Methodisches lehrbuch der elementarmathematik, von dr. Gustav Holzmüller

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F

l(KwriL35^ ."^^

SCIENCE CENTER LIBRARY

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ber

®Iemetttar=30^at^ematif

bon

■ Dr. (Sulhttr i^ai^mMtt,

^ 2)iteItot ber <l)etoerBef(^uIe (9iealf(^ule mit f^ac^Kaffen) ju ^agen i.

'» SWitglicb ber Äaif. ßeo»). Carol. «!abcmie ber gioturforfc^et.

Qxoextn Seil,
für bic btei DbcrMaffcn ber l^ö^eren Sel^ranftaÜen beftimmt.

amt 210 giguren im 2:e5t.

2et|)5i8,

3)rud unb SSerlag öon S3. ®. 2:eubner.
1894.

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mt meäjte,

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SSorwori

2)er ätocitc %exl beg mctl^obifd^cn Scl^rbud^iJ, bcn id^ l^iemtit ben
gad^gcnoffcn übergebe, uuif a|t ben Sel^rftoff ber brei Dberllaffcn be«
®^mnafiumg unb beg atealg^mnaftumg. 3)a einjelne ©deuten nod^
tttoa^ toeiter gelten uiöd^ten, unb ba au|erbcm nod^ ben ©ebürfniffen
ber Dber-Slealfd^ulen unb ber l^öl^er organifierten fjad^fd^ulen genügt
loerben rm^, foö 'iemnad^ft nod^ ein befonbereg ©rgänjungSl^eft er^^
fd^einen.

Über bie SRet^obc unb bie %xmaf)t beg ßel^rftoffg f)ait id^
uiid^ aud^ für biefen jloeiten %txt in einem ©egicittoorte, toeld^e^ ben
Seigrem ber SRatl^entatil öon ber SSerlag^bud^l^anblung gern jur SJer^
fügung gefteöt toirb, auiJfül^rlid^er au^gef^jrod^en. $ier fei nur benterft,
ba§ bie Einteilung nad^ 3tt^^8ängcn für bie Dberffaffen unterbleiben
ntu^te, toeil biefe bei ben genannten @d^ulgru|)^)en bejüglid^ be§ Sel^r^
platte in toeit l^öl^ereui ®rabe auSeinanbergel^en, afö e§ bei ben SRittet
Haffen ber gaö ift.

2)er erfte leil lourbe fofort nad^ bem ©rfd^einen an mel^reren
©d^Ien ^reufeeni? unb aufeerbem in ©raunfd^meig unb ber ©d^toeij
eingefül^rt, foba§ öorauiJfid^tlid^ fd^on bag näd^fte gal^r eine neue
Sluflage öcriangt. ©ttoaige SQSünfd^c unb SSerbcfferung^öorfd^Iäge ber
Ferren SoÖegen toerbe id^ gern berüdffid^tigen, loenn fie mir big jum
$erbfte biefei^ 3^^^^^ jugel^en.

©ejüglid^ beS öorßegenben leitet bin id^ jtoeien meiner SoIIegen
ju befonberem S)anfe öer^jflid^tet. $err 3ngenieur Zimmermann
erbot fid^ bei meiner ©efd^äft^überl^öufung jur ejalten ^erfteHung
ber aJlel^rja^I ber öon mir nur ffijjierten giguren, bereu lorrefte
Äu^fül^rung tool^I aud^ ben größten Slnforberungen entf^jred^en bürfte.
^err ©etoerbefd^uHel^rer S^jannagel unterftüfete mid^ »efentlid^ beim

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IV »ortüort.

ßcfen bcrSorrcIturbogen. Snbfid^ mu§ x^ nod^ ber SScrlaggbud^l^anMung
für bag Bereittüittigc ©ntgegenfouimctt l^infid^tlid^ bcr loftf^jtcligen Slug^
ftattung be§ SBerfcS mit cüier ungemöl^nlid^ großen Sigurcnjal^I ben t)^x-^
Binbüd^ftcn 3)anf ougf^Jtcd^cn.

ajlögc baS Sucl^ feinen 3^^* erfüllen unb nantentlid^ ju einem
gefunben Setriebe ber neuen Sitfjxptäm einigermaßen beitragen.

$agen i/SB.' im 3ufi 1894.

Dr. <S. j^üljmfiUer.

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^n^(dU^^tt^dä)nii.

erfte Stbtcilung.
Geometrie bet ®etaben nnt bei ftteifeS.

©eite

L Übungen am ©cl^ncnöterecf unb am regelmäjiöcn Äretgötelcd . . 1

II. Übungen an bcn 2)tete(f8freifen 7

a) 2)te 9iabien ber öier ©erü^rungi^fretfe beg ^reiccfS 7

b) S)et SlobiuS bc8 Um steifes nnb feine öejie^unöen ju ben
©eiten unb Serül^rungSfretfen be§ 2)reie(fg 10

III. aScjiel^ungen jtoifd^en ben Seiten, ^öl^cn, SDlitteUinien unb aßinfel-
l^albiexcnbcn beS S)rciedg 16

IV. Slllgcmcine SBemerlungen über Äonfttultiongaufgaben 19

Söfungen mit $ülfe ton Sel^rfäfeen 20

SDiletl^obc ber Symmetrie ober ber 6|)tcgelbilber 22

SlJletl^obe ber ^arattelöcrfd^tebungen 23

. ajlet^obe ber tl^nltd^feit 24

SKetl^obe ber Umfel^rung ber 5lufgabe 26

SD^etl^obe ber 3)re]^ung 26

SUlet^obe beg geometrifd^en DrteS 28

SRet^obe ber algebraift^en Slnal^fiS 29

V. Übergang pr neueren Geometrie 80

(Safe beg ß:eöa 30

©ai beg SJienekog 32

^nmenbungen auf tottftänbtge^ JBierfett, ^aScalfd^en ©a^ unb

äl^nltd^feitgac^fen breter Greife 33

VI. ^armonifd^c fünfte unb ©tral^Ien 37

VII. S^nltd^IettSpunlte unb «ßaScalfd^er ©afe 42

Vni. ^armontfd^e ^unlte unb ©tra^len am ftreife, $01 unb polare . 48

IX. S)tc S't^'erfion ober ©^jtegelung mittels reci|)roIer 9iabien. ... 66

X. Sotenj unb ^otenjtinien 63

XI. Einige Söerül^rungSaufgaben , . 69

xn. Äartogra^)]^tfd^e ^Inmenbungen. 71

SIRercatorfarte, Äartc ber nörblid^en unb füblid^en, ber öftlid^en unb
tocftlid^en ^albhtget, ^albfugel ber größten unb Heinflen SBaffer-

maffe nad^ ^\ppaxd) -^toUrnän^ 71

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Seite
Xm. ®et ftoorbtnatenbcöriff 78

a) ^ropl^ifd^e S)arftcIIungcn 78

b) SHc Äoorbinatcn öon fünften 82

c) ^ie ^leid^ttng erften (Srabed unb bie gerabe 2mc 86

d) S)ic ®Icici^un0 bcS ÄrcifeS 90

Sh)citc Slbteilung.

«ntlltnetit.

I. ©eometrifc^e SReil^en 96

a) ^ie geometrifd^e 9iei^e mit enbUc^er ^lieberja^I 96

b) ^Cntoenbung ouf bie Sflcntcnrcd^nunö 99

c) ^ie geomettifd^en Sieil^en mit unenblic^ groger ©lieberjal^l . 102
n. ^Tritl^mctifd^c 9?et]^cn . . . 107.

a) Slritl^metifd^e SRcil^en crfter Drbnung 107

b) ©inigc aritl^mctifd^c 9ict]^cn l^ö^erer Drbnung 109

IIL S)cr binomifd^c Sd^rfa^ für ganjc pofitiöc ©jponcntcn. .... 112
IV. TOIeitung gcttiffcr arit^mctifd^er SRci^cn l^ö^crer Orbnung mit

§ülfc beS binomifd^en Scl^rfoJcS 116

V. S)te ©j^jonentialrei^c unb bie natürttd^en Sogaritl^men .... 120

VI. ^er 9Jloit)refd^e )Bel^r{a^ unt> einige aud il^m abgeleitete 9iei^en. 126
VIT. a)ie geometrifd^e 3)arfteIIung ber fompiejen gal^Ien unb ber

nten SBuraeln au^ ber (^nl^eit unb au» anberen S^'^W^ .... 131
VIII. aieciprofe Gleichungen unb ?lntoenbung berfelbeu auf rebucierbore

©leid^ungen l^öl^eren ©rabeS 138

IX. (Siniged über ©leid^ungen mit mel^reren Unbefannten 148

3)rittc abteitung.

Zrigonntnettie.

I. SBerallgemeinerung ber ©runbbegriffe 162

II. ^ie Munitionen ))on SBinlelfummen unb bie ©ummen t)on Sfunitionen 169

III. ©oniometrifd&e Übungen 164

IV. @äje über bie ©eiten unb SBinfel hti S)reiedf8 171

V. ^reiedtSbered^nungen 176

VI. Sttfarnmenftettung ber toid^tigften gormein 180

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SSicrte Slbtcilung.
Stetenmettie.

6eite

I. ©egtiff bcr S)rc^ung unb ©utfiel^ung öon S)rc]^utt08gebUben . . 182

IT. (Ebenen unb ^erabe im 9iaume 184

m. S)ic fötpcrKd^cn ©den 191

IV. SHc gunbamentalsÄonfiruftionen unb einige Stntoenbungcn bet^

felben 196

V. Einleitung ^nm forrcften fteteometriWen Seidenen 199

a) 3)ie fd^räge ^arattcIt)roj[e!tion 199

b) 3)ie fenlrcd^te ?Proie!tion 202

VI, Scred^nungiJübttngen 204

a) Äör^jerjhintpfe 204

b) Äugetbcred^nungen 210

c) Übungsaufgaben 216

vn. 3)er ©d^toerpunlt, bie ©ulbinfd^en Siegeln unb bie @äje übet

abgefd^rägte Äörper 218

Vm. S)ie 5Rcn)tons@im<)fon|d^e 8legel unb bie ©ummenformel .... 224

IX..ÄugeIbctrad^tungen mit fartogra^jl^ifd^en SCntpenbungen 230

X. 3uf<^inmen{teEung bet toid^tigften S3ered^nung§foimeIn bet Stereo-
metrie 284

günfte Abteilung.

Sie ®rttnble|iren non ben Aegelfd|nitten.

I. 3)ie (gllipfc aW ©^linberfd^itt 236

IL 3)ie (mp]t a\i Äegelfd^nitt 244

III. S)ie $arabel aU ©^le^ialfaU ber (SEtpfe 246

IV. 3)ie ^^perbel-aB Äegelfd^nitt 261

V. Slttgemeineg übet bie Äegetfd^nittc 2ö9

Slnl^ang.

I. ®ine ^au|)taufgabe bet matl^ematifd^en ^eogta^^ie 265

n. (ginige 5öemet!ungen übet Wtajdma unb SÄinima 266

III. ^ie Ouabtafeinteilung bet (Sbene mittele bet $olatfootbinaten . 272

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J

®rucEfeI)Ier::aSeräeidE)ni§.
Seite 10, Seile 2 Ue§ in ber «Pro|)ortion q^ ftatt ^i

13,
15,

41,

48,
51,

100,

106,
110,
112,

128,

141,

155,
165,
166,
100,

169,
172,

173,

174,

177,

235,

.2 \}. u. üe§ 2r^3 ftatt 2€q,^.

7 t). u. Iie§ y ■■

12 He§

Bi)

ftatt

-2^« Äs

J5D"

ftatt y

12 t). U.

13 lieg < OPD ftatt CEF.
20 lies P ftatt A.

Ite^ (l+a^P'^tt(l + 3-
6 t). u. Ue§ „ber ^rei§'' ftatt „bie tugel''.
4 üe§ im älueiten S3ruc^e (w — l) ftatt {n + 1).
10 t». u. lies 6 «■■*&* ftatt Ga^h.

1 D. u. am ©rf)lu6 lieä ^ ftatt §j •

3 lieg x' + -^, ftatt a?'^

1^

4 ö. u. lieg „ßeid^nung" ftatt „Sfte^nung".

3 ö. u. lieg überall sin ftatt cos.

7 ö. u. linfg lieg sin^ ftatt cos^

2 ö. u. im erften SSrud^e lieg sin « ftatt sin ß.

9 lieg 2 cos^~ ftatt 2 cos^a.

8 ü. u. lieg in ber tlammercos ftatt sin.
13 unb 11 ö. u. lieg — c=* ftatt + c^

7 lieg 2 sin- 1 ftatt sin« |- •

11 ö. u. lieg sin^l- ftatt sin-|-

12 lieg am Einfang — 1 ftatt + 1.

1 ö. u. ^ie 9^enner muffen ber Olei^e nad^ lieifeen: 1, 2, 3, 4.

.^0 Immuner, SWatf^ematir. ii.

üieredE ABCD^ mit ber ©eitenfolge ah de. ®ie ^Diagonale p bleifit,

*) %tt ©a| iütrb an erfter ©teile burd^genommen, um gegebenenfaßg
bei einem *ParaHel!urfug ber ^Trigonometrie fofort Slntoenbung ju finben.

^olämüHer, 9KQtöcmatit IL 1

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©rfte 3lHetIuttö.
i^eometxie

6er ^exaöen xxnb öeö ^xexfei^.

1) Sa| beS iptnIemSttS.'^) gm ®e^nent)iered ift baiS
ißrobuft ber ©iagonalcn flleid^ bcr Summe ber 5ßrobuItc
au^ ic jtüci gegenübcrUcgcnbett Seiten.

OettieiS. 2)ie Seiten be« Sel^nenöieredg AB CD in gig. 1 feien
a, &, c, df bie diagonalen AO unb BD
foöen mit p unb q bejeid^net »erben.
Segt man ben SBinfel BDC = ß aU
ADE an AD an, bann ift AB CD

r^ AED (tt)arum?), alfo -^ = -

unb AE^—' STu^erbem ift
ADECr^DAB (tt)arum?), folglid^
^ = -|unb^C-^. gülglic^

i^iAE + EC = p==^^^^
pq =^ ac -{- hd.

2) ffolgettttigen. Sefet man \>a^ 2)reied ACD umgefel^rt auf
ACf fo ba| C unb A \fyct Stellen tjertoufd^en, fo entftel^t ein Sel^nen^^
öiered ABCD^ mit ber Seitenfolge aide. Die Diagonale p WAi,

*) 3?er ©aft toirb an erftcr ©teile burd^gcnommen, um gegebenenfalls
bei einem ^oraSeHurfui^ bet Trigonometrie fofort ^ntoenbung ^u ftnben.

unb

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2 @cfte Abteilung: Q^eotnetrie ber &nahtn unb be0 j^eifei^.

on ©teile öon g' aber tritt eine neue diagonale t, unb jefet gilt bic
©teid^ung i?^ = adf + 6c. @e|t man in biefcm neuen SSiered ba^
3)reieÄ J?(7i>i umgelel^rt auf JBDi,\o entftcl^t ein ©el^nenüiered J. J?(?i2)i
mit ber ©eitenfolge adhc unb ben diagonalen t unb g', fo ba^
qt^,^ ab + cd toirb. 2)urd^ 3)iöifion folgt au§ ben beiben legten

Sleid^ungen ber @a|

p ad + bc

^ ab + cd'

Sluf bag urf|)rttngUd^e SSieredf übertragen lautet er in SBorten:
3m ©el^nenöier^d ift ber Quotient ber diagonalen gleid^
bem Quotienten ber Summen aug ben ^robulten je jloeier
aneinanberftoßenben Seiten. (3)ie Sleil^enfolge ift fo ju nel^men,
ba§ jeber 3)iagonaIe @eiten|)aare entf^jred^en, bie mit il^r in benfelben
?ßunften jufammenfto^en.)

[S)er Safe tö|t fid^ auc^ mit pife ber SreiedtSformel*) F=^

bereifen, ^iaä) biefer ift ber Snl^aft beg ©el^nenbiered« fotool^I

^ q (ad + bc) ift, toa^ ber obigen ©leid^ung entf^rid^t.]

2)urd^ aKuIti<)Iifation unb 3)it)ifion erl^ätt man au§ ben ©leid^ungen

f&t pq unb - gormein jur SBered^nung ton p unb q an^ ben Seiten,

nämlid^

2 _ (ac + bd)(ad-{-bc) ^ ^ (ac + bd) ^ab + cd)
^ ~ ab + cd ' ^ ad + bc

Oetnetfttng. 2Ran lann ba« Sel^nenöiered aud^ in ben {Reil^ens
folgen AB DG unb AG BD lefen. ^ai^i man bei biefen gelreujten
SSierfeiten biefelben geometrifd^en Setrad^tungen, fo finbet man gormein,
bie fid^ an^ ben öorigen ol^ne toeitereiJ auf aritl^metifd^em SBege er^^
geben, nämlid^

bd=> qp — aCf ac^=pq — bdf

b qa — pc a qb —pd

d pa^qc* c pb — qd

[Stu^ p (ab + cd) = q (ad + bc) folgt j. ». a (pb — qd)
^c(qb —pd):]

3) Httfgaie. 2)en Swl^alt eineiJ Sel^nenöieredf^ mit ben
Seiten a, 6, c unb d ju bered^nen.

HttfUfttttg. aRan benfe fid^ jloei ©egenfeiten be§ Sel^nenöieredg,
}. 8. a unb c in gig. 1/ 6i^ J« i^^^nt Sd^nitt^junfte K verlängert

♦) »ergleid^e unten Slbfd^nitt 9.

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I. Übungen am (Sel^nenDieted nnb am tegelm&gigen Ihet^Helec!. 3

mt $ülf c ber (Sleid^ung KB >KA=:=KC' KD tä^t fid^ bann bic
5S]^nIi^!cit ber 3)reietfc KBC unb KDÄ nad^toeifen. S)ic gläd^cn
beiber S)reiede öerl^alten fid^, tt)ic bic Ouobtate üon 6 unb df, folglid^

ift AJrJ?C = AÄ'i)^.|^, alfo ift »ieredf ÄBOD = AKDÄ

- A2rj?C = AlTDA (i - ^) = AKDÄ ^-^' ©efet man
KÄ = x unb Ä"D = 3/, fo ift

AKDÄ=\y(x + y + d)(^x + y + d)(x--y+d)(x+y^d).

Stujg &:(2 = (a; — a):y folgt l) dx — hp = ad, 'Oa^ h:d
= (y — c):x folgt 2) (?^ — &a? = cd. S)urd^ Slbbition folgt au«
ben ©leid^ungen l) unb 2) d (x + y) — h (x + y) ^=^ ad + cd
ober (rc + y) (^ — ■ &) = ^ (a + c), burd^ ©ubtraftion l^ingcgcn
d(x — y)'jr^(x — y)«=^ad — cd ober (o? — y) (e? + 6) = d (a — c).

@o ergiebt fic^ x + y = ^-:^ unb x-^y^^^^, alfo

Sinfefeung in bie ©leid^ung für AKDÄ giebt
AKDÄ

Solglid^ ift SSiered AB CD

= T)/(-« + & + c + d)(a~&+c+e2)(a+2>-c+<^)(a+6+c-ei) .

©efet ntan — "^^ = s, fo ift bie üercinfad^te gormel:

j^ = |/(r— a) (s — 6) (s — c) (5 — 6^) .

Oetnetfatttgen. Sft eine ber üicr Seiten gleid^ 3lnU, fo l^anbelt
e« fid^ um ein 2)reied, bem ftetg ein ^eii? umbefd^rieben locrben
fann. 3)ie gormel gel^t bann in bie $eronifd^e 2)reiedgformeI über,
bie bemnad^ afö f^jejieöer gaH in ber obigen entl^alten ift.

1*

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4 (Erfte tlbteilimg: (S^eometrie bet (Bttahtn unb be0 ihcifeft.

S)er intereffante @a| totrb beut inbtfd^en äRatl^emotiler Sral^ma^
gu^ta jugef daneben, ber 598 nad^ Sl^r. geboren kourbe. S)ad 12.
unb 18. fta))itel feined SBerIed Br&hma-sphnta-siddh&nta, b. 1^. ba0
Derbefferte ©Aftern bed S3ral^nta, finb ber äRatl^emottl gen^ibmet unb
entl^alten unter anberent bie Elemente ber ®omometrie nebft @inuiS^
iobeßen unb Stegcln für bie Stlbung red^tolnttiger SJreiede mit
rationalen Seiten.

4) Vitfgalie. Sud bem Stabiud r eined Sreifei^ unb bem
$albmeffer q eines cinbefd^riebenen regelmäßigen SielecfS

bcn Äabiu« q' it^ einbefd^rie^
»*«•«• benen SieledCS t)on bo^)<)eIter

©eitenjal^I ju bcred^nen.

VitfIBfttttg. 3n 9ig. 2 fei ^£
bie Seite be« bem Ärcife mit ÄabiuiJ r
cinbefd^riebcncn regelmöfeigen n^®äS,
MC = Q ber atabiuiJ bcg bem lefcteren
einbefd^riebencn ^eifeiJ, alfo D ber
$albierungd))unft beS 83ogend AB,
AD bie Seite be3 2w5®(l3 unb
Jlf je; — / ber SRabiu^ be3 il^m ein«
befd^riebenen ffreifeg. Qk^t man
EF II iäjB, fo ift F ber ^albicrungiJ'

<)unlt bon CD, olfo -Sf-F — ^^ • SRad^ ^ß^tl^agoraS ift aber ME^

= MF^MD, alfo /^ = ^^ • r, folglid^ ^' ^y^F±^.

Seuterfttttg. 3ft u ber Umfang beS einbefd^riebencn reget
mäßigen n-^d^, fo ift ber be8 umbefd^riebenen regelmäßigen «sgdg

ba« -fad^e. Sered^net man nun, bom Duabrat ober Sed^gedC ober

Sel^nedf au^gel^cnb, bie q für ba^ entfpred^enbe 2«::@df, 4n5@df, Sn^Cgdf
u. f. to., fo erl^olt man bie angendl^erte Sered^nung bon jr auf be-
quemere Slrt, afö nad^ ber im crften leite benufctcn SRetl^obe. '(aSergl.
SRr. 148.)

5) Vttfgalie. Sie Seite be3 bem Greife mit ÄabiuiJ r
cinbefd^riebenen günfsel^nedfS ju berjed^nen.

VttflSfttttg. Sn gig. 3 fei AB = r bie Seite beg reget

maßigen 6'^edCi^, AC = j{y5 — l) bie be^ regelmäßigen lO^gdC^,

alfo BC bie beg regelmäßigen lö^gdf^, außerbem fei ME±AC

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I. Übungen am ©el^nenttteted unb am legelntft^igen ^txMeltd. 5

mh CD ± ab: ^am i\t ABCD ^±^^-

^MGE0>tm-^ÄBC=j^ÄMO),

folgte BD :BC =]/r* - {^': r,
olfo, toenn BC •= x gefegt totrb,

im 3)rctcdE -UBC nad^ htm ^iffa^
floreifd^en Scl^rfa^ für bcn finden
mnlüÄC^^^^x^ + r' - 2r . J5D, alfo
naä) ©infcfcung beg SBcrtciJ öon JBD

^C^ = ^ + r^ - 2a;]/r2~(^)\ ober x' - 2rc|/r2 - (4^)'
= ÄC^—r^. ^axau^ folgt ate Söfung

©tnfe^ung bc^ SBcrtc§ öon -4.0 gtebt
^=r>^±J(V5-l)y3={[l/I^T^±(>^-/3)].

3hir ba§ negative Scid^ctt ift braud^bar, cg giebt a^, = 0,4158236r
al8 ©ctte bcg nod^ einem Umgonge fd^Iiefeenben lö^Cgdf^. 5)a^ <)ofitit)e
Seid^en giebt x^ = l,48629r, toa^ offenbar ju groft ift ünb too^n, toie
fid^ (j.S. goniometrifd^) jeigen läßt, ber Kentritoinlel 96^ = 60®+ 36®
geprt, fo ba§ iefet ba^ l5=(£dC erft nad^ viermaligem Umgange fd^Uefet.]

Semetrlttttg. 2)ie 9tefuttate biefei^ Slbfd^nitt^ fönnen benu^t
toerben, bie goniometrifd^en gnnftionen ber SBinlel 12®, 78®, 24®, 56®,
48®, 42® n. f. m. ju bered^nen. — ?lnf bie SKöglid^Ieit, Umfang nnb
Snl^alt beiJ regelmäßigen lö^gdC« aug r ober ber Seite b jn bered^nen
nnb aud^ bie übrig bteibenben ©egmentfläd^en be^ ^eife« p ermitteln,
fei nnr fairj l^ingetoiefen.

6) Vttfgalie. Über einer gegebenen ®eraben ein regele
mäßige« Ö^, 6?, 8^, 10:=, 12^, 15=®dC n. f. to. ju lonftrnieren.

Xuflifttng. SRan lonftmiere bie w^gdEfeite junäd^ft für einen
beliebigen SDrei§ nad^ ben frül^er geleierten SKetl^oben unb jeid^ne ben
äugel^örigen ©entritoinlel. 2)ag erl^altene gleid^fd^nlßge 2)reiedE öer^
größere man je^t fo, baß feine Safig gleid^ ber gegebenen ©eraben
toirb. 2)iefe läßt fid^ bann in bem loncentrifd^en. burd^ bie ©nb^nnfte
ber lefeteren gel^enben Steife nmat abtragen.

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6" ^{te ^Biet(ttng: Geometrie ber @(etaben unb beS ^eifei».

8emetf]tttgen. 3tt einjcinen S^cjiatf allen Hiffcn ftd^^ ßtrjerc
SBegc cinfd^Iagen. 2)a3 rcgclmöfeigc ©c^äcrf läßt fid^ ol^ne tocitercg
mit ^filfe bc§ über bcr ®eraben ftel^enbeit gleid^fcitigen 2)rete(f^
jeid^nen. Um ba§ regelmäßige Sld^ted ju crl^alten, lann man an bie
beiben SSerlängerungcn ber ®eraben ben aSStnlel 45® anlegen. 3)te
^albierungglinien ber beiben Slebenminlel fd^neiben fid^ bann im
aKitteIt)unIte be8 gefud^ten ?l(i^tedEg.

3ur Sonftrultion be« regelmößigen günfecfS teile man AB nad^
bem golbnen ©d^nitt in 0, fd^tage um Am\i AB einen ftrcig, mad^e

BD '^ AG (Seite beg regelmäßigen
3e]^nedE^) unb trage ben Sogen BD
no(^ äftieimal ate DG^ unb GJ auf
bem um A gefd^Iagenen Sreife (A,
fo baß ^ BAJ = 3 . 36® = 108^
toirb, mie eg bag günfedE verlangt.
Um J5 fd^Iage man einen Steig-
bogen mit BA, um A einen fold^en
mit BJ, atö ©d^nitt Jj erl^ält man
bann einen neuen gänfedfg^unlt. Um
J unb Ji finb Sogen mit BA
äu fd^Iagen, bie ben legten ?ßunft K
geben.
SJerfud^e folgenbe Scl^ncdtg-Sonftrultion afö rid^tig nad^jutoeifen:
3ft -IJB bie gegebene ©eite, fo mad^e Sot BG = AB^ l^albiere
AB in D, fd^Iage mit .DC um D einen Sreigbogen, ber auf ber

Verlängerung bon AB ben ©d^nitt E
gtebt. Um A unb 5 fd^Iage Sogen mit
AE, bie ben ©d^nitt M geben. Jlf ift
areittel^junftbeg gefud^ten3e]^nedfg, toeld^eg
mit $filfe beg Xlm^^eifeg leidet bottenbet
mirb.

®er Italiener HKagd^eroni (f^^rid^
aRagferoni) l^at bie gunbamentalfon-
ftruftionen ber Panimetrie mit bem 3irlel
allein, alfo ol^ne ^tilfe beg Sineatö,
burd^gefül^rt.

SDie ^onftruftion beg regelmäßigen

günf edfg aug jmei edE|)unIten A unb B gicbt er babei folgenbermaßen:

©daläge um B mit AB einen Sreig (gig. 6), trage ben atabiug

bon A aug 4 mal ab, toad C, D, E unb F giebt. SRit AD

f daläge Sogen um A unb E, bie ben ©d^nitt G geben, mit BG

Sig. 5.

M*.^

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II. Übungen an bcn ^tcie(fS!rci|cn. 7

©ogen um D unb -F, bic bcn ©d^nitt fl" gcBcn. Iragc t)ott -4 ouiJ

auf bem Steife 3moI BH ab, toaS J, J5l unb L giebt, bann ift X

ein 5ßunlt be3 günfedti^.

Sogen um -4 unb JB mit ^ftfl. e.

-4J5 bejU). ^i geben Xj, ii^^x^ ^ ^^

Sogen yxm L unb i^ mit y^'' '^^^^^ V<s^

ilJ5 geben JV: Sie fünfte ^ \ "v^

^J5XJVii finb bie edctt .<"... _-_:x\

bcg gefttc^ten günfedg. 'f "^ß^^K A'^^'v?

a)aiJ Se^nedE fon- \ ^./^ ^\
ftruiert man naii \\fm \ / '\ /

folgenbcrmafeen. SBiebet:: \ / \ / \

l^ole bie öorige Äonftrul- \/ \/

tion big H unb fd^Iagc J^ — -^ -^' tisr

um A unb 5 Sogen mit

EH, bic ben ©d^nitt M

geben. ®er ^ei^ um M

mit SRabiug Jf ^ ift ber

Um=:Äreig beg leidet ju ^^

tjottenbenben 3^^«^*^-

Serfud^c beibe Sonftruftionen atö rid^tig nad^jutoeifen.

®er große ©eomcter ©teiner l^at öerfud^t, bic ßonftrultionen
mit bem Sineal allein augpfül^ren, alfo ol^nc ben girfri. Sei jal^t
rcid^en Sonftrultioncn ergab fid^ bie SWöglid^Ieit biefer SluSfül^runfl
nur unter ber Scbingung, ba| in ber ®bene ein fefter ßreig gegeben
toar, ©inigcg baöon lommt f^äter jur S^jrad^e.

a) 2)ie Kabieit ber Hier eetill^tttttgSfteife beS SteieM.

7) Sm erften leite (3lr. 119, 181, 182) ift golgenbeg gejeigt
tüorben: @e^t man bei einem 2)reiedfe mit ben Seiten a, h unb c

1 a+l+c —a^h^c

1- 1> = 2 , Pi^ 2 '

a — 6 + c a + 2> — c
i>2 = 2 ' ^8 "^ 2 '

fo bebeuten p^, p^ unb p^ bie Sängen ber 2:angentcn, bie öon ben
®dEj)un!tcn oxi^ an bie benachbarten Serül^runggfreife gelegt finb.

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8 ©cftc StBtctlung: ©cometrie bct ©eraben unb beS ÄretfeS.

Sugtctd^ tp i?i +i?2+i>8 =-i); bic «obtcn ber »criH^ruttö^Ircifc
bered^nen fid^ aud

bagegcn ip bcr Stt^oß bciJ ©reicdö

Vitfgalie. Seite baraud burd^ Steci^nung folgenbe Sejtel^ungen ab:
4.1:^1 + 1 = 1.

9i Pf Pa P

(@e^e für q^, q^, q^ bie oliiöen SBerte ein, mad^e bie SSrfid^e
gleid^ttomtg unb forme ll^rc ©unime fo um, baft ber Slußbrudf -
entfielt.)

6. QQ9 + QiQi^PiP%+PP» = a^, 9Qi + QiQs~PiPs+PPi'^^<^f
992 + ^8^1 =PsPi + PPi = cö*)

(S)te Sormel tft leidet atö Slec^tedE^fa^ in SSSorten cm^iubrädEen.
Stt il^rer Ableitung jelgc, baß qq^ =PiPi = <^ - (^ ^ ^) . c + {a-h)

=» ^ 1% bilbe ebenfo q^q^ "i'JPs = ^ , unb

bitte bie Summe, bie ab giebt.)

i -1- l = i_ i = i

Pi Pf P Pa Äa "

("Simn e^ ift j. SB. nad^ Obigem

^ -i_ i_ ?!. -L ft — - Pi + 1^* _^= 2^ _ 2 „ f H,\
p, "T- p^ — 2r -^ F — F — JP = CÄ3 — A3 "• '• ^•>'-

2)ie gormel Iä|t fid^ aud^ foIgenberma§en fd^reiben:

A3 ='*''• =

»i + *i

*) ICd^te auf bic c^Hifd^e SJertaufd^ung ber 3nbiceS 1, 2 unb 8. S)ic
§toeite Sormel folgt fo aud ber erften, bag 2 ft^tt l, 3 ^tt 2, l ftatt 3
gefd^rieben toirb. (Sbenfo folgt bie britte auS ber §toeiten. Ttan n^paxi
baburd^ aEe Sied^nungdtoieberl^olungen.

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n. ftbitttgen an ben 2)teie(fd!reifen. 9

(Sn bcr öorigen SBcttJeti^fill^ruttö laut bic ©Icid^ung ^' '^^' = -g? ,
ttifo ift ;p = - + - tt. f. tt).) ©cfet man in 8. för F fctncn

3&^y99iQ,Q, ein, fo »irba-l^^^i^^^s^^'-^C^^ + ^s)]/^-

(gbcttfo folgt a = ((>i -— ^)l/^^- äuiJ Bctbcn ©leid^unflcn crl^fift

man burd^ äRuItipüfation eine cinfad^crc. S)ai^ neue -Softem bon
©leid^ungen ift:

9. a* — (?i — q) (q^ + ^a), 6« = (^2 — ^) (^3 + Q^),

®ag Duabrat über jcber Sreicd^fcitc ift alfo Qkiä) bem Slcd^tcd
an^ bcr 2)tffcrcnj unb ber ©umme je ätocter ber SRabictt, bic 3)reic(f^5
feite felbft ift bie mittlere 5ßro<)ortionaIe jur genannten ©umnic unb
2)ifferenä.

©old^er Sejiel^ungen laffen fid^ nod& beliebig biete aufftetten, bie
junt Xeil bon tueiter gel^enbent Sntereffe finb. @o lann man j. SB.

in ber &wippt 2. bie|) unb q cinfad^ bertaufd^en, aIfo^=]/^^-^^ u.f- to.

8) ftdtflTuftilie Semettttttgett.

a) Slug gormel 4. erfennt man, ba§ jebcr ber bier Slabien be-
ftimmt ift, »enn bie brei anberen gegeben finb. Um j. 8. q m^
ben übrigen SRabien ju lonftruieren, lann man mel^rere SBege ein-
fd^Iagen.

«ug 4. folgt P=»7 — g'^g^^s) — j^j^ j^i^ ftlammem

' ^ ^ {9i9%) + iQ»9s) + {9sQi)'

SHed^tedEe finb, bie man in Duabrate bertoanbeln fann. Die be^
9lenner^ laffen ftd^ nad^ ^ß^tl^agora^ abbieren, fo ba^ man l^at

^ = ?L^' = (?Li^) 5 = IT • ^^^ Befttmmt fid^ x au« ber ^o^jortion
w : m «= 9i : fl?, barauf 9 au3 ber 5ßro^ortion n : a; =» m : ^ atö bierte
Jßro^wrtionale.

©infad^er unb überfid^tlid^er ift folgenber SBeg: SRan nel^me,
toenn ^i, ^2, ^3 gegeben finb, eine beliebige Sänge atö ©inl^eit an,

am bequemften einen ber Slabien, j. 8. (>3 — 1, fo ba§ aud^ - = 1

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10

(Srfte 9(bteUttng: ®eomettie bet &txahtn imb bei» Ihreifed.

Ift. SJtttttt pnbet man «;-=»- mit $ülf c ber ^o^)ortion ^ : 1 = 1 : ir,
y = -i oui^ Pi : 1 = 1 :y. Qcfet Ift i burd^ bic Summe - H f- -

befttmmt, unb ^ ergicbt pc^ auiJ ^ : 1 = 1 : - • 2)urd^ bte bem

festeren entf^jred^cnbc Äonftruftton ift ber ©influ^ ber toittölrltd^ ge-
tDol^Iten @in^ett koteber aufgel^oBen.

fOlan lonn ic^t annel^men, baft, toenn brei ber SRabien gegeBen
ftnb, ber vierte mit gegeben ifi

ß) Slu8 9. ergiebt pd^, »ie man baiJ Sreied lonftruiert, toenn
brei ber JRabien gegeben finb. SRan l^at nad^ ber ftonftruftion beg
bierten nur brei mittlere ^proportionalen ju getoiffen Summen unb
Sifferenjen ju lonftruieren, um bte Seiten ju erl^alten.

y) 2)emnac^ laffen fid^ j. 8. DreiedEe lonftruieren oug Q, Qi, Q2\
^u Q2fQs\ 9f 9if -^; Qxf 92f ^i «r 9f Qu «/ Qf Qii «/ 9if Q2I ^fQtfQs]
^f 9, 9ij \t 9t 931 \f 9if 92] ^u 9if 99-

^) 3)agegen lä^t fid^ lein 3)reiedE lonftruieren au^ \, q, q^*^

K 921 9^1 K 9i 92\ K 93f9u hf9f9sj K9u92j i^enn btefe ©röfeen
finb nid^t unabl^öngig bon einanber, fonbem burd^ bie ©leid^ungen 7.
mit einanber berbunben. SP J. 85. 9 unb Qi gegeben, fo barf h^ nid^t

gegeben »erben, fonbern man l^at eg au^ hj^ = ^^ ju bered^nen,

ober mittels (91 — 9) * ^9 ^^ 9i * h ^^^ ^^^^^ ^Proportionale ju
lonftruieren.

h) Set KabittS beS Itm^ftteifed unh feine Sejiel^ttngen jtt ben
Seiten itnb Setitl^rttngSfteifett beS 2)re{eit8.

3riß. 7. 9) Xttfgalie. a)en SlabiuS r

aus ben Seiten a, h unb c ju be^
red^nen.

«ttfßfnng. 3n gig. 7 fei CD
ein 2)urd^meffer 2r unb CE bie
^ö^e Äg. SluS ber Sl^nlid^fcit ber
3)reiedEe ÄEC unb Z)J5(7 folgt a : 2r
= h^:b, alfo ift

a6 abc ahc

2)arauS ergiebt fid^

ahc ahc ahc ahc .

U. f. to.

10. r

4.F

^VpPiP,P, ^VqQiQ^Q^ ^PQ *^i<?i

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II. Übungen an ben ^teiedsltetfen. 11

10) Xttfgalie. 2)en Stabiu^ r an^ ben Siabien ber 93e^
rü^rung^Ireife ju bered^nen.

VttflSfttng.

Oben mx unter 7. -^-^ = J, folflßc^ ^8"^ = ^ = ^;
2)urd^ Slbbition folgt an^ ben ©leid^ungen (mit ^ülfe bei5 ©^ftemS 6)

, , 2 / , V 2ab 2abc ahc .

11. (^1 + ^2 + (^3 — ^ = 4r.

(ga§t ntan ben SRabiui^ ^ alg negatiöe ®röfee auf, fo tft r ha^
aritl^mettfd^c SKittel au^ ben öier anbeten Labien.) ©inb öon ben
5 SRabien 3 belannt, fo laffen ftd^ bic beiben anbeten lonfttuieten unb
beted^nen. gn lebet bet frfil^eten aufgaben löfet fid^ bemnad^ cin§
bet Q butd^ r etfefecn. äu« 11. unb 9. ctgebcn fid^ j. 8. gotmeln,
bie mit ben gotmeln 7. jufammen jut ftonfttuftion beg 2)teiedCg oui^
r unb ben SRabien ^toeiet SSetül^tunggfteife bienen:

(^^ = (Qi'-'Q)(^r + Q — Q,) = {Q^ + Q^)(4:r — Q^ — Q^)

12. &* = (^2-^)(4r + ^^^,) = (^3 + 90(4^-^8-^i)
c^ = ((»8 - ^) (4 r + (» — (»s) = (^1 + ^2) (4 r — (»1 — ^2).

©inige bet Äonfttuftionen öeteinfad^en fld^ nod^ butd^ ben folgen-
ben ©afe:

11) Sa^. S)ie beiben butd^ jtoei @dEen einei^ ^teiedEd
gel^enben Steife, bie il^te aRittcI^unlte auf bem Um^Äteife'
l^aben, gelten butd^ je jttjei aKittel^unlte bon Setül^tunggs
Iteifen bei^ 2)teiedf^.

8e)iiei8. 3n Sig. S ]A ABC ba§ 2)teiedC mit feinem Um^
fihreifc M unb bem ^eife D butd^ J5 unb (7^ toobei D auf bem Um-
^eife liegt, «u^ BD = DC folgt ^ «i = ^ «2- S^t ®^eife D
ift ^^=«2/3i (©entti- unb 5ßeti})l^etiettjinlel auf bemfelben ©ogen
(iC), im Steife 31 ift ^ = /3^ + /ig (5ßcti))]^etietoinIeI auf bemfelben
Sogen AC), golglid^ (Sj + /^^ = 2ft, alfo /3i = (Sg. ^a abet
butd^ -4fA unb jBf* bie SBinlel bei A utrf> J5 l^attiett finb, fo ift fi
bet SRittelpunIt be« Sn^ftteifei^.

Slu3 ^ (ijB(ii^= 90® folgt, bofe aud^ bet «ufeentoinlel bei B
l^albiett, (i^ alfo SRittel^unlt be« ©etül^tungi^IteifeS mit Äabiu^ qj, ift.

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12 ' @r|le S^Bteilung: Geometrie bet 0eraben uttb bed Reifes.

@ntf))red^enb koirb ber Setueid für ben ßretö geffil^rt, ber um
bcn ®eflctH)unft B^ burd^ B unb C flcfd^Iagcn totrb, nur treten babel

me^rfad^ ^uf^^^Iementtoin-
M ftatt gleid^er SBinlel auf.
S)er neue Äreii^ »trb bnrd^
AD^ in f*a ««^ f*8 9^'
fd^nitten, »obet btc ®erabe
fig^ ate ^urd^meffer in
Dl l^albiert ift.

[Sft JEJ ber ^attie-
rung^<)unft beS Sogeni^
-IC, fo gel^t ber Vixa E
burdj -4 unb (7 gefd^Iagene
^ei^ burd^ ft unb ftg/ fi'
bafe ber 2)urd^meffcr ^n^^
(bie SSeridngcrung öon^f*)
in E l^attiert ift.

a)a§ 3)reiedf -45(7 ift
bann ba8 ^öl^enfu^^unfts
breiedE öon f*if*2f»3 (P-
gleid^ anii t)on ftfAifisr

bie fertige 3^^«tt«9 fli^^t
ben ©0^: 2) er ftreiS
burc^ bie ^öl^cnfu^-
<)unltc eineg %xt\ti^ l^atbiert bie 3)reicdf«fciten unb bie
oberen Slbfd^nitte ber ^ö^en. @r toirb ber Sreig ber neun
5ßunltc ober nad^ feinein ©ntbedCer bergeuerbad^fd^eÄreiS genannt.]
atte 5ßerlt)]^ericn)inlel über BG im ßreife M geben ShreiedEe,
bei benen bie SRittelpunlte ber ©erül^rungiJlreifc auf bcn Reifen
D unb Dl liegen; ba^fclbe gilt aud^ öon ben ^ßeripl^erietoinleln unter
BC. SBanbcrt alfo A öon B über Dj nad^ (7, fo toanbcrt ft auf
berfelben Seite ber ©eraben BG auf bem ßreife D öon B nad^ G\
toanbert A öon G über D nad^ D, fo toanbert f* auf berfelben Seite
ber ®eraben BG auf bem ftreifc Di öon G nad^ D.

12) Xitfgalfte. (£in S)reicdf au« r, a unb ^ ju lonftruieren.

XttflBfitng. a) Xrage in ben mit Slabiud r gefd^Iagenen ^eid
bie Seltne aaü BG ein, l^albiere ben Heineren Sogen jB<7 in D, f daläge
um D burd^ B (unb G) ben jenfeitiJ BG liegenben Srei^bogen BG, jiel^c
bort eine 5ßaraHeie in BG im Äbftanbe q, ©d^neibet bicfe ben Sogen

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II. Übungen an ben S)veie(!0freifen.

13

bt» fircifciJ D in (i, fo qkU Dfi öcriangert bcn ©d^nitt^unlt A auf
bcni 9CflcbcttCtt ^eife, mbÄBC ift ba^ gcfud^te 2)rciccl. (S9I. gifl. 8.)

b) Statt bcn Heineren Sogen in D ju l^olbieren, lann man au^
ben größeren Sogen in Dj
l^albiercn unb bie fton^
ftruftion auf ber anbem
Seite ber ©eraben BC
burd^fül^ren. 3)er SBinlel
bei Ä toxxh jefet ba8
®u})^Icment bcg öorigen.

etmethtttg. (Sbenfo
gefd^iel^t bie Sonftrultion
txnt^ 2)reie(l8 aui^ r, a
unb Qi, nur toirb babci
jcbe^mal auf gtoei öcr^
fd^icbenen ©eiten uon BC
gearbeitet.

13) Xitfgalie. S3ie
toeit ip ber SRittel^
^)unlt bei5 Um-ftreifeS
öon benen ber Se-
rül^rungiJlreife cnt-
fernt?

«ttfIBfttttg. 3n Si^
gur 9 ift

c« = 1^* = ire* + ;re* = (if D - ©D)* + (f*2)* — ©D*)

— MD^ - 2 MD . ©2) + (iJD^ = -Sfl)« — 2MD • ©D + DC«

= MJD^ — 2MB . QB + BFBB^,
ober

c» = r« — 2r . ©D + 2r • DF = r« — 2r (QB — BF)

= r^ — 2r ' QF = r^ -- 2r ' (iE, b. ^. c^ — r* — 2rQ.

etmtt1un%. ©efet man Mfii = ej, fo Betoeift man ebenfo, baß
e,«=r« + 2r^, ift.

3m ®anjen befleißen alfo für bie ©ntfernungen öon M
na^ (i, (ii, fAg ^^^ I*» folgenbe Sejiel^ungen:

13'

ober

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14

(Stjle 9[(teilung: (S^eometrte bet &exahtn unb bei» Aretfei».

13^

ober
13°.

3ia^ ben gomieln 13^. tocrben bie gefud^ten ©ntfcmunflett atö
mittlere ^xopottiomitn jttJtfd^en ben beiben galtoren unter ben SBurjeln
lonftruiert, md) ben gomtcin 13*". gefd^iel^t bie ftonftrultion naä)
5ß^t]^agora3. sbie 2)reie(f^Ionftrttftionen gefd^cl^en öon jefet ab fo,
ba§ ntan um bie ®nb<)unlte ber fo gefunbenen ©eraben e bcjto. e^,
Ht h ^^if^ ^i^ *>^^ betreffenbcn Labien fd^Iögt.

3)aniit finb folgenbe ftonftrulttonen ermöglid^t: ©n 3)reied ju
lonftruiercn au^: r, (>, a; r, (»i, a; r, ^2,a; r,(»,a; r,^i,a; r,q^,a:^
a, a^ q:^ »/ «, (>i; «r «/ ^2; ^i^^ lönnen rcd^ttüinffige unb gleid^=
fc^enttige 2)reic(fc mit \t jttjei fold^en Äabien verlangt tnerben. (S)ie
langente öon Jlf au^ fül^rt auf ben redeten aasinlcl; bie Sinic Jff*
auf ba§ f^mmetrifd^c 3)reiedE.)

Sfig. 10.

14) 8emettttitg. 3ft e =>^(r — 2^) lonftruiert, unb ^(A
man um bie ©nb^unfte oou e ^eife mit r unb q gcfd^Iagen, fo finb

unenblid^ öielc S)reiedEe möglid^, benn
bai^ britte ®\xiA ift nod^ nid^t ges
geben.

Segt man alfo t)on einem be-

liebigen $ßunfte A be8 ftreifeS M

an ben ftrei« ft eine langente, bie

big jum ©d^nitt))unlte B mit bem

ßreife Jf ju verlängern ift, jtel^t

man cbenfo bon B au^ eine jtoeite

langi^ntc BC unb ebenfo bon C

au^ eine britte langente, fo trifft

biefe nad^ Ä, SKit anberen SBorten:

gül^rt bie Äonftrultion bon brei

folc^en langenten nad^ bem Sluggangg^unlte A in einem

gälte jurfidC, fo fd^Iiefet bie Äeil^e ber langenten ftetS,

mo man aud^ beginne*). S)araug ergeben ftd^ neue Sonftrultionen

*) 3)ie8 ift einS ber bctül^mten ©teinerfd^en Sd^IiegungS^jroBIcme,
toeld^cg burd^ ^tojeftion auf Äegelfd^nitte übertragen tocrben fann. gür
l^öl^ere 2:ei(e ber SDlatl^ematil ift eS fel^r toid^tig geworben.

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ni; ©cslel^unöcn stoifd^cn hen ©citen, ^öl^en ic. beS ^rcied«. 15

für bag Srciccf au3 r, g, «; r, p, a u. f. to. S)ic entf^jrcd^cttben
Scmcriunoen für r unb ^^ Bieten feine ©d^tüierigfeit.

15) «emetittng. S)ie ^ßfeill^öl^e FD = d^ beg »ogcng JBC in

gig. 9 ift, ha (ifi^ in D l^ottiert ift, d^ = ?^-^ • man f)at alfo

bie @(Ieid^ungen

^ = gi~g «= ^^ — (9t+9i) ^ ^ Qt—Q _ ^r — (pa + Pi)
^1*= 2 2 ' ^2 = ~~2 2 '

©oH bemnad^ ein Sreicd au^ r, q nnb p^ lonftruiert tüerben, fa
bitte man d^ = ^^ ^ ^ nnb lege in ben Ärei« mit Äabin^ r bie

entfpred^enbe ©cl^ne a. 3n ber ©ntfemnng \ = — ^^ jiel^e man

Pi — 9

ienfeitg di eine 5ßaraHeIe p a, bie ben gefnd^ten 5ßnnft C beftimmt.
2)amit ip gejeigt, mie man an^ r nnb ben Labien jtoeier beliebigen
Serül^mng^Ireife bag 3)reied lonftruiercn fann.

16) Xttfgalie. 3)ie ©citen x,y,0 eineg Äreiecfg ang ben
$ö]^cn Äj, /lg, A3 jn bcred^nen.

«ttf Wfttng. Sin« J?' = ^ = ^ folgt 2^ = ^ , ebenfo ift

^ = ^ • (?)ie britte ®Icid^nng ^ = ^ ^ürbe nid^t^ nencg geben.)
SWan fefce bie SBcrte t)on y nnb z in bie ®Ieid^nng

etn, toobn J. 2Ö. a; + s/ + ^ = aj + -^ + -^ = a? ^^^^^

tt)irb. ®iefe gel^t bann über in

xhi

4Ä,-Ä3

||/(Äi /*, +/>,Ä8 +/*8 /li)(-Ä, /»,+ Ä,Ä8+''8 /»iXÄlÄa-^i Ä3+Ä3 /»i)(Äi Ä^+Ms-ÄäÄJ.

*) 3)iefer Äbfd^nitt l^at nur SBebcutung für gelegcntttd^e ftbungen im
S^ered^nen.

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16

(grfte Srbtettmtg: ^eomettie bei ®eraben uttb be0 iteeifeS.

aiad^ beibcrfettiflcr S)iöifij)tt bvx^ x folgt, tocun man a, 5, c
für x,y,e fcfet:

tDO

17) Vttfgake. 2)ic ©ettcn cine^ 3)reiccl8 au^ bcn ©öl^en
Äj, Äj uttb A3 ju lottftrulcrett.

«itfttfttttB. «ug ^ = ^ folgt a; : y = Ä, : Äi uttb a; : ier

«= A3 : Äj. 2)ettttiad^ ift bag SSerl^älttti« ber 3)mc(ISfeitctt belatiitt

(x:y:z = h2:hi: ^j^) . SKatt lottftruicrc citt ©reicd tttit beliebiger

©eite x' unb bcit ©eitctt y' uttb ;?', bie biefer 5ßroportiott eutf^jted^en.

3ft baun hl bie §ö]^e biefe§ a)reiedC§ auf x, fo ift x = x^ aß

©eite be§ gefud^ten 2)reie(fg leidet ju lottftruieren.

2)iefe ^onftruftion ift toeit bequetncr, afö bie mit $ülfe ber
oben bered^ncten ?lu8brüdCc burd^jufül^rettbe.

Oemertttttg. ^ie utngefel^rte Aufgabe, bie ^b^tn au^ ben Seiten
ju bered^nen, ift fd^on in H^eil I gclöft toorbcn. @ie fül^rtc auf

2JP 2 1-

fo ba^ ntan l^at:

w

2b'

^ = 27'

Stfl. 11.

too TF = l/(a + fe + c)(— a + 6 + c)(a — & + c)(a + fe — c).

18. Vttfgolie. a)ie aRitteHinieu t^, f^, t^ eineg 3)reiedE§

aug bcn Seiten a, &, c ju
bered^nen.

«ttfläfttttg. 3n gig. H ip
nad^ beut 5ß^t]^agoreifd^en Scl^r?
fa^e für baS attgenteine S)reicdE

&* = T + '^'' + 2fi'
unb

■-- i'--*^- Ä-

alfo burd^ Slbbition

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ni. SBejiel^ngcn stotfdftcn ben ©citen, §öl^cn tc. bc8 ^retcd». 17
6* + c* = v+2«A

fo bog man l^at

tg^^y2a* + 2h*—(».

19) ICttfgiiBe. S)ie Seiten a;, y unb « eine« 5)retediJ ou8
ben aRttteUinien <,, /,, t^ ju beresi^nen.

VttflBfnng. 3tu$ ben legten Somteln folgt

a) 2y» + 2«» — a^ = 4<i*, b) 2«» + 2«* — y* = 4<,*,
c) 2«* + 2y* - 5« = 4^*.
3)ur(!^ @ubtcaftton er^tt man bar«uS

»ercd^nct man z^ au§ ber crftcn unb y^au§ ber jtocitcn ©Icid^ung, unb
fefet mon tl^re SBcrte in c) ein, fo folgt, ttjcnn man a, h, c ftattic,y,;ef fcfet:

d) a = -}y2t,^ + 2f,'-l^, & = tVH' + 2<,--^,

20) Vttfgake. @in ^reied au^ ben aJlitteUinien ju
lonftruieren. . •

2)ie Stuflöfung mit ^ülfc ber lefeten gormein ift eine einfädle
Slntoenbung beiJ 5ß^t]^agoreifd^en
ßcl^rfafeeg. 3loä) einfad^er ift bie «*«• i«-

in 2:eil I ®eom. Str. 123 gegebene -^

Äonftruftion. 3« ber betreffenben

Sigur finb |-, - unb |- aWittel-
Knien bcg ^ülfäbreietf^ DBF (gig.
12), beffen ©eitenj- t,,^t,,^ ^3 finb,
fo bafe nad^ 18)

ober

a)ic formelle Übereinftimmung ber Slu^brüdCe unter 9lr. 18 unb
19 Hart fid^ fomit einf ad^ geometrifd^ auf.

4>ol8müIIer, SWat^emati!. n. 2

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18 <Expe XBtetImtg: (Bcotnettie ber Qleiaben unb be» ftieifeS.

ermetfttttg. Shttt i^at A 2)JB J' bett brittett leil be« Snl^ott»,
»ie A ABC, folfllic^ ift

T • tV(« + & + c) (- a + 6 + c) (a - 6 + c) (a + & - c)

ober ^(o + 6 + c) (— o + & + c) (a — 6 + c) (a + 6 — c)
=- («1 +<» + <.)(- <i + <* + <») («i - 'j + («, + <,- <,).

21) Vttfgoie. ^ie ^ö^en beS X)reied0 burd^ bie aTZtttel-
Itnien audiubröden.

VitflBfttttg. gormcl ^i = gj tn Sir. 17 ge^t über in

1 4.

alfo, koenn man aud^ a burd^ bie SOtittellinien au^brüdEt:
TT' ^ TF'

22) Xttfgalie. 2)ic SKittcIIinien bc^ 2)reicdCg burd^ bie
$ö]^en augäubrfiden.

«ttfläfttiig. ©efet ntan in t^ = )/25« + 2c^ - a^ für h, c
unb a il^re SBertc au^ Ste. 16 ein, fo erl^ölt man

.-i/i

h,'h,*h,*{2h,H,' + 2fe,«A,» -^ /i,»fe,«)

toorauiJ fid^ fa «^i> ^s i^^^^ c^Hifd^e Sertaufd^ung ber Sitbice^ ergeben,
gn ber fertigen gormel ift an^ "h^h^h^ nod^ bie SBurjel au^juiiel^en.

23) Xttfgalie. 2)ie SBinfell^albierenben w^, w^, w^ einei^
2)reiedCg au^ ben Seiten a, h, c ju bered&nen.

«ttfläfttlig. Sßad^ Seil I) Ste. 169 ift in gig. IS p:q = h:c,

alfo i? = y unb a --^ p + q = ^ + q= q ^^, alfo

1) g = ^-^ unb 2)i) = ^^Tt' *^"^ ^^^ Sl^nlid^Ieit ber 2)reiedCe
D CE unb i) J.5 folgt t^i : q =p : v, ober jpg = w^v=^w^ {AE — Wi),
alfo 3) w^^ = w?i • AE—pq, ?lu§ ber Stl^nlic^feit ber SreiedEe AEC

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IV. SOIgemeine SSemetlunoen übet ftonfhndtionSauf gaben. 19

«nb ÄBD folgt ÄE : 6 = c : »1
ober AE-w^ = 6 c. S)te8 in 8)
eingefe^t giebt

Wi =^oc — i)g = oc —

(6 + c)'
-"" (6+c)'

goIgUi^ tft

1/66(0 + 6 + c)(-a + 6 + c) V^a + 6 + c)(a-6 + e

«»i r^ — 6+1 ' *^«= M^ä '

|/a6(a 4 - 6 + c) (g + 6 - c)
«'s ä ITft

»emettttng. ?i«8«,^«^6c-^,foIgta=(6+c)|/*^',
fo ba§ ein S)rcte(f au^ «^j, & unb c lonftruicrt »erben lann, lefetere^
ji 35. mittetö ber ^ßro^jortton yVc ^yic — w^ '^^ (h -^^ c):a.

«^1*

Stu§ berfelben (Sleid^ung folgt &c = j^ -2, fo ba§ ein

S)reied aud^ anS a, w;, nnb ber ©eitenfumnte (6 + c) bcrcd^net nnb
lonftmiert »erben lann. 8lu^ 5 + c = 5 nnb 6c = A:, too ä ber eben
bered^nete SBert tft, laffen fid^ '6 unb c beftimmen.

®ie ^dbierenbe bcg Slu^entoinletö bei A bered^net fid^ in al^n-
lid^er SBeife xoxt w^ afö

. _l /&c(a

^t-i- ^ -^+j(; + 5--c)^

IV. M^tmmt ßtmtxknnpn ütftx ^imp:n1xlxammf$iibtn.

24) Sfni^ bcn frül^eren Übungen crgiebt fid^, ba^ bie geforberten
Äonftrultioncn enttoeber auf rein gcomctrifd^em SBege ober mit
^filfe öon Sered^nungen au^gefül^rt njerben. Seseid^net man alfo
bag atuffud^en be^ jur Söfung fül^rcnben SBege« afö bie Änal^fi«
ber ?lufgabe, fo lann man einerfeit« bon geometrifd^er Slnal^fi«,
anbercrfeit« öon algebraifd^cr Änal^fi^.fprcd^en. Sei ber lefeteren

2*

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20 @tfte SCBteilung: Geometrie bet ©etaben unb bed ^eifei».

l^anbelt e^ ftd^ nämlid^ um bic Sluflöfung bon ©Icid^ungcn niebercn
©rabcg, eine Äunft, bie man atö SKIgeBra ju bejet^nen pflegt.

25) Die geometrifd^e Slnal^fii? fud^t entn)eber ©ftfee auf,
au^ benen ftd^ bie Söfung ol^ne toeitereg ergieBt, ober fie ftjcnbet ge-
ttjiffe aWetl^obett an, mit bereu ^filfe bie ffionftruftion ermöglid^t wirb.

gm erfteren gaHe l^anbelt e§ fid^ nur fetten um eine J)lanmä§ige
Unterfud^ung, bie mit jftjingenber 5Rottt)enbigleit jum Sidt fül^rt,
fonbem in ber Siegel barum, au^ ber großen 3Kenge ber üorl^er Be^
arbeiteten ©dfee mit gefd^idttem Griffe biejenigen l^erauSäufinben, bie
fid^ im gegebenen gaHe atö braud^Bare SBerläeuge betoal^ren. Sluf ben
toeniger ®eübten mad^en bal^er fold^e Söfungen l^äufig ben ©inbrudE, atö
^be e» fid^ mel^r um einen ffiunftgriff ober ein geiftreid^eg kombinieren
gel^anbeft, atö um ba^ ©rgebni^ einer planma^gen Überlegung.

SKan erlennt j. 35. leidet, ba| bie Aufgabe, „einen Äreig ju
lonftruieren, ber burd^ gtoei gegebene 5ßunfte gel^t unb eine gegebene
®erabe berührt", mit $ülfe be^ ©a^eö gelöft toirb, „ba§ bag Duabrat
ber Tangente gleid^ bem {Red^tedf aug ber ganzen ©elante unb il^rem
äußeren Slbfd^nitte ift". Dagegen ftaunt man bi§n)eilen bie öon
(Seometem n)ie Steiner gegebenen Söfungen afö ßeiftungen eineg au^er-
gen)ö!^nttd^en ©d^arffinneg an. ©in Seif^jiet biefer 2lrt fei angegeben:

26) ttttfgate. 3n einem gegebenen DreiedEe ben 5ßunlt
aufäufinben, für ben bie ©umme ber SSerbinbung^Iinien
mit ben SdEen ben Ileinften möglid^en SBertl^ l^at.

Itnal^flS. gm gteid^feitigen DreiedEe ift bie Summe ber bon einem

beliebigen 5ßunfte auS auf bie
^*ö- ^^' ^ brei Seiten gefäUten Sote ftetg

gleid^ ber ^öl^e, alfo p + q
' -\-r^h, toag rein geometrifd^
abgeleitet ftjerben lann, aber
aud^ aug ber gnl^aftsformel

F = h^ = (p+q + r)^

folgt. Sielet man bagegen öon
bem fünfte X auS bettebig
gerid^tete ®erabe nad^ ben brei
Seiten, fo ift il^re Summe

aud^ größer aU h,
Die Sote aber bUben miteinanber ftet§ SBinlel öon je 120^.
gft nun BEF ein beliebige^ Dreiedf, unb benft man fid^, X

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IV. Slllgemcine ©emerfuttgcn über ÄonftrufttonSaufgaben.

21

gfig. 15.

fei ber 5ßunft, beffen ©dttran^öerfalen unter SBittleln öoit je 120^

jufatttmenfto^ctt, fo erlennt man, ba§ bie in ben ©d^junltcn auf bcn

Iran^öerfalen ctrid^teten Sote . ein

gleid^feitigeg 2)reiedE ABC bilben.

gäHt man öon einem anbeten 5ßttnltc

Xi aus auf bie Seiten tjon ^jBC

ßote i?!, gj, rj, fo ift ^1 + ^1 + r^

= j? + g + *•• SJerbinbet man

aber X^ mit D, E unb 2?; fo ift

atfo aud^ größer atö j^ + g + ^•

S)a bie§ öon j[ebcm beliebigen 5ßunfte

Xi gilt, fo folgt, ba§ ber 5ßunlt X,

in bem bie ©dtranSöerfalen

fidEl unter 120^ treffen, ber^

ienige ift, für ben bie Summe

ber aSerbinbunggUnien mit bcn ©den itn fleinften mög^:

lid^en SBert ^at

S)ie ßonftrultion beg gefu(f|ten $unlteg ift cinfad^. ©d^Iagc
nvx B einen Sogen unb trage auf
il^m öon BF auS 5n)eimal ben
aiabiuS ab, n)ag ben 5ßunlt H giebt.
©rrid^te in B auf HB unb ebcnfo
im ^albierungg^junfte / auf DF Sote.
Um bcn ©d^nittpunlt M-^ be§ leiteten
f daläge einen burd^ B (unb F) gcl^cnben
^ei§. SBieberl^oIc biefc Sonftruftion
an ber ©eite BE^ n)a§ bcn 5ßunft M^
afö äRittelpunft eineSfiteifeS BE giebt.
Seibe Steife fd^neiben fid^ in bem ge^
fud^ten fünfte X

S)er a3eft)eiS für bie SRid^tigfeit
ber ßonftruftion bleibe bem ©d^üler überlaffen, ebenfo bie Untere
fud^ung, ft)ie eS toirb, njcnn X aufeerl^alb be§ S)reiedEg faßt.

gig. 16.

27) 2ln fold^en unb äl^nlid^en Söfungen. erlennt man, ba§ be^
anlagte unb geübte ©eometer Srüden ju fd^Iagen öcrftel^en, n)o njcniger
geübte bie 3KögIid^!cit einer SSerbinbung gar nid^t erfennen. 3n
öicien gfäßen fte!^t ju vermuten, ba§ bie ßöfung aud^ nid^t auf
anal^tifd^cm SBege gefunben ift, fonbern auf ®runb beS umgcfel^rten
SJerfal^renS. S)er ®eometer fanb auf f^ntl^ctifd^em SBege einen gc^

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22 @rfte Slbteilung: @^ometrie bei (^etaben unb bed l^reifeS.

toiffen Sufamtncnl^ana unb crfanntc, bofe burd^ benfclbcti eine getoiffe
®ru|j^)e öon aufgaben lögbar njirb. ®r fonntc j. 85. bie Äonftruftion
öeröffentüd^en unb cg ben SKatl^cniatücrn überlaffen, bie Slnal^fiä unb
bcn fßmd^ fclber aufiufinben. Steiner j. 8. i)at bieg in bieten
gäHen getl^an. unb bamit ju jal^Ireid^en gorfd^ungen SSeranlaffung
gegeben.

@g giebt in ber %f)at fel^r ergiebige Oueßenfä^e für größere
&vnpptn bon fionftrultionen, nnb eg ift eine nüfelid^e Slufgabe^
bei einem frieden @a^e ju unterfud^en, toeld^e Slrt bon Problemen
man mit feiner ^ülfe töfen lann. ©old^e @ä^e finb j. 85. bie bon
ben mertourbigcn fünften beg Sreiedg l^anbelnben, femer ber ©afe beS
^ß^tl^agorag, ber @a^, bafe bie ©efante ftetig geteilt ift, toenn bie ju-
geprige 2!angente gleid^ bem I>ur(§meffer beg Sreifeg ift. Slud^ bie
Sejiel^ungen jft)ifd^en ben JRabien ber ^au^tlreife be§ Dreiedfg geben p
jal^Ireid^en ßonftruftionen Stnla§. ©öfee bon l^erborragenber SBid^tigleit,
tt)ie ber @a| bom boHftänbigen SSieredE, bie (Sa^e bon 5ßagcal unb
85riand^on n^erben nod^ jur &pxaä)t lommen.

Äommt man mit ßel^rfö^en nid^t jum ßi^^r f^ berfud^t man
bie Söfung ber Aufgabe mit ^iüfe getpiffer SKetl^oben. ßinige
babon foHen burc^ Seif^jiele erläutert njerben, ttjobei auf f^ftematifc^e
SSoHftänbigleit bon bom l^erein berjid^tet toitb. S)ie Slnal^fig fei
babei ftetg atö 8luflöfung bejeid^net

28) SKetl^obe ber Symmetrie ober ber @^)iegelbilber
(UmIIaj)pung).

ttttfgaie. ©egeben fei eine ®erabe KL unb jtoei 5ßu:nlte

P unb Q auf berfelben
Siö. 17. @eite bon KL, S)er lür^

jefte SBeg bon P jur
©eraben unb nad^ Q foH
gefunben njerben.

ttttflSfttttg. 85ilbet man
ba§ @|)iegeIbUb Q^ bon Q,
unb ift S ein beliebiger 5ßuntt
ber ©eraben, fo ift jebegmal
PS + SQ^' PS + SQ,,
©tatt ölfo JU unterfud^en^
toann PS + SQ ein SUHni^
mum (Heinfter SBert) ift, lann
man unterfuc^en, toenn PS + SQ^ ein fold^eg ift. Sie« gefc^iel^t
aber, toenn PQ^ atö ©crabe gejogen toirb, toa^ ben ©d^nitt X giebt.

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IV. Mgcmeine ^Scmcrhtngen über ÄonfhcuItionSaufgabcn.

23

golgftd^ ift PZ + XQ ber gefud^tc fürjcftc SBcg. (S)a6ri ifl « = a^;
öcrgl. {Reftcjiott ber ßid^tftral^fett. S)ie SlufgaBe lommt Bei ber ®ai|)fe
ju toid^tigcr Slnftjenbung. @ie lann bal^in öeraßgemetnert »erben, ba§
man nad^ betn lürjeften SBege öon einem fünfte P nad^ einer ©crabcn
JTX, nad^ einer jtoeitcn (Seraben K^L^, nac^ einer britten K^L^ nnb
nad^ einem 5ßnnlte Q fnd^t.)

Siegen P unb <2 auf öerfd^iebenen Seiten ber (Seraben, fo l^anbclt
e^ fid^ nm bic Slnffnd^nng ber größten möglid^en Stfferenj P8 — SQ^
toobei ebenfaß« a = a^ toirb. (3)ie Slnfgabe ift wid^tig für bie
^^^erbet)

Sin ©teße öon ^ lann man einen vivx Q gef^Iagenen föreig
treten laffen nnb j. 83. ben SBeg eines ßid^tftral^IeiJ fnd^en, ber bon P
jnr ®eraben gel^t, bort nnter bemfeften SSäinlel jnrüdgetoorfen toirb
nnb ben SreiS 'nm Q berül^rt.

^önfig ift an ber Slnfgabe ol^ne n)eiterei5 bie (Symmetrie ber
fertigen B^id^nnng gegen irgcnb eine ©erabe jn erlennen, ft)orani5 fid^
fofort nene (Elemente für bie ßonftruftion ergeben. Sott j. 35. ein
ftrciS gejeid^nct »erben, ber jtoei ©erabc berül^rt unb bnrc^ einen
gegebenen ?ßnnlt gel^t, fo finbet Symmetrie gegen bie ^albiernngSünie
be« SBinletö ftatt, »aS fofort einen jtoeiten 5ßnnlt giebt. Saranf
beml^t eine ber öcrfc^iebenen Äonftmltionen.

28) SKetl^obe ber ^ßaraUelöerfd^iebnngen.

Itttfgiilie. ®inen ÄreiS jn lonftrnieren, ber einen ge^
gebenen ÄreiS unb

ixotx gegebene ©erabe Stö. is.

berührt.

«tttflSfitng. a^an
öerfd^iebt jebe ber®eraben
j)araHeI jn fidö f rf^ft um r.
(gelingt eS bann, ben
^eig äu seidenen, ber bie ,.-''

^ülfSünien berül^rt unb ,."''
burd^ M gel^t, fo l^at ^
man ben SKittel^Junlt be§ ^ ^ ^ ^ - . . ,
njirttid^ gefud^ten SreifeS
gefunbeft.

SSerf d^iebt man beibe ' ^ - ^ .

©eraben in entgegenge^^

fester 9K^tung, toie in ber gignr, fo erl^ölt man bie innere 85c*
rfil^ng an SteHe ber äußeren.

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24 d^fte ^teilung: Geometrie ber (aeroben unb bed Jhretfed.

Siäftjcilcn fann man btc Sfigur burd^ parallele SSerfd^iebunft
einjelner (Scraben in gönftiger SBeife umgeftalten. 2)ieä flef^al^ j. 83.
bei ber Sonftruftion be« Dreicdä aui^ bcn brei äKitteüinien, (SJcrgL
%tü I, 3lr. 123.)

Itttfgiilie. begeben feien itoti auj^einanberliegenbeÄreifc.
SSon ber ^ßeripl^erie bt^ einen foll ju ber be^ anberen eine
©erabe bon gegebener Äid^tung unb Sänge gelegt ft)erben.

ttttflSfttttg. 3Kan berfd^iebe ben einen ber Greife um bie ent=
f^jred^enbe „©tredEe". 2)ie beiben ®d^nittt)unfte finb bie SKuiJganggs
t)unlte ber gefud^ten ®craben.

SKud^ 5ßaraHeIberfd^iebung mel^rerer 5ßunfte filiert bisnjeüen sunt
Siele, j. 85. bei folgenber

Itttfgaie. ®egeben feien jtoei ®erabe unb ^in jftjifd^en
il^nen liegenber 5ßunlt. S)urd^ ben 5ßunlt bon ber einen
®eraben jur anberen eine ©erabe ju legen, bie burd^ ben
Jßunlt in gegebenem SSerl^öItniö geteilt ift.

ItttflSfttng. eingenommen, eine burd^ ben $unlt gelegte ®erabe
fei in btm berlangten SSerl^ältnig geteilt. Segt man bann burd^ ben 5ßun!t
eine 5ßaraHeIe ju ber einen ber gegebenen ®eraben, fo ift ber Slb-
fd^nitt ber anberen ebenfalls im gegebenen SSerl^aftni^ geteitt. (^anbelt
e§ fid^ s. 83. um bag Serl^altnig 3 : 5, fo ift ber Stbfd^nitt in 8 gleid^e
Seile jeriegt, unb bie parallele fd^neibct 3 bon ben Seilen ab.) 8luS
biefer 83emerfung folgt bie ftonftruftion.

29) SJietl^obe ber loncentrifd^en SJerfd^iebung. geber
5ßunlt eincg ÄreifeS toxxb auf bcm SRabiuS nad^ einem loncentrifd^en
Greife l^in berfd^oben. S)iefe SJietl^obe ift eigentlid^ fd^on bei bem
Greife ber brittlefeten Slufgabe jur 2lnn)enbung gefommen. gn aU-
gemeiner gorm erfd^eint fie bei ber f^jdter ju bel^anbelnbcn Slufgabe,
einen ßrei^ ju lonftruieren, ber brei gegebene ßreife be-
rül^rt. 3Kan jiel^t bm fStabxn^ r beg fleinftcn Äreifeg bon benen
ber beiben anberen ab unb erl^ält loncentrifd^e ^ülf^Ireife. ®ie Slufs
gäbe Wirb bamit auf bie äurüdfgefül^rt, einen Steig p lonftruieren,
ber äft)ei gegebene ^eife berül^rt unb burd^ einen gegebenen 5ßunft
gel^t. SSergröfeert man bie beiben Slabien um r, fo erl^dlt man bie
innere 83erü]^rung am erften ftatt ber anderen.

30) aWetl^obe ber t^nlid^feit. 3Kan lonftruiert ftatt be^ ber^
langten ®cbübe§ junöd^ft ein i^m äl^nüd^eg. So lann j. 85. bie
Äonftrultion eineg regelmäßigen ^ol^gon^ über einer gegebenen ©e^
raben erfolgen, inbem man ein fold^e^ junäd^ft in einen beliebigen
ffireig einjeid^net unb bann .bie gigur auf ben rid^tigen SKafeftab bringt.

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lY. Mgemetne 93enterfungen übet ^onftxuftioni^aufgaben.

25

Itttfgiilie. 2n ein gleid^fd^enfUgeg Dreied ein Duabrat
cinjuäcid^nen. SDlan jeid^net erft ein BelieBigcö Ouabrat (auf ber
®runblinie) mit ber ^öl^e atö S^mmetriead^fe unb * ^Jtojijiert bic
©den öon A ^^ auf bie (Sd^enleL (gig. 19.)

gig. 19.

3fi9. 20.

ttttfgate. ©inen Steig ju jcid^nen, bet jftjei gegebene
©etabe berül^tt unb butd^ einen gegebenen 5ßunlt B gel^t.

9tttfI9fttng. SKan jeid^ne junäd^ft einen beliebigen Setiü^tungö'
Iteig. S)ie ®etabe AB giebt ©d^nittpunlte B^ unb B^ unb SRabien
B^M unb ^2^- S^fet l^at man bic äl^nüd^e S^i^nung. S)ie parallelen
BM^ unb jBJlfg äu jenen beiben fßabien finb bie gefud^ten Slabien.
(SKn biefer Slufgabe ertennt man bie SBid^tigleit ber ^jerf^jeltiöifd^en Sage.)

ttttfgate. ®in gleid^feitige^ S)reiedE ju seidenen, beffen
@dten in brei gegebenen parallelen AB^ A^B^^ A^B^ liegen.

a. 21.

^

e,

B

h

A

T^.^-'P- g!

•D

-^

D

B»

ttttflSfttttg. 3Kan jeid^ne ein gleid^feitigeg S)reiedE BEF (gig. 22)
t)on beliebiger Oröfee unb teile D-E im SSerl^ältniS \\\. giel^t man
burd^ B unb E parallele jur XeilunggtranSöerfalc FG, fo l^at man bie

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26 ^fte SlBteilunQ: ßleometrie bet ©ctabcn unb bc8 Äreifc^.

äl^ntid^c Seid^nung. ©ttttraaung it» SBinleÖ a in bic gegebene gigur 21
genügt jur SSoHenbnng ber Aufgabe. (@<)äter anbete föonftrnftion.)

Auf cntfjjred^enbe SBeife gefingt bie Söfung ber Aufgabe, ein
gegebene^ gleid^feitigeä S)reie(f mit ben ©den in brei bon
einem $ßunlte auSgel^enbe ©tral^Ien ju tegen. @g ift nur
nötig, über jft)ei Seiten be^ 3)reie(fg ftreigbogen ju fd^Iagen, bie ben
öon ben ©tral^Ien gebilbeten SBinleln entf^jrec^en. S)ie in biefem
gaHe fongrucntc gigur ift bann in bie rid^tige Sage ju bringen.
(8lud^ bafür f^jäter eine anbcre Söfung.)

Sie beiben legten Aufgaben finb eigentfid^ mit ^ülfe ber um^
geleierten Slufgabc gelöft, n)a§ aU befonbere SKetl^obe bel^anbelt
toerben lann.

31) äKetl^obe ber Umlel^rung ber 8Cufgabe.

Itttfgiilie. ®in Duabrat in ein gleid^feitige^ Sreicd öon
berfelben gläd^e ju öerftjanbeln.

üttflSfung. 3Kan öernjanbelt junSd^ft ein gleid^feitigeg 2)reiedE
t)on bcfiebiger ©rö|e in ein ated^tcd unb biefeiJ in ein Ouabrat.
ge^t l^at man baS SSerl^ältniS äftjifd^en Duabrat^: unb J)reiedg'
feite für ben gaH ber glöc^engleid^l^eii S)ie ©eite be§ gefud^tcn
gleid^feitigcn J)reiedEg fann jefet aU öierte Sßroportionalc fonftruiert
toerben.

©ntf^jred^enb lä^t fid^ jebcg iDuabrat in ein SJieledE üertoanbcln,
toeld^eg einem gegebenen öl^nfid^ ift; alfo j[cbeS SSieledf in ein ftad^en-
gleid^eS, tott6)t^ einem beUebigen anbcren SSieledf öl^nKde ift.

ttttfgabe. ®ine gegebene ®crabe fo ju verlängern, ba^
eine ftetig geteilte Oerabe entftcl^t, njobei bie erftere ber
Iteinere (bejnj. ^rö^ere) %til fein fotl.

ItttflSfung. 3Kan teite eine befiebige ©erabe nad^ bem golbencn
(Sd^nitt unb lonftruiere ba« fel^Ienbe (StüdE ber gegebenen atö vierte
5ßro})ortionaIc. •

I>ie Söfungen mit ^ülfe ber Umfel^rung ber Aufgabe finb in
ber ategel nid^t atö elegant ju beäeid^nen.

32) SKetl^obe ber Srel^ung.

S)ie vorige Slufgabe, eine gegebene (Serabe AB ^o iu verlängern,
ba^ eine ftetig geteilte ©erabe entftel^t, topbei fie felbft ber Heinere
a:eü fein foß, lann folgenberma^en gelöft toerben: 3Jian f daläge über
AB ate Surd^meffer einen Äreig, lege an einen beUebigen ^unlt C
eine Tangente CD = AB, unb f daläge um M mit MD einen ßreig,
ber bie SSerldngerung von -d^ in bem gefud^ten 5ßunlte X fd^neibct.

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IV. OTgcmcittc »cmctfunöen üBet ftonftruftionSaufgaben.

27

(Site lanflcnte CD ift babci in bie ßage XY gcbrc^t toorbcit, tüa«
ber frül^crett Äonftrultion bc« golbcncn ©d^nltti^ cntffrid^t.)

Sig. 23.

»ig. 24.

Itttfgiilie. @ingIeid^feitige§S)retedEsufonftruieren, toeld^eS
mit ben @c!en auf jtoci gegebenen ^ßaraUelen AB unb CD
unb einem gegebenen 5ßunltc JE liegt.

Httflofung. aKan jiel^e \>a^ ßot -EJP', breite J^F um 60^ in
bie Sage EF^^ erriete in F^ auf EF^ ein Sot, toetc^eg bie G fd^neibet.
EG ift »afig beS gefuc^ten Äreiecfg.

3)re]^t man namli^ bie ©erabe C^B^ um E in bie urf^jtüng*
lid^e Sage jurücf, fo fdOt G^ nad^ H, unb <^ 6? JE?if ift gleid^ .60^

Diefefte Söfung gilt für jtoei beliebige ©erabe unb einen
$un!t E, (»erglci^e Stbfd^nitt 30.)

üttfgate. ®in gleic^feitigeg Sreiedf ju seidenen, beffen
@dfen auf einem gegebenen Greife, einer gegebenen ©eraben
unb einem gegebenen ?ßunlte E liegen.

thtflBfttttg. SKan breite bie ©erabe um E, unb jtoar um 60®.
3)ie ©d^nittpunfte K unb K^ mit bem ^eife geben bie Orunblinicn
EK unb EK^ für jtoei öerfd^iebcne SreiedEe bcr gefud^ten 8lrt. —
SRän lann aud^ ben Sreii^ vlvx ben 5ßun!t E breiten (cbcnfato
um 60®).

Itttfgiilie. ein gleid^feitigcS S)reiedt ju jcic^nen, beffen
gdfcn auf jtoei gegebenen Äreifen unb einem fünfte liegen,
(©benfatt^ jtoci Söfungen nad& berfelben Sfrt.)

%Vi\%Au (Sin gleid^feitiged 2)reiedE mit ben @dCen auf
bie Seiten einei^ anberen gleid^feitigen Dreiedtö ober bereu
SSerlängerungen ju legen.

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28 (irjie KBteilung: O^eometrie bet ^etaben unb bed ^eifei».

^ ttttflSfttttg. aWan lege bcibe Srciede mit bcn SKittcIpunftcn auf^
ctnanber unb brcjc bai^ eine in entfj)red^ettber SBeife um bcn SKittetpunft.

(ytaä) obigem laffen ftc^ unjäl^Iige gteid^feittge 3)reiec!e mit bcn
©den auf bie ©eiten eines gegebenen 2)reiec!g öon beliebiger ©eftaü
legen. S^bem ©eiten^junfte entf^^rid^t ein beftimmteS gleid^feitigeS
S)reie(f.)

ttttfgate. 3)urd^ bie ©den einei? gteid^feitigen Drei?
eis bie ©eiten eines gegebenen gleid^feittgen DreiedS ju
legen.

SB}e borl^er ju löfen.

ttttfgate. SJon einem gegebenen 5ßunfte auS an einen
gegebenen ÄreiS unb eine gegebene ©erabe (ober an jtoei
gegebene Äreife, ober an jtoei gegebene ®erabe) jtoei
gleid^Iange ®erabe ju jiel^en, bie einen gegebenen SBinlel
(j. ». bon 30^) einf^He^en.

Statt bcr ©rel^ung um 60® totrb eine um 30® borgenommen,
fonft ift aHeS toie borl^er.

33) S)ie aWetl^obe beS geometrifd^en DrteS.

a) Ser geometrifd^e Drt aller fünfte, bie bon einer gegebenen
©erabcn biefelbc Entfernung l^aben, ftjirb bur^ ^tod ^ßaraöete in
entf^jred^enbem Slbftanbe gebilbet.

b) ®cr geometrifd^e Drt aöer 5ßunlte, bereu jeber bon jn)ei ge^
gcbenen ®erabcn gleid^en Slbftanb l^at, ift burd^ bie beiben ^albierungS^
linien t^rer SBinfcI gegeben.

c) S)er geometrifd^e Drt aller 5ßun!te, bie bon einem gegebenen
5ßunlte gleid^en Slbftanb l^aben, ift ein um il^n gefd^Iagener SreiS.

d) ®er geometrifd^e Drt aHer 5ßun!te, bereu jeber bon jtoei
gegebenen fünften gleid^en Slbftanb l^at, ift bie äRittelfenfred^te il^rer
SSerbinbungSlinie.

e) S)er geometrifd^e Drt aller fünfte, bie bon einem gegebenen
Steife gleid^en Slbftanb l^aben, ift burd^ än)ei loncentrifd^e ^eife
beftimmt.

f) S)er geometrifd^e Drt für bie S^ji^en glcid^cr SBinlel, bereu
©d^enfel langenten eines föreifcS finb, ift ein loncentrifd^er ^eiS-

g) S>er geometrifd^e Drt für bie ©pifeen gleid^er SBinlel über
einer gegebenen ©eraben ift ein ^eiSbogen burd^ il^re ^nbpnnttt.

h) 3)er geometrifd^e Drt aHer fünfte, für toeld^e bie Differenj
ber Duabrate il^rer Slbftänbe bon jloei gegebenen fünften lonftant ift,
ift eine ©enlred^te auf ber SSerbinbungSlinie.

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IV. flSgemetne Senteiliingen über ftonftiuftioitSaufgaben.

29

(S)enn

- e^

ih' + Ä^)

Stfl. 25.

