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Full text of "Mémoires de l'Académie impériale des sciences de St. Petersbourg"

^jfo2. e.)^. 



MEMOIRES 

DE 

L'ACADÉMIE IMPÉRIALE 

DES SCIENCES 

D E 

ST. PÉTERSBOURG. 



Tome XI. 



ST. PÉTERSBOURG. 

DE l' IMPRIMERIE DE L' ACADEMIE IMPERIALE DES SCIENCES 

18 3 0, 



Q^ 

fl 



MEMOIRES POSTHUMES 

D E 
Z. EULER, F. T. SCHUBERT & JS.FUSS 

CI. DEVANT 

MEMBRES DE L'ACADÉIMIE IMPÉrJALE DES SCIENCES 

D E 

ST. PÉTERSBOURG. 



^Avec une plaiiclie.') 



ST. PETERSBOURG 

DE L' IMPRIMERIE DE l' ACADEMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES 

18 3 0. 

Se vend chez Graeff, Commissionnaire de l'Académie , place de l'Amirauté maison de 
StcherbakofF N°. 91. et à Leipsic chez Cnobloch. 



(Prix 1 R°. pour la Russie et i 6 R^. pour IVuanger.) 



PutKë avec approbation de i'ActuJénu'e. 

St. Pétersbourg 

Le Secrétaire perpétuel : P. H. Fus s. 
ce 30. Juillet 1829 



AVANT - PROPOS. 



Lorsqu'on 1826, époque de sa fête séculaire, rAcadémie 
prit la résolution de faire commencer avec le nouveau siècle de 
son existence , une nouvelle série de ses Mémoires, elle arrêta en 
même temps de publier dans un volume à part , formant le sup- 
plément de la série qui venait d'être terminée , tous les mémoires 
posthumes qui se trouvaient dans ses archives, et dont la publica- 
tion avait été décrétée du vivant des auteurs. A ce nombre ap- 
partenaient les mémoires encore inédits à' Euler. On sait que ce 
grand homme avait désiré que les volumes du recueil académique 
pussent contenir de ses mémoires encore quarante ans après sa 
mort. 11 ne s'agit pas ici de discuter si l'Académie a eu tort ou 
non de se conformer aussi strictement à la volonté du plus grand 
Géomètre qu'elle ait eu le bonheur de posséder. Le fait est que 
le nombre de ses mémoires posthumes a suffi non seulement pour 
en remplir, immédiatement après sa mort arrivée en 1783, trois 
gros volumes in 4°. (Les Opuscula Analjtica et le -4™^ volume 
de la 2*^^ édition de ses Institutlones Calcul! integralis) , mais en- 
core pour en orner les vingt - cinq volumes des Nova Acta et des 
Mémoires qi ont paru depuis cette époque, et en 1823, à l'é- 



chéanee du terme de 4 ans il en restait encore quatorze aux 
archives , que l'Académie offre actuellement au public dans ce vo- 
lume. A ces mémoires on en a joint quatre de Schubert et treize 
de N. fufs. 

Pour le format et les caractères , on a cru devoir se con- 
former à l'ancienne série dont ce volume est le dernier. 



TABLE DES MATIÈRES. 



Mémoires à' E u l e r : 

Page- 
De iiisigni promotione Analysis Dioph.iiiteae . - ... 1 

Solulio problematis clifficillinii quo li.ie du.ic formulae aaxx-\-bbyy et aayy -+-'bbxx 

quadrata reddi debeiit .-..-..12 

Investigatio binorum numcrorum tbrmac xy ^x* — >*) quorum productum sive ijuotus 

sit quadratuni _-_---. -31 

De binis numeris quorum summa sive aucta sive minuta tam unius quani alterius qua- 

drato j producat quadrala --.... 4^ 

Dîlucidationes circa binas siiminas duorum biquadratorum inter se aequales - 49 

De rcsolutione hiijus aequationis Om -\-bx-\rcy-\-dxx-\-exy-\-fyy-\-gxxy-\-hxyy-\-ixxyy 

per numcros rntionales --_._. 58 

Methodiis nova et facilis formulas cubicas et biqiiadraticas ad quadratum reducendi 6S 

Solutio problematis ad Aiulysin infinitorum indelerminatorum referendi . 92 

De infinitis curvis algcbraieis quarura longitudo indefinita arcui ciliptico aeqiiatur 95 

■ -^ — ■ arcui parabolico aequatur . 100 

De binis curvis algebraicis eadcm rectificatione gaudentibus ... 102 

De curvis algebraicis quarum omnes arcus per arcus cirçulares metiri liceat . II4 

Solutio problematis analytici diftîcillinii .__-.. 125 

Imegralion d'ime espèce remarquable d'équation différentielle dans l'analyse des fonc- 
tions à deux variables - _ ' - . - - 13i 



Mémoires de S c h u b e r t r 

De la solution des éqiiations implicites à deux variables . - - . 13S 
De la sommation des suites --...-. 15S 
Nouvelle méthode pour réduire les distances lunaires . . - - 182 
De raccourcissement des diamètres apparens du soleil et de la lune causé par le ré- 
fraction ......a. 138 



Mémoires de F ufs : 

Demonstratio tlieorematum quorundam polygonometricoruM ... 209 

De funciiomim liyperbolicarum origine, relatione et usu .... 220 

Sununatio duarum serieriim - . ^ - - - - 230 



Page 
De valore fomiiilarum Jx^ Bxe^"' s'in^x et Jx^ dxe—^^ cos ^x si integralia ab xrrrO 

ad X r: 1 usque extendanwr ...... 23S 

Expositio meihodi concinnae inveniendi cujuscunque progrcssionis lemiinura tani gene- 

i-alcin quara sumniatoriura per differentias continuas ... 2.(6 

Resolutio duarum aequationum difFerentialium secimdi gradus . . . 258 

Démonstration d"un théorème général relatif au calcul intégral ... 26S 

De curvis algebraicis quarum singuli arcus arcubus circularibus aequantur . 274 

Inteeratio aequutionum diiFerentialium 
II 
ydx — xdy-^aVidx^+dy'"-') etxy(dx^ — dy^}—dxdy(xx—yy-\-aa^:^0 2S0 

De integratione aequationis diffcrentialis vdvi-v(3y+f)dy-\-{y^'\-fy'+gy-t-A^_dy:nO 287 

Formularum quarundani integralium duplicatai-um integratio ... 29i 

■ irrationalinm reductio ad rationalitatem - 305 

Tentamen sohitionis problematis geometrici maxime ardui . . ' - 314 



COMMENTATTONES 
€el. L. EU LER L 



L 

DE INSIGNI PROMOTIONE 

ANALYSIS DI OP HANTA EAE. 



Conveniui cxhibita die 1-. Junii 17S0, 



Q« 



§■ <• 

J^uando in Analj^si Diophantaea ad formulas biquadraticas, 
quadrato aequandas, pervenitur, methodus eas tractandi adhuc paium 
est exculta et nimis taediosas ambages requirit, quando plures so- 
lutiones desideramus. Qualibet enim solulione inventa formula bi- 
quadratica per substitutionera contlnuo in alias formas transmutari 
débet, quibus operationlbus mox ad tam énormes numéros perveni- 
tur, ut vjx quicquara tantum laborem suscipere voluerit. 

Ç. 2. Cura Igitnr nnper pro Probleraate notissimo, quo duo 
numcri requiruntur, quorum summa sit quadralum, quadratorum ve- 
ro summa biquadratum, in solutionem salis commodam et cocinnam 
incidissem , mox perspexi , eandem methodum multo magis genera- 
lem reddi posse. Semper enim in usum vo<jari poterit, quoties ta- 
lis formula biquadratica ad quadratum leducenda proponilur : 
cuix'^ -\- 2abx^ij -I- cxxyy -f- 2bdxy^ -+- ddy^ zz::. □ . 

SiqipL aux ^lémoires de l'Acad. 



QuFa enim ad har»c foi'mam reduci potest ; 

iaxx -f- bxy -\- dyyf -\~ {c — bb — 2ad) xxyy> 

ponatiius bievitatis gratia c — hb — 2.ad ziz. rnti ut habeamus 
iaxx 4- bxy 4- dyy)'' ~\- miixy^ ziz. Q 

buic satisfîet » staluendo. 

axx -f- bxy -+• dyy zz:. X (jnpp — nqq) et xy zzz 2'kp<f 

tum enim nostra formula evadet qiradratum, sdWcet "hX (mpp -^~ nqg)*; 
ubi notctur , qîio plVires nuraerus mu habeat facCofes , es). pluri.bus 
Hiodis banc expressionera. immutari p.osse^ 

§.. 3(. Hic ©inraes mimeros jn, n^ p,. ç, tanquam intègres 
spectamusj sin autem fiaclos admittere veliraus , loco y unitatein 
scribere ficebit , sicque erit xzzL2'hpq, qui valor in. piaecedente 
aequatio-ae substitutus ptaebet 

ÂLXKctppqq -t- 2Xbpq -^ d zz 'Kmpp — Xnqq „ 
quae aequatio cum sit quadratica respecta utriusque litterae p^ et q, 
|)i"0. tttraquc radLcera extifahendo inveniemus bas duas formalas r 



p 




— Xhri ±: V Xmd -+- \\q<i (bb.- 


- /f.'id -+■ mn) — ^X'nnq* 


4XXa(j(j — 


\m 




a 


— XJf ± y — Xnd -h XX ( 66 


-4 d-h 


mn) pf -+- /jX'oTnp* _ 



/y/Otafp -)- Xn 

Ç. À. Quia littéral X Hostvo aibitino est rcUcta haud difficile 
eirit ei talem. Yalorem. tribuerc, ut in altéra saitem. formula extractio» 
radicis quadratae succédât, quara si fuerimus nacti, ita ut pro p et 
ij determinatos valoKes imtpetravirBuSi, iade sequantt mado plures 
alies valores, atque adeo infinités eruere licebit. Sint enim p et q 
valores. inventi atque ob arabiguitaiem. signi radicalis pi-o. p simiil 
alius valor i-maotescit , oai si ponatur p^ erit p ~X- p^ zz: ,~'' . 

' "^ ' r I r ^.Xaija — m- 

Hic jam yalor p'' m altéra formula loco p subsiitutus dabit quoque 
Hovuiu valo^rera pro q, qui sit q^^ eritqu* simili modxi. 
q -\- q' Z^ —:^— ^— ^ 



Neque rero opus est, îstam altcram substifutionem facere, cnm rn« 
ventio novoiuni valo-rarn pro j) tt q seqnenti œ-odo facillime expe- 
diri <}ueat. 

■5. 5. ■Simili enim atque diias valores p et q ftierimws nacti, 
mde statim sequens serres assignari poteiit: }>-,<]-,p\(l\p^'\q\p^\q^^\ 
etc. eu m sit 

/ — g fe? ^^ Y, . vj' —^b p' ^ 

// "ihq / // ■ — "ihp y 

P 4XÏ^'q' — m P ' ^ 4.Xaf'p"'-fn ~ V 

r ^Xag'-q" — m r > U 4Xap'y"-t-n V 

€tc, etc. 

\. 6. Quin etiam aifibas lîtteras p et q perrnutare possa- 
TOUS, ut obtineamus hanc seriem ^ ^, ,p, q' -, p\ q'\ p^\ etc. , 
ubi iteinim erit-: 

9 4Xnf f -»- n 7 ' 

«''/ — __-'*PL_ _ a' ■ 
^ 4Xap'f)'-j-a V ' 

etc. 

slcque sine ulla transformatione et substltutione ex binis valoribua 
initio cognitis p et q, quotcunque libuerit , alios valores clicere po- 
terimus, quorum adeo lex progressionis innotescit. Unde patet hanc 
methodum vulgari plurimum antccellcre^. 

§. 7. Inventa aiitem tali Sene litteramm p èi q binîs quU 
busiibet conjtingendis adipisccmur totidem valores idoneos pro ipsa 
littera quaesita x quippe cujus valores eX priori série erunt 

2Xpq ; ^'Kqp'; 2\p^q^; 2'k-q'p^^; etc. 
ex altéra vero série valoi>es ipsius x erunt 

2'Xqp; 2Xpq^; H'Kq'p'; 2Xp'q^^; etc. 

posito soilicct ,7 rr: 1 ; unde palet , si illi valores fueriïit fractio- 

1 • 



j/ 


— 


2D(J 




— 


P 
p' 


p 


4Xoq'g' — 

- ubq" 
k\.q"q"- 

■etCs 


m 
•m 



nés, eaium denominatores pio y assurai possc, dum soli numcratO' 
res ipsi x tribuunlur. 

S. 8. Totura ergo negotium eo redit , ut bini saftem valo- 
res initiales p et q investigenmr , id quod plei'umque facile fieri 
poterit, quia iittera À a lubitu nostro pendet. Intérim tamen taies 
Talores initiales ex ipsa formula biquadratica per raethodum vulga- 
rem devivari poterunt. Sumto enim y zrz. 1 biijus formulae bi- 
quadralicae : 

aax^ H- 2abx^ -f- c.vx ■+ 2bdx -f- dd 
radix statuât axx -f- bx — c? et calculo subducto fiet 

X — ,c-'^*'!,— = -^^*A ob c — mn -i- bb -^ 2ad. 

Simili modo posita radiée axx — bx — d fiet 

bb — 20(i — c — mn — ^^ad 

§. 9. lidem valores alio quoque modo obtineri possunt. 
Posita enim radice axx -f- bx -4- — — , coUisiitur x zrz ~ "*" "T , 
quae cum praecedentiura posteriare convenit. Simili modo si radix 
fingeretur d -4- bx -4^ ^^^^— xx foret a: =z -^^/ — r, prior vafor S. 

° ' ' ad mn -+- S^ad ^ J 

praecedentis. Intérim tamen duobus valoribus inventis annumerari 
possunt etiara hi : x ziz. et j/ zz: 0, unde autem raro aliquid dc- 
duci potest. 

§. 10. Invento autem vatore idoneo pro x manente yzr^i 
haud dilRculter pro eo litterae p et q reperiri poterunt. Cum 
enim posueriuius axx -\- bx -\- d zizX {mpp — nqq^ et x ziz 2'kpq 

• axx. -\- bx -il- à mpp — nqq ^ ., t c i. 

erit zzi -^-^-z — • Ex cognito ergo valore fiât 

axx -f- bx -+• d . 

ut habeamus mpp — nqq zzz 2 Apq , colligitur —m ^—^ ~, 

ubi radix certo extrahi poterit, unde oriatur fractio — zz: ^- . Sum- 



to igitur p :::z f et qzzzg sponte patescet quid pro X accipi de- 
beat lit fiat. 2\fiq ZIZ X hinoquc statim binae séries memoratae for- 
mari poterunt. Ceterurn siiperfluum foret liane meihodiim par 
exempla illustrare , quia insignis casus jam in dissertations praece- 
dente (*), accurate est pertractatus. 

Ç. 11. Etsi formula hic tractata non parum restricta vide- 
tur , tamen plurimae aiiae formulae maxime discrepantes ope ido- 
neae substitutionis ad eara reduci possunt, cujusmodi est ista satis 
'generalis a A* -4- (36* nr Q , vel posito g ^^^ ^ ^^^^ simpliclor 
aC' -h Q zn n 1 dummodo casus praesto sit, que ea fit quadratuni, 
veluti casu C m: I , ita ut tum sit a h^ (3 zz: n ■ Omnes autem 
hujusmodi formulae ad nostram formam reducentur ope substitutio- 
nis C m ~I*Ï^ ' ^"™ enim posito a -\~ ^ zzz aa , ista formula in- 
duet hanc formam : 

aa-^-A{a — j3):p+ 6 aaxx-\~ A (a — ^) x^-^ aax'^zzz^ , 
quae pro casu, quo a z= 1, manifesto reducitur ad hanc: 

(a -|- 2 (a — (3) 07 4- axxf H- 1 6 a^xx , 
quam ergo secundum praecepta praescripta tractare licebit, id quod 
aliquot exemplis illustrasse juvabit. 

E X e m p 1 u m 1 . 

Formulae 2 A'^ - b' r=: G- 

5. 12. Ilaec formula convenit cnm ea , unde vutgo bini 
nunieri quorum summa sit quadratum quadratorum vero summa bi- 

A ' 

quadratum derivari solet. Facto ergo -^ z::zC ut sit 2C''— linn? 
erit aziz. 2 et j3 z::: — 1 , unde a -\~ (3 :zz 1 z:z aa ergo a zzz i. 



(*) Soliilio Probleniatis Ferinaiiani de duobus numeris , quoiuni summa sil qua- 
dratum quadriitorum vero summa biejuadratuin (?'. Mém, Tom. IX. pag^ ij 



Quocirca posito C'izz^-^' prodiblt «ta expresslo: 

1+ l2x-{-bxx-\~l2x^-{-x'^^:=^0 sire haec ; 

( 1 -)- 6 X -^ XX f — 3 2 xa: nr D- 
Statuattir ei-go sccundum pi-aecep1a tradita 

1 -{- 6x -4- XX ^n X (pp -^ 2 <7<7) tt ixZH 2'\pq, 
slve X -zr-lXpq vel ut fvactiones evitemus, si loco q scribamus 2(j 
ul liabeamus 1 -^ bx ^ xx =z\ (pj) -^ S qq) -et ^ zz: \pq , «M- 
citur ista aequatio : 

1 -4- 6 \j}q -f- XX/jp 9^ n: 'Kpp -f- 8 X §ry, 

Hinc deducuntnr scquentes radiées 

— 3Xg±y8X 3<i* + ^ 

" XX qç — X 



5Xf ) ±>^X3|)4.rt-8X 

^ XXfp — flX * 

wnde cBTn quaelibet involvat duos valores sequitur foTC 

P-^P — x,fh et 9 -h <7 _ ^^g . 
Videamus nunc qulnam valores pro p et q ex priore saltera for- 
mula prodeant , unde sutnto X :i=: 1 statim se offert casus q :zz 0, 
unde fît p zrz 1 : Praeterea vero alius casas se offert, quo q rr: i, 
qui dat p zz: -3— ; at ycto tioc casa ipsa aequatio quadratica dat 
f>rzz-4-|. Statuamus ergo "K zzz i et geminos prgrp et q habe- 
TOtis valores satisfacientes quorum alteri suiît q i:z et p nz. 1 , al- 
teri vero 9 ziz 1 et /? rz: -[- 1 ex quibus fit x zn pq. Relationes 
iflter valores €x p «t «17 clerivatos erunt : 

<2uocirca si constituamus sériera q^ p, q'. p\ q'\ etc. crit 

/ 6* / — 6a' 

9 — ^8 - q \ p — ^.,.£7 - p 

y }/p'^^ — 9 ■> P î"5" — i P - 

etc. etc. 

Ex valoribus igitur q zzz et p zz: 1 nascetur ista séries ; 

Q . 4 . 6 . 239 . Qt- 



Jam. orania puodacta ex binis tciaijnis eontlgius hujxis serlei datmnt 
valores idoneos pto- x ( §. 7.), unde fit C zz: --3^. Hinc eigo 
pro X «ibtiHCDtai- hi Taloies-: ;. * ; '||< j etc «nde pra C dedu- 
cuntur seq^iientes: 1; 13;. — 1|^ . etc. Alteri valores invcnti q z^ t 
et ;j zz: I pro scne q,p^ q\p\Gtc. hos dant nuraevos 1, |, ^'j^, etc., 
unde pateft priores valores pro q et p assumtos solutionem penitus 
exhauiire iieque adeo poslerioribus ad Pioblema solvendum. opus. 
fuJs&e> 

E X c m p r u m 2. 
Fwmul-ae SA"* + B"^ =z Q. 

^. t3. Ad qaadratTim ergo redîgi débet haec formula 
3C -H t, oui stalrai très valores satisfacere deprehenduntur , scHicet 
C =: , C m I ,, C =iz 2. 

Cum igituF hic sit a zz: 3 et |3 zn 1 posFto C rz ^^^-^ nascetur 
sequens fornuila 4 -f- Sa; -f- 2 4 xx -f- 8 a;^ -f- Ax^ rz: Q quae per 
-4 divisa fit 1 -f- 2x -f- 6 ara: -f^ 2 a;' -f- a?'' zzz Q quae ita reprae» 
sentata (1 -f- a7 -j- ara:)* -f-. 3 arx zz: □ dabit bas substltutiones.: 

i -f- a; -t- ara? ::zz À {pp — 3 qq), et x zz:. 2 Xpq , 
unde i»ta aeqaatio inler p et q emergit 

1 -i- 2Xpq -f- 4 XXppqq ZZl'Kpp — 3 "kqq , 

unde pro cas» À rz: t et ç:^:| statim d'educitur p^r--^|. Binac 
autem radiées quadratae pro p tt q erimi 

— \^^V\ 'i X'q'- 

V 4 \Kqq —\ ■ 



^ 4 XX ff» -H 3 X. 



Ex his ergo C&rmulis erit. 

P-^P' — 7^q^-'x «t '7H-7' = 4x^^rx* 
Q^uoûiaitt jjajirk casuni ùivenimus X,z:z 1 et ^izz^, unde fit pz^ — £ 



htnc statim nostra séries 7, p, q\ p\ q^^, /Z', etc. fonnarî potest, 
ope formularum : 

atque termini hujus seriei fient | , ^ , :^^ , etc. unde cum sit 

X ::zz 2 pq , hinc nanciscimur istos valores , x zz: ^^ et x z^ >,- 
' ' 4 44' 



22 
121 



unde fit C =: — ^ ; tum enlm erit ]/ sC* -f- 1 iz: î| 

Exemplum 3. 

Formulae - — ~ — zn n. 
2 — ' 

^. 14. Quia igitur qnadratum esse débet | C* — | erit 
a z= I , ^ ^^^ — I ' ideoque azz:l et a — p:zi:2, oritur haec 
formula biquadratica 

i -{- S X -\~ 6 XX -h S x^ -^ x'^ ZZZQ 
sive 

(1 H- 4 3:4-a:x)* — 3 (2a:f ^zQ- 
Ouamobrem statua tur 

1 -^ Àx -+- XX rrr X C/;^ + 3 qq) et ar izz Xp<7 , 
unde prodit ista aequatio inter p tt q 

1 -f- 4 Xpq -\- Xkppqq ziz Xpp -\- oXqq, 
unde statim quosdam valwes satisfacientes erucie possumus ita ut 
non opus sit ad extractionem radicis confugere. Primo enim sumto 
À HZ 1 et <7 zz 1 ista aequatio dabit p nz | et sumto X zzz 3 et 
p z^ i erit qizz^. JIos ergo ambos casus evolvamus, Sit igiiur 
primo X izi 1 , ita ut sit xzizpq et novimus casum ubi 7 zz: 1 
et p zzz I , et quia aequatio quadratica 

PP (^99 — O -H ^^P9 H- 1 ^ 3 77 
evidens est sumraara radicum ipsius p esse p -+- p' ziz ^^ ~ simili- 
que modo cum sit qq(pp — 3)-\-Apq -{~l zzzpp erit q -{- q^ zzz ~^^ . 
Hinc ergo formetur - séries 7, p, <j\ p\ etc. quae in numeris ita se 



9 

habebit 1 , J , ^ , —, etc. unde deducuntur hi valores pro x, 

i' 77' ^ù,t'' '«îeoqiie pro C sequentes 3, -^f , f^'^ , etc. 

Simili modo pro altcro casu ubi X m 3 , ]) zzz i ■et 7 = | 
ob -formulas générales /5 + /j' m j^-^- et </ 4- 7^ =^ Xjp !: . ^'"'l 

hinc séries p, q, //, <-/, etc. ita se habebit 1, ^, ^T ' "ë?^^' ' '^'*^' 
Quia Igitiir hic x ^m .3/>7 erlt iteriim xrzz\, -^ , —--g- , sicque 
ampiissimum usum hujus methodi me salis abuade déclarasse video. 

\. 15. Haec exerapia nonnuHa insignia compendia nobis 
suppeditarunt, quibus totum hoc negotium multo faciiius et elegantius 
expediri potesl, quae in sequenli Problemate clarius €.xplicabimus. 

Problcma. 

Propoùta formula Viquaclratlca in hac forma -contenta ; 
{axx -Jr- 2bx -\~ cy^ — 1 innxx 
invenire infnitos valores ipsius x , quibus ista formula 
-evadit quadratum. 

S 1 u t î o. 

'§. 16. Primo isfa formula fît quadratura , si fuerit 
axx ~\- 2bx 4- c irr X OWP — "77) et a: zz: X/'g 
tum enim ejus radix erit \ {uipp — nqq). Posito igitur xzzzXpq 
prier aequatio induet hanc formam : 

XX app qq -f- 2 X bpq -\- c zzi'>. mpp -h X 7i 77 ; 
undc statim imus casiis qiiaesito satisfaciens elicitur sumendo pzzzO, 
tum enim erit c iir X/K/r/. Sumto igitur Xznnc fiet q^:z- , bloque 
soius casus innumerabiles alios sequenli modo producet. 

r» 

Suppl. aux Ale'moires de l'^cad. " 



s. 1 T. Cum aequatio modo inventa tam pro p quam pro 
q sit quadi-atica , pro utraque etiam gerainum valorem eontinebit, 
unde si pro q^uovis q gemini valores ipsius p ponantur p et //, 
erit ex natura aequaiionutn 

P-^P —>^--l-^, ^'^^ P-^P -;;nrx;^- 

SimiU. modo pro quovis p si gemini valores ipsius q ponantur q 
et q' erit q -f- q' :zz ;^^ • Quare cum pro casu cognito in- 
venerimus X ^^ ?ic , ubi scilicet erat /j nz 0. et <2 ziz -^ erit pro 
omnibus reliquis casibus- 

p' = rUr^nacqq ~P ^^ ^^ — n-nacpp ~ ^^ 

Harum igitur formularum ope sequent€m ssriem formare lÏGebit :; 

p, q, p', q\ /-', q'\ etc. 
q^uippe pro qua erit 

• m — na c qq ' ' " i — nac pp ' 

// — ■'^'i' ^ . „// — __=_!£ q' 

" m—ndcq'q' " ' " * n — nocf'f' " 

§. 18. Cura igitur hnjus seriei ex casu cognito /> rr: et 
q- ziz — ope harum formularum termini sequentes haud. difficultcr 
fbrmari posslnt , erit 

; 26 _ / ^miibb — (mn — ac)'^ 

• mre — 00 ' ' n (mn — ac)^ — l^nahhc 

Si hoc modo etiam sequentes definire vellemus, ad expressiones ni- 
mis prolixas perveniremus , verum in exemplis numericis hiinc la- 
borem quousque libuerit haud difficulter continuarc liccbit., 

§. 19. Inventa autem hac série valores idonei pa'o ipsa- 
quantitate x expedite assignari poterunt. Cum enim ob X ^z 11c 
sit X zn ncpq ejus valores successivi erunt 
X ~ ncpq , X — ncp'q = ^^^ , 

' '- tmn — OGJS — ^abbc {mn. — acr) 

et ita porro. 



li 

5. 2 0. Ex singulis autem istis valoribus ipsius * totidem 
alii affines sine «Ho labore exhiber! poterunt. Cura enim ipsa for- 
ma proposita posito x zHZ — induat hanc formam : 

^4 yy l 1 » 

quae per y* muiliplicata praebet istam formulam quadrato aequan- 
dam : (« -+- "iby -\- cyy)^ — Amnyy , quae a proposita aliter non 
differt , nisi ut Ikterac a; et c sint permutatae. Quamobrem si in 
omnibus valoribus pxo x inventis litteras a et c intcr se permute- 
rons , totidem valores pro littera y obtinebimus , qui inversi dabuirt 
totidem novos valores pro x, sciiicet «i valor ^uicunque pro x in- 
ventus fuerit x izr — , atqne in quantitatibus f &i g literae a et c 
permutentur , unde prodeant f' et gr', tum quoque erit x izi ^, , 
hocque modo vix ullum dubium superesse potei-it, quin pro a? omnes 
plane valores satisfacientes cruantur. 



12 
If. 

S O L U T I O 
PROBLEMATIS DIFFICILLI M I 

QUO HAE DUAE FORMULAEr 

aaxx -f- hbijy & nayy -|- bbxx 

QUADRATA REDDI DEBENT. 



Convfntui exhibila die 3. Jiilii ITSO» 



Hanc quacstionem non soluin soîutu dlfiîcillraam sed eiiam 
masimi in Analjsi momenti promiaciare non dubito. Piimo enim 
in ea evolvenda satis diu frustra desudavi ; deinde Yero solutio 
quam tandem sum adeptus plura insignia artificia calculi postulat 
quae haud contemnenda increnienta in universam Anal^sin Diophan- 
team inferre videntur. Cum autem haec quaestio eirca bina qua- 
dralorum paria «a, bb et xx^ yy versetur, eorura neutruna pro la- 
bitu assumi potest , sed ambo parem industriam et sagacitatem 
requirunt. 

Ç. 2. Ponamus igitiir 

aaxx -+- bbyy zzz zz et aayy -\- bbxx rr vv ^ 
atque his formulis tara addendis quam subtrahendis prodît 

(aa -f- bb) (xx -4- yy} m zz -f- vv et 

(aa — bb) (xx — yy) zzz zz — vv , 
ex quibus quidem primum speravi solntionem derivare posse ; prop- 
terea quod summa quadratorum zz -f- vv pluribus raodis in duo 
quadrata l'csolubilis requiritur : tum vero etiam manifestum est, 
formulam zz — vv plures factores inyolverc debere. Intérim tamen 



j3 

haec consitleratio vix quiequam ad solutionem. invenientlam conferre 
videtur. Inde enim muUo labore vix tandem unicam solutionem. 
clicere poiui, qua inreni a:z:5, iurS, x ziz: 1 , y znz. À.. Hinc 
enim £t 

aaxx -[-bbyy :=z3b^ ~\- 12'' zzz ^1^ et 

aayy -4- bbxx =z:2 0*-f-21^:=r29^ 
VePum nihil prorsus attinet conatus irritos tneos fusius exponere 
proptecea quod tawdeni ad solutioneni generalem. et satis clegan- 
tem peiyeai. 

^. 3. Piimo igitur Bt formula aaxx -\- bbyy quadratuin 
leddatur pono |f — P^ "" '^ ; pra altéra vero formula pono ^ — ^^^-^— , 
fluarum illa per Iianc divisa praebet — irr ^^S^-^ ."zMl ^\^[ gj utn^. 

1 r i y y pq [rr — s s) "«.i-iii— 

que per i^'' m«ltiplicetur, orietur mJ5^ — îl^P^'tâ sicque to- 
lam resoiutionem perduximus ad binas has formulas inter se pror- 
sus sirailes pq (pp — qq) et rs (rr — ss), quarum altéra p€r alte- 
ram divisa quadratum producere debeat, vcl quod eodem redit, ut 
earum productum évadât quadratum, in quo negotio plures Geome- 
trae ingenti studio sunt versati , nequc tamen a quoquara resolutio 
satis generalis est inventa , unde non solum plures solutiones parti- 
culares ad hoc institutum satis accomodatas sum adeptus, sed etiara 
tandem mihi contigit in solutionem generalem incidere , qua ânes 
Aaaljseos diophantaeae piurimum proferentui'. 

f. 4. Ouod si autem hujusmo-di casu invenerimus quo 

fi (pp - ct) . 12 ^ 

r s (rr — ss) itu 

statrm inde deducimus |J| z= -^ , ideoque ^z=z~^, qua fractione 
ad minimes termines reducta ponatur x :zz. rst et yzzzpqu. Hinc 
cum habuerimus g - tî^f , ideoque f ~ "-^^^^ , qua fractic 
ne ad minimes termines reducta capiatur iterum 
a::z.uipp — qq) et 6 nz 2esU 



14 

^. 5. Hic Igitni- commode in usum vocarl pofest tabula 
quam non ita pridem in dissertatione -dedi, in qua hujus formulae : 

A B (A A — B B) , 
factores non quadratos exhibui. Quod si enim inde depromantur duo 
casus eosdem factores non quadratos continentes, eorum 'productura 
utique eiit quadratiim, ideeque solutionem nostri Prcrblcmatis suppedi- 
t^bh. In ea autem tabula statim se offerunt taies yalores : p~5, (/ — 2, 
/•:rz6, szir: i. Hinc enim erit ?1<?P rzJi^ ^^ ^ ideoque t ziz. i 

' rs (rr— ss) ' ' 

et u rr 1 unde ereo habebimus — rzi^-^rrif et ^ziz^^-^^^ :z::\. 
Hinc crgo coUigimus a zzz 7, b ::^i 4-, x zzz 5 , y ^^ 3 quandoqui- 
dein tam litteras a et 6, quam x et y inter «e permutare licet, 
sicque ist^ casiis cum ante meraorato convenit. 

■Ç. 6. Simili raoëo tabula allegata etiam dat lios val ores : 
p—b] 9 — 2 ; r — 8 , . =: 7 , unde fit ff^^^fj —i , ergo 
im 1 et z/rr 2. Hinc ergo liabebimus 

fç_ ^ Zi 2^ i_4 et — zzz tlszM — 5 

y apq 5 b rs 8 ' 

Quamobrem sumi potest a zzz 8 , b zz: 3 , x zrz 14, y =r 5 unde 
fit aa XX ->[- bb yy :^ 113^ et aayy -\- bbxx zzz âi^ quae solutio a 
pa.'accedente parum discrepat. 

§. 7. Adhuc alius casus ex tabula dcpromi potest, quo 
p— 6, q—ê, r=8, s rzz S , qui dat ^^ff'^ g— | crgo ite- 
rum t zzz 1 çt u zn 2, xmde colligitur 

iL — "_ — 2 et — — ^P- '?'? II 

y 2pa -5 b rs 54 * 

&umto igltur azzz 24, 6 m 1 1 ; x z:z 5, y :zz 2, fiet 
^ aa XX ~\- bbyy zzz 12 2^ et auyy -[- bbxx zzz 73^- 

§. 8. Quoniam autem hoc modo solutkines tantum singula- 
res repeiiuntur, atque tabula illa ad imites salis arctos restringltur. 



i5 

hic potissimuia in. formulas gencialiores siunus. iacjuisituv-i , quae si- 
mul infinkam muliiludinem solutionum comiiicant, id (juod pluribas 
jnodis fiuii posse obscivavi , eisi hae formulac tantum solutiones 
particulares exJiibeant. Quamobrem aliqiiot hnjusmodt soiwioncs 
particulares iti médium afleiamus, ex qulbus innumcrabiles alias so- 
lutiones derivare liceat, quibus expositis solutionem. demum geaera- 
tem, aggredJemuiv 

Frinra solntio par ticul arrs. 

f. 9. Sumamus statira szzz.q et r zzz p -^ q , que pacto 

fnactio nostra eeneralis ^ y^ ~W ^^ _ ^j hanc simplicem forraara 
° rs [rr — ss) nu ^ 

reducitur -—-- rzz — unde deducimus — nz ^ — ~ . Quamobrem 
si sumamus p nz uu -|- 2tt et q rz: uu — tt fiet /- zz: 2uu -\- tt et 
s ZZZ. uu — tt. Ex his ergo vaioribus coliigitur 

«. f(;uu -t-fO et — 3 fit 

y " (uu-H 2t/) ô 2 (.uu — ») 

ideoque 

flz=3Yw, bz=.2(uu — tt\ xz=.t{2nu-\-lt), y-zzuiuu-h2tt). 
Ex his autem vaioribus erit 

ax =i3ttu(2uu-}- tt) et btj zzz 2 u(uu — tt) (uu -h- 2 tt). 
Hinc igitur coliigimus 

z =r u((uu — /O^ -+■ (.uu -+- 2ltf) zziu(2u^ h- 2 tt uu — St'') . 
Simili modo cum sit 

ay z:z Ztuu(uu -+■ 2lt) et bx z=^ 2t(uu — tt) (2uu -\- tt) ,. 
unde coliigimus 

V ■:=z t {(uu ~ ttf -i- (^2 uu -\- tt)-)zi:t(2L^ -t-2ttuu-^ bu^). 

§. 10. Hinc igitur facili negotio plurimae solutiones singu- 
lares deduci poterunt, quia pro lilteris t et u numéros quoscunque 
assumere licet , non solum in numeris exiguis sed etiam valores 
quantumvis grandes assamere licebit , ,cujus modi ope tabulae ante 
usitatae neutiquam obiincri possunt. Opcrae igitur pretium erit has 



\6 



formulas per excmpla illustrare, dum scilicet liitoùs ï et u valores 
pro arbitrio assignamus. At quia Ikterae t et u inter se permu- 
tantur ipsi u valores majores, t vero minores tribuaraus, quia casas 
t nr u nihil daret. Hirvc in sequentem tabulara ,plura exempla si- 
mul ante oculos ponanius : 



II 


2 


3 


3 


1 


1 


1 


2 


a 


1 


9 


9 


b 


1 


16 


5 


3 


5 


1 9 


44 


y 


i 


33 


51 


z- 


5 


5 5 5 


^i7l 


l 


5 


425 


509 



4 

1 


4 
3 


5 
i 


2 

5 

11 
24 


•18 

7 

123 

136 


5 

16 
17 

45 


122 

73 


2 410 
2595 


725: 
353 



5 
2 


6 
3 


5 
4 


6 
1 


6 
5 


5 

7 , 
3 6 
55 


45 

32 

177 

215 


10 
3 

88 
95 


9 
35 

73 
22 8 


4 5 

1 1 
^85 
516 


425 
373 


10525 
11211 


92 5 
9«6 


8 7 
3277 


2 2 5 51 
23825 



Solutio particulares seconda. 



|. 11. Maneat r = ;? 4- 7 et sumatur s 

i>q( pp-qq) fj p — q ^ 

Sumatur 



ergo p z::! nu -i- 
2 iiu — tt et s J^i lai -4- U 



p fietqu« 

tt atqne 



Ex bis 



u (ti — qq) 



Sftt 



rî (ri s s) UK 

«nde coUiçitur — m 

o q BU — itt 

q znzuu 2tt, eritque r ~ 

valoribus yequitur fore 

X rs f t (= «u — ti\ 

y fqvL li (uu — a f/) & ' j r;f q (u« -|— ff) 

Quamobrem radiées quatuor nostroruin quadratorum erunt: 

a:zz.2itu; bzzz2 (uu-\-tt); x^z.t{2uH — tt); yznu(uu — 2//), 
quae solutio a praecedente hoc tantum differt , quod tt hic sit né- 
gative sumtuin , raanente tamen radice t eadem , unde deducuntur 
pro 3 et f seqncntcs valores : 

2=zu(2u* — 2ttuu-^bt'^) et vzzztiof'* — 2 ttuu -h ô u^) , 
sive in gratiam calculi 

= :=r « ((uu -f- ttf -4- (im — 2 ^O"^) 
V zz t ((nu -f- ttf -j- (2 iiu — ttf). 



17 



§. 12. Etsi hae formulae taiti parum a praeceJentibus dlf- 
ferunt , tamen prorsus diversas in numeris solutiones suppeditant ; 
quocirca ul arite loco t et u valores simpliciorcs accipiamus et so- 
lutiones niimericas in sequenti tabula repraescntemus, ubi notandum, 
si loco a, 6, X, y prodeant valores negativi, eorum loco semper 
positives sciibi posse. 



(( 


1 


/ 

a 


1 

.5 


h 


4 


01 


1 


y_ 


1 
5 


V 


5 



2 


3 


3 


4 


 


5 


5 


5 


6 


1 


1 


2 


1 


3 


1 


3 


4 


1 


3 


9 


9 


6 


18~ 


15 


45 


30 


9 


5 


20 


13 


17 


25 


52 


68 


41 


37 


7 


17 


28 


31 


69 


49 


123 


136 


71 


4 


21 


3 


56 


8 


115 


35 


35 


204 


2T 


447 


255 


970 


1258 


6 02 5 


6025 


4325 


7575 


37 


389 


365 


625 


1731 


3077 


8511 


5674 


3205 



\. 13. 
eritque p ipp 



Solutio particularîs tertia. 



Sumamus hic s : 



q ac ponamus ^^->ti— 

/ r r s (rr - 



qr/) zz: ;■ (/t — qq) unde fit 



fq ( pp — qq) 

rs (rr — ss) ~~~' 



qq z=. -rz-^ — rr -\- pr -\- pp , 



Cum igitur sit 



quae ergo formula quadratum esse débet- 

qq-0--^lpf-^3i^)\ 
sumatur r -\- Ipzzz tt — Zuu et lpz:zz2tu, eritque g :zz tt -i- 3 uu. 
Quoniam ergo p:^zÀtu erit rz:iztt — 2tu — 3uu::^(.t-\-iO{i — 3«). 
Quare cum pro praecedentibus formulis sit f izr 1 et uzzzl, quos 
valores cum praesentibus confundi non oportet , erit ; 

— z= — et — =z fP-il . 

y -pq b 2rs 

Habebimus ergo x zzz (t -[- u) (t — 3/0 et y^zzAtu; tum vero 

a -zzz {t — u) it -\- 3 u) et bzz:2 itt~\- 3 uu). 
Cum igitur sit 

ax zr. (tt — uiC) {tt — 9 uu) et by zz: 3 tu (J.t -\~ 3 uu) 



Suppl. aux Mémoires de V^icad. 



i8 



ponatur (tt — int) (tt — 9 uiO nr A^ — B* atque esse opoi'tét 

8 tu (tt 4- 3 iiu) rz: 2 AB , 
ut fiât z zi; A" -4- B\ Erit ergo AB zzz 4 tu (tt -\- 3 uu), iinde su- 
mamus A :z:i tt ~\- 3 uu et B zzi Àtu , eritque 

A -f- B zz; (^ 4- 3zO (< -J- m) et A — B :zz (< — Su) (f — m) 
qu'oclrca erit A" — B* z:: (^f — uu) (tt — 9 uu) pi-orsus uti requi- 
ritur, consequenter erit nunc 

z z=. (tt -h 3 uuf 4-16 ttuu 3Z r* -h 2 2 ttuu -f- 9 u^. 
Simili modo sit ay zm A tu (t — u) (t -+- 3u) 4- 4 AB et 

bx-z=.2 (t-^ u) (t — 3«) (tt — 3j((0 =zz 2 (A^ — B'), 
Hinc enim fiet î; zzi 2 (A'' -+- B^). Statuarnus ergo A-i- B iz: i^ + 3«m 
et A — B z:^ tt — 2lu — 3uu unde fit A zn: tt — tu et B zi: 3 iu< -t- <u, 
quod cum positione egregie convenit , consequenter erit 

vz^ 2(tt(t — uf ~h uu (t 4- 3uf). 
En ergo solutionem nostri problematis tertiam particularera 

a^=.(t — u-) (^ -f- 3 u) ; è zzz 2 (tt -j- 3 uu) 

X zzz (t -ir u) (t — 3u) ; y:=ZÂtu 

z zzi (<f -f 3 uu)^ 4-16 ttuu 

V =z 2tt (t — uf 4- 2 uw (f 4- 3 u)'. 
Ubi iterum notandum est si pro his litteris valores prodeant nega- 
tivi , eos tuto in positives verti posse. Tribuamus igitur binis lit- 
teris t et u simpliciores "valores numericos , unde quideni casus 
t ziz II, et t z=: 3 u excludi debent, itemque casus ubi t et u sunt 
impares, et solutiones hinc oriundas in sequenti tabula stipemus 



t 

u 


2 

1 


i 

2 


4 
1 


1 
4 


4 
3 


5 

2 


2 

5 


5 

4 


4 

5 


a 

b 

X 

y 

z 

V 


5 

14 
3 

8 


7 

26 
15 

8 


21 

38 

5 

16 


39 
98 
55 
16 


13 
86 
S5 

48 


33 

74 
7 

40 


51 

158 

91 

40 


17 
146 
63 
80 


19 

182 

99 

80 


) 13 
58 


233 
394 


617 
368 


2657 
6426 


4153 

3074 


29 19 
1418 


7841 
145 22 


11729 
929S 


14681 

1S082 



19 

Solutio generalis. 

^. 1 4 Cum fofiim negotium reductura sit ad resolutionera 

hiiius aequationis : '^^ y ~ -js ^ loco — scnbamus brevitatis 

giatia litteram n , îta ut sit t zzz ]/n et u zn. i , unde ex litteiis 
/), q^ r, 5, inventis numeri quaesiti a, Z», jc, î/ ita determinabuntur, 

^z="v'« et i-—n-^< 

y pu ' 57-S VI 



ut sit — zr ''- >' « et V zz: -- /'• , vel , cura litterae a et 6 intec 



se pennutari qucant, poni poterit y n: --^— ]//j , qulbus fraotio- 
nibus ad minimos terminos reductis habebuntur ipsi numeri quaesitî 
a, 6, a;, ?/. Nunc quemadmodum illa aequatio principalis : 
pqi.PP^ji'ù __ ^^ 

rj(rr — ^{) ' 

resolvi debeat hic prorsus novara methodum apperiam , unde maxî- 
ma incrementa in universam Analjsin Diophantaeam redundabunt, 
cura a nemine adhuc ista aequatio generaliter sit evoiuta. 

\. 1 5. 'Quoniam hic sola relatio int«r binas litteras p et g et in- 
ter binas r et s in coinputum vcnit, sine ulla restrictione assamerc licet 
szzio ita ut sit -.^ — "^ ^^^"j liinc colligitur qgzzz \,~^^ ^ . Hic jam 
poiTo statuatur p zi: rv fietque -- ^ t —n ^ gj(,qyg ^Q^^ invetigatio eo 
redit, ut ista formula ^-^— quadrato aequetur. Communi igltur me- 
thodo utentes , productum ex numeratore in denorainatorera , quod 
est r" — jiv^ — nv-]-nn quadratum rcddi deberet cujus quidem 
ope statim aliquot valores pro v erui possent , quibus inventis ipsa 
haec formula per novas substitutiones transformari deberet , unde 
denuo novi valores erui possent, verum mox ad numéros tam énor- 
mes perveuiretur , ut non nisi paucissimi valores modicae magnitu- 
dinis erui possent. At vero methodus mea nova nobis plurimas 
solutiones in numeris satis exiguis suppeditabit. 

5. 16. Statuo autera — -— ~ (v — s)', ita ut sit -zzv — s, 
dum , ut ante vidimus , est -zizv. Facta igitur evolutione prodit 

3 • 



20 

haec aequatio : 

in -4- 2z) vv — s (2n -\- z) v -i~ n (zz — 1) n: , 
quae tam respecta ipsius v quam ipsius 3 est quadratica , ideoque 
duas radiées exhibet. At vero termini secundura s dispositi prae- 
bebunt hanc aequationem : 

(n — v) zz — 2v (n — ^ v) s — n (1 — vv') zir. 0. 

Quoniam igitur cuilibet factori ipsius v gemini ipsius z respondent, 
si hi designentur per z et z' erit ex natura aequationum z^-s^z:2v. 
Simili modo cuilibet valori ipsius z respondent gemini ipsius u, qui 
si ponantur v et v' erit v -f- i;^ zn " ""■) ^ unde, si jam valores 

pro f et s quicunque habeantur , ex iis novi pro iisdem litteris, 
scilicet v^ et z' erit z^ zn 2v — z et i^'' rz îlizt^^ _ v. Simili- 
que modo ex his valoribus denuo bini novi , hincque porro alii in 
jnfinitum reperiri poterunt, idque faciii negotio, atque in hac duplici 
evolutione tota vis novae solutionis consistit , ita ut hoc modo plu- 
rimi valores sine ulla molesta transformatione obtineri queant sta- 
tim atque binos tantum valores pro i; et z cognoverimus. 

§. 17. Taies autem valores primitives ipsa aequatio qua- 
dratica quasi sponte nobis offert. Posito enim vz: Q fiet zz — 1~0 
unde duo valores oriuntur s = -f- 1 et zziz. — 1. Simili modo 
posito zzzzO fît vv — 1 nz ideoque tam i;:zz-+-l quam fm — 1, 
ita ut hinc jam habeamus quatuor casus, unde continue novi valo- 
res pro litteris t» et s derivari queant. Praeterea vero etiam 
quintus casus adjici poterit , ex positione v zzz oo oriundus ; tum 
enim coëfFiciens ipsius vv qui est )i -\- 2z nihilo aequari débet, unde 
cum fiât s ~ — — nunc aequatio induet hanc formam: 3iiu-+-nn — 4, 
unde colligitur -v zn ^-j~ , qui est alter valor ipsius v , valori 
z zr — — respondens , dum alter erat v z:z. oo , atque ex his duo- 
bus valoribus z zz — — et i; zz. i-^— , ope nostrarum formulai-um 



21 

continuo pluies novî elici poterunt. Hinc crgo istos quinquc casus 
ulterius evolvamus. 

C a s u s I , 
quo vrzzO etzz^-f-1. 

§. 18. Hinc igiiur per nostras formulas alternatim appli- 
candas novi valores inde oriundl reperiuntur : 
1 ) V zm - , , s zz: — ; — » 

gO, 4 («n-^- Il — a) 4 (n — i) ^ ^ 5nn — i6n— i 8 J' 

nn-f- lori-f- 16 n-<-8 ' * nn-|- lon-f- i6 

In génère autem vix ulterius progredi licet. Loco n nunc restitua- 
mus —, et cum secundus valor sit î;izz-"V"" et z; — zim^^-r-;» 
erit i; =: i = ^^^i^^' et i; — z — ^ = -^^-^ . Ouamobrem 
sumamus p zzz uu -i- 2 tt , g z^ tt ~ uu, r zz 2uu -^ tt, * =z ff— WM, 
qui casus prorsus congruit cum solutione particulari prima supra 
data. Simili modo evolvamus valorem tertium ipsius v qui erat 
^;^ cui respondet z =: -^^ , unde fit t; - z =: ."^T ?" " " ^^ > 
Hinc ergo erit ^ =: ^-^""^ et ^ — /^-'""""-»"\ . Suma- 
tur ergo r zi: (2 um -4- <0 (8 wzf -f- i^) eritque 

pzzziitt — uu)ilt-^2uu) et 9 =1: * zz: f* — 20 «uu— 8 u*. 
Hinc igitur porro leperitur 

_3c __ f (8 M» + ff) gj _a^ 3fii(5f4— i6tftm— .61^4) 

> 4u(ff-uu) 6 ^{■^nv. + n){H~ionuu. — S>uf) 

unde innumerabiles novae solutiones reperiuntur. 

Casus II, 
quo fiziO et zzz: — i. 

f. 19. Hic ergo formulis supra datis sequentes ralores de- 
ducuntur : v rz ^^^ ■ z—-^^^; v — :^i^^ . Evolvamus 
secundum valorem ipsius v scilicct ^~~, cui respondet s i^ 1; 



22 

unde fit V — s rr: - — ' ; ers;o loco n posito — fiet 

p_ uu — itt . q tt + uv. 

r tt — -iuu r E un — ff 

Sumto crgo r ^z tt ~ 2 uu erit p z^ iiu — > 2tt et q ^IZ s zzz tt -^ nu 
cnde jara patet hune casum cum solutione particulari secunda con- 
Tenire , quia litteras p et q inter se permutare licet , neque er^o 
opus est hune casum ulterius prosequL 

5. 2 0. Consideremus igitur tertium ralorem ipsius v qui 
crat » t-" nr Jj cui respondet z zz: ^-^ . His duobus valoribu$ 

cognitis habebimus - m f et — zzi v — z , sicque obtinebuntur 
qiîatuor litterae p, q, r, s, ex quibus porro facile deducuntur nu- 
iseii quaesiti a, b, x, y, ope formularum supra datauura 
0- 2rr / . X ri / 

T^^^ZT K« et —m-- i/'i' 

B -pp — 11 ' y Pi 

Kà quod iliustrandum evolvamus casum, quo « — ^ eritque zzi — 2 7 
et î' HZ -| , Hinc fit y — z zzz. -^ . Hine ereo erit — zzz ^A et 
■— rr -^ . Sumatyr ergo r rr: 2 3 erit p zn b'i et çmôTSizi.v 
unde porro sequltur ^ zzz: î5-?-"- et -- zzz -^- ■ Quatuor ergo 

' 1 6 a/^a . 61U y 2 . ;o "^ " 

numeri quaesiti erunt 

-a::=23.673; 6zz:242.620: r=r3.23; î/=:2.53. 

C a s u s I lî , 
tjuo 3 z=z et i' zr: 1 . - 

f. 21. Ex formulis supra datis pro hoc casu deducuntur 
sequentes valores : 

ubi primus valor ipsius v nihil prodest ; secundus vero v 
cui respondet zz:z2. ita »t sit v — s =z — ^ , dat 

_^ 3tt q tt — 8uu 

r f f -h 4 Ktt 7" tt -f- ii~U" " 



5 n 



23 

Sumto ergo rz^ttA^ 4uu hahcbimus pTZlZit et q:zzs:zz.U — 8mm 
ex qu bus pono (JecUicimus : 

Hae formulae reddenlur concinniores, si loco u scribamus |u, tum 
enim erit : 

a f (tt — » uu) X a {tt -+- uTi) 

b u{-2tt — uu) y 5 tu 

consequcntcr quatuor numeri nostri quaesiti erunt : 

az^ t (U—2mi}; b zzi u (,2 tt~inO\ x zzi 2 {tt-^iiu) ; yzzzitu^ 
qui casus iterum coiivenit cura solutione secunda particulari. 

C a s u s IV , 
qno z zz: et f zr: — 1. 



22. Hinc igitur valores derivati ita progredientur : 
' = — 1; zzzz— 2; 

— Cil" ■+- a/j-n -t- i6) . 



s=0; V — — 1; zzzz— 2; v^—'-^; s — -4 ("4-^) 
' ' ' n — 4 ' 1 — .4 



i; , 

nn — 12 71 — i6 



qui valores a praecedente casu hoc tantum differunt, quod sumto n 
négative etiam v et z fiunt negativi. Hinc si ex valore »; — ^^^ j 
posito nzzz — litterae p, q, r, s, derivantur erit 

pz=3/f; q z=i s =: It -\~ s uu ; r ziz. tt — 4 uu ■ 
ac si hic ut ante loco u scribamus ^«, valores litterarum a, b, 
X-, y, quaesiti erunt : 

azzt{tt-\-2iai); bzz:u(2 tt -huii); xzzz2{tt — uu); yzzzZtu, 
quae formulae conveniunt cum casu particulari primo. At vero 
sequentes valores ipslus v in omnibus his casibus prorsus novas 
suppedltabunt solutiones in casibus particularibus non contentes , « 
quo generalitas hujus novae solutionis clarissime elucet. 

Casus V, 
qui incipit & v -^z oo. 
§.2 3. Ex formulis ergo generalibus valores successive pro 



24 



V tt z îta se habebunt 



i — n» i6 — nti 



in 



6a 



, n (64— ni) 
' a (nn + 8) 



HIc jam secundus valor ipsius v qui est ^:p , cui respondet 

zzzz~^ , ita ut sit i; — z = ^^^vÎt^ ' Posito n z:z - , hos praebet 

valores- ^—^-^^^ et ^ =: ^V^- , unde deduciraus 
vaioies. ^ — .jf^^ CL ^ — g,,„„ , 



p=z8u^ — '2t^; r:zzàttuu; 7 =: f zz: 8 u* 4- f *, 



ex quibus coHigimus fore 

b t(.6u*— f; 

ideoque sumi poterit 



. x_ 



6f'tt 



8tt* 



-at* 



a — 4w(8"*-Kib; iz=ï(l6zi* — fb; a:z=6f'«; î/=z8m* 



•2^*. 



Has igitur formulas ad solutiones quasdam spéciales accommodemus, 
tribuendo litterls t et u valores simpliciores , quas solutiones in 
sequenti tabula comprehendareus : 

t l 



u 



i 



2 
1 


3 

1 


3 

2 


1 
3 


I 
2 


1 


2 
1 


4 . 89 

3.0.13 

81 

7. U 


8.11.19 

3 . 7 . 25 

2 . 81 

17 


11.12.59 

5 . 7 . 37 

9 

17 . 19 


5 .43 
5 . 17 

2 

21 





2 




3 


3 


. 83 


2 . 


5 . 8 


3 


. 6 


7 


. il 



rt 12 
6 5 
X I 1 
2/1 1 

§. 2 4. His casibus litteras z et f non ultra paucos tei-mi- 
nos assignare licult, si quidem litterae n -valorem indefînitum relin- 
quamus ; at si ejus loco dcterminata quadrata assumamus, pierum- 
que has séries ad plurimos termines continuare licet , id quod 
nonnuUis exemplis ostendi&se juvabit. 

Evolutio solutionum 
ex casu n :i^ 4 oriundarum, 

§. 25. Hoc ergo casu erit v^ ziz. ^^-^-^ — v manente 
z' zzz 2î; — s. In hujus evolutione statim a casu quinto quo 



25 



w n: oo incipiamus, quoniam mox videbimns, in eo reliques quatuor 
casus omnes comprehendi. Quonlam igitur pro hoc casu vidimus 
cssc zzzi—^ et sequens i' z:z -~— , séries liarum litterarum se- 



queîiti 


modo se ha 


bebit : 








V •' oo ; 


s — 2 


. -^'i 


•4 




V - 1 ; 


c — 


1 1 


„ 5 

6 




f- + i; 


^" + 2 


^■-+i^; 


-' +^ 




1: 


-— -h 1 


1 •'' 


. = +1 




V — ; 


z — — 1 


' >19 


16 

8i 




V - l ; 


c „ — 6 


'' 55 ' 


„ 43i- 




^' +5; 


;= -+-16 


V - -f- ^3^' 
34. 


etc. 



^\ 2 6. Hinc jam ex quovis valore v cum proximo z oon- 
juncto (perlnde enim est , sive cura praecedente sive cum sequente 
conjungatur) soliuio nostrae quaestionis deduci potest, cum sit 
-?- rz: V et -'- m 7; — s , 

r r 

hlucque porro ob y^n ::zr 2 erit 

t'i-rs 5c_ i2 r j 






b pp — qq 

Ita sumto V zn. -4- , cui respondet z 



fiet s — vzrz^ . Hinc 



ergo erit -^- =3 A et — rr ^| . Sumto ergo r=:42 erit /jnzS et 



i' =; 43. Ex his valoribus denique colllgiiur -r :=: 



a 8 .45 



et 



b 5.17 

I 21 

-7 zz: — , quocirca ent 

«rz:8.43; b z=.h . il ; .t=:21; y^zz2. 
Hinc erit aa: ^z 3 . 7 . 8 . 43 et 6z/ iz: 2 . 5 . 1 7 , qui factorem 
communem habent 2. Posito ergo 

2 . 3 . 7 . 43 zi: AB et 5 . 1 7 zz: AA — BB , 
sumtoque A z^ 43 et Bzn 4 2 fiet AA — BB =z 5 . 1 7 uti requi- 
ritur , ex quo erit Y aa xx -{- bb yy zn. 2 (43' -i- 42^) zzz 72 2 6 

A 

Suppl. ttu.v Aléinoires de î Acad. ~ 



26 

qtiem num^rum supra vocavîmus z. Simili modo erit at/rz: 16.43 
et bx=i3 . 5 .7 . i7 , atque hic habebimus 

AB = 8 .. 43 et A' - B^ z= 3 . 5 . 7 . 1 7. 
Sumto ergo A=:43 et B-z8 erit A.^-^B''—35 .5 i quamobrem erit 
y^aauy -+- bbxxzzz 1913, quem nuraerum supra indicavimus littera 
V ita ut f et s innotescunt. Ceterum quia in série litterarum s 
et V inventa occurrunt valores v=zQ et z=zO evidens est, omnes 
q^uatuor prières casus in illa involvi. 



;i oriundorum. 

4 



Evolutio solution u m, 

ex casu n 

§. 27. Hoc ergo casu erit v' z=:'-^^^~^ — v manente 
2^ — - 21) — z. Pro hoc jam omnes quinq^ue casus supra constitu- 
tos percurramus :. 

V. 

f =1— 1 
zzn — 2 

V zn -+- J 

12 

^ — T 

119 

lu 



I. 




II. 


III. 


lY. 




^' 





V— 


V . 00 


3 





z , .. 


1 


z — — 1 


„ I 

- 8 


f 


1 


V . — . 


2 

3 


V -? 


21 


Z r!^ 


2 


a et: 


I 
3 


s +? 


85 

^ • 

8 


V — . 


3 

17 


f ■ 


_ 1 
1 1 


^— 37 


341 
1) — 

■■■ 52 . 43 


z — 


2fl 

>7 


z 


35 

33 


'87 


6969 
16.43 


V — .— 


65- 
69 


7.3. 



i'=:z ^ 



evidens autem est, pro v valores inversos in praecedcnte casu com- 
prehendi debere , quoniam permutatis litteris p et r loeo a scribi 
débet — • 



§. 2 8. Casum praecipuum quo nzzi 1, ideo hic non attin- 
ginius, quoniam in casu particulari tertio jara penitus est exhau- 
stus. Ceterum, quia hoc casu ?j ::iz 1 aequatio quadratica inler z 



27 

et V inventa evadit (,{-^2z)vv — z (2 -i- z) v -^ zz — IrzO 
sivo (1 — 11)23 — 2t;(l — V) z -j- vv — i zzz , quae aequatio 
cum divisorcm habeat v — I , evidens est , posito v :zz:. i valorem 
respondentem s arbitrio nostro relinqui, 

\. 2'j. Coronidis loco problema multo magis arduum hic 
subjungamus , quod vix aggredi ausus fuissem , nisi praeter omnem 
cxspectationem sohitio particulans tevtia ejus solutionem suppe- 
ditasset. 

P r oh le m a. 

Jnvenire quatuor numcros quadratos , fia, bb, ce, dd, ejus iii- 
dolis , ut productuni ex binis quibusvis , una cum pro- 
ducto binorum reliquorum yaclat quadratum , sive ut 
-istae très fonnulae évadant quadrata.: 

aabb -f- ce dd rrz □ 
aa ce -+- bb dd z^l Q 
aadd -+- bb ce zzz Q.. 

S I u t i 0. 

\. 3 0. Solutio particularis tertia pro luteris a, i, a:, y, hos 
nobis suppeditavit valores : 

a zr: (^ — w) (^ -f- 3 ït) ; è ::= 2 (« -f- 3 mi)\ 
a: zr: (< -f- w) (f — 3 u) ; y zzz Atu; 

ubi formula pro x inventa ita similis est illi pro a inventae , ut 
sumto u négative altéra in alteram vcrtatur. Quare cum sit 
bb XX -f- aa yy zn □ , 

pcrmutatis n et x etiam haec formula aabb -i~<rxyy erit quadra- 
tum cum ex conditione problematis jam hae duae formulae : 
aaxx-\~bbyy et aayy~\-bbxx 

sint quîidrata, sicque oinnes bas quatuor litteras a, b, x, y, inter 

4 • 



28 

se permutare licet. Quare nil aliud opus est nîsi ut loco x et y 
scribamus c et d, atque solutlo hujus problematis maxime generalis 
sequentibus formulis satls simplicibus continetur : 

a:^z -itu; i zz: 2 (^^ -j- 3 uu) ; cz^it — zi) (^ + 3 u} ; 
d zzz (t -\- u) (t — 3 u) , 

ubi pro littei'is / et u numéros quoscunque pro lubitu accipera 
licet. 



^. 3 1. Hinc simpllcissimus casus orietur sumendo t ':zz 2 
et u 1ZZ i ; tum enim fiet 

a z=i 8 ; 6r=:14; c=:5; dz:zz3. 
Ceterum omnes solutiones in solutione particulari allatac aeque sa- 
tisfaciunt quos in sequenti tabula iterum ob oculos ponamus ; 



t 


2 


1 


4 


1 


4 


5 


2 


5 


4 


II 
a 


1 


2 


1 


4 


3 


2 


5 


À 


5 


8 


8 


16 


16 


48 


40 


40 


8 


80 


b 


14 


26 


38 


98 


H 6 


74 


158 


146 


182 


c 


5 


7 


21 


39 


13 


33 


51 


17 


19 


d 


3 


15 


5 


55 


35 


7 


91 


63 


99 



Solutio succinctior. 

§.32. Quaerantur duo numeriyet^, ut s\t f/^-h 3 gg:z:zhh, 
quod fit, uti vidimus fz^tt — 3 uu ^ j/rz=2^f«, tum enim erit 
h ZZL tt '\- 3 uu ^ hincque quatuor numeri quaesiti erunt 

azzz2g; h-z=.2h\ cz=zf-\-g; dz=zf—g, 
ex his porro valoribus reperitur ; 

y aabb -^ ce dd zzz ff ^ 1 gg , 
yaa ce + bb dd zr: 2 (//■ — /<? 4- 2 gg} , 
j/ aa dd --}- bb ce zzz 2 (// -}-/g -h 2 gg) . 
Hinc patet , in hac solutione sempei' fore c — d :^i a. Ouoniam 



29 

vero haec solutlo quasi praeter ornnem expectatîonem sponte ex 
praecedentibus se obtulit solutionem dii-ectam adjungamus. 

Solutio directa. 

§. 33. Cum facta divisione per primum terminum hae très 
formulae quadrata esse debeant : 

ponatur 

cd -pp — qq p _ hd ri ss P pf ^ tt — uu rp 

ab 2pq ' ac ars ad sfa ' 

Ex his positionlbus jam colligitur 

4=:/PR; |=z/PT; -^ = V RT ; 

quare ad solutionem inveniendam quaeri debent très hujusmodi for- 
mulae P , R , T , ut producta ex binis sini quadrata. Tum enira 
facile numerl quaesiti a, b, c, d, in integris definientur. Taies au« 
tem numeri obtinentur , sumendo 

p — A/g, q —ff-\- 3gg ; ;- —ff-^ 2fg — 3 gg , 

s — ff+ ^go; t —ff~ 2fg — 2gg; u —ff-\- 3gg , 

tum enim solutio supi-a data orietur , id quod nonnuliis exemplis 

illustremus. 

E X e m p 1 u m 1 . 

\. 3 4. Sumatur pz^6; r zzz 5 ; ^izi8; 
</ rz: 1 ; * =: 2 ; » =z 7 , 

ex his igitur crit Pz=|^^; Rz=^; T=i: ^ iinde porro colligitur 

y PR zzi I m: — ; tum vero 

l/PT=:|-^, denique y' RT =: | = | • 

Quamobrem si sumamus a zz: 8 erit i m 3 , c zzi i , dzz: H, 
quae est solutio simplicissima jam supra cruta. 



30 

E X em p I u m 2. 

|. 35. Sumatur p m 6 ; r m 8 ; < nr 2T^ 
^ ::!: 5 -, s zzz 3 ; u zz: 2 2 , 

unde fit P = ^'-^ ; R = ;^ ; T = ~^^ hinc porro «cquhur 
fore /PR =z H := 4 , /PT — i = ^ et /RT = || =: | . Sumto 
crgo ûtzr: 72 erit b zz: 35 ; czz:l4;tfz:i33, qui valores pror- 
sus discrepant ab iis quas praecedens methodus suppeditavit , unde 
patet superiorem solutionem non esse generalem sed innumeras alias 
praeterea solutiones locum habere posse , ad quas inveniendas me- 
thodus requiritur idoneos valores pro ti-ibus formulis P, R, T, in 
génère investigandi, quod negotium aliis evolvendum relinquou 



1 



ail 

III. 

INVESTIGATIO 
BINORUM NUMEROR U M 

FO RM AE 37 7/ (a;* — y^) 

Î2U0RUM PRODUCTUM SIVE (^UOTUS SIT QUaDRATUMw 



eonvenlui exlilbita die 14- Aug. 17S0„ 



In Analjsî Diophantea plura occurrunt Problemata ad quae 
resolvenda requirunlur duo numeii formae xyixx — î/j/) vel etiam 
hujus xy{xx-\-yy), quorum alter per alterura divisus producat 
quadratum. At vero harum formularum evolutio nullo modo in gé- 
nère expediri potest, sed contenti esse debemus casus quosdam par- 
ticulares resolvisse qui adeo etiam haud exiguam sagacitatem postu- 
lant : quemadmodum in aliquot dissertationibus fusius ostendi , ubi 
hoc argumentum omni studio pertractavi. Quare cum formula pro- 
posita xy ix'^ — y)-, niuito magis sit eomplicata, atque adeo binas 
illas formulas quasi in se complectatur , haud immerito dubitare li- 
cet, utrum ejus evolutio vires analjseos superet nec ne. 

^. 2. Equidem ejus solutionem vix ausus essera suscipere, 
nisi felici quodam casu in solutionem difficillimi cujusdam problema- 
tis incidissem , quod binos hujusmodi numéros postulat formae 

X y {x'' — i/) , 
quorum productum sit quadratum. Hinc enim ex solutione a me 
reperta hcuit reciproce taies numéros assignare, qui conditioni pro- 
positae satisfacerent. 



32 

5. 3. Cum igitiir istl problematl resolutionem quaestionls 
propositae acceptam referre oporteat haud abs re erit istud pro- 
blema hic breviter commémora re ; quanquam enim istud problema 
jam in Tomo XF. novorum Commeiitatioriun tractavi, hie solutio- 
nem multo faciliorem et elegantiorem sum traditurus . Problema 
autem ita erat enunciatum : 

Invenire duos numéros , quorum pro<luctum sive auctuin sive 
minutum tam sumina quant differeiitia ipsorum numero- 
rum producat numéros quadratos, 

\. Â. Statuantur bini numerl quaesUl , quoniam integri esse 
nequeunt — et —, atque necesse est, ut istae formulae : 
a;z/ + s (a; -h î/) et xy -j-z (x — y) 

fiant quadrata. Pro harum formularum priore ponamus x!/~aaA-bb, 
eique satisfiet, suraendo z (x -h- y) :z:z 2 ab. Simili modo, si pro po- 
steriore ponamus xy :zz ce -f- dd, esse oportebit z (x — y) ziz 2cd. 
Efficiendum igitur est, ut bini valores pro xy assumti reddantur in- 
ter se aequales, sive ut fiât aa ~\- bb zzi ce ~{- dd. Deinde, cum 
ex priore sit x -\- y zz: ^^ , ex posteriore vero x — y ziz ~ , 

hif •, r. ab-\-cd , ab — cd 

nie colligitur fore x zzz et y in — ■;: — quorum ergo pro- 

j , aa hh — ■ ce dd • * >* 77 «-i, 

ductum ipsi aa ~\- bb ut et ce -\- dd aequari débet, 

unde hen oportebit zz =z , ,, zz: —,^ . Cum igitur xu 

^ aa-{-bb ce -^ dd ° «^ 

duplici modo in summam duorum quadratorum resolubile esse de- 
beat , statuamus xy zz; (pp -\~ qq) irr -\- ss) hincque pro formula 
priore aa -4- bb accipiatur a z= pr -+- qs et b zzzps — qr ; pro 
posteriore vero c zzzpr— qs, tum vero dzzips-^qr. Hinc ergo erit 
ab -\- cdzrz 2rs (pp — qq) et ab — cd :zi: 2pq (rr — ss) 

unde prodibit zz — 'JB" ^PP-io) ^^^ -'Q . 

W -f- 11) ('"'' 4- s îj 



33 

§. .6. Cum igitur hacc fractio qiiadrntiim esse clebeat, ctiam 
productum ex nuineratore in denominatorem , quod est 
4p//i(// — /)0-'' — s-^), 

quadratum esse debebit, quod manifesto l'educitur ad hoc productum 
p<l ^p'' — q^) X rs (/•'' — v'; , 

Yci etiam ista fractio *"^ ^^ ^ ' '-} ad quadratum reduci debebit. quae 
€rgci est ea ipsa quaestio. quam hic enodandam suscepi. 



^ 



6. Cum autem istud problema miJTi olim proponeretur 
pluribus tentaminibus frustra institutis tandem pro binis numeris 
- hos elicui vaiurcs 



quacsitis " et 



et ;-'-^' 

3 .' . 1 1 



— et — hos elicui vaiurcs „ — ^^ 
vicissim pro litLeris /j, r/, r, s conciusi islos valores 

16 et .y =z; 1 I 



/j = 1 2 , 7 = 1, r 
qui quomodo nostrae quaestioni satisfaciant vidcamus. 
p—i2 

p -î- q zzz 13 
/; - V = 1 1 

l'P -r- y/ = 5 . 2 y 

]Iinc porro colligimus fore : 

P'/ (/>' — 9^) = 4 . 
rs 0-^ — s^) = I 6 



ex quo casu 



Erit igitur 



r = lô 
i=: 1 1 

II- H- ss zzz 1 J . 2 ij . 



3.13.11 
.11.3.9 



5 . 29 

5 , 13.29 



unde coneluditur ^"^ , _, — ^ iz: 

rs (r+ — s-i) . 



^. 7. Cum igitur casus nobis constct , quo quaestioni hic 
propositac satisfit , ejus consideratio nos perducere poterit ad alias 
soiutiones investigandas. -Ouam obrem quasdam notabiles relationes 
in valoribus inventis occurrentes observemus , ubi statira ista nota- 
bilis convcnienlla deprehenditur , quod forraulae pp -h qc/ et /v -t- a* 
fommnnem habeant factorem 2 9, dum alteri factores sunt 5 et 13; 



Suppl. aux Aîémoires de l'yfcad. 



34 

omnes scllicet summae duorum quadratorum, quemadmodum rei na- 
tui'a postulat. 

§. S. Ab hac igitur conditioni inciplentes statuamus 
/'/' -^ 7? = ('''<' -t- ^^) (■'^'■^' '' yy^ ^^ '''' H- Ji" =: (ce H- dd) {xx -+- ijy^, 
ita ut XX -h J/?/ sit factor utrique formulae comraunJs , atque hlnc 
iiaiicisccniur sequeiites vatores : 

p =z ax -f- hij ; r m cx ->t- dij 
</ rzi 6a; — (^y ', s zm dx — cy 
ixJcoquc : 

p-^q :zz (a-'.b)x-{-(b — a)i/; r-+-^ m (c -i- cTj x -h (d ~ c) y 
p—q 'z:i ia — b) X -+ {b ■+- Cl) y \ r — 5 n: (c — J) .t -+- (tZ-t- c) y . 

S. 9. Porro autem efficiamus , ut utrinque duo tantum ter- 
mini se mutuo destruant, atqi.ie exemplum modo datnm considéran- 
tes i-eperimus formulam ]) — f/iz^ll aequalem esse formulae 5-=r;ll, 
unde in génère istam aequalitatem statuamus ]) — Ç^^^ liincque ori- 
tur ista aequatio : (a — b)x -f- (,b -\- a)y z^ dx — cy ex qua ratit> 

inter x et y sponte definitur ; fit enira — en j -r- g • Quamob- 

rera in génère statuamus x zzz a -h- b -f- c et y r=: d -\- b — a. 
Quamquam autem hoc modo quaestio restricta videatur , tamen re 
perpensa nulla plane restrictio est facta. Cum enira utrinque quae- 
cunque multipla litterarum p et q itemque r et 5 perinde satisfa- 
ciant, semper talia multipla capere licebit ut fiât p — qzizs. 



<■ 



\. 10. Praeterea etiam observasse juvabit, formulam p -^ <i 
in exemplo aequalem esse ipsi cc~\~dd; quaraobrem in génère 
statuamus p -\~q "Zi^ ce ~\" dd , qua positione autem utique ingens 
restrictio introducitur. Substitutis ergo loco x et y valoribus modo 
mventis reperietur sequens aequatio : 

(rt 4- i) (a -f- 6 -|- c) -f- (6 — a) (b — a -f- J) = ce -f- dd sive 
(a -\-by -\-c(,a~\-b) -f- (i — af ^ d (b — a) =: ce -j- dd 



35 

•cui aequationi si utrinquc addatur -^ (ce -\- dd') prodibit Ista ; 

(a -f- 6 -4- |c)- -f- (/; — « -f_ I df =^ -5 (ce + c/J) 

ubi in parte sinistra habctur summa duorum quadratorum. Evidens 
•vero est membrum dcxtrum dupiici modo summam duorum qua- 
dratorum continere scilicet vel (c -+- i df ~\~ (d — i c'f vcl etiam 
(c — {df -h (rZ -{- I c)^. Hinc , prouti utrinque quodvis quadra- 
tum .sive uni sive alteri aequale statuamus , quatuor hic occurrunt 
combinationes sequentes ; 

I. II. 

. <•! -h Z> -f- i c m c -f- î fZ a -^ b -]-ic zz: d — ic 

b — a -\- Id zzz d — | c h — a -\~l d zn c -{~l d 

III. IV. 

a -\- b -\- le z:z c — Id a -\-b -\- ^c z^ d -{- ic 
■h — a -\- Id :^z: d-\- le b — a -J^^d zzi c — id. 

