ne 
pent toe plus petite que deux angles droits ^t or, comme 
irexoesdes trois angles sur deux angles droits 1 qui a lieu4ans 
•Ies triangles sphariquesi est proportionviol a. Vaire du tri- 
angie; dero^me ]e deficit^ s*il yea avaitun dans Ies triangles 
rectilignea ^ serait proponiiMinel ail'aire du triangle* Des- 
Iocs il est ais^ devoir que si en^r^vssit a construiscef d'apres 
un triangle doonc, ua^antre triangle dan^ lequel.(e j^Flfin- 
.gle doniie soit coAtenttaumoins m fois , le deficit de^qf.npu- 
Teau triangle ^galm« au moins in fois le r/<^c«( du tria^- 
^le donn49 de sorte que la sonune des angles du grand 
triangle diminuera protgressirement a mesure que m aug- 
mente, josqu*adevenir nulle ou negative. Resultat ,absur.de 
et qui pronvc que la somme des angles d*un triangle ne 
peut-^^tre moindre que denx angles droits. 

vPrenant pour guide ce principe dc demonstration qui est 
infaillible, nous avons fait voir que toute la difficulte se 
r^duisart a construire un trialigle qui contilit au moins deUx 
fois le triangle donn^ ; mais la solution que nous avons don- 
n^ede ceprobl<&me , en apparencetres simple^ suppose que 
par un point donnc dans un angle moindre que deux tiers 
d*angle droit, on peut toujour^ faire parser une ligne droite 
qui renpontre a>la-fois Ies deux c6tes de Taqgle. 

I^ous avion s ainsi beaucoup approcb^ dc notre bu|;, mais 
iiousne Vavioiis pas atteini; entierement , puiaque aatre de- 
monstration dependait d'un postuUitmn <fXi^^ touie force 



MOTS II« '^9^9 

(]!OTlVAif i^t^e iii^/(i) G'est celte conftidiratioil ^ui Maus.a 
fait revenir, dans fa 9^* adition, k\tL simple marttlie d*£qclide» 
^n reh^rbylrtit aox ftotes pour la d^moutnitioii ngaureuse. 

Eft ^xamfytant las diosei avac plus d'attautian ticma toni* 
hies r^st^ cofiTainca que pout ddmontrer cioinplalcaiaat 
libtt^e poitulatum il fallait d^uire da la d^finilioM da. la 
ligne droite oae xiropriete caracl^rittiqae ^% ctfto %na qtti 
eitclftt tame resseroblance avec la Ibrme d'uaa hyperbole 
eoinprise entre ses deux asymptottt. Yolci'qird est 4 cat 
i$gard le r^ultat de nos recherclias. > 

Soit BAG Un angle dannS^ ei M un pmni dotm^ au dtdOMs ^S* >74* 
de cet angle; dmsez V angle BAG en deu« ^gmlement pttr ia 
droite AI>, et du point M ntenet MP perpemdimUaire. snrAD : 
je dii que ia droiie MPprohng^e dtms. un $en»et dans ^4min» 
rencont^ra nSeessairement les dews edt^t de Vangie BACk 

Gar si elle rencontre un das edt^s de cet angle ^ alia reii- 
cdntrefa I'autre, lout litant ^gal des dciiai c6tes a partir dti 
poitil P; it ^lle nerenaoMrait pas un c6t6v alia ne reiieon- 
trerait pas Tautrepar la mdma raisan 9 ainsi^ dans «e dernier 
cas elle devrait dire reiiferniise tout entiere dans Tespace 
eompfis etitre les c^ti% de Taagle BAG; oa^ il repugn e a la 
nattrr^ d(j la ligne droita qu'una telle ligne, indefiniment 
p^ok>lf^^e , pnisse ^tre renfermeedans uq angle^ 

' En elFet, toute ligne droite AB trac^e sar un plan , et ia^ fig. 275. 
d^finiment prolongee dans les deua sens , divise ce plan an 
deiilc parties qui ^ant superposes coincident dans to«ie 
leiir ^tendue et sont parfailcment ^gales. La partie AMB'du 
plan total, sitn^e d*nn e6t^ de AB, est egale en font a la 
partie AM'B situ^e de Tantrc c6t^ ; car si Ton prend nnpoint 

(i)On Toitdani un article da Philtf$ophical magazine de iDacs idaa, 
qu'un sarant gdom&tre a essay^ de perfeotioimer cette demoxistra- 
tion et deja rendre indcpendantc de iox^X postulatum ; ma is la con- 
struction employi^e pour demontrer la seconde partie consiste k 
luener d'un point donne differentes Jroites k tons les sommets 
d*une Iigne qu'on doit considerer comine polygonale , pour raison- 
ne dans Thypoth^e dc celuf qui nie la proposition : or la Cotiyexlt^ 
de cette ligne , si elle avait lieu , ne permettrait pas de cortflnner 
itid^ilnianeat la aqnslructioa de I'aatear, caaima il ia fmidraiipoar 
l^eaactitndiB de <st^ ~ 



auront la ni6me sitoation dans les deux partiea^Si^uli (^Ift 

il€M», %)I^nMrY>btfrf^<^u^ dkftter^ el^'Aetd^^t^iirtf^ ^aWs<<Mi 

^«3r«ti[»fei>i^ttfe»^s^d!fii^f4k%if^^ A'CM j'MIir, 

ger en deux portions I'espace BCJVf^ fie<p(>Q^a pSrtag^v ^^ 
:t»ar«Ji|>la»libt\l^«^e']aMi|ti«^i>«'ill»i<>^ 2^itiinon t:>U uioioi 

^AB0<^W$lAd¥e%f6^»i^^NdW'FL^^|it^adih proijvc^ q^ 

4|hfl»i^^t^6da<^l6lPfi^dt6H^^adifc^i»BdmY^r AC"^ ^ '^^ 'P 

£n effet , ce\a'jA*jsivtiifkB /-eb ^r6loh^<^ah<t'AiC \%^ 'G';^^t 

faisant Tangle ABD'=ABD, la droite CC'scrait comprise 

jf9ftt,ip|ifti^%^w«4f'^p«k;I>BB|',Mro^iftdpe q^idmniA^oiis , 

-. .f fiToliadttikssARStjauis gdoisfitiiea bj deci(fei^;in'^<oetl7i^ d^dtiji^ 
4««ttpn nk mf^iffeBTSLWypvd id^*ieitttk^ihiii&^n^\iH'%UifHefiii^,'&e 
-^mi^tiy A^Otttfe- ihiitd >^oafi- 'i^dtfrttHi^ W W^i'to bfiiieSf e 

Noin^nous proposons maintenant de laire voir quon 
f^W^:<%H^<^>f^i§krj^e"i^V^ ^a^q^ 



sans aucune proposition prelin}j/i^i^qftpjj^(^<fih<«rtw^^ 

scront des nombres coif^fifii\^%\f^p£^i,m,i^^. ppi^qji«iCp9P 

A^ ?i^G» id'c% il,^4f jiH§i^tiqu^yM?lilfeft^5iftflft«^yfgf^ 
qui est absur^i^ h<*flB6y?i9PP«pt9ft^H<f?b4f niJaefen^Wtfi 

appliqui^e, mot poor mot, aux triangles spbi§^it|H^^iil%li #0^if9» 
^ti94#v dQl»DaiigU)C<nHfaiiifi anffiaent.paiw ^4^acmnttfe<ie'doi« 

a 




an lieu a avoir .t;=«L f A , Jl •/» J^ on aura U = f ( 
. ifp lie/ e'liBi ^b JnfiioJrfjRUi •.nopo^oltj 



'tfiftftgle ftOnt«gtiu^ k dctix angles d*iih atitfe (fH^it^,te 
troisi^me doit ^tre ^gal au troisi^me ; et , cela po$^i^ il e9t 
facile de parvenir au tWordme que nous ayons en vuc. 

fig- 109- $oH'd*abord ABC un triangle rectangle en A; du froliit 

^A abaissez AD perpendiculaire sur Thypot^nuse. Les a^^les 

B et D du triangle ABD sont ^gaux aux angles B et A du 

triangle BAG ; done , suiTant ce qu'on vient de ddmontrer , 

Je troi^ie^e BAD est-^gal au troisieme C. Par la tn^ttve 

raison Tangle DAC=B, done BAD+DAC, du BAG 

ai!'B'4^ : or Tangle BAG est droit ; dotie le^'d^ux ai^gies 

Migi» d'nn iriangie rectangle , pris ememhle > i^alent an 

inngie droki 

fig. XI 3. Soit ensuite BAG un triangle quelconqne et BG uii c6te 
qtirtie soit pas moindre que ehacun des deux auti^es : si 
"^e Tangle dppos4 A on abaisse la: pftrpendiculaire AD sur 
BG^cctte perpendiculaire tombera au-ded^ns' du triangle 
.ABGv«t le partagera en deux triai^gles tectatiigles BAD, 
DA G : or , dans le triailgle rectanglig B AD , les deuk ftngles 
BAD, ABD, Valent en^etnbl^ un angle drblt ; dansle ttiart- 
gle tectangle- DAG, les deux Angles DAG, AGD, talent 
aus^i un angle droit. Done left quatre r^unis , 011 seiileiifient 
les trois BAG,ABG, ACB, vdettt ensemble detfx angles 
droits ; done dafis tout triangle la somme d^s trois angles 
est egale a deux angles droits. 

On voit par-l& que cd tbeoi^e, consld^r^ apriofi; fie 
ili^i^nd point d*un enehnhiement de jSropositions , et qti'll 
i^ ddduit immddiatemetit du principe de Thorn ogeneit^ ; 
.prt^cipe qui doit avoir lieu dans toutd relation eiilre des 
■quantit^s qu^lconqucs. Mais poursuivons , et faisons voir 
<}it*on pev-t tirer de la mdme source les autres th^orenies 
Icmdamdntaux de la g^ometrte. 

. Coiis6rTon& les mdmes di^nomitiations que ei-dessus, et 
appelons de plus m le c6te opp6s^ a Tailgle A , et /z le d6te 

.OIrv^F^iS<|^^ 1^ rapport ^ est un nomlire , ^insi que A , B , C , rl<n 
n*emp4che que ^ «e se trouve Jans la fonction 9, et alors on 



VOTB II. r493 

oppo»(^4rl^'*98^ B« Lft quatttite irt doit tere ei|tk«Mi«llt 
i^t/^aevfnnie par le$. Miile* quaniiUa Ay B^p; doad im tit 



lit 



tinC fdAetldn de A, B,/?, et — en est tiri<* diissi, de sotie 

:qii!QnfpeiVt faira— 5=^ : (A» B* /> ). Mais —eat un iKnii- 
'bi»^, ffiti^i ijtie A et B; done li fortction ^ ne 3oit Jbiht 
contenir la ligne/?, et oh a simplement — =: tj> ;(Aj B)., 

ou mzz:;p ^ : (A, B). On a done semblablement nscp <}^i: 

(B,A), 

Soit maintenaBt un autre triangle forme awec lea mantes 
. angles A , B , C 9 auxqueU soient opposes les c6t^s mf^ nf, jjf, 
respectivement. Puisque A et B ne changent pas, on aura 
dans ce nouyeau triangle m' =::/>' <|» (A^ B), et H^zszp^.^ : 
(B , A). Done 171 : w' :: /i : «';:/? :/>'. Done, dans letirian- 
gles equiangles, les cdtes opposes ausp angles egaux sotU 
proportionnels. 

De cette proposition g^n^rale on d^duit eonime ci^ 
particulier celie que nous avons suppos^e dans le texte, 
pour ]^ demonstration de la proposition XX. £n effet| 
les triangles AFG ^ AML ont deux angles ^gaux j chacun a 
chacun , savoir , Tangle A oommun , et un angle droit. Done 
^cfs triangles sont equiangles; done on a la proportion 
, AF r AL :. : AG : AM , au moyen de laquelle la prop, XX. eat 
pleinement d^montr^* ^ 

La proposition du quarr^ dfi Thypotenuse est , comme 
ou sait, une suite de celle des triangles Equiangles. Yoilii 
done trois propositions fondamentales dela g^om^trief celle 
des trois angles d'un triangle, celle des triangles ^niaaglea, 
et celle du quarrc de Thypotenuse, qui se d^duisent trit- 
siraplement tl tres-irnxnediatcinent de la consideration* dfs 
fonctions. On pent par la ni6me Toie ddmontrer tv^<«rae^ 
cinctement les propositions concernant les fignrcf* aim- 
blables et lesr solides semblables. 

Soit ABCD un polygone quelconque; ayant choisi un 
c6te AB, 9on)]pe l^ase, former autant de trUrn§k« A.Q C^, 
ABD, etc. sur cette base, qu'il y a d'angles C, D, £, etc. 
au-deKors. Soit la base AB=/>; soient A et B les deux 
angles du triangle ABd acy^cenU au cotE AB ; sbj^ni A.^ il 



i§4 H^O 1?E' t/. 

4whtM«h?hWn(fe'^^ ofr^c<miiait le fcy3rf^'> ^e¥^ aBg!« 
Cela pos^9 un c6te ou une ifgne quelconque x , menee 

eesideifiB^l^iet edklsmo^^doit ^trc un iioiiibt'd^%9^{ioaiiT& 

avec les monies angles A, B, A' B', etc. et un autre dot^ 
fcd^Ti^pbttdaBlfc '6\i^lM5Wirfdgue^'^afPlrfWa/left»^;4**6:iJ^-'^ V 

■(5A^;<B')VJtS'BV'««.'')if>do«oi« i^nkp r/>'.?0tf'^b«iirideflttii* 

l^nalf S^ko^niOlo^il^V j'lihi^^elif lignkltei^MtM^. db Itf^fit^nlt 
ititfttieil^ d^ilS>)^« d^ci^''^re'^\^^mt eAtre^tlieb mfikiflii dmk 

est homogene au.quarre jp*; il taut done que—jsoit un 

m^me raison, si S^ est la surface du second polygone • on 

^^Ygnttn^^maiRtciiant a^^ HpJX^drpj^^j^ I^^'f^^^^JPyPf?? 
qu'une face est d^lermin^e au moyen d'lin cote connu^ et 

«fi^ds^ia«^'7loi^^ d^'^tt^^aiie^'&Mifl^a^dift^i^^ ^atiJii 

j^r l^ p^ojwDjdejtsftiitf Q9ia«?iVq»Vj?:iM?J^ 
autant 



tepresenter par/>* <|» : ( A, B. C, etc. ) ; sa solidit^est homo- 
glr«;4>'t cVfeur^e repr^8enteM]^>^«^ t*"* Bi,'^re^.^? 

solidites ^ont comme les cujt>es d^ ces m^mes c6tes, 

Les ni^es principes s*appliquent aisement au ccrcle. 

fay^ est r/ ptiisqi^l^c ^ ide^ l^vbi? <^ (fi^dFtt IJilf^ftk 
decrits du. jn^ejrayon , Jes.,giM)pti^8 j^ ft ^ A^!^^Ji\f^ 

d^'fon^ti^ilsvdvtevmm^es de r^r^mms^ iconaiM^ees qa^antfitifti 
sont des nombres , tlhn fie.doiTeif( poMt v«)nt«ii[ir4aM5\hiay 

!t.?^t'^4to»fe^f SiRP?ft!?fi«? cpj?st%n.ty. S«fitf/J^f ir^P^ftf^i^ 

IP 




ConMd^iia UB seeteur dont r soit t« rtTon' etiblVkgh 
ail centre ; soit a; Tare qui terraine le »eciear , etjr la sutfaco 
A% ^ffrl^Aiae seoleur. Fubque le septear eat^^httti^emettt 
lUlffrinia^ lopi4u*oii coonalt r «| A » il fau« qu« ise^ y 

kDleni 4e& fcmctioii$ determin^es 4e r et de A , done -et -4 

r /• 

$onl aiissi de pgreilles fpmstioiiiB. JVfai^ p;- eftt un upmbre^ 

ilnsi qae '^; dooc ces quantit^s ne doivent poini cohrenir 

>r>:ate])es aoat sim^ement fonctions de A , de softe qu'cM^ 

alira ~b=:f : A, et •'4- =<^ • -Al. Solent a^ et ^^ Tare et la 

surface d'un autre secteur dont I'angle est A et le rayon r^$ 
n^yi» appellerons ces deux sccteurs secteurs semblahle^ ; et 

p^isqn^ Tangle A est dgal de part et d'autr^ , on aura -^ 

= 9 : A,etAi = «j/ : A.Dpnca:: a?:: r:/,et^: ^r: r':?'*; 

d6nc ^^ tf /r^ semblahtes ou /e^ ^zrcx <il^^ sec^eun semblahles 
ioni pitfportionnels aux rayons , ef /ej s^fiteurs eux-in^ine^ 
sont proportionnels aux qufirres des rayons, 

n est claiT qu*on prouverait , d<^ ,1a inefne mciQiere , gi^e 
Us spheres sont comme les cubes de leurs ir^yons* r 

On suppose , dans tout ce qui prf^cede, que les surfi^ce^ se 
mesurent par ]e produit de deux Ilgnes , el les soliditds y^ 
le produit de trois; c'est ce qu'il est facile dp demontrer 
^ussi par Toie d*analyse. Considerons un rectangle flont les 
dimensions spnt j? et ^^ et sa surface qui es^ une fonctiq^ 
de/? et ^, repr^senlons-la par 9: (/?, ^). Si on considers 
lib autre rectangle dont tes dimensions sont p+p' et ^5 il 
est clair que ce rectangle est compost de deux autres^ Tuu 
c|ui a pour diniensions/? et g ^ Tautrc qui a pour dimensions 
/>' et fl ^' de sorle qu'on aura 

'/. ?:(y'4-/'^^)=9:(/?,?)+9:(/?^7^ 
Solt/>'^p, on aura (p (2^, q)z=z%rf{^pj g)^ Soit /?>'*= 

a/7,on aura<p(3/7, ^) = (p(/>, 7)4r,y.(.a/b^)5=3ip 
ip, q), Soity =?i 3 /?, on aura 9 (4/?, q) = <f{p, ^) + 
? ^Pf g')=4 9C/^>^)«Doncengeneral, siX-cstunnombre 
entier quelconque, on aura 9 (Ar/?, q)z=zA <f (y?, q) ou 



NOT* II- '>i*7 

Xl£iM.^^iitll}. II risnlie de Ik que -?i^'«t une 

telle /lOaalioB. de/f, qw'elle ne change pa> en netlaat i la 
plare de^ un miilliple qndcenqueX^. Dmk cetle fon^ltMi 
«st iBd^pendqnl^ de^ j e[ n« doit jetiEepagc 4n#^,,J)fais 

parnne raison MinUable^— -^ doil *lre indipendan|e 

de o; done ' ' — ~ot renferme ni n ni a, ef ainsi celte 
^' pq 

qi^^tif^ dpit se r^dviite ^ aae coi>«tMJM e. Saaaotbanm 
^ (^pq)=ap q ; et comme rien n'cmp^che de prendre 
« 1= I , on aura f (/>, j) =/i ^ ; ainsi la sarface d'lhi rec- 
tanfile est igalc an prodait de ie* deux dimension*. 

On demontreratt, d'une maniere absolument setnblabTe', 
qae la solidil^ d*un parall^lipip^de rectangle dopt.lesiili^ 
mensioQt sout/i, qy r, est fgale au produit/t q rdeses trois 



Nous observerons, au rcste, que la consideraLi9i(.,df# 
fonctiom, qui fonrnit ainsi unc demonstration lre» -simple 
des propositions fondamentalcs de la G^om^lrie, a deja £ie 
employee avec succes uour la demonstration des ]iri)iqpes 
f^lidamentaux de la M^canique- Voyez les M£nioires die 
Turin, tome II. 

f^&n, quoiqne la thcorie precedents sojt itablie sur Ips 
fbndements les plus soHdcs , n lia^iiRubr 

qu'elle a ete attaquee par M ^rofesseijr 

d'fedimbourg, dans ses filemct « el J*"^'* 

Editions ; inais sans entrer dai e tfijetcjl 

nous sufEra de dire que les nb le pi^t ^.l£ 

pleinement rtSfutces , d'abord in com}])^- 

triolc,dansr£rfi'nii/r£' Jfei'/cii-, tomeXX, et ensuitepai*)^. 
Maurice, de TAcad^mie des sciences de Paris, daiis la 
Bibliotheque univertelle de Geneve, Oclobre i8ig. On peet 
voir aurai la discussion de ces mteies objection^, daifa 
fEditlow Ang^aise de nos ^I^ment dOnnee jpar M. David 
Brewster, ^mfioiirg 1 8ai. ■ > ^ 



oftB iro**Viri. 

,.,<j>n...-.: ■• .V. . . f^^YE lit' ■[ " "TlV ' 

Sur Vapproxiimtion de ia^proposiiif^m^X^I, ^ 

' 1^'qii'cm a fi-oil^i uii tiyon excedant ct un deficicift cjia 
Vaccordenl dans les pfemlefd chiffres, on peut aclieVer 1^ 
talcii! d*tlne mantere tircs-promple par le moye^ §*uiie rof- 
mule aigcbrique. 

Soil a le rayon dt^ficfcct ^t h Texciedant , dont la diffe- 
rence est petite ; soient a' et ^^ le» rayons sitiTants qui s*en 

d[e4«i^t p^r Ics formules b^z=z\/4ibg a's^j/Yo^yr-^ j 

Ce qne Ton clierche , c'csl le dernier termed^ In Wl^ a, a\ 
if^ etc. , qui est en meme temps jqelui de la sui^f,|t^ l^, p'\ 
etc. Appelons ce dernier terme x, et soit h:=:ia (i +(0); 
on pourra supposcr «2S5« (i -f-Ptfr^'Q^w*-^ekc.);Pet Q 
etant des CQefHcients indetermines. Or les yaleurs de b* et a' 
donnenl - -- — --f •-.: '•^•.»:ji-n ..,*.i..:i 

jHix n.^ r ^•*i«4etf<iH^r(d'i-^yiito*4^etdJ)/^'-'^ ="* 

l#5tf^dft^*iitpardllement 5'==:a*(i4^<a'^);^bakW^ '* ^ ^ - 

J^ais la yaleur de/r doit ^trc la meme , soit que la siljLte tf^ 
a\ a") cdai commence ^r a cm par ^; dorie oit- aurtt^ -^ 

Sadbstikidi»k!4aiis 4cette equat&>» ies yaleurs 4e ^ et dea^'^^ 
ena et Ct>, et comparant les termes semblables, on en d^-. 
duira P=|, etjJjR=— ^; done 

Si les rayons a et ^ s'accQrde&t'dans la prcmien^moiti^de- 
leurs chiffres, on pourra rejeter le Icrme «»*, ^la valeur 

• '^ ' '• •" •■ ■ "" b—a 

pr^cedente se r^uira & d?:^ «( i + rCtt)=r:a^^' ■■■■ ^ 

AHJP, efi fiiisaht arrr: i , ia8a^57,.et 6=tii i J X98i}o6$, on 
en d<^duira immediatement x= i , 1283792. i- ;,:: .1,^ , « 

Si les rayons a et b ne i*accordent que dans le premier 
tiers de leurs cliifTres \ ii faodra prendre les trois termes«,de 
la.fl»p»lileifkv4c^dente.;4iinsi en.ii|sAai}«jp&i^7tft6S639iN:; < 

< * 

V 



On poiirrait sapp<^ciyque^a.icti^4pril encore moins pres 
Tun de Fautre; mais*arors'iirauarau calculer la yaleur lie 

L'approximation dc la > j^ropp.! S^IY , qui est de lacquei 

vdyons ~ --.-— — .-.--i-i - Tt _• — f? -^ 

njner 

temps ou il * paru. ,^,,,3^ ,..:^i6 akuH 

^^ * 7^ »f-. 7 -T7 ••. 





;vJM>9Skbi^$^f^i^SWieh^y J ^^-.Vj . r;-: ?i;T» no J 3£Tp93 

dont le termeWncral est . trf^tiawh 

el supposonsjqgi^^z^fn^repr^enjejlaj^snni^e Si on met 

de la suite .^j^ «^^^?, — l^ : ::;:::: ,0 

^ &> 3iflje iJ ffe p lio2<^Ai<u^^t" pi ^\^'-> itob %, ^?^ m-AiVf bI H^^^ 

Il^lfrMMJhoU«^s|dtel| s|u|e^Vi£»l^uy^ 
€flo]^}nS)atiro6s?ia^.»«lff^9:j(»r4r^t^p«>Qn4m smgkmtn^itwitiA 
qui'ficnact > .. fi^;Ji, :•"'/? r^< ?,»£m^j ^il 5nii*if.i|moo *o ^t' l*) ft no 

1 r .... +~v ,^..^^._^ , ^ . + etc. 



Mi4ii4:fci««ir^e«l*j5»^e2lH*i* ^d«i III ibrmi ^ » s^ 2«o/ci eol i8 

'^fr.lcv slip /fe» '><trr>.»^*i I'vt;'" fl'«?»^'>| '«« f^^arlUrfj MUfii 

r . (i-l r + -. --rH-etcO> 

gcneralement .t^;^£8£i ^t-~^:y i'}<(v^Js,ily^uimi Si'iiuh'jb ns 
vb «3flmJ ^^oT^^^l9A^4^7f oa^MJllr^i^inma iii59l ob 21011 

ficr le resnltatg9&fti:<^ •^xsa«siivattf^flMiQt|^<dfeEf,ctete^ 

»9 



2QO If O T E^ IV. 

aft («-hi) , M 

que ^ : xs: ~. ■ ■ ■ ; ■ ■ / ; aloM on poHrra mettre • 

Att heU d^ r^ 1" i <^^ ^ ''^^ — ^ ' *« ^^^ <ie 

? : ( « -f- 1 ) " « 

9 I t z -4—2 ^ 

* ^' ' v C « Ia subfttitttlion faite, on aura 

f:(« + x) 

+ •«= 



Mais en mettant succe9siyemcnt dans cette equation )s + i , 
a + » ) «tc* I a la plaoa de e ^ il en r^stiltera 

iVbiic* la >4lcur dc^^ : a pcut s'ekpiimer par la fifaction 
continue: 

« 

a 

«H — I r « 



immamml 



z + a -+- etc. 

R^ciproquement cette fraction continue , prolongǤe k Tin- 
fin! j A pour somme dr : a * ou son egale — . — * " ■ ^ ■» , ■ : et 

cettik somme ^ d^yelopp^e en suites ordinaiceS) est ' ^ 

a a + i • z-f-i.«-|-2 

z- a a* 

i-i 1- -y. ■ I ■ etc. 

Soli rttalntenant z =r4- « la fraction continue deviendra 

art 

4<* . 

i4--— 4« 

6-f-etc. 

dans laquellc les num^rateurs , excepte le premier , sont 
tons ^gaux a 4 ^9 et les d^nomiriat«ui*s forment ]a suite 
des nombres impairs i, 3,^, 7, etc. La valeur de celle 
frietion continue pent done aus^i s expHmer pai* 



\ 



\>\^> 



NOTE IV. tklfi 



2.D a..i.4.5 a. 3. .7 

Mais ces suites se rapportent a des formules cdnnncM, 41 nift 
sait qn'en representant par e le nombre dont I0 logaritlime 
hyperbolique est 1 , 1'expressioji pr4eed«fite le vtfdtul Ik 

\va 'i^a\/a ' ^^' *^ *^*^ ***^^ *^^* '^'^ g^tl^rfl" ' "^ 

— -— — —-. 2VX«== — ia 

* I -4- '-V 

Oe \k rifult€aQtl d«iut Ibnsiiles pHndplJea selto quv a jl%4) 
positif ou n^gatif. Soit d*ahord 4 ^ = ^% on aura. ,,.,,.„ 

c — e X - 

5 + etc. 

Sbit ftii'tiite 4di±: — :*?», ct cA vd^d de fa ttitiiiiiU teflhufc 

— sxV/' — i« tang, ar, on aura 



ir^^-^'-f* 



— a:\/— 1 



tang,«= ^£ ^, 

3— -r- X* 

5 . . , 

Celle-ci est la formule qui sertira de base k Htftire 44li»Dlii<^ 
tration. Mais il faut , avant tout , d^montrer les deux 
lemmes suivants. 

Lemmb I. Soit une fraction continue prolongee a Cinfiniy 

ni 

«^+ctc. . , 

dans taquetle tou$ ies nombres ni , n , m ' ^ » ' ,, pic S0ni, 4fi^ 
thtlers posiit/s ou negatifs ; si on Suppose que tes /ructions 

19* 



hq» NOTE iV, 

ifP(«^^a/»|^j •j-r^--7,— , et<;. so^nt tQHtes plus j}eiiti{s^qm 

Vunite fje dis que la valeur totale de la fraction continue 
sera necessairement un nombre ijrationneL ' 

D^abord 9 je dU que eette valeur sera plus petite que 
Tunite. £n effct , sans dimiriuer la gen6ra]lt^ de l^'fi^eiion 
90iitinii€ ^.onx»emt supposer toUs \es denoiiiinat«tns t^', ti', 
it'%>e&fir^Vtifa; or , si on prend on seul terme d6kr>^|uili« 

proposee , on aura , par hypotnese, •— < i. Si on prcnd lep 

deux premiers , It cause de — r< i , il est clair que n-\ 

est plus grand que n — i : raais m est plus petit que /?; et, 
puisqu'ils sont Tun et Tjiutre des en tiers , m sera aussi plus 

pcdtqfife w -f- — 7. Bone la rdleur qui r^suHd dfes ddui 

n' . 

termes 



jn I • 



in 



est plus petite que TumtiS. palcul6ns trois termes de la 
fraction continue pi^pbs^^ ; et d*abord y suiyant cc qu'on 
Tient de votr^ la vateur dela'pari*!^ *ii^ij£i:^ 

•era pliis;pclftte <tiue>l^iftiutt*» Appelons oette valeur ei^ 6t il 
est clair que : — : — r sera encore plus petite que Tunit^ ; done 

la valetir qui r^sttlte des trois termes 

n H m 

n ■ 

est plus petite que Tunite. Continuant le mhne raisonnc* 
ment , on verra que , quel que soit le nombre de termes 
qu*on calcule. cb la fraptioipL.continve proposeie ,~ia vakur 
qui en rdsulte est plus petite que ruriU^-j done la valeur 
totale de cette fraction prolongdc a Tinfinij f^st aussi plus 



nets. IV, ^98 

petite que Tunite. Eilc ne pourrait ^tve e^ab a Funite que 
drifts I^'ieul ctrft on la fraction propo&ce »efa|t de la' t6^tAi 



"^ ^— ^ m 






, 1 1 » : fft" -f- 1 — etc# 

jfiUnftftaiiiiautre cas elle sera plug petite* 4 

Cieki4)OSi6, fti on nie que la-vateur de la fraction eontinui 
pvopcttiee'doit ^gal^e a un nombre irratioanti y stpfkisottii 
qu*e)lc est ^gale a un uoihbrc rationnel , et soit ce nombre 

•», B et A ^tant des entiers quelconqnes; on aura done 

A. 

B wi . 

7l' -I- -— 

Soient C, P^ E.» ctp.^des indetefmiue^ tclles^qa'p^|j.,., 

/i" -J 

■ ii"'+etc. 



n.i 'I' ^- . -^ ««^4- etc. 

et ainsi a i*in(lni. Ces diffi^r^ntiss frai^tiotus conthiue» a^ant 

tous leurs termes plus petits que Tunit^ , leurs valeurs ou 

B C D E 
sommes —,--,•-;,--, etc. seront plus petitcs que Tunil^, 
A B C D 

suiYant ce qui Tient d*dtre' d6mantH:\t^^ietmi$Uoni a«im 

B<A, C<B, D<C, etc. ; d'ou Ton voit que la suite A, 

B , C , t) , E , etc. est decroissante a rinjflni. Mais Tenchai- 

ncment des fractions continues dqnt ils'agit dpni^e .;\ 

— =r C ;' d'ou resulte C'sr:mA — w B , 

A /i+g 

C rn' 

-=- — D; d'ou resulte D=/«'B — /I'C, 

i-7ci&-;^'E ;'^iV resulte E s= 



2^ WQT^ iy. 

P^r.^JPPM^^W I U ^>D§iiit que toijif >s wm* C» D, 
E , «t<?. I qui ju$qu'a ce moment <^lalent inddtermin^s ^ sont 
aussi des nombres ep tiers. Or , il impjique contradiclion 
qu'uDC suite iniinie A , B , C , Q , £ , etc. soit a-la-fois de- 
croissante et composde do uombrcs entiers: car d*ailleurs 
aucuu des nombres A , B , C , I) , £ , etc. ne peut ctre z^ro , 
puisque la fraction continue propos^e s'etend a rinfini . ct 

qn'amii Its imiimes pepri^sent^cs par -r, s, 7;, etc. doivent 

A ii G 

(o^jjpuivi. ilv^ qnplqnp fiUose. Done rhypotk^se , que la 
somme de la fraction continue propost^e e^t ^gale a une 

. ; ' . B . 

quantite rationnelle -r- 9 '^^ saurait ^ubsister ; done cette 

A. 

5ommc est nccessairemeut un nombre irrationnel. 

Lemhe II, Les m^mes choscs etantposetx , si les/ractions 

m m' » m" 
eomposantes ^r-r t — > c^^* ^^^^ d*une grafHeur quelcoTi" 
n n' u" 

qiie aii commencement de la suite ; mats qu^apres un certain 

interyalle , eltes soient constamment plus petites que Punittf; 

je dis que la fraction continue proposee , en supposant tou^ 

jours qfi'clle s*eCend0 a Vinfiniy aura une i)aleur irrationnelle* 

Car, si il compter de -—7-, par exemple, toulcs les frac- 

' ■ . ■ i n^'' -.* • . ■ ' - ' ■• "^ >'*?.^. f 

ji«8t'rnr»?T-^»'wr'f »tc, iriofini , i«nt plus petii«* qiit 
7i" n** w 

)-9iBii^9 alof>ft , suivant le Iiemme I , la fi*action contiaue 

' «^ + etc. 
anva nnc v^leur irratipnpclle. Appelofis ^ctte raleur co ^ el 
la fraction continue proposee deviendra 

m f' 
• . ft- [ ij ^ , m^ '- ■ 

Mais' si on fait successiycment 

* . ' ■ * 



] 
4 



»fOTB tv. b'^S 

' if ciVdair que, « dlant irrationnene , touiei'tut quil.nhtds 

e parelllemcnt. Ow, !■ (leriiUl« w*^' 

fltinue propose } dooc Ja talour Of 

Rant , pout peveoir a natre aujolf 
Eion gfo^rale. 

Si ifn arc est commensurable avoc le raron , sa fatifenlp- 
sera ihcommensitrabk avec le m^me rayon. 

Eneffet, soil le rayon = i , etrari;a:= — , metji^iant 

ties nombrf s entiera , la fonnule trouv^c ci-dcssus donnera, 
en faitant la snbstilulion , 

tang.— =— _m^ 

7n— eto. 
Or cctte fractioQ conlinae cit dans le cas du lenime II ; car 
il est clair qne les denomirialeiirs 3n;5n,7n, etc. aug- 
mentant continiiellemeni , tandia que le nuiii^ratcur /n' 
rcftede la mfme£randeur,les fractions com posantc3serODt 
bu deviendrunt bicntAt plus petitei que I'unitd , done la 

valcur de tang. ^ est irrationnelte ; done , si Care est cotn- 

M'ensRTahle avec le tayon , sa tai^ente sera mcommen- 
surable. 

pE la r^snlte , comn^e conii^quBiice trei-ijnm^iate , la 
proposition qui fait I'objet de cette note. Soit ^ la demi- 
circonffience dont le rayou est i ; si 7; £tait taiipnncl Tare 

- le serait anssi , et par cops^^ient M tangcnte devrait dire 

irrationnelle : mais on ^ait, au contr^^f que la EBUgcjite 

del'arc- est ^ale au rayon 1 ; done ir nep«utitre ration* 

4 
nel. Done le lapport de la circonference au djqmelrf .est 
un nombre irraiiotwel (i). 

(1) Celta proptmtion q e^ lUmimlTef j/o^t la |tre|(ife[« his ptr 
Irsmbtrt, daai 1o« Memoirfi ds SerliD , raaie 1761. 



ag^^ HOTE y. ■ 

H^sl;( probable que le nombreir n'est pas it^^oiieLcmnpfis.^ 
dans Ics iiTationnelles algcbriqucs , c'est-a-dirc , qii^il ne 
peut ^tre Ja racine d*uttc equation algebrique dhin ikoitihxe 
fini de termes dont les coefficients sont raiionnid»:: mais il 
parait tres-difficile de d^moutrer rtgoureusement cdlbe pm- 
position ; nous pouvons seulement faire Toir que le quarre 
de "TT est encore un nombre irrationnel. / ». •. r 

En effeC , si dans la fi^adion continue qui expriniC't^ipg/ x^ :> 
oa£s|it :i7j=^3^ ^ k cause de taog. 77 = o ^ on dolt' av^^ < • < ; 

= 3 — -=- Tr» 

'^ ~9"~etc. 

Btf^is si^t;' etait ralionnel. et qu'on eut 'R' z= — ^m el n 

/ ^- - ■ ^ , n ' 

etant des entiers y il en rdsulterait t 

. 5/1 m ' ^ ^ 

7— — »• m ' 
on 

*^ 1 1 — etc. ^ 

Or, il est visible que celte fraclipj^ , contini^e esl^ C"corc 
dans le cas du lemme II , sa valcur est done irrationnelle , 
et ne saurait ^Ire egale au nombre 3, Done le quarnf du 
rapport ile la clrconfercnce au dlametre ,' est un nomln-e 
irrationneU 

NOTE V. 

Oil ton donhe la solution analytique de di\'ers 
problemes concernant le triangle , le quadri- 
latere inscrit ^ le parallelipipede et la pji^a^ 
mide triangulaire. 

PAOBLJ^IIB PllEMIER. 

"J&eant diynMs ies trois cdtes d*un trian^e , iffouver sa sur-* 

face , le rayon du cercle inscnt et te rayon du cercte cir* 

conscrit. < 

fig. m6. Soie^tles ic6<4s.BC = «, AC=:^, ABiStx?; si du som- 

rsieX A on a^aisse la perpendiculak^Aji>sur4e 43^. Oppose 

♦la. 3. BC, on aura * AC == AB + BC — aBC X BD \ done BD = 



> # tf 



^ . "^nii~ r.*f» 'Cfette> valfeur dontie AB* — Bd'oh AD^**±^t*» 

=: ^: ^-^. Soit S laire du tnanffle , 

.' . "o i\ ^ ' %' a ■*••' • • . 

on aura 8=-^ BC X AD; done " ' 

Cette f^ninte pent encore se redmre a'une aulr^ foriat ^ 
plus commode pour le calcul logarithmique ; pour cela il 
faut observer que la quantite 4a' c* — (a^ + c* — b*y est 
le produit des deux faoteurs 2 ac+(a*+ c* — ^*) et a ac; — 
a».-|-c"— ^6'); le premier = (a-|-c)* — 6* = (^a + c + b\ 
a+c— i>); le second=^>*---(a— c)* = (^4-<«— c) (6— a +'i:)f 
donconaura /■ : '■ v^ -*■>••.} ..>.j 

S=:-i|/^[(a+i+c) (a+Z^— c) (a+4^— 6)] (A-f-c— a), 

Enfin si on fait ■■ .^ =7?^ ce qui donne a -|- ft -He =21?, 

2 , 

a-|-ft — c=2p — 2c, a-F-c — 6=2/7— 2ft, 6+tf — a=2/>— 2a9 

oh aura encore pius simplemeht • ^ • * 

S=:i/(>./7 — a.^ — 6./; — c). 
D*pfi Ton yoit que pour avoir la surface d'un triangle donj 
les troi^c6tes sont donnas, il faut prendre la demi-spmme 
des trois c6t^s , de cette d^mi-^oxume jetrancher successive- 
men t chacun des ttl^s , ce qui donnera trois restes , multi- 
plier ces trois restes entre cux e* par \^ deii^i^omm^ de^ 
cot^s , el enfin extraire la racine quarree du produii : cette 
racine sera 1 aire du triangle. 

Soicnt main tenant z le rayon du cetcle rfrctonscrit au 
triangle , et u le rayon du cercle inscrit dans ce m^e tri- 
angle, on aura suivant la prop, suxii, Uv. 111, 

liabc 2S S , 

g = ' •" * ■ et»r:= ^ . i . >. ■ ■ n gr-~ ; done en ftimsfUMiiC 'la 

yaleur trouvee de S , il viendra 



' ^> »- ■ 

PHOBIiiMB I . t 

•I 

Etant donnes les quatre cdtcs d*un quadrilalire inherit , 

(rouver ie rayon du cercle , la surface du quadrilatere et 

ses angles, 

H' »35. Soient les c6tes donnas KJkaza , BC=: b , Cl>=zo , J^kssd^ 

«t let dittgonalcs inconnues AC=:.r , BDrzj , on aura , sni. 

