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MÉMOIRES

DE LA CLASSE
DES SCIENCES MATHÉMATIQUES
ET PHYSIQUES

DE L'INSTITUT DE FRANCE.

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ANNÉE 1800.

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PARIS.
BAUDOUIN, IMPRIMEUR DE L'INSTITUT DE FRANCE,

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GARNER Y, rue de Seine, ancien hôtel Mirabeau.

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- HISTOIRE

DE LA CLASSE DES SCIENCES

MATHÉMATIQUES ET PHYSIQUES

DE

L'INSTITUT NATIONAL DE FRANCE.

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ANALYSE

Des travaux de la classe des sciences mathématiques
et physiques de l’Institut, pendant l’année :809.

PARTIE MATHÉMATIQUE,
Par M. Deramere, secrétaire perpétuel,

nd

Ox a vu dans l’histoire des travaux de la classe en
1808, avec quel succès nos grands géomètres ont su
traiter une des questions les plus importantes et les plus
difficiles de la physique céleste, la stabilité du système
planétaire , et l’invariabilité des grands axes ou des mou-
vemens moyens.

1809. A

2 HISTOIRE DE LA CLASSE.

Nous avons rendu compte du savant Mémoire, dans
lequel M. Lagrange, envisageant la question sous le
point de vue le plus général, avoit su triompher d’une
difficulté qu’il avoit attaquée de front et avec les seules
ressources de l’analyse. Sa solution étoit complète pour
le problème qu’il avoit traité, mais elle étoit bornée à ce
problème. Aujourd'hui il vient d'étendre à un système
de corps qui agissent les uns sur les autres d’une manière
quelconque l'analyse qui lui a réussi pour les planètes.
Le cas qu’il avoit envisagé d’abord n’est plus qu’un cas
particulier d’une théorie qui peut s'appliquer à divers
problèmes de mécanique. Ses formules ne se bornent
plus à une loi unique, telle que celle de la pesanteur uni-
verselle ; elles ne supposent plus les corps mus dans des
sections coniques. Elles fournissent les moyens d'employer
à d’autres recherches les mêmes procédés, dont les mou-
vemens des planètes lui ont suggéré la première idée.

Parmi les autres questions qu’on peut aborder au
moyen de la nouvelle analyse, et qu’il ne sera donné
qu’à peu de personne de prévoir et surtout de résoudre ,
l’auteur en indique une dès à présent , en nous annonçant
qu’elle est encore plus difficile, qu’il s’en occupe et se
propose d’en faire l’objet d’un autre Mémoire. C’est celle
de la rotation des planètes autour de leur centre de gra-
vité, en ayant égard à leur figure non sphérique et à
l'attraction que les autres planètes exercent sur chacure
de leurs molécules.

Dans le cours de ce travail, aussi long qu’épineux,
l’auteur s’est aperçu qu’on pouvoit arriver plus directe-

PARTIE MATHÉMATIQUE, 3

ment à la principale formule et supprimer beaucoup
d'opérations intermédiaires. Mais si le procédé est plus
simple, moins laborieux, il exige aussi pour être bien
saisi une conception plus forte; il peut laisser quelques
doutes dans l'esprit du plus grand nombre des lecteurs ;
l'analyse entière préviendra ces doutes et empêchera les
objections de naître.

À peine ce Mémoire étoit-il imprimé-que l’auteur a
remarqué qu'il étoit susceptible d’une simplification
tout autrement importante que celles dont il avoit déjà
averti.

« La formule qui renferme toute la théorie de la va-
» riation des constantes arbitraires, et à laquelle, dit
» lui-même M. Lagrange, je ne suis arrivé que par une
» analyse longue et compliquée, peut se déduire immé-
» diatement des équations primitives, en sorte que le
» Mémoire, présenté de cette manière, ne contiendroit
» que deuxou trois pages. » Exemple frappant, à joindre
à tant d’autres, qui nous ont fait voir qu’en géométrie la
route par laquelle on arrive pour la première à une décou-
verte difficile est rarement la plus courte. Les expressions
algébriques ont une telle généralité , elles renferment tant
de choses sous un petit nombre de symboles, que les
- plus grands analystes mêmes ne peuvent se flatter de dé-
mêler d’abord tout ce que renferme une formule, et c’est
quand on en a trouvé par une autre voie les conséquences
immédiates qu’on se reproche un défaut d'attention et
qu’on s'étonne d’avoir été si près d’un théorême impor-
tant sans même en soupçonner l'existence.

 HISTOIRE DE LA CLASSE.

C’est le 13 mars 1809 que M. Lagrange lut à la classe
le Mémoire dont nous venons de. rendre compte; il y
annonçoit des recherches sur la rotation qui se lioient
à sa théorie; on ne sera donc pas étonné que,
presque dans le même temps, M. Poisson ait pré-
senté, comme suite à son propre travail sur les varia-
tions des élémens des planètes , un Mémoire sur la rota-
tion de la terre. M. Lagrange nous a prévenus de l’ex-
cessive difficulté du problème; on s’étonnera peu qu’en
le traitant, M. Poisson soit tombé sur des formules dont
Vintégration absolue lui ait paru impraticable. Son objet
étoit d'examiner l’influence des termes du second ordre
dans l’expression de la vitesse de rotation de la terre.
Ces termes naissent du développement en série de la
fonction qui exprime la somme des produits de la masse
de chaque corps attirant par celle du corps attiré, divisés
par la distance mutuelle de ces corps, fonction si heu-
reusement introduite dans ces recherches par M. La-
grange. Dans l'impossibilité d’évaluer tous ces termes,
l'art est de mettre en évidence tous ceux qui peuvent
mériter attention. M. Poisson examine d’abord s’il ne
seroit pas permis de négliger même ceux qui dépendent
du soleil, et il trouve qu’ils sont en effet toujours fort
petits.

Dans des recherches aussi épineuses, on est toujours
forcé de s’aider de quelque hypothèse. Pour ce qui con-
cerne la figure de la terre, M. Poisson suppose que sans
l’action du soleil et de la lune, la terre tourneroit rigou-
reusement autour de l’un de ses axes principaux. Pour

PARTIE MATHÉMATIQUE . 5

prouver la légitimité de son hypothèse, il remarque
qu’elle est justifiée par l’état physique des choses, puis-
qu’on ne remarque dans les hauteurs du pôle , observées
en divers lieux, aucune des oscillations qui résulteroient
d’une hypothèse différente, oscillations dont la durée
seroit d’une année environ. ;

Par des considérations du même genre, il parvient à
écarter les termes relatifs aux deux autres axes princi-
paux, lesquels ne pourroient jamais devenir sensibles
que dans des hypothèses peu vraisemblables, et qui don-
neroient au mouvement de rotation de la terre des pé-
riodes dont la durée n’embrasseroit pas deux années et
qu’on n’a jamais observées.

Il fait voir ensuite que, dans les approximations suc-
cessives, les équations à intégrer conservent la même
forme; il conclut : que l’axe instantané de rotation coïn-
cidera toujours à très-peu près avec le plus petit axe prin-
cipal de la terre, et que les pôles répondront en tout
temps aux mêmes points de la surface; conclusion que
M. Laplace avoit indiquée dans son exposition du sys-
tème du monde.

Ainsi se trouve établi , d’une manière qui est au moins
fort probable, un des résultats les plus importans pour
l’astronomie-pratique, résultat supposé de tout temps par
les astronomes qui n’ont jamais rien remarqué qui püt
leur donner aucune crainte légitime à ce sujet, et qui,
en dernière analyse, se trouve reposer sur leur témoi-
gnage, Mais ce point n’est pas le seul; nous pouvons
admettre avec une certaine confiance que les latitudes

6 HISTOIRE DE LA CLASSE.

terrestres sont invariables ; en est-il de même de la rota-
tion ? Cette seconde question est au moins aussi intéres-
sante que la première. Les latitudes ne pourroient varier,
au moins d’une manière qui méritât quelqu’attention ,
sans que les astronomes s’en aperçussent ; mais le mou-
vement de rotation qui est la mesure du temps sidéral est
l'élément nécessaire de toutes nos observations, de tous
nos calculs, jouit-il de toute l’uniformité qu’on a suppo-
sée de tout temps? Ses inégalités, si elles ne sont pas
très-sensibles et d’une période assez courte, nous échap-
peroient éternellement et pourroient affecter jusqu’à un
certain point toutes nos observations et les conséquences
qui s’en déduisent.

M. Poisson trouve d’abord qu’il faudroit avoir égard
aux termes de l’ordre du carré des forces perturbatrices ;
en les faisant passer successivement en revue il n’en
trouve aucun qui puisse devenir sensible par les intégra-
tions, et parvient à ce résultat que les astronomes avoient
toujours supposé sans trop s’inquiéter d’une démonstra-
tion directe. Pour motiver leur conduite ils pouvoient
alléguer Pimpossibilité d’en suivre une autre, et le suc-
cès constant de la méthode qu’ils ont suivie en tout
temps de supposer d’abord l’uniformité des mouvemens,
de comparer les mouvemens réels à ces mouvemens hy-
pothétiques, et de tirer de ces comparaisons multipliées,
et la vitesse qu’auroient les mouvemens si réellement ils
étoient uniformes, et la valeur précise des inégalités ;
partageant ainsi le problème en deux parties, l’une qui
est la recherche des constantes, et l’autre qui est celle

PARTIE MATHÉMATIQUE. 7

des variations , méthode que les géomètres suivent eux-
mêmes, et sans laquelle les problèmes seroient inso-

lubles.

Nous avons fait remarquer que, pour appuyer des hy-
pothèses qui simplifient les formules ; M. Poisson a fait
valoir les observations astronomiques qui n’ont décélé
aucune des oscillations qui seroient la suite nécessaire
d’hypothèses différentes; mais si ces oscillations n’ont
que peu d’étendue, est-il bien certain que les astronomes
aient pu les apercevoir? Elles auroient des périodes les
unes moindres que d’une année et les autres moindres
que deux années. Pour ne parler que de la plus facile à
reconnoître, l’oscillation du pôle et le changement des
latitudes terrestres , supposons que cette oscillation soit

1 Q . L12
de 1”, et que sa période soit de -— d’années ; au bout de

z années, nous aurons 72 périodes ; le pôle sera revenu à
sa place primitive, et dans l'intervalle, il aura décrit 2
cercles dont le rayon sera 1"; supposons, pour avoir un
exemple sensible que le pôle en un an, au lieu de par-
courir les 360° de son cercle, n’en parcoure que 350; et
qu’à une époque, on ait observé la latitude de Paris, et
qu’en vertu de l’oscillation qui aura été au maximum la
latitude ait paru trop forte de 1”, l’erreur étant propor-
tionnelle au cosinus de o; l’année suivante, à la même
époque, l’erreur ne sera plus proportionnelle qu’au cosi-
nus de 350°, puis 340. Au bout de 9 ans, elle sera nulle ;
au bout de 18 ans de 1” dans le sens contraire : ainsi, au
bout de 18 ans, on pourroit trouver une différence de 2°

8 HISTOIRE DE LA CLASSE.

sur la hauteur du pôle, en un lieu donné. Or, il seroïit
bien impossible qu’une inégalité si peu considérable, et
d’une période aussi longue , fût remarquée par les astro-
nomes, à moins qu'ils n’en fussent avertis expressément ;
enfin, si l’on vouloit montrer, par le fait, la probabilité
d’une telle oscillation, ne pourroit-on pas dire que, par
une suite assez nombreuse d'observations de la polaire
en 1753, Bradley avoit trouvé 51° 28° 41" 6, pour la lati-
tude , tandis que, par une suite plus nombreuse encore,
il n’avoit précédemment trouvé que 51° 28° 38", et qu’il
s’étoit arrêté à 39" 5, qui tient à fort peu près le milieu
entre toutes. On pourroit donc supposer une oscillation
de 2" avec une période assez courte ; ou bien une oscilla-
tion plus grande dont on n’auroit observé qu’une partie.
On sait de même que la latitude de l'Observatoire de
Paris, a été trouvée de 48° 50’ 10’ pendant un temps, et
de 50° 14" à plusieurs autres époques, par Lacaille,
Cagnoli, Méchain et moi. On pourroit attribuer ces dif-
férences à des oscillations dont l’étendue seroit au moins
de 2", et la période d’environ 15 ans ; en sorte qu’il y au-
roit eu 2 + périodes entre Lacaïlle et Cagnoli, et une
seule entre Cagnoli et nous. Il faut dire pourtant
qu'ayant examiné en détail les observations de Bradley,
pendant cinq années consécutives, je n’ai vu aucun ves-
tige de ces oscillations ; que s’il y en avoit une de 2’, elle
pourroit se confondre souvent avec les erreurs de l’obser-
vation ; que la différence de 3" 5 entre les deux résultats
de Bradley pourroit venir de ce qu’il avoit, dans l’inter-
valle, changé de quart de cercle, et surtout de ce que l’er-

mate.

1
gl

PARTIE MATHÉMATIQUE. 9

reur de collimation qui pour Pancien quart de cercle
étoit de 174, et pour l’autre 8” pourroïit bien n’avoir pas
été connue avec une précision suffisante, ce dont on a
beaucoup d'exemples. Quoi qil en soit, pour le présent,
on peut conjecturér que ces oscillations sont ou nulles ou
petites, ainsi que l’a supposé M. Poisson avec tous les
astronomes; mais on n’a pas, ce me semble, de véri-
tables démonstrations, et la chose est assez importante
pour mériter d’être vérifiée avec un instrument qui n’au-
roit pas à craindre d'erreur dans la ligne de collimation.
IH suffiroit d'observer, pendant plusieurs années, avec
le cercle de Borda;, les hauteurs méridiennes de la polaire
au-dessus et au-dessoùs du pôle, pendant les mois de
décembre: et de janvier. Il seroit bien difficile qu’ane os-
cillation, ne fût-elle que de 2", échappât à ces recherches.
Nous aurions à l'analyse de M. Poisson l’obligation de
savoir que la période n’est pas tout à fait d’un an; ce qui
prouve que la latitude doit éprouver une variation gra-
duelle, quand on observe toujours à la même époque ;
et le cercle de Borda fourniroit ce qui manque à la dé-
monstration analytique pour être tout à fait rigoureuse.
Il est rare que la plus belle solution ne laisse rien à
faire de plus à son auteur, ou à ceux qui traitent après
lui le même sujet. T’attention fatiguée d’un grand effort
a besoin de repos, et c’est en revenant sur son ouvrage
qu’on aperçoit encore au-delà de ce qu’on avoit regardé
comme le dernier terme où l’on pût atteindre. Nous
avons parlé des simplifications successives aperçues par
M. Lagrange. Du côté de la fécondité son analyse sem-
1809. B

10 HISTOIRE DE LA CLASSE.
bloit ne rien laisser à désirer; mais les différentielles de
ses: constantes arbitraires entrent toutes à la fois dans
chacune de ces équations finales qui ne donnent inrmé-
diatement que les expressions des coefficiens différen-
tiels de la fonction des forces perturbatrices pris par rap-
port à ces constantes ; il falloit avoir recours à l’élimina-
tion pour conclure les différentielles de celles-ci qui sont
les véritables inconnues du problème. M. Poisson à
‘voulu ‘éviter cette opération subsidiaire en parvenant
d’abord à l'expression de la différentielle de chaque:
constante arbitraire au moyen des coefficiens différen-
tiels de la fonction des forces perturbatrices multipliées
par des fonctions de ces constantes.

Il a pris pour base de ses recherches les équations gé-
nérales de M. Lagrange; et par des idées qui lui sont
propres et des différentiations ingénieusement combi-
nées, il arrive à des équations que l’on peut regarder
comme inverses de celles de M. Lagrange, puisqu'elles,
présentent isolément les quantités qui étoient combinées
dans ces dernières et réciproquement. Toutes ces quan-
tités ne montent qu’au premier degré dans les unes
comme dans les autres , leurs multiplicateurs ne sont que
des constantes ; la forme du système d’équations trouvées
par M. Poisson, a l’avantage de rendre les applications
plus immédiates, il en présente particulièrement deux
qui sont du plus grand intérêt.

La première a pour objet le mouvement d’un point at-
tiré vers un centre fixe, suivant une fonction quelconque
de la distance. Les variables peuvent être séparées dans

| PARTIE MATHÉMATIQUE. 11
les équations du problème ; mais la double intégration
ne sauroit s’achever tant qu’on ne particularise pas la
loi d’attraction. M. Poisson trouve encore des moyens
d’éluder cette difficulté. Par un choix adroit des cons-
tantes arbitraires , il obtient des différentielles qui, se
présentant sous une forme indépendante de la loi d’at-
traction, doivent s’accorder avec les différentielles des
élémens des orbites elliptiques des planètes. C’est ce qui
a lieu immédiatement à l’égard des formules données par
M. Lagrange, et au moyen de quelques transformations
par rapport à celles de M. Laplace. À

Pour seconde application, M. Poisson choisit les équa-
tions du mouvement de rotation d’un corps qui n’est
soumis à aucune force accélératrice.

Les expressions des six constantes arbitraires des-
‘quelles dépendent tous les coefficiens à calculer, sont
absolument de même forme que les différentielles des
constantes analogues dans la première application. L’au-
teur montre que cette similitude est due au choix qu’il a
fait des constantes , et il termine son mémoire par cette
conclusion vraiment remarquable :

Que les perturbations du mouvement de rotation des
corps solides de figure quelconque dues à des forces d’at-
traction quelconques, dépendent des mémes équations
gue Les perturbations du mouvement d'un point attiré
vers un centre fixe; ainsi la précession des équinoxes
et La nutation de l'axe terrestre seront exprimées par les
mémes formules qui donnent les variations des élémens
elliptiques des planètes,

HISTOIRE DE LA CLASSE.
Le peu que nous avons dit suffira pour faire regretter
à nos lecteurs de ne pas trouver le mémoire de M. Poisson
réuni dans le même volume, avec ceux de M. Lagrange,
dont il s’est montré le digne continuateur.

12

Recherches sur diverses sortes d’'intésrales définies,

par M. Legendre.

On vient de voir par un exemple bien digne de
remarque, comment les points principaux du système
du monde ont fourni aux plus grands géomètres, les oc-
casions de perfectionner et d'étendre les moyens et les
ressources de l’analyse. Le génie excité par une grande
difficulté que présente une question intéressante,
recueille toutes ses forces et crée des théories auxquelles
peut-être il n’auroit jamais songé. Il n’en est pas moins
vrai que la recherche de ces moyens nouveaux que
chaque problème exige, et qu’on ne trouve pas toujours
à point nommé , rallentissant le travail, font abandonner
souvent des questions qu’on ne peut ramener à aucune
méthode connue. On ne sauroit donc trop encourager
les recherches de ces savans courageux, qui, par le
simple amour de la science, s’attachent à des objets de
pure spéculation, ajoutent à nos richesses et préparent
des méthodes qui auront quelque jour leurs applications,
quand bien même ces applications ne paroîtroient pas
très-prochaïnes. Ces théories ont fait les principaux titres
de gloire des Leibnitz, des Bernouilli, des Euler, des
Lagrange, et c’est dans ce genre surtout que s’est distin-

PAR TLE MATHÉMATIQUE. 13
gué M. Legendre quand il a traité des sphéroïdes , de la
‘théorie des nombres et des transcendantes elliptiques,
auxquelles se rapportent plus particulièrement les
recherches quenous annonçons.

Euler, en plusieurs endroits dé ses ouvrages, s’est oc-
cupé des diverses sortes d’intégrales définies. Les géo-
mètres qui ont eu occasion de se servir de ses méthodes
n'y avoient ajouté rien d’essentiel, et M. Legendre pa-
rot être le premier qui ait donné quelques th£orêmées
“houveaux sur cette matière ; mais comme ces théorèmes
métoient pas l’objet principal qu’il eût alors en vue, il
s’étoit presque contenté de les indiquer. Il a reconnu
depuis que ses méthodes pouvoient se lier à d’autres de
même genre; que de ce rapprochement il résultoit
quelques théorèmes nouveaux, et des approximations
‘d’un usage facile.

C’est cet ensemble qu’il a présenté dans un mémoire
(lu le 13 novembre 1809). Dans limpossibilité où nous
sommes d’en donner ici un extrait détaillé qui nécessite-
roit l’emploi continuel dés symboles algébriques. nous
nous bornerons à indiquer ce qui appartient plus spécia-
lement à l’auteur, qui, pour se faire entendre, ayant dû
reproduire les théorêmes d’Euler, avoit modestement
laissé à son lecteur le soin de distinguer ce qu’il avoit
ajouté lui-même aux idées de ce grand géomètre.

Ce mémoire sans division apparente contient cepen-
dant quatre parties.

Dans la première , qui traite des intégrales de la forme

1 4. .HISTOLURE! DE LA CLASSE,

207 dx | ,
re prises depuis æ = o jusqu’à TL. HR,
Vi—2")
désignées par Euler par le symbole (2), on peut re-
garder comme choses nouvelles l'expression générale

- des intégrales (2) pour une même valeur de z en

[74
; la for-
A 1 0

fonction des auxiliaires de la forme

mule qui réduit le nombre des auxiliaires à moitié, dans
le cas de z pair; enfin, la valeur approchée de toute

transcendance (2); dans le cas où p et g sont très-
petits par rapport à 7.

Dans là seconde, l’auteur prouve que le rapport des

c zPEdxlog. p—a
. 1 0 T T dx
intégrales définies f° - _— est
ÿ/ C1 — x") Y'a 2x1)

toujours donné par une fonction qui ne contient d’au-
tres transcendances que des arcs de cercle et des loga-
rithmes; ce qui généralise complètement le théorème
d’Euler.

Dans la troisième, il fait voir que les intégrales suc-

1

1 :
SA = PEN RE
cessives. f°—<"# > E Pure f—— etc. dépen-
Vo 2) Vi — x7)
dent en général de la somme des termes pris de z en z
dans la suite réciproque des puissances de degré z des

aombresnaturels.Ces sommes sedéterminent pourchaque

. PAR TE /MATHÉMUATIQUE. 15

valeur de 7 par lacirconférence du cercle ou par quelques
auxiliaires ; et la meilleure méthode pour calculer celles
qui ne sont pas déterminables exactement, est d’em-
ployer les suites demi-convergentes affectées des nombres
bernoulliens, suivant les exemples papes par Euler
dans son Calcul différentiel.

A cette occasion, et plus particulièrement dans la
quatrième partie, l’auteur explique avec détail, ét d’une
manière nouvelle, l’usage des suites NE ne ,
c’est-à-dire qui ne sont convergentes que jusqu’ à un cer-
tain terme, et qui devi iennent ensuite divergent tes. II fait.
voir que ces suites, au moins dans l'espèce dont il s’agit,
sont propres à donner tout le depré d’approximation
qu’on peut désirer.

Dans la quatrième partie consacrée à l'intégrale
fax (2og. ET prise entre les mêmes limites + —0
æ—1et désignée par T (2), l’auteur fait voir comment
Jes al. (2) T (#1) se déduisent l’une de

l’autre; et comme les transcendantes T (m1) ne sont fonc-
tion que d’une seule variable, il s’attache particulière-
ment à leur détermination. Il prouve d’abord qu’il suffit
de connoître la fonction FT (#21) pour les valeurs de »,
prises dans l'intervalle d’un quart d'unité ; par exemple
depuis mn — + jusqu’à m — 1, il indique ensuite la mc-
thode pour calculer directement chacune de ces quantités
avec toute l’exactitude nécessaire. Cette partie est termi-
née par une table des valeurs de la transcendante T (x)

16 MISTOIRE DE LA CLASSE.
depuis == 1 jusqu'a æ +}, au moyen de laquelle ow
peut calculer très-promptement, non-seulement la valeur
-de cette transcendante pour toute valeur de æ, mais

même toutes les transcendanñtes (2) considérées dans

la première partie.

De la libration de la lune, par M. Laprace
et M. Bouvarn.

Ox sait depuis long-temps que la Lune, dans sa révo-
lution , tourne toujours la même face vers la terre : cette
vérité étoit connue des anciens, et pour la découvrir, il
suffisoit d'examiner avec quelque attention les taches de
la Lune. Galilée le premier s’aperçut de quelques mou-
vemens qui couvroient et découvroient alternativement
quelques petites taches situées vers les bords, et il donna
une explication vraie d’une partie de ces mouvemens;
Hevelius et quelques autres astronomes observèrent et
mesurèrent avec plus de suite ces phénomènes. Mais
Dominique Cassini fut le premier qui emconçut le méca-
nisme bien complet, et c’est une de ses plus belles décou-
vertes. Mayer, dans:un mémoire très-curieux , en donna
des observations plus précises avec une meilleure mé-
thode pour les calculer. Quant à licause physique , elle
fit le sujet d’un prix proposé par P Académie des seiences,
et remporté par M. Lagrange qui depuis l’exposa plus
complètement: encore dans un mémoire qui est au rang
de ses plus belles productions. Lalande fit, vers 1764,

PARTIE MATHÉMATIQUE. 17

diverses observations qui confirmèrent les résultats de
Mayer dont il adopta la méthode. Cette méthode r’étoit
pourtant qu’approximative , et en l’examinant il ÿ a plus
de vingt-cinq ans, j’avois été surpris que l’auteur aussi
bon géomètre qu’il étoit excellent astronome , ne se fût
pas aperçu qu’en laissant aux formules toute leur géné-
ralité, on en pouvoit déduire une solution rigoureuse et
qui réussiroit également bien, quelle que fût l’inclinai-
son de l’axe; au lieu que l’approximation de Mayer,
qui, d’ailleurs, n’abrège en rien le calcul, cesseroit
d’être suffisante pour une inclinaison double ou triple de
celle de l'éqsefeus lunaire. Je fis de cette remarque
l’objet d’un mémoire que je remis à Lalande, et dont il
fait mention dans les additions à la Leone édition de
son Astronomie, tom. III, page 736. J’ai exposé cette
méthode dans mes cours au collège de France, mais je
n’ai fait aucune observation pour constater un phéno-
mène avéré et parfaitement démontré, Il n’est pourtant
pas inutile de le vérifier de temps à autre, ne fût-ce que
pour voir s’il n’offriroit pas à la longue Se anomalie
qui auroit échappé à l’analyse : c’est ce qu’ont senti
MM. Laplace et Bouvard qui en ont fait le sujet de deux
mémoires qu’ils ont lus à la classe, mais qu’ils n’ont pas
encore déposés au sécrétariat. Tout ce qu’il est possible
d’en dire ici de souvenir, c’est que M. Bouvard a de son
côté fait la remarque qu’il n’étoit nul besoin de recourir
aux approximations ; que sa méthode, quoique différente
de la mienne, est également rigoureuse et directe, et ce
qui est plus important, que ses résultats sont parfaite.
1809. c

18 HISTOIRE DE LA CLASSE.

ment d’accord avec ceux de Mayer, et c’est une nouvelle
preuve de l’habileté de ce grand astronome; car Mayer
n’avoit que les instrumens les plus médiocres, et
M. Bouvard avoit l’avantage d’employer un bel équato-
rial de Bellet qui lui fournissoit les moyens de mettre dans
ses observations une précision plus grande et plus cer-
taine. Ajoutons enfin que ces observations sont aussi
bien plus nombreuses, et qu’elles ont pleinement confir-
mé la théorie.

Formules générales pour Les perturbations des ordres

supérieurs, par M. Burckhardt.

CE Mémoire a été lu le 29 août 1808, et nous avions
omis d’en parler il y a un an, parce que nous ne avions
pas entre les mains. Il étoit d’une date plus ancienne
encore et qui remonte à 1803. L’auteur en avoit égaré le
manuscrit, en le refaisant il y a inséré quelques dévelop-
pemens ultérieurs qu’il a soin d’indiquer.

Ce nouveau Mémoire contient les perturbations des
troisième, quatrième, cinquième et sixième ordres. Les
termes dépendans des inclinaisons y manquent, parce
que l’auteur a trouvé qu’ils étoient sujets à quelque em-
barras , et il avoit proposé d’employer dans l’approxima-
tion , les sinus verses au lieu des tangentes, et il n’a pas
encore eu le loisir de suivre cette idée.

ets ceux qui ont essayé d’appliquer à certaines pla-
nètes les formules générales des géomètres, ont pu juger
par expérience combien ces développemens sont embar-

PARTIE MATHÉMATIQUE. 19

rassans par la complication des facteurs. Il est presque
impossible que l’attention venant à se lasser il ne se glisse
quelque erreur , et l’on auroit besoin d'équations de con-
dition qui donnassent les rapports des différens termes,
afin qu’on pût les vérifier les uns par les autres: c’est à
quoi s’est appliqué M. Burckhardt. [l donne d’abord un
théorème pour ramener à la théorie de la planète trou-
blante, les différentielles qu’on auroit calculées pour la
planète troublée, parce que ces changemens sont conti-
nuels dans ces sortes de calculs. Il a reconnu par le fait
que les coefficiens de certains termes du troisième ordre
ont les troisièmes différences égales au cube de 3; ceux
du quatrième ordre, les quatrièmes différences égales à
la quatrième puissance de 4; ceux du cinquième, aux
cinquièmes puissances de 5, et qu’en général on arrive
a des différences constantes. Ilen fournit les exemples.
Les termes qui résultent d’une manière constante et
uniforme de laddition des angles, lui ont offert une
marche bien plus régulière que ceux qui sont formés par
addition et la soustraction ; mais il ne croit pas impos-
sible que ces termes, si on les rangeoit dans un autre
ordre, ne présentassent plus de facilités à découvrir la
loi de leurs accroissemens.

Dans la seconde partie l’auteur a réuni les perturba-
tions des ordres supérieurs qui ressemblent et peuvent se
réunir à ceux des ordres précédens..

La troisième partie contient les termes séparés qui

résultent de l’équation (7), n°. 46, Liv. II de la méca-
nique céleste.

20 HISTOIRE DE LA CLASSE.

Mémoire sur plusieurs movens propres à perfectionner
Les tables de la lune, par le même.

Ce Mémoire, lu le 30 janvier 1809, a été joint au
précédent, et termine le volume de 1808, qui va pa-
roître.

On sait que la théorie n’a pu ou n’a osé entreprendre
les calculs nécessaires pour déterminer les coefficiens
des diverses inégalités de la lune, on a préféré de les
tirer de l’observation.

La méthode qu’on suit dans ces recherches, est de lais-
ser dans la formule de la longitude ou de la latitude de
la lune sous forme indéterminée, tous les coefficiens in-
connus en les multipliant par la fraction qui exprime le
sinus ou le cosinus de l’argument duquel dépend l’iné-
galité. On réunit en une masse toutes les équations où
le même coefficient a les plus forts multiplicateurs posi-
tifs, on fait une autre somme où ce même coefficient a
les plus forts cofacteurs négatifs , et de cette comparaison
résulte la valeur la plus probable du coefficient inconnu,
celle qui satisfait le mieux aux observations. Cette mé-
thode, qui a dù être celle de Mayer et Mason , a depuis
été suivie par M. Bürg , et tous ceux qui ont calculé les
tables depuis vingt ans.

Cette méthode est facile et n’offre d’autre inconvénient
que la longueur des calculs quand on prend les observa-
tions par milliers, comme il le faudroit si l’on vouloit
déterminer les coefficiens des égalités que leur petitesse

PARTIE MATHÉMATIQUE. 21

a fait négliger dans la théorie de la lune. M. Burckhardt
nous offre aujourd’hui un moyen bien simple pour abré-
ger ces calculs, puisqu'il dispenseroit de calculer et de
sommer tous ces sinus de l’argument.

Concevez une série de sinus d’arcs qui forment une
progression arithmétique décroissante depuis 90° jusqu’à
90° moins une limite donnée y. M. Burckhardt a trouvé
qu’on auroit assez exactement la valeur du coefficient
cherché , en employant au lieu du sinus moyen arithmé-
tique le sinus de y divisé par l’arc y. D’après cette idée, il
expose les règles à suivre dans ces recherches où l’on est
exposé au désagrément de trouver, après bien des cal-
culs, que l’inégalité qu’on cherchoit est nulle ou tout-à-
fait insensible.

Pour essai de sa méthode, M. Burckhardt a choisi
parmi treize cents observations de M. Maskeline, et s’est
proposé de déterminer une inégalité qui auroit pour ar-
gument l’anomalie moyenne de la lune, augmentée de
lPargument qui règle l’inégalité dont la période est de
cent quatre-vingts ans. Neuf cents observations lui ont
donné 47 pour coefficient. Il désire qu’on s’assure par
de nouvelles recherches de la bonté d’une équation qui
mériteroit si bien d’entrer dans les tables.

Mayer a remarqué qu’on diminuoit considérablement
le nombre des équations en employant dans la formation
de tous les argumens ie lieu vrai du soleil, et dans ceux
des principales inégalités le lieu de la lune, corrigé suc-
cessivement par toutes les inégalités précédentes ; mais

-il en résulte cet inconvénient qu’on ne peut renfermer

2 HISTOIRE DE LA CLASSE.

les argumens transformés dans les tables ; que leur for-
mation reste à faire au calculateur; ce qui augmente
considérablement le travail pour ceux qui composent
des éphémérides, sans parler de la chance des erreurs
que cet arrangement augmente sensiblement. Aussi
Lambert et Schulze avoient-ils essayé de ramener les
tables de Mayer à leur#forme primitive et moyenne ; mais
ils avoient considérablement augmenté le nombre des
équations; et ils en avoient négligé d’autres qui pou-
voient assez souvent produire des erreurs de plusieurs
secondes. Quand je fus chargé de diriger les calculs de
la connoissance des temps, j’avois cherché à diminuer
le travail en ramenant aux mouvemens moyens toutes
les inégalités , à la réserve de l'équation du centre de la
variation et la réduction à Pécliptique que je corrigeois
à l’ordinaire; mais quoique j’y trouvasse un avantage
sensible, la crainte de dérouter les calculateurs en chan-
geant leurs habitudes, et la nécessité de calculer de nou-
veau les tables de la lune presque en entier, me fit
ajourner l’exécution de ce projet. M. Burckhardt conçut,
de son côté, le même dessein qu’il produit aujourd’hui
sur un plan un peu différent ; il propose d'employer au
calcul de l’évection le lieu corrigé de la lune. Les quatre
derniers argumens seront les seuls qui aient besoin d’être
corrigés à la manière ordinaire, et cette correction sera
bien facile, il suffira d’appliquer la somme simple ou
double des petites équations. Dans cette forme il ne lui
faut que cinq équations de plus que dans les tables ordi-
naires, en sorte que nous différons seulement sur lar-

PARTIE MATHÉMATIQUE. 23

gument de l’évection dans lequel je n’employois , comme
Mayer, que les moyens mouvemens de la lune, et que
je corrigeois seulement de la double équation du soleil.
De cette manière nous pouvons n’employer dans presque
tous les argumens que la division décimale du cercle +
comme dans toutes les autres tables modernes; ce qui est
déjà un avantage très-précieux. M. Burckhardt a donné
sa formule où l’on voit en effet que ses équations nou-
velles ont pour la plupart des coefficiens fort petits.
Il restoit à donner aux tables la nouvelle forme qui doit
abréger les calculs sans leur rien ôter de leur précision.
M. Burckhardt a lui même entrepris ce travail et nous
avons la satisfaction d’annoncer qu’il l’a presque entière-
ment achevé.

M. Burckhardt termine son Mémoire par l’examen
d’un cas qui peut se rencontrer, et auquel je n’ai pas vu
queces tables donnassent lieu. Supposons deux équations
dont les coefficiens soient presque égaux, que la longi-
tude du soleil entre dans l'argument de l’un, et que l’ar-
gument du second, tout pareil d’ailleurs , emploie l’ano-
malie moyenne au lieu de la longitude. On pourra réunir
ces deux équations en une seule qui aura pour argument
Pangle commun aux deux équations, plus l’anomalie
moyenne, plus un angle constant qui différera peu de
45°. Dans ce cas, si l’on vouloit déterminer les deux
coefficiens partiels par l’observation de l’inégalité com-
posée, on pourroit se tromper sensiblement sur le lieu
du maximun , et les coefficiens ne pourroient être déter-
minés avec exactitude. M. Burckhardt pense que, dans

24. HISTOIRE DE LA CLASSE.

ce cas, on fera mieux de supposer d’abord l’anple cons-
tant de 45° juste, sauf à le faire varier ensuite par divers
essais, pour reconnoître la valeur qui satisferoit mieux
aux observations.

Comète DE HALLE,

Dans un autre Mémoire lu le 10 juillet, le même astro-
nome a calculé les perturbations de la comète de Halley
qui a reparu en 1769, et qui est attendue vers 1736. Il a
trouvé que l'attraction de la terre aura changé de seize
jours la durée de la révolution,

Manières d'orienter une chaïfne de triangles.
5

M. Burckhardt, qui a formé le projet d’une grande
opération géodésique pour joindre des observatoires très-
différens en longitude, a senti combien une détermina-
tion exacte des azimuts importoit à la réussite de son
projet, et il a examiné les avantages et les inconvéniens
particuliers à chacune des méthodes connues.

Celle à laquelle on accorde communément plus de
confiance est une mire placée dans le méridien, au
moyen d’un instrument des passages. Nlais pour placer
cette mire par les étoiles circonpolaires, il faut beaucoup
de temps et une excellente pendule, ce qui ne se peut
guères que dans les observatoires fixes. On peut y em-
ployer deux étoiles très-différentes en déclinaison comme
la Chèvre et Rigel. J’ai donné pour ce cas des formules
commodes, et elles m'ont constamment réussi ; mais on
peut dire que l’exactitude qui est suffisante pour obtenir

PARTIE MATHÉMATIQUE. 25

les ascensions droites des étoiles et des planètes par leurs
passages observés, pourroit très-bien ne l’être pas assez
pour avoir les azimuts avec la dernière précision. D’ail-
leurs, les lunettes méridiennes qu’on peut porter en
voyage n’ont presque jamais ni les dimensions nila parfaite
exécution de celles des observatoires en règle. L’axe
optique peut n'être pas parfaitement perpendiculaire à
l’axe de rotation. Celui-ci peut avoir une légère inclinai-
son. On se rassure à cet égard, quand différentes étoiles
connues passent à la lunette à des intervalles exactement
égaux à leurs différences d’ascension droite, et l’on sup-
pose que la lunette n’a aucune déviation; mais j’ai prouvé
dans la connoissance des temps de 1810, que si la
déviation et l’inclinaison de l’axe de rotation sont entre
elles dans le rapport du sinus au cosinus de la latitude
du lieu, la lunette décrira un cercle horaire; les diffé-
rences observées d’ascension droite seront exactes ; mais
le point où la lunette coupera l'horizon ne sera pas dans
le méridien, et l'erreur se portera en entier sur l’azimut.
Il n’est pas même nécessaire que ce rapport soit rigou-
reusement exact, il suffit qu’il soit approché ; les erreurs
seront insensibles sur les différences d’ascension droite;
on les attribuera à la petite incertitude de chaque obser-
vation , et celle de l’azimut , pour être ignorée , n’en sera
pas moins réelle. Je passe sous silence d’autres causes
d’erreurs exposées par M. Burckhardt, et je pense avec
lui que cette recherche est certainement l’une des plus
délicates , et peut-être la plus difficile de toute l’astrono-
mie. Quand le major général Roy voulut orienter la

1899. D

26 HISTOIRE DE LA CLASSE.

chaîne de triangle entre Greenwich et Dunkerque, il fit
élever à grands frais un échafaud au-dessus de Pinstru-
ment des passages de l’observatoire; il ne négligea rien
pour mettre le centre de son théodolite dans la même
ligne verticale que celui de la lunette méridienne pour
profiter de la mire établie avec tant de soins et vérifiée
tant de fois, et avec toutes ces attentions , il seroit peut-
être téméraire de répondre de son azimut à 3 ou 4” près
de degré.

M. le baron de Zach a imaginé de placer des globes
de verre dans la direction présumée du méridien, de
prendre avec un sextant des distances orientales et occi-
dentales du soleil à ces globes, pour en conclure de
combien chacun s’écarte du méridien vrai; après quoi
rien de plus facile que de placer exactement la mire. Ce
procédé est ingénieux, et je l’ai mis en formules qu’on
peut réduire en tables de mème genre à peu près que
celle qui est connue sous le nom d’équation du midi ou
des hauteurs correspondantes. M. de Zach a trouvé de
cette manière la même direction que celle qui lui étoit
indiquée par le bel instrument des passages de son obser-
vatoire de Seeberg ; mais j’ai peine à croire que ce moyen
soit plus précis que celui du général Roy.

Un instrument vertical et azimutal tel que celui de
Palerme , n’est guère de ceux qu’un voyageur traîne à
sa suite. Nous sommes donc dispensés d’examiner si
cet instrument donneroit la précision désirée, ce que
M. Burckhardt paroît révoquer en doute. Il reste donc
les distances du soleil ou d’une étoile connue à un objet

PARTIE MATHÉMATIQUE. 27

terrestre. L'observation est assez facile, et peut se varier,
et surtout se répéter de manière à rendre les erreurs in-
sensibles; mais il faut une connoissance parfaitement
exacte de l’angle horaire, et par conséquent une pendule
excellente et bien réglée, soit par les hauteurs absolues,
soit par les hauteurs correspondantes. Or nous avouerons
qu'aucune de ces deux manières ne nous paroît suscep-
tible de la précision de 2 à 3’ de degré pour l’azimut.

M. Burckhardt examine lequel on doit préférer du so-
leil ou de étoile polaire. J’ai moi-même discuté cette
question dans le second volume de la base du système
métrique décimal; il m’a paru que tout étoit assez égal
de part et d’autre, et que le soleil étoit infiniment plus
commode. Au reste, cette question étoit bien moins in-
téressante'dans la mesure d’un arc du méridien, et nous
nous rangerions volontiers à l’avis de M. Burckhardt,
qui paroît donner la préférence à la polaire dans ses
digressions comparées à une mire placée dans le pre-
mier vertical. Ces attentions contribueroient puissam-
ment à l'exactitude demandée ; etnous n’aurions qu’une
crainte, c’est qu’elle ne fussent pas toujours au pouvoir
de l’astronome voyageur, qui seroit obligé d'établir son ob-
servatoire sur une montagne éloignée de toute habitation.

Le Mémoire est terminé par des renseignemens sur la
manière de faire les observations avec le cercle de Borda ;
et par les formules différentielles qui expriment les effets
des différentes erreurs qu’on peut craindre. On trouvera
des recherches pareilles dans l'ouvrage cité plus haut.
Nos formules mènent aux mêmes conséquences. J’ai de

28 HISTOIRE DE LA CLASSE.

plus fait entrer dans le calcul la réfraction terrestre de
la mire ; mais l'erreur qui en provient est nulle, si la mire
est dans l’horizon.

Pour terminer la notice des travaux de M. Burckhardt,
j'ajouterai qu’il a déterminé avec deux différentes ai-
guilles Pinclinaison de l'aiguille aimantée. La première
a donné 68° 47' 1", l’autre 68° 47 4', les 10 et 20 août
1809. M. Gay-Lussac avoit fait vers le même temps
des observations pareilles avec une autre boussole , mais
comme son inclinaison différoit de quelques minutes de
celle de M. Burckhardt, les deux observateurs sont con-
venus de multiplier les épreuves, pour démèêler , s’il est
possible, la cause de la différence. On sait d’ailleurs
combien ces observations sont délicates.

Longueur du pendule.

M. Biot a lu une note sur les observations du pendule
faites aux deux extrémités de la méridienne, c’est-à-dire
à Formentera, et à Dunkerque, en société avec
MM. Arago et Mathieu, et sur l’aplatissement qui en
résulte. Cette note ne nous ayant pas été remise, nous
nous bornerons à dire que toutes ces observations pré-
sentent l’accord le plus étonnant avec celles-qui ont été
faites à Bordeaux, à Figeac, à Paris, par les mêmes
observateurs et Borda, et qu’elles donnent un applatis-
sement très-peu différent de + que j’ai trouvé par la
comparaison de notre arc avec celui du Pérou.

M. Biot a lu dans la séance publique de janvier 1810

PARTIE MATHÉMATIQUE. 29

un Mémoire où il a rendu compte de ses travaux et de
ceux de M. Arago pour la prolongation de la méridienne.
(Voyez à la suite de l’histoire).

Mesure des hauteurs à l’aide du baromètre.

On se souvient avec quelle attention scrupuleuse
M. Ramond a répété, varié et combiné les observations
barométriques à l’aide desquelles il a modifié le coeffi-
cient de la formule barométrique de M. Laplace. M. de
Prony a pensé que ce coefficient étoit trop fort dans les
petites hauteurs auxquelles le coefficient primitif con-
venoit beaucoup mieux. Il s’appuyoit sur l'expérience
qu’il avoit faite au Mont-Cenis. Cette remarque de
M. de Pronyÿ a engagé M. Ramond dans un fort grand
travail, dont il nous a communiqué les résultats le 26
juin. Pour lever toute incertitude sur la bonté de son
cocfficient pour les hauteurs médiocres, il a pris le parti
- de mesurer un assez grand nombre de fois la hauteur de
plusieurs points situés aux environs de Clermont-
Ferrand. M. de Cournon, ingénieur en chef, a bien
voulu se charger de déterminer par des nivellemens sépa-
rés les hauteurs des mêmes points. Avant de se commu-
niquer les résultats des deux méthodes, les observateurs
Jes ont fait constater de la manière la plus authentique.
La conclusion a été que, sur les hauteurs de six points
divers déterminées par quarante-huit observations baro-
métriques , les différences n’ont monté qu’une fois à © de
mètre , deux fois à +, et deux fois a + ; que les écarts au-
tour de la moyenne ne passent guères deux mètres dans

30 HISTOIRE DE LA CLASSE.

les quarante-huit observations auxquelles on doit ajouter
confiance. Pour en trouver de 4 mètres, il faut aller
rechercher cinq observations si suspectes, que M.
Ramond a cru devoir les rejeter. Les six hauteurs étoient
entre 300 et 600 mètres. Il en conclut que le coefficient
corrigé n’est pas moins exact pour les médiocres diffé-
rences de niveau qu’il ne la paru pour les hauteurs plus
considérables. Il resteroit donc à montrer la raison qui a
fait trouver une erreur sensible sur la hauteur du Mont-
Cenis. M. Ramond expose à ce sujet ses conjectures. Il
suppose que le mercure devoit être trop bas dans le baro-
mètre supérieur, et la preuve qu’il en apporte c’est que
l'élévation du mercure observée au haut du Mont-Cenis,
combinée avec la hauteur qu’il affecte aux bords de la
mer du sud, donne précisément la hauteur que M. de
Saussure assigne à cette montagne. Or, on sait qu'aux
bords de la mer du sud le baromètre se tient environ

trois-millimètres plus bas qu'aux bords de nos mers. De

plus, Saussure n’employoit dans ces comparaisons que
les hauteurs observées dans nos régions. Ainsi, pour
que l’observation de M. de Prony s’accordât à donner
au Mont-Cenis la hauteur qu’il lui donne en effet, il faut
que son baromètre se soit tenu trop bas et fort au-dessous
de la moyenne hauteur qu’il affecte dans ces montagnes.
Si l’on compare l’élévation de ce baromètre aux hauteurs
simultanées observées à Paris et à Clermont, on trou-
vera , sur la hauteur de la station , une erreur d’une cen-
taine de mètres ou plus. Donc, conclut M. Ramond,
l'erreur du baromètre est un pur accident qui ne prouve

PARTIE MATHÉMATIQUE. 31

rien contre le coefficient. Mais quelle peut être la cause
de cet accident? c’est ce que ne prétend pas décider
M. Ramond, puisqu'il ne connoît ni l'instrument, ni
les lieux , ni les accessoires de l’observation.

M. de Prony présent à la lecture du mémoire de
M. Ramond, a remarqué que la hauteur du Mont-Cenis,
déduite d’une observation effective du baromètre , com-
parée à l’élévation moyenne que le mercure affecte sur
les bords de la mer du sud, laissoit trop d’incertitude
pour être opposée à deux faits bien constatés.

M. de Prony a youlu déterminer la hauteur du Mont-
Cenis, au-dessus de Lans-le-Bourg , par une observation
barométrique. Les nivellemens du Mont-Cenis ont été
faits directement et avec les instrumens destinés à cet
usage, par M. Daune, l’un de nos ingénieurs les plus
habiles et les plus soigneux. Ils ont été ensuite répétés
avec les mêmes instrumens, pendant la construction de
la route; ils ont servi de base au règlement des pentes.
La nature de ce travail nécessitoit des vérifications mul-
tipliées, et il n’existe pas dans les ponts et chaussées de
différence de nivean mieux constatée que celle de Lans-
le-Bourg et du col du Mont-Cenis.

Le résultat de l'observation bärométrique s’est trouvé
parfaitement conforme avec celui du nivellement; la
construction de l'instrument et la manière d’observer
semblent garantir de toute erreur : on est resté tout le
temps nécessaire pour que le mercure ait pris la tempé-
rature de l’atmosphère : la collimation de la surface du
mercure dans la cuvette avec la pointe d’ivoire et celle

32 HISTOIRE DE LA CLASSE.

du haut de la colonne avec les deux lignes de visée, ont
été vérifiées quinze ou vingt fois ; à chaque fois , on lisoit
le vernier des lignes et celui des millimètres ; et ces deux
verniers, calcul fait, ont donné la même hauteur pour la
colonne. Par l’établissement des zéros des deux échelles,
celle des lignes étoit en différence constante de o lig. 09,
et cette différence, tant à la station supérieure, qu’à la
station inférieure, étoit entre o lig. 08, et o lig. 11. Le
baromètre paroît donc bien observé, et les lectures
fidèles. Peu de temps auparavant, M. de Prony avoit
comparé son baromètre à celui de M. Oriani, à Milan;
et la différence n’étoit que de —= de ligne ; à l’arrivée à
Paris, ce baromètre offroit le même accord avec le baro-
mètre de l'Observatoire.

Ainsi d’une part, le nivellement du Mont-Cenis, fait

avec des instrumens à niveler est très-exact ; et de l’autre
part, si c’étoit au hasard qu’on dût attribuer l’accord
singulier de observation barométrique avec le nivelle-
ment, les causes qui ont produit ce hasard mériteroient
d’être recherchées. C’est une discussion qui ne peut avoir
lieu que quand M. Ramond , de retour à Paris, aura pu
conférer avec M. de Prony , sur toutes les circonstances
de l’observation; et si nous sommes entrés dans ces dé-
tails, c’est moins pour éclaircir une question très-diffi-
cile, et peut-être insoluble, que pour avoir occasion d’ex-
pliquer la manière d’observer de M. de Prony, et la
construction de l’instrument dont il se sert.

Dans la vue d’introduire l’usage du baromètre dans
les travaux géodésiques, qui ont pour objet les opéra-

PRIX DE MATHÉMATIQUES. 33
tions préliminaires relatives aux projets des routes, et
surtout des canaux qui doivent traverser des cols et des
chaînes de montagnes , ce qui seroit une économie con-
sidérable de temps et d’argent, M. de Prony est occupé
d’une suite d'expérience à Paris et dans les environs,
pour constater le degré de précision qu’on peut obtenir
de cet instrument , et déterminer le coefficient le plus
convenable aux petites hauteurs : il vérifie les hauteurs ba-
rométriquespar des mesures trigonométriques faites avec
le cercle répétiteur. M. Mathieu observe à l'Observatoire
impérial, et M. de Prony , au petit Observatoire qu’on
Jui a construit au-dessus du fronton du-corps législatif.

Il croit avoir réuni dans le baromètre qu’il a fait cons-
truire par Fortir, tout ce qui peut assurer l’exactitude de
l'observation : des microscopes à fil attachés au curseur,
sont d’abord mis en coïncidence avec un point supérieur,
dont la distance à la pointe d'ivoire de la cuvette est
parfaitement déterminée, et de 855 millimètres; on lit
alors le vernier , et la différence entre 855 millimètres,
et le nombre indiqué par le vernier est une différence
constante à ajouter au nombre observé sur l'échelle;
lorsque le fil horizontal est tangent au sommet de la
colonne de mercure, on observe avec deux microscopes
diamétralement opposés, et il résulte de cette disposi-
tion , que si quelque inégalité dans le tube de cuivre qui
enveloppe le tube de verre dérangeoïit le parallélisme
des axes optiques dans les diverseshauteurs ou positions,
où l’on observe les microscopes, les erreurs des deux mi-
croscopes seroient de signe contraire; la moyenne entre

1809. E

34 HISTOIRE DE LA CLASSE.

les deux résultats est donc nécessairement exacte. Jus-
qu'ici les différences ont été insensibles, ce qui prouve
que les axes optiques conservent le parallélisme dans
leurs diverses positions.

Voici un résultat curieux de la comparaison que l’on
a faite du baromètre microscopique avec le baromètre
qui s’observe à l’œil nu : si dans ce dernier on met le
plan de visée tangent au sommet de la colonne de mer-
cure, avec toute l’exactitude qu’on peut établir à la vue
simple, et qu’on dérange ensuite le curseur d’une ou
deux divisions du vernier (s’il donne les cinquantièmes
de millimètres), on n’apercevra aucun dérangement sen-
sible dans la collimation du plan tangent ; la précision
du vernier dans cet instrument est donc supérieure à
celle de la collimation du plan horizontal tangent au
sommet de la colonne de mercure.

Dans le baromètre microscopique, au contraire, la
précision de la collimation du plan tangent, passant par
le fil horizontal du microscope, est fort supérieure à
celle du vernier, car lorsqu'on a ajusté le plan tangent
et lu le vernier, on peut détacher sensiblement le fil
horizontal du sommet de la colonne de mercure, sans
que le vernier indique de variation sensible.

M. de Prony a donc rendu la collimation du plan
tangent avec le sommet de la colonne supérieure en
précision au vernier, d’inférieure qu’elle étoit, et il
paroît difficile qu’on obtienne une exactitude plus grande.

Nous nous sommes flattés que nos lecteurs verroient
avec plaisir ces renseignemens qui ne sont consignés

PARTIE MATHÉMATIQUE. 35

nulle part, et nous y ajoutons qu’à cette occasion M, de
Prony a communiqué à la classe, une série très-conver-
gente, pour calculer les hauteurs barométriques, sans
logarithmes. On ne soupçonnera pas l’auteur.des tables
logarithmiquestles plus étendues et les plus exactes que
l’on connoisse de vouloir détourner les Géomètres et les
ingénieurs de lemploi de ces tables. Il sait mieux que
personne toute la supériorité du calcul logarithmique
sur tous les autres moyens, soit pour la précision, soit
pour la brièveté et la commodité. Il ne donne lui-même
sa série que comme un moyen de vérification et comme
un procédé fort expéditif dans certaines circonstances,
où, manquant de tables logarithmiques;.on desire con-
noître à l'instant le résultat d’une observation.

QUuVYRAGES IMPRIMÉS PRÉSENTÉS A LA CLASSE.

Histoire générale des Mathématiques depuis Leur
origine jusqu à 1808, par M. Bossur.

Dans la première édition de cet ouvrage qui paruten
1802, l’auteur s’étoit imposé la loi de ne parler d’aucun
mathématicien vivant ; mais il annonçoit un supplément
déjà composé, et qui devoit paroître sous le titre de
Considérations sur l'état actuel des mathématiques. On
sait, ajoutoit-il, combien ce dernier ouvrage doit deman-
der de circonspection dans le dessein que j’ai d’étre par-

Jfaitement juste, et de payer aux véritables inventeurs
le titre d'éloges et de reconnoissance qui leur est di.
Le succès de la première édition a permis à l’auteur

36 HISTOIRE DE LA CLASSE.

de réunir et de fondre ensemble les deux parties, qui ne
pouvoient que perdre à être présentées séparément; il
répète dans son discours préliminaire, qu’il a cherché
avec lattention la plus scrupuleuse à être juste : en par-
Jant des auteurs vivans, il croit s’être exprimé comme
si tous lui étoient personnellement inconnus , ou comme
s’il avoit pour tous les mêmes affections; dans la supposi-
tion où il auroit blessé, quoique involontairement , les
droits de quelqu'un, ilest prêt à réparer ses erreurs. Il
est comme impossible, ajoute-t-il en finissant, que dans
Pimmense quantité d’ouvrages qui existent sur les ma-
thématiques, je n’en aïe pas oublié plusieurs qui sont
très-dignes d’estime; maïs en cela je n’aurois fait tort
qu’à moi-même : le public qui les connoît , est le juge et
le garant de leur mérite.

C’est en effet une entreprise bien délicate que de
rendre un compte impartial des ouvrages de ses contem-
porains , de ses confrères et de ses émules. Un exposé
clair de leurs découvertes, dans lequel on se montre
réservé dans les éloges et surtout dans les critiques, est
le seul moyen d’éviter les écueils dont cette route est
parsemée. Ainsi, après avoir nous-mêmes rendu compte
des intentions et des dispositions de l’auteur, nous nous
contenterons d’ajouter que cette histoire générale des
mathématiques se fait lire d’un bout à l’autre avec un
intérêt dont quelques personnes n’auroient pas cru le
sujet susceptible à ce point ; que le récit est toujours ra-
pide, clair et souvent élégant ; que le styles’anime quand
le sujet acquiert une importance particulière, comme

PRIX DE MATHÉMATIQUES. 37
dans la dispute entre Newton et Leibnitz, et dans celle :
des frères Bernoulli ; ou quand l’historien apprécie et
compare des géomètres plus modernes qu’il a particuliè.
rement connus, comme d’Alembert et Clairaut.

On seroit presque tenté de regretter que dans la der-
nière partie de son ouvrage, il se soit imposé des lois
plus sévères , et que par une circonspection, si louable
d’ailleurs , en négligeant une partie de ses avantages, il
ait laissé quelque chose à faire à ceux qui, continuant
un jour ce tableau , pourront se livrer sans réserve à leurs
idées et même à leurs affections.

Mais si nous croyons devoir nous interdire tout détail
sur la partie tout à fait moderne , nous pouvons nous per-
mettre quelques remarques sur celle où il est question
de l’état de la science chez les anciens. Ces réflexions ne
porteront pas sur les mathématiciens dont les ouvrages
nous sont restés. M. Bossut les a appréciés avec jus-
tesse et impartialité; mais sur quelques points douteux,
sur lesquels les avis sont nécessairement partagés, et
nous ne donnerons nos idées que comme des conjectures
que nous soumettons au jugement et aux lumières de
Phistorien des mathématiques.

C’est par exemple une idée presque généralement reçue
et adoptée par M. Bossut, que la théorie des planètes
chez les Grecs, est due toute entière à Ptolémée ; que ses
prédécesseurs, et Hipparque lui-même, s’étoient conten-
iés d’amasser quelques observations sans oser imaginer
une hypothèse propre à expliquer des mouvemens si
compliqués. Or, il nous paroît aisé de prouver par le

38 HISTOIRE DÉ LA CLASSE.

témoignage de Ptolémée lui-même, que la théorie des
planètes, au moins pour ce qui concerne les mouvemens
en longitude, est bien antérieure à Ptolémée, à qui il
resteroit pourtant encore le mécanisme, presque inintelli-
gible, au moyen duquel il explique les mouvemens en
latitude , et la gloire plus solide d’avoir su réduire tous
ces mouvemens en tables auxquelles on n’a rien ajouté
pendant douze cents ans. En laissant donc à Ptolémée
ce qui lui appartient incontestablement, on pourroit re-
vendiquer pour des géomètres plus anciens le système
des épicycles et del’excentrique. Ouvrons, eneffet, l’Al-
mageste, auliv. 12, chap. 1°r., nous y verrons que plu-
sieurs mathématiciens, et notamment Apollonius de
Perge , avoient expliqué les stations et les rétregadations
dans l’un et Pautre système ; qu'Apollonius avoit déter-
miné le rapport qui doit exister entre le mouvement de
l’épicycle et le mouvement propre de la planète, pour
qu’il arrive une apparence de station toutes les fois que
la planète se trouve sur une ligne qu’Apollonius ensei-
gnoit à tirer en conséquence de ce rapport. Ptolémée,
en rapportant les théorèmes d’Apollonius , et le lemme
qui lui avoit servi à les démontrer, nous annonce seule-
ment qu’il les démontrera d’une manière plus commode,
en mêlant dans son explication les hypothèses de l’ex-
centrique et de l’épicycle qui auroïent suffi séparément.
Ajoutons que les théorêmes d’Apollonius sont identiques
aux règles données pour trouver les stations et les rétro-
gradations par les astronomes les plus modernes, quand
ils se sont permis de négliger les excentricités, ainsi

PARTIE MATHÉMATIQUE. 39

que nous nous en sommes convaincus en Convertissant
‘ces théorèmes en formules algébriques. On peut donc
penser que la théorie des planètes étoit créée long-temps
avant Ptolémée, et qu’il ne restoit qu’à discuter les ob-
servations en plus grand nombre poûr déterminer plus
exactement les mouvemens et la grandeur des épicycles;
que dans la recherche de ces mouvemens, Ptolémée
ayant dû nécessairement reconnoître une inégalité propre
à la planète , et une autre inégalité qui dépendoit de
Vangle d’élongation , il avoit été conduit à représenter
Vune par un excentrique , et l’autre par un épicycle.
Cette réunion de deux hypothèses est ce qu’on pouvoit
imaginer de plus simple pour démonirer aux yeux le mé-
çanisme de ces mouvemens compliqués. Ptolémée paroît
être le premier qui ait imaginé cet emploi des deux hy-
pothèses réunies. Il a même été plus loin ; il a vu que ce
n’étoit pas encore assez pour satisfaire aux inégalités de
la Lune et de Mercure ; et il eut recours à un moyen
tout à fait nouveau ; celui de faire tourner la ligne des
apsides, non plus autour du centre du zodiaque, comme
ses prédécesseurs ; mais autour d’un autre point dont il
détermina. la position d’après ses observations et celles
d'Hipparque.
On attribue de même à Thalès la science des éclipses,
parce qu’il avoit annoncé une éclipse de soleil, et que
l'évènement avoit vérifié sa prédiction. Comment Thalès
auroit-il apporté en Grèce une science qui n’étoit connue
que si imparfaitement de Ptolémée ? Comment calculer
les éclipses de soleil sans la connoissance des parallaxes ?

40 HISTOIRE DE LA CLASSE.

Or, Ptolémée lui-même donnoit 51° et 103' pour limite
à la parallaxe de la lune, au lieu de 53" + et 61 +. Il se
trompoit donc de plus de 40’ sur la plus grande paral-
laxe : il n’en falloit pas davantage pour réduire à moins
que rien une éclipse qu’il auroit annoncée comme totale,
ou pour faire arriver une éclipse totale le jour où il
m’auroit pas cru qu’on pût avoir une éclipse même par-
tielle. On suppose que Thalès avoit apporté cette science
d'Egypte : dans un climat où le ciel est rarement cou-
vert, les prêtres avoient pu tenir un registre exact de
toutes les éclipses arrivées pendant une longue suite
d'années, et remarquer la période qui ramène ces
éclipses dans le même ordre; il n’y a nulle apparence
que ces prêtres, si mystérieux, en aient su davantage;
et il y a loin de là à la science des éclipses.

On attribue la trigonométrie rectiligne et sphérique à
Menelaus, qui, en effet, nous a transmis les théorèmes
que les Grecs employoient au calcul des triangles; mais
Hipparque avoit composé un grand ouvrage sur les
cordes et la manière d’en construire les tables. Est-il
croyable qu’il n’ait pas donné en même temps l’usage de
ces cordes pour la solution des triangles? Ptolémée, en
nous expliquant sa table des cordes, donne, sans citer
Menelaus , ces mêmes théorèmes. N’y a-t-il pas quelque
apparence que letout appartient à Hipparque ? Menelaus
et Théodose paroissent mettre fort peu d’importance à
la pratique; le dernier ne dit pas un mot de la solution
des triangles sphériques ; et un astronome qui n’auroit
lu que Menelaus, auroïit encore éprouvé quelque embar-

x

PARTIE MATHÉMATIQUE. 41
ras à résoudre le cas le plus ordinäire; c’est-à-dire, à
trouver l’heure par la hauteur du soleil. ‘1
On ne voit pas bien claïrement quelle connoissance
positive en astronomie, Pythagore avoit rapportée de
son voyage dans l’Inde. Il y a grande apparence que l’as-
tronomie des Grecs n’étoit pas la même ‘que celle des
Indiens. Ceux-ci ‘conndissoient des théorèmes qui ont
tofjours été ignorés des Grecs; mais les astronomes
d'Alexandrie ont-été plus loin ; à quelques égards, que
ceux de l’Inde. Cependant ceux-ci employoient les sinus,
calculés suivant le système décimal, quand l’Afrique et
TJEurope ne connoissoient encore que les cordes expri-
mées en sexagésimales. Il nous paroîtroit donc à peu
près certain que l’arithmétique décimale nous vient de
PInde, et le plus añcien traité d’arithmétique un peu
complet que nous connoïssians est celui de Planude, qui
Vintitule l’arithmétique selon les Indiens. Lies mémoires
de Caleutta nous ont donné sur l’astronomie des Indiens
et sur leurs méthodes pour les éclipses , des renseigne-
mens bien plus complets que ceux de Le Gentil, et que
ce qu’il a été possible à Cassini de deviner sur les tables
des’ Siamais. ke
M. Bossut a cru devoir prendre la défense d’Eratos-
thène contre ceux qui ayant tenté de lui ravir we par-
tie de sa gloire, ont pu s'appuyer que sur des conjec-
tures destituées de fondement. La gloire d’Eratosthène
est d’avoir été pour sen témps ün bon astronome, un
bon géomètre, un bon géographe, nn homme fort sa-
vant; personne ne lui a éüntesté aucun de ces titres,
1809. F

42 HISTOIRE DE LA CLASSE.

mais on peut les lui accorder tous sans convenir qu’il ait
en effet mesuré la terre; il a le premier indiqué à peu
près ce qu’il falloit faire pour la mesurer : il n’existe au-
cune preuve qu’il ait observé à Syené; personne, pas
même Cléomède, n’a dit qu’il eût mesuré la distance
terrestre entre cette ville et Alexandrie; il a certainement
mesuré les deux hauteurs solstitiales à Alexandrie, et
déterminé par-là la hauteur du pôle : ila d’ailleurs #tp-
posé que Syené étoit sous le tropique , que l’arc terrestre
étoit de 5000 stades ; on ne voit pas sur quel fondement,
probablement sur le rapport des ingénieurs qui avoient
tracé et mesuré la route, et il en a conclu la grandeur ap-
proximative de la-terre. Voilà ce qui paroît prouvé,
mais ce qui ne l’est pas malgré le témoignage de Cléo-
mède, c’est qu’ilse soit servi du scaphé, mauvais instru-
ment portatif, comparable à peine pourl’exactitude,auxan-
neaux astronomiques, tandis qu’il avoit à Alexandrie un
gnomon et des armilles bien préférables à l’instrument
nommé bateau ou scaphé, dont Ptolémée ne parle en
aucun endroit de ses ouvrages, et qui ne paroît avoir été
qu’un instrument de gnomonique et non d'astronomie.
Puisque nous avons parlé des armilles d'Alexandrie,
ajoutons que ces armilles mavoient pas d'horizon ; il est
dit simplement que le méridien, ou plus exactement,
que les deux extrémités de l’axe sur lequel tournoit toute
la machine, devoient être dans un plan perpendicu-
laire à l'horizon du lieu : l’horizon n’auroit fait que gêner
les observations , et n’auroit eu d’ailleurs aucune utilité,
Enfin nous serions tentés de croire que M. Bossut fait

PARTIE MATHÉMATIQUE. 43

un peu:trop d'honneur aux astronomes d'Almamoun.
Jbn Jounis nous a conservé leurs noms; il dit que, sui-
vant éux, le degré étoit de 57 milles; .Aboulfeda dit que
les uns avoient trouvé 56 milles, et les autres 561, et
qu’on s’en étoit tenu à ce dernier nombre. Un manuscrit
de la bibliothèque Impériale dont M. Jourdain nous a
communiqué un,extrait,.porte qu'Almamoun ayant lu
dans Ptolémée que la circonférence de la terre étoit de
24000 milles, avoit demandé à ses astronomes si cela
étoit-exact; ceux-ci avoient répondu qu’oui. Nous ne
voyons pas trop ce qui pouvoit leur donner cette assu-
rance. Almamoun-alors leur. ordonna de mesurer un
degré. Ils allèrent donc dans la plaine du Sandjèr,
prirent la hauteur du pôle, plantèrent un piquet au lieu
de l’obsérvation , étendirent un cordeau dans le sens du
m<ridien, au bout de ce cordeau ils plantèrent un second
piquet et ainsi de suite, jusqu’à.ce que la hauteur du
pôle füt changée. de un degré; ils trouvèrent. 662 : milles,
ce qui donnoit'2400 milles pourla circonférence de méri-
dien. Ils portèrent ce résultat au Califef qui fit vérifier
opération .en un autre endroit. Ils allèrent alors dans
le désert.de Koufah ; le second résultat s’accordant avec
le premier, Almamoun ne douta plus que Ptolémée n’eût
raison. PAR

: D’après.ce récit, le plus circonstancié ie tous ceux
qui nous sont parvenus, on, pourroit, soupçonner
qu'ayant mesuré 66% ils-.observèrent grossièrement la
hauteur du pôle, bien dégidés d'avance à à trouver ce que
Ptolémée avoit ayancé , et cette. mesure ne seroit pas

44 HISTOIRE DE LA CLASSE.
digne d’une grande confiance , d'autant plus que voilà
66% milles, tandis que les autres auteurs disent 56+ ou
57. D'ailleurs, comment trouvèrent-ils deux plaines
d’un degré chacune, sans montagnes, sans forêts, sans
rivières, sans habitations : les Anglois n’ont pu en trou-
ver une en Amérique, et ils ont été obligés de partager
leur arc en plusieurs lignes parallèles ; ax n’étoient pas
dans un même méridien:

Voilà les doutes que nous proposerons à M. Bossnt,
ils ne sont pas comme on voit d’une grande importance,
ét le mal ne seroit pas bien grand d’avoir accordé à
quelques anciens un peu plus que ce qui leur seroit dû

rigoureusement.

Parmi les ouvrages imprimés, présentés à la classe par
les associés de l’Institut, nous devons la première place
à ceux de S. A. Eminentissime Monseigneur le Prince
Primat, qui, non content de protéger dans ses États
toutes db sciences et tous les arts utiles les cultive lui:
même, eta daigné envoyer à la classe ses recherches sur
l’irréductibilité des nombres, où l’on remarque des idées
nouvelles, ét une notation ingénieuse qui simplifie les

opérations.
Ce présent étoit accompagné d’une description du beau

monument que S. À. Eminentissime a fait dresser dans
ses États , à la mémoire du fondateur de la véritable as:
tronomie , de l’inventeur de ces trois principes connus
sous le nom de lois de Képler, ct sur lesquelles porte
la théorie de tout le système planttaire.

PARTIE MATHÉMATIQUE. 45

Ce monument est une espèce de temple où Képler est
représenté recevant des mains de la muse Uranie les
trois découvertes qui ont immortalisé son nom.

Parmi les ouvrages présentés par les correspondans,
le plus vaste, le plus intéressant et le plus universelle-
mentrépandu est celui où M. de Humboldt travaille à
réunir les observations de tout genre qu’il a faites dans
les deux continens.

La classe a-reçu de lui cette année :

Les livraisons 2, 3, 4 et ‘5° de la partie astronomique,
dans lesquelles , outre les-points dont il a fixé la position
géographique ,ontrouveencore les mesures géodésiques,
un nivellement barométrique executé. dans les régions
équinoxiales de l'Amérique, avec des observations phy-
siques et géodésiques sur la Cordillière des Andes ; enfin
toutes les recherches qu’il a faites sur biiéliadèon de

Paiguille aimantée et intensité des forces magnétiques;

Les 3° et 4€ parties de l’essai ohne sur le royaume
de la Nouvelle-Espagne, accompagnées d’une carte géné-
rale du Mexique en deux feuilles, et d'unegrande carte
de la Nouvelle- -Espagne..

"Fant d'observations amenoient à leur suite une quan-
tité vraiment effrayante de calculs; auxquelles n’auroient
pu suffire ni les forces, ni surtout le temps d’un seul.
M. de Humboldt a eu le bonheur rare de trouver dans
son ami M. Oltmanns un collaborateur d’un mérite dis=
tingué, qui, aux connoissances astronomiques néces-
saires pour les réductions, joint par une réunion pré-
cieuse la patience qui fait dévorer les calculs les plus

46 HISTOIRE DE LA CLASSE.

longs et les plus monotones à la sagacité qui indique au
besoin les méthodes nouvelles, ou les modifications que
les diverses circonstances forcent d’apporter aux mé-
thodes connues pour tirer des observations le parti le
plus avantageux. «

Non content encore de ce grand travail si heureuse-
ment achevé, M. Oltmanns y a puisé des forces nou-
velles pour en entreprendre un plus vaste et d’une utilité
encore plus prochaine ; c'est de discuter, de comparer,
de calculer de nouveau sur les tables les plus modernes,
toutes les observations astronomiques propres à déter-
miner les longitudes et latitudes terrestres qu’il a pu
recueillir dans les écrits des savans, dans les Voyages,
dans les Ephémérides et dans les Recueils A Miése
De ces recherches est déjà résulté le premier volume d’un
ouvrage qu’il a composé en allemand , et qui a pour titre:
Recherches sur la Géographie du nouveau continent,
Jondées sur les observations astronomiques et mesures
dbarométriques d'Alexandre de Humboldt et autres
voyageurs, et un tableau de 820 positions géographiques
calculées d’après les tables les plus récentes et d'après
une méthode uniforme, avec l'indication des sources où
Pauteur a puisé, le nom des observateurs; et des re-
marques sur les observations. On sent que l’espace nous
manque pour analyser tant de travaux utiles; il nous
suffira de les indiquer aux savans et aux voyageurs qui
en sentiront tout le prix,

PARTIE MATHÉMATIQUE. 47

RAPPORTS.

Il ne se passe presque aucune de nos séances particu-
lières , sans que la classe entende quelque Rapport sur
les machines ou inventions nouvelles, et sur les Mé-
moires qui Sont soumis à son examen, par des savans
encore étranger® à VPInstitut. Dans l’impossibilité où nous
sommes de les passer en revue, nous nous contenterons
d’indiquer : jus
10, Les recherches sur la vitesse de la lumière, par
M, Arago, maintenant membre de la classe dans la sec-
tion d’astronomie, qui a prouvé que la vitésse étoit la
mème, soit que la lumière vint directement du soleil et
des étoiles ou d’un feu allumé sur terre , ou enfin qu’elle
nous fût réfléchie par la terre, les planètes ou les corps
terrestres : d’où résulte pour l’astronomie-pratique , cette
vérité“importante que les effets de l’aberration de tous
les corps célestes, se calculent d’après une même loi,
‘supposition admise jusqu'aujourd’hui comme très-vrai-
semblable, mais qui n’avoit pas encore été prouvée
d’une manière aussi directe. Nous reviendrons sur ce
travail intéressant quand l’auteur, qui le continue, l’au-
ra présenté avec les augmenfätions qu’il se propose d’y
ajouter.

Une machine à feu de M. Cagniard-Latour, qui y
fait un usage inverse et fort heureux de la vis d’Archi-
-mède: l’auteur vient d’y faire tout nouvellement des
‘additions que la classe a renvoyées à Pexamen des com-
missaires qui âvoient déjà fait de la première partie le

48 HISTOIRE DE LA CLASSE,

rapport le plus avantageux. Nous y reviendrons après le
travail des commissaires.

3°. Le polygone et les polièdres de M. Poinsot, ins-
pecteur-général de l’Université Impériale.

Imaginez un rayon mobile, tournant autour d'un
point fixe , et s’arrêtant successivement dans les positions
parallèles à tous les côtés d’un polygone donné.

Si tous les angles formés par les positions consécutives
du rayon mobile sonttous moindres que de 180°.,et que,
pour revenir à sa position primitive, le rayon mobile
n'ait parcouru qu’une circonférence , le pokygone donné
est de preffiière espèce : c’est le polygone vulgaire, la
somme des angles extérieurs est égale à quatre angles
droits.

Si les angles, entre les positions consécutives, sont
toujours moindres que deux droits, et que le rayon mo-
bile tournant toujours dans le même sens, soit obligé,
pour devenir parallèle à tous les côtés, de parcourir
deux circonférences, le polygone sera ce que M. Poinsot
appelle polygone convexe de la seconde espèce; s’il est
obligé de parcourir trois circonférences , le polygone sera
de la troisième espèce; et ainsi de suite.

Dans la seconde espèce , la somme des angles exté-
rieurs sera évidemment de huit angles droits, de douze
dans la troisième , de seize dans la quatrième , et toujours
en augmentant de quatre angles droits.

Or, comme chaque angle intérieur du polygone, joint
à l’angle extérieur correspondant, fait toujours une
somme égale à deux angles droits, il ést clair que la

PARTIE MATHÉMATIQUE. 49

somme des angles intérieurs du polygone diminue de
quatre angles droits à mesure que le polygone passe d’une
espèce à la suivante. Ainsi, la somme des angles inté-
rieurs peut se réduire à deux angles droits, et le triangle
n’est plus , comme on avoit cru jusqu’ici, le seul poly-
gone dont la somme des angles intérieurs soit de deux
angles droits.

: M. Poinsot observe que le triangle et le quadrilatère
w’admettent pas de seconde espèce, parce qu’on ne peut
soustraire quatre angles droits de la somme des angles
intérieurs, sans avoirun resté négatif pour le triangle,
et nul pour le quadrilatère. Maïs tous les autres poly-
gones, sañs RP sont susceptibles d’être de toutes
les espèces, jusqu’à ce que le nombre des angles inté-
rieurs soit réduit à deux ou quatre droits.

Me Poinsot appelle polygones étoilés lés:polygones
réguliers de nouvelle forme , etila remarquéique l’usage
de ces polygones peut avoir lieu dans les problèmes de
statique. Un de-ces problèmes l’a conduit à s’occuper
d’une ‘question d’un autreigenre: Il s’agit de conduire
entre des points, situés comme on voudra dans l’espace,
un:même fikinextensible qui les unisse deux à deux de
toutes les manières possibles, de sorte que les deux bouts
du fil se joignent; et qu’ainsi la longueur totale du fil
soit égale à la somme de toutes les distances mutuelles
des points donnés:

Geproblème n’est pis que lorsque “rer don-
nés sont en nombre impair, et il en donne la solution.

Mais si le nombre est pair, et qu’il soit permis de
1809. G

50 HISTOIRE DE LA CLASSE.

faire passer le fil deux fois sur chaque point, le problôme
devient possible, et la longueur du fil est la double
somme des distances.

On sait qu'il n’y a que cinq corps réguliers dans l’ac-
ception ordinaire; mais comme il a considéré des poly-
gones de différente espèce, M. Poinsot, avec ses nou-
veaux polysones, compose des corps réguliers de diffé-
rente espèce ; mais tout polygone de nouvelle espèce ne
donne pas infailliblement un polyèdre de Pespèce ana-
logue. 11 en faut vérifier la possibilité par une équation
que donne M. Poinsot, et qui l’a conduit à la découverte
de deux de ces polyèdres.

Le premier est l’icosaèdre formé par vingt triangles
équilatéraux, et sa surface recouvre sept fois la sphère
inscrite.

Le second est un dodécaèdre formé sous douze penta-
gones réguliers, et sa surface recouvre trois fois exacte-
ment la sphère inscrite.

Il y a encore des polyèdres réguliers d’une autre es-
pèce , et M. Poinsot en donne deux qui sont des dodé-
caèdres étoilés.

Il-peut s’en trouver encore d’autres, car M. Poinsot
ne donne ces résultats que comme des premiers essais
d’un travail qu’il se propose de continuer. Nous ne pous-
serons pas plus loin lextrait de ce mémoire. Ce qu’on
vient de lire suffira pour prouver que tous ces résultats
sont nouveaux, et méritent l'attention des géomètres.

PARTIE PHYSIQUE. 51

ANALYSE

Ph ue de La xTaEs) des. sciences mathématiques
e£ physiques de l’Institut, pendant l’année 1809.

LMD TUE PNY OT UE. °

Lrrisé les sciences qui sont fondées sur des faits
ont l’inappréciable avantage que chaque expérience et
‘ chaqueobservation peut contribuer à leur progrès. Il
west véritablement point de découvertes inutiles pour
les sciences physiques ; quelles que soient les consé-
quences auxquelles on arrive, quels que soient les
resultats qu’on obtienne; dès qu’ils sont nouveaux ils
ont! leur importance : chaque fait a une. place déter-
minéewqui ne-peut être remplie que par lui seul, et l’on
doit considérer l’édifice des sciences comme celui de la
nature : tout y est infini, tout y est nécessaire. On peut
dire plus: c’est quelquefois sans nuire essentiellement
aux progrès dela vérité que les hommes qui se livrent à sa
recherchæs’égarent dans de fausses routes. On-a vu les
découvertes les plusutiles naître des plus graves erreurs.
Nous en trouvons des preuves récentes dans les trayaux
qui ontété faits pour combattrelachimie moderne, et pour
soutenir l’ancienne théorie de la combustion. La compli-
cation des phénomènes de cette science sera même cause

59 HISTOIRE DE LA CLASSE.

que les preuves de ce genre se multiplieront souvent en-
core: les faits ne se présentent pas toujours avec les mêmes
caractères , on les étudie sous d’autres rapports, ils sont
vus avec des yeux différens, et les résultats auxquels -
ils conduisent ne sont point semblables. C’est ce que
nous apercevons aujourd’hui d’un manière bien évidente
dans les discussions qui se sont élevées entre M. Davy,
notre confrère Gay-Lussac et M. Thénard.

CHIMIE.

Nous avons rendu compte, dans nos rapports précé-
dens , de la découverte de M. Davy sur les changemens
que la potasse et la soude éprouvent par l’action de la
pile de Volta, et des procédés par lesquels MM. Gay-
Lussac et Thénard opéroient ces changemens sans le
secours de cet instrument.

M. Davy croyoit que, dans ces expériences, la potasse
et la soude éprouvoient une désoxigénation, et qu’il en
résultoit un véritable métal qui se distinguoit surtout,
des autres substances de ce genre, par une extrême affi-
nité pour l’oxigène. Il nommoit ces nouveaux métaux,
l’un potassium , et l’autre sodium. MM. Gay-Lussac et
Thénard établissoient, au contraire, par plusieurs expé-
riences, mais surtout par les produits qu’on æbtient en
analysant la combinaison du potassium avec l’ammo-
niaque; que les changemens de la potasse et de la soude
étoient dus à une combinaison particulière de ces alcalis
avec l'hydrogène. M. Davy, ayant répété les expériences
sur lesquelles cette opinion est fondée , n’a point eu des

PARTIE. PHYSIQUE. 53

résultats comformes à ceux qui avoïent été annoncés par

les chimistes français; ce qui,a donné lieu à des obser-

yations de MM. Gay-bussac et Thénard , dans lesquelles

ils montrent que les différences qui se trouvent entre les

résultats des expériences de M. Davy ,et les résultats
des leurs, tiennent à des causes qui ne peuvent point in-
fluer sur les conséquences auxquelles ils sont arrivés. Au
restedans l’uneet dans l’autrehypothèse, il n’en résultoit
pas moins pour la chimie, de la découverte de M. Davy,
un réactif extrêmement puissant, et qui devoit produire
sur les autres corps des effets jusqu’alors ignorés.

Cette nouvelle découverte donnoit donc lieu à des

“expériences très-différentes , mais qui conduisoient au
même but; les unes avoient pour objet de reconnoître
l’action de la pile sur les autres alcalis, sur les terres, et
généralement sur toutes les substances simples non mé-
talliques , et qu’on pourroit soupçonner être des oxides
comme la potasse et la soude. Le but des autres étoit de
décomposer, au moyen des nouveaux métaux, les subs-
tances oxigénées ou supposées telles , et surtout les acides
boraciques, fluoriques et muriatiques.

Nous avons dit l’année dernière que MM. Gay-Lussac
et Thénard étoient parvenus à opérer la décomposition
du premier de ces acides, et à en reconnoître le radical,
Depuis, leurs recherches se sont portées sur l’acide fluo-
rique.

Ils ont commencé par étudier les propriétés physiques
et chimiques de cet acide , plus exactement qu’on ne l’a-
voit fait avant eux. L’affinité de l’eau pour ce gaz est

54 HISTOIRE DE LA CLASSE.

extrème ; dès qu’on le mêle à d’autres qui contiennent
quelques portions de ce liquide, il se forme de nombreuses
vapeurs : cependant ce gaz ne peut communiquer à l’eau
sa-force expansive; il ne peut se dissoudre ni en gazéïfier
la plus petite quantité, et dans son état aériforme , il est
absolument sec; mais il est impossible d’obtenir cet acide
pur; il retient toujours quelques portions des corps avec
lesquels il à été en contact; et dans les travaux que
MM. Gay-Lussacet Thénard ont entrepris sur ‘cet acide,
au moyen du potassium, ilse sont servis de préférence du
gaz fluorique siliceux , comme ne contenant aucun corps
étranger susceptible de se décomposer et d’obscurcir les
résultats des expériences. Dans l’action réciproque de
ces deux matières, il ÿ a une grande absorption d’acide
fluorique , très-peu de gaz hydrogène dégagé, et trans-
formation du métal en une matière solide dont la couleur
est brune-rougeätre. fat

MM. Gay-Lussac et'Thénard regardent cette combi
naison nouvelle, comme un composé de potasse, de silice
et du radical de l'acide fluorique ; mais il n’ont pu isoler
cette dernière substance: « Il paroît, disent nos auteurs,
» (d’après beaucoup d’expériences que nous ne pouvons
» rapporter ici), que, quand ce radical n’est combiné
» qu'avec la potasse, il peut décomposer l’eau comme
» les phosphures ; mais que quand il est combiné avec la
» potasse et le silice, il ne la décompose pas, sans doute
» par la raison que cette combinaison triple est inso-
» luble, »

M. Davy a aussi fait des tentatives pour mettre à nu

PARTIE PHYSIQUE. 55

le radical fluorique, et il a obtenu des résultats ana-
logues à ceux que nous venons de rapporter; il attribue
Vhydrogène produit dans la combinaison du potassium
avec le gaz, à l’eau qu’il croyoit être contenue dans cet
acide et que le métal avoit décomposé.

L’acide muriatique a aussi été pour M: Davy, et pour
MM. Gay-Lussac et Thénard, le sujet d’observations
nombreuses. et intéressantes. Les uns et:les autres ont
fait des essais infructueux pour décomposer cet acide, et
pour isoler le, radical .qu’on croit en former un des
élémens. Mais MM. Gay-Lussacet Thénard ontreconnu
que l'acide muriatique ne pouvoit exister sans eau à
Vétat de gaz; qu’alors il en jcontenoit le quart de son
poids ; et que l’eau seule avoit la faculté de l’enleveràses
combinaisons sèches. Il est à remarquer que, dans toutes
les expériences faites,ayec les métaux, l’eau; en se décom-
posant, a toujours produit une quantité d’oxide égale à
celle dont avoit besoin l’acide pour se neutraliser; de
sorte que, pour tout résultat, on obtenoïit de l’hydrogène
et un sel neutre. Les bornes de ce rapport ne nous per-
mettent pas de faire connoître toutes les expériences qui
sont, çontenues dans le travail de MM. Gay-Lussac et
Thénard ; mais nous ne devons pas passer sous silence
l’heureuse application'que ces savans ont faite , à la dé-
composition du muriate de soude, de l’affinité que l’acide
muriatique a pour l’eau : on sait que lasoude entre comme
matière première dans plusieurs fabrications , et qu’il est
très-important de posséder un moyen simple ;et direct de
retirer cet alcali du sel commun,

56 HISTOIRE DE LA CLASSE.

Quant à l'acide muriatique oxigéné ; ME. Gay-Lussac
et Thénatd l’ont soumis À de hombréuses expériences.
« Ellés doivent donner , disent ces chimistes , de la cons-
» titution de cet acide une idée toute différente de celle
» qu’on s'étoit formée. On l’avoit regardé comme le corps
» le plus facile à décomposer , et au contraire il résiste à
» Tattion des agens les plus énergiques. On ne peut en
»'tetirer Facide miiriatique à Pétat de gaz , qu’au moyen
» de l’eau où de l'hydrogène ». Cet acide pèse 3.47 plus
que Pair. 11 contient la moîtié de son volume de gaz oxi-
gène , et toute l'eau qu'ilpent former avée Phydrogène
ét reténue par Pacidé essaie ei qu'il renferme. Cétte
eau fait le quart du poids dé ce derfier acide.

L'action dû métal de la potdssé sur les oxides ét lés sels
métalliques, et sur les sels terreux et alcalins ; a ‘aissi
fait pour MM. Gay-Lnssäc'et Thénard le sujet da tra-

vail particulier dtiquel il ést résultéque tous les Corps
dans lesquels" on connmoit la présence de Poxigène, sont
décompüsés par cé métal; que cette ‘décomposition se fait
presque tonfours avec dégagement de lumière et de cha-
leur; que cé dégagement est d’atitant phis considérable
que l’oxigène est moins éondensé'et que, par cConsé-
quent, ce pourroit être fn moyen d'apprécier le degré de
condensation de l’oxigèné dans chaque corps.

Après avoir opéré sur Ja potasse ct sur la soude ,*à
Vaïde dé la pile de Volta ;” Iles: changemens dont noûs
avons parlé plus haut, il étoif naturel lde chercher à pro-
düfre des effets ARATOEAES sur Les autres aléalis ét sur les
terres. En effet M. Davy à entrepris de nombreuses

.

# PARTIE PHYSIQUE. 57

expériences pour découvrir , suivant som système, les
métaux de la baryte, de la strontiane , de la chaux, de
la magnésie , de la silice, de l’alumine > de la zircone,
et de la glucine. Après beaucoup de tentatives infruc-
tueuses , il annonce qu’il est parvenu , avec le secours de
la pile, à désoxigéner les quatre premières de ces sub-
stances , et à former des amalgames des nouveaux métaux
qui en résultent. Il pense que les quatre autres sont aussi
des oxides métalliques ; mais ses expériences, comme il
l'avoue , ne le prouvent point d’une manière évidente,
Un autre amalgames produit par l’ammoniaque, a été
découvert l’année dernière à Jéna par le docteur Scebeck.
Il a fait ensuite le sujet des recherches de MM. Berzélius
et Pontin à Stockholm, et de M. Davy en Angleterre;
les uns et les autres se sont accordés à reconnoître
l’ammoniaque comme jouissant de toutes les propriétés
d’oxide. À la température ordinaire, cet amalgame a
la consistance du beurre, et au froid il crystallise en
cubes; mais où n’a pu isolerle nouveau métal. MM. Gay-
Lussac et Thénard ont répété les expériences Tap-
portées par Iles chimistes dont nous venons de parler,
et ils en ont reconnu l'exactitude. Mais cet amal-
game ; qui n’avoit été formé que par l’action de la pile,
les physiciens français l’ont produit par l’action du mé-
tal de la potasse, M reconnu qu'une légère agita-
tion suffisoit pour le écomposer. Par cette simple action
le mercure redevient coulant , et il se dégage de l’ammo-
niaque et.de l’hydrogène dans la proportion de 28
à 25; Le mercure absorbe 5, 47 de son volume de gaz
H

58 HISTOIRE DE LA CLASSE.

hydrogène, et 4, 22 de son volume de gaz ammo-
niaque pour passer à l’état d’amalgame ; d’où il résulte,
disent nos auteurs, que dans cette combinaison le mer-
cure augmente d’environ 0.0007° de son‘poids, tandis
que, d’après les expériences de M. Davy, il n’augmentoit
que d’un 12000€, Ainsi la théorie par laquelle MM. Gay-
Lussac et Thénard expliquent la formation du potas-
sium , s'applique à la formation de l’ammonium. Ce nou-
veau métal n’est, suivant eux, que de l’ammoniaque et
de l’hydrogène. Enfin, M. Davy a encore porté ses re-
cherches sur le soufre , le phosphore , la plombagine, le
charbon et le diamant. Les principales expériences rela-
tives à ces deux premières substances ont été faites sur
les gaz hydrogènes , sulfurés et phosphorés , au moyen
du potassium , et il conclut des résultats qu’il a obtenus:
que ces deux corps inflammables sont des combinaisons
d'hydrogène, d’oxigène et d’une base qui n’est point con-
nue, et qui n’a point encore été mise à nu. Quant aux
autres substances , il est conduit à regarder la plomba-
gine comme un alliage du fer avec un métal particulier
qui se retrouve dans le charbon combiné à l'hydrogène,
et dans le diamant à une petite partie d’oxigène.

Ces idées étoient trop contraires à celles qui sont com-
munément reçues, pour ne pas exciter les recherches
des autres chimistes. Aussi MM. -Lussac et Thénard
ont-ils fait sur le soufre et le HMore un travail très-
étendu ; et comme M. Davÿ avoit employé les hydrures
dans ses expériences, les chimistes français ont cherché
d’abord à déterminer avec exactitude les élémens de ces

PARTIE PHYSIQUE. 39

substances. Ils onft reconnu que le, gaz hydrogène sul-
furé contient un volume d’hydrogène égal au sien; que
le gaz hydrogène phosphoré en contient au moins une
fois et demie son volume, que le premier de ces gaz peut
être absorbé par le potassium et le sodium, et que dans
cette absorption il se développe précisément la même
quantité d'hydrogène que le métal seul en donneroit avec
l'ammoniaque et avec l’eau; enfin , que le gaz hydrogène
phosphoré est décomposé par le potassium et le sodium,
en sorte que le phosphore se combine avec ce métal, et
que l’hydrogène se dégage. Mais ces physiciens ne se
sont point bornés à porter leurs recherches sur les subs-
tances que M. Davy avoit mises en usage; ils ont fait des
expériences sur le gaz hydrogène arseniqué, et ils ont
Yu que ce gaz se comporte avec les nouveaux métaux
comme. le. gaz hydrogène phosphoré, et que l’arsenic
peut se combiner avec l’hydrogène, de manière à for-
mer un hydrure solide qui a la forme de flocons lé-
gers, d’une couleur brune. Ils concluent que le gaz
hydrogène sulphuré et phosphoré, ainsi que le soufre
et le phosphore, ne contiennent point, d’oxigène ,
ou du moins que les expériences de M. Davy ne le dé-
montrent point. Mais ils croient, comme on l’a déjà
pensé, que le soufre, et peut-être le phosphore, con-
tiennent de l’hydrogène.

Nous ne nous permettrons point de prononcer entre
les opinions de M. Davy et celles de MM. Gay-Lussac
et T'hénard; maïs on ne manquera sans doute pas de
remarquer, quoique cela ne puisse conduire à aucune

Go HISTOIRE DE LA CLASSE.

conséquence fàcheuse pour la chimie moderne, que
l'hydrogène qui , souvent dans la théorie de Staël n’étoit
pas autre chose que le phlogistique , donne lieu à des
combinaisons qui ont tous les caractères des métaux.

Outre les travaux dont nous venons de parler, nous
devons à M. Gay-Lussac des observations sur ia combi-
nañïson des substances gazeuses les unes avec les autres,
qui l’ont conduit à prouver que les gaz, dans telles pro-
portions qu’ils puissent se combiner, donnent toujours
lieu à des composés dont les élémens sont entre eux
dans des rapports très-simples. Ainsi, 100 parties de gaz
oxigène saturent exactement 200 parties d'hydrogène;
les gaz fluoriques et muriatiques , mêlés avec le gaz am-
moniacal , saturent de celui-ci un volume égal au leur,
etforment des sels neutres, etc. Mais il observe que
lorsqu'on considère les proportions en poids, on n’ob-
tient aucun rappori simple entre les élémens d’une
pareille combinaison. De plus, il fait voir que les con-
tractions appfrentes qu’éprouvent les gaz en se combi-
nant, se font aussi dans des rapports très-simples avec
le volume primitif des gaz, ou seulement avec celui de
l’un d’eux, et il fait remarquer ensuite que la contraction
apparente n’indique point la contracticn réelle qu'ont
éprouvée les élémens en se combinant.

Ces observations ont été suivies d’un travail particu-
lier sur la vapeur nitreuse et sur le gaz nitreux considéré
comme moyen eudiométrique. On y voit d’une manière
bien évidente l’influence des quantités sur le résultat
des combinaisons. Si l’on mélange 200 parties de gaz

_—_

-

PARTIE PHYSIQUE. 61

nitreux et 200 parties de gaz oxigène, il se produit de
l’acide nitrique; et 100 parties d’oxigène restent libres,
Si au contraire on fait un mélange de 100 parties d’oxi-
gène et de 400 de gaz nitreux, il se fait une absorption
de 400 parties, qui produisent de l’acide nitreux , et 100
parties de gaz nitreux restent libres. Ainsi, on obtient
de l’acide nitrique, ou de l’acide nitreux suivant que
l’un ou l’autre des gaz dont ces acides se composent,
domine. ”

Mais dans l’un et l’autre cas, les absorptions sont
toujours constantes. Ainsi, l’acide nitrique est composé
de 100 parties de gaz azote et de 200 de gaz oxigène, ou
de 100 de gaz oxigène et de 200 de gaz nitreux. L’acide
nitreux résulte de la combinaison de 100 parties de gaz
oxigène et de 300 de gaz nitreux. Et si l’on ajoute que le
gaz nitreux est composé de parties égales de gaz oxigène
et de gaz azote, comme M. Gay-Lussac l’avoit déjà dé-
montré, on aura une histoire complète des combinai-
sons de l’oxigène et de l’azote.

M. Guyton de Morveau, dans une suite d'expériences
sur le diamant et les substances qui contiernent du car-
bone , a cherché à déterminer leur action sur l’eau, à
une température très-élevée. L'eau a été’ décomposée par
le diamant , et l’acide carbonique a été produit.

M. Sage nous a fait part des ses recherches sur la révi-
vification de l’argent parle mercure dans le nitrate d’ar-
gent; sur un acétate d’ammoniaque retiré du bois par la
distillation; sur l'analyse de là pierre calcaire nommée
typographique; surfla magnésie contenue dans les co-

62 HISTOIRE DE LA CLASSE.
quilles , les madrepores, la pierre calcaire et l’arragonite;
sur une mine de fer arenacée; sur une pétrification in-
connue et sur l’analyse d’un bois pétrifié, cuivreux et
ferrugineux. Nous regrettons que les bornes de ce rap-
port ne nous permettent pas d’entrer dans plus de détails
sur ces nombreux travaux.

Lorsque la chimie descend des corps brutes aux corps
organisés, les phénomènes qu’elle observe sont plus com-
pliqués, et les résultats qu’elle obtient sont plus obscurs.
Aussi cette branche de la chimie a-t-elle été négligée
jusqu’à ces derniers temps, et la plupart des observations
et des découvertes dont elle s’est enrichie sont incontes-
tablement dues aux travaux de M. Fourcroy, de cet
illustre confrère dont nous déplorons tous la perte au-
jourd’hui, et à ceux de son célèbre ami M. Vauquelin.

Ce dernier s’est occupé de l’analyse du tabac, dans la
vue de reconnoître les principes qui caractérisent cette
plante, et qui l’ont fait choisir pour les usages auxquels
elle est employée, et afin d’apprécier les modifications
qu’elle éprouve par les différentes préparations qu’on
lui fait subir pour en faire un objet de commerce. Il ré-
sulte de ce travail que la plante du tabac à large feuille
(Nicotiana latifolia) contient une matière animale de
nature albumineuse , du malate de chaux avec excès d’a-
cide, de lacide acétique, du nitrate et du muriate de
potasse , une matière rouge dont la nature est inconnue,
du muriate d’ammoniaque, et enfin un principe âcre et
volatil qui paroît être différent de tous ceux qu’on a dé-
terminés dans le règne végétal. C’estéæe principe qui donne

PARTIE PHYSIQUE. 63

au tabac les qualités qu’on lui connoît ; on peut le séparer
de la plante par la distillation , et l’employer séparément.
Le tabac préparé, a présenté de plus que la plante sans
- préparation, du carbonate d’ammoniaque et du muriate
de chaux.

M. Vauquelin , pensant que le suc de la belladone dont
les effets sur l’économie animaleysont si analogues à ceux

du tabac, contenoit le principe âcre qu’il a découvert
dans cette dernière plante, en a fait l'analyse ; mais il
n’y a trouvé qu’une substance animale, des sels à base
de potasse , et une substance amère de laquelle le suc de
la belladone reçoit ses propriétés narcotiques.

A Particle Pysiologie, nous parlerons des expériences
que M. Vauquelin a faites avec ce suc sur les animaux.

M. Chevreul a présenté à la classe des expériences
fort étendues sur les matières végétales. Les unes ont
pour objet le principe amer produit par l’action de l'acide
nitrique sur les matières organisées qui contiennent de
Vazote , et dont MM. Hausmann, Welther, Proust,
Fourcroy et Vauquelin s’étoient déjà occupés.

M. Chevreul pense que cet amer est composé d’acide
nitrique et d’une matière végétale huileuse ou résineuse ;
et il attribue la propriété qu’a cette substance de dé-
tonner, à la décomposition de l’acide nitrique, à la for-
mation du gaz ainmoniacal, de l’acide prussique et du
gaz hydrogène huileux , Es etc.; ce qui est conforme
à une partie des observations de MM. Poieroÿ et
Vauquelin.

. Mais avec l’amer il se produit une matière résineuse

64 HISTOIRE DA LA CLASSE.

et un acide volatil, sur lequel M. Chevreul a fait plu-
sieurs expériences , et qu’il regarde comme ne différant
de l’amer que par une petite portion d’acide nitrique.

Un second travail de M. Chevreul a pour objet les
substances formées par l’action de Pacide nitrique sur
les corps charbonneux ou résineux, qui ont la pro-
priété de précipiter la gélatine. Les premières observa-
tions de ce genre avaient été faites en Angleterre par
M. Hatchett , et elles avaient conduit à regarder ces subs-
tances comme analogues au tannin. M. Chevreul pense
que c’est une erreur , et qu’elles diffèrent entre elles non-
seulement suivant l’espèce d’acide et de matière avec
lesquelles elles ont été préparées, mais encore suivant
la quantité d’acide qui est entrée dans leur composition.

Enfin , poursuivant toujours lè même genre d’expé-
riences , M. Chevreul a porté ses recherches sur différens
composés , formés par la réaction de Pacidesulfuriquesur
le camphre. Ces travaux ont tous obtenu l’approbation
de la classe qui en a ordonné l'insertion dans les mémoï-
res des savans étrangers.

Chaque année nous avons pu présenter d’heureuses
applications de la chimie aux arts, et donner ainsi de
nouvelles preuves des secours que nos besoins et l’indus-
trie peuvent tirer des sciences.

M. Chaptal , à qui les fabriques doivent déjà tant de
procédés utiles ; nous a fait connoître d’intéressantes
observations sur la distillation des vins. On voit par
Phistoire qu’il donne de cet art, par la description
- des appareils qui y étaient employés autrefois et de ceux

©: PARTIE PHYSIQUE. 65
qui y sont employés aujourd’hui, que les procédés
de la fabrication des eaux-de-vie se $ont améliorés À
mesure que les appareils de la chimie se perfectionnaient.
Un des plus importans de ceux qui existent dans le midi :
‘n’est, pour ainsi dire , que l’appareil de Voulfen grand.
Les lois de l’évaporation et les procédés au moyen des-
quels on chauffe les liquides par la vapeur , ont ingénieu-
sement été combinés pour opérer la distillation des vins
d’une manière économique ; mais les observations de
M. Chaptal conduiront sans doute encore à de nouyeaux
perfectionnemens dans la fabrication des eaux-de-vie ,
et contribueront à conserver à cette branche importante
.de nôtre commerce la supériorité qu’elle a acquise.

Le même membre a fait l'analyse de sept échantillons
de couleurs, trouvés à Pompéïa , qui lui avaient été remis
par Sa Majesté l’Impératrice Joséphine. Trois de ces,cou-
leurs n’étaient que des terres colorées naturellement ;
VPune verdâtre, l’autre jaune et la troisième brun-rouge; la
quatrième était une pierre ponce , très-légère et fort blan-
che. Une cinquième , qui avait une belle teinte rose, a
montré tous les caractères d’une lacque , et M. Chaptal
lui à trouvé beaucoup d’analogie avec la lacque de Ga-
rance qu’il à fait connaître dans son traité sur la teinture
du coton. + : | |

Les deux dernières étaient bleues ; l’une avait une
teinte pâle, mais l’autre était intense et nourrie. L’ana-
lyse de ces deux couleurs a montré qu’elles étoient dues
à une combinaison d’oxide de cuivre , de chaux.et d’alu-
mine , résultante d’un commencement de vitrification.

1809. I

66 HISTOIRE DE LA CLASSE.

M. Chaptal observe que cette couleur est fort supérieure ,
en éclat et en solidité, à notre cendre bleue , et que son
prix étant bien inférieur à celui du bleu de Cobaltet au
prix de l’outre-mer , il seroit important de rechercher les
procédés que les anciens employoient à sa fabrication.

M. Sage s’est occupé des procédés les plus propres à
préparer la chaux vive ," pour obtenir des mortiers
solides ; de la nature des différentes espèces de stucs ; des
moyens de donner le poli du marbre aux pierres arti-
ficielles ; et enfin , d’un procédé propre à réduire la cire
blanche en une sorte de savon.

Le même auteur, dans un mémoire, et MM. Guyton
et Vauquelin, dans un rapport, ont communiqué des
observations sur les avantages et les inconvéniens qu’il y
auroit à employer le zinc dans la couverture des édifices;
et sug la demande du Ministre de l’intérieur , la section
de chimie a fait connoître quelles sont les fabriques qui
peuvent être nuisibles à ceux qui habitent dans leur
voisinage , et quelles seroient les mesures à prendre pour
accorder l'intérêt des fabricans avec celui du public.

Il a été fait un rapport sur un mémoire de M. Tarry,
relatif à la composition des encres à écrire et à leur
perfectionnement. T’auteur est parvenu à composer
une encre qui ne peut être détruite par les acides ni
par les alcalis, et qui n’a que le léger inconvénient de
laisser trop facilement déposer sa matière colorante.
« La découverte de M. Tarry promet à la socicté, dit
» le rapporteur , un grand avantage; celui d'introduire
» lusage d’une encre qui, n’étant pas susceptible d’être

PARTIE PHYSIQUE. 67

» enlevée par les agens chimiques actuellement connus,
» n’offrira plus aux fripons l’occasion d’altérer destitres,
» comme cela n'arrive que trop souvent aujourd’hui. »

Un autre rapport sur les turquoises artificielles de
M. de Sauviac, fait espérer de voir bientôt en ce genre
les produits de l’art imiter exactement ceux de la nature.

Enfin une commission composée de plusieurs mem-
bres de la première classe ét de plusieurs membres de la
quatrième , s’est occupée de rétrouver un procédé de feu
Bachelier pour la composition d’un badigeon conserva-
teur des bâtimens. On sait qu’à Paris, les édifices se cou-
vrent très-vite d’une teinte d’un gris sale, et que ce premier
‘changement est cause de la détérioration qu’on les voit
bientôt (prouver après. Une petitearaignée établit sa toile
dans les creux qui se trouvent à la surface des pierres :
ces toiles s'accumulent, se recouvrent les unes les autres,
et avec la poussière qu’elles retiennent , elles forment
cette croûte terreuse, dont nous venons de parler, où
les lichens prennent racine , et qui retient l'humidité à
la surface des pierres : alors les gelées occasionnent des
dégradations considérables , et obligent à ce grattage qui
finiroit par être lui-même une véritable dégradation.

11 s’agissoit donc de trouver un badigeon qui remplit
les inégalités de la pierre sans faire épaisseur dans les
angles, sans amortir les ressauts, et qui résistât aux pluies

t à toutes les intempéries"de nos saisons. Feu Bachelier
avoit fait des essais heureux sur ce sujet. La commission
aidée des renseignemens de M. Bachelier fils , est parve-
nue à retrouver la recette d’un badigeon qui a résisté

68 HISTOIRE DE LA CHASSE.
o

pendant quarante ans aux épreuves qu’on lui à fait
subir, et qui donne l’espérance de pouvoir garantir nos
édifices des dégradations auxquelles ils ont été exposés
jusqu’à ce jour.

MINÉRALOGIE.

M. Guyrox nous a fait connoître une nouvelle forme
crystalline du diamant. On sait que celles que présente
le plus souvent cette pierre précieuse , sont l’octaèdre ré-
gulier et le dodécaèdre à faces rhomboïdales. La variété
que notre confrère a découverte, est formée de deux demi-
sphéroïdes dont la position retournée, imparfaitement
terminée à l’une de ses extrémités , présente , de l’autre,
des angles rentrans très-prononcés qui caractérisent la
forme nommée hémitrope par M. Haüy.

Le même membre ayant porté ses recherches sur la
tenacité des métaux, a été conduit à de nouvelles expé-
riences sur la diminution de pesanteur spécifique du
plomb par l’écrouissement, constatée par Muschenbroek,
et dont la cause étoit restée inconnue. Des flans de ce
métal ont été frappés en viroles; et lorsque les coins et les
virolles étoient asssez justes pour qu’il ne pût s'échapper
aucune bavure , et pour que le plomb ne püût pas obéir à
la facilité qu’il a de se ramollir , on l’a vu , comme tous
les autres métaux, augmenter de pesanteur spécifique
par cette opération. d ni

. M. Sage a fait part à la classe de ses recherches sur
l’émeri et sur les substances qui pourroient le suppléer

PARTIE PHYSIQUE. 69

dans le polissage. Il résulte de ses observations que la
chrysolite de volcans pulvérisée peut remplacer l’émeri :
tous les artistes qui l’ont employée ont été satisfaits des
effets qu’ils en ont obtenus.

GÉOLOGIE.

Les observations d’où la Géologie peut tirer les plus
grands résultats, sont, sanscontredit, celles qui ont pour
objet: les animaux fossiles, mais particulièrement les
animaux terrestres. M. Cuvier a continué les travaux
qu’il a entrepris sur cette importante matière. Il a ter-
miné , conjointement avec M. Brongniart, la Géogra-
phie minéralogique des environs de Paris, dont il a
déjà été donné un aperçu dans le rapport des tra-
vaux de la classe, fait, l’année dernière. Il a ensuite
porté ses recherches sur les brèches osseuses des côtes de
la Méditerranée. Ces roches singulières , qui se trouvent
à Gibraltar , près de Terruel en Aragon, à Cette, à An-
tibes, à Nice , près de Pise, en Corse , sur les côtes de
la Dalmatie , et dans l’île de Cérigo, ont été formées dans
des fissures du calcaire compact qui constitue le sol prin-
cipal de ces divers lieux, et elles sont toutes compo-
‘sées des mêmes élémens : c’est un ciment de couleur
rouge de brique qui lie confusément de nombreux frag-
mens d’os et des débris du calcaire où ces brèches sont
renfermées. Les os contenus dans ces rochers appar-
tiennent tous à des animaux herbivores , la plupart
connus, et même encore existans sur les lieux; ils soñt

70 HISTOIRE DE LA CLASSE.

mélangés à des coquilles de terre ou d’eau douce :
ce qui porteroit à penser que ces brèches sont postérieu-
res au dernier séjour de la mer sur nos continens , mais
fort anciennes, cependant , relativement à nous , puisque
rien n’annonce qu’il se forme encore aujourd’hui de ces
brèches , et que même quelques-unes comme celles de
Corse, renferment des animaux inconnus.

Les terrains d’alluvion contiennent aussi des os de
rongeurs; on en a découvert dans les tourbières de la
vallée de la Somme avec des bois de cerf et des têtes de
bœuf, et dans les environs d’Azof, près de la Mer Noire,
Ces os ont appartenu à des espèces de castors: les pre-
miers ressemblent assez à ceux du castor commun; les
autres, qui forment une tête complète, proviennent
d’une espèce beaucoup plus grande que celle que nous
connoissons, et M. Fischer, qui a découvert cet animal,
lui donne le nom de trogontherium, que M. Cuvier
adopte comme nom spécifique.