— Q>2^ + Ä*) —"^t" — W, tt^ie ^oä)
anä) ber $ßunft Z ticgen mag. Söfo ift
bag Sot bcr geomctrifd^c Ort. (gig. 25.)

h) S)ergeomctrifd^eDrtaßcr5ßun!tc,
bott benen au§ bic Sangenten an ätoci ge^
gcbcne Sreifc glcid^ finb, fielet fenfred^t
auf bcr ©cntrale. ©d^neiben fid^ bic
^cifc, fo l^anbdt c^ fid^ um bic gcmcinfd^aftüd^c ©clantc; liegen fic
au^cinanbcr, fo l^anbclt e^ fid^ um ba^ Sot, toeld^cS öom ^albierunggs
fünfte einer gemeinfd^aftlid^en longcntc auf bic Centrale gefäHt ift. SBirb
bcr eine öom anbcrcn umfd^Ioffcn, fo finbct man ba8 Sot folgcnbcr^
ma^cn. SWan jiel^t öon btm Heineren Sreife aug eine Sangente, bic
über ben größeren l^inau^ragt; eine gleid^ gro^c 2!angente lege man
an ben größeren ÄreiiS. I>ic @nbj)unftc beiber Xangenten breite man
um ben 2KitteI})unIt bc3 ju icber gel^örigen Äreifeg. SBo pd^ bie
beibett ^ülf§lreife fd^neiben, bort ift ber 5ßun!t, t)on bem aug bag Sot
auf bie Centrale ju fdHen ift.

i) S)er geometrifd^e Drt aUer
Jßunite P, für tt)üä)t bie Summe
ber iDuabrate il^rer Hbftänbc öon
Jtoei gegebenen fonftant ift, ift ein
ßrci§ um ben ^albicrungg^^unft
il^rer SSerbinbungglinie.

(3n gig. 26 ift M ber ^albic^
rung§t)unft öon AB, alfo ei^ = t^
+ h^ + 2pt unb e^^ = e + b^

— 2pt, tt)o p bie ^rojeftion öon t auf AB ift. golglid^ ift e^^ + e^^

= 2^ + 2&« unb < == ]/ ^^'+^'J"~ — , b. f). t eine lonftantc Sänge.

^tmethtng. ^n ber ®Iementargeomctrie l^anbclt e^ fid^ nur um
ftonftruftionen mit B^ri iinb Sineal. S)er geometrifd^c Drt für einen ju
lonftruierenben 5ßun!t ift alfo ftet§ eine ®erabe ober ein ^eig. SBir
»erben no^ einige anbere göHe !ennen lernen, too beibe atö geometrifd^er
Drt auftreten. S)ie obigen göKe genügen jur Söfung jal^Ireid^er Aufgaben.

Sfig. 26.

34) gül^ren bie angegebenen geometrifd^en SBege nid^t jum S^elt,
fo tjerfud^t man e^ mit ber SKetl^^'obe ber algebraifd^en ä[nal^fi§,
b. ^. man betrad^tet ein geeignete^ ®tM afe Unbcfannte x, öerfud^t eine
©Icid^ung aufiufteHcn, njeld^e bie Unbelannte entl^ött unb löft bie
®Ieid^ung auf. (Seif^jiele ju biefem SJerfal^ren entl^ött fd^on ber erftc Seil.)

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30

(Srfle 9(6tei(ung: (Bttnntttit ber tkraben iinb beft Iheifed.

(Entl^dlt nun ber SluSbrud für bie Unbelannte x }. 93. ^HtlDurieln,
toa^ bei @Ietd^ungen britten @>rabed gefd^iel^t fo tft ed int allgemeinen
unmögltd^, il^n mit girlel unb Sineal ju fonftmieren; b. f). bie SKufgabe
ift nid^t mit ßi^ri »nb Sineal lösbar, dagegen ift fie lögbar, tottxn
nur DuabratttJurjeln ober iDuabrattourjeln au^ Etnabrattourjeln ober
gar feine SBurjeln- borlommen. S)ie @^Ieid^nngen bärfen aQerbingd
nid^t tranfcenbente fein. Über bie ju lonftmierenben Sluilbrücle ift
baS 5Rötige im erften Xeil gefagt. —

S>er neueren Geometrie ift eg gelungen, eine grofte Slnjal^I t)on
!(ufgaben, bie man frül^er gar nid^t ober nur mit ^ülfe lontplijierter
Wed^nungen jur Söfung bringen tonnte, in fel^r einfad^er SBeife }tt
löfen. I>iei^ ift baburd^ möglid^ geft)orben, ba| eS gelang, SSejiel^ungen
aufjufinben, bie ^jrojieltibifd^er SRatur finb (b. f), bei jleber ^ßrojeltioM
erl^alten bleiben), bie alfo unabl^ängig bon ben SRaPejiel^ungett
finb. 3Kan unterfc^eibet bal^^r jnjifd^en ber ©eometrie beS 3Ka§eg
unb ber (Geometrie ber Sage. S)er Unterfii^ieb ätoifd^en beiben
Wirb fid^ burd^ bie folgenben Slbfd^nitte aufHdren, obtool^t tjorläufig
nur bon ©crabcn unb Greifen, nic^t aber bon ben 5ßrojieftionen bö^
^eife§ gcf})rod^en toerben foß. —

Oenttrfttng. ^at man eine Slufgabe grunbfäfeüd^ (im ?ßrinji)))
gelöft, fo gebe man fid& nid^t ol^ne toeitereS jufrieben, fonbem fud^e
je^t erft eine möglid^ft furje (elegante) Söfung. gn biefem Sinne
unterfd^ieb ©teiner jtoifd^en ber Söfung mit bem SRunbe unb ber
Söfung mit ber ^anb.

V. ikrgang }nx ntnntn (Stamtttxt.

35) Sa^ M (&ttü. 2)ie bon ben @dFen eines 3)reied(S
aus burd^ einen 5ßunlt gejogcnen XranSberfalcn*) teilen

bie ©egenfeiten fo, ba§ bie
5ßrobuIte auS je brei nid^t
jufammenl^ängenben ©citen^
abfd^nitten einanber gleid&
finb.

»emei». 3n gig. 27 berl^alten
fid^ bie ^n^aüt ber auf berfelben
©runblinie Ä& ftel^enben 3)reiedte
AGB unb ÄGC h)ie bie ju::

*) ©ine 5:ran8bcrfate tft eine ©erabe, bie toilllürlid^ quer burd^ ein ©Aftern
gegebener ®eraben gelegt toitb.

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V. Übergang jur neueren Geometrie. 31

flel^örigcn ^öl^en. S)ie legieren, b. 1^, bie öon B unb C an^ auf ÄG
gefaßten Sote, öerl^olten ftd^ aber tote x unb x^. (SBarunt?) Dentnad^
beftcl^en im öanjen folgenbe Sejiel^unöen:

AAGB . X

ABGC

^ y

ACGA z

AÄGC — X,'

ABGA~

' y.'

ACGB~^ z^

3KuItt|)Iiäicrt man bie linlen unb ebcnfo bie redeten ©eiten biefer
©leid^ungen mit einanber, fo entftel^t eine ©leid^ung, auf beren linier
Seite fid^ aHe« l^ebt, alfo

^yi^x
(S)er 5ßun!t G barf aud^ aufeerl^att be^ SreiedEg liegen.)

36) ttntfel^tttttg. Seilt man bie 3)reiedE8feiten fo, \>a'^
bie >ßrobuIte au^ je brei nid^t jufammenl^ängenben ©tüdfcn
einanber gleid^ finb, fo gelten bie SSerbinbung^Iinien ber
2:eilj)unfte htit bcn ©egcnedfen burd^ einen 5ßunlt.

(S)er Setoei^ toirb inbireft gefül^rt. SKan nimmt an, bie britte
SIrangöerfale CF' ginge nid^t burd^ (r, obtool^I xyz ^=^ x^y^z^ ift.
SKan jiel^t bann CGF, tooki xyz' = Xy^x^z[ toirb. ®urd^ S)iöifion

fotgt au8 Beiben ©leid^ungett — = -^ ober -- = —?• S)a aber bie

Z Z^ «I iS^i

innere Teilung öon AB m SSerl^oItnig - unb im Sinne ber gig. 27

nur einen einjigen Seilpunft giebt, fo muffen F unb F' jufammen^
fallen, unb aud^ CF' mu^ burd^ G gelten.)

37) [SBetoeiS auf ®runb berSd^toer^unltSlel^rc (bar^centrifd^er.
.»etoeiS). 3Kan beule fid^ in A, B unb C toiHfürlid^e SKaffen m^,

»»2/ ^8- Sft tiutt ~ = j, fo ift F ber ©d^toer^unft ber beiben

SRaffen. gft ^ = ^, fo ift D ber ©c^toerpunft biefer SRaffen.
mg X

3ft ^ = ^, fo ift E ber ©d&toer})unlt ber festeren 3Kaffen. S)abei

mL.»?!,.»5s_?,.5iL.yL ober 1=^^^^, toie oben. SBril
< m^ mg «Hl z x y * xyz '

nun F ber @d^toer<)un!t öon m^ unb m^ ift, fo liegt ber ©d^toerpunft G

aHer brei 3Kaffen auf FG. StuiJ bemfelben ©runbe liegt er aud^ auf

DA unb auf EB. 2)a e^ aber nur einen einjigen gemeinfd^aftlid^cn

©d^toer|)unlt gicbt, muffen fid^ bie brei ©eraben in einem einzigen

5ßunlte fd^neiben. 8lu§ xiyiz^ = xyz folflt alfo bag ©^neiben ber

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32 <Stße 9(btei(ung: ^leometrie ber ^etaben unb beS Reifes.

brci ®eraben in bcmfelbcn ?ßunlte. — Statt bcr SWaffcn in A, B
unb C lann man fid^ aud^ parallele ßr&fte benlen. 3ft e!ne batyon
ju ben bciben anbeten entgegengefefet gerid^tet, fo erl^alt man einen
öon ben göUen, too G aufeerl^alb be^ SreiedE« liegt.

3uglei(§ ift nac^ bem ©d^toer^junftggefefec ^S = "*' + "^ =- + ^

©efet man AG^=^u, DG ^=u^ unb entfpred^enb bie SKbfd^nitte
ber anberen IranSberfoIen gleid^ v, v^, w, w^, fo l^at vxatx bie
®Ieid^ungen:

«*x "^ y^i ' ^1 ^^1 ' «^x ^yx

atug xy0 '^ x^PiZ^ folgt y = ^?^. Dieg, in bie erfte ber

©leid^ungcn eingefc^t, bertoanbelt fie in -^ = — "^ ^^^ ^ , ober in

ajju;?! =ä (a; + rrj) u^z. ®o ergiebt fid^ für baS t)on ber Iran^berfale
JPC gcfd^nittene S)reiedf -ä-BD eine neue aSejiel^unft: ber nad^ftel^enb
geometrifd^ Ben)iefene @a| bei? SDienetaoö.]

38) Oemettungm. @inb bie ©reiedE^fciten l^attiert, fo erl^ätt
man au^ bem ©afee beS ®eba bie @ä^e bon ben aWittellinien unb
bem gen)ö]^nlid^en 3)reiedfgfd^toer<)unfte. Sie SSerbinbunggünien bcr
Serül^rungg^junlte beg ^n^^eife^ mit ben ©egenedEen be§ Dreiedf^
muffen fid^ ebenfalls nad^ ®eba in einem $ßun!te fd^neiben, ba je jtoei
Sangenten glcid^ finb. ©ntfpred^enbe^ gilt bon ben 8ln=^eifen. Die ^öl^en
beiJ 2)reiedtg fd^neiben fid^ in einem ?ßunlte, benn au§ ber Stl^nlid^-
feit gen)iffcr Dreiedte folgen in obiger aSejiel^ung bie Oleid^ungen
^y=^yi^i, y^ = ^i^ii ^^^^^iVif «ug benen man burd^ 2RuIti=
j)IiIation u. f. Xo. x^y^z^ = xyz erhält. —

2)ur(§ $ßaraHeI' ober ©entratproicftion gel^t bie gig. 27 in eine
anbere über, bon ber toieberum ber @afe beg ®eba gilt. Die burd^
ben festeren auggefprod^ene (Sigcnfd^aft beg Drciedfg bleibt alfo bei
ieber ^ßrojeltion beg SreicdfS erhalten. 2Ran nennt fold^e
©igenfd^aften ber giguren projcltibifd^e ©igenfd^aften.

39) Sa^ beS «enelan». SBerbcn bie Seiten eineg Drei::
edtS (ober i^rc Verlängerungen) burd^ eine Irangberfale
gefd^nitten, fo finb bie^robufte auS je brei nid^t jufammen^
l^ängenben ©eitenabfd^nittcn einanber gleid^.

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V. Übergang jut neueren Geometrie.

33

OetoeiS. 3n gifl- 28 fei KL bte ba3 2)reted ABC fd^neibenbe
2:rangberfalc. Sie ©d^nitt^junfte nttt ben Seiten feien D, E unb F.
3)ie ©ntfcmungen ber ©den öon

Sie. «8.

ber IranSöerfale feien x, y, z, 2lu§
ber Slönftd^fcit entf|)red^enber %xtv^
edc folgt

AF X BD y CE
BF~ y* CD~z' AE'

z
"x'

burd^ aRuItt|)Ufation bemnad^

AF • BD . ÖE ^ xyz _
BF . OD . AE ^ xyz

1,

ober

AF'BD'CE'^BF'CD'

AE.

f

40) ttmfel^tttng. SBö^It man
auf ben Seiten eincg 2)reiec!g
(bjlo. ben SSerlängerungen ber /
einen ober aller brei Seiten) L'
Seil^junlte fo, baß bie 5ßro-

bulte au^ je brei uidEft jufamnienl^ängenben Seitenabfd^nitten
einanber gleid^ finb, fo liegen bie 2:eil<)unlte auf einer
©eraben.

S>er SBetoeig ift inbireft in berfetten SBeife ju geben, toie Bei
ber Untlel^rung beö ©afeeg beg ©eöa.

41) Oemetfttngen. 9(ud beut @a^e bed äRenelaod folgt ber beiS
©eöa. Setrad^tet man nämüd^ in gig. 27 ba^ Srcied ABD afö öon
FC gefc^nitten unb bag Sreicdf ACD afö ton BE gefd^nitten, fo
ergeben, fid^ nad^ aWenelaoiJ jtoei ®Ieid^ungen, and benen burd^ Siöifion
bie be§ ©eöa folgt.

Stud^ ber ©a^ beg aWenetaog ift eine (Sigcnfd^aft, bie bei beliebigen
^ßrojieftionen ber jugeprigen gigur erl^alten bleibt.

Unter tjoUftanbigcm SSierfeit öerftel^t man öier ©crabe mit
il^ren fed^g ©d^ntttpunlten, fo bafe e3 l^ier brei diagonalen giebt.
Slu§ ben ©äfeen be^ 3KeneIaog unb ©cba ergiebt fid^ über bag öoH?
ftanbige SSierfeit ber folgenbe toid^tige (<)roieftit)ifd^e) Safe, öon bcm
f^joter ein öon aHer 8led^nung unabl^ängiger Seioeig gegeben toerben foö:

42) Sa^ Hiiitt HiiDftanbigett ßietfeit. 2)ie brei 3)iagonaIen
be^ öoHftänbigen SSierfcitg teilen einanber l^armonifd^.

^olamüUet, aRat^ematil. U. 8

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34 (Stftc tlbtcilttttg: ®cow€trie bcr ©erobcn unb beS Ärcijc«.

»etiei». Ä, B,C,D,E,F feien bie ©iett beg öoaftätibigen

»icrfettg; X, T, Z blc
^*ö- *^- @d^nittj)ttttfte ber 3)ia'

/\ ift itn S)reie(Ie JljEJF

/ ;\ AB EX FD

^/ 1 \ ^'BE'XF'DA'^'

/n;>-j?1 \ Slad^ äRcnelaog ift

/ ^v ' 1^ ^^ bcmfeften burd^ B ¥

/ ^---^^^^VX"^^-- gefd^ttittenen S)reiedEe

£,Z-r:. i^--^ — > BB^FTDA—^'

^uxä) ©iöifion er-
l^ölt man auä beiben ©leid^ungen eine neue, in ber fid^ atteä tpegl^ebt,
bis auf

■EX BY
3- XF'^FY'

S)cntnad^ ift junad^ft bie diagonale J&F in X unb F l^armonifd^
geteilt. {E unb F, ebenfo Z unb Y finb nad^ Je« I 3lx, 168 ju^
georbnete fünfte.)

SBirb nun Siö- 29 in irgenb einer SBeife auf eine anbere ®bene
^jroiijiert, fo bleiben bie ©leid^ungen 1. unb 2. beftel^en, folglid^ aud^
©letd^ung 3. Sft ^Ifo eine ®erabe l^armonifd^ geteilt, fo ift aud^
il^re ^ojeftion burd^ bie |)roiijierten 2:eilt)unlte l^armonifd^ geteilt.
®ie l^armonifd^e Teilung ift bemnad^ eine ^^rojeltibifd^e ©igenfd^aft.
Sielet man nun in ^g. 29 AY, fo finb bie ?ßunfte EFXY bon A
avL^ auf BY ))roJiiiert, folglid^ ftnb BDZY l^armonifd^e fünfte,
giel^t man nod^ EZ, fo ftnb bie fünfte BDZY bon E auS auf AX
))roiijiert, folglid^ finb aud^ ACZX l^armonifd^e fünfte.

Xttfgalie. 8u brei ?ßunlten E, F, X (ober E, F, r), bon
benen E unb F jugeorbnet ftnb, mit bem Sineal allein ben
bierten l^armonifd^cn ju lonftruieren.

2)ie Söfung erfolgt burd^ SBieberl^erftettung ber gig. 29 au§ E, F
unb X unter beliebiger Slnnal^me bon A u. f. to.

Vemettitng. @(erabe ber Umftanb, ba^ aud^ biefer @a| bon SRag-
bejiel^ungert unab^ngig ift unb bie ffionftrultion beS bierten l^armonifd^en
fünftes ol^ne ben girlel geftattet, löfet bermuten, bafe nod^ eine anbere
8lrt bon SetoeiSful^rung mögtid^ ift, bie au« bem Sereid^e ber ((Sulßs
bifd^en) ©eometrie beS SKafeeS ganj l^erauSgel^t. Sie toid^tigen gol-
gerungen biefeS ©afeeä bleiben bal^er bis jum f|)ateren S3en)eife borbel^alten.

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V. ÜBergang jur neueren Geometrie. 35

^u^ bem ®a|e beiS äRenelaoiS Iä|t ftd^ ber ^a^calfd^e ®a| Dom
©el^nenfed^^ed abtciten, ber ate ein grunblegenbcr @afe ber neueren
®cottictric ju betrad^ten ift. ®pixttx fott er unabl^öngig öon ben
erfteren ©afeen betoiefen toerben.

43) @ii^ beS ipuSral. 2)ie @legenfeiten be§ ©el^nenfed^i^edd
fd^neiben fid^ in brei 5ßunlten, bic auf einer ©eraben liegen.

»eltieiS. 3n gig. 30 fei ABCDEF ba« ©el^nenfed^gedE, P, ^
unb i2 feien bie @d^nitt))unlte ber ®egenfciten, X, Y unb Z bie
@d^nitt<)unlte ber nid^t jufantttienfto|enben (dternierenben) Seiten
BC, DE unb FA.

SK«. «0.

S)a§ ®retedE XYZ toirb öon brei Jranäöerfalen AB^ GJD unb
iJJP gefd^nitten. SHaä^ SKenelao^ gelten alfo für jebe berfeften folgenbe
©leid^ungen:

aX'Bypz = aZ'BX':py

CY DZ ' QX == ex • BY ' QZ
EZ FX ' BY = EY FZ RX,

burd^ ERuItipIilation folgt

1. AX'BY^BZ'CY'BZQX'EZFX'BY

^AZ'BX'PY'CX'DY^QZ'EY'FZ'BX.

Slu|erbent ift nad^ bem ©elantenfafee:

8*

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36 ®rfke «tbteüung: Geometrie ber ©craben unb bc» ^cifcS.

XA'XF=^XB'XC, YB'YC=-^YD'YE, ZDZE^ZAZF^

alfo burd^ 3JhiIti^)ttIatton

2. XA^XFYB'YG'ZI)'ZE=XB'XCYD'YE'ZA^ZF.

Slu^ 1. unb 2. folgt burd^ Stütfion (unb ^cbung ber untcrftrid^encn
gaftorcn) PZ QXBY^FY - QZ -EX,

2)ic^ cntf^rid^t toicbcrum bcm @a|c bc^
Srifl^*. gRencIao«. golglid^ tieflcn P, Ö unb B auf

einer (Seraben, ber fogcnannten ^ßa^calfd^en
Sinic bcg ©cl^nenfed^gedE^.

Semerlung. S)te ©eiten beS ©el^nenfed^ScdS
bürfen fid^ aud^ gegenfeitig fd^neibcn, tote in
gig. 30 a, nur mufe bie gigur eine gefd^Ioffene fein.
Slud^ bie toid^tigen golgerungen biefe§ ©afeeS
toerben auf f^jater tjerfd^oben. S)agfette gilt öon
fotgenbem ©afee über bie 8tl^nli(i^leit§j)unlte t)on brei Greifen (ögL
leU I. SRr. 166).

44) @ii^. 2)ie fed^g S]^nUd^Icitg|)un!te breier Greife
liegen in ®ru^<)en ju breien auf öier geraben Sinien.

Sig. 81.

8ettieU. @^ ift nad^ Seil I. 9lr. 162 unb 166
folglid^ burd^ 3KuIti^)IiIation

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VI. $armonif<ä^c ^nltc irnb ©tral^Icn.

37

raber Sinic liegen muffen.

3n berfelben SBeife tt)trb betoiefen, bafe A«^2«^8/ ^2«^8«^i ^^^
JgJieTg anf geraber Sinie liegen.

»emerlttitg. Stad^ 9(rt beg ®a^e§ be^ aRenekoiS fö|t fid^ ber
fßttoti^ birelt fotgenbermafeen fül^ren:

äRan fötte öon -af^, Jlfg nnb M^ auS Sote «i, e^, e^ anf bie

Oerabe ^3^2- SBeil Ä^A^ bnrd^ ^3 gel^t, fo folgt ^ = ^j^, alfo
auä) ^ = ^. (gbenfo folgt, toeil ^^^s burd^ Ä^ gel^t, r = ?*

golglidö erl^öft man bnrd^ SKuIti^Iilation r = !r* SBeü aber bie

t)on ilfg unb Jfcfa anggel^enben ^parallelen e^ nnb ^2 fid^ toie bie Slabien
ber Greife M^ nnb M^, atfo and^ toie M^Äj^ jn Jfa-^i tjerl^alten,
fo mu^ bie aSerbinbnng^Iinie ber @nb|)nnfte öon Cg «^^^ ^2 ^^^^^ ^^^^
Stl^ntid^Ieitgpnnlt -4i gelten. S)iefe SSerbinbnng^ünie fällt aber mit
Ä^Äq jnfammen, alfo liegen -4^, A^ nnb -ig anf einer ©eraben.
©benfo ift ber Setoeig für bie anberen &xvipptn.

VI. <5Är«t0tttfrije llunhte unl^ StwljlJtt-

45) SBirb eine (Serabe ^5 im SSerl^ältni^ m:n innerlid^ nnb

änfeertid^ (l^armonifd^) geteilt, fo baß bie ©letd^nng -^ = ^-g erfüllt

ift, fo nennt man biefe

S)o|)^)eIteitnng nad^ leitl m- 82.

168 eine l^armonifd^e,

bie ^nnlte AB CD finb

l^armonifd^e 5ßnnlte, nnb

itoax finb A nnb JB jn-

georbnete, ebenfo Cnnb D.

Sei ber frül^er an^
gegebenen Sonftmition
toar m beliebig öon A
an^ gebogen, npaxaUdt)on
B ang, fotool^I gleid^^,
atö and^ entgegengefefet-

gertd^tet, tooranf bie @nb|)nnlte öon m mit benen ber beiben n öer^
bnnben tonrben, xoa^ anf bie iSd^nitt(jnnfte C nnb B fnl^rte.

Sft w = w, fo ift AB bnrd^ C l^albiert, nnb B liegt in nn-

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38 (Srjte 9[bteiliuig: &tomttcit bet dkraben imb bed ilreifed.

Cttblid^cr (gntfcmutifl. 3ft »t>n, fo liegt D red^tiJ öoit ^J?, ifk
m<n, fo liegt D lintt t)Ott -4 J?. SBanbert C boti bcm ©attierungd^
^jirnltc -45 ber ©erabeii and ttad^ 5, fo toanbcrt ber ^nft 2> red^t^
t)on iiJ9 aus unenblid^er (Sntfemung naäf B, SBanbert C bon ber
aRitte nad^ ^, fo toanbert D fittfö bon ^B and imenblid^er dnU
femung nad^ Ä. gfir jcbe Sage bon C ejifttert alfo eine unb nur
eine Bcftintmte Sage bon D.

®"^ CB^BD ^^^fl* BC'^CA' ^^ ^^^ ^^^ Xeiinng anä)
bon red^td nad^ linfö gelefen eine l^amtonifd^e ift, felbftberftanbßd^
aber mit einem anberen XeUung^berl^öItnig ber Sinie DC, S)ie ju^
georbneten fünfte G unb D flnb alfo gleid^bered^tigt mit Ä unb B.

46) Scgt man burd^ einen beliebigen 5ßunlt J?, ber Oeraben PB
(ober il^rer beiberfeitigen Verlängerungen) eine ?ßaraMe E^F^, fo
ift biefe burd^ bie Slad^borftral^Ien ebenfalls l^albiert. ^tbtx ©trai^I
burd^ J?! ift burd^ bie ©tral^Ien P{ABCD\ b. f). burd^ bie ©tral^Ien
bon P nad^ A, B, C mü> D l^armonifd^ geteilt, benn bie neue gfigur
entf|)rid^t ganj ber ÄonftruftionSfigur für ben bierten l^armonifd^en
5ßunlt. 5)urd& ^erumbrel^en beS burd^ B^ gel^cnben ©tral^IeS um
biefcn ^nlt fann man bie Sleil^enfolge ber neuen l^armonifd^en 5ßunlte
beliebig änbem, nur bleibt bie guorbnung erl^alten.

47) S)aS ®cfagtc gilt aber nid^t nur für bie ©tral^Ien bon P
nad^ ben l^armonifd^en 5ßunlten Ä, B, C, D, fonbem aud^ für
©tral^Ien, bie bon einem beliebigen 5ßunlte Pj ber ffibcne nad^ ÄBCD
gcjogen »erben. Sejcid^net man nömlid^ in ber neuen gigur P^A
mit m^ unb jiel^t baju eine ^parallele E^F^ burd^ B, fo mu§ E^B
= 51^2 = *»i f^ii^- SBäre bieg nömlid^ nid^t ber gaH, fo lönnte
man ju -4, J? unb C einen anberen bierten l^armonifc^en 5|5unlt D^
fottftruieren, inbem man BF^ = ni mad^t unb PF^ jiel^t. S)antt
loäre aber D gar nid^t ber bierte l^armonifd^ $ßunlt gettjefen.

©tral^Ien, bie bon einem beliebigen 5ßunftc and nad^ bier l^armo-
nifd^en 5ßunlten gejogen toerben, nennt man l^armonifd^e ©tral^Ien.
SSon il^nen gilt alfo foIgenbeS:

Sielet man ju einem bon bier l^armonifd^en ©tral^Ien
eine ^ßarallele, fo l^albiert ber jugeorbnete ©tral^I bad
äioifd^cn ben beiben anberen jugeorbneten liegenbe ©tüdf
ber ^ßarallelen.

(Kttfgalie, Qn brei l^armonifd^en ©tral^Ien ben bierten ju lon^
ftruieren. 2)ie Sluflöfung ergiebt fid^ burd^ Halbierung bejlo. ©er«
hopptlnn^ einer ^parallelen.)

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VI. ^atntonifd^e fünfte uttb ©tral^ten.

39

3ebc ®erabe totrb burd^ l^armonifd^c ©tral^Ien in f)ax^
ttionifd^en 5ßunften flefd^nitten.

^axalUU utib ©ctitral^jroieltiott l^armonifd^cr 5ßuttlte
unb Stral^Ictt giebt ftctS toicber l^armonifd^c 5ßunltc bejto.
^txa^Un.

S)a| burd^ Halbierung eine^ S35inlcli8 unb feinciJ Slcbcntotnlcfö
l^amionifd^c ©tral^Icn entftel^cn, folgt an^ 9lr. 169 in Seil I.

48) @a^ Dom öollftänbigen Sierfelt. S)ie diagonalen
be^'öcllftänbigen Sierfeitg finb l^arntonifd^ geteilt.

3ltieiter »ettiei». ABCBEF fei ba« öoHftönbige SSierfeit ntit
ben diagonalen AC, BD, EF, bereu @d^nitt|)unfte X, 7, Z finb.

SRan beule fid^ in E ben vierten l^amionifd^en ©tral^I fonftruiert,
ber EF jugeorbuet ift (j. S. burd^ Halbierung ber 5ßarallelen ju EF).
Slngenoututen, biefer ©tral^I ginge nid^t burd^ Z, fonbem er fd^nitte
bie diagonalen J.C7 unb J?D in Z^ bejio. Z^, bann toürben ÄCZ^X
l^armonifd^e fünfte unb F{ACZ^X) l^amionifd^e ©tral^Ien fein, unb
jtoar toürbe FZ^ bie ^arattele ju EF l^albieren. Slber aud^ BBZ^Y
tofirben l^amionifd^e 5ßun!te unb F(BDZ^Y) l^armonifd^e ©tral^Ien
fein, unb aud^ FZ^ toürbe bie 5ßarallele ju EF l^albieren. S)iefe
5ßarallele toürbe alfo in jtoei getrennten 5punlten l^albiert fein. S)a
bieiS nid^t ntöglid^ ift, muffen Z^ unb Z^ jufantmenfaHen, b. i). ÄCZX
unb BDZY finb l^armonifd^e 5ßunlte. 2)a§felbe gilt t)on EFXY,
benn biefe 5ßunlte jinb atö ^ßroieltionen ber 5ßunlte BDZY t)on Ä
aug ju betrad^ten.

49) SHttet »ettiei». 3n gigw 34 ift ABCDEF ein öott^
ftänbigeg »ierfeit, »eld^ei^ f^mmetrifd^ gegen bie 5ld^fe ÄX ift. BD

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40

(Stfie 9[bteilttng: (S^eomettte ber Geraten uttb bed Sheifed.

unb EX ftnb t^araßel itnb burd^ bie ©^nttnetrtead^fe l^albiert. 93e-
jeid^ttct tnati bcn unenbUd^ fernen ©d^nitt^junlt ber ^parallelen mit r, f o

^nbBDZTnnbEFXYnaä)^Ab l^armo^
nifd^e 5ßnnfte. 2)aiJf elbe gilt öon XZ CM, benn
toenn EX = m, BZ -== ZD ^n gefegt
tPirb, fo ift bie ®erabe XZ in nnb A
inneriid^ nnb önfeerlid^ im SScrl^ältni« m : n
geteilt.

Dnrd^ ^araHels ober Kentralprojeftion
lann man btefe gignr anf eine beliebige ßbene
übertragen, toobci bie Symmetrie beS tjott^
ftänbigen SSierfeitg im aHgemeinen anfrört.
Sei ber festeren ^ßrojeftionSart l^ört aud^
ber ^aratteü^mn« öon BD nnb EF anf, fo
bafe ber ©d^nittpnnlt Y in^ (gnbtid^e fällt. Dann entftel^t eine gignr
nad^ Slrt t)on Signr 33. Sei ber ^ßrojeftion finb aber bie brei ^armo-
nif^en ^ßnnltgntp^jen l^armonifd^e 5ßnnfte geblieben. 2)emnad^ teilen
fid^ bie Diagonalen be^ öoHftönbigen Sierfeit^ l^armonifd^.

50) @a^. Qitf)tn t)on einem ^nnfte Ä jn^ei &tup\>tn
l^armonifd^er 5ßnnlte ABGD nnb Ay^B^C^JD^ ang, nnb öer-
binbet man bie gleid^namigen, fo fd^neiben fid^ bie Ser-
binbnngglinien in einem $ßnnlte Y. Serbinbet man bie jn^
georbneten $ßnnlte über Srenj, fo fd^neiben fid^ biefe
SSerbinbnngSlinien mit ber britten ebenfalls in einem

?ßnnlte X 3ft ba« Seilnngg-SSerl^ältnig bei ber erften (äxvippt
m^\m^f bei ber jtoeiten ®rn|)<)e m^im^, fo ift bie Berbinbnng^^
linie BB^ im »erl^altni« m^:m^ l^armonifd^ geteilt.

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VI. ^armonifd^e ^nftc unb ©tral^Icn.

41

9tmxh 3n aftgur 36 fitib AB CD utib AB^C^D^ bie Bcibctt
öon A auSgel^cttbctt l^arntonifd^cn ^ßuttftgntpjjen. S)ic SScrbittbung^'
Knien J?^i unb CC^ fd^ncibcn fid^ in Y, Stellt man YDi, fo mn^
bicfc ®crabe bnrd^ D gelten, tpcil fonft bnrd^ ^ßrojcftion auf AB ein
anbetet l^atnionift^et $ßunlt ol^ D entftel^en loütbe, tt)a§ unntöglid^
ifi Sltfo ge^t DD, aud^ butd^ T.

®6enfo tPitb bet »etpei^ mit CB^, BB^ unb C^B geffi^tt.

@g l^anbett fid^ alfo in gigut 35 um ein öoHftcinbigeg SSietfeit
ACXC^BB^, beffen diagonale CCi bnxä) ^Z unb ^r l^atmonifd^
geteilt ift, fo ba| anä) BB^ in X unb Y l^atmonifd^ geteilt fein mujj.

Um ba^ aSetl^äßniS bet Teilung ju finben, falle man öon A, B

4J? € AB e
unb J5i ßote «1, ^2 ttnb Cg auf D F. ®ann ift ^ ^ — ^ "***^ *

- unb

B,B,

obet nad^ obiget ännal^me bet Setl^ättniffe

»»i

Wo

^
c«

3)ataug folgt abet butd^ 2)it)ifion

-^ . J)a abet

^2

BT

?ift

fo ift bag XeilungSüet^Itnig üon DD^, toie bel^anptet- toat, m^ : Wj.
Oemerlung. ©d^Iögt man nm A, B unb -B^ Steife, beten
SRabien in fotgenben SSetl^ättniffen ftel^en:

ri : r^ = ^C: (75 = ^D : DD; r^ : rg = il Cj : CjDi = ^D^ : DjD,,

fo finb O unb D, X unb Y, C^ unb Dj bie ä;^nlid^feit§|)unfte je
jtoeiet biefet Steife. S)et ©afe, baß bie ^l^nli^Ieit^^unfte bteiet
Steife in ®tu:pj3en ju bt^ien auf einet ©etaben liegen, ift atfo eine
unmittelbate golge beg @a|eg öom öoBftänbigen SSietfeit, toie fid^
fofott aus bet entfjjted^enben gigut 31 ctgiebt. Statt bet Steife lann
man aud^ öl^nlid^e unb äl^ntid^ fiegenbe ^ßol^gone, j. S. DteiedEe nel^men.

51) ®in bem öotigen entf^ted^enbet ©a| ift folgenbet:
$aben iloei®tu|)^)en l^atmonifd^etSttal^Ien einen gleid^^

namigenSttal^I gemein,

fofd^neibcnfid^bieübti^ ^^ö- se.

gen btei ©ttal^Ien in l^v ~~-^-- — ^

5ßunlten einet ®etaben.
SettieiS. ah cd unb

«1 ^1 ^1 ^1 i^ Sig. 36 feien bie

bciben l^atmonifd^en ©ttal^-

Ittiffcuppen, bei bcnen a unb

Oj in biefette ®etabe faöen,

toal^tenb h unb \ fid^ in D,

c unb c'i in fd^neiben. giel^t

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42

(Stjte Abteilung: &tomttnt hex ®eiaben unb bed ^etfed.

man BC, toaiS ben Sd^nitt ii gtebt, fo mflffen fid^ bie t)ierten @tra]^Ien d
unb dj in einem ?PunIte 2> biefer ®craben fd^nciben, benn fonft toürbc
ber k)ierte l^ormonifd^e $unlt ju A, B unb C bo))))eIt t)or]^anben fein.

62) Selbe ©äfee finb f^jecieHe fjatte Don folgenben aUgemeineren,
bie in entf^jred^enber SBeife bcioiefcn tperben:

&tf)tn bei jtoei &xnppen ^armonifd^er ^ßunfte bie SSer^
binbunggUnien t)on brei gleid^namigen 5ßaaren burd^ einen
^unlt, fo gel^t bie öierte SSerbinbung^Iinie burd^ benfelben
^unlt.

©d^neiben fid& bei jtoeiOrmjpen l^armonifd^er ©tral^Ien
brcigleid^namtge5paarein5ßunften einer®eraben,fofd^neiben
fid^ bie tjierten ©tral^Ien in einem 5ßunlte berfelben ®eraben.

53) Kufgabe. @ine gegebene ©erabe mit bem ßineal aßein

über ein ^inbemi^ l^inau« ju verlängern.

XttflBfttng. 3n gignr 37 fei uiJB bie gegebene ®erabe. 3>ie

fd^attierte giöc^e fei ba^ unüberfteiglid^e ^inbemi«, SRan ncl^me

auf AB rec|t^ öon
ber SKitte einen
beliebigen ^unlt C
an. mit §ülfe beg
Sincatö allein Iä§t
fid^ über unb unter
ber ßinie bie Äon*
ftrultion beg vierten
l^armonifd^en 5ßunt
te« au«fü]^ren, benn
bie (Seraben EF
unb J&iFi fd^neiben
fid^ in biefem. 2> ift
bemnad^ ein 5ßunft
ber gcfud^ten Ser^

langerung. SBieberl^oIt man bie ßonftrultbn mit einem jtoeiten 5ßun!te C,

auf AB, fo finbet man einen jtoeiten 5ßun!t Dj, u. f. to.

64) Serben jtoci Äreife M^ unb M^ von einem britten glcid^^
artig berül^rt (b. 1^. beibe äu|erlid^ ober beibe inneriid^), fo gel^t bie
SSerbinbungi^Iinie ber a5erü]^rung^|)unlte burd^ ben äußeren ^l^nlid^Ieit^s

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VII. ^^Ix^ttit^pvaifte unb $adcal{d^er Sel^tfa^.

43

gig. 88.

^unlt t)on Ml unb Jlfa- 89ci unglcid^artigcr Serfil^rutifl bagcgcn gel^t
bic SSerbinbtitiö^Umc burd^ bcn inneren S^nlid^Ieitöjjunlt. S)ie »e^
riH^rungglJttnlte ftnb
näntlid^ bei äufeerlid^er
Serül^rung innere, bei
innerlid^er SJerul^rung
äußere Sl^nlid^IeitiJ'
:punfte, bilben alfo
jebegmol mit A^ bejtt).
t/g eine gerabe ßinie.
Xttfgalie. (Sinen
Äreig ju lonftruieren,
bcr jloei gegebene
gleichartig (bjU). un*
gleid^artig) bcrill^rt,
unb itoax einen iat>on
in eincnt gegebenen fünfte.

(Slnflöfung einfad^.)

55) ©ö^. SBerben jtpei Sretfe öon einem brüten red^t^
tpinlUg gefd^nitten, fo gelten bie SSerbinbungi^Iinien ber
@d^nitt|)unlte be§ erften Sreife^. mit benen beg jtpeiten
bur(^ bie ä]^nlid^feitg|)nnlte beiber Sreife.

Si9. 89.

VeitieiS. 3n gigur 39 tocrben bie Greife M^ unb M^ öon bem
Sreife M^ in J?i, ^gr ^i/ ^g red^ttt^inllig gefd^nitten, fo baß Jlfi^i
unb JtfjJ^s Tangenten an M^ ftnb, bie fid^ in M^^ fc^neiben, toobei

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44 ^fte Slbteilung: Geometrie bet (Seraben mtb bed ^eifed.

jugleid^ M^B^ unb M^B^ afö SaitflCttten an M^ einanber gleid^ finb.
M^ ift olfo 3RtttcI<)unft eine« Sreifeg, ber Jlfi nnb Ifg in B^ unb -B^
gleid^artifl berül^rt, fo ba| B^B^ burd^ ben äußeren 5S[]^nIi^Ieitö})unft A
t)on M^ unb ifg gelten mu^.

®6enfo fd^neibcn jid^ Jt^i^^i unb M^C^ in Jfcfs, festerer 5ßunlt
ift SKittel^junlt eine« ^eifeS, ber M^ unb M^ ungleid^artig berül^rt,
fo bag bie ®erabc B^G^ burd^ J, ben inneren 5Sl^nH(i^!eitg|)unft t)on
Jifi unb ilfg gelten mu§.

©benfo gel^t CiCg burd^ A unb Ci-Bg burd^ Z. — ®ie ©e=
rül^rungglreife entfd^ciben baröber, 06 ber @d&nitt))unlt ber ftu^ere
ober ber innere Sl^nlid^Ieit^punft ifi

56) ipaSmlfi^et @ii^. 2)ie @(egenfetten be« ©el^nenf ed^SedE«
fd^neibcn fid^ in brei 5ßunlten, bie auf geraber ßinie liegen.

gttieiter »ettiei».*) 3n gigur 40 fei M ber Sreig mit bem
©el^nenfed^gedf III III IV V VL J)ie Tangenten in ben ®egen^)unlten
I unb 7F, II unb Y, III unb FZ geben bie 3KitteIt)unlte öon
Greifen M^, M^ unb Jlfj, bie ben Ärei« M red^ttpinflig fd^neiben.

\Wl

'^^Mj

SBeil üfj unb M^ tjon itf red^tioinllig gefd^nitten »erben, fo
ntüjfen bie SSerbinbungglinien ber @d^nitt))unlte Z unb 11, lY unb Y
fid^ in einem Sl^nUd^IeitS^Junlte P ber Sfreife M^ unb Jlfg fd^neibcn.

833eil M^ unb Mj öon M red^öoinHig gefd^nitten toerben, muffen

*) 3)er erfte »c»ei3 befinbet ftd^ auf @citc 36.

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vn. t^nad^lettö4)ttnlte unb $ai»catfd^et Sel^rfa^. 45

cbcttfo bie ©eraben 7J JJ7 unb VI V burd^ einen Sl^nlid^IeitiSjJttnlt Q
ber ©reife Mj unb M^ gelten.

SBeil -Mg unb M^ öon JJf red^ttoinllig gefd^nitten tperben, muffen
ebenfo lYI unb III 17 burd^ einen ^l^nüd^feitö^junlt B ber ©reife
JLfg unb 3fi gelten. Unterfud^t man bie ä]^nUd^Ieitg})unIte P, Q, E
nad^ 8lrt ber gfigur 39 mithülfe bon Serül^rungglreifen, fo ergiebt
fid^, ba| e§ fold^e finb, bie auf einer ©eraben liegen.

67) f^ulgening. Slennt man bie ©eiten beg ©el^nenftinfedEg
I, II, III, IV, V, fo fann man cä atö ein iSed^^edE mit unenblid^
Keiner Seite VI betrad^ten, bereu SSerlängerung eine langente be§

gifl. 41.

©reifet geben mn% SJemnad^ fd^neiben fid^ bie günfedtsfeiten I unb IV,
II unb V unb aujjerbem bie Seite 77/ unb bie Xangente VI in
fünften P, Q, B einer ©eraben. (gig. 41.)

Kttfgillie. S)ie Xangenten in ben ©den eine^ gegebenen ©reig-
fel^nenfünfedEg mit bem ßineal allein ju lonftruieren.

S)ie Sluflöfung ergiebt fid^ auö gigur 41. Semerlengtoert ift,
baj3 ber ©rei§ gar nid^t borl^anben ju fein brandet.

58) f^ulgeniitg. S» äl^nlid^er Strt Iö|t fid^ ba^ ©eignen::
bieredE im ©reife atö ©ed^^ed betrad^ten, iebod^ in mel^rfad^er SEBeife.

3n gigur 42 fei AB CD ba^ ©rcigfel^nenriered. »etrad^tct
man A unb C al^ S)o})^eI})un!te, fo ift e^ txn ©ed^^edE, unb bie
Seiten AB unb CD, BC nnh AD unb bie Tangenten in A unb C
fd^neiben fid^ in 5ßunlten P, ^ unb E einer ®eraben.

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46

(Srfte tl^teilung: Geometrie bet ®eraben unb bed ^eifed.

aSetrad^tet man B urü> D tu» ^oppüpnrdtt, fo fd^netben ftc^
AB unb CD, BC unh AD unb bic Xangenten in 5 unb D in
5ßuTdten P, Q unb S einer Oeroben.

gi«. 42.

2)enlt man jid^ bag SSiered fiberg ^euj gcjcid^net, j. S. atö
AGB Bf nnb betrautet man A unb ^ ate 2)o^)pcIt)unfte, fo fd^neibcn
fid^ bie in A unb B gejogenen Sangenten, bie ©eraben J.C unb BD,
unb bie ©eraben J.D unb J?(7 in 5ßunlten EKQ einer ©eraben,

3n bemfetten SSiered betrad^te man C unb D afö S)o^)|)eIt)unfte,
bann flnbet man ebenfo, bafe ^Ö^ö ^«f ^^^^i^ ©eraben liegen.

S)iefefte Setrad^tung am gelreuiten SSieredE AB DG filiert barauf,
ba§ bie 5ßunlte HKFP einer ©eraben angel^ören. 8Kf o gilt f olgenber @afe:

@il^. S)ie gegenüberliegenben ©eiten be^ ©el^nenöieredf^
im ffireife unb be^ burd^ feine ©den gelegten Xangenten^
öieredfg fc^neiben fid^ |)aartr)eife in bier 5ßunlten, bie auf
einer ©eraben liegen, 2)ie diagonalen beiber SSieredte
fd^neiben fid^ fämtUd^ in einem 5ßunlte, bie be^ Sangenten-
bieredfg gelten jugteid^ burd^ bie @d^nitt|)unlte ber ©egen«
feiten be§ ©el^nenbieredf^.

Oentetfttitg. »etrad^tet man in gigur 42 EFGH atö boH*
ftänbigeg SSierfeit mit ben ffirgänpnggedten B unb 8, fo ergeben fid^
P, Q, B, 8, ebenfo E, G, K, Q unb H, F, K, P aU l^farmonifd^e
5Pttn!tgru|)^en. S)urd^ ^ßrojeltion bon H bejto. E, F, G au^ Hegen
aud^ auf AQ, AP, BQ unb DP l^armonifi^e 5ßunltgrul)<)en. J)emnad^
finb aud^ bie 2)iagon(üen beiber SSieredEe l^armonifd^e ©tral^Ien.

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yn. ä:]^nU(^Ieitd4)ttn!te unb ^oiScalfd^et Sel^tfa^. 47

59) ^nlgetttttg. Setrad^tet man bte Mtn it» Sel^nenbreiedd
(Sfig. 43) afö 2)o:|)))eIt)untte, fo fd^neibet ftd^ nad^ bem @ed^edfa^
jebc ©cite mit bcr Xangcntc bcg ©egcttpunltcg fo, bafe bte ©d^nitt«
^junltc P, Q, R auf einer ®eraben liegen.

5)a aud^ bie ©erül^rungiJtrattgöerfalen ÄA^, BB^ unb CCi fid^
nad^ SRr. 38 in einem 5ßuttlte K fd^neiben, fo ergicBt fid^ burd^
^ßrojeftion ber gigur unter SBeglaffung beg Greife« eine entf^red^enbe,
bei ber jebod^ nid^t mel^r ber Um-ffreig öon ABC jugleid^ bcr 3^=
ßrcig öon A^B^C ift. Äu^ ber neuen gigur aber erlennt man bcn

®ii^: ^\if)i man in einem J)reiedE öon ben ©den aui^
©erabe burd^ einen 5ßunlt big ju ben ©egenfeiten, unb öer?
binbet man bie @c^nitt<)unlte auf ben ©egenfeiten mit eins
qnber, fo fd^neiben bie Seiten be^ neuen 2)reiedEg bie ent-
f|)red^enben bcg urf|)rängHd^en in 5ßunlten P, Q, B, bie auf
einer ®eraben Hegen.

Semertttitg. S)er a3etoeid ergiebt ftd^ ol^ne ^ojeltion an^
folgcnbem: Setrad^tet man AKBC^ afö t^oUftänbigcg Sicrfeit, fo
finb B^f A^, Cf B l^armonifd^e 5ßunlte. ©benfo giebt ba§ SSierfeit
A^GKB bie l^armonifd^en 5punlte B^, C^, A, Q, SSon-Bj gelten alfo
jtoei (äwipptn l^armonifd^er fünfte au^, fo ba| bie (Scraben CA,
A^Ci unb BQ fid^ in bemfelben 5ßunlte P fd^neiben muffen.

60) Oentetfuitg. Sejeid^net man iebe 5ßaraIIet unb Kentral:^
Ijrojieltion be^ ^eifeg afö einen ffiegelfd^nitt, fo gcl^t bie 5ßaScaIfd^e
gigur am Sreife burd^ bie $ßroj[e!tu)n in bie entf^jred^enbe 5ßagcalfd^e
gigur am ftegelfd^nitte über. 2)a bie ©eraben babei ®erabe bleiben,

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48

^te fCbteilung: Geometrie bet (Seraben unb beS ^eifei^.

fo gilt ber 5ßaiJcaIfd^e @a^ öon icbem Äcgelfd^nitte. auf bicfe Se^
merlung foH \pättx jum ä^^cd bcr SCuiJfül^nmg toid^tiger ßonftruftioneit
iurüdCgegriffen koerben.

vin. i^Ärnwmfrijj flankte mh Straljtett «nt €reife-

($ßoI unb Notare.)

61) Sn gig. 44 finb öon Ä au^ Tangenten JIP unb ÄQ an
einen Srcig gcjogen, fo ba| bie Scröl^runggfel^ne FQ fenfeed^t auf
ier burd^ bcn SRitteljJunft gelegten ©cfante ÄD ftel^t. S)abei

ift, toenn man noc^ PC

Sifl. u. unb PD iiOji, -^ a = <^ ^2

unb ^ a^ = ^ «1 (toarum

beibeg ?), f o ba| <^ « = ^ «i

ift. J)a aufeerbent ^CBP

= 90® ift, fo finb bie öon

P auggel^enben ©tral^Ien l^ar^

ntonifd^e, alfo finb ABCB

l^omtonifd^e 5ßunlte. (SSgl.

Seil I. 3tc. 169.) golgfid^

gilt ber Safe:

@il^. 5)ie öon einem ^ßunlte aufeerl^alb be^ fireife^

burd^ feinen 3KitteI<)unIt gelegte ©elante ift burd^ SreiS

unb Serül^rung^Iinie l^armonifd^ gcfd^nitten.

62) SSerbtnbet man nun einen beliebigen 5ßunlt Z ber 5ßeri^)l^erie
utit ben bcf^rod^enen $ßunften AB CD, fo finb Z(ABCD) l^ar^

monifd^e ©tral^Ien. SBcil
tJiö- *»• aber bie jugeorbneten

^- ^ ©tral^Ien CZ unb DZ auf

einanber fenlred^t ftcl^en,
fo ift <^ AZB ^atbittt,

folglich ^=M- ^'
alfo aud^ ber 5ßunlt Z
auf ber 5ßeri|)l^erie liege,

A7j

ftetgiftbagSerptnigJI

bagfefte. Sejeid^net man AZ iebe^mal mit p, BZ mit cl unb ba§
ionftante SSer^oItni^ mit c, fo fann mixi abgelürjt fagen:

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VIII. $atmonif(|c fünfte unb Sttaffitn am Ärcifc.

49

3)cr fircig ift btc ßuröc lonftanten SScrl^ältniffcS ober
btc fiuröc ~ = c.

63) atu« y = yi folgt ferner EC = CF (gleid^e ^ertpl^erie^
njtttlel, gleid^e Sogen), alfo au^ ®rünben ber Symmetrie gegen ben
S)ur^meffer ^ GBF = -^ CEE. 3)a femer PQ ± OD, fo finb
bie öon 5 auggel^enben ©tral^Ien ]^armonif4 ol\o AGEZ l^armonifd^e
^nfte. SoIgKd^:

@a^. ^tit @efante burd^ A n)irb bnrd^ bie jn A ge^^
l^örige SSerül^rnngSfel^ne l^armonifd^ geteilt.

64) 3i^^t man öon A auÄ belieBige ©elanten uiF unb AG, bie
ben Sreig in G nnb ^ fd^neiben, nnb öerBinbet man bie ©d^nitt^
pVLvXtt auf aöe Strten,
fo entfielet ein öoUftän^
bigeg SSierfeit jBCD^JPG^,
beffen 3)iagonaIen l^armo?
nifdö geteilt finb. 3)emnad^
finb AJGF unb .iJ^JEC
^armonifd^e $ßunfte. golgs
Rd^ mu§ bie aSeräl^rungg?
fel^ne öon A burd^ H unb
J" gelten, b. 1^. 5I> ift ju^
gleid^ bie Serül^rungiJfel^ne
P©. 3)emnad^ gilt ber

@a^. ^'xt^i vxan
t)on einem fünfte A
aufterl^alB beiJ Grei-
fes ätoei ©efanten, fo
fd^neiben fid^ bie S8erBinbung§Unien ber Äreii5fd^nitt|junlte
:paartoeife auf ber Serül^rung^fel^ne öon A,

65) Segt man Beibe ©elanten unenbftd^ nal^e aneinanber, fo
gieBt bag eine ^aar öon SSerbinbung^Iinien unenblid^ lurje ©eignen,
bereu SSerlängerungen Sangenten finb. "Sini^ biefe muffen fid^ auf
ber aSerfil^rungSfel^ne fd^neiben. golglid^:

@a^. Si^^t man öon einem ^unlte A aufeerl^alB be^
föreifeg Beliebig öiele ©elanten, fo liegen bie ©d^nittpunlte
aller jugel^örigen langentenpaare auf einer geraben Sinie,
ber Serül^runggfel^ne öon A. (gig. 47.)

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50

(Stfte 9(Bteitung: d^eometrie bet (Seraben unb beiS ^eife$.

9ifl. 47.

Wiifgalie« Son einem
fünfte A avL^tx^alb bed
ßreifeg an biefen mit bem
Sineal allein Tangenten
}tt fonftrnicren.

KttflSfttttg. 9Ran jiel^e
jtoet @efantcn AGF unb
AEC (gig. 46). GC unb
EF gcBen einen ©ci^nitt))unlt
D, ffJEunb 1^0 einen ©d^nitt:^
Ijunft -B. -BD fd^neibet ben
^eig in P unb Q. AF mä>
AQ finb bie gefud^ten %anr^
genten.

66) ©inb in Stg. 48
AB CD biefelBen l^armonifd^en $ßunfte tt)ie öorl^er, unb ift iCi baiJ
ßot im $ßunfte A auf uiD, fo ^pkÜ KL in »ejug auf B hxt^
fette aioöe, tt)ie tjorl^er P^ in Sejug auf A. SniJBefonberc
lüirb jebe burd^ B gelegte ©efante burd^ ben Srcig unb
KL l^armonifd^ geteilt.

gig. 49.

Sft j. 83. ZBFV in gig. 49 bie toiKIürlid^e ©efante, unb jiel^t man
tjon Z aus nad^ AB CD ©erabe, fo ift, toie öorl^er, ber fßeripj^erietoinfd
ßZE ^atUtxt, folgli^ EC '^ GF, folglid^, totm man AF jiel^t,
-^FAE aug ©^mmetriegrflnben l^attiert. 3)a aufeerbem KL ±AD,

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Ym. ^oxmoni\ä)t $ttn!te unb Sttal^Ien am ftreife.

51

fo finb bie t)on Ä au^el^enben BtcäüfUn l^rmottifd^e, folglid^ awSf
YBFZ l^armottifd^c fünfte

67) Stellt matt burd^ einen inncrl^alB bcg ÄreifeiJ ßegcnben
$ßnnlt B beüebige ©eignen, nnb öcrbinbct man il^rc @d^nitt|)un!tc
auf aöe Sitten, fo er=

^ältman@d^nittt)unfte ^*«- ^^•

K nnb L au|cr]^aft
beg 'ftreifeg. 3m
öoQftdnbigen SJierfeit
CEGFKL ift bie
3)iaflonaIc GC ^ax^
monifd^ geteilt, eben- j^^
fo EF, SBeil aber
CG^^Punb EFBQ
l^armonifti^e 5ßttn!te
finb, fo mu| KL
bie Sinie fein, bie
man erl^äft, Wenn man
auf bem burd^ B ge=
legten S)urd^meffcr im öierten l^armonifd^en 5ßun!te A txn Sot errichtet.
Segt man bie ©elanten burd^ B unenblid^ nal^e, fo erplt man,
tt)ie oben, in ben @nb))unften Tangenten, bie fid^ auf KL fd^neiben.

68) Siennt man nun einen 5ßunlt P, mag berfette innerl^alb
ober au^er^Ib be^ föreife^ liegen, einen 5J5oI, unb bejeid^net man
ba§ auf bem burd^ P gel^enben S)ur(^meffer im jugeorbneten i)at-^
monifd^en 5ßunfte errld^tete Sot ate ^polare, fo lann man bie obigen
beiben ®ru|j))en öon ®Oi%t\i unb Slufgaben einl^eitlid^ in folgenbe
äufammenf äffen:

gebe burd^ ben $ßoI gel^enbe ©efante »irb burd^ Ärei§
unb 5ßoIare in l^armonift^en 5ßunlten gefd^nitten.

3ie]^t man bur(^ ben $ßoI jtoei ©efanten, unb öerbinbet
man il^re @d^nitt<)unlte auf alle 2lrt, fo fd^neiben fid^ bie
SSerbinbung^Unien <)aartoeife auf ber ^jäolare.

S)arauf betul^t bie ffionftruftion ber polare ju einem gegebenen
$oIe mit bem Sineal allein.

Sielet man burd^ ben ^ol beliebige ©elantcn, fo liegen
bie @d^nitt<)unlte jufammengel^öriger Tangenten auf ber
polare.

5Run ift aber ber @d^nitt^)un!t icbe« langentenpaare^ ber 5ßoI

4*

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52 (Stfte 9Cbteittttt9: (S^eomettie ber Q^eraben unb bed tretfed.

jur Serfil^ruttgdfel^ne bei^felben $aared, bie nun aU polare ju be^
trad^tcn ifi golglid^:

3)rc]^t ftd^ bic polare nm einen fcften 5ßunlt, fo Bctt)cgt
ftd^ ber 5ßoI auf einer ®eraben, ber polare beg feftcn
?ßunltcg.

S3ctt)cgt fid^ ein 5ßttn!t auf einer feften ©erabcn, fo
brel^t fid^ feine polare um einen fepen ^unlt, ben ^ol ber
®eraben.

Siegen alfo brei $ßunlte auf einer ®eraben, fo fd^neiben
fid^ il^re brei polaren in einem ^ßunlte. ©el^en brei ®erabe
burd^ einen $ßun!t, f o liegen il^re brei $ßoIe auf einer ©eraben.

S)er @d^nitt|jun!t B jtoeier 5ßoIaren p unb q ift ber ?ßoI
ber aSerBinbunggUnie r ber jugel^örigen 5ßoIe P unb Q, unb
umgelel^rt.

69) Kttfgalie. 3)en $oI einer ©eraben mit bem Sineal allein
jtt lonftruieren.

Kttflifung. 2Kan lonftruiere bie 5ßoIaren p unb q ju jtoei
Beliebigen ißuniten P unb Q ber ©eraben. 3)er ©d^nitt tjon p unb q
ift ber gefud^te $ßoI.

Su jebem an^ 5ßun!ten unb ®eraben beftel^enben ®ebilbe lann
man alfo mit §filfe einei^ ßreifeg ein anbereg ©ebilbe lonftruieren,
inbem man ju jebem 5ßunße bie jugel^örige polare, ju jeber ®craben
ben jugel^örigen $ßoI Beftimmt. SWan nennt biefeg neue ©ebilbe bie
ißolarfigur beg gegebenen ©ebilbeiJ (ober aud^ bie rectprofegigur).

[3)a jebem $ßunfte aufeerl^aft beg Streifet eine ben ^ei§ fd^neibenbc
?ßoIare entf|jrid^t, jebem innerl^alb gelegenen eine ben ^ei^ nid^t
fd^neibenbe $ßoIare, fo gilt atö S^i\ä)tn^aU ber eine^ auf bem ^cifc
üegenben $ßunlteg, beffen $ßofore ben ffirei^ toeber fd^neibet nod^ gar
nid^t trifft, b. 1^. bie Tangente im fünfte felbft. »er SKittelijunlt
beg ffreifeg l^at feine 5ßoIare in unenblid^cr ©ntfernung. (Sigentlid^
müßte man il^n atö unenblid^ Keinen Äreig betrad^ten unb il^m un=
enblid^ tjiele $ßoforen pfd^reiben, bie in unenbltd^er Entfernung liegen.)
©benfo l^at jeber ©urdjmeffer feinen ^ol in unenbüd^er Entfernung,
aber auf bem fenfred^t auf bem erfteren ftel^enben S)urd^mcffer.]

atug ben Eigenfd^aften jeber gigur lann man ©d^Iüffe auf bie
?ßoIarftgur jiel^en. Slug geloiffen ©öfeen über $ßunfte auf einer
(Seraben fann man fold^e über ®erabe burd^ einen 5ßunft (unb um^
geleiert) ableiten.

70) [Sine merltoürbige aSejiel^ung ergiebt fid^, toenn man jur
gigur beg öoHftanbigen SSierfeitS mit feinen l^armonifc^en ^ßunften

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VITI. ^amiottiWc ^ßunftc unb ©tral^Icn am treibe.

53

unb ©tral^Ictt bic rcciprofc 3*8- ^^•

gigur Bübct. S)ctt 9 fünften

ÄBCDEFXYZ in gig.

51 entflJrcd^Ctt 9 ©erabe a,

h, c, d, e, f, X, y, z in

??ifl. 52;bctt®crabett 1,2,

3, 4, 5, 6, 7, 8 entf<)rc(i^cn

fünfte J, II, III, IV,

V, VI, VII, VIII Stt

bcr Urfigur finb 1, 4,
5, 7 ^mtonift^c ©tral^Icit,
in bcr $ßoIarfigur tnU
fljred^en btcfen bic
fünfte I, IV, V,
VII, bie l^armos
nifd^c pnb, njeti e§
ftd^ um ba^ SJtercd
II VI III VIII
mit bcn ßrgön-
äunggcdfcn I unb
IV ^anbclt.

Sotgüd^ gilt
ganj allgemein ber
@a|: |)armoni'
fd^cn ©tral^Icn
cntfljrcd^cn in
ber $ßoIarfigur
ftet§ l^armonifd^e
fünfte; l^armo^
nifd^en $ßunlten
bcr erftcrcn entfprcd^cn l^armonifd^e ©tral^Ien ber anbcrcn.]

71) @a^ be8 8rian<|iin. S)ic SScrbinbungglinicn ber
©egeneden be^ langentenfed^^fcitg fd^nciben fid^ in einem
$ßunlte.

«etoei». S)ic $ßoIarfigur j. ». III III IV V VI in »cjug auf
ben einbefd^ricBcncn Ärci§ (gig. 53) ift ba§ ©cd^^edE ber SSerül^rungSs
punite mit ben ©eitcn 1, 2, 3, 4, 5, 6. S)ie ©egenfeitcn 1 unb 4,
2 unb 5, 3 unb 6 beg lefetcren fd^neiben fid^ nad^ $ßa^cal in brci
5ßunften P, Q unb B, bie auf einer ©erabcn liegen. 3)em ©d^nitt^
|)unlte tjon 1 unb 4 entf<)rid^t aber atö $ßoIare bie SSerbinbung^Iinie

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54

(Srfie KbteUung: Geometrie bet dktaben itnb bed Ihcetfed.

tjon I unb lY, baijfclbc gilt öon 2 unb 5 ftcjto. II unb 7, baiJfcCbc
tjott 3 unb 6 BcjhJ. J7J unb 77. S)a aber P, Q unb J? anf einer
®craben liegen, fo muffen il^re 5ßoIaren I IV, II V, III VI ftd^ in
einem fünfte, bem 5ßoIe bicfcr ©eraben f(^neiben.

QKfl. 58.

3ifl. 5i.

72) Semettungen. S)er Safe gilt aud^ öom langentenfed&^feit
mit \iä) fd^neibenben Tangenten. SRit bem S3riand^ons@afec iaf\tn
fid^ biefeftcn @|jecialifierungen tjomel^men, toie mit bem 5ßaUcaIfd^en.

Setrad^tet man j. 83. in gtg. 54 am Sünffeü I II III IV V
bie ®erabe IV atö 3)o|j|jeIUnie, fo ba| ber 8erü]^rungij}junlt (FJ)
ber lefeten Seite alg ©dtpunit VI eine^ Sangentenfed^öedfd Betrad^tet
njirb, hJeld^eiJ bort einen SBinlel üon 180® l^at, fo fd^neiben fid^ IIV,
II V unb III VI auf einer ©eraben. 3)er barin licgenbe @afe läftt
fid^ leidet in SBorten auiSbrüdfen.

73) Kttfgalie. Sei einem gegebenen ^ei^sSangentenfünffeit
fotten bie SeriH^rung^lJUttlte beö nid^t gejcid^neten ^eifeiJ mit bem
Sineal aHein lonftruiert toerben.

Semettttng. Sielet man ba^ Xangentent)ierfeit unb Xan-
gentenbreifeit am Steife atö @}jecialifierungen beiJ ©ed^iJfeitg an,
fo ergeben fid^ bie frül^eren giguren unb ©äfee, jebod^ öon einem
neuen ®efid^ti5|junfte au« betrad^tet.

a)ie aufeerorbentK(^e Sebeutung ber Seigre öon ben reci^jrolen
5ßoIaren unb beiJ $ßa8calfd^en unb SSriand^onfd^en ©afceg berul^t
barin, bafe beibe bei ber 5ßrojeItioti erl^atten bleiben, obtool^I ber Ärei«
babei in einem ßegelfd^nitt fibergel^t. S)araug toerben fid^ ^püttx
anbertoeitige Säfee unb eine gfiöe öon ßonftrultionen ergeben.

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vm. ^tmonifd^e fünfte uttb ^tttä^ttn am ^eife.

55

Sfig. 66.

74) 9eitier(ttng. Slu3 bcr crftcn gigur bicfc« Äctpttetö ergicBt
^xä) noä) ctttc mcrtoürbige Sejtel^ung. ^n bcr ^ro|Jortion

ÄC:CB = ÄD:BD
fe^e man

ÄC'^^'ÄM — r,
AD^ÄM + r,
CB = r — BM,
Bl) = BM + r,
fo ba% man txfj&lt:

(AM -^r):(r — BM)
= {AM+r):{BM + r).

S)ic 5ßtobttIte bcr inneren unb änderen ©lieber flnb glcid^, unb
axL^ ber entf<)red^cnbctt ©Icid^nng folgt AM^BM^^^r^, ober and^
MA • MB = r*

Stimmt man ben aiabini? bei^ ^eifeg atö Sängeneinl^eit an, fo
l^at ntan -ZSf^ • JMTJB = 1, alfo

MA

1
ilfJ5

nnb If JB

1

Sebem ^ßunltc A aufeerl^alB be« Äreifeg entflJrid^t alfo
ein innerl^alb be« Äreifed gelegener B, beffen „Slabiug" ben
umgelel^rten SBert ^ai, unb umgelel^rt entfprid^t iebem
inneren ^ßnnfte ein äußerer nad^ bemfelBen ®efe|e. S)er
jtoeite 5ßunft liegt iebeSntal auf bcr polare bc^ crftcn unb auf feinem
ajurd^meffcr. (gr ift alfo leidet ju fonftruieren.

S)iefc^ 9l(bUbungS)7rinji|? bcicid^net man atö bie ^Dbbilbung ober
©Regelung mittels reci}jro!er SRabien. ®% trägt aud^ ben Siamen
ber Snbcrfion. 3)cn äWittcipunft bed f^)icgelnben Sreifcl nennt
man bad Q^entrum ber 3nt)erfion. (Sinige ©ä^e barflber foUen
in golgcnbem*) abgeleitet »erben.

*) Sa|ntel IX unb X unb bie fid^ anfd^Iießenben SSerül^rung^aufgaBen
nnb lartogtapl^ifd^en ^etrad^tungen fönnen am ^f^mnaftum felbfttierftänblid^
üBctic^Iagen »erben. @S l^anbclt fid^ aber babei um einen ftbung^ftoff fo
anrcgenber 5lxt, bag bei SSerfud^, burd^ il^n eine Stetige öeraltetet unb geift*
tatenber ^onftiultiondaufgaben au erfe^en, bringenb anzuraten ift, befonberiS
au(^ im ^inblidE auf bie matl^ematif(ie (^eogtapl^ie nn't> ^artogia))]^ie.

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56

(Srfte Kbteitttng: ^^eontetrie bet aeroben unb bed Ihceifed.

IX. aitt 3mtxf\m ahn $pt$tbxni^) müüB tttrytaixtt

75) 3n gifl. 56 fei M ein ftrei« mit «abittiJ JlfC= 1, JTi

eine betiebige ®erabe, Ä^ i^r 5ßoI; alfo naä) 74) Jtf^i«=jj2:-

g^g 5^ 3)ie 5ßotare ?> iebcg 5ßunltc8 JB

z" ctuf ber ©crabcn gel^t burd^ Ä^,

S)abei ift h ±BM, fotflüd^
liegt ^1, ba« reci^role »ilb
öott jB, auf einem ^eife, bcr
MAj^ jum S)urd^meffer ^at
3)er uncnblid^ ferne Sereid^
ber @eraben KL entf|jrid^t bem

$ßunße-M;benn^ = 0. SKfo:

S)ag reciprole SSilb feber
©eraben inSejugauf einen
Äreig ift ein ffireig, ber
burd^ ben 3RitteI^)un!t M
beg fljiegeinben Greife«
gel^t, njöl^renb fein Surd^-
meffer auf bem tjon Jf auf bie ®erabe gefönten Sote liegt
unb jur Sänge ben reci<)rofen (umgelel^rten) SBert biefc^
Soteg l^at.

Siegt bie ®erabe ganj augerl^att be§ f|jiegelnben Äreife^, fo
liegt bag Snöerfion^büb ganj innerl^alb beSfelben. ©d^neibet fie ben
ftreig, fo gel^t ber entfpred^enbc ^eii^ burd^ bicfelben @d^nitt^)un!te.
ajerül^rt bie ®erabe ben f|)iegelnben ^ei§, fo berül^rt ber SSilbfeet^
in bemfelBen $ßunlte. ©el^t bie ®erabe burd^ M^ fo entf|jrid^t fie fid^
felbft, fo ba§ ber innere Seil ba« Silb beg äußeren ift.

76) ©d^neiben fid^ in Ä jtoei ®erabe KL unb PQ unter einem
SBinlel a, fo entfpred^en il^nen bei biefer Slbbilbung jloei Greife burd^

♦) 3)er Partie ©Siegelung em^fiel^It fid^ auiS pl^^pfalifd^en ©rünbcn.
Tlan Detgleid^e bie ifot^etmifd^e @:piegelung unb bie äJlet^obe ber eleltrifd^en
93ilbet. ^ii bcr oiptijd^en ©ipiegclung f^at atterbingS bie reciiprofe @:piegelung
nid^tg 5U t^uU/ fte entfiptid^t aber gan^ ber o:pttf(^en @:piegelung gegen bie
@lerabe toa^ fid^ fofort geigen toirb.

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IX. $ie dfnüetfion ober @:|)tegelung mittele lectt^rofer 9}abien. 57

-4i unb M, bic fid^ Srig. 67.

bort unter bcntfcftctt

SBinlel « fd^ncibctt;

tt)eiIau(^i]^rcS)urd^5

meffcr Bei M btefen

SBinfel Buben. SBeil

bie SBinlel bcr ©e^

rabenburd^^unbbic

ber entf<)red^enben

Greife burd^uiiflleid^

finb, nennt man biefe

Slrt öon SlBBilbung

eine toinicitrcue

(ifogonale).

S)em @tra]^5
lenBüf d^el burd^ ui entfljrid^t ba^ Ärei^Büf d^cl burd^ .ij unb 3f.
S)ic fid^ entf<)red^enben SBinlel ftintmcn üBerein.

77) Kttfgalie. SBa3 tni\pxxä)i Bei bcr reci|jroIen ©tJiege-
Inng einem BelieBigen Greife ber @6ene?

Httflüfung. 3n gig. 58 fei M ber f|jiegelnbe feei§ mit Slabiu« 1,
M^ ber gcflJiegelte mit Slabiu^ r^, fOlan jiel^e bie Centrale MM^

m- 58.

Big jBj unb burd^ M bie BeüeBige ©efante -MOi, »orauf man C^
mit ^1 unb B^ öcrBinbe. SWan Bilbe bie reci^rolen ^ilhtt Ä^fB^fC^
öon Ä^, Bi unb C, unb öerBinbe C, mit uig unb ^g- ^^ ^^i * -^-^2

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68

(Sijie K6tet(un0: &tomttnt ber d^eraben unb beS $tttx\t&.

= MB^ • Jf^, — 3fCi . üfCj = 1 ift, fo finb btc »rcicdfc Jlf^Cg
unb MÄ^C^, cBettfo ilfjBjCg unb MB^C^, bic fÄtntlid^ ben SBinIcI
ilf ctttl^altctt, eittanbcr öifyx\vi)f fo ba§ bic SBinfd jJj unb jJ,, cbenfo
bic SluftcttlDinlcI a, unb «g 9^^^^ P^t^- ®emnad^ ifi aud^ 180® —
(«2 + ^2) = 1800 - («1 + ß,\ b. ^. ^ Ä,C,B, == ^ ^.Cj-Bj.
J)a aber Icfetcrcr glei^ 90® ift, fo ift -^Ä^C^B^ ein «echter. 3ft
olfo ber ftreig Jtfj bcr gcomctrifd^e Drt öon C,, fo ifi bcr gcontctrifd^e
Drt öon Cj bcr Ärcii^ mit bcnt SJurd^ntcffcr Ä^B^.

au3 ilfuii • MÄ^ = ilf jBi • MB^

folgt ferner 3f^, : MB^ = üfB^ : Jtf.ii,

ober {MM^ + r^) : {MM^ — r^) = (Jlf Jf^ + r^) : (MJtfi — rj,

eine 5ßro<)ortion, bic auiJ MM^ : r^ = MJlfi : r^ ober ilf M^ : MM^
= r, t ri abgeleitet ift. 3)er ^unft Jlf teilt alfo bie ®erabe M^M^
äufeerUd^ im SJcr^ältnig r^ : r„ 3f ift alfo ber äußere Stl^nUd^Ieit^^
pnviU ber fid^ entf|jred^cnben Äreife M^ unb Jf,. golglid^:

Seber Srei^ gcl^t burd^ 3ttöerfion in einen anberen
ftret^ über, unb jwar ift bail 3nöerfioni5centrunt äußerer
SSH^nUd^Icitg^Junlt bcr fid^ cntf|)rcd^cnbcn fireife.

78) Siegt ber abjubilbcnbe ^eig ganj aufeerl^alb beS 3nt)erfion^=
Ireifeg, fo faßt fein Silb ganj inncrl^alb be^fclbcn. Umfd^üefet er
il^n, fo tt)irb bai^ Silb öom gn^^fiongfeeife umfd^Ioffen. Soncentrifd^cr

Äreig giebt loncentrifd^en ^eig.
Sfifl. 69. ©d^neibet ber ffreig ben Snöerfion^-

frcii^, fo fd^neibet bcr Silbfreig btefen
in bcnfelBcn 5ßunlten unb unter
gtcid^en, aber cntgegcngefe|ten
SBinfcIn, ton oM bem Silbe ber
Tangenten im ©(^nittjjunftc folgt.
SScrül^rt bcr erftcre Steig, fo bc^
rül^rt aud^ ber lefeterc. ®ci^t bcr
erftcre burd^ ba3 Ignöcrfiongcentrum,
fo loirb baS SSilb eine ®crabc.
©d^neibet bcr ab jttbilbenbc
förciS ben Snöcrfiongfrci^
red^ttoinlUg (ortl^ogonat), fo
entf<)rid6t bcr erftcre fid^ fclbft. S« Si9- 59 ift nömlid^ für bic

beliebige ©clantc MA MA^-^-^, ba MAi^- MA ^ MB^

= 1^ = 1 ift. ajcibe Äreife lönncn il^rc {RoHc bcrtaufd^en. ^tb^v

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IX. ^te dfnDerfion ober ©ipiegelung mittel reci^rolet Slabien. 59

©urd^mcffcr bc^ einen ift infolge ber ^ßoIarcnBejiel^nnö
burd^ ben anbeten l^armonifd^ geteilt — SBirb ber Stiöerfioni^-
fretd M t)on jn)ei cinberen red^ttoinllig gefd^nitten, unb fd^neiben fid^
biefc beiben in einem ^nnfte X, fo fd^nciben fle fid^ aud^ in bent
jtt A reci^jrofen ^nnlte X^. Sitte Greife bnrd^ X unb X, fd^neiben
ben gnöerpongfeei« red^toinflig. SHe Tangenten öon M an bie ftreifc
bnrd^ X nnb X^ finb alfo fämtlid^ gleid^.

79) SBerben jttJei ftd^ fd^neibenbe ffreife bnrd^ einen 3«öerfion5:^
fretg aBgebilbet, fo fd^neiben fid^.bte SJilbfteife nnter bemfelben SBinlel,

9i0' eo.

benn bie Silber ber langenten im ©d^nittpunlte Bel^alten ben SBinfel
bei. golglid^:

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60

(Etfie tlbteilung: Geometrie ber @^etaben unh bed Reifes.

Stg. 61.

$at man ein ßreii^Büfd^el burd^ jtDei fünfte unb bie
jugel^örige ortl^ogonale föreidfd^ar, unb mad^t man irgenb
einen ber Sufc^ellreifc jum Snberfionglreife, fo gc^t j|cber
»üfd^etlret« in ben Süfd^ellreii^ übet; ber ben gnberfion«::
IrciS unter bem entgegeuöefefeten SBinfel fd^neibet, unb
jebcr ßreii5 ber ©d^ar gel^t in fid^ felbft über. $in biefem
Sinne ift bie ©efanttfigur ju fid& felbft recijjrof. äBad^t
man einen ber Greife ber ©d^ar jum 3«öc^fion§centrum,
fo entfljrid^t jeber Süfd^ellrei« fid^ fetbft, unb jeber Sreid
ber ©d^ar gc^t in einen anbcrcn ber ©d^ar fo über, ba§
bag 3ttberfioni^centrum äußerer 3i]^nUd^!eitgj)unft für je
jtoei fid^ entfljred^enbc fireife ift.

80) äBad^t man einen ber Süf d^et|junlte jum Ignöerfiong-
centrum, fo gel^t burd^ reciprole @<)iegelung bag fircigs
büfd^el nebft ber jugel^örigen Sreigfd^ar in ein ©tral^Ien^
büfd^el mit ber jugel^örigen foncentrifd^cn Äreigfd^ar über.

3lt)ifd^en biefen beiben giguren be^
ftel^en tntereffante Sejiel^ungen*). 3)er
©^mmetrie(obertoir!l[id^en©|jiegeIung)
gegen jeben ©tral^I be^ ©tral^Ien-
büfd^efö entfprid^t bie xzcxpxoU @<)ie5
gelung gegen ben entf|jred^enben ber
Süfd^eKreife. ©inb für einen ber
f oncentrifd^en Äretfe bie beiben benad^s
barten ßretfe ju cinanber xtdpxot, fo
finbet ba^felbe für bie «reife ber
©d^ar ftatt. golgen bie ©tral^Ien beg
©tral^Ienbüfd^etö unter gleid^en SBin^
!eln aufetnanber, fo finbet baSfefte
für bie einjelnen »üfd&ellreife ftatt.
S)em aWittel^Junfte ber loncentrifd^en ffireigfd^ar . entfpri(^t nid^t ber
3KitteI<)unIt eine^ ber abgcbilbeten Greife, fonbern ber ©d^nittpunß
beg ffrei^büfd^efö, ber für jeben ber ©d^ar ejcentrifd^ liegt.

81) golgen bie einjelnen 3nbiöibua beiber Kurbenfd^aren fel^r
bid^t aufeinanber, fo entfprid^t jebem Keinen „Sled^tedE" ber einen gigur
ein öl^nüd^eg Heiner ,,?Red^tedE" in ber anbcren. Setrad^tet man

*) gig. 60 ift aud^ in SBeguö auf p^^filali?(^e S^crl^öltniffe öon SBid^tigfcit,
j. 93. läftt man in einem bei SBüfc^el^unfte einen eleftri?cl|en ©ttom in eine
gtoge 9WetaII|)latte antreten, im anbeten austreten, fo geben bie 58üfd^el!reifc
bie Stromlinien an, toäl^tenb ieber bei anbcren ^eifc bie ?Pun!te gleid^er
elcltrifd^er ©:pannung angiebt.

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I

IX. S)tc 3nöcrfiott obet S^Jicgclung nttttcfö tcciptdfcr Slabien. 61

D,

namüd^ bie Segrcnjuttgen bcr Keinen Slec^tede afta. es.

unb il^re Siagonden afö gcrabe Sinten, fo finb d^ — tiC
toegen bcr SBinfeltrene bie Keinen Sreiedfe, alfo
aud^ bie Sled^tedfe, äl^nüd^e Signren. @inb bie
Keinen Sled^tede ber gig. 61 nnter einanber
äl^nlid^, fo gitt e^ aud^ tjon gig. 60. S)arf man fie j. 83. in ber
einen olg Keine Onabrate*) Betrad^ten, fo ift bieg and^ in ber anberen
ber gaÖ. [SSeibe Brid^ttnngen finb alfo in ben Keinften Seilen öl^nltt^,
loöl^renb bei größeren Seilen bie äl^nltd^Ieit anfrört. 3)iefe „Äon^
forntität" ift ejjte gotge ber SBinleltrene.]

82) Änd^ anberen Reifen ber gig. 60 entf|jred^en ^eife ber
gig. 61. geid^net man j. 85. jtoifd^en jtoei loncentrifd^en ffreifen
ber 2fig. 63 a eine ateil^e öon SSerül^mngigfreifen, fo liegen il^re

Sig. 6Sb.

Sfifl. 68 a

gegenfeitigen Säerül^rnng^punfte anf einem Greife, ber ber gnöerfion^^
freig für bie gefamte neue gigur ift. SKad^t man alfo bagfelBe Bei

*) Solgen bie ©ttaWen in gig. 61 unter bem SBinfel — oufeinanbcr, \o
barf man bie Keinen 3le(^tedfe afö Quabtatc Betrad^ten, ?obaIb hxt Slabien be*

nad^Barter Ioncenttt?d^er Äreife im SSer^Itnig l : c ** ftel^en, too c = 2,7182818 . . .
bie ^afig ber natürlid^en Sogarit^men ift. 3ft biefed S^erl^ältnid Beted^net
unb ein einziges SJlal lonfttuiert, fo ergiebt fid^ ba8 gefamte Siielöon Duabrateu
burd^ einfädle Äl^nlid^feitStonftruftion, benn jeber 9tabiu§ ift bie mittlere
proportionale jtoifd^en gtoei Bcnad^barten. 2)en elementaren ©etoci^ für biefe
toid^tigc SBejicl^ung, bie ben Snfammen^ang jtoifd^en ber SJlercatorfarte unb ber
$olar!arte nad^ ©ipt)ar(i^=?ptolemäug ergiebt, pnbet maix anl^ongStoeife am
©d^luffe beS iBud^eS.

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62

(Elfte Abteilung: Geometrie bet (Btxabm unb bei» ^eife^.

ätoei tttd^tfottcctttrifd^en Äreifen ber gig. 63 b, fo lieflett oud^ je^t
bie a3erü]^ruttgg<)unfte auf bem Igttöerftottgfeeifc. »em Siattaentens
büfd^el in gig. 63 a entf<)rid^t ba3 bctiil^renbe «reii^büfd^el in giß. 63 b,
ben fonftanten SBinfeln bt^ einen entf^ired^en lonftante SKntel beim
anbeten, (änd^ bie gemetnfd^afttid^en Sangenten gelten bnrd^ einen
^unft, ol^ne iebod^ gleid^e SSSinlel ju bilben.) ©daliegt in gig. 63 a
bie gejeid^nete ftreiiJreil^e nad^ einem Umgange, fo fd^Iiefet fic jebegmat,
n)enn man and^ anbete anf&ngt. 3)ai^felbe gilt aud^ t)on ber nid^t::
loncentrifd^en gig. 63b, tott» auf anberem SBege nur fd^toer gu
Bereifen ift. 3eber anbete Ätei^ bet ©d^at, bg bie ^ci^teil^
fd^neibet, fd^neibet famtttd^e SSetül^tung^lteife untet fonftantem SBinleL
(a)ie etttf<)ted^cnben ©dfee übet bie Setül^tnnggfteife jtoifd^en jtoei
S5üf(^eIIteifen toetben bem @(^ület übetlaffen.)

83) Kttfgalie. gu jtoei fid^ nid^t fd^neibenben Steifen
benjenigen 3«ö^^^fiongfteiS ju finben, bet ben ^inen in
ben anbeten öettoanbelt.

Kttflüfttng. ^an fud^e jn ben beiben Steifen Mj^ unb M^ ben
anbeten ä]^ntid&!eitg))nn!t M. S)utd^ M lege man eine beliebige
©elante, bie jtoei ©d^nittpunße Ä^ unb A^ giebt, toeld^e nid^t ju pa^

xaUdtn 8labien bet
^^* ^ beiben gegebenen

Steife ge]^öten.S)ct
aiabiud bed ge^
fud^tengnöetfionS*
feeifeS M ift mitt^
lete ^to|Jottionate
jttJifd^en MA^ unb
31 A^, (»agfelbe
gitt öon ben beiben
anbeten ©d^nitt?
Ijunlten bet ©e-
lauten.)

8emer(ttttg.

3)et 3ttöctfion^5

tabiuö ift äugleid^ bie Sänge bet langentc öon M au§ an jeben

Steig fi, bet bie beiben gegebenen gleid^attig betül^tt; ebenfo an

jebcn Stci« (i^, bet bie beiben gegebenen ted^ttoinlfig fd^neibet.

84) Kttfgalie. S^ äwei fid^ ft^neibenben Steifen ben
3nöetfion3lteig ju lonfttuieten, bet ben einen in ben
anbeten t)etn)anbeU.

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X. ^oten^ unb ^oten^Iimen. 63

KttflSfuitg. fßlan lonftrutere benjienigen imrd^ bie Reiben
®(^nitt|)unltc gd^cnbcn ^ctö, bcr bcn bortigett äußeren ©d^nittttiinlel
l^afttcrt Ober:

äRatt fd^tage um bcn äufeercn ä]^ttüd^Icitg<)unlt Beibcr bcn burd^
bie ®6)müpnn1tt gel^enbcn ffrci«.