JB <Z d r^ be 

yant k tlieor. 33 , liv. iii , xYz=;^aC'\-hd et ->=r ■ ' ' - S 

y a 6 -f- c a 

d'ou Ton tire 

Mais jSuiva lit le proWeme precedent , le rayon da cercle 
(eirtonscnt9i;triangleABC?(lonilesc6^6ssonta, h^x^ pcut 

8 expnmer par la formule z z=r. — •- : — : — ; -— =• 

Substituant au lieu de x la valieur qu*on vient de trouyer 
et decomposant le r^sultat en facteurs , on aura 
j_ jV {ao^bd) {ad-{-bc) jab-^cd) J\ 



^abx 



(]eU pofii , f aire du triangle AB£ =: t — 1-, cell« du trian-* 

»JV/[(if'-f*4'«-^ ifHM-d^) (a+c-hd-'b) (^c-f-rf-^r)]. 
SiM«KI ^ait, pour abr&ger , jb=5-j (a-f-^+c+rf), o» 
aura Taire ABCO s^i^-^ (^p—a.p—b.p—c.p—d)* Enfin pour 
&Toir Tun des angles , par exemple , Tangle B , on obser- 

■vera que le triangle ABC donnc cos Bas: ■ » " ■ — --' 
^ %ab 

substituant la valeur de x el r<^duisant , on aura cos B r= 

a*+^* — c'— fiT*. _ -, . I— cosB , 

. . ■ , ■ .De ia on tire _ , ou tapg.* 7 B 

^ab+icd i+cosB 



sz ' ' n^ '■■ • Done 

(a^by—(c—d)* (ii^f.4^0..^) (a-i-^h-^d—c) 



^-H'.f^^y'i^Z^fll^a) 



% » » 



PROBLEMS III. 



Dans le quadrilat^re A B D C dont les angles opposds B *»• »77' 
et C sont droits , <?V/wi/ donnes les deux cdtds AB , AC avec , 
Pangle compris BAG trouver les deux autres cdl^s ^t to 
diagonale AD. 

Soit AC = ft , AB = c , et Tangle BAC -= A j si Ton pro- 
longe BD et AC jusqii'i leur rencontre en £, le triangle 
BAE rectAngte en B, ou i'on connait Tangle BAE ct le ch\h 

G C 

AB , doppera AE nc r r I done CE 5=:-rr-rr -r- At £a4iMti$ 

COS A' COS A 

le triangle DCE rectangle en C , ou Tpn c^nnajt |e c6t^ 

CE et Tangle CDE =;: A , donnera CD =: CE cot A = 

c-r^cosA^ , -,., -^^ b-^pco^A 

■i -. . ■ ■ M . On aura done semulablcmant BD = • — ; — -^ ' ^ 
sm A sin A 

Ce ftont les valeurs des deux tihUs cherch^s du quadrilateire, 

D^-li rwi^lte la diagonale AD == »/ CACV pC) :^ 

y/_ /?— ftcosAA i/'fft^+c*— 2ftc cos A) ^^ . 

\/( ^'+ C » A y )=^-^ ^-7 -^ Mais par 

y \ ^ pin A J ^m A 

1^ (f|angl(; BAC on aurait BC := \/{b^ + c*T^%bc ^o^ 4)$ 
Done la diagonale AD , qui joint les deux angles obliques, 
est k la diagonale BC qui joint les den;: singles drqiti :: ) 
:sin A. 

SchQlic, \j2l dipgpniale AD est en ni6pie temps le dja-* 
m^trc; ^Vt; cerpl^ 4ans If^^uel le quadrilatere ABDC serait 
inscrit. 

Qani ce cerole on aumt Tangle ABC=z= ADC » dop^ «« 
abaissant CF perpendiculaire sur AB, les triangles BFC, 
ADC, ^ont semblajiles et donnent AD:BC:jAC:FG:: i : 
sin A ; ce qui s*accorde avec Ic resultat precedent. 



306 IfOTB't* 

PAaBXtilKB IV. 

Et€tttt dwinees let trou ufi^ies d'an pofoUeUpipMe nvec 
Us angles qu'eUes font en$re elles ^ trouper^'M sMdtti^ du 
parallelipipetle. " », \ < • . 

^••'f -^ Soient le» aretes SA=/, SB=^, SCr=:A, ^tUsiiVlgles 

coiripris ASBr=y , ASC = 6 , BSC = a. Si du po?iit C on 

l^isse CO parpendtculaire sur le plan ASB , le 'ti'iingle 

r«Jlflngk CSO donnera CO = CS sin CSO = h sik CSd. n*ail. 

leur) la siii^faeedu parall^logramme ASBP ^=±fgsm y. Done 

si on appelie S la solidity da paralldlipip^de ST , on aura 

B=±/^ sin a. sin CSO. II rcslc a trouver sin CSO. 

* l^our cela du point S comme centre et d'un rayon = i, 

d^crivez une surface sphMque ^Jui rencontre en D ^ £ , F, G , 

tes droites.SA, SB , SC5 SO; vous aurez un triangle DEF 

dans lequel Tare FG est perp<»idiculaire sur ED , puis- 

que le plan CSD est perpeudicufaire sur ASB. Or le 

triangle DEF, ou 4*on a les,tcois,o6tds DE=SiyrDF==: 

_ cos t — eos i'coi Y . :"• ■ 
g , EF=a , donne cos E = : : -^ ct sm E = 

smas^ny j ,. , 

y/ ( I — cos* a — cos' € — cos* y H- a cos a cos €* cos y ^ 

sin a sin 'y , 

Ensuite le trianglp rectangle EFG donne ^in GF ou sin CSO 
*±z sin E sin EF=.sin a sin E. Done S=::fgh sin a sin y'sfti £. 

ou 

Sxs/gb [/(i -^cos* a— eos' g — cos* y + 2 cos a cos € cos y). 
Dans cette expression la quantity sous Ic radical est le 
produit des deiix facleurs sin a sin y + cos € — cos a cos y ct 
sin a sin y — cos €+cos a cos y. I.e preniier=cos 6— cos (aH-y) 



•g 



= a sin * ^ sin —^ 1 le second=cos (« — y)-"COS 6 



niasin^^ — J^sin-^-'^i • Done la solidity cherch^e 

a . a 

5==a/eA . / I sin ^sin ^sm — ? — sin— ^ — • 

•ff Y/ J^ a !» a a J 



NOTB'?* 



PEOBIiJBMB V. 



^ Jies.fi^g^ti^ t>k0ses etant donaces que dans -ie probidjne 
prec^iiML^ tfonver Pejnpression de ia' drngow^le- qui joiiA 
deux sommets opposes, 2 

S,Q|.tgj(f pdia^onaU de la hass SP/zi^z^et la dUg<N»ole ^K^n^* 
clierv;l^c^-ST;?= «; Je triangle ASP -4ft"* lequjBLq&a .SAP 
= T-f »^9* Ut di»»iiera «'=:/'' -f-^ -h 2Mi"C03 y ; jiart iUeia^o^ 
I^ triafiglft TSP dans lequel cos TPS^;? — cpft GSP., do«T 
nera i/*=;;:.z'+A'.-4:^a/« co8 CSP. H ne s*agi( pUs qur 
d*ayoir le cbsinus de Tangle CSV ou de. Tare FH,: or 
dans le x^sp^e sph^nque EFH.y on a cos FU^^ 
cos £ ^ CQ3 £H + ^in EF sin £H cos £ ; substituaivt les 

valeurs EF=a et cos E j=: : : =• , 11 vicndrsi 

. » ■• . ' *iiu de sm Y • 

■ ' ) • ' sin/EH , 
cos FH::;;=pos « cos EH + — ; (cos 6 — * cos a cos 7 ) =s 

sinHHoosC siA(Y— EH).cosrt sin'EIIcos€4-smDHcosa. 
^in y ^ sm Y • sin y 

Done ^hz cos Fit , ou a/tz cos CSP = 2/1 cos 6 

« sin' EH . isInDH 

■ . -^ai^ cos &. — '- '-, l^Tais dans le triangle BSP 

sm Y sm y ^ 

• ;, . SPsitiBSP ^^ SPsmBPS . , 

on a BP;=: — r ■ ■ ,, et BS;=:. — , ^^^^ », «e qui donne 
sin SBP sin SBP ^ 

z sin EH 2 sin DH 

— ;; — — r=:/-et — _^— =r^. Done xhx cos CS^z;z!kfk 

sm y sin Y 

cos 6 + a^^ cos a. Done enfin le quarrd de la diagonale 
cherch^e : 

u* =/■ -hg^-jrh^ +^Jff cos y + a/Zr cos § + a^/i cos «• 

Corollaire. L*angle solide A est form^ par les aretes 
fy^y^i faisanl entre elles deux a deux les angles aoo**— y , 
acd^— ^, a; ainsi il sufflt de changer les signets de cos y et 

cos € dans Texpnession ^^ ^Yj, pour avoir celle de AI^* 
Faisai^t de mcme pour les.deux autrcs diagonales, on aura 
les valeurs de leurs quarrds comme il suit : "^^ 



8«t NOf^ t. 

ST=/*+g^+A»+a/^cosY + 2Aco$6-4-a^^ cos a 

AMz=zf*+g*+h* — a/^cosy — a/*^fcos € + a ^^ cos * 

BN=/»4-^*-|-i^* — ay^ cos y + a/A cos g — a^f^^spsa 

Cp'r3/*4-^-f./i*+ ty^ cos y — a/^ OM- €-J-^ ft ^^cdft * 

De la on tire ST + AM + BN +CP = 4/^4- 4^4-4^*. 
Dottfci dftn^ tout paratyiipipede y la somrrte den quartet det 
qnatre tliagohales est cgale h la sommt des ^uarres dig 
d:6txt!ts titles. Ce th^ot^me r«fnar(|tiable et andlogke & celui 
*i4.3. qtrt'ii Hdti fldfti 16 paraH^logtamme * , pourrait S6 Aldtiir^ 
cor. iittm^dkteifieiit de ce dertiiet. Qtx au moy^ d6l p*liTtiM«S-^ 
famines SCTP , AfiMN , on k 

ST4-CP = aSC + aSP*, 

AM + BN = aBMVaAB' 
Ajoutant ces deux iSquatians et observant qu'on a SC=BM 

et SpV Ab'= aSA'-f- aSS , il viendra ST*-^ AM*-^ 

BN + CP = 4 SA V 4 SB*+ 4 SC* 

PROBItSMB YI, 

; itant donnees Us trpis ar^es qui dhmUifi^ni h mmim^ 
sommet d'une pjrrar/ude trianguldtre , et les trois AiSgtes 
' que ces aretes ferment tntre elles , trout^r la soUdJUe, de la 
pyramide, 

fig. 278. Soil SABC la pyramide triangulair^ propos<$e , dafii 
laquelle on connait les aretes SA =:/*) SB =:^, SC sra A , 
%t lea angled compris ASBz=ry, ASC=s0^ BSGr:te(« Si 
sur les aretes SA , SB , SC , donnees de grandeur et dtf 
position , on decrit le paralldipipede ST , la pyramide 
qiii est 1^ tiers du prisme ttiangulaire BSAT7lilC sera le 
,siaidiiie ^ii paralK^lipipede ST* Done ^n dppelant P Iii soli- 
UM &€ la pyramide , ott aura ^ d'apr^ le ptobli ir , 
Ptof^ V^(tfl^€«s«it-^cW6'-^cos*f 4-a <os a CDS €co*y 

ott P = \M^U\n ' »rt i Sin — i — sin ^ — — ^ 

a a a 



r. i •■'♦Ac • * r * * •• * 

»*'' "^ ' (ROBLEkB VII, 

» 

Etant donnas les sit cdteS ou ar^es d*une pyramids (ri^ 
»7i^tfdir¥; trbuverSh solidite. 

Si l^ttl toriierih les memcs d^hoihiha lions qiie dans le fig. 178. 
probleme pr^c^dent , et qa*on fasse dc phis BC=cy^, 

CAssJtf*, BA^±A' ,'on Hara cos y sa ' ' .coi^z^i 

— i- — • ' " . , cos a = " ■ ■■■■■. SuDsHtuant ccs tA- 
leujra 4«Af it Ainiitil« tronv^, et faisant pbtir al)h?get'' ' 

on aura la solidite demandee 

P=:^|/(4/-»^* /*•— /*F*— ^G* — A*tt' + FGH). 

Ddils rappllcation dfe ces formiilcs <5n otservera qtiey , 

if ^ h\ d^signent les e6tes d*une mtoe face on Base, et 

A ^9 ^9 les trois antres aretes , qui aboulissent au soinmei^ 

leur disposition ^tani; telle que / est oppos^e k/* igkff* 

et ^ a h!. 

Scholie, Soit A la somme des qttatrd triangles qui coni* 

posetit la surface de la pyrslmide ; ioit rie rayon de la ^pliere 

insoiite; il est ais^ de voir qu'on a PrrAxi^/ ^^^ ^^ P^^*^ 

omiMtc^ii^Ia ^rltitifde d^cohiposce en quatre autres , qui 

aup^^t ponf sommet con^mun le centre de la sphere ^ 

et pour bases , les diffdrentes faces de la pyramide. OtL it ' 

3P 
done le T^yon de la spliere inscrite rz=: ~« 

PEOBLjBlliB VIII. 

Les m^mes choses dtant donnces que dans leprohleme f^I, 
trotiver le niyon de la sphere circonscrite a tapjrramidc. 

Soit M le centre du cercle circonscrit au triangle SAB , « 
MO !l per[)endicnlaire menee par le point M sur le plan 
SAB ; soit pareillement N le centre du cercle circonscrit 
au triangle SAC, NO la perpendicttlaifd ^lev^e par \& 
p6iht N sur le plan SAC. Ces deux perpcndiculalres situ^es 
dans un meme plan MDN perpendiculaire a SA , se ren- 
contreront en un point O qui sera le centre de la sphere 



3o4 , WOTB V.' 

circonscrite ; car le point O , comme appartenant a la per* 

pendiculaire MO , est a ^gale distance des trois points S, 

B , A ; ct ce mtoe point , comme appartenant a la per- 

pendiculaire NO , est a ^gale distance des troit points 

S 9 A , C ; done il est a ^gale distance des quatre points S, 

A 9 B y C. 

On pent imagincr que Ic point M est d^termin^ dans le 

plan SAB , au moyen du quadrilatere SDMH , dont les 

deux angles D ct H sont droits , et ou Ton a SD:=z^/', 

SH = 7^9 et ASB=«f. Done on aui*a (d'apres le pro- 

— £"— — /"cos Y 
bltoe 111), DM ==^^2 — ±1 ^^ semblablement 



DN = 



on aura 
sin Y 

r^— t/cos€ 



sin g 

Appelons D Tangle MDN qui mesure Tinclinaison des 

deux plans SAB , SAC ; dans le triangle sphdrique dont 

a , 6 , ^ , sont les c6t^s , D sera Tangle oppos^ au c6i6 a , et 

. . ^ cos a — cos ^ cos 6 

amsi on aura cos D = : r-^— , de sorte que 

sm Y sm 6 

Tangle D peut 6tre suppose connu. 

Cela pos^, dans le quadrilatere OMDN dont les deux 

angles M et N sont droits , et ou Ton connait les deux 

«6tes MD, DN et Tangle eompris MDN =:D , on aura 

par le probl^e iii, le quarr6 de la diagonale OD = 



• a 



DM4-DN — aDMXDNcosD . , 

: — — . Ensuite dans le tnan£:le 

sin-* D ^ 

OSD rectangle en D, on aura SO = OD + Sd': c'est la 
valeur du quarrd du rayon de la sphere circonscrite. 

Si on fait la substitution des Taleurs de D M , D N et 
ensuite celle des yaleurs de cos D et de sin D , afin d^a^oir 
imm^dialemcnt Texpression du rayon SO , par le moyen 
des donnees du probl^me ti , on trouyera pour r^sultat : 



(^* sin» cuf^» tin • g-J-A » »i n " Y— -a fg (cosy- 
( I — cos* a — cos » g — cos *Y-). a cos a 



- ^l 

cosy cos g ) > 



'— cosgcosflt" 
acosgcos J 



'M •' NOTE VL • • ' • • ::'/.. 



*y/iif fa p las courie distance de detsx droites-non 
situSes dans ie meme plan. 

, Sbient 4.B , CD , deux droiles donnees , non situ^es clans le ^6* '^^^' 
meme plan , dont il s'agil de Irouver la plus courte distance. 

Suivant AB faites passer deux plans perpendiculaires 
entre eux qui rencontrenl CD Tun en C , I'aulre en D ; de$ 
points C e^ I) abdissez CA et DB perpendiculaires sur AB ; 
dans le plan ABD mencz DE parallele et A£ perpendiculaire 
a BA , ce qui formera le rectangle ABDE ; dans le planpAE 
joigncz C£ et menez AI perpendiculaire a C£ ; enfin dans le 
plan CDE menez IK parallele a DE jasqu'k la rencontre de 
CD en K, faites AL = IK et joignez KL; je dis, a** que la 
droite KL est perjYcndiculaire li>larfois aux deux droiles 
donnees AB, CD 5 *>J* que cetle meme droite KL est plus 
courte que toute autre qui joindrait deux points des lignes 
AB , CD, et qu'ainsi KL , ou son egale AI , est la pluj courte 
^ik£aiCe:d^iand^6/. 

'-Enieffet, 1** les trois droiles AB, AC, AEetant par 
ikyhst^uctioa p^rpcikdiculaires enlre elles^, Tune d-elles AB 
cVfe^iperpendiculaire au plan des deux autres 5 done AB 
est perpendiculaire a AI; d'ailleurs KI est parallele $l D£, 
et DE a AB , done KI est parallele a AB , et puisqu'oii a fait 
AL=KI, il s'ensuit que la figure AIKL.est un rectangle. 
Cela pos^6, Tangle AIK est droit ainsi que AIC, done la 
droite AI est perpendiculaire au plan KIC ou CDE; done 
sa~paraUele KL est perpendiculaire au m6me plan CDE, 
el;, par consequent est perpendiculaire a CD. Done, 1^ la 
droite KL est p^rpeqdicul^ire a-la-fois aux deux droites 
AB, CD. 

2** Soil M un point quelconque de la droite CD; si par 
ce point on mene MN parallele a DE Ou a AB^ la distance 
da point M a la droite AB sera egale a AN , puisq^e t*aiigle 
BAN eit droit. Or on a AN > AI ; done AI est la plus courte 
distance des lignes donnees AB , CD. 

Soicat les perpendiculaires CA = «, et DB=: AE=:;A, 

20 



3o6 NOTE VII. 

on aura CE=\/ («* -|-^" ) ; et parce que I'aire du triangle, 

ACE s'exprime ^gal^ment par 7 AC X AE et par ^ CE X AI , 

ACXEA ab 

an aura M= ^ =;__—_. Cest rexprcssion 

de la plus courte distance des lignes donndes. 

Si en m^me temps on fait la distance AB = c, et qu'on 

appelle A Tangle compris entre les deux lignes donn^es , 

c*est-a-dire Tangle CDE, compris entre la ligne CD et une 

parallele DE a la ligne AB , le triangle CD£ rectangle en £ 

DE c 

donnera cos CDE= •—— - , ou cos A= — ; X 

CD' v^(a* + *-4.c')' 

caronaCD==CE + ED = «' + ^* + c*..Delaon tirerait 
aussi sin A = — 7-—^ — — ^--r- et cot A =-— ^--. . 

NOTE VII. 
Sur les potyedres symmitriques, 

C*est pour plus de simplicity que nous avons suppose 
dans la def. 16, liv. VI, que le plan auquel les polyedres 
symmetriques sont rapportes , est le plan d*une face : on 
pourrait supposer que ce plan est un plan quelconque, 
et alors la definition deviendrait plus gdn^rale, sans qu'il 
y eut rien a changer a )a demonstration de la.propos. 11, 
par laquellc nous avons ^tabli les relations mutueJles des 
deux polyedres. On peut aussi prendre une idee tres-jusle 
de la maniere d'etre de ces deux solides, en regardant Tun 
des deux comme Timage de Tautre form^e dans un miroir 
plan y lequel tiendra lieu du plan dont nous Tenons de 
parler. 

NOTE VIII. 
Sur la proposition XXFy livre VII, 

Ce tlL^ordme qu'Euler a demontr6 le premier dans les 
Memoires de P^tersbourg, ann^e 1758, offre plusieurs 
consequences qui meritent d*^tre dereloppees. 

1® Soit a le nombre ^t% triangles , ^ le nosnbrc des qua- 



NOTE VlJtl. 3o7 

drilateres, c Ic nombre des pcnlagones, etc. qui composent 
la surface d*un polyedre; le nombre total des faces sera 
a+lf-\-c-\- d-\- etc. , et le nombre total de leurs c6t^s sera 
3fl-|-4^+5c+6rt + etc. Ce dernier nombre est double de 
celui des aretes , puisque la mt^me at^te appartient a deux 
faces y ainsi on aura 

H=:a4-^ + c+^+elc. 
a A= 3a -j-46-(- 5c+6^+ etc. 
£t puisque, suivant le theoreme dont il s*agit, S + H=A 
+2 , on en tire 

aS=4+«.+a^+3c+4J+etc. 
line premiere remarque que fournissent ces yaleurs , c'est 
que le nombre des faces impaires a + c+e + etc. est tou- 
jour s pair. 

On pent faire pour abr6gerct> = ^+ac+3«?+ etc., el 
alors on aura 

Ainsi dans tout polyMre on a toujours A>4H9 etS> 
a +4 H , oil il faut observer que le slgne > n*exclut pas IVga- 
lit^, attendu qu*on pourrait avoir a>z=o. 

Le nombre de tons les.angles plans du polyedre est a A, 
celui des angles solides est S , de sorte que le nombre moyen 

a A 

des angles plans qui forment cbaque angle solide , est — — * 

C6 nombre ne peut dtre moindre que 3 , puisqu'il faut 
au moins trois angles plans pour former un angle solide ; 
ainsi on doit avoir aA>3S9 le signe > n*excluant pas 
r^galite. Si on met au lieu de A et S leurs Valeurs en 
Het(i>,onaura3H-|-co>6+|HH-fa>,ou3H>iaH-<«). 
Remettant les valeurs de H et o) en a ^ 6 , c , etc. , il en 
r^sultcra 

3a + aft+c>ia + e4-a/+3^-|-ctc. 

d'od Ton voit que a, b, c, ne peuvent pas ^tre t,6to ii-Ia- 
fois , et qu*ainsi il n*exisle aucun polyedre dont toutes les 
faces aient plus de cinq cotds. 

Puisqu'on aH>4+T^)^^ substitution dans les valeurs 
deS el de A donnera S>4+f o), et A>6 + o. Mais en 
m^me temps on a ci> < 3H — la ; et de la il r^sulle S < aH-^ 4» 

20. 



3o8 NOTE VIII. 

et A < 3H — 6 , ou Ton se souviendra que les signcs > et 
<n*excluentpas T^galit^*. Ces limites ont lieu gcneralement 
dans tous les polycdrcs. 

a^ Supposons 2A>4S, ce qui convLent a une inAnite 
de polyedrcs , et uommemcnt a ccux dont tous les angles 
solides sont formes de quatre plans ou plus , on aura dans 
ce cas H > 8 + ('^ 9 ou , en faisant la substitution , 

fl > 8 -h c + 2d-{- 3e + etc. 
Done il faut que le solide ait au moins huit faces triangti- 
laires ; la limite H > 8 -Ho donne S > 6 -}- w » et A > a -f<o i a. 
Mais on a en mdnie temps Ct> < H — 8 ; et de la resulte S < H 
— a,A<2H — 4' 

3** Supposons a A > 5 S , ce qui rcnferme entre autrcs 
polyedres ceux done tous les angles solides sont au moins 
quintuples , il en resultera H > ao-|- 3 (o , ou 

^z>2o+a^ + 5c+8fl?4-etc. 
Et on auraenmcme temps S>i2-f-a&), et A>3o + 5(i); 
enfin de ce que co<~ (H — 20), on tire les limites S < 
i(H— 2),A<|(H— 2). 

On ne pent supposer aAr=i 6S; car on a en g^n^ral 
aA-|-^w+ia = 6S; done il n'y a aucun polyedre dont 
tous les angles solides soient formes de six angles plans ou 
plus ; et en effet la moindre valeur qu*aurait cliaque angle 
plan, Tun portant Taulre , serait Tangle d*un triangle equi- 
lateral, et six de ces angles feraient quatre angles droits, 
ce qui est trop grand pour un angle solide. 

4" Consid<Srons un polyedre dont toutes les faces soient 
triangulaircs , on aura copz o , ce qui donnera A = 7 II , et 
S = 2-|- *-^I. Supposons en ou Ire que tousles angles solides 
du polyedre soient en panic quintuples, en panic sextu- 
ples ; soit/? le nombre des angles solides quintuples, q celui 
des sex tuples , on .lura S =p -\- q cl '2 A =. ^p -{- 6q, ce qui 
donne 6 S — 2 A=/p : raais on a d'ailleurs A =4 H,etS = 
a -f- J II J donc/> ±=:6S — 2A=i2, Done si un polyedre a 
toutes ses faces triangulaircs^ et que ses angles solides soient 
enpartie quintuples , enpariie septuples , les angles solides 
quintuples seront toujours au nombre de 12. Les sextuples 
peuvent etre en nombre quclconque : ainsi , en laissant q 
indctermine, on aura dans tous ces solides S= 12 -f-^, 
H=ao4-2/7, A=3o + 3^. 



iroTE VIII. 3o9 

J^ous termincrons ces applications par la recherche dii 
nombre de conditions ou donnccs ndcessaires pour deter- 
miner un polyedre; question intcressante , ct qu'il ne parait 
pas qu'on ait encore r^soluc. 

Supposons d'abord que le polyedre soil d^une espece d^ 
terrninee y c'cst-a-dire qu'on connaisse le nombre de ses 
faces , le nombre de leurs c6t^s individuellemenl , et leur 
disposition les unes a Fe^ard des autres. On connait done 
les nombres H , S , A , ainsi que « , ^ , c , rf, etc. ; il ne s'agit 
plus que d'avoir le nombre de donnees effectives , lignes ou 
angles, par le moyen desquelles le polyedre peut ^'tre cons* 
truit et determine. 

Considerons une dcs faces du polyedre que nous pren- 
drons pour sa base. Soit n le nombre de ses cotes ; il faudra 
a 71 — 3 donnees pour determiner cettc base. Les angles 
solides hors dc la base sont au nombre de S — 7i ; le som- 
met de chaque angle exige trois donndes pour sa determi- 
nation; ainsi la position de S — /2 sommels exigerait 3S — 
3n donnees, auxquelles ajoutant les a/i — 3 de la base, 
on aurait en tout 3S— --/i — 3. Mais ce nombre est en g^- 
ndral trop grand , il doit ctre diminu^ du nombre de con- 
ditions necessaires pour que les sommets qui repondent a 
une m^mc face soient dans un m6me plan. Nous avons 
appele n le nombre de c6t<^s de la base, appelons de meme 
7i', n^\ etc. les nombres de cdl^s des autres faces. Trois 
points dctcrminent un plan ; ainsi ce qui se trouvera de 
plus que 3 dans chacun des nombres /i', /?", etc. donnera 
autant de conditions pour que les diffdrents sommets soient 
situ^s dans les plans des faces auxquelles ils appartiennent , 
et le nombre total de ces conditions sera egal a la somme 
(„'_3) + (,2"_3)-f.(,i'"_3) + etc. Mais le nombre des 
termcs de cette suite est H — i , et d*ailleurs /2 4-/i'-|-/i" 
-4- etc. =12 A : done la somme de la suite sera a A — /i — 
3(H — i). Retranchant cette somme de 3S — n — 3, ilres' 
tera 3S — aA-f-3H — 6, quantile qui, a cause de S4-H=: 
A4-5^ > se rcdnit a A. Done le ncmbre de donnees necessaires 
pour determiner un polyedre , parmi tous ceux de la m^tne 
espece y est egal au nombre de ses aretes. 

Remarquez cependant que les donnees dont il s*agit ne 



3lO WOTB VIII, 

doivcnt pas ^tre prises au hasard parmi les lignes et les 
angles qui constituent les dlements du polyedre ; car , quoi- 
qu'ou eiit autant d*6quations que d'lnconnues , il pourrait 
se faire que certaines relations entre les quantit^s connues 
rendissent le probleme ind^termind. Ainsi il semblerait , 
d'aprcs le theoreme qu'on Tienl de trouver, que la connais- 
sance des aretes seules suflGt en general pour determiner un 
poljedre; mais il y a des cas ou eette connaissance n*est 
pas sufHsante. Par exemple, etant donn^ un prisme non 
firiangulaire quelconquc , on pourra former une infinite 
d'autres prismes qui auront des aretes ^gales et plac6es de 
4a. meme maniere. Car, des que la base a plus de trois c6t^s , 
on peut , en conseryant les c6t^s , changer les angles , et 
donncr ainsi a cette base une infinite de formes differentes ; 
on peut aussi changer la: position de Far^te longitudinale 
du prisme par rapport au plan de la base , enfin on peut 
combiner ces deux changements Tun avec Tautre ; et il en 
rcsultera toujours un prisme dont les aretes ou cot^s n*au- 
ront pas chang^. D*ou Ton Yoit que les aretes seules ne 
suffisent pas dans ce cas pour determiner le solide. 

Les donndes qu*il convient de prendre pourddterminet 
un solide , sont celles qui ne laisscnt aucune inddtermina- 
tion, et qui ne donnent absohiment qu*une solution. Et 
fig. a8x^ d*abord la base ABCDE sera ddterminee entre autres ma- 
nieres , si on connait le c6te AB , avec les angles adjacents 
BAG , ABC , pour le point C ; les angles BAD , ABD, pour 
le point D , et ainsi des autres. Soit ensuite M un point dont 
il faut determiner la position hors du plan de la base ; ce 
point sera determine , si , en imaginant la pyramide MABC, 
ou sculement le plan MAB, on connait les angles MAB, 
ABM , et rinclinaison du plan MAB sur la base ABC. Si 
on determine , par le moyen de trois donnees pareilles la 
position de chacun des sommets du polyedre hors du plan 
de la base , il est clair que le polyedre sera determine abso- 
himent et d'une maniere unique , de sorte que deux polye- 
dres construits avec les m^mes donnees seront ndcessaire- 
ment egaux ; ils seraient cependant symmetrique^ Tun de 
I'autre, s'ils dtaient construits de diffdrents c6tes du plan 
de la base. 



woTB vm. 3x1 

II n'est pas toujours necessaire d'ayoir trois donnees 
pour determiner chaque sommet d'un polycdre ; car si 
le point M doit se trouver sur un plan di^ja determine dont 
I'intersection avcc la base soit FG, il suffira, apres aypir 
pris FG a volont^, de connaitre les angles MGF, MFG; 
ainsi il faudra une donn^e de moins. Si le point M doit se 
trouver sur deux plans d<ya determines , ou sur lenr inter- 
section commune MK qui rencontre le plan ABC en K , on 
connaitra d^ja le c6t6 AK, Tangle ARM , et Tinclin^ison du 
plan AKM sur la base ; il suffira done d'avoir pour nouvelle 
donnee Tangle MAK. C'cst ainsi que le nombre de donnees 
n^cessaires pour ddterminer un polyedre absolument et 
d*une maniere unique 9 se r^duira toujours au nombre de 
scs aretes A. 

Xe c6t<S AB et un. nombre A— i d*angles donnes deter- 
mincnt un polyedre ; un autre c6te a yolont6 et les m^mes 
angles determineront un polyedre semblable. D*ou il suit que 
le nombre de conditions nccessaires pour que deux polyedres 
de la ni^me espece soient semblables, est egal au nombre des 
aretes moins un. 

La question qu'on vient de rdsoudre serait beaucoup plus 
simple si on ne connaissait pas Tespcce du polyedre 9 mais 
seulement le nombre de ses angles solides S. D^terminez 
alors trois sommets a volont^ par le moyen d'un triangle 
oh il y aura trois donnees ; ce triangle sera regard^ comme 
la base du soHde , ensuite les sommets hors de cette base 
seront au nombre de S — 3 ; et la determination de cbaeun 
d*enx exigeant trois 'donnees, il est clair que le nombre 
total de donnees nccessaires pour determiner le polyedre , 
sera3 + 3 (S— *3,), ou 3S — 6. 

II faudria done 3 S — 7 conditions pour que deux polye- 
dres. qui ont un Cgal nombre S d*angles solides soi^kl sem- 
blables entre eux. 

NOTE IX. 

Sur les pofyedres riguliers, (Fojrez Vappendice 

au Hvre VII, ) 

I^ous nous sommes attaches dans la proposition 11 de cet 
appendice k dCmoi^^r^? Teiiisteipice d^s cinq polyedres regu- 



3ia NOTB IX. 

Hers, c*est-a-dire, la possibilild d'arranger un certain nombre 
de plans cgaux de maniere qu*Il en resulte uii solide unifornie 
dans toate son ^tendue. II noas a paru que dans d*autres 
ouyrages on suppose cet arrangement existant, sans trop 
en rendre raison ; ou bien on ne le demontre , comme a 
fait Euclide , que par des figures compliquees et difficiles 
a entendre. 

Le probleme de determiner Tinclinaison de deux faces 
adjacentes du polyedre, et celui de determiner les rayons 
des spheres inscrite et circonscrite , sont reduits dans les 
problemes III et IV a des constructions fort simples ; mais 
il ne sera pas inutile d'appliquer a ces memes probldmea le 
calcul trigonom^trique qui fournira d*aillcurs de nouvelles 
propositions. 
£ ^^^ Soient a, b, c, les trois angles plans qui composent Tangle 
solide O , et soit propose de trouver Tinclinaison des plans 
ou sont les angles a et 6, on d^crira du centre O le trian- 
gle spherique ABC , dans l«{uel on connaitra les trois cotes 
BC=:a, AC = 6, AB = c, et il faudra trouver Tangle C 
compris entre les c6t<^s a tl b. Or, par les formules con- 
cos r — cos a cos & ^ - \ ,. 

nues , on a cos C = : : — 7 . Cclte formule apph- 

sin a sin 

qu^e aux cinq polyedres rdguliers , va nous faire connaitre 

Tinclinaison de deux faces adjacentes dans chacun de ces 

solides. 

fi aA3 Bans le tetrdedre , les trois angles plans qui composent 

Tangle solide S, sont des angles de triangles equilateraux; 

soit done la demi - circonference ou Tare de 20.0* = w, on 

cos a — cos' a 

aura /i = />=zc=;jw; done cos C = . =z= 

sm ' a 

cosa(i — cos a) cos « 

■ ■ ^ -•=! ; mais on sait que cos y ^ 

I — cos* a i~|-cosa 

= 4 , done cos C = J. 
g 244. Bans Vhexaedre ou cube, les trois angles plans qui fer- 
ment Tangle solide A , sont des angles droits ; ainsi on a 
«=:^=c=-jir,etcosa = o, done cosC=ro. Done Tangle 
de deux faces adjacenles est un angle droit. 

Dans Voctacdre , si Ton fait a zr: DAS = j w , ^ = DAT 



fig. 24^* 



=f w, c = TAS = i w, on aura cos C = — 



COS^W cos* \ 7P 



' sin > f IP 



WOTB IX. 3l3 

Or, cosjir=ro, cosyic=7, sin jw=:^v/3; donccosC = 
_ i.. D*oii Ton Toit que rinclinaison des faces de roctaedrc 
etrinclinaison des faces da t^'traedre sont deux angles sup* 
piemen ts Tune de Tautre. 

Dans le dodecaedre , un angle solide est form^ de Irois fig. a46. 

angles plans 6gaux , chacun, a Tangle d'un pentagone 

regulier; ainsi, en faisant a = 6 = c = jw, on aura 

^ cos/z . , . , I — V/5 

cos C = ■' ; Hiais cos f -nr = — sin 7^ ir = — — , 

I 4- COS ^ 4 

I — \/5 I . a ^ 

done cos C= j-^ —=:— '— ^,sin C=— r-, et tangC = 

— 2. 

Dans Vicosaedre , il faut faire c = C B' D' = j w , a = fig. 247. 

. ' ^ cos^w— cos* 4'*^ 
^zn C B' A' = T -^ » cl on aura cos C = ^, =_=- 

* sm' Y w 

j('--V^^) — 4' _ — V^ ^. done sin C = |. Telles sont les 

7 ^ 

expressions tres simples par lesquelles on determine rincli- 
naison de deux faces dans les cinq poly^dres rcguliers. Mais 
nous remarquerons qu*on aurait pu les comprendre dans 

uiie seule et mdme formule. 

•» 

£n effet, soit n le nombre de c6tes de cLaque face, m le fig* ^8. 
nomi)rc d'anglcs plans qui se rcunissent dans chaque angle 
solide ; si du centre O et d*un rayon = i , on dccrit une 
surface sph^riquequi rencontre en/?, ^, r, les ligncs OA, 
OC, OD, on aura un triangle splieri([ue/?^r, dans Icquel 

W IS 

on connait Tangle droit r, Tangle/? = — , et Vanc:\en = — ; 

tn n 

on aura done, par les formulcs connues, cos q rzzi -- 

sin q* 

Mais cos q r= cos COD = sin CDO = sin 7 C , C desi- 

cos — 
m 
gnant Tangle CDE ; done sin 7 C = . Formule gen^- 

ft 

sin — 

n 

rale qui , appliqu^e succcssivement aux cinq polyedres , 
donuerait les m6nes valcurs de cos C ou de x — - a sin' 4 C 



3l4 VOTB IX. 

qu*on a trouv^es par une autre yoie; pour cela » il faut »ubi- 
tituer, dans chaqne cas, les valeurs de mei n, sayoir : 

T^lraedreyHexaedre, Octaedre, Dodi^caedre, Icosaedre. 
/w= 3, 3 94 » 3 ,-5« 

/?=^3,.4 »3 , 5 »3. 

Le in^me triangle sph^riqiie pqr, d'ou Ton vient de 
d^duire ripclinaison de deux faces adjacentes , donne 

' CO IT « 

cos pq = cot p cot ^ , ou — -- = cot — cot — . Done , si on 

appellc R le rayon de la sphjere circonscrite au polyedre , 
et r le raybn de la spfa^re inscrite dans le in^me polyedre , 

R IT « ^ 

on aura — =: tang — tang — ; d'ailleurs, en faisant leedt<^ 

r m n 

la 
AB = a^ on a CA = -^ — , et par consequent R' = r' + 

. w 

9in — 

n 

-^ . Ces deux equations donnerontpour chaque polyedre 

sin* - 
n 

les i^aleurs des rayons R et r des spheres circonscrite et 

■ IT 

inscrite. On a aussi , en supposant C connu , ri=: -y « cot — 

tang -i^ C et R = J fl tang — tang j C. 

m 

Dans le dodccaMre et TicosaMre , on voit que le rapport 

-B • IT IT 

Jl: a la mtoe valcur tang -r- lang -r-. Done, si R est le meme 
r 3 5 

pour tons les deux , r sera aussi le m^me ; c'est-a-dire , que 

si ces deux solides sont inscrits dans une meme sphere , ils 

seront aussi circonscrits a une meme sphere, et vice versd. 

La m^me propria t^ a lieu entre Tliexaedre et I'octaedre, 

R 

puisque la valeur de — est, pour Tun et pour I'autre, 

r 

IT IT 

tang Y ta**? "T* 

Remarquons que les polyedres r^guliers ne sont pas les 
^euls solides quisoient compris sous des polygones^r^guliers 
^gaux^ car, si on adosse par une face commune deux t4- 



NOTB H. 3l5 

traMres rt^guliers 6gaux , il en i^sultera un solide compris 
sous six triangle^ ^gaux et ^quilat^raux. On pourrait encore 
former un autre solide avec dix' triangles ^gaux et ^qt^ilat^ 
ranx; mais les polyedres r^guliers sont les seuls quiaient en 
mdme temps les angles solides dgaux. 

r 

NOTE X. 
Sur Vaire du triangle sphirique. 

Soil I Ic rayon de la sphere, w la cjemi-circonference d'un 
grand cer.cle; soient a, h^ c, les trois cotes d*un triangle 
spherique ; A , B , C , les^arcs de grand cercle qui mesurent 
les angles opposes. Soit A + B + C — ^ = 8, suivant ce 
qui a ^t^ demontre dans le texte *, Taire du triangle sph^- a3, 7. 
rique est egale a Tare S multipli^ par le rayon ^ et ainsi 
est representee par S. Or, par les analogies de Neper, 
on a : 

A4-B C a — b a + h 

tang :cot — ::cos tcos \ 

2 a a a 

de la , tirant la valeur de tang \ (A + B)) on en d^duira 

aisdmeu t celle de tang (^AH- 76+40) = — cot 7 S : on* 
aura ainsi 

cot fa cot 7^+ cos C 
sm G 
formule tres - simple qui pent servir a calculer Taire d'un 
triangle spherique lorsqu'on connait deux c6tes a, b, et 
Tangle compris G. On peut aussi en deduire plusieurs con- ' 
sequences remarquables. 

i^ Si Tangle G est constant , ainsi que le produit 

cot — cot — , Taire du triangle spherique representee par S, 

demeurera constante. Done deux triangles CAB, CDE, fig.aSa. 
qui ont un angle egal G, seront equivalents, si on a 
tangi GA: tang^ CD : : tang ^ CE: tangf CB , c'est-a-dirc , si 
les tangentes des moities des cdtes qui comprennent Tangle 
egal , sont redproqaement proportionnellcs. 

a^ Pour faire sur le c6te donne CD et avec le m^me 



3l6 NOTE X. 

angle C, un triangle CDE Equivalent au triangle donne 
CAB , il faut determiner C£ par la proportion : 

tang^ CDrtang^ CA :: tang^ CBrtang^CE. 
3^ Pour faire avee Tangle du sommet C un triangle isos- 
Gele DC£ Equivalent au triangle donn6 CAB, il faut 
prendre tang-j CD, ou tang-^ CE,moyenne proportionnelle 
entre tangj CA et taiigj CB. 

n , . * , « cot ^ a cot \h-\- cos C 

A La meme formule cot^Sm 

sin C 

peut servir a demontrer d*une maniere tres - simple la pro- 
position XXVI du livre VII; savoir, que de tons les trian- 
gles sphEriques formes avec deux c6tes donnes a et ^, le 
plus grand est celui dans lequel Tangle C compris par les 
c6tEs donnds , est Egal a la somme des deux autres angles 
A et B. 