Des débris de rongeurs ont aussi été trouvés dans les
schistes. On en a décrit de trois espèces. M. Cuvier en a
vu la figure d’une que quelques auteurs regardoient
comme ayant appartenu à un cochon d’Inde , et d’autres
à un putois. M. Cuvier a bien reconnu sur ce dessin les
caractères d’un rongeur; mais il n’a pu en déterminer le
genre , et conséquemmer® l'espèce. |

Parmi les os fossiles de ruminans, trouvés dans les
terrains meubles, M.'Cuvier a reconnu une espèce d’é-
lan différente de celle que nous connoissons aujourd’hui.
Les débris de cet animal ont été recueillis en Irlande,

PARTIE PHYSIQUE. 71

en Angleterre, près du Rhin et aux environs de Paris
dans des lits de marne peu profonds et qui paroiïssent
avoir été déposés dans l’eau douce. D’autres bois, décou-
verts abondamment aux environs d’'Etampes, dans du
sable surmonté par du calcaire d’eau douce, ont montré
l’existence d’une petite espèce de renne, qui paroît ne
plus se trouver actuellement. M. Cuvier a de plus obser-
vé des restes de bois de chevreuil, de daim et de cerf,
qui ne lui ont point paru différer essentiellement des
bois de nos espèces connues. « Rien, dit l’auteur, n’est
» plus abondant; les alluvions récentes en ont toutes
» fourni, et si l’on ne trouve pas sur ces bois fossiles
beaucoup de témoignages , c’est que, ne se montrant
» qu’à de très-petites profondeurs, ils n’ont rien présenté
» d’assez remarquables pour êtres notés. »

Dans les fossiles de ruminans à cornes creuses, il a

ÿ

reconnu des crânes d’aurochs, découverts sur les bords
du Rhin, sur les bords de la Vistule, dans les environs
de Cracovie ; en Hollande et dans P Amérique septentrio-
nale : seulement, ces crânes surpassent en grandeur ceux
de l’aurochs; mais, comme l’observe M. Cuvier, cette
différence pourrroit bien être due à l’abondance de nour-
riture qu’avoient autrefois ces animaux lorsqu'ils dispo-
soient à leur gré des vastes forêts et des gras pâturages
de la France et de l’Allemagne.

Il existe une autre sorte de crâne fossile , qui ne diffère
du crâne de nos bœufs domestiques, que par une taille
plus grande et par des cornes autrement dirigées. Ces
crânes ont été trouvés dans la vallée de la Somme, en

à

72 HISTOIRE DE LA CLASSE.

Souabe ; en Prusse, en Angleterre, en Italie. « Si l’on
» se rappele, dit M. Cuvier, que les anciens distin-
» guoient en Gaule et en Germanie deux sortes de bœufs
» sauvages, l’urus et le bison, ne sera-t-on pas tenté de
» croire que l’une des deux étoit celle de cet article, qui,
» après avoir fourni nos bœufs domestiques, aura été
» extirpée dans son état sauvage; tandis que l’autre qui
» n’a pu être domptée, subsiste encore, en très-petit
» nombre, dans les seules forêts de la Lithuanie. »

On rencontre aussi dans les terrains meubles des os de
chevaux et de sangliers; les premiers accompagnent
presque toujours les éléphans fossiles, et se sont trouvés
avec les mastodontes , les tigres, les hyènes et les autres
os fossiles découverts dans les terrains d’alluvions ; mais
il n’a point été possible de renconnoître si ces os appar-
tenoient à une espèce de cheval différente de notre
espèce domestique. Les os de sangliers ont été tirés
pour la plupart des tourbières et n’offrent aucun carac-
ière qui les distingue des os du sanglier commun.

On a encore trouvé d’autres os que M. Cuvier a recon-
nus avoir appartenu à une espèce inconnue de lamantin.
Ils ont été découverts dans les couches de calcaire marin
grossier qui bordent les rives du Layon dans les environs
d'Angers, et ils étoient mêlés à d’autres os, dont les uns
paroissent provenir d’une grande espèce de phoque et les
autres d’un dauphin. :

Les squelettes. de trois espèces de quadrupèdes ovipa-
res fossiles , conservés dans des schiste calcaires, ent
aussi fait l’objet des recherches de M. Cuvier.

"PARTIE PHYSIQUE. : 73

“Le premier a été trouvé dans les schistes d'Oeningen,
situés sur la rive droite du Rhin, à sa sortie‘du lac de
Constance. Il avoit été décrit et figuré comme le sque-
lette d’un homme antediluvien ; mais cette erreur avoit
été réfutée. M: Cuvier a recherché le genre auquelilap-
pärtenoit , et il a prouvé ; par une suite d’observations
ostéologiques , que’ce reptile avoit de l’analogie avec les
salamandres, ét qu’il devoit entrer dans le genre protée.

Le second, trouvéégalement dans les schistes d’'Oenin-
gen, pdroît avoir appartenu au genre crapaud et se ef
procher du bufo calamita. q
1 Le troïsième!, et le plus singulier , qui a été découvert
dans‘lés carières de l’Altmuhl, près d’Aichtedt et de Pap-
penheim en Franconie , et qui avoit été décrit et figuré
par Colini, dans les Mémoires de l'Académie de Man-
heïm , estregardé ; par M.Cuvier , comme ayant appar-
tenu à une espèce de saurien. La longueur de son cou,
celle de sa tête, son long bec; armé de dents aiguës , ses
longs bras , indiquent que cet animal se nourrissoit d’in-
sectes et qu’il les attrapoit au vol; enfin la grandeur de
ses orbites doit faire supposer qu’il avoit de très-grands
yeux et qu’il étoit un animal nocturne. Tl n’existe actuel-
ment , surle globe , aucun reptile, connu des naturälistes,
qui ait le moe rapport avec cet habitant de Pancien
monde.

M. Cuvier a publié en outre un supplément à ses mé-
moires sur les fossiles de Montmartre, dans lequel il donne
la figure et la description d’un orñi olithe beaucoup plus
complet qué ceux qui ont été publiés jusqu’à présent. Il

1609. K

74 HISTOIRE DE LA CLASSE.

est probable qu’il appartenoit à la classe des gallinacées,
et l'espèce de ce pays-ci , avec laquelle il a le plus de
ressemblance par la grandeur, est la caille commune.

M. Sage nous a donné la description de quelques car-
polites ou fruits pétrifiés. L’un étoit une amande de noix
devenue calcaire , et trouvée à Lons-le-Saulnier ; une
autre paroît avoir été le fruit d’un muscadier sauvage qui
croît à Madagascar et dans quelques-unes des Moluques ,
sa substance étoit aussi devenue calcaïre ; le troisième pa-
roît avoir appartenu à un genre voisin du durions il s’est
transformé en jaspe. À ces faits#nouveaux , M. Sage
joint quelques-unes des observations qui avoient dèjà
été faites sur les carpolites , et il conclut que les fruits pé-
tfifiés qu’on trouve dans nos climats sont exotiques. Il
entre de plus dans des détails chimiques au moyen des-
quels il explique comment ces pétrifications se sont
apérées.

BOTANIQUE.

L’orDre et la méthode seront toujours en histoire na-
turelle, et particulièrement en botanique, deux objets de
la plus grande importance: ils servent, à-la-fois , à établir
les rapports que les êtres ont entre-eux et à guider lob-
servateur au milieu des productions inombrables de la
nature. Les naturalistes les plus profonds en ont fait le
sujet spécial de leurs études, et les connoissances que la
science des méthodes exige ne pourront même jamais
être embrassées que par eux.

M. de Jussieu qui peut, à si juste titre, être considéré

CUPARTIE PHYSIQUE. 75
comme le législateur des méthodes en ‘botaniqué a formé
un nouvel ordre de plantes sous le nom'dé mônimiées ;
les genres dont ille compose sont le rzizia, le monimia ,
l’ambora et peut-être le crosma, lé pavonid et Varhe-
rosperma. Cet ordre devra être placé immédiatement
avant la famille des urtiéées ; maïs à là suite des moni-
rhiées , M. dé Jussieu place lé CaZycanthus réuni jus-
qu’alors aux rosacées ; il le considère comme lé type d’un
nouvel ordre qui servira de passage entre les nominiées
et les urticées. we] did |
- M. Palisot-Beauvois a porté ses recherches sur l’ordre
des graminées ; il en à étudié les organes de la fructifi-
-cation plus exactement qu’on ne l’avoit fait avant lui,
a fondé sur l’organisation de chacune de leurs parties les
caractères qui doivent distinguer les. graminées entre
elles, et obtenu les moyens de diviser les espèces nom-
breuses de cet ordre en genres beaucoup plus naturels
que ceux qMi avoient été adoptés jusqu’à présent.

M. Labillardière nous fait confioître une plante nou-
velle de la famille des palmiers dont il a fait un genre,
sons le nôm de péychosperma , voisin des élates et des
arecas. Cette plante a été découverte par l’auteur à la
Nouvelle-Trlande; elle s’élève-souvent à plus de soixante
pieds, et son tronc n’a cependant que‘deux à trois pouces
de diamètre. Ces proportions lui ont fait donrier lé nom
de gracilis. Ilest étonnant, comme l’observe M. Labil-
lardière , qu’un arbre aussi frêle puisse sé soutenir lui-
même; mais On sait que dans tous les monocotylédôns
la partie ligneuse la plus dure est À lextérieur, et cette

76 HISTOIRE DE LA CLASSE.

structure donne aux plantes de cette classe une force que
ne peuvent avoir celles dont les fibres les plus solides
sont au centre.

M. Lamoureux a présenté à la classe un travail très-
étendu sur les plantes marines. On s’étoit à peine occupé
de cessinguliers végétaux ; ils étoient généralement réu-
nis d’une manière peu naturelle , et M. Lamoureux , en
formant un seul groupe de toutes les plantes qui habitent
les mers, paroît avoir opéré un changement utile, Le
peu de progrès qu’on avoit fait dans l’étude des algues
étoit cause du peu d'accord qui régnoit entre les bota-
pistes sur les organes qui servent à la reproduction de
ces cryptogames. M. Correa, dans un travail spécial sur
cette matière, avoit reconnu des organes mäles et des
organes femelles dans les tubercules placés aux extrémi-
tés des ramifications de ce ces plantes. C’est cette opi-
nion que M. Lamoureux partage ; mais il caractérise
avec précision les différentes parties de ces graanes , et
répand ainsi beaucoup de clarté sur l’étude de ces sin-
guliers végétaux. Cet auteur a de plus observé que les
espèces d’algues qui croissent sur le granit ne sont ja-
mais les mêmes que celles qui se trouvent sur la pierre
calcaire ou sur les sables, et réciproquement. Quant à
leur organisation intérieure , M. Decandole avoit re-
connu qu’elle étoit dépourvue de vaisseaux et en-
tièrement formée de tissu cellulaire, M. Lamoureux
distingue deux sortes de cellules, les unes hexagones
très-allongées , qui forment les tiges et les nervures des
ramifications ; les autres de la même forme que les pré-

{
PARTIE PHYSIQUE. 77

cédentes , mais à côtés presque égaux et qui constituent

la substance membraneuse ou foliacée.
- M. Lamoureux pense que les premières pourroient être
analogues aux vaisseaux , et les secondes au tissu utricu-
laire des végétaux plus parfaits. Ges trayaux généraux
ont conduit Lauteur à former dans cette famille plu-
sieurs genres nouveaux qu’il a également présentés à la
sanction de la classe.

M. Mirbel a continué ses recherches sur la physiologie
végétale. Jusqu’à présent on avoit bien reconnu que
l’albumen des graines , servoit ordinairement à nourrir
la jeune plante après la germination ; mais cette opinion
avoit peut-être encore besoin d’être appuyée sur des ob-
servations positives, et M. Mirbel, an moyen d’une
expérience aussi simple qu’ingénieuse , paroît avoir levé
tous les doutes sur cette question. L’embrion contenu
dans la graine de l’a/lium cæpa, $e recourbe, en se dé-
veloppant, de manière à former un coude qui sort de
terre, tandis que la plumule et la radicule y restent
cachées. Si à ce point de la végétation l’on fait une
marque quelconque et à égale hauteur sur les deux
branches du germe , on verra la tache la plus voisine de
la radicule s'élever seule dans le cas où, la plante ne
receyroit d’alimens que par les sucs de la terre : si au
contraire , elle n’est entretenue que par l’albumen de la
graine, la tache de la plumule s’élevera au dessus de
l’autre ; enfin, les taches s’éleveront à peu près égale-
ment , si la terre et la graine concourent au développe-
ment du germe. C’est ce dernier phénomène qui a lieu;

78 HISTOIRE DE LA CLASSE.

il cesse lorsque l’albumen est entièrement absorbé : alors
la jeune plante a assez de force pour puiser dan la terre
ou dans l’atmosphère la nourriture dont elle aura désor-
mais besoin.

Ce mémoire est accompagné d’observations intéres-
santes sur la germination de l’asperge , et#sur la manière
dont les feuilles de cette plante, d’abord engaïnantes
comme toutes celles des monocotylédons, deviennent,
par l'accroissement de la tige, latérales et opposées, et
ensuite latérales et alternes.

Dans un autre mémoire, M. Mirbel a entrepris denou-
velles recherches sur la germination duNélumbo. Lesbo-
tanistes n’étoient point d’accord sur la classe à laquelle
cette plante devoit être rapportée, et sur la nature des
deux lobes charnus au milieu desquels elle prend nais-
sance. Les uns n’observant point de radicules se déve-
lopper dans la germination de cette plante, croyoient
qu’elle en étoit entièrement dépourvue; d’autres regar-
doient les lobes dont nous venons de parler, comme
des racines, et d’autres comme des organes particu-
liers et analogues au vitellus. C’est au moyen d’ob-
servations anatomiques , que M. Mirbel cherche à
lever les doutes que font naître ces diverses opinions,
Il reconnoît d’abord au Nélumbo tous les caractères qui
distinguent les plantes à plusieurs cotylédons, des plantes
à un seul cotylédon. Il trouve ensuite dans les lobes de
cette plante des vaisseaux analogues à ceux des cotylé-
dons, et il observe au point où ces lobes se joignént,
d’autres vaisseaux qui se réunissent de la même manière

PARTIE PHYSIQUE. 79

que ceux qui caractérisent les radicules dans les em-
brionspourvus de cetorgane ; etil conclut que le Nélumbo
ne diffère point essentiellement des autres plantes de sa
æ classe. 1

M. Corréa, en regardant avec M. Mirbel le Nélumbo
comme une plante à deux cotylédon, ne partage point
son opinion sur. la nature des lobes; il croit, avec
Gaertner , que ces organes ont beaucoup d’analogie avec
le vitellus, et il les compare aux tubercules charnus des
racines des orchis. Les plantes , comme l’observe ce
savant botaniste, ont une organisation double et rela-
tive, d’une part , à la terre où elles doivent s’enraciner,
et de l’autre, à l'air où leur feuillage se développe. Les
racines sont destinées à la végétation descendante, et
c’est au point où ces deux systèmes d’organisation se
réunissent, que.les cotylédôns sont ordinairement pla-
cés : or, les lobes du Nélumbo sont à la partie la plus
inférieure de la plante, et conséquemment dans le
système de la végétation descendante ou des racines.
Cette manière d’envisager le Nélumbo, ôteroit, à Ja
vérité, les moyens d’yÿ reconnoître les cotylédons ; mais
l'exemple de beaucoup d’autres plantes privées, de ces
organes, montre qu'ils ne sont point du tout essen-
tiels à lavégétation , et que les caractères qu’on en a tirés
pour partager le règne végétal en trois divisions , sont
insuffians, et qu’ils doivent ètre remplacés par ceux que
donnent la direction des vaisseaux et les rayons mé-
dullaires.

C’est aussi dans la vue de détruire les doutes que font

\

80 HISTOIRE DE LA CLASSE.

naître les différentes opinions de plusieurs savans bota-
nistes,que M. Poiteau a entrepris un travail qu’il a soumis
à la Classe, sur la germination des graminées. On n’étoit
pas daccord sur la partie de la graine de ces plantes,
qui devoit être regardée comme le cotylédon : mais ob-
servant que l’écusson ; que Gaertner prenoït pour un
vitellus et M. Richard pour le corps de la radicule,

étoit placé dans le point où la plumule et la radicule
se séparent , il considère cet organe comme un véri-
table cotylédon. Ces recherches ont , en outre, conduit
M. Poiteau à une observation qui, pour être acciden-
telle n’en est pas moins intéressante, puisqu'elle se lie à
un des phénomènes les plus généraux de la végétation.
Au moment où la radicule des graminées se développe,
elle prend la figure d’un cône et représente la racine prin-
cipale ou le pivot dés autres plantes ; maïs bientôt ;'et
dès que les racines latérales ont un certain accroissement,
ce cône s’oblitère et se détruit , de sorte qu'aucun HE
de cette famille n’a de pivot. Êt comme M. Poiteau a
fäit la même observation sur plusieurs autres plantes à
un seul cotylédon , on peut supposer que cette substitu-
tion de racines nombreuses et secondaires à une princi-
pale a lieu , parce que chaque faisceau de fibre des mo-
nocotylédons à sa racine propre : ce qui rappelle natu-
rellement la belle observation de M. du Petit-Thouars,
sur l’accroissement en grosseur du Dracena ,dont il a déjà
été question dans les rapports des années précédentes,

LS.

PARTIE PHYSIQUE. 81
ZOOLOGIE.

Les recherches de M. Cuvier sur les animaux fossiles
ont ordinairement exigé des discussions préliminaires,
sur les espèces admises par les naturalistes, qui ont
presque toujours été la source de quelques obser-
vations utiles à l’avancement de la Zoologie propre-
ment dite. C’est ainsi que dans son Mémoire sur l’os-
téologie du lamantin, en considérant Porganisation des
mammifères amphibies, il est conduit à séparer des
phoques et des morses , les dugons, les lamantins et
lPespèce décrite par Steller , qui avoit été confondue
avec ces derniers animaux. Ces trois genres forment une
famille qui se distingue entre autres par l’absence totale
des extrémités postérieures et par des dents d’herbivores:
il réduit à deux les quatre espèces de lamantins établies
par Buffon , et donne des caractères exacts à celles qu’il
admet dans ces différens genres. |

Dans un autre Mémoire sur les chats , le même auteur
donne les caractères ostéologiques de la tête des princi-
pales espèces de ce genre, et il en fait connoître une qui
n’avoit point été reconnue par les naturalistes modernes,
Cette nouvelle espèce a reçu le nom de Léopard, qui
étoit devenu synonyme de Panthère, faute de pouvoir
en faire une application exacte. Elle diffère de cette der-
nière espèce par une taille moindre et des taches plus
nombreuses.

M. Geoffroy avoit depuis long-temps formé sous le

1809. L

62 HISTOIRE DE LA CLASSE.

nom d’Atèles, une division particulière des singes dé-
pourvus de pouces aux mains, que jusqu'alors on avoit
confondu avec les Sapajous, par la considération de la
queue prenante qui est commune à tous ces animaux.
Il en a ajouté deux espèces nouvelles à celles qu’il avoit
déjà fait connoître, et en a donné des figures et des des-
criptions. L’une, à laquelle il donne le nom d’Arac-
noïde et qui est fauve , avoit seulement été indiquée
par Edwards et Brown. L’autre nommée ÆEncadrée est
entièrement nouvelle; elle est noire avec de poils blancs
autour de la face.

Le même membre a donné la description de deux oi-
seaux, l’un mal connu, l’autre tout-à-fait nouveau :
celui-ci a des rapports avec le Corvus nudus et avec le
Corvus calvus ; mais ils diffèrent assez pour former trois
genres distincts, que M. Geoffroy établit sous les noms
de Céphaloptère qu’il donne à sa nouvelle espèce, de
Gymnoderus qu’il applique au Corvus nudus, et de Gym-
nocephalus, par lequel il distingue le Corvus calvus.

Le Céphaloptère est noir, avec une huppe très-élevée
qui retombe en avant sur le bec, et une sorte de fanon
aussi couvert de plumes. Les unes et les autres de ces
plumes sont d’un violet métallique.

Le second oiseau , qui est du Mexique comme le précé-
dent,avoitétédécrit,maisimparfaitementpar Marcgrave,
sous le nom de Cariama. M. Geoffroy l’avoit considéré,
d’après cette description ; comme voisin de l'Agami;
mais aujourd’hui, qu’il se trouve dans la collection du
Museum d'Histoire naturelle, ce naturaliste le regarde

PARTIE PHYSIQUE. 83

comme devant former un genre à part , auquel il donne
le nom de Aicrodactilus.

Les tortues ont aussi fait pour M. Geoffroy le sujet d’un
mémoire intéressant. Ayant observéen Egypte la tortue
du Nil, indiquée par Forskal, il a été conduit à former un
genre particulier de toutes les autres tortues qui, comme
celle-ci, ont l’extrémité des côtes libres et une carapace
molle. Il les a nommées trionix, et en a ajouté plusieurs
espèces nouvelles à celles qui étoient déjà connues.
M. Brongniart, dans son beau travail général sur les
reptiles, avoit joint celles-ci à ses Émiydes , en observant
toutefois les caractères qui les distinguoient des autres
espèces de ce genre, dont la carapace est complète et re-
couverte d’écailles. M. Geoffroy réunit en outre au genre
chelys de M. Duméril, la tortue décrite par Bartram sous
le nom de tortue aux grandes écailles molles , et décou-
verte par ce voyageur dans l'Amérique septentrionale.

Ces animaux offrent un exemple frappant des progrès
de la zoologie dans ces derniers temps. Le nombre des
tortues connu il y a vingt ans, étoit à peine de trente,
et aujourd’hui il est au moins du double plus grand.
C’est ce que nous apprend, entre autres choses, le tra-
vail de M. Schweiïger , dans lequel il a entrepris de don-
ner une monographie générale de toutes les tortues. Ce
bel ouvrage , accompagné de descriptions exactes d’une
synonymie très-étendue, et de figures dessinées avec beau-
coup de soin par M. Oppel, a été soumis à l’examen de
l’Institut, dont il a obtenu les suffrages.

La classe des poissons s’est aussi enrichie de beaucoup

84 HISTOIRE DE LA CLASSE.
d’espèces nouvelles. MM. Risseau et Delaroche , qui sont
particulièrement occupés de cette branche de zoologie,
nous ont communiqué leurs observations. Le premier
les a faites sur les poissons du golfe de Nice , et autre
snr les poissons de la mer qui environne les îles Baléares.
M. Delaroche a fait des recherches intéressantes sur
la profondeur à laquelle chaque espèce de poisson vit
habituellement, sur la pêche de ces animaux et sur la
vessie natatoire. Nous parlerons bientôt plus en détail
de cette dernière partie de son travail.

PHYSIOLOGIE:

Les expériences physiologiques sont sans contredit
celles qui exigent le plus de loisirs, le plus de patience,
et où ilest plus d’ifficile d'apporter cette exactitude ri-
goureuse, siimportante et sinécessaire dans les sciences.
Cependant M. de Humboldt , au milieu d’un voyage
où les obstacles et les dangers se renouveloient chaque
jour, s’est occupé d’expériences délicates sur plusieurs
des phénomènes de la vie. Il nous a communiqué les
recherches qu’il a faites en Amérique sur la respiration
du crocodile à museau aigu ; elles l’ont conduit à recon-
noître , « que cet animal , malgré le volume de ses bron-
» ches et la structure de ses cellules pulmonaires,
» souffre dans un air qui ne se renouvelle pas ; que sa
» respiration a beaucoup de lenteur ; dans l’espace d’une
» heure et quarante-trois minutes , un jeune individu
» de trois décimètres de longueur n’a enlevé, dans

PARTIE PHYSIQUE. 85

» l'air ambiant, qu’à peu près vingt centièmes cubes
» d’oxigènes ».

Depuis son retour en France , M. de Humboldt, con-
jointement avec M. Provençal, a fait d’autres recherches
sur la respiration des poissons. Les expériences de ces
savans , qui sont nombreuses , et qui ont une exactitude
que comportent rarement de tels sujets, les ont conduits
à des résultats assez importans.

Les expériences de Spallanzani et celle de notre con-
frère M. Sylvestre , avoient démontré que ce n’est point
en décomposant l’eau que les poissons respirent, comme
quelques physiciens l’avoient cru, mais en enlevant l’oxi-
gène mêlé ou dissous dans ce liquide, ou en venant à la sur-
face de l’eau le recueillir immédiatement dans l’atmos-
phère. C’étoit à ces observations que se bornoïient nos
connoissances sur cette matière : on n’avoit point encore
établi la nature et la quantité des gaz qui étoient absor-
bés par ces animaux dans l’acte de larespiration, niles re-
sultats de ces phénomènes. Les expériences de MM. de
Humboldt et Provençal , ont pour but principal ces ques-
tions encore indécises. Pour cet effet , ils considèrent les
poissons dans leur état naturel respirant l’eau des ri-
vières ; puis ils examinent l’action des branchies sur l’eau
ambiante imprégnée d’oxigène et d'azote, d’acide car-
bonique , ou d’un mélange d'hydrogène et d’oxigène , et
ils traitent ensuite des changemens que produisent les
poissons sur les différens fluides aériformes dans lesquels
on les plonge.

Sept tanches (cyprinus tinca) ont été placées sous une

86 HISTOIRE DE LA CLASSE.

cloche remplie d’eau de rivière, et qui en contenoit
4000 centimètres cubes ; après huit heures et demie de
respiration les poissons ont été retirés de cette eau , et
l'analyse qu’on a faite de l’air qui s’y trouvoit encore, a
montré que dans cet espace de temps les poissons avoient
absorbé 145.4 d’oxigène , 57.6 d’azote ; et que 132 d’a-
cide carbonique avoit été produit; d’où il résulte , comme
l’observent nos auteurs, « que dans la respiration des pois-
» sons soumis à cette expérience , le volume de l’oxigène
» absorbé excédoit seulement de deux tiers le volume de
» l'azote disparu , et que plus d’un huitième du premier
» n’avoit pas été converti en acide carbonique ».

Les poissons souffrent dans l’eau entièrement purgée
d’air ; et après une vingtaine de minutes, ils tombent
au fond du vase sans mouvement. Dans loxisène pur,
ces animaux paroissent respirer avidement et écarter
davantage leurs branchies. Dans l'azote et l'hydrogène,
ils tiennent leurs branchies fermées , semblent craindre
le contact de ces gaz, et meurent bientôt après avoir été
plongés dans l’eau qui les contient. L’acide carbonique
enfin les tue en peu de minutes ; mais les poissons n’ab-
sorbent pas seulement par leurs branchies oxygène et
V’azote ; toute la surface de leur corps a la faculté d’agir
sur ces gaz et de se les assimiler. Après avoir retiré les
poissons de l’eau saturée des gaz délétères et en avoir fait
l'analyse, on a trouvé dans ce liquide quelques portion
d’acide carbonique; mais comme il n’y avoit point eu
d’oxigène absorbé , il est vraisemblable, comme l’ob-
servent MM. de Humboldt et Provençal , que cet acide

-

PU Pod tete mie hat ue. à

PARTIE PHYSIQUE, 87
métoit point le résultat de la respiration, mais qu’il
avoit été exhalé par la surface du corps. Tels sont les
points principaux de ce travail, qui contient beaucoup
d’autres observations utiles et d’aperçus intéressans
sur la physiologie des poissons , que les bornes de cette
notice ne nous permettent point de rapporter.

Nous ne pouvons cependant, en parlant de la respira-
tion , passer sous silence un Mémoire que M. Provençal
a lu à la classe, sur la respiration des mammifères aux-
quels on a coupé les nerfs de la huitième paire. Nous
avons déjà parlé des expériences qui ont été faites pour
constater l’influence de ces nerfs sur la respiration ; elles
démontrent cette influence : mais il restoit des doutes sur
la manière dont elle s’exerce. M. Provençal a voulu re-
connoître si l’animal auquel on a coupé les nerfs de la
huitième paire absorbe autant d’oxigène, et produit la
même quantité d’acide carbonique avant qu’après l’opé-
ration. De nombreuses expériences , ‘faites avec soin,
ont montré que l’animal , après la section des nerfs, ab-
sorboit moins d’oxigène , et produisoit moins d’acide car-
bonique qu'avant cette section; mais ces changemens
ne se produisent que par gradation. D'abord, la respira-
tion ne paroît point affoiblie ; bientôt elle s’exécute avec
moins de force; enfin, ces phénomènes cessent tout à
fait, mais vraisemblablement par la cessation des fonc-
tions mécaniques de la poitrine. Il étoit intéressant de
vérifier si la chaleur animale diminueroit dans les mêmes
proportions que la respiration ; aussi M. Provençal a-t-il
fait toutes les expériences nécessaires pour résoudre cette

83 HISTOIRE DE LA CLASSE.

question; et il paroît qu’en effet la température diminue
bientôt après que les nerfs ont été coupés ; et que la res-
piration est ralentie.

Les fonctions des organes dont l’action vient de nous
occuper sont bien connues ; mais il existe chez les ani-
maux un-certain nombre d’autres organes dont les fonc-
tions ne sont point évidentes, et sur l’usage desquels les
opinions des physiologistes sont encore partagés. De ce
nombre est la vessie natatoire des poissons. Cet organe
singulier ; qui ne se trouve que dans cette classe d’ani-
maux, ne se rencontre cependant pas dans toutes les es-
pèces; et il montre tant de variétés dans son organisa-
tion , qu’au premier aperçu on pourroit croire que sa
destination chez les unes n’est pas la même que chez les
autres. Généralement cette vessie estremplie d’air et com-
posée de deux membranes. Quelquefois elle commu-
nique avec lestomac par un canal; d'autrefois, elle n’a
aucune communication apparente, et dans ce cas, elle
contient un organe particulier d’une couleur rouge et
d’une structure lamelleuse , suivant les observations de
M. Duvernoy. Cependant il y a des vessies qui sont
pourvues de ces corps rouges , et qui ont'un canal ; et
quelques-unes , mais en plus petit nombre, ont des
muscles propres. Les opinions des auteurs varient sur
le but de cet organe et de ses différentes parties : en
général on a pensé qu’il servoit à faire changer la pe-
santeur spécifique des poissons ; et que ; pour cet
effet, l'animal , au moyen de ses muscles , compri-
moit cet organcet en faisoit varier les dimensions, sui-

PARTIE PHYSIQUE. 89

vant qu’il avoit besoin de rester en équilibre , de mon-
ter ou de descendre dans le milieu où il se trouvoit.
Quant à la manière dont l’air y arrive, on a cru que
c’étoit au moyen du canal , dans les vessies qui en sont
pourvues , et au moyen des glandes par sécrétion, dans
celles qui n’ont point de communication au dehors. De
plus , on sait, par les expériences de M. Biot:, que cet
air est un mélange d’oxigène et d’azote, et que sa nature
varie suivant que le poisson vit à des profondeurs diffé-
rentes; de sorte que les espèces qu’on retire du fond
de la mer, contiennent une fort grande proportion d’oxi-
gène , tandis que celles qui viennent de la surface
donnent plus d’azote. M. Delaroche ayant recueilli un
très-grand nombre de poissons dans la Méditerranée, a
examiné leur vessie natatoire et en a décrit plusieurs qui
ne l’étoient point encore; il a vérifié les expériences de
M. Biot, et a été conduit , sur les usages de la vessie,
à peu près aux mêmes résultats que les naturalistes qui
s’en étoient occupés avant lui.

Cette vessie a aussi fait le sujet de quelques recherches
pour MM. de Humboldt et Provençal. Ils ont voulu
voir quels étoient les rapports de cet organe avec la res-
piration. Les résultats principaux de leurs expériences
sont que l’air contenu dans la vessie natatoire, ne dépend
point de l’air mis en contact avec les branchies; que
l'absence de cet organe ne nuit point à la respiration,
mais qu’elle paroît nuire à la production du gaz acide
carbonique. Enfin, ils ont vu des tanches auxquelles la
vessie natatoire avoit été enlevée , nager, s'élever et s’en-

1809. M

90 HISTOIRE DE LA CLASSE.
foncer dans l’eau avec autant de facilité que celles qui
en étoient pourvues,

Ces travaux ont donné lieu à un rapport très-détaillé
de M. Cuvier , où il fait connoître toutes les recherches
qui ont été entreprises sur la vessie natatoire des pois-
sons , et où il traite de nouveau les diverses questions
qu’a fait naître ce sujet. Après une discussion approfon-
die , il arrive aux résultats généraux dont nous avons
parlé plus haut , montre tout ce qui reste encore de dou-
teux sur cette matière.

Il est encore d’autres expériences dont les physiolo-
gistes pourroient tirer Le plus grand parti. Ce sont celles.
qui auroient pour but l’action qu’exerceroient les subs-
tances des divers règnes sur le corps des animaux, lors-
qu’on les introduiroit dans la circulation. La médecine,
à la vérité, offre beaucoup d’observations de ce genre ;
mais elles sont encore peu nombreuses en comparaison
de celles qui pourroient être tentées.

MM. Magendie et Delisle: ont, fait part à la classe
d’expériences faites sur les animaux, au moyen de la
matière: avec laquelle les naturels des îles de Java et de
Borneo empoisonnent leurs, flèches. Cette substance est
extraite de l’ {pas tieute, plante voisine des Apocins. Les
expériences de ces jeunes médecins ont été nombreuses,
et la plupart faites sur des chiens. Soit qu’on ait intro-
duit ce, poison dans le corps de. l’anänal. par les vais-
seaux absorbans ; soit qu’on l'ait versé dans des plaies
ou dans; les intestins , les; mêmes! phénomènes ont eu
lieu : les animaux sont morts dans, des convulsions

PARTIE PHYSIQUE. 91
générales. Cette substance paroît exciter particulière-
ment la moële épinière, et ne pénétrer dans le corps
que par la circulation ; elle ne semble agir que très-indi-
rectement sur le cerveau, et elle donne ainsi la preuve
qu’il existe entre ces deux parties essentielles du système
nerveux une indépendance que l’anatomie ne démon-
troit point.

M. Vauquelin a fait aussi quelques expériences de
ce genre : à la suite de son analyse chimique du suc de
la belladone , il parle de l'effet de cette substance sur
lesanimaux. Ceux auxquels il en avoit fait avaler, tom-
boient dans une ivresse , dans un délire absolument sem-
blable à celui que produit l’opium.

M. Sage a rapporté , sur le même sujet, d’autres expé-
riences que le hazard lui a procurées ou qu’il a recueil-
lies dans les auteurs, et qui confirment l’action de ce
suc sur le système nerveux , et particulièrement sur le
cerveau.

Un jeune médecin, dont nous avons déjà eu occasion
de parler dans nos rapports annuels, M. Nysten, a
cherché à reconnoître l’effet de différens gaz -injectés
dans les vaisseaux sanguins des animaux ; il a mis en
usage la plupart de ceux qui sont connus: l’air atmos-
phérique , le gaz oxigène , les gaz oxidulé d’azote , acide
carbonique , oxide de carbone, phosphoré , hydrogé-
né, etc. , ne sont nullement délétères. Les gaz muria-
tique oxigéné, acide nitreux et ammoniac , semblent
agir en irritant très-violemment l'oreillette droite et le

-ventricule pulmonaire. Les gaz hydrogène sulfuré , oxide

92 HISTOIRE DE LA CLASSE.

d’azote, azote, nuisent à la contractilité de ces parties ;
d’autres enfin changent tellement la nature du sang,
que la respiration ne peut plus le convertir de veineux
en artériel, etc. , etc.

MÉDECINE ET CHIRURGIE.

M. Desessarts a lu l’histoire d’une maladie épidé-
mique , qui a régné en même temps dans trois villages
voisins. Quoique dépendante généralement de l’intempé-
rie des saisons et de la mauvaise qualité des fruits, cette
épidémie présenta une variété sensible dans la nature
et dans l’intensiié des symptômes , ce qui nécessita des
modifications essentielles dans le traitement. l’auteur
fait voir que ces différences dépendoient de l'exposition
particulière à chacun de ces villages , de la qualité de
leur terrain respectif , de leurs productions et du genre
de vie de leurs habitans. |

M. Sage a présenté à la classe des réflexions sur les
moyens de remédier à la piqûre faite par laiguillon de la
vive,et une description dés effets du venin de la tarentule,
avec l’exposé. des moyens employés en Espagne , pour y
remédier. L’un et l’autre de ces moyens consiste à faire
usage de lalkali volatil, intérieurement et extérieu-
tement.

- M. Tenon continue d’enrichir la chirurgie des obser-
vations de sa pratique. ILa communiqué à la classe trois
mémoires , l’un sur l’exfoliation des os, le second , sur
un trépan au crâne , et le troisième sur quelques hernies.

PARTIE PHYSIQUE. 93

Dans le premier, il recherche si les os des grandes éxtré-
mités du corps s’exfolient à la suite de l’amputation; et
il résulte de ses nombreuses expériences sur des chiens,
des lapins et des moutons ;, qu’à la suite de toutes les
amputations , l’extrémité dénudée des os longs s’exfolie
ainsi qu’il arrive aux os plais dénudés, avant qu’ils soient
revêtus d’une cicatrice. Dans le second, il donne la des-
cription de tous les phénomènes qui se sont passés dans
Aa guérison d’une plaie à la tête , à la suite de laquelle le
trépan fut appliqué, et qui exigea cent cinquante-un
jours de traitement.

Dans le troisième , il décrit un moyen ingénieux qu’il
a mis en usage pour la réduction de deux hernies cru-
rales, et fait des observations sur l’opération d’une hernie
inguinale. Pour parvenir à la réduction de ces deux her-
nies crurales , « je fis monter, dit M. Tenon, sur le lit
» le chirurgien herniaire ; le fis placer entre les genoux
» du malade, les lui fis élever le plus haut qu’il put; les
» oreillers étant retirés, j’employai une autre personne
à tenir la jambe et les pieds, du côté de la hernie éten-
dus , et à déverser le gros orteil fortement en dedans,
» ainsi que le genou et la cuisse. » Quand les. choses
furent arrivées à cet état, M. Tenon parvint par degré,
à faire rentrer dans le ventre les intestins ; de sorte que le
malade fut dispensé de supporter l’opérationet M. Tenon
de la faire. :

M. Pelletan nous a-fait part d’intéressantes observa-
fions sur les anévrismes et.les opérations chirurgicales
que ces maladies exigent.

ÿ

v
Ÿ

94 HISTOIRE DE LA CLASSE.

M. Larrey a soumis à la classe un Mémoire sur lequel
il a été fait un rapport, et qui a pour objet la nécessité,
dans les plaies d'armes à feu, suivies de gangrène des
membres, de ne pas attendre que la gangrène soit
bornée pour faire l'opération.

AGRICULTURE ET ÉCONOMIE.

Iz a été fait à la classe, au nom d’une commission,
par M. Sylvestre , un rapport sur l’ouvrage de M. Yvart,
intitulé : Moyens d'améliorer l’agriculture par des as-
solemens. « La science des assolemens a pour objet, dit
» le rapporteur, de rendre , un terrain susceptible de
» produire constamment de la manière la plus profi-
» table et sans détériorer. Cet ouvrage, ajoute-t-il, rem-
» plit le but important que l’auteur s’est proposé, et
» mérite l'approbation de la classe ».

M. de Cubière a lu un Mémoire sur le cyprès-chauve;
il a pour objet d’éclairer les propriétaires cultivateurs,
de leur donner des idées sur la végétation de ce bel arbre,
et de leur faire connoître tous les avantages qu’ils pour-
roient retirer de sa culture. Le rapport.qui a été fait de
ce travail, par notre confrère M. Mirbel, vote pour M. de
Cubière les encouragemens de la clase.

M. Leblanc qui a passé plusieurs années en Amé-
rique, nous a communiqué ses vues sur la facilité de

naturaliser la vigogne dans les Alpes et dans les Pyrénées,

et sur l'emploi qu’on pourroit faire de la laine de cet

animal.

»

PARTIE PHYSIQUE. 95

M. Poyfèré-de-Ceré nous a lu une notice sur le lavage

des laines superfines en Espagne , et sur le lavoir d’Alfaro
près de Ségovie ; on y trouve une méthode prompte,

facile et économique de laver les laïnes, et de cons-
truire les lavoirs.

Enfin, notre confrère M. Percy , ayant recueilli, en
Espagne, des observations curieuses sur la fabrication
des amphores et des alkarazas, dont les Espagnols se
servent pour conserver leurs liquides, ou pour faire ra-
fraîchir leurs boissons, il nous les a communiquées en
ajoutant des réflexions importantes sur l’utilité que nous
pourrions retirer de cès vases, et sur l’influerice qwils
exercent sur.les liquides qu’ils contiennent.

96 PRIX PROPOSÉ AU CONCOURS.

PRIX
PROPOSÉ AU CONCOURS POUR L'ANNÉE 1812,

Le 2 janvier 1810.

LA Classe propose, pour le sujet du prix de mathéma-
tiques qu’elle décernera dans la séance publique du
mois de janvier 1812, la question suante :

Donner la théorie mathématique des lois de la propa-
gation de la chaleur, et comparer Le résultat de cette
Théorie à des expériences exactes.

Le prix sera une médaille de la valeur de 3,000
francs.

Le terme du concours est fixé aux premier octobre
1811.

Le résultat en sera publié le premier lundi de janvier
1812.

Les Mémoires devront être adressés, francs de port,
au secrétariat de l’Institut, avant le terme prescrit, et
porter chacun une épigraplie ou devise qui sera répétée,
avec le nom de l’auteur, dans un billet cacheté joint au
Mémoire.

DISTRIBUTION DE PRIX. 97

DISTRIBUTION
DE PRIX.

PRIX DE MATHÉMATIQUES.

L 4 Classe avoit proposé en 1808, pour sujet du prix
de Mathématiques qu’elle devoit adjuger cette année,

la question suivante :

Donner , de la double réfraction que subit La lumière
en traversant diverses substances critallisées , une théo-
rie mathématique vérifiée par l'expérience.

La classe a décerné le prix, valeur d’une médaille d’or
de 3,000 francs, au Mémoire enregistré sous le n@3,
portant cette épigraphe :

Tia res accendunt lumina rebus.
Lucrer, lib. I.

L'auteur de ce Mémoire est M. Malus, lieutenant-
colonel au Corps impérial du Génie, membre de l’Ins-

titut d'Egypte.
La classe, en couronnant ce Mémoire, a cru devoir

1809. N

98 DISTRIBUTION DE PrIx,
distinguer honorablement le Mémoire n° 1, ayant pour
devise ce vers d’'Horace :

Indiciis monstrare recentibns abdita rerums

L’auteur de ce Mémoire est M. Kramp, doyen de la
Faculté des Sciences à l’Académie de Strasbourg.

PRIX DE GALVANISME.

La classe a partagé le prix annuel de 3,000 francs,
fondé par S. M. l'Empereur et Roi, pour la meilleure
expérience qui sera faite dans le cours de chaque année
sur le fluide galvanique, entre MM.Gay-Lussac, membre
de lInstitut, et Thenard , professeur au collége de
France, à cause des nombreuses expériences qu’ils ont

faites en commun.

PRIX D'ASTRONOMIE.

La médaille, fond£e par M. Lalande pour être donnée
annuellement à la personne qui, en France ou ailleurs,
Les &euls rmembres de l Institut exceptés , aura fait l’ob-
servation la plus intéressante, ou le Mémoire le plus
utile aux progrès de l’Astronomie , vient d’être décernée
à M. Gauss, correspondant de l’Institut, auteur d’un
savant ouvrage sur /a Théorie des Planètes, et les
moyens d'en déterminer les orbites dès la première ap-
parition, d’après trois observations, et sans aucune
connoissance préliminaire d’aucun des élémens.

FIN DE L'HISTOIRE

RDV TE:
oo€. | DES

£
®

ea ?

ARTICLES CONTENUS DANS CE VOLUME.

HISTOIRE.

M Jr Tan des travaux de la classe des soiences

mathématiques et ph Lysiques de Linstitut, pendant
. GP rie 1809, partiemathématique, par M. Dsramme,

Secrétaire perpétuel, page 1
Analyse des travaux. de La classe des sciences mathé.
Ÿ matiques et physiques c de l'institut, pendant l'année
"1809, parti physique, par M. CUVEER ‘secrétaire

; perpétuel, 51
Ph pr OposÈ àtl éorcors pour l'année 1812 à 96
Distribution de Prix : ph te A 07

MÉMOIRES.

Reëherches sur les réfractions extraordinaires qui
s’observent très-près de l’horizon, par M. Bror,
page 1

Mémoire sur la tenacité des métaux ductiles , et Obser-
vations sur les changemens de densité du plomb par
Les procédés d’écrouissement, et son altération dans
l’eau , par M. Guxron-Morveau, 267

îj TABLE. |
Mémoire sur Les mouvemens de la lumière dans les
milieux diaphanes , par M. LAPpLAce, 300
Second Mémoire sur La théorie de la variation des
constantes arbitraires dans les problèmes de méca-
nique, dans lequel on simplifie l'application des
formules générales à ces problèmes, par J. L.
LAGRANGE, 343
Mémoire sur les approximations des formules qui sont
fonctions de très-grands nombres, et sur leur appli-
cation aux probabilités, par M. Laprace, 353
Recherches sur diverses sortes d’intégrales définies,
par M. LecenDre, 416
Quatrième Mémoire sur La mesure des hauteurs à
laide du baromètre, par M. Ramon», 510
Examen des différentes manières d'orienter une chaîne
de triangles, par F.C.BurcKkHARDT, 535
Coup d'œil sur l’état présent de l Anatomie et de La
Physiologie véoétales, par M. Mirsez, 546
Supplément au Mémoire sur Les approximations des
formules qui sont fonctions de très-grands nombres ,
par M. Lapracr, 559

MÉMOIRES
DE LA CLASSE
DES SCIENCES

MATHÉMATIQUES ET PHYSIQUES.

RECHERCHES

Sur Les réfractions extraordinaires qui s’observent
très - près de l'horizon,

Par M. Bror.
«Lu le 8 août 1808.

Lis physiciens et les astronomes ont depuis long-temps
remarqué que les objets qui sont vus très-près de l’hori-
zon envoient quelquefois à l’observateur deux images,
l’une directe , l’autre renversée. Personne n’est plus à
portée que les marins d’observer ce phénomène ; aussi
est-il bien connu d’eux , et ils le désignent par un nom
très-expressif, en l’appelant le mirage, parce qu’en effet
ilsemble alors que les objets seréfléchissent comme surun
miroir. Picard décrit quelques apparences de ce genre dans
1

1809.

2 SUR. FES RÉFRACTIONS, EXTRAORDINAIRES

son voyage à Uranibourg. On en trouve aussi quelques-
unes dans les mémoires des premiers Cassinis , mais il ne
paroît pas qu’on en ait faitun objet spécial de recherches
avant un mémoire de M. Huddart, inséré dans les Tran-
sactions philosophiques de 1797. M. Huddart rapporte
qu’il a observé dans certaines circonstances que des vais-
seaux à la voile présentoient, outre leur image directe, une
image renversée, Il a vu aussi des sommets de collines
qui paroissoient détachés de leur base, et suspendus dans
Pair. Il attribue ce phénomène à l’évaporation qui , ren-
dant les couches inférieures de Pair plus humides et par
conséquent moins denses que les couches supérieures ,
doit, selon lui, faire prendre aux rayons lumineux
une courbure convexe vers la terre, et par conséquent
produire une seconde image de l’objet. Mais M. Hud-
dart ne faisoit pas attention que la différence des den-
sités ne suffit pas pour déterminer cette courbure. La
condition réellement nécessaire est la différence des pou-
voirs réfringens. Or, le pouvoir réfringent des gaz ne
dépend pas seulement de leur densité, mais aussi de
leur nature et de leur composition chimique. D’après
les expériences que l’on a faites sur la réfraction de l’eau,
soit à l’état liquide, soit à l’état de vapeur, soit enfin à
l’état de décomposition en la réduisant à ses gaz cons-
tituans , on doit conclure que le pouvoir réfringenit de la
vapeur aqueuse est, à force élastique égale, très-peu dif-
férent de celui de Pair ; même s’il falloit assigner le sens
de la différence , il seroit assez probable qu’il le surpasse
d’une petite quantité, L’introduction de la vapeuraqueuse

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 3
dans l'air atmosphérique paroîtroit donc propreäaugmen-
ter le pouvoir réfringent plutôt qu’à le diminuer ; par con-
séquent ce n’est pas à cette cause que l’on doit attribuer
les phénomènes du mirage, et les images renversées des
objets.
Il existe aussi dans les Transactions philosophiques
-pour 1789, un mémoire de M. Vince, où l’on trouve
décrits un grand nombre de phénomènes de ce genre,
des plus singuliers que l’on aït jamais vus. Le jour où
l’auteur les aperçut avoit été très-chaud ; le soir le temps
fut très-lourd ; le ciel étoit clair avec quelques nuages.
En regardant des vaisseaux à la voile à diverses distan-
ces, M. Vince s’aperçut que quelques - uns d’entre eux
présentoient des images renversées. IL les observa avec
un télescope , ét reconnut bientôt qu’en raison de leur
éloignement et du côté de la mer où ils se trouvoient,
ils présentoient des apparences très - diverses et très -va-
riables d’un instant à un autre. Il vit parfoistrois images,
une renversée et deux droites, quelquefois deux seule-
ment, et l’image renversée au-dessous de l’autre ou au-des-
sus. Toutes ces apparences changeoient à mesure que les
vaisseaux s’approchoient ou s’éloignoient des limites de
l'horizon. M. Vince cherche à expliquer ces phénomènes
par des variations multipliées de densité dans les diffé-
rentes couches d’air ; et, en effet, s’ilnes’agissoit que d’ex-
pliquer la possibilité de la formation des images , on trou-
veroit une infinité de lois qui rempliroient cettecondition.
Mais cela ne suffit pas pour faire connoître la véritable
cause du phénomène ; car on peut mener de l’objet à

4 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES
l'observateur , une infinité de trajectoires , qui toutes lui
amèneront les rayons sous l’inclinaison où ils arrivent, et
dont aucune ne sera la trajectoire véritable. Le caractère
d’une véritable théorie doit être d’expliquer les rapports
de position de ces diverses images, et les mouvemens
simultanés qu’on y remarque lorsque l’objet s’avance ou
s'éloigne. C’est à quoi j'espère être parvenu. M. Vince.
se représente toutes les trajectoires comme concaves vers
la surface de la mer , et en cela analogues à la réfraction
ordinaire. Ilest au contraire extrêmement probable que
leur courbure n’étoit pas dirigée du même côté dans toute
l'étendue de leur cours ; car , dans les phénomènes de ce
genre , il arrive que le rayon lumineux suit une courbe
sinueuse et serpentante , comme on le verra par plusieurs
expériences que je rapporterai dans la suite de ce mé-
moire.

Il est fâcheux que M. Vince se soit contenté d’obser-
ver ces curieux phénomènes avec le télescope sans les
mesurer, sans prendre, avec des instrumens , la dépres-
sion des images et celles de l’horizon de la mer.

Le phénomène du mirage le plus apparent, le mieux
constaté , et qui a le plus attiré l’attention générale , est
celui que M. Monge a décrit et expliqué dans les mé-
moires de l’Institut du Caire. Lorsque les soldats Fran-
çais entrèrent dans le désert de l'Egypte, toute l’armée
fut témoin d’un effet d’optique aussi nouveau que remar-
quable. Le pays qui forme une vaste plaine horizontale,
parut tout couvert d’eau. Les villages bâtis sur de petits
tertres paroissoient au - dessus de cette inondation, et

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 6

présentoient de loin , outre leur image directe , une image
renversée. Les soldats séduits par l'illusion, couroieut
vainement vers cette eau imaginaire pour étancher la
soif qui les dévoroit. Le rivage fuyoit devant eux ; et
l’image de l’eau reculant sans cesse, leur laissoit voir à
sa place un sol aride et desséché.

M. Monge attribue ce phénomène à l’excessive cha-
leur du sol qui, dilatant les couches inférieures de l’air
contiguës à sa surface , fait que la densité de l’air va en
croissant de bas en haut jusqu’à une certaine hauteur au
lieu d’aller en diminuant suivant la loi ordinaire de
superposition des couches, et comme il conviendroit
pour l’équilibre dans une température uniforme. On ne
peut nier en effet que ce ne soit la véritable cause du phé-
nomène, Les rayons lumineux infléchis dans ces couches
inférieures de densités variables y donnent des trajec-
toires convexes vers la surface du sol, et produisent des
images renversées. M. Monge compare cette inversion à
celle que produit la réflexion intérieure dans les milieux
transparens homogènes. En effet, cette comparaison
rend la chose sensible , et elle seroit tout-à-fait exacte
si les couches de densité variable n’avoient qu’une épais-
seur infiniment petite. Quant à l’apparence d’une sur-
face d’eau, M. Monge l'explique très-bien par la réflexion
du ciel ou, pour parler exactement, de toutes les parti-
cules de l'atmosphère , qui se trouvant très-près de l’ho-
rizon ; envoient aussi à l’observateur leurs images ren-
versées comme feroient des objets terrestres, et en se réflé-
chissant autour de ces objets comme si c’étoit surune eau

6 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

tranquille , concourent à compléter l'illusion. Nous ver-
rons bientôt que le calcul confirme cette explication en y
faisant quelques modifications très-légères ; maïs surtout
il ne sauroit lui enlever une de ses particularités les plus
remarquables qui est d’avoir été trouvée à la vue même
du phénomène , au milieu d’un camp ; parmi les hasards
de la guerre et d’nne vie pleine de dangers.

Dans le même temps que M. Monge expliquoit le mi-
rage en Egypte, M. Wollaston en Angleterre publioit
un très-beau travail sur le même sujét. Cet excellent phy-
sicien attribue aussi les doubles images à une densité de
l’air croissante de bas en haut par l'effet de la chaleur
du sol , et il prouve par des expériences thermométriques
très-bien faites, que dans les circonstances où l’on observe
de doubles images, cet état de l’air a toujours lieu. Il
imite ces phénomènes et les agrandit en les observant
sur des corps échauffés , à travers des liquides de densité
inégale, et mème sur la surface d’un fer rouge. Et non-
seulement il décrit leurs apparences , leurs variétés , mais
il les mesure avec des instrumens, et donne dans plusieurs
cas les réfractions que les rayons éprouvent. Ces résultats
sont très-précieux pour vérifier la théorie mathématique
du phénomène , et l’on verra bientôt que j’en ai fait usage.
Quant à cette théorie , M. Wollaston ne l’a point donnée.
À la vérité, il prouve bien que les trajectoires décrites
par les rayons lumineux doivent être convexes vers la
surface du corps échauffé, mais comme il m’avoit point
l’équation de ces trajectoires , il n’a pas discuté la ma-
nière dont elles se coupent, et la nature des caustiques

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. nu

qui peuvent résulter de leurs intersections ; or, c’est de
là que dépend la multiplicité des images, leur situation
et les rapports de ce phénomène avec la position de
Vobjet. Mais sous le rapport de la physique, son travail
ne laisse rien à desirer, il est rempli d'expériences ima-
ginées avec toute la sagacité, et exécutées avec toute

- l'adresse , qui distinguent cet habile physicien. Enfin ,ila
parfaitement atteint le but de l’auteur, qui étoit surtout
de prouver que ce phénomène des doubles images dans
Vair atmosphérique est dû à une variation de densité
contraire à celle qui existe ordinairement.

Trois ans après, en 1803, M. Wollaston publia encore
un autre mémoire sur le même objet. Ici il avoit surtout
en vue de donner aux marins des procédés pour éviter l’in-
fluence des réfractions extraordinaires lorsqu’ils prennent
hauteur ; à cette occasion il rapporte un assez grand
nombre d’observations faites par lui-même sur la Tamise,
relativement à l’inversion des objets. Ceux qu’il a le plus
ordinairement observés étoient les rames inclinées de
quelques barques que le hasard amenoit sur la Tamise, et
qui en effet étoient favorables pour l’observation à cause
de leur obliquité. La méthode de M. Wollaston consistoit à

* mesurer l’angle entre le point où l’image renversée parois-
- soit plongée dans l’eau , et le point de l’image directe qui
se trouvoit dans la même verticale. Malheureusement on
voit par la théorie que cet angle est variable avec la dis-
tance de l’objet et la hauteur de l’œil , deux élémens que
M. Wollaston n’a point observés, ou du moins dont il
na pas donné les valeurs. Aussi les changemens acciden-

8 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

tels qui ont dû nécessairement y survenir, jettent-ils dans
les observations de si grandes irrégularités que l’auteur en
aété extrêmement surpris, sans savoir à quoi les attribuer.
Mais un fait important qui est commun à toutes ces obser-
vations , c’est que toutes les fois que M. Wollaston a ainsi
observé le mirage, la température de l’eau étoit plus
chaude que celle de l’air : ce dont il a eu soin de s’assurer
par des observations thermométriques qui sont consi-
gnées dans son mémoire.

Il arrive aussi quelquefois que des objets éloignés pa-
roissent simplement suspendus en l’air; leur image est
droite et n’est pas accompagnée , du moins en apparence,
d’une seconde image renversée. On a donné à ce phéno-
mène le nom de sspension,pour le distinguer du mirage.
M. Monge l’attribue encore à la réflexion du ciel; mais
il n’a pas dit pourquoi, dans ce cas, on n’aperçoit pas
de seconde image, et je ne sache pas que personne ait
donné l’explication de ce phénomène. Le fait est que la
seconde image existe même dans ce cas, mais elle est
extrêmement applatie et réduite à une dimension infini-
ment petite, ce qui empêche de l’apercevoir. C’est ce
que je prouverai par la théorie et par l’expérience dans
le cours de ce mémoire, en montrant par le calcul et par
l'observation directe , comment se fait le passage du mi-
rage à la suspension.

On trouve sur ces phénomènes un mémoire intéressant
de M. Woltman dans les Annales de Gilbert. Il renferme
un grand nombre d’observations que l’auteur a faites à
Cuxhaven. L’objet observé étoit une maison située à une

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 9
grande distance. Le rayon visuel rasoit la surface de
VElbe dans toute l'étendue de son cours. Malheureuse-
"ment M. Woltmann n’avoit pas à sa disposition d’instru-
ment divisé, et il y a suppléé par un appareil plus propre
à indiquer les variations de la réfraction qu’à en donner

la mesure bien précise. Maïs ce qui rend ce trazail pré-.

cieux ; c’est que l’auteur ayant suivi ces phénomènes
pendant plus d’une année , en a bien constatéles résultats
généraux, et même plusieurs particularités intéressantes.
Ainsiil a constamment observé que, lorsqu’il yavoit deux
images distinctes ou mème simple suspension , la tempéra-
ture de l’eau étoit au moins de deux degrés de Farenheit
plus haute que celle de l'air; et qu’au contraire il n’y
avoit jamais ni suspension ni double image lorsque la
température de l’eau étoit au-dessous de celle de l'air seu-
‘lement de deux degrés de Farenheit. Quand la différence
‘des températures étoit moindre que cette limite, le phé-
nomène m’étoit pas constant. Quelquefois il avoit lieu,
‘d’autres fois ilne se produisoit pas; et cela se conçoit très-
bien, puisqu’une si foible différence peut n’être pas géné-
rale, et que la plus petite cause accidentelle, le moindre
mouvement de l’air ou de l’eau peut la détruire et lafaire
‘passer en sens contraire. M. Woltmann a aussi observé la
‘suspension et le mirage sur la neige, et même sur la
glace, lorsque la température de ces corps.s’est trouvée
plus haute que celle de l’air, ce qui arrive souvent en
‘hiver, et l’on voit encore par là qu’il né faut pas chercher
à ces phénomènes d’autres causes que l’inégalité des tem-
pératures. -
1809. 2

10 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

M. de Humboldt, à qui aucun genre de recherches
n'échappe parmi celles qui sont utiles aux sciences, a fait
aussi des observations de suspension et de mirage pendant
son voyage aux Tropiques ; mais habitué à connoître le
prix des données exactes , il ne s’est pas contenté d’une
simple description. Il a mesuré les dépressions des objets
et celles de l'horizon de la mer avec un quart de cercle
de Bird bien rectifié. Il a noté soigneusement la tempé-
rature et toutes les circonstances météorologiques; enfin,
ce qui est le talent d’un bon observateur, quoiqu'il ne
connût pas la théorie mathématique de ces faits, il n’a
rien omis de ce qui pouvoit servir à l’établir ou à la véri-
fier. Aussi ses observations qu’il a bien voulu me com-
muniquer m’ont-elles été fort utiles. ;

On doit encore ranger dans la même classe de phé-
nomènes les apparences très-singulières que Legentil
a observées à l'instant du lever du soleil pendant son
séjour dans l’Inde, et qu’il a revues ensuite au coucher
de cet astre sur les côtes de Normandie. Il les a consi-
gnées avec beaucoup de détail dans les mémoires de
l'Académie des Sciences pour les années 1774 et 1789. Ces
phénomènes qui n’avoient pas encore été expliqués, se dé-
duisent très-simplement de la théorie; et en comparant
les particularités qu’elle indique avec celles que Legentil
a observées , on les trouvera d’accord en tout point,

Ce sont là les seules donntes que j’aie putirer des
recherches des physiciens. On trouve encore dans les
Annales de chimie et dans celles de Gilbert quelques
autres observations des mêmes phénomènes; mais comme

UI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 11
Q

elles sont faites sans instrumens , ou par des procédés
très-inexacts , ou enfin sans aucune mesure précise, elles
ne peuvent servir qu'à constater le fait en lui-même,
sans offrir les moyens de le calculer.

Au reste, depuis la première lecture de mon mémoire
j'ai été assez heureux pour faire moi-même sur ce sujet ,
toutes les observations que j’ai pu désirer. L’occasion s’en
est présentée, pendant le séjour que j’ai fait à Dunkerque
dans l’hiver de 1808 ,avec M. Mathieu ,pour la vérification
de la latitude à l’extrémité boréale de la méridienne. Nous
avions entrepris, M. Mathieu et moi ,de profiter du voisi-
nage de la mer, pour observer fréquemment avec un cercle
répétiteur la dépression del’horizon, en nous plaçant suc-
cessivement à diverses hauteurs connues, ce qui devoit
nous déterminer la forme de la trajectoire décrite par les
rayons lumineux , suivant les diverses modifications de
température que l’air et la mer éprouvent. Dansle cours
de ces expériences, que nous rapporterons à la suite de ce
mémoire, et qui contribueront peut-être à jeter quelque
jour sur les variétés et les bizarreries des réfractions ter-
restres, nous découvrimes sur la laisse de basse mer :
un lieu où la suspension et le mirage étoient sensibles
tous les jours. Le rayon visuel ; après avoir rasé pendant
Jlong-temps cette surface sablonneuse et prolongée se
terminoit à une foule d’objets , tels que des clochers, des
maisons, des collines, des arbres, etc. qui paroissant sus-
pendus enlairetsans base, présentoient au-dessous d’eux
leurs images renversées. Ces images situées aussien l’air
et au-dessus de lhorizon apparent, ressembloient parfai-

12 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

tement aux images réfléchies par l’eau; et l'illusion étoit
si forte que nous-mêmes ne pouvions nous en défendre ,
quoiqu'il nous fût bien facile de nous convaincre de
notreerreur, puisque le bord de cette eau apparente n’étoit
pas quelquefois à 200 mètres de nous. Nous avons souvent
pris plaisir à y envoyer des hommes munis de perches qui
nous servoient de signaux. À mesure qu’ils s’éloignoient
de nous, on les voyoit s’enfoncer successivement dans
cette mer apparente, et enfin s’y plonger entièrement ,
ainsi que leur image réfléchie. Rien n’égale, en apparence,
les variétés et les bizarreries de ces phénomènes. Ils
changent selon la hauteur des objets, selon leur dis-
tance , selon la nature du sol qui vous en sépare , surtout
selon sa forme et selon la hauteur de l’observateur ;
de sorte que vous ne pouvez faire le moindre mouvement
sans modifier toutes les apparences que vous observiez.
Bien plus, la moindre variation de température les al-
tère , et il suffit d’un simple rayon de soleil pour faire
naître ou disparoître le prestige.

Mais toutes ces bizarreries même n’ont été pour nous
qu’un aiguillon de plus. Nous les avons suivies avec
plus de soin, d’opiniâtreté et de constance à mesure
qu’elles sembloient se multiplier davantage. Guidés par
la théorie, nous marchions toujours avec certitude ; et
chaque apparence nouvelle avoit pour nous un nouvel
intérêt. Pour profiter complétement d’une occasion aussi
favorable , nous avons eu soin de prendre des mesures
exactes de tous les phénomènes avec le cercle répétiteur.
Nous avons noté soigneusement les températures à di-

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON, 13

verses hauteurs au-dessus du sol, les dépressions de l’ho-
rizon apparent et celles des objets, leur distance , leur
configuration et les rapports de leur forme réelle avec
celle des images réfléchies. Nous avons déterminé la
forme des trajectoires et celle des caustiques qui les li-
mitent , au moyen d’expériences directes , et pour ainsi
dire , par des sondes faites dans la mer apparente, pro-
duite par la réflexion du ciel. Enfin nous avons étudié
par des nivellemens exacts , la forme du terrain rasé par le
rayon visuel, forme qui est ici d’une extrême importance,
puisqu’elle détermine la direction des couches d’égales
densités. Il nous a été facile de voir que la fréquence
et l’intensité du phénomène dans le lieu où nous l’avons
observé , étoit due à une configuration particulière de
la surface sablonneuse , résultat que la théorie nous avoit
fait prévoir d’après les seules apparences observées avant
que nous l’eussions vérifié par les nivellemens ; de sorte
qu’en réunissant toutes les occasions que nous ayons eu
alors d’examineren détailles variétés de ces phénomènes,
telles que nous les rapporterons dans ce mémoire, nous
croyons qu’on ne les a jamais observés si complétement ,
même en Egypte.

Je ferai mention ici d’un autre phénomène que nous
avons observé ; Arago et moi , en Espagne , et qui, au
premier coup d’œil , paroîtra peut-être bien éloigné des
précédens , quoiqu'il s’explique très - facilement par la
même théorie. Il ne s’agit plus seulement ici de deux
images , comme dans le mirage, ou de trois, comme
dans les phénomènes observés par M. Vince , mais d’une

14 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

multitude qui apparoissent les unes au-dessus des autres
en nombreindéfini. Lorsque nous observâämes ce curieux
phénomène , nous étions stationnés sur la montagne de
Desierto de las Palmas , élevée de 727 mètres sur le bord
de la mer , dans le royaume de Valence. Nous observions
de nuit, au cercle répétiteur , les réverbères allumés
dans l’île d’Yviza, sur la montagne de Campvey , élevée
de 420” et distante de 161008" (41 + lieues). C’étoit là un
des côtés de notre grand triangle. Nous vimes d’abord la
lumière de Campvey simple , et semblable à une très-
petite étoile , comme elle paroïssoit ordinairement, et
nous fimes ainsi trois couples d'observations. Mais au
quatrième couple , nous commençâmes à voir à Campvey
deux lumières exactement dans la même verticale, et
distantes d’une quantité que , sur le fil , nous estimâmes
au moins de trois minutes. La vraie lumière, du moins
celle que nous jugeâmes telle , étoit à sa place ordinaire,
L'autre, que nous crûmes être la lumière factice, étoit
plus élevée dans le ciel en réalité ; ce qui la mettoit plus
bas dans nos lunettes qui renversent. Elle étoit aussi
plus grosse que l’autre, plus dilatée.et un peu irisée.
Nous la prîmes d’abord pour une étoile , bien étonnés
d’en rencontrer une précisément dans le vertical des ré-
vérbères de Campvey. Mais enfin cette prétendue étoile
ne changeant point de place, il fallut bien y reconnoître
une image extraordinaire. Bientôt nous ne vimes pas
seulement deux lumières, mais trois , quatre ou davan-
tage. Elles se formoient et disparoïssoient ensuite sans
que le nombre de celles qui paroissoient ensemble eût

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 15

rien de déterminé. Cependant on remarquoit que les plus

basses . les plus voisines de ce que nous croyons. être
° , P

l’image ordinaire , paroissoient plus tôt que les autres et
plus facilement ; mais nous remarquâmes que les plus

hautes en réalité , paroissoient toujours les plus larges et
»P J P 8

les plus brillantes. Cette formation successive a beaucoup
d’analogie avec un autre phénomène que nous avons ob-
servé plusieurs fois dans d’autres stations. On voyoit le
point lumineux s’allonger comme une petite colonne de
feu sous le fil vertical de la lunette , et s'étendre ainsi
jusqu’à une certaine longueur , après quoi la colonne se
rompoit tout à coup et formoit deux images dont la plus
basse étoit sensiblement rouge , et la supérieure sensi-
blement verte ; ou bien elle se concentroit de nouveau
sur elle-même ; et redevenoit un pointlumineux unique ,
de dimension insensible , comme auparavant. L’allonge-
ment de la lumière équivaut à une multitude infinie
d'images contigués , au lieu que dans l’oservation du Dé-
sierto , la lumière de Campvey avoit toutes ses images
séparées et distinctes.

Le lendemain de cette observation , à la pointe du jour,
la mer parut au loin couverte de masses de brouillard ,

noires , arrondies , moutonnées et agglomérées , de ma-

nière à représenter parfaitement des montagnes. En diri-
geant les lunettes sur Yviza, on ne voyoit point cette île
ni ses montagnes , mais seulement des masses de brouil-
lard qui en imitoient la forme , et qui auroient pu nous
tromper , si nous avions été moins habitués à reconnoître
Yviza et surtout Campvey. Ces brouillards n’existoient

16 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

point sur la surface de la mer à la chute du jour, ils s’y
étoient précipitéspendantla nuit.Nous avons depuis cons-
tamment observé cette circonstance toutes les fois que
nous avons vu des phénomènes de réfraction extraordi-
naire. Ces masses de brouillard ainsi affaissées , étoient
pour nousl’indicele plus certain d’un temps parfaitement
calme. Au Desierto de las Palmas nous les avons revues
ainsi pendant plus de quinze jours consécutifs, couvrant
la surface de la mer à la pointe du jour, s’élevant et se
dissipant par l’effet de la chaleur du soleil , puis retom-
bant de nouveau pendant la nuit. Ce jeu alternatif con-
tinuoit jusqu’à ce qu’un vent du nord vint les chasser.
Je ne crois pas cependant que ce phénomène contribue
à produire les réfractions extraordinaires ; mais comme
il indique le calme parfait de l’atmosphère, il doit en
accompagner fréquemment l’apparition. On a comparé
le phénomène des doubles images à celui de la réflexion
intérieure dans une glace. Le phénomène des images
multipliés en nombre indéfini, peut se comparer de même
à celui des réflexions intérieures qui se font successive-
ment sur les deux faces opposées d’une glace , lorsqu’on
regarde un point lumineux à travers elle , dans le sens de
son tranchant; mais cette manière d’expliquer le phéno-
mène,ne doit être considéréeque comme approchée. Laré-
flexion des trajectoiresnepeut passe faire dans l’air atmos-
phérique, comme dans les milieux de densité uniforme,
où les trajectoires n’ont qu’une portion curviligne infini-
ment petite, près de la surface de ces milieux ; et quoique
l’on puisse donner une idée de quelques phénomènes du

QUI S'OBSERVENT TRÉS-PRÈS DE L'HORIZON. 17

mirage, en les rapportant à cette limite, il est vrai de
dire aussi qu’un grand nombre , et surtout ceux qui pré-
sentent des images multiples, ne peuvent nullement se
représenter ainsi, parce qu’ils dépendent de la multipli-
cité des branches de la caustique sur laquelle se fait la
réflexion , caustique qui dansle cas des milieux de densité
constante, n’a qu’une seule branche concave vers leur
surface , et infiniment applatie.

Pour avoir la véritable théorie de ces phénomènes , il
faut considérer le mouvement de la lumière dans les mi-
lieux, dont le pouvoir réfringent est variable selon les
différentes couches. C’est ce que j’ai tâché de faire set
comme le problème pris dans toute cette généralité eët
insoluble dans létat actuel de l’analyse, j’ai cherché à
distinguer, autant qu’il m’a été possible, les résultats
généraux qui conviennent à toutes les lois de réfraction
de ceux qui dépendent nécessairement de la loi particu-
lière suivant laquelle on fait varier les pouvoirs réfrin-
gens; et les résultats qui sont dans ce dernier cas étant
très-multipliés ; j’ai choisi pour exemples quelques-unes
des lois de réfraction les plus simples , les plus approchées
de la nature , et j’en ai développé les conséquences ; c’est
ainsi que l’on apprend à discuter les équations de toutes
les courbes , en en discutant quelques-unes , quoique
leurs propriétés particulières soient variées à l'infini.

1609,

Où

18 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

Examen des trajectoires décrites par les molécules
lumineuses, dans un milieu diaphane composé de
couches plares et parallèles, dont la densité et la
nature chimique sont supposées variables.

Supposons que les couches dans lesquelles le pouvoir
réfringent est constant soient horizontales; ce seroient
les couches d’égale densité, si le milieu étoit homogène.
Plaçons l’origine des coordonnées au point où se trouve
l’observateur; prenons l’axe des x horizontal, l’axe des z
vertical et dirigé de bas en haut.

Soit z la vitesse de la lumière dans le vide ; nommons
K la force rtfringente d’une couche quelconque, e sa
densité. Les molécules lumineuses en pénétrant dans
cette couche , n’ayant traversé que des faces planes, au-
ront la même vitesse que si elles y avoient pénétré di-
rectement. On aura donc dans toute l’étendue du milieu

dz° + dz°

a = 2 +4X.e

Pour avoir l’équation de la trajectoire, il faut mainte-
nant éliminer d£: or cela est très-facile, car les couches
étant planes et parallèles, leurs actions attractives dans
le sens de leur longueur se contrebalancent mutuellement,
et par conséquent la vitesse dans cette direction est cons-
tante , etla même que dans la couche supérieure. Or,
en nommant Z l’inclinaison à l’horizon de la tangente
extrème de la trajectoire, ou l’angle TOX, fig.1,ona
dans la couche supérieure

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 19

dx
mn J7E J. ire
ZE Z1. COS.

Cette valeur est donc la même pour toutes les couches;
ainsi en l’employant pour éliminer d£ on trouve

HN cos” T [2 + — (e)]

=. =2+4K.e

K
+ 7°. cos”. I. [ 1e.

d’où ca tire

a rfi + ES. o]-4 [ose]
Æ— (re api à [+ EN

ie

Le pouvoir réfringent .(e) de la couche supérieure

où l’observateur se trouve, est supposé donné par l’ob-
. L LA LJ - . K
servation immédiate. Le pouvoir réfringent nn e,

variable dans les différentes couches, est une fonction
de z dépendante de la loi suivant laquelle varie la den-
sité des couches et leur composition chimique. Si cette
loi est connue et donnée, l’équation différentielle pré-
cédente ne dépend plus que des quadratures, et son
intégrale donnera en quantités finies l'équation du rayon
lumineux.

Faisons, pour plus de simplicité,

4 (KR)

P)
HN Se ii 0.

n°

Le

20 SUR. LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

(P) est le pouvoir réfringent de la couche où se trouve
l’observateur; P est celui d’une couche quelconque.

dz
Et prenons la valeur de ——, nous aurons

dx
NE "0 Py — P
ÿ L” sin”, I — m. [— |
a PE, PR TT e oelhet te 4 ROIS Et Ca
CÉNOS COSr A

Les deux signes du radical se rapportent aux deux
branches symétriques de la trajectoire. Nous considère-
rons d’abord la première branche, et par conséquent
nous prendrons le signe supérieur du radical, puisque
æ croît en même temps que z ; nous aurons ainsi

cos. I. dz

: Œ) — P
Tr a eee
V7 sin =

(P) — P
(P)

nulle au niveau de l’observateur, et qui devient égale
à l’unité dans le vide. Soit donc

AT

La différence est une fonction de z qui est

(F4) TEL HAS
mate UMA

La fonction @ variera entre o et + 1, et sa forme
dépendra de la loi suivant laquelle le pouvoir réfrin-
gent varie dans les différentes couches. On aura ainsi:

cos. I. dz

dE = ——— —
V sin, I — m@

et en représentant par Z, l’intégrale du second membre,

QUI S'ORSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 21

la valeur de + aura cette forme æ = Z,— Z,, Zre-

présentant la valeur de cette intégrale quand z est nul.
Le nombre et la position des images visibles dépend

des intersections des différentes trajectoires parties du

même point. Nous allons donc discuter la forme de ces

trajectoires. \

Discussion de la première branche des trajectoires ,
et de la position de leurs minima sous diverses in-
clinaisons.

ExamiNoxs d’abord dans quel sens elles tournent leur
. d
convexité. Pour cela élevons la valeur de — au carré,
T

nous aurons :

dz \2
( =) Le Aires, 2 PRE

dx cos?, T

différenciant, il vient

dz ri nm? dz
* dx dr — cost. T° dx

g" est le coefficient différentiel de la fonction ©. Sup-
. dz : . Ê Ë
primant le facteur 7, Qui est inutile dans cette circons-

tance, puisqu'il ne convient qu’à une trajectoire hori-
zontale , l’autre facteur donne

dir & rm1@"
das ET lafeusez 1 ;
È aP
ou, en mettant pour ÿ, sa valeur qui est — Ne

d'z 84 mm dP
dr DT ul2(PY col) Vdz

22 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

Si le pouvoir réfringent P décroît à mesure que l’on
s’enfonce dans le fluide, 4 P sera le signe contraire à dz,
et alors la courbe sera concave vers l’axe des æ, c’est-à-
dire vers la couche dans laquelle se trouve l’observateur.
Si, au contraire, P va croissant en même temps que 3,

dP DE ”
x Sera positif, et la courbe sera convexe vers cette
4

couche. Partout elle suivra les inflexions du pouvoir
réfringent, en tournant sa concavité du côté où il est
moindre.

La tangente des trajectoires devient horizontale lors-

dz .
que -—— est nul; ce qui donne

ON ME ON OS 2 0e == = L_ 7». Ur
Les deux valeurs de sir. I répondent aux deux incli-
naisons égales et opposées des deux branches de chaque
trajectoire, lesquelles sont symétriques autour de leur
MMÈNÈMUTL.

Quand (P) sera donné ainsi que Z, cette équation
déterminera le pouvoir réfringent P de la couche fluide
dans laquelle la tangente de la trajectoire est horizontale.

Si le pouvoir réfringent va décroissant à mesure que
l’on s'enfonce dans le fluide, P y sera toujours moindre
que (P) : ainsi les valeurs de siz. Z seront réelles. Les
minima des trajectoires seront donc situés dans ces
couches. Dans ce cas les plus grandes valeurs de sir. I
répondent aux plus petites valeurs de P , c’est-à-dire que
les rayons lumineux qui en partant de l’observateur fe-

Qui S'OBSERVENT .TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON, 23

ront les plus grands angles avec l’horizon, pénètreront
le plus avant dans le fluide et auront le minima de leurs
trajectoires aux points les plus bas.
. Si au contraire P va croissant dans les couches infé-
rieures , la valeur de si. Z sera imaginaire dans ces cou-
ches, et par conséquent les minima des trajectoires n°y
seront pas situés , mais ils se trouveront dans les couches
supérieures. Généralement ce cas rentre dans l’autre en
changeant z en — z. C’est pourquoi le premier sera le
seul que nous considérerons.

Pour avoir la loi suivant laquelle la hauteur desminima
varie , il faut différencier par rapport à Z et z l’équation

sin”. Tl= mm
et en désignant par d'ce genre de différentielles ; on aura
mr g
der ang. I duE,

ou, en exprimant J'Z en secondes,

? . ”
Dit ee SLTL, À
?

d's — DRE TT d'Z
EEE [CP) — PJ
eb comme -r—— 5, on voit que d'z est
dz

LA L, 4 9 " . 0 .
de signe contraire à d'Z, c’est-à-dire que le minimum
7% ; 4 fe
s’abaisse dans le fluide quand l’inclinaison de la trajec-

toire augmente; résultat conforme à ce que l’on a vu
plus haut.

24 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

Pour interpréter complètement cette expression , cons-
truisons la courbe qui représente la suite des pouvoirs
réfringens à diverses profondeurs. Soit NX, fix. 1,
cette courbe, dont les valeurs de 3 comptées sur l’axe 4Z
seront les abscisses, et dont les valeurs de P seront les
ordonnées. Si par le point X où cette courbe coupe
axe des æ, on mène la verticale XZ”, la courbe NX rap-
portée à cet axe représentera la suite des valeurs de

(P) — P, et sa soutangente représentera Fe Or, plus

la densité variera rapidement, plus la courbe NX sera
applatie vers l’axe ÆX, et par conséquent plus sa
soutangente sera petite. D’où l’on voit que, à incidence
égale, la valeur de d'z est d’autant moindre que le pou-
voir réfringent varie avec plus de rapidité.

Si cette variation étoit infiniment rapide, la courbe
NX deviendroit une ligne droite perpendiculaire à

l’axe 4 Z ; la soutangente _ seroit constamment nulle,
et l’on auroit alors
Îs—=:0

Tous les minima des trajectoires se trouveroient donc
sur une même ligne horizontale, quelque fût l’inclinai-
son Z. Ce cas est celui de la réflexion au contact de deux
milieux homogènes, de densités ou de nature diverses,
qui se touchent par une face plane.

Mais toutes les inclinaisons ne sont pas propres à don-
ner des trajectoires qui aient leur minimum dans le
fluide , car la plus petite valeur que P puisse avoir, c’est
d’être égal à zéro ; ainsi la plus grande valeur de sir. J est

QUI S'ORSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 25
sin. I = V m; d'où l’on tire tang. T = V (PF)

Les valeurs de Z qui excéderoient cette limite exige-
rojent que le pouvoir réfringent P pût diminuer jusqu’à
devenirnégatif, c’est-à-dire que le milieu fluide repoussât
la lumière au lieu de l’attirer , ce qui ne sauroit avoir
lieu dans les cas que nous considérons.

Cette valeur de sir. I donne

1

Sous cette forme on reconnoît que Z est l’angle sous
lequel un rayon lumineux cesse de se réfléchir dans un

cos, I —

milieu diaphane dont le pouvoir réfringent est s “2 -(e).
Les rayons menés sous une inclinaison plus grande don-
neroient encore des trajectoires curvilignés ; mais ces
trajectoires sortiroient du fluide avant d’avoir atteint
leur mirimum.

Dans l’air atmosphérique, si l’on suppose que (e) soit
la densité à la température de la glace fondante et sous
la pression de 0"76, j’ai trouvé par des expériences di-
rectes qui sont rapportées dans les Aémoires de L'Tns-
litus pour 1807,

4e (K) (e) — 0.0005883641 :

n° £
ce qui donne

i

71 = 0.0005880200

1809. 4

26 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

et l’on trouve par l’équation précédente
M 20029 00

Telle est la limite de la réflexion intérieure dans l’air
atmosphérique, et il s’ensuit qu’à travers des couches
d’air plancs et parallèles, la vision par des secondes
branches de trajectoires ne peut jamais avoir lieu que
sous des inclinaisons moindres que la précédente.

Les inclinaisons possibles dans chaque cas seront
même fort au dessous de cette limite ; car, en supposant
P nul, on suppose qu’il y a le vide dans la couche
inférieure, et c’est ce qui n’a jamais lieu dans les obser-
vations. La densité de la couche inférieure, loin d’être
nulle, est au contraire le plus souvent peu différente
de (e), surtout dans les phénomènes produits par la
seule chaleur naturelle du soleil, comme sont ceux qui
s’observent à la mer ou dans les plaines sablonneuses.
Alors, en nommant p,, la densité de l’air à la surface
du sol, la limite de Z pour la réflexion sera donnée par

la formule |
in: Ps LV ». serie
Ce)

car des trajectoires menées sous des inclinaisons plus
grandes entreroient nécessairement dans le sol avant d’a-
voiratteint leur minimum. Si l’on représente par (p)et (£)
la pression et la température dans la couche supérieure
où l’observateur se trouve, et par p'et £’ les quantités
analogues dans la couche qui repose sur Le sol, la for-

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 27

mule précédente donnera d’une manière très-approchée

NN Cp) QU 2. LINE: ]
sin I (m). EE [1 + (#)0.00375] 0.76. [1 + # 0.00375]

(1) étant la valeur de "1 donnée ci-dessus pour la
température de la glace fondante et la pression de 0"76,
si l’ebservateur est assez peu élevé au-dessus du sol pour
que la variation du baromètre dans cet intervalle soit
insensible, on aura (p) = p', et la valeur précédente
deviendra

sin. I= M, APN RU e EL 2 LU PRET
+ Li + (): 0.003751]. [1 + #. 0.00375]

‘Supposons, par exemple, que la température à la sur-
face du sol soit de 55° du thermomètre centésimal, et
qu’elle soit de 25 dans la couche supérieure où l’obser-
vateur se trouve , et prenons le baromètre à 0.76 dans
les deux couches ; ces différences sont bien les plus
grandes que la chaleur du soleil puisse produire même
sous les tropiques. Dans ce cas on trouve

LE SA: 00. \

Si, pour prendre un aûtre extrême, on suppose que
la température de l’air dans la couche supérieure soit
— 10° et qu’elle soit + 10° dans la couche inférieure, ce
qui peut arriver, quoique bien rarement , dans nos cli-
mats lorsqu'on observe sur la surface de la mer en hiver,
on aura

Ton) RS

Telles sont donc les limites extrêmes de la réflexion dans

28 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

V’air atmosphérique lorsque les différences de tempéra-
ture seront le résultat d’un état naturel de l’atmosphère.

Il seroit bien intéressant de comparer la valeur de sir. I
à des expériences exactes faites sur des plaques métal-
liques parfaitement planes, et chauffées à des degrés
déterminés. Ce seroit un moyen de savoir si le coeffi-
cient de la dilatation de l’air 0,00375 donné par Gay-
Lussac, est encore exact à de hautes températures, en
supposant toutefois que la force réfringente del’air, à ces
températures, restät encore proportionnelle à sa densité;
ce qui est extrêmement probable d’après les expériences
que nous avons faites, Arago et moi, sur l’air raréfié.
Mais, à défaut d’expériences de ce genre, nous nous
contenterons d’appliquer la formule à quelques autres
cas, qui pourront servir à en montrer l’usage.

Je choisirai d’abord une observation faite par M. Wol-
laston , sur un grand chemin sablonneux.

Le thermomètre plongé dans le sable marquoit. 38°3 Divis. centésim.

A quatre pouces anglais au-dessus du sol, ou en-
viron 1 décimètre « + + « + à + +. + + + + + + 27°8

À un pied anglais ou à trois décimètres au-dessus
dusol EE Se OS PAT 0 277105

Nous supposerons qu’à cette dernière hauteur l’influence
du sol étoit déjà insensible, ensorte qu’au-dessus de
cette couche, le rayon poursuivoit sa route eu ligne
droite jusqu’à l’observateur, que je suppose aussi au-
dessus de cette limite. Dans ces circonstances, la réfrac-
tion observée par M. Wollaston étoit d’environ 9’; mais
comme la surface du sol n’est jamais parfaitement plane,

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 29

on n’a pas ici l’avantage de savoir si la trajectoire ob-
servée est la trajectoire limite qui est tangente à la surface
du sol. On doit même remarquer à ce sujet que les plus
petites inégalités du sol ont une influence très-sensible
sur le phénomène, en interceptant les trajectoires les plus
basses, avant ou après leur minimum, et ne laissant
passer que celles dont le minimum surpasse ces inégalités.
Alors, soit que vous observiez la réflexion du ciel ou
l’image renversée d’un objet, vous ne pouvez l’aperce-
voir que dégagée de ces ondulations, et les trajectoires
plus basses ne font que continuer l’image du sol plus
loin qu’elle ne devroit l’être si sa surface étoit parfai-
tement plane. Or ces variations de hauteur, quoique fort
petites , en introduisent de très-grandes dans la tempé-
rature des couches où se fait le #2i72imum. Enfin il est
très- probable que le thermomètre placé sur la surface
d’un sol échauffé ou très - près de cette surface, in-
dique toujours une température plus haute que celle de
Pair qui repose sur le sol, à cause de la rayonnance qui
agit sur la boule du thermomètre, tandis qu’elle n’af-
fecte point l’air d’une manière sensible; et aussi parce que
Pair échauffé , s’échappant par l’excès de sa légèreté spé-
cifique, se refuse ainsi à prendre toute la chaleur que
le sol pourroit lui communiquer. Par ces raisons il sera
plus sûr de parler de ne point faire de supposition rela-
tivement à la hauteur de la trajectoire que M. Wol-
_laston a observée, et de partir au contraire de cette
réfraction comme d’une donnée pour calculer les diffé-

rences de température entre la couche supérieure et celles

30 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

du minimum de la trajectoire. Regardons donc Z et(#)
comme données , et cherchons la différence #’ — (7) des
températures extrèmes, nous trouverons ainsi

’ ER sin*. I. [1 + (#). 0.00375]*
AE CHR) apte
0.003756. le TT 0 -I.[1+-(2).0.00375]

o

En substituant dans cette formule les nombres donnés
par M. Wollaston, c’est-à-dire supposant Z = 9', et pre-
nant (£) = 24.5 pour la température dans la couche où
se trouvoit l’observateur, nous aurons
Zu (2) == ,010
et comme on a ({) — 24.5, il en résulte
He 8i0

Telle étoit donc la température de l'air au point le plus
bas de la trajectoire. Elle est fort au-dessous de celle
qu’indiquoit le thermomètre plongé dans le sable, et
nous avions prévu cet effet. Si l’on devoit l’attribuer
tout entier aux inégalités du terrain, on voit, d’après
la progression des températures observées, que la trajec-
toire passoit à moins de 1 décimètre du sol, distance que
l’on peut en effet regarder comme la moindre possible
parmi toutes celles qui sortent des inégalités inévitables
d’un grand chemin. Si le minimum eût été placé à la
surface même du sol, la réfraction eût été de 17’; mais
le moindre obstacle, la plus petite pierre placée sur le
sol auroit suffi pour l’intercepter, et on n’auroit pu l’a-
percevoir que sur un Corps uni comme un miroir, OU
sur la surface des eaux.

QUI S'OBSERVENT. TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON.

34

Nous avons fait, M. Mathieu et moi, des observations
de ce genre à Dunkerque sur la laisse de basse mer, et,
pour plus d’exactitude , nous avons nivelé soigneusement
le terrain , afin d’en connoître les ondulations ; car ces
ondulations déterminant la direction des couches , leur
communiquent leur propre inclinaison qu’il faut aussi
ajouter ou ôter aux dépressions apparentes conclues des
distances au zénith. Voici , d’après nos expériences, la
série des températures à diverses hauteurs ; observée

le 8 mars 1809.

Le thermomètre, placé sur le sable et au
Sur le sable et à l'ombre . . . . «
A 3 centimètres et à l’ombre.,. . . , .
A 15 centimètres .. . « + « + + + + »
À 65 centimètres. « + « «+ à + + +
A 93 centimètres. . « + à» + + « «

soleil, marquoit.

2. + + +

°

1395

11-0

9°5
7°9
6.3
6.1

Au-dessus de cette limite la température devenoit sensi-
hlement constante ; le centre du cercle étoit placé un peu
au-dessus , à 1” 17. La dépression de l'horizon apparent

_sur le sable, par six observations au cercle répétiteur,

fut trouvée de 8’ 1546; l’inclinaison propre du terrain

valeurs on trouve

# — (1) = 2:76 et par suite # — 8.86

la diminuoit de 1° 18": donc on l’a augmentée. Avec ces

” Le minimum de la trajectoire qui paroissoit être la tra-

-jectoire limite, passoit donc à très-peu près à 3 centimètres.

du sol, si toutefois l’infériorité de la température cal-
culée doit être attribuée entièrement à cette cause; et
Vonvoit que cette hauteur étoit à peine suffisante pour

52 SUR LES RÉFRACITIONS EXTRAORDINAIRES
dégager la trajectoire des petites ondulations, et, si je.
puis le dire, des petites rides imprimées sur la surface
du sable par le mouvement alternatif des vagues au mo-
ment du reflux. Or telle étoit la disposition du terrain
que, malgré cette foible différence des températures ex-
trèmes, le phénomène des doubles images et celui du
renversement étoient extrèmement sensibles.

Nous avons réuni dans le tableau suivant les résultats
des observations du même genre faites à différens jours.

Dépressions de l'horizon apparent, observées à Dun-
Kkerque sur la laisse de basse mer, à l’ouest et au

pied du Risban.

09
da
ejqes
*agpnore
ox10792{e1y E[ 2p nu
agpno

“oyaunp er 9p
_8L ins 0M)MOUoUZ,

309% {(qo,1 op nesaiu ne

ÉTAT DE L’ATMOSPHÈRE.

“UIBAJ9] np uos
—1TBUI[OUL,[ 9p 298 LT

"suorrAresqo sep
‘IULINOUTE
“ojuouedde moisson
ALB,[ 9P O19MOUNOUT,
*JeI0S ne 3e
ur ne oinjesoduo,

102.‘ sowgxyxe sainyer
-pdue, sap 29uo19fi(r

M. L LD: !
7 mars -+|o.7744 | 11-5 . Beau ciel ; vent N. foible.
8e... 076093 ° 13.5 Beau ciel; v. N. N. E. foible.
10 «+..|0-7609 7.5 Point de soleil; temps cou-
vert et froid. |
Lives. |0+7700 5 10:3 . Ciel nuageux; v. N.E. foible.|ÎM
19e... |0-7647 . 13-4 . . Ciel couvert; soleil par inter-
u valles; vent E. fort.

23e09r°|0:7625 14-3| 1413 Ciel vaporeux; vent S.S.E.

Dans toutes ces observations , la température de l’air,
calculée pour le minimum de la trajectoire , est toujours
moindre que la température indiquée par le thermo-

QUI S'OBSERVENT TRÉS-PRÈS DE L’'HORIZON. 22

mètre appliqué sur la surface du sol. Cela peut, comme
_ nous l’avons dit, résulter des petites inégalités du ter-
rain; mais une autre cause qui y contribue aussi très-
probablement, c’est que l'air inférieur s’échappant dès
qu’il s’échauffe , en vertu de sa légèreté spécifique, ne
peut pas acquérir toute la température du sol, à moins
qu’il ne soit retenu par quelque obstacle. D’après cette
considération on voit que la température de l’air dans
la couche inférieure, doit participer de celle des cou-
ches supérieures qui, descendant vers le sol, vienngnt
sans cesse la renouveller. Ainsi lorsqu'une barre métal-
lique a une de ses extrémités plongée dans la glace et
l’autre dans l’eau bouillante, les températures réelles
de ces extrémités ne sont ni celle de l’eau bouillante ni
celle de la glace; mais elles participent de l’une et de
Pautre, suivant des lois que le calcul et l'expérience
s’accordent également à déterminer. La preuve que les
inégalités du sol ne produisent pas seules ce phénomène,
c’estque nous le concluons également d’un grand nombre
d'observations que nous avons faites de la dépression de
Phorizon sur la surface de la mér à laquelle on ne
Sauroit attribuer de semblables inégalités. Dans les
expériences faites sur le sable, on peut remarquer que
la différence réelle des températures est justement la
moitié de celle que les thermomètres indiquent. Les
observations que nous avons faites sur la surface de la
mer ne s’écartent pas beaucoup de cette loi. Seroit-ce une
Propriété générale qui tint à la manière dont l'air
s’échauffe ? Nous Pignorons ; cependant cela paroît peu
1809. 5

34 SUR LES KÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES
probable : il semble plutôt que l'étendue de cette diffé-
rence doit varier selon les rapports de température de
l’air extérieur et du corps échauffé, selon la forme de
ce corps, et surtout selon la facilité plus ou moins
grande que sa position donne à l'air échauffé pour
s’échapper de sa surface. Quoi qw’il en soit, ces résultats
montrent que dans les observations barométriques, où
l’on a besoin de connoître la température propre de l'air
ambiant, il ne faut point placer le thermomètre très-
près de terre, mais l’élever à la plus grande hauteur où
on puisse le lire, afin de le dégager de l’action rayon-
nante du sol et le mettre au-dessus des variations rapides
que la chaleur communiquée immédiatement par le con-
tact, introduit dans la température des couches infé-
rieures. C’est ce que M. Ramond a toujours pratiqué.

Parmi les expériences de M. Wollaston sur la même
matière, on en trouve une qui est surtout faite dans
des circonstances très-favorables. M. Wollaston observa
le renversement des images sur une barre de bois ex-
posée au soleil. Le décroissement des températures étoit
très-rapide ; car, en les mesurant avec un très-petit ther-
momètre, on avoit

Sur la surface de la barre, le thermomètre en contact
35.6 centigrade,

CRE ALORS: HO Se NEC TS EN ue
A Ja distance de ? de pouce anglais, ou environ 6 mil-
EM ERES de enter ie moe een mere oh ares eee lien ons

La réfraction observée surpassoit 20’.

Ici nous ne connoissons point la température de l’air
ambiant, il est seulement probable qu’elle étoit plus

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 35

basse que celle qui avoit lieu à + de pouce de la barre,
Prenons donc pour donnée la température #' à la surface
même de la barre, et cherchons la valeur de (4); nous
aurons d’abord

sin". I. (1 + # 0.00375)

0.003756. ES +sin.I.(i+#. 0.00376) |
et en y mettant les nombres donnés par Wollaston , on
trouvera

E — (#) = 18.5

on a d’ailleurs
2=385:6; Donc :( 4) ray

Telle devoit donc être alors la température de Pair
ambiant selon notre théorie, et cette valeur est très-
vraisemblable; car, la véritable valeur étoit nécessaire
ment moindre que 22.8 qui avoit lieu à + de pouce de la
barre, et cependant elle devoit différer peu de cette
quantité, à peu près comme le thermomètre à l’ombre
diffère du thermomètre au soleil.

Enfin, dans la dernière observation de M. Wollaston
que nous allons calculer, les rayons visuels passoient
sous la surface d’une plaque de fer rouge, et très-près
de cette surface, de sorte que dans ce cas la légèreté
spécifique de l’air échauffé s’opposoit à sa dissipation.
La plus grande réfraction a été , selon cet habile physi-
cien, jusqu’à 1° 15’. Il ne nous a point donné les tem-
pératures extrêmes ni la hauteur du baromètre relative
à cette observation ; mais cette dernière ayant peu d’in-

36 SUR LES RÉFRACTIONS TXTRAORDINAIRES

fluence peut être encore supposée sans erreur sensible
égale à 0"76; et quant aux températures, comme à des
degrés de chaleur si tlevés la réflexion approche du maæxi-
mum qu’elle peut atteindre dans l’air, une petite erreur
dans les degrés est beaucoup moins sensible que dans les
exptriences précédentes. Nous pouvons donc supposer
que la température de la plaque de fer est celle qu’ont
assignée De Luc et Watt pour la chaleur du fer rouge,
c’est-à-dire de 1277 degrts de Fareinhet, ou 692 duther-
momètre centésimal ; de plus, nous prendrons la tempé-
rature de l’air égale à 12°, ce qui est à peu-près sa valeur
moyenne à Paris et à Londres. En calculant avec ces
donnes la valeur de sir. I d’après la formule, on trouve

LE TLONONTE

Cette valeur s’écarte peu de la limite extrême 1° 15’ fixée
par Wollaston; et l’on peut bien pardonner cette diffé-
rence quand on songe à l’incertitude qui reste encore dans
les données dont nous avons fait usage, et à celle de
observation même dans laquelle Wollaston n’a pro-
bablement pas cherché à mettre toute l'exactitude qu’exige
une expérience calculée. On Pélèveroit à 1° 11° en sup-
posant que l’observation a été faite à la température deo,
et l’on satisferoit facilement à l’observation, si elleétoit
parfaitement sûre en modifiant la valeur adoptée pour
la température de la plaque rouge, valeur qui au reste
étoit probablement plus forte que nous ne l’avons sup-
posé, puisque Saussure et Watt ont dà l’indiquer dans
SON 7722721 TI,

QUI S'ORSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 37

Il existe encore des expériences de ce genre faites en
Allemagne par M. Gruber de Berlin ; mais la plaque de
fer échauffte sur laquelle ce physicien. observoit n’toit
pas parfaitement plane, ainsi qu’il en fait lui-même la
remarque : elle étoit concave vers le rayon lumineux, ce
qui empéchoit les trajectoires de toucher la surface du
fer; et de là il résulte que toutes les réfractions observées
par M. Gruber sont plus petites que la plus grande qui
auroit pu avoir lieu, d’après la différence des tempéra-
tures extrêmes, ce dont je me suis assuré par le calcul.

Nous venons de déterminer la limite de la réflexion
intérieure dans des milieux quelconques. Lorsque l’in-
clinaison des trajectoires excédera ces limites, la trajec-
toire sortira du milieu avant d’avoiratteintson minimum;
de là, en entrant dansle vide, elle poursuivra son cours
en ligne droite suivant la direction de sa dernière tan-
gente , de sorteque, si l’on veut seulement considérer
sa marche dans le milieu réfringent où elle est courbe,
il faudra la terminer brusquement.

Cependant , pour examiner complétement les pro-
prictés géométriques des trajectoires, et suivre avec fa-
cilité la marche de leurs intersections successives, il
seroit utile d’éviter cette interruption brusque de leur
marche qui jette une discontinuité inévitable dans les
considérations. À la vérité: } on y parviendroit en conti-
nuant, par le calcul, le cours des trajectoires au-delà de
ces Éoce. ce qui exigeroit que l’on employât dans le
calcul analytique des valeurs négatives du pouvoir réfrin-
gent; mais cette supposition qui suffit au calcul, ne

38 SUR LÉS RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES
présente aucune idée physique satisfaisante. Voici un
moyen très-simple d’y suppléer.

L’équation ru des trajectoires est

coël Le = Ne TIL ®

dans laquelle on a
er

OR
Es

Ÿ K
ñ

sésRs

Dans un autre milieu nb dont l’action sur la
lumière seroit représentée par Z'et la densité par e’, on
auroit de même

COS: IE: ne PTS

dz
es

714 g = PRET | ‘ui
2 + de D
Je suppose: maintenant que la nature de ce second
milieu et la densité de ses couches soit telle que l’on ait
en général

KZ ———;, = + —

a étant une quantité constante et positive, ce qui donnera
L r
dans la couche supérieure

2.

(AY & GY= (+

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 39

Cettesupposition n’entraîne aucune impossibilité phy-
sique , elle ne fait qu’augmenter dans un certain rapport,
l'action du fluide sur la lumière et la densité, On aura
ainsi dans ce nouveau milieu

AO +R ]-<E (e ++)

QUE © 4 7 À

4a (&) a \
(2 Are ): 1 + 4. Em L@) + =
er
à ZX
4 (KR) 4
Es (e) Fr 72 (4
ns — 7
K
1 —- bit ( )

La quantité 7'9" sera donc égale à la quantité M; ainsi
l’équation différentielle des trajections sera la même pour
les deux milieux, et par conséquent la forme de ces tra-
jectoires sera aussi la même lorsqu’elles seront menées
du même point sous d’égales inclinaisons.

Mais par l’introduction de la constante indéterminée a,
il arrive que lorsque les densités et les pouvoirs réfrin-
gens deviennent nuls ou négatifs dans le premier milieu,
ils ont encore des valeurs positives dans le second > d’où
il suit que la limite de la réflexion intérieure y est plus
éloignée , et par conséquent des trajectoires qui ne pou-
voient pas atteindre leur r1irimum dans l’autre milieu
Vatteindront dans celui-ci. En effet, en y supposant e’
nul, ce qui répond à des valeurs négatives dep, lalimite
de la réflexion intérieure est donnée par la formule

4o SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

sin. I—= Von ou sin. I — va E7

+ CP)

Or, d’après les relations que nous venons d'établir,

4 (K) a
2 —— | (e) + —
/ K ! za
y= Que L K]

4 a

on a

Cette valeur de (P)'sera donc toujours plus grande que
(P). La différence dépendra de la constante à, et elle
sera d’antant plus considérable que l’on donnera à cette

constante une valeur plus approchée de 2 On pourra

donc imaginer ainsi une infinité de milieux où les trajec-
toires seront absolument les mêmes que dans le milieu
proposé, et dans lesquels la limite de la réflexion inté-
rieure sera aussi éloignée que l’on voudra. On pourra
nème en faisant a très-peu différent de , amener la va-
leur de sir. Z jusqu’à l’unité, ce qui rendra la réflexion
possible sous toutes les inclinaisons. Au moyen de ces
suppositions, on pourra suivre la marche des trajectoires
dans toute l’étendue que leur donnent les formules ana-
lytiques , et lorsqu'on voudra ensuite particulariser ces
résultats pour un milieu donné, dans lequel la limite de
la réflexion intérieure sera connue et déterminée, il
suffira d’exclure toutes les parties des trajectoires qui
excèdent cette limite en les coupant par une droite hori-
zontale, menée dans la couche où le fluide se terminera,
et alors il deviendra facile de voir quelles sont les bran-

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HOR1ZON, 41
ches ou les portions de caustiques que cette suppression
fait disparoître.

Ainsi dans air atmosphérique même où les réflexions

se font toujours sous des inclinaisons très-petites, on

décrira toutes les trajectoires dans toute l’étendue de
leur cours, et avec la forme qui résulte de la loi que l’on
aura choisie pour le décroissement des densités , puis en
élevant successivement le sol à diverses hauteurs, on in-
terceptera successivement les trajectoires les plus basses,
et l’on verra ainsi disparoître par degrés et s’évanouir
avec elles les phénomènes qu’elles produisoient.

Examinons maintenant la manière dont les 22T1ind
des diverses trajectoires se suivent dans le sens horizon-
tal. Le minimum de la trajectoire plus basse sera-t-il en
avant de l’autre ou en arrière, et en général quel sera
le lieu des minima des trajectoires consécutives ?

Ces résultats dépendront de la loi que suivront les pou-
voirs réfringens du fluide dans les différentes couches ;
et de la hauteur des trajectoires que l’on considère, car
on peut assigner des lois dans lesquelles les mirima des
trajectoires situées à certaines profondeurs se rapproche-
ront de l’observateur à mesure que l’angle Z augmente,
tandis que dans d’autres lois elles s’éloigneront de lui ;
et souvent même ces deux effets pourront avoir lieu suc-
cessivement à diverses profondeurs dans le même dé-
croissement.

Pour confirmer ceci par des exemples, nous suppose-
rons d’abord que les pouvoirs réfringens des couches dé-
croissent en progression arithmétique, en sorte qu’on ait

1809. 6

42 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES
Ke = (K}. (e). (1 — 43)

On aura donc alor,

| Bo AZ
et l’équation différentielle devient
Made cos, TZ. dz
V sin. I — mAz

elfe a pour intégrale

2. cos. T ERRRRS <<
LES Sent: V sin. I — mAz + const.
Nous devons déterminer la constante de manière que
l'origine de Pintégrale soit à l’observateur même; ce

qui donne
2 sin. I. cos. T

CONS, —=

m À
et par conséquent 4
2 cos. Z 3 FT
NE re [sin. TI — Vas EE m Az]

Le minimum des trajectoires a lieu lorsque le radical
est nul, c’est-à-dire lorsqu'on a

SLT A
ce qui donne

Ces deux équations déterminent les coordonnées du ni-
nimumn de chaque trajectoire dont inclinaison est Z. En
. Q !

éliminant cet angle on a

2 n de 1 De e7- 1
Lui ue (< ——) FAO NRA

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 43
C'est le lieu de tous les m1irima, et l’on voit que ce
, q
lieu est une ellipse qui a son centre sur l’axe des z au-
pse q
dessous de l’observateur, à une distance de l’origine

1 à 5 A : :
égale à ———, distance qui est aussi son demi petit axe ;

l’autre est horizontal et double du précédent. On voit
donc que, pour les petites inclinaisons, les minima des
trajectoires s’éloignent de l’observateur , à mesure que Z
augmente, qu’ensuite leur marche devient stationnaire
lorsque l’angle Z est de 45°, et qu’enfin depuis cette
valeur jusqu’à 90° ils vont continuellement en se rappro-
chant de la verticale , par conséquent de l’observateur,

On peut remarquer que le mouvement de Ja lumière,
dans le cas que nous venons d’examiner, est assujcti
aux mêmes lois que le mouvement des projectiles dans
le vide. Cela tient à ce que Pexpression de la force accé:
lératrice est en général

PE = 2. (K). (e). ©

de

expression qui, dans le cas de la progression arithmé-
tique, devient constante et égale à — 2 4.(K). Ce).

* Prenons maintenant pour exemple un décroissement
plus rapide , par exemple proportionnel au carré des pro-
fondeurs , nous aurons alors :

D A2
et l’équation différentielle devient

cos. . dz

ÊT =."
V sn", L — mAT*

44 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

dont l'intégrale est

cos. À z V mA
D ICS Es
V°.nA sin.

Je n’ajoute point de constante, afin que l’intégrale com-
mence à l’observateur. Au 2ir7imum on a

g. cos. T

V mA

g étant le quart de la circonférence ou un quadrans.
Le lieu des 1i1ima sera donc

sin". 1 = LE Ab Li

mAx° + mAQ°z = q°

_équation d’une ellipse qui a son centre à l’observateur
même , et son petit axe vertical, l’autre horizontal. Le

. 2 2
premier a pour valeur ——— le second 2 Hans
mr A 7 A

cette loi les z27ima des trajectoires se rapprochent cons-
tamment de l’observateur, à mesure que langle Z aug-
mente, du moins en ne considérant que les trajectoires
situées du côté des z positifs, c’est-à-dire au-dessous de
l'observateur. Les trajectoires menées du côté des z
négatifs présenteroient des résultats analogues, et la
trajectoire, menée sous l’inclinaison 7 — o, se confon-
droit avec l’axe des x. Tout cela tient à ce que,
d’après la forme actuelle de la fonction o6, le pouvoir
réfringent est le plus grand possible sur cet axe, et va
ensuite en décroissant au dessus comme au dessous. Ces
résultats sont fort différens de ceux que la progression
arithmétique nous a présentés.

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON, 44

_Je considèrerai encore un cas qui a l’avantage de se

rencontrer fréquemment dans la nature, surtout quand

la variation du pouvoir réfringent est très-rapide; c’est
celui où l’on a |

DNA

A étant une constante et F une quantité telle qu’elle

soit égale à 4 quand z est nulle, et de plus qu’en nom-

mant #’ son coefficient différentiel relatif à z, la fonc-

. x ” F
ton -- soit exactement ou à très-peu près constante.

En effet, d’après cette valeur, l’équation différentielle

devient
cos. I. dz

BE
V sin. TE mA — nm

Si l’on fait, Vous plus de simplicité,
Sin”. T\ ;

Sin?. T' + mA

TS 2
— «à

cette équation deviendra

dx. tang. I =

et elle peut se mettre sous la forme

L4 1 dY:

TES. T' = ù Az a ps
ë + L” me. + +
1 — ————
sin?. I

La partie de cette équation qui n’est point multipliée

YF . .
Par —— est intégrable et donne

La, tan re. iz

46 SUR BES LÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

C’est l'équation d’une ligne droite qui seroit la tangente
initiale de la courbe en faisant 4 égal à zéro. L'autre
terme n’est pas intégrable en général, maïs il le devient

+ . 6 .
quand —- est une quantité constante ou dont les varia-

tions sont assez petites pour que leur influence sur la
valeur de ce terme puisse être négligée. Alors l'intégrale
ne dépend plus que des quadratures, et Von : a

CEE)

Œ
z.tang Ie. 2—a.—. log Se Sr Er

sin. I

On détermina la constante par la condition que x, z
et ® soient nuls en même-temps, ce qui donne F = 4,

et par suite
+ Gr V5 Kes Var. Dons. I ]

O——e +. Log —— + COUPS.

4 ., x . + n
car, par notre précédente supposition — doit être traitée

comme constante. D’après cela on a

L2
z.tang. T—a.z. —2a — log.