^. 11. Ex his autem quatuor casibus eum cligi convenit, 
qui cum exemplo congruat. At si formulas hactenus inventas eum 
exemple conferamus reperiemus cizzz2^ b^zi. czii2, rfzz:3, unde 
fit xz:zb, y zzz 2 y ita ut sit 

XX -j- yy zzz 2 9 ; aa ~\- bb zzz i ; ce -\- dd zzz i 3 ; 

hincque omnes reliqui vaiores eum exemplo prorsus convenient. 
Cum igitur sit a -\- b -\- l c zzz 4 et b — n-|-^Jz3|, eligatur ea 
combinaiio, quac eosdem praebeat ralores, at facile patebit quartam 
adhiberi debere. Ilabebimus ergo a-t-b^^id. b — cizzzc — ■<-/, hinc- 
que littei-ae c et d ita per a et b definiuntur ut sit c zz: 2 b et 
dzzz a -\-b ex quibus jam porro fit a; rr: a -(- 3Z/ ; y zzi2b. His 
igitur valoribus constitutis singuli factores utriusque formulae 

pq (p -hq)(p — f/) (pp + c/q) et rs (r 4- s) (r — -0 (/t -h ss} 
sequcnti modo expressi reperiuntur 

5* 



36 

p :=z an -ir 3 ab -\- 2 bb z=: (a -{- by(a -f- 2 by 
qz=z 5bb — abz=.b (3b — a.) 
p _4- 9 m art -4- 2 ai -f- 5 66 

p q zr: aa -^ À ab — bb- 

pp _i_. qq iir ( aa -i-- bb-) (rx -V- yy) 

r-Z=. ab -H èbb ^:z Ab (a-^- 2 b) 

s zzz aa -[- Aab — bb 

r _f- .V = aa -h 8 ab --F- 1 bb z=. (a -f- 6) {a -^ 7 by> 

r — s z=z 9bb — aa:m (3 b -{- a) (5 b — a) 

rr — sszzz {aa -+- 2 ab -f- 5 bb) {xx --j- yy). 

L 12. Conjungamus jani singulos factores utriusque formi»- 
ïae , ac reperiemus : 

pq(p'^—q'*)zzzCa-h b)(a +-2b)b(3 b — a)(aa-+- 2ab-¥ b bb) x 

(aa -H À ab — bb)(aa -+ bb) (xx -+- j«j/) 
/•^ (/•* _ s*) izi Ab (a-+2b)(aa-h4ab—.bb)(a-^b)(a-^7b) 

(3b-\-a)(3b ~a)(aa-h2ab-i- bbb)(xx-hyi/y, 
Quod si ergo priorem per posteriorem dividam-us erit 

J>(j (f4--£4) aa 4-&6 

rs (r4— s4) 4 (a H- 76) (36 -f-al ' 

Ouamobrem , ut haec fi-actio quadrato aequetur , ejnsmodi valores 
pro litteris a et 6 requiruntur , ut ista fractio (a^^a))^;^^^ )- ^^t 
quadratum, vel etiam ejus inversa ^° '^^^^^\f ^^ ' '1"*^'^ quidem pro 
nostro exemple utique evenit, suniendo a = 2 et 6ml, tum enim 
hujus posterions fractionis valor erit 9. Toium ergo negotium 
hue redit, ut ista fractio ad quadratum reducatur. 

§, 13. Ponamus hic y =: f , ut formula quadrato aequanda 
sit ^^-'i-^)Jf-^'7 '^ atque methodum prorsus singularem hic sum tradi- 
turus , ex quoyis valore cognito innumeros alios inveniendi. Hune 
in finem plures casus , qui quasi se sponte ofFerunt notasse juvabit 
qui sunt tzzz2, tzzz i, tz^ — 2, t zzzoo, t^z: — 3, t-:zz — 7. 



3? 

QuemadmocTum igîtur ex his valorlbus cognitls alii novl ellcere que- 
ant, hic ostendamus. Ante omnia autera productu'.ii ex numeratore 
in denominatorem est considerandum , quod est : 

t^ ^ tOt^ -\- 22 tt -f- loi H- 21 
quod' ergo ad quadratura reduci oportet^ 

§. 14. Quoniam hic tantum primus ternimus est quadra- 
tum , ejiis radicem ita fingamus , ut etiam secundus terminus tolla- 
tur ; qujre haec formula aequalis statuatur huic quadrato t 

(M + 5 f -h vf 
hincque orietur sequens aequatio : 

22 tt-\- lOt-{- 21 :=: (2 f -h 2 5) ii 4- lûiv -{- vv, 
quae reducitur ad hanc : 

— 3it-\^ iOt -i- 2i :ii:2vt( ~{- lOtv -^vv , 
haecqne aequatio duas continet litteras t et v, quarum utraque ad 
duas dimensiones assurgit, kleoque, dum altéra ut cognita spectatur 
altéra geminos valores recipiec , qui si indicentur per t et t, nec 
non per v et v' ex natura aequationuni constat fore : 

quarum formularum ope simulac constant valores pro t et v inde 
novi pro iisdem litteris eruentur atque ex his simili modo denuo 
novl, ita ut taies operationes sine fine continuari queant. 

§. 15. Cum igitur pro t jam cognitae sint allquot valores, 
videamus quales valores ipsius v illis respondeant , quae deiermina- 
tio ex ultiraa aequatione peti potest. Ita cum sit t zzz 2 haec ae- 
quatio evadet vv~\~28vzzz29, unde oriuntur hi duo varores 
V :z:z i et f zi: — 2 9 . Pro secundo valore t ^ i oritur 
t'=^2 et vzzz — 14. Pro tertio valore t :=z — 2 prodit 
vzz: i et V zzi 1 1 . Pro quarto t zm oo ambo termini qua- 
dratnm tt continentes se debent destruere , sicque erit 2v — — .^ 
sive i' =: — I , tum vero huic valori vziz — | respondet valor 



38 

frr— 2. Pro qulnto valore fin— 3 nanciscimur valorem vzzzô. 
Denique casus t z:z — 7 praebet v zzz — 14. 

§. 16. Quod si jam binl hujusmodi valores pro litteris t 
et V accipiantur, ex iis novi formabuntur ope harum formularum : 

Incipiaraus igitur a casu t z^ 2 et r nz 1 atque tota operatio se- 
quenti modo procédât : 

t—2, —2,-2, 2, — - 



649 



v=i, 11, 1,-29, -fi^ 



In "hac operatione jam continentur casus initio cogniti unde hos 
jam praetermittere poterimus. 

Ç. 17. Progrediamur igitur ad casum quartum quo izzr— | 
et i m: — |, ubi valores pro î; et s inverso modo scribere debe- 
mus, quia alias ^ prodiret irz oo. Operatio igitur ita se habebit : 



. . j 3j 25 



i8 ' 
£5 

312 



Ç. 18. Sumamus nunc t zzz — 3 et v zzz 6 , simillque modo 
operationem instituendo orientur hi valores : 
f — , o I 4' 267 

'■ — -* ' 3 ' ~ y ' y, ' 

v=i 6 , — HS ^ __ 9 . 26. 

Possunt etiam .termini initiales inverti, hoc modo : 
v:zz 6 , 

Evidens autem est , hinc nulles novos valores emergere cum omnes 
in praecedente série jam contineantur. 



v=: 6, 6, — ^, — 9 , 26 , 



39 

^. 10. Evolvamus dcnique casum ultlmum quo f IZT — 7 
ej i- 2:^ . 1 .} pro quo scquentes valores eruuntur : 

5o3 



î; = — 1 -i , : 



7 ' 7-47 
5 4^ 

Pr'nnis autem tcrmiiils v et f inverso modo positis Et : 
f = — 1 4 , — i 4 , 2 , 



5i4 
' 49 

/ = - 7 , 1 , ^^ , 5-^' 



qui aulem numeri jam in praccedcnte série occurrunt . Celerum 
notandum est , casum secundum , quo t zzz 1 et f vel zz: 2 vel 
z^ — 14 etiam hic repeiiri, qui casus supra erat praetermissus. 

§. 2 0. Valores ergo idonei per has operationes pro t in- 
venG sequenti modo se habebunt : 

I. f ~ 2 ; U. t— — 2 ; III. t z=z — - ; IV. ^ z= f ' 5 

' 11' 6,f9 

V. f =: — ? ; VI. f =: — ^ ; VIL t—^; VIII. ^ = — 3 ; 
IX. f = — I ; X. ^ z= — 1^ ; XI. f =: ^ ; XII. t — — 7 ; 

XIll. ^— 1; XIV. f := — -'-; XV. f =l ^ • 

7 3=9. 

Horum igitur valorum singuli suppeditant solutionem quaestionis 
propositae ; quemadmodum in sequente problemate ostendemus. 

Ex quolibet valore idoneo pro t invento assigyiare quatuor nu- 
meros p, q, r, s, ita ut productuin sive quotas harum 
formulariun pq(p'*— q''') et rs (r'^ — b'*^ fiât quadratum. 

S 1 u t i Ok 

§. 21. Cum sit y, habebuntur quoque ambo numeri a et 
h in integris , ex quibus Htterae p, 7, r, s cum derivatis sequenti 
modo determinabuntur : 



40 



p tiz (a -i- i) (rt 4- 2i) 

q -^ib (3b — a) 

P -*- (J zzz aa -h 2ab -h 5bb 

p — g n^ aa-f- 4ab — bb 

pp-\-qc/ ^iz (aa h- bb)ix'^ -+- -if) 

zzz iaa-i-bb)(aa-h6ab-i-i àbb) 



rz= 46 (a + 2b} 

s r:r aa -4- Âab ■ — hb 

r -t- 5 m (a -H b) (a -+- 'J.b') 

r — s ^z. (3è -+- a) (86 — a) 

rr -^is zzz {aa -h2ab -h b bby^x'-+- y) 

~iaa-\-2.ab ^ 5bb){aa^6ab-^l 366). 



§. 22. Circa has formulas observandum est 1°) si quis- 
piani nuraeroruni p, q, r, s, prodierit negatlvus , ejns loco semper 
positivum sci ibi posse ; 2°) si prodierit vel q "^ p vel s "^ r hos 
valores inter ge semper. pennutari posse , ita ut littera p indicet 
numerura majorem , q vero minorera , similique modo r majorera et 
s rainorem ; 3°) si eveniat ut numeri p et q habeant communem 
divisorem , eum per divjsionem semper tollere licet , quod idem de 
litteris /• et s est tenendum. 4°) Evidens quoque est , tara looo 
binarum litterarura p et q quam /• et s eorura summam et diffèren- 
tiam scribi posse : Si enim ponaraus 

P=/3-f-9, Q — p — V, R = /- + *, Sz=:r — s 
fiet PO (P''' .— O'') rz: 8pq (p'^ — q") similique modo 
fiet RS (R-^ — S^) z:z S rs (r' — s'') , 

ideoque et harum novarum formulnrum sive quofus sive produetura 
erit etiam quadratum. 5°) Ista transforraatio insignem usum prae- 
stat , si litterae p, q, r, s fuerint impares; tum enim litterae ma- 
îusculae P, Q, R, S deprimi possunt , sicque ad minores numéros 
pervenietur : nam si ponamus 



p f + i Q — - tsT 



\ R 

7*) 



-\ S=^ 



fiet PQ (P^ - Q*) — t±(Ilfl^ et RS (R^ - S*) =: 1iÇ!±=£:^ . 

Secundum tiaec ergo praecepta pro \'a^oribus ipsius t inventis litte- 
ras /.', q. r. s in sequentibus exemplie assignemus. 



41 

Exemplum 1, 
quo t ^z 2. 

^. 23. Hic ergo erit a izz 2 et 6 =r 1 hincque ^et 

/; rz: 3 . 4 , 9 =; 1 , /• m 4 . 4 , * rr: 1 1 , 

>^qui crgG cum suis derivatis ita disponantur : 

;; =: 4 . 3 

c,-i 

/) + c/ = 1 3 

p — r/ n: 1 1 

/yj ^_ f/f/ z=z 5 . 2 9 

Casus porro f :z= — 2 et f .-=: 1 , < izi — 3 , f m — 7, < =r: 
hic oniittamus , quia solutiones incongruas praeberent. 



r = 4 . 4 

*=r 11 

;• -1- j ==; 3 . 9 

r — s zzz 5 

rr ^ ss :=z 13 . 2 9. 



Exemplum 2, 
quo «zi: — |. 
§. 24. Cum igitur sit « m — 3 et 6 r:r 4 , fiei hoc casu 



/• — 4 . 4 

5 = 11 

r -f- 5 =: 2 7 

/• — >v zz: 5 

rr 4- .y^ := 13 . 29, 
qui autem valores cum praecedentibus tantum in eo dissentiunt ut 
p et (j sint permufati ; hinc ergo imila nova solutio emergit. 



p— 1 

r/ 1= 4 . 3 

/J -h v — 1 3 

/^ — <7 — 1 1 

pp -i- qq Z=: b . 2 g 



E X e m p I u m 3 . 



c]Uo / := ^ 

7 



i 2 5. Hic ergo sumi débet a zz: — 17 , b zizl unde hi 
valores orientur per 2 et 4 scil. depressi : 



à'uppl. aux Mé/iioircs de tAcaci. 



6 



4'2 

pr=3.5r=:3.7 

7=7.19 5=: 59. 
Jam quia omnes hi numeri sunt impares , eorum loco scribantur 
semi-summae et semi-difFerentiae sicque haec nova problematis so- 
4utio orietur : 



;j = 2 . 37 

ç= 59 

p -{^- g Z=: 133 

p — 9=1 15 

pp -{-qq :z:ibZ . iÇ)9 



rz=.ÂO 

sz=z i9 

/• + J =: 5 9 

r — s ziz 2i 

rr -\- ss zzz 53 . 37. 



Ubi omnes factores non quadrati se utrinque destruunt. 

Exemplum 4, 



quo t 



4i 



§. 2 6. Sumto hic a irz — 41 et 6 =: 3 valores p, q, r, .v, 
quantum licet depressi erunt : 

P=z7.19; 91=3. 5; r r=: 3 . 7 ; s z:z b9 , 
qui casus cum praecedente perfecte congruit. 



Exemplum 5, 



35 



quo t :zi: • 

§. 27. Cum igitur sumi debeat azzz — 35 et6:=r:12 va- 
lores pro p, 7, r, s, hinc erunt : 



pzni2 .7i=z 852 
9=: 11 .23 =253 
p -4- 9 =z 5 . 21 
p — q z::z 599 

pp-\~qq=z37\i)7 7 



;• =1 5 9 9 

5=: 11 . 48 =: 52 
/• H- J= 23 . 49 
7- ~ 5 = 7 1 

;t 4- 5J z= 5 . 1 3 . 1 7 . 5 7 7 , 



ubi iterum omnes factores non quadrati utrinque occurrunt. Ean- 



43 

dcm porro solutionem resultare ex casu tzzz inde palet, quod 

S2'4- ll' = 5 (35'4- 12"). 

§. 2 8. Praeter casum ergo jam pridem cognitum quo 
l> zzz i2 , <■/ HZ 1 , r :zz t 6 , i' :=: 1 1 , 
qui nobis instar normae in hac investigatione inserviit duas alias 
novas solutiones sumus adcpti , qtiae numeris non iiimis magnis 
constant. Reliqui vero quatuor casus pro t iuventi : 

■:i 267 5o3 262 

3n ' 17 ' 3v9 ' 6.|^ 

perducerent ad numéros nimis magnos , quos operae non est pre- 
lliim evolvcre. Ceterum in his ojoerationibus plura occurrunt cal- 
culi artificia vix adiiuc cognita quibus Analjsis non exigua incre- 
mcnta accipere est censenda. 

^. 2 9. Hinc jam Problema in Tomo XV. nov. Comment, 
tiactatum multo commodius et concinnius resolvi ac par numéros 
absolutos expediri poterit, quam solutionem hic subjungo. 

P r o b l e m a. 

Jnvenire duos numéros , quorum productum sive auctwn sive 
minutum tam sumina quam differentia ipsorum nume- 
rorum , producat numéros quadratos. 

S I u t i 0. 
5. 3 0. Positis numeris quaesitis — et — supra jam vidimus 

ai -f- cci . ab — cd , ■ , ■ , • i- . • 

esse X — — ^ — ■ et y zzz — - — demde introductis littens p, 9, r, s, 
erat 

ab -i- cd zz: 2rs (pp — qq) et ab — cdziz 2pq (;t — ss). 
Quamobrem numeri quaesiti erunt : 



a za a zs 



6» 



44 

ïnvenimus autera porm esse 23 = ^^^êr=r^^fe^^ quo va- 
lore substituto ambo numeri quaesiti erunt : 

x_ ( pp -+- qq) (rr -+- yp gj. _y (f P H- qq) (rr-+-ss) ^ 

z 3pq (ri ss) z 2rs(fp — qq) 

§. 31. Quoniam igitur supra in exemplis très soliuiones iiï 
numeris absolutis dedimus, si ex iis valores pro litteris /?, q, r, s 
depromamns, sequuntes très sol'utioaes numericas nancisceniur. 

I. S 1 u t i , 
ex §. 2 3. petita. 

X 5 . 59 . t3 . 2g i3 ■ 29' 

as 2 .12 .3 .9.5 8 .9*" 

y 5 . 2g . i3 . 2g 5 . 2g^ 

Z i3. Il .32 . II 32 . 11^ 

quae est solutio a me primuîTi inventa» 

II. S 1 u t i o > 
ex §. 2 5. petita. 

ae 53 169.55.5 7 i5° .53» 

a 4.. 37 .69 . 5g . ai 3.4.7.59* 

y_ 53. 169 .53 .51 57 ■ i3° . 55" _ 

a 38 .40. 133 . i5 3. 7 .4" .5". 19» * 

Iir. Solutio, 
ex §. 27. petita. 

X_ 57* .577 .5. i3 ■ 17 .S 77 5 . i3 . t7 .37' .57 7' 

a 24 .71 .11 . 23 . 23.49 ■ 71 II . 24 . 7^. 'j5' . 71* 

_y 57 ^.577 . 5 . i3 .17.677 i 3 . 17 .37" . 577 

a a . 5.18 . àgg .6.21. ôgg 6.7. 628 . 5gg' 

§. 3 2. Subjungam hic curiositatis gratia adhuc solutionem 
maxlniis numeris contentam , quam suppeditat casus supra inventas 



45 



s, 20., scilicet t—f, unde fit a— 25 et 6 = 312. Hinc au- 

j' 12 

tem deducuntur sequentes valores : 



^J = 3 . 8 . 1 3 . 9 1 1 
<7 =: 11 . 59 . 337 
/^ -[-<7=: 5 . 17 . 61 . 97 
p — qziL 6551 9 
pp-^qqzzz 313^1312897 

ex quibus numeri quaesiti erunt : 

X 5.17.61. 97. 5i5' . i5i? 



r=:3.11.i3. 32.59 

*= 65519 

;•-!-..? =131^. 911 

r — 5 = 337 . 47'' 

rr + 55 z=z5. 17. 6 1.97. 1312897, 



a 3. II . ]3. 59 .4.' .31^.47^ .337" 

y_ 3i5' ■ 1312897^ _ 

a 3 . II .13 .0^69 . 65519' ' 



4^ 
iv. 

DE 

B I N I S NUMERIS 

QUORUM SUMMA SIVE AUCTA SIVE MINUTA TAM UNIUS 
QUAM ALTERIUS QUADRATO PRODUCAT OU ADR ATA. 



Convenlui cxhibita die 14- Aug. 17S0. 



Quod si bini numeri quaesiti ponantur — et — has duas for- 
mulas ambiguas : '^-^ zh£^^^ ^^z^ it lï qu^drata efEci oportet. 
Hinc ergo per zz multiplicando hae duae forraulae : (x-^y^z^xx 
atque (x --{- y)z ~\~ yy quadratis aequai'i debeunt. His autem con- 
ditionibus satisiaciunt hi numeri, qui sine dubio sunt minimi : 

a:— 9023 = 4.37.61, y=:3 1 24 = 4 . 1 1 . 7 1 et z:=.^-^^l~. 

Tum enim eiit 

(^H-2/)s= 20 . 3 7^ 6 1^ et a;^: =: 1 6 . 37" . 6 1%' 

quQi-um numerorum summa est 6^. 3 7". 61^ et difFerentia 2^37^61^; 
tum vero est yy :zz 16. 11^. 71" undeper 4 dividende osienden- 
dura est tam summam quam differentiam horum numerorum : 

5 .37'. 61- et 4. ll^ 71' 



9' 



esse quadrata. Cum autem sit 5 =: 2 -+- 1 ; 3 7m 3 5 -f- 1 
et ôl^zi: 6 0^-j- 1 l" erit 5 . 37^ =: 8 2" -j- 1 1% hincque porro 
5 . 37". 61^ zz: 504i*-}- 242^ oui summae quadratorum sive ad- 
datur sire subtrahatur duplum radicum productum quod est 

2 . 2^2 . 5041 = 4 . U\ 71^ 

qui est ipso numerus sive addendus sive subtrahendus. 



47 

Analjsis ad hanc solutlonem ducens. 

5. 2. Numerus (_x -\-y} z duplici modo statuatur sumraa 
duorum quadratorum scilicet i=:A^-|-B^ et zz:C^-f-D^, atque ma- 
nifestum est quaesito satisfieri, si fuerit xx zzz. 2 k^ et yyz:z2Q,T). 
Hune in finem fiât (a; -f- ?/) s n: (na -|- bb) {ce -{- dd), unde dedu- 
citur Azzz ac -\-bd et B:i=a(i — 6c; tum vero C :=z ad -4- be 
et D m ac — bd , sicque habebimus 

xx:^z2iac-i-bd)(ad — bc) et i/yzzz2(ad-+-bc)(.ac — bd). 

Ut jam hae formulae évadant quadrata ponatur x ^z {cic -\~ bd) f 
et yzz.{_ad-\-bc)g , factaque evolutione prodibunt hae aequationcs; 

2 iad — bc) zz: {ac -+- bd)ff et 2 (ac — bd) rz (ad -j- ôc) gg 
ex quarum priore deducitur 4- = ^4^^r^ , ex posteriore vero 

2d — cff * 

a ad — I— crr «t- i • -, 

b — i^ZTdfv • Hi autem valores inter se coaequati praebent 
hanc aequationem : 

ce (4 -h f/gg) -{- 4cd (ff — gg) zz: dd(i -^ ffgg) 
unde radiée extrada reperitur : 



A :^ °C//-gg)± '' C4+/') 4-l-gO . 
e 4+//gs 

^. 3. Totum ergo negotium hue redit, ut hoc productum 
(4 -+-/') (-i -+-Î/') quadratum reddatur et, quia duas quantitalcs 
y et g continet , alteiutram pro lubitu accipere lieebit. Sumamus 
ergo g — 1 fietque 4 = tLftzjl^^i±I3 ■ tum vero regredi- 
endo erit y 1= ^y^-| , porroque (ac-^bd)f et yzz:ad-\-bc. 



Denique autem habebimus - — (ai + t^" 



■ àd) 



y 



\, i. Ponatur nunc ]/5 (4 -f-/'') rz: 5 r , ut sit 

£ a(// — l)±5^■ 

« — 4-4-// 



4S 

Erlt ergo 2b vv rr: 2 -4-5/^, quae ergo formula casu yzrz 1 
commode fit quadratum hoc vero modo ad solutionem incongruam 
perveniretur. Ut igitur alii valores pro _f eruantur ponamus : 

/= 1 -}- t fietque 25vv :zz 25 -J- 2 f -+- 3 0« -f- 20 t^ -^bi^ 
cujus radix statuatur o +af-f-j3f^ et erit 

20-h30t-i-20tt-hôt^:=z l0a-+-(I0|3-Haa)^-+-2a|3/f-4-j3j3f^. 
Ut nunc bina membra priora se destruailt fieri débet a =:: 2 , at- 
que ut etiam secunda se destruant sumi oportet |3 :;::z ^^ , sicque 
habebimus 5 v zizi b ~\~ 2 t -\- ^-^ tt et nunc tandem rémanent mem- 
bra tertium et quartum quae denuo per tt divisa praebent ^z^fs. 

Ex quo valore invento colligitur 5 v zrz -^^— ; tum vero est / z= \\ 
ex quibus valonbus colhsitur — zz: — ï^- „ , ~ =i unde sumto 

^ -^ c 1^. it'-i- yi' 

• . d 21 125 84-5 5 . 169 f, . . 

sieno superiore oritur — r^ -^^^ n: -*- nz: -- - . bumamus leitur 

or c 002D 221 lû . 17 , " 

d^z5 . i 69 et czz:13.17 eritque y i=z ^^^ . Sumto ergo a:zzl47 
ctirr: — 31, fieta;=z:4. 11.13.71 etî/=:4.i3.37.6l. 

n 5 l3 "57^ 61^ 

Hinc ergo colligitur 5;-Hî/zr: 4. 1 3.2.7". 3 1 ideoque z ^^ -^—'-^^ — 
ob aa -f- 6& = 1 . 3 7 . 6 i et ce + JfZ zr: 1 3 " .2 . 3 7 . 6 1 . Cum 
igitur hi très numeri x, «/, z habeant factorem communem 1 3 , eo 
per divisionem sublato, valores harum litterarum ita fient simpliciores : 

^-4.11.71; ^—4.37.61; z-^l^ 
unde ipsi numeri quaesiti jam erunt : 

£ 8 ■ II .31 .4.9 ■ 71 7 8 ■ 3 r . 49 

z 0.57^.61^ ^^ z 5.37.61' 

qui sunt ipsi numeri initie allati. Quemadmodum autem hi numeri 
ex hj-pothesi S'en 1 sunt deducti , simili modo ex alio quovis va- 
lore pro g assumto solutiones invesligari poterunt. Quae autem 
•mox ad immenses numéros excrcscent. Ceterum notandum est, 
sumto 5rz2, eandem solmionera prodituram fuisse, cum ^'*-+-4i:4 . 5 
ubi quaternarius per operationes sequentes itenim ex calculo ex- 
ccdit. 



49 

V. 



DI LUCID ATI ONE S 

CIRCA BINAS SUiMMAS DUORUM BIQUADRATORUM INTER 



SE AEQUALES. 



Conventui cxhibiia die 28. Aug. 1780. 



1)1 Tomo Novor. Commentariornm XVII. pag. 4. ostendi, 
exhibcri posse duas blnorum biqnadratorum sive summas sive diflc- 
rentias, quae sint inter se acquales, quod quidem initio non parura 
paradoxon videbatur. Cum enim taies formulae A + B :zz ; 
j^i_^ J53_,_ ç;3 __ Q demonstratae sint impossibilcs , siquidem termini 
vel aequales vel evanescentes excludantur , videri poterat , etiam 
hanc formulam : 

A"^ l- B* ± C* ± D* = , 
atque adeo etiam pro superibus potestatibus 

A^±B^±C^±D^±E^z=:0 et A^±B''±C'' +:I)''±E^ ±7^^=10 ; etc. 
esse imposslbiles. Nunc autem cerii sumus , pro biquadratis hanc 
aequalitatem A'' -Ç- B"* — C^ — D'' zn subsistere posse , ideoque 
conjecturam illam neutiquam vaiere, cum loco citato hujusmodi qua- 
tuor biquadrata piuribus modis dari posse, ostenderim. Numeri al- 
téra quos ibi inveni tam sunt praegrandes, ut vei-itas difliculter ex- 
plorari potest ; cum minimi numeri quos invcnire potui, ut fiât 

A'* -h B '' — C^ -+- D\ erant 
A=i477069; B = S497; C=:310310; Dz= 428397. 

§. 2. Nuper autem, longe alla agens, cnsu fortuite incidi 
in taies numéros longe minores (]ui sum 

A =z 5 'i 2 ; B rr 5 1 ^ ; C rz:: 3 59\ D =::: 1 Q 3 , 

Suppl. aux Mémoires de V^cad. ' 



5o 

qui quoiTiodo salisfaclant huic aequatloni A 
modo exploratur. Cum sit 



^ -^ b'' = C^ — D* hoc 



A-t-B ~ 1056 zz: 32 . 3 . 11 

A— B:=:28=:4.7 

AA — BB = 2' .3 . 7 . 11 



C-+-Di=: 462 1=2 . 3 . 7 . 11 

C— D =: 256 = 2^ 

ce — DD = 29 . 3. 7 . 11 



erît AA BB: CC — DD rrr 1:4, quocirca suramae quadratorum 

reciprocam tenere debent rationem , ita ut sit 
A^~hB^C' + D'=:4 : 1, 

quod rêvera evenire ita commodissime ostcnditur. Cura sit 

AA -+- BB =: 4CC -+- 4DD erit AA — 4DD =: 4CC — BB 

givc (A -h 2D) (A — 2D) =: (2C -h B; (2C — B). Est auiem 
A -(- 2D := 7 4 S =z 4 . 1 1 . 1 7, A — 2D =1 2^ . 3 . 7 , 
2C-}-B=1232~2'*.7.11; 2C— B— 2". 3.17 

ideoque 

AA— 4DD = 2^.3.7.Ii.l7 et 4CC — BB — 2^. 3 . 7 . 1 1 .1 7 

ergo AA — 4DD z=: 4CC — BB. 

S. 3. Hic autem fateri cogor me nulla certa methodo ad 
hos numéros esse deductum , neque adhuc perspicio , quomodo per 
viam directam ad eos perveniri queat. Quamobrem operae pre- 
tium fore arbitrer , totam Analysin , qua sum usus hic explicare. 
Cum inde haud contemnenda incrementa in Analj^sin redundandura 
videaniur ; sequente igitur modo calculum institui. 

§. 4. Cum esse debeat 

(aa -\~ bb) (aa — bb) zn (ce -f- dd) (ce — dd) 
hinc formo has duas aequationes 

(aa -f- bb)p zzz (ce -4- dd)q et (aa — bb) g zzz (ce — dd)p ; 
quarum priore ducta in p posteriore vero in q, earum summa prae- 
bet 2pqcc ziz: aa(pp -\- qq) -h bb (pp — qq) -, at ditïerentia prae- 
bet 2pqdd ^z. aa(qq — pp) — bb (qq -\- pp) unde patet esse de- 
bere q "^ p ideoque h arum aequationera utraque rcsuUuionem ad- 
mittit , si fuerit qq — pp quadratum ; quamobrem jDonamus çtatim 



51 

qq — PP ^::^ ^s ac prior acquatio hoc modo referatur : 

bb ss zn aa (pp -h qr/) — 2 ccpq , 
quae ut ad quadratum reduci queat hac forma repraesentetur 

bbss ^=zaaiq — p^ -4- 2pq (aa — ce). 
Hinc jam statuamus 

bs z^aiq — p) -\- 2p {a — c) x. 
Hinc igitur ob bines terminos primes se destruentes , si reliqui per 
2/j (a — c) dividantur , prodibit haec aequatio : 

2p (a — c) XX -4- 2a (q — p) x zzz </ (a -f- c) , 
unde deducilur — =: — r r^ -r--~fs ; quocirca statuamus 

a. nz 2pxx -+- q et c z^z 2pxx -f- 2 (7 — p^x — q , 
unde deducitur bs zz:q (q — /j) -j- 4pqx — 2p (q — p) xx. 

§. 6. Aggrediamui- jam alteram aequationem quam ut frac- 
tlones evitemus ita referamus 

2 ddpqss zz aas — bbss (pp -4- qq) ; 
ubi si loco a et sb valores modo inventos substituaraus , ob 
ssznqq — pp omnes termini per 2pq divisibiles prodibunt orie- 
turque sequens aequatio : 

ddss z=. qq iq — pf—- Aq (q —> p) (qq -^ pp) x -^ 2 (qq — ppf xx 

4- 2 (qq — tpq -+- pp) (pp -4- qq)xx -h Sp (q — p) (pp -t- qq) x^ 
J^4p'(q-p)'x\ 
in qua formula tam primus quam ultimus terminus sunt quadrata, 
eamque idcirco secundum praecepta cognita pluribus raodis tractare 
licebit. 

§. 6. ■Quonîam autem hujus formulae evolutio in génère 
non parum esset taediosa, casum tantum simpiicissimum evolvamus, 
que qq — pp fit quadratum, quod evcnit sumendo p z^ 3 et 7 iz: 5, 
unde fit ss^ziè et 5zz:4. Hoc igitur casu valores supra inventî 
évadent azzôora^n-ô; C2zz6xx-h4x~5 et Àbziz 10 -h6 0x--'l2xx 
sive 2izz5-4-30a: — 6 xx. Nunc vero formula pro quarta lit- 
tera d invenienda erit : 

7* 



52 

lôddzr: 100 — 136 0a; — 32 9 6a;a; -4- 16 32a:' -4- iÀÂx^ seu 
Addzz:. 25— 3.10a;— Q2âxx-{~ AQi,x^-\~ Sô^-^, 
atque denuo per 4 dividendo prodiblt : 

JfZ 11= |5 — S 5 a; — 2 6 a;a; + 1 2 x' + 9a;'*. _ 

§. 7. Ponamus hic primo secundum praecepta solita 
d — I — 1 7a; + 3a;a;, , eiitque 

ddzzz^^ — 85^^(289 ^ 15)a:a; ^^ 102,t^ + 9z''' 
ubi termini primus , secundus et ultimus toUuntur simul vex'o penul- 
timus si signum inferius valeret indeque nihil concludl posset, quara- 
obrem valeat signum superius, ut sit dzzz\ — 17a:4-3a:a:, atque 
hinc orietur ista aequatio : 

304 a:a; — 102a;' m — 206a;a;-I-102a;' 



5io 

85 85 7 85 7 85 



imde fit X "Ziz — ? rz: | . Hinc ercio valoies nostri erunt : 

ao4 ^ ^ 



_ 00 _ 7 (30 . -I 

^ 2 ' 2 ' . j ' ^ 4 

Hinc ergo foret c' zn a' et d' zzz b'\ quae solutio jam per se 
est obvia. 

§. 8 . Statuamus J nr 3 a;a; -f- i7 x -±^1 eritque 

dd z=: 9x'^ -\- 1 2 a;' -f- (2 8 9 ±: i b) xx -^ 85x -\- ^^ , 
ubi statim patet, signum superius valere debere, unde prodit aequa- 
tio haec : 3 04a;a;-i-8 5a;zz: — 85a; — 206ra; unde fita;z=: — If^^^' — 5* 
Hinc porro colligitur a zzz '^ ; c izi: — y . Ergo iterum foret 
c'^ziza'^ ideoque necessario etiam d^ -zzi b ; unde nihil sequeretur. 

§. 9. Statuamus dznl — il x '-\- axx eritque 

ddzn^^ — 8 5a; -f-(5a -4- 2 8 9) a;a; — 3 4aar' -f- aaa;* 
ubî a ita sumi oportet , ut priores très termini lollantur ideoque 
an: — 9 9, et i-ehqua aequatio per a;' divisa erit 
9S01a:+3366 z=:102H-9.x' 

unde fit X rz: ^-^ r::::! — 1 ut in casu praecedente , unde iam 

9792 3 f j 

novimus hinc nihil ad scopum nostrum sequi. 



53 

§. 10. Statuamns doniquc J rr 3ara; -j- i7x-\-ot.. ubî a ita 
(lefiniatur, ut terminus mcdius destruatur. Cum igitur sit 

c/^ ziz 9 :c '' -h 1 2 .r 3 4- ( 2 S 9 H- 6 a) 3707 -f- 3 4 a,r 4- aa 
fierl débet 289 -|-6a:::i: — 206 ideoque azzz — —, tum vero 
veliqua aequatio erit — i7 . iôo x ~]~ ^^ zzi — 8 5 a; -+- ^ unde 
fît .-r iz: I , uti in casu primo , sicque iterum isto casu mni suc- 
ccssu caret. 

§. 11. Cum igitur hactcnus nihil ad scopum nostrum simus 
assecuti secundum praecepta vuigaria oporteret formulam biquadra- 
ticara inventara ita transformare , ut ponatur vel x zzz | -f- y , vel 
x zzz — I -4- J/, hocque modo pervcniremus ad alias formas biqua- 
draticas ejusdem indolis, quae secundum casus praecedentes tracta- 
tae utique iargirentur valores idoneos pro t/, verum inde pro litte- 
ris a, b, c, d numeri vehementer magni essent prodituri neque ulla 
solutio simplicior illa , quam olim dederam , sperari posset, multo 
minus hinc solutio simples nuper inventa inde exspectari posset. 

§. 12. In his operationibus loco dd taie quadratum assu- 
mitur , quo subtracto aequatio simplex relinquatur valorem ipsius 
X praebens, unde intelligitur, pro dd etiam taie quadratum assumi 
posse , quo subtracto aequatio quadratica relinquatur , dummodo ea 
radiées habeat rationales , id quod in hac aequatione generali usu 
venire observavi : 

aa -h 2 a^x -f- yxx -|- 2 ^ex^ -f" esa;* :z=. zz , 
quoties fuerit [3j3+^5-'y quadratum, sive quoties în^vity—^^ + ^^-c^^^ 
quod ergo accuratius prosequamur. 

§. 13. Sumamus pro zz hoc quadratum: (a -f- j3a:)^ quo 
ab illa forma subtracto, remanebit haéc quantitas : 

XX (y — /3,3 H- 2 hx -\- eexx) , 
quae ob y — (3(3 zn 55 — ^^ transit in hanc formam 



54 

XX ((5 + txf — ^^ , 
îta ut sit 33 ==: (a -+- ^xf -f- xx (ex -4- 5 4- ^) (ea: -+- 5 — 4 ) ; 
unde patet, duplici modo fieri 3 ziz a -f- (3a; , scilicet si fuerit Tel 

a; ;^ — -^^^ vel X m ^ , sicque hoc modo duos valores 

pro X adîpiscimur, qui per vulgarem operationem non reperientur. 
Idem commodum eveniet si pro 33 sumamus hoc quadratum 
(sx-\-^)'xx. Hoc enim sublato remanet: aa -i- 2 a[3a: h- (y — 55).ra-, 
hoc est (a -4- [3 ■'J^)^ — ^^xx ita ut sit in génère 

XX (ex + Sf ((/3 — <) a; H- a) ((^ -f - 4") a: + a) ; 
unde patet rêvera fieri zznzx (ex -f- 5) , quoties fuerit vel 

a • a 

X — — p^r-^ vei X — — prp^ ' 

ita ut hoc casu omnino quatuor novi valores pro x reperiri queant, 

5. 14. Videamus îgltur utrum nostra aequatio : 

|5 85a; — 206a;a7 -h 1 2 x^ -{- 9 a;'' = dd , 

m illa forma generali contineatur nec ne. Comparatione autem în- 
stituta fiet a = |; p=:— 17; y=: — 206; 5=rl7; e=3. 
Erit ergo (3(3 -f- 5(J — 'yzzz28^ ideoque ^1^28, quo circa qua- 
tuor novi valores pro x résultantes erunt : 

X — 1 5 ; X — — (— j ; x — jg ; x — — (— ^ . 

Hic autem probe notandum est, hune egregiura consensum exemplo 
tantum deberi, quo posuimus p :^i 3 et q zn 5. Sin autem his lit- 
teris p et q alios tribuamus valores , ita tanien , ut qq — pp éva- 
dât quadratum, rarissime iste consensus locum habebit. 

§. 15. Evolvamus igltur nunc hos valores ope hujus me- 
thodi prorsus singularis inventes. Sit primo x nz — 15, quo casu 
fit ofrz:a-4-(3r z= — ; reliquae vero littei-ae l'eperientur «zzzl35 5; 
b 3=: -^ ; c n: 1 2 8 5 , qui numcri cum sint omnes per 5 divisi- 
biles-, ad minimes termines revocabuntur in integris multiplicando 
per I , tum igitur quatuor nostri numeri qnaesiti erunt ; 



55 

a=z 542 ; fc 1= 359; cz=: 514; rfrrlOS, 
qui sunt illi ipsi , quos initio exhibueram. 

§. 16. Secundus valor pro x inventus erat a?irr y ; ubi fit 
rf 1= Û5 -f- |3.r zz: — —^-. Reliqui porro valores erunt : 

« = -3 ' ^ = -6^ ^ = '3-' 

qui per 6 multiplicati ad hos numéros revocantur : 

a=i514; 6=103; c :^oA2 ; cZ=:359, 
qui cum praecedentibus conveniunt. 

§. 17. Consideremus nunc tertium Talorem x zzu jV , pro 
quo erit d-zz.x itx -\~^) -zil'-^^; tum vero l'eliquae litterae hos 
nanciscentur valores : 

oj. ' luo 54 

nniltiplicando erit in nunieris integris : 

rt=z:542; i::=359; c z= 5 1 4 : c?=:l03. 

§. 18. Sit denique a: = — i eritque dnz''-^ tura vero 

sive per 5 dividende et per 2 2^ multiplicando fict in nuraeris 
integris : 

az=514; bzzzi03; cr=:542; dzzzSSQ. 

§. 19. Praelerea vero formula nostra pro dd inventa etiara 
hac insigni gaudet proprietate quod si extremi tantum termini tol- 
lantur , pars reliqua exhibeat aequationem quadraticam resolubilem. 
l'osito enim loco dd hoc quadrato (^ -^ 3 xxf hoc sublato rema- 
nebit ista aequatio : 1 02 ta; — 22 1 .i- — 85 =z , quae per 1 7 
divisii fit 6xx — I3,r — 5 z= 0, unde fit x zz: | et a: = — i qui 
sunt iidem valores , quns supra operatio prima et secunda prae- 
bucrat. 



56 

Alla Analysis ad eandem solutlonem ducens. 

§,2 0. Ut fiât «* — i' 1=3^* — cf ponatur 
a^zmCf-i-gy, bzzzm{f—g); cz=.7i{h~\-k)\ dz^nÇh^k). 
Tum enim erit m\fgiff-^ gg^ :=zn''hkOih -^-kk), et nunc statim 
ponatur /r-f-ô'Ê/^^'^i 4- ^'^"^ "t ^^t m\fg z=in^hk sive ^. — ^, 
ita ut haec fiactio {-| reddi debcat biquadratum. 

l. 2 1. Staluamus nunc 

ff-\- gg — hh + kk — (aa + ^^3) (7 y + ^^) ' 
unde litterae ita determinari poterunt 

/=ay+p5; g-=.o.l — ^y\ /i=:a54-(3'y; A- = ay — (3ô; 
quamobrem esse debebit £ ^ gl^ilgl^-g] . Ut haec forn.u- 
la ad pauciores litteras reducatur , ponamus a — P^ et y — hj, 
iîetque -, _ (^c^ — i),:c4^ 

§. 2 2. Ista quidem formula solutu est dlfficillima, si modo 
ad quadratum reducl deberet unde vix ulla spes aflulget , quemad- 
modum ea adeo ad biquadratum reduci liceat. Intérim tamen forte 
fortuna incidi in modum omnes difficultates superandi , qui m hoc 
consistit, ut ponam y izr ^^^ -- tum enim erit : 

a te — 

quocirca nostra aequatio erit ^ =: .r.r — 3, quae jam faciliime ad 
quadratum perducitur, ponendo x -zz. — —- — tum erit 

XX — 3 zz: (p/J — 3 qqf , 
quocirca extrada radice erit ^ = ^=^''^ . quae ergo formula 
dcnuo quadratum reddi débet ; quadratum ergo fieri débet 

2 pq (pp — 3 yv) , 



57 

ubi statim casus simplicissimus in oculos incurrli sumendo p zz:. 2 
et 7 ::=3 1 tuni enim fiet — rr: | , ideoque nzzz i et ;u ^z: 2. 

^. 23. Nunc igltur erit a: ^ | ideoqvie ?,' z^ |S , Quare 
cum sit -j =^ I et ^ zz: z/ rr: f^ statuera potcrimus az:i:7; (3zr:4; 
YZ^28; 5z3l7 ex quibus valoribus porro coDigiinus 

/z=:264; g :=z 7 ; h^=: 23i ; k zzz i2S, 
ex quibus ipsi numeri quaesiti ita definiuntur ut sit : 

az=:542; b zzz ôiÀ ; czz:359; d zz: i03 , 
qui sunt ipsi numeri ante inventi, 

§. 2 4. Postquam hac occasione numéros ex Commentarlo- 
rum loco supra citato descriptos attentius considerassem , mox da- 
prehendi, in lis errorem calculi esse commissum, quo emendato nu- 
meri quaestioni satisfacientes multo minores reperiuntur, Erit enim 

A:z=12231; Bz=10203; Ci:=103Sl; Drr290:3; 
qui post eos quos hic invenimus pro minlmis videntur habendi. Ma- 
jores autem numeri ibi traditi recte se habei'e sunt depreliensi. 

§. 2 5. Quanquam autem hoc modo resolutio inijus aequatio- 
nls A'^ -f- B' — . C* — D^ zzz féliciter successlt, tamen inde millum 
subsidium ad istam aequationem resolvendam : A"*-+-B''-4-C '— D'*zz:0, 
ita ut nulla summa trium biquadratorum exhiberi posse videatur.bi- 
quadrato aequalis, Quin etiam equidem hacteiuis sum occupatus 
in quatuor biquadratis inveniendis quorum summa esset pariter bi- 
quadiatuni , etiamsi iste casus secundum analogiam possibilis videa- 
tur. At vero quinque biquadrata pluribus modis dari posse ob- 
servavi quorum summa est biquadratura. 



g 

Suppl. aux Mémoires de tj4cad. 



58 
VI. 

D E 



RESOLUTIONE HUJUS AEQUATIONIS 

Ozzza-h bx ■+-cy->t- dxx -+■ exy-h/yy-h gxxy •+■ hxyy -\- ixxyy 
PER NUMEROS RATIONALES. 



Convenuii exliibita die 9. Oct. 17S0. 



1. 



Haec formula nihilo aequanda complectitur in génère omnes 
functiones rationales intégras duarum variabiliuni a? et ?/ , quarum 
utraque non ultra secundam dimensionem assurgit. Ista igitur ex- 
pressio coniprehendere potest novem terminos omnino , quos com- 
mode sequenti Scheraate quadratico repraesentari licet : 

„2 



X 



X 



1 
y 
y" 



a 
c 


b 


d 


e 


9 


h 


i 



Circa hanc igitur expressionem istam quaestionem evolvendam sus- 
cipio, quomodo pro binis variabilibus x t\. y valores rationales in- 
vestigari oporteat , quae aequationi satisfaciant. 

\. 2. Ante omnia autem hic dispiciendum est, utrum forma 
proposita resolutionem in duos factures rationales admittat nec ne, 
quando quidem priori casu quaestio nuUa plane laborat difficultate. 
Duplici autem modo evenire potest, ut taies expressiones duos fac- 
tures involvant. Primo enira ea potest esse productum ex tali- 
bus duobus factoribus ; 



59 

(a + (3:c 4- yx^) (5 -f- £.V + ^î/l/) = . 
lîorum enim factorum dummodo alteruter radiées rationales conti- 
neat alteram variabilcm piorsus pro lubitu accipere lieebit. Sin 
autetn ncutcr horum factorum nihilo aeqiiatus radiées radionales 
complectatur , tum etiam aequationi proposilae nullo modo satis- 
fieri poterit. 

^. 3. Alter modus , quo factores locmn Iiaberc possunt ita 
se habet : 

(a 4- (i.v -[_ Y2/ -4- Sxy) (e -^ ^x -{- y]y -+- ^xy) =r 0. 
Resolutio enim hic infinitis modis in génère succedit. Posito enim 
priore factore a -i- ^x -{- yy -{- Sxy zzz ex eo ultro sequitur 
y rz ~~ V^ -^~ ) ita ut, quomodocunque alterutra variabilium accipia- 
tur, alterius valor facillime assignai'! possit, idque adeo duplici mo- 
do, ob geminos factores, quorum uterque nihilo aequari potest. 

^. 4. His autem casibus remotis resolutio quaestionis pro- 
positae non parum est ardua, siquidera methodus desidcratur omnes 
plane valores investigandi , qui pro x et y substitua aequationi sa- 
tisfaciant. Utralibet enim variabilis pro cognita accipiatur , alterius 
determinatio deducit ad resolutionem aequationis quadraticae, ideoque 
oritur formula radicalis ad rationalitatem perducenda , quam dupll- 
eem resolutionem accuratius perpendamus. 

§. 5. Consideremus igitur primo variabilera x tanquam cog- 
nitam, ac posito brevitatis gratia: 

a -f- bx -f- dxx zzr P ; 

c -\~ ex -f- gxx z:z: Q ; 

/' ~\- hx -f- i XX zm R , 
aequatio hanc induet formam P -f- Oy -f- ^UU ^^ > unde radice 
extracta oritur : 



y — 



S* 



6o ^ 

Tibî ergo omnes valores ipsius x desiderantur quibus isla formula 
radicalis : y QQ — 4PR rationalis reddatur. Ista autem forma ir- 
rationalis, si loco P, Q, R valores assumti restituantur , evadet : 
|/ (c ~\- ex -j— gxxy' — 4 (a -4- bx -+- dxx} (/^-\- hx — |— ixx). 

Facta autem evolutione prodit sequens expressio non parum cora- 
plexa : 

y {ce— Âaf)-^-Ç2ce — Aah — Abf)x-+-{2cg-i-ee — Âdf — Abh — iai^x' 
-^ {2c{i ~ Adh—Abi) x^-^{gg ~ Adi) x'* , 
quam ergo ad quadraium reduci oportet. 

§. 6. Quoniam haec formula est biquadratica constat ejus 
resolutioncm ne suscipi quidem posse nisi saltem unus casus inno- 
tescat que ea évadât quadratum ( ac saepenumero etiami unicus 
talis casus non sufficit). Cognito autem uno casu , veluti x zzz n 
secundum praecepta Analj'seos solita statui débet x zzi n -\- z , ut 
obtineatur nova formula unde valorem ipsius s deducere liceat, qui 
sit n' , tum simili modo ulterius statui solet z zn nf -\- z' ut hoc 
modo valor %' innotescat , eodemque modo continuo ulterius pro- 
gredi licet. 

5. 7. Evidens autem est hanc solvendi methodum maxime 
esse molestam , ac plerumque vix ultra tertiam operationem ob nu- 
méros nirais magnos continuari posse ; quamobrem hic methodum 
plane novam sum traditurus, cujus ope sine repetitis subscitutionibus 
facillime ex valore jam cognito continuo novi valores deduci queant, 
quae ergo methodus in Analysin Diophantaeam insigne incremen- 
tura allatura est censenda. 

§. 3. Ante omnia igitur hic assumo, cognituni esse valorem 
X zz. m, cni respondeat y zn n , et quia inter .r et y nacti sumus 
istam aequaiionem quadraticam P -\- Qy ~\- Ryy nz . ubi est , uti 
assumsimus : ?:zza ^. bx-^dxx; Qzzc-hex-i-gxx et Rzz./'^fix-i-ixx, 



6l 

huic aequationi per hypothesln satlsfiet, sumendo .rm»t et y — » ; 
at vero eidcm valori x ziz. m gemlni valores pro y convenient, 
scilicet praeter y zzi n adhuc alius , qui sit yzzzn, qui facillime 
innotescet , cum ex natura aequationum sit n ~\- n' rr: — ^- , ideo- 
que ri z^L — 8= — ,j. Yel etiam, cum sit un' zz: .r- habebitur quo- 
que 7/zr:^; hocque ergo modo ex datis valoribus x^zm et 
y -ZZ-ii novus valor ipsius y, scilicet n' obtincbitur. 

\. 9. Simili modo etiam tractari potest forma aequationis, 
unde ex dato y definitur x^ quae aequatio, ponendo brevitatis gra- 
tia a -t- cj/ -+-/t/y ziz S ; b -+- ey -^ hyy zz: T ; d -+- g y -i- itjy zzzU , 
habebitur haec aequatio S ~\-Tx -^\Jxx ::zz ; unde patet, cuilibet 
valori ipsius y duos respondere valores ipsius x quorum summa 
semper erit zz. — y- , productum autera zzz ^j- ■ Quare cum 
constet valor yzzn, eique respondeat xzzzm, si alter valor ipsius 
a- sit ni erit in -h- 7n^ zz — ^j- ideoque m'' zzz — ^ — 7n , tum 
vero etiam mm' -^z. rr , ideoque »i'' :=: ^ , unde jam patet, harum 
Ibrmularum ope ex binis valoribus m et n continuo novos alios 
derivari posse, ita ut non opus sit ulla substitutione uti, qua forma 
proposita in alias formas transmutetur. 

§. 10. Hinc igiiur tradi possunt praecepta pro omnibus 
hujus generis quaestionibus resolvendis, quae in sequente problemate 
exponamus : 

P r o b l e m a, 

Proposita aequatione inter binas variabiles x et y in forma 
generali nostra contenta , si innotescant idonei valores 
pro X et j, ex iis alios novos elicere. 



62 

s 1 u t i 0. 

§. II. Talis aequatio ob binas varîabiles x ti y dnplici 
modo repraesentetur : 

I. V -\-Oy-\- Rtjij — , II. S 4- T^c + Vxx =z , 

ubl evgo in priore litterae P, O, R erunt functiones ipsius x, in 
posteriorc vero litterae S, T, U, functiones ipsius y. Jam déno- 
tent X et y ipsos valores jara cognitos, et quia cuilibet x respon- 
dent duae y, quarum si altéra designetur per y'', erit y-\-y' zzi — ^ 
vel etiam yy' zzi ^r- .' Simili modo cum cuilibet y respondeant duae 
X, quarum altéra si sit x^ erit x -\- x^ zzz — -^ vel xx'z:z^^' 

\. 1 2. Cum nunc valores x ti y habeantur cogniti, e.x for- 
mula posteriore reperitur x^ zn — ^j — x vel etiam x^ nz ^— , hic 
no vus valor pro x inventus combinetur cum valore cognito y, in- 
deque ex priore formula reperietur novus valor pro y , qui erit 
î/' iz: — ^ — y , vel etiam ?/' z= =r— . Hic jam valor cum immé- 
diate praecedente x conjunctus praebebit ex forma posteriore no- 
vum valorem pro x, qui erit x'' zzi — jj — x, vel etiam x^ zz: — 
hocque modo progrediendo séries infînita orietur, alternatim valores 
idoneos pro x et y exhibens, quorum bini contigui aequationi pro- 
positae satisfacient. 

§. 13. Ouod si ambae variabiles x et y permutentur , alia 
similis séries erui poterit , scilicet incipiendo ah y et x, ex priori 
formula novus valor pro y reperitur qui erit y' zzz — ^ — y vel 
y^ zzz. jT- . Ex hoc valore cura cognito x conjuncto coliigitur no- 
vus valor x' zzz — rj — x vel x' zz ^- , qui denuo conjunctus cum 
proximo praecedente y dabit y^ zzz ^ — y vel y^ ::=: — , hocque 
modo etiam sine fine progredi licebit. Interdum tamen alterutra 



63 

harum serierum abrumpi potest , quando pervenitur vel ad a; zir oo 
vel ad z/ HZ oo , tum enim ulterius progredi non licet. 

§. 1 4. Talibus autem valoribus pro x et y invcntis cum 
ex resolutionc prioris forraulae fiât ?/ =r — "^ r"" ' ''^ oranes 

valores pro x inventi reddent formulam QQ — 4 PR qnadratum . 
Simili modo cum ex altéra aequatione sit x iZL — "~ rr— .-^su 
omnes valores pro y inventi reddent formulam TT — 4 SU quadra- 
tum. Quo autem usus horum praeceptorum clarius appareat , ali- 
quot exempla subjungamus. 

Exemplum 1. 

\. 15. Proposita si: haec aequatio : 
xxijy — xy-\~ A-=z xx 4- yy , 

ubi staiim patet sumto .r ziz fore 2/ =z -f- 2 , similique modo si 
y zn fiet x:zz-\-2. Praeterea etiam notetur casus quo a;zzl; 
tum enim fiet y zzz 3 , eodemque modo si y :^ 1 fit a; zz: 3 , qui 
ergo sunt casus cogniti, ex quibus innumeros alios derivare licebit. 

5. 1 6. Hune in finem repraesentatur aequatio proposita du- 
plici modo : 

I. 4 — XX — xy -\- y y (xx — 1 ) ziz 
II- à — yy — yx -^xx (y y — i) =: 0, 
Ex harum prima oritur y ~\~ y^ zz. — ^— , vel etiam yy' zzi^—^^,, 

Eodem modo ex altéra oritur x-+-x'— — —— vel etiam a:.r''- —— . 

y y — I yy — i 

§. 17. Incipiamus nunc a valoribus xzZ-O et yzz:2, unde 
ex formula posteriore ûix' — ^ ex hoc porro cum praecedente y— 2 
prior formula dat «/' =: — '| . Hic porro valor cum praecedente 
^ ::i: I conjnnctus dat x' zzz — fp ex que porro fit y^ zz: — 



I I09 
Si 



64 

Hos igltur valores ordine disponamus : 

5 ' 



x — o; y— 2; x = |; y =: - f ; :r= — f2i y—-'-^; etc. 



§. 18. Si incipiaraus a valoribus .-rzrzO et yziz — 2 iidem 
prodibunt valores signis tantum mutatis, quod etiam eveniet permu- 
tandls variabilibus , sumendo y zrz et a; :^:; -1- 2 ; tum enim pro- 
dibunt pi*o. X valores quos antea pro y invenimus et vicissim. In- 
vertendo porro, si incipiamus ab ?/ zn 2 et a- rz: , sequens valor 
pro y erit — 2 , unde manifesto prodit séries secundo loeo com- 
memorata. 

\. 19. Verum valor qui praeterea nobis est cognitus novos 

producit valores; incipiendo enim ab xzizi et yzziS erit x'~ — |; 

y'' zz: ~ll; x^-' :iz: ^^ . Ouod si ordine inverso incipere veU 

lemus, ponendo y z:z 3 et a; zzi 1 fit statim y zn 00 , sicque jam 

tota progressio sistitur. Valores autem hic inventi ordine dispositi 

erunt .-r zz: 1 ; 11 ^^ 2> ; x :zz. — | ; tl zzz. — II; x zzi — nbi 

' ^ ' s ' >^ — 39 ' '9-29 

notandum eosdcm valores etiam signis mutatis, atque adeo valoribus 
X et y inter se permutatis quaesito pariter satisfacere , sicque pro 
solutione problematis duas séries in infinitum procedentes sumus 
adepti. 

Ç. 2 0. Cum in hoc exemple habeamus P zz: 4 — xx; 
Q.::^ — x; Rzzra^r— 1; tum vero S Z3 4 — yy; Tzzz — y: Vzziyy—i; 
erit QQ — 4PR. =: 16 — 19 xx -f- Ax'*. Similique modo 

TT — 4SU zz: 1 6 — 1 9 ?/?/ -f. 4 y'\ 
quae cum sint similes inter se , ista formula : 16 — iç zz -\- Az 
semper evadet quadratum si loco z sumamus tam valores pro ■>: 
quam pro 7/ inventes, qui ergo valores ordine dispositi sum : 
2 s - ^ i^S 

ï 77 '5' 

S' 39 ' ig. -"9 



1,3, 



Yeiuti si sumamus z zzzl erit 1 G — 1 == -f- 4 z'^ zz: ^- 



§. 2 1. Haec insignis proprietas isti innititur funJamento , 
quod in aeq\iatione proposita binae variabiles x et y intcr se com- 
rautari possunt; quotles evgo aequatio proposita ita fuerit comra- 
rata scmpei- eadem proprietas locum habebit, ut valores pro litteris 
X et y inventi permutationem admittant ita ut, cum séries horum 
valorum fuerit inventa quilibet bini termini ejus contigui pro iilteris 
X et y sine discrimine accipi queant. Operae igitur pretiura erit 
omues istos casus in génère cvolvere. 

E X e m p I u m 2 . 

^. 22. Proposita inter binas variabiles x €t y hac aequatione: 
a H- 13 (.r 4- «/) 4- 7 (.rx -^ yij^ -^ Sxy -+- exy (.r -t- y) -h ^xxyy z^ 
ubl X et y permutationem admiitunt , investigare omnes valores 
ipsarum x «t y huic aequationi satisfacientes. 

§. 23. Reducatur aequaiio proposita ad hanc formani : 
a -+- j3ar -t- yxx h- y ((3 -i- 5a; h- exx) -^- yy (y -^ E.r -+- ^xx) zz^ 0, 
unde fit pro forma nostra generali : 
P z^ a -)- (3.r -1- yxx , 
Ç) rz: |3 -^ Sx -\- s xx ^ 
R := V -{- SX -\~ c,xx ^ 
qui lidem valores, permutatis x et y, valebunt pro litteris S, T, U; 
unde pro binis valoribus ejusdeia litterae habebimus y -{- y' rzz — ^ 
vel etiam yy zn: — • 

§. 2 4. Sint nunc A et B bini valores cogniti pro litteris 
X et j/, ex iis sequentes qui sint C, D, E, etc. per sequentes for- 
mulas defini€ntur: C ^-~^ -^"~ ^ ~- A sive ç — ^±P" + ^»^ • 

tum vero D __ - y:^^^_^-^ - B s,ve D z= .^^±L^— 

p _ iJ-6D-tm __ p . „ g + fBP-t-'YD' 

etc. etc. 

Suppl. aux Mémoiret de tAcad. ^ 



66 

Inventa igitur hac série, quilibet bini teimini contigui pro x et y 
assumi poteiunt. Ita si suraamiis a; zr: D erit vel i/ zn C vel 
y ;2i: E ; utioque enim modo aequationi noslrae satisfiet. 

L 2 5. lidem pono etiam teimini hujiis seriei semper for- 
raulam QO — À PR reddent quadiatuin quae cum aeque valeat pro 
X et y, earum loco scribamus novam litteram z et cum sit 

P z:r a -f- (3= -H -ys:;; Q =: ^ -f 5z + ezz; Rzzzy -^ ez-i-^zz 
facta ovoliuione pro formula QQ — -4PR talis expressio reperietur : 
$t -h 53^ -4- £-' -f- ^-' + Ê-*> "bi erit : 

51 = f3(3 — Jtay , 

S5 rr 2(35 — 4a.e — 4f3y , 

e = 55 — 2p£ — 4a^ — 4Yy , 

^zzz2h — 4P4' — ^-ye , 

(? = ee— 4p^. 

5. 2 6. Igitur formula ad quartam dimensîonem ipsius s ex- 
sureere potest , cujusmodi formuiae in Analjsi Diophantaea difficil- 
linie non nisi per longos calculos ad quadratum l'educi possunt. At 
vcro séries terminorum A , B , C , D , etc. ita est comparata , ut 
ejus quilibet terminus pro z assumtus liane formulam leddat qua- 
dratum. 

Ex e m p 1 u m 3. 

§. 2 7. Proposita sit ista aequatio : 
xxy — xyy -\- xx -4~ yy — 2 ziz , 
cui primo satisfaciunt valores x zzz. i ti y zm 1 ; tum vcro etiam 
x~ — 1 et y~ — 1. Haec aequatio ad nostram formam P-t-(2:r-)-Rx.a; 
reducta dat P zzi xx — 2 ; Q =: xx ; R m 1 — x. Altéra vero 
forma S -f- Tj/ + Vyy erit S—yy — 2; T=z—yy; U — 1 -4- y 
unde deducimus bas formulas: y-^-y^z^ -^^ vel etiam yy' ~~ —~— ; 
tum vcvo X ■i' x'' zz:-] — ^— vel etiam xx^z^-^—- 



6® 

J. 28. Ope harum formularum si incipiamus ab his valori- 
bus a; m 1 et y HZ i sequentas invcstigentur : 

-r' — J- u' — • V'^ —31. y^y _ Z^ . x'^^ 4--l'l_. 

^ — 2'î/ g-^ 5 ' y i3'^ ^ij.2o 

Pro altero casu cognito incipiamns ah y ziz — 1 cl x :zz: — l et 
valores sequentes ordine erunt : 

y:^l; x'^\; !/'=y; x^' = - ; î/ ^'' =:-■_;_ ■ 

Hi valores posteriores conveniunt praecedentlbus mutatis lam signis 
quam binis litteris x et j/ cujus ratio est evldens ex ipsa aequa- 
tlone proposita. 

§. 29. Cura hic sit : 
■ Q'2 — 4 PR =Z x'' H- 4 x'^ — 4a:a: — 8 :r + 8 , 
ista formula evadet quadratum , quoties pro x quispiam vaiorum 
inventorum substituatur qui sunt ordine :. 

1 1 — I -U î ■ .'-- -4-25 _I_ .^'I_ . etc 

1' ^' 2' n-fi, 5 ' ^^ i3 ' ^^ I3.50 ' ^'^" 

Veluti si sumaraus a; -izz. J erit 

6 

OO — 4PR=:g. 

E X e m p l u m A. 

\. 3 0. Proposita sit haec aequatio : 
xxyy — ar — y -h 1 =:i o , 
cui sumto a;mo satisfacit 2/n:l; at suinta î/:m:0 satisfacit anzl 
Jam quia formulae nostrae erunt y -\- y ziz. — t\. y'yzzi^-^^ ^ tum 



XX 



vero X -4- .x'^ m — et xx^ zz: ^ . Hinc incipicndo a valoribus 

a: rz: et y iz: 1 sequentes erunt ,r' m 1 ; y' zz ^i ; a/'' rz: =o. 
Tum aller casus y ZH et x zn 1 dat ut ante y' ziz 1 ; x/ zz. ; 
,v'^ z:^ oo , unde patct hinc alios valores non obtineri , praeter 

9' 



6Z 

xrzzO ; î/=rO; xz=:l 

y =: 1 ; .T — 1 ; y r= 1 
neque tamen hinc concludere licet nullos alios valores satisfacere. 
Si enim alius insuper valor cognitus daretur , ex co foitasse alios 
Dovos eniere liceret. At rêvera alii valores prorsus non dantnr 
Constat autem plurimas dari formulas , quae paucis tantum quibus- 
dam casibus quadrata reddi possunt. 



69 

VII. 

METHODUS NOVA ET FACILTS 

FORMULAS CUBICAS ET BIQUADRATICAS AD QUADRATUM 

REDUCENDI. 



Conventui cxhibita die l6. Oct. 1730. 



5 i. 

Ouando in Analysî DIophantea pervenitur ad formulas cubi- 
cas vel adeo biquadraticas quadrato aequandas, ante omnia necesse 
est, ut unus saltem casus innotescat, quo hoc eveniat; tum vero prac- 
cepta constant, ex tali casu cognito alium eruendi, quo invente for- 
mulam propositara ope certae substitutionis in aliam tranformari opor- 
tet , unde simili modo novus valor investigari solet. Hoc modo 
pei' continue repetitas substitutiones et transformationes totum nego- 
tium absolvi débet , quae autem mox ob numéros continue majores 
occurrentes tam fiunt molestae ac taediosae, ut vix quisquam reperia- 
tur, qui has operationes aliquoties reiterare voluei'it. Quamobrem non 
dubito , quin methodus , quam hic sum traditurus insigne incremen- 
tum Analjsi sit allatura cujus bénéficie sine ulla substitutione vel 
transformatione ex casu quevis cognito alios derivare lioet , cujus 
quidem methodi jam aliquot specimina in médium attuli , hic autem 
eam diluclde expiicare, ejusque usum ostendere accuratius constitui. 

§. 2. Sit igitur formula ad quadratum reducenda : 
A -h Bx -+- Cx-2 4- D.r3 -f . Ea:'* =3 V , 

ac totum negotium hue redit , ut ista formula ad hanc speciem 
revocetur V zi; P^ .+- QR, ubi literae P, Q, R taies désignent formas: 



70 

P m a -\- b X -\- c XX 

O z^ d -]~ e X -\- f XX 

R :zz g -\- h x -\~ i xx 
tura enim cum V debeat esse quadratum , statua tur ejus ladix 
— P -4- Qy , unde orietur ista aequatio : 2Py-t-Qi/j/zr:R, 
quam in posterum canonicam vocemus, in qua ergo diiae variabiles 
X Gi y reperientur quarum ulraque non ultra secundani dimensio- 
nem exsurgit , ita ut cuilibet valori ipsius x gemini valores ipsius 
y respondeant, ac vicissim cuilibet valori ipsius y duo valores ipsius 
x. Haec ergo aequatio, substitutis valoribus ita erit comparata : 
yy (J H- «a; H- fxx^ -+- 2y (.a-+-bx -^ cxx') — gr — . hx — ixx rz: 0, 

unde pro variabili x formabitur ista aequatio : 

XX {fyy ■+ 2cy — i)^x (eyy h- 2iy — h) -h dyy -+- 2ay — g-=:0, 

ubi brevitaùs gratia ponamus : 

fyy-^2cy— l = S 
c yy ■+- 2 b y — h =z T 
dyy-^2ay — gmli 

ita ut habeamus banc aequationem : Sa;a: -f- T a; -H U in , quam 
ergo cum altéra aequatione : Q:yy ~{- 2Py — R zri convenire ne- 
cesse «st. 

§. 4. Cum igitur cuilibet valori ipsius x respondeant duo 
valores ipsius y , quorum alter sit y , aller vero y , ex natura 
aequationum habebitur : 

y-\-y — ~ Q^ ^* ^^ — ~ Q ■ 
Simili modo cum singulis valoribus ipsius y respondeant duo valores 
ipsius x , qui sint x et x^ , erit x -{- x'' z:zi — ^ et x.t/ m ^ , 
quarum formularum ope ex oognitis quibusvis valoribus ipsarum 
.T et y , alii novi assignari poterunt , ex quibus deinde pariter alii 
novi hocque modo sine fine plures erui poterunt , in qua insignï 
proprietatc consistit natura novae metliodi quam hic sum traditurus, 



71 

quae crgo sine ullis siibstitutionihus et transfovmationibiis continu» 
pluies novos valoies idoneos suppeditat. 

^■. 5. Quod quo claiius appareat ponamus primos valores 
ipsarum x et y cognitos esse xz=ia et î/ = (3 et quia -valori «/ = |3 
respondent duo valores ipsius x, quorum alter est a, alter vcro, 
qui sit y repcrietur ex hac formula : 

eodera modo, quia ipsi y respondent duo valores ipsius y, quorum 
aller habetur (3 , si alter statuatur m (5 erit 

;? a(,-. + S7 + c77) ^ 

Nunc quia ipsi 5 respondet primo xzziy , si alter ponatur zz: z 
repcrietur : 

^ — ju-^icï—ï y ' 

hocque modo ulterius progrediendo habebimus : 

V g (n -)- f'e -f- ctC\ V {f^i -4- -Aj — h ) . 

etc. etc. 

Undc patet hanc seriem secundura logera satis siraplicem quousque li- 
buerit continuari posse. Inventis autem tcrminis hujus seriei : a, |3, y, 
5, f, etc. alterni a, y, £, >] , etc. praebebunt valores ideoneos 
pro litera x , quibus formula proposita rêvera fit quadratura. 

^". 6. Possunt etiam bini valores cogniti xz^:.a. et j/ziz(3 
in ordine permutari, ila ut incipiamus ab ?/ zr: j3 et a: in: a ; atque 
ope earundem formularum similis séries rétrograda formari poterit, 
cujus terlius terminus erit novus valor ipsius y, quartus ipsius x, quin- 
tus ipsius y et ita porro, ita ut istius seriei tcrmini secundus, quar- 
tus , sextus, etc. etiam valores idoneos pro littera x sint cxhibituri. 
Interdum quidcm usa vcnit ut alterutra harum serierum alicubi 
abrumpatur , quod contingit quando ad terminum infinité magnum 
pervenilur. Quin etiam ejusmodi casus occurrere possunt, quibus valo- 



res ipsius x Iterum ad praecedentes reyolviintur, id quod necessarîo 
eveniie débet pio ejusraodi formulis , quae val unico tantum casu 
vel tantum duobus tribus ve quadrata evadeie possunt; veluti evenit 
pro hac formula 1 -\- x^ zzz Q quae tantum tribus casibus quadra- 
tum fieri potest. 

Ç. 7. Cum autem hac operaliones institui nequeunt nisi pro 
litteris x ci y valores idonei, quos posuimus xzzia. et î/mjS, fue- 
rJnt co^niti, laies valores plerumque suppeditat ipsa aequatio canonica 

Î/^Q + 2yP - R == 0. 
Si enlm fieri queat Q m , sive d ->t- ex -^- f xx ziz. , quod evenit 
quando fuerit ee — 4 rf/ zn Q , tum erit y zz: —^ . Deinde si fue- 
rît R :r: , hoc est g -f- hx ^- ixx zzi , quod fît quando fuerit 
Jih — 4^j m □ tum bini prodcunt valores pro y, aller yzziO, alter 
y — — - . Hoc igitur modo evenu'c potest , ut pro x qua- 
tuor valores id-onei repei'iantur , ^imulque iis valores ipsius y 
respondentes innotescant . Pxaeterea vero etiam altéra forma ae- 
quationis canonicae , quae crat S.rx -f- Tjt-J-U rz: valores ido- 
neos praebere potest; si cnim reddi queat ^ znfyy -\- 2cy — ■ i zi: 0, 
unde pro y duo valores resuliarc possunt, id comingit, quando fue- 
rit cc-\-fizz. n ; tum autem erit x zzz — -^ . Dcnique etiam 
quando fuerit Uzr: dyy -^ 2 ay — g zzi ^) , quod evenit si 
aa -f- dg zzz Q pro x geralni prodeunt valores , alter x zzz , 

T ... 

alter x zz:. — — , unde ergo etiam plures casus cognm erui possunt. 
Omnes autem istos valores cognitos , qui immédiate ex aequatione 
canonica derivantur voccmus primitivos , quandoquidem ex bis per 
praecepta ante tradita innumerabiles alii deduci possunt. Ad hoc 
autem impiimis requiritur , ut formula proposita V quadrato aequan- 
da ad hanc formam : V:zzPP-|-QR redigi <}ueat . >Ioc igitur 
aliquot exemplis iilustremus. 



73 

E X e m p i u m 1 . 
^'. 3. Sit formula quatlrato aequanJa : 

V -^r 4x.v -|- (^' — 1) (3.rx — .%■ — I) , sive 
V zz: 3 a.'' -+. 1 erit P =i 2.v ; Q:=z.v— l; R zi: 3xx ~x ~ ( 
unde ac-quationis canonicae piior Ibrma erit : 

iv — 1 ) «/y -+- 4 .r // — (3 a\r — x ~ i) ; 
altéra vero forma : 

— :i XX -^ iyy -le- Ày -^ i) X ~ (yy — l)zzzO , 
unde binae formulae , quas Yocemus directrices erunt : 

: LI.X -, / >V-(-- iy-h I 

At vero ex formula priore oanonica oritur valor cognitus x zzi 1, 
cui respondet yz=.\\ altéra autcm forma, facto yy — i zzz prae- 
bet Ycl î/z:z-(-l vel y zrz — 1, quoi-um priori respondet vel X7:z.0 
vel X zzz 2; alteri vero y ^^: — 1 respondet etiam vel ->? — n 
vel xzzz — I . 

§. 9. Instituaraus igitur operationes supra pi-aescriptas et in- 
cipiamus primo a valoribus x zzzi l et y zz: ] ac reperiemus se- 
quentem seriem : 

. . , j loi . 