Iig.a83. Du rayon OZ = i decrivez la demi-circonference VMZ , 
faites Tare ZX=:C, ct de Tautre c6t6 du centre prenez 
OP = cot 7 a cot 7 h; enfin joignez PX et abaissez XY pcr- 
pendiculaire sur PZ. 

PY 
Dans le triangle rectangle PXY on a cot P =---- = 

Xi- 

col-J-a cot^ ^ + cos C , ^ « , , .. r. 

: : done P = -'- S ; done la surface 5 

sin C 

sera un maximum y si Tangle P en est un. Or, il est Evident 
que si on m^ne PM tangente a la cir conference , Tangle 
MPO sera le maximum des angles P, et alors on aura JMPO 
mMOZ — -J w. Done le triangle sphErique, formE avec 
deux c6tEs donnes, sera un maximum si on a - S = C 
— -jir, ouC=A+B,ce qui s*accorde avec la proposition 
citEe. 

On voit en mEme temps , par celte construction , qu'il 
n*y aurait pas lieu a maximum si le poiiit P Etait au-dedans 
du cercle , c'est- a-dire , si Ton avail cot-j a cot-j 6 < i . 
Condition d'ou Ton tire succcssivement cot^ a < tang^ h, 
tang (i^ — •5«)< tang~^,^« — 7«<t ^* et cnfm w< 
a-^-b yt,^ qui s'accorde encore avec le scholie de la meme 
proposition. 



NOTE. X. 3l7 

pROQLiME I. Trouper la surface tVun triangle spherique 
par le moyen tie ses trot's cdtes. 

Pour cela , il faudra dans la formule 

cot Y a cot 7 6+ cos C 

cot - S i^ 1 

sin C 

substituer Us yalcurs de sin C et cos G exprim^es en a, b, c: 

cos c — cos a cos b 

or , on a ;cos C == ; : — ; ct cot ^ a col \ bz=i 

sin a sin b 

I + cos a I H- cos b 

; . ; — ; — ; de la resulte : 

sin a Sin b 

^ . . ... i-f-cosa + cos^4-cosc 

COS C + cot^acoti^iz: — . , — -I- . 

sin a sm b 

Ensnhe la yaleur de cos C donnc 

asm Sin 

cose — cos(a+c») a a 

I — |- cos Cizs ■ ■' ■ , , " I^ ■ ' , ^ ■ 

sin a sin b ^ sin a sin b 

asm sin 

cos(rt — o) — cose a a 

I— C0sC=i: : : — ; = : : — 7 • 

sm a sm b sm a sm b 

Muitipliant ces deux quantites entre dies et extrayant la 

racine du praduit , on aura 

/ . a-^b-i-c . a-i-b^c . «+c— ^ . b-^ — c\ 

aL/( sin sm sm sin i 

. ^ \ a a a a J 

8in C = : : r-7 . 

sm a sm b 

Done enfin 

1 4- cos a + cos ^ 4- cos c 

cot~S=: — ' ■■ 

- / . a-i-b-^c . a+b—c . a-i-c—b . b^a^c\ 

ai/l sin sm sm sin ) 

\ a a a ay 

Cctte formule resout le problem e propose , mats on pcut 

parvenir a un resultat plus simple. 

Pour cela reprcnons la formule 

coL^acoty^+cosC 

^^'^^= — — :d"F^ • 

sm C 
nous en tirerons d'abord i-{-cot*yS, ou 

I cot'4acot'^6-hacot^acot| ^>cosC+t 

sin 4S"~" sin'C ' 



3l8 ROTB X. 

Or, la valenr de cos C donne ^ cot { a cot •; b cos C = 

cos c — cos a cos ^ % * , 

; mettant dans le numerateur, au 



a sin'-rt sin*^^ 

a a 



lieu de cos c, cos a^ cos 6, leurs yaleurs i — 21 sin*-^ c, 
I — a sin' ~ a , i i— 'a sin* -^ ^ , et r^duisant , on aura 

^ sin*ia + sin*i*— sin'^c 

a cot I a cot 7 6 eos G :s . , t . , 1 = ft. 

sin -J a sm* -j d 

_ . . I — sin'^a 1 — sin^T^ 

On a d'aiUeurs cot* ~ a. cot* I bzzz. — :—■ — i— . . , * =r= 

• sin* 7 a sin" 76 

I — sin*^a — sin*x^ . *^ , . 

:-— 7—rn h !• Done, en substituant ces va- 

sui*^asin* "Jo 

1 1 1—- sin*-yc . , 

leurs , on aura-— — = «,.,,-, a r-.^ > c« q^i don"« 

sm 70 sin 7 asm josm L, 

sin-jasin-J-^sinC 

sin 70 = f et , en remeltant la valeur de 

Cos 7 c 

iin C ) on a 

/ . a-^bi-c , a+b-^c . a-i-c—b , ^H-c—aN 
1/1 sin sin sin sin j 

sm J S= — ^: = ; -, 

a cos 7 a COS 7 o cos 7 c 

Formule commod(e pour le calcul logarilhmiquc. 

Si on multiplie celle-ci par la valeur de cot 7 S, il en 
resultera 

i+cosa+cos^+cosc cos*7tf+cos'-lfr-hcos**.c— 1 

cos 7$ = = = ' -^ ; . 

4cos7acos76cos7C a cos7a COS- 6cos ~c 

Nouvelle fornlule qui a Tavantage d'etre composee de ter- 
mes rationnels. 

Tx ,. ,. I— cos^S 

De la on lire encore , — , ou 

. smiS 

. „ I— cos*7<2— cos*7^— cos'7c4-acosT«cos4^c6s7C, 
tangos = * — ^ 1 — 

\/^[ sm sin ■ sin sm ) 

\ a a a ^ / 

Or, le numcrateur de cette expression pent se* d^cotnpoat^r 
en facteu^s, eomme on Ta fait pour nne quantitt' sem- 
Liable, note Y, problSmelV ; on aura ainsi: 



NOTB X. 3J9 

A sm sm sin —sin 

^^^ ,g__ 4 4 4 4 . 

\y[ 5in ^sin sm sm ■ ■■ ) 

V, a 2 a a / 

Mais on a _:i^=v/( . ^ '^^ )=V/ (4 tang \p; 
\/ Aiap \ a sin ip. cos^p/ 

done enfin 

I 

tang^S=|/^( tang ; tang ; tang ; tang ; ) 

V 4 4 4 4 / 

Celte formnle tres^'cl^gante est due a Simon LhuUlien 

PftOBLin II* Etant donnas les trois cdtes BC = a , AC=:b, fig< ^H < 
AB = c , determiner la position du point I, pdle du cercle 

circonscrit au tria/igie ABC* 

•° 

Soit Tangle ACI=:^, et Tare AI — CI=BI=(p; dans 

les triangles CAI , CBI , on aura par les formules connues 

cos<p — cos^cosO I — cos 6 sin 6 

cosx= ^, , i-= — _-— cot9=— i^oKf^ 

Sin6sinf sino i+cos6 

,_ . I — cos« ^ cosfC— a:) 

cos (C — X) = cot 9. Done ^ 9 ou 

sin a * cos x 

^ . . ^ (i+cosiVCi — cos a) _ . 

cos C -i- sin C lang x = -i : — i-^ — ; i-; substi- 

sin a sm 

tuant dans cette Equation les valeurs de cos C et sin C 

exprimees en «, b , c , et faisaiit, pour abr^ger, 

M=r:V/(i — cos*<2 — cos* ft — cos*c-f-a-cosacosft cos^), 

-,_ . i+cosft — cose— cos a . , 

on en deduira tang x = ^ formule 

qui determine Tangle ACT. On pent observer qu'a cause 

des triangles isosceles ACI , ABI , BCI, on a ACI = 

^ (C4- A— B) ; on aurait de m^me BCI=x (B+C — A), 

BAI=^ (A+B — C). De la r^sultent ces formules remar- 

quables : 

./. ^ «x I + cos ft — cos a — cose 
tangi(A + C— B) = — i: 



tang^(B + C— A) = 



M 
i+cosa — COS ft— cose 



3aO NOTE X. 

. / i -.* ^N ^ +COSC — COS* — COS b 
tangi(A+B- C) = -^i: jj , 

auxquelles on peut joindre celle qui doune cot 7 S 9 ct qui 
peut se mettre sous la forme : 

.,, ^ ^v — I— cosrt — cos 6 — cose 
tang:-(A+BH-C)= ~^ ^ . 

La Taleur de tang x qu'on vient de trouver, donne 

I 2(iH-cos6)(i— cose) (i — cos«') 

I + tang' jc ou = -^ — -^ i 

. ^ cos' a: M' 

16 cos • ;5^ ^ sin* -5^ c sin* -J a i 

; done 



" M • cos ar 

A cos ~ b sin 7 c sin 7 a 



M 



• Mais de Tequalion 



1 — cos 6 , , 

cos .r=: ; — cot o = tang \ cot Cp, on lire 

sin b , * 

tang \b 4 sin 7 a'sin 7 6 sin 7 c 
tang f = ; done tang 9 = rjz — 

a sin I A sin -^ i^ sin 7 c 

(. a-^-b-^-c . a'\-b—rc . a-^c^b , b'\'C—a\ 
sm sm sin sm ) 
2 a a 2 / 

PnOBi^aiK III. Diterminer sur la surface de la sphere la 
ligfic sur htquelle sont situcs tous les sotnmets cles triangles 
lie me'me base et de mctne surface. 

Soil ABC Tun dcs triangles *spheriques dont la base 

g- aoD. commune est AB = c, ct la surface donnee A -|-[»B -f- C — 

ir = S. Soit IPK unc perpendiculaire indefinic elev^e sur 

le milieu de AB \ ayant pris IP egal au quadrant, P sera le 

pole de Tare AB, ct Tare PCD mene par les points P, C, 

sera perpendiculaire sur AB. Soit IDizryi, CD = ^; les 

triangles rectangles ACD, BCD , dans Icsquels on a AC ==. 6, . 

BC = «, AD=:yy-|-7C, BD=/> — 7C, donnerontcos a-=i 

cos q cos (/? — 7 c), cos 6;= cos q cos (/^ + 7 c). Mais on 

a trouve ci-dessus : 

I + cos rt -f- cos & "f- cos c 

cot|S=z : in 5 

sm <2Sin6sinC 

substiluant dans cette formale les valeurs cos ^+cos^=r 



NOTE XI. 321 

1 COS q COS p COS X f?, I -{-cosczzlt, cos' ~ c, sin bsinCzzz 
sin c sin B = 2 sin 7 c cos ^ c: sin B ; on aura 

cos ; C-I-COS p cos /I 

cot i 8=— : • -^V-r ^^^- • 

SID a sin~c sm B 
D*aiIIeurs dans le triangle rectangle BCD, on a encore 

. „ . , ^.c COS^C-KCOS/JCOS^ 

sm a sin B=: sm q ; done cot 78 = ; ■■ — r * « 

sm -J c sin q 

ou cos p cos q HZ cot { S sin 7 c sin q — cos 7c; c*est la rela- 
tion entre p. et q qui doit determiner la ligne sur laqnelle 
sont situ^s tons les points C. 

Ayant prolong^ IP d'une quantite PKzrrar, joignez KC 
ct soit KCzzzy; dans le triangle PKC, ou Ton a PC=: 
71? — q et Tangle KPC:=« — p, le c6l6 KC se trouvera 
par la formule cos KC = cosKPC sin PK sin PC-f-cosPR 
cos PC , ou 

cos J = sin ^f CO so? — sin :i: cos 7 cos /? ; 
dans laqnelle substituant au lieu de cos q cosy? sa valenr 
cot 7 S sin 7 c sin q — cos ^ c , on aura 

cos^=:siria:cos7C-f-sin^ (cos .r — sin .3? cot 7Ssin~c): 
De la on voit que si Ton prend cos .t — sin a? cot 7 S sin 7 c=o, 
ou cot:r=:cot7Ssin7 c , ou aura ccsj--=sin a? COS7C, et 
ainsi la valeur de j^ deviendra constante. 

Done si apres avoir mcnc Tare IP perpendiculaire sur le 
milieu de la base AB , on prend au-dela du pole la pariie 
PK telle que cot PKrzicot-j S sin 7 c, tons les sommets des 
triangles qui ont la m^me base c et la m6ine surface S , 
seront situes sur le petit ccrcle dccrit du point K comme 
pole a la distance KC telle que cos KCz=sin PK cos 7 c. 

Ce beau tli^ordme est du a Lexell. ( Voyez le tome V, 
part. I des not^a j4cta Petropohtana. ) 

NOTE XI. 
Sur la proposition Illy livre VIII. 

Cette proposition pent ^tre d^montree plus rlgoureu- 
sement en la ramenant aux lemraes pr<^liminaires , de la 
maniere suivante. 

Jc dis d'abord que la surface convexe termin^e par les 
aretes AF , BG , et par les arcs A w B , F ;r G , ne saurait fig. aSa. 

31 



3»^ NOTE XI. 

c*tr« plus petite que le rectangle ABGF , partie corrcspon* 
dante de la surface du prisme inscritr 

£n effet , soit S la surface convexe dont il s'agit , et soit, 
s*il est possible , le rectangle ABGF on ABx AF=:S + M, 
M 6tant une quanlite positive. 

Prolongez la hauteur AF du prisme et du cylindre jus- 

qu*a une distance AF' cgale a n fois AF , n ^tant un 

nombre enticr quelconque; si Ton prolonge en m^e temps 

le cylindre et le prisme » il est clair que la surface convexe 

S* comprise entre les aretes AF', BG', contiendra n fois la 

surface S ; de sorte qu*on aura S' :^^ /tS , et parce que 

n X AF=:AF', on aura ABxAF'=:/iS4-«M = S'4-/iM. 

Or n i^tant un nombre entier h. volont^ et M une surface 

donn^e, on pent prendre n de maniere qu'on ait ^M plus 

grand que le double du segment At/B , puisqu*il suffit pour 

.-> --..jiAwB 

cela de fair* n>—-Tz — ; done alors le rectangle ABX A F' 

M 

ou la surface plane ABG'F' serait plus grandc que'la sur- 
^face enveloppanle , composde de la surface convexe S' et 
de deux segments circulaircs ^gaux AuB, F'^c'G'. Or, au 
contraire , la seconde surface est plus grande que la pre- 
miere, suivant le premier lemme prdliminaire ; done, i® on 
ne pent avoir S < ABGF. 

^e dis en second lieu que la meme surface convexe S ne 
saurait 6tre ^gale a celle du rectangle ABGF. Car sifppo- 
sons, s'il est possible, qu'en prenant AE=:AB, la sur- 
face convexe AMK soit egale au rectangle AFRE ; par un 
point quelconque M de Tare AME , nienez les cordes AM , 
ME , et ^levez MN perpendiculaire sur le plan de la base. 
Les trois rectangles AMNF, MEKN, AEKF, ayarit meme 
hauteur, sont entre eux commeleurs bases AM, ME, AE. 
Or on a AM + ME>AE, done la somrac des rectangles 
AMNF, MERN est plus grande que le rectangle AFKE. 
Celui-ci est Equivalent par hypothese a la surface convexe 
AMK , composee des deux surfaces partielles AN , MK. 
Done la somme des rectangles AMNF, MEKN est plus 
grande que la somme des surfaces convexes correspondantes 
AN , MK. Done il faudra que I'ua au moins des rectangles 
AMNF , MEKN soit plus grand que la surface convexe 



ir 0TB XII. 323 

corrcspondanlc. Cctte consdquence e*t contrairc a la pre- 
miere parlie d^ja demontr^c. Done, a*^ la surface convexe 
S ne saurait ^tre ^gale a celle du rectangle correspondant 
ABGF. 

II suit de la qu'on a S>ABGF, et qu'ainsi la surface 
convexe du cylindre est plus grande que celle de tout 
prisme inscrit. 

Par un raisonnement absolument seinblable, on prou- 
vera que la surface convexe du cylindre est plus petite que 
celle de tout prisme circonscrit. 

NOTE XII. 
Sur VigalitS et la similitude des polyedres^ 

On trouve a la tete du XI^ livre d*£uclide. Ics di^iini- 
tions 9 et lo ainsi concues : 

Q. Deux solides font scmblahles ^ lorsqu^ils sont compris 
sous un mime nombre de plans semblahles chacun a 
chacun, 

10. Deux, solales sont egaux et semblables , lorsqu^iU 
sont compris sous un mr.me nombre de plans fgaux et 
semblables chacun a chacun, 

L'objet de ces definitions etant un des points les plus 
difficiles des Elements de geomctrie, noiis Texamineroos 
avec quelque di^lail, et nous discuterons en m6me temps 
les remarqnes faites a cc sujet par Robert Simson dans son 
Edition des (Elements , pag. 388 et suiv. 

D^abord nous observerons avec Robert Simson que la 

definition lo n'est pas propremont une deftnition , mais 

bicn un th^ortoe qu'il faudrait demontrer ; car il n'est 

pas evident que deux solides soient egaux par cela ^eul 

qu-ils ont les faces egales; et si cette proposition est vraie, 

il fautla demontrer soit par la superposition, soitde toute 

autre maniere. On voit eusuite que le vice de la d<ifiai- 

tion lo est commun a la definition 9. Car, si la definition 10 

n'est pas demontree, on pourra croire qu'il existe deux 

solides Uiegaux et dissemblables donl les faces sont Egales; 

mais alors , suivant la definition 9 , un troisieme solidc qui 

aurait les faces semblables a celles des deux premiers seraic 

semblable a chacun d'eux , et ainsi serait semblablc a deux 

ai« 



3!l4 NOTB XII. 

corps de differcnte forme, conclusion qui implique contra- 
diction , ou du moins qui ne s*accorde pas avec Tidee qu'on 
attache naturellcment au mot semhlahle. 

Plusieurs propositions des XI^ et XII* livres d'Euclide 
sont fondles sur les definitions 9 et 10 9 entre autres la 
proposition XXVIII , livre XI , de laquelle depend la me- 
sure des prismes et des pyramidcs. II semble done qu'on 
pourrait reprocher aux Elements d'£uclide de contenir ua 
assez grand nombre de propositions qui ne sont pas rigou- 
reusement d^montr^es. Mais il y a une circonstaacc qui 
sert a affaiblir cette inculpation , et qu*il ne faut pas 
omettre. 

Les figures dont Euclide demontr« Tegalit^ ou la simili- 
tude en se fondant sur les dt^finitions 9 et 10, sont telles, 
queleurs angles solides n*assemblent pas plus de trois angles 
plans : or, si deux angles solides sont composes de trois 
angles plans ^gaux chacnn a chacun , il est d<^montre assez 
clairemcnt dans plusieurs endroits d'Euclide que ces angles 
solides sont egaux. D*un autre c6te, si deux polyedres ont 
les faces egales ou semblables chacune a cliacune, les angles 
solides Lomologues seront composes d*un m^me nombre 
d*angles plans egaux , cLacun a chacun. Done , tant que les 
angles plans ne sont pas en plus grand nombre que trois 
dans chaque angle solide, il est clair que les angles solides 
homologues sont «^gaux. Mais , si les faces homologues sont 
Egales et les angles soiides homologues ^gaux, il n*y a plus 
de doute que les solides ne soient egaux ; car ils pourront 
£tre superposes , ou au moins ils seront symmetriqucs Tun 
de I'autre. On "voit done que Tenonce des delinitions 9 et 
10 est vrai et admissible, au moins dans le cas des angles 
solides triples, qui est le seiil dont Euclide ait fait usage. 
Ainsi le reproche d'inexactitude qu'on pourrait faire a cet 
auteur, ou a ses commenlateurs, cesse d*6tre aussi grave, 
et ne tombe plus que sur des restrictions et des explications 
qu*il n*a pas donnees. 

II reste k examiner si Tcnonce de la definition 10, qui 
est vrai dans le cas des angles solides triples, est vrai en 
g^dral. Robert Simson assure qu'il ne Test pas , et qu'on 
peut construire deux solides inegaux qui serout compris 



N OTE X II. 3a5 

sons un m4me nombre de faces ^gales chacune a cliacune 
II eke, a Tappui de son assertion, un exemple qu*on pent 
g^ncraliser ainsi. 

, Si a un polyedre quelconque on ajoute une pyramide, 
en lui donnant pour base une des faces du polyedre ; si en- 
suite, au lieu d*ajoutcr la pyramide, oji la retranche, en 
formant dans le polyedre une cavitd egale a la pyramided 
on aura ainsi deux nouveaux solides qui auront les faces 
egales chacune a cliacune, et cependant ces deux solides 
seront incgaux. 

II n*y a aiicun doute sur Tinegalite des deux solides 
ainsi construits; mais nous observerons que Tun de ces 
solides contient des angles solides rentrants : or, il est 
plus que probable qu'Euclidc a cntendu exclure les corps 
irr^guUers qui ont des cavites ou^des angles solides ren- 
trants, et qu'il s*cst born^ aux polyedres conVexes. En 
admettant cette restriction , sans laquelle d'ailleurs d'autres 
propositions ne seraient pas yraies , Texemple de Robert 
Simson ne conclut point contre la definition ou le tfaeor^me 
d'Euclide. 

Quoi qu'il en soit, il resulte de toutes ces observations que 
les definitions 9 et lod^Euclidenepeuvent dtre conservees 
tclles qu'elles sont. Robert Simson supprime la definition 
des solides egaux , qui en effet nc doit trouyer place que 
parmi les tb^or^mes; et il dcfinit solides semhlables ceux 
qui sont compris sous un m^me nombre de plans senibla- 
bles, et qui ont les angles solides ^gaux chacun a chacun. 
Cette definition est vraie , roais elle a Tincony^nient de 
contenir bien des conditions superflucs. Si on supprimait 
la condition des angles solides egaux , on retomberait dans 
Tenoned d'Euclide , qui est defectucux en ce qu'il suppose 
la demonstration du theor^me sur les polyedres egaux. 
Pour ^vitcr tout embarras, nous ayons cru a propos de 
diviser la definition des solides semblablcs en deux parties : 
d*abord nous ayons donne la definition des pyramides 
triangulaires semblablcs , ensuitc nous ayons d^fini solides 
sembUibles ccux qui ont des bases semblablcs , et dont les 
sommets liomologues hors de ces bases sont determines par 
des pyramides triangulaires semblablcs chacune a chacune. 



326 NOTE XII. 

Cettc definition exigc pour les bases, en les supposant 
triangulaires , deux conditions, et pour chacun des som- 
mets hors dcs bases , trois conditions ; de sorte que , si S est 
le nombre dcs angles solides de chacun des polyedrcs , la 
similitude de ccs deux polyedres exigcra a-|-3 (S — ^3) 
angles ^gaiix de part et d*autre, ou 3 S — 7 conditions; 
et aucune de ces conditions n^est supcrflue ou comprise 
dans les autres. Car nous considerons ici deux polyedres 
comme ayant simplement le ro6me nombre de sommels ou 
d'angles solides ; alors il faut rigoureusement , et sans en 
omettre une, les 3 S — 7 conditions pour que les deux 
solides soient semblables ; mais si on supposait avant lout 
qu'ils sont/Zi? la m^me espece Tun et Taulre, c'est-a-dire 
qu'ils ont un cgal nombre de faces , et que ces faces compa- 
rees chacun e a chacune ont un ^gal nombre de cotes , cette 
supposition renfermerait des conditions dans le cas ou il 
y aurait des faces de plus de trois c6t^s, et ces conditions 
dirainucraient d*autant le nombre 3 S — 7 , de sorte qu'au 
lieu de 3 S — 7 conditions il n'en faudrait plus que A — i ; 
sur quoi voyez la note \iii. On voit par la ce qui donne 
lieu a la difficult^ de poser une bonne definition des solides 
semblables ; c*est qu'on pent les considerer comme etant 
de la meme espece , ou seulement comme ayant un ^gal 
nombre d'angles solides. Dans ce dernier cas toute difjQculte 
€;st <^cartee , et il faut que les 3 $*~7 conditions rcnfermces 
flans la definition soient rcmplics toules pour que \^% solides 
soient semblables , et on en conciura a plus forte raison 
qu*ils sont d^ la mdme espece. Au rcstc , noire definition 
etant complete, nous en avons deduit comme thdordme la 
definition de Robert Sims on. 

On Toit done qu'il est possible de sc passer , dans les el^ 
ments , du ihcorc^me concernant Tegalite des polyedres \ 
mais, comme ce tbcor^me est interessant par lui-mthne, 
on sera bien aise d'cn trouver ici la demonstration , qui 
ScrTira a completer la th^orie des polyedres (i). 

. (t) La d^moostrattda qae nooB donnons ici est, a quclqaef deve** 
ioppeiacnis ptes » la meme que M. Cauchy a prekeai«e a riastital: 
ou i2ia, et qa*il a decouverle en partaut de quelqaes idees qai 



NOTE XII. 327 

La question qu*il faut cxaijdiner, est d6 savoir si, fen 
faisant varler les inclmaisons des plans qui com|)osent la 
surface d'un polyedre convexe donne , on pent former un 
second polyedre convexe, compris sous les m^mes plans 
polygonaux , assembles entre eux dans le m^me ordre. 

Nous observerons d*abord que , s'il y a un second polyedre 
qui satisfait a la question, ce ne pent pas hre le polyedre. 
symmetrlquc du polyedre donn^ , puisque dans ces deux 
polyedres les plans ^gaux sont disposes dans un ordre In- 
yerse autour dcs angles solides correspondants. Ainsi la 
consideration des polyedres symmetriques doit <Jtre en- 
tlcrement ecart^e de Tobjet dont nous nous occupons. 

Nous observerons, en second lieu, que si le polyedre 
donuf^ contient un ou plusieurs angles solides triples, ces 
angles sont de leur nature invariables, puisque la connais- 
sance de trois angles plans suffll pour determiner les in- 
clinaisons mutuelles de ces plans , lorsqu'ils sont reunis en 
angle solide. On pout done supprimcr dans le solide pro- 
pose loules les pyramides triangiilaires qui forment les 
angles solides triples (1); et si le nouveau polyedre qi^i 
r^sulte de cette suppression , offre encore des angles solides 
triples , on pourra de mdme les supprimer, et ainsi succes- 
sivenrent, jusqu'a ce qu'on parvienne a un polyedre dont 
tous les angles solides n*assemblent pas moins de quatre 
angles plans chacun. £n effet, si le solide propose pent 
changer de figure par des variations queleonques dans le« 
inclinaisons de ses plans , ce changement ne peut avoir lieu 
sur les pyramides trianguiaires retr/mchces , et tl devra 
s'o])erer tout entier sur le polyedre restant apres la sup- 
pression de toutcs les pyramides triangulaires. Nous ne 
nous occuperons done dans ce qui suit, que des polyedres 
dont tous les angles solides assemblent aii moins quatre 
angles plans. 

Cela pos^, soit S i*un quelconque des angles solides du fig. st86« 

avaient. ei^ proposem pour le ni^e objet dans la pramiire ididoa 
de ces EUmenta, pag. 327 et auiv. 

(1) Si one mi^mo ar^te eiait conuaniie A daail angiea aoUdea triples, 
00 ae snppHwerail dans la prepiiere operatt&v t^vCnu. de ces sng^ef « 



fig.ttSO. 



3a8 ^ NOTB XII. 

polyedre, ct soit decrlt, du sommet S comme centre, une 
surface spheriquc dont rintersection avec les plans de 
Tangle salide formera le polygene spherique ABCDEF. Les 
coles de ce polygene AB , BC , etc. servent de mesure aux 
angles plans ASB, BSC, etc. et sont par consequent inva- 
riables ; quant aux angles A, B, C, etc. du polygene « cha- 
cun d'eux est la mesure de rinclinaison de deux plans ad- 
jacents de Tangle solide : ainsi Tangle B est la mesure de 
Tinclinaison des plans ASB, SBC, que nous appellerons , 
pour abr^ger , inclinaison sur V arete SB ; de meme Tangle C 
est la mesure de Tinclinaison sur Tar^te SC , et ainsi de 
suite. 

r^ous pourrons done juger des changements de figure de 
cbaque angle solide S, par ccux du polygene spherique 
ABCDEF, dont les colds sent constants, et dont les angles 
varient d*une maniere quelconque, pourvu que le polygene 
ne cesse pas d'^irc convexe. Or, dans ces polygenes , les 
signcs des \ariations sur les angles offrent des lois assez 
remarquablcs , que nous aliens expeser dans les deux 
icmmes suivants. 

liEMMB I. 

Tons les cotes iVwi poljrgotie splierique AB, BG, 
CD, UE, etant dontiesy a V exception da dernier AF ^ 
si I* on fait varier Pun des angles B , G , D , E , opposes 
au cote AF, les autres etant constants y je dis que le 
cote AF augnientera si V angle augmented et qu^il dimi" 
nuera si F angle diminue.^ Dans tons les cos , on suppose 
que le polygone est convexe avant et apres son change^ 
merit de figure. 

Supposons d*abord qu*on fasse varier Tangle B , les trois 
autres C , D , £ , etant constants , si Ton joint BF, la figure 
BCDEF n'eprouvera aucune variation, et BF sera constant. 
On aura dene un triangle spherique ABF, dont les coles 
AB , BF, sont constants , et dans lequel Tangle ABF varie 
d'uhememe quantitcque Tangle ABC du polygone , puisque 
la partle FBC resle constante. Or, par les .proprietes con-^ 



ROTE XII. 339 

Hues (i)f on salt que le c6t^ AF augmentera si Tangle ABF 
angmente , et qa'il diminuera si I'angie ABF diminue. 

Supposons main tenant que Tangle C varie, les trois 
autres B, D, £, ^tant constants; si on tire les diagonales 
AC, FC, ii est visible que ccs diagonales demeureront 
constantcs, ainsi que les angles ACB, FCD; on aura done 
encore un triangle sph(!*rique ACF , dont les c6t^s AC, CF, 
sont constants, et dans Icquel Tangle ACF varie de la mdme 
quantity que Tangle C du polygone ; d*ou Ton conclura de 
m^me que le c6te AF augmentera si Tangle C augmente , 
et qu'il diminuera si Tangle C diminue. 

II est evident que le m^me raisonncment pent s*appli- 
quer a la variation de Tun ou Tautre des angles D et £, et 
qu*il aurait e(,alemeut lieu pour tout autre polygone sphe- 
rique de plus de trois c6t6s. Ainsi la conclusion sera , dans 
tons les cas , conforme a T^nonce de la proposition , si tou- 
tefois le polygone est convene avaut et apres son change- 
ment de figure. Cette restriction est nccessaire , car si 
Tangle E , par exemple, diminuait jnsqu'a ce que le point F 
tomMt sur la diagonale A£, alors AF serai t un minimum ; 
et si, a compter de ce point, on continuait de diminuer 
Tangle £, il est visible que le c6t6 AF augmenterait au 
lieu de diminuer; mais, dans ce dernier cas. Tangle AFE 
deviendrait un angle rentrant , et le polygone cesserait 
d'etre convexe. 

Corollaire. Les mdmes choses ^tant posees , si plusieurs 
des angles opposes au dernier c6t^ AF augmentent , et 
qu*aucun d'eux ne diminue , le c6t^ AF augmentera n^ces- 
sairement par I'effet de toutes les variations reunies. Le 
contraire aura lieu, si plusieurs des angles oppos<^s au 
c6te AF diminuent, et qu'aucun d*eux n*augmente. 

Car , si par Teffct de Taugment^tion ou de la diminution 
simultan^e, les angles A, B, C, etc. du polygone dolvent 
Itre cLangds en A', B', C, etc. onpourra passer successive- 
ment du polygone propose a celui qui ne contient qu*un 
angle vari6 A' ;* de celui-ci au polygone qui ne contient que 

(i) Cette proposition se demontre de la m^me maniere que la 
propontion Xy liv. I, poar left triangles rectilignes. 



33.0 MOTH XII. 

\t% deux angles vari^ A' «t B'« et ainsi d« suita. Qt% daua 
chacan da caa passages « rappUcation de la proppsition ast 
numifestc, et conduit toujours au medie resultat, 

LEU MB II. 

Etant donne un poljrgone splierique convexe dorU les 
c6tis sofit constants^ et qui en a plus de troisj si on /ait 
varier les angles d*une maniere quelconque^ sans ee* 
pendant que lepotygone cesse d'etre com^exe; si on met 
ensuite le signe -f- au sommet de chaque angta qui 
augmente , le signe — au sommet de chaque angle qui 
dimimiey et qu^on ne mctte aucun signe aux angles qui 
demcurent constants ; je dis qu^enjaisant le tour du 
poljrgone y on devra trouver au nioins quatre change^ 
ments de signe d^un sommet au sommet suivant, 

£n cffet , 1^ si /3 est le nombt*e des angles du pol jgone , 
il ne pourrait j avoir n — a angles conseculifs, qui aug- 
mentent tous a-la-fois, ou dont les uns auginentent et les 
autres restent constants; car si Tun ou Tautre de ces cas 
arait lieu, ii s'ensuivrait, par le coroUaire du lemme pri« 
cedent , que le c6t^ du polygonc qui est oppose a ces /i — a 
angles, augmenterait; ce qui est contraire h Thypothese 
que tous les cotes du polygone sont constants. Par une 
raison semblable , on ne pourra supposer que n-'^^ angles 
cons<$catifs diniinuent tons a--la-fois, ou que quelques-uns 
diminucnt , les aulres restant constants. Done, dans la si^rie 
de n — a angles cons^cutifs, il devra y avoir au inoins un 
changemcnt de signe; a plus, forte raison ce changemant 
devra- t'il 6lre observe dans la serie des n angles consecur* 
tifs , lorsqu'on fera le tour entier du polygone. 

%*^ Les variations dans les angles da polygone ne peuvent 
elre telles, qu'elles off rent seulement une s^rie de signes-f-^ 
et une de signes -^, de sorte qu* il n*y ait que deux change* 
stents de signe dans le tour entier du polygone. 
fig. 287. ^^^ soicnt, par excmple. A, B, C, les trois angles mar- 
ques du signe -+, et D, E, F, G, les quatre marques du 
signe — (cette hypo these comprend cellc ou il j aurait un 



NOTB XII. 33t 

nombre de signes moindre dans chaqne s^riei k rtboti 4e 
rinvariabiliti^ de quelqnes angles). Si la figure repr^senU 
Tetat imtial du polygoue , la diagonale GD devra aagmen- 
ter lorsqu'on augmenteta tous les angles A, B, C, on seule- 
ment quelques-uns d'eux; mais la m^me diagonale GD, 
comme apparlenant an polygene GFED, dont les autres 
c6r.es sont constants, devra diminner en m^e temps que 
les angles F et £, on an motns rester constante, si des 
quatre angles D, E^ F, G, il n'y a que D et G, ou settle- 
ment Tun d'eux qui diminue; done Thypotliese dont il 
s'agit ne saurail avoir lieu; done la variation des angles 
no pent ^Ire telle, qu'elle offrc seulement deux series, Tune 
de signes +, I'aulre de signes — . 

3° f 1 est encore impossible qu'en faisant Ic tour du poly- 
gone, on nc trouve que trois series alternatives de signes -f- 
et de signes — ; car, dans cette hypolhcse, la premiere et 
la troisieme s^rie seraient de m^me signe, et se suivraient 
immediatement, de sorte qu'elles ne formeraient quSine 
seule s^ne; d'ou Ton voit qu'il n*y aurait reellement dans 
le tour du polygone que deux series, Tune de signes +, 
Tautre de signes -— j ce que nous avons demontrti impos- 
sible. 

Done enfin, les changements de signe qu*on trouvera 
en faisant le tour du polygone , doivent ^tre au moins an 
nombre de quatre. ^ 

Corollaire^ Cc que nous venons de dcmonlrer pour les 
polygenes sphdriques, s'apj>lique immediatement aux angles 
solides dent ces polygenes sent la mesure. Ainsi, ctant 
donne un angle solide convexe , qui assemble plus de trois 
angles plans ^ si on fait varicr les inclinaisons sur les aretes 
d*une maniere quelconque , telle cependant que tangle 
solide ne ces.se pas d'etre convexei si cnsuite on met le 
signe H- ou le signe — sur chaque arete p selon que tin- 
clinaison sur cette ar4te augmente ou diminue, et qu^on 
ne marque daucu.n signe les aretes sur lesquelles Vincli- 
naison reste constante , je dis qu*en faisant le tour de 
tangle solide, on devra trouper au moins quatre change^ 
ments de signe dune arete a la suivante, 

Au moyen de cette proposition ct du thdoreme d'Eulcr 



33a NOTB XII. 

*»5, 7« sur les polyedres % nous pouvons maintenaut demontrer 
le th^or^me suivant dans toute sa generality. 



THEOREM E. 



Etant donne un polyedre cornfexe^ dont tons les 
angles solides assemblent plus de trois angles plans y il 
est impossible defaire "varier les inclinaisons des plans 
de ce solide , de tnaniere a produire un second polyedre ^ 
qui serait forme avec les memes plans disposes entre eux 
de la meme maniere que dnns le polyedre donne. 

Pour ddmonlrer cette proposition, il faut distinguer 
deux cas, selou qu*on fail varier les inclinaisons sur toutes 
les aretes , ou seulement quelques-unes de ces inclinaisons. 

Premier cas. 

Supposons qu*on fasse varier a-Ia-fois les inclinaisons 
sur toutes les aretes , et soit IN le nombre total des clian- 
gemcnts de signe qu*on trouvera d'une ar^te a la suivante , 
en faisant le tour de chaque angle solide. 

On a vu dans le lemme II , que le nombre des change- 
ments de signe ne pcut etre moindre que quatre pour 
chaque angle solide. 

Done si on appelle S le nombre des angles solides, ou 
aura N > 4S, le signe > n'excluant pas Tegalite. 

J*observe maintenant que deux aretes cons6cutives d*un 
angle solide appartiennent toujours a uiie face du polyedre, 
et n'appartiennent qu a une scule ; done le nombre total des 
changements de signe observes sur les aretes cons^cutives 
de chaque angle solide, doit ^tre cgal au nombre total de 
changements de signe observes sur les cotes consecutifs de 
chaque face; car il n'cst aucun changement de signe dans 
un syst^me qui ne r^ponde a~un pareil changement dans 
I'autre. 

Or, pour chaque face triangulaire , le nombre des chan- 
gements de signe ne pent dire plus grand que deux; car en 

faisant rentrer sur elle-meme la suite H h> ou la suite 

H , on n'obtient que deux changements de signe. 



NOTE XII. 333 

Pour cliaqne face quadrangulaire, le nombrc des chan- 
gemenls de signe est de quatre au plus , ce qui est ^yident. 

En general, si le nombre des c6l^» d*une face est pair, 
= 2//, le plus grand nombre des cbangements de signe 
qu'on puisse trouver en faisant le tour des c6tes, est ^n; 
ce qui aura lieu lorsque les c6l^s portent alternativement 
les signes + et — . 

Mais si le nombre des c6tes d*une face est impair^ 
zrsfi-f-iy le plus grand nombre des cbangements de 
signe sera %n seulement, parce qu*en donnant alternati* 
■vement aux cotes les signes -|- et — , le premier et le der- 
nier auront necessairement le m^me signe ; ce qui fait un 
cbangement de nioins qu'il n*y a de c6t6s. 

Cela pose, soit a le nombrc des triangles, b le nombre 
des qoadrilateres, c le nombre des pentagones, etc. qui 
composent la surface du polycdre donn^ , il resulte de ce 
qu'on vient de dire, que le nombre total des cbangements 
de signe observes en faisant le tour de cbaque face^ ne 
pourra exc6der 2 a sur les faces triangulaires, ^b sur les 
faces de quatre cot^s , 4 c sur celles de cinq c6tes , 6 d sur 
celles de six cotc^s. Done on aura : 

N< aa-f-46 + 4c + 6rf-f-*6<?+ 8/-f- Sg^ + ctc. 

Soit A le nombre des aretes du polyedre, et II celui de ses 

faces , on aura : 

aA=: 3a + 46+ 5c + 6//+ 7<?+8/+ ^g+ etc. 

H=: a -^ b -i- c + d-^ e -^/+ g-h etc. 

Mais, suivant le tbeor^me' d'Euler, S -f- H = A + a ; done 

4S = 8 4- 4 A — 4H, et en faisant les substitutions : 

4S= 8 H- afl + 46 + 6c + 8c?+ i04?H- etc. 

Comparant cette valeur k la limite trouvee ci-dessus, on 

en tire : 

N < 4S — 8. 

Mais on ne saurait avoir a-la-fois N>4SctN<4S — 8; 

done il est impossible que les indinaisons sur les ardtcs du 

polyedre varient toutes a-la-fois, sans detruire la coh^« 

rence^des plans qui forment la surface du polyedre. 

Second cos. 
Supposons maintenant que les indinaisons sur les aretes 



334 NotB XI r. 

neTftrient pas toutes ii»la-foii , et qn*il y en ait quelqucs- 
ttnes qui demeurent constantes. 
fig. 204. Soit FI une de 009 aretes, on poiirra imaginer qn'elle 
soit snpprim^e, et que les denx face» adjacentet FtG^ 
EFIH, se reunissent en une senle non plane tennin^e 
par le contour de forme invariable EFGIH. Appelons S', H' 
et A' ce que deviennent les nombrcs S, H et A, apres la 
atippression d*une ar^te , nous aurons H' s= H ^- 1 , et 
A' == A — I ; d'ailleurs on a S' = S , pnisque le nombre 
des angles solides est le m^me dans les deux toHdes; 
done on aura S' + H' — A' = S -4- H — Asr a. D'ou Ton 
Yoit que le thtor^me d*£uler a encore Heu dans le nouTeau 
solide qui contient nne ar^te de moins, et nne face de 
moins, pnisque deux faces se sont reunies en une seule 
non plane. 