Seittettttttg. ^at man einen ffreiS in einen anbeten tjertoanbelt,
fo entjprid^t bog ^nnttt be§ einen enttüeber bem 3nneren ober bem
knieten be§ anbeten. äRad^t man il^n feftft jn einem neuen 3«-
öcrfionScentmm, fo öertoanbelt fid^ fein gnnereg in fein SuftcreiJ, unb
bie öorigen Sejiel^ungen toed^feln.

85) Kttfgalie. Qu itoti \xä) niä)t fd^neibenben Greifen
einen 3«öerfion§Ireig ju finben, ber Beibe in foncentrifd^e
ftreife öertoanbelt.

Kiifüfting. ERan jiel^e burd^ ben änderen ttl^nlid^Ieit^^junlt eine
©efante, bie in fünften Ä^ unb A^ f(^neibet, bie nid^t ju paxaUtltn
aiabien gepren. Sie Tangenten in biefen fünften geben nad^ 55)
ben Stabiug eine« ted^tloinllig fd^netbenben ftreife«. SDiefer fd^neibet bie
Kentrate in ben SSüfd^el^Junlten Xj unb X^ be8 orthogonalen ftrei^«
Mfd^eß. äRad^t man einen biefer 5ßunfte jum 3«t)erfion^centrum,
fo entftel^en aus ben beiben gegebenen ftreifen loncentrifd^e ftreifc.

86) Semerlttng. S)ie bef|jrod^ene 3ttöerfion berul^te auf ber
»cjiel^unfl ÄX^ ÄX^ = 1. SRan lann aud& ÄX^ • AX^ = — i
fefeeU; bann liegen X^ unb X^ auf t)erf<3^iebenen Seiten öon A,
S)arau§ ergeben fid^ entf))red^enbe SreiSbegiel^ungen, tt)ie öorl^er,
jiebod^ tritt ftetS ber innere ?it]^nlid^leitg^)ttnlttin ®tttU be§
äu|eren. SBefentlid^ neueS ergiebt fid^ babei nid^t. @i5 l^anbelt fid^
nur um bie frül^ere 3Äöerfion öerbunben mit Umfla^)|jungen um stoei
aufeinonber fenlred^te burd^ baS 3ttt)erfion«centrum gel^enbe Std^fen,
fo ba§ man bie D|jeration aU bie negative 3ttöerfion bejeid^nen
lann. (3ebe ©tredte ber 3nt)erfion§ieid^nung toirb in bie entgegen^
gefegte öemjanbelt.)

87) Siegt ein 5ßunft P au^erl^alb beg «reife«, fo ift für jebe öon
il^m au^gel^enbc ©elante PA- PB =^ t^, alfo eine fonftante ^jofitiöe
®rö^e, nömlid^ baiJ Duabrat ber öon Pau3 gejogenen Tangente (gig. 65).

Siegt er bagegen innerl^alb, fo ift ffir jebe burd^ il^n gel^enbe
(Seltne PAPB = ^ s^, too s bie |>älfte ber Heinften burd^ P

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64

^te 9[bteUttng: @leometne ber @leraben unb bei» Reifes.

gcl^cttbctt Seltne ift (bic burd^ P ^tticrt toirb). S)a3 ncgatiöc Stxä)tn
ift bcj^l^olb genommen, toeil P-4 unb PB ©tredfcn t)on entgegen-

m» 65.

gefegter St^tung finb, toäl^renb beibe im t)origen SaQe gletd^gertd^tet
toaxtn. 2Kfo auti^ jefet ift PÄ • P^ fonftant, aber gleid^ einer ge^^
tt)iffen negativen (Sröfee (gig. 66).

3n beiben gäHen bejeiti^net matt ha^ genannte 5ßrobuIt atö bie
5ßotenä beg 5ßunfteg P in SSejug auf ben ÄreiiJ. S)ie 5ßun!te
mit ^jofitiöer 5ßotenj liegen alfo aufeerl^alb, bie mit negatiber inner-
l^alb beg föreife«, bie t)on ber 5ßotenj 3lutt auf il^m. a)ie 5ßun!te
gleid^er 5ßotenj liegen auf einem foncentrifd^en fireife.

88) Sft PQ bie gemeinfd^aftlid^e ©elante jtoeier ^eife, fo giß
PX . PXi = t^ für beibe ^eife, b. f). bie Tangenten finb glei^ nnb P

l^at in SSejug auf beibe Sreife
unb bag gefamte^eiöbüfd^et
burd^ X unb Z^ biefelbe
^ßotenj. 3)ie§ gilt für ieben
anderen 5ßun!t ber ©elante.
gür ieben inneren ?ßunft
ber ©efante ift PX • PX^
= — s^, b. ^. bie lür^efte
©el^ne burd^ einen inneren
5ßunft ber ©elante l^at in
beiben Reifen unb in allen
beg Süfd^efö biefelbe Sänge.
(Die (gni><)unfte ber lür jeften
©eignen burd^ Pj liegen auf
einem Äreife.)
3Ran nennt bal^er bie gemeinfd^aftlid^e^@e!ante bie 5ßoten}Iinie
t)Cg Äreisbüfd^etö burti^ X unb X^.

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X. Motens unb ?Potcnjttnien.

65

89) ©d^nctben ftd^ jtoei fircifc ntd^t, fo l^abcn fämtlid^c förclfe,
bic beibc äugleiti^ rcd^ttoinfllg fd^ncibcn, nai) Sßr. 79 auf bcr Centrale
bic für beibc ©reife

reci^jrolen ȟfc^et ^'^'^'

|)unlte X unb X^.
S)a bte mttüpmttt
be§ aSüf^efö auf
beut ERitteKote öon
X unb Xi liegen,
fofinbbie Sangenten
öon jebem 5ßunfte
biefeSSotegauSnad^
beibenföreifengleid^.
3)cmna(i^ ift biefeg
SotP^bie^ßotenj^
ünie ber beiben fid^
nid^t fd^neibenben
©reife unb für bie
ganje ©ret^fd^ar,
bie bag Süfd^el ortl^ogonal fd^ncibet.

S)ie ?ßoten}ünien jtoeier ortl^ogonaler ©rei^fd^aren ftel^en alfo
aufcinanber fenfred^t,

unb bie ber einen &*«• ^®-

©d^ar ift bie ©entrale
ber anbem. -^

SSerül^renfid^jtoei
©reife, fo ift bie gemein^
fd^aftlid^e langente im
S5crü]^rung8l)unfte bie
^ßotenjlinie.

1 ^

P

V

(' \

*v\.

Q

90) Soff. S)ie
^ßotcnjlinien breier
©reife fd^neiben fid^
in einem 5ßunfte.

«etori». Stt gig.
69 fei AB 5ßotenifinie
für bic ©reife! unb JJ,

CB für bie ©reife I unb III, alfo t^ = t^ unb fi^t^. S)arau3 folgt
^2 = ^8/ foIgUd^ ift B ani) ein ^unft ber 5ßotenjünie t)on JZunb III

®6enfo ift ber SJetoeig bei ©reifen, bie fo liegen, ba§ jener (Sd^nitt?

^olimfilter, 3!Hatf^mat\t. n. 5

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66

@tfte IKbteilung: @leomettie ber (Seraben uttb bed ^eifeg.

pmtti B ins gttnere föHt (Sig. 70), nur finb bann ftatt ber gleid^en
Tangenten gleiti^e lürjefte ©eignen ju nel^men. S)er ©ti^nittpunlt l^ei^t
in beiben gätten ^ßotenäcentrum.

Sift. 71.
fjifl. 70.

91) Itttfgalie. S)ie 5ßotenjIinie jtoeier fid^ nid^t fd^neiben^
ben Äreife ju lonftruieren.

ItttflSfung. SRan fti^Iage einen ^eig, ber beibe ^cife fd^neibet,
jiel^e bie gemeinfd^aftlid^en ©elanten unb fätte bon il^rem @d^nitt=
puvXit dVi^ txn Sot auf bie ©entrale ber gegebenen föreife (gtg. 71).

Setnerttttig. SBirb ein ^eiSbüfd^el ober eine Srei^fd^ar bon
einem beliebigen ^eife gefd^nitten, fo gelten bie gemeinfd^aftUd^en
©eignen jtoifd^en biefent unb beut ganjen ^eisf^fteme burd^ einen
5ßunlt ber 5ßotenjIinie be« le^teren. (SBarum?)

92) Sft -^3 ber äußere ^^nüd^feitgl)unft ber ^eife M^ unb M^,
fo finb bie Serül^runggf eignen B^C^ unb B^C^, bie man alö äl^nlid^^^
feitg^jolaren bejeid^net, ^jaraHel (gig.. 72).

Sielet man eine ©elante Ä^B^, fo finb bie ©d^nittl)unfte J^ unb
eZg S5erü]^rungSl)unfte eines gleid^artigen Serül^rungSfeeifeS M^.

Pi fei 5ßoI ber t^nlid^feitSad^fe A^J^J^ SSäeil ferner B^ ber
?ßoI ber Tangente B^A^ ift, fo ift P^B^ bie 5ßoIare bom @^nitt=
:punfte -^3. golglid^: S)er 5ßoI F^ ber tl^nlid^IeitSad^fe A^J^J^
Hegt auf ber ^]^nUd^IeitSl)oIarc B^G^.

ebenfo liegt ber $ßoI P« auf ber Sl^nlid^feitS^joIare Pg^g.
Safe enblid^ ber 5ßoI Pg auf ber ?ßoteniIinie liegt, bie ju ber ^l^nlid^^
IeitSl)oIare ^jaraHel ift, tourbe fd^on mel^rfad^ bemerft.

Sie gefamte 3eid^nung ju M^ ift :perf<)eftibifd^ jur 3eid^nung

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X. ^otcnj unb ^oteuälinien.

67

für M^ in ©cjug auf A^; bic gcfamtc Seid^nung ju M^ ift i)cr=
fl)eftit)ifd^ JU bcr für M^ in S5cjug auf /g; bic gcfanttc gcid^nung

JU itfg ift ^jcrf^jcftiöifd^ ju bcr für Jfg in ©cjug auf J^. 8öfo liegen
PieTgPg, PiJiPs unb PiP2-^3 ttwf gerabcn Sinicn, cbcnfo C^J^C^,
B^J^Bq] C^JiCq unb B^J^B^. golgliti^:

SScrbinbct man bic ©nb^junfte einer ^l^nlid^fcitg^jolarc
jtoeier Äreife mit bcm Serül^rungg^punlte eineg Serül^rungS^
freifeg, fo erl^ält man auf biefem Äreife 5ßunfte ber ^otenj^
linie ber beiben erften Greife.

Itttfgalie. ©teile entf^jred^enbe Setrad^tungen für ben gatt un-^
gleid^artiger Serül^mng an.

93) 3^ Sig- 73 tt)erben bie ^eifc M^^ M^ unb M^ öon einem
öierten berfil^rt. 3ft «un By^C^ eine äußere ^l^nlid^feits^jolare für
M^ unb M^f fo geben bie ©eraben B^J^B^ unb G^JiC^ bie 5ßotenj5
Knie ^4(7^ ober jpg- ß^cnfo giebt bie ®l^nK(i^Ieitgl)oIare DiJ&i ju
ilfi unb Jifg burd^ ^1^1 ^4, unb O^JiC^ bie 5ßotenäIinie D4£^4 ober i?2-
®a nun bie Oeraben B^C^ unb DiJ&i l)erf<)eftit)ifd^ ju ^4(74 unb
D4JE74 in Sejug auf ben ?ßunft Ji pnb, fo finb aud^ il^re ©d^nitte
P, unb P4 })erf^)eltit)ifd^ in Sejug auf J^. golglid^:

SBerben brei ftreife t)on einem öierten gleid^artig be=
rül^rt, fo liegt il^r 5ßotenjcentrum P4 auf geraber Sinie
mit bem Serü]^runggl)unfte J jebed ber brei Äreife unb
bem ©d^nitte P feiner beiben äußeren ^l^nlid^feits^jolaren.

5*

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68

(Stfte $(btetlttng: (S^eometrie ber ©eraben unb be§ ^eifed.

Kttfgalie. ©teile bie betreffenben SSetrad^tungen für anbete
gatte ber öerül^rung auf, j. ©. lauter äufeerüd^e Scrül^rungen, ober
ungleid^artige SScrül^rungen. ^

gig. 75.

Bewerfttitg. S)a DiJ57i unb Bj^C^ äußere S]^nI^Ieitg:()oIaren
fittb, fo ift Pj Sßol ber äußeren SSl^nUd^Ieitga^fe. 3ebe ^nli^Uxt^^^
ad^fe l^at in ben brei Äreifen brei 5ßoIe, fo bafe im ganjen für
4 ^l^nlid^feit^ad^fen 12 5ßoIe öorl^anben finb. S)a nun ie brei Sßole
}u jtoei Serül^rungen SJeranlaffung geben, giebt e^ ati^t öerfci^iebene
Srten ber öerül^rung b. f). aä)i 83erü]^rung3freife breier ftreife. SSebeutet
a äufeerlid^e, i innerlid^e Serül^rung, fo l^anbelt t^ fid^ um folgenbe
gäOe: M^M^M^:, M^M^M^; M^M^M^:^ M^M^M^*^ M^M^M^*,

a a a i i i a i i i a i i i a

M^M^Ms; JfiMjJf,; M^M^M^.

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XI.. Einige SBerftl^nmg^aufgaBen.

69

XL €mit iBtxüJßm^mf^aiftn.

94) Itttfgabe. gincn ßrctg ju fonftruicrcn, ber burd^
jtoci öcgcbcne^ßunltc gcl^t unb einen gegebenenSreig berül^rt.

ttttflofunp.
Sn gig. 74 fei Jtf
bcr gegebene Ärei§,
P unb ^ feien bie
gegebenen fünfte.
aRit^üIfeberSRü^
telfenfred^ten öon
PQ fd^Iage burd^
beibe 5ßunfte einen
ftreig C, ber ben
^eigJlfin^ßunlten
A unb J? fd^neibet;
AB unb P^ geben
benSd^nittD. 2lug
ber Sangente DJ57
ergiebt fid^ ber SRa^

biug ME, ber bie SRittelfenfeed^te ^0 in M^ fd^neibet ©benfo er^
giebt fid^ an^ ber Sangente Di^ ber atabiug FM, ber KC in M^
fd^neibet. M^ unb M^ finb bie SRittel^Junlte ber gefud^ten Sreife.

Der SBttoti^ berul^t barauf, ba§ bie britte 5ßotenjIinie, b. % bie
Sangente DE beih). BF mit AB unb PQ burd^ benfelben 5ßunlt
gelten mn^.

95) Itttfgabe, ©inen Sreig ju befd^reiben, ber jtoei ge^
gebcnc Sreife gleid^artig berül^rt unb burd^ einen gegebenen
?JJunIt ge^t.

Itttfliifttng. Sit gig. 75 feien M unb M^ bie gegebenen
^eife unb P ber gegebene Sßunit. 3Ran jeid^ne ben ftrei§ A,
ber ben ^eig M burd^ xtüpxolt @l)iegelung in ben SreiS M^
öertoanbelt. (©ein atabiug ift mittlere Sßrol)ortionaIe jtüifd^en AB
unb AC, tüo A äußerer ^]^nUd^Ieitgl)un!t ift, tüäl^renb B unb C bie
inneren ©d^nittpunlte ber Centrale finb.) 3Ran fl)iegele gegen biefen
«reis ben ^unft P reci^irof (AQ • AP^r^). Sefet finb bie beiben
Srcife JU befd^reiben, bie burd^ P unb Q gelten unb ben Äreiil M
(ober Jüfj) berül^ren. (SSgl. öorige Stufgabe.)

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70 @rftc TOteiluitfl: ©comctric bcr ßleraben unb beS ÄretfeS.

96) Itttfgalie. ©tnctt Ärci§ ju bcfd^rcibcn, ber jtoci öe=
flcbenc Greife ungletd^artiö berül^rt unb burd^ einen ge^
flebenen 5ßunlt gel^t.

ttuflSfttitg. 3n Sifl. 76 feien M^ unb -afg bie gegebenen ^eife
unb P ber gegebene 5ßunft. SRan jiel^e burd^ ben inneren ^l^nüd^feit^^

pnntt J bie beliebige
^*ö-'«' ©elante ^^ unb

fd^Iage nm J einen
ffiretS mit ber mitt?
leren 5ßro^)ortionaIe
öon /Jl unb J'J5.
^ann bilbe man 7$
aug JP'JQ = r^.
»urd^Punb^iftein
^ei§ ju legen, ber
einen ber beiben ge^
gebenen Greife inner=
üd^ ober äufeerüd^
berührt.

SemetfttitB. 3ft

einer ber beibenßreife

eine ©erabe (r = oo), fo treten bie ©d^nitt^junlte beg auf ber (Seraben

fenfred^ten Surd^meffer^ ate äußerer unb innerer ^l^ntid^f eitS^junlt auf.

©onft ift nid^tS gednbert.

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XII. ^atto^xap^\ä)t ^nmenbungen.

71

97) Itnfgalie. (Sitten Srciö ju Bcfd^rcibett, bcr brci gc-
gcbctic Ärcifc glcid^artig berül^rt.

ttttflBfttng 1. gtt fjtg. 77 fcictt M^, M^ uttb M^ bic gcgebctictt
Äretfe, uttb jtoar M^ ber Heitiftc. Sic Sflabictt fciett r^, r^ uttb rg.
3Katt fd^Iagc um My^ unb M^
Äreifc tnit bcn atabicn (r^ — rg) Sig. 77.

unb (r-a — rs) unb f onftruicre
bie bciben ßrcifc, bic bic ^ülf^-
fecifc gleid^artig berül^rcn unb
burd^ bcn 5ßunlt M^ gelten.
3)ie in SBirKid^Ieit gefud^tcn
Ärcifc finb fonccntrifd^ ju biefen
bciben.

Semetbtng. Sotten M^
unb ifef^ gfeid^cirtig, aber Jfg
ungleid^artig berül^rt toerben,
fo fd^Iage man bie ©ülfglrcife
mit bcn 3labien (r^ + rg) unb
(rg + r,). Sie übrigen gättc er=
lebigen fid^ mithülfe bc§ inneren
^nlid^feitgt)un!te^. S)ie 8 mögliti^cn gätte finb in Sftr. 93 angegeben.

Kttflifung 2. Sud^c bag Sßotcnäcentrum P4 ber brci ftreife unb
jcid^ne in ieben bic bciben äufecren ^l^nlid^Icit^ati^fcn, bereu ©d^nitte
in icbem ber Äreife P^, Pg unb Pg feien. Die (Seraben ^^^^^ ^2^/
-P»^4 8^^^^ i>ic 83eräl^rungg^)unltc Jj, Jg «^^^ ^z f^^ i^^^ äufeerüd^
berül^rcnbcn ^eiS, unb juglcid^ bie S5erü]^mnggl)unltc -4^, A^ unb
^8 pir bcn inneriid^ bcrul^rcnben ^ei§. (SSergteid^c gig- 73.)

Srmerfung. aWit ©ülfc innerer S]^nIid^feitgi)oIaren gelangt man
ju bcn ungleid^artigen Scrül^rungcn.

98) Siittdd^ft fott bic SBcItlartc nad^ ©crl^arb Bremer, genannt
SJicrcator, htrj eri&utcrt tocrbcn.

S)a bie Dberffdd^c ber Äugcl fid^ nid^t in bie Sbene ausbreiten
lägt, toie j. 83. bie beS S^Iinbcrg unb beS Segete, fo lägt fid^ ju
bem ©rabnefe il^rer äRcribianc unb SßarattcHreife lein öottlommen
treues ebenes S5ilb geben, fonbem eS treten beftimmte SSerjerrungen
ein, jic nad^bem bie Karte biefe ober jene Sebingung erfiitten fott.
Um einen (Sinblidf in bic Seigre öon bcn ©rabnefeen §u crl^altcu/

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72

Stfte Slbteilung: (S^eometrie her ^ecaben unb beiS Iheifei».

teile man bic ÄugeloBerfläd^e j. ©. burd& 16 unter glcid^en SBütfeln
aufeinanber folgenbe SReribiane in fongrucntc ^lä^tnitüt ein. Sei
ben 5ßaraMIreifett fel^e ntan junäti^ft öon ber Äufeinanberfolge naä)
(Stäben ab, unb benfe fid& bie erfteren fo gelegt, bafe bie ftugelftSd^e
in ein ©Aftern öon „Duabraten" eingeteilt toirb. 3)iefe Duobrate*)
tüerben nad^ ben ^ßolen l^in Heiner unb Heiner. * gl^re gal^I ift
uncnblid^ groß. 3n gig. 78 ift bie Duabroteinteilung eineg tbentn
?ßarattelftreifeng bargefteHt, unb jtoar befinbcn fid^ über ber ®eraben
ÄA^ ebenfalls 16 Duabrate. ©iefc (Serabc fott beut Äquator be«
(grbglobu^ entf^jred^en, bie gejeid^neten ©enfred^ten ben SReribianen,
bie in gleid^en 2lbftönben aufeinanberfolgenben i^orijontalen ben

2rtg.

78.

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2

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A

obigen 5ßarattel!reifen auf ber Sugelftäd^e. (gm SSeifpiele w = 16,

860

folgen bie SUieribiane ber föugel unter -^ ober 22-3- oufeinanber.)
gig. 78 entfj)ri(i^t ber nörblid^en ©alblugel ber Srboberftäd^e.
Slad^ oben erftredft fi^ bie S^iÄnung be§ (Streifeng bi§ in unenbtt^c
(Sntfemung, toeil bie Duobrate l^ier gleid^ groß finb, il^re Slnjal^I
aber unenblid^ grofe ift. (grtoeitert man bie S^^ttung nad^ unten,
fo erhält man aud^ ba§ Silb ber fübfid^en ©alblugel.

Seid^net man in bie entfl)red^enben Duabrate bie Sänberformen
ein, fo erl^dlt xt^GXi bie SBeltlarte in äRercatorg Sarftellung.
2)iefe l^at ben SSorjug, bafe il^re „duabrate" benen ber Sugel in um
fo l^öl^eren ®rabe äi^nlid^ finb, je größer man bie Slnjal^I ber SReribiane

*) SJon Duabtaten lann m<x<x eigentlid^ erft rcbcn, toenn bie SReribiane
unb ^araUcIfrcife fo jal^Ireid^ genommen ttjcxbcn, bag bie fel^r Reinen fjläd^cn?
röume alg eben unb getablinig betrad^tct »erben lönncn. SRet^oben, biefe
(Einteilung lorreft buxd^äufü^ren, »erben ft>äter gegeben.

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il

XII. ^xto^xap^\äit 9(ntoenbungen. 7S

genommen f^at S)ie Scid^nungcn innerl^alb Heiner Duabrate
finb alfo äl^nlid^, ober, toie man ftd^ aui^btüclt, bie SKercators
larte ftellt «eine gläd^enteile bct (grbobetfläti^e öl^nlid^ bar,
oim^ bag ®efamtbilb ber ©rboberfläd^e niti^t ä^nliti^ ift. 9tt-
bilbungen fold^er Art bejeid^net man aö lonforme Slbbilbungtn.

S)er jtoeite SSortcU berul^t barin, ba§ bie öon SRorb nad^ ©üb
gel^cnben ßinicn fämtliti^ fenfred^t, bie öon SBeft nad^ Dft ge^enben
fämttid^ l^orijontal finb, fo bafe mon alle ©immetörid&tnngen an jebcr
@teÖe ate gerabe Sinien eintragen lann, nnb bafe ben gleid^en ©immetös
rid^tungen paxaMt ©erabe entft)red^en. @o geben j. 83. alle Ouabrat*
biagonalen bie JRiti^tungen Slorboft, Slorbtoeft, ©übtoeft, ©üboft an.
©efet alfo j. ©. ein ©d^iff anf bem Ditan feinen SBeg fteti?
in berfelben ^immeUrid^tnng fort, bel^dlt e« alfo benfelben
ftnrS bei, fo ift bie Slbbilbnng beS SBegS anf ber SRcrcator^
larte eine gerabe Sinie. SBiH alfo ein Äa^jitän j. 85. öon ber
©übf^jifee 3rtanb3 ftets mit bemfelben ffiur« nad^ ©a^enne fal^ren,
nnb jiel^t er anf ber SRercatorlarte bie entf<)rcd^enbe SSerbinbnng^^s
Knie, fo erl^ölt er bie ^immetörid^tnng, in ber ^ er jn ftenern l^at,
anf ba« genanefte. Salier ift bie SWercatorfarte *afö ©d^iffal^rtglarte
allgemein öerbreitet. geben Xag beftimmt ber Sa^jitän ben Drt be^
©d^iffe«*), erlennt babei, toie toeit er bnrd^ SReeregftrömungen, S35ini>
ober nngenaneö ©tenem fid^ öon ber gejeid^neten Oeraben entfernt
l^at nnb lorrigiert ben ffnrg beiS ©d^iffeg.

©inen SRad^teil aber l^at bie Äarte in folgenber ©infid^t. SBäl^renb
bie obigen „Duabrate" anf bem ®Iobn3 nad^ ben 5ßoIen l^in jn nn^
enblid^er Äleinl^eit abnel^men, bleiben fie anf ber äRercatorlarte gleid^
grofe; toäl^renb bort bie SKeribiane ben beiben ^olen jnftrebenb fid^
immer mel^r näl^ern, beimaßen fie l^ier ftetg benfelben Slbftanb. ®ürmmn
alfo bie Dnabratbimenfionen am SKqnator beg ©lobnS nnb ber SRer*
catorfarte überein, fo l^ört biefe übereinftimmnng nad^ Slorben in
jnnel^menbem ®rabe anf, nnb in ben nnenblid^ fern liegenben $ßoIen
ber 3RercatorIarte ift bie S)arfteIInng berart öergröfeert jn benfen, ba&
nn« bie 8lu8brndCgtoetfe geftattet ift, bort fei ber SKagftab ber nn-
enbüd^faclie, ioft anf bem Olobn«. 8lIfo, je toeiter nad^ ben
5ßoIen l^in, nm fo größer tt)irb ber SRafeftab ber SRercator?
larte. ©o erfd^eint j. S5. Orönlanb größer atö ganj Slfrila, obiool^I
eg in SBal^rl^eit »eit Heiner ift. Sie Slad^barfd^aft ber beiben 5ßoIe

*) ^uä bet ©öl^e bcg ^olarftcrnä ober ber SÄittagÄl^öl^e ber Sonne flnbet
er 5. 83. bie ndrblt(^e SBreite, au^ ber 3)iffereni ^teifd^en ber SDlittagi^^eit bed
Drted unb bet bed ^udgangdorteS, bie an bem bort gefteOten S^l^tonometer
objulcfen ift unb 4 SDtinuten auf ben ®rab beträgt, beftimmt er bie Sänge.

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74

^fte Abteilung: Geometrie ber aeroben unb beS ^eife§.

fann auf bcr SRcrcatorlarte gar nid^t bargcftcttt tocrbcn, ba fonft bic
Sartc naä) oben unb unten ing Uncnblid^c gc^en müßte. SKan brid^t
bie S)arftettung getoöl^nfid^ in ber 3tix^t be^ 80. ©rabeg nörbüd^er
unb fübiiti^er SSreite ab. Sa bie 5ßoIargegenben nid^t belannt finb,
unb ba bon regelmäßiger ©d^iffal^rt bort nid^t bie 3lebe fein lann, l^at
biefer Umftanb bie äjraud^barfeit ber ffarte nid^t bceinträd^tigt. [®ie
Sarten ber l)]^^fiIaUf(i^en ®eogra^)]^ie, j. SB. bie ber magnetifd^en äReri-
biane,.3foHinen, gfob^namen, Sfotl^ermen, gfanomalien, gforad^ien u.f. to.
finb in ber Siegel nad^ SRerlatorS ?ßrojeftion bargefteHt.]

99) 3n gig. 79 ift ein ftreig, beffen Umfang AB CDA gleid^
ber Sänge beg Squatorg ber äRercatorlarte fein foll, burd^ ein ©tral^Ien^

büfd^el unb bie loncentrifd^e ^eig?
fd^ar in äl^nlid^e ,,SRed^tedEe" eingeteilt.
S)ieg ift erreid^t, fobalb jeber 3labiug
bie mittlere 5ßro))ortionaIe ju ben
beiben benad^borten atabicn ift, unb
menn bie ©tral^Ien unter gleid^en
SBinleln aufeinanber folgen. 3)ag
erftere erjielt man burd^ ^jarallele
diagonalen, toic fie auf CO bar-
geftettt finb.

(Sinb nun bie ßeinen ated^tedtc
„Duabrate", fo ift ba^ iDuabratnefe*)
ganj bem ber SRercatorlarte unb be8 ©lobuS entf})red^enb. @o
finb j. Ä. bie Ouabrate öon 1 bis 16 bie aSilber ber gleid^^
jal^Iigen Duabratc ber SRercatorlarte. @o erl^ält man bie Sßolar?
larte öon ^xppaxd):^'^ioUm&n^, bie fid^ in ber Stereometrie afö
eine beftimmtc ©entral^jrojeöion ber Äugelfläd^e l^erauSftellen loirb.
©ie giebt eine conforme 3)arftenung ber l^alben 3Rercator=
farte unb jugleid^ ber Siorb^ ober ©übl^alblugel be^ ©lobuö.

*) 3n SRr. 81 ift bereite gefaßt, baß man bie quabrfttifd^c Seilung bei n @e!-

27t

» —
toten erteid^t, toenn bie 9lobien nad§ außen im SJetl^ältnia Ire" auf einanbcr
folgen, too c =» 2,7182818 ... bie S9afig ber natürlichen Sogaritl^men ift.

©ier alfo l^anbelt c8 fid§ nm baS »er^ältniS l : c^^ =- 1 : 1,480972. m^

innen folgen bie 9labien einanber nat^ ber Steil^e e^, e ^ ,e ^ , e ** u. f. ».
^urc^ biefe Ballen etlennt man jugleid^ bie SSergrößerungdbeil^ältniffe ^mifd^en
jeber ©teile beiJ 3nnem unb ber ÜRercatortarte, bereu SRaßftob gtcid^ bem
bed SlanbfreifeS genommen toar.

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XII. $taxioQxap^x\ä)t ^Intoenbungen.

75

Scr ©^mtnctric bcr SRcrcatorlartc gegen ben 5!tquator
entfl)ici^t bei ber Sßolarfarte be^ ^ippaxä) bie Sleci^jrocität
gegen ben (Srenjfreig. fOlan lann alfo bie Sßolarlarte über ben
tqnator l^inang fortfefeen. @o ift j. ». ÄWVX bag jn JLZrx
rectl)rofe „Onabrat". (SSgl. Sig. 79.) S)abei nel^nten aber bie 3)iniens
fionen ber Cuabrate balb berart ju (fogar im SSerl^ältnig jn benen
ber SRercatorlarte), bafe man fid^ getüöl^nlid^ auf bie S)arftettung ber
einen ^alblugel befd^ränft unb für bie anbere eine befonbere 3eici^nung
mad^t. gür bie mat^ematifd^e Setrad^tung ift e8 gut, bag Ouabratnel
nad^ aufeen fortpfe|en.

Sifl. 80.

^.---T--^^

^v ^.-1-

/6 \

\ i^

100) Mgx^ fd^Iage \t%i in gig. 79 um B einen ÄreiS, ber burd^
A (unb 0) gel^t unb bitbe baS reciprofe @l)iegelbilb ber 3^i<^nung
gegen biefen ftrei^. 3)a festerer ben ©renjireig unb bie horizontale

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fck

76 ®t{te $l5teilung: Geometrie bex (S^eraben unb be^ ^eifei^.

unter 45^ fd^ncibet, gcl^t bcr ©renjirctö (Äquator) in bic ©orijontalc
unb btcfc in bcn Otenjircig über. B unb bcr Storb^jol öcrtaufd^cn il^rc
©tetten, -4. unb Bleiben, ber unenbtid^ ferne S5ereid^ rfidt nad^ 2>,
toeld^e^ beS @übl)ofö toegen \t%i 8 l^eifee, unb ba^ ©tral^lcnbüfd^cl gel^t
in ba^ SreiSbüf^el burti^ N unb /S, bie loncentrifd^e Ärei^fd^ar in bie
Drtl^ogonalfti^ar be« SSüfd^etö über. SRan erl^ält fo in gig. 80 bie
obere ^älftc ber ßarte ber öftlid^en $alb!ugel unb il^re reci^
:proIe gortfefeung nad^ außen, nur mn^ bic föarte noc^ unt bie
fenfeed^te aRittcIßnie ^tUtüppi toerben, um ber bc^ SÄercator bejüglid^
ber ^immeförid^tung genau ju entf^jred^en, tüoburd^ gig. 81 entfielet*).

S)em Ouabratnefe ber 5ßoIarfarte ent^
f^jrid^t tt)egen be^ confomten ©l^aralterg ber
äbbilbung aud^ l^ier ein Duabratne|. S)ie
gleid^mäfeige ©inteilung be^ atanbeg in
gig. 79 ift auf ben Äquator in gig. 80
l)roiiäiert toorben. S)a aber DB : DO
= 1:2 toax, fo ift ber äRafeftab in
ber aWitte bon gig. 80 l^alb fo grofe,
at§ Oivx 3lanbe, tt)o er beut äquatorial-
ntafeftabe ber ajlercatorfarte ent^
fpric^t.

$at man umgefel^rt auf ber Äarte ber
Dftl^alblugel gleid^e fRanbteUung, toag *er ©rabeinteilung entf<)rid^t,
fo erl^ält man burd^ biefelbe ^ßrojeftion bie ©rabteUung ber ^ßolar-
farte. S)ie Stereometrie toirb biefe Singe nod^ toeiter aufftdren.

101) Seber größte ^eia beg ®Iobu^ fd^neibet ben Äquator in
gtoei ®egen<)unften (2lnti<)oben^)unIten). ©old^e finb in gig. 80 B
unb jeber unenbüd^ ferne ^ßunft B^, gebe (Serabe burd^ B ift alfo
ein größter ßreig bei^ (Slobu^, fo j. 83. PL, ebenfo bie baju ©enf-
redete KO. ©dalägt man um K einen ^eig mit KL^ unb bilbet man

*) SBte »entg bie ^albfugeüartcn bc§ $t:p:pard& tilS (Sd^iffa^ttälarten
taugtid^ finb, etgiebt fic^ a- ®- »ouS bcr Untci^ud^ung ber Duabratbiagonalen,
bie ber 9lid^tung (SübtoeftsSHorboft unb SRorbtoeft^Süboft entf^jtcd^en. SCuf
bcr 9Kcrcator!artc l^anbclt c8 fid^ babci um gcrabc Sinien bon 45<> Steigung,
in ber ^olarfattc aber um ^röcn, bic man atö logaritl^mifd^c @<)iralen
bejcid^nct unb bic unjäl^Ugc SSinbungcn um ben 5PoI mci6^tn\ in ber Äarte
bcr öftUd^cn ^albfugel vm bic fogcnannten logaritl^miid^cn %t>pptU
f^jiralcn ober SBicircuIar^^jiralen, bic um icbcn ^ol unjäpge SBinbungcn
mad^cn. 2Cuf htm ®Iobu0 cntf:prcd^ctt il^ncn bic fogenortttett Sojobromen
((Sd^ieftauflinicn). ©ämtlid^ tocrbcn für ben ©d^nitttoinlcl 46<* alg S)iagonal5
luit^en bcd Duabratttc^cd bequem ffts$iert.

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XII. ^artogta|)]^if d^e ^ntoenbungen*

77

Autd^ rcciprofe @<)tcflclun8 Ö^ö^^ hit^tn bag Snöerfiongbilb ju giß- 80,
fo tjcrtüattbclt fid^ bic @Jcrabc PBL oo in ben (Srenjlrei^ burti^ -S:
unb 0, bicfcr in jene @Jerabc, bcr 5ßoI JV^ fällt inncrl^alb bc§ neuen
Orcnäfreifeö, unb jtüar auf ben ©d^nitt öon PL unb jK'JV, cbenfo
ber 5punft /S auf ben ©d^nitt bon ^5' unb PL in gig. 80. ©benfo

fl. 82.

fatten A unb (7 auf bie ©d^nitte öon PX unb KÄ begto. -ffC. Sag
Sreii^büfd^el burd^ N unb iS gel^t fiber in bog Süfd^el burd^ bie neuen
$ßunfte N unb S, gig. 82 ftettt bie neue Äarte bar. Sic entf^Jrid^t
j. 83. ben harten ber größten Sanb^ unb SBaffermaffe, toenn ber
©d^nitttoinlel ß bei B rid^tig getüäl^It toar.

102) Kitfgalie. 2)ag SRed^tedEi^ne^ felbftänbig ju t)on^
enben, toenn bie bier ©renjfreife eineg „Äed^tedE^" ge-
geben finb.

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78

(Stfte 9[&tei(ttn9: @leomettie bet ^^erabei^unb bed ^tetfe^.

AB CD in gig.
83 fei ba« gc5
flcbene „Mcd^tcd".
S)ic Xangctttc in
D gicbt M auf
Ä'JV. SicOcrabc
ilf A giebt bcn
©d^nitt A^f bic
Sangentc A^Hi^
gicBt bctt SRütct
pVivSi für bcn
neuen ßreiiS ber
©d^ar. DJfiUnb
uiJfi geben jtDei
neue Seil^iunfte
u. f. xo.f fo ba§
man beliebig öiele
Sreife ber @d^ar
geid^nen f ann. gn
S mögen bie Xan^
genten 80^ unb
iS'Di ber gegebenen
ȟft^eHreife ben
SBinfel « ein^

fd^Iiefeen. 3Ran mad^e -^ DjÄ'J^; = C^8B^ = «, errid^te auf 8E bag
Sot Sfi big jur ©orijontalen, bann ift /» ber 3)iittel<)unft für ben
folgenben Sfifd^eßreig u. f. to.

1

A/

A

M

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4

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'^-'■■"

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B ;

/'

\ '»

/^^^

h

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xm. Her Ä^wJ^tnatenkgrif^

a) ®ra|il^ifi$e Sar^eEungen,

103) ©tatiftifd^e SJerl^ältniffe l)ffegt man auf gra^)]^ifd^em (ieid^-
nenbem) SBege ju beranfd^auüd^en. ©o Knuten j. 83. burd^ gig. 84
bie ©d^toanlungen in ber St:equen} einer ©d^ule für einen 3^i^ö«w
bon 5 Salären bargefteHt »erben. S)ie gleid^en Stbfd^nitte auf ber
i^orijontalen bebeuten bie gleid^en 3^itröume (S^^^O/ *^*^ regelmäßige
Setüegung bon big 5 ben SJerlauf ber ä^t. %\t i^öl^en bcrl^alten

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XIII. S)cr Äoorbinatcnbcßtiff.

79

fid^ toic bic cntfpred^cnbcn Srcqucnjjal^Icn. S^ttöl^wc im crftcn, (SiAify^
Bleiben im jtoeiten, abnol^me im britten, g^ital^me im öierten, öer^
ftörftc Sttttöl^wie im fünften
Saläre finb ol^ne »eitcrei^ ju
erlennen.

(Sbenfo k^eranfd^auUd^tman
bie ©d^toonfungen in ber Seööt
lerung öon Qiahttn unb ©tooten,
in ber Irong^jortmenge öon
©ifenbal^nen unb .^afenanlogen,
bie ©d^toanlungen in ber ^ßro^
buftion ber Sonbttjirtfd^aft, ber
SBergtoerfe, ber Snbuftrie, bie
5ßrei§fcl^toonfungen beg ®e^
treibet, be8 ®ifen§ u. f. »., bie ©d^toanhtngcn ber lem^jeratur, be§
Suftbrudg (SBarometerftanbeg), be§ SBafferftonbei^ ber glüffe, u. f. to.
Sei einer größeren Slnjal^I gleid^er Seiträume lann man bie mittlere
§ö]^e atö bie SJeranfd^auIid^ung beS mittleren S^ftanbeS betrad^ten.

104) SluS einigen SSeifpielen toirb man ben Stufen fold^er Äar^
ftettungen für bie matl^ematifd^e ^ßl^^fil erlennen.

gig. 85 öeranfc^auüd^t bie gleid^förmige St^^tal^me ber ©e^
fd^toinbigfeit eines im luftleeren älaume freifallenben (ober
eines öon fonftanter Iriebfraft belegten) ftör^jerS. 3ft 9 We ©e-
fd^toinbigfeitSäunal^me

für jebe ©efunbe, fo s*8- «s.

^at ber Äör^jer nad^ -^

8 ©elunben bie &t^
fd^toinbigfeit 8^, nad^
t ©elunbcn bie ©e^

fd^toinbigfeit gt S)ie ^ -^

©nbpunfte ber ©e-
fd^ttjinbigfeitslote lie-
gen in einer ®eraben.
3)aS mittlere ßot giebt
bie mittlere ©efd^ttjin-

bigfeit ^ an. 3)iefe,

auf bic 8txt t auSgebel^nt, giebt ben SBeg \gt^, unb jtoar aud^
für bie Befd^Ieunigte Setoegung, ber ^n^täi beS S)reiedfS öon
SafiS ^ unb ©ö^e ^^ ift ebenfaßS -i-^'^. 2)ie 3)reiedfgfläd&e ftellt

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80

@r{te Abteilung: (S^eometrie bei @(eraben unb beS ßreifed.

alfo ben öom fför|)cr jurudfgelcgtcn SBcg bar. 3)ic einjclncn
Sro^JCjPäcl^cn geben ben SOScg in ben einjcinen ©elunben an. 3)ai^
^t^teä ber mittleren ©efd^toinbigfeit ABGF ^oi natfirlid^ biefelbe
glöd^e toie ba§ S)reied. — aSeseici^net man ben öeränberftd^en^orisontafc
abftanb Don A mit x^ fo ift bie ^öl^e an jeber ©teile y = ^o:.

3n al^nlid^er SBeife fann man bie S3etoegung ueranfd^aulici^en,
bie bei bem fenfred^ten ^ä^n^ nad^ oben entpel^t. "än^ ber gigur
(bem „Diagramm") fann man äße entf^jred^enben SetoegungSberl^&Itniffe
ablefen,

105) Slfö jttjeiteg Seif^jiel biene bie gra^jl^ifd^e DarfteUung beS
SRariottefd^en ®efefeeg. 3Uiäi biefem ift, toenn man fonftante
Sem^jeratnr öorauSfefet, bie ©jjannung einer ©anmenge um-
geleiert ^)ro^)ortionai bem SSoIumen.

3n gig. 86 ift nun folgenbeg bargeftettt. S)ie fünfte 0, 1, 2,
3, 4 ber ®runblinie fteHen bie aSoIumina 0, 1, 2, 3, 4 bar. Sin
ber ©teße 1 ift bie ©^jannung ^D = 1 angenommen, j. ©. glei(|
1 Sltmof^jl^äre (10 334 kg pro qm ber DrudEflad^e). %ann ift an
©teße 2, 3, 4, . . bie ©^)annung y , y, \i -- - öI^ Sot aufjufefeen.

Sagegen tofirbe an ©tette

y bag Sot yy^
("27

2 ju jeid^nen fein.

Das 3)iagramm fann nad^ linfS bis jur ©teße a; == 0, nad^ red^tS

bis äum unenblid^en
Sereid^e (x = oo)
auSgebel^nt »erben.
3)ie Snb^junfte ber
ßote bilben eine
fl)äteräubeft)red^enbe
^röe, bie man als
bie ERariottefd^e
Suröe' bejeid^nen
fann. (©ie ttjirb
loegenSlnnal^mefons
ftanter Jem^jeratur
aud^ als Sfotl^erme
bejeid^net.) ®eloiffe
in ber gigur an-
gebeutete Sled^tede

fmb in^altSgleid^, j. ». OFEJ unb OABH.

%a in ber SRed^anif baS ^robuft auS ber ftraft unb bem Sraft-

h)ege Slrbeit bebeutet, fo fteßen bie fleinen als Sted^tedfe aufsufaffcnben

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xm.-^ ^et ßootbinaten&egYtff.

81

fcttfecd^tett gflöd^enftrcifctt, toic fic öon 2 Big 3 ongebeutct ftnb,
Arbeiten bar, bie j. ©. in aKctcrlilogrammen ju meffen ftnb. S)ie
gßid^e AB CD ftettt olfo bie (£ji)onfiotti^orbeit bar, toeld^e bie ßuft
bei ber SluSbel^nung auf bai^ öierfad^e SJoIumen leiftet, toenn bie
2:em^)eratur babei lonftant gel^alten toirb. 3)age9en ftettt bie Släd^e
ABEF bie Arbeit bar, bie nötig ift, um unter föonftantl^altung ber
lennjeratur biefelbe ßuft auf bai^ l^albe SSoIumen jufantmenju^jreffen.
©g l^anbelt fid^ alfo in gig. 86 äugleid^ um ba^ Slrbeit^biagramm
für ©j^janfton unb Äom^)reffion unter ber Sebingung fonftanter
3;em|)eratur. Sejeid^net man ben öerönberüd^en ^orijontalabftanb

t)on mit flj, fo ift bie jugel^örige ^öl^e ftet^ y = -'

sc

106) Sltö britte« »eif^jiel biene bie gra^jl^ifc^e ®arftettung bt^
Sletotonfd^en ©rabitatton^gefefeeg. 3tad) biefem ift bie gegen^
feitige Slnsiel^ung ätoeier ^immetöför^)er umgefel^rt ^)rot)ortionaI bem
Cluabrate il^rer gegenfettigen (Sntfemung. Sefinbet ftd^ j. S. bie Sonne
in 0, bie @rbe in Ä (gig. 87), unb ftettt AB bie ®rö^e ber gegenfeitigen
Slnjiel^ungfürbiegnt'

femung OA bar, fo Sig. st.

ift biefe für bie l^albe
Entfernung OC bier^
mal fo groß, für bie
bo^j^jette ©ntfemung
OE ber bierte Seil,
©efet man alfo OA
= 1, unb einen be^:
liebigen ^orijontalab^
ftanb = X, fo ift bie
jugel^örige Snjie^ung

bur(l^bagSoty=-^

iu beranfd^aulic^en.

Wbt(S) l^ier ftettt bie

gläd^e ättjifd^en ber

©urbe unb ber ^ori^

jontalen eine Slrbeit b^ar. Um j. 83. ben ©rbbatt an^ ber ©ntfemung OA

in bie (Entfernung OE ju berfefeen, mü^tt man eine Slrbeit leiften, bie

burd^ bie %täd)t AEFB bargeftettt toirb. [Sie Slrbeit, bie nötig fein

Würbe, bie @rbe au^ ber ©ntfemung OA in unenblid^e ®ntfemung ju

bringen, toxxb burd^ ba^ bon A au^ bi^ ing Unenbüd^e fortgefefete S)ia=

gramm bargeftettt unb atö ba^ Potential für ben 5ßunft A bejeid^net.]

^olitnülter, aRat^ematif. n. 6

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82

(lh:ftf Sbteilmtg: (Seontctne brr 0erabat itnb M fiietfed.

107) aRtttt tdtmd, bog fU^ bitr^ fob^e SMagtamme fd^tonerige
SHiige auf emfoi^ 9rt Dermtfc^aitlü!^ loffen. SRon bejeid^net ben
i^orijimtaliibftanb bom 0ttfaitg§))itit{te aiS Sbfciffe, ben SSertttoI^
obftanb als Drbinate. 93eibe tragen noc^ ben genteinfd^ofttid^n
Slanten fioorbinaten. ttnt id^o^ ben ntat^emotifij^ Ser^öltni^en
no^ aDgenteiner jn entf)nre(!^, la^ man and^ negatü)e 9bfd|[en
nnb Orbinoten jn, nnb jtoar fhü> bte erfteren nod^ linfö, bie legieren
naä) unten gerid^tet.

b) Sie ftiitbinttr» Um tpnnfteit.

108) 3n gifl. 88 l^at ber ^Junft A bie »oorbinaten a? = 3 unb
y = 1; ^nft B l^at a? = — 1, y = 2; für ben ^nft C ift
a? «= — 2, y = — 1; für ben ^nft D tfi a; = 2, y = — 2.

®icfc 5ßunfte liegen
Stfl- M. ber aieii^e nad^ im l .,

^r 2., 3, unb 4. dna^

branten ber ®bene.
S)cn lederen cnt^
\pxt^tn, toit in ber
Trigonometrie, ber
Sleil^e nac^ bie SJor-

jeid^en + +, \-,

, + — . Sie

öon — oonac^+^^
gel^enbe ©erabc KL
Reifet bie Z^Sld^fe,
bie ebenfalls t)on
— oo nac^ + oo
ge|enbe®erabe3fJV
bie r.Sld&fe be§
Äoorbinatenf^ftem^. l^cifet ber Stutt^junlt bcg le^tcren. 3ebem
reeQen ftoorbinatcn^^aare x, y entf^jrid^t ein beftimmter $ßunft ber
ffibene, beffcn 0uabrant fid^ auS ben Sorjeid^cn ergicbt. Umgelel^rt
entf|)rid^t iebcm fünfte ber @bcnc ein reelles föoorbinatcn^jaar.

109) ®ie Soorbinaten x unb y beseid^net man afö bie Karten
fifd^cn Äoorbinaten, nad^ ScScartcS ober ©artefiuS, ber fie juerft
anfgcftcHt l^at. %a man bie Sage öon A aud^ burd^ ben atabiuS
OA^=^r unb ben SBinfel HOA = « barfteöen lann, ebenfo bie Sage
öon B burd^ ben 8tabiuS OB = r unb ben SBinfel HOB = a, . bie

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XIII. 25ct ÄoorbinatenBcgrtff. 83

be§ $ßun!tc§ C bnxä) ben Slabiug OC = r unb ben überftuntt)fcn
SBinfcI HOC==a, unb enblid^ bie Sage öon 2> burd^ ben ?RabtuS
OD ^ r unb ben überftuntpfen SBinfcI HOD, fo l^at man aud^ r
unb a atö Äoorbinaten cingcffll^rt, bie fogenannten $ßoIarIoorbtnaten.
8ln icbem ber genannten fünfte crfennt man, ba^ jtDifd^en ben ©artefi?
fd^en unb ben $ßoIarIoorbinaten folgenbe SBejtel^ungen ftattfinben:

r = +l/a:^ + y*, tana=— , cosa== . , sina= ,^

x »== r cos a ; y = r sin a.

S)ag SSorseid^en Don r toirb ftetö ^jofitit) angenommen, ber SBed^fel
ber SSorjeid^en wirb ben goniometrifd^en gunftionen überlaffen, unb
jttjar in berfelben SQSeife, n)ie in ber Trigonometrie.

110) fCttfgaÜe. Stoei fünfte Z^ unb Z^ l^aben bie Äoorbi^
naten x^ == a^, y^ = \f x^ = (h, 2/2 = &2- SBie lauten bie
Äoorbinaten be§ ^albierungS^JunfteS il^rer SJerbinbung^-
Hnie?

«ttfl5fttttö- a; = ??4^, y = h±h. SBarum?

ICitfgalie. Sie SSerbinbungSlinie berfelben 5ßunfte foll
't)on Zj au§ im SJerl^ältni^ 3:2 geteilt n)erben; toxt lauten
bie föoorbinaten be^ Seil^junfte^?

«ttf I8f ttttj- a; = % + I (og — ai) = ^o^^tl^ .

y = 6l + y (6g — 61) === g ^.

sittgemeiner giebt bie Sieilung im SSerl^ältni^ n^iih ^i^ Äoorbinaten

S)ie entf^jred^enbe äußere Leitung giebt x^ = ""^^L^^'^' f
y^ = ""''^^J^''^^' • («ergl. ^armonifc^e fünfte.)

111) fCufgate. ®rei fünfte Z^, Z^, Z^ l^aben bie Äoorbi=
naten a^h^, a^^h^^ a^\, SBeld^e^ finb bie Soorbinaten be^
$albierung§<)unfte§ B^ ber ^eraben Z2Z3; unb ttjie l^eißen
bie ffioorbinaten be§ 5ßun!te^ 8, ber bie @>erabe Z^B^ im
aSer^ältnig 2 : 1 teilt?

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84

(Srfte Slbteilttttg: &eomttxit hex &exabtn unb bed ^etfeS.

Xitflifmg. »ic ßoorbittotett öon fli in gig. 89 finb a; = ^'^ ■ ^'

®ic SoorWnaten uon ä jtnb rc «
II, I g ^« + ^»

aittb y =

2

2

2 + 1

y

2 + 1

Semettttttg. ®a3fclbc SicfuÜat jtnbct man, tDcnn man Z^H^
unb cbenfo Zgflg im SBcrl^altni^ 2:1 teilt. 3)ic brci aKittcttinicn
fd^ncibcn jtd^ alfo in einem ^nlte, bem 5ßunfte mittleren STbftanbe^

bon ben (befiebig gcto&pen)
&«a- 8»- Äoorbinatenac^fen.

Stimmt man einen bierten
5ßunlt Z4 baju, unb teilt
man SZ^^ im SJerl^öItni^
3:1, fo ^at ber leilpunlt
bie ffoorbtnaten

^ «1 + q» + «8 + <»4

4 '

S)er neue Seil^junlt ift
alfo ebenfalls ber 5ßunlt
mittleren SbftanbcS. 3n al^nlit^er SBeife fann man fortfal^ren. Sie
ateil^enfolge ber Äonftruftion ift babei boUft&nbig gleid^gültig. äRan
erl^&It fo ben ©d^toer^junlt bon 3, 4, 5 . . . gleid^ ft^toer ju
benfenben fünften ber ebene, ber alfo ber $ßun!t mittleren Slbftanbc«
bon beiben Sld^fen ift.

112) Sufgaie. 3^ci fünfte Z^ unb Z^ l^aben bie
Soorbinaten aj, «== a^, yi=&i, ajg «= «g, ^2 *= ^2- SBie
lang ift il^rc SJerbinbung^Iinie, unb toeld^e Steigung it^
fifct fie?

«ttfWfttttg- Z^Z^ = 1/(02— ai)2 + (6g - b^y. Sie Steigung

beftimmt fid^ au3 tan «

113) «ttfgaie, SBie grofe ift ber Sn^alt bei^ SreiedEö
ZiZgZg, toenn bie ©d^junfte bie Sbfciffen a^, a^, a^ unb bie Drbis
naten 6i, hi, \ ^oitnl (Sig. 90.)

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xm. ^er l^oorbinatenBegriff.

85

«ttf(9fttng.

— -^1 -^2 -^2 ^1

= tK«1 — «2)(&1 + M
+ («2 — «s) (^2 + h)

+ (a3-a,)(53 + &,)].

Semetlitttg. gür

ben gfaß, bafe bie brci fünfte in einer ®eraben liegen, ift bie gläd^e
gleid^ Slutt. ®ie Sebingung baffir, bofe bie fünfte Z^Z^Z^ in einer
®eraben liegen, ift alfo burd^ folgcnbe ©leid^ung gegeben:

c) Sie ®leii|itttg etflen ®tabe8 itttb bie getabe Sinie.

114) 3)er geontetrifd^e Drt oßer 5ßnnlte, für ttjeld^e bie ©leid^nng
x = a gilt, ift eine 5ßaraßelc jur r^Sld^fe in bcr (£ntf emung a? = + a.
©pmntetrifd^ baju liegt bie ®erobe, für beren fämtlid^e $nn!te bie
(Sleid^nng a; = — a gilt. S)er geometrifd^e Drt aßer fünfte, für
ttjeld^c y^=h ift, ift eine $ßoraßeIe jur X^Sld^fe in ber Sntfemnng
1/ = -|- 6. S^mmetrifd^ bogegen liegt bie ®erabe, für beren 5ßun!te
bie ®Ield^ung 2/ = — h gilt.

S)er geometrifd^e Drt aßer $ßnnlte, für toeld^e bie ©leid^ung 3/ = o?
gilt, ift bie bnrd^ ben Stuttpunft gel^enbe ®erabe bon ber Steigung 45^,
bie ben 3. unb 1. Duobranten burd^fd^netbet. 3)cr geometrifd^e Drt
oßer fünfte, für toeld^e bie ©leid^ung y = — a; gilt, ift bie burd^
ben 9tuß^)unft gel^enbe (Serabe bon ber Steigung 135^ ober — 45^,
bie burd^ ben 2. unb 4. Cuabranten gel^t.

Der geontetrifd^e Drt aßer 5ßunlte, für toeld^e bie ®Ieid^ung
- = tan« ober 2/ = a; tan« gilt, ift bie ®erabe burd^ ben StuB*

pVLvSi bon ber Steigung «,
gel^ören fann.

bie einem ber bier Duabranten an^

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86

(grfte 5l6teilun0: ®comctric ber OJeroben unb bc» ÄrctfeS.

5tg. 91.

SRott nennt bic bctrcffcnbc ®Icid^nng ftctg bic ©Icid^ung ber
®craben, unb man fi)ri(^t ber ^rjc falber j. 89. öon ber ®eraben
a; = a, y = lf y = x tan« u. f. ft).

115) ICufgate. ©ine ®erabe ft^neibe ouf ber X^^^'it
ba^ ©tüdE Oa= — a (ober CO^ + a) ah, ouf ber Y^^^ää^U

bag ©tüd OD^b, SBie
lautet il^re ©Icid^ung?
(gig. 91.)

«ttflSfttttg. aRan fälle
t)on einem beliebigen fünfte
B ber ©eraben C2> ba^ Sot
^^ auf bie XMij^t unb fefee
0^ = X unb ^5 = 2/;
bann ift A CABr^COB,
alfo ABiOB^CAiCO,
\>. %. y : 5 = (a + x) : a,

3)arauS folgt 2/ = - a; + &

ol>cr ^3^ + f =latöbic

®Ieid^ung ber ®eraben, bie beiberfeitig ing ffinblofe berlängert ju
benfen ift.

Semetfttttg. 3)ie ©erabe, bic bon ber X^Sld^fe OC^ = + «,
öon ber r^Slci^fe OD = l abfd^neibet, liegt f^mntetrifd^ gegen bie
öorigc in S5ejug auf bic F^Slc^fe. gl^re ®Ieid^ung ergiebt ftd^ atö

äJlögc nun a unb ebenfo l ^jofitib ober negatib fein, eine
©Icid^ung ber legten gomt fteltt ftetg eine ®crabc bar, bic bon bcn
ffioorbinatenad^fen bie ©tüdfc OC = a unb OD = h abfd^neibet.

116) fCttfgulie. SBa^ ftellt bic angenteinc ©Icid^ung erften
©rabc^ ax + hy ^^ c bar, h)o a, b unb c reelle ®rö§en finb?

ICttflBfttttQ. 2)ie ®k\^m% lä^t fid^ fd^reiben

a? , y

0(1)

1,

fte fteltt alfo ftetä eine ©crobe bar, bie öon ber Z=Sld^fe baä ©tüdt -,
bon ber r^Sld^fe bag ©tüd -^ abfd^neibet. S)ie cinjige SSebingung

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xni. 35er ÄoorbinatenBeßtiff.

87

tft, ba§ a unb h nx6)i glcit^jcittg öcrfd^toinbcn bürfcn, benn fonji
toüxbtn beibe SCbfd^nitte unenblid^ gro^ fein unb bic ®erobc ganj
in ben nnenblid^en Scretd^ fallen.

117) fCttfguie. SBic lautet bic ©leid^ung einer ®eraben,
bie öon ber r^Sld^fe ba§ ©tfidfe abfd^netbet unb bie Steigung

ICitflSfttttg. 3n gtg. 91 ift ^j; "^ ^°"' ^^^^ ä+x = ^^'^
ober y = x tan a + ^j tan«, alfo, ba a tan« = h i% y = x tan« + 5.
83ejet(l^net man tan a atö SRid^tung^fonftante mit Ä, fo lautet bie
©leid^ung y = Äx -^-h.

S)er aufgäbe, jtoei fünfte burd^ eine ®erabe ju öerbinben, ents
f^jrid^t bie folgenbc:

118) fCitfgaie. SBie lautet bie ©leid^ung einer Oeraben,
toeld^e burd^ bie fünfte Z^ unb Z^ mit ben Äoorbinaten

^1 = «l; ^l = ^l; ^2 = «2/

«iifloftttiB. Sn gig.
92ift AZ^-EJD^ZiffZjj,
folglid^

JgD _ GZ,
Z^E ~^ ZG '
ober

rc — Oj

■&i

»s— «1

ober

aRit$üIfe anberer äl^n-
lid^cr 3)reie(Je finbet man
ebenfo

y — ^ ^ V-^

05 — Ol a, — «1 '

unb ebenfo

119) S)er Slufgabe, burd^ einen gegebenen ^unlt eine ®erabc
t)on gegebener Steigung « ju legen, entf^jrid^t folgenbe

ICttfgaie. SBic lautet bie Olcid^ung einer ©eraben burd^
ben $ßunft Z mit ben Soorbinaten a unb h, loeld^e bie
Steigung « l^at?

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88 d^fte Abteilung: (S^eotnetrte bet &ttahtn unb be9 ftteifed.

XttflBfttttg. Die ciitfl)rcc^cnbc gigur crflicbt

^"" = tan a ober y — 6 =» (rr — a) tan a.

120) fCufguie. Unter toeld^em SBinlcI fd^neibett fid^ bie
®craben y = -^^a; + h^ unb y = -^go; + 5j?

ICitflBfttttg. Sie fd^ncibcn fi^ unter einem SBinlel y, ber glei(§
ber 2)iffcrcnj il^rcr Sleiflung^tDinlel ift, alfo unter y =* «i — a^, too
fid^ «1 au^ -4i = ta^ «1 unb «^ auS J^ = tan «^ Befttmmt 9lun

ift aber tan y = tan («^ — Oj) = ^ ^^ ^In^ t^n""«, ' ^^^^ Beftiutntt ftd&
y aui^ ber ©leid^ung

tany-3^^-^.

S)ie Sinien finb ^jaraHel, foBalb Äj^ = Ä^ ift, n)ag tany = giebt.
3ft bagegen ber Stenner bei^ a3ru(§eg gleid^ StuH, b. 1^. l—ÄiA^=^0

ober ^j « — -^, fo toirb tany == 6o, b. 1^. y =» 90^, unb ble

®eraben pelzen aufeinanber • fenlred^t. ©leid^ungen bon ber Sonn

y = Ä^x + l^ unb y = — X "'" ^^ \tt^^n alfo ftet« ®erabe bar,

bie aufeinanber fenlred^t ftel^en.

121) fCitfgaie. begeben eine ®erabe y = Ax + h unb
ein $ßunft a^b^. S)urc^ ben Unteren eine ®erabe ju legen,
bie auf ber erfteren fenlred^t ftel^t. SBie lautet bie ©leid^ung
ber gefud^ten ®eraben?

«iifläfttng. 1^ = -^. öi>er y~6,=?L^.

122) fCttfgaie. SBo fc^neiben fid^ bie beiben @>eraben
a^x -{-h^y = c unb a^x + ftgy =* c^?

ICttflBfitttg. @^ ^anbelt fid^ um ben gemeinfd^aftlid^en $unlt
ber beiben ®eraben, b. i), um baS gemeinfd^aftüd^e x unb y ber beiben
©leid^ungen ober, toag ba^felbe ift, um bie S3eftimmung bon a; unb y
au^ ben beiben -©leid^ungen. Die Söfung ift

©benfo fd^neiben fid^ bie ®eraben y = Aj^x + hy^ unb y = A^x + h^
in bem 5ßun!te

6« &1 -4-1 6a Aq &,

X — — = — y — — — = — 5 1 — i ♦

Ai — -4.J -dj — A^

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Xm. ^er Äoorbinatcttbcgriff. 89

®ie ©eraben -^ + -j^- = i unb ~ + ^ = 1 fd^ncibcn ftd^ cbcnfo in

123) Semetfltltg. ©ittb aifl5 + &i3/«=q unb a^x + h^y^c^
bie ©leid^ungcn stDcicr ©crabcn, ntttItt|)Kjicrt nton bic crftc BciberfcitiJ
mit einem reellen Saftor m^ unb bie jtoeite mit einem Saftor m^,
unb abbiert man bie finfen unb ebenfo bie redeten Seiten, fo entftcl^t
eine neue (Sleid^ung öon ber gorm

3)a biefc ©leid^ung burd^ Mofee Umformung auiJ ben beiben erften
entftonben ift, giebt fie mit jeber berfelben aU ßöfung bagfelbe x unb y,
toxt jene Beiben. Äße brei burd^ bie ®Ieid^ungen bargeftellten ®eraben
gelten olfo burd^ einen ^unft. golgüd^:

§at man brei @>Iei^ungen erften ®rabei^, unb ift bic
britte eine blofee golge ber beiben anberen, fo gelten bie
brei burd^ fie bargeftellten ©eraben burd^ einen $unlt.

Selben umgefel^rt bie brei ®eraben burd^ einen 5ßunlt,
fo ift bie ®Ieid^ung einer jeben eine blofee golge b^r
©leid^ungen ber beiben anberen.

124) Stitfgaie. 8ubetoeifen,ba§bie^ö^eneinei5®reiedf«
fid^ in eiitem ^unlte fd^neiben.

KttflBfttttg. 3)ie Soorbinaten ber (£df|)unfte feien a^, h^, a^, b^,

Og, fej. 3)ie ©leid^ung ber (Serabert, bie (uli gegenüberliegt, ift ^"" ^

X — Og

^ 6, - ft.

1 _ «a — q^

^ _^ A, ia^ öon dy\ auf biefe ßJerabe geföUte ßot l^at

alfo bie atid^tunggfonftante -4. = — -j = — ^ — :^> ©eine (Sleid^ung

-A O3 — ©2 .

^^^ ^^^^ J^ ^^^ ^*^^^ ^("^ - «2) + y{h - 2^2)

= «1Ö3 — »1% + ^1^8 — ^^2- ®6enfo finb bie ®Ieid^ungen ber
anberen ßote, toie fd^on Sertaufd^ung ber S^biceg jeigt,

x{a^ — aj) + y(h^ — h^) = a^a^ — a^a^ + fe^^i — ^2^8

x{a2 — aj + 2/(62 — &i) = «3^ -" ^8^1 + ^8^2 "" ^8^1-

Sa man bur(§ Slbbition au8 ben beiben erften ®Ieid^ungen bie
britte erl^äft, fo gelten bie brei ®eraben burd^ einen ^unft.

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90

(Srfte Abteilung: Geometrie ber (SIetaben unb bed ^etfed.

Semerlttitg. ®benfo fann man jctgcn, bafe bic aKittelfcnfred^tcti;
t)ic aKittcninicn unb gctoiffe ffidEtran^öerfalcn bcS Shrcicd^ fid^ in
einem 5Punfte fd^neibcn.*

125) Xitfgaie. 3)urcl^ einen 5ßunlt a6 gelten bie ©eraben
^ "" = ^= tan «1 unb ^ ~" =« A^ == tana«. SBie lautet
bie ©leid^ung ber SBinlell^atbierenben?

ICttf iBfttttg. S^re Steigung ift entttjeber ^' '^^^ (mittlere Steigung)

«1 + «a

[SBiH man bie Steigung mit §älfe

ober !^^ + 90«. S)ie (Sleic^ung alfo ift |^ =
ober ^-^=~ cot ?4^.

tan

05 — a

ber -4 augbrüden, fo fefee man tan "^ "^ "^

tan -7- + tan -f

1 — tan -J- tan --f
2 2

unb

leite avi^ tana^

2tan^^-

2 ff

bie gormel tan-^

l_-tan»^
2

ab, u. f. ttj.]

-l±yi + tan«g^
tantt^

d) 2){e ®Ie{^ttng beS ftreifel.

126) Sft ber ^ei^ mit Stabiug r = c um ben Stutt^Junlt be^
Soorbinatenf^ftem^ gefd^Iagen, fo gilt für jeben 5ßunft xy be§ ftreifei^
bie ©Icic^ung x^ + y^ = c\ (gig. 93.)

gig. 98.

gfg. 94.

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XIII. S)ei ftootbinatenbegriff.

91

127) 3ft er bttflegen um ctneit 5ßunft mit ben Äoorbtnoten a, h
gefc^Iagett (gtfl. 94), fo folgt für jebcn $un!t xy be2 Reifes

c\

c>.

MÄ* + AB'

ober (x — o)* + (y — 6)* ■

©(abreibt man bafür

sc» + y» — 2aa; — 26y + (a» + 6" — c«) = 0,

fo bebeutet ber eiugeHammcrte lonftante SluSbrud, toenn ber SRuß^

punit b^ ^oorbinotenf^ftemS

au^et^att beS ÄreifeS liegt, baä »'«• »*•

0uabrat ber bom SluUpunlte

mi gegogenen Slangente, benn

<« = e» — c« = a* + 6« - c«.

(gig. 94.) Siegt bagegen

innerl^ott beä SreifeS, J»ie in

gig. 95, fo ifi o» + 6« — c'

= e.»-c* =-(!)', dfo

glctd^ bcm negativen Ouabratc

ber l^alben lürjcftcn ©cJ^nc

burc^ 0. ^n bcibcn gäHen ift

a^ 4-^^ — <^ bie frül^cr er::

fförte $oten} be^ ^luoi^unfted

in SScjug auf ben ^ei«. (SJergl. Slbfd^nttt 87.) Sejeid^net man fte

mit Pq, fo lann man bie ^eiggleid^ung aud^ fd^reiben

x^ + y^ — 2aa; — 2by + P^ == 0.

128) fCttfgulie. begeben ein Äreig um ben $ßunft a, &
mit bem StabiuS c unb eine ®erabe Don ber ®Ieid^ung
y =^ Äx -{■ h^. SBo fd^neiben fid^ Beibe?

ICitflSfttng. ®eftimme x unb y au§ ben (Sleid^ungen

x^ + y^ — 2ax

y

2hy + a« + 6«
= Äx + h^.

0,

@g ergeben fid^ ätoei SOSertc, bie enttoeber reeß ober imaginär
finb. ?fui^na]^m§n)eifc lönnen fie aud^ in einen jufammenfatten. ®em
entf^)red^en bie göHe be^ ©d^neiben^, beg Stid^tfd^neiben^ unb be«
®ertt]^reng.

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92

(Srfte 9r6tetlung: €^eometrie ber (S^etaben unb bed ^reifed.

129) Xufgaie. SBie lautet bte ^letd^ung ber Xangente
in einem 5ßunlte x^y^ ht^ mit Slabiu^ c um ben 3lvilU
punti geft^Iagencn Srcifc«?

ICttflofttttg. S)er ju^
5iö »«• gel^örige SRabiuiJ l^ot bic

9h(^tungi$Ionftante

tan a =

Vi

bie langentc alfo bie
Stid^tunggfonftante

^ = -7

gl^re ®Ietd^ung lautet alfo

y — Vi ^ ^ ^ ^i

ober

^^1 + Wi = a?i* + ^1^
®a aber x^^ + ^i* = c* ift, fo lautet bic ßtteid^ung einfad^er
«^1 + yVi = cl

Oemerlttttg. 2)ie Xangentengleid^ung lägt fid^ bemnad^ un::
mittelbar au8 ber Srei^glcid^ung xx + yy ^== ^ ableiten, inbem man
einem ber galtoren x unb einem ber y ben Snbeg 1 beilegt.

130) fCitfgaie. 3)ie öorige Slufgabe für einen um ben
5ßunlt a?! = a, y, = & gefd^Iagenen föreig.

3)ie öorige äJletl^obe ergiebt atö langentengleic^ung

{x — a) {x, - a) + (y — &) (y^ — 6) = c\
toa§ fi(§ ebenfaHi^ bequem mit ber föreiggleid^ung

{x — a) (o? — a) + (y — ^) (y — ^) = c*
in Sejtel^ung fefeen lögt.

131) fCttfgaie. SBie lautet bie ®Ieid^ung ber 5ßoIare eineg
innerl^alb (ober augerl^alb) be« ftreifeS a;^ + y* = c* liegen^
ben 5ßunlteg x^y^"^

ICttflBfttttg. aRan bilbe in gfig. 97 auf bem ju x^y^ gel^örigen StabiuS
ben reci^)roIen $ßunft x^y^. ^ai ber erftere bie ©ntfemung e^, fo l^at

ber anbere bie @ntf emung -- •

•M» i-y. i

S)emnad^ ift -^

©

^; unb

alfo a*8 =

X^C"

a)er

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xm. ^et ßooibinaten6egriff.

93

aiabiug l^at btc SÄtd^tungglonftontc 4 = ^, btc dolore alfo bic

Vi

aKd^tungglonftantc — j

ober
yic'

5-- S^rc ®Iri(§un9 ift alfo

y—'

x.c^

y/

ober

y«i

8

yic\

6i* ift, fo folgt, toie bei ber

c\

yyi«i* — yi*c*
ober enblid^

«e*(V + yi^).

»erfidffid^tigt man, ba§ iPi* + yi^ =
langente, bie ÖUeid^ung

a^aJi + yyi

(gür beti gaU, bafe ber 5pun!t oufeerl^alb liegt, gilt biefette @nt-
toidEelung. 8«!^ Übung foH unten nod^ eine anbere gegeben loerben.)

132) fCttfguie. SBo fd^neiben fid^ bie beiben Sreif e (x — Oj)*
+ (y - ^i)' = ^i' unb (o; - a,)' + (y - 5,)^ = c,'l
XttflSfttttg. 2)ie @(Iei(i^ungen laffen fid^ fd^reiben

1. a:* + y* — 2aiir— 2h^y + P^ = 0,

2. a:« + 2/2 — 2a2Ä; — 2h^y + p^ = 0,

n,o Pj = aj* + fei^ — c,2 unb ^2 = 02^ + fe^^ — c^* ift. ®urd^
©ubtraftion erl^äft man bie (Sleit^ung erften ®rabeS

3. 2x(a, - a,) + 2y(hi - 6^) = -Pi - -Pa-

S)ie^ ift bie ®Ieid^ung einer ©craben. S)a fie aber au^ ben beiben
anberen ®Ieid^ungen abgeleitet ift, fo ift bie ®feid^ung eine burd^ bie
©d^nittpunltc ber ftreifc gel^enbe ®erabe, b. ^. bie ©leid^ung ber ge-
meinfd^aftlid^en ©elante ($ßotenjIinic). 8lu8 biefer ©leid^ung unb

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94

(Srfte Abteilung: (SIeometrie bet Q^ttahtn uitb bed Reifes.

einer her Reiben erfteren finb bie ffoorbinoten x unb y ber bciben
@ci^nittf)unlte ju Ibered^nen.

133) 2Bag bebeutet aber ©leid^ung 3., toenn bie ^eife \x^ nic^t
fd^neiben? aSemtutUd^ toieberutn bie 5ßotenjIinie, b. ^, bie Sinie gleid^er
langenten. S)ie (Sleid^ung biefer Sinie beftintmt fid^ folgenbemia^en:
3n gig. 98 ift t^^

er — c,'

gür ben jtoeiten ^eig toirb
ebenfo ^g^ = (a; — o,,^)
+ (y-0-C8l ©Ott
nun *i = ^2 fein, fo ift

ober

x^ -{■ y^ — 2a2X — 2h^y

+ («2* + V - C,')

= fl;^+y* — 2aiX — 2hiy

+ W + h' - ^i'),

ober naä^ Hebung ber
gleid^en ©lieber unb bei ©infül^rung ber Sejiel^ungen P^ unb Pg

2x(ai - «2) + 2y (h, - 6,) = P^ - Pg.
©emnad^ ift bie (Sleid^ung 3. aud^ im gaKe beS SWd^tfd^neibeng bie
$ßotenjIinie ober Sinie gleid^er longenten. Sltfo:

S)urci^ ©ubtraltion erl^alt man an^ ben ©leid^ungen
jnjeier Äreife ftetg bie (Sleid^ung ber 5ßotenjIinie.

134) S)a§ bie $ßotenjIinien breier ftreife ftetiJ burd^ einen
$ßun!t, ba^ $ßotenjcentrum, gelten, ergiebt fid^ auS folgenber SSe^
trad^tung: Sinb a,&i, a^h^, a^h^ bie Sreigmittelpunfte unb 0^,0^, c^
bie aiabien, fo finb bie (Sleid^ungen ber 5ßotenjIinien:

2x(a, — a,) + 2y(]b, - h^) = P, - P,,

2x(a^ - Os) + 2yQ)^ — 63) = P^ - P3,

2x{a^ — öl) + ^y{h - \) ^Ps — Pi.

3)urd^ Slbbition erl^dlt man auS ben beiben erften ©leid^ungen bie

britte, folglid^ gelten bie brei (Seraben burd^ einen 5ßunlt.

135) Xttfgabe. SBie lautet bie (Sleid^ung ber Serül^rungS^
fel^ne (polare) ju einem aufeerl^alb beg ffreifeS a:^ + ^* = c*
liegenben 5ßun!te x^y^^i (»gl. 131.)

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Xm. S)cr Äoorbtnatenbcgriff. 95

HttflBfttitg. S)ag Duabrat bcr Xangcntc ift, tote frül^cr, <*= c* — <?
= ^1 + Vi^ — c*. ®cr mit ^ um Jij^i gcfd^Iagcne ^etö l^at alft>
bic @Icid^ung {x — a?i)^ + (y — y,)« = f» = x^ + 3^1* — c*, obcr^
tücnn man bic Slammcrn auSrcd^nct unb einiget l^cbt:

aj* + y^ — 2xx^ — 2yyy = — c^

S)er gegebene ^rei§ njar aber

x^ + y^^ (?,

huxi) ©ubtraftion eri^ält man bie @Ieic§ung ber gemeinfd^aftttd^ea
Seltne beiber ^eife, b. 1^. bie ber gefud^ten SSerül^runggfel^ne, alfi>
2xxi + 2yyi = 2c*, ober, toie oben

136) Semetittng. ©ämtUd^e 5ßun!te ber fcnlred^ten ®eraben
a?i = a l^aben, toenn y„ bic Ujcd^fclnbe Drbinate bebeutet, in SScjug.
auf bcn unterfud^ten ftreig $ßoIaren öon ber ÖJIeid^ung

^a + yyn = c*.

c

®tiii man l^ier y = 0, fo toirb xa = c* ober a? = — golglid^:

a

S)ie 5ßoIaren famtlid^er ^ßunlte ber ®eraben a^i == a gelten

c'
burd^ ben reci^irolen 5ßunlt X2 = -• (2Ba^ geometrifd^ öonbiefer

@eraben gilt, gilt öon fämtlid^en ®eraben.)

137) Xttfgate. SSie lautet bie (Sleid^ung ber $oIare ju
einem 5ßunlte x^y^ inSejug auf benÄreiS (x^ ay + ^y — ty
= c«?

3)ie nad^ obiger SRetl^obe augjufül^renbe 9ied^nung fül^rt auf bic^
©leid^ung

(x — a) (x^ — a) + (y — h) (y^ — 6) = c»,

bie loieber in einfad^er Sejiel^ung jur Äreiggleid^ung

(x — a) (x^a) + (y- b) (t/ - 6) = c'
fte^t.

3)ag begebene reid^t l^in, eine grofee Qo^l ber frfil^cr bel^anbelten
©d^e Aber ®erabe unb Äreife mit ^ülfe ber Äoorbinatenlel^re ju it^
loeifen unb entf^ired^enbe Slufgaben burd^ 9ied^nung jur Söfung ju
bringen, befonberiJ aud^ fold^e ber neueren ©eometrie.

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I. (6tamttx:xf^t ^tilftn.

a) 3)ie genmeitifi^e We{|e mit enbHi|et @Hebet}a|I.

1) 3i^ einer Qa^Unttifft lönnen bic ©lieber nac§ einem be-
ftintntten ®efefee auf einanber folgen, ^at man an ben erften
©ßebem ba^ @efe| erlannt, fo lann man fämtUd^e folgenben mit
Seid^tigfeit bilben. 3n ber SReil^e

1, 2, 4, 8, 16, ....

ift j. S5. iebe^ ®ßeb baS 3)o^)peÜe be^ öorl^ergel^enben, bagegen in
ber Weilte ,

1 _L i i. i-

^ f 2 ' 4 ' 8 ' 16 '

iebei^ (Slieb bie ^älfte be« öorl^ergel^enben. Silbe in öl^nlid^er SBeife
tjon 1 auggel^enbe Sfteil^en, in benen jebe^ (Stieb bai^ breifac^e, öier*
fad^e, u. f. tt). ober ber britte, öierte leil u. f. to. beS öorl^erge^enben
ift. S5ei ben fo gebilbeten Sieil^en ift ber Üuotient je jtoeier auf
einanber folgenben (Süebcr eine lonftante (unüeränberlid^e) ©röfee.

Sieil^en, bei benen ber Duotient je jUjeier auf einanber
folgenben ©lieber eine lonftante (Sröfee ift, »erben geo-
metrifd^e Sieil^en genannt.

2) 3ft « bag Slnfang^glieb unb e ber Ouotient j[ebe§ ©liebet
urü> beS öorl^ergel^enben, fo ift, njenn n ©lieber öor^anben finb, bie
gorm ber geometrifd^en Sieil^e bie folgenbe:

a, ae, ae*, ae^, .... ae"""^, ae

,n — 1

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I. • (SJcometrijd^c Stetigen. 97

Scttnt man bic bcibcn crften ©lieber einer geometrifd^en Sldl^e, fo
fann man fämtlid^e Olieber bilben unb bag w*« (Slieb (ba^ allgemeine
®üeb) l^infd^reiben, ol^ne ben fpecieKen SBert ber gangen So^l ^ ju
lennen. ©eine gorm ift

1) ^=:ac"-i.

3) ®ine ^au^jtanfgabe befielet barin, bie Summe s ber n
crften Oliebcr ju bilben, ol^ne bie ganje 3al^I n ju Icnnen.
3u biefem 3^^*^ f^fe* man*)

5 = a + ae + «6^ + «e^ + • • • • + ae*» — ^,

bittet burd^ beiberfeitige SKuItlpIüation mit e bic ©leid^ung

C5 = ac + öje^ + ae* 4" " * • • + «e*""* + «^

unb finbet burc§ beiberfeitige ©ubtraltion, bei ber rec^t^ alle Oliebcr
bis auf jtoei toegfaßcn,

es — 5 = ae^ — a,
ober

5(e — 1) = a(e'» — l).

S)emnad^ ift bic ©umme ber geometrifd^en Sieil^c bi^ jum
n^^^ ® liebe:

2) 5 = a--— i- = a-

e— 1 1 — e

Drbnet man beiberfeit^ nac§ fteigenben bejnj. faßenbcn ^ßotenjen üon e,
fo gelten bie ®Ieic§ungen

S)it)ibiert man beiberfeit^ burd^ a, fo erl^ält man bie einfad^cren
gormein

j l + e + e« + ... + e«-*=l^,
|e~-i + c— « + ... + c-|-l=^^.

4) @ine $ßrobe für bie 9iid^tigleit biefer ©ummenformeln !ann
man maä)tn, inbem man red^ts unb linfö mit 1 — e bej». e — 1

*) gn ber Siegel toitb bic \o gcfd^rieBene ©ummc aU bic geomßtrifc^c
did^e bc^d^net.

^oljmüllet, aJlat^etnatil. n. 7

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98 8»cite «Btajttttg: «ritl^mctif.

tnufti|)Kitert. (Sine jmeite $tobe befte^t in ber Sbi^füi^rnng ber auf
ber redeten Seite angebeuteten S)töifion, j. ».

1— c*:l-e==l + c + e« + c» c* — l:c — l = c»+e« + c+l
l — c e* — c»

e-

-«*

e

-e«

e*-

-«*

e*-

-e«

•

e»-

■e*

e»-

■c*

e»-

- 1

e.

-e*

e»-

1

e»-

e

e —

1

e —

1

5) Sn ber Sunft, ol^ne ftenntnis ber ganjen S<^^ ^ t>ic Summe ber
n erften ©lieber einer geometrifd^en Sieil^e ju bilben, liegt bei größerer
©Ueberjal^I eine ganj aulerorbentlid^e @rleid^terung be^ Sted^nend.

Httfgabe. S)ie Summe ber 17 erften burd^ toieberl^olte
SSerbo<3<3eIung entfte^enben SafjUn ju bilben:

1+2 + 4 + 8+ 16 + 32 + 64-1 \- ßb 536.

XttfIBfttng. @d l^anbelt ftd^ um.

1 + 2 + 2* + 2« + 2* + 2^ + 2« + f- 2^« = ?^

= ^Jhp^ Vision,

2 — 1

[§ierl^er gel^ört j. S. bie ?lufgabe bei^ Seffa @bn SJal^er, ber d0
Sol^n für bie Srflnbung beS Sd^ad^^iete öom Sönig S^el^ram forberte,
auf bie 64 gelber beg Sd^ad^brettcg ber fReil^e nad^ 1, 2, 4, 8, u. f. to.
SBeijenlömer ju legen unb fie i^m ju fd^enlen. SJian finbet alä

aiefttltat — ^ = 2«* — 1 . 3la6) öorigem »eifpiele ift 2^« = 65. 536,
alfo 2^ = (65 536 • 65 536)^. S)ie Sied^nung ergiebt atö geforberte
Summe

18 446744 073709 551615 ftömer,

mit benen man bie gefamte @rboberf[äd^e tttoa^ mel^r atö 1 cm f)o(fy
bebedten lönnte, fo ba§ auf ber ganjen @rbe nid^t foöiel aSeijen ej^-
ftiert, tt)ie geforbert tourbe.]

6) Sefet man in ®Ieid^ung 4) e = |^, fo erpit man

1 4- i-Ly!-L. lI^« 5! = _£!Lii!

l«y af^-'ix-^yy

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I. ©eontetrifd^c SRcil^eti. 99

ober, tocnn man beiberfcitö mit a?"-^ muütplijiert,

X — y
^icrih finb jal^Ircid^c @:^cjiaIforTncIn cntl^altcn, bie l^aufig atö
Scif^iele für aufgel^cnbc 2)iöifton SSertPcnbung finbcn, j. 8.

fc|-' = ^ + ^» + y%

^^* = a?8 + a;3y ^ ^^2 ^ ^8

©cfet man in 5) — y ftatt y ein, fo bleibt ber ^ä^tx ber redeten
Seite bei gerabem n nngeänbert, änbert fic§ aber bei nngerabem n,
anf ber anberen aber entfte^en abmed^felnbe SJorjeid^en, 5. 33.

^qrf-'-^' — ^y + y%

±^Z^ == a?» — a?^y + irj^ - a?%
^+|! = a^ _ a;8y + a;2y2 _ ^y» + a^.

Semerlttitg. S^beg (Slieb ber geometrifd^en Sieil^e ift mittlere
5ßro|)ortionafe jtüifd^en ben beiben SRad^bargliebem. S)nrd^ (Sinfd^altnng
mittlerer ^Proportionalen lä^t fid^ alfo anS jeber fold^en fReil^e eine
nene ableiten, an^ biefer eine britte n. f. Xo.

b) Unmenbttng auf bie Wenientei|nttng.