Sumamus nunc xzzzO et yzzz-^i, unde formulae directrices pro- 
ducent sequentem seriem valorum idoneorum : 

x=0; yz=zi; x — 2; yz=z—<i; ^ = y ; yz=z-h',J^; etc. 
Invertamus ordinem incipiendo ah y ziz i et x :zz séries valorum 
idoneorum erit : 

yz=.i; x:^0; y ^z. — 1; xzz: — |; ^=:^; etc. 
In his jara seriebus omnes reliqui valores primitivi continentur. In 
praecedente autcm série ordinem valorum primitivorum x :zz l et 
yzini ideo non invertimus , quia sequens ij jara prodiissct in!i- 
nitum. 

§. 10. Formula ergo propcsita V z:z 3ji-^ --f- 1 ad quadra- 
tura rcducitur his valoribus ipsius x : 

1 

SuppL aux Utéinoires de VAçad, 



qui quoiDodo saiisfaciant vidcamus. 
Si xz=i fît Yrz: l' 
. . a: — 1 . . V = 2' 



a:—— ? 



a: rr: 2 . . V =: 5' 

_ A V ^ 

a: — ■ le • • — &^2 



a: 



8 y 13^ 

4*1 Tr 2.5^- 



etc. 

E X e m p I u m 2. 

Ç. 11. Proposita sit haec formula quadiato aequanda : 
V m XX -t- (_xx -h 1 ) (a^a; — 2) , sive 
Y z:z x^ — 2 , ubi- est P :=: a: ; Q =. xa; -j- 1 ; R zz^ xx — 2 . 
Hinc aequatio canonica erit : 

ixx -\- i) ijy -\- 2xij — (jxx — 2) HZ ; 
altei'a autem ejus forma erit : 

iyy — 1) -ra: -f- 2xy-^iyy-J^ 2) — 
unde formantur hac formulae directrices : 

/ ai / ^y 

•^ XX -)- I "^ yy I •' 

Piior autera forma cum neque fieri queat Q cm neque R iz; 
nuUos dat valores primitives ; altéra autem forma dat S :zz ideo- 
que y z^^ i , cm respondet x z^ -Y- i . Praeterea vero cura 
fieri nequeat \j z^i yy -f- 2 zr: , alios _va'lores primitives non s\ip- 
peditat. 

§. 12. Incipiamus igitur a valoribus y zz: i et x zn — | 
et formulae directrices sequentera nobis administrant seriem valorum: 

, a I ii3 

î/_l; a;_-|; y—-; x—-~. 



V - l erlt 


- ? 


ii5 


.r 7P6-' 



75 

Inverientlo auLem x zzz — | ; 2/ ^i:^ 1 ; ^ ^^^ ^>c . Allcii autcin va- 
lorcs primilivi a: =z -+- | et y rr: — 1 eosdem manifesto pniducent 
valores signis tantum niutatis , qui ergo , quoniam in formula pro- 
posita taniuin occurrit xx, novas solutiones aion dabunt . Valores 
ergo ipsius x liactenns inventi sunt x z=. -± \ et x z:^ -'^ , quibus 
formula proposita x' — 2 quadratum reddifur hoc modo : 

si 



E X e m p i u m 3 . 

§. 13. Proposita sit liaec formula quadrato aequanda : 
Y=:ix-\r-iy-^x(x-}- l^(x~2) sr\'e y^zx^-[~i, 
quam certum est aliis casibus quadratum fieri non posse practer 
X nr , X rz: — 1 et x zzz 2 , id quod etiam nostrae operationes 
declarabunt. Cura autem hic sit P-^c-t-l; et QR — a(.r -t- 1 ) (x — 2 ), 
sumamus Qzzix(x-{~\) et R :r^ x — 2; aequatio ergo canonica 
erit X (v -h D 2/?/ + 2 (.r -f- i) z/ — (x — 2) z^ , cujus altéra 
forma erit yijxx -\- (yy -\- 2y — 1) a: + (2y -f- 2) =i 0. Formu- 
lae autem directrices ita se habebunt : 



y^—-^-y et i/— _(>3' + .^-.) 



yy 



X. 



Ex priori forma posito Q nr oriuntur duo valores prlmltivi vel 
X m vel X n: — l , pro quorum priore fit y =z — 1, pro al- 
tero y z^oo. Facto autem R zz: , sive x zz: 2 erit vel y — , 
vel y zz — 1 . Altéra antem forma , posito S i:^: dat y z= , 
cui respondet ,c izi 2 ; at posito U zn dat ?/ z=: — 1 , cui res- 
pondct X zz: 2 quos ergo valores priinitivos «volvamus. 

§. 14. Sit igitur primo x zz: et y zz i et formulae no- 
strae directrices producent : 

■T z= ; yzzz, — 1 ; a- — + 2 ; y zz: ; ,r zz co . 

10 * 



76 

Iiivcrtentlo y rr: — 1 ; .r zzz u ; y ziz: oo . Sumamus nunc hos pri- 
nilùvos valores x :zz — 1; y z^z oo qui dant 

X ■^z. — 1; y zizoo; xzrzO; y zizoo; x zrz. Q ; etc. 
Sumatur denique .rm 2 ci y zzz , et valores erunt : 

X zzz2; y=z^\ a;:=:oo; î/:zrO; arizioo; etc. 
Patet ergo ex omnibus primitivis , qui erant a- rrz ; xzz. — 1 ; 
a' HZ 2, nulles alios novos deduci posse. 

E X e m p 1 u m 4 . 

5. 15. Proposita sit quadrato aequanda haec formula : 
V := a;.r -f- {xx — 1 ) (2 xa; -f- i ), sive V m 2a'* — 1 , 

ad quam pervenitur quando quaeruntur duo numei-i, quorum summa 
sit quadratum, quadratorum vero summa biquadralum. Cum igitur 
hic sit P :=: a:; (^zizxx — 1; '&.zzz2xx -\~ i crit aequatio ca- 
nonica ita expressa : 

{XX — O yy + 2a:î/ — {Ixx -f- 1 ) rr: , 
ejusque inversa 

Oyy — 2') XX -A- 2yx — (yy H- i) = 0. 
Hinc formulae directrices erunt : 

y XI — 1 " y y — 1 

Prior forma, posito Q zr: dat xz:i-±_ 1, oui respondet 2/i=±|; 
at R :=: nihil dat. Ex altéra forma itidem nuUi valores primitivi 
oriuntur. 

§. 16. Evolvamus ergo valores x'^zi et y ^1:.% ex quibus 
per formulas directrices reperiuntur : 

a;:=i:l; yz=.\\xz:^ — 1 3 ; y = — ^ ; etc. 

Permutando autem primos valores fient y ziz | ; x z^ i ; y zzz 00 . 
Reliqui primitivi non nisi signo ditFerunt ideoque eosdem praebent 
valores. At vero valor xzzzii dat Vz=239^ 



77 

j. 1 7. Ildctcnus autem assuinsimus formulam propositam 
quadialo aequandam : 

A 4- Bx --f Cxx -h Bx^ + Ex^ = V , 

jam cssc ad formam PP-+-QR revocatam, atque insuper acquatioiicm 
canonicam inde formaiam Qy;/ -+- 2 Fi/ — Il z=: , ejusque alteram 
formam Sxx -\- Tx -\- \J z^ ita esse comparatam, ut saltem una 
harum aequalitatum Q^zO; RzziO; SmO; Uzr:0 praebcat 
radicem rationalem, quod si non evcniat, operationes supra desrip- 
tae ne institui quidem possunt , nisi forte divinando casus quispiam 
reperiri queat , quo fonnula proposita rêvera évadât quadratum. 
Quod si enim hoc modo innotuerit valor ipsius x , ei respondens 
y ex aequatione canonica derirare poterit ; unde deinceps operatio- 
nes praescriptae institui poterunt . 

§. 18. Yerum etîam reductio formulac propositae ad for- 
mam PP + QR saepenumero maxime est difficilis , praecipue si 
ni>llus easus jam fuerit cognitus. Quotics auiem unus saltem casus 
quo formula proposita quadratum evadit innotuerit , tum ea semper 
ad formam PP-j-QR reduci , et quia casus jam est cognitus, 
operationes optimo successu institui poterunt. Quemadmodom igi- 
tur ex casu cognito formula proposita ad formam PP -j- QR reduci 
queat imprimis nobis erit ostendendum , quo ista tractatio compléta 
reddatur id quod in sequentibus Problematibus expedieraus. 

P r o b l c m a I. 

-5/ Proposita fuciit formula cubica haec : 
A H- Bx H- Cxx 4- Dx^ = V , 
(juae évadât quadratum casu x ziz. a , eam ad Jorinani 
PP -}- QR revocare , indeque aequationem canonicam 
constituerez ex qua deinceps operationes supra dcscrip- 
. tas instituere liccal. 



/S 

s 1 u t 1 o. 

^. 19. Fiat igitur , posito x zzz a nostra formula: 
A -\- Eu -H Crr -h lùa^ :=^ff, 
tum .suratû P ;=:/" ^cmper .pro QR ejusmodi formula prodibit quae 
in factores lesolvi potest , quarum ergo alter pro Q aller pro Jl 
accipi poterit. Tum enim erit QR ^r V — ff, unde loco ^valo- 
rem substituendo , ilemque loco V, prodibit : 

QPv. ziz. B {X — Cl) -H C (a;^ — a^) -t- D (x^ — a^ ) , ideoque 
OR ■z:z {x — a) (B -f- C (.r -^ a) -j- D ixx -+■ ax ~\- a-)) , 
ubi Jam sumi poterit Q ziz x — a et 

R =1 B -h C (:r -4- a) -f- D (xx + ax -^ on) . 

Possent etiam hi valores inter se ..permutari ; verum hinc nullum 
discrimen , in valoribus ipsius x , quos operationes nostrae suppedi- 
tabunt , orielur. 

§. 2^. Inventis jam valox-ibus litteraram 'P , Q , K- , aequa- 
tio canonica erit : 

Uy C^ — «) -I- 2/^ — B — C (x -f- a) — D (,xx -^ ax -^ aa) zrz 
unde pro valore cognito : 

X zzz a fit V =^ —^ 7 — ' 

et jam facile erit ex his valoribus ope formulurum supra datarum 
innumerabiles alios valores litterarum x et y eruere , nisi forte ad 
valores infinitos perveniatur , vel iidem recurrant . 

§. 2 1. Hic autem non absolute necesse est , ut sumalur 
P :^y", sed pari successu ejus loco talis functio ipsius x assumi 
posset , quae posito x nr a abeat in f, tum enim prorsus ut ante 
V — PP factorem habebit x — a. Intérim tamen hinc nulli alii 
valores pro x prodibunt: tota enim res eo ridibit ac si pro y su- 
meremus y -\~ W , dénotante W functionem quandam ipsius x , 
unde pro calculi facilitate expediet statui P zz:/". 



79 
P r c h l e m a IL 

Si formula firoposifa ciibica :' 

V rz A -f- Ex + Cx' -4- Dx' , 
(luobus casibus x rr a et x :zz b quach'aiitm cvadal, eain 
ad fonnam l'P + QR Ita rcJuceic , ut acqiuitio cano- 
nica uli unique valorem x ::^ a et x nz b iiwolvat. 

S I u l. i 0. 

S. 32. l'onamus igiLur casu x ^z. a fieri 
A -t- Ba H- Ca^ -f- Da^ =-// 
at vero altero casu x -zrz b fieri k -\-'Qb -{- Cb' -\- Di ' r= 3^</ , at- 
que pio aequatione canoniea ■ statuamus 

V ;r:-(/J -f- 7 (^ -\r- a) -(- y (r — o) (a; — i))" sive 
V zzz pp -t- 2/)(7 (x — à) ~\- 2py (x — a> (x — Z») -4- qq (.r — «>" 
4- 2qi/ (.X — a)° (a: — i) -4- tjtj (x — «)° (a^- — à/ 

ubi /> et q dénotent certas quantitates constantes ab x non pen- 
clcntes, quas sequenti modo defiaire liccbit. 

Ç. 23. Ponamus primo x^za, et quia tum fit Vrz/"/' ha- 
l>cbimus hanc aequationem : ffzzzpp ideoque przzf; deinde po- 
namus xz^b^ et quia tum fit Vzz:^;^/- nostra aequatio hanc induet 
formara : gg^zff-\~2fq{b — a) -[- qq(b — a)", unde fit (j-z,f-¥q(b — a) 
idcoqua r/m \^z^a ' ^"'t)us valoribus substitutis. Inventis nunc binis 
valoribus p ei q sumatur Vszip-^qÇr — a), atque m.inifestum est 
formulam V — PP factorem habitiuam esse (.t — et) (x — b), unde 
statuamue V — PP zzz M (x — a) (x — b) , atque nunc fiât 
Y = (P 4- y (x — a) (x — h))' , . 

factaque evoluiione et translate PP ad alteram partem tota acf[ua- 
tio divisibilis erit per (_x — a) (x — b) , orieturque 
RI — 2Py A.yy(x — a) (.r — b). 

Quod autcra fjicta evolurione aequatio prodeat per (x —■ a) {x -^ b) 



8o 

(Jivisibllis inde colligi potest , quod ambo casus x z:z a et x ziz b 
inter se permutari possunt ; quare ciim formula V — PP sponte 
factorem habeat x — a , necesse est , ut etiam habeat factorem 
X — b. Quia enim invenimus P =: /-f- ^^"~/_ g -— -^ iacta per- 
mutatione erit P zz: g ~\~ ' /_^ hae duae formulae prorsus 

inter se congruunt. Quare cum formula V — PP divisibilis fuerit 
per X ■ — a , etiam divisibilis erit par x — b , ideoque etiam per 
productum (x — a) (x — b). 



5. J4. Sit Y zzz 3x^ ~\- 1 , quae aequatio casu a: =:: 1 fit 



E X e ra p 1 u m 

j 
Vn:2", casu autem xzzz2 fit Vrrzô^ ideoque habebimus a::r:I, 

fzzz2; 6r=2, g:=:b, unde fiet P 1= 3a; — 1. Hinc igitur fiet 
V — PP:zz3x^-h 9xx-i-6x, quae est divisibilis per (_x — l)(ar— 2), 
cum sit V — PP m (a; — 1 ) (or — .2) 3a:, quamobrem hoc casu erit 
Mzzz 3x. Quocirca pro formula 3a;^ -f- 1 quadrato aequanda ae- 
quatio canonica erit: 3a; zir 2(3x — l) y -{- (^ — 1) (a; • — 2) yy. 
Altéra igitur forma erit yyxx-J^{by — Zyy — 3)x-+-2yy — 2y:iz.O. 
Prior forma ex Q zz: dat statira ipsos valores per se cognitos 
-r — : 1 ei a: zz: 2 ; at vero R rz dat x'^zO. Altéra forma ex 
SrO praebet yzzQ et x—0\ ex Uz:0 fit yzzQ vel y—i quibus re- 
spondet a; zz: sicque habemus très valores primitives a;zz:0, a?z:il, 
.rz:r2, quibus conveniunt y:zzQ; y=.i; ?/:zz-f-|; 2/zi:-f-|. 

^. 2 5. Formulae jam directrices crunt : 

y ^^ -f Ti -\ — y et a; zz: -^^ ^— ^^ x. 

Hinc percurramus casus cognitos, ac primo quidem xzniO et»/r:rO 
nihil dat; at vero invertendo obtinetur: 

T/zizO; a;zz:0; «/:zil; xzzi Q; j/zzO; etc. 

unde patet primum valorem x :zz ad nullos novos valores per- 
ducere. Sumamus igitur xzzzi; yziz-h^ atque seïies erit: 



8i 

,1: =1 1 ; y—-.-^l; a: — — 2 ; y — \: x ~ 2 ; 
ordinem invcrtendo : y nz -f-| ; .r rz: l ; ?/ zz; oc ; .v zz: »'. Dcni- 
que si sumaïur .x" nr 2 et y zzz | valores erunt : 

a-=:2; 2/ = | ; :r r:: — ?; 7/zr|; a:=zl; î/=:oo, 
invertendo autem nihil prodit. Mirum est hanc aequationem cano- 
nicam pro x alios valores non suppeditare, practer .riziO: xzzi.i; 
.T :zz 2 ; xzzz — |, cum tamen idem casus jam supra sit tractatus 
in exemple primo , ubi adeo innumerabiles casus invcnire licuit. 
Unde intelligitur plurimuni intéresse , ut aequatio canonlca idonea 
cligatur. Praesenti scilicct casu perperam duo valores primitivi ad 
aequationem canonioam constitucndam sunt adhibiti. Praestat enim 
unico valorc cognito uti secundum problema .1. quod operae pre- 
lium erit ostcndissc. 

§. 26. Utamur ergo unico valore cognito xz^i, quo casu 
fit \ zzi A rr 2^ sieque habebimus a zz: 1 et fziz 2. Per primum 
jgltur problema habebimus P ziz 2 , ideoque 

QIl ■=. 3 C-r' — 1) = 3 (37 — 1) Ca:j7 H- a: + 1)- 
Sumamus ergo Q nz a; — 1 erit R :zz 3 (ar.r -J- a;- -j- 1 ) et aequatio 
canonica erit {,x — 1)^/2/ -f- Ay — 3 ixx + a; -f- 1) rr cujus al- 
téra forma est — ■ Zxx -f- {yy — Z) x Aç- ^y — yy — 3:zz0 unde 
formulae directrices erunt : 

y^— --'}-- y et x'-^y 



■ X. 



L d( 

k 



Ex priore autera aequalione , posito Q zz: fit a; zr: 1 oui respon- 
det î/ ziz I ; at vcro posito R =z nuUus prodit valor rationalis. 
"x altéra, aequatio S zz: itidem nihil dat ; at vero U zz: dat 
:z:z 1 oui respondet a,' zz: et a; z^ — | ; praeterea dat y zzz 3 
cui respondet x zzz 2. 



§. 27. Incipiamus ab a; zzz 1 et ?/ zz: | et reperientur sc- 
quentes valores idonei : 

oriZZl; y=:l., x =1 ^ ± ; y = g; etc. 
Supp!. aux Mémoires de rAcad. ^ 



82 

Inrersio autcm ordinis nihil praebet ob sequens y :rr oo. Evolva- 
mus ergo casum primitivura y'zz.\. etarznO fietque séries valorura: 

f/nrl; xzzzQ; yz=:3>; a:=z2; y:=z—7; a?z=Ç; etc. 
ordinem autem invertendo : 

a; = 0; yz=l; a;z= — f; »/i=f; a:z=:J; etc. 
In hîs operationibus rellqui bini casus primitivi jam continentur , 
quos ergo superfluum foret proscqui. Atque hic jam omnes valo- 
res supra invcnti prodierunt. 

|. 28. Neque vero ob hanc circumstantiam secundum pro- 
blema omni usu carere cerisendum est. Postquam enim pro exem- 
plo allato sumto P i^ 3 x — I , invenimus 

QR zzz 3 (x — 1 ) (x • — 2) et sumsimus 
Q = 3a; et Rz:z{x — l)(a; — 2); 
unde aliquos tantuin valores pro x eruere licuit. At vero produc- 
tum ilîud àxix — l)(.x' — '2) aliis duobus modis in duos factures dis- 
cerpi potest , suniendo vel Q riz 3 (a; — 1) et R=zx(x — 2), vcl 
Q nr 3 (x — 2) et R :rz a: (jc — 1); tum vero hi duo casus secun- 
dum praecepta evoluti omnes valores idoneos pro x dédissent , 
uti tenlanti facile patebit. Ex quo generatim lioc probe tenendum erit ; 
quoties pro QR reperitur productum ex tribus vel quatuor factoribus 
simplicibus constans omnes plane resolutiones in duos factores pro Q 
et R sumendos in usum vocari et operationes supra traditas institui 
dcbere. Tum enim asseverare non dubito, omnes plane valores ido- 
neos pro X repertum iri, id quod in sequentibus problematibus pro- 
be est observandum. Quamobrem progrediamur ad formulas biqua- 
draiicas , sub hac forma generali A -f- Bx -J- Cx' -4- T>x^ -\- Ex* 
contentas , ad quadratum reducendas. 

P r b I e ma III. 

Proposita tali formula quadrato aequanda : 

A -f- Bx -4- Cx^ -H Da^ 4- Ex* — V , 



83 

qune quadratuin évadât caau x zz: a , cain ad fonnani 
P"-+-Qll reducere, hiucqiie aequalioiicui (<iy/+-2Py -RrzrO 
/orinare. 

S 1 u t i 0. 

J. 29. Sumto xziza fiât Yznff et supra jam ostcndiinus, 
sumto P znf, unde fit QR rr: V — // , hanc expressionem facto- 
rem habituram esse x — a ; in altero ergo factore x ad tcrtiam 
potestatem ascendet , quem ergo neciue pro Q neque pro R assu- 
mera licet , nisi forte factorem simplicem involvat , quem cum 
X — a conjungere liceret. Quare hoc casu excepto negotium alio 
modo est instituendum, id quod facillime sequenli modo praestabitur. 

\. 30. Cum formula proposita V posito x zm a quadratum 
praebeat ziz: ff , ponatur statim x zn a -ir- t, atque manifestum est 
talem formulam esse prodituram : V ~ ff -^ a.t-^^tt-^yt^-\-6 V\ 
quam ergo ad speciera PP -\- QR reduci oportet . Hune in finem 
sumamus P~/-{~ "^ , unde orietur 

QR =: V - PP — (^- ~) tt -+- yt^ + ^t\ 
quae ergo forma hos continet factores : 

^<((3 -^^-+- Vf + 5^0, 
quoi'um alterum pro Q alterum pro R assumera liceblt ; perinde 
vero est quinam pro Q vel pro R accipiatur. Tum autem aequa- 
tlo canonlca erit Q,yy -+■ 2Vy — R zzi unde facile altéra forma ad 
potestates ipsius x accommodata formari poterit , quo facto con- 
structio seriei literarum x tt y nulla arapiius laborat difficultate, 
cura constet casus tzzzO, sive x-zz-a. Quin etiam hic si lubuerit 
loco t valor x — a restitui poterit. 

§. 3 1. Alio autem practerea modo acquatio canonica formari 
poterit ponendo Pmy^-^-l- ^^^ sumendo ^ ita, ut etiam tcrmi- 

11 * 



84 

nus ^It tollaïur quod fit posito $ HZ ^^'l, ■+- ^^ ; tum autcm repc- 
rietur Q_\l z=. y' L^ -h ^ t'^ =^ t^ (y' -i-^'t) , unde pro Q et R hi 
valores accipi poterunt : It et t (y^ --{- 5' t), Reliqua vei'O ut antc 
expedientur. 

E X e m p 1 u m, 

§. 32. Sit formula proposita Y zzz 2x^ — 1 , quac casu 
7? — 1 fit quadratum , sicque erit a nr 1 et fzH 1 ; unde posito 
X z=: i -\- t fiet V = 1 H- S^ -^ 1 2« -h 8 <^-+- 2f '; quare si pro 
priore solutione sumamus P :=: 1 -f- 4t, prodibit : 
QR ^z V — ?P:zztt i2tt -\-Zt — 4). 

Sumto ergo Q zzz tt erit R zzi 2 tt -i- S t — à , quocirca acquatio 
canonica erit ttyy-+- 2 (1 n- 40 y — (2^^ -+- S^ — 4) cujus alieia 
forma ad t instructa erit iyy — 2)tt-\~iS,y — s") t ^ 2y -\- i ; 
hincque formulae nostrae directrices erunt : 

a ft t> y y 2 

§. 3 3. Nunc vero valorem primitivum habemus ^ :=; 0, oui 
respondet y zzi — 2 ; praeterea vero aequatio U n; etiam dat 
t/^zz: — 2, ita ut hi duo valores primitivi conveniant. Inchoëmus 
ei-go nostram seriem a terminis x izi et i/ zn 2 eaque erit 

^=0; y — -~2; t= i2; yz^f^; etc. 
hinc ergo valores ipsius x erunt a: ;z: 1 et .r zz; 1 3 . 

§. 3 4. Applicemus etiam alteram solutionem et statuamus 
P =: l -\- 4t — 2tt fietque QR ziz V — PP =z « (24 f — 2tt) quia 
igitur alter factor necessario est tt sumamus Q~/f et R — 2^(1 2 — t), 
sicque aequatio canonica erit : 

ttyy -h 2 il -{- Àt — 2tt)y — 2f (12 — t)zzzo , 

cujus altéra igitur forma ita se habebit : 

(yy — iy -{- 2) tt -{- 8 (y — 3)f + 2y=:0, 



85 

unde formantur directrices , qui erunt : 

,/ — _ -('-h'jt — 'tt) _ t^ :^ — °C> — ^) — /. 

J it ^ ' yy — ^_y _f- a 

^. 3 5. Quod jam ad valores primitivos attinet , ex priore 
acquationis canonicae forma Q~o dat ^~ , cui respondet y ~ 0; 
aequatio vero R z:; dat t zzz 12, cui respondet y zzz 0. Ex pos- 
teiiofe veio forma aequatio S :rz nullum dat valorem rationalem; 
et U rz; dat y zr: , qui jam in praecedentibus continetur. In- 
cipiamus ergo seriem a t r^ et y r= et sequens terminus erit 
/ z= 12; et quia aller primitivus t zzi 1 2 jam occurrit , pro eo 
novam operationem instituere non est opus. 



P r b l e m a IV. 
Proposita formula biquadratica : 

V := A H- Bx -f- Cx' -h Dx^ -|- Ex '', 
si duo dentur casus xr=a cf xzizb, quibus ea fiât qua- 
dratum, eani reducere ad /'or m a m V:=iPP-hQR, hinc- 
qiie aequatioiiem canonlcain coiistitiiere. 

S o I u t 1 0. 

§. 36. Pro casu x ziz: a fiât Y zir://, et pro altero casu 
X ^zb fiât \ z^gg , atque nunc pro P talis formula requiritur , ut 
QR obtineat factorem (_x — a) (x — b). QuAmobrem , si ponatur 
vel x:iz:a vel xzizb fieri débet PPn:V, ideoque Pn:yV. Hune 
in finem statuamus P ziz /j -f- r/a; , et quia pro casu a: =z « fit 
]/Vzi:y, habebitur haec aequatio p -i- q a ^zi fi; pro altero vero 
casu X ^z b , ûiit p -\~ bq z^ g ; ubi probe notandum est, litteras fi 
et g tam négative quam positive accipi posse. At vero ex istis bi- 
nis aequalitatibus colligiiur : p ^z { ~ ° ° ^^ ^ — f^j: "^ ' 



86 

Ç. 3 7. Ex his igitur valoiibus producium QR z=: V — PP 
certo h.ibebit factorem (r — a) (_x — b). Sit igitur 

QR zr: M (:r — a) (.r — 6) , 
ac si M nulles contineat factores rationales necessario statui debc- 
bit Q = Cr — a) {X — b) et R :=: M ; at si M etiara inrolvat 
duos taciores lealcs, puta M :^ (a; r— ^) (a? — >]) uterque vcl cum 
-»- — a vel cum a; — b conjungi poterit unde duo novae positiones 
oi-iuntur, sicque très aequationes canonicae formari potex'unt. 

E X e m p 1 u m. 

Ij. 3 S. Sit V :rr 1 -h 7 ^:c -t- a;*, quae forma casu a? m 
fit I , casu vero x r= 1 fit 9- Erit ergo « rz: 0, /=.-+: 1 ; de- 
inde bzzz-i et j/itzh^-S, unde aliud discrimen non nascitur nisi ex 
aequalitate et inaequalitate signorum. Sint igitur signa aequalia/— 1 
et j; =r 3 fict noslra formula P = /> -f- «/x ^ I -f- 2.t. Pro casu 
vero /'= — 1 et g' rrr 3 fit P z:zp -\-qx zzz. — l -j- 4jc ; utrum- 
que ergo casum evolvamus. 

\. 39. Pro priore erit QR r= V — P" zz: .r^ -f- 3 j:a: — 4a; 
slve QR m: a; (a: — i) ixx -\- x -\- à) , ubi posterior factor nullas 
continet radiées reaies. Fiat ergo Qzza^Ca; — 1) et R rz ara: -+■ .c -+- 4 
et aequatio canonica erit : 

xix — 1 )J/2/ H- 2 (1 -H 2a:) «/ — ixx -}- a: + 4) r=: , 

cujus altéra forma est : 

iijij ~ i)xx-\-(.Ay — yy — i)x-^2y — AzzzQ , 
unde hae furmulae directrices oriuntur : 

J — jc (x — i) ^ ' yy — « 



• X. 



{. 40. Ex priore forma aequatîonis canonicae aequatio 
Qrz: praebet a: zr 0, cui respondet yznl; deinde etiam praebet 
a; :Z2 I , cui respondet ï/ zz 1 . Ex altéra autem forma aequatio 
S zz fit vel î/ iz; 1 , cui respondet xzz: l, vel j/ iz: — 1, cui 



87 

rcspondet x zz: — 1 . Donique ex aequatione U rrr fit y zzi 2 , 
cui respondet x z:z et .r r3 — 1. Quia autem in formula pio- 
poslta tanlum putcsiatcs pares ipsius x occuiTunt, peiinde est, slve 
X habeat valorem negativum sive positivum , duo tantum valorcs 
primitivi relinquuntur x zzz et a.' m 1 , unde seriem quacramus 
pro X n: et 2/ ziz 2 quae erit x m ; tj nr 2 ; x m — 1 ; 
y:^ioo; ordinem autem invertciido statim ad infinitum deducimur. 
Quare incipiamus ab x ziz 1 et «/ zz. 1 unde séries oritur x zz: 1 ; 
1/ zzi 1 ; xzzzoo^ atque etiam invcrtcndo nihil oritur. Unde con- 
cludere licet , formulam propositam quadratum fieri non posse 
praeter binos casus alias cognitos x ziz et xzzzl. 

§. -/jI. Consideremus intérim etiam casnm quoPjzz; — 1 +- 4.?% 
eritque QR rr: x^ — 9xx -f- Sx zzi x (x — 1 ) (xx — 8) quamobrem 
sumamus QzzixCx — 1) et R^zxx — 8 et aequatio canonica erit: 

X ix — i ) yy + 2 C4x —1)1/ — (XX -\- X — S') ZIZ. , 
cujus altéra forma ita se habet : 

<-yy — i) XX -j- (8ij — yy — l) X — 2y ~h 8 zz: 0. 
Formulae autem directrices erunt : 

y— x{x~,) i/ at X _ -p-^^ X. 

§. 42. Hic itcrum habemns valores primitivos x zzz fi et 
X zzz S. -, quorum priori respondet y :^z A ; posteriori vcro y zzz X. 
Ex altéra forma prodit vel y zzi -\- \ vel y zzz — 1 , quorum iili 
respondet x zz: — 1 , huic vcro x z^-^ 1 . Denique ex U — o 
fit y zzz. A , cui respondet x zz. Q et x zzz — 1. Incipiamus a 
terminis x zzz et y zzz-+- 2 séries valorum erit a? = ; y — -i ; 
xzzz — l; y zz: i ; x zzz oo. Sumamus x zz i et y zzz — î , 
fiet séries x zzz i ; y zzz i ; x zzz oo . Hic jam rcliqui casus om- 
nes eontinentur , unde certum manet , alios practerea nulles dari 
valores idoneos. 



88 

P r h l e m a V. 

Si in formula proposita quachato aequanda : 
Y = A 4- Bx H- Cx' -h Dx^ -+- Ex*, 
Ires coiistent casas , quitus ea fit quaclratuin , scilicel 
xzr:a, xznb, x:^:c, quibus fiât Vz=:ff, Vzirgg, Vzz:hh, 
eam reducere ad formam PP -\- QR , indeque aequatio- 
nem canonicain formare. 

S lu t i 0. 

Ç. 4 3. Hic igitur quantitatem P ita definire opoitet , ut 
productuni QR m V — PP obtineat factores <^x — a){x — b){^x—c); 
quamobrem necesse est ut casibus x ziz a , x m b , x zzz c , fiai 
QR nz: , ideoque PP =n V et P zn: ]/¥. Hune in finem statuatui- 
Fz^p-i-qx-^ rxx et quia x^Zia fit \ zn/fi, ideoque "j/Vn:^^^^', 
casu vero x rr: b erit |/V nz -+- </ et pro casu x zzz ha- 
bebitur y\ i^: ■;+: h ; unde nascuntur hae très aequationes : 
I. ■±:/'z:z. p -{- q a -{- raa , 
II. -±i g -r^ p -\- q b -\- r bb , . 
III. i^ h zzzp -f- qc -f- rcc. 
Ex liis jam tribus aequationibus eliciantur valores litterarutn p, q, i\ 
id quod pluribus modis fieri poterit ob signa ambigua radicum _/, 
g, h; quibus inventis coUigatur valor producti QllirzV — P\ 
quod cum jam habeat très factores simplices x — a, x—b, X' — c, 
quia non uUra quartam potestatem ipsius x ascendit , necesse est 
ut etiam quartus factor sit simplex , qui ergo novum valorem pro 
X suppedilabit. 

^. 4-1. Quoniam igitur QR quatuor factores simplices con- 
tinel, producta binorum pro litteris Q et R accipi poterunt ; per- 
inde autem est , utrum pro Q vel R assumatur , unde très casus 
criri poterunt, prout primus factor x — a vel cum secundo x — b, 
vel cum tertio x — c vel cum quarto modo invente combinetur. 



89 

Quacunque autcm combinatlone utamur posito V rr: (P -j- Q?/)*, 
ob V — PP -H QR orietur ista aequatio canonica Q,yy -f- 2P;/— R— o 
cujus deinde alteram formam Sxa; -h Ta? -t- U zz: elicere possumus, 
quo facto , constitutis formulis directricibus y -\- y^ zn — ~ vel 
yy^ z=: — ^ ; tura vero x -{- x^ -^z — — sive xx^ nz -^ , innumera- 
biles alios valoi'es idoneos pro x invesdgare licebit , nisi forte nu- 
inerus horum valorum ob indolem formulae propositae fuerit finitus. 

§. 4 5. Si ex tribus aequationibus pro litteris p, q, ?•, datis 
lias littcras in génère detei'minare velleraus in formulas valde com- 
plcxas incideremus, cum tamen quovis casu oblato negotium facillime 
absolvalur. Quamobrem usum hujus solutionis in exemple speciali 
ostendamus. 

E X e m p 1 u m 

§. 46. Proposita sit ista formula Vm 1 -f- 3x'^, quae his 
tribus casibus x zz: , x zz: i , x zzz 2 , evadit quadratum scilicet 
casu X ziz. Q fit V zzz 1 , casu vero x zzz i , fit V zzz 4 , et casu 
X zzz 2 fit V :zz 4 9. Quamobrem posito P zzz p -{- qx -\- rxx ori- 
cntur très sequentes aequationes : 

1. ?>\ X zzi Q erit -^j^ i ^zip , 

2. .. X zz: l . . -^^ 2 zzz p -\- q -{- r 

3. .. XZZZ2 .. -+- 7 z=/5 -[-2f/ -|-4/-. 

Sumamus autera omnes très radiées positive eritque p ZZZ i , duae 
reliquae vero aequationes erunt i zzz q ~\~ r et b :zzz2q -^ Àr, mide 
cruitur r zz; 2 et (/ zz: — 1 sicque habebimus P zzz 1 — x -i- 2xx. 

§. 4 7. Hinc igitur reperlemua QR. zz: V — P'' h. e. 
Kt^- — x'^ -f- ix^ — Sxx-i- 2xz: — x ix — i')(x — 2')ix— 1) 
quamobrem sumamus Q ziz (a: — \f et R zz — x ix -— 2) unde 
Suppl. aux Mémoirts de t'^cad. 



po 

ob p ;:::: 1 _■ x -\- 2xx habebitur aequatîo canonica : 

ix — 1)^2/ -H 2 (1 — a; -h 2xx)y-\~x{x — 2) :=: 

cujus altéra forma erit : 

(.yy-{-^y-^ D^^ — ^(yy + y-^ iyx +y(iy-\-2^^=.Q. 

unde formulae directrices oriuntur : 

* — :y:)'-4-4>-t-» -(- Cl ^ — (^^ + 43, + ,),. • 

S. 4 8. Inclpiamus a valore cognito x ziz. , cui respondet 
^HZO, hincque séries valorum erit: 

a?=lO; ?/ = 0; a;=l2; «/ = — 14; a;:z=|^; etc. 
Invertendo autem ordinem prodeunt sequentes valores : 

y-Q; x-Q; yz.~2; a;:=-2; y---%\ a— — |^; etc. 
Sit nunc :r := 1 , cui respondet y -z=.\-, hinc séries ista a,' :n 1 ; 
yrr|; :crr:|-;etc. At invertendo haec y nz | ; a; rz: I ; y^oc. 
Superfluura foret a tertio valore xz^2, incipere , quia in praece- 
dentibus jana continetur. 

§. 49. Sumamus nunc Q_-zz.x{x — 1) eritque : 

Rrr: — (a;— 1) (a; — 2), 

unde aequatio canonica erit: 

X ix — i') yy ■^- 2 (1 — a; -f- 2xx') y ^(x -- 1) (a? — 2) rz: 0, 

cujus altéra forma est: 

iyy-^ 4y-+- i^ XX — {yy -\- 2y -^ 3)a;-f- 2 (?/+ l) zz O. 
Formulae ergo directrices erunt: 

*/ — — i(Lr^i±lHfI _ y sive i/ = ''—-^ 

y x{x — 1} "^ ^ xy 



91 

^. 5 0, Incipîamus itei'um ab a; zr: , cui hic respondet 
y zz: — 1 , unde valores Jdonei hlnc nati : 

XZX.Q ; y:=z—- i ; x zzz -^ i ; y z=. -~ 3 ; xz=:~2; 
î/ — — I ; 37 =z: -f- ^ ; etc. 
tum vei'O invertcndo fict y :zz — 1 ; x = ; t/ ziz oo . Sit povro 
X zzz 1 , cui respondet 7/ zzz , unde sequentes deducuntur valores 
x=:l; y-0; x~2; y~—7; xz=: — ^-,', 2/==^; etc. 

§. 51. Simili modo etiam rclîqui casus aequationis canonicac 
tractari poterunt , ubi una quaepiam radicum /, (7, /i, sumitur néga- 
tive, imde alii valores pro P oi'iuntur, vcrum Iiis nberius evolvendis 
non immoror , cum quae hactenus sunt allata abundc sufficianl ad 
utilitatem et praestantiam luijus novae raetliodi dcclavandam. 



i2 



9& 

VIII. 

SOLUTIO PROBLEMATIS 

AD ANALYSIN INFINITORUM INDETERMINATORUM 

REFERENDI. 



ConveiUui exhibita die 20. Au?. 17S1. 



Problema, cujus heic solutionera tradere animus est, ita enun- 
ciatur : Propositis quotcunque functionibus p, f/, r, J, ^, etc., ejus- 
dera variabilis f, invenire functionera a;, ita comparatam, ut oranes, 
quos ecce formulae difFerentiales : 

pdx , c/dx, rdx , sdx , tdx , etc. 

évadant integrabiles , cujus solutio , brevlter exposita ita se habet. 

Postquam functiones datae pro lubitu certo ordine fuerint 
disposltae , veluti hoc modo : p, q, r, s, etc. ex ils deriventur sC' 
quenles functiones primi gradus : 

Ex his simili modo formentur sequentes secundi gradus : 

quarura numerus jara unitate minor est quam numerus praeceden- 
tiura. Hinc porro deducantur functiones gradus tertii , quae erunt 
s'^' zzi ||r' , if^' zn ^, , etc. quavum numerus iterum unitate mi- 
nor est praecedentium numéro , et ita porro , ita ut si functionum, 
propositarum numerus fuerit 5, ultima sit t^^'''' :i:z ^-pr, • 

Jam simili ratione ex functione quaesita x formemus alias 
per siralles gradus , quae sint : 



93 

dx' / dx^ // dx;^ /// dx^ . 

X Jp ■• ^ 3-2'' ^ dr" ■> ^ ar"" ^'°* 

undc vicissim habebimus sequentes determinationes : 

^x'z=.xdp, dx'' — x'dY, dx''' — x''dr'', etc. 

His foi'mulis cum praecedentibus conjunctis sequentes deter•^ 
minationes seu reductiones formularum primi gradus : 

c/dx''zzzxdg', r'dx^zzzxdr; s^dx^zzzxds; f'dx^ zzixdt; etc. 
Eodem modo formulae secundi gradus ad primuin reducentur , cum 
sit etiam 

r^'dx'' := x'dr', s'^dx'' z=i xW , f'dx'' — x'dt\ etc.; 
porro formulae terdi gradus ad secundum , ob 

s'^'dx''' — x''ds'',^ t"'dx''' =z x''dL'', etc. 
et ila porro. 

Cum jam in ordine lltterarura x, x\ x^\ x"\ x'''^\ etc. per- 
ventum fuerit ad ultimam , quae casu quinque func'tionum erit a;", 
pro ea acciplatur ad lubitum functio quaecunque ipsius i', quae sit 
V, ita 'ut habeamus .r'^'inV, atque hinc praeccdentes omnes sponte 
determinabuntur , cum sit :. 

^■v av „/ ax'" // ax'" j ax" ax' 

— d/'v ' •* — a s'" ' "^ — ôr" ' — a 9'' — af> 

His jam valoribus inventis integralia omnium formularum 
quae requiruntur , ita se habebunt : 

fp 5.x zz; px — x' 



f(j dx z^ c/x — q'x' -f~ X 

fr dx ^iz rx — y^ x' -+- /'x^^ — x 

fs dx zzz SX — s^x' -+- s'^x^^ — s 






/// /// • 'V 

X -t- X 



ft-dxzutx — l'x' -\- f'x'' — f''x"' H- C x" — x" 
etc. etc. 

quarum formularum veritas per differentiationem sponte elucet. 



94 

Ex his jatn tota Problematis solutio est manifesta, sive nume- 
rus functionutn propositarum fuerit major sive minor. Quovis enim 
casu valor ipsius x semper per difFerentialia ejusdem gradus , qnot 
fuerint functiones propositae exprimatur , ita ut , si duae tantum 
proponantur quantitas x ad dlfferentialia secundi gradus ascendet , 
si ternae ad difFerentialia tertii ordinis et ita porro. 

Ilic denique observandum occurit , prouti functiones pro- 
positae alio . atque alio modo disponantur , ad integralia maxime 
diversa perventum iri, quae tamen omnia intcr se convenire neces- 
se est siquidem quilibet oi'do ad solutionem generalem perducit. 
Rêvera autem quaelibet horum integralium forma ad quamlibet 
aliam reduci potest, si loco functionis V assumamus TY. Semper 
enim littera T ita determinari potest ut quaelibet forma integralium 
ad quamlibet aliam reducatur. 



95 
IX. 
DE 

INFINITIS CURVIS ALGEBRAICIS, 

QUARUM LONGITUDO INDEFINITA ARCUI ELUPTICO 

AEQUATUR. 



Conventui exliibita die 20. Aug. 17S1. 



5. 1. Proposueram ame aliquot annos duo Théoreuidia, 
quae mihi quidem omni attentione digna videbantiu", quorum akcro 
stalui, nullam prorsus dari curvam algebraicam, cujus longitudo inde- 
finita cuipiam logarithme aequatur ; altero vero negavi , praeter 
circulum ullam exhiber! posse curvam algebraicam , cujus longitudo 
indefinita arcui cuipiam circuiari aequatur. Utrum vero aliae den- 
tur iineae curvae quarum rectificatio ita ipsis sit propria, ut eadem 
nuliis aliis curvis aigebruicis conveniat, quaestio est maxime ardua. 

§. 2. Inveni quidem nonnullas curvas algebraicas , qua- 
rum longi'.udo indefinita aequatur arcui elliptico atque adeo etiam 
paraboiico ; at vero nullam adhuc investigare mihi licuit ejusniodi 
curvam algebraicam , cujus rectificatio cum hjperbola convenîret. 
Nuper autem incidi in ejusmodi formulas quae infinitas {îracbent 
curvas algebraicas quarum omnium longitudo indefinita ad arcum 
cilipticum i-educi potest, quas idcirco curvas hic in médium attulisse 
operae pretium videtur, siquidem hoc argumentum plane est novum 
neque a quoquam satis dilucidc pertractatum. 

§. 3. Condiseravi scilicet curvam , cujus coordinatae ortho- 
gonales a; et j/ his formulis exprinaantur : 



X 



. 


a cos {n~{- 


,)cp 




n-4-i 
a sin (n -|- 


Ocp 



a 



96 

h cos(n — i) <J) 

n — I 
l sin (n - — 1) (p 



sin (71 ^- 1) Cp — 5 sin (ïî — 1) Cf) 



Hinc erg'> erit : 

3 X 

3$ 

g| =: a cos (;i -{- 1) $ 4- ^> cos (,n — 1) ^. 
Hinc ersio erit elementum curvae : 

O 

y dx^ 4- 9/ =:: ÔCp / aa 4- i6 + 2 «6 cos 2CÎ) , 
qiiae formula manifeste rectificationem ellipsis involvit. Narn si co- 
ordinatae statuantur in elllpsi : 

X r^ycos (f) et Y zzz g sin Cj5 erit 
/ax' + ar = 5 Cp /y/sinCp-' + £7â'cos(^, 
quae formula, ob sin 0^ =: i^'-°^^ et co5(^' — l^^l^ abit in 
hanc : 5(|) y ^J""'"^^ _4_ ^^ -^-'' cos 2 (|), ubi, si sumamus gz:^a + b 
et ./"ziz a — i ipsa nostra formula résultat , ita ut ellipseos ean- 
dem rectificationem habentis sint semiaxes a -{- b et a — b. 



§. i. Quoniam igituv in elemento curvae '\/dx^-+-'^y^ nu- 
merus n non inest, ideoque arbitrio nostro prorsus relinquitur, ma- 
nifestum est , innuraerabiles exhiber! posse curvas algebraicas , qua- 
rum arcus adeo datae ellipseos arcubus aequentur , quae omnes 
curvae inter se maxime erunt diversae , atque pro variis valoribus, 
loco n assumtis , ad ordines curvarum algebraicarum plurimum di- 
versos erunt referendae. Neque tamen hinc sequitur , etiamsi cir- 
culus sit species ellipsis , pro circulo quoque alias diversas curvas 
ejusdem rectificationis hoc modo assignari posse. Cum enim circn- 
culus prodeat , si ambo semiaxes / et g statuantur aequales , ne- 
cesse est ut vel a vel b evanescat. Sumto autem bzzzQ erit : 

g cos (n-f- 1^ „ ., . n sin (ti -4- 1 1 (p 

•'' ■"" n-+- 1 ^^ J n-i-î ' 



97 

fiicquc crit xa: -4- 2/î/ =: (Tq^Tp ' q^'^quiJ pi'O n acclpîatur sera- 
per igitur circulas oritui'. 

§. 5. Cura autcm casu in istas formulas tantura incidissim, 
utiquc opcrae pretium erit in ejusmodi Analjsin inquirere , quae, 
proposita Ellipsi, via directa ad formulas supra §. 3. allatas manu- 
ducal, quem iii finem sequens Problema resolvendum suscipio. 

P r b I e m a. 

Proposita eUlpsi , ciijus coordinatae orthogonales X et Y hls 
formidis clejiniantur : 

yf=:2/cosô et Fz:z 2 g s'm$, 
invenire innumerabiles alias curvas algebraicas , quae cwn 
ista ellipsi communem rectijicationein sortiantur. 

S 1 u t i 0. 

{. 6. Sint X et y coordinatae curvarum quaesitarum , 
et cum esse oporteat dx'^ -j- dy^ ziz 3X^ -j- dY'^ haec conditio im- 
plebitur, si sumatur : 

dx =: dX cos -f- 3Y sin 

du 1=: 3X sin (p — dY cos cj). 
Jam quia hae formulae differentiales integrationem admittere de» 
bent , integrentur, qua fieri licet , more solito , ac reperietur : 

a7 = X cos 0-4- Y sin -f-/50 (X sin — Y cosCf)) 

î/ = X sin — Y cos — /D0 (X cos -f- Y sin (J)). 

§. 7. Cum jam sit X=:2/ cos ^ et Yz^2g sin ^ su- 
maraus angulum Cj) =: 7i$ eritque par notas angulorum reductiones : 
X sin =: / sin Oi + 1) -{-/ sm (n — l)$ 
Xcos0 =:/cos (n-t- t) $ -\-fcos (n — 1)^ 

Y sin 0=:— gr cos (n -f- 1) ^ -j- S^ cos (n — 1)^ 

Y cos r= g' sin (7J -{- 1 ) ^ — g s'm (n — 1) ^. 

1 3 

Suppl. aux Mémoires de VAcad. 



98 

Ex his jam valoribus colligitur : 

X sin (p — Y cos (p == (/— ô') sin (n + 1 ) Ô -f-(/H-6r) sin (« — 1 )$ 
X cos CJ) + Y sin Cp =3 (/— ôT) cos (72 -h 1 ) a -4- (/+ ôT) cos (n — 1 )e , 
quae acquationcs, ductae in ^Cjiirznâ^, et integratae, si brevita- 
tis gratia ponatur f -\- g z:^ b ci f — g ^^a^ dabunt : 

/aCpCX sinCp - Y C0SC|)) — _ "■^'^"^Çn+O^ _ n6cos(n-0^ 

fd<^ (X cos,$ -V- Y sin (t)) = -h ''"';;^^|-^^ + "^""/^7'>^ • 

§.8. Si igitur pro integralibus hi valores substituantur, no- 
strae coordinatae erunt : 

a cos (71 -f- 1 ) ^ -f- b cos (n — i ) ô 

— -4:7 COS (/j -i- 1) ^ — ^^j-^ COS (;j — 1) ô 
a sin (n -f- 1) -f- 6 sin (n — l;$ 

— ^^^ sin Oi-h 1) — ,1^77 sin Qi — 1) 0. 

At binis membris rite conjunctis istae coordinatae pro curvis quae- 
sitis cum ellipsi eommunem rectificationem habentibus , ita erunt 
expressae : 

X :zi. —^^ cos(7î-i-l)^— ^^i-TT cos (77 — l) ^ 

yz:z—^^ sin(n-i-l)$ ~ :;;z:r\ sin(7z —1)0, 

quae expressiones a supra allatis aliter non diffei-unt nisi quod hic 
littera b négative sit sumta. Ubi notandum, casu quo n:zzQ ipsam 
ellipsin esse prodituram. Posito enim nzn Q fiet : 

X z^:ia -\- b) cos Q et 2/ z=: (a — b) sin Q. 

§.9. Si sumatur 11 :zz 2 prodibit sine dubio curva post 
ellipsin simplieissima. Repeiùetur autem : 

a; zz -^ cos 3 — b cos $ et f/ =3 y sin 3 $ — 6 sin 0. 



Loco Y scribamus litteram c et quaeramus chordam yxx-+yyzzzz. 



99 

erltque zz'zz:cc-i- bb — 2 bc cos 2$ , conséquente!* cos2$:^ "^"^"~ *^ , 

hmcque smi)zz:y f^- et cosO — y' ^^ . Hinc , 

cum sit sin 3^ rr: 4 sin ^ cos ô" — sin^ et cos3$m4cos^^ — 3cos^, 
si angulus eliminetur eiuetur aequatio inter ipsas coordinatas x 
Cl y, quae autera ad pluies dimensiones assurget. 

§. 10. Methodus , qua has formulas indagavimus etiam 
multo latius patet atque ad alias curvas loco ellipsis assumtas ex- 
teiidi poterit. Si enim coordinatae pro curva data fuerint : 
X zzz 2/cos a$ -\- 2f cos (i$ -|- etc. 
Y n: 2 £7 sin a ^ + 2 â'^ sin (3 ^ + etc. 
pro reliquis curvis cum proposita communem rectilîcationem haben- 
tibus , ponendo Iterum : 

f—gz=za;/-\-g — b ^i f - g' — a!; f -\- g' — h\ 
fiet 

^ = ;r+^cos(n -)- a)^ — ;^:r^cos(n — a)0 + j;^;:^ ces (n -f- 13) ^ 

— — 73 cos (n — P) ô -f- etc. 

y = ~^a S'" (" ^- a) ^ — —Ta s'nC" — a) e + ~^ sin (n h- |3) ^ 

— JËp sin (n — P)$ H- etc. 

Ubi iterum , ob n nuraerum indefînitum innuraerabiles curvae pro- 
deunt. 



13 



lOO 
X. 

DE - 

INFINITIS CURVIS ALGEBRAICIS, 

QUARUM LONGITUDO ARCUI PARABOLICO AEQUATUR. _ 



Conventui exhibita die 20. Aug. ITSl. 



P r o h l e ni a. 



pjg j Proposita parabola j4FC, -ad axein AB relata, cujus parame- 

ter sit AB zzi B C , invenir e innumeras curvas algebraicas 
AZ, quariun arcus AZ aequales sint arcui parabolico AYs 

C on s t r u c t i o. 

Ad axem AB , rétro productam in F usque eadem describa- ■ 
tur Parabola AG. In hac axe capiatur pro lubitu punctum F , 
ita tamen ut , ducta applicata FG , haec recta FG ad Parametrum 
AB rhtionem teneat rationalem , quae sit ^^^ un n. Tum enim ex 
quolibet tali puncto F construi poterit una curva AZ quaestioni sa- 
tisfaciens. 

Pro Parabolae enim puncto quocunque Y , abscissâ AX et 
applicata XY determinato, rectae FG normaliter jungatur GVz=:XY, 
ut obtineatur angulus GFV zr: ^ ; quo invento capiatur angulus 
AFZ ^: 7!^ , sumaturque FZ=;FX, eritque Z punctum in curva 
quaesita , cujus arcus AZ aequalis erit arcui AY. Hoc igitur mo- 
do , cum punctum F infinitis modis assumi posait , construentur 
innumerae curvae AZ ejusdem indolis eademque proprietate gau- 
dentes. 



101 

Demonst ratio. 

* Posito AB :=: BC 1= 2 a sit AXziz x et XY i=: ?/ , ideoque 
yy zz. 2 ax , unde fit 5a: m ^ et elementum Parabolae 

ds -dy V i +Ya- 
Jam ponatur AF r^/" et FG :^ <7 erit quoque gcjzZL2af. Jam 
vocetur FZ zr FX zn y + a: r= c; atque angulus AFZ rz (]) eritque 
elementum curvae quaesitae m ]/ ^ ::^ -i- s =; ô 0'. Fieri ergo débet: 

9-^ -h se acj)^ zn 9^^ + ^^' . Cum igitur sit: 
az = axz=:Ç fiet ssa(f)'z=92/' ideoque SCpV ^^ . Est vero 
/=: f: et a.= ^^ , ergo 5(1)^:3 ^^^^.eonsequenter Cji^ ^" Atag -^^ • 

, et — zzin, ideoque Cj) n: /j^. Sumio 



At vero est Arc tas — 
^ g 

ergo angulo AFZ:=:7i^ et recta FZ = FX punctum Z in tali erit 
curva , cujus elementum elemento Parabolae aequatur. 




102 
XI. 
DE 

BINIS CURVIS ALGEBRAICIS 

EADEM RECTIFICATIONE GAUDENTIBUS. 



Conventui exhibita die 20. Aug. 17S1. 



^. 1. Sint X et y coordinatae orthogonales unius, at X et 
Y alterius curvae, et quaestio eo redit, ut fiât dx^-^-dy^~dX^-i-dY', 
iia tamen , ut omnes expressiones prodeant algebralcae. Hujus igi- 
tur Problematls duplicem hic sum traditurus solutionera , quae cum 
plurimum a se invicem discrepare videantur earum quoque consensum 
ostendere conveniet. 

Solutio prior. 

5. 2. Cum igitur reddi oporteat 3X' -t- 3Y' n: ôa;^ -+- 5j/', 
hoc praestabitur , si statuamus : 

3X zzz d^ ces (p -^dy sin ($) 
dY znz dx sin — dy cos Cj) 
ubi ergo angulum (J) ita comparatum esse necesse est, ut hae duae 
formulae integrationem admittant. Ad hoc efficiendum utar methodo 
olim a me tradita', ubi prima quasi elementa analjseos Infinitorum 
indeterminatae exposui. Tum igitur prodibit: 

X =z X cos (P -hy sin -\-fd(p (x sin (J) — y cos Cp) 
Y nz 37 sin (^ -r— y cos Cj) — fd^P (a; cos (p -^y sin (p). 
Ubi ergo has duas formulas intégrales integrabiles reddi oportet, id 
quod nulla difficultate laborat. 

§. 3. Statuamus enim : 
/dp G-r sm(p —y cos p) ziz P ; /dp (x cos p -\- y sin 0) = Q 
eritque 



103 

X sin <^ —y cos Cj) =: 3^ ; x cos (^ -\~y sln z=. |^- 
ubi ergo pro P et Q functiones quascunque algebraicas ipsarum 
sin (f) et cos (f) accipcre licet. Tum vero ex his duabus aequatio- 
nibus ipsae coordinatae x et y sequenti modo determinantur : 

5P s\n(p-+-dQ cosCp 

dQ_ si n (^ — r)P c os (p 

y — â$ 

Ex quibus jam coordinatae alterius curvae sponte determinantnr : 

X=|J+P;Y = f|_Q. 
llinc ergo nuUo plane labore innumerabilia binarum curvarum alge- 
braicarum paria exhiber! poterunt , quae eadem rcclificatione erunt 
praeditae. 

§. 4. Que hoc clariiis appareat, sumamus differentialia ca- 
piendo d(P constante, ac reperietur : 

^^ _ 93Ps;n$^^33 ^_cos^ _l_ ^p ^^g c|) _ a o sin Cf) 

dy = ddQ sin ^ — dd? cos Cf) -+- ÔQ cos + DP sin (^ 
unde colligltur 

a:t= + dy' — ^^'^y^^' + n3P99Q-9Q9^Z) ^ ap^ ^.. 3o^ 

Simili modo pro altéra curva habebimus : 

dX = '-^^dP et 3Y=^^-9Q, 
ex quibus pro arcus elemento erit 

ideoque 5X^ -f- 5Y^ i=i dx^ + 5?/^ , uti requirltur. 

S 1 u t i o p s t e r i o r. 

§. 5. Cum efliei debeat dx' -h dy^ rnzdX'' -}- dY^ erit 
3j-* — 9X^ in DY^ — dy", ad quam aequationem resolvendam statu- 
amus x-f-X = M; a: — X=Z7?i; Y-|-î/=:N; Y — y =Z }i , 
quo facto fier) débet 3M 9m z=i 5N D/i , consequenter ^zn^ qua- 
rum duarum fractionum utraque ponatur zz: t ut habeamus primo 



104 

DM:r::f3n, ideoque 'Si z=.tn •— fiidt. Simili modo pro altéra evit 
3N=:i5»i, ergo N =: fm — fmdt. 

S. 6. Hoc igitiir modo novam variabilem t m calculnm 
introduximus ex qua ipsas coordinatas facile définira licebit. Pona- 
mus enlm fndtzizU , ut fiât « = ^ , hinque M = '-^ — U. 
Simili modo, ponendo /m^fnV habebimus ni--^, hinc N-^-— V, 
ubi U et V dénotent functiones quascunque ipsius t. 

L' 7. Ex his jam valoribus ipsae coordinatae utriusque 
curvae sponte se produnt. Cum enim sit 

X =z — — - ; A _ -—— , Y — — ; y — —— ■> 



nihil impedit quominus bas formulas duplicemus hincque coordinatae 

utriusque curvae sequenti modo exprimentur : 

t9U — U9f-f-9v V- fSU — U3f — 9v . 

^::::= 57 ; -^ — 37 ' 



9t ' âf 

vat — 3 u Y f9V — v9i 



2/ zr ^^^ ; Y _ 



S. 8. Videamus nunc etiara , quomodo hae formulae quao- 
stionl propositae satisfaciant. Ac surato elemento 3f constante elc- 
menta pro priore curva erunt : 

9a: = '1^^^; 9j/ = '-^^-^"^-^ , unde fit 

Pro altéra curva habebimus : 

oX zr: g-j ; 01 — g-^ , hmcque 

\. 9. Quamquam hae duae solutiones toto coelo a se in- 
vlcetn discrepare videntur, tamen nuUum dubium, quin inter se pul- 



i 



io5 

chenime consentiant , cum utraque omnes plane casus satisfacientcs 
complecti debeat. Intérim tamcn , si solutiones simpliciores deside- 
remus prior ad hune scopum magis apta deprehenditur , quippe 
quae ila rcstricta ut ponatur Q nz adhuc pli^rimas solutiones 
memorabiles suppeditat. Posito autem QzzzQ coordinatae binarum 
cuivamm per formulas istas simplicissiraas exprimentur : 

3P sin CP . y p 

X — g^ , A F 

., dV ces J) . Y ^P 

y d-p ' '■ 3$ • 

Ibi cum sit P m X adeo immédiate ex posteriore curva ad pri- 
orem procedere licebit, ita ut altéra curvarum quaesitarum nunc 
quasi cognita spectari possit , id quod in formulis g-jneralibus nullo 
modo fieri potest. Hanc igitur solutionem , etsi maxime particula- 
rem fusius prosequi conveniet , ubi quidem litteras majusculas et 
minusculas inter se permutemus. 

Solutio particularis, 
has coordinatas complectcns : 



X — P; X 



dP sin$ 



d(P 

„, 9P . V 9P cos (p 

■^ — 3$ ' ^ — —d;p— ' 

§. 10. Cum hic pro prloi-e curva sit P :rz x erit î/=i |^, 
unde fit dCp zz: y ; cum igitur 5Cj) sit eleraentum arcus circularis , 
quoties aequatio inter x et y ita fuerit comparata , ut formula 
integralis / -j arcum circularem exprimât , toties alia curva exhi- 
beri poterit eandem rectifîcationem involvens, quippe pro qua habe- 
bitur 1°) - r= tag (J) ; deinde quoque habebitur : 

Ita ut chorda curvae quaesitae semper aequalis sit applicatae alterius 
curvae. Taies igitur casus accuratius evolvere operae erit pretium. 

SiippL mioc Mémoires de VAcad. ^4 



io6 
Evolutio casus 



aa ■ 



quo pro curva data est y z=: 

§. 11. Hic statim patet istam aequationem pertinere ad 
Parabolam, cujus parameter :=:/', eamque adeo permanere eandem, 
utcunque quantitas a immutetui- , cum tantum initium applicata- 
rum mutetur , quamobrem si curva quaesita ab a pendebit , hinc 
infinitae adeo curvae diversae reperientur quae cum parabola com- 
muni gaudeant rectificatione. 

§. 12. Hinc igitur Bat B0 - ~~ , ubi ponamus b-na, 
ut integrando prodeat (^ zzz n k tag - . Quia igitur volumus ut 
parameter i invariatus maneat, eritaz^-, sive n zz; - , ita ut nume- 
rus n rationem inter parametrum b et quantitatem arbitrariam a 
invoivat. Hinc igitur fiet x 1:1 a tag - . Unde patet , ut formulae 
Tiostrae prodeant algebraicae , numerum 7z absolute rationalem esse 
debere ; alioquin enim ad genus quantitatura quae interscendentes 
appellari soient devolveremur. 

\. 13. Cum igitur hinc sit 5:r m 5^, erit pro curva 

n cos — - 

n 



quaesita \'yJ^ -\-Y' zrzy et - ::z: tag 0. Quia igitur angulus C^ 
ex ipsa aequatione pro curva data innotescit , haec curva facile 
geometrice construi poterit , atque constructio eadem plane prodit , 
quam non ita pridem pro inrînitis curvis algebraicis ; quae cum 
parabola communem rectificationem habeant, dedi. 

Evolutio casus, 



quo pro curva data est ny :zz j/ aa — xx. 



§. 14. Hic igitur erit d (1) in ^ z^ ' .= = ideoque 

^ y V aa — xx 

Ç :^ nA sin - , unde fit a: rz: « sin - et y r::z- cos - . Evidens 



107 

autem est liane cuivara datam esse ellipsin cujus alter semiaxis 
z:z II , aller vero — . Pro curva quaesita igitur habebimus ejus 
chordam |/ X" -(- Y' = -^ cos ^ et ^ =^ tag ^ ^ unde iterum con- 
slructio tacjllima deducitur , si modo n fuerit numerus rationalis. 
Cugnita enim chorda et angulo quu ea ad axem fîxum inclinatur 
construotio facillime expedietur. 

§. 15. Hic ante omnia observasse juvablt , si pro data 
curva circulum accipiamus , ut sit ii nz 1 , fore y in \^ aa — xx, 
Ponamus brevitatis gratia |/X^-i-Y^ — Z, et cum sit yz:Z~\/ aa — xx, 

/ r,„ , . /t~ X I V aa — ZZ ,T- 

ent X ziz. Y aa — /,/, hincque tag Cp =z ^ =r - ru . Hinc 

fiet ^ = ^-^^^^ sive ZZ (XX 4- YY) zr: a«YY seu Z^ = rtaYY 
atque ZZ in aY, quae est aequatio pro circule, ita ut ellam nunc 
nulla curva exhiberi posse videatur , quae cum circule commun! 
rectificatione gaudeat praete;' ipsum circulum. 

Ç. lu. Consideremus etiam casum quo n ::zz. 2 quo fit 

. Q ^ a $ 

,r :rz sin — et v '^z — cos — • 
Hinc igitur erit Z z^ -^ cos — . Cum igitur sit tag Cj) nz ç, erit 
cos Cj) rz: 2 • Cum autem cos" \ C|) :^i y ' 1°^ , pro curva quae- 
sita oritur haec aequatio : 

Z z= ^ / ?^- , ideoque SZ* = aa (Z -h Y) , 

quae expressio , ob Z m ]/ XX -h YY ad rationalitatem perducta 
ad gradum sextum ascendit. 

Evolutio casus, 



quo pro curva data est »?/ zr: 6 + ]/ aa — xx. 

§. 17. Evidens est hanc aequationem semper esse pro el- 
lipsi , quicunque valor litterae b tribuatur, atque adeo casu nzi:l 

14 » 



108 



ndx 



b-{-V aa — xx * 

et 



hanc curvam fore cu-culum. Tum autem habebimus d(pzz: 

2 au ■ 1 (2 ""1 2o3u(i — uu) 

quae expressio, posito ^ =: :^q-;^^ , unde ht dx — ~(j-+- uuy 
Yaa^xx—"-^:^, induit hanc forraara: d<p = ^^0~^^^^^^^^ 
quara in duas hujusmodi partes discerpere licet 

a du_ _i_ P 9" ^ 

T~-\- uu '' 6 + a-|-(6 — a)uu 

quarum integratio utraque ad arcum circull deducitur . si modo 
fuerit b "^ a. 

L 18. Resolutione autem facta reperitur x'Z2ii et (3= — 2}ib, 
ita ut habeamus a ^ -ig-^ _ ^-^-i^^„ . Cum jam in 

r du 1 , " t' e 

génère sit f^z^~ — -tj-^ A tag -^ , ent 

0=z27iA taeu =^=^ A tag u V ^JTl^ . 

Haec igitur aequatio ut primo fiât realis necesse est ut sit b "p- a; 
deinde ut etiam algebraica fiât necesse est ut tam 2 n quam 

- sint numeri rationales. Hune in finem eiusmodi rationera 
Vbb — aa ■^ 

inter Z» et a statui oportet , ut fiât -=^ =• z= X , numéros ratio- 

^ ' Vbb—aa 

îialis , unde fit - =z ^== , sicque erit 
^ V\K — 1 

6_a _ X-1/XX- . i^^^ ideoque V)^— ^=— 

6+a X + v'XX — I (X + i/XX— 0» ^ y b + a X + ZXX-i' 

quo valore substituto fiet 

(J) =1 2nX tagu — 2h\A tag " • 

X -+- y XX — I 

■ §. 19. Componitur ergo angulus Cf) ex duobus angulis quos 
vocemus ^ et V), quorumque ergo tangentes per u ita exprimuntur, 
ut sit tag^=u et tag-V]!: — ^, tum vero erit (^zi2n^ — 2nA'V] 

sive — HZ ^ — À 'ki. Nunc evidens est si modo X fuerit numerus 
rationalis etiam anguli Ai^ tangentem algebi'aice per u exprimi ; er- 



lop 

go etiam tangcns differcntiae harum angulorum, hoc est anguli ^, 
aequabitur functioni algebraicae ipsius u idt;oque etiam tangcns ipsi- 
us anguli (f), si modo n fueiit nunierus ralionalis, undc patet liane 
solutionem ad alias ellipses adaptari non posse. 

§. 2 0. Cum igitur ellipsis quam consideremus eadem raane- 
at quicunque valor ipsi b tribuatui-, ad ejus indolem cognoscendam 

sumamus 6 zi: , ut sit ?/ 1^ , unde patet ejus semiaxem 

transversum fore zz: a, ubi scilicet yzziO, conjugatum vero zz:— . 
Quare noster calculus ad alias ellipses accommodari naquit , nisi 
quarum axes inter se teneant rationem rationalem. Praeterea vero 
pro b alios valores assumere non licet, nisi quibus fit — : ■ nu- 

■" Vbb — aa 

mcrus rationalis. Unde patet, rihilominus semper innumeras curvas 
algebraicas inveniri posse quae cum tali ellipsi communem rectifica- 
tionem contineant. 

§. 21. Cum igitur pro curva quaesita sît ^ m tag Cf) , 
etiam haec fractio ^ per functionem algebraicam ipsius Ji exprime- 
tur. Deinde quia invenimus •/ X* -+- Y^ :zz î/ = M - _ v^ aa - xx ^ ^^..^^^ 
liaec chorda per functionem algebraicam ipsius u exprimetur , cum 
sit a: z^ ^^^^l^^r^Tœ = ^^ , unde fit 

l/ X^ — t— Y^ b-ha -i-{b — a) uu 

' ' n(i-t-uu) 



Quamobrem cum ambae hae formulae : ^ et j/X^-hY^ per func- 
tiones algebraicas ejusdem quantitatls u determinentur , eliminando 
hanc quantitatem u, id quod facile fit ex valore ipsius \/ X" + Y^ 
quippe quo posito =Z, colligitur uu=. ^"^^^T^.. Hic igitur 
valor, in formula pro tag (J) inventa, cui ^ aequatur , substitutus, 
praebebit aequationem algebraicam inter binas coordinatas curvae 



110 



quaesitae X et Y , oh Z nr ]/ X"* 4- Y'^, quae autem plerumque au 
plurimas dimensiones exsux-get. 

$. 22. Hic probe notandum est, quoniam (vid. Nov. Act. 
T. V. ) infinitas curvas algebraicas determinavi , quae cum data 
Ellipsi quacunque communi gaudeant rectificatione solo circulo ex- 
cepte eas curvas ab iis quas nunc invenimus prorsus esse divcr- 
sas ; neque etiam paiei quomodo illae ex solutione particulari qua 
hic usi sumus deduci queant. Facile autem derivari possuiit ex 
formulis generalibus primae solutionis , id quod hic ostcndisse ope- 
rae pretium videtur. 

§. 23. Quia ibi pro altéra curva dedimus hos valores : 

apsin^H-aocosî) aQsin:D — 9Pcus:I: 

■r — ^ et 2/ — g j 

sumamus gl = — a cos (n -(- 1) C|) -f- ^ cos (/j — 1 ) (t) et 

Il = rt sin O2 -h 1) ($) H- 6 sin (n — 1 ) (J) , eritque 

X m (a -f- 6) sin n Cj) et y z::z {a — b) cos n Cp 

* J-» X X 'V V • 

unde manifeste fit ,— v:"^ -+- rjùs^y, =^ 1 ^ quae aequatio est pro 
ellipsi , cujus semiaxes sunt a -{- b et a — b. 

^. 2 4. Ex his autem valoribus ditferentialibus coUigitur in- 
tegrando : 

p c sin (n -t- I ) y , b «in (n — i) î 

n -f- I ' n — 1 

Q a co<fi -t- 1) :p b cn< (n — i) Z 

"^ 1-1-1 n — I 

Quare cum pro altéra curva invenerimus ; 

X = || + P et Y^ll-Q, 
isti valores ita se habebunt : 

X — ;^- sin Oi + 1) + „-:::^; 5in (« - 1) 



Y:=. 



nb 



■;czr: cos(n-^ 1)0-+-;^ cos (n — l)Cp. 



111 

Unde patet, quoniam numerus n penitus arbitrio nostro relinquitur, 
ex his formulis infini tas prodire curvas algebraicas , nuUa alia con- 
ditione restrictas , nisi ut n sit numerus rationails , exceptis tantum 
duobus casibus n z:z i et nzzZ'—i, simul vero intelligitur, utcun- 
que ratio inter axes fuerit irrationalis ' curvas quaesitas non turbari. 



P r b l e m a. 

Consensum inter ambas solutiones générales monstrare et sub- 
stitutiones indagare , qidbus altéra in altérant converti, 
queat. 

S 1 u t i 0. 

{. 2 5. Quoniam in foinnilis supra datis tam coordinatas 
quam furictiories inter se permutare licet, ad calculi commoditatem 
priores coordinatas x et y sequenti modo repraesentemus : 



pro priore solutione 

8P cos CP — oQ siii $ 



X 



y 



9£f 
9P sinCt -+-30 cusCj; 



pro posteriore. solutione 

au /9v , .. 

^' - ^ — ar + V 



dv 

y — Yx 



ou 



— u. 



Hic 



d$ I ^ — af ' ôf 

igitur ostendendum , qualem relationem primo inter et / , 
deinde vero inter functiones /;, r/ et V, U statui oporteat , ut isti 
duplices valores ipsarum x et y ad identitatem revocentui-. 



; ^.26. Hune in iinem ante omnia necesse est multitudinem 

'' quantitatum quae hic oocurrunt imminuere , id quod pulcherrime 
succedit, si pro priore solutione statuamus P + Q]/ — 1 zi;0 ; tum 



cos Cp -I- •/ — I sinCj) 



3$ • 

V V — 1 -:^z n , ac reperietur 
an 



5 . Pro altéra vero so- 



t mm fiet x-\-]j)/ — 1 
lutione ponamus U -f- 

::t -hî/]/— 1 z^^'Jd -f-^/— 1) — n/— 1, 
Haec autem expressio ad hanc formam redigitur : 



^H-î// — 1 



a X 



')= 



n 



iH-fv' — 1 



112 

Totum negotium ergo hue redit, ut hae duae formulae pro ,r ^y]/'—i 
inventae consentientes reddantur. 

S. 27. Quo factores priores ad majorem uniformitatem re- 
voccmus ponamus rrztagùj eritque 1 -f- £ y — 1 — -^^^ 

^ , 3 co , f^ fi + tV — 0^ cos 2u -4- y — I sin au ,^ 

et ôt^z 5 unde fit ^ — !— 5- — zn 3- .. Quam- 

obrem nunc ista aequalitas erit docenda : 

eus (p -+- V — I siii $ '^ {^ cos 2 (jj — )— V — I siii z ti) -. n cos to 

Jfi ' ^ au ^ ■ râsu -hV — 1 sinu 

et nunc evidens est statui debere (|) ^z 2 co ; tum enim dividendo 

COS50J-I— v' — isinsco • . . . ,-. i- • 'i 

utrinque per d w orietur ista aequalitas satis simplex: 

I ^ pv -\ n C OSO) 

^ ~ cosu-l-y — I sinu 

Integralibus igitur sumendis débet esse zzz ""^"^^ — r— sive 

(cos 00 -[- / — 1 sin oj) zz: 2 n cos oj. 

§. 2 8. Restltuaraus nunc loco et II valores assumtos 
orieturque haec aequatio : 

(P-f-Q/— 0(cosa>-l-]/— 1 sinaj)=: 2cosùj(U~f~ V /— n 

unde partes reaies et imaginarias seorsim inter se aequari opoilet, 
hincque ergo duae sequentes determinationes deducuntur : 

2 U cos ûj zzz P cos 00 — Q sin 00 

2 V cos ùJ Ziz P sin 0) -t- Q cos co 
ubl meminisse oportet esse frzztagoj et C|) zz: 2 u sicque si in so- 
lutione posteriore loco U et V isti valores substituantur : 

TT P cos co — Q.S'n w t V ^ ^'" '^ ~^ Q,cos u 

2 cos U) 2 cos w 

ea in priorem convertctur. 