Si de ce second solide on retrancbe encore Tune dea 
aretes sur lesquelles rinelinaison reste invariable, la sup- 
pression de cctte ar^te occasionera de nouveau la reunion 
de deux faces contigu^s en une seule; et on prouvera de 
m^me que le th^ordnie d'Euler a encore lieu dans le troi- 
sieme solide qui r^sulte de la suppression de deux aretes. 

On pent continuer k supprimer tant d'ar^tes qii'on vou- 
dra , pourvu que cettc suppression n'enlraine celle d*aucun 
angle solide ; et le theordme d'EuIer aura toujours lieu dans 
le solide restant : c*est aussi ce qu*on pent voir directement 
et gen^ralement , en examinant la demonstration que nous 
avons donn^e du theor^med'Euler; en effet, cette demons- 
tration ne snppose pas que les faces du polyedre sont 
planes; eile aurait egalenient lieu, quand meme ces faces 
seraient terminees par des contours non situ^s dans les 
m^mes plai](^; elle suppose seulement que chaque contour 
soit represente, suivant noire construction, par un poly- 
gone sph^rique, et que la somme des surfaces de ces poly- 
gones soit ^gale a la surface de la sphere. £t il n*est pas 
m^me neccssaire que tous ces polygones soient convexes ; 
il suffit que chacun d'eux . puisse ^ire regard<i coinnie la 
somme de plusieurs polygones convexes ; ce qui arrivera 
toujours, lorsque, par la suppression de plusieurs ardles 
■' tppartenaat au polyedre donne , plusieurs faces planes se 



woTH xir. 335 

r^ttnirant en nne seule non plane ; car alors le polygene 
spli^riqne qui repr^sente celle-ci, sera compost de la somme 
des polygenes sphorlqucs convexes qui repr^sentaient 1m 
faces planes supprim^es. 

Venons maintenant au cas ou la suppression des aretes 
surJesqucHcs rinclinaison ne Tarie pas , cntratne celle d'lm 
ou de plusieurs angles solides, soit paroe que les inclinai* 
sons sur loutes les aretes, dans chacun de ces angles, sont 
invariablcs, soit parce que ces inclinaisons ne pourraient 
varier que sur trois aretes seulement, et qu'alors elles 
seraient necessairement constantes. 

Supposons d*abord qu*on ne supprime qu'un angle 
solide , et soit m le nombre des faces de cet angle , ou le 
nombre d'ar^tes qui aboutissent a son sommet. £n sup- 
primant Tangle solide dont il s*agit , on supprimera en 
mdine temps m aretes, et les m faces formant Tangle solide 
se reduiront a une seule; done, si. on appelle S', A', H', ce 
que deviennent les nombres S, A, H, apres la suppression 
d'un angle solide , on aura S' = S — i,A' = A — m^ 
H' = H — (//z— i). De la on tire S'-|-H' — A' = S +H— 
A = 2 : done le tbeoreme d'Euler a encore lieu dans le 
nouveau solide. 

II est clair maintenant qu'on pent supprimer tant d*angles 
solides qu'on voudra dupolyedre donn^, el que le iheor^me 
d*Euler aura toujours lieu dans le polyedre restant ; car en 
supprimant les angles solides un a un, on a success! vement 
differents poly ed res , dont deux consecutifs rentrent dans 
le cas que nous venons cTexaminer. 

Done en gen<5ral, si du polyedre propose on supprime 
toutes les aretes sur lesquelles Tiuclinaison ne varie pas ; 
soit que par cette suppression le nombre des angles solides 
reste lemcme, ou qu*il devienne moindre, le polyedre res« 
lant satisfera tofljours au theor^me d'Euler, c'est-a-dire 
qu'en appelant Sy hy a, les quanlites qui pour ce polyedre 
correspondent aux quantites S, II, A, du polyedre pro- 
poses , on aura .f -f-Zj — «=3S4-H — A=z:a. 

Mais dans ce dernier solide, les inclinaisons sur les aretes 
devront varier toutes a-Ia-fois, puisqu'on a supprime toutes 
les aretes sur lesquelles Tinclinaison ne varie pas \ done ce 



< .r . * - -' ■'-• 0J^»--*tf' 



^3B" ' NOTE XII. 

solida rentrc dans Ic premier ca&^ dpnc la variation sitaiul- 
lan^e de toutes ces indinaisons tie iaurait ayoir lieu sans 
d^naturer le solide. * 

Done enfin un polyedre eonvexe quelconque ne pent ^tre 
cliang^ en un autre polyedre convexe qui scrait compris 
sous les ni6ia95 plans polygonauxy et disposes <hiifite m^me 
ordre les uns a Fegard des autres. 



FIN DBS NOTES. 



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**"»*V»'* %*%%-%* «.% %%'%««^V%«^-%'»^«««'«%%-W%««^%«^V%-%%%% 



TRAITE 



DE 



trigonomEtrie. 



Xja Trigonom^rie a pour objet de r€s<mdr€ lei tri- 
angles, c'eit*^-dire, de determiner leuri angles «t 
leurs c6te« par le inojen d'uii nombre de Jonn^w 
suffisant. 

Dans les triangles rectilignes il suf&t de connaitre 
trois des six parties qui les composent, pourvu que 
parmi ces parties il y ait un cdte. Car si on ne donnait 
que les trois angles, il est visible que tous les triangles 
semblables satisferaient a la question. 

Dans les triangles spberiques trois donnees quel- 
conques, angles ou cotes, suiHsent toujours pour de- 
terminer le triangle, parce que dans ces sortesde tri- 
angles on ne considere pas la grandeur absolue des 
cot^s , mais seulement leur rapport avec le quadrant 
oule nombre de degr^s quHls contiennent. 

Dans les probl^mes annexes au livre II, on a d^a 
vu comment les triangles rectilignes se cotistruisent 
au moyen de trois parties donnees ; les proposi- 
tions XXIV et XXV dtt livre V donnent ^galement 
une idee des constructions par lesquelles on pourrait 
resoudre les cas analogues des triangles spberiques. 
Mais ces constructions , qui sont exactes en theorie , 
ne donneraient qu^une mediocre approximation dans 
la pratique ( i ) , a cause de riraperlection des instru- 

(i) II faut dittinguer on effetles figures quine f^rveol qu'a 
dinger lersl^nnemcttt pour la d«iBOD«tratioii d'an tb^or^ioc oa 

22 




oniiquev cloh9«ut k» solution^. ayec[ Ufit^^^^gre 
d'exactitude qu^on peut desircr : elles «^f.,^)d^e4 
aiirles^^r0^fieJti(^ des J^Hq^ ^ppdee^ Aif^u^^f%ff(flis, 
iang^Htes'f^eic^^mx moyeii d^squelles on i^Ht^arj^nu. 
i^exprimer |lli^e:inftnier@'tife8*siinple l^iXfi\9M^^9^ 
iHD^ijeii^cntFe les eol^sjetles angles d^ ^?i#9g|i/9j|vM -^ 
idNjiii(A'iaikiiU' d!aboffd cxposer les propri^^a4fl;^^ 
it^nes^^/les.'ipriiioipales fonnules qui.^€ffi,>i^e^|iilte|)|> 
foDausids 41a >sQart> dTuii' grand ;Uftaj|gev4#A4f»tQfimsp}€^ 
part iesrdes : mathdmattques ^ 9^ q«i ^ JfouiRnrffemltii^^e 
flinUaaDailjse algebi^ue ^es ^sioyoilSTfife^rpi^rl^^icin^ 
iieiiieiit;L JKcMB des^a|kpiiqifteffOfiii>eiil»pil« ii]|(t.9e^<>lu^ 
tion des triangles rectilignes et a ce^te fikis t?i9ilgl^S 

JifNUiip quids •< -.u?.*.* ■• 10 r0.nsi;.»i f-'j-r.Mb /»o,l ;xi • 
''■-■• ' •"' ' - - iVjJ (I.--- ;•' I !t, 5 '■••••■.I'T'itrtOf?',!? ' 



W"fe. .^Pi , |p ,f|ecf?^cffi5 , ,^^tc. ^ Ce mode pr^sen(tait 

qW^«'^MHtf%f}''>P^,fe;Pf/it»'l"®» * c^use^du grand 
nombre ae diviseursde 60 ct de 36o : mais il etait 

^'^^^fll^ff? si^t a rincp.Qvenient des nt^mbres coni-. 
Bl««e».f.«t.U ^Wmi «oiLvent,a li rapidhf du c^ii^uf. ' 
'•.|J«?.s*>!W^>> a^'i ,on doit Jl'inv^ntion du noyveau 
^f ^^^s^oitl* ^"^ mesures ^o^t gen^eq'ujil y a^rait 
ym f T?»W, -ay^ptage a inl^oduire . U, diyision ,|Bciipaie 
4j^»S,^,.m«u>e des .;jng|es. ,En, .^p^^c^iienpe jW oni 

la solution d'un probldme , des figures que Fon construir "^dui^ 
eiitiiilltre ifUdicju^s-tines <k l6ui^dl^cf^ 

trloiflsie^ifitfitteiiiv^^Dkfniipromtdc* t<^QW9ts^/h^|tfs.^lr ^n . ; 



it^^dnF%V&^j6^tte unite en loio pai^iiBS 4galad tapper 
fSB^)lllB^sy^degT6 en i60'ffurimeSyii»i»hruBut»im^, 

ti^^im)^^. ' '■-■. --■'••' -«; 'if '.•*.£.,-/} J 

]^iKlk«$¥bdiiime' les taMes tFigomomotncpite^toidai^^ 
suivstni^^ette division , ite sonc pas ieiicK«tB'as6c9Ug^ 
n^i^alkriMt' ¥#plitidue9, nous iitti»dn^ soiuiid'ajniiier 
dsiff^ fe^ (fe)c0i(iplel, les f^sultats qfiB* do^neilit ttesm^fl 
6itlsrfiA^^siiiV9tnt ranotefi^ne; di;7iisiafii9 oii}B dibinooS 
sexa^sitilate 'de la eir^onf^poei'XaiiliffeetecsBiiBq 
toniLfe^ jimilis^nrla'tfi^l^ui^'des vt/fd^i^tas se^Jkam^inti 
Siiti^^£iUu» <fti >^f/lm6t mt>ifpXffre%sioti en^dbgresidesr 

II. Les degres, minutes et secondes se«!;df^i^^iMii)(fe 
respectivement par les caracteres ^^ \" : ainsi Tex- 
pression i6^S^ j^'^^epin^sfcftlteii^i ttfcou un angle de 




lixerait' par o, " 1606^7 5 !^0n V6it dn vd^ttM tlferfijii-Mfe 
J'arfgie' hiesure par cet arc; est- a^^rih^r^i^mda'^^'- 
iebljS' : loooooo ,' rapport dtl^btf' ne*ffeduiVa%'pa¥ 
aussi fecilem^nt dfes expriesifloh'^'lidiitife^^^ 
ciehne divlsioh de la cii'fcoiifei^n^yi^''*^'*^ ^"> '.yidmon 
Les arcs et les angles •^oh't*^(^i>riffei^s Itfflhtifci^^ 
tement'aahs le calcul fkr ated'tioUii^i' ^^ d£^^ 
minutes et' secondes. Ainsi notis dSsJgiitfdtii^'l^hgle 
droit * oV le '' qiiactmnt par 100^ , deux Argffe^#4!i» 
ou ta "demilcircorifefence psCr ikob^.'qaictk'iLii^M 
droits ou la cjA-cohf&eiice etitidre par ^4bo^«arirf<«i' 

qui ltest&len>tfttlPaAebaa^^«Qt$a^k <Hi c^iAffii^PihOfilm 
Ainsi un *^i*#gfe''^#Af*'i2€*''^4<>-" a'npfeur'i^cafii|>lora^iili^ 

22. 



34^ TRIGONOM^TRIB.' 

.jj4« .(Sjq' ; un aoglede la^^ 4' 62" a pour complcnient, 

, En, general, A ^^nt im angle ou un arc quelcon* 
que 5 |po9 — A est le complement de cet artgte'idtl de 
cet arc. D'ouVon voit que, si Tangle ou Tare ciont H 
ft'agitest plus grand que 100*^, son complement sera 
. ^i^atif, (a est ainsi que le complement de 166" 84* 10" 
est •— Go** 84' ^®"- Dans ce cas, Ic complement, pHs 
ppsilivement ,.serait la quantite qu41 faudrait retrah- 
cher de Tangle ou de Tare donne, pour qtie le reste 

'^fiilt effala loo**. 

Les deu^ angles aigus d'un triangle rectangle valent 

^ensemble un angle droit : iU sont done complements 
Tun de Tautre. , , 

, i^fjhe supplement d^n angle du d'un arc est ce 
qui r^ste en otant pet angle oil cet arc de 200°, valeur 
de deux angles droits ou d'une deml-circohference. 
Ahisi A etant un angle ou un arc qiielconque | 
^00® -^ A est son supplement. 
; Dans tout triangle, un angle eit le supplepient de 
la somme des deux autres, pulsque les trois ensemtle 
font 5ioo<>. , ; . 

.., jltcs apgle^.des triangles, tant rectilignes que splie- 
riquf s , et les cAt^s de ces derniers , ont toujours leurs 

, sugpl^m^ts po^itifs ; car ils sont toujours moindres 

, q^eap.o^ / . 

WbtiOns ginirales sur les sinus, cosmos, 

tangenteSj etc. 

J r. Le sinus de Tare AM, ou de Tangle ACM, est 
la perpendiculaii*e MP abaissee d*une extremite de 
Tarc.s^ur le diamctre qui passe par Tautre extremite. 

'$i a Textremite du rayon CA on mc^ne la perpen* 

.4t9ttlaire A^Tjusqu^a la rencontre du rayon CM pto- 

lon^^,Ia%ne AT, ainsi terminer, s'app^Ie la tan-^ 

0ente , f^t C^ la secante de Tare A]\t oii de Taijigl^ A CM. 



/i 



TniGONOMKTRlE. ^t 

' Ces' 'A-oIs' lignes MP , AT , 6 T , Jfipeiidatites 'itfe 

Tare AM , et toujours determinees par Varc AM c?t 

le VAjim^ se designent ainsi : TilV^ism AM^/ou 

" ^in ACBT^ AT = tang AM, ou tang ACWTG',^ 

sSp m, on sec ACM. ' /' '' \' 

vi* ^yant pris Tare AD ^gal i un quadrant', si 
de^ points M et D on mene Its lignes MQ, US 
perp^pdicujaires au rayon CD, I'line lermihee ice 
rayon, Taulre terminee an rayon CM prolohge;l05 
lignes MQ , DS et CS seront pareillenient les sinnV, 
tangente et secante de Tare MD, complemetiVcIe 
AM. On tes appelle, pour abreger , les cosinus, cdtau' 
ffente et cosecanie de Tare AM, et on les clcsigha 
ainsi : MQ =:co5 AM, ou cos ACM, DS =:cpi AM, 
ou cot ACM, CS =zcosSc AM, ou cos^c ACM.*En ~ 
general , A etant un arc pii un angle qiieleonque ^ oh a 
cos A=5m ( lOQO — A)^cot A=^ tq,ug ( loo^— A) ^ 
i?o^ec A = ,je(p (loo^ — A). 

Le triangle 1)IQC est, par (Construction, egal au ^^-'^ 
triangle CPM^ ainsi on a CP = MQ; done dan$ le 
triangltj rectangle CMP , dont Thypotenuse est ^gale 
au rayon, les deux cdtes MP, CP sont le sinus et 1^ 
co^irius de Tare AM, Quant aux triangles CAT , CDS-, 
iis sont serobJaWes aux triangles ^gaiix' CPM, CQM, 
et ainsi ils sont semblables entre eux. De 14'ftous 
deduirons bienl6t les differents rapports qui existent 
entre le^ lignea qw noue yepo.ns d^ defmir j njais au- 
paravant il faut voir quelle e^i 1^ inarche progressive 
de ces, ni^mes lignes , lorsque Tare auquel elles fe 
rapportept au^nOjente depuis zero jusqu'a 200^. " 

VII. Supposoiis qu'une extrcn)ite de Tare demeure 
fixe en A^et que rau|re extremite, marquee M, pfir- 
coure successiyement toute fetendue de fa demi- 
circonference depuis A jii^qu'en B dails li? sens AfijS. 

Lor^qua le point M e^t reum en A^.ou I6rsque 
Tare Am esJt zero, les trois points 'f', M, P , se ci3^- 



^ ^-^^j^M^e^&vik ate z^ro sont.zeiD^^etoqiieJi) 
cosinus de ce m^nie arc est egal au rayoit:v=^aMVcpi# 
$S iife)iiiie. ^Ikmoi en ^dDsignqmt pair R :le<jr«i)t>a:^u 

''"^^ |5rt 9 :SL:d^ tang lO^r^O^: COS d'=R^ secoi^l^^r no 

^r;:^riin4''tnig!^rb ifae U point M s'aro.tic^r'mrei'iU, 
Wi^iihx» Mti^iki^te i, aitsi'^ que la tangente^ ^tltoTs^H 
l^teit^'V>t|ia&8 ti cMiBinus-) la eotaaigente et la«io$<kmt^ 
^a»i««fent;^'"J . ?^- ' . ..'-. ;. ,vf ^ 

-^'^PSti^t^i 1^ poim M se ircmte an mUS^ikifeAS^ 
dU t6^^ii«^4^Ai^ AM^€st'il&-5€i<»v'a»^i^ue son com.^ 

ou CP, et le triangle CMP, de3(«nu isosscefe^vdonBe 
la^prrf^^ftibtti^MI^irflM^jr i; .-iV^a^'pu imnSoP?: E;: 

I : v/a. Done w,5oo= co^ 5.o°=— =5= jll'l/'il Can^s 

^W[tr,i^0g]e sGD$i dV)ii l'6>i;iitQit,c(ue la fai^yte^^g 
5o<^ et sa cotangente sont toittes deux i^l^? J3^ SSS^lfij 

i' .1% ,I«VtQ: AM p^^tjp^ant d'^i^meiite^'^j le^jSj^qjjj 
«^ni§-ryiR ,ili.s45^'i ceiqpietl^ point % fioit.pqryf?pi\«5 
I> ;^a}Qfvs iQrlfUCV^iQSt ^l au jrayon, et l^e cos^Q^^^^f; 
i4m»j0A'.a/4^g^'^ iW^'FrR el; cp5 ioo«=o jeJtl'oii 
f9ii£ @4^)2^ry(|piei* ;(|iiie.€e3 .valaurs $ont une suite d^ 
o6ll(^i 4tio nous.nvons troiiv^es paur les sinus et 
iQQsi«iii9 de:>rai^ a^ero ; cukT le co^lplement de lop^ 
^la^ S^Q^iQnffl s//^ ioo9;r= co5 o<*= R.etco^ ipo©;^ 



^Wrfi?^.^., , 



41 



Quant k la tangente , elle augmenDe d^ujcie ipiamere 
tres-rapide a i^^esure^que Je point JVI, s'approche de 
Pim^it^ loi^qjii'il ^st.p^rvenu fn^P,,^J},n>xiste 
flJ^^^pmBr;ftW^%t. de, tangente-,. paroe jp^e^^lej Jignes 
Ai(>.^P>»^!iJ?^?akV^^ 6p reij^ontrer. 

C'est ce qu'on exprime en disant que U^^|:«^qg^|^ de 
loo*^ est infinie, et on ecrit tang ioo*>= oo ^ 



?•., 



Ij6 eimi^ekiuankKlii Jii!^At$in%,mQ tP^9^mWifhm{ 

les sinus diminuent et les cosinus augment^ot. Ain#j 
on vG9r;^^^f«e> Tard AM' a%pour ai^ms. W/ P% el^pour 
c&im»rM'Q.0ii'£F'. Maif l*ar«>M'B etit>fu^pl«niient 
d^AMi^^ piwipie AM'rf^ Ttrfiest I%iliit.i|aaij4<upa4f 
iilti^t6peviit&^ d'aill^H^ ai Hon mi^«k A| '%*]»af9i)^ 
a AB, il est clair que les arcs. AM, BM'j^<439ff|pj^ 
^tJi^e/j^raUeieB^ sennit ;^aux^>lain$l qu^ l^^p^qS^n- 
dicaiairBs oujsiiHisMPt'M'p'r .Dotu: h «/n^ff ^i^4f$ 

B'ai<i?»(bu:vl'aogl0( A g, fOjAmitppHmmti fmfbrr^Ait 

5//f A = 5//Z ( 200° A). 

tjaiA8mi)pf6prlete ^i^^AnietbAt auisi pai> rAftitflioli 

XI . Les mefhies an^cs'^ AM ' ,^ AM y • qtti* AoM' '^upj^B^ 
iHHMs'*lVi?^afe'^'Pi^re', e<-^ai'^rtt iHei sitiksUg^kiXy 
af^aaM^'le^ C(^in\is-^au* €P^; ePlj 'ta.H»ifI"fe<ft 
oB^crWfer q^ cbs^i!«f^ftiii?is<ittr driS^'ilalte'diJi's^^ 
dilTiht^nts. Cettfe difRi^nce tl^ siWlfeAl J sViprilinfe 
dans le csllcul par ToppOsitilSn d#5 d^es^t'de d0^ 
que si on regarde conrnne pd^iifs ',"011 tfff^pct^s^yti 
signe4-/IeS cOJ'i^^ti*? dtJs arcs moitidi^'cflie iiiO^f^VL 
fvLudtii regardfer comme negatife ou a^eOtes^ <Jfl ^Agtk 
— , les cosinus des arcs plus grands que lOO^.OiValttti 
(font eft g<5ti^aT'^" -. - ~ ^^ ^fsnO . 

-^•'/•\^*ilWk^^co5(ao6«~A')v ^^»'"if^v-'^-^ 
ou fcaj'( |bo%^B) t==^i-fcD5 ( roo^--«') ; ^i«-aMlH^ 
que'/e ciisi^Ui ffUh hrcbSi d'iin ang?&pfi^^grdHcfhue 



X? r=: ^^'.UM ^ ' i> '. - ' • •; M ,']>3fTi**-fr 1.>n 



»•» t 



*in 



,^1^4^ f^qm^4^kent xTun arc plus gr4Lnd^/|i%^f^^o^ , 
^tfi^^c n%|iuf ^ , il n'est pas (itouaant qm^ 1^ ^Mv^s.do 
ceiCORipl^fmcinl; soit negatif ; mais pour T^n^^ef^UQ. 
verit^' encore plus palpable , cherclions Tqi^pif^a^oii 
de la clistanqe du point A ^ la perpendlculaire MP. 
SJ^rDu ] fs\,ii : i^aro AJSl 2x a? , on aura CP rrt; ooj. .ts g, e^ la 
d^tanpf* diercWe APc= R~ co^^» La nl^rt^rfoi^r 
mule doit exprini^* la distance du, polpt^A,^ ta 
droite MP, quelle que spit la grandeur de Tare AM^ 
dc^l^Vj^Aigin^e^t ^u point. A. Supposons dQn^ q.ueJe 
poiiit M TieiikEe en M', en sorte que 41? de^goe rar<e 
4.AIS3OI1 Aura encoi^e en ee point AP' a=: R -?rrCoi.;r ^ 
done cos X = R — AP '= AG--rr AP '=2~CP '| <?e qui 
fait voir que cos a: est alors negatif 5 et parce que 
CP' = PP = cos ( 200** — -T 4? ) , on ft cos J? =?+—■ cos 
( aoo^ -— ; JT ) , coinme ou I'a dqa ,trouY<$. , . . , 

Qu Toit par-U quun a^leobtus a le axi&«>e sinM? 
et le m^nie cosinus que Tangle aigu qui lui ser^de 
soppyment) aved cettB seule difTecence que lecosinuA 
de Tangle obtus doit 6tre affe<it4 dtt slgfte^^^^'AInfll 
on * sin i6o«t::i=sm 5o<»t=r | Ri/'s , eJt cos' t^6^^±::^^ 
COs''5o^'i=ii— -IRt/ri. '• "' ^ ''''' '''■ 

'^ Qiiant aFaro ADB <5gal k la demi-circdniF^rence, 
son sinus est zero/ et son cosinus est ^gal au rayon 
pris n^ativement ; on a done sm aoo'*:^:© , et cos 200^ 
=—- R. C'est aussi ce que donneraient les formules 
sin A •=sin 2oo<* — A) , et cos A=: — cos (aoo**-— A) , 
en y feisant A = 200**. 

XII. Examinons maintenant ce que devient la 
|«^genlje d'un arc AM' phis grand que ioo?>. Suvmnt 
la definition , elle doit etre determine par le con- 
..cdurs des ligHes A^r, CM'. Ces lign^ ne se rencon- 
tifeht jJttWt dans le sens AT, tnais elles se' rencdnlrfetit 
*v!fansle Seti^ oppos^ AV; d'ou Ton voit que la tan- 

f^ ^te d*un ai:c pltis grand que xop<* est negative. 
Tailleurs, si on observe que AV est:^la tangente de 
^8- '! I'arc An* supplement de AM ' (puisque "NAf/L ' est une 



TlttQ01<roM!liTllllS. 34^' 

deml-fci?ttktilfrence ) , an en cortdtirA qoe'te tahff^Ata 
d^un df^ ioU ffvn angle plus grand que loi/^ est ^^dH 
a cetlie'^di^'^x}n supplement, prise nigatii^men^, A^ ' 
5orte ijil'tm a 

-' '^ llangA=i — tang{^oCi^ — A) ■ 
It 'en est de mAme de la eotangcinte rftpr^setttei' 
par DS', laquellc est egale, et en fictis eonttftlrie J' 
DS ^4ngente de AM. On a done itussi ' 

- ' ^o^A=— •(?o^(ao<y>-^A)* 
Les taingentes et l«a cotangentes sont done i^^gafiv^'^' ' 
aiiisi qtie ies cosinus ^ depuis loo^ jujnju'li 2o6^.*£t, 
dans <;ette derniei^ limits , on ft iimgfiti^^ ^si: d et W 



• I / ! 'f 



xtu. Dans !a trigonometric il n*y |i pas lieu de cousl- 
darer les sinus , cosiniis , etc , ' ^ts arcs ou des angles plus 
grands giie aoo^ ; car c'cst t6«jours entre o et aoo® que sont 
compris l«sl ai)gles<des triangles* tc^nt-rectiligncs que spli4- 
Etqucs^v ctles'£6t8s de^loes demies. Mais dans dive^ies 
applka^onstde la gdQm^tjrie^.iljn-e^t p^ss rare de eooaidcrfr 
dfiA arc^ pfu^ grinds qi^c la 4emi-()ir^onf^reQce, et.w^'iniQi 
des arcs comprenaut plusieurs circQnfqrepccs. II es;t .dQDG 
neqess^ire de trouver Tej^pyession df f *in,us ^t^ cosii)u& de 
^s.arcs, quelle que soit leur grandeur. ^ ^,^ 

Obsenrons d'abord que deux arcs <^gaux et de signes 
contraires AM, AN, ont des sinus cgaux et de, sign is 
contraires MP, PN, landis que le cosinus CP est le meme 
pour Tun tl pour Tautre. On a done en general 

coy ( --^^r ) «r: 0<>f .r , 

lommles qui scrvivont a «x|)rin^er ie3 sinus et cosintt;^ d^s 
arcs nogaiifsi. 

Depuiso^ jqsgu'a )ioo^ les sinus lont toiijoups^ positifs, 
parip^ qji'iM >(>nt,^iti|es dVn ntemis c6tf^ 4m ^^^^^^^iAJ?i 
depuis aoo^ jusqi^'a 400** les sinus .sont n<Jgaiifs ,,par.Qe|;ji:^iU 
sont situes de Tautre c6te de ce diamelre. Soit ABN' = ;r 
un arc plus grand que aoo^, son sinus P'N' est ^gal a pJjtt 

sinus demure AM =zx — aoo i done on a ,en general 

J//^.r=?— jz/?(a: — 200 J. - 



34Q , TJELIGONOMBTRIS., 

Cettc formiile donnerait les sinus, en I re 'aoo" el 4<Jo" aa 
moycn des sinus entre o et aoo ; eue donne en particauer 
^//i 4oo^=:-T-«/i 200** = o; il est Evident en eiiel qii'e si 
iin afc^t cgal a la circonference entjcre, le^ aeuf cxtre- 
init^s se confpndent en un m6me point, et' le VinuTse^Sfduit 

Izsrpr ;'■;.,. ■' ;■ ■';;;■ ; , *' ' ;_^ ■; ;' ■;;'=^°^ ^'-- 

' n^n^est pa3 moins. evident, que, si a un ari' quelconqu^ 
AM on hjoule une ou plusieiirs circonf6ifen\iei*^i Uti ?8rbih- 
bera exactement sur le point M, et rarc-ainsi augrri^iite 
iiir^'Te^'inem^'^iniis que fare AM ; aohc^i'd^^t|4<?4ne 
circonference cntiere ou 400**, on aura " *^''*' 



sjp^^feopvenABl^, iMife slniis Ji^iitf W(J ntbluM^^ Jbo^ 




sont done rcduits \ celui ou ^'arc propose e§t mbjndre 
qucf^ob^, *i 'ii;niW a^^}l1^^^^tf^^t^St/^i^^== 
sin (i oo** — X ) , iF^sIt eW^ti^'ils Ve M?#4ft^t' lilt^rieuremcn t 
ail. cas ou rar<Ll>fPp056 est entre z^ro et loo^, ^ 

XIV. Les cosinus sercdn\senttoujours aux sinus en vertu 
de la formule cos A = sin (ioo^ — ^A)Vou, si Tdiii^elitV 
d6la'h)rri(u1[4 cos A±r:i^W(rbo** + A/; ainsi , sacliant-^^a- 
hfef'l^s ilAus flinfe tbus I^s cas possrbfcs*, ott sani^i de ni^i'e 
4i^dlB#r J^^^osftnis. Au restc, cni Voit direttfeiitcftit pArla 
figfbie'^ua^ies cbdniis R6gatii9 soist {scpere» des cQsiniKspo- 
sitifs par le diametrc DE, en sorle que toils f|esara|fc.«di9nt 
^4[xy:f|n^^'ti^ihe a-gauch^ df DE .ont^jii^c^si^^i^^osUif , 
tap^s que ceux dont rextrcmitc tombe a droile ont un 
cosjnuiin^gATif. ' "'^ ^ ti.H,^^ -y.-, 3 mi >j*;h. ,.: 

^„Ain*J^c a**va jo©**les casi&us soptposid/'s,.de ijtto^aSoQ*^ 
ils sont n^gs^t^^, |ie.^q9^ji Aoo^jMsrc^J^vjen^^^n^.^^^^^^^ 
€t apres unfe revolution cntiere, f!$ prennent I^s' meincs 
v^leurs que dans la revolution preccdcnte, car on a aussi 



TRIGO^iVOMETniC. 




suivante&{ 

ioo^ = R 



sin o =50 
tin 200 =0 
J/71 l^oo^zno 



fte'^i.r. i? 



sin I 

sin 3oo**= — R 

.f/« 5o6** = R 



sin 700"= — R 



coj o =:;R 
coj 200° =—R 
cos 400** =R 



cos ^00^^=1 — R cosnoo^^:zQ 



cos 800® = R 
etc. 



cof 100 1=0 
cof 3oo=o 
cof 5oo**=o 



cOf 900 
I etc* 



»' r. 



.rl 



^Q<8J?R^T?V^ ji<5sig^aiit un nombre enticr^uelconcme^ oij 
sin ikit* 100? =z o , \cos (2^ + 1). 100° = o 



sin{ti X Hp I y 100** — R 
sin (4^1— ,xV. 100*^= — R 



,''«i*. '!!',> 



coy 4^« '9o**=R ., . ^, T 



Ce que nous venpiis de dire jdes sinus et eosinus nous dis- 
pi^ns^ <}*ejiU\<Qr. daris auct}!^ detail Darticulier sur ies tanffen- 

vaIeu|rs,^e:jce^|q^9J9tUej|.^t,Ip;ii|-ssig^^ sonl tpujours faVile? 
^d^d*|ire4^,<;ey,^^,d^s^^^ m^-mc§ arcs, aiiifji 

q|JL'o|ije^;ifPHra.p4r Ies foi;ji|ul^ft, ,^ue^ jious a^ons exposcr, ;^ 



me^rcixLes etf(frjnul(S$ cqncernant Ies sinus ^ ^ 

XV. Z^ sihusd'un arc est ta nidilfiicle lacord& 
^?/i SOUS' tend un arc double.,,, , , , 

Car Je rayon CA, perp^QdicuIair/^ ^, MjIS* devise Cg.r. 
en deixx parties egale& Ifi corde ]VIN..i^J;arc,<^op3<f 
tendu MAN; done MP, sUiiis.tle l!ai^ MA., e^irlat 
moitii^ de la corde MN qui sou8«*teftd Fafre MAJhB^ 
double tie MA. > 

Lai' ^oirdb qui so^is-tend la sixieme pattiefde'^hi^' 

circbnference est egale au rayon ; done ^//^. -p— 

oil sin Sy*|^'^l!t;' c'6st^5-dire qute le smtis 'dii fifers 
de Tangle cli^ou est egal a la bolti^'dtt rayoni ^ "" *' 

XVI . Le quarre du Sinus d un arc p lus le quarre 
r/e ijo/i cosinus est egal au quar^e^fk ^fJ^Pfiie 



« 1 1 , 

3^8 TRI GO^OMEttliiJ. 

sortequ^on a en general siii * A 4-'c6s* A^^^ ' (*)• 
Cet&e proprietQ reauUe iinmediatement ^u^^^ri^ngl^ 

rectangle CMP , oii Ycri a MP V CP:L± eSl ' ►. /i , u . 

IJ s'erwuit qu*etant tJonne le sinus d^ira>iare 'on 
tfbirrera son cosinus, et vice i^er^a^ aU'mojren.des 
formiiles c(5i A^=:dbv/ (R' — sin^ A) ^ shiJizxr^zh 
V^(R'* — ^cos"" A). Lo double signe cie oegvftKf mules 
vient de ce que te mi^e sinus MP repond i d^x 
A^cs AM, AM% dont les cosinus CP, CP' «oategau^ 
*ci: de 0^nes contraires ^ comme le mem^ comiu^ 
CP repond a deux arcs AM^, AN, dout Ifi^ ^inp# 
MP , PN sont pareillement egaux et de signes con» 
tr aires. 

Ainsiy'par exemple , ayant trouve sin 33!^;j=±|R, 
on en deduira cos 33°^ ou sin 66Vj= ^/ (fi * — f R ' )= 
l/|R'=fRV3. . ' ' 

. xvii. Etant donnas les sinus et dosinns de 
Vdrc A , on pent trouper les tangettte y ^icante , 
cotangente et cosecante du mctne arc du ifiojen 
des for mules miy antes,: 

. B. sin A , . R * . Jl cos A 

tang A=: r- , sec A=— r-, co^A=:- . ■^ ' , 

; -r • ciwA . cos A -f^w A 

4)OS£C A z=z i — -.^ 

sih A ' 

En effetles triangles semblables CPM, CAT, CDS, 

donnent fes prbportibns : 

-CP?PM:: GA:ATouco5 A:5mA :: Ruanffk=zz^^^ 

^ ^ cos A 

CP : CM :: CA : CT ou cos A :,R.:; JR.: j^c A=-t^ ' 

'PM:CP :: CD:DS ou sin A.:cos A :: l\.:cotA= . 

'.',-.' ' - '■ ' • -s ■■■■• ■ '■■ ■ «/»A 

PMiCM: :: CD :CS ou 5^ A : R:: R: «}g&«c A=:ii^' 



60s A 
R C05 A 



sin A 



ment par cos^ A le quarre de cos A, 



tl^oii lV>i^<Vi'^ ^^^ qWtxe formules dont il $Wit. On 
peut observer au reste que les dciix dernieres lor- 
hiule^ ^^e^ ^efitiii'aient des deux ptemieres w mettant 
simplemexlt ;pck>^*— A au Iwi de A^ : : 

Ow foarriiules donneront tcs -valeurs ct, les signet 
propre^'dfis tangentes^ secantes, ^c pour tout aire 
dont dn connaltra le sinus et le cosinu^.; et ,comni^ 
la loifp?bg»essive des sinus et cosinu?, $e]on leadifio- 
rents sU'^sauxqu^U ils se rapportent^ a e^e sijiffi^anv 
ment diveloppee^ dans le cliapiti^ pf ^cedent , 11 ae 
resto rieif k desirer sur la loi que suivent.sej^bljibl^r 
ment leis tangente^, secantes, eto. ,. '• *. 






On pent conflrmer ausisi par Icur moy^n plusieurs result 
tats qui Qi;it^i:<^ dcja obteuus relativemcut aux tangentes > 
par exempli ^ si Ton fait A=ibd**, oWaura sin Arrtt, et 

C04 Ai^o, done ta»g ioo^= — , expression qui 4^signe 

una quantity i1l6niev^car K^ divis^ plir anc quantity ires*- 
peii^,) ,(^pnnQra^it. nn quotient tfes-grand ; done p.* divis6 
par zdrojionne un quotient plus grand que toule quantity 
finie. Et'parce que zero pent 6lre pris avec le stgne-f-ou 
avec le signe — , on aura la valehi' ambigu6' tang 100*^33: 

i&oit encore A=2eo^ — B5 on aura sinAzsisin B, et 

cos A=;-*-cdj B: done towjj'faoo"-— 'B/rz- — r-.*-aE*— 

_ ^ ^ ^ —cosh 

R sin B 



zrt-^tang B , ce qui s'agcorde avec Tart. xu. 



cojB 

xvin. Les formules de rarticle precedent V^®)* 
binees entre elles et avec requation sin^ A-f-co.y' A 
=i R* ^ fen fourhissent ijuelque^ autres qui ^dritent 
attention. ' 

On a di'abord R* + tang' A :^ R* ^. — ?4^ 

° cos A 

cos^ A cos^ A ^ 

r^r^^c"* A, fbrmule qui se deduirait immi?diatcinent 



» i'-' 



-' 1 



35a TftxGOJfaxBxftiiu 

p[(u;, |e9, fofinules ou par le triangle rectangle CDS, 
-i)El^»*;» (S^iiW flN^pUe, entr|> ell^jlf^i Ji^jryi5ijil«Sj 

CcM ^Ib Jf/I A. 

J. Done co^ A : co^ B :: tang B : tang A^ ^testiftl*^ 

dire , que les cotaiisente^ de deux arcs spnt en ration 
immerse de leurs taiisentes. ^ . 

Celte formule cc^A x /a/^A(^-B:"^v^SBidi5duirait 
immediatiement ^^ la ;f;p^g^pison des triangles sem- 
blables GAT; CD,§vte-squet^ac^4ichr^A^5^ :: 



ar^ ^M.^ r^OM, pe^it determiner Acs sinus etco- 

no . Ul ::- 1 If ^iij.^iMj ; j/ i. •,. .' \ ^ / W >:, ^nifJu..- • 

, , . cos a CO* o — sin a stn o 
coi{a-\-h) — g- 

COS (a — a } = -. — • 

fig. a. Soit le rayon A€ ~ R , Tam' AB pr ^ iVe^BD:^ t , 
et par copseq^eat ABD=:a-+-^, Des points B et D 
abaissez %% t)F,"perp'en3iculaires kitf'Ml f^d^^K^nt 




ra&Qfiz 

proportions 



TRIGONOMETRIC. 35jl 

CB:CI::CE:CKou Jiicos b :^ cay.iy,;CKzy; ■ ,0|^, * /| 

c^s^ncMi (dmouii^L cnacun^ sor^^ s^«;ibll])Ids^|t:dq|Mi^^^ 
ies proportions 

ciV:te?Bti't It. o^ II : 5m ly^sin^hji^^J^^^^^ 

11 



W «IA ;.■,->;, -, f, V.,,,,, . n ■..>■>. /. X.-.'.. -xti.a .~15'- 

IK + DL=DF=iw («+,i), et CK — IL=dh«?* 

' • !• / . ^ ? \ . J>"* ^ <^o«y ^ + ^f-f^ ^ COS a , 




contr 

et MI = il)2ii!si)^^i :^ Jfe^^S)i5it M 

diculaire et MN parallele a AC; pmsque M1=::DI, on 

aura M]>f= IL , etlN =l)li- Mfti&\on. i^ flS^^ IN = 

MP=5//j. (ft— ^) > et CK tH MN=:CP=co5 (^i— i),- 

(lone ' ' *•' '^' --;.-— — .r:=; { «;!• -» ?:i 'J Jor> 

, y , A ^ j/Vi a COS. b -T- f iVi b cos a 
^Wt^"'*^'^^ fa*^.« — H- ^ 

-J " 

,'i -. riff /<? j\ . cosorcosb + sinasinb ^ 
^' ^^ik^rjiAr^i^) ±^ ! ' ■ )i; , / » - V.^'*" ' ' "^n^j^i t^I :r;o^ 

ne mt pas as^z^k^'riiM/Uai^eiMe'Ia'fi^^ 

?froil'Toq«» to- 



ff .■-./': 



.35fl TaiGONOMETIIlB. 

loo^. Mais d'abord la demonstration s'^tend sans peine an 
cas Qii a elb dtant plus pelits que ioo% leur somme a + B 
est > xoo^« Alors le point F tomberait sur le prolongement 
de AC, et le seul cliangement a faire dans la demonstration, 
serait de prendre cos (a + £>) =— * CF ; mats eomme on aurait 
en ni^me temps CF=:IL — CK, il en r^sulte toujours 
coj (« + /?) = CK — IL, ou R cos (rt+ft) z^ cos a cos b 
''^ sin a sin b, 

Supposons maintenant que les formulei 

R sin ( « + 6 ) = f //I a cos b + sin b cos a 
H cos {<i -{^ b) mucosa cos b»^ sin a sin b 
soient reconnue? exactes pour toutes les valeurs de a €t 
de b y moindres que les limites A et B , je dis qu*elles auront 
encore lieu lorsque ces limiles seront loo® -|- A et B. 
En effet, on a generalement , quel que soit Fare jr, 
sin ( 100** H- jr) = cos x 
C05 (ioo** + ,r)=: — sinx, 
Ces equations sont manifestes lorsque x est < loo^, et on 
s'assure aisdment qu'elles ont lieti pour toutes les valeurs 
At x^ au moyen de la fig. i8, ou MM" et MW sont 
deux diametres perpendiculaires entre eux , et ou Ton peut 
prendre success! veraent pour a; les valeurs AiW, ADM', 
ADBM", ADBEM'", ou ces valeurs augmentees de tant de 
circonfdrences qu'on voudra. ■ 

Cela pos^ , soit j: = a»? + 6, on aura 
, «/i ( 1 00° + i» + ^)=: cof (m-|-^) 
cos ( 100° ~|- w+ ^) r= — sin [jn H- b'), 
Mais, suivant Tliypo these, on connatt les valeurs des se- 
conds membres , tant que m et b n*excedent pas les limites 
A et B; done dans cette m^me hypothese on aura : 
R sin ( loo*' •+* m + ^ ) = cos m cos b — sin m sin b. 
Hcos ( 100** -f- /» + ^ ) = — ^^''t w cos b *— cos m sin b» 
Soit loo*' -4- 'W 2:= « , puisqu'on a sin (100® + /« ) = cosm 
et cos (100** -\rrnz=z — sin m)^ ii en rdsultera cosmzrzsina 
ct sin »i =^- — cos a; done en faisant cette .substitution 
dans les equations precedentes , on aura : 

R «« ( c -f- 6 ) =;: sin a cos b + cos a sin b 

R cos (a -t- ^ ) z=: cos a cos b — sin a sin b. 