Examinons maintenant les circonstances dans lesquelles
cette intégrale peut être appliquée.
Son cas rigoureux seroit celui où les pouvoirs réfrin-

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 47

gens des couches décroîtroïient suivant une exponen-
tielle , ce qui donneroit pour @ une expression de la forme

@ = A“ — A)

car on auroit alors

+ 1
— az LA — ee a ———.
Pr = Ave Ste

En plaçant un thermomètre à diverses distances d’un
plan échauffé plongé dans l’air atmosphérique , on trouve
que les densités des couches sont très-bien représentées
par cette loi , elle doit donc se retrouver fréquemment
dans les phénomènes de mirage produit par la raré-
faction de l’air à la surface de la terre ou de la mer.
Dans ces phénomènes il arrive communément que la
densité de l’air croît jusqu’à une certaine hauteur au-
dessus de laquelle elle devient sensiblement constante
ce qui est analogue avec la loi que nous examinons; car
mème dans les couches supérieures où z est négatif,
et P es grand que (P), la plus grande valeur de — 9?
mL)
FCO
répond à z —— , n'arrive que par degrés insensibles.
* Dans cette loi le minimum de chaque trajectoire est

donné par la combinaison des deux équations

ou SAS est d’être égale à 4, et cette valeur, qui

sir. T—= me. Y

T. tang. I= à. + 2 +. Log. he een)

dans re on a

2

Le

48 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

En mettant pour +° sa valeur, ces équations donnent
sin”. T — mA. (e* — 1)

cos. 1° sin. T
LE —— ————. Re + = Log. (à + |
V sin?. TI + mA V'sir, I + mA

On voit d’abord que Z= o donne x —=oetz—o, c’est-
à-dire que la trajectoire menée sous une inclinaison
nulle, a son minimum placé à l’origine des coordonnées
qui est aussi le lieu de l’observateur. Par conséquent la
courbe des minima finit par se rapprocher de l’observa-
teur dans les petites inclinaisons, et coincide avec lui
quand Z est nul.

En faisant mA = n, les valeurs précédentes de x et
de z peuvent être mises sous la forme

Z a PE es
x. tang. T Pa «, log. (== Le )

en les regardant comme des fonctions de Z. Par la dif-
férentiation on en tire

dr — sin. 2 I
FL 2° [a + 2). «. log. 6 : = Eu De) — cos*?. 1]
Va

Fes —+n).(cos*. I— n). «5, log. [=. Fr : —[1+(G+72).4]. cos*
111

d?z
#. { + 71). «. log. —— ) er — cos”. Il

sin. T “ie sÈn. T me

ToVMnA

ou, en faisant, pour plus de simplicité,

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 49

dz — sin. 2 I
sé 2 [eee log. KE + Vi + ÆK?) — cos? 1]
Vi+xz

an. [a-n).ccos21—») + + log.(K + HRK) Ti (247). K 2], cos 7]
æz Virzk

LE ee re RE RE Ai

G+n). K 3 :
no log (K + 1 + À?) — cos, J
ES 2e + v ]

La première fait connoître l'inclinaison de la tangente à
chaque point de la courbe des minima , la seconde in-
dique la direction de la courbure relativement à l’axe
des x.

—

La valeur de devient nulle quand Zest égal à zéro

ou à 90°, parce que son numérateur devient nul dans
ces deux circonstances, son dénominateur ne étant
point, Il est facile de voir qu'aucun des coefficiens dif-
férentiels des ordres supérieurs ne s’évanouit n; ne de-
vient infini par cette Supposition. Ainsi la courbe à deux
tangentes horizontales correspondantes à ces deux incli-
naïisons. ï où

Si maintenant nous considérons le dénominateur de
dz

27 ? NOUS Verrons que, des deux termes qui le composent,
T

le premier est nul quand Z est nul, et va continuelle-
ment en augmentant jusqu’à 7 — 99 ; en restant toujours
positif, tandis qu’au contraire le second terme — cos°. 7
Va continuellement en diminuant dans le même inter-
valle en restant toujours négatif, jusqu’à ce qu’il devienne
nul quand Z— 90.11 ÿ aura donc entre 1—0o— Jet 90
une valeur pour laquelle ces deux termes seront égaux,

et il n’y en aura qu’une seule. Alors le dénominateur
1809. 7

5o SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

dz : dr ‘ :
de —— deviendra nul, et par conséquent —— sera infini.
dx dx

Supposons z fort petit; la valeur de X, qui satis-
fait à cette condition , est ,.en négligeant le carré de 7,

K — 1.66 — 6.23. n
et par conséquent la valeur correspondante de sir, I est

sin. T' = 1.66. VmA — 6.53. mA. Vm À

Cette valeur de X rend a infinie. Il est d’ailleurs aisé
de voir que le dénominateur commun de ces deux expres-
sions, est positif pour des valeurs de sz. Tplus grandes
que la précédente ; et négatif pour des valeurs moindres.
Ainsi, le sens de la concavité de la courbe change au
point où il devient nul. De plus, le signe de l’inclinai-
son de la tangente change aussi, c’est-à-dire que la courbe

‘après s'être éloignée jusqu’à ce point de l’axe des z s’en
rapproche ensuite constamment jusqu’à ce qu’elle vienne
se terminer à l’observateur. Le point où le dénominateur
devient nul, est donc un point de rebroussement, oux
pour parler plus exactement, c’est une limite de la courbe
dans le sens horizontal.

Se , ,
t négatif lorsque Z

—— est nég q
approche de 90° : la courbe tourne donc alors sa conca-

vité vers l’axe des x. Au contraire, quand g est nul ou

Généralement on voit que

. d°z bre
fort petit, —— est positif, et la courbe tourne sa;con-
dx?

QUI S'OBSERVENT. TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 9a
vexité, vers le même axe. Entre ces deux limites elle peut
avoir encore plusieurs points d’inflexion, et le sens de la
courbure peut varier avec la valeur de z, mais d’après

d . . e
l’expression générale de 7 on voit que la direction de la
dx

tangente ne change pas, dans les mêmes circonstances ;
par conséquent le point de rebroussement sera unique ,
et c’est tout ce qu’il nous importe de savoir , car c’est de la
que dépend le nombre et la position des images. Ainsi,
en général , la courbe des minima aura une forme ovale,
rentrante sur elle-même, et analogue en cela à celle que
la progression arithmétique nous a présentée.

Les coordonnées du point de rebroussement déduites
des équations précédentes sont

2 cos. T
a. (1 + mA). sin. I

EPTAEE LA 24 cg sën?,
s — Ta 72 1 RAT

On a de plus

T —

sin. I — 1.66. VnA — 6.23. mA. Vm A

D’après ces expressions on voit que 3.4 diminuant,
le point de rebroussement s'éloigne de l'observateur
dans le sens horizontal, et se rapproche de son niveau.
Ainsi la seconde branche comprise entre Z — o et Z
égal à la valeur précédente, se trouve resserrée'entre des
limites continuellement moindres. Enfin , si 14 devient
nul , le point de rebroussement s'éloigne à l'infini , et la
seconde branche ne convient plus qu’à une seule trajec-

s

52 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES
toire qui est la ligne droite horizontale menée par l’ob-
servateur.

Deux circonstances peuvent concourir à diminuer le
produit mA. La première est la petitesse du nombre 71,
c’est-à-dire du pouvoir réfringent du milieu, la seconde
est la petitesse de Æ, c’est-à-dire l’élévation de l’obser-
vateur dans les couches supérieures où la force réfrin-
gente n’éprouve que de très-petites variations; en effet,
dans la loi que nous examinons en nommant P le pou-
voir réfringent de la couche dont la hauteur est z,ona

(CORRE 5 A a
— —= ÀAe* — A
(P)
ce qui donne
L PIE Aa e
DATES dz Mme

Si l’observateurest assez élevé pour que les variations du
pouvoir réfringent soient presque nulles dansles couches
où il se trouve , alors 4 devra aussi être presque nul, et
quel que soit le pouvoir réfringent du milieu la dernière
branche s’évanouira, ou pour parler plus exactement ,
se confondra avec l’axe des x.

À parler à la rigueur, la valeur de À ne peut devenir
ainsi nulle que pour un observateur placé à une hauteur
infinie au-dessus des couches où les forces réfringentes
varient sensiblement ; car ce n’est qu’à une pareille hau-
teur que la logarithmique qui représente la valeur de 9
se confond avec son asymptote verticale. Mais si l’on
supposoit une variation de force réfringente infiniment
rapide , cette dégénération de la logarithmique en une

LA

QUI S’OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 53

ligne droite, auroit déjà lieu à une hauteur finie au-des-
sus des couches où se font les variations sensibles des
pouvoirs réfringens. La valeur de À seroit donc déjà
nulle pour un observateur quiseroit placé à cette hau-
teur, et par conséquent la contraction de la dernière
branche sur l’axe des æ, et l’éloignement indéfini du
point de rebroussement auroient lieu pour lui. C’est le
cas de la réflexion intérieure dans les milieux homo-
gènes. [action d’un pareil milieu sur la lumière est sen-
siblement constante dans tout son intérieur. Elle ne varie
qu’à la sortie de la molécule lumineuse, tout près de la
surface du milieu; etses variations, renfermées dans une
étendue presque insensible, ont une extrême rapidité.

Généralement plus la valeur de 14 sera petite, plus
dz . Q 4
celle de 7 Sera petite aussi, et par conséquent plus la

courbe des #ir7ima s’applatira et approchera de se con-
fondre avec une ligne droite horizontale; ce qui arrivera
enfin si 4 est nul, c’est-à-dire si la hauteur de l’obser-
vateur au-dessus des couches où la réfraction éprouve
des variations sensibles , est infinie par rapport à Pépais-
seur des couches dans lesquelles ces variations ont lieu.
C’est encore le cas de la réflexion intérieure dans les mi-
lieux homogènes, comme on l’a vu précédemment.

Pour considérer séparément la branche supérieure de
la courbe , qui a lieu pour les plus petites valeurs de 3,
il n’y a qu’à considérer 52°. 1 comme très-petit par rap-

in. T

s
_ port à #4 ou à n ; alors ———

L ,
= ou À° sera une quantité

54 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

fort petite dont nous pourrons négliger les puissances
supérieures ; et en développant d’après cette supposition
les valeurs générales de x et de z qui conviennent au mi-
nimum ; on trouve qu’elles se réduisent aux expressions

suivantes :
sin”. 4 A DOS TU =
mAa ? er

m À a

c’est-à-dire qu’elles sont les mêmes que pour une pro-
gression arithmétique dont la raison seroit #4 a. Ainsi,
dans les inclinaisons extrêmement petites, la branche que
nous considérons se confond avec une ellipse dont le
centre est au-dessous de l’observateur à une distance

5 distance qui est aussi égale au petit axe de cette
TL 1 &

ellipse, l’autre étant horizontale et double du précédent.
De plus, à cause de la petitesse de la quantité» 4a', on
voit que les dimensions de cette ellipse sont très-considé-
rables, et comme elle a son sommet à observateur; on
voit que la branche qu’elle représente esttrès-peu courbe,
ce qui devoit être d’après la petitesse des valeurs de sir. I.

Si au contraire on veut considérer la branche infé-
rieure de la courbe des minima, il n’y a qu’à regarder
sin. I comme une quantité fort grande par rapport à
mAa, Ce qui pourra s'étendre encore à de très-petits
angles si 72.4 a est une fort petite quantité; alors il suf-
fira de faire & — 1 dans les expressions générales de æ et
de z qui conviennent au maximum , et elles deviendront

2 sin. Z

2 sin. I 2
<=. dog. 5, x. tang, = — log. =

ee
LRU

æ

QUI S'OBSERVENT YRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 55

Il est maintenant facile d'éliminer Z entre ces deux
équations. :
Ces mêmes résultats auront lieu encore, sinon d’une
manière exacte, au moins d’une manière approche dans
beaucoup d’autres lois ; par exemple toutes les fois que
la valeur de @ pourra être exprimée par une suite de

termes de la forme
p—A.(e"—1)+4,. (et — 1) + 4,.4(e 3) etc.

«a à, à, étant de grands nombres, et 4 4, 4, des cons-
tantes arbitraires. En effet on aura alors

PRE A EE hier es im ee
EU l'a A, + a, 4,9: bad es —c2)z

Rigoureusement parlant = sera une quantité variable,

mais cette variation sera fort petite si les exposans.a;.a,.;
2,5 sont degrands nombrescomme nous l’avons supposé,
æt:si l’on a pris pour & le plus grand d’entre eux. L’er-
ss: + ;
reur que lon commettra sur —- perdra encore de son

influence, si le pouvoir réfringent du milieu est très-
foible, comme cela a lieu pour l’air atmosphérique ; car
alors, la trajectoire sera très-peu courbe, et nous avons

# .
vu que l’erreur de —- ne porte que sur la différence des

‘
‘erdonnées de la courbe et de sa tangente extrême, dif-
férence qui sera encore très-petite au 72inimmwm mème
où elle atteint sa plus grande valeur.

56 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

Maintenant quelque soit la nature de la fonction 4 qui
représente la suite des pouvoirs réfringens des couches,
on peut toujours en assigner une de la forme

pi #4} [ere 11]+ 4, Lire — 1]
442 [er #7 17
+ etc.

qui coincidera avec elle dans tel nombre de points que
l’on voudra, et qui en approchera de si près dans toute
Pétendue du milieu donné, que la différence de leurs
valeurs, dans cet intervalle, sera presque insensible et
pourra être négligée. Cette fonction pourra donc être
substituée à la fonction @ pour la commodité du calcul
sans qu’il en résulte aucune erreur sensible dans les ré-
sultats physiques, pourvu que l’on se borne à la partie
des deux courbes où l’on a déterminé le rapprochement
des deux fonctions. Alors, si cette détermination donne
pour lun des exposans a à, a, un nombre très-consi-
dérable, l’intégrale que nous venons de trouver dans
cette hypothèse pourra être employée comme une ap-
proximation de l'intégrale rigoureuse. Si plusieurs des
exposans & 4 €, étoient de grands nombres, on choi-
siroit le plus considérable, en ayant aussi égard aux va-
leurs des quantités 4 4, 4, : généralement l’approxi-
mation sera d’autant plus grande que la variation des
pouvoirs réfringens des couches sera plus rapide, et
quelle donnera pour & 4, 4, des exposans plus consi-
dérables et plus différens entre eux.

QUI S'OBSERVINT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 57

Considérons enfin le cas général dans lequel les pou-
voirs réfringens des couches décroissent suivant une loi
quelconque. Mais supposons que cette variation n’ait
lieu que jusqu’à une certaine hauteur au-dessus de la-
quelle le pouvoir réfringent reste toujours le même ,
et plaçons l’observateur dans les couches de réfraction
constante. Ce cas est ordinairement celui de la nature
lorsqu’on observe dans l’air atmosphérique, ou dans des
fluides superposés. S’il n’est plus alors possible de dé-
terminer généralement la courbe qui est le lieu des 1-
rima de toutes les trajectoires, on peut cependant dé-
couvrir l'influence que produit sur elle l'élévation de
l'observateur, ce qui nous sera par la suite de la plus
grande utilité.

Pour représenter d’une manière générale la loi de
variation des pouvoirs réfringens dans les couches in-
férieures, supposons que, pour un observateur placé
précisément à la limite où cette variation cesse, le lieu
des minima fût donné par les équations

27 (1); æ = +Y(z)
7 et Y étant des fonctions quelconques, nous ne con-

sidérerons ici que le cas où la force réfringente des
couches décroît continuellement à mesure que la pro-

dz
fondeur augmente : dans ce cas OT 7" sera une quan-
tité positive dans toute l’étendue du fluide au-dessous
: dx >
de l’observateur ; mais 77 Ou Ÿ’ pourra devenir po:

sitif ou négatif, nul ou infini, ou même passer succes:
1808. 8

58 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

sivement par ces différens ctats, selon la loi du décrois-
sement.

Maintenant, sans changer l’origine des coordonnées,
plaçons l’observateur sur l’axe des z à une hauteur Æ au-
dessus de la ligne où finit la variation des pouvoirs réfrin-
gens. Une trajectoire partie de son œil, sous une incli-
naison Z quelconque , sera rectiligne pendant toute la
hauteur 7, après quoi elle se courbera en entrant dans
les couches de réfraction variable; mais sa première tan-
gentesera la droite elle-même menée de l’observateuravec
l’inclinaison Z. L’élévation de observateur , au-dessus
des couches variables , ne fait donc que transporter hori-
zontalement chaque trajectoire d’une quantité égale à

——, et par conséquent le lieu de leurs minima sera
tang. I ?

donné par l’élimination de Z entre les deux équations

H
Clap SANTE Mn mA à

En différenciant ces équations , et y faisant varier Z, æ
et z onentire

dz 1
er deltee eee enr OM

Pour un observateur placé sur la limite même de la ré-
fraction constante, À seroit nulle et l’on auroit

dz 1
LE a ET . . . . e, rejeidtie . (2)

Suivons les modifications produites par l'introduction

de la quantité 22.

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 59

Quelque soit la loi de variation des pouvoirs réfrin-
gens, la trajectoire menée sous l’inclinaison de 90 degrés
perpendiculairement aux couches, se confond avec l’axe
des z ; et, en partant de cette valeur, les minima des
trajectoires commencent par s'éloigner de cet axe; la
valeur de +’ est donc nécessairement négative pour des
valeurs de Z peu différentes de 90 degrés ; la courbe
représentée par l’équation (2) commence donc par s’é-
loigner de l’axe des z, maïs pour des valeurs de Zz
égales, elle s’en éloigne moins vite que la courbe (1}

Æ

à cause du terme — 7 qui est du mème signe

æ'. Sin.
que F”.

Si la loi de variation des pouvoirs réfringens est telle
que Ÿ' soit constamment négatif dans toutes les couches
variables, la marche de la courbe (1) se continuera
dans ce sens indéfiniment ; mais si Y’ après avoir été nul
devenoit positif, c’est-à-dire si la courbe (2) après avoir
eu une tangente verticale revenoit sur elle-même en se
rapprochant de l’axe des z, la marche de la courbe (1)

se rallentiroit pareillement ; et si 4’ venoit à surpasser
310%

7m. sin?.

cet effet se rallentiroit continuellement à mesure que Z

deviendroit moindre à cause de l'accroissement conti-

elle se rapprocheroit aussi de l’axe des z; mais

nuel du terme négatif ————. On voit même qu’en aug-
a. SE?) L

mentant suffisament À , le retour dela courbe (1) sur

elle-même n’auroit jamais lieu. Enfin, ce terme deve-

#nant infini, quand Z est nul, donne à la courbe une.

60 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

asymptote horizontale qui est l’axe des æ lui-même,
limite des variations des forces réfringentes.

En résumant ces considérations , on voit qu’en partant
de Z— 90° la courbe (1) commence par s'éloigner de
l’axe des z, qu’ensuite, selon la loi de décroissement
des forces réfringentes , elle peut subir des inflexions ou
des rebroussemens qui tour à tour l’éloignent ou la rap-
prochent de cetaxe; mais que dans toutes les lois pos-
sibles, elle finira toujours par une branche convexe
vers la couche de réfraction constante, et qui aura pour
asymptote la ligne horizontale par laquelle cette couche
est limitée inférieurement. On voit de plus que cette der-
nière branche, exempte d’inflexions et de rebroussemens,
commence sous des inclinaisons d’autant plus grandes
que l’observateur est plus élevé au-dessus des couches
variables. Ce sera donc elle seule que l’on devra le plus
souvent apercevoir dans l’air atmosphérique où les ré-
flexions ne sont possibles que sous de très-petites incli-
naisons , surtout lorsque l’observateur sera fort élevé au-
dessus de la couche variable, comme cela a souvent lieu
dans les observations faites sur la mer où cette couche
a presque toujours une épaisseur très-petite.

On peut vérifier ces considérations en les appliquant
au cas particulier de la progression arithmétique où les

coordonnées du 72i71imtm sont :
sin. 2 I

Sin Un A ON DU
? m A

Pour un observateur élevé de la hauteur 27 au-dessus
des couches variables, ce sera 4

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 6x

H sin. 2 J
En | — . pr QE,
Sn SR M ADR LT A
d’où l’on tire
CALE. sin, 2 I
dr TO m À H

21ços 2. Pis

Il est facile de voir que la courbe a deux tangentes
verticales correspondantes aux deux valeurs de Z don-

nées par l’équation

Sin”. té — or à

et dont l’une est plus grande, l’autre plus petite que
dz

30 degrés. À chacune de ces valeurs le signe de

change, et avec lui le sens de la concavité ou de la con-
vexité de la courbe : il en résulte qu’elle a la forme re-
présentée par la fg. 2. Si Æ est nul, une des deux
valeurs de Z devient nulle ; le point A7" se confond avec
le point À , et la branche M A s’évanouit : la courbeest
alors fermée et forme une ellipse. À mesure que Æ
augmente, les deux points A7 M se rapprochent l’un
de l’autre , ils coincident lorsqu'on a

1

4. mA

Ha

Ce qui répond à une inclinaison de 30 degrés. Pour des
valeurs de Æ plus grandes, la courbe revient sur elle-
même et s'éloigne continuellement de l’axe des z.

62 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

Si l'on nomme e l’épaisseur des couches variables,
depuis la surface du sol jusqu’à la hauteur où la réfraction
devient constante ; etque l’on désigne par 'Pinclinaison
de la trajectoire tangente au sol, on aura

sir”. J' = me

Dans l’air atmosphérique la valeur de sir.T" est toujours
extrèmement petite. Si l’on veut alors que le point de
rebroussement le plus élevé se trouve à la surface du sol
même , il faut que Z' satisfasse à l'équation

> sin NI, cos. 21 — mAH—=o

ce qui donne
= 2 encosi 27

ou pour des valeurs de Z fort petites, comme cela a lieu
dans l’air atmosphérique,

FU NONe

‘

c’est-à-dire que dans cette loi, lorsque la hauteur de
l’observateur au-dessus du sol surpassera trois fois l’épais-
seur des couches de densité variable, la partie de la
courbe des minima qui s’élevera au-dessus du sol, et qui
appartiendra à des tangentes visibles, sera toute con-
vexe vers le sol et n’aura plus de point d’inflexion.
Tout ce que nous venons de dire sur la manière dont
se termine la courbe des minima peut se confirmer encore
très-simplement par quelques considérations géomé-
triques. Elles ont ici cet avantage qu’elles permettent

QUI S'ONSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 63

de supposer la variation des densités, non seulement
arbitraire, mais entièrement discontinue.

D'abord on peut prouver que quelque soit la loi des
densités, pourvu que l’observateur soit placé tant soit
peu au-dessus des couches variables, la courbe des 7ni-
nima finira toujours dans les petites inclinaisons par
s'éloigner continuellement de l’observateur, en se rap-
prochant de son niveau de manière à avoir une asymptote
horizontale, qui sera la ligne par laquelle les couches
variables sont terminées. En effet, concevons une tra-
jectoire quelconque menée de l’œil de l'observateur sous
une inclinaison arbitraire. Cette trajectoire sera rectiligne
jusqu’au moment de son entrée dans les couches variables; -
alors elle commencera à devenir courbe, et après avoir
atteint son minimum , elle se réfléchira en faisant l'angle
de réflexion égal à l’angle d’incidence , puis enfin elle
sortira des couches variables, sous la même inclinaison
qu’elle y est entrée. Par ce point de sortie et par l’œil de
Pobservateur, menons une nouvelle trajectoire, celle-ci
aura par construction son #2ir7èmum plus éloigné de Pob=
servateur que la précédente : elle laura aussi plus élevé
ou plus rapproché de l’axe des x, puisqu’elle est néces-
sairement menée sous une plus petite inclinaison. On
peut faire le même raisonnement sur la trajectoire sui-
vante et le continuer ainsi indéfiniment à partir d’une
inclinaison quelconque ; et comme il n’y a de limite à
ce rapprochement que quand la dernière trajectoire de-
vient parallèle aux couches, et entièrement rectiligne ,
il s’ensuit que dans tous ces ças la courbe des r#inima ne

64 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

peut jamais se terminer autrement que par une branche
très-applatie qui se rapproche insensiblement de laxe
des +, et finit par se confondre avec cet axe dans les
plus petites inclinaisons.

Discussion de la seconde branche des trajectoires;
examen de leurs intersections.

Après avoir discuté tout ce qui concerne les premières
branches des trajectoires depuis leur origine, qui est œil
de l’observateur jusqu’à leur minimum , il est facile de
conclure tout ce qui concerne leurs secondes branches ,
car les trajectoires étant nécessairement symétriques
autour de leur r1inimum , puisque les couches d’égales
densités sont planes et horizontales, il s’ensuit que les
formes des deux branches sont en tout semblables. Mais
de plus, les secondes branches, par la différence de leur
position , pourront se couper entre elles et avec les pre-
mières, de manière à donner des images multiples, c’est
ce qu’il faut examiner.

Pour cela considérons deux trajectoires ON,OM'frs.3,
parties du même point © sous les angles Zet 74 47
AT pouvant avoir une valeur finie. D’après ce que nous
avons démontré précédemment , le minimum M de la
seconde sera placé plus bas que le maximum M de la
première, mais il pourra se trouver plus rapproché de
l’observateur comme dans les #p. 3 et 6, ou plus éloigné
comme dans la fs. 4, ou enfin sur la même verticale
comme dans la fe. 5, cela dépendra de la loi que sui-
vront les pouvoirs réfringens des couches.

|
|

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON, 6%
Dans tous ces cas, les premières branches des trajec-
toires qui se coupent déjà mutuellement au point One.
pourront pas s’entrecouper une seconde fois avant d’avoir
obtenu leur minimum. Pour le faire voir reprenons la
valeur générale de _ qui représente l’inclinaison de

la tangente; cette valeur étant élevée au carré peut se
mettre sous la forme

’ d 2
(+) = tang. I, (1 — me) — me

D’après cette expression, lorsque deux trajectoires
parties du même point © pénètrent dans la même couche,
auquel cas #29 est le même, l’inclinaison de la tangente
est la plus grande pour celle qui a la plus grande valeur
de Z. Mais celle-ci étoit en arrière de l’autre à l’origine,
elle se maintiendra donc en arrière Jusques dans la
couche où la première atteint son mirimum : alors elle
pénétrera plus avant dans le milieu réfrigent, et aura
son zirimum plus bas. Ainsi les deux premières branches
qui s’entrecoupoient déjà à l’origine , ne pourront pas se
rencontrer une seconde fois.

Mais les deux trajectoires auxquelles ces premières
branches appartiennent , auront encore nécessairement
un autre point d’intersection, soit entre la première
branche de la trajectoire supérieure, et la seconde branche
de la trajectoire inférieure comme dans la fig. 3, soit
entré les deux secondes branches comme dans les VLDET
5et6, et selon que le minimum de la trajectoire infé-
rieure précédera ou suivra l’autre dans le sens horizon-

1609. 9

66 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

tal , le point d’intersection sera au-dessous de l’observa-
teur comme dans les #g. 3 et 6, ou à son niveau comme
dans la fr. 5, ou enfin au-dessus de lui comme dans la
Îig: 4.

Ces résultats supposent seulement que les pouvoirs
réfringens des couches suivent une loi continuellement
décroissante au-dessous de l’observateur , et continuelle-
ment croissante au-dessus. Alors les secondes branches
des courbes sont indéfinies ; l’horizontalité des couches
les rend nécessairement symétriques autour de l’ordon-
née verticale qui passe par leur minimum. Leur amplitude
OB; OB'est donc double de l’abscisse OP; OP'de ce mi-
nimum ; de là il suit que si ce point se trouve sur la même
verticale dans les deux trajectoires comme cela arrive
dans la ffg. 5, les amplitudes des deux courbes seront
égales, et par conséquent leurs secondes branches se
couperont sur la ligne horizontale qui passe par l’obser-
vateur ;au contraire , dans la #g. 6 l'amplitude OB'de la
trajectoire la plus basse est moindre que l’amplitude OB
de latrajectoire la plus haute. Il ÿ a donc nécessairement
au-dessous de l’observateur un second point d’intersec-
tion qui peut être entre les deux secondes branches comme
dans la fig. 6, ou entre la première branche de la trajec-
toire la plus haute et la seconde branche de la trajectoire
la plus basse comme dans la #g. 3. Enfin si l’amplitude
OB' est plus grande que OB comme cela arrive dans
la fig. 4, il n’y aura nécessairement point d’intersection
au-dessous de l’observateur, à cause de la symétrie
des deux courbes; mais il y en aura au-dessus, car si

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HOR1ZON. 67

on les considère toutes deux à partir de l’axe horizon.
tal OX où elles sont éloignées l’une de l'autre dans le
sens de la quantité finie BB", les valeurs de
dz
dz
basse, seront He grandes que pour la trajectoire OM.
Par uen la première aura sa tangente au point B
plus inclinée sur l’axe OX que la seconde , et en outre
elle se relevera plus rapidement. Il en sera de même dans
toutes les couches au-dessus de la ligne OX ; par consé-
quent les courbes convergeront ; l'intervalle horizontal
qui les sépare dans He #4 re diminuera continuel-
lement , et comme il est fini et que les courbes sont indéfi-
nies, il s’ensuit qu’elles se rencontreront inévitablement,

et de —— pour la trajectoire OM" qui est la plus

Ilest encore facile de prouver que le second point d’in-
tersection sera unique. D’abord dans le cas des f2.4,5,6
où deux branches de même nom se coupent, nous avons
démontré précédemment , d’après Eéanation différen-
tielle, qu’elles ne peuvent se couper qu’en un point; car
à cause dela symétrie des trajectoires, ce que nous avons
dit des premières branches s'applique également aux
secondes, et dans le cas de la #g. 3 où l’intersection a
lieu entre deux branches de nom différent, si la bran-
che 47B en se prolongeant pouvoit aller rencontrer la
branche M°F7, il est évident que dans le point où elle
la couperoit, elle auroit sa tangente plus inclinée sur
l’axe XO; or , cela est impossible puisque son rninimaum
est plus iles

Les propriétés précédentes n’ont lieu qu’en supposant

68 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

le milieu indéfini et les pouvoirs réfringens continuelle-
ment décroissant de haut en bas. Si cesconditions n’étoient
pas remplies, et si les pouvoirs réfringens après avoir aug-
menté jusqu’à une certaine limite, venoient ensuite à di-
minuer, ilen résulteroit dans les trajectoires des inflexions
au moyen desquelles les points de rencontre pourroïent
être plus nombreux. On ne peut pas soumettre ces effets
à un calcul général puisque les élémens qui les déter-
minent sont tout à fait arbitraires, maïs en décomposant
le fluide en zônes où les valeurs des pouvoirs réfringens
soient continuellement croissantes ou décroissantes sui-
vant une mème loi, on pourra dans chaque zône suivre
la marche des trajectoires par les mêmes principes, et leur
appliquer les mêmes raisonnemens.

Examinons maintenant la manière dont se suivent les
intersections des différentes trajectoires. Cette recherche
est très-intéressante , car c’est de là, comme on le verra
tout à l’heure, que dépendent le nombre et la situation
des images qui peuvent être reçues par l'observateur,
Mais pour ne pas nous perdre dans des généralités inu-
tiles en discutant des résultats qui peuvent être vus de
mille manières, et même tout à fait arbitrairement,
choisissons un cas particulier, par exemple, celui de la
progression arithmétique ; et les phénomènes qui se pré-
senteront dans ce cas très-simple , nous serviront de guide
dans tous les autres.

Lorsque les pouvoirs réfringens décroissent en progres-
sion arithmétique , nous avons vu que l’équation des
premières branches des trajections est

|

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 69
x = 27, (sin. I — V sir, I — mA)
m A
les coordonnées X et Z du mirzimum sont données par
les équations

SI. sin. I L
X — a Se Te mi AZ

Les courbes étant symétriques autour de l’ordon-
née verticale qui passe par leurmirimum , l’équation des
secondes branches sera la même que celle des premiers
en changeant dans celle-ci l’abscisse zen 2 X— zx ,ce
qui donne pour ces secondes branches,

ere BE (sin. I + V sin. I — m A z)

En faisant évanouir le radical, on aura l’équation sui-
yante qui comprend les deux précédentes,

mAx—2x.sin.21+2.(1+cos.21).z—=0o.....(1)

On voit que ces trajectoires sont des paraboles dont
l’axe est vertical. Cherchons maintenant le lieu de leurs
intersections, ou, ce qui revient au même, cherchons
la courbe qui les toucheroit toutes. Pour cela, il faut

égaler à zéro la différentielle de l’équation précédente
par rapport à Z seul , et éliminer ensuite Z entre les deux
équations ; la Fe MERE donne

Ts cos. 2 TI + Z: sin. 241 = 0
la valeur de z en x étant substituée dans l'équation (1),
celle-ci devient

70 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES:

æ. (1+ cos. 2 I). cos. 2 Z

ae (0,

MmAX? — 2%, sin. 21— 2. :
sir. 2 Z

Une de ses racines est x —o, ce qui rend z nul; mais
ces valeurs ne peuvent convenir qu'aux premières bran-
ches et non pas aux secondes comme il est facile de le
voir d’après leurs équations. Elles signifient que les pre-
mières branches ne peuvent se couper ainsi qu’à l’origine
des coordonnées , qui en effet est leur point commun de
départ. Supprimant ce facteur , l’autre donne

”

a #22 1 d CA 2 1 )
UE tang. I ? ME à mA 0e dent)
d’où l’on tire, en éliminant 7,

1 mAzx*

Trad

PEN
m À

"A

L'intégrale particulière cherchée est donc aussi une pa-
rabole dont l’axe coincide avec l’axe des z , et dont le
sommet est placé sur cet axe au-dessous de l’observateur,

. 1 .
à une distance —— de l’origine des coordonnées. En

sorte qu’il coincide avec le point le plus bas de l’ellipse
qui est le lieu de tous les zinima des trajectoires.

Ces résultats sont tracés dans la fg. 7. O est l’observa-
teur, l’ellipse OSZ est le lieu des mirima, et la para-
bole ZMFT représente l’intégrale particulière des
trajectoires que nous venons de déterminer. Examinons
maintenant les conséquences qui résultent de cette dis-
position.

D'abord on voit que les trajectoires menées sous unè

QUI S'ORSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. wi
direction presque verticale , ont leurs intersections
consécutives très-près de leur s#ninimum. Cela devoit être,
puisque Z étant un des sommets de l’ellipse, tous ces
minima sont presque à la même hauteur. Les intersec-
tions des autres trajectoires consécutives s’éloignent con-
tinuellement du #1ir7imum à mesure que l’angle Z dimi-
nue , et leur point de tangence avec la parabole ZMFT
s'éloigne aussi et s’élève indéfiniment sur cette courbe.
La limite de ces contacts est donnée par la trajectoire
OT" qui a son minimum au point O, et qui se confond à
l'infini avec ZT. Cette trajectoire n’est autre chose que
la parabole Z T° dont le sommet est transporté de Z en ©.

Il suit de là que toutes les trajectoires qui peuvent être
menées du point © dans le milieu réfringent, sont
entièrement comprises dans l’intérieur de la parabole
OZT, par conséquent aucun objet situé hors de cet
espace ne pourra être vu de l’observateur. À cause de
cette propriété, nous appellerons la courbe Z FT courbe
limite, ou caustique.

Considérons maintenant un objet AB situé dans la
partie de l’espace visible qui est comprise entre la trajec-
toire OT” et la courbe limite OZ 7. Par son extré-
mité À on pourra mener deux trajectoires 4 # O 4#O
dont les secondes branches toucheront la courbe limite ;
lune au-dessus du point 4, l’autre au-dessous. Les
premières branches de ces deux trajectoires se réuniront
au point O où est placé l’observateur, et par conséquent
celui-ci recevra deux images du point 4, On peut éga-
lement mener deux trajectoires par l'extrémité supérieure

72 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

B de l’objet et deux par chacun de ses points intermé-
diaires , de sorte que chacun de ces points enverra ainsi
à l’observateur deux images ; mais avec cette différence
que les trajectoires dont le point de tangence est supé-
rieur à l’objet se couperont au-dessus de lui, et au-delà
relativement à l'observateur, tandis que les autres tra-
jectoires qui sont les plus basses, et dont le point de
tangence est inférieur à l’objet, se couperont entre l’objet
et l’observateur, comme le représente la figure.

L’observateur recevra donc deux images de l’objet,
l’une supérieure 4'B' qui sera droite, l’autre inférieure
A" B" qui sera renversée.

Si la partie inférieure 4 de l’objet étoit placé sur la
courbe limite elle-même, par exemple au point F, les
deux trajectoires 4_4', A4" se réduiroient à uneseule,
et l’intervalle 4'4" des deux images deviendroit nul,
ensorte qu’elles paroitroient reposer l’une sur l’autre en
se touchant par leurs extrémités.

Si l’objet 4 B au lieu d’être situé au-dessous de la tra-
jectoire OT” étoit situé au-dessus entre cette trajectoire et
l’axe OF, les deux trajectoires supérieures 4 4’, BB,
ne pourroient plus aller toucher la courbe limite au-des-
sus de À et de B dans la branche FT; mais elles seroient
remplacées par deux autres trajectoires qui auroient leur
minimum de l’autre côté de l’axe OF”, etquiviendroient
toucher la courbe limite sur son autre branche Z@. Ainsi,
dans ce cas, il y auroit encore une image droite 4'B'au-
dessus d’une image renversée : seulement les trajectoires
qui donneroient la première auroient leur minimum situé

QUI S'ORSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 75

à gauche de l’axe, èt celles qui donneroient la seconde
auroient leur r1i7imum du côté opposé.

Si dans l’équation des trajectoires on se donne x ety;
et que l’on veuille déterminer Z, on ne trouve géntrale-
ment que deux valeurs qui donnent des trajectoires diri-
gées du même côté de la verticale, par conséquent chaque
point situé dans Pespace visible ne peut envoyer à l’ob-
servateur que deux images au plus.

Dans tout ce qui précède, nous avons supposé le milieu
indéfini, et capable de produire la réflexion jusques dans
les inclinaisons verticales ; mais il n’en est pas ainsi dans
la nature. Cette circonstance fera évanouir toutes les se-
condes branches dont l’inclinaison dépassera les li-
mites de la réflexion intérieure dans le milieu que l’on
aura considéré, et avec elles s’évanouiront pareillement
les images qu’elles produisoient. |

Dans ce cas les phénomènes seront les mêmes que si
l’on élevoit dans le milieu à la hauteur du minimum de
la trajectoire la plus basse que je nommerai la /rajectoire
limite, un plan solide qui absorbât tous les rayons. Par
exemple, si ce plan est représenté par AS M, toutes les
trajectoires plus inclinées que OS n’auront point de se-
condes branches; ainsi, les points contenus dans l’es-
pace SX F, qui étoient précédemment visibles de deux
manières, ne le seront plus du tout, etilsentreront dans
l'espace invisible qui sera alors terminé de Sen F parla
trajectoire limite S Felle-même ; etau-deseus du point F
il le sera comme précédemment par la courbelimite FT
qui ne change point de nature ni de situation. De plus,

1809. 10

74 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

en prolongeant indéfiniment la seconde branche F T'de
la trajectoire limite, on voit que les seuls points contenus
dans l’espace 7" F T'pourront envoyer de doubles images;
car ce sont évidemment les seuls dont les deux trajec-
toires touchent la courbe limite F T'au-dessus du point F,
et par conséquent ce sont aussi les seuls dont les deux
trajectoires aient leur riirimum au-dessus de celui de la
trajectoire limite. Pour tous les autres points situés dans
l’espace visible, maïs hors de l’espace 7" FT, la trajec-
toire inférieure, celle qui donne le renversement, pas-
sera au-dessous du point S, et par conséquent disparoîtra.

Cet effet est précisément le même que celui que pro-
duit l’interposition du sol lorsqu’on observe dans Pair
atmosphérique, ou en général la surface inférieure des
vases quand on opère un des fluides limités. Mais ici la
limite n’est plus celle dela réflexion intérieure, parce
que la densité de la couche qui repose sur le sol ou sur
le fond du vase n’est pas nulle, comme nous le suppo-
sions tout à l’heure , afin de pousser les considérations à
l’extrême. La limite réelle pour chaque cas est donnée
par la différence des pouvoirs réfringens du fluide dans
les deux couches extrêmes, comme on l’a vu précédem-
ment, et elle est la mème que celle de la réflexion inté-
rieure dans un fluide dont le pouvoir réfringent seroit
égal à cette différence. En supposant donc, dans la figure,
le sol élevé à la hauteur déterminée par cette nouvellé
limite, on fera encore disparoître un plus grand nombre
de trajectoires, et une nouvelle portion de la courbe li-
mite ; ce qui en restera servira comme tout à l’heure pour

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 79

séparer les points de l’espace qui seront encore visibles
de ceux qui ne le seront plus, et les points qui peuvent
encore envoyer deux images de ceux qui n’en peuvent
plus envoyer qu’une seule directe.

Quoique tout ce que nous venons de dire convienne
particulièrement à la progression arithmétique, cepen-
dant des résultats analogues ont lieu dans toutes les
autres lois. Il existe toujours en avant de l’observateur ,

“etau-delà de la trajectoire limite, un espace entièrement

invisible ; mais la caustique qui termine cet espace varie
selon la loi de variation des pouvoirs réfringens.
On peut démontrer d’abord qué cet espace commen-
cera toujours au point de tangence de la trajectoire limite
sur le sol, de sorte que tous les points du sol plus éloignés
ne seront pas aperçus de l’observateur. En effet, les tra-
jectoires menées de son œil sous une inclinaison moindre
que la trajectoire limite , ayant leur z#2irimum.plus haut

que ces points, ne pourront pas les atteindre, et les

trajectoires menées sous une inclinaison plus grande
seroient arrêtées et interceptées par le sol, en deçà du
point de tangence.

Maintenant, la trajectoire limite menée sous l’incli-
naison J, et la trajectoire infiniment voisine menée sous
l'angle Z— AI, se couperont dans leurs secondes bran-
ches, et ez général à une distance finie de leur mérimum.
Il y aura donc toujours une première portion dela eaus-
tique, à partir du point de tangence, qui sera. formée
par la seconde branche de cette trajectoire, et qui rém-
placera la portion de caustique correspondante aûx tra:

76 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

jectoires plus basses que l’interposition du sol a inter-
ceptées. Ce résultat s’est présenté dans la progression
arithmétique, mais il est général et commun à toutes les
autres lois : car, pour qu’il cessât d’avoir lieu , il faudroit
que deux trajectoires consécutives pussent avoir leur
minimum à la même hauteur, ce qui est impossible ,
comme on l’a vu précédemment. Seulement s’il arrivoit
que la courbe des minima fût extrêmement applatie et
partout peu différente de l’horizontale, alors deux tra-
jectoires infiniment voisines se couperoient toujours très-
près de leur #7inimum , la caustique formée par leurs
intersections successives seroit aussi très-applatie, et
n’auroit qu’une branche unique presque horizontale.
Cela aura lieu en général lorsque les couches de densité
variables n’auront qu’une épaisseur très-petiterelative-
ment à la hauteur de l’observateur supposé placé dans
une couche de densité constante. Tel est particulièrement
le cas de la réflexion intérieure dans les milieux diaphanes
homogènes. Mais, en général, la caustique pourra avoir
des formes beaucoup plus compliquées, comme nous le
verrons par la suite ; elle pourra avoir des points de re-
broussement qui tour à tour la rapprocheront et l’éloigne-
ront de observateur.

Bornons-nous d’abord au cas simple et très-fréquent
où elle ne seroit formée que d’une branche unique qui,
commençant au point de tangence de la trajectoire limite
sur le sol, iroit ensuite en s’élevant et en s’éloignant de
l’observateur, cette première branche pouvant d’ailleurs
être discontinue, voyez /£g. 8. Maintenant si l’on sup-

|
|
|

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 77
pose qu’un objet mobile, de grandeur déterminée, qu’un
homme , par exemple ; s’éloigne de l’observateur en mar-
chant sur la surface du sol , on devra observer les phé-
nomènes suivans. Tant que l’objet sera situé entre l’ob-
servateur et le point de tangence S dela trajectoire limite ,
on le verra comme à l’ordinaire, son image sera droite
et unique. Arrivé au point S l’objet semblera à l’horizon,
et si c’est un homme, il paroîtra marcher dans l’eau. En
s’éloignant davantage il paroîtra s’y plonger par sa partie
inférieure qui deviendra invisible, mais si la distance SF
est sensible, tant qu’il se trouvera entre les points Set F,
il n’enverra point d’image renversée , seulement la par-
tie inférieure de son corps paroîtra coupée par l’ho-
rizon. Au delà du point F, la partie comprise dans
Vespace 7" FT paroîtra double,la partie supérieure
continuera d’être vue droite et unique comme à l'ordi:
naire , et la partie inférieure étant de plus en plus invi-
sible, le corps qui d’abord étoit vu tout entier, paroîtra
maintenant réduit à son buste. Ces apparences continue-
ront jusqu’à ce que le sommet de la tête atteigne la tra-
jectoire limite ; alors l’image renversée de la tête paroîtra
à l’horizon ; plus tard elle le quittera , et le haut du corps
restant seul visible paroîtra avec son image renversée
suspendu en l’air jusqu’à ce qu’enfin la partie visible et
son image diminuant toujours par leffet de éloignement
se réduisent à un point unique qui s’évanouira sur le
fond du ciel.

Ces phénomènes qui se déduisent rigoureusement de
la théorie ne sont pas une simple spéculation mathéma-

78 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

tique. Nousles avonsréellement observées M. Mathieu et
moi à Dunkerque , et ils sont représentés dans la 9. 9,
tels que nous les avons vus. L’homme qui nous servoit
de signal portoit une grande règle de bois oblique, et
le point où la règle paroît brisée, indique la hauteur de
la caustique au-dessus du sol pour les divers éloignemens,

Ceci nous a servi pour déterminer exactement les ordon-
nées de cette caustique pour diverses distances , et celles
de la trajectoire limite. L’expérience en est représentée
dans la #z 10. Un de nous restant au cercle répétiteur,
regardoit avec la lunette une grande règle de bois divi-
sée en centimètres que le second observateur lui présen-
toit verticalement à des distances connues. Il est clair
que le renversement des divisions suffisoit pour faire
connoître l'élévation de la caustique, mais comme le
point précis de ce renversement étoit difficile à aperce-
voir à cause des ondulations excessives de l’air, le second
observateur tenant un piquet à la maïn!, indiquoit suc-
cessivement sur la règle un décimètre , ou deux , ou trois
ou davantage , et à chaque fois faisant'un signal en éle-
vant son autre maïn au-dessus des couches pour annon-
cer le changement de hauteur. Si le point marqué sur la
règle tomboit au-dessous de la caustique on n’apercevoit
pas la pointe du piquet dans la lunette, non plus que la
main qui le ténoit. C’est ce que représente la première
position de la figure , mais lorsque le piquet arrivoit sur
la caustique, les deux images se touchoient par leur
- pointe, ou si la succession des hauteurs de décimètre en
décimètre ne permettoient pas qu’il tombât exactement

QUI S'ORSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON, 79

sur cette position , on pouvoit estimer aisément d’après
la série des apparences, la fraction de décimètre dont il
falloit tenir compte. On avoit donc ainsi la hauteur de
la caustique d’une manière très-approchée. Or, l’obser-
vateur qui faisoit ces signaux sur la règle, ignoroit
absolument l’instant où il atteignoit le caustique de
l’autre observateur ; c’est pourquoi il la dépassoit bientôt
par d’autres indications. Dans ce cas , le deux images du
piquet se séparoient comme le représente la troisième
position de la #g.10, l’image supérieure s’élevant tou-
jours , l’inférieure descendoit jusqu’à atteindre enfin
Vhorizon apparent. Alors la pointe du piquet tomboit
évidemment sur la trajectoire limite , ce qui détermine
lordonnée de cette trajectoire , ou sa hauteur au-dessus
du sol. On doit remarquer que l’image inférieure des-
cendoit par degrés inégaux, et de plus en plus petits à

mesure qu’elle approchoit de l’horizon apparent , où ses

abaissemens étoient presque insensibles quoique les élé-
vations de l’image supérieure changeassent toujours de
la même quantité. Cela prouve que les images renver-
sées des objets devoient être plus courtes que leurs images
directes , et d’autant plus que les objets étoient plus éle:
vés au-dessus de la caustique. Nous avons en effet vérifié
cette circonstance par des mesures précises, et la simple
vueVindiquoit assez, mais nous y reviendrons, et nous
Ja démontrerons par le calcul. plus loin, en traitant des
dimensions relatives des images, ce qui nous conduira
à expliquer le phénomène de la suspension.

Les procédés que je viens d'exposer nous ont fait con-

80 SUR LÉS RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

noître les ordonnées de la caustique et de la trajectoire
limite pour des distances connues, et pour un état donné
du ciel ; car on présume aisément que ces ordonnées sont
très-variables d’un jour à l’autre. Nous eûmes même le
soin de choïsir pour les observer , un beau temps et un
ciel sans nuages, car la séulé apparition ou disparition
d’un rayon de soleil, y cause de très-srandes modifica-
tions : mais cela ne suffisoit point encore pour construire
nos deux courbes , il falloit connoître encore la surface
du terrain sur laquelle on devoit les rapporter.

Cette surface n’étoit ni plane ni horizontale , deux cir-
constances bien singulières puisqu’elle étoit formée par
la laisse de basse mer. En partant du point où nous obser-
vions, le terrain alloit toujours en s’élevant, d’abord
avec assez de rapidité jusqu’à une petite distance, ensuite
plus lentement suivant une pente douce qui se prolon-
geoit jusqu'aux objets dont nous observions les images à
l’extrémité de la plaine sablonneuse. Ce qu’il y a de re-
marquable, c’est que cette configuration nous fut indiquée
par les observations avant que nous l’eussions vérifiée par
de nivellement , car j’avoue que de nous-mêmes nous ne
Paurions pas soupçonnée , persuadés que la mer faisoit
tous les jours le nivellement de cette surface. Mais le 10
mars, par un temps froid et couvert, le thermomètre
centésimal étant à 7°,5 sur le sable, et à 5°,6 dans les
couches de densité constantes, nous observâmes la dé-
pression de l’horizon apparent de 3°56'",52 , le centre du
cercle étoit alors à 1",15 au - dessus du sol. Nous obser-
vâmes ensuite ce même horizon en plaçant le cercle sur

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. O1

le sable mème, de manière que son centre étoit élevé de
0,61. Cette hauteur surpassoit encore de beaucoup
celle des couches de densité, variables qui n’avoient
qu’une très-petite épaisseur au-dessus du sol. Dans cette
seconde position , l’abaissement de l’horizon ne fut plus
que de 30”. Cependant si la surface du terrain eût été
plane, les densités extrêmes étant les mêmes, la dépres-
sion auroit dû être aussi la même que dans la première
position du cercle. La grande différence de ces dépressions
indiquoit donc que le terrain étoit inégal, et le sens de
cette différence montroit qu’il alloit en s’élevant, d’abord
d’une manière plus rapide, ensuite plus lente. Ces con-
jectures furent pleinement vérifiées, lorsque nous nous
transportâmes au même lieu, à la mer descendante, pour
examiner comment elle l’abandonnoit. Nous y recon-
nûmes l’inclinaison que nous avions présumée. D’après
cela nous nous décidämes à niveler exactement le ter-
rain, dans la direction du rayon visuel, ce que nous fimes
avec beaucoup de soin, au moyen du cercle répétiteur
transporté successivement à desstations éloignées les unes
des autres de 185". Nous ayons ainsi déterminé la coupe
représentée dans la figure 11, où l’on a aussi tracé la caus-
tique et la trajectoire limite résultante des mesures prises
le 8 mars. Il est nécessaire de dire que l’échelle adoptée
pour les abscisses, est 336 fois moindre que celle qui a ser-
vi pour les ordonnées. Il eût été impossible d'employer la
mêm eéchelle pour lesuneset pour les autres, sans étendre
démesurément la longueur de la figure, et il en seroit
de plus résulté que les ondulations du terrain et la cour-
1809. | 11

82 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

bure de la caustique et des trajectoires, auroient été à
peine sensibles. Voici au reste les mesures exactes de
toutes les quantités employées dans cette construction.

Mesures des ordonnées de la caustique et de La trajec-
toire limite, le 8 mars 1809.

NEO tenant Ordonnées a: la caustiqué LT di
qe Re PE amd © (0 (ND mire Bt
ns mm nn
2 Endeça del’horizonapp. :.« ... . . ,
2 3:75 — 210 mètres o o Horiz. appar.
3 4-75 0 o Les pieds mar-
l chant dans
| l’eau.
4 575 Non observé. 0.2
5 6:75 Non observé. 0.5
6 7079 1 2
7 8-75 U 1,5 Non observe:
8 9*75 1.8 42 ;
9 10:75 2 Non observé.
10 11:75 2.8 8
out 12°75 3 10
12 13-75 3.3 10
13 14:75 3.5 12
14 15:75 3.5 11

Les valeurs des ordonnées de la trajectoire limite de-
viennent un peu incertaines lorsque cette trajectoire
s'élève beaucoup au-dessus de la caustique comme dans
les dernières observations ; alors 1 ou 2-décimètres de
variation dans la hauteur de l’image directe ne sont plus
sensibles dans l’image renversée. Telle est probablement
la cause des petites anomalies que l’on y remarque et
que je n’ai pas voulu corriger.

|
|
|
|

QUI S'ORSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 83

Nivellement du terrain.

Différences de niveau en centimètres. Distances des stations en mêtres.

PAT, —158 AP; = 483
P,M, — PM, = 7 PP 185
P;,M3 — P,M, = o PP; — 1686
P;My — P3M3 = 10 P;P, — 185
PM — P,My = 115 PP; — 185
P,Ms — P:Ms = 13 P: Pet. 185
P,M, — P;MG — 0.5 PP 0
PM, — P,M, = 15 f P;PY==S 870

Différ. totale . + PM, —115.0 Dist. totale. . AP, — 1665

Je suis persuadé quecette élévation du terrain en pente
douce est la cause déterminante qui rendoit la suspen-
sion et le mirage sensibles tous les jours , pour les plus
légères différences de température , et par des temps où
l’on n’auroit jamais espéré que ces phénomènes se mon-
ireroient. L’élévation rapide qui avoit lieu d’abord près
du cercle produisoit le même effet que si l’on eût dimi-
nué sa hauteur au-dessus du sol, en laissant subsister
les mêmes différences de températures extrêmes. Au-delà
de cette première rampe , la pente plus douce du terrain,
incliné seulement à l’horizon de 1’ 18, permettoit aux
trajectoires de tomber sur cette portion de la surface avec
le degré d’obliquité nécessaire pour se réfléchir ; alors la
petite inclinaison 1’ 18" diminuant d’autant leur dépres-
sion apparente , relevoit, pour ainsi dire ; leurs secondes
branches, et leur donnoit, indépendamment de la tem-
pérature ; l’inclinaison nécessaire pour qu’elles pussent

84 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

se terminer à des objets terrestres éloignés, situés à une
grande hauteur au-dessus du sol, par conséquent fort vi-
sibles et fort élevés au-dessus des couches de densité varia-
ble. Une autre conséquence résultante de cette disposition
du terrain, c’est que les phénomènes n’étoient point réci-
proques pour deux observateurs qui se regardoient mu-
tuellement.Par exemple, l’un étant en o, l’autre en o’ à la
même hauteur de 1"16 au-dessus du sol, l'observateur o
voyoit o'à moitié plongé dans l’eau avec une partie de son
busterenversée,tandis queo’ voyoito seulement par vision
directe comme à l’ordinaire. La raison en est que le pre-
mier étant abaissé par la pente rapide 4 M étoit favorisé
par cette circonstance qui devenoit au contraire défavo-
rable à l’autre observateur , parce qu’elle l’empêchoit de
mener au premier une trajectoire curviligne qui auroit dû
avoir son #2inimum dans cette partie si le plan 47, 47, s’é-
toit prolongé sous la même inclinaison. Aussi pour obser-
ver 0, il falloit que o's’abaissât jusqu’au L, sur la trajec-
toirelimite, afin de faire tomber le #i7imum sur M, M,
et pour le voir disparoître il falloit qu’il se baissât jus-
qu’au C5 sur la caustique en se couchant sur le terrain.
Il existe un moyen facile de voir commodément ces
phénomènes, même lorsqu'ils sont à peine sensibles.
C’est d’adapter devant l’objectif d’une lunette un miroir
plan incliné de 45°, alors en tenant la lunette verticale,
le miroir donne l’image des objets situés à l’horizon,
et en l’approchant plus ou moins du sol ou du corps
échauffé on observe l’image droite et l’image renversée
dans le champ de la lunette, Cet appareil a été imaginé

QUI S'ORSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 84

par M. Wollaston. Il y avoit placé un micromètre avec
lequel il mesuroit la dimension des images , depuis le
point où l’image renversée touchoïit l'horizon apparent
jusqu’au point correspondant de l’image droite. Mais il
est facile de sentir que pour un même état de l’air , cet
angle dépend de la distance de l’objet et de sa hauteur,
même en supposant toujours l'œil à la même place ; car
la seconde branche de la trajectoire limite rencontre l’ob-
jet d’autant plus haut qu’il est plus éloigné. Supposons

‘ toujours l’observateur dans les couches supérieures où la

densité est sensiblement constante : si le sommet de l’ob-
jet observé se trouve placé à la même hauteur que l'œil,
l'intervalle observé par le moyen de M. Wollaston sera
précisément égal à l’angle Z ou à la dépression apparente
de l’horizon. Si l’objet est plus bas que l’œil, l’intervalle
observé sera moindre que 7; il sera plus grand:si l’objet
est plus élevé que l’œil ; et enfin si l’objet étoitinfiniment
éloigné, il seroit égal à 2 Z ou au double de la dépression
apparente. De plus grandes variations encore auroient
lieu si l'observateur pénétroit dans les couches de densité
variables. Ces circonstances auxquelles M. Wollaston
n’a point eu égard, sont très-probablement la cause des
irrégularités qu’il a remarquées lui-même dans ses ob-
servations , et c’est ce qui m'a empêché de les calculer.
Les phénomènes que nous venons d’examiner ne sup-
posent à la caustique qu’une branche unique , mais elle
peut aussi en avoir plusieurs ; et C’est ce qui produit la
multiplicité des images extraordinaires. Pour en donner
un exemple simple, il ne faut que modifier un peu le

86 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

cas de la progression arithmétique-et supposer ; qu’à
une certaine hauteur le pouvoir réfringent ne varie
plus. Cette supposition particulière a du rapport avec ce
qui se passe généralement dans l’air atmosphérique lors-
qu'il repose sur un corps échauffé. Dans ce cas , la forme
des trajectoires sera la mêmeque précédemment, tant
qu’elles resteront dans les couches inférieures où le
pouvoir réfringent est variable, maïs au-dessus de cette
limite, elles se changeront en deslignes droites indéfiniées
qui seront les prolongemens de leurs tangentes extrêmes.
Cette modification devra nécessairement introduire aussi
des changemens dans le nombre et dans la position des
images qui pourront être reçues par l'observateur , c’est
ce qu’il s’agit d’examiner:

Pour commencer par le cas le plus simple, nous pla-
cerons l’observateur sur la limite même qui sépare les
couches variables de celles où: le pouvoir réfringent est
constant ; nous chercherons, comme précédemment, la
courbe limite de toutes les trajectoires non pas pour leur
partie curviligne, car nous savons quesa limite ést une pa-
rabole ; mais pour leur portion rectiligne: et à cet effet
nous allons d’abord déterminer l’équation des lignes
droites dans lesquelles elles dégénèrent.

Cette équation se présente comme d’elle-même ; car à
cause de la symétrie des trajectoires, leurs secondes
branches, lorsqu'elles reviennent au niveau de l’observa-
teur en sortant des couches inférieures, ont des inclinai-
sons exactement contraires à celles que leurs premières
branches avoient lorsqu’elles y sont entrées. Ces secondes

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON, 87
branches entrent donc dans les couches de réfraction
constante avec une inclinaison 7, de plus elles y entrent
sur l’axe des æ, à une distance de l’origine égale au
double de l’amplitude de la trajectoire , ainsi la ligne
droite dans laquelle celle-ci dégénère, à partir de ce point,
a pour équation

z = (2 À — x). tang. I

Dans le cas particulier de la progression arithmétique
on a

in. 2 Z
JE: — Si. 2
m À
par conséquent
in. Z
Z = es ee TZ: tang. Z, (i)

C'est l'équation particulière de toutes ces lignes droites.
En prenant sa différentielle relative à Z seul, et l’éga-
lant à zéro, on aura

8 sin. I. cos°. T

LM 2-7 (2)

c’est la condition des intersections: successives. Il faut
maintenant éliminer Z entre cette équation et la précé-
dente. Or ceile-ci donne pour sir°. I deux valeurs, qui
sont 1

1 Vi +omAz
4

je 1+ Vi+2mAz

qe 4

SIN LT
Sin”.

En mettant successivement ces deux valeurs de si#*. I

88 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES
_dans l’équation (2), après avoir élevé ses deux membres

au carré, on trouve

3 42%? a ———— — 3 HV Ne mA ENS
Et — = (1 — Vi+2mAz). (2 à ae )
2 A°x? resto À Es, it, EN EM Ve me A z\5
= = G+Vi+emAi). (= " <)

Ce sont les deux branches de la courbe formée par les
intersections successives de toutes les droites ; cette
courbe est représentée dans la #g. 12.

La première de ses branches commence à l’origine
même, car 3—0 y donne x—o, elle ne s’étend que du
côté des z négatives , c’est-à-dire au-dessus de l’observa-
teur, car z positif donneroit x imaginaire ; si l’on sup-
pose z fort petit, l’équation de cette branche se réduit à

C7 mAzx?
AT 16

elle se confond donc alors avec une parabole , mais cette
coincidence n’a lieu que pour de très-petites valeurs de z;
enfin cette branche s’arrèête lorsqu'on a

1+2mAg—=0

1 3 V3

FER) RÉ

ce qui donne

PER

Ces valeurs de x et de z répondent à une valeur de sin°.Z
qui est

sin". T = %5s- d'où l’on'tire Z' = 30°

Au-delà de ce terme la branche que nous discutons

]

QUI S'ORSERVENT TRÈÉS-PRÈS DE L’HORIZON. 89

devient imaginaire, mais c’est précisément alors que

l’autre commence, et elle va continuellement en se rap-

prochant de l’observateur, et en s’abaissant vers l’axe
des x qu’elle coupe enfin dans un point dont l’abscisse est

2
m À

LUE
Ce point répond à une valeur de sir. J quiest
sin. T = 5. ce qui donne I — 45°

En effet, c’est alors que les intersections des trajectoires
commencent à se faire dans les couches dont le pouvoir
réfringent est variable.

Pour connoître maintenant le sens de la courbure de
chacune des äeux branches précédentes, pour le suivre
dans toute leur étendue, et savoir si elles n’ont pas de
points d’inflexion, il faudroit différencier les équations
précédentes entre æet z, mais on y parviendra plus fa-
cilement au moyen des équations entre x et z et 7.

En effet, les valeurs de x et de z résultantes des
équations (1) et (2) peuvent être mises sous la forme

PE De ON Sur à LS A D
MA. — 3 — 2. cos. 2 I + cos. 4 T

en faisant varier dans ces équations x, 3 et Z, et pre-
nant dx pour différentielle constante, on en tire

— — œ.
A Le tang.
CPV À QG + cos 6 I). farg*. 3 T
dx? _— 2. (s220 2101 Æ sir, 4 IS

Ces valeurs s'appliquent également aux deux branches

1809. 12

90 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES
dz
dx
apprend que cette courbe est partout tangente à quel-
qu’une des trajectoires, cela devoit être. La seconde,

de la courbe limite. La première, celle de , nous

d°z .
celle de ——, nous fera connoître par son signe dans

quel sens chacune des branches tourne sa convexité.

1 + cos. 6 T
Or le facteur 2. (sir. 2 Z + sin. 4 I)

sitif depuis Z — o jusqu’à Z — 45°, c’est-à-dire dans
toute l’étendue des deux branches; mais le facteur
ang”. 3 Test positif sur la première branche depuis
T— 0 jusqu’à Z — 30°, et négatif sur la seconde de-

est constamment po-

puis Z — 50° jusqu’à Z — 45°. La première branche
tourne donc sa concavité vers l’axe des x, et la seconde
sa convexité : c’est ce que représente la fr, 12.

Dans cette figure O est l’observateur , et OX l’axe
des +. qui sépare les couches inférieures où la densité est
variable, des supérieures où elle est constante. La pa-
rabole Z Fest comme dans la #7. 7 la limite des intersec-
tions des trajectoires consécutives qui se coupent au-
dessous de la ligne OX. Ces trajectoires s'étendent
depuis les inclinaisons verticales jusqu’à celle de 45 de-
grés. Pour les trajectoires suivantes, depuis Z — 450
jusqu’à Z— 30 degrés, les intersections successives se
font sur la branche FR qui les touche toutes et leur sert
de limite ; enfin depuis Z — 30° jusqu’à Z— 0, lesinter-
sections se font sur la branche R O qui, près du point O
se confond avec une parabole.

Il résulte d’abord de cet arrangement que tous les

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 91

points contenus dans l’espace Z FX terminé par le pro-
longement de l’axe OXet la portion de parabole ZF
seront tout-à-fait invisibles pour l’observateur. -

Si par le point F on mène à la parabole Z F la tan-
gente F7”, qui fera avec l’axe des + un angle de 450,
tous les points compris dans l’espace indéfini OZ FT
pourront envoyer à l’observateur une trajectoire concave
qui touchera la parabole Z F entre les deux points Z et
F', et qui correspondra à une valeur de Z comprise entre
90 et 45 degrés. Si le point donné est compris dans l’es-
pace elliptique OM M'Z, il sera vu ainsi par une pre-

-mière branche ; s’il est hors de cet espace, il sera vu par
une seconde.

Si l’on prolonge indéfiniment les droites FT, R T” qui
sont les tangentes extrêmes de l’arc FR, ce qui donnera
Vangle TF7” qui sera de 15 degrés , tous les points com-
pris dans cet angle pourront envoyer une tangente à l’arc
FR, et par conséquent à l’observateur une trajectoire
concave qui les rendra visibles par sa seconde branche,
et qui répondra à une valeur de Z comprise entre 459
et 300.

De tous les points compris dans l’espace F4R on pourra
mener deux tangentes à l'arc FR, et par conséquent
envoyer à l’observateur deux trajectoires, qui correspon-
dront aussi à des valeurs de TZ comprises entre 45 et 30
degrés et dont les secondes branches les rendront visibles.

Il n’en sera pas de même des points compris dans l’es-
pace 04F ; ils ne pourront envoyer à l’arc FA qu’une
seule tangente ; ils n’enverront donc à l’observateur

92 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

qu’une seule trajectoire dont l’inclinaison soit comprise
entre 45 et 5o degrés.

Tous les points compris dans l'espace OUR pourront
envoyer à l’arc OR deux tangentes, et par conséquent
à l'observateur deux trajectoires correspondantes à des

valeurs de Z comprises entre o et 30 degrés. Ces trajec-
toires parviendront encore à Nebsetenr par leurs se-
condes branches

Tousles oies compris dans l’espace indéfini XOR7",

est-à-dire entre l’axe OX, la courbe OR et le pro-
longement de sa tangente extrême, pourrontenvoyer une
tangente à l’arc OR, et par conséquent à l’observateur
une trajectoire comprise entre les inclinaisons Z=o et
TI = 30 degrés.

Enfin, tous les points situés au-dessus de axe OX
dans les couches de réfraction constante peuvent en-
voyer directement au point O une trajectoire rectiligne ;
c’est celle qui les rend visibles ordinairement.

Maintenant si un point se trouve appartenir en même-
temps à plusieurs de ces espaces, il cumulera les pro:
priétés qui leur appartiennent, et de là résulteront pour
l’observateur plusieurs images visibles d’un même objet.

Soit par exemple l’objet 4 B compris dans l’espace
OR, il pourra d’abord envoyer à l’observateur de ses
extrémités 4 et B deux trajectoires rectilignes qui don-
neront l’image directe a b, puis deux 4 4’, B E'tangentes
à l’arc OR et se coupant entre l’observateur et l’objet,
d’où résultera l’image renversée B'_4'; puis deux autres
trajectoires tangentes au même arc, eu se coupant en

QUI S'ORSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 93
arrière de l’objet d’où résultera l’image droite 4"B"; @«
enfin deux trajectoires 44", BB" tangentes à la para-
bole Z F d’où résultera l’image renversée B" 4"; en tout
quatre images, deux droites et deux renversées alternant
les unes avec les autres.

Si le point B étoit situé sur la courbe OR, les deux
images B'.4', 4'B” se toucheroïent et paroîtroient poser
Vune sur l’autre. Si en même temps le point _4 reposoit
sur axe 0_X, les points 4’ et a des deux images ab, 4'B'
seroient aussi en contact; par conséquent les trois
images ab, B'Æ', A'B' paroîtroient immédiatement
superposées. Si l’objet étoit placé dans l’espace F TR, il
pourroit encore envoyer à l’observateur quatre images
alternées comme les précédentes ; mais les angles sous
lesquels ces images arriveroient à l’observateur seroient
différens. L’image inférieure B”_4" ne seroit plus don-
née par la parabole Z F, mais par la branche FR ; ilen
seroit de même de l’image droite B'_4" qui seroit donnée
par ce même arc au moyen de trajectoires qui se coupe-
roient en arrière de l’objet. 11 n’y auroit plus qu’une
seule image donnée par l’arc OR; elle seroit analogue
à B'A' et renversée comme elle. La quatrième image
ab seroit toujours droite et donnée par des rayons di-
rects, comme précédemment.

Par des’considérations semblables on verra facilement
que les objets situés dans l’espace 02 F enverront aussi à
l’observateur quatre images, deux droites , l’une par des
trajectoires rectilignes S, l’autre par l’arc FR, etdeux ren-
versées par les arcs OR et Z F. Au-dessous de OF les ob-

k

94 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

jets ne pourront envoyer que deux images, l’une droite
et supérieure par des trajectoires tangentes en arrière à la
parabole Z Fou aux branches FR, RO; l’autre par la
parabole Z F inférieure etrenversée. Pour tous les objets
situés au-dessus de OX dans l’espace XF'RT", il n’y aura
que deux images, une droite et une renversée; enfin,
comme nous l’avons déjà remarqué, dans l’espace ZFX
il n’y en aura pas du tout.

Dans l’air atmosphérique, et même dans tous les li-
quides superposés; la limite des réflexions intérieures
sera toujours bieninférieure à 45 degrés, par conséquent
l’image renversée B" 4" la plus basse de toutes, et qui
est donnée par la branche parabolique Z F, ne se for-
mera point.

Il en sera de même dans l’air atmosphérique, et dans
presque tous lesliquides, des images données par l’arc
FR, qui répondent à des réflexions intérieures de plus
de 30 degrés, et elles ne se formeront pas non plus.

Mais les trajectoires données par la branche OR sub-
sisteront toujours, quelque foible que soit le pouvoir
réfringent du milieu , puisqu’elles s’étendent depuis 30
degrés jusqu'aux plus petites inclinaisons ; d’où il suit
que dans l'air atmosphérique et dans tous les fluides
superposés, lorsque les pouvoirs réfringens des couches
décroîtront en progression arithmétique, on pourra
toujours voir trois images savoir, deux droites et une
renversée placée entre les deux autres, lorsque les objets
seront placés convenablement.

Dans l’air atmosphérique et dans tous les milieux où

D in

LA
QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 95

la différence des pouvoirs réfringens seroit très-foible , |
la branche OR s’étendroit très-loin , et le point de re-
broussement R seroïit aussi extrèmement éloigné. Il suf-
firoit donc alors de considérer la branche OR comme
une parabole à cause de la petitesse nécessaire des indi-
cations.

Supposons maintenant qu’en conservant la loi pré-
cédente d’un décroissement de pouvoirs réfringens en
progression arithmétique, on élève l’observateur dans
les couches de densité constante, et qu’on le place à
une hauteur Æ7 au-dessus de la limite de ces couches re-
présentées par l'horizontale 4_X. Examinons mainte-
nant les modifications que cette circonstance introduit
dans la figure des courbes limites , formées par les inter-
sections successives de toutes les trajectoires.

Ces modifications sont faciles à prévoir, quant à
leur marche générale, d’après celles que subit la courbe
des minima; car en supposant la forme serpentante
que nous avons vu lui appartenir, quand la hauteur 4
est moindre que +— de M4, on verra facilement à la
seule inspection de la f#g. 2 que les points les plus bas de
la première branche Z AZ donneront des trajectoires qui
se couperont dans les couches variables, et dont la limite
pourra être représentée par Z F; mais la branche HW,
et même les points les plus hauts de la branche Z A don-
neront des trajectoires qui se couperont au-dessus de 4 X,
et qui formeront une branche FR fig. 13 analogue à la
branche FR de la fs. 12; les intersections s’élèveront
ainsi jusqu’à une certaine limite, après quoi elles re-

96 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

descendront suivant une autre branche À R’ analogue à
la branche RO; mais ici elle coupera l’axe des X dans
un point # situé en avant de l’observateur, et se prolon-
gera au-dessous jusqu’à une certaine limite À’ qui sera
déja donnée par des trajectoires appartenantes à l’arc
M'H de la fig. 2. Les trajectoires suivantes continuant
toujours d’avoir leurs rnirima Sur cette même branche,
leurs intersections s’éloigneront de plus en plus de l’ob-:
servateur jusqu’à l'infini , ce qui donnera pour dernière
limite de la caustique une branche indéfinie R'_X con-
vexe vers l’axe des X,£gt qui appartiendra aux plus pe-
tites inclinaisons.

Pour confirmer ces considérations, nous allons d’abord
démontrer un résultat qui y jetera beaucoup de lumière,
et qui a l'avantage d’être général quelque soit la loi de
variation des forces réfringentes ; c’est que pour les tra-
jectoires qui se coupent dans les couches de réfraction.
constante , la courbe limite est absolument la même, et
placée de la même manière que pour un observateur qui
seroit placé à l’origine des couches variables, à cela
près qu’elle est plus enfoncéedans ces couches, de la quan-
tité A, c’est-à-dire autant que Pobservateur est élevé,

En effet, l’élévation de l'observateur ne fait que trans-
porter chaque trajectoire dans le sens horizontal de la

1 [:1 ;
quantité ———— ; par conséquent si l’on nomme 4 l’am-
tang. I

plitude propre à la trajectoire dont l’inclinaison est Z,
cette trajectoire, en sortant des couches variables par
sa seconde branche avec l’inclinaison Z, coupera Paxe

|
|
|

QUI S'OBSERVENT /TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 97
FH
GP

des x dâns un point ‘dont Pabscisse sera 4 21
A étant une fonction de Z dépendante de la loi de la
réfraction; et puisque à partir de ce point la trajectoire
devient rectiligne } Son équation sera

j joi ) H
Z — (ang. TI. (A+ 2)

ou ce qui revient au même
| z — H — tang. I. RES AN ES)

La condition des intersections de ces droites sera

AAX \ (Aya) :
Or pr TS TE),

et l’équation de la courbe limite sera donnée par l’élimi:
nation de Z entre ces deux équations : or, le produit de
cette élimination sera encore le même si l’on fait d’abord
nul, ce qui transporte l’observateur à la limite des
réfractions variables; pourvu que l’on change ensuite Z
en Z— H, c’est-à-dire, pourvu que l’on enfonce la
courbe limite dans les couches variables, d’une quan-
tité égale à l’élévation de l'observateur, ce qui est la
propriété que nous avons annoncée.

Ainsi, dans le cas de la progression arithmétique, les
branches FR, RF' de la fig. 13 ne seront autre chose
que les branches FR et RO de la fs, 12 enfoncées de
la quantité A, d’où l’on voit d’abord que les intersec-
tions ne pourroient se faire au-dessus des couches va-
riables pour des trajectoires dont Pinclinaison surpas-

1809. 13

98 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES.

seroit ou même égaleroit 45 degrés, car, cette incli-
naison formoit dans la y. 12 le commencement F de la
branche FR. On voit aussi que les trajectoires menées
sous les plus petites inclinaisons, et qui, dans la fig. 123
se coupoient hors du milieu variable sur la branche RO,
se couperont maintenant dans ce milieu. À mesure que
l’observateur s’élevera , les points F, F' se rapprocheront
et ils coincideront ensemble, lorsque la hauteur de lob-

servateur égalera la hauteur primitive du point R qui,
LU, 1
m A

sections consécutives se feront toutes dans les couches va-
riables au-dessous de 4_X. Généralement les intersec-
tions commenceront à se faire dans l’intérieur des couches
variäbles lorsque lon aura

dans le cas de la fig. 12, étoit — -——. Alors les inter-

22 4 sin 8 sint: I
H = mA AT m A

car, d’après ce que l’on a vu dans la page 87, le second
membre de cette équation exprime la hauteur de chaque
point de la caustique au-dessus des couches variables ,
lorsque l’observateur est placé à la limite même de ces
couches. Les intersections devront donc se faire dans le
milieu variable pour toutes les valeurs de Z comprises
entre les racines de cette équation, c’est-à-dire entre

1+Vi—2m4.H dE ?— 1—Vi—t2 mA. H

FN =
Sir à ;

En faisant Z — 30°, on aura la hauteur A qui est telle
que le point de rebroussement de la branche supérieure

j
|
.

Qui S'OPSERVENT TRÉS-PRÈS DE L’HORIZON. 99
tombe sûr Vaxe des œ, et par : conséquent pour cetté hau-
teur de l'observateur, et pour toutes celles qui la surpas-
seront , les intersections des trajectoires se feront toutes
dans le milieu fnfétieur. Or Z— 30° donne sin. 1—!
En substituant cette! valéür dans la formule précédente,

15 | 155 HARN

on en tire H = Tr comme nous venons de le trou-

vér par la considération particulière de ce point.
«On a vu dans la page 61 que la courbe des mirima
EE Ar des points derebroussement lorsque Æ est

égal à -——, et que pour des valeurs de H plus grandes,

4m Er
sa dernière branche est toute convexe vers l’axe des x.
Il arrive donc alors que les intersections successives se
font toutes au-dessous de Vobservateur ; car C’est seule-
ment le retour de la courbe des minima vers l’axe des z
qui peut donner des trajectoires sonseniives qui se cou-

pent au-dessus de lui. Aussi quand = le point

. 4mA°
de rebroussement R dela brânche FR se trouve au
niveau de l’observateur, car son élévation totale étoit

_ quand Æ étoit nul , et il a dû descendre autant
que l’observateur a monté. En général sa hauteur sera

1
2 mA — IT.

On a vu précédemment que ce point appartient à une
valeur de Z égale à 30 degrés. Ainsi la branche RF sera
toujours invisible dans l’air atmosphérique et dans la
plupart des fluides : elle y sera remplacée par le pro-
longement de la seconde branche de la trajectoire limite

100 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES .
qui sera tangente au sol. Il seroit donciinutile de cher-
cher à la déterminer plus exactement. Mais il n’en est
pas ainsi de la branche À R' qui peut encore avoir lieu
pour de petites inclinaisons, ni à plus forte raison de la
branche R'X" qui a lieu pour les dernières valeurs de Z. :
Nous allons donc chercher à déterminer ces dernières
branches ; mais pour ne pas nous jeter dans des consi-
dérations inutiles, nous nous bornerons au cas où la
limite de la réflexion possible est extrêmement petite ,
soit par le peu de force réfringente du milieu, ‘soit par
le peu de différence de densité des couches extrêmes.!
D’après ce que nous avons trouvé précédemment dans
le cas de la progression arithmétique, léquation des se-
condes branches des trajectoires dans le cas qui nous
occupe sera px

H S$ RO CL eat
D Msn. l+ Von .l— MAS)
tang. I m A

qui peut se mettre sous la forme

D

(Ga)... ætang. I= H- Le (sin .I+V sin’. I— mA).

la condition des intersections de ces branches donnera

T 2cos 1 à sn

(2). A ER 1 an CAS (sin. IV sin CE m Az)

| FM os Le
Um eo: Voir. TJ — mAz

la courbe cherchée résultera de l’élimination de Z entre

-_ QUE S'OBSERVENT TRÈS-PRRÈS DE L'HORIZON. 101
ces deux équations. Cette élimination considérée en géné-
raloffre une grande complication , maïs elle se simplifie
quand on se borne à considérer des inclinaisons très-
petites dans un milieu dont le pouvoir réfringent est très-
foible, comme. cela a lieu dans l’air atmosphérique.
En effet, soit Z' la profondeur qu’il faudroit donner
aux couches réfringentes pour atteindre la limite de la
réflexion possible, soit que cette limite s’étende jusqu’à
celle de la réflexion intérieure, soit qu’elle se trouve
réduite au-dessous de ce terme par l’interposition du sol.
Nommons Z'l’angle sous lequel se fait cette réflexion,
on aura
Si, TE mA"

Maintenant toutes les autres valeurs de Z seront néces-
sairement moindres que Z': soit donc

sin. [= K. sin. I!

K sera nécessairement une fraction. Si l’on substitue
ces valeurs dans les équations précédentes, en faisant
pour plus de simplicité sir. L'—, et prenant Z' pour
unité; ce qui donne 1.4 —w° alors x et z deviennent uni-
Meet des fonctions de Æ, de X ‘et de w, que l’on
peut développer suivant les puissances de cette dernière
quantité. En se bornant ainsi aux termes de ce dévelop-
pement qui sont les plus considérables, c’est-à-dire à
ceux qui ont les plus petites puissances de w LA er pool
on trouve
4 XS Æ°

DRE RUE der RE pet
(deu) bn KA = 2 Ki); d

102 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

Ce développement cesseroit d’être possible si l’on avoit
H—2K°, mais d’après ce que l’on a vu précédemment
dans la page 98, cela ne sauroïit arriver; car lorsque
les intersections commencent à se faire au-dessous de la
ligne de densité constante, on a H—4K?—8 Kfw°;
ainsi pour des valeurs de Z moindres que celle limite,
et à cette limite même la quantité 4 — 2 K° nesera point
nulle, et par conséquent le développement pourra s’ef-
fectuer.

D’après ces expressions de æ et de z, il est facile de
voir que la caustique, après avoir formé la branche FR
dans la couche de densité constante, entre dans les
couches variables au point F” pour lequel on a

HA KT, PRET NA A La
qu’ensuite elle se continue suivant la branche F"R' con-
cave vers l’axe des æ, et terminée au point R’ dont les
coordonnées sont
H no WA! 7H
=; TS xk=} TZ
L’abscisse du point R'est, comme on voit, plus petite que
l’abscisse du point F'; mais en R ilse fait un rebrousse-
ment: le signe de la courbure change; la courbe devient
convexe vers l’axe des x et s'éloigne indéfiniment de
l'observateur en formant la branche R'X"; en même
temps elle se rapproche de l’axe des x qui lui sert d’asymp-
tote horizontale. Toutes ces inflexions de la caustique
sont analogues avec celles qu’elle faisoit dans le cas d’un

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 103

observateur placé sur la limite des couches de densité
variables : seulement alors, le point de rebroussement R
étoit situé à l’origine même des trajectoires, et la der-
nière branche RX' de la caustique au lieu d’être courbe
étoit une ligne droite horizontale ; c’étoit l’axe même
des x.

Comme la plus grande valeur possible de X est d’être
égal à l’unité , on voit que la branche RF" disparoîtra si
H=—= 4 Z" ou surpasse 4 Z', Z' étant la profondeur des
couches où la réflexion est possible, profondeur que nous
avions prise pour unité. De même la branche F"R' dis-
paroîtra si A = 8 Z/ ou surpasse 82’, car alors le point
de rebroussement R'descendra à la hauteur de la couche
limite , ou tombera au-dessous, et la caustique se réduira
à la branche unique et indéfinie R’X' qui subsistera
quelle que soit la hauteur de l’observateur pour les plus
petites inclinaisons. di à

En rappelant ici ce que nous avons dit précédemment
pour les cas où l’observateur étoit situé à la limite même
des couches variables, et nous bornant aux cas qui
peuvent exister dans la nature, il est facile de trouver le
nombre et la position des images que chaque point de
lespace pourra envoyer à l’observateur.

Si par le point © supposé le lieu de observateur, on
mène la trajectoire limite OM F qui est tangente au sol,
et que l’on prolonge indéfiniment sa seconde branche qui
sera rectiligne et que nous supposerons quelque part tan-
gente à la branche FR, il est facile de voir :

19. Que tous les points compris dans le triangle mixti-

104 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

ligne GR R’enverront à l’observateur trois images, deux
droites et une renversée , celle-ci entre les deux autres.
La quatrième image, analogue à 4"B" de la fig. 12, aura
disparu , comme tombant au-dessous de la limite de la
réflexion.

20, Que tous les points situés hors de ce triangle, mais
cependant compris entre les prolongemens indéfinis des
branches de la caustique, n’enverront à l’observateur
que deux images , l’une droite, l’autre renversée, celle-ci
inférieure à l’autre. La troisième image, droite et infé-
rieure aux deux autres, n’aura plus lieu.

3°. Tous les points contenus dans l’espace OM GR'RT"
ne pourront envoyer à l’observateur qu’une seule image
droite. à

4°. Enfin tous les points contenus dans l’espace indé-
fini MGX'F seront entièrement invisibles pour l’obser-
vateur. Mais s’il s’élève, la trajectoire limite s’éloignant,
le point AZ s’éloignera aussi. Par conséquent quelques-
uns des points renfermés dans l’espace invisible en sorti-
ront et deviendront visibles. Le contraire arrivera si l’ob-
servateur s’abaisse. Le point M se rapprochant, il perdra
de vue des points qui lui étoient précédemment cachés.

Dans ce qui précède nous avons supposé que l’obser-
vateur se trouvoit au-dessus du milieu variable , et dans
la couche de plus grande densité. On pourroit également
le supposer placé dans les couches variables elles-mêmes,
et un calcul tout semblable à celui que nous venons de
faire donneroit la forme de la caustique résultante de
cette position. Soit donc fg. 14, AX la ligne horizontale

ne

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS. DE L’HORIZON. 105

-qui termine inférieurement la couche de densité cons-

tante ; soit O l’observateur abaissé au-dessous de cette
ligne d’une quantité 4 O = H: par le point O menons
Vhorizontale OX” parallèle aux couches, il est évident
d’abord que les trajectoires telles que, O7", O7", qui
auront leur mir7imum en arrière de l'observateur, tra-
Yerseront les couches de densité variables sans se couper,
et pénètreront dans le milieu supérieur suivant des direc-
tions divergentes, de sorte qu’elles ne s’y couperont pas
non plus. Mais les trajectoires telles que OMF qui au-
ront leur #7irimum en avant de l’observateur et au-des-
sous de la ligne OX” se couperont nécessairement dans
un milieu ou dans l’autre. Celles qui se couperont dans le
milieu inférieur formeront la portion de caustique Z XX
qui, d’après ce que l’on a vu précédemment, sera une

parabole ayant pour l’axe l’axe des Z. Les trajectoires

qui se couperont au-dessus de 4 X par leurs prolonge-
mens formeront une autre portion de caustique qui ser-
vira de prolongement à la parabole OM, et qui aura
Pour asymptote la ligne droite

sin. 2 l' z

mA qu tang. I

T —

suivant laquelle dégénère la trajéctoire OZ menée du
point © dans une direction horizontale. J' est ici une
constante donnée par l’équation

Sin”. l' = mAH
c’est l’angle sous lequel la dernière trajectoire OL pé-

nètre dans le milieu supérieur. Ainsi ; Selon que l’obser-
1809. 14

106 SUR LES RÉFR ACTIONS EXTRAORDINAIRES

vateur est au-dessus où au-dessous de la limite des
densités variables, la dernière branche de la caustique
s'éloigne à l'infini au-dessous de cette limite ou au-
dessus,

Considérons maintenant le cas où les pouvoirs réfrin-
gens du milieu décroissent suivant une exponentielle.
Nous avons déjà remarqué que cé mode de décroissement
est très-propre à représenter les expériences thermomé-
triques. Les résultats qu’il donne sont faciles à prévoir
d’après ce que nous avons dit, page 60, relativement à
la courbe des minima. La partie la plus basse de cette
courbe, celle qui répond aux plus grandes valeurs de Z
va en s’éloignant de l’observateur à mesure qu’elle s’élève,
c’est-à-dire à mesure que Z diminue. Les trajectoires qui
auront leur 1inimum sur cette partie de la courbe devront
donc se couper au-dessous de la ligne horizontale qui
passe par l’observateur, et d’autant plus près de leur
minimum que la ligne desminima approchera plus d’être
horizontale. Elles formeront donc ainsi une portion de
caustique située pareillement au-dessous de l’observa-
teur, et qui ira en s’élevant à mesure que Z deviendra
moindre. Mais on a vu qu’au-dessous d’une certaine
valeur de Z, la courbe des minima revient vers l’obser-
vateur avec lequel elle coincide lorsque Z— o. Ainsi,
à ce point de rebroussement, les trajectoires commence-
ront à se couper au niveau de l’observateur et sur l’axe
des + ; après quoi Z diminuant toujours, elles viendront
se couper au-dessus de cet axe où elles formeront le reste
de la caustique qui s’éloignera de l’observateur à l'infini;

UI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 10
7

mais cette dernière branche sera plus ou moins applatie,
suivant la rapidité du décroissement des pouvoirsréfrin-
gens, et selon que l’observateur sera enfoncé à une pro-
fondeur plus ou moins grande, dans les couches où la
force réfringente varie d’une manière sensible.
Occupons-nous en particulier de cette dernière branche,
la seule qui nous intéresse, puisque c’est elle qui subsiste
sous les plus petites inclinaisons. Pour le faire avec faci-
lité, on remarquera qu’au-dessus d’une certaine hauteur
la variation des pouvoirs réfringens devient tellement
petite qu’on peut la supposer sensiblement nulle, et re-
garder le milieu comme homogène. Cette propriété tient
évidemment à la nature du décroissement par exponen-
tielle. Or , en reprenant l’équation d’une seconde branche
qui se déduit de la page 46, et faisant m4 — n, nous
aurons à une hauteur z au-dessus de l'observateur

sin. I+ V sin. I+ )

V 1
— : sin. IL
sl tn) "408 (2 SE = r—)

2 re—"az
+ — log. (pa _ )

Puisque , à la hauteur que nous considérons , l’état des
couches devient sensiblement constant , il faut que z
soit assez considérable pour que la quantité e —“* soit in-
sensible , alors le terme de l'expression précédente qui
contient z sous le signe logarithmique, devient lui-même
constant ;, et se réduit à log. 2, le logarithme étant hy-

Zz + +. log. (

108 ‘ SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

perbolique. De plus, nous supposerons que l’inclinai-
son J est très-petite par elle-même , et relativement à »,
supposition d'autant plus légitime , que Z peut décroître
jusqu’à devenir nul, tandis que z a une valeur fixe qui
peut être plus ou moins grande, suivant que l’observa-
teur est plus ou moins enfoncé dans les couches varia-

Er 3
bles. Regardons donc *7"=. comme une quantité très-
ù P/À

petite du premier ordre, nous aurons en développant la
valeur de z et nous bornant aux termes les plus sensibles,

cos. T

Va

2 sin. T

2
Hd (2 + + og 2) +
a an
Cette dernière portion des trajectoires se réduit donc
sensiblement à une ligne droite, ce qui devoit être d’après
les circonstances où nous les supposons. La condition

des interjectoires de ces droites sera

2 2 cos. TI
Oo — — sin. I. ( mA log. 2) ut Mac
a A
ce qui donne pour x etz, ces valeurs
2 2 :
Z + —. log. 2= ——— ; x —
F 1 a Va. tang. I . an. sin, L

éliminant Z, on a pour l’équation de cette dernière
branche de la caustique.

3 + —. Log. 2 = x. Vn: Me pe 2
a an zx

UL'S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 10
Q 9

qui, étant différenciée, donne

d2/; ste Vi
dE TU) em
Mi M 4
CEE
CEE 4
5 + MONTS 3 3 4 ë
A2) Ts t Le (: — re

\

La caustique se termine donc par une branche concave
vers l’axe des x, et dont l’inclinaison va toujours en
diminuant , à mesure qu’elle s’élève et s’éloigne de l’ob-
servateur. Cette dernière branche à une asymptote rec-
tiligne dont l’équation est

eZ + ge log. AN nt MS Vr
a

‘ce qui donne à cette limite

dz É TRE
dzæ LE

Il est facile de vérifier ce résultat ; car le point de tan-
gence extrême doit appartenir à la trajectoire menée sous
linclinaison 1 = o. Or, l’équation différentielle des tra-
jectoires qui est en général

CT AMIE ES IT — mg
dz. 70 COS. LUS)

devient, dans le cas actuel,

dz ar Vin 1%. (e — az — x}
dr — cos. TZ

110 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

Lorsqu’on suppose e—‘** insensible et Z nulle, elle se
réduit à

dz Be Von

CT rc

Comme nous venons de le trouver.

On voit en général qu’il en sera de même dans toutes
les lois de décroïssement qui deviennent insensibles à
une certaine hauteur au-dessus de l’observateur. A cette
limite ç étant négative et sensiblement constante, les
trajectoires deviennent rectilignes, et la caustique a
pour asymptote une ligne droite dont l’inclinaison est

V — mous Pc désignant la valeur de @ à la hauteur
où la variation des pouvoirs réfringens est insensible.
L’inclinaison de cette dernière branche de la caustique
diminue en même temps que @, c’est-à-dire à mesure
que l’observateur se trouve placé plus haut dans le milieu
réfringent, et par conséquent dans des couches où la
variation de la force réfringente est moindre. Enfin, s’il
est placé dans les couches où cette force devient sensible-
ment constante ?(:,, deviendra nulle ou insensible, et l’on

>. au le À dz
a pour l’inclinaison de la tangente extrême —— = o,
dx

c’est-à-dire, que la dernière extrémité de la caustique sera
horizontale, circonstance qu’il étoit facile de prévoir.
C’est le cas de la réflexion dans les milieux diaphanes
homogènes ; ce cas est la limite de toutes les lois précé-
dentes de décroissement. =

Les phénomènes ont lieu de cette manière en suppo-
sant que l'accroissement de la force réfringente, à me-

QUI S'OBSERVENT TRÉS-PRÈS DE L'HORIZON. 111

sure qu’on s'élève, est continué indéfiniment suivant la
même fonction , par exemple, suivant la même exponen-
tielle, en sorte que l’asymptote de cette exponentielle
réponde au cas où la variation de la force réfringente
devient insensible. Mais on pourroit imaginer des lois
de densité telles que l’exponentielle fût interrompue plus
bas que son asymptote , et que de là elle se prolonge sui-
vant sa dernière tangente, ce qui rendroit également la
densité constante à une certaine hauteur, quoique avec
des circonstances bien différentes de celles que nous
avons considérées, Ce Cas esttrès-probablement celui qu’a
observé M. Wollaston . lorsqu’en regardant des objets
par dessous la surface horizontale d’une plaque de fer
rouge, et par des rayons presque parallèles à cette sur-
face, il apercevoit trois imâges, deux droites et une ren-
versée. Dans ce cas, la couche d’air inférieure , en con-
tact avec la plaque, ne pouvoit pas échapper en vertu de
sa légèreté spécifique, aussi librement que si elle eût
reposé dessus. Au contraire , cette légèreté devenoit un
obstacle à sa dissipation. Elle ne pouvoit s’enfuir que
latéralement , et cette circonstance devoit nécessaire-
ment rendre le décroissement des densités plus rapide.
Il paroît donc naturel de penser que, dans ce cas, l’expo-
nentielle qui représente ce décroissement étoit interrom-
pue par l'air extérieur avant d’atteindre son asymptote,
au lieu qu’elle y seroit parvenue si l’air chassé de la sur-
face du fer rouge eût traversé les couches d’air superpo-
sées , et, en se mélant avec elles ; eût contribué à rendre
le décroissement continu , suivant une même loi. Ce cas

112 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

est analogue à celui que nous a présenté la progression
arithmétique , lorsque nous l’avons interrompue à une
certaine hauteur pour lui faire succéder une densité cons-
tante , et nous devons le traiter de la même manière.

Pour cela, plaçons d’abord l’observateur à la limite
même de la densité variable et de la densité constante.
Les trajectoires les plus basses se couperont d’abord, dans
les couches variables, au-dessous du niveau de l’observa-
teur , mais Z diminuant toujours, les intersections com-
menceront à se faire au-dessus de ce niveau , c’est-à-dire
dans les couches de densité , à cause du point de rebrous-
sement de la courbe des minima. Cela pourra même
arriver pour des valeurs de l’angle 7 qui ne seroient pas
très-petites, puisque cela dépendra de la rapidité du dé-
croissement à la hauteur où observateur se trouve, sans
qu’il soit nécessaire, comme précédemment, de suppo-
ser z très-petit, puisque l’exponentielle est supposée
interrompue bien avant son asymptote. Considérons donc
cette portion de la caustique qui se trouve au-dessus de
l'observateur dans les couches de densité constante, et con-
sidérons-la principalement pour les petites inclinaisons.

Dans la position que nous donnons ici à l’observa-
teur , l’abscisse d’un point quelconque des trajectoires

devenues rectilignes se composera d’abord de l’amplitude
4 cos. I

de la trajectoire curviligne, qui est ;
a. V' sir. TI +'A2

sin. TL + V' sin. Tl+n
DT
« ( Va

d’abscisse due à la hauteur z dans les couches de den-

); et ensuite de la portion

QUI S'ONSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 113

sité constante, laquelle sera , en prenant les z

z
tang. I ?,

‘positifs au-dessus de la limite commune des deux den-

sités. De sorte que l’on aura généralement

4 cos. T , sin. LH V sin’. TEE z
OR, | 2 + ——
a. Vsin. Tl+n g VA Pope

LCL =

Si nous voulons nous borner aux très-petites incli-
maisons , l’angle Z peut être considérée comme extrême-
ment petit par rapport à 7, et en faisant sir. I—K.V nr
il'ne faudra avoir date qu’aux premières puissances
de X. En développant, suivant ces suppositions, le terme

2 sin 27.

indépendant de z, on trouve qu’il se réduit à EE. à

de sorte que l'expression approchée de x Feet

2 sin. 2 Z Zz
LE:

an tang, I

Cette valeur de x est précisément la même que sila den-
sité au-dessous de l’observateur décroissoit suivant une
progression arithmétique dont la ‘raison seroit za ; et
en effet, les trajectoires qui répondent à de petites in-
clinaisons, descendant très - peu avant dans le milieu
inférieur , la partie de l’exponentielle qui les comprend,
peut être assimilée à une progression arithmétique dans
les mêmes circonstances ; d’où il suit que la caustique
se termineroit comme dans le cas de la page 88, par une
courbe convexe vers l’axe des x; courbe qui, dans les

1809. l 15

° 114 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

très-petites inclinaisons , se confond avec une parabole
dont l’équation sera

Cette dernière branche sera donc d’autant plus appla-
tie que za sera moindre, c’est-à-dire que l’observateur
sera plus rapproché de l’asymptote de l’exponentielle. Si
za devenait nulle ou insensible, on auroit constamment.
z—o, et cette dernière branche se réduiroit à une ligne
droite horizontale menée par l’observateur, ce qui s’ac-
corde avec ce que nous venons de démontrer précédem-
ment. Les mêmes résultats auront lieu dans toutes les
lois de décroissement dont la limite est une progression
arithmétique.

Si, dans les circonstances que nous venons d’admettre,
l’observateur ne se trouvoit pas placé dans les couches
variables, mais dans celles de densité constante, ilest aisé,
par ce qui précède , dé prévoir ce qui devroit arriver. Car
d’abord, la portion de la caustique située au-dessus de la
limite des deux densités, ne seroit autre chose que la
précédente abaissée de la quantité Æ; H étant la hau-
teur de l’observateur au-dessus de cette limite ; et quant
à la partie de la caustique située dans le milieu variable,
comme elle n’embrasseroit que de très-petits angles,
elle seroïit précisément la même que pour une progres-
sion arithmétique dont la raison seroit za; car pour des
trajectoires menées sous de très-petits angles et très-peu
enfoncées dans le milieu variable, le décroissement par

QUI S'OESERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 115

exponentielle se confond avec la progression arithmé-
tique. Sa forme générale sera donc la même que celle
de la fg. 14 qui convient à une pareille progression , et
selon les hauteurs différentes de l’observateur elle pré-
sentera les mêmes accidens. Des résultats analogues
auront lieu pour toutes les lois de décroissement qui
auront pour limite une progression arithmétique. On
pourra donc, en se plaçant très-près de la limite des
densités différentes , y observer trois images, puisque la
progression arithmétique les comporte ; ce qui explique
complètement les apparences observées par M. Wollas-
ton au-dessous d’une plaque de fer rouge.

Enfin, pour rassembler ce que l’on peut dire de plus
général dans le cas d’un décroissement de force réfrin-
gente toujours continué dans le même sens, je vais sup-
poser que la loi de ce décroissement est absolument
quelconque; mais qu’elle s’arrête à une certaine hauteur
où la densité devient constante, et plaçant l’observateur
au-dessus de cette limite, je me propose d’examiner
quelle doit être la forme et la position de la dernière
branche de la caustique pour de très-petites inclinaisons.

Partons toujours du cas où l’observateur seroit placé
à la limite même des deux densités. Soit alors 4.; l’ab-
scisse du minimum de la trajectoire menée sous l’angle Z
ou sa demi-amplitude , équation d’une seconde branche
dans sa partie curviligne sera de la forme

z— 2 An — Y. (I. 2)

#. (I. z) étant une fonction de Z et de z qui devient

116 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES
nulle quand 3 — 0, et qui devient égale à 4, au vni-
nimum de la trajectoire, lorsque z est déterminé par:
l'équation

SALE Ly=Yle

D’après ce que l’on a vu précédemment, si la fonc-
tion 4; va croissant à mesure que Z diminue, deux
trajectoires consécutives se coupent avant d’avoir atteint
le niveau de l’observateur ; car alors, l'amplitude de la
plus basse étant moindre que l’amplitude de-la plus
haute, il faut nécessairement qu’il y ait un point d’in-
tersection entre les abscisses 4) et 2 A. Si l’accrois-
sement de 4 se continue ainsi sous les plus petites
inclinaisons, il en résultera nécessairement que la der- |
nière branche de la caustique, celle qui convient aux |
inclinaisons très-petites, restera toute entière comprise
dans les couches de densité variables ; et selon que 4°
variera successivement avec plus ou moins de rapidité,
elle pourra avoir des points de rebroussement plus ou
moins nombreux qui contribueront à multiplier le,
nombre des images.

Maintenant si l’on élève l’observateur de la quantité
dans les couches de densité constantes, en conservant.
toujours l’origine des z sur la limite des deux densités.
l'équation d’une seconde branche deviendra

H

EE Gear 2 Ai) — Y, (Z. z)

Dans le point où cette seconde branche coupe l’axe des x,

QUI S'OBSERVENT, TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 117
+.sera nulle. Nommant:X(;) l’abscisse correspondante,
LL
« “
on aura e

+ 2 46)

X(i ES tang. I

17

Or, puisque An est supposé croitre continuellement

Pi
à mesure que Z diminue ;etqué.la gtiantité ET croît:

aussi dans les mêmes circonstances, il est aisé de voir
Re deux Far consécutives et infiniment voisines

r!

se coupéront nécessairement entre les abscisses Tree TH À

—+ A) et Pt 2 A(:y3 de sortecque : la dernière
branche de la émebque restera toujours au-dessous de la
limite des densités constantes, comme dans le cas précé-
dent. Mais de plus, Ets nés des sinuosités produites
par les points de tebroussément qui existoient alors,
pourront diminüer) à à cause de la hauteur de l’obserya-
teur; parce que , à mesure que Z diminue , chaque trajec-
toire se trouve transportée, dans le sens horizontal de la

H. dI ” sie . 1 qe
quantité ——, au-delà de celle qui lui est immédiatement

sféeute) et il ne peut y avoir de rebroussement que
quand les variations de 2 4(;,—Y surpassent cette quan-
tité. Comme elle dévient infinie quand Zest hul, ilest clair
que l’élévation de l’observateur dans les ces de den-
sité constante fait d’abord: disparoître les derniers points!
de rebroussement correspondans aux plus petites incli-
naisons , puis successivement ceux qui répondent à des
ae plus grandes ; enfin, en élevant suffisam-
ment l'observateur, on les fera disparoître tous, et alors

118 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

la dernière portion de la caustique sera réduite à une
branche unique, convexe vers l’axe des +, et ayant pour
asymptote cet axe qui est aussi la limite des deux den-
sités. De sorte qu’on ne pourra voir par le moyen de
cette branche que deux images de l’objet , dont la supé-
rieure sera droite et l’inférieure renversée ; mais en abaïis-
sant l’observateur les images multiples reparoïîtront.
Venons maintenant au cas dans lequel (;) diminue
en même temps que Z. C’est celui de la progression
arithmétique, quand les inclinaisons sont infiniment
petites, comme on l’a vu précédemment. Si l’observa--
teur est placé à la limite des deux densités, alors les
trajectoires menées sous les plus petites inclinaisons se
coupent dans les couches de densité constante; mais si
l’on élève l’observateur au-dessus de la limite, de la
quantité 7, alors pour une diminution d’inclinaison

égale à TZ, la valeur de X(;, s’accroît de la quantité

H .
NN 2 dI — 2 d'A(;,. Si le second de ces deux termes
l'emporte sur le premier, l’intersection se fera au-dessus

de la limite, comme précédemment; mais si le premier

terme est le plus considérable, les deux trajectoires se
couperont au-dessous de cette ligne , dans les couches de
densité variable. Or ce dernier cas arrivera toujours pour

°\ ‘ - ÆH
les dernières valeurs de 7, puisqu’alors la quantité ——
Ê Sen

devient infinie, au lieu que d4; ne peut jamais le de-
venir par la nature du problème. Ainsi, quelle que soit
la loi de décroissement des forces réfringentes, pour peu
que Pobservateur soit situé au-dessus des couches varia-

QUI S’OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 119
bles, la dernière portion de Ja caustique se terminera
toujours par une branche concave vers le sol sans aucun
point de rebroussement; maïs elle pourra en avoir d’au-
tres, correspondans à des inclinaisons plus grandes, qui
disparoîtront à leur tour si-l’observateur est plus élevé.
On voit par là , sans aucune hypothèse, pourquoi le cas de
deux images est celui qui s’observe le plus fréquemment.

Les phénomènes que nous venons de considérer peu-
vent être variés à l'infini, selon les suppositions que l’on
voudra faire pour le décroissement des pouvoirs réfrin-
gens des couches; mais parmi toutes les dispositions ima-
ginables iken est cependant une qui mérite une attention
particulière, parce que la nature en présente quelquefois
l'exemple dans Patmosphère, et qu’alors il en résulte
des phénomènes extrêmement curieux.

C’est le cas dans lequel le pouvoir-réfringent des cou-
ches, après avoir d’abord été croissant de bas en haut
jusqu’à une certaine limite , va ensuite en décroissant.
La loi de ces variations doit. certainement être diffé-
rente , suivant les diverses circonstances, et il en doit
résulter dans la forme des caustiques, de très- grandes
différences ; maïs leur forme générale doit toujours con-
server quelque analogie dépendante de l’état alternatif
que nous venons de supposer. Ainsi nous pourrons en-
core nous en faire une idée en examinant le cas parti-
culier de deux progressions arithmétiques inégales et
contraires ; et de là nous tâchérons d’inférer ce qui doit
arriver.en général dans les autres lois les plus ordinaires,
ainsi que nous en avons usé précédemment.

120 SUR LES RÉFRAOTIONS EXTRAORDINAIRES

Pour plus de simplicité, plaçons d’abord/l'obsérvateur
dans la couche où le pouvoir réfringentest le plus con-
sidérable, et qui est intermédiaire entre les deux décrois-
semens. Soit donc OX ( fig. 15) la ligne qui les sépare.
Menons parle point O dans le milieu inférieur, des
trajectoires correspondantes àä:toutes les inclinaisons ,
depuis Z — o jusqu’à Z — 90°, et voyons les systèmes
d’intersection qui en résultent.

D'abord toutes les trajectoires comprises entre 790
ct TZ = 45 degrés se couperont dans le milieu inférieur
et formeront par les intersections de leurs secondes
branches la caustique Z'F, qui sera une portion de pa-
rabole. Cela résulte de ce que l’on a vu précédemment.

Pour des valeurs de 7 moindres que 45 degrés, les
intersections ne se feront plus dans le milieu inférieur,
au-dessous de l’axe OX, mais au-dessus de cette ligne
et dans le milieu supérieur; ce qui donnera la portion
de caustique FF analogue à la branche FR de la gr. 12,
laquelle ne diffère du cas présent qu’en ce que la den-
sité du milieu supérieur étoit supposée constante. Cette
branche FF s'arrêtera bientôt, comme le faisoit la
branche FR, et Z diminuant toujours, les intersections
commenceront à se rapprocher de l’observateur ; ce qui
donnera la dernière portion de caustique OY analogue
à la branche OR de la fig. 12.

Jusqu'ici nous n'avons considéré que les intersections
TT'T" des premières branches que les trajectoires
OMT, OMT"' envoient dans l’espace supérieur après
s’y être repliées; mais les secondes branches de ces

QUI S'ORSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 121

mêmes trajectoires s’y coupent également, du moins
sous certaines conditions d’inclinaison. En effet, consi-
dérons la trajectoire OM"'F, menée sous l’inclinaison
de 45 degrés. Pour celle-là, le point de tangence sur la
caustique est en Æ sur l’axe OX; de sorte qu’elle se
coupe sur cet axe même avec la trajectoire infiniment
voisine qui la suit. Oril est clair que ces deux trajectoires
entrant ainsi dans le milieu supérieur, avec l’inclinaison
de 45°, se couperont encore de nouveau sur ce même axe
en F" par les prolongemens de leurs secondes branches ;

. de sorte que le point F” appartiendra à la caustique que
les secondes branches 78 doivent former. Pour les va-
leurs de Z plus grandes que 45 degrés, les intersections
se feront au-dessus de F”, ce qui donnera la portion de
caustique F”Z dans l’espace supérieur ; et pour les incli-
naisons moindres que 45. degrés, les intersections se fe-
ront dans le milieu inférieur, au-dessous de 7", ce qui
donnera une nouvelle portion de caustique que nous
considérerons plus loin.

Jusqu’ici nous n’avons considéré que les trajectoires
menées originairement dans le milieu inférieur. Celles
que l’on mènera dans le milieu supérieur conduiront à
des conséquences analogues et donneront les nouvelles
branches OFF", Z'F". Lie point F'résultant de deux am-
plitudes de 45°, sera commun aux deux caustiques. En
nommant 4';A les raisons des deux progressions arith-
métiques, on aura

=. 2 x PATES 2 = } PPS 2 2
QE TANOM—SS, OPU St

1809. 16

122 SUR LES AÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES
et l’ensemble de ces courbes ainsi combinées sera tel que
le représente la fig. 15.

Mais parmi ces diverses branches il n’y aura que OF”
ét OV" qui auront lieu pour de petites inclinaïsons , et
même, dans la plupart des cas que la nature présente,
celles-ci s’étendront au-delà des limites de la réflexion in-
térieure. Ainsi, après avoir indiqué, comme nous venons
de le faire, la forme complète de la caustique, afin que
l’on en puisse suivre aisément les diverses parties et que
Pon saisisse mieux leur connexion, nous allons nous
borner dans le calcul à ce qui peut être utile, c’est-à-
dire à la détermination des branches OF, OF.