7) Httfgate. S^tnanb legt am ©d^Iuffe jebe^ ^aijxt^
eine @rf:^arnig öon rSKar! jin^bar an nnb fd^Iägt jebegs
moi bie ginfen jnm Äa:>)ital. SBieüiel befifet er nad^ n gal^ren?

Xttflifung. SDSirb ber ^ßrojentfafe mit bem geid^en % bejeid^net^
fo l^at ber erfte 5ßoften r nad^ w.gal^ren ben SQSert r (l + ^)""S
benn er mar n — 1 Saläre lang jingbar angelegt. (SSergl. %txl I,
Slritl^metil 9lr. 112.) S)er jmeite 5ßoften l^at nad^ n "^a^yctn ben
SBert r (1 + ^^)"'"^ n. f. tt). S)ie ©nmme ber ©d^Iiifetoerte ber
einjelnen $ßoften ift alfo nad^ n gal^ren:

ober nad^ ©leid^nng 3)

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100 Stoeite fLhtdlmq: ^Iritl^metil.

alfo, tocnn man bcn ©d^Iu^tocrt mit k bcjeid^net unb eine einfädle
Umformung öomimmt:

Sejeid^net man leben ©ngeltjoften atö bie jä^rlici^e Siente (ober
State), fo l^at man in 6) ben SBert gefunben, ben eine auf n Saläre
ju jal^Ienbe iäi)xi\6)t {Rente r nac§ n Salären l^at. @r l^ei^t ber
©c^Iufetoert ber {Rente. S)ie gormel ift »id&tig für bie Säered^nung
ber Se6en§öcrfid^erung. 3ft n bie mittlere SebenSbauer ber fid^
l^eute öerfid^ernben $ßerfon, unb jal^It fte jäl^rli^ r SRarf, fo ift k
bie nad^ bem lobe jurüdE ju jal^Ienbe Summe. Stl^nlid^ ift eg bei ber
Seueröerfid^erung tjon ©eböuben, }. 8. Il^eatern, bei benen eine mittlere
5)auer beg Scftel^en§ auf (Srunb ber ©tatifti! angenommen loirb.

8) Kttfgalie. Semanb totll bei gegebenem 3iti^fu§ auf
n ^a^xt eine an jebem ^af)xt^iä)lu^ ju jal^Ienbe Sicnte r
laufen. SBie gro§ ift ber Q^^^^^Q^P^^^^ <^?

Httflifung. S)er Äaufpreig c toürbe nad^ n Salären ben SBert
]c = c{l + ^Y \)aitn, bie {Rente bei gleid^em 3ingfu§ ben SBert

Ä = 1^ [(l + ^) _ i]. »eibe ©(^lufetocrte muffen gleich fein,

3)emnad^ ift ber ffaufl)rei§ (ober StnfangSnjert) ber {Rente

§ier]§er gel^ört bie SC6Iöfung öon {Renten burd^ eine SSarjai^Iung.

3) tlttfgaÜe. SBeld^e {Rente r lanxi man bei gegebenem
3iui^fu§ auf n gal^re für einen Äaufprei^ c laufen?
Httfliifttng. 2lug ber ©d^Iufegleid^ung öon 8) folgt

8) . 5l4

-['-(lÄ)-]

10) Xttfgaie. Stuf toie öiele ^af)xt lann man bei ge^
gebenemgiti^fufe eine jäl^rlid^e {Rente r für einen Äauf:>)rei^
c ernjerben?

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I. ©comctriWe Sieil^cn. 101

Httftöfttitg. Slui^ bcr @ci^lu§glei(^un9 öon 8) folgt

G+^y

1 _ _i?2. _ ^00
r ~ r '

ober

»cibcrfcitiflciJ Sogaritl^micrctt gicbt

«ig(i + ^)=ig''-ig(''-S)'

alfo ift bie Slnjal^I bcr 3^^^^

9)

1^(^ + ^)

gm aßgcntcincn erhält man lein ganjjal^ügcg n, obtuol^I ber Slu^gangg::
^unft ber SSctrad^tung ein foI(^e^ angenommen f)at Über ben über^
fd^iefeenben aSrnd^teil ift bann befonberc SSereinbarung ju treffen.

1 1) Semethtng. S)ie Sered^nung bc§ $ßrojentf afeeg lönntc f olgenber^
ma^en eingeleitet loerben. SRan fe^c 1 + ^ = ^f <i^fö ^ "^^ ^ "~ ^^
bann gel^t ®Ieid^ung 7) über in

10) co;» = ^^ (a;« — 1) = r [a;«-^ + a;'»-« H \- x + 1].

®S J^anbcÖ fid^ alfo um bie ©leid^ung (n + 1)*«» ©rabeg caj" (a? — 1)
= r (af' — 1), ober um bie (Sleid^ung «*^" ®rabe§ ca;" = r [aj"-^

+ a;«- 2 .j 1_ a; _j- 1]. ©obalb alfo w größer afö 2 (bejto. 3

ober 4) ift, flberfteigt bie Slufgabe ben @tanb|)unft ber @d&ule.
9ienten auf fo geringe Slnjal^I öon ^afjxtn ju bered^nen, ift aber
ol^ne :^raftifd^e SScbeutung.

12) Kttfgate. 3emanb f)ai c SKarl SSermögen, legt e^
jinSbar an unb legt jäl^rUd^ r fßtaxl Srf^jarniffe baju. SBie-
öiel befifet er nad^ n S^^ren?

Kuflüllll«. 11) * - « (1 + ä)- + ^ [(l + ä)" - l]

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102 Streite «btcilung: aritl^mctil.

Kttfgalie. Sercd^nc au§ ber legten gormcl r bcjto. w unb fleibe
bicfe neuen Sluf gaben in S33orte ein.

Xttfgnlie. 3^nitt^t> ^^t c SRarl Vermögen, legt e^ jin^bar an
unb nimmt jäl^rlid^. r 3Kar! baöon. SQäieöiel l^at er nad^ n gal^ren?

Kttfififttng. SRan l^at nur nötig, in Sormel 11) bie Äentc r
negatiö einjufefeen.

Sentetlttng. Sagt man in biefcr Slufgabe ©d^ulben ftatt Ver-
mögen, fo l^anbelt eS \iä) um bie ratenUjeife Tilgung einer ©d^ulb
nebft Binfen unb Si^f^^ii^f^n- 3Ran fann ben ©d^utbenbcftanb für
jebe^ beliebige ^aS)x bered^nen. ©efet man in gormel 12) ä = 0^
fo lommt man auf bie gormein 7), 8), 9) unb 10) jurüd unb erl^ält
bie fogenannte Slmortifation^bered^nung.

13) Xttfgidie. gtne Siente r fei auf m ^ai)xt ju be=
jiel^en. SQäeld^eg ift ber mittlere S^^Iw^g^termin? (3)er
Termin für bie S^^Ii^^g ^^^ Äa))itafö rm.)

KttflSfung. ©e|c bie ©d^Iu^loerte gleid^, alfo

12) rn.{l + ^r-''^'^[{l + ^)"'-l]

unb bcred^ne baraug n.

Sbenfo fann man bie SBerte ber Sarjal^Iung unb ber 3lente
auf ben Slnfanggtermin jurüdfül^ren.

Semetfttngen. Übungsaufgaben befinben fic§ in ben belannteren
Sammlungen, j. 83. bei ^eiS. 9luf bie a3el)eutung biefeS Äapitetö
für baS gefamte aSerfid^erungg- unb SRcntennjefen, für bie SBalb?
iüirtfd^aft, für baS ©c^ulbennjefen ber ®iaattn unb ©täbte, für ba§
©<)arfaffcntoefen unb fonftige öolföloirtfd^aftlid^e Oebiete fei nod^
befonbcrS l^ingetoiefen. — S)ie obigen Slufgaben laffen fid^ burd^
©infül^rung öon l^albjiöl^rüd^en, öierteljäl^rlid^en, monatlid^en fRenteus
jal^Iungcn nod^ öiclfad^ umloanbeln.

c) Sie geiimetrifilen Steigen mit unenbliil gtn^t @I{ebet}a|I.

14) Sft in ber SSeil^e
1 + e + 6« + e» + • • • + e« - 1 = ^ = ^^

€ > 1 ober e< — 1 fo fd^toeßen bie ©lieber bei unenblid^ großem
n JU unenblid^er ©röfee an unb aud^ bie Summe tnirb unenbüd^
groß, toeil auf ber redeten ©eite e'* unenblid^ groß ift. S)ie Sßei^e
lann bann nid^t fummiert toerben.

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I. (Btomttn\ä)t fiflcil^en. 103

Sji l^ingeflcn — 1<6<+1, fo ncl^mcn bei unenbUd^ großer
(SUcbcrjal^I bie einjelncn (Sliebcr aKmäl^Ud^ bi« ju uncnblid^cr ÄIctns
iftiTai, b. ]^. man lann fte Beliebig na^t an 9htK bringen, man barf
fogar e»-^ nnb ebenfo e»» für w = oo gleid^ SRntt fefeen. ^ann tx-^
giebt fid^ bei gortfe^ung ber Sleil^e bi^ ini^ Unenblid^e

13) 1 + + ^ + «* + ••• - = 5-^, für-l<e<l.
@o ift j. 83.

2

Sefeterc^ läßt fid^ folgenbermaßen öeranfd^aufid^en: SKan fc^neibe
t)on ber ©eraben öon Sänge 2 ba§ @tüd 1 ab, tjom Kefie 1 ba«
©tfid j-, Dom Siefte | baS ©tüdf |, öom «efte j bag ©tüdf | n. f. to.
S)a ber 3tcft bei fortgefe^tem halbieren fid^ aßmäl^üd^ ber 9lnK ndl^ert, fo
erlennt man bie SRid^tiglcit ber legten @Ieid^nng auf geomctrifd^em SBege.

SBottte man bagegen in Oleid^ung 13 ben SBert e = 2 einfül^ren,
ber größer atö 1 ift, fo mürbe man ganj galfd^e^ erhalten, nämlid^

1 + 2 + 4 + 8 + =^, 1,

tinfö alfo l^ätte man ^ßofitiöeg tjon unenblid^er ®röße, red^tg einen
negativen enblid^en SBert.

3)en eigentlid^en ®runb für ba§ Slid^tgelten ber ©leid^ung in
fold^en gäßen erfennt man bei ber Slugfül^rung ber auf ber redeten
©cite öon 13) ftc^enben »iöifion. ®^ ift j. 85.

l:(l-6) = l + e + 6« + e» + j4^.
1 — e

__ ^ 3). ]^. brid^t man bei bem Siefte c* mit ber

— ^ S)it)ifton ab, fo muß biefer 9ieft nod^

ß2 _ ß3 burd^ 1 — e biüibiert »erben, unb man

e

erj^öft bag aieftglieb t-^-

— C*

3)ie babei entftel^enbe ©leid^uhg

e

1 + e + e« + e^ + . . . . + 6« - 1 + ^^ = j:^
l^at unbefd^rönfte ©eltung, fie gilt alfo aud^ für ben SBert e = 2.
Sft nun e abfolut größer aU 1, fo ift j-^^ eine @röße, beren abfoluter

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104

gtoeite 9[btet(ung: ^ritl^metif.

IBctrag um fo größer tft, je größer man n nimmt. Sie barf alfo nid^t
tjernad^Iöffigt toerben. 3ft bagcgen — l<c<-|-l, fo ift

ber aBfoIute Setrag beS Äeftei^ e" unb ebcnfo beS Äeftgliebei^

1 — c

für unenbttd^ großem w öerfd^toinbcnb Kein, unb ber Sleft fann
öernad^Uffigt tüerben. Unenblid^e SReil^en, bie fummiert toerben
lönnen, toerben aU lonöergent Bejcid^net, »omit gefagt werben
foß, baß bie Summe einem beftimmten @renjtüerte um fo ndl^er
fommt, j[c mel^r ©lieber man fummiert l^at. ®ie ffonöergenj ift in
ben meiften gäßen an beftimmte Sebingungen gelnfii)ft.

15) KttfgaÜe. @g fei ber abfolute Setrag öon b Heiner
aU ber öon a. SBeld^e^ ift bie Summe ber mit a unb h it^
ginnenben geometrifd^en Keilte?

Xttftöfung. 3)ie Summe ber Sieil^e ift

a + h +

+ T.+

«(^+^ + S + 5 +

a

a — b

16) KttfgaÜe. S)er Ärei^ in
3ig. 99 fei in Seitoren mit bem
©entritoinlel 45® eingeteilt. SJon
A aug ift auf ben benad^barten
Slabiug ba« Sot AB gcföUt, tjon
B au§ auf ben folgenben 8labiug*
bag Sot BC, öon C an^ auf ben
ndd^ften ba^ Sot CD u. f. to. SBie
lang ift bie gebrod^ene Sinie
ABCBEFG . . . , toenn man mit
biefer Sonftrultion bi« in^ Un-
enbüd^e fortfäl^rt unb ber JRa^
biug beg Äreifeg r=}/2 ift?
Httftöfung. S)ie Sote bilben bie geometrifd^e Siei^e

-V^ (x-l/|)(r + l/i)

1 —

2(1 +1/1) •

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I. (S(eontetnf(^e Stetigen.

105

f!fig. 100.

[SlufgaBcn bicfcr 2lrt lann man jutn Stuggangg^junft ffir bie
aScrcd^nung gctPtffer &pxxaUn mad^cn. .^albicrung jebcS ©cntritomlctö
unb ©tnfd^altung bcr mittleren ^xopoxtionoXt je jtoeler benachbarter
Labien fül^rt bei mel^rfad^er SBieberl^oInng aßmöpd^ auf biefe Suröen.]

[17) XttfgaÜe. 3n ein gleic^fd^enlHge^ 3)reied üon
©runblinie a unb ^öl^e h fei nad^
8lrt öon gigur 100 eine SReil^e öon Säe-
rfll^rungglrcifen einbefc^rieben, bie
fid^ nad^ ber @:^i^e l^in inS Unenblid^-
ileine fortfe^t. a) SBie lautet bie
Keilte ber 9iabien? b) SBie gro§ ift bie
©umme famtlid^er ffireisperipl^erieen?
c) SBie gro§ ift bie Summe fämtlid^er
Ärei^fläd^en? d) SBie gro§ ift bie
Summe beS ^n^ati^ fömtlid^er Äugeln,
bie burd^ Umbrel^ung ber gigur um
bie ^ö^e h entfte^en?

XttflSfttng. a) 3ft Q ber SÜabini^ bed
größten ber Serül^rung^Ireif e unb u ber Umfang
be^ S)reiedEg, fo ift junöd^ft qu = ah, alfo

Q = ^, tüo u = a + 2]/y+ Ä«=a+ya^+4Ä% fo bafe
= ift. Sug ber ^l^nlid^Ieit ber S)reiedte ABC unb

ah

h^2Q

Ä^B^C folgt (>! : ^ = Ä — 2^ : Ä, alfo qi^= q
ber Slabien ift alfo

(3)ie bo^^elte Summe biefer Sieil^e giebt natürlid^ h.)
b) S)ie Summe ber ftrei^^jeripl^erieen ift

S)ie Steige

S)iefeg einfädle SRefuItat Kfet fid^ aud^ unmittelbar au^ ber Slnfd^auung
ableiten.

c) S)ie Summe ber ftrei^fläd^en ift

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106 S^eite «fbteilimd: fitit^mtät

4(9Ä-(?«) 4(Ä-9) 4(A-i\ 4f-~l) 4l(«*-«)

*= — ßß===z, ober baS — :^fad6e bcg ®rcicdfgtnBaÖ§.

4yo«+4Ä«' 2>/a«+4Ä«'^ ^

(®ic Summe ber ftugeloberfläd^cn ift öiermal fo groß.)

d) S)ie Summe ber ^nf)altt fömtlid^er ftugeln ift

W' + (^)"+(^)'+-]-4»'« '

-(^)*

^ s

2p««Ä8

Sjtä^ 2«ä»

•[«{7)'- '(7)+'] '['&'-'{?)+']

2a««Ä8

3 [3m« — ßua + 4a*J

©efet man l^ier m = a + V«^ +4:ä^ fo ergiebt fid^ bie ©umme ber
®"Ö^^^ ^^^ 6(r« + 3fe«) ^ ^^^ *^^^ (a« + 3^«) '^^^^ ^^^ Äegefin^aÖS.

18) Kttfgalie. 3tt ein gleid^feitige« 2)rcie(f tjon Seite a
fei bergnsÄreiS eingejeid^nct. SRad^ ben brei ©den l^in feien
nad^ Slrt ber öorigen Slufgabe Sieil^en öon SSerfil^rungSs
Ireifen eingetragen. SBie grofe ift bie Summe ber famt^
liefen Ärei^fläd^en?

Kttflüfung. 3laä) Slrt ber t)origen Aufgabe erpit man afö

Summe ber Srei^flad^en s = ^d^n, ober baS — ^^fad^e be^
3)reie(fgin^Iti^. {3)ie größte Äugel nur einmal einjurec^nenl)

19) Kttfgalie. SBie gro§ ift bie Summe ber ^nl^alte
fämtlit^er fiugeln, bie fid^ in entf<)red^enber SBeife in ba^
regelmäßige letraeber einbefd^reiben laffen?

KttflBfung. 8luf äl^nßd^em SBege, toic öorl^er, erl^ält man

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n. «rü^mcttfd^e «el^en. 107

20) Semetittitg. §icr lagt fid^ eine öanjc {Reil^c flcometrifd^cr
unb ftcreomctrifd^cr Übungsaufgaben aufzuliegen, j. 83. bie ©untuie ber
Snl^alte fctmttid^er Cuobrate ju bered^neu, bie fi^ in einem gteic^^
fd^euHigen S)reiedEe öon ber S5afi§ auS fo übereinanber fe^en laffeu,

bag il^re oberen ®dEen in bie ©d^enfel faKen. y'^^ a4-2h ') ®*^'

felbe 8lufgabe für Sied^tede, beren §ö]^e fid^ jur ©runblinie öcrl^alt

s == . . g^v . , j. ') ®in fenlred^ter Steigf egel l^abe

atö S)urd^meffer be» ©runblreifeS bie Ocrabe a unb bie ^öl^e h. Sn
il^m lägt fid^ eine SReil^e tjon SreiSc^Iinbern quabratifd^en Duer^
fd^nitts übereinanber fefeen. S3Sie grog ift bie Summe ber gnl^alte?

(s == 4(^1 I ^3^^^ I 3^«) •) Sine f cnlred^tc quabratifd^e 5ß^ramibe l^abe

bie §ö]^e h unb bie ©runbfante a. 3n il^r I&gt fid^ eine Keilte tJon
aSerül^rungi^Iugeln übereinanber fe^en. SBie grog ift bie Summe il^rer

Snl^alte? (s = /\^ toie in einer ber obigen Stuf gaben.)

S)iefelbe Slufgabe für bie breifeitige 5ß^ramibe tJon (Srunbfante a unb

$ö^e h. (^8 = ^^^^^y) Siefelbe Slufgabe für bie n.feitige

fenlred^te ^ßjramibe mit regelmägiger (Srunbftäd^e. [3n einen fenfs
redeten ftreigfegel eine entf^red^enbe fReil^e wsfeitiger 5ßrii^men mit
quabratifd^en Seitenfläd^en einjufd^reiben. — Slufgaben biefer Slrt
l^aben aßerbingS leinen grögeren ijroltifd^en SBert, jeid^nen fid^ aber
burd^ einen reid^eren ©ebanleninl^alt mx^, aU bie fonft üblid^en.
Slritl^metifd^e Slufgaben finbet man j. 33. in ber Sammlung öon §eig.]

a) flritlimeiifi^e Weisen etflet Otbnung.

21) S)ie ©lieber wner S^Wntüf)t lönnen aud^ fo aufeinanber
folgen, bag ber Unterfd^ieb jUjif d^en je jnjei aufeinanberfolgenben
©liebem lonftant ift, toie j. 83. in

5, 7, 9, 11, 13, ...,

bann nennt man bie Weilte eine aritl^metifc^e Slcil^e.

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108 ßwcttc «btattttig: Ärit^metil.

3ft a bag anfcmflSgücb, « bie Slnjal^I bcr ©lieber unb d bie
lonftante S)iffcrcnj, fo lautet bie SRci^e folgenbermafeen:

a, a + d, a + 2d, a + 3c?, . . . , a + (w — l)d.

3)ag w** ®Iieb l^at alfo, auc§ lücnn eg nid^t ©c^Iufeglieb ift,
bie Sonn

t^a+ {n— l)d.

22) 3)ie ©untntc bcr aritl^metifd^en Weilte lann man finben,
inbem man jie jtoeimal in entgegengef efeter Drbnung l^infd^reibt, alfo j. 83.

5 = a + (a + d) + (a + 2d) H f- (^ — d) + ^

5 = < + (^ _ ci) + (i — 2d) H h (a + ^) + a.

3)urci^ Beiberfeitige Slbbition erl^ält man

2. = (a + + (« + + (« + • • • + (« + + (« +

ober

25 = n{a + <),
bemnad^ ift

5 = J(a + = f[a + a + (t^-l)d] = na + ?i^^
S)agfelbe 9iefuttat finbet man burd^ folgenbe Überlegung: S)er

n I *

mittlere SBert be§ erften unb be^ legten ©liebet ift — y-, ber beS

gtoeiten unb be§ tjorlefeten ®fiebe§ ebenfalls — ^ u. f. to., ^-~- ift
alfo überl^aupt baS aritl^metifd^e 3RitteI fömtlid^er ©lieber. 3)ie
©umme ber Sieilie mufe bemnad^ w ^^-^ fein.

23) ttÜungSaufgafeen. 9Bie gro^ ift bie @umme ber n
erften 3^1^Ien ber geloöl^nlid^en S^i^Ienreil^e?

SBie gro§ ift bie Summe ber n erften ungeraben S^^Icn?

alfo ftet§ eine Duabratja^I, j.S. 1 + 3 + 5H |-ii = 36 = 6l]

SQSie gro§ ift bie Summe ber S^^Ien öon 101 bi§ 200?

[©lieberjal^I w = 100, alfo 5 = | (a + = ^ (101 + 200)
= 50 • 301 = 15 050.]

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IL «rit^tnctii^e fRü^tn. 109

SBic grofe ift bic ©ummc bcr gcrabcn gal^Icn t)on 102
hl» 200? [©fiebcrja^I w = 50, dfo 5 = y (102 + 200) = 25 • 302
= 7550.]

SBciterc Übungsaufgaben ficl^e j. SB. in ber Sammlung t)on ^cls.

b) Einige atitl|metiff^e Weisen l|B^etet Orbnung.

24) Knfgate. SBeife nad^, bafe jcbc bcr folgcnbcn
©letd^ungcn eine ibentiffl|e ift.

V x(x + 1) (o; — i)x X

b)
c)

12 12 1 '

x{x 4- 1) (a? 4- 2) _ (x — l)x{x + 1) x(x+l)

1.23 12.3 1.2'

x(x + i){x+2)(x+S) {X"-1)X(X+1)(X + 2) ^ X{X + 1){X + ^)
1234 12.84 123

Semetittng. gd^rt man mit bcr ©ilbung btcfcr ©Icid^ungcn
fort, fo lautet bie m^^ folgcnbcrmafecn:

,v x(x -{■ 1) (x + 2) ' ' ' (x + m) (a; — 1) a; (a; + 1) .. . (a? -f- m — 1)

^ 1 • 2 . 3 . . . (m +T) 1 . 2 . 3 . . . (m + 1)

__ a;(a; + 1) (a? + 2) . . • (a? + w — 1)
"~ 1 . 2 . 8 . . • m

S)icfc (Slcid^ung toirb atö ibcntifd^ nad^gctüicfcn, inbcm man linfö
bcn gcmeinfd^aftlid^cn galtor abfonbcrt. Dies giefit

^icr ift [x + m — (x — l)] = (m + l), toa^ \iä) gegen ben gaftor
(m + 1) im 5Kenner l^ebt, fo bafe linte bie redete ©eite ftel^en bleibt.

S)ie redete ©eite jeber biefer ®Ieid^ungen ift gleid^ bem Slnfang^s
gliebc auf ber Knien ©eite ber öorl^rge^enben ©leid^ung. S)aS ®efefe
ift alfo leidet in SBorten toieberjugeben.

Slug biefen ©leid^ungen laffen fid^ getüiffe ateil^enfummierungen
ableiten, bie atö Vorbereitung fflr ben tDid^tigen binomifd^en Sel^rfa^
ju betrad^ten finb.

25) ©efet man in ber ibentifd^en ©leid^ung ^^ ^ "" 1T2 ^ f
für x ber JReil^e nad^ bie ganjial^ttgen SBerte 1, 2, 3, . . ., w ein,
fo crl^ätt man folgenbes ©^ftem öon ©leid^ungen:

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110 S^dtt mitilmq: «rit^tnetil.

1.2 0.1_
12 12 ^

'l-l'l-^

1-2 1-1

1.» l»""^

(n - l)n

(n _ 2) (n + 1)

1 . 2

1.2 "

n(n

+ 1) (n — l)n .

1

•2 1-2

S)ur(j^ 8lbbttion bcr brei Äolonncn, bei bcr fid^ icbod^ in Je jttjci ouf^.
ctnattbcr folgcnbcn OWd^utigen glctd^c ©lieber entgegengefefeten SJor^
jeld^en^ tDegl^eben, entfielet folgenbe bereite belannte (Sleid^ung

26) Serfäl^rt man ebenfo mit bcn ibentifd^cn (Slcid^ungen b) c)
uttb d), fo erl^dlt man bie gormeln:

w(n + l)(n4-2) ^^LL?|2_L?a-il*j L ?K5_+i)

1.2.3 i.2"r*i.2ii.2'r'**"r 1.2 '

n(n+1)(n+2)(n+3) ^ i.g.8 , 2.84 . 8.4-5 , . n(n+l)(n+2)

12. 3. 4 '^i.g.s'ri-g-s» 1-2.8 i"*» 1.2.3 '

n(n + 1) (n + 2) (n + 3) (^ + 4)
1-23.4-6

n(n +l)(n + 2)(n + 3)

1-2-84 • 1-2-8-4 i 12-8. 4^ I 1.2.3»4

Unb fo lann man weiter fortfal^ren.

27) SJertanfd^t man in biefen ©leid^ungen bie redeten unb Knien
Seiten, unb red^net man bie Slnfangi^glieber aug, fo erl^ält man, t)on
unten anfangenb, folgenbe ®Ieid^ungen:
1 + 5 + 15 + 35 + 70+126 + . . + -(n+ tHn + ^)in + S)

n(n+l)(n+2)(n + 8)(n+4)
1 • 2 • 8 • 4- 6 '

1 + 4 + 10. + 20 + 35 + 56 + • • + ^^^^^i^^+D

n(n+l)(n+2)(w + 8) '

1 . 2 • 3 • 4 '

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n. Slrit^mctifdje SRci^cn. 111

1 + 3 + 6 + 10+ 15 + 21 + .. + ^i^ = ?^(^^

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . + ^ = ?^i^ ,

1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1 + .. + i = J.

S)tc ©utnntc jcbcr btefer SRcil^cn ift glctd^ bcm »**" ®Ucbc
bcr öorl^crge^ettbcn SRctl^c. Sic ©iffcrcttj Je jtDcicr auf
cinanbcr folacnbcn ©lieber jeber ber Stetigen gicbt bie
©lieber ber folgenben JReil^e, toa^ eine golge ber Si^^ntitäten
a) b) c) unb d) ift.

SKan bejeid^net tiaturgentöfe jebc biefcr SReil^en afö bie erfte
©ifferettjettreil^e ber lefeten (b. ^. unmittelbar barilkr ftel^enben)
SReil^e, afö bie jtoeite SJifferenjenreil^e ber öorlefeten, afö bie
britte SJifferenjenreil^e ber brittlefetenu. f. to.

$at bie erfte S)ifferenjenrei]^e einer gegebenen Steil^e lauter
gleid^e ©lieber, fo nennt man bie lefetere eine aritl^metifd^e SReil^e
P^ Drbnung. ^ai bie jtüeite ©ifferenjenrei^e einer jfegebenen
JReil^e lauter gleid^e ©lieber, fo l^eifet bie lefetere eine aritl^metifd^e
SReil^e 2*" Drbnung. ©benfo giebt c§ aritl^metifd^e JReil^en
3tcr^ 4*«, 5**^* . . . Drbnung, bei benen alfo bie 3., 4., 5., . . .
Siffcrenjenreil^e lauter gleid^e ©lieber l^at. 3« i^i^fc« SReil^en öer-
fd^iebener Drbnung gel^ören bie foeben gefunbenen.

28) ajlan bejeid^net biefe Jfteil^en aud^ afö bie JReil^en ber
figurierten S<i^Ic«- ®i^ I<^ff^" P^ «ämlid^ in ctgentümüd^er
SBeife in bergorm eine§ f^mmetrifd^en Sa]^IenbreiedEggrup|)ieren^
toobei iebe ber gefunbenen Sieil^en jtoeimal öorlommt, einmal in ber
einen, bann in ber anberen ©c^rägrid^tung:

1 1

12 1

13 3 1

14 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

17 21 35 35 21 7 1

gebe ^orijontalreil^e lautet rüdnjärt^ ebenfo loie öortoartg gelefen.
ajlan iann bag S^^Unbmtä, mit ber oberften ©orijontalreil^e it^

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112 S^dtt ^[Bteilung: ^xxtf^mttil

flinncnb, fd^ncK l^infd^rcibctt, inbctn man unter jic jttjci SRad^bars
jal^Icn icbcr ^orijontalreil^c bic ©untntc bciber S^l^Icn
fd^rcibt. ®a]^er ift eben jcbc ©d^rögrcil^e bic crftc ©iffercnjcnrcil^e
bcr einen benad^barten ©d^rägreil^e.

29) Kufgaie. SBic lautet bie «*« ^orijontalreil^c beg
Sal^Ienbreicd^?

XuflSfttng. ®ie erften beiben gal^Ien finb 1 unb w. S)a^ n*«

ejlieb ber britten ©d^rößreil^c toürbe nad^ 27) ^^^^^^^ fein. ®a

aber biefe ©d^rdgreil^e ein ®Iieb toeniger l^at, afö bie öoranfte^enbe,

fo ^anbett eg fid^ um baS (n — l)*« ®Iieb, b. ^. um ^-f^. »a§

w^* (Slicb ber vierten ©d^rcigrei^e tüürbe nad^ 27) ''^*' ']^ ,^1%'^ ^^

fein. ®a c^ fid^ l^ier aber um bai^ (n — 2)*^ ®Iieb l^anbelt, fo

erl^aft man ^ .2.3" ' ^' '^^ ^- ^^^ ^^^ ^orijontalreil^e lautet alfo

n n{n — 1) n(n — l)(n — 2) n(n— l)(n --2)(n--3)
'1' 12' 123 ' 12.3.4 '•••

®ie Äenntnig biefer mit bem (« + l)**^" ©liebe abbred^^ben SReil^e ift
für bie ©nttDidtelung ber äRotl^ematil öon ganj aufeerorbentUd^er ^t-
beutung gettjorben.

in. ^tx bxMmifiift C^^fir^ ß^ 0«"?* pi^fitm (BxpmtvAtn.

30) Silbet man ber SReil^e nad^ bie ganjjal^Iigen 5ßotenjen be§
jtDeigliebrigen SlugbrudEg (beg S5inomg) a + 5, fo erl^ält man (a + by
= a + h, (a + l>y = a^+ 2ab + 6^ (a + 6)' = a» + SaH
+ 3a&* + &^ (a + &)* = a* + 4a»6 + 6a^6 + 4a5» + &* u. f. tu.
3eber biefer SluSbrüdEe ift naä) fallenben ^ßotenjen t)on a
unb nad^ fteigenben ^ßotenjen t)on 5 georbnet, bie Saf)Un^
faltoren aber entf|)red^en ben ^orijontalreil^en beg im
vorigen Kbfd^nitt bel^anbelten Sal^IenbreiedE^. ®S fragt fid^
junäd^ft, ob bieg immer ber gaö ift.

ajtuttipüäiert man beif|)ietötr)eife bie (Sleid^ung

(a + &)3 = a» + 3a*6 + 3ab2 + b^

beiberfeitg mit a + b, fo entftel^t linfö (a + 2»)*, ^^d^tö ^ber entftel^en
bie ju abbierenben SRei^en

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III. 3)cr binomifd^e Scl^tfa^ für gan§c })ofitii)c @j})onentctt. 113

alfo (a + &)* = 1 . a* + 4a*& + 6a*5* + 4a&» +1.5*.

SBar alfo bic gortncl für (a + 6)^ nad^ faKcnben unb ftcigcnbeit
^Potenjen öon a bcjtD. & gcorbnet, fo muß nottocnbig bei (a + &)*
bo^felbc bcr gaö fein.

SBcfütnntcrt man fid^ ferner bei ber 8lbbition nur um bie Saluten:;
faftoren, fo finb folgenbe SReil^en gliebertoeife ju abbieren:

1, 3, 3, 1,

1. 3, 3, 1
1, 4, 6, 4, 1.

Statt jcbe ^cS^l mit bcr barunter ftel^enben ju bereinigen, lann man
aber aud^ je jlDei SRad^lßaräal^Icn bcr crften Steil^e fummicren.

*S)ie JRcil^en bcr ^^l^Ienfaltoren (©inomial^ffocffi^
cicntcn) in ben aufeinanber folgenben gormein toerben alfo
ebenfo gcbilbet/lDie bic ^örijontalreil^cn bc^ Söl^IcnbreicdE^.

golgüdö ift aud^ für icbeg ganje t>ofitit)C n

n(n~l)(n-2)(n^3) , 4 ,

^ 1.2.3.-4 ^ ^ ^

©c|t man — h ftatt l ein, fo bleiben bic ©lieber mit gcrdbjal^Iigcn
fej|)onenten t)on h ungeanbert, bie anbcm aber ncl^men negatit)e§ SSor?
jeid^en an. 3Ran crl^ält alfo folgenbe mit abtoed^felnben SSorjeid^en
bcl^aftete JReil^c:

1 .x * a L • Z * O

»on SBid^tigfeit ift ber fpejicHe gatt ,

ri J- ^^» 1 -L ** ^ j- **(** "" ^) ^2 I n(w — 1) (n • - 2) 8
(^1 + a?/ = 1 + Y oj H j—g— x^ i ^ . 2 .3 ÄJ^

n(n-l)(.n~2)(n - 3) .
^ • 12.34 ^ ^

Da w atö ganj unb |)ofitit) angenommen ift, fo brid^t iebc biefer
Seilten mit bem (w + 1)"" (Süebe ab, behn öon bort al lommt
in iebem folgenben ©liebe bcr galtor (w — ») = öor.

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114 Stoeitc «btcüung: «rit^tnetil.

[31) Sluf einem l^öJ^eren @tanb|)uttlte »irb gejcigt, ba§ bie
binomifd^e äieil^e

. I n n(n- l) o . n(n-l)(n-2) , n(n-lXn-2)(n~8) . ,

li-l^J-t- 1.2 *-t- 1.2.3 ^^ 1.2. 3. 4 ^^

bie fld^ itti^ Unenblid^e erftredt, toenn w nid^t jugleid^ gatij, |)ofltit)
unb recH ift, im allgemeinen nid^t fummiert loerben lann, ba^ bieg
aber bod^ möflüd^ ift, fobalb ber abfointe SBetrag öon x Heiner atö
1 ift 3m legieren gaUe ergiebt fid^ afö Summe ber unenbUd^en
SReil^e toieberum ber Slui^brudE (1 + *)*• S)te SBebingung ber ffon-
öergenj (©ummierbarleit) ift alfo ganj biefelbe, toie bei ber geo=

metrifdben Sleil^e 1 + x + tx? + x^ -] = • geinere

Unterfud^ungen über bie Äonöergenj überfd^reiten ben @tanb|)unft
ber ©d^ttle.]

32) Semetittng. 3(ud

toai ffir gojtjeS ^o^tiöeä n rid^ttg ift, folgt, ba§ bie «Summe jebcr
^orijontalreÜ^e bcä 3«^IenbreiedE2 eine ^ßotenj öoit 2 ift.
S«fo j. ».

1 + 1 -= 2», 1 + 2 + 1 = 2*, 1 + 3 + 3 + 1 = 2»,
1 + 4 + 6 + 4 + 1 — 2*.

33) 9Cnfgatett. SBie lautet bie gormel für (a + &)• + (a — 6)«?
SEBie lautet bie gormel für (a + 6)« — (a — 6)"? SSie tautet bie,
gormel füt (2a! + 3y*)», für (2a! - Ss^^,' für (2a! + Sy«)»
+ (2a; - Sy*y, für (2a! + Sy^f - (2x — Zyfi SSie ^ei|t baä
4««" ®fteb ber gormel ffir (3a! + 5y*)'?-

34) Setnerfttttg. @S ift

(l + iö3öö)* r 1 + ^'*^0^^ + 0,00000009 = 1,00060009,
alfo, »enn man mit toeniger otö 8 ©t eilen ® enauigfeit rennet,
1,0003» = ~ 1,0006*). Umgefel^rt ift ^1,0006 = ~ 1,0003.

allgemeiner: Sft « Hein im Ser:^ättni8 ju X, fo fann man in
(1 + (x)* — . 1 -j^ 2« + «* ben lefeten 5ßpften ftrcic^en unb erhält
(1 + «)» = ~ 1 + 2«. Umgele^rt ift ^1 ±2« 1 + «, •

alfo i/r+^ = ~i±f •

*) ~ btbeutet ^iei „angenfil^eit" ober „obgetunbet".

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rv. Slblcttung gcioiffer arit^metifdjcr SRci^en ^ö^crcr Drbnung ic. 115

gemcr tft

* •

(l + iölöö)' = 1 + <^'9'^0^ + 0,00000012 + 0,000000000027

= 1,000600120027,

«

alfo bei SRcd^nungcn mit gerinflcrer ©ctiauiglcit (1,0002)'='--' 1,0006,

unb, umgclcl^rt i/l,0006 — ~ 1,0002.

allgemeiner ift eg bei Keinem « geftattet, in ber gormel

(1 + a)» = 1 + 3a + 3«^ + a»

bie beiben lefeten Ofieber ju ftreiji^en, fo bafe man l^at

(1 4-a)» = r^l + 3«,
nnb umgelel^rt:

1^1 + 3a = ~ 1 + a ober |/l +a =» ~ 1 + | .

[35) Slnnjenbnng finben biefe abgelörjten fccred^nnngen öielfad^
in ber 5ßl^#! nnb SKed^anil. 3ft j. S5. ber lineare SlnSbel^nnngg'
loeffiäient eine^ feften Äör|)er^ bei ber ©rtoarmung um einen ®rab

Kelfin^ glrid^ i, fo ba^ feine Sänge l in l{\ + ^) übergel^t, fo

njfirbe ber ftubifin^aft be§ SMrfetö.mit «ante i au§ l^ übergeben

in l^[l + i)' =^ .^ i^{i + 1). 2BeiI | bai^ S)reifac^e bon ^ ift,

fagt man,*ber fnbifd^e Slugbcl^nunggloeffiäient eines feften fiör|)erg fei
baS S)reifad^e t)om linearen Slu^bel^nungSloeffiäienten.]

®rl>tttttt0 mit l|filfje ks WH^wiftljien C^^rfal^ies*

36) ©efet man in ber ibentifd^en (Sleid^nng (a; — 1)* ==
x^ — ^ + ^x — 1 für oj. ber SReil^e nad^ bie gansjal^Hgen SBerte
1, 2, 3, . . . . w, fo entftel^t folgenbes Softem öon ©leid^ungen:

0'=.1» — 3 1^ + 3-1—1
1» = 2» — 3 . 2* + 3 • 2 — 1
2» = 3' — 3 . 3^ + 3 • 3 — 1

(w — 1)3 «= w» — 3 . n* + 3 . w — 1.

8

*

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116 8»eitc «Btctlung; «rit^mettf.

S)urd^ Slbbition ber fcnlrcd^tcn Äolonncn crl^ält man eine neue
©Icid^ung, In ber fid^ aKc Qtticbcr 3*" 5ßotctij big auf ia^' cinsigc
w* njcg^cbcn, fo bafe ftd^cn bleibt:

3)cmnad^ ift bic ©ummc ber Äuabratjal^Ien öon ' 1* ii^ «*

12 + 2^ + 3» + . .. + n«-^' +(1 + 2 + 3 + .. + w)-|

'^ 3 "^ 2 3'

ober cnbüd^

l» + 2' + 3» + --- + n'-^' + y + ? = "^"+'V'""^'^ -

Kttfguien. SBic gro^ ift bic Summe ber Duabratjal^Ien
öon 1* big 100*? Sffiic ^xo% ift bie ©uuime ber' Duabrat^
jaulen t)0U*2002 Wg 300^?

37) äKad^t man bagfclbe mit ber ibentifd^en ©leid^ung
(x — 1)* = ic* — 4a^ + 6aj* — 4a; + 1 ,
f ift bie burd^ Slbbition ber fenfred^ten Äolonnen entftel^enbe Oleid^ung
= w*-4(l8+2«+33 + .. + n») + 6(l»+2«+3*+.. + n»)

-4 (1 + 2 + 3 + ... + n) + n,
fo bafe bie Summe ber ^bilsal^Icn öon l'^ big «* toirb:

1» + 2» + 3» H \-n^ ,

= T + T(l"+2«+3«+.. + n«)-l(l + 2 + 3 + ..+n) + f

^ J- A /ül O. !?1 O- — \ /^ 4- ^\ 4- ^
""4 'T'aU "T- 2 "^6/'^\2 ■»"2/'»"4'

ober enbfid^:

13 + 2«-+ 33 + . . . + n3 = ^- + y + -' „ [^^^^T-
= (1 + 2 + 3 + . . + n)l

S)ie Summe ber n erften ffubiljal^Ien ift alfo ftetg eine
Dudbratjal^I unb jnjar bag Duabrat t)on ber Summe ber
n erften 3<i]^Ien.

Xttfgaien. SBie gro§ ift bie Summe bet ffubiljal^Ien
Don 1^ bi^ 100^, unb bag Duabrat öon toeld^er gal^I ift

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IV. Slblcitung gctoiffer oritl^mctifd^er diti^tn l^ölfterer Drbnung k. 117

bicfc ©untntc? .SBic gro^ ift bic ©ummc bcr ffiubiljal^Ien bon
200» Kg 300»?

99tlbc in bcrfcftcn SBctfc, tote oben, bic gomtcln für

. 1* + 2* + 3* H h «*• ttttb* 1^ + 2^ + 3^ H h «^

38) öemerfttttB. 9lug

J L *i=

2 1 2

1 + 2 + 3 + .. *. + n = $ + |.

folflt burd^ bcibcrfcitiflc 3>it)tfiön burd^ «*

i + 2 + 8 + :-. + n ^ 1 . 1

n* 2 ■• 2n *

1 *

©cfet man w = oo, fo fäHt ^ »cg, unb man crl^ält bic gormcl:

für « =; oo tft ^i "^ T *

3lu8 l» + 2'' + 3« + ... + «* = y + Y + |

folgt butd^ Beiberfeittge $)iöifton bur(i^ «'

1 + _L + J_.

1« + 2* 4-3^-1 + n»

2n ^ 6n*

@c^t man n = oo, fo fallen red^t^ bie beiben legten OUeber toeg,
unb man ^at bie gormel

©benfo ergiebt fid^ für n = oo

18 4. 2« + 3» -I h n^ n

allgemeiner gilt ffir gan5eg|)ofitit)eg p ber Safe:

furn-oo tft j^^qrj — ^,

njofflr man aud^ fd^reiben !ann

für«««, tp ;^x^'i»^.

m=l

p+1

• [3)ie gormein beS 3lbfd^nitt8 38 finben öielfad^e Slntoenbung in
ber fturöenlcl^te, Stereometrie unb SKed^anil, j. 83. bei ber gtäd^en-
bcred^nung öon Parabeln 2*^ unb l^öl^erer Drbnung, ^ei ber Untere

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118 Stoettc «Bteilung: «rit^mctil.

fud^ung bcr ftrei«ct)plt)cntc, bei ber ^n^öttÄbercd^nung öon 5ßaraboIoibctt
l^öl^crcr Drbttung, aud^ bei gctoiffen Ableitungen bcr ®xmp\on'3lttoton^
^ä)tT^ atcgel unb ber ©ummenformel ber Stereometrie, bei ber Unteres
fud^ung f d^räg abgefd^nittencr 5ßrignten unb ©^ünber, bei ber SSered^nung
öon Irägl^eitgniontenten, elaftifd^en Sinien unb Irägcr-Abbiegung^n,
bei ^^broftatifd^en Unterfud^ungen u. f. to. (£i5 l^anbeft fid^ babci um
bag Umgel^en ber gntegration ganjer rattonalcr Munitionen. Sluf
l^öl^erem @tanb:punlte toirb betoiefen, ba§ bie gormcl aud^ für ge^
brod^encä p gilt, nur mu§ bann jp > -»- 1 fein.]

. 39) 2)ie Steigen 1* + 2« + 3* + [- n^ ober ^fn^,

»1=1

m = n i n = n

1^+2^-1 h n^ ober ^m^, überl^au|)t bie Sleil^ett ^wp

m = l m=al

jinb aritl^metifd^e Steil^en 2^^, 3*«, p*^ Drbnung.

Sei ber crften j. 85. folgen auf einanber bxt ©lieber

< (n+1)«, (n+2)«, .(n + 3)^....

icrcn SJifferenjen finb

(2n+l), (2^+3), .(2w + 5), •...,

nja^ eine aritl^metifd^e Sleil^e l**'^ Drbnung ift, fo bafe bie urf<)rung=
lid^e 2^«^* Drbnung loar.

aSci ber folgcnben Steige l^anbctt e« fid^ um

< (n+iy,in+2y, (n+sy, (^+4)^....
otfo um bie S)iffcrenjen

(3n* + 3« + 1), (3w» +,9n+ 7), (3«* + 15w + 1.9)/
(8«« 4- 21« + 87), . . • . •

S)aäU finb bie ©ifferenjen

(6« + 6), • (6« + 12), (6« + IS)/» . . • .

Sefetereg ift eine arit^mettfd^c Sieil^e 1*" Drbnung, bie urf|)rünglid^e
alfo öon ber britten Drbnung. @o lann man fortfal^ren.

40) ®agfclbe ergiebt fid^ in jnjingenber SBeife bei folgcnber
Ableitung ber SReil^en ^^, bie unabl^ängig t)om binomifd^cn ßel^r^
fafeeift. ' __.

Slug ber^in 2lbfd^nitt 24 bejubelten Sbcntität "^^^ — ^^2

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IV. SCBIcitung getoiffct aritl^mctifdjet Sleil^ett l^öl^ercr Drbnung ic. 119
X - ^ , x(x + f) (« — l)a; , 2x(x + 1) _

= a;^ — a;, fo bafe aud^ folgcnbc Si^^ttHtöt gilt:

a;^ = 2 ^^ '^ — X,

@cfet man für x bcr Sleil^c nad^ bic S(^W^ ^t 2, 3, , w,

unb abbiert man bic Äolonncn bcr unter cütanbcr gcfd^rieBcncn Sal^Icn-
glcid^ungcn, fo' crl^äft man ^

1* + 2« + 3* + • • . + w«

_ n(n + 1) (n + 2) n(n + 1) ^ n{n + 1) (2n + 1)
"/ 1.23 2 "^ 6

aicd^tg ftc^t urfprünglid^ bic ©iffcrcnj jtDcicr aritl^metifd^cr
SRcil^cn, öon bcncn bic eine 2^", bic anbcrc 1**^ Drbnung ift.

(Sine fcl^r einfädle Setrad^tung jcigt nun, bafe bic ©untmc
ober 2)iffcrcni jttjcicr aritl^nictifd^crSieil^cn l^öl^crcrDrbnun g
ftct§ njicbcr eine fold^e {Reil^c ift, beren Drbnung im alls
gemeinen mit bcr SReil^c öon bcr l^öl^crcn Drbnung über-
einnimmt, golglid^ ftcl^t l^icr red^tg, tbie aud^ ünfö eine aritl^?
metifd^c Sicil^e 2^^^ Drbnung.

3n öl^nüd^cr SBcife folgt au0 ber gleid^faH^ unter 24) icl^anbcften
Sbentitat

x(x + 1) (g 4- 2) (j; — 1) a; (a; + 1) ^ x{x + 1)
1.2.8 • 1.2-3 " 1-2

X (c + 1) (a; + 2) a;(a; + 1) (x — 1) a; (a; + 1) a;^ — .a;

12.3 1-2 1 • 2 • 3 1.23'

unb baraug ergiebt fid^ bic 3b^«tität

^3 _ ^ x{x + 1) (a; + 2) ß^(«+i) 1 ^
^ =^ 1.2.8 . -^ 1.2 +^-

©efet man toieberum für x bic SOSerte 1, 2, 3, n unb abbiert

man, jo cntftcl^t

1» + 2« + 3» + ... + n»
* = fl p-«'-8 I *?_i8J. , 8.4.5 , ^ , n(n + 1) (n + 2) -[

"Ll.2.3»1.2.8il.2.8i*'*» 1.2.3 J

-6El^ + r^' + r^ + - + ^^T^] + [i + 2 + » + -+^]

_^ n(n + 1) (n + 2) (n + 3) nCw + 1) (n + 2) ■ ♦*(♦»+!)

1-2-3-4 1-2-8 '1-2

^ [- w(n+l) -j»

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120 . gtoeitc «btcilimg: «rttl^met«.

8luf ber redeten ©cttc l^anbctt cg pd^ 'um SSercitttgunö brctcr
aritl^ntetifd^cr Stellten, öott bcnen bic ^öd^ftc bön ber brtttcn Orbnung
ift. SHfo ip aud^ bic Slcil^c ber ^biljal^Ictt eine arttl^mctifd^c SRcil^c
ber brittett Drbnunfl.

3n gletd^er SBeife lann man jcigctt, ba% 1^ + 2^ + -- - + «p
für ganjeg |)oftHbeS p eine aritl^metifd^e SRcil^e j?*" Drbnung .ift.

V. JDte (KrjrimienMmlrie und !>« naiftrli^ien Cirgfflrtt^men**)

41) 3laä) bem binomifd^en ©a^c ift für gonjeg |)ofitit)eg n

V^ + nj "^VT^ 1 n ^ 1 . 2- n« ^^ 1.2.3 «»

n(n-l)(n>-2)(n--8) 1 ,
» 1.2-3.4 n*'"'*

©0 ift j. 8.

(1 + 1)^=1+1. i«2, .

(l + |)«=l + l.| + L4.1 = l=.2l,

• \^ "T S / "^ ""^ "•" 1 * 8 i 1 . 2 * 8» ~r 1 . 2 • 5 ' 8» 27 ^27 '

3e größer man n nimmt, um fo größer toirb ber SBert bon

(1 + -)"/ bttß ci^ ö6er nid^t über einen getoiffen SBert l^inau^ tt)üd^ft,

ergiebt fid^, toenn man n unenblid^ groß werben läßt; S)ie urf|)rüng'
üd^e SReil^e läßt fid^ nämlid^ folgenbermaßen fd^reiben:

"T" 12.8.4 "r*'-

3ft. nun w unenblid^ groß, fo barf man in ben einjelnen ©liebem bie

*) 2)iefer OTfd^nitt fann auf bem ©^mnafium überfd^Iagen toerben, obtooljl
J)dba0ogifd^e ©d^lotetigfeitcn feine %nxd)nafpxit nid^t l^inbctn. @r giebt bet
elcmentorcn Siel^tc öon htm Sogaritl^mcn eine öotlöufige Slbrunbung. a)er
binomijd^e Sel^tfaJ toirb babei aB nur für ganje* ^ofitiüe ©j^onenten
bcloicfen öotauggefcjt

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V. 5)te @jj)oncnttaIm^e unb bic natürlid&en ßogaritl^Tncn. 121

1 'S 8

Äugbrüdc -f -f - u. f. tD. fllcid^ 5RitK feiert, öorau^gefe^t, böfe c§

fid^ titd^t um uttcnbUd^ ötele gaftorcn bicfer 3lrt l^anbclt. (S)cnn
^ uncnbfit^ öicie unenblid^ Keine Orö^en lönnen unter UmftSnben fel^r
großen (gtnflu^ l^aben.) S)eninad^ erl^ätt man

\}l~a) '^ ^ l T I iT2 I 1. 2-8 I 1.28.4 ' 1.2.34.5 ~r '*'t

ober, njenn man ba^ 5ßtobuft 1 • 2 • 3 • • • w mit bem Sriti^c« ml Bejeid^net:

2)a bie beiben crften ©lieber bie Summe 2 geben, fo ift bie Summe
ber JReil^e größer atö 2. Scbe^ ®Keb biefer Sl^il^e ift bom 4^*" ab
Heiner, afö bai^ entf|)reid^enbe ®ßeb ber JReil^e

2

folgfid^ lann bie Summe ber untcrfud^ten Sleil^e nid^t größer fein,
atö 3, fie muß jtoifd^en 2 unb 3 liegen. SSertüanbett man bie
einjelnen SBrüd^e in 2)ejimalbrüd^e, fo ergiebt fid^ burd^ Äbbition
einer ^inreid^enb großen gal^I öon ©liebem ate Summe ber SRfil^e
bie 3a]^I 2;7182818 , bie man aU e beseid^net. (Sg ift alfo

für w =- oo (l + iy = 6 = 2,7182818 •.-.•.

.(auf ber Knien Seite njürbe. e« nid^t erlaubt getoefen fein, - =

äu fefeelt, tt)eil bie Sln^al^I ber gaftoren (l + -) unenbUd^ groß ift.

e^ l^anbett fid^ alfo burd^au^ nid^t um 1 • 1 • 1 • 1 • • • ««^ a, fonbem
um ettoaä ganj anbere^.)

42) Kttfgaie. 4)en StugbrudE (1+^)** für unenblid^

• großem, ganä unb ^jofitib ju benlenbeS n ju bered^nen.

Xttftöfttng. aJian erl^dlt junäd^ft auf bemfelben Sßege toie borl^er

»'"-» ('+j)"->+5+i;+f;+f;+w+-

Slud^ biefe Steil^e muß für jebeg cnblid^e x eine enblid^e Summe
i^aben. 3ft j. 99. a; = 4, fo ift ba^ 5*^ @Iieb ^, unb fonbert man
biefeiS bon fömtlid^en Ted^tS bom 4**" fte^enben ©liebem ab, fo l^at
man atö Sleft ber {Heilte

4lL^^6^^ö.6l^5.6.7n^ J

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122 Stocitc ÄBtcilttttg: SCtitl^mctil.

2)abci ift j[cbc^ (SItcb bcr Älammcr (öom crftcn abgcfcl^cn) Heiner
afö bic ©lieber ber öeometrifd^en SReil^e

1 + y + 5T6 + 6T0T6+ ••• Tll"'^'

6

dfo ift jener JReft ber Weilte Keiner ate i^rr:!" ®^ ^onbett fid^
alfo um eine lonbergente Sleil^e.
^ 3bin ift für flonjeS, ^joptiöei^ nnenblid^ flrofeeg m

(•+!)"-«.

f ür w = 00

=Ä= c, ober [1 + ^] = «•

fefet man alfo für m bie |)ofitit)e, unenblid^ große Qaf)! -, bie man

fid^ atö ganj benlen lann [»eil man jnr nnenblid^ großen Sq:^1 n
eine beliebig große enblid^e Qa^ l^injuabbieren !ann, ol^ne baß \iä) titoa^
änbert], fo l^at man ^

, ©rl^ebt man alfo red^t^ unb linte ^ur a;*"' ^otenj, fo folgt
fut«-oo (1 + -) =e-=l + ^ + ^ + 3j+jP+'",

eine gormel, bie für jebeS beliebige x gilt. 2)a aber er-* =^ — ift,
fo reid^t bie SSered^nung für |)ofitit)e^ x vorläufig 'auiJ.

43) Kttfgaie. 2)ie 10** SB.urjel au^^ ju bered^nen.
«ttfWfung. e§ ift

-L Jl J_ -L. 1

S)urd^ 8lbbition ber in 2)ejimalbrüd^e öerttjanbelten ^a^tn

1,000 0000 000
0,100 0000 000
0,005 0000 000

0,0001666 666

0,000 0041 666

0,000 0000 833 » • • •

10/—

erl^äft man Ye = 1,105 1709
mit einer ©enauigleit auf 8 ©teilen.

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V. 5)tc ©jponentialrei^c unb bic natürlid^cn Sogaritl^tnen. 123
3c ßtöfecr ber aBurjcIcj|)Ottcnt tft, um fo leidster läßt fid^ yT auf

100.—

jal^Ircid^c ©teHen ficrcd^ncn. SKan bcred^nc j. SB. yc auf 20 ©tcKcn.

44) SBal^rcnb man aus anbercn So^W^^ {^^^ 1 afigefd^cn) uur

bic 2*«», 4^f«, 8*«", 3^«», 6*«« SBuri'cIn au^iicl^ctt lauu, aber auf

ia^ 8lui^jic]^cn bcr 5*«", 7*«^", SBurjeln öcräid^tcn muß, l^at .man

in e eine 3«^^! .Ö^ftt^i^cJ^/ öuS ^^^ fic^ i^be beliebige SBurjel mit
^filfe ber- obigen JReil^e büben Ia§t, ober bie man in beliebiger
SBeife ^jotenjieren lann. 2)ei^]^alb eignet fie fid^ au^erorbentlid^ gut
jur Sdfig einei^ Sogaritl^menf^ftemi, •toeld^eS man afö baS
natürlid^e bejeid^net l^at.

3ff c« — a, fo nennt man a ben natürlid^en Sogaritl^muS

öon a, gefd^rieben: a = *lga. (@o loar j. 85. öorl^er bered^net
j.

eio = 1^105 1709 • • • -, folglid^ ift 0,1 = % 1,105 1709.)

®tefe Sogaritl^men l^aben. biefelben ©runbeigenfd^aften, loie bie

frül^er bel^anbelten (öergl. Ztil I, SRr. 109.).

Sft a = 'lga, fo folgt e« = a,

ift ß = %^f fo folgt c^ — 5.

@inb beibe SBebingungen erfüHt, fo folgt burd^ beiberfeitige SKuItipIi-
lotion ber abgeleiteten ©leid^ungen e** • e'* = ah, ober e" + /* « ab,
fo baß a + /5 = %(a6) ober 'Iga + %& = *lg(a2^) ift.
(£g gelten alfo, toie frül^er, bic ©leid^ungen

ng(ah) = %a + %h,
ng(a») = w(%a),

. %y^ = Jeiga).

45) 2)er Sufammenl^ang ber natürlid^cn Sogaritl^mcn mit ben
gemeinen (SSriggifd^en) fiogaritl^men ergiebt fid^ folgenbermafeen. ®S fed

a «= *lg a , alf e* «- a.

Sogaritl^miert man. beibe ©eiten ber legten (Sleid^ung unter Slnnal^me
ber logaritl^mifd^en ©afiS 10, fo l^at man

'%(f)^^'^ga, ober ccQ%e)^^%'a, ober •lga.Hge)=^«lga.
golglic^ ift . ■

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124 8»«tc Slbtciluttg: «ritl^ntcttf.

ober tocnn man ^^Ige mit m bcjeid^nct (äRobuI bcr SSriflgifd^en ober
gemeinen Sogaritl^men),

Iga = -^, nnb ^Hga — m'(nga).

^Hge fol
(&^ ift olfo jugleid^

1 1

«US m « i^ge folgt 10"» = c,^aIfo e»" = 10, b.-^. ^^^g 10.

m-^%e--'

'lg 10

SDcmnad^ lann m fotool^I mit ^ülfe ber a3riggif<i^en, ate aud^. mit
^ülfe ber natftrlid^en ßogoritl^men htttä)ntt toerbcn.

SSAt ©ered^nung ergiebt w = 0,434 2945. . (SScrgL j. S3. bie
»ered^nunggmctl^obe Xeil I. 108.)

3«r Ableitung bcr naturlid^en Sogariil^men au^ ber
%aitlU ber Innftlid^en benu^t man bie gormel

jur SCbIcitnng bcr Sriggifd^en Sogaritl^men auS berlabelle
ber natürlid^en benufet man bie gormel

^^lga = ^^=m(nga\
. "Jgio ^ • ^

S)ie SBiffenfd^aft l^at ben lefeteren SBeg eingef dalagen, ba e bie am
leid^teften ju t)otenäierenbe Sap'ift, fobalb eS fid^ um gebrod^ene
®j^)onenten l^anbeft. 8ltterbing§ l^at man aui? ber ®jt)onentiaIrei]^c
anbere ateil^en abgeleitet, mit bereu ipülfe bie logaritl^mifd^en ZaieUtn
bequemer angefertigt toerben lonnten.

46) gu ben geometrifd^ intereffanten Slntoenbungen ber gormel

( 1 + -) = « gcl^ört bie gKci^enbered^nung ber gleid^feitigen unb

onberer ip5t)erbeln. ?[ud^ in ber SKed^anil finbet öielfad^e Slntoenbung
ber ©leid^ung ftatt. SSon S^ttereffe ift nod^ folgenbe Slufgabe ber
Sinfe^äinäred^nung.

Kttfgaie. 3n toeld^^er SBeife öermel^rt fid^ ein ftat)ital,
toenn bie ginfen in \tbtm SKomente jum Kapital gefd^Iagen
toerben?

KttflBfung. Sei iaS)xlxi) einmaligem Siiti^aufd^Iag öerltranbelt fic^
*ag Kapital 1 in einem Salute in *(l + ^), in « Sauren in (l + -^j" •

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VI. S)er SWoiürefd^c Sel^rfaji unb einige an^ il^tn abgeleitete Steilheit. 125

Set wsntaligem Si^^^Si^WI^öe ipä^renb jebeS gal^reS gel^t c^ über in
{' + i^r 6eäie^««9«t»eife (l + ^)""' .

3ft nun m itttcnblid^ qxo% fo l^anbelt eg fid^ um

®ag ^a^)ital c gel^t alfo nati) n Salären Bei einem in iebem
SKomente crfolgenbcm Si^^ä^tf^^tage über in

ipanbeft e^ fid^ j. 83. um 5%, fo ift ber SSerme^runggfaltor ftatt

5 2.
(^ + 1^) i^fe* ^^^ = ^'^ •• ^^^ bered^ne ^ lg e = ^ 0,434 2945
= 0,021 7147. S)er Stumeru^ baöon ift 1,051271. $ier toirb dfo
bag Kapital nad^ n Salären fein ä = c • 1,051271''. ipierbei brandet
n leine ganje S^^I i« fein, fonbem jebe beliebige t)ofitü)e reelle Sal^I
fann eingefefet toerben. SBäl^renb alfo bei einfad^em ßinSpfd^Iag . bie
Sered^nung ber Slnjal^I ber Saläre auf ungenaue 9iefuttate fül^rte,
fobalb nic^t eine gange 3^^^ .^erauSlam, fobafe über ben Überfd^u^
befonbere SSereinbarung getroffen werben mu^te, ift ba^ 8lefultat l^ier
in iebem gütte abfoluf genau. — ®cr ununterbrod^ene Si^^ättf^I^Ö
fdnnte ettoa mit bem SBad^^tum eines regelmäßig jitnel^menben SBalbeS
Derglid^en toerben.

VI. ^n M^v^tt^^t Celjrfttl^ m^ einige aus iljnt
abgeleitete Heii^em

47) Sm erften Seile, 9tbfd^nitt 101, toar i = + ■)/— 1 ge^:
fefet, alfo i^ = — 1 , i» = — i, i* = + 1 , i^ = i tt. f. to. • SKan

merle aud^ - = -^ = — i •

3n golgenbem toerben mel^rfad^ comt)Ieje Größen a + hi unb
Ol + h^i gleiii^jufefecn fein, ©inb fic gleid^, fo muß a^^ a^ unb
6 = &i fein, benn aus a + 6f = a^ + ^1^ folgt (a — aj == i (p^ — &).*
SBenn alfo nid^t a = a^ unb jugleid^ b = &i tüöre, fo toürbe bie
reeHe gal^I ünfö gleid^ ber imaginären S^^I ^^^tS feitt, toaS utts
möglid^ ift. Stimmen alfo lomple]ce Qoijltn überein, fo ftimmen
fotool^I il^re reellen Seile, afö antS) il^re imaginären Seile für fic^ überein.

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126 Stoeitc Abteilung: Wnt^mtüt

48) Sluf ®runb bclanntcr goniontetrifd^cr gormcln ift

(cos Ä + i sin a) (cos ß -^ i sin ß)

= cos a cos |S — sin a sin j8 + * (sin a cos j8 + cos a sin ß)

— cos {cc + ß) + i sin (a + ß),
(£bcnfo ift

[cos (a + j8) + i sin (a + |S)] (cos y + « sin y)

= cos (cf + 1^ + 7^) + MÜi (« + |5 + y)-

SDal^er gilt für beliebifl öielc galtoren biefer Slrt ber ©aft

a) (cos a + * sin a) (cos j3 + * sin ß) (cos y ■;-[" ^ sin y) • • • •
= cos (a + j3 + y -I ) + i sin (a + j3 +'y -| ).

.©cfet man l^icr a = j8 — y — , fo folgt junäd^ft für ganjcf ^JofitiöciS
n bie gormcl

b) (cos a + i sin «)*• = cos ncc -\- i sin «a.

S)at:auf folgt

cos a r\- isina = Ycosna -\- i sinwa ,

ß •

alfd, toenn na = ß unb ballet a = - gefegt toirb,

•ß , . . ß n/ — r—T—: — -

COS — -f- e Sin — = y cos p -f- * sm p .

©d^rcibt man toicbcr « ^taü ß, fo l^at man bie ©Icid^ung

- £

c) l/cos a + i sin a = (cos a + i sin a) " = 008 1- i sin — . .

S)amit ift aber nur einer ber SBurjellüerte gefunben. ©t)äter Jptrb
gegeigt, ba§ eg im ®anjen w SBurjeln giebt. . *

d) (coswa + isinwa)" =(cosa + i8ina)'» =(cos f-isin— j-

®ic gormel b) gilt alfo gud^ für gebrod^eneg n.
9tad^ a) ift

(cos a + i sin a) (cos {— a) + i sin ( — «)) = cos (a — «) + i sin (a — a)

= cos + i sin = 1 + = 1.

S)a cos ( — tc) = cos Uf sin ( — a) = — sin a ift, fo folgt

(cos a + i sin a) (cos a — i sin a) = 1 ,
ober

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VI. 3)cr SÄptütcfd^e ßel^rfa^ unb einige ou* if^m abgeleitete Steil^en. 127

N 1 . .

e ) 7—r—. — = cos a — i sin of ,

'^ COB a + 1 Bin a "^ t

ober aui)

(cos a '\- i sin a)"^ «== cos ( — a) + * sin (— «)..
®araug folgt

f) (cos a + i sin a)~*» = (cos ( — cc) -{' i sin (— «))"

«== cos ( — na) + i sin ( — na) .

©emnad^ gilt bcr fogcnannte SKoiörcfd^e ©aft

(cos a + i sin «)" = cos «a + i sin wa

attd^ für negatiöc unb gpbrod^ene ®jt)onenten.

©otool^I bie gormel a) atö aud^ bie gormel b) erinnern an
bic ®igenfd^aften ber ^potenjen. Sei a) tonrbc Unfö ntultiplijiert,
bagcgcn l^atte man redöt^ Slbbition, ganj ebenfo, toie in ber gormei
e« e^ er = e« + /J ^ y . Sei b) toirb linfö t)otenäiert, red^tg ntulti^li jicrt,
oi^nliä) toie in ber gomtel (c«)" = c"" . Sei c) toirb linfö rabiciert,

a

red^tg biöibiert, gang toie bei 1/6«"=^**. . *

49) gür ganjeg |)ofitit)eg n toar ber binontifd^c ßel^rfa^ betoiefen,
für foI<i^eS ift alfo

(cos a + i sin «)*•

- • I w - 1 . . , fi (n — 1) .. Q .9 • 9 I

= cos** a + T cos""^ a* sm a H V"^ cos**~* a^^.sin* « + ••••.

1 «1 * «

ober

(cos a + i sin a)" ^^ cos" a + i y cos**"" ^ a sin a cos**""^ a sin^ a

.n(n — l)(n — 2) „ « . s 1 '
__ ^ _b — TtIts — ^ cos"-^ a sin^ a +

3uglrid& ift •

(cos a -|- i sin a)** = cos na -\' i sin wa .

®ic redeten ©eiten muffen übereinftimnten, alfo finb fotool^I bie
reellen, atö and^ bic imaginären Seile einanber gleid^.
®araug ergiebt fid^ für ganjeg |)ofitibeg n

g) COS na = cos** a ^ . cos""* sin^ a

, n(n— l)(n — 2)(w — 3) „ . . .
+ -^ /,g.3.4 COS»»-* a sin* « — •;••,

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128 Stt»^*c Slbteiluug: «titl^mettl.

i.\ • ♦» «— 1 • n(n— l)(n — 2) .._« . •
h) sin na = j cos« ^ a sm a ^^ — 1.2 s cos" ' a sin" a

, n(n-l)(n — 2)(n— 3)(n — 4) ^_ß . 5
+ -^ 1.2.3.4.6> ^^' '^ ^"^^

Kttf gälte. S3tlbe ]^ierau§ Somteln für . cos 3a, cos 4a,
cos 5a • • • •, für sin 3a, sin 4a, sin 5a, • • • •

50)*) 3n %\Q. 101 ift 4 J? «== sin a. S^ Heiner ber SBogen a ift, um

fo tticl^r toirb J.J? = OB, b. 1^. bei unenblid^ Heincm a lann man a
unb sin a mit einanbcr ücrtaufd^en, ebenfo a*
gftfl. 101. jj^j^ gjj^2 j^^ ^3 jj^j^ gijjS ^^ gfjy^ j^ unenblid^

großem ®j|)onenten toürbe SJorfid^t nötig fein,
ferner ift

cos a = ]/l — sin^ a = (l — sin^ a)^ ,

folglid^ n.

• cos" a = (1 — - sin* a) * .

Sft.nun n unenblid^ groß, fo fann man e§ al§ gerabe Qaf)i an-

ncl^men, fo baß^aud^ ^ atö gang unb unenblid^groß betrad^tct tnerben

lann. S)ann gilt für üng bie binomifd^c gormel, b. 1^.

cos" a = (1 — sin* a)

2 o,^2

f (?-') . . i(?-')(f-^) .

= 1 — |sin*a + \% ' sin^a— ^ /^ ~ sin^a +

unb ebenfo * . fi^(n_\

cos"^ = l-2sm*- + — ^— sin*^

;(i-)(;--r ,.,,

1.2-8 ^^ n T

alfo, ba w = cx> ift, alfo ber Sogen für ben @inu§ gefegt toerben barf,

coa-^-l ^^' I '^' ^^' ^^' ^'^^ ^ ^Vl .-.
^^^ n -^ 2n«^ 1-2 «* 1.2.3- w« ^

8 n "T" 1-2 ti» 1.23 «« "1

*) Slbfd^nitt 50 bis 62 lönncn ouf bcm ©^mnaftum übcrfd^Iagcn toerben.
3)ic Slugfül^rlid^Icit bct a)arftellmiu ift eine abfid^tlid&e.

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VI. S)cr aRoiürcfd^c Sel^rfafr unb einige an» i^m abgeleitete Slcil^ett. 129

5)iefc aieil^c fottüerfliert für großes n unb tteincg •& ^^^x fd^neU. SBirb

aber « = cx> gcfefet, fo faden red^tS aKc ©lieber mit SluSnal^me beS
erften toeg, unb man l^at bie burd^auS nid^t felbftöerftönblid^e gormel:

gür w = oo ift cos^l" = 1 .

51)'9tad^ biefen Vorbereitungen fefee man in gormel g) ß für
na, alfo - für a, fo ba§ fie in folgenbe übergel^t:

n

COS ö = cos*» — ~ — ^ cos" — » J- sm* —

'^ n 1-2 n w

n(n — l)(n — 2)(n— 8) „_. (3 . ^ (5

H ^ — z — ^i — 3-^4 cos" * — sin* -s-

' 1 • 2 . 3 • 4 n n

gür « «= cx> üereinfad^t fid^ biefe gormel gan§ außerorbcntlid^, ba bann

Q cos" ^ .
cos" ~ = 1 ift, cbenfo cos"-* ^ = g- «= y — i , ebenfo

008'

n

cos"-® -£ == 1, unb ba femer für jeben ©inuS ber Sogen gefegt

werben barf. SRan erl^&tt

Pn« /? « 1 n{n-i)^' n (n ~ 1) (n - 2) (n - 8) ^*
cosp-=l iry- ^"T 12.3.4 n*

__ w (n ~ 1) (n — 2) (n — 3) (n — 4) (n — 6) ^ ,
1-2. 3. 4-5. 6 w«"^"

\'% ^ ^ 12.3.4 ^

1.23.4.5.6
12 3

ober enblid^, ba man bie ©röfeen — , -, - u. f. to. ftreid^en lann,
unb toenn man toieber « ftatt ß fc^rcibt:

1) c0Sa=l-^ + jj-^ + g^ .

®an§ ebenfo leitet man an^ ber gormet h) ab bie gormel
k) sina = ^j- - + --- + - .

3)iefe ateil^en lonöergieren um fo fd^netter, je Heiner a ift, lönnen
olfo bann jur Sered^nung ber gunitionen benufet toerben (SKan

4>oIainüner, aRat^ematif. n. 9

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130 gtoeite ^(bteilimg: ^rttl^metif.

od^tc aud^ barauf, \>a% bic Kofinugrcil^c nur gcrabe (gj|)oncntcn, bic
©inuiJreil^c ober nur ungerabc scigt. S)iciJ fKmmt bamit äufammcn,
bo§ cos ( — a) «» cos « unb sin (— «) == — sin a ift.)

tbifiiile. Sered^ne ben ®inu$ unb (Sofinui^ eined SSogend Don
bcr Sänge ~ om Steife mit aiabiug 1 unter S3enufeung ber 5 erften
©lieber ber Sleil^en.

52) SluiJ i) unb k) folgt

cos« 4- « sina = 1 + y, - ^y - -gj- + ^ + -gi"

■^ + n+ 21 + 81 + 41 + 61 ^ •

Sugleid^ ift nad^ ber Sormd für (l + ^)" bei gaiijent pofitibem,
unenbli(i^ gvo|em n

a)a bie redeten Seiten fibereinftimmen, ftininten aud^ bie linlen über-
ein, unb man f^ai

cos a + i sin a = ( 1 + — j = e*'".

3)ie gelegentlid^ he» SRoiörefd^en ©o^eg Befjjrod^enen ^otenj-Sigenfd^aften
beg Slu^brudfg cos « + i sin « erfd^einen jeftt afö ganj fettftoerft&nblid^
benn er ift eine einfädle 5ßoten} öon e, 3)a

1 . .

i — :-T — = COS a — i sin a

008 a + » sin a

ift, fo folgt aud^

cos a — i sin a = e~"'".

(S» gilt olfo fqlgenbeiS Softem t)on ©leid^ungen:
cos a + « sin a = c*",
cos a — i sin a = e"

p-IO

^

cosa •'

sin a

^

2i

3)ie beibett legten folgen aug ben beiben erften burd^ Slbbition bejtt).
©ubtroftion. 3)urd^ 3)iöifion folgt au^ ben beiben erften nod^

oifg cos a -f- ^* sin tt
008 a — » ein a '

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VK 3)ic geottietrifd^c S)arftenttnö bcr fornplcjen Sal^Ien ^c. 131

alfo, totnn auf ber redeten Seite oben unb unten bnrd^ cos a bit)t?

biert toirb,

\ 9ia 1 + ».tan«

-^ 1 — % tan a

S)a tau J — tan 45^ = 1 ift, fo folgt ^ieraui^ e^'~^=~A, alfo

SRan fann öon l^ier an^ nod^ jur ©nttoidclung bcr Sogarttl^ntcn in
aieil^cn üBcrgcl^en, ba jebod^ baju bic S'cnntnig beg binontifd^cn ©ofee^
fih: gcbrod^ene ®j|)oncntcn nötig Vjt, fott bieg für eine l^öl^cre Stufe
öerfpart toerben.

in n^ Wnx}tin ans hn €in^txl mh ükb mhtxtn JBü^itn.*)

53) 3tt %dl I (Slbfd^nitt 75) loar gejeigt, tok man bie SRcil^c
ber pofitioen unb negatiöcn gangen Sa^tm auf einer ©eraben bar-
ftetten fann. (Bpättx n)urbe gejeigt, toic aud^ bie SBertc ber ge=
brod^enen Qa^m jur Slnfd^auung gebrad^t toerben fönnen, enblid^
tourbe barauf l^ingeloiefen, ia% burd^ bie ©infül^rung ber irrationalen
gal^Ien bie ®erabe ftetig mit S^l^fentoerten bebedft toerben lann. 3n
Stbfd^nitt 101 tourbe barauf l^ingebeutet, baß für bie imaginären unb
tompkitn Sa^en auf ber ®eraben fein 8laum mel^r fibrig ift, ba%
man alfo ju il^rer ffiarfteüung bie jtoeite S)imenfion ju
^filfe nel^men mn% SRan l^at alfo öerfud^t, bie Iomt)Iejen
Saluten in ber (£bene jur ©arftellung ju bringen.

*) ®8 tmp^tW pd^ nid&t, hcn Slbfd^nitt VII auf ben ©^mnaficn ju
übetfd^Iogcn. 3)ic Seigre öon bcn n aSerten ber n**" SBurjeln unb ben
n Söfuuflcn ber ©leic^ung n**" (örabe* bleibt ol^nc bie l^iet gegebenen SSer*
anfd^aulid&ungcn ein abftrafte* ixnh fd^toer ju öcr|lel^enbcÄ ®ebiet. $jn bem
Umftanbe, ha^ bie n**" SBurjeln aus jeber ßol^I ntit ben (&fen eine» rcgc^
morgen «*ed* jufammenfaHen, liegt eine nid^t nur Sntercffe ertoedCenbe,
fonbetn aud& bequem ju üertoenbenbc ^an^aht. SHe öier erftcn ^apiUl
in bc« aSerfaffetS „Sinfül^rung in bie Xl^eorie ber if ogonalen aSertoanbtfdjQften"
(ßeipjig, ©. ®. a:cubner) geben »eitere« Übunggmaterial nebffe l)]^^fl!aIiWen
unb fartograpl^ifd^en ^niDenbungen.

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132

giDcitc Slbtcilung: Sltitl^metif.

2Die Slrganb5®attBfci&« ©arftcKung htxnfjt ouf golgenbcm:
gebe lomplt]ct SäfjH x + yi läßt ftd^ in bcr fogenanntcn rebu=
rierten gorm r(cosg? + ^ ^^9) barfteUcn. ©efet man näntlid^ bcibc
SluSbrüdc glcid^, fo muffen bic reellen nnb bie imaginären Seile
bciber übereinftimmen, fo bafe

nnb

oj = r cos g?

y = r sin 9

ift. 3)nrd^ Dnabrieren nnb Slbbieren erl^ält vxan

a?^ + y^ = *^ (co8*g> + sinV) = »•*,
bnrc^ ®it)ifion entftel&t ^ = tan qo, alf q> = arctan |- (lieg arcus

tangens -, tt)aS ben ©ogen bebenten foK, beffen Xangente gleid^ - ift).

3Ran bejcid^net r atö ben abfointen Setrag ber lontplejen
Sal^I, q> afö bie Slbtocid^nng, bie ©röfee (cos 9 + i sin 9) lann
man, toie ftd^ fofort aeigen n)irb, ättjfdEmäfeig afö il^ren 8lid^tnng§s
foeffijiJnten bejeid^nen.

%a^ ®efagte ftimmt berartig mit ben SlnfangSgrünben ber
Soorbinatenlel^re fiberein, ba§ eg nal^e liegt, bie reellen ^cifitn x

auf ber ^orijontalad^fe
(recBen ?[d^fe) beg Äoor=
binatenf^ftemg, bie rein
imaginären ^cS^itn yi auf
ber fenlred^ten (imaginären
Sld^fe) bariuftetten, jebe
Um)fUit Sal^I x + y%
aber burd^ ben 5ßunft,
beffen Äoorbinaten x
unb y finb. @o ift in
gigur 102 bie fenfred^te
?ld^fe in ebenfold^e Seile
eingeteilt, toie bie ipori-
jontale, benn e§ ift
i=l(cos90^+isin90^),
fo baß ber abfolute SSetrag
t)on i afö 1 anjufel^en ift. ®ie 3^^^ 2 + i toxth burc^ A, bie 3^^^
— 1 + 2i burd^.-B, bic gal^I — 2 - 2i burd^ (7, bie ^a^ 1 — 3i
burd^ D bargeftellt. ^yx^txi) ift fftr J., \>txi obigen gormein cnt-
f^)red^enb, rj «= ^2*+ 1*^ t»^ 9i = Jf ^^i cos q>^ = 2, r^ sin q)^ = 1.
ga^t man nun OA afö ©tredfe auf, \>a^ l^ei^t afö ©erabe t)on ber
Sänge r^ unb ber 3Kd^tung ^j, fo fann man aud^ fagen, bieStt^I2 + i

8ft9-

102.

Y

M

s

Zi
i

\

\

\A

^-

y''^''^^

k

.^

f,

X

-J

c

/

-l

-2i

f ;

\ 3 -^

'3i

\

D

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Vn. 5)ic geomctxtfd^c 3)atftcIIuttg hex !omt)IcEett 8ar)Ien tc. 133

tücrbc inxä) bie ©tredEe OÄ batgeftellt. il^nlid^e »ctrad^tungen
laffcn fid^ für bie ^ßunfte B, C utib D anfteUen. S)er SBinlel g>
toirb, toxt in ber Äoorbinatenlel^re (anal^tifd^en ©eontetrie), ftetg öon
bcr |)ofttiöcn reeBen Sld^fe OX aug gemeffen. Sebet ntöglid^en
Iont|)Iejett gal^I entft)rid^t jefet ein 5ßnnlt bcr ®bcne.

giß. 108.

54) S)ie Slbbilton lontplcjer göl^Ien (ä*! + yji) + {x^ + y^i)
giebt \>(i% SRcfuItat (r»! + ajg) + {y^ + 2/2)«. Sft alfo in gig. 103
x=^x^+ x^ unb y ^ yi + y^^
fo fteHt ber ^unft G mit ben
ßoorbinaten x unb y bie ©umme
ber burd^ A unb B öertretenen
Saluten bar. S)abei ift aber J.i7
= 0D = ir2 unb EG = DB=y^,
olfo ^C# 0J5, b. f), OACB
ift ein Parallelogramm. S)a nun
bie ©ummc (fl?i + %) + (y^ + 3^2)*
aud^ burd^ bie ©tredfe 00 bar^
gefteßt toirb, fo erfennt man, baß
bie ©umme jnjeier lompUin Qa^Un burd^ bie diagonale
il^reg ^Parallelogramm^ öeranfd^aulid^t UJirb. aJiit anberen
SBorten: S)ie Slbbition ber ©tredEen gefd^iel^t ebenfo, n)ie
bie Slbbition ber ßräfte in ber SKed^anif (Parallelogramm ber
^äfte), ober: äRan finbet bie ©umme jn)eier ©tredfen, inbem
man fie l^intereinanber jeid^net. ©0 ift j. S3. OA + OB
= OA + AC = OB + BG = OC. (Sft nur bie Sänge ber
©tredfe OA gemeint, fo beutet man bieS stoedEmöfeig burd^ OA an.)

55) ©benfo ift 00 - OA = 00 — BC = 00 + CB = OB
unb OG — OB = OC — AG = OC + GA = OA, ®emnad^
gefd^iel^t auc^ bie ©ubtraltion ber ©tredEen ebenfo, toie in
ber SKed^anil bie ©ubtraltion ber Äräfte. ®abei ift

x + yi— (i>ri + yii) = (äj — x^) + {y — y^i — xi + y^i,

unb ebenfo

01^ + yi — (^2 + Pi^) = (a? — a;^) + (y — y^i = x^+ y^i,

3Kan fubtral^iert eine ©tredEe öon einer anberen, inbem
man bie entgegengefefete (ober negatiöe) ©tredEe jurlelteren
abbiert.

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134 8»ctte S(btcilttttg: «ritl^mctif.

56) ©ollen fontpiejc ®rö§en nttt cinanbcr multit)nitcrt tocrbcti,
fo Bctrad^te man ftott bc^ SlugbntdS

(^1 + 2^1 {^2 + y%i) = ^1^2 — 2/1^2 + fe2/i + a;,2/2)i
Beffer bcn in bcr rcbncicrtcn gorm barftgcfteHtcn

t*! (cos fpi"{- i sin g)i) • r^ (cos ^2 + * sin qpg)
= rj r^ [cos (g>i + q>^ + i sin (g?, + g>a)] = r (cos 9 + i sin g?),

tt)o 9? = g>i + 9i unb r = r^r^ ift. 2Ran crlennt fofort golgcnbc^:
S)cr neue aBfoIute SBetrag r = rir2 n)irb lonftruiert mit
§ülfe ber ^rot)ortion l:ri=r2:r, toomit gcfagt ifl, bafe r
ang rg cBenfo entfielet, tote r^ ayx^ 1; bic neue 8lbtt)eid^ung

9 = 9i + 92 bagcgcn ift bic ©untwe
^^9- ^®*' ber beiben gegebenen Slbtneid^ungen,

3)ieg lottintt geometrifd^ anf goIgenbeS
l^inani^. ©oHen bie ©tredcn 0J.|
unb OA^ mit cinanber mnIti|)U}icrt
werben, fo üerbinbc man 1 mit A^^
toag ha^ ®reied OBA^ giebi SRad^t
man xtvin A 0^2^ ~ ^ OBA^, fo ift
1 : ri = rg : r, alfo r = r^r^, unb
^ BOA = 9 = g>3 + g>^.

2Ran merle alfo: Sei ber 9RuIti^
pUlatiou Iom|)Iejer 3^^!^^ wtit
einanber toerben bie abfoluten Setrage mit einanber multi^
pUiitxi, bie Slbtoeid^ungcn bagegen ju einanber abbiert.