§. 29. Vicissim igitur functiones P et Q per U et V ita 
definientur, P n: 2 U cos co^ -I- 2 V sin eu cos w sive 
P =: U ( 1 -4- cos 2 oj) -f- V sin 2 oj 
et Q :zz V (1 -}- cos 2 00) — U sin 2 tu. 



f 



113 

Hoc igltur modo patet non solum binas expressiones pei-fecte inter 
se consentire, sed etiam substitutioncs habentur, quibus altéra in al- 
teram converti potest. 

§. 3 0. Ostendamus igitur clarius quomodo posteriores for- 
mulae ad priores reduci debeant. Ac piimo quidera cum sit : 

^=:taga;=ztagi(I), erit t = ^^;^ et dt = ^^-^; 
tum vero erit etiam : 

TT Z. _ a.s;n(p Y Q^, P slnO) 

^ 3 =(i-+-cosCp) ^^ 2 ^^ 2(i-)-cosCp) • 

Simili modo priores ex posterioribus nascentur ; namque ob 

tag I (p =2 f erit sin (^ — ^^ et cos (^ =: ]-^^ 
tum vero d(pzzz-^^ j^, functiones vero P et Q ita definientur ut sit 

^ — ^.-+->f -^ — '-i-n 

^. 31. Sufficiet autem consensum inter formulas binas pro 
coordinatis x et y ostendisse quandoquidem nullum dubium super- 
esse potest quin per lias substitutioncs etiam formulae pro coordina- 
tis X et Y alterae in altéras convertantur , atque hoc modo quae- 
Stioni principali quara hic tractare suscepimus perfecte est satis- 
facturo , dum nostrae formulae omnia binarum curvarum algebraica- 
rum paria largiuntur, quac eadem rcctificatione sint praeditae. 



l5 

Suppî. aux Mémoires de VAcad. 



114 

XII. 
DE 

CURVIS ALGEBRAICIS 

QUARUM OMNES ARCUS FER ARCUS CIRCULARES 
METIRI LICEAT. 



Conventui exhibita die 20. Aug. 1781. 



§. 1. Non dubitavi ante allquot annos istam propositionem 
tanquam insigne theorema in médium proferre; quod praeter circu- 
lum nulla detur curva algebraica , cujus arcubus omnibus aequales 
arcus circulares assignari queant. Plures etiam adduxi rationes sa- 
tis probabiles , quae me iu hac opinione confirmabant , quanquara 
probe perspexi cas a perfecta demonstratione adhuc plurimura di- 
stare. Praecipua autem ratio mihi erat , quod , postquam in hoc 
arguraento plurimum elaborassem , nullara tamen hujusmodi curvam 
elicere potuerim. 

§. 2. Quamobrem, cum nuper in simili argumento occupa- 
tus in génère binas curvas aigebraicas investigassera , quae com- 
muni rectificatione gauderent , indcque infinitas curvas aigebraicas 
investigassera, quaium longitude per arcus parabolicos metiri liceret, 
tum vero etiam infinitas curvas aigebraicas, cum Ellipsi eadem recti- 
ficatione gaudentes, maxime obstupui, quod, etiamsi ellipsin in cir- 
culum converterem, nihilominus curvae inventae a circule essent di- 
versae. Sententiam igitur meam hic solenniter retractans metho- 
dura facilera exponam cujus ope innumerabiles curvae algebraicae 
inveniri possunt, quarum omnes arcus circularibus sunt aequales. 



115 

§. 3. Proposito igitur circulo centro c, radio ca descripto, 
concipiamus curvara AZ ita comparatam ut ejus arcus indefinitus 'S- 2- 3. 
AZ sempcr acqualis sit arcui indefinito illius circuli az, quo vocato 
azz^u sit quoque arcus AZ i^: a'. Hanc jani curvam ad cen- 
trura quoddam fixum C refero , ejusque naturam per aequationem 
inter distantiara C Z :=: z et angulum ACZrzzC^ investigabo , ut 
quacsito satisfiat. Cum igitur hinc sit arcus AZ z=yJ/^3^-l-ss^C|)'' 
fieri débet da^ =idz' -i~ zzd(p\ unde deducitur acp— 'î^f=^, 
ubi crgo totum negotium hue redit ut ejusmodi rclatio inter s et eu 
exquiratur, quae intégrale hujus formulae zziy — " ~ " per ar- 
cum circularem simpliciter exprimat. 

§. 4. Observavi autem hoc salis commode praestari posse 
si statuamus distantiam CZ zzi h -h cos co, quem in finem sumo inter- 
vallum cb::z:b, ac demisso ex z perpendiculo zp fiec cp — rns t,}^ 
sicque distantia CZ semper acqualis capi débet intervallo bp. Unde 
patCL pro initio A nostrae curvae fore distantiam CAmZ»azn6-+- 1. 
Cura igitur hinc fiât dz^iz — 3ajsinu formula differentialis pro d'P 
data, posito s HZ 6 -(- cos cj , induet hanc formam satis concinnam 
cp — fc-i-cosw *^"J"^ ^'"S" intégrale arcui circulan aequale esse 
débet. 

§. 5. Ista autera formula sponte in has partes discerpitur : 
30 rr: ôw — 6 -4- cos M ' l"^"-"""^ prima per se est elementura circuli. 
Pro altéra parte ponamus tag | u m t , fietque d cj =i: tAj» > ^""^ 

vero fit sin J 0) ::ii: — J-=^. et cos|wn: — -^-= , unde collieitur : 

Vi-+-tt Vi-htt ° 

cos ûj zr: cos I cj^ — sin | a'' =zi ^zçTt ' 
Erit ergo 6-+-cosa) - ^±^+|*^-^^-^' , sicque erit ,-^ = tt ^ w! w> 

" iH-ff ' 6-1-cosu (o+O+C'"')^' 

cujus integratio semper ad arcum circularem reducitur dummodo 
fuerit 6 > 1 . 

15 • 



ii6 

§.6. Ad hoc intégrale inveniendum notetur esse in génère 



dt T , tV g 

unde pro nostro casu crit angulus m co — • — ^-^^ A tag < ]/j*' 



At vero ut horum angulorum differentia geometrice assignarl queat 

necesse est ut coëfficiens sit numeius rationalis; atque adco 

Vbb — I ' ^ 

jam evidens est , quoties hoc contigerit , semper prodituram esse 

curvam algebraicam AZ cura circulo proposito arcus aequales ha- 

bentem. 

§. 7- Cum sit z zzz b -{- cos (ji plures egi-egiae proprietates 
hujus curvae se ofFerunt , quas probe notari conveniet ; namque si 
ad Z ducatur tangens ZT et vocetur angulus CZTnzvly, erit 

sin\L/iz;^ — ; ergo, ob o QJ ziz. t-, erit smvL/ :zz: cosco , ita ut 

angulus CZT semper aequetur 9 0° — co, ideoque, ob AZnzfo) sem- 
per erit \p zzz — — ùJ, dénotante — angulum rectum. Hinc si ex 
C in tangentem demittatur perpendiculum CT, erit 

CT zz: zsin\\j zzzz cos o) :i3 (6 -\~ cos oj) cos co . 
Posito autem hoc perpendiculo CTr^/J, constat semper esse ra- 
dium osculi curvae ziz\^ . Cum igltur sit 



zdz:zz. — ôw sin oj (6 H- cos oj) et 3/j:^ — 3ùjsinco(6-»- 2 cosw), 

b -{- cos to 
b -+- acoso) 



erit radius osculi curvae in Z , quem vocemus r zi^ , -H cosu ^^j 



ergo in initio, ubi (omo erit rinj^jj^, ideoque minor quara in 
circulo. At vei'o pro arou ùo zz: — erit /-zz:!, ideoque radio circuli 
aequalis. Sumto autem ùj=Z7r erit r:i:i , ~- . Unde patet , nisi sit 
6 > 2 hune radium osculi fieri negativum , sive in plagam contra- 
riam vergere , ideoque interea curvam punctum flexus contrarii esse 

passam , quod eveniet , ubi cos oj zz: , quod ergo w zz: 9 0° 

et (i) :zz 18 0° cadet. Hocque loco radius osculi erit infinité 
magnum. Praeterea cum sit ^ zi: ^ ^'^cos"^ , manifestum est cur- 



117 

vam supra axem ascendere , sive angulum A C Z n; (f) augeri ab 
(0 zn ad wn:;9 0° hinc autem istiim angulum iterum decrescere 
atque adeo curvam axcm AC sccarc antequam fiât corz:18 0° quia 
tum angulus (p fict negativus. Quia enim posito cjzi:18û° fit 
t zzioo ideoque A tag t |/ ^^-7 m^ 9 0°, ideoqu* 

4) = oj =: 1 80°(l — —5^ , ubi -^=L- > 1. 

^ ^ y 66 — .'' ' Vbb — i 

Ç. S. Ex radio osculi invento ;• nz v--; — ?°1!^ etiam cora- 
mode assignari potest aniplliudo cm-vae AZ n: a. Si enim ampli» 
tudo ponatur », ent oa ir: — zz: — ^ , ', hoc est ent 

^«==5^4-6^':. = a^ + 3^^ 

sicque amplitudo y semper aequatur summae angulorum w et 0, 
quamdiu scilicet angulus Cj) supra axem cadlt. Si enim infra axem 
cadat négative accipi débet. Cum autem amplitudo curvae conti- 
nue augeatur quamdiu curva AZ versus eandem partem est con- 
cava. Postquam autem coepit in partem contrariam vergere, quod 
evenit , ubi punctum flexus contrarii datur ( jam notavimus taie 

punetum occurrere ubi 6-1-2 cos w izi , seu , ubi cos cj iz:: ) 

tum , cum sit z :zz b ~}~ cos u , fiet z zzz^b ita ut punctum flexus 
contrarii semper incidat in distantiara CZrz:|Z>; unde coiligimus, 
curvam ab initie A , ubi Z zz: b -\- 1 concavitatem axi obvertere 
donec fiât distantia zm^Z», et quamdiu distantia mlnor fuerit quam 
I b , concavitatem in partem contrariam vergi, id quod evenire ne- 
quit, nisi fuerit b <C. 2, quia b — 1 minima distantia curvae a cen- 
tre C , quamobrem si fuerit 6 >• 2 tota curva nusquam habebit 
punctum flexus contrarii. 

§. 9. Cum autem nostrae curvae algebraicae fieri nequeant, 
nisi haec formula y aequetur numéro rationali, quem ponamus 

71, hinc vicissim colligitur è:=: --=r^r= . Tum igitur erit angulus ACZ 



h — 1 



1 



118 

ubi est tzni&gl co. Hic igitur erit : 

6 — I n — y nn — 1 j 

sicque erit f t/ ^-F ' ^^^ ;== . Quia isitur necessario sumi 

débet 72 > 1 manifestum est istam tangentem t y jztTi semper mi- 
norera esse quam t. Ponamus ergo brevitatis gratia t y^ j— ^ zz: m, 
et vocemus angulum cujus tangens est itzzz^, habebimus hanc for- 
mulam (}) zzz co — 2 71 , unde deducitur sequens 

Constructio georaetrica curvarum quaesltarum. 

§. 10. Monstrabimus igitur, quomodo pro quovis circuli 
puncto s punctum ei respondens Z in qualibet curva quaesita defi- 
niri queat. Sumto nimirum pro ii numéro quocunque rationali 
unitate majore , capiatur 6 zz:. — - — zzz cb ; tum vei-o ex arcu 

V nn — I 

az zZLtji habebitur t zz: tag | oj , hincque etiam innotescet 

, ^^nj. i 

Nunc absoindatur in circulo arcus cujus tangens est 11 qui ponatur 
— ^ et quia 71 est numerus rationalis geometrice assignabitur zz2n$, 
quo facto construatur angulus ACZ aequalis differentiae angulorum 
co et 2 7i$, ut scilicet fiât (J):izaj — 2/?^ quo facto sumatur distan- 
tia CZ zz: Z» -H cos OJ z=i 6^ hocque modo pro singulis circuli punctis 
s determinabuntur puncta correspondentia Z curvae quaesitae. 

§. 11. Hinc patet , quando arcus «s nr oj evanescit , tum 
punctum Z incidere in ipsum punctum A existente CAznèa. At 
vero sumto arcu azzzz 18 0°z:z7r, quia tum fit f z::: tag | tt zn 00, 
ei'it etiam u zz: 00 , unde ^ =z9 0°. Pro hoc ergo casu fiet an- 
gulus (|)=rl8 0° — 271 . 90° =:?: (1 — n). Quare cum semper sit 
7j > 1 , angulus Cp ad alteram axis partem cadet , eritque hic an- 



119 

gulus zzzt: (n — 1 ). Distantia vero punctl responcleniis a centre 
C erit b — 1 , quac est niinima distantia ad quam nostra curva versus 
centrum acccdere potest. Sufficict autcm hoc modo tractura curvae 
tantum a distantia maxima 6 -t- 1 , usque ad minimam b — 1 
descripsisse propterea quod ultra hos terminos curva utrinque aequa- 
liter porrigitur , unde intelligitur , tam distantiam maximam , quam 
minimam fore curvae diametros. Denique etiam ultro patet, longi~ 
tudinem curvae a distantia ad sequentem minimam semiperipheriae 
circuli propositi aequari . Et quia angulus inter maximam et mi- 
nimam distantiam qui est (/z — d ) tt cum peripheria circuli est 
commensurabilis sequitur numerum diaraetrorum scmper esse debere. 
finitum. 

§. 12. Hinc etiam intelligitur quomodo aequationem inter 
coordinatas CF zzz ce et VZzziy erui oporteat. Cum enim sit 
tagCjizn^ et tag| (f) rn j/^-^^ , cui aequari débet tag (i(o — /î^). 
Quia vero posuimus tag | oj ^n i , erit cos u zz: f^rs ' ^^^^ ob 

7 I — tt !•• j/_6 + i — z,. b — I,. bb — I — (b — ■ Os 

s_o-4--— -n elicitur «_ — r-r- hincque iiu—r — It =: 77-— ■, ^ ,. /. , 

1-4- rr z — o-)-i ^ o-i-i (i>-)-iJa — po-f-i» 

sicque t et u per funciiones ipsius z, ideoque etiam tag»^ per ta- 
1cm functionem exprimetur , unde etiam tangens anguli |w — ni) 
per functionem solius s definietur. Hinc sumtis quadratis formula 
-— - aequatur functioni rationali ipsius s, quae aequatio denique ob 

zzzz ^xx-^-yy sumendis quadratis ad aequationem rationalem inter 
X et y reducitur , quae autera plerumque ad plurimas dimensiones 
assurgit , siquidem pro casu simplicissimo quo 72 :zz 2 ad sextum 
ordinem ascendit. 

D e s c r i p t i curvae s i m p 1 i c i s s i m a e 

quo >i zn 2. 

§. 13. Hic ergo ob }i^z2 erit 6 rr ,'^ zn sec 3 0° ideoque 
proxime irrl,154 7. Maxima igitur curvae distantia a centro C, Fig. 4. 



120 

seu quasi apsis summa erlt CAz=:6 -4-1 =:2,1 547 ad qnam curva 

6 j I 

est normalis , ibique radius osculi erlt ;• :zz ^^^^ zz: 0,6 8 3 0. Mi- 
nima distantia erlt b — lzr:0,1547 quae a maxima distabit angulo 

. 18 0°, ideoquc in axcm AC conllnuatum cadet, quae sit CI, ubi 

curva iterum ad axem erlt normalis. At vero radius osculi in I 
erlt ^-^^ — — 0,1830. Longitudo autem curvae ab abside sum- 

b — 2 

ma A ad imam I prbtensae aequabitur semiperipheriae circuli ra- 
dio 1 descripti. 

5. 1 4. Pro aliis curvae punctis memorabilibus definiendis 
sumto arcu AZ =^ oj erit distantia C Z zn i -f- cos w. Pro angulo 
autem ACZ =: $) habebimus tag i (|) rz: tag (J w — 2$), ubi posito 



6 — 1 



vicissira 



tag|co = ^ erit tag ^ = w =: ^ /j^:= 0,2679 ^, et 

t z::l uV ^^^ zzz 3,7 321 .it. Cum igitur sit tag $ =z u erit 

tag 2 ô = 7^:4 ' ""'î^ fi' t^S ^i '^ - 2^) = -['-a^t"^ - ^«g i ^- 

S. 15. Sumamus nunc arcum AEzz: 9 0° ;:: |7r eritque di- 
stantia CE znz b et angulus vpzz:9 0° — wzizO unde patet rectam 
CE curvam E tangere , ibique radium osculi fore zn 1 . Pro an- 
gulo ACE investigando habemus f zz: 1 et u ziz 0,26 79 zz: tag ^. 
Erit ergo angulus Q ■zz:ib°, 0\ ideoque | Cf) ziz 1 5°, 0^ hocque mo- 
do erit angulus ACEzz:3 . 

§. 16. Hinc igitur curva ad axem appropinquabit eumque 
mox secabit in F, ubi ergo, cum fiât (J) :zz erit i(l — uic')z::z2ic 
sive 3,732 1(1 — iiu)=:2, unde reperitur uuir: 0,4641, hinc- 
que fz=2,7321. Erit ergo | ùjzz: 6 9° 54', ideoque uz=139°,48^ 
Unde patet curvam hic ad axem sub angulo 49°, 4 8'', esse incli- 
natam , distantiam vero fore CF =z i — sin (49°, 48^) z= 0, 3909- 
Radius osculi hoc loco erit n: — 1,0 4 8 3. Hic ergo curva jam 
in contrariam partem est inflexa ideoque punctum flexus contrarii 
praecessit punctum F. 



121 

L 17. Ad hoc ergo punctum , quod sit in G inveniendutn 
jam supra notavimus id incidcre ubi distantia CG ;= |6 m 0,5 773, 
',^ta ut cos co zir — ^b ideoque coz=125°, 16''. Quare hoc loco 
ourva ad reciara CG inclinatur sub angulo 3 5°, 16'. Quia por- 
ro est iu=:62°, SS'', erit t :zz i , 9319, hincque porro u ziz 
0,5176, quae est tangens anguU $ qui consequenter erit 2 7°, 22'' 
ergo i (J) ^:^ 7°, 5 4'', consequenter angulus FCG :zr 15°, 4 8^. Ex 
his autera principalibus curvae punctis iractus curvae facile satis 
exacte describi poterit, unde cum recta AI simul curvae sit diame- 
ter tota curva habet hanc figuram. 

Supplementum. 

§. 18. Solutio sequentis problematis non parum elegantis 
omnes curvas methodo praecedente inventas multo facilius et com- 
modius largietur. 

Problema. 
Invenirc curvam EZ ad punctum Jixum C relalmn, cujus qui- Fig. 5. 
libct arcus EZ ad anguhun EZC ubique eandem teneat ra- 
tionem. 

Solutio. 

§, 19. Hic igitur statim patet, arcum curvae EZ, quia an- 
gulo EZC est proportionalis aequalem fore arcui circulari eundera 
angulum meiientis , ideoque si hae curvae fuerint algebraicae eas 
scopo nostro esse satisfacturas. Ad eas inveniendas ponamus an- 
gulum ECZn;(p et distantiam CZ 3Z s ut habeamus pro situ 
proximo ZS mz cDC}) et sS z: dz. Ponamus nunc angulum EZC ~ cj, 
arcum vero EZ izz aoi et quia omnes curvae slmiles ad idem punc- 
tum C relatae aeque satisfaciunt sumere licebit an: 1, ut sit arcus 
T.Z ziz (ji , ejusque ergo elementum Zzzzzdo) et nunc triangulura 
Zs S statim praebet has duas aequationes : 

dzzzzdi^i x:os 0) et ^3(|^ ziz 3oj. sin oj. 

Suppl. aux Mémoires de l'Acad. 



122 

J. 20. Prior harum aequatioiium integrata statini dat 
s rz 6 H- sin ûJ , unde ex altéra fit d(p =: jqr||î~ • Hinc statini 
manifestum est , in punclo E , ubi arcus EZ evanescit fore etiam 
angulum w =; , ideoque distantiara CE zz: b , et hanc rectam CE 
fore curyae tangentem in ipso initlo E. 

§. 21. Pro elemento ergo angularl d(p habemus 

d(h — dbi— r^- , ideoque =z OJ— /"r-^^ — , 
ad quam formulam integrandam ponamus lag i oj = ^ unde fit 
sinw=-_pp, et doj — ^-^j. 

unde oritur formula fz^r^^^ b(i^tt) -^^t • PonaT""s y := ces j3 
ut oriatur ^^ — ,^»'+lfco Jp ' '^"J"^ formulae intégrale sem- 
per exprimet arcum circuli , si modo fuerit 6 > 1 et y per cosi- 
num cujuspiara anguli referri queat. Constat auiem hujus forraulae 
intégrale fore :zi -A-^ A tag — -^ — ^ , ita ut iam nacti simus hanc 
aequationera : Cp =; oj — ^ A tag 7::^;^ ; unde patet , quoties 
sin p fuerit numerus rationalis , istum angulum semper geometrice 
assignari posse, ideoque curvam nostram fore algebraicam, et quia 
angulum |3 infinitis modis accipere licet, simul reperiri innumerabiles 
curvas algebraicas scopo nostro satisfacientes , quippe quarum ora- 
nes arcus per arcus circulares mensurantur. Evidens autem est bas 
curvas cum ils quas ante inveniraus perfecte convenire , quia hic 
tantura aliud principiura est assumtum in E. 

§, 22. Quoniam igitur sin j3 débet esse numerus rationalis, 
ponamus ^r^ iz: n , ita ut n sit numerus quicunque unitate major 
sive integer sive fractus, ac posito br. gratia : 

A tag r^B^,^ =: d erit $ = (o — 2«^ 
qui ergo angulus in principio , ubi w :=: , etiam evanescit. Erit 



M 

i 



123 

igltur r^Cj^zn^co — jï^, ac positis coordinatis onhogonalibus CP — » 
et PZ zr 2/ crit tagCf) = ^- et tag | C|) = ^ =i >/^:;^^ . Cum 
porro sit z ziz b -h s'm i,) zrz b ~\- —_^— , patet etiam t aequai-i func- 
lioni ipsius s, hincque etiam tag^, ita ut hinc pro quovis casu ae- 
qiialio inter coordinatas orthogonales x et y erui queat. 

§. 2 3. Investigemus nunc praecipna puncta Inijns curvae, 

ac primo quidcm capiamus arcum EAz:z9 0°n: — , eritque angu- 

, lus 0} reclus et distantia CA ad curram erit normalis , simulque 

f erit curvae diameter, circa quam curva utrinque pari tractu proten- 

ditur. Hic igitur erit tag|tjO=:^n, idcoque tag ^ r i-^^ =: tag|i3, 

ita ut $ :zz i [3 , unde invcnto hoc angulo (3 , cujus cosinus est -^ 

crit angulus EGA izz -^ 72 j3. Ipsa autem distantia CA erit 6 -H 1, 

quae erit maxima, ad quam curva peningere potest. 



► 



Ç. 2 4. Consideremus nunc portionem hujus curvae a puncto 
r. rétro protensam, ac sumamus arcum El quandranti aequalem, unde 
statui oportebit oû rzi — - atque in hoc puncto I erit distantia 
Cl~b — i, quae est omnium minima ad quam curva descendere pot- 
est , hicque iterum erit CI ad curvam normalis, pariterque ejus diameter, 
unde sufTiciet curvam tantum ab A per E usque ad I descripsisse. 

§. 25. Hoc igltur casu ob /:= — 1, erit ^r^Atag^^^^, 
sicque Jste angulus $ erit negativus, ejusque tangens —^ — 3, quae 
cxpressio est cotangens anguli i j3 , sicque erit — ^ zn — — | P, 
unde prodit angulus ECIm(î)=:— -^ -+- 2n(^ — |(3) =(/j—p7r—«j3, 
quaraobrem angulus inter distantiam maximam CAnz 6-1-1 et mi- 
nimam Cl zzz b — 1 interceptus erit AGI zz: (?2 — l)7r, prorsus uti 
supra est inventus. 

16» 



124 

§. 2 6. Consideremus denique casuni quo arcus EZ seitiiperi- 
pheriae aequalis accipitur sive uzzii: , ubi ergo distantia curvara 
iterum tanget ; tum igitur erit f :n oo et tag $ zz: tag (3 ideoque 
^ HZ j3 , sicque ei-it angulus z= tt — 2ii^, qui est duplo major 
quam angulus EGA, prorsus ut indoles diametri postulat. Ceterura 
hic notasse juvabit , omnes formulas hic inventas ad praecedentes 
reduci posse, si loco t scribatur \-^^ , simulque angulus (P minua- 
tur angulo EGA Z3 — — ?i§. 



! 



• 



125 

XIII. 

S O I. U T I O 

P R O B L Ë M ATIS ANALYTICI 

DIFFICILLIML 



Convcnlui cxhibiia die 19. Aug. 17S2. 



5. « . Si /j, <7 et p, Q dénotent functiones homogcneas nul- 
lius dimensionis blnarum variabiliura x cl y datas et proposita fue- 
rit haec formula differentialis dv z^ ^ np + Q~ ^^ '' '" quam in- 
greditur functio indeterminata H , quam ita determinari oportet , ut 
integratio succédât. Hujusmodi formulae mihi se obtulerunt cum 
nuper probleiBa de trajectoriis orthoganalibus ad superficies trans- 
latum perscrutarer atque evidens est, hanc quaestionem maxime esse 
arduam, et summam sagacitatem in evolvendis functionibus duarum 
variabilium requirere , in quo negotio geometrae nunc quidem pluri- 
mum sunt occupati. , 

§.2. Quod si igitur statuamus y ^n tx erunt litterae p^ q, 
P, Q functiones datae ipsius tzzz-., et quia putestas indefinita ipsi- 
us X est adjuncta , haec formula omnes complectitur casus quibus 
tam numérator quam denominator sunt functiones homogeneae ipsa- 
rum X et y. Positione igitur y m tx tota formula ad bas duas 
variabiles x et t reduciiur. Quemadmodum igitur functio illa in- 
definita n determinari debeat hic nunc accuratius investigemus. 

§• 3., Ac primo quidem statuamus II :=: -^—^-^ ubi scilicet 
binas novas functiones incognitas A et introducimus et facta hac 



126 

substitutlone formula nostra in sequentes duas partes discerpetur : 

quarum priorem brevitatis gratia per 9u, poSteriorem vero per dw 
designabo , atque binas liiteras A et , ita definire conabor , ut 
utraque pars integrationcm admittat. 

i. 4. Nunc loco dy scribamus ejus valorem fdx-hxdt at- 
que pars prlor induet hanc fermam : 

quae quo facilius tractari possit statuatur ^_^ :r= H unde fit 
à = glfel ^^ P^'° ^'^^^'o raembro fit ■~:^^z=i |~£^ , sicque 
habebitur 9 u ir: 2 a;'' ~ ' D x -f - ^ "q[\_^^ - • Quamobrem , si 2 
tantum involvat variabilem t intégrale aiiam formam habere requit 
nisi hanc: i/ = ^Ilx"; tum autem esse débet 3 2 =: ^|-^,^:^^\ 
cujus aequationis resolutio, qmia S non ultra unam dimensionem as- 
cendit , est facilis. 

§. 5. Quo aiftem intégrale commodius expriinatur ponàmus 
ç^T^=T' ^^î"^^"^ intégrale crit fn zz - n f ^:^^f^—^ .■ Ergo 
quia ex praecedente positione est 

quam integratlonera ut concessam àssumamus et statuamus y^^^^, — T, 
ita ut sit '^zzz—ns^T, liocque modo adepti sunius intégrale prio- 
ns partis u ziz — a;"^"T, qui valor ergo etiam praebet valorem 
quaesitum v, pro casu quo Q :zz 0. 

Ç. 6. Eodem modo evolvamus alteram partem unde loco 

3j/ scripto valore tdx -^ xdt prodit : 

^ „, 0»"-'9x((t^f — Pp) + ex"g,?9f 

postquam scilicet loco A ralorem ante inventura substituimus , qui 



I 



127 

erat A ^=: ^^f^| • Hic igitur loco Qiqt — IEP) scribamus (D, 
ut habcamus : 

Unde patet, intégrale tu fore functionem quancunque ipsius sx, quain 
ita repraesentemus : iv zzz (P : xs sivc , ponendo xs'izzz, si Z 
lunctionem quancunque ipsius z denotet , habebilur tv ziz Z ; inde 
autem si ponatur dZ::^iZ''dz, erit (J) ziz -„^^, • 

$. 7. Inventa igitur utraque parte u et tv , erit intégrale 
quaesitum nostrae formulae v :zz — T^" -f- Z qui valor praeter om- 
nem expectationem tam simplex est inventus atque adeo facile ex 
ipsa formula proposita forniari poterit , cum sit y rz: ^rjzzyi ^'^ 
T~y -~j^^ hicque est valor generalissimus pro formula nostra propo- 
sita, siquidem loco H successive valores hic assignati accipiantur, iu 
qno negotio cum quaestio nostra potissimum versetur , operae pre- 
tium erit istum valorem evolvere. 

^". S. Cum igitur primo posuerimus II — -^-^ deinde vero 

l igitur sit 2=:: — ^ Jis'^T et O ziz -^Jz^ , hlncque pro quovis casu 
i- oblato valor debitus ipsi H facile assignari potest. 



A lia solutio multo conoinnior. 
5. 9. Hic statim sine ulla praeparatione ipsa formula pro- 

posita, ehdendo dij dat np^c) ^:i:::c)f. ronatur nunc 

p-hUqt ^ ^ „ -n QQ — p , . n ©Q — « 

npTQ = ©' "^ s'^n— ^y^-^p, hmcque porro _— _.ç-'^-JL, 

,nde fit ^^ ^^^lZl±- +j;^f^(eQ-PK 

§. 10. Ponamus nunc ut supra '^^'^ !, rz: -^ , hocque mo- 



do fit ^y := a;"-' c)-r + ^^' (0Q — P). Hinc autem facile 



128 

conditio integrabllitatis obtineretur , veium nulla fiinctîo arbitraria 
praeterea in intégrale introduceretur quemadmodum soluùo com- 
pléta postulat. At vero singulari artificio etiam hinc intégrale coni- 
pletum erui potest , ponendo zz: M -+- N. Etiamsi enim haec 
positio nihil plane poUiceri videatur, tamen ea totiim negotium ab- 
solvetur. Hoc enim modo nostra formula distinguetur in duas par- 
tes quarum utramque seorsim tractare licebit. Reperietur enim : 
dv~ Ma;"- ' dx-hx'^'^y (M _ -J ) -f- N — ^ (^^r + xds). 

l- 11. Prioris partis litteram M involventls , siquidem M 
spectetur ut functio ipsius t tantum intégrale necessarium est — Mo,"; 
tum autem esse débet 

'f — ^-^ (M - f ) , sive sdM - nds,(M - ■^) r= , 
quae aequatio integrabilis evadit divisa per i""*"', ut sit 

— Ï-T+Tï— =z ç^^.-. cujus intégrale est ^ z= — )ij ^y_çr-, ■ 



s" 



Quaraobrem si ut ante ponamus f^^^^—T, habebimus M~ — nTi", 
ideoque pro hac parte erit v z:z — -Tx^s^ sive v zzz — Tw", posito 
scilicet z ziz x s. . 

§. 12. Pro altéra parte Irtteram N inyolvente ea ob xs — Z 

erit JN zd ; quare cum N sit functio adhuc indeterminata, hu- 

jus partis intégrale erit functio quaecunque ipsius s, quae si designe- 
tur per Z, exlstente dZzizZ^dz erit N^=-^^, quocirca totuni 
intégrale erit v z:z — Ts^'-f- Z. Tum autem erit = |^ — nTs\ 
hincque colligitur ipsa functio quaesita H zzz "t^J^ quae solutio 
perfecte congruit cum praecedente. 

§. 13. Quanquatn autem haec solutio totum negotium feii- 
cissime absolvit , tamen dantur casus ad quos hanc solutionem vix 
ac ne vix quldera accoramodare licet. Hoc scilicet evenit, quoties 



129 

cxponens n z^ , quoniam formulae J~x^~ ' dx valor tum est Ix 
quam ob caussam iste casus pcculiarcm evolutionem postulat. Prac- 
terea veio ctiam casus quo Qqt — Fp znz in siiperiore solutione 
non comprehenditur, quoniam posuimus - rr: f^ p^ • Hanc Igi- 
tur ob rem etiam hune casum seorsim evolvi conveniet. 

Evolutio casus, 

quo n zzi 0. 

§. 14. Hic igitur est dv zm ^ ^p ''-^ -^ , quae aequatio, 
eiiso dy, abit in hanc: dv z=i^ nSpo "^ HfÇq ' -"^""^ P°"^" 
tu. ut ante H = |^ , et habebitur dv = ^ -^ '-%^fi. 
quae aequatio posito ■ ^^''^^^ =T ^^ 0=:M4-N fit 

a. = ^ + |£(MoJp)-f-Ng-f-V)- 
Hic primum patet, prius membrum integrabile esse non posse, niai 
sit M constans, tum autem comprehendi poterit in altero membro ; 
quaraobrem hic statim ponere licct M nz , hincque ex priore 
parte fiet rzz:— y^^, ita ut, posito y^mT, hinc fiât irrr — T, 
Pro altéra autem parte, si statuamus ut ante sx ~ z, fit dv :z— ^z, 
Sit igitur N =: Z'z, fiât î; r= Z, quociroa ob M zz: erit r= Z''s, 
hincque II~ , ^Z ^^ , atque hinc intégrale completum erit i;— Z — T, 
quae forma ex solutione generali deduci potulsset, at vero ex prae- 
sente casu promtius colllgitur 

Evolutio casus, 
quo Oqt — Pp :=: 0. 

§. 15. Hoc igitur casu erit P-^^, unde aequatio nostra fit 

°" UQqt-hQp -P' 

quae contrahitur in hanc formam : 

1 7 
moires de TAcad. ' 











i3o 










dv = 


:x"-'9x 


-$ + 




n ^f 






Ponatur 


nunc 


npq _ 


= 2 


ita ut sit 


0' 


eritque 


3._-J- 


x""-' 




N3N 


a;" ponendo 


scilicet Szz 


^M-.,V 



ç, 16. Hic igîtur prions Partis intégrale ent i' i:r: :^„ , si 
modo sit M = ^f 9 . -Q- . Pars vero posterior statim dat v - /^- . 
Sit ieitur f^znzu, ac si U denotet functionem quamcunque ipsius 
M, sumto N:=U^ erit ex utraque parte v ziz^-[~V et nunc erit 

§.17. Si fuerit nziz , introducta littera 2 erit 

3 ^ = V "^ Q~ ' 
unde si statuamus -^ z=zdu , ponamusque S = MZa; + N , déno- 
tante N functionem quamcunque ipsius ic , scilicet N zn U^, statim 
oritur ista aequatio integralis v ziz -^- Ix -{- V , siquidem fuerit 
d . ^ =zM9m. Cum igitur sit M=z ^^^^ 9 . J- erit S=: 3-^ 9 . J -^ U' 
unde ex praecedente formula functio quaesita H colligitur Hz , _^g^^ , 
unde patet, istum casum prorsus diversae esse naturae quam ut ex 
praecedente solutione deduci potuisset. 



i3l 

XIY. 

INTÉGRATION 
D'UNE ESPÈCE REMARQUABLE 
D' ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 

DANS L'ANALYSE DES FONCTIONS À DEUX VARIABLES. 



Présenté à l'Académie le 11. De'c, 1777. 



Soit z une fonctîon des deux variables x et ij et qu'on en 

tire les formules suivantes : 

p 9g , 9g 

^ — a^ ~^ -ày 

99 z , a99z [ 93z 

— 9k» "•" a^9> ~r- 531 

^ 9x^ "+"9;c2 37 "»" 3x3^2 ^~ 97^ 

o 9^ _, j49*_£ _, 6 3-> z sa^z . 3*z 

— 9k* ~^ 3k=''9>' •" 3x»3>2 ■"'" 3k 9>» "T" 9^* 

et ainsi de suite. 

Cela posé je donnerai ici une méthode tout à fait singulière de 
trouver par une seule intégration l'intégrale complette de cette équa- 
tion différentielle : 
I As + BP -f- CQ 4- DR + ES -h etc. =: 

à quelque degré que les différentielles puissent monter. 

Pour cet effet il faut premièrement remarquer que toutes 
ces formules P, Q, R, S, etc. tiennent un très beau rapport entr'- 

elles ; car comme on a ^ ~\- ^ ^^ P -, on trouvera 

aP _■ 9P 93z 2933 33z q 

3k "■" dy - — 3k^= "*" 3k3> 3j>' -*- 

17* 



l32 



et de la même manière 



dQ dQ 9^ .j_ 39'g , i3'^ _i ^1? R 

di~^ d^ — 'dx'~^ dx^dy ~^ dxdjy» ~^' Sr — 

Il y aura de même : 

3 R d_R e 9_? _i 3 J rj. . 

.ces rapports nous donneront donc les égalités suivantes : 
I. 1^ + 1^=: P. 

dx ' dy 

et ainsi de suite. 
Après avoir remarqué ce beau rapport , je considère en général ■ 
cette équation différentielle : |^ + ^^ = nt; , dont il s'agit de trou- 1 
ver l'intégrale complette. Pour cet effet je mets dv zzz pdx -h qdy 1 
et puisque p z:z.^ et q zzz ^ cette équation différentielle prendra 
la forme suivante: nvz^ip'^-q et partant nudy 'SZzpdy-\- qdy , 
qui étant soustraite de l'équation supposée : dv:^:pdx-\-qdy four- 
nit celle-ci: dv — nvdy =zp Qx —dy) qui, étant multipliée par 
e "^ pour rendre le premier membre intégrable, donne 

3.ve— "■J'rr pc— "> (dx — dy) 
d'où l'on voit que le multiplicateur du dernier membre pe "> doit 
nécessairement être fonction de x — y et alors son intégrale sera 
de même une telle fonction; par conséquent l'intégration nous four- 
nit ve — "^ =:: 5t (.r — y) en employant la lettre 3( pour marquer 
une fonction quelconque de la quantité qui y est jointe, et je me 
servirai dans la suite pour le même etfet des lettres suivantes ©, 
S), ©, pour en marquer d'autres fonctions. Voilà donc un beau 
lemme qui nous conduira à notre but proposé : 



133 

De celte équation différentielle : nt» = |^ -4- |^ 
l'intégrale complette est v zzz e~^ '^ y^ : {x — y). 

Maintenant pour trouver l'intégrale en question supposons 
dans ce lemme v zzi az -^ b? -\- cO ~\- dK prennant pour l'équa- 
tion diffcrentielle proposée celle - ci : 

As -I- BP + CQ -f- DR -^- ES ~ 

d'où l'on voit que la valeur de v doit renfermer un terme de 
moins que l'équation différentielle, et l'intégrale sera en vertu de 
notre lemme : 

az -f- JP -t- cQ + JR r= e"> 5( : (.x — y). 

Qu'on met dans l'équation différentielle du lemme cette va- 
leur prise pour v et on aura : 

naz * nbV f ncQ ^ ndK z= -^- a {p^ -^ 1^) -\- b (?| -H ||) 



+ '(3l+a^)+''(ai + fj- 



^dx ' dy' ' Vx ^^ dyJ 

Mettons donc ici au lieu des formules différentielles leurs valeurs 
finies marquées ci - dessus et notre équation tirée du lemme sera ; 

naz H- h6P -f-?zcQ -\- ndR z=z àP -\~ bO -\~ cR -\- dS 

qui étant rangée suivant l'ordre des lettres P, Q, R, prendra celte 
forme : 

naz 4- (nb — a) ? -\- (ne — b) Q -\- (nd — c)R — JS =: 0. 
Donc puisque nous venons de trouver l'intégrale de cette équation: 

az -{-b? -i- c(2 -h ffR =3 e"> ^{x — y) 
on n'a quà rendre celte équation identique avec la proposée savoir 

A= -h BP + CQ -h DR H- ES r:z 
et nous aurons les égalités suivantes : 

A rrr /ja,B :rznb — a, C zzz jic — b,I>zzz nd — c, E n — d 
d'oti nous tirons les valeurs suivantes: 



i34 
d= — E 

C = — 72 E — D 

b=z ~ nnE — riD — C 

n — : — « ^ E — nnV> — ;iC ■ — B et enfin 

71''' E -f- u^ D + n7z C + nB -h A =: . 

Voilà donc une équation du quatrième ordre d'où l'on doit 
tirer la valeur de 72, qui aura donc quatre valeurs que nous suppo- 
serons être a, (3, y, 5, dont chacune nous fournira une équation 
intégrale dont la première sera 

az. 4- 6P -f- cQ -f- fZR z=: e"-y %ix — ?y) 

les autres valeurs p, y, 5, produisent aussi d'autres valeurs pour 
les lettres a, 6, c, c?, que nous distinguerons à la manière usitée 
et au lieu de Si nous emplojerons les autres cliaractères pour les 
fonctions de (a; — y) : cela posé ces autres racines fourniront les 
équations intégrales suivantes : 

af z -^y F-\-c' Q -f- fZ' R = e^y ^(x — y) 
a'' z,-\-V' P + c'' Q ~{~ d'^ R — e^^ e (a; — ?/) 
a''' z -1- y'' P 4- c''' Q -\- cl"' R — e^^ S (a; ~ 2/) . 

De ces quatre équations il ne sera pas difficile de déduire les va-] 
leurs des quatre quantités s, P, Q, R. 

Or il est évident que chacune de ces lettres sera exprimée 
par de certains multiples des quatre formules à la droite; mais nous 
n'en avons besoin que de la première c; donc puisque les multi- 
plicateurs constans ne changent point les fonctions arbitraires nous 
n'en tiendront compte non plus et partant nous aurons pour s la 
valeur suivante 
s - e"^ 2( : (a; — 2/) -4- eP->' IB : (a: — î/) -4- e^> £ : (37 — 2/) H- e^> S : (a; - î/) 

qui renfermant quatre constantes arbitraires exprimera l' intégrale 
complette de l'équation différentielle proposée , que nous avons 
supposée monter au quatrième degré, quoiqu'il est facile à voir 



135 

quelle sera l'intépialc pour les cas où l'équation proposée monteroit 
ou à un plus haut degré de dlilërcntielle ou à un plus bas. 

Tout révient donc à résoudre cette équation algébrique : 
A -f-72B -4-;2^C -\-n^D-^ji''E -\-n^F -{-etc. m 
«luni les racines étant supposées a, (3, y, 5, etc. on sera d'aboi'd 
en état d'assigner l'intégrale complette de toutes ces équations diffé- 
rentielles à quelque degré différentiel qu'elles puissent monter. 

Cependant ils se pourront rencontrer des cas, où l'évolution de 
l'intégrale causeroit quelque difficulté, tels par exemple, où deux ou plu- 
sieurs des racines pour le nombre ii seroicnt imaginaires ou éga- 
les entr' elles. Pour le premier cas supposons que les deux raci- 
nes a et (3 sojent imaginaires et qu'on ait trouvé a~|x-t-V|/ — 1 
et |3 nz: fjt — V]/ — 1 et pour déterminer réellement les deux mem* 
bres de l'intégrale e"^S((a7 — y) -\- e^^ "S^ (x — y) posons 
<^l(x — 7j) :z=: ^ : (x — 7j) ~{~ Q} : (X — y) et 
S5(x — y) — S0:Cx — îj) — (3:(x — Tj) 

et nous parviendrons à cette forme : 

' ef^y ^:Cx — 7/) (£*:>- i^ — '-f- g— vji^— .) 
-f- e^^> © : (jc — 2/) (e'y^ — ' — c" '^>^— '). 
Or on sait par la réduction des imaginaires qu'il y a 

e^yV-'_^e-''y>^-'z:^2cosyy et e'>^-' — e-^^>^-'z=: 2 /— 1 sinx?/ 
donc puisqu'on peut rejetter les facteurs constans les deux mem- 
bres qui repondoient aux deux valeurs a et |3 se réduiront à cette 
forme réelle : 

ei'-y cos yy ^ :(x — y) -^ ef*> sin yy:(^(x— y). 

Pour l'autre cas où deux ou plusieurs des racines a, p, -y, 
deviennent égales entre elles supposons d'abord |3 =: a et puisqu'- 
alors les deux premiers membres se réuniroient dans un seul et 
qu'on n'auroit plus autant de fonctions arbitraires que le degré de 



135 

l'équation différentielle proposée exige, supposons (3 =: a 4- w en 
prennant w pour marquer une quantité infiniment petite et puisque 
é^y ■=: 1 -4- ù) 2/ -f- i ùj'' î/z/ -f- etc. nous aurons c^y 1= c"> ( 1 -f- ojr/) 
et puisqu'il est permis démettre 33: (a; — y) au lieu de (jj^(a; — y) 
nous aurons au lieu des deux premiers termes qui repondent à 
a et (3 ces deux nouveaux e"> 5( : (x — »/) -4- e"^ ^ : (x — y). Par 
le même raisonnement on se convaincra facilement que s'il y avoit 
trois racines égales a in j3 =: y on auroit au lieu des trois mem- 
bres qui repondent à ces lettres ces trois autres : 

e^y 21 : (X — 7/) -h e"^ t/IÔ : (.-r — jr) + e°> tf(l:ix — y) 
et s'il y avoit une quatrième racine égale, on n' auroit qu'à ajou- 
ter aux trois termes annoncés ce quatrième c"^ y^ © : {x — y) , 
d' où nous pourrons résoudre les problèmes particuliers suivans. 

Problème 1. 
Trouver l'intégrale completle de cette équation particulière : 

Solution. 



P=: 0, ou .-- + 3- = 0. 



Puisque ici P zi: 0, nous aurons dans l'cquation générale: 
AmO, Bz=:l, C=:Dz=E=;0, 
d'où l'équation pour trouver le nombre n sera nm ; d'où l'on 
tire a :=Z et partant l'intégrale complette sera c m 21 : Ct — y). 



Problème II. 

Trouver l'itUégrale complette de celle équation Q zr. ou bien 
ô3z , 29 3 z , 33 z ^ 

ar^ ' dxdy ~^ dy^ — ■ 

Solution. ' 

Puisque ici Q rrr 0, nous aurons dans la formule générale: 
AznO, B =r 0, Czz:.l; D=:E=;f=:0; 



137 

d'où pour déterminer le nombre n, nous aurons cette équation 
tm z:z. , donc les deux racines a z^ et [3 z^ et partant éga- 
les entr' elles; par conséquent l'intégrale complette sera: 
zz:z% : (r — y) -^ y ^ : {x — tj) . 

Problème HT. , 

Trouver l'iiUëgrale complette de cette équation : 

9x' "*~ 3x»a> "1" dxdy^ ~r~ ^^^ — 0- 

Solution. 

Puisque ici R i:^ nous aurons dans l'équation générale : 
A::ziO, B~:0, Ci=0, Drzl; E==F = 0; 

d'oii l'équation pour le nombre n sera n^ — Q et partant ct — Qz:y~Q 
par conséquent l'intégrale complette sera : 

z — %:ix —y) -\-y^:(.x —y) -\-y'Çi:ix ~ y). 



i8 

Siippl. aux Mémoires de l'Aead. 



C O M M E N T A T I O N E s 
Cel F. T. SCHUBERT. 



I. 

DE LA 

SOLUTION DES ÉQUATIONS 

IMPLICITES À DEUX VARIABLES. 



Présenté et lu le 27. Août 1S23. 



^. 1. Une équation (A) entre deux variables, a:,»/, étant 
proposée , qui renferme diverses puissances de ces deux variables 
et leurs produits , ensorte que y soit une fonction implicite de x ; 
le problème dont il s'agit ici, consiste à exprimer y par une fonc- 
ion explicite de x . La solution directe ou complète de ce pro- 
tblème n'est autre chose que la solution générale des équations al- 
gébriques , en regardant y comme l'inconnue dans l'équation pro- 
posée (A) , et X comme une quantité donnée qui entre dans les 
coëfRciens. Ainsi la solution n'a aucune difficulté, lorsque l'équa- 
tion (A) ne renferme pas de puissances de y, plus élevées que la 
seconde ou la troisième , ou qu'elle pourra être ramenée à une 
équation du second ou du troisième degré. Dans tout autre cas 
on ne sauroit exprimer y que par une série infinie, ordonnée sui- 



i39 

vaut les puissances de a:; et pour que cette série soit conver- 
gente , il faut que x soit beaucoup plus ou moins grand que l'u- 
nité : dans le premier cas on cherchera une série descendante de 
x, dans le second cas une série ascendante. Si la valeur de a?~a, 
pour laquelle on cherche la valeur de tj, diffère peu de l'unité, la 
série ne pourra être rendue convergente , à moins que la solution 
directe ou les conditions du problème ne donnent la valeur de 
y zz. c , qui répond à une valeur b At x , peu différente de a. 
Tout se réduit donc à former une série convergente : 
(E) . . . . tjzzz Ar"^ -f- Bx^ -{- Cxy -f- cet. 
qui satisfasse à l'équation (A): ce qui l'evient à déterminer les e*- 
posans a, (3, y, etc. et les coëflkiens A, B, C, etc. Il serait facile 
de déterminer ces derniers, par la méthode des coëfjiciens indéter- 
minés, si on connoissait les exposans ; mais la difficulté est, qu'on 
ne connaît ni le premier coefficient a, ni la loi suivant laquelle les 
coëfficiens [3, y, etc. procèdent. 

Neivton imagina pour cet effet le parallélogramme , connu 
sous cet illustre nom, lequel , par la simple inspection ou par le 
moyen d'une règle , donne une solution aussi simple qu'ingénieuse, 
qui ne laisse rien à désirer. Le célèbre Kàstner a expliqué et 
démontré cette méthode , dans son Analyse (*). Comme elle est 
cependant, pour ainsi dire , mécanique ou géométrique , Lagrange 
donna une solution purement analytique qui, dans le fond, n'est 
autre chose que la théorie du parallélogramme de Neivton , expri- 
mée dans le langage analytique , ainsi qu'on le verra. On trouve 
la méthode de Lagrange , développée et prouvée dans l'excellent 
ouvrage de M, Lacroix (**). Après avoir examiné avec attention 
ces démonstrations, dont celle de Kàstner remplit 5 6 pages, il 
m'a paru, vu l'importance de ce problème, qu'il ne serait pas in- 

(') Anfangsgrûnde der Analysis endUcher Orôfsen , pag. 324-330. 
(*') Traité du Cale. Différ. et Int. Tom, I , p. 219-231. (p. 102. 113 de la 2*. éd,) 

18* 



140 

utile d'en donner une démonstration moins longue et moins obscure. 
Je commencerai par le parallélogramme , et je ferai voir que la 
méthode de Lagrange est une suite immédiate de celle de Newton. 

Fig. 6. §-2. Soit TVXY un parallélogramme , et supposons pour 

plus de simplicité , que ce soit un rectangle , ayant deux cô- 
tés verticaux, TV, XY, et deux cotés horizontaux, TY, VX. Con- 
cevons ce rectangle partagé , par des lignes droites , parallèles à 
TV et TY, en rectangles égaux et semblables, dont les côtés ver- 
ticaux soient aki^ZK, et les côtés horizontaux alzzzX; supposons 
enfin, que chacun des petits rectangles représente un terme x^y' 
de l'équation proposée, en observant que la direction de bas en 
haut, TV ou YX, indique les puissances croissantes de .r, et celle 
de gauche à droite , TY ou VX , les puissances croissantes de y ; 
et désignons chaque case, comme B, par son angle 6, qui est en 
bas et à gauche, et que je nommerai le coin de la case. Main- 
tenant ayant inscrit chaque terme de l'équation (A) dans la case 
qui lui appartient, par ce qui pi-écède, supposons qu'on se propose 
d'exprimer y par une série ascendante, et que le terme a;"?/", dans 
•lequel l'exposant n de y est le moins élevé, soit placé dans la 
première colonne verticale TU , ensorte que tout autre terme x^y^ 
de l'équation (A) se trouvera à droite de la colonne TU, s étant 
plus grand que n. Cela posé il est visible qu'en mettant la règle, 
ou menant une droite par le coin a de la case A qui renferme le 
terme x'^y^, et la tournant autour de a, de la position verticale aT 
jusqu'à sa rencontre avec le coin b d'une case B qui renferme 
un autre terme x'^y^' de l'équation (A), de sorte qu'aucun des 
autres termes ne se trouve au - dessous de la prolongation de la 
droite ah , on aura une première solution suivant la méthode de 
Newton , qui consiste à égaler les deux termes , inscrits dans les 
cases A et B , et à faire yizzAx", a étant l'exposant de y-, 
qui résultera de l'équation a;*^" zz: x^y^ . Pour vérifier cette mé- 
thode , il faut prouver qu'après avoir substitué y z^ Ax'^ , tous 



141 

les termes de l'équation (A), qui sont au-dessus de la droile 
abe, auront un exposant de x, plus grand que celui des termes A 
et B; que les cases au-dessous de abe auront un exposant moins 
grand ; et que celles dont les coins se trouvent sur k droite 
même, auront le mèro© exposant de a:. 

Je supposerai, pour plus de simplicité, 1) qu'on cherche tou- 
jours une série ascendante, x étant très -petit, parce qu'il est aisé 
de voir que, dans le cas contraire, on n'a qu'à substituer xzzz^, 
et à exprimer y par une série ascendante de s, 2) que l'équation 
(A) ne renferme que des puissances de x et de g/, dont les exposans 
sont des nombres entiers et positifs, parce qu'il est aisé de réduire 
à cette forme une équation quelconque, en multipliant par les puis- 
sances qui se trouvent aux dénominateurs, et substituant pour x ou 
y, s', 7 étant un nombre entier, divisible par tous les dénomina- 
teurs des exposans fractionnaires.- 

§. 3. Puisqu'on se propose de déterminer le premier terme 
de la série ascendante «/ irr Ax" -|- Bx^ -\- Cx"^ •^- cet. il est 
clair qu'il faut supposer au moins deux termes de l'équation (A) 
égaux entre eux par rapport aux exposans, et qu'il faut choisir 
pour ces termes les plus considérables, parceque Ax" sei'a déter- 
minée par une approximation qui néglige les autres termes. En 
eifet , si le plus grand terme de l'équation (A).... z^u , que je 
désignerai par x^y"- , était unique, on aurait, pour la première 
approximation, zzz x'^y^ , et substituant y zzz. x'^ , 0:=zx™ "+""", 
donc X :^z : ainsi, a restant indéterminé , on voit qu'un terme 
unique ne donnera aucune solution. C'est par cette raison qu'il 
faut égaler deux termes, ou qu'il faut mettre la règle par deux 
cases A, B, lesquelles, pour renfermer les termes lès plus considéra- 
bles doivent être placées de manière que tous les autres termes de 
(A) aient leurs cases au-dessus ou à droite de la règle abe. 



142 

Pour le prouver, désignons par A:r:zx'^y^ et Bz:z.x^ y""' les 
deux termes qu on suppose égaux ou du même ordre , et par 
R ::^ x^y^ un autre terme quelconque , renfermé dans la case R. 
Cela posé l'égalité de A et B donnera, en substituant 7/ zn Ax", 
l'équation m -\- nazzim^ -^ n^ a, d'où 11 suit 

(C) . . . . a — ^^n:^, 

,/ — fi étant toujours positif, parceque n est le plus petit expo- 
sant de î/ (§. 2.), tandis que m — m\ et par conséquent «, pourra 
être positif ou négatif. Si on désigne par p et par t les expo- 
sans de x, qu'auront les termes A et R , après avoir substitué 
y ^z: x'^ , on trouvera p :^m~\- na, tz^r -{-sa, ou : 

(D) . . . . /J — {-'-n)m^-^(rn-m'^n ^ 
-ç. , (n'—n)r-h (m — m') s 

Nommant 7i et (p les angles que font les droites abe et ar avec 
la verticale AT, Taeizz/z, TaA-:=4), on aura 
tang /i r= -^ , tang C|) zn — , donc 
(F) . . . . tang k:= ^^ , "(G) . . . tang :.z ^^3^. , 
// et s étant plus grands que n (|. 2.)- 

Maintenant il faut distinguer les cas suivans : I. h étant uri 
angle aigu, II. un angle droit, III. un angle obtus. 

Cas I. tang h étant positif, »i est plus grand que m' . Sup- 
posons 1. que Cf) soit un angle aigu, et par conséquent m>r: cela 
posé, (J) sera \h , selon que tang Cj) | tang A, ou que 

m — r < m — m'^' ^ '' 

OU selon que {m — m') s -+- (// — n)r^ («''— '0 m -\- ('" - — '"0 n : 
ce qui étant comparé avec les équations (D) (E) , donne le résul- 
tat, que t^p, selon que 1 /i- Supposant 2. que soit un an- 
gle droit ou obtus , et par conséquent (|) > /z , on aura 
(G) . . . r z:z m ou /• > m. 



143 

Faisant donc /• Z3 »i + f , f étant nul ou positif, on aura (D) (E), 
{n'' — n) pzzz in' — ii) m -f- (/?i — m') n , 
Qi' — 71) t=: (7/ — n) On -+- f ) -f - (m — m') s , 

donc f > /-> , parcequc s > ?i. 

Cas II. Les équations (F) (D) (E) donnent pour ce cas, 
;j/iz:»i, pzz.111^ tzz.r: donc <çP, lorsque r | /u ; d'où il suit 
qu'un terme quelconque R aura un exposant de x , plus ou moins 
grand que le terme A, ou le même exposant, selon que la case R 
est au-dessus ou au-dessous de la droite aie, ou sur cette ligne 
même qui, dans ce cas, est horizontale. 

Cas III. L'équation (F) donne 7/1^ > m. Supposons 1. que 
(J) soit un angle aigu ou droit, et par conséquent (J) < /i ; et fai- 
sons 771^ = 771 -f- |jL, 77zz:rr-f-^, g étant nul ou positif (G). Cela 
posé les équations (D) (E) donneront 

(7/ — n)p:^zin^ — «)»i — fJ».", ("'^ — ri) tz:z.in' — n) (in — ^) — p. 5, 
donc t<Cp-, parceque * > 77. Supposant 2. (|)> 9 0°, on aura 

(G) ... 7- > 771 , ou r HZ 771 -f- ^, 771^ ZZ: 771 -4- fJt , 
. 7 fil' — n) X . /t\ fs — 'n)\ 

tang h—- L__L_ , tangCp— + L__i- , 
et par la nature des tangentes, CP sera 5 h, selon que 

(u' — n) X ^ (r — n) X , / \ > ^ ^ 

—^-^ I en ' «" ^"e (" - ") ? 5 (* - ") H- 
Pliais les équations (D) (E) donnent 

(77' — n)p^^(n' — ")"î — fJi-77, in' — n)t-zz.Qi'' — 70(''i + f) — fxs, 
donc ^ I /7, lorsque {n' — u)^^^x{s — 7^) : d'où il suit que /f|/7, 
selon que (J) | Ji. 

Nous avons donc prouvé que, dans tous les cas, l'exposant 
de X dans un terme quelconque R sera égal à. p , ou plus ou 
moins grand, selon que l'angle Cf) est égal à /i, ou plus ou moins 
grand; c'est-à-dire, selon que la case R se trouvera sur la 
droite ahe même, ou au-dessus ou au-dessous: ce qu'il fallait 
prouver . 



144 

^. 4. Comme l'équation (A), dans laquelle y est élevé au 
delà du premier degré, aura plusieurs racines, il est clair qu'outre 
la solution, j/ :=z Aa;" -f- cet. il y en aura encore d'autres. Ces 
solutions seront trouvées, par la méthode de Newton , en tournant 
la règle autour du coin b de la case B qui , parmi toutes celles 
dans la droite abe , a le plus grand exposant de y, jusqu'à ce 
qu'elle rencontre le coin c d'une case C qui se trouvait au-des- 
sus de abe. Cela posé, la règle ayant la position bcm, on obti- 
endra une seconde solution, en égalant les termes B zzz x'^y^ et 
C :zz x'^'y'}". La démonstration précédente sera facilement éten- 
due à la droite bcm. Ayant prolongé cb jusqu'à sa rencontre avec 
la verticale \'T en 5 , il est visible que les formules précédentes 
s'appliqueront au cas présent, si on substitue m\ n\ pour /?i, n, 
et m''' , i/\ pour m'', n\ Faisant donc T^mz^h, T5>/ m: Cf) , 
on aura par ce qui précède ( §. 3. ) , 

.(./. ^ -^ — to" cr,/N „ {n"-n')m ' + {m'-vi")^' 

(D . . . t n" — // ' ^^ ) ■ • • tang II („' _m") y. * 

On a de plus tang (|) zrr ^-^: , ^r zziis — n) X , f (3 =: Qn' — /•) k, 

|36 :::: in' - »)X , ^ô — ^.b.coih — K-"K^-W-)v. . 
Faisant donc n^ — n zn y, n''^ — n' z:ziv\ s — nziz (t , on aura 
(GO • ■ • tangCÎ) = .,,.(^,_,.3^r K-m-)i y. ' ^^ 

(FO . . . tang h = ^r~\"^ , • 
11 sera facile de tirer de ces formules le même résultat que le 
précédent ($. 3.)- 

Cas I. 1. <P = h, selon que (m'' — m^^)(r=^yXi>i''—r^-hy(m''—7n'''') 
ou Onf — /?!'''') i -f- i/V = (m' — m^'') /i^ -}- /7?i', c'est - à - dire selon 
que t^p, (EO(D^ 

Cas I. 2. m' > m'\ r > ?n^ et v' (r — m') ^ i/C/n'— • m''0- 
Mais />-:zrv'i — O?/ — 'ft'^)s, par l'équation (E''); d'où il suit 



I 



145 

v^( ^ v'm 4- On — m^^) {v A- s') , donc / > ;>, parcequ'cn vertu de 
l'équation (D'), //> zz: v'ni' -+- {m'' — w/O (y + n), et j > n. 

C'rtj //. m'''' z::i m' . pzzzvi'', tzzzr: d'où il suit t^p, se- 
lon que la case R est au - dessus ou au - dessous de la ligne hori- 
zontale bcin , ou sur cette ligne même. 

Cas J II. 1. m'^-^m' ou m^^zz; m'' -t- jul^, et v^im^—r')^ vix/, 
ou /r^/??j' — yjx^. Substituant )/ r :zz y^t -i~ ^''s, par l'équation 
(E^, il viendra y't^v'm^ — p.^ (y _|- j). Mais l'équation (D'') 
donne v'/j zz: /m' — {.il' iv -{- n) ; donc ^ </j, à cause de n <C s. 

Cas ni. 2. mf' -zzL m' -h jul', y/x'' > v'im' — r), et <$> := h, 
selon que ^#^^77^77^^)7^, ou que vix'-vW-^/r^ix's-ix'n. 
Mais l'équation (EO donne v^ r ziz /t -^ ^''s ; d'où il vient (P=h, 
selon que v't^v'm'' — v^xf — fX^«, ou selon que t^p, parcequ'en 
vertu de l'équation (DO, //JZZvW — |jl^?z''z3 v W— ^'^ (j/ -j- 7z). 

\. 5. Nous avons donc prouvé, pour les positions de la 
règle, ab et hc , c'est-à-dire, pour toutes les solutions dont l'é- 
quation proposée est susceptible, que dans tous les cas, les termes 
ou les cases qui se trouvent au-dessus de la règle, auront un expo- 
sant de X , plus grand que les cases dont les coins sont sur la 
prolongation de la règle , et que celles - ci auront toutes un même 
exposant de x. Au reste il est visible que, si on égale un terme 
C z^x^'y^' à B :zz x"* î/"' , pour en tirer une seconde solution, 
n'''' doit être plus grand que n\ En effet lorsque 7/^ < iV , la 
règle tombera à gauche de la verticale 6U, et par conséquent au- 
dessus de la première case A , à moins qu'elle ne coïncide avec 
la règle dans sa première position ba: dans le premier cas on 
n' aurait aucune solution , dans le dernier cas on retomberait sur 
la première solution. Lorsque nf'' n: n'' , la règle coïncidera avec 
la verticale b\J , et il est aisé de voir qu'une pareille position ne 

Suppl. aux Mémoires de V^cad. -^ 



146 

donnera aucune solution. En effet il en suit tang h~ , n'^ — n\ 
et r égalité des termes B :i= x^if- et C zz: x'^"y^" donne, en divi- 
sant par y^'—y^', m'^ z:^m\ de sorte que a=z ^77—^/ !=§ reste 
indéterminé. Cela nous apprend en même tems , qu' on ne doit 
inscrire, dans chaque colonne verticale, qu'un seul tei"me, et nom- 
mément celui qui est le plus bas, comme C; parceque la comparai- 
son des termes C et N ne donne aucune solution , et que , si on 
fait passer la règle par N, dans une position qui n'est pas verti- 
cale, la case C se trouvera toujours au-dessous de la règle. Ain- 
si le terme N est tout - à - fait inutile, pour déterminer le premier 
exposant a. 

\. 6. Les deux i-emarques précédentes ( §. 5.) donnent le 
résultat suivant. 

1 . Si r équation CA) renferme plusieurs termes , qui sont 
multipliés par la même puissance de ?/ , on ne doit conserver que 
celui de ces termes, dans lequel l'exposant de x est le plus petit: 
on n'aura besoin des autres termes, que pour trouver les termes 
suivans, x'^^ x^, etc. de la série y nz Aa;" -+- Bx^ -f- Q.x'^ -f- cet. 

2. Après avoir trouvé une première solution, par la com- 
paraison du premier terme A avec un autre B , on ne doit com- 
parer B qu'avec un terme C , multiplié par une plus grande puis- 
sance de y que B, pour avoir une seconde solution. 11 en est de 
même de la troisième solution, fournie par la règle cr ou cd. 

Ç. 7. Maintenant îl sera facile de donner à la solution pré- 
cédente une forme analytique. On a vu que tout se réduit à sup- 
poser y ::= Aa;" , et à égaler deux termes de l' équation proposée , 
A et B, tels qu'après la substitution de ?/ = a;" , l'exposant de x 
dans tous les autres termes de l'équation (A) soit plus grand que 
dans le terme x'^y^\ ou d'après la notation précédente, que t soit plus 



147 

grand que p. Désignant , comme ci - dessus, les deux termes de 
l'équation (A), dont l'égalité a servi à déterminer a par x^y* et 
a;™V'' et tout autre terme par x^y\ on a (C) (§. 3.), az=:^ÎVEi^, 
ou faisant pour abréger, m — n/ zr: fx, w' — n in v, (C) (D) (E), 

ainsi l'équation de condition , f > ;j , sera 

vr -\- p.? > v m -4- p.^ , ou ^{s — tî) > v (/n — y) , ou enfin 

H m — r 



(H) . . . . ^ > 



y ^ j , 



Mais - zz a , et si on substitue r, 5, pour m'', n\ c'est - à - dire, 
qu'on mette le terme x^y^ à la place de x^y^, a. se changera en 
"-£^'" : cette dernière quantité sera donc la valeur que prendra a, 
si, au Heu du terme a.™?/", un terme quelconque x^y^ est égalé 
au premier terme x^y^. Si on désigne par a' cette valeur de a, 
qui résulte de la comparaison du premier terme avec un terme 
quelconque de l'équation (A), l'équation de condition (H) se chan- 
gera en 

(K) .... a > a'' ; 
c'est-à-dire, la plus grande de toutes les valeurs de af -, qu'on 
trouvera par la comparaison du terme qui a le plus petit exposant 
de î/ , avec tous les autres, doit être prise pour l'exposant de x 
dans le premier terme de la série y m Aa;" -J- B:i:^ -{- cet. 

Ç. 8. La condition (K), et tout ce qui précède, peut être 
compris dans la règle suivante : 

„ Après avoir ordonné l' équation (A) . . u m , suivant les puis- 
„ sances croissantes de ?/ , en observant que, s'il y a plusieurs 
„ termes, multipliés par la même puissance de y, on n'aura égard 
„qu'à celui, dans lequel a; a le plus petit exposant (§. 6. n. 1.) 
j, on égalera le premier terme A à chacun des suivans, relative- 
„ ment aux exposans de a; et y ou a;", savoir m-f-Tiam m''H-n''a, 

19 * 



148 

„ m -4- n<x zr r -[- 5a , etc. ce qui donnera autant de valeurs de 
„a, ^"^^j — ^^,etc. On prendra la plus grande de ces va- 
„ leurs de a (§.7.), et on égalera à zéro la totalité des termes 
5, B qui, par la substitution de la plus grande valeur de a, auront 
„ le même exposant de ce que le terme A : l'équation qui en ré- 
„ suite, (et qui n'est autre chose que l'équation (A), si on néglige 
55 tous les termes de î/ , excepté le premier) donnera 1 exposant a 
„ et le coefficient A , donc le premier terme y zz: Ax" de la pre- 
„ mière solution (§.2.). On partira ensuite du dernier des 
„ termes B, pour l' égaler à chacun des suivans ; et la plus grande 
55 des valeurs de a, qui en résultent, donnera, par le même pro- 
,5 cédé j une seconde solution (§. 6.7z. 2.)- En continuant ainsi, 
,5 jusqu' à ce qu' on arrive au dernier terme de l' équation (A) , on 
5, trouvera toutes les solutions, dont le problème, énoncé par l'équa- 
„ tien (A), est susceptible." 

Cette règle est précisément la même, que celle donnée par 
la méthode de Lagrange. 

§. 9. Après avoir trouvé, par le procédé que nous venons 
de développer, le premier terme y z:z six"- d'une solution, il faut 
changer les termes suivans. La règle qu'on donne pour cet effet, 
est de substituer dans l'équation (A), î/zzrAa;" -f-p -h ^-t- r -t- cet. 
et d'en conclure successivement les valeurs de p, 9, etc. à peu 
près comme on trouve les racines des équations numériques d'une 
inconnue, par des approximations successives. Mais le calcul sera, dans 
notre problème, beaucoup plus long et fatiguant, parceque les exposans 
de X dans les quantités p, q, etc. ne sont pas connus, et qu'il faut une 
grande précaution, pour discerner les termes du développement de (A), 
qui serviront à déterminer chacune des quantités /?, g, etc. Le parallélo- 
gramme de Newton offre encore un moyen très-simple de trouver, par 
une simple inspection , les exposans de x en p, r/, etc. aussi bien 
que les termes de l'équation (A), qui serviront à déterminer les 



149 

corlllcicns de ;7 , q , etc. Après avoir trouvé a. par le moven de 
la droite abe, il est visible, que les exposans de x dans les autres 
termes de (A) seront d' autant plus petits , ou que les termes mê- 
mes seront d'autant plus grands, que leurs cases sont plus proches 
de la droite abe. Pour le prouver, soit S zzz x^y^ une case, dont 
la distance à la droite abe sera la perpendiculaire sv z^z u , abais- 
sée du coin s sur abe. On a sy zzz (s — n^X, ay zzz (m — r)K, 
y p ^z ay . iang h , donc par l'équation (F), yp rz: "^"^ ^^^ , v 
étant ~ n'— ii, ix-in~ m^; d'où il vient ps~sy—yp- ■^^'~"^"'"'^''~'^^ >., 
et sv zz: ps . s'in spv zzz ps . cos h; donc 

u=: - cos 7i lu- (.s — n) + y 0' — ?") ? . 

Rejettant le facteur constant - cos h , et les ternies constans juin et 
ym, il est évident que u dépend seulement de iJ.s-h-yrzizvt(^.3.(E)\ 
Il en suit, que l'exposant t àe x dans un terme quelconque S sera 
plus ou moins grand que l'exposant t^ dans un autre terme S'', se- 
lon que la case de S est plus ou moins éloignée de la droite abe 
que celle de S^ , et que t sera égal à t\ si les deux cases se 
trouvent à la même distance de la règle abe: ce qu'il fallait dé- 
montrer. 

Il est aisé de conclure de là ce qui suit. Le terme S— .r^y* 
qui est le plus proche de la droite abe, et tous ceux, S':zz.x^y^, 
etc. qui se trouvent à la même distance de abe, seront d'un ordre 
immédiatement inférieur à celui des termes A, B, situés sur la li- 
gne abe même: en conséquence les premiers termes de leurs déve- 
loppemens , en substituant y zz: Ax" -^ p ~\~ q -i~ r -j- cet. seront 
du même ordre que les seconds termes de A , B: c'est-à-dire 
les termes de S, S^, qui sont indépendans de p, q, etc. seront de 
l'ordre de ceux de A, B, qui sont multipliés par la première puis- 
sance de p. Il en suit qu'en égalant séparément à zéro la tota- 
lité des termes de A, B, qui ont la forme Mp, et des termes de 



i5o 

S, S'', qui sont de la forme Nit", M étant une quantité indépendante 
de p, q, etc. et N une constante, on trouvera p nz Bx^. 

Le même procédé pourrait servir à trouver les autres termes 
(7 :::r Cx'^ , etc. mais il est plus simple, de chercher les exposans 
(3, y, S, etc. par la méthode suivante. 

S. 10. Supposons que l'équation proposée, étant ordonnée 
suivant les puissances croissantes de x, en faisant y Z3 as", soit 

(A) :z^ax^y'^-+ a'x^'y"^' -^bx^y'-+- b'x'^y^' -i- y^x^"y'" -+- cet. 

les deux premiers termes étant ceux qui ont fourni le premier 
terme de y z:z Ax\ de sorte que — A''ax'"+"« -f- A"' a'a.'"'+"'«, 

d'où il vient 

I 

, . m — m' .T. • /• a\Ti' — n 

Supposons maintenant 

{c) ...yz=: Aa;« -f- Bx^ -+• Q.x'^ + Bx^ -\- cet. 

et faisons pour abréger, 

( J) . . . j3 — a =: (3'', y— a.:=.y\ S — a = S', etc. 
(e) . . . A -f- Bx^' H- Cxy' 4- Bx^' + cet. zz: S. 

Cela posé l'équation (A) se changera en 

= aa;"'+"" S" -V- a'x"'+'''" S''' -+- bx'-+"' S' h- yx'-'+'''^ S'' -4- cet. 

ou à cause de ni' -+■ n'a = m -\~ na , par l'équation (a) , 

(B) = x™+"« (a . S" -h aV) -^- 6^;'- + ^°' S^ 

H- 6'a,'-'+ ''* S^' H- b''x-^"+'"'' S^" -f- cet. 

Faisant pour abréger, 

(/)... .m-hna.:=zk, r-^sa.z=.t, /-^^s'az=zt\ r^^ -¥ s^' a-=:if\ etc. 
ig)....t—kz=ir, f — k~r', f' — k=: r'\ etc. 

l'équation B deviendra, en divisant par x , 

(C) . . . z:^ aS" -^ a' S"' -h bx'^S' + b'x"^ S^ -f- ô^^a:^' S^" ^ cet. 
t étant plus grand que k, T'' > r , r''' > T'' , t''^ > r'', etc. Le 



1 






i5i 

développement de S", S" , S^ etc. donnera à cause de aA^-f «A^zir Oi 
par l'équation (6), en faisant abstraction des coëfficiens A, etc., 
parcequ'il ne s'agit ici que des exposans de x, 

(D) . . . ::r (an -\- a',/) (Bx^' -4- Cx^' -t- Dr*' + cet.) 
_|.- bx-" ^A' -\- s iBx^' -t- Co;'»''-!- cet.) + cet.^ 
4- b'x-^ [k'' -4- / (BxP' -1- cet.) + cet.^ -f- cet. 