D'oi Ton voit que ces formules , qui n'^taient d^monlnSes 



fkiGbJioiiiTftiB. ,353 

d'abdra^^iie dans les lunites a < A, ^ < B.^ 1« ^ont n^ii^e- 
nailV (iiins les llinites plus etendues a < ioo^-f*A > $ < Sf* 
Mais^^ar fa inline raison, la limite de b ppurra ^i^rej^e- 
cul<$e 'u«e ibo , ensuite celle de Oyce qui pejit. ise^con^v^pr 
inddiiYi?iti'ent ; done les fprmulcs dont il s'pj^it^o^^.lieu, 
qn(?lle que soit la grandeur des arcs a, ct (f*. ,\, 

IMtc a 6tant compose de la soinme des deux.nrcs. a -^zJ* 
cl ^, on aura, d'apres les formules prccedentes , 

R sin a = sin {a — V) cos h -J- cos {a — t^sin h 
II dbsatir. cos (a — &) cos h ■ — sin (a — h^ sin b, 
Et de celi^-ci on tire : ' 

" """K sin (a — h\= sin a cos h — -x?/i b cos a ' , 
R ed^ T a— 6) = coj.' ^5t coj b + x//i « f/V« b ^ 
formnles qui auront encore lieu pour tonics yaleurs de a 

et de b, 

/• 

XX. Si dans lea formul^^ deJaiticle pi^^cedent on 
faift,i^fj;^<r^4a,pc«9)iero el U tmisi^ae doone^oiit ^ 
.. « • - --a ji«ii ccfj'fl ' " . €0^a^-^siri*d 

Cfellei^-ci.serviiont hi trouver le siniis et le cosinus 
d^un arc '5out)le V lorsqii'on connai t le sinus el le 
cosirius de Fare simple. C'est Ic prol>16ne de la diif 
plication d'un arc. * , « : 

Reciproquemenl pour divise^ un arc donne a en 
deux parties ecales , inetton.4 dans les niehies fo/- 
nniies -J re a la place de a, nous aurons 



2 sm 1- a cos { a , /cos* i a ^yrsin \i€h *. 

sin a±=i ^ ^— , cosa= '-^ — ^ =—.. 

R . • R «. 

On, piiisqii'on* a lou t*a*la-fois cos'' x ^ *H 5*» * ^« =^ R' 
et C0s\^ a-^r^sin* 7 tf=R C£W a, il en r^sulte ' ■ ' "^ 
COS' i i»==riR"^-t-^Rc<3fjii et 5ife' ^ o={R* — {Rdo^i^ 
done —■' "•■' ^ -^ • ■ • • . •• - : ■ ^< ' 



<».H.». ^t 



^f/ii^tr* iX (iR-_iRcoi a) , ' 
'e«ri4=iry'(iR* + iRbo5fl). .. 
Ainsi , en faisant a=ioo^, ou cos a.=F^^ QDk^* 
5in 5o''='cd4 5oo=l''-;B.'=llj/'7; ensuite si Ion 

33 



^4 TmiOpNOMliTftlB, 

fait a=5o<^, ce qui donn« cos a=Rw^-^, oii aura 

sin 25o=Rv/(^— iv^^) , et cos 5i5<>=RV(i+iv/i). 

xxk. On peut aussi avoir les valeurs de sinj^ a et cos\ a 
exprim^es par le moyen de sin a, ce qui sera utile dans 
beaucoup d'occdsions ; ces valeurs sont : 

cosia:i=i\/'lK*+Iisina) + i\/lR* — Rsina). 

£n effet , si on eleve la premiere au quarr^ , on aura sin *-^a 
=j{R*+Rsma)+^ (R^—Iisina)—^\/(R^—K* sin^a) 
=:-jR' — ^Rcosa; on aurait de mdme cox'' f fl=^R'-4--j-R 
cos a, ce qui s'accorde avec les yaleurs prec^dentes de 
sin^ a et cos^ a. II faut cependant observer que, si cos a 
iStait n^gatif , le radical \/ (R* — R sin a) devrait etre pris 
avec un signe contraire dans les valeurs dc sin 7 a et cos\a, 
ce qui changerait Tune dans Tautre. ^ 

XXII. Au moyen de oes formules , il est fdcile de deter- 
miner les ^inus et cosinus de tous les dixiemes du qua- 
drant. 

£t d*abord soit sin ^o'^zzzx, %x sera la corde de 40% ou 
le c6t^ du d^cagone r^gulier inscritj or ce cot^ est egal 
au plus grand segment du rayon divis^ en moyenne et 
• 5 I extreme raison ^\ done si on fait le rayon egal = i , on aura 
1 laar:: ixii — aj?, Delaontire4r*=i — aa:, oxkx^-\'\x=z^\ ' 
donc(a?4-J)*=:-y+-jV=-r6->d^nc.r+j=:~j^^5, et enfin 

ar ou Jlit 40°=^ ( — »1+V/S)' 



Cette valeur , elev^e au quarre , donne sin * 20*= - 



16 



IO-|-2L/'5 

done I — j-iVi'ao', oixcos^ ao*= — . Mais c6s*a — sin^a 

ID 

z^ cos % a, aonc cos t^o ouic/ioo = — . ' g r= '^ ■ " ■ . 

10 4 

Main tenant , si dans les formules. du n^ xxi on fait R?:s i, 
a = 2o'', et sin «=7( — i +v/ 5) , on en deduira 

sin io^=|vX(3+v/5)-:v^(5^t/5) 

Si ensuite on fait dans l^s mSmes formules ar=:6o^, et 
«>t at=i^ ( 1 + v/ 5 ) ^ on aura 



% 



TAKIOlfOlfBTIIta* 3S5 

sin 3o*=|v/(54-V^5)~f iX(5-^|/^5) 

Avec ces \aleurs et celles ^u'on connait d6ja de sin 5o, 
et de sin loo*, on peut former le tableau suivant : 



sin o* =: cos i oo" = o . 



sin lo* — cos 
sin ao" = cos 

sin 40'^ cox 
^f'li 5o*=cof 


90° -7 

6o*=:J 


»/(3+,/5)-iv/(5->/5) 
(-1+1/5) 

^»/(io— ai/5) 
rV/9 


sin 60* cox 
xi/i 70*= cox 
xt>i 80* — cox 
sin 90" = cox 


40" ^ 

30°=; 

20" = - 


r(x + ^^5) 

r»/(5+i/5)+i^/(3^l/5) 

Lv/(io+ai/5) 


x«/i 100* cos 


o'=] 


E. 



Ces Yalcurs pcuTent se simpllfier encore , puisqu on a 
V/(34i/5)— 4l/io+i|/aelv/(3~v/5) = ii/io— ^V/^i; 
d'ou Ton voit qu'en regardant comme connues ^z* 2 , i/ 5 et 
V/' to, U ne reste que quatre extractions de racines quarries 
a faire pour avoir les valeurs des sinus et oosinus de tout 
les arcs multiples de lo"". 

XXIII. Nous tirerons de ces formules deux consequence^ 
remarquables. 1** Puis({ue ^sin 40" c&X|fi corde de 80*, oule 
c6te du pentagone regulier inscrit, ce c6tez=i7i/(io— a^/S), 

son quarrd .:=: Le cote du d^cagone regulier 

4 

=r2xmao*=4(— i-4^W^5),sonquarr^=r:7(6--*av/'5);Q» 
j. ( 10 ^«a v/ 5 ) =:; I +~ (6 — a \/ 5). Done la somrne faiie du 
quamf du ruyon et du quarre du c6te du decagone^ est egtUe 
au quarrd du pentcgone regulier inscrit. 

a^ Entre les siAus des divisions d^cimales impaired du 
qiiadrant, on acette relation 

sin 9 o* 4- sin 3 o** -|- sin 10"= sin 5o" +sin 70', n 

et les divisions paires donnent semblabliement sin S&^zzz 
sin ao°-J— r* ^l^ais ces formules ne sont que des cas particii- 
liers, et on peut d^montrer que x ^tant un arc d*un nombre 
quelconque de degres , on a 

xm(iooVx)+«/irao*4-r(+x///(ao*^--.r)^2x//i(6o^c)4-x//i(go*+ 



356 THIGONOMETRIB. 

£n effet , la fonmile sin (a + b) +^2>(/x-*— &)= a sma cos b , 

donne 

sin ( ao* +x) -f- j /« ( ao* — x) ^rz^sin ao* cos ^ 
sin ( 60° 4- a: ) -4- j/« ( 6 o* — x ) == a j/zz 60" co^ .r . 

Done, puisqu'on a j//i 60* — sin ao* = ~, ct cos x zzi 

sin (loo*"- — a;), ces deux equalions retranchdes rUne de 

I'autre, donneront 

sin (6o*+x) -^sin (60*— j?)— «/i (ao°4--^-)— w'/i (ao*— jr)=f 4/1 (i oo*— sr). 

Formule d*oii Ton tire T^quation dcs divisions impaires en 
faisant .r=io°, et qui en g^n^ral peat servir a la Yerifica- 
tion des tables de sinus. 

XXIV. Si dans les formules premiere et troisieme 
de Particle xix, on fait 6=2 a, on aura 



. •% sin 2 a cos a~^ cos li a sin a . 

tin D fl = = , cos 3 a =: 



cos a a cos a — 5;// a sm a 



R ' R 

Substituant dans celles-ci , au lieu de sin a a et 
cos 2«, les valeurs tr6uvees daris I'article xx, et 
simplifiant les resultats au moyen de reqiiatiqn 
sin*a + cos"* a = R' ^ on aura 



3 



. o o . fi sm^ a 
sm a = o sin a =r-^ — 

cos 3 a*tz — — — . — 3 cos a. 

Ces formules qui servent a la triplication des arcs . 
peuvent servir aussi a operer leur trisection ou 
division en trois parties egales. En^ efFet, si on fait 
sin 3' ^rnc et sin a-=ix ^ on aura pour determiner x 
Tequation c R* = 3 R' x — 4 ^^» D'ou Ton voit que le 
problenie de la trisection de Tangle, considere analy- 
tiquement, est du troisieme degre. * 

Si dans les m^mes formules de Tarticle xix, on 
fait successivement tz=:3«, h-=z^ a, etc. , on aura 
les sinus et cosinus des arcs 4 «^ 5 a, etc. ; jc'est-a-dire, 
en general, les sinus et cosinus des multiples de a^ 
R^ciproquement les formules qui servent a la multi- 
plication des arcs , donneront les equations a resou- 
dre pour diviser un arc donne en parties egales. 



TRI6OR0MBXK1S. SSj 

c^est-ji-dire, pour determiner sin a ou cos a^ lors« 
qii^on cohnait sin na el cos na. 

xxv^ D^yeloppons encore les valeurs de sin &tt eft-eoj 5 €l, 
et pour cela prenoBS les formules 

. ' _ . sin 3 a cos a a -f- cos 3 €i «/J a /* 

«/i ( 3 <i + a a) — — 

B. 

- _ . co.f 3 a cos a a^^sin 3 « .«'« a « 

ro.f ( 3 a + a «) = 

Si on y substltue les Taleiirs deja trouvccs art. xx et xxiv, 
on aura, aprcs les reductions, 

, ^ ^ . 7.0 sirP a iSsin^a 

sin 5 a := 5 sin a — -f- 



R' • R 



4 



.3^ -6—* 



ao coj" rt 10 COS" a 
cos SazizScosa ^— 1 ~ — • 

D*ou Ton Toit que le probleme de la quintisection de Tangle 
serait du cinquieme degre, et ainsi des autres divisions par 
les nombres premiers 7 , 11, 1 3 , etc. 

XXVI. Soit propose pour exemple de tronver la valeur 
de sin i** approch^e jusqu'a quinze decimales, ce qui peut 
^tre utile pour la construction des tables de sinus. L'ex- 
pression de sin 10**, trouv^en** xxii, 6tant reduite en deci- 
males dans la supposition de Rz=i, donne sin 10°= o. 
1 5643 4465o 4oa3 1 ; de la on tire, par la formule du n^ xxt, 
sin 5'*z=o.07845 90957 a7845. 

Soit maintenant sm i'*z=::x , il faudra , pour avoir x, 
resoudre T^quation 

16 x^ — ao ar ^ -fr 5 a: = o . 07845 90957 37845. 

Si, pour abrdger, on fait le second merobre = c, 011 aura 
a-peu-prcs 5a: — 200:'=^, et j:=:jcH-4(jc)^. Or ^cz=z 
0.01569 18191 et4(ic)^z=o.ooooi 5456; done on a, pour 
premiere approximation, 0: = 0.01570 7275, valeur qui 
n'est en erreur que dans la huitieme decimate. Pour en 
avoir une plus cxacle, soit jr=: 0.01570 73 -f-^, on aura, 
en substituant dans Tequation proposee, et negligeant le. 
quafr6 et les autres puissances de^, 

0.078459009424937+4.9853017x^=0.078459095737845, 
d'oiiTon tire j^= 0.0000000173 11 8207, et 



358 vfticoMoiEXTaiB. 

« ou sin i^'saco. 01670 7^173 iiBao?. 
Du sinus de i* ou 100', on d^duirait semblablement les 
sinus de 5o , de 10', de 5', et endn celui de i\ 

xxYii. Les formules de I'artide xix fournissent 
un grand nombre de consequences, eotre lesquelles 
11 suffira do rapporter celles qui sont de Tusage le 
plus frequent. On en tiro d^aboixl lea quatre sui- 
vantes : 

sin a cos i = ^ II 5i/i (a + 1) + 7 R sin [a — b) 
sin b cos a'=.\'R.sin (a + ^) — ^Visin {a — b) 
cos a cos 6=-jRcoj(a— i) + ^R.cos {a + b) 
sinasin bz=.\^cos (a — b) — ;jRco5 (a+ J) 

lesquelles servent a changer un produit de plusieurs 
sinus ou cosinus, en sinus et cosinus lineaires ou 
multiplies seulement par des coiistantes. 

xxYiii. Si dans ces formules on fait a + bz^p, 
a — bzziq, ce qui donne a-=,- — ^, b-=z^ — —^ on 
en d^duira 

smp-\'Sin<i:=.'r^sin\{j>'^q) cosiip-^q) 

sinp—sinq:s:z'^sinj:{p'^q)€0si{p + q) 

cosp-i-casq^zj- €Os^{p'^q)cQsi{p'*-^q) 

cosq — casp:=z-^sin^{p+q)sin^{p'^q). 

Nouvelles formules qu'on emploie souvent dans les 
calculs trigonometriques pour reduire deux termes a 
un seul. 

xsLtsL. Enfin , de ces demiercs on tire encore par 
la division , et ayant ^ard a ce que ^-* — ss-. t ' j,^ ■ 

I oelles^qui suivent : 



€Otii 



sin p-^- sin q ^^{p+q)cQS^{p — q) tang\{p+q) 

sin p — sin q cos^ (jp-^-q ) ^in^ ( P — f ) tM$ng^ {jp — q) 

sinp + sm q s in\ ( jP + ? ) iang^ ( /» + g ) 

cos p H- cos q ~ cos i {p + q)"^^ K 

fi^P -h sin q cos\ (p — q) cot^ iP'^q) 
cos q'^ COS p sinj{^p — q) R 

sinp — sinq^in\ jp^^q) ^^gT^P — g) 
cosp + cos q'^ cos i ( ^ --- ^ ) R 

j/;g p -^ ^/n y cosj: {p + q) cot-i ip + q) 

COS q — cosp sin 7 ( /? + g ) R- 

cosp •+- €ro^ q eos-^ {p^-q ) cosj (^h— <? ) cotj(jh+^) 
cos q — cos p sin^ (/^ + g ) ^in^ {p — q) tang^{p—q ) 
sin {p+q) '^sini(p-\-q)cos^{p+q) cosiip-^) 
jp//? p + j/'/i /y a sin \ {p-hq ) ^^Oi'-j ( p — q ) cos^ (/? — ^r j 

^'^ (/>+<? ) ^ ^^'^T (p-i-q) co^iXp-^-q) ^'^ip+q ) 

sinp — sin q % sin^ {p — q) cos^ {p-]-q) sinj (/? — q) 

Formulas qui 5ont Texpression dWtant de th^ordmes. 
P^ la premiere il resulte que lasomme des sinm ^e 
deux arcs est a la difference de ces rn^rn^s sinus, 
comme la tangent^ de la derni^somme des ^rcs est d 
la tangente de leur demi--diffirence. 

XXX. Si on fait ft=a ou ^=^0 dans les formules 
des trois articles pr^c^dents , on aura les r^sultats 
qui suivent : 

coj" «=:^R» +^ Rco^aa 
«>i*a = iR* — iRrcwaa 

a cos* \p 



^ R 

' R 

^'gjp ^^^Skp R 

R+ cosp^ R ^ cor i/? 



36o lUia^vonit^iM. 

sinp eot^p R 



R — cosp K ^^^§ip 

K + cosp eot^^p R' 

R — coj/> R* tang^^p 

XXXI. Pour developper aussi quelqueS formules 
relatiyes aux tangentes , considerons Texpression 

tang (a + i -= — '/ . ,< -, dans laquelle la subs- 

timtion des valeurs de sin {a + b) et co5 ( fl + fr ) > 
donnera 

/ , V R ( sin a cos b + sin h cos a ) 

• tang {a-\'b)=:-^ . ^ , . ^• 

^ ^ ' coj a car b — sm b sin a 

^ , cos a tanff a . , cos b tans b 

Or on a sin a = — ^— et sin b s= — 2__. 

R . R 

substituant ces valenrs et divisant ensulte touis les 
termes par cos a cos b, on aura 

tanff (a + b)=^^ll^^^^l^±^^^^^. 
^ ^ ^ R* — tangatangb 

Cost la yaleur de la tangente de la somme de deux 
arcs , exprimee par les tangentes de chacun de ces 
arcs ; on tronverait de mSme pour la tangente de leur 
diiT<£rence 

, • ,« K* (tanga^^tane^b) 

tanff ( a — * ) = -,\ ^ ^ / • 

^ ^ ^ K* + tang a tang b 

Soit b-=.a^ on aura pour la duplication des arcs 

la formule 

a R' tang a 

tanff a a = ^r ^ , 

^ K*—tang*a ' 

d'ou resulterait 

R» R* 

col a a=g = — ^tangar=:^ cot a — ^ tang a, 

tang ^ a manga 

Soit b= a aj on aurait pour leur triplication la 
formule : 

o R' ( tang a -f- tang n a) 

tanff a= — ~t — 2 — J_ — 2 J' 

' ^ R* — tang a tang a a 



THIGOJr.OKETEIS. 36^t 

dans laquelle si on substitue la valeur de tang a a, 
on aura 

^ 3 R • tan^a — tang ' a 
tang 3 a= ^, ""^ -^ — . 

XXXII. Le d^Ycloppement des formules trigonomdtri- 
ques , cofisidcre dans toute sa g^ncralitd , forme une bran- 
che importante de Tanalyse , sur laquelle on pent consulter 
Texcellent outrage d'Euler, intitule : Introductio in anal. 
Inf*y ou sa traduction par M. Labcy. Nous croyons ce- 
pendant devoir d^montrer encore lea formules qui s erven t 
a cxprimer le sinus et le cosinus en fonctions de Tare, 
formules dont la conmaissance est suppos^e dans la note v 
et qui d*ailleurs sont n^cessaires pour la construction des 
tables. 

£t d*abord, supposantle rayon zzii, cequi n*alterepasla 
g^n^ralitc des r^sultats, on a la formule cos* A-^sin* Azn i , 
dont le premier niembre peut ^tre regarde comme le pro- 
duit des deux factcurs imaginaires cos A +v/ — i sin A et 
cos A — v/— 1 ^^^ A. Si on multiplie ensemble deux fac- 
teurs serablables cof A-|-\/ — i sinK^ cos B-f-v/ — i f/«B, 
le produit sera cos A cos B — sin A sin B + (^sin A cos B + 
sin B cos A) v/*— i , et il se rMuit par consequent k la forme 
cos (A+B) + \/ — I sin ( A+B) , laquelle est semblable a 
chacun des facteurs. On a done en general 

(cojA-hv/— i«/2A)(cofB-t-v/— i«/iB)=coy(A+B)-|-v/^— i«/i(A-|-B), 

et il est remarquable que la multiplication de ces sortcs de 
quantit^s s*execute en ajoutant seulement. les arcs , ce qui 
est une propriety analogue a ccUe des logarithmcs. Qn en 
conclnra successivement 

(coj A + v/— 1 sin A) {cos A+j/— i.«/i K^=.cos'kK-\^\/-^\sin %,K 
(co f A + 1/— I sin A) (cos a A-f- {/t- i j'« a A ) zn cos 3 A~hi/^- 1 sin 3 A 
cos A + 1//— 1 sin A) [cos 3 A-+- 1/^— i sin 3 A) iir cos 4 A+jX— i sin 4 A 

» etc. 
Le premier produit est egal a {cos A-f-v^ — i j/>i A)% Ic 
second est <5gal a {cos A+v/ — i sin A) *; et ainst de Suite. 
Done en g^n^ral, n dtant un nombre entier quelconque, 
on aura 

{cos A +1/^— I sm A)-''=co^ n A +V^ — i sin n A. 



' Dc Ik r^sulte , en changeant le signe de \/ — i , 

{cos A — j/-— I sin A)'*= cos n A — \/ — i sin n A, 

et de ces deux Equations qui sont une suite Tuaic de Tautre, 
on deduira les valeurs sdpar<^es de sin nAet cos n A, saToir: 

cosnA=:^{^cosA.-\-\/' — i sin AY-+-^{cos JL — \/'^ i«/i)''A 

si/i « At:=— r — (coj A+i^"— i sinAY — i (cos A- 1/— i ^^ AY 
ay/— i^ ' 'i^.^r ' 

xxxiii. Si on yeut exprliner les m^mes quantit^s en 

series , il faudra developper par la formule du binome 

(co^ A -h V/^— I sin A)'*, ce qui donnera 

_ /I » . » 7l«/2— I 

coj A -|- -cos^^^' Asm A1/—1 cor* 'A sin* A 

co/'^^^Asin^ AiZ-iH r-- cos"*^ Asm* A-^^lc. 



x»ft.3 I. a 3.4 

. £t cette qu{intit<§ ^tant la Taleur de cos n A-^H/^— -i sin n A 9 
on ^lera separ^ment la partie reelle a cos » A , et la partie 
imagtnaire a ^ — 1 sm nA. On aura done 

cosnA =:cwi'tA cos^^Asm^A \ ;-- co/ * Aff/i*A— etc. 

1.2 J . d . 3 . 4 

sin nAzuncos^ ^AsinA-'^ '--^coi^ — ^Aisin *A4-etc,' 

series dont la loi est facile a saisir , et aa moyen desquelles 
, on trouYC le sinus et le cosinus d'un arc multiple de A , 
d'uDC maniere beaucoup plus prompte que par les opera- 
tions indiqu^es art. xxiv. 

xxxiv. Puisqu'on a sm A = cos A tang A , ces series 
denvent se mettre sous la fonne 

/**/ n.n^i ^^ n.n^r.n — a.« — 3 ^. \ 

cosnA::::cos A[ i tang*A-\ tang* A — etc. ) 

\ 1.% ^ I. a. 3. 4 ^ J 

* , „ /« «•'* — i.«-a ,. . \ 

smnA=cos^A{^tangA r — tang^A+etc.) ^ 

\i i*a*j y 

Soit/i=.-.^ on aura, exi sub^tituant cette vileiir et 
A 

conservant cependant le facteur cos^ A , 



YKIGOlfOlfietltfE. S63 

cosx=u.os K[^^--..— -+--—-— F~«*e. J 

Vi A 1.2.3 A» ^ / 

Dftns <^i forinules on peilt prendre Ai volont6 ; i&tippoiotis 

A tres- petit, alors sera tres-peu different de Funit^, 

A, 

parce que la tangente d*un arc tres-petit est presqu*egale 
a Farck Cependant, tatit que Tare A*est |>as ftul, oa a 

tang X>A. (x) ou — ^L. > x ; on a .en mtoe temps 

. . A. 

. . r N , tangk tangK. tang k. i _ 

A>j//iA(2);donc — r— <-t-~-,ou — ^< r- Dc 

^ ' A Sin IL 4l cos a 

la on Yoit que le rapport — ^— est t^ujours compris entre 

A. 

les limites i et -, Soit A=::o , on aura cos A= i ; done 

cos A. 

pui«que -"-^ — est Compris entre i ^t ■ , il fkudra qa*on 

A €0$ Jk 

Hing A 
ait exactement — - — = i. Douc en faisant A=:o , on aura 
^ A . 

cosx=^cos^K\ I 1 -^—- —--___. -I- etc. ) 

\ 1^% x.a.3.4 i.B.3.4.5*6 / 

/ x^ x^ \ 

sinx=:cos^k\ X -+ — etc. j 

\ i.2.3i.a.3.4*S / 

II re^te a voir ce que devient cos**^ A , lorsque A dimii|ue 

de plus e« plus • et devietit enfin z^ro. O* on a ■ • ^ 5=. , 
■ * cos* A 

4 

I 

sec* K.:=ii+ tang* k.\^onc cos lLz=:{i+tang* ^) * , done 
cos A=\i-i'tang*A) 'zzi-^-tang* AH -tang* A-^ etc. 

(i) AT est plus graud que jlM, p&rc^ ^e le triangle ATC eat «u sec- fig. t. 
teur ACM : : ATX 4 AC : AMX 7 AC : : AT : AM. 

(a) Klk est |)ltis'gilitid que li^, paire que Tttfe MAH est pluft gratfil 
f|ue sa corde MN* 



364 TBiaoNOMBTaii. 



X ♦ 



cos^ 



Si^Mtihumt au lieu de n sa Taleur—, on aura 

X tang* A. j:.jr+aA. tang* A, 

A=:i A. — 2- 1 : A". — ^ etc. 

» A* a. 4 V 

Si Ton imagine maintenant que A diminue de plus en plus , 
X restant la m^rne , la yalenr de cos" A approchera dc plus 

en plus de I'unit^; cnfin, si Ton fait Azzro'et — —z=j^ 

A 

on aura exaclement cos^ A:=i. Done on a lesformules 

X* .r* x' 

casxzni'^ h— ^ — r = =— 7»+clc. 

I. a I. a. 3. 4 i.a.3.4*5«o 

X* X* 

sin x'=ix ^ 1-- — etc. 

I. a. 3 1.2.3.4*3 

par lesquelles on pourra calculer le sinus et le cosinus d*un 
arc donl la longueur est donn^e en parties du rayon pris 
pour unit^. 

xxxT. Ces memes valeurs^ peuyent ^tre exprimees d*une 
maniere succincte , par Ic mojen dcs exponeutielles* Pour 
cela , il faut se rappeler que e etant le nombre dont le loga- 
riihme hyperbolique est i , on a 

z z\ z^ z^ 

e«=:iH 1 1 -H [-etc. 

1 I. a I. a. 3 I. a. 3. 4 



Si 9 dans cette formule , on fait z=:sx\/ — i, il en resuhera 

X I. a I. a. 3 1.1.3.4 i.a.3.4*5 
On aurait semblablement en cLangcant le signe de \/ — i 

e ^ '::?:i^— 1 j --etc. ' 

I 1.2 I. a. 3 I. a. 3. 4 1. a. 3.4*5 

De la on tire 

• — =ri^ h —etc. 

a I. a I. a. 3. 4 

e*^— ' _ ^— *i/— I x» x' 

'■ :::sj?— ' -4 r- — etc. 

av/ — I 1.2.3 I. a. 3.4.5 

series dont les seconds membres son t les valeurs trouv<^e$ 
^ pour cos X et sin x. Done on a 



TillGONOMiTRIE. 365 

COS X zn ■ , ■ , sin x = . 

douion tire — . — =\/^i. =\/— i^<«/'i?x» 

^«\/— 1_^^— «!/—• COJ^ ® » 

formule dont on a fait usage y note it. 

Lea mitmes formules donnent (f^^ — '=:coj.r+v/— i «Vix, 
^^V — t—scof a*— y— i^f/iarj done, en divisant I'ttnc 

,, ^ aarv"— I ^oj.rH-\/ — i sin x 

par rautre , on aura e ^ = : — z=: 

cos X— 'V/ — • 1 f wi a^ • 

i+V/-^i tangx , _ . _ , , 

2_ ^ ou en prenant les loganthmes de cnaque 

X — v^— I tangx 

(1+ }/ — I tang x\ 
— » ' 1* Maisoki 
, — \/^\tdngxJ 

(I -|- «\ ' a a 
j =z: »+r a' + r«* + etc. J metlant 

done v/ -— 1 tang x an Ilea de z ^ et divisant de part et 
d*autrc par a y/ -~ i & on aura 

xzzztang x — \ tang^ «+-J tang* x — jtang ^ x-^ etc. 
Formule tres-simple qui sert a calculer Tare par sa tan- 
genle, lorsque celle-ci est plus pelite que Tunitc. 

xxxYi. Pour appltquer Ics formules prec^dentes a la 
determination du sinus et du cosinus d'un arc donn^ en 
degres et parties de degr^ , il faut avoir la longueur de ceH 
arc exprimee en parties du rayon , ou , ce qui revient au 
m^me , il faiit avoir le rapport de cet arc an rayon. Or, le 
rayon ^tant i , la demi - circonfdrencc ou Tare de aoo* 
= 3. 141S9 ^6535 89793a. Soit ce nombre=:97, la loii- 

fiucur de Tare—-. 100° sera—. —•: done si on fait dans les 
" ^ » n 2 ' 

formules pr^cedcntes x = — .— -, qu'ensuite on remelt^ 

la valeur de 17 f et qu*on calcule les coefficients jusqu*a seize 
dccimales , on aura les formules suivantes : 



^66 vRiapifo 

sinf • 100* J=: 



.57079 63^67 94^96^' 



m 



n 



m' 



.64^96 /10975 062463 — J 

m 
+0.07969 a6a6si 461670 — j 

n 

*— O.PQ468 17541 353187—- 



n 
m 



- Hha?ooQi6o44i» 847874—7 
««^OiOoooo 3598B 43a352 
•4M>.odooo*oo569 2x7292 
4^0.00000 00006 688o35 



+0.00000 00000 060669 
— o.ooopo ooooO 000438 



n 
ni 

n 
m 

n 
m 

n 
m 



-f-0.00000 00000 ooooo3- 



n 
in 



n 



COS 



(t-"«0= 



x.ooooo 00000 000000 



m' 



— i.23370o55oi 361698 — ^ 



+o.a5366 9^079 010480 — - 



.02086 34807 63353o 



+0.00091 92602 748394 



m 



n 



.00002 82020 423731 . 



m 
n 






m 



1 9 



+0.00000 04710 874779—7-^ 



.00000 ooo63 866o3i 



m 



n 



t4 



>4 



k% 



+0.00000 oooop 6565q6 — « 



m 



\%. 



O.OQOOO OOOOQ OpSao/f — rd 

/2 



m 



a » 



+-O.OO00O OOOOO oooo34 



L0ft sinus et coiious des arcs depuis z^ro josqu'A 60*, 
eomprennent les sinas et eosinus des arcs depuis So"* jusqu*ii 
100*; car on a $in (5o*+z)= coj (5o'--^) et co$ (5o*+3)= 
sin (So**-— if). Done, dans les formules qui donnent les^ 

m ^ m ^ 

valcurs de sin — 100 et cos — — 100 ^ on pourra to^jpurs 

n It 

iuppofier — < ~ ; de sorle que les s<^ries seront tellcment 
n 

eonVergenies » qii'il ii'en fpudra jamais calculcr qu^un petit 

aoml)re de terraes, sur-tont si on n'a pas besoin dc beau> 

coup de d^cimales* 



TRIOOKOHBTAIR. 36^ 

«. - . . w I a S. 4 5 ^ 

Si on fait successivement— = — ,— *, — ,— , — ,on 

» JO lO lO XO lO 

trouvcra les r^$ultat5 suivants : 

jFzn lo^ :rz cos 90^ =: o. x5643 446^0 4^^^^ 
sin %o^ = car 80** =»= O. ^0901 69943 7494? 
sin 3o^ = cos 70** ;= o. 4^399 04997 89547 
sin 40° = cos 60^ r=: o. 58778 6a5aa g'iikl'i 
sin 60^ = ^of 5to® zs. 0,70710678x1 86548 
sin 60^ = cos 40** = o. 80901 69943 74947 
sin 70*" = cos 3o^ = o. 89100 65a4i 88368 
sin 80^ = cos ao^ == o. 95io5 65i6a 95x54 
sin 90^ ::s co5 10® = o. 98768 834o5 95x38 
sm iqo^ =s cos 0° = x. 00000 00000 00000 

lesqu^eU s*accordent s^vec jes formules algebriques du n^ aa* 

On trouvera pareillement , en faisant — = — , lameme 

n 100 

Y«1ettr de sin x°, qu'on a trouTee n^ a6 ; et la grande facility 

arec laquelle on part^ient a ces risultats , est une preave de 

Texcellence de la methodc. 

De la construction des tables de sinus. 

xxxYii. Les savants utiles a qui on doit la premiere con- 
slraction des tables de sinus, ont fond^leurs calculs sur des 
mithodes ingenieuses , mais dont Tapplication ^lait fort 
p^nible. L'analyse a fourni depuis des m^thodes beaucottp 
plus expisditives pour rcmplir cet objet ; maii les calculs 
et'ant d^ja faits , ces m^tliodes seraient resides sans appli- * 
cation , si I'etilblissement du syst^me m^trique n*e^t fourni ' 
I'occasioD de calculer de iiouTelles tables conformes a la 
division ddcimale du cercle. 

Pour donner une idee des m^thodcs qu'on peut suiyre 
dans la construction des tables, supposons qu*il s'agisse de 
calculer les sinus de tous les arcs de minute en minute , 
depuis X minute jusqii'a 1 0000 minutes ou xo6degr^s$ fious 
fcrons le rayonz=r, Tare d*une minute = a^ fet d*a1)Ofdil 
faudra trouvcr le sinus ct le cosinus de Tare a av^C un 
grand d^egre d'approximalion. 

Le tayon ^tant x , on sait que ia demi^circoBference ba 
Tare de ao'^ocrrB. 14159 a6535 8979^2 ; divisftnt ce nombife 



30S TAIGOirOMETSlB. 

parsoboo, on aFarcde 1 ' 011^1=0.00015707963267948966, 
valeur exacte jusque dans la Tingtiemc d^ciinale. Quand nn 
arc est tres-petit, son sinus est sensiblenient egal a Tare, 
ainsi on a a tres-peu pr^s sin a =0.0001 5 70796 82679 
48966. Mais cette valeur est deja en erreur a la treizieme 
d^cimale, laquelle n*est que le dixidme chiffre significalif. 
Pour en avoir une |)lus exaete, le moyen le plus simple est 
de recourir aux formules del'art. 36 , dans lesquelles ^ si on 

fait — =: — '■ , on aura imm^diatemcnt , par les deux ou 

n loooo 

trois premiers termes de cliaque serie , 

sin a znt 0,000 iS 70796 32o33 525563 
ro^ a =0.99999 99876 62994 52400 5253 
raleurs exactes jusqu*a la vingtierac d<5cimald pour le sinus, 
et jusqu*a la \ingt-quatricme pour le co,r//{</^. 

xxxviii. Connaissant le sinus et le cosinus de Tare d*une 
minute designe par a, 2)our en dcduire successivement les 
sinus de tons les arcs multiples de a, on fera dans les for- 
mules de Tart. 22,/?=a:-f-a, qzzz.T'-^a. La premiere ct la 
troisteme donneront par cette substitution , ct en faisant 
toujours K irri , 

sin (.r + rt ) = 2 cos a sinx — sin [x — a) 
cos (A'-|-a) = 2 co&acosx — cos(^x — «) 
II r^sulte de ces formules que si on"a une suite d*arcs en 
progression arithmetique, dont la difference soit « , leurs 
sinus forraeront une suite rccurrente dont Fechelle de 
relation est 2cojfl, — 1, c'est-a-dire , que deux sinus 
consecutifs A et B clant calcules, on trouvcra le snivant C, 
en multipliant B par 2 cos a, A par — 1 , et ajoutant les 
deux proddils, ce qui donnera C=2B cos « — A. Les co- 
sinus des memes arcs formeront ^galement une suite recur- 
rente dont Teclielle de relation est 2 coj « , -r- 1 : on aura 
don<: successivement , 



sm o==o 

sin az^sina 

siii %ii-=:3. 2 cos a sin a 

sin 3a = 2 cos a sin 2<7 — sin a 

sin l\az=L'k COS a sin ia -^sin 2a 

iinSu:=z% cos a sin ka'^sin 3/z 



cos 0=1 

COS az:^cosa 

cos 2a =*. 2 cos a cosa-^ i 

cos 3(2 = 2 cos a cos *ia^cos a 

cos t^aizzi cos a cos %a -^ cos%a 

cos 5a = a cos a cos l^a^^cos^a 

etc. 



TEXGOflOMETRUS. 36^ 

xxxix. II ne s^agit plus que d'exdcuter les operations in* 
cHquees , en substituanl les -valeurs de sin a et cos a» Si on 
veut conslruire des tables de sinus avec i o decimates , il 
suffira de prendre les valeurs de Ain a et c€}S a approcLi^es 
jusqu'a i6 decimales, savoir : ^ 

W/iit = o.oooi5 70796 32o335 
cof fl =r o . 99999 99876 629945 

mats comme cos a differe trcs-peu de I'unild , il y a un nioycn 
d'abr6viationdontiliaut profiler. Soil /• = 2 ( i —^cos 0):==. 
0.00000 00246 7401 10, on aura 2 coja=:2— / y ce qui 
donnera , 

sin ( a: + a ) — sin x = sin .r — sin ( .r — a )— h sin x 
cos(^x-{~a)~^cosx=icosx~^cos (x— /i) — ^ cosx. 

Pour avoir le tcrme sin (.r + rt) il sufflt d'ajouter au tei*me 
precedent sin x la difference sin (.r-f-rt) — sinx, laquclle 
sera toujours tres-pclite : or cetlc difference est, suivant 
la formule, ^gale a unc difference semblable deja calculee 
sin X — sin (^-^a),nioinsle produi t de sin x par le nombre 
constant k. Cette multiplication est done la seule op^ation 
un peu longue qu*on ait a faire pour d^duire un sinus ties 
deux precedents; mais il faut observer 1** que Ton n'a bc- 
soin de connailre Ic produit que jusqu*a la seizieme deci- 
male , ce qui donnera fort peu de chiffres a calculer; 2® que 
ces multiplications peuvent clre abrcgecs bcaucoup en for- 
mant d*avance les produits du nombre constant 2467401 10 
par 1,2,3 jusqu*a 9 ; car, par ce moyen , on aura imme- 
dialemenlles produits parliels qui r<^sultent des differents 
cbiffres du mulliplicateur sin x , et il ne restera plus qu'a 
faire Taddition de ces produits, en se bornant toujours a 
la seizieme decimate. 

Les memes procM6s devront dtre suivis dans le calcul des 
cosinus; et, lorsqu'on aura prolong^ Tune et Tautre serie 
jusqu*a So'^yla table sera complete, 

XL. II est n^cessaire, nous le r^p^tons, de calculer les 
sinus avec 16 decimales, c'e^t-a-dire avec cinq ou six d<^'- 
cimales dc plus qu'on n*en veut avoir reellement , afin 
d'etre assure que les erreurs , qui peuvent se multiplier 
dans le cours de 5ooo operations , n*influeront cependdnt 

a4 



3^0 TAI«0lieHBl!HlB. 

p4» aiir 1ft disi^nie d^male des derniers r^nlttts. Le calcul 
fait , on retranchera les decimales superfiiaes et on ne con- 
servera dans la table que dix decimales. 