SBirb btmna(^ eine lompttit QafjH mit einer reellen multi^)ttäicrt,
fo toirb nur ber abfolute S3etrag, nid^t aber bie 8tid^tung beeinPu^t.
SBirb bagegen eine lontpieje 3^§I ^^^ ^^^ tintm aiuf brude (cos <p
+ ising)) multipliiiert, fo toirb nid^t ber abfolute Setrag, fonbem
nur bic 9lid^tung geänbert. 3)cr 5Rame 9iid^tung§Ioefficient ift alfo
fel^r bcjcid^ncnb.

57) 8tud^ bei ber 2Dit)ifion benufet man bie rcbncicrtcn gormcn,
benn babei ift

r(coB9 + 1 sinqp) ^ r r \ 1 • • / m

—7 , . • V = — I cos iw — Wo) + tsmiw — opo)

= r^ (cos 9i + i sin g>^),
too r^ = - unb g>i = 9> — 99 ift- SKfo: Sei bcr S)itiifion
einer lompUitn Qaf)t burd^ eine anbere toirb bcr abfolute

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vn. 3)ic gcomctrifd^c 35arftcIIun0 ber tompltj^tn 3«^!^ ^c. 135

Setrog ber crftcrcn burd^ ben ber lefeteren biötbiert, üon
ber Slbtoeid^ung ber erfteren aber toirb bte ber ahberen
abgejogen.

©oH olfo bie ©trede OA burd^ bie StredEe OÄ^ biöi*
biert »erben, fo btibet man ia^ 3)retedf OAÄ^ nnb aeid^net
über 0J5 = 1 ba^ al^nUd^e 3)reiedf O-B^^. 3)ann ift OA^ bie

gefttd^te ©tredfe, benn e^ ift l : rj = r^
gleid^ ift g^^ = (^ — g^^).

olfo n — ^, unb SU'-

Srig. 106.

58) ©ei ber ^otenjierung ntit ganjen |)ofitit)en ffij^
^jonenten l^anbeft e^ fid^ um lauter gleid^e galtoren. SKIbet man
öon r (cos 9 + « sin g>) juerft bie 2*^,
bann bie 3*^ 4*' u. f. tu. ^ßotenj, fo finb
bie neuen abfoluten Seträge r^, r^, r* • • •,
"bie neuen Sbtoeid^ungen 2 g?, 3 g?, 4 ^ u. f. to.
Dem toirb genügt, toenn man toie in
gig. 105 an ba^3)reiedf OBA ha^ äl^nlid^e
OAA^, an biefeg bc^ af)nlii)t OA^A^n^lto,
anlegt.

@efet man bie 3)reiedf^rei]^e aud^
.rfidtoärtjJ fort, fo erl^äft man erft

OC ^=» — (cos (— tp) + i sin ( — 9))

= r~^ (cos 9 + * sin g>)""^,

bann r~^ (cosg> + i sing))-* u. f. to., fo

\>a% ani) ba^ ^ßoteniieren mit negativen ganjen ffi^jonenten

geometrifd^ üeranfd^aulid^t ift. '

3ft r = 1, l^anbelt eg fid^ alfo nur um bie 5ßotenjierung
öon (cos 9 + i sing)), fo totxitn bie 3)reiedfe gleid^fd^enllig
unb longruent, bie 5ßunlte A, A^, A^- - liegen bann auf ber
5ßerit)]^erie be^ mit aiabiu^ 1 umO gefd^Iagenen Äreifei^

(ffiinl^eitgfreig). 3ft babei q> = — , too n eine ganje |)ofitit)e

gal^I ift, fo giebt bie n=malige 5ßoten}ierung ein regele
mä|igei5 «'@df. Sei fortgefefeter 5ßoteniierung toieber^olen fid^ bie
(Sdten, fo ba^ eine %xi t)on ^eriobicität ftattfinbet.

(aSdl^renb jefet bie ^ßunlte A auf einem Greife liegen, liegen
fie bei bem obigen allgemeinen %aVit auf einer ^rüe, bie man afö
logaritl^mifd^e ®|)irale bejeid&net. SergL 5Rr. 16 unb gig. 99.)

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136

gtDeite Abteilung: ^[rUl^tnetif.

59) SBcim SBurjcIau^äicl^cn bd^anbclc man aunöd^ft bic »**
SBurjel au^ bcr ©inl^eit, toobet « gan} unb |)ofitit) fein föH. 3)tc
(ginl^cit Wfet ftd^ in beliebig öielen reburierten gomten fd^reiben, benn
eg ift

1 = cos + * sin = cos 2 jr + i sin 2 jr = cos 4 tu + i sin 4«

= cos 67C + * sin 67c n. f. tn.

©übet man für jebe ©d&reibtocife bie w** SBurjcI, fö erl^äü man nad^

48c) für yi ber ffteil^e nad^ bic SBertc:

cos — \- \

49r , . . 49E
COS 1- « Sin — -

Sin-

1,

COS

2« , . . 2jr
COS hl Sin — ,

2(n — l)it
w

« sm

2(n— l)n

Sfiß. 106.

©cfet man bie Sleil^e n)eiter fort, fo bcdtcn fid^ bic Jßunitc mit
ben fo eben beftimmten. golgfid^: Sft « eine t)ofitit)c ganje S^l^I,

fo l^at Yl im®anjen n öcrfd^iebenc SBcrte. 3)ic ^unltc, bic

benfelben cntf|)red^cn, liegen anf
bem ©inl^eitglrcifc nnb bilben ein
regelmö^ige^ w^gdE, ju beffen @dfen
aud^ bcr ^nnft + 1 gcl^öri

Sft n eine gerabc SatjH, fo gcl^ört
aud^ — 1 jn icn SaJurädtoerten.

@o l^at j. 83. bic Duabrattonricl
au^ ber ©inl^cit bic SBcrtc

cos + ^ sin = 1 ,
cos jr + i sin 7c 85= — 1 .

Sagegen l^at }/T bie SBcrtc
cos -|- i sin = 1 ,
cos 120^ + i sin 120® = — i- + -i/3 ^

cos 240® + i'sin 240^ = — i- — l j/3 .

3)ic brei SBurjctocrtc bilben ein gleid^fcitigeg 3)reiedf Ä^Ä^A^.
Yi f)at bie SBcrtc + 1, + i, — 1, — «.
Kttfgaie.

aSilbc bic ö SBertc für yT nnb ftcHe fic geometrifd^ bar.

10

"VI ..

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VII. ®te gcontctrifd^c S)arftcIIun9 ber fotn^)Icjen S^W^^^ ^c. 137

S)ie Slufföfung j. S. ber erften StufgaBe gicbt (mit $ülfe beg golbencn
©d^nitte^ unb ber SSered^nung bc^ regelmä^igett günfcrf^) bic SBerte

1 h^

(-

1 + V 6) ± '

>l/io

+ 2y5,

.(-

4

• 1 - -/e ) ±

»4

i^lO

— 2yT.

4

60) 3P K ^ (cos (p '\~ isin q>) ju Bilben, fo ift ja bead^tcn, ba§
unter ber SBurjel cBenfogut ftel^en lönnte r [cos {q> + 2%) + i sin
(g) + 2 jr)], r [cos (9 + 47c) + ^ sin (g? + 4«)], r [cos (9 + Btt)
+ t sin (9 + 67r)] u. f. tt). S)emna^ gieBt e§ aud^ l^ier n öer*
fd^iebene SBurjetoerte, näntßd^

t/r (cos^ + ^sm^j, T/r(co8^^^^^ |-*sm^^-),

y r (cos ^—^ 1- % sin ^^—^ — \ u. f. tu.

S)ie entf|)red^enben Jßunfte liegen fömtlid^ auf einem ^eife mit

aiabiuS Yr unb bilben ein regelmäßige^ w-SdE. ^ai man alfo einen
ber aBerte geometrifd^ Beftimmt, fo ergeben fid^ bie anbem öon felbft.

®a "J/r(cos9 + ^sing)) = j/7(cos|^ + * ^^^ f) *P/ f ^ fittbct
man bic Duabratn)uriel avi% einer comt)Iejen S^l^I geo^
metrifd^, inbem man bie Slbtoeid^ung q> l^albiert unb aU
abfoluten S3etrag bie mittlere ?ßrot)ortionaIe stoifd^en 1
unb r beftimmt, benn eg ift 1 : Yr =^yr:r.

yr^cös^+Tsin^) = }/r(cos-| + ^sin|-j lann im aßge-

meinen nid^t genau mit Qxtltl unb ßineal lonftruiert toerben, fd^on
totCL bie allgemeine Dreiteilung be§ SBinlefö mit biefen ipülf^mitteln
nid^t mögfid^ ift.

Dagegen laffen fid^ bie 4»«« 8*^«, 16*^", , (2»)*^« SBurjeln

genau lonftruieren, folglid^ aud^ il^re ganjjal^Iigen ^otenjen, j. 95.

£ A A

(x + yi)^ f (a? + yi)^ f (x + yiy^ u. f. U). (Dal^er lann man

aud^ beliebig öiele $(5unlte ber in gigur 105 angebeuteten logaritl^mifd^en
®\>xxaU genau fonftruieren).

Sluf ba^ 5(5otenjieren mit irrationalen unb compUitn ®j|)onentcn
foH l^ier nid^t eingegangen n)erben.

61) Die ©leid^ungen üon ber gorm (cos 9 + i sin 9)» «:i= 1
ober aud^ a;« = r(cosg> + i sing?) tütxitn atö binomifd^e
©leid^ungen w*^" ®rabeg bejeid^net.

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138 B»«t^ «btcUunö: «ritl^mctif.

^anbelt t^ ftd^ um

a»« s= r ^= r (cos + « sin 0) = r (cos 2« + i sin 27r)

-= r(cos 4 jr + * sin 4«) «=••••,

lüo r rcctt ift, fo licöt bag n^(Bi ber SBurjcIpunIte mit ben ©den

auf bem Ärcifc, bcr mit Slabiu^ Yr um bcn JRuKjjunlt gcfd^Iagen
ift, uub itoax liegt cg f^mmetrifi^ gegen bie rceHe Äd^fe. 3ft olfo
eine ber SBurjeln üon ber gorm a + hi, fo ejiftiert nod^ eine
f^mmetrifd^e üon ber gorm a — hi. ©otno^I bie (Summe, oliJ aud^
bad $robuIt ber f^mmetrifd^en SBurjeln ift reeß, namlid^ 2 a bejto.
a* + 6*. 3e jtoei fo jufammen gel^örenbe SBurjeln tnerben aK
lonjugierte SBurjeltt bejeid^net.

(3)ie l^öl^ere SKatl^ematil jeigt, bafe jebe ©leid^ung «**" Orabet
mit einer Unbelannten unb mit reeQen Soefficienten n SBurjeln l^at,
öon benen bie compU^m (unb retu imaginären) paaxtoti^t Ion=
iugiert . üorl^anben finb. Slm f|)ejietten gaße ber binomifd^en
®Ieid^ungen fielet man, toie W^ ju öerftel^en ift.)

mif tthntitxbittt (6itxiifm$tn IrJlrarett (Sral^es*

62) ®ä l^anbett fid^ l^ier um ©leid^ungeh «*^" Orabet (« gauj
unb t)ofltit)) mit einer Unbelannten x, ©eftt man in einer fold^en

©leid^ung ben reci^rolen SBert — ftatt x du, fo entftel^t in ber Siegel

eine ganj anbere ©leid^ung, bie man lieber atö fold^e mit ganjen
^ßotenjen öon x umformen lann. SiiStoeilen erl^dlt man aber babei
bie urf|)rünglid^e ©leid^ung unüerönbert n)iebcr. ©leid^ungen, bie

bei ber (ginfüBrung üon - ftatt x \f)xt gorm nid^t önbern,

l^ei^en recijjrole ©leid^ungen.

©0 ift a, S3. 3a;^ — 4a? + 3 = eine reciprolc ©leid^ung,

Q A

benn bei ber beft)rod^enen Umtoanbelung entftel^t -^ f- 3 = 0,

X X

ober 3 — 4a? + 3a?2 = 0, b. 1^. 3a?^ — 4a? + 3 = 0, toit öor^cr.
SRan erfennt biei^ bequemer, toenn man Beibe Seiten ber erften
®Ieid^ung burd^ x biötbiert, fie alfo in folgenber gorm fd^reibt:

3a? — 4 + - = 0.
' X

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Vni. fRtciptott &Ui^unQm uitb Slntoenbung berfelBen 2C. 139

S)ieiJ ift f^ntntetrifd^ in ©ejufl auf a; unb -, fo ba§ bie SScrtaufd^ung
biefer Beiben @(rdgen nid^tö önbert. 2)te ©leid^ung lägt fid^ aud^
fd^eibeit: 3 (o? + -) — 4 = 0, f o bog fie fid^, ttjenit man für a? + ~
bie UnBelamrtc u einfül^rt, auf 3w — 4 = rebuciert, ttJorauiJ
t*-y, olfo a^ + ^ = T folflt.

63) (£i^ toirb fid^ ieigen, bag bie (SittfüJ^rung neuer UnBetannten

für bie reciprolen äui^brüdte «j + — , ^* + ^i r ^ + ^ u. f . to. bie

Söfung gett)iffer @>Ieid^ungen l^öl^eren @(rabe§ ermSgIi(J^ %iefe Kud^
brüdte l^ängen aBer folgenbermagen jufamnten. %x^

1) y + i-«

folgt burd^ BeiberfeitigeiJ iDuabrieren y* + 2 + --i — u^, ober

2) y*+^-«*'-2.

3)urd^ SRuItipIilation erl^äft man au? 1) unb 2) (y* + ■^) (y + -)
= (y* + p) + (y + y) = «' - 2«, alfo mit ^filfe »on 1)

3) y + ^ = M« — 3u — m(m«-3).

«u8 1) unb 3) folgt bur^ SKutti<)Kfotion (y» + A) (y + -)
- (y* + ^) + (y* + ^) = "* - 3«*, oifo mit «ülfe öon 2)

4) y* + i.=,„*_4„»4-2.

au8 1) unb4) folflt ebenfo (y» + ^) + (y* + ^) = u*-4M»+2u,
olfo mit $älfe bon 3)

6) y* + -, = «* — 5m» + 6m = m(m* - 5m* + 5),

u. f. xo,

64) äfö reciprole ®Ieid^ungen laffen fld^ junäd^ft bie folgenben
mit f^ntmetrifd^en föoefficienten Bel^afteten Betrad^ten:

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140 8»eitc mMmQi «ritl^meai.

a^ + ax^ + ax+ 1=0,
Ä* + aaj* + fear* + aa? + 1 = ,
x^ + ax'^ + hx^ + hx^ + ax + 1 = ,
u. f. tt).

ffii3 tt)irb fid^ jeigcn, bag jebe fold^c ©leid^ung öon 2w*«« bejto.
(2n + 1)*«« ®rabe burd^ bie obigen ©ubftitutioneit (©ins
fe^uttgen) auf ben w*^ ®rab jurüdgefül^rt tocrbeit !ann.

65) Stttfgaie. S)ie ©leid^ung x^ + ax^ + ax + 1 =
ju löfcn.

9tttf lifung. @e^t man y^ für ä; ein, fo erl^ätt man bie ©leid^ung 6**"
(alfo geraben) ®rabei5

. y' + ay*^ + «2/^+1 = 0,
alfo bei S)iöifion burd^ y^

y' + ay + ^+^,=0
ober

(.' + ^) + «(. + ^) = o.

@e^t man «/ + - = w, alfo nad^ 63) 3/^ + — = w' — 3w, fo

l^at man

w* — 3w + ««* =
ober

u{u^ — 3 + a) = 0.

®emnad^ ift enttoeber w = 0, b. 1^. «/ H — «= 0, b. 1^. y* = — 1,
alfo äJj = — 1, ober ei3 ift w^ — 3 + a = 0, b. 1^. u* = 3 — a,
alfB w^ - 2 = 1 - a, 1/« + ^ = 1 - a, o; + i = 1 - a,

o:« - (1 - a)x=^^ 1, ';}=4^+l/(-?^)'-l. ^^«^tt
bie brei Söfungen ber gegebenen ©leid^ung 3**^" ®rabei5 gefuuben finb.

66) S)ie reci^jrole ©leid^ung 4*«" ©rabeg

af" + ax^ + ha? + ax + 1 = ..
gel^t bei beiberfeitiger ®it)ifion burd^ x^ über in

^' + ax + }> + l + ^, =

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vm. Stcci^jrolc ©leid^ungcn nnh Slntocnbung bcrfelBen ic. 141
ober in

(^ + ^) + «(, + i) + , = o.

2)ie ©infe^uttfl tjoit a? + -- — u unb a;^ — -i = w^ — 2 (ögl. 63) giebt

w* — 2 + aw + fe = 0.
S)ie Sluflöfung fliebt bie beibcn SBerte "•'

uj 2

ßierauf jtnb bic ©leid^ungcn a? + - =■ ^^ unb a; + -• = Wg ju

M/ a?

bel^anbcltt, beten jebe jttjet Söfnngen giebt,

X,] — a + Ya^ -• 4.b+~S ±V(--- a + Vä^ Ab + sy ^6

xA — g — V'a« — 4d + 8 ± V(— o — j/g« — 4& + 8)*— 16
xj"^ 4

67) 3n

a^ + aa^ + 6a;» + Ja;* + ajc 4- 1 =
fe^e man y* für a; ein, olfo

3,10 + ay» + 6y« + 6/ + ay« + 1 = 0,
ober 6et S)ioiflon burd^ y'

/ + «/ + &y + ^ + p + |-. = o,
ober

@e^t man

y + ^ = ^, alfo / + ^ = ti»-3w, t/5 + ^ = w^ — 5w» + 5w,

fo entfielet

u[u^ — 5w« + 5 + a(w^ — 3) + 6] = 0,

alfo ift enttoeber

ober

w = 0, b. ^. y + i = o, 3/* = — 1/ Ä'i 1/

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142 Stoeite «Btetlung: «tit^metil.

M* — M*(5 — a) = 3a — fe — 5,

3)ie redete ©rite ift glcid^ y* + ;t + 2 ju fe^en, fo bafe man fjcA

. + i-[4^°+l/(V)" + 3.-^-5 -2],
toorouS fid^ bie fibttgcit öier Söfungen ergeben.

68) S)ie ©leid^ungeit

a;* + arc* — »Ä — 1 = 0,

0^ + aa? + ha? — ax+ 1 = 0,

x^ -^ ax"^ + hcc^ — hx^ — ax — 1 =>

fittb itoax feine reci^rofen, tofirbe man aber in ber erften unb britten .
— Xi ftatt X einlegen, in ber jtoeiten x^Y— 1 ftott rr, fo ttjürben
fie in fold^e übergeben. S5ei ber erften unb britten filiert ntan bireft
y* für x ein unb biöibiert bann bufd^ y^ bejtt). y^. 3n ber jttjciten
biöibiert ntan bireft burd^ x^, S)ie nun anjuttjenbenben Subftitutionen
ergeben fid^ and ber ©leid^ungiSfoIge

y-^ = ^, y' + ^ = u' + ^, 3^'-^ = t*' + 3t*,

/ + ^ = ti* + 4u« + 2, 3,5_^_^6 + 5^8 + 5^^

bie ebenfo tt)ie bie in 63) angegebene abjuleiten ift.

@o fann ntan j. 85. ftatt o?* — 1 = fd^reiben / — 1 = o

ober t/» — ^ = 0, b. f), w* + 3m = 0, m(w* + 3) = 0, fo ba§

entttjeber m = b. 1^. y = 0, ober w*= — 3 b. 1^. w=+y— 3,

y

b. 1^. y =* ± "/— 3 ift. ©0 finbet ntan ebenfo, toie frfil^er,

afö britte ©urjeln aui^ ber ffiinl^eit bie ©erte

(»1 = 1, ajg = 5 , 0^8 =

i&ier ift ju bead^ten, ba§ x^x^ = 1, alfo aud^ ä*! • a?, • iCg = 1 ift, toäl^renb

^ = als = ^2* «nb i = a?a = itj« ift.

©benfo fann ntan bie ©leid^ung x^ — 1
5 fünften SBurjeln aui3 ber ffiinl^eit ableiten.

- = a^s = ^2^ «tti> r- = a?a = V iP-

©benfo fann ntan bie ©leid^ung ä* — 1 = bel^anbeln unb bie

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Vni. fRecxpxoU (äUcic^ungctt unb Slntoenbung berfclben 2C. 143

70) 3tt SlBfd^mtt 63) toax y + - = u unb ba^er y^ + A

= w^ — 3w. golgttd^ gcl^t bie ^ufig öorfommcnbe Olcid^ung 3*^«
@(rabeg

tt)o a rcett ift, burd^ bie ©ubftitution x = y + - über in
/ + p = 2a.

SJctrad^tet man l^ier y^ olg Unbelannte, fo ergiebt fid^ atö Söfung
ber für y^ quabratif(^en ©leid^ung y^ — 2ay^ = — 1 ber SBert
y^ = a + j/a* — 1 . S)eS rcci^jrolen ©l^araftcrg l^aftcr ift aud^

-8 = « ± l^ö^ — 1- S)Ä ober / + -8 = 2 a fein ntug, fo gcl^ören

jufantnten bie Söfungcn / = a + V^a^ — 1 unb -j = a — ]/a*— l,

toeld^eg le^tere in ber Xfiat gleid& , ift. Sei y^ + \

fomntt es alfo nur auf ben einen SBert (a+|/a^ — l) + (a — ya^ — i)
an, benn bie Änberung be§ Saäurjeljeit^eng toürbe baSfelbe tt)iebergeben.
2)ie enbgültige Söfung ber Oleid^ui!^ a;' — 3a; = 2a lann jefet
junäd^ft gefd^rieben n^erben afö

8,—

@inb nun Wj, «^^g «ttl> ^s ^i^ SBurjetoerte ber ©leid^ung «<; = y 1^
fo erl^ält man alle brei möglid^en Söfungen in ber gorm

s

X = wVa + ]/a« — 1 + 3 ^

wya + }/a»— 1

k;

Wo =

i^Va + Y^^ + ^K a — Ya^ - 1,

lei^
1 - tYs"

too für «(; ber*8lei]^e nad^ ju fefeen ift w^ = 1, Wg = "^ *^ ,

71) Über bag 8lefuftat finb einige SJemerlungen nötig.

a) 3P ö it^ccll utti> > 1/ fö ftel^t unter beiben Äubitourjeln
aieelleg, bemnad^ l^at jebe ber ßubitourjeln unter il^ren SBerten
einen reellen SBert g bejtt). gi. S)te brei Söfungen finb bann:

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144 8»«te «Btcirung: «ritl^mctif.

= 2 ^ ' 2 ^1 2 '

VI 1 f. — 1 — *Y8"j. , 2 j.

= 2^"*2^* 2

2)te crfte Söfung tft alfo rccU, bie jnjcite unb britte finb
fottjugiert Iom))Iej.

b) 3ft ba^egen a reell unb < 1, fo fielet unter beiben Subi^

tt)urjeInföonHJleje§,bennman !ann fd^reibenKa + i]/l — d^ bejnj.
8

Ya — i|/l — a^. SRan erl^öö in rebucierter ©d^reibttieife afö Söfung

0^ = 2^ + ^ = >/i^[cos| + isinf] + 8 r ' .. yy

• yr[co8|+i8in|.J

too r = ya^ + (1 — c?) = vT = 1 unb g? = arctan ^^^'*'
lies arcus tangens ^^ , tuaS ben Sogen bebeute^^ foH, beffen

Xangente gleid^ ^^ ift L ober nod^ einfad^er cos qp = j = a
alfo 9? = arccos a ift. SHfo ift bie eine Söfung öon ber gorm

X = 1 cos ^ + i sin ^ I -1

C0B|- + t8m|-

= [cos|- + i sinl] + [cos|- — i sin|J = 2cos|-
©ämtfid^e 3 Söfungen aber finb gegeben burd^ bie reellen SluSbrüdte

^1

=

2 cos

8

^2

=

2 cos

?_

+ 2«
8

^3

=

2 cos

9

+ 4«

= — 2co8*-'^

— 2 cos

8

n)o (p aus ber ®Ieid^ung
cos 9? = a beftimmt toirb,

3

ober aud^

^j=2cos-|-, x^=^2cos(60^—^y 0;^^= — 2cos(60^+-|^) •

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Vni. aieclprolc (äUcid^ungcn imb ^ntotnhvaiQ öcrjclbcn k. 145

aScrfud^e für beibc gößc nad^juttjeifcn, bafe a?i + a?, + ajj — 0,
x^x^ + 052^8 + ^8^1 = — ^ ^^i^ ^i^^s "" 2a Ift

72) ebcnfo ift bic ®Icid^uttfl x^ + 3x'^2a burd^ bic ©ub^

fütutiott a; «» y auf cntf^jred^cnbe gorm }u briitflen, au§ ber

ftd^ afö SSutieln bie in

3 3

X ~ wVy^^'+l + a - ^Vya^+ 1 — a

entl^aftenen brci ffiertc ergeben, über bie fid^ äl^nüd^e SJetrad^tunflen
anftetten laffen.

aud^ bie ®Ieid^ungen x'^'—6x^ + 5x = 2a unb x^ + öa:* + 5^

= 2a laffen fid^ burd^ bie ©ubftitutionen a: = y + - bejtt».
« — «/ — Jwfen.

73) ®urd^ Dbigci^ ift aud^ bie aUgemeine fubifd^e ©leid^ung
eriebigt. @g läßt ft^ nömli^ ^iatt

x^ + 3ax^ + 3ßx + y =
fd^reiben:

[ix + ay — Sa*x — «»] + 3/3ir + y = 0.

©efet man l^ier a? + « ~ ^f ölfo a? = y •— a, fo entfielet bie htbifd^e
©leid^ung ol^ne quabratifd^e^ ®Iieb

t/» - 3y(a« - |5) = [3a|5 - 2a» - y],

alfo eine ®Ieid^ung öon ber gorm

y* — Bky = 2h.

Sei ))ofitit)ent k fe^e man y =» w^ä, bei negativem ä bagegen

y =u ]/•— Ä ein. 2)ann entftel^en bejie^ungi^hjcife bie ©leid^ungen

So 26 3 , o 2&

M»— 3t* = -— :l, w» + 3w

SBeibe gormen finb fd^on in 8tbfd^nitt 70 U^ 72 bel^anbeft. 2)ie
SBurjeln ber erfteren j. S. finb in

u^wYa + y^^l ^-Va—Ya^ — l

w

entfiaften, njo a = -— : »= — '^, — tft.

8tu§ w bered^net man y = uyk, barau^ a? = y — a.

^olimüller, aRat^ematil. n. 10

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146 Streite mteilung: ^ritl^metie.

74) 8eif{liel. 3tt a?« — 9«« + 26rc — 24 — ift « — — 3,

78 +. 64 + 24 = - 25, dfo ^ - 0. ^a k |)ofittt)

ift, l^anbelt c« pd^ um ben erftcn ber bcibcn gäHe b. 1^. um «• — 3u «=
ober w(w* — 3) — 0, toorau^ folgt «i «== 0, «^ — +^3,
U3=-V3;dfoy,-OV^-0, y, - >/3>/^ = l/3 Vj = 1,

^3 = -l/3l/| = — 1, fo bafe a;i=yi — « = + 3 = 3,
Ä^2 = ^2 — « = 1 + 3 = 4, iTs = ^3 — a = — 1 4- 3 = 2 ifi
i^ter alfo öercinfad^te jid^ bie Äed^ttUttg buxä) ia^ SBcgfaHen ber
redeten Seite ber ^ülfggletd^ung.

75) 8eif)liel. 3n a;» — lOa;* + 31« — 30 = ift

«= — T/ /5 = Tr y = — 30;
folgl^ c^_|5=i2^~? = |-Ä;

o o o 3 2790 , 2000 j^ 810 20 ^J.

3a/3 — 2a« — y = — -5^ + -^ + ^ = 5^ = 2&,

26 2- 10 2-10

V*" ~" 27l/^ "" *^^ *
y 729

5)a Ä; t)ofttit) ip, l^anbelt e^ ftd^ unt
^8_3^„!_io

1/848 '

ttJO ^ = a ju fefeen ift.

S)ic eine Söfung ift entl^olten in

8, ==■ 8y

alfo

-v'vi+ivi+v'yi-iv^-

@ä ift ber gaß mit brei wetten Söfungen, ber auf «1 = 2 cos j fü!^rt,
m ftd^ q> auä cos g) •= -^ beftimuit. 68 ergtebt ft^ g> ■= 57" 19' ll'X

|=19<'6'25;'8,lgcos| + lg2=.0,2764215, olfo «1=1,889825,
©ud^e bie beiben anberen SBurjcIn fetbft nad^ ben frfil^erett

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Yin. fRtdpxoU d^leid^imgen utib SCnmenbung berfelBen ic. 147

gormeltt w «= — 2 cos (eo^ + -yj, toai auf a?^ = 3 unb r»8 = 2 fül^rt,
ober toenbe bie folgenbe Überlegung an.

76) aWan lonn btc (SHeid^ung 3*«« ®rabc8, bereu ©urjeln
a?i, a?8 unb a^j fein foHen, fofort l^infd^reiBen aU

(x — x^) (x — fljg) (a; — oTj) «= 0,

benn biefer ©leid^ung tft fottjol^l ffir ic = a:i, afö aud^ für « = 0;^
unb für » = (Tj genügt. 2)ie§ fö^t fid^ fd^reiben afö

jr* — («1 + «2 + a^»)«* + dh^ + ^2«^8 + ajga?,)« — x^x^x^ — 0.
93ergleid^t man bied mit

x^ — aa^ + ßx — y = 0,
fo ergiebt fld^, ba§

Ä = «1 + a?2 + *s
gleid^ ber Summe bcr SBurjeln ift,

ß = x^x^ + ajjO?» + x^Xj^
gteid^ ber Summe ber $robuIte aui^ je itoei SSSurjeln;

gletd^ bem ^ßrobulte ber brei SBurjeln. So tft im öorigen S5eift)ielc,
tt)o a?i =» 5 bereites bered^net toar,

J?2 + ÄJ8=^a — 5 = 10 — 5==5

®ie Stttflöfung biefer beiicn ©leid^ungen giebt a?, «« 3 unb x^ = 2.

77) aWan lann aber aud^ folgenbermafeenöerfal^ren: 33ie Knie Seite
^^ — (^1 + ^2 + ^sW + K^2 + ^2^8 + ^3^1)^ — rrifljgajj

muß, ba fie mit

(x — x^) (x — x^) (x - x^)

ibentifd^ ift, burd^ (x — x^) ol^ne 8left teilbar fein, unb burd^ bie
leilung auf ben 2*"* Orab jurüdgeffil^rt »erben.

So ift im obigen S5eif|)iele, too a?! = 5 gefunben toar,

r^ — lOaj* + 31» — 30 : (a; — 5) =- ai* — 5« + 6

^ ii tili Stug X« - 5a: + 6 - folgen afö

— oar-f ^^a? ^^^^^ ßöfungen a?2 = 3 unb a;« — 2.

6a? -.30 I » 2 8

6a?— 30

10* *

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148 Stotitt SBihtdimq: Sttitl^metil.

ajlan lann bie obige ©Icid^ung x^ — Bax = h auäf o^nt i^ülfe
bcr rcctj)ro!cn ©letd^ungcn löfen, jebod^ foß bieg unb bie Seigre öon
ben ©leid^uttflcn 4*^" ®rabei5 öoriftufig aufgefd^oben bleiben.

S5€if|)iele für bie ©leid^ungen britten ®rabei^ bietet bie Stereometrie
in 3Renge. 3)ie gormel für bog ßugclfegntent j. 85. ift

7 = ^(3^-70-^(3«» + *«).

•

S)cmnad^ fül^rt bie Slnfgabc, bie ^ö^e h jn finben, bnrd^ bie ein
Sugelfegment öon gegebenem r (bcjtt). gegebenem a) einen öorgefd^riebenen
Snl^alt J erl^ölt, auf eine ®Iei(^ung britten ©rabeg, j. 83. auf

a^ + Ba^x*^ — , ober auf x^ — 3rx*=

Sbenfo folgenbe aufgäbe: SBie tief taud^t eine gegebene ßugel
t)on gegebenen ft)erifif(l^em ©ettjid^t p\p< 1) in« SBaffer ein?

SHefelbe Slufgabe lägt fid^ aud^ auf bie i^alblugel, bag ^gel^^
fegment, bie ^gelfd^id^t unb ben ßugclfeltor augbcl^ncn. 85ei bcr
i&albfugel j. 83. !ann man nod^ bie gätte unterfd^eiben, ob fie mit ber
©runbebenc öoran ober mit ber SBöIbung öoran eintaud^cn foH.

IX. €in\^s üiftx ^lti^m$tn mit mtlftntn Hvlttixmwttn.

78) 2)ie allgemeine gorm ber ©Icid^nngen 2**» ®rabeg mit
jtt)ci Unbelannten ift bie folgenbe:

ax^ + bxy + cj/* + dlrr + ey + /" — 0,
a^x^ + h^xy + c^ + d^x ^e^^y + f^ = 0,

Sabei finb bie ©lieber mit a?*, mit xy unb mit y* fold^e, bie bag
Unbelannte in bcr 2*^ ?ßotenä entl^alten. Die übrigen entl^alten eg
in ber 1**" ^ßotenj ober gar nid^t.

aSercd^net man y au2 ber einen ©leid^ung, unb fefet man ben
^ert in bie anbere ein, fo entftel^t eine ©leid^ung 4*«** ®rabeg
für X aHein. 3)a bie Söfung fold^er ©leid^ungen nod^ nid^t geleiert
toerben foH, ift aud^ bie 83eftimmung ber Unbcfanntcn aug ben obigen
ötteid^ungen öorlöufig nid^t möglid^. 3u icbem SBcrte öon x geprt
ein beftimmter öon y, fo ba§ man ftet« öier fficrte|)aare erl^ält, bie
nid^t burd^einanber gemifd^t »erben bürfen.

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IX. (StnigeS übet ^leid^ungen mit meisteren UnBelannten. 149

@i^ giebt aber l^äufig öorlontmenbe ©pejialformen, bei benen bie
©leid^ungen jid^ auf einfad^ere jurüdEfül^ren laffen. SCbgefel^eit tjott
ben auf ber ^anb liegenben SSer^nfad^ungeit mögen einige SKetl^oben
bcr {Rebuftion bcl^anbelt »erben.

fa?* + ^y = öf

r

Kbbition giebt ä;* + y* + ^^P = « + ^^ ölfo a; + «/ -» j/a + 6 .
S)ag ffieitcre ift einfad^.
Ober: man fd^reibe

2^ (aj + 2/) = 6.

S)iöifion giebt

X

y

a

~h

tt. f. tt).

2) .

j^ + y^'

l xy

SRan bilbe 2xy = 2h, vereinige bie§ burd^ Stbbition bejtt). ©ubtraltion
mitic* + y^«=a, toaga;^ + y*+ 2a;y ==a+2fe bejto. aj*+y* — 2a?y
== a — 26 giebt. SSu^ beiben ®feid^ungen folgt

U. f. tt».
3)

a; + »-}/« + 26,
X — y=ya— 21,

j«* + «y + y* = a,
W-a;y + y«-6.

mbWon gleit a;* + y* = " + ^, ©uBtraftion gieW 2xy =
gortfefeung äl^nli^, toie 6ei 2).

«-6,

4)

>» + / = «,
«* — a;y + ^« = 6.

«' + y' ip serlegbot
= fl ift u. f. tt).

5)

in {x ^y){a» — xy + /),
»* + »y + y* = 6.

fo bag (o;

+ y)h

«» — / ip jerlegior

in (a;-y)(x« + «y + y«).

6)

j -r» + y3 == a,

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150 Stoeite ^Bteilimg: «nt^meHf.

fftaä) ber leiteten (Sfeid^uttg ift Sir^y + 3xf/^ — 35, tDa§ fid^ mit
bcr erftctt ju

^ + 3a;V + Sxy^ + y» -= a + 35 ober (x + yY = a + 36

berciniflcn läßt, fo bafe a? + y = V'« + ^ ift.

[xy{x — yy^^h.

ä]^nli4 tt)ie öorl^er, crl^ätt man ix^ — Sx^y + Sxy^ — y^ ^ a — Sh ,
alfo a? — y = >/a — 36.

aJ* + i»V + y* = «,

8)

[aj* + «y + y* = 6

2)ie crftc ©leid^ung läfet fid^ fd^rcibcn afö (x^ + y^^ — aj^y* = a
ober burd^ Jßrobuftierleflung al3 (a?* + y* + «y) («* + ^ — ^2/) = »•
2)urd^ 2)tbifiott erl^oü man bo« SBeitere.

I g* + gy + y' _ ,
g*-gtf + y*~ '

S)ag festere jerlegt fid^ in (a; + y)(»* — a;y + y*)"=&f fo i>tt§ man
burd^ aKuIti^jIüotiott au^ beiben ©leid^ungcn (a: + y) («^' + ^y + y^)
= a;' + a:*y + a;y* + y*«=a6 erl^dlt, tooöon fid^ a?* + y* = 6
abäte^ctt lägt, u. f. to.

raaj + 6y = 2 (a?* — y*),

10) |^_^ g ^ x* + y\

lop — y a; + y*" a?y

Setrad^tet man l^ier jundd^ft a unb h afö Unbefantite, fo gieW bie

aJhiItM)U!ationgmet^obe a = ^'"^^^ unb h = ^' "^ ^\ olfo f = f ,

fo ba§ eittfad^cre ©leid^ungen, j. 85. bie beiben lefeteren, jur SSerfttgung
ftel^en.

^ 1 a;« + y« = 6.

SRan lann Yx =v, dfo a^ = v*, Vy =w, alfo y* — w* fefeen
unb bie ®Ieid^ungen v + w ^^ a, v^ + w^ '^h bcl^anbeln, tt)o w
leidet JU eliminieren ift.

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IX (ginifle« üBcr ©Icid^utiflen mit ntel^reren UnBcIanntcn. 151

SBcitcre äufflaben finbct man in ben flebröud^Iid^en Sammlungen.
Si^tocilen filieren nur Äunftflriffc jur Söfung, bic öermiebcn ttjerben
fönntcn, toenn bie ©leid^ungen 4*«» ®rabe3 fd^on jcfet gut SSerfüguhg
ftänben.

79) ®Ici(^ungett, tt)ie 11), bei benen bic Unbelannten unter
irgenb todd^en SBurjeljeid^cn ftel^en, »erben aß irrationale
©leid^ungen bejeid^net unb lommen l^ier nur fottjett in ©etrad^t, afö
fle fid^ auf rationale algebraifd^e ©Icid^ungen jurüdtfül^ren laffen.

®bcnfo tt)irb auf ein ©urd^nel^men ber tranScenbenten
®Ieid^ungen, bei benen bie Unbefannte afö ^otenjej^jonent öor^
fommt, }. 85, aU (f" , If u. f. n>. (tool^in nad^ ffia^jitel VI aud^ cos x,
sin X u. f. xo. gepren) öerjld^tet SRur auf fold^e lann l^ingetoiefen
toerben, bie fid^ in einfad^er SBeifc auf rationale algebraifd^e ^filf^^
gleid^ungen jurüdtful^ren loffen.

i&anbelt e« ftd^ j. ». um 10«* + alO*=6, fo fefee man

W=y, bieg giebt 3/« + a3/ = 5, alfo ^-^ + 1/(1)' + ^
folglich ,,„ toigy = loig [~ I ± ]/(J)' + l\ .

©benfo fü^rt c«* + ae*= & auf a; = % [- f ± ]/(|)' + fe] •

aSon l^ier au3 lann man ju ©leid^ungen fibergel^en, bie fid^ burd^
entf|)red^enbe ©ubftitution in reburierbare öon l^öl^erem ®robe öer^
toanbeln.

a3ei cos Ä + a sin a? = & fefet man cos a? = «f unb finbet
e + a yi—fs" — 6, a* (1 — £f«) = (6 — z)\ beftimmt z unb be^
red^net x mit i^ülfe ber trigonometrifd^en Xabeßen.

dagegen finb ©leid^ungen tt)ie a? + « cos a; = 6 mit elementaren
^filf^mitteln nid^t lösbar.

Unten toerben unter SRr. 24 ber Trigonometrie nod^ einige
goniometrifd^e ©leid^ungen bel^anbeft.

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dritte Abteilung.

1) Sttfttwiinettl^ang jtotfd^en SJogcn unb ffiinfcl.
Slad^ lett I, ®eont€tric, 147, gUt für einen SSäinfel «^ unb ben
iugel^örtgen, am (Sinl^ettdlreife }u nteffenben 93ogen a bie ^ot)ortu)n

tt)o Jt — 3,141 592 65 ift. S)arau3 folgt

gum öogcn a = 1 gehört j. S. ber SBtn!eI - 180« — ^^

844159

570 17' 44"3i ^ 206264';81 ....

(gbenfo ift

sunt ©infel «« = 1« geprt alfo ber Sogen « ^ c= ^^ = ^^i^—

= 0,017 453

(3n bem ©rud^e jg^ l^eBt fid^ bie ©rabbencnnung genau ebenfo

toeg, tt)ie eg mit gleid^en aritl^metifd^en gfaltoren int gä^Ier unb
Slenner gefd^iel^t. aWan crlennt, ba§ a unb « junäd^ft unbenannte
Saffltn ftnb, ebenfo toie bie Sa^l r = 1.

©efet man iebod^ r = l 3Reter, fo ift aud^ ber Sogen in 3Retem
bargefteüt. S)agfefte gilt tjon anberen Söngeneinl^eiten, toie 3ReiIe,
Kilometer, Zentimeter u. f. tt).)

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I. Jöctoßgemeincrung bet ^runböegriffe. 153

3la^ Dbigcm fann man labeHen anfertigen, in benen jn icbent
SBinfel ber jngel^örtgc Sogen, ju iebent Sogen ber iugel^örige SBinW
bercd^net ift.

am ßreife mit Äabing r geprt jum SBinlel 180" ber Sogen m,

jum SBinfel l*' ber Sogen ^^ = ^, 8«in SBinfel «" ber Sogen

-jg^. = ra. 3ii ^ ritte nnbenannte S^^^f fo ip önd^ Wefer Sogen

eine nnbenannte Qai)l 3ft r in einer beftimmten SRafeeinl^eit, j. S.
in 3Retem gegeben, fo ift and^ ber Sogen in biefem 3Ra§e gegeben.

Stttfgaie. ^tbtx Sqnatorgrab ber Srbe l^abe, geftredt gebadet,
15 jWeilen Sänge. SBie grog ift ber {Rabiug ber ©rbe?

Stttflifttttg. Snm Sinlel 1^ gel^ört am ^eife mit SRabind x
ber Sogen x • 0,017 453 ©efet man bieg glcid^ 15, fö erl^ält

^^^ ^ — 0,017 4^.... = ? ^til^n.

Stttfgaie. S)er fd^einbare ©onnenbnrd^meffer beträgt im 3RitteI
32 aWinuten. SSäie gro§ ift ber toirflid^e S)urd^meffer, ttjenn bie ©nt^
fernnng tjon ber Srbe jn 20 000 000 SWeilen angenommen toirb?

Stttflifttttg. 8nm aaäinlel 32' = ^ gehört bei gegebenem

«obind r ber Sogen r ~ • 0,017453 SBirb r = 20 000000

SWeilen gefegt, fo erl^äft man ? SWeilen.

Sentetfung. SBenn l^ier ber gerabünige 2)nrd^meffer atö Sogep
bered^net toirb, fo l^anbeft e« fld^ nm einen öerfd^toinbenb Keinen
gel^Ier, benn ber SBinfel beträgt nnr titoa bie $älfte eine« .©rabe«.
— 3Kan löfe biefelbe Aufgabe für ben 2Ronb mit bem fd^einbaren
S)urd^meffer 31' «nb nel^me 50000 SKeilcn ober etttja 60 ©rbrabien
ßntfemung an.

2) 3)ie goniometrifd^en gunftionen toerben bi^toeilen öom SBin!eI,
bi^toeilen tjom Sogen (gemeffen am ©inl^eiti^freifc) abl^ängig gemad^t.

@o \pxi^t man öon sin 45® unb jugleid^ öon sin ~ , toa^ bai^felbe

ift. ©d^reibt man alfo sin «, fo ift cS ein großer Unterfd^icb, ob bie
Sa^l a einen Sogen in Sängeneinl^eiten, ober einen SBinfel in ©raben
barftettt. SBirb unter « ein Sogen öerftanben, fo fott in ber SRegel
eittf ad^ a gefd^ricben ttjerben; foß bagegen a ein SBinIcI fein, fo foK
gefd^rieben ttjerben a®.

Sei gctoiffen allgemeinen Sctrad^tungen ift e« nid^t nötig, einen
Unterfd^ieb in ber @d^reibtt)eife ju mad^cn, ttjol^l aber, ttjenn cS fid^
um beftimmte Sered^nungen l^onbelt. S)ie Umred^nung ift in jebem

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154

2)ntte Slbteitung: Xtigonometrte.

goßc cüifad^, bcnn t^ ift j. 8. sin n9 — sin (j^, bagcgcn sin \

Sin

3) ^iQVix 107 ftcHt einen Sreiö mit bem 3tabiu^ r = 1 bar,
bcr burd^ ben toagcred^ten unb ben fenlred^tcn S)urd^nieffer in feine

öier Qatabranten geteilt
ift. SBanbert ein 5ßunft
aul ber StnfangSlage Ä
auf ber ftreiSlinie fiber
B naä) C unb D nad^ Ä,
unb n)ieber]^oIt er btn^
fetten SBeg beüeWg oft,
fp befittbet er fld^ ber
JReil^e nad^ im erften,
jtoeiten,* britten, vierten,
fünften, fed^ften u. f. tu.
Duabranten. S)er fünfte
bedtt fid^ babei mit bem
erften, ber fed^fte mit im.
}tt)eiten u. f. to. 2a^
man ben Stabtui^ OÄ unter
Umbrel^ung um bie
äBanberung mitmad^en, fo
bittet er mit ber Slnfang^-
läge SEBinf el, bie ber Sieil^e
nad^ ben genannten Ouabranten angel^ören. 2)ie befd^riebene Slrt ber
S)re]^ung nennt man bie ))ofitiöe, bie im entgegengefe^ten ©inne
erfolgenbe bie negative.

®g l^anbelt fid^ junäd^ft barum, bie goniometrifd^en Sunltionen
für alle mögfid^en Sogen unb SBinlel ju erflären, nad^bem im erften
leile nur öon f))ifeen unb ftumjjfen SBinleln bie 3tebe gemefen »ar.
»ie »abien OÄ, OB, OC unb OD foHen ber Slei^e nad^ ate bcr
erfte, jtoeite, brittc, toierte JRabiug bejeid^net toerben. S)er fid^ brel^enbe
aiabiu« OE ]^ei§e ber betoegüd^e 8iabiui5. S)er festere ift in gig.. 107
in 4 Sagen OE, OE^, OE^ unb OE^ gejeid^net, bie f^mmetrifd^
gegen ben fenlred^ten bejti). n)agered^ten Surd^meffer liegen. S3Hrb
ber SBinfel AOE mit cfi bejeid^net, fo ift ber ftuntpfe SaSinlel AOE
ober «j^ = 180^ — «^ ber überfium))fe SBinfel AOE^ ober a,^

— 180« + «^ ber gleid^fattg fiberfluntpfe SBinlel AOE^ = «3®

— 360^ — a^. aSejcid^net man bagegen ben jum SBinlel gel^örigen

Sri«

107.

/

G

// ^

V

\

\ '

h

\ ^'

/

A

+

\

•

\

G,

—

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I. IBctattgeincincrttiig ber ©ruiibbegtiffe. 155

Sogen mit a, fo iftuiJEJ«»«, ÄEi^^n — a, ^J57, «jr + a,

-4^3 = 2jr — «. S)iefe lefetcren Scjeid^nungcn fottcn in ber Siegel
Slntoenbung finben.

gür fämtfid^e Ouabranten foßen nun folgenbe ©rllärungen
gelten, bei benen }. 83. bie ©inu^Iinie furj ofö ©inug, bie Eofinu^-
Knie furj afö ©ofinuS n. f. to. bejeid^nct toerben barf:

S)er Eofinu« eines SBinlelg (ober SogenS) ift bie
^ßrojeltion beS betoeglid^en SiabiuS auf ben erften 3tdbiu8
ober feine Verlängerung. ®ie Sänge ber ))roii}ierenben
Oeraben (ober anä) bie ^rojeftion be^ bett)egli(3^en SRabiu^
auf ben i^eiten 8iabiu3) njirb aU @inu3 beS SBinlelg be-
jeid^ne't. S)ie Sangente eines SBinlelS ift bie ÄreiStangente
im ®nb|)unlte beS erften SlabiuS, t)on biefem and big ium
©d^nitt^junlte mit bem betoeglid^en SRabiug gemeffen. 3)ie
Kotangente eine§ SBinfeliS ift bie SreiStangente im gnb::
pnnttt beg jtoeiten 3tabiuS, t)on bort and big inm ©d^nitt-
^unlte mit bem betoeglid^en SRabiug gemeffen.

4) S)emnad^ ift cos a = OF, cos a^ = cos (« — a) = J\,
cos «2 = cos (;r + a) = OFj, cos «j = cos (2;r — a) = OF.
ßbenfo lann man fd^reiben cos ( — «) = OF.

©eieid^net man femer bie SRid^tung OA aK ))ofitiö, bie SRid^tung
OC alfo atö negatit), fo gelten für ben EofinuS in ben aufeinanber^
folgenben Duabranten ber Seilte nad^ bie SJorieid^en +, — , — , +.

8lug ber Songruenj ber ®reiedfe ergeben fid^ femer bie gormein

cos (n — a) = — cos a, cos (jr + a) = — cos a,
cos (ßn — a) «« cos ( — a) = cos a,
3ßan fann alfo lurj fd^reiben

cos (+ «) «=» cos a, cos (» + «) = — cos «.
©elbftöerftönblid^ ift aud^
cos (2n;r + «) «» cos a unb cos ((2« + l)n + ^) "^ — ^^s a,

benn bie ©injufügung ober SBegnal^me eineg ganjen SJiel^
fad^en t)on 2n; jum 83ogen änbert an ber Sled^nung nid^tg.

5) ©benfo ift sin « «= FF, sin a^ «« sin (« — «) = .Fj JE^,
sin «2 «= sin (tt + «) «» F^E^, sin Oj «— sin {2n — «) ^* sin ( — «)
= FE^.

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156 ^ittc Abteilung: Xrigonomettic.

©eseid^nct man nun bic naä) oben gel^cnben ©enlrcd^tcn FE
unb Fj^E^ afö ))ofitit), alfo-btc naä) unten gc^enbenJFiJ5^ unb FE^
afö negatit), fo i)ai man für ben ©inug in ben einjelnen Duabranten
bic SSorieid^cn +/ *+/ — / — •

S)eninad^ ift

sin (tt — a) = sin a, sin (ä + «) *= — sin a,
sin (2« — «) = sin ( — a ) = v — sin a.
2Ran lann fd^retben

''"^ (it «^) ™ db ß^° ^/ sin (or + «) = + sin a, .

njobei bie oberen unb ebenfo bie unteren SSorjeid^en iufammengcl^ören.
S)er SBinlel lann l^ier ebenfalls um 2n7t öergröfeert ober öerHcinert
»erben, ol^ne ha^ fid^ tttoa^ anbert.

6) gür bie Tangente ift ber SReil^e nad^
tana =-46r, tanaj = tan(7r — a)«=-4.G^,, tanag=tan(7i;+«)=-4G^,
tan «3 = tan (2« — a) = tan ( — a) = -A G^j .

S)ie SSorjeid^enreil^e ift alfo +, — , +, — .
(gS ift alfo

tan (tv — a) = — tan a, tan (« + a) «=» tan a,
tan (2 TT — a) = tan ( — «) = — tan a.

gür bie Eotangente ift

cota^JBS", cotai=cot(7i; — a) = BHi, cota^^='Cot(7t'\-a)=BH,

cot(27r — a) =a cot(— a) = JB^j.

^nä) f)kx ift bie SSorjetd^enreil^e +, — , +, — .
gerner ift

cot(jr — a) = — cotof, cot(7C -]-«) = cot«,
cot (2 TT — a) = cot( — cf) = — cot«.

8) S)emnad^ gilt allgemein goIgenbeS:

S)iegIeid^namtgengontometrifd^enSunItionenberSBinIeI
(bejto. Bogen) a, n — «, n + a unb 27c — a, beren jeber nod&
um 2w7r toergröfecrt ober öerlletnert toerben lann, ftimmen
itm abfoluten SBcrte naä) überein, il^re SJorjeid^en aber
beftimmen fid^ auS ber nad^ftel^enben iDuabrant^ntabelle:

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I. SSerattgemcinctung ber QJtunbbcgrtffc. 157

jQuabrant:

I,

n, m, IV

@inu«:

+

+ - -

6;ofinuä:

+

- - +

longcnte:

.+

- + —

©otangente:

+

- + -

9) Bä\ntliä)t in Icil I für f))ifec SBinIcI Bctt)icfenc
gormcin gelten, tute fid^ leidet jeigen läßt, für ganj beliebige
SBinleL ©o ift j. 83., tuenn a ein f))ifecr SBinilel ift, sin*(7r*+a)
+ cos* (^ ib <^) =^ 8"^^ *f + ( — cos ay =s sin* et + cos* a = 1, fo
baß bie gormcl sin* a + cos* « «= 1 aud^ für ftuntpf e unb überftuntpf e
SBinM gilt, ©cometrifd^ folgt bieg fofort au8 gig. 107, njo j. 83.
OJPj* + FiJEJa^ = (— OFf + (— J^JE;)* = 0^^ + J^JEJ* = Ol?
= 1 ift.

gemer ift j. 85.

sin (« + a) — sin of sin a . i / i \

^ — — i -— = = tan a = tan (n + a).

cos (JT + a) — cos cc cos a .

S)ic gormel ^^ = tan a gilt alfo anä) für überftum:pfe SBinlet.

gär bie cinjelncn Duabrantcn laffcn fid^ bal^cr bie aSorjeid^cn ber
Tangente unb Eotangente an^ benen für ©inuiJ unb Eofinu^ ol^ne
tocitere^ burd^ ®iöifion ableiten, ©bcnfo leidet ift ju betoeifen, ha^
anä) naä) ber neuen Definition bie gunftionen eineg SBinletö gleich .
ben ©ofunftionen bc^ Eom^jlementtoinletö finb.

3n ber gomtel cos a = |/l — sin* a ift ba^ SJorieid^en junöd^ft
jtoeifell^aft. (£g ift ))ofitit) unb negatit) ju nel^men, je nad^bem ber SBinlel a
bem erften unb vierten, ober bem jtociten unb britten Duabranten angel^ört.

[10) SSBiH man aud^ bie entbel^rlid^eren gunftionen @e!ante ober
Kofelante einfül^ren, bie fid^ burd^ bie ©leid^ungen seca = ^^^

unb cosec a = ^^ erllären laffen, fo ergeben fid^ barau^ bie SJor^

jcid^en +, — , — , + unb +, +, — , — , bie mit ^enen für

©ofinug unb ©inuS übereinftimmen. ^n gig. 107 ift ferner sec«

1 OE OG OG ^^ . 1 OB

= -^ = ^ = Oir. S)ie ©elante ift alfo bag <Bm beg beweg--

lid^en 9iabiu§ t)om aWittctpunfte big jum ©d^nitt mit ber langcnte,
bie Eofelante ba^ <S>\M beSfelben öom SRittetpunfte big jum ©d^nitt
mit ber Eotangentc. Stt ber gigur ift ferner nad^ biefer ßrllärung
sec(jr — a) = Off,, toag atö 8tü(ltt)ärtgöerlängerung beg betoegüd^en

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158 a)ritte«btcilttnß: Xiiflonomctrie.

SRabiug unb bal^er atö ncgatiö auf jufaffcit tft; cbcnfo sec (n + «)
= OG^ aus bcmfclben ®runbc atö ncgatiö aufjuf äffen, sec (2« — «)
= sec(7r — «) — OG^i, loaS atö ^ofttit) ju gelten l^at, toeti e3 in
ber atid^tung mit beut Betoegltd^en Slabiu« übercinftimmt.

3n entf^red^cnber SBeife ift co8ec(« — «) — ÜH^, alfo Jjofitiü,
cosec (« + a) = OH^, alfo negatiö, co8ec(27r — a) ^^ OH^, dfo
ncgotiö. S)ie toeitcrc ©el^anblung btefer gunitioncn lann jebod^ aö
übcrffftfftg unterlaffen »erben.]

11) SBäci^ft ber Bogen öon bi« |, fo toö# ber ©inuiJ öon

bis 1, bie Tangente t)on bis oo, bagegen nimmt ber EopnuS
ab t)on 1 bis 0, bie ©otangente öon oo bis 0. (Sgl. gig. 107.)

SBäd^ft ber Sogen t)on ^ bis n;, fo nimmt ber ©inuS ab t)on

1 bis 0, ber EofinuS t)on bis — 1, bagegen toad^ft bie Xangente
öon — oo bis 0, unb bie Kotangente nimmt ab öon bis — oo.

SBäd^ft ber Sogen t)on üt U^ ^üt, fo nimmt ber ©inuS ob öon
bis — 1, ber KofinuS toöd^ft t)on — 1 bis 0, bie Xangentc
toäd^ft t)on bis + oo, bie Eotangente nimmt ab t)on + oo bis 0.

SBäd^ft ber Sogen t)on y at bis 2%, fo toa^\t ber ©inuS öon

— 1 bis 0, ber ©ofinuS Uon bis 1, bie langentc üon — oo
.bis 0, bie Eotangente aber nimmt ab öon bis — oo.

S)cr SBert ber langente mad^t einen @))rung öon + oo nad^

— oo, fobalb ber bett)eglid^e JRabiuS bie Sage ^ ober y it pa^kxt.

Sür bie ©otangente erfolgt ber ©Jjrung öon — oo na^ + oo bei
itm $affieren ber Sagen n unb 2% bejto. 0. gföt bie fritifd^en
BttUtn felbft bleibt ber SBert jrtjeifel^aft. S)ieS ftimmt übercin mit
ber Unbeftimmtl^eit beS Sorgeid^enS bei bem Srud^e ^ , ber + oo
unb — oo bebeuten lann, ha man als + auf f äffen barf*).

[S)a ber ^eiS bei Ä fenlred^t auf bem erften JRabiuS ft^t, f&Ot
ber ©inuS bort fo nal^e mit bem jugel^örigen Sogen jufammen, ha^
man fageh barf, für fel^r lleineS afei sina = a. ©benfo ift für
fel^r Keines « ju fefeen tan « = « .]

12) 3ur ©rgänjung ber frül^er abgeleiteten gormcin foHen nod^
folgenbe aufgaben für bie gunftionen eines SBinlelS bejU). SogenS
gelöft toerben.

*) 3)tc ©d^teibtoeife -^ « ± oo ift nur atö eine auf Übereinlunft he-

rul^enbe ju betrad^ten, ba wol^I butd^ Unenblid^lIcineS, nid^t aber burd^ 9WI,
toirllidj biöibicrt toctbcn lann.

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II. 3)ie gunftionen öon SBinfelfummcn unb btc Summen öon gfunftioncn. 159

a) S)cn ©ittug ctnc^ SBinletö burd^ bte Xangcntc auSjubrüdcn.

KuflBfung. (S^ ift tana

cos«

sin' a

Vi — sin« a

, alfo burd^

sin* a (1 + tan^ a) =» tan* a , folgüd^ sin a = - — '^ " _ .

|/l + tian" a

b) S)cn EojfinuS burd^ bic Sangentc auSiubrüdfcn.

1— cos««

«CttfrüfttttB. tana = ?^— i^^^^folfllic^tan^a

cos'a '

COS* « (l + t8.n* a) = 1 , folglicl^ cos a = — ===== •

yl + tan* a

c) Seite ebenfo ab: sincg = — . _ , cosa= *^^

y 1 + cot» a '

yi + cot« a

[Slnbere Slblcitunöcn ber Sormeln a) unb b) ergeben fid^ fo:

cos» a

cos* a + siii* «

cos» a ^^ sin» a
cos* a ' cos» a

1 + tan*«,

folglid

cos a

sin a == cos cc • tan a

yi + tan» of
1

1/1 + tan» a

tan a ■=»■

tan a

yi 4- tan» a

]

Mir 4FttnJitT0n^n*

13) (CttfguBe. ®en ©tnu^ beg
aBlnIeU(a-f-|3) burd^biegunltionen
ber einjeltoinlel a unb ß au^iubrüden.

«ttfjafttitg. 3ngig.l08fei<^J.OJ?
= « + /3, BıOÄ,BC±OC,
CD±OD, EC ± AB. Sabei ift
^EBG^a^^a. (SBarum?) gemertft

sin (« + p)

AB AE + EB
0B~ OB

Bö ■ EB

OB"^ OB'

Su CD gel^ört bte $5t)otcnufe OC, ju EB o

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160

2)ntte 9[bteilung: S^rigotiomettie.

btc ^t)pottmx\t BC, äÄuItipKjtcrt man bcn Safftex unb Stcnncr bt§
crftcn bicfer Srüd^c mit 00, bie bc8 jtpcitcn mit J?(7, fo crpit man

. , , ^x DC' 00 . BE' BO ^ , . ^

sm (a + /3) = Q^ Q^ + B(j, q^ = «^^ « cos /3 + cos « sm |3.

(£8 ift alfo

sin (a + |3) s= sin a cos /3 + cos « sin /3 .

Semetfitng. 8ln bcr gftgur finb nur ö^^^öf^fliöc Stnbcrungcn
nötig, njcnn (« + ß) ein ftum))fcr SBtnIcI, ober njcnn a ober /3, ober
beibe SBinlel ftuntpfe finb. S)ie gormcl l^at überl^au^Jt allgemeine
©ettung.

14) S)er SBinlel ß lann aud^ abgejogen toerben. S)ann l^anbeß
e§ fid^, toenn man bie gormel vorläufig weiter gelten tä^t, um

sin(a — /3) = sinacos( — jS) + cosasin( — ß)=smacosß — cosasinjJ.

gür biefen gatt ift bie entf^jred^enbe 3cid^^ung in gig. 109
bargeftellf, h)o SBinlel J.05 = (« — /5), atteg anbere njie öorl^er

ift. eg tt)irb

JLJB _ AE — BE
OB'^

sin (a — /3) i

OB

DO
OB'

BE
OB'

©rtoeitert man bie ©rüd^e toieber mit
ben iu DG nnb BE gel^örigen $^t)o-
tenufen, fo folgt

. , ^v DO 00 BE BO
sm (« - ß) = öcT0B — BÖTÖB

= sin <x cos j? — cos a sin ß.

njomit bag SBeitergelten ber erften gormel beriefen ift. Seibe gormein
bereinigen fid^ ju folgenber:

l) sin {fc ^ ß) = sin a cos |3 + cos a sia. ß ,

in ber bie oberen unb ebenfo bie unteren SSorieid^en jufammengel^ören.
Dl^ne Geometrie ergeben fid^ bie ßrweiterungen ber ®ültig=
feit für SBinlel ber übrigen Duabranten auf folgenbem SBege. ©inb
j. ». a unb ß f^)i|, fo ift für bie ©umme ber SBinlet {üt — «) unb
ß, üon benen ber erftere ftumjjf ift,

sin [(n — a) + jS] = sin [tc — (a — ßj] = sin (a -— ß)

= sin a cos j3 — cos a sin j3 = sin (tt — a) cos ß + cos (it — a) sin ^.

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II. 2)te Sfunlttonen t>on ^nlelfurnnten unb bie @ummen t>on grunltionen. 161

©bcttfo ift für jtoci ftun^jfc SBinlel (n — cc) «nb (tt — ß)
sin [(h; — «) + (TT — /3)] = sin [2 tt — (a + jS)]
=s — sin (a + 1^) = — [sin « cos jS + cos a sin /3]
= + ßiii ('«^ — «) <^os (jiJ — /5) + cos (« — a) sin (% — ß).
S)ici5 Ö^^ftö^ h^^ 8ctt)cifc beS SBcitcröcftcnS bcr gorntcl 1).

15) «ttfgalie. S)en KofinuS bc« SBinlcIg (a + ß) hnxi)
bie guttftipttcn bcr Sitiicltoinlel barjuftcncn.

^ «ttfKfttng. 3n giflur 108 ift cos (« + ^) =» ^ == ^^OB^

OD EG OB OC EG BG o - - o

2)etmtad^ ift

cos (« + jS) = cos a cos jS — sin a sin jS .
©bcnfo crgicbt fid^ dVi^ bcr gigur 109 bie gormcl

cos (a — jS) = cos « cos |3 -{- siil a sin j3 ,

bic aus bcr öorigen (Xixi^ folgt, ttjcnn man — ß ftatt jS cinfcfet.
Seibe laffcn fid^ iufammcnfaffen in

2) cos (« + 1^) = cos a cos /3 + sin a sin j3 ,

njo bic oberen unb ebenfo bie unteren aSoräcid^cn äufammengel^örcn.
Slud^ bicfe gormel gilt ganj attgemein.

[16) ^»ie gomieln für bic guni:: 5i9. no.

tionen üon (a + jS) laffcn ftd^ ^ --^

(iVii!^ mit $ülfc bci^ ^tolemöifd^en ß/^ Nv

@ afe eg (tjcrgl. Seite 1) ableiten. SJaju /T^n ^ \

ift folgenbe SSorbemerfung nötig. i \ ^^^^ \

3n gig. 110 ift ein Ärei« mit ^s/ /a g^^^ |

aiabiuSl, eine (Seltne J? (7 =*•« unb bcr \\ ^-''' ^^^ I

jugel^örigc Jßcripl^erictoinfcl «^ mit AL--''' "^ /

bem S)urd^meff er -1 J? atö ©ci^enlcl bar^ ^AT *•------, ky

geftcHt. S)abeiiftsina®=-g2 = -2~/ ^^..^ ^ _ ^^^

'aIfo@t]^nc^.= 2sina^. gum^ßcris
|)]^erictt)inlel tP gel^ört aber bcr Eentrtett)in!ct 2 a® unb jit biefcm bcr

JBogen J?0, ber mit 2« bcjcici^nct »erben fott. ®§ ift alfo ©el^ne

-^

BC = 2 sin -g-, fobalb ber ffreiSrabiuS gleid^ 1 gefegt tt)irb. S)ieS

^olamfilter, aRat^ematit n. 11

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162

StUte Srbteilttng: Xtigonometrie.

gilt jugleid^ and) t)on bem größeren ber beiben ^etöbogen, bie jur
(Seltne BC gel^örcn, b. 1^. öon 2 tt — 2 « = 2 (tt — »), benn cg ift

sin ^ BB Bin a

Sin -g- • Kud^ lann man icbcn bcr bcibcn

S3ogen um 2 n; ober ein beliebige^ SStelfad^ed t^on 2 n; üergrö^em.

SRod^t man bagegcn ben 3tabtu^ beiS ftreifeiJ = y / f^ gel^ört

ium $ßeri^]^erietoinfel «^ ber Bogen JBC = r-2a = y-2a = a,

unb e^ ift sin «^ =*=

J5a

J?(7. golglid^: 3m ßreife mit bem

gi9. 111.

S)urd^meffer 1 ift ©el^nc ^= sin ^= bem ©inuiJ be8

jugel^örigen ^ßeri^l^erictoinfeti^.

$iert)on ft)irb Slntoenbung auf
gig. 111 gemad^t. 3m ^eife af mit
Surd^meffcr BD = 1 (unb 3tabiu8
r = y) finb an ben S)urd^meffcr bie
SSinIcI BDÄ = a unb BDC = ß
nad^ öerfci^iebenen Seiten angelegt,

fo bafe !r3" = a unb BC = ß bie
jugcl^örigen Ärei^bogen finb. S)abei

ift ^ C^2> = I — |3, ebenfo Sogen

.oB = | — ^. (SBarum?)
SRad^ 5ßtoremöui5 ift nun

ÄC'BD = ÄB'CD + ÄD' BC,
alfo nad^ ber vorigen ©ntft^idetung

sin (a + jS) . 1
= sin a sin (| - iS) + sin (« +.|3 + (| - jS)) sin jS

sin (a + jS) == sin a cos ß + sin ( ^ + a j sin jS ,

ober

folglich

a) sin (a + |3) = sin « cos |3 + cos a sin j5 .

Segt man bie SBinlel a unb /3 auf berfelben (Seite be§ S)urd^meffetö
ÄU unb ift c(>ßf fo flnbet man ebenfo

b)

sin (a — ß) = sin cc cos ß — cos a sin /3 .

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n. SHc tjttttitionett öon Äinlelfummcn unb bie Summen t>on fjunltioncn. 163
©cfet man in b) ftatt « bcn Soflcn ^ — « ein, fo erl^öft man

sin ( -g — €t — ß) ^=^ sin (^ — aj cos /3 — cos l-^ — «j sin jS ,
ober
c) cos (a + ^) =« cos a cos ](3 — sin a sin /3 .

©cfet man bagcgcn in Sormcl b) ^ + « an ©teile öon «, fo entfielet

cos (a — jS) = cos a cos /3 + sin a sin /3 .

S)ie 8C6Iettung für« unb ß gilt ^attcrbingg junöd^ft nur für bcn gaH,
bafe a unb ß f))ifec SBinlel finb. S)urd^ bie in 14) angctoanbten
©ubftitutioncn lafet fid^ aber aud^ l^ier bie SKHgemeingüItigleit für
beliebig gro^e SBinlel nad^toeifen.]

17) S)ie $au^)tformeIn für bieSlbbition ber gnnitionen.
3lad^ Dbigcm gelten bie gormein

sin (aj + y) = sin 05 cosy + cosa; siny,

sin (x — y) '^ sin x cos y — cos a; sin y,

alfo burd^ beiberfeitige Slbbition bejtt). ©ubtraöion:

sin (fl? + y) "h sin (x — y) = 2 sin x cos y ,

sin(a? + y) — sin(aj — y) = 2 cos» siny.

©efet man toiHIürlid^ a: + y = « unb x — y '^ ß, fo mufe man,

njie fid^ burd^ Slbbition unb ©ubtraftion ergiebt, x = ""^ ^ unb

y = ""^^ fefeen. ©o entftel^en bie gormein

3) * sin« + ^^ß '^ 2sin "'!'. cos ""7 , •

4) • sin« — sin j3 = 2co8 " "T ^ sin " "7 ^ •

®anj cbenfo folgen an^ ben gormein für cos(r» + y) unb cos(a;— y)
bie folgenben:

5) cos a + cos |3 = 2 cos ^'^ ^ cos ""7 ^ ,

6) cos a — cos /3 = — 2 sm — ^ sin — r-^«

S)ie gormein 3) bis 6) erleid^tem bie Sered^nungen mit $ülfe ber
Sogaritl^men. Sntoiefem ?

11*

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164 3)rtttc Abteilung: Xrigonomcttte.

III. (6mximttxxfift Üiimnt^tn.

18) 3m golgcnbcn tocrben gormcin aBgcIcitct, öon bcncn nur
ilc totd^ttgcn numeriert finb, bie übrigen finb Mofeei^ ÜbungiSmatcrial.
An tl^nen foH gcjeigt toerben, tafe jtd^ fd^etnbar com^jlicierte Slui^brüdEe
bi^lpeilen burd^ nal^eliegenbe .Umformungen ücreinfad^en unb noment::
üd^ ffir ben logarttl^mifd^en JRed^nungganfafe geeigneter mad^en taffen.

5unäd^ft toerben fSformeln über bie SBinlel 2« unb ^ öbgeleitet.

©efet man in ber gormet für sin(a + ß) ben SSKnlel « ftatt jS
ein, fo entfttl^t

sin (« + «) = sin « cos a + cos a sin a, *
folglich ift

7) sin2« «= 2sma cos«, sin« = 2sin— cosö"*

ajlad^ xtum baSfelbe mit ber gormel ffir cos (« + ß), f o erl^öft man

8) cos 2« = cos*« — sin*a, cos« = cos*— — s^^* ö^*

ajlan lann oud^ fd^reiben (mit ©fltfe t)on cos* a -f sin* « = 1)

cos 2a = 1 — 2 sin* « = 2 cos* « — 1,
unb baraui^ folgt:

^x . 1 /l — cos 2 a . a i/l

9) sma=y 1 , Bm-^^y-

— 008 a

^^v i/l + C082a a t /l + COB a

10) cosa^y-^ — , cos-=^ K 2 ' •

S)urd^ J)iijifion entftel^t l^ierau«

. T /l — cos 2a . a i/l — cos a

tan«- Kl + co82a' ^^^'^l" Kl + co8a-

(£9 ift

(a , .a\* / «a, .9a\,-.a a ., .
cos- +Bm-^) = l^cos*- + sm*2-j + 2sin-cos-2 = 1 +sma,

folglid^

cosl + 8in| = ]/l + sina,

a . a -yn :

COS — — Sin ^ = y 1 — sm a ,

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in. Oontomcttifd^e Übungen. 165

dfo brxxd) Slbbition be}h). ®u£traItion

2cos g- =« ]/l + sin« + 1^1 — sin«,
2siii— =s }/l + sin« — }/l — sina,

unb burd^ 2)iöifton

, a y 1 + sin « — }/ 1 — sin a
2 y 1 + Bin a + yi.— sin tt

Kuä cosa — cos*!^ — sin^l" f^^^Ö^f ^^^^ ^^^ ^^^ ^^^^^ ®^*^ ^"^^
1 ober co8*|- + sii^*!^ biDibiert, tooburd^ nid^tö geänbert »irb:

cos«-- sin«-

COS « s»= ,

cos«-+ sm*-

ünb xo^1Ki^ man jebeiJ ®ßeb beg gSl^IeriJ unb SRennerf burd^ cos* |- btölbicrt :

l-tan«| •
cosa =

l + tan«|
Auf benifetten SBege ergtebt ftd^ mi^ sin« = 2sin|- cos|- bte gormel

2taa--
2

sina =

l + tan«!

19) 3formetn für ben ©inui^ be jm. ffiofinui^ bDti 3«, 4a, 5a.

sin 3a BS sin (2a -ji- a) = sin 2a cos a + cos 2a sin a
= 28in a cos a cos a + (cos* a — sin* a)8in a = 3 sina cos*a — sin'a.
©efet man l^ier 1 — sin* a ftatt cos* a, fo folgt
sin 3 a «» 3 sin a — 4 sin' a.

2femcr ift sin 4a = 2 sin 2a cos 2a = 2 • 2 sin a cos a (cos* a — öin*a),
xo(3i% fid^ nod^ auf sin a alletn rebucieren lafet.
©übe ferner

sin 5a = 5 cosa — 20 cos'a + 16 cos^a,

cos 3a "=- 4 cos'a — 3 cosa,

cos 4a = cos* a — 6 sin* a cos* a + sin* a.

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166 S)titt'c ?lbtctlttttg: 2:ti0onomctttc.

tt)a§ nod^ auf lauter KojtnuiS rcburicrt tocrbcu lanu,

cos 5 « »» 5 Cbs a — 20 cos^ a + 16 cos* a.

20) ßinigc laugcntcnforntcln.

/ , -«v sin (a + ß) sin a cos ß + cos a sin 8

tan (a -I- o) = — r — T \>. = Sr= — : • — ^ •

^ I!-r>/ C08(a±P) cos a cos (J -f Bin a sin /?

S)it)ibtcrt man ben 8*^^«^ uub JUenncr bcr redeten Seite burd&

cos« cos /3, fo entftel^t .

it\ 4, r i a\ tan«±tan(J

©cfet man ß ^^ a, fo geben bie oberen »orjcid^en

1 o\ X o 2 t«n a

12) tan2a = :; . , -

^ 1 — tan* a

2)a tan45<*— 1 ift, fo folgt au^ 11)

3n. ganj entf|)red^cnber 5B3eife lönnen aud^ gormein für bie
Eotangente enttoiäelt njerben.

21) 3lai) 3) ift

1 + sin« — sin 90^ + sin« = 2 sin(45®+ |) cos(45<>— |)

« 2 8in«(45^+ I) = 2 cos« (45^— I).

®benfo ift

1 — Bin a = 2 cos ^45^ + |) sin (45<>— j)

= 2 cos» (45« — I) = 2 cos« (45^ + I) •
®urd^ S)iöipon unb SBurjelauSjiel^ung folgt

tt)oju bie ©d^Iußformel t)on Kbffä^nitt 20) öerglid^en werben lann.
SSon geringerer ©ebeutung pnb bie gormein

. ^ a sinß , sinß sin a cos ß + cos a sin jj sin(a±ß)

tana + tan ß = — - H ^ «=* ^--== — s ^ *= — ^ o «

^^ »^ cosa -^ cosp cos a cos /J cos of cos^ '

... ^ sin (a ± (?)
cot a + cot ß =a . ^ — -^ •
— "^ sin ff sm p

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III. ^oniontetrifd^e Übungen. 167

3)p8eflcn finbct man gormcin l)on l^eröorrogcnbcr SBid^ttglcit im
aritl^mctifd^cn Xcüe (Stifd^nttt VI), too fic mit ^ülfe bci^ binomifd^en
Scl^rfafecS cnttoidclt finb.

[22) »cred^nung bcr ' fSfunltioncn einiger befonberer
äStftlel.

3n XeitI Seite 175 tourben bie SBertc einiger SäSinlelfunftionen
auf gcomctrifd^em SBege bered^net. ©oniometrifd^ erreid^t man baiJ-
felbc folgenbermafeen:

«u^ coB|-.]/i±^ folgt j.».

cos

l«.]/'"^"""

n

n-

4 2 ^8

ebenfo ift sin| — }/I.

ÄuS cos 3 a == 4 cos' a — 3 cos a fotgt J. S3.

cos 90^ — 4 cos» 30<> — 3 cos 30^

ober, ba bie Knie ^eite gteid^ 3lutt ift, nad^ J)it)l(ion burd^ cos 30^,

4 cos* 30» — 3 , alf cos 30^ = }/I = sin 60^

golglid^

sin 30^ = l/i-A = -j/l = I = cos 60^.

%yx% ber gormel für cos 5 a folgt für a = ^ = 18^, atfo für
5a = Y unb cos 5a ™ 0, — 5 cos ~ — 20 cos*^ + 16 ^^^^T^t
alfo nad^ S)iöifion burd^ ®^^^

Ä n 5 9 ^ 5

^^« iö-TC«S«10^ 16*

S)aratti^ tofirben fid^ für cos* ^ bie beiben Söfungen ^-^^^ ^^'
geben. 9lun lann aber nur einer biefer SBerte rid^tig fein. . Sebenft
man j. S3.. bafe cos« 18<> > cos* 30^, b. 1^. > | ober | fein mufe, fo
erfennt mim, bag bai^ negatit)e 3^^^tt ju t)ertt)erfen ift. S)emnad^ ift

C0B18^ = j/y^ = sin720.

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168 2)titte 9i(teilmtg: 2:rigoni)metrie.

2)ai^ anbete SBut^eljeid^cn lommt in 3foIgenbem jnm SJorfd^etn. -SHe
fjormel für sin 5« gel^t ffir « — ^ b. 1^. 5a — ot über in

— 5 sin| — 20 sin» J + 16 sin^l,

ober na6) S)it)ifton bjtrd^ sin ^ in

au(i^ ^tetouä tofirbefür sin« j folgen ^±P • ®o abn sin* SB" < Bin*45«,
b. ^. < Y fein muß, fo ift '"^3 ju gro6, unb e« folgt

sin 36" — y^-^P^ -= cos 54».
Ättg cos|^ — 2 cos*« -• 1 folgt für |^ = f :

cos J = 2 C08*g - 1 = 2 y^ - 1 = ^?^'— cos 36»= sin 54«.

«tt« cos ^ = 2 cos^l -1=2 \]^^J - 1 folGt cos 72»

aRit $ülfe ber oBigen Formeln laffen ftd^ nod^ biete onbere Beted^nen,
j. «. sin 15» = sin^ = 11^2 — Ys, cos 15» = y Vh^^I^,
tan 15» = 2 — /s, cot 15» -=» 2 + V^. SDorott« folgt §. ».
sin 7-i-» = sin ^° -= 4-[vT+/2 - ^6 — 3/2] . Serner ift
sin 22|» — sin f° = ^V^—Yl, cos 22|» = }V2+yl,
tan22f» — 1/2— 1, cot22y» = >^ + l u. f. »).]

[23) $anbett e8 ftd^ nm bte SBinlel eine» Dreiedä, «, |S unb y,

• tf -4- A

fo ift öor allent jn bead^ten, ia^ « + /3 = 180^ — y nnb — y-^
= 90^ — J ifi. S)arang folgt

8in(a -j- jS) = siny, cos(a + |3) = — cosy, tan(a+|3)5= — tany,

.a + jJ y a+ß .y «J)-^ y

8in-^=co8-2, COS— 2— = Sin l, tan— 2-^ = cot -g.

©0 folgt j. », aug

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ober

ni. ®oniometrifc^e Übungen. 169

tan (a + j3) = — tan y

tan a + tan ^

1— tan«tan(l~~™^y

tan a + tan j3 + tan y = tan a tan j3 tan y.

2lu8 « + ^ -f y = 180» folgt (90« - f ) + (»O» - f ) + (90» - J)

= 270° — ^^J=4"~ = ^®^"- Solöfid^ 8«t ottd^ für btefe neuen
S)reted8tottdel bie gormel

tan (90« - J) + tan (90° - |) + tan (90« — |)

= tan (90« — I) tan (90« — |) tan (90« — |) ,

dfo ift ffit S)reteddtt>inlet ftbetl^au))!

cot ^ + cot|- + cot|- = cot Y cot-|- cot|^ •

sin « + sin /J + sin y = sin « + BÜ* l' + sin (« + /J)
_ 2 sin!^tP eos^^ + 2 sin^^ cos^-^

. =2sin?45[cos^ + cos^T

« . a + Pl « 2 "^ 2 . 2 2
2 Sin "Y"^ 12 cos ^ sin ^

2 Sin — ~-^ 2 cos — cos ^ •

folgt

sin « + si^ /^ + sin y = 4 cos -r cos ^ cos

SSl^nltd^e gormein laffen fid^ nod^ in größerer gal^I ableiten. SSerfud^e
j. ©. folgenbe jn Betocifen:

sin « + sin /3 — sin y= 4 sin — sin |- cos g- ,

ff ^ y

cos a + cos /3 + ^ös y = 1 +4 sin — sin ^ sin ^,

cosa + C08/S[ — cosy «= 4 cos g- cos|^ sin|- — 1,

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170 S)ntte 9(6tei(un0: ^Itigonomettie.

cos« + <5öS/S + sin y = 4 sin (45^ + ^J sin (46®+ ^j sin|-,
sin a 4- B^B fi 4- Bin y . « ,ß

— i . ^ '. «= cot TT COt~-

Bin a + Bin p — Bin y 2 2

tan |-tan|^ + tan2-tan|- + tan^tanj = 1,

cc 8 ß V ß V

COt-r- COt^ — ^^* 2 ^^2 — ^^* 2 **^ 2 "" ^'

tt 6 y tt y I

cot-^ — tan-|^ — . tan|- — cot ~ tan "l tau -|- • J

[24) ®ontontctrifd^c ©leid^unßen. (Scrgl. Seite 151.)
©ine Befottbere Strt öon tran^cenbenten ©leid^imgen erl^ölt man,
toenn bie Unbelannte ate ©ogcn ober SBinlel öon goniontetrifd^en
gmtftiotten öorlommt. 3lnx einige Seif^jiele feien angegeben.
Wttfgalie. f^r tneld^e SSinlel bejto. SSogen ift

asinrr ==: ft coso??
«ttflBfttng. j?^ = -, tanir = -, alfo a? = arctan-, b.l^.

X ift bcr Sogen, beffen langente - ift. S)cr ©ogen bejto. SBinfel

ift mit ^ülfe ber trigonontetrifd^en lafeln ju beftimmen. .
Wttfgalie. Sür tneld^e Sßinlel bejtn. Sogen ift

sina; + cosa? = a?

Wttflofttng. sina? + yi^ sin*a? = a,
yi — sin^a? = a — sina;, 1 — sin^a; = a* — 2 a sina? + sin^a;,

1 - a« . a± ^2— a«
—2—' 8maj=^-^2 '

. a±l/2— a«
a? = arcsin ^

2

(SBie grofe barf ber abfolute Setrag öon a l^öd^ften« fein?)
Wttfgalie. gür loeld^en SBinlel bejlo. Sogen ift

a sin 2a; = & sina;?

Wttflofttng. 2asina;cosa;«=fesina;, cosa?==s— , a;«=arccos5—

Wttfgalie. gftr toeld^en SBinfel ift a sina; = 6 cotaj?

WttflSf ttttg. X = arccos — — \J* • J

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lY. @&^e über bie (Seiten unb SBinfel bed S^reied». 171.

IV. S% fitor l>tt Seiten «nl> Wxnkti ht$ 3l««ibs*

23) ®er langcntcttfal.

Sür bic Drctcdgtoinfcl gilt bcr ©intt^fafe sin « : sin j3 : sin y
^^ a:h:c. StuiJ ber ?ßro})ortiott

sin a : sin /3 = a : &

folgt nad^ letl I, ®eom. 3lv. 152

(sin a + sin /3) : (sin cc — sin j3) = (a + 6) : (a — h),

Sd^reiBt man bted in aSrnd^form, fo ergieBt fid^ bnrd^ Umformung
bcr ftlammem

""■'-2— '""-T^ ^g + t

ober

tan — ^ , ,

2 a + b

1)

tan — -P

3)iefer @a^ l^eigt ber Xangentenfa|. ai'tit feiner $ülfe lann man

ein S)reiedE an^ a, h unb y Bered^nen, ba bann " ^ ^ = 90^ — |- tft.

fdlan Bered^net

tan — --S- = — r-T tan — ^
2 a + & 2

unb fittbet burd^ SSbbition unb ©uBtraltion auiJ " ^ ^^^ ~"2

bieSBertefüraunbjS.

(eine leidste ?ßroBe er^ ^'^ ">

gieBt fid^ baroui^, bafe ^^-

« 4- /3 + y = 180<>

fein mui,)

[©eometrifd^eSSB^
leitungbe^Iangenten*
fa|e3: SSm »reiedE • x^ ^ / • x r>

^5ain8fig.ll2fei ^^ ^ ^— *"^-^"l,

CJE7=6ttnbbieSJers ^ ^ .^

längerung CD = &,

alfo'5^ = a-'b mi BD = a + b. ®ie aSerBinbungj^ünie D^i ift

fig jum ©d^nitte mit bem Sote BF verlängert. S)aBei ift ^ CDÄ

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172 S)ntte SKteilung: Xxi^tmomttxie.