Puisque chacune des quantités (S'', y^, etc. doit être déterminée par 
le terme le plus considérable qui la renferme , on aura les équa- 
tions suivantes : 

(an -ha'n') B.v^' -^bk'x'^, 

(an -Y- a'iï) Cx'»'' -+- bs Bx^+ P' -f- b^A^'x"", 

et ainsi du reste ; où il faut observer que , parmi les termes de 
chaque équation (E), qui viennent après le premier, on ne conser- 
vera que ceux qui ont le moindre exposant de x , les autres étant 
ajoutés à l'équation suivante ; ce qui est évident par la méthode 
des coëfticiens indéterminés. On aura donc ces équations : 

^P^ __^ |P'=r, y'=r^^'—2r, ou Y=zr\ ^'—r'', 

l ouS''z=:2T, ou S'^iT^-t-p'^; r-4-r', ou5''z:::3t, etc. 

Il est aisé de conclure de là que , pour trouver les quantités 3'', 
y'', 5', etc. on formera des quantités 

r, 2t, 3t, 4r, etc. r\ 2t^ r-+-r\ r^\ t-\-t^\ r'-^r''^, 2t^'', etc. 

une série ascendante, en ajoutant chaque quantité r, t'', etc. à elle- 
même et à chacune des autres , plusieurs fois ; et on égalera Q'' 
au premier terme de cette série, au plus petit, t, y^ au second, 
5^ au troisième , etc. Ajant trouvé (3^ y\ 5^ etc. on connaîtra en 
même teras pzna-j-p', y ■z^ a -^ y\ etc. 

Soit pour ex. l'équatîon 

(A) . . . — xV + ocif + ^ V + ï/' H- ^V^ -f- x^y'^- 

Les deux premiers termes donnent a zn 2 , et substituant y ru a;% 
il viendra 



l52 

/c =3 5 , / — S , r rr 1 6 , f' z=i22, t'''' — 2 9 ; donc 
^ — A: = r=:3, t' — A" — r'rzzH, t'^zzin, r''':=:2A; 

d'où naîtra la série 

3, 6, 9, H, 12, 1/i, 15, 17, IS, 20, 21,22, 23, 24, ^^^ 
r, 2r, 3t, r'', 4t, t+t'', 5t, t''\ 6t, r-t t^-', Tt, 2r', A%-i-i\ 8t, 

Il en suit 

(3'=z:3,y^:=6,5'=z9, e'=:I l,<f''=:12, Vr:zl4, a'z=15,etc. donc 
a~2, p^z/i, yrrS, 5z=:il,e— 13, 4'=zl4, •vi=i:16, $ = 17, etc. 

Cela posé on substituera, dans l'équation (A), 

et on égalei'a à zéro le coefficient de cîiaf[ue puissance de a; , ce 
qui donnera les coëfficiens A, B, C, D, etc. 

Ç. 11. Il est aisé de voir que, si les quantités 0, r, r', •t''^, 
etc. forment une progression arithmétique, les exposans a, |3, y, 
etc. formeront une progression semblable , la différence entre deux 
termes consécutifs étant z:z r. En effet, r'' étant dans le cas sup- 
posé égal à 2t, T^'-^zz: St, T''''''z:i 4t, etc. on aura (3' = t, y^^i2r, 
5'' "zz. 37, etc. donc (3 ==: ce -f- r, y zma. ~^2r, 5 ru a -f- 3t, etc. 
II en est de même, lorsque t'';z: 0, t^-^zz: 0, t''''^:^0, etc. 

§. 12. Il ne sera pas superflu d'éclaircir ce qui précède, 
par un ou deux exemples. Soit proposé l'équation 

=z ;si — (;;5 — czs) «î -f, (ô _f- dz^ -f -/s) u -\- (ess 4- gz^) «S. 

Faisant z zzz x^, u zzl y^, cette équation se changera en 

(A) . . . 0~x^ — xy-i-cx^y-i-by^-i-dx^y^-k-fx^y^ -i-exy^-^gx^y^. 

Fis- 7- On aura une première solution par le moyen des deux premiers 
termes, zizo:^ — xy, qui donnent yizzx'^zzikx^, donc anz2, 
A :zr 1. Ayant substitué yz:^x'^, et ordonné l'équation (A) sui- 
vant les puissances de x, il viendra 

(B) . . . .Q-x^ —xy-+-by^ -^cx^y-+-dx^y'^-\-exy^-\-fx^y^-hgx^y^. 



i53 

ce qui donne ( §. 1 0. >, 

Jt=z:% f— 6, <'r=: 7, f' — 9, r^'=: 11, r— i2, C — ih, 
T = 3, t' = 4, t" =: 6, t'" — 8, z" — 9, t" = 1 2; 

d'oii il résulte la série 

3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, etc. 

qui renferme tous les nombres entiers depuis 3 , excepté le nombre 
5. On aura donc 

(3^=3, y' = 4, 5^z=r6, e'=7, etc. 

a = 2, (3 =2 5, Y =: 6, 5 =z 8, e = 9, 4' = 1 0, etc. 

(C) . . . 2/ r= x' + Ba;^ -4- Cx^ -+- Dx^ -f- Ex^ -h Fa;*° 

~^Gx^^-\-}ïx^^ -h cet. 
ce qui étant substitué dans l'équation (B), donnera 

(D) . . . =: (6 — B).x^ H-(c — C):r' -+- (rZ 4- 3^-6 ~ D}x^ 

4- (cB -+. 3bC — E) a;*° -4- (e -|_ cC — F)x^^ 

-f- (/-f- 3f?B -4- 36B' 4- 3iD — G)^*^ 

4- (3r?C 4- cD 4- 66BC 4- S^-E — H)x*3 

4- (5eB 4-cE4- 3iC--f- SZ-F — K)a;^* 

+ Câ' + 3/B H- 5cC 4- 3f7B- 4- 3f/D h- c F 4- bB^ 

-+- 6iBD 4- 3bG — L)x^^ 4- cet. 

d'où il est aisé de conclure 

B — b, C — c, D =: 3i' 4- cf , E =: Abc, F = c' 4- e, 

G = 126^4-6^4-/; R=z2lb-c-h^tcd, K zz: lObc^ -[-Sbe, 

L= 5 56'* 4- 36b-d -i- 66/4- c^ 4- 6ce 4- 3rf'4-^. 

Si on fait Z> z= c =: 2 , J=3, ez=/z::zÀ, g =z g , l'équation 

O-x^— xy -+- 21/ -H 2.rV -+- ix'^y^ -+- Axy^ -^~ 4x^y^ -f- gx^y^ 
aura pour première racine : 

2/ = --ï;' H- 2x-^ 4- 2.z« 4- 15.^8 4- 1 6.r5 4- Sa;^° 4- 13 6x*' 
4- 19 2x»-4- 144:j;'3 4- 1 4 52:^^* + cet. 

Une autre solution résultera des termes xy , î/^ , ce qui donnera Fis 
z=z — xy-i-by^, j/^=r|; d'où on tirera deux racines, y^zzzy'j, 
î/'^= — V Z ■' *^" faisant ^=i?i, azrz\, k-:zz-\-7i. La substi- 

20 

Suppl. aux Mémoires île T^cad. 



i54 

tutlon de y zz: iix'^ changera l'équation (A) en 

(E) . . . z=. — xij '\- by^ -4- a:^ -h exy^ + dx^y^ 
+ cx^y -^-fx'^y^ + gx^ y\ 
d'où il suit 

k — h ^ = 3, t'—i, e^—i. t^''—^, r -^i; 

T=zl, r'^2, r'' — 3, t''' — 4 , r" = 6 ; 
ce qui donne la série 

p^— 1, Y— 2, 5'=: 3, e'— I, 4'^= 4, V= 1 , ô'= 5, etc. 
az=:i, p=:2,Y=z|, 5 = ?, erz:4, <^ = i, ^ =: 5, etc. 
y zz: nx^-i-Bx^-\-Cx^-i-Dx^-hEx'^-hFx'-i-Gx^-h}ix''i' -^ cet. 
ce qui étant substitué dans l'équation (E) donnera 

:zz C2B -h i)x^-^i2C -h en^)x"^ -h (21) -+^3B^}/b-+-dn^)x^ 
-H (2E-+- 6BC/6^-5m'''B)a;V(2F-^-3CV^-^-5en^C^-c«)a;V 
H- (2G -1- 6BD yb -+■ bB^ -h 3d?i"B) x^ 
H- (2 H -H 6 BE /6 -f- 6 CD ]/6 ^- 3 bB^C ■+- 5 en*D 
^~ 10m3B^-4-3J7z2c)a;'/ 

-4- cet. 
De là on conclura- 

^ 2' ' 262^6' ^ 66/6 ' -^ a6»' 

p 7 e' — ^b^c p ^ Vf e(6'-f-2od) 

■•^ 8641/ 6 ' a' " i6 6V6 

La seconde racine est donc 

. x_ x^ _ex2 5&»-t-4d 7 e^ _, 7e' — 46'»c , 

2/ V b 2 a6V6 86/6 ^ "i"362 r" ai-'/ï ^' 

On trouvera là troisième racine y^^, en prenant )/è négativement, 
ce qui donnera 

,y// — _ n/i^ _ î! ^ -1^ -L, 3^1+4i „5 1 ^ 
y y b 2 1^26=^/6^^ 86/6 -^1136» 

^é^llZZlîla;^ -^x'- 1(^+2^ ^y 4. cet. 

' 86*/6 a 160^/0 ' 

Fig. 7. La dernière solution naîtra des termes y^, xy^, qui donnent l'é- 



quation 



6 



zz: Jî/^ -f- e j:î/-^, d'où il vient 2/^ zz: — ^— . Les deux 



155 

racines y'^\ y" , qui en résultent , sont imaginaires , lorsque b, c, 
sont affectés du même signe , x étant supposé positif. Mais si b 
est négatif, et qu'on fasse pour abréger, -y/ — z^ m , on aura 
</ rzz 4- J" , a z^ — | , A zn + m. Si on substitue y zzi :J^ , 
l'équation (A) deviendra 

(F) . . . Qzzz—by^-^exy^—xy'-\-dx^y^->t-gx^y^-^x^-^cx^y-^fx^y^^ 
d'où il vient 

/. 3 / I f/ 3 t^/ î t^^/ 3 t" 9 . 

I\ 2 ' *■ 2 ' 2 ' ^ 2 ' "^' •• 2 > 

x — 2, %' — Z, -c^' — A. t'" 1= i , t'^ z= 6 : 
ce qui donne la série , 

(3^=z 2, y= 3, l'~ 4, /=i, ^^= 5, V= 6, ô^— ■!, etc. 

(3^1, V^l, 5=z:i, £:zz4, ^ =zl, ->!:=", ^::i::6, etc. 
Substituant 



m 



'"" = — -+- B:ri + Ca:5 -h Dx? + Ex^ + Fa^ + cet. 



X'i 

l'équation (F) se changera en 

=1 (^ B-m>i-i- (^A'c -H ,fm3>i-h (^'d -f- 73;nB"~ Blt-^,n5)î 

H- (^E -4 1 )x-3^- (i^F -^ 1 46m BC - C -^ 3 Jm'B)^î-H cit; 
d'où on tirera 

■D _>^i_ p d p. 5e-)'e gT^6 

La quatrième racine est donc 

ex4 3i /ex* . 

~ ^^ -^ /^b^ V T -^ c^'- 
Prenant K — négativement, on aura la cinquième racine 

y — — y ^-TèKt--^ T 1/6^-^^76-+- ^)^^—^- cet. 

P Ainsi nous avons trouvé les cinq racines, dont l'équation 

proposée est susceptible , puisqu'elle est du cinquième degré par 
rapport à y. 

20* 



i56 

S. 13. Je donnerai encore un exemple, pour le cas du 
S. il. Soit proposée l'équation 

(A) ... = a;^ -h ay'^y — by'' -f- cx^y'' -h dx'^y^ -f- ext/. 
Comme c' est une équation du quatrième degré en y'' , nous ne 
trouverons que quatre valeurs de y^ , dont les négatives donneront 
des racines imaginaires y. Si suivant la règle précédente (§. 8.), 
on égale l' exposant du premier terme à celui de chacun des au- 
tres termes, on trouvera ces valeurs, de a : 



I 5 I I j 

21 4>2î2'5' 

dont la plus grande, |, résulte de l'équation :=: a-'* — by'*; 
d'où 7/^ z=: H- /y , a=:|, A = ^^i :=: ^^ 7z. L'équation (A) 
ordonnée suivant les puissances de x, prendra la forme 

(B) . . . . zzzx^ — by^-\- ax'^y' -f- cx^y'^ -h dx-y^ -h exy^, d'où 
k—5, f — ■! , f^ = 8 , f' — i, t"'=ii; 
T=::|, •t'zzzZ=z2r, r'^z=.lz=z2,T, t^''''z= 6 =: 4t : donc (§.11.) 
a=|, ^^zx + rzzi'i, Y=z;a-+-2T = '/, 5==f, £=:f, etc. 

Il y a donc deux racines imaginaii'es, résultant de i/^ n^ — ■/ -^ , et 
deux racines réelles , 

y z=z ;ix' H- B^t" -f- Cx'^ + DxV + E^" -h Fa;V -f- cet. 
y^ — — ij/. On trouvera par la méthode des coëfficiens indéterminés, 

T, _a_ p Ca° + 3 c)n -pj S-d+g.jgg— a' 

** ^6rt' ^ 3.16 ' isôi^n ' 

p (•.'il? c4-64.ufld4-5wc ° 4- 80 o^c — 5a*) n 

^ io.i86> ' 

_ 7 /aï a'c , 3œ'd 1 3ac" , j\ 

166» Vjogë âii ■" 3i ' 64 ~T 8 ' ^4 

-f-^ + 3ce4-|A 

Si on compare maintenant le terme y de l'équation (A) avec 
les termes suivans (§. 8.), on trouvera que le dernier xy^ ^ don- 
nera la plus grande valeur de a, savoir a.iz. — \, le terme x^y^ 



107 

donnant a =: — i- On aura donc l'équation zn — ^^"^ + f'^/', 
d'où 11 vient y' nz — , 1/ ^n -j- ]/ -^ ; ce qui donne deux valeurs 
imaginaires de y-, et deux valeurs réelles , 

!/ = ±]/7^> a_— 1, A — ±i/-~:^-m. 
Ajant ordonné l'équation (A) , il viendra 

(C) . . . =: — by'^-hexy^ -hdv^y^ ~\-cxh/-+- ax^y'^ -h x^; 
k = ~ l, t—l, e—2, f' — l, t"'— 5 ; 
TZ=|, T'r^S ■=. 2t, T^''zr§zz:3T, ■i"'^zi 6 =1 4t : 
ai= — i, j3 = a-HT=z|, 'yri;a + 2T = u, l — 'l, etc. 
ce qui donne les deux racines réelles , 

y c=: m^ * h- B.r-< -t- Ca;* -+- Dx* -+- Ea,* h- F.r * -4- cet. 
et y " iz: — y'" . On trouvera 

T> ^^ C — r"— o\ y\ ' (à" cà v 

■^ 4.em ' ^ 46 ^8e '^''' ^■' 4dm ^32 e» ~ 4^ ~" "/ ' 

' = - iïï (5..T" — ïT,- ■+- !«^ + i ^ H- ^) . 

V ' /7d' 5cd' 5ad= , 5c'd . , i r- js 



i58 
II. 

DELA 

SOMMATION DES SUITES, 



Présenté le 1 Janvier 1824- 



\. 1. Une des parties les plus importantes de l' analyse 
est sans doute celle qui a pour objet la sommation des suites , et 
le moindre progrès de cette partie ne saurait être sans intérêt. 
Le célèbre Euler a donné la forme et les coëfficiens du terme 
sommatoire du premier ordre d'une suite quelconque, dont le 
terme général est une fonction donnée de son index , ou de la 
place qu' il occupe dans la série ( Instit. Cale. Differ. Pars II, 
Cap.' F.). Je vais m' occuper à développer la loi de ces coëffi- 
ciens, ainsi que la somme des sommes, ou le terme sommatoire 
d'un ordre quelconque. Pour cet effet je désignerai constamment 
Y index des termes d'une suite proposée par x, le terme général 
par u, la somme des x premiers termes par Sm, V intégrale aux 
différences,- ou la fonction primitive, dont \& différence est m, par 
S î^ , pour la distinguer d'avec V intégrale aux différentielles, qui 
a le signe /; la somme ou l'intégrale de l'ordre m sera désignée 
par S"*», X™«, f^udx'^, de sorte que p. ex. 

f^udx^ zzi/dx/udx^ zz:/dx/dx/udx, 

et S'u sera la somme des x premiers termes de la série S'u, 
sommatrice de Su, dont le terme général est le terme sommatoire 
de la suite proposée, qui a u pour terme général. Je supposerai 
que u est une fonction donnée de x , de manière que les règles 
vulgaires du calcul différentiel et intégral donneront les fonctions 

ai ' S^' dx^' y"^^ ' /'"^■^^ f^udx'^. Puisque u est la différence 



de l'intégrale 2", il en résulte l'équation 
(1) Sw=::Xm-4-«. 

§. 2. Lorsque m est une fonction quelconque de x , et 

que h ziz ^x soit la différence ou l'accroissement constant de l'm- 

dex ar, en passant d'un terme au consécutif, 2« est donné par 
l'équation 

Les coëfficiens A , B , etc. étant indépendans de x et de h , le 
développement d'une fonction quelconque u , dont l'intégrale 2 u 
est connue, servira à les déterminer. Mais le moyen le plus simple 
paraît de supposer 

i. « zz: -A — ' 

e"- — t 

e. étant le nombre, dont le logarithme naturel est l'unité. Cela 
donne 

A -^^ eX-\-h — gX e^ (e^ — i) 



1 



dx — d^- a;r™ — ^" — "' /"3^= "r donc /"z^aa;" — u. 



oX 



Cela posé on a 

du ddu d^u - 38 

dx dx^ • — ax™ — ^ — 

Divisant l'équation (A) par u zz: e* , et substituant ^ u — -;/— ^ 
on aura 

(«)••• ;/.-èri.= ^ - I -f- A/i + B;i^ + . . . -f- RA'-. 
Or on sait que é^ :z=: 1 -)^ /i -f- — -+- ^-^ 4- cet. ou 

^ ' 2 ' a. 3 ' ' I .1 . .. (r-f-i)/ 

Faisant donc 

(2)... . A_L.^ _L r. ^r_ H 

on aura 

(3) e* — 1 =z/i(l 4-H). 

Ainsi l'équation (a), multipliée par /j, donnera 



i6o 

. L„ — 1 _ -'^. .f_ .\?i- 4- B/f' 4- . . . -f RÂ'- — ■. Mais 
__ ' — I — H -i- H" — H^ + cet. ce qui donne 

t 1 H 

H — H' -f- H' — ir^ + cet. == Y — ^^^^' — ^^'^ ~ <^^*- 
Désienant le coefficient de A" dans la dernière série, ou de gpr=ï 
dans la série (A), par LOO, ensorte que Az=zU''\ B:=z'L^^K etc. 
la dernière équation se changera en 

(B)...L(=^/i'-^-L(^^/i^ + ••• + LW;^"=4 — H-f-H'— H'-l-cct. 

S. 3. L'équation (a), multipliée par h, donne 

a (e'' — i) ' 

et donnant à /i une valeur négative, 

(c) . . _!^- _ 4- — 1 + L(=) /i=_ L(3) ;i3-^ L(^^) /i*- L(*) /i*-4- cet. 

^(1-1-?— '^j 

— , (. _ e-Aj • 

Mais '^^-^Â^^^Ia^ ' '^""° Ce) =^ C*^) , d'où il suit 

^0 ~ L('') h^ + L^^^ /i^ -h Lf7) /i7 4- cet. 
c'est-à-dire, les coëfficiens de toutes les puissances de /i d'un 
exposant impair sont nuls. Cela change l'équation (B) en 

(C)... L^'^^/r^-L(4);i* -+-... -^L(")/i"—^—}I-+ H'-H^-^cet. 
71 étant un nombre pair. Ainsi, dans le développement de H, II", 
etc. on ne prendra que les puissances de h, qui ont un exposant 
païr, et l'équation (A) (.^.2.) donnera 

parcequ'en appliquant cette équation aux suites on a l'accroissement 
de r index, ou h m: 1 . 

§. 4. Faisons pour abréger, 

(^) . . . ^ = [1], ^3 = [2], :7r-r^-T) - M ' 



i6i 



]I étant = [1] -t- [2] -f- . . . . -t- [m] (§. 2.) (2). Le développemen 
d'un poljnome quelconque H^ a pour terme général, 

la somme des exposans />, -f-Pa H- • . . +/'m étant m X , et fji 
désignant le produit des facteurs 1 . 2 ...;>, , 1 . 2 . . . /y, , . . . , 
i .2 . . . . Pj^. Comme [m] est multiplié par A™, et par conséquent 
[iii]^'^ par /i'"^™ , la somme /?, -f- 2/Jj H- . , . -f- 77;/^^ sera l'expo- 
sant de h dans le terme général H'^. Faisant donc, pour abréger, 

I .2.5 X 

I . a . . . J>i X 1 . 3 . . . ?i X I . 2 . . . . {)„ . " ' 

le coefficient de A" dans le développement de H^ sera 

où l'on doit satisfaire aux deux conditions suivantes: 

(4) p^ _j_/7^ _[_ -h;j^— A, 

(5) p, -l-2p.^-\-....-+-mp^-=zn. 

Si p. ex. "K zzz 1 , la condition (4) donnera p^ = 1 , tous les au- 
tres exposans p étant nuls: on a donc, à cause de (5), 7» . 1 —77, 
ou 777 zz: 77, cc qui donne 1 . 2 .... X z= 1, |X :^ 1, ">] rz: 1, donc 
(E) . . . L^-;) r:r [n] ^ -— " 



■ l"-HO 



§. 5, En général la condition (4) présente les cas suivans, 
1 ) /'m = ^5 2 ) /7^ + p^' = X, 3) /7„ -I- /7„' -I- p^,, ~ X, etc. 
et la condition (5) donne pour ces dilTérens cas, i) inX z^n ou 

771 = ^ , 2) 777 /;„ -4- 777^ (X — /7„) I^ 71 , 3) 777/7^^ -+- 777''/7„' -f- 77^'' 
(>^ — Pm. — /^m') == "> etc. 

On a donc 

1) 771—-^, /7™ = X, ^o=:l, L^^)/7"— [|l^ = 



/'m=l, /'m'=X— 1, -V]: 



1.2...(|-^1)_ 

, , ; (,>-;^ =: X, L^;;) A" - X [772] K]^- ', 



...X 



771 , 771'' , désignant tous les nombres entiers et positifs qui satis- 
font à la condition (5), 77i-4-(X — l)77i'zr:77. Si on fait /7„r=2, 



Suppl. aux ^Tc'moîres de l'^cad. 



Ql 



l62 



on aura 



2m-\- (k — 2)n/ étant = n. Dans le cas 3) on a /J^niz 1, 

/V := l,p^"ZZzX — 2, ou PmZH i,pr„f:=z 2, p^" := X — 3, etc. 
donc -^=X(X-1) ou T^— VX— OÇX-.) ^ g^^_ ^^ 

L^;^) /i'' — X (X — 1) [;/j] [;«"] [w^'']'^ — '^ 
ou — X çx — .j (X — o |-^^-| |-^^/-j2 |-^^//-|X — 5^ En poursuivant le même 

procédé on trouvera la formule suivante : 

-H^^[m]^-[[^^-^]^-t-2[mO[/z-(X-2),n_m^]|+.... 

1.2. ..a ^ ^ ce 

arl"-^)...(a-P+.) r^..a-3 j ['"^"/^ P ['"^1^"' ["^ H- •• ) 

-^ TÏÏTÏÏp Lw J Jh-P((3- 1 )...2. 1 [m''] [m'''] [m" ]... { '^••• 
-4- a (a- 1 ) ... 2 . 1 . [m^] [/?/''] [m'''] . . . [;n«] -+- .... 
■+- X(X — 1).. 2.1 .[m] K] [m^l .... [Jn^]. 

§.6. A l'égard du coefficient précédent il faut observer 
ce qui suit : 

t. La combinaison des nombres [m], [m^, etc. doit être 
telle, que la somme des produits qui résultent de la multiplication 
de chaque nombre [m] par son exposant, soit rz: n. Ainsi p. ex. 
pour le terme [ni]^ — ''[niT ~ ^[m''f [m'''], il faut que 

(X — a) m + (a — 3) n/ -h 2 m^''-\- ir/^' soit =: n. 

2. Tous ces nombres devant être entiers , les termes 
fn-jX r" (X— Om-|3^ ç^^ seront exclus, si ?i n'est pas divisible par 

X, ou 71 — X?/i par 2. 



i63 

3. On ne doit pas faire a plus grand que n — > — y 

Car si on suppose a :=: v -f- |3 , le terme général de Ly , ab- 
straction faite des coëlBciens , deviendra 

[m]^— ^'— P {[rn'y-^^ -f- [m']'-+-P— « [m^-']! + cet. 

Le pi'emier terme donne 

(«-2v-/3)m-HCv/+^)m^=rn, d'où m =z ^^^^^)p^' , et m^=l, 

parceque , si on faisait m''> 1, m serait moindre que l'unité: on 

a donc mzzz l ~+- ~ — ^ , et — égal à un nombre entier 

r, ce qui donne ^nzn — -2^ -, et L^ :=:..•["'] ^ ['n'] ^ 

doit se trouver déjà parmi les termes précédens , attendu qu'ils 
s'étendent depuis a rr: jusqu'à a zn v , c'est - à - dire depuis 

[m]^ = [;7i]" - ' jusqu' à [inY ~ '' [»/]'• 
Le second terme donne m rzi " t"-*"! , y "^ '^ , Or quelque 
valeur qu'on attribue à ;m, excepté l'unité, n aura une valeur dé- 
terminée, qui est susceptible du tei'me qu'on cherche : d'où il suit 
qu'il est déjà renfermé dans le terme général. Il faut donc sup- 
poser mzzz 1, d'où il suit que vi^ et m^^, étant différens de m, 
seront au moins:=r2. Posant donc in^zzi:2'+-r, 7n^^:^,2 -i-s, r ou s 
pouvant aussi être nul, on aura 

(k- H- (3 — 1) (2 4- /•) H- 2 -f- .V =: 2v 4- (3, ou 
(1 +r)(3 -4-(y — l)/- + s=zO, 

ce qui est impossible, parcequ' aucun de ces trois termes ne peut 

devenir négatif. Il en est de même des termes suivans de L^x . 

Ainsi (3 zzz , et la suite (F) ne sera continuée que jusqu'à 

azzzn — X, ou jusqu'au terme [my^ " ce qui suppose X>". 

Cela posé le dernier terme de H^ ou H" ' sera 

(„_,Nr„-v-,)...(n-.v-4-.) r,„]r:-2vr,^^^v 
i.a V '--' "- -■ 

les tei'mes suivans étant impossibles par ce qui précède. Cela 

21 • 



i64 

donne niz:z.^-^^^, d'où il suit mzizl, rn'zz.2^ et le terme final 

(n^v)(rt — y — i) (re — av+O r^-in — =v [O]^ 

i . 1 . . . .1 ^* 

4. Le premier terme [^1^, est toujours renfermé dans 
les- termes suivans. En effet \ ne peut pas être un nombre en- 
tier si X surpasse " : ainsi le terme 0^)^ ne pourra pas avoir lieu, 
à moins que 2X ne so'it plus petit que n -^- 1, ou À < /i — X -h 1, 
c'est-à-dire, Â<>/-f-l. Or les termes suivans s' étendant jus- 
qu'à a rz V , et par conséquent jusqu'à a rz À , on aura alors 
a — X m , et le terme général de L x (F) donne pour ce cas 

M^-'X---;'-' . \mf {m'-f — [;?/]'- zz: M, 

1.2 . ■,. . A. 

Il en suit X»/ :::=: " , m' ru ^ , et L\^ X :=: [-^]\ Dans le même 

cas, où X z=: — , on s'an'ctera au terme, das lequel a n: X , et le 
terme final, au lieu du précédent c, sera 

H- XCX — 1) 2.1 [m] [mQ [m^]. 

5. Cela posé il est visible que,' sans omettre aucun 
cas, on peut supposer [;;i]zn[l], parceque le terme :::,'' renferme 
tous les cas, où [!7z] n'est pas :i= [1]. Ainsi le terme général 
de \}x , abstraction faite des coëfficiens , aura la forme 

[I]'"^[2]^ H-5[2f— '[3] -hcet.^ , 
r _(- 5 étant zm.'kzzin — v. La partie de ce terme, qui renferme 
la puissance de h la moins élevée, est [1]'"[2]% et r -\~ 2s doit 
étre~7T, ou .y -~~ ^^——^ ; ce qui étant combiné avec la valeur pré- 
cédente de s ■z^: n — v — r , donnera rzz:Ln — 2)/. On s'arrê- 
tera donc au terme [!]""-* [2]*. 



I 

I 



i65 



5. 7. Il suit de ce qui précèJe , que le terme qui est 
multiplié par h^ , dans le développement de li^ ou H" *, est 
(G).. ..LW = (n— V) [l]"- «-■ [v+ 1] 

^ (^^(^,_0 ^^ j,_,_, ^^v±=-ja_^ 2 [-,j ^^j _^ 2 [3J [.- 1] -t- cet.^ 

-^ (n-v)(^-v-0^(«-lli}|- 1 -|n-,-3 $ [^jt^J-^. 8 [/«]' [/72'] 4-3.2. [/Jl] [/7l^] [m^^] ^ 

^t- cet. 
la suite étant terminée par le terme, dans lequel l'exposant de [i] 
est céro ou n — 2v. Si X ou n — v est rr: 1 , le coefficient de 
/)" dans le développement de H est ir; 

par le premier terme, tous les autres étant multipliés par n -v — 1=:0. 
Si 'kzzzn, l'^^ sera H" ru [1]" zzi -^ . Si on fait successivement 
>/ :=: 1 , V ziz: 2 , etc. ou X iz: 7z — 1 , X m n — 2 , jusqu'à 
X zzn 2, en observant qu'il faut s'arrêter, lorsque l'exposant de [1] 
est nul ou n — 2^', la formule (G) donnera 
(") _ 



L^;'^ = [!]", L„^l\— (n-l)[lf-^[2], 

lJ:^), — (n _ 2) [ir-3 [3] -h Ç!L^ll^) [-l].-4 [2]% 

lW^=: (n- 3)[l]''-4[4] +0z-3)(n-.4)[l]''-^ [2] [3j 

j I . ("— 3)Cn— 4H'i — ^) [-j-[n-6 rj-l^ 

(6)...^Li54-(n-4)[l]-^[5]+(^^::^--^[ir-«^[3]%2[2][^^ 

"^ [ir-^[2r[3]-f- ^-^'^\-;I^) [l]«-8[2]*, 



(,i_4) (n-5) (a-6 ) 
1 .2 



L^2) = 2[l] [72- 1] -+ [7f-^2[2][/i-2] -t-2[3] [n-3] 
h... + 2[|-l][|+l], 
0. 

La somme de toutes les quantités précédentes (6), L ^^-hL^"'-i-...-(-L^"s 
donnera le terme total L ,■' qui est multiplié par h^. 



yiS:'-ln-]^ L^;) 



i66 



5. 8. Cela posé l'équation (C) (§. 3.) deviendra 
L W - LW - L W + LJ2^^ - L W^ + . . . + L(^) - L(;;) , ou 

La formule (H) servira à calculer chaque coëfRcient L^"), indépen- 
damment de ceux qui le précèdent. Elle donnera à l'aide des 
valeurs (6), 



(7) 



2.3 



T (4) — J l I I _»__ _, _j ;■__ 

2" 2' 2.3.4.6 "I" 2.3.4 """î». 3» I.2...6 ' 

LC6) —±- ^: J— -4- 4 [I]^ [3] -4- 6 [1]^ [2]' 



— 3 [ir W - 6 [0[2] [3] - [2]3 4- 2 [1] [5] 



+ [3]^ + 2 [2] [4] = ,-77^,- 



L(o) — J- 7_ 



1 . 2 . . .9 
3 I . T (lo) 



^«^- Lff'+IA?^-L^'^ 



L (8) «__ 

2 2». 3'. 5^. 7 



2'° 2» 1.2...11 "^ -^ 8 



t('o) 
^ 5 



C>o) 



('«) lC'^o) -— . 



7 



H-j _|_ i,('o) 



4 A-' 3 — a 2' . 3'. 5. 7. II 

On conclura de la même manière les nombres L(*-) , L^' '^ , etc. 
qu'on trouve dans l'ouvrage cité (§. 13 0.). 



§. 9. Tous les coëfficiens L^'') , LW , . . . L^-"") , étant ainsi 
connus^ l'équation (D) (§. 3) donnera 2^m, et en vertu de (t)(§ 1), 

(K) . . . . s«=/.ax+i+,..^^"-.-:_ .|i-: 

Passons maintenant aux sommes d'un ordre supérieur. 



§. 10. L'intégrale aux différences d'un ordre quelconque 
m a la forme 



i67 

CL) . . . S'"" = ^/" udx^~^^^,/^-' udx^-' 

-h ... H- ^^/udx-\- N« 4- ?h 1^ -t- cet. 

et il s'agit de déterminer les coëfficiens A, B, etc. Pour cela on 
fera, comme précédemment, ii zz: c*, ce qui donne g— sv :=zm, 
/~^xdx'^—u,et^uzz-ji^^(^.2.}, ou faisant pour abréger, -^^ := a, 
S« ==:««, donc '^^uz^'^auiiizia^nzzza^ii, et '^'^u:zza^u. 

Divisant donc l'équation (L) par u, il viendra 

a™ zz:^ +^ + ^-^''^ + . . . +H + N + PA 4- cet. 

Mais l'équation (3) (§. 2.) donne a™ = ^^^^— > '^o"'= 

;,m^m — 1 _ mH + ^^"'^'^ H* ^ ^;;^™+ 0J^L±2) H^ + cet. 

I . a 1.3.0 ' 

Cela donne 

1 + A7i + Bli" -f- C/i^ -t- . . . 

r= 1 _ mH 4_'ÎLi!ÎLihO H' _ !ll! "+ '^^"' + ''^ H^ -t- cet. 

' 1 . a 1.2.3 

d'où, à cause de H ^z [1] -i- [2] h- cet. (§. 4.), et h zzzl, on tirera 

C =: - m[3] H-m(m4- 1) [1] [2] - !!L( ^ + OCm + j-^^^ 

et désignant généralement par N^"^ le coefficient de y™~"z(3a;™~'* 
dans la série (L) , 

(M) ....nW — -„iM+ ^-±^ j^çn) _^+,)Cm+^) lW _^,. ... ; 

—- w(m+i). ..(m + n — a) j^ (n^ ^^ wCm+ i) ... (m + 7i — Q ■- -,„ 
i.a...(n — i) " — ' — i.2....n LJ> 

le signe supérieur ayant lieu, lorsque n est un nombre pair, 

et r inférieur , si n est impair. Les quantités L ^"^ , L 5 , etc. 

ont été données plus haut (§.7.8.), et on doit observer que, lors- 

que m — n est négatif, /^ "«dx™ "se change en ^-^_::j^ , et 

en w , si ?n — n est nul. 



(d). 



(«) 



168 

î. 11. Les formules précédentes donnent, à l'aide des valeurs 

I 2 ' a^ . 3 • a*. 5 ' 

j 'XÇ-I') m('5m3 — 5uni ^-f-5m-|-") 

» ■'■^ ' 2'. 32. 5 ' 

■ \ -vTr^) m' (m— i)(3m ^ — 7m — O 

g 2» . 3» . 5 ' 

I TV-fe) ■'n-{7(9''i' — 4^"' * + 4-^"*' + '5 m ' — 6 m) — 16} , 

\_ a'°.3*.5.7 ' 

On voit que tous les coëfficiens d'un ordre impair tels que N^^), 
N^"^ , ont le facteur m — 1, ainsi que cela doit être, parcequ'lls 
deviennent nuls, lorsque 7)i zzi 1 (§ 3). 

§.12. Le calcul numérique de ces coëfficiens sera asse's long, 
quand les nombres ni et n sont grands. Mais on pourra l'abré- 
ger beaucoup ,■ en observant que , tous ces coëfficiens étant des 
fonctions entières de m, leurs différences d'un certain ordre seront 
constantes. Ainsi N^^") étant composé des termes m, ui^ , .... /u", 
(M) (§ lu), sa différence de l'ordre ?i sera constante. On a en 
général 

A'"^"=^ n(/i — 1) . . . (n — /• -4- 1) a;" — »" 

~\- ^n (n — 1) . . . Qi — r) x" — ''—' -h cet. 

d'où il suit 

A"a" := 1 . 2 . . . n-, A"- ' x""- :=z 2 . S> . . . n .x -^ l . 2 . . . n ^' • 

Supposant donc u zz: ax^ -f- hx^~'^ -f- cx'^~^ -j- cet., on aura 
A" " =:: 1 . 2 . , . n . a , 
A"~ ' u r=: 2 . 3 . , . 71 . ax -+- 1 . 2 ., . n ""—- a -h l . 2 ...(«— 1 ) t. 
Si on substitue m pour :r, l' équation (M) donnera 

1 . u . . . n L J 1 . 1 . . . . (;i — 1) " — 1 — 

Lil\ étant ™ (« — l)[t]'— =[2], par (6) i^. 7.): donc 



169 

^ i ^2. . .n — l.a...n '-J 

^^ l.a...(n — 1) — 

Faisant donc NW ::^ _-+: «a.-" h^ 6x"— ', on tirera de là 



____ I I __^ ^^ Ail 

^ a'ix 1 . v...n ' 2"— ' .3x I .a . .. (fi — 2) £^1 X 1 . 2 . . . 1 ' 

6 m - n-L-i - — '- 7 ^v : donc 



C/)... A"K(")=:: 



2" 



-L^ ^ ' .JZ • ^^ oïl -4- T -r • 



2.. 2"-!-'. 3—— 2^1 

le signe -f- ou — devant être employé, selon que n est un nom- 
bre pair ou impair. Connaissant maintenant les deux dernières 
dift'érences , on n'a qu'à chercher la diflcrence A" " K^"^ , et 
celles d'un ordre inférieur. Pour cet effet il suffit de calculer 
71 — 1 valeurs consécutives de NW ; et comme la suite (M) de- 
vient plus simple, lorsque m est négatif, on calculera NC") pour les 
valeurs mzz — 1 , m~ — 2, . . . . , mzz — (n — 3) , en commençant 
par la dernière; ce qui étant joint aux valeurs de N^"\ qui repon- 
dent à m zz: et m zzz — 1 , dont la première est toujours nulle 
et l'autre est connue (§ s), donnera n — 1 valeurs de N^"^. 

|i §. 13. Les formules (e) (^. 11.) pour KCO, nW, N^-^), sont 
si simples, qu'on fera mieux de les calculer immédiatement. On 
aura donc 

N^;)=_i, N^'J—-i, Ny=:-|, K^l5--2, etc. 
le nombre au pied de la lettre indiquant la valeur de m ; 

N«=^, N^:^=:^, N^^=l, n5^ = V' ^^^=" ' 
K^6^ = '{ , N'V^^ — % ^^^ = f , etc. 
la différence seconde étant :=;J ni: î|, et les différences premières de 

Suppl. aux mémoires de l\4cad. " 



170 

Nf=5 TvrCa) . 25 23 2i etc 

v(3) • — iS N^^^ — 49 N^f^ — ^ etc 

§, 14. Pour le coefficient N^) on calculera (M) (J. 10.) 

A*NW)=z^, A-' NW — ^"t^ C/-) (J. 12.), donc pour , 
7u— — 1 , A^NW — 0. 

Faisant donc NW) :=r - ^ ^^^ , on formera la table suivante , dans 
laquelle toutes les quantités depuis m z=. 2 jusqu' à m :rz S , ont 
été calculées par le moyen des dilïéienccs, fournies par les valeurs 
1» — : — 1, 7?i zz: et ju zr: -f- 1. 



m 
— 1 


fZ 


àd 


d'A 


A'd 


6 












— 6 












— I 


5 





-+-1 


— 1 


-4-i 


5 


45 


2 


+ 3 


51 


50 


90 


3 


57 


194 


140 


135 


A 


251 


/i69 


275 


180 


5 


720 


921 


455 


225 


6 


16.11 


160,1 


6S0 


270 


7 


32.iS 


255/1 


950 




S 


5S02 









Il est aisé d'étendre cette table aussi loin qu'on veut. La colonne 

, , ,,(,0 3 1 TV, (4) — __!.9_ lyjW^ — =5j_ 

d donne JNs — 0.4.3^.5 — 24.3.5 ' ^ — 2*. 3. 5' 4 — 2*.3".5> 



N(4) 
3 



. Al (4) 137 Tv;(4) 



2o3 






(4) 967 



AS 



etc. 



171 

§. 15. Pour le coefficient K^^) on calculera 
Ni'] = 2[5] -f-L<:>= 2[5] -^ 2[1] [4] -f- 2[2] [3] Q. 7. (6)) 

■ ^ 1 ■^ |_ j 9 

3 . ^ . 3 . 6 l~ 2 . 5 . 4 . 5 "■ ^3» . ^ 2^.3". 5 ' 

m = [5] =: ^^i^ , Nt„^^ = 0, "n^^) - 0, 
A*#'^ = _.±, A^'Ni^^ = i--i-^. 

^ " 2* 2* .3 

Ces données serviront à former la table suivante, dans laquelle on 
a supposé N(5) — -j-^_ . Elle donne 

N'p = -^ , N^3'^ =: — JL N^') — - = N^^) — 9-^ 



j(5) _ 



- 1. Nt^^=:_l9, nW — 
7 20 ' 3 — 



288 



il9 

9" 



, etc. 



;n 


e 


Ae 


A^e 


A^e 


A^. 


— 2 


31. 


34 








— 1 


2 


r» 


32 


— 30 













2 





30 


H-i 





+ 2 


2 


— 15 


— 15 


2 


2 


— 13 


— 60 






— 11 




— 75 




3 


— 


-99 


— 88 


— ISO 


— 105 


4 


— lOS 


— 367 


— 26s 


— 330 


— 150 


5 


— AÏS 


— 965 


— 59s 


— 525 


— 195 


6 


- 1440 


— 20SS 


— 1123 


-765 


— 240 


i 


— 352S 


— 3976 


— 1SS8 






S 


— 7504 











§. 16. Pour N(«), il faut calculer 

KL'jzz:3[6] + 3rf^-4-L^«^ — 3[6] + 6[l][5]-h3[3r_H6[2][4] 
+ 3[l]^[4]-t-6[l][2][3] + [2]3:=^^=i^-_, 

Ni'i =: 2 [6] -h L^^ — —l'I— ^(^) _ rl-i' _ ' ' 1 

-2 L J -^ ^2 2*. 3". 5. 7' ^^-1 LOJ i^Ts^TsT^' 

22 * 



173 






A'N^^l — 



2' .3 



Faisant donc N'^'^' ~ 2,73(5:7 . «" ^ura Ay— — 1260, AV^iO^o; 
d'où il résultera la table suivante. 



1 '- 


/ 


A/ 


aV 


AV 


AV 


A'/ 


— 3 


3025 


— 26.1,1 










_ .■> 


3S1 


3b9 


2275 


— 1918 






— 1 


12 


12 


357 


— 343 


1575 


— 1260" 








-)-2 


11- 


2S 


315 


— 315 


+ 1 


2 




— 11 













— 12 


— 42 


— 28 


630 


+ 630 


2 


10 






— 51 




-+-602 




1575 


3 


— 6i 


-+■5)6 


4-56U 


2S07 


2205 


2520 


4 


-+-ii-' 


3S73 


3367- 


7532 


4725 


3465 


5 


■1315 


1.4772 


10S99 


15722 


8190 


4410 


6 


190S7 


41393 


26621 


3S322 


12400 




7 


604SO 


96336 


54913 








S 


156SI6 













La colonne f de cette table donne 



■■■^2 2».3=.7' 3 3^.5.7 



221' 



■7.3 ^ ^ ■> '■^ii 2* .3' .5 . 7 

(6) , 363 



J-^à 2». 3'. 7' *> 2». 35. 5. 7' 7 ' ^ 140' 

§. 1 7. Pour NW on calculera nL^]-4[7]^ ôlI'V^I^'Vl^^^ 
NL-]=:3[7]H-34-^-H-Li-\ NC_7)=2[7]-^Li'\ nL^]=[7](M)(§. 1 0.), 
KW:i::0, et par les équations (/)(§. 12.), A^NW = — ^, 
ce qui donne par les équations (6) (§. 7.), Nj'yj m ^773^^57^ , 
.NW 



622 



, Ni^i 



85 1«jC7^ 1 N'7^ 

3^77^' ^-1 — 2'.3'.5.7' ^^" — "' 



"'—S 2'. 5^. 5. 7' " 2°.3-.i.7- ' 1 -J ■•>■-/ 

N(')=iO, et par les équations (/) (^.12.), A^îv^'^n: — ^, 



1 



173 



A"* jSL^I m I,- . Faisant donc N^^) ::::; __« _ pour éviter les 

't 2' 2' .3^ .5 . 7 ' 

fractions, on aura A^g z:z 1890, A'^gzzz — 946, d'où il résultera 
^ la table suivante. 



m 


9 


i\y 


A^^ 


A-V 


AV 


A^^ 


ù(^g 


10600 
















— S731 












— 3 


1S66 


— 16m6 


7038 


— 5509 








— 2 


170 


— 167 


1529 


— 1365 


AlU 


— 29-10 




— 1 


3 


— 3 


I6i 


— I6l 


120.1 


— 1050 


1S90 











3 


— 7 


151 


- 105 


915 


+ 1 







- .4 




/(9 











— /l 




+ .12 




— I'i5 




2 


- i 




+ 3S 


— 56 




— 915 






4-3.1 




- 11 




— 1050 




3 


4- Ju 


58 


2.1 


— 1120 


— 11(16 


— 29-10 


— 1S90 


>'l 


8S 


— 103 S 


— 10p6 


- 5166 


— 40.16 


— 5775 


— 2S.35 


5 


_ P50 


— 7300 


— 6262 


— 1.1987 


— 9S2I 


- 9555 


— 37S0 


6 


— S250 


- 285/(9 


- 212.19 


— 3.1363 


— 19376 






7 


— 36799 


- Silûl 


— 55612 










8 


— i2nf)60 















Il en suit NV'' = — 




NF:^-i 



§. 18. Connaissant maintenant les intégrales Su, S"* «, 
on trouvera les sommes d'un ordre quelconque, S™u , à l'aide de 
l'équation (1)(§ i). Si on substitue successivement Su pour u, S u 
pour Su, etc. l'équation (1) donnera 

S . Su = 2 Su -f- Su =r X^u -{- 2 Su 4- u r=: S^< , 
■ S . S'u = S S'a -h S'u =z X^u -t- 3S'u -h 3Su + u — S^u ; 
d'où il est aisé de conclure la forme générale 



1*74 

s»- Il = l.'-u 4- r . Il'-— • " H--T?ï-^' S*"-'" -f- . : . : : 

-f- .... -f- /• . 2 « + 1«. 

En eiTet, la formule ayant été prouvée pour/-~2, r~3, elle aura éga- 
lement lieu pour rzzi3-+-l, et en général pour rn-l. Car on a 
g r-J- .„ _ S . S'-zt z= X S'-n -4- S''u z= 

-t-....-t- (1 -+-/•) 2«-f-« , 

le terme général étant 

. rQ— 0....[r-p+0 r+l <r-p„ (»- +l)r(r-l] .■.(r+l-pJ VCr-HI-fp+l),. 

Î.2 p "p+l"^ 1.2....(p-|-l) ^ "• 

La valeur de S'+^w est donc identique avec celle qu'on obtient, 
en écrivant dans la formule supposée, r-j- 1 au lieu de r ; d'où 
il suit en général, 

(S) . . . . S'^ zi = 2™ " -4- mX'"-'M -I- ^~^ S'^-=' u -(- . . . -4- m2ï< -+- î<. 

Si on substitue pour les intégrales 2™"j S™ 'it, etc. leurs valeurs 
tirées de l'équation (L) (§ 10), savoir 

en observant que /°udx'^:zzu, J ^u^a;"*^:^^, etc. il viendra 

T.~(m— O /. -> xtÇii) .-TCm+Oau -^(78+2)9314 

-f- N^^Ti'^ « -V- nL^^Ii II -+- cet. et ainsi de suite. 
La substitution de ces valeurs dans l'équation (8) donnera 
(9) . . . S"/* ZZlJ'^u'àx^ -4- ^N^^ -f- m\ /™-i ubx^-'^ 

^ ^nL'^ + mN W, + ^-fL-_0^ /m-2 „3,,™-2 



175 

-H ^Nir+''^ _K "iNfc^''-^^ ^ -^ mN^,'^+^)^ S -I- cet. 

Pour déterminer le dernier terme de chaque coefficient , il 
faut observer que toute fonction NC"\ étant multipliée par m (M) 
(§ 10), s'évanouit, lorsque m est nul, et que le premier terme <ln 
polynôme (1 -f- H) — ™ (§ 10), qui n'est pas multiplié par /i , ou 
ce qui revient au même, celui qui précède K('), est l'unité; d'où 
il suit N;"^ z::: 0; N^^ziil. Cela posé, le dernier terme de chaque 
coefficient sera celui , où la lettre au pied de N , ou celle en 
haut devient nulle : dans le premier cas N sera zr: , dans le 
second N zz: 1 ; il faudra donc, dans le premier cas s'arrêter au 
terme précédent. Ainsi p. ex. le terme général du coefficient de 
/"" — "z/Da™ — " étant <^ — 0---(.^ — r+') TsiC"-;), N deviendra 
^mln^^^ 1 , lorsque r zz: 72 , ce qui a donné le dernier terme 
— -^^ — -^ . Le coefficient de 5- étant -^^ -—^ — iN^ — r ' 

I «2 .•.(71 OJC • • 2 ... * 

r :z:z 171 donnera N zn N„ rz : il faut donc s'arrêter au terme 
qui le précède, r z^ m — 1, ce qui donne m Ny. 

5. 19. La constante qu'il faut ajouter à chaque intégrale 
aux différentielles, fiîàx , f^iîbx , etc. sera déterminée par la na- 
ture de la suite proposée, dont le premier terme A est donné, l'i;;- 
dex du terme précédent étant nul. On aura donc u::A , ^"'uii^A, 
et f^a irz h.-, lorsque x ■ziz 1 ; et si u est une fonction qui s'éva- 
nouit en même tems que x, on aura 11 z:zzy~^u rzzO, lorsque xzizO. 
Supposant pour* ex. Mr:.r, on aura fu'^x— i-a, jjudx''~ -y -^ax-+-b, 



il6 



au 
ai 



— 1, d'où îl suit, en faisant a:= 0, (X) (l IS.), ^S " = __ 
fl'-+-NW_-„ + jL(5. 4 3.), ou « = -/i, et 2'»— 0=6-a + Nl'^ 
donc Z) z:i 0, 

§. 20. Chaque terme de S^u (9) (§13) a pour coëffîci- 
ent une série , dont le calcul numérique paraît assés long ; mais il 
pourra être abrégé considérablement. En effet, ^^^ étant = — ^ 
(5 1 1) (e), le coefficient de /^— ' îf^a," — ' sera ™ =: — M 4 • Si 
on fait , pour abréger , 

_^_ pY4- Q'" -1- i^' 1 -+- '=^*- 

on aura A'- — N^^,^; et on trouvera pareillement Nj_2 , = -^^'* 
donc B' zz: N(^> . Si on substitue 

■W„^''. ,3.3 ' -^^m — 2 



m — ^ I 



3 ' m — 2 2 



dans le coefficient C\ il vient 

^^ r=) , 7n(m— O-v- (0 , m (m— iXm— 2) w"(m— ■) 

m N^Ll . + -h"V i^m— 2 H 77^75 — —^3 

^__2N^;), clone C' — — Nt^- 
On trouvera par le même procédé , D' ziz N ^ , E'' ::zz— N ^ , etc. 
Nous aurons donc 

(g)...S™Z£ =/'"u3x™ — nL'V""'»^^'""' -t-NmV'""'«9a;"-2 

- Islf V"-' "9^"-' H- .... ± kL"^« :? NiT"^'' I ± cet. 
le signe supérieur avant lieu , lorsque m est un nombre pair , et 
l'inférieur, si m est impair. 

§. 2 1. Le coefficient de /uBa; m NC™^ est constamment 
égal à l'unité. On a vu (§.13—17) que N^'^:=— 1 , NC^^^::!, 
jj^ô) ::r — i , NW) — 1 , NC5)=: — i , KW — l,NCpz= — 1 ; et 
il est aisé de s'assurer que cela a généralement lieu pour N^ ^\ 



177 

En eflet, les cocfficiens N "^ sont des fonctions de m et //, et or 
vient de voir que, pour une certaine relation entre m et ?z, savoir 
m zzz II -\- i, ces fonctions deviennent z^ H— 1 ou — 1, selon que 
m est impair ou pair. Elles sont donc , au signe près , indépen- 
dantes de m ; d'où il est clair qu'elles n'éprouveront aucun chan- 
gement lorsqu'on mettra ;n -f- 2 , m -f- 4 , etc. à la place de m. 
parcequc la relation m ziz. n -f- 1 a toujours lieu. Ainsi le coeffi- 
cient de j^iidoc , qui est -f- N^'" ' ') ou — NC"' '), selon que m 

est impair ou pair, doit nécessairement être m: -|- 1. On con- 
clura le même résultat de la forme primitive du coefficient de 
fudx dans l'équation (9) (§. IS.), 

m ' m — 1 1.2 771 — 2 ' ' 

d'ûù il suit, par ce qui précède, si m est impair, 

n i ,„ , m[TO - 1) m(m— l)(m— 2) m(m — l) 

p _ 1 _ ,„ ^ ___ __ H . . . . --^ -+- 771, 

donc P - 1 z: 1 - /7i -+- ^^^ H 771 — 1 r (1 _. l)'" - , et 

P ziz 1 . Si 771 est pair, on a 

n , . m(m— 1) m(TO — 1) 

P =: — 1 -î- '" r.l f- • • • ~;y~^ -f- 'n := 

(1 771 -4- j _^. .. . H ^^ — 771 -f- 1 — 1)1= 

— ( 1 — 1 ;"'- -h 1, donc P r:: 1 . 

§. 22. Faisant les substitutions précédentes (§. 20. 21.) 
l'équation (^y) se changera en 

(P) s™u =/'^«9x™ + ^/™- ' «aa;'"-i -{- N'^y™-2 7<ax'n-2 

le signe supérieur ajant lieu , lorsque m est un nombre pair , et 
l'inférieur, si 77x est impair. 

Suppl. aux Mémoires de T Acad. ■"** 



178 



* §. 23. Si on fait successivement mrz 1, m in 2, etc. l'é- 

quation (P) donnera, à l'aide des valeurs de N^^ (§. 13 — 17.), 
les résultats suivans : 



(/O 



S M — / Udx -i- j -i- ^i . 3- 





d'v. 


jh 


•ax» 




1 



a«u 



2' . 3= . s . 7 * di' 

1 a-'u 1 a*u . 



cet. 



2<.3=.7 • dx* 2*. 3'. 5.7 ■ dx* 

1 aau 1 a^K 1 a*ii 

945 ■ dx= 



_ , a'if 
725 • ^» 

cet. 



160 • ax» 945 dx' î» . 3^ . 7 ax* 

aa 221 ^ddu U _ a'u 

2« .3^5. 7* ax'" 



cet. 



40 • ax 



cet. 



2*. 3^.5.7 dx' 



9S , 
288' 



863 _ au 

2r^3' . 7 ' ai 



95 



aau 



2». 3^.7 dx» 



cet. 



Il ne sera pas inutile , d' appliquer les formules précédentes 
à une couple d'exemples. 



5. 2Â. Prenons pour premier exemple la suite des nombres 
naturels, 1, 2, 3, 4,...; d'où uzzlx, ^r^^zî, les différentielles 
suivantes étant nulles ; fitdx 3Z y -4- a, f^udx^ :::z ^^ -}- ax -j- b, 

/-s -\ 3 i4 ax' 1 /-à ■\ i X* ax' ix» , 

/ "^^ =^n~A-^T-^ ^^^'^' / "^^ — r3.45 -^ 2-:i -+- -2- -^'^^-^'^^ 

/ «3^ = zTÏÏ-Ts-fi + 0:7. + 2.., -^ 2- -+- ^^- Si on fait x ~ 0, 



2,3.4.5.6 "^ 2.3.4 ' 2.3 ^^ 2 
on a uzzz , Su znz , S°u zz , etc. ce qui donne , en vertu des 
équations (/i) , 

zr: (? + 2e --f- '^ è -|- a -h ^ ; d'où il suit 
a— — é, 6=0, cr^alô, d=:0. 



179 

Cela donnera 

fu-è.'^ = r; - ^' + ,-1 , /* .<)x^ =: ^ - - 4- ;,: . 

d'où l'on tirera, à l'aide de la dernière des équations (/i), 

TS'o" 288 "T" 4S0 ~+~ 48 \kk ~^ 96 "■" 288 288 

, gSi' 25x _, ^ _, 9Af x« + 15i« + 85x* + 2253:'-l-27.}x'' + <2ny 

"^72 144 2 "^ 2.88 "720" ' ~" ' 

x{x~>r\){x- \- 2) (x H- 3) (x -h 4) fx + 5) . 

1.2.3.4.5.6 ' 

ce qui est la formule connue des nombres figurés du einquièrae 
ordre. 

\. 2 5. Prenons pour second CKempIe la suite des loga- 
rithmes des nombres naturels 

11, 12, 13, 14, etc. d'où l'on conclura 

; 9^ 1 39« 1 3'« _2^ a*it 2.3 

" — '^' âx — x' àx^ — *ï ' ax= — x=" 3x* — ~ "i? ' 

a*u 3.3.4 . /- -"i , 

^-, ni:: — i— , etc. J uox -^z xlx — x -f- a, 

f^udx^ z:z.^lx — \x^ ->^ ax -ir- h ^ 



/■3,,-i.„3 X 1 11. x^ , ax' , , 



2.3 2' . 3« 



/•4,,,-)„4 x*Zx 25. x4 ax' ■ 6x» , . , 



etc. 



Les constantes o, Z>, ^, d, seront déterminées parceque le premier 
terme de la suite proposée et de ses sommatrices est 1 1 zz. 0. 
Faisant donc x zz: (, u rr: 0, Su zz: 0, S^:^ zz: 0, S^u zz: 0, S*mzz: 0, 
les équations (A) (§. 2 3.) donneront 

z= - 1 +a^L - 4 + —^ _-+-cet. 

- 2NW _ 2 . 3 .N^^^ - ... - 2 . 3 ... Oi - 3)N^''\ 

-H 2 N/3 _^ 2 . Z.-^^P 4- ... -I- 2 . 3 ... (n _ 4)r.f ' ; 

23 * 



i8o 

11 1 11 1 11 7 A , 3 

-T + T^ + ir^ — l-H«^-f^ — 



s ' 6 ' 6 ■'^^"^■^40 £".3.5.7.9 

~ 2x\(") _....— 2.3... (n- 5)Nf^ etc. . 
Ainsi les constantes sont données par des suites infinies. Quant à 
la première, a, Eulcr a prouvé (1. c. Cap. VI. §. 15 8.), que 
azz|l27r. Posant donc 

il27r=:z 0,9189385332 =:A:, on aura 
a=:k, b — f^ — 2 A- + 2 ^N^ + 3 . N^/ ^ ^3.4 .Ki^ + cet.^ 
c = 2A- - ^ - 5 l^i'^ + 3 . Nf^ -+- 3 . 4 . ^P 4- cet.^ 

- 2 ^N^ + 3 . ^P + 3.4. ^P H- cet.^ , 
cZ = ^ - I A 4- f ^4' > + 3 . k1^^^ + 3 . 4 . K^ + cet.| 
-1-- 6 l^i^^ + 3 nP + 3.4. N^'^ 4- cet.^ 

-f- 2 ^nP -4- 3Nf^ + 3.4. Nf ) -f- cet.^ ; 

ou exprimant k en nombres 

azz: 0, 9189385332 ; 
Z' = — 0,16 704.3 733 1 -^2 ^N^^^ -h 3 N^^^ -^ 3 . 4 .nP -^ cet.^ , 

cnz 0,018432622 — 5 ^N^^^ -h SN^^^ -t- 3 . 4 . N^ -^ cet.^ 

— 2 Jn^^^ -f- 3 . nP -+-3.4. Nf ^ -t- cet.^ , 

J = -0,00 19 709 5 43-+-f {^P -i- 3 . K^'^^ -+- 3 . 4 .N^-^cet.^ 

^6 ^4^^-H3.^iV3.4.îsfVcet.|-h2^:si^^ -+-... + 3.4... («~5)Nf^^. 

Rassemblant toutes les quantités précédentes, et introduisant 
les valeurs numériques, données plus haut (§. 13 — 17.), on aura 

S^la:z=^g-f-|^H-f;:r^-^a:+gnog.-r~0,0868055...a.* 
— 0,4579547.a;5— ^0,5 3 9 08 73-6 0(N^*)-+-6îs^^^^-+-6.7.Kp°Ucet.)|a:^ 
0,36919 8 — 6 (N^^^ -H 6îsi^^— 6 . 7 . n1'°^ -f- cet.) 



1 !!24(rsfV5.Nf-^5.6.^r^ 



X 

cet. ) 



I 



i8i 






0,1175 0,007308 0,onU55 



_ 1.2. 3. -(s) 1.2.3./, ..(0) 



X X' X' X* -'4 r* -^4 



cet. 



On trouvera de la même manière , par les équations ih) i\. 2 3.), 
2>^\x zzz l^Ç -f-|a;^-+- x-i-^l !ogar--Hx-^— 0,66 5 53 73337= 

-+- ^0,21235613 -4-120 (si^^ -+■ 6^f^-+- 6 . 7 .isl'-^ -t- cet.)^a; " 

-+-0,6 864418— 120 ^N?^ -+- 6K^^^ -+- cet.^ 

- 24 ^Ki'^-+-5^f -+-5.6.^i^°^-cet.^ 

O,079i66... o,006C5 0,002116.4 0,001.183 



x' x" X' 



S^lx:zzÇ'^-hx + A)l.r — fo;^— 0,0 8106147 • x 

-h 0,752886 9 H- 120 (N^^^ -+- 6:Nf^ -+- 6 . 7 .^i'"-* -t- cet.) 

1 1 1 0,000992 0,0008 



12.x 2'i0 . x' 36o . x= a;+ X* 

— ^6 ^^2 ^ j,7 — ^^2 — ■ cei. 

Les sommes de logarithmes, de quelque ordre qu'elles soient , peu- 
vent être exprimées par le logarithme d'un produit de puissances. 
Ainsi u étant log x , on a 
Su :zzH-4-l2-f-l3-H...-*-l.r::z:11.2.3....a;, 
S^ui:=ll+11.2-f-11.2.3-i-...-f-11.2.3...:r=zll^.2^-^3^--...(a: — l/j;, 

x[x~i) (x-lXjg--) 

S^» n:l2 +12-.3 -^l2^.3^ 4 4-....=:l2 2.3 2 ....(x— l)':r, 
S^'!f=:l2-t-l23.3-Hl2^.3^4-t-... = lx(.r_l)'*(x— 2)*"(.-r-3)2o„..., 

(n + 0("4-2)(n + 3) 

le terme général étant (x — ti) 2.3 , et le dernier 

(x—l)x(x+ i^ 
2 2.3 



l8s 
III. 

NOUVELLE MÉTHODE 

POUR 

RÉDUÏRE LES DISTANCES LUNAIRES. 



Présenté le 11 Août 1624. 



M. Horiter ajant publié des tables qui doivent servir à 
dépouiller les distances de la lune à un autre astre, d'abord de 
l'effet de la réfraction et ensuite de celui de la parallaxe , je fus 
chargé par l'Amirauté de les examiner. En m' occupant de cet 
examen , je me suis aperçu que, malgré le grand nombre de solu- 
tions qu'on a données de ce problèpie, on pourrait encore le traiter 
d'une manière neuve qui donne ce me semble , la solution la plus 
directe, la plus exacte, et la plus conforme à r»nalyse mathématique. 

Toutes les méthodes qu'on peut imaginer , pour réduire les 
distances lunaires , se réduisent â deux classes , dont l'une se pro- 
pose de trouver la vraie distance, tandis que l'autre a pour but, de 
ehercber sa différence, ou ce qu'il faut ajouter à la distance ob- 
servée , pour avoir la vraie. Dans la première classe il y a des 
méthodes rigoureuses, et d'autres qui approchent plus ou moins de 
la vérité; celles de la seconde qu'on a imaginées jus,qu'à présent, 
ne sent qu'approximatives. Le problème consiste À déduire la vraie 
(distance de celle qu'on a observée, et qui n'en dilFère que par 
l'effet .des réfractions et des parallaxes. Or c'est une règle géné- 
rale que, iorsque l'inconnue diffère peu de la quantité donnée, il 
vaut mieux de chercher leur petite différence que l'inconnue elle 
même. Il e» suit, qu'use exactitude parfaite ne saurait être obte- 



l83 

nue qu'en déterminant la différence ou la correction de Fa distance 
observée, par une formule rigoureuse, que ne peut donner que le 
théorème de Tatjlor. Je me propose donc de résoudre le pro- 
blème de la réduction des distances lunaires, par le moyen de ce 
théorème, 

La distance lunaire, soit vraie soit apparente, est le troi- 
«*ème côté d'un triangle sphérique, l'angle opposé étant la différence 
des azimuts des deux astres, et les côtés adjacens leurs distances 
zénitales. Les dpux derniers sont altérés par la réfraction et la 
parallaxe, tandis que l'angle demeure constant, vu que les réfracti- 
ons et les parallaxes ne font pas sortir les astres de leurs cercles 
verticaux. On peut donc regai'der la distance comme une fonction 
de deux variables, les hauteurs des deux astres, dont les variations 
sont leurs respectives parallaxes moins les réfractions, variations 
données par les hauteurs mêmes ; et il s'agit de trouver la varia- 
tion de la fonction, qui en résulte. En regardant donc la distance 
D comme une fonction de deux variables L, S, dont les varia- 
tions AL, AS, sont données, on aura celle de la distance, A D, 
par la formule connue 

(A)....ADr(^î)AL-.©AS-^(fg)-V(||_5-' 
-V-OALAS-+-(^--)^=4-cet. 

Si on désigne par Z l'azimut, intercepté entre les deux 
astres, par L la hauteur apparente ou observée de la lune, et par 
S celle du soleil, d'une étoile, ou d'une planète, on aura 

/ TJX _ _ v ___ eos D — sin L sin S 

(o) . . . . cos L :m ; : — • 

cos L.COS s 

z étant une quantité constante, la différentielle dn second membre 
de l'équation (B) sera nulle: ce qui donne 

zn — 3D sin D cos L cos S -f- t)L cos S (cos D sin L — sin S) 
-f- ÔS cos L (cos D sin S — sin L). 



i84 

Il suit de la 

/■SDx cosDsinL— sinS 

W • • • ^dLJ ■ siiiD cosL ' 

, fSD\ cosD sinS — sinL 

(0) . . . \j^) jjjjj) ^Qgg 

On en conclura par le moyen des différentielles partielles, 



^ddT)\ s^n^D — sin'L — sin'S -(-2cosD sinLsinS 



\dh'y tangD sin^Dcos^L 

,ddB\ sin'i) — sin'L — sin'S-t- 2cosDsi nL sinS cos'L /ddD\ 

(d) . . . (,^aj — taiigD sin=D cos^'S côs^ ^dh''' * 

^93D \ sin°L + sin''S — sin ° D — 2cosD SinLsinS . co s L /ddD\ 

^^' ' * • vâLdS/ sia-'O cos L cos S cosDcosS vdL»/* 

En faisant pour abréger, 
L-t-S-R, L— Sz:T, sin^D— sin^L — sin'S-f- 2cosDsinLsinSz:A, 
on trouvera par les transformations trigonométriques connues, 
sin" D ^— sin^ L — sin^ S = ^ cos 2L -{- g cos 2S — cos'^D zzz 
cos R cos T — cus^ D, 

2 cos D sin L sin S rzz cos D (cos T — cos R) , 
donc 

A rz (cos R -4- cos D) (cos T — cos D) =r. 

D-f-R D R • D-l-T ■ D — T 

4 cos —~- cos — ^— sm — ^ — sm — ^ — • 
En faisant donc 

.^. D + L + S ^, D — L— s , D + L — s p— L+S , 

KJ ) ' • • • 2 ' 2 ' 2 ' ^ ' 

(f/) .... COS a cos b sin c sin d iz: M , 
on aura, par 1 equauon <c) , (ax^) = i-^ï^o^îi , ou 

,, ,^ /93Dn 4M cotangD ** 

^'^^ \3l7V sin=D cos'L ' . 

formule très - commode pour l'usage des logarithmes. On aura 
(|¥) ^t (S), en multipliant (Zi) par Sg| et par ^ 



cosL 



cosD cosS 



Soient maintenant /, 5, les réfractions aux hauteurs observées 
L, S, avec les corrections, dues à la hauteur du thermomètre et à 
celle du baromètre, p la parallaxe de la lune A la hauteur L — /, 



185 

cf sous la latitude du lieu de l'observation , si l'on veut tenir 
compte de l'aplatissement de la terre. Cela posé, et observant que 
la réfraction s doit être diminuée de la parallaxe à la hauteur 
S, quand on a observé la distance de la lune au soleil , ou à une 
planète dont la parallaxe n'est pas insensible ; on aura 

ÙL — p — 1, AS = — ^. 
Kn substituant donc (n) (b) (7i) (d) (e) , l'équation (A) se chan- 
gera en 

(C^ AD — (d — h r'-""^ — — 5!"— ^ -4- 5 C—il'ii: l^sj\ 

y^) ■ • • • "-^ ^r J VtangD sinDcosL/ 1^ VsjnDcosS tangD/ 

I siii'Dcos^L ' siiï^ïTcos^S "• sin" D cosL cosS "*" 

La plus grande valeur que p — l puisse avoir, est de 5 6', ce 
qui donne pour le maximum de {p — Z)^ z=: 5 5'''', et pour celui de 
--— xi: 0^'', 1. Les autres termes sont encore moins considérables: 

o 

nn peut donc, dans tous les cas, sans aucune erreur sensible, se 
borner aux termes que nous avons développés. Cela posé, le pe- 
tit arc 5 qu'il faut ajouter à la distance observée D , pour avoir 
la vraie distance D', sera 

(D) . . . . ^ — {Zzr^l^ l sinL - i!^ -i- ^M^mr?_-z:ij, 

' cos L '- cosD T sm'DcosL S 

'' cos S Ccos D ' siii'DcosS ' sin'DcosD cosLi * 

Lorsque D est plus grand que 45°, ce qui est ordinaire- 
ment le cas , les deux premiers termes suffiront pour l'usage ordi- 
naire, et l'on aura 

(y\ ^ (n D (^IR^ _ ^'"S \ |_ / sin L tmg S-. 

Vi.^ , . . . u V ^VtangD sin D cos U "i * Vsin D cos S t^^J ' 

Cette expression donne une précision suffisante pour l'usage des 
navigateurs, lorsque D surpasse 5 0°, et il est aisé de la mettre 
en tables , ainsi qu'on le verra plus bas. On pourrait la rendre 
plus commode pour les logarithmes, en calculant deux angles X, o", 
par les équations 

sin X m: cos D sin L, sîn o- = cos D sin S : ' 

Suppî. aux Mémoires de lAcad. "t 



186 
alors l'équation (E) prendra la forme 

2 cp — l ■ X — S 



,.r.^ T- 2 cp — l ■ X — S X4-S , î • L— T L-(-(rj 

(F) . . . . ô i^ ^-f: V-~-j sin — „- cos -., h — -î sm — — cos —Z~i. 

^ -^ • w 1^ / _ 12 2 cos S 2 2 J 



Lorsque Dn:90°, on a cotDzr:0, mais ^^ziz^-i- :zi 1 , 
et l'équation (D) se réduit à 

5 tsitiL (£_ — r) sin s , iVl( p — l) s ^ 

cosS cosL ' cosLcosS 

Dans le cas, où L ou S est zz: 9 0°, p — Z ou j devient nu! ; et 
s'il y a à la fois Drr:9 0° et Lni90°, le soleil est dans l'ho- 
rizon , S=rO,;j — Zzz:0, et5=r ^^ — - *• ^" trouvera de 
même 5=: — (p — /), lorsque D=i:9 0° et S3Z9 0°. Tout cela 
est d'ailleurs évident par le triangle donné. On pourrait croire 
que l'équation (E) est en défaut , lorsque l'un des deux astres a 
été observé au zénit ; parceque L étant m 9 0°, on a en même 
tems p — / =z et cosLznO, tang L iz; oo, donc Sizig. Mais 
la lune étant au zénit, D sera "90°— S, et 5=:^~-(Z^L — secL) 

,1 f X p — l . ^«ffO L. , s (i — cos^D) T 

+ ^^sTn' D - f7'-D^ = - \W tang (4 5 ~ j) -j- -^-î^ • Le 
premier terme est zzi 0^, le second z:; s, donc 5 zz: s, comme cela 
doit èti'e. 

La méthode que je viens d'exposer, est, ce me semble, la 
plus directe et la plus exacte. Elle est directe, parcequ'elle donne 
immédiatement la correction cherchée, en fonction des trois angles 
donnés, D, L, S, sans qu'ils aient besoin d'aucune correction. Elle 
est exacte parce que, au lieu de la distance réduite, elle donne sa 
petite diftërence, non par des approximations, mais par une expi-es- 
sion rigoureuse. Dans toute méthode qui donne la distance même, 
chaque sinus ou cosinus peut être inexact de plusieurs unités dans 
la septième chiffre , parcequ'on néglige les dixièmes de secondes 
dans les angles : le sinus de la distance ou de la demi - distance, 
qui résulte de la combinaison de six ou huit cosinus , pourra 



187 

être encore plus inexact ; et une erreur de cinq unités dans lu 
septième chifTre en produira une d'une demi-seconde sur la demi- 
distance , et d'une seconde sur la distance. Comme , dans notre 
méthode, ces erreurs n'affectent que le coefficient de la correction 
qui est presque toujours moindre que 100 0^'', il n'en peut jamais 
résulter une erreur d'un dixième de seconde. 

M. Delambre , ajant fait dans son astronomie The'or. et 
Prnt. (Tcm. III. pag. 620.), la remarque, qu'on trouvera avec 
plus de précision la correction 5, que la vraie distance D -t- 5^, se 
propose de déterminer 5. Mais au lieu d'une formule directe et 
rigoureuse, il trouve l'équation 




(. cos L 

~~" cos h cos s i 

jy et S^ étant les hauteurs , corrigées par les réfractions et les 
parallaxes. Cette équation ne peut se résoudre que par des ap- 
proximations. 

Notre méthode a encore cet avantage , qu'on peut donner 
au calcul le degré de précision, qu'exige chaque cas particulier, en 
calculant plus ou moins de termes, qu'on trouve tout développés 
dans l'équation (D). Cette équation est une source ou l'on peut 
puiser toutes les méthodes, au moins celles qui donnent la réduc- 
tion de la distance, au lieu de la distance réduite. Prenons pour 
exemple la formule de M. Horner. Sa méthode consiste , comme 
celle de M. Lyons , à dépouiller la distance observée d'abord de 
l'effet des réfractions , et ensuite de celui des parallaxes ; et il, 
trouve, pour la correction, due aux réfractions, 

^G)....5'':z(m— D^tang 5_tang J- m-(1— cosTXcosecT— cosecD)| 

■ (î — ï) sinT 
~^ sinD ' 

COS L' COS s' 



T étant — L— S, L'— L-/, S'r=S--.y, mz=i 



cosL cos S 

24* 



i88 

Pour déduire cette équation de notre formule , il faut supposer 
M :zz Q et p ir: : alors l'équation (E) donnera 

^/ „^J-r\ Cs(sinL — cosDsinS^ . îfsinS — cosDsinL)> 

En substituant 

sin S cos (L — S) -f~ cos S sin (L — S) pour sin L, 
et sin L cos (L — S) — cos L sin (L — S) pour sin S, 
on aura 

5^=:cosecD ^(cosT — cosD)(itgSH-ZtgL)-f-(5 — /)sinT| =: 
cosec D j — cos , L sin S -f- /sin L cos S) -f- (* — /) sin T ^ . 