Au reste i quand il s'agit d'executer tant de cal€als , on 
doit chercher a verifier les resaltats aussi souvent qu*il est 
possible. Ilans Texemplc que nous avons apport^ d*une 
table calculee de minute en minute , il serait n^cessaire de 
calculer prealablement les sinus et cosinus de degre en de- 
gr^ , ce qui fera , de loo termes en lOO termes , une verifi-^ 
cation tr^s-ulile. Or, pour calculer les sinus de degre en 
degr^ ^ on a les formules et les valeurs qui suiyent : 

, sin (ar+i*) — sinxznsin X''-^sin{^je''^i'')~^hsinx 
cos ( a: -i- 1°) — cos aszizcos x — cos ( j? ^- 1* )'-^hcosx 
sin I* = 0.01570 73173 1 1820 676 
cos i' = 0.99987 663^4 81660 599 

A:^2(i — coj i*)=o. 00024 67350 36678 802 

Les sinus calculus de degr6 en degr^ se v6ri(leront eux- 
m^mes de dix en dix par les valeurs deja connues At sin lo"*, 
sin 20*, ele. Enfin lorsque la table enti^re est construite, 
on peut encore la verifier de tant de manieres qu*on voudra 
par Tequation 

sin{i 00*— :ir)+««(ao*— ;r)4-^i/i(2o'4-^)===tf ^«(6o**— ^)+j//i(6o*4-J^) • 
xLi. Les sinus, tels qu*ils r^sultent des calculs que nous 
Tenons dlncliquer, sont exprim^s en parties du rayon, et 
on les appelle sinus naturels ; mais on a reconnu dans la 
pratique , qu'il y a beaucoup d'avantage a se servir des loga- 
iithmes des sinus , au lieu des sinus eux-m^mcs.; en consd- 
quence la plupart des tables ne contiennent point les sinus 
naturels, mais seulement leurs Idgarithmes. On concoit que 
les sinus ^tant calculcs , il a ^te facile d*en trouver les loga- 
rithmes; mais comme la supposition du rayon =z i rendrait 
negatifs tons les logaritbmes des sinus , on a prefer^ de 
prendre le rayon = 1 0000000000, c'est-a-dire , qu*on a mul- 
tiplie par 1 0000000000 tons les sinus trouvcs dans la sup- 
position du rayon = I. Par ce moyen le rayon ou sinui de 
loo*", qui se rencontre frequemment dans les calculs « a 
pour logaritbme io unites, et il faudrait que les angles 
fuftsent beaucoup plus petits qu*on ne lea rencontre dans la 



iifRi0OifOMm«ai|s. 371 

pratique , pour que ieurs sinus eussent des logarilhmes 
ndgatlfs. 

Les logarithmes des sinus ^tant trouy^s , on en d^duit 
tres-ai semen ties logarithmes des tangentes par de simples 

soustractions ; car, puisqu on a tang jc:=l , il s ensu^t 

cos X 

log. tang j?= lo + log. sin x—^log, cos x. Quant aux loga- 
Hthmes des sdcantes, ils se tronveraient d*une mani^re 

encore plus simple, a Taide dc Tequation sec. x-zn • 

cos X 

C*est parce qu^on peut y suppleer si fadlement qu*on n*iu- 

sere dans les tables que les logarithmes des sinus et ceux des 

tangentes. 

II resterait a expliquer Tespece d'interpolation dont on 
se sert, soit pour trouTer les logarithmes des sinus et tan- 
gentes des arcs qui contienncut des fractions de minute, 
soit pour trouver Tare qui r^pond a un logarithme donne 
de sinus ou de tangenle , lorsque ce logarithme tombe entre 
deux logarithipes des tables. Mais pour ces details on ne 
peut mieux faire que de consultcr Texplication dont les 
tables sont toujours accompagn^es. 

Principes pour la resolution des triangles * 

rectilignes. 

XLii. Dans tout triangle rectangle le rayon 
est au sinus cVun des angles aiguSj comme Vhj- 
potenuse est au cdtS oppose a cet angle. ' 

Soit ABC Ic triangle propose rectangle en A ; du fig. 3. 
point C, comme centre , et du rayon CD , ^gal i^u 
rayon des ^tables , decrivez Tare DE qui sera la mei- 
sure de Tangle C ; abaissez sur CD la perpendiculaire 
EF qui sera le sinus de Tangle C. Les triangles CBA, 
CEF sont semblables et donnent la proportion CE : 
EF::CB:BAj done 

K : 51/1 C :: BC : BA, 

• * ■. 



I. 



Sja TR I GO NOME TRIE 

xLiii. Dans tout triangle rectangle le rayon 
est a la tangente d'un des angles aiguSj comme 
le cote adjacent a cet angle est au cdte opposi. 

Ayant decrit Tare DE, comme dans Tarticle pre- 
cedent , il^vez sur CD la perpendiculaire DG qui 
3era la tangente de Tangle C. Par les triangles sem- 
blables CDG , CAB , on aura la proportion" CD : DG 
:: CA : AB; done 

IR. : tang Ck :: Qk : AB. 

xtiv. Dans un triangle rectiligne quelconque 
les sinus des angles sont comme les cdtes opposes^ 
%4.' Soit ABC le triangle propose^ AD la perpendicu- 
laire abaissee du somraet A sur le c6te oppos^ BC , 
il pourra arriver deux cas : 

1** Si la perpendiculaire tombe au - dedans du 
triangle ABC , les triangles rectangles ABD , ACD 
donneront, suivant Tart, xlii, 

R:5i/zB :: AB:AD 
R : sin C :: AC : AD. 
Dans ces deux proportions , les extremes etant 
egaux, on pourra, avec les moyens, faire la pro- 
portion 

sin C : sin B :: AB : AC. 

•g. 5. qo Si la perpendiculaire tonibe hors du triangle 
ABC, les triangles rectangles ABD, ACD donne- 
ront encore les proportions 

R:wz ABD:: AB:AD 

R:5//tC :: AC:AD: 

d'ou Ton deduit sin C : 5m ABD •: AB : AC. Mais 

Tangle ABD est supplement de ABC ou B ; done 

sin hSQ-rrz-sin B; done on a encore 

sin C : sin B :: AB : AC. 
XLV. Dans tout triangle rectiligne le cosinus 
d'un angle est au rayon , comme la somme des 
q^iarris des cdtes qui comprennent cet angle 



ABCTILIGNX. 3^3 

moins le quarre du troisieme cote , est au double 
rectangle des deux premiers cdtes; cest'CKlire"" 
qu*on a : 

c^^.B:R:: AB + BC— AG':2 AB x BC, oucc»5B = 

j^ AB+BC— AC* 
^ aABxBC *. 

Soit encore abaissee du sommet A la perpendi- 
culaire AD sur le c6te BC : 

i^Sicette perpendiculairetombeau-dedansdu trian- ^6* 4* 

gle , on aura* AC = AB + BC-- liBC x BD; dohc BD * » 3. 

nz — p/7^ •« Mais dans le triangle rectangle ABD , 

on a B. : sin BAD : : AB : BD; dailleurs Tangle BAD 
etant complement de B , on a 5i>2 BAD = cos B ; done i 

cos B = — r-= — , ou en substituant la valeur de BD, 

AB 

„ „ AB + BC — AC.* 

C05 B = R X -^ ir;;— - 

a AB X BC 

2® Si la perpendiculaire tombe au-dehors du trian-* ^^' *• 
gle , on aura AC = AbV BC'-h a B C X B D*; done B D * »5- 3. 

== TT^ ^* Mais dans le triangle rectangle 

a BC ^ ^ 

BAD , on a tou jours sin BAD , ou cos ABD .-=: — -=r — , 

et Tangle ABD, etant supplement de ABC ou B, ou 

a*c(7yB = — cos ABD =: — — ; done en sub- •xi. 

AB 

stituant la valeur de BD, on aura encore 

AB + BC — Ac' 



C05 B = R X 



aABxBC 



' xLTi. Solent A, B, C, Ics trcis angles d*iin triangle 
quelconque; a, b, c, Ics c6tds qui leur sohr respec-^ 
livement opposes , on aura , suiTdnt cette dernicre 



?fp4 TRI^OHOMliTlllB 

proposition co^ B =R. . Le m^me principc 

^ a c 

etant af];)plique a cbacun des deux autres angles, don^- 

6» + c' — a* 

nera- semblablement cos A = R. ; , cos C 

0^ b c 

■^ a* + b' — c* 
= R. - 



%ab 

Ces trois formules suffisent seules pour r^soudre tous 
fes problemes de la trigonometrie rectiligne ; rar ^tant 
donnees trois des six quantil^s A , B , C , a, 6^ c^ on a par 
ces formules les equations n^cessaires pour di^terminer les 
"" trois autres. II faut par consequent que les principes deja 
exposes , et ceux qu'on pourrait leur ajouler , ne soient 
qu'une consequence de ces trois formules principales. 



£n ellfet , la valeur de cos B donne. 



sim* B;= K^—cos' B=R*.-2 ^ ^^ i-= 

4«*c* 4a»c* 

(2a*6* + art'c'+a6»G"— a* — b^ — c*); done 

«7iB R 
—^:=z^^^\/{^%a^b^+%a*c^'^'^b^c^—a*—b^—c^) 

•' ■ ' . ^ 

Le second membre etant une fonction de a, by Cy dans 

laquell« ces trois lettres entrent toutes ^galement, il est 

clair qu'on pent faire la permutation de deux de ces lettres 

/ , • , . . sin^ sitiK sinC 

a volonte, et qu amsi on aura — ; — = zr: , ce qui 

' b a c 

est le principe du n^ xlit. £t de celui-ci se dedipiraient 
faxdlementies pHndpes des &<>« xlii et xliii. 

xLVTi. Dans tout triangle rectiligne la somme 
de deux cdtes est a leur difference^ eomme la 
tangente de la demi-^omine des apigles opposes 
a ces coles, est a la tangente de iu demi-difp^^ 
rence de ces memes angles. 

Car de la proportion AB : AC :: sin C : sin B , on 
fiff.4«t5. lireAC-f-AB: Ad— AB ::5mB + w>iC: jmB — sinC 



M^is, d'apres les fenaules de Tart, xxix, on a 

B+C B— C 

sin B+j//i C : sm B — sin C ;; tang : tang r-; 

a a 

done 

B+C B— G 

AC+AB : AC — AB :: tang : taifg ; 

% a * 

ce qui est le principe enonc^. 

Avec ce petit nombre' de principes , on est en 
etat de resoudre tons les cas de la trigonometrie 
rectiligne. 

R6solution des triangles rectangles. 

xtviii. Soit A Tangle droit d'un triangle rectan- 
gle propose 9 B et C les deux autres angles; soit a 
PhypottSiiuse, b le c6te oppose k Tangle B, ec c le 
c6t^ oppos^ a Tangle G. II faudra se rappder que 
les deux angles B et G sont complements Tun de 
Tautre , et qu^ainsi , suivant les differents cas ,^ on 
pent prendre sin iZ\=-cos B^ sin B=cos C, et pareil* 
lement tang B=z cot G, tang G=cot B. Gela pos^, 
les difKrents problemes qu'on pejit avoir a resoudre 
sur les triangles rectangles se reduiront toujours aux 
•quatre cas suivants. 

• 

PRBMXSE CAS. 

xLix. J^tant donnas Vhypotinuse a etun c6t6 
b , trouver le troisieme c6ti et les deux angles 
aigus. 

Pour determiner Tangle B, on a la proportion* 
a : & :: R : sin B. Gonnaissant Tangle B, on connaitra 
en ni^me temps son complement 100^ — B=G; on 
pourrait aussi avoir G directement par la proportion 
aih ::lk icosC. 

Quant an troisieme €6t^ c ^ il pent se trouver de 



* «LU. 



376 T&I60N0MBTRIB 

deux manieres. Apres avoir trouve Tangle B , on 
•xLiii. peut faire la proportion* 11 . cot B :: b :c, qui don- 
nera la valeur de c; ou bien on peut tirer directe- 
raent la valeur de c, de Tequation c^ = a^ — i>' qui 
donne c=\/' (a' — i' ) , et par consequent 



DEUXZEME CAS. 



L. it ant donnis les deux cStes het cde l' angle 
droit f trouper r hypotenuse a et les angles, 
*x&tii. On aura Tangle B par la proportion * c : i :: R : 
tang B. JEnsuite on aura C.-=ioo** — B. On irouve- 
rait aussi G directement par la proportion b ic :i 
R : tang C. 

Connaissant Tangle B , on trouvera Thypotenuse 
par la proportion 5m B : R :: ^ :a; ou bien on peut 
avoir a directement par Tequation a=i\/ {b*+c*)\ 
mais cette expression , dans laquelle b* + c^ ne peut 
se decomposer en facteurs, est peu commode pour le 
calcul logarithmique. 



TaOISIEMB CAS. 



•Lf. Etant donnis VTiypotenuse a et un angle 
B , trouver les deux autres cotes b et c. 

On fera les proportions R : 5//? B :: <2 : ^ , R : tos B ; : 
aiCy lesquellea donneront les valeurs de b et c. Quant 
a Tangle G, iTest egal au complement de B. 

QUATRIEME CAS. 

Lii. Etant donne un cdte b de V angle droit y 
avec Vun des angles aigus^ trouver Vhypotinuse 
et V autre cote, 

Gonnaissant Tun des angles aigus on connaitia 
Tautre, ainsi on peut supposer coiinus lt> c6te &, et 



ABCTIIiIGNE. 377 

Tangle oppose B. Ensuite, pour determiDer a et c/ on 
aura les proportions 

5/>^ B : R .: 6 : a^ R : cot B :: i : c. 

Resolution des triangles rectilignes en 

general, 

Soient A, B, G, les trois angles d'un triangle rectiligne 
propose, et soient a, b, c, les c6tes qui leur sont res- 
pectivement opposes : les differents problemes qui 
peuvent avoir lieu pour determiner trois de ces quan- 
tiles par le mojen des trois autres, se reduiront (ou- 
jours aux quatre cas suivants. 

PBEMIER CAS. 

LIU. Etant donnas le coteji et deux des angles 

du triangle f trouver les deux autres cdtes b et c. 
Les deux angles connus feront connaitre le troi* 
sieme , ensuite on trouvera les deux c6tes b et c pai* 
les proportions * , * xi.iv, 

sin A : sin B :: a : i. 

sin A : sin C^:: a ; c. 



0BUXIEMB CAS. 



Liv- Etant donnis les deux cdtis a e/ b, avec 
Wangle A opposi a Vun de ces cdtds^ trouver le 
troisieme cote c et les deux autres angles B et C. 

On trouvera d'abord Tangle B par la proportion 

a:b :: sin A. : sin B. 

Soit M Tangle aigu dont le sinus = — ^ , on 

pourra , d^apr^s la valeur de sin B, prendre ou B=M 
ou B.rzraoo'^ — M. Mais ces deux solutions n'auront 
lieu qu'autant quVm'aura a la fois T&ngle A aigu et 
b>a. Si Tangle A est obtus, B ne saurait Tetre, 



ZyB TRI601fOMBTRl-B 

ainsi il n*y aura qu*une solution; et si A ^tant aigu 
on a & < a^ il n^y aura non plus qu'nne solution, 
parce qu'alors on a M < A , e€ qu'en faisant B = 
aoQO — M ^ on aurait A + B > 200^ , ce qui ne pent 
avoir lieu. ^ 

Gonnaissant les angles A et B, on en conclura le 
troisieme C. Ensuite on aura le troisieme cdte c par 
l^ proportion 

sm A : sinC :: a : c. 

cos ^. 
. On peut aassi d^uire c directemeat de T^quaition ■ ' ■ 



ft»+c*— «• 



. _ b cos a , / ft* sin* AN 

,qmdonnec=z= 4-^ fa'—*-— — 1 



%bc 

Mais cette yaleur ne peut se calculer par logarithmes qu'an 
moyen d*an angle aiixiliaire M ou B , ce qui rentrc dans 
la solution pr^c^dente. 



TEOISIEMB CAS. 



LV. Etant donnes deux cdtes aeth ai^ec I* angle 
. compris C , trouver les deux autres angles A et 
B et le troisieme c6t6 c. 

Gonnaissant Tangle C^ on connaitra la somme des 

deux autres angles A + B = 200° — C et leur derai- 

somme^ ( A+ B) = ioo<> — -J-C. Ensuite on calculera 

la demi-difference de ces monies angles par la pro* 

♦xLvn. portion* 

rt+4 : a — h . : tang^ ( A -h B) ou cot\ C : tang\ (A — ^B) 
ott Ton suppose a>b et par consequent A > B. 

Ayant irouve la demi-dlfference-j (A — B), si .on 
Tajoute ^ la denii^soipme 7 ( A + B) , on aura le plus 
grand angle A ; si au contraire on retranclie la demi- 
difference de la demi- somme, on s^ra le plus petit 
angle B. Tiar, A et B ^tant deux quantic^s quelcon- 
ques , on a toujours 

A=^(A + B)+i(A^B) 
B = HA + B)-i(A-B% 



Les angles A et B etant connus , pour aroir le troi* 
sieme c6te c, on fera la proportion 

sin A : sin C :: a : c. 

LYi. II arriye souyent dans les calculs trigonoin^triqae$ 
que deux c6t^s aeX. h sont connus par leurs logaritlimes ; 
alors pour ne pas Itre oblig^ de chercher les deux n ombres 
correspond ants , on cherchera seulement Tangle (f par la 
proportion 6 : a :* R : tangd^. L'anglef sera plus grand que 
5o^, puisqu*on suppose a >^; retranchant done 5o^ de f 
on fera la proportion R : tang (^ — 5o** ) :: cof 7 C : tang 
>■( A — B), d*ou Ton d^terminera comme ci-dessus la yaleur 
de 7( A — B), et ensuite celles des deux angles A et B. 

Cette solution est fondle sur ce que tang (9—^ $0^ ) 2^. 

Jk* tango — R* m/ig^So**. aH vb « 

. 2-1 2 , or tango=z — et tang5o = R ; 

Ii*+tangftangSo^ h 

Ufa — b) 

done tang((D — 5o**);=— ^^ 5 donca + ^;a — b/,: R; 

a+b 

tang{(f — 5o®) :: cot^C:eangi{JL'--B). 

Quant au troisteme c6t^ c^H peat se trouvier directe- 

. cosC a*-{-b*—c* . ^ 

ment par T^uation = ■ ■ , qiw OBnoie^ctsz 

R % ab 

y/ ■ %abcosC\ „ , ^ , 

1/ f a ' +b*' j . Mais «€tte vaieur u'cst pas cdiii^ 

mode a calculcr par logaritbmes , a moins que les aombres 
qui repr^sentent a , ^ , et cos C ^ ne scient tres-siiiiples.i 

II est k remarquer que la vaieur de c pent aussi se mettte 
sous ces deux formes : c=i= 

ce qui se verifie aisement au moyendes formules sin*^ C=: 
tR' — iR cosCj cos*iC:=:z^K'+jA cos C. Ces yaleurs 
seront particulierement utiles, lorsque Tangle C ^tant trcs- 
petit, ainsi que a — b, on voudra calculer c ayec beaucoup 
de precision. La derniere fait voir que c serait l*hypot^nuse 

d'un triangle rectangle forme ^ur les c6tes {a-^yb) — ^ — 

R 



38o TRIGQNOXBTaiB 

ct (a— 6) ; ct c est cc qu on peul aussi irouTer par 

une construction fort simple. 
H' ^* Soit CAB le triangle propose dans lequel on connaft les 
deux c6lds CBzzza, CA=6, et Tangle compris C. Du point 
C comme centre et du rayon CB ^gal au plus grand des deux 
c6t^s donnc^s , d<5crivez une circonfdrence qui rencontre en 
D ct E Ic c6t^ CA prolonge ; joignez BD, BE, ct mencz A.F 
perpendiculaire a BD. L'angle DBE inscrit dans la demi- 
circonference sera un angle droit, ainsi les lignes AF, BE, 
scront paralleles, et on aura la proportion BF : AE :: DT : 
AD::co^ D:R» On aura aussi dans le triangle rectangle 
DAF, AF : DA :: sin D : R. Substituant done les valeurs 
DA=DC+CA=ii-f.6, AE=CE— CA=«— ^», D=iC, 
on aura 

_ (a + b)siniC ^^_ {a—b)cos±C 

R ' R ' 

Done en effet le troisieme c6t^ AB du triangle propose 

cist rb]n>ot<^nuse du triangle rectangle ABF , dont les cotes 

sin - C cos ^ C 

sont (tf-h^) ^ et (yi— 6) — r— • Si dans ce m^tae 

triangle on cherche Tangle ABF oppos6 au c6t^ AF, et 

qu'on en retrancbe Tangle CBD=-jC, on aura Tangle B 

du triangle ABC. Dc-la on voit que la resolution du trian^ 

gle ABC, dans lequel on connait les deux c6t^s a et b et 

Tangle compris C , se r^duil immediatcment a celle du 

triangle rectangle ABF, dans lequel on connait les deux 

sin4: C ' 
c6t^s de Tangle droit > savoir : AF =(« + &) — ~ — et 

R 

cos — C 
BF3=:(a—- 6^ * — . Ainsi, par cette construction, on 

pourrait se passer de la proposition du n? 47* 

QUATRIEMB CAS. 

Lvii. Elant donnes les trots cdtes a , b , c , trou- 
x^er les trots angles A , B , C. 

L'angle A , oppose au c6te a, se trouve par la for* 



RECTILI6NE. 38l 

mule cos A=R. , et on determmera seni- 

blablement les deux autres angles. Mais on peut re- 
soudre ce m£me cas par una formule plus commode 
pour le calcul logarithmique. 

SI on se rappelle la formule R' — R cos A = 
a sin^ ^ A , et qu'on y substitue la Taleur - de 

cos A, on aura 2 sin - A=:R . = 

a l/c 

% be 2 l/c 

5I/I ^ A=R y^ f i— I- i-ii -i-— i j . Soit, pour 

abreger , -^ (^i + i + c) =;e2, 06 a + J + c= a p,on 
auraa-f-i — c=2p — ac^o — b+c=2p — a &;donc 

.»iA=nv/((£=ai^=l'). 

Formule qiu donne aussi la proportion 

bc:{p — b) {p^ — c): :R':«/i'-j A 

et qui est facile a calculer par logarithmes. Con* 
naissant le logarithme de sin ^ A, on coiinaitra 7 A 
dont le double sera Tangle cherche A. On pourra 
faire de m^me par rapport a chacun des deux autres 
angles B et C. 

II y a d*autres formulcs egalement propres a resou- 
dre la question. Et d^abord la formule R* + R cos A 7= 

a cos* \ A donne crw* y A=R*. 7 =:R*. 

^ be i be 

faisaat toujours a-f- 6+cn=ay» , ou a 6+c— a=a/>— a^; 
done 



^,.=„^((£^). 



38a TR too no K ixR i b 

Cette valeur etant ensnite combin^f avec celle de sin <i A 

donnera une autre formulc , car ayant tang^Kz=L* 
on ea lir« 

V P-P — « / 

Exemples de la risolution des triangles 

rectiligries. 

tiYiii. Exetnph I. Supposons qu'on veuille avoir 
^' '' la hauteur d'un edifice AB , dont le pied est ac- 
cessible* 

Ayant mesure sur. le terrain , suppose a-peu-pres 
de niveau, uhe base AD qui ne soit ni tres-grande ni 
txes-petite par rapport a la hauteur AB , on placera 
en D le pied du cercle ou de Finstrument qtielconque 
avec lequd on doit mesurer Tangle BCE forme par 
la lignc horizontale G£ parallele k AD^ et par le 
rayon risuel CB dirig^ au sommet de Pedifice. Sup- 
posons qu'on ait trouvc AD ou CE=;67.84 metres 
^t Tangle BGE=45'' 64' ; pour avoir BE, il faudra 
r^oudro le triangle rectangle BCE dans lequel on 
connait Tangle C et le c6te adjacent EC. Ainsi , 
d'apresie cas iv, on fera la proporDoc R : tang/liS^ 64' 
:: 67 . 84 : BE. 

L. iang ii^" 6^^ 9.9408263 

L. 67 . 84 • • 1 .8314^58 

Somme — /o^R= .... 1.77 181 21 
Ce logarithme repond a 69 . i3o, ainsi on a BE 



Sg"*. 1 3. Ajoutant k BE la hauteur do Tinstrument 
CD ou AE que je suppose i™. 12, on aura la hau*- 
teur cherchee AB=:6o°>. 25'. 

Si dans le meme triangle BEG on veut cbnnaitre 



ABGTILIGNB. 3|f3 

Thypot^nuse BG, on fera la proportion cos 4^^ 64' 
:R:: 67.84:86 

L, R + L. 67.84 •.. . ii.83i48M 
L. co5ii5°64' ...... 9.8772784 

Difference i . ^542074 z= L. BC. 

Done BC=89«. 993. 

N. JB» Si Ton ne Toyait que le sommet B de T^difice ou • 
du lieu quelconque dont on veut connaitre la hauteur, on 
determinerait la distance fiC comme il sera dit dans 
Texemple suivant : cette distance et Tangle connu BC£ 
suffisent pour r^soudre ie triangle rectangle B££ , dont le 
c6t^ BE augment^ de la hauteur de Tinstrument , sera la 
hauteur demandee. 

Lix. Exemple II. Pour avoir sur le terrain la dis- Cg, g, 
tance du point A a un objet inaccessible B , on me- 
surera une base AD oH les deui^ angles adjacents 
BAD , ADB. Supposons qu'ori ait trouVe AD = 
588°». 45, BAD= ii5^ 48' et BDA = 4o« 8' , on en 
conclura le troisieme angle AfiD=:44^ 44' 9 ^^^ pour 
avoir AB , on iisra la proportion sin ABD ; sin ADB 
: : AD : AB. 

L. AD. • • • ft a. 7697096 

L. ^M ADB. • 9*7699689 

Somme 2 . 5396785 

L. sin ABD • 9 .8080314 

L. A B ^ . • . . 2.7316471 

Done la distance cherchee AB= 539°^. 07 

Si , pour un autre objet inaccessible G , on a 
trouve les angles CAD = 39^ 17', ADC=:i3a« 83', 
on en conclura de meme la distance AG= iaoa°^. Sa. 

Lx. Exemple III. Pour tit>uver la distance entre 
deux objets inaccessibles B et G , on determinera AB 
et AG, comme dans Vexemple precedent, et on aura 
eu mdme tempfi Tangle compris BAG = BAD ■ — 



384 TTLlGOVOUitRlU 

DAG (i). Supposons qu'on ait trcHuv^ ABrrrSSp*^. 07 j 
AC=i2oa<n. 3a, et Tangjle BAC=::l76^ Si'jpour 
avoir BG , il faudra rcsoudre le triangle <B AG dans 
lequcl on connait deux c6tes , et Tangle compris. 
Or , d'apres le troisieme cas , on a la ptK»paf tion 

AC f- AB : AC — AB :: tang : lang. ^ ^ !, ^ on 

^74' • 39 : 663 . 25 :: tang 61® 84' 7 : tang-^ — . 

Xf663.aS. ••••••• a.82r.6773 

l^.tan^^i'H' 'i* . • . . 10.1654748 

Somme 12.9871521 

L. 1741*39 • • 3.2408960 

' B— C 

L. tang". 9.7462561 

' * " B — C ' 

Do^c = 32*37', 8. 

2 

B-4^C 

Mais on a. . • . . • . = 6i' 84', .5 , 

2 

Done . . • . • B = 94** 22 ' , 3 

et ......<} !== 29'' 46'. 7 

Maihtenant/poup avoir la distance BG, on fera la 
proportion sin B : sin A :: AC : BG, ou 

stii g4^22 ' • 3 : sin 76° 3 1 ' : : 1 202*". 32 : BG 

L. 1202. 32 • 3.0800200 

L. sin 'jG" 3i' • 9.9692099 

r ' ;' -^' Sdmmc ,.•.... 13.0492299 . - 

; < l^. W/i 94* 22 ' , 3 9 . 99^2096 . r 

L. BC. 3.o5i02o3 '^ 

Doric la distance cherchee BG = 1 1 24***. 66. 



( r) 1] pbarra) t arri ver qne tes qnatre points A , B , C , P « ,^ fusseat 
pas dans- an ni^rae plan ; alors Tangle BAG ue serait pins la dilTerence 
cti|«e>BAB et^H^Gv «^ il iaudtliU ayoir, par tineinestire (JLirecte,]a 
valear (l&«et,«n0l« : k otla prea^ l-'opeiiiticm Mmt (ft m^me. 



RKCT4MGN1!. 385 

Lxi. Exemple IV. Trois points A, B, C, etant fig. 9. 
flonnes sur la carte d'un pays , on propose de deter- 
miner la position d un qiiatrieme point M, d^oii on au- 
rait niesur^ les angles AMB, AMG^les quatre points 
etant supposes dans le meme plan. 

Sur AB decrivez un segment AMDB, capable de 
Tangle donn^ BMA ; sur AC , decrivez pareillement un 
segment AMG capable de Tangle donn^ AMC; les 
deux arcs se couperont en A et M , et le point M sera 
le point requis. Gar les points de Tare AMDB sont les 
seuls d'oii Ton puisse voir AB sous un angle egal a 
AMB; ceux*de Tare AMG sont les seuls d'oiiTon puisse 
voir AG sous un angle egal a AMG ; done le point M, 
intersection de ces deux arcs, est aiissi le seul d*oii 
Ton puisse voir a la fois AB et AG sous les angles 
AMB, AMG. U Skagit maintenant de calculer trigono- 
metriquement la position du point M, d'apres cette 
construction. 

Soient les donnees AB = a5oo™, AC =7000™, 
BG = (>ooo™, AMB = 3oo 80', AMG=iaio 4o'. 
Dans le triangle ABC , oil Ton connait les trois 
cotes, on determinera Tangle BAG* par }a formule *tvii, 

. . f * -r»» 675o.a25o i» ^ 1) . V ■ • t « 

5m'^A=:R . -~ ;doulontire2/o>o'^m|A=i 

' a5oo.7ooo ^ ■ 

19.9384483, /eg- 5z>i7A=9.969224i , ~ Amye^Si ' . 5, 
ct eitfin A=i52** 63'. Tirez le diaiAetre AD et joi- 
gnez DB ; dans le triangle BAD rectangle en B , 
on aura le c6te BA = 25oo, et Tangle oppose BD A 
= BMA=:3o<> 80'; d'oii resulte Thypotdnuse AD 

= -^^s^:rr=5374™. 6. Tirant de mSme le diametre 
sinfiDK ' 

AE et joignant CE, on aiu*a un triangle rectangle 
CAE dans lequel on connait le cote AC = 7000 , et 

25 



A 



J 



386 TRIGONOMEtRIB 

Tangle adjacent CAE=AMC — ioo^=;aio4o(5 d'ou 
Ton conclura AE= — ?rrv=^74^^^* 

cos CAE ' ^ 

Maintenant si Ton tire MD et ME > les deux angles 
AMD, AME, etant droits, la ligne DM^ sera 
droite. II I'este done k resoudre Ic triangle DAE dans 
leqiiel la ligne AM, dont il faut determiner la gran* 
deur et la position, est perpendicul^ire a DE^ Qr, 
dans oe triangle on a les cotes donnes AD ::= 53746 » 
AE:^74i5, et Tangle compriai DAE=BAC + CAE 
_D AI?= X04'' 83 ' • De-la on conclura Tangle ADE= 
56^ 93' ; et enfin par le triangle rectangle DAM on 
aur^ AM=4i90'^- 83. Cette distance et Tangle BAM 
= it^^ 2y' determinent entiereipent la positipn du 
point M. 

Natff. »Si oa vent calcnlcr les m^mes exemples ati moyen 
dcf tables coAstmites survant Tanci^ine division dn circle, 
il faudra changer comme il suit Texpression dds aogles 
donnas ou calculi; du reste toutes les valeurs logarith- 
ni^[H^^Ct chiles de« e6tes resteront les memes. 

fy:eu^?h X. Angle donu^ BC ^;;= 4i** V 33", 6, ou sim- 
pleaieutBC^::=:/|i*U' ^o", cardans ces sarins d'Qpeiiations« 
quelques secondes de plus Qu de moins dans les angles, 
n'influent pas sensiblement sur les distances (][u'on vcut 
d^terniiuer. 

J?^. II. Angles donnes BAD=:io3**55'55". a, BDA=c36° 
4' 19", 2, ABn=39<* 59' 45". 6, C AP=35*> i5' 10'. 8, 
APC==H9"3V 49". a. 

^^.m. Angle donne BAC:==;68*' 40' 44". 4, 
Angle conclu ^BH-C)=.55^ 89' 37". 8. 
Angles calculus ^ (B — C) = :*9° 8' a4". 7 
B=84**48' 2". 5, €=26^ 3i' i3". i. 
Ex. i¥. Angles donnes AMBirr 27® 43' 12"^ AMC = i09** 
i5' 36", Angles calculesA = i37' 22' i'\ 2, DAE = 94^ 
J>q' 49"*^*' BAM=ioi^ 2' 34". 8. 



Prihcipes pour la ^isolation des triangles 
sphiriques rectangles. 

Lxii. Dans tout triangle sphirique rectangle^ 
le rayon est au sinus de V hypotenuse ^^ comme 
le sinus d'un des angles obliques est au sinus du 
cSt^ qpposi. 

Soit ABC le triangle sph^rique propos^, A son g 
dngle droit , B et C les deux autres angles que noiis 
appellerons angles obliques , ct qui cependant pour- 
raient ix^e droits I'un ou Tautre, ou tous les deux ; je 
dis qu*on aura la proportion R ; sin BC : : sin B : sin AC. 

Du centre O de la sphere, menez les rayons OA, 
OB , OC ; prenez ensuite OF egal au rayon des tables, 
et du point F menez FD perpendiculaire sur OA ; la 
ligne FD sera perpendiculaire au plan OAB^ puisque^ 
par hypotliese^ Tangle A est droit , et qu'ainsi les deux 
plans OAB , GAG sont perpendiculaires entre eux. Du 
point D menes DE perpendiculaire sur OB , et joignez 
£F^ la ligno £F sera aussi perpendiculaire sur OB, 
et ainsi Tangle DEF mesurera rinclinaison des deux 
plans OB A, OBC, et sera egal a Tangle B du triangle 
ABC. Cela pos^ dans le triangle DEF rectangle en D , 
on a R : sin DEF .: EF : DF ; or Tangle DEF=B , et 
puisque OF==R, on a EFz=5//z E0F=5w BC, DF= 
sin AC. Done R : 5/71 B : : sin BC : sin AC , ou 

R : sin BC .: sin B : sin AC. 

Si on appelle a Tliypot^nuse ou le c6 1^ oppos^ a Tangle 
droit A , ^ le cdte oppose a Tangle B , c le cdte oppose 
a Tangle C , on aura done 

R ; sin a .; sin B : sin h :: sin C : sin c, 

ce qui fonrnit d^ja deux Equations entre les parties du 
triangle splierique rectangle. 

a5. 



zo: 



388 TRiaON01H£TAIB 

. xxiu. JXans tout triangle spherique rc^ngle 
le rayon est au cosinus d'un angle i^blique , 
comine la tangente - de V hypotenuse est a la 
tangente da cdte adjacent a cct angle. ' " 

» 

flg. lo. Soit toujours ABC Ve triangle propose rectan- 
gle en A, je dis qu'on aura R ; cos B :: tang fiC : 
tang AB. 

- 'Car enfaisant la mSme conii'truction que ci-dessus, 

lef -triangle rectangle DEF donne la proportion 
a'r-coj DEF :: EF : ED. Or on a DEF = B, EF = 
'itn Be, OE=zcos BC , et dans le triangle OED 

refilUmgJe en E, on a DE= ^ = 

cbj-BG7^»^AB J ^ „ • -on 

—, zr—S ; done R : co5 B :: 5//i BG : 

eot^C Umg. Jkl^. . Rf/ifEG .^ ^ 

' =7—2 :: --__ I tans AB, ou enfin 

R ,<?of BC ^ 

,;, RicojB :: /^V2^BG :^^i;2^AB« 

Si on fail comme ci-dessus BC=:ael AB^^r: c 

4>9 aufn R : cos B :: tcmg a : tang c ^ ou cos B == 

R^a<?£rc tangccota r ^ • • v 
=^ = — 2_j- , Le meme principe appli- 

€nxi i Tangle C , donnera c^s C = 2L- ^^ 

o ^ tang a 

ihhff b fiot a 
■ ■ . > ■ .* 

R 

Lxiv. i?a/w fOM^ triangle spherique rectangle 
/r raywi est au cosinus d^un cdte de Vangle 
droit J comme le cosinus de V autre cdtd est au 
txmnuis de Vhjpotinuse. 

ig. !•• : Soit ABC le triangle propose rectangle en A^ je 
dis qu'on aura R : cos AB :: cos AC : cos BC. 

Car la construction etant la ineme que dans les 
deux propositions precedentes , le triangle ODF 
rectangle en D, ou Ton a Uhypotenuae OF=R, 
on aura OD = co5 DOF = co5 ACj ensuite le 



triangle >0 D E rectangle en E , donnera O £ = 

OD coj-DOE cos AC cos AB t., . , i ^ • 
. — .-_ z^ «- . Mais dans le trian- 

R R 

gle rectangle OEF^ on a OEz=z cos DC ; done 

rx r» COS AC COS XB . . ^ 

COS BG= , Qu, ce qui revient au 

R : cos AC :: cos AB : cos BC, , 

Ce troisieme principe s'exprime par Tequatton 

R cos a = cos b cos c\ il n^est pas susceptible. d'ejKi 

(ournir une seconde , coinme les deux precedents., 

parce que la permutation faite entre b qic n^apporte 

aucun changement h Fequation. 

LXY. Au moyen de ces trois principes gei»^raux , 

on en peut trouver trois autres necessaires pour la 

resolution des triangles spheriques rectangles. Ces 

derniers principes pourraient S6 demontr^ dSrec^ 

tement, chacun par une construction parttculiere ; 

mais il est preferable de le^deduire des trois premiers 

par vAie d'analyse, ainsi qu'on valefetre* ? - 

■r - k • T» R *//! b' • ^' R'M/nf'l* 

Les •equations sin B= — : , cos C = S— 

* sma tangti 

, 1 1. • • cos C tanff h sin m ' 

donnent par leur division -t-t^ = — r~-. = 

'^ smB sift b. . tang a .. 

cos H COS c 

— ^ zzr ( suivant le troisieme principe ) m^ r*. .On 

a done ce quatrieme principe 

sin B ; cos C :: R : ^osc^ . . 

duquel resulte aussi par la pennutation dea^teltres 
sin C : ca^ B :: R : cos b, .\i,^ 

Le premier et le second principe ^ doDEUUt 

. „ R sin b _ R tariff c , ,. , ,/. . 

5//zB: = -~ , cos Btrz 2_: de 1^ on dMuit ^ 

sin a ' tang a 

, ' ' •■'.•••". 

sin B tang B sin b tang a R sin b ' . 

■ " ' ■ ■ "Oil «* » ■ I ■«*« • ' * ' O il I I I j I « ■ 22ZI1 iiwllJ--* H i »,i ^ *— ~» 

COS B R sin a tang c cos a tang c 

, • , . .> . . V B* sin i 

{ en veriu du froweme principe ) . ' ■ ' * * ■.. \> ., if. ^a£ 

^ , . ^ . ^ ^ cos bcQSC tang c 



3gO TRIGOWOmSTAIB 

■ . . Done on a pour clnquleme princip^ f^qiia* 

tion tariff B= — r-^ , ou Tanalogie " 

^ sm c ^ ° 

R : tang B :: sin c : tan^ b; 
d^oii rimite aussi par la permutation des lettres: 

R : tang C :: ji>z & : tang c. 

Enfin ces deux formules donnent tafig B tang G= 

., . " . > , — 2 — ;= -.-, =:: f en vertu du troi- 

sin b sin c cos o cos c ^ 

. . R* 
sieme principe) . Done R* =co5 a tangBiangCy 

ou col B cot C = R cos a , ou 

tang B : co^ C :: R : cos a, 

Ce«t le sixieme et dernier principe : il n^est pas 
susceptible do fournir une autre equation 9 parce que 
la pernuitation eatre G et B n*y produit aucun cban^ 
gement. 

Voici la recapitulation de ces six priucipes dont 
quatre donnent chacun deux equations :. 

I. K sin bz::z sin a sin B ., R sin e = sin a s^ C 

II. R tang b rr iang a cos C , R teng c zzz tang a cos B 
Id. R cos a^suzcos b cos Cy 

IV. R COS B = sin C cos b , R cos C = sin B cos c 

V. R tang b = sin c tang B, R tang c = sin b tang C 

VI. R cos a r=: cot 'Q cot C 

II en resulte dix equations contenant toutes les rela- 
tions qui peuvent exister entre trois des cinq Elements 
fi, (}, a^ 6^ c; de sorce que deux de ces quantites 
eUnt. ooiinu«$ avec Tangle droit, on connaitra imme- 
diatenlent la troisieme p^ son sinus ^ son cosinus, 
sa tangente ou sa cotangcnte. 

1.XT1. II eit h reniarquer que lorsqii'un element 
sera determine par son sinus seulement , il 7 aura 
deux yaieuriF de oet element, et par coxvsequent deux 
triangles qui satisferont a }a question. Carle ni^ie 



siniis^ui eoayien t a un angle Ou a un arc, convieni aiusi 
h. son supplement. II n^en est pas de ni^me lorsque 
rdlement inconnu sera determine parson coniniu, sa 
tangente ou sa cotangente. Alors on pourra decider^ 
par le signe de cette Taleur , ii Telement dont il 
Skagit est plus grand ou plus petit que loo^^ ; IMldment 
sera plus petit qiie loo^, si son cosinus , sa tangente 
ou sa cotangente a le signe + ; il sera plus grand que 
loo^ , si Tune de ces lignes a le signe — • On pourrait 
aussi etablir sur ce sujet des pveceptes g^neraux qui 
ne seralent que des consequences des six i^uations 
demontr^s« 

Par exemple, il r^sulte de Tequatiou Kcos a=±: 
cos b cos c, que les trois cotes d'un triangle spherique 
rectangle sont tous moindres que ioo<*,ou que des 
trois cdtes deux sont plus grands que lOO'* ^ ^ le trol- 
sieme moindre. Aucutle autre combinaison Re pent 
rendre le signe de cos h cos c pareil a oelni de €<is 0, 
comme cette equation I'exige. 