= Z . (900 - ?4i), ^j„ tan^lii-cotl-g ob«

1) tan^-^ — ?^. gerner ift ^ EAD = 90« afö $ert))^erie:=
toinlel bei» Reifes, ber, mit fRoinvS b rm C gefd^Iagen, burd^ D, Ä
Mttb i? flel^t. Söfo ift ^E^C=90« — J unb < B^£ -=

-K-|)-(« + l)-»o"-(« + l)-(l + l + l) .

_ IzJ. 9te id ate BE^f d. ®dina»i™i, b« Me Sei

5 uttb Jl ficgcnben SBlnfcI be^fcftcn jtnb redete. Solglid^ flnb bic
5ßcri|)]^crictoittlcl BFE unb JB^i^ cinanber fllcid^, unb e^ ift aud^

^BFE^"^^' 3lmi^itiin^BFE = ^, alfo 2)tan?^

= ^-g-^ ' S)ur(j^ ®iöiflon crl^&It matt an^ bctt ©Icid^uttgctt 1) uttb 2),
ba -B-F jtd^ ^tbt

a + ß

tan

2 a + fe

2

®icfe Stittoidcluttg ift öott bctt gottiotitctrifd^ett ©utntnettformcitt utt-
abl^ättgig uttb laun au6) t)or beufelbeu burd^geuonttnen tt^erben.]

24) gfolgeruugen be^ (£ofiuudfa|e^.
fHaä) beut (£ofinuj^fa|e ift

a« + &' + c»
cos y = ' , — ,

folglid^, tocutt man auf bcibcn Seiten 1 obbicrt,

1 + cos y == 1 H ' , — = ^^ — -TT-T /

' ' ' 2a& 2ab '

ober, toenn man im Saldier bie S)iffcrenj ber Ouabrate in ein
5ßrobuIt jertegt,

Stotn ift aber

1 + cos y = 2 cos* ^ ,
fülgfit^ ift

^^^^ 2 2^6 -'

unb

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IV. ©d^c über bic Seiten unb SBinlel beiJ 3)reie(f^. 173

too in frfil^crcr Scjeid^nung^toeifc (ögl. Seil I 3te. 119 unb 120)
" g"*" ^ =jP; ^ g ""^ =-jP8 flcf^fet ift, unb eine einfädle Deutung
bcr p ate langenten bei^ Stt-ff^rifeS möglid^ ift.

3n äl^nlid^er SBeife folgt an« ber SSnfangggleid^ung

o« + 6«--c« c«— (a— «;)« (c+a~6)(c-.a+6)
l_cosy=l 2^5— = 2^r- = 2^&— ^ '

, olfo, ha 1 — cosy = sin^l^ ift,

^ 2 r lab V ab Y ab *

aug 2) unb 3) folgt burd^ SKuIti^jIifotion unb Sufefeung be« gaftor« 2,
bo 2 sin^ cos ^ = sin y ift,

4) ainy .^ ^ l/ ^" + d + c) (- a + & + c) (a - 6 + <)(« + &^^

— ^ Vl'(l> — o) Cp — 6) (P — c) ■= ^Vi'l'ii'sl's;
burd^ SHtitfion bagegeit folgt

5) . i^n'^ = ^/^:^^SpZ^ '

^ 2 V p(p — c) Y ppt

%tx 3n!^aftgfa| ergieBt, loic in Xeil I:
6) F=jabsmy^ yp{p ^ a) (p — b) (p — c) = YpPiPiP^ .

S)antit finb bie in Icil I auf geontetrifd^em SBege abgeleiteten gormein
im toefentlid^eu goniometrifd^ cnttoidEelt. ®ic SRabicn ber Scrül^rungg'

feeifc Q, Qi, Q2 ttub ^3 ergeben fid^, toie in leil I, an^ i^ = ^

„ Pi Pi ^^ P% Pi ^ Ps9i ^f o
2 2 ~2~ ^^^

9=V^, ^.=1/^% ^>-V^. 9.=]/'-^'^
bie langentcn ber l^atten SDKnlel ergeben fid^ in Scjug auf q al«

K-l;. «"1-^. "»l-p^i

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174 dritte 9(btetluttg: ^Irigonomettie.

eiJ ift aber aaä)

2 p ' 2 p ' 2 p

25) 9la(^ bent @intt8fa|e i^ ^ = p^ unb A-^,

; ^ ^ * ' . c Bin y c am y '

alfo anä)

g + ^ si^i « + sin j5
c sin y

ober, ba siny = 8iii(a + ß) ift,

(a + fe) sin (a + /3) = c (sin cc + sin /3),
alfo

(«+ ,>28in?4£cos^±^ = 2c(sin?^cos^),

fo bafe

7) . (a + h) cos " "^^ = c cos " ~ ^ -

(SBenfo folgt. auiS htm @tnui^fa|e

a — & sin a — sin ß
c siny

ober

(a - 6) 2 sin^ cos?^ = 2c cos5L±i sin^,
folfllid^

8) (a-6)sin^=csin^. .

S)urd^ S)iöifion lann man au« 7) unb 8) ben langentenfal ableiten.
S)ttr4 Betberfeitige Duabrierung unb Äbbition erl^ött man femer

(a + &)«.sin| + (a — 6)*cos^ J «= c^

3ft öon einem S)retedE a, & unb y gegeben, fo erl^ält man burd^
SBered^nung ber fiogarit^men ber Knien Seiten öon 7) unb 8) ju^
gleid^ bie Sogarttl^men ber redeten Seiten unb burd^ ©ubtraftion

berfelben lg [c sin " ~ H — lg [c cos — ^] = lg tan " ~ ^ , loorau^

fid^ ber SBinfel ^^-^ ergiebt. S)urd^ Slbbition bejto. ©ubtraftion ju

—^ Ö^^^^Ö* ^^^ '^^f ^ ^^^ ßf f^ ^^fe ^^^ fämtlid^c DreiediJs
toinfel l^at, bereu Summe toteber auf 180^ fül^ren mufe, toenn man
rid^tig gered^net l^at. (5ßrobe.)

®ie Sä|e 7) unb 8) loerben bigloetlen d^ ber ®an^^ä)t
^oppel^a^ bejeid^net.

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V. ^reteÄSbercd^nungen. ^ 175

26) Set bcn ©rcicdgBercd^itungcn lontmt cg tocfeitötd^ barauf
an, ob nur xtaä) einem einjigen ©tüd gefragt. ift, ober ob fämtlid^e
nod^ nid^t befannten Seiten bejlo. .SBinfel unb jugletd^ ber S^l^alt
ober an6) We Slabien ber ^att<)tfreifc bered^net toerben foKen.

@inb j. ©. a, h unb c gegeben unb toirb nur nad^ einem SBinfel,
j. SB. y, gefragt, fo benufet man j. S. bie gormein

cos

l^V: 4^6— ^^^^ ^^^2 = V(^+b + c)(a + h-Ty

bie im allgemeinen bequemer finb, al^ bie aud bem S^ofinui^fa^e ent?

fljringenbe gormel cosy = — -^-^^ (Se^tere ift nur bei

Heineren gal^Ientoerten öorjujiel^en, bei benen Sogaritl^men nur gegen
ben ©d^Iufe nötig finb.)

SEBirb bagegen na^ aDen SSinleln unb jugleid^ nad^ bem gnl^alt
gefragt, fo bered^net man bie ^ülfggröfee

_'l/ (~ a + h + e) (a — h + c){a + b — c) _-\/p^KPs
^— V 4(a + fe + c) ~y P

unb. bilbet tan^«=~, tan|^ = -^ (jur äJrobc tan- = — ) unb
2 Pi' 2 ' p^ V ^ 2 p^J

enbfid^ F^=p * Q.

3ft a, h unb y gegeben, unb n)irb nur nad^ F gefragt, fo

nimmt man bie gormel F= ~\al> siny. S35irb bagegen naä) a unb

ß gefragt, fo knufet mo« jur »etec^nung t.o« (^) ben langenten»

fa|, loie e^ frül^er erläutert tourbe, ober aud^ ben ©au^fd^en S)o<)<)eIfa^.

"än^ ^^^ = 90^ — |- unb "^-^ finbet man a unb /3 unb mit

$ülfe beö ©inu^fafeeg c. S)en KopunSfafe c = ")/a^ + b^ — 2a&cosy
toirb man nur anloenben, toenn Icbiglid^ nac^ c gefragt n)irb.

SBei 8lnn)enbung öon Sogarit^men toirb man im allgemeinen bie
5ßrobuftformeIn öorjiel^en.

27) 3m allgemeinen entf})rid^t jeber 8(ufgabe an^ bem Oebiete
ber S)reiedEg!onftruItionen eine SBered^nung^aufgabe trigonometrifd^er
Slrt. 3ft bie erftere gelöft, fo fonn man in ber SRegel barauö ben
©ered^nung^toeg für bie anbere ableiten. Sigtoeilen fommt man aber
auf rein trigonometrifd^em SBege nod^ fd^neKer jum giele.

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176 ^ S)nttc Stbtcilung: Xrifionometric.

SBci fd^toicrißcr crfd^cincitben SlufgaBcn l^elfcn Bi^cilcn a5c=
jiel^ungcn, bie auiJ ber ©contetrtc Mannt finb ober ftd^ leidet auf
triöottomctrifd^cm SBege ableiten laffen. 3tammÜx^ jtoifd^en r, q, q^,
Qit Qif ^ ^^'^ i>^« SEBinleln a, ß unb y finben jal^Ireid^e Scjiel^ungen
fold^er 8(rt ftatt. ©iitigc mögen i^t Solgenben enttoidelt loerben.

28) ©oK bie Sreied^ftäd^e aug r, cc unb /3 bered^net toerben,
fo l^anbelt eiJ fid^ nm F^^jahsiny, too a = 2rsiacc, fe = 2rsin/3
ift, alfo um

1) ^= 2r* sin« sin/3 siny.

©oö aufeerbent ^ Bered^net toerben, fo erl^ätt man an^ F= ^ ^ ^ ^
burd^ ©infefeung öon a = 2r sin « u. f. to.

F^=> r (sin a + sin /3 + sin y)^,

ober, ba nad^ StBfd^nitt 23) für bie ßlammer 4 cos -^ cos 1- cos |-
gefd^rieBen toerben fann,

2) i^'a« 4r^ cos— cos^ cos — •

gül^rt man in gormel l) f , f unb |- ein, j. SB. sina = 2sinYCos-| ,
fo ergiebt ftd^ auS ber SSergleid^ung öon 1) unb 2)

3) ^ = 4rsm-8m^sm|-.
S)urd^ S)it)ifiott folgt nod^ auiJ 2) unb 3)

4) i^=^2cot|cot|cotf

fo ba§ F auä) an^ q, a unb ß bered^net werben fann.
@g ift femer

^= 2 gs = ^(sina + sin/3 — sin 7)^3,

ober, ba nad^ 8(6fd^nitt 23) für bie ffilammer 4 sin |^ sin -^ cos |-
gefd^rieben loerben lann,

ö) F= 4r^8 sm-- sm -|- cos -|- •

S)urd^ Sergleid^ mit ber auf bie l^alben SBinfel rebuderten gormel 1) folgt

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V. Jjreiedsbeted^nungen.

177

6)

^3 = 4rcos-co8|8m|,

fo ba^ aud^ q^ aug r, cc unb ß, unb ebcnfo (>i unb ^^ Bered^net
tocrbcn fönnen.

S)urd^ Diöifion folgt au^ 3) unb 6)

7) ^ = tan|tan|,

tüoburc^ bcr Sttfowiwienl^anfl jtoifd^ctt ben SRabicn ber famtüd^en Sc^
rül^ningSkcife öeßcbcn ift. (E^Hifd^c SScrtaufd^ung bcr SnbicciJ unb
SSinIcI.)

S)urd^ aSerglcic^ mit 4) folgt nod^

i^— 9^3 cot |.

9)

SSug bcn gotmeln 3) unb 6) unb au^ 8(bfc^mtt 23 folgen bic nad^^
ftel^cnben:

9)

1 + COS a + COS jS + COS y = —
1 — cos« + cos/3 + cosy = •^,
1 + cos a — cos/3 + cosy '

r
9i

1 + cos a + cos j3 — cos y

^8.

S)urd^ atbbition ber brei Icfeten erl^öft man

3 + cos« + C08/3 + cosy = ?l-+-^-±-?s^

ober nac^ Slbfd^nitt. 23)

4r[8iii I sin| sm|- + l] = (>, 4- (»2 + ^g.

Stug 3) folgt ebenfo

4r[8in | sin | sin |- + l] = ^ + 4r,

alfo gilt bie gcometrifd^e gormel

1) Qi + Qi + Qi — Q'^ ^r.

(SSergL ©eomettie 5Rr. 10.)

®^ giebt nod^ eine rcid^c gfüttc cil^nKd^cr gormcin, ani bencn
fid^ ganje &xnpptn bort Scred^nung^aufgaben ableiten laffen.

^orsmüUer, ÜRat^ematif. II. . 12

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178

S)rittc «rbtcilung: Xrigottotnctrie.

Sifl. 11«.

1 /

;^'V

— Li_2^

29)9litfgaIie.2)ieS'

fcitg eineg ©trotncS ift
eine ©tatiMittie ^ jB = c
gemeffen. Um eine
©trede CC^ ienfeitS
begfelben ju beftimmcn,
mi^t man Bei A bie
SBinf cl a nnb . «x / bei
J?bieS3Jinfeipunbft.
8BteiftCCi=ir8ube'
red^nen? (gignr 113.)
Vuflofuns« 2)ie
853infel y unb y^ unb
1 = ^1 — 15 finb be=

fonnt. SlnS bem @ittugfa|e folgt BC = ^^, J^C^
auiJ bem KojtnttiJfa|e bie Sered^nung^formel

smyi

^ alfo

T/7Biiia\2 , /8ina.\2 ^sma sin«! j.

r \8iny/ ' \8inyi/ siny sm yi

30) ©ei ber legten Slufgabe mn^te mit ben gelbme^ctp^jaroten

bei A unb B gearbeitet
toerben. SBid^tiger ift e^
für ben Sanbmeffer, ben
Drt eine« ©tanb<)unlteg
}u beftimmen, inbem man
nur t)on bort auS nad^ ben
©den eines bereite feft?
gelegten S)reiecf8 öifiert.
®ieg ift bie fogenannte
Jßotl^enotfd^e aufgäbe
ober bag fogenannte Jftüds
toärtgeinfd^neiben. S)ie
aufgäbe lommt auf fot
genbe l^inauiJ:

Vuf galie. S)ie Seiten
a unb h eines SreiedS,
t)on bem man aud^ ben
SBinlel y fennt, erf^einen

'\^^^

öon einem @tanb<)unlte D m^ unter ben SBinteln « unb |S.
toeit ift D öon ben ©den A^ B unb entfernt?

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V. ^eictfjJbetcd^Tmngcn. 179

^ «ttflBfttttg. 3« giflur 114 tft ^^ = 180^ ^'L+l+l.
Stu« 1" = -^ mCo - = ^^ — - folgt burdb S)imfion -v— ^ — , . ^

fe Bin p a ein a ' ° ^ ' am ij & am a

«.et -. ein I + ein 1? a ain ß 4- & sin ce , . o-.

unb baber catra -= — ?— ^ — : — - == — * — ^^— ^ — : — . ober unter Sin«
^ ^ am 4 — am T? a ain (5 — 6 sin a ' ^ ^

toenbung ber ©nmttticrunggfomtdn nnb einer cinfad^en Untforntung

tani±-5 1+^-
2 ' g am p

2 a ain p

alfo

& ain a
2 6 Bin a 2

a ain ^

S)araug beftimmt fid^ ^-i"^/ fo bajs man mit ^filfe öon ^-^^ au^

§ unb »? finbet.

5Ra^ bem ©inugfafec erl^alt vxan fd^Iic^Kd^

sin a ' ^ am a ain p ' am ß

»eif^liel. g« fei a = 9800 m, b = 12 500 m, y = 110<> 20',

« = 150 8; ß = i%^r,

Kttflofung. rc = 29 920 m, «/ = 28 435 m, ^ = 17 392 m.

3m ©egenfafe jum SifidEtoärtScinfd^neiben bejeid^net man bie
unter 29) bargeftetttc aReff ungg- unb Sered^nunggnwtl^obe al^ ba^
SSortoört^einf^neiben. SSei größeren ©ntfemungen barf man
bie atefultate ni^t o^ne toeitere« benu|en, ba bie förümmung ber
@rbe berüdfid^tigt toerben mujs. 3ft ein Sanb öottftänbig mit einem
3te|e fold^er S)reiedEe bebedft, fo fontroKieren fie fid^ getoiffermafeen
gegenfeitig. 3)ie ®enauigfeit toirb gro^ genug, um j. 35. ju geftatten,
auiJ einem über ganje SBeltteile auigebel^nten S)reiedEgne^e Sd^Iüffe
auf bie ©rbgeftaft ju jiel^en, xoxt cg bei ber großen eurol^äifid^en
®rabmeffung gefd^al^.

12"

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180 ^ttte SKteiltmg: Trigonometrie.

8m~ = cosj-= Kyr 8in- = co8 y^y, sin ^^ = cos-« y 1/3.

sin* a + cos* a = 1 , sin (y — a j «» cos a , tan ( y — a j = cot « .

sin a , 1

= tan a «=»

cos a cot a

©ebeutet /*(«) eine gomometrifd^e gunftion öon'a, fo ift, ob?
flefel^en öont SSorjeld^en,

/^(a) = /•(?« — a) = /"(jr + «) = /• (2 Jt — a) = /*(- «) .

®ag Sorjeid^en Beftimmt fid^ au« ber Duabrantcntabelle:

Sinu« + H

Cofintt« H f-

lonflente H 1

Kotangentc -\ 1

sin (« + /3) = sin a cos ß + cos a sin /3 .
cos (a + 1^) *=" c^s « cos /3 + sin a sin /3 .
sin a + sm p = 2 sm — ^-^ cos — r— ^ •

Sin a — sin p «s 2 cos — ^ sm — — -^ •

COS « + COS P ~ 2 cos ~~-^ cos — r~^ •

cos a — cos p «==» — 2 sm — ~-^ sm — r-^ •
sin 2 a = 2 sin a cos a , cos 2 a = cos* or — sin* et .

l/l — cos 2a l/l + cos 2a
sina= y , cosa= y —^ 1

X f \^ Q\ tan a ± tan 1?

tan(« + ^) = ^^tan«ton l-

2 tan a

tan 2 a = :; 7 — ä —

1 — tan* a

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VI. Sufammenftcöung bcr »id^tigften gfottncin. 181

©ittugfafe:

a : 6 : c = sin a : sin j3 : sin y .
Kofittu^faft:

c^ :x:s: a^ ^ l^ — 2 ab cos y .

lanflcntcnfal:

(a + 6) : (a - &) = tan ^^ : tan ^^ •

J^= Y a& siny

= |y(a+& + c)(--a + fe + c)(a~& + c)(a + 6-c)=Vm^.
. y _ 1 t/ (— g + 6 + c) (g - & + c) _ l/KK

n/.Q H = ± 1 / (^ + ^ + c) (g + & — c) l/m
^^^2 2 r 5^ K gö "

y i/(— g+6 + c)(a— 6+c) l/pTPi • ^ _/

_ i l/ (— g + fe + c) (q — & + c) (« + & ^ ^ -l/KKK
^""«r a + 6 + c rp

F = PQ^PlQl ^P292'==PsQ9'
+Q« ** Q _^9^ +o„ P _ ^ _ ^« fflTi y = *?- — ^ .

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stierte 5lMeiIuitö,
^texeometxic.

S)le im erftctt Seile auS ber Stnfd^auung enttoidetten »egriffc
unb ©runblagen ber Slauntgconictrie toerben in golgenbem auf mcl^r
matl^entatifd^em SBegc untcrfud^t, toobci jtd^ SBiebcrl^oIurtöcn ni^t
toermciben laffen. @iJ cnH)fie]^It fid^ für ben Unterricht, bcibc SRctl^oben
toergleid^cnb ju Bel^anbeln.

1) ®re]^ung um einen feften 5ßunlt. S)enft man fid^ bie
S3eU)egIid^Ieit eine^ (ftarren) Slaumgebilbe^ baburd^ befd^ränft, bafe
man einen feiner fünfte feft mad^t, fo fann eö um biefen beliebig
belegt, b. i). gebrel^t toerben. S)er geometrifd^e Drt für aUc benftaren
Sagen iebeö feiner fünfte ift babei eine gläd^e, bie man atö Sugel^^
fläd^e bejeid^net. [^ugelför^jer, ober föugel, 3KitteIpunft ober ©entrum,
2)urd^meffer (S)iameter), ^albmeffer, ({Rabiu^), Slegelmä^igleit ber
Släd^e u. f. to. fiel^e in leil I, ©eometrie, öon 9h:. 37 ab.]

2) S)rel^ung um eine fefte Äd^fe. S)enlt man fid^ bie Se-
n^eglid^feit eines SRaumgebilbe« baburt^ befd^ränlt, ba§ man jttjei
feiner 5ßunlte feft mad^t, fo ift eine S)rel^ung möglich, bei ber jeber
feiner fünfte einen SreiS befd^reibt. @ine gcloiffe Sleil^e Don fünften
befd^reibt unenbtic^ Meine ^eife, bleibt alfo an ber ©teile. S)icfe
fünfte bitten bie (gerabünige) Srel^ungiJad^fe beS S'oxptx^, bie
man fid^ big inS ©nblofe verlängert benfen fann. (SSergt SeiM,
©eometrie, 9h:. 11.) Sie gel^t burd^ bie 3KitteI<)unIte fömtüd^er ^eife,
bie t)on ben ^ßunften beS ©ebilbeS befd^rieben toerben.

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I. S3e(;tiff ber ^el^ung unb Sntftel^ttng bon ^rel^ungi^gebtlben. 183

3cbc Sinic beiJ {RaumflebilbeS
ficfd^reibt eine gtäd^c, bie man ate
S)rc]^unggfldd^c (ober Stotation^i^
fläche) bcjcid^net.

3ebc®crabc, tocId^cbicS)rc]^ung^^
ad^fc unter einem nnöeränberßd^en
SBtnfel fd^neibet, befd^reibt eine be-
fonbere 8lrt öon ßegelflöd^e (^eii^-
leget). ®er ®d^nitt^)unft l^ei^t bie
®px^t beg Segefö. 3^ i^^ treffen bie
beiben letle be^ Äegetö sufammen.

3ft ber ©d^nitttoinfel ein red^ter,
fo gel^t bie ffiegelftäd^e in eine glad^e
über, bie man afö ffibene bejeid^net.

Siegt ber @d^nitt))nnlt unenblid^
fem, ift dfo bie ©erabe paxaUtt jnr
S)rel^unggad^f e, f o entftel^t eine befonbere
«rt t)on C^Iinberfläd^e (^ei^^
c^Knber).

3cbe unbegrenjte ® erabe, bie toeber
paxaUtt jur ®rel^ungi5ad§fe ift, nod^ fie
irgenbtoo f d^neibet (toeld^e fie alfo tecujt,
DergLIeü I, ®eom. 3lx. 13), befd^reibt
beim ©reiben eine cigentfimlid^e glad^e,
bie ben Siamen S)re]^ungg]^9^)er'
boIoib*)fu]^rt. 3m befonbercn gaKc
ber \pättt ju ertöuternben fenfred^ten
ftreujnng toirb biefe gläd^e jnr ßbene.

[3]^r äRobett lonn man o^neäRül^e
onfertigen. gtoei Ireiöförmige ^app^
fd^eibcn n^erben am SRanbe in reget
mäßigen SÜbftanben burd^Iöd^ert, unb
burd^ bie Söd^er tocrben gäben gejogen,
fo bafe ein e^ttnber^aRobell (gig. 115 b)
cntftcl^t. SSerbrel^t man bie paxaUü
bleibenben^a^^fd^eiben gegen cinanbcr,
fo cntftel^t ba^ äRobeü einer nad^ ber
SKitte l^in eingefd^nürten glöd^e, ber

gig. 115.

*) ^c entftcl^ung be« SttamenS fann
l^iet nod^ nic^t eiVCftrt toetben.

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184

SSierte 9[bteilung: ©tereometrie.

bcf ^)rdd^cncn ^t)p&cboloih^ä6)t (gig. 115 c). 3Ran f ann hnxä) f ortgef cfctcS
SBcrbrcl^cn bic ©infc^nftrung fo »cit treiben, ba§ ber (bopptUt) Segel
entfielet, gig. 115 a beutet an, »ie bie gcic^nung lEorreft l^erjuftetten ift]
3eber ^albfreig, beffen a)ur(^meffer mit ber S)re]^ung8ad^fe
äufammenfättt, befd^reibt eine ^gel, benn bie 3labien beg |>atbIretfeS
bleiben aud^ bei ber SDrel^ung einonber gleich unb ~ beerben fold^e
ber ftugel.

3) UnbemegUd^Ieit. SKac^t man brei nid^t in einer ©eraben
licgenbe 5ßun!te eineg ftarren 3laumgebtlbeg feft, fo ift eine SDrel^ung
unb üittf)anpt eine Scmegung nid^t mel^r möglid^. Sin ©teile ber
brei fünfte !önnen eine ®erabe unb ein ?ßun!t aufeerl^alb berfelben
treten. Stud^ jtoei ®erabe leiftcn baSfelbe.

II. €btntn unli (S^rali^ im Waum^*

4) ©erabe unb SRormalebene. 5Rad^ 2) entftel^t eine ®benc
burd^ ©rel^ung einer ®eraben um eine fie fenfrec^t fd^neibenbe Slc^fe,
2tug biefer (Sntfte^unggart laffen fid^ bie ©igenfc^aften ber ®benc
ableiten.

ÜJlarfiert man auf ber SDre^unggad^fe jtoei 5ßun!te, bie gteid^toeit
üon ber ®erabcn entfernt finb, fo ift jeber 5ßun!t ber lefeteren t)on
ben beiben marfierten 5ßunften gleid^todt entfernt. S)ie§ bleibt aud^
bei ber S)re]^ung ber galt, fo ba§ jeber $ßunit ber entftel^enbcn

Ebene ijleid^toeit öon ben beiben marfierten
5ßunften entfernt ift. golglid^:

SDie ©bene ift ber geometrifd^e
Drt aller 9iaum)}unlte, bie Don beut
einen öon jtoei feften 5ßunlten bie^
felbe Entfernung l^aben, tt)ie Don
bem anbern.

SSerbinbet man jtoei beliebige ^ßunltc
Ä unb B ber entftanbencn Sbenc (gig. 116)
burd^ eine ©erabe, fo liegt biefe ganj
in ber @bene. SSerbinbet man nämlic^ A
unb B unb au^erbem einen beliebigen
5ßun!t C ber ©eraben mit ben marfierten
5ßunften P unb Pj, fo ift junad^ft
A ÄPB ^AäP^B, toeil Übereinftimmung in allen brei Seiten
ftattftnbet, folglid^ ^ BAP^^BAP,. S)arauä folgt, bafe

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n. ebenen unb ©erabe im IRaume. 185

AC^P^AO^P, ift, folgltd^ tft CP^CP^. ^mmä) liegt C
unb cbcnfo jeber anbcrc 5ßunlt ber ®craben AB unb i^rer SScr-
Kngerung in ber entftanbenen ©bene. Sllfo:

S)ie @bene tft biejenige gläd^e, bic jebe ©crabe, bte
jloei 5ßunfte mit il^r gemein l^at, ganj in fid^ aufnimmt.

S)a bei ber S)re]^ung be« redeten SBinfete (POD in gig. 116)
um ben einen ©c^enlel (PO) feine ®rö§e ftd^ nid^t önbert, fo ftel^t
jebe burd^ getegte ®erabe ber entftanbenen Sbene auf ber S)re]^ungg'
ad^fe PPi fenfred^t. 3)a]^er fagt man, bie @bene ftel^e fenlrec^t
auf bcrSDrel^unggad^fe, fie fei eineSlormalebeneberSld^fePP,.
Umgeiel^rt fagt man, bie 2)re]^unggad^fe ftel^e fenlred^t auf ber
@bene, fei eine SRormale berfelben. (Sot auf ber Sbene.)

3Ran fann auä) fagen: S)er geometrif d^e Drt aller ©eraben,
bte auf einer anberen ©erabcn in einem gegebenen 5ßun!te
fenfred^t ftel^en, ift eine JRormalcbene ber lefeteren (Seraben.

3)ie ®erabe AB in gig. 116 liegt in einer ®bene, bie f^nfred^t
ju PPi tft unb fd^neibet babei PPj^ nid^t. 3!)a bie $araQeIe iu AB,
bic fid^ in ber ®bcne burd^ legen läßt, fenfred^t ju PP^ ift, fo
fagt man, AB Ireuje bie ©erabe PP^ fenfred^t. S3ci ber äre^ung
um PPi betoegt fic^ bie @bene in fi(^ felbft, folglid^ befd^reibt AB
babei biefelbe ®bene. S)ie^ ift ber unter 2) bei bem S)re]^ungS'
]^5<}erboIoib bemerfte ©pecialfatt.

5) gcftlegung einer @bene« SKad^t man jtoei 5ßunlte einer
unbegrenjten @bene feft, fo ift eine SDrcl^ung möglid^. JUmmt man
au^erl^alb ber geraben SSerbinbung^Iinie einen feften 5ßunlt im 3laume
cm, fo lann man bie ®6ene fo toeit breiten, baß fte aud^ burd^ biefcn
$ßunft gel^t. golglid^:

S)urd^ brei 5ßunlte, bte nid^t in einer ©eraben liegen,
Iä§t fid^ ftetg eine gbene legen.

@^ laftt pd^ aber nur eine einjige @bene burd^ brei fold^e
5ßun!te legen, benn mad^t man biefe 5ßunfte ber ®bene feft, fo ift fie
nad^ 3) unbetoegfid^, unb eine jtoeite Sage für fie ift unmöglich,
ßbenen, bie brei nic^t in einer ©erabcn liegenbe 5ßunfte
gemein l^aben, fallen in allen 5ßunlten jufammen. S)emnad^
ift eine ffibene aud^ burd^ eine ©erabe unb einen 5ßunft au^er?
l^alb berfelben einbeutig beftimmt.

3n ber fo beftimmten Sbene täfet ftd^ jur gegebenen ©eraben
eine 5ßaraÖcIe legen. 8lIfo ift eine Ebene auä) burd^ jtoei ge-
gebene ^ßaraltele öotiftänbtg beftimmt.

©benfo ift eine Sbene burd^ jtoei fid^ fd^neibenbe ©erabc

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186 Siette 9[5tei(uitg: Stereometrie.

einbcutig bcfümmt, benn biefe laffctt ftd^ old aSerbinbungSünien breier
flegebener fünfte betrad^ten.

@o tft j. 93. bie Slormolebcne ju einer ®eraben in jebem 5ßuntte
ber le^teren DoQftänbig beftimmt, fobalb man anf ber ®eraben in
bem betreffenben 5pnn!te jwei Sote errid^tet. SWon fd^ßefet barau^:

S93irb eine Sbene )3on einer ®eraben gefd^nitten, unb
ftel^t bte lefctere fenlred^t auf jtoei burd^ il^ren gtt§:pttn!t in
ber ffibene gcjogenen ©eraben, fo ift bie ®erabe ein Sot
ouf ber ffibene, unb bie Ebene ift eine Slormalebene ber
©eraben.

SDurd^ öier fünfte läßt fid^ im allgemeinen feine ßbene legen,
benn ber öierte 5ßunlt brandet nid^t in ber burd^ bie brei anberen be-
ftimmten ®bene ju liegen.

@benfo lä^t fi(^ burd^ jb>ei ®erabe im allgemeinen leine Ebene
legen, ba il^re tier Enb^junltc nic^t in einer fold^en ju liegen braud^en.
®erabe, burd^ bie fid^ feine Ebene legen la^, finb bie bef^}rod^encn
fid^ freujenben @craben.

6) S^ci fid^ fd^neibenbe Ebenen. S)ie Schnittlinie
jtoeier Ebenen fann nur eine ©erabe fein, benn l^ätten fie
einen $ßunlt aufeerl^alb berfelben gemein, fo toürben bie Ebenen ganj
jufammenfattcn. Eine frumme Sinie atö ©d^nittßnie ift alfo unmöglid^.

[^ält man jtoei fünfte einer Ebene feft, fo ift eine S)re]^ung
mögttd^. S)ie unteränbcrlid^e SDrel^ungSad^fe ift bie ©d^nittlinie für
je jloei Sagen ber Ebene. @ie mn^ alfo eine ©e.rabe fein.
Sefetere« ift aud^ bei jebem ^bxptt ber gaö, öon bem iloei 5ßunfte
feftgel^alten toerben, benn burd^ biefe läßt fic^ ftetiJ eine Ebene
legen. @o beftätigt fid^ bie entf|)red^enbe Semerfung in 2.]

7) ©d^nittminfel jtoeier Ebenen. Sn gig. 117 ift ein
aied^tedE AB CD bargeftettt, toeld^eg burc^ SJrel^ung nrn bie aWitteI==
linie P^ in öerfd^iebene Sagen ÄiB^CiD^, Ä^B^C^JD^f A^B^C^B^
gebrad^t toorben ift. SDabei l^aben fid^ bie ®eraben AB uvb BC auf
einem ^rei^c^Iinber betoegt, bie ®eraben AB unb CB bagegen
in SBormalebenen ju PQ, bie man afö bie ©runbfläc^en (©runb^
freife) be^ E^Unbcrö bejeid^net. fjolgen nun bie öerfd^iebenen Sagen
ton AB bejto. CB j. 33. unter SBinfeln öon 45® aufeinanber, fo
fagt man aud^ öon bem ©c^nitttoinfel je jloeier benad^barter biefer
Ebenen, baß er 45® betrage.

Sllfo: aRan mi§t ben ©d^nitttoinfel itoeier Ebenen,
inbcm man auf ber ©d^nittlinie in einem 5ßunft Sote er-

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II. Ebenen unb ®naht im Slaume.

187

rtd^tct, bic in bcn Sbcncn <5fie. m.

liegen, unb in ber @bene biefer
Sote ben^ Don il^nen ein*
gefd^Ioffcnen SBinlel ntifet.

3n gig. 117 flehen j. ».
fämtlid^e burc^ PQ gelegte ®benen
auf beiben ©runbebenen fcnfeed^t,
bcnn bie ebene AB CD j. 33. ^at
mit ber unteren ®bene bie ©d^nitt-
Knie CD, auf ber in Q bie Sote
QP unb QC^, errid^tet finb. SRun
ift aber PQC^ ein red^ter SBinlel,
alfo ftel^t bie ®bene AB CD fent
rcd^t auf ber ©runbebene. golgfid^:

©ämtlid^e ebenen, bie fid^
burd^ eine ®erabe legen taffen,
fte^en fcnlred^t auf jeber SKor^
malebene ber ®eraben.

3ngig.ll7ift^5aD3flormat
ebene ju C^D^. Sie fte^t auf ber
©runbebene fenlred^t, toeil ^C^QP
= 90^ ift. golglit^:

3ebe Slormalebene ju eis
ner ©eraben einer ebene ftel^t
auf ber lefetercn fenfred^t.

©teilen jtoei fid^ fd^nei*
benbc ebenen fenlrei^t auf einer britten, fo ftel^t aud^ il^re
©d^nittUnie fenlred^t auf ber britten. ^anbelt eg fid^ j.S. um
bie ebenen AB CD unb A^B^C^D^, bie fid^ in P^ fd^neiben unb auf
ber ©runbebcne (gig. 117) fenfred^t ftel^cn, fo mu| bag auf ber
festeren in Q errid^tcte Sot beiben ©benen gemeinfam fein, alfo mit
i^rer ©d^nitüinie jufammcnfallen.

8) ^parallele ebenen. S)ie um PQ gebrel^ten ©eraben AB
unb 2>C in gig. 117 l^aben an aßen ©tetten benfelben Slbftanb bon
einanber. SDurd^ bie SDrel^ung ber burd^ AB unb DC gelegten
(Bitntn um P^ toirb bieg nid^t geänbert, bie entftel^enben ©runbebenen
l^aben alfo überall benfetben äbftanb öon einanber, ber burd^ baS ge^
meinfd^aftlid^e Sot PQ gcmeffen toerben fann. golglid^: S)ie SKormal*
ebenen berfelben ©eraben finb unter einanber paxalUl

Stellt man in einer bon jtoei paxaUtlm ebenen eine ®erabe,

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188

Siette Abteilung: Stereometrie.

1

fo f)at fie Don ber anberett (SBene ftberaQ benfelBen Slbfionb, man
fagt alfo, bie ®erabc fei jur anbeten @Bene paxaUtt

Segt man bnrd^ bie ©erabe eine bie pavai^tU (gbene
fd^neibenbeSbene, foiftbie©cl^nttttiniejnr®erabent)araUeI,
benn fotoeit man and^ Beibe ®erabe terlöngert, giebt eS bod^ leinen
©d^nitHjnnft, obtoo^I fie bcrfelben @bene angel^ören.

@inb eine ©bene nnb eine ®erabe pavalUt, fo laffen
fid^ bemnad^ in ber @bene unjöl^Iige parallelen jnr ©eraben
jiel^en.

Sine @bene ift jn einer ©eraben paxatUl, toenn fid^ in
ber Ebene eine parallele jur ©eraben jiel^en Iä§t.

3toci ®benen finb paxaUtt, totnn jtoei fid^ fd^neibenbe
©eraben in ber einen jur anberen Sbene parallel finb.
S)enn» fd^nittcn fid^ bie ©benen, fo müßte bie ©d^nittlinie ju jebej:
ber ftd^ fd^neibenben ©eraben pdxaUA fein, toag unmöglid^ ift.

giel^t man in jtoei paxaUdtn gbenen jtoei nid^t paxaMt ©eraben,
fo fd^neiben fie fid^ nid^t, obtool^I fie nid^t paxaM finb, fie Irenjen
fid^ alfo. ; Segt man burd^ bie fid^ frenjenben ©eraben ®benen, bie
auf ben beiben gegebenen ©benen fenfred^t ftel^en, fo fd^neiben fie fid^
in einer ©eraben, bie fenfrcd^t auf beiben ®bcnen, alfo aud^ fenfred^t
auf ben fid^ freujenben ©eraben fielet. @o finbet man ba§ gemein^
fd^aftlid^e Sot unb jugleic^ ben Ileinftcn äbftanb ber fid^
!reujenben ©eraben. S)ie beiben ^ülfgebcnen l^aben einen ©d^nitt^
toinlel, ben man jugteid^ ben Sreujunggtoinlel ber beiben ©eraben
nennt.

Siö-i^«- 9)$araMeIe®e^

rabeim ?Raume. 3n
gig. 118 finb jtoeiScs
rabe Ä B unb CD bargen
fteöt, bieaufeinerSbene
^XMJV^fenfred^tfte^en.
Sg fragt fid^, ob biefeSote
aU paxaViti betrad^tet
toerben bürfen. 3^^
Unterfud^ung jiel^e man
AG unb burd^ A in
ber ^\^txit EF±AC,
mobei EA =» FA Qt^
maä)t toerbe. ffierbinbet man E unb F mit B, C unb D, fo finbet
man an^ ber Songruenj entf:f)red^enber SDreiedfe, ba§ aud^ EB = FB,

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n. ©bcnen unb ©erabc im Slaunic.

189

EC = J^'C, ED = JPD ift, folgfid^ liegen B, A, C unb D aU fünfte,
bie glcic^toeit öon J57 unb i^^ entfernt finb, in einer ©bcne. 3^ biefer
®6ene ift AB || CD, benn beibe ftcl^en fenfred^t onf AC. golgad^:

Sote auf berfelben ©bene finb ju ßinanber paxalUl

3ugleid^ beftatigt fid^ bie 3KögIid^Ieit, burd^ jtoei poxaUttt ®erabe
eine @bcne ju legen.

©tcl^t öon ätoet :parattelen ©eraben bie eine fenlred^t auf einer
ßbene, fo fielet aud^ bie anbere fenfred^t auf ber Sbene.

@inb itoeiSe- .
rabe ju einer brit- Srie- "9.

ttn paxalUl, fo c,

finb fie unter fid^
parallel, benn legt
man jur britten eine
JRormalebenc, fo ift
bief e jugleid^ SRormat
ebene für bie bciben
anberen.

Segtmanburd^
jtoci paxatUU ®e=
rabe Sbenen, bie
fid^ fd^neiben, fo
toirb bie ©d^nitts
linte JU beiben ©eraben paxalUl S)enn legt man ju AA^
in gig- 119 eine Slormalebene KLMN, .fo ift biefe aud^ normal jur
5ßarattclen-B-Bi. Sie

ebenen ^^iC,C unb ^^ß- "<>•

J5JBi Ol Öfteren aber A

fenfred^t auf ber
ebene ^iüfJ\r,folg^
lid^iftil^rSd^nittCCi
ein Sot auf berfelben
unb afö fold^eS pa-^
raKel ju AA^ unb

10) @d^nitt=
toinfel jtoifd^en
einer®eraben unb

einer ebene, eine ©erabe -ä^ (gig. 120) fd^neibe eine ebene KLMN
in G, S)enlt man fid^ in G bie Slormalebene ju AB, fo fd^neibet

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190

SSierte 9[bteilttng: ©teteometrie.

bicfc btc gcgrtcnc Ebene in einer ©erabcn DE fenlred^t ju AC, @r=
richtet man in biefer ©runbebenc auf DE bad Sot CF, fo ift ACF
bie Sflormalebene ju DE, fie fielet alfo fenfred^t jur (Urunbebene.
2)ie burd^ AC gelegte @bene, bie fenfred^t jur ®runbebene fielet,
l^eiftt bie |)roiiäierenbe Ebene ton AC. ^n \fyc befinbet fid^
bie burd^ baS Sot AG begrenjte $roie!tion GC öon AC. 3n
ber projiiierenben Ebene toirb ber öon ber ®eraben unb
ber Ebene gebilbete SBin!eI genteffen. Er ift ber SonH}Ientent:j
toinlel be^ SBinletö, ben bag in C auf ber Ebene errichtete ßot mit
AC bilbet.

Sud^e JU betoeifeu; baß jebe in ber ©runbebene burc^ C gelegte
®erabe mit AC einen größeren SBinlel bilbet atö FC. SBinfel
ACG ift jugleid^ ber ©(^nitttoinfel, ben bie ®runbebene mit ber
burd^ A unb DE beftimmten Ebene bilbet. Dabei ift AC bie fteilfte
Sinie, bie fid^ öon A au^ auf bem fd^rägen S)ad^e jiel^en wit.
(SBarum?) 3n biefer »e^ie^ung ift alfo ACG ein größter SBinIcI,
toäl^renb er torl^er atö Ileinfter auftrat.

11) SBinlel im Slaume, beren ©d^enfel gleid^gerid^tet
finb, finb einanber gteid^. Sn gig. 121 mögen bie WmltlABC
unb A^B^C^ gleid^gerid^tete ©d^enfel l^aben.
3e jtoei gteid^gerid^tete mad^c man gleid^ lang
unb tege burd^ fte Ebenen. SDiefe Ebenen
ABB^A^ unb BCC^B^ finb bann ^ßararfelo-
gramme, fo baM^i # J^-^i «^i> C'Ci # BB^,
alfo aud^ AA^n/^ CC^ ift. Durd^ le^tere Sinien
läßt fid^ alfo eine Ebene ACC^A^ legen, bie
ein 5ßarattoIogramm ift, fo baß AC ^ AyC-^
toirb. Scfet ift l\ABC<^ A^B^C^ toegen ber
Hebereinftimmung in ben brei Seiten, alfo ift
^ABC = ^A^B^C^.

12) Übungsaufgaben, a) SBerben jtoei
l^araüele Ebenen öon einer britten gcfd^nitten,
fo finb bie ©d^nittlinien |)araöel, unb jtoifd^en
\itn ©d^nitttoinleln finben biefclben SBcjicl^ungen ftatt, toie bei parallelen
Oeraben, bie öo'n einer britten gefd^nitten tocrben. ©teße biefe SBe^
jiel^ungen auf unb belocifc \ya% Entfpred^enbe.

b) Unterfud^e bie »ejiel^ungen für ben Satt, baß jtoei paxoSitU
Ebenen t>on einer ©eraben gefdEjuilten loerben.

c) Sffield^e ?ßro:f)ortionen finben ftatt, toenn brei parattele Ebenen

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III. 5)ic för:petlid^cn ®cfen.

191

Don jtoet fid^ frcujcnben ©eraben gcfd^nitten Serben? SBa0 finbet
ftatt, toenn bic fd^ncibcnben ®crabcn pavaUü finb?

d) 3tt>et ©bcncn mögen mit einanbcr bcn ©d^mttoüinlcl « btibcn.
3nner]^alb be§ SBinlctö ücgc ein ^ßunft, ton bcm au8 Sote nad^
bciben ©bcncn gcföüt »erben. SBel^en SBiniel btiben biefe mit ein-
anbcr? SBelc^en SBinfel bilben aber bic Sote, toenn il^r SCu^gäng^^junft
anfeerl^alb bcS burd^ bcn Sffiinicl nnb feinen ,,@d^citctotnfcl" bcftimmten
?Raumcj^ liegt. (Silben bic Sote ben SBinfcI a, fo fotten fie Sote
glcid^en Sinnet l^cifecn, bilben jte bcn SBiniel 180® — a, fo fotten
fie afö Sote entgegengefe^ten ©inneS bejeid^net werben, ©old^e
finb j. S. bie beiberfeitS na^ au§en gel^cnben Sote.)

e) SBerbcn bie ©eitcnianten eines wsfeitigen 5ßrigma§ burd^
paxaUAt ©benen gcfd^nitten, fo finb bie ©d^nitte longruente glad^cn.

f) ®er 5parattelfd^nitt jur ©runbfläd^c einer w^citigen 5ß^ramibe
ift ber ©runbftäd^e öl^nlid^. (»gt. Seil I. Seite 208.)

Siß. 122.

III. ^u Uxifulx^tn (KAen**)

13) aÄel^rere ©Bencn. 2« 5tg. 122 finb atoei ©benenn J?J?i-4i
«nb BCC^B^ bargeftettt, bie fid^ in BB^ fd^neiben. ©ringt man
eine britte ®benc l^injn, bie j. S. burd^
A^C^ gelegt nrirb, fo finb jtoei götte mögtid^.
(Sntnjeber fd^neibet bie britte @bene bie
©d^nittlinie BB^ in einem ?ßunfte D, bann
finb A^D nnb CyB il^re ©d^nitte mit ben
gegebenen @benen; ober fie ift paxoSitl jur
©d^nittlinic BB^, bann finb nad^ bem
Srül^erenbie ©d^nitteCCj unb AA^ ^jarattel
ju BBy. gotglid^: S)ie brei ©d^nitt::
linien breier fid^ fd^neibenben ®benen
fd^neiben fici) entn^eber in einem
$ßnnfte, ober fie finb paxaXUl. 3m
erfteren gatte fagt man, fie bitten eine
breifeitigc för^jcrlid^c ®dfe. (©o l^at

man j. ©. jebe ®dfe einer breifeitigen ^^ramibe atö eine breifcitige
iör:f)erlid)e @dfe ju betrad^ten.) ^vx anberen gatte erl^ält man bie
Sonten eineg breifeitigen $ri§ma§.

*) TOjd^nttt III lonn auf bem (SJ^mnafium überfd)Iaöen toetben.

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192 Sterte «bteilunö: ©tcrcomcttic.

14) 6dfc. 8xd)t man burd^ einen 5ßunft bci^ 3launte^ n Be^
liebige ©erabc nnb legt nton bur^ je jtoei oufeinanberfolgcnbe bcr^^
felben eine Sbene, fo entfielen n Ebenen, bte fdnttlid^ bnrd^ ben
gegebenen 5ßun!t gelten. SSon il^nen fagt man, fie bilbcn eine
» n^feitige Uxptxüä)t ©de. @o ift j. S. bie ©^jifee jeber w^f^itigen
^^ranttbe eine «sfeitigc ®de.

SDer 9(udgangd^nn!t ber n ©eraben l^ei^ ber @d^ eitel ber
@dEe (bie @<)ifee), bie ©eraben l^eifeen bie Äanten ber ©de, bie t)on
ben Tanten eingefd^Ioffenen SBinlel l^eifeen bie ßantentoinfel, bie
t)on ben Tanten begrenjten Ebenen (inS ©nblofe aui^gebel^nt jn benfen)
l^eiften bie Seiten (©eitenftäd^en) ber* ©de, bie ©d^nitttoinfel bc«
nad^barter Seiten l^eifeen bie SBin!eI (©eitentoinfel ober Släd^en-
tüiniel) ber ©de. (Bätrif bei benen fiberftnm^fe SBinlel nid^t öor^
lontmen, toerben conöeje ©den genannt. 9lur ton fold^en foß l^ier
bie SRebe fein.

[15) 5ßoIar:;©de. ©rrid^tet man im ©(Reitet ein Sot auf jeber
©eitc ber ©de, fo bilben bie n Sote eine neue ©de, bie 5ßoIarede

ber gegebenen. 3n gig. 123 ift
j. 85. bie breifeitige ©de D{ABC)
bargeftettt. Sluf BCJD ift baS Sot
DE, auf CAD bag Sot DF, auf
ABB ba« Sot BG errid^tet. S)ie
©de B {EFG) ift bie $ßoIarede ber
öorigen. SBeil nun BB fotool^I auf
BE, ate aud^ auf BG fenfret^t ift,
fo ift BB ein Sot auf ber gtöc^e
BEG, CB ein Sot auf BEFmh
'^ D^einSotaufDJPG^. golgtid^ gilt
allgemein ber @a|: 3ft eine ©de
bie 5ßoIarede einer anberen,
fo ift bie lefetere jugleid^ bie
5ßoIarede ber erfteren.
S)ie auf ben jn^ei SRac^barfläd^en jeber ©de errid^teten Sote
gelten beibe nad^ außen, finb alfo nad^ 12) fold^e entgegengefefeten
©inneiJ. Sitbcn alfo bie Slad^barftäd^en ben SBinlel a, fo bitben
bie Sote ben SBinlel 180® — «. golglid^: S)ie ©eitentoinlel
jeber ©de finb bie @u:f)t)lementn)infel ju ben Äantentoinfeln
ber $ßoIarede (unb umgelel^rt).]

16) ©d^eitelede. SSeriängert man bie ffianten einer ©de einer
breifeitigen ©de über ben ©d^eitel l^inauS, fo entftel^t bie ©d^citel-

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in. 3)ie föt:perli(i^cn (Stfcn.

193

edc ber ©de. Dbtüol^I Sfiö- w*.

btefc biefclben Seitens

toinlel unb ^antenipinlel

f)at, tote bie gegebene,

ift fte il^r im attgemei-

nen bod^ nid^t longruent,

benn bie einjelnen Seile

folgen in entgegengefefeter

JReil^enfoIge aufeinanber.

Sebod^ laffen fid^ beibe

©den in f^ntmetrifd^e

Sage bringen. @o Iö§t

fid^ j. S.bie obere ber beiben

breifeitigen ®dfen in gtg.

124 fo unter bie ©runb-

ftäd^e ftetten, bafe fie afö ba«

©|)iegel6ilb ber unteren

®(fe gegen bie ©runbfläd^e erfd^eint. ©onj allgemein erlennt man in

äl^ntid^er SBeife ben Safe: S)ie Sd^eiteledEe jeber wsfeitigen @d£e

ift ein f^mmetrifd^eS ©ebilbe (@:f)iegelbilb) ber lefeteren.

17) Um über breifeitige ©den ©äfee auSf<}red^en ju fönnen, be^
jeid^ne man ben ©d^eitel mit D, bie Sde felbft mit D{ABG), ®g
em<)fie]^ft fid^, bie Tanten afö gleid^
groß anjunel^mcn, alfo ?i = ?2 = ^s-
3m ®runbbreied ABC bejeic^ne
man bie ©egenfeiten ber S)reiedg'
^)unfte gleid^namig mit a, fe, c. S)ie
Äantentoinfel bei D ober bie Seiten
feien a, j3 unb y, unb jtoar fo be-
jeid^net, baß fie ber SRei^e nad^ ben
S)reicdSfeiten a, fe, c gegenüberliegen.
Sie ju Zj; Zg unb l^ geprigen Seitens
tpinlet ober SBinlel feien g>, %, i/^.

yiaSi 16) fann man öon ^dtix
mit übereinftimmenben ©tüden nic^t
ol^nc toeitere^ bie Äongruenj be^
»eifen, fonbem eg bleibt unentfd^ieben, ob e^ fi(^ um Symmetrie
ober ffiongruenj l^anbelt. S^t ^aiU ber Symmetrie aber
ift bonn bie ©d^eitelede ber einen ®de ber anberen fon^
gruent.

^olsmülter; äRat^ematif. IL 13

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194

Sicrtc «bteilung: ©tcrconictric.

18) Die ^aiH)tföttc bcr Songruenj bcs». ©^umietrie brctfcüiacr
©den ergcBcn fid^ au^ bcr Übctcinftüntnung ttt 1) a, j5 unb tr 2) a, %
unb t, 3) of, ^, y, 4) (p, Xf *• «Ifo:

gtoet brcifcitigc (gdctt finb cnttoebcr longrucnt oirer
f^mittctrifd^, tocnn ftc fibcrcinfttittinen

1) in jtoct ©eitcn unb bem cingcfd^Ioffencn SBinfcI,

2) in einer Seite unb ben beiben anliegcnben SBinfcIn,

3) in ben brei Seiten,

4) in ben brei SBinleln.

3m gaHe beS gleid^artigen Stnfeinanberfolgeng ber ®\xiit
lann man bie Songmenj ganj dl^nlid^ betoeifen, toie bei ben 5)ret^
eden, }. 83. im Salle 1) folgenberma^en:

3Ran lege bie ®txit «' gig. 126b fo auf « in gig. 126a, ba§ bag
gleid^fd^enHige »reied B'C'D' auf BOB fättt. SBeil nun bie ©cüem
toiniel r/;' unb t/; übereinftimmcn, fo fallt bie %lh6^t B' C A' in bie
aiici^tung öon BGA. S)a aber ^' unb j5 gleid^ finb, fo faßt Sreied
B'CA' genau auf BGA, ®anj öon felbft mu§ nun S)reied 2)'5'^
auf D-4^ fallen, bemnad^ bedt fid^ atte«, unb aud^ bie übrigen Seiten
unb SBinfel ber ^S.txi B{ABG) unb B^A'B'G") ftimmen überein.

8eltiei0 fut %tiSi 2, toenn Übereinftimmung in ben a, x itnb ^
ftattfinbct. aWan legt B'B'G' auf BBC, bann faßt n^egen i/;' = i>;
S)reied B'A'C' in bie JRid^tung ton D J.(7 unb toegen % =% S)rricd
B'B'A' in bie SRid^tung öon DB-/. S)a aber bie fo ineinanber
foüenben glad^enpaare nur eine einjige ©d^nittlinie l^aben fönnen, fo
mn^ Sante B'A' auf BA fallen, toomit bie ^ongruenj unb bie
Übereinftimmung bcr übrigen ®tädt nac^getoiefen ift.

»etoel» für ^nD 3. SBcil « = «', |5 = |3', y == y' unb Z^ == Vi,
k «^ I2, ^8 = ^8 ^%i^ P^i^ i^ic gleid^fd^enlligcn ©eitcnbrciede fongruent,

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I

rv. ®tc tJunbamcntoHotiftruftioncn unb einige Stn^enbunflen berjelben. 195

alfo a^=a\ fe = 6', c = c', b. 1^. bie ©runbfläd^ett ftitnnten ftbereitt.

Slbcr aud^ bie ^öl^ctt Bciber ^ß^ramiben ftimmen in ber Sage unb

ßönge öoßftdnbig überein. @ie liegen

nämlid^ int gemeinfd^aftlid^en SDnrd^:^

fd^nitt ber brei Sßomialebenen in ben

^attierung8:f)un!ten öon a, fe unb c

bejto. a,, Z>i, c,, b.l^.il^r gufe^unÜ

ift ber aWitteHjuttlt ifef beg umbe-

fd^riebenen ftreifeg berörunb^

fläd^e. ©efetmanalfobieÖrunbpäd^e

A'B'G' ouf ABC, fo fatten bie

^öl^en beiber ^ß^ranttbcn in einanber,

unb ba in beiben ä==")/ä^+ e^

unb Ä' = yÄ7"+~e? bagfelbe ift, fo faßt D' mit D sufammen.

golglid^ fallen bie ^^^^itxi jufammen, unb bie ffiongruenj ift nad^*

getüiefen.

SBeit enbUd^ ju longruentcn ©den longruente 5ßoIaredEen geprcn,
fo finb ©den aud^ longruent bejto. f^mmetrifd^, toenn bie brei SBinlel
übereinftimmen. galt 4) bebarf alfo feinet neuen SBetoeife^.

SSon anberen götten ntögtid^er ^ongruenj unb ©^ntntetrie toirb
l^ier abgefel^en, \i<i öietfad^ SRe^rbeutigleit eintritt.

19) ©inb bei einer «4ritigcn Sdte bie Seiten a, |3, y, d . . .
unb ebenfo bie 9?, ;c, 1^, cd, . . . einanber glcid^, fo l^anbelt eS ftd^, toie
leidet }u jeigen ift, um bie ©eitenflcic^en einer regelmäßigen w::
feitigen 5ß^ramibe. ©old^e ©den l^eißen regelmäßige ®dfen.
^ierl^er gei^ören j. 33. bie ®dten ber in leil I bef^jrod^enen reget
mäßigen $ör:ßer.

20) S)ie Summe ber San^
tentoinlel einer ©de ift ftet^
«einer <xU 360^. »ei gig. 128
ift biei^ an ber breifeitigen @de (mit
gleid^ langen Sauten) leicht »ac^-
jutoeifen. ^Proiijiert man nämlid^ D
auf bie ffibene ABC^ fo entftel^en
gleid^fd^euKige S)reiede BCE,
GAE, ABE, bereu SBinlel an ber

@<)ifce dl, ßu yi größer finb afe a bejtt). ß, y, benn eg finb j. 93. bie
©d^enlel beg gleid^fd^euHigen 3)reiedg BCE Heiner aU bie be'g über

13*

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196 Vierte Abteilung: Stereometne.

bcrfclbcn ©runblinie ftd^enbcn Drcicdg BCB. S)a nun «i + ft + y^
^ 360" ift, fo ift « + jS + y < 360«.

hierauf berul^t 5. S. ber Slad^toei^, ba§ nur fünf rcflclmö^tgc
?ßoI^cbcr mögltd^ finb. (»crgl. Seit I Stereometrie SRr. 14.)

lY. Bt^ 4FunIiam^ntal-£0nßntktt0nen mi tm$t

21) S)ie in golgenbem gegebenen ftonftruftionen flnb junäd^ft
nur in ber SSorfteÖung burd^jufül^ren.

a) Stuf einer gegebenen ©eraben in einem gegebenen
$ßunfte bie Slormalebene ju errid^ten.

VttflBfung. aWan bcnle fid^ burd^ bie ©erabe jtoei ©benen
gelegt unb in biefen üom ©d^nitt^junlte aug Sote auf ber ©eraben gc-
jeid^net.* 2)urd^ bicfe beibcn Sote ift bie SRormalebcne öottftanbig bcftimmt

b) Sluf einer gegebenen Ebene unb jtoar über einer
gegebenen ©eraben berfelbcn bie fenlred^te Sbcne ju er^
rid^ten.

VttflBfung. aWan errid^te auf ber gegebenen ©eraben in einem
beliebigen il^re 5ßunlte baS in ber gegebenen Ebene liegenbe Sot
S)ie Slörmalebene ju lefeterem im gufei)unfte be« £ote§ ift bie gefud^te
^bene.

c) 9[uf einer gegebenen Sbene in einem gegebenen 5ßunlte
ein Sot ju errid^ten.

VttflBfiing. aWan lege burc^ ben 5ßunlt in ber gegebenen Ebene
eine beliebige ©erabe, errid^te über il^r bie fenlred^te Ebene unb in
biefer auf ber ©eroben im gegebenen 5ßunfte ein Sot. — hierauf be-
rul^t bie Äonftrultion fenfred^ter ^ßrigfncn über gegebenen ©runbfläc^en.

d; SBon einem gegebenen SRaumpunfte au^ auf eine
gegebene Ebene ein Sot ju falten.

VttflBfttng. 3Ran jiel^e in ber Ebene eine beliebige ©crabe
BC (gig. 129). gn ber burd^ ben gegebenen $unlt Ä unb biefe
©erabe beftimmten Ebene fülle man ein Sot ÄD auf bie ©erabc.
3n D errid^te man auf BC ba« in ber gegebenen Ebene liegenbe
Sot DE, Sn ber burd^ ÄD unb DE beftimmten Ebene fööe man
t)on Ä an^ bag Sot ÄF auf DE. (Eine SSariantc ergiebt fid^ an^
ytx. 10.) hierauf berul^t bie Seigre öon ber fenlred^ten ^ro^
jieftion ton 5ßunften unb ©eraben auf Ebenen; j. S3.

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IV. 3)ic 3runbomentoIfotiftTttftionctt unb einige totocnbunöcn bctfclben. 197

e) (gine gegebene ®erabe ^*fl- ^*^-
auf eine gegebene @6ene ju
t)roiiäieren.

gür ben gaö bei^ ©d^neibeng
ift bie Stuflöfung bereite burd^ 10)
gegeben. Sm gatte beg ^ßaraKelig-
mug ]^at man öon einem bcr
5ßunlte ber ©eraben au^ ein ßot
auf bie ®bene ju fätten. S)ur(i^
biefeg unb bie gegebene ©erabe
ift übrigen^ für alle gäße bie
^}roiijierenbc ffibene beftimmt.

f) S)ur(^ bie eine ton jtoei fid^ Ireujenben ©craben
eine Sbene ju legen, bie jur anbeten paxalUl ift.

VttflBfttttg. 3Ran lege burc^ bie jtoeite ®erabe eine bie erfte
fd^ncibenbe ®bene. 3^^ biefer @bene jiel^e man* burd^ ben ©d^nitt^
pnnit eine 5ßarattele gut gtoeitcn ©eraben. S)ie 5ßaraHeIe unb bie erfic
®crabe beftimmen bie gefud^te Sbene.

g) SDag gemeinfd^aftlid^eSot (unb benlürjeften äbftanb)
jtüeier fid^ ireujenben ®eraben ju finben.

Vttf I8f ttug. Sege burd^ jebe ber gegebenen ©eraben eine jur anberen
pavaMt ®bene unb burd^ jebe ber ©eraben bie auf beiben ^ülf ^ebenen f enl^
redete Sbene. SDie beiben festeren Sbenen fd^neibenfid^ in bem gefud^tenßote.

h) ®ett @d^nittlt)in!el jloeier (Bhtntn ju l^atbiercn.

VttflBfttttg. aRan lonftruiere in einem beliebigen $unlte bcr
©d^nitttinie bie SRormalebene, fo bafe burd^ bie ©d^nitte ber lefeteren mit
ben gegebenen ©bcnen ber ©d^nitÜDinfel fid^tbar toirb. 2)ie ^albierunggs
Knie biefe§ SBinlefö (in ber SRormalebene) unb bie erftgenannte @d^nitt=
linie beftimmen bie l^albiercnbe @bene.

Slud^ bie ^onftrultion öorgefd^ricbener gläd^entolnlel, baS antragen
gegebener gtädEjenminlcI, baiS SBerbo^jpeln gegebener gläd^entüinlel gef d^iel^t
mit ^ülfe einer 5RormaIebene jur gegebenen ©d^nittlinie. SRan lann
alfo über beliebigen ©runbfläd^en anä) fd^räge $rij^men lonftruieren, bereu
©eitcnlanten gegebene ^projeltionSrid^tung unb gegebene Steigung l^abcn.

22) (Sittige Übungsaufgaben, bei benen bie Sonftruftionen
junäd^ft nur in ber SSorftcöung burd^jufül^ren finb. S)ie Seid^nungen
befinben fid^ teitoeife in leil I. ©tereometrie.

a) @inen SBürfel öon gegebener Äantenlänge h ju lonftruicren
unb an il^m bie in leil I ©tereometrie 3lv. 3 angegebenen aSered^nungen
burd^jufül^ren.

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198 »ierte Abteilung: ©teteomctric.

b) (Sin fcnfred^tcg regelmäßige« ?ßrü^ma öon 3, 5, 6 u. f. h).
<|uabrotifd^en ©eitenfläd^ett mit fiante ä; ju löiiftruieren, bic Ober?
Pöd^e, ben 3n^att, ben JRabitt« ber umbefd^riebcnen ftugel ju beftimmcn,
ben I^feteren oud^ ju lonftruieren, ettoaige S)iagottaIett unb Diagonal
ftäd^en nad^ ®rö§e unb Neigung ju unterfu^en.

c) S)iefelben SCufgaben für ein regelmäßige« 5ßri«ma öon ©runb-
faitte Ä unb ^öl^e h.

d) S)iefelben aufgaben für ein regelmäßige« 5ßri«ma mit ber
^runblante ä;, beffen ^öl^e fo ju beftimmen ift, bafe fid^ il^m eine
Äugel einbefd^reiben Iä§t.

e) Über einem Greife öon gegebenem Äabiu« einen fenfecd^tcn
©^linber öon quabratifd^em Cucrfd^nitt ju lonftruieren, ben ^vS^a%
ben aKontel, bie Dberpöd^e, bie Slobien ber um- unb einbefd^riebenen
Äuget }u beftimmen.

f) 3)iefelbe Slufgabe ffir einen K^Iinber berfetben Slrt, jebod^
tjon ^öl^e h burd^jufftl^rcn. (@ine einbef^riebene Äugel ift babci nid^t
t)or]^anbcn.)

g) (&ttft)re(^enbe Aufgaben für fd^räge $ri«men, bereu Seiten-
faulen bie Sänge l unb bie Steigung a (j. 83. 45°) l^aben, toäl^renb
il^re ^ßrojeftionen in bie JRid^tung öorgefd^riebener Sauten bejw.
2)iagona(en ber regelmäßigen ©runbfläd^e fallen. (2)ie ^gelaufgaben
finb babei ebenfatt« au«jufd^Ke|en.)

h) @ine fenlred^te 5ß^ramibe*) öon gegebener ^öl^e h über
einem regelmäßigen SSieledE öon 3,4,5,6 u. f. U). Seiten t)on ge^:
gebener Saute ju lonftruieren, bie ©eitenlanten, bie SBinlel ber
Seitenfläd^en, bie 3leigung«toinlel ber ©eitenfanten unb ©eitenftäd^en
gegen bie ®runbfläd^e, bie ©d^nittloinlel benad^barter ©eitenfläd^en,
bie SRabien ber um- unb einbefd^riebenen föugel; bie Dberftöd^e unb
ben 3n^aft be« Sör^jer« ju berechnen.

i) (gutf^red^enbe Slufgaben für ben fenfred^ten Srei«IegeI mit
©runbrobiu« r unb ^öl^e h,

k) ?)ie Sonftruftion be« regelmäßigen D!taeber« unb
2^etraeber«, be« $ß^ramibentoürfel«, 3l]^ombenbobe!aeber«,
be« regelmäßigen 5ßentagonbobcIaeber« unb 3tofaeber« finb
im SKufd&Iuß an Seil I Stereometrie burd^jufü^ren unb geeignete
SJered^nungen an ben Sörjjem borjunel^men.

*) Unter fenfred^ten iß^romiben foKen fold^c öcrftanbcn »erben, bei benen
bie @:pite fenfred^t über bcm ©d^toertjunfte ber ßJrunbfläd^e liegt. @in
@:pC5taIfott finb bann bie fenfred^ten iß^ramiben mit regelmäßiger ©runb«
flfid^e. Me anbcren $^romiben Reißen fd^icfc ?ß^romiben.

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V. Anleitung jum forreften ftetcometrifd^cn Seidenen.

199

V, ;anlröttn0 jum korrekten p^rwm^trtfttr^n Mi^ntn.

a) Sie fi^tSge lßiitaDel|ito|eftion.

. 23) 3n %di 1, ©tcrcomctric, 2) ift bcr Scgriff bcr fd^rögcn
5J5arattcli)roicItion am SSeifpicIc bcg SaJürfctö bereite erörtert toorben.
Sei ben bortigen Seid^nungen toax bie atid^tung ber ^ßrojcftioniSftral^Ien
(j. 85. ©onnenftral^fen) toilllürad^ fo gclüöl^It toorbcn, baß ber SBürfel
in grontftcnung m6) Slrt ber gig. 130 crfd^icn, tt)obci bic naä) leinten
gel^cnbcn Kanten nnter 30^ 5Reignng nnb y SSerfürjnng gejctd^net
waren.

fl. 181.

giQ. 180.

yo'

24) gür getoiffe 3c^"it«Öß«/ i- S3- ^^^^ ^^^ ©^Knberg, eignet
[xä) mti)x eine anbcre ©d^rägprojeltion, bei bcr bie nad^ leinten
gel^enben ®erabcn «nter 90® Steigung unb beliebig ju toöl^Ienber
aSerfürjung erfd^eineh. gn biefer 5J5roje!tion toüxbt bie SBurfeljeid^nung
nad^ 9lrt ber gig. 131 erfd^cinen.

3n bicfem Sinne tt)irb man c^ öerfte^en, toenn öon ber ^ßaraUels

t)erfi?eltit)e mit Sleigung^lüinfcl «^ unb bcr SJerlürjung - ge^

fprod^en toixb.

@inc ganje 8lei^e tjon Äonftrultionen ift fd^on im crften Icile
mit §ülfc bicfcr geringen SSorfcnntniffe ftrcng burd^gefül^rt toorbcn.
S)abci erfd^icnen 5ßaraöeIogrammc aud^ in ber ^ßrojeftion ftet« atö
^Parallelogramme. ®g foö unterfud^t »erben, ob bie§ aögemeine
Geltung l^at.

26) Sn Sig. 132 finb §njei glcid^e unb paraöclc ©crabe AB
unb CD fd^räg auf eine @bene t)roiijicrt loorben. 2)ic ^ßrojeftionen

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200

SSIcrte STbtetlung: ©tercomctric.

^1^1 unb C^Di ftnb m^ bem ©a^e über pataUüt ©bcncn, btc t>on
einer brittcn gcfd^nittcn lüerben, paxaUü, unb au^ ber ffiongrucnj bcr

<S:)xmdtÄEB unb CDF,
für bie ÄE^Ä^Bi unb
GF'Cy^D^ gcaeid^net ift,
folgt, baß ^1^1 = CiDi
tft. golgltd^ gilt bcr ®a|:
©d^rage ^ßarallel-
t^rojeftiongleid^cr unb
t)arallelcr ®eraben
giebt gleid^e unb pa--
rallele ©erabe.

SoIgUd^ »erben auc^
5ßaraIIeIogrammeftetä
in 5ßaraIIeIogramute
t)ertt)anbeli

26) gemer: ©inb auf
einer ®eraben gleid^eStücfe
abgetragen, fo finb aud^ in ber ^ßrojeftion bie entft)rc(i^enben ©tüde gleic^.
S)agfette ift ber gaU, n)enn bie gleid^en ©tücfe auf ^jaraHelen @raben
abgetragen ftnb. golgüd^: 3ft eine (Serabe im SSerl^ältnig m : n ge-
teilt, fo ift aud^ il^re ^ßrojeltion in biefem SSer^ältnig geteilt. @o ift
in gig.132 AGiGB^A^G^ :a^B^ = GH:HD = C^H,.H^B,,

S5ei ber Jd^rägen Jßarahelproieltion bleiben bie
leilung^öerl^dltniffe auf berfelben ©eraben, ober auf
l^arallclen ©eraben erl^alten. @o bleibt g. 35. Halbierung in
ber ^oieltion Wattierung, ftctige Teilung bl^bt ftetigc Xeilung,
^amionifd^e 5ßunfte bleiben l^armonifd&e 5ßun!te.

2Rit §ülfe biefer Senterfung lann man jal^Ireid^e Äonftrultiong-
aufgaben löfen, }. 83.

27) Wttfgalie. @in Cluabrat mit bem einbefd^riebenen
Greife, inl^orijontalergrontlagebefinblid^, foll crften^inber
^aranel:|)erf»)eltit)e mit 90^ unb \ SJerlürjung, jtoeiteng

in ber ^ßarallel^jerf^eftitje mit 45^ unb ~ SSerfürjung ge=
jeid^net »erben.

WttflBfung. 3n gig. 133 ift in bcn ffrei« ein @#em ^aratteler
©eignen eingejeid^net, bie in gleid^en Slbftönben aufeinanber folgen,
©ömtlid^e finb auf y üerlürjt toorben. A^B^G^D^ mit ber cin^
befd^riebenen (£IIi^)fe ift bie eine ber verlangten ^tvä^xmiitn.

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V. SCttleitung jum toneften fteteometrifd^en Seidenen.

201

. 3n gfig. 134 tft A^B^C^D^
^ ba^Duabrat inbcr anbeten 5ßarattcls
l^erf^jeftitje. SBieberuntiftbag Softem
1?araöelcr, in gleid^cn Slbftänbcn
aufeinanber folgenbcr Seinen ge^
jeid^nct, jcbod^ mit Slcignng 45®
unb Y SSerlürjnng. S5ci ber Kon?
ftmftion ge^t man am bcften öon
ber aRitteffinie E^ F^ an». 2)te Se*
rä^mngg^jnnfte fallen in bic SKittet
Knien. Bpättt tüxxh beriefen, baft
eg fid^ nm eine ©öi^fe l^anbelt,
beten ^an^jtad^fen ein toenig fd^räg
liegen.

28) ®araug tofirbe
j. 8. bie nebenftel^enbe
geid^nnng be§ fenfred^ten
ffreigc^ünberiJ in fd^räger ^
5J5araöeI|)erfpeftit)etJon 45®
unb Y SSerfütjung folgen.
9Ran hta(S)it, bag babei
ber fenfrc^te grontfd^nttt
EFF^E^ fid^ burd^aug
nid^t mit ben ©id&tbarleitg-
grenjen beg ajiantete bedt,
bie bnrd^ bie gemeinfd^aft^
Ud^en Tangenten KK^ unb
iiibargefteötfinb. gie^t
man öon M. aus Son^
genten an bie untere @öit)f e,
fo erl^alt man jugleid^ bie
S)arftettung beS ftegetö
mit bem Duerfd^nitte
E^F^M.

Wttfgabe. 2)enSßär::
fei in ber ^ßaraHetpcrf^jel^

titje 30® mit \ S5erfür§ung ju jeid^nen unb in ben fid^tbaren gläd^en
bie @ttii?fen ju jeid^nen, burd^ »eld^e bie einbefd^riebenen Greife bar«
gepellt »erben. »

fjifi. 186.

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202

JBtCTte Abteilung: ©tctcometric.

9l0. 186.

tlttfgalie. 2)en liegenben S^ßnber in berfelben $erff)eltit)e mit
bcr SSd^fc in Sronttogc jn jcid^nen.

29) tlttfgalie. 2)rci ^cifc glcid^cn S)utd^ntcffcr8 ju jcid^ncn,
bic aufcinanbcr fenlred^t ftel^cn unb mit bcn äRittcIt)unftcn jufammen^

faöcn, tüobci bcr eine pd^ in %tonU
fteönng befinbct (alfo aU ftrcig
crfd^cint). S)ic Sluflöfung ift in
gig isebnrd^gcfül^rt. S)abei^onbett
CS fid& nm bic S)arftcllung bcr
$aui)tfd^nittc einer ^gcl, bic bcm?
mä^ m6)t aU ßrciS crfd^einen fann.
fSlnd^ ftc erfd^cint atö leidet }u fons
ftruicrcnbc @IIipfc, oblüol^I fic in
bcn Sc^rbüd^cn conöcntioncö afö
^cig bargeftcöt jn lücrbcn 1?ftcgt.]
2)icfc Slnbcntungcn mögen gc^
nügen. gn bc« Scrfafferg ©in^
fül^rnng in bag ftcrcomctrifd^c Sctd^Ji^w*) finb ÜbungSanfgabcn
lonftmftiücr Slrt in großer gal^I burd^gefü^rt.

b) Sie fenfteilte ißtii|eItton

(ortl^ogxa^l^ifd^e ober ortl^ogonale $roie!tion, bie Beirre t?om ^runbri^ unb
Aufriß, ort]^ogxo:p]^ifd^e Sljonometric).

Sifl 137. 30) Sn bcr SSau- unb

SDlafd^incntcd^nifu.f.tt). tocrbcn
bie barauftcttcnbcn fför^jcr fenfc
red^t auf eine ^orijontalcbcnc
(®runbri6) unb juglcid^ auf eine
SJcrtüalcbcnc (Stufrife) ^jrojijicrt,
biglücUen aud^ nod^ auf eine brittc,
ju beiben fenfred^tc Sbcnc (Seiten^
anfid^t). S)ic beiben erftgenanntcn
geid^nungen »erben babei fo auf
einem Statte bereinigt, baß ber
Slufrife oben, bcr (Srunbrife unten
gejeid^nct ift, unb bafe bic fid^
(AJ (B) ßcgenfeitig entfpred^cnbcn 5ßunftc

beiber geid^nungen jebeSmal in
berfelben ©cnfred^ten liegen. @o ftettt $.35. gig. 137 bic Seid^nung

D(W

(QJ

C

A

(E)

B

(FJ

H

G

fE)

(F)

D

C

*) Scipaig, bei ©. ®. Xeubner 1886.

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V. Slnteitttng jum forrcftcn ftctcomctrifcl^ett Seidenen.

203

i)c^ SBürfcfö in grontficöung bar. Sm Slufrife ftnb A, B, C, D bic
fid^tbarcn ©den bcr SSorbcrfläci^c, (E), (F\ (G), (H) bic öon il^ncn
öerbcdttcn bcr l^interen gläd^c. 3^ (Srunbrife finb 2>, (7, G, H bic
fid^tbarcn (Scfcn bcr oberen gläd^c, (A) (J5) {F) (E) bic tjon il^ncn
tjcrbcdtcn bcr unteren gläd^c.

31) S)re]^t man bcn SBürfcI um bic ^antt AE, j. ». um 30<^,
fo tt)crbcn bic ©runbrifepunitc nur l^orijontal öcrfd^oben, »äl^rcnb bic
im übrigen unöcranbcrtc Slufrifefigur um 30*^ gcbrel^t crfd^cint. 3«
gig. 138 ift bieg an ätt)citcr ©teile bargefteöt. Sin britter ©teile ift
gejeigt, tt)ic ber aSürfel crfd^eint, tt)cnn bic unöeränbert Meibenbc

gifl. 138.

©runbrifecid^nung j. 35. um 35® gcbrc^t tt)irb, tüä^rcnb bic SSufrife?
l)unltc t)on 9ir. 2 fld^ l^orijontal ücrfd^iebcn. ©nblid^ ift nod^ oegeigt,
Xoxt er erfd^eint, njcnn ber Slufrife tjon 3) um 20® gcbrcl^t n)irb unb
bic ©runbri^unfte fid^ l^orijontal tjcrfd^iebcn. @o crl^ölt man ben
SBürfcI in allgcmeinfter Sage im ©runb^ unb aufriß.

Slud^ l^icrju tjcrglcid^c man bic „©infül^rung".

©el^t man üon. einer fotd^en SBürfcIproicftion auS cbenfo, xoxt
bei bcr in Seil I bel^anbcttcn ©d^rägproicftion, jum DItaebcr, Sc-
traeber, 5J5^ramibennjürfeI, ail^ombcnbobcfaebcr, ^cntagonbobelaeber,
gfofacber u. f. Xo. über, fo crl^ölt man lorrcfte ortl^ogra^jl^ifd^s
ajonomctrifd^e ©arftcUungcn biefer Äör^jcr. ©tatt bic obigen
Srcl^ungcn mit bem SBürfcI üorjuncl^mcn, fann man fie mit feinem
9ld^fenfreuje ausführen. S^i i^^^ aögemeinften Sage l^abcn bic Sld^fen
t)crfd^icbene Sängen. Slu^ bicfen crlennt man bic für i^re Stid^tungen
äu nc^menbcn SScrfürjunggucrl^ältniffc bcjtt). SRafeftcibe. 2)araug cr=
flärt fid^ ber 9lamc „Sljonomctric".

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204

»iertc «btcüttiig: ©tctcomcttic.

a) Stitpttftümp\t.

Unter Äörpcrftunt^jf tjcrftcl^t man einen etnfad^ gcpalteten ^öxpex,
ber t)on atoet jjarattelcn ©runbftad^en G unb ^r begrenit ift.

32) ©tnntpf beg a)ad^Iör|)erg. Sinb G unb ^r bie bcibcn
©runbftäd^en, unb ift h bic §ö]^e, fo ift ber gnl^alt

Si9. IM. ;^ g + gr ,

S)er SetoeiS crgiebt fid^ mit* §ülfe ber
Snl^alt^formel beg Zxap^t^ ABCB,
tocid&eg ebenfalls afö ©runbftäd^e benufet
»erben lann.

Der mittlere ^orijontalfd^nitt ^ ^

befinbet fid^ in falber ^öl^e.

33) @tum|)f be« Äreigfegel«. gig. 140 ftettt junad^ft ben
Stumpf beg fenlred^ten ^eiglegetö bar, ber anbeutungi5n)eife jum
bottftönbigen föegel ergönjt ift; r unb q feien bie ©runbrabien, h bie
$ö^e be^ @tum:pfeg, x bie be« ganjen Äegetö. * Slui^ ber Sl^nüd^feit

ber Dreiecfe BGJ) unb BAM folgt {r — Q)\h = r\x, alfo ic = j:^ •

cjig, 140. S)er @tumt)f ift gleid^ bem ganjen Segel öer^

^ minbert um ben ©rgänäungung^legcl, alfo

/!\ -p T^nx Q^nix — h)
/ , \ T .-^ I — i i.

3

3

^=t['-' + ''^ + ^']-

©ringt man tc in bie ßlammer, fo er^
^alt man in biefer r^n = G, q^tv = Gj^,
rqn = "[/(r*^) {q^n) = YG - G^, toO G

unb G^i bie beiben ©runbfläd^en finb. 3Ran i)at alfo bie ^nl^alt^formcl

J^-|[e + Vec, + e,].

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VI. .SBcted^nunggübtttigen.

206

2)er SRantcI löfet ftd^ in n fd^malc S*»- ^*i-

Sr(4)ejc mit bcn ©runblinicn -^ = ^r

. unb -^==^1 einteilen, öon benen jebeiS

bie ^ö^e 5, alfo bie Städte ^-^^^ s =

^ (r + ^) s l^at. ®er SKantel beg ©tumj^fe«

l^at alfo bie gWd^e

3) itf = (r + ^)«s.

©tatt s fann gefegt werben

s « /(7 ~ qY + h\

34) Wttfgaie. Sn »eld^er §ö]^e befinbet fid^ bie mittlere Ducr^
fd^nittgftöd^e beg ftegelftunqjfeg?

Wttflofung. 3ft i^t Stabiug gleid^ z, fo müßte fein:
gn^alt = mittlerer ©d^nitt mal §ö]^e, alfo

/ = ,2^Ä = ^[r« + r^ + ^«}

alfo Äi == ]/ ^ -f y + p ^ jj^ j^j^ ^^^^ ^ ^^ finben, in ber fid^

biefer SRabiug z befinbet, bcnu^e man bie

ang ber ^^nlid^feit ber 2)reie(fe in gig. 142

folgcnbe ?ßroportion

(r — z) : 2/ = (^ — (») : (Ä — y),

tt)oraug folgt

Ä(r - z)

too ber SBert t)on ;e? einjnfefeen ift. (S)er
mittlere Dnerfd^nitt befinbet fid^ alfo nid^t
üxoa in l^aftcr §ö]^e.)

8emetfttng. S)ie 3«^ateformeI (nid^t
aber bie äRantcIformel) gilt nad^ bem @a^e be? ©aöaüeri and^ für
ben @tnm^)f beS fd^iefen Stei^fegefö.

35) 5ß^ramibenftum^f. 3ia6i leill, Ster. SSix, 26) l^aben Segel
unb 5ß^ramiben üon gleid^em ®mnb unb gleid^er ^öl^e in bemfelben
JRiöeau gleid^e ^orijontalfd^nitte. $aben alfo Äeget unb Jß^ramiben^
ftum^jf gleid^e ©runbftäd^en G unb g unb biefelbe ^öl^e ä, fo l^aben
bie ergänjten Äör:per biefelbe ^ö^c x, S)emnad^ finb aui^ bie

r >i

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206

SSiette ^[bteüitng: @tete#ntetric.

©tuntpfc nad^ Katjaücri tnl^altößleid^. golglid^ tft anä) für beit
5ß^ramibenftunt))f

©cftft&nbig ergicbt ftd^ bici5 folgenbermaften: ®er ^ßaraUcIfd^nitt
in gig. 143 fd^neibct einen bcr ganjen
$^ramtbe dl^nltd^en fiör^jer ab, folgüd^ ift

benn in äl^nlid^en, Sör^jem tjerl^alten ft(j^
l^ontologe gläd^en toie bie Ouabrate l^omo-
loger Sinien. 2)araug folgt

YG:yg-=x:(x^h)
unb _

©e^t man bieg in
ein, fo entfielet

ober enbfid^

36) ©benflöd^igeiJ 5ßrij?^
matoib. 2Ran öerftel^t barunter
einen ßör^jer, beffcn ^jaraMc
®runbftcid^cn Sielede finb, toal^^
renb atö @eitenftäd^en im aQge-
}I> meinen nur 2)reie(Ie auftreten, tjon
benen iebod^ jmei benachbarte )u
einem ebenen Siered jufammens
faöen lönnen, (fobalb bie obere
unb bie untere Äante ^jaraöel finb).

3n gig. 144 ift aö untere
Orunbftöd^e ein SSiered AB CD,
ate obere ein a)reied EFG getoal^It. S)ie §albierung3t)unfte ber

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VI. ©crcd^nungiJübungcn. 207

©eitcttfantcn ücgcn in einem ^orijontalfd^nitte. ^ie nntcre ©runb^
jftäd^e U bcjeid^ne man afö Unterfd^nitt, bic obere ate Dberfd^nitt,
bie in l^alber ^ö^e bnrd^gelegte gläd^e M atö SWittelfd^nitt, ber l^ier
4 + 3 = 7 ©eiten ^ai, im allgemeinen m + « ©eiten l^aben fann.
©in beliebiger ?ßunlt P beg aWittelfd^nitt« toerbe mit aßen ©cfen
ber brei ©d^nitte öerbnnben. S)ann erl^alt man folgenbe Sör:per nnb
ftör:perin^alte:

^^ramibe F{EFa) ==|| = ?^,

,, F{ABE) = 4 • 5ß5ramibe P{HJE)

~ 4 . 5ß^ramibe J57(H/P) «=4.H/P.|,

P(BEF) = 4 . 5ß^ramibe PCJ-JSTP)

6

= 4 • Jß^ramibe J?(J^jrP) = 4-/irp. J.
©benfo folgt nod^ 4JSrXP.J, 4 LMP-^, 4. MNP^

4 JV'OP^ unb 4 0Pir^- S)abei geben bie ben gaftor 4 entl^atten-
ben Sitl^öfte jnfammengenommen itn äRittelfd^nitt M mnltiplijiert
mit -g-- 2)er ganje Äör^jer l^at alfo ben Snl^alt

/ = |[cr+0 + 4itf].