Pour cela nommons toujours À la raison de la pro-
gression arithmétique dans l’espace supérieur ZOX,, et
A' la raison de la progression dans l’espace inférieur.
Prenons les z positives dans le sens OZ. Cela posé, pour

une trajectoire telle que OM ( fig. 15), l'amplitude
OZ Q sera égale à Re Er et l’équation d’une
première branche telle que OQT, dans l’espace supé-
rieur, sera

sin. I. cos. Z 20cos.. Z $ É e ELT
LP Aus diean À + ——, (sin. I—V sin. I—mAz)
m A m À

Celle d’une seconde branche, comme OQ68, seroit

in, I. cos. Z SZ: k FRERE
x — Het liCOmET à june Cos (sin. IHV sir. I—mAz)

m A' 7 LU

En faisant, pour plus de simplicité, m4 —4,mA—,

QUI S'OBSERVENT TRËS-PRÈS DE L'HORIZON. 123

ces deux équations, qui ne diffèrent que par le signe
‘du radical, se réuniront dans la suivante :

() ana. ina EE + 4 sin. ax SE

+2.(1+6os.21)z—=0
la condition des intersections sera

@ cas

(2) —zx.cos.21. + 4sin.21.cos.21. —_—

— 3. Sir, 21 —0
Éliminant z entre ces deux équations, on en tire

(2æ+ a) (1cos. 21) 4. ere »

2
—0%. a (@
ca TE œ, & sin. 2 Z SF æ. «( ES; 21) = 2

De là résultent deux valeurs de x en Z. Si on les déve-
loppe dans la supposition de Z fort petite, en se bornant
aux termes les plus sensibles, on trouvera
D 2(@+ 4) A
RESTES ÉTERTE (1 + cos. 2 TI). sin. 2 TZ
et

2.(2æ+æ) (1+ cos. 217) “(e+e)
LE ————— 2 ————< .| 1—— sin. 21]

æ. « résine RÉ Ge+aep"
La première peut être mise sous la forme

Ce + a)

FT (a+ a)"

(2 sin. 2 T' + sin. 4 TI)

et en la substituant dans l’équation (2) elle donne

2 HR QG — 2005. 2 I. + cos. 47)

124 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

Ces valeurs sont analogues à celles que nous avons
trouvées dans la page 89 pour les coordonnées de la
caustique OS( fig. 12), lorsque la densité de la couche
supérieure étoit constante. Ici ce sont les coordonnées
de la caustique OT T'T" ( fig. 15). À mesure que Z
augmente, les valeurs de z et de æ augmentent aussi
en restant positives. Par la différentiation de ces valeurs
on trouve que la caustique OT Test convexe vers l’axe
des æ, et qu’elle se confond avec une parabole pour de
petites valeurs de Z, telles que celles qui ont lieu dans
l'air atmosphérique. L’équation de cette parabole est

Si l’on suppose + nul, c’est-à-dire la densité du milieu
supérieur constante, elle se réduit à

Tout cela est analogue à ce que l’on a vu dans l’article
cité.

Quant à la seconde valeur de æ, quoiqu’elle s’éva-
nouisse aussi quand Z est nul, et qu’ainsi elle subsiste
encore même dans les très-petites inclinaisons, cepen-
dant elle n’a aucune application dans le cas actuel, car
elle donne des valeurs de z négatives; ce qui montre
qu’elle appartient à la caustique que fourniroient les
secondes branches 78 en se coupant au-dessous de la
ligne OX, si après être parties des points 777", comme

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 125

précédemment, elles trouvoient en rentrant dans l’es-
pace inférieur Z'O X la continuation de la mème loi de
densité qui a lieu dans l’espace supérieur. Maïs ce n’est
pas là le cas, comme il est aisé de le sentir; et les bran-
ches T8, à leur entrée dans l’espace inférieur, commen-
ceroient à être soumises aux lois de densité qui y règnent;
ce qui les recourbe en sens contraire, comme dans la
fig. 16. De là résulte un autre système d’intersections
qu’il faut considérer en particulier, et qui n’est point
représenté par la seconde valeur de +, à laquelle il est
par conséquent inutile d’avoir égard.

En appliquant les considérations précédentes aux tra-
jectoires Omt, Om't', Om'£"( fig. 15), menées du point O
dans l’espace supérieur ZOX, on verra de même que
ces trajectoires , en se repliant par leurs secondes bran-
ches dans l’espace inférieur Z'O X, y formeront une
caustique Of!" analogue à O TT", et dont les équations
seront les mêmes, en changeant # en +’ et +’ en #. De
sorte qu’en prenant les z' positives du côté de OZ, ces
équations seront

ro HEC . I .
* DT E PIPTE NS Le (2 SZIZ, 2 . —- S171, 4 T)
6 Ce
2 = TT. (1 2 cos. 2 I + cos. 4 I)

qui, sous les très-petits angles, donneront la parabole

END (2 & + #)°

Em 16. (æ + «')

On aura donc de cette manière, dans les petites in-.

126 SUR. LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

clinaisons, deux branches de caustiques analogues.et
correspondantes, situées, l’une au-dessus, l’autre .au-
dessous de la ligne OX. La première aura pour limite
la trajectoire OH, la plus basse de celles que lon
puisse mener dans l’espace inférieur Z'O_X parmi celles
qui y ont leur minimum; l’autre caustique O F'serali-
mitée d’une manière analogue par la trajectoire OS 7",
la plus haute de celles que l’on puisse mener dans les-
pace supérieur ZOX, du moins tant qu’on se bornera
à des inclinaisons très-petites, comme nous l’avons sup-
posé jusqu’à présent.

Maintenant il est facile de voir qu’un objet situé dans
l’espace OT", que les caustiques comprennent , pourra
envoyer à l’observateur © trois images, savoir deux
droites et une reuversée située entre deux autres. Par
exemple l’objet 4 B ( jig. 18), qui se trouve au-dessous
de la ligne OX enverra une image droite 4'B' par la
caustique supérieure OF”, et deux autres images par
la cautique O7", l’une droite, l’autre renversée. Si
l’objet se trouvoit au-dessus de la ligne OX, dans l’es-
pace VOX, il n’y auroit qu’une seule image donnée par
la caustique OF"; ce seroit la supérieure, et les deux
autres seroient données par la caustique O7.

Mais ces caustiques ne sont pas les seules qui puissent
rendre les objets visibles dans ces circonstances, même
en se bornant aux inclinaisons très-petites. Car les tra-
jectoires, après s’être repliées une fois dans l’un des
milieux et une fois dans l’autre, comme on le voit dans
les fig. 16 et 19, doivent, en rentrant dans le premier

QUI S'ORSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 127

milieu, se couper de nouveau et donner de nouvelles
caustiques par leurs continuelles intersections. C’est ce
qu’il s’agit d'examiner.

Considérons d’abord les caustiques situées dans l’es-
pace supérieur ZOX. Elles seront données par les in-
terseêtions des trajectoires dans cet espace ; mais les tra-
jectoires qui formeront ces intersections pourront avoir
été originairement menées dans Pespace ZOX, comme
le montre la fg. 19 , ou dans l’espace Z'O X, comme le
montre la /4g. 16. Discutons successivement ces deux
cas, en commençant par le premier.

Si les trajectoires ont été originairement menées dans
l’espace supérieur, elles ne pourront y revenir qu'après
avoir eu un nombre égal de maxima dans cet espace et
de minima dans l’espace inférieur; c’est-À- dire que
l'équation des branches extrêmes , après ces diverses ré-
volutions, sera

4 mn. sin. I. cos. + * 4 n. sin. I cos. Z
Le — + er

L2

2 cos. T

- (sir. LME TZ — az

les z étant pris positivement au-dessus de la ligne OX.
En faisant disparoître le radical cette équation devient

Pure
æ. &

4 n. (ae + «). [r. (a + à) + «' d ‘
Sgen Red, Pre (a era sin”. 2

ZI? — 2 TX. sin.

js

at, a"?
2. (1 + cos. 2 TZ)

02

[|

128 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

Sous cette forme on voit qu’elle est analogue à celle
de la page 123, et qu’elle peut être traitée de la même
manière. Si l’on fait, pour plus de simplicité,

2R(a+He)+e w” 7 (@+ a"). [r. (a + à) + #7]
= 3 A —— ———

1
“., æ

FRET rh
et que l’on cherche ensuite l’équation de la caustique,
comme nous l’avons fait précédemment, on la trouvera
donnée par le système des deux équations suivantes :

z=— (2 sir. 2 I + sin. 4 T)

et ve
3 — — Ba. (1 — 2 cos. I. + cos. 4 I)

Ces caustiques sont donc toutes analogues à la première
que nous avons considérée ; elles n’en diffèrent que par
le paramètre; et, dans les inclinaisons très-petites elles
se réduisent à des paraboles qui ont pour axe commun
l'axe des z et qui touchent l’axe des x à l’origine des
coordonnées. En remettant pour 4 et B leurs valeurs,

on a

om) [re G@+e) + +1] 4 x
Er sd ME CE Lai: (2 sin. 2 Î+ sin. 4 T)
et

RE n. (a + æ'). [z. (a + a) + a]

a. 42

.(i—2cos.21+cos.4ÂT)

Telles sont les équations des caustiques formées dans
l’espace supérieur ZOX par les intersections des trajec-
toires menées originairement dans cet espace ou partant

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 129

de l’observateur. Si z — 0, x et z deviennent nuls et
la caustique se réduit à un point qui est l’origine mème
des coordonnées. En effet, dans ce cas on demande que
l'intersection ait lieu immédiatement entre les premières
branches des trajectoires menées dans l’espace ZOX, et
ces premières branches ne peuvent se couper qu’à l’ori-
gine. Les équations précédentes ne comprennent point
les intersections possibles des secondes branches au-
dessous de la ligne OX; mais aussi on a vu précédem-
ment que ces dernières n’ont pas lieu dans le cas actuel,
et c’est pourquoi nous n’avons pas considéré la valeur
de x qui s’y rapporte. Cette analyse ne donne pas non
plus les branches de la caustique qui sont formées par
les intersections des secondes branches de trajectoires,
dans l’espace supérieur; mais on a vu aussi que ces
branches de la caustique ne sauroient avoir lieu pour de
petites inclinaisons.

Venons maintenant aux caustiques formées dans l’es-
pace ZOX par des trajectoires menées originairement
dans l’espace Z'O X : elles ne pourront être formées
qu'après que les trajectoires auront eu un nombre 7 de
minima dans l’espace inférieur, et un nombre z — :
de maxima dans l’espace supérieur; ce qui donnera
l'équation

4 sin. I. cos. T 4 sin. I. cos. T

LEUR: + (4 — 1). x
2 cos. Z ; 2 — —
are LM dre 2

1809. 17

130 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

ou, en faisant disparoître le radical,

: 2n (+ a) — +
Do TL STITe OT. RAR 1

ns (a Ha). [ns (ae +) — x .
29 Aer hr da he rt Te to
a. «
2 (1 + cos. 2 Z
nt ds FT IN HO

œ

Cette équation est encore analogue aux précédentes, et
en faisant , pour plus de simplicité,

___2n(a+a)—«

A — a. a

B = n. (a + &'). [n. (ae + x) — «7
SE CENT

elle donne également

B ; è
x — 7. (2 sin. 2 I + sin. 4 2)
3 = — B. a. (1 — 2 cos. 2 T1 + cos. 4 I)
ou, en remettant pour 4 et B leurs valeurs,

ne (@+a). [n. (a+ a) — a]

== He Ge é (2 sin. 2 I + sin. 4 TZ)

et
Ma 20 Oz (Etre) æ
s'= RS (Gi —cos.21+cos. 41)
Si l’on fait dans ces équations z — 1 , on retombera

sur les valeurs de æ et de z trouvées plus haut,
pour la première caustique formée dans l’espace supé-
rieur ZOX par les trajectoires menées originairement-

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 131
dans l'espace Z'OX, et qui n’ont eu qu’un minimum
dans cet espace.

Il existera de même, dans l’espace inférieur, des caus-
tiques analogues aux précédentes, c’est-à-dire formées
par des trajectoires qui auront eu plusieurs r1i7ima dans
l’espace supérieur ZOX et plusieurs #axima dans l’es-
pace inférieur Z'OX. I] suffira, pour obtenir ces caus-
tiques , de changer + en &’ dans les résultats précédens;
alors, en désignant par z' les z qui s’y rapportent, et
que nous prendrons positivement dans le sens OZ", on
aura :

1°. Caustiques formées dans l’espace inférieur par des
trajectoires menées originairement dans cet espace,

_— eee, (2 sin. à T+ sin. 4 I)
= et te, (1—2cos.2I+cos.4T)
2°, Caustiques formées dans l’espace ir inférieur par des
trajectoires menées originairement dans Pespace supé-
rieur ZON,

_r (a+ a). [r. (œ + &°) — x]
aa [272 (@+ a) — a]
Ca + +a)—a
Z—=— a Paie Ph ER NES (1—2cos.21 + cos.41T)

æ. «?

. (2 sin. 2 T + sin. 4 T)

En faisant 7 — 1 dans ces derniers on retrouvera les
valeurs de æ et de z trouvées précédemment pour la
caustique formée dans l’espace inférieur par des tra-
jectoires menées originairement dans l’espace supé-

132 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

rieur ZOX, et qui n’auroient eu qu’un maximum dans
cet espace.

Cherchons maintenant dans quel ordre ces différentes
caustiques sont rangées de chaque côté de l’axe OX;
considérons d’abord celles qui se trouvent au-dessus de
cet axe. Les équations qui les donnent sont toujours de

la forme
TEE (2 sin. 2 TI + sin. 4 T)
g—=— Ba.(1i —20cos. 2 T+ cos. AT)

En se bornant aux très-petits angles, on en déduit une
parabole du second ordre qui est
A4
TR

LL SES

et le rang de chaque parabole dépendra de la grandeur
Au

1GPEUE
Pour les trajectoires qui commencent leur cours dans

l’espace ZOX, on a

du terme suivant la valeur de z qui y correspond.

$ ; é «Le (e+e)+ «7. (@ +2
D pre Gutanr” FA 2. [r. (a 5 a (æ )

cs © Ca.

site . Au
Ainsi, en nommant P le coefficient —— on aura

Pie [2 7 (@ + à) + 7. «
TT 16 n. (« +). [r. (e + #) + 41]

Cette valeur de P peut être mise sous la forme suivante :

’
PA

P — = fs je 4 (@ + x) [r. (a + «) + «']

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 133

On voit donc qu’elle diminue sans cesse à mesure que z
. . C2 TE.
augmente, et qu’elle a pour limite > Ce qui corres-

pond à z infini. Ainsi les caustiques données par ce sys-
tème d’intersections se rapprochent de plus en plus de
l’axe OX, à mesure que les inflexions des trajectoires
qui les donnent ont été multipliées. Mais quelque nom-
breuses qu’on les suppose, les caustiques seront limitées,

2

au-dessus de

du côté de l’axe, par la parabole 3 = <=

laquelle elles se trouveront toujours placées. En opérant
de même sur les caustiques données par des trajectoires
quicommencent leur cours dans l’espaceinférieur Z'OX,

on aura
DL “0280 1e « LAS EE Cr. (@ +) a VC met
ñ œ, jE «7? æ 4 à

et l’on en déduira

æ. [2 72. (@œ + à) — «7°

PSE D ET EN PATES BAHamis
16 7. (ae + à). [r. (e + 1) — «]

qui peut se mettre sous la forme
P—*. E PRE Me An
4 4 ». (C + «'). Cr (œ + à) — #7]

Les caustiques données par ce système d’intersections
seront donc rangées au-dessus de l’axé OX, comme les
précédentes ; c’est-à-dire que celles pour lesquelles z est
plus considérable, en seront plus rapprochées ; mais ce
rapprochement aura encore pour limite la parabole

& x?

4 #

Fm —
A —

134 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

On voit aussi que, pour des valeurs égales de 7, les
valeurs de P sont plus petites pour le premier système
que pour le second ; ainsi, le nombre des inflexions étant
le même, les caustiques données par le premier système
s’approcheront davantage de axe OX,

En appliquant ces raisonnemens aux caustiques si-
tuées dans l’espace inférieur Z'O_X , on verra facilement
qu’elles sont rangées au-dessous de l’axe OX d’une ma-
nière analogue aux précédentes, et qu’elles ont pour
limite la parabole dont l’équation seroit

? «x

Fr
= —

ce qui répondroit à un nombre de réflexions infini.

Et de même que les premières branches OF, OF,
que nous avons déterminées fg. 15, appartenoient au
système général des deux courbes OF 7", OV'Z, de
même les nouvelles OF, , OF," (fig. 20) appartiennent
au système des deux courbes OF, 2", OV," Z ; d’où l’on
voit maintenant ce que signifient les deux branches ZF"”,
Z'F" de la fig. 16. Elles servoient pour aïnsi dire d’at-
tente pour les branches OP'F", OV/F", qui n’en sont
que la continuation. Les autres branches OF,, OF se
rattachent à des branches analogues, correspondantes à
un certain nombre de réflexions complètes, et qui toutes
viennent aboutir aux points Z , Z', où se fait la réflexion
perpendiculaire.

Maintenant il est facile de comprendre qu’un point
lumineux, situé entre ces caustiques, enverra à l’observa-

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 135

teurautant d'images qu’il pourraleur mener detrajectoires

tangent ar exemple, le point lumineux 7 ( fig. 20)
situé au- de l’axe OX et au-dessous de la caustique

limite pourra envoyer par chacune des caustiques OF,
O7, OF, deux images, une directe et une renversée,
lesquelles viendront se peindre dans l’espace supérieur
ZOX ou dans l’espace inférieur Z'OX, selon le système
d’intersections auquel elles appartiendront. Et le même
point AZ pourra aussi envoyer une image par chacune
des caustiques inférieures O7 "OF /OF/, mais il n’en
enverra qu’une seule par chacune d’elles. Tous cela est
analogue à ce que nous avons remarqué précédemment
lorsque nous avons traité pour la première fois de la for-
mation de ces images.

Toute extraordinaire que cette multiplicité d’images
puisse paroître elle n’est cependant pas impossible à réa-
liser; car nous en avons observé deux exemples dans les
triangles d’Espagne , ainsi que je l’ai rapporté au com-
mencement de ce mémoire. Mais pour apprécier la pro-
babilité que l’on peut avoir de la rencontrer dans la na-
ture , il faut remarquer que la position supposée ici à
Vobservateur, sur la limite commune des deux couches,
n’est pas nécessaire à la production du phénomène; ce
qui le rendroït infiniment rare. Le même effet peut
exister pour un observateur placé dans un des deux mi-
lieux, de sorte que l’opposition du décroissement des
Honsités en est la véritable condition; laquelle, loin
d’être improbable, doit au contraire se montrer dans la
nature assez fréquemment,

136 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

Supposons donc l’observateur placé dans le milieu su:
périeur ZAX( fig. 21) à une hauteur Ælddmédessus de
Vaxe À_X, commune intersection des ne Con-
sidérons d’abord les portions de caustiques qui se
forment dans le milieu supérieur. Les trajectoires qui les
donneront seront d’abord parties du point ©, ou de l’ob-
servateur, par une première ou par une seconde branche ;
et après avoir eu un #7aximum dans cet espace ou n’en
avoir pointeu, eiles descendront dans le milieu inférieur,
s’y replieront , et après avoir atteint leur w1in1mum, ren-
treront dans l’espace supérieur pour recommencer de
nouvelles révolutions. Ainsi en supposant qu’elles aient
fait z de ces révolutions, c’est à dire qu’elles aient eu 7
minima dans l’espace inférieur , elles n’aüront fait que
7 — 1 révolutions complètes dans lPespace supérieur,
sans compter leur première et leur dernière branche ; et
en nommant Z l’angle sous lequel elles pénètrent dans
l’espace inférieur, c’est-à-dire l’angle que leur tangente
forme avec l’axe des x en entrant dans cet espace, l’é-
quation d’une quelconque de ces trajectoires sera

2 cos. T ; Sr NN NES 4 n. sin. I. cos. TI
TZ ——. (sir. IV sir. VRELCATIEE RER
œ

—1).s272. I. cos. I 2 cos. T A SRG
ent ar UE ee ue .(szrz. IV sir. 1— az)
(2
Le premier terme se rapporte à la première partie de la
trajectoire, depuis sa sortie de l’observateur jusqu’à son
entrée dans le milieu inférieur. Les deux termes suivans
expriment le nombre d’amplitudes complètes décrites

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 137

dans un milieu et dans l’autre. Le dernier terme exprime
la dernière branche de la trajectoire que l’on considère,

celle proprement, où se fait intersection. Les signes —

des radicaux ont lieu quand la trajectoire commence ou
finit par une-première branche; le signe +, au con-
traire, doit être employé quand il s’agit d’une seconde
branche. Pouréviter ces doubles:signes nous emploierons
des coefficiens a et b que l’on fera à volonté + ou — 1;
de cette manière on aura

QG) æ—27.sin. tr Line

ve2) 2 cos. T

(eV. J- ROLE sh Ve : Fe æz)

La condition des intersections est

(& a #)

REP ET COS 2 TL.

— sin, I. (aVsin. TI— «H + es .I — “

3 PP 1 « LE Mr
—- cos”. I. Lee —+ Due Jus
à in, TL — « H V sin. I — «z

Il reste à éliminer Z entre ces deux équations. Nous
n’essaierons pas de le faire en général, ce qui entraine-
roit une trop grande complication ; mais seulement pour

de très-petits angles, comme précédemment. Alors nous

ferons
d'il es sk sir HT Ka
CM) (5

T' sera la limite de la réflexion dans le milieu inférieur,

1809. 18

(4) z—

138 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

et Æ sera toujours une fraction; car si la trajectoire pé-
nétroit dans le milieu inférieur avec une inclinaison
égale à Z' ou plus grande que 7”, elle cesseroit de s’y
réfléchir. De plus, # sera un nombre dépendant du
rapport des limites de la réfraction dans les deux milieux,
limites que nous supposerons toutes deux du mème ordre
et extrêmement petites ; en sorte que # sera un nombre
fini et w une quantité fort petite. Substituant ces valeurs
dans léquation (2), elle devient

o—27.(1—2 K°w°), (1 +)
— Ko°. (VIRE CARE AVES 223)

DK. (1 — Ka”). (RES 4. nn

Cette équation contient des termes indépendans de w.
Ce sont eux qui donneront la partie la plus sensible de
la valeur de z. Ainsi, en faisant © nul, on aura pour
déterminer 3 l’équation approchée

ne K. = a
(3) k a Ÿ NU HE ( VK°—kH qe 7)

d’où l’on tire
K?. (K? — pH)
KK +an (+) VA —=pH}

uz = K° —

et enfin

pe [aX +2 n. (1 +). Vx? — kH}y
La valeur correspondante de x est

__4KnG+p)+2(aVK—pH+bVK°—yur)

= re

QUI S'OBSERVENT TRÈÉS-PRÈS DE L’HORIZON. 139

L’indéterminée D a disparu par l’élévation au carré; de
sorte que cette valeur de z convient également aux deux
cas où la dernière portion de la trajectoire, celle qui
forme la caustique que l’on considère, seroit une pre-
mière branche ou ‘une seconde. Tout ce calcul est ana-
logue à celui que nous avons fait précédemment , lorsque
la densité du milieu supérieur étoit supposé constante ;
et en.effet , .si l’on suppose M OS MST eR CE A1
dans la valeur générale de z, on retombe sur les valeurs
8 K

24 Ki A; Hi

qui sont en effet celles de la die de la caustique située
au-déssus de l’axe: OL ARS les circonstances que nous
venons de rappeler. °: ë
II y a un cas qui h'ést pas compris das la valeur pré-
cédente de z; c’est celui dé‘ — ©. Il a lieu lorsque: Von
veut considérer les intersections destrajectoires immédia-
tement après leur sortie dé l’œil de Fobservateur, et avant
qu’elles soïent descendues dansle milieu infériéur Z'O.X,;
Alors ,:en reprenant là xaleur générale! de æ, et fais
sant a et b égaux à +1, puisque, dans.ce cas, iln y

a que les secondes branches qui se coupent, on a
DU er AL rs AS SERA da © 1 OR VEN 29 7 on
LES RS An à (V' sir. TD 3H + V sin. I — 22)
L2

La condition des intersections donne

sin. I a ae
OZ— ——. (V' sir. TI — «I + V' sin. TI — 2)

cos?. T ( sin: T sin. L

BR EE
V sén?. T— à H Vsin. 1— 7

140 SUR LES RÉFRAOTIONS EXTRAORDINAIRES
Cette équation devient alors divisible par sir. Jet par

VRP TRE Ve | A 423 ME ces
facteurs il reste

«

— II, - IE 4
V sin sl = «HV simule 3 :c054 Li;

C’est la disparition des deux facteurs précédens qui fait
que le cas que nous examinons échappe à la solution
générale. En éliminant T entre cette CHR et da va-
leur précédente de æ,ontrouve © CL 4270

w
D 7 ; ax

NE 462

8 je
C le 0 que. la caustique, est rune D abolas, ce qui
s’accorde avec ce que nous avons démontré dans la
page 70. Si l’on met l’origine des z à l’observateur,en

faisant z = z' +4 1, on trouve VE

L.
Î 1 — «x « m2

| réelle ot sronle dial ed

et si l’on ‘introduit, pour plus de simplicité, la den-
sité (e)'.qui à lieu au niveau de Vobservateur,'ainsi que
la raison 4’ de la progression, à partir de ce point, on

aura
! À,
ee Ce): G,— 5 A Sr

RL

ce qui donne

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 141

et l’équation de la caustique devient

Mn nur

c’est précisément celle que nous avons obtenue dans
larticle cité.

Pour pouvoir discuter en même temps toute l’étendue
de la caustique, nous allons chercher maintenant les

branches qui la complètent et qui sont situées au-des-
sous, de l’axe OX.

Ces branches sont données par les trajectoires qui ont
fait un nombre égal de révolutions complètes au-dessus
et au-dessous de la/ligne OX, de sorte que leur équa-
tion est
LES 2 cos. T Ru
T— ——. (sn IE Vs. 14H)

4 2. sin. I. cos. T 7. sin. Î, cos. T

+ at =

C2 C2

2 cost TJ

Date an ue Ze Vian. 1-2 de)
.

Ici les coordonnées z sont prises positivement de haut
en bas dans 18 milieu inférieur. Si l’on substitue les
. coefficiens a et b aux signes + des radicaux, comme
nous l’avons fait précédemment, cette équation devient

me (AA a). sin ie TRE

œ, œ

At 2 COS. TZ, te V'sn. TL = 4H = 8. V'sir?. RUES ce)
œ ra

142 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

La condition des intersections est

D (ain ce Diébp » JL CES

d,.

ù Fa Le VASTE nn D. VS ENT ns)
[1

— SZIL.

+ cos’. J.

a. sin. Z b. sin. I )

RAP MR,
a, Vsin I — 4H a. V sin. I — «'z
Soit, comme précédemment,

d' sis l'un; sin TK Sr EKDE 221

il vient
o—(27 + 1). (1 — 2 Kw). Aa
Æ
— Kw?, C7 VA" — :)
LRU RAD (Re on
( ) Gr =)

Ne conservant que les termes indépendans de w, il reste

B
_ Gg+)G+# K (ee Le Etre
a ke Rr ee VAR Vx— 4

ri

d’où l’on tire £
ue K? (K? — u 1)
KaK + (272 +1). à + &). Vxk: — #H7°

m = K? —

et enfin

2 Me {aK+[er(u+i)+euhiT VA ue}. {aK+[2n(e+1)+1]WK 8H}
CGK+Gr+i). G+e), VK = uH}

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 143

La valeur correspondante de x est
Een LS ae. ME Na AS En)

Si l’on suppose 7—0, “—0,; d——1, ce qui
revient à supposer que la densité du milieu supérieur
est constante, on trouve

Fe

z = K° — Free rer PEUR (EH NAS
qui sont les mêmes valeurs que nous avons obtenues
dans la page 101.

D’après ces valeurs que nous venons d’obtenir il est
facile de reconnoître complètement la forme de la caus-
tique lorsque l’observateur est placé dans le milieu supé-
rieur à une hauteur A, comme nous l’avons supposé. En
effet, soit O (fig. 21) le point où il se trouve; menons
la ligne horizontale OX” parallèle aux couches, et con-
sidérons d’abord les trajectoires OM, OM” menées du
point © au-dessous de cette ligne, sous diverses incli-
naisons que nous désignerons par J'.

Premièrement il est clair que les branches OM, OM
de ces trajectoires , étant divergentes , ne peuvent pas se
couper dans le milieu supérieur entre les lignes OX” et
AX. Elles devront donc pénétrer dans le milieu inférieur
où le sens de leur courbure changeant , elles engendre-
ront de nouvelles trajectoires concaves vers l’axe 4X.
Celles de ces trajectoires qui répondront aux plus grandes
valeurs de Z” se couperont dans leurs secondes branches,
au-dessous de l’axe _X, et formeront dans le milieu infé-
rieur la portion de caustique Z'F dans laquelle le point

144 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

Z' répondra à Z'= go degrés Z'diminuant toujours, les
secondes branches destrajectoires inféfieures ne se cou-
peront plus au-dessous de ZX Elles pénètreront dans le
milieu supérieur, où elles donnerouta portion de causti-
que FV, analogue à la branche FR de la 2.13, lôrsquela
densité du milieu supérieur étoit constante, Et, de même
qu’alors, cette branche aura aussi une limite, c’est-à-dire
qu’au-dessous de certaines valeurs de Z'; lesintersections
s’abaisseront de nouveau et rentreront dans le milieu in-
férieur, suivant la branche Y7R analogue à la branche
RR' de la fig. 13 ; après quoi Z’ diminuant toujours, il
se formera une nouvelle branche À S” quise terminera au
point S, lorsque-l’on'aura 7°—" 0} X° —=° 1H ;ce
qui donne X° — z, et la tangente de cette branche au
point &$ sera horizontale.

Tout ceci est encore analogue à ce que l’on a vu dans
la fg. 13 pour le cas où la densité du milieu supérieur
étoit constante. La branche RS, dans le cas actuel, cor-
respond à la branche R'X" de la ffg. 13; seulement ici
elle est terminée, au lieu qu’alors elle s’étendoit à infini,
parce que la trajectoire menée du point O sous l’angle
T'—= 0 étoit alors une ligne droite parallèle à Paxe des #,
qui ne pouvoit jamais être censé pénétrer dans le milieu
inférieur, si ce n’est à une distance infinie.

Et, de même que dans la ffg. 15, les trajectoires qui
forment la branche Z'F dans le milieu inférieur,
forment en se repliant dans le milieu supérieur la nou-
velle portion de caustique Z 7" par les intersections de
leurs secondes branches, de mème, dans le cas actuel,

QUI S'OBSERVENT TRÉS-PRÈS DE L'HORIZON. 149

des’trajectoires qui forment la portion de caustique Z'F
dans le milieu inférieur, formeront dans:le milieu supé-
rieur la portion de caustique F°Z. Mais dans le cas de
la fig. 15, la même trajectoire donnoit les points F et F"
et toutes celles qui formoient la portion Z'F formoient
aussi ZF", parce que la valeur de Zen F'eten F” étoit
‘de 45°; mais dans le cas de la fc. 21 l’inclinaison en Fest
moindre que 45°, et en F'elle est plus grande, parce que
le point ” s’est abaissé vers le milieu inférieur : et de là
il résulte que l'arc ZF', est formé seulement par: une
partie des trajectoires qui forment l’arc Z'F'; de sorte
que les autres ont leur seconde intersection sur le prolon-
gement de la branche Z 7" dans le milieu inférieur.

Si ; d’après les expressions de Z de la page 142, on
‘cherche les coordonnées du point 7° où z est nulle , seu-
lement dans le cas de 2 —\o, on trouve

k= CE 17 À; EE REP EE nur |

CHR

ke ke
Æn faisant de plus # — 0, ces expressions donnent
VAog al: 4 VA :

in EE nee

a

NT

2

Ce sont précisément les valeurs trouvées au commence-
“ment de la page 101, lorsque la densité du milieu supérieur
“étoit constante. Si Von fait Æ nul on trouve K — 0,
‘æ—o; c’est-à-dire que le point)f vient à l’origine, et
qu’il est donné par la trajectoire parallèle À l’axe. C'est en
effet, €e qui a lieu quand l’observateur est situé au mi-
Lieu des deux couches, comme on l’a vu précédemment.

1809. 19

146 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES »

Quant aux coordonnées du point #, on les trouve en
faisant X° — wH et K°—7:; ce qui donne

2. Gan+i G+H4) Var

BAGUE
142

d’où l’on voit que si u — 0, le point $ vient sur l'axe 4X
et s'éloigne, sur cet axe, à une distance infinie. C’est en
effet ce qui a lieu quand la densité du milieu supérieur
est constante.

Jusqu’à présent nous n'avons encore que la moitié de
la caustique, celle qui est donnée par des branches
OM, OM" menées au-dessous de la ligne OX", et par
conséquent correspondantes à des valeurs de Z' positives.
Si nous considérons maintenant les valeurs négatives,
c’est-à-dire les trajectoires menées au-dessus de la ligne
OX", nous verrons naître le reste de la caustique que
nous voulons déterminer.

En effet, il est visible que les plus grandes valeurs de
I! donneront des trajectoires qui se couperont, dans leurs
secondes branches, dansle milieu supérieur, au-dessus de
l'axe AX ; ce qui formera la portion de caustique ZF",
telle qu’elle doit naturellement avoir lieu dans un tel mi-
lieu. Mais, après que Z'aura diminué jusqu’à un certain
terme, les intersections des trajectoires se feront dans le
milieu inférieur, ce qui donnera la branche "Wet en-
suite la branche 7'S qui se réunira avec la branche 4S
au point S lorsque l’on aura z — 0. En effet, il est aisé
de voir que les valeurs précédemment trouvées pour z,
sont en général différentes, suivant que l’on prend le

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 147
coefficient a négatif, ou positif; c’est-à-dire suivant que
l’on suppose que les trajectoires parties du point O en-
trent dans l’espace inférieur par leur première ou par
leur seconde branche. Mais ces deux cas se réunissent

lôrsque Z'estnul, parce qu’alors on a Vsin®. I Lu H=0;
et le radical duquel dépendoit la différence des deux
branches disparoît de la valeur de z. C’est parce que le
point S appartient à la fois aux premières et aux secondes
branches des trajectoires, qu’il se trouve au minimum
d’une d’entre elles, ce qui rend horizontale la tangente
de la caustique en ce point.

On voit également que les trajectoires qui forment
les portions de caustiques Z VS, par les intersections de
leurs secondes branches au-dessus de 4X ou de leurs
premières branches dans le milieu inférieur, donneront
dans ce même milieu, par les intersections de leurs
secondes branches, la portion de caustique Z'f" analogue
à la branche Z'F" de la fig. 15, et servant comme
elle d’attente pour le prolongement de la caustique, par
les trajectoires qui ont subi plus d’une révolution autour
de l’axe 4_X. Seulement, dans le cas actuel, les points
f'; F'ne sont pas les mêmes, au lieu que dans la #9 15
ils se trouvoient réunis.

Et delà résultera, dans les petites inclinaisons, un
système de caustiques consécutives analogues à celles de
la /£g. 20, mais placées différemment. Parmi ces caus-
tiques qui sont représentées dans la #g. 22, il n°y aura
que les branches JRSF", FR'S'V qui auront lieu sous

de très-petites inclinaisons; et ces branches auront encore

148 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

la propriété que chacune d’elles renfermera toutes les
suivantes comme dans la fo. 20. Mais les points , F",
V'" iront continuellement en s’abaissant vers l’axe 4X
par l'effet de l'élévation de l’observateur, comme nous
avons vu qu’il arrivoit dans la fig. 13 , lorsque la densité
du milieu supérieur étoit constante. Il y aura aussi des:
hauteurs pour lesquelles quelques-unes des branches ci
dessus pourront disparoître en partie, ou en totalité,
Mais cès variations faciles à prévoir, d’après tout ce qui
précède, seroient inutiles à examiner, et il suffit à notre
objet d’avoir montré qu’un système de pouvoirs réfrin-
gens composé de deux progressions arithmétiques con-
traires peut donner une très grande multiplicité d’images
pour un objet placé convenablement, même lorsque la
force réfringente du milieu , et par conséquent la limite
de la réflexion extrême, est supposée extrêmement petite.

Ce que nous venons de démontrer relativement à la
progression arithmétique n’est pas particulier à cette
loi; au moins quant à la forme générale des caustiques,
à leur double rebroussement et à leur multiplicité. Des
propriétés analogues se rencontrent, avec des modifica-
tions diverses, dans tous les cas ‘où l’on suppose deux
lois de décroissemens opposés. Il n’est pas même néces-
saire que les deux lois soient de même nature. Considé-
rons par exemple le cas où le décroissement se faisant
suivant une progression arithmétique dans le milieu su-
périeur se feroit dans le milieu inférieur suivant une
exponentielle. Ce cas, comme nous l'avons vu, paroît
se rapprocher extrêmement de ce qui a lieu dans la

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DEL'HORIZON. 1/9
naturé: Supposons encore-que lobservateur sé trouve:
dans le milieu supérieur. Alors, dans les inclinaisons,
très-petites, il se: fofmera des caustiques quirpasseront,
d’un milieu-dans1l’autre: avec toutes (les:inflexions ‘que;
nous-dvons remarquées:dans la #9 224! Car ;on av
qué; pour ‘de très-petites imclinaisons , les trajectoires.
menées’ dans un décroissément par exponentielle, dif.
fèrent très peu :de cerqu'elles-seroient dans le cäs d'une:
proëression‘arithmétique;;de/sorte.que Pon-péut appli:
quer à ces trajectoires les considérations que nous venons
d'exposer dans les pages précédentes; et par conséquent
elles donneront des caustiques parfaitement :analôgues,
à toutesicelles quenous venons d'examiner. Maison a
vu'que ces dernières se modifient avecla hauteur, de
l'observateur; que la :pärtié de:leurs branches:kitnée
dans Je milieu supérieur, s’abaisse à mesure que l’ob-
servateur s'élève, et qu’enfin’ ellés’évanouit. lorsque
Pobservateur à atteint une certaine hauteur dépendante
de! la différence de densité desdeux milieux et des-rap:
ports de leurs forces réfringentes. : Ainsi, danss le:1oas
actuel , il arrivera de même que la hauteur dé l’obser-
vateur let: la, rapidité du décroissément.ide l’éxponen:
tielle , à l'endroit où les deux milieux se joignent , pro-
duiront dés modifications analogues ; sur les caustiques
qui auront lieu dans-ce dernier cas. Et enfin, icicomme
dans les autres lois que nous avons examinées, il y aura
certaines hauteurs de l’observateur qui anéantiront com-
plètement les branches de caustiques situées dans le mi-
lieu supérieur, et qui abaisseront ces branches au-de3-

150 SUR :LES! RÉFR ACTIONS EXTRAORDINAIRES.

sous de lalimite commune des deux milieux. De sorte que
dans cette circonstance, comme dans le cas de la {gr 4,
chaque caustique pourra se réduire à une seule branche
située au-dessous de cette Himite:, qui aura sa convexité
tournée vers le: milieu supérieur. Cela :arriveroit.,:par
exemple, si la progression arithmétique ne commençoit
qu’à une hauteur où les variations de l’exponentielle
soient devenues insensibles ,en sorte qu’on puisse con-
fondre celle-ci avec son asymptote rectiligne. Car.alors
les minima des trajectoires situées dans le milieu infé-
rieuriroient toujours en s’éloignant de l’axe des z ,et par
conséquent les intersections de deux secondes branches
se‘feroient toujours au-dessous de cet axe, dans le mi-
lieu inférieur: ce qui empêcheroit la caustiquede s’élever
dans le milieu supérieur. Au lieu que cela n’arriveroit
pas nécessairement , pour toutes les hauteurs de l’obser-
vateur, si l’exponentielle étoit interrompue avant son
asymptote; puisqu’alors, au moins pour de petites va-
leurs de Æ , la courbe des mirima, dans le milieu infé-
rieur, auroit toujours un point de rebroussement après
lequel elle reviendroit sur elle-même : ce qui donneroit
lieu à la branche supérieure de la caustique de se former.
En général la considération de la courbe des mirima,
suffira pour indiquer dans toutes les circonstances, les
variations et les accidens que les caustiques doivent
éprouver,

r 2

ee S'OBSERVENT nid DE L’HORIZON. 191

Price des trajectoires et : des caustiques à en ayant
égard à la courbure de la terre.

Toures les considérations que nous venons d’exposer
relativément à la formation des caustiques et à la multi-
plicité des images dans le cas des couches planes, s’ap-
pliquent encore, avec quelques modifications, quand
on a égard à la courbure de la terre. Il arrive même
fort souvent que ces modifications sont très-légères,
parce que la courbure de la terre étant peu sensible pour
de petites distances, des différences de température,
mêmelassez foibles, suffisent pour en dissimuler l’effet,
ainsi qu’on l’a vu plus haut dans les observations de
dépression faites sur le sable à Dunkerque. Les dépres-
sions lobservées’ alors pour un ou deux degrés centési.
maux de différence dans les températures’ éxtrèmés,
“étoient incomparablement plus grandes que celles que la
courbure de la terre auroït pu donner, pour dés hauteurs
aussi petites que celles où nous étions placés, et por
des distances aussi peu considérables que ee ca se
terminoit l'horizon apparent. 7? © ‘1: “oi

Maïs, d’un autre côté, on conçoit moins facilement
ces.différences de température sur la surface de la mer
que sur celle d’un terrain sablonneux que les rayons
solaires peuvent échauffer à un haut degré. Ainsi, avant
de chercher à étendre nos résultats aux en sphé-
riques, je crois devoir montrer qu’en effet il se produit,
sur la surface des eaux, des phénomènes d’inflexion et de
renversement analogues à ceux qui ontlieu sur les plaines
sablonneuses; et qu’ils sont produits parles mêmes causes,

25e SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES»

c’est-à-dire par l’excès de température des couches infé-
rieures sur celles qui sont au-dessus,

Pour éclaircir ce fait rien n’est plus utile que d’ob-
server successivement l’horizon de la mer, en se plaçant
à diverses hauteurs connues au-dessus de sa surface.
Toutes les trajectoires menées à cet horizon se termi-
nant inférieuremént de la même manière, comme étant
toutes tangentes à la mer, peuvent être considérées
comme une seule et même trajectoire sur divers points
de laquelle, on se place successivement, à des hauteurs
connues, Chaque dépression observée fait connoître
l’angle que la tangente de la trajectoire en ce point forme
avec la verticale, etles changemens que cet angle éprouve
entre deuxstations consécutives, montrent dans quelsens
la trajectoire tourné sa convexité, entre l’intervalle des
deux stations.

Soit. (r) le rayon mené dé centre de la terre à la sta-
Rae la plus basse, que nous nommerons S"; soit à cette
station (e) la densité de l'air, et Z la dépression observée.
Désignons par r, e; J'les quantités analogues de la sta-
tion supérieure S". Cela posé, d’après les formules rap-
portées dans la Mécanique-céleste pour le cas des cou-

À - : à dr

; iriqu ase 277 ét suivantes, l’expres LEE
ches sphériques , page 277 > Pexpression =
represente , pour chaque point de la trajectoire, la tan-
gcute de la dépression apparente du rayon visuel, et l’on

a entre déux dépressions consécutives situées. sur une

snême branche de la trajectoire , la relation suivante:
bin ro

etui I — f 1 (7) cos, D — 1m.
eng Sa D, nn boue pshennes :

»
f L®

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 193

en supposant toujours, comme précédemment,

4 CÆ). (e)
RE, es Geo e
AA GO Un) PTE)

n°?

Si + est une quantité positive, la trajectoire sera con-
cave vers la surface terrestre ; c’est le cas de la réfraction
ordinaire , où la densité de l’air décroît quand la hau-
teur augmente. Mais si 9 est négative, la densité ira au
contraire en décroissant, et la trajectoire sera convexe
vers la même surface. Cherchons donc à tirer des ob-
servations la valeur de @. Pour cela on commencera par
carrer la valeur de ang. l'; ce qui donne

r?
étang”, T'—= D TT cos”. I — mg
À cos?, T
S Q (r) ”. Q L4 0
ot ——— 1 —s; s sera la différence du niveau

des deux stations. En regardant cette différence comme
une fraction extrèmement petite du rayon terrestre, et
négligeant s°’, on aura

25 — m@

tang®. T' — tang”. T =

cos?. Z
d’où l’on tire =:
m@ PRET AE sén. (1 + TZ). sin. (1! — JT)
2.s ON PACE ES /4

En mettant dans le second membre de cette équation

pour Z, l'ets, leurs valeurs observées, on connoîtra

si ? est positif ou négatif, par conséquent si la trajec-
1809. - 20

154 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES
toire est concave ou convexe vers la surface de la terre. On
. 1/2 .
doit remarquer que 7 seroit ce que l’on nomme le
4s

coefficient de la réfraction terrestre, si la densité dé-
croissoit de bas en haut suivant une progression arith-
métique , comme cela a lieu ordinairement à de petites
hauteurs. Si l’on vouloit supposer une loi de décroisse-
ment telle que l’on eût

nm?

FLO NL NS TRIO
? 2.

2

on auroit
tang. Î = tang. T

c’est-à-dire que la trajectoire feroit toujours un angle
constant avec la verticale, et par conséquent la trajec-
toire horizontale seroit un cercle. Dans ce cas l’effet de
la force réfringente est égal à celui de la courbure de
la terre. ;

Il est aisé de sentir pourquoi des observations, ainsi
comparées, font connoître le sens de la courbure de la
trajectoire, dans l’intervalle qu’elles comprennent. Nom-
mons les deux stations A7’ et A7”. La dépression observée
en A” donne l’angle que fait la verticale de ce point
avec la tangente de la trajectoire; et la direction de
cette tangente sur la verticale se trouve ainsi déterminée.
L'autre observation fait connoître les quantités ana-
logues pour la tangente de la trajectoire en A7". Main-
tenant ces deux tangentes suffisamment prolongées se
rencontreront nécessairement au-dessus ou au-dessous
de la corde qui joint 47" et M"; au-dessus si la courbe

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HOR1IZON. 155

est concave vers la surface de la terre, comme dans la
réfraction ordinaire ; au-dessous si elle est convexe vers
cette même surface. Et pourvu que la trajectoire n’ait
pas d’inflexions entre ces deux points, l’intersection dont
il s’agit se fera du mème côté de la corde, soit qu’on
rapproche ou qu’on éloigne les deux verticales, en di-
minuant ou augmentant l’angle qu’elles forment au
centre de la terre. Le sens de la courbure ne dépend
donc nullement de la grandeur de cet angle, mais seu-
lement des différences de niveau et des dépressions ob-
servées dans les deux stations, et voilà pourquoi on peut
le déduire de l’équation différentielle , indépendamment
de toute intégration.

Supposons que la trajectoire soit tangente à la mer
dans la station inférieure; on aura alors Z = o, et ’
sera la dépression apparente de l’horizon. Alors en fai-
sant, pour plus de simplicité, £ang*. W—2s, V sera
la dépression vraie calculée, sans avoir égard à la ré-
fraction, et l’on aura
sin. (VW + I'}). sin. (VW — I')

cos. Li tcot P

ME

expression qui, pour de petites hauteurs, pourra être
réduite à

mp — sin. (W + TI). sin. (VW — T')
On voit par cette formule que #19 sera positif si la dé-
pression apparente est plus foible que la dépression vraie,

et négatif si elle est plus forte. En mettant pour > et ®
leurs valeurs en fonction des pressions barométriques et

156 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

des températures observées aux deux stations, on a,
avec une approximation toujours très-suffisante ,

m
ne = | — 7 one |
(m1) étant, comme dans la page 27, la valeur de 72 cal-
culée pour la température de la glace fondante et la pres-
sion 0.76. On tire de là, en mettant pour #19 sa valeur
observée,

he
___(i+2.0.00375) (OPEN +2 0.00375)

(e) AE 0.00375

Dire + 0.76

ce qui donnera la différence des roue E extrêmes,
lorsqu'on connoîtra la température de l’air dans la sta-
tion supérieure, et les pressions barométriques dans les
deux stations.

Je vais appliquer ces formules à des observations de

dépression de l’horizon de la mer, que nous avons faites ;

M. Mathieu et moi, à Dunkerque, avec le cercle répé-
titeur. Nos stations successives ont été : 1°. la laisse de
basse mer, en plaçant le cercle sur le sable ; 2°. les divers
étages et la terrasse d’une maïson qui Doit vue sur la
mer; 5°. enfin la tour même de Dunkerque, dont la
plate-forme, suivant les mesures de M. Delambre, est
élevée de nt 754 mètres au-dessus de la laisse de Disie
mer. Pour avoir égard à l’effet du flux et du reflux, on
mesuroit, au commencement et à la fin de chaque série,
la hauteur de la mer avec une règle divisée en centi-
mètres ,-et l’on prenoït la moyenne de ces deux résultats
pour trouver l’élévation du centre du cercle sur la mer,

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 157

pendant la série. Toutes les hauteurs que je vais rap-
porter ont été conclues en ayant égard à cette précaution
indispensable,

Dépressions de l'horizon de la mer observées le 26
décembre 1808 , la mer étant plus chaude que l'air.

ion |
NOMBRE Dépression] Hauteur TRreon CIRCONSTANCES

des ARTE - de ou valeur météorologiques.
OBSERVATIONS. E cercle. le 7° (1).

Sur Le sable. Mètres. Barom. — 0.7522.
17° série. 6 obs. 2 .|. .«< . + | Therm. barom.—— 2.
2® 44. 6 obs.. 4 |. ATOS EME |Therm. Air — — 4.

Moyenne . : . 1°30*3 :Tempér. de l’eau à la
| surf. o°. Mer basse.

Sur l’estacade. Barom. — 0.7514.

6 observations . emiletcllet ee Le LE barom. —— 3.
6 observations . . SN 1 IT herm Air —— 4.3.
Moyenne . 7°475 | 5 16:1 |Tempér. de l’eau à la
surface— o°2. La mer

commence à monter.

Premier étage de la

2 Barom. — 0.7506.
maison.

6 observations . : 5 Therm. barom. —— 4°
6 observations . :... «le .« + . | Therm. Air — — 5e,
Moyenne . . 13-455 | 7 3:7 |Tempér. de l’eau, o,

Mer un peu montante.

Troisième étage. Barom. — 0.7495.
Del Tate etoile : . « : . | Therm. bar. — — 3.8,

6 observations . | 9 8-23 20-450 8 42.3 fret Air = — 5e.

(1) La valeur de West calculée par la formule rang, V — V25. Soit A
la hauteur de l’observateur exprimée en mètres, à le rayon de la terre

exprimé de la même manière, on aura s — —— , et par conséquent tong. V
a

= PACE On peut supposer za — 6366198.

158 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

Dans toutes ces observations on remarque que la
dépression apparente est toujours plus grande que la dé-
pression vraie , calculée sans avoir égard à la réfraction ;
ce qui rend les valeurs totales de 71? négatives. Cela
prouve que la trajectoire est, au moins en partie. convexe
vers la surface de la mer; résultat facile à prévoir, puisque,
d’après les expériences thermométriques, la mer étoit ce
jour-là plus chaude que l'air. On voit encore que l’excès
dela dépression apparente diminue à mesure qu’on s’élève.
Ainsi l'influence de la mer s’affoiblit avec la distance,
et la courbure de la trajectoire doit changer avec la hau-

TL
teur. Calculons donc les valeurs de + entre les sta-

tions consécutives, pour connoître la loi de ces varia-
tions. En effectuant ce calcul on trouve:

Troisième étage-estacade. . . « . . ne — + 0:15344 — 75
Premier étage-estacade . « . . . . — —= + 0-16655 — _
Estacade — laisse de basse mer. . es — — 0-0142

Les deux premiers résultats donnent des valeurs de
a positives et à très-peu près égales. La moyenne se-

roit = = Dia0 — qui diffère seulement de l’une

1

“6.25 ?
ou de l’autre de —-. Ainsi, dans tout cet intervalle,
la densité décroissoit sensiblement en progression arith-

métique avec la hauteur, et le coefficient de la réfraction
1

6 25
donc déjà soumis à la réfraction ordinaire, et il n’est

terrestre étoit égal à

de l’arc. Cet intervalle étoit

\

QUI S’OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 159

pas douteux que la même loi se maintenoit encore à de
plus grandes hauteurs.

Mais au-dessous de cette limite _ devient négative ;

ce qui indique une densité décroissante. Ainsi la tra-
jectoire commence d’abord par être convexe vers la mer
dans sa partie inférieure , et elle devient ensuite concave
vers cette mème surface. D’après la petitesse de la va-

leur négative de = on peut regarder la hauteur de l’es-

tacade , ou 7.475 mètres , comme le point d’inflexion qui
sépare les deux courbures.

Maintenant si l’on calcule la température de l'air à
la surface de la mer, d’après les observations faites dans
les deux stations, on trouve

DIFFÉRENCE TEMPÉRATURE Fe rpee br
des températures |_à l'observateur air A Ja surlace|}
1 de la mer ,*
extrêmes calculée, ou ;

ou (£) — 4. valeur de 5. Le po #,

Estacade. . . . . . + 1°47 — 2-83
DADIG Es 20e Neal d + 0.551 — 35.15 j
Moyenne:..32#4 400.04 : ie — 2-99

La légère différence que l’on trouve entre les valeurs
de (2) peut venir de ce que le rayon visuel, dans les
observations de l’estacade, touchoit la mer dans un en-
droit plus éloigné du port, par conséquent plus profond
et moins couvert de glace que dans les expériences faites
sur la laisse de basse mer. On voit encore ici ce que nous
avons déjà remarqué page 33. La couche inférieure de

160 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

l’air ne prend pas toute la chaleur que la surface sur la-
quelle elle repose pourroit lui communiquer, et sa tem-
pérature est moindre que celle de cette surface.

Après avoir détaillé complètement cet exemple, je
m'étendrai moins sur les suivans.

Dépressions de l'horizon de la mer, observées Le 16
janvier 1809 , la mer étant plus chaude que l'air.

CAE ETIENNE DEEE SECTE PEN AE CERN LE MEME COST EP NI MU EM VERERT EACEET

Dé i
MORE Dépression] Hauteur aie || CIRCONSTANCES
RAC EEE apparente. | le. PROS météorologiques.
Sur le sable. Mètres, | Baromètre — 0.7671.
6 observations. . | 1° 58”: o+71 | 1°39°5 ||Therm. bar. — — 1.0.
10 observations. . | 1 503 | 0.75 |} 1 40.1 ||Therm. Air — 3°9.

M se 54e | o73 | 1 38.8 || Lempérat. de l’eau, o°.
RU) nt ne Mer descendante.
Premier étage. Baromètre — 0.7660.
8 observations. . | 7 254 | 9.285 | 5 52.2 ||Therm. bar. — — 3.3.
8 observations. . | 7 18.7 | 9.225 | 5 51.2 ||Therm. Air — — 5.0,

Moyenne . .| 7 22.0 | 9-26 | 5 51.7 Mer presque étale.
Troisième étage. Baromètre — 0.76582.
8 observations. . | 8 53.6 | 16.37 | 7 47.8 ||Therm. bar. ——4.0
8 observations. . | 9 3.5 | 16.37 | 7 47-8 ||Therm. Air ——5.0. |
Au bord de la mer. Bar.
Moyenne . . | 8 58.5 | 16.37 | 7 47.8 0176625 MORE
Baromètre — 0.7645.
HER Therm. bar. —— 5.0.
8 observations. . | 9 42:3 | 21-07 | 8 50°7 |Therm. Air — — 5.6.
Mer étale.
Sur la tour. Baromètre — 0.7614.
8 observations. , [14 35.0 | 62,354 |15 13-0 ||Therm. bar. — — 4.9.
6 observations. . |14 25.2 Therm. Air — — 6.25.
Moyenne . . [14 30.1 | 62.354 |15 13.0 Mer desc. ‘Fempér. lo®. |

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 161

+ Nous devons remarquer que les observations de la
maison ont été faites les premières; on a été de-là sur
le sable et ensuite sur la tour. Toutes ces observations

. . . LÀ
calculées immédiatement donneroient des valeurs de =

négatives, à l’exception de la dernière, dans laquelle la
réfraction ordinaire surpasse beaucoup l'effet de la ré-
‘fraction extraordinaire due à l’influence de la mer. En

calculant les valeurs de = pour les intervalles compris

entre les stations consécutives, on trouve les résultats
suivans :

Troisième étage-t 2 PER Men LEE » —
ï age-terrasse re + 0:113448 DE
Troisième étage- . . LA — *°12 2= =
isi étage-tour à 7 + 0-120030 535
Terrasse-tour. « « à à à à à = — + 0121165 — ——
4s 8.444
mL + EN
aleur moyenne , . + .: —— — . ——
V ) AE —+ 0-118214 EE

Tout cet intervalle est donc soumis à la réfraction
ordinaire, et la densité y décroît de bas en haut, sui-
vant une progression arithmétique ; mais au-dessous de

ces limites on trouve

1
500

Premier étage-troisième étage. . + — + 0-00213 —

et pour les stations plus basses la valeur de m9 seroit
négative. C’est donc ici que commence la réfraction ex-
traordinaiïre, Le point d’inflexion des deux courbures se
trouve placé entre le premier étage et le troisième, c’est-
à-dire entre 9,26 mètres et 16,37 ; car en diminuant seu-

1809. 21

162 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

lement de 0.067 mètres la différence de niveau de ces
deux stations, on y rendroit nulle la petite réfraction
que nous venons de trouver égale à =.

En calculant par les observations inférieures la tem-
pérature de la couche d’air qui repose sur la surface de
la mer, on obtient les valeurs suivantes :

TEMPÉRATURE
de l'air

DirFÉRENCE
des températures
STATIONS. extrêmes, AA $ a la
ou valeur de (t) —# surface de la mer,

calculée. valeur de +. conclue,

TEMPÉRATURE
à l'observateur,

;

Troisième étage. « . 1:04 3.96
Premier étage . . . 1:04 . 3-96
Sable. 1'° observ... 0:03 3.87

2° observ. . . 0-02 . 3.88

Moyenne. . .:. c ; . . 3-92

L'accord des résultats de la dernière colonne entre eux
montre assez l’exactitude des observations, et l’on voit
encore ici que la couche d’air inférieure a une tempé-
rature plus basse que la surface de la mer.

Voici maintenant d’autres observations dans lesquelles
la température de la surface de la mer étoit plus froide
que celle de l'air. Elles donnent des résultats bien dif-

férens des précédentes.

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 163

Dépressions de l'horizon de la mer observées Le 4
février 1809 , La mer étant plus froide que Pair.

Vent S. S. O.; temps couvert, avec des éclaircis, le soleil se montrant par
intervalle; horizon souvent très-net et très-bon à observer.

g Dépression
PRES PEUE Er ANSE SES CIRCONSTANCES
OBSERVATIONS. AE cercle. cat Re cr

Premier étage. Mètres. Barom. — 0.7524 à lal

8 observations . . | 5 0” 5| 10.54 station.

= } Therm. barom. — 12.4.
8 observations. . 4 40.6! 19-06 TH APCE ASSET

Mer montante.

Barom. — o 75345 au
bord de la mer.

Therm. barom. — 12 5.

Therm. Air. + 9.6.

Température de l’eau à
la surface + 7.7.

Sur le sable. Baromètre — 0.7529.
8 observations . . |— o 22.9 1 Therm. bar. — 11.3.
8 observations . . |— © 21.4 41.4]Therm. Air. Première!
série +- 8.6.
Therm.Air. Seconde sé-
rie 9.0.

La dépression étant négative, l'horizon apparent étoit au-dessus du plan
horizontal mené par l’œil de l’observateur ; d’où il suit que l’on voyoit par
une seconde branche dont le maximum étoit au-dessus du niveau de l’ob-
servateur. L’horizon apparent étoit sans vagues et bien terminé.

Premier étage. Baromètre — 0.7521.

8 observations . . [+ 4 22.5| 9 0-9 | 5.48.6 RE er na |
La mer commence à des-
cendre.

16{ SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

: : … [Dépression
Pete Dre Eten || vraie CIRCONSTANCES
OBSERVATIONS. arréns rcle. Le me météorologiques.

Troisième étage. Mètres. Pape = AE
D D Therm. bar. — 11.3.
8 observations . . 6'25"8| 16.23 Diem AR To
Mer descendante.

TORRES Baromètre — 0.7513.

Therm. bar. — + 11.

Therm. Air — + 8.9.

Au bord de la mer. Dans
le port + 8.2.

8 observations , .
(8 observations . .

SE Ereral Baromètre — 0.7#30.
Therm. bar. — 11,
Therm. Air — + 8.55.
Temp. de l’eau —+ 7.7.
Mer descendante, Hori-

zon excellent et par-

faitementterminédans
ces deux séries.

6 observations . .
8 observations .

Sur le sable. Baromètre — 0.7529.
Therm. bar, — + 9.8.
Therm. Air + 8.6.
Tempér. de l’eau + 7-7]
Mer descendante depuis

‘18 observations . .

long-temps.

Dans toutes ces expériences la mer étoit plus froide
que la couche d’air qui reposoit sur sa surface; aussi
la réfraction a-t-elle été extraordinairement forte. En
calculant directement chacune des dépressions obser-

mn .
vées, on trouve pour = les valeurs suivantes que nous

réunissons dans un même tableau pour pouvoir les com-
parer plus facilement.

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 164

—— — 0-1792953; as — 10"54. ] montante. Hor.

Au premier étage. mé Mer. fortement
45

mière série. La mer. ë :
| bien tranché,
ml ©

Seconde série . . . .. Wen = 0+210295; as — 10-06. Mer montante.
Mer presque éta-
—— —0:216343; as — 9-09. } Je. Elle com-

mence à desc.

ù, Troisième série Au re-
LOU at eee eo

Sur le sable, Première et

==
à
e

nr fortement

ES > 0-5; 4S$— O°77: | montante.

seconde série, La mer.

Au troisième étage. Pre-

‘ \g: —— —0-157008; as — 16.23. Mer descendante.
mière série. La mer.

Sur la terrasse, Première

nn
à
4

ir — 0+1417415 as — 20-91. Mer descendante.
série. La mer. . ..

Seconde série .-. . .. = — 0.141388; as — 20-95. Mer descendante.

Mer descendante
plus fortement.

$
Sur le chenal. rte) m4

3 — 0+371202; as — 2.66. {
série. La mer . . .. 7 v

1: Mer descendante
Seconde série « « + .. Le: — 0-361098; as — 2.78. { sean
Sur le sable. M mg. MAS 32e — AU el
— série. Lamer. , ..f 45

Ces observations indiquent que la valeur de _. n’est

point constante pour ces diverses hauteurs, et qu’elle va
en diminuant à mesure que la hauteur augmente.

Cet effet n’est point dû à la forme que prend la mer
lorsqu’elle monte ou lorsqu'elle descend ; car les dépres-
sions observées sur le chenal et sur le sable donnent des

réfractions très-fortes , soit que la mer monte, soit qu’elle
descende. ee

. . . m .
L’accroissement extraordinaire de a paroît n’avoir
$

lieu que jusqu’à une certaine hauteur peu différente de
celle du premier étage, c’est-à-dire de 9 ou 10 mètres ;

166 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

car en combinant les observations faites au-dessus de

cette hauteur _- devient à peu près constant. En effet

on trouve
Pret brie) — 3° ét or — ——
Premier étage (3e série) 3e étage . = 0 08147 — PS
Premier étage (Zdem).. . terrasse. . = — 0:08456 — ——
1.
Mofenne «We eU-1.000 7 — 0.08301 — ——
215 12,04

m ® =
Ces deux valeurs de 1 sont assez peu distantes l’une

de l’autre et de leur valeur moyenne pour que leur écart
puisse être attribué aux erreurs des observations. On
doit en conclure qu’au-delà du premier étage la densité
de l'air décroissoit suivant une progression arithmétique,
comme cela a lieu ordinairement. Mais au-dessous de
cette hauteur la variation de la densité étoit beaucoup
plus rapide ; car en combinant, par exemple, les obser-
vations du premier étage avec celles qui ont été faites

. 71 1
sur le chenal, on en tire RU : c=fese plus
4s 6,5

forte que les précédentes. C’est donc aussi pour cela
qu'au commencement des expériences, en se plaçant
très-près de la surface de la mer, la réfraction étoit assez
forte pour donner un maximum par en haut. D’après
les rapprochemens que nous venons de faire il est évi-
dent que tous ces phênomènes résultent de ce que la
température de la mer étoit plus basse que celle de Pair.
La vision par des secondes branches, lorsqu'on ob-
serve l'horizon apparent de la mer, étoit un phénomène

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 167

fort curieux à constater, nous avons cherché l’occasion
de la répéter. Elle s’est présentée le lendemain même
des observations précédentes ; car, suivant l’expérience
que nous en fimes, la température de la mer étoit encore
plus froide que celle de l’air. Malheureusementle nombre
de degrés indiqué par le thermomètre dans cette expé-
rience ayant été perdu, nous pouvons seulement assurer
que la différence étoit certainement dans le sens que
nous indiquons ici. En conséquence nous nous trans-
portâmes à diverses places sur la laisse de basse mer,
et nous fimes les observations suivantes :

Dépressions de l'horizon apparent de la mer, observées
le 5 février 1809, la mer étant plus froide que l'air.

PE ETES . [Dépression
RAMERE ee Fan re CIRCONSTANCES
OBSERVATIONS. observée. cercle. A DC IPP EE
Dans le chenal, Baromètre — 0.7513.

Therm. bar. 12.0.
Therm. Air + 8.6.
Mer plus froide que l’air;!

| montante fortement.

,

Z È .
sur le sable More

4 observations, . |— 6”06| o+71 |+ 1375

1
Après cette observation il est tombé de la pluie. On a recommencé , une.
heure après, dans une autre place.

Sur le sable. Baromètre — 0.7500.
17° série. 6 observ.|— 11”34| 0.66 1° 348 Therm. bar. = 10.9.
2°. . . 6 observ.|— 16-99| 0:64 1 33.2||Therm. Air — + 8.5.

’

Toutes ces observations indiquent que la vision se
faisoit par une seconde branche dont le maximum étoit

168 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

au-dessus du niveau de l’observateur. Quoique les ob-
servations du 4 février indiquassent clairement que l’effet
étoit indépendant de la forme de la mer montante, on
voulut encore en faire une nouvelle épreuve. On retourna
donc le lendemain matin au bord de la mer, lorsqu’elle
descendoit encore, et bien long-temps avant qu’elle com-
mençât à monter on fit les observations suivantes.

Dépressions apparentes de l'horizon de la mer, obser-
vées Le 6 février 1809, la mer étant plus froide que lair.

£pressi Dépression
de LA pp Hauteur | vraie CIRCONSTANCES
OBSERVATIONS. Ar Cercle lo valeur météorologiques.
de 7.
Sur Le sable NUE — 07527.
; Môtres Therm. bar. — + 11.5.
aïesérie. 8 observ.|0'47"88| o. 77 14174 Therm. Air — + 8.2.

Température de la mer
près de la surface +
6.5,

Baromètre — 0.7527.
+ + « 8 observ.| O27.11| 0.77 | 1 41.4 (rm an = 11.5.
(rem Air —+ 8.2.

Baromètre — 0.7527.
3°. . . 8 observ.| 0 13.57| o.77 1 41+4 ÀTherm. bar. — + 11.5.
Therm. Air — + 8.7.

Baromètre — 0.7527.
4 « . ..8 observ.| o 33.50] 0-77 1 41-4 4Therm. bar. — + 11.5.
L Therm. Air + 9.0.

SE LC

L’horizon étoit parfaitement net, bien tranché et sans
ondulations. Toutes les observations faites à la mer des-

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 169

d - 7
cendante donnent des valeurs de ne extrêmement fortes,

car on trouve:

d 4 TL
Première série. La mer, . . . « . == — 0.42731
. ? 1112
Seconde série « + + + + + + + + » CT — 0-47700
. » L11
Troisième série. . « « « + . + . —— — 0.493862
+
1 ” Il
Quatrième série « : « . « . + . — — 0-.45912
Moyenne des quatre séries . — 0.464352
S

En remarquant les petites différences qui existent
entre ces valeurs, il ne faut pas oublier qu’il suffit d’un
rayon de soleil ou d’un coup de vent un peu plus chaud
ou un peu plus froid pour changer considérablement la
la valeur de — |

Toutes ces observations ayant été faites à la mer des-

cendante, il est impossible d’attribuer la grande valeur
de …. à une autre cause qu’à ce que la température de

la mer étoit plus froide que celle de l'air, ainsi que cela
avoit eu lieu dans les jours précédens. Quant à la forme
de la mer, les circonstances étoient les mêmes que dans
les observations du 26 décembre 1808, qui avoient donné
des dépressions si fortes. La place où nous observions
étoit la même aussi; mais dans les observations du 26
décembre la mer étoit plus chaude que Pair de plusieurs
degrés. "

Quelques jours après les observations précédentes le
temps changea ; l'air devint plus froid que la mer, et nous

GE gg

170 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

en profitâmes pour observer de grandes dépressions. La
cause qui rendoit la dépression forte ou foible nous étoit
si familière que nous pouvions facilement reconnoître
les circonstances favorables à l’observation et prévoir le
résultat que nous devions obtenir; il suffisoit pour cela
de comparer le thermomètre plongé dans l’air avec le
thermomètre plongé dans la mer.

Dépressions apparentes de l'horizon de la mer, obser-
vées le 8 février 1809. Mer plus chaude que l'air.

| : Dépression
NOMBRE Dépression| Hauteur pee CIRCONSTANCES

des apparente du
ANA 4 ' étéorologiques.
OBSERVATIONS. CD eV te. cercle. Pr MétÉOrO BA

Premier étage. , ètres. Baromètre — 0.7604.
6 observations . , | 8 50”4 Therm. bar. = + 3.0
6 observations . 8 39+7 Therm. Air — + 19.
|| Sur le bord de la tmer.
Moyenne + + | 8 45e: 3 Barom. — 0.7620.
Therm bar. — + 3e,
Temp. de l'eau — + 4°.
Mer basse, presque au
MÉJLÉNLUL M «

SP L'sdble er dr —0.7603.
: erm. bar. —
8 observations . Therm. Air à hauteur
d'homme + 0.6.
— Près du sable + 1.5.
Horizonchargé de vagues
et difficile à observer.
Mer montante,
6 observations . Baromètre — 0.7603.
Therm. bar, — .....
Therm. Air à hauteur
d'homme + 1°,
— Près du sable + 1.6.
Mer montante,

———

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 171

M AMP TE - [Dépression fu x
NOMRE … Démesion] Haye PU) | cconsraxcEs
OBSERVATIONS. pren cercle, [LOU leur HÉTEOEDIOErQUESe
de 7. |
Premier étage, an Baromètre — 0.7595. |
retour. Mètres. 7 |Therm, bar. — + 3.8. |
8‘observations.. . |! .7"4 | 12°0ù 6’ 407 Therm. Air —+- 0.85, |
4 | 12001 6 4o-7 Tempér. de Peau + 4°.

| Mer montante.

7 7
8 observations . . | 7 27-
TANT 12+0O1 6 4o-7 1£

Moyenne . .

Troisième étage. | Baromete — 0.7584. |
8 observations . . | 8 48+7 | 18.295 | 8 14.5 éco bar. — +. 4°.
8 observations . . | 8 19-7 | 18.125 | 8 12°2 || Therm. Air — + 1.56. |
THB al 8 13: 4 LE AAA EN Le

Moyenne . . | 8 34-20] 18-21

Dans toutes ces observations qui ont été faites à la
mer montante, on remarque une dépression de Phorizon
plus grande que la dépression vraie. Ce n’est donc point
la forme de la mer montante qui occasionne les grandes
élévations de l'horizon observées dans les jours précédens,

Ici ka mer étoit plus chaude que Pair. C’est la cause
de l’excès de la dépression observée. La température de
la mer est restée sensiblement la même dans tout l’in-
tervalle des observations; mais celle de l'air, qui étoit
d’abord à — 0.5, s’est élevée graduellement jusqu’à
+ 1.4 avec la marche du jour. La dépression a donc dû
diminuer, comme on le remarque dans les observations
faites sur le rivage et au premier étage, avant et après
le retour.

! Si l’on calcule le coefficient de la réfraction par les
dépressions précédentes, on trouvera que la réfraction
négative s'élève à peu près jusqu’au premier étage ; c’est-

172 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

à-dire à 10 ou 12 mètres, car en combinant les obser-
vations du prémier avec celles du troisième, on trouve

7 . . .,
encore pour Fe une valeur fort petite, mais positive,

qui est 0.058998 — René Au-dessous de cette hauteur
10:

© deviendroit négatif.

4s 5

Quelques jours après les expériences précédentes le
temps changea de nouveau ; la mer redevint plus froide
que l’air, et l’on en profita pour observer de très-petites
dépressions de l’horizon apparent.

Dépressions apparentes de l'horizon de la mer, obser-
vées Le 10 février 1809. Mer plus froide que l'air.

NOMBRE Dé i H Dépression
des Pb ren aire vraie CIRCONSTANCES

OBSERYATIONS. observée. | cercle. salons météorologiques.

Premier étage. Mètr. | Baromètre — 0.7483.
1e série. 8 obsery. 11-97| 6'39°8 Therm. bar. —+ 10.2,
2°. . . 8 observ. 12.09| 6 41.8|| Therm. Air — + 9.8.
Température de l’eau

+ 5°5.

Mer descendante.

Moyenne . . ! 12-03| 6 40°8

Sur le sable. | Baromètre — 0.7497.
1r° série. 8 observ. +1 41.4 |Therm. bar. — + 13/7.
RENE 8 toDsert. Ô ve 1 414 Therm. Air—+ 11.55

eee ne Mer déjà très-hasse,
mais descendant en
core très - sensible-
ment. Horizon excel-
lent, sans ondulations
etsans vagues. Proxi-
mité de la pluie.

Moyenne . , 1 414

QUI S’ORSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON.

173

NOMBRE
des
OBSERVATIONS.

|Premier étage, au
relour.

1'esérie. 8 observ.
2€, + -+ à observ.

Moyenne . .

Troisième étage.

1e série. 8 observ.
2°. . . 8 observ.

Moyenne .

Sur La tour.

1re série. 6 observ.
12€. . . 8 observ.

Moyenne . .

Dépression
grprente
observée.

+5" 3321
5 36.86

5 35.03

5.7

71
6 51.6

Hauteur
du
cercle.

6 56.6

12 51.8
12 58.8

12 55.3

60-32
60:32

60:32

Dépression
vraie
ou valeur
de F7.

CIRCONSTANCES
météorologiques.

Baromètre — 0.74810.
Therm. bar, — + 12.
Therm. Air — + 8.75.
Mer presque au mérz-|f
mum ; horizon super- À
be; observations faites
entre des intervalles $

de pluie.

(Baromètre — 07471.
Therm. bar. —+ 10.9.
|Therm. Air — + 8.75.
Mer sensiblement au 7z£-|À

nimum; bon horizon.
Tempér. de l’éau däns le!

port + 426.

Baromètre — 7437.
Therm bar, = + 13°.
Therm. Air — + 10.4.i

Mér déjà bien Het

On voit dans ces observations que la réfraction a tou-
jours été positive et extraordinairement forte. Aussi la
mer étoit-elle plus froide que l'air de plusieurs degrés.
Si l’on calcule immédiatement les dépressions observées
dans les stations les plus basses, on trouve

, , mt
Premier étage. La mer. . « « + .« . + == — 0-20456
Tes a DE Né in de d'en 7e => 0.5
45
: , UK: |
Premier étage, au retour, + . +. . + ——"= — 029863

Ces réfractions sont extrêmement:fortes. Maintenant

174 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

si l’on combine les observations consécutives on trouve

. su 1
m t t troisième « + « + « + —— — 0-1706
Premier étage et troisième Frs 0*17067

. * 1 nL
Troisième étage et tour, . . . + . . . TT. — 0.12082
#4 $

La diminution du coefficient de la réfraction étoit
donc encore sensible au-dessus du troisième étage, c’est-
à-dire au-dessus de 12 mètres. Ainsi ce jour-là la trajec-
toire étoit toute concave vers la surface de la mer; mais
sà courbure étoit beaucoup plus rapide dans les stations
inférieures, à cause de l’influence de cette surface.

Dans les expériences que je viens de rapporter on voit
que les rayons lumineux men‘s dans l'atmosphère sous
des inclinaisons très-petites, éprouvent en s’approchant
de la surface terrestre des perturbations considérables
produites par l'influence de cette surface sur la tempé-
rature des couches inférieures de l’air. Cette influence
s’affoiblissant avec la distance, devient ordinairement
insensible à une petite hauteur au-dessus de laquelle la
densité de Pair décroît régulièrement en progression
arithmétique; ce qui donne aux rayons une courbure
dirigée vers la surface terrestre. Maïs, dans la partie
inférieure , la trajectoire peut être plus ou moins con-
cave ou convexe, selon la température du sol : elle peut
ainsi éprouver dans son cours plusieurs inflexions suc-
cessives; et, contre l’usage généralement reçu par les
astronomes , il arrivera bien rarement que la courbure
déterminée dans la partie supérieure soit encore appli-
cable aux plus petites hauteurs.

De là résultent plusieurs conséquences utiles. La pre-
mière concerne les marins. Lorsqu'ils prennent hauteur

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 175

en se servant de l’horizon de la mer, ils doivent souvent
éprouver les effets de ces réfractions extraordinaires , et
pour peu que la mer soit plus froide ou plus chaude que
l'air, ils peuvent aisément avoir sur leur latitûde des
eireurs de 3 ou 4 minutes. Par les mêmes causes la lati-
tude observée à bord d’un canot pourra différer très-
sensiblement de la latitude observée sur le pont d’un
bâtiment élevé. Cela est arrivé plusieurs fois à la Nou-
velle-Hollande , dans expédition du capitaine Baudin,
sans que l’on pût se rendre raison d’une pareille discor-
dance, et malgré tous les soins que lon prenoit pour
l’éviter. M. Wollaston a proposé un moyen d’y rémédier
en observant la distance des deux horizons opposés, ce
qui détermine en effet la réfraction au moment où l’on
observe ; mais on n’à pas toujours la ‘possibilité de faire
cette observation, principalement dans les attérages où
cependant la nécessité d’une latitude exacte est la plus
grande. Dans tous les cas, il suffit d’observer la tem-
pérature de Pair et celle de la mer, pour savoir dans quel
sens doit se trouver l’erreur que l’on peut avoir à re-
douter. Maïs lorsqu'on est à terre il existe un moyen
constant et toujours applicable pour les éviter, c’est
d'observer avec un horizon artificiel placé à 3 ou 4
mètres de hauteur ; car l’effet du décroissement extraor:
dinaire des densités étant déjà fort affoibli à cette élévas
tion, et le plus souvent insensible, le rayon visuel n à
plus à parcourir que des couches soumises à la loï.or-
-dinaire des réfractions. :
On sent également que les: mêmes causes. doivent: alt
térer les hauteurs des stations calculées. d’après la. dék

176 ./SUR LES RÉFRACTIONS EXTRACRDINAIRES

pression apparente de l’horizon de la mer; car si la mer
est plus chaude que Pair, auquel cas la partie inférieure
de la trajectoire sera concave vers la surface terrestre,
la dépression observée sera plus grande que dans l’état
ordinaire de l’atmosphère. Par conséquent la hauteur
calculée d’après la réfraction moyenne sera trop forte;
ce sera le contraire si la mer est plus froide que Pair.
Pour mettre ceci en évidence nous avons calculé ainsi
les hauteurs des stations où nous avons observé à Dun-
kerque , en employant pour le coefficient de la réfraction
‘terrestre la valeur moyenne 0.08 donnée par M. De-
lambre dans le second volume de la Méridienne. Voici
le tableau de ces résultats :

26 décembre 1808. Mer plus chaude que l'air.

Dérressron HauwTEUur HaurTeur
STATIONS. apparente

3 calculée, mesurée.
observées

Mètres. Mètres.

| Sur le sable. . . 1, 7-69 0-61
Sur l’estacade . … , .i 15:99 7°47

| Premier étage . . . . . . 20+65 13.45
Troisième étage . . . 26:56 20-45

16 janvier 1809. Mer plus chaude que l'air.

Sur le sable. . pat : 1-19 73
Premier étage . . LÉ . 1723 .26
Troisième étage . + . 25.63 +37
Terrasse. . . 29-97 +07
Surilatour .-, . L 4 . 66-90 +35

\
QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 177

Toutes ces observations donnent des hauteurs beau-
coup trop fortes; en voici d’autres qui ont été faites
lorsque la mer étoit plus froide que l’air. Elles donnent
des hauteurs beaucoup trop foibles.

4 février 1809. Mer plus froide que Pair.

DÉPRESSION
Haureur HauTEUR
STATIONS. apparente calculée. mesurée.

observée.

Mètres. Mètres.
Sur le sable. . . : 0'26”9 0-06 0-77
Sur le port . . 1 38.6 0-69 272
Premier étage . .4 22-53 6-09 9-09
Troisième étage . . 413 6 25.8 13-15 16.23
Terrasse 7 27-8 17-72 20+93

10 février 1809. Mer plus froide que l'air.

Premier étage . « . . . .
Troisième étage . . . . .
Pditour retraite

La différence entre les hauteurs mesurées et calculées
varie avec l'élévation de la station au-dessus du niveau
de la mer, Pour bien connoître la cause de cette varia-
tion reprenons la. formule

2 $ — m@ + (ang. T1 — tang”. I). cos’. I

Supposons que la station inférieure Z réponde à la limite
où commence la réfraction extraordinaire, en sorte que
1809. 23

178 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

dans toutes les couches supérieures la densité décroisse
en progression arithmétique. Soit s, la hauteur de cette
station inférieure au-dessus du niveau de la mer, Z étant
la dépression en ce point, on aura

2 s — m@, + tang’. I
Cette équation ajoutée à la précédente donne

2(S+S) = mp + m,p, + tang. I’. cos’. I
+ ang. I. sin°. I

Les produits sang°. Î'. sin’. I et tang°. I. sin°. I peu-
vent être négligés sans aucune erreur sensible dans les
petites hauteurs où s’arrête ordinairement la densité ex-
traordinaire. De plus, en nommant g le coefficient de
la réfraction terrestre entre les deux stations, et g, la
quantité analogue , depuis la station inférieure jusqu’au
niveau de la mer, on a

m® = 4 sg; Mm,®, — À s,g,

de sorte que l’équation précédente devient
L
2(5+s)=4sg +4s,g, + tang. T
d’où l’on tire

2

+ tang”. l' 2 (gg — g)s,

1 — 2 g 1 — 2 q

s + 5, est la hauteur de la station supérieure au-dessus
. ; 2 ang. T°

du niveau de la mer. Le premier terme cr donne

la hauteur telle qu’on la trouveroit en la calculant im-

QUI S'ORSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 179

médiatement d’après la dépression observée, et telle
qu’elle seroit en effet si le décroissement en progression
arithmétique s’étendoit jusqu’au niveau de la mer. Le
second terme en s, donne la correction qu’il faut faire
à ce premier calcul, à cause du décroissement extraor-
dinaire des densités qui a lieu jusqu’à la hauteur s. On
voit que, pour un même état de l’air, la correction est
constante à toutes les hauteurs, et l’on peut aisément
vérifier ce résultat sur les dépressions que nous avons
rapportées. Par exemple, le 16 janvier l’erreur du pre-
mier terme est constamment égale à 12.38 mètres, soit
qu’on la calcule sur la tour, la terrasse ou le troisième
étage de la maison. Mais pour obtenir cette constante
il faut employer dans le calcul la véritable valeur de g
telle que les observations la donnent pour le jour où l’on
observe ; sans cela les erreurs du premier terme, qui
sont variables avec la hauteur, masquent la variabilité
du second. C’est ce qui est arrivé dans les hauteurs
calculées précédemment, en prenant pour g la valeur
moyenne 0.08 qui est donnée par M. Delambre. Par
exemple, dans les observations du 16 janvier on avoit
réellement g — 0.118214. Le dénominateur 1 — 2 g
étoit donc réellement 0.763572 au lieu de 992 que nous
avons supposé. L’emploi de cette valeur, en affoiblissant
le premier terme, diminuoit son erreur propre , et d’au-
tant plus que Z' étoit plus considérable. C’est pourquoi
les hauteurs ainsi calculées s’écartent de moins en moins
des véritables à mesure que l’on s’élève depuis le bord
de la mer jusqu’à la tour. Un peu au-dessus de cette

180 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

dernière le calcul auroit été d’accord avec l'observation,
mais «en s’élevant davantage, l’erreur produite par le
coefficient g l’auroit emporté sur la correction du second
terme ; et les hauteurs seroient devenues trop foibles , de
trop fortes qu’elles paroiïissoient précédemment.

La cause que nous venons d’indiquer ici a dû nécessai-
rement agiravec une intensité plus ou moins grande dans
les nombreuses observations de la mer que MM. Méchain
et Delambre ont consignées dans le ITe volume de la Méri-
dienne ; mais le défaut d'observations thermométriques
aux deux extrémités de la colonne d’air ne permet pas
de tirer parti de ces observations. On peut néanmoins,
dans certains cas extrèmes, montrer évidemment la source
des erreurs qu’elles comportent. Ainsi l'observation de
dépression faite à Montalet devoit nécessairement donner
une trop forte hauteur, et c’est ce qui est arrivé.

On doit encore attribuer à l’inégalité des températures
et à la rapidité de leur décroissement, un phénomène

observé par Cook, dans l’hémisphère austral, le 308

janvier 1774. « On découvrit le matin une île de glace
» qui s’étendoit à lest et à l’ouest, à une telle distance.
» qu’on n’en voyoit pas les limites du haut des mûâts.
» De loin cette île paroissoit très-haute et semblable
» à une masse solide, avec des parties montueuses très-
» élevées, dans l’intérieur. Mais quand on s’en fut
» approché, on trouva que le bord, qui auparavant
» paroissoit à pic et formé d’une seule masse, dépassoit
» à peine le niveau de la mer, et étoit formé de petits
» morceaux de glace, parmi lesquels il s’en trouvoit

nn

QUI S'ORSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 101

» d’autres un peu plus considérables. On apercevoit en-
» core des parties montueuses plus loin dans l’intérieur,
».mais c’étoit probablement aussi une illusion causée par
» la grande force réfringente de l’atmosphère près de
» l'horizon dans ces froides conirées ». Cette conjecture
me paroît très-vraisemblable , car suivant le journal tenu
à bord de la Résolution , le thermomètre dans l’air étoit
ce matin-là précisément à la température de la glace fon-
dante. Il est donc bien probable que la surface de la glace
avoit une température plus basse que celle de l'air, alors
les parties de cette surface les plus éloignées du bâtiment
ont pu devenir visibles par de secondes branches qui
avoient leur #2aximum au-dessus du niveau de l’obser-
vateur, et cet effet qui n’avoit lieu que sur la glace,
devoit élever en apparence son bord au-dessus du niveau
de la mer. C’est ainsi que dans des cas semblables nous
avons vu à Dunkerque l'horizon apparent de la mer au-
dessus du plan horizontal mené par notre œil. Dans l’ob-
servation de Cook l’horizon apparent étoit terminé par
des rayons venus de la surface de la glace, et c’étoit sans
doute par cette élévation extraordinaire des trajectoires
que le plateau de glace sembloit se prolonger au-delà des
limites de l’horizon. Quant aux parties montueuses, elles
pouvoient être produites en parties par des élévations
réelles , ou par des portions d’iles de glaces plus éloignées
que la première et qui devenoient visibles au-dessus
d’elies par des trajectoires plus élévées.

C’est sans doute par une cause tout-à-fait semblable
que, dans l’opération de la méridienne en France, le

182 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

clocher de Sauti, placé au milieu des bois, se voyoit
de très-loin et indiquoit toujours une forte réfraction.
Les observations se faisoient dans l'été, et la fraîcheur
des bois refroidissant les couches d’air situées au-dessus
de leur surface devoient produire absolument le même
effet que l’île de glace dans l’observation de Cook.

Le 31 décembre 1773, Cook avoit observé dans les
mêmes parages un phénomène analogue, « tandis qu’on
» prenoit la hauteur méridienne du soleil une averse de
» neige vintde l’est et passa devant le vaisseau. En même
» temps une grande île de glace qui se trouvoit bien en
» deçà de l’horizon visible et directement sous le soleil,
» fut entièrement cachée par cet horizon qui pourtant
» paroissoit tout aussi distinct qu’il a coutume de l’être
» dans des temps nébuleux. Quand Paverse fut passée
» on revit l’île de glace en deçà de l'horizon comme aupa-
» ravant. Le thermomètre de l’air marquoit + 1.7 de la
» division centésimale ». Il est extrèmement probable
que la neige venant des régions supérieures de l’atmos-
phère, avoit une température beaucoup plus froide, et
l’abaissement subit que sa chute produisoit dans les cou-
ches d’air inférieures situées entre le vaisseau et Pile,
peut avoir été la cause d’une réfraction extraordinaire
qui aura rendu visibles par en haut et par une seconde
branche, des points de la surface de la mer situés en
ayant de l’île de glace. Ce qui confirme cette conjecture,
c’est qu'après l’averse, le disque du soleil ne se trouva
plus en contact avec l'horizon apparent, et encore moins
avec le sommet de l’île de glace, dans la lunette du

QUI S’OBSERVENT TRÈS-PRÈS DÉ L’HORIZON. 103

sextant avec lequel on prenoit hauteur. IL fallut abaisser
ce disque d’une quantité égale à son diamètre, c’est-à-
dire de 32’ pour le faire toucher au ‘sommet de l’ile, qui
devoit être encore plus bas que l’horizon extraordinaire.
Par conséquent cet horizon en se formant s’étoit élevé
tout à coûp de plus de 32’ au-dessus du véritable , et
comme la dépression ordinaire à bord de la Résolution
métoit que de 4'.2", il n’est pas douteux que l’horizon
extraordinaire s’élevoit au-dessus du plan horizontal des
observateurs, d’où il suit qu’il étoit vu par des secondes
branches de trajectoire qui avoient un maximum au-
dessus de ce même plan. '

En général , Cook remarque qu’il a eu souvent, dans
ces hautes latitudes, l’occasion d’observer effet des
réfractions extraordinaires en prenant des hauteurs au-
dessus de l’horizon de la mer avec le sextant de Halley.
Il attribue à cette cause , et aux variations arrivées des
réfractions terrestres , la différence qu’il a constamment
trouvée entre les longitudes observées le matin et le soir.
Des écarts semblables se sont présentés dans la dernière
expédition du capitaine Baudin à la Nouvelle Hollande,
et sans doute elles étoient dues aux variations subites et
multipliées de la température dans ces parages. Si main-
tenant nous venons à donner aux rayons lumineux une
marche serpentante , ce qui peut avoir lieu dans l’atmos-
phère , comme nous l’avons précédemment prouvé par
le raisonnement et par des expériences, nous verrons
naître de ces inflexions une foule de phénomènes d’op-
tique aussi curieux que variés. Pour nous borner ici à un

184 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

cas très-simple, concevons deux états opposés de l’air, tels
que dans les couches inférieures la trajectoire soit con-
vexe vers la mer tandis qu’à une certaine hauteur elle
devient concave , ce dont nous avons déjà rapporté plu-
sieurs exemples. Supposons de plus que cette seconde
réfraction , qui se fait dans le sens ordinaire ; soit assez
forte pour donner aux trajectoires un #27aximum par en
haut, ce dont nous avons également reconnu la possibi-
lité; alors ilarrivera que des objets naturellement cachés
par la rondeur de la terre, et même invisibles dans Les
cas les plus forts de la réfraction ordinaire , pourront être
aperçus au moyen de ces courbes serpentantes , comme le
représente la y. 23, où O est l’observateur et 47 l’objet.
1] arrivera même éfétant vus de cette manière ils paroi-
tront très-élevés au-dessus de l’horizon de l’observateur
et par conséquent très-rapprochés de lui; car si, par le
point 4 par exemple , on mène une circonférence de
cercle MM" concentrique à la terre, et terminée à la der-
nière branche de la trajectoire, l’objet AZ sera comme s’il
étoit rapproché à la distance 4 D' en conservant toujours
sa même hauteur. On a beaucoup d’exemples de ces élé-
vations extraordinaires des objets lointains, et l’on en
trouve même un fort remarquable dans les Transac-
tjpns philosophiques pour 1798. Du bord de la mer à
Hastings on voyoit distinctement la côte de France à
la distance de 30 ou 4o milles, et du haut d’une colline
on voyoit jusqu’à Dieppe les bateaux de pêcheurs fran-
çais. Je ne donne ici la double réflexion des rayons que
comme un moyen de produire ces apparitions extraordi-

QUI S'ORSERVENT TRÈÉS-PRÈS DE L’HORIZON. 185

naires ; mais elles pourroient l’être encore de beaucoup
d’autres manières , et même par un simple accroissement
de la réfraction ordinaire dans les petites inclinaisons,
en supposant l’air plus chaud que la mer, seulement de
quelques degrés, comme le prouvent les expériences que
j'ai rapportées plus haut. Cela conviendroit particuliè-
rement à l'observation rapportée dans les Transactions
philosophiques ; car observateur, M. Latham, remarque
que le jour avoit été extraordinairement chaud et par-
faitement calme. Malheureusement il ne rapporte
pas les températures de l’eau et de l’air qui suffiroient
pour décider la question.

Si ces réfractions extraordinaires, produites par les
inflexions des trajectoires, agissoient aussi latéralement
dans lesens horizontal, leur influence jeteroit des incerti-
tudes continuelles sur lesopérations géodésiques. Heureu-
sement nous avons eu l’occasion de nous assurer que cette
influence est absolument nulle, du moins par les temps
calmes; car les angles de position entre les objets, obser-
vés par Ârago et moi , dans les cas les plus marqués de la
réfraction extraordinaire , ne diffèrent pas du tout de
ceux que nous avons trouvés entre les mêmes objets dans
d’autres circonstances où l’atmosphère étoit assujettie aux
lois ordinaires d’équilibre. La différence n’a pas été d’une
seconde , même dans le cas des images multiples observées
au Desierto par Arago et moi, et depuis par lui seul à
Cullera. Mais je suis très-porté à croire qu’il peut se pro-
duire des réfractions latérales quand l’atmosphère est
violeniment agitée ; car M. Delambre rapporte qu’il a vu

1809. 24

186 SUR LES RÉFR ACTIONS EXTRAORDINAIRES +

une fois un signal passer d’un côté à l’autre du fil verti-
cal de sa lunette et se tenir quelques instans dans cette
position. Dans l'été lorsque l’on observe des objets éloi-
gués terminés par des lignes droites verticales, par
exemple , des maisons ou des clochers , on voit fréquem-
ment ces lignes éprouver des ondulations qui les font ser:
penter autour du fil de la lunette ; et nous avons vu,
Arago et moi, un cas très-frappant à l’île de Formentera,
et observant une chapelle située dans l'île d’Yviza. Or,
que sont ces ondulations , sinon des réfractions latérales
produites par l'agitation de Pair? Aïnsi dans les opé-
rations géodésiques très-exactes , il sera toujours utile
d’éviter même le soupçon d’une pareille influence ; et
l’on y parviendra en choisissant pour stations des mon-
iagnes élevées, et assez peu distantes pour que les rayons
visuels menés de l’une à l’autre restent toujours fort au-
dessus du niveau desplaines qui les séparent. Nous avons
eu cetavantage dans nos opérations d’Espagne, car même
dans les côtés de notre grand triangle la corde de l’arc
terrestre passoit à plusieurs centaines de mètres au-dessus
du niveau de la mer. Et si cette élévation ne nous a pas
empêché d’avoir desréfractions extraordinaires, du moins
nous sommes assurés par là qu’elles ne sont pas dues à l’in-
fluence du sol, mais à un état particulier de superposition
des couches d’air ; état qui ne pouvant constituer unéqui-
libre stable , et devant ainsi céder à la cause de mouve-
ment la plus légère , ne peut absolument exister que dans
un calme parfait de l’atmosphère , et par conséquent
dans des cas où les réfractions latérales ne sont nulle-

QUI S'OBSERVENT TRÈS:PRÈS DE L’HORIZON. 187

ment à craindre. Mais il n’en a pas été de même dans la
partie de la méridienne qui traverse la-France : on a été
souvent obligé d’y prendre pour stations des clochers,
des tours ou des collines peu élevées. Alors les rayons
visuels, menés d’une station à lautre ; ont fréquemment
rasé la surface du sol, dans les grands Hoi de lhiver et
dans les grandes chaleurs de Pété. C’est-là sans doute la
cause qui produit des variations si excessives dans les
coëfficiens de la réfraction terrestre que Delambre a cal-
culés d’après ces observations. Au liew que ces variations
auroient été beaucoup moins sensibles si les rayons visuels
eussent échappé à l’influence du sol. D’après ces re-
marques, il me semble que l’on ne peutattribuer qu’une
foible confiance au nivellenent de POcéan et de la Mé:
diterranée ; conclu de toutes.les mesures de distances
réciproques faites sur l’arc qui va de Montjouy à Dun-
kerqué. Car on ne sauroit, dans cette circonstance ;comp-
ter sur uné Compensation mutuelle des erreurs , puisque
cetté compensation n’est favorable à l'exactitude que dans
les résultats moyens d’un grand nombre d’observations 3
et non pas dans la somme des observations mêmes , qui
comporte toujours une erreur du même ordre au moins
que celles qui affectent en particulier chaque observation.

Jusqu'ici nous n’avons considéré que la marche indi-
viduelle de chaque trajectoire, et les inflexions diverses
dontelleest susceptible. Il faut maintenant passer à l’exa-
men de leurs intersections successives afin d’en déduire
la forme des caustiques et le nombre des images qui
peuvent en résulter.

183 SUR LES RÉFHACTIONS EXTRAORDINAIRES

Sous ce rapport nous avons peu de chose à ajouter aux
considérations que nous avons exposées précédemment en
traitant des couches planes. La courbure de la terre ne
fait qu’ajouter un terme à celui qui dépend de la diffé-
rence des températures , et ce terme très-foible par lui-
mème , n’a plus d’effet sensible dès que la différence des
températuresest un peu considérable. D’où l’on peut con-
clure que dans le très-grand nombre des cas il n’influera
point sur la forme générale des caustiques , mais seule-
ment sur les détails particuliers à chaque loi de décrois-
sement , détails que nous ne saurions déterminer ici,
puisqu'ils sont aussi variés que ces lois elles-mêmes.

D’après les principes établis dans le IV® volume de
la Mécanique céleste, pour le cas des couches sphé-
riques , si l’on nomme (e) la densité de l’air au point
où est situé l’observateur, 8 la distance au zénith ob-
servée en ce même point, e la densité de l’air au point
où l’objet se trouve sur une première branche des tra-
jectoires et au-dessus du niveau de l’observateur; si,
de plus, on nomme a et r les rayons menés du centre
de la terre à l’observateur et à l’objet, l’équation gé-
nérale d’une première branche des trajectoires sera

Soit, comme précédemment,

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’'HORIZON. 189

4K
dy RS PR EU = 1 —
3R 408 Pr = P(s); --—1 s

SR ace, C0.)

L0

nous aurons, en ne négligeant point s’,

ds. sin. 4
dy

Ceci suppose l’objet plus élevé que l’observateur ou vu
par en haut. Si, au contraire, il étoit vu par en bas,
quoique toujours par une première branche, comme cela
a lieu quand la mer est plus chaude que Pair, il faudroit
supposer que le rayon r décroît lorsque + augmente; ce
qui donneroïit le signe négatif au second membre de
l’équation différentielle, et l’on auroit alors

K
sin 0: 1 + (e)
dy = — - : :
4 K 4 K a? ;
V 1e —| 14 4e) | 7 sûr. 8
mais comme il faudroit aussi faire —- = 1 + s, il s’en-

suit que l’on auroit
de ds. sin. À

V' cos. 8 — MP — (2 SH 1), sén?. 8

Alors, pour que les angles 8 ne deviennent pas obtus,
il faut les compter depuis le pied de la verticale, en sorte
qu’ils soient le complément de la dépression.

Ii arrivera souvent que le terme 719, qui dépend de
l'inégalité des températures , sera très-considérable rela-
tivement au terme (2 s + s°). sin”, Ô, qui dépend de
a courbure de la terre. Alors, si l’on se borne à con-

190 SUR LES RÉTRACTIONS EXTRAORDINAIRES

sidérer des points de la trajectoire très-peu élevés au-
dessus les uns des autres, on pourra négliger ce second
terme par rapport au premier, et l’on aura simplement

Ho ee ds. sin. 4
V cos? Ü — mo?
Si l’on fait adv — dx, ads = dz, x et z pour-

ront être considérés comme des coordonnées rectilignes,
l’une horizontale , l’autre verticale , et l’équation sera la
même que dans le cas des couches planes.

En général lorsqu'on se borne à des valeurs de s fort
petites, chaque loi de densité qui donne au terme 19
une certaine valeur dans le cas des couches sphériques,
produit absolument le même effet que si l’on construisoit
les trajectoires avec un décroissement de densité exprimé
par 19 — (25 +s°), en supposant les couches planes,
et qu’on appliquât ensuite l’axe des abscisses ar sur
la circonférence d’un grand cercle de la surface ter-
restre; d’où l’on voit que si la courbure de la terre
change quelque chose aux détails des phénomènes re-
latifs à chaque loi particulière de décroissement, elle
ne détruit point les considérations générales que nous
avons exposées relativement à toutes les lois possibles
touchant la formation des caustiques et la manière dont
les images multiples des objets peuvent être donnés
par les secondes branches des trajectoires, ou peuvent
devenir invisibles par leur situation sous la caustique qui
limite l’espace où l’on peut les apercevoir.

Cependant Peffet de cette courbure produit ici une

QUI S’OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 191

modification générale qui n’avoit pas lieu dans le cas
des couches planes. Alors deux trajectoires infiniment
voisines , menées par l’œil de l’observateur, se coupoient
nécessairement une autre fois dans leurs secondes bran-
ches, quelle que fût la loi des densités, pourvu qu’elle
fût toujours décroissante et indéfinie. Mais ici, à cause
de l’opposition des termes 719 et 2 s. sin°. 0, lorsque la
densité décroît à mesure qu’on s’élève, il peut arriver,
si celui-ci emporte, que les trajectoires divergent au
lieu de converger, la courbure de la terre ayant plus d’in-
fluence pour les écarter les unes des autres que la diffé-
rence des températures n’en a pour lesrapprocher. Alors
il ne peut plus se former de caustiques ni d’images mul-
tiples. Cela a lieu ainsi communément dans l’état stable
de l’atmosphère, comme on va le voir.

Dans ce cas les densités à de petites hauteurs dé-
croissent sensiblementen progression arithmétique, Sup-
posons donc en général

© J7IL. [EEE] = 4. RAS

les s étant considérées comme positives au-dessus de
l’observateur. Quand les hauteurs seront très-petites,
s représentera l'élévation des points de la trajectoire au-
dessus du niveau de l’observateur, et la quantité cons-
‘tante 8 sera le coefficient de la réfraction terrestre. Cette
loi s’accordera donc avec l’état stable de l’atmosphère
près de la surface de la terre où les phénomènes nous

192 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

intéressent principalement. Substituant les valeurs pré-
cédentes dans léquation différentielle, elle devient

ds. sin. 0
LE = —

V cos. Ê— 2 5. (2 TEE sin”, 8) == 57, sin,

et elle a pour intégrale

: 2,0—25.(28—5in". 4) — 5. sin.

CT) et A le Ont
S. sin". 0 + (28—sin°.0)

V7 étant une constante. Comme il faut que s et F7 com-

mencent ensemble, il faut qu’ils deviennent tous deux

nuls en même temps; ce qui donne

sin. Ô. cos. À

{an , TEE PSI ES
2 UN 2 B — sin’, 0

Si l’on fait
Ci ART SP (et s=s + C(1— cos. F)

l'équation de la trajectoire devient

Er TC

rang. Qu — 9) = EC

Maintenant en la résolvant par rapport à s', et mettant
pour s’ sa valeur en 7, elle donne

a
1 + C. cos. V — C. cos. (VW — +)

Tr —

L’orbite décrite par la molécule lumineuse est donc
une section conique dont le centre de la terre occupe
un des foyers. En nommant A le demi-grand axe de

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 199

cette section conique, e le rapport de son excentricité
au demi-grand axe, on trouve

s 2 Ba Ve B — sin?. 0)? + sin°. 0. cos”. &
ere mr LE MER ET REF DE
AE < 2 8

Ainsi, dans chaque loi de réfraction, le grand axe de
toutes les trajectoires est le même; mais l’excentricité
est variable avec la distance au zénith. Les trajectoires
sont des ellipses lorsque 4 8 est plus grand que 1, ce
sont des paraboles lorsque 4 8 — 1 , et des hyperboles
lorsque 4 & est moindre que 1. Dans ce dernier cas le
centre de la terre est le foyer intérieur de la branche

hyperbolique.

La simplicité du résultat auquel nous venons de par-
venir étoit facile à prévoir, d’après la loi de densité que
nous avons choisie. En effet il est visible qu’elle donne

J 2 d à TE 2
La force attractive _ qui sollicite la molécule lumi-

rieuse dans chaque point de la trajectoire, étant réci-
proque au carré de la distance, le mouvement de cette
molécule est le même que celui des corps célestes autour
du soleil. L’égalité des grands axes tient à ce que toutes
les molécules lumineuses arrivent à l’œil de l’observateur
avec la même vitesse parce qu’elles se trouvent alors dans
la même couche d'air.

Considérons en particulier la trajectoire correspon-

1809. 25

194 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

dante à 0 — 90°; c’est elle qui donne la réfraction ho-
rizontale. Cette supposition donne — o, etensuite,

a

MALE"
2 B — (2 8 — 1), cos. v

v — o donne r — a, comme cela devoit être, puisque

la trajectoire passe par l’œil de l’observateur; maïs

100% donmie ne -

ÿ — 180 7 TR am Cette valeur est plus pe

tite ou plus grande que a, selon que 2 8 est plus grand

ou plus petit que 1. Dans le premier cas la trajectoire a
son apogée à l’observateur; dans le second, elle a son
périgée en ce point, Si 2 8 — 1, les deux rayons sont
égaux, et la trajectoire est un cercle concentrique à la
terre.

Jusqu'ici nous avons considéré le cours entier des tra-
jectoires dans toute l’étendue que leur donne la formule
mathématique. Mais, pour appliquer ces résultats à la
nature, même dans la loi de décroissement que nous
avons considérée, il faut arrêter la trajectoire à la distance
de la terre où la densité de l'atmosphère devient nulle; et à
partir de ce point il faut la considérer comme une ligne
droite indéfinie, prolongée suivant la direction de la
dernière tangente. Ceci est analogue à ce que nous avons
remarqué relativement aux couches planes, lorsque
nous avons déterminé dans ces couches la limite de la
réflexion. Or, puisque la loi des densités que nous avons
supposée, est

(PEN gel
(e) ]J=4es

QUI S'OESERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 194

Lorsque la densité eg devient nulle, c’est-à-dire à la

. . . [12 [148 a
sortie de la trajectoire, On a S — Aa OÙ ni 0

1 —

4 8
et comme l’expression générale du rayon vecteur des tra-

jectoires est

a

15 1 HC: cos. V — C. cos. (VF — v)

il s'ensuit que la trajectoire lumineuse, considérée à
q ] ,

partir de l’œil de l’observateur, sortira de l’atmosphère
quand on aura

cos. (77 — y) — cos. Enr ene

Considérons en particulier la trajectoire qui donne
la réfraction horizontale. Pour cette trajectoire , la dis-

tance apparente au zénith 8 — 90°; Ÿ — o et
C = 28 — 1; par conséquent au point de sortie on
aura
én TL
Re RME ETES EERTR

On voit d’abord que si 2 8 est plus grand que 1,
y sera imaginaire, et par conséquent la trajectoire me
sortira point de l’atmosphère. Cela doit être, puisque
dans ce cas elle a son apogée à l’observateur; de sorte
que dans tous les autres points elle s'approche du centre
au lieu de s’en éloigner. Si 28 = 1, v est encore im a-
ginaire ; et ‘en effet la trajectoire est .un cercle. Mais
lorsque 2 8 commence à être moindre que 1, lcs va-
leurs de ne commencent pas encore à être réelles:

196 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDIN AIRES

puisque cos. p passant par l’infini quand 2 8 — 1, com-
mence par prendre des valeurs négatives très-grandes.
La réalité de v ne commence donc qu’au-dessous d’une
certaine limite de B qui est donnée par l’équation
L//2

£& CG B— 1) = — D
Ce qui répond à — 1800. Alors l’apogée de la trajectoire
horizontale est situé à la limite même de l’atmosphère,

L’une des deux valeurs de B est

ni 7

PE eee elle donne r — é

Vi —m

L’autre est inadmissible, parce qu’elle donneroit r
négative. En général, pour que le rayon vecteur, au
point de sortie , fasse un angle y avec la verticale de l’ob-
servateur, il faut qu’on ait

1 EUR nt
FN on dE ten)

On voit donc qu’en donnant au coefficient 8 des
valeurs convenables , la trajectoire horizontale peut
sortir de l’atmosphère sous tel angle que l’on voudra,
depuis — 180° jusqu’à l’angle déterminé par l'équation
sin. = p—V m. Par conséquent la réfraction horizon-
tale, au lieu de rester toujours très-petite, peut devenir
très-considérable ; il peut même se faire que la molécule
lumineuse, ne sortant jamais de l’atmosphère, devienne
un satellite de la terre. On sent que ces résultats ne sont
pas bornés à latrajectoire horizontale, mais qu’ils peuvent
avoir lieu également pour d’autres distances au zénith sous

QUI S'OBSERVENT: TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 197

certains limites. Lorsqu'on veut les bornér à des dis-
tances au zénith très-peu différentes de. 90°, let faire dé-
crire aux trajectoires des ellipses très-peu différentes du
cercle , ces trajectoires ne traverseront que des couches
très-peu distantes les unes des autrés. Alorsles valeurs,
de s peuvent être considérées comme exprimant des dif-
férences de niveau ; et la loi des densités qui fait circuler
la lumière, n’est que la loi ordinaire de décroissement
rendue seulement un peu plus rapide.

. N'est-ce pas à des inflexions de. ce genre qu'il faut
rapporter la durée extraordinaire du crépuscule’, obser-,
vée par Saussure, sur le col,du Géant où ce phénomène
étoit. visible pendant toute la nuit, quoique le soleil
descendît à plus de 45 degrés au-dessous de Phorizon.
Car, pour appliquer à ce cas l’explication ordinaire du
crépuscule , il faudroit supposer qu’à plus de cent vingt
lieues dé hauteur au - dessus. de, la surface .de la, terre,
l'atmosphère est encore assez dense pour réfléchir une
lumière sensible , et qu’il le seroit encore après avoir tra-
versé les couches inférieures, pour arriver jusqu’à nos
yeux, deux circonstances qu’ilest biendifficile d'admettre.
Et cela ne serviroit encore de rien pour expliquer cette
lueur pâle, mais distincte \‘observée aussi par Saussure
tout autour de l'horizon , dans les mêmes circonstances;
phénomène que M. de Humboldt a revu et remarqué
pendant son séjour sur le volcan d’Antisana, Au lieu
que ces résultats se conçoivent facilement si on les at-
tribue à l’inflexion et en: quelque sorte à. la circulation
de la lumière autour dela terre, sinon en vertu du dé-

198 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

croissement de densité que nous avons supposé, du moins
en vertu de ‘quelque ‘autre loi qui! pourroit exister
dans les hautes couches de atmosphère dont la tempé-
rature est peu variable, et qui seroit également capable
défaire circuler la lumière; ce qui peut'arriver d’une
infinité de façons différentes: Enfih, des! considéra-
tions du même genre ne peuvent-elles pas avoir rendu
possible la fameuse observation des Hollandais à la Nou-
velle-Zemble, observation qui n’a jamais été ni expli-
quée ni réfütée d’une manière satisfaisante, mais qui,
d’après la théorie précédente, n’a aucune difficulté:

Cherchons maintenant à déterminer la forme de la
caustique produite par les intersections successives de
toutes les trajectoires. Reprenons la formule

[4

D'H13 Cu COS: CAEN cos. (v— V) is

dre
1119

à l Le 1 4 : £

qui, en faisant — 2 4, peut se mettre sous la forme
1358 Li p + en. j

TE 1 + 2 C. sin. uw. sin. (u — V)

1

ou, en substituant pour C sa valeur Pire D

a

MES sin. (u — V')

1 D. SI QU ————
3: JE sin: V. tang. 8

Pour exprimer la condition des intersections consécu-
tives, il faut différencier cette équation en faisant va-
tier 0 seul, z tv restant les mêmes; ce qui donne.

d. sën. (nu — V)
d' Vas] Sir. Æ re QE ERRTE

eh Q

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 199
ou, en développant et prenant. la valeur de zang. u,
Lang”. | 4

dy sir. Ü. cos. 8
dé © cost. VF

Lang. L
+ Es 1/4

d’où l’on tire enfin, en mettant pour Ÿ sa see

) (2 tang. 0
Tang. 437 = 1 FE

Cette équation fait connoître l’arc v après lequel se cou-
pent deux trajectoires consécutives menées sous l’angle 6.
En y joignant les suivantes :

(4

1 + 2 C. sin. (2). sir. (= = r)

==

sin. Ü. cos. 8 1

Lang WT = : (2 & — sin?. dB 7. sin. V. rang. à ;
on aura une détermination complète de tous les élémens
de la caustique. :

Si l’on cherche l’expression de r en 8, au moyen de

ces équations, en trouve

pa a. (16 B?. cos?. 4 À sin?! C»)
TT (8). 4 pléos®. 0 sir. 8)

Ainsi lorsque. 4 2 est moindre que 1, la valeur de r
devient constamment négative et impossible ; par con-
séquent la caustique est imaginaire. C’est le cas de la
réfraction ordinaire où & est une fraction fort petite peu
différente, de -2.; par conséquent on ne doit jamais voir
.de doubles images lorsque cet état a lieu.