<- cosL cosS ^ ' ' 1 \ ^ > 

Mais à cause deL''zi:L — /, S^rzS — s, on aura, en négli- 
geant les carrés des réfractions, 

cos L^ n: cos L -f- / sin L, cos S' :zz cos S -f- j sin S , 

d' ou il viendra 

cos U cos S' ::zz cos L cos S -f- s cos L sin S -|- / sin L cos S , 
ce qui étant substitué dans la dernière équation, donnera 

5' — cosec D r-2^|îf^^ (cos L^cos S'— cosLcosS) -}-(* — sin TL 

^ cos L cos s '' I ^ ^ ^ ' 

OU 

,rj, y (m — 1) ÇcosT — cosD) -H (s — t)siiiT . 

siii D 

d'où il est aisé de conclure 

S/ 2^m — l)sin' (D-|-T)5in 1 (D — T) -+- (? — r)sinT 

sinD 

ou en emplojant les dénotations précédentes , 

^jr, V .2 (m — 1) sine sin i (s — Z) sinT 

'■'^> ^ — iîlTD ' ^âTô 

La formule (K) est la plus commode pour le calcul trjgonomé- 
trique, au lieu que (H) est plus commode pour la construction des 
tables. Il est aisé, d'en conclure la formule (G; que M. Horner 
a cru plus commode pour construire des tables. On sait qu'en 
général 

tang -^ zn: cosec $) — col Cp , ou cot (p :=: ^^ — tang y = 



i89 

ce qui donne 

^y^J. 1 tg - — cosec D — tg ^ -+- cosecT — cotT r= 

an D ^^ s 2 & 2 ' 

tg ? — tg J -(- ( 1 — cosT) (cosec T — cosec D) , 
d'où il vient la formule (G). 

Il ne me reste qu'à comparer la formule (D) avec les mé- 
thodes connues, parmi lesquelles je choisirai celles de Borda et de 
mon illustre confrère , M. Fiiss. En conservant les dénotations 
dont je me suis servi jusqu'à présent, désignant par D' , L' , S, 
la distance et les hauteurs vraies, et faisant pour abréger, 

coso cos b cos 1/ cos s' |^ L'-f- S' 

cosLcosS " ' 2 ' 

Borda emploie les deux formules suivantes , 

(L) .... sinCf) nz -^^ , (M) . . . . sin 5. in: cosCp cose, 
M. Fuss trouve D' par une seule formule 
(N) . . . . cos D' zz: 2 N — cos 2 e. 
La première méthode, qu'on déduira aisément de la dernière, parait 
un peu plus longue , parceque Borda n'a voulu employer que des 
logarithmes , tandis que la formule (N) est la différence ou la 
somme de deux nombres, dont l'un est un cosinus naturel, cos 2 c. 
Prenons pour exemple celui qu'on trouve dans les Tables de Cnllet 
(pag. 9 1. 9 2.), qui donne ce qui suit. 

D— 10 3° 42' S^''. L=: 5 4° 11 ''5 7^'', S — 6° 27' 34'"', 

p — IzzL 31' 41'-'— igoi^ j— 7' W :=: 465''' -, 

d'où l'on tire 

a= 84° 40^4 7^ 6-24° 1' 1 ô^'', c = 78° 1 3' 1 3^'', J= 3 0°2 8' 50''', 

L'=z:5 4°43''3 8^ S'=z6°19'49^ e zi: 30° 3 i^ 43''', 5. 

Calcul suivant les formules (L) (M). 



190 



logcoso — 8,96718.74 
Icosi — y,9606S.S9 
IcosL'rr 9,76152.93 
IcosS' =9,99734-39 
IsecL.rr 0,23286.68 
1sec s z: 0.0 0276.58 
logN = 83^233-21 



logT'N =9,46117.60 

1 cos e n 9.9 3519. 2 
I sin $ = 9,52598.40 
1008$ = 9,97403.24 
1 cos e = 9,93519.20 

D' 

Isin— = 9,90922.44 
2 



^= 54°. 13'. Sl".6 

D' = 108. 27. 43. 
D =108. 42. 3.' 
« = - 14'. 20". 



Calcul sxùvant la formule (S). 
log cos2e=: 9,68478.40 IcosD'^ = 9,5006 1.44 (neg.) 

D'=: 10 8° 2 7^43'''', 
précisément la même valeur qu'a don- 
née la méthode de Borda. 



cos2e:z= 0, 48^93. 17 
2N =:0,1 6725.62 



cosD' =z— 0,31667.55 
Calcul suivant la formule (D). Je ferai pour abréger, 

T. î . s i n L p _JJgS p 

' sinDcosS ' tangD ^' 

77. 



(p -QtgL 

ung D 

(p — l) cotD 

cos L ^ "' cos S 

2 M sin s 4Msin (p — l) 

sin'DcosS "' sin'D cosD cosL 



. îcotD I, 2 M sin (|> -— _0 



OU 



sin'D cosL 

cos D ' 

de sorte qu'on aura, par l'équation (E), 

5 =::A — B -f-C — E. 
Pour compléter l'équation (D), il faut ajouter les termes dépendans 
de M, savoir 



hn -\-kn -\^krz:i^-j-~(q -h ^). 

> I sjnL ' sinS \' cosD/ 



Ati 
sinL 

log(p—Z) = 3,27898.21 
ltangL = 0„14191.73 
1 cot D — 9,52955.55 (neg.) 
log A = 2,95045. 19 (neg. ) 

logî = 2,66745.30 

1 SinL = 9,90905.04 

1 cosec D ^ 0,02355.57 

IsecS zr 0,00276.58 



iog (J) — n = 3,27898.21 

Isin S = 9,05115.23 

1 cosec D =10,02355.57 

lsecL = 0,23286^3 

Iog B = 2.58655.68 



Iog C= 2,60282 49 

A = — 892",1SS C: 

_ B=— 385,973 — E=- 



-1278, 15S 



Iog s =2,66745.30 
Itang S = 9,05391.80 
1 cot D = 9,52955.55 (neg.) 
Iog E = 1 , 25092.65 Çneg.) 

400", 705 J' = — 859",63 

17,821 =_14'19",63. 



+ 4I8, 526 



191 



logcos a^: 8,967 18. T4 

I cos 6 = 9,96065.89 

I sincir 9,99075.59 

I siii d = 9,70521.86 

loS M — 8,62382.08 

log2n= 7,47040.98 

1E:= l,25o92.65 (n.) 

1 eosec S r: 0,9488/|.78 

lsecDnO,,i9/i00.02 (n.J 

log*r=: 0,1641843 



Iog2M = 

1 cosec'D^: 

lsecL = 

lognr: 

IogA = 

1 cosecL = 

log hn ^z 

kr = 



8,92485.08 Jog2M — 8,92,185.08 

7,96455.08 IsinJ— 7,35302.75 

0,04711.14 J Cosec-D — 0,04711.1.4 

0.23286.68 1sec S =10,00276.58 

7,16937.98 log q — 6,32775r5"5 

2,95045.49 Cneg.) )E = 1,25092.65 (n.) 

0,09094.96 1 cosec S — 0,94884-78 

log );<; = 8.52752.98 fn.) 



0,21078.43 (n.') 
- 1",625 

• 0, 034 

-1. 459 



— 0",20 



.Ainsi la correction entière est 5- 
(]ui ne diffère que de 0^'' , 17 de 
cédente. 



celle que donne la 



méthode pre- 



Comme la construction des tables a le but d'abréger le cal- 
cul, elles ne pourront jamais donner une parfaite exactitude. Si l'on 
se propose de réduire les formules précédentes en tables, on com- 
mencera par supposer M rz: , c'est-à-dire, on négligera les 
dittércntielies secondes de l'équation (A) , on ce qui revient au 
même , les cari-és des réfractions et des parallaxes, en se bornant 
à réquation (E) , qui donne 

5=A — B-+-C — E. y ■ 

En désignant par A^, B'', C^, E', ce que deviennent A, B, C, E, 
lorsque p — / et ,y sont égales à 1' ou 6 0'''', et par u, v, les 
valeurs de p — / et de ,y, exprimées en minutes et leurs fractions 
décimales, on aura en secondes , 

./ 60tgL Tj/ 60 slnS fy/ 60 s inL p/ 60JgS 

Ung D ' sinD cosL ' "~~* sinD cosS ' "~" tg D 

A z:z uA', B zzz uW, C := vC\ E zir vE', 
ce qui donnera 

Sz=v (C^— EO — u(W — AO. 
On construira donc deux tables, dont chacune aura les deux argu- 
mens Dr^Cf) etLouSzz:v|/, (J) s'étendant depuis 2 0° jusqu'à 
90 , et \|/ de 4° ou 5° à 8 9°. La première donnera le quotient 



192 

^-^~, la seconde le quotient g|^, l'un et l'autre multiplié pai- 6 0. On 
tirera donc de la première A'', en employant l'argument L, et VJ en em- 
ployant l'argument S; on trouvera dans la seconde table C''cosSr:G 
avec l'argument L, et B'' cos L rc: H avec l'argument S. Comme 
les nombres G, H, pourraient s'étendre depuis 6 sin 5°=iz 5'''' jus- 
nu'à —"^1= 175'''', on construira une troisième table qui renfer- 

' siu^O" 

niera les quotiens des nombres 

1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8,9, 10, 2 0, 3 0, 40, 5 0, 6 0, 70, 8 0, 9 0, 1 0, 
divisés par les cosinus de tous les angles entre 5° et 8 9°. On 
tirera de cette table, B^ avec les arguraens H et L, et C avec 
les arguraens G et S. On connaîtra donc les quantités A' , E', 
B^, C , dont les deux dernières sont toujours positives, tandis que 
A' et FJ deviendront négatives, lorsque D >> 9 0°. Cela donnera 
Ç' -^ E' et B' H^ A' , selon que D est plus ou moins grand que 
90°: on multipliera C^ ^;; E'' par v, et B' h^ A.^ P^i' "1 ^^ ^'^^ 
aura Szizv (C ± EO — u (B' ± A'). 

Comme cette méthode n'exige que trois tables, elle serait 
assés commode , mais il faut s'en servir avec une grande précau- 
tion, ainsi que des tables en général , qui ne sont que des appro- 
ximations. Les termes du second ordre , qui dépendent de M, 
étant négligés dans la construction des tables, voyons à quoi peu- 
vent monter ces termes que je désignerai par S'^. Pour cet effet 
il faut d'abord détex'rainer la relation qui existe entre D et L, S. 

On peut donner à l'équation (B), 

cos D zmz cos Z cos L cos S -f- sin L sin S, 
les deux formés suivantes, 

(1) . . . . cos D z^ cos (L — S) — (1 — cos Z) cos L cos S, 

(2) . . . . cos D in: (1 -H cos Z) cos L cos S — cos (L 4- S). 

Il suit de (1), que cos D , étant positif, est toujours moindre que 
cos (L — S), donc D > (L — S). Lorsque cos D est négatif, D, 



193 

étant > 9 0°, doit nécessairement être plus grand que (L — S) 
parcequc L, S, ne peuvent jamais surpasser 9 0°. L'équation (2) donne, 
lorsque D<90°, cosDi:(l -i-cosZ) cosLcosS-f-cos(l 8 0°— -L-— S), 
donc cos D > cos (180°— L^ — S) , et D < 180° — (L -f-S). 
Si D > 9 0°, on a 

(2) . . . cos (1S0° — D) = cos (L ^S) — (1 + cos Z) cos L cos S, 

donc 1 8 0° ~ D > L + S, et D < 1 8 0° — (L -f- S). On tirera 
immédiatement les mêmes conclusions de la considération du trian- 
gle, formé par la lune, le soleil, et le zénit, dont les trois côtés 
sont D, 9 0° — L, 9 0° — S. En eflét, dans tout triangle sphé- 
rique la somme de deux côtés quelconques étant plus grande que 
le troisième, on a _ 

D-f-(9 0° — L)> (9 0°— S), et (90° _ L) -4- (9 0° — S) > D. 

Il suit de la première condition, que 

(3) .... D est toujours plus grand que L — S ou S — L , et 

de la seconde, que 

(4) .... D est plus petit que 1 8 0° — (L -f- S). 

On sait donc , que L — S ou S — L et 1 8 0° — (L -f- S) sont 
les deux limites, entre lesquelles D est toujours renfermé. Cela posé 
cherchons la plus grande valeur que 5''' peut avoir. 

En faisant, pour abréger, 

D L-HS L — s s — L 

on a par l'équation (G), 

M zzz cos (>] -f- x) cos (y\ — x") sin (y\ -\- y) sin (yi — y). 

En regardant donc D comme une quantité donnée , et faisant 

Oz: — sin(-/i-i-a;)co3('vi — .•r)-t-cos(vi-f-x)sin(>î — a;)i: — sin2ar, 
~cos(y\-+-y)sm(yi-^y)~s'miy\-hy)cos(y\—y')— — s\n2y : 
donc, afin que, pour une valeur quelconque ^4e D, M devienne un 
maximum, il faut que x çt y, ou ce qui revient au même, que 

25 

Suppl. aux Mémoire t de VAead, 



194 

L et s soient nuls. En effet on a alors 
M n: cos^ y] sin'^ y], 

ce qui est toujours plus grand que 

ces (v) -}- x) cos ("V] — a?) sin (y\ -f- y) sin (y] — Z/) := 
(cos^vj cos^a? — sin^>5 sin^ a;)(sin^ •>! cos^y — cos^T) sin" «/) rr: 
(cos^V] — sin'^a:)(sin^'yi — s'm^y)zz: 
cos^>) sin^T] — cos^T) sin^ «/ — sin^ a^Csin^^i — s'm'y'), 

parceque "V] > ^ en venu de la condition (3). M aura donc sr. 
plus grande valeur , lorsque L et S sont nuls , ou du moins aussi 
petits que possible. Comme on n'observe guère de hauteurs au - 
dessous de 5°, nous supposerons Lzz:Szi:5°, donc xzzzb°, yznzO, 
et la plus grande valeur de M, 

M^rrsin^-V] cosC7i-+-5°) cos (y\ — 5°) =:| sin^'vi (cos 2^1 + cos 1 0°)rz 

(1 — cosD) (coslO°-)-cosD) coslO" -!- cosD fl — cos 10°) — cos^D 

4 4 " — 

0,2462 -4- 0,0038 . cosD — 0,25 . cos'D. 

L étant mr 5°, p — Z peut monter à 5 2^, ce qui donne 

5^-^'z=:l^ 5612 = 93-, 7. 

On aura donc le premier et le plus grand terme de 5'' dans 
l'équation (C) , 

5'''= ^23^'', 069 -h 0^,35 6 cosD — 23^ 425 cos'D^ ^|^ • 
En faisant, pour abréger 

23,069 z=:a, 0,356 :=:p, 2 3,42 5 zzz y , (3 étant z:z:y — a, 
on aura 

5/-/ acosD + Pcos'D — 7cos'D " 

sm= D ' 

ce qui donnera pour les maxima et minima de 3^, 
• 35" 
-gn = ::z= — a sin^D — 2 p sin^ D cos D + 3 y sin' D cos'D 

— Scos^^DCa^- j3cosD — ycos^D) 
= •— a (1 -1-2cos^D; — |3cosD(2 -+- cos^D) + Sycos^D, 
OU en faisant cos D =;z a?, 



cquation divisible par x — 1 , à cause de jSrzry — a. Le quo- 
tient donnera l'équation :=: a;^ ■ 7"° x — |, ou zzz x' — 

6 6,8.T — 64,8, dont les racines sont x ou cos D rzz 6 7, 756 ; et 
.r zz: — 0, 9 5 6. La première e'tant impossible, on aura les deux 
valeurs 

cosD 1= 1 , cos D = — , 956 , D = , T> z=. 162° 56', 
distances qui ne sont jamais observées. Mais comme S''^ devient 
infini, lorsque D^zo, on voit que l'erreur peut être très-grande, si D 
est petit. Supposant p. ex. Dzz:2 0°, ce qui est à peu près la 
plus petite distance qu'on observe, on aura Z^'' zzz à A'''' , ce qui sei-a 
encore augmenté par les deux autres termes de 5^'', multipliés par 
s^ et par ip — /) s. Telle est l'erreur qu'on peut commettre, en 
négligeant les termes dépendans de M , ou les carrés des réfrac- 
tions et des parallaxes. C'est donc aussi l'erreur à laquelle sont 
sujettes les tables, dans la construction desquelles ces carrés sont 
négligés. M. Honicr évite cette erreur, en intr'oduisant l'angle 
L' -+- l p au lieu de L'. Par ce moyen il tient effectivement 
compte du carré de la parallaxe , d' ou il vient que sa méthode 
donne presque toujours un résultat très -exact. Pour le faire voir 
par un exemple , je choisirai celui donné par Delambre (1. c. 
pag. 6 2 9.), où les valeurs de D , L, S, sont encore loin de 
celles qui donnent le maximum de l'erreur, savoir D z^ 2 0°^ 
L z^i S zzi 5°. Les données sont 

T>- 30°, L- IS°, S -6°, pzzbS\ 1-3', p — l- 5b', s- S' 2Q'^. 

T.— 12°, L'=18°55^ S'= 5°5lM0'''', 

a— 27°, 6=z3° c— 21°, d=:9° e z= 12° 23' 20^-'. 

Calcul suivant la méthode de Borda , ou les formules (L) (M).' 



25 * 



196 

Icos = 9,94988.09 1 cos<J)=r9,/i2871.43 

1 cos 6 = 9,9994044 1 cos e = 9,98976.74 

lcosL':r: 9,97588 70 , . !>'_„, .„,o,* 

1 cos S' - 9,99772.37 ' ««T = ^'-i*»^*-'^ 

I sec L=: 0,02179.37 n' 

I sec S = 0,00288.57 -^ = 15°.11'.42",8. 

1W = 9,94707.54 D'r= 30. 23. 25,6. 

Iv'Nzz 9,97353.77 S — -^ 23.25.6. 
1 coser: 9.9S976.74 
Isin $3=9,98377.03 

Suivant notre méthode ou la formule (D). 

1 (p-Z) =3,51851.39 1 f?— Z) =3,51851.39 

ItaiigLr: 9,51177.60 1 sin S = 9,01923.46 

1 cotD 1=0,23856.06 1 sec L iz: 0,02179.37 

1 A = 3,26SS5jÔ5 1 cosec D = 0,30 1 03 . 00 

1B = 2,86057.22 

I î = 2,69897.00 \f^276^mM~' 

IsmL= 9,48998.24 ltangS = 9 02162.02 

1sec S = 0,00238.57 1 cotD = 0,23856.06 

1 cosec D = 0,30103.00 , — : 

^\ ,■ 1 Ë= l,;i5! )l3.0S 

— -E^n-nr^„^ 1 8 M = 9,60103.69 1 S !« = 9,60103.69 



.03 Isin s = 7,38454-44 

•37 1sec S = 0,00238.57 



1 cos a - 9;9498S.09 , si„ ip-i) — Vfiom'.Ol 

1 cos 6 = 9,99940.44 YsecL = 02 79.3i 

1 sine = 9,55432.92 _^-^r--- 

I sin d = 9,19.133.24 1 " = ' =S;690.09 i q — 6,98796.70 

IM— ^5?ïïw;a 1A = 3,26885.05 1 E = 1,95915.08 

LM- S. 69794.69 , ^^3^^ 5 = 0,51001.7 6 , cosec S = 0,98076.54 

' 1 Ê E l',959f5;08 l/^n= 1.60576.90 1 K, = 9":927l8:3^ 

I cosec S z= 0,'98076,54 
IsecD =0,062/16.94 
1 Kr = 1,13031.65 

A = 1857",165 B = 725",391 /in = 40",343 
C= 310, 720 E = 91, 023 Kg= 0, 847 

+ 2167,885 816, 414 K7-= 13, 499 

— 816, UiÀ_ S"—+ 54",639 

ê' = + 135 1 ",47 1 = + 22' 3 1",47 1 
5" = + 54, 689 
ff = + 23'26", 16; 

ce qui est à une demi - seconde près la même valeur , que celle 
que nous avons trouvée par la méthode de Borda. L'erreur qu'on 
aurait commise , en négligeant les termes du second ordre , est 
= 54^^ 7. . 

La formule (H) , sur laquelle M. Horner a consti-uit ses 
tables pour la correction , due aux réfractions , donne ce qui suit. 



19*7 

I cosL'rr 9,97832.93 cosTzr 0,9781/1.76 I (s — 0^:2,50515.00 

1 cos s' = 9,99772.37 cos D H ^ 0,86602.54 1 sin T = 9,31787.89 

1 sec Lrr 0,02179.37 0,11212.22 lcosecD = 0,3 0103. 00 

1 sec S = 0,0023 8.57 9,04969^6 1 II partie = 2^12405.89 

I 771 = 0,00023.2,4 1 (771— l) = 6,72859.72 II="l33",063 

771—1=0,00053.53 1 cosccD = 0,30103.00 1= 2-1,760 

1 coscc 1" =_5,3I_1_12_5_1 5'= + 157",823 

1 I. partie = 1.39374.39 D'=30° 2'37",8. 

Pour trouvei- la con-cctlon S" , due à la paraila.xc , M. Horner 
emploie la formule 

. p,, \-/ f)' (sin (L'-4- ^|3) cosD' — sinS') 

^^' ° sin^U' + U') 

// éiant la parallaxe horisontale de la lune, et D '"' ru D^ -j- S^-'. 
Or d" étant inconnu, l'équation (P) ne peut être résolue que 
par des approximations. Pour cet effet on a p ziz. 5 8' , donc 
p' zz: - p nz .3 6 5 3'''', 5. Cela donne, en faisant, pour abréger, 

V -h i /J ^ (L) , p'sm (L) cos D' — I , p' sin S' = II , ~^, = jjl, 
II I / n_ , 

sin D' ^ ' sin l (D' ■+■ D") F" ' sin i, (D' -+- U") ^ ' 

1 f'r: 3,56325.00 ■ lj)'= 3,56325.00 u. = 1999",9 

1 sin (L) = 9,49996 33 1 sin S' = 9, 00909.96 'v= 7 46, 1 

1 cos D" = 9,93733.87 j n — 2;57234.06 a' = +1253",8 =20'53",8. 

11=3,00055.20 1 sin D' = 9,6 9954.57 valeur incorrecte. 

1 sin D' = 9,69954.57 I » = 2~S72S0.39 D' = 30°. 2'.37",8. 

I |J. = 3,30100.63 ' ' ' 6'^= 20.53, 8 . 

D" = 30. 23.31, 6 

II = 3,00055.20 111=2,57234.96 D' + D"_,.„,- ,, 

n'-un'' - n'-i-D" 7i~~ — 30 .13. 4,7 

, ,i„ ?_t^ =9,70182^ , 3i„ 2_^ ^ ^0182^2 2 ^, ^■;;^^ 

1 /x' = 3,29873 18 1 v'=: 2,87052.94 »'= 742, 21 



S' — 2'. 37'', 
S" =20. 47, 



^■'=1247, 23 
valeur corrigée. 



5 rz23. 25, 0. corrccfion entière. 
23. 26, 2. valeur exacte. 
l",2. erreur des tables. 

Si l'on eût employé L' au lieu de (L) , comme cela se fait dans 
plusieurs tables, l'erreur eût été beaucoup plus considérable. On 
voit donc, que ce n'est qu'avec beaucoup de précaution, qu'on doit 
se servir des tables en général. 



IV. 
D E 

I/ACCOURCISSEMENT DES DIAMÈTRES 

APPARENS 

DU SOLEIL ET DE LA LUNE, 

CAUSÉ PAR LA RÉFRACTION. 



Présenté à l'Académie le 11. ]M:ii 1525. 



§.1. Le demi - diamètre du soleil ou de la lune, qu'on 
prend dans les Ephémérides , et que je désignerai par R^ , est 
celui qu'on verrait du centre de la terre. La parallaxe le fait 
paraître plus grand à un observateur, placé à la surface du globe, 
tandis que la réfraction le diminue. Le premier effet n'est sensi- 
ble que pour la lune, mais le dernier est de même grandeur pour 
les deux astres. Je nommerai R^'' le demi - diamètre, altéré par 
la parallaxe, R et /• les demi - diamètres, tels que les fait paraître 
la réfraction , R étant parallèle à l'horison , r étant incliné sous 
un angle quelconque. 

§. 2. Si l'on désigne par a la distance apparente de la 
lune au zénit, l'augmentation de son demi - diamètre sera (*) 

(I) . . . .R'''— R''=: 3,66394 R''^R^cos a -i- 0,9 1 6 R'=(3 -^ cos2a) ^^ = :;. 
C'est sur cette foi-mule , que j'ai calculé la Table I qui , par 
conséquent , a deux argumens , a et R'. Comme elle est plus 
exacte que celles qu'on avait calculées jusqu'à présent pour cet effet, 
il ne m'a pas paru inutile de l'insérer ici, quoiqu'elle soit étrangère 
à notre sujet. 

(•) Voy. mon Traité dAstroju Théor. Tome II , §. 216. 



199 

§. 3. Pour déterminer l'effet de la réfraction X, j'em- 
piojerai la formule, donnée par M. de Laplace (*), pour des hau- 
teurs plus grandes que dix degrés ; et comme il serait inutile dans 
cette recherche, de tenir compte des corrections , dues au thermo- 
mètre et au baromètre, je supposerai la hauteur moyenne du baro- 
mètre de 28 pouces ou 0,76 mètres, et le thermomètre Rcaumur 
V -f- 8 degrés ; ce qui revient à supposer , dans la formule de 
M. de Laplace, y zz: et a^izrlO; d'où il viendra 

^ 0,000293876, , fO,0O0CWS76)2 ^o i ^ 2 . 

^ = -^37— ^'''"g « -^ -iTi>75F- *''"S "^ ^^ + '^"§ «> 

— 0,000293876 X 0,00 125254 tang x sec^ a, 

ou bien 

(l)...Xrtanga^0,000283006234— 0,000000327975 tangua ] , 
et en secondes 

(2).... X =z tang a (5 8''', 37423 — 0''-', 06765 tangua). 

5. Â. Considérons maintenant le diamètre, parallèle à l'ho- 
rison , dont les deux extrémités sont également élevées par la ré- 
fraction, ensorte que chacune demeure dans le même cercle vertical. 
En nommant donc ff/ la distance vraie au zénit, ou plutôt celle qui 
aurait lieu sans l'effet de la réfraction , et a la distance altérée 
par elle, on aura 

R — R'' ^", 

sina 

et à cause de a'' zi: a -4- X, 



R = 



j" 



eus X --)— cot a siii X 

Si l'on fait, pour abréger, 

0, 000283006234 =«, 0, 000000327975 =r:i, 

ou en secondes 

5 S'"', 37 Â23 z:za'\ O''-', 6 76 5 z= b''' , 
l' équation ( I ) deviendra Xzna tang a — b tang^ a ; et même en 

(*) Mécanique Céleste, Tome ly, pag. 271. 



200 

faisant a=:SO°, on aura, sans se tromper de la dix - millième 
partie d'une seconde , 

cos X HZ 1 — ^ tang^ a -+- « & tang'* a, sin X =1 a tang a — 6 tang^ a. 

En faisant donc, pour abréger, 

4 a» -f- 6 . ab „ 

T^v — ■* ' r-f- a — " ' 

l'équation précédente donnera 
R 
R^''(l _ 0,000232926 164) (!■+- 0,0000003679 1 7 lg"a 



R = (> + a)..-At,^a -:^-ô = r+-- ^ l-^AtgW(A^-B)tg*«^ =r 



— 0,00 00 000 0^9 3 tg-^a) = 
R^'-'Cl — 0,0 0282 9 26 -f- 0,0 00 030 73 tg^a 

— 0,0 00000000093 Ig^'a). 

Le dernier terme ne monte pas à 0^'', 000 1, lorsque R'^ et a ont 
leui-s plus grandes valeurs de 17^ et de 8 0°. Il en est de même 
du second terme, lorsque a est plus petit que 2 7°. On a donc 

V accourcisseinent du demi - diamètre horlsontaî , causé par la 
réfraction, 

(II) R'''' — Rz:R''''(0, 000282926 — 0, 0036 78 tg'a)-?/, 

et pour les hauteurs qui sont plus grandes que 4 5°, 

2/:=: R''''. 0, 0282926 ; 
ce qui fait environ une demie - seconde pour le diamètre entier. 

§. 5. Après avoir trouvé le demi - diamètre R qui est pa- 
rallèle à l'horison, il sera facile de déterminer le demi - diamètre 
Fig- ?, incliné /". Soit ADBE un cercle, décrit avec le rayon CA rzz. CB 
= CD=:CEzi:iR, et AFNBRG le disque du soleil ou de la lune 
^ tel qu'il paraît par l'efFet de la réfraction. En désignant par X' 

X'''', p.'', jjl'^, les réfractions, dues aux hauteurs des points E, D, Q, 
M, et faisant X' — X'''' z::: ^ , jjl' — \x''^ =z: o-, on aura 
FGzizDE — ^=:2R— ^, NR -= MO — ç-. 

Faisons pour abréger, ;^ in: 5, — zz: £ , ce qui donnera 



201 

CF =r R ( 1 — B), PN z= PM (1 — e). 
Mais on peut supposer sans aucune erreur sensible , que dans 
toute l'étendue du disque les variations des réfractions sont propor- 
lionelles à celles des hauteurs; supposition qu'on fait effectivement, 
en interpolant les tables de réfraction. Cela donne 

^ : 0- = 2R : MQ , donc £ := 5 et PX =: PM( 1 — 5). 

Lcquation du cercle est 

PM' — R' — CP' : 
en faisant donc 

CP = X, PN =: y, 
on aura 

(3) v'=:(l — 5)'(R' — x'). 

T.n désignant par >i l'angle NCF que le rajon incline CX ou r 
fait avec le vertical, on aura 

r zn r sin '^], y m r cos v], 

ce qui étant substitué dans l'équation (3), donnera 

r' (cos^ -vi +- ( 1 — 5/ sin^ >]) = ( 1 — Sf R\ 

ou bien 

.s Oj— Î)=R» 

' (1 — ô)'-t-i (2 — ê) cos^Yl ' 

li'où l'on tirera, en négligeant le cube de 0, 

'■zzzJi{i^ ^S4£ïfr^ cosN)-5 :=:: R (1 - '-^Y^^^w" + %'^' 

efllt, puisque je n'étendrai pas la table à des hauteurs au-dcs- 

lous de dix degrés, 5 aura sa plus grande valeur, lorsque «. — fit)°- 

et avec cette distance zénitale on trouvera dans les tables de 

'réfractions 5zr: 0,009, donc S'' zz: 0, 000000 729 , ce qui étant 

multiplie par 17% le maximum de R, donnera 5^ R zr: 0'''', 000 7. 

La dernière équation deviendra donc 

Mz:R ^1 — 5(1 — ^)(1 -I- 25>cos">i4-|d'cosSs =: 
R ( 1 — 5 cos^ y] — 1 5^ sin' y] cos^ y]) ; 
d'où l'on conclura 

26 

i'uppl au-x Mémoires de F^/caJ. 



202 

X accourcissement du demi - diamètre incliné , causé par la 
réfraction R — /", ou 
(III) . . . . a: zn R5 cos^ 75 (1 4- 1 5 sin^ >]). 

L'angle y] est toujours connu. En effet , puisque c'est 
principalement dans les observations des distances lunaires , qu'on 
a besoin de la correction x, et que les distances ne sont d'aucune 
utilité sans les hauteurs des deux astres , observées ou calculées; 
on connaît dans le triangle, formé par les deux astres et le zénit, 
les trois côtés, ce qui donnera les angles aux astres, y\. On pren- 
dra toujours l'angle y] qui est moindre que 9 0°, parceque l'équa- 
tion (III) ne contient que le carré de cos y\ ; aussi la figure 8. 
montre, que l'angle NCG donne le même rajon CN que l'angle 
NCF. 

\. 6. Il reste maintenant à déterminer 5 rz: ^ , 2R étant 
la variation de la hauteur, et ^ celle de la réfraction qui lui appar- 
tient. On pourrait prendre ce rapport dans les tables de réfrac- 
tions , pour chaque degré de hauteur ; mais cela serait peu exact. 
En général , il est aisé de voir , que le rapport 5 dépend princi- 
palement de la hauteiu- , mais qu'il dépend aussi de la grandeur 
du rayon R, quand on demande une précision parfaite; ou ce qui 
revient au même, 5 n'est pas le simple rapport différentiel de la 
réfraction X et de la distance zenitale a. , lequel est indépendant 
de la grandeur de ces deux quantités , mais 5 est le rapport entre 
leurs différences finies A X , A a , parcequ'il s'étend à tout le 
disque lunaire ou solaire, 5^^— . Ou a donc par le théorème 

de Tajlor : 

V 3X ) 39 X A a 

" — a^ I aH^ • '2" ' 
les termes suivans étant insensibles. XHela posé, l'équation (1) (^.4.)» 

X :=: tang a (« — b tg" a) , 
étant diftërentiée, donnera 



203 

|4z=(l+tg^a)(a-3Z;tg^a), 
1^ =: 2 sec'' a tang a (a — Zb — 6b tang* a) , 
d'où il vient 

Sz=i sec^ a ^a -f- (a — 36) A a tg a — 36 tg' a — 66 A a tg^ a^, 
A a étant m 2 R. Cela donne 

5 z=: a + 2 (a — 3Z») R tang a -i- (a — 3b) tang^ a 

4_ 2 (a — 96) R tg3 a — 36 tg''' a — 1 26 R tg^ a ; 

ou en faisant a — Zbz=Lf^ 2(a — 96) :=z £/, Zb-z=.h, c'est-à-dire, 

f^Z 0,0 282 223, fir Z= 0,0 5 6 1 G 8 9, A := 0,0 00 9 84; 

(4)....5 = a-+-2/Rtga^/tg'a-^^Rtg-^a-/itg'*a--47zRtg5a. 

Comme il suffit de connaître la correction x à 0^'',0 1 près, et que 

X est toujours moindre que R 5 ^ 5 . 1 7^ , on pourra négliger 

plusieurs termes de l'équation (4), à moins que a ne soit très- «rand. 

Pour la même raison on peut se dispenser de tenir compte de la 

grandeur particulière de R, dans les termes qui sont multipliés par 

R, loisque a. est petit. Dans un pareil cas, on prendra pour R 

une valeur moyenne zi;0,0C45 ; ce qui donnera 

2/R — 0,0 00 02625 =:: A, g R =: 0,000 0260 7 =: B, 
4/iRz=0,00000001832z:^C. 
On aura donc, depuis a nz: 1° jusqu'à a.:^zAO°, 

(5 ) . . . 5 — a -+- A tg a -f-/tg' a -|- B tg' a. — 7i tgV — C tg^ a , 
et depuis a ^n 41)° jusqu'à a ^rz 8 0°, 

(6)....5r=:«-f AtgaH-/tg^a-)-£7Rtg3a_Atg'''a — 4/;Rtg5a. 

§. 7. Quand on n'exige pas une précision parfaite, on peut 
prendre , dans les tables dé réfractions celles qui répondent à la 
distance zénitale donnée a, et à a -+-3 0'': leur différence divisée 
par 3 0'', sera à peu près rz: J. Prenons pour exemple les distan- 
ces zénitales 8 0° et 8 0°3 0Vpovrr lesquelles les tables donnent les 
réfractions 'k'-b' i^'',S et X^''=: 5' 3 5''-',9 ; donc 5= ^;-' = 0,008944. 
L'équation (6) donne 5=0,008683816 ou 5 rz: 0,0 08 74 1 322 
selon que R zrr 14'' 30^'' ou R =1 17'', 

26 » 



204 

En calculant la Table II sur la formule (II), et la Table 111 
sur la formule (III), j'ai porté la précision jusqu'aux centièmes 
parties d'une seconde, parcequ'autrement l'interpolation de ces tables 
pourrait occasionner des erreurs de plus de 0'^, 1. 



205 
TABLE I. 

augmentation du demi - diamètre de la Lune 
causée par la Parallaxe. 



Distance 














apparente 

au 

zénit. 




Demi - 


diaiiitti'e 


de la Lune. 




l-i'30" 
13"^53 


15'0" 
14",618 


15'30" 
15",617 


16'0" 


16.30" 


17'0" 


16" ,650 


17" ,7 16 


18'',816 


2 


lJ,6i5 


14,610 


15,608 


16,640 


17,705 


18,804 


4 


13,620 


14,583 


15,579 


16,609 


17,673 


18,770 


6 


13,578 


14,538 


15,532 


16,558 


17,619 


18,713 


8 


13,520 
13, «5 


14,476 
14,396 


15,465 


16,488 


17,543 


18,633 


10 


15,380 


16,397 


17,447 


18,530 


12 


13,35 i 


14,299 


15,276 


16,286 


17,329 


18,405 


1/» 


13,247 


14,184 


15,153 


16,155 


17,190 


18,257 


16 


13,124 


14,052 


15,013 


16,005 


17,030 


18,087 


18 


12,9S5 
12,S30 


13,903 
13,73S 


14,853 


15,835 


16,8.19 


17,895 


20 


14,676 


15,646 


16,648 


17,682 


22' 


12,65y 


13,555 


14,481 


15,433 


16,427 


17,4.16 


21 


12,473 


13,353 


14,268 


15,211 


16,185 


17,190 


26 


12,272 


13,140 


14,038 


14,966 


15,925 


16,914 


28- 


12,056 
11,825 


12,909 
12,602 


13,791 


14,703 


15,641 


16,616 


30 


13,527 


14,422 


15,345 


16,298 


32 


11,581 


12,400 


13,248 


14,123 


15,028 


15,961 


3V 


11,321 


12,122 


12,951 


13,807 


14,691 


15,604 


36 


11,049 


11,831 


12,639 


13,475 


14,338 


15,228 


ÎS 


10,763 


11,524 
11,204 


12,312 
11,970 


13,127 
12,762 


13,967 
13,579 


14,835 


.10 

/|8 
52 


10,464 


14,423 


9,829 


10,524 


11,244 


11,988 


12,756 


i3,548 


9,147 


9,794 


10,461 


11,157 


11,871 


12,609 


8,421 


9,017 


9,634 


10,271 


10,930 


11,609 


56 


7,655 
6,852 


8,197 
7,338 


8,758 


9,338 
8,360 


9,937 


10,555 




7,840 


8,ii96 


9,450 


6,1 


6,013 


6,444 


6,886 


7,343 


7,814 


8,301 


68 


5,155 


5,521 


5,900 


6,292 


6,696 


7,114 


72 


4,269 


4,572 


4,887 


5,211 


5,51s 


5,894 


80 


2,142 


2,617 


2,799 


2,987 


3,181 


3.3S1 


90* 


u",io4 


0,"ll5 


0",127 


0",140 


0",153 


o",i(): 



206 
TABLE TI. 

Accourcissement du demi - diamètre horisontal 

du Soleil ou de la Lune , 

causé par la réfraction. 



Distance 
au 


Demi - diduietrc du 


Soleil ou de la Lune ) 


i;i'3c" 


15'0" 15 30" 


16'0" 


16'30" 


17'u'' 


zeiiit 












0° 


o",2\6 


0",255 


0'',263 


0",272 


0",2S0 


0",28;t 


60 


0,2.(5 


0,251 


0,262 


0,271 


0,27.4 


0,287 


70 


0,2 U 


0,252 


0,260 


0,269 


0,277 


0,286 


75 


0,242 


0,250 


0,258 


0,267 


0,-J75 


0,283 


SO 


0",236 


0",2'a 


0",252 


O",260 


0",268 


0",277 










' 







207 

TABLE IIL 

Accoarcissement du demi - diamètre incliné 

du Soleil ou de la Lune , 

causé par la réfraction. 



Disiance i 

appareutcl 

au 

zénit. 



Inclinaison dn diamètre an ceicle vertical. 



0° I 10" 



20^ 



- 

u 

15 

20 

~25 

30 

35 

A^— 

50 

55 

60 

_65_ 

10 
15 

2 
"25 

30 

35 
J0_ 

.15 
50 
55 
60 
65° 



0",2i6 
0,25 i 
0,261 
0,280 

~Ô,3Ôi 
0,330 
0,369 

_0,'|22 
0,195 
0,599 
0,753 
,990 

1,"3S3 

Ô''^5 
0,263 

0,27,1 
0,289 

"o^sTÎ 

0,3,11 
0,381 
0,136 
~,5T2 
0,620 
0,779 
1,021 

r',430 
o",26l 

0,272 
0,283 

_0,2^9 
0,322 
0,352 
0,391 

_0,151 

0,529 
0,611 
0,805 
1,058 
1MV8 



0",239 
0,2-17 
0,256 
0,271 

"0^292 
0,320 
0,358 

_0,409 
0,180 
0,581 
0,730 
0,960 

l",311 



0",217 
0,225 
0,231 
0,247 
0,266 
0,291 
0,326 

J),3j^ 

t;437 
0,529 

0,665 

0,87.1 

l",221 



30° 



0^,185 
0,191 
0,198 
0,210 

"0^226 
0,247 
0,277 
0,316 

~0,371 
0,150 
0.565 
o;7.12 

l",03.7 



4.1° 



0",115 
0,119 
0,155 

_0,l6i 

0,177' 

0,193 

0,216 

_0,2,'i8 

0,291 
0,352 
0,412 
0,581 
0",812 



50° 



0",102 
0,105 
0,109 

_0,ll6 

0,124 
0,136 
0,152 
0,174 
0,205- 
0,24 s 
0,311 
0,409 
0",572 



60° 



0",062 
0,061 
0,066 
0,070 
0,082 
0,092 
0,105 
0,075 

T,124 
0,150 
0,183 
0,247 

0'',3 16 



70" 



0",029 
0,030 
0,031 
-0,033 

~Ô7o35 
0,039 
0,043 

_0,0J9 
0,058 
0,070 
0,088 
0,116 

0",162 



80° 



0",007 
0,008 
0,008 
0,008 

'07009 
0,010 
0,011 
0,013 

0,018 

0,023 

0,030 

0",0.12 



90° 



0",000 
0,000 

0,000 

_0,000 

o,ôôïï 

0,000 
0,000 
0,000 

o,ô()ô' 

0,000 

0,000 

0,000 

0",000 



0",24- 


0",225 


0",i91 


0",l49 


0,255 


0,232 


0,197 


0,154 


0,265 


0,242 


0,205 


0,161 


0,281 


0,255 


0,217 


0,170 


0.302 


0,275 


0,233 


0,183 


0,331 


0,301 


0,256 


0,200 


0,370 


0,337 


0,286 


0,224 


0,423 


0,385 


0,327 


0,256 


0,497 


0,452 


0,384 


0,301 


0,601 


0,54s 


0,465 


0,364 


0,755 


0,688 


0,584 


0,457 


0,993 


0,904 


0,768 


0,601 


l",3S7 


l",263 


l",073 


0'',8.10 



0",105 
0,109 
0,113 

_0,120 

~Ô,129- 
0,141 
0,158 
0,180 

~0,2T2 
0,256 
0,322 
0,423 

0",592 



0",o64 
0,066 
0,06s 

_0,072 
0,078 
0,085 
0,095 
0,109 
0,128 
0,155 
0,195 
0,255 

o",3SS 



0",030 
0,031 
0,032 
0,034 

l),6î6 
0,040 
0,045 
0,051 

"ÏÏ,"Ô60 
0,072 
0,091 
0,120 

tAl67 



o",oos 

0,008 
0,008 
0,009 

0,009 
0,010 
0,012 
0,013 



0,015 
0,019 
0,023 
0,031 
0/,043 



0",00 
0,000 
0,000 

_0,000 

o,boo| 
o,oool 
0,000 
0,000 

0,000 
0,000 

0,000 

0,000 

o",ooo 



0",25S 
0,261 

0,274 
0,290 

~Ô,'3r2 
0,3.12 
0,382 

_0^'l37 
0,513 
0,621 
0,780 
1,026 

l'',433 



0",232 
0,240 
0,250 
0,261 

0,284 
0,311 
0,318 
0,398 

~Ô7l67 
0,566 
0,710 
0,934 

l",305 



0",197 
0,20,1 
0,212 

J),224 

0-,2il 
0,264 
0,296 
0,338 

~Ô",397 
0,181 
0,603 
0,794 

l",109 



0",154 
0,159 
0,166 

J3,175 

0,189 
0,207 
0,231 

_0_,265 
311 

•<f,376 
0,172 
0,621 

0",868 



,109 

0,112 

0,117 

_0,124 

0,133 

0,116 
0,163 
0,186 

"0,219 
0,265 
0,332 
0,137 

0",612 



0",066 
0,068 
0,071 
_0,075 
"Ô^OSO 
0,088 
0,009 

_o,n3| 

0,132 
0,l6o| 
0,201 
0,2641 
0",369' 



0'',031 
0,032 
0,033 
0,035 

"0,038 
0,1141 
0,0.16 
0,053 

"0^062 
0,075 
0,09-1 
0,121 

0",173 



0'',OÔS 
0,008 
0,009 
0,009 

"ÏÏ',(ÏÏO 
0,011 
0,012 

_0,01.1 
0,016 
0^019 
0,024 
0,032 

0",045 



0",000 

0,000 

■ 0,000 

0,000 

"(\O00| 

0,000' 

0,000 

_0,000 

0,000 

0,000 
0,000 

0,000 
O",iiu0^ 



208 

Suite de la TABLE III. 



Oistaiice 1 






apparente 

au 

zenit 


.Inclinaison <lu diamètre an cercle V(?rfical 






0" 


10" 
0",263 


20" 
0",240 


30° 

0",201 
0,210 


40" ' 

0",I59 
0.165 


50=» ■ 

()'', 1T2 

0,116 


60" 

0",068 

0,070 


70" 

0",032 

0,033 


80° 

0",008 

O.OOS 


fio" 

0",00() 

0,001 






â 0° 


/',2T.' 






=. 10 


0,CSO 


0,272 


0,24 s 






§ 15 

r- 20 


0,292 


0,283 


0,258 


0,219 


0;i7l 


0,121 


0,073 


0,031 


0JOO9 


0,000 






0,309 


0,299 


0,272 


0,231 


0,181 


0,128 


0,077 


0,036 


0,009 


0,000 






1- 25 


0,332 


0,322 


0,293 


0,219 


0,195 


0,137 


0,083 


0,039 


0,010 


N,0OI) 






3 30 


0,36i 


0,353 


■0,321 


0,273 


0,213 


0,150 


0,091 


0,043 


0,011 


0,000 






»- 35 


0,407 


0,395 


■0,359 


0,305 


0,239 


.0,168 


0,102 


0,04s 


0,012 


0,000 






S 40 


0,',65 


0,451 
0,530 


0,'|11 


0,349 
0,410 


0,273 
0,321 


0,192 
0,226 


0,116 
0,137 


0,051 
0,064 


0,011 

o,iTT6 


0,000 

~o7ooo 






S 45 


0,5-16 


0,183 






Il 50 


0,661 


0,6^1 


0,584 


0,496 


0,3SS 


0,273 


0,165 


0,077 


0,020 


0,000 






Ll 55 


0,831 


0,805 


0,733 


0,6£J 


0,487 


0,34.5 


0,208 


0,097 


0,025 


o,ocio 






^ 60 


1 ,092 


1 ,059 


0,964 


0,8J9 


0,61-1 


0,4.5,1 


0,272 


0,128 


0,033 


0,000 






°; 65» 


l",526 


l",180 


1",347 


1",145 


0",S96 0",631 


0",3S1 


0'',I78 


0'^,0.16 


o",ooo 






â 0° 


0",280 


0",272 


0",247 


0",210 


0",161 


0",ll6 


0",070 


0",033 


0",00S 


0",000 






a. 10 


0,289 


0,28.1 


0,255 


0,217 


0,170 


0,120 


0,072 


0,031 


0,009 


0,000 






S 15 
5- 20 


0,301 


0,292 


0,266 


0,226 


0,177 


0,124 


0,075 


0,035 


0.009 


0,000 






0,316 


0,309 


0,281 


0,239 


0,187 


0,132 


0,079 


0,037 


0,010 


0,000 




s- 25 1 


0,312 


0,33 2 


"o;3^ 


0,257 


1)^201 


0,141 


0,086 


o,o/,o 


0,010 


0,000 






3 30 


0,375 


0,361 


0,331 


0,281 


0,220 


0,155 


0,094 


0,044 


0,011 


0,000 






i. 35 


0,419 


0,407 


0,371 


0,3.15 


0.246 


0,173 


,0,105 


0,019 


0,013 


0,000 






» 40 


0,180 


0,465 


0,124 


0,360 


0,282 


0,19s 


0,1,20 


0,03<> 


0,014 


0,000 






0,563 


0.546 


0,498 


0,123 


ir,3Tl 


^2;î3 


O.IU 


0.066 


0,017 


~ô,oob 






Il 50 


0,682 


0,661 


0,602 


0,512 


0,400 


0,282 


0,170 


0,080 


0,020 


0.000 






S^ 55 


0,857 


0,831 


0,756 


0,642 


0,503 


0,354 


0,211 


0,100 


0,020 


o;ooo 






2- 60 


1,126 


1 092 


0,99s 


0,815 


0,661 


0,465 


0,281 


0,132 


0,034 


0,000 






o 65 


1",573 


l",526 l",3S9 


1",180 


0",924 0",651 


0",393 0",184'0",047 


0",000 






5- 0° 


0",289 


0",280 


0",225 


0",2I7 


0",l69 


0'M19 


0",072 


0",034 


o",009 


0",0II0 






10 


0,298 


0,289 


0,263 


0,221 


0,175 


0.123 


0,075 


0,035 


0,009 


0.000 






S- 15 


0,310 


0,301 


0,274 


0,233 


0,182 


0.128 


0,077 


0,036 


0,009 


ojooo 






3. 20 


0,328 


0,318 


0,288 


0,246 


0,192 


0,135 


0,082 


0,038 


0,010 


O,0c0 






1 25 


0,353 


~Ô,3!,C 


ir,3ïi 


"Ô.265 


^,207 


0.116 


"Ô^OSS 


0,04-1 


~ci',ôn 


(r,ôôô 






3 30 


0,38C 


0,37i 


0,341 


0',29O 


0.227 


0'160 


0.097 


0,0/, 5 


0,012 


0,0(t0 






• 35 


0,',3: 


0,419 


0,392 


0,32 1 


0,254 


0.179 


0,108 


0,050 


0,013 


0.01 '0 






2- /(O 


0,49-! 


0,480 


0.437 


0,371 


0,290 


0,204 


0,124 


0,05S 


0,015 


0,0(^0 






S 45 


0,581 


0,563 


0,513 


0,135 


~Ô^311 


0,240 


"ô", 145 


"0,068 


0,018 


"OjOi.'O 






Il ^" 

Il 55 


0,703 


0,682 


0,621 


0,527 


0,412 


0.290 


0,176 


0.0S2 


0.021 


0.000 






0,88: 


0,856 


0,779 


0,662 


0,51 S 


0.365 


0.221 


0,103 


0^027 


ojooo 






.rj- 60 


l,l6c 


1,125 


1,025 


0,870 


o,6si 


0.480 


0,289 


0.136 


0,035 


0,000 






=: 65 


1",621 


l",431 


l",43l 


1",216 


0".952 


0";67l 


O".4O5'0",19O 


o".ai9 


0".0o0 





BLE 



III. 



(pag. 2 8.) 





\ Indi. 


l Le demi -diamctre étant :=:l4'30" 


I.C dejîii - diamètre étant =z 15' 0" 


Le demi - diamètre e'tant 16'30" 


Le depii - diamètre étant =3 16' 0" 


Le demi -diamètre étant 16'30' | Le demi - duraelre étant ^ 17'0" | 


naison 
du dia- 


Distance apparente au zénit 


Distance apparente au zénit 


Dislance apparente au zénit 


Distance apparente au zénit 


Distance apparcme au zénit 


Distance apparente au zenit 




mètre 


65° 


69° 1 72" 


74" 1 i6> 


78" 1 80" 


66° 1 69° 1 72" 1 7.1° 


_76° 1 78» 


80° 


65° 


69" 72" 


74" 1 76° 


78" 1 80° 


65" 1 69° 1 72" 1 74" 


76» ( 76" 


S0° 


65° 


69° 1 72° 1 74», 1 76' 


78» 1 80° 


65°' 1 69° 


72° 


74° 


76° 


_78» 


80° 




^Ô"" 


I",383 


1",912 


2",556 


3",191 


4",098 


5Vâ8 


7",564 


1".430 


1",979 


2",64? 


3",30.1 


4",243 


5",643 


7",S25 1",478 


2",047 


2",737 


3",417 


4",369 


5",S3S 


8",097 


1",526 


2",114;2",S27 


3", 531 


4",636 


6",033 


8",370 


1",673 


2",IS2 


2'',918,3",644 


4".6S2 


6^:29 


S",644 


r,62l 


2",250 


3",009 


3'',768 


4",829 


6" 426 


8",9I8 






4 


1,376 


1,903 


2,543 


3,175 


4,o7s 


5,'121 


7,517 


1,423 


1,970 


2,633 


3,:S8 


4,223 


5,616 


7,787 


1,471 


2,037 


2,'723 


3,400 


4,36s 


5,809 


8,058 


1,518 


2,104 


2,814 


3.513 


4,514 


6,004 


8,329 


1,666 


2,171 


2,904 


3,627 


4,660 


6,19; 


8,601 


1,613 


2,239 


2,994 


3,740 


4,806 


6,395 


8,874 






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2,506 


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4,161 


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1,767 


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5,21s 


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1.498 


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6.972 






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0,995 


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2,626 


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6,239 


1,167 


1,620 


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2,166 


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1,066 


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0,027 


0,038 


0,007 


0,010 


0,013 


0.017 


0,021 


0,028 


0;039 


0'.007 


0,010 


0,014 


0,017 


0,022 


0,029 


0.041 0,008 


0,1111 


0,014 


0,018 


0.023 


0.030 


0.042 


0,008 


0,011 


0,015 


0,01s 


0.024 


0.031 


0,043 


ss 


0,002 


0,002 


0,003 


0,004 


0,00i 


0,007 


0,009 


0,002 


0,002 


0,003 


o,oo4 


0,005 


0,007 


0,010 


0,002 


0,002 


0,003 


0,004 


0,005 


0,007 


0,010 


O.0O2 


0.003 


0,003 


0,004 


0.006 


0,007 


0,010 0.002 


0,003 


0,001 


0.004 0.006 


0.008 


0,011 


0.002 


0.003 


0.004 


0,005 


0.006 


0,008 


0,01» 


9 0" 


0",000 j0",000| 


0'',O00;O",00O]O'',0OO|O",000l0",000 o",ooo 


0",000|0",000 


o".ooo 


o",000 |0".000 


0",000 


o",ooo 


0",000 


0",000|0",000 


0",000 


0".000 


0",000 


o",ooo 


0".000 


0".000 0",000|0".000 


o",ooo]o",oooio",ooo|o",ooo 


o".ooo|o",ooo;o".ooolo",ooo 


o".ooolo".ooo'o",ooo]o'.ooo 


o''.ooolo".ooo 


o".ooo'o",oool 





,fl 



COM^IENTATIONES 

Cet. N. F U S S. 



DEMONSTRATIO 

THEOREMATUM QUORUNDAM POLYGONOMETRICORUM. 



Conventui exhibita die 2S- Kov. ISIO. 



f 

§.1. Ex eo tempore quo Calculas Sinuum, a summo Eu- 
lero primum in Analjsin translatas, magis excoli coepit, plurimas 
sane proprietates Poljgonorum raulto concinnius et facilius generali- 
ter investigare et demonstrare licuit, quam ullo alio modo ante, pro 
numéro laterum indefinito , fieri potuerat. Hujus asserti exempla 
quisque in promptu habebit ; nemini enim, ut unicura adferam, non 
statim in mentem venict Theorema illud famosum , a Cotesio C) 
olim sine demonstratione propositura, postea vero, primum a Moi- 
vreo C) , dein a Johanne Bernoulli (^), ab utroque generaliter , et 
multo post a celeberrimo quondam apud Tubingenses Professore, 

(') OpusciUa Rogeri Cotesii. 

{') Méra. de l'Acad. Royale des Sciences. 

( ) J. Bernoulli Opéra orania. Tom. IV, pag. 6". 

Stippl. aux Mémoires de l'Acad, 



27 



CIO 

G. W. Krafft ('), pro Tetragono, pro Hexagono et pro Octogono 
demonstratum, cujus Theorematis veritas nunc ope resolutionis formu- 
lae: a" — i :;" in factores trinomiales formae: aa— 2az, .cos."-'^ -^zz 
fere sine calculo , in génère , unoque quasi calami tractu , démon- 
stratur. 

§. 2. Ex novissimis poi'ro Geometrarum inventis, ciica sum- 
mationem progressionura sinuum, cosinuura, aucuum in ratione aiitli- 
metica crescentium, nec non circa producta hujus modi sinuum vel 
cosinuum factis, plures proprietates Polygonorum regularium invenin 
et deraonstrari possunt , alias haud facilis indaginis , id quod pluri- 
mis exemplis confirmari posset , abunde autem patebit ex demon- 
stratione sequentium triura tlieorematum : 

I. In omni Poljgono regulari n laterum productum ex omnibus 
diagonalibus ex angulo quolibet duclis et binis lateribus con- 
tiguis aequale est potestati {n — i)mae j-adii circuli oircum- 
seripti tôt sumptae quot sunt lateia. 
II. In omnl Polygono regulari summa quadratorum omnium late- 
rum et diagonalium aequalis est quadrato radii circuli circum- 
seripti multiplicato per quadratum numeri laterum. 

III. In omni Polygono regulari , si ex circuli circurascripii pun- 
cto quocunque ad angulos singulos rectae educantur, summa 
quadratorum harum rectarum aequalis est quadrato radii circuli 
circumscripti ducto in nuraerum laterum bis sumptum. 

§. 3. Primum horum Theorematum illud ipsum est, cujus 
bénéficie J. Bernoulli, loco citato, Theorema minus elegans Cotesia- 
num demonstravit. Secundum Theorema Clarissimus L'Huilier ex 
natura centri gravitatis deduxit in Dissertatione : Théorème sur les 
centres de gravité, Tomo IV Novorum , Actorum inserta pag. 5 0. 

(') Nov. Comment, Acad, Scient. Imp. Petrop. Toni I pag. 'li4. 



211 

In icitium denique, cum liane memoratam dissertationem denuo nu- 
per pevlegerem , ipse incidi . Haec igitur Theoremata , mcthodo 
mihi lamiliari, ope Analysées trigonometricac demonstrare in animum 
induxi. Ne autem lectorcs, in hoc calcul! gênera minus exercitatos, 
ad alios Auctores et libios ablegare simus coacti , propositiones 
pi-aecipuas, quibus hic indigemus, in sequentibus Lcmmatibus com- 
prehendemus. , 

L c m m a 1 . 

^. A. Denolanic ?! numeriim et (Ji ancjidum qiiemcunque , scni- 
per erit : 

sin. n(^ ■— 2" ~ • sin. Cj) . sin. (-^ — 0) . sin. (^ -f_ (|)) x i 
sin. (i - 0) . sin. (? + 0) . sin. (? _ $). etc. 
exislenle numéro horum factorum zzz n. 

D e m n s t r a t i o. 

Ex démentis constat, posito 
» COS. -f- j/ — 1 . sin. =!/-» 

I\ COS. — / — 1 . sin. =: q, 

I esse /;" — r/" zzz '2\/ — 1 . sin. /zC/). Statuatur formulae /)" ~ q"" fac- 
ïtor duplex pp — 2pq. cos.w -+qq—0, eritque p-q .cos.i)i^q.-/—i. sin.cj, 
fthincque /j" =: (7" (cos.?zùj H- / — 'l • sin. noj) , ita ut sit 
■ /J" — q" zzz 7" (COS. «ùJ zhV ~ ^ • S'n-'îW — 1). 

RCum igitur posuerimus pp — 2 pq . cos. u -{- qq zn , indeque fiât 
' p"^ — q^ ziz 0, necessario esse débet cos. nu H;: ]/ — 1 . sin. no) rzz 1, 
id quod evenit casibus n co z= 0, 2?:, 47r, 6?:, . . . 2 i?:, ita ut factor 
duplex in génère fit pp — 2 pq .cos. '^ -^ qq. At vero est 

pp -\- qq zrz 2 . COS. 2(^ et pq ZIZ 1, 
ideoque 

pp — 2pq . cos. ~ •+- qq Z=. 2 COS. 2 (fî — 2 COS. ^ 

=Z2sin.(?-CÎ)).2sin.(f + (î)). 

27 * 



212 



Quod si igîtur loco i successive scrlbantur numeri 0, 1, 2, 3, etc. 
et loco primi factoris dupllcis pp — 2pq -+- qq tantum ejus radix 
p -y- q •^z.2-^ — 1 . sin. Cj), habebimus 

/?" — <7"zz 2/— 1 .sin. nCp = 2/— 1 . sin. $ x 2 sin. (^ — $")>< 
2 sin. (^ + (Î5) X 2 sin. (^-I _ (î)) X 2 . sin. (? + (J)) 
X 2 . sin. (^ — Cp) X 2 sin. (Ç -f- 0) 



X etc. 



quorum factorunx numerus cum debeat esse n , erit 

sin. n'Cp = 2"— * sin. (J) . sin.(^ — Cj)) sin. (^ -+- <$) . sin. ('^ — Cjî) 

X sin. (— A- (f)) etc. 



L e m m a 2. 

§. 6. Dénotante Cf) angidwn et n numeruin quenicunque , sein- 

per erit : 
sin. (J)^ -f- sin. 2 0^ -4- sin. 3 0^ + .... sin. n (J)^ =z | -f- 

I sm.(:n-+- 1)^ _ 

S /i sin. $' 

D. emonstratio. 
Cum posito p =: cos. (J) -j- ]/ — 1 • sin. (^ 



q izz cos. Cj) — y — 1 . sin. 



sm.n(p = Ç^ et cos./iCb i^z^t^ 

erit sin. n(h' = p'--2pn,n^^ ^ 

— * 
sive , oh pq z:z i , erit 

sin. nCp^zz::! — i C/j^" 4- ç2«). 

Hinc igitur si successive loco n scribatur 1,2, 3, 4, etc. et 
séries illa in Lemmate exposita littera s designetur, erit 

, — :l_, ip'-^p'^-hp' .... p^M 



213 

» 
sive 

Hoc postremum vinculum ad sequentem fractionem reduci se paliiur 
unde restituto angulo (^ prodit 

n I |- cos. 2n — ! - f- cos. 2(p — cos. (2it -+- :) ^-j 

^ 2 5 L r — COS. 2$ J 

sive 



sive 

ï — , ^^„ ^<i.^> 

2 ■ 4 4L • ^ ' sin.$ 



n 1 , . r r, ^+\ , slii. 2.i3) . COS. î-, 



sive denique 

J — - ii _, I sin.(2 7i-t-l)Cp _ 

2 ~r" 4 4 sin.cp 

L e ni m ci 3. 

§. 6. Dénotante n numeruui et (J) atiguluin (/ueincwu/ue , scni- 
per erit : 

sin 



in. I (J)^ + sin. (■ -+- ^)^ -f- sin. (i Cp -4- '-^Y -^ 



D e m n s t r a t i 0. 
Cum sit 

1°.) sin. iC|)" — ' — ^° Lv 

2°.) sin. ri (D -^ ^)^ — ^ - ^Q^- (^ -t- t) 



214 

1 - COS. (0 4- '{■) 



3^.) sin. (é 4) + -;y = 



n^.) sin. (1 CI) -h ^-- ,- '^'y =: ~:r^-^ " ' 

eiit summa nosirae sériel, quam littcra. s indicemus : 

. = 4- - i [COS. (^ -+- cos.(CÎ) + 'i) + cos.((p -+- Ï-") . . . 
COS. (0 4-^1^^-^)]. 

Statuatur 

T =: COS. + cos.(4) m- -^) + cos. (Cp + Ç) ■ • • cos. (Cl) + ^-^^) 

duratuique haec séries in 2 sin. - atque ob 

2 sin. a . cos. b zr; sin. (a -)- b) -+- sin.(rt — 6) , erit 

2 T . sin. ^ =: sin. (^ - Cj)) -4- sin. (Cj) + ^) -h sin. (4) + \^) 

. . . . 4.sin.(CÎ)+ (£i:^) - sin.((I)+ ^) -sin.((p-^ ?^)... . 

ita lit deletii membris sese destruendis sit 

2 T . sin. ^ = sin. (^ - 0) -h sm. ((p + ^^^) • 
Est vero sin. ((p -F- ^^^^^-) = — sin. (^ — (f)) , ideoque 
2T . sin. ^ = sin. (^ - 0) - sin. (^ - (p) = , 
et T :z2 , ita ut sit s :rz ^ — § T zn 4 > hoc est: 

sin. I Cî)'^ -h sin. (i (p -f- ^y 4- sin. (i (p -fl ^)^ + 
.... Sin. (iq) -4-' -„' ) =Y ■ 

§. 7. His tribus Lemmatibus pracmissis, ex quibus plures 
aliae sumraationes metnorabiles deduci possent , quibus autem non 
inimoranmr, aggrediemur demonstrationem illorum Theorematura polj- 



215 

uononictrit.oium, (luoium supra jam nientionem fecimus (luacijiif j.iin 
in inragiapho secundo enunciala reperiunlui. 

T II e o r c ni a l. 

5. S. /// oiniil Fôlijfjono rcyidarl , si ex luio quolibet (uujiilo- 
nun A ad reliquos B, C, D, . . . . N diagonales açjanlui\ 
f'actuni ex omnibus diayonalibus et binis lateribus coiili- 
guis angulum A coinprehendentibus aequatur potestali ra- 
dii circidi circumscripti uiio gradu viinori , quant Polfj- 
goniun liabet latera, ductae in numeniiu laferiun, hoc est: 
AR . AC . AD .... AN — // . AO"— '. 

D e m o n s l r a l i ci. 
Kx clcmcntis uotum est esse 
Alî ir; 2 AO . sin. ^ . 



AC zz: 2 AO . sin. 



et 



ADzz 2 VO.sin. - 



A.\ — 2 AO . sin. C"- -'Jj 

n 

•.-■onsequonter crit 

A]^ . AC .AD ... . AN 1= 2"- 1 AO"- 1 X F , deno- 
ta.Uc P — sin.^.sin'^ sin. ("— 0^ _ Hj^. ^^^^^ j^^ ^^^^^ ^-^^ 

tinguendi occmunt , prouti fuerit numerus laterum n vel par \tl 
impar. 

Casus uln II par. 
Distribuatur productum P in hos factorcs 

sin. ^ . sin. ;^ . sin. '-^ sin. (\ n~ \) -■ . sin. in .- ~p 

s.n. - .sin. ^-^ . sin.^- — . ...sm.(J/i ^ 1 ) ^ — ./ 



2l6 



aique ob sin. '^—~- = sin. — 

■ (n— ?)77 _■ 2^ 

Sin. — -— — sin. — 



erit p :=:^q sin. | ?i -^ = 7 , ideoque P ZZ. pp , hoc est : 

P zrz sin. — . sin. ^^ . sin. — . . , . sin. Qn — ^ ) ^ • 

Ouod si autem in Lemmate primo angulus <$> statuatur infinité par- 
vus, ita ut sin.ttCP =: 711$) et sin. = ($> erit 

n(^— 2"- ^ Ci) . sin. "^J-. gin. ^ . . . sin. (1 « _ 1) ^ , 

unde fit P =z 5^ , consequenter 

AB . AC . AD . . . . AN =: ?î . AO" - ^ 

Casus ubi ii impar. 
Distrlbuatur hic productum P in séquences factores : 

ir . 27r . S'Tr • (n—l) ir 

Sin. - . sin. - . sin. sin. —— • T — '"' 

sin.(n — 1) V • sin.(?i— 2) -^ . sin. (n— 3) ^ . . . sin. ^-^ . ^:zz s. 
atque manifestum est fore .s zzi r , hoc est : 

P — Sin. - . sin. — . sin. — • • • • sin. '—,-^ ■ 
Hinc igitur , cum ex Lemmate fiât n(P z^ 2"~* (p . P , eril 
P z:z „n^^ , ut supra consequenter 

AB . AC . AD AN z= n . AO" — 1 . 

T h e o r e m a IL 

^. 9. Jii oinni Polygono regulari summa quadratorum om- 
jiiuin laterum et diagonalium aequatur quadrato radii 
circuit circumseripti toties sunito quoties imitas in qua- 
drato mimeri laterum continetur. Hoc est : 



217 



AB*'-|- AC- -4- AD' -h AE* + . , 


. AN* 


-j- BC' -f- BD' +- BE' -1- . . 


. BN^ 


_)_CD*-hCE'4- . . 


. C^" 


+ DE^4- . . 


. DN* 


+ • ■ 


. . . 




UMN^ 



n'.\0\ 



D e m n s t r a t i o. 
Notctur stallm esse pro numéro lalcrum ii 



ABr 


2A0 


sin. 


TT 

n 




RC = 2A0 


sin. 


71 




CD = 2A0 


sin. 


ir 
n 


AT - 


2A0 


sin 


2!tt 
n 




BD:i2A0 


sin. 


2-K 
n 




CEz:2A0 


sin. 


2ir 
n 


ADr 


2A0 


sin. 


n 




BE-2A0 


sin. 


37r 
n 




CF - 2A0 


sin. 


3ir 

n 

• 


AN- 


2A0 


sin. 


(n- 


1> 


BN = 2A0 


. sin. 


(n- 


2)^ 


CNz:2A0 


• 

.sin. 


(n-3 


n 


n 



et ita pono. Consequenter habebimus 

AB' -h AC= -f- AD- -h AN' =r 4 AO' X A 

BC' -I-- BD' -t- CE' -h BN' rr: 4 AO' x B 

CD' -f- CE' -f- CF' ^ CN' z= 4 AO' x C 

etc. etc. 

.dénotante 
I A znz sm. \- Sin, f- sin. (- 



sin. 



sin, 



n 
(n — 2) -TT» 



sm. 



Çn — 3)7r' 



zn sin. h sin. \- sin. ■ \- . 

C Sin. \- sui. f- sin. \- . 

etc. 
Quod si igilur ad has séries summandas in subsidium vocemus 
Lemma 2 (J. 5.) erit 



Suppl. {MX Mémoires de tAcad. 



28 



2l8 



A =: 



sm. — 



B rz 



n — 2 



-4- i -H 



C =: ^ 



4 sin. 


n 


sin. 


Stt 


4 sin. 


n 


sin 


5ir 
n 



À sin. 



quorum valorum numerus cum sit n — 1, eorum summa ent 
ll!L-_l) _ I ( 1 + 2 + 3 -+. 4 4- . . . (« - 1 )) + "-^ 

1 - - - ' - (2P.-3)-7r -| 



4 sin. — 
n 

(2rt — m) TT 



T [sin- Y + sm. — 4- sin. — -f- . . . sin. — ,^ J. 



• TTITT 

sm. -- , ergo 



Est - vero sin. 

Sin. - 4- sm. -^ + sm. ^ -4- . . . sm. -^ ;^— — sm. - ^ 

unde igitur colligitur fore 



B 



. M = 



consequenter 

AB- 4- AC" 4- AD' + AE' 4- 

4- BC' 4- BD= 4- BE' -h 

4- CD' + CE' 4- 

4-DE'4- 

4- 



AN' ] 
BN^ I 
CN' \ 



DN' 



4-MN' 



l 



=z nn AO'. 



J 



Th e o r em a III . 

§.10, In omni Polycjono regulari , si ex circuli circumscripti 

puncto quolibet Y ad angulos A, B,C, A'" rectae eclu- 

cantur , summa quadratorum haruui lectaruin aequatur 



l 



219 

quadruLo radîi circull circumscripti per numeruin lalc- 
rian bis sunitum midtipUcato ; hoc est : 

YA^ -t- YB- H- YC' + -+- YN= — 2 n AO'. 

D e m o n s t r a t i o. 

Slt numerus laterum indefinite n:; « , ponaturque angulus 
AOY zir Cj), eritque 

YA == 2A0 . sin. 10 

YB — 2A0 . sin. (i -f. ^) , 

YC - 2A0 . sin.(x(î) + 'l^), 



YN = 2 AO . sin. (é(p-\- ^"~' J^) , 
consecjuenler summa quadratorum 

4 AO^ [sin. I Cj)^ -4- sin. (i Cp + ^)> _f_ , . . sîn. (i (Jî + ^^î^)=]. 
Est vero vi Lemmatis tertii 

sin. i 0^ H- sin. (X (p + ^)^ + . . . sin. (i + (l:^)^/ — | 

unde sequitur fore 

YA^ + YB2 _^, YC' + YN^—2n A0^ 



28 



220 

ir. ^ 

D E 

FUNCTIONUM HYPERBOLICARUM 

ORIGINE, 

PROPRIETATIBUS, 
RELATIONS & USU. 



Comentui exhibita die l6. Msj . 1810. 



§. 1. Functiones hj'perbolicae, de quaium relatione, piopri- 
etatibus et iisu in Analjsi hic nonnulla iii médium piofene aniimis 
est , sunt lineae illae quas Cel. Lambert primus siib nomine Sinus 
et Cosinus hvperbolici in Analjsin introduxit. 

Sit scilicet AM arcus Hjperbolae aequilaterae, cujus vertex in 
A, centium in C, ideoque axis CB et CD Asjmpiota. Ex puncto 
f'S- 9. quocunque Q hujus Hjperbolac, demisso in axem perpendicuio QP, 
vocavit Lambert hanc lineam Sinum hjperbolicum , et lineam CP 
cosinum h_yperbolicura, respectu Sectoris hjperbolici CAQC. Harum 
linearum functiones quomodo tam a se invicem, quam a functioni- 
bus circularibus pendeant , operae pretium videtur accuratius, quam 
hucusque factum est, examinasse. 

§• 2. Quod si igitur ex puncto Q in tangentem communem 
AE Hjperbolae et circuli, centro C radio CA descripti , demittatur 
perpendiculum QR , tum vero ex centro C ad puncta O et R du- 
cantur rectae CQ et CR , quarum illa tangentem AE in T , haec 
vero quadrantem AB in S intersecat, demisso ex S in CB perpendi- 
cuio SV, manifestum est fore CR :^ CP et SV in: TA. Posito enim 



22 1 



CA =: 1 , AP z=: a- , ei il PQ nz y 2 x -}- xx =z AU et CR =z 
•j/CA- -+- AR"m 1 -f-a- :z3 CF. Tum vcro ob tnangula CPQ et 
CAT , nec non CAR et CVS eiit : 

CP : CA=PO : AT, 

CR : es =: AR : SV , 

icicoque ob CP =z CR ; CA :=: CS ; PQ — AR , erit AT r= S V 
Hinc igitur sequitur fore tag. ACT zzz sin. ACR, tum vero 

PC2 =z tag. ACR , 

CP zz: sec. ACR . 