@r l^at biefe Snl^alt^formel, bie Stetoton- ©im^jfonfd^e gormel,
mit jal^Ireid^en anberen föör})em gemein, fo baft bag ebenflöd^ige
5ßriSmatoib nnr ein f^JejieHer gaö eine^ loeit allgemeineren Söxptx» ift.
©pejieöe gätte be8 ^ri^matoibs flnb ba^ ?ßri§ma, ber 'S:)aä)^
förper, bei bem bie eine ©rnnbfläd^e SRnÖ ift, bie 5ß^ramibe nnb ber
Segel, bei benen bagfelbe ftattfinbet nnb bie ©tnnqjfe ber lefetgenannten
Äörper. SSon il^nen gilt alfo bie genannte gnl^alt^f ormel. Sie bient iebod^
bei biefen nid^t jnr Sered^nnng, fonbem jum Stad^ioei^ loid^tiger @ä^e.

[37) ®ag §albtetraeber. 3ebeg beliebige letraeber
(gig. 145) lann mit ber Äante a anf einen l^orijontalen lifd^ geftellt
nnb nm biefe ftante fo gebrel^t »erben, baß fd^Iiegüd^ and^ bie «ante
h ^orijontal ift. S)ann ift ber ftör:per ber ©pejialfan be« 5ßrig'
matoibg, bei bem baä obere nnb bag nntere ^ßol^gon ju geraben
Sinien geworben finb. 3ft alfo EFGH ber l^orijontaft aWittelfd^nitt
Jf, nnb ift h ber fenfred^te Slbftanb ber Äanten a unb 6, fo ift ber

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208

aStertc Abteilung : Stereometrie.

Sn^alt bt^ mvp^» 7 — |[Cr+ + 4ilf], ober, ia U=0

unb = ift, /«-yÄJlf. (2)cr SRittelfd^nitt ift ein ^ßaraHelogramm

^g. 146. tnit ben Seiten |- unb g- , bie benfclben

'^ SBinfel y einfd^tiefeen, nnter bem fid^ bie
Oeraben a unb h freujen. ®g ift alfo

2|f = -._smy
unb

6 2 2

6

sin y.)

Sielet man nun ja^Ireid^e $orijontaI=
fd^nitte, fo erfcnnt man, bafe icber ein
^Parallelogramm ift, loeld^eg burd^ bie
diagonale JK bejto. FH, LMn.\. tt). ^ah
biert loirb. S)ie (Sefamtl^eit biefer diagonalen
fliebt eine gcfrümmte gläd^e, bai5 fogenannte toinbfd^iefe SSiered ABCD,
beffen gerabe ^orijontalen ber SReil^e nad^ t)on JDC in bie Stid^tungcn
JK, FH, LM, BA übergel^en. "^ai:^ bem ©afee be§ ©aöaüeri toirb
bag letraeber burd^ biefe toinbfd^iefe Släd^e in jtoei in^aftggleid^e
Äörper geteilt, bie fogenannten §albtetraeber. S^be^ berfelben

l^at ben äRittelf d^nitt ' ilf ^ = y unb ben Sn^alt J = yÄJtfi

— -^ [?7 + + 4Jfi], tt)o CT = unb = ift. golglid^: ®ag
^albtetraeber gel^ord^t ber Stetoton^Simpfonfd^en gormel.

38) 2)ag $ri§matoib mit toinbfd^iefen ©citenflad^cn.
Säfet man in bem ebenftöd^igen 5ßrii5matoib Sig. 144 an ©teöe
jioeier benad^barter ©eitenbreiedfe eine toinbfd^iefe SSieredfgfföd^e mit
^orijontalen ®eraben treten, fo fd^neibet man öom ©efämtlör^jer
ein §albtetraeber tjon ber befprod^enen Stellung ab. gft
ber abgefc^nittene Seil beg 2RitteIfd^nittg jJfj, fo bleibt ein Äör^jer
übrig öom ^vi)A\.t

/ = A(i7+0 + 4Jtf)~^ilf,

.[?7+O + 4(ilf-ilf0],

Xoxi M — M^ ber neue SKittelfd^nitt ift. golglid^ gilt bie ©impfonfd^e
Siegel aud^ loeiter, loenn man an ©teile tjon beliebig öielen ber be-
nad^barten S)reiedEg:paare loinbfd^icfe gWd^en ber befprod^enen Srt
treten laßt. Sllfo:

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VI. 93ered^nttngdft&ungen.

209

S)er Snl^alt bed ^tdntatotbd mit (teitoeife ober audnal^mdlod) toinb^
fd^tcfen ©citenp&d^ett (bie burd^ l^orljontalc ©erabcn gc^itbet jtnb) ift

9ig. 146.

39) Stg. 146 ftcttt bcn ©peiialfaö bar, bei bem bie ®runb^
pd^en flfeid^Iiegenbe Düabrate finb. S"
biefem gaöc ift ber SWittelfd^nitt, tt)ic man
burd^ $eruntert)roj[ijicrcn crlennt, bie $alfte
ber ®ruttbftöd^e l!>^ alfo

b. 1^. y bed jugel^örigen 5ßrigma3k

40) ©ittb bie ©runbfläd^en reget
tnafeige ^ßol^gone öon unenblid^er Seiten*
jal^I, alfo Steife, fo entftel^t ba^ burd^
gig. 115 bargeftettte S)re]^uttgg]^^})er5
boloib, beffen ^nf)aii alfo ebenfalls

ift. ©efonber^ einfad^ loirb bie gormel, toenn ber äJlittelfd^nitt biefen
ftörjjer, loie in ber Sigur, in jioei fongruente leile jerlegt. S)ann tt)irb

-IU+U+4.M]-

IU+2M].

Oemetlttng. Äui5 bem bei bem »inbfd^iefen ?|Jrt8matoib an*
getoanbten SJerfal^ren ergtebt fid^, ba% loenn bie SielotonsSim^jfon-
gormel öon jioei &'6tptvn berfeften $ö^e gilt, fie aud^ öon ber
Summe unb a)ifferenj biefer Äör^jer gitt. ®ie Duerfd^nittgffäd^en,
bie in berfeften §ö]^e liegen, fönnen babei ju ganj beliebigen
®eftalten vereinigt n)erben, fei e§ burd& Slbbition ober burd^
©ubtraltion.

41) itbttttgtattfgalien. Unter ben älufgaben über ßar))erftum))fe
finb }. 85. biejenigen öon befonberem.Sntereffe, bei benen eg fid^ um baS
ft)ejififd^e &ttoi^t p' in SSerbinbung mit bem toirllid^en &mxä)tt p
^anbelt. 2)abei ift junäd^ft p ^ Kp\ too K ber Äörperinl^alt ift.
Sd^ioimmt ein ^bxpex, unb ift TT • 1 = W ba§ @ett)id^t unb jugleid^
ber t)erbrangte SBafferraum, fo ift, ba ber ftörper ebenfoöiel toiegt^

h)ie W, Kp' = TT, alfo i>' — x ^^^ f^^^jW^^ ®en)id^t. 3ft J.».

^otsmarter, V^at^etnatil. IL 14

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210 SSicrtc «btciluttßi Stereometrie.

Ic^tere^ Ö^flcten, fo lann man fragen, loie tief ein ffi^Igiöer ober
5ßriSnta, eine 5ß^ramtbc, ein ßegel^ ober 5ß^ramibenftum|)f, ein ^ßrig-
niatoib u. f. to. eintaud^t, ie nad^bcm ba^ ©intaud^cn in biefem ober
jenem ©inne erfolgt.

gerner finb öon S^tcreffe ÜbnngSanfgaben über ©tumjjfc, benen
ßugeln nm^ ober einbefd^rieben »erben fönncn.

Slbftumpfungen fommen in ber ^^ftaöogra:p]^ie ötelfad^ t)or.
So ift j. 85. bag an ben SSierfant^^SdEcn abgeftumpfte St^ombenbobefaeber
ibentifd^ mit bem abgefanteten SBurfel, ba§ an ben ®rei!ant'@dfen
abgeftumi)fte ibentifd^ mit bem abgefanteten Dftaeber. S^^^fcetd^e
S3etf|)iele and be^ SSerfafferS ,,(£infü]^mng in baS ftereometrifd^e
Seidenen" geben SSeranlaffung jn Äonftmftionen nnb Scred^nungen.

h) ftttgelieteii^nttngem

42) Äugelabfd^nitt (ffugelfegmcnt). 3n leill, @ter. SRr. 27,
toxLxbt ber gnl^alt ber ^albfngel gefunben bnrd^ SSerglcid^ mit einem

e^Iinber t)on Stabin^ r nnb
^'^' '^'* $ö^e r, and bem ber anf

'J^ , ber ©rnnbfläd^e fte^enbe Segel

t)on ^öl^e r au^gefd^nitten toar.
S)er aieftlörper l^atte babci in
gletd^er ^öl^e gleid^e Duer?
fd^nittgfläd^e mit ber ffngcl.
SSon ber gigur ift l^ier nnr ber
Slnfrift gejeid^net. ytai) bem
©afee t)on ©aöalicrt mu^ äl^n-
lid^, tt)ie bort, ber Sugelabfd^nitt GJH bcnfelben g^^alt l^aben, toxt
ber entft)red^enbe 8teftför»)er, b. 1^. tt)ie e^Iinber ÄBCD — Äegelftnmt)f
AEFD. gtlfo, toenn AB = Ä, alfo EK= MK-^ r — h gefegt toirb,

Segment == r^Tch — ^ [r« + r (r - ä) + (r - hf] .

ober

^lBr^^r^-r{r-h)-{r-h)%
Segment = ^ (3 r — Ä).

43) ffiugelfeltor. ©efet man anf bad ^gelfegment GHJ
ben Segel GHM anf, fo erl^ält man ben Sngelan^fd^nitt ober
Sngelfeltor, ber jnr ©egmentl^öl^e /* gel^ört. ©ein gnl^aft ift

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VI. SBetcd^nuttöÄübutigcn.

211

©cgment + ^^9^

3

(3,

n) + ^^r-k)

tpo fid^ atte^, big auf ~ r^nh lüegl^eM. Sllfo
©cftor = |-r*jrÄ.

44) ffiugellalottc. Die SBöIbunggftad^e bcg Segmentcg j^cifet
Äugell^aubc (Äugeüappc ober Salottc). ßu il^rer Scrcd^nun^
fd^Iägt man ba^fcCbe SScrfol^rcn ein, tt)ie in leil I, @ter. 38. SKan teilt bie
SBöftunggftäd^e j. 85. burd^ "^axa^th
fretfe unb SWeribtane in Heine ,,quabra^
tifd^c" glöd^en a^, G^, G^, ... ein,
beren ©den mit bem ftugeicentrum öer-
bunben »erben. @o entfte^en 5|8^ramtben
t)on ber $ö^c r unb bem S^l^alte

r

(^A, <

a^

©eltör

3/ -33/ w-f-»- ®^«« iP
Summe ber ?ß^ramiben «=

ober ©eftor = - • Äalotte, alfo Äalotte «

j(öi + G, + G^8 + ••*).

? = --r«;rÄ,ober

Äalotte -= 2r7th.

®enau ebenfo grofe ift in gig. 147 ber 3WanteI be^ ber ganjen
^gel umbefd^riebenen ©^ünberg öon ber ©runbflad^e big jur $ö^e Jk

45) 3onenftäd^e. S^Jei ^araM?
Ireife fd^neiben aug ber ffiugelftäd^e eine
gonenftäd^e auS, bie bemnad^ aU 2)tjfe5
renj jioeier ftalotten betrad^tet »erben
lann. ©el^ört jur einen bie „5ßfeil^ö^e"
7*1, jur anberen bie ^ßfeill^öl^e /?2, fo er=
pit man

gonenfläd^e = 2r7t\ — 2r7th2
= 2r7t(hi — Äj)-
©efet man bie fenlred^te ^öl^enbifferenj
/?i — ^2 = ^f fo erl^ait man

gonenftäd^e = 2r7th.

3n ber Stufrifeeid^nung gig. 14:9 ift alfo jebe S^nenffäd^e gleid^
ber gleid^ l^o^en ©d^id^t beg ffi^Iinbermantetö. Sft alfo ber Surd^-

14*

Sf{0. 149.

y^

^\

/

\

/

\

\

\

1

\

/

A,

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212

eieite «((teilitng: Stettometrie.

j\o c

\ y-yp h

\i

^"ydc K

^\

meffer AB in n gleid^e Zt&t geteilt, fo toirb burd^ bie 9lorma{e6enen
in ben Ieil|)uitfteit bie ftugelftäd^e .in pci^engtctci^e Sonen jerlegt,
$roit}iert man alfo bie S&nber ber Srbo6erf(&(!^e normal auf ben

Serül^rungdc^Iinber bed aqua-
*^«- ^*®- \ox%f fo erl^ält man eine

^ flä(^entreue SBeltlarte,

bie nad^ Kuffd^neiben bed
Q, S^Iinberd ein Sted^ted in ber
Q^bene giebt (&quit)alente
^ Äbbilbungnad^ Sambert).

46) Äugelfd^id^t. J)ie

burd^ jtoei §orijontaIfd^nitte

and bem ftugetldr|>er gefd^nittene ©d^id^t AB CD ift gleid^ bem S^Knber

EUGF üerminbert um ben Äegelfhimjjf LNOF, 3ft nun bie fenfred&te

^ö^e KJ — Ä, »abiu« JD^a unb aiabiui^ KA — l, fo l^at man:

@(§ic^t — r«;rÄ — '^\kV + Zi • /P + /P«]
= r«j»Ä — ^[JM"^ + -flfJ^- ^/+ ^J«]
= r»«Ä — ^ [2 itf J^« + 2 ^Z. ilf / + 2 itf /«]
= r*«Ä — ^[Sjtfjr* + 3 JJf/« — (JtfZ — ^/)*].

9lun ift aber ME} — Jtf^« — KA^ = r« — 6», unb MJ^ = üf D*
— JD* ^r^~€? unb itf ä: — JJf/ — h, olfo l^at man

@(^i(^t = I r««Ä — ^ [3 (r« — 6») + 3 (r« — a^) — Ä«]

= ^[6r« -. 3(r« - 50- 3 (r« - a*) + Ä)'].
ober enbttd^

Sußelf (^ic^t = ^ [3 a^ + 3 6* + Ä»] .

0, fo erl^ält man eine neue gformel für baS ©egment,

ftugelfegment — ^[3 a* + Ä«],

bie gegen bie frul^ere ben SSorjug ^at, bag a unb ä am ©egment
gemeffen werben lönnen, möl^renb bort jtoar ä, aber tiid^t r meßbar
war, fonbem bered^net werben mußte.

©efet man l
ndmlid^

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VI. aSered^nuttfidübungen.

213

Semerfung« Sic gormcln für bQ« ©cgntent, bcn ©cftor unb
bie Sd^td^t ftnb l^tcr jtüQr nur an ber ^aftfugel beriefen, gelten
ober, »te qani etnfQ^e Setrad^tungcn
jeigen, aud^ bann, toenn bie ftugeftcile ^*^' ^**'

über ben größten ^eid ber ßugel l^inau^^
reid^en.

47) «ttfgalir. 3)en Snl^att bed
SRotationiSlörper^ ju bered^nen, ber burd^
®rel^ung be« burd^ bie Seltne -4J?
abgefd^nittenen ^etdfegmentö um bie
parattele «d^fe CD entfielt.

tlitflefttng. ^gelfd^id^t ÄBEF
— (J^Iinber ABEF

ober, toenn man ^=2^ einfül^rt, 4^'^' ^^^ *^^^^ Dotation b^g

©egmentö entfianbene ftör»)er ift alfo inl^alti^gleid^ mit einer ftugel

öom Slabiui^ -• S)er gnl^alt ift alfo

nur abhängig öon h, nid^t aber t)om
ftugelrabiu« r. (3e größer r, befto
Heiner jtt)ar bai^ ffreigfegment für bag-
felbe Ä, befto größer aber ber ©rel^ungi^s
n)eg. S3eibed gleid^t fid^ aud.)

48) thtfgair. 2)en entf))red^enben
föörper für ben gaö ju bered^nen, ba§
ba« ÄreiSfegment um einen S)urd^meffer
gebrel^t h)irb, ber nid^t ^jaraQel jur
©el^ne ift.

«ttflifttng. ®ä)iä)i — ftegelftum»)f

nh {

[3a« + 36« + Ä*]
— -3-[a» + a6 + 5«]-^[3a^+36» + Ä«]-^^^
„ !^[a« + 5« _ 2 a6 + /*«] - ^[(a — 6)^ + Ä«]. 35a aber

(a - 5)2 + Ä« — 5^ ift, fo folgt »ieberum J^—s",

@ani allgemein folgt alfo ber Safe: 8*otiert ein ftreii^fegment
um einen beliebigen Surd^meffer, fo ift ber Sn^alt be8 ents

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214

SBtcrte ÄbteUung: ©tetcometric.

Sig. 168.

ftel^cttbctt Srel^ung^förj^erg bag 7'fttd^e einer Äuget, beten

S)urd^meffer gleid^ ber Seltne be^ ©egmenteg ift.

[49) glad^e unb ^bxptx be§
Sugeljnjeied« .*) 3n gig. 153 ift öon
ber ^gelflöd^e burd^ bie größten Äreife
ABC unb -4DC7 ein glüeiedC mit ben
@(fen A unb au^gefd^nitten. ©eine
gläd^e folgt au^ ber 5ßroj)ortion F : O

= a^:360^ alfo F = ^,, too

= 4r*7r bie Dberffäd^e ber ßugel ift.
Sft bagegen ber Sogen 5 D = r« in

Sangeneinl^eiten beftimntt, f o ift F= ^ ^
, 2 ^ — 2r . (rS) = d . 5^ folgt, ha^ bie gläd^e

be^ Äugeljnjeiedg gleid^ einem Sfted^ted au§ bem ©urd^meffer unb
bem f^mmetrifd^ teilenben Sogen ift.

2)er ^öxptx beg ÄugeljloeiedC^ ift K = /^^o = J^ '^

5lug F===4r27r-

29r

4 3 ce
3 2»

= (2r)^f =

d«(r«)
6 '

atfo gteid& htm ß^^^ Xeile eine^ ^ri§ma§,

beffen ©runbflöd^e ba§ Duabrat beg 2)urd^meffer§, beffen ^b^t ber
f^mmetrifd^ teilenbe Sogen ift.

50) glöd^e unb &öxptx be§
ÄugelbreiedEg. gn gig. 154 ift
burd^ bie gröbsten ^eife /, II unb
III, bie fid^ unter ben S)urd^'
meffern AA^, BB^ unb C(7i
f d^neiben, ein ^ugelbreiedE ABC mit
ben SSinf ein a, ß, y gebilbet, beffen
gläd^e, n^enn man bie ^xotvAt mit
Za, Z^, Zy bcjeid^net, folgenber-
maßen gefunbcn n)erben lann:
Z« + Z^+Zy=(A50+u4i5C)
-^-iBCA-^B^CA) + {CAB
+ (7i^^)**)«=(.4-BC + ^,-BO
+ EjC^) + ^ABC-\- C^AB.
%tx erfte 5ßoften ift bie gläd^e ber burd^ ben ^ei^ III abgefd^nittenen

*) Sluf bem OJijmnafium finb \At §tb|d^nittc 49 bis 51 ju übcrfd^tagen.
**) ^d^te auf bie c^fUfd^cn SScrtaufd^ungcn.

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VI. SBcred^nunggübunflcn. 215

l^albfugcl ^ öerminbcrt um bagS)reied CAy^B^, weld^eg atöSd^eitcIbreietf
f^mmctrifd^ unb pd^cngleid^ mit C^AB ift. SKfo I;at man bic (äWeid^ung
{^-^C^AB^ + ^ABC+C^AB^Za + Zß+Zy, ober J+2^5C

§icr bebeutet = 4 r*7r bie Sugeloberfläd^e, njäl^renb rS, r^ unb ry
bie f^mmetrifd^ teilenben Srei^bogen ber einjetnen Sugeljnjeiecle finb.
5Rennt man «« + /3<> + / — 180^ ben Saäinfelüberf^ufe beg Sugel-
breiedEg (über 180^) unb rct + rß + ry-^rit ben SSogenüberfd^ujs
ber entfj)red^cnben Sweiecle (über itn ^alblrei^bogen), fo ergiebt f^
golgenbeg: 2)ie glad^e beg SugelbreiedEg ift j)roj)ortionaI bem
Duabrate be§ JRabiug unb j)roj)ortionaI bem SBinfelüber-
fd^uffe; fie ift gleid^ einem Sugelän^eiecl, beffen SBinfel ber
^albe aBin!eIüberfd^u]3 ift unb gleid^ bem SRed^tedC aug bem
Slabiug unb bem Sogenüberfd^uffe ber brei gn^eiedCe.

^anbelt eg fid^ um gleid^feitige SugelbreiedCe, fo \>(i% ber Snl^alt

tOtrb ^2^0 ^ ^^^'^ ~~24Ö^~ ' ^"^ ^^^* ^^^ ^^^^ *^^^ ^^^'^^

nad^ glet^ -\0, \0 unb ^0, fo folgt « — 120^ bejn). «= 90^,
a = 72^, unb bie SdCen finb ber JReil^e nad^ bie ©eltoren be^ r^gel^
massigen SetraeberS, Dltaeber^, 3fofaeber§, beren ^auptfd^nitte Greife
geben, bie fid^ unter ben gefunbenen SBinfeln fd^neiben.

©teilt man bie entf|)red^enben gormein für bag Sugelbieredf unb
S^getfünfedE auf, fo fommt man burd^ dl^nlid^e ®})eäialifierung auf ben
gatt beg SBürfefö unb be§ 5ßentagonbobefaeberg. ©^ l^anbelt fid^ alfo
um Probleme ber Sugelteilung.

51) SSerbinbet man bie ®dEen be^ ÄugelbreiedEg mit bem ^ugel-
centrum, fo erl^ält man ben ffiör^^er be^ ÄugetbreiedC^, beffen gnl^alt

man au^ ber gläd^e burd^ 2RuIti^)üfation mit - erl^ält (^ß^ramiben^
formet), fo bafe man l^at:

«0 + po + yo ^ 1800 4 3 _ s + P + y- n 4 «^

= («+? + ?— ^) ^ = (»'«+»-? + »*? — ri^ V
ober, njenn J ben Sugelinl^alt bebeutet,

«0 4. po + yO -, 1800 g + P + y-^ r

^= 720^ ^= il^ ^•

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216 Vierte HbttUmtfi: etereometrie.

[«tt^ biefc gormcin pnb lei^t in SBorte ju Reiben, »ei bcr
einen J^anbeft e« fit^ um ben Sn^olt einer ^^romibe über r\
beten ©öl^e ber »ogenuberf^ufe ber brei gtoeiede ift.]

c) Öliingliitfgilcn.

52) Unter ben Übnnßi&attfflaben pnb bie mit ber niotl^e^
ntotif^en Oeograpl^ie jnfaninien^nßenben bie »i^tigftcn; j. ».:
SBie gro§ ift bie gß^e ber l^eifeen, ber beiben ßemafeigten, bcr
beiben lolten ßonen, unb in »eifern »erl^aitniffe ftcl^en fte? SBie
flro§ ift bie gonenflö^e jloif^en bem Äquator unb bem erften
(Brabe nörbli^er ©reite; toie ßrofe bie öom 45*"* unb 46*«* ®rabe
nörbli^er »reite einßefd^Ioffene 3öne? SBie grofe ift jebe^ aReribian-
jmeied t)on &tah ju ®rab? SBie t)iele Ouabratmeilen 9Reered-
pd^e überfielet nton öon 10 m, lOÖ m, 1000 m, 10 000 m,
100000 m 2aittttSf)&f)tl (Sine n^ie ßro^e gfläd^e toirb bnrd^ ein
ajteteor beleud^tet, todäft^ fid^ 8 9ReiIen über ber (Srboberfia^e be-
finbet? SBie ^oäf mn^ ein EReteor fd^ttJeben, um 1000 Ouabrotmeilen
ffirboberpcJ^e ju beleud^ten? S)er Srfd^ütterunß^Ireid einei^ (Srbbeben^
reid^e öon 10® nörblid^er ©reite big 60® nörblid^er »reite; toie öiele
Ouobratmeilen umfofet er, unb ber »ieöielte leil ber erboberpäd^e
tt)irb erfd^üttert? D^n toieöielten leil ber (grboberflä^e f^üefet ber
45*': ©reitegrab ein? SSeld^er ^ßaraßeHreig fd^Ue^t btn öierten IctI
ber (^rboberfläd^e ein (b. 1^. nm toeld^en @rab nörbßd^er ©reite
l^anbelt t§ fid^)? 2)ie gldd^e ber fd^einbaren ^immeföbißel ift njie-
öiel mal fo gro§, afö bie fd^einbarc gläd^c ber ©onne (beren fd^einbarcr
S)ttrdemeffer 32' beträgt)? I)er toieöielte leil ber ©onnenauöftral^Ittng
lommt ber ®rbe ju gute? (@g ift ju nnterfud^en, tt)ieöiel mal
fo gro§ bie fd^einbare ^immetölugel ift, afö bie fd^einbare gläd^e
ber ®rbe für ben ©onnenbelüol^ner. 2)ie @rbe l^abe babei ben ®ttr4=
meffer 1720 SKeilen, unb bie ©ntfemung t)on ber Sonne betrage
20 aJKßionen SWeilen.) SBie grofe ift bie fjlöd^e eine§ gleid^feitigen
ftugelbreiedtg auf ber Srbe, totnn jeber feiner SBinlel 70® betragt?
SBie öiele lonnenmaffen entl^ält ber ©rbförper, toenn fein fpecififd^e^
©etoid^t 5,6 ift? (Unter lonnenmaffe foß l^ier eine SKaffe öerpanben
toerben, bie an bcr (grboberpd^e 1000 kg njtegt. 3laä) bem ©etoid^te
njirb bc^l^alb ntd^t gefragt, toeil bie @rbe nid^t an i^rer eigenen
Dberftäd^e getoogen toerbcn fann, njcil ferner bie SKaffe unöeränberlid^,
ba^ ©etoid^t aber öon ber Sage, (Seftatt unb SKajfenöertcilung beS
anjiel^enben unb angejogenen Sörj^erg abl^ängig ift.) SBie öiel lonnen
njürbe ber nad^ ber ©onnenoberffäd^c tjerfefete &btöxptx totegen, toenn

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VI. SöetcdSinunfl^äbunöcn. 217

bort bic Änjiel^unö 28 mal fo groß ift, aU auf ber @rbc? gür bic »c^
tDol^ticr beg 60*^» (SrabcS tiörbltd^er ©reite gelten bie big ju 50^ öom
5ßoIarftern entfernten ®cftime nie unter (ffiircum^jolarfterne), bie big
JU 50^ öont ©übpol entfernten gelten nie anf. S)en tniebieften leil beg
ßeftlmten ^imntetö lernen biefe SSetnol^ner nur lennen? 8fnßenommen,
bei ber glnterfd^einung fteige ber öierte Xeil beg Dceang (bie eine
glutttJeHe) burd^fd^nittlid^ nm j m, toit öiele ftubifmeilen SBaffer tt)ürbe
bie glttttoeHe entl^alten? (SBie öicie äWeterfilogramme ober SRcter-
tonnen Slrbeit bebeutet eine fold^e Steigung?)

Aufgaben über bie ben rcgelmajsigen ^bxptxn um^ unb ein^
befd^riebenei* Äugeln befinben fid^ fd^on in leil I. @ie lönnen
l^ier erganjt n^erben. Stuf gaben über Äugeln, bie Segeln unb reget-
mäßigen $ß^ramiben einbefd^ricben finb, ebenfo über getoiffe Äuget
reil^en, befinben \iä) in bem Äaj)itel über geometrifd^e Sleil^en.

Umbefd^riebcne Äörper. (gincr Äugcl einen Äcgel unt=
jubefd^reibcn, ber ben n^fad^en Snl^alt ober bie «=:fad^e Dberffäd^e-
l^at als bie erftere. S)iefelbc Aufgabe für bic 3^, 4sfeitige 5ß^ramibe.
2lud^ Äegelftumjjfe unb ^^ramibenftumj^fe fönnen umbefd^ricben n^erben,
bie getoiffen gorberungen cntf|)rcd^en.

2lug bem 8labiug ber Äuget bie ©lemente fämtlid^er einbcfd^riebenen
bejh). umbefd^riebenen regelmäßigen ißol^ebcr ju bered^ncn. (Die
SRefuttate befinben fid^ in jal^Ireid^en Übunggbüd^cm.)

Stuf gaben tok folgcnbc: SBie groß muß bie ©egmentl^öl^c fein,
bamit ber n}^ Icil Dom Äugelf örj)er abgefd^nittcn toerbc, fül^ren auf
®teid^ungen 3^^" ©rabcg.

®})ccififd^eg ©ctoid^t. @ine Äuget finfe big jur liefe h
ing SBaffer ein. SBie groß ift i^r fj^ecififd^eg ©etoid^t «ufföfung

jp = ^ = 4 "* A^ 8 — - • S)tefet6e Aufgabe für bie

^ol^tfuget öon JRabiug r unb r^. SBie grojs muß bie SBanbftärfe einer
gujseifemen ^albluget öon 1 m S)urd^meffer (p' = 7,5) genommen
toerben, bamit fie big jum 4*"» leite beg 2)urd^mefferg, jur ^ätfte, ju
S)reiöiertel bcgfetben, ober ganj untcrtaud^t? Statt ber Äuget nel^me
man bie ^atbfuget, bag Äugetfegment, bie Äugetfd^id^t, bie beiben
erften taffe man erft mit ber SBötbung öoran, bann mit ber ®bene
boran eintaud^cn. Slud^ Segmente tjon ^ol^tlugctn lönnen genommen
»erben. (2)ie gragc nad^ ber liefe beg ©intaud^eng fül^rt auf
®teid^nngen britten Orabeg.)

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218

SBicttc Abteilung : ©tereometric.

VII. IRtx $^mttifm\xtf hxt ((itlMnfdren Hegeln, itnD hxt

53) ®contctrifd^ unb mit $ülfc bcr aKcd^atttf (©cfcfe bcr ftafifd^cn
SRomcntc) tann Bctotcfcn »erben, ba§ ber ^^totxpunü cinc§ l^onto^
genen 5ßun!tf^ftcmi& im Jftaume ber ^ßunft mittleren SlbftanbcS t)on
jeber beliebigen @bcne ift; ba^ f))eciett ber @cl^n)ert)unlt eine^ ebenen
5ßunftfi)ftemg ber $unft mittleren 8tbftanbe§ tjon jeber QJeraben ber
ßbenc ift*). Unter ftatifd^em äKoment eincg $un!tf^ftcmg (5J5unIt ate
fel^r Heiner 8laumteil aufjufaffcn) in SSejug auf eine ®bene öerftel^t
man bte Summe ber 5ßrobufte au§ jebem fünfte unb feinem 2lbftanbc
öon ber gbene. S)iefe ©umme ift gleid^ bem 5ßrobuIte au^ bem
©d^njerjjunftSabftanbe be^ ^örjjer^ unb feinem Snl^alte. 3ft nur öon
ebenen ®ebilben bie Siebe, fo l^anbelt eg fid^ in bcr Siegel um bic
Slbftänbe tJon einer ®eraben.

Sei jal^Ireid^en ^öxptxn finbct man ben ®ä)tDtxpunU burd^ ein-
fad^e geometrifd^e Überlegungen, bei anbercn mit ^ülfe bc^ ©afeeS,
ba^ bic ©umme ber einjefncn ftatifd^en äKomente gleid^ bem
äKomcnte bc§ gefamtcn Äör|)erg ift. 3lud^ anberc äRetl^obett
ber ©d^tücr^junftgbeftimmung fotten jur ®\>xad)t fommen, j. S5. toirb
ber @afe öon ©aöalieri ju ^ülfc genommen.

S5ei jlebem (l^omogenen) regelmäßigen Sörjjcr liegt bcr ©d^njcr-
J)un!t im äKittel^unftc. Sei iebem fcnfred^ten ober fd^rägen ^ßriöma

unb ©glinbcr liegt er im ^albierung^-
:punfte ber aKittenintc.

54) Kufgalie. S)en ©d^tücr^
^)unlt ber breifeitigcn ^ß^ramibc
5u finbcn.

SluflBfung. 2lttc ebenen ^ßa-
rallclfd^id^tcn jur ®runbf(ad^e l^aben
ben @d^n)erj)unft auf ber burd^ i^n
im SSer^ältnig 1 : 2 geteilten 3RitteI=
Itnie be^ S)reiedE§. S)icfc ^ßunlte
liegen fämtlid^ auf DS^. 3luf biefer
®erabcn mujs alfo ber @d^lücrj)unft
be§ ^bxptx^ liegen, ßbenfo mujj er
auf ÄS^, BS2, CS^ liegen. S)ie öier äRitteninien ber $^ramtbc
fd^neiben fid^ alfo in einem 5ßun!te. SSon jeber ift burd^ ben ©d^njer^

*) SBgl. Seite 84.

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VII. a)ct (Bt^tonpnntt, bte Outbinfd^en 8*egetn tt.

219

pmtiS ber 4*^IctI abgcfd^nittcn, benn AASDr^AS^^SS^, unb bic
©imcnftottcn beiber ®reiccle öcrl^aftcn fid^ toie 1 : 3. ®er ©d^lücr-
pnntt bcr breifcitigen 5ß^ramibc f^ncibct alfo öon jcber ERittcKinic bctt
4*^" Seil ab, unb feine ^öl^e ift bcr 4^« leil ber ^ß^ramibenl^öl^c.

®iefe ^öl^cnbeftimmung gilt naä) ©aöalieri öon aßen ^JS^ramiben
unb allen jur ^ßgramibe gel^örigen Sör|)em, j. 83. öon ben Segeln.

55) Kufgulie. S)en ©d^toerj^unlt
bcg ßegclftuntjjfg ju finben, toenn r, q
unb Ä gegeben finb.

KuflSfung. ®er ergänjte Segel f)at

Kr

Sifl. 156.

bte ^öl^e X

3Ä + a;

/S in ber ^öl^c

X

4 4 ' '•' *^"" '^"^*' 4

SHfo ift nad^ bent @afec öon ben ftatifd^en
aRomcnten:

AS^ . ©tunt|)f + ^^2 . (It. Segel)

AS ' (ganjer Segel),

( z

^

ober

y Lt (»^ + re + (.«)j + —7^ (9*«^-) = I ■

r*7r-

^

4 V^ " 3 / 4 ' " 3

©efet man für rr feinen SBert ein, fo finbet man fd^üepd^ für ben
©d^lüer|)nnft be^ @tum^)feg bte ^öl^e

Ä r» + 2rg + 3 g».

2^—4 r« + rp + 9*

gür ieben 5ß9ramibenftum^)f ift, mie man nad^ 3ßuIti|)Iifation be^
3äl^Icr§ unb SRenner^ mit % erfennt, bic ©d^lücrj^unftgl^öl^e

4 G + yö^+g^

n)0 G unb g bic beiben ®runbpd^en bcbeuten.

56) Kufgulie. ®en (Sd^n)er})unft
ber ^alb!ugel bejit). be§ 9leftfört)erg
ju finben.

Kufldfung. SBie öorl^er n^irb:

ij ' 3leftlör|)er + - Segel = ^ K^tinber,
ober nad^ ©cbung unb Umformung i/ = -^ r

8fig. 157.

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220

«texte ÄWeilttng: ©teteometric.

57) Die (Bulblnfci^e Siegel für Dre^ung^förpcr.
^tf)t man ba^ «ed^ted ÄBCD in gig. 168 um eine iu ÄD
pwcaMt «d^fe JTZ, fo ctitpel^t ein ^ol^Ic^Unbcr öoni Snl^altc

afifl. 168. h,o p bie aied^tcdgflSd^c unb ^ il^r ©d^toers

})unltgabftanb öon ber Ä^fe ift.

©eftel^t eine glo^e au§ ntcl^reren Sle^t^
ed(en t)on folget Sage, bereu gfläd^en F^,
Fg, Fj u. f. tt)., bereu @d^toert)uultgabftättbc

9i, 9if Qb w- f- ^' fw*>f fo W l>cr ganje
Xre]^uugdför))er beu gul^alt

J'=2^i^Fi + 2^27tFj+2^3«F8+.. ,
ober

J — 27t [^.J'i + ^.F^ + ^3^8 +•••]•

Sft ttuu F = Fl + JPj + Fg H bie Oefamtpöd^e unb q xffx

®^mxpmtt^a^ianh t)on ber Sld^fe, fo ift nad^ beut (Scfe^ ber
ftatifd^cn äWoutente

qF^q,F, + Q^F^ + (^3^3 H f

bemnad^ ift ber gnl^aft be« 2)re]^ungglör})er^

7= 2^7tF= ©d^toerpunlti^toeg mal glöd^e.

Sa nun jebe ebene gflftd^e mit SRed^t-
edtcn, bie mon julefet Heiner unb Heiner ju
nel^men l^at, mit beliebiger ®enauig!eit
öoKftanbig aui^gcfüttt toerben lann, fo gilt
bie5ormeIüber]^au})töon jcber ebenen
gläd^e, bie um eine fic nii^t fd^neibenbe
äd^fc il^rer Ebene rotiert. ®er eigentlid^e
@)mnb be^ @a|eiS berul^t barin, ba^ S aU
^unft mittleren Äbftanbei^ öon ber äd^fe
KL ben mittleren Srel^ungStocg jurfidHegt,
fo bafe ber Äörj^erinl^aft ift: ben^egte gtöd^e
mal mittlerer irel^ung^toeg.

68) S)ie ©utbinfd^e Siegel für Srel^unggflad^en.
aSirb bie ®erabe AB öon Sänge s um eine Äd^fc KL beffclben
®bene gebrel^t, fo entfielet ber ffegelmantel M = (r + ri)ns

9id. 159.

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VII. a)et Qd)totxpmlt, bic @Jutbitt?(^cn aflegeln tc. 221

r 4- r
2— ^-^7r5 = 2^«5, lüo lüiebcrum ^ ber ®(l^tocrt)UttIt^a6ftattbr

t)on bcr Std^fc tft.

9i9. i«o.

Sflfl. 161.

Rotiert eine golgc öon gcrabcn ßinien bcrfctten ©bcnc um eine

ad^fe bicfcr ©bcne, finb ferner ^j, ä^, 53, bie Söngen ber ®e-

raben, QifQ2,Qz,, i^re ©d^toerpunftgabftänbe Don ber 3td^fe, fo

toirb bie TtanttV^&^t bei^ 2)re]^ungdlör))erd

itf «= 2 ^i««! + 2 ^gjrsg + 2 ^37r53 +

3la^ bent ®efefe ber ftatifd^ett äRomcnte ift aber bie Älammer
ibentifd^ mit qs, too 5 — ^j + 5^ + 53 . . . . bie ßänge be^ gefamten
ßitticnjugg, q fein ®ä)totxpnntt^Qh\iani öon bcr Sld^fe ift, bemnad^.
ift bie ERantelpd^e

Jtf = 2^;r5 = ®d^tüer})Utt!ti&n)eg mal Sänge be^ Sinienjug^.

^anbelt cg fid^ um eine Irumme Sinie ber ßbene, fo gilt ber @a|
ebenfaßiS, benn man barf biefe aU eine Sleil^e Heiner geraber Sinien
betrad^ten.

8ei{|itcl. Srel^t fid^ ein ßrei§ mit »abiu^ r um eine ©erabe
feiner @bene im Stbjianbe q öom ajlittel})unfte, bie il^n nid^t fd^neibet,
f ipirb ber ^n^aü be^ entftel^enben 3lingför})erS /= 2Q7tr^7t = 2Qr^n^,
ber aJiantel (bie Dberflcid^e) be^felben toixb 2^%- 2r% = A^qrn^.

59) Vttfgiite. S)en ©d^n^er^junlt ber ^atblrei^flcld^e
jtt finben.

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222

SSicrtc ^Ibteiluitg; ©tcrcomctric.

Vttfidfttng. ©r liegt auf bcm l^attiercnben Äabiu^. S)urd^
2)re]^un9 um bcn 2)urd^meffcr entfielet eine Sugcl, für toeld^c 2QnF=J

i% fo bog bcr @d^n)er})Uttftgabftaub ^

2äF

2?r

r^n

39r

totrb.

60) Kttfgiite. S)ett ©d^tDerj^unlt bc§ ipalblrct^bogcnS
5U finbctt.

KttflSfung. tf^ntiä) 'wie Dörfer entfielet eine Sugclflöd^c, für

toüi^t 2 Qns = Mx% fo bafe ^ = g^, = ^^^ = ^ h)irb.

«ud^ für Ärei^fcgmcntc unb Ärcigbogcn öon beliebiger (Sröge fann
mott fo ben ©d^njer^junft bcfttmmen.

61) Sttl^alt obgefd^rögter ^ßriStnen unb S^Iinber.
gigur 162 ftettt einen geraben, fd^räg abgefd^nittenen ©^linbcr

über ganj beliebiger Orunbflad^e bar. ^erlegt man lefetere in fel^r

Heine glad^cntcild^en fi, f2,f2, -"r
für n^eld^e bie ©^linberl^öl^en
finb Äj, Ä^, A3, . . ., fo finb bie
Snl^alte ber unenblid^ bünnen
©njetc^Iinber fi^ + Uh + fsh

-| = ©runbpd^e mal mitt^

lere ^öl^e. 2)er (B^totipunU ber
©runbflöd^e ift nun ber 5ßunft
mittleren Slbftanbeg il^rer 5ßunlte
öon bcr fd^rägen ©d^nittebene.
®enft man fid^ ftatt bcr ab-
ftönbe bie 5ßaraHeIen ä,, ^2, Äg, ...

2fig. 162.

Bin a' Bina' sin a'

gesogen,

fo ift ebenfo ba^ inm ©d^toer?

^)un!te geprige ä, ba§ mittlere
unter ben tjerfd^iebenen 7i, benn iebeg e ift mit bemfelben gaftor
multi^jüjicrt. golglid^ ift ber gn^It jebeg abgefd^rägten gerabcn
^Pri^mag unb K^Iinbcrg

n)o G bie ©runbpd^e, ä, bie ju il^rem ©d^iüer^junlte gel^örigc ^öl^e
ift. [S)rc]^t man bie gigur um 90®, fo erl^cilt man j. 83. baS S^ia-
gramm beS feitlid^en nad^ unten junel^menben SBafferbrudfö gegen bie
jcfet fenlrcd^te ©runbfläd^c be^ K^Iinberä ober $ßrigma§. S)er S)ru(I

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VII. 3)et Sci(|tt)cx^)unft, bic ©ulbtnfd&en SRegetn :c. 223

ift alfo gidd^e mal (Sä)tütxpunti^txt^t. ©eine 3lcfuftantc gel^t burd^ bcn
fd^njerer ju bered^nenben ®6)Wtxpunli be^ jugd^örigen S)iagrammf ör^^erg.]

62) Der äWantel abgefd^rdgter ©t|Iinber unb 5ßri§nten.

Sft in gig. 162 S ber ©d^njerjjunft bcr Qixunhptxxp^mt, fo
ift Äi ba§ SKittel unter ben auf ben 5J5eri<3l^ertej)unIten ftel^enbcn
^öl^cn. golglid^ ift ber äJiantel

tüo u ber Umfang ber ®runb:peri})]^crte, ä, bie über tl^rem ®d^mer=
jjunfte ftel^enbe ffi^Iinberpl^e ift.

SSemetfung. S)er @d^n)er^)un!t ber fd^rägen ©d^nittfläd^e liegt
atterbing« ftet§ fen!red^t über bem ©d^n^er^junfte ber ©runbftöd^e, bcr
®ä)tütxpuntt x^xtx 5J5eri})l^erie aber liegt im allgemeinen nid^t fenfred^t
über bem ber 5ßerij)]^erie ber ©runbpd^e. S)en ®runb t)on lefeterem
erfennt man barau§, baß, totnn man auf ber fd^rägen $eri})t)erie
5ßunfte in gleid^en Slbftönben marliert unb fie nad^ unten Jjrojijiert,
njegen ber njed^felnben ©teifl^cit ber $eri^)]^erie bie 5ßunfte in ber
^JSrojeÖion ungleid^ verteilt liegen, njoburd^ bie @d^n;)er^)unlt§lage
beeinflußt toxxh. (Sei ber gfäd^e bagegen ift bie ©teiC^eit überaß
bicfelbe.)

©inb bie 5J5ri^men ober E^finber oben unb unten
fd^rög abgcfd^nitten, fo l^at man einen SRormalfd^nitt G ju fül^ren
unb öon feinem @d^lüer:punlte bejn?. bem feiner ^erijjl^erie au^ ein
Sot JU jicl^en. Sft bicfcS ä, bejn;). K, fo njirb njieberum

J = G ' hg, M^=U'K.

»eif^iiel. gür ben in gig. 163 bar= ^^ö- ^««•

geftettten E^Unber^uf ift j. 83.

J=r^7c7is = r^n—f M= 2r7ths= rnh.

§ier fallen bie betben @d^mer^)unfte S unb
S' jufammen. Sie^ njürbe bei bem ^ufe
über bem bloßen $alb!reife nid^t ber gaU
fein, ba ber ©d^h)er:()unlt ber ^atbfrei^pd^e
anber§ liegt, aK ber ®6)rütxpnntt be§ ^alb=
freigbogenS unb S)urd^meffer§ (beibe afö eine Stute betrad^tet).

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224

SSierte Abteilung: ©tcrcomcttic.

YIIL Hie ^twtm'$imjffmj^t Hegel itn) Me

63) ßrftc Slblcituttfl. gilt baÄ 5ßridmatoib unb feine ^pt^iaU
fäHe, ^xima, ^a^Uxptx nnb 5ß^romibe (ßegel) galt bie 3«^ft^fotmeI

3n gig. 164 pnb bic leiteten Körper anf bie ©pifee gefteHt.

Sfifl. 164.

>> ;

Segt man bie brei Ouerfc^nitte fär jlebed 9ltt)ean abbierenb ober
(teitoeifc) fnbtral^ierenb al§ trgenbtoie geftalteten Duerf^nitt ju^
fammen, fo bafe ber neue Duerfd^nitt ^ = ^i + ^2 ± ö's ^^^^t ^^
gilt naä) frul^erer SScnterlung btf ©im^jfon-aiegel aud^ für
ben neu entftanbenen ftörper.
. ©inb j. 8. bie ©runbpd^cn ber ftörj^er G, G^ unb G^^f f» P^b

bie ©d^nitte in ber ^öl^e y ber Jfteil^e nad^ G, ff^p ^«f«' "^*^

tüenn j. 83. alfei^ abbiert toürbe, fo l^ätte ber neue &'6xptx htn üucrfd^nitt

q^^G + 0,^ + G,^^,

ober, toenn man für bie gaftoren öon j/^ y* unb 1/ bie Säulen a, h
unb c einfül^rt,

1) Qy = a + ^y + cy\

e^ foH burd^ toirffid^e Sled^nung gej^robt Serben, ob für einen
fold^en fförper bie Kegel gilt.

*) Slbfd^nitt vni !ann auf bcm ©^mnapum übetjd^tagen iperben.

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Vin. 3)ie 9'lett)ton»@im|)fott|ci§e Siegel unb bie ©ummcnfotmct. 225
5Der ©d^ttitt in $ö^c y = {ft "Z7 = g^ = a + & • -f- c- 0*= a,

i . ^

= « + T- + -r"

. — ■|[6a + 3ftÄ + 2cÄ«] = aÄ + ^ + •

/r n y = ^n = q^ = a + hh + ch\
Ibtmnaä) ift

h\
6L

3 *

^ie^ pttb in ber Il^at bic (ginjclinl^altf ber brci &öxptv, tocnn G = a,
Gl = &Ä unb G^^^ch^ il^rcDBcrfd^nittc toaren. Wlan lann biefc
»a^xptx a» ©impfottfd^c ßör^^er 0*« 1*«« unb 2*«» ©rabc^ k^
^eid^ncn, tocil il^rc Oucrfd^nitte in ©ejug auf 2/ öon bicfem ®rabc finb.
@c^t man G^ = Gh unb ffg = ^^^t ^^ treten bie brei ^öxptx
in eine merftoürbiöe ©ejicl^ung. 3eber üuerfd^nitt be^ folgcnben
fteltt nämüä) ba^ ftatifd^e 9J^oment t)om Ouerfd^nitt be^
tjorl^e^rgel^enben in 83ejug auf bie ®runbfldd^e bar. @o ift
i. 83. Gh ba^ ftotifd^e tWomcnt öon ff in Scjug auf bie öafid,
ÖÄ* baö ftatifd^e aRoment öon öä in »ejug auf bic S3afi«. gbenfo
erl^ält man atö ftatifd^ed 9Roment bed Ouerfd^nittd in Qbf)t y beim
erften ßör})er öy. 3n ber Il^at ift bie gleid^ l^o^c Duerfd^nitti^ftäd^e

icö Stoeiten «örjjer« ö^^|. c« (g^ä)| = 0^2^. S)ag ftafif^c äRoment

iatym in 8cjug auf bie ©runbftäd^e ift {Gy)y — G^«^*. ®ic gleid^

l^o^c Ducrfd^nitt^pc^e be« britten mxptx^ ift G^a f! = (G^ä^ f-! ^ Gy\

\oa^ bamit ükreinfKmmt. S)emnad^ muß aud^ üBcreinftimmen
icr Stt^alt be^ jn^eiten ^'öxptx^ mit^bcm ftatifd^cn äRomente
ieä erften in Sejug auf bie ©runbfföc^e, ber ^n^ait be^
britten mit bem ftatifd^en.BRomente be3 jweiten. 2)ie Snl^altc

finb ber Steige nad^ Gh, g^^ä = G^y , ff^^ = (?y • 3n ber I^at
ift baö ftaHfd^e äRoment beä erften föör})crg eÄ.~ = eY,>!^

beä stoeiten 6^,(1^) = ff^ . |ä = öy •

3n gig. 165 ift au^ bem britten Sbxptx ein öierter berart ai^
geleitet, bafe iüiebcrum ber Duerfd^nitt in ieber ^öl^e gleid^ bem
ftatifd^en äRomente be^ gleid^ l^ol^en Querfd^nitt^ ht^ öorigen in öejug
auf bie 6Jrunbfläd^e ift.

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226

Stierte SlMeilung: @tereometrie.

3fifl- 165- aSei Icfetcrcm ^at

man in ^öl^c h bcn
©d^ttitt ÖÄ^ Reffen
ftattfd^egäRomcntö/i'
ift. 3n ^öf)t y l^attc

man ö^g 1» = ^^*fi
= Ö^y*. 2)aj^ aRo^
incnt ift Gy^. Seim
anbern Sör:per ift beö-
l^atb in ^ö^c y bcr
©d^nitt G^i/^ angc?
nommctt. Sttun ift
^ ^ „ ^ ' aber baS äKoment bc^

»oriaeit ffiör^)crg -g- • (jAj =* ö^s Y' ^^^^^ ^^^ @(i^tüer^)unft liegt in

^ö^e |ä. gotgli^ ift ber gn^alt be§ lefcten Äörjjer^ cbenfattg G^

ober ©runbpd^e (tä^ ntal ^'t^t h biuibiert bnrd^ 4. Stnd^ er ge-
nügt ber 9letDton-@im:pfonfcl^en gormel, benn für il^n ift ^^=0,

= Gh', M=Gy' = G[^y^G^^, alfo ift ^[cr+ + 43f]

« A[o + G^Ä^ + 4 . ^'] = ^ = /, toomit bie gormel beftätigt

n)irb. ffiombimert man alle 4 fför})er in ber bef^jrpd^enen SBeife^ fo
folgt: ^at ein ffiörper in ber ^öl^e y ben Duerfc^nitt

a + hy + cy^ + dy^,
fo ift fein gnl^alt bi§ jur ^öl^c h

5J5robe burd^ Sted^nung. S)er Duerfd^nitt in ^öfie ift
ber ©^nitt in $ö^e ä ift a + 5ä + cÄ^ + d/j^

folglich ift

■|[ü'+0+•4^]
= j[a + {a + U + ch^ + dn^) + ^(a + '} + '~l-^

benn e^ l^anbeft fid^ nacfi Dbigem um bie Snl^alte ber öier ginielförper»

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j

yr TT.

VIII.. ^ie ^mion'Sxmp\on\d^t Siegel unb bie Suntmenfoxmet 227

SBoKte man eine ^otenj l^öl^er gelten, fo Mrbe fid^ jciflen, bafe
bcr Körper üom Duerfd^nitt 6r^* ber @im|)fptt^9legcl ni^tmel^rflC'
]^ or d^t, fic gilt nur öon bcn
@tnH)fottf(i^cnÄörpertt big jumbrittcn
®rabe unb t)on tl^ren ^Kombinationen.

8eif|iier. S3ei ber föuget ift
ber SRabiu^ a: in ©öl^e 2/ ju be=
rcd^ncn au^ a;« = i-« — (^ — y)^
= 2rt/ — y^. S)ieg ift öom 2^^"
®rabc, folglid^ gilt bie @impfon=
aflegel. »ei ber «ugel ift 17 =- 0,
= 0, M = r^7t, S)entnad^ ift

= -^[0 + + 4r*7r] ober, ba h = 2r ift, /

SBeitere Seifjjiele njerbcn \p'dttv gegeben.

64) 3tt)eitc Slbleitung.

3Kan jcriege jeben ber bef:()rodöencn föörjjer in n l^orijontale

©rf)id^ten üon gleid^cr ^öl^c - • S)ann ^at ber erfte Mxptx (S^Iinber

ober ?ßrigma) ©d^id^tcn t)om Snl^öftc - , jufantnten affo Dorn l^nl^alte

ah, toaS felbftöerftanblid^ ift.

a3eim jtociten ^ör^jer (®reiedt§!ör})cr) benfc man fic^ bie ©d^id^ten
atö fenfred^te ^ri^men, njobei atterbing^ Iret)})enräume auftreten. 2)ie=
fdben toerben aber unjtd^tbar, menn man n unenbfid^ groß -annimmt, fo
bafe ber uncnblid^ Iletne gel^Ier öemad^Iäffigt njerben lann. 2)ie Duer-

f d^iiitte finb ber 8lei^e na^, toenn G,^Ghi% G-, G~, G— - ^ - ,

G — , alfo bie ©d^id^ten jufammengenommen (aRuIti|)IiIation jebeS

etnjefnen mit j

gür w = CO ift ber »ru^ nad^ 2lrit^m. 5Wr. 38 gleich y , alfo ift

^ Gh*
"^ = ^2"

• Seim britten S'6xpex ift G^ = G7i^, alfo finb nad^ Dbigem bie Quer?
fd^mtte ber JRetl^e nad^ 6r-,, G—r, ^-^r "i ^~^t r ^^^^ ^^^
©d^id^ten jufammcngenommen

15*

wī __ 2 l + 2 + 3 + -'+n

^a'^==aK

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228 »ierte «bteitung: Steteomettie. . .

IV 3

f ür n = <x> .

®icfribc äRctl^obc fliegt für ben Äörper mit Ducrfd^ititt g'y = G^y'
bctt Stt^alt g^4 ^' + 2» + 8»+ ... + n» „ ^^ pi^ i^en ftörper

mit

aucrf(^ttitt gy = G^yi» ben Sn^alt G^^p+i ^'' + ^''+^^+ '

P + i

3cbe biefer gormcln nennt man (ber ©ummation ber nnenbttd^
öicicn ®döi(i^ten tocgen) eine ©nmmenformet. ©efet man fSmtIi(^e
^ävptx ju einem jufammen, fo fotgt:

^at ein Söxptx in jeber ©öl^c 3/ ben Duerfd^nitt

q^^a + hy + cy* + dy^-i 1- kyP ,

fo ip fein gnl^alt öon ber ^öl^e bi^ jnr ^ö^e h

i— 1 + 2 + 3 + 4 ^ ^ P + i'

Slnd^ biefer Sln^bmcl toirb an^ htm obigen ®mnbe afö @nmmen=
formet begeid^net. Sr ift n^eit allgemeiner, atö bie ®im<)fonfd^e Steget.
®e^t ber Dnerfd^nitt blo^ big jnr 3'^" ^otenj, nnb bittet man
U, nnb Jf, fo finbet man n^ie in 3lr. 63, baft

A[l7 + 0+4itf] = «Ä + ^' + £^ + f ->■

ift, tt)omit bie ©inH)fon=9'lett)tonf(^e SRegel nnabl^dngig öon ben frül^eren
S8etra(i^tttngen gefunben ift.

Semerfttiig. ©ei biefen t)om 0*^" bi« jum p*^" (^rabe gel^enben
einjeKörpem ift toiebemm ber Dnerfd^nitt jebe^ einjelnen ba« ftatifd^e
ERoment öom gleid^ l^ol^en Dnerfd^nitt beg Vorangegangenen, fein
3nl^alt gleid^ bem ftatifd^en SKomente beg öorigen föör|)eri&. SRan
brüdt fid^ and^ fo an^: Ser'Snl^alt be^ 2*««^ ßörperg ift \>a^ SRoment
itet Drbnnng bei^ erften, ber beg britten bag SRoment 2*" Drbnnng
beg erften ^ört)erg, ber ^n^aii \>t^ vierten bag ERoment 3**^ Drbnung
be§ erften Sör:()eri^ n. f. n?.; bie gäl^Iung fann man beginnen, too
man n^itt. 2)ie äRomente 2*«^ Drbnung finb öon Saäid^tigleit ate
fogenannte Irägl^eit^momente, bei benen*aIfo jebeS aianmteild^cn
mit bem Ouabrate be^.SCbftanbeiJ von ber ®bene multil)lijiert h)irb.
®a§ SBefen nnb bie Sebentung ber Irägl^ett^momente n)erben in ber
ajled^anif erörtert. @imt)fon=9legeI nnb ©nmmenformet getten avii^ von

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vni. S)tc ^mton''&xmp\on\ä)e dte^tl unb btc ©ummcnfotmcl. 229

cBcncn glöd^ctt, wenn bic Ducrfd^nittglittic für btc ^öl^c y fid^ nad^
bcr obigen gortnd (für ^y) bcrcd^itctt lägt.

• 65) Seifliiel. äntocnbung bcr Sfiß. m.

©umtnenformcl auf bie ^albfugcl
unb einige i^rer SKontentc.

a)3n^oIt. S)cr©d^nittin^ö^cyift5'y
= x^7t «= (r* — y*)7c = r*7r — ny^ .

Sfolglid^ bcr Sn^alt ber @(^i(^t biiS
jur ^öl^e Ä naä) ber ©umntenformel

«7 = r^nh — n-

®efct man h = r, fo toirb

a) ' «7 == r^nr ^ «

tt)a§ tt)irlli(^ bcr 3n^alt bcr ^alblugel ift.

b) ©tatifd^ciS äRomcnt im Scjug auf bic ®runbfI5d^c.

®cr üorigc Ducrfc^nitt qy ift mit y ju multi()n}ieren (ftatifd^ci^ SKomentl),

bcr neue ttjirb

qy = r^ny — ny^,

S)ie ©ummcnformel gicbt üon ^öl^c bi^ ^ö^c h afö ftatifd^cj^
aWom^nt ber ©d^i^it

@e^t man ä = r, fo entfielt ate SRontent ber ^dbfugel
b)

M^r-«-

_

c) S)ie ©d^tt)cr<)unltg]^ö^e ber ^alblugcl. Die ©d^toer?
t)unft§]^ö]^e y, multi|)liiicrt mit. itm "^vÜ^aXiz giebt ba§ ftatifd^e

SKoment, alfo ift y, • {\r^n) = "^^ folglich

c) ys = -^r.

d) Irögl^cit^momcnt bcr ^alblugel in SSejug auf bic

©runbflöd^c. S)er vorige Ducrfd^nitt ift mit y ju multi^lijicren,

alfo »irb \t%i

Qy = r^%y^ -^ 7t/ .

®ie .©ummcnformel gicbt ate Ürögl^cit^momcnt ber ©d^id^t öon $ö^e
big $öl>c Ä •

A3

TT-.

©eftt man 7« = r, fo finbet man afö Ürägl^eit^moment bcr ^albfugct

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230

Siette aftlettung: ©teteontettte.

i)

Ji * ** 2 5

e]

%ixx bic gonjc fiugcl erljält möit afö Srägl^cit^momeitt in SBejjig
auf einen ©au^Jtfd^nitt

©inb DE unb J5(7 bie ^roieftioncn jmeicr $om)tf(^nitte bcr ftugct,

bic auf einanber fenfrcd^t ftcl^cn,
Sfta. 168. fo ba^ A bie ^ßrojeftion i^rcg

©d^nittc^ ift, fo ift y" + y^
= ^' %ViX ein Slaumteild^en m
ift alfo m/ + my^ «= w^*,
für toiele {Raumteild^en alfo
Zmy^ + Zmy^ = ümQ^,
b. 1^. ba§ Srägl^eit^ntomcnt in
aSesug auf bic Sld^fe A ift bie
©umnte bcr S^räg^eit^ntomente
für bie ^ouptfc^nitte BC unb

DE. SHfo ift für bic S'ugel ba^ Irägl^eit^ntomcnt für einen Durci^=

nteffer afö ?tci^fe

t) r — ^r jr+^i jr== j5» 7r= ^yr Tcj — = — J^.

5)ie SRcd^anil fefet ftott J bie äRaffe m bcr Suget, fo bafe
g) T=\mr^ ioirb unb löft mit §ülfe biefeg ?tugbrucf§ jal^Ircid^e
Stuf gaben über bie ®^nantif bcr ©ugcln, j. S. beg ßrbball^."

®iefeg eine Scifpiel ntögc anbeuten, bon Joie außer orbenttid^er
S:ragnjeitc bic ©untntcnformel ift. Stur für a)' b) unb c) hjürbe bic
©Impfonfd^c gieget auögcreid^t l^abcn, für bie f^ötcren 6ntn)idEeIungen
aber nid;t, ba bic ,,Cluerf(^nitte" über ben brittcn (SJrab l^inau^gingcn.

IX. j|u0^ltijetra(^tmt9en mit hartasritp^iff^en %imtixHn^tXi.

66) grg. 169_ ftellt einen Srci« bar, an ben bon P auö
Sangenten gebogen finb, fo io!^ DC bie »erü^runggfel^ne O^ßolarc)
ift. 3ebe ©cfantc PF enthält ^armonif^e 5ßun!te FGEF, suglcid^

ift PC^ = FE'PF, alfo, tvtm man PC = 1 fefet, PE^—j,

unb PF =

PE

(Snberfion.) gerner ift MQ'MP = MA^,

Ätfo, hjcnn ntan r = 1 fe^t, MQ = ^^'

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IX. ^ugelbetrad^tungen mit lartograp^ifd^en $tnkpenbuttgerc. 231

3)rel>t mon bie glgur ^^- 1«»-

um bic Std^fe PB, fo bcr-
toanbdt fid^ bcr ffrciö in eine
Äugel, bic Songente PC
giebteinenlongentenlegel
PCD, nnb alle Tangenten
t)on P an bie ffugel finb
einanber gleid^. 3)ie
Oerabe DC toixi bie 83 e^
rü^rungöebcne bei^ lan-
öentenlegeU, and^ $ßoIar=

eitnt be^ ?ßunfte3 P genannt, gebe ^gelfefante ift ^armonifc^
geteilt, bcnn PGEF bleibt bei ber 3)re]^ung ein l^armonifci^e^ ^ßnnft^

Mtent. @e|t man PC=1, fo bleibt für bie Äuget PE = ~,

ber Seil DAC ber Äugeloberffäd^e ift alfo bai^ Snüerfion^bilb be^
Seite BBC. 8tud& bleibt aßgentcin PE'PF= PC\ @e|t man aber

MA = 1, fo ift Joieber MQ = -g^^.

aSerfud^e biefelben Setrad^tungen für einen 5ßunft P innerl^atb
ber ffugel unb feine aufeerl^alb liegenbe 5ßoIarebene.

67) 3n gig. 170 ift ber Srei^ M^ ba^ Sntjerfion^bilb beg
Greife« M gegen ben ft)iegelnben trci« 0^ alfo i^. 35. OA • OA^^OC^,
OD'OD^ = OC'\ OE'OE, = OC'^, ober, hjenn OC = 1 ge-^

fefet toirb, OA, = ^f OD.^j^, OE, = ^ u. f. h). ift

<iu§erer 5S]^nIid^leiti^|)unft ber Steife 3f unb M,.

S)re]^t man bie
3eid^nung um bie Sld^f e
OMM,, fo entftel^en
Äugeln. golglid^:
3)a§ gnüerfionS^
bilb einer Äugel
gegen eine anbere
Äugel ift ftetS eine
Äuget. S)ai^ 3n^
öerfion^centrum
ift t^ntid^feit^^
:pun!t beiber Äu =
getn.

©c^neibet ber Ärei§ M ben f picgetnben Ärei^ red^thjinöig, f o ift fein

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232

»texte Stbteilung: Stereometrie.

äußerer Icil ia^ SnüerfiongbiÜ) M inneren (gig. 171). ©urd^ 2)re^Un9
unt Oilf enlftel^en jmei fid^ red^twinlfig fd^neibenbe föiigeln. 3Ran erlennt:
©(^neibet eine Äuget bic fpiegeinbe S'uffel red^tminllig^
fo ift il^r öufeerer leil bo^ gnbcrfioniSbilb beg inneren.

gfig. 172.

gfiß.. 171.

®bcnfo folgt: ®tf)i eine Äugel burc^ bo§ 3nberfiong:^
centrum 0, fo ift il^r @<)iegelbilb eine Ebene, benn au§ ^ = c»
folgt, ba§ bo§ S^jiegelbilb fid^ in^ Unenblid^e erftredt, fo ba§ ber
9labiu§ beg S9ilbc^ uncnbtic^ groja ift. S9erül>rt babei bie burd^
gel^enbe Äugel bie f^jiegelnbe Äugel, fo ift il^r Silb eine
Tangentialebene, (gtg. 172.)

68) S)ie ftereogra^jl^ifd^e ^ßrojeltion üon ^i^j^jard^^
?ßtoIentöu§.

3n gig. 173 fei ba§ SnücrfionScentrunt, OC = 1 ber atobing-
bc^-SntjerfionSlreifeg, fo ba§ KL ba§ @t)iegelbilb be^ ftreifeg M i^U
2lu§ OÄ ^OA^ = ÖC^ = 1 unb OB - 03^»=^ OC^ ^ 1 folgt
QA . OÄ^ =« OB • OB^ ober OA:OB= OB^ : 0^,, nnb ba ^>^
fic^ felbft gleid^ ift, fo ift A OAB <^ l^OB^A,, folglich ^« = 0-,
unb ^ /3 = /5i. golglid^ finb im SSicredf ABB^C^ je jttjei gegenüber^
liegenbe SBinlel jufammen gleid^ 18ü^, um baS Sieredf läßt fid^ alfi>
ein ffireig befd^reiben. . Da nun bie 5ßunlte B unb B^ bejh). A unb
jIj fi(^ bei ber S^üerfion gegenfeitig .entft)red^en, fo ift ber förcii^
ABB^A^ ein fold^er, ber fein eignet 3ntjerfiongbiIb ift, b. 1^. er
fd^neibet ben Ärei^ red^tttjinllig.

Sefet fteße ber ®rei§ um eine ffuget bar, ebcnfo bic ^cife
um M unb M^^ fo ba§ bic Tangentialebene EL ba§ ©ilb ber ffugel
M ift, ttJä^rcnb bic ffugel M^ il^r eignes gntjcrfionSbilb ift. S)ie

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IX. Sugelbetrad^tungen mit lattogvitpl^ifd^en ^ntoenbungen. 23S

Icjtcre fd^ncibct bic ffugcl M in einem Äreife -4 J? unb bte Xangenttal^
ebene EL in einem ^eifc A^B^, ba aber bie ffugel M^ iS)x tXQUti

3nt)etfiongJ6iIb ift, fo ift ber S'reig A^B^ bag ^ntjerfion^bilb
bei^ ffrcifei^ AB.

aWit anbeten SBorten: $ßroitäiert ntan einen beliebigen
ftrcii^ einer Sngel t)on einem 5ßnn!tc itx ffugelobcrfläd^e
aug auf bie gegenöberliegenbe Tangentialebene, fo entfielet
aU 5ßroieItion*ftet§ einffireiS.
((gr »irb jur ®craben, wenn ®^^* "^

ber |)rojiäierte ftreiS bnrd^

[®Icid^jeitig erfennt man fol-
genbeS: 3n bem fd^iefen förei^legel
ABO i^t mä)t nur AB ein ßrei«^
fd^nitt, fonbern aud^ A^B^.
3ebcr fd^iefe ffreiSfegel ^at
alfo jtoei $ßarairelfd^aren üon
ftrei^fc^nitten, ©d^nitt unb
®egenfd^nitt.]

gig. 174 ift eine ©runbri^^
jeic^nung, ift ate oberfter $ßunft
ber ßugel aufjufaffen unb l^at bie-
felbe Sebeutung wie üorl^cr. 3n
fd^neiben fid^ jtoei ßreife unter
bem ^ a, ber jugleid^ ber il^rer
Xangenten in ift. S)ie ^ßrojeftiongbilber ber beiben ftreife burd^
ftnb ®erabe KL unb K^L^, bie ju ben langenten in ^jaraHel

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234 SSicrte 5tbtciluttö: ©tcrcomctrie.

finb. Solofid^ ift tl^r ©d^nittlütnld a^ glcid^ bem ©d^nitttotnfcl bcr-
^cifc in ben $ßunften unb P. SHun ift aber P' bic 5ßroicftion
tjon P, folglid^: ©leid^cn SBinfcIn bei P entf^jred^en gleid^c
SBinlel bei P' benn cS laffen fid^ anbete föreife burd^ unb P
legen, uon benen bagfel&e gilt, golglic^: S)ie ^ßrojeltion^bilber
fid^ fd^neibenber Ängellreife toerben bei ber b'ef))rod^enen
5ßroieftion Steife, bie fid^ unter bemfelben SBinlel fc^neiben.
golgfic^ gilt s. ». ber @afc:

®a§ aSufd^el ber SRcribianfreifc auf ber ßugel unb
bie fenlred^t f(^neibenbe ©d^ar toon ^ßarallellreifen gel^t bei
ber ^rojeftion tjon einem beliebigen Äügel^?unlte au§ auf bie
gegenüberliegenbe Tangentialebene über in cinSreigbüfd^el
burd^ jn^ei 5ßunlte unb bie baöfelbe red^ttoinllig burd^fe^enbe
Srei^fd^ar. ©in fel^r fleineS Srei^breiedf auf ber ^get gel^t über
in ein gleic^iüinüigeg, alfo äl^nlid^e^ auf ber Tangentialebene, folglid^
ipirb bie ^ßrojeltion eine minleltreue (ifogonale) unb in ben
fleinften leiten öl^nlid^e.

Sft alfo j. 85. bie Sugelpd^e burd^ SReribianc unb ^ßaraßel^
f reife in Heine Ou abrate eingeteilt, fo erl^äft man in ber ^ßrojeftion
bie Einteilung ber Ebene in Keine Duabrate burd^ ffrei^büfd^el unb
Ärei^fd^ar, tuie fie in t)en Siguren 79, 80, 81 unb 82 ber ^ßlani^
metrie bereite bargeftcHt ift. S)ic bort bargeftellte 5ßoIarfarte,
bie ffarte' ber öftlid^en ober ttjeftUd^en ^alblugel, bie ber
größten ober Ilcihften SBaffermaffe, entfte^en alfo fömtlid^
burd^ Eentraljprojcftion t)on einem 5ßunlte ber ffiugelfläd^e
au^ auf bie fogenannte 2tntit)obenebene.

SDlan nennt biefe ^ßrojeftion^art bie ftereograjjl^ifd^e 5ßro =
jeltion t)on ^ip^ard^-^ßtolemöu^*).

1) ^ßri^ma unb ©^linber, fenfred^t unb fd^rög, J = Gh.

2) aRantelfläd^e be§ fenfeed^tcn ©tilinberg unb $ri§ma^, M = uh,

3) Sad^för^er, J=^^'

4) ?ß9ramibe unb Segel, / = ^ .

*) Sflöl^reS fiel^e in ber ,,(5infü^rung in \iQL^ ftereometrifc^e Seidenen" unb
unten am ©d^tujfe be§ Slnl^ang^.

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X. aufammcnfteffungber totd^tigftenSöered^nung^formetn.ber Stereometrie. 235

5) tegeintantel, M==r7ts.

G) @tum|)f be§ ®ad^!örper^, jr = ^j"-?Ä.

7) ^eQtl^tnmpl fenfrec^t unb fc^räg, / = ''^-[r^ + rQ + ^«J.

8) SRanteIbc^Ke9eIftum|)f^,3f==(r+^)7r5,h)05=l/(r-(iy^+^.

9) 5ß9rantiben^' unb ffegelftttm))f, 7 = | [g^ + yög + gl

10) Sltgcfin^alt, 7 = ~r'^jr.

A»»* -

3

11) Sugeloberftä^e = 4/^75.
.12) ftugelabfc^ttitt, J «. !^' (3 r -^ ä) == ^^'^ (3 a' + h^) .

13) Äugetou^fc^nitt, / = |r2jrÄ.

14) Kalotte unb gone, = 2r7c/?.

1 5; Äugelfc^ic^t, / = '^^ [3 a^ + 3 6^ + Ä^] .

16) Sttl^alt be^ Sre^ung^förpcrg, J^'2Q7tF.

17) aWantel be^ 2)re^ung§för^erg, 3I=2Q7ts.

18) «bgcf^rägteg ^ri^ma unb ©titinber, J = G - hs (too G^ ber
tRormalfd^nitt ift).

19) Slbgefd^rägteg 5ßri^ma unb ©^linber, 31 = w • ä;. (u = 5ße=
ri^j^crie bc§ Sfiormalfd^nitt^).

20) 9lctoton^@titt|)fonf(^e gormcl für Sör^jer mit £iucr[ci^nitt bi§
^unt 3*^" ®rabe:

J=^lu+ + 4.M].

21) ©umntenformel für Körper uom Ouerf^nitt

gy = a + hy + cy^ + dy^ -{ f- JcyP:

T = i^ -4- *J^ 4- g^' r <^ft* ' , , ^^ ^

1 "'"l-2"'"l.2.3'l.2-3.4"'***';2> + 1 *

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fünfte 5lbteilttng.
Pic ^xxtnbte^ven von ben

1) fB$Htmtttün%, S^ber ebene Schnitt burd^ einen fenlrec^ten
ober f^iefen fircttfegel l^eifet ein ftegclfd^nitt. «nd^ bcr fenfrec^e
unb fd^iefe ßreti^c^ßnber lann oK Äegel betrad^tet tocrbcn, nur liegt
bei il^m bie ©^n^e in unenblic^er ©ntfemung. S)emnad^ gel^ören
aud^ bie ©d^nitte fold^er ®^ßnbcr ju ben ftegelfd^nitten. ku6^ über
ben ßegelfd^nitten loffen fid^ K^Unber unb ßegcl errichten. @g löjjt
ftd^ jeigen, bafe oud^ bie ebenen ©d^nitte biefer ®ebilbc Äegcl-
fd^nitte im gewöl^nlid^en ©innc geben. 3ft bieg bcr gall, fo
bebeutet e^ nur eine Sluffaffung üon einem anberen ®efi(^t§))unÖc
au^, wenn man fagt, jebe parallel- ober KentraIj)roj[eftion
eineg ftegelfd^nitte^ giebt toieber einen fiegelfc^nitt. &
lojjt fi(^ vermuten, bafe, bo ber ffirci^ ein Äegelfd^nitt ift, jol^Ireid^c
feiner gigenfc^aften fid^ auf bie übrigen ftegelfc^nitte übertragen laffen
ober auf befonbere Sigcnfd^aftcn ber festeren ^infü^ren. 9iod^ fei bc-
merft, ba§ in ber anal^tifd^en ®eometrie jeber Äcgelf d^nitt eine ebene
fturüe ift, in bereu ®Ieid^ung bie ffoorbinaten in feiner
l^öl^eren aU ber jJoeiten 5ßotenj üorfommen, unb ba§ um-
gefeiert jebe thtnt Äurüe 'jweiten ®rabe8 einen ^egelfd^nitt
bebeutet. <£S ^anbelt fid^ alfo ^ier um ein in fid^ bottfommen ob-
gerunbete§ ®ebiet ber Slementarmatl^ematif, in Weld^eg jebod^ l^ier nur
ein ©inblicf gegeben werben foll.

I. JDw (KUi|ifje als CrrUn^wfriinttt-

2) tjigur 175 fteßt einen fenfred^ten ^ei^c^Iinber (in ber
^aroDelperf^jeftibe 1 : 2 mit Sfteigung 90^) bar. S)ur(^ ben $unft Mi

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I. S)ic ®ttt^fc als ^})lint>tx\ä^mti.

237

feiner Sld^fe ift eine mä) hinten ^*« "*•

ge^enbe ^orijontale Ci^i (# CD)

gejogen nnb burd^ biefe eine @bene

ÄiC^BiD^ gelegt, beten SBeigungS^

ttJinlet aU ^ B^ÄiK = et jn

meffen ift, fo baß Ä^JB^ bie

Süd^tung il^rer fteilften ®eraben an-

giebt. S)ie ©d^nittfurbe Ä^C^B^D^

l^eifet ®nt|)fe. 5)er Ornnb-

frei^ ift eine fenfred^te 5ßro^

jeftion biefer @ni))fe, bie

@IU|)fe bie fd^räge 5ßoraneI-

))roie!tion be§ ftreife^ auf

bie @bene AiC^B^, bei ber

junäd^ft bie Strahlen fenlred^t

junt. Greife ftel^en. gebe ^orijon-

tale E,F^ ber ©ßi^ife ift gleid^

unb l^araßel i^rer Jßrojeftion EF,

jebc fteilfte &txa\>tG^H,( \\ Ä^B,)

ftci^t ju il^rer ^ßrojeltion 6? -ff in

bcmfelben fStx^attni^, toie M^B^

: MB ober h)ie Ä^B^^ : AB. (BämU

lid^e parallelen ju CiDj in b.er

ffißi|)fenflä(^c finb burd^ Ä^B^^ ^aU

biert, famtüd^e inÄ^B^ ^jarallclen

©eignen finb burd^ C^D^ -halbiert.

(SBarum?) gotglid^:

SSerJängert man bei ei-
nem ftreifc bie fenfred^t gegen
einen ©albmeffer gejogenc
^orollelfd^ar tjon ^albfel^nen
in bemfelben SSerl^ältni^, fo
entftel^t eine eiti^fe. (Sn fjig. 176 ift 1 : 2 getöäl^Ü.)

S)er tjerlöngerte 3)urd^meffer A^B^^ l^eigt bie grofee Sld^fe, ber
unüeränbert gebliebene CD l^eigt bie Heine Std^fe ber ©Hlpfe. A^B^
unb CD finb bie 3RitteIflnien be^ ber ®U\p\t ju umfd^reibenben
^au))tred^tecf§. Seibe ©eraben finb @^mmetrieod^fen*)ber®ai^)fe,

*) SBenn in fjig. 175 bie ®erabc A^Bi nid^t loie eine ©^mmettiead^fe
au^fiel^t; fo l^at biei» nur ^et(pe!tioifd^e ©rünbe. Wlan mug $toifd|en toitltid^er
unb f(|einbarer ©^mmettieat^fe untetfd^etben.

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238 Süiiftc »teilung: Xic ©runblcl^rcn öon ben Äcgclfd^nitten.

bic alfo einen aWttteI|)unft ili ^at, fo ba§ aße burc^ M gejogenen:

CD M.J)

©Clanen l^albiert ftnb. -j-^ ober jg^ ^ei§t bag äd^fenöerl^öltni^

ber ®Dipfe. S)te fd^räg burd^ bcn S^finbcr gefegten Ebenen bringen
®Di<)fen mit allen ntöglid^en Sld^fenöer^öltniffen iur Sfnfd^auung.
(@|)ecialfäHe: S^reiiJ mit 1:1; jwei nnbegrenjte ^jaraßele ®erabe
mit 1 : cx>; eine nnbegrenjte ®erabe, b. 1^. ber bnrd^ eine Üangenftol?
ebene beftimmte ,,@d^nitt")

3fifl. 176. 3) Sn gig. 176 ift für ben

2> föreii^punft Q nid^t nur bie SSer-

gröfeerung bei^ Mbftanbe^ QB,
fonbern aud^ bic bon QF burd^^

4( — ^ ^\^ JT )^ )^' Ö^fü^rt, woburc^ Q^ auf ber in

glcid^er SBeife tjerlongerten ®eraben
MQ entftanben ift. 'S)aiti ift
P^Q^B^Mr^ PQRM, unb.. ^2
liegt auf einem ©reife, beffcn
atabiug bie gro^c ^albad^fc ift. '
Sebe fenfrec^tc ^albad^fc bicfe^
greifet, im entfpre(^enben SSerl^ältni« öerfürjt, gicbt einen ^unft ber
gejeid^neten ©Dipfe. Solglic^:

aSerfürjt mon bie paratlelen ^albfel^nen eineö ©reifet
in bemfelben SSer'pltnig, fo entftel^t eine (SlUp^t.

®iefe fonftante SSerfürjung fann man j. 8. erreid^en, inbem
.man ben fd^rägliegenben Stei§ fenfred^t auf bie l^orijontale @benc
Jjroiiäiert. SWfo:

S)urd^ Slormalprojeltion beiJÄreifei^ entfte^t eine ®ni))f e.
S)abci l^anbelt e^ fid^ um einen S^finber, ber atö fd^iefer
Ärei^c^Iinber ober ate fenlred^ter elli^jtifd^cr S^Iinber auf=
gefaxt werben fann.

4) 3eber ber beiben bi§ jefet be^anbelten K^Iinber entl^ielt fireig^
fd^nitte. ^zbtx ^eigfd^nitt befi^t unsäl^Iige umbefd^riebene Duabrate,
unb ju jebem ber lefeteren gel^ören jhjei 5ßaraHeIfd^aren halbierter
(Seltnen. SSon jebem @ßit)fenfd^nitt (gig. 178) mu§ bemnad^ (burd^
$araIIeI|)roie!tion ber entf^jred^enben gig. 177) goIgenbe§ gelten:

3ie^t man in einer isiüp\t ^jarallele Seinen öon bc=
liebiger Slid^tung, fo liegen beren^albierunggpunltefömtlid^
auf einem S)urd^me.ffer (EF). Die Tangenten in ben @nb=
))un|ten beiSfelben (ÄD unb BC) finb paxalUl iur ®tf)mn^
frfiar. 3)ie Sangenten in ben (£nb|)un!ten be§ j^r Sel^nen^

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I. a)ic (gmpfe atö e^Knbcrfd^nitt.

239

gfifi. 177.

K

319. 178.
2? ir //

/T

fc^ar gehörigen Durd^tneffcrg

G^ir, alfo AB unb CD, finb /^ ^^•

))aranel ju betn l^albiercnben

S)ur(^meff er JE;i'\ Sie ©eignen

ber ^ßarallelfd^ar ftel^en bei

bcr SUi^jfe unter einonbcr

in bemfelben SSerl^ältni^, toic

bic entf^jrcd^enben ©e^ncn

beim Greife. ©0 ergiebt fid^

j. ». golgenbeg:

Segt man bic in bemfelben
SSer^äItni§ verlängerte ober
öerlürjte ^arallelfd^ar üon
©eignen eine^ffreifeS
in ielieliiger 9fiic6tung
oU ^arallelfd^ar au
ben Surd^meffer OiXi
(tt)ic e§ öor^er unter
90^ gefd^a^), fo ent:^
ftc^t eine ©Ilipfe.

5) 2ln biefer (gttijjfe fann man mit jeber 5ßarattelfd^ar bagfelbc
lüieberl^olen, ftetö entfielet lüieber eine ©Hipfe, bie man aud^ birelt
au^ bem ffrcife entftel^en laffen lönnte. Da^felbe erreid^t man,, inbem
man über einer 6tti|)fe einen beliebigen fd^rägen S^Iinber lonftruiert
unb biefen burd^ eine ganj beliebige ßbene fd^neibet. golglid^:

%t\^tx ebene ©d^nitt burd^ jeben beliebigen (fenfred^ten
ober fd^icfcn) eni|)tifd^en ffi^Iinber ift eine ®IU|)fe, jebe be=
liebige 5ßaraneI|)roieftion ber Slli^ife ift eine (£ni})fe. gm
f))ecießen 3aHe treten ^eife an bie ©teile ber Süipfe. 2ln jebem
eDijjtifd^en K^Iinber laffen fid^ Ärei§fd)nitte auffiubett.

®er ^rei§ unb bic ffuget erfd^einen in ber parallel'
))erf))eftit)e ftetS al^ ®ili))fc, il^r öon ber ©onnc auf eine
@benc geioorfener ©d^atten ift fiet§ eine ®Uipfe. (langentcns
ctjlinbcr ber ©onnenftral^Ien an ber Äuget.)

6) halbiert man jn)ci ^jaraßele ©eignen ber ©ttipfe, fo crl^ält man
burc^ Serbinbung ber |)albierung§|)unltc ben l^albierenben S)urd^meffer
ber ©el^nenfd^ar, unb bic 3figur läfet fid^ ju einem umbefd^riebcnen
^Parallelogramm ergänaen, beffcnScrül^runggpunfte ben 3RitteI=
linien angel^örcn. S)iefc befonbcrc Slrt umbefd^riebener Jßarallelo:^

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240 . tiün^tt ^Ibtcilung: S)ic (örunblel^rcn öon ben Äcgdfd^nittcn.

gramme f)ai bie ßigentümnd^Ieit, ia% tütnn bie eine SRid^tung gegeben
ift, bie anbete Slid^tnng nid^t ntel^r beliebig .gegeben hjerben fann,
fonbem bereite beftimmt ift. 3^ S^^ci fo jufantmengel^örige JRid^tnngen
bejeid^net ntan atö tonjugierte Stid^tnngen, bie bnrc^ fie gegebenen
umbefd^riebenen ?ßarancIogramme ^ei^en ßonjugierten^^arallelo^
grantme. (SSergl. ^-BCD in gig. 178.) SDie festeren finb ftetg atö
?ßaroneI|)roieItionen einei^ nntbefd^riebenen Onabrate^ am
Steife oufjufaffcn. ^m obigen ©inne ]pn6)t man öon !onin=
gierten S)nrci^meffern, fonjugierten ®t^mn n. f. to.