200 SUR!LES RÉFRACTIONS EXTRAONDINATRES

-, IH est facile de sentir pourquoi la condition de 48 > 1
est nécessaire pour la formation de la caustique : c’est
qu’elle donne des trajectoires elliptiques ; au lieu que
de moindres valeurs de 8 donnent des paraboles ou des
hyperboles qui ne peuvent pas se couper.

Au moyen de la valeur de zang. 0, qui est 4 8. tan. = :
on peut éliminer 8 de l’expression précédente de r, et
alors on trouve

8 a. £

DE — ———— —————
(GB — 1). [(f 8 + 1 — (4 8 — 1). cos. v]

La caustique formée par l'intersection de toutes les
trajectoires est donc une ellipse dont le centre de la

terre occupe un des foyers. Le grand axe de cette ellipse

est a CARE) son excentricité est “—, et par consé-
4B—u 2

quent le rapport de cette excentricité au demi-grand

axe est DE. Celui-ci est dirigé suivant la verti-

cale menée du centre de la terre à lobservateur, et
l'apogée est à son zénith.

La partie du phénomène qui nous intéresse spécia-
lement est celle qui répond à des distances au zénith
peu différentes de 90°. Développons les formules pré-
cédentes dans cette supposition. On a d’abord en général

tang. À

v
LAND) — ZE
plus IE

# étant l’arc après lequel se coupent deux trajectoires
consécutives. Lorsque = go° on a ÿ — 180°, et en

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 201

général, pour des hauteurs très- petites, y diffère peu
de cette valeur; car si l’on fait 0 — 90° — X, A étant
la hauteur apparente supposée très-petite, on a, en se
bornant aux quantités de cet ordre,

ui 1000-8167
ce qui donne pour r la valeur

hÉrieule + 4 8. (4 8 — 1). x]
De sorte qu’en négligeant 2° on a r = const. La portion
de la caustique qui répond aux très-petites hauteurs ap-
parentes est donc, à fort peu près, un arc de cercle con-
centrique à la terre, et les points de tangence des tra-
jectoires sur cette caustique sont situés, à fort peu près,
à 1800 de distance du zénith de l’observateur.

Or nous avons déjà plusieurs fois remarqué que les
images directes sont données par des trajectoires dont
le point de tangence sur la caustique est situé au-delà
de Pobjet, par rapport à l’observateur, et qu’au contraire
les images rénversées sont données par des trajectoires
dont le point de tangence sur la caustique est situé entre
l'observateur et l’objet. Ici cette. dernière circonstance
manquera toujours lorsque les hauteurs apparentes se-
ront peu considérables, à cause de l'éloignement infini
des points de tangence; et par conséquent lorsqu’on
verra ainsi les objets par en haut, sous des hauteurs
très-petites , on n’apercevra jamais d'images renversées,
dans la loi que nous examinons.

1809, 26

202 SUR LES RÉFR'ACTIONS EXTRAORDINAIRES

C’est en effet ce que nous avons remarqué à Dun-
kerque, non pas sans quelque surprise, dans les cas où
la mer plus froide que l’air, rendoit les objets visibles
par en haut. Cette élévation étoit tellement sensible

qu’on s’en apercevoit même sans le secours des instru-

mens. Lorsqu'on alloit s’asscoir sur le rivage, on sem-
bloit alors être dans un fond autour duquel, suivant
une pente douce; s’élevoit la mer fortement azurée, sur-
tout au large, et terminée par un horizon si net, si bien
tranché, si exempt de vagues, que le fil horizontal du
cercle n’y pouvoit pas rendre sensible la plus petite on-
dulation. Cependant des barques de pêcheurs qui étoient
au large, et des bâtimens qui s’éloignoient du port, ne
présentoient qu’une seule image directe et très-nette,
sans aucune apparence de renversement. Nous fimes
d’autant plus d'attention à cette particularité que n’ayant
point encore calculé ce cas d’exagération de la réfrac-
tion ordinaire, j’ignorois que le renversement ft inpos-
sible sous ces petites inclinaisons : on en a vu la raison
tout-à-l’heure. On remarquera en outre que, dans les cas
où nous nous sommes trouvés, l'horizon apparent s’est
élevé fort peu au-dessus du plan horizontal mené par
notre œil; par conséquent l’effet de la réfraction ter-
restre à cette hauteur étoit fort peu différent de celui
de la courbure de la terre. Les trajectoires menées sous
ces petites inclinaisons devoient donc raser pendant
long-temps la surface de la mer avant de pénétrer dans
son intérieur, et pour de très-petites différences d’incli-
naison initiale, les points où elles rencontroient cette

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 203

surface étoient fort éloignés les uns des autres. Il suit-
de là que des portions très-étendues de la mer étoient
vues sous des angles très-petits, principalement dans les
distances au zénith peu différentes de 90°. C’est ce qui
produisoit cette teinte si forte , ce bleu sombre de la mer,
surtout à l'horizon ;et comme cet horizon lui-même étoit
déterminé par la hauteur de la couche d’air où la ré-
flexion cessoit d’être possible , il s’ensuit qu’on devoit le
voir bien tranché, bien terminé, et tout-à-fait exempt des
ondulations accidentelles de la mer, dont le seul effet
étoit de faire envoyer les mêmes trajectoires par d’autres
points physiques des eaux , sans changer les inclinaisons
sous lésquelles ces trajectoires parvenoient à l’observa-
teur, en vertu de leur réflexion dans la couche d’air qui
ne changeoit point pour cela de densité ni de tem-
pérature.

L'analyse que nous venons d’exposer s’appliqueroit
également au cas où la densité de Pair, au lieu de dé-
croître de bas en haut, comme nous le supposions tout-
à-l’heure, décroîtroit au contraire de haut en bas, sui-
vant la même loi. Ceci suppose la mer plus chaude que
Vair. En prenant alors les s positives au-dessous de l’ob-
servateur, et supposant toujours

m1. [=] EAP ES

l'équation différentielle devient

PIE ds. sin. 8

V cos?. 8 — 25. (2 8 + sin?. #4) rar sin?, à

204 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

dont l'intégrale est

’ V 2.0— 25.(28 + OM) in*, À
Lang. (7 — ÿ) = Tr: (RME PE A A à 2 6
S. Sin, À + 2 B + sin?, 0

V étant une constante; et comme il faut que v et s
commencent ensemble, il s'ensuit qu’on aura

sin. À. cos À

2 B + sin°. 0

tang. V =

Ces formules auroient pu se déduire de celles de la
page 191,en faisant dans ces dernières Bet s nég patives,
changeant le signe du radical et supposant 8 plus grand
que 90°; ce qui rend cos. 0 négatif. Ici les angles 4 ne
sont plus comptés à partir du zénith, mais à partir du
nadir. Si donc, en suivant cette analogie, on fait

2 B + sin?. 8
C=
sin*, 8. cos. V
Q . a
et que l’on ait soin de remarquer que — — 1 +s,on
‘ T
trouvera
a
=

1 — C. cos. VF + C. cos. (VF —v)
2 8

C. cos. W'étant égal à 1 + —=—, par conséquent plus

grand que l’unité, on voit que la trajectoire est cons-
tamment une branche d’hyperbole qui tourne sa con-
vexité vers la surface terrestre, et dont le centre de la
terre occupe le foyer extérieur. En nommant 4 le demi-
grand axe de cette hyperbole, e le rapport de son ex-

centricité au demi-srand axe, on a

D

v? 2 Ba 25e Ve B + sin?. 0)? + sin°. 0. cas*?. 6
2 8

4E +:

L'A
Q
|

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 204

Maintenant si, en suivant la marche de la page 196,
3 ; five

on cherche l'équation de la caustique, on aura d abord,

comme précédemment , pour condition des intersections

successives ,
7 sin. (u — V) En is
sin. V. tang. à
dé
d’où l’on tire
Ÿ _ tang. 0
Zarg. PRNT = Aa

Cette valeur de ang. _ étant substituée dans celle de F3
il vient

a. (16 &?. cos?. 4 + sin?. 4)
(4 8 + 1). (4 8. cos?. à — sin. 8)

et enfin, en éliminant 8,
8 ag
GRH] D —48+0G +48) cos. +]

TE

Cette valeur se déduira de celle de la page 199, en
y faisant 8 négative.

On voit par ces expressions de r que la caustique est
toujours une branche d’hyperbole dont le grand axe est
dirigé suivant la verticale de Pobservateur, et dont le
centre de la terre occupe un des foyers. Lorsque 4 B
est moindre que l'unité, la caustique tourne sa conca-
vité vers ce centre, qui est alors son foyer intérieur. Au
contraire , lorsque 4 2 surpasse 1 ; la caustique , tourne
sa convexité vers le centre de la terre, qui devient son

foyer extérieur. Dans le premier cas le grand axe est

a. (1— 48) ns a s
Tige » SOn excentricité est net le rapport de l’ex-

206 SUR LES MÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

1+48
1 4 8

centricité au demi-grand axe, . Dans le second,
ES
48+i
4B+ 1
#e— a
de ces états à l’autre, 4 B—1, et la caustique devient

le grand axe est a , ct Je rapport de l’excentri-

cité au demi-grand axe, . Dans le passage d’un

une ligne droite perpendiculaire à la verticale de l’ob-
servateur, et menée par le milieu du rayon terrestre qui
lui correspond.

La valeur de r devient infinie lorsqu'on a (1)

[4 L

tango V4 B ou fée. En Vs

Des valeurs de 8 plus considérables rendroient rnégative
et par conséquent impossible. Les trajectoires comprises
entre 0 — o et 0 égal à la valeur précédente seront donc
les seules qui pourront se couper, par conséquent elles
seules pourront former une caustique et envoyer ces
doubles images, mais toutes celles qui répondront à des
valeurs de 8 plus grandes, par conséquent plus appro-

chantes de l’horizon, divergeront à partir de l’œil de

l’observateur et ne se rencontreront jamais. Si 4 8 —1,
8—450,v— 90, la limite des trajectoires qui se coupent
répond donc alors à celle qui, en arrivant à l’œil, fait
un angle de 45° avec la verticale. D’où l’on voit que
pour que la caustique puisse avoir lieu dans les hauteurs
apparentes très-petites , par conséquent pour des valeurs

(1) Il faut se rappeler que les angles 4 sont comptés depuis le nadir autour

de la verticale, et de 8 — o à 8 — 90°.

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DIE L'INORIZON. 207

de ang. 8 très-considérables ; il faut que 4 @ soit lui-
même un très-grand nombre , c’est-à-dire que l'effet de la
réfraction soit extrêmement considérable par rapport à
celui de la courbure de la terre. Ainsi, plus 4 & sera
grand , plus les images renversées pourront approcher
de la ligne-horizontale menée par l’œil de l’observateur.
Mais elles resteront toujours au-dessous de cette ligne;
car, quelque grand que lon suppose 8, l'intersection
cessera toujours d’être possible pour les trajectoires rela-
tivement auxquelles on aura 8 — 90°, puisque pour at-
teindre cette limite il faudroit que 2 fût infini. D’ailleurs
ceci n’empèchera pas que des objets situés au-dessus de
la ligne horizontale puissent être rencontrés par des
secondes branches de trajectoires, et vus renversés ; seu-
lement leur image paroîtra au-dessous de la ligne hori-
zontale. La limite analogue dans les couches planes étoit
donnée par la trajectoire parallèle aux couches; mais
ici la courbure de la terre rend déjà l'intersection des
trajectoires impossible avant qu’elles aient atteint l’ho-
rizontalité.

Si donc nous supposons que le cercle C A7 (/ig. 24)
représente la circonférence de la terre, © Pobservateur,
OM la trajectoire limite tangente en Æ7 à la surface
des eaux. Soit Z le point de tangence de cette trajectoire
sur la caustique représentée par LT, et menons enfin la
trajectoire On T'tangente à la caustique à l'infini .ilest
sensible par ce qui précède , 1°. que tous les points situés
au-dessous de AL T'seront complètementinvisibles pour
Pobservateur ; 2°, ceux qui seront compris dans l’espace

206 SUR LES MÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

mixtiligne Lin TT! enverront de doubles images , une
supérieure qui sera droite, une inférieure qui sera ren-.
versée; enfin au-dessus de la trajectoire Om 7”, il n°y
aura plus de doubles images mais un simple abaissement
des objets.

Et par une analogie qui s’accorde avec ce qu’on a trouvé
précédemment pour les couches planes, dans le cas de la

progression arithmétique, si l’on suppose 4 — 45°, on
16. 82 + 3

16: 8% — 1 ?
ment considérable , en sorte qu’on puisse négliger l’unité

trouve V — 4. de sorte que si 8 est extrème-

vis-à-vis de 16 8°, la trajectoire menée sous l’inclinaison
de 45° touchera la caustique au niveau de l’observateur.

Quoique la loi que nous venons d’examiner soit par-
ticulière, et par conséquent ne puisse pas avoir en gé-
néral Pair atmosphérique, cependant la considération
de cette loi nous aura toujours été utile pour faire sentir
les modifications introduites dans cette théorie par la
courbure de la terre, modifications qui disparoissent
lorsque l'effet de la réfraction peut être considéré comme
infini relativement à cette courbure. Or c’est ce qui arri-
vera très-souvent, car dans la réfraction ordinaire où
B = +, une élévation de 200 mètres répond à une va-
riation de température à peu près égale à un degré cen-
iésimal, et dans cette circonstance 4 8 surpasse déjà +;
au lieu que dans le cas d’une réfraction extraordinaire
produite par l’excès de chaleur de la surface de la mer
sur Pair environnant , des différences de hauteur égales
à quelques centimètres, ou moins encore répondent quel-

QUI S'OBSERVENT TRÉS-PRÈS DE L'HORIZON. 209

quefois à des différences de température de plusieurs
degrés, ce qui rend la valeur de £ trois ou quatre mille
plus considérable si on la calcule toujours de la même
manière ; il devra donc souvent arriver que la convexité
de la terre puisse être négligée relativement à une si
forte réfraction.*

En appliquant donc ici les considérations, générales
que nous avons exposées dans le cas des couches planes,
on verra se reproduire des résultats analogues touchant
les diverses formes que peuvent prendre les caustiques,
et les inflexions qu’elles peuvent subir. selon la loi de
superposition des densités. Ainsi sans répéter ici les
détails des lois particulières que nous avons examinées
alors, nous nous bornerons à rappeler les résultats de
celles qui se trouveront avoir une application immédiate
à quelque phénomène observé.

Généralement soit O l’observateur élevé dela quan-
tité, O4 au-dessus de la surface de la mer , 9. 25. Soit
O MT la trajectoire limite tangente en 47 à cette surface;
le point M sera le dernier point de la mer que l’on
pourra apercevoir. Si les trajectoires menées au-dessus de
OM ne se coupent point dans leurs secondes branches,
il n’y aura point de renversement, mais un simple abais-
sement des objets, et tout l’espace 77 H sera invisible.
Le soleil et les autres astres se coucheront à l'horizon
apparent de la mer sur la trajectoire limite OZZT, et les
rayons qu'ils enverront à cette époque éprouveront une
dépression plus grande que celle de l’horizon vrai qui
auroit lieu indépendamment de la réfraction.

1809. 27

210 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

Mais si, par la nature du changement des densités les
trajectoires successives se coupent dans leurs secondes
branches, il se formera au-delà du point Mune caustique
ML qui commencera par couper cette trajectoire elle-
même à une certaine hauteur au-dessusdu niveau de la
mer ; après quoi elle ira continuellement en s’élevant à
mesure qu’elle s’éloignera de l'observateur, jusqu’à ce
qu’enfin elle soit terminée par la dernière des trajectoires
pour laquelle l’intersection est possible. Mais avant de
parvenir à ce terme, elle pourra subir des inflexions , des
rebroussemens , et former ainsi autant de branches sus-
ceptibles de multiplier les images, comme nous avons
remarqué dans le cas des couches planes.

Si l’on suppose que la température de la mer soit par-
tout la même autour de l’observateur , les mêmes phéno-
mènes se produiront dans tous les verticaux menés par
son œil. On les représentera en faisant tourner tout le
système précédent autour de la verticale CO. L’arc AM
engendrera la surface visible de la mer , le point de tan-
gence A] décrira un cercle horizontal qui sera la limite
apparente de cette surface et que l’on prendra pour l’ho-
rizon vrai ; enfin la caustique M L engendrera une surface
de révolution au-dessous de laquelle on ne pourra voir
aucun objet, etau contraire tous ceux qui seront compris
entre cette surface et celle qu’engendre la trajectoire
limite MN paroîtront doublés.

I1 suit delà que l’observateur ne verra point l'horizon
iréel de la mer , il prendra pour cet horizon le cercle décrit
par le point 44. Si la vue n’est limitée par aucun obstacle,

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 211

les points du ciel ou de l’atmosphère, compris dans l’es-
pace 7'L M, enverront aussi leur double image; mais
si le temps est serein et sans nuages , ces deux images
n’offrant aucun rapport de symétrie, ne pourront point
être distinguées , la plus basse paroîtra la continuation de
l’autre , et le ciel semblera reposer sur le faux horizon.
Si, au contraire, la caustique, en se prolongeant, re-
montre des objets opaques, par exemple des îles éloi-
gnées , la partie de ces îles qui s’élevera au-dessus d’elle,
et qui sera cependant au-dessous de la trajectoire limite
paroîtra doublée. Si le sommet de l’île est plus haut que
cette trajectoire, sa base apparente, ou plutôt l’image
renversée qui lui sert de base, paroîtra reposer sur l’ho-
rizon. Mais si ce sommet est plus bas que la trajectoire
limite, l’image renversée du ciel s’apercevra au-dessous
de l’île qui semblera suspendue en l'air avec son image
renversée. Les résultats de ces diverses circonstances
sont absolument conformes à ceux que nous avons ob-
servés sur le sable à Dunkerque, lorsque nous placions
un homme armé d’une perche , à divers éloignemens.
Mais ici la dimension des objets dans le sens latéral
donne lieu à un nouveau phénomène. Nous avons prouvé
que la surface caustique s’élève à mesure qu’elle s’éloigne.
Les extrémités latérales de l’objet étant plus éloignées de
observateur que son centre , seront donc coupées par la
caustique à une plus grande hauteur. S’il est très-peu
large la différence sera insensible, et il paroîtra tout
entier élevé dans le ciel , à-peu-près également. Mais si
l’on observe uue île assez grande , dont les contoursrépon=

212 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES.

dront à des points beaucoup plus éloignés que le milieu ;
la différence de hauteur de la caustique a ces divers
éloïignemens pour devenir sensible , et les extrémités
latérales de Pile paroîtront relevés comme un bec, ainsi
que le présente la fs. 26. Il pourra même arriver, par
effet de cette circonstance , que les bords d’une île soient
relevés en l'air, tandis que son milieu, c’est-à-dire la
partie la plus voisine de l’observateur , paroîtra reposer
sur la surface des eaux. Maïs si les différences de tempé-
rature augmentent et que le point de tangence de la tra-
jectoire limite se rapproche de l'observateur, ou ce qui
revient au même, si l’observateur s’abaisse, la trajectoire
limite pourra s’élever au-dessus du sommet de l’île qui
sera alors entièrement suspendue dans l'air.

Quoique ces résultats soient des conséquences néces-
saires et très-simples de notre théorie, nous avons cepen-
dant eu soin de les vérifier à Dunkerque, en observant
ainsi une estacade très-prolongée qui s’étendoit horizon-
talemént dans une direction perpendiculaire au rayon
visuel mené à son milieu. En nous baissant sur le sable
assez pour amener la caustique à la hauteur de cette esta-
cade , le milieu en paroissoit simplement double comme
à l’ordinaire , mais les bords sembloient relevés etamincis
comme un bec, conformément à la description que nous
venons de donner. D'ailleurs on voyoit toujours deux
images distinctes même à ces extrémités , au lieu que cela
m'arrive pas toujours , du moins en apparence , quand on
observe desîles très-peu au-dessus de horizon de la mer.
Mais cela tient à ce que l’image renversée se trouve

| le cit in ©: ÉD TX

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 213

alors réduite à une dimension infiniment petite, comme
je le prouverai plus loin, et par conséquent ce'a ne porte
aucune atteinte à la théorie que je viens d’exposer.

. Ilest presque superflu de prouver que dans les circons-
tances où l’on observe ces phénomènes la réfraction est
négative , cependant je ne négligeraïi point de le faire,
puisque-cela me donnera lieu de rapporter des observa-
tions très-précises faites par M. de Humboldt en Amé-
rique, et qu’il a bien voulu me communiquer.

Ces observations ont été faites à Cumana , avec
un quart de cercle de Bird. L’instrument ; soigneuse-
ment vérifié par le niveau et le fil de plomb ; étoit
solidement placé sur un mur très-massif. L’objec-
tif de la lunette étoit à 24 pieds 11 pouces ou 8.094
mètres au-dessus du niveau de la mer. L’erreur de

‘la collimation étoit de 8’ 40’, additive aux distances

zénithales. Elle avoit été déterminée exactement par la
comparaison avec un sextant de Ramsden bien vérifié.

Les objets observés étoient des îles placées à 8 ou
9 milles de distances, chaque mille étant de 950 toises ou
une minute de degrés. Afin qu'aucun accident n’influât
sur ces angles, M. de Humboldt, avant de diriger sa lu-
nette sur les îles, mesuroit l’élévation apparente d’un
objet voisin , que sa proximité et son élévation rendoient
capables d’être affecté par les changemens des réfrac-
tions horizontales.

Nous réunirons les observations de M. de Humboldt
dans le tableau suivant.

214

SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

Observations de M. Humboldt, faites à Cumana

DATES

+ + 7" du matin.

5: .* crépuscule . .

6" du soir © à 4°...

Dans le crépuscule. .
Plus tard. .
24. .« . 9" du matin

DES OBSERVATIONS.

sept. 11h du matin. .
Ne NO PATES OS ete

2
2
L1
3
RAP LUN dus or EE

. + -5h,2 du soir. {.

SomMET
de
l'ile Boracha.

SoOMMET
de
l’ile Picuita,

Base ou P1EeD| Horizon
de de

l'ile Picuita, la mer.

D. M. Se
Non observé.
Non observé.

9° 7 43
Non observé.
6 48

D. M, 68.
99 7 5
90 6 19
99 7 6

Non observé,
90! 6 52 9°

4 go
8 90

90 6
6

La première remarque qui se présente en examinant

ces observations, c’est que les plus grandes variations

correspondent aux plus petites hauteurs apparentes. Ces

variationssontpeu sensibles pour le sommet de laBoracha.

Elles le sont davantage pour le sommet de la Picuita qui

est plus basse; elles le sont surtout à l'horizon apparent

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 215

Observations de M. Humboldt, faites à Cumana.

TEMPÉRAT.
Hycromèrre | CranxoMèTRE

de de CIRCONSTANCES ATMOSPHÉRIQUES.|

Deluc. Saussure.

à l’air,
en degrés
de Réaumur.

Suspension; le ciel tout bleu; du soleil.

. [Suspension ; temps couvert.

. Couvert; proximité de la pluie.

. . (Couvert, mais très- transparent. Point de
suspension.
- (Suspension.

. [Suspension foible, qui devient nulle au cou-||

cher du soleil.
Suspension nulle, dépression changée.
. [Horizon oscillant.
Suspension très-remarquable , la plus forte
qu’ait observée Humboldt. Sécheresse ex-

cessive ; la Boracha toute en l'air, quoi-
qu’elle ait plus de 1° 10° de large ; de pe-
tites barques de pêcheurs nageanten l’air,
et vues doubles; la Picuita double aussi]
ce jour-là, à plusieurs reprises.

de la mer. Commençons donc par discuter les observa-
tions qui se rapportent à cet horizon.

La hauteur de observateur au-dessus du niveau de
la mer étant de 8.094 mètres, la dépression vraie de l’hori-
zon ,indépendamment de toute réfraction , devroit être de
5" 29", c’est-à-dire plus foible que toutes les précédentes,

216 SUR:LES RÉFRACTIONS EXTRAOKDINAIRES ® ! 00
par conséquent, dans tous ces cas, la réfraction a été néga-

tive, et les trajectoires décrites par les rayons lumineux
étoient, au moins dans leur partie inférieure, convexes
vers la surface des eaux.

Les phénomènes de la suspension ont eu lieu dans leur
plus grande intensité le 24 septembre, c’est le seul jour
où l’on ait observé le renversement, mais aussi c’est le
jour où la dépression de l’horizon a été la plus grande,
ce qui est conforme à la théorie.

En effet, conservant les dénominations de la page 152,
la tangente de la dépression de l’horizon apparent, pour
de très-petites hauteurs, est donnée par la formule

ange D PA a sh Te ps)

Et comme, dans le cas actuel, la densité (e), dans la
station inférieure, est moindre que dans la supérieure,
la dépression apparente est plus grande que la dépres-

sion vraie dont la tangente seroit exprimée par V'2.ls,
Lorsque l’angle Z augmente, (r) et r restant les mêmes,
c’est que la différence e — (e) des densités extrêmes
devient plus considérable, et alors, comme on l’a dé-
montré plus haut, les effets du mirage doivent devenir
sensibles pour les objets plus rapprochés, et l’espace
où le renversement est possible se trouve agrandi.

On doit remarquer encore que la base apparente dé
Vile Picuita ne s’est pas toujours trouvée au-dessus de
horizon apparent de la mer. Elle est quelquefois descen:

QUI S'OSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 217

due à la même hauteur, par exemple, le 5 septembre , au
coucher du soleil. Alors l’île a dà paroître reposer sur
l’horizon. Quelquefois même la base de l’île a paru au-
dessous de l’horizon apparent de la mer, comme le 4 sep-
tembre , alors on a dû apercevoir la surface de la mer un
pêu au-delà de lile. Dans tous ces cas les trajectoires des
rayons lumineux étoient convexes vers la mer, au moins
dans leur partie inférieure , comme la dépression de l’ho-
rizon le prouve ; mais le point de tangence de la trajec-
toire limite sur la surface de la mer étoit plus ou moins
éloigné de l’observateur, et c’est ce qui produisoit les
variétés observées dans la suspension des îles, qui se
trouvoient tantôt au-delà de cette limite, tantôt en decà.

On peut faire des remarques semblables sur les obser-
vations de Legentil dans l’Inde. Pendant tout un hiver
cet astronome vit le soleil se lever au-dessus de l’horizon
apparent de la mer, d’une quantité qu’il estimoit à 4
ou 5’ de degré. Selon notre théorie, le soleil se levoit
alors au-dessus de la caustique qui couvroit les extré-
mités de la mer, et ce phénomène ne pouvoit avoir lieu
sans que l’horizon apparent de la mer fût abaissé au-
dessous du véritable. C’est ausi ce qui avoit lieu réel-
lement. Car Legentil donne sa hauteur au-dessus du
niveau de la mer de 46 pieds ou un peu moins de 15
mètres. Pour cette hauteur, la dépression de l’horizon
vrai est de 7’ 27".

1809. 28

218 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

Or la dépression apparente observée par Legentil, à plusieurs reprises et
dans plusieurs jours différens , à l’instant du lever du soleil, étoit 10° 10”

Erreur de collimation moins la demi-épaisseur du fil . , . . .— 1° 58”

Dépression apparente de l’horizon de la mer à l'instant du lever

UND LES EM NN TE RE NT M elles le ebetres ete ele tele NE OA

Dépression calculée MEME EUR Tr MEME

ee

Excès de la dépression apparente . . . . . . « .. 1 25”

Et cet excès de la dépression apparente devroit être
encore plus considérable, si on pouvoit en ôter la partie
de la trajectoire soumise à la réfraction ordinaire qui,
d’après nos observations de Dunkerque , devoit être déjà
très-sensible à la hauteur de 46 pieds. Ainsi, dans ces
circonstances, on peut affirmer que la réfraction étoit
négative, dans les couches d’air inférieures très-voisines
de la surface des eaux. .

Legentil a constamment observé qu’à l’instant même
du lever du soleil , lorsque le premier rayon de cet astre
commençoit à paroître, l’horizon apparent de la mer
s’abaissoit subitement d’environ 36". Ceci semble indi-
quer un accroissement subit de température dans la
couche d’air contigue à la surface des eaux. Pour expli-
quer ce phénomène, il faut remarquer que les rayons so-
laires en traversant l’atmosphère ne sont pas tous absor-
bés par les molécules qui la composent ; une partie même
sous forme de chaleur rayonnante , paroît traverser l’at-
mosphère sans obstacle sensible jusqu’à ce qu’elle ren-
contre un corps liquide ou solide, capable de l’absorber.
Or, à l'instant où le soleil paroît sur l'horizon, ces deux
causes se réunissent pour élever d’une petite quantité la

QUI S'ORSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 219

température de la couche supérieure de la mer, et celle-
ei à son tour doit échauffer un peu la couche d’air qui
lui est contigue. De là résulte une plus grande différence
entre la température des couches supérieures ct infé-
rieures de Pair, et par conséquent un abaiïissement de
l'horizon apparent.

. Les variations de température qui se produisent au
lever et au coucher du soleil doivent être très-fréquentes
et très bizarres, car elles doivent dépendre du plus ou
moins de transparence de l’air, de la quantité des vapeurs
aqueuses qui y sont suspendues sous forme de brouillard
et de plusieurs autres causes accidentelles. Aussi M. de
Humboldt y a-t-il observé de grandes variations.

Par exemple dans l'extrait de ses observations, du 5
septembre, je trouve cette remarque. « Au coucher du
» soleil même la Picuita Baïssa , ne fut plus suspendue,
» mais la dépression changea beaucoup :

» Au moment du coucher. . . . . go° 6° 35”
.æ Dans le crépuscule . . . , . . . 90° 6" 10”
> Plus tardi.ge + + + + eu + + | 00° 6° 57°

Il n’y a pas d’erreur dans ces observations, ajoute
M. Humboldt, car le signal de vérification resta à la
même hauteur tandis que l’horizon dansoit. Ces varia-
tions furent encore plus sensibles le 24 septembre le
jour où le mirage fut aussi le plus sensible , car l'horizon
dansoit trois ou quatre fois dans une heure de 90°. 7’.
44 à 90° 10° 32", sans que les instrumens météorolo-
giques indiquassent aucune variation.

Lorsque Legentil observoit à Pondichéry, il remarqua

220 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

que les phénomènes de réfractions extraordinaires qui
accompagnoient le lever du soleil et dont nous parlerons
tout à l’heure, n’avoient jamais lieu que pendant l’hiver;
lété, le soleil se levoit à l’horizon même de la mer sans
présenter aucun de ces phénomènes. La raison de cette
différence est sensible. La température de la mer loin
des côtes représente à peu près, dans tous les pays, la
température moyenne de l'air pendant toute l’année.
Ainsi, la mer en été doit être communément plus froide
que Pair; en hiver elle doit être plus chaude. C’est ce
que M. Woltman a constaté à Cuxhaven, par des obser-
vations suivies, qui avoient pour objet l’influence de ce
fait sur les réfractions extraordinaires. Ceci doit être
vrai surtout sous le climat de l’Inde , où la température
est si égale et éprouve des variations si lentes. Or, en été,
l'air étant plus chaud que la mer, la densité des couches
d’air doit décroître de bas en haut, dans le sens ordi:
naire, même dans les couches inférieures qui sont con-
Fan à la mer; alors 18 phénomène des doubles images,
ou même celui ke la suspension ne doit pas se produire.
Le soleil doit se lever à l'horizon même de la mer qui
n’est autre que l’horizon vrai prolongé et élevé par la
réfraction.

Au contraire en hiver le contact des eaux réchauffant
la couche inférieure de l'atmosphère, y produira les phé-
nomènes de réfraction extraordinaire que nous avons
décrits dans ce mémoire, et l’horizon apparent s’abaïsse
au-dessous de l’horizon vrai comme nous l’avons dit.

Nous pouvons donc considérer à Pondichéry, l’horizon

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 92921

d’été comme l’horizon véritable. La différence de 5 ou
6 degrés de Réaumur qui existe entre la température de
lété et celle de l’hiver, selon le témoignage de Legentil,
doit y produire un petit changement qui élevera cet
horizon de 43 où 44". Or, Legentil a trouvé que, pendant
été, le bord supérieur du soleil, employoit 59 secondes
de temps depuis linstant de sa première apparition jus-
qu’à l'instant de son contact avec le fil horizontal du
quart de cercle placé sur o° o', tandis que dans l’hiver
il n'employoit que 35 secondes pour parvenir au même
fil. La différence 24 secondes de temps exprime donc, à
fort peu près, l’excès d’élévation du point où le soleil
paroïssoit en hiver, parce qu’à Pondichéry les parallèles
décrits par cet astre sont très peu obliques à l’horizon.
Or ces 24 secondes de temps répondent à 5’ 17" de degré;
car selon les observations de Legentil, le soleil dont le
diamètre est en janvier de 32° 36", employoit communé-
ment pour se lever 2° 28';or, 5’ 17" sont beaucoup plus
que ne pourroïit produire la réfraction ordinaire pour
une diminution de température de 5 ou 6 degrés de
Réaumur. Il est donc prouvé par là qu’en effet le soleil
se levoit sur la caustique et au-dessus de la surface même
de la mer, conformément à notre théorie.

On voit aussi que ces circonstances supposent néces-
sairement une trajectoire convexe, vers la mer dans les
points où elle s'approche de sa surface. Par conséquent
la réfraction totale conclue de ces observations, faites
en hiver, doit être trop petite; aussi, en les calculant,
M. Delambre a-t-il trouvé :

222 SUR LES KÉFR ACTIONS EXTRAORDINAIRES

Réfraction horizontale par les réfractions d’été où les réfractions
ordinaires sont seules agissantes, . +. 1. . « + . « 4.) ne +. 34 12”
Par les observ. d’hiver affectées de la réfraction extraordinaire , . 32° 26”

Des MMM td DS 1° 46”

C'est-à-dire que les premières sont plus fortes.
M. Delambre en fait la remarque et s’en étonne avec
raison ; mais la cause en est évidente d’après notre
théorie.

Jusqu'ici nous n’avons considéré que l’époque de l’ap-
parition du soleil et la hauteur à laquelle il commence
à paroître sur l’horizon ; mais les mêmes causes doivent
influer sur les apparences que son disque présente quand
il se lève et quand il se couche. Tant que cet astre se
trouvera au-dessus de la trajectoire limite , il n’enverra
qu'une seule image qui sera directe, mais aussitôt que
son bord inférieur touchera la trajectoire limite, on com-
mencera à voir en M ( fig. 27), c’est-à-dire à l'horizon
apparent, un point brillant qui sera le commencement
de la réflexion. Ce point sera l’image du point le plus
bas du disque du soleil, et sera placé dans le même
vertical que lui. À mesure que le bord du soleil péné-
trera dans l’espace où la réflexion est possible, l’image
réfléchie de ce bord augmentera, et il se formera en M
un segment semblable, mais renversé, et cet effet con-
tinuant toujours , on croira voir un second soleil sortir de
l'horizon et aller au devant du véritable ( #3. 28). Ces
deux soleils s’atteindront et viendront en contact lorsque
le véritable atteindra la surface caustique au-dessous
de laquelle les objets cessent d’être aperçus (#g. 29).

QUI S'ORSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 223

Alors les phénomènes changeront. À mesure que le vrai
soleil pénétrera dans cette surface, il paroîtra s’échan-
crer par son bord inférieur et se réunir à l’autre soleil.

Leur commune section ne sera pas une ligne droite,

mais une ligne courbe , convexe vers la terre et relevée

par ses extrémités, de sorte que le faux soleil paroîtra
refluer à droite et à gauche sur le véritable (#g. 30

et 31). Ces phénomènes continueront jusqu’à ce que
le bord supérieur du soleil vrai atteigne la trajectoire
limite ; alors le bord inférieur du faux soleil sera entiè-
rement formé et paroîtra tangent à l'horizon. Le soleil
vrai descendant toujours, son bord supérieur s’abais-
sera au-dessous de la trajectoire limite ; alors le bord
inférieur du faux soleil, image du bord supérieur réel ,

paroîtra quitter l'horizon pour continuer à s'élever et à

se pénétrer avec l’autre ( fig. 32). Par suite de cette pé-
nétration mutuelle , les deux soleils iront en diminuant
de grandeur. Enfin quandils seront totalement réunis ,

ils ne formeront plus qu’un point lumineux arrondi, ‘qui
disparoîtra subitement sur la surface caustique et par

conséquent au-dessus du faux horizon, que l’on prendra

pour l’horizon réel. Ces apparences sont tout : à - fait

semblables" à celles de l’homme représenté dans la

figure 9. |

Les mêmes phénomènes se reproduiront en sens con-

traire au lever du soleil. Cet astre ne commencera à être

sensible ; que lorsque ses premiers rayons deviendront

tangens à la surface caustique. Alors on apercevra un

point brillant qui paroîtra tout à coup au-dessus de l’ho-

224 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

rizon apparent de la mer, et à une certaine distance de
Thorizon. Ce point sera accompagné de son image ré-
fléchie : il sera réellement double ; mais ces deux images
se touchant sur la surface caustique, on ne pourra pas
les distinguer l’une de l’autre. Le soleil continuant à se
lever, le point lumineux s’agrandira. Le bord supérieur
du disque commencera à se former, en même temps
l’image réfléchie de ce bord augmentera et s’approchera
de l’horizon de la mer, Mais le vrai soleil s’élevant tou-
jours, son bord inférieur finira par se détacher de la sur-
face caustique. À cet instant le vrai et le faux soleil se
dédoubleront. Le disque apparent inférieur et le disque
réel supérieur continueront à se séparer. Le premier pa-
roîtra refluer à droite et à gauche vers l’horison de la
mer. Enfin ils se quitteront tout-à-fait. Le point de leur
séparation se trouvant sur la surface réfléchissante, sera
plus haut que l’horizon apparent de la mer ; et tandis
que le soleil vrai continuera à s'élever, après cette sépa-
ration , son image renversée s’abaissant , offrira l’appa-
rence d’un second soleil, qui rentrera sous l’horizon
apparent de la mer.

Ces phénomènes que nous venons de déduire de la
théorie , ont été observés par Le Gentil, à Pondichéry
dans l’Inde, et en France sur les côtes de Normandie.
Il les a suivis à Pondichéry pendant un hiver entier avec
beaucoup d’attention , sans pouvoiren découvrirla cause ,
quoiqu'il en mesurât toutes les circonstances avec la pen-
dule et le quart de cercle. Il étoit naturel, comme nous
l'avons dit plus haut , qu’ilneles vit point dans l'été, lors

QUI S'OBSERVENT TRÉS-PRÈS DE L'HORIZON. 225

que la chaleur de lairest plus grande que celle de la mer ;
et qu’il les ait observés pendant l'hiver , lorsque:la cha:
leur de la nier surpasse celle de l’air. La:constance et
l'égalité du climat de l’Inde , en laissant à cette cause
toute son influence, faisoient qu’il les voyoit tous les
jours, tandis qu’ils doivent être moins constans dans nos
climats où les variations de l'atmosphère peuvent les
amener en toute saison, Aussi ne les observa-t-il que.deux
fois sur les côtes de Normandie, pendant un assez long
séjour. Legentil a décrit ces phénomènes avec beaucoup
de détail dans les Mémoires de l'Académie des:sciences
pour 1774 et 1789 ; et quiconque voudra comparer s&
description à la nôtre , les trouvera d’accord entout point.
Ce qui étonnoit surtout Le Gentil, c’étoit de voir le s0-
leil ; en hiver , se lever constamment au-dessus de l’ho-
rizon de la mer, comme s’il sortoit du chaos, ce sont
ses expressions ;'ét sur ce fait qu’il avoit observé: tant de
fois , ilétablissoit les hypothèses les plus bizarres , sup-
posant que , pendant l’hiver , l’air contigu à la surface
de la mer éprouve une condensation si forte, qu’il arrête
la lumière du soleil , et forme comme un second horizon
faux , plus élevé que le véritable d’une quañtité qui à
Pondichéry étoit de 4 ou 5 minutes de degré. Il avoit
même remarqué que la réfraction ordinaire sur ce faux
horizon, étoit moindre qu’à l’horizon véritable , et il en
tiroit des conséquences contre l’observation des Hollan-
dois dans la nouvelle Zemble. Mais ces phénomènes
s’expliquent par notre théorie , comme on vient de le
voir, sans aucune difficulté, et le second horizon de Le-
1809. 29

226 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

gentil , loin d’être formé par de l’air condensé , l’est au
contraire par de l’air räréfié, qui forme sur la surface de
la mer une enveloppe au-dessous de laquelle aucun point
ne peut être aperçu.

Ces phénomènes ont aussi été aperçus par le second
Cassini ; en ‘allant de Portosino à Livourne. Les figures
que j’enr ai données dans le mémoire, sont exactement
calquées sur celles que nous avons trouvées dans les
manuscrits déposés à l'Observatoire. De sorte que par
cela même on peut encore juger que pour expliquer
ces phénomènes , je n’ai eu besoin d’y faire aucune
altération. :

Si les différences de densité des couches atmosphé-
riques restoient constantes pendant que le soleil s’abaisse ,
le temps qui s’écoule entre l'instant où la réflexion com-
mence , et celui où les deux images se touchent, seroit
égal au temps qu'emploieroit le bord inférieur du faux
soleil pour remonter de l’horizon apparent jusqu’au soleil
vrai. Maïs à cause des variations continuelles qui sur-
viennent dans la température de l’air inférieur à l’instant
du coucher du soleil, ce rapport ne peut point s’observer.
Car, par l'effet de ces variations, la dépression de l’hori-
zon apparent de la mer, ou plutôt du point que l’on prend
pour cet horizon , doit changer sans cesse avec de grandes
irrégularités. C’est aussi ce que Legentil a remarqué
dans ses observations de l’Inde. La seule apparition du
premier rayon solaire , faisoit baisser l'horizon apparent
d’une quantité qui alloit quelquefois jusqu’à 36 secondes
dé dégré. Le contraire arrive le soir lorsque le soleil se

QUI S'ORSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 227

couche, et l'horizon apparent s'élève avec de grandes ir-
régularités. C’est ce que l’on voit dans les observations de
M. de Humboldt à Cumana, où ces changemens étoient si
bizarres que , suivant son expression , il sembloit que
l'horizon dansoit. Cette grande influence, des rayons so-
laires sur la température des couches inférieures de Pair
au lever et au coucher. du soleil , paroît! s’accorder
avec une observation,bien curieuse de! Saussure, c’est
-que la plus grande différence entre le thermomètre à
l'ombre et:le thermomètre au soleil ont lieu le inatin
et le soir. :Ofir À 's10%6021b

Ibpeut même arriver ; par l’effet de ces irrégularités,
que le phénomène des doubles images commence à se
produire sans qu’il continue jusqu’à la fin, c’est-à-dire,
par-exémple:, que le soir la seconde image peut, com-
mencer: à se-former; et ne pas se former entièrement.
Considérons, par exemple ; le:cas où le-faux soleil réuni
parle kaut au soleil véritable, ne forme plus avec
lui qu'un seul disque:arrondi dans sa partie supérieure,
et coupé: inférieurement par l'horizon apparent: de Ja
mer. (Voyez:fig: 82.):Ge, cas arrivera le soir, lorsque
-le bord supérieur du vrai soleil, descendant vers la
mer, n’a pas encore atteint la trajectoire limite, et ne
donne pas.encore de, double image, ce qui fait que
le faux :soleil:semble encore, coupé par: l’horizon., Si
alors ; par Peffetde d’abaissement subit, de la tempéra-
“ture ; Fhorizon apparent se relève jusqu’à atteindre l’ho-
rizon vrai,de;bord supérieur.du vrai soleil n’atteindra
point là trajectoire ilimite qui, s’abaissera devant lui,

228 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

l’image réfléchie de ce bord ne se formera donc pas,
et le disque réel accompagné de la portion de-son image
réfléchie dont l’étendue diminué sans cesse, viendront
disparoître ensemble , aux limites de l'horizon , revenu
lui-même à sa véritable hauteur. Ce cas paroît être un
de ceux que Legentil a observés sur les côtes de Norman-

die , car il vit deux jours de suite ; au coucher du soleil,

Vimage du bord inférieur se former au-dessous du disque
réel , à Phorizon mème de la mer, puis venir, en se
levant , se réunir à lui, et le tout diminuant peu-à-peu,
disparoître à l’horizon même de la mer sans aucune image
réfléchie du second bord. Ce ne fut que le troisième jour
que l’on vit aussi cette dernière image ; mais aussi Sa dis-
parution totale se fit au-dessus de l’horizon apparent de
la mer, conformément à notre théorie. Il est fâcheux que
Légentil n’ait pas mesuré les hauteurs de Phorizon ap-
parent de la mer!/dans ces diverses circonstances. Il est
bien probable que , dans le cas où la seconde image parût
complète, il auroit trouvé l’horizon apparent plus abaissé
que les jours précédens où'cette image ne'se formoit
point ; et ces jours-là , sans doute, il auroit vu l'horizon
apparent s’élever graduellement en revenant à l’hori-
zon vraï.!! | )

Enfin ; lorsque l’on observe des réfractions extraordi-

‘nairés produités par les causesique nous venons d’assi-
“gner; il peutet il doit souvent arriver que:la couche

Ê Le, . CE .
-d’air inférieure qui repose sur la surface de la mer, n’a

pas partout la mêmedensité. En effet, la profondeur plus
ou moins considérable de la mer, les courans, les agita-

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 229

tions locales de l’air, et mille autres causes analogues,
doivent troubler sans cesse et détruire cet état d’unifor-
mité, de température et de sphéricité des couches que
nous avons supposé. Ces circonstances, en compliquant
la forme des caustiques, et les rendant variables d’un
instant à l’autre , doivent varier aussi les images de mille
manières, multiplier leur nombre et produire une infi-
nité d’accidens bizarres de réfractions extraordinaires ,
qui seront surtout sensibles vers le coucher du soleil, au
moment où cet astre est près de quitter l’horizon. Tels
sont, par exemple , ceux que l’on voit rapportés dans les
fig. 33, 34 et 35. La première série a été observée par
Cassini le fils, au lever du soleil, le 17 décembre 1698,
et calquée sur ses dessins, que nous avons retrouvés à
l'Observatoire. Les deux autres ont été observées par
Mathieu et moi, à Dunkerque, au coucher du soleil.
Cet allongement subit du bord inférieur qui commence le
‘phénomène ( #g. 34 bis) et qui fait ressembler le soleil à
une poire, répond à l’instant où il entre dans les couches
de réfraction négative où les trajectoires ne se coupent
point encore, mais abaissent seulement les objets. Plus
tard , le bord inférieur arrive dans l’espace où se fait le
renversement, et, selon la forme de la caustique, il
donne des images doubles ou multiples. En même temps
le haut du disque, inégalement abaïssé par la réfraction
négative, se déprime sur les bords plus qu’à son sommet,
«et prend la forme d’un toit, comme le montre la fg. 35.
Enfin, lorsque le disque presque entier s’est plongé sous
‘là caustique et qu’il n’en reste plus au-dessus qu’une

\

230 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES
portion très-petite, cette portion, agitée par les ondula-
tions de la couche inférieure, éprouve des oscillations
excessives qui tantôt augmentent, la diminuent ou la
font en partie disparoître, jusqu’à ce qu’enfin arrivée
elle-même dans la couche inférieure, et présentant l’ap-
parence rapportée dans la 9. 35, elle s’évanouit comme
une vapeur lumineuse semblable aux légers nuages que
le soleil dore encore de ses rayons quand il a déjà disparu
pour nous.

Je crois pouvoir expliquer par la même théorie les
phénomènes des triples images, observés par M. Vince
et dont j'ai déjà parlé plus haut. Quand je dis expliquer,
j'entends ramener ces phénomènes à une même cause ,
à une même forme de caustique , telle que la disposition
des images, et leur marche relative quand elles s’a-
baissent ou qu’elless’élèvent , soient des conséquences
nécessaires de la forme supposée. Car admettre, comme
l’a fait M. Vince, autant de lois différentes de densité
qu’il y a d'images visibles , neme paroît point une expli-
cation satisfaisante, puisque Jes mouvemens respectifs
des images restent arbitraires ; tandis que, d’après la des-
cription qu’il en donne , ces mouvemens avoient entre
eux des rapports déterminés.

Malheureusement M. Vince n’a pas observé l’élément
le plus nécessaire:pour l’explication de ces phénomènes,
je veux dire la dépression apparente de l’horizon.de la
mer. De sorte que l’on ne peut pas affirmer a ;priori,
si les trajectoires, dans leur partie inférieure, étoient con-
caves ouconvexes vers la surface des eaux. Cependant

QUI S’OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 231

je crois pouvoir conclure qu’elles étoient convexes d’après
plusieurs raisons que je vais développer.

M. Vince remarque dans son Mémoire que le jour où
les phénomènes parurent ,la chaleur avoitété excessive :
c’étoit le 1° avril 1798. En observant pour ce jour-là la
marche du thermomètre observé à Londres, on voit en
effet qu’à 7 heures du matin le thermomètre extérieur
marquoit 64° de Fareinheit ou 17.78 de l'échelle centé-
simale, tandis qu’à 2 heures il marquoit 82° de Farein-
heit ou 27.78. La plus forte chaleur du jour fut de
28.33, par conséquent peu différente de la précédente;
et le lendemain le thermomètre ne s’éleya pas à beau-
coup près à la même hauteur. Ainsi, pendant l’obser-
vation du phénomène, qui se fit depuis 4 heures + du soir
jusqu’à 8 heures , la température de l’air devoit avoir
considérablement diminué , surtout dans les couches su-
périeures , par l’effet de l’abaissement du soleil. Mais la
surface de la mer n’avoit pas dû se refroidir aussi vite.
Elle pouvoit donc alors et devoit probablement se trou-
ver plus chaude que l'air, ce qui donne des trajectoires
convexes dans leur partie inférieure , et une densité
croissante du bas en haut, jusqu’à une petite hauteur ;
après quoi l'influence de la mer devenant moins sen-
sible , la densité devoit aller de nouveau en diminuant
comme à l’ordinaire, et probablement suivant une loi
beaucoup plus rapide, tant à cause de l’abaissement
subit de la température , qu’à cause de la chute des
vapeurs aqueuses qui devoit en résulter, et qui par leur
accumulation et par le froid qu’elles produisoient en se

232 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

précipitant pouvoient contribuer à augmenter la réfrac-
tion dans les couches qu’elles traversoient. Ces con-
jectures sont confirmées par plusieurs remarques de
M. Vince lui-même. Il a vu plusieurs fois des images
partielles de la mer se montrer, par places , au-dessus de
l'horizon apparent. Tantôt elles paroissoient ou dispa-
roissoient tout-à-coup , ou bien elles se mouvoient paral-
lèlement à l’horizon avec beaucoup de rapidité. Ces por-
tions de la mer qui se découvroient ainsi, pour quelques
instans, semblent bien indiquer qu’elles n’étoient aupa-
ravant cachées que par la surface caustique qui s’éten-
doit au-dessus d’elle, et qui s’abaissoit ou s’entr’ouvroit
par l'effet de quelque variation atmosphérique. M. Vince
remarque aussi qu’à une certaine époque de l’observa-
tion , il a vu un épais brouillard se mouvoir le long de
horizon avec beaucoup de rapidité , en offrant des on-
dulations semblables à celles de la fumée d’une cheminée,
Mais ce prétendu brouillard que M. Vince suppose venu
de l’autre côté de l’horizon, et qu’il imagine être une
cause de ces réfractions extraordinaires m’étoit, si je ne
me trompe, rien autre chose que les vagues mêmes de la
mer, qui, dans leurs ondulations, élevoient de temps en
temps leurs sommets jusqu’à la hauteurdela caustiquede
manière à y produireles images vagues d’un brouillardnua-
geux. Dans nos observations de Dunkerque , nous avons
souvent, M.Mathieuetmoi,aperçude pareilles images qui
sont représentées /g. 36, et les premières fois que nous
les vimes nous ne pouvions absolument nous expliquer
ce qui pouvoit les occasionner, ni comment elles se

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 233

montroient ainsi au-dessus de l’horizon apparent. Mais
en suivant cet horizon depuis le large où il étoit moins
abaissé par la réfraction extraordinaire qui r’étoit dans
toute sa force que sur le sable , nous découvrimes enfin
que ces apparences nuageuses r’étoient que le prolonge-
ment de l’horizon mème , et qu’elles se montroient dans
les points où la caustique, par l’effet des ondulations du
sol , s’élevoit presque à la hauteur de cet horizon. Dans
la figure citée Æ H' est l'horizon de la mer au large, 24°
est l'horizon apparent sur le salle , formant avec un saut
brusque la continuation du précédent. Souvent aussi une
autre cause produisoit des apparences vaporeuses , sem-
blables à des nuages jaunâtres suspendus dans l’air (voyez
fig. 60). C’étoient des sommets de dunes qui s’élevant
irès-peu au-dessus de la caustique présentoient outre leur
image directe une image renversée, dont les contours
arrondis paroissant suspendus dans l'air complétoient
pleinement l'illusion. Maïs ces images de sable étoient
immobiles , excepté dans les portions de leurs bords qui
se trouvant à la hauteur de la caustique, participoient
aux ondulations continuelles de la couche d’air infé-
rieure , au lieu que les images d’eau produites par les
vagues de la mer étoient mobiles comme elles et sem-
bloient continuellement agitées.

Je tire encore des observations mêmes une autre preuve
que les trajectoires n’étoient pas convexes dans toute l’é-
tendue de leur cours , comme cela auroit eu lieu s’il n’y
avoit eu dans l’air qu’un seul état de densité décroissante
de haut en bas. Cette preuve consiste en ce que les

1809. 20

234 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

deux images supérieures dont la plus haute étoit directe

et l’autre renversée, ont été plusieurs fois complètes,
c’est-dire que le vaisseau y étoit représenté tout entier
depuis le sommet des mâts jusqu’au corps même du bä-
timent, Or, d’après les expériences que nous avons faites
sur le sable à Dunkerque , si ces deux images eussent été
‘données par des trajectoires entièrement convexes vers la
mer, ces trajectoires eussent nécessairement formé une
caustique qui se seroit élevée au-dessus de la surface de la
mer à mesure qu’elle s’éboignoit de l’observateur. Cette
caustique auroit donc caché de plus en plus les parties
inférieures du vaisseau à mesure qu’il s’éloignoit, et par
conséquent les deux images de ce vaisseau n’auroient pas
été complètes, non plus que celles de l’homme représenté
dans la fo. 9.

On peut encore prouver par les observations de M. Vince
que la caustique n’étoit pas formée d’une branche unique,
mais de deux branches distinctes réunies par un point
de rebroussement et dont la plus basse alloit continuel-
lement en s’approchant de la surface de la mer à mesure
qu’elle s’éloignoit de l'observateur. Car puisque M. Vince
a vu des images complètes de vaisseaux qui se touchoient
par le corps même du bâtiment, il falloit bien qu’alors
le vaisseau reposât sur la caustique; et comme il en a vu
aussi d’autres qui se touchoient par le sommet des mâts,
il falloit bien qu’alors le vaisseau se trouvât sous la caus-
tique et la touchât par le sommet de ses mâts. Enfin, puis-
que les images d’un même vaisseau données par ces deux
branches s’écartoient continuellement l’une de Pautre, à

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 235

mesure que le vaisseau s’éloignoit, les deux branches
de la caustique s’éloignoient donc aussi l’une de l’autre;
ce qui indique une forme semblable à celle de la g.21
ou à toute autre analogue qui seroit donnée par la com-
binaison de deux décroissemens de densité contraires.
Cette conséquence déduite immédiatement des obser-
vations, s’accordant avec l’état décroissant de la tempé-
rature , et avec toutes les apparences que nous avons
discutées, je crois pouvoir admettre comme une chose
très-probable que, par l’excès de chaleur de la mer, à
à l’époque où a observé M. Vince, les couches infé-
rieures de l’air se trouvoient dans un état de densité crois-
sante de bas en haut, jusqu’à une petite hauteur, au-
dessus de laquelle les densités alloient de nouveau en
décroissant par suite de l’abaissement de la température,
avec assez de rapidité pour donner des images par en
baut. D’après les élévations données par M. Vince, nous
devons placer l’observateur dans ces couches supérieures,
car il dit avoir observé le phénomène à 25 et à 80 pieds
de hauteur. Nous avons déjà examiné précédemment
les combinaisons de ces deux états contraires, et l’on a
vu qu’elle explique très-aisément les images multiples
observées au Desierto de las Palmas et à Cullera , phé-
nomènes qui paroissent avoir le plus grand rapport
avec ceux que M. Vince a décrits. Nous supposerons
donc, conformément à l’endroit cité, que la caustique
avoit une forme FR", fix. 38 , analogue à celle de la
Sig. 21. Soit 4 MH la circonférence de la terre, O l’ob-
servateur, O MY la trajectoire limite tangente à la sur-

236 SUR. LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

face de la mer. Il s’agit d’examiner les phénomènes ré-
sultans de cette loi.

Considérons d’abord un vaisseau placé en S Q un peu
au-delà de l'horizon apparent ,et supposons que cette por-
tion soit très-voisine du point de rebroussement À. La
trajectoire limite O AZ F7 coupera la partie inférieure du
vaisseau par sa seconde branche et tout ce qui se trou-
vera au-dessous de cette branche sera invisible directe-
ment, mais la partie supérieure enverra par la branche
de caustique 777, une image (4) qui sera droite puis-
qu’elle sera donnée par des trajectoires qui se coupent
au-delà de l’objet. Cette image terminée inférieurement
par la trajectoire limite O MF paroîtra reposer sur l’ho-
rizon. En même temps la partie S P du sommet des mâts,
qui s’élevera au-dessus de l’autre branche RY7 de la
caustique pourra envoyer par les a:cs TRet RP une
image (B) renversée plus élevée que la précédente , et
une image droite (€) encore plus haute par l’arc P F7,
À mesure que le vaisseau s’éloignera, la seconde branche
de la trajectoire limite le coupera à une plus grande hau-
teur. Ainsi la partie visible de SQ diminuera successi-
vement, comme si (4) descendoit sous l’horizon : en
même temps (B) et (C) paroîtront monter, parce que les
trajectoires qui les donnent ayant leurs points de tan-
gence sur des points plus bas de l'arc RAF s’éleveront
davantage dans le milieu supérieur. Enfin si le vaisseau
s’éloignoit toujours, la branche inférieure RŸ de la
caustique s’abaissant de plus en plus vers la mer, l’image
(À) sera réduite au sommet des mâts ; les deux images

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 237

(B) et (C) seront complètes ou presque complètes et
reposant sur la même caustique se toucheront toujours ;
et si la branche À F” rase d’assez près la surface de la
mer, les points communs aux deux images pourront faire
partie du corps même du bâtiment. Alors les deux
images (B) et (C) sembleront se toucher par la quille;
mais en même temps elles paroïîtront fort élevées au-des-
sus de (4) et sembleront suspendues dans le ciel. C’est
ce que représente la fg. 39 qui est précisément la 9. 1
de M. Vince.

Supposons maintenant que, par l'effet de quelque
variation atmosphérique ou par un défaut de sphéricité
des couches, il y ait quelque partie de l’espace où la
branche inférieure R V7” de la caustique pénètre l’inté-
rieur de la mer. Alors si le vaisseau est plus éloigné que
cette limite, les deux images (B) et (C) ne reposeront plus
sur la caustique qui les donne ; par conséquent elles se
sépareront , en restant toujours élevées au-dessus de l’ho-
rizon apparent, et l’on verra la mer entre deux. C’est le
cas de la #g. 41 qui est la fs. 4 de M. Vince, et les
mouvemens qu’il a observés dans les images, ainsi que
leur accroissement successif, sont aussi conformes à ce
qui précède.

La supposition que nous venons de faire sur la non
sphéricité des couches n’est point gratuite, car M. Vince
remarque que des vaisseaux également élevés au-dessus
de l’horizon apparent présentoient des apparences très-
diverses , souvent plusieurs images , comme nous venons
de le dire , quelquefois deux seulement, l’inférieure cons-
tamment droite , la supérieure renversée , d’autrefois.

238 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

enfin on n’en apercevoit qu’une seule directe et reposant
sur l’horizon. Les côtes de Calaïs qui présentoient aussi
des phénomènes analogues , offroient aussi les mêmes
variétés, quelquefois on les voyoit doubles, un instant
après elles étoient invisibles. Toutes ces apparences sont
contraires à l’idée d’une sphéricité parfaite des couches
d’air qui produisoient ces phénomènes , et l’on conçoit
en effet qu’étant le résultat d’un équilibre non stable ,
ils peuvent difficilement s’accorder avec une forme
constante.

Le voisinage des terres qui s’échauffe toujours plus
que la surface de la mer est une cause très-propre à alté-
rer ainsi la sphéricité des ‘couches d’égale densité. Les
observations de M. de Humboldt à Cumana , en offrent
un exemple remarquable. En observant la suspension
d’une grande île appelée /a Boracha , il a constamment
remarqué que les deux bords de cette île étoient inéga-
lement relevés. Du côté nord la partie suspendue avoit
plus de cinq minutes de longueur, dans le sens horizon-
tal ; du côté sud elle avoit à peine 2". Mais aussi le côté
nord regarde l’Océan, tandis que le côté sud regarde le
Continent et est très-rapproché de la petite île Picuita.
Par suite de cette disposition la température de Pair du
côté nord de l’île en temps calme, est plus basse que
du côté sud , suivant M. de Humboldt, de 1 ou 2 degrés.
Mais la température des eaux qui baiïgnoient les rivages
étoit à-peu-près la même des deux côtés de l’île. Ainsi
lorsque la mer étoit plus chaude que Pair dans ces pa-
rages, la différence des températures extrêmes de l’eau et
de l’air devoit être toujours moindre du côté sud que du

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 239

côté nord, d’où résulte une moindre réfraction négative,
et par conséquent une plus petite suspension.

De même, dans les observations de M. Vince, le dé-
croissement de la température au-dessus des terres au
lieu où il étoit placé, devoit être moins rapide qu’au
dessus de la surface de l'Océan. Cette circonstance ou
d’autres variétés locales pouvoient empêcher quelques-
unes des trajectoires menées au-dessus de l’observateur,
d’avoir leur maximum en avant de lui , tandis que d’au-
tres plus élevées et devant avoir leur #27aximum plus
loin que les précédentes, au-dessus de la surface de la mer,
finissoient par l’atteindre , et redescendoient ensuite dans
les couches inférieures. Si cet effet avoit lieu , il devoit
faire évanouir la portion de caustique correspondante
aux trajectoires dont il s’agit, c’est-à-dire une partie de
la branche R J'. Alors l’image droite supérieure (C) ne
pouvoit pas se former d’abord, mais seulement quand
le vaisseau étoit assez éloigné pour que les trajectoires
dirigées vers 7’ tombassent sur une portion de caustique
réelle , au lieu que l’image (B)se formoit encore, par des
trajectoires plus basses , au moyen de l'arc antérieur RP
et de son prolongement suivant la trajectoire tangente
en P. On devoit donc alors ne voir que deux images, l’une
()inférieure et droite reposant sur l'horizon, l’autre (B)
supérieure à la première et renversée. C’est le cas des f29.
40 et 4o bis, qui répondent aux gs. 2 et 3 de M. Vince.
Comme les deux images se touchent, il falloit que la
branche de caustique PRY se trouvât à peu près à la
hauteur du sommet des mâts; mais ces figures elles-mêmes
montrent que les couches d’égale densité n’étoient pas

240 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

sphériques, puisque dans la première où l’image (B) est
déjà toute formée, (4) repose encore tout entier sur l’ho-
rizon apparent, tandis que dans la seconde où (4)est déjà
descendu sous l’horizon, Pimage (B)ne commence qu’à se
former. Cette image, suivant la remarque de M. Vince,
paroissoit et disparoissoitsuccessivement, découvranttan-
tôt une plus grande partie du sommet du mât, tantôt une
moindre. Il sembloit qu’elle s’élancçât de bas en haut avec
beaucoup de rapidité commele rayon d’une aurore boréale.
Ces remarques conviennent tout-à-fait à la position que
nous attribuons au vaisseau près du pont À de rebrousse-
ment de la caustique , point dont la situation doit être
variable dans une atmosphère ondulante. De plus dans
cette /9. 40 bis, l’image supérieure (B) resta en contact
avec (4) jusqu’à ce qu’elle fût formée complètement, et
elle ne s’en sépara qu'après. Cela indique que la branche
de caustique A7 étoit à fort peu près circulaire dans cette
étendue, et qu’ensuite elle alloit en s’élevant au-dessus
de la surface des eaux , comme l’exige la marche des tra-
jectoires. Enfin si, dans la fg. 41 on suppose un abaisse-
ment de la température, le point de contact de la trajec-
toire limite sur la mer s'éloigne de l'observateur , la
seconde branche de cette trajectoire rencontre (4) à une
moindre hauteur , de sorte qu’il semble monter sur l’ho-
rizon. En même temps l’image supérieure s’évanouit
par l'effet de la même cause, on perd d’abord de vue le
somanet des mâts, puis la quille, puis la mer, tandis
que (B) donné par des trajectoires plus basses , s’abaisse
vers (4) et vers l’horizon. C’est ainsi que la #g. 41 s'est
défaite d’après les observations de M. Vince. Mais comme

QUI S'OBSERVENT TRÉS-PRÈS DE L’HORIZON. 241

nous n’avons malheureusement aucune mesure exacte
du phénomène , nous devons borner ici ces considéra-
tions , et si nous avons pu tenter d’expliquer générale-
ment les circonstances qui paroissent principales , ce
seroit nous hasarder beaucoup que d’entreprendre aussi
d’expliquer des variétés sur lesquelles nous n’avons
aucuns renseignemens précis. Les deux remarques sur
lesquelles M. Vince insiste le plus, sont, 1°. que ces
phénomènes n’avoient lieu que pour les vaisseaux situés
de l’autre côté de l’horizon; 2°. que plus (4) descen-
doit graduellement sous l’horizon ,. plus les images (B)
et (C) paroïssoient davantage et montoient; réciproque-
ment, lorsque (4) montoit (B) et (C) descendoient. Ces
deux circonstances générales sont , je crois, expliquées
par ce qui précède d’une manière simple, et conformes à
ce que d’autres expériences nous ont appris sur des phé-
nomènes semblables. Le reste, par le défaut de données

précises, n’est qu’une hypothèse propre à représenter

les faits.

Rapports des dimensions des images. Explication de
la suspension.

J’arréuni dans ceparagrapheun grand nombre de phé-
nomènes curieux que nous avons observés, M. Mathieu et
moi , à Dunkerque , et dont nous avons pris des mesures
exactes avec le seul répétiteur. Je les rapporterai dans
Vordre où ils se sont présentés à nous et tels que nous
Îles avons décrits sur les lieux. J’essaierai, en les expo-
sant, de montrer leurs rapports avec la théorie que j’ai

1809. 31

242 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES,
établie dans ce mémoire, et j’y ajouterai quelques dé-
veloppemens pour les phénomènes que nous n’avons pas
encore considérés,

Lorsque nous aperçûmes pour la première fois ces
phénomènes de réfraction extraordinaire, nous étions
placés sur le sable, au niveau de la haute mer, un peu
au sud du Risban. En regardant l'horizon dans l’ouest
le rayon visuel passoit sur des plages sablonneuses qui
formoient le prolongement de celle où nous nous trou-
vions. La vue, de ce côté, étoit terminée par une foule
d’objets tels que des Fr des maisons, des arbres,
des dunes sablonneuses.

Étant sur le sable on apercevoit distinctement tous ces
objets; mais au-dessous d’eux on apercevoit une ligne
blanche horizontale très-distincte et en tout semblable
à la lumière du ciel; ce qui produisoit le même effet
que si les objets eussent été suspendus dans l'air : on
ne voyoit distinctement au-dessous d’eux aucune image
renverse. |

La fig. 42, représente les phénomènes qui avoient

heu lorsque l’œil étoit élevé à 61 centimètres au-dessus
q

du niveau du sol, à l’endroit où nous nous trouvions.
A est un clocher sur la gauche , le plus voisin de nous;
il n’étoit nullement rer pe et l’on voyoit distincte-
ment avec la lunette les maisons et les arbres jusqu’à
son pied.

B est un autre clocher à droite du précédent Rue on
voyoit le sommet B et la partie BB'; mais entre B'et

l’horizon apparent il y avoit l'intervalle aérien FH de

|
|

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 243

la couleur du ciel, mais plus brillant. La partie BB
étoit très-ondulante, surtout en PB”, et en général les on-
dulations sur le sol étoient excessives. L’image BB
n’offroit qu’une masse obscure , noirâtre, bien terminée
par le haut et sur les bords, mais sans distinction de
parties qui pussent faire juger si une portion de cette
image étoit le renversement de l’autre. C'étoit une autre
aiguille de clocher très-allongée; aaaa sont des têtes
d'arbres qui paroïissent aussi sans pieds.

Telles étoient les apparences qui avoient lieu lorsque.
l’œil étoit élevé à 61 centimètres au-dessus du sol envi-
ronnant; mais ces apparences changéoient avec l’éléva-
tion de lPœil.

Par exemple, si Pon se levoit debout, l’œil étant envi-
ront à 1.8 mètre au-dessus du sol, on découvroit une
plus grande partie des objets B C. Leur pied n’étoit plus
suspendu en lair, maïs sur des terres qui auparavant
étoient invisibles , et qui à leur tour sembloient suspen-
- dues au-dessus de l’horizon apparent dont elles étoient
séparées par Pintervalle aérien FI. (Voyez fig. 43) En

s’abaissant de nouveau les mêmes apparences se repro-
aseisat dans un ordre inverse. Les objets perdoient peu
à peu de Îeur pied , et les terres qui leur servoient de
base disparoïssoient pour ne laisser voir que les appa-
rences de la fg. 42. Cela étoit surtout sensible pour le
petit édifice D qui se voyoit ainsi très-distinctement,
dans le Cas de la fig. 43; mais qui, lorsque l’œil s’ap-
prochoit du sol, se‘perdoit peu à peu, jusqu’à ce qu’il
fût noyé dans la mer aérienne qui paroissoit au-dessus
de l'horizon.

LE

244 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

Ces changemens d’aspect produits pas les changemens
de hauteur de l’œil s'expliquent aisément par la théorie
exposée dans ce Mémoire. Lorsque l’œil s’abajsse, le point
de tangence de la trajectoire limite sur le sol se rap-
proche’de l’observateur, la caustique continue ou dis-
continue qui commence toujours à ce point de tangence
se rapproche aussi ; et comme elle va continuellement
et s’élevant sur le sol à mesure qu’elle s'éloigne, elle
atteint alors et couvre des objets qui se trouvoient pré-
cédemment au-dessus d’elles, lorsqu'elle sortoit du sol
dans un point plus éloigné. Si ensuite l’observateur s’é-
lève de nouveau , le point de tangence.de la trajec-
toire limite sur le sol et l’origine de la caustique s’é-
loignent. Alors les mêmes apparences doivent donc se
reproduire en sens inverse , et l’on revoit des objets qui
s’étoient précédemment cachés. e

J’ai eu l’occasion de faire une observation de ce genre
sur la Méditerranée, dans le port de Dénia, étant
à bord d’un petit chébeck algérien. Assis sur le pont
de ce chébeck , je voyois au large des bâtimens à la
voile , qui présentoient au-dessous d’eux une image ren-
versée. Cette image n’étoit point entière ; elle ne compre-
noit que le corps du bâtiment et la partie inférieure des
voiles. Enfin elle étoit nettement coupée par l'horizon
apparent, de sorte que le vaisseau et son image tronquée
paroissoient reposer dessus. Mais si, au lieu de rester as-

-sis, je me levois peu à peu, en tenant toujours ma lunette

dirigée sur le vaisseau, je voyois peu à peu l'horizon ap-
parent s’éloigner, atteindre successivement et faire dispa-
roître les diverses parties de l’image renversée , s'élever

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 245

enfin jusqu’au corps du bâtiment , et même le dépasser
d’une quantité très-notable. Alors on n’en voyoit plus
qu’une seule image droite , située en deçà de Phorizon ap-
parent. Maïs en s’abaissant de nouveau l’horizon s’abais-
soit aussi, et la seconde image reparoissoit. Ces chan-
gemens s’expliquent sans difficulté par le mouvement de
translation de la caustique dans le sens horizontal.

Dans nos observations de Dunkerque , la disparition
des terres ne se faisoit pas d’une manière aussi régulière-
ment horizontale , mais elles se fendoient pour ainsi dire
et disparoissoient plus tôt dans certains points que dans
d’autres , sans doute en raison des ondulations du sol; et
peut être aussi en raison des inégalités de la tempéra-
ture, qui pouvoit n'être pas la même dans toutes les
couches d’air situées à la même hauteur.

Lorsque la hauteur de l’œil étoit de 61 centimètres
(fig: 42), les images aaa des arbres ne se montroient
pas constamment, xmais par intervalles. T'antôt elles
paroissoient tout-à-coup au niveau de la ligne FF,tantôt
elles s’abaissoient et s’évanouissoient aussi tout-à-coup.
Ces apparences changèrent aussi à mesure que la mer
en se retirant , abandonnoiït, sur ses bords, des plages
sablonneuses qui s’échauffoient aux rayons du soleil,
avec une évaporation et des ondulations excessives. On.
voyoit , au moyen de la lunette, des vagues venir de la
mer, s’avancer vers le sable, ét aller mourir , non pas
en s’abaiïssant à la manière ordinaire , mais en se perdant
et s’'évanouissant sous la caustique , formée dans l’océan.
aérien. C’est ce que représentent les /g. 36 et 37. Nous

246 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

vimes aussi des oiseaux de mer, qui d’abord ne donnoient
qu’une image simple et droite, envoyer ensuite une se-
conde image renversée , à mesure que, dans leur vol, ils
s’approchoient de l'horizon apparent, et qu’ils étoient
près de s’y plonger. C’est ce que représente la ir. 44. Ces
images ne se voyoient jamais en deçà de l’horizon appa-
rent , inais au-delà. Toutes ces apparences s’expliquent
&’elles-mêmes d’après notre théorie.

Quelquefois aussi il arrivoit que les oiseaux se per-
doicnt subitement avant d’avoir présenté de doubles
images. Nous avons plus d’une fois observé cette parti-
cularité. Sans doute alorsils se plongeoïient dans la partie
de la trajectoire limite , comprise entre le sol et le point
où commence la caustique formée par les intérsections
des trajectoires plus élevées. En effet, dans cette première
portion de la trajectoire limite, il y a disparition sans
renversement. C’étoit, au reste , un spectacle curieux que
celui de ces nuées d’oiseaux qui , approchant avec ra-
pidité de l'horizon , doubloient tout-à-coup leur nombre.
leur marche et leurs mouvemens.

Un peu à droite des objets terrestres que nous avons
décrits,nous vimes aussi les apparences suivantes qui se
maintinrent pendant tout le temps des observations,
(Voyez fig. 45).

C’étoit comme une espèce d’ile où l’on distinguoit
une flèche très-allongée , que l’on à désigné par G dans
la figure et qui étoit sans doute un clocher. Près d’elle,
sur la gauche on voyoit unautreclocher moins aigu, qui
est désigné par £. La partie inférieure présentoit une con-

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 247

formité de contours frappante avec la partie supérieure.
Il y avoit en Æ' et G' deux prolongemens correspon-
dans aux deux élévations F, G, et le tout étoit suspendu
dans le ciel. D’après ces rapports de forme il paroissoit
bien que l’image inférieure étoit le renversement de
l’autre, et que cette apparence d’une île jaunâtre et élevée
étoit produite par des sommets de.dunes qui s’élevoient
au-dessus de la caustique cc, évidemment indiquée par
le contact des deux images.

Au coucher du soleil les phénomènes cessèrent. Il n’y
eut plus de renversement , ni de suspension sensible,

Le mauvais tems ne permit pas de revoir ces phéno-
mènes avant le 7 mars. Nousles observämes dans un lieu
voisin du précédent, mais sur unterrain plus bas, que le
reflux abandonne au pied même et à la gauche du Risban.
Ces.circonstances étoient plus favorables à cause de l’a-
baissement de l’œil, et parce que le rayon visuel rasoit
plus long-temps.et de plus près la surface sablonneuse ,
avant de parvenir aux objets éloignés. Lorsque nous
arrivâmes le matin dans cet endroit, toute la côte dans
Vouest, qui nous avoit paru seulement suspendue la
veille, l’étoit plus fortement, et présentoit , outre l’image
directe , une image renversée ; les objets situés au-dessus
des dunes, particulièrement le grand clocher à gauche,
se voyoient aussi renversés. Mais. il y avoit cette diffé-
rence , que l’image renyersée des dunes étoit suspendue
en l’air, tandis que l’image renversée du clocher, descen-
doit plus bas, presque jusqu’à l'horizon apparent, qu’elle
touchoit quelquefois , et dont quelquefois elle paroissoit
un peu séparée. La partie inférieure de cette image étoit

248 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

extrêmement vague, indistincte, mal terminée et très-
applatie, tandis que celle des sommets des dunes étoit
très-nette et avoit ses contours bien tranchés. Du reste
il n’y avoit pas la moindre apparence de perspective
aérienne : le clocher paroissoit comme un plan obscur
sur le fond du ciel. Ces apparences, dessinées exactement
sur les lieux , sont représentées dans la #9. 46

La correspondance des contours faisoit juger d’une
manière très-précise la ligne de contact cc’ des deux
images directes et renversées. Cette ligne indique évi-
demment la section des dunes par la surface caustique ,
section qui étant parcourue par le fil transversal de la lu-
nette , paroissoit sensiblement horizontale , sans doute à
cause du grand éloignement des objets.’ Le sommet des
dunes seul s’élevant au-dessus de la caustique , leur pied
étoit invisible , comme la partie inférieure de l’homme ,
représentée dans la planche 2. De plus , nous avons mon-
tré par l’expérience , que, dans ce cas, des portions
d’égale hauteur dans l’image directe, donnent dans Île
renversement , des images d’autant plus petites , que ces
parties elles-mêmes sont plus élevées au-dessus de l’ho-
rizon apparent. Voilà pourquoi l’image renversée de
la pointe du clocher étoit beaucoup plus applatie que
celle du sommet des dunes. En mesurant les distances
zénithales des diverses portions de l’image au moyen
du cercle répétiteur , nous trouvâmes les résultats sui-
wans (1). :

G) Les circonstances météorologiques de ces observations et des suivantes
ont été rapportées dans le tableau de la page 32, pour de 7 mars.

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 249

Dépression de l'horizon apparent de la mer, au

LES dico MANAGER d Er SEE 2ND2EO D SE LAlobsenr:
Dépression de l’hor. appar. 4_4' sur le sable . 6" 42°66. . 6 observ.
Distance du sommet Æ du clocher au zénith °:90— 7 54/25. : 6 observ.
Ce qui donne le diamètre apparent de 4B , . 14 3601
En mesurant séparément AC et BC on a trouvé : |

TOR EN TE NES CE EE 541/80). 0. 5 observ.
TT here An HSE More Qi 825460. 5 obsery:
Ce qui donne, comme précédemment Joe 14° 36”40

On voit que l’image directe BC surpasse beaucoup
l’image renversée 4 C, ce qui doit être en effet d’après ce
que nous avons vu précédemment. De plus , la somme
des deux distances 4C + BC— 14 36"4o, ce qui
confirme la hauteur de Æ mesurée directement. Mais
comme £' n’étoit pas toujours nettement séparé de l’ho-
rizON , on pouvoit craindre que l’image renversée du
clocher ne fût pas complète ; c’est pourquoi nous aurons
recours, pour établir cette circonstance , aux obserya-
tions des jours suivans.

Par une opération trigonométrique exacte > NOUS ayons
trouvé la distance du clocher au point de notre station ;
égale à 8384 mètres. On a déjà vu que le terrain n’étoit
pas de niveau , et que la pente de,sa surface où tomboit
Phorizon apparent, dans cette observation et dans les sui-
vantes , s’élevoit suivant une inclinaison de 1’ 12" en
s’éloignant de l’observateur.

Toutes les terres qui la veille, se voyoient suspendues
dans le nord-ouest > avoient disparu aujourd’hui et étoient

devenues complétement invisibles. Elles étoient donc
1809. 32

250 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

entrées sous la caustique , et cessoient d’être aperçues.

C’est sans doute pour cela que la première fois on
apercevoit par intervalles des arbres et d’autres petits
objets qui se montroient tout-à-coup, et tout-à-coup dis-
paroïssoient pour se remontrer ensuite. Il paroît bien que
la caustique passoit alors à fort peu près à cette hauteur,
et que tantôt elle étoit au-dessus , tantôt au-dessous , par
leffet des continuelles variations qu’elle éprouvoit.

Nous fimes ce jour-là , sur l’horizon de la mer , une
remarque analogue à celles que j’ai déjà rapportées. En
mettant le fil horizontal du cercle sur cet horizon au nord,
et au large , on le voyoit bien terminé , comme à l’ordi-
naire ; mais en donnant au cercle un mouvement azi-
muthal , et ramenant peu à peu la lunette du nord à
V’ouest , sans changerson inclinaison , la netteté de l’ho-
rizon s’affoiblissoit de plus en plus. Enfin la mer dispa-
roissoit entièrement , l'horizon n’étoit plus indiqué que
par une espèce d’ondulation vague , comme le représente
la fg. 37 ; et au-dessous, sur le sable, on voyoit un autre
horizon apparent , bien net et bien tranché. Pour con-
cevoir la raison de ces apparences , il suffit de savoir
que dans cette dernière direction , la surface du sable
étoit plus élevée que du côté du nord.

Le lendemain du jour précédent , le temps fut encore
plus. favorable. C’est ce jour-là que nous avons mesuré
les ordonnées de la caustique et de la trajectoire limite ,
ainsi que je l’ai rapporté dans la page 78. La température
de l’air sur le sable étoit plus élevée que la veille, tandis
qu’à un mètre de hauteur elle étoit un peu plus basse.

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 251

Le baromètre étoit aussi plus élevé de 3 millimètres.
Aussi les phénomènes du renversement étoient bien plus
considérables. Les dunes situées en avant du clocher,
avoient complétement disparu , elles s’étoient plongées
sous la caustique. Quelquefois pourtant leurs sommets les
plus élevés s’élevoient jusqu’à son niveau, comme une
ligne de vapeur , et leur apparition sur le milieu du clo-
cher, indiquoit exactement le point où la caustique le
coupoit. Voyez fig. 47 et 48. Cette caustique étoit donc
plus élevée que la veille, puisqu’elle cachoit des objets
qui étoient alors visibles, mais aussi l’horizon apparent
étoit plus bas, par conséquent plus rapproché de l’ob-
servateur , ce qui est conforme à notre théorie ; du reste
il n’y avoit pas plus de perspective aérienne que la
veille. Voici les dimensions des images observées au
cercle répétiteur :

Dépression apparente de l’horizon 44’, fig. 47 .. 6’ 5742. . 6 observ.
Lougueur de 4C. . . . . . ss... +. 7 4872. . 4 observ.
Honrueutide BC Pope! C'iniers Le EME. ë 34”16. . 4 observ,
Distance de £' à l'horizon RL PEER PINCE
Dist. du sommet Æ du clocher au zén. conclue , 90° — 9° 2546

Remarquons d’abord que le sommet du clocher étoit

plus élevé que la veille de 31”. Cela tient à l’accroisse-

ment de la densité dans les couches supérieures : d’où ré-
sulte un accroissement de la réfraction terrestre qui agis- .
soit seule sur le sommet Æ; néanmoins la distance BC
de ce sommet à la caustique est plus petite que la veille,

parce que la caustique s’est élevée d’une quantité plus
considérable.

252 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

On voit par ces mesures, que l’image directe BC
surpasse AC, c’est-à-dire , surpasse la distance de la
caustique à l'horizon apparent. Orle point £’ ,image ren-
versée du sommet du clocher , ne descend pas jusqu’à
cet horizon. Par conséquent l’image renversée est bien
plus courte que l’image directe, et d’après les mesures
précédentes , la différence est de 2° 59°, ce qui est con-
forme aux résultats que les expériences avec la règle ver-
ticale, page 79, avoient fait prévoir. .

D’après les mesures précédentes , on trouve encore que
le point C, intersection de la caustique, est élevé de
51"30 au-dessus du niveau de l’observateur. Or, puisqu’à
la hauteur de l’observateur , et même à une hauteur
beaucoup moindre , la densitéet la température étoient
sensiblement constantes ;ilétoit impossible, si les couches
eussent été horizontales , que la caustique s’élevât au-
dessus du niveau de l’observateur. Puis donc que cette
élévation s’observoit réellement , il falloit que le terrain
allât en s’élevant à mesure qu’il s’éloignoit de l’observa-
teur ; ce que le nivellement a vérifié. L’inclinaison propre
du terrain s’ajoutant alors à celle du rayon lumineux,
relevoit , comme nous l’avons dit plus haut, les secondes
branches des trajectoires , et c’eûtété réellement au-dessus
de cette inclinaison totale qu’il auroit fallu prendre les
hauteurs apparentes, pour connoître leurs véritables va-
leurs, relativement au phénomène que nous examinons.

La grande influence de inclinaison du terrain sur ces
apparences , se montra plus évidemment encore dans
une expérience que nous fimes le 10 mars à la même

QUI :S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 253

‘station. Ce jour-là les différences des températures ex-
trèmes étoient très-foibles , commele montre le tableau de
la page 32, et le renversement du clocher n’étoit pas
complet. Maïs, à cause du peu d’agitation de l’air ré-
sultant de cette foible différence de température, la
partie de l’image qui étoit renversée, et celle des som-
mets des dunes qui se projetoient en avant , étoit d’une
netteté extrême, et la perspective aérienne étoit assez
bien conservée pour que l’on pût distinguer les saillies
des objets. (Voyez fg. 49.) En plaçant successivement
le cercle à la hauteur de 1"15 et à o"61 on prit les dé-
pressions du clocher et de la caustique, et l’on eut les
résultats suivans :

Hauteur du cercle, 1.153 distance de l'horizon apparent

AATau Zénith «here me LS ONU Ye Cu 3° 56/52
Distance du sommet Æ du clocher'au zénith : : . , + 90° — 8’ 20”
Distance de l'intersection C de la caustique au Zénith .. 90° + o’ 30”

Donc, distance angulaire du sommet du clocher à la

caustrqQuepA ie) REA EAN NC (ee NET EN Se, 8" 50”
RE

Hauteur, du cercle, 0.61; distance du sommet £ du clocher
enzénitbl nl dE mn dar té see se 90 — 8 14”
Distance de l'intersection B de la caustique au zénith . . go° — 1' 33”
. . ENTRE

Donc, distance angulaire du sommet du clocher à la
FAUSDQUEn Te ones a a ON D RAS GA: 6” 41”

La partie du clocher qui s’élevoit au-dessus de la
caustique, étoit donc moindre quand l’observateur étoit
plus abaissé, c’est-à-dire qu’alors la caustique rencon-
troit le clocher plus haut. C’est l'effet du rapprochement
de l’origine de la caustique, peut-être aussi des inflexions

254 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

occasionnées dans cette courbe par les ondulations du
terrain et des couches d’air échauffé qui en recouvroient
la surface.

Les observations précédentes étoient plus que suff-
santés pour constater les généralités du phénomène ; elles
en fixoient même les détails avec autant de précision que
le comporte l’irrégularité des circonstances dont ces ob-
servations dépendent. Mais nous devions encore exami-
ner la marche même du phénomène , de quelle manière
il commence, et de quelle manièreil finit. Nous en avons
heureusement trouvé l’occasion le 19 mars , et cette oc-
casion a été si complète, qu’elle a suffi pour fixer toutes
nos idées, et pour nous découvrir la véritable cause du
phénomène singulier, et peut-être le plus fréquent de
tous, où l’on observe une simple suspension des objets
éloignés , sans‘image renversée sensible.

Ce jour-là on avoit pour circonstances météorolo-
giques :

Thermomètre sur le sable et au soleil. + 13:4 Baromètre — 0.76474
Sur le sable et à l’ombre . . . . . . 11°8 Therm. du barom. 14.3

Avririseta lbnibte , ee min 11-3

Température de la mer près du rivage . Æ 7:8 Mer plus froide que l'air.

Nous nous plaçâämes d’abord dans notre station ordi-
naire , le centre du cercle étant à 1.15 au dessus du sol. La
dépression de l’horizon apparent sur le sable étoit de 4
2716. Le clocher étoit en partie renversé, comme le re-
présente la #2. 50. L’élévation apparente de la caustique
au-dessus de notre niveau, n’étoit que de 8”. Tous ces ré-
sultats indiquent un renversement très-foible, ce qui

QUI: S'OBSERVENT, TRÈS-PRÈS-DE L'HORIZON. 255

s'accorde avec le peu de différence des températures.

Cependant d’autres objetséloignés , un clocher peu élevé,

‘des sommets de dunes , etc. étoient complétement ren-

versés etsuspendus en l’air.

Nous fùmes bientôt obligés de quitter notre station à
cause de la mer montante , qui venoit la couvrir , et nous
allâmes nous établir dans un endroit plus élevé , où rous
savions que le flux n’arrivoit pas. Les phénomènes de la
suspension et du renversement étoient moins sensibles
qu’en bas, et même ils n’avoient plus lieu pour quelques
objets situés sur notre gauche; maïs ils l’étoient encore
assez, pour qu’on ne pût les méconnoître principalement
sur les dunes et sur les terres éloignées dans l’ouest , dont
les-contours serépétoient dans leurs images renversées.
Ces objets diversement éloignés de ia mer, nous offroient
des termes de comparaison, pour suivre la marche des
modifications que la mer alloit y apporter, en couvrant la
surface du sable et abaïssant sa température: En effet, la
température! de la surface dela mer,sur le bord , n’étant
que de 78, étoit: beaucoup plus basse que celle de la
surface du sable ; et même que celle de l'air à notre hau-
teur, laquelle étoit peu différente de 120. Aussi l'horizon
apparent observésur la surface de la mer, dans Le nord et
au large ; n’étoit-il pas déprimé , mais élevé de 2" se-
condes au-dessus de Phorizontale menée par notre œil;
et pourtant dans notre nouvelle station, le cercle étoit
de 1"49 au-dessus du sol, qui se trouvoit lui-même au
niveau de la haute mer. Cela posé, voici la marche du
phénomène telle qu’elle se trouve consignée dans notre

056 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAOPDINAIRES

registre, d’après la description faite sur les lieux. La mer,
en montant, commence d’abord par couvrir le sable et
les objets situés à notre droite et vers le large. Alors, pour
ces objets, la suspension diminue. l’image renversée
s’amincit , en restant toutefois complète, car elle ne
descend pas jusqu’à l'horizon apparent. Elle s’applatit
ainsi continuellement à mesure que la mer monte davän-
tage ; les contours sont moins arrondis ; moins marqués ;
elle est bientôt terminée inférieurement par une ligne
qui n'offre plus que de: légères sinuosités , qui devient
ensuite parallèle à cet horizon, et finit par se confondre
avec lui. Le décroissement progressif de l’image est ex-
trêmement sensible et facile à: observer. On voit ainsi
l’horizon apparent s’élever-peu à peu surnotre droite ,-et
atteindre les objets suspendus ; ceux qui se trouvént plus
à notre gauche ; et plus éloignés dela mer, présentent
encore une suspension assez forte yet des images renver-
sées dont les contours sont très-senñsibles ; quoiqu’elles
soient déjà diminuées. Pour ées-derniers objets, la sus+
pension et le renversement ont toujoursieu lieu ; soit que
la mer ne couvrit pas entièrementla. païtie du sol sur
laquelle passoient les rayons visuels menés de nos yeux
à ces Pos soit qu’elle ne les couÿrit que d’une couche
d’eau peu épaisse et déjà échauffée-par le contact du sable
sur lequel elle avoit dû passer auparavant. Mais,en allant
vers le large, les images renversées sont devenues telle-
ment minces qu’on ne peut plus en distinguer les con-
tours , quoiqu’elles soient encore suspendues sensible-
ment. Cette élévation successive de l’horizon est fidè-

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON, 257

lement représentée dans la #g. 51 qui a été dessinée sur
les lieux mêmes, à la vue des objets. Quoique l’inflexion
singulière de l’horizon apparent fût visible à l'œil, nous
en avons pris des mesures qui la constatent, et qui ne
laissent aucun doute sur ce point. En effet , les dépres-
sions de l’horizon , observées dans les diverses parties de
sa courbure, n’étoient pas les mêmes, car on avoit au
même instant:

Élévation de l'horizon appar. au large, + o’ o”’09 6 obs. Hor. excellent.
Dépression de l’horizon apparent en À. 2" 25”39

la dépression de l’horizon en B étoit bien plus grande en-
core ; Car une partie du télégraphe T’avoit son image ren-
versée au dessus de l’horizon apparent , et cependant le
sommet B des dunes au pied de ce télégraphe, n’excédoit
que de 26” la hauteur de l'horizon de la mer au large. On
mettoit sur cet horizon le fil transversal de la lunette, et
faisant ensuite tourner le cercle sans changer son incli-
naison ; on voyoit l'horizon apparent se détacher peu à
peu, et s’abaisser au-dessous du fil ,et au plus grand abais-
sement, en P, le filse trouvoit tangentausommet dela côte
sur laquelle le télégraphe paroissoit. En À , la distance
de l’horizon apparent aux dunes, est égale à l’épaisseur
du fil. Les {7. 52, 53, 54 et 55 représentent des por-
tions de côtes dont les images renversées sont plus ou
moins applaties et ont des contours plus ou moins sentis,
selon leur proximité de la mer.

Ces apparences de suspension sans renversement sen-
sible , ont duré autant que la présence de la mer sur la
portion de la plage étendue dans la direction des 6b-

1609. 35

258 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

jets. À mesure que la mer, en se retirant, a découvert
la surface du sable , nous avons vu se reproduire dans
un ordre inverse , tous les phénomènes que nous avions
observés, lorsqu'elle montoit : la suspension augmentoit,
ou plutôt l'horizon apparent s’abaissoit , les images ren-
versées commençoient à arrondir leurs contours , et gran-
dissoient successivement; mais l'horizon de la mer au
large , conserva toujours la hauteur qui convenoit à la
basse température des eaux. Après que le renversement
eut reparu et que la mer se fut beaucoup abaissée au-des-
sous de notre niveau, nous trouvâmes la dépression au
large seulement de o’94; ce qui correspond bien à la
grande élévation que nous avons observée précédemment.

Les observations quenous venons derapporter montrent
clairement que, dans le phénomène de la suspension,
Pimage renversée existe toujours , mais qu’elle est seu-
lement réduite à une épaisseur infiniment petite. La
marche des rayons visuels confirme cette vérité ; car la
ligne aérienne qui s’aperçoit au-dessous des objets , ne
peut être que l’image renversée du ciel qui est au-dessus.
Or si Le ciel est vu renversé , le sommet de l’objet doit
l’être aussi par les mêmes rayons ; par conséquent l’objet
a nécessairement son image renversée au-dessous de lui ;
etsion ne l’aperçoit pas , c’est parce que les dimensions
de cette image sont insensibles dans le sens vertical.

Ce phénomène qui jusqu’ici n’avoit pas été expliqué,
se trouve donc ainsi résolu de la manière la plus simple.
Nous en avons vu encore plusieurs autres exemples que
nous r’avons pas négligé de recueillir , et qui s’accordent

0

0 me

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 259
parfaitement avec ce qui précède, comme cela devoit
nécessairement arriver. Telles sont les apparences repré-
sentées dans les /£. 56,57; ce sont des images du même
clocher que nous avons observé tant de fois , mais elles
sont vues de plus bas , l’œil étant seulement o"99 au-
dessus du sol. Je dois aussi avertir qu’elles sont obser-
vées de diverses places ; car les ondulations du sol con-
tribuent certainement à modifier les apparences qu’on
observe par la réflexion sur sa surface. Ainsi l’image 56,
qui est déjà applatie , est vue de notre station ordinaire.
Mais l’image 57 est vue d’un endroit différent. Ici image
inférieure est infiniment applatie, et le clocher paroît
simplement suspendu par sa base. Mais en s’élevant peu
à peu sur le sol , on voyoit cette image s’agrandir et s’a-
longer jusqu’à l'horizon , quoique celui-ci s’abaissât en
même temps. Cependant un observateur placé de manière
à ne voir que l’image 57, auroit certainement pensé qu’il
n’y avoit aucune espèce de renversement. Nous avons
aussi observé de ce point le sommet d’une maison dont
les cheminées inégalement élevées, présentoient dans
leur renversement des longueurs presque égales, comme
on le voit dans la g. 58 ; ce qui est conforme aux expé-
riences faites avec la règle verticale, et représentées
dans la f/g. 10.

Dans ce même point , une petite cabane éloignée de
4236 mètres , nous présenta trois images, deux droites et
une renversée entre les deux autres. Voyez fr. 59. Mais
l’image inférieure étoit extrêmement applatie et c’étoitle
sens de sa convexité seule qui indiquoit sa direction.

260 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

Peut-êtrelesondulationsduterrein contribuoient-elles à ce
. phénomène , en multipliant les branches de la caustique.

Cette même maison , vue de notre première station,
nous a pendant long-temps embarrassés par les singuliers
aspects qu’elle présentoit ; se projetant sur un groupe
de dunes sablonneuses , éloignées de 5704 mètres , elle
s’élevoit dans l’air avec elles par l'effet du mirage, et le
tout formoit dans le ciel un nuage jaunâtre , avec des
contours bien terminés, et dans son milieu une sorte de
tache ovale avec des bords noirs.

Nous ne pouvions absolument concevoir ce qui pro-
duisoit de si singulières apparences, ni comment une
portion de dune arrondie pouvoit ainsi présenter une om-
bre , même dans la partie tournée du côté du soleil. Mais
enfin, en observant les modifications de ces aspects
bizarres , nous découvrimes que le prétendu nuage
étoit formé par des sommets de dunes suspendues en l’air
avec leur image renversée au-dessous, et que la tache noire
n’étoit autre chose que le devant d’une maison dont le
toit avancé portoit une ombre précisément du côté où
nous la soupçonnions le moins, d’après la supposition
que c’étoit un corps arrondi, On voit par là combien
les objets sont défigurés, combien les jugemens sont
incertains dans ces circonstances où l’œil est privé des
indications de la perspective aérienne, absolument dé-
truite par les excessives ondulations de l’air. Toutes ces
apparences sont représentées dans les #. 60, 61 et 62,
avec les modifications successives qu’elles ont éprouvées
et qui nous ont fait enfin reconnoître le prestige. On voit

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L’HORIZON. 261

que les contours de l’image inférieure s’aplatissent de plus
en plus à mesure que, par l’abaissement de la tempé-
rature , elle descend sur l’horizon : ce qui s’accorde avec
les autres résultats que je viens de rapporter.

C’est sans doute à cette diminution excessive de l’image
inférieure qu’il faut attribuer tous les phénomènes de
suspension , sans renversement sensible , qui s’observent
souvent à la mer sur des objets très-bas et très-éloignés,
tels que des îles ou des vaisseaux. Nous en avons rap-
porté des exemples observés par M. de Humboldt en
Amérique. Nous avons vu des apparences semblables,
M. Mathieu et moi, sur la tour de Dunkerque, en obser-
vant, avec une lunette, un navire à la voile à une grande
distance , un jour que l'horizon étoit assez clair, quoique
légèrement vaporeux. Ce navire étoit entièrement sus-
pendu en l'air, à une hauteur très-petite, mais cepen-
dant sensible, au-dessus de l’horizon apparent. Mais,
malgré toute l’attention possible, on n’y reconnoissoit
point d’image renversée : sans doute ceite image exis-
toit, mais elle se trouvoit réduite à des dimensions infi-
niment petites, comme dans les cas précédens.

Pour montrer en général comment cela peut se faire,
supposons , comme dans nos expériences de Dunkerque,
fig: 11, que la variation de densité n’a lieu que jusqu’à
une certaine hauteur au-dessus de laquelle observateur
se trouve placé; et supposonsencore, conformément à ces
apparences, que la caustique s’élève aussi au-dessus des
couches de densité variables , à la distance où se trouvent
les objets dont on observe le renversement. Cela posé,
si, par l’œil de l’observateur et dans la couche de den-

262 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

sité constante, on mène une ligne droite qui servira
d’axe des æ, un rayon visuel parti de Pœil, en faisant
un angle Z avec cet axe, pénétrera dans les couches de
densité variables , s’y repliera et en sortira ensuite , en se
relevant, pour rencontrer de nouveau l’axe des x à une
distance À qui sera fonction de Z, de la forme des couches
et de la variation de la densité. Si les couches sont planes,
le rayon émergent coupera encore l’axe des æ sous le
même angle Z que le rayon incident ; mais si les couches
ontune courbure quelconque , comme on doit l’admettre
en général , le rayon réfléchi fera avec l’axe un angle 7”
différent de Z, mais fonction de cette quantité. Ainsi, en
rapportant tout à des coordonnées rectangulaires æet z,
l’équation du rayon émergent, devenu ainsi rectiligne
au-dessus de l’axe des x, sera

Ti ARE TNT
les z étant pris positivement au-dessus de l’axe des >,
Supposons que ce rayon ainsi prolongé rencontre un cer-
tain point d’un objet éloigné situé pareillement au-dessus
de l’axe des x, dans les couches de densité constante. Si
nous considérons un autre point du même objet situé
infiniment près du premier, dans la même verticale, ou,
pour parler plus exactement, à la même distance de l’axe
des z, æ restera le même ; mais l’angle d’incidence 7 va-
riera , et par suite l’amplitude 4, l'angle d’émergence Z'
et la hauteur z, c’est-à-dire que l’on aura
RU A Z al" 4 1 dz
RP res ae UE Ni mur LCNAE

Soit z' la hauteur à laquelle le premier rayon émer-

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 263

gent vient toucher la caustique, ce sera aussi dans ce
point qu’il se coupera avec le rayon infiniment voisin,
_et la condition des intersections sera
dA z' dlI'
ee A ant 20 à D
Ceci suppose que l'intersection des deux rayons consé-
cutifs se fait dans la couche de densité constante, comme
cela est arrivé dans les observations de Dunkerque où la
caustique atteignoit et surpassoit des objets fort élevés.
au-dessus du sol. Maintenant si l’on fait

gs + À
en combinant les deux équations précédentes, on aura
A dr” 1 dz

te me ee lan
ce qui donne
PI Re PSE ir dz
2 k. (7)
ar

Ce qui nous intéresse spécialement ce sont les images
renversées.. Dans ce cas il faudra que les trajectoires se
coupent avant l’objet : par conséquent le point de tan-
gence de deux trajectoires consécutives sera au-dessous
de l’ordonnée z, par conséquent sera positif.

De plus, nous supposons, comme dans les observa-
tions de Dunkerque, que les intersections se font au-
dessus de la couche de densité variable. Alors Z' aug-

2

aT
mente quand 7 : —
quand Z augmente, et par conséquent —— est

positif. D’après cela, en examinant la valeur de d7
que nous venons de trouver, on découvre les propriétés
suivantes :

264 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES

é sin. 2 L' ol s$tés
10, Le coefficient ———— est positif; ainsi dI est
fa
ÿ ar
de même signe que dz, et Z croît en même temps que z.
2°, À partir de la même ligne horizontale, c’est-à-dire

des mêmes valeurs de Z et de Z, on voit que les dT sont
proportionnels aux dz. Aïnsi les différences de hauteur
qui existent dans l’image directe se retrouveront dans
les contours de l’image renversée.

Quant aux rapports de l’image renversée avec l’image
EN
az
F7
exemple, si les couches sont planes, Z' = JZ,etl’ona

directe, ils dépendent du coefficient — — Par

2 À.

IT, = EE 2 dz

2 À

Considérons une ligne circulaire et horizontale con-
centrique à l’observateur, et menée à la hauteur z. Par
une certaine température, tous les points situés sur ce
cercle répondront à une même valeur de Z, et les contours
de l’image seront plus ou moins prononcés, suivant que

adT : :
le rapport — sera plus ou moins considérable.

Mais supposons que la température s’abaisse. Alors
la caustique s’abaïsse vers le sol, et À augmente en
mème temps que Z diminue. Par ces deux raisons le
rapport de d7 à dz devient moindre et l’image renversée
s’applatit. Enfin, lorsque 7? — o, dT est nul quel que
soit dz; alors le bas de l’image renversée devient rec-
tiligne , et son épaisseur est infiniment petite. C’est le
cas de la suspension sans renversement apparent.

QUI S'OBSERVENT TRÈS-PRÈS DE L'HORIZON. 265

Enfin, pour n’omettre aucun des phénomènes de ré-
fraction extraordinaire dont j’ai pu avoir connoissance,
je terminerai ce mémoire par une observation que nous
avons faite à Dunkerque M. Mathieu et moi : c’est qu’il
arrive fort souvent de voir sur la mer plusieurs horizons
très-distincts les uns au-dessus des autres, avec des inter-
valles aériens qui les séparent. Quelquefois on voit ces in-
tervalles se former sous les yeux, lorsqu’on observe atten-
tivement. La partie la plus voisine de l’observateur
devient foncée , la plus éloignée pâlit et enfin disparoit.
Ce phénomène est rarement durable, et les horizons
interposés varient de nombre et de place sans aucune
loi. Le phénomène est quelquefois si marqué que l’on
peut prendre hauteur au-dessus d’un horizon ou de
VPautre. On en voit, f£g. 59 bis, un des exemples les plus
nets que nous ayons observés. Il y avoit ce jour-là deux
horizons bien distincts, et sur le plus éloigné on voyoit
une barque qui ne présentoit point d’image renversée ;
quelquefois cette barque étoit elle-même un peu sus-
pendue en l’air. D’après les distances au zénith me-
surées au cercle répétiteur, on avoit:

Dépression de lhorizon inférieur 44’. . . 3° 54. . 6 observations.
Dépression de l’horizon supérieur aa’ . . . o' 52°6. . G observations.

Dépression de la partie infér. de la barque,
quand elle se détache de l’horizon supérieur . o' 41’8, . 4 observations.

Le centre du cercle étoit à 1".15 au-dessus du sol,
comme à l’ordinaire, et notre hauteur au-dessus du ni-
veau de la mer n’étoit guère plus considérable. La petite
dépression de l’horizon supérieur indique une réfraction

1809. 34

266 SUR LES RÉFRACTIONS EXTRAORDINAIRES, etc.

positive, fort considérable, tandis que la dépression de
l'horizon inférieur indique une réfraction négative. Sans
doute ces différences sont produites par de petites varia-
tions locales de pression ou de température qui se font
sur la surface de la mer, et qui courbent diversement le
rayon lumineux. Les bancs de sable extrêmement mul-
tipliés sur les côtes de Dunkerque, et dont quelques-
uns mêmes se découvrent au loin à la marée basse,
peuvent avoir une grande influence sur ces phéno-
mènes, en modifiant la température de l’eau qui les
recouvre, et qui, lorsqu'elle est peu profonde, doit
s’échauffer davantage par les rayons du soleik,
comme on l’observe généralement. Un souffle de vent
plus ou moins froid qui s’excitera dans un endroit et non
non pas dans un autre, comme cela arrive souvent, peut
encore produire des apparences de ce genre, et: c’est
à cela sans doute qu’il faut attribuer la multiplicité des
zones plus ou moins colorées et celle des horizons appa-
rens que l’on aperçoit ordinairement sur la surface de la
mer dans les temps variables : ces apparences passagères
sontencore des phénomènes produits par la réfraction.

Je ne finirois point si je voulois examiner en détail
tous les accidens de ce genre que la nature présente à
un observateur attentif. Mon but sera rempli si j’ai
réussi à montrer que ces phénomènes si nombreux et si
variés ne sont que de simples jeux de la, lumière pro-
duits par les inflexions des rayons dans les différentes.
couches d’air.

Mém

de UInst

Math. et Phi.

1609 page 208"

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Mém. de. llnst. Math. el Plus. 1809 Lage 266.

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1e Wém de lhst . Molh ot Plus 1009 paye #6

Mém. de Ulnst. Math. et Pher. 1809. Page 266!

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Mém. de Uhst. Mal. et Phes. 2809. age 266:

36.

J'able

© Sable

Pn

Mem. de Unst. Math. et

2609. page 266.

Mem. de l'Inst. Math. et Phés 2009 page 2007

+) Mis reste élu d ne TAN Es ef à

Math. et us. 109. Lage 46.

SUR LA TENACITÉ DES MÉTAUX DUCTILES, etc. 267

MEMOIRE
SUR LA TENACITÉ DES MÉTAUX DUCTILES,

ET
OBSERVATIONS
Sur Les changemens de densité du plomb par les
procédés d’écrouissement, et son altération. dans

l'eau,

Par M, Guyxronw-Morve4u.

Lu les 29 mai et 19 juin 1809.

\ rt détermination exacte de la force de cohésion ou de
la ténacité des diverses substances métalliques, est re-
gardée avec raison comme un des objets les plus importans
des recherches des physiciens ; car s’il est vrai de dire
que les artistes qui les emploient ne doivent pas faire
entrer dans leurs calculs le maximum de cette force ,at-
tendu les imperfections accidentelles qui en avancent tou-
jours plus ou moins la rupture, la comparaison de leur
ténacité sert non seulement à en régler le choix ; Mais
fournit encore un moyen précieux pouren juger la pureté
et le degré de perfection de leur fabrication.

C’est ce qui me détermine à proposer quelques obsér-

263 SUR LA TENACITÉ
vations sur les rapports de ténacité des métaux établis
dans les ouvrages les plus nouveaux.

Du Fer.

On lit dans le système de chimie de Thomson (1),
qu’un fil de fer de 2.5 millimètres de diamètre , supporte
avant de rompre 226 kilogrammes ; et il dit ailleurs,
qu’un fil de ce métal, de 2 millimètres de diamètre, est
capable de porter, sans se rompre, un poids de 249.659
kilogrammes (2).

Cette dernière expression est précisément celle que j’ai
donnée , il y aonze ans, dans un mémoire lu à l’Institut,
et qui est imprimé dans le tome XXV® des Annales de
chimie. Pour juger à quel point ces deux résultats sont
inconciliables , il suffit de les comparer par les carrés des
diamètres ; et l’on voit 1°. qu’en partant de la première
évaluation de Thomson , un fil de fer de deux millimètres
de diamètre ne porteroit plus que 144.64 kilogrammes
au lieu de 249.659 ; 2°. qu’en prenant pour base du calcul
la force de cohésion que j’ai attribuée à un fil de fer de
2 millimètres de diamètre, celui qui auroit 2.5 milli-
mètres de diamètre , devroit porter 390 kilogrammes ,
au lieu de 226 , comme l’indique Thomson.

Il y a donc nécessairement erreur dans l’un ou l’autre
des passages cités ; et ce qui m’autorise à penser qu’elle

(1) Édition française, t. I, p. 151.
(2) Ibid. t. 1, p. 262.

DES MÉTAUX DUCTILES, etc. 269

porte sur le premier , c’est que l’auteur adopte d’ailleurs
les rapports de ténacité que j’ai établis dans le même vo-
lume des Annales de chimie , pour Le cuivre , le platine,

l'argent et l'or.
LA
De ? Etain.