§. 3. QuaeraiTiTis nunc superficlem Sectoris hj'-perbolici 
CAQC pci- arcuni clrcularem AS , sive per angulnm ACR expres- 
sum. A'ocetur hic angulus ACR :^ ^ et cum sif AR — PO — tng./ 
et CP rz: CR izz sec. / erit area Iriançuli CPO zzz ^--^ ; a (lua 

-j o ,*., 2 COS. ç* * 

si auferatur area segmenti hjpeiboiici APQ , remanet area sectoris 
CAQC. Posito autem AP =z a? , PQ z=: y , area segmenti est 
APQ z=: y. ydx ; unde cum sit x :rz sec. ^ — 1 et 7 zn tag. ^, 

-•!' fu^- =/^,^ = .^, - i / • tg. (4 5° + i 0, --le fit 
ai-ea sectoris quaesita : CAQC z:z 1 / . tag. (4 5 -}- l^). 

§. 4. Ponannis / . tg. (4 5° -|- | ^) z:z OJ, ita area sectoris sic 
CAQC ;^ i w , eritque tag. (.i5° + ^ ^) zr: e" , hoc p-- 

unde porro deducitur 

V e" — 1 

tag.é^=:,o.-zpr 
sicque habebimus 

'- . . y e" — e— w ,. 

sive tag. ,^ ::= ^ , hincque 

sec. ^ ZZ. 




1222 

Cum igitur supra §. 2. inveneiimus 
PO nr tag. ^ et CP 1= sec. ^ , 
evidens est foie 

PQ = F—' 

CPm^— • 
Quod si igitur cum Lamberto vooemus 

PQ Sinura hyperb. CAQC , 

CP Cosinum hjperb. CAQC , 

AT Tangentem hyp. CAQC, 
erit 

sin. hjp. (jj n^ 

Cos. liyp. oj =3 
tag. hjp. œ:r=:_^„_^^._„ 

, AT CA . PQ PQ 

Ob AT _ -^- _ ^ ' 

§. 5. Nunc autem commoditatis gratia sinum , cosinum, et 
tangentem Sectoris hjperbolici respective litteris germanicis majusculis 
(S , £ , Z 1 designabo , ita ut sit 
PQ=(S.u =2 

CP =z € . co 



e" 


— e~ 


-10 


gU 


2 


- w 


e" 


2 
• — e 


w 



AT — ^ . ùj 





jU 


— g— 


-^ 






2 






c" 




- to 














2 






pûj 


— e — 


u 



(S 01 



dénotante w duplum areae sectoris hjperbolici CAQ. 

§. 6. Hinc jam statim fluunt sequentes relationes : 
1°, (£ . 00 -4- (S . ûj = e" , 
2°, Œ.OJ — (S.u =z e— '-, 
3°, 2e . OJ X S . w = e . 2 w , 

hincque porro fit 

4° , (S . 0))^ — ce . œ)^ = 1 , 

5°, (S.w)^ 4- (e.w)^=:a:.2w, 



223 

7°, 2(2: .u)' = S. 2ÙJ + 1, 
ex biiils autem postfemis sequitur fore 
g . 2 u = 1 + 2 (Ô . oj)' , 
(T . 2 W = 2 (S . OJ)' — 1 , 

@ . u = ■[/ — 1 » 



(X.w = -i/ 



C.Cco-l-l 



Denique quoque patet fore 

©( — w)= — ©.ûJ 

e ( — u) z= -+- e . u. 

Ç. 7. Quod si oj fuerit valde parvum erit per séries 

^ . a zz: ij} -i- :^-^ ~ -\- ^--_ - H- etc. 

Q,. ton: 1-1- j-;-2 +r.:;ii + etc. 

Quoniam autem valor co usque ad <^ izi 5 5° semper minor est uni- 
tate sufficiet sex priores harum serierum terminos sumere , si 0.10 
et £ . w usque ad scptem figuras décimales determinare velimus 
ex dato ai- 

§. S. Praeterea notari meretur fore per sinus et cosinus 

circulares 

g" — g—-". si n. (cpy — 1) 

2 ~ V — 1 

^ rz: COS. (ojj/ — 1) 

consequenter 

Œ , co zi: COS. (oj >/ — 1 ). 

§. 9. Posito «S . co zi: a; erit ex §. 6*° relatione >!'•' 
C • w := y/ i -\- XX, ideoque 



224 



é" 



ZZZX -\- y i -\- XX 

ex relationc 1"*, hincque fit 



OJ m log. (X + |/ 1 + XX) 

unde differentiando colligitur 

da zzz ■ ^=: et oj — / -7r=-= . 

V l-i-xx ■' V i'\~xx 

Facile quoque intelligitur fore ex 1 et 2 

t) =z log. (@ . co + € . Où) 
— (li z^ log. (£ . w — © . u) 

S. 10. Quod si expressionum 5. 5. diiîerentialia sumantur 
prodibit 

f) . (S . OJ = 9 • ùj C-— ^ ) = () oo . (£ . OJ , 

d . £ . OJ = c) . 6J (_ 5 } zr: d OJ . ti* . 0) , 

hincque vicissim erit 

fda (E • OJ = <© . OJ , 

fdoi ©. OJ =::: £ . o) . 
Eodem modo , cum fit 

euu — (,— nu -, 

© . n OJ = j ' 



Tico _i_ -, — nu 



(E . noj : 
ei-it generalius 

Ô . . 72 ÙJ Z= 723a3 . £ . 7J0J , 

3 . d . 7z 0) zr ndiù . iS . noj , 
et vicissim 

/Doj£ . 7Z0J = ^ (S . nco , 

/3CO0 . «CO = - £ . 7iOJ , 

tum vero quoque erit 
hoc est 



codcmquc modoe rpcritur 



Î225 

ndu 



•^ e.nco ■> [C©.n (o>'— (g .nuVj 



aff . 7101 ■ — n3u 



2 



SIYC 

©. nui (© .nw)' 

imde vicissira conc'.uditur fore 

r 3(0 1 S . nu 

"^ (ffTnu)^ n ' ff.nû) 

» 9co 1 g. no 

-^ ijS . nu)^ n ' © .nu 

§. 11. Ex formulis §. 5''. porro facile derivantur seqnentes: 

iinde dcducuntur sequentes: 
2 @ . « >; S . è rz: 

2 d . a X @. 6 zz: 

2 (E. « X £ . iziz 



sive réstitutis loco potestatibus ipsius e Sinibus et Cosinibus hyper- 

bolicis : 

2 . © . a . e . 6 — © . (a -h 6) 4- (S (a — S) 
2 . e . a , (S. i =r @ . (« H- i) — <S (« — 1>) 
2 e . fl . £ . 6 — € . (a + 6) -h (T . (a — è) 
2 ©.a.@.6z=:(2:.(a-{-i) — €.(a — è). 

§. 12. Hinc porro deducuntur sequentes expressiones : 

(S . (a -f- 6) =z © . a . e . 6 -f- e . a . e . 6 , 
(S.(n — 6) — @.a.e.6 — S.a.<S.6, 

20 

SuppL aux Mémoires de tAcad. ^ 



e<i-|-6 — 


eb- 


- " -t- e" - 


-6_P- 


— a - 


-b 


(.a-l-6_)_ 


e^- 


2 
-a — (.a - 


-6_P^ 


-a — 


-b 


ea-+-6_|_ 


.&- 


- a _4_ pO - 


-è-H.- 


a — 


-b 


pa-t-i 


,&- 


2 
-a pO - 


-6_P- 


a — 


-b 



226 



^. 13. Eaedera expressiones §. 11. inventae praebent has 

2 






€ 


.a-1- e. 


b — 


2 (£.2 


H^_6 


(E. 


a — b 
2 


€ 


. a — 


(E. 


b — 


2®. - 


2 


.e. 


a — b 

2 


G. 


a-t-©. 
a-l-g. 


.6 — 


:S.^ 


-2-' 








©. 


o-h® . 


.6 

,6 — 


: dot 


a — b 

ô 


1 






g. 


a— g. 




© 
C 


. a — © 

a -t-g 


. 6 

7b — 


-.%."- 


;-^6 

î 

2 








©. 
■g. 


a — ©, 
a —g. 


b 

b — 


: dot 


a-4-6 
2 


1 






©. 


a-f-® 
a-+-g 
o-H® 


.b _ 
.6 — 


. g. a. 
- ©o- 
. g. a- 


— g. 6 

— ©.6 ' 
-H-g.6 _ 









g .0 — g. 6 ©a — @. i 

S. 14. Ex formulis autem §• 12. invemis colligitur fore 

S . (a — 6) — r -ii.a.a.6 ' 
§. 15. Supra §. 10. jam observa vimii s esse 

/!~ , nu , — nw 



unde , quoniam 

nijj 

— nu 

e : 
prodibunt scqueiites expressiones : 



e z= (e ) , 

— nu ', — (on 



227 

c . Hoj = !(£ . u + e . 0))" + ice . w — e . 0))" , 

©. »u =: 1 (S . co + e . w)" — i ((S . w — e . w)" , 
ex quibus porro seqnilui- fore 

((E . w — <S . 0))" =: (E . 72CJ — <S . /î(j 



S. 16. Quod si igitur ponatur (S . co zn a: et S • co m »/, 



dit 



C . nu =: i (2/ + ■^)" 4- 1(2/ — ^)" , 
<Q . n^ù z=. liy -^ xY — i iy — xY . 

Hiiic autem Sinus et Cosinus hjperbollci multiplorum ipsius oj sequcn- 
tes oriuntur : 

€. Où3=: 1 

£.10) nz y ubi nof andum esse 

S . 20) zr; 2/2/ + ^^ ^-^ =■!/!/— ^ 

£ . 3ùJ m y' -h 3xxy 
iî . Àb} zzz y'^ -f- byyxx -\- x'^ 
. d . 5ù) :=z 7/^ -I- 1 Oy^xx -f- Sî/o.* 
etc. etc. 

© • Où) rz: 

© . 1 0) zr: .r 

. 2o) 1==: 2yx 

(Q . 3(3} ZZl Z-yyx -[- :j:;^ 

. 4ù) :ii: ^?/'^a; -f- 4î/a'^ 

(0.50) = ^tj'^x -\- i Oy^x^ -+- .-c\ etc. etc. 

^. 1 7. Eulerus olini invenit hanc fractionem continuam 
1 1 



n-f- 



1 1 ^- 3n+l 

£" g n Sri -4- 1 

~"7"n^l 



©£8 



Hinc si loco - scribatur eu , erit " = -^ , ideoque 



n 



(il ' 






9L 



1 

-4- etc. 






i-f-u 



7-f-w 



9 -+■ etc. 

hincque invertendo 

© . tO fî» 



3 -t- M 



9 H- etc. 

1 

sive S . u =:^ l 






4— etc.' 



sive etiam 



î. eu 



l-f-ùj' 



3-i-u)» 



5 + w» 



§. 18. Si fuerit S.oiZi:^-^^, erit . c. =: ^«- et 

// êS •' fi ./T^fi 



229 



unde ex §.15 colligitur 



«^ . 710) 2 t// — ÊS)" 



e.xistente secundura §. 9 



«^ = iog-f±r 



23o 
iir. 

SUMMATIO DU ARUM SERIERUM. 



Convcmui cKliibiia die 13. Aug 1S17. 



5. 1. In dissertatlone , cui titulus est: De série maxime 
mcmorabili , qua potestas binomialis qiiaecunque cxprimi potcsl(^\ 
illustris quondam Eulerus in seiiem inquiiiverat potestatem (1 -\- x)^ 
exhibentem , quae scilicet abrumperetur pro exponente ii quocunque 
integi'o tara positivo quam negativo. Invenerat nimirum memoratae 
dissertationis auctor, posito z::; zzz ^^ - '"^'^ 

^ 1 -4- 3C 

^ ' ~ ).a: + (JL+il^:^^ ^^=^ -(^ ^) [^-'^ ^^'^ etc. 

sive (1 -[- .r)" r^ 5 -f- ^ f 1 existcnte 

f =:^ z ^ ^"-^/^rS^^^ ^' -h ^"-^%r#— ^ ^' -^ etc. 

§. 2. Harum porro seiieium 5 et f summam , utramquc 
seorsim, investigare docuit Eulerus, eamque ita invenit expressam : 

s zzz -— : ^'^ 

■2-f-x 

(1 -i-a^Oi-H" — (1 -f-a:)5 — " 



X 



(') y. Mémoires de T ylcad. Inipér. des Sciences de S.t. Pétersbourg, Tome If^. 
pag. 75. 

(') Méin.^ T. If. pag. S7. Loco quijem citato cxponens posfremi membri nu. 
nieratoiis Icgitur — n; venim hoc errori typographico Iribuendmn est. 



23l 

llaec summatio summo nostro Gcometrae tanti momenti visa 
est, ut eam adeo tribus vaiiis modis instituerit, quorum bini piiorcs 
ex consideratione aequationum ditïcrentialiutn primi et secundi giadus, 
per evolutionem potestatis binomialis genitarum , erant deducti , de 
quibus autem non tam A\cile perspicitui" , quomodo cum seiiebus 
illis cohaereant. Cum igitur in methodum incidissem hanc summatio- 
nem immédiate ex sola progressionis lege, in utraque série conspicua, 
derivandi, eam heic breviter exponere eo minus dubito, quod insuper 
ansam praebuit ad inveniendum intégrale completum aequationis 
diflereniialis ad difficiliores et rarius occurrentes referendae. 

§. 3. Metliodus autem a me adliibita eo nititur fundamonto, 
Ut, quoniam in seriebus, quarum summatio proponitur, lex progressi- 
onis est simplex et manifesta, tam ex série s quam ex série / ope 
diflcrentiationis duae aliae deriventur dupliei modo ad identitatem 
revocatae. Ita ex priore série : 

c I , n(n-l) ^2 (n+l)...^- ;)^.i , (n + 2) • • • fn- 3) ^g , „.„ 

facile deducuntur binae sequentes : 

T ^i "f" - 1)„ , (n + i)...( n-2)^3 (n+2)...('n- 3)_5 , „^„ 

TT -^liîl" I (n-^r7i(n— 1) _■. (n-i -2)...(n — :) _/i 

ii- 2^.n-=rï-g-_7ZH ^-^ 1 ^777^ -4-etC. 

Ex altéra autem série : 

t_/?^-i j-^-3 ^ ^ ^-—^ « -h etc. 

binae sequentes derivantur : 

dz 1.2 1 ... 4 ' 

, z"'3.< z--^"_r,(n-l)_ (;.4-n...rn- 2)_3 (n -^2^. . . Çn- 3)^5 , ^,^ 

^. À. Quod si jam has quatuor novas séries inter se com- 
parcmus, statim perspicimus primam cum quarta et tertiam cum 
secunda penitus convenire. llubebimus igitur has duas acqualiones: 



2 32 

Si £'"3 .te'—'" . 

dz 2!lZ 

dz £z"' — ' 3z ' 

quae, facta evolutione, abciint in seqiientcs : 

2ds =:(2n ■— i)tdz — zdt ; 

2dt z=. 2nsdz -+- zds ; 
non diversae ab illis, quas Eulerus ex evolutione potestatls (1 -^ x)" 
secundum conditiones pioblematis sibi propositi , instituta derivavit. 
Quomodo aiitem hae aequationes cum seriebus sumraandis cohaereant 
nunc cuique in oculos incurrit. 

5. 5. Que nunc ex liis aequationibus valores quaesitos s et 
f per integrationem investigemns (quod ab Eulero in prima cjus 
solutione ope mulliplicatoris idonei factum est), statuamus 5 zzn tv, 
et nostrae binae aequationes induent has formas : 

2tdv -i- 2vdt =: {211 — i)tdz ~~ zdt 

2dt z=z ztdv -(- zvdt -+- 2nlvdz 

ex quarum utraque deducitur 

3f ( 2n — l)3a — 2^v . _ ' 

7 2tj -H z ' 

3f 2 nvdz -'r- zdv . 

t ■ 2 — zv ' 

undc sublatis denominatoribus, nanclscimur hanc aequationcm : 

dzli2n — 1)(2 — ZV-) — 2nv(2v -\- s)] =r (zz-]- À}du 
cujus, utpote ad genus Riccatianarum referendae, resolutio vix spe- 
rare liceret, nisi integralia particularia assignare valercmus. 

y 6. Taies autem valores pàrticularcs facile obtinebimus. 
si conslderemus duos casus /; rz 00 et Ji z:z. 0. Pro priore casu 
nostra aequatio dlircrentialJs fict 

dz[2ni2 — zv) — 2nv{2v -{- z)\ z:= 
quae, facta reductione, abit in 
1 — zv — VV ZIZ. 0. 



233 

Ex liac igilur aequatione relatio inter z et v deCnietur , quae, si 
etiara alteii casui , quo n ::^ , satisfaceret , rêvera foret intégrale 
particulare aequationis nostrae differentialis propositae. Cum igitur, 
posito n n: 0, aequatlo illa évadât 

dz(^v — 2)z=: dv(zz -4-4) 
si hic loco z substituamus valorem ex aequatione 1 — zv — vv ^ 
petitum s=-^-, ob dz-—^^-:^ — i, tum vero ob zz-\-i- ^ ^ '- , 
nec non zv — 2 rz: — (1 -\- vv), prodit aequatio 

ar(l-+ -r-uj' 9r(l -j-wY 

quae cum sit Jdentica, certum est signuni, aequationem 1 — zv — vv~Q 
rêvera continere intégrale particulare nostrae aequationis difFerentia- 
lis J. 5. exhibitae. 

§. 7. Antc autem quam integrationem hujus aequationis 
suscipiamus, meminlsse oportet quemadmodum ex integralibus parti- 
cularibus integralia compléta formari queant. Hune in finera statua- 
mus esse P et Q valores satisfacientes pro 5 et f , atque evldens 
est eliam valores s zzz MP et f nr MO fore satisfacturos. Simili 
modo, si p et q fuerint alii valores satisfacientes pro s ti t, tum 
etiam eorum multipla s z:= mp et t zzz mq satisfacient. Quin etiara 
valores ex his compositi pariter satisfaciant necesse est, ita ut quoque 
slmus liabituri valores 

s z=: MP -+- mp ; 
t ZZZ MQ-I- mq ; 
qui igitur , ob binas constantes arbitrarias M et m , pro intégral! 
compicto sunt habendi, 

§. S. His praemissis statuamus, comraodioris calculi gratia, 
zzzz2t/, atque ex aequatione 1 — 2yv — vv :=. pro . i; nascuntur 
duo valores : 



^= — y --{-]/ 1 -h yy ; 

3o 



Suppl. aux Mémoires de P^caâ, 



234 

quem utruraque seorslm tractabim us. Primo igitur sit 

cujus difFerentiale 

V 1 -i-yy 
si in priori expressione , supra §. 5. pro — inventa, svibstituatur, 

fiet 

3t Zndy y^y 

t j/i-i_3ô' ' 1 -h 7> 

Ex valore autera pro dv modo tradito sequitur fore 

dy 9 ;" dv 

Vi-^yy — y — V i- -+-yy v 

Ha. ut habeamus 

dt 2ndv ydy 

T V 1 -\-yy ' 

trnde sumtis integralibus emergit 

ltz=: — 2nlv — ly i -i-yy -!- /M. 

Erit igitur si ad numéros resurgamus 
^_M^_^ et 
Vi-hyy 

Vi -^ yy 

5. 9. Simili nunc modo etiam tractanda est altéra radix 
u aequationis 1 — 2yv — vv ::iz 0. Calcuio autem supersedere 
possumus, scribendo tantum u loco v et m loco M, quo facto erit 

, mu— ="■ 



mu' — »" 



Cum autera sit «i; nr — 1, ideoque nzz: — v ^ valores isci trans- 
rautabuntur in sequentes : 



V i-\-yy 

S~ =. 

V l+yy 



Î235 

Evidens enim est potestatem parem v'"- signo positive fore affectara 
potestatem vero imparem ir^ ^ signo negativo. 

^. 10. Quod si nunc ex his binis inlegralibus particularibus 
intégrale completnm secundum principium §. 7. expositum compona- 
mus, habebimus 






V i -+-yy 



V i-i-yy 

quae foi'itiulae si accommodentur ad casum z ziz , pro quo fit 
î/ z^ et V zzz i , tum vero ^ :=i 1 et t =z , sequitur hinc iîeri 
debere M — m~ 1 et M-|-m^O, unde conctuditur fore M — | 
et m z:^ — l , ideoque 



2 V 1-i-yy 



2 V i -h y y 

ita ut siimmae serierum propositarura jam penitus sint determinatae. 

§. 11. Tantum snperest ut loco v et y quantitatem x resti- 
tuamus. Hune in finem ex valore yz:z.^z(,^. 8.) quaeraraus primo 
denominatorem 2-/ i ~h yy :zz ]/ 4 -\- zz , qui ergo, ob zzzz:-—- 
(j- 10, erit 

2/1 -h yy 



V 1 ~\~ X 

Tum vero ob v ^z. — î/ -f- ■/ 1 -f- 2/2/ (§• 8.) erIt 
v——iz-^i y/4-j-zz, 

ita ut, ob x^z^z' — ^zy A~\-zz, sit v^z:r.i-\-x et f m/l --l-a.-, 
quibus valoribus substitutis summae quaesitae serierum propositarura 
ita se praebent expressae : 

30 * 






236 

2 -\- X 

(1 + a:)i — " — (1 4-0:)^ + '^ 
2 -+- a; 



S. 12. Haec quidem postrema summatio seriei t ab Euleriana 
ratione signorum discrepare videtur. Intérim tamen, quod et nostra 
rite sibi constet, statirn inde patebit, quod fiât 

ut in fine §'. 1. postulabatur. Ex conditione enim zzzn-^-j^ sequi- 
tur fore tara - =: -h (1 + a;)5 quam * = — (1 -\~ x)^ . Ex 
posteriore vero valore nanciscimur 

a — a ' 

quod, cura valore 

(1 -(-x)"-|-(i-f-x)' — " 

^ • 2 -H K 

conjunctum, dat 

c -4- f - — Ct + ^F + (l-}-«V^" =!(. 1 + xT 
uti requîritur. 

\. 13. Ceterum cura sit ex §. 1. 

posito, ut modo fecimus, -=i — (l-f-^)^ (§• 12.) quoque habebimus 

(1 -i-a;) — »=z*4-f (1 H-a:)— J, 
a qua potestate si prior (i -f-a;)+" subtrahatur , remanebit 

(1 4-a;) — 'i — (1 -l-a;)-+-''Z3l<(l -f- a:)— ^ .4- i (i _j_ a:)+-» 
unde statim sequitur fore 

(1 4-37)—" — (1+3^) +" 

^~ — 4-T. + (l+^)' 
(1 -f-a;)î 



" 237 

sive ductis numeratore ac denominatore in (1-4- a)' , erit 
(1 _|_.r)'^-" — (1 -l-:r)'^ + '' 






2 



—1— X 



unde poiTo, ob * nz ( 1 + .r) " — t (l -+- x) ^, nanciscimur 
qulbus denique ad eundem denominatorem revocatis emergit 

* — 2 =r^ 

prorsus ut supra. Haecque solutio utique est omnium facillima, 
jta ut non opus fuisset ad aequationes differentiales confugere, nisi 
methodus ipsa has aequationes tractandi, et exeraplum magistri, sua- 
sissent rem etiara hac via aggredi. 



238 

IV. 

DE 

VALORE FORMULARUM 

fx"^ 'àxe— "■ « sin (3a; et fx^ dxe~ " « cos <^x 
SI INTEGRALIA AB «rrO AD xzzzi USQUE EXTENDANTUR. 



Conventui exliibita die 22. Aug. ISIO. 



Ç. 1. Haec ambo integralla jam prldeni a summo quondam 
Geometra , nostro L. Eulero , et quidam pro iisdem integrationis 
terminis , determinata fuere : reperiuntur ea in Tomo IV, posthumo, 
Institutionum Calcul! integralis , pag. 3 42. Pro iis investigandis 
hujus integrationis auctor Imaginariis usus est , ideo inquit , quod 
methodi minus insolitae calcules non parum molestos requirunt. Inté- 
rim taraen cum ipse non ita pridem similes formulas tractassem, 
eorumque integralia, intra praescriptos termines contenta, investigas- 
sem (*^ , postmodum methodum in hoc negotio adhibitam cum omni 
successu, et sine calculis admodum prolixis, etiara ad formulas binas 
in titulo expositas applicare mihi licuit. Placuerat quidem mihi 
mira simplicitas solutionis Eulerianae, et persuasissimum mihi habeo 
eara nemini lectorum displiculsse ; nihilo tamen minus et meam heic 
exponei-e minime dubito. Neniinera enim poenitebit problema quale- 
cunque jam solutum iterum aliter solvisse, cum id variis raodis prae- 
stitisse scientiae intersit. En igitur meam solutionem ejusdem pro- 
blematls sine subsidio imaginariorura peractam. 



(•) Conf. Dissertatio, cui tUulus est: Demonstratio theoremattim quorimdam caL 
culum integrakm spectantium. Tomo IV. Mémoires de 1 Académie etc. 
inserta. 



239 

§. 2. Consideretur haec formula 
V =z: 07" e — "* (A sln (3x -+- B cos j3j7> 
quae scilicet ita est comparata ut evanescat tam casu x m quam 
posito X :zz oo. De priore valore id per se est manifestum ; quod 
alterum attinet, ponatur x zzz oo -\~ 1 eritque 

a;" =: oo" + I oo" — 1 + ^"=^ oo" — 2 + etc. 

^ 1 "^ 1 .2 1T2 .3'''' 1....CD 

ergo a.". e-«^z:z^-^:^±P~^-^^^^ hoc est V z=: posito a^ziroo. 

Hinc tamen excipiendus est casus quo ?î:izO, quem igitur infra §. 7. 
seorsim tractemus. 

§. 3. Differentiemus jam formulara illam V, atque habebiraus 
C nx^~ ^ 3 xe~"-^ (A sin j3x + B cos ^x) •\ 
3 V =r -^ — (Aa + B(3) a;"e-"* 3,r sin p^? C 

( — (Ba — Ap) a;"e-"^ 3^7 cos (3a; > 

Jam quonîam quantitates A et B sunt arbitrariae, sumamus A zr: a 
et B zz: (3 ut sit Bx — Aj3 z=: atque habebimus 

^ ^ na;" ^ 3a:e~"* (a sin (3r — /3cos|3ar) 



C na;" 



(aa + (3(3) a;"e- «^ dx sin j3a7 ) 

cujus intégrale igitur ab xzzzQ usque ad a^zzioo sumtum débet esse. 
V zz i\. 2.), unde sequitur fore 

nfx^ ~~ ^ dxe "* (a sin (3 a; -4- (3 cos (Sas) ) 

— iaa. -\- P(3)/:r"e— "" Dx sin (3a; ) 

si scilicet integralia intra praescriptos terminos sumantur. 

§. 4. Discerpatur jam prius membrum, in duas partes, ponendo 

/x" — 1 dxé~ «'^ sin (3a7 =: M 
/a;" — » 3a;e— "* cos(3ar zz: N 

atque aequatio nostra erit 



240 

„a M -f- fifSN — iact. -f- i^i^-) fx^ dxe— "^ sin (3a; = 
Ponatur autem brevitatis gratia aa -4- P(3 r= /7 et - =1 tag. y , ita 
m sit a z=/cos y et (3 =:/sin y > eritque 

y^a;'' d a; e "^^ sin pa: =::= — ,— *- . M -\ j^ . N. 



S. 5. Nunc autem pro învesliganda altéra formula simili 
■modo statuamus A zrz (3 et Bz=z — a, ita ut fiât Aa + B ^ = 0, 
tum enim habebimus : 

( nx^ ~ * dxe~ ^^ (j3 sin ^x — a eus (3a;) ) 
( 4-(aa4-p(3)a;"e-«'^ôx-cosj3a: ) 

unde poslto pro terminis integrationis siabilitis V zz: , habebimus 

n(3M — 7îaN -\- fffx^ dxe—"-* cos (3 a: :=: 
unde sequitur fore 

fx^^xe ** cos (3a; ni — j— . IV ~- . 1\I. 

S. 6. Quod si jara consideremus sequentes valores intégra- 
les ab X zr: usque ad x zn: 00 exlensos : 
fdxe— "* sin j3a; r= 53Î 
/o^^Ôie— ='* sin pa; z=i m.' 
fx^dxe— «^ sin (3.r z= Sn''' 



/a;'*5are— "'^ sin (3a; = ^Oî^") 
tum vero 

/ôa-e— «==cos (3a;=igfî 
yx'5a;e— «'^ cos (3a; m Sfî'' 
fx^dxe—<^ cos (3a: r= 9Î''' 



fx^'dxe— «« cos (3a: zz: 9î(") 



241 

modo vidimus inter quantitates istas 2K ci 9i semper hujusmodi 
relationem locum habere, ut sit 



^''= 



W''': 



// 2 . cos y 

3 . cos 7, 



m'- 



v/ 



4- 






çjjj(n) __ n;_co£V ç^(„ - -f- !LJ'il}' J^C" - 1) 



siniilique modo 

9^''''':= 



-7—^ J- 

3 ■ cos y çrt// ___ 3 . sinV 






ç,^(„)__, n_cos7 5^(1-1) _ ^'"12 ^OîC"-!). 



î:|* 



6.). 



\. 1 . Incipiamus nunc a formulis , de quibus supra \. 2. 
diximus eas seorsim esse evolvendas , scilicet : 

5)î m fdxe- ""^ sin ftx 

5Î zzz fdxe- '''' cos (3j 

Pro inveniendis his valorJbus in usum vocemus Lemma notissimum: 
/P3Q ::= PQ _ yO^P, ponendo pro formula SDî, P:=rsinj3:r, et pro 
S^î , P rzz cos ^07 , pro utraque vero dO. ==: ôare" "* , hocque facto 
invenieraus 

'm = — 1 e— «* sinp.r + | 9Î 



5^.= i-- ^e-«^cosp,r --- ^m, 

addita scilicet in postrema constante - , quoniam intégrale sumitur 

Q I 

Suppl. aux Mémoires de TAcad. 



242 

a termino xz=. 0. Pro altero jam integrationis terraino x z=. 00 erit 



m =: i^ 



unde fit 9Î = ^^;^p et 501 = j^r|:^' 

Supra autem (§. 4.) jam posueraraus 

aa + (3(3=:^, a=/cos7, (3=/sinY 
quibus valoribus jam hic introductis erit ab a.' iz: ad x ZZZ 00 

3Î =: /dxe—<^« cos^x — ^ 

§. 8. His autem jam valoribus hoc modo inventis facile repe- 
rientur sequentes ope relationum supra §. 6. traditarum ; 

çn\/ 2 sin7 cos 7 sin 27 

JJt jf -j^ 



m' — 



cos'y^ — sin7^ __ cos2Y 

■ If — ~7f~ 



§. 9. Quod si hoc modo uUerius progrediamur pro fortnuhs 
^V^ et 9Î^'' reperiemus 

«yj// 2 (sin 27 cos7 + cos2'y sin'V) 2 sin 37 

^ — J3 — -7^ 

nçy/ 2(cos27cos7 — sin 27 sin 7) 2cos3 7 

tum vero pro formulis 3?î'^'' et îfl''''^ nanciscimur 

«v,/// 2 .3 (sin3 7cos 7 + cos37sin7) __ 2 . 3 sin 4 7 

JJi - f* j> 

çf\/// 2 ■ 3 (cos 3 7 cos7 — sin 3 7 sin 7) 2.3. cos47 

Jt ^* _ ^. 

Pro m" et 5R'" fiet 

•,1V 2.3.4 sin 5 7 



53r 



2.3.4 cos 5 7 



o-v»v 2.3.4 

unde jam concludere licct fore in génère 



243 

«^^f„) 1 ■ 2 ■ 3 . 4 n . s in (n -+- l) 7 

vji^ ' — 7""*" ' 

çnÇ^n) 1 ■ g • 3 . / ( . ■ . . . n -c osCn-f- 1) 7 . 

§. 10. Quod si nunc brevitatis gratia ponamus i.2.3. i....n~A, 
tum vero, loco ?i)îW et 9îW scribamus formulas intégrales his litte- 
ris respondentes, nanciscimur 

/x'^e— d^ sin (^^Cl^ll = ^^^^'^ 

quae sunt integralia nostra quaesita, quae cum illis ab Eulero loco 
citato inventis perfecte consentiiint. 

§. II. Quod si nunc porro istam solutionein generalem 
ad illas formulas applicare velimus, quae Eulerum quondam ad hanc 
integrationem perduxerant, et ad quas pervenerat insignis ille Geo- 
metra in solvendo probicmate de linea curva , in qua radius osculi 
ubique reciproce proportionalis sit arcui , ponendum erit x zrz 0, 
iizzz — I, a:=:o,(3zr:l, quo facto fit /zzi i , et tag y ::=z co, 
ideoque y =:: - , sin (m -h 1 ) y rz: -7^ et cos (?i -+- ï ) y n: ^ . Quod 
valorem A attinet notandum est eum in génère esse terminum indici 
ji respondentem in série 

l; 1.2; 1.2.3; 1.2.3.4; etc. 

Cum igitur hic terminus sit 

IH-ti"' • 2-hn • 3-1- Ti • i-t-n * ^ '^' 

(Conf. Euleri Inst. Cale. Dift'. p. S 34.) posito /z in — | erit 

ls.2-4 2'. 3-3 3^.4-3 4^.5-' 
A =z . . ^ , ; . etc. 

1 3 S ' 

2 2 2-2 

Sumantur jam utrinque quadrata fictque 

Aï 2.2 4./( 6.6 8. s , TT 

^ r:3-3.5-5.7"7.9" ^ 2 

quippe quod est productum Wallisii notissimura , unde porro fit 

31 • 



244 

Arr:/|. Hls omnibus rite substituas erit 

^ d^ sin (p r a$ rzi -, Vjr 

y V (p '-ad(p::^ m -' 2 

f dp cos'.p r- a <p = , Vjt 

J V<p <-adcpr= co J 2 

(Valor horum Integraliutn apud Eulerum loco citatô rcperitur ::: |/- 
ob errorera in calculum irreptum). 

§. 12. Statuatur porro ?izr:-t-J, .-r rz: Cf), ainl, (3i=l, 
ita ut /"r^ "}/2, tag. y zr: 1, hinc y ziz j , sin (« -+- 1) y zzisin y» 
cos (?j -|- 1) Y ^^^ cos -^ , A zzi ]/?: unde porro fit 

. 3Tr 

oCfinrr o -, / ir Sin 



y 2 

y 2 



ubi notandum est fore 




• 37r . , ^ . o 

Sin — Sin 57^ 


co.22.° '^^/^-^-^ 
/2 V 2 


cos Y ~ ces 6 7 4° 


Sin 221° — 1 — ;- 

|/2J/2 


ita ut habeamus 




/d(pY(pe—<Psm(p 


/tt (1/2 -h l) 

2y 2 



/ô1)î/4:e-?sin(î) 3z ^^^7r-^^- 

§. 13. Sit xrizCÎ), n^z-i, a=: 1, ^=: 1, erit/— ]/2, 
tagy— l,y = J et A~/|, hinc 

r dp e~- <P sin p p a $ =r: -, i^ -tt Cv" 2 — i) 

J / $ L a3 (j3 — - „ J -^ 2v - 

i dpe—'^ cos Cp J- aCP=0 -. /tt (^2 -f- 1) 

J y (p ^adpZ^Z 00 -I 2 y' 2 



ob sin (n -f- O Y = sin 4 = sin 221° = Ï-lJ-ZZJ 

>/2 */2 - 

et cos (n -f- 1) Y = cos ^ = cos22i° = L I ~ . 

^ ' ]/2 |/ 2 

§. 1 -4. In disscrtatione initio commcmorata varia demonstia- 
veram theoremata calculum integralem spectantia, quorum praecipua 
haec erant ; 

J^d(J) sinXcp , , ^ 

j<I>c^Cp cos"X^ • ^^^2^'^ 

dénotante functioncm quamcunque ipsius (p et integrallbus a (p~ 
ad Cj) :zz tt extensis. His Iheorematibus nunc sequens analogum 
adjico^e possumus : 

-^— ^; ^-^ = tas C7J -4- 1 ) V 

/(p'^acpe— «$ cos(3$ '^ '' 

siquidem integralia capiantur a termino x zzz aà x zzzoo usque, 
dénotante y arcum cujus tangens est -• 



246 

V. 

EXPOSITIO METHODI CONCINNAE 

INVENIENDI CUJUSCUNQUE PROGRESSIONIS TERMINUM 
TAM GENERALEM QUAM SUMMATORIUM , 

PER DIFFERENTIAS CONTINUAS. 



Conventui exhibita die, 24. Oct. 1S21. 



^. 1. Elementorum Algebrae triginta abhinc annis a me edi- 
torutn (*) Caput sextum sectionis quartae tractât de Summatione 
numerorum polygonalium, hoc est de argumento , cui innititui- enu- 
meratio globorum tormentariorum in cumulos pyramidales structorum. 
In illa vero tractatione brevitati et conceptui tjronura magis quam 
rigori mathematico consulens , induction! nimis concesseram. Post- 
modum autem disclpulis in Analjsi exercitatioribus aliam iradideram 
methodum magis directam numéros polygonos summandi , haecque 
methodus ita erat comparata : 

Pro numeris trigonalibus. 
\. 2. Designemus summam priorum n numerorum trigona- 
lium charactere /-^-g — ■< 't^- "t habeamus 

atque evidens est sumto n — 1 loco n hanc expressionem trans- 
mutari in 

yÇr.^ _ , ^ 3 ^ 6 _^. 1 -^ . . . C^-Iil" . 

(') Leçons d'Algèbre , à l'usage du Corps Inipo ial des C.idets nobles de terre. 
St. Pétersb. 1791, 



247 
Unde si haec postrema progressio aufleratur a priore remanebit 

/ n(n -f - 1) r (n — l)n _^_ n(n -j- 1) _ 
2 7 2 2 " 

|. 3. Statuatur nunc 
fn{j^j) __ ^,^3 _^ B,j2 _j_ c„, eritque 

y(!L=:i>::r:A(n- l)3_^_B(/^- if + C{n - \) 
quorum differentia dabit : 

-f- 2Bm — B 

-HC 

unde concluditur fieri debere 

A — i B — i C — 1 
ita ut summa quaesita n numerorum trlgonalium primordialium sit 

pS-±Jl — . „3 _j_ , „2 _^ ,„_,,,(,, ^ ,)(,, _^ 2) 

Pro numeris quadratis. 

§. -li. Simili prorsus modo, ut supi'a §• 2. factura est, po* 
namus 

fn^ — 1' 4- 2' -+- 3^ 4- . . . . 4- (» — 0' -4-«' 

/(«— ir 1= l'-h 2'+3'-|- -\-0i— if 

ita ut differentia harum binarùm progressionum sit 
fn' — /{Il — 1/ =: 7^^ 

ïum vero si statuatur 

y7«l= An'+Ba^ + Cn 

/(n — 1)' = A(» — 1)3 _{_BC/i— i)'4-C(//~- 1) 

cadem diflèrentia fiet 

fn" — /(/i — i^'-ziz n' =: 3A/i' — SAn + A 

H- 2Bn — B 
+ C 



248 " , 

wnde facta comparatione intelligitur fîeri debere : 
A — I B — i C — î 

ita ut summa quaesita n prlraorum numerorum quadratorum évadât 

Pro numeris pohjgonis m lateriun. 

i. 5. Ex casibus binis specialibus praemissis jam perspicuuni 
fit si suramam n — 1 primordialium numerorum poljgonorum m 
latemm, quae est 

g __^C„,^)Cn-il^-(m--4H!L-ri-Q =z 1 -4- m -f- (3m - 3) 

(m— -2^{n — l>> — (mrr-4)(n— -0 
-t— ~^ 

a summa n primorum, quae est 

S _-y (m-2)nYC"' -^ = 1 _f_ m -h (3m - 3) 

(m — 2)n» — (m — 4)t 
-» 2 



aufferamus, differentiam fore 

ç {m — 2)n» — (m — /i)n 

& S 

Hinc posita altéra summa 

S = k7i^ + B;i' -f- Cn 
altéra vero 

5 — A(/i — 1)^ -i-B(n — 1)24- CCn — 1) 

habebimus differentiam earum 

-\- 2B72 — B 

-f-C 
onde porro nancîsclraur 

ita ut summa quaesita sit 

= (-6-)" -î-i" -(—fi-)»- 



,, Q49 

§. (). Denique auditorum versatissimis in Analjsi exponere 
solebam methodum generalem ab Eulero in Jnslit. Cale. dij/'. tradi- 
tam cujuscunque pvogressionis terminum tam generalem quam sum- 
matorium investigandi. Huic melhodo tandem, quae omnes sokuiones 
supra exhibitas (§§. 2, 3, 4, 5.) et innumeras alias, tanquam ca- 
siis maxime spéciales, in se complcctitur, aliam substitueiam, qiiae ope 
idonei symbolismi , viaque magis directa ac commodfi ad formulas 
non solum valde simplices sed eliam applicationibus admodum accom- 
modatas perducit. IJanc jam postremam methodum, a nemine ad- 
huc , quantum mihi quidem innotuit, adhibitam neque in iucem pro- 
latam heic bieviter exhibera in animum induxi. 

METHODUS GENERALIS 
cujusque progressionis tei'minum generalem et summatorium 

investigandi. 

5. 7. Cardo rei hic versatur in eligendo idoneo modo signan- 
di uncias potestatum binomii. Cum autem praeter svmbolismum ab 
Eulero in postrerais suis disscrtaiionibus de proprietatibus harum 
unciarura summo cum fructu in analvsin introductum nullum invenis- 
sem nostro negotio magis accommodatum , in sequentibus utar cha- 
ractere (^) ad indicandum coëfFicientem tei'mini post primum À"" in 
potestate ni"" binomii evoluti, ita ut sit 

1 m — 2 771 — A -I- 1 

~3 ■ • • • ~. ■ 






§. 8. Quod si hic loco m et X scrlbamus . »i — 1 et 
X — ^ 1 , erit 

/Wj— -^In m 1 771 2 771 3 771 X-f-1 

U — i) 1 • ~~2~ ■ 3 • • ■ • X — T" ' 

et si uti'inque multiplicemus per ^ , liabcbimus 

m /m 1\ 771 771 1 771 2 771 X -+- 1 

X \À l-* 1 ■ "C^ ■ 3 ■ • ■ ;, 

undc intelligitur fore 

I. (T) — r- (."i^O 

SuVfyl- ùux ATrmoires de r Acad. ^ -^ 



25o 

§. 9. Simili prorsus modo si in expressione illa fundaraen- 
tali §. 7. exhibita, raanente X invariato, loco m scribatur m -- 1, 

piodibit 

/m — K ___ «i — * ™ — 2 m — 3 m — X -4- 1 m — X _ 

l.— X— ; — 1~-~2~'~3 X — 1 • X, 

Supra autem §. 8. vidimus esse 

, m — In m — l m — 2 *t — 3 <t — X ->- 1 

(\^^J ~T~ •'~~2 • 3 X — 1 

unde nanciscimui' ha ne relationem : 
qua a superiore I sublata remanet 

I - II ^ (f ) - c^-i) =r (^^1) . 

\. 10. Cum autem (^^-^^) oviatur ex (y), si loco m po- 
natur 7fi — 1, quaeiendus est valor /": »i ita comparatus ut évadât 

atque ex praecedentibus evidens est foie y":jnnz(^). (Teneralius 
quideni statui poteilt f : m zn. (^) -f- C , ubi constans C quovis 
casu débite eiit deteiniinanda. Veluti si, ut nostro casu requiiitur, 
functio debeat evanescere posito m zz: , erit quoque C zz: et 
f:tnzzi(^:A uti statim posuimus. 

^. 11. His praemissis proposita concipiatnr progressio quae- 
cunquc 

S zz: a-\-b-^c-{~d-\~ s, 

cujus terminorum numeius sit datus nz n, existente termino postre" 
nio seu generali rz: z et summatorio zn i' ; et quacstio eo redit, 
ut ope datorum terminorum a, b, c, d etc., una cura numéro eorum 
n , quantitates incognitae s et * determinentur. Huno in finem 
sumantur differentiae continuae, sitque séries diflerentiarum 



25l 



i arum 


«', 


i, 


e", 


cl. 


etc. 


2 arum 


a": 


//^ 


^^ 


cV\ 


etc. 


"arum 




//-, 


0'", 


d''\ 


etc. 



b' — a' 



a 



/// 



— b'' 



b''' — 



y/ 



etc. 



a'' 



etc. 



et ita i:>oii"o, at<iue Iiabcbimus 
a'^i^b — a I f/^ — 

b' z=zc — b I b" — c' — y 

c' z=.d — c j c" — J' -- c-" 
etc. i etc. 

quibus notatis videndum nunc est quoraodo progrcssionis nostrae 
propositae 

s rz: a -\- b -f- c -f- d -\- . . . . z, 
terminus generalis z et summa s per numéros datos a , t, c, J, etc. 
una cum n, investigari queant. ' 

Investigatio tennlni generalis z. 

\. 12. Repraesentetur iste termimis generalis sub hac forma: 
z ■=. af: n -\~ a' f : n ~\- a'^f^ : 72 -f- etc. (A). 

Tura vero omittatur primus terminus progrcssionis propositae , et 

cum reliquorum Z>, c, cZ, . . . . s numerus sit n — 1, erit simili modo: 

z iiz 6/': (71 — 1) H- b'f : (71 — 1) -H b''f'' : (n — D -+- etc. (B). 



/// 



et 



Cum autem sit Z> nr a -f- a' , b^ zzia'' -\- af^ , b'^ zzz a'^ -f- a 

ita porro , his valoribus substitutis , si posteriorem seriem (B) a 

priore (A) subtrahamus, orietur sequens aequatio : 

r -+. af: n -+- a'f : n -+■ a"f' : n -+- a"'f'' : n -+- etc. p 

0- }-af: (72- l)-r//': (77-1 )-<•/-'/'-': (72- D-a^V^'': (71- l)-etc.( (C). 

l — a'f: (77- 1 )-a''''f : (77- 1 )- a"''''/''' : ("- 1 )-etc. ) 

5. 13. Primo igitur ex hac aequalitate sequitur fieri debere 
f:n—f:Oi— 1)=: 0, 
unde intelligitur fore f : 77 quantitatem constantem . Quoniam au- 
tem in progressione proposita , posito n z^ l , fieri débet zzzici 

32 • 



252 

(§. 11), evidens est hanc constantein fore ipsam unitatem, ita ut 
habeamus 

f:n-z=.i et /: (n — l)n: 1. 

§. 1 4. Secundo evanescere débet coëfficiens ipsius a'' in 
aequatione illa (C) , unde sequitur fore 

/ : n—f: (n — 1) — /: Qi — 1) rz 0. 
Est vero/:(n — 1)^=1 (§. 13.), ideoque 

/' : „-/":(„_ 1) - 1 =z (^-J) (§. I a.), 

unde concluditur fore X z=: 1 , ergo /*" : 7/ n: (— ). Quoniam autem 
in termini generalis forma ficta §. 12, scil. 

s :^z: a/: n -f- a'/' : n -f- a''-'/'''' : n + etc. 
coëfficiens secundi termini /'' : « evanescere, débet sumto /jcr: 1, 
erit 7n rr: ?i — 1 et y' : n z= (") ::=: C^-j— -), ideoque 

/-.(n-l)=: (î^-i). 

§. 15. Tertio evanescere débet coëfficiens ipsius a'''' in aequa- 
tione illa (C), hoc est fieri débet : 

r^ ..n-r-.in- i^—f-.in- 1) = (^-^) (§. 14.) 
unde ex §. 10. sequitur fore m zrz }i — 1 et 'Kzzz2. Erit igitur 
/y^„—(}=r-l), hinc 



§, 16. Quarto in aequatione (C) evanescere quoque débet 
coëfficiens ipsius a"'', unde fluit conditio 

/v/ , „ _yv./ . ,„ _ ^) _^./ . (,^ _ j^ — (iLr-J) (^. 15.) 

Ex §. 10. vero sequitur fore m ^z n — 1 et X zz: 3, ac proinde 
§. 17. Quod si has operationes uiterius prosequamur, reperie- 



253 

mus simili prorsus modo coëflicientes terminorum a", a", a\ etc. i>io- 
gressionis (A), qui erunt /'": ;i nr (^^^ );/":« =iz ('-^—) et ita 
porro. Hinc tei'minus generalis quaesitus progi-essionis propositae erit 
z = a 4- (-1^) «" 4- (^-) a- + C~) c<f'' + etc. 

Investigatio termini suirunutoru s. 

^. IS. Hic rem brevius expedire licebit , quoniam in piae- 
cedente articulo jam omnia fusius sunt explicata et ad scopum 
piopositum praeparata. Ponacur, ut supra §. 12. pro z fecimus : 

s =z a/: Ji -4- a[f^ : ii -|- a'"'/''" : n -+- etc. , 
ubi noteiur sumto ;? rr: fore etiam x zzz 0. Rejecto jam in pro- 
gressione §. 11. proposita termino primo a , reliquorum numerus 
est 11 — 1 , surama vero ^ — a , pro qua ergo habebimus hanc 
seriem : 

s — a=zbf:Oi-^i)+ b' f : (n - 1) -<- b"f" \ (« — 1) -t- etc. 
Quod si in hac série loco 6, b\ b'\ etc. valores ante §. 12. dati 
scribantur eaque a Série s aulFeratur, remanebit 

C -\~ af: n -+- aff : n -+- a^^f^ : n -|- etc. . ^ 

a =z: < — a/:(n — 1) — a'f:(ji— 1) — a^'f'\in — 1) — etc. V . 
( — ay-.Ç?!— 1) — a''''/:(?2— 1) — etc. ) 

§. 19. Hinc sequitur /jyimo esse debere /: n— y: Oi — 1)=1, 
unde /: n :=i (7-) et /: (/i — 1) z^^^—^. Porro sequitur secun- 
do fore f : n - f : (n - 1) — /: (,z - 1) — (^-^) = (^) 
(§. 1 0.) ergo m zn n et À :zz 2 , hinc 

/:» = (!) et/-(n- l)-(!i^J). 
Tertio débet esse 

yv : n-r : (" - D ^^ : (n - D =: (^) = (^2^^, 
unde l/^ =r /j et X :=z: 3 , consequenter 

Z^'' : « - (;■) et /- : c« ~ 1 ) = ^ - 



254 

Simili modo invcnietur 

et ita porro. Summa igitur nostrae progrcssionis pioposilae eiit 
. = e a + e a' + (1) a- + Q à^' 4- etc. 



Ç. 2 0. Inventas jam has expressiones genci'ales pro termino 
gcneiali et summatorio datae progressionis operae prelium erlt ad 
alicjuot casus spéciales applicasse , idque duplici ratione , primo ut 
Veritas eariim clariiis elucescat , tum vero quo melius intelligitur 
quantopere eae ad hujusmodi applicationes accommodatae sint. 



APPLICATIO 
harum formularum ad aliquot casus spéciales. 
1) Ad numéros polygonos. 
2 1 . Cuni in progressione horum numeroruin difFerentiae 



secundae dcbeant esse constantes et aequales numéro laterum bi- 
nario minulo , erit progressio : 

sznzl -f-7n-4- (3m — 3)-|-(6»i— 8)-|-(10m— 15)+...H-z 
cujus quaeramus terminum generalem z et summatorium j ope for- 
mularum generalium supi-a §. 17. et 19. exhibitarum , ^equentem 
in modum. Cum sit 



p «'' r:: 7n — 1 
I y z=: 2m — 3 
c' zz: 3m — 5 
d'zzz Am — 7 
etc. 



a 



y^ z=m — 2 
c' zizm — 2 
etc. 



y — 

etc. 



«= 1 

h zziz. m 

cziz 3m — 3 

é7= 6m — 8 

enz iOm — 15 
etc. 

liis valoribus pro a, a'', a", af^' substltutis in expresslonibus pro s 
et s supra inventis nanciscimur : 



a'^ zzzm — 2 



ZZZ 



255 



s z= 1 -h (« — i ) ('" 

, n(Tt — 



0-|_(lLZLlH:LzrA\,„__2); 



(m — 1) 



n (?t — l) (rt- 
6 



(;;i — 2 ) ; 



qiiae expressiones , facta evolutione ordinatisquc toiminis secundum 
potestates ipsius «, abeunt in : 

(m — 2) n' — (m — /() n 
Z = 2 

(m — 2) 3 , , 2 /m — 5\ 

S = ^—^- ti^ -h I n - (-g - ) n 

prorsus uti §. 5. fuerant inventae. 

2) ^<i numéros quadratos. 

§. 2 2. Pro progressione numerornm quadratorum habebimus 
az= 1 
6z= 4 
e:= 9 
dzn 16 
e:=25 
etc. 
Hinc terminus generalis erit 

z=l -+-3(n- i) + 2 ^'-^y- =i-^ = n' 
et summatorius 

quemadmodura etiam supra §. 4, erat inventus. 

3) ^<i numéros cubicos. 
\. 2 3. Pro progressione horum numerorum habebimus 



a' 3 


a'' — 2 


a'^^ — 


b'—b 


b''—2 


b''' — j 


c'—n 


c''=z2 


etc. 


d'—9 


etc. 




etc. 







a =: 1 S a' =z: 7 

6 =: 8 I £' =: 1 9 

dz=z6i \ d'=^6l 



e zzz 125 
etc. 



etc. 



a 



zi: 12 

&''' z=: 1 8 

c'''= 24 

etc. 



a''' = 6 

6^'^ — 6 

etc. 



etc. 



q56 

unde substiiutis in formulis generalibus pro z qi s inventis valori- 
bus a, af, a" ^ a"' prodibit terminus generalis 

^z= 1 + 7 C-=~) + 12 C-Y-^) + 6 (:Li^J) ~ ,,3 

et summatorius 

.^e + re^ 12(1-) -4-6 ©:::.:ii(:^-i)!. 

4) ^rf numéros biquadratos. 

^. 2 4. Pro horum numerorum progressione differentiae ita 
se habent : 

b'zzzdB 16'''— 110 

rf'rizSôg irf''' = 302 
e' zn-àl { I etc. 
etc. i 



b'" =18 4 
c"' =: 1 8 



etc. 



6"'ir:24| etc. 
etc. 



«=z 1 

6::^= 16 

c =: 8 1 

J :=:: 2 5 6 

cr:c 625 

f^z 12 9 6 
etc. 

quibus valoribus rite substitutis terminus generalis elicitur sequenti 
modo expressus : 

^::^l^l5C-=i)^.50C-:^)-^60('i^)-^24('^J):rz;z* 

terminus vero summatorius ita : 

.= (!)+ 15(1)4- 50(1)+ 60(1) -H 24(1), 

quae expressio reducitur ad hanc formani : 

, 6n« -+- iSn' -4- lOït' — n 

^' — 30 ■ ' 

sive per factores ad hanc : 

^ n(n -)- 1) 1,2 )1 -H 1) (3n- -u 3n — 1) 

31) 

Hinc sequitur si summa 7/ primorum numerorum biquadratorum di- 
vidatur per summam n numerorum quadratorum , quotientem ex 
hac divisione natum fore —i • 



g:)7 



c^rz: 10 
etc. 



a'' =3 

c"~ 5 
etc. 



a"' — 1 
h"' = i 
etc. 



a"=0 
etc. 



6) j4d numéros qui sunt aggregata TrigcniaUum, 

\. 2 S. Hic jgitur progressio, cuju8 qnacritur terminus g«n«- 
ralis et sumtnatorius, haec est : 

sz=. i -t-4-}-10-H20+35 s 

unde sequitur foi'e 

o= 1 

fc= 4 

f rr: 10 

J^Z 20 

ciz: 35 

cic. 
Hinc autem substituendo assequimur 

z =Z 1 + 3 C-^-i) + 3 ("-7-1) -^ 1 c-7i) 

. = 1 (-^) + 3 a) + 3 e + 1 © 
qui valoies, facta. evolutione, sequentes induunt formas; 



7t (it - 



•l)(rt-)-2) p^ 

— 6 — L 

n(rt-H)(n-H2)(n-4 -3) 

24 



Sitppl. fiux J\Téinoires dt tjicad. 



33 



258 

VI. 

RESOLUTIO 

DUARUM AEQUATIONUM DIFFERENTIALIUM SECUNDI 

GRADUS. 



CoiiveiHui exhibita die 2,i. Febr. 1819. 



§. 1 . Aequationes difFerentiales secundi gradus , de quarum 
resolutione hic disserere constitui, ita se habent : 

T ddx dx 

IL ,^,z:-l-a.u|f. 

Ad hujusmodi aequationes perducit solutio problematis ballistici, si aè'ris 
resistentia ut constans spectetur, denotantibus scilicet x et y coordi- 
natas obliquangulas, s ai-cum percursum tempore t in curva a pro- 
jectili descripta, u celeritatem ejus elapso tempore t acquisitam, dt 
elementum temporis , quod constans assumitur et a multiplicatorem 
constantem pendentem a pondère et dlameiro globi, a densitate ma- 
teriae ejus aërisque, ab altitudine oeleritati débita, etc. Hic autem 
animum a phaenomenis motus penitus abstrahendo problema tan- 
quam mère analyticum spectabo et considerationes nonnullas ad 
quas resolutio illarum aequationum perduxit, breviter exhibebo. 

§. 2. Ouod ipsam resolutionem attinet , ea sequenti modo 
commodissime absolvitur. Ad primam aequationem in ^a; ductam 
addatur secunda ducta in 9?/, prodibitque 

T :\ 1 TT -s dxddx-hdyddy ^ . auu (dx' -i- dy') 

I. dx~\-U.dy — ^^^—-dy Sr- — 

Est vero dx" ~j- dy' z=: ds"^, d^^ddx -f- dyddy = dsdds et u z^ ^^ , 
quibus substitutis fîet 



25g 

^^^•^ 2gdt' "^ dt' 

Deinde si a secunda in dx duc ta aufleratur prima ducta in dy, 
habebimus 

II. ^x —i.dy — j^. — — dx. 

Quodsi nunc in III. ponatur a in: ^ , ea in hanc abit formam : 

!"•) -liS^ z=z- dy 

atque nunc ex hac postrema aequatione , una cum 

IV ) dxddy — 
:gâi 
solutionem peti oportet. 



'■^•^ ^iàf' ^ — Ox 



Ç. 3. Introducatur hune in finera inclinatio curvae ad ho- 
rizontem, quara vocemus <P, eritque 

dx :zz ds cos (J), dy :^:: ds sin (J) 
quibus valoribus una cum suis difFerentialibus , in aequationibus III 
et IV substitutis , prodibunt hae novae aequationes : 
V.) '-^^i^ =— sin0, 

VI.) |g rr: - cos (p. 

§. À. Harum aequationum si posterior , in sin (P ducta, 
aufleratur a priore ducta in cob 0, prodibit 

V. cosCb — VI sin CD =^ 9a^c°s4i-3^a(&8mtp + |33^'cOsO __ Q 
T- f 2gàt* 

Dividatur per ds cos Cf) eritque 

■di - -L$- -h ^^s — 
cujus intégrale est 

Ids -+- /cos0 -I- (3i n: const. = yldlj 
quod etiam ita repraesentari potest : 

IdscosCP — Idt := iy — l)ldt — fSv , 
(ob dt constans) , sive etiam ita : 



Z èL^ = ZC -4- le-P^ 



33 * 



26o 

ita ut habeamus 

3£cos$ — f, — p , 
~~5T" — '-^ 

^^ 5. Ex hac jam aequatlone quaeratur dt, quo invente erit 

tta ex aequatione VI habebimus 

^MlZIÎI h- cosCb =r 

unde concluditur fore 

ase^ ;;^ _a$ 

f COS(J)' 

hincque integrando adipisciniur 

ggP^ — _ f J_<^_ 

sive , postremo membre quoque actu integrato habebimus 

^. 6. Hoc modo resolutionem aequationum propositarum 
perduximus ad aequationera in qua quantitates variabiles sunt sepa- 
ratae , cujusque ope * per Cf) facile innotescit , cum sit 

Difficile autem foret ipsum angulum $) per arcura * determinare. 
Quo hoc praestetur sit Wj- ^=^ — s ita ut dz zzz — ^ et facile 
nunc erit pro functione quacunque anguli 0, veluti pro sinCj), sé- 
riera invenire secundum potestates ipsius z procedentera , quemad- 
modum ex solutione sequentis problematis patebit. 

P r b 1 e m a. 

5. 7. Sï fucrit dz rr: ^ — ^ et ita integretur ut fiât =2 <^ 
suinto z zrz 0, invenire seriem secundum poleslatcin ip- 
sius y procedentcin quae exprimat valorem sin Cf). 



26l 

s 1 u t 1 o. 

Statuamus seriem quaesitam esse 

I. sin (p r= A + Bz ^ C;' + D^' -\- etc. 
Sumantur ejus diff'erentialia, pilmum, secundmn , tertium , etc. et in 
quavis differentiatione loco ^ scribatur cos Cf)^ , quo facto reperien- 

tur sequentes séries : 

IL cos (p'' — B -h 2C3 -4- 3D2^ -f- ÀEz^ -+- etc. 

Iir. —4 sinCÎ)cos (p6=:2C-H 3 . 2D:3-+- 4 . SE^^-t- 5 . 4Fs'-+ etc. 
IV. cosCÎ)'*(2 4 — 2 8cosCp')=3.2.1 D-h 4.3. 2E3-+- 5.4.3 F^'-i- etc. 
V. sinCÎ)cos(î)"'(— 8.2 4-h1 0.2 8cos(î)";-4. 3.2,1 E+ 5.4.3. 2F3-+- etc. 
etc. etc. 

Ponatur nunc in singulis :; rz: et quia tum fieri débet (P zzz^, fîet : 
Ex I. A :^ sln ^ 

— II. B=:cos<>;'^ 

— III. C :— — 2 sln ^ cos <^^ 

— IV. D = cos 4"^ (4 — '/ cos 4") 

— V. E — sin^cos^'Vs — l'cos^-) 
etc. etc. 

Hinc si fuerlt ^ zzz , erit A.z^O, B:=z l, Cir:0, D zzz — î, 
E zz: 0, etc. 

P r o b l e m a g e n e r a l i u s. 

Ç. 8. Si fuerit x fuiictio quaecunque ipsius x, qiiae poslto 
X zzz p abeat in P atque ponatur s m X — P ita ut z 
evanescat posito XzziP, invenire seriem secundum potes- 
tûtes ipsius z procedentein^ cujus summa sit functio quae- 
cunque data ipsius x, quain vocanus (|). 

S 1 u t i o. 

Statuatur séries quacsita 

O =: A -I- Bc -f- Cs' + Di^ 4- etc. 
cujus co efficientes A , B , C , D , etc. debent esse certae functiones 



202 

ipsius p. Quod si autera p ut constans spectetur, ob z =r X — P 
erit 9z z=:l)X. Jam haec scries differentietur , ac dividendo per 
"dz ZZL dX habebimus 

9* -— B 4- 2Cz H- 3Ds^ + 4Es3 -4- etc. = O' 

Simili modo procedendo erit 

^*' =: 2C -H 3 . 2 Dz 4- 4 . 3 Es' -h etc. = 0^^ 

^zr: 3 . 2D H- 4 . 3 . 2Es -f- 5 . 4 . 3Fs' -f- etc. — 0'^ 

dX 

et ita porro. Ponatur nunc s = 0, et cum hoc casu fiât X zn P, 
abeat (^ in II; eritque ex série prima A =z II. Si porro valores 
q)\ ^'\ CD''", posito X zzzp abeant in 11^, II"', 11^"^ etc. ex se- 
cunda aequatione, posito z rz: 0, fiet 

Simili modo erit ex tertia série : 

tum vero ex quarta : 

■^ o T) — rf'^ __ ?Hl' — 2 — 

3 . J U H gp -^ 9p 

et ita porro. Hoc igitur modo coëfRcientes seriei quaesitae pro O 
sunt determinati ; erit enim 

et ita poj"ro. Hanc solutionem generalem aliquot exemplis illusti'abo. 

Exemplum 1. 
|. 9. Sit X :zz a:, ideoque x zn p -i- z. Hinc erit 
A=:n, B=:^-;, C = f ^ , ^ = ^,^ etc. 
Unde si sumatm- (^ ■zz x'^ zn (p -{- zy erit Ilzzzp^, ergo 
^—P\ 



263 

p nÇn — 1) ,^n — 2 « 

<- 1.2 /^ 

■n n(n — l)Cn — 2) „ _ 3 

■^ — — rrï~3 ' 

etc. etc. 

Hinc aiuem sequitur fore 

Exemplum 2. 

§. iO. Sumatur $ :z:: e^ =: eP-+- ^ , eiit Uz:zeP. llinc 
autcm fit 

A=:e^B = f C=:,4,D=:z^-3.etc. 
consequenter erit 

ef-i- r= ef[l -h ^ + ^ -f- ^'-^ etc.] 
quod cum notissiraa summatione, aeque ac praecedens excmplum egre- 
gie convenu. 

E X e m p 1 u ni 3 . 



5. 11. Sumatur O :=: a: ziz ]/;?" + 3, positoque s izi: abit 
O in n:iz/y, unde fit A:z:/j, et B zz: 1 ; tum autem omnes se- 
quentes C , D , E , etc. prodirent m , quae solutio veritati non 
foret consentanea: genuinam obtinebimus, si notemus hic poni Xzrjf", 
ita ut Fzzzp^, hinc 3P z=z »/;" ^dp ; tum enim, ob a;" n; /;" -j- s, 
hoc est X rz P -h Z (§.8.) erit =: a; :zz Y p"" +~s. Valores 
autem coëfficientium A, B, C, D, etc. nunc ita reperientur expressi: 
A — p, 

— ap — np^— • ' 

ç (5B (n — 



23P 2nnp*"- " ■ 

i-v ^ _, (n— 1)(-^— 

3âP I" 2.3/!-' f '" - 1 

etc. etc. etc. 



264 



Erit igitur^ ut jam aliunde constat : 

P r b le m a inversum. 

L 12. Proposita hac série secundum potestates variàbilis z 
procedente : 

A -4- Bs 4- C;5^ 4- Ds3 _|_ £3* 4- etc. 

t/6i A est functio quaecunque ipsius p, sequentes autem 
littcrae ex praecedentibus ita dejiniuntur ut sît 

existente P functione data ipsius p, invenire summam 
Jiujus seriei. 

S 1 u t i G. 

Sit summa quaeslta zzi S, ita ut habeamus 
S =1 A H- Bc + C:;" + D33 _^ etc. 

evilque S functio binarum variabilium p et z,~ quae posito z m 
abit in II. Erit igitur differentiando 

I. (Il) = B -h 2Cz 4- ZDz^ -I- 4Ez^ H- etc. 

Ex secunda autem deducitur 

dp .as. ._ 9A , aB ^ ac 2 , an ^3 

dp lap — apT^âp - ^^ap" ^^ap ^ -f-etc. . 

Cum igitur sit 1^ =z B , || = 2C , ^J = 3D , g = 4E , tt ita 

porro, erit 

I (|) := B + 2Cs -h ZDz' -f- 4Ez^ -|- etc. 

unde sequitur fore 

ap /a^> ^as\ 

9P ^dpl \dJ 



265 

Quod si statuamus 38 z= Mdz -+- Ndp, erit M =: (^J) et N = (||) 
ideoque M zn ^p N , hinc 

DS z=z M(dz -+- dP) 
unde integrando nanciscimur summam seiiei quaesitam 

S := F : (P + ^). 

C r 1 1 a r i u m. 

§. 13. Supra §. 8. posuimus sumto z ziz: summam sé- 
riel abire in H. Erit igitur II n^ F : P ; unde intelligitur summam 
quaesitam S talem esse functionem ipsius P-|-s qualis H est func- 
tio ipsius P. Haecque conditio nobis viam aperit valde notam ad 
solutionem problematis generalioris §. 8. datam perveniendi , quam 
igilur solutionem hic breviter ob oculos ponam. 

Alla solutio problematis §' 8. 

§. 1 4. Cum quaeri debeant valores litterarum A, B, C, etc. 
in seiûe : 

O ~ A -4- B3 4- C2;' -f- D-' 4- etc. 

nunc vero noverimus O esse debere talem functionem ijîsius P-+-s 
qualis II est ipsius P, hoc ipso convincimur fieri debere 

^ — n + âp- -1- rsdp^ 4- rnâF^ + etc. 

ita ut habeamus 

A — n, 

■D 9n dJi. 

^ — 3P — 3P' 
P 9 °n dB^ 

, D -- a^n dc^ 

1 . '2 . 3 . àP^ 33? ' 

et ita porro, qui valores cum supra §. s. inventis perfecte con- 
gruunt. 

Suppl. aux Mémoires de tAcad. ' 34 



q66 

Es e m p 1 u m. 

§. 15. Exemplis jam supra §§. 9, 10, 11, exhibiiis ad- 
jungaraus adhuc quartum notatu haud indignum , ponendo 

et eum X abeat in P posito xz:z.p, erit P n: f tg (45**-^- |p). 
Sumatur nunc (^ziigx, eritque Il^tg/j, undc cum sit dP~^^, 
habebimus pro A, B, C, etc. sequemes valorcs 

A = n == tg p , 

Tj an 1 

ii z^ K^ zzi — - =: sec p , 

a P cos p ' ' 

35 — ëâP^ = I sec /. , 

et ita pono. His valorlbus subsiitutis séries quaesita erit duplex, 
scilicet : 



O 1= tg X 



o 



+ tg /. [1 -4- i z^ + >, ^'' -+- ,*^ ^6 -f- etc ] 
-f- sec p [2 + 1 s^ + ,^^ z' :-]- ^ z" -t- etc.]. 



Deraonstratio hujus sunimationîs. 

\. 16. Operae pretium videtur veritaiera hujus summalionis 
accuratius examinasse, quod negotium, quantumvis intricaium et ope- 
rosum videatur, tamcn sequenti modo expedlte absolvilur, Commo- 
dissimc enim hic usu venit , ut ambarum serierum , in expressione 
jpsius O occurrentium, summae jam innotescant, cum sit 



e* 



--T-g* T^ 120 * ^^ 50iO ^ ^ '^'■'•- 



H-i^"-^à- -^7^0^ H-*^''^- 



2 "T~5*^^120^^'^ 5040 

Hiae enim sequitur fore 



207 



(!> = tgX=Ztgp C^^^) + SCCP C-=^") . 

Jam cum sit (ex §. 8.) z zzz x — P, tum vero (ex §. 15.) 

s tg (hs" -+■ l x ) . 

' tg (45° -^ l f) 

^^S t g (/|5° — .' a:) ^ 

tg (45- — 4 P) 

Constat, autem esse 

, , K o , , s . 1 4- s!n « 

tg {4o 4-:]:ï) — -T^x"' 

tg (.15°-^^•) = '-=^"^, 

unde expiessiones pro e~ et e ~ modo invcntae scquentem in nio- 

dum transibimabmitui- : 

j; 1 -H sin X COS p 

1 H- biii {> * COS K 

„_2 1 — sinx COS * 

C ^__ , ~ • 

1 — sinx COS * 

Erit igitur componendo 

fZ, _j^ p z COS p fi — sin p sin a:\ 

2 COS X \ COS t>* ' ' 



e'^ — e '^ COS p /sin x — sin p\ 

"~~ 2 COS X V COS p' J ' 

Facta jam substitutione habebimus 

Q) zzzts. xziz — ^^ — (1 — sino sin a;) h r,' sin a; — sino) 

o cosp-' COS X ' ' cosf* eosx ' 

quod ita reducltur 

(^ zzz \.?,x -zz. — Tï [sin a: — sinx sinp*] 

° cosf" cosx •- ' J 

sire denique 

/fy . cos *° sin X 

° cosf " cos X 



34 



268 

VII. 

DÉMONSTRATION 

D'UN THÉORÈME GÉNÉRAL RELATIF AU CALCUL 

INTÉGRAL. 



Présenté à l'Académie le 9- Oct. 1822. 



§. 1. Dans un mémoire de feu L. Euler ayant pour titre : 
De unciis potestatum binomii earumque interpolatione (*), où l'on 
ne s'attendroit guères à rencontrer des recherches nombieuses et 
suivies concernant des formules intégrales et leurs relations respec- 
tives, j'ai trouvé le théorème suivant : Le produit des intégrales ; 

I. /t° — » dx(l — or)"— « 

IL yà;P — i 3^7(1 ~ :c)"—« — P 

III. Jxy—^dxH _ a;)"— «— P — '" 

IV. fx^. — 'dxii ~ xy—''—?—y-^ 

etc. 
prises depuis x -zzz jusqu'à x ziz. i , yarde touJour\ ht im'tnc 
valeur, quelque permutation qvîon fasse subir aux lettres a, f3, V> 5, etc. 

§. 2. Quelque belle et même rigoureuse que soit la démon- 
stration de ce théorème qu'on pourroit tirer du mémoire cité, en 
la déduisant de la considération des coëfficiens du binôme, comme ce 
seroit une source féconde à la vérité mais indirecte et dérivée d'un 
domaine étranger, j'ai cru que ce ne seroit pas un travail tout-à-fait 
inutile que d'en chercher une démonstration plus directe déduite 
des principes du calcul intégral ; et quoique le sujet ne soit pas 
d'un intérêt majeur, je n'hésite pas à présenter ici celle que j'ai 



(') Mémoires de l'Acad. Zmp. des Sciences, Tome IX, pag. 37. 



269 

trouvée, parce que la roule qui m'y a conduit peut avoir son uti- 
lité dans d'autres recherches de cette nature. 

§. 3. La marche la plus naturelle à suivre m'a d'abord 
paru être celle de convertir le produit des intégrales proposées, 
prises depuis a; = jusqu'à x—l, en un produit infini et d'exa- 
miner ensuite chaque facteur de ce produit" pour voir si la per- 
mutation des lettres a, p, 7, 5, etc. lui fait subir un changement 
ou non. 

§. Â. Ma méthode de transformer le produit des intégrales 
proposées en un produit composé d'un nombre infini de facteurs 
finis est fondée sur la réduction suivante ; 

les intégrales étant prises depuis x^zzz jusqu'à xzzii, et je dé- 
montre cette réduction de la manière suivante. 

§.5. Je considère la fonction xf (1 — .r)'î, dont je prends 
la différentielle, qui est 

pxf — '^ dx (i — x)'} — qx^dxH — rr)"?""* 
que je représente ainsi : 

{pxP — ^dx — (p-\r 'P^^ 3^] (1 — ^)''"~ * 
pour avoir 
xP{i ~x)'iz:zpfxP — '^dxii ~x)'i — ^ — Qj-\-q)fxfdxii —x')'i — ^ 

et parceque le membre x'P (_i — x)i s'évanouit, lorsque les intégra- 
les se prennent jusqu'à x izz 1, il en résulte que 

fx^—^ dx (1 — .t)9 — * zzL^-^-^fx^dxii — x)"^— * 

et voilà la réduction du §. A. démontrée , où il y a une observa- 
tion à faire, qui nous sera utile dans la suite, c'est que les deux 
formules intégrales deviendront égales lorsque les exposans de x 
deviendront inJînis ; car en mettant p zzi oc, on aura ^—-—zzii.' 



270 

s. 6. En traitant de la même manière les fonctions 

et ainsi de suite on démontrera avec la raéme facilité les réduc- 
tions suivantes : 

/xP a:rCl - x-)t-' =z^-^^^=^ fxP-^' dx (l — x^'i-' 

/xf+^dx(i —x^i-^^^^^^-^/xP-^^dxii -x)^-^ 

fxP+''dxii — x)l-'—^^^^-^fxf-^^dx (1 — a;)«-' 

et ainsi de suite. D' où il suit que si nous concevons ces réduc- 
tions continuées jusqu'à l'infini et que dans chacune nous substi- 
tuons à la formule intégialc sa valeur que donne la suivante, 
nous aurons : 

fx^-'dx<ii-x)l-' = ^ . Ç^ . f-iig? .../aï'+» aa-(l-x/-'. 