7) SRan benfe fid^ einen fd^räg liegenben ßrei^ mit mehreren
umbefd^riebencn Duabraten fenlrcd^t auf bie $orijontolcbene ^jrojijiert,
f ba§ eine gßipfe mit mehreren umbcfd^riebenen ßonjugierten-^ßaraßelo^
grammen entfte^t. 3ft nun « ber StteigungiSwinld ber firei^cbene, f o erl^ält
jeber gläd^enteil F in ber ^ßrojeltion ben Snl^alt Fcosa, 5)a ober
aße umbefd^riebenen Duabrate bei^ Steifet ftäd^cngleid^ finb, fo folgt,
bo§ fämtlid^e ffionjugierten^^ßarallelogramme ber @nij)fe
fläd^englcid^ finb,. (SebeS ^at F^ = Fcosa, ioo F bie Duabrate
^aä)t ift.) a)a femer bie ftrei^fläd^e fid^ jur Duabratffäd^e §ier toxt
f^n:(2ry ober tt)ie jt : 4 uerl^ält, fo öer^ält fid^ bie gai»)fen=
fläd^e ju ber jebeg ffoniugierten-^ßarallelogramm^ toie jr:4.
©0 ift j. 85. ber gn^alt beg ^auptred^tedf^ ber eHi})fc mit ben ^alb:=
ad^fen a unb h glei^ 4a&, folglid^ ift bie eni})fenfläd^e gtctd^

(4 ahj j =» abjt,* toa^ fid^ aud^ au^ ber juerft gegeben SonftrultionS^

metl^obe (in 3tx. 2) ol^ne loeitcre« ableiten Iä§t.

@inb ferner c nni> d bie unter itttl S33inlel a aneinanber ftoßenben
Seiten be^ Soningierten-^ßaraÜelogramm^, fo ift beffen fSfläd^eninl^alt
F^ = cd sin a, ber ber juge^örigen gtti^jfe alfo, bie in ben @d^nitt=
^punlten ber aWittellinen berührt, ift

F »^ jcdsina.

S)a fid^ in ba§ ^arattelogramm nod^ anbere aSerü^rung^eßi^fen
einjeid^nen laffen, fei bie bef|)rod^ene atö bie ^au|)telli|)fe be^
5ßaraßeIogrammg bejeid^net. [a)en Umfang ber Sßi^fe ju bered^nen,
ift mit elementaren ^ülfSmitteln nid^t möglid^.]

8) ©inige Übungsaufgaben.

a) Su einer gegebenen (SUip'it ben SWitteHjunft unb
bie 8ld^fen ju finben.

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I. ^ie (&a\p\t afö (S:9ttnberf(^nitt.

241

^{0. 17».

WttflBfttttg. S)ic ^aIbicrun9g))Uttftc paxaUtUv ®tf)Mn beftimmctt
«inen S)urci^ntcffcr, bcffcn ^olbicrung ben 3RittcI^)unft gicW. (Bin
Ärei^ um bcn festeren, bcr bic (SBixp\e in öicr ^ßunften fd^ncibct,
fltcit ©cl^nctt, beten Slid^tungcn ntif ben Std^fenrid^tungen übereinfttmmen.

b) 3n einem @ni|)f en|)unlte bie Xangente ju-fonftruieren.
WttflSfnng. Sit^t ben inm 5ßunlte gel^örigen Surd^mejfer,

l^albiere il^n unb ebenfo eine paxaUdt Seltne. 3)ie SJerbinbung^ünie
bet $albierung^|)unlte giebt bie Sangentenrid^tung.

c) 3n ein gegebene^ 5ßarattogramm bie ^anpUtüp^t
«injujeic^nen.

iittflSfung. SRon seidene über ber ©runblinie ein Duobrat mit
tem umbefd^riebenen ^eife unb pelle gig. 177 unb 178 ^er. (SSergl.
(ttud^ gig. 179.)

. 9) SBin! für bie SßaxalUU
ptx^ptUit)t. @oß in bag 5ßarattel05
ö^amm AB CD (gig. 179) bie
^aut)teßi<)fe fd^neü einffijjiert
iperben, fo jie^e man bie Siago^
ttalen ÄC unb BD unb burd^
i^ren @(^nitt|)unlt M bie SRittet
linien EF unb GH, Ujelc^e bie SSe*
Tü^runggpunfte geben. S)ie ^alb«
freii^Iote JE unb LN geben
tßaraßele PQ unb 2?S mit ben
Mipfen^junlten K^, K^, K^, JVj,
iurd^ »eld^e 5ßoroßeIe ju ben
2)iagonaten ju legen finb. @o er^
]^dtt man 8 langenten mit ben
^erül^rungi^punlten , toaS jum
@Ii}jieren ber @Hi|)fe auiJreid^t. S)er
IBergleid^ mit ber ffirei^figur ergiebt bie {Rid^gleit. *

SKnbere Übungen finbet man in ber ,,@infü]^rung in ba^ fter.
Seidenen". 3)ie ©öfce über 5ßoI unb^ßolare, ebenfo bie ©äfee t)on
tßaScal unb 83rian(^on gelten auf ®runb ber ^araSelt^roleltion
tjon ber (gffipfe ebenfo, »ie t>om Greife.

10) S9erü]^rung^lugeln unb S3renn})ttnlte ber ©Ui^jfe.

gig. 180 fteßt einen ftrei^c^Iinber mit fd^räger ©d^nittebene
"bar, in ben SSerül^rungiJlugeln fotoeit eingefd^oben finb, bafe fie bie
©d^nittebene in F unb JF\ berfil^ren. [SSon biefen ßugeln finb in
Sfig. 180 nur bie ©au})t!reife gejeid^net, i^nn genau genommen

^alsmültec, Vlat^etnatif. U. 16

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242 Sünftc abteiittttfi: Die ^runblel^tcn öon bcn tcgelfd^ititten.

Sifl-180. jnögtcn bie Äugeln aX^ ©Hipfen

erfd^einen.] SSerbinbet man einen
beliebigen 5ßunlt X ber ©d^nitt^
tnröe ntit F unb Fj unb legt man
burd^ X bie ®erabe GH auf ber
©tjlinberftäd^e, bie öon bem S9e^
rül^rungglreife CD big jum Se^
rü^runglreife jE?/ reid^t, fo finb
FX unb X6r aU Tangenten an
bie untere Äugel einanber gleidi^
ebenfo F^X unb XH aö lan^
genten an bie obere ftugel, foIgKd^
ift FX + XF^ = ax+ XH,
oitxp + ^ = GH SBun ift aber
ber Slbftanb GH ber ^jaraHelen
Steife CD unb J^J/ überall ber::
felbe, folglid^ mu§ aud^ bie Sinien*
fumme i? + 2 für alle 5ßunfte ber
©d^nittcurbe biefelbe ®rö§e l^aben.
SWan nennt F unb F^ auS einem
f^äter ju erörtemben ®runbe bie
aSrennpunfte ber ®Hi|)fe, il^e
aSerbinbungSlinien mit einem be-
liebigen $ßunfte ber ^txipijmt be-
jeid^net man atö jufammengel^örifle
äSrennftra^Ien. Tlan ^at alfo
ben @a^:

Die Summe jufammcns
gel^öriger Srennftral^Icn ber

eUi^jfe ift eine lonftante ©röfee.

AB ift bie große Steife ber güi^fe. Stuf i^r liegen F unb F^

in berfelben ©ntfemung e bon 31, 3Ran nennt e bie Srennwettc

ber eai^jfc.

11) Vttfgalie. @ine ©Hi^jfe bon gegebener Srennloeitc e
JU lonftruieren, für toeld^e bie lonftante Summe ber Srenn*
ftral^Ien gteid^ 2a ift.

«ttfläfung. SRan lege FF^ = 2e (gig. 181) beliebig ^in.
S(uf KL = 2a toäf)k man einen beliebigen 2:etl|)unlt Z unb fd^Iafle
mit KZ'^p unb ZL^^q Ärei^bogen um F unb F^, bie ftd^ in
jnjei 5ßunlten P unb P^ fd^neiben. SBed^felt man für jebe S^xttU

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I. 2)ie mip'it als ©^linbcrjd^mtt.

24S

K^

-^2/

-^o--

öffnung bcn Srcnnpunft, ^ß- ^«^•

fo fittbet man noc^ Pg

unb P4, olfo im ganjen

t)ier f^mmctrifd^ licgenbe

?ßunfte. SRad^t man JTZ

= ZL ^ a, fo fittbet

matt bic (gnbputtftc C

utib D ber Kernen 2ld^fe &;

mad^t man KZ ^ a + e

unb bemnad^ ZX = a — c,

fo finbet man bic @nbs

^junfte A nnb B ber

großen Sfd^fc. ®rö§er atö

a + 6 barf man KZ nxä)i

mahlen, »enn fid^'bic bciben

Sogen fd^neiben foHen.

8einerfuii0. ®aranf beruht bic befannte gabenlonftrultioit
ber @Hi))fc. Slufterbem erfennt man, ia^ c* «= a^ _ ^2 ^p jgj^ ^^j^^^
man alfo au§ ben Std^fen bic 8renn|)unlte einer gegebenen Sßijjfe?

12) Vttfgaie, ©egebcn F unb F, unb bic S3rennftra^Ii=
fumme 2a. aBcId^er ^ßunlt beg toxUHxüi) t)on i^ aug ge*
jogencn ®txaf)Xtd FX ift ein 5ßunlt ber gefud^tcn ©Ili^jfe?

Wttflifttng. 3Ran mad^e FF^ = 2a, jic^c FiF^, trage ben#
3BinfcI FiF^P=a an F^F^ in Fj an, fo bafe ein gleid^fd^enHigeS
a)reiecf Fi^P^P entfte^t, bann ift P ein $unft ber @ni»)fc, benn e§
ift FP + J'iP = 2 a. (SBarum?)

13) Vemerlung. ©rrid^tet man auf F^F^ -im ^albierungg-
))unfte Q ein Sot ^/S', fo giebt bicfeg ebcnfaßi^ ben @Di})fen|)un!t P
unb ift juglcid^ bic iangente ber @IIi})fe in P.

gür P ift namUd^ l? + 3' = 2a, für aße anberen 5ßunlte bon
^S aber »firbe p + q> 2a fein (üergleid^e bic aJiinimalwcgsHuf^
gäbe in ®eom. SBr. 28), folgüd^ liegen aHc 5ßunfte t)on QS mit HuS-
nal^mc uon P außerhalb ber ®ßi|)fe.

Sarau^ gcl^t^juglcid^ folgenber @a^ l^crt^or:

halbiert man ben Srennftra^Itt>inlcI, fo erpit man
bic Slormalc ber ®ni|)fe; Halbierung feinest Slcbentt)in!cl0
giebt bic langente ber ©ni^jfc. golglid^:

©el^cn t)on bem einen Srcnn|)un!te Sid^tftral^Ien an»,
upb benft man fid^ biefe üon ber (Slli^jfe (nad^ bem be^

16*

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244 Sfünfte 9(Btei(ttn§: SHe (ttunhitfpctn i^on ben ilegelfd^nitten.

lannten o^jttfd^en ©efefec ber ®lct(i^tptn!eltglett) refle!ticrt,
fo öercinigcn fid^ fömtUd^c jurüdfgetoorfcnen ©tral^Icn im
anbeten Srenn^junltc.

(SfaUen l^ingegen t)on äugen Sid^tftral^len in ber SKd^tung nad^
bem einen 85renni)unfte ein, fo tperben fif fo jurüdgenjorfen, att ob
fie and bem anbeten ©renni)unlte lomen.)

2)er Slame örenn^^unft ift alfo. optijd^cn Urf^irung«.

14) ÄHe mögfid^en 5ßunlte F^ liegen auf einem Äreife mit
SlabiuiJ 2 a um ben 3RitteI<)unIt F, folgfid^ bie ipalbierung^^junfte
Q aller möglid^en Oeraben FiF^ auf einem Greife mit bem l^alb fo
großen {RabiuS a fgefejjmä^ge SSerfleinerung - ^^ äußerem ^l^ntid^s
leit^punlte F^), SRan mcrie olfo nod^ folgenbe beiben Äonftruftionen:
a) ©d^Ugt man einen ßrei^ um F mit bem Stabiug
F^F^ = 2a, öerbinbet man jebei^ F^ mit F^, unb crrid^tet

man in bem i^albierungö^
. gfig. 188. <)unfte Q auf jebem 2^,F2

ein ßot, fo tx^üU man
aU @d^nitt<)unlte mit bem
^ntf^jred^enben FF^ lauter
(£Uit)fent)unIte P.

b) ^at man einen Äreiö

mit Äabiu« a (gig. 182) unb

in il^m einen beliebigen

^un!t F^, unb errid^tet

man auf jebem ©tral^Ie

F^Q im ?ßunfte Q ber ^Peri^^

^jl^erie ein Sot, fo fd^attiert

man bie (£iU))fe burd^

lauter Tangenten au^. (S)er

ftrei^ njirb ber umbefd^riebcne

ßreig ber ffitti|)fe.) 2)iefe ßonftrultion ift mit ^fltfe be^ SBinfet::

breiedfs leidet auSjufül^ren. Segt man bie Sotc bid^t genug an einanber,

fo ift ein äuSjiel^en ber ^röe überffftfftg.

IL mt knifft ülB iSit^tif^nltt

15) gig. 183 ftettt einen fenfred^ten ^ei^Icgel bar, ber burd^
eine fd^r&ge (gbene gefd^nttten ift, bie nur ben einen SKantel, nid^t
feine grtoeitcrung nad^ oben trifft, gn ben Segel ftnb ©erül^runadi

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n. S)U amp^e a» ftegelf^itt.

245

fttgeltt eingelegt, bte jttgletd^
bte ®bcne in F unb • F^
beriU^ren. X)urd^ einen miH?
füriid^en ^nnlt X bcr ©d^nitt^
fttrtje tft toieberum eine
®erabc GH auf ber Äegel-
oberfUd^e t)oni Serül^ntngiS'
!reifeJS7/biiB jumSerül^runfl^s
beifc CD gelegt, au^crbem
ift X mit F unb F^ tjer=
bunben toorben. ®benlo, »ic
im üorigen Stbfdjnitt, ift FX
^XG^F^X^XH, folg^
IvSiFX+F^X'^aH. SJa
aber eir*=D/ = CJS: für
ben auf ber ftegelfläd^e ge«
meffenen Äbftanb ber beiben
^araDellreife CD unb EJ
eine lonftante (Sröfte ift, f o ift
FX + F^X für alle 5ßunfte
ber ©d^nittlurüe tonftant,
alfo, n>ie bei bem fitei^s
c^ßnber, p + ^ *= 2a.

5)er nur einen SRantel treffenbe ©d^nitt burd^ ben
fenlred^ten ßreiiJlegel giebt alfo ffilU^jfen berfelben Slrt,
»ic ber ©d^nitt burd^ ben fireiiJc^Iinber.

16) Sn gig. 184
x^ ABC bie Seid^nung
eineiJ fenfred^ten ffreiSs
legete. Sind il^m ift ein
fd^iefer Srei^Iegel ABC^
baburd^ abgeleitet, ba^
ieber 5ßunft nad^ red^tS
t)erfd^oben ift, unb jtoar.
um eine ©tredte, bie ^jro^
<)ortionaI ber fenfrcd^ten .
Entfernung öon ber Orunb-
ebene ift. ®er ebene
©d^nitt DE gel^t babei in
einen ebenen ©d^nittJ^i^i

afiQ. IM.

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246 Sfünfte 9(6teUttng: ^ie (S^runbtel^un Don htn i^egelfd^nitten.

über, fo baß bie ©d^nittlurüe D^E^ eine ^axaUüpxoithxon öon bcr
©d^nittfurüe DJ& ift. Scmnad^ ift aud^ ber ©d^nttt burd^ ben
fd^icfen ftrei^fegel eine ®ni|)fe, fobatb er nur ben einen
aWantel trifft.-

golglid^: 2)ic Eentrat^jroicftion jiebeS ftreifeS unb jeber
©Uipfe ift eine ©nijjfe, fobalb ber ^ßrojeltion^Iegel üon
ber 5ßroieItion^ebene nur in einem SRantel gefd^nitten toirb.
S)er ©d^dtten einer ßuget, in biefem Sinne getoorfen, ift ftet§ eine
®tti^)fe. 2)ie ßugel berfil^rt babci einen a5renn})unlt bicfer gtti^fe.
(»gl. bie obere ßugel in f5fig. 183.)

17) Semerlttngen. 93ei bent fd^iefen ^ei^Iegel' ber Sfigur 184
ift BCi bie fteilfte, ÄC bie am toenigftcn fteile ®crabe ber Dber^
ffäd^e. 2)a^ fo beftlmmte- S)reiedE ÄBC^ Reifet ber i^au^jtfd^nitt
beS ßcgeB. 3n biefem liegt bie aWittelUnie C^M be^ ßegetö, bie
aber nid^t feine Sld^fe ift. Stte Sld^fe ift üielmel^r bie ^albicrungSj^
Knie C^G be^ SBinfefö ÄC^B ju betrad^ten, beren ein|)tifd^e
Sßormalfd^nitte üon il^r im Kentmm getroffen tocrben. 3w Sejug
auf biefe ©d^nittc ^anbett e^ pd^ um einen gcraben eUi^^tifd^en
ffegel.

S)ie @ä|e über ?ßoI unb polare am Äreife, bie @ä|c
t)on ?ßa§cal unb Sriand^on bleiben au6) bei ber Kentral^
^jrojeftion beS Äreife^ für bie entftel^enben ®ni|)fcn erl^altcn.

2)ie ®ttipfe ift üon großer SBid^tigfeit für bie barftettenbc
(Seometric, bie Sd^attenlonftruftion unb bie ^erfpeltiöe. 3n ber
SKed^anit tritt fie bei bcr ffientrattetpegung auf, j. S. in ber Slftronotitie
atö 5ßlanetenba]^n. @ie fpieft eine toid^tige atotte in ben Xl^eorien
ber bopt)eIten Sred^ung unb 5ßoIarifation, in ber Seigre üom Sßemtonfc^en
unb logaritl^mifd^en 5ßotentiat. ®ie ©d^aren !onfo!aIer @IIi^)fen finb
ft)id^tig für bie Seigre öon ben ftationaren Strömungen ber ©leftricitöt,
ber SBärme unb fold^en l^^brob^namifd^er Wd Slud^ in ber Äarto=
Qxapffk finbet bie ©ttipfe Sfutoenbung, ebenfo in ber Se^re üon ber 8lb=
^lattung ber @rbe.

in. jDte IßaxüM ülB $ftmt(a\i htx fViv^ft.

18) ©d^neibet bie @bene ben fen!red^ten ^ei^fegel paxaM ju
einer ©eite, j. 83. in gig. 183 ^jarattel ju PE, fo toirb bie ®tti^)fc
unenblid^ lang, bie eine Serül^rungSfugÄ giebt ^inen Srennp'unlt F^ ,

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III. 2)ie ^axaM al^ @|)ecialfa]l ber (SKipfe.

247

bcr anbcrc 85rettni)unft unb bcr aRttlcI|)unft fattcn in «nenbUd^e
©ntfcmung. (SSgl. gig. 186.) ®a bcr eine Srennftral^I unenbüd^ gro&
ift, l^at bic ©iflcnfd^aft bcr fonftanten ©rennftral^Icnfummc leinen Sinn
ntel^r. 2)ic ßonftruftion ber Äurüc erfolgt aber nad) 14 a in nad^-
ftel^cnber SBeife (Sig. 185):

3ft F ber 85renn<)nn!t nnb NL bie gerabe Sinie, bie ben nn-
enblid^ grog gen)orbenen ^ei^ mit StabiuS 2a in 14a t^ertritt, fo
jiel^e. man beliebig FF^, fobann F^Fj^]\NF, benn ber ©d^nitt F^
mni im Unenblid^en liegen, ©obann trage man SBinM « afö a^
bei ^ an FF^ an, fo bafe baS gteid^fd^en!(ige 2)reie(f FF^P entfielet,
bann ift P nad^ 2lna=

logie öon 14a ein ^*8' ^^•

5ßnnft ber $ßarabel unb ^

bag ipalbierung^Iot QP
ift Tangente in P @o
fann man beliebig öielc
fünfte unb Sangenten
ber Surüe lonftruieren.
3)ag^arbierunggIotÄT
für NF ift ebenfattg
Tangente ber 5ßarabel,
bie NF in S l^albiert.
ajian nennt NL bie
5J)ireftri£ ber Pa-
rabel, ST bie @d^ei=
teltangente. ßr^
richtet -man auf einem
beliebigen öon F an^--
gel^enben ©tral^Ie im
©(^nittpunfte Q mit ber
©eraben ST ein Sot, fo ift baSfelbe eine Sangente ber 5ßarabel.
aJlan lann alfo bie ?ßarabel mit ipülfe be^ SBin!eIbreiedfg ebenfo au«^
fd^attieren, toie eg in gig. i82 mit ber (gtti^jfe gefd^al^. SDie @dte bei^
redeten SBinfefö toirb fteti^ auf ST gelegt, einer feiner ©d^enfel burd^
F, ber anbere giebt bie Sangente. (3um fd^netten ©fijjieren ber
^arabel ift biefe ßonftruftion bie bequemfte.)

19) gäßt man öon P au^ ein Sot BF^y auf bie Std^fe NF,
unb fefet man SB = x, TP=x unb NF=p, fo ift F^P^x^-^

unb ba^er aud^ FP = x + ~, bagegen FB = o; — |, nad^

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248 fünfte Qlbteifung: SH< O^tiutblel^Ten i^on ben ftegelfd^nttten.

5ß^tl^florc8 alfo (« + f ) "" (* "^ f ) = V^i iüotcu« folgt: y^ — 2i?ir^

8ltt anbcrer ©tcttc Px bcr ßurtoc erl^dlt man ebenfo yj* ^ 2px^. ®urd^
3)it)ifton ctgtcbt fid^ cug ben bciben legten ©Ici^ungen

b. 1^. bic Stbftänbc bcr 5ßarabclt)unltc t)oti bcr ©d^citcl-
tÄitgcntc öcrl^allcn fid^ mic bic Duabratc bcr Slbflänbc-öon
bcr Std^fc.

(Sti bcr ©^rad^c bcr anal^tifd^cn ®comctric ift y^ = 2p x
bic Olcid^ung bcr 5ßarabcL) hierauf bcrul^t eine einfädle ßon^
ftmftion bcr ^axaid (ßotc 1 : 4 : 9 : 16 u. f. n). in ben Stbftanbcn
1:2:3:4...) unb il^rc Sebcntung afö SBurfbal^n int luftleeren
SRaumc.

2)ie (£ntfemung.N^F = i> bejeid^net man afö ben $ßaramctcr*)
bcr ^arabel. ©amtlid^c 5ßarabctn finb nämlid^ äl^nlid^ unb il^re
®imenflonen öcrl^attcn fid^ toie bic Oröfeen NF, fo ba§ man NF
getDiffermafeen att SRafeftab (5ßaramcter) bcr ^axabd betrad^tcn fann.

20) Halbierung be^ SBinfcI^ jtoifd^en bem ©rcnnftral^t
2^Punb bcr^ßaraUcIcnPJPi jurSld^fc giebt bic Tangente bcjft).
JRormalc bcr 5ßaraBeI. S)ic Sangente PQ trifft bic Std^fc in
einem 5ßunfte V fo, bafe 8V=SB ift. (SBarum?)

•gm »reiedfc VPW, too PW bic SRormale bcr Parabel ift
ift BW-=^p, benn ABPW^NF^F. S)ie 5ßroieItion bcr
Siiormale auf bic Sld^fc ift alfo ftetg glcid^ bem ?ßaramcter.
aRan bcjeid^net biefe $ßroieItion aö bic ©ubnormale. Jfuc^ am
2)reiecf VPW unb feiner ipöl^c y erfennt man ba^ Scftcl^cn bcr
Olcid^ung y^ = 2px, ba y mittlere 5ßro<)ortionaIe jtoifd^en VB unb
J^TTift.

21) ßid^tftral^Icn, bic an^ bem »rcnn^junltc bcr 5ßa^
rabel lommen, werben bon bcr 5ßarabel paxalUi jur Sld^fe
äurüdtgett)orfen.- ©old^c, bic paxalUt jur Sld^fc cinfaHcn^
toerbcn nad) bem- »renn^unlte l^in reficiticrt. galten
fold^c ©tral^Icn bon au^cn auf bic ^arabcl, fo toerbcn
fie fo rcfle!ticrt, aU ob fie au^ bem Srenn<)un!te fämen.
(5ßaraboIifd^cr ^ol^If^jicgel unb SRcffeftor; bcr gctoölbtc paxoboli^ä)t
©^ncgel.)

*) 3n bcx ?ReßcI »ixb p aW.l^olbcT ^axometex bcicid^net.

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m. S)ie $atabel aU Spmal\iaU ber SSipfe.

249

22) ^ßarattclfd^aren üon ©eignen ber ^wfeel l^abcn tl^rc ^oXbk^
xnni^^unUt, totxl ber SRittcI^junft M unenblid^ fern liegt, auf einer
5ßaraaclen jur Sld^fe. (aSergl @ai|)fe.)

Httfgale. 3w einer gegebenen 5ßarabet bie" äd^fe, ben
Srenn<)unfl uub bie 2)ire!trij ju lonftruieren.

HttflSfttng. fOtan jiel^e jtpei )}arallele Seltnen beliebiger Stid^tung,
öcrbinbe tl^re ^albierunj^ljunfte, errid^te auf ber SSerbinbungi^ftnie ein
Sot öon 5ßcrip^erie bi^ jn ^erijjl^erie, linb jiel^e burd^ beffen ©albie-
rung§<)un!t eine ^ßaraßele jur äSerbinbungglinie, fo erl^alt man bie
äCd^fe. 2)en ©d^nitt^junft P ber erftcn SJerbinbung^Iinie mit ber ffuröe
»jroiiaiere man ate B auf bie Sld^fe (gig. 185), mad^e SV = SB
unb jiel^e VP, n)a^ bie Sangente in P giebt. Halbierung be§ SSSinfeÖ
jtoifd^cn ber SCangente VP unb ber 5ßaraHeIen PF^ jur Std^fe giebt ben
Sörennftral^t PF unb ben SBrenn^Junft F. Wla^t man NS = FS,
fo l^at man einen 5ßun!t ber 2)ireftrij.

23) 3n 5ig. 186 ifk bie 5ßarabel bie Eentralproieftion &e§
»reife« CD unb aller ßrei^^ unb ©tti^jfenfd^nitte be^ Äegefö t)on P
m^ auf bie ©d^nittebene.
(Slud^ bie 5ßroj|cItion ber
Äuget öon P an^ auf bie
©d^nittcbene ift eine 5ßa-
rabel, toobei bie Äuget
ben a3rennt)unft ber
5ßarabelftä^e berül^rt.
3ebe 5ßaratteIproicftion ber
@Hi<)fe mar eine ©Hi^jfc.
S)ieg gilt aud^ öon ber
®tti<)femit uncnblid^ großer
^albad^fe, b. 1^. t)on ber
Parabel. Stlfo: Sebe ^a:=
raIIeI<)roieftion ber
5ßarabet ift eine ^ßa-
rabel.

aSertoanbelt man nun
ben fenlred^ten Äreigfcgel
burd^ * iporijontaItjerfd^ie=
^ung ber ©<)ifec n>ie in gig. 184 in einen fd^iefen, fo toirb. jeber
5ßarabelfd^nitt in bie entf^ired^enbe ^ßarattel^jrojcltion, b. 1^. »teber in
eine ?ßarabel öertoanbelt. Solgtid^: 55er ©d^nitt burd^ ben fd^iefen
ÄreiiJlegel ober ben geraben elli<)tifd^en Äeget ift eine

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250 Süttftc Abteilung: ^ie (^xnnbUfjttn öon htn Äegelfd^nittcn.

5ßarabct, fobatb feine ffibene ju einer Segelfeite ^axalUli^t
— Siegt bie ©pifee P be^ Äcgefö uncnblid^ fern, j. ©. auf ber SSer^
längerung öon ED in gig. 186, fo gel^t ber Segel in einen paxa^
boKfd^en K^Iinber über.

24) 85ei einigen ber genannten ©dfee beburfte eS leinet SemeifeS,
ba biefer für bie ©Hipfe bereite geführt toax. «He ©afee über 5ßot
unb 5ßoIare, ani) bie ©äfee üon 5ßagcal unb ©rian^on, gelten
burd^ ^axaUtU unb ffientra^jrojieltion aud^ öon ber 5ßarobeI. (@o ift
j. 85. bie a)treftrij bie polare bes Srenn^junfte^, unb aße ©eraben
burd^ ben ©renn<)unlt l^aben auf i^r i^ren 5ßoI.)

25) 3tt Sigur 187 fei in bag aic^ted SÄBC mit ®runb=
linte h unb §ö^e h eine 5ßarabel fo eingejeid^net, ia^ ÄS Sangcnte

unb ber S ber ©d^eitelpunft ift.
S)ie 85aft^ ift in n gleid^e Seile
jerlegt, in ben Seilpunften finb ,
Sote bi^ jur $arabel errid^tet unb
bie Streifen finb ju Sfted^tedEen
öeröoHftanbigt. 9lun ift j. S3.
nad^ 3lx. 19

ED:h=:^SE^: SÄ^ = SE^ih^,

Sfiß. 187.

alfo

ED

6\2

bie einjelnen Sote finb alfo ber
Steige nadf)

h

•©

;jf h-

•,Ä,=

An»

bie (Summe ber SRed^tedf^inl^alte ift alfo, ba jebe Safig - ift,

1* 2* 3* 4*

n^

w»

+ 6Ä-

ober

hh

11 + 2» + 3« +

-I- n^

Stimmt man n unenblic^ gro§ an, fo txf)äli man nad^ Slrit^m. 9tr. 38
F=jhh, jugleid^ aber finb iaUi bie fibergreifenben Iret)^3etträume
öcifd^lüunbcn. golgfid^: 2)ie gcjeid^nete 5ßarabel fd^neibet öom
ated^tedE ben britten Seil ai.

(Surd^ $araßet^)roieftion gilt bie§ auc^ t)on jebcm ?ßarattcIo^

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lY. 2)ie $9t)etBeI als ftegelfd^nitt.

251

gramm an^ ber Xangente unb ber ^avaMm jur ^d^fe, n)o bie in
gletd^en 9(bftftnben gezogenen ^axaUüen ebenfalls naä) bem (Stefe^e

1* : 2* : 3^ : aufcinanbcr

folgen, «etgl. gig. 18B.) sta- iw.

@o ift man aud^ imftanbe
beliebige Segmente ber 5ßarabet
ofö jtoei 2)rtttel eine^ getoiffen
Parallelogramm^ gu bered^nen.

^ie Parabel ift für bie
barftettenbe (Seometrie, bie Seigre
t)on ber ©d^attenlonftrultion*)
nnb für bie $erf)jeltiöe üon Se^
beutnng. 3n ber SKed^anil tritt
fie anf atö SBnrfbal^n, in ber
Slftronomie j. 85. afö Kometen-
bal^n, in ber ^^brob^namil atö
®ren jlinie bei rotierenben Slüf fig- •

feiten innerl^alb eines ©efafeeS**), in ber geftigfeitslel^re afö 5ßroftI
für getoiffe Äör^jer gleid^er Seftig!eit, afö ^jarabolifd^e Settenbrüdfen-
Knie n. f. tu. ®ine ^anptxoti^ aber f<)ielt fie bei ber geometrifd^en
3)arftettung ber Jrägl^eitSmomente. 2lttf il^re Slntoenbnng 'bei ben
^ol^If^jiegeln fear bereits aufmerffam gemad^t morben. a)ie fonfofaien
5ßarabeln finb für bie ^ßl^^fif t)on äl^nlid^er SBid^tigleit, ft)ie bie Ion-
fötalen ®ttit)fen.

IV. a« l^rpfttbti als Äeg^lfrfimtt

25) a)er ebene ©d^nitt burd^ ben ftegel, ber beibe SWöntet trifft,
giebt afö ©d^nittfnröe bie fogenannte ^\)ptxiel 3" Sig- 189 ift
jnndd^ft ber fentred^te ffreis!egel mit einem ip^^^erbelfd^nitt bargeftettt.
SBieberum finb in ben Segel SJerül^rnngSlngeln eingelegt, bie il^n in
ben ffreifen CD nnb EJ, bie ©d^nittebene in ben 85renn|)nnften
F^ nnb F berül^ren. 35abei ift XÄ = XF (Tangenten üon X an
bie obere ffngel) nnb XB = XF^ (Tangenten an bie untere), folg-
lid^ XÄ — XB = XF— XF^ , ober XF — FF^ = AB, 2)ie
anf ber Segelftäd^e gemeffene Entfernung AB ber beiben ^ßaraHel-
freife ift aber überatt biefelbe; bejetd^net man alfo bie Srennftral^Ien

*) 2)cx ^ä^a\itn ber auf ber ^orijontalcbcnc ru^cnben ^ugcl ift eine
$ara6el, tocnn \ioA Äeracntid^t cbcnfo ^od^ jte^t, toxt ber obcrftc ^unft ber Itugel.
*♦) 3)arauf betul^t W X^eorie beS ^:araboUfd^en SlcguIatorS.

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25a Srünfte »teiUutfl: tHe «timblciten üoti bcti fteflcl^nüteti.

V«. IM.

giß. 190.

Xl^unb XFi mit p bcjto. g,
bic SHffcrcnj mit 2 a, f o ifi
bic 9rcnn<)unftet8Ctt-
fd^aft ber ^^f^erbel:

i> — 3

2a.

26) Sft bic bot>t)cIte
©rcnntocitc FT^ = 2*e unb .
bic lonftatitc ©iffcreiij 2 a,
bic tiad^ bcfanntem ©rcictf^-
fafec Heiner afö 2 c fein mufc
gegeben, fo gcfi^icl^t bic Äon-
ftrnition ber ip^^jcrbel
(2fig. 190) fotgenbcrmofeen.
2Ron nimmt X auf bw SSer^
löngerung öon FTF = 2a
beliebig an, fefet TX^^^p,
WX = q unb fd^Iöflt um. F
unb JFi mit i? unb q auf alle
möglid^en arten Sogen, bie
öier ^^»jerbelpunftc P, Pi,
■^2/ A fl^i^tt; fo bu§ ©^m-
metric gegen FF^, unb
gegen baS burd^ M gejogene
Sot ftattfinbet. »abci muB
TrXminbeftcng gtei(^
c — a fein, FZ alfo
minbeftenS e + a. gm
©renjf atte cntftcl^en bie
^rt)en<)unftc ^ unb B
auf ber ©erabeu ^5.
®o fann man beliebig
uicle ^^<)crbelt)unfte
lonftruieren.

27) Sine anbete
Äonftrultion ift fofr
genbe: SKan fd^Iagt
mit 2 a (gig. 191)
einen SrciS um P,
jie^t einen beliebigen

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ly. 2)ie $l|t^bf I aU ftegelfd^itt.

253

atobiu« FFg «ttb feine Seriättgettittfl unh Derbinbet -F; mit JP^. Irögt

tnan nun ben aBiitIcI a afö «i bei F^ an F^I\ an, fo erl^fttt man ein

ßlcid^fd^enttige« Sreiei F^F^P,

beffen ®p\%t einer ber gefnci^ten S*« i^i.

^^Ijetbel^mnlte ift. ®g ift näm^

K(^ FP^F^P ^FP— F^P

= FJ'j "* 2 a> alfo i> — ?

:a.

28)«ud^ba«8otaufF,F2
im $albietungd<)«n!te ^ giebt
ben Sßnnft P unb jtoar ift t^
jugleld^ langente ber ^^:;
^fierbel in P.

S)ie ^t)ptxM in gig. 192
trennt n&mlid^ ben $anm, n)o
i^ — .q> ^a ift, öon bem
"Stcamt ab, n)o i? — g < 2 a ift.
An« 5ßroiefttoni5grünben l^at bie

Tangente (tele beim Greife) nur einen 5ßun!t mit ber ^\^vcM gemein, fie
liegt alfo ganj in bem ataume p — q< 2 a\ nur für ben öerfil^rungS^unft
ift p + (Z = 2 a, alfo gleid^ ber größten mögtid^en S)ifferenj ber ©tral^Ien
FP unb F^P für bie

ißunite P ber ®eraben. »^«- ^«*-

üflad^ Oeometrie Sir. 28
^ befinbet fid^ P in S3ejug
auf KL in biefer Sage,
toenn y « yi ift. Sotglid^
ift ba§ Sot gp in ber
SCl^at bie Tangente, unb
fo folgt ber Safe: 2)ie
Halbierungslinie be«
SBinlelS ber »renn-
ftral^Iengiebtbie2:an*
flente ber ^^perbel.

golglid^ burdj::
fd^neiben fid^ (SUi))'
fen unb H5|)erbeltt
mit benfelben Srenn^

^)unften red^ttoinlUg. Slud^ »erben bie bon Fan bie $^|)erbet ge-
zogenen ©tral^Ien bon il^r fo reffeltiert, afö ob fie cM JP\ lamen.

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254 • Sfünfte 9(Bteilung: SHe (S^tunblel^ren Don htn ^egelfd^nitten.

29) Stellt mctt in gtg. 191 öon F, au« aDc möglid^n ®crabcn
J^Fg ttöd^ bcm ^cifc F, fo liegen attc ipatticrunflöi^uttltc Q mtf
einem ^eife um M mit «abiu« a. gfolglid^ gilt anä) fotgenbc ff onftrultion

beri&^})erbel:3ie]^t
Sia-iw. man Don einem

?ßunfte F aufeer-
l^alb be« ftreifeö
an tl^n jal^Ireici^e
(Serabc FQ unb
ertid^tet man auj
ieber in Q ein
Öot, fo fd^attie^
rcn bie ßote eine
^^t^erbel au«,
gig. 193 seigt, toie
man fo mit ipülfc
be« SBinletbreiedEg
ol^ne ffurt)entineal
bie i^^perbel au^-^
fd^attieren lann.

30) »ei ben
ftonfhrulttonen 28)
unb 29) lommt mel^rfad^ ber gatt öor, bafe P in unenblid^e ©nt::
femung fällt, toeil « -= a^ = 90® ift (gig. 194). »ann berührt
bie Xangente QP bie fturue erp in unenblid^" gro'fter
©ntfernung. ®ine fold^e 2:angente bejeid^net man aU 8lf^m<)tote*).»
@ie ift bie burd^ M gel^cnbe Tangente. (SBarum?) ©otd^er Slf^m^jtoten
'fjat iebe ip^^jcrbel jnjei.

©rrid^tet man (gig. 195) in B auf ber Sld^fe AB ein Sot
bi« jur af^mlJtote, fo ift AMBH^MQF^, alfo MH^MF^.
golglid^: SJlan finbet bie Stf^mptoten einer ip^^erbel, inbem
man auf ber Äd^fe im ©d^eitel ein Sot errid^tet unb mit
ber »renntoeite um ben JWittelpunft einen ffrei« fd^Iägt.
J)urd^ bie @d^nitt<)unlte beiber gelten bie Slf^mj^toten.

31) ©efet mau MB = a, MF^ — e, fo ift BH = ye^^a^,
fo ia% totm BH=1) gefefet »irb, h = Y^ — a* ift, njal^renb bei

*) a =x nid^t, evv = pfammen, nimm =■ foßen, alfo „nid^t jufammcn
fallen'', ^er ^amt \oU alfo golgenbe« fagen: -^ie Slangente fommt ber ^urbe
immer näl^er, fogat unenblid^ nal^e, ffiltt aber bod^ im (Snblid^en nid^t gan^
mit il^r jufammen. •

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IV. 2)ic ^tipexhtl aW Äcöelfd^nitt. • 255

8ig. 194. m- 195-

bcr eHi^jfe 6

Va^

c* tpar. [SKan lönittc l^icr fd^reiben 6i =

SWan fontt

)/e* - a^ — |/_T}/a*— ?

aö ®ttt|)fe mit imaflinärcr Heiner ad^fe betrad^ten.]

6 «^ Ye^ — a' ate Sänge ber (nid^ borl^anbcnen) ^albad^fe be*

seidenen unb ~ afö baS Sld^fenbcrl^SItttig bctrad^tcn. 3ft a -» &,

fo nennt man^bie ©^^jerbel eine greid^feitigc, äl^nlid^ toie man htn
^eiiS aü bie ,,9leid^ad^flge'' ober gleid^feitige (SOip^t betrad^ten fönnte.
2)ie 8lf^m|)toten ber flleid^feitigen ip^perbet [teilen auf einanber fenlred^i
äurd^ berfd^iebene Sage ber ©d^nittebenen lann man ^^^jcrbeln
t)on beliebigem 9(d^fent)erl^&Itnii^ aui^ bem fenlred^ten ^ei^fegel gig. 189
l^eraui^fd^neiben, bie fämtlid^ (£entraIt)roieItionen öon einanber jtnb.
Saut ber eine Srennpunit in unenblid^e Entfernung, fo erl^ölt man
toieber bie 5ßarabeL ßiegt aber bie ftegetfpifee P unenblid^ fern, fo ftel^t
über ber $^|)erbel ftatt etneiJ l^^^jerbolifd^en ßegetö ein l^^perboKfd^er
S^Iinber. 2)a nad^ ber erften S)eftnition aud^ bie burd^ biefen gelegten
S^i)nxttt Q\)pttMn finb, fo folgt: gebe ©^perbel gel^t burd^
^ßarallel^jrojeltion in eine anbere Qtjptxitl über.

33) ®arau^ ergeben fid^ jal^Ireid^e anbere golgerungen, bie jum
%tit ber Symmetrie ieber ^^perbel unb il^rer Stf^mptoten gegen bie
beiben Sld^fen entf^ringen. SSeil }. 93. bie ju jeber Sld^fe paxaMtn
Seltnen burd^ bie anbere Äd^fe l^albiert finb, fo folgt: ^ßarallele
©el^nenfd^aren l^aben il^re ^albierungi5|)unlte auf einem
S)urd^meffer. ©d^neibet biefer bie ^^^jerbel, fo finb bie

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256 Sünfte ^Cbteitung: ^ &xwMtf^xtn Don htn ftegelfd^nitten.

gtg. 196.

Xangcntcti in ben ©d^nitt^^unltcn paxaiUl jur ©cl^nenfd^ar.

Cbenfo folgt aus bcn cntfprw^enbcn f^mmetrift^en giguren: S)ic

Äufeenftücfe icbcr ©cl^nc
bis ju bcn ?lf^m|)totctt
finb cinanbergtcid^. ^tht
langcnte bonÄf^n^jtotc
SU 8lf^m|)tote gcmcffcn
ift im ©crül^rungSpunfte
l^albtcrt.

9luS bem erftcren ©afec
crgicbt fid^ eine einfädle fton-
ftniftion ber ^\)ptxM auS
ben. Slf^n^jtoten unb einem
5ßunfte C. aWan legt burd^ C
ein ©tral^Ienbüfd^el nnb mad^t
auf iebem ©tral^Ie BB^ bog
©tficf ^iCi gleid^BCr. (gig.
197.) ©ofinbet man beliebig
Diete ^nlte ber ^^erbel.

34) a)ie f^mmetrifd^e gig. 196 gel^t burd^ bie fd^äge ?ßarattet
^jtoieltion in bie unf^mmetrifd^e 197 fiber. S)abei üertoanbeln ftd^ aber

gleid^e fjflad^en in anberef

^^ i»7. unter ftd^ ebenfalls gleid^

Stadien. 3)a nun in %x^.

196bieS)reiedfe^5itf^unb

Aj^B^M an^ S^mmetries

grünben ftöd^engleid^ finb,

fo finb in tJig- 197 ou^

bie cntftJred^enbcn öon ben

Sangenten unb Äf^mjJtoten

gebilbeten ®reiedfe ÄBM

unb A^B^M flöd^engtcid^.

9lnn barf aber BB^ in

gig. 197 atö eine ganj

beliebige Oerabc ange-

feigen loerben, fo baß alfo

neben ber beliebigen Xan-

gente AB eine jloeite ganj beliebige A^B^ gejogcn ift. 3)aS ®efagte

gilt alfo bon bem S)rcicdE AB M unb jebem beliebig l^injugefügtcn

A^B^M bcrf erben «rt. golglid^:

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IV. 3)ie ^mxM aliJ Äegcl^nitt.

257

®a? öott bcr lottflctitc unb bcn Slf^mptoten bcr ^^^jerbcl
gebilbetc 2)rciedf §at lonftaritcn 3itl^alt. — SScrbinbct man bie
©d^mtt^junlte Ä unb B bcr Xangcntc mit benen ber ju il^r ^jarattclen
Tangente am anbcrn $9<)erbelarmc, fo crl^ält man ein Soniugicrten^
^avalUloQxamm ber $^<)erbct. S)agfeftc l^at öierfad^en gläd^ens
inl^alt, toie jcbc^ ber bcfjjrod^enen S)rete(fc. golglid^: 2)ie Soniu^
giertcns^ßaraUctogrammc ber ^^Jjerbcl l^aben fämtlid^
benfclben gläd^cninl^aU.

36). 2)aSfeIbc gilt t)on ben Parallelogrammen P^M JS unb
PiQiM^R^ ber beiben Siguren, bie l^alb fo groß finb, toic bie ju^
gel^örigcn S)reie(fc uiJ^iLf
unb^i-BiM. ®arau3 ergiebt ^^ß- ^**'

fld^ folgenbe ip^^jerbellott-
ftruftion'(gig. 198):

SRan jiel^e, toenn bie
äf^m^jtoten unb ein ^t)^
<)erbel^)unlt B (j. 85. ber
©d^eitel) gegeben finb,
BC\\ML, trage itf(7= c
öonCau^mel^rfad^ Sinters
einanbcr auf ber Äf^mps
iQte ab unb tege burd^
bie Scil^JUttltc ^Parallele
JU OB, bie ber Sleil^e nad^

bie Sänge 1», j, |u.f.n).

l^aben. @o erl^ölt man beliebig biete fünfte ber ^^^jerbel.

5ßraltifci^e Stntoenbung flnbet bieg bei ber gleid^fcitigen ^t)ptxbdf

bie }ur SSeranfd^auIid^ung be^ STlariottf fd^en ©efe^e^ unb jur 93e^

re^nung ber ©j^janfionSarbeit bient. ^ter ift iebe^ Sot y = -,

loenn x ber iporijontalabftanb öon ber fenfeed^ten Slf^m^jtote ift.
SSergl. Sigur 86 unb bie jugel^örigen ©rlöuterungen unb gig. 199.

36) SSertoanbett man ben fenfred^ten ffreislegel (gig. 189) burd^
^orijontalöerfd^iebung ber @t)ifee in einen fd^iefen ffreigfcgel, b.'l^. in
einen geraben eUiptifd^en ßegel, fo gel^t ber ^^))erbelfd^mtt in bie
entf:|3red^enbe ^raUelprojieltion, b. 1^. toieber in einen ^^))erbelfd^nüt
über. Solgßd^:

3ebe ®eniraIt)roie!tion be^ Sreifeg, bei ber beibe

^oUmülUv, atat^ematiC. n. ' 17

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258 Sfünftc TOtcilung: 3)ie ©tunblel^rcn Don bcn Äcflelfd^nitten.

Si«w»- aRdtttcI bcg* 5ßroieI^

tiotigfcgelg öon bcr
^rojeltioni^cbcnc gc^
fd^nittcti tocrbctt, giebt
eine ^t)^txitt

SoIgKd^ gelten bie
@afeeüber5ßoIunb?ßoIarc
am Greife, cbcnfo ber
$ai5calfd^c unb Srian-
c^onfd^e @a| t)9n j[eber
$^|)crbel- 2)er ©d^atten
einer Äuget, bie auf ber
iporijontalebene liegt, ift
ein ^^^jerbelarm, fobalb bai^ Sid^t tiefer fielet, aö ber ^öd^fte 5ßunlt
ber ^gel. ®ie Sugel berül^rt bie ßbene im Srenn^mnfte beiJ
^^|)erbelarm«. (3JgI. gig. 189.)

Um t)on einem fünfte aufeerl^alb ber ip^^jerbel langenten an
biefelbe ju tegen, öerfal^e man tüie bei bem ^eife (®eom. Sir. 65,
gig. 46). ®iefe ftonftrultion gilt überl^attpt öon alten Segelfd^nittcn.
3ft eine ip^^jerbet gegeben, fo finbet mau il^re Sld^fcn, Srennpunfte
unb 2lf^m})toten folgenbcrmafeen: a)ie §albierungi5<)uttlte jtoeier l^aratteler
©eignen beftimmen einen SJurd^meffer, beffen i^albierungS^Junlt ber
SRittelpunft ber ip^^^erbel ift. SRit ^ülfe eineiJ um biefen gefd^Iagenen
ftreife^ finbet man bie beiben St^fenrid^tungen. (Symmetrie 1) ge^t
jeid^ne man ben Serül^runggfreig ber gigür 193. SSon einem 5ßuntte
Q biefe§ ftreifeg* au^ lege man eine Sangente an bie ^jj^jerbel. S)ai5
in Q auf ber Sangente errid^tete 2ot fd^neibet bie ipauptad^fc im
85renn<)unlte F. (2fig.'193.) ®ie a3erü]^rung^<)un!te ber Sangenten,
bie fid^ öon F an^ an bem i^ülf^lreis (gig. 193) legen laffen, ge^
l^ören ebenfo, toie M, ben Slf^mptoten an.

S)ic ip^perbel ift uon Sebeutung für bie SKed^anif. 3ft j. S3. t>ie
®efd^h)inbigfeit, mit ber ein Äomet bie ©onnenndl^e ^laffiert, größer,
dte ein getüijfer (Srenjtoert, fo ift feine Sal^n eine ^^perbel. ©etoiffe
Qxap^i\i)t ©arftettungen ber ©to^tl^eorie fül^ren auf bie Qt^pttitl
®er Sici^eninl^aft ber gleid^feitigen ^^t)erbel öcranfd^aulid^t ben SBert

ber natürli^en Sogarit^men (benn F<=%-^]* Sic bient jur SJe^

red^nung bcr ftontf)reffion^= unb ©i^janfiongarbcit unter 3ngrunbe::
legung beS SWariottefd^en ®efefee^. ®ie ©d^ren !onfo!aIer ©^^lerbeln
finb öon SBid^tigleit für bie Sl^eorie beS logaritl^mift^n ^otentiafe
unb getoiffe Probleme über ftationärc Strömung ber ®Ieftricitdt, bcr

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r

V. SCßgcmciitc« über bte Äcgclfd^ititle.

259

SBärmc unb ber fSflüfftflleitcn. 31^tc Sebeutung für bte ©eometric,
©tercomctrie, für bie barftettenbc ®eonietric, ©d^attetilel^rc utib $cr=
\pMu ift eine ebcnfo Qxo^t, tt>ic bie b^ anberen Äeöelfd^nitte.

V. M$tmmtB fiter i^it 11it$tif^n\üt.

37) SBeil bie ©ä^e Mn ^aßcal unb Sriand^on öott atteit
Äegelfd^nittcn gelten, fo lann man folgenbe Sonftruftion au^fül^ren:

a) ©inen Segelfd^nttt au^ 5 gegebenen 5ßunlten mit
bem Sineal allein ju lonftruieren. (Ober: au^ 4 5ßun!ten unb
ber langente in einen öon il^nen; au^ 3 5ßunlten unb ber Tangente
in jtoeien öon ii^nen.)

b) ©inen Segclfd^nitt au^ ö «gegebenen Sangenten mit
bem Sineal allein ju lonftruieren. (Ober auS 4 'Tangenten
unb bem 8erü]^rungÄ|)unlte auf einen öon i^nen; au§ 3 Tangenten
unb bem Serül^rung^punlte auf jtoeien t)on il^nen.)

3Ran lann nämlid^ bie günfedte auf beliebig biete Slrten ju
5ßa^calfd^ert ober Sriand^onfci^en ©ed^geden berbottftänbigen. über
biefe unb anbere Sonftruftionen berglcii^e be^ SSerfafferg „©infül^rung".

®nä)t ju betoeifen, ba^ ber geometrifd^e Drt aller 5ßunlte, bie
bon jtoei gegebenen Sreifcn gleid^e ©ntfernung l^aben, ftet^ ein Segels
fc^nitt i? + 9'= 2a (in einigen f|)ecieKen fjfötten eine 5ßarabel) ift.

38) ICttfgalie. 3)ie ^aupU
gleid^ungen ber Segelfd^nitte
JU finbcn.

a) fSfür bie 5ßar ab et ift be=
reitä gefunben

y^ = 2px.

b) gUipfe. fSfür icben 5ßunlt
Pi be^ mit aiabiu^ q um ben 3lnU^
})unft gefd^Iagcnen ßrcif ei^ (gig. 200)
ift x^ + ri^ = a*. Sajirb iebe« i?

f$i0. 20O.

im SJerl^ältniÄ - berlleinert,

fo

yj tft.

toirb bie neue $öl^c y .fc= tj - , fo bafe i?

gür jeben 5ßunlt P ber gtti^jfe ift alfo, wie bie ©infefeung ergiebt,

-*+K)' = «'. ober S + |; = l.

17 ♦

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260 Sünfte Äbtciluug: S)te ©runblel^Tcn öon ben Äcgclfdjnitten.

Stg. 801. c)<£ni»)fc Uttb$ljs

ptxitl ©cfetmaningift.

JP 201 JPO = OFi ^ e,

bcn Slbftanb EP jcbei^

ffuxDenpunItcS P öon bcr

|y fetitrcd^ten Sld^fc glcid^

ä;, ben Slbftanb QP öon

^ bcr l^ortjontalen glctd^

. y, fo b afe

P = y(^ + ey + y'
I nnb

ift/ fo ö^^ctt bie (Sleid^ungen für bctbc ßurt)en

über in. "

yOH=TT? + Vi^-ey + y' « 2a,
ober burd^ beiberfeitifle üuabrterunö in

[{x + ey+y^-] + [{x~ey + y'-]

±2y {x^ + y^ + e^) + 2xe ' y{x^ + 3^' + e^) — 2xe = 4a*,

ober

x^ + y^ + ^± V(x^ + y^ + ^f - ^x\^ «= 2a^

alfo . •

+ y{x^ + y^ + ^y— ^x^^ = 2a« - (a;« + / + e«),
ober bnrd^ beibcrfeitig^ Ouabrtemng in

(a;8+^2+e*')«~4a;V«=4a*+(a?«+y2 + e«)*-4a«(aj2+3^*+6«).
"Snrd^ ^cbnng u. f. to. folgt

flj^gS —- a* o«/p2 _ flj»y2 ^2g&

ober

a;«(a« ~ e«) + a^V^ = a\a^ — ^)
ainb nad^ beiberfcitigex S)tt)ifion burd^ bie redete Seite

a« ^ a» — c« ^ •

®iefe ®Ieid^nng gilt für beibe Änröcn. S9ci bcr @ait)fe ift aber

c? — ^ })ofitit) unb lann gleid^ fe* gefefet loerben, bei bcr §^<?crbct

ift c? — ^ ncgatit) nnb tonn gleid^ — fe* gefegt toerben. S)ann ift
btc (£ni|)fengleid^nng, toie t)or]^er

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V. OTgcmeinc» üBcr bie Äeöclfdjnittc. 261

>- + ?^ = l
baflegen bic $^|)crbelgleid^ung

gür bic gicidöfcittflc ^i)ptxM ift h = a, alfo

a;2 y2 ^^ ^2

SageftCtt ergiebt fid^ für bie gleid^fcitifle Qt))j>txM in ahbcrcr ©tcttung
(aRariottcfd^e ßurbe) xy ^= c ober y = - (j. 8. tocnn c = 1 ift

icy = 1 unb y = ~V too c baS fonftante aied^ted bebeutet. (Sergl.
gig. 199.)

39) aWit bicfett ©leid^ungen red^net man ebenfo, toie mit ber
Ärci^gleid^ung. @o ergiebt fid^ j. S. burd^ einfädle SBetrad^tungen
golflenbeg:

S)ie langente im 5ßunltc x^y^ ber 5ßarabel y* = 2i?a; ober

yy ^p{x + a;) l^at bie ©leid^ung

• * *

yyi=p(x + x,)*^
bic Xangente im 5(Junfte ber ©tti^jfe bejto. ^^^jerbel ■^8 + |f='1
öi>^^ ^f + |f = 1 ^^t ^ic ©leid^ung

2)iefetteti ©leid^ungcn getten für bie 5ßoIaren bei^ $unltei^ x^y^,
toenn berfelbe nid^t auf ber ßurbe liegt, gür bie (SUxp^t lagt fid^
bic§ naä) ber bei gigur 200 angetoanbten SKetl^obe bom ßreife au^
betoeifcn. gür bie 5ßarabel folgt eg cmg gig. 185.

40) aSebeutung ber SBorte 5ßarabel, eni|)fe, ^^|)erbeL
^a^ gried^ifd^e SBort TtaQaßoX'q bebeutet SlebeneinonberfteKung,

aSergleid^ung unb in matl^ematifd^er ^infid^t aud^ ©leid^fefeung.

Sag SSerbum hlBlnto bebeutet im gnfinitib „toeglaffen".
»oraug ift bag SSort @irit)fc ober eUi^fc, b. 1^. „SBcgIaffung"
Qbgcicitet. . (SWan benfe j. 83. an bie ®fli})fen be« SRonbci^ unb
ber ©onnc, b. 1^. an bie SSerfinfterungen, bie nur ftattfinben lönncn^
toenn beibc ffiör^jer in ber fd^einbaren Sonnenbahn jufammentreffen
ober fid^ in ii^r in S)iometraIfteHmtg befinben. S)ie ©onnenbal^n
Wirb bal^er @IIi|)tiI genannt, toag afö ber geometrifd^e Drt ber
ginftemiffe aufgefaßt toerben lann.)

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262 fjünftc ^Ibteilung; ^ie ÖJrunblcl^tcn t>on bcn Äcgelfd^nittcn.

S)a^ SBort iTts^ßolri bebeutet ein Übertreffen, j. 89. in ber
aJlatl^ematil „baS §inaui^ge]^en über einen fletoiffen SBert''.

S)en ®runb ju ben entf^jre^enben SSenennungen ber ftegelfd^nitte
crfennt man an il^ren ©d^eitelgleid^unflen.

S)ie ber 5ßatabel ift nämlid^

a) p^ =T= 2^a^

S)ic äRitteltJunft^gleid^üng ber eili})fe ift

a« ^ &'' ^ •

aSerfd^iebt man l^ier ben Sßullpunft be^ Roorbinatenf^ftem^ auf ber
ZsSld^fe um (— a), fo tritt an ©tctte jeber äbfciffe | eine anbere,
a: = | + ö^/ f«' t>ö§ 1 = 0? — a ift. Sagegen ift bie Drbinale
3/ = t? unöeränbert geblieben. 2)ie Surtjenglcid^tog gel^t alfo über
in bie ©d^eitelgleid^ung

^;

ober

{x — a
■ in

» 21.»

== 2^» —

a

Wo

^'"i» öefefet ift.

•

S)ie aKittcI<)un!t2flIei<i^uttfl

ber

^\)pivitl

ift

— 1.

$ier öerf(ä&iebe vxwx- ben 5Rutt|)unft um + a (um an. ben ©d^eitet
t)on entf|)red^enber firümmung ju fommen). SJlan erhält bie ©d^eitet
gleid^ung

(« + ay _ y* __ 1

a« &» '

ober

gür bie 5ßarabel ift alfo y^ = 2i?a;, für bie m\!p\t y^ < 2px,
für bie §^})erbel /> 2,pXf fo ba§ bie ©leid^fefeung, bag SBcg^
laffen cinci^ getoiffen SBerte^ unb baS §inau8ge]^en über einen
getoiffen SBert leidet crlennbar finb.

41) S)ie neuen, p entl^aftenben ®Ieid^ungen ber Wl\p\t unb ber
$^|)erbel gelten in bie ber 5ßarabel über, fobalb a = oo gefegt ioirb.
2)ie ©röfeej? fann atö eine Slrt öon Parameter betrad^tet toerben- gür

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V. SCUßcmcinc» über bic Äcgelfd^ttittc. 263

bic 5ßarabcl ift il^re Sebeutung bereite erflärt^toorbcti. gür bic ©tti^fc
utib bie §^})erbct fann i? mit $ülfc bcr 5ßrot)ortii)n a:h = h:p,

bie mit bcr ©Icid^ung i? = — übcreinfttmmt, leidet lonftruicrt njcrbcn.

S5ei allen brci Segelfd^nitteit ift p bic |)ofitit)c Drbinatc
im a5rennt)unltc (bcäto. lit bciben a5rcniH)utiIten) ber* ffuröe.
2Ran cricnnt bie^, toetin man in bic ®Icid^ungen ^^ = 2i?a? unb

~ + ^8 = 1 bic SBertc a; = =| bcäto. ä; = + e einfc^t unb y bc-

red^nct.

42) S)er geomctrif^e Drt cincg 5ßun!teg, beffcn Ent-
fernungen öon einem gegebenen 5ßunlte (f) unb einer ge^

gebenen ©eraben (LN) ein lonftantcg SScrl^ältniä - l^abcn,
ift ein ftcgclfd^nitt, unb ^toax eine (SllipUf ^ßarabet ober
^tfptxitl, je nad^bem ^$1 ift.

»cüicl8. 3n gig- 185 fei SF:NS = m: n, cbenfo FP : JP^^
= w:w. SäSirb alfo JVF=Z gefefet, fo ift FP = y(x — SFy+y^

S)ie ©Icid^ung FP^=.^F^P^ ge^t alfo über in "

tüa^ fid^ umformen läfet ju

aiad^ Obigem ift bieg bic ©d^citclglcid^ung cincg fficgclfd^nittg, unb
jtoar eine ©ßtpfe, 5ßarabel ober • |)^t)erbcl, je nad^bem ber goftor

öon a? negatit), ober 5Rutt, ober |)ofitit) ift. S)abei toirb i? = —
uno a = —3 = ü = — ji = •

[43) S)rcl^t fid^ ein föegdfd^nitt um eine feiner Sld^fen, fo tnU
ftel^t -ein S)rc]^ung§=@ni})foib ober S)re]^ungg55ßarabotoib ober
S)rc]^ung§5§^|)crboIoib, t)on benen ba^ Ie|terc einmantclig ober
jtoeimantefig fein fann, je nad^ SBal^I ber Ärel^unggod^fe. S5ci fdmt=
Hd^cn biefen ÄörtJcrn iji bie oug ber ^öl^c y bered^netc üuerfd^nittg^
flöd^c ^y l^öd^ftcn^ üom 2*^»» ®rabe, alfo täfet fid^ bei atten ber gni^alt
nad^ bcr @im|)fon5aiegcI ober, ber ©ummcnformel bered^ncn.

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264 Sfünfte ttbtfUung: SHe OktaMtlpctn t)on bnt ftegdff^nüten.

S)adfct6c gilt öon i^rgi CaöaUcrifd^cn Srwetterungen, bei
benen bie ^ei^erfd^nttte in äfpaii^t SOipfeit übergeben.

Und^ übet biefe ftdrper bietet bie ,,Siitfü^nmg" ÜbuitgiSaufgaben.
3)te einfa(^fte 3n^ItdfonneI ^at ba$ ^t^xm^paxaioioib. 9uS
y : Ä -=.a:* : r* (in gig. 202) fo^t ndmlid^ y : h^= o?n : r^yt, alfo

Duerf(^nitt g^ «= a?*»y «= ^^-^ "^ T ^^ 2)a ber Duerfc^nitt ein

\olä)tt erften (grabet ifl, fo ergiebt ftd^ nad^ 9h:. 64 ald ^vfyitt

/— J Y^= I GÄ, b. f). bie ^ftc beS e^Bnberg. (»gt gig. 202.)

gift. 202.

Sifl. 203.

3)a§ bcr in gifl- HS bargeftctttc Sör|)er, ber burd^ 2)re]^ung
einer ®crabcn um eine fie fd^rag frcujcnbe Äd^fc entfielet, ein SRotationS^
]^^|)crboIoib ift, ergiebt fid^ folgenbcmtagcn: MM^ in gig. 203 fei
bie 2)re]^ung^ad^fc, BC^ bie pe freuscnbc ®crabe, BC il^re 5ßroieftion
auf bie ©runbfld^e, in ber MB == a, bag gemeinfd^afttid^e Sot ber
©eraben MM^ unb J?(7i liegt, fo ba§ J?C Xangente ift. Sann

ift Q? —z^ ^ a^, alfo, ba z

tana

ift, a;»-

y'

tan* or

ober

y'

a* (atana)^

S)ieS ftimmt überein mit ber (Sleid^ung einer ^^jjerbel mit ben $alb::
ad^fen a unb fe =» a tan a, beren Äf^m|)totenneigung alfo gleid^ « ift.
J). 1^. bie Sntfemung x ber ®eraben BG^ t)on ber Sld^fe toirb für
iebe ^öl^e y ebenfo bercd^ne^ toie bie Slbfcijfe bcr genonnten ^^^jerbef,
Sei ber {Rotation gilt bieS t)on jeber Sage ber ®eraben BC^^ fo
bafe es fid^ nur um ein ®re]^ungi^]^9|)erboIoib l^anbeln lann.

ftbungi^material über bie ßegelfd^nitt^päd^en bietet bie „@in=
fül^rung in ba3 ftereometrifd^e 3«id^nen".]

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^ItlHttÖ^

3unäd^ft »erbe folgenbc ©ülf^auffiaic gelöft: 8luS atoetScttcn
uttb bem cinflcfd^Ioffcnen SBinlcI einer breifettigen SdCc bie
brittc ©eite ju iered^ncn.

«ttflBfttng. D(ÄBC) in gifl. 204 '

fei bie ©de, öon ber bie Seiten ß unh y jy ^^^- ^•
nnb ber in ber Sßormalebene t)on h gcmeffene
SSäinlel 9 gegeben fein mag. %vS> ben
(Sleid^ungen

a^ s= fe« -j- c« — 2&C cos 9
a* = i' + Ä* — 2 iÄ cos a
folgt h

i* + ^^ — 2 iÄ cos a = 6* + c^ — 2 &c cosg)
ober

(i^ — c*) + (Ä» — 6«) — 2 i* cos a ^"^

= — 2 6c cos 9

ober, ba i^ - c^ = Ä« nnb ä^ — 5^ = ä* ift,

Ä* — iÄ cos « = — 6c cos 9,

;^ A ' h c

ober
\i(3& l^eigt

__ . _ — cos « = — T * "^ ^^^ 9^/

cos j3 cos y — cos « = — sin j3 sin y cos 9,

ober enbüd^

cos a = cos j3 cos y + sin j3 sin y cos 9.

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266

9n^ng.

SRtt biefct gormel läfet ftd^ bie Slufgabc löfen, bic f^jp'tifd^c
©ntfernuttg jtocicr Drtc bcr ßrblugcl (öcmcffen langi^ be^
größten Steifet) ju finben, toenn il^rc Sage naä) Sänge unb
Sreite gegeben ift. •

ICttflofttng. C unb D in gig. 206 feien bie beiben Drte, ß^
bie «ßolbiftanj öon D (alfo 90^ — ß^ bie nörblid^e SBrrtte), / bie

gtfl. 206.

5ßoIbiftanj t)on C (alfo 90^ — / bie nörblid^e SBreite), 9/ bcr Sängen::
unterfd^ieb beiber Drte. ®urd^ C lege ntan bie ^orijontalebcne CÄB,
tt)o 9 = (pi ift. Sann ift toie oben für bie @dCe M{ABC) ber SBinfel
Oilf 5 «=» a JU beftimmen aug

cosa

cos /? cos y + sin ß sin y cos g>
®ie fpl^ärifd^e ©ntfernung ift DC =V •

rjt

180«

n. öttttge iBmerlni«0j« fiter ÜUlartma unö iHntinw*

1) Wttfgalie. gn ein red^ttoinlUg^gleid^fd^enllige^ Sreied
mit Satl^ete a ein aied^tedC öon gegebener Släd^e F ein=
juäeid^nen, beffen ©eiten parallel ju itn ßatl^eten finb.

Wttflofttitg. 3ft X bie gefud^te ©runbünie, fo ift a — x bie
gefud^te ^öl^e. S)er Sni^alt fott fein

x{a — a;) = F,

*Digitized by

Goos

II. Einige SBemcrfungen ü6er SWajima unb iDWnitna.

267

alfo ift

SfiQ. 206.

x« — arc = — Ff

V»- —f±V(f )'-*■■

S)ie Söfuttfl ift auf ätüeterlci Slrt möfllid^; fobalb
^ < m ift iJ^ößcgen nur auf eine Slrt, toenn
F = (^ ift; pe ift aber unmöglid^ (ima-
ginär), fobalb F > i^ ift, benn bann ftel^t
unter ber SBurjcI StcgatiöeS. F barf alfo

l^öd^ften« gleid^ (-1) fein, gn biefem (Srenjfatte ift a? = ^ + Ö = -| •
golglid^:

®a^ Duabrat ift \>a9> größte Sled^tcd, toeld^e^ fid^ in
biefer SBeife einjeid^nen tagt, e^ ift jugleid^ ba^ .grtJfete
Sted^tcd, totlä)t^ au^ ber in jtoei Seile ju jerlegenben
®eraben a erhielt toerben !ann.

ICttfgalien. ^nä^t in entf|)red^cnber SBeife ju jcigen, bafe bo^
größte einem gleid^fd^enlßgen. S)reie(f einpbefd^reibenbe aied^tedC,
ttjeld^e^ auf ber SSafi^ ftel^t unb bie oberen ©den auf..ben ©d^enfeln
l^at, ba^jenige öon l^alber ^öi^e ift; bafe bagfclbc bei einem beliebigen
Srcied öon bem cinbefd^riebenen 5ßaralIeIogramm öon l^albcr §ö]^e
gilt, beffen einc§ ©eitenpaar pr aKittelünic ^araKel ift; bafe ba^
größte einem Ouabrat einsubefd^reibenbe Sled^ted^ beffen ©etten ben
diagonalen ^jaraHet finb, ia^ tXvia\>xai ift (toeld^eS bie gdpunite in
ben ^albierung^t)unlten ber Seiten l^at); \>Ci^ ba§ ßntfpred^enbe öon
bem größten einem $araIIctogramm einjubefd^reibenbcn ^Parallelogramm
(mit Seiten, bie ben S)iagonaIen ^araM finb) gilt.

2) ICttfgalie. @inem ©reife üom S)urd^mcffer d
SRcd^tcd pdm größten Umfange cinjuseid^ncn.

ba^

X •'

ICttflofttng. S)ie eine Seite fei x, bann ift bie anbere YcP — x^,

$ierau§ ergiebt fid^

d]/B nod^ reell

ber Umfang alfo

u ± Vsd* - u*

2(x + Yd^ --x") =u.
t6a^ iti bem ©renstoerte u

bleibt. S)aBei ift Ä; = -j- = dKy, e§ l^anbclt fid^ alfo um ba^
Duabrat.

Sud^e bie größte JRcd^tedSftäd^e im Greife ju beftimmen. (®§
.ergiebt fic^ ebenfalls ba§ Duabrat.) gür bie @ttit)fe ergiebt fid^ burd^
?ßarattetproieftion aU grö^te^ einjufd^reibenbeS $öratteIogramm bag::

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268

^nl^ang.

icntge, beffcn SdEcn in bcn 8erü]^rung^t)unltctt jicbcg Soniuöiertcn?
paxaUeloQxamm^ liegen, fo bafe unjal^üge Söfnngen mögüd^ finb, bei
benen eg fid^ aber um benfelben S^^^ft l^anbelt.

3n äl^nlid^er SBeife laffcn fi^ quabratifd^e ©aulen \>on größter
Dberftäd^c ober öon größtem gnl^alt in bie Äugel eintragen, unb
bagfelbe läßt fid^ mit regelmäßigen 3^, 5 5, 6=feitigen ©äulen u. f. w.
öerfud^en.

3) Wttfgabe. Sie größte möglid^e gnijjfenfläd^e in ein
Duabrat einjujeid^nen.

Wttflofung. S)ie ©Ilipfentangente im fünfte x^t/j^ ber gig. 207

l^at bie @leid^ung

XX.

VVi

folgt ^ = 1 unb ^ = 1, b.^,

1 , h)orau§ für y
dx-.

unb a: =

^1 = S% äy^='ri^ , toenn d

bie ©albbiagonalc be^ Ouabrat^ ift. (5 unb ly finb alfo mittlere ?ßro|)or::
tionalen ju c? unb x^ bejto. ef unb y^) S)arau§ folgt (oJi .+ y^ d = 5» + -»?*

= dl .5)ie ßatpfenpd^e aber ift

^*ö- 207. ln%^F, fo baß gi2= - ift. «u^

|2.+ ^2+2|t? = d« +

unb

2 J'

^F

folgt

1+1?=]/^

2F

unb

|-^=}/c?^-

2^'

toorauS bie Sld^fen l unb ij für jebe geforberte ©tti^fenpöd^e folgen.

22^ d^n

S)te ©renäbebingung aber ift — < d^ , b. 1^. 1^ < Ty, b. 1^.

< (d Vy) Jt, b. 1^. Keiner atö bie glöd^e be§ einbefd^riebenen ÄreifeS,
ber bemnad^ bie größte möglid^e ©ttipfenftäd^e giebt

S)urd^ ^ßaraHetprojeltion folgt, baß bie größte in ein ^ßaraHelo:?
gramm einjubefd^reibenbe ßttipfe btejenige ift, bie in ben ^albierung§=
|)unlten ber Seiten berül^rt.

4) «ttfBttbc. SBeld^eg ift ber fleinfte atl^ombug, beffcn
Seiten fid^ burd^ bie ßdten eine^ gegebenen OuabratS legen,
laffen?

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IL Einige 5BcmcrfunöCtt über SOlajima unb 9Äinima.

269

^x

«ttflBfttng. ytaä) gigur 208 ift ^: 2^= g-:^/, alfo y«

®S l^anbclt fid^ barum, ben DrctcdiJüberfd^u^ ax + ay ober a/a; + ^)
mögfid^ft flrofe ju mod^en. SKan fefee il^n

:— ober

a

Sig. 208.

2 ^

a

'4

folgt a? == ^-

ift, iüoraug

S)cr ®rettjtoert ift 2^ = a^, toobei ^ = 2
tüirb; S)cr fleinfte umbcfä^riebcnc
ail^dnibuÄ ift bemnad^ bag üuabrat.

5) Kttfgalie. SBeld^e^ ift ber
ail^otnbuS t)on fleinfter gläd^e, ber
fi^ einem Streife umbefd^reiben lä^t?

ICuflofuitg. 3ft ä; bie Seite eineg umbefd^riebenen SRl^ombug,

F

fo ift bie gläd^e F=2xr, alfo ^ = g^^ ^^"^ ^^^^^ ^ ^"^ ^ ^^^
^albbiagonalctt, fo ift F'=^2yz unb jugleid^ j^* +^* = Ä;^ = 47i•
eÄ folgt y^ + ^* + 2y^ = ^, + F, .b. ^. y + ^

y — ^ = j/— — jp^ h)orau§ fid& p unb i? für jebe« F ergeben,

fdbalb nur nid^t ^,<F, b. ^. l^<(2r)« ift. S)er fieinfte um=

befd^riebenc JRl^ombug, ber mögttd^ ift, ift btmnaä) bag Ouabrat. —

3n fold^er SBeife laffen fid^niit $ülfc ber quabratifd^en ®Ieid^ungen

jal^treid^e Stufgaben über SKajima unb SRinima jtir Söfung bringen.

6) aSon SBid^tigleit finb bie fogenannten ifo^jerimetrifd^en
Sßrobleme, bei benen e^ fid^ barum l^anbelt, unter ben giguren
gleid^en Umfangt biejenige ju ermitteln, bie ben grögten gnl^alt l^at.
Dl^nc auf bie langwierigere Sel^anblung nö^er einjugel^en, lann fid^ bie
©d^ule auf folgenbe Slnbeutungen befd^ränlen:

Unter ben J)reiedfett gleid^en Umfangt über berfelben ©runb^
Knie ift baS gleid^fd^enHigc ba^ größte, folglid^ unter ben S)reiedEen
gleid^en Umfangt überl^au^t bog gleid^feitige. gbenfp ift ba^ üuabrat
unter, ben SSieredten gleid^en Umfang« ba^ größte.

Unter ben regelmäßigen gläd^en berfelben Umfang« ift bie größte

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270 Slnl^anß.

bct firci^. Stt gftg. 209 'ift namlid^, ba a l^atttcrt ift, ÄBiÄC
= BD:DC, folflfid^ BD < CD, b. ^. 2 tan | < tan a . gort::

gefcfetc Halbierung ergtcbt 4 tan ~ < 2 tan g- , .8 tan -^ < 4 tan ~
u. f. to. S)urd^ einfädle Setrad^tunflcn crgiebt ftd^ übtx^anpt, ba§
»tan*^ um fo Heiner ift, je größer man n nimmt. 5Run ift beim reget

2ff

mäßigen w^ßdE JP=— o, unb, ba r- ober - ber J^albeKentritoinlcIift,

gtg. 20D.

?=*

tan

2n
ff

ti

alfo

n

4

ntan —
n

ntan-

3« größer w ift, um fo Heiner
ift nad^ Obigem ber Slenner, um
fo größer bie ^äd^e be^ 5ßoI^goni^
t)on gegebenem Umfang i/. S)aS größte alfo ift ber Srcig. (gür biefen

i|l,2^=Vl-rr

4

ntan-

»r^Tt«.

n tan —

, f baJ5 w-tan *- für w =» oo

feinen Heinften SBert % \icS>tti mu^. - 3n ber Sil^at barf man bei

großem n fe^en: tan— = -•)

Sitte bejubelten Aufgaben laffen nod^ anbere, rein geometrifd&c
SJel^anblung ju. 3« biefer Sesie^ng fei jebod^ auf bie Originals
arbeiten ©teiner^ unb anberer öertoiefen. •

7) 3ii b^ aiial^tifd^en ©eometrie l^anbelt e^ fid^ bei ber4Inters
fud^ung ber SRajima unb SKinima vlvx ba§ Sluffinben ber ©tetten,
too bie langente ber Kurt)e l^orijontal ift.

SBitt man inra Seifpiel burd^ Wed^nung unterfud^en, ino fid^
fold^e ©tetten bei bem burd^ bie attgemeine ®Ieid^ung 2*«« ®rabei^

ax^ + &J/^ + cajy + (?ic + ej/ + /" =

gegebenen Segelfd^nitte befinben, fo bered^nc man aug biefer (Sleid^ung
X, toag einen Stu^brudE giebt, ber im allgemeinen eine Ouabrat^
njurjel entl^ölt, unter ber y öorfommt. SRit biefer SBurjel
tüirb bonn toie frül^er öerfal^ren, b. % ber unter il^r ftel^enbe Slug'
brudl toirb gleid^ SRuII gefefet unb au^ il^m y dg @renjh)crt bcred^net.

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fo ift y ein SRajintum, xotxm für jeben Sßad^bartoert x^ ba^ tnU
ft)rc(i^cnbc ^i < y ift, alfo tocnn

II. ©inigc »ctncrfungcn über 9Äajtma unb'aDWnimo. 271

8) Sei Slu^brüden l^öl^eren Orabet, bie nur a?ent]^altcn,.
enH)fic]^U fid^ folgenbc, an einem Seif^jiele 3*^" ©rabeiJ er:^
läuterte SKetl^obe.

gft.l) y^a + hx + cx^-^dx\

/ ein SRajintum, toenn für jeben Stadel
>^ ^1 < y ift/ ölfo totxm

a '•\' hx + coi? -{- dx^> a -{■ bx^ + ca?!^ + dx^^
ober

5(a; — X,) + c(a?« — aJi^) + d^x' - a?,») > 0,
ober

(x — aJi) [-6 + c(a; + a?,) + d(x^ + aJirj + x^'^)] >

b. 1^. t)ofitit) ift. 3)emnad^ muffen bie ^auptfaftoren beibe äugteid^
(b. 1^. für bcnfelben^ aBert öon x) ^ofitit), ober beibe äugleid^ negatit),
ober beibe jugleid^ Siutt fein. S)er erfte ioirb $RuH für Ä; = a;i,
folglid^ totrb aud^ berjtoeite Slutt für x^^x^, fo bog für x = Xi

2) 5 + 2 ca; + 3 e?a?' =

ift. §ierau^ IoJ5t fid^ x bered^nen unb ber SBert in bie ®feid^ung
für y einfe^en.

^anbelt e^ fid^ j. f8. nm y ^ hx — x^, fo tt)irb ©leid^ung 2)
bie folgenbe gorm annel^men:

h — 3x^ = 0,

folgttd^ finbet ba^SWaEimum ftatt für ic = &)/y-

S)ie ®Ieid^ung 2) lä^t \i(S) au^ bfr ©leid^ung 1) fofort boburd^
.ableiten, ia^ an ©tette-iebeS Slu^brudE^ kx^ ber ^u^hvndpJcxP-^ tritt.
Di eg ftd^ um ein äRajimum ober äRinimum l^anbelt, lann big?
toeilen jtoeifeli^aft bleiben, 'ioirb aber bann bequem burd^ |)robetoeifei5
Sinfefeen nad^ JRad^bartoerten öon x in bie ©leid^ung für y beftimmt,
toobei fid^ jeigt, ob biefe gröjjere ober Heinere SBerte geben.

©ingel^enbere Unterfud^ungen toürben ba^ ®ebiet ber ©d^ule
überfd^reiten.

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272

^nl^ang.

in. jDw (^Makflteitrtettong htt €iftnt mittete htx
^aiaxkMxhxMUn.

Set ben Iartogra|)]^tfd^en Setrad^tutiöcn in Slbfd^nitt xn ber
©comctric unb Slbfd^ttltt IX bcr Stereometrie f^jiclte bie (Sinteüutiö ber
Sbenc in unenblid^ Heine „Dnabrate" eine bcbeutenbc SRoIIc. ®aBei
toax be]^«n|)tet toorbcn, bafe biefe 2;eUnn9 burd^ ^otax^
loorbinatcn erjielt toerben lann, toenn man bie
Sängen ber SRabien im SJerl^ältniS e^ = 1, e« ^",
c'«*, ... duf einanber folgen la^t, il^re Sieignngen
ober, am ©inl^eit^freifc gemeffen, nad^ ber Sleii^e 0,
a, 2 a, 3« n. f. tt). S)er SSctoeig crgiebt fid^ folgenber^
majsen:

3ngig. 210 \exMA = 1, /b = «, MD = c«,
toobci « fel^r flein im SSerl^äftniä p 1 jn benfcn
ifi S)ann ift nad^ 3lv. 42 ber Slrit^metil

folglid^
AD =

^ ~ 1 ■ 1 . 2 ^ 1 .

2 . 3

+

1^1.2^1

2 • 3

+

toa^ bei Keinem « eine fel^r fd^ncH lontjergierenbc
aieil^e ift (bei « = j^ tft baS jtoeite ©lieb bereite iWööö)^ f^ ^^fe
bei öerfd^toinbenb fleinem a nnr baS erfte ®Keb nötig nnb bann für
bie (Srenje ^D « « ift.

©benfo ift 5C7= a . ^"= a + ^ + j^ + j^-^ + ..:.,

fo ha% für bie ©renje ebenfalls jD(7«= a'ift. gür nnenblid^ Heine«

« ift hlfo /b = ^D = ^ = -BC, b. J). ABOD ein „Dnabrat",
ge t)ier nm einen 5ßnnft l^ernm üegenbe „Dnabrate" biefcr Strt
fteßen lieber einen gläd^cnranm bar, ber einem njirHtd^en Dnabrate
jn entf|)red^en i^at. S)ann l^anbeft e§ fid^ j. S. nm üf^ = 1,
AB «fe 2a, JlfD = e*«. gbenfo ift eg bei MA = 1, Jlb == na,
jlf D = e««. 3(ifo and^ n • w „Dnabrate" entfpred^en einem qnabratifd^en

glöd^enranme, nnb bie aSejiel^nng jtoifd^en A^B^ nnb M^B^ bleibt
babei er^Iten, b. 1^. ift A^B^ = a, fo ift M^B^ = e«, folglid^
A^,=%M^B,.

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in. 3)tc duabratetnteilung ber ©bette tttittcl^ ber ^olarloorbttiateti. 273

93ci bett frül^erett Setrad^tungen toat a = — gefegt, bie Sängen
ber SRabien toaren alfo

— 6yr --Art —in %7t Ijt ßjt

xf)vt Steigungen bagegen

— 6« — 4:7t — 2 :r 2w 4« 6n

••••' n ' n ' n ' ' n ' n ' n '

Sie Unilel^rung ber ftereogra^j^ifd^en 5ßroj[eItton über^
trägt bic Ouabratteilung auf bie Äugel, bie in M auf bie
®bene ber 3eid^nung gelegt ju beulen ift. 3ft i^t aiabiu^ *''=Yf
fo iüirb ber @in^eit§!rei§ auf ben Äquator })roiiäiert. Samit finb
bie bcf^jrod^enen Iartogra^)]^ifci^en S)ingc in jebcr ^ejiel^ung erlebigt.
SKit ber genannten ffonftruftion ift jugleid^ \>Ci^ SSitb ber togo^
bromifd^cn Sinie, b. % bie fog. logaritl^mifd^e @^)irale für \>tn
©d^nitttoinlel 45^ mit beliebiger ®enauig!eit fonftruiert. Sie ift atö
SDiagonaHurüe in bag Ouabratnefe einjujeid^nen.

SRinimt man ftatt ber „Üuabrate" äl^nlid^e „JRed^tede", fo erl^ält
man logarit^mifd^e ©piralen unb Sojobromen, toeld^e ba§ SSüfd^el ber
atabien bejlu. SKeribiane unter eiitem anberen SBin!et fd^neiben.

©olamüricr, SWat^ematl!. TL. 18

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^T^

^^^^■^

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