Pour l’éfain et le plomb, les rapports donnés par
M. Thomson, diffèrent beaucoup de ceux que j’ai indi-
qués dans le tableau général des propriétés distinctives
des substances métalliques, rédigé, il ya longtemps, pour
mes cours à l’école impériale polytechnique. Il paroïît
qu’il les a tirés des expériences de Muschembroeck , qu’il
se borne à citer , mais sans faire connoître ni celles qu’il
a adoptées de préférence, ni le principe d’après lequel il
en a fait la réduction à d’autres dimensions et à des états
différens des métaux. Ce qui étoit d'autant plus néces-
saire , que le savant physicien de Leyde a opéré sur des
parallélipipèdes fondus , qu’il avertit expressément que
les métaux forgés ou tirés à la filière, deviennent en gé-
néral plus résistans, et que les résultats qu’il a obtenus
d’un même métal , de l’étain , par exemple, venu de di-
verses contrées , diffèrent quelquefois de 0.12, 0.39, et
jusqu’à 0.61 (1).

D’après cela , il est difficile de comprendre comment
il a conclu des expériences de Muschembroeck , qu’un

——— a

QG) Muschembroeck dit précisément : « L'étain fin d'Angleterre , sans mé-
» lange d’autre métal, ne peut être rompu que par un poids de 150 livres;
» celui de Malaca, par un poids de 100 livres ». Cours de physique,
$ 1562.

270 SUR LA TENACITÉ
fil d’'étain d'environ > millimètres, ponvoit supporter,
sans se rompre , 242 hectogrammes (c’est Pexpression
qu’en donne la traduction). Si l’on prend pour base du
calcul le résultat de l’expérience de Muschembroeck sut
l’étain de Bancas , que lon peut regarder comme le
plus pur, et dont un parallélipipède de 0.17 de pouce
Rhénan (4.448 millimètres de côté) asupporté 104 livres
(de Leyde), on n’auroit pour la résistance d’une verge de
ce métal, que 75. 15 hectogrammes , au lieu de 242.
Mais si cette dernière expression est manifestement trop
forte , la première est aussi fort au dessous de la réalité.
En employant de l’étain pur, tiréà la filière , de 2 mil-
limètres dediamètre ; serrantchaque bout dans une double
gouttière de cuivre légèrement saupoudrée d’émeri fin,
au lieu de le prendre à l’étau ; négligeant les expériences
où il rompttout près de la pince ; prenant enfin le terme
le plus élevé , qui est en effet le seul auquel on doive ici
s'arrêter, pour ne pas confondre la force de cohésion
propreau métal, et les accidens qui l’ont d'avance en
partie détruite ; on trouvera qu’il peut supporter, avant
rompre , 15.74 Kilogrammes.

Du Plomb.

Suivant M. Thomson , un fil de plomb de 2 millimètres

de diamètre , peut supporter 8. 810 kilogrammes. Cette
expression est beaucoup trop élevée si on la rapporte aux
premières dimensions du solide ; elle est trop foible si on
l’applique à celles qu’il a réellement au moment de la rup-
ture. À la vérité Muschembroeck n’a porté le maximum

_—

DES MÉTAUX:DUCTILES, CtC. 272

dei résistance du plomb pur,d’Angleterre ou d’Ecosse ,
qu’à 30 livres pour. des parallélipipèdes de 7 de pouce
Rhénan; ce qui revient à 4. 258 kilogrammespourum
f1 de 2 millimètres de diamètre ; mais il m’applique cette
évaluation qu’au plomb, coulé, et non au plomb battu
où tiré , dont. il fait. bien, sentir. la. distinction , lorsqu’il
dit que la force de cohésion de ce métal peut être plus.
que triplée par ces opérations, et qu'ayant. passé neuf
fois à la filière un solide-des mêmes dimensions sil a été
capable de porter jusqu’à 98 livres.

La table dans laquelle ila rapproché ces résultats , pré-
sente un phénomène bien extraordinaire. que M. Thom-
son n’a pas omis de rappeler, c’est qu’à la différence de
tous lesautresmétaux ductiles, l’écrouissement, soit par la,
filière , soit par le marteau.; au lieu d'augmenter la pe-
santeur spécifique du plomb., la diminue et peut la ré-
duire de 11.479 à 11.218.

On-pense bien qu’un physicien aussi exact que. Mus-
chembroeck ; n’a pas admis un fait aussi surprenant sans,
en. avoir recueilli des preuves, multipliées ; ila porté. lat:
tention jusqu’à examiner. si le plomb forgé reprendroit,
par la fusion, sa première densité. et il l’a en effet re-
trouvée.

Je n'ai pas vu sans étonnement que, Brisson n’ait pas
fait mention de cette particularité ; mais les. résultats de
ses-essais sur l’écrouissement de ce métal , le placent en-

core dans l’exception , puisqu'il dit avoir observé que le
plomb battu à coups de marteau , ze changeoit point on
presque point de densité par l’écroui., et qu’ayant.eu une

272 SUR LA TENACGITÉ

seule fois une augmentation de 0.00287 il pensa qu’elle
provenoit de ce qu’il y avoit quelques soufflures dans le
métal coulé.

M. Fisher , qui ne parle pas non plus des expériénces

de Muschembroeck , paroît avoir voulu trancher la diffi-
culté ,en posant en principe général, que la /orce de
cohésion des métaux ductiles est augmentée par des coups
de marteau modérés , et que des coups trop forts La di-
minuent. (1). Mais l’application que l’on voudroit en
faire au cas particulier , en supposant que la cohésion
des molécules ne peut diminuer sans qu’il y ait augmen-
tation de volume de la masse , ne serviroit qu’à rendre
lanomalie plus frappante ; puisque Muschembroeck a
constaté en même temps que la ténacité croissoit en pro-
portion de la diminution de densité:

Avant de rechercher la cause de ce phénomène , que
le physicien de Leyde n’a pas même soupçonnée , que
Thomson avoue être encore inconnue , il convenoit sans
doute d’en faire un examen assez rigoureux pour le ré-
duire à ses vraies circonstances ; et jy ai apporté d’autant
plus d'attention , que dans un mémoire lu à la classe et
imprimé dans le second semestre de 1807 , j’ai annoncé,
d’après une expérience qui me paroissoit concluante,
que le plomb pouvoit acquérir par l’écrouissement, une
dureté dont on ne le croyoit pas susceptible (2).

(1) Physique mécanique, sect. IL, chap. VIII, 6 1.

(2) Mémoires de la Classe des sciences physiques et mathématiques de
l'Institut, second semestre de 1807, p. 128. Dans l’épreuve des boulets à
bague de plomb, faite à Lafère le 19 août 1801, sous les ordres de l'ins-

DES MÉTAUX DUCTILES, etc. 273

J'ai commencé par soumettre à des coups modérés des
flans de plomb que j’avois coulés exprès avec le plomb
dont on fait usage pour la coupellation , et qui doitêtre,
pour le succès de cette opération , le plus exempt que
possible de tout alliage étranger. Après les avoir déro-
chés au vif à la lime , j’en prenois exactement la pesan-
teur spécifique , et je les frappois ensuite sur le tas d’acier
avec un marteau à planer bien poli, pour ne produire
aucun déchirement.

J’avouerai que , quoique bien prévenu parle récit très-
détaillé de Muschembroeck ;, je ne vis pas sans étonne-
ment que la densité étoit diminuée après chaque percus-
Sion. Ce qui avoit lieu toutes les fois que le plomb avoit
d’abord manifesté le degré de compacité dont il est sus-
ceptible , lorsqu’il est fondu et coulé avec les précautions
convenables,

Ainsi, par exemple, un de ces flans du poids de 20 grammes,
qui avoit d’abord donné une pesanteur spécifique de . . . . .. 1°37272

Frappé de trois coups ,,ne donna plus que :,2 . . . . . .. 1:.35280

Après quatre ROMEO ECM SAP PME NE En 11:34637
Et après huit coups de suite du même marteau. . + . , .i 11-3203

Il m’a paru important d’examiner si le passage au lami-
noir , qui écrouit tous les métaux ductiles, opéreroit
aussi un effet contraire sur le plomb.

Un flan préparé comme ci-dessus, a été passé entre

vecteur général d’artillerie, la bague d’un de ces boulets, qui n’avoit pas été
coupée par la bouche trop, évasée du canon, acquit une telle dureté, que
l'effort de quatre hommes appliqués au refouloir en forme de bélier, ne put
jamais porter ce boulet à plus de 3 décimètres de distance de la poudre,

1809. 33

274 SUR LEA TÉNACITÉ

deux rouleaux d’acier poli , au point d’être réduit seule-
ment par des pressions très-légères et multipliées , de
2.88 millimètres à 2.56 d'épaisseur , sa densité s’est trou-
vée diminuée de —?7-es,

Le même flan repassé à pressions plus fortes, jusqu’à
former un ruban de 52 centimètres de longueur , et de
moins de -2-* de millimètres d’épaisseur , se the avoir
perdu ee nouveau 5: de pesanteur spécifique, c’est

es, de sa première densité.

à-dire <=

Il ne pouvoit y avoir de doute que l’on RER les
mêmes changemens de rapport du volume à la masse,
en frappant ce métal au mouton ou parle balancier ; mais
auroient-ils lieu en le frappant en virole ? Cette question
m'a paru devoir fixer mon attention.

Pour la résoudre, j’ai fait faire d’abord trois flans qui,
coulés et ajustés sans passer au laminoir , avoient le
diamètre et l’épaisseur du flan destiné pour la pièce
de 2 francs.

Le premierayant été frappé d’un seul coup , mais fort,
entre les deux coins de tête et de revers , perdit près du
tiers de sa masse , par la quantité de matière qui remonta
subitement au-dessus de la virole. La pesanteur spéci-
fique de la pièce qui avoit reçu les deux empreintes, bien
ébarbée , ne se trouva que de 11.208.

Le second , placé de même , et frappé de trois coups,
mais les deux premiers avec ménagement , de manière
qu’ils ne servoientqu’à forcer le flan à remplir plus exac-
tement la virole , il n’y eut pas de changement sensible
dans la pesanteur spécifique.

DES MÉTAUX DUCTILES, etc. 275

Le troisième soumis à la même épreuve et frappé suc-
cessivement de six coups de balancier , avec la mème gra-
dation de force, sa pesanteur spécifique qui étoit aupara-
vant de 11.355, se trouva portée à 11.3975.

Ces résultats n’ayant pas paru suffisans pour fonder
une conclusion, M. Gengembre , qui avoit bien voulu
coopérer à ces expériences ; pensa que l’on ne parviendroit
à les rendre décisives, qu’en enfermant le plomb entre
deux disques de fer dans une virole assez profonde pour
les recevoir ; de manière que le métal ne trouvât plus
d’issue pour échapper à la pression. On fit une virole ex-
près dans ces dimensions , dont le rayon du cercle exté-
rieur offroit une résistance dé 4 centimètres. Deux coïns
furent arrasés pour frapper sans empreinte ; on prépara
en même temps quatre flans du même plomb de coupelle,
simplement coulés et ajustés à la lime ; on les soumit enfin
à la percussion du balancier, la barre ne portant d’abord
que ses petites boules , ét chargée ensuite de ses grosses
boules , percussion qui ; dans lé dernier cas, peut être
évaluée à un poids de 201 kilogrammes tombant de :
mètre de hauteur (1).

Lie tableau ci-joint présente les résultats de ces expé-
riences , et quoiqu'il y ait encore des écarts causés par

(1) Cette quantité de mouvement est déduite de la note suivante qui m’a
été remise ‘par M. Gengembre. Les deux boules pèsent ensemble 170 kilo-
grammes; le poids de la barre, rapporté au centre d’oscillation , est d'environ
30 kilogrammes; total 200 kilogrammes. Le chemin parcouru par cette masse
ést de 1.68 mètres ; le temps de la course, 0”.75.

Cette coursese faisant d’un mouvement presque uniformément accéléré, on

276 SUR LA TENACITÉ

des accidens , ils me paroissent suffire pour établir que
le plomb , lorsqu'il est resserré dans un espace qui ne lui
permet pas d’en sortir comme s’il étoit rendu fluide , est
susceptible d'acquérir, comme les autresmétaux , un degré
d’écrouissement qui en augmente la pesanteur spécifique.
On remarquera surtout l’augmentation progressive de
densité du n° 2 , qui de 11.358 ,a passé d’abord à 11.362,
etensuite à 11.388.

Je ne dois pas omettre deux observations auxquelles
ces expériences ont donné lieu ; la première est la diffé-
rence de pesanteur spécifique que présente le même plomb
fondu et coulé dans les mêmes moules , différence que
j'ai trouvée plusieurs fois de 4 , 6 et9 millièmes. On sait
que le plomb fondu et refroidi dans des creusets auxquels
il adhère à raison d’une oxidation superficielle , présente
souvent des cavités intérieures ; mais cette circonstance
cessant , il est difficile d'imaginer la cause de cette diffé-
rence , bien constatée par le peu d’accord des physiciens
sur la vraie pesanteur spécifique de ce métal ; les uns,
commeMuschembroeck et Thomson, la portantà11.470,
et le plus grand nombre la réduisant , d’après Brisson ,
à 11. 352. Gellert l’avoit donnée à 11.443 ,etKirwan in-
cline pour cette expression qui lui paroît annoncer un
plomb plus exempt de fer que celui de Brisson. Mais

peut estimer la vitesse, au moment du choc, à 4.48 mètres par seconde; et
comme, pendant ce quart de tour, la vis descend de 27 millimètres , le choc
est égal à celui d’un poids de 12444 kilogrammes , animé d’une vitesse de
72 millimètres par seconde, ou d’un poids d’environ 201 kilogrammes tombant

d’un mètre de hauteur.

Page 276
|

|
Des expins de plomb sous la pression

SOUS LE BALANCIER ARMÉ DE GROSSES BOULES,

ET TOUJOURS EN VYIROLE.

NUMÉRO mme —

cours. |Porps ACTUEt. PesaNTEUR OBSERVATIONS.
spécifique.

it trop

È
N° = ètre sou-

1. + + +
souvelle

Grammes. pi
Presque point de

N2...&.! 15-941 1138817 trace de matière re-
grosses :
montée.

N°3 16-029 11-3438:

$ L'IYOLES
grosses

14-765 1134381 { Il est remonté un

peu du métal.

| ï

180!

RÉSULTATS

Des expériences sur les changemens de pesanteur spécifique des flans de plomb sous la pression

Page 276

du balancier.

FRAPPÉS EN VIROLE SOUS LE BALANCIER

ARMÉ DE PETITES BOULES,

FLANS

DE PLOMB COULÉ,

FRAPPÉS SOUS LE BALANCIER ARMÉ DE GROSSES BOULES,

ET TOUJOURS EN VIROLE.

NUMÉROS.

,
PESANTEUR

spécifique.

NomBre pr cours.

I

Porps ACTUEL.

PESANTEUR

OBSERVATIONS.

spécifique.

SR 5)

PEsANTEUR

NomBre DE cours. |Poins AcTuEt. OBSERVATIONS.

spécifique.

Grammes.

16.665 11:3643

11-3583

1, Non pas très- fort,
mais la rotule
étant inclinée. .

Grammes.

15:485

|
—

On voit que la ma-
tière a remonté ; ; ce
qui a occasionné une
diminution de poids
de 1.180 gramme,

11+27278

Ce n° étoit trop
déformé pour être sou-
mis à une nouvelle
épreuve.

( Ce flan avoit proba-

blement quelque ca-
vité lors de la coulée
dans le moule.

11-3527

Presque point de
trace de matière re-
montée.

sième coup, puis de
O2Rya 1138817
deux, avec grosses

boules "1".

Frappé d'un troi- b

Frappé d’un troi-
sième coup, puis de
deux , avec grosses
boules . « : «+ ….

1134381

Frappé de
coups , avec grosses
boules . . .

Il est remonté un
peu du métal,

| FA]

1134381 {

DES MÉTAUX DUCTILES, e{c. . 277

lorsque j'ai opéré sur du plomb parfaitement pur ( à la
vérité passé une fois au laminoir) je ne l’ai trouvée que
de 11.3617.

Une seconde observation , qui m’a d’abord causé bien
plus de surprise , C’est l’action très-rapide de l’eau sur ce
métal , au point que l’eau distillée, dans laquelle je le
tenois suspendu à la balance hydrostatique , prenoit
bientôt un coup d’œil laiteux , et formoit à la longue un
dépôt de flocons blancs. Il étoit naturel de porter d’abord
des soupçons sur la pureté de l’eau ; je la changeai plu-
sieurs fois , jemployai successivement celle qui se trouve
à la manufacture de produits chimiques de M. Vauque-
lin , celle qui sert aux opérations de départ à la Monnoie,
celle que M. d’Arcet eut la complaisance de me préparer
exprès, enfin celle que j’avois redistillée moi-même
au feu de lampe dans une cornue de verre : toutes
soutinrent les épreuves de tous les réactifs ; l’eau de
chaux n’y manifesta pas même la présence ie l’acide
carbonique.

Tous les plombs que j'ai mis dans les mêmes circons-
tances , ont subi la même action soit simplement coulés
en table, grenaillés ou laminés. Celui qui sert à la cou-
pellation , et qui doit être le plus exempt d’alliage pour
servir à cette opération, avoit principalement fixé mon
choix ; mais M. d’Arcet avoit reconnu qu’il tenoitpresque
toujours un peu de cuivre ; il m’en remit un petit lingot
qu’il avoit réduit du muriate de plomb , et en moins de
12 heures, eau dans laquelle il fut plongé , devint éga-
lement laiteuse , et forma le mème dépôt ce qui excluoit

278 SUR LA TENACITÉ
toute idée d’oxidation par l’action galvanique de différens
métaux.

On avoit bien publié quelques observations sur la for+
mation d’une matière blanche dans les fontaines deplomb,
mais la plupart ne fournissoient aucune lumière , ni sur
sa vraie nature, ni sur les conditions essentielles à sa
production.

Le traducteur des E/émens de chimie de Spielman , dit
dans une note , que son frère avoit reconnu pour un vé-
ritable sel de Saturne , une pellicule cristalline formée à
la surface de l’eau dans une fontaine de plomb (1).

Baumé, dans sa chimie expérimentale , regrettoit
qu’on n’eût pas fait d’expériences pour savoir si l’eau
distillée agissoit sur le plomb ; maïs il regardoit l’altéra-
tion de ce métal dans les fontaines, avant qu’il eût reçu
un enduit terreux , comme l'effet de la sélénite de l’eau
commune, d’où il résultoit un vitriol de plomb. Nous ver-
rons bientôt ces deux explications démenties par les faits.

Le comte de Milly communiqua en 1779 , à l'Acadée
mie des Sciences , des réflexions sur les dangers des fon-
taines de plomb , et les termina par le conseil fort sage
d’en supprimer au moins les couvercles de ce métal, où
il avoit remarqué que l’eau exerçoit principalement son
action (2). Ilauroit donné la vraie solution , s’il eût fait
attention que cette eau n’étoit plus de l’eau commune,
mais le produit d’une distillation spontanée.

(1) Tome I, page 117.
(2) Journal de physique, t. XIII, p. 145.

DES MÉTAUX DUCTILES, etc. 279
MM. Luzuriaga et De La Ville sont jusqu’à présentles

seuls qui aient fait état du concours de l’air dans cette
altération du plomb. Le premier fit insérer dans le jour-
nal physique d’octobre 1784, de curieuses expériences
dont il résultoit qu’en agitant dans un flacon fermé, de
la grenaille de plomb mouillée, les parois se couvroient
d’une substance d’un blanc verdâtre, et qu’il y avoit
absorption d’un 5° d’air , et de 3 cinquièmes , lorsqw’il
employoit de l’air vital.

On trouve enfin dans es Annales de chimie du mois

d’avril 1806 , une lettre de M. De la Ville, adressée à
M. Vauquelin , qui lui annonce qu’il a obtenu une quan-
tité d’oxide blanc de plomb, en roulant, dans un baril
de ce métal, tenant un 5°. d’eau, de la grenaïille de
plomb , et y faisant en même temps rentrer de l’air.
_ On voit que ces deux chimistes ne s’étoient pas im-
posé la condition de n’employer que de l’eau pure; et
d’ailleurs le frottement continuel opéré par le mouvement
de rotation , formoit ici une circonstance étrangère au
phénomène que j’avois observé.

Ces considérations m’engagèrent d’abord à essayeraussi
Vaction de l’eau de rivière, simplement filtrée, sur le
plomb. Je vis avec surprise que ce métal y restoit intact.
Je pris dont le parti de faire marcher de pair les expé-
riences dans l’eau pure et dans l’eau de Seine , avec ou
sans concours de l’air atmosphérique , et même avec de
l’eau dont j’avois pompé l'air sous le récipient de la ma-
chine pneumatique.

Voici les résultats de ces expériences.

280 SUR LA TENACITÉ

Expériences comparatives de l’altération du plomb
dans l’eau distillée, dans l’eau de Seine, avec et sans
concours de l'air.

Première expérience. Ux décagramme de grenaille de
plomb bien nette, mis avec de l’eau distillée dans un
vase ouvert : en moins de 12 heures , l’eau est devenue
laiteuse ; elle a commencé à déposer des flocons blancs,
d’un éclat argentin.

La mème grenaille mise également en vase ouvertavec
de l’eau de Seine : aucune altération sensible ni à la sur-
face du métal , ni dans la transparence de l’eau après
quinze jours.

Deuxième expérience. 20 grammes de plomb de cou-
pelle fondu , mis dans deux seaux de verre, l’un rempli
d’eau distillée , Vautre de l’eau de Seine : dans le pre-
mier , même altération que celle ci-dessus ; dans le se-
cond, nul changement.

Troisième expérience: Un morceau de plomb de cou-
pelle fondu etcoulé , mis dans un verreavec eau distillée,
et laissé à l’air jusqu’à évaporation totale, s’est couvert
d’une couche argentine très-brillante , qui présentoit des
apparences de rudimens cristallins. Le foffd du verre
étoit enduit de même matière très-adhérente.

Quatrième expérience. Lie même plomb pur, réduit du
muriate , a été soumis à la même épreuve , toujours en
vase ouvert : avec l’eau distillée , mêmes signes d’altéra-
tion ; avec /’eau de Seine , aucun changement.

DES MÉTAUX DUCTILES, etc. 281

Cinquième expérience. Le même plomb laminé en
rubans très-minces , a été misavec de l’eau distillée dans
un flacon presque plein et bien bouché :al y a eu un com-
mencement d’altération, qui, le sixième jour, n’avoit
pas sensiblement augmenté.

Sixième expérience. 20 grammes de plomb de cou-
pelle laminé en rubans très-minces , ont été mis dans un
flacon avec de l’eau distillée ; le flacon porté sous le réci-
pient de la machine pneumatique , et le vide répété jus-
qu’à ce que l’eau ne fournît plus de bulles, puis le flacon
bien bouché : au bout de huit jours, pas le plus léger
effet , l’eau conservoit sa limpidité , et les rubans tout
leur éclat métallique.

Septième expérience. Pareille quantité de même plomb
réduit en rubans minces , a été mise dans un flacon bou-
ché avec l’eau distillée, dans laquelle le plomb avoit
séjourné en vase fermé , et subi une altération considé-
rable , filtrée depuis et éprouvée par l’hydrosulfure : cinq
jours après , aucune action sur le métal , l’eau toujours
aussi limpide. Alors ce flacon a été adapté à une pompe
à double ajutage , par le moyen de laquelle l'air y a été
plusieurs fois introduit et comprimé ; en moins de 24
heures , l’eau à blanchi, il s’est formé à sa surface une
très-légère pellicule, et les lames de plomb ont commencé
à se couvrir de matière blanche.

Huitième expérience. Une lame de plomb mise dans
l’eau de pluie en vase ouvert : l’eau , au bout de quinze
jours n’étoit pas sensiblement trouble ; la lame étoit en

1809. 36

282 | SUR LA TENACITÉ

grande partie couverte de matière blanche. Dans la même
eau, purgée d’air et enfermée dans un flacon, aucun
signe d’altération. |

L'accord de ces résultats me paroît établir clairement
que l’eau distillée exerce sur le plomb une action sensible;
que cette action n’est déterminée que par le concours de
l’air ; qu’elle cesse dans les vaisseaux remplis et bien
fermés , et plus absolument quand l’eau a été purgée
d’air ; enfin , ce qu’on n’auroit pas soupçonné , que l’eau
de Seine, au contraire, ne produit sur ce métal aucune
altération, ni en vaisseau fermé , ni en vaisseau ouverts

Quelle peut être la cause de cette différence d’action
de l’eau distillée et de l’eau de Seine sur le même métal?
C’est un nouvel objet de recherche que je n’ai pas cru
devoir négliger.

On seroit d’abord tenté de l’attribuer au défaut de
concours de l’air dans la dernière, mais il suffit d’en
mettre sous le récipient de la machine pneumatique pour
s'assurer qu’elle en tient une quantité sensible ; quoiqu’à
la vérité, les bulles qui s’en sont dégagées dans le vide
aient été beaucoup plus rares et infiniment petites en
comparaison de celles que fournit l’eau distillée dans
les mèmes circonstances. Il restoit donc à examiner si
le phénomène tenoit à la seule différence du volume d’air
engagé dans l’une et dans l’autre, et surtout si l’eau de ri-
vière, laissée un moisentier sur le plomb dans un vase ou-
vert, n’avoit purecevoir de l'atmosphère la quantité d’air
qui lui manquoit pour produire le même effet que l’eau
distillée; cequiest,jusqu’àprésent,horsde vraisemblance.

DES MÉTAUX DUCTILES, etc. 283

Pour interroger à ce sujet l’expérience , j’ai mis des
lames de plomb bien nettes dans un flacon à deux gou-
lots, à moitié rempli d’eau de Seine; j’y ai fait passer à
diverses reprises jusqu’à 40 décimètres cubes d’air atmos-
phérique. Le plomb y est resté plusieurs jours sans
éprouver la moindre altération.

J'ai remis ensuite la même eau et les mêmes lames
dans un flacon très-épais , et par le moyen d’une pompe
à double robinet, j’y ai tenu l’air fortement comprimé ,
renouvellant même de temps en temps la compression ;
l’eau, comme on devoit s’y attendre, s’est chargée de
beaucoup d’air dans cette opération ; j’en ai eu la preuve
par la quantité qu’elle a rendue sous le récipient de la
machine pneumatique. Le plomb est également resté
sans altération. Ce n’est donc pas le défaut de concours
de l’air qui rend l’action de cette eau impuissante.

On pourroit imaginer que la présence d’une certaine
quantité de matière extractive dans l’eau de rivière est
un obstacle suffisant à son action sur le plomb ; mais si
cela étoit, on devroit le faire cesser en filtrant l’eau à
travers le charbon ; c’est ce qui n’arrive pas, même après
plusieurs filtrations.

Seroit-ce donc la très-petite quantité de matières
salines que tient cette eau qui en changeroit les pro-
priétés dissolvantes? la chose étoit si peu probable, que
cette question ne s’est présentée qu’après avoir parcouru
ioutes les routes qui paroïissoient devoir conduire plus
sûrement à la solution de ce problème.

Pour en acquérir une preuve directe , j’ai fait passer ,

284 SUR LA TENACITÉ

à froid , sur du sulfate de chaux pulvérisé, de l’eau dis-
tillée en vaisseaux de verre, et dont l’action sur le plomb
étoit très-sensible au bout de quelquesheures ; jy ai tenu,
pendant un mois, en vaisseau ouvert, du plomb en gre-
naïlle et en lames bien décapées : il n’y a pas eu le moindre
signe d’altération. Ainsi l’eau chargée à peine de 0.002
de son poids de ce sel terreux cesse d’agir sur ce métal.

J’ai voulu voir si cette action seroit restituée à Peau,
en lui enlevant ce sel autrement que par la distillation.
J’y ai versé peu à peu de l’eau de barite, jusqu’à ce qu’il
y en eût en excès. La liqueur filtrée a été abandonnée
à Vair libre pour faire passer la barite et la chaux qui
s’y trouvoient, à l’état de carbonates, qui en ont été
successivement séparés par les filtrations. J’ai mis du
plomb dans cette eau devenue très-limpide et ne don-
nant plus de pellicule : quinze jours après, il n’étoit pas
encore sensiblement attaqué.

J’aurois été bien embarrassé d’indiquer la cause de
cette inaction , si je n’avois pas vu cette eau se troubler
par l’addition de la dissolution d’oxalate de potasse, et
si je n’avois en même temps acquis la preuve que ce n’est
pas seulement le sulfate de chaux qui produit cette inac-
tion, qu’elle a lieu également dans l’eau chargée de quel-
ques centigrammes des sulfates , nitrates et muriates à
base de potasse ou de soude, d’alun, de nitrate de
magnésie, etc.

On ne se seroit guères attendu à trouver dans le plomb
un réactif aussi sûr pour juger de la pureté des eaux; il
faut en excepter cependant celles qui tiendroient des sels

DES MÉTAUX DUCTILES, ctc. 285

dans lesquels l’acide n’est pas complètement neutralisé ,
tels que les nitrate et muriate de chaux. Encore ai-je
observé qu’une dissolution étendue de ce dernier, quoi-
que rougissant le papier bleu , ne donnoïit que de legers
signes d'action sur le plomb; que ceite action paroissoit
s'arrêter au bout de quelques heures ; et que l’addition
d’un hydrosulfure dans la liqueur n’y manifestoit pas la
présence du métal, à la différence de celle qui tenoit du
nitrate de chaux.

Ces faits peuvent donner lieu à une autre question non
moins importante: quelle est la vraie nature du produit
de l’action de l’eau pure sur le plomb? La nécessité abso-
lue du concours de l’air ne permet pas de douter qu’il y
ait oxidation. On peut encore en conclure que ce n’est
pas la décomposition de l’eau qui fournit l’oxigène : aussi
n’ai-je jamais pu obtenir la moindre inflammation en
présentant une bougie allumée à l’orifice des vaisseaux,
comme on l’observe en débouchantun flacon dans lequel
on a tenu quelque temps sous l’eau de la limaille de fer
ou de zinc.

M. Delaville, en donnant le nom d’oxide à la matière
blanche qu’il obtenoit de la grenaille de plomb roulée
dans l’eau commune, avec le concours de l’air, pressen-
toit déjà que ce n’étoit pas un oxide ordinaire. Sa légè-
reté, sa forme floconneuse, son éclat argentin presque
métallique , les pointes cristallines que l’on aperçoit à la
surface du dépôt qu’il forme dans les vaisseaux fermés,
Pétat de litharge d’un jaune d’or très-brillant qu’il prend
lorsqu'on le chauffe sur un tèt de kaolin, la rapidité

286 SUR LA TENACITÉ

avec laquelle il passe à l’état de sulfure semblable à la
galène et toujours écailleux , lorsqu’il est touché parl’hy-
drosulfure de potasse; enfin, les gouttelettes d’eau que j’ai
observées à la partie supérieure d’un flacon dans lequel
j’avois exposé au Soleil une portion bien sèche de la croûte
argentine de la troisième expérience, et le peu d’effer-
vescence que cette matière a donnée avec les acides,
même long-temps après qu’elle eut été abandonnée à l’air
libre , me paroissent fonder, du moins jusqu’à nouvelles
recherches, l’opinion que ce produit tient de la nature
des hydrates.

Quant à la sénacité du plomb, dont l'examen m’a
conduit à traiter en passant de ses différens états de den-
sité, et de Paction que l’eau exerce sur ce métal, ce n’est
pas seulement le nouvel arrangement que prennent ses
molécules , lorsqu'il est frappé ou pressé, avec faculté de
changer ses dimensions, qui forme obstacle à la déter-
mination précise de sa force de cohésion ; c’est encore
sa disposition à un commencement de ramollissement,
qui lui permettant de s’allonger avant la solution de
continuité , réduit considérablement ses dimensions à
l'endroit où elle s’opère.

On ne doit pas être surpris de ce ramollissement après
l'observation communiquée à la classe , par M. deProny,
lors de la lecture de la première partie de ce Mémoire,
qu’une verge de fer tirée verticalement par une force
capable de la rompre, contracte à l’endroit où se prépare
la rupture une chaleur insupportable à la main. Cette
chaleur ne peut manquer de favoriser ce déplacement des

DES MÉTAUX DUCTILES, ctc. 287

molécules , sans diminution sensible de leur adhérence ,
par lequel, Coulomb , dans ses Recherches théoriques
et expérimentales sur la force de torsion des fils de
métal, etc., explique la différence de ténacité qu’il avoit
observée dans l’acier trempé et dans Vacier recuit à blanc;
le premier rompant a bien moindre charge; quoiqu’en
général il reconnoisse que le recuit diminue la cohérence
des parties, et qu’il en fournisse lui-même un exemple
frappant , d’après une expérience sur un fil de cuivre qui
portoit 22 livres , et qui en porta à peine 12 ou 14, lors-
qu’il eut été recuit à blanc (1).

Ceci nous conduit à un examen plus attentif des di-
verses espèces de rupture, que Muschembroeck avoit
déjà notées en distinguant la cassure âpre, grenue , en
quelque sorte tranchée , des métaux peu ductiles, ou ren-
dus tels par des alliages, et la cassure plus ou moins
allongée en pyramide, telle qu’il l’avoit reconnue dans
ses expériences sur lor, l'argent, l’étain et le plomb ;
tandis que l’étain, par exemple, allié d’un peu de bis-
muth , rompoit sans aucun allongement (2).

_Muschembroeck n’a pas fait état des dimensions ré-
duites au point de rupture, lors même qu’elles présen-
toient une pyramide tronquée, dont il eût été facile de
déterminer la solidité. On conçoit qu’il a pu regarder
cette observation comme superflue, n’ayant pour objet
que de connoître la charge qu’un métal pouvoit tenir en

(:) Mém. de l’Académ. royale des sciences, année 1784, p. 265.
(2) Cours de physique; etc. $$ 1132 - 1177.

288 SUR LA TENACITÉ

suspension à un point fixe , sans se rompre , et sans se
déformer ; mais il n’est pas moins vrai qu’il subsiste
une force de cohésion tant qu’il n’ÿ a qu’allongement ;
et si l’on admet , avec Coulomb, que cette force n’est pas
sensiblement diminuée lorsque la ductilité du métal per-
met aux parties de glisser les unes sur les autres sans se
détacher; si l’on considère en même temps à quel point
le plomb est susceptible de cet allongement et l’étonnante
facilité avec laquelle la filière du vitrier le transforme en
longs rubans à double rainure, on trouvera probablement,
dans la réunion de ces circonstances , le moyen de faire
disparoître le merveilleux d’une ténacité qui semble aug-
menter à mesure que la densité diminue. Supposons pour
cela que le fil de plomb passé dix fois à la filière, dans
l'expérience de Muschembroeck , n’ait été chaque fois
rompu que lorsqu’il étoit arrivé au même point de rétré-
cissement , on sera en droit d’en conclure que l’augmen-
tation apparente de tenacité , n’étoit dans la réalité que
le produit d’une même force , c’est-à-dire d’une mème
-charge appliquée à une égale résistance , et rapportée
par le calcul à des dimensions progressivement décrois-
santes. Quand l’observation forceroit d’admettre encore
quelque différence bien légère et très-éloignée de la pro-
portion de 1 à 3, assignée par Muschembroeck , il me
semble que l’on en trouveroit facilement la véritable cause
dans l’état particulier auquel les molécules du métal sont
amenées successivement par ce travail: état que l’on peut
présumer tout-à-fait analogue à celui que reçoivent le fer
et l’acier par la malléation ; que l’on reconnoît à la texture

DES MÉTAUX DUCTILES, etc. 289

fibreuse qu’ils acquièrent par un nouvel arrangement de
leurs parties; qui les constitue tout autrement résistans
dans le sens de leur longueur, que par le travers: état
bien connu des ouvriers qui ne s’exposent pas à alterner
les passages au laminoir dans les deux sens, et surtout des
graveurs qui n’ont garde de confier letravail de leurburin
à l’extrémité du faisceau de ces fibres. Ce seroit peut-être
aussi dans cette disposition qu’il faudroit chercher l’ex-
plication du fait observé par M. Rondelet, et qui a été
rappelé à la précédente séance par M. de Prony, qu’un
simple trait de lime autour d’une verge de fer, en décidoit
la rupture par une charge hors de toute proportion avec
ce qui lui restoit de solidité.

| C’est d’après ces considérations que j'ai dirigé les
expériences dont la table suivante présente les résultats,
et dans laquelle j’ai placé, dans une colonne séparée, le
rapport des poids qui ont décidé la rupture aux dimen-
sions réduites par l’allongement, autant qu’il m’a été
possible de les déterminer, au moyen d’un instrument
dont le vernier donne le 5o° du millimètre.

Pour placer, dans les mêmes circonstances, le plomb
fondu et le plomb forgé ou laminé , j’ai été obligé d’em-
ployer des parallélipipèdes taillés entre deux têtes prises
sur la largeur et destinées à les fixer dans les pinces. Les
résultats observés ont été ensuite calculés pour des fils
de deux millimètres de diamètre , ou , ce qui est la même
chose , pour des solides qui auroient 1.772 millimètre
de côté, afin de les rendre comparables entre eux et
avec les autres métaux.

1809. 37

290 SUR LA TENACITÉ

Résultats des expériences sur la tenacité du plomb,
calculés pour des fils de 2 millimètres de diamètre.

RarroRT
.|QuaLiTÉs pu PLoME. i b LT OBSERVATIONS.

rupture.

a sep

Kilogr.
Plomb de are 5.623

éndéa +403 PERTE Il y a toujours en allon-

gement avant la rup-
Tr vnoi sua Nacoaotuoe. colères qablqnekiaders
Plomb zdem laminé..| 6.552 13.606 et 5 millimètres,

=== 2 | La rupture sur Vépais-

Plomb idem réduit au seur des lames minces
laminoir, à 2.16 mil- étoit presque en cou-

limètres d'épaisseur. teau.

6+1184 | 17-508

LE NE RVE idem passé pertes

4 | fois au laminoir ‘l 6raxD 104

EN EAN DR id. =

5 } dressé au laminoir
APRES sr au carré .

deux pyramides tron-
quées.

5+4727 | 12-1029

6.3563 | 12-581

D rupture a présenté

pren du SE MSuc

n° 2 frappé en virole.

le ae torsion a
7 |Zdem du flan n° 4 ..| 5.299 2 sensiblement réduit
les dimensions,

aq rtalt laminé à 1.48
millim. At LA LUÉ :

8

Tiré en longueur.

Morceau pris Load né ain la AN LEO
même lame.,. . ,. é

9

On remarque d’abord dans cette table , que le plomb
coulé ou simplement dressé au laminoir, a cédé à une

DES MÉTAUX DUCTILES, etc. 291

moindre charge que celui qui a été fortement laminé,
mais dans une proportion qui n’est au plus que de
56 à 65. |

La sixième expérience faite sur le flan de plomb frappé
en virole au balancier ; entre deux disques de fer, et dont

la pesanteur spécifique a été chaque fois augmentée par
cette forte percussion, parce que la matière ne pouvoit
s’étendre, me paroît fournir la preuve qu’il n’y a pas de
relation nécessaire entre la diminution de densité et l’aug-
mentation de la force de cohésion.

Les expériences n° 8 et 9 donnent un exemple de la
différence de ténacité d’une même lame de métal tirée
sur sa longueur ou en travers.

Si dès sept autres expériences, on en retranche deux
qui présentent des écarts manifestement causés soit par
la difficulté d’obtenir üne mesure exacte du point de rup-
ture lorsqu'il se termine en couteau , soit par l’accident
d’une légère torsion, on trouvera assez d’accord dans les
cinq autres pour en conclure un terme moyen de la téna-
cité du plomb, qui sera dans le premier cas, c’est-à-dire
en prenant pour base les dimensions premières données
au parallélipipède, de 5.633 kilogrammes pour un fil
de 2 millimètres de diamètre.

Et dans le deuxième cas , ou en calculant d’après le
changement des dimensions occasionné par l’allonge-
ment du parallélipipède et son rétrécissement au point
de rupture, de 12.555 kilogrammes aussi pour un fil de
même diamètre.

De sorte que lesolide se trouve réduit à moins de moi-

292 SUR LA TENACITÉ

tié lors de la séparation des molécules, qui jusques-là
mont fait que glisser les unes sur les autres, comme le
dit Coulomb , sans diminution sensible de leur force de
cohésion.

Ainsi la dernière expression est la vraie mesure de la
ténacité de ce métal; la première ne doit être conservée
que pour servir d’avertissement dans les arts, des incon-
véniens résultant de la mollesse qui lui est propre.

Du Zinc.

L’exAMEn de la ténacité du zinc m’a paru mériter une
attention particulière , non seulement parce qu’on n’a pu
en avoir une mesure même approximative tant que l’on
n’a pas employé du zinc pur et malléable, ce qu’on a
jusqu'ici négligé, quoique Margraff en eût dès long-
temps enseigné les procédés (1); mais encore à raison
des usages auxquels il peut être employé dans cet état
et dont on a déjà proposé d’importantes applications.

Muschembroeck qui n’opéroit que sur du zinc des
fonderies de Goslar , simplement fondu et jeté en moule,
n’a porté sa ténacité que de 75 à 83 livres pour des paral-
lélipipèdes de 0.17 de pouce Rhénan (2). En prenant
pour base le dernier terme, comme le plus élevé , quoi-
que ce physicien revienne plus fréquemment à la pre-
mière évaluation, le calcul ne donneroit encore, pour

QG) Dissertation IV, n° 14. Voyez aussi Arnales des Aits, t. XXX,

P. 171.
(2) Cours de physique, etc, $ 1129, 1178 et 1187.

DES MÉTAUX DUCTILES, etc. 293

unfil de 2 millimètres de diamètre , qu’une résistance
d’un peu moins de 6 kilogrammes.

Thomson , s'appuyant sur une observation du même
auteur , de laquelle il résulteroit qu’une verge de zinc de
27 millimètres de diamètre pourroit supporter un poids
de 1272.63 kilogrammes , a assigné à ce métal une force
de cohésion qui seroit de 12.72 kilogrammes pour un fil
de 2.5 millimètres de diamètre ; et par conséquent de
8.14 pour un fil de 2 millimètres de diamètre; mais il
s’est nécessairement glissé quelque inexactitude dans
le calcul, car le rapport des carrés des diamètres dont il
a déduit ces quantités, les réduiroiït à 10.9107 kilomètres
pour le premier cas, et à 6.9828 pour le second.

* Iétoit facile de! juger que toutes ces évaluations se
trouveroient fort au dessous de la vérité, lorsqu'on em-
ploieroit du zinc-exempt de tout alliage , rendu parfaite-
ment ductile et surtout déjà écroui par le marteau, la
filière ou le laminoir.

+ Pour arriver à des résultats décisifs , j’ai soumis succes-
sivement à mes expériences du zinc préparé dans le
laboratoire de M. Vauquelin, des feuilles venant des
fonderies de Limbourg que M. Descostils m’a remises
et qu’il avoit lui-même fait passer au laminoir ; enfin des.
lames ; des fils et des parallélipipèdes de zinc purifié et
travaillé par MM. Praire et Tournu. La manière dontils
se sont comportés ne m'a guères présenté que les légères
différences qui pouvoient venir d’un peu plus ou d’un
peu moins d’écrouissement.

Le terme le plus élevé (toujours rapporté à 2 milli-

294 SUR LA TENACITÉ

mètres de diamètre ) nv’a été donné par le zinc tiré à ‘Ja
filière venant de M. Praire : il n’a rompu qu’à la charge
de 53.569 kilogrammes , et après avoir pris un peu d’al-
longement.

Le terme moyen de huit observations a été de 49.846 kis
logrammes. Le zinc que m’a donné M. Vauquelin, sim-
plement travaillé au marteau, à supporté 49.685 kilo-
grammes : de sorte que l’on peut en assurance porter la
ténacité de ce métal pur et écroui à 49.793 kilogrammes,
pour un fil de 2 millimètres de diamètre, ou pout un
parallélipipède de 3.14159 millimètres carrés.

On ne se seroit pas attendu sans doute à un pareil résul-
tat , et pour faire mieux apprécier la distance à laquelle
nous nous trouvions de la vérité par la tradition des expé-
riences faites sur lezinc du commerce, j'ai voulu en offrir
la comparaison. Il y en a qui, dans les mêmes dimen-
sions ; ne soutient pas 10 kilogrammes; celui qui est
coulé en table pour les piles voltaïques s’est rompu à
moins de 14; et l’on conçoit facilement que ces ruptures
grenues se sont opérées sans allongement sensible; cir-
constance qui, suivant la remarque de Coulomb ; prouvé
quel’adhérence des molécüles est trop foible pour souffrir
un déplacement sans rupture.

Là pesanteur spécifique du zine reçoit uñ Hart accrois-
sernent par l’écrouissement. C’est sans doute pour lavoir
pris dans ces différens états qué des physiciens sont peu
d'accord : Fisher l’a réduite à 6.862; Thomson la donne
de 6.861 à 7.1, et d’après Brisson, pour le zinc écroui,
de 7:1908. J’ai troavé celle d’une planche de pile vol-

DES MÉTAUX /DUCTILES, etc. 295

taïque de 6.994 ; celle du zinc tiré à la filière de M. Praire,
de 7.032, et celle du zinc de Limbourg, passé plusieurs
fois au laminoir , de 7.2006.

Lorsque que j'ai cherché à la déterminer à la balance
hydrostatique , j’ai eu lieu d’observer le même phéno-
mène que le plomb m’avoit offert dans les mêmes cir-
constances, c’est-à-dire l’altération du zine pendant son
immersion dans l’eau distillée. Elle est pareillement deve-
nue laiteuse en quelques heures, il s’est formé un dépôt
de matière blanche, et à la longue les lames et les fils
de ce métal se sont couverts d’une croûte blanche mam-
melonnée. Mais il y a ici cette différence remarquable,
que l’eau de Seine exerce aussi sur le zinc une action un
peu plus lente mais très-sensible; que cette action a lieu
en vaisseaux fermés, même dans l’eau distillée , purgée
d’air, soit par la pompe, soit par une forte ébullition ;
tandis que le plomb n’y éprouve aucun changement.
Ajoutons à ces disparités déjà si frappantes, que le
zinc est au nombre des métaux qui décomposent l’eau
complètement à une haute température , propriété que
n’a pas le plomb ; que , comme le dit Thomson, lorsqu'on
laisse le zinc en contact avec l’eau, sa surface se noircit,
et qu’il y a dégagement de gaz hydrogène (1) ; et nous
serons portés à conclure que laltération de ces deux
métaux dans l’eau ne s’opère pas de la même manière,
que les produits qu’elle donne dans les mêmes circons-
tances ne sont pas de même nature; ce qui vient à Pap-

(1) Système de chimie, t. 1, p. 558.

296 SUR: LAUTENACITÉ
pui de l’opinion que j'ai avancée que celui du plomb
étoit plutôt une hydrate qu’un simple oxide.

Si Pon rapproche maintenant de la ténacité ainsi déter-
minée du zinc pur et forgé , la propriété que M. Sméaton
lui a le premier reconnue d’être le plus dilatable, des
métaux, on trouvera un nouveau motif bien puissant
de suivre le conseil qu’il donne de l’employer dans la
construction des compensateurs, qui pourroient ainsi être
réduits à de moindres dimensions ; car il paroît qu’il res-
toit quelque inquiétude sur la solidité nécessaire pour
en maintenir la forme.

Cette dilatabilité est, comme je l’ai dit dans mon Essai
de pyrométrie , de 3108.33 millonièmes , dansle passage
de la température de la glace fondante à celle de l’eau
bouillante (1). M. Dalton ayant annoncé depuis que
M. Sméaton lui paroissoit l’avoir portée trop haut, et que
dans ses expériences sur l’eau contenue dans des vases de
différentes matières, faisant fonctions de boules thermo-
métriques, il l’avoit trouvée un peu au-dessous de celle.du
plomb (2); je me suis déterminé à le soumettre à de nou-
vellesexpériences pyrométriques,et pour lesmettre àl’abri
de toute erreur qui pourroit venir soit del’inexactitude des
corrections , soit des imperfections des instrumens , de
placer successivement le zinc etle plomb dans des circons-
tances absolument semblables, pour les faire passer de la
température de la glace à celle de l’eau distillée bouillante ;

(Gi) Mémoires de l’Institut, second semestre de 1808, p. 32.
(2) Biblioth. britann., mars 1809, p. 218.

DES MÉTAUX DUCTILES, etc. 207:

ettroisobservations m'ont donné constamment la dilata-
bilité du zincplus grande que celle duplomb , dans le rap-
port de 32 à 28.4, c’est-à-dire un peu au dessus de celle
indiquée par M. Sméaton , qui n’avoit opéré que sur du
zinc qui n’avoit subi qu’une légère malléation , et qui
n’étoit probablement pas au mème degré de pureté que
celui dont j’ai formé mon barreau pyrométrique.

Ces expériences confirment donc pleinement le soup-
çon, annoncé par M. Dalton lui-même, que le zinc dont
étoit fait son vase thermométrique , et qui lui avoit été
fourni par MM. Hodson et Silvestre, patentés pour la
préparation des feuilles de ce métal employées à la cou-
verture des toits , pouvoit tenir, comme il le dit, un peu
d’étain , où , comme il me paroîtroit plus vraisemblable,
un peu de fer. Et il ne seroit pas étonnant que dans des
travaux de grande fabrique on ne cherchât pointà mettre,
dans le départ des substances étrangères , une exactitude
rigoureuse qui seroit le plus souvent inutile.

Je remarquerai en finissant que la ténacité du zinc
rendu malléable ne peut que confirmer l’espérance de
l’appliquer avec avantage à la couverture et autres usages
analogues (1), par la possibilité de lui conserver assez de
solidité avec une moindre épaisseur , et de trouver dans
cette diminution plus que la compensation de l’excès de
son prix sur celui du plomb que l’on a coutume d’em-

(1) Pott, dans sa Dissertation sur le zinc, parle , d’après un ancien auteur
allemand, de l’usage de celui qu’on tiroit de l’Inde pour couvrir les toits;
mais il ne croyoit pas qu'il füt facile de l’étendre en feuilles.

1809. 38

298 SUR LA TENACITÉ

ployer. On peut aisément se rendre compte qu’un mètre
carré de zinc de 1 millimètre d’épaisseur ne peseroit pas
plus de 7 kilogrammes, tandis que le mètre carré de
plomb, même laminé à demi-ligne ou 1,128 millimètres
(le plus mince, que l’on puisse employer dans les cons-
tructions) pèse au delà de 13 kilogrammes.

T1 ne faut pas se dissimuler cependant que la grande
dilatabilité du zinc l’exposeroit plus fréquemment encore
que le plomb à des déchirures, si on le posoit de manière
que ses dimensions ne pussent librement changer sui-
vant les températures. D’autre part , nous avons vu qu’il
étoit encore plus susceptible que le plomb d’être altéré
par l’eau, et il n’y a qu’un long usage qui puisse faire
connoître si le produit de cette action se fixant à sa sur-
face , deviendra”, comme pour le plomb , le garant de sa
durée, en le défendant d’une nouvelle oxidation.

Le nickel étant aujourd’hui placé dans la classe des
métaux ductiles, j’aurois désiré pouvoir le comprendre
dans ces observations , mais il ne ma pas été possible
jusqu’à ce jour de m’en procurer d’assez pur pour le
soumettre à ces épreuves.

Je ne puis mieux résumer les faits contenus dans ce
Mémoire qu’en plaçant ici la série des métaux ductiles,
dans l’ordre et avec la mesure de leur ténacité.

DES MÉTAUX DUCTILES, etc. 299

Un fil de 2 millimètres Supporte
de diamètre. ayant de rompre.
TT, À nn, nn À
De fer AMC OS RM QT. 02249" 659 kilog.
Dercmvre.- He NES lee eus leger st ef 137-309
De platine . « + « + + « + + + + + + + + + +: 124-690
D'érgent) . 0 UNS Ne 0 07 85-062

D'or eee NUE ARRETE Ve 6 2276

De saine et a AU SE SES ET 40:00

Détain se ee: Mer Re) -Pi 15e740
Suivant le rapport des dimensions au

De ee point de rupture. . . . . . . .. 12°555

Suivant le rapport du solide avant
l'allongement . « + + + + « « .. 5.633

P. S. Quelques expériences faites sur le nicker, de-
puis la lecture de ce mémoire, marquent déjà sa place
très-près du zinc, puisqu’ila supporté 47.67 kilogrammes.
Mais, quoique j'aie opéré sur du nickel qui avoit été
purifié avec soin par M. Vauquelin , cofhme il n’a pas
présenté au laminoir ce haut degré de ductilité annoncé
par Richter, qui paroît dépendre d’une fusion parfaite,
et d’après lequel il a jugé que sa ténacité devoit être
considérable , il convient d’attendre de nouveaux essais
pour fixer définitivement son rang dans cette série. (Voyez
Annales de chimie, tome LIII, page 174.

300 SUR LE MOUVEMENT DE LA LUMIÈRE

MÉMOIRE

Sur les mouvemens de la lumière dans Les milieux
diaphanes ,

Par M. LaApLrace.

Lu le 30 janvier 1808.

pe lumière, en passant de l’air dans un milieu trans-
parent non cristallisé, se réfracte de manière que les sinus
de réfraction et d’incidence sont constamment dans le
même rapport; mais lorsqu'elle traverse la plupart des
cristaux diaphanes, elle présente un singulier phéno-
mène qui fut d’abord observé dans le cristal d'Islande,
où il est très-sensible,

Un rayon qui tombe perpendiculairement sur une face
d’un rhomboïde naturel de ce cristal, se divise en deux
faisceaux : l’un traverse le cristal sans changer de direc-
tion ; l’autre s’en écarte dans un plan parallèle au plan
mené perpendiculairement à la face, par l’axe du cristal,
c’est-à-dire , par la ligne qui joint les deux angles solides
obtus de ce rhomboïde , et qui, par conséquent, est
également inclinée aux côtés de ces angles : le faisceau
réfracté s’éloigne de l’axe , en formant avec lui un plus
grand angle que le rayon incident. Nous nommerons
section principale d’une face naturelle ou artificielle,

DANS LES MILIEUX DIAPHANES, 304

un plan mené par cet axe, perpendiculairement à la face,
et tout autre plan qui lui est parallèle. La division du
rayon lumineux a généralement lieu relativement à une
face quelconque, quel que soit l’angle d’incidence : une
partie suit la loi de la réfraction ordinaire; l’autre partie
suit une loi extraordinaire, reconnue par Huyghens, et
qui, considérée comme un résultat de l’expérience, peut
être mise au rang des plus belles découvertes de ce rare
génie. Il y fut conduit par l’ingénieuse manière dont il
envisageoit la propagation de la lumière qu’il concevoit
formée des ondulations d’un fluide éthéré. Il supposoit
dans les milieux diaphanes ordinaires , la vitesse de
ces ondulations plus petite que dans le vide , et la
même dans tous les sens ; maïs dans le cristal d'Islande,
il imaginoit deux espèces d’ondulations : dans l’une,
la vitesse étoit représentée , comme dans les milieux
ordinaires, par les rayons d’une sphère dont le centre
seroit au point d’incidence du rayon lumineux sur la
face du cristal; dans l’autre, la vitesse étoit, variable
et représentée parles rayons d’un ellipsoïde de révo-
lution , applati à ses pôles, ayant le même centre que
la sphère précédente, et dont l’axe de révolution seroit
parallèle à l’axe du cristal. Huyghens n’assignoit point
la cause de cette variété d’ondulations ; et les phéno-
mènes singuliers qu'offre la lumière, en passant d’un
cristal dans un autre, et dont nous parlerons ci-après,
sont inexplicables dans son hypothèse. Cela joint aux
grandes difficultés que présente la théorie des ondes
de lumière, est la cause pour laquelle Newton et la plu-

302 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE
part des géomètres qui l’ont suivi, n’ont pas justement
apprécié la loi qu'Huyghens y avoit attachée. Ainsi cette
loi a éprouvé le même sort que les belles lois de Képler,
qui furent long-temps méconnues, pour avoir été asso-
ciées à des idées systématiques dont malheureusement ce
grand homme a rempli tous ses ouvrages. Cependant
Huyghens avoit vérifié sa loi par un grand nombre d’ex-
périences. L’excellent physicien M. Wollastonayant fait,
par un moyen fort ingénieux, diverses expériences sur
la double réfraction du cristal d'Islande, illes a trouvées
conformes à cette loi remarquable. Enfin M. Malus
vient de faire à cet égard , une suite nombreuse d’expé-
riences très-précises sur les faces naturelles et artificielles
de ce cristal , et il a constamment observé entre elles et
la loi d'Huyghens , le plus parfait accord : on ne doit
donc pas balancer à la mettre au nombre des plus cer-
tains, comme des plus beaux résultats de la physique.
L’analogie et des expériences directes ont fait voir à
M. Malus, qu’elle s’étend encore au cristal de roche,
et il est extrêmement vraisemblable qu’elle à lieu pour
tous les cristaux qui réfractent doublement la lumière,
L’ellipsoïde qui leur est relatif, doit être déterminé par
Pexpérience ; et sa position par rapport aux faces na-
turelles du cristal, peut répandre un grand jour sur la
nature des molécules intégrantes des substances cristal-
lisées ; car ces molécules doivent, chacune, avoir les
mêmes propriétés que le cristal entier.

Voici maintenant un phénomène que la lumière pré-
sente , après avoir subi une double réfraction. Si l’on

DANS LES MILIEUX DIAPHANES. 303

place à une distance, quelconque au-dessous d’un cristal,
un second cristal de la même matière ou d’une matière
différente, et disposé de manière que les sections prin-
cipales des faces opposées des deux cristaux soient paral-
lèles ; le rayon réfracté, soit ordinairement, soit extraor-
dinaïrement, par le premier ; le sera dela même manière
par le second : mais si l’on fait tourner l’un des cristaux,
en sorte que les sections principales soient perpendicu-
laires entre elles , alors le rayon réfracté ordinairement
par le premier cristal , le sera extraordinairement par le
second , et réciproquement. Dans les positions intermé-
diaires, chaque rayon émergent du premier cristal se
divisera à son entrée dans le second cristal, en deux
faisceaux dont l’intensité respective , dépendante de
l'angle que les sections principales font entre elles, varie
suivant une loi qui n’est pas moins intéressante à con-
noître que celle de la double réfraction. Lorsqu’on eut
fait remarquer à Huyghens ce phénomène dans le cristal
d'Islande, il convint avec la candeur qui caractérise un
ami sincère de la vérité, qu’il étoit inexplicable dans
ses hypothèses ; ce qui montre combien il est essentiel
de les séparer de la loi de réfraction, qu’il en avoit
déduite. Ce phénomène indique avec évidence, que la
lumière , en traversant les cristaux à double réfraction,
reçoit deux modifications diverses en vertu desquelles
une partie est rompue ordinairement, et l’autre partie
est rompue extraordinairement ; mais ces modifications
ne sont point absolues ; elles sont relatives à la position
du rayon par rapport à l’axe du cristal, puisqu’un rayon

304 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE

rompu ordinairement par un cristal, est rompu extraor-
dinairement par un autre, si les sections principales de
leurs faces opposées sont perpendiculaires entre elles.

I] seroit bien intéressant de rapporter la loi d’Huyghens
à des forces attractives et répulsives, ainsi que Newton
l’a fait à l’égard de la loi de réfraction ordinaire : il est
en effet, très-vraisemblablé qu’elle dépend de semblables
forces, et je m’en suis assuré par les considérations
suivantes qui conduisent à une théorie nouvelle de ce
genre de phénomènes.

On sait que le principe de la moindre action a généra-
lement lieu dans le mouvement d’un point qui leur est
soumis. En appliquant ce principe à la lumière, on peut
faire abstraction de la courbe insensible qu’elle décrit
dans son passage du vide dans un milieu diaphane , et
supposer son mouvement uniforme, lorsqu'elle y à péné-
tré d’une quantité sensible. Le principe de la moindre
action se réduit donc alors à ce que la lumière parvient
d’un point pris au-dehors, à un point pris dans l’inté-
rieur du cristal , de manière que si l’on ajoute le produit
de la droite qu’elle décrit au-dehors, par sa vitesse pri-
mitive , au produit de la droite qu’elle décrit au-dedans,
par la vitesse correspondante , la somme soit un minimum.
Ce principe donne toujours la vitesse de la lumière dans
un milieu diaphane, lorsque la loi de la réfraction est
connue, et réciproquement il donne cette loi, quand on
connoît la vitesse. Mais une condition à remplir dans
le cas de la réfraction extraordinaire , est que la vitesse
du rayon lumineux dans le cristal, soit indépendante

DANS LES MILIEUX DIAPHANES, 304

dela manière dont il y est entré; et ne dépende que de
saposition par rapport à l’axe du cristal ; c’est-à-dire,
de l’angle que ce rayon forme avec une ligne parallèle
à Faxe. En effet, si l’on imagine une face artificielle
perpendiculaire à l’axe , tous les rayons intérieurs éga-
lement inclinés à cet axe , le seront également à la face,
et seront évidemment soumis aux mêmes forces au sortir
du cristal: tous reprendront leur vitesse primitive dans
le vide; la vitesse dans l’intérieur est donc pour tous,
la même. ( Voyez la note de la fin de ce Mémoire).
En partant de ces données, je parviens aux deux
équations différentielles que donne le principe de la
moindre action , et dans lesquelles la vitesse intérieure
est une fonction indéterminée de l’angle que le rayon
réfracté forme avec l’axe du cristal. J’examine ensuite les
deux cas les plus simples auxquels je me borne, parce
qu’ils renferment les lois de réfraction , jusqu’à présent
observées. Dans le premier cas , le carré de la vitesse de
la lumière est augmenté dans l’intérieur du milieu,
d’une quantité constante. On sait que ce cas: est celui
des milieux diaphanes ordinaires , et que cette constante
exprime laction du milieu sur la lumière: Les deux
équations précédentes montrent qu’alors les rayons
incident et réfracté sont dans un même plan perpendi-
culaire à la surface du milieu , et que les sinus des angles
qu'ils forment avec la verticale , sont constamment dans
le mème rapport. | | Fa
Après ce premier cas, le plus simple- est celui dans
lequel l’action du milieu sur la lumière , est égale à une
1609. 39

306 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE

constante, plus un terme proportionnel au carré du cosi-
nus de Pangle que le rayon réfracté forme avec l’axez
car cette action devant être la même de tous les côtés
de laxe , elle ne peut dépendre que des puissances pañres
du sinus et du cosinus de cet angle. L’expression du
carré de la vitesse intérieure , est alors de la même forme
que celle de laction du milieu. En la substituant dans
les équations différentielles du principe de la moindre
action, je détermine les formules de réfraction , relatives
à ce cas, et je trouve qu’elles sont identiquement celles
que donne la loi d’'Huyghens; d’où il suit que cette loi
satisfait à la fois au principe de la moindre action, et
à la condition que la vitesse intérieure ne dépende que
de l'angle formé par l’axe et par le rayon réfracté ; ce
qui ne laisse aucun lieu de douter qu’elle est due à des
forces attractives et répulsives dont l’action n’est sen-
sible qu’à des distances insensibles. Jusqu’ici cette loi
m’étoit qu’un résultat de l’observation , approchant de
la vérité , dans les limites des erreurs dont les expériences
les plus précises sont encore susceptibles ; maintenant
on peut la considérer comme une loi rigoureuse , puis-
qu’elle en remplit toutes les conditions.

Une donnée précieuse pour déterminer la nature des
forces dontelle dépend , est l’expression de la vitesse , qui
est égale à une fraction dont le numérateur est unité
et dont le dénominateur est le rayon de lPellipsoïde
d’Huyghens, suivant lequel la lumière se dirige, la vitesse
dans le vide étant prise pour unité. La vitesse du rayon
ordinaire dans le cristal , est comme l’on sait , constante

DANS LES MILIEUX DIAPHANES. 3o7

et égale à l’unité divisée par le rapport du sinus de réfrac-
tion au sinus d'incidence. Huyghens a reconnu par l’expé-
rience , que ce rapport est à fort peu près représenté par le
demi-axe de révolution de l’ellipsoïde; ce qui lie entreelles
les deux réfractions ordinaire et extraordinaire. Maïs on
peut démontrer de la manière suivante , que cetteliaison
remarquable est un résultat nécessaire de l’action du cris-
tal sur la lumière , et qu’il ne dépend que de la considéra-
tion qu’un rayon ordinaire se change en rayon extraordi-
aire, lorsque l’on change convenablement sa position par
rapport à l’axe d’un nouveau cristal. Si ce rayon est per-
pendiculaire à la face artificielle du cristal coupé perpen-
diculairement à son axe, il est clair qu’une inclinaïson
infiniment petite de axe sur la face, produite par une sec-
tion infiniment voisine de la première , suffit pour en
faire un rayon extraordinaire. Cette inclinaison ne peut
qu’altérer infiniment peu l’action du cristal, et la vitesse
du rayon dans son intérieur; cette vitesse est donc alors
celle du rayon extraordinaire , et par conséquent elle est
égale à l’unité divisée par le demi-axe de révolution de
Vellipsoïde. Elle surpasse ainsi généralement celle du
rayon extraordinaire , la différence des carrés de ces
deux vitesses étant proportionnelle au carré du sinus de
l’angle que l’axe forme avec ce dernier rayon : cette
différence représente celle de l’action du cristal sur ces
deux espèces de rayons. Elle est la plus grande , lorsque
le rayon incident sur une surface artificielle menée par
l’axe du cristal , est dans un plan perpendiculaire à cet
axe : alors la réfraction extraordinaire suit la même loi

308 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE

que la réfraction ordinaire ; seulement, le rapport des
sinus de réfraction et d'incidence , qui dans le cas de
la réfraction ordinaire , est le demi-petit axe de Pellip-
soïde, est égal au demi-grand axe dans la réfraction
extraordinaire.

Suivant Huyghens, la vitesse du rayon extraordinaire.
dans le cristal, est exprimée parle rayon même de l’ellip-
soïde; son hypothèse ne satisfait donc point au principe:
de lamoindre action; mais il est remarquable qu’elle satis-
fasse au principe de Fermat , qui consiste en ce que la
lumière parvient d’un point pris au-dehors du cristal , à
un point pris dans son intérieur, dans le moins de temps:
possible ; car il est visible que ce principe revient à celui
de la moindre action, en y renversant l’expression de la
vitesse. Ainsi l’un et l’autre de ces principes conduisent
à la loi de la réfraction , découverte par Huyghens,
pourvu que dans le principe de Fermat , on prenne avec
Huyghens, le rayon de l’ellipsoïde pour représenter la
vitesse, etque , dans le principe de la moindre action , ce
rayon représente le temps employé par la lumière à par-
courir un espace déterminé pris pourunité. Si les axes de
l’ellipsoïde sont égaux entre eux , il devient une sphère,
et la réfraction se change en réfraction ordinaire. Ainsi
dans ces phénomènes, la nature en allant du simple
au composé , fait succéder les formes elliptiques à la
forme circulaire, comme dans les mouvemens et la figure
des corps célestes.

L'identité de la loi d'Huyghens avec le principe de
Fermat a lieu généralement, quel que soit le sphéroïde

DANS LES MILIEUX DIAPHANES 309

qui, dans son hypothèse , représente la vitesse intérieure.
Je:fais voir très-simplement que cette identité résulte de
la manière ingénieuse dont Huyÿghens envisage latpropa-
gation des ondes de lumière; en sorte que cette mañière ,
quoique très-hypothétique , représente encore toutes!les
lois de réfraction ,; qui peuvent être dues à des forces
attractives et répulsives; puisque le principe de Fermat
donne les mêmes lois que celui de la moindre action , en
y renversant l’expression de la vitesse.

Pour compléter la théorie précédente, je déduis des

formules de réfraction , données par le principe de la
moindre action , la réfraction de la lumière par les sur-
faces intérieures des cristaux diaphanes. A leurs surfaces
extérieures , elle se réfléchit en faisant l’angle de réflexion
égal à l’angle d'incidence; mais aux surfaces intérieures,
un rayon, soit ordinaire, soit extraordinaire, se réfléchit
en partie, et se divise par cette réflexion ; en deux
faisceaux dont je détermine les directions respectives.
M. Malus a, le premier , rattaché ces réflexions à la loi
de réfraction d’'Huyghens, et il a fait à cet égard un grand:
nombre d’expériences. Leur accord remarquable avec les
résultats du principe de la moindre action, achève de
démontrer que tous les phénomènes de la réfraction et
de la réflexion de la lumière dans les cristaux, sont le
résultat de forces attractives et répulsives.

Descartes est le premier qui ait publié la vraie loi de la
réfraction ordinaire, que Képler et d’autres: physiciens
avoient inutilement cherchée. Huyghens affirme dans sa
Dioptrique , qu’il Pa vue présentée sous une autre forme,

310 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE

dans un manuscrit de Snellius, qu’on lui a dit avoir été
communiqué à Descartes, et d’où peut-être, ajoute-
t-il, ce dernier a tiré le rapport constant des sinus de
réfraction et d’incidence. Mais cette réclamation tardive
d'Huyghens , en faveur de son compatriote, ne me
paroît pas suffisante pour enlever à Descartes , le mérite
d’une découverte que personne ne lui a contestée de son
vivant. Ce grand géomètre l’a déduite des deux proposi-
tions suivantes : l’une , que la vitesse de la lumière paral-
lèle à la surface d’incidence n’est altérée ni par la
réflexion ni par la réfraction ; l’autre , que la vitesseest
différente dans les milieux divers, et plus grande dans
ceux qui réfractent plus la lumière. Descartes en a con-
clu que si, dans le passage d’un milieu dans un autre
moins réfringent , l’inclinaison du rayon lumineux est
telle que expression du sinus de réfraction soit égale
ou plus grande que l’unité , alors la réfraction se change
en réflexion , les deux angles de réflexion et d’incidence
étant égaux. Tous ces résultats sont conformes à la
nature, comme Newton l’a fait voir par la théorie des
forces attractives ; mais les preuves que Descartes en a
données sont inexactes , et il est assez remarquable
qu'Huyghens et lui soient parvenus, au moyen de théo-
ries incertaines ou fausses, aux véritables lois de la ré-
fraction de la lumière. Descartes eut à ce sujet, avec
Fermat, une longue querelle que les cartésiens prolon-
gèrent après sa mort , et qui fournit à Fermat l’occasion
heureuse d’appliquer sa belle méthode de maximis et
minimis , aux expressions radicales. En considérant cette

DANS LES MILIEUX DIAPHANES. 311

matière sous un point de vue métaphysique , il chercha
la loi de la réfraction, par le principe que nous avons
exposé précédemment, et il fut très-surpris d'arriver à
celle de Descartes. Mais ayant trouvé que, pour satis-
faire à son principe , la vitesse de la lumière devoit être
plus petite dans les milieux diaphanes que dans le vide,
tandis que Descartes la supposoit plus grande ; il se con-
firma dans la pensée que les démonstrations de ce grand
géomètre étoient fautives. Maupertuis convaincu par les
raisonnemens de Newton, de la vérité des suppositions
. de Descartes , reconnut que la fonction qui dans le mou-
vement de la lumière est un minimum , n’est pas comme
Fermat le suppose , la somme des quotiens , mais celle
des produits des espaces décrits, par les vitesses corres-
pondantes. Ce résultat étendu à l’intégrale du produit
de l’élément de l’espace , par la vitesse dans les mou-
vemens variables , a conduit Euler au principe de la
moindre action, que M. de Lagrange ensuite a dérivé
des lois primordiales du mouvement. L’usage que je fais
de ce principe, soit pour reconnoître si la loi de réfrac-
tion extraordinaire donnée par Huyghens dépend de
forces attractives ou répulsives , et pour l’élever ainsi
au rang des lois rigoureuses , soit pour déduire réci-
proquement l’une de l’autre, les lois de la réfraction et
de la vitesse de la lumière dans les milieux diaphanes,
m'a paru mériter l’attention des physiciens et des
géomètres.

Voici présentement mon analyse. Abaissons d’un
point quelconque de la direction du rayon lumineux

Bi2 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE

dans le vide , une perpendiculaire sur la face du cristal ;
nommons p cette perpendiculaire , 8 l'angle d’incidence
du rayon et & l’angle que sa projection forme avec une
droîte invariable située dans le plan de la face, et pas-
sant par le point d'incidence du rayon : nommons pareil-
lement , p',8'etæ les mêmes quantités relatives au rayon
réfracté : p + p' sera la distance des deux plans paral-
lèles à la face, et passant respectivement par les deux
points pris sur les directions des deux rayons incident
et réfracté. La distance des deux plans passant respec-
tivement par les mêmes points, perpendiculairement à
la face ; et parallèlement à la droite invariable , sera

p. tang 0. sin @ + p'. tang 0". sin æ'
Enfin la distance des deux plans passant respectivement

par les mêmes points , perpendiculairement à la face et
à la droite invariable, sera

p. tang 8. cos æ + p'. tang W. cos æ'
Si l’on fait varier les angles 0, æ,0'etæ', de manière
8 To) ;
que les deux points pris sur les directions des rayons,

soient fixes ; ces trois distances resteront les mêmes, et
l’on aura les deux équations différentielles

p. dê. sin # 9
= eee j k 1e 0. cos &
er ns DE à de. tang
ND
ga nd IV P'. da. tang 0". cos &'
cos* 8
p. dl. cos # É g -
RE Te LILI 0: SET
“4 cos? 4 P (e]
p. dé. cos =" 5 , , à h
+ = — p. da. tang 0". Sin æ

cos? 4°

ba

DANS LES MILIEUX DIAPHANES, 313
Suivant le principe de la moindre action, la fonction

P'o
Le +

cost cos # ?

doit être un minimum, v étant la vitesse
du rayon dans l’intérieur du cristal, lorsqu'il ya pénétré
d’une quantité sensible , sa vitesse dans le vide étant
prise pour unité; car on peut négliger la partie de l’in-
tégrale fvds, relative à la courbe imperceptible que
décrit le rayon à son passage dans le cristal , et dont
nous exprimons J’élément par ds. On a donc

. dé. sin 0 . ud®". sin 8
Lt cp A 26 OP 8

cos? ÿ cos* à
P' du / dv / .
La première des trois équations différentielles précé-

dentes, multipliée par sit æ, et ajoutée à la séconde
multipliée par cos æ, donne

à O0 —

p. dû p. dé Ci
DE nn — "© Moore Vétcome = 7 2 5 1 Ee (néluemr AU 9
cos? 0 COS NE ( é ) 1

+ p' dæ!. tan . SÈrL (æ! ms æ) 7

.dé LUE de
Cette valeur de , substituée dans la troisième équa-

tion différentielle , donne

dé'. sin 0! ; ,
O———; "008$ (æ — &) |
+ da. sin 0. tang 8". sin (æ' — æ)°

ud®'". sin d CU dv da dv
cos? 4 tn cos 4° | dé’ 70 cos 0°” )
En comparant séparément les coefficiens de d8' et da,
1809. 40

314 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE

on aura les deux équations suivantes données par le
principe de la moindre action,

sin Ü. cos (æ'— æ) —=v. sin 8! + (5). cos 8.,,. (1)

. Pen PRIOR à 4

sin 0. sin 8, sin (æ' — æ) = — (5) LES D R
Quand la loi de réfraction est connue, on a les valeurs
de # et æ, en fonctions de 8 et de æ’. Ces valeurs substi-
tuées dans les deux équations précédentes , donneront la
vitesse v du rayon lumineux, correspondante à cette loi,
du moins si la loi de réfraction est un résultat de forces
attractives et répulsives. Réciproquement, si la vitesse
v est donnée, on aura au moyen de ces équations , la
loi correspondante de la réfraction.

Dans l’intérieur du cristal, la vitesse ne dépend que
des angles formés par la direction du rayon, et par des
axes fixes dans l’intérieur du corps. Supposons qu’il n’y
ait qu’un axe , et que Ÿ” soit l’angle formé par cet axe et
par la direction du rayon réfracté , v sera fonction de Y-
Si par l’axe, on mène un plan perpendiculaire à la face
du cristal, et que l’on prenne pour la ligne invariable
d’où l’on compte les angles æ et æ' l’intersection de ce
plan avec la face; si de plus on nomme À l'angle que
fait avec la face, un plan perpendiculaire à Paxe, on aura

cos Ÿ. — cos À. cos 0 — sin À. sin 8. cos æ'

On aura donc, en regardant v comme fonction de cos F,

dv du . : ! !
(= Gi) (cos À. sin 0 + sin À. cos ll, cos æ')

Vd'E d. cos

DANS LES -MILLEUX DIAPINANES. 315

4 d Ê : ;
(= ) = Er) Sin À. Sir 0. Sin

da" d. cos VF

En multipliant l’équation (1) par six 0’. sin æ et en
en retranchant l’équation (2) multipliée par cos &', on
aura

in 0. sin æ = sin O'. sin œ'.[u—cosP. (= ] (3)
sin Ô. sin æ —= . : ue
Si l’on multiplie ensuite l’équation (1) par siz 8’. cos æ',
et qu’on l’ajoute à l’équation (2) multipliée par 522 æ’,
on aura

: d dv
sin 0. cos æ = sin.W', cos æ'. | u—. cos F7. ( ——"" —
d. cos V
do

— sit AE de sub (9)

Ces deux équations donneront la loi de la réfraction
extraordinaire, lorsque v sera donné en fonction de
cos V”, et réciproquement. De plus, elles satisferont à la
condition que la vitesse du rayon lumineux dans l’inté-
rieur du cristal, ne dépende que de sa position pr rap-
port à l’axe du cristal.

Nous observerons ici que non-seulement v doit être
fonction de cos F7, mais qu’il ne doit dépendre que des
puissances paires de cos F7; car nous avons observé ci-
dessus que la vitesse v est la même pour tous les rayons
qui forment avec l’axe ; le même angle, Examinons pré-
sentement les lois de la réfraction , relatives aux deux
expressions les plus simples de la vitesse.

316 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE

Premier cas.

Le cas le plus simple de tous, est celui dans lequel la
vitesse v est constante. Les équations (3) et (4) deviennent
alors

sin 0.-sin @æ —=\u. sin 0. sin ©’

sin 0. cos æ —=\v. sin 0, cos æ'

En divisant la première par la seconde, on a
— !
Lang æ — lang æ

ce qui montre que les deux rayons incident et réfracté
sont dans un même plan perpendiculaire à la face d’in-
cidence. 1 n ajoutant ensemble les carrés des mêmes
équations , on a

À sin À
SPANOUES

vu

ce qui donne le rapport constant des sinus de réfraction
et d'incidence.

Le cas que nous examinons, est celui des milieux dia-
phänes ordinaires: On sait qu’alors le carré de la vitesse
de la lumière, estaugmenté par l’action du milieu, d’une
quantité constante qui mesure la force réfractive de ce
milieu , et qui est égale à la différence des carrés des sinus
d'incidence et de réfraction, divisée par le carré du sinus
de réfraction. ( Foy. le chapitre I du livre X de la Mé-
canique céleste).

|

DANS LES MILIEUX DIAPHANES, 317

Second cas.

Le cas le plus simple après le précédent, est celui dans
lequel l’action du milieu est variable et égale à une cons-
tante , plus un terme proportionnel au carré du cosinus
de l’angle Y. Dans ce cas l’expression du carré de la
vitesse v est de la forme & + «°. cos. W; ce qui donne

dv Lis æ?, cos
ÉANGNT 0) IT u

Les équations (3) et (4) deviennent ainsi

G2. sin VW. sin 7’

sin 0. sin æ —=

É 62, sëèn td’. cos m° a. sin À. cos
sin 0. cos æ —= ——

v vu

Ces deux équations donnent

æ?, sin À. cos V

\ 2
(sin 8. cos æ + ) + sir 0. sin æ
C4, sin? à!

y2

(2

En multipliant ensuite la dernière des mêmes équations
par sir. À, et substituant pour sir. À. cos. 0. cos. æ', sa
valeur cos. À. cos 8 — cos VF, ona

v?

s L C2 x2, sin? à). cos PV. \? C4, cos? À. cos? 4
(sin À. sin 0. cos æ + en — 2 LE

Enfin , en multipliant cette équation par #°, et en
la retranchant de la précédente multipliée par 8° + #°.

318 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈILE

sir”. À ; en substituant ensuite au lieu de &°. cos’. 7, sa
valeur v*— £° et supposant

p= + a, sin À
on trouve après toutes les réductions

63. VE + at, cos à

UE —

ve. p — sin? 4, (5*, cas® 5 + P: sin? x)

L'expression précédente de siz 0. sin æ, donne ainsi

V © + «7, sin 0. sin æ

12 €? pr—sin* 0. (6?. cos? x + p. sin* x)

tang 6". sin æ' —

... (5)
l'expression de sir 8. cos æ, donne en y substituant
au lieu de cos Ÿ, sa valeur cos À. cos 0 — sin à.

sin 0. sin À. cos &',

É à E, VE <Æ &7, sin 8. cos x
tang À. cos æ —=

P- Vv &. p — sin? 6, (&?. cos = + p. sin° æ)
#4”. Si À, COS À

Se ont dot ndcoe (6)

Comparons maintenant ces résultats à ceux que donne

la loi d'Huyghens.

Imaginons une face naturelle ou artificielle du cristal,
sur laquelle soit tracée ’ellipse 4FE, dont le centre € soit
celui d’un ellipsoïde de révolution 4 FED, CD étant le
demi-axe de révolution , parallèle à laxe du cristal,
Menons par CD un plan perpendiculaire à la face, et
la coupant suivant la droite 4 CE. Soit RC un rayon
incident , et menons par À C'un plan perpendiculaire à

DANS LES MILIEUX DIAPHANES. 319

‘la face, et la coupant suivant la droite BCX. Menons
encore dans le plan RCX, OC perpendiculaire à
CR , et plaçons dans l'angle O CX, la droite OX per-
pendiculaire à OC , et qui représente la vitesse de la
lumière dans le vide, vitesse que nous prendrons pour
unité. Dans le plan de Pellipse AFE , menons par le
point À, X T'perpendiculaire à € X. Si maintenant on
conçoit un plan mené par X 7’, et tangent au sphéroïde
AFED, en I; la droite CZ sera la direction du rayon
réfracté.

Pour réduire cette construction en analyse, nommons,
comme précédemment, 8 l’angle d'incidence du rayon
CR ; nommons encore & l’angle que la projection CB
de ce rayon sur la face du cristal forme avec 4 C ; nom-
mons pareillement 8’ l’angle de réfraction du rayon C7,
et æ' l’angle que la projection de ce rayon sur la face
forme avec CE. Soit a le demi grand axe de lellipsoïde,
b son demi-axe de révolution , et À l’angle formé par la
face du cristal et par un plan perpendiculaire à l’axe de
révolution ; cela posé, on trouve les deux équations
suivantes :

a?. sin 0, Sn 7%

tang Lin = ————_—_—_—Û—Û— — — © ———
VA — a?, sin? 8, (b%. cos? x + A, sin x)

/ 1 a?b?. sin b. cos #
Lang 6, COS = ————— — —— — —— — — —

E
A.V A — a, sin” 0, (b?. cos? x + À. sin° =) A
A et B étant donnés par les équations

AZ + (a — D). sin° À
B = (a — b°). sin À. cos À

320 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE

Je ne donne point ici les démonstrations de cés formules
auxquelles M. Malus est parvenu d’une manière élé-
gante , et que les géomètres tireront facilement de la
construction d'Huyghens : elles ont, comme on le voit
par l’inspection seule, une grande analogie avec les
équations (5) et (6); mais il est facile de voir qu’elles
coïncident entièrement avec elles, en faisant dans les

équations (5) et (6)

ce qui donne

Ve (a? — B2). cos VF ù
UE ——
ab

Le rayon de l’ellipsoïde est
ab
‘ V'# + (a? — b?), cos F.

La vitesse de la lumière rompue extraordinairement dans
l'intérieur du cristal, est dont égale à l’unité divisée par
ce rayon.

Suivant Huyghens, cette vitesse est représentée par
le rayon mème ; ses hypothèses ne satisfont donc point
au principe de la moindre action : mais elles satisfont à
celui de Fermat ; car ce dernier principe revient à celui
de la moindre action, en y renversant l’expression de
la vitesse.

On peut démontrer très-simplement l'identité de ce
principe , et de la manière dont Huyghens envisage la
réfraction de la lumière. Il établit que toutes les parties

DANS LES MILIEUX DIAPIANES, + 3oy -

d’une onde lumineuse, qui sont dans un plan CO per-
pendiculaire au rayon incident CR, parviennent dans
le même temps et suivant des directions parallèles, au
plan XZ mené par X T tangentiellement au sphéroïde
dont C est le centre, et dont les rayons représentent les
vitesses de la lumière dans le cristal. En effet, si l’on
prend À O pour unité de temps, d’espace et de vitesse ;
le temps employé à parcourir oc parallèle à OX, sera

représenté par co, et par conséquent il sera égal à 22
Le temps employé à parcourir ci parallèle à CZ, sera au
temps employé à parcourir CZ, et qu’il suppose être égal
au temps employé à parcourir X O, c’est-à-dire à l’unité ;

£ À Kc
comme cz est à CT; ce temps est donc égal à En:

« 4 C : Ce
En l’ajoutant à; la somme sera l’unité. Ainsi le

point o de l’onde parvient en Z, dans le même temps
que le point © parvient en X. Menons o'c' infiniment
"près de oc > et parallèlement à cette ligne : le point o’ de
Vonde parviendra en 2’, suivant la ligne brisée of.
dans une unité de temps. Menons présentement les
droites c'o et c'i > et supposons que le point o parvienne
en Z suivant la ligne brisée oc'i; c'o'étant perpendicu-
laire à CO, la droite c'o peut être supposée égale à CO,
et les temps employés à les parcourir, peuvent être sup-
posés égaux. De plus, le temps employé à parcourir c'i
peut être supposé égal au temps employé à parcourir c’?’,
parce que le plan X 5 touchant en ; le sphtéroïde sem-
blable au sphéroïde AFED, dont le centre est en Gs
et dont les dimensions sont diminuées dans lasraison de

1809. 41

522 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE

Kc'à KC, les deux points j et peuvent être supposés
à la surface de ce sphéroïde. Selon Huyghens, les vitesses
suivant c'i et ci sont proportionnelles à ces lignes ; les
temps employés à les parcourir sont donc égaux. Ainsi
le temps de la transmission de la lumière suivant la ligne
brisée oc'i, est égal à l’unité, comme suivant la ligne
brisée oci. La différentielle de ces deux temps est donc
nulle; ce qui est le principe de Fermat.

Il est clair que ce raisonnement a généralement lieu,
quelle que soit la position du point c',.et quand il ne
scroit pas sur la droite CX, pourvu qu’il soit près de
cette droite, sur la face du cristal : ce raisonnement est
d’ailleurs indépendant de la nature du sphéroiïde dont
les rayons représentent les vitesses de sa lumière.

En renversant l’expression de la vitesse , le principe
de Fermat donne celui de la moindre action; les lois de
réfraction, qui résultent des hypothèses d’'Huyghens,
sont donc généralement conformes à ce dernier prin-
cipe, et c’est la raison pour laquelle ces hypothèses
représentent la nature.

Le principe de la moindre action peut servir encore
à déterminer les lois de la réflexion de la lumière ; car
quoique la nature de la force qui fait rejaillir la lumière
à la surface des corps soit inconnue, cependant on peut
la considérer comme une force répulsive qui rend en sens
contraire à la lumière, la vitesse qu’elle lui fait perdre ;
de même que l’élasticité restitue aux corps en sens con-
traire, la vitesse qu’elle détruit : or on sait que dans
ce cas, le principe de la moindre action subsiste tou-

DANS LES MILIEUX DIAPHANES. 293

jours. À l’égard d’un rayon lumineux, soit ordinaire,
soit extraordinaire , réfléchi par la surface extérieure
d’un corps , ce principe se réduit à ce que la lumière par-
vient d’un point à un autre, par le chemin le plus court
de tous ceux qui rencontrent la surface. En effet, la
vitesse de la lumière réfléchie est la même que celle
de la lumière directe ; et l’on peut établir en prin-
cipe général, que lorsqu'un rayon lumineux , après
avoir éprouvé l’action de tant de forces que l’on vou-
dra, revient dans le vide, il y reprend sa vitesse pri-
mitive. La condition du chemin le plus court donne l’é-
galité des angles de réflexion et d'incidence, dans un
plan perpendiculaire à la surface , ainsi que Ptolomée
Pavoit déjà remarqué. C’est la loi générale de la réflexion
à la surface extérieure des corps.

Mais lorsque la lumière, en entrant dans un crista},
s’est divisée en rayon ordinaire et extraordinaire, une
partie de ces rayons est réfléchie par la surface inté-
rieure à leur sortie du cristal. En se réfléchissant , Chaque
rayon; soit ordinaire , soit extraordinaire, se divise en
deux autres ; en sorte qu’un rayon solaire , en pénétrant
dans le’cristal, forme par sa réflexion partielle à la sur-
face de sortie , quatre faisceaux distincts dont nous allons
déterminer les directions.

Supposons d’abord les faces d’entrée et de sortie, que
nous nommerons première et seconde face, parallèles.
Donnons au cristal une épaisseur imsensible ,etcependant
plus grande que la somme des rayons des sphères d’ac-
tivité. des deux faces. Dans ce cas, on prouvera par le

524 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE

raisonnement qui précède, que les quatre faisceaux réflé-
chis n’en formeront sensiblement qu’un seul situé dans
le plan d'incidence du rayon générateur, et formant
avec la première face , l’angle de réflexion égal à Pangle
d’incidence. Restituons maintenant au cristal son épais-
seur : il est clair que, dans ce cas, les faisceaux réfléchis
après leur sortie par la première face, prendront des
directions parallèles à celles qw’ils avoient prises dans
le premier cas ; ces faisceaux seront donc parallèles entre
eux et au plan d’incidence du rayon générateur : seule-
ment au lieu d’être sensiblement confondus, comme dans
le premier cas , ils seront séparés par des distances d’au-
tant plus grandes, que le cristal aura plus d’épaisseur.
Maintenant si l’on considère un rayon quelconque
intérieur , sortant en partie par la seconde face, eten
partie réfléchi par elle en deux faisceaux, le rayon sorti
sera parallèle au rayon générateur; car la lumière, en
sortant du cristal , doit prendre une direction parallèle à
celle qu’elle avoit en y entrant, puisque les deux faces
d'entrée et de sortie étant supposées parallèles, elle
éprouve en sortant, l’action des mêmes forces qu’elle avoit
éprouvées en entrant , mais en sens contraire. Concevons
par la direction du rayon sorti, un plan perpendiculaire
à la seconde face ; et dans ce plan , imaginons au-dehors
du cristal une droite passant par le point de sortie, et:
formant avec la perpendiculaire à la face , mais du côté
opposé à la directiom du rayon sorti, le même angle
que cette direction : enfin concevons un rayon solaire
entrant suivant cette droite dans le cristal. Ce rayon

Tee

DANS LES MILIEUX DIAPHANES, 325

se partagera à son entrée, en deux autres qui, au sortir
du cristal par la première face, prendront des directions

parallèles au rayon solaire avant son entrée par la

seconde face : elles seront visiblement parallèles aux
directions des deux faisceaux réfléchis , ce qui ne peut
avoir lieu qu’autant que les deux rayons dans lesquels

.se divise le rayon solaire en entrant par la seconde face,

se confondent respectivement dans l’intérieur du cris-
tal, avec les directions des deux faisceaux réfléchis.
Or ; les formules précédentes donnent les directions des
rayons dans lesquels le rayon solaire se divise ; elles
donneront donc aussi celle des deux faisceaux réfléchis
dans l’intérieur du cristal.

Si les deux faces du cristal ne sont pas parallèles, on
aura par les mêmes formules, les directions des deux
rayons dans lesquels le rayon générateur se divise en
pénétrant par la première face. On aura ensuite par ces
formules, les directions de chacun de ces rayons à leur
sortie par la seconde face ; ensuite la construction pré-
cédente donnera les directions dans l’intérieur des quatre
faisceaux réfléchis par cette face; enfin par nos formules,
on conclura leurs directions au sortir du cristal par la
première face. On ayra donc ainsi tous les phénomènes
de la réflexion de la lumière par les surfaces des cristaux
diaphanes. On pourroit les déduire directement de l’ana-
lyse qui nous a conduits aux formules de la réfraction ;
mais la méthode qui précède, est beaucoup plus simple.

3

6 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE

N

NOTE. .

Jr vais présentement démontrer cette proposition géné-
rale, savoir, que de quelque manière qu’une molécule
de lumière parvienne du vide , dans un milieu d’une
densité quelconque, soit qu’elle y parvienne directe-
ment, soit qu’elle n’y parvienne qu'après avoir traversé
plusieurs autres milieux; dans tous ces cas, sa vitesse
dans ce milieu sera toujours la même. En éffet, si l’on
nomme v cette vitesse, dm une molécule qui agit sur
la lumière , soit par attraction, soit par répulsion; f sa
distance à la molécule de lumière; @ (f) la loi de la
force, relative à la distance ; on aura, par le principe de
la conservation des forces vives,

= a + 2 fdm. df. e (jf)

a étant la vitesse de la lumière dans le vide, et l’intégrale
devant s'étendre à toutes les molécules qui agissent sur
le rayon lumineux. On peut envisager cette intégrale
de deux manières, Dans la première on ne la considère
que très-près de la surface d’entrée dans le milieu ; et
l’on conçoit que. lorsque le rayon y a pénétré d’une
quantité sensible, alors il est également attiré de toutes
parts, et sa vitesse ne reçoit plus d’accroissement. C’est

DANS LES MILIEUX DIAPHANES. 327

ainsi que Newton a démontré le rapport constant des
sinus de réfraction et d’incidence. Dans la seconde ma-
nière , on ne considère que l’action éprouvée par le rayon
lumineux, de la part des molécules qui en sont éloi-
gnées d’une quantité moindre que le rayon de la sphère
d’activité sensible de ces molécules; la valeur de fdrm.
df: @ (f) étant insensible relativement aux autres mo-
lécules ; parce que l’accélération qu’elles: ont produite
dans le mouvement du rayon, lorsqu'il s’en est appro-
ché, a été détruite par le retardement que ce mouvement
a éprouvé lorsque le rayon s’en est éloigné. Cette seconde
manière montre avec évidence que la vitesse est la même,
de quelque manière que le rayon ait pénétré dans le
milieu , et quelles que soient les actions des molécules
qu’il a rencontrées; puisque l'intégrale fm. df. @ (Cf)
est nulle relativement à celles qui sont à une distance
perceptible de la molécule lumineuse.

Il suit de là que la lumière , en rentrant dans le
vide , après avoir éprouvé l’action d’un nombre quel-
conque de forces’ attractives et répulsives , y reprend sa
_ Vitesse primitive.

Les mêmes résultats ont lieu relativement aux rayons
extraordinaires; car, sans connoître la cause de la réfrac-
tion extraordinaire, on peut cependant assurer qu’elle
est due à des forces attractives et répulsives qui agissent
de molécule à molécule, suivant des fonctions quelcon-
ques de la distance, et qui, dans les cristaux, sont
modifiées par la figure de leurs molécules intégrantes,
par celle des molécules de la lumière et par la manière

328 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE

dont ces molécules se présentent les anes aux autres.
En nommant donc À la résultante de toutes ces forces,
et dr l’élément de sa direction, on aura

w —'a& + 2 fdm. Rdr

Maintenant il est visible que , relativement à une molé-
cule dm du cristal, l'intégrale fR dr est nulle, lorsque
le rayon lumineux est à une distance sensible de cette
molécule ; car dans le passage de ce rayon à travers la
sphère d’activité sensible dela molécule, les élémens Rar
sont d’abord positifs, ensuite négatifs, et la somme des
premiers est égale à celle des seconds et la détruit. En
cela ces forces diffèrent de celles qui naissent du frotte-
ment et de la résistance des milieux , et qui, dans toutes
les directions , retardent constamment la vitesse. L’inté-
grale f dm. R dr ne dépend donc que de Paction que le
rayon a éprouvée de la part des molécules dont il n’est
éloigné que d’une quantité plus petite que le rayon de la
sphère d’activité sensible. Aïnsi lorsqu'un rayon ex-
traordinaire est À une distance sensible de la surface
d’un cristal, et dans son intérieur, sa vitesse est toujours
la même, quelles que soient la nature de cette surface
et la manière dont le rayon a pénétré dans le cristal,
pourvu que sa direction soit la même. Donc si les forces
qui produisent la réfraction extraordinaire sont les
mêmes de tous les côtés de l’axe du cristal, la vitesse du
rayon dans l’intérieur ne dépendra que de l’angle formé
par sa direction avec l’axe. On voit encore que le rayon
rentrant dans le vide, y reprendra sa vitesse primitive.

LS

DANS LES MILIEUX DIAPHANES. 329

* En général, toutes les forces attractives et répulsives
de la nature se réduisenten dernière analyse, à des forces
semblables agissantes de molécule à molécule. C’est ainsi
que j'ai fait voir dans ma Théorie de l’action capillaire,
que les attractions et répulsions des petits corps qui
nagent sur un liquide , et généralement tous les phéno-
mènes capillaires dépendent d’attractions de molécule
à molécule , qui ne sont sensibles qu’à des distances im-
perceptibles. On a essayé pareillement de ramener à des
actions de molécule à molécule, les phénomènes électri-
ques et magnétiques : on peut y ramener encore ceux que
présentent les corps élastiques. Pour déterminer l’équi-
libre et le mouvement d’une lame élastique naturellement
rectiligne et pliée suivant une courbe quelconque , on a
supposé que dans chaque point, son ressort est en raison
inverse du rayon de courbure. Mais cette loi n’est que
secondaire et dérive de l’action attractive et répulsive des
molécules, suivant une fonction de la distance. Pour
mettre cette dérivation eu évidence, il faut concevoir
chaque molécule d’un corps élastique dans son état na-
turel, en équilibre au milieu des forces attractives et
répulsives qu’elle éprouve de la part des autres molé-
cules ; Les forces répulsives étant dues, soit à la chaleur,
soit à d’autres causes. Il faut supposer ensuite que les mo-
lécules tendent à reprendre leur position respective natu-
relle , lorsqu'on les en écarte infiniment peu. Ainsi deux
molécules en équilibre entre leurs forces attractives et
répulsives , et séparées l’une de l’autre par un intervalle
quelconque, reviendront à cette distance mutuelle, soit

1809. . 42

330 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE

qu’on augmente, soit qu’on la diminue , si l’une de ces
deux conditions est remplie, et alors leur équilibre sera
stable. Imaginons présentement une lame très-mince,
élastique , rectiligne et fixée par une de ses extrémités à
un plan qui lui soit perpendiculaire. En pliant la lame,
son élément contigu au plan s’écartera de sa position
naturelle, d’un angle infiniment petit que nous désigne-
rons par &. En désignant par f la distance d’une molé-
cule de l’élément à une autre de ses molécules, cette
distance variera d’une quantité proportionnelle à #, et
il en résultera une action mutuelle de ces molécules,
proportionnelle à cette variation , et que nous pouvons
exprimer par 2e. La résultante de toutes ces forces tend
à faire reprendre à l’élément, son état naturel; mais de
quelque manière qu’elles se combinent, leur résultante
ou le ressort de l’élément est nécessairement proportion-
nel à +, ou à l’angle de contingence, et par conséquent ce
ressort est réciproque au rayon de courbure. Ce que nous
venons de dire du premier élément de la lame, s’applique
à un élément quelconque, en concevant cet élément fixé
par une de ses extrémités, à un plan perpendiculaire
à l’élément contigu.

Maintenant, si l’on fait varier infiniment peu la posi-
tion de la courbe ; l’angle de contingence & deviendra
æ + d'a, d'u étant la variation de cet angle, que nous
supposerons infiniment petite par rapport à lui. La dis-
tance f de deux molécules de l’élément de la lame , cor-
respondante à cet angle, variera d’une quantité propor-
tionnelle à d'«, et que nous désignerons par g d'a, L’ac-

DANS LES. MILIEUX DIAPHANES. 333

tion mutuelle des deux molécules ayant été exprimée
par a, le produit de cette action par l'élément de sa
direction sera donc Ag. ad'x. Cette somme, étendue à
toutes les molécules de. l’élément entier, sera de la
forme M. a d'a, M étant un coëfficient indépendant de «
et de de, et qui sera le même pour tous les élémens de
la lame, si elle est partout également épaisse et large ,
et si la longueur de ses élémens est supposée constante:
nous représenterons cette longueur par ds que nous sup-
poserons constant et invariable. La somme de toutes les
forces multipliées respectivement par les variations des
élémens de leurs directions, sera donc proportionnelle à
fz. d'a,ets’iln’ya point de forces étrangères, la lame étant
supposée fixe par ses deux extrémités, on aura par le prin-
cipe des vitesses virtuelles, dans le cas de Péquilibre, fz. d'a
—o; d’où il suit que /z° est un minimum dans la courbe

d'équilibre. & est égal à _ r étant le rayon de cour-

ds? IE
bure; f° est donc un »rinimum dans cette courbe.
T

2

ds étant supposé constant, on peut diviser l’intégrale
précédente par ds, et la réduire ainsi à une intégrale

j ds ÿ AUTÉ
finie; f est par conséquent un mirimum dans la
T

courbe d'équilibre de la lame élastique; ce qui est le
principe de Daniel Bernoulli qui a donné à cette inté-
grale, le nom de force potentielle. (Voyez l’ouvrage
d’Euler qui a pour titre: Methodus inveniendi lincas
curvas mazimi minimive proprietate gaudentes.)
Enfin la considération des actions ad distans, de

332 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE

molécule à molécule, étendue à la chaleur, conduit d’une
manière claire et précise, aux véritables équations diffé-
rentielles du mouvement de la chaleur dans les corps so-
lides, et de ses variations à leur surface , et par là cette
branche très-importante de la physique rentre dans le
domaine de l’analyse.

On est parti, dans la théorie de l’équilibre et du mou-
vement de la chaleur, de ce principe donné par Newton,
savoir que la chaleur communiquée par un corps à un
autre qui lui est contigu, est proportionnelle à la dif-
férence de leurs températures. Ainsi une lame infiniment
mince d’un corps, communique dans un temps donné
très-court, à celle qui la suit, une quantité de chaleur
proportionnelle à la conductibilité du corps pour la
chaleur, et à l’excès de sa température sur celle de la
lame suivante ; maiselle reçoit en même temps de la lame
qui la précède , une quantité de chaleur proportionnelle
à l’excès de la température de cette lame sur la sienne,
et c’est la différence de ces chaleurs reçues et commu-
niquées dans un instant infiniment petit, qui forme la
différentielle de sa chaleur. Mais il se présente ici une
difficulté que l’on n’a point encore résolue. Les quan-
tités de chaleur reçues et communiquées dans un ins-
tant, ne peuvent être que des infiniment petits du même
ordre que l’excès de température d’une lame sur celle
de la lame qui la suit. La différence des chaleurs reçues
et communiquées est donc un infiniment petit du second
ordre, dont l’accumulation dans un temps fini, ne pour-

DANS LES MILIEUX DIAPHANES. 333

roitélever d’une quantité finie, la température de la lame.
Cette difficulté est analogue à celle que présentoient les
théories des réfractions astronomiques. On y supposoit
Vatmosphère divisée en couches d’une épaisseur'infini-
ment petite, dans lesquelles la lumière se réfracte en pas-
sant d’une couche dans la suivante, comme si ces couches
avoient une épaisseur finie; ce qui donne à leur action,
une valeur infiniment grande. Cette difficulté n’a point
lieu dans la théorie des réfractions, que j’ai donnée dans
le livre X de la Mécanique céleste, où j'ai déduit cette
théorie , de l’action ad distans des molécules des milieux
diaphanes sur la lumière. On fera pareillement dispa-
roître la difficulté précédente, relative à la chaleur, en

tendant son action au-delà du contact. L'expérience a

fait connoître que cela a lieu dans l’air et dans les milieux

rares,et queles corps chauds placésdansces milieux, trans-

mettent leur chaleur aux corps éloignés , par un rayon-
nement analogue à celui de la lumière:par les corps lu-
mineux. Il paroît- naturel d’admettre ce rayonnement de
la chaleur dans l’intérieur des corps denses : seulement
la chaleur rayonnante intérieure est totalement inter-
ceptée par les molécules très- voisines de celle qui les
échauffe, et dont l’action échauffante ne s’étend alors
qu’à une très-petite distance. C’est à l’expérience à nous
apprendre si cette distance est perceptible : nous la sup-
poserons imperceptible, comme la sphère d’activité sen-
sible de Pattraction moléculaire.

Imaginons présentement une barre cylindrique très-
mince, et recouverte d’un vernis qui ne permette point

334 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE

à sa chaleur de se répandre latéralement au-dehors. Une
lame infiniment mince 4 de la barre, et perpendicu-
laire à sa longueur, sera échauffée par celles qui la pré-
cèdent , et échauffera celles qui la suivent. En nommant
donc x la coordonnée de la lame ou sa distance à la
première extrémité de la barre, et z sa température ;
en nommant pareillement æ — s la coordonnée d’une
lame qui la précède, et dont nous désignerons par 4’ la
température; l’action réciproque des deux lames tendra
à échauffer la lame 4 proportionnellement à la diffé-
rence 4’ — u de leurs températures ; car cette différence
multipliée par une constante X, peut représenter la dif-
férence de leurs rayonnemens caloriques, l’une sur
l’autre. Si l’on nomme ensuite 4, la température d’une
lame dont la coordonnée est x +5, la différence 4 — u,,
multiplite par la constante. À, exprimera la chaleur
qu’elle reçoit de la lame 4; X.(u'— u) — K.(u—u;)
ou K. (4 —2u+u,) exprimera donc la chaleur qui
accroît la température de la lame 4. Il faut multiplier
cette quantité par ds et par la fonction qui exprime la
loi de l’action échauffante relative à la distance, loi que
nous désignerons par @. (s).: La différence des chaleurs
reçues et communiquées par la lañie A sera donc

K. fds. (uw — 2u+u,). 9. (s)

l'intégrale étant prise depuis s nul jusqu’au-delà de la
sphère d’action sensible de la chaleur; et comme à cette
limite, la chaleur décroît avec une extrème rapidité à
mesure que s augmente, cette intégrale peut être prise

L

DANS LES MILIEUX DIAPHANES. 335
depuis s nul jusqu’à s infini. Maintenant on a, en ré-
duisant en série 4! etz,, par rapport aux puissances des,

k ddr

—2u+u, = Ss. (5) + etc.

L f L LA .
On peut ne considérer que le premier terme de la série,
et alors on a
ddu

K.fds.(u—ou+n).e(s)=K. ( _ } [5° ds. e(s)

Maintenant l’accroissement de température de la lame À,
dans l'instant d£, est proportionnelle à cette quantité
multipliée par l’élément d4 du temps. En supposant donc
que la caractéristique différentielle d ne se räpporte
qu’au temps /, on aura

du — adt. (55)

dx?

a étant une constante dépendante de la nature du corps.
Si l’on fait dans cette équation aux différences par-
tielles, at — 1, elle deviendra

du = df. (5)

et z sera fonction de, x et de #’. Ainsi, en supposant
deux barres de diverses matières, mais de dimensions
égales , échauffées lune et l’autre à l’origine et de la
même manière, à leur première extrémité toujours en-
tretenue à ce même degré de température, z sera, rela-
tivement aux deux barres, la même fonction de x et
de fou at; les temps nécessaires pour que deux lames
correspondantes dans chaque barre parviennent à la
même température, seront donc réciproques aux cons-

336 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE

tantes at relatives à ces barres. Si donc on nomme plus
conductible, la barre qui arrive en moins de temps à une
température donnée, on pourra représenter par a la con-
ductibilité de la matière. Mais la barre qui arrive le
plus promptement à la même température, peut n’être
pas celle qui, dans le même temps, conduit à une dis-
tance donnée, le plus de chaleur; car la chaleur con-
duite dans un temps donné, dépend à la fois de la
conductibilité de la matière, et de sa chaleur spécifique,
c’est-à-dire de la chaleur nécessaire pour élever d’un
même degré sa température.

Dans le cas général où l’on considère les trois dimen-
sions d’un corps solide, la même analyse fait voir que

du ; 4 APTE
—— ) est égal à une constante multipliée par la somme
dt [e)

SPP . dd dd
des trois différences partielles secondes (EE), Rss
dx? dy° }?

(5), æ;, y, 3 étant les trois coordonnées de la
molécule.

Cette équation n’est relative qu’au mouvement de la
chaleur dans l’intérieur du corps: pour avoir celle de
son mouvement à la surface, nous observerons que la
perte de chaleur du corps est due à la chaleur qu’il
rayonne au dehors. Ce rayonnement est produit, non
seulement par la surface, maïs encore par les couches
qui en sont extrèmement voisines , et qui sont comprises
dans la sphère d’action sensible de la chaleur. En vertu
de ce rayonnement, la surface parvient en très-peu d’ins-
tans , à la température du vide ou du milieu qui l’envi-
ronne , et il s’établit très-promptement une loi régulière

|

DANS LES MILIEUX DIAPHANES. 337
d’accroissement de la chaleur, depuis cette surface, jus-
qu’à une très-petite profondeur égale au rayon de la
sphère d’action de la chaleur. En nommant z la tem-
pérature dela couche à cette profondeur, les variations
de la chaleur des couches supérieures, jusqu’à la sur-
face, seront proportionnelles à celles de z, la chaleur
du milieu environnant étant prise pour le terme zéro.
Ainsi les quantités de chaleur émises au dehors, dans
l'instant d£, par chacune de ces couches, étant propor-
tionnelles à sa température, elles seront proportionnelles
à z, et par conséquent la perte de chaleur du corps lui
sera aussi proportionnelle. C’est ce qui a été supposé
jusqu'ici par les physiciens ; mais ils imaginoient que la
surface elle-même avoit une température plus élevée que
celle du milieu qui l’environne; ce qui est contraire à
la loi de continuité. La considération d’une action de
la chaleur ad distans , a donc encore l’avantage de faire
disparoître cette difficulté, et de donner des idées justes
et précises du mouvement de la chaleur, à la surface
comme à l’intérieur des corps.

La théorie de l’écoulement des liquides par une très-
petite ouverture faite à la base du vase qui les contient,
nous fournit un exemple de ces lois régulières de mou-
vement qui s’établissent dans un temps très-court. On
sait que la vitesse du liquide qui s'écoule, devient très-
promptement proportionnelle à la racine carrée de sa
hauteur au-dessus de l'ouverture , et que l’on peut, sans
erreur sensible, calculer par cette loi, la quantité de fluide
écoulé, en négligeant celle qui s’écoule avant que la loi

1809. 43

338 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE

soit établie; la même chose a lieu par rapport à l’écou-
lement de la chaleur, et l’équation de cet écoulement,
fondée sur la proportionnalité de la chaleur écoulée dans
Vinstant dt, à la température z, peut être employée
sans crainte d'erreur sensible. En réunissant cette équa-
tion à celle du mouvement de la chaleur à l’intérieur,
on pourra déterminer pour un instant quelconque, la
température de tous les points du corps. Le reste est
une affaire d'analyse, et devient étranger à l’objet de
cette note dans laquelle j’ai cherché à établir que les
phénomènes de la nature se réduisent en dernière ana-
lyse, à des actions ad distans de molécule à molécule,
et que la considération de ces actions doit servir de base
à la théorie mathématique de ces phénomènes. Mais de
même que les géomètres avoient été conduits aux équa-
tions du mouvement de la lumière dans l’atmosphère,
en partant d’une supposition inexacte, de même l’hypo-
thèse de l’action de la chaleur limitée au contact, peut
conduire aux équations du mouvement de la chaleur dans
l’intérieur et à la surface des corps. Je dois observer que
M. Fourier est déjà parvenu à ces équations dont les
véritables fondemens me paroissent être ceux que je viens
de présenter.