De mdme I'equation R tang c = sin b tang C , oil 
sin b est toujdurs positif , proure que tun^ G' n totu- 
jours le mdme signe que tang c. Done ddns toXU 
triangle spherique rectangle un angle oblhjiie et le 
cote qui lui est oppose , sont toujours de la mime 
cspece; c^est*iv-dir& , sont tous deux plu$ gtandi ou 
tousideux plus petits que 100**. 

Resolution des triangles spheriques rectangles. 

txfit. IJ9 tt'laDgle sphdrique peut aVdir trois utigles 
droits, et alors ses trois c6tes sont de io&^) it peut 
avoir deux angles droits seulement , alors les c6tes op« 
poses sont tous deux de ioo*>, et il resleun angle avec 
le c6te oppose qui sont niesures Tun et Fanti^ par le 
ineme nonibre de degres. Ces detix sortes de triangles 
ne peuvent , coriime on voit, donner lieu a attcun pro- 
bleme; on peut done faire abstraction de C9»eas parti- 



3ga^ TBIGOKOMETRIB 

cullers , pour ne consid^rer que les triangles qui ont 
un OBgle droit seulement. 

Soit A Tangle d|*oit, B et G les deujc antres angles 
qu'on appelle angles obliques, soit a Fhypotenuse 
opposee k Tangle A, b et c les c6tes oppoises aux 
angles B et G. Etant donnees deux des cinq quantites 
B^C,a,b,c,lB. resolution du triangle so reduira 
toujours k Tun des six cas suivants. 



PREMIER GAS. 



Lxviii. Etant donnes V hypotenuse a et un 
cotih^ on trouvera les deux angles B et C et 
le troisieme cdte c par les equations 

. -» R sin b ^ tang b cot a R cos a 

Sin B 2= ■ ' . ■ , cos C = — ~r * cos c r= ; - . 

siu a R cos o 

I/angle G ne pent laLsser aucune incertitude, non plus 

que le c6t^ c; quant a Tangle B, il doit ^tre de m^me 

espece que le o6t^ donn^ b. 

DEUXIEMS CAS. 

Lxix. Etant donnis les deux cdtis de V angle 
droit b e^ c , on trouvera Vhypotinuse a et les 
angles^ B et Q^par les Equations 

cos b cos c ^ B. tang b R tang c 

cosazrz ■ - ■ ■ y tangB=z r-^^,tangC=> — r-r—* 

R sine sin b 

II jQ^y a dans ce cas aucune ambiguite. 

« 

TROISIEHE GAS. 

Lxx. Etant donnes r hypotenuse a et un angle 
B, on aura les deux cStes h etcet I' autre angle 
Cpar les Equations 

sin a sin B tangacosB cosatangB 
sin b=z g , tangc= , cot C= -^ 

Les elements c el G sont determines sans ambigiiite 
par ces formules; quant au c6te b, il sera de merne 
espece que Tangle B. 



S.PHBRIQUB. 3g3 

<)'^ ^'S QUATaiEMB CAS. , *, •< ., 

Lxxi. Ftant donne le cSte de V angle dpc>ith 
avec Paii:gT6 opposeB, on trou^era les troisautres 
ileniehU sLj cet Cpar les^forinules 

IX, sin h . tang h cot B , ,» ^ ^^^ ^ 

«/iB R cosb 

Dans ce cas, les trois Elements inconnus sont deter- 
mines par des sinus ^ ainsi la question est susceptible 
de deux solutions. II est evident en effet que le trian- 
gle ABC et le triangle AB'C sont tous deux rectan- %."< 
gles en A^ ont tous deux le meme cote AC = 6 et le 
mSme angle oppose B = B'. Au i^este, les valeurs 
doubles doivent se combiner de maniere que c et 
C soieni; de la meme espece; ensuite Tespece de c et 
b determine celle de a par Tinspection de la formule 
cos b cosc=% cos a, mais la valeur de a se d^ler- 

minera directement par Tequation sin ^p^. — r-rgr,* 

GIHQtJIBME GAS. 

I.XKII. Mtant donni uncdti de Tangle droit b 
avecV angle adjacent G , on trous^era les trois 
autres Elements a, c, B, par les formules 

cot b cos C sin b tang C cosb sin C 

R ' ^ R R 

Dans ce cas il ne pent rester aucune incertitude sur 
Uespece des Elements inconnus. 

SZXIEME CAS. 

Lxxiii. Etant donnes les angles obliques B et 
C , on trouvera les trois cdtds a , b , c , par les 
formules 

cot B cQt C , B co.yB Vicos C 

cos a " — • , cos b =r ■ , cos c r3 — 

.R sin C 5 . -sin B 

Et dans ce cas il ne reste encore aucune. inqertitude* 



S94 TRlCOMOMBTRIf. 

REMARQUE. 

LxxiY, Le triangle spherlque dont A, B, C, sont 
les angles , et a ^ 6^ c les cdtes opposes , repond tou* 
jours a un triangle polaire dont les angles sont sup*- 
pldments des c6tes a/b ^ c^el les cot^s supplements 
des angles A , B , C ; de sorte que si on appelle 
A', B', C, les angles du triangle polaire, et a'^ b' ,^c' , 
les cdt^s opposes a ces angles , on aura 

A' = 2oo» — a, B'=:raoo<> — b, C'=aooo — c 

a' = 2000 — A, i' = aoo'^ — B , c' = 200** — C. 
Gela pose , si un triangle sphdrique a un cdte a ^gal 
au quadrant , il est visible que Tangle correspondant 
A' du triangle polaire sera droit, et qu'ainsi ce trian- 
gle sera rectangle. Done les deux donnees qu*on doit 
avoir, outre le cote de 100® , pour resoudre le triangle 
propose, serviront a trouver la solution du triangle 
polaire, et par suite celle du triangle propose. On 
pourrait tirer de la des formules semblables aux pre- 
cedentes pour resoudre dit^ectetnent les triangles 
Bpheriques qui ont un cdte de 100". 

Un triangle isoscele se partage en deux triangles 
rectangles egaux dans toutes leurs parties , ainsi la 
resolution des triangles splieriques isosceles depend 
encore de celle des triangles spheriques rectangles, 
fif • »»• Soit ABC un triangle spheriquc , tel que les deux 
cotes AB, BC soient supplements Tun de Tautre; si 
on prolonge les c6tes AB , AC jusqu'a leur rencontre 
en I) , il est clair que BC et BD seront egaux comme 
etant supplements d'un m^me c6te AB ; d'ailleurs il 
est visible que les parties du triangle B^D etant con- 
nues, on connait celles du triangle ABC qui est le 
reste du fuseau AD , et vice versa. Done la resolution 
du triangle ABC , dans lequel deux cdtes font en- 
semble 200*^, se reduit a celle du triangle isoscele 
BCD t ou a celle du ti iangle rectangle BD£ qui est la 
moitie de GBD, 



Lorsque les deux c6tea AB , BG , sont supplements 
Tun de rautre, il faut que les angles oppos^ ACB, \ 
BAG , soient aussi supplements l^un de Tautre ; car 
BCD est supplement de BCA ; or BGD:2=D=A. Done 
on ne peut avoir a-|-c = 200^, sans avoir en mSme 
temps A -h G = 200^ , ce qui est reciproque. 

De la on voit que la resolution des triangles sphe- 
riques rectangles comprend , 1^ celle des triangles 
spheriques qui ont un c6te ^gal au quadrant ; ^** celle 
des triangles spherlques isosceles ; 3^ celle des trian* 
gles sph^riques dans lesquels la somme de deux o6t6$ 
est de 200^, ainsi que celle des deux angles opposed* 

Princfpes pour la resolution des triangles 
sphiriques en gdniral, 

Lopcv. Dans tout triangle spherique les sinus 
des angles sont comme les sinus descdtisopjiosis. 

Soit ABC un triangle spherique quelconque, je dis a^. 13, 
qu'on aura svv B : sin C :: sin AC : sin AB* 

Du sommet A abaissfi Tare AD perpendieuliiire 
sur le c6le oppose BC^ les triangles irectangleft ABD 
ACD donneront les proportions 

sin B : R. :: sin AD r sin AB 
R : 5m G :: m AC : j/n AD. 

MuUipHant ces deux proportions par ordrc et omet- 
tant les facteurs communs , on aura 

sinh : sin G :: sin AC : sin AB. 

Si la perpendiculaire AD tombait au dehors dii triati^ fig. if, 
gle ABC, on aurait les deux<mdmes proportions 
dans Tune desquelles sin G designerait sin AGDj 
mais comme Tangle ACD et Tangle ACB sonc sup- 
plements Tun de Tautre, leurs sinus sont egaux ; 
ainsi on aurait toujours sin B : ^//i G :; sin AG : sin 
AB. 



3^6 tRIGO^OMBTmB 

Soient a, b, c, les cdtes opposes aux angles A, B, C , 
chacun a chacun , on aura , suiyant cette proposidony 
sin A : sin a :: sin B : sin b :: sin G : sin c; ce qiii 
' donne la double equation : 

sin A sin B _^ sin C 
sin a sin h """ sin c 

\ 

I ■ 

Lxxvi. Dans tout triangle spnirique le cosinus 
d^un angle est igdl au quarri du rajon inulti- 
pm par le cosinus du c6t6 opposS , moltis le 
produit du rayon par les cosinus des cdtes adja- 
cents y le tout divise par le produit des sinus de 
cesmemes cdtes : c'est-d'dire qu^ on a pour Van- 

ffle C, parexemvte. cos C = : • 

^ ' * ^ ' sma sinb 

On aurait semhlahlement pour les deux autres 

- , R' cosa^^ R cos b cos c _ 

anf^leSy cos A = z—. > ^t cos B = 

•^ sin b sin c 

R" cos b — R cos a cos c 

% sin a sine 

^%* «*• Soit ABC le triangle propose dans lequel on fait 
BC=:i2, AC = i, AB = c. Du point O, centre de 
la sphere, tirez les droites indeilnies OA, OB, OC; 
prenez OD k volonte, et par le point D, menez DE 
• dans le plan OCA et DF dans le plan OCB , toutes 
deux perpendiculaires a OD, lesquelles rencontrent 
en E et F les rayons OA, OB, prolongds ; enfin 
joignez EF. 

I/angle D du triangle EDF est par construction 
la mesure de Tangle que font entre eux les plans 
OCA, OCB, ainsi Ijaiigle EDF est egal a Tangle C 
du triangle spherique ACB : or dans les triangles 

*«T. DEF, OEF, on a* 

CQ^ E DF _^ DE + DF— EF* 
R ~ 2DE.DF 



SPHilllQtIE. 397 

R ~ aOE.OF 



,7 



Prenant dans la seconde la valeur de EF, et la 
substituant dans la premiere, on aura 

4 « ——a . a COjEOF 

COS EBF DE + DF— OE — OF+2OE.OF 



R 



R ~ aDE.DF 

Or OE — DE = 6D'et OF — DF^Od', on a done 

,,^^ OE.OF.co^EOF~Od".R 
coshm= BE.DF • 

II ne Skagit plus que de substttuer dans cette eqitation 
les valeurs < relatives au triangle spherique : or on a 

EDF = C, EOF = AB = c, ~ = . ^^.. = 

Dii sui DOE^ 
R OF R R OD cos DOE 



sin b' DF ~ sin DOF ~ sin a' DE ~ sin DOE 

cos b OD cos DOF ^__ cos a ^ 

IhTb' DF ~ sin DOF ~" 77^* 

R' co^ c ^ R cos a cos b 



COS C=. 



sin a sin b 



Ce principe , qui , etant applique successivement 
aux trois angles , fournlt trois equations , sufHt pour 
la resolution de tous les problemes de la trigono- 
metrie spherique : il a, par rapport aux triangle 
spheriques, la meme generalite que le principe de 
I'art. XLV, par rapport aux triangles plans. En effet » 
puisqu'on a toujours trois elements donnes par le 
moyen desquels il faut determiner les trois autres, 
il est clair que ce principe donne les equations ne- 
cessaires pour resoudre le problemej equations qu'il 
appartient a Fanalyse de developper ulterieurement, 
pour en tirer , suivant les differents cas , les formules 
les plus simples et les niieux adaptees aa calcul loga-' 
rithmique. 



398 TRfGOIfOHisAlB 

Lxxtii. Puisque le principe clont nous parlbhs est 
absolument g^n^rai j n doit renfermer tous les autres 
princlpes relatifs aux triangles spheriques, et notam- 
tiient le principe du n^ lxxv. C'est ce qu'il c/jjij/acile 
de verifier, 

-wp fe i^f . i-i R' cos c — R cos a cos b 

En eiiet It^quation cos G =: -i — ■ ■ . , ■ ■ 

^ sin a sin b 

donne R« — cos* C ou sin^ C = 

l!^^sin*asin*b^'^*cos*acos*h'\-'iiK^cosacosheosc^^^cos*c 

Sin* a sin^b 

Or 5i7i" a sin* 6 = (R' — coj* a) (R* — co^* t) = 
R* — R* C05' a — R" cos* b + cos* a cos* b. Done en 
substituant et extrayant la racine, on aura 

sin C =3 v/CR*-R*^o#*«-R*cof*fr-RVoj*c4-aRcojacof ^cojc). 

v. -^gifiatinb 

Soit pOTir abr^ger Z = 
l/^R< — R'co5'fl — R'coj'i — R*co^*c + aRc05aco5Scojc), 

on aura done 

RZ sinQ RZ 

sin L ;=-: r-7 J ou -: = -; . i ' ' : — , 

f 2/2 a f I/I b Sin c sin a sin sin c 

Les valeurs de cos A et de cos B donneraient sem* 
blablement 

sink RZ WwB RZ 

sin a sin a sin b sine sin b sin a sm b sin c 

car la quantite Z ne change pas, lorsqu'on f^it la 

permutation entre deux des quantites afb^c\ done 

sin A. sin B sin C . « . . 1 

on a—: — ==— r-r=^*^T — , oe qui est 10 pvmcipe du 

sm a sin sm c * * * 

n® iixxv. 

Lxxvm. Les raleiirs que nous venons de trouT^r 
pour cos C et ^m C, peuvent servir a trouver les 
angles d'un triangle spiierique dont on connait les 
trois c6te$ ; mais il existe d'autres formules plus com- 
modes pour le calcul logaritlimique. 

En effet, si dans la formule R* — R.coj C == 



flPKBSfQirs. 3^9 

a sin^^Qy on substUud la yaleur de aoi C, en aura 

2 sin * -J C cosC cos a cos b -\- sin a sin ft — * R eo^ c 

R* - R sm a sin b 

9 

Le nurtierateur de cette. expression se redult k 
R cos {a — b) — R cos c; or, d'apres la formula 
l\ cos ^ — R cosp=fistn{ {p+q) sin{ (p — ^)*, on 
troiive R cos {a — b) — R cos c==a sin^ (c-^b+a) 
sini ((Jt— a+i); done 

/c+^— «\ . /€+a—b\ 

sin I I sm i ' ■ I 

R' Wii a ^1/1 ft ^ 

c-^b — a . e--\^a 

sin ■ f i/i 



JLXTItt* 



in^ C=R V/ >*_^ 

f sin a sin ft 



OU5W2A C=:K V^ ; a ft 



II est evident qii'on aurait des formules semblaUles 
pour exprimer si/i^A et sin^B^ par le moyen des 
4rois c6t4s a, h, o. 

Lxxix. Le probl^me general de la trigonom^lrie 

spherique consiste , comrae nous I'avons deja dit , 

a defierminei: trois dea six quantites A> B^ G^ 

a, b J c, par le moyen des trois autres. II eat ne- 

cessaire, pour cet objet, d'avoir das equations entre 

quati'e. de ces qnantites , prises de toutes les manieres 

possibles ; or , six quantites combinees quatre a 

6. 5 
quatre ou deux k deux, donnent — ^ ou i5 combi* 

naisons, ainsi il y aura qi^nze equations a former; 
mais si on ne considere que les combinaisons essen- 
tiellement differentes , ces quinze equations se redui- 
sent k quatre. 

En effet, on a, !<> la combinaison abcA.^ qui 
comprend, par la permuCition des lettres, abcA. 
abcB^ €^bdG; 

2<> La combinaison abABy d'oii resultent abAB, 
bcBC, acAC; 



nfi AG, abB^G, acAB, o^oBGv irc^^p^^ziKGj 
4^ Enfii|i,v]a combinaison aABC^ qui eomprend 

les trois dABC, 5ABC, cABG. ^ - '^ «^^ ^ 
Xij jx done en.toutciuinze combwa^^/fg^inais 

il ii*y en a qme quatre^ essentiellemeot uifiBrente&. 

-,, . . R cofa — R cos o cose* 
.j,^3tW„.iL.eflp«^U(V>. cp* A=: -j^-^^__j_. 

represente deja b ^t^miere cotnbbiAtsoii ^bhA'*^t 

Pour forhier Inequation qui repond i H^croibi- 
rhi\s6fi'kb'AB\ il faut ^ii^nmer c descteusi^'ibi^thules 
qui donnent les vaieurs de cos A et cos B^>ifldh94'<^i* 
mination a d^joi ^te fofte* (^LxX^ii), et le. residtat est 
sin A sinB ■ ' *' '^' ' ' 

Lia troisieme combiiiaison se iotae ae^^r^lii'tion 
entie a, b, A, G\ pour^'dcla'ai^aiit'hjs tfii^s!^^^^ 

' ■ dos A sini sin t±i^ n^eas^a^Jk'll&^^B i^¥hf'^^' 
' ' 'cd^'Gsikb'slh «=rR' 'doit!? ^»^cb*?AQi>a;i r 

,011 jen eliminera d aoord cos c, ce qui d<^nnera K C(S A 
Sin c -h cos C 5i/i a co5 6> = U co5 a 5i/z t^ ; mettant 
^ • ij II • 1 1 • sinasinXZ 

^fldeaitO' danQt« ceaeNci l&Yaleur x«« <?=?; ■ ■■ ^ . ■' ;" ;-rm v on 

f i/i A 

"aura pour la trdisieme combinaison 

. co^ A 5/« L + C05 C co^ b = CO/ a 5z/? o,, (i) 

.lfe'*Tl-:*l. - . > •■' ^ . f /.u>i. : -il, .Vr 

( 1 ) Ponr retenir ais^ment cette formnle etfa'^e^diiT^f ?tl$^m 
▼oici ane regie de Mnemonique : 

1*. Avec an c6le a et Tangle oppose A, 



Avec an autre tk/kb ^'«t i!jiL]kgI«atlJRfteftt^> io:» 

ineUra»kivpi«itM:^Urcs«a«aBt lea -|;Baji^Sj»i o c'wb'> c ja&i^. -. 

a* MaltiplieiTt de- ^Hurt tt jd^M%\MJS ^s ■^htti^\sii^Q,y en sapposant 
le rayoS B»ioqfq*iHins* am^ <■ .• vru.^ -^cwoocnod Jn*f^ -♦if-. 



Enfitii) »p#itfr-awHr lareUtioii entra A^ B,'G) a, 
j'observe %ue dans requation prec^dente le terme 

. , -n ^''^ ^ n sinB ^ 

cot a sinbzzun.cosa.'-i — =:Uco5a-r— r; done, 

sin a stnA* ' 

en midtipllant cette Equation par sin A^ on aura 
R C05 A sin G=R co5 a 5m B — sin A co5 C cos b. 
Si dans cette equation on permute entre elles'les let* 
tres A ec B , ainsi que a et b^ on aara . 
Rcoi B sin C=iKcos bsinA-^sin B cos C dos^u* 
Et de ces deux-ci on tire, en chassant cos b. 

T{*cosAsinC+KcosBsinCcosC=zcosasin^sin* C. 
, Donoeikfin. 

R* cosA^+KcosBcosC 

cos a= ' r> ' r^ • 

sin B sin C 

Cest la ralation cherchee entre A, B^ G> a^ ou la 
quatrieme des equations necessaires pour la resolu- 
tion dc^s triangles spheriques. 

I.XXXI. C^te derniere equation entre A, B, G^ a^ 
otfre una analogic frappant^ aireo la premiere entre 
a, &^ c, A : et on peut rendre raison de cette ana- 
logic par la propriete des triangles polaires ou sup- 
plemencaircs. En eflet, on sait que le triangle dont 
les aiigles sont, A^ B, G,ct les c6tes opposes a^b^ c, 
re pond toujours a un triangle polaire, dont ies cdtes 
sont ctoo^ — A, aoo® — B,aoo» — C, et les angl^ 
opposes 200** — a, 200** — ft, 200°,— ^c. Or le prin- 
cipe de Tarticle lxxyi etan't applique k ce dernier 
triangle , il en resulte 



9* Bt^ le ptemier aiAmbre , aipares \m petitM leltres^ dn gCMMkftf 
en metUot a cellea-ci le Mgn«— Toaa aares re<|]Uition vraie 

eotasin h -^^€01 A. sin C^z cos b COS Cf 
laqaelle ^tant hora6gene anra lieo, mime aans BDppoa«^ R ae i. 

a6 






i5^ mil se reduit a 



i 



R' COS X -f- R CQJ C cos C ^.^;^ f,*^,. 



ca5a = -^ ' p . V, 



4*1' V|/ 



^ipfti jgti© nous Tavons trouve par uni^ autre Voje, 

•^ ToGstffi fofmiil# rteoiit tamiediaiteiMNiir Itt^^m bu 
J3ta'>wkt*tfUteBiBiiiar u» oAt^ par le twaep&t da oiois 
j«(^i';. m^^ 1 pour pvi^ir une fonDul^ plqA^cofB- 
aofi^ii/f pour le calcul lo^ichmique , 09 Aubackoieva 

^a'Vdi^ur de cos a dans T^quation i4-'--a-— == 

roil rj! . ' ' ' ' ''i ** 

<a^|lii, M qui don*^ i~^ = 

i<«BMC«-tfo#Bcof C^Rco^A <^Rc(v(BHhC) -R coiA. 

Et parce qu'on a en general B. P05^ -|-R,coiy^= 

a cos{ (p + ^) co^ i (p "-^ ^) t cette equation, se 
irMuit i 

m^'ia ^^€osi(li. + 1i'^Cl€6s^{B'^ei*^\A) 

R* jr^/i B ^//2 C 

irfi il faut observer que le second membre, quoi- 

qufe sous une forme jne^tiYe, est ndanmoins tou- 

}ourfl posUif. Gar on a en gihitfral lik {x — ipo^') = 

#m ^ cos iiib*'-^ cos x sin 100® , 

— g = — cofx 4gnc 

•ijuayitftd qui est toujours positHei ^arcd (]f£ii^ A •^ B 
H^'G 4ta<it toujours comprts enrre'aoo*»et6dO<^, Tan- 
gle i ( A + B + C) — 100** est compris entire i^ro et 
aad<>; d'ailleurs eo^i{B-f^G-^ A)>st toujours po- 
' ii^>^ ^t^6-qti*'^«i»-€i^ A M' j4uY\|)aS' ttiifasser 
^SibQ^i^n ^flfet daris le tnangle jibTiir^ K^^iJit^'^bob^ 
,-^iA. ^i jplus jp#tt q^e la sgnlii^t'l^ d^ ^\u^ iiutres 



j^fesmt ainsi ussurd que I9 r^ii\u^ f^,.(f^i||jpl^ 
positif, on aura, pour deteripiner un cote par \e 
moyen des4ingles, la fq|:ipujl^. 



/ A + B + C B + C — A 

«*if^ ^^V) . - ■'»,,.':- ■.^■■'V ..>v.i 

LSXKiAi Anrauii daller plus loin, noU8Teiilati^4ti^ns 

que db ees formules generates , on peut d^uire^ceUeb 

^ftjm >cealifraiRit) ks mmn^wtn sfki^quJbi «cauny|g)tft. 

iBoiaijedbWltst , on fsm^A^sxcido^^ tsm «feiM^bi| iffcitia 

formuhs principales qa^ daiia celled quf ei| 4/f|rbrem 

par U permutation des lettres. £t d^abord requation 

:cos A sm b tin p^z B.^£o5 acr^AfCM ftfa^^f j^ '* 

par cette substitution 

Les di&riVe^s de l|eqMa&ipn gep^ral^ lU) copti^^nneilt 
point A, et aip3i np doni^jplJi ^ui^u/^^ r^l^tiipn J^]^- 
verte dans ^e cas d^ A=: loo®, , ; 

. ^Ir^oiialkHi ^^^3==^^^2Jl 4tlitonj5-|^^ 1$ Hcis'tfe 

— . * . - sm a sin b^ - -* : \ — 




'A 



A=ioo«, , . . 



f ^ 



Et la derivee -: — = — ^, donnerait eg^alement ^ 

sin a sin c\ - o . . . ^ ^ ./,<, 

R ■'' ^ih H ' . . .------- 

-: — zsz— — : rnais celle-ci est elle-m^me une derivee 
sin a sim^c^ * ' ...'•.. 

jLleTi^qu^tipp (jjQ, ' ' . .- 

L'^quationco/ A ^i^C+cos Cj^4 ^q^^finAiu^* 
donne (J^pf ,Ie cg« de,45?? fOO% cg$GQ^si^;:fs^'do4^ 

sin b, QU ^;. ^. ....;.N . , ., - I . ; . : ->?;; 

La deiij^.fof,,,G % 4 + <5fV A/fo^,ii;=s;^)a^^ ^*fe4 
donn$,.dfiiy l^.fl^e.,^&,.R co^C,3=:cia?.p^«»;*>,^u 

20. 



^o4 TEiG0iioiiiKir|iis 

Enfin Ift^^atrieme Equation principale sin B sin G 
co5a = H^6o^ A^-Rco^Bcoj C, et sadefiV^^m A 
jm G cos ft=R*c)t>i B+ R co5 A co5 C« donnent dans 
le cas de A:=rioo"^ wj B sin C coi a=r Rcoi B cos G 
et jmCeos AzoRoof B, ou ^wi^j ,». ^ 

j//l C cos ft = R C05 B. » ; ■! «fl. ;>.'>^ 

Ge^sont ies siic equations sur lesquellas la ^6^pkuion 
de^triatigle$ rectangles est fondle. : ^ : 

'' \xxxin. Nous terminerons ces primtipld^'pfiip la 
d^onstratibn des Analogies de TSl eper y <tpi\^x^r^\ 
\ si'ihplifier pliisieurs cas de la resolution' des triangles 
sph^riques. .':..... 

Par la combinaison des valeurs de 60 f^ ikhosCi 
exprimi^s ett a^ b, c, houi^ avows ^d^* obtenu 
*i.xx. Inequation* - ' ♦ y 

R' cos A* sine trr R cot a siit A f^^c^^ iG- ^miaiaas: b. 
C^Iie^'et doniie-pQriineBiniple'ipermi!ii&ati^ xi> 

R C05 B 5m c ■= R coj & \jf/2 a - — ^6s G sM^H^sNi. ' 

Done en ajoutant ces deux equations, et remusant, 
on aura . ^ 

sin c {cos A + cos B) r=: (R — co5 C) sin (a -f- A). 

f //I c stn a sin b 

^ 'sin (sin A + sin B) =zsin C {sin a + sin b) 
et sin c {sin A — sin B)=isin C (5m a-^ sin If). 

Divisant successivement ces deux Equations par la 
precedente, on aura . . 

' . , . siti A,+^//f B sin C ,*<>2 a^sin b 

■ '■ ri < ^ ,« ■■ ' III I ■ "' ^ ~ III > I < 11 ^ •■ ' - ^ 1' 

co.f A -f- coA- B R — cos C ^7>i ( fl H- /^) . 
^^/^ A — sin B j//2 C !«/i d-^sin '■ 

. 1 cbs'K -:{- cos B Bt -^ cos C izVi (a + b) 

Et ehredttisant celles-ei par Ies formules des arti-^ 
cles XXIX et xxx , il viendra 



„ tang --\ A, — d\ ==: C0^7 l-i . —r-T} — r-TT. 

Done ^tant donnes les deux c6t^ aexb avec ^'atigfe 
coiTi{)ris C, on tromrera les deux autres angles A et B 
par i<>s analogies, 

cosi'^itA-'h) :coi\ {a — b) :: coe\G:tdng^{k 4f^^B>) * 
sin^ {a 4- b) isin-^ {a — b) :: cot^'G:emig'{(At'*^ 9)lf 

Si QiEi;a{^iquje ces mSmes analogies an trianglis, po- 
laire du^.t^iria^gle ABC, il faudra mettre ,200^ — ^.| 
aoo*^ — P y i^oo® !— a, 200® t- ^ * 200^ -1- c^ a la place 
de a^ 6^ A) B, G, respectivement, ct on aura pour 
resu^^ 9es deux, an^log\es . ^. '^ ' 

co${{ALrhJi) icps-^ (A— B) :: tanff^Qitang^ (a + 1).. 
51/1^ (A + B) : jm^- (A — B) :: tang'-c:tang{ (a — b)), , 

au nxQycxT'desqiielles^.'etant.daniiies un cdtf c etles 
deux angie& adjaoea^ A et J^> on pourra tacouver les 
de^Xt,,^|!re,s c6te3 a et b. Ces qua^e proportions aont 
connues sous le nom diAnalomes de Neper. 

Resolution des triangles spMril^ues en 
* general. 

La resolution des triangles spli^eiique:^ comj^rbhd 
six cas gi^n^raux, que nous allons dev^lopper sue- 
cessivement, 

P&EMXBR GAS* 

Lxxxiv. Etant donnis les trois cdtes a, I), c', 
on trouvera un angle qtielconquCy par exemple^ 
i*angle A oppose au cote a , par laformule : 

Ia-^-b — X . «-hc — b 
Sin V sin c 



4ba tiii^6A[*o11ietAi« 

Lxxxv. Etant donnas deux cdtis a e^ b as^ec 
Vangle A opposS n Pun de ces cdtis^ trouver le 

sin A si'n b 

v^^ \?QW Awir VwgW C , il faut resowUfe r^^jj^jijtton 

MH>^^ P9i|r.c»(t efiHt uh angli^ HuxiUaire,?. ^e oia^ 

, * -, cos b tafiff A ^ . . 

mere quoi^ ait tang ? = =r— ^ — , ou''tJ^^A:=; 

f^_f?f J. . ceue valour de cot A rftant subsiith^b dahs 

r^ituaticm a r&oudre ^ donne tt^t f cos 9 ^m C 4- 
ii/i 4 ^^ C) =sco^ n sin b,Woix Vdh tire *' P^ ^ ' 

fn-nrr t\ bwvt ffl 

z' <• i • . 1 • ;• > 



Stn (C Hi- <p) tsti > ^■■n - ^ 



*-.! '•. i' lilt,. 



Par cet artifice , oh voit que les deux termed inconnus 
dans reqii^tipi)^ progos^e lie r^uisi^ut k utt ^eul , d'oi^ 
il est facile (le Urer rangle C. 

3o Le i?6t4 6 s^ l^^ouVera f)ar Feqiratito 






On peut aussi le determiner directement Biif la r^« 
soTuhon de l equation ? ' / . , 

R cos b cos c + cos A 5w t sin c == R^par«{iv * 

Pour cet efFeif soit co5 A sin o= .ii,*.^-.-^-^^ qu 

c:a<'A f/7/J/f 5 . »• . .i ^ ji 

- ra/iir $^sss: >^^m-rrrr — 2— on aura 

cherchant d^ab|^*4-lcaiuafjiiaire f parj^^quation tang 9 



srusaiQiiB. ^y. 

cos A tanffb i a # i»# 

= = — 2—, on aura mjC0^ c f^J 1 equation 

COS [ c — Q ) •"""? *^ ^ * <- . . 

le cas anaIog[iie de& triangles rectilignes. . 

TROISI^ME CAS. v\ ^y.; i*, ;Vx», 

Lxxxvi- j^fanf dotinis deux cdte^ a e^ b «?wc 
r aji^He compris C, ttottver les deux dUtresdnj^es 
AetB^t le b'disieme cSt^ c. 

lo 'l.es angles A et B se trourent par e^sjiAttfjl, 

. to/ a sin b — c6s C cos o 

„ CO/ h sin a^^cos C cos df * ^'' 
. co^ 45 2= " ■ t — 77—7; — v • 

dans lesquel^es le$. sec(np.dsMi^enibre$ ppnrraient etre 
f^duits k un seul terme, au moycn u^utl auxiliaire; 
mais il est plus simple ^ dans ^ c&jl, do se ^eirirfieai 
analogies de Neper, qui donnent 

3 s'n 's Kf* 1 "J 

\^ A4-B ^'X^'"'^^^T^-«y''^'"'^^ 

a^' Connaissant les angles A,et B, on pourra c«l« 
culcr le troisierlie cdt^ c par Tequation. sin c = 

a requation ^ \ % \ U 

R' c©5 c=2i: sia a, sin h cos C -1^ R cos a cos b. 



T>. 



.>'*■ 



VAVf\ 



Soit pris rauxiliair^ii ?^ d^ liij^niei;e^qiL*on ait sm h 
c05^C = roir 6 tdng 9 , ou /a/^ f =24 — ^ — ^ ' ^ ^ on 



C05 b 



' •-v'?f-j'i>ed5'0;=5--^-^^;j^{ii^-^«p)Ui'li Jn>5cbi;«dj^ 



4l^ Tiii'SVQoaian-KiB 

Lxxxvir. Etunt donnis deux angkjf \4^ H B 
a^'ec le cdtd adjac^t c , ttouver ies il^^pc^quires 
iUitis a i?f b,, €t le troisieme anglt CL ^, ^<,.^ 

i^ Les ikux; e6tes a et & sont donnes ^ar Ies fur- 
mules 

cot A «« B + cos B cojp c K t<>> 



cot i^= 



co^ B sin A + coj A cos c ' : 



, sine ^ . 
mais on peut Ies ' calctller plus facilement par le$ 
fl^^git^deN^per^'savoii't - L^iifci 

. A+B . A — B , afi^''- 
sin Y- '•W' — z— r.Uinff^citanff 

A'H-B A — B ^ /i + ft 

2? Con4jaissan|{ a et b. on trojbtiefa G ^r requa- 
• ^ sin i: sin. A . 

t!on ^m C= : : mais on p^ut aussi trouver 

sin a 1 *^' ^ ^H^ tu J'^-- 

C directement f^x l/e<}uation 

R* cos C = CO* c sin A ^m B ^ — R co^ A co^ B. 

on aura 

cos C = cos B . — ^— - — '. 

Cf^,ci|5 e^.le precedent ne laissent aucmnp in^cr^ 






t^xxxviii. £ttMt^iidnnes deux akgles k et l^ 







f01<| i.''<»p »t .. 



3 



1° Le c6t^ b sf txpif^^ ^J^r; I'^quation sm b =: 
sin B 

^^isn^l^r^ ■ - - ^■■' ■' --'^■^- • 

cot a stn^c-^cos B cos cz=::cofA stn tt *' 
Soil &^ a =tcos B-r-~ou tans^ f = = — ^- ^n 

aura . ^ (smc cos <f — cos c sm^) ^mcot A sin B i 
sin <f ^ ^ ' ' 

done I -f, .'. . -: 

3» L angle C se trouT^f^,parn.J^.»e»pln4fyj,t^ 

€Joi ^ii/r^B im C ^^ Kcos B co^ C = R* co5 A. 
Soit -pop feH effetdd^ atyn^ B±ii' — -r— — ^, ou 

co/^ = — i — -—-3: — , on aura —. — - (sin G cos 9 -^ 
' R - ' .fin ? ^ . . ' . 

C05 C Sin 9 ) = R'co5 A ; done ^ 

Ce cinquSinib easi e^t ,* fcottniie Ife s^dcohd , 'sisfc^^tl^te 
analofioie des triangles rectilif'nes. 

StXIBM^ CAS. 

Lxxxix. Etant donnis les trois angles A , B , 
Qa ^dk tr&ti^erd tin c6te quelconque, pdf 4^^/^-- 
pie , le cdti opposi a Varigle A , 7>ar laJo'rfMiW^ 

les trois derniers pourraient se degiiire den,trois pre- 
rniers , par la propnete des triangles poiaipes : de 
sort© qu'a proprement parler , il n'y a que trois '^is 



i 



4^ rnri&viinsnirtLin 

Aheffert^ Akr\i id resolution igeniM^ ^e$nUfKing\e^ 
sp4ilA*ique5. Le premier cas 5e resotit fMifffMHtt)iNBii9j 
analogic) comme les triangles rectangles ; le troisieme 
se r^soiit d'une tnahiei^e prfesque aiK4si Sii^le, au 
moyen des antilogies de Neper» Quaiit^ ou ^^ond , 
il exige demi analogies ; et d'ailleurs , il admet (juel- 
quefois deux tolutions , tandis que le premi^i^ et te 
troisieme fi'en admettent jamais quVne. 

xc: iPour distinguer dans le second cas si, pour des 
vafeh« particulieres donnees do A, n, b, il j 21 'ddfii 
fi«» »^- triangles qui satlsfotlt i la question on senlemfeih'un; 
*HSp|>0*bri% d'aboi-d Putigle A<iod«*^ el soic^tipro- 
ftJhgfo 1^5 *4aix ctfiiV AC , AS jusqu'i ce ipifik se 
l^fehedfttrertC de iKMjveau en A', ft op pretul rBs»W5' AC 
'^i^a^ lit qu^on AhA&d 6B )ferpeliiU«^)dif^JS«r4B , 
le§ tSt^ AD4 CD dtitrtangie rectangle ACDv^settmt 
tous deux plus petlts que 100^, la ligne CD sera la 
distance la plus courte du pbi'nt C k I'arc A&« et en 
prenant DB'=: DB, les obliques CB ', CB seront egales 
et d'aatant plus longiies qU'ellfe* A*ecanteQ0fit^}dus de 
la perpendiculaire. Soit AC = i, CB = a, on voit 
douc quVix tria^ngle dans jequel nn a A< lOos, b< 
tao'*^, ^in<b,R siicessairement deux solutions AGB^ 
AOB'j^.iW^ ^.'B^ supfto^ajnl toujoufs A -^^t 1^ plu^ 

, petita qutt 2€ia?) ;on a « > f& ^ aliora )fi point B' pa^ailmife 
au-dela du point A, et il n'^ aurait quhine solution 

-rept^sewtee par ABC. 

^•Sait?0n suite Ad' > 106^, si 6n abaiss^ bper{i6ndl- 
cuUil^C'D" 8ur ABA',onattrademfihieO'D^ <*:':Q% 
. ^t' P«r<i C/B'" men6 entre D' et A% serft >€'D' ^i 
^i'Ar'^ dbhc si on fait AG^ ac h^C'R"=zC'B"J:=sia, 
oh voit que la suppo^iion A< 160^ et b> too^ don- 
nera ^leux solutions si a + b< 2oq<>, et n'en clpnnera 
qu'uiie si a+b>2op^. parce qu'alors Ye point B'" 
passeraijt au-dela de A'. Discutant de la mdme manier^ 

le cal 6\irangle A.^st> loo^, oti potiYrd i^taHIfr ^ainsj 



1«$ 5)fttJpt6«Qbs ({ui d^termihoht si, datis h okiU^ifi 
que^cHi-ftdn^t deux solutions ou n'en admet qtt'^ne. 

r.tic r I aJ<*>* BBC solttlion. 

A<iep ,6<ioo 1^4.^ deiii solHtie^s; 

"V ' ' £a4-ft> 200® deux solution^* 

o^^>^ dfittx $oiUliohlv 

n U*f ibri ciVaiife solattcii ^1 b^ a A s= foo«, .io|t i^^|^^ 

c^s tinqiiierne ^arla tif>it' dn irifltlgl0 pol^lre , ^.p^ 
en tii^h lets^mptdcbes siiivahts 1 qUi Airdnt cola^ai^ 
si pp^^^^Ieft vaUurs d(Htp4((s de A,^ B^ a, il y a d^ujL 
triarigl^i i Qtf i satisFont a ia question » da ^*ll li'j eaa 

» 4Jz^ot* uttlA,<fi line solution. 

«>;<od*,B^i(Jo«*K^B deux solutions. 

• ■'»♦••;•■• I'- • ^ 

. «^ ftjA+B-^aoo** une solution. 

'">•*««'»<»"« I A+B>2oo«dcux solutions. ^ ; 

- i< lOo-i B> i6«/» I ^±1 < «»oo»dc«x .olution.. 
' ) A+B > 200 une solution. 

*,^ .«^o T>^ ,^^0 t A<B deux solutions. 

«<i90 ,B<ioo jj^^g ^„«,oh«i6«. ' ' 

XCIT4 Dans tQU5 les cas , pour i^carter lea salMtions 
inutties ou fitHsses, U failt se rappder, i^ qntl PovA, 
apglfe en lout c6td doit ^fti^e plue petit que 20^!} i . 

^^ Que les plus graiuls angles sont opposes 'am^ 
plus grandsxdi^s, en sorte que si on^a A>9fril fa^l 
qu^on ait aussi ja >.b, et vice versdf 

Bixetriples de la risblaiion des tridngtes 

spIiMaues. 