§. 7. Mettant dans cette expression p z^ i , elle deviendra 
fdx ii-x)i-' =:'i±i .1±^ .^^ . . . fx' + '- ^x{i ~x)'J-K 

Or /9.x ( 1 — a;)^ — 1 zr C — ^i-=^ , où la constante doit être 
déterminée de manière que l'intégrale s'évanouisse en mettant a; :iz , 
ce qui étant fait on aura 

fdx (1 —x)i~^ = ^ — (irri^^ 

En faisant maintenant x zm l , on obtiendra pour les termes d'in- 
tégration établis : 

■de sorte que 

-^=:^4i.?-t-.^-t- fx^-^-dxii -xy^-^. 

5. 8. Divisons maintenant l'expression trouvée à la fin du 
{. 6. par celle-ci et nous aurons 



271 

Or nous avons fait voir plus haut (§. 5.) que si l'exposant Je .r 
devient infini clans les deux formules, letrr rapport devient celui de 
l'égalité. Ainsi le dernier facteur de notre produit infini devient 
égal à l'unité, de sorte que nous aurons : 

rxt-'?)a:(l-x^1-'-- '-^^^ ■"(f.^T + i ) 3CP + 7 + 2) ^ 
J^r axf^l X) -, •j,(, + iy(p^ij^,^2)-^j^.2^(^^3).etc. 

S, 9. Je dois observer ici en passant que dans le produit 
que je viens de trouver on peut changer entr' elles les lettres p et 
(I , sans que la formule intégrale subisse le moindre changement. 
l\iur le démontrer je fais x .zz i — s et à cause de 3,t HZ — ^3 
la formule intégrale devient: — fz'' ^ dz {i — s)^ ^ laquelle, 
piisc depuis z; h:: 1 jusqu'à s r=: , en changeant les termes de 
r rntégration, devient positi^'e et égale au produit infini: 

i Hp+JÙ "(P + n + i) 3(,p + q+2) 

Or nous avons vu que 

fzi-' ô:.(i ~3)f-i f\i=\-\ =/xf-' (1 -.T)^-' [':::=;] 

par conséquent nous aurons aussi 

/al- c^ t c 1 -:c) _ ^ . j^-^ ^ ^ . ;f,+yy(,j:n) ' (^7^^7+2) ' ''^*'- 
où il est bon de remarquer que chaque terme de ce produit in- 
fini nait du précédent, si l'on ajoute l'unité à chacun des facteurs 
qui en composent le numérateur et le dénominateur , en exceptant 
le premier terme ~. qui est isolé. 

§. 10. Aprésent , à l'aide de cette transformation générale 
nous, serons en état d'exprimer par un produit infini chacune des 
formules intégrales proposées et rapportées au §. 1. Mais pour 
rendre plus commode l'application de la formule intégrale gêné- 



2 72 

raie aux formules spécielles proposées , nous mettrons dans cel- 
les - ci 11 zrz m — 1 , ce qui étant fait , les valeurs de p , 9 , et 
p -f- q seront pour les formules proposées comme la table suivante 
les représente: 



Fonn:. I I II I III | IV 



p a I i3 I 7 S 

' q 'm— a'm — a— pTji — a — (3— 7'm— a— p-7 — J 
p-(— q m ! m — 't m — a — |3 | m — a — p — 'Y 



m — a— P — 7 — S — £ 
m — a — ii —y — S 



\. 11. Tout étant ainsi préparé pour pouvoir entamer 
notre objet principal , qui est d'examiner le produit des intégrales 
proposées, dont la valeur de chacune est exprimée par un produit 
infini , nous allons considérer successivement le produit des premi- 
ers , des seconds , des troisièmes etc. membres de nos produits 
spéciels, et d'abord la table précédente nous fait voir que le pre- 

4 

mier facteur solitaire - sera pour la première de nos formules m- 
tégrales ^^^ — -, pour la seconde zzz -^ , pour la troisième zzitt, 
et ainsi de suite. Le produit de tous ces facteurs isolés sera donc 
im —g — -i , et il est évident que cette valeur ne subira aucun 

a fi y e etc. '■ 

changement, de quelque manière qu'on changera entr'elles les lettres 
a, p, Y' ^' ^*'^- 

§. 12. Examinons de la même manière les seconds membres 
de nos produits spéciels, compris dans la forme générale iSÎjhâl 
laquelle , en substituant successivement les valeui-s de la table du 
i. 10., deviendra pour la formule intégrale 
I. - - 

II. - - 

III. - - 

IV. - - 

etc. 



1 . m 



(a-|-l)(m — a) 




1 . (m — a) 




(P-f-l)(m— a — (3) 




1 . (m — a — - 13) 




(7-HlKm— a— P- 


-y). 


1 . (m — a — P — 
(6- -1-1) (m — a — p — 


.7) 

-y — i 


etc. 





273 

Le produit de ces seconds membres de nos produits spéciels don- 
nera le second membre du. produit cherché de nos intégrales, et 

il sera : 

1 1 1 



_ _i_ * — — etc Y - 



a-(-i-(J-+-l'y-)-l ô-)-l /\ m — a — [i — y — S — etc. 

qui ne subira non plus aucun changement , de quelque manière 
qu'on permutera les lettres a, (3, Y' ^' ^^c. 

^. 13. En examinant l'expression générale trouvée au §. 9. nous 
avons vu que chaque membre du produit donne le suivant en ajou- 
tant l'unité à chacun de ses facteurs. Si nous faisons cela au 
second membre trouvé ci - dessus (§. 12.) nous aurons le troisième 

membre du produit cherhé : 

_2_ _2_ _2_ 2 w m+j^ 

a-4-2'(î-+-2'7-i-2'5'-)-2* ' /\ m -^ 1 — a — P — y — ô' — etc. 

ïln faisant la mcme opération ici nous obtiendrons le quatrième 

membre du produit cherché : 

_i_ __£_ _i_ _3_ etc V "'■+-g 

a-)-3'P-f-3"7H-3"è-f-3 "Am-HS — a — p — 7 — S — etc. 

De la même manière se trouvera le cinquième z^z 

_A_ _J._ _i_ _i_ etc V HLàzl 

a -t- 'i ■ p -H l ■ 7 -4- ■i ■ i' -h 4 ■ ■ A TO -i- 3 — a — P — 7 — S — etc. 

et tous ces membres ne subissent aucun changement , de quelque 
manie re qu'on change entr'elles les lettres a, (3, y, S, e, etc. 

§. 14. Ainsi donc parceque les permutations de ces lettres 
ne changent point les valeurs des membres du produit cherché , il 
fst clair que le produit des intégrales rapportées au §. 1-, prises 
depuis or nz; jusqu'à a; zn 1 , ne change point de valeur quelques 
permutations qu'on fasse subir aux lettres x, (3, y, etc. 

C. Q. F. D. 



35 

Supp! aux Mérnoiies de t Acad. 



274 

VIII. 
D E 

ÇURVIS ALGEBRAICIS 

QUORUM SINGULI ARCUS ARCUBUS GIRCULARIBUS 

AEQUANTUR. 



Conventui exhibita die 20. Aug. 1823. 



^. 1 . Ad hujusmodi curvas perduxit me solutio scquentis 
probleniaùs ex methodo quam Tocant tangentium inversaiu, qua sci- 
licet, data curvae proprietate quacunque, ipsa cuiva quaeritur. Pro- 
bleraa autem ita se habet: Invenire curvam AZ ad punetiun 
„ fixum O relcdam , ex quo si in tangentein ZT demittatur per- 

pendicnliim OT^ positis OZ^zz et OTz:z.p^ sit p zzz az — zz, 
quod noveiam esse proprietatem harura curvai'um. An quoque aliis 
competat videamus. 

\. 2. Ad hoc pi'oblema solvend'um pono anguîtini AOZimCp 
et arcum AZzir*, et cum sit OZzziz et pio puncto proxlmo 
curvae Zzzzids, zvz:zdz et Zzz:zzd0 oh triangula Ztz et OTZ 
similia erit Zz:Zv zz^ OZ : OT , hoc est 'ds : zc)(t> =: z:p, unde fît 
p — ~\ - Ex conditionc pvoblematis autem est pzzzzCa — z), 
unde sequitur haec aequatio : 

zd(p =: (a — z) ds. 
Cura autem quadratum elementi arcus sit 

ar — dz'-^ zzd(p' — dz' 4-- (a - zy ds^ 
habebimus elementura arcus 

dz 



VI — (i — z}? 

ideoque ipsura arcum 



275 

s zzz Arc. cos (a — s) 
unde sequUur fore a — z :zr cos. 5, ideoque zzrza — cos. 5. Expres- 
sio autem modo inventa pro arcu indefinito, déclarât oranse nostrae 
curvae aicus aequari arcui circulari. 

Ç. 3. Nunc ad hanc curvam accuratius cognosccndam quae- 
ramus 3C|) , et cum sit 

subsliliUo valoie pro ^s invento erit 

%V 1 — (a — 2)2 

quod si ita integrari possit, ut angulus C|) quoque per arcus circu- 
lares exprimi queat, curva erit algebraica. 

§. A. Resolvatur formula integranda in partes, ponaturque 
(h ~ f "^^ — f ^^ 

^ -zi'l — (a — =)^ .'vi— (« — z)* 

atque evidens est fore 

- f ^ °"; — - fds 

■ z I 1 — (a — z.' 

unde seqiiilur fore 

(î) + , — / "^^ - 

J z y i — (.1 — zj» 

quae formula ut ah irrationalitate liberetur, ponamus 

■)/f 1 + a — 3) (1 — a H-z) = {i ~{- a — z) t 
tum autem erit 

, a — \ -\- (a. -^ i) tt _ 

" 1 -4- ff 



1 -4- a — Z m — - — - 1 

' 1 -h tt 

1 — a -4- z zz. I 

' 1 -H « 

unde sequitiir fore 



36* 



a-jô 



Tura vero habebimus 

dz = '''' 



(1 -+- ny 

dx . i ttdl 

z. (1 -h «) (a — 1 -+- (a -^ 13 ») 

(h _i- 5 — r '^ 

^ ^^ J a — 1 -H (^ -r- 1) Jf 

unde actu integrando prodit 

'a -+- 1 , 



+ . = U^= Arc.tg ./«-:tJ 

ï no — 1 « i 

ita ut, si ponamus A. . t§,. t }/ —^ zzz $ , perventi simus ad hanc 



aequationem 



^ ' y^ aa — 1 ^ 



§. 5. Hinc intelligilur, quoties fuerit - — -"-^^^ mimerus va 



1 



2 c 



tionalis , curvam nostram fore aleebraieam. Sit enim -t^^^= rz: /j, 

erit ([):=:«$ — s, unde tam sin C|) quam cos algebraice exprimi 
poterunt, ideoque etiam aequatio inter coordinatas orthogonales 

OX rz: a; zz:scos0 et XZ =.r :=: c sinCp, 
erit algebraica. 

§. 6. Tractemus nunc problema inversum et (juaeranms 
curvas algebraicas ad punclum fixuin O relatas , quariim arcus 
per arcus circulares expriinantur. Hune in dnem , servatis deno- 
minationibus jam supi-a adhibitis, constet fore in génère : 
ds^ zn dz^ -f- zzd(p^. 

§. 7. Jam quoniam requiritur ut arcus s aeque ac angulus 

$ per arcus circulares exprimantur , ponamus 

:^ „ e9f 

O s ZZl , , „ 

1 -+- tt 






277 



quae ambae partes sunt ciiculares , eritque , fractionibus ad coin- 
raunem denominatorera reductis : 

;i/t) («y -H g -t- hft -H (/ -t- g) 1t) dt 

"^ — (1 H- 1t) (a -I- bf -f- tt) 

l- S. SumaLur nunc 

a - h bt ■+ - n 

^ 1 -♦- ff 

atque habebimus 

g^O) a -j- pf -f- yn 

d t ~~" (1 -+-tt)2 

posito brevitatis gratia 

a z=: af -h g, 

y ~ f -{- g- 

Tum vero erit 

dz S -f- 2 fl — a) t — tt 

9f (1-4- îf)* 

existente (§. 7.) 

al 1 -t- « * 

§• 9- Quodsi nunc valores §. 3. traditos in aequationc §. 6. 

substituamus , prodibit sequens aequatio determinationi litlerurura a, 
(3, y, insevviens : 

I II III IV V 

-+-bb-^ Ab(^i—a)t— 2 bit" — 4b(i —a)t^ -h b b t^ 

-*- aa.-¥- 2 a ^ t .+- 4(1 -.a)''«^-t- 2 (3 y <* -^-W^H 

.-5 ■ .h ? —^ 



— ce 



2 ay f —-cet 







— 2 c c r ) 

cujus igitur singula membra seorsim ad nihilum redigi opovtet, unde 
sequituv fore 



278 

Ex I. ce zzibb -\- acJL. 
Ex V. cczi^bb -\- 7 y. 

llinc yy =:: aa 

et y ru ^r: a- 

Ex II. a,3=i — 26 (1 — à): 
Ex IV. (3y— -f- 2i (1 — a). 

Hinc, si y =r — a.. 

Es m. 4a~n)'--iM — -i^ + '-^^^P^^"- 

Hinc (1 — a)^ ::= aa. 

Habebiraus igiiur 

a :ii: a — f , |3 :=: 2i , y z= 1 — «- 

^. 10. Quo iiunc etiam valores littei'arum f ci g obtiiiea- 
nius notandum est , ob y rr — a , slve ob a -+- y rr= , fore 
(a-f- 1)/-1- 2£7 := 0, unde tit gr :rr — i/(rt H- 1). Tum vero, 
quoniam y — a =:r — 2a, erit (1 — a^fz=z — 2a=z2 (,1 — a), 
jdeoque /rr: 2. hincqae ^ rr: — « — 1. 

Ç. 11. Cuin igltur hoc modo omnes litteias a, (3, y , / 
et g delerminaverimus, litterae vero a et 6 raanserint indetermina- 

tae . ob 

c zzL yJb'^yy =: j^ iô + ( 1 — af 
Jiabebimus _____^^ 

os — ^TTTt 

a -+- tf-f-ff 

^ î^ tt 

2dt (,a-j-l)dt 



i<P = ,-^~„ 



.« -4- bt -r- ff 



unde umnia curvae elementa seqi'Çtiti modo per t definicntUr 



279 

s zzz j/6Z» -f-(l — fl)' . Arc. tg. t 

^ H- ff 

(p =: 2 A . tg. f — -ii^^il X A . tg ^±hlr-JÏ 

° T/40 — 66 ° 20-^6» 

Curva igiuir erit algebraica, quoties ~^^ est niimei'us rationalis. 

^. 12. Hacc quidcm solutio generalior esse videtur piaecc- 

dente , re veia aiiteni cum illa peifecte est consentarrea. Ad quod 

ostendendum quaeratur perpendiculum in tangentcm OTn:/', quod 

cum in gencrc sit p rz: — ^^ (§. 2.), ex nostris formulis erit 

^^ _ Jdt__ _ (a -4-1)3/ ) 

1-4- /f o-!-6f-t-ff { (S jj_) 

a -4- ^^ -f- c « zi: :; ( 1 + //) ) 

3f (9î -r ^ . 

r^Tf — T (5- 7.; 

unde binis postremis in prima subititutis habebimus 
hincque sequitur fore 

azdCÎ) 2Z3 (a-4-l)2 

3» c c 

unde sumto c zzz — 2 prodibit 

P =: (-2-) - — =- = a^z — zz 
ut in prima solutione assumsimus. 



28o 

IX. 

INTEGRATIO 

AEQUATIONUM DIFFERENTIALIUM: 



& 
xy (dx' — : dy^) — dxdy ixx — yy -\- aci) zzi 0. 



Convemui exhibita die 2. Mart. 1S25. 



^. i . Huic aequationi tractandae ansam praebuere iniegra- 
tiones aequationuni 

ydx — xdy zz: a -j/da;' -)- dy"^ 

ydx — xdy =^ a Y^x^ -+- dy^ 
quaiun'! piiorem Eulerus in Calcul! Integralis Tomo 1. pag. 4 5 9, 
alteiam pag. 462. integratas dedlt, neque vero illam in titulo ex- 
positam^ generaliorem, aggressus est, in qua binae 'modo meraoratae 
aequationes , tanquam casus spéciales, sunt contentae. Cum igitur 
ipse Eulerus hos casus specialiores tractatu satis difficiles déclarât, 
si operationes more consueto instituantur , solutionem aequationis 
illius latius patentis, quam mihi integrandam proposui, heic exhibera 
eo minus dubito , quod intégrale ejus , quantum quidem mihi inno- 
tult. a nemine adhuc prolatum fuerit in médium. 

§. 2. Statuatur igitur in aequatione proposita dy "ZZpdx, 
eaque induet hanc formam : 

y ~ px z=i a ]/ 1 H- /)". 
Ditî'erentietur liaec aequatio, et ob dy ^^ p^x fiet 

1 — n 

xdp zzz — ap"—'^ dp ( 1 -f- p")~^~ 



28l 

cujus aequationis unus factor dp n: dat /; m b, unde hanc nancis- 
cimur aequationem integralem 

y — hx -zz. a y i s^ b" 
ita ut habeamus ex factore dp 



z/ — i.r H- a'j/ 1 -f- 6". 
§. 3 Consideretur nunc alter factoi- 

1 — n 



et cum sit 



y ■=. px -^ a'Y i -\- p\ 
illo valore x hic substituto, eiit 

y— — ap-^ ( 1 + /^";~- + a î/i -+-7' 

quae expressio, facta reductione débita, in hanc abit 
y — an + /J")^- . 

§. 4. Jam cum invenerimus pro altéra variabjh x valorem: 

1 71 

manlfestum est fore 

ex ut habeamus 

p z=z (- ^,)'.-. 
ita quo nancisciiïiur 

j: 

1 -+ /''■ - 1 -4- (- J)— ~. 

Ç. 5. Ex Aaloie aulem supra {\. 4.) pro y invento s^-!- 
qultur fore 

1 — n 

Siip/^L aux Mémoires de V^cac^^ 



282 
sive , quod eodem redît 

Tt — 1 

ita ut, si loco l -\-p^ valor supra (§. 4.) inventus substituatur, 
habeamus hanc aequationem inter variabiles x et y : 

^:=(l+(-f-)^r"~ 
quam Ita repraesentemus : 

(if"^"^ =1 1 + (- f r-^ 

n 

quae fractionibus sublatls, sive ducta in y^ — ^ abit in hanc: 

n n n 



§• 6. Quod si nunc loco a; scribamus — 'Z, aequationis 
differentialis hujus : 

zdy — ydz =: aydy" H- dz," 
intégrale alteruni erlt 



n 
n — 1 ,,n — 1 I —n — 1 



alterum vero 

y =z a y 1 -{- 6'^ — 6c , 
ex qulbus intégrale completum aequationis differentialis componitur. 

§. 7. Sit 71 nr 2 et aequationis 



zdy — ydz = a^dy"" -\- dz^ 
unum intégrale erit 

y ziz: a y 1 -f- 66 ■ — • bz 
alterum vero 

y r^ ]/ aa — zz 
quae ambo , restituto loco s valore — a; cura solutione Euleri 
(Cale, integr. T. I. pag. 45 9-) perfecte congruunt. 



283 

§. s. Suraatur nunc ?i ^z 3 et aequationis 

alterum mtcc;ralc ciit 



y r= n]' l H- l)' — hz 
alterum vcro 

î/ =z I ia y a — z, y zf 
quae cum solutione Euleri (Cale, iiit, T. I. p. 46 2.) congiuunt. 

Additamentum de aequatione differentiali 
ccy Qx^ — dy"^) — dxdy (xx — yy -h- aa) z=. 0. 

^. 9. Cum haec aequatio , aeque ac in . superioribus para- 
graphis tractatae , ad eundem ordinem pertinet aequationum diffe- 
rentialium , in quo difl'erentialia ad plures dimensiones assurgunt et 
cujus integratio, si methodus consueta adhibeatur, variis difficultati- 
bus obvoluta deprehenditur , viam , quam ingressus sum , ad eam 
resolvendam , haud abs re erit heic quoque bi"evitei" exposuisse. 

§. 10. Prlmum observasse juvabit aequationem heic propo- 
sitam etiam hoc modo repraesentari posse : 

iydx — xdy) ixdx -{- ydy) z= aadxdy 
unde statlm intelllgitiir pro casu quo a zz: oriri duas solutioneS) 
alteram ex aequatione ydx — xdy zzz quae dat — zr: — , ergo 
ly zn. la. -i- Ix , ideoque y ziz: ax pro hnea recta; alteram vero so- 
lutionem oriri ex factore xdx-i-ydyz::iO, ex quo fit xx ~i- yy ziz p(i, 
pro circulo. 

§. 11. Hinc autem intelligitur in génère, quicquid fuerit 
aa solutionem aequationis ita comparatam esse debere , ut , sum- 
to a izz tam linea recta quam circulas prodeant ex solutione 
generali. 

36* 



284 

§. 12. His praeviis observationibus, viam sternentibus , prae- 
missis aggrediamur solutionem aequatlonis propositae , ponendo 
dy zzz pdx, quo facto ea induet hanc formam : 

(y — px) (.r -hpy) = «"^'/J 
ex qua autem neque x , neque y , neque p commode determi- 
nare licet. 

Ç. 13. Difficultas ista e medio tolletui-, si statuatur j/ zi: m;^', 
quo facto aequatio iîet 

(H — p) (1 -hpW) XX 3Z aap. 
Hinc sumtis diflerentialibus logarithmicis prodibit 

du — dp pdu + uSp 2dx dp 

u — p "■ 1 -j- pu "^ X p 

§. 1 4. Cum autem sit 

^y r^ iidx -+- xdu zn pdx 
habebimus pro -^ hune valorem : 

'^ X 

dx _^Jf 

le p — u . 

quo in praecedente aequatione substitut© emerget ista : 

dp -j- du. t ppdu — dp Q 

f — u '~ p (i + pu) 

quae in hanc abit 

(pdu -h iidp} (1 -4- pp) nz 0. 

§. 15. Hujus aequatlonis factor posterior, ob /> :zz )/ — 1, 
dat nuliam solutionem ; alter vero factor pdu -+- udp zzz. dai 

dp du 

p u 

unde integrando elicitur 

Ip zz: le • — lu &t p zz. -^ • 

§. 16. Cum igitur invenerimus (§. 14.) 

dx d^u 

X p — a 



285 
si loeo p valoi- modo inventus hic substituatur , tiet 

i)X U rlu 

X c — nu 

sumtisque inlegralibus eiit 

Ijc :^z. Ib — 1 y c — au 

ita ut iiabeamus 

b 



V c — un 
. bu. 

y ux 



y c — uu 
yïo solutions compléta nostiae aeqiiationis diflerentialis. 

\. 1 7. In hanc quidem solutionem ingressae siint diiae 
constantes arbitrariae, i et c; verum postrcma c per priorem b et 
per constantem datam a aequationis propositae determinabitur. Con- 
stuns enim c ita est definienda ut fiât 

XX (u • — p) (I -f- pu) rz: aap. 

Hoc autem praestabitur , si in hac aequatione loco y et p valores' 
inventi substituantur, quo facto fîet : 

(u ■ — • — ) (1 -4- C) zz: — 

e — un \ u y ' u 

quac aequatio a fractionibus liberata ita se habcbit : 

bb (uu — c) (1 -f- c) rz: «ac (c — uu) 
unde concludltur fore , 

bb _ 

<ia -|- 66 

§. 18. Quodsi igitur quaeratur linea curva , cujus si re- 
secta ducatur in summam , vel difTerentiam , abscissae et subnor- 
malis, productum ubique eundem obtineat valorem, solutio in promtu 
est. Erunt enim curvae coordinatae x zz: -= et y zz: — =^= , 

l/c — uii Y c — Tiu' 

unde curva construi poterit. 

S. 19. Cum isitur ait :c zzr -^r=. et u z:i — , crit 



286 

X iz: — sive 1 nr _ ^ =r 

V cxx — yy V cxx — yy 

ideoque cxx — yy m hb , quae aequalio indicat sectionem conicam 
centi'um in initio abscissavum habentera. 

\. 2 0. Videamus nunc iitrum solutio nostra generalis ae- 
quationis difTerentialis proposltae rêvera ita sit comparata, ut surato 
in ea valore a :=z prodeant ex ea linea recta et circiilus, quem- 
admodum in \. 11. postulabatur. Hune in finem revertamur ad 
aequationem \. 17. inventam 

bb (i -4- <r) =^ — aa c 
et sumto a nz evidens est fieri quoque debere b zrs , ideoque 
aequatio ^. 19- inventa cxx — yyzzzbb, nunc fiet cxx — yy^::zO, 
unde fit î/ma']/c pro lineis rectis ex initio abscissarum A cductis, 
in quibus igitur resecta nulla. Tum vero quoniam , sumto a ^zi 0, 
et c zzL — 1 , aequaiioni Ô6 (1 ■-\- c) zzz — aac quoque satisfit, ex 
eadem sequitur ii zi:: g zz: j3j3, ex aequatione §.19: cxx — î/î/zizj3(3 
vero concluditur fore yy nz: j3j3 — xx , pro circulo centrum in ini- 
tio abscissarum habente, pro quo nempe differentia abscissam inter 
et subnormalera in nihilum abit. 



287 
X. 

D E 

INTEGRATIONE AEQUATIONIS 
DIFFERENTIALIS 

vdv -f- V (3 y -h/) dy -h (y^' -\-fy^ -^ gy -i- h) dy zmo. 



Com ctitui exliiblta die 2!. Aug. 1S26. 



§.1. De hujus aequationis dliTerentialis inlegiatione pi'imus, 
ni fallor, disseruit sumrnus quondara Eulerus in Tomo XYII Novo- 
rum Acaderaiae Commentariorum, ubi imprimis docuit, quomodo in- 
vestigari debeant multiplicatores, seu divisores, quorum ope aequatio 
illa integrabilis évadât, ipsum autem ejus intégrale tantum indicavit 
et quidem sub forma non admodum commoda , aequatione scilicet 
finita algebraica , in qua vero arabae variabiles adliuc valde sunt 
permixtae. 

§. 2. Cupiebam scire , an non intégrale aequationis difTe- 
rentialis propositae duas variabiles complectcntis ita adornari possit, 
ut utraque variabilis algebraice per novam, tertiam, exhiberi queat, 
vel ut variabiles ita adeo separari patiantur , ut una per alteram 
prodeat expressa. Hune in fînem ipsam integrationem adgressus 
sum duplici modo, et quasnam adeptus sim integralium formas heic, 
una cura methodis adhibitis breviter exhibebo. 

M e th o dus p r i o r. 

\. 3. Consideretur aequatio diffcrentialis tertii gradua haec : 
d^z -[-fddzdt H- gdz.dl^ -f- hzdt^ z=z 
in qua dt ut constans spectetur. Statuatur autem 



B,3^ 


e^t 


-+-cy3 


'c^^) 


Bp^ 


,?t 


-pcy 


■e'Vf) 


Bp 


e^^ 


H-Cy 


f7f) 


B 


e^f 


+ c 


gyt) 



— : 



288 

sr=.Ae"'4-BeP' -f-Ce'>'' 
atque cum sit 

hzdt^'zzzhdtH^ e«f 
manifestum est fieri debere : 

Aa^e«f + B(3^ePf-f-CY^e^' 
--(-/CAa^e"' -+- BjS^eP' -+- Cv^'e^' 
-+- g (Aa e«f -f- B|3 e^^ + Cy e^^ 
-}- /i (A e«' 4- B eP' + C e-V' 

hoc est iieri debei'e : 

7^ +/Y" -h é/Y -+~ /i — : 
Hinc autem sequitur valorem 

s =: Ae^f -h Beî^* -h Ce'^' 
fore intégrale completum aequationis illius lertii gradus : 

a-'c -\-/d'^dt -h gozdt^ 4- hzdt^ ■=. 0, 
siquidem a, (3, y, fuerint radices aequationis cubicae 

X^H-/X' + î7X + /i=0. 
Istud intégrale ceterum etiam a priori invenire licet , quae autem 
investigatio scopo nostro est aliéna. 

§. 4. Transformemus nunc aequationem illam difFerentialem 
tertii gradus in aliara primi gradus quod fiet ponendo 

'àz rr: pbt et ôp zz: qdi- 
ita ut habeamus 

ô^s =: D/39/ ~ qdt- 

d'z — dqdt- 
quibus in aequatione tertii gradus substiiutis , ea transfunditur in 
sequentem primi gradus : 



q89 

ubi notandum est ob p m g-^ fore 

p = Aae«' -h B[3ei^* -4_ C^e^^ ■■ 

§. 5. Quoniam autem in aequatione modo tradita insunt 
très variabiles p, q, z, una cum elemento constante c)t, adhuc aliis 
transforraationibus opus est, ut obtineamus aequalionem duas tantum 
variabiles involventera. Hune in primo, ob 

ô.=/.D^et,=|rzg 
jdeoque 

scribamus hos valores , que facto aequatio hanc induet formam : 

â^- - -i-fdp -f- </d2 -h —^ — 0. 

Tum vero ponamus p zzz yz et 9/? n: x32 =z î/3s -|- =9?/, ita ut sit 
-^ m — — et aequatio modo tradita abibit in hanc: 

2 X — y ■^ 

1/zdx -+- xxdz -^-fxdz -4- gdz + -^ =: û 
ex qua porro concluditur fore : 

a. __ __J^1_ ^y_ 

ita ut nunc adepti simus hanc aequationera duas tantum variabiles 
complectentem : 

y' (.^ — y) c)x -h (jrV -h/xy -^ gy -^ h)dy z=. Q 

\. 6. Hujus jam aequationis intégrale completum in promtu 
habemus. Cum enim sic y z^- et a; cz: -,^ C$. 5.'), nec non 

p :=: Aue'"' ~\-B(le!^t -Jr-Cyeyf ({. A.) 

z—A c«f-f-B e'"^f-|-C e>'f (]. 3.) 
ambae ejus variabiles x et y sequenti modo per tertiam variabilem 
t sequenti modo determinabuntur : 

37 
Supph aux Mémoires de T Acaei. 



QÇO 

^ aAe='f + pBei^f -H 7Ce7f ' 
aXe'^f -I- pBfPf -t- yceyt 

5. 7. Quod 61 nunc denique statuamus as zz: "^ -i~ y et 
<* :zr u , tum aequatio diflerentialis modo integi-ata hanc recipiet 
faciem : 

vdv H- y (31/ 4- /) dy -f- (y' -H/^/^ -{- gy ~\- h)dy=: o, 
quae igitur ea ipsa est, cujus intégrale quaerimns. Cum autem sit 
ut §. 6. vidimus 

aAu'' -4- pBuf^ + yC^iy 

^ Aîi^ -+- BuP 4- Qu'y 

ob vziz xy — yy habebimus 

^ (Au" -H Bu^ -+- Cuy)" 

ita ut ambae variabiles v et y per tertiam u sint expressae. Ubl 
adhuc tenendum est hoc intégrale fore adeo algebraicura, quoties 
a, (3, y sunt numeri rationales. 

Methodus altéra, d i r e c t a, 

§. 8. Tentemus viam niagis directam ad intégrale nostrae 
aequatlonis propositae ducentem. Hune infinem ponamus brevita- 
tis gratia 

M = Zy -\-f 
N = î/3 -\-fy^ ~\-gy'i-h 
ut aequatio resolvenda sit 

vdv 4- Wjdy H- N^j/ ■=. 
, Tum vero statuatur dv zzz pdy atque habebimus 

N 

^ ï> -t- M 

pdy — — d. ^-^ 
Sit autem p -\-M.zzzq eritque pdy zzz-—d-- ■ hoc est 



291 

Hinc posito DN = N''^?/ emergit ista aequatio : 

quac transmutatur in liar.c : 

(r/3 ._ M.'/- -f- r/N ) 9î/ z= Xr>/. 

5, 9. Ad linnc aequationcm separabileni leddendam pona- 
mus q ziz s -f- 7j , ita ut de/ ziz. ds -f- dy i quibus valoiibus substi- 
tutis, restitutlsque loco INI, N et 

suis valoribus, orietur aequatio 

(S3 _ f^2 _|_ ^y ;j) 5^ __ ^.^3 _|_ y-^» _^ g,j^ _j_ ^) ^ j 

ita ut, separatione peri'.cta, sit 

3s . dy 

s = — /s » -f- gj — A -y- :y ■• -+-/>= -t- £>- -KÂ 
quam igitur aequationem integrare licebit , sive ope idonei multipli- 
catoris (V. Euleri Inslit. Cale. Integr. T. III. p. 5 GO), sive sub- 
sidio resolutionis denominatoium in factores fractionumque ambarum 
jn fractiones simplices (V. Actor. Acad. T. L P. I. p. 91). Hoc 
enim modo 5 detcrminabitur per y et quidera generaliter , si posi 
integrationem constans rite adjiciatur. 

5. 10. Cum igitur f r=: — jq_l« ' ^°^ ^^^ 

, _ ii N 

q s-hy ' 

habemus 

„ — . y^—fy'—gy-'' 

En igitur solutionem directam atque completara nostrae aequatlonis 
difierentialis 

vbv -\- f(3f/ -f-/) 3j/ -h (tf -!^fy^ -f- S'y + '0 dy — 
utpote cujus unam variabilem v per alterara y determinare nobis 
erat propositum. 

37 • 



292 

u4 e q u a t i o n i s aliquanto g e n e r a l i o r i s 

vdv -\- v(.3ny H-/) dy -+- {n'y^ -\- nfy^ -f- gy -h h) dy :=z u 
resolutio d i r e c i a. 

S. 11. Haec aequatio tractari potest meihodo prorsus simili 
ejus, qua supra usi sumus. Statuatur enim, ut supra §. 8. fecimus: 

M :=: 3ny -\~f 

N z^n^y^ -h nfy^ + gy + h 
sitque dv zr: pdy et aequatio hic resolvenda evadet 

v}Jc>y -\- Mf^î/ -\- Nâî/ =z 
ex qua sequitur fore 

N 

'" — f -t- nt 

tura vero posito p -\~ M r3 7 atque 9N rr: ^'' dy , prosequendo 

eundem calculum, quem supra §. 8. instituimus, pervenimus ad liane 

aequationem : 

§. 12. Ponamus nunc 7 iz: * -4- L et aequatio modo tradita 
hanc induet formam : 

— /M — 2*ML — ML^ ( ^ 

— NÔL ) 

quae, ut in oculos incurrit, separabilis fiet, si coëfRcientes termino- 
rura potestates s^ , s^ , s° involventium constantes induant valores. 
Quod si nunc statuatur 

M — 3L — /; 
3L — 2ML-|-N=:^; 
L3 _ ML2 -f- Wh — NdL — k ; 
tum vero ponatur L zzz ny, erit 
M :=: 3ny -\-f 

Wz=:p^ — 3ny' + 2nfy + g 



293 
atque quoniam est 

— ML= =z — 3nV — My^ 

-f- Wh — + 3/iV' -h 2fnHf -+- 5^7!î/ 

— N3L zn — 7i^î/^ — fii^y" — G^y — nh 

teitiae aequationi conditionali jam est satisfactum , cum sponte fiât 
quamitas constans 

L 5 _ ML- -h N'L — N9L ^zkz=. — nh. 

^. 13. Aequatio igitur initio paragraphi praecedentis allata 
nunc ita se habet : 

(,3 — y^2 -\-gs — hn) dy — (Ji'y^ -+- nfy" -^gy + h) ds 

unde manifestum est s definiri posse per y ex aequatione 

d£ dy 

s' — fs^ + gs — hn ' n'y' -f- nfy' -1- g> -f- A 

et cum sit V zzz :zz r— , erit 

^ _-. n°>'— n/y^ — g> — A 

s 'h y 

intégrale completum aequationis difFerentialis propositae. 



294 

XL 

FORMULARUM QUARUNDAM 

INTEGRALTUM DUPLICATARUM INTEGRATIO. 



Conventui exhlbita die 2.3. Aue. lS:?b. 



§. 1. Formulas intégrales duplicatas Eulerus eas appellavit, 
quae, duplici signo summatorio afFectae, duplicem integrationem re- 
quirunt, in quarum priore binarum variabilium in formulam ingredien- 
tium sola una ut variabilis spectatur in posteriore vero altéra. Hu- 
jusmodi formularum aliquot tractare earumque integralia , intra 
duplices termines integrationis contenta , hic exhibeve in animum 
induxi. 

§. 2. Ad priera problemata hujus dissertationis solvenda an- 
sam dédit consideratio solidi rotundi resolutione circa axem z ge- 
niti, cujus soliditas , cum sit /tt i^i' Ss , posito s zrz î;^" et integrali 
a f zr: ad v z:^: l extenso, erit rzr: — r'. • Cura enim eadem ex- 

' n -4- 1 

pressio pro soliditate oriri debeat, quomodocunque coordinatae per- ' 
mutentur, hinc sequens problema proponi poterit : 

P r b l e m a l. 

§. 3. Si fuerit Vc::/3x- (a;a; -+-?/?/ )'^ [^^ *^J] invenire intégrale 

r-ab y:^ 

Lad y z^y' 1 • 

S 1 u t i o. 



/^'^i/ d'^l'iriTil- 



Hic scilicet pro soliditate sumitur formula /dx y ^y (l — j''") 
sive fdx/dyi^i — (.xx-\~yyy), unde pro parte priore habebimus 



C95 



Lst vcro ./d.ry 1 — xx [.^^ ^zzzi^ '■' ' '"^01"^ ?^^'^ pnor 

fdx fdy zz: ^ . Sollditas igitur erit 

sive restituto V eril ea 

quae cum debeat esee rrz -^- (§. 2.), habebimus 
J ^ ^iJ Lad >:r=:v'i— wx-l — 4(1+1) 

S c h I i n. 

5. 4. Haec integratio ideo notatu est digna , quod facta 
evolutione binomii (xx -\- yy'f- prodeat séries, quae ducta in ^x et 
per partes integrata, casibus quibus exponens n est fractus, ad lo- 
garithmes perduclt, cura tamen pro terminis integrationis supra sta- 
bilitis valor integralis yV3î/ semper sit z^Lyr^j—^s-, quemadmodura 
etiara sequens problema ostendet, cujus solutio a praecedente, quo- 
ad methodum penitus est diversa. 



Problema 2. 



ab y^:^ 



intccrrale /Ydx E^^J = °]. 

Solutio. 

Quonlam in priore integratione x est constans , ponatur 
y zn xu , eritque dy '^^ ^du atque xx -{- yy :zz xx (i -[-uu), 
unde sequltur 



296 

Hinc intelligitur statim poni posse u rz: 



ab u 



ad u 

V i XX 



V i — Û^X 

X 



X 

-1 — 3x 1 

du — -=^ — et 1 -|- lia =: ^ 



unde fir 



XXV 1 — XX 

quibus substitutis prodibit 

y — - ^2n-^l r 9^ 

J x^l-t-a/l —XX 

quod intégrale per hjpothesin fit evanescens posito u 

y— 1. 



zzz , ve! 



Nunc igitur habebimns 
unde per Lemma notissimum yP3Q z::; PO — /Q5P habebimus 



/V3a;=: 



2n 4- 2 



y ~2n- 



dr 



+/.T 



dx 



'V l—xx ' -^ (2 n + 2) >■■ 1 — XX 

ubi prius membrum sponte evanescit casu a; rz; 0. Posito auteirr 
X ZZZ 1 erit 

rv'Ax [^^ " — ''1 — — — — "^ 

•^ Udx — iJ 2n4-2 2 /t(ji-t-l) 

Ut supra invenimus. 

S c h 1 i n. 

§. 6. Cum saepissime intersit nosse varias metliodos, quibus 
ad eandem veritatem pertingere licet , pluribus forte non displice- 
bit , si binis superioribus solutionibus ejusdem problematis adjunga- 
mus tertiam ex alio fonte -derivatara, ubi scilicet integratio per ido- 
neum mukiplicatorem perfioitur. Hujusmodi igitur solutionem in 
sequenti problcmate, jam duplici modo soJuto, ob oculos ponain. 



297 
P r o b l e m a 3. 

\. 1. Si fucrit V=r/a7/ (xx -4- 7/j/)M2^r^j^--] investi- 
gare intégrale f Y dx ["dx^i^- 

S 1 u t i 0. 

Cum sit V ceita functio binarum variabilium x et y, quae- 
ramus ejus diiferentiale , si tara x quara y variabiles statuantur, 
eritque 

dV =z: dy (xx -\-ytjY -+- inxdxfdy {xx ~\-yyY~'^ 
cujus pars posierior signo summatoiio aflecta ad formam , quam 
V vocavimus reducitur, ponendo 

fdy i^^ + yyT~ * =: ^yixx -\- ijyY -\- Bfdy ixx -\- yiff- 

ac differenliatione instituta rcperietur fore Azu — ^^^ei'Q':^:.-^^- 
quibus valoribus substitutis positoque ■/ 1 — xx loco y habebimus 

j ^j ^ 1 jay 2nxx ' 2nxx 

Hoc va'.ore substituto habebimus hanc aequationem resolvendam : 

aVr= — ^^^-f- (2n+ 1)Y^ 
xV 1 ■ — ■ XX X 

qua ducta in multiplicatorem x ^^ * fiet integrabilis , piodibitque 

^ -^ V i — xx 

ut supra §■ 5. invcnimus, unde pro terminis integrationis stabilitis 
sequitur Ibre 

,-^r■^ rab xrrrOT , w 



§.8. Manente V = /r)2/ (:r x -+- t/î/)" [H;' ^ ^ ° -j-^-] mm«- 

rab x: 



P r O b l e m a Â. 

gra/e intégrale f\xdx [^j^""]. 

S 1 u t i 0. 
Cum supra §. 5. invenerimus 

.fK/^p/. a«x JVÏÉmoiret de VAcad. "^" 



298 

9x 



V — — x^^-t-l f '^^ 

J x^n-l-» V 1— XX 

manifestum est pro nostro problemate fore 

/Yxdx = — /rc^^ + s 5^ y. 9^ 



unde per notissimam reductionem adipiscimur 

rYy.^^—_ ^111:1 r if I L_ r_i^-^ 

y ,^u 271 + 3 J 3c»n-+-2 Vl-xx ' 27i-t-3 /yi— «*' 

Quoniam autem pars prior sponte evanescit posito x—0^ altéra vero fit 

C ,/~^'° , constante ita determinata ut etiam haec pars eva- 

nescat posito a; z= erit 

S c h o 1 i n. 

§. 9. Simili prorsus modo pro iisdem terminis integrationis 
invenirî poierunt sequentes integrationes formularum potestatibus tam 
paribus quam împaribus ipsius x affectarum : 

/Yx^dx=:z\.^-^-^. 
/Vx^dx = Lié . _J_ . !! . 

2 . 4 2Ji -+- 6 2 

y va: oa: — ^ ^ 2,i-:F7 



2 . 4 . 6 ■ 2n-|-8 2 

et ita porro. 

P )• o b l e m a o . 



5- 10. Si fuefit Y z-/^y (a™ -h ?/'";« 

L ad J/ zz: j/ 1 — o," 

invenire intégrale fYx^dx r«''* = o-j 
"^ -^ '■ad X :;:: iJ ' 



ab ?/ inz 



299 

S 1 u t i 0. 

Statu.imus ut supra §. 5. fecimus y^ux, erltque aî/ = xDu 
et x™ -4- î/" :=: ^"^ ( 1 "H "™) ^^ functio proposita fit 



V nr .T™'' + V9» (1 + "™)'' 



ab » := 



ad u :iz: 



i/i -. 



a;" 



X 



_ V 



7/1 —a;'" 



Nihil igitui- impedlt quo minus statim ponamus n — 

3 X 



-, erltque 



9» =: 



m — 1 

a; a; (1 — a.™)"^™" 



1 -f- u'" =: j™ 
quibus substitutis habebimus 



1 —m 
d X {i — x^)~^ 



quod intégrale per hjpothesin evanescere débet facto u rz , hoc 
est xzzz 1. Invento jam hoc valore V habebimus 



sive reduclione ope Lemmatis notissimi facta nanciscimur 



1 — m 



1 — m 
m 



mn-^ X-i- 2 ' 
1 



JM }i -4- À -f- 2 



m — 

(1 — x^i^-^ 



ubi prius membrum pro tcrmino integratlonis x nr evanescit, ita 
ut habeamus 

38 * 



I 



[Yx^ dx rz: 



300 

X^ ^ X 



— "mn-HA-t-^ / !ÎL:nJ 

•^ (1 — a;™) '" 



quod intégrale pro quolibet exponente X facile assignai! poterit et 
pro terminis integrationis stabilitis semper constantem habebit valo- 
rem. Quod si igitur ponatur 
x^ dx 



f 



m— ^ Lad s = l-" " 



(1 — a™) "» 

manifestum est fore 

r ab X :r:z Oi 



J "-ad jczr: 1-" 



mTi -4- X -)- 2 



Corollarium i. 



§. 11. Ponatur X m (> et m zr: 2 eritque 
ideoque 



/ 1 — ïx ad oc n= 1 2 



quemadmodura etiam supra §§. 3, 5 et 7 jam invenimus. 

Corollarium 2. 

§.12. SI fuerit X =r m — 1, erit 

. f ^ rab xrro-. 

A / m--_l Lad x = lJ • 

^ ( 1 — a;") '^ k 

Statuatur 1 — x^zi^z^ eritque x^ * 5a; =; unde intelligitur 

fore 

dz p"" =^=^1 
1 

m s '^ 
quod cum evanescere debeat casu s m 0, fiel C =: 0, pro altero 






r ^— "i _ - -4- c 

Ud z:=:iJ = ;:;'« i" *- 



301 

vero integratiojiis termine z =: 1 fiet ù zn. 1 , hincque concluditur 
fore 

Hinc si fiierit m zzz 2 erit 

ut supra §. 8. invenimus. 

S c h 1 i n, 

§. 13. Hac problematura, arctissimo intcr se vlnculo jun- 
ctorurn, série expedita, aggrediemur aliud formularum integralium 
duplicatarum genus, cui tractando ansam mihi praebuit formula illa 
jydxdyy'cc — xx — yy , cujus valorem Eulerus ab x :zr. ad 
X m a et ah y zzz ad y :zz b investigare docuit in Tomo XIV 
^'ovor. Commentariorum. Sequentia duo probleraata exhibebunt va- 
lores formularum ff- — pro iisdem terminis integrationis. 

P r o le m a 6. 

\. 14. Proposita formula integrali duplicata V ^^^ff =^ 

cjus valorem investigare ab x zz: ad x n; a et ab 
j/ m ad y zizb extensum. 

S ol u t i 0. 
Sit primo sola y variabilis, eritque 

V ce — XX — yy ad > ^^z b 

Facile autem intelligitur fore 

/ _. ^^ — = Are. Sin ^— -j-C 

V ce — XX — yy V ce — xx 

quod cum sponte evanescat sumto y :iz. , posito pro altero inte- 
grationis lermino y zn b, habebimus 

/ ^^ ^ pi' > = n =: Arc. sin -=Jr--= 

V ce — XX — yy ad y =z 6 v' ce — xx 



302 

et formula proposita fiet 

\ — ldx. A .sin _^_ - ['■''' * = 0] . 

■' V ce — XX ad X =r a 

Jam per Lemma notissimum /P3Q rr: PQ — /QôP ei'it 

P, . 6 A • ^ f 6x3c3x 

a-A . sin . ::ir a:A . sin — — / ■ 

■,/ V ce — XX •' I 



y/' ce XX y '^'^ — ^"^ (.'"^ — ^^y '^ '^'^ — ^^ — y y 

quod postvemum membrum ita repraesentari potest 

r bxxBx r M x p Iccdx 

•' {ce — xx) )/ ce - XX - yy ^ V ce—bb~xx {ce - xx) V ce '- xx —-yy 

Est vero, uti constat, 

ï—^3^ = — 6A.sm _JL. 

■^ V ce — bb — XX V ce- — 66 

Secundum vero membrmn, posito x -ziz. c sin (p, fiet 

,- b_ecdx 6c3Cp 

(ce — xx) V ce — 66 — XX CCS Cp ■/ ce cos Ç^ — 66 

quod ita repraesentari potest : 



r bee'dx he'd Q - t/ 66 ■ 

J (cc—xx^Vcc — 66 — XX cosCE" cos±" * 



(ce -^ xx) ■/ ce — 66 — XX cosCp" cosCp" 

cos (t)^ 



Quod si iiunc ponatur tg Cf) rr; -|- , erit — ^-zz.'èz, atque 



~^ — bb ^ z,z, ita ut habeamus 

hoectx , r cTlz, 



f beedx , r 



(ce — xx) / c. — 66 — XX -^ V ce - — 66 — zz. 

unde cum sit 

/c5z A • 2Î 

V" ce — 66 — 23 t' ce — 66 

collectis omnibus terminis pro formula nostra proposita adepti simus 
intégrale 

6 1,1- X 



'^ zzzxk. sin .= rz ~\- bk . sin — ck . sin • 



V ce — XX }/ ce — 66 yf ce — 66 

quod sponte evanescit pro termino integrationis a;z:zO. Sumto 



ab 
g(4J~-^== et 3 ~ -= 
\ ce — aa y c 

pro terminis integrationis stabilitis fiet 



autem x — a^ hoc est sin (î> z f_ et tg (t) - -^=^= et s - 

c a -r -^ ce — aa y' ce — aa'- 



V rziaA.sin — -f-^A-sin "l^ -. — ck. sin 



ah 



V cc^ — aa V ce — 66 v' (ce — aaj(cc — 66) 



3o3 

P r b l e m a 7- 



§. 15. Propositxi formula integrall duplicata \:rzfj 



3xdy 



V ce + xx-i- yy 

ejus valorem mvestigarc, si integralia primo ab sczzzQ 
ad X zn a tum vero ab y zz: ad y zzzb usque exten- 
dantur. 

S o 1 u t i 0. 
Spectetur primo sola y ut variabilis, atque habcbimus 

V —fdxf ^^ = P'^ > = 0] . 

•\/ ic -\- XX -\- yy ad y rrr h 

Est vero, uti constat ex Euleri Inst. Calculi integralis Tomo I. Cap. 
2. §. 89, si ibi ponatur (3=0, aziiicc -\- xx^ y :rz: 1 et x zizy 

f ^^ — C -h Z (y -h ^ ce -4- XX H- î/î/) 

y ce -\- XX -+- y y 

unde, quia pro y zzz fit Q. ziz — l ]/ ce -\- xx concluditur fore 

r d> pal) y ::= Ol / h-' i-V cc-^bb -H xx: 

■' V cc-i- XX ~i- yy ad y n:: 6 V cc-i- xx 

ita Ut habeamus 



nr r^ ,b-\-Vcc-\-bb-i-xx pab.-crzrO-, 

Quod si nunc in subsidium vocetur Lemma iliud notissimum. 
/Pao — PO — /(23p 
prodibit 

> 6 -4- V ce -t- bb -]- XX 1 -. bxxdx 

z=zxl ^ „._,__ ^-/- 



■/ ec -j- XX (^cc -f- xx) V ce -f- fcà - 

Cum autem sit 

xxdx dx ccdx 



(^cc -)- XX) V <:c -+- bb -j~ XX 1^ ce -f- i j _|_ xx (ce -+- xx) V ce -^ bb ■ 

qJj /• dx ^ . X -I- >^ ce -h tfe -H XX 

>■' ce -t- 6i) -t- XX / ec -f- 66 

postrema pars summatoria in valore illo V occurrcns erit 

z' bxxdx , j x-hV ec-i-bb -i-xx 

(ce -H xx) y ce -f- 66 H- XX v' ce -f- ùb 

^ bccdx 



(ec -f- xx) y ce -)- &ù -j- xx 



304 

lunc x—c.tgCP, 
atque habebimus 



Statualui- nunc x-c.tg(P, ita ut sit ^^=^^> "'*"^^-^k« 



•^ (_cc -\- xx) V ce -i- bb -^ XX J 



quod etiam ita repraesentare licet : 

r _ bcd^ _ __ . 5.^90) CCS CD _ _^ /- ^aa^cos0 

/ i//,L , ^cc / Vcc + iè-6èsin$^ Vcc + bbJ V (t ^ 6fcsin(p»x 

^ r uu -\- ^^^ ^-j ^ r v^ i ç^. ^ jj / 

quae postrema formula , posito ^"" ^ zzz z , abit in 

/- 5z . ■ b sin et 

c f :zz c A . sin "^^ , 

V l — sa J^cc + èô 

hincque collectis terminis erjt 

y ^ l fc -4- y* ce -)- 66 ■+- arx _^_ (, [ X -i- V ce -h bb"^ XX __ ^^ _ gjjj & sin (p 

V cc-i-xic V cc-Ç-bb Vcc + bl) 

quod sponte evanescit posito r zn 0. Sumto autera x ::^ a , sive 
te (t) z:z — hoc est sin (h :=: "^ , habebimus pro terminis in- 

^ ^ c ^ Vaa-i-cc '■ 

tegrationis stabilitis 



Y 7 6 -)- y ce -+- 66 -H ja _, > 7 n -+- i-' rc -(- 66 



»' ce -\- aa v' lC -t- 66 

ab 



<?A.sin 



/(ce + 00) (ce +66) ' 

S c h 1 i n, 

§. 16. Hujus postremi problematis solutio quidem tanquam 
corollarium ex praecedentis solutlone deduci potuisset , statuendo 
xy — 1 et yy — 1 loco x et y et imaginarios arcus par no- 
tas reductiones ad logarithmos transmutando. Verum solutio directa 
hic exposita ob egregiam ejus simplicitatem -longe anteferenda est 
illi , quae per tôt et lantopere operosas reductiones procedit. 



3o5 
XII. 

FORMULARUM QUARUNDAM 

INTEGRALIUM I RR ATIO N ALI UM REDUCTIO AD 
RATIONALITATEM. 



Conventui exhibita die 23. Aiiç. 1S26. 



§. 1 . Cum aliquo abhinc tempore , oçcasione problematis 
mechanici, speciem aliquam curvarurn sjnchronarum spectantis, me- 
thodum quaererem forraulam differentialem irrationalem, elementum 
temporis exprimentem , rationalem reddendi et integrandi , frustra 
quidem desudavi , neque ad scopura optatum pertingere mihi licuit. 
Inierim tamen non omnes hujus laboris fructus me perdidisse exis- 
timo ; vai'ia enira conamina, eum in finem suscepta , viam mihi 
apperuere plurimas formulas diflerentiales irrationales , et quidem 
maxime générales, idoncarum substitutionum ope rationales i-eddendi. 
Ex problematum a me solutorum série pi-aecipua, generaliora nem- 
pe , hic exhibere eo minus dubito, quod ob defectum methodi uni- 
versalis formulas differentiales irrationales ad rationalitatem perdu- 
cendi nihil aliud superest , nisi ut quisque catalogum formularum 
ad rationalitatem reducibilium pro viribus supplere studeat. 

P r o b l c m a 1 . 
§. 2. Dénotante i numenan quemcunc/ue , sive integrum , sive 
fraclum, ad rallonalltate perducerecm fonnulam : 



= /, 



s 1 u t i 0. 
Ponatur a -h ère'" m j/" , eritque a:'"""* r).-r t' ^"""' ^ et 
— - ~T~ unde sequitur fore ; 

Suppl. aux Mémoires de V Acaâ. -^ 



3o6 

quibus in formula proposita substitutis, ea induet sequentem formam 

1' ^y (" '^ — t^ " " 

"(A/ - «îg + s>'')'^ 



p &>^— ''— ' r j,7t — m— I ^y (a i — (3 a _t_ (3^")»- 



quae formula igitur semper est rationalis , quicunque numerus pro 
i accipiatur, fractis non exclusis. 

Corollarium 1. ' 

\. 3. Sit exempli gratia i=r| eritque formula proposita 
rationalis reddenda 



= / 



if -\r- g x'^ "■)^ y (a -H 6a;' ")"» 
quae igitur, ob ;i numerum integrum quemcunque, maxime est irra- 
tionalis. Rationaliter autem erit 

p g.x_r— 1 /" >" — "^-'fg^ — (3a-|-J>y9 > 

Corollariura 2. 
§.4. Sit r ::zz , eritque formula rationalis reddenda : 

y (/-H gx"')'^yla -4- ôx'";™ " 
formula vero ad rationalitatera perducta ita se habebit ; 

* •/ (6/ — ag -4- g:ynj'^ 

Corollariura 3. 

§. 5, Exhibeamus casum exponentibus numericis affectum, 
statuendo in praecedente coroUario mz:z 2, nzz^ 3, i:zzl,XrrzI, 
eritque formula reducenda 

a;' dx 



= / 



<.f-hgx^)ya^bx^ 



307 

quac ad rationalitatem perducta hans induct forinam : 



P >• o h l e m a 2. 

§. 6. Denotanle i numerum qxiemcunque , sac mtegnim , sive 
fractum, ad rationalitatem perducere formulam : 

J (y-H gx'")"- y {a -h bx""}-^ ' 

S 1 u t i 0. 

Ponamus „ — zz: v , ita ut habeamus — rx ;? n^V^^ 

}/ (a 4- Z^a;'") ^ a-f-èx'" if' 

sumtisque logarithmis erit 

n ly zzz in Ix — l{ a ~\- J.r'") 

unde sumtis differentialibus fiet 

èy aihx 



Hinc autem sequitur fore 

aix'^ ^'dx 



(a -I- b x'") y^a-i-b .x'") 
e» quo concluditur fore 
x'-^dx 



(a-hbxfn)^y 



ya-f-bx'" "' 

Est vero a:'" = ^-^"-^ , ideoque 

a -f- bx'" z= — ? — 
unde porro fit 

x'-^dx 

dy 



"yCa-i-bx'") '(1 — fc>") 

Tum vero , quoniam est 



39 • 



3o8 



habebimus 



cm 

in\m "^ 






f (a -h bx^"^ = y 
unde ob - =: ^ 



ideoque 



X 



in — 1 



dx 



y'm -- ' dy 

Cum porro sit 



facile intelligitur fore 

his valoribus in formula proposita rite substitutis nancjscimur 

1_ y™ — I (a — («a — |3a) y '' ay 

^ iJ (1 — 6:y")'"-'^-t-'(/— CV— iS)^")^ 

quae igitur rationalis erit, quicquid fuerit i. 

Corollarium 1. 

5. 7. Sit rz^O et a=z:l, eritque formula ad rationalita- 
tem perducenda haec : 

(/ _+_ ^ a;^")^ f (« H- 6 ^"r 
ipsa vero formula rationalis eiùt 

p J_ jym ~ ' (1 — ^>") >-— ^dy 



309 

Corolarium 2. 

§. 3. Ponatur in superiore Corollario i zrz i , X ^= 1 
miz:!,/:::^! et ^ :zr 0, eritque formula irrationalis pioposita 

P^ f ?^f 

formula vero rationalis reddita 

Corollarium 3. 

f 9. Quod si reductionem Corollarii 1 (§. 7.) combinemus 
cum reduclione Corollarii 1 praecedentis problematis (§. 4.) reddi- 
ta erit rationalis formula haec : 

f jkx'" — '^ -j - Bx'"'— ^) dx 

^ ~ J (/-f-^x")^l/ (a H- b z'T ■ 

S c h li n 1. 

§. 10. Quamvis haec formula ex càsibus tantum specialibus 
formularum generaliorum in problematibus nostris primo et secundo 
tractatarum sit conflata, ea tamen adeo est generalis, ut tanquam 
casum specialissimum in se complectatur formulam illam 
dx (1 — a;" — 1) 



/ 



(1 — a;") y 2 a;" — 1 
quam Eulerus in Tomo IX. Nov. Acior.pag 1 1 2 ad rationalitatem 
perducei-e docuit , tanquam formulam inationalem satis late pa- 
tentem. 

S c h 1 i o n 2 . 

§. 11. Formula nostra ^. 9. exhibita adeo generalior est 
illa quaiTi Eulerus in Tomo X. Nov. Act. pag. 1 7 rationalim red- 
didit, scilicet 



/ 



3io 

(Par*"— < -4^ 0.r" — 1) dv 



\m 



denotantibus P et Q functiones formae x^. In nostra enim P et O 
sunt functiones formae C/'-f-S'^'") ^ ■> tum vero nuraeri m et n 
in exponentlbus ipsius a: occurrentes multiplicatorem habent i. 
Multo adhuc generalior est expressio ex formulis ipsorum proble- 
matum nostrorum 1 et 2 composita haec : 

(A x^" — 1 H^ B ,x''" — 1) Ca -+- |3 x'^y d X 



! 



if -f- gx'")^ y (« + bx'")"^ 

quae, cum utramque partem rationalem reddiderimus , quoque ad 
rationalitatem est perducta. 

S c h I i n 3. 
Ç. 12. Quin etîam, si potestates ipsius x in binis factoribus 
binomiallbus fuerint diversae, reductio ad rationalitatem nostrarum 
fovmularum succedet adhibitis iisdem -substitutionibus , quemadmodum 
ex solutione sequentium binorum problematum patefîet. 

Problema 3, 
§. 13. Ad rationalilatem perducere formulam : 

P 






S 1 u t i 0. 

Sit Ut supra §. 2. statuimus 

.in — l -^^ >" 



a H- ôa;'"» == î/" , ita ut a;'" — ^ dx r=: ^-^ et 



a;'" ZZ. ^ ^ ° , atque habebîmus 

C/ 4- 5'^ ) — ^x 



3ii 



quibus subslitutis nanciscimur 

jîX-£r— . /* ;yn — TO — ■ (gfci -)_ (3 ( -yn _ ayyr^ y 

^ i J (M-+-S(y' — a)J)X ~ ^ifl- 

C r 1 1 a r i u m. 

5. 14. Evidens est sumto S z^z. l et e zz: 1 hune casum 
ad casum problematis primi reduci , quod etiam tenendum est de 
problemate sequente in quo continebitur casus problematis secundi. 

P r o b I e m a 4. 
§. 15. ^d rationalitalem perducere hanc formulatn : 






S o 1 u t i 0. 
Ponatur, ut supra §. 6. fecimus , 

= y, eritque — , . ■ r= y" et 






y ia -{- bx'^y^ i(l — by"") 

Porro cura sit x'" - -Jtï^^ , erit x^'" r- «y et a;^'« - — "^^^^ 



Hinc intelligitur fore 

(.a -r P^ j — (j _ j^rejâr 

quibus substitutis nanciscimur 



Additamentum. 

\. 1 6.' Manifestum est formulas genei'ales in praecedentibus 
problematibus ad rationalitatem perductas innumeros casus specia- 



312 

liores in se complecti , quos igitur omnes nunc ab irrationalitate 
liberare et integrare licebit. Fatendum tamen est dari quoque in- 
numeras alias formas, quae in nostris formulis generalibus non sunt 
contentae aliasque postulant substitutiones plus minusve donuni divi- 
nationis exerçantes. Haud paucae interea formulae , licet in supe- 
rioribus non sint contentae, per similes substitutiones rationales fiunt. 
Harum simplicioi'es aliquot hic exempli causa exhibebo. 

Prohlema 5. 
§. 17. Ab irrationalitate liberare formulant : 



= 1 



{3 X -\- x^:) y ii -i- 3 xx^ 

s 1 u t i o. 



t X 

Statuatur ~ — irz p , sumtisque difFerentialibus le- 

y (^1 ■ 1 - o 3C0C) 

garithmicis habebiraus : 

{i-\-x)-^dx dp j -, ii-^-x')dx 

(i-)-=cj(n-3x*) p (1-H3xx)/(1-H3a;x) 

Hinc cum sit j^7_Z^ :iz 1 — p^ sequitur fore 



= / 



3 XX 

d -4- xf dx 



i\ %/ (\ _|_ 3a;a?) ■' ^~'P 



iZx -ha;-^) j/ (1 H- à XX) 






Problema 6. 
§. 18. j4b irrationalitate liberare formulam 
(1 — xfdx 



P' = 



(3 X -\~ x^) |/ (1 -\-2,xx 
S 1 u t i 0. 



1 } - X 
Ponatur ,-^ z:zq ti procedendo ut solutione pro- 



3i3 

blematis 3 habebimus 

(1 -f-3.r.r)v/ (1 -t- 3.rx) — ^ ^ ' i-^'3xi — «^^ 9 -> 

unde seqiiituL' fore 

Cl — xfdx 



3x-4-«' 



p^ — [ Cl --3:)-a.r _ __ - 



(,3 X ~\- x^) y H -j- 3 XX} J i—q' 

C r 1 1 a r i u m . 
Ç. 19. Haec ambo postrema problemata nobis suppeditant 

-N ^/ ■'t dx 

dP — dP' — 

iô -f- XX) j/ (1 4-3 xx) 

IJinc autem adipiscimur 

4 / ^-- = r^d r 3f_. 

y i3 -^ XX) Y {i -h 3 XX) J i — q' J i—t' 

s c h 1 i n. 

^". 2 0. Reductio ad rationalitatem et integratio formulae in 
Corollario praecedente rationaliter expressae est argumentum in pe- 
culiari dissertatione Tomo X. Novor. Actorum inserta ab Eulero 
tractatum. Duplex problematis loco citato traditur solutio, quarum 
piior dat 



/- 



J 1 — q' J 1 — *• 



,3 -i- XX) y a -\- 3 XX) J i—q' J 1—p* 

quemadmodum etiam nostrum CoroUarium habet. Tpsum intégrale 
hic non exhlbeo , ideo quod ab Eulero jam traditum fuit et quod 
in hac dissertatiuncula tantum de liberatione ab irrationalitate agitur. 



SuppI- aur Mémoire* df f jitad. 



40 



3i4 

xiir. 

TENTAMEN 

SOLUTIOiNMS PROBLEMATIS GEOMETRICI 

MAXIME ARDU I. 



CoDTentui exhibita die 23. Aug. 1826. 



^. 1. Considero linteum figuram habens parallclogrammi 
Fie n rectanguli ABCD, piano horizontal! impositum , cujus bina latera 
AB et AC fiimier piano affixa concipianiur, latus vero CD baculo 
annexum, qui circa punctum C, tanquam fixum, elevari queat. 

5. 2. Elevetur Igitur iste baculus in situra Cd, ad angulum 
quem vocemus DCdz^^, et quaeratur figura et superficies lintei 
in hoc situ, assumendo scilicet fila, ex quibus linteum lextum est, 
tara extensionem quam contractionein pati. 

Investigatio figura e. 

5. 3. Statuatur AB^ia, AC rr 6 et pro filo longitudinali 
quocunque tzT sit AT:zzCf^:L Sit s punctum aliquod hujus 
fili, pro quo statuantur ternae coordinatae AX:3::r, XY:^:?/, yZz:i:z; 
demissoque ex t in rectam CD perpendiculo tv habcbimus 
tv zzz t s'in^ et Cv zzz t cos ^. 

pj jjj_ §. 4. Quodsi nunc per puncta t et Z, nec non per w et Y 

ductae concipianiur rectae tT et vT in T concurrentes, tum vero 
per V recta vQ lateri CA parallcla , erit 
f y : YZ — Tj; : TY 
T V : T Y z=: Qv : (2P 
Qv : QP — AC : AX 



3i5 

undc scqulUu- fore 

tv : YZ = AC : AX 
ita ut habeamus 

i/- — ^ — j • 

undc corn luditur fore 
/ - *.%• 

X 5111 r 

j. ;'•, Quod si mine pcr rj. agauir rcrla i/R lateri CA pa» 
rallela, orictur proporlio : 

TQ : Qy = TR : RY 
sive introùuccndo valores linearum, haec : 

/ — t cos ^ : b z:z t — y ■ ^ 
unde sequitur fore 

t(b — x-f-xcos^'i 

y = 6 • 

§. 6. Sumatur intervallum AT z^t constans et prodit aequa- 
tio hujus formae 

y :zz A — Bx 
pro linea recta. Hinc intelligitur si per filum longitudinale quodcun- 
que TZt (fig. 1) planum transire concipiatur , ejus sectionem cum 
piano tabulae fore lineam rectam TYy (fig. 2). 

§.7. In aequatione §. 5. inventa loco t scribatur ejus Talor 
ex S. 4. / izz ■ — ^ — 5, erltque 

•^ WSlll ç ^ 

z (b — X -+- X cos ^) 

^ ■ X sin $■ 

unde sumto x constante prodit aequatio formae 

y =: Ms — N 
pro linea recta. Hinc discimus si per punctum quodcunque X 
sectio fiât piano tabulae norm^lis, sectionem cum nte o fore lineam 
rectam ZX. 



40 



3i6 

î. 8. Quod si autem XY r= j/ constans assnmatiir . ex 
acquatione y rr: ^^''~~^^f° sequitur aequatio hujus formae : 
_/ï _ 

g — /:x 

Si igitur per punctum Y seeundum lineam YZ , in quolibet sensu, 
fiât intersectio, sectio cum linteo erit hjperbola. 

§.9. Si denique in eadem expressione supra pro y inventa 
statuatur YZ zzz z constans, tum prodit aequatio formae 

m — nx 

y ^ 



kx 

unde palet , si plénum concipiatur , piano tabulae parallelum , per 
punctum Z transiens, ejus sectionem cum linteo quoque fore liyper- 
bolam. Ilaec sunt quae de figura lintei monenda habuimus. 

In vestig a tio Superficiel. 

§. 10. Consideretur elementum areale in piano horizontali 
fis- M. YY^ y^y, in quo clémente X.r rz: dx constante, ob 

Yy=:dy— ^- ^^ ~ ^-^ ' '" ^ (§. 5.) 
habebimus 

Y Y' y''y ::3 d^dU m dxdl(b—-bx-h_xcosJ) __ ydxdt 

Nunc quaeratur elementum superficiel lintei huic elemento Yï y'y 
imminens , scilicet ZZ^z's, quod invenitur si elementum Y Y y y 
multiplicetur per secantem inclinationis elementi TIL' %'z ad planuni 
horizontale. 

\. 11. Quo hanc secantem investigare queamus ducamus in 

Fig. 14. figui'a 1 1. '"^ reccara XT , in eamque ex Y demittamus perpendicu- 

lum YS, junctisque punctis Z et S recta ZS erit angulus YSZ in- 

clinatio plani XZT superficiem lintei tangentis in puncto Z. Se- 

cans autem hujus inclinationis quaesita erit || et elementum super- 



317 

ficiei liiitei quaesita ita prodit expressa : 
Z/y z'z — W y'y x g • 

\. 12. Jam cuni sit triangulum XAT simile trianonlo VSX. 
manifcstuîn est fore 

XT : X\ — YX : YS 

tinde concliuiitur fore. 

yo XA . Y X XV 

' — xr~ — Vitt+xx) 
]Iinc autcm deducitur : 

ZS — /(YZ' -+- Y S') — ll£i(^Lt^£2dr«>Zl 

iinde pono naclscimur : 

ZS V (■z.zOt-\-xx)-{~xxy y) 

' YS x;y 

ita ut, substituto in numeratore loco y valore supra \. 7. invento. 
habeamus : 

g =: i- yittzz + xxzz + xxzz (^-»+^Ç° iii' ) : 

YS x> f \ I I XX sin ^-^ ' 

,, • 92 hbzz , /fx4 sin <?' ., ... 

Lst vero xx sin ^ izi -^ et a;a7cs zzz — 1^-^ qiubus substituiis 
nancisciniur 



— ^ Y{ttzz -+- '-g? (W - 2:t; (6 - x) (1 - cos <;)). 



ZS 

YS xy y y '" bb 



\. 13. Ciim igitur supra §. 11. invcnerimus 
ZZ'z'z — YY't/^z/x^ 
ex §. 10. vero sit 

YY^ y'y - ^^ 

superficies IJntei .quaesita crit 

ZZ^ z'z - ^-f^ y C^ -^ bb— 2x(b-xy(l —cos ^)) 
sive ob — zzzt sin <^ erit 

ZZVs = — -/eu sin^ -+. bb — 2x (b — x) (I — cos <>')). 



3i8 

i. a. Hic igitur diiplici integratione opus est, altéra pro 
variabilitate s lius x, alleia pro variabilitate solius /, prioie ab 
X ziz ad xz^b, posieriore ab l :zzO ad t :zza exiensa. Quodsi 
igitur statuatur 

/^/>/(/<sin^' -+-bb^2a(b-x)a - cos^)) [llJ 'zj] — T 

tum tota superficies quaesita, quam voct-mus S, erlt 



^ 15. Ponatur jam .r zr: - ^^ et ^z=.2$ atque habcbinms 
T—JllVilt sln 2^^ 4- i6 cos f + vv sinf ) [^^ :^ = ;,'] . 

Quia nunc hic sola v ut varlabiils spectatur, ponatur brevitatis gra 
tia tt s\n 2 Q^ -\- bb cos &^ zzzX , eritque 

Tz=/^^T/(A-^-..sinO [L:=-^ 

Quodsi nunc actu integretur , habebimus primo 

Tum vero , quonlam est 

/" ^ ,, ,^'" . ,.x r= -7^ / (i; sin â -h 1/ (A -t- i'l- sin $')') 

intégrale quaesitum erit 

T ziz C -H /^j y (A -+- Vf sin f) -f- Tj-yj„ j / (f sin ^ -t- }/ ( A -»- v i; sin ^* 

dum scilicet sumatnr a v zzz — b usque ad v ziz-[- b. 

§. (6. Quoniam igitur, sumto v ziz — b fieri débet Trr:0 
erit constans per integrationem ingressa 

C= + i /(A + 66 sin 0') - ^^^ / (/ (A -+-66 sin ^') - 6 sin $) 
ita ut habeamus 

-, S + i / (A -4- 66 sin $^) _a_ , v/(A-4-wsm»') -\-vsm6 l 

*■ p _|_ -■" y ( A -|- VV sin ^^) ' 46 sin « V (A 4- 66 sin 6^) — 6 sin J ^ 



3i9 

Quod si nunc ponafur, pro altero integrationis termino, v:^z~\-b, fiet 

sItc, restituto loco A suo valore, erit : 

-jy(.«sm^t' +'^'^-' *- ^j,si„j ' y'ttsm2}'-i-bb—'b7mT- 

^. 1 7. Vocetur nunc brevitatis gratia 
i ;/ (/(! sin 2 $' -h bb) :zz? 

1t sia 2 i' -^- bb cos $' . ^-^ fff sin 2^^ -i-^ft) -f- J, s|„ j 

/(i sin l) V ^^fl siu J8^-t-û6y — 6 sin l) ~ 

eritque suj)erfîcies quaesita 

Hic quidem intégrale prius /P'dt facile assignare iicet. Erit cnim, 
a t m ad < zzz a exlensum 

N V V' C"" sin 2 ô' -^ bb 

fPrit — 2 '' 

y 1 (yi s jj^^ ^ n sin2^-|->/( aa sin 2 0' -4- 66) 

C '" i sin 25 o 

^. 18. Postremum autem intégrale in expressione super- 
fîciei S ocourrens 

,., )-\, r» ' = 0-1 />)/ (tt s\a 2 i'^-Jr ^bb cas i^ , ^ J/fjinJ«= _|_ JJ) 4_ J sin « 

•/ ^"* Ud f =: aJ •/ '^ ^ .16 sin « V (ff sin 2f' -f- 66)^- è'iûrj 

non nisi par calcules valde perplexes investigari poterir, meaque 
tentamina integrationeni perfieiendi omnia hucusque vana irritaque 
raansere. Ceterum evidcns est expressionem maxime fore transcen- 
dentem et non solum logarithmes, sed eiiam arcus circulares invoivi. 

J. 19. Casus autem qno iatituilo lintei prae longitudine est 
valde parva ifa ut akiores potestates ipsius t negligi queant, satis 
commode evolvitur. Erit enim 

Prz|-h-;;sin2$^ 



, 6 cos ^' / I I 1" 

1 -f- sin i 



4 sm 5 ' bb " 

R — / 



l — sin ♦ 



320 



unde fit superficies 



„ bt ht co» <' , 1 -f-sin^ 

"s "" 4 sin â 1 — sin tf 



J. 2 0. Sit angulus, ad qucm baculus CD elcvatur, (^nrôG*^ 
ita ut ^ nr 3 erit superficies 

S=:y(I -M/ 3) — 0,9119796 &^ 




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