La considération de l’action mutuelle de molécules
de la matière, fournit encore une démonstration di-
recte du principe des vitesses virtuelles ; car en décom-
posant les actions réciproques des corps, en actions de
molécule à molécule, on peut facilement s'assurer que
ce principe n’est que Pexpression analytique et générale

DANS LES MILIEUX DIAPIANES. 339

des conditions auxquelles ces actions doivent être assu-
jéties dans l’état d’équilibre. Lorsqu’un point est en équi-
libre entre des forces quelconques, il est aisé de voir que
si l’on fait varier infiniment peu la position du point,
en sorte qu’il soit assujéti aux conditions de son mou-
vement, et qu’il reste toujours sur la surface ou sur la
courbe qu’il doit suivre quand il n’est pas libre ; la somme
des forces qui le sollicitent, multipliées chacune par
l’espace qu’il parcourt suivant sa direction , est égale à
zéro. (Mécanique céleste, livre I, n° 3.)

Considérons maintenant un système de points que
nous nommerons a, liés entre eux d’une manière quel-
conque et assujétis à se mouvoir sur des courbes ou sur
des surfaces données. On peut concevoir ces courbes ; ces
surfaces et généralement les liens inflexibles qui unissent
ces points, comme étant formés eux-mêmes d’une infi-
nité de points D liés fixement entre eux par des droites
immatérielles et invariables ; mais les lignes flexibles et
inextensibles qui unissent les points à peuvent être con-
çues comme formées de points D, unis par des droites
immatérielles qui peuvent tournér librement autour de
ces points. Cela posé, l’action des points a les uns sur
les autres, quand elle n’est pas immédiate , se transmet
au moyen des points b. Un point a agit sur le point b
qui lui est contigu ; celui-ci agit sur le point b le plus
voisin, et ainsi de suite jusqu’à un second point a qui
agit de la même manière sur un troisième. Dans ces
actions réciproques, la distance mutuelle de deux points à
Voisins reste constanté; en sorte qù’en nommant f la

340 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈRE

distance infiniment petite qui les sépare, et p leur action
mutuelle qui, par légalité de Paction à la réaction , est
la même pour les deux points, le produit pdf est nul,
d\f étant une variation de f compatible avec les condi-
tions de la liaison des parties du système; car f étant
constant suivant ces conditions, df est nul, Dans Ja
nature, d'fn’est pas rigoureusement nul, et quelle que
soit la force qui unit les points d consécutifs, une force
quelconque peut toujours faire varier la distance qui les sé-
pare; mais cette variation est d’autant moindre que la
force de cohésion est plus grande; en sorte que la rigi-
dité et Pinextensibilité sont des abstractions qui servent
de limites à ces qualités des corps. Pour concevoir Pac-
tion immédiate d’un point a sur un autre point, on peut
imaginer chacun de ces points, au centre d’une sphère
immatérielle et impénétrable qui ne permette pas à ces
points de s’approcher au-delà d’une limite égale à la
somme des rayons des deux sphères. Dans le choc, les
deux sphères se touchent, et la distance f qui sépare
les points est à son minimum. La variation d\fest donc
nulle, et en nommant p leur action mutuelle, le pro-
duit pd\f sera nul. Ainsi la pression d’un point & sur
une surface, peut être considérée comme le choc de ce
point contre un point b de la surface. En concevant ces
points au centre des deux sphères que nous venons d’ima-
giner, la distance fde ces points au moment du choc
sera la somme des rayons des sphères, etelle sera per-
pendiculaire à la surface. Le choc ayant lieu dans la
direction de cette distance, il se fera suivant la direction

D

DANS LÉS MILIEUX DIAPHANES. 341

de la normale. En nommant donc p l’action mutuelle
des deux points ou la pression du point a sur la surface,
le produit p dfsera nul; parce qu’alors df est la varia-
tion de la normale, variation qui est nulle lorsque le
point a est assujéti à se mouvoir sur la surface.

Cela posé, considérons un des points quelconques a
ou à du système. On peut toujours le concevoir comme
un point isolé; mais alors il faut le supposer sollicité
non seulement par des forces extérieures, mais encore
par l’action des points du système, dont il est infiniment
voisin. Soit donc $ la force extérieure qui le sollicite,
ets la direction de cette force ; soit encore / la distance
de ce point à un autre infiniment voisin, et p lPaction
mutuelle de ces deux points; on a par le principe des
vitesses virtuelles, qui, comme on l’a vu, a lieu pour un
point isolé,

o = $. ds + Ep. d'F

le signe caractéristique intégral £ comprenant tous les
termes du même genre que celui devant leauel il est
placé, et d'fétant la variation de f due à la variation
de la première extrémité de cette distance, ou du point
que l’on considère. On formera des équations semblables
pour chaque point du système. En les réunissant, l’ac-
tion p dans leur somme sera multipliée par d'f + d'f,
d"f étant la variation de f relative à sa seconde extré-
‘ mité; en sorte que d'f + d'f— df. On a donc

OP Sd | BD TT MA, CR)

242 SUR LES MOUVEMENS DE LA LUMIÈËRE, etc.

Maïs on a par ce qui précède o — pdf; par conséquent

on a
où—="s, Sds

ce qui est le principe connu des vitesses virtuelles.

J’ai donné dans le premier livre de la Mécanique cé-
Zeste, n° 14, l'équation (1), et j’ai cherché dans le même
n° à établir que =. pd\f'est nul. Cela est évident lorsque
les points du système sont liés par des droites inflexibles
ou des fils inextensibles dont f'est la longueur ; car alors
d'fest nul. Cela est encore visible lorsqu'il y a des corps
qui peuvent glisser le long de ces fils ; dans tous ces cas
? représente la tension du fil, qui est la même dans toute
sa longueur; cette longueur restant toujours la même,
pdf est nul. Mais la manière dont nous venons d’envi-
sager l’action mutuelle des corps, en la décomposant en
actions de molécule à molécule , rend généralement évi-
dente l'égalité de pdf à zéro, et par conséquent aussi
celle de >. S d\s à zéro.

Il est visible que la démonstration précédente a éga-
lement lieu pour un système de corps , formé en tout ou
en partie, de liquides. Elle suppose seulement que les
liens immatériels que l’on imagine entre les divers points
du système, ne sont ni élastiques ni extensibles avec
résistance; autrement le principe des vitesses virtuelles,
tel que nous venons de l’énoncer, cesseroit d’être exact,
et il faudroit y faire entrer la considération de ces forces
d’élasticité et de résistance.

SUR LA THÉORIE DE LA VARIATION, etc. 343

SECOND MÉMOIRE

Sur La théorie de La variation des constantes arbi-
traires dans les problèmes de mécanique, dans lequel
on simplifie l'application des formules générales à
ces problèmes ,

Par J. IL. LAGRANGE.

Lu le 19 février 1810.

LA variation des constantes arbitraires est une méthode
nouvelle dont l’analyse s’est enrichie dans ces derniers
temps, et dont on a déjà fait des applications impor-
tantes. Dans la mécanique, elle sert à étendre la solu-
tion d’un problème à des cas où de nouvelles forces, dont
on n’avoit pas tenu compte, seroient supposées agir sur
les mobiles. Ainsi , lorsqu’après avoir résolu le problème
du mouvement d’une planète autour du Soleil , en vertu
de la seule attraction de cet astre, on veut avoir égard
w? aussi à l’attraction des autres planètes, on peut, en con-
| servant la forme de la première solution, satisfaire à
‘cette nouvelle condition par la variation des constantes
arbitraires, qui sont les élémens de la théorie de la
planète.
Les observations avoient depuis long-temps indiqué
les variations de ces élémens ; mais Euler est le premier

344 SUR LA THÉORIE DE LA VARIATION

qui ait cherché à les déterminer par l’analyse. Ses for-
mules étant de peu d’usage par leur complication, et
n'ayant pas même toute l'étendue que la question peut
comporter, M. Laplace et moi en donnâmes de plus gé-
nérales et plus simples, que nous parvinmes ensuite à
réduire au plus grand degré de simplicité.

Enfin je viens de donner dans un mémoire lu à cette
Classe le 13 mars 1809, et imprimé dans le volume des
Mémoires de 1808, une théorie complète de la variation
des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la
mécanique. J’étois parvenu d’abord, par une analyse
assez compliquée, à un résultat simple et inespéré; jai
ensuite trouvé moyen d’arriver directement et par un
calcul très-court à ce même résultat, comme on le voit
dans l’ Addition et dans le Supplément au mémoire cité,
imprimés dans le mème volume. Mais l’application des
‘formules générales aux problèmes particuliers deman-
doit encore un long calcul, à cause des éliminations
qu’il falloit faire pour obtenir séparément l’expression
de la variation de chacune des constantes devenues va-
riables. Heureusement une considératiomtrès-simple que
je vais exposer et qui m’avoit échappé, facilite et sim-
plifie extrêmement cette application et ne laisse plus rien
à desirer dans la théorie analytique de la variation des
constantes, relativement aux questions de mécanique.

On peut regarder cette théorie comme toute concen-
trée dans la formule très-simple que j’ai donnée dans le
Supplément cité, et qui consiste en ce que la différence
partielle d’une certaine fonction dépendante des seules

DES CONSTANTES ARBITRAIRES, CtC+ 345

forces ajoutées au système, prise relativement à une
quelconque des constantes arbitraires , est toujours égale
à une fonction des variables du problème et de leurs
différences prises séparément, par rapport au temps et par
rapport aux constantes arbitraires, laquelle fonction
jouit de cette propriété singulière et très-remarquable,
qu’en y substituant les valeurs des variables exprimées
par le temps et par les constantes arbitraires , elle doit
devenir indépendante du temps, et ne plus contenir que
les mêmes constantes, avec leurs différences premières.
- Cette circonstance de l’évanouissement de la variable,
qui représente le temps dans la fonction dont il s’agit,
m'a fait penser que si les variables étoient exprimées par
des séries de puissances ascendantes du temps, la fonc-
tion dont nous parlons ne contiendroit, après les substi-
tutions, que les premiers termes tous constans de ces
séries et les coefficiens des seconds, à cause des diffé-
rences premières des variables qui se trouvent dans la
fonction. Or ces quantités sont justement les constantes
arbitraires que l'intégration introduit naturellement dans
l'expression finie des variables, lorsqu’elles dépendent
d'équations différentielles du second ordre, comme cela
a lieu dans tous les problèmes de la mécanique. Il suit
de là qu’en adoptant ces constantes arbitraires il suffira
d’avoir égard aux deux premiers termes des expressions
des variables réduites en séries.

Mais on voit par notre formule du Szpplémentique
les différentielles des variables , relativement au temps,
ne s’y trouvent que dans les différences partielles de la

1809. 44

346 SUR LA THÉORIE DE LA VARIATION

fonction de ces variables que nous avons nommée 7,
ét qui n’est autre chôse que la moitié de la force vive
du systèmé. Si donc on suppose que les valeurs de ces
différences partielles soient aussi réduites en séries de
puissances du temps, leurs premiers termes ne dépen-
dront que des premiers termes et des coefficiens des se-
conds termes des séries des premières variables. On
pourra donc, pour plus de simplicité, adopter les pre-
miers termes de ces nouvelles séries pour constantes ar-
bitraires, à la place dés coefficiens des seconds termes
des Roues séries. De cette manière il suffira dans/les
substitutions d’avoir égard aux seuls premiers termes de
ces différentes séries ; et la simple inspection de notre
formule fait voir qu’alors la différentielle partielle de
la fonction des forces , relativement à chacune des cons-
tantes arbitraires est égale à la différentielle d’une seule
de ces constantes : de sorte qu’on a ainsi directement
les différentielles de ces constantes devenues variables,
exprimées de la manière la plus simple par les diffé-
rences partielles de la même fonction.

Maintenant on sait que toutes les constantes arbitraires
que les différentes intégrations peuvent introduire , sont
toujours réductibles à ces constantes atbiraires primi-
tives ; car pour cela il n’y'a qu’à supposer zéro le temps
dans les différentes équations intégrales qu’on aura ob-
tenues. On aura ainsi les nouvelles constantes arbitraires
en fonctions de celles qu’on avoit adoptées, et l’on en
déduira facilement, par les opérations connues, les va-
leurs de leurs différentielles exprimées en différences

DES CONSTANTES ARBITRAIRES, etc. 347

partielles de la mêôme fonction, mais rapportées à ces
nouvelles constantes arbitraires. Tout cela ne dépend
plus que d’un calcul connu, et nous donnerons les for-
mules générales qui en résultent. Ge sera le complément
de notre théorie de la variation des constantes.

M. Poisson a lu, le 16 octobre dernier, à cette Classe,
un Mémoire sur La variation des constantes arbitraires
dans les questions de mécanique, lequel est imprimé
dans le volume qui vient de paroître du Journal de
L'École polytechnique. Ce mémoire contient une savante
analyse qui est comme l’inverse de la mienne, et dont
l’objet est d'éviter les éliminations que celle-ci exigeoit.
L'auteur parvient en effet, par un calcul assez long et
délicat, à des formules qui donnent directement les va-
leurs des différentielles des constantes arbitraires deve-
nues variables. Ces formules ne coincident pas immé-
diatement avec celles que je donne dans ce mémoire,
parce qu’elles renferment les constantes arbitraires en
fonctions des variables du problème et de leurs diffé-
rentielles, au lieu que les nôtres ne renferment ces cons-
tantes qu’en fonctions d’autres constantes; mais il est
facile de se convaincre à priori qu’elles conduisent aux
mêmes résultats.

Voici maintenant notre analyse d’après les principes
que nous venons d’exposer,

1. En conservant les noms donnés dans le premier
mémoire, on a cette formule générale trouvée dans le

Supplément (page 364) :

348 SUR LA THÉORIE DE LA VARIATION

da ar aT ds dl du AT
ae de en eue 0 Ce
aT aT aT
FAR purs de
d Jr ds S du s
da da JE da “4

où la caractéristique d indique des différences relatives
uniquement aux constantes arbitraires contenues dans
les expressions des variables r, s, 4.

Le point capital de cette formule est que le second
membre de l’équation doit devenir indépendant du
temps après la substitution des valeurs de r, s, 4, comme
je l’ai démontré d’une manière fort simple dans Par-
ticle 34 de Addition. C’est pourquoi si on suppose, ce
qui est toujours permis;

D]

MON NON GENS ICLCe
s = B + B't + B'E + etc.
= y + y't + V'E + etc.

et ensuite
aT / .
re A RATE HF APE etce
GT ÿ L/
FEI Z M + ME + 4 É + etc.
aT 7 »
rene 1 1. PÉNRENPE SE NEICE
[4

tous les termes de ces séries, excepté les premiers,
s’en iront après les substitutions : de sorte qu’il suffira
de substituer dans la formule générale #, 8,7,A,4,y
DA TR EE

——+) 7; ce qui

°,_!
à la place des quantités r,s,4, Mes lon lors

la réduira d’abord à la forme

2

DES CONSTANTES ARBITRAIRES, etc. 249

de da 8 dr
di da du
dx dy ds
Tide NÉE de TAN d
, ' èr
Et comme Test une fonction de r, 5,1 et de = —,
IRC il est clair que les premiers termes
ro MN q P

A,,v seront donnés en fonctions de &, @, 7 et de
æ', B', y, et que ces fonctions seront semblables aux

f. ti CAE ME 127 MENU ET
ONCLIONS ee, nr»

der sas rs 1%

2. Leséquations différentielles entre les variables, s, z
et £ étant du second ordre, les constantes arbitraires que
l'intégration introduit naturellement dans les expres-
sions de r, s, z sont leurs valeurs initiales &, 8,7, ainsi
dr ds du
‘dt? dr) dr
si , à la place de ces trois dernières constantes , on prend
les trois constantes À, “, », qui sont données en #,8,7
et z', B',7,on pourra représenter les six constantes ar-
bitraires du problème par les six quantités #, B, 7;
As My

Ainsi, en substituant successivement , dans la formule

que les valeurs initiales &’, B', y de . Donc

précédente, chacune de ces quantités à la place de a,
qui représente une des constantes arbitraires, et chan-
geant la caractéristique d'en d, puisque les variations
des constantes arbitraires se rapportent maintenant au
temps {, on aura tout de suite les six équations

350 SUR LA THÉORIE DE LA VARIATION

da | de
di; dr; rs dé = du; 7 dt dr;
da da da

qui sont, comme l’on voit, sous la forme la plus simple
qu’il soit possible.

3. Mais, quelles que soient les constantes arbitraires
qu’on veuille employer dans les expressions des varia-
bles r, s, z, elles ne peuvent être que des fonctions des
constantes &æ, 8,7, 4, 8,7, qu'on trouvera facilement
en faisant £—= o dans les équations qui donnent les va-
leurs de r, s, z, et dans leurs différentielles , et chan-

> So L3 ;
geant r, S; 4; r,s,uena, B,73 2, 8,7.

Ainsi, comme les quantités À, #, y sont données aussi
en æ,; BY» 4 B,7, on aura les nouvelles constantes
que nous désignerons maintenant par a, b,c,f,g,h
en fonctions des constantes a, B, 7, A, um, v.

Donc , en différenciant les valeurs de a, b, c, etc.,
et substituant les valeurs de da, dB, dy, da, du, dv
qu’on vient de trouver, on aura, en divisant par df,

LE

da da da da da da da
CODEN axe ue PA ed — ol
da da da da da da

PET OU PPT TOME DES Ur
PTRORTR db da db da db da
m0 ann | 02e (APE 02 CDR
db da db da db da

RP Nu CENT PP Ar LL

etc.

2

DES CONSTANTES ARBITRAIRES, @tC. 951

Or, en regardant Q comme fonction de a, bac 3%»
&» , et ces quantités comme fonctions de æ) B; 7)
À, #37, on a par les formules connues

da da da db da de da

ls tas 0 EX HU Tee

df da dg da : dh do

DR Ts: lu PT NE PU

da da da db da de do
UE AT relie X

dB dB da de db dB de

df da de da dk do

—+ Fr X af + de X dg. —+ F7 X TT z

etc.

4. Faisant toutes ces substitutions dans les expressions
da db

précédentes de dr > “gr » €tc., et ordonnant les termes

suivant les différences partielles de Q, on voit d’abord

» da d
que le coefficient de rs êst nul dans la valeur de F…

: da db CEE
que celui de —- est nul dans la valeur de 7 et ainsi

des autres; qu’ensuite, en employant dessymboles[a, D],
La, c], [b, c], etc. analogues à ceux du premier mé-
moire, tels que l’on ait

a -— da. db Fe db dE db
AMEN ENT E 70 A Nr D NC Pen
da db da db da db

US RE Lire de NE BR Ares

C pr da ; de da dec da de
pi c] ORNE FENET. dB # due Fo dy ; dy

352 SUR LA THÉORIE DE LA VARIATION, etc.

db de db dc db de

LÉO RER En
db dc db de db dc

RE CPU LINET MNT dE |: 7

etc.

on aura ces formules :

da da d d
PAS [e, b]. ne te LA ele Een
d da

Le le A
"db d d d
= — (a, 6] SE + (b, cd] + (6, f] F
d d
+8,81 + LD, À
dc d d > d
H=—|le,6] 7 [be] te, fl
d d
+brel + Le À ©
etc.

dans lesquelles la loi de la continuation est évidente,
en remarquant que les symboles changent de signe quand
on change l’ordre des deux lettres renfermées entre les
crochets, mais sans changer de valeur. Ainsi [b, a] ——

Ca, 8], [e, ] — — To, c], etc.

Ces formules donnent, comme l’on voit, la solution
la plus directe et la plus simple du problème de la va-
riation des constantes arbitraires; et elles s'étendent à
autant de constantes qu’on voudra.

SUR LES, APPROXIMATIONS DES FORMULES, etc. 353

MÉMOIRE

Sze les approximations des formules qui sont fonctions
de très-grands nombres , et sur leur application aux
probabilités.

Par M. LapPpLace.

Eu le 9 avril 1810.

L'avarvse conduit souvent à des formules dont le cal-
cul numérique , lorsqu'on y substitue de très- grands
nombres , devient impraticable , à cause de la multipli-
cité des termes et des facteurs dontelles sont composées.
Cet inconvénient a lieu principalement dans la théorie
des probabilités , où l’on considère les événemens répé-
tés un grand nombre de fois. Il est donc utile alors de
pouvoir transformer ces formules en séries d’autant plus
convergentes , que les nombres substitués sont plus con-
sidérables. La première transformation de ce genre est
due à Stirling qui réduisit de la manière la plus heu-
reuse, dans une série semblable, le terme moyen du
binome élevé à une haute puissance ; et le théorème au-
quel il parvint, peut être mis au rang des plus belles
choses que l’on ait trouvées dans l’analyse. Ce qui frappa
surtout les géomètres, et spécialement Moïvre qui s’étoit
occupé long-temps de cet objet, fut l’introduction de la
1609. 45

354 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

racine carrée de la circonférence dont le rayon est l’unité ;
dans une recherche qui sembloit étrangère à cette trans-
cendante. Stirling y étoit arrivé au moyen de l’expres-
sion de la circonférence par une fraction dont le numé-
rateur et le dénominateur sont des produits en nombre
infini, expression que Wallis avoit donnée. Ce moyen
indirect laissoit à désirer une méthode directe et géné-
rale pour obtenir non-seulement l’approximation du
terme moyen du binome , mais encore celle de beaucoup
d’autres formules plus compliquées, et qui s’offrent à
chaque pas dans Panalyse des hasards. C’est ce que je
me suis proposé dans divers mémoires publiés dans les
volumes de l’Académie des sciences pour les années 1778
et 1782. La méthode que j'ai présentée dans ces mé-
moires , transforme généralement en séries conver-
gentes , les intégrales des équations linéaires aux diffé-
rences ordinaires ou partielles , finies et infiniment pe-
tites ; lorsqu'on substitue de grands nombres dans ces
intégrales. Elle s'étend encore à beaucoup d’autres for-
mules semblables , telles que les différences très-élevées
des fonctions. Ces séries ont le plus souvent pour fac-
teur, la racine carrée de la circonférence ; et c’est la
raison pour laquelle cette transcendante s’est offerte à
Stirling ; mais quelquefois , elles renferment des trans-
cendantes supérieures dont le nombre est infini.

Parmi les formules que j’ai transformées de cette ma-
nière , l’une des plus remarquables est celle de la diffé-
rence finie de la puissance d’une variable. Mais on a
fréquemment besoin , dans les questions de probabilités ,

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES, etc. 355

de ne considérer qu’une partie deses termes , et de l’ar-
rêter quand la variable, par ses diminutions successives,
devient négative. Ce cas a lieu , par exemple, dans le
problème où l’on cherche la probabilité que l’inclinaison
moyenne des orbes d’un nombre quelconque de comètes,
est comprise dans des limites données, toutes les incli-
naisons étant également possibles ; problème dont la so-
lution sert à reconnoître si ces orbes participent à la
tendance primitive des orbes des planètes et des satel-
lites, pour se rapprocher du plan de l’équateur solaire.
En résolvant ce problème , par la méthode que j’ai don-
née pour ce genre de questions , dans le voluine de l’Aca-
démie des sciences de l’année 1778; la probabilité dont
il s’agit , est exprimée par la différence finie de la puis-
sance d’une variable qui décroît uniformément, les de-
grés de la puissance et de la différence étant le nombre
même des orbes que l’on considère, et la formule de-
vant être arrêtée , quand la variable devient négative. Le
calcul numérique de cette formule est impraticable pour
les comètes déjà observées; car il faut considérer près
de cinquante termes très-composés , et qui étant alter-
nativement positifs et négatifs , se détruisent presque en-
tièrement ; de sorte que, pour avoir le résultat final de
leur ensemble , il faudroit les calculer séparément avec
une précision supérieure à celle que l’on peut obtenir au
moyen des tables les plus étendues, de logarithmes. Cette
difficulté m’a long-temps arrêté : je suis enfin parvenu à
la vaincre, en considérant le problème sous un point de
vue nouveau, qui m’a conduit à exprimer la probabilité

356 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

cherchée , par une série convergente , dans le cas général
où les facilités des inclinaisons suivent une loi quel-
conque. Ce problème est identique avec celui dans lequel
on cherche la probabilité que la moyenne, des erreurs
d’un grand nombre d'observations sera comprise dans
des limites données ; et il résulte de ma solution, qu’en
multipliant indéfiniment les observations , leur résultat
moyen converge vers un terme fixe ; de manière qu’en
prenant de part et d’autre de ce terme, un intervalle
quelconque aussi petit que l’on voudra , la probabilité
que le résultat moyen tombera dans cet intervalle, finira
par ne différer de la certitude, que d’une quantité moindre
que toute grandeur assignable. Ce termç moyen se con-
fond avec la vérité, si les erreurs positives et négatives
sont également possibles ; et généralement ce terme est
l’abcisse de la courbe de facilité des erreurs , correspon-
dante à l'ordonnée du centre de gravité de Paire de cette
courbe , l’origine des abcisses étant celle des erreurs.

En comparant les deux solutions du problème, ob-
tenues par les méthodes dont je viens de parler; on a
par des séries convergentes , la valeur de la différence
finie des puissances élevées d’une variable , et celles de
beaucoup d’autres fonctions pareilles, en les arrêtant au
point où la variable devient négative; maïs ce moyen
étant indirect, j'ai cherché une méthode directe pour ob-
tenir ces approximations, et j'y suis parvenu à l’aide
d'équations aux différences partielles finies et infiniment
petites, dont ces fonctions dépendent; ce qui conduit
à divers théorèmes curieux. Ces approximations se

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES, etc, 357

déduisent encore très-simplement, du passage récipro-
que des résultats imaginaires aux résultats réels, dont
j’ai donné divers exemples dans les mémoires cités de
l’Académie des sciences, et tout récemment dans le
tome VIII du Journal de l’École polytechnique. TI est
analogue à celui des nombres entiers positifs ,; aux
nombres négatifs et aux nombres fractionnaires , pas-
sage dont les géomètres ont su tirer par induction beau-
coup d’importans théorèmes : employé comme lui
avec réserve , il devient un moyen fécond de décou-
vertes, etil montre de plus en plus la généralité de l’ana-
lyse. J’ose espérer que ces recherches qui servent de
supplément à celles que j’ai données autrefois sur le
même objet, pourront intéresser les géomètres.

Pour appliquer ces recherches aux orbes des comètes,
j'ai considéré toutes celles que l’on a observées jusqu’en
1807 inclusivement. Leur nombre s'élève à 97, et parmi
elles, cinquante-deux ont un mouvement direct, et qua-
rante-cinq , un mouvement rétrograde : l’inclinaison
moyenne de leurs orbes à l’écliptique diffère très-peu de
la moyenne de toutes les inclinaisons possibles, ou d’un
demi angle droit. On trouve par les formules de ce mé-
moire, qu’en supposant les inclinaisons, ainsi que les
mouvemens directs et rétrogrades , également faciles ; la
probabilité que les résultats observés devroient se rap-
procher davantage de leur état moyen , est beaucoup trop
foible , pour indiquer dans ces astres une tendance pri-
mitive à se mouvoir tous sur un même plan et dans le
même sens. Mais si l’on applique les mêmes formules,

358 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

aux mouvemens de rotation et de révolution des pla-
nètes et des satellites ; on voit que cette double tendance
est indiquée avec une probabilité bien supérieure à celle
du plus grand nombre des faits historiques sur lesquels
on ne se permet aucun doute.

IC

On suppose toutes les inclinaisons à l’écliptique éga-
lement possibles depuis zéro jusqu’à l'angle droit, et
l’on demande la probabilité que l’inclinaison moyenne
de 7 orbites sera comprise dans des limites données.

Désignons langle droit par 2, et représentons par Æ,
la loi de facilité des inclinaisons d’une orbite. Ici Æ sera
constant , depuis l’inclinaison nulle jusqu’à l’inclinai-
son Z. Au-delà de cette limite , la facilité est nulle; on
pourra donc généralement représenter la facilité par
Æ(1 — /"), pourvu qu’on ne fasse commencer son second
terme qu’à l’inclinaison 2, et que l’on suppose / égal à
l'unité dans le résultat du calcul.

Cela posé, nommons #, 4, Z , etc. les inclinaisons
des z orbites, et supposons leur somme égale à s ; nous

aurons
Li + A dede Es —=S

La probabilité de cette combinaison est évidemment
le produit des probabilités des inclinaisons £, 4, £,,etc.,
et par conséquent elle est égale à Æ*. (1 — /*)". En pre-
nant la somme de toutes les probabilités relatives à cha-
cune des combinaisons dans lesquelles l'équation pré-

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES, etc. 359

cédente a lieu, on aura la probabilité que la somme des
inclinaisons des orbites sera égale à s. Pour avoir cette
somme de probabilités , on observera que l’équation pré-
cédente donne

ES mt, mL sue — lyly

Si l’on suppose d’abord £,, 4... #1, constans; les
variations de z ne dépendront que de celles de Z, et
pourront s'étendre depuis £ nul, auquel cas z, est égal à
SE Éavsese — fn JUSQU'À É—S — É,. — lp 5 Ce
qui rend 4, nul. La somme de toutes les probabilités rela-
tives à ces variations est évidemment

RS Tr NT Eee = 0 )

Il faut ensuite multiplier cette fonction par dr, , et l’in-

tégrer depuis £, nul jusqu’à 4 = Ss — 45... — 15 ;;

ce qui donne =
ANG)

Re . (s a ê sn Zr=e1)à

En continuant ainsi jusqu’à la dernière variable, on

aura la fonction
A, QG — LP. si—1

n
1209000071]

I1 faut enfin multiplier cette fonction par ds, et l’in-
tégrer dans les limites données, que nous représente-
rons par s—eet s +e'; et l’on aura

KE, a — 2»

a) CTI

Le20 3e + ° °7Z

360 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

pour la probabilité que la somme des erreurs sera com-
prise dans ces limites. Maïs on doit faire ici une obser-
vation importante. Un terme quelconque, tel que
Q. l'#. (s — e) ne peut avoir lieu qu’autant qu'un
nombre r des variables £, #, ...... £—: commence à sur-
passer À ; car ce n’est qu’ainsi que le facteur /’} peut
être introduit. Il faut alors augmenter chacune d’elles,
de la quantité Z dans l’équation

LR AR ae de LS

ce qui revient à faire partir ces variables de zéro, en
diminuant s de r.. Le terme Q. 74. (s — e)" devient
ainsi Q. l'#. (s— rh—e). De plus, comme les va-
riables Z, 4 , etc. sont nécessairement positives , ce terme
doit être rejeté lorsque s — r — e commence à de-
venir négatif. Par ce moyen la fonction précédente
devient, en y faisant / — 1,

(s Hey — n. (s He — À}

EN EN,
12
7. ——reic.
10203 eee 72 HE (s Mr e" 77e (s — e — A)"
A, D — 1
rer MO mL
MelC.

en rejetant les termes dans lesquels la quantité sous le
signe de la puissance , est négative. Cet artifice étendu

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES , etc. 361

à des lois quelconques de facïälités , donne une méthode
générale pour déterminer la probabilité que l'erreur
d’un nombre quelconque d’observations sera comprise
dans des limites données. (Voyez les Mémoires de
l’Académie des sciences, année 1778, page 240 et sui-
vantes.)

Pour déterminer * nous ferons z = 1,s5s+e—#,
ets — e nul. La formule précédente devient alors #.4;
mais cette quantité doit être égale à l’unité, puisqu'il
est certain que l’inclinaison doit tomber entre zéro et A.

On a donc À — — ; ce qui change la formule précé-

derite dans celle-ci :
(s + eY — 7. (s + e — À)

Re PA

1

1,14 M etc.
de2eBesese 7, 7° (a)
— (s — €) + nn (s — e — À)
Te I — 1 ñn
Anime ii Manon)
+- etc.
Si l’on fait s + é — nh et s — e — 0, la pro-

babilité que la somme des inclinaisons sera comprise
entre zéro et 24, étant la certitude ou l’unité, la for-
mule précédente donne

TL, TL ]

D era te =12.5).11/7

le

nn. (n—1) +

ce que l’on sait d’ailleurs.

1809. 46

362 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

ET:

Appliquons cette formule aux inclinaisons des orbites
des planètes. La somme des inclinaisons des autres or-
bites à celle de la terre, étoit en degrés décimaux, de
91°,4187 au commencement de 1801. Si l’on fait varier
les inclinaisons depuis zéro jusqu’à la demi-circonfé-
rence, on fait disparoître la considération des mouve-
mens rétrogrades ; car le mouvement direct se change
en rétrograde, quand inclinaison surpasse un angle
droit. Ainsi la formule précédente donnera la proba-
bilité que la somme des inclinaisons des orbites des dix
autres planètes à l’écliptique, ne surpassera pas91°,4187,
en y faisant 2 — 10°, À —,2000 ,5 + e — 91°,4187,
s — e — 0. On trouve alors cette probabilité égale

à RE par conséquent la probabilité que la somme
des inclinaisons doit surpasser celle qui a été observée,
1,0972

GO)
lement de la certitude, que le résultat observé devient
invraisemblable dans la supposition où toutes les incli-
naisons sont également possibles. Ce résultat indique
donc avec une très-grande probabilité, l’existence d’une
cause primitive qui a déterminé les orbites des planètes
à se rapprocher du plan de l’écliptique ou plus na-
turellement, du plan de Péquateur solaire. Il en est de
même du sens du mouvement des one planètes, qui

est celui de la rotation du soleil. La probabilité que cela

est égale à'1 — Cette probabilité approche tel-

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMERTES, etc. 363

Û . 1 . . .
n’a pas dû avoir lieu, est 1 — = Mais si l’on consi-

dère que les dix-huit satellites observés jusqu'ici font
leurs révolutions dans le même sens que leurs planètes
réspectives, et que les rotations observées au nombre -
de treize dans les planètes, les satellites et l’anneau
de Saturne, sont encore dirigées dans le même sens ;

1 k 21°, 7 »
où aura à — —- pour la probabilité que cela n’a pas

dû avoir lieu dans Phypothèse d’une égale possibilité des
mouvemens directs et rétrogrades. Ainsi l'existence d’une
cause commune qui a dirigé ces mouvemens dans le sens
de la rotation du soleil, est indiquée par les observa-
tions, avec une probabilité extrème.

Voyons maintenant si cette cause a influé sur les mou-
vemens des comètes. Le nombre de celles qu’on a ob-
servées jusqu’en 1807 inclusivement, en comptant pour
la même, les diverses apparitions de celle de 1759, est
de quatre-vingt-dix-sept dont cinquante-deux ont un
mouvement direct, et quarante-cinq un mouvement ré-
trograde. La somme des inclinaisons des orbites des
premières est de 2622°,944, et celle des inclinaisons
des orbites des autres est de 2409°,089. L’inclinaison
moyenne de toutes ces orbites est de 51°,87663. £i dans
la formule (a) de l’article précédent, on suppose é — &
ets 7h, elle dévient

364 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

{ sa Er (a 4)

10203 see 71. 2

Dans le cas présent z — 97, À — 1009, e — 182°,033,
et alors elle donne la probabilité que la somme des in-
clinaisons doit ètre comprise dans les limites 5o° +
10,87664 ; mais le nombre considérable des termes de
cette formule, et la précision avec laquelle il faut avoir
chacun d’eux, en rend le calcul impraticable. Il est
donc indispensable de chercher une méthode d’approxi-
mation pour ce genre d’expressions analytiques, ou de
résoudre le problème d’une autre manière. C’est ce que
j'ai fait par la méthode suivante.

EXT

Je conçois l'intervalle 2 divisé dans un nombre in-
fini 2 z de parties égales que je prends pour l’unité,
et je considère la fonction

or VU eV EE sie V2
Ha ovni... poire cieV=

En l’élevant à la puissance z, le coefficient de c!7 V—1
du développement de cette puissance, exprimera le
nombre des combinaisons dans lesquelles la somme

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES, etc. 365

des inclinaisons des orbites, est égale à Z. Cette puis-
sance peut être mise sous la forme

Gi +2 cos. x + 2 cos, 2 m vers + 2 cos. 1x)"

En la multipliant par da. ©? V3, le terme multi-

plié par c!7 V—: dans le développement'de la puissance,
deviendra indépendant de & dans le produit; d’où il
est facile de conclure que l’on aura le coefficient de ce
terme, en prenant l'intégrale

—fd. cos. là. (14 2c05.æ...i H2cos.iæ). . (a')

depuis & nul jusqu’à æ — 7, 7 étant la demi-circon-
férence, ou 200°; car les termes de l'intégrale dépen-
dans de & ne redeviennent tous nuls à la fois, et pour
la première fois, que dans ces limites.

Maintenant on a

5 COS. IA = COS. +17
1 + 2 COS. Durs + 2 COS ND EE —————————
1 — COS, x

: 5 , cos. ? m. sin. ji
=’ COS. 1

À SR, =
Soit iæ — t, on aura
cos. £, Sin. L
d cos. + m. Sin. im TR Qu T2 RÉ LAE
COS, 1 + ———) — COS, EE 4 ——
SIN. 5 SzT, É

f 2È
Le second membre de cette équation devient, à cause
de : infini,
sin. £

£

2 L.

366 SsuR.LES APPROXIMATIONS DES FORMULES
De plus,.si lon fait:

JRORmMA PAPE
on aura

cos. Læ — cos. (ré V n)

La fonction (a') devient donc

(2ë)" ë ET sn. ‘£E \n à
- . fΣ. cos. (IV n). ( . ) (a)
On a, en réduisant sir. £ en série,
1) f{ sin. ATLAS (ge 3 z à
o7 = 7. log. (1 — dre lee
log ( - ) 7. log (: Dre | etc.)
° 20] 7i* 71 1 t
—Æ la rime =rull aller tos Le
ce qui donne
j nt? 7 #4 £
Te) ME B9S CBS PP «aie IEP
2
rt?
2 (EE Gore Re ete.)

c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est
l'unité. La fonction (a’) prend alors cette forme:

nt?

(2) VOIE 7% [2]
-fdt. cos. rtVn. ci ° (1 4 —etc.) (a)

27

Considérons les différens termes de cette fonction. On

a d’abord, en réduisant en série cos. rtV n,et faisant

D 2 A
6

QUI SONT rues DE TRÈS-GRANDS NOMBRES! etc. 367

ni?

Ja Vcastre Va à ni
= Ë jar. ct fps GANT 6.4 ete.)

L'intégrale doit être prise depuis z nul an £infini,
parce que Z étant infini, £ ou iæ devient infini à la
limite & — x; l'intégrale relative à £’ doit donc être
prise depuis £’ nul jusqu’à # infini. Dans ce cas on a,
comme je l’ai fait voir dans les Mémoires cités de l’Aca-
démie des sciences pour l’année 1778,

AE. LV 7
On a ensuite, en intécrant par parties
? 5 par P ,
Her, Lex es a EN 877 LA BUG E MC

En prenant l'intégrale depuis # nul jusqu’à infini, ce
second membre se réduit à £.:V 7. Généralement on

2

a, dans les mêmes limites,

0345 voue ER
JE. GA Cr == SE , € L'AE

v [à

On aura done :

LHcOS ET ENEr: mire
(°:

vrai + DE — etc.)
We ier it

ES
nn

368 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

Le premier terme de la fonction (a”) devient ainsi

ee fn On

EE FE Dex — ir
28 Vn ae

Considérons présentement le terme
tr

fn dte 6. cos. rtV%

En intégrant par parties, ce terme devient

Ér nr

—3#.c 6 .cos. rt a+3fe. 6 ,d.(£.cos. TÉV à)

Maison a
Êr
3 fe "6,4, (Ë. cos. rt Vr)
ENT
== 0) 2 © 6. 0cos. rt Vr

L'r

; us
6 —
+ Br. fe. dt. c . Cos. TÉV 7

on a ensuite

Ên
JALVdE NC 6 cos. TE Wie
nr
Îñ HE AIR 7" 1e
le ÉuCOS A TÉIV à
En

+ — Jen) LOT (£ cos. rt V2)

et

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES, etc. 369

Pr A

er. SUCER V 7

Pr 7

—/dt, cos. r£y/ x. a exe r. +. fat. cUITaT eos: TV n

= LA. + Vr. (otre + ARE er)
z dr

En réunissant ces valeurs, et prenant l’intégrale depuis
£ nul jusqu’à £ infini, on aura

Pr =
33 3

fnédr. c 6 cos. TEVr=—. — cri, (1—6r +37)

On peut obtenir facilement de cette autre manière, l’in-

tégrale
7

Jdéi cos. rene et Ne

pour cela on substituera, au lieu de cos. ré. V3, sa

rl —7 — TV —n
C

valeur ONE SRE Considérons d’abord l’intégrale

nt?

SEC EME EC Ne

nous la mettrons sous cette forme

2 oct, fdr. ot EVr—3r V5), ge

Faisons
2Vr—37r VTT
V6
cette intégrale deviendra
AG 145 ! nr CE V6 + 3r V — DEA
m fdé. C . PLAT NES

ñn

1809. 47

— £

370 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

our V —1 .
6

qu’à l'infini. La partie + c —"! V—: de cos. TV», don-

nera pareïllement l'intégrale

SE A DRE C0:
in, J” <_./ar. c— *”, (&t V6 — on V —:1Y
L42

70

Mais elle doit être prise depuis # = —

l'intégrale étant prise depuis # — 3 r —; jusqu’à
l'infini. De là il est aisé de conclure que Pintégrale

nl?

JANET cos TEEN C 6 , est égale à

Hone VERRE VE—5r Vif

j ñ nd
l'intégrale étant prise depuis # ——co jusqu’à —+co ,
ou, ce qui revient au même , à la partie réelle de
l’intégrale

2f
f ar ee
DEA AE er el ŒVé te A 1)
7Z

l'intégrale étant prise depuis £' nul jusqu’à #’ infini. En
faisant 2f — 4,ona
ni? ;

fdt.ttoos-rty ac 6 — 7 3%5.(1—61+3r). ir

ce qui coïncide avec le résultat précédent. La fonc-
tion (a”) sera ainsi réduite dans la série descendante

suivant les puissances de 7,

(CH) 2400 Ne
2i V7 Re e \

=2

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GR ANDS NOMBRES, etc. 371
On aura la somme de toutes les fonctions comprises
entre — / et + Z, en observant que 1 est la différen-

tielle de /; or cette différentielle est idr V2; on peut

donc substituer dr y/ x au lieu de —. La somme de
Z

toutes les fonctions dont il s’agit, est ainsi en doublant

Vin tégrale,

GyJ/ É far. Re G—6r+3879-+ete.)

20.7

Pour avoir la probabilité que la somme des inclinai-
sons sera comprise entre — / et + Z, il faut diviser la
fonction précédente par le nombre de toutes les com-
| binaisons possibles , et ce nombre est (2). On à donc
pour cette probabilité

Warner (266437) -+ ae.)
a eee (/ar. GTiets ee =. (ir). cn)

: à u 3 si DEN
mais on a2/1—h;——ry/;; les limites de l'intégrale
[A

k 2: k 21 7
sont donc ———.r yet + TV x; par conséquent

la probabilité que l’inclinaison moyenne des orbitessera

- one À X
comprise dans les limites 24 — 27" 6514 4 7

2 Vn 2 Vr ?

sera exprimée par l'intégrale précédente.

372 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

Si l’on fait 5 r° — s°, cette intégrale devient
à ,

—. fds. Gr (1 —- 2 G—4s ++ + etc.

(a)

Va PE ec (DS NES tete,

20. z
Lorsque la valeur de s à sa limite est fort grande,
alors fds. c* approche de? W} , de manière à en dif-
férer moins que d’une grandeur quelconque donnée, si
l’on augmente indéfiniment le nombre z; de plus, les

; 1 3 .
termes suivans — ——. C7". (3 s — 2 s°) deviennent

alors entièrement insensibles. On peut donc, par l’ac-

rh

croissement de 7, resserrer à la fois les limites £°7- 7
7

et augmenter en même temps la probabilité que l’incli-

naison moyenne des orbites tombera entre les limites

rh
=
2 Vr
A

titude à cette probabilité, et l’intervalle compris entre
ces limites, soient moindres que toute grandeur as-

PE de manière que la différence de la cer-

signable.
Lorsque s est fort petit, on a par une série con-
vergente ,
3 5
SN ee on IP MN EME Es" fa,
Vas ler ass nr cu ee etc.

Cette série peut être employée, lorsque s ne surpasse

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES, etc. 373
pas ©; mais lorsqu'il le surpasse, on peut faire usage
de la fraction continue que j’ai donnée dans le dixième
livre de la Mécanique céleste

q ?

1

2 1 = ASE AH ne
Hds\on he V5 — NO EAU
25 1 + 3q
1 + 49
| 1 +etc.
g étant égal à —. La fraction continue — se
« S at)
1 + etc.

réduit, suivant que l’on s’arrête au premier, au se-
cond , etc. termes, dans les fractions suivantes alterna-
tivement plus grandes et plus petites que la fraction
continue,

+ + 5 + 0g + 8q°
2 de AR RD AO ES TERRE LEA LE SEE NE M N'ES

Les numérateurs de ces fractions se déduisent les uns
des autres, en observant que le numérateur de la frac-
tion ziè"e estégal au numérateur de la fraction (2— 1) it",
plus au numérateur de la fraction (i— 2)" mul-
tiplié par (i—1}) g. Les dénominateurs se déduisent
les uns des autres de la même manière.

TV

Nous pouvons maintenant appliquer nos formules,

374 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

aux comètes observées , en faisant usage des données de
l'article II. On a d’après ces données, .

HW 96 = 100 ;

ce qui donne
AUAIRS 87763

207. 'Æ = 0, 49275910

100°
On peut ici faire usage de expression de l'intégrale
fds.c* en série, et alors on a

2

= fds. co —o, 4g4r.

La probabilité que l’inclinaison moyenne doit être com-
prise dans les limites 50° + 1°, 87663 est par la for-
mule (a!"}), égale à o, 4933, ou + à fort peu près ; la
probabilité que cette inclinaison doit être au - dessous
est donc + ; et la probabilité qu’elle doit être au-dessus,
est =. Toutes ces probabilités sont trop peu différentes
de +, pour que le résultat observé fasse rejeter l’hypo-
thèse d’une égale facilité des inclinaisons des orbites,
et pour indiquer l'existence d’une cause primitive qui a
influé sur ces inclinaisons, cause que l’on ne peut s’em-
pêcher d'admettre dans les inclinaisons des orbes pla-
nétaires. ;

La même chose a lieu par rapport au sens du mou-
vement. La probabilité que sur 97 comètes, quarante-
cinq au plus seront rétrogrades , est la somme des

«

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES , Etc. 375
quarante-six premiers termes du binome (p+g)°,en
faisant p—q—+; mais la somme des quarante-huit
premiers est la moîïtié du binome ou +; d’où il est facile
de conclure que la probabilité cherchée est

: k 97"96-.*..50 : 48 48-47 $
CNT 2e203ee. 48297 { LT 50 te 50-51

or on a
97:96-..50 Le 122-307 49 N

1r2c 3000048007 NT C1°2e3....49)% 297 ?

de plus on a généralement, lorsque s est un grand
nombre ,

MMA. SSL CES V7 {a JL prete. }
12,5

Ce qui donne .

48,5 \% æ 1165
1:2e3e..07 49 __ 49 ) © 1164

588 } ‘

On trouve ainsi la probabilité cherchée égale à0,2713,
fraction beaucoup trop grande , pour qu’elle puisse indi-
quer une cause qui ait favorisé dans l’origine, les mou-
vêmens directs. Ainsi la cause qui a déterminé le sens
des mouvemens de rotation et de révolution des pla-
nètes et des satellites, ne paroît pas avoir influé sur le
mouvement des comètes.

NE

Si l’on néglige les termes de l’ordre :, l’intégrale

376 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

2 >
ne LE Cr ou VE V5 fdr. c 7" exprime la pro-
babilité que la somme des inclinaisons des orbites sera

. 5 9 k rh k T ;
-comprise dans les limites - — ——, et PRE = mais

2
“3 2V 7 2V nr

- cette même probabilité est, par l'art. IT, égale à

(a+r Van) — n. (t+ry nn —2)

1 - =. (a+ry/n—4) —etc.
Le2edesee 72, 27
— (ar Van) + (ar Vn—2)\5
—eic.

cette fonction est donc égale à l’intégrale précédente.
Or on a sans l’exclusion des quantités négatives élevées
à la puissance z dans le premier membre, l’équation

suivante ,

JL, T—1

CRE T NN CLR
(2Z+rV n —4) —etc.
= (2+rWVn) —n. (n4+rV nr —2) +etc.
+ (a—rV nn) —n (n—ry nn —2) +etc.
Le premier membre est, comme l’on sait, égal à
1.2.3.... 1. 2"; la seconde expression de la probabi-
lité devient ainsi , en éliminant (7 — r 7) — 7.
(2z—rV n —2) + etc.au moyen de sa valeur donnée

par l’équation précédente ,
Ca+rV a) —n. (n+ryn—2)
etc.

no Do a os PIE

I

Le2eouee 71, 2773 |

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES, etc. 377
en l’égalant à l’intégrale qui exprime la même proba-
bilité , on aura cette équation remarquable,

| (Gary) —n.(n+rVn—2)

12300 71. qe — . (2 —+ TrV/r—4) — etc. des

n—1

brome ol Cie
HSE ER
= Safdr. c
2%

Si au lieu d'éliminer (2—rVx)"—n.(7—r 1—2)}
— etc., on éliminoit (z+ry 3) —n. (n+ryr—2)
—- etc. , on auroit une équation qui coïncideroit avec la
précédente , en y faisant r négatif; ainsi cette équation
a lieu r'étant positif ou négatif, l'intégrale devant com-
mencer avec r, et la série des différences devant s’ar-
rêter , lorsque la quantité élevée à la puissance z, de-
vient négative.
L’équation (b) différenciée par rapport à r, donne
CT

M eve +- etc.

—ir
—— DÉPENS

27 \

en différenciant encore , on aura

£ | Car a) nan (n+rVr— ni

1026300 7190, 27

—+ etc.
Ne 3 ç
27%

1809. 48

379 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

En continuant de différencier ainsi, on aura d’une ma-
nière très- approchée, les valeurs des différentielles suc-
cessives du premier membre de l'équation (b), pourvu
que le nombre de ces différenciations soit très-petit rela-
tivement au nombre 7. Toutes ces équations ont lieu,
r étant positif ou négatif; et lorsque r est nul, elles de- |

viennent
7 ARE ns (nr — 2)" |
A. T— 1) IN ae.
Dee ren 21 HIT x C UMETE 4) 7 27°
— etc.
no ÿ1, (2) TS
Eee an —- etc. ET
MA EAN DURE Guns) pl 3 ne
1622344, n—3. mn —+ etc. Érsalat | 5
Lea nn (za— 2)" + etc. = GE

etc.
Les seconds membres de ces équations sont zéro, lors-
; :
que l’exposant de la puissance est de la forme z—25s;
£ 3 Dee à
ce qu’il est facile de voir d’ailleurs , en observant que

D" — nu (n—2)"—?* + etc.

est la moitié de la série 2"? — 7. (7—92)"—°"-L etc
, Û ser . à
sans l’exclusion des quantités négatives élevées à la puis-

0

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES , CC. 379
sance z— 25, série qui étant la différence finie ze
d’une puissance moindre que z, est nulle.

On peut, en intégrant successivement l’équation (b),
obtenir des théorèmes analogues, sur les différences des
puissances supérieures à z ; ainsi l’on à par une première

intégration,
1 (Car Vas = 11 Geo
192.3.+ n+1 /5.2" | + etc. — Ne |

Tir+ eferc °; (pb)
les intégrales commençant avec r, et N, étant égal à
ni n. (n—2) +" + etc.

Pour déterminer cette fonction, nous observerons que
Von a

nt —n. (n—2)"+" + etc.

= 7 Le — 7, (71—2) + ——. Ca—4Y — ete. }
| (a—1+r V2)" — (n— 1).

2077. tes
(a—1+r V7 —2)"+etc.
en faisant r Wr — 3 ——1.Onaensuite
n— 1. (n— 2)" Hetc. = 1.2. 3... 7. 2"?

car le premier membre de cette équation est la moitié de
la série des différences, sans l’exclusion des quantités
négatives élevées à la puissance 7. De plus, si l’on

380 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

change dans l’équation (b’), 7 dans z—1,renr',etsi

1

—— on aura à très-
Vire i

l’on y suppose ensuite r'——

peu près

Ga—i+r Va) — (ii). Gi +r Vs —2)
+ etc.

= NI + 1,2, DL TN ns ele

HU)

re Mtes RL ae | EE
2 Wn—i Ve ren A
on aura donc

N'= a 72IN A 142. 00248 7. Aie É Te

si l’on fait

N'a oh pal A Ge (Os

n

on aura

il est facile de voir que l’on peut négliger ici la constante
arbitraire. Donc

NRA. 2,002 AE Le 5°

27

titi

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES , etc. 381

partant
: (G+r Va) — 7 is CM
1020300 711. 27 Va + etc.
— 1, B'ESr Mare.
HAS ER 27

En intégrant de nouveau, on a

Ca+ry a) 7. (a+rVn—2)+

“+ etc
1263 7+H2.2"e7
— nt + n, (n—2) + — etc.

PER EELie A, ff ar er
DE 2%

toutes les intégrales devant commencer avec r. Mais
on a j

1

nt — n. (n—2) + +etc. —1.2.3...7+H2.2" 1,2;

al

En effet, on a, comme on sait,
à du L
NP NT CT —'1

en appliquant à la caractéristique d, les exposans des

x d
puissances de =", dans le développement du second
d x?

membre de cette équation ; et « étant la variation de x.

_

382 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULIS

Me : ét 2
Si l’on fait # — x"+?, on aura, sans exclusion des
puissances des quantités négatives

(x+2n)"F— on. (t+2n— a)"F + etc.

S ñ æ2 “nx «n° an
1.2.9... 712, a € — + TR RE
2,

2 8 3.8

ce qui donne sans cette exclusion, et faisant x — — 7,

CL'a — "2",

nn, (n—2)"P Letc. 1.2.3... 7+2. 2".

et avec l’exclusion des puissances des quantités néga-
tives,

nn (72) Pterc, EM 2,8. 72 AUS
6

on a donc à
: Catr Va) —n. (Gr Vn—2)

1.2.3..72—+02. 2".n |_L etc.

RH Sr AE flar enr

et ainsi de suite.

VI.

Le problème que nous avons résolu dans l’article I,
relativement aux inclinaisons , est le même que celui
dans lequel on se propose de déterminer la probabilité
que l'erreur moyenne d’un nombre 7 d'observations sera
comprise dans des limites données, en supposant que
les erreurs de chäâque observation, puissent également

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES, etc. 383

s’étendre dans l’intervallé 2. Nous allons maintenant
considérer le cas général dans lequel les facilités des
erreurs suivent une loi quelconque.

Divisons l'intervalle 4, dans un nombre infini de par-
ties 2 + 7’, les erreurs négatives pouvant s’étendre depuis
zéro jusqu’à — i, et les erreurs positives, depuis zéro jus-
qu’à 7’. Par chaque point de l'intervalle 2, élevons des
ordonnées qui expriment les facilités des erreurs corres-
pondantes; nommons g le nombre des parties comprises
depuis l’ordonnée relative à l’erreur zéro, jusquà l’or-

- donnée du centre de gravité de Paire de la courbe formée

» Jo
+
la probabilité de l’erreur s pour chaque observation,

par ces ordonnées. Cela posé, représentons par @ ( — )

et considérons la fonction

APANT— Er (ii), y}
Ge A +e(= TR). ….
o Lx C1). —:)
hat ape des
—+ ® (5)

En élevant cette fonction, à la puissance z ; le coefficient
de c'® +, dans le développement de cette puissance, sera
la probabilité que la somme des erreurs de z observa-
tions sera r; d’où il suit qu’en multipliant la fonction
précédente par c 17", et élevant le produit à la puis-
sance 7, le coefficient de c"""-7, dans le développement
de ce produit, sera la Dnuba bles que la somme des
erreurs sera 7° +-71q. Ce produit est

384 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

1100 Des LC

le signe / devant s’étendre depuis r —— À jusqu’à r —£’. à
Si l’on fait

TER OEE, q g' 1 one

Ne NE COST ee

la fonction (o) devient, en réduisant les exponentielles

is fare( (ie Vif). de)

2 _— 2
TE Mers D. = .. Az. @ (+ )

1-2

en séries

—- etc.

æ est l’abcisse dont l’ordonnée est 9 (), l'origine des

abcisses correspondant à l’ordonnée relative à l’erreur
zéro: q' est l’abcisse correspondante à l’ordonnée du
centre de gravité de l’aire de la courbe: les intégrales

, . . —1h i'
doivent être prises depuis æ — 7 Jusqu'à z—-—
z Hi

On a par la nature du centre de de de la courbe,
(x — q)
f ER EN dx. e (+) — — ()2 2
la fonction précédente devient ainsi, en faisant

Lt) a QE ET dx. ® (): etc.

Œ + z>" 2 k' à 2 m
ee (+ 1). a + etc.)

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS.NOMBRES, etc. 385
» Si, conformément à V’analyse de l’article IV, on
multiplie la fonction (0) par 2 cos. læ; le terme in-
dépendant de & dans le produit, exprimera la proba-
bilité que la somme des erreurs sera ou 2q — l, ou
zG + l; en multipliant ce produit par de, et intégrant
depuis & nul jusqu’à & — +, l’intégrale divisée par 7,
exprimera cette probabilité qui sera ainsi, en rejetant
les puissances impaires de æ, qui sont multipliées par
nt qui résultent du développement des sinus
de æ et de ses multiples dans la fonction (o),

/; j'yn, fn £' À $ (2 ,
RARE fdæ. cos. Le[ 1%. (i+i Yæ-+ete. | - (0°)

An 7
Soit présentement

(+2). & =:
on aura ;
ki ne ne 2
log. C2 Se GR) et ete. |

Æ 2
er LH etc.)

l#

Sr Eu
TÈ
pe
|

+ D

,

Ë s 2 ;
ce qui donne pour 1 — ei His} ©! -ietci:

une expression de cette forme

je
— ÉTUD

c 20 ( + An. # + etc)

La fonction (o’) deviendra donc
1809. 49

386 SUR LES APPROXIMATIONS DES TORMULES

QUÉE 2). vu 2 1
2 ONE TOR AESEST
fuir * (0°)
Ze — > Tu
fdt.cos(—).ce 2€ (14 An. # + etc.)
ZI +7

L'erreur de chaque observation devant nécessairement
tomber dans l’intervalle 2, on a

(FEUX
k

. A — : À
Soit 7 Vu, l'expression précédente devien-

+ i
dra, en n’ayant égard qu’à son premier terme,

Wir

à AARUE
PART EE EEE k

GET . dt. cos. rt Vn. c 2
ce qui, en intégrant depuis £ nul jusqu’à £ infini, de-
vient par l’analyse de Particle IIT,

SHARE des RE 4 k SAT EN M
CEE) Ve TER

Si l’on multiplie cette fonction par d/; en l’intégrant,
on aura la probabilité que la somme des erreurs sera
comprise dans les limites 29+/,oungæ(i+i)r. V7;
or on a dΗ= (i+5'). dr.y x, cette probabilité sera
donc

Æ H

à, JANET EN 2°”
4 2 k'

Vr

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES, etc. 387
i+-i' étant égal à =, et g' pouvant être substitué pour y,
les limites précédentes deviendront

AU EE HET 12.
et celles de la moyenne des erreurs, seront

rh
Va

g' +
Dans le cas que nous avons considéré dans l’article TITI :
g'est nul; k—/A;k'—-". A; l’expression précédente
devient en y faisant r —

1
fe
5 2

ar, VE. fdr'. put

F

et les limites de la moyenne des erreurs sont +
7

c’est ce qui est conforme à l’article cité.

En général, g'est nul, lorsque la courbe des facilités
des erreurs est symétrique de chaque côté de l’ordonnée
correspondante à l’erreur zéro. Si la loi des facilités est

représentée par À. (5° — x°), on aura k — # Zi;
2 "=. k; et par conséquent
Æ ; —
RER

ainsi la probabilité que l’erreur moyenne des observations

. QE k
sera comprise dans les limites = 7 , sera
Va

2 l'O

Vio far. c

LL

388 SUR LES APPROXIMATIONS DfS FORMULES

En appliquant à ce cas, la méthode de Particle I,
on aura l'expression de la même probabilité, par une
suite d’un très-grand nombre de termes, analogue à
celle des différences finies, par laquelle nous avons dé-
terminé la probabilité dans le cas d’une égale facilité des
erreurs. Mais cette nouvelle suite que nous avons donnée
dans les mémoires cités de l’Académie des sciences
pour l’année 1778, page 249, est trop compliquée pour
offrir par sa comparaison avec l’expression précédente
de la probabilité, des résultats qui puissent intéresser les
géomètres.

Dans le cas où les erreurs peuvent s’étendre à l’infini ,
l'analyse précédente donne encore la probabilité que
l'erreur moyenne d’un très-grand nombre d’observations
sera resserrée dans des limites données. Pour voir com-
ment on peut alors appliquer cette analyse, supposons

T

que c P soit l’expression de la facilité des erreurs,

l’exposant de c devant toujours être négatif, et le
même pour des erreurs égales positives et négatives. En

T

supposant les erreurs positives, on aura fdx. c P
x

tt ON À A2 |. en prenant intégrale depuis æ

nul jusqu’à x — + 4. Pour avoir la valeur entière de #,
il faut doubler cette quantité, parce que les erreurs né-

gatives donnent une quantité égale à la précédente; en
k

supposant donc = assez grand pour quec ?P dispa-

N-741

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES, etc. 569
roisse devant l’unité, ce qui a lieu exactement dans le

cas de infini ; on aura à très-peu près
RE 2p.

on trouvera de la même manière en prenant linté-

T

zdzx pr E
grale == .C P ;

IR AÈDE

Hé
ainsi

RUN Rate

2 £' TE 4p° ?

la probabilité que l’erreur moyenne sera comprise dans

GS VA
les limites + -7 sera donc
7L
À? 7°
2 k SIT = C
mers dr. C 4 fe:
PL 1

soit rA = r'p;leslimites deviennent + = , et la proba-
7

bilité que l’erreur moyenne sera comprise dans ces
limites , devient

12
2 ne) /1
—. far. ;
V7

alors la considération de 4 supposé infini, disparoît.

390 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

WT

Le moyen qui nous a conduit à l’équation (b) de Par-
ticle V, laissoit à désirer une méthode directe pour y
arriver ; sa recherche est l’objet de l’analyse suivante.

Désignons par @ (r,) le second membre de cette
équation, qu’il s’agit de déterminer : en la différenciant
par rapport à r , elle donnera

Ca VAE
77: (n+r Vn—2)y— rie (r,n).

—- etc.

1

1°2°3..., 7—1. 2%

g'(r,n),® (r, 7), etc. désignant les différences succes-
sives dep(r,71), divisées par les puissances correspon-
dantes de dr. Mais on a

(2—+r. | dd À (a+ r. Va — 2) —*

+ T ——. LE EN APS

= (7z—1i+ 7 PRET

cap (a—1i+r. Vila VER
—+ eic.

DO ne et Men)

2 ae Or ENT VITRES
—) etc.

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES, etc. 391

en faisant
MOV T—rrnVnr da sr Vin UE Va — 1.
L’équation (b) donne en y changeant 7 dans 7 — 1,

(a—i+r, Vrai y

— n—1, (ir V ni —oÿ—

à —- etc.
10203000 71,271 | ( I — 1 — Fe Vire à A
+ n—1. (717 V ni)
— etc.

= @ (rin—i) — p (rin—i;

on a donc cette équation aux différences partielles finies
et infiniment petites,

PGyR—I)—e Con) EE p'(r2)3 (P).

On peut obtenir une seconde équation, de cette manière.
On a

(a+r Va) — n. (n + NUE = 2}

Fl, T1

+ (a +7. V7 — 4) — etc.

.
1°2

(a+r Va)
= (2+7r. Vn)i— 7 +1. (2 + r. Va 2)
+ etc.

392 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES
(A+ 7. Va Ne
Se 2 NE TEEN (rs. Er MR y
—- etc.
L’équation (b) donne en la différenciant par rapport à r

n + Er (2+r. Va) — 71. (72147. Vr—2}=]

Ze2e0v., 71, 2 0 etc.
1 T !
ZE — + — ) (Q T7);
(=) a);
et la mème équation donne en y changeant comme ci-
dessus, 2 dans 2— 1, et faisant

Do Va HN EE,

Ca TER re

an, (2 a Ver 1-2)
+ etc.
SE Ne

Era (a+ Tr. Var) 7. (1+r. VA sk]

= ( _— + Z). p(rsn)+He(r,n—i)+t;
substituant cette valeur dans l’équation (b), on aura
(y + +) Gn)+e(rin—i)=e(r 2); (

Cette équation combinée avec l’équation (p) donne

x

(—= +) e(næ+e(rin—i1)=o (nn); (a)

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES , etC. 393

On a

En substituant ces valeurs dans les équations (q) et (q'),
eten développant en série, les fonctions g (r',72— 1) et
g(r',72— 1); on voit que ces deux équations ne dif-

fèrent qu’en ce que les termes affectés de = ont des
7

signes contraires; on peut donc égaler séparément à zéro,
les termes du développement de l’équation (q), quin’ont

point Vz, pour diviseur, et alors on a une équation de
cette forme,

ie pe]
= p(r2)—e(r;,7— 1)
— Le cm0 (22)

M M'

+ — + — + etc.
7 IL

W, M, etc. étant des fonctions rationnelles et entières
de r, multipliées par les différentielles de @ (r,2— 1),
et qu’il est facile de former. On trouve ainsi

1809 50

394 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

— —. @. (r,1— 31) — =. a" . (rs; 2—a).

L’équation (p) donne en l’intégrant, et désignant par
g, (r, 2), l'intégrale fdr. @ (r, 7), commençante avec

r, et observant que dr = di" = ——— ;

g, (ini) —e, (na) = ane + 9 (37)

En substituant pour r' et r', leurs valeurs précédentes,
et développant en série, les fonctions o, (r', 21—1) et
ge, (r',72— 1), on a une équation de cette forme,

Ver Le Cryn) —e (ru — )]
= AVE —[3r.e Gyn—1) + (r, n—3) |

N N'
EN ER ET =
2%. Vn—i 25. Vn—i
N, N', etc. étant des fonctions de la même nature que
M, M',etc. et qu’il est facile de former de la même

r)

—+ —- etc.

manière : on trouve ainsi,

5 3)
Not" po (r Ra) + SE. ® (r,7—1)

ONCE TOP ETNENPERE LORR P R EN RER NR

12 120

Si l’on substitue dans léquation (r), au lieu de

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-CRANDS NOMBRES!, etc. 895

g(r;,2)— @(r, 7— a), sa Valeur PAR Le l'équation
Gr ); on aura

A an
= ira FL 8r. o(ru—1) +o"(r (rai) |

s)
MEN MN (
+ 2 —+- —+ etc.

7 JL

ri 4. uN, A Lien FE
DNS ONE 2% dr cs

Pour intégrer cette équation , supposons

e(r7—1)=YF(r

II r'
Dre

en substituant cette expression dans pren précé-
dente, et comparant les cocfficiens des puissances des-
cendantes de z ; on aura les équations suivantes,

DEA (r) (Tr)

Sr n'(r)+n (= Er Se [8r v'G)+ 8" 0 r) |

Le SUCM Æ NN);

WT et N , étant ce que deviennent M et N, lorsqu'on y
change g (r,7—1) dans # (r). En continuant ainsi,
on aura les équations nécessaires pour déterminerT (r)
. et les fonctions suivantes.

La première équation donne en lintégrant

SA (re 7 Barcite

396 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

A étant une constante arbitraire. Pour intégrer la se-
conde, on doit observer que les expressions précédentes
de 7 et de N, donnent

BE 3 À.r 3 Ar

— ir — —1n
(i—-r"). © NE .{i—r).c

L’équation en I’ (r) devient ainsi

3 pa

EM PRE

.
20

3r.1'(r)+m (r) =

372
En la multipliant par © à , et intégrant, on aura

TC 7) Bb eu =. (6r —3r*). Gas

B étant une seconde arbitraire. On aura de la même
manière l'(r), etc.; et l’on obtiendra ainsi o (7, 7—1).
Pour déterminer les arbitraires 4, B, etc. , nous obser-
verons que si l’on intègre f'dr. @ (r, z — 1) depuis r
nul jusqu’à r' = Va, ce qui revient à le prendre jus-
qu’à r'infini, parce que l’on peut négliger les termes
multipliés par l’exponentielle c*", à cause de la gran-
deur supposée à z; on aura pour cette intégrale, une

ù . 5
quantité que nous désignerons par Z. ARE L étant
2 71
: LUNAPEES B :
une fonction linéaire de 4, —, etc. ; mais lorsque

r= V n, le premier membre de l’équation (b) devient
quel que soit z, égal à +; on a donc

TASER

27 S

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES , CIC. 397
En égalant à zéro dans cette équation, les coefficiens
Q . 1
des puissances successives de —; on aura autant d’é-
n ?
quations qui détermineront les arbitraires 4, B, etc. ;
ainsi @’ (r,1 — 1) étant, par ce qui précède, égal à

Er —<{r

B Fr re, 3 A 2
ne pe | HE LUN mA DNC —-etc;

Are , L . CNE
on a, en intégrant depuis r nul jusqu’à r infini,

AG 26 id 7 B SLZNUE
Jdi .® (7 ,71—1) — 1 AE) (a+ sa a ete.)
égalant cette quantité à +, et comparant les puissances

1
de —,ona
7

3 3 À
A4=} , B = — ——; etc.
2 7 20

ce qui donne

, ®" (ry2 — 1)
sp 3
_— Pa [a G—6r +3 r1)+ etc]
27 20.77

En changeant z dans z + 1, et négligeant les quan-
tités de l’ordre —, on aura l'expression de ®’. (r,n)
qui résulte des articles IIT et V ; car on voit par lPar-
ticle V , que ® (r,2) doit être un demi de la pro-
babilité que nous avons déterminée dans l’article IV,
et dont la moitié est égale à Pintégrale de dr multiplié
par cette expression de ®’ (7,4).

398 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES
VAL TT

On peut réduire les équations (q) et (q’) à une seule
équation aux différences infiniment petites et finies. En

effet, si dans l’équation (q) on augmente r de

=! À
LÀ
alors r" se change dans 7", et l’on a

TASSE se
ben
Vn £ mL V x

+ @ (r,n — = 0 (r

—

En retranchant de cette équation, l’équation (q'), mem-
bre à membre, on a

1

— g" (r =E = n) + g (r, n) |

ne ve À Q (r + 2)

— us = 2)—e(rr)

Soit s — r Vn, et désignons @ (r,7) par Y (s); ce
qui donne
drto (nn) = ds er (5)

et par conséquent

o (run) = VA. &'(s)

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES , etC. 399

l'équation précédente deviendra

ES + 2) + 2 (9) = (s + 2) — % (s)
ja (=. P'(sS+2)+ 2 #'(s)

7

En différenciant, on aura

P'(s+2)+4"(s)—TF'(s+2)—Y'(s)]. te À )
Es) S'(S+H2) + +" (5) - (x)

Cette équation est susceptible de la méthode générale
que j'ai présentée dans les Mémoires de P Académie
des sciences pour l’année 1782, page 44. Je fais donc,
conformément à cette méthode, et en employant les
cosinus au lieu d’exponentielles,

n LM cv Mi ne LC 0 CE Ce

Il s’agit de déterminer la fonction 1H (4) et les limites

de l’intégrale. Pour cela on substituera cette intégrale,
au lieu de F' (s), dans l’équation (x), et lon fera dis-
paroître les coefficiens s + 2 et s, de cette équation,
au moyen d’intégrations par parties; on aura ainsi

OL == — SET: NS due uS2n. Le L. IN (2) |
(£. cos. £— sin. #).M(#) il (y)

—+fdr. sn) £. . F7 n' (@

Suivant la méthode citée , on détermine I (4), en éga-

400 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES
lant à zéro, la fonction sous le signe intégral; ce qui
donne |
AL ee ë £. sin. £ ;
oO — (4. cos. t— sin. #), M (2)— —— 1 (2)
d’où l’on tire en intégrant
JL. É \7

HA) ET, (= )

et par conséquent

PONT ICO MST: = 2)
— A. [dé cos) re VW. _ a

A étant une constante arbitraire. On aura ensuite par
la même méthode, les limites de cette dernière intégrale,
en égalant à zéro la partie hors du signe / dans l’équa-
tion (y); or cette partie est nulle lorsque Z est nul et
lorsque z est infini, parce que I (£) devient nul alors;
on peut donc prendre £ — o et £ — © pour ces li-
mites. Cette expression de #”(s) est de la même forme
que celle que nous avons trouvée dans Particle IV, pour
la probabilité que la somme des inclinaisons des orbites
rh Vnr
2

ÿ zh
de z comètes sera — + ; eten la traitant par

la méthode de l’article cité, on arrivera, pour déter-
miner @ (r,z), aux mèmes formules que nous venons

de donner.
EX

On peut étendre les recherches précédentes aux dif-

. QUI SONR FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMER ES,-etc. {ox

férences des puissances ‘fractionnaires. Pour cela con-
sidérons la fonction

È TL. 70 — 1

TE, a fé on JS dun | GErTVrL AE |

( CEE dre

EE Pr
(+ etc,
ë étant un nombre quelconque entier ou EX +
très-petit relativement à », et f'étant lenombreimmédia-
tement supérieur à z. En désignant cette fonction par
® (7,2); on aura d’abord, en suivant Panalyse précé-
dente, l'équation (p). On aura ensuite, au lieu’de
Jéquation (q), celle-ci : :

2 Le Tr :
TES 18 SR SE SAT LE 4 Cry)
= 1 de Le (rie)
7

Fe (ri ah (rue)

Lu

En combinant ces deux équations et réduisant en série ,
comme ci-dessus ; on aura , en négligeant les puissances

supérieures de —.,

Or. g'(r;7—1) eg" (r,n — 1) +32 p(r372——2)
et en changeant 7 — 1 en 73 ‘

0 ôr.g'(r; 7) + g'(r, ni) + 31p(r9 7). (u)

On satisfait à cette équation lorsque À est un nombre
entier, en faisant

i— 3
di Pr GTS

19 (Mo 2) 4 7
1809. 51

Âo2 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES
A étant une constante arbitraire , et la caractéristique
différentielle 4 devant être changée dans le signe in-
tégral f, si i — 1 est négatif, et alors on obtient les
résultats précédens ; mais si z est fractionnaire, l’inté-
gration de l’équation (u) présente plus de difficultés.
On ‘peut l’obtenir alors par des intégrales définies.
Considérons le cas de à — +; on aura pour l'intégrale
de l’équation (u),

z?

d TE ;
où (RAD “h dr ER (a. cos. rx + b. sin. rx)

V'z

a et b étant deux constantes arbitraires, et l’intégrale
étant prise depuis æ nul jusqu’à x infini. En effet si,
conformément à la méthode exposée aux pages 49 et
suivantes des Mémoires de l Académie des sciences
pour l’année 1782, on fait

o-(amdrlda: cosune. (x);

en substituant cette valeur dans l’équation différen-
tielle (u), et faisant disparoître le coefficient r de cette
équation, au moyen des intégrations par parties; on

aura
©—3z.cos.rx. Y (x) +/f.cos.rx. [(è— x?) dr, # (x) — 3. d, rx (x)]

Suivant la méthode citée, on détermine # (x) , en éga-
lant à zéro la partie sous le signe /, et l’on a

o — (5 — x°) dx. Y (x) — 5. d. [x. y (x)]

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES , etc. 409
équation qui, intégrée donne

a — —
5 €

Ver

(Ch =

On détermine ensuite les limites de l'intégrale, en éga-
lant à zéro la partie 3 x. cos. rx. (x) hors du signe

r'ira

intégral. Cette partie devient 3a. Væx. cos. rx.c *
et elle est nulle avec x et lorsque x est infini. Ainsi

au UE d

l'intégrale f° A
Vz

dans ces limites. Si, au lieu de l'intégrale 4x.

cos. rx. Y (x); nous eussions considéré celle-ci,

fdx. sin. rx. 4. (x); nous aurions trouvé pour + (x),
b

Va.
donc l'intégrale complète de l’équation (u).
Pour déterminer les constantes a et b, nous obser-

Le gs :
ME ARONTE doit être. prise

1 2
© $ ©. La réunion de ces deux intégrales est

Porter INA Re Pine
verons que si l’on fait r=Va, et Tr =. vs = Inté-
- 7

x?

—

dx Ci : .
grale f° = c 7. (a. cos. rxæ+b.sin.rx) devient
T

,.
zx?

6 7

—

dz'
= 2, (a. cos. x! + b. sin. x').c
74 Va

às-
Lorsque z est un très grand nombre, on peut sup-
x?
poser le facteur c 6 » égal à l'unité, dans toute l’éten-

due de l’intégrale prise depuis +’ nul jusqu’à æ’ infini;

ok SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES
car alors ce facteur ne commence à s’écarter sensible-

ment de l’unité, que lorsque x’ est de l’ordre V, etl’in-
tégrale prise depuis une valeur de cet ordre pour x’,
jusqu’à x’ infini, peut être négligée relativement à Pin-
tégrale entière. Maintenant on a, comme je lai fait
voir dans le tome VIII du Journal de l'Ecole poly tech-

nique, page 248;

dx. cos. T dx. sin. x' ne
fe DEEE TO +1 STEP ENT = V£ TT

Va

L'intégrale précédente se réduit! donc à
L2
a + b
. V CPE (==)

c’est l'expression de 9 (r,#), lorsqu'on ÿ fait r =V x,
Alors on a

x
71%

| Din, (n — 1) +
eg (r,n) = —# (7 2)":
13e 2 72 — 1
— (ete

La formule (4) de la page 81 des Mémoires de l Aca-
démie des sciences pour l’année 1782, donne, en n’ayant
égard qu’à son premier terme,

#7
D — 1. (2— 1) ane PTE chan RN E ÉTIER En,
21 7 ?

on a donc
a + b LEUR 1
EN

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES, etc. 405

Si l’on fait ensuite dans @(r,n),;, r = — Va, cette
fonction devient nulle; on a par conséquent

zx?

PR dx 6 É dE,
dE PyE a G * (a. cos. xVn— b.sin. xVn)
ou
dx! à
o Sa =. (a: cos, x — b. sim. x')
V=
ce qui donne a — b. Donc
az bh=-
1% V x
et par conséquent
z*
G 7) 1 dx Ve 6 ( FAR
LIEN ER EN Ce se (cos. TT Si. TX
a Vr Vz )
ou
æ*
1 dx. + 2 x° : ne D Er
DU) = RU SALE Pan Sin. TL, C 6
6x7 Te z?

les intégrales étant prises depuis æ nul jusqu’à x infini,
La même analyse nous conduit à déterminer généra-
lement ® (r,2), quel que soit le nombre z. En le sup-
posant moindre que l’unité, on satisfera à l’équation
différentielle (u) en o (r,#), par la supposition de

x?
d: He
e(r,n)= IE c (a. cos. rx + b. sin. rx)

a et b étant des constantes que l’on déterminera ainsi,

406 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

En supposant r — Vu, on aura
A7, sm—i
@ (ry7) DE UT EU ES Pare. (Dee 1}

s croissant de l’unité, et étant nul à l’origine. La for-
mule (4) de la page 82 des Mémoires de l’Académie
des sciences pour Pannée 1782, donne, en ne considé-
rant que son premier terme,

Am, si (1 — 5) (2 — 5). (2 2) 28
on a donc, dans le cas ddr V7,
2i

(CAN Ca F9 == ET

Si l’on fait ensuite, dans l’expression précédente de

— , elle devient
TT

CCR AD TE Vnetz—

’
x?

1 dx’ 6 7 .

— [<< c . (a. cos. x’ + b. sin. x”);
2 T

>

or on a par les formules du tome cité du Journal de
l'École polythecnique page 250,

Or r Æ 2x
JE ++ COS: Æ' = +. COS. —
Ca zZ 2
vRdT) : £ Æ : 27
1 ee SU DS SR
FD À z 2

ni

Carpe

À étant l’intégrale /d£, c , prise depuis 4 nul jus-

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES, etc. 407

qu'à infini; en prenant donc pour l'unité, le fac-
la é

67
teur c , comme on le peut lorsque 7 est un très-

grand nombre; l'expression de @ (r, 7) devient

iT : i7T
ÿ (a. eos it b. sin. —

2
2

: oi
En l’égalant à —r On aura

ia 1.21

ÎT à
af&os, + b:NSure. =

En faisant ensuite r — — VA dans g (r,1), il se
réduit à zéro; mais alors, dans son expression en in-

tégrale définie, sin. ræ se change dans — sin. x Vne
De là il est facile de conclure que l’on a

27 : HE 2
OV A COS — —Dà Sin —
2 2
par conséquent
Ze z.9!
a — 0 De —
SLT RCOS à MES TL 481.
On a donc
£, 2i
ER) = —_———;:
À. nr, Sin, im
æ?
dx. ei TA ‘en

s 2T F ir ë
Fa Si, —— COS, TX —- COS. Te SA. ræ)

æ!Ti

408 SUR LES AFPROXIMATIONS DES FORMULES

z?

ou na
OUTE ir
CAN .sin\ rx +
2

NE Fe

On peut obtenir fort simplement tous les résultats qui
précèdent , par analyse suivante.

CrE)

. 2 . d c
Considérons généralement l'intégrale f =, a

depuis x nul j jusqu’à æ infini; 2—i étant égal à + — - ;
z'exprimant un nombre entier positif ou zéro. En inté-
grant par parties, depuis æ — « jusqu’à x infini, on a

LS | ces sr + +i(Z +): dc
(2) Ge). a + (—a). e. + Jus (a—i) +

On a FRE à

PANEE

711€
02

Lorsqu’on suppose z infiniment petit; car si l’on déve-

loppe c—°* dans une série ordonnée par rapport aux
PR P PP

puissances de s «; toutes les puissances de s inférieures

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES > etc. 409

C,

à 7, deviennent nulles dans la fonction 4”. ;

7—e

L2

et toutes les puissances égales à 7 ou supérieures sont

nulles par la supposition de + infiniment petit. Il suit
dx

—sz
de là que AY js
Te

=. est égal à

Hs Fes dx. CT
(—1) AA fe

1 L 2
FRE + 1) DAS à CRE)
l'intégrale étant prise depuis + nul jusqu’à x infini ;
orona
A7 LEACRSE que CPC NCA 4
ar ait ai iti 2
è . : SF
en faisant ensuite x — —) on a

*
dx, ST in LE cs?"
SR NET as 1 J

z°f æ'ef

les deux intégrales étant prises depuis x et x’ nuls,
jusqu’à leurs valeurs infinies; on a donc

de . Y'a" - pr cz!

1
Im. CS, (ce — 10) D x'#
aa isa GE 1

a (2 + }:.. (z 5)

ce qui donne

1809, 52

1e

420 SUR LES 'APPROXIMATIONS DES FOR MULLS

As" = —, +) DCE (a—i),. (—i1)*.

équation qui est la même que la formule (4) citée,
des Mémoires de ! Académie des sciences pour l’année
1782 , comme il est facile de s’en convaincre.

Supposons = 1 — 1, et f un nombre entier positif.

À : 71 Va AS
Si l’on faits = — — — ; l’intégrale
2 2
AIT CR EAU C ET a)r
T4 za i+i
deviendra
TEVn — x æ)r

Faisons x — 2x! V— 1, et alors cette dernière inté-
grale se transforme dans la suivante

—1})?, cr dx" FE : = Sin. z'\n
rer = cos.r2x' Vn4V—:\.sin.rx Vn (==)":
en) x'#
on a donc
as (tai). ni. 2V—:
7 ( )

CRETE

\ =
QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES, etC. 411

s (cos. ra Vn+W— 1. sin. ra Vn ). —— ju

Fe

les intégrales étant prises depuis z'nul jusqu’à z'— + .
Supposons d’abord f infini. On a généralement

5 (x)

1

É = 1, en négliseant les termes de l’ordre 4 car si

l'on fait k2f — 1 + g; en prenant les logarythmes, on
aura log. £ — log. (1+ g); ce qui donne g — A
log. X; cela posé, l’équation précédente devient

1 1
7 —1 == ZL Fe 10203 (71)

2 OA AFS Hévrar= 2£
2 fax (Wan cos.rx Vn—sin.rx Vn). (== a) ; (2)

or on a avec l’exclusion des. puissances des quantités
négatives ,

CON Île prier) I— 1 +—
2 = APS 2f

HI — 1 +

A (Gi —rTVn) ef

ee va 2 ts) 00 5]
—+ etc,

#12 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

x

= (a TV) au.
ia Lan ge PIN Re. ©

—+ etc.

2 ,
1 2/ est susceptible de 2 f valeurs dont une seule est réelle

et.égale à l’unité. Onobtient ces valeurs en observant que
1 — cos. 2 m4 VW — 1. sin. 207

et qu’ainsi
1

17 — (cos. 2 Ir + V — 1. sin. à Ir) Ÿ

Ar 217 VE V ie 217 j
==nCOS: nés C G 2 f ,
Z étant un nombre entier positif qui peut s'étendre de-
P qui P
puis /— 1 jusqu’à / — 2 f. Pour avoir la valeur réelle

1

de 1 / il faut donner à /, sa plus grande valeur 2 f.
Alors la partie imaginaire de l’expression précédente
1

7

ah . . ,
de 4.5 2f, est produite par la partie affectée de

1
(—1)2/. Cette dernière quantité a pareillement 2 f va-
7 (21—1)7r . (2/1)
leurs représentées par cos. rt yes SR ET

{ pouvant encore s’étendre depuis / = 1 jusqu’à /— 2 f.
1

Mais ayant choisi {= 2 f, pour avoir 1 2/, nous de-

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES, etC. 413

vons pareillement choisir cette valeur de /, pour déter-
1 \ 1
miner (— 1) 2/,et alors la partie imaginaire de(— 1) 27,

devient V—1. sir. UE. et dans le cas de f'infini,

. RE: . 2 Je
elle devient — V—1. 575 ce qui donne , en négligeant

les termes de l’ordre Fa

sie 2 [Cr 4 rVay es (Ga+rVa—2 Did +etc. |

pour la partie imaginaire de l'expression précédente
1 1

7—1+-— AZ TN—1+k—

49% SAS 2f. En l’égalant à la partie ima-

ginaire de l’expression donnée par l'équation (z), on

auTtra

Ca+r Vi — n. Car Vr—oÿ + etc.

1r2e3euee 7—1, 2"

1 as in. x
idr'yic0s ax" V 7. (= =)
T ZT

Le second membre de cette équation étant intégré par
la méthode de Part. III, on aura les mêmes résultats
que ci-dessus.

Supposons maintenant dans l’équation (x), = Ty
on aura, en y changeant zx’ en — x" dans le nu-
mérateur du second membre , et observant que l’inté-

dx’ TX! Q 4 RTE
grale de c7* du dénominateur est égale à Vr

414 SUR LES APPROXIMATIONS DES FOR MULES

mn} B.51420 cn 2
ANS =- _— PER) -

CRE 27

Ar Sin, T
We :(cos. rx". Vn — sin. rx". Vn). (EE) {

Ici les intégrales doivent être prises depuis x" nul jus-
qu’à z' infini. On a en excluant les puissances des quan-
tités négatives

ant A7, Sn — (nr —rVn }r—+
— n. (n — Tr Vn — 2} -pétc

(an + r Vn}r-t
UD — 7 (1+r. Ven GE

—- etc.

En substituant cette valeur dans l’équation précédente,

LS — L .
et prenant VE, au lieu de (— 1); on aura, en
2

comparant les quantités réelles aux réelles, et les ima
ginaires aux imaginaires ; la double équation
LITE LL
(mr Van) — nn (nErT— 02) —+ etc.
1e3ehesrsee (2 72—1)

z"

1

= Va « VS

.(cos.rz'.Vn=æsin.rz".V'n). (= 2)

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GR ANDS NOMBRES, etc. 415

: . SAIT . . z
si l’on réduit en série, —;—, et si l’on fait x'—

+ D
7

2? .
on aura 1 — -— + eic.; on pourra donc substituer

mi . ”
SIA, T

= $ mn
c 6 , au lieu de ( ra ) ; et alors le second membre

de l’équation précédente devient
_—#
———.f LA (COST EE Sur, rb.c 6
Vas 0
ce qui coïncide avec les résultats de l’article précédent.
En généralisant cette analyse , on parviendra facile-
ment à cette expression rigoureuse, / étant moindre que
Punité, et les puissances des quantités négatives étant

exclues,
Car V nn (rt V m2) à
1 TL, A1. 19 ES 7
(ao). (ai) (né) 2 + 7 . (z STE Va — 4)
——tetc.

ze 2i dx : == 2x sir. n
== EE [ Z. sin. (rx Vn+27\ <
À. sin. ir æ'—i 2 x

l'intégrale étant prise depuis + nul jusqu’à x infini,
1
nl
et À étant l'intégrale /dx. c NU prise dans les mêmes
limites. On aura par des différenciations successives, les

valeurs relatives à i plus grand que‘l’unité.

416 © SUR DIVERSES SORTES

RECHERCHES

SUR

DIVERSES SORTES D'INTÉGRALES DÉFINIES.
Par M. LEGENDRE,

Lu le 13 novembre 1800.

Jr traite dans ce mémoire de diverses sortes d’inté-
grales définies dont Euler s’est occupé dans plusieurs
de ses ouvrages , et sur lesquelles il a démontré un grand
nombre de théorêmes intéressans. Cette théorie est une
de celles qui appartiennent exclusivement à Euler; il
semble en effet que les autres géomètres qui en ont fait
mention, se sont contentés de présenter les résultats
d’Euler , sans y ajouter rien d’essentiel ; et je crois être
le premier qui ait donné quelques théorèmes nouveaux
sur cette matière, dans mon mémoire sur les transcen-
dantes elliptiques , publié en 1794; mais comme ces
théorèmes n’étoient pas alors l’objet principal que j’avois
en vue, je n'ai fait presque que les indiquer.

Ayant eu occasion depuis de reprendre la même ma-
tière, j'ai reconnu qu’elle pouvoit être liée avec d’au-
tres du même genre, et que de ce rapprochement il ré-

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 417

sultoit quelques théorêmes nouveaux, et des approxi-
mations d’un usage facile.

C’est cet ensemble de choses que je présente ici; la
plus grande partie des théorêmes ou des méthodes que
j'ai rassemblés est déjà connue, et appartient à Euler;
mais j'espère que ce que J'y ai ajouté ne sera pas sans
intérêt pour les géomètres , et pourra contribuer au
progrès de la science.

1. À l'exemple d’Euler , nous désignerons par (2)
l'intégrale "E TP SE » prise depuis æ — o jusqu’à
V' QG" "4

Z — 1. Cette intégrale est en outre fonction de 7, mais
nous regardons #z comme constant dans Pexpression

(+) , et notre but est de comparer entre elles les dif-
ANT d

férentes valeurs de (2) qui répondent à une même

valeur de 7, peut réduire au moindre nombre possible
les transcendantes que cette expression représente.

Nous observerons d’abord que les deux exposans p et
4 ; Qui sont toujours supposés des entiers positifs, peu-
vent être échangés entre eux. En effet , Sion fait 2" —
1 — y", on aura l

T1 dr ee Y1T1 dy

MG = ay 1 WG — y?

et la transformée en, y devra être intégrée depuis y —1,
jusqu’à y — o. En changeant son signe elle devra être

1809. 53

418 SUR DIVERSES SORTES

intégrée depuis y — 0, jusqu'à y 25 et comme Ra
on peut mettre x à la place de y, on aura

e MR 1 dr = f 1 dr
Fe G EE 1) 2

WA (1 — mi} P

ou suivant notre notation.

OCDE (a)

ce qui cst la propriété énoncée.

2. I] faut faire voir maintenant que si dans la formule
(2) l’un des deux nombres p et g est plus grand que »,

la formule se ramène aisément au cas où p et g sont
compris l’un et l’autre dans les limites 1 et. Pour cela
soit Z— xt (1 —zx"), on aura la différentielle

d2 = KzËt dr (à = 2") — (Ahirn) rét dx (1 — 7")S1
d’où l’on tire en intégrant
PNR Lt de (2) — (+ nn} fighter dr (i — zx Yrt

Donc si on prend les intégrales entre les limites x —o,
æ1,et qu’en même temps on suppose # > o,etr >o;,
afin que Z s’évanouisse dans les deux limites , on aura

PRE + dx (tr — x") r—1 Tes zé—t dr QG — a)

=

soit donc £+ 17—petr— Z, il viendra

ÈS Beer PE vue

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 419

Au moyen de cette formule toute fonction (), dans la-

quelleonap > #2, se réduira successivement aux fonc-

tions (==), (=), etc. jusqu’à un terme (=)

q
ou (2), dans lequel p' sera le reste de la division de

p par .
Arrivé à ce terme, si de. son côté g est plus grand

que z, la fonction (2), qui est la même que (+) ;

/ . . . g — g—27
se réduira successivement aux fonctions moe L
etc, jusqu’à un terme (&) ou (ee) dans lequel g' sera
[e

le reste de la division dé g par #.
Delà on voit qu’on peut toujours supposer la fonc-

tion = réduite à une forme où p et qg soient com-

pris tous deux dans la suite 1,2,3..... 7.

3. Cela posé, il y a deux cas principaux où on peut
trouver immédiatement la valeur de (2); savoir lors-

que z est égal à l’un des deux nombres p ét g ou à leur

somme.

Soit, 1°. g — 7, on aura immédiatement (2)

5 P . LI LA .
TP ne — A + C, intégrale qui, étant prise

depuis x —0o jusqu'à x = 1 ; se réduit à —; d’où résulte
14

DEL Ce)

420 __ SUR DIVERSES SORTES

1 0, = 72 os (2) Ne
Soit, 2°.p +gq »OUP—A;J—n—a;onaura

Le

(VEN (a=—2") #3; faisant 1 — 2" 2" 7"
l

on aura la AG rationnelle

z—a—)\sdz
n— Fe) = f Wa 3

intégrale qui doit être prise depuis z—o jusqu’à z= &;

ou

or par les formules connues (Eul. Calc. int. tom. I,

EN nets . +27 0PES
pag. 252), cette intégrale = -Doncsionfait—=— w,
nm
on aura
a oo
(& — 2) Un l'sinialer (d)

..

Excepté ces deux cas généraux, toutes les quantités dé-
signées par (2) sont des transcendantes plus ou moins
g

composées , selon la valeur de z, et ne sont point suscep-
tibles d’une évaluation exacte. Mais pour chaque valeur
de z on peut exprimer toutes ces transcendantes au
moyen d’un petit nombre d’entre elles, et c’est l’objet
des recherches suivantes.

4. Observons d’abord qu’en mettant p + 7 à la place
de p, l'équation (b) donne

(2) = r+aq (=)
q D q
On auroit semblablement
( p+z » p+qg+r p+2n
q )= p+r . ( q >

(=) ___ p+g+en eZ
q TO ip+on q )

etc.

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 421

Donc en général, i étant un nombre entier positif à
volonté, on aura

(2) SDERS p+q+n PHg+2n -,, p+q—+in (ein)
q EL EDIT ARTE pen °°° Din q à

mettant p + r au lieu de p, on aura.semblablement

(= phgtr photon. photon p+ghrhin ( pHripun
LE) pr phone phrpen php ? q )

Divisons ces deux formules l’une par l’autre, et faisons,
pour abréger ,

(p+g) (p+n

EE P. (p Hig+ 1)
M! = EE En) ((pEhrrin)
fi T4 (p+n) (p+Fg+r+n)
… pr Hat?) (p+n+2n)
| (p+2n (p+g+Fr+an ù
etc. :

nous aurons

2) (RS

T7" = vw M M’... MO 1e"

(=) =)
. 7 q

Supposons 7 positif et < 7; alors il est clair que la

; rio. . nt)
quantité ——— sera plus petite que (ee)

PHiH2.n
À
verses formules (2) qui ne diffèrent que par l’exposant

et plus grande que ( )Car si on considère di-

P; comme ces formules présentent chacune l'intégrale,
prise depuis + — o jusqu’à x — 1 , d’une différentielle

Â22 SUR DIVERSES SORTES

PRIE
ve
il est évident que l’intégrale sera d’autant plus petite
que p sera plus grand,
Maïs la formule (b) donne

dont le dénominateur est lé même pour toutes,

CRIER EEE D
g pæ+ita.n 1 )
Donc on a d’une part le rapport

ee =) 2

5: > :
(etr+itun)

2

\ +g+i+i.n RS
et de lautre ce même rapport < ST
p+i+i.r

veut donc que ce rapport soit compris entre les limites

c 4 k—
1et1+ —, il faudra prendre i +1 > TT ,ctalors

ya 1
on aura %
M s
. = M M' M". MO (3 + +)
q

k' étant plus grand que X.
On sait par cette équation combien on approche du

rapport de LAVER Far ,.en continuant le produit
q q

M M' M'.... jusqu'à un terme Æ/0 ; et il est clair
qu’en continuant ce produit à l'infini, on aura la vraie

valeur de ce rapport, laquelle sera

AA
C 2 — M M' M' M" etc.

_

‘ D'INTÉGRALES DÉFINIES. 423

Maintenant si dans cette équation on échange entre elles
les lettres g et r, les quantités 2, M°, M',etc, res-
teront les mêmes , de sorte qu’on aura encore

P
LD Lu ae a
TES

Donc par la comparaison de ces équations on obtient la
formule générale

CHALET EE) e)

Cette formule, dont la découverte appartient à Euler,
est une sorte d’équation aux différences finies , qui ren-
ferme presque toute la théorie des transcendantes (2:
Et d’abord nous en allons déduire expression générale

des quantités (2): è

5. Les formules (c) et (d) donnent les valeurs exactes
de la fonction ) toutes les fois que l’un des deux nom-
bres p et q ou leur somme est égale à z. Supposons
maintenant qu’on connoisse de plus toutes les valeurs
de (2) lorsque p + g —7n— 1, et désignons en gé-

DL CL me À

néral par À, la fonction ( j en sorte qu’on ait

(=) = 2, D

à 7 — 2 Ë 7 —3
On aura donc successivement (==) NA ( = )

424, SUR DIVERSES SORTES

E 27 (==) — A;, eic.; et parce que (2) — (2),

, L 2
on aura aussi ( ) Ain ( )=4 etc, ; donc
— 2 Url }
en général
PARENTS ET (g)
D'où l’on voit que le nombre des auxiliaires 4,, 4,,
3 . à \ A—.2 _ A1
A, etc., se réduit toujours à où , Selon que
z est pair ou impair.
Par exemple si z — 7, il y aura trois auxiliaires

Aa (2), A, —=(<), À, = (>); puisqu'on au-
10 AP EE (2) Lee Er idees (5) y

Sin —8 , il n’y aura encore que trois auxiliaires Æ,,
A,, A33 Car on auroit en vertu de l’équation (g),
AY A AN ERA NRA:

Cela posé au moyen des équations (c), (d), (e), et
des auxiliaires données par équation (f) , nous pour-

\
rons trouver l’expression générale de (£) dans deux cas

généraux , 1°. lorsque p + q est < 7; 2°, lorsque p + gq
est > z. Voici comment on y parvient.

a

(= Ai (==). (=); substituant dans

celle-ci les valeurs connues par les équations (d) et (g),

6. L’équation (e) donne immédiatement (=),

on aura

(=) = Aa Sin à w h)

St @

>

-

D'INTÉGRÈLES DÉFINIES. 425

Ainsi on connoît toute fonction (£) dans laquelle l'un

des deux nombres p et g est égal à l'unité ; si pour plus
de simplicité on met a à la place de z— a — 1, on aura
pour le même objet la formule

a Arsin(a+i)e £
CS Ed Si @ ()

La même équation (e) donne (=). (= _ à

, & 1

A1—ma—2 T—G—1 nr
= ES). ( e n et substituant les valeurs

1

connues, il en résulte:

(=) = Aa Aa +3 sin (a+1)a
a L j: A j \ sin ©

Ainsi on a la sieurs de toute fonction (Z À 2) dans laquelle
PCA NAEENOE

De l'équation (e) on déduit encore immédiatement,

n — a — 3 Zz — 3 ee n — ai— 3 nie 2/\f

DE À ourn lo re A era de

ce qui donne.

(=) = LL ares sin (a +1) w sim (à + 2) æ 20

7 A1 Aa ÿ SE © Sin 2 @ 2

Et ainsi on connoît la valeur de toute fonction (2)
g

dans laquelle p 4 q9=n-2:3:: ited

! *
En général l’équation (e) donne

(sen) à EEE). (rreztte,

et en mettant les valeurs tirées de l'équation (h) *
en résulte : mob (9) sois

(=) An+tns sin (a +Rk— 1) =)
ne ne NE Da je 0° px nn

a Axiisin (KR — 1) @ Je a

1809. 54

426 SUR DIVERSES SORTES

Donc on aura en général

(==) = __ Aa Aa+s..Æa kr sin(a+i)æsin (a+-2)e. sin (ak: )0

Ai Aa 2 AE c sin sin 20w.... sin (K—1)«

ur (K)

C’est la valeur de toute fonction (2 , ) dans laquelle p

g est moindre que z.

7. Pour avoir l'expression générale de (£-) lorsque

p + g est plus grand que 7, observons que l’équation (e)
donne aussi

CAS CH) = ES CE)

Or par l’équation (b}) on a

(== Les — (=);
par l’équation (i) on a

(+) = Ar sin KR+ 1)
— = ———
HE

et par l’équation (h)on a

n 2

(=) = Aantiz; sin(a—k—i1)eT,

sin ©

substituant toutes ces valeurs il viendra

(—=— ail k A x sin (K+ 1) « ———— ñ
a = en = À a sen (2)

Tout se réduit donc à trouver la valeur de (=).

Or l'équation (e) donne

Re Cr ER CE)

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 427

substituant les valeurs connues il viendra

n—a+i 1 œ Sin @ }
Rem ine |, ie Pts PRRPMANEOREEP ARE Er CE TRE EE (m)
a PAPAS sur a œ si (a — 1) «

Del. et de l'équation (1) on déduit successivement

n—aHaNt x Ai @ Sir w, SE 2 ©
a FT Auzi Aura sinawsin(a—3)æsin(a—2)e >
n—a +3 k A Aa œ Sin © sin 2 © sin 3 &
5 ue sn (2 a?
a A3 Aus; sua asin(a— 1) sin(a—2)w sin (a—5)e

et en général

n—a+kN\ 1 À 3 Aou Ah @ Sin & Sin 2 w.... SUL K æ (n)
( a ) DONNAIT ET RE NUITIEQNE (a) wire (a—k}e

Cette formule donne la valeur de la fonction (2 )lors-

que p + qg surpasse z; ainsi en la réunissant à la for-
mule (k), on a généralement l’expression de toute fonc-

tion (2), en supposant seulement connues les fonctions

semblables pour lesquelles p + g = 7—1;,etona
déjà remarqué que le nombre de- ces auxiliaires est
n—2 n—

ou
2 2

L . . .
, selon que 7 est pair ou impair.

8. La formule (n) pourroit être regardée comme une
suite de la formule (k) ; et on n’auroit ainsi qu’une seule
et même formule pour toutes les valeurs de p et q j ntais
alors on auroit besoin de nouvelles auxiliaires 4,,
A_, ; A_, ,etc., et il faudroit en fixer les valeurs

. . & 0 . ; . .
ainsi: 49 — ———, ou plutôt z étant infiniment petit
Szr O
& 1 J
UE CE NAS EE AN EN À, ,

etc. C’est pour éviter l’embarras de ces substitutions,

423 SUR DIVERSES SORTES

surtout dans le cas de 4, , que nous avons donné les
deux formules séparément. ï
Il est assez étonnant que l'expression générale des

fonctions) ait échappé à Euler; on voit cependant
q

qu’il s’étoit occupé spécialement de cette recherche, par
le passage du tom. V des Nova acta Pétropol., pag. 125,
où il dit: Neque tamen hinc adhuc elucet quanam lege
omnes determinationes progrediantur, quandoquidem
valores certarum famularum continuo magis evadunt

complicati.

Nous remarquerons au reste que les formules (k) et
(n) qui contiennent l’expression générale dont il s’agit,
peuvent être regardées comme l'intégrale complette de
l'équation aux différences finies (e); de sorte qu’on ne
peut tirer de cette équation aucune conséquence qui ne
soit contenue dans les formules (k) et (n). C’est ce qu’il
seroit facile de démontrer par les méthodes que l’on suit
dans ce genre d’analyse, et qui, pour la plupart, ont
été indiquées par Lagrange dans les Mémoires de
l’Académie de Berlin , an 1775.

9. Voici maintenant quelques formules particulières
qui méritent d’être citées. De l'équation (e) on déduit
les deux suivantes,

ttes a tulle t 1er
Ge =) CE Gi) Go)

multipliant ces deux équations entre elles, et mettant

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 429
dans le produit les valeurs connues par les formules (c)
et. (d),-on aura ,,,:,,,..

THÉ | EVER w sën (jf + q) « ? Ç )
(Æ 2). CZ 92 L,U= p=gsnpasnqge? (P

d’où il suit que la valeur de (= 2) se déduit immé-

diatement de celle de (2) qui en est en quelque sorte

- de complément. On a en particulier

n—a EL 2-w dis a à
(Æ DE (ÉBRYA n — 244. (q)
. . . a
Ainsi connoissant les valeurs de (=) lorsque a n’ex-
. 1 . a

cède pas +2, on en déduit les valeurs de le lorsque

a est plus grand que + 7.

10. Pour examiner plus particulièrement les fonctions

I ra fra DER
de la forme (=), reprenons la valeur primitive de ces

fonctions, laquelle est

Az FAT Ld%
fo Lan:

si l’on fait

L

2

1— 2 — —, ou 2 — 2 +
42? ;

1»
Ca
mA
La]

CI
>
12

la transformée sera
a = + à —— za—1 Æ;
( = JE Jess QG— 2

quant aux limites de cette nouvelle er il faut

D — 1

observer que les valeurs 4" —0, x" —+;,x" —:1,don-

430 sur Divenses /sokrts
nent respectivement z2—0,3—1; gl=16: D'où lon
voit qu’il faut prendre deux fois lintégraléeñ z, depuis
3 = 0 jusqu’à 3 = 1: Et. comme alors rien m’empèêche
de mettre æ à la place dé z, on aura |

> ne 22 xa—i dx
REDRE "J VQz x) (n)

cette intégrale est ainsi réduité à la forme la plus simple
dont elle soit susceptible, puisque le radical n’est plus
que du second degré. É F

11. Si dans cette formule on met z — a à la place
9 L ! : iQ »b:

de a, on aura
—— 1 j- | ñ = ——— 1
La 4 (i — x")

delà et de l’équation (q) résulte cetté formule.remar-
quable A j

ar dx æ—a—1 dx 2% cot a &
” (1 — x)? V (—zt Ti n—2a

. (s)

12. Puisque les fonctions (©) sont les plus simples
. a

entre les fonctions de) non comprises dans les for-

mules (c) et (1), il sembleroit convenable de les subs-
tituer aux auxiliaires désignées par 4, ;pourexprimer par

leur moyen toutes les fonctions (2)
: q

Dans cette vue, désignons en général.la fonction (+)
L a

.D'INTÉGRALES DÉFINIES. 431

par M, ; Comme on peut, supposer a Fs 1, On aura

parla formule (k)

e

s ù £ \ 5 £
A: 4,200 Anar “sin (a +3) o sin (a4#2) w.:. sin (m— a —1) OR
DRPTRPTRERTEN SÈL © SE 2 @ sx SEL Ce D mn 4

M, =

valeur qui, au moyen, des équations 7 PAP nt 1
sin (72—K) © — sir ke ©, se réduit à cette forme

nat Aa: Ain 1ère BR NUE “sin ERP œ re TE @.. Sin 24 «© (+)
CRAN FITNESS Si & Si 2 ©... Sir à © Li

Et on en déduit successivement

. l
sin 2 &
ASE “is 4
; sin & NT Se Tours
An ee dn A3 A sin 3 © sin 4 © é
RE
à: & dir ho oi! bi Sr Le SiTE 2 1) Hi Sllon FES

M A3 A4 A3 sin 4» sin 5 w sin 6 w
ra 4
CDS LAS AT Sin à Shi à a sin 3 à 2

etc. 1: ë

Ces équations-qu’on peut mettre aussi sous la forme

a” sin. Ÿ »
Lou SPA, CP: ne T(- — ALLAN!
Ai A; __ M, sin? 2 © ;
APE re HA Sir $|a sin 4 ? Le ME 100)
HRRA SNS MG 9 sh 3 É SU) À È } ag
“ “ CF) AEDEIGSE Le go db 4srol pv
elc.

serviront à atéonolles auxiliaires Le; )L4s 2 A3, etc.
au moyen, d’un égal nombre des duanrie M, M

3; etc, prises, dans Pordre convenable. On une
donc exprimer par ces dernières quantités toutes les

“:
fonctions (2) qui répondent à à une même valeur de ».

Mais il faut observer que ces substitutions ne peu-

432 SUR DIVERSES SORTES «

vent s'effectuer que pour des valeurs particulières de 7;
et qu’ainsi par l'emploi des auxiliaires 4, on ne peut
parvenir à des formules aussi générales que le sont les
formules (k) et (n).

13. Considérons maintenant la formule

—— re) RÉ EGENIdT
he ur

S v (i— za d

sionfaitær"=++iy (1+z"),on aura la trans-
formée

L1—2a _— — Zi 1 ds s ;
2) = 2 zL : Va+z ? (di )
dans ue il faudra prendre l'intégrale depuis z = o
jusqu’à z — ©, et qui d’ailleurs suppose a € + 7.

Mais en vertu des équations (e)et(p),;ona

Gr Ce ee
CR CT ae

Donc (TE Z 2 COS à ©. (— <), ou en substituant la

valeur donnée par l'équation (v
P q

24
a, USE Ft fe AMOR
(=) == 7.-cos a 7 EL (&)

vV GHz)

Cette formule n’a lieu que lorsque a est € + 7; si a
est > { 7, on commencera par PES Ja valeur de

(=) laquelle sera

Ta mm (1, 2 Tr =
24a ‘ L
1— a — — 1 zgt—a—1\dz
A 244 COS (71—4a) w. Es pe ST En
(=) ( ) fc v (1+z)

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 433

et on en déduira celle de Ed au moyen de l’équation

(q). On aura ainsi, a étant > +7:

2a

2—

à . #2 S 5 g—a—1 dz
C2) TT aan snaëJ y (i+z) * (y)
#

14. Si l’on compare maintenant les équations (r),
(x)et (y), on en tire les formules

x? 1 dr ME —1 dz

Parce de D Érern G +2)

CRC ES 4 gi—a—1 dz

G—a), — (2a—n)sin2a x S (142!)

(2)

la première ayant lieu lorsque, a est <a? et la se-

conde lorsque a est > =».
Lorsque z est impair, si on fait dans la première

équation, æ—1—.y" etz—y" — 1, les formules inté-
grales comprises dans les deux membres se réduiront
Pune et l’autre à la forme

ts HIER A LE 0 Gm]l dy ra
V PNR EEE 3 IS NI 7° de 7L ————© = y are etc.)

on voit donc que la partie de cette dernière intégrale,

prise depuis y = o jusqu’à y = 1, et la partie prise

depuis y == 1 jusqu’à y — ©, sont entre elles ::.
‘a LR “

cos mr 1. Li

15. Considérons de nouveau la formule

af,

Y (2 — z't— 9

1609 55

434 SUR DIVERSES SORTES

si l’on fait

on obtient d’abord *

27

APE
P < +aqg—0n—1 A
+) = 2 zP+31 dx. 204.