:;Lcmk,^af({nfple L Soieut 0, M^ If t^oi^ poinW fi«. i5. 
situes dans un plan incline a Thorizon; si de ces 



0,M, N devront ^tre representes sur ^rplafi^Ji^ri- 
zontal par leurs projections Dyin^ n, et Tangle MON 
P^r mJi-n. Cela pose , etant donne Tangle ]M!ONp^ et 
Ip^ irK^Iinoisons de $6s deux cdtes OM , uN sur la 
Yerticale OD , il s'agit de trouver Tangle d^ prpiec- 
t^o^ m, p n. '' jj T\ 

> .Sia point O comme centre et d*un ray<}n ip: i , 
^efjriy^z une surface spherique qui . rencojcitrp en 
^^JPJ^C, les c6tes OM, ON et la. verticale Op„ yjous 
aurez un triangle spherique ABC , dont les tr^is cotes 
l^n^ copniis; on poi^rra done d^termin^r V^'^g^!-^ ^ 
^fd ^ mD n par la formula, du premier, ca^.^^ 

'Soitpar exemple, Tangle MON=AB=6'4«'4'^' 66"; 
iangle DOM = ACz^pS^ laSet Tangle I]iON:4BC= 
io5° 4^% on aura par la formide cit^e ' *^ ' 

sin aft** ^n^ 3o" sin 35« 87' 3o" 

j//i»iC=R*. -^ ' • 

• J//198" ia'«/2 io5«4a' 

Yaljpui: que Ton qalculera alnsi :^ ^ , ^ , ^ , : 

Ifsin a8** 67' 3o"...t^. 6373956 L.^//z 98^ 12'... 9.9998 106 
L. sin 35* 87^ 3o"..>9.727656^ 'L.sinioS'^i^.*.^iJ§^^^% 

tomme + a LH. ,39.365q5i8 19.9989134H 

a L, jm-C. ..... 19.3668170 

I-^''»tC 9.6834085 |Vc^64 94i 

J9«bc Tangle 64^ 44' 60'% mesurci dans un jplaii/in- 
icliii<!ia ^'horizon, se rdduit k 64^ 9' ii'^^ loirs<{uUlr,e3t 
projet^ sur le.plan de Tliorizon. • 
- . C^ probl^me est uiilo danft Tart de levbr los..piLans, 
lOTsquei 4e5;p<atintk qu'on veut det^rnuner.sontisitues 
Ji des.ba^oi^tmis sensiblen>^]^t^ifi'^€n^ au-di^sus d\un 
mdme plan horizontal < 1 1 ,: . 



\y^ySM}cenif>k Ili G6iinaIssantleA latitudes 46 AetA 
poilftii^'dif' globe, et leur difF^nce en longitudd^ 
troti^^ teur pitrs courte distance. • . • 

On rniiagifiera un triangle spTierique ACB form4 
par.te pbie boreal C, et les deux Ueux A et B dont il 
sagit;^ua!>s ce triailgle on connaitra iangle^au pole 
ACB , qui est la difference en longitude des deux 
points A et B, et les deux cotes compris AC, CB, 
qui sont les complements des latitudes des points A 
et B. On determinera done le troisieme c6te ABpdt 
les formules du cas in, ^^ /^ 

Soient , par exemple , A et B les observatoires ^3fe 
Paris et 3e Peiin ; la latitude boreale de Vun die 'ces 
lieiix egt djtj 5^«,26' /J6,"j/celle de Tautre est dp^ ^» 
33^pa"^,e| leur difference ea iongvt:ude. est do 1269 
80' 56". Ainsi..op aur^,, ,^, / ,. ■ ^ V 

. , ., a = 45^73 '64" ; 

^= 55 66 27 ^. 

C=i26 80 56. 
D'apres ces donnees on aura pour determiner e^ 

^ n ' \ ^ cos C tangb 

les ioirmules ta/ig 9 =: r- — s— ^ cos ots^ 

CO* ^ CCS {a — ©) I .•- ' 1 ♦ I a 

^ *-^, dont voici le calcul 

cos 9 

L. cox C . . • • 9.81143S2 

1j, tang b* • • . 10.0776707 

lj.tang<f,, • • 9.689J059 

L^aftgle f que donnent les tables par lemoy^n ^debe 
logaridtfine-taDgente estjaS^ 94' ^23"* Miis-il faiie 
observer que cos C est n^gatif , et' qu^ainsi^/ttTZg^ <p 
et^tiii^gatif, ^i»<doSt prendre ^ ttt: -^ aS^ £>4* a3", ce 
qui donneraa^**, ?=!:;; 4^67' 87". CeUpos^^eii ob- 
servant jciteoo«'{ft**1>) 3= oju 9, on acli0v«tnM aiitii le 
calcul • '•• v- ijii :iJii'j i-rf:?;-:- 



'- • I4. €os (a — f ) . . 9.5880938 

ti.cosb, • . . . . 9.8071953 ^ ''^^' 



^ ■ ■' . ' — ■ '«' J. Ti '^^wr^ 



19.39SS891 
L. co/9 9.95348^3 iV^^>* 



'* i ^' - kv 



L; 0df c* • « , • . 9.441^068 

jDohc la distance cli6rch^6 02=812^ i<}' dSf.iiCiJtle 
ni^ine distance peut s'exprimer en myri^m^iies^ip^^ 
'Sai^dpS; esir un myriameti*e est la longncitir dHiift 
fire de dix minutes , et un metre est^ cellf d'to*Arc 
d^im dia^i^n^e de seconde. , \ ' 

«i «cv. Exemple 111. Pour doiiner un exeinple dii 
cas cinquieme , proppsons-nou5 de r^soudre le trian- 
g^le sph^riqu^ dans lequiel on cohnatt les deux angles 
^ = 78^ 5o', B== 54"* o', e\ le c6t^ oppos^ i Tun 
4*eux a±=:()g^ 20' 17". Au moyen de ces donnees, 
on t^rouve d'api^es le tableau de Tart* xci,jqii'il ne 
doit y aToir qu'une solution , parce qu'on a tout a 
la fois a < 100*^, B < 100^ et A > B. Voici le calcul de 
cette solution. 

i*^ lie cote b se trouvera par la formule sin bznz 

sinB 

SiHA. . 1 . 

Ij.dna 9.9999€5g 

L. sin"h\ •..«.«. 9.8751256 
' ^0 — L. wA. •..<... oo25a525' 

L. fiK b i. • 9.9003440 

Ce qui donne pz=z^Z^ 5o' i^" ou son supplement 
l4*^ 49' 86"; niais pijiisque Tangle P e.st<; A* il/aut 
.giie le c6te b ^pii<a,»insi 1^ pr^juiere Ya)#|u?.f^| la 
fi^^l^jqui p^t^se avQir lif^U* 

^^ Ppur avoir le ^ote p on doit faire tang f s^ 
Cfis B ta^g a . f . ims P sin ff>^ 

fl ^ '^ tangK 

tans B co^ A Bin 9 



L. tang a — LR 1.^016731 L. cot A 9.5/|55a36 

.-•• < ■ [ ; , 

L. tang<f . .^•,,.; ii*7ft$0794 L. «> (c^^9). . 9.6001649 

<p=rrp««79' 28".8 c — <p = 26^ 7' 7o".5. 

Iqi on 9i pncore le qbptx de prendre pour c — 9 la 
valpkr tk6^ 7' 70 ". 5 , ou son supplement lyS^ 9a! 29^1*^; 
niai»'«ift''pi*enant cette soconde taleur ^ >bn aii^«ic 
c > !20o^, ainsi il faut s'en tenir a la premiere, icpd 

3^ Snfin , pour caiculer dmct^aenft l«Migl0i>Oii, 

v*'^'!' j ^ r 1' ^ « vos-ataamJi 
fiQUS p^^nqrons les lomules cot ^ = ^ ^^ , 

L« ^//i ^ . • • « • • 9*9999S£3 
)^. t;ay a. * ... • 8A.09^t»938 Ij. c^ 4 • • ? < • 9-(i^A03i7|i 
h, t&^B — Jj^ o.o547i0 L. R — Lcd^B. 0.1795937 



rr 



L. c9^.<^. . ^. . . 8.i53oiai L. ^/« (C - — ^) 9.6998211 
4^ =99« 9' 45'' V 5 C — I ±= ^3° 40' 54''. 5 

^ • * 99 9 45 -6 

C = i3a 5o 0.0 

On p'a pas pu pfcndfe ppur C — ilfle sjjppMtoetit 
de 33^ 4o' 54"- 5> puree qu'il aurait ^oii^e pour C 
une valeiir plus grande que 200^. A4&;^i,o?| yoit qu'en 
etfet ie pmbldme propose n'est susaspliblfif qu^,^^w^e 
solution. 

i^«to. Si on fait 1194^9 4^ VA^g\Qune 4iyi«u>n d« cer^Ie 
four le 'calcul de ces exemples , les angles donnas bi cStf- 
cuW» saront ^xprim^s coii^mes il siji|: ; ' » f ^ 

Ea^eiipiel. Angles doim^s. MON=± 58«» o' 5''. J . Px 

pOM=:88'*i8'28",8, DON sis 94* fei' 4^'v8} At|gl(!i wlk 
cuI6 Cz;=.57C4^'4'«,9. .. 

J&.1:. II. Ang^le* et c^tdB doniiis. df = 4i**9'46' ^, ^ ,., - 
^==5o** 5' 47'S Cip4i4^7' 39''. C6t^coneht. (:==73**4f{^4p . 

JE"x, III. Angles et cotes donnes. A= 79** ^g',, ^|^ A^.'SftV 
<i=.89" 16' 53",5. Angles et cotes calcoie s . b a :i ia' 39 '4"5 , 
= lai^ao' 16'', 6, C= 119* i5' o\ 






4l6 TRIGONOMiTAIS. 



APPENDICE 

Contenant larisolution de dWers cos particuUtSts 

de la Trigonometrie. 

xcYi. JL jL resolution des triangles , telle qnlon irient de 
I'exposer ^ ne laisse rien a desirer du c6te de la g^n^ralitd. 
II est n^annioins quelques circonstances ou Ton pcut , avec 
avantage , subslituer des solutions particulieres auj^ sola- 
tions gent^rales , soit pour abrdger les calculs , soil pour en 
rendre les r6sultats plus exacts et plus ind^pendants de 
Ferreur des tables. Nous alions r^soudre quelques-uns de 
ces cas particaliers , en choisissant ceux qui sont del'nsage 
le plus frequent , ou qui conduisent aux formules it% plus 
remarquables. 

T^ous continuerons de designer par A , B , C , les^ngles 
du triangle propose , rectiligne ou spb^iique , et par a, h^ c, 
les c6tes qui leur sont respecliyement opposes. Nous sup. 
poscrons de plus Ic rayon des tables = i , ce qui n*alt^re 
]>as la generality des resultats. Les angles A , B , C , sont 
exprimes dans le calcul , soit par les degr<&s , soit par les 
longueurs absolues des arcs qui les mcsurcnt , ces arcs ^kant 
pris dans le cerde dont le rayon est i. 8i tin an§le ou un 
arc a: est tres-petit , on pourra mettre , au lieu de sin x et 



x^ 



<:o^x,leurs valeurs en dixies ; savolr : sinx^^v •+• etc* 



X* 



coxx=:i— 1- etc. ; mais alors x doit ^tre exprimd en 

1,% 

parties du rayon. Un arc ^tant trouY^ en parties du rayon, 

pour avoir sa valeur en minutes , ii faut le multiplier 

par le nombre de minutes comprises dans le rayon; ce 

sombre est— = 6366.1977237 , et son logarttbme 

t=z 3. 8o3S8oi 2297. 



TniGOIfOMBtAIE. .4'7 

- « ^ ; 

S. I. Des maAgles rectilignes dont deux angles sont 

ms-p^fils. 

• 

xcYii. Supposoni que Its angles A et B soient tres-pelits 
et par suite C trl*.ol)tils , oh pourra faire sin A=A— J-A' 
sin B=B-iBS dt siM C:aj|^(A4-B)= A-fB-|(A+B)». 
Si^^.^H odttAalt le c6t^ c avte ki angles adjacents' A et 
B, on ttoUYet^ 1«» deax ttutres c&t^s pa^ les formules a=: 

h t± -7- r — , lesqaefles , tn stiBitituaht fes 



W/i(A4-B)' «'/»(AH-B) . , , 

vateuTS pr^c^dentes et rdduisant , deyiennemt 






h 



A-f.BV ^ 6 /' 



ct de la xisvXtta-^b — czxz^eAA. Cctf tsdiftfttf sottt Irf actes, 
a^x termes pres qai contienncnl ^atv^ diiftCnisij9As en A 
otB#. .•.-'-.■ • 

XGYiii. Supposons en second liai qn'ofi doiiAe lerdttis 
cdA^B^^B-et by ayeo raii|;le compris C=: 1P — d , 8 ^tant tres- 
pctiW>Oin«ani.d*ahorde*=»a'H'^>4*flai^c^#4^i«tt4i*H^d^H^iw2^^ 

Easnite Tan^e A se tronyera par Fequftiiajt fi^M-T^^-^^nCtt 

c 
u • . 

-'^fZ/i Q , d'o{& Ton tire , en substituant la valeur de c ct celle 
c 

Done A=*w A+i«/i* A= : + --^ — -^.«5- D* U 

on dMmrait la Talear de B en perffititant entre elles les 
lettr^ a H b; ni^is A iUmt eonnn ,.on a unmMialement 
Bz=(| - A. Si e4t donne en minutes , pour avoir A expriiue 



4l8 TRIGONOMETRIE. 

aussi en minutes , il faudra , dans les formulcs prdc<5dentcs , 

A A 
substitaer, au lieu de A ct Q, Ics rapports -r"> -T" > ^ ^^^^^ ^® 

li XI. » 

nombre de minutes comprises dans le rayon. On aura ainsi 

_^, 4«^ /ev 



-=^[--:-^a)*] 



XGix. Pour dohner un cxemple de ces formules , soit/z=:: 
iooo'",^=24oo'",,C::f i99°^a'ou9=68' onaurao-f^crz 

*{ r" ) =o-o378o6, d'ou ^=.3399'", 962194. En- 

suite on a par une premiere approximation A =•" — - =20 , et 

B = — A = /|8'; mais la formule cntiere donne A=2o'' 

[24ooXi4oo/68\a1 , on ^ 

'- lo^^ivR; J='9'-99988946,etpar suite 

B=48'. 0001 io54 9 valeurs qui doivcnt dire exactes jusque 
dans la demiere deciroale. ^ 

§• II. Resolution du troisieme cas des triangles rectdignes 

pat la voie des series. 

c. Etant donnas les deux c6tcs a et ^ et Tangle compris C, 
pour trouver Tangle B« on a la proportion bia :: sinJii 
un (B-f-C), laquelle donne a sin B=:6 («/i B cos C + 

^ . ^N f sinB bsinC ^. , 

cos B sin C), et par consequent ==. ; -. Si dans 

coso a — bcosQ 

cette (Equation on met a la place des sinus et cosinas leurs 

* xixv. Ynieurs en exponcntielles imaginaircs * , on aura 



^ b\^e — e J 



d'oii Ton tire 



g.BV'-i^ 



«-A«C^'- 



Prenanl les logaiithmes de cliaque mcmbre el dcveloppaiit 



TRIGONOMB rR[£. 4f.9 

|e second en sorie d*aprcs la f ormule connue L (42—;!:)== 

x X* x^ ^^ 

j.rt — -— l--.---etc., on aura 

a 2 a* 3 a 

a a a* 3 a' 

Done en divisant par ay/ — 1 , et observant quec*"^*^" ^ — 

tf"~'"^^~~'=:av/— I «/i m C, on aura 

h b M b* 

B=- sinC-\ -sin 2 C-f--~^ sm 3 CH r«/i4 C+elc. 

a a a 3 a^ 4 a* 

Cost la valeiir de Tangle B , exprimee en parties du rayon , 

par une suite dont la loi est tres-simple , ct qui sera d*au« 

tant plus convergente que b sera plus petit par rapport a a. 

La yaleur qu'on vient de trouver doit satisfaire aussi k 

a'\' b 
Tcqualion ta/tg(^ B -f- 7 C )= tang^ C , qui est la mtlme 

a-^^b 
que tang^ (A — B ) = co/ 7 C , et qui nc differe que par 

a~"i""0 
la -forme, de Ti^quation ^= 



cof B a-^bcosQ 

CI. L*angle B <^tant connu , on aura le troisieme angle 
A=20o^ — B — C. Quant au troisieme c6te c, il d(^pend de 
I'cquation c'znov* — 'xab cos 0+ b* , laquelle donne par I'ex- 
traction d% la racine, 

b* h* , 

c=za — b cos C-l sin* C-i «/i* Cco^C— etc, 

za a a' 

Mais cette serien*a pasunemarcliereguliere, etne pent pas 
etre continuee a volont^. Au contraire, on peut trouver une 
scrie fort, simple pour la valeur duiogarithmc hyperbolique 
de c. £n effet, il est facile de voir que la quantity a* — aa6 

cos C-hb* — {^a—be^^" *) ( a—ber^^-^) ; car le produit 
deyclopp<^ de ces deux facteurs donne 

a*—ab {e^^—^+€-^^-'^)'^b* ,ona*—iiabcosC+b* 
On adoncc*i=(a— ^c^^—O (a— &c^^^— 0* 
prenant les logarilhmes de chaque raembre, il viendra 

27. 



4^0 Tni60N0MBTRl£. 

2 L c= La- *.<=^- '_i^e»C^-'- ^.'C*"- ' -etc. 






Done en r^dui^ant de nouYeflu a Taide At la formule 
emCv^^i^^^mC^^^i ^^cosmCy on auf a 

b ^* *' n 

L^^sLiO'— -coj C co^a C — -r — rcoj 3 C— etc. ^ 

ix ad* 3«' 

serie non moins eligtnie ^le edl<$ q[ui donixe la vateiir de 
B: il faudra multiplier les terlftes.algebriqutfs par le moduU 
6.4^4^9448 9 u on vent que lei logaritlimet soient ceux des 
tables ordinaires. 

$. III. Resolution du troisieme cos des triangles sphcnques 
, par la v,oie elds series. 

eil. Oii « fait Toif dans le par^agrapie pr^c^d^Ht quo Isl 

nt-^n 

yaleur A<^ x tir^e dc Teqnation tatig .xzzz tang^ C 9 

tfl'-^n 

peut s'exprimer par cette s^rie 
a:=4 C+ — sin C + -^ sini, C+r — r«/iSC+etc. 



m 



^ m* 3 nr 



(it dans un triangle splierique oii Ton connait les deux 

c6t^s a dt ^ et Tangle compris C , on a par les analogies de 

KxxxTi. Neper *. 

A — B sin(^a+^b) /^ 

cot — ' — =— ^ — ^-2-f tang\ C 
4 sin(^^a—\b) ** 

$in-^acos\b-\-cos^asin\b 

coJ^iicc^X^ — sin^astHjb 

--- — .1 .-f- ^:-- -^ ftf/1^4 C 

cos^ucos^O'^-sm'^asinib 

Done I an vertu de la formule pr^edentc el siq>posanrl 
toujours ^>a, on aura 



tang\a %tang*^a 

^ ' #//i3C— etc. 



3 €ang^ \ a 



3 CO/ I « • 

Suites dont la loi est tres-simple, et qui sero^t d*autant pluf , 
convergentes qijc 6 sera plus petit. La premiere est tou- 
■jours conyergente , puisqu'on suppose b<,a^ la secondc 1^ 
sera aussi, si on a tang^ ^<co?7fl, oua+^<200®. Elle 
serait dlvergente et fausse si on avait a4-6>20o°, liais c^ 
cas pent toujours s'eviter ; car la r4*solulion du triangle 
BCA daps lequel on aurait CA 4- CB > 200**, se r^duil tpu- fig, 11. 
jours k celle du triangle A'CB' dans lequei on a CA'-f~ 
.CB'<;ioo®. Au reste , la seconde serie est dans sa plus 
grande convergence, Igrs^ue a el b sent lous deux tres- 
petitsi ftlors Ic iroisiisme c4M € fist tr^s< petit gMSsi^ pui>T 
qu*on doit avoir c<a + ^ , ct le triangle spherique differe 
tres-pea d*ua triangle plan ; dans ce cas Tei^ces d^ la sommfi 
des frcis angles sur deux angles droits , s*exprime ainsi : 

A-|-B+C-2oo*=:f tang\ a tang \ b sin C- \ tang* \ a tang^ ^b sin a C 

+ itan^ \atang^ \bsin 3 C — etc. 

cm. Pour trouver le troisieme cote c du triangle propose | 
on a r^quation cos c :iz.cos a eos b -^ sin a sin b cos £ « ile 
laquelle il est ais^ de deduire.les deux suivantes : 

sin *\c'=zsin *\ a cos * \ b-^isin\a cos\h cos-a sin{ b cos C+cos^-^a sin *lb 
cos • |ci= cos * ^ cos * j^+2 cos^ cos^b sin-a sin^b cos C+wVi * {« sin * {b. 

Par la forme de ces valeurs on voit qutf sin^c-^eai ^tre 
regards conime la troisieme cot^ d'un triangle rectiligne 
dans lequel on aurai( les deux cotes conn us .^/^ > a cosj b^ 
cos ^ a sin \ b et Pitngle compris C ; de m4ffl« cos -J- c «st La 
troisieme c6t^ d*un triangle rectiligne , dont deux c6tes 
seraient <^o^ -j ft cos ^b^sin'^a sin 7 b ct rangle compris 200** 
-r* C Done an a par la formtde trouv^e pour les triangles 
rectilign^s ** ^'' 



4^^ TAIGONOMETRIE. 

log sin\ezzlog{sin\acos^b) ^^^cosC S-^^— cojaC — etc. 

tang\a ^tang'^a 

hgcos ig=/o^(cQjigcQ.yi5>)-f.^^:^l^cojC- ^^^^^ cos aC + elc. 

cot\a icoi*~a 

II est a remarquer ult^rieurement que comme chacnn des 
triangles rectilignes dont nous venons dc parler peut se 
resoudre par le moyen d'lin triangle rectiligne rectangle , 
on peut dlrectement r^duire la resolution du triangle sphd- 
rique propose a celle d'un triangle rectiligne rectangle. 

On trouve par ce moyen que sin^c est Thypotenuse d'un. 
triangle rectangle dont les c6tds sont sinj (a-h^) sin-^C et 
sin -J (a — b) cos { C. De m^rae cos ^ c est rhypot<5nuse d'un 
triangle rectangle dont lesc6lcsscraientcof-J(a-^6)coA-7C 
et cos 7 («H-6) sin \ C, 

De plus , si on appelle M Tangle qui dans le premier trian- 
gle est oppose au c6te sin \ {a — li) coj - C, et dans le second, 
N Tangle oppose au cote cos \ {a—if) cos J C , il resulte dcs 

analogies de Neper qu'on aura =M, et z=: N ou 

= aoo" — ^N : savoir : = N si a + c» < aoo , et 

a * a 

.riaoo** — N si aH-^> aoo**. Dohc dans tout triangle spLe- 

rique ouTon connait deux c6tes a et ^ et Tangle compris C, 

on peut trouYcr dircctenient chacune des quantitesvc, 

A.-j_B A — B 

, , par la resolution d'un triangle rectiligne 

a a 

rectangle ou Ton connait Ics deux cotes dc Tangle droit. 

II resulte aussi de la qu'apres avoir trouve Tangle M ou 

A B sin^ia — 6) _ 

par la formule tang^=zz , ) — --— cot f C , on 

a sinj(a'\-b) 

peut calculer le troisieme c6te par la formule sin 7 c =r 
sin i{a — b) cos iC _ sm i(^a-i-b) sin 4 C 
sin M cos M 

• 

N. B. Le» fprmnles troavees dans ce paragraphe s^appliqueront 
aiseinent k la resolotion da cinqaieme cas des triangles spheriqaes, 
puisque celai-ci peut se rapporter au troisieme par la propriete da 
triangle polaire. 



t RIGONOMETKIE. 4^3 

J. IV. Resolution d*un triangle spkerique dont deux cdtes 

font peu differents de loo*^ 

Giv. Solent a eib les deux c6t^s donnds peu diff6rents 
de 1 oo^, on propose dc determiner Tangle C par le moyen 
dcs trois c6t^s a , 6 , c. 

Si les c6tcs,flr el b ^taient exaetenacnt ^gaux a loo*^, on 

aurait C = c; done actb diffdrant tres-peu de loo®, Tangle 

C aura pour mesure un arc tres-peu different de c. Soil a =s 

ioo*^-|-a, ^ = 100^+6, C-=.c-\-x ; si on subslilue ces va- 

. cos c — cos a cos b 

leurs dans 1 equation cos C = : : — ; » on aura 

sin a sin b 

cos c — sin a sin 6 

cos \.C'\-x) zz ■ . Mais puisque a et 6 sont 

cos a cos 6 

supposes fres-pctits , on pout en ncgligeant senlement les 
lermes ou a ct g montent au quatrieme degr<^, faire 

, fit' o 

sin a sin 6r=a€, cos a cos 6 j=: I , ce qui donnera 

22 

cos (c+.r) = p-; J-— = (l 4- 1 a'+i e') COSC—(lZ 

I — 7tt —76 
Or , en ncgligeant le quarrCde x , on a cos {c+x)z=z cos c — 

X sin c ; done 

a.<^—-k{9.*+V)cosc 



X 



sm c 



£1 puisqfie X est dn Second ordre par rapport a a el 6 , on 
yoit qu'il n'y a de negligees dans cette yaleur que les quan* 
tit^s du quatrieme ordre. Soil v(a+6) z=^,-j (a— 6) =1 .<7, 
ou a=/'+9, ^-zzzp—q^ on aura sous une forme plus simple 

(I — cofc\ /i-^cos c\ . ... 

— : )-q* ( — '^ )z=p*tang^c-'q^cot\c. 
sine J \ sine J 

Cette Yaleur est exprimCe en parties du rayon ; mais comme 
dans la pratique p tl q sont donnees en secondes, si Ton 
veul que x soil exprime aussi en secondes , il faudra faire 

x=zr^tang\c—:^cot^c^ 
R ctant le nombrc de secondes contenues dans le ray.on , 



*X1XT. 



4%4 Ti|I«ONO|liiTAI£* 

Douibre dont le logarithme = 5 . 8o3H8oi. Connaissant jr, 
oil auM Tangle cherche C =<;-4^x. 

La formule que Rout Tenons de trottvep mt utile dans les 
operations geodesiques pour r^duire a Thorizon les angles 
•bservis dans des plans in<4in^ ; ellc est pius tixpdditlve et 
demaiida das tablet moins ^tendaes qua la formule du cas 
premier des triangles spheriques , dout nous avona donn4 
yu eve^le (n^ 93 ). Ccpendant, si les d^vatioas ou d<^- 
pressions « et g elaient de plus de 2 ou 3 degr^s^ il ser^it 
plut ji4r d^ H lerTir de la luethodegenerale, 

$. y . Resohuipn des trinngles spheriques dont les cdtcs sont 
trSs-peiUs par rapport au rayon de la sphere. 

ev. Lorsque les c6tes a, 6, c, sont trcs-petits par rap- 
port au rayon de la sphere , le triangle propose est peu 
different d'un triangle rectilignc ; et , en le considerant 
comme tel , on pent en avoir une premiere solution appro- 
G^^ , mais on neglige de cette maniere Texcts de la fomm^ 
des angles sur 200^. Pour avoir une solution plus appro- 
chi§e.« il faut tenir compte de cet exces , ct c'est ce qu'on 
peut faire tres-ais^ment , au moyen d'un priacipe gi^neral 
que nous alions d^montrer. 

Soil r le rayon de lai sphere sur laquelle est situ<5 le trian- 
gle propose , si Ton imagine un triangle sei|]tblable trac^ sur 
la sphere dont le rayon est i , les €6tes de cc triangle seront 

a b 6 

. , COStt-^COS-COSt 

a b . r r r , . - 

-,-,-, et onauracp^A= -»— ^•—'-7 — • JVIais iiulsque 

r r r .0 . c 

sm-sin- 
r r 

.r est fgrt grgnd par rapport ^ a^ b^ q^ o» auiS* d*une 

a Q «* 

maniere ires - approchee * cos -= i — » — - -\- — r :, 

*^ b^ b^ c c* e^ 

. h b W , c \ c' c 1. .-. . 

sin - r= -•■!-' — r— , , sin ^ =i ;r-r . Substituant ces 

r r 2.3r' ^ r a.3r* 



«ai«OII«M^«AIS» 4^ 

de plus de quatre dimensions en a , & , c , on aura 

9 C f O 1 

AIttUi]>liant les Aewi tenae* d« etttc limelldo par i h| — g^— 
^t i^iiwMt , on »»ra 

a^« a4Atfi»* ' 

Soit maintenant A' I'aafjle oppos^ an eAl^ a ^ dans le trtaa- 

gle rectiligne dast ies e^t^ «€raient ^gaux en tonguear irax 

— aa* ft' + a/j^c'-l-aft'c'— ^♦— 6*— ^*.Donc 

cof Ass eosiJr-^ ^-- #/«* A'. 

or 

Soit A =: A'+ ar , on aura en rejetant le quarr^ de ar, 

bo 
cos 4^ COS A'— -« sin A', d'o4 Ton voil ijne ^z=z—sm/k''p 

k € 

t\ pais()ae ii? ^sjt dji second ardrc pwr npporl i - e| ,« U 
sVnsttlt qji£ <ii9 risu}t4i; #91 ai^fiC aii9 qaaatU^ If «# 4ii 

quatrltoe ordre. On aura done 

A = A'+^*//iA'. 
or 

Mais \ be sin A' est Taire du triangle rectiligne (}|^| U^b^S, 

som Ies iro^ <^6M« • kf i^ll« m 4W#rQ p#» inaKtU^m^al ^e 
qelle da triangle jiplK^*iqa^ propp»4* S^nc , aji rune iw Taalfi 

aire est appel^e a , on anr^ A =; A'+ tt^ f ou A'=^ A— - — ^ 

il en Wsuite A'+B'+C oa aoo»=A+B+G— ii. Ob 

r. 



4^6 TRIGOXfOMBTAIB. 

peut done considerer — comme ctant Texces de la somme 

r* 

des trois angles du triaDgle spheriqae propose snr deux 

angles droits. Cela pos^ , on a ce tli^or^me remarquable qui 

r^dutt la resolution dcs triangles spbdriques tres-petits , a 

celle des triangles rcctilignes. 

Etant propose iin triangle spherique dont les c6tes sont 
treS'peUts par rapport au rajon de la sphere , si de chacun 
de ses angles on retranche le tiers de Vexces de la somme des 
trois angles sur deux droits , les angles ainsi diminu^s pour- 
ront ^tre pris pour les angles d*un triangle rectiligne , dont 
lis cStes sont egaux en longueur a ceux du triangle sphe- 
rique propose ^ ou en d'autres termes : 

Le trian^ sphenque tres-peu courhe dont les angles 
sont A , B , C , et les c6tes opposes a , b , c , repond toujours 
a un triangle rectiligne qui a les cdtes de m^me longueur 
9i,h y Cy et dont les angles opposes sont A— fe, B — Je, 
C — y c , c etant Vexces de la somme des angles du triangle 
pherique propose sur deux an^s droits^ 

cvi. L'exces 6 ou — , qui est proportionnel a Taire du 

triangle , peut toujours se calculer a priori par les donnees 

du triangle spherique consid^r^ comme rectiligne. Si deux 

c6tes h y c^ sont donnes avec Tangle compris A , on aura 

I'aire (x.-=z^b c sin Il\ si on donne un c6te a et les deux 

sin B sin C 
angles ^djacents B , C , on aura 1 aire a = ^ «• -: — -- — -—• 

sm ^B-f-C) 

Ensuite on aura 6 = — R , R dtant le nombre de secondes 

comprises dans le rayon , et de cette maniere & sera exprime 
en secondes. 

Pour appliquer ces formules aux triangles traces snr la 
surface de la terre , consid^r^e comme spli^cique (i) , il 

(i) Dans les operations geodesiques Tes triangles sont le pins son- 
rent formes entre trois stations inegalement eloignees du centre de 
la terre; mais , par des reductions couvenables , on snbstitue aax 
triangles observes les triangles qui resnltent de la projection des sta- 
tions sur une m^me surface spherique perpeudtculaire a la direction 
de la pesanteur. 



i 



TRIGONOM£TRI£. 4^7 

faudra supposer que les c6tes a, b, c, ainsi que le rayon do 
la terre r sont exprimes en metres. Or, puisque le quart 
du meridien-J-TT rest egal a looooooo metres, on en conclut 
logr=z6, 8o388oi ; d'un autre c6te le rayon R exprime en 
secondes, a pour logarithme 5,8o388oi . Done si au loga- 
rithme de Taire a exprimee en metres quarres, on ajoute 
le togarithme constant a. 196 119, et qu*on retranche dix 
unites de la somme, on aura le logarirhme de Texces 6 
exprime en secondes. 

Connaissant e on retranchcra ou on supposera retranche 
jC de chaquc angle du triangle sphcrique propose, et alors 
dans le triangle rectiligne forme par les cotes ^ ^ ^^ c^ et les 
angles A'= A' —y e, B' = B — j6, C'=:C ~ 76, on aura 
les donnees necessaires pour en determiner toutes les par- 
ties. Ainsi on connaitra en memo temps celles du triangle 
spherique propose. 

GVii. ExempUy Soient donnes I'angic C et les deux c6tes 
a el bf savoir: 

C=: ia3^ 19' 99' . a3 
log a =z I^, 5891 5o3 
loffbz=. 4» 5219^71 

la quantite \ a b sin C qui represente Taire de triangle, 
aura pour logarithme 8.78055, i quoi ajoutant a. 1961a, 
on aura /6>^e= 0.97667 , pailante =9". ffi et^e = 3'*. 16. 
Cela pos^ , il faut resoudre le triangle rectiligne dans Icquel 
on a les deux cotes « et ^ comme ci-dessus, et Tangle 
compris C'= ia3° 19' 96^' . 07. Pour cet effet, nous sui- 
vrons la methode du n® 56 , . 

a 4.589i5o3 to/?g^ (9 — 5o^) 8.887839a 

b 4.5219271 cot^C.. 9.8381 no 

tang 9 . . . o.o67aa3a A' — B' 

tang • 8.7a595oa 

9=54° 90' 74" .7a . A'-Br _ ,„,„,, 

ioo®iC = 6i 59 98 .03 ~1 — — ^ ^^ ^9 •=*7 

iCr =38 40 J .97 A'+B 

= DO 40 I '97 

A' = 4« 78 4i . a4 
B'= 35 I 6a .70 



4^8 TIIIG0JVOM3TAIE. 

II reste a determiner le tr^isieme c6te c, c^ qui $$ fcr^ n^f 

liqiiaUon c sz . ^ . i . ■ 

^twV'" 9'7S54893 

dif^^^ence 4.8o366io ..••?.• 4. 6o366io 
#«« €'•<»• c^*97o5oo6 j/// B'« • • 9*718^661 



»IP""«WI»»««i^ 



/o^c = .. 4.774i6i8 logb z^i 4*^2192^71 

Dpdp dftps Ip triangle jjpli^rique propoj<$ , Je» i94»l0J»*i qu'il 
f^Uftit trouycr font : 

Arr4i'78'44" -40 
B=:35 I 65 .86 
/o^ c = 4. 7741618, puca= 59451'* a56. 

JK, B, La methode donnee dans ce paragraphs peat servir ^19391 & 

fig. 16 • resondre les triangles dans lesqnels deax cdtes seraient tres-pen diiV^i^ 

KCBts d« aoo^ et le troisieme f res*^pefit. Car ea prolon^eant les grauds 

cotes A'G, A'B, on aura an triangle spherique BCA.,doiit Jm troia 

c6te« serout tres-petits. 

§. VI. Des triangles spheriqiies dont deux angles sont 

tres-aigus, 

^' 17. cv||i. Soil ABC le triangle ^pTi^rique propose dans lequel 
A <^t B sont deux angles tres-aigus , sok LMN son triangl^ 
polaire,de sorte qu'on aitMN=aoo* — A et LN?=2oo*~B. 
Si on prolonge les arcs NM , NL« jusqu'^ Jeur rejicontre en 
K,il est clair qu*on aura KM==Ai et K.L:;=:B, le triangle 
LKM aura done ses cotes tres-petits , et il sera dans ^e cas 
d'etre r^solu par la methode d/i paragraphc pr6c6!ent. 
Soient A', B', C*, les trois angles et a\ U^ g* lc5 trois c6les 
du triangle LKJVI , on aura 

A' = MLK = a a' = KM==:A 

C = LKM = 200**-* c c' = LM ~ aoo^— C. 

Dontt trois dl^menls connus dans le triangle ABC en don- 
neront troi$ dans le triangle LKM, et par consequent trois 
aussi dans Ic triapgli rectiligne auquel le triangle LKM 



TRIGOlfdttBT&Ifi. 4^9 

peut Hre vAlAtn^ : or celiti-cf ^tflnt t^ioln , on ilur& la 
iokftioh du tthragte LKJI , «t d^ U celled da triangle pro- 
pose ABC. 

cix. Soit par excmple , A=3^, B=:2^ et 1« cbi^ adjaceat 
^=i5o^, Ics donn^es An triangle LRM, ou plut^t A'B'G'5 
seronta'=3®, ^'=a°, el Tangle compris C'=5o® Par 
fe itttrfttk de ten ioimieiy on tronve Vetci% spb^ic^ue $ 

s;::i — .^--- ^^zarSiS".*! , ef le liet» dd « ttant l^fttranch^ 

R 

de C, le feste sera 49^ 96' 88 ''.9). II faut done r^sondre 

mi triangle reetiKgiie dans leqnel on a les deui e6t6^ d't^ 

Soodo*", ^=i»oooo%etr4iigle compris C'rr 49*98' 88*.gJ. 

On tronyeralei deflx tfntres angles A'^trtioS* 64' SG'^.tO, 

B"i=46** 36' 24" .75,elleifoisidmecAt^d'rii4i444^.3S; 

ajontant doners ana angles A" etB" du tHangle fectiligne, 

afm d'avoir Ins an^^es A ' 5 B ' dn triangle sphMqne^ on aUtH « 

pour la solution chercli^e 

A' sa a irt io3** 65'97"'. 4d 

B'3=i^= 46 37 35 ,8a 

C = aoo** — c'= 197 87 55 .64 

§. VII. Dupoijrgone regulier de dix^ept cdtes, 

ex. Kons Cerminef ons ees applications da calcul trigono- 
metrique en donnafit , d*ftpres rexcellent ouvrage de Gauss 
cit^ page I la , la maniere d*inscrirele polygone r^gulier de 
17 c6t6s par la simple resolution des Equations du second 
d6gri6« 

Soit Tare zs 9 ^ je dis d*ri^<frd qtf'cm snrs I't^fBiftifon 

<rW 94-coj 394<»J 5 9-Ko ^7 1+<^<>^ 99+^Of 1 1 9-H:of 1 3 9-f-cof 1 59=r it 
CAt si on appetle le premier membra P , ot qa*on multipli^ 
tons ses termes par a cos 9 ; qu'ensuite on change dhaqiMr 
produit de deux cosinus en coslnus d'ares simples d*apres 
la fofmule : 

a oojAcoj]&=i:coj(A+B)4-co/(A — B) 
on aura 



43o TRIGONOMETRIE. 

Orpuisq^iei7 9=2oo*, on at cos %^z=:cos[ 200*, — 169) = 
— cosiS fycosti <f =z cos {100'' — i3 9)= — cos i3 9, et 
ainsi de suite jusqu*k cos 169= — cos 9. Done 

:i'PC0S<f—l''2C0SlS<f-^2C0Sl^^~'%C0SIl^*»»—1C0S3<f^C0S^ 

oaa Pcof 9 = I + coj 9 — 2 P , 011 2 P (1+ cos 9)=i+co^9 
Done P =4. 

Cela pose, je partage la somme des tcrmes qui composent 
P en deux parties, savoir: 

X ziz cos ^ ^ -^ cos S <f -h cos 'J ^ + cos Ji ^ 
y = cos 9 + cos 99 + cos 1 3 9 + ^^^ 1 5 9. 

J'aurai done d'abord x +^=:7; je multiplie ensuite les 
quatre tetmes de x par les quatr^ ternies de j^ , et chan- 
geant les produits d^ cosinus en cosinus.d'arcs simples, 
j'obtiens, toutes reductions faites, 

X yzzz 2 ( cos 29-+- cos 4 9 "I" ^^^ ^ 9 ••• ~i" ^9^ ^^ ? ) 
ou a: /:=: — 2 ( cos 169+ cos i3 9 + cos 11 9 ••• "f" ^^* ? ) 
ou enfin x yz=z — i . 

Au moyen de ces equations on trouve 

Maintenant si Ton partage de nouveau les sommes x ol y 
chacune en deux parties, savoir; 

X'=:s-\'t yzzzu+z 

S = cos 39 + cos 59 W = COS 9 + COS i3 9 

t^zcos^j^-^-cos 11^ zzzzcosg^ +COS 1^^^ 
on trouvera sembablcment 

stz:^ — I «a=:— ^. 

De sorte qu*on pourra determiner les quatre nombres s, t, 

u,Zy k Taide de deux nouvelles equations du second degre 

Enfin connaissant cos 9 + cos i3 9= « et cos 9 cos i3 9 

= ^(coj 12 9 + cof 14 9) = — ^(co5 3 94-6-0^5 9) = — ^^, 

on obtiendra , par une quatrieme equation du second degre, 

la valeur de cos ^ , et de ]k celle du cote'du polygone pro- 
pose, laquelle est 2 jr//i 9 ou 2 ^^ ( i — cos^(f). 

Quant a la methode qui a dirige le partage de ces di« 
verses equations, elle tient k une theorie tres- delicate, 
fondee sur I'analyse indeterminee , et dont il faut voir le 
developpement dans Touvrage meme de Glluss, ou dans