.
Soit p—2aetqg—7—a, on aura

C=)= Fe =,

et en achevant les substitutions , il EE

24

LA pr
ai gz LA ARLES 21 L 2æ \.
JC Cr " (1421) SP ne (2);
cela posé, il faut distinguer deux cas selon que a est

<+nou >-z

Soit 1°. a < +7, on aura par les formules du n° 13

24
-

== œ (==) Fes me 1] : z—Ddz ,
(= asn2au a ER RO ENT: ÿ GHz) ?
donc
zi— 1 dz PR Lu re dy 2 æ =
JF :f Ce a V G +2) — asn2aa (4)
Soit 20, a > +7, on aura par l’équation (b)
24a RAGE (=— F
Ces) TAN a È n—a DE
mais en faisanta—7—c,;ona

ur me

D'INTÉGRALES Dérreins 435

et par l’équation (v), on a

2C 4 *
\fn—$ic JT Gr) gt: dz
a —— 191 Lo —————— ,
( c ) M fG+z)

Donc au lieu de l'équation (a’) on aura

gtHEn—1 dz 2a—u- gt—a—1 dz :
er > ;:
VLE dz Vüurz FR PPANGREUETT (b’)

Au reste cette dernière équation se vérifie immédiate-
ment au moyen de la fonction P — z*-;"}/ (1+3")
— z%*, qui s’évanouit dans les deux limites, lorsque
3, — o et lorsque 3 — « ; car si on prend la différen-
tielle de cette fonction, et qu’ensuite on Pintèsre , on
trouvera

7

1 2Hn-3 dx 2a—n DT à
DL PRES race) _ Ep) z æ
MCE jé V G+z) za *J [Va+e) ?

» ë ° es
Formule qui ne diffère pas de la précédente , parce qu’en
: a—!n—1
mettant — au lieu de z, l'intégrale/E 5 sechan-

V Gæ+z")
AE ile

zl—a—1 d : % É.
ge en f——"— =, les limites étant toujours z — 0,

16. Cote. enfin, dans la supposition de z pair,

la formule
(S) DS) enr rinai dx ;
V (i—2)r—a

si on faitæ"— 1 +z",onaura par la substitution

ER Ca

436 SUR DIVERSES SORTES

et l’intégrale du second membre devra être prise entre
les limites z —=0,z—=.

Maintenant par la combinaison des équations (x)
et (c') on obtient:

24
ra 1:
(2) = 2 £ cos au (2 =),
a 4 a

et par conséquent aussi,

Fu — a 3 J a
(ET) = 2° sin au (- DE
ln— a + a
de ces deux-ci on conclura
44
a RG 21—a ,
(=) = 2 cofang a à. (=). «d”)

D'où l’on voit que z étant pair , il suffit d’avoir les va-

a
leurs de (=) pour tous les cas où a ne surpasse pas
a ‘

+ 7,et qu'ainsi le nombre des auxiliaires nécessaires pour

déterminer toutes les fonctions (2 = ) qui dent à

A LR y Z A=— 2
une même valeur de”, se réduit à 4 °u 7 Selon que
rest de la forme. 4 m ou 4 m 2.
17. À l’aide de léquation (d”’) on trouvera des rela-
tions entre les auxiliaires 4,, 4,, 43% etc. qui rédui-

ront leur nombre comme il vient d’être dit.
Pour cela, reprenons la formule (t),

a An Aou Monza Sin (aa) © sin (a 2) w..,. sin 2 a «
ii ANAL AE, sin à Si 2,0... Sin a « 2

elle donne, en faisant 12m,

(=) Ames Amar Momoax Sèn(m—a+4 no sin (m—a+2)e.….siu (2m—2a)
= À SEE DT pme ne D Me

Mm—a A1 Au Amar) Sin w Sn 2 w.... SL (M—a) æ

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 437
substituant ces valeurs dans l’équation (d') et faisant
les réductions , dans Phypothèse a < +», on aura gé-

LA
néralement

a
Ai Aipre Mao PTT sin (m—1)® sin (m—2)œ.... sin (m—a+1) w F
TRE PT ; sin a æ sin (a+-1) & .… sir (2u— 1) « (er)

Delà résultent, en faisant successivement 4 — 1, ,

, . . ‘ . À Û
3, etc. des équations particulières qui peuvent être mises
sous cette forme

1

ARLES. an sr o

ALAN RE
ms ———, 2

k D PAR E-= m sin 3 v
1
I
Ai A TE
APRES _ nm sin 5 w[° (F)
2
_
A; À D ÉQi
An 24 = 2, LIT, SÈE-7 à
»
etc.

Elles devront être continuées jusqu’à ce que le:nombre

71 —4 as Tu 2
Te

en soit

18. Par exenfiple, lorsque z— 12, il y a cinq auxiliaires
A, =); = À), 4 =(); 43 = CG)» 45 = (À),

entre lesquelles on a ces deux équations

x
À; = À, 2% sin w

Aa A3

É
+ 26 sin 3 w.

A, =

De sorte que le nombre d’auxiliaires nécessaires se ré-
duit à trois, pour lesquelles on peut prendre 4,, 4,, A3.

438 SUR DIVERSES SORTES

— Si on préféroit de prendre pour auxiliaires trois des
quantités 47,, il faudroit avoir recours aux équations

(u), lesquelles donnent

AE li de
PANNEAU
LAS CT

. AY A5 D MW
LITE CRM)

SÛIL
Si 2 &
sin?, 2 w
sin 3 @ Sin À «w

ina, 3
en

sin 5 & sin G &

Au moyen de ces équations et des précédentes, obser-

vant d’ailleurs qu’on a © —

-

AE 2 CS Ua MIS

F
—, on trouve
2

L

M; cos 2 w

AV A Srr ras VS AT ( I, )

Par sin ». Ms V Grau)

sin à. M,

sin® w. ÎW,.

1

cos 2 ©

Ges quantités étant connues , si on veut avoir l’une quel-

conque des fonctions (2) ;

par exemple ° on cher-

chera d’abord par l'équation (n) sa valgur en fonction

de À, laquelle est

OR te:

On trouvera ensuite, par

(= =) = Zu sin a

connues

@ Sr & Sir 2 ©

a ————— ———,
Sir 5 © SE à æ sut 5 ©

la substitution des valeurs

a (EE cos 2 w
M; ).

19. Ayant dit noie Ho bre possible les

D’INTÉGRALES DÉFINIES. 439

transcendantes (2 : ds “l ne reste plus qu à faire voir com-

ment on peut trouver par approximation , et d’une ma-
nière facile , la valeur de chacune de ces quantités.
Pour cet effet, considérons d’abord la formule

Len — m1 dx
Rest LE Vu—x) ?
et soit y (1 — zx") — 1 — y, ou æ° — 2 y — ÿ°, on
aura pour transformée

a >. ©
a RTE dy FA +
Érlex ne 2)

cette différentielle étant développée et intégrée depuis
y = 0 jusqu'a y — 1, on obtient

\

A— a a HA 2n—a a
1 + EE ———— —
gs 27 n + a 27. 4n 271+- a
a Fer na ?n—a. 37—a 4
(=) = 7 a, a (8)
271 41k O7 3n+a
+ etc. 4

Formule dont chaque terme est moindre que la moitié

du précédent. 5

+ En général si on veut Lub la valeur approchée

Ga uen Eat À :
de la quantité (2)= me il faut partager
V Gaz ’
cette intégrale en deux parties, PURE depuis 2" — 0,
jusqu’à x"— 2, l’autre depuis z"—2+, jusqu’à 2° — 1.

La première partie étant Aus P , on trouve par
” les déve eloppemens ordinaires

P— Ne (= De". br TQAeNTE q 1
p 27 aEput 27. 47 ° 2n+p 42e

Cl

4490 SUR DIVERSES SORTES

Pour avoir la seconde partie quemous nommerons Q,

il faut faire x" = 1 — y", alorsona

ner

V Ga) Y a—yY
et la transformée en y devra être intégrée depuis y" =:
jusqu’à y" — o. Si on change son signe, elle ER,
être intégrée depuis y" — o jusqu’à y” — ;; on aura
donc
NE 2n—
CÉSAR CE SR TM

Il ne s’agit plus que de réunir ces deux parties, et on
. .
obtient

p
Dr fiminrs 1 n—q.2n—Q 1 7—Q.21—q31—Q
.. ( D, <a an n+p 27. 4n LA À 2n, 47. Ôn ; ces SÈCe

———<#etc.

Ye ri 2) 1 on Ur 271 1 D r=p-2n=p-3n Ep
ie ET FAT en. 4n ‘2n+q 2n.4n. 6n à nn

Les deux séries comprises dans cette formule sont tou-
jours convergentes, puisque chaque terme est moindre
que læ moitié du précédent: on vie ainsi à l’in-
convénient que présenteroit la méthode ordinaire , sion

vouloit intégrer tout d’un coup la valeur de (2) depuis
q
æ = 0 jusqu’à x — 1, ce qui donneroil la suite très-peu

convergente :

D NE. et et tue PS Mie dre \é
(+) = P FLE TE TiÈe n+ p FE n. 211 x DE + cu. G)

Au reste, lorsqu'on suppose p = q = a , la formule (h°)
se réduit précisément à la formule (g') trouvée par une
autre voie.

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 44

21. Il ne sera pas inutile de chercher la valeur de la

fonction (2) dans le cas où z est très-grand par rap-

port aux nombres p et g. Pour cela soitp—an,;q—=6r,
on pourra. considérer z et 6 comme des quantités très-
UE du premier ordre, et il faudra développer jus-
qu’au RES convenable les suites P et Q; on a d’abord
en faisant +

P= —— + 1—6. jose, 1—2:6.
+, etc.

Développant la série renfermée dans la parenthèse , jus-
qu'aux quantités du second ordre inclusivement AIO
faisant pour abréger

ARE EE ielé

B— c+ (+1) L Lo +i+e) 2 Mi

, 2 5 à
CHE +E + + ete.

32 42
on aura
ANT
PONEE [: pas ere By e— ce]
Mais on a aussi 2=*—1—ax/l241a2 (72), etc.
et d’ailleurs 4 = — log, (1 —c) = — log. (1—:)

— log. 2, de sorte qu’on peut supposer 27“ — 1 — 44
A* a°; ainsi en effectuant les développemens or
aura : L
RE LB «Ch 49 et |

1009. 56

442 SUR DIVERSES SORTES
On aura semblablement

Q=- [1 -r46-(crtme];

some ic ne

donc par la somme de ces quantités on trouve

(L)=+fi+r-w+c+i4)c+9]
ou

(2) = LCR PNG T EC |
q n q F n2

22. Il reste à trouver la valeur de B + C, et pour
cela nous considèrerons pour un moment B et C comme
des fonctions d’une variable c; nous aurons d’abord

2 8 : {
D PME =D € mA nd

ET = e+ta+De+G+i+D dt et

de
RC ne
Le I—cC Le EX 1—0c
le TE EE e log. (1 —c), et en inté-
rt 1—c ?

grant on a
B—C—*log® (1 — c),
sans constante, parce que B et C s’évanouissent en
même temps que c.
On a ensuite

cdcC CMP MA
A ss PP Mon Jog(i — c)
donc
dc — CADRE PUS SENRS
ct STEP ?
et en intégrant .:

de
1—c

— — log. c log. (1 — €) — fr log. c.

D'INTÉGRALES dois at tes. 443

Soit c — 1 — b, on aura —

== log. c —

Si donc C'est une fonction de c Mes par F(c),
on aura

B Jog. Gi —Db)—=const. ++ 2 — 5 Es —- etc.

1: 2 log. c — conse, + # (b) — cons + Y (a Eiey.

Donc

Fc) +#(1—c) = const. — log. c Log, (1 —c).
Si on se a pe on trouve la constante = # (1) = 1

+ — + > + etc., quantité dont on sait que la va-

: 4 ,
leurest ——, de sorte qu’on aura

HG)HEG—c) = — Log. c log. (1 — ce). (k’)

Cette formule fait voir qu’étant connue la somme de
la suite

c3 cf
+ FER —+ etc, ;

FO=c+E + F

pour toute valeur de a depuis c — 0 jusqu’à c —+, on
- connoîtra la somme de la même suite, pour toute va-
leur de c depuis c — + jusqu’à c — 1.

23. Dans le cas particulier où l’on fait « — +, l’équa-
tion (k”) donne

donc dans ce même cas on aura

CEE SA

12

444. SUR DIVERSES SORTES
mais on a trouvé B— C = +log.? (1 —c) = +/og? 2
== NA HORC 1 +

BH CRE A

12

(2) = EL — =. 221). da)

C’est la limite vers laquelle tend continuellement la |

et enfin

fonction ( F, lorsque z augmente de plus en plus,

et g restant les mêmes.
P€&g

C’est en même temps une valeur approchée de ee,

lorsque p et g sont petits par rapport à #7. Soit par
exemple p=1,g—1,7 — 12, on.aura à très-peu

près () = 2 (: — er)
24. Si on désigne par Z la fonction (Z-)ou l'intégrale

LR T . . . >
———, prise depuis æ — o jusqu’à æ —1, la
Vars
différentielle de Z , prise par rapport à p , donnera
= [= — FR es aa
eæ. 2
vs PSN,
on auroit semblablement

did AE xPT 1 dr log? x
dp? rs n
(4 (1—zær)n—9

Ni PE ete Pate æ
Tps.

" (i—zx Ne
etc.

ces intégrales étant toutes prises depuis x el jus-
qu'i & =.

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 445

Comme on a généralement par la formule (i’)

nt p—qg 1 qe 20—Q 1 TE D 1
Hp A f rer n.2n ‘2nktp n2n3n *3n+p

etc.

on en déduit par des différenciations successives :

zPdr Zog.—

PERTE 1 LE Et :
Ga Ë 210) Lin à gi Ba 72 (a+p} 1, 271 anEph le ‘a
NS lg. 1 LL Et ES 1. 27—Q
AR APTE MF ET a Pet “f
2 v ( D! pi RES GAnE © nan Pr de (m)
1 — 2}
FER és = 1 Lx DRE LS gang
de LENS n° Hi 7, 211 ‘(2 os etc,
1 — œnÿn—
Le
etc.

De sorte qu’on pourra toujours avoir, au moins par
approximation , la valeur de chacune de ces intégrales.

25. Pour avoir ces mêmes valeurs exprimées en suites
plus convergentes , il faudroit partir de la formule (h'),
et la différencier par rapport à p , autant de fois qu’il est
nécessaire.

En la différenciant une fois, on aura

zP1 dr log.— Ta
(0 2 log. 2 1 n—q. Deere re ET) nn ]
7 SE FA p qu 271 Ée 27, 47 re

V G—z)—s
?
De 1 n—q 1 71—q. DIT
ne + en RDS ET 2714, 47 fees ESS ]
pra ; Fu 1 T1} 27 —p FEES AN 1 VE 1 2 |)
; £ 2n n+q 2n. rs ap 27n—py Î
pa = ps 2— p .3n1—p î 1 x

ñ ME Ps 2 Pia dE SD | fiat El
sa ii 2n.4n.6n.(3 +) ET

+ etc.

446 SUR DIVERSES SORTES

Ces suites sont convergentes, puisque chaque terme est
moindre que la moitié du terme précédent ; mais leur
forme est compliquée , et elle le deviendroit davantage
dans la différencielle de second ordre ou d’un ordre plus
élevé. C’est pourquoiil convient d’avoir recours à d’autres
moyens si l’on veut évaluer facilement les intégrales dont
il s’agit.

xP— dr log.—

26. Désignons par e(2-Jrimégrale fl =
V QG = ZT}

etpar® æ le rapport de cette intégrale à la fonction

(2), déjà représentée par Z, en sorte qu’on ait
P
spot
#1 |
suivant ce qui a été déjà dit (art. 24) on aura
PIN ONTNEZ
? ( q ) Cut dp

P EC dZz a CAC IERZNI
et #(2)=— ap iles dp

Te
d

Zi
Mais puisqu” on à aussi Z = — . il en résulte
he à

+
où il faut observer que © cr n’est pas la mème chose

que ® (2).

La différencielle complette de Z ou de (2) -pourra

donc être exprimée ainsi:

d ee) = — dp > — dg @ (+): (n')

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 447
_27. Cela posé si on prend l'équation générale
> EE) =) CE

qui peut être mise sous la forme

ms. (2) + me. (EEE) = ee CE) + re. (EE);

et qu’on la différencie par rapport à p, on aura
dis A léahiur CE) LA)
De

ou suivant les dénominations établies
PCE)+N CD) = HE) CE) «5

La même équation étant différenciée par rapport à g,

donne
MOD CODEN) (a)

La différencielle- par rapport à r donneroit un résultat
de la-même forme que le précédent, et qui y seroit par
conséquent compris. On peut de plus faire voir que
l'équation à à quatre termes (p') est comprise dans l’équa-
tion (q'); car de celle-ci on déduit , par la permutation
des lettres p et g:

EP GE)

et de cette dernière on conclut, par l’échange des lettres

detr
HÉEESA) SCC

448 SUR DIVERSES SORTES
Donc

CD +4 CRD + (2) + CH),

ce qui est équation (p').

28. Delà on voit qu’il suffit de ‘considérer Péquation
à trois termes (q'}),et c’est de cette source que nous
allons tirer toutes les relations qui existent entre les di-

verses quantités NL (£ ; +) qui répondent à une même va-
leur de 7. «

Parmi les quantités (2 on distingue celles de la
forme (=), dont la valeur est Co) LE —; il en ré-

fo 1
sulte ® = = -7, et par conséquent

a 1 * r
+ (2) = +: (r)
remière formule qui servira à la réduction des autres.
P

Parmi les mêmes quantités on trouve en second lieu
la formule remarquable,

1 — a sin a

d’où l’on déduit, en prenant la différencielle de chaque
membre par rapport à &,

Sa Cr

Cette équation étant divisée par Ce:

1.—=\a œ? LHACOSEE a æ

TKine au . a

donne,
T1 — a

+ (5) = CRD = are

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 449
29. La fonction 4 (=) est remarquable dans l’or-

dre des fonctions À , comme la quantité Lo) l’est par-

mi celles de son espèce. Nous nous servirons donc de
cette fonction pour exprimer toutes les autres, et nous

:
ferons, pour abréger

+ (2) = 7 ()

Cela posé l'équation qu’on vient de trouver s’exprimera

ainsi : ù ?

B; — B;_4 = © cot a 0. # «t')
Elle fait voir que la valeur de PB, se conclut de celle de
B,_, et réciproquement ; d’où il suit que dans les quan-
tités B,, B,, B;, etc. il suffit de connoître les premiers
termes jusqu’à B. ou B,_,, inclusivement.

2 2 É

30. Reprenons maintenant l’équation CP) , Savoir ,

= +) (= jade œ Sin (p+q) w
T (a—p—34) SüL p © sin q &?

en la pe par rapport à p, on en déduit

«st (a)

+ (2 y? + (2) —= d co. p &— & cof, (RRQY AE ER :

n—gq

I —

14 7
Se. qui se servent

Ainsi les deux fonctions (2), d (

en quelque sorte de complémens, se déterminent l’une
par autre comme PB, et B, _..

51. De l’équation (q') on déduit généralement

HDi co)

1809. 57

450 SUR DIVERSES SORTES

Donc en particulier 4 (+) — À (=) = À (=)

= B, , et par conséquent

+(2)= + (x)

=

EN ( ds le premier membre qui est B, — B,_,,

La même équation (v') donne 4 (-

- Se
se réduit à © cot a w. Ainsi on a, en supposant a < +7,
cette formulesremarquable

Ÿ (5) = © COË & «. (y)

Euler est parvenu à ce théorème isolé dans ses Opus-
cula analytica , tom. I.
En vertu de l'équation (u'),on a

mi 1
+) —+( 20 COf AW — —);

donc on aura cette autre formule non moins remar-

quable

+ (== = —w cot a (z')

#
qui offre un second théorème pareil à celui d’Euler.

32. L’équation (q') donne encore

on en

d’où lon déduit

SA (<) = B, — Ba (a7)

Cette équation suppose a ne n: lorsque a sera plus

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 451
grand que + 7, il faudra déduire 4 (=) de léquation
(u') qui donne

a Des. Cn=—a a 1
Ÿ (=) el) (==) Te Sin 2 à qu FR

alors on aura par la formule précédente

Ÿ (=D) = Br Ut au

et par la formule (t),

Bone again + & COËÉ 2 a &;, Baie —-B, — & cof a “5
a !

donc
1
2a— n.

(D) = — Bu, + (H°)

33. La comparaison des équations (a) et (b') fait
voir que quand indice de B surpasse z, on a la ré-
duction

1

B,+ 7 ESS d Cc”)

D'ailleurs il est aisé de voir qu’on a 2, —0o, et B, — «.
En général puisqu'on a (+ ere. (ee) cette
q Pre NE
équation étant différenciée logarithmiquement par rap-
port à p donne j |
PER) Dre

axe

et la même équation différenciée par rapport à g donnera

- j
AQU: A 20e EE qu CG PR 20
Ve AS VA Aer a que?

Ces deux équations serviront au besoin à transformer

fs
452 SUR DIVERSES SORTES

!
toute fonction En en une fonction $zmblable dans

laquelle à et b seroient plus petits que z.

34. Revenons à l’équation (q') et faisons p+g+r
— 7, afin qu’on ait à la fois (=) —=B, et (2)

p+g = Ph; on aura donc
q Tes 4 ;
VC) = 8-2 cr)

C’est la valeur de toute fonction NL (5 =) dans FqueME
onaa+b<« 7.

Dans la même équation (q') faisons P=r—g;
nous’ aurons

4 Genre Tu Er Sr CAE

mais par l’équation (x') on pr (=) = — — B,;
donc

q rire 1 ”

Érrene ne . (8)

C’est la valeur de toute fonction (+) dans laquelle on

a a+b>n.
Parles deux formules (f') et (g') on pêéut donc ex-

primer toutes les fonctions 4 (2- : )au moyen des auxi-

Cr, . 72
liaires B,, et il suffira de connoître un nombre ST

1

— — : de celles ci, comme nous Pavons déjà remarqué.

38. On pourroit trouver d’autres formules qui ten-
droiïent à diminuer encore le nombre des auxiliaires ;

*

: D'INTÉGRALES DÉFINIES. 453

par exemple lorsque z est pair, on pourroit déduire de:
équation (d’) cette formule

B, + Bi — 2 B,, — —- log. 2 + wtang. a w, (h”)

En—a

au moyen de laquelle le nombre des auxiliaires Z2,,
B,, B3, etc. seroit réduit à moitié.

Mais en examinant les choses avec plus d’aittention on
reconnoît que la réduction ultérieure des auxiliaires est
inutile , et qu’on peut les déterminer toutes par une for-
mule générale qui ne renferme d’autres transcendantes

que les logarithmes et les arcs de cercle.
En effet, nous avons trouvé d’une part

(Dern:
d’autre part nous avons
em No

4 rm ur
ce qui donne
1

Ÿ (2) Br se dæ log. + !

7

4 Cu r)n=

tout se réduit donc à trouver la valeur de cette inté-
grale prise à l'ordinaire depuis + — o jusqu’à x — 1.

36. Pour cela soit x" — 1 — y"; intégrale précédente
deviendra

VAE 3°" dy log. Q—y") ] = — _ Log. (—7y")

Je Er dy y2 ya 20 4
EN PT EU 24 Bi ay
jf 1—y# Æ log. (1 216) nm 5 — [=

“

454 SUR DIVERSES SORTES
D’un autre côté y* log. (1— y") peut être mis sous la

forme (y%— 1) log. (1—y") — NÉ aura donc

A nl Pt
LH ER à

La partie hors du signe s’évanouit en faisant y —o,

.,. 1 .
et elle se réduit à —, en faisant y — 1 ; donc

HD mn EE
donc on a en à ghél
5, = f (EE) à, &)

cette intégrale étant prise depuis y —o, jusqu’à y — 1.

37. Cela posé , en faisant toujours « — —, on trouve

par les méthodes connues pour l’intégration des frac-
tions rationnelles

TL — 2

1 . 2 2 à
B, = —- log nr + # sin 2 a vw — — 005 2 a « log (2 sin «)

IL

+

4 o sin 4 a a — — cos 4 a « log (2 sin 2 &)

n — 6 > 2 :
SEE > o sin 6 a w — — cos 6 a w log (2 sin 3 à)

+ etc.
cette suite étant continuée jusqu’au terme
1

1 . = 2 . Ti,
ee me © Sin (a—1) à © — — cos (7 —1) a © log (2 SR ee CR)E
IT

si rest impair.
Mais si z est pair, il faudra prendre , au lieu du der-

D'INTÉGRALES DÉFINIES, 455
sb à Ann a 2 es n\'@
nier t@TME—— « Sir 2 A © — —-COS 1 à & lg(2 Sir nn)
L( 2
, \
sa moitié seulement — a cos a 7 log 2.

Si l’on se rappelle ensuite les formules:

F] : . dl 4 si æ + sim mx — sin (m 1) ©
sin x + sin 2 x + sin 3 ges sin mr — (Gi a)
: 2 (1— cos x)

(on + 1) sé m © — me sin (m+-1)

sin æ H2sin2x+3sin3xestmsinmx—
2(1— cos x)

on trouvera que la suite

+ vsinzaw + A & sin 4 a w + 2 © sin 6 a x + etc. ,
Ë Re 7 An —92
prolongée jusqu’à un nombre de termes ou :

a pour somme + « cof. a w. Donc si z est impair, on aura
3

1 2 .
Ba log n +? a cof a » — © cos 2 a à lng (sin à) \

2 .
= cos À a » log (2 sin 2 à)

la — + cos 6 à » Log (2 sin 3 &)

é -
-
.

2 .
— — COS (2 — 1) à © lor( 2sèn
É ( ) a « Los (

— l )
œ
etsizest pair, on aù ;
pair , aura 4 &")
B, = + log + X a cot a & — + cos a # log 2
2 3
7 cos 2 a « log (2 sin à)

— + cos 4 a w log (2 sin 2 à)

2 AUTO
— — ee
7 COS (Gè— 2)ao C5 Sin

=, |

38. Dans le cas particulier où ’ona a — 2 y , 2 étant
pair, on trouve directement par la forte (i)

2 > JT dy MES ONE a ; ”
Bo — MBan re Ve Li TOR dog 2e cr)

456 SUR DIVERSES SORTES

Pour que cette valeur s’accorde avec celle que donne
dans le même cas la formule (k”) il faut qu’on ait

log (2 sin &) — log (2 sin 2 ») + log (2 sin 3 ajv... k »

+ og [2 sin (2 —:) a] =G +3 00s a 7) log2—: log n.

ou, ce qui revient au même, eu passant aux nombres,
et supposant soit z — 4 i, soit 71—4i+2,

sin &© sin 3 & sin 5 w,..., Sin (2 À — 1) ©
' d . . in (2i—1)e (74 e ) (m”)
.

sin 2 w Sin 4 & sin 6 w.,.. sé (2 à LsnÇGia)

Cette formule est facile à vérifier au moyen de la valeur
de siz n z donnée par Euler dans son Zatrod. in anal.
pag. 204 ; car en faisant successivement dans cette va-
leur z infiniment petit,etz z—=+7,on en tire:

. . D o . TL
SÈR & Sn 2 &w Sin 3 were Sin — w — 2 V7,
} 2

sin & Sin 3 w sin 5 we. sin (21—1)a—2 4 ;

M 71 TL = 2 : ;
2 i étant — ou —— selon que z est de la forme 4 z ou

2 2, et delà résulte l’équation (m').
; q
39. Ayant l’expression générale de B,, on en déduit

celle de À Es au moyen de l’une ou l’autre des for-

+ (2 Mer ie,

Ü ) = me" Res 0: M
ie (= = B, LP ET Er

. mules

(n°)

La première ayant lieu,lorsque p + g est < », et la

D'INTÉGRALES: DÉFINIES. 457

seconde; lorsque p + gest.> n. En cas d'égalité on à
simplement (2 2, S

Ces valeurs, qui ;sont déduites;des formules: ( f") et

(g°) peuvent aussi être mises sous une seule forme gé-
nérale , qui ést

DEN Men lot liT E nd
Hole LÉ 1— y" ) dy, n (p')
ce qui prouve immédiatement que la fonction 4 (2)

est toujours déterminable par les arcs de cercle ‘et les
logarithmes.

On peut donc rendre le théorème d’Euler cité art. 31 ;
beaucoup plus général ; en ces termes:

Si l'on prend les trois intégrales £

1 à , ( ;
p—) 1
4 @2 Log æ Pr Ndz GP — pis
Ed c nd » f° Ferz AZ 3
G(1xzt)re 4 An ira À
entre les limites x = 0 ,æ—1., la première sera a égale

au produit des deux MR Pre 45 HtoËTier

Fr

40. Pour étendre encore davantage cette théorie, con-
sidérons les deux suites Miibralens en Zeten 7’, prises
depuis ZE 0 jusqu'à x = l, Savoir :,

T1 dx TP appt
K RE a nT, FA IE = gr oz
pe: ze

V (i—zr)ny
, \
2? dx dog — — = Sete
RL . æ AAA | x — xP+g— L
D — = RD feat d log —
W G— zr)r-9 . } +
xp! dx log? Es
Z'— Z, q pe Poe ET 7 de LT
— EN PTE ES RUES D
(Gi — ær)n—7 4 _ =
etc. ” 8e à etc,

1809. 58

458 SUR DIVERSES SORTES
Il résulte d’abord du théorème précédent qu’on a

AU LME (q")
Différenciant cette équation par rapport à p, et obser-
az dZ' AT
& L) Le. ist - 1 ! SEE 2. RE Pat AE UNS AN 7
vant qu'on 4 — 27 3 a — Z', 3 — F4
onaura Z"=Z'T+ZT',ou
Le Z' = Z (T° + T). 7)

Celle-ci étant différenciée de nouveat par rapport à p,
donne |

PIN TELEENS TPE TT): (s”)
Et ainsi dé suite, la loi de ces expressions étant ana-
logue à celle des différencielles successives de la for-
mule ze fudr,

Si l’on veut donc avoir les valeurs des quantités 7”,
Z', Z"", etc. ou simplement leur rapport à la fonction
primitive Z , il faudra connoître les quantités 77, 77,
T'', etc. en pareil nombre. Maïs comme celles-ci sont
rationnelles , et contiennent des puissances moins éle-
vées de log =, on voit qu’au moins la difficulté est di-
minuée,

41. Si l’on intègre la différencielle, æ“+4-1 x,
depuisx —o;jusquaæ—=1,ona

1 1 a a? 23
TRFEEN JRN = — — et —— et
jf me m mm 5 m2 m3 si EE

Si on met la même différencielle sous la forme +”7—":
dx x“, ou

3

Cr ns da (a+ «log 2 + = Log? x + = Lg x +),

L2
1.2

—)

mette ne te tnt és nb

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 459
son intégrale prise entre les mêmes limites, sera

ÿ LS dx + 7 us dx log x + dx log* x + etc.

L'identité de ces deux formules exige donc qu’on ait:

fa
JERRMOIERSE
FR SRE
fr anne (=

et en général L
En dz log” (2) 2: 1, RES 74 çt7)

- 42. À l’aide de cette formule on peut exprimer les
quantités 7”, T',etc., par des séries régulières, com-
_ posées des puissances réciproques des nombres naturels
pris à des intervalles égaux.
Ainsi en développant d’abord la différencielle qu’il
faut intégrer pour avoir 7’,ona ”

: at SE apr LE pts LE ofc.
77 = fax log + j }

CPI 2 gp+q+n—a xPHI Han etc.

Et effectuant l’intégration entre les limites æ — 0 T1;
il vient .
TR RC PS En in
PT Gr Gran te
1

1 4
+ Gran — Ghgtanx ‘He
LI

Désignons en général par a, , la somme de la suite

1 1 1 ; 1 7
Erirte CF Sud Tata À GES + etc. (u }

460 SUR DIVERSES SORTES

laquelle deviendra ls 2ms 2ms etc. selon qu’on fera
a— 1,2, 3, etc. 7 étant constant: on aura suivant
cette notation
. 2 = pa — (P+H9h gr")
on auroit semblablement
Tps — p+9)

1 r TER
PL ERIPE EE (BE EDE

etc,

(x)

43. Il faut observer que z et "1 restant les mêmes, on
n'aura besoin de considérer les valeurs de a, , que depuis

a 1 jusqu’à a; Car ilest visible par exemple que
(2+1), se réduit à 1, — 1,et qu’en généralon a
(er ==. (y”)

a

Par suite de cette formule on auroit de même
(G+H2n}n = dm — — — ep
et en général on. réduira toute. quanitité Ans Où a est
plus grand que z, à une quantité semblable où a n’ex-
cédera pas %. «
On voit encore que 7, représentant la suite

1

I
Lu Er (2.n)" FE (5 n)"

+. etc,

cette quantité est la même chose que .
1 1 1
RES ( + —> + — + etc. ),
a ne pr
et qu’ainsi on a
EE ”

m = Sue «”)

PAL

Enfin il est visible qu’on a l'équation ‘

Sn = in + 2m F Ineites En

D'EINTÉGBALES DÉFINIES. 461
laquelle, en substituant la valeur de 7,,, devient

Gone Joan SONIA HG) (D

44. Considérons particulièrement le cas de 7 — 2,
1,91, alors on aura
»9 ?

P=reez(i-x SE = — 6,
Ps ne (GG r)s= rs
T'=u-u= (ii) = trs,

etc.

On sait que les quantités s. S,;, S5, etc. sont connues
en fonctions de 7,etqu'ona S, = +7, S$, = = 7,
Se — 55 7°, etc. À l’égard des quantités S,, S5, etc.
ce sont des transcendantes particulières qui ne se ratta-
chent point aux autres transcendantes connues ; il est
facile néanmoins d’en trouver les valeurs avec une
grande approximation, par les belles méthodes qu’Euler
a données pour cet objet dans son Calcul différenciel,
page 451 et suivantes.

Au moyen de ces diverses quantités, on connoîtra
donc les intégrales suivantes, déduites des équations

(ga); (x); etc.

dx RER
W(i—=xzz) | 2
1

fe log — LAANR

ÿ (Gi—xz) _ 2 EE
js Lg — me ‘ œ)

2 La
(1i—zxz) = (lg ee =)

1

af 275
AE log ne P SR a 3 =
se = Gart D 2 is Su)

wG—zxx)

462 SUR DIVERSES SORTES

et on pourra prolonger indéfiniment cette suite, où
tout est connu, excepté S;, $;, etc. dont on connoît
au moins les valeurs très-approchées , jusqu’à S,;,

( Calc. diff. , page 456.)

45. Occupons-nous maintenant de réduire au plus
petit nombre possible les quantités 1,,,2,, 3,, etc. qui
répondent à une même valeur de z. Pour cet effet re-
prenons l’équation (t'), et substituons-y la valeur de
B donnée par la formule (1'), nous aurons

f 2) dy = cot a à. çc)

D'où l’on tire en différenciant successivement par rap-
portà a, >

VII Æ prra—i EE PE) ,
J- 1 — y dE log TAN à Sin? a ©
Fa VE — pat SULTAN a
Ta. 1 — y" 2 lg # TT sa a Ke (d'*}
1 Cyr ER pe SRE RE a ee 2 08 )
2.3 De so dy log Y sinta Edo HG T0 at +

Mettant au lieu des premiers membres les valeurs qu’ils
obtiennent par le développement en série et l’applica-
tion de la formule (t') on aura

a + (na — a), = =

——
SU? a &w
3

a [C2 ) = cos a w
Le = A) el =
F 45 sin a © (e”)

ay + (x — ON
etc.

2 L]
es G Hi ae)

Ces formules serviront à établir entre les diveres quan-

{

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 463

tités a, ; qui répondent à une même valeur de 7, toutes
les relations qu’on peut obtenir par d’autres voies, et
qui sont données sous diverses formes dans les ouvrages
d’Euler. C’est ce que nous allons développer dans deux
exemples.

- 46. Soit z — 6 et m — 2, on aura l’équation générale

à 6 æ2
a + ( let Tien sin? a © ?

d’où l’on déduit successivement

ta + à = Le

sin? ©
œ2

- a+az ce")

sin? 2 &@

os sin? 3 ©

œ2

ce qui donne en substituant la valeur w — +,

1,9 + 5 = =——

% 23 + Aa =

72
— =

La somme de ces équations est

GC Es= + »
d’où l’on déduit S, = + 7°,ce quiestun résultat connu.
Outre cette valeur de &,, on connoit 3, = -: #°,et
6, — 35 S, = +5 7°; mais les quatre autres quantités
1: 2 4) 8,5 ne péuvent être déterminées par les équa-
tions précédentes,

464 SUR DIVERSESISORTES

Observons cependant que puisqu'on a
1 Kit 1 LCA RE
LR Ar, menti Werrieuee 12

il en résulte

Bitte He) = + GS

donc Jes quatre quantités dont il s’agit peuvent être dé-
terminées au moyen de l’une d’entre elles , par exemple
au moyen de 1,, de la manière suivante

NC
2 = OEM Le

TES 5

, 4 s : (g”)
firme ai
= —e

pi

47. Quant à la valeur absolue de c, elle n’est déter-
minable exactement par aucune formule connue; mais
on peut en trouver une valeur aussi approchée qu’on
voudra par la méthode qu'Euler a donnée dans son
Calc. diff. , page 451.

Pour cela ayant fait

1

1 1 1
QE D eme TA GE rou

et Tr À on

on trouve en général

40 I 1 + 1 1 A'n B'n1
Foi M : abnz 2° (a+ nx)2 (a+nzx) (a+nx) a ")
1
C'n5 D' n7
— ———— ————— — eic.
(a+ n x) (a + n x)?

A'3 B', C'; D', etc. étant la suite des nombres .Ber-
noulliens.

D’INTÉGRALES DÉFINIES. 465

Il résulte de cette formule que la somme de la suite
prolongée à à linfini étant désignée par a,,on a à,
donc réciproquement on a

?

a re à
B' n3 C' n5 a)
Tr À Gray

On sait que la suite 4", B', C', D', est divergente
à compter du 3° terme, et le devient plus que toute pro-
gression géométrique donnée, d’où il suit que la suite
* contenue dans la formule (1°”’) deviendra nécessairement
divergente après un certain nombre de termes. Mais ce
qui est fort remarquable, c’est que cette formule n’en est
pas moins propre à donner la valeur de à, avec tout le
degré d’approximation qu’on peut désirer.

Pour cela il faut donner à x une valeur arbitraire d’au-
tant plus grande qu’on voudra obtenir une plus grande
approximation (la valeur æ — 10 suffit pour donner
18 ou 20 décimales exactes ). Au moyen de cette valeur
on commencera par prendre la sonime effective de la
suite

1 Le 1 1
DEEE. | (a + n)2 t: (a + 2x)2 SLT (a+ x n}2 ?

substituant ensuite cette valeur de s ainsi que celle de
æ dans l’équation (i”), on aura pour la valeur de a, une
suite d’abord très-convergente , mais dont la conver-
gence diminuera de plus en plus, jusqu’à un certain
terme où elle deviendra divergente, et cette divergence
augmenteroit de plus en plus à Pinfini.

Par le calcul des termes successifs, on obtiendra des

1809. 59

466 SUR DIVERSES SORTES

résultats alternativement plus grands et plus petits que
la valeur cherchée, et on devra s’arrêter aux termes
où cesse la convergence.
Ces termes indiqueront deux limites fort rapprochées,
entre lesquelles se trouve nécessairement la valeur de a,.
Si ces deux limites ne donnoient pas encore une ap-
proximation suffisante, il ne resteroit d’autre parti, à
PEENOE que de recommencer un nouveau calcul en don-
nant à + une valeur plus grande. Mais pour l’ordinaire
une valeur médiocrement grande de x donnera une très-
grande approximation.
Nous donnerons ci-après un exemple du calcul de ces
sortes de suites qu’on peut appeler suites demi-con-
vergentes.

48. Soit maintenant »m — 3 et z — 6, nous aurons
l’équation générale
#3
ad; — (6—a)3 —— cos a;

SIL’ a ©
»

d’où l’on déduit les deux suivantes :

UE + MSG Baies s 3
SEPT SE Et va VA
pti cos 20 4»? Ck”)
4 Pere sine s a 13
1
re S3 9 et

23 23 + Ds + ds + 55 = Sy

’

Ces équations sont insuffisantes pour déterminer toutes

les inconnues ; mais les diviseurs de 6 qui sont 2 et 3 en
fournissent de nouvelles. *

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 467
‘On a en effet

103

= +++ ++S + ee) = + (5 + 43) à

; 1 1
Bee Pl ee) = (15 + 3 5)

delà on voit que les cinq quantités 139 2351339 439 539 Se
détérmineront en supposant connue l’une d’entre elles.

Ainsi en faisant 13—%, on aura

1 —#
ER Ues Fi
® AE À = 7 (4 — 204 5)
1 RS erpe ann

53 = £ — 4 à y 3
La somme de ces quantités doit être égale à 215 S3 3

ainsi on aura

ou : ”
k S3 = LS Kk — nn a (/ 3.
Réciproquement on peut exprimer toutes les quantités

7
, eton trouve

1523, elc. au moyen de $; , etde »— de

13 = 7 + 2 «5 4/ 3
;

25 SMS) te" 8

3 = S3 :
HÉSRESREMETE (Ml
Do A SELS > Ale 3

49: On déduiroit aisément des équations (e’):lés
autres propriétés connues des quantités a, , c’eskà-dire

468 SUR DIVERSES £ORTES
des suites qui résultent de la décomposition de la suite
générale

1

Sn AH ne + + 7 + ete.

om 4m

en prenant les termes de trois en trois, de quatre en
quatre ou en général de z en 7. On trouveroit par exem-

ple que la suite

1
ent EN ANT À TA sue

est sommable lorsque 72 est impair, et qu’elle ne l’est
.

{

pas lorsque 72 est paire
On trouveroit au contraire que la suite .
SE ne EU
est sommable lorsque 72 est pair, et qu’elle ne l’est pas
- lorsque 72 est impair. Le mot sommable est ici entendu
non dans un sens absolu, mais relativement aux mé-
thodes connues jusqu’à présent.

Ces choses n’ayant point de difficulté , et ayant d’ail-
leurs été démontrées par d’autres voies , nous ne nous y
arrêterons pas davantage. Nous ferons voir seulement
comment on peut trouver, par des suites qui soient con-
vergentes dans toute leur étendue , les valeurs des quan-
tités c et S, qui sont restées inconnues dans les art. 46
et 48. Recherche plus difficile qu’elle ne paroît au pre-
mier coup-d’œil, parce qu’en suivant les méthodes qui .
se présentent naturellement, on retombe sur la même
difficulté qu’on vouloit résoudre.

D'INTÉGRALES DÉFINIES, 469

5o. Pour obtenir d’abord la valeur de S$;, j’observe
qu’on peut supposer

ART dy
= + fe 1” 4

1 y dy 2
23 — Far ŒUCA log Y

1 y? dy)
Ti — ut dre vo log® y Le
À dt Fu 43 dy Z 2 im )
PS RATES R FE

1 dy A
5s 2 1 — Lg 4

1 35 dy À
Eur + f Reco
car les seconds membres étant intégrés depuis y — o
jusqu’à y — 1, au moyen de la formule (t”), ces équa-

tions deviennent identiques.
Or d’après les équations re on a

3 — 53 — == dy log* + = 4 «4/3
= a 4 w?
nr

Ces deux équations ajoutées ensemble, puis soustraites
l’une de l’autre , donnent les deux suivantes

3 3
Le AE y nt 4 w nn Haws

LETORE Le 9
1 dy log y. 3 z 4 3 6732 eV 3
72. Feet de we 373. 9 2

de sorte qu’on a entre ces intégrales le rapport très-simple

JE sit 7 1 dy log y .
LP RE TR APR ETES

mais cette formule est susceptible d’être généralisée ainsi:

dyilog gp, “+ 2m+a "1 dy log" y (n””}
CR 0e CN QUES 2 y +9? .

470 SUR DIVERSES SORTES
En effet soit 7 19! f0T où
Ty log" y dy log y 2 \
PE Ja = pates
1—y + ? ARTS + y + ?

: ; y d'y log" y .
UP — Q — PA Met Autos : TE €
= KE ) 1+y+yt

mettant dans cette dernière y* au lieu de y, il viendra

on aura

En dy Lo PES
Le Gt FÉES = qe 0)

om+i
2 @:
Par la combinaisôn des équations (m”’), et la subs-
titution.des, valeurs données par les équations (1°) , on
obtient … | ,

et par conséquent P —

x dy log? y LE + PL n
RE ls LS; + SE 0 4/ 3

1 — y?
10 fy2 dy log? y !
Be +6 = 5 S

Soustrayant la seconde de la première , on aura

G +9) yo = 4 se 3 ft 3
A ET CPE = +8 4% os V3;

d’ailleurs on a déjà trouvé
fee EU émis

1+,y +92

donc e en éliminant w, on aura

ty D dj my PET À 4
se fer ETF EDR “kgs gui

C’est de cette formule Fe nous s allon s sytirer la valeur

de S3. CENr
Jé remarqüe d’abord qu’on peut faire! frriol 5113 êts

JE log Ju dy log y = = GA dy log? y _
1+9 +72 1+y © G+9) + y +77)

\

D'INTÉGRALES DÉFINIES, Ag

La première partie, |, ( HONDA

= log” y=2 (: + — F ARE UE =) A

donc on aura- he
Jar ne NB PE 0

, et la transformée serà.

= mis ui À *
n 8 = JT log? y;
formule ci doit toujours être intégrée depuis z — 0

jusqu’ à DEL ==be 1
On voit maintenant que comme %

î 1—7
EL 2 EE yet

z° est toujours plus

; ’ : z dz He
petit que 1 ,on pourra réduire UTP. en une série con-

LL
vergente, de sorte que l’intégrale ne dépendra plus que
de termes de la forme /7° nt dz log° y. Maïs pour ren-
dre la série encore a convergente , je fais 3° — 1 — 7,

et j’ai
LE: d F
HS = TE Log y,

intégrale qui doit encore être pere depuis 4 = o jusqu’à
Lam !
Cette intégrale étant prise par parties devient

AE — +) Lg° FUN None

la première partie s’évanouit aux deux limites de l’inté-

c

grale ; ainsi on à simplement Los

fi
= ef de ur ME 0

472 SUR DIVERSES SORTES

Développant Log (à == ee) et substituant la valeur.

dy 2 d'z NT. F FA
= == 7; *on aur& à - j
y u

11

RES: à 1 1 u2 1 ut 1 uÿ
FT 53 = + /az Log TA (: PPT A ARQ LEE UT) + —— ec.)

7:
Soit donc

1 1
= f dz log Prop Ut Pè

é — u° dz log = =, P"
LE dz log — — p"

\ etc
Le

: : RUN EEE" RÉ US
ces intégrales étant prises depuis z—o, jusqu’à z —1,
et on aura

15 NTM UT
Pour avoir maintenant les quantités P°, P', P", etc.
j’observe qu’on a en général . À

’
2m dz lo = 0 fun de + fe. fur dz.

J 8 Pi s)
Dans cette formule nous supposerons que l'intégrale
fat dz est prise de manière qu’elle s’évanouisse lors-

. . 1
que z—œ1ouz—o ; alors la partie log — [°" dz s’é.
” y ®

vanouit aux deux limites de l'intégrale, et on a sim-
plement

LE Fm SUR ONET M PO EE LE EU (Heu En EE Ur re
fu de lg = [fu a = f Le dz
où l’on voit que les logarithmes ont entièrement disparu,

et qu’on ne doit plus tenir compte que de la relation
L = 1i—Z.

D'INTÉGRALES DÉFINIES, 473

JyOna d'ailleursis: nôitsmirorc rs 90
, 5 Dm 913 sa) 10 CEE 2 Gene 3:11
pa” Je Ridbes Seeds Ne 3 2 7 +1 2?
Je dz È
multipliant de part et d’autre par — et intégrant ; on
= 1/2

P(m=a) u2m—2 y dx
2171 + 1

Or z dz ——u du,et par conséquent

ame z dz dz nom du 2m
— ==" = = + C};
Tem+i 2 TL +1 Gm<+i)zm

cette intégrale devant être prise depuis z —o, jusqu’à

aura
PG) —

1

31, elle se réduit à =,
2 m (2 m1 + 1)

donc on aura

PONS TR NO Det) EN ENS LS 8 De
2 m +1 #2 ut (2 mL +- 1)

La première valeur

1 ï eù
= — fe jar = — Re Gi)= JE — Li+z)= Zi;

donc on aura successivement

Po — Log 2

, CE 1

FT TE Anti:

p" Cape ét

FRA 5 45

pm 6. pr (VERRE
Fr 6.7

etc.

Au moyen de cette loi très- -simple on calculera aisément
les différens termes de la suite décroissante HE P",
P"", etc. Ensuite on aura S, par la formule

ANS u 1 F! 1 PTE "à 2!"
Ss = (? IN PNR GO et er hieles)

1809 60

\
AA - SUR DIVERSES SORTES
Ce qui donne une approximation très-rapide ; puisque
chaque terme est moindre que le quart du précédent.

En calculant cette suite jusqu” au terme ?"inclusive-
ment, on troûve $; —1:2020567. Euler a trouvé par la
méthode dont nous avons parlé, et en poussant Vappro-
ximation beaucoup plus loin,

S3 — 1-202056003159594281.

(Voyez Calc. diff., page 453).

51. Pour trouver par des procédés semblables la va-
leur de la transcendante c, demeurée inconnue dans les
équations (h””), j'observe qu’on a

D — HE Des re
8
M Es DE et
5, = [2 Log PA eva
delà je tire
dy log — ne à
Te ENS Je ar nl Ven Die
donc i
F4 À Le dy Ds —.
TT ar Liv + ?

tout se réduit donc à trouver la valeur de cette intégrale.

Si on fait successivement y —+(1—4),y—=:;(1+x),
et qu'on ajoute les deux transformées prises positive-
ment, on aura

dy log —
je 1 A LA AR AELS 2du ( 4 )
1—y+y2 3 + w2 (4 1 —u2

D'INTÉGRALES DÉFINIES. _ 475
nouvelle intégrale qui doit encore être prise depuis

AH— 0 jusqu'à 4 1.
La première partie de cette intégrale”

2 du log 4 __ 2
3 Hu CV 3

log 4. arc abs Es

et en faisant z — 1 elle se réduit à

log u
21108 ANNE ES 27 GIE

6 3V3

L’autre partie

2 du 2
JE LG —w)

ésant appelée 7’, on aura par le développement de la
fraction,

à

2 du u uÿ a
T — J—-= js — — Hi et ete.) Log QG — 2);

or en intégrant. re parties on à: Én HO *
am 2 qe: sn a hum . Dudu*
JE» à Le Pons : Dep pre 8 D ps Em Tan

et puisque la quantité Que) dos (Gin ) s’éva-
nouit aux 4 limites de Pintégralé, ona LE dre

j [BPM
1 ÿ 1 — u2n+T

Ve um dy Lg (2 ET RE 1e u du
jf (rate di Lam
2 1-1 1 nu? 2 +4 #

D la quantité sous le signe et intégr ant depuis

4 — o jusqu'à H —1,0n aura rer >

iii ? Ro à 2. 23 1 PU 1
fs di log (AS bee obte US Gi Mr à)

476 SUR DIVERSES SORTES

donc enfin
1 +. (Gi — Lg 2)
+ + G+ —0g2)
+ RG + + + — 08 2)
— 5 G+RER + — 82)
+'etc.

série convergente, puisque chaque terme est moindre
que le tiers du précédent. T° étant connu, on aura c
par la valeur

82. Considérons maintenant l'intégrale

ÿ re dx (eg —)

que nous supposerons toüjours priset‘entre les limites
T—=O,T— 1 On a DEL en intégrant par parties.

Ve CE gs (ogY = THAT (gs

et comme la partie Jet nr OA AE aux deux

limites , pourvu qu’on suppose z > 0, on aura alors
. [1 à

Ja dx (2 y Li arr: dz (eg —). | (2)

On aura donc en général, si z est un nombre entier

le)
positif, de
1 DNS H. Hi. 12. n—3.... 1 ° =
Pa dx (2g —) FRS DO à Ta D UDEU( (9)

Lorsque z ne sera pas un nombre entier, lintégrale

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 477

1 -
De 44 (og =) sera en général une transcendante
T

dont il convient d’examiner les propriétés.
prop
Et d’abord au moyen de la formule (+) on pourra tou-
jours ramener cette transcendante au cas où l’exposant

n est compris entre o et — 1. 1
De plus, j’observe que sans rien diminuer de la géné-
ralité du calcul, on péut faire a — 1. Car la formule

a dr log — * étant proposée, si lon fait æ’=— z
5 Le P ,

cette formule deviendra —=— fdx (2 og = 5

53. Cela posé, il suffira de considérer l’intégrale
[dx (2g =), dans laquefle nous supposerons que
a est positif et plus petit que l’unité. Cette quantité
étant simplement fonction de a, nous la désignerons
par T (a), et nous ferons

T (a) = fax (og =) ” (y)

L’objet des recherches suivantes est d’éväluër lä fonc-
tion T (a) , lorsque a est une fraction rationnelle donnée

1 1 2 S,, + #
telléique +,+, +; etc., et nous nous proposons parti-
culièrement de comparer entre elles les fonctions qui
répondent à des valeurs de a de même dénomination,

1 J 2
telles que T (=), T (=) , etc. Enfin nous chercherons
7L
aussi à déterminer par approximation la transcendante

T (a) pour toute valeur de a rationnelle ou irrationnelle.

54. En prenant les intégrales depuis + — o jus-

478 SUR DIVERSES SORTES

qu'à x — 1, et supposant 2 > o, on a cette formule
de réduction :

4

[== dr (i—répr — Le za—i dx (176)

d’où il suit que si 71 est un entier , on aura exactement

alle Lib a 1. 2. 8.... (m—a) Ent
[= 1 dæ (1 ET) TEA a+ a te EEE

Désignons par I (æ, m1) l'intégrale fx dx
(1 — x)", prise depuis æ — o jusqu’à x — 1, et
dans l'hypothèse que "2 est un entier positif, on aura
donc

.2.3.... (m— /
PSE EE Re ne ere ee = in 9 (CHEZIE
a+. a +26... « +(m—i)é nm —1 ;

Dans cette équation mettons successivement À 72 et
(A+ 1), à la place de "1, nous aurons

. 2. 3.... AM —
1 2 [111 1 æ p I (a, Àm)

ue Ghm—1

a +6. a+26.... a+ nm — 3. [a

» 1. 2. 3... AM HIM—I

—————————— —— « I (a, Am+m)
ae. +26... atamkm—i1.6

ji C2

7 Gam+m—1
Divisant la seconde par la première, et faisant, pour
abréger , a + A mn 6 — 4’, il vient

a. a' +6. +26... a+ m—i.6 pis IT (2, àm)

m -
AL MH 1e AM esse AMI ‘IL (al, Am) ?

mais en mettant «' à la place de z dans l'équation pri-
mitive, on a

1

æ =
Res II («a+Aams,m)

2
1, 2. JD... M1

a+ a'H26,..s a+ mt. 6

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 479

et multipliant ces deux équations eñtre elles, on a pour

produit x
F 1. 2. 3.... M—I LH I (a, am). I (xHameé, m)
AD, AM AM I (æ, Am) r

Le premier membre , en vertu de l’équation primitive,
peut être représenté par fx” dx (1 —x)"-1, et parce
qu’on peut mettre x" à la place de æ, sans changer les
limites de l’intégrale , il peut être aussi représenté par
farm Gr (Dr) "dont où a ë

IT (a, Am), I (x +ameé, m)

ON CSN de At) 6 IT (2, nm In) 7 (2)

Cette équation ainsi exprimée en un nombre fini de
. ! CRUE
termes , acquiert une-plus grande généralité, et ne sup-
pose plus que 72 est un nombre entier.
En effet les deux membres devant se réduire à une

-même fonction de 1 et de A7, laquelle est

1 M —1 1 M—1. 11—2 1

——— —— — etc.
A TL 1 ATH 1 1, 2 Am +2 SEC

on est maître de donner à z2et À des valeurs positives
quelconques , et à plus forte raison aux quantités «, 6,71,

qui disparoissent dans les deux membres.

55. Soit donc & —ñ et 6 — à un infiniment petit,
on aura

1—2—6g—,ean(e,m) — 0" far (z ZT,

de sorte qu’on aura en général

BK) TER):

480 SUR DIVERSES SORTES
Au moyen de cette formule l'équation (d') devient

T (am). T{(m)

ON CAN dr (1 —z')n 1 ==
T(am+m) *

Soit maintenant 1 — JL, A — —., on aura donc

e , ; .
Nes dx (@ TA 2) = ta 0 alu A ÉD) : ba)

za T CE)
Le premier membre n’est autre chose que la transcen-
dante désignée ci-dessus par (2); ainsi on aura cette

, :
équation remarquable.

is ee CE
Tee (ES)

()

D'où l’on voit que la transcendante (2) seroit connue,
si on connoissoit, pour la même valeur de 7, les fonc-

tions de la forme Tr (=), a étant entier.

56. Il résulte d’abord de cette valeur de (2) qu’on
q -
peut échanger entre eux les nombres p et q, et qu’ainsi
D
priétés de ces fonctions.
De plus on tire de cette même formule

D NE Sr D)
ET =) pr (HI)

Dans le second membre il est visible qu’on peut faire
q P

P\ — (72 i est une des principal ;
on a he , Ce qui est ut P ipales pro-
L]

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 48%

la permutation entre deux des nombres p, g, r, à vo-
lonté , ce qui donne le théorème fondamental

> 29 (1). 9

dont on a ainsi une nouvelle démonstration très-simple.

57. Faisons voir maintenant comment les fonctions T
se’déterminent au moyen des fonctions (2

Observons d’abord qu’au moyen de l'équation (æ)on
a en général
D'(RHa) —mir (x), (&)
ce qui permettra de réduire les cas où 7 est plus grand
que lPunité à ceux où il est plus petit.
Sil’'onaz—1, alors T (2) se réduit à fax —x— LH
ainsi on a
PEL: (n)
CUT 7e en .
Cela posé, faisons 9—7—-p dans Péquation (+), alors
la valeur. du premier membre est connue , et on a
P LIT P
RE ME
sin pa nT (1)
ou en d’autres termes

LL

D (a)110) (a — a =i— à E (4)

Sn aT

Lorsquea—t#,ona(Ta) —7; donc
NOR SES L (4)
néndos (9) très- Ce a Le dans cette théorie ,
fait voir qu’il suffit de connoître la valeur de, F (+) de-

puis x — + jusqu’à z — r,etonen dédie les autres
valeurs de cette fonction pu RER = jusqu” AIS jOR
1809. ; 61

482 SUR DIVERSES SORTES
Au reste, la valeur de T (x) depuis æ—1jusqu'àx—|r,
ne, varie qu’entré lés limites W 7 et 1, ou 1,77245 ct1,
tandis que depuis -æ + jusqu’à x — o, elle varie de-
puis 1,77245 jusqu’à l'infini ; et en particulier lorsque a
est infiniment petit, la formule (9) donne T(a) = —.
e a

58. Si dans l’équation (+) on fait p — 1, et qu’on
prenne succéssivement q — 1,2, 3... jusqu'à 7 — 1;
on aura cette suite un

LU mn @)
FR is een (e)
james
FE Ne NES
RTE ETES
ie An
_
Gps Te

Multipliant les a— 1 premières équations entre elles,
on aura le produit

ENNEMI) LES cn ue
CAC) ENS CD Eee

si on les multiplie toutes, ou qu’on fasse a — », le pro-
duit donnera,

TP OO

CN
ae

141

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 453

Soit,donc pour abréger

2766-01
r (= az T, ,

Connoissant r(—), onen déduira F (=) par l’équation
LA 2

et on aura

déjà trouvée , qui donne

ag n Te LOGE) =
Homes rene

ÆEt comme les quantités (4,) ,(+),:(2), etc. sont censées
connues pour chaque valeur de 7, il ne reste plus rien

à desirer pour-la détermination des fonctions r (=).

im 69. Réciproquement, si on connoissoit Ja valeur de
T (ze) pour toute valeur rationnelle de x 2 moindre, que

Vunité, il seroit facile de déterminer; intégrale (2);
car on a en général

Ca 1 IEC AGO :@

et s’il arrive que p+q soit > 7, on changera;d’après
l'équation (&) cette formule en cette autre -

(2) = HET

Ne +=) r (LI) @)

ss. (x)

484 SUR DIVERSES SORTES

Nous remarquerons que ces formules sont propres à
donner l'expression générale. de (4) au moyen des
quantités de la même espèce (+); (2), (s)s etc. En
effet les valeurs de T (2), T (+) qu EE) étant ti-

rées de la formule (x), on en déduira
eyes CD D Chiens
REC LC)

formule qui servira tant que p + g sera plus petit que .

Sionap+gqg > n,il faudra faire usage de la se-
conde formule ; qui donnera par de semblables substi-
tutions

nest NEO
Siren mit que

Ces formules répondent aux équations (k) et (n) trou-
vées ci-dessus, et on les feroit coïncider entièrement en

substituant au lieu de chaque quantité (er) sa valeur
a

( 1 ) __ Æusin (a+i)a,
a ARUN Gt 2

ainsi les fonctions T offrent un nouveau moyen direct
et très-simple de déterntiner l’expression générale des
quantités (2).
Z +
6o. Pour revenir aux quantités T (a), nous avons
déjà trouvé l’équation

LA
F 77 — =
(a) | » sin a x ? ,

D'INTÉGRAMES DÉFINIES. 485

au moyen de rude les valeurs de la fonction depuis
ao jusqu’à a — +, se déduisent des valeurs suppo-
sées connues depuis a — - Jusqu'à a — 1.

Nous allons prouver An LUE qu’il suffit de
connoître les valeurs de la fonction dans la moitié de
cet intervalle, c’est-à-dire seulement depuis a — © jus-
qu’à a — 1, et on en déduira toutes les autres ne,

En effet, si l’on suppose a < ! 7, l'équation (:)
donne tout à la fois

een Ce

ee ar (2)
un "Cri
ee na pe)

Substituant ces valeurs dans l'équation (d’), puis met-

ï
+ H—a

tant simplement a au lieu de =, et réduisant les fonc-

tions d’après la formule (4), on aura

*.

217—2a

D (eh = 7

cos ar. T (24). D (=— a),

équation qui suppose a € :.
Cette équation combinée avec l’équation (4) donnéra

24

T ({i— a) — À

FE cos a m T'(1—2a) D (++ a); À

enfin de celle-ci on déduit, en mettant 4 — : au lien de CA

2 TE Wm T(i—a)

Ta) = >, 2, (v)

Sn a x T (2—2a)

Nous supposons connues les'valeurs de r (a) depuis
a — jusqu'à a — 1.

486 SUR DIVERSES SORTES

Cela posé, 1°. Le second membre de léquation (»)
sera connu pour toute valeur de a depuis a = ; jusqu’à
a — ÿ; donc on connoîtra T (a) dans ce même inter-
valle depuis a = + jusqu’à a — +.

2°, Au moyen de ce premier cas, le second membre
sera connu si 2 — 2 a est compris entre + et $; on con-
noîtra donc I (a) toutes les fois que a est compris entre

11
16

12
ete D

30, Au moyen des deux premiers cas le second mem-

bre de l’équation (r) sera connu si 2 — 2 a est compris
entre et +; donc on connoîtra T (a) pour toutes les
valeurs de a comprises depuis a = + — + jusqu’à
a = 5. 9

4°. Le second membre sera encore connu si 2 — 2 a

est compris entre et +3; donc T (a) sera connu depuis

a—#i— 1 jusqu'à a — #, et ainsi de suite.

TE
Par ces diverses opérations les valeurs de a pour les-
quelles T (a) devient connu, se rapprochent alternati-

vement de la limite +, qu’elles n’atteignent cependant

2

qu’à l'infini, puisque ; ne peut pas s’exprimer exacte-
ment en fractions , dont le dénominateur soit une puis-
sance de 2. Mais on.voit que par quatre opérations seu-
lement , l'intervalle où T (a) reste à déterminer, ne
s'étênd plus que depuis a = # jusqu’à a =. Une cin-
quième opération resserreroit .cet intervalle de 4 ou
#5 à “+, et ainsi de suite.

La limite commune de.ces suites est % et T (:) se dé-
termine directement en faisant a — © dans la formule (r),

“

ce qui donne

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 487
‘ aps
(ri = 2 r ():
. +

61. Dans les cas particuliers où l’on chercheroit à
déterminer une valeur de T(a),; on ne doit s’embar-
rasser ‘aucunement de la distinction des cas prééédens,
et l'application immédiate de la formule (rÿ, répétée
autant de fois qu’il est nécessaire ; ou jusqu’à ce qu’il
n’y ait plus d’inconnue à déterminer, conduira toujours
au résultat qu’on cherche.

Soit proposé , par exemple, de trouvér la valeur de
T (0.675), on aura directement
2-85 7 T (0.825) .

sin 58 30! " P(0.65) ”

FE (0-675) =

Dans le second membre T (0.65) est inconnue ; pour la
© . À ain à M... .

trouver il faudra faïre une seconde application de la
formule , et on aura

23% x T(o.85) .

TO Eric der ?

une troisième application donnera

20 V7 T (0.8) .

PAPER sin 54 ‘ T(o.6) ?

enfin une quatrième

HO GD Pen We. P(o0) \

sin 72 ‘ T(o8) ?

d’où en remontant on conclura la valeur de T (0.675)
exprimée en quantités connues. Cette détermination est
un peu lôngue dans ce cas, parce que 0.675 approche
beaucoup de la limite =.

488 SUR DIVERSES SORTES

62. Pour rendre aussi simple qu’il est possible l’usage
des fonctions T, nous joignons ici une table des loga-
rithmes de ces fonctions pour toute valeur de a, de
cinq en cinq millièmes, depuis a — 1.000 jusqu’à
a — 0.500. Cette table est facile à interpoler pour toute
autre valeur comprise dans ces limites, au moyen des
différences première et seconde dont chaque logarithme
est accompagné. Voici la formule à suivre pour cet
objet. .

Soit Log. T (a) — L, et soient les différences corres-
pondantes 4’, A’, A", etc. en sorte qu’on ait

Log. T (a — 0-00%) — ZL + À
Log. T (a — o-o10) = L + 2 A" + 4”
Log. T (a — 0.015) — Z + 3 À! + 3 A” + A"

etc.

L .
on en conclura, en faisant 72 — 200 X,

Log. T(a—Kk)=L+m A+ — — A7 + TT — à" + ete. (c)

Comme 72 sera toujours moindre que l’unité, le coef-

n DLL — 1 M.M—I.M—2
ficient ———— ne pourra excéder +, et — ne
2 8? 2+ 3

pourra excéder =; d’ailleurs la différence troisième A”
qui se prend à vue, ne sera que de quelques unités dé-
cimales du septième ordre,

63. Soit par exemple a = 1 et À << 0.005, on aura
L—o,A—0o.0012624,4"—0.0000179,A""—0.0000002;
delà résulte

Log. T (1 — Æ#) — À (0:25070) + #2? (0:357),

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 439

Ce logarithme est un logarithme vulgaire; en le mul-
tipliant.par 2.3025, etc. , pour le rendre-hyperbolique,
on aura ;

L. T(i—%) = À (0-57716) + Æ* (0.813);

IA 1 — À)

Soit P — 0.57716 et Q — 0.813 ; ayant 2%

= Pk+ QF, on en déduit »
L'A—R)— 1 LH PR+H(Q+HE:P)E;

mais l’équation (8) donne

=
T'(k) T'(1—E#) — —— + G nee —
donc
72
: 1e à HA ai La 2. 7? en
AU re TT us aa Can he DES:
LL

64. Au moyen de cette formule , il est facile de dé-
PS iner la valeur de (2) lorsque p et g sont censés

très-petits par rapport à z; si l’on fait pour un moment

T(H=+G—Pk+PEÆ),

on tirera delà les valeurs de Tr (2 ), K (hr fi LA ) :

lesquelles étant substituées dans l’équation (+), donneront

tort 1 + (P— 2P') 22};

_ comparant cette formule à l’équation (l'} trouvée ci-
dessus, on voit qu’il doit y avoir entre P et P' cette
relation, +

PR,

1809. \ 62

490 SUR DIVERSES SORTES

a

etsubstit uant la valeur P! =: 7? —Q+ — on aura

2

exactement L

@L= TT — 0.822467.

m
Nous avions trouvé Q — 0.813, mais cette yaleur est
tirée d’une approximation qui devroit être poussée plus
loin pour donner avec certitude trois décimales exactes,
La valeur connue de Q servira à rectifier celle de P,
et même celle de T (4); car on aura exactement jus-
qu'aux quantités de l’ordre 4°
1 (i—Pk+IP RE
{ j } (7)

TK) —= =
(£) É SE pe

Quant à la valeur de P , nous l’ayons trouvée 0.567716;
mais en poussant l’approximation plus loin on trouveroit
P = 0-5772156649%

ainsi qu’on le fera voir ci-après.

65. On a déjà trouvéT (1) — 1 ; d’ailleurs l'équation
r(1+a)—= ar (a), donne aussi T (2) — 1. Delà on
voit que dans l’intervalle depuis a — 1 jusqu’à a — 2,
la quantité T (a) doit devenir maximum ou minimum.

On reconnoît aisément, après quelques essais, que
c’est le minimum qui a lieu, et alors on a

a — 1:4616038

F (a) — 0-8856033

log. T (a) — 9-9472392.
Après a — 2, la fonction T (a) augmente indéfiniment,
puisqu'on aT (2+ a}"—=(1+a)T(1+a);etc.
Donc la valeur que nous venons de trouver est la plus

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 491
petite de toutes celles que peut prendre T (a) depuis

— 0 jusqu’à a = .

D’après cette observation on voit que la meilleure ma-
nière de former une table des valeurs de r (a), seroit de la
calculer pour tout l’intervalle depuis a— 1 jusqu’à a — ».
Car dans cet intervalle, la fonction ne varie qu'entre les
limites 1 et o.8856033; d’où l’on voit que les diffé-
rences seroient très-petites , et la table très-facile à in-
terpoler.

D’ailleurs au moyen de la formule r Ga) TT Ie,
on rameneroït aisément toute fonction proposée à celles
qui sont données dans la table ; on auroit par exemple
D ET GR Eh DE) EME LTD).
et ainsi des autres. |

. 66. La table que nous joignons ici est formée ,: ainsi
que nous l’avons déjà dit >, Pour l'intervalle depuis a=— 1
jusqu’à a = :3 Par son moyen il est facile d’évaluer

dans tous les cas la transcendante æ qui répond, à

FA
une valeur donnée de z. Pour cela on se servira de l’une

des formules (A), et on y joïñdra , s’il est nécessaire cd 3

F

formule T (a).P (1— 4) — ; afin de réduire tous

les cas à ceux où à est compris entre 1 et :.

Soit proposé par exemple de trouver la valeur de la
transcendante Z — (5) dans lecas me 6 10; la seconde
des formules (A) donnera D.

MCD ACEN
AE)

Z

492 SUR DIVERSES SORTES

ensuite la formule (8) donne

Re
)

' 8
sin = it, 2) F (
10 10 10
ÿA

donc

A

.

’ FT
SLI — FE _—_—
19 10

Cette valeur étant ainsi préparée, on trouve au moyen

de la table
. Log, Z — 9-5635972

et par conséquent
« Z — 0.3660978.

67. Il reste à faire voir comment nous avons construit
. la table au moyen de laquelle on trouve si facilement,

dans tous les cas , la valeur des fonctions ret ( ). La

méthode la plus simple qu’on puisse proposer pour cet
objet est celle qui résulte d’une formule donnée par
Euler dans son Calc. diff., page 465, et que nous
allons rapporter.
Si on appelle S la somme de la suite
log. 1 + log. 2 + log. 3°++ + Log. À
on aura #
A! B! c

S — K Log. K + = log. CRT EI | 2 GE Er

AjycB'; C',etcf étant les nombres Bernoulliens. Soit
de e le qe dont le logarithme est 1 et À un
nombre tel qu’on ait

w. $
RS + ete.

c’
5,6 k

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 493
on aura le produit
& z
DEEE TC ONCET DS: Cp)

Le premier membre est la valeur de T (4 + 1), lorsque X
est un nombre entier ; et comme le second membre est
une fonction continue de # , on a généralement, quelque
soit 4, . à

ri) = (Ca + bi R. (e)
Telle est la formule par laquelle on pourra dans tous
les cas déterminer la valeur approchée de Tr (k+ 1);
mais il est à propos de faire à ce sujet quelques obser-
vations.

68. La quantité R peut se développer suivant les

—; carona R— 1+ log. R+ og" R
LA

Eu _ log$ R + etc. Substituant donc la valeur de

puissances dé

log. R , et mettant au lieu des coefficiens 4’, B', C’, etc.
leurs Se connues A" +, B° —= =, C2 7:
D' =, etc. , on aura

1
12 + 2412K)° 30 (12 k)° 120 (12 k)t
Dans cette suite si on appelle AZ la partie
1 5ya

* © — 7 — te,
2 (12 k)° 120 (12 k)f
F- .

où À est élevé à des puissances paires, et AN l’œutre
partie, on aura M° — N° — 1; de sorte qu’on Ait)

prendre indifféremment R= M + N,ou R — —— a.

En effet, comme toutes les puissances de sont impaires

494 SUR DIVERSES SORTES

dans /og. R, le changement du signe de 4 donnera
Log. (M+N)=— log. (M — N), ou Log. (M°— N°)
== 0. Donc M°— N° — 1.

69. Il est à remarquer que la suite
<< — ——- + — — etc.
même en supposant À assez grand , n’est convergente
que dans un certain nombre des premiers termes; car
on sait que les nombres Bernoulliens, dont les expres-
sions sont fort irrégulières, croissent continuellement ,
de manière que si T’'et Ÿ7 sont deux termes consécutifs

fort éloignés , l’un du rang 7, l’autre du rang 7 +1,

4 k '
-7- Cette suite, qui
commence par être convergente pendant un assez grand

7 la linitetie t
on a al pour a limile u rappor

nombre de termes, surtout si £ est un peu grand, finit
donc par être divergente, et donneroit une valeur de
log. R d'autant plus fautive, qu’on prendroit plus de
termes au-delà de ceux où elle cesse d’être convergente:

Delà on voit que pour une valeur donnée de X, il y
a un térme qu’on ne doit pas passer dans le calcul de
la suite

A! Z'

APR ARMES | (LCR Î

Le terme auquel il faut s'arrêter est celui qui seroit
* suivi d’un terme plus grand, alors approximation ne
peut aller plus loin ; maïs elle sera tout aussi étendue
qu’on voudra en prenant # suffisamment grand.
T1 en seroit de même de la série

RQ) Anis

1
12R 2 (124)2 Tres

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 495

mais celle-ci n’est pas d’un usage aussi facile que la série

A! BE!
ART 4 RS, Fos

dont la loi est manifeste, et ne dépend que des nombres

Bernoulliens.
On peut fixer à priori le nombre de termes après
lequel la suite

A' B!
TR TS 0 CC

cesse d’être convergente; car en considérant les deux
termes consécutifs

Épe TG) Ne T'G+ 1) | à

27. 272 — 1. k2a—1 t 2n +2. 2n + 1, ku+1

et les supposant égaux, on aura

TH 1) 0, eni+ 22n + 2:
T'(a) FE ETANENR RENE 2

mais plus z est grand, plus le premier membre approche

de la limite en (Eul. Calc. diff., page 429).

Donc on aura à très-peu près z — x À. Ainsi en faisant
k—5,onaz— 15 ou 16, c’est-à-dire que la série cesse
d’être convergente vers le 15è"° terme; sion faisoit &— 10,
la série-ne cesseroit d’être convergente que vers le 31e
terme, et ainsi de suite.

71. On peut en même temps avoir la mesure du degré
d’approximation que l’on peut obtenir avec une valeur
donnée de £. En effet si on appelle Q le 7°"° terme de

la suite
Lan BE’ =
De 6 CIF GER IS

496 SUR DIVERSES SORTES.

on aura
Tr)

DS rGn = :) rev

et comme on a à très-peu près

TG — BE OR

2n—1 Jun 2

on pourra faire

Lise AL —— 2 «
Q = ————— 0
T (2 T k}2u—1

Cette valeur, au moyen de la formule (p); devient
2n— 2N\2—} +
sd (=—=—= ) (re)

7 (2 7 kan 2

%t en mettant z au lieu de 7 X, on en déduit aisément
n Log. A = — 2 nr — © log. (r n).
Ainsi faisant k—5, et —16,on aura log. A —— 33. 96.
A ce logarithme hyperbolique répond le logarithme vul-
gaire — 14. 75 , de sorte qu’on aQ—107"#%, Donc au
» A! E'
24 3.46
+ etc., on aura la valeur de log. R approchée jusqu’à
15 décimales environ. Si on faisoit * — 10, on pourroit

avoir 29 ou 30 décimales exactes , et ainsi de suite.

. Le L
moyen des 16 premiers termes de la suite
1

72. Cette théorie est facile à vérifier, puisque toutes
les fois que # est un entier, la valeur de r (Æ+-1) est
exactement 1.42. 3... À.

Soit par exemple # — 3, il résulte des formules pré-
cédentes que la série égale à log. R cessera d’être conver-
gente après un nombre de termes 7 = k rm — 9 ou 10,
et que le nombre de décimales exactes obtenues par ces
neuf ou dix termes, sera de 8 ou 9.

HO D'INTÉGRALES DÉFINIES. 497
En effet, la vraie valeur de /og. R se déduit de l’équa-
tion 6 — (2) (6 2 laquelle donne
Log. R — 0:02767 79256 86.

Cette même valeur déduite de la suite

A' B' c'
/ ART L2k TT 34E GE EL ete

se trouve en calculantsuccessivement les différens termes,
comme il suit :

=

1°" terme —- 002777 77777 78
2e — 0-00010 28806 58

0-02767 48971 20
3e un 32660 53 .

0-02767 81631 73
4 _ 2721 71
0*02767 78910 02
5e ee 427 65

0+02767 79337 67
6° _— 108 24

0:02767 79229 43
7° + 40 21

0-02767 79269 64
8° — 20 59

0-02767 79249 05
9° Ce ne 13 91

0-+02767 79262 96
10° _— 11 98

0-02 f6fpo25o 98

11€ + 12 81
0-02767 79263 79
1809. 63

498 SUR DIVERSES SORTES 6

On voit que conformément à la formule, la série cesse
d’être convergente passé le 10°"° terme, et que la valeur
de log. R qui en est déduite, doit être comprise entre
0.027607 7926296 et 0.02767 7925098 , ce qui dorine par

un milieu
Log. R — 0:02767 79256097,

valeur exacte presque jusqu’à la onzième décimale. Mais
en continuant la suite plus loin , on s’éloigneroit de plus
en plus du vrai résultat.

Cet exemple met dans tout son jour la manière de
tirer tout le parti possible pour les approximations, des
suites demi-convergentes, c’est-à-dire des suites qui sont
convergentes dans les premiers termes, et qui devien-
nent ensuite divergentes.

73. Au moyen de la formule (5) on peut développer
en série la fonction r (Æ) lorsque Æ est très-petit. Pour
cela observons d’abord que r(£Â+:1)=#XTr(#),et

qu’ainsi on aura

He sc Gr EUIR

d’où
z x A! B'

Log. T(k) = (&—+) log. K—k + <7(2 TRE TI1F etc. (7)
Cette formule ne peut servir que pour des valeurs de #

lus grandes qué l’unité ; mais si l’on met 1 + # au lieu
pus d ;
de *, et qu’au lieu du premier membre qui deviendra
log. Tr (1+%) on mette sa valeur log. k + log. Tr (k),
on en tirera de nouveau
Log. T(k) = — log. JT +2) log. QG +A)—1—Kk+ 7 70g. (27)

A! B"' C’

ARE QA+k) al 3.4 G+K)3 La CRETE 50 CU etc.

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 499

et le développement étant fait jusqu’aux quantités de
l’ordre £° exclusivement, on aura

Log. T ()—— Log. k + ? log. Gn—i+< —

AG +S-T + — ee.)

Lorsqu'on fait £— o , on doit avoir Log. r (k) — — log.k,
parce que #T (£) =r (1+X4), et qu’en faisant # — o
le second membre —T (1) — 1 ; donc on doit avoir

CT ES MEL Jp a PE c

PRE Titre et —o.

- Eten effet Euler a trouvé cette égalité, page 466 de son

Calc. diff. Cela posé , la valeur nte se réduit à
celle-ci,

Loge TD = — log. k— RE HE EE + À etc):

Or, dans l’ouvrage cité, page 444, < on trouve encore
l'égalité

C étant une constante done la valeur calculée avec pré-
cision par une autre voie, est

C = 0.5772156649015325.
Donc enfin on aura , Æ étant très-petit,
Log. T (KA) = — Log. k — CR.
No avons trouvé ci-dessus en poussant Papproxima-

tion plus loin,

rO=+ /[: nn FES “|

5oo SUR DIVERSES SORTES

Delà on voit que P — C, et qu’ainsi P n’est autre chose
que la constante C dont on vient de donner la valeur
approchée jusqu’à seize décimales. .

Nous connoissons donc maintenant la valeur de r (4)
très-approchée , lorsque # est très-petit, et on pourroit
en approcher encore davantage en poussant le dévelop-
pement plus loin.

74. Mais voici des considérations qui mènent plus
généralement et plus directement au même but. Soit

à 1 1 1
FR Ce M

1 1 1
— PS Era us x +3

+ + etc.

cette dernière suite étant prolongée à l'infini.
Nous regarderons la quantité A7 comme une fonction
continue de x , puisqu’en effet on a (Calc. diff., p. 443).

ea. B'

1 cu
M = EC V6 se TONER

formule qui est propre à donner la valeur approchée
de AT, quelque soit æ, pourvu qu’on suppose æ plus
grand que lPunité., Cette même formule donneroit la
valeur de 47, lorsque x est plus petit que l’unité ; car
en représentant par M (x) et par M (x + 1) des fonc-
tions semblables de x et de + + 1, on a évidemment

AT (ed Me Cr ae
ou encore

M(z)=M(z+2) SE —

etc,

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 5o1

de sorte que x étant plus petit que l'unité, on aura la
fonction M (x) ou M, au moyen d’une semblable fonc-
tion où æ sera augmenté de plusieurs unités, et qui
rendra la suite précédente assez convergente dans les
premiers termes, pour qu’elle puisse donner toute Pap-
proximation qu’on peut désirer.

75. Cela posé, si x devient x +, (o étant plus petit
que l’unité ), les fonctions M et N, qui peuvent être
représentées par M (x) et N (x), deviendront M(x+«)
et N(x+). Or, je dis que la somme AZ (x) + N (x)
= M (x+0) EN (z-+o); et que les deux sommes
sont égales à une mème constante.

En effet , si la suite qui a pour somme N (x), au lieu
d’être prolongée à l'infini, étoit continuée seulement

jusqu’au terme m étant un nombre très - srand
jusq ; 8 9

T+m
la somme M (x) + N'(x) et la somme M (x +)
+ N(x+0), ne pourroient différer entre elles que

, ° 7 . 1 0 7e
d’une quantité moindre que ———; puisque cette dif-
férence est celle qui a lieu lorsque « — 1. Or 71 étant
très-grand la différence ——"—

ZT +7 + 1

est censée nulle ; à

plus forte raison le sera-t-elle, lorsque la suite N (x
sera prolongée à l’infini. On aura donc

M + N = cons, = C';

mais puisque la valeur de N est

5o2 / SUR DIVERSES SORTES

si on développe chacune de ces fractions, dans l’hypo-
thèse que x est plus petit que l’unité, on aura
NET SN RARE. Peétes
2 3 4

"2 GHE EE +ZL + et)

+ x° ( ae de de ere ni CA

— etc.
La première partie 1 +; + ; +7; <+etc. n’est autre
chose que la constante C’; donc on aura

M = S, x — S3 2° + 84 2° — Sj xt + etc. Cv)

S, représentant en général la somme des puissances ré-
ciproques de degré z des nombres naturels.

76. Mais dans l’hypothèse de x > 1, on a, d’après
l'équation (r)

d'log. Dm) RES A' B'
nn ten EN CET Le = Di
et dans la même hypothèse on a
: 2 7 De
Mg. 2 RER he Tr Ee
Donc
d'logT (x) 2 1
LIRE NES PE (e)

équation qui doit avoir lieu quelque soit æ, puisque M
peut être regardée comme une fonction continue de x.

Si maintenant on suppose æ < 1, ce qui permettra
d'employer la suite (v), on aura

d log. T (x)

FE =———C+HSr— Sy + 8x — etc.

D’INTÉGRALES DÉFINIES. 503
d’où résulte en intégrant
Log. T(x)=— log. z—Cr+i8, x 16, a+ Syxt— etc. (+)

On n’ajoute pas de constante, parce que x r (x) ou
T (1+ x) se réduit à l’unité lorsque + — 0.

77. La formule (4) qui donne un développement
complet de log. r (æ),,servira à exprimer la valeur de
toute fonction proposée r (3), puisque cette fonction
peut toujours être ramenée au cas où z est plus petit
que : , et même à celui où z est plus.petit que +.

De la formule () on déduit immédiatement la suivante

Log. TAi+z)=— Cr +: Sa —iS; x + ES; xt — etc. : (w)
et en changeant dans celle-ci le signe de +, on auroit

Log. T(i—z)=Cr+is, x +5 S3x°+ ES; xt + etc. (a)
Formules également propres à faire trouver dans chaque
cas proposé la valeur de r (z), puisqu’on peut toujours
ramener cette fonction soit à la forme Fr (1+x), soit à
la forme r (1— x), x n’excédant pas +.

Ainsi on a des séries régulières et toujours conver-
gentes pour calculer la valeur d’une fonction donnée r(z);
elles supposent seulement l’emploi des quantités &,, S;,
S,, etc., dont Euler a donné les valeurs numériques
fort approchées jusqu’à S,; (Calc. diff: , page 456).

Nous devons observer que la formule (w) revient à
celle qu’on voit dans l’ouvrage cité , page 800; il paroît
seulement qu’Euler n’a pas aperçu Pusage que cette
suite pouvoit avoir dans la détermination des fonctions

504 SUR DIVERSES SORTES

T (x) dont il s’est occupé dans d’autres endroits de ses
ouvrages.

Remarquons encore qu’on peut déduire de la for-
mule (w) , cette valeur de C

C——— Lg.T({i+r)+iS, r—7:S; 2x +28, x — etc.

d’où l’on voit qu’il suffit de connoître une valeur par-
ticulière de r (1+zx), et qu’on aura la valeur de Cex-
primée par une suite d’autant plus convergente que x
sera plus petit. Si l’on faitx —:;,onaura

T(1+i)=:Ti—=;: V7:
d’où résulte : .

mix

+

C = log. L Sas E — X Sye 2 + = Sye E — etc.

78. Les deux équations r (1 +x) =æxr(x),et

F

T(t)r(Gi—zx)=——, donnent
TU+a)T (x) = =; (CS)

prenant les logarithmes des deux membres, et substi-
tuant les valeurs données par les formules () et (4°),

on aura

Log. —— LS Ti + —— Sir + — Se z° + etc.

SU TT

Formule connue, et qui par sa différencielle sert à dé-
terminer les valeurs des quantités 8,, S,, S, etc.

On peut faire usage de cette formule pour rendre

D’INTÉGRALES DÉFINIES.. 505

encore plus convergentes les suites contenues dans les
équations (®) et (x'): on aura ainsi

= = NT eh LES 5
Log. T(1+7)— = log. (22) Ce = S3 x 5 S5 x°— etc. |

TT

s 4 É (y)
Log-.TG—æ)= 08. ( J+Ca+ Sat + 2 Ss,z° etc. f

Sin T x

La dernière , en faisant + — : donne

1

1
cs S3. etes

C= L2— = T

$:

es
4

valeur plus convergente que celle de l’art. 77:

79. Ayant l'expression développée de log. T (x), par
la formule (4), on peut pareillement avoir celle du lo-

garithme de la fonction At car puisqu'on a trouvé
d 7

p q
n
si on prend les logarithmes de chaque membre, et qu’on
désigne par Z la fonction en qui répond à une valeur

donnée de 7, on aura

r+q
Log. Z — Z0g. (= Ars

nn

—

1

2

1
saut 2 15 ()
1

n

+ etc.

»
Les deux premiers termes de cette formule s’accordent
avec l’équation (1') ; mais on voit ici la loi générale du
développement qu’on peut continuer à volonté, et qui

1809. 64.

506 SUR DIVERSES SORTES

donne une suite d’autant plus convergente que p et g
seront plus petits par rapport à ».

Ainsi pour la fonction (=) désignée ci-dessus par
WT , on aura

2 1 3
Log. M, = log. (2) _— _ S3 (2° == 2) _ FURIES S3 (2° — 2} 2 — etc,

80. Il reste à expliquer comment a été calculée la
table ci-jointe des valeurs de log. Tr (a). Pour cela nous
avons fait À — 4 + a dans la formule (r), (on auroit pu
prendre égalementk=3+a,k=65+a, etc.) Alors
le premier membre donnant la valeur de log. r(4+a),
nous en avons déduit /og. T (a) par la relation connue

entre ces quantités ; savoir: x

T(4+a) = (3+a) (2+a) (Gi+a)arT (a).
Nous avons donc eu à calculer la formule

m A! m B' m C'
———— == eIC,

Log.T(a)—=(k—7?) log Ets) em es SG

— log. [a (1+a) (2+a) (3+a)]

dans laquelle on a introduit le facteur m1 — 0.43429, etc.
afin de réduire tout aux logarithmes des tables.
De cette manière on n’a jamais eu besoin de calculer
m À' m B'

lus de deu) rois ter la série > —
P deux ou trois termes de la série > 51E

DE Cp etc our avoir log. T (a) hé]; à
che JP gr. T (a) approché jusqu’à
sept décimales, dans tout lintervalle depuis «a = 1

L' LD) er |
JÜSQUu'à a — :.

81. Nous remarquerons en finissant que les intégrales

D’'INTÉGRALES DÉFINIES. 507
de la forme fe—*" #" dt, prises depuis £ = o jusqu’à
£—c , peuvent être ramenées aux fonctions T (a). En

effet soit d’abord #+"—z,et © — %, l'intégrale
IH 1

, 1 a :
précédente deviendra f—— -e7% dz, celle-ci devant
encore être prisè depuis z —o jusqu’à 3 = «.

Delà on voit que l’intégrale proposée ne perd pas de
sa généralité en faisant z — o, et qu’ainsi on peut se
proposer simplement l'intégrale fe—’" dr. Si dans celle-

. . n NE
ORALE" Toul (2 =)", la transformée sera
ZT

1
— fax (2 >, et cette nouvelle intégrale devra
être prise depuis + — o jusqu’à + — 1; on aura donc
généralement

m EE 1 1
nc CE
Ainsi les intégrales dont il s’agit n’offrent point une

nouvelle espèce de transcendantes, et se rapportent im-
médiatement aux fonctions T.

*

508 SUR DIVERSES SORTES
L
Tazszrze des Logarithmes de la fonction Y (a) pour
toutes les valeurs de à, de cinq en cinq millièmes ,
depuis a — 1.000 Jusqu'à a — 0.500.

Log, T' |Diffi ire Diff. | ë Diff. ire

0-+0000000| 12624 | 10:0462937| 18686
0+0012624| 12803 | 10.0481623| 18916
10°0025427| 12985 3 10«0500539| 19147
0+008412| 13167 0.0519686 19381
0-0051579] 13351 | 186 | 10-0539067| 19617
0-006/4930| 13537 0.0555684| 19855
0-0078467| 13724 3 l0.0578539| 20096
O*0092191| 13911 10.0598635| 2039
00106102! 14101 l0-.0618974| 20583
0*0120203| 14293 l0.0639957| 20830
0-0134496| 14485 -0660387| 21060
0-01480981| 14679 +0081467| 21332
00163660! 14874 -0702799| 21587
0.0178534| 15972 -0724306| 21844
0:0193606| 15271 .0746230| 22103
0-0208877| 15471 -0768333| 22366
0-0224348| 15673 -0790699| 22631
0-0249021| 15876 -0813330| 22898
0-0255897| 16082 +0836228| 23168
0-0271979| 16289 -0859396| 23442
0-0268268| 16498 -0882838| 23718
0-0304766| 16708 -0906556| 23997
0+0321474| 16920 -0930553| 24278
0-0338394| 17135 -0954831| 24563
0+0355529| 17351 -0979394| 24851
0-0372880| 17568 +1004245| 25142
0+0390448| 17788 «1029387| 25436
0-0408236| 18009 0-1054823| 25734
0+0426245| 18233 0+1080557| 26035
-|o-0444478| 18459 0-1106592| 26339

00000©00000000000

D'INTÉGRALES DÉFINIES. 5og

Log. T

Diff.ire| Diff. 2° a Log.T |Diff.ir| Diff. 2°

o-709 |0-1132931| 26647 | 312 0550 |0-2084748| 37025 | 463
0695 |0-1159578| 26959 | 314 0.545 |o-2122673| 38588 | 470
0-690 |0-1166537| 27273 319 0-540 |0.2161061| 38858 478
0.685 |0-1213810| 27592 | 322 0:53 |o-2199919| 39336 | 466
0.680 |0-1241402| 27914 | 326 0.530 |0.2239255| 39822 | 493
.675 |0-1269316| 28240 | 330 || 0.525 l0-2279077| 40315 | 502
.670 |o.1297556| 28570 | 333 0.520 lo:2310392| 40817 | 509

o

o

o
o
0.665 |0:1326126| 28903 339 0.515 | -2360209| 41326 519
0.660 |0-1355029| 29242 | 342 0.510 |0-2401535| 41844 | 526
0.655 |0.1384271| 29584 | 347 0505 |l0.2:43379| 42370 | 534
0.650 l0-1413855| 29931 351 || 0.500 lo-2485749| 42904 | 543
0.645 |0-1443786| 30282 | 354
0.640 10-1474068 30636 361 a _—_—_—_— |
0.635 |0°1504704| 30997 365 _ z 0-4279678
0.630 |0-1535701| 31362 | 369 i 0-1316565
0.625 |0-1567063| 31731 374 =
0-620 |0-159%794| 32105 | 378 5 5
0.615 |0+1630899| 32483 | 385 Î lo-0662838
obtio loniéess8al scsi 280 | lo ce Ras
3 5 0-6618925
0:605 |6-1696250| 33257 96 ; 03459929
È
$
G
6
5
;
5
8

05593011

0-600 |0-1729507| 33653 | 400 5

6.595 lo:1762160| 34083 | 405 LE
0:590 |0-1797213| 31458 412
0.585 |0-183%1671| 34870 418
0.580 |0-1866541| 35288 | 423
0-575 |0-1901829| 35711 430
0:570 |0-1937540| 36141 437
0.565 |0-:1973681| 36578 | 442
0-560 |0-2010259| 37020 449
0.555 |0-2047279| 37469 | 456

0-7455679
0-0526120

0-8770221
0-4909586
0-1567063
0-0372880

510 SUR LA MESURE DES HAUTEURS

——————

QUATRIÈME MÉMOIRE

SUR

LA MESURE DES HAUTEURS
A L'AIDE DU BAROMÈTRE,

Par M. Ramowon.

Lu lc 26 juin 1809.

Essais sur de petites différences de niveau.

NS Prony pense que le coefficient nouvellement
introduit dans la formule de M. de la Place, est trop
fort pour la mesure des petites hauteurs, et que l’ancien
coefficient 17972, moindre d’environ un quarante-
deuxième , donneroit plus exactement des différences de
niveau peu considérables. F

Ce savant paroît se fonder principalement sur une
observation faite au Mont-Cenis, et consignéte. dans
l'Annuaire du bureau des longitudes pour la présente
annéec1809, pages 68 et suivantes en note.

La valeur que j’ai assignée à cet élément indécis de la
formule , n’est pas de celles qui s’établissent et qui se
jugent d’après un cas particulier et sur la foi d’une expé-
rience unique. J’aurois donc fait peu d’attention à l’ob-

A L’AIDÉ DU BAROMÈTRE. Six

servation du Mont - Cenis si elle n’appartenoit à un
homme de très-grande autorité dans les sciences exactes.
Dès que M. de Prony élevoit un doute, je me suis cru
obligé de douter et de soumettre mon coefficient à des
épreuves du genre de celle qu’il lui avoit fait subir.

S’il est vrai que mon coefficient convienne pour les
grandes hauteurs ,; et devienne trop fort pour une hau-
teur de 692 mètres, la réduction dont il est susceptible
doit augmenter à mesure que les différences de niveau
diminuent , ensorte qu’il faudroit chercher le maximum
de cette réduction dans les hauteurs de quarante ou
cinquante mètres ; mais alors l’erreur du coefficient ris-
queroit de se perdre dans l’erreur de l’observation. Les
différences de niveau de deux cens à six cens mètres sont
au-dessus de ce soupçon; lerreur du coefficient s’y ma-
nifesteroit par des erreurs de dix à quinze mètres , et l’on
opéreroit bien négligemment si l'incertitude des obser-
vations étoit suffisante pour couvrir long-temps de pa-
reilles quantités.

J’aï donc choisi, dans ces limites, plusieurs points
voisins de ma résidence. Comme, dans la recherche de
la vérité , l’esprit le plus droit n’est pas encore une cau-
tion suffisante contre la prévention, j’ai voulu que l’élé-
vation de ces points ne me fut connue par aucune opt-
ration géométrique, et je me suis réservé d’en faire faire
le nivellement quand j’aurois appris sur cette élévation
tout ce que le baromètre pouvoit n’apprendre.

J’ai voulu encore que les sites fussent très-dissem-
blables : c’est tantôt une plaine étendue, tantôt un

b12 SUR LA MESURE DES HAUTEURS

sommet aiguisé , tantôt une gorge étroite et fortement
dominée.

J’ai voulu aussi y porter le baromètre dans des cir-
constances très-variées, le voir tour-à-tour très-haut et
très-bas, l'essayer à des températures très-diverses et
avec des vents très-différens. Pour remplir ces indica-
tions, j’ai même risqué des observations par des temps
qui ne leur étoient rien moins que favorables, Il étoit
bon de faire la part des accidens pour donner une me-
sure aux aberrations de la méthode. Mais en général,
j'ai choisi de beaux jours, pour obtenir, autant qu’il
étoit possible, le produit net de la formule, dans une
saison qui m’étoit pas déjà trop propice aux observations
barométriques, puisque la majeure partie de ces obser-
vations a été faite durant les intempéries d’un printemps
remarquable par l’irrégularité des modifications de l’at-
mosphère. De plus, je n’ai jamais observé qu’à midi,
ou du moins entre onze heures et une heure, seul espace
de temps qui convienne à des opérations où l’on aspire à
l'exactitude. Enfin les observations de Clermont ont tou-
jours été simultanées , et je n’ai jamais suppléé à cet in-
dispensable concours par les réductions que l’on est ac-
coutumé de faire quand il ne s’agit que d'obtenir des
évaluations approximatives.

J’ai employé deux baromètres de Fortin, parfaitement
sembables et soigneusement comparés. Ils ont été chaque
fois vérifiés au départ et au retour. Avec ces instrumens,
on peut répondre du niveau à un ou deux centièmes de
millimètres près, quand on a contracté l’habitude d’ob-

A L'AIDE DU BAROMÈTRE. 513

server le contact de l'aiguille > non-seulement par réfle-
xion dans le miroir de mercure, mais encore en trans-
parence et au moyen de l’interception de la lumière.

En général , quand on observe aux heures prescrites
et par des temps favorables, les baromètres n’ont que
très-peu de part aux fautes qui se commettent dans la
mesure des hauteurs ; et des instrumens seulement
passables, mais exactement comparés , rempliroient en-
core assez bien l’objet qu’on se propose, quand mêmeils
ne donneroient pas précisément la hauteur absolue de la
colonne de mercure équipondérante à la colonne d’air.

Il n’en est pas ainsi des thermomètres: ce n’est
pas assez qu’ils soyent relativement justes s’ils ne le
sont absolument , ou du moins si l’on ne connoît par-
faitement la quantité dont ils sont en défaut. I1 ne me
semble pas inutile d’insister sur cette nécessité quand je
vois sortir des mains des meilleurs ouvriers, des thermo-
mètres mal réglés ou mal calibrés qui ne reviennent pas
aux termes fixes à un ou deux degrés près. On sent que
dans ce cas , l’erreur des thermomètres déplace le point
de départ des dilatations qu’ils sont chargés de mesurer,
et que ce déplacement peut occasionner des erreurs de
plusieurs mètres sur des hauteurs peu considérables.
Mais ce n’est pas tout , et quand même ces instrumens
sont sans reproche, leur observation n’en est pas moins
la partie la plus délicate de l’opération , à raison de la
difficulté que l’on trouve, soit à les placer convenable-
ment, soit à démêler dans leurs indications la tempé-
rature qu’il importe de constater.

1609. 65

514 SUR LA MESURE DES HAUTEURS

D'abord, en ce qui concerne le thermomètre adapté
au baromètre et destiné à faire connoître la tempéra-
ture du mercure , celui-là n’étant point plongé dans le
mercure même , ne dépose réellement que de la chaleur
du lieu où l’appareil est placé. Ses indications ne se rap-
portent exactement au baromètre que lorsque celui-ci se
trouve dans un lieu clos dont la température varie peu,
et varie assez lentement pour que les deux instrumens
associts aient le temps de se mettre d’accord. En plein
‘air, au soleil, an vent, c’est tout autre chose. Les va-
riations du thermomètre dévancent toujours les change-
mens que la température intérieure du baromètre éprouve.
I] faut abriter ses instrumens le mieux qu’il est possible,
soustraire le tube et surtout la cuvette aux rayons du
soleil, laisser à l'instrument le temps de perdre la cha-
leur qu’il a acquise dans le transport, ou de prendre celle
du lieu où il vient d’être placé. Il faut observer d’instans
en instans les mouvemens du thermomètre , distinguer
avec soin ce qui appartient à la réverbération , aux acci-
dens passagers, et noter toujours son indication avant
de procéder à l’observation du baromètre, parce que le
voisinage prolongé de l’observateur suffit pour changer
la température superficielle avant que la température
intérieure ait eu le temps de participer à la variation.
Toutes ces difficultés sont plus grandes pour les baro-
mètres montés'en bois que pour ceux qui sont montés en
cuivre, parce que ceux-là s’échauffent et se refroidissent
avec moins de promptitude et d’uniforinité. Faute des
précautions que j’indique il est aisé de se tromper d’un

A L'AIDE DU BAROMÈTRE. 513

degré ou deux sur la chaleur réelle du mercure: cette
erreur en entraîne une de deux ou trois mètres sur la hau-
teur mesurée, erreur assez considérable pour les petites
différences de niveau.

Quant au thermomètre libre, autre écueil des obser-
vations ordinaires, on pense bien que j'ai profité de
l'expérience de Pictet et de Saussure. Je l’expose dans le
lieu le plus découvert et le plus aéré, à l’ombre seule-
ment du bâton qui le porte. Je l'écarte autant qu’il est
possible des surfaces réverbérantes, et le tiens à la
plus grande élévation où je puisse commodément lob-
server. Il est suspendu au bâton à l’aide d’un crochet à
longue tige qui l’en éloigne d’un décimètre au moins,
et il est maintenu inférieurement par un anneau qui l’em-
brasse et le retient dans une position parallèle à celle de
son support. Mais quelque chose que l’on fasse on ne
peut pas toujours le soustraire entièrement à l'influence
de la température locale, et le préserver des variations
qui ont leur origine dans la lutte de cette température et
de ses modifications avec celle qui appartient à l’airlibre.
Il monte et baisse à chaque instant, selon que le soleil
se moñftre on se:cache, que le vent souffle ou s’appaise.
La température du calme est toujours suspecte : c’est
ordinairement celle du lieu. La température du vent
n’est pas toujours sûre quand ce vent n’est que passager
ou accidentel. L’habilité de l’observateur consiste à dis-
tinguer dans les diverses indications , celle qui exprime
avec le moins d’ambiguité la température véritable de la
çouche d’air soumise à l’expérience. En inscrivant, au

516 SUR LA MESURE DES HAUTEURS

hasard , le degré que marque le thermomètre à l’instant
où se fait l’observation barométrique, on risque de se
tromper d’un ou deux degrés sur la chaleur moyenne
de la couche interceptée, et d’introduire dans le calcul
de la hauteur une erreur de plusieurs millièmes qui de-
vient fort considérable lorsque la hauteur est grande.

Et il est à remarquer que les erreurs occasionnées par
les deux thermomètres, ayant communément la même
origine , se cumulent plus souvent qu’elles ne se com-
pensent, et qu’alors il est aisé de se tromper de sept ou
huit mètres sur une différence de niveau médiocre ; et
c’est presque toujours en excès que l’on se trompe quand
on observe par le beau temps, et surtout en été et au
soleil, circonstances où se font la plupart des observa-.
tions de ce genre. C’est le contraire quand on observe à
la pluie, à la neige, dans un brouillard qui n’est point
général: la mesure pêche par défaut, parce que les ther-
momètres indiquent la température du météore au liew
d'indiquer celle de l'air. Il importe donc beaucoup à
l'observateur de se rendre raison de la marche de ses
thermomètres. La mesure des hauteurs n’est rien moins
qu’une opération purement méçanique. Il ne suffit pas
que les observations soient matériellement bien faites:
il faut encore qu’elles soient raisonnées. Tout instru-
ment requiert de celui qui emploie , non-seulement l’es-
pèce de dextérité qui convient à son maniement, mais
aussi l’habitude d’un ordre de réflexions appropriées à
son usage ; et les instrumens météorologiques , tout aussi
parfaits que bien d’autres, ne paroissent si souvent ex

A L'AIDE DU BAROMÈTRE. 517

défaut que parce qu’à force de trouver de la facilité à les
consulter , on les traite habituellement avec une légèreté
qui en rend la précision inutile.

Mais on a beau être attentif, il ÿ aura toujours quel-
ques erreurs si la température est très-variable , comme
il arrive lorsque le vent est intermittent , lorsque les ap-
paritions du soleil sont passagères, lorsque la neige ou
la pluie , tombant par intervalles, apportent momenta-
nément dans la région inférieure , la température des
couches supérieures de l’atmosphère. On aperçoit très-
distinctement l'effet de ces vicissitudes dans les séries
d’observations faites à des instans rapprochés, pour dé-
terminer l’élévation d’un seul et même point; elles occa-
sionnent des variations d’une couple de mètres dans la
mesure , variations que l’on distingue fort bien de celles
que l’on pourroit imputer äu baromètre. C’est pricipale-
ment à cette cause que j’attribue les écarts plus ou moins
grands que l’on remarquera dans quelques-uns de mes
résultats. J’aurois pu exclure ceux qui sont disparates.
Mais dans une question où il s’agissoit moins de la cri-
tique des opérations que de la critique de la formule , il
n’y avoit rien à écarter de ce qui servoit à mettre sa mar-
che à découvert. Je donne donc les cinquante-trois ob-
servations que j’ai faites, bonnes ou mauvaises, et san
en supprimer aucune. Ceux qui se connoissent en opéra-
tions de ce genre conviendront que je n’ai pas mis mon
coefficient à une légère épreuve.

Les observations sont calculées dans la forme expé-
ditive dont j’ai annexé le type à mon premier Mémoire,

518 SUR LA MESURE DÉS HAUTEURS
et le cocfficient 18393, est corrigé pour la latitude
45950%

J’avertis aussi que j'ai toujours eu égard à la petite
quantité dont la cuvette du baromètre supérieur s’est
trouvée au-dessus ou au-dessous du point dont je mc-
surois l'élévation. Mais pour ne point surcharger°mes
tableaux d’additions et de soustractions, j’ai fait porter
sur l’observation barométrique elle-même la légère cor-
rection que cette circonstance rendoit nécessaire. Elle
atteint rarement à cinq centièmes de millimètre.

PREMIÈRE ÉPREUVE,
La Barrague.
(Situation très - favorable ).

A

LA Barraque est une hôtellerie située à l’embranche-
ment des deux routes d’Aurilhac et de Limoges, sur le
plateau de granit qui domine Clermont et la Limagne.
Quoique ce site ne constitue pas une plaine proprement
dite, cependant rien ne s’oppose à ce que les vents y
conservent leur direction et leur inclinaison naturelle.
Mon baromètre y étoit placé fort commodément, et je

Mouvois le tenir à l’abri du vent et du soleil. La distance

horisontale de la Barraque à Clermont n’est que d’en-
viron cinq mille mètres.

Je range mes observations dans l’ordre des moyennes
températures de la colonne d’air.

A L'AIDE DU BAROMÈTR E. 519

Station inférieure, | Station supérieure.

Osserv.| Jours.

‘auuafour
amieioduwo T,

21
a np :

[+ 2.5]688.55

. un peu fort...
5.0|702.54|+

. très-beau, .....
e même 5.2]702.49

E ciel trouble..|759.5: c 10.41704.85
. un peu fort.....|73 10.5|702.30

12 mars 1809.|+
26 février...

ENTER
122
22bti

©

16.2]699. 19

15.5,6)7.0);
23.6|703.8,

Moyenne......... 380.36.

. gros DUADES....
E. superbe

D O)J)OAS us 0 0
HuQutEH

Ni Ge à
20:

mai 1808.

La dernière des huit observations, dans l’ordre des
températures , est l’observation unique d’après laquelle
j'ai établi, l’année passée, l’élévation absolue de la Bar-
raque telle qu’elle est notée sous le n° 39 du tableau des
hauteurs, annexé à mon troisième Mémoire. On voit
que si la moyenne est juste, il n’y a pas grand chose à
réformer.

Quand des observations faites dans des circonstances
aussi variées, marchent avec un pareil accord, il y a
lieu de croire que leur résultat est l’expression pure et

nette des propriétés de la formule.

On remarquera que la diversité des vents n’a point eu
d'influence apparente sur les mesures, 1°. parce qu’ils
étoient en général assez modérés; 2°. parce que la diffé-
rence de niveau est petite; 3°. parce qué la distance ho-
risontale est très-médiocre. L’explication que j’ai donnée
ailleurs de linfluence des vents, suffit pour faire con-

520 SUR LA MESURE DES HAUTEURS
cevoir à quel point le concours de trois circonstances
aussi favorables est propre à en atténuer Peffet.

Il est encore à remarquer que la grande diversité des
températures ne s’est nullement fait apercevoir dans les
hauteurs déduites, et la régularité de cette série met
dans tout son jour l’uniformité de marche de la correc-
tion adoptée par M. de la Place. Mais les séries suivantes,
pour être moins régulières , n’en sont pourtant pas moins
propres à démontrer cette même uniformité; car on y
voit les mesures fortes et foibles se distribuer à peu-près
indifféremment entre les diverses températures, en sorte
que les erreurs en excès ou en défaut ne peuvent être
imputées qu’aux accidens qui ont troublé les obser-
vations.

J’ai toujours obtenu des résultats semblables, et ce
n’est pas sans examen que je m’en suis tenu au rapport
1:260 et à la supposition du décroissement de chaleur
uniforme, dont la combinaison me paroît satisfaire d’une
manière très-heureuse , à la double correction de la cha-
leur et de l'humidité. On a proposé d’y faire divers chan-
gemens, et je les ai essayés : ils m'ont paru tantôt indif-
férens , tantôt incertains et difficiles , tantôt en contra-
diction avec le résultat des observations. Je ne tirerai,
du mauvais succès de mes-épreuves, aucune induction
contre les motifs plus ou moins spécieux qui ont sug-
géré l’idée de ces changemens; j'en conclurai seulement
que pour la solution du problème de la mesure des hau-
teurs, problème fort compliqué, et dont les conditions
sont loin de nous être toutes connues , la méthode empi-

: A L'AIDE DU BAROMÈTRE. 521

rique a souvent des ressources qui échappent aux théo-
ries fondées sur des expériences de nature plus limitée.
Lorsqu'il reste autant d'incertitude sur le nombre et la
qualité des données , la pratique est une autre sorte
d’expérience qui tient compte des circonstances inaper-
çues, apprécie les quantités dont la connoïssance nous
échappe, assigne aux accidens une valeur réglée surleur
fréquence, remonte des cas particuliers à un cas abstrait
- oùtoutes lesinconnues trouvent une évaluation moyenne,
et approprie directement ses règles à l’objet qu’elle se
propose.

SecoNDE ÉPREUVE.
Cap de Prudelles. Extrémité occidentale.
(Situation moins favorable).

Prudelles est une crête étroite et allongée, formant
une espèce de promontoire saillant sur la plaine, à la
distance d’environ trois mille mètres de Clermont. Un
bassin postérieurement creusé , et deux vallons latéraux,
fortement inclinés , isolent ce promontoire, et impriment
des directions ascendantes ét descendantes aux vents
dont leurs pentes sont frappées. À ces inconvéniens se
joint celui de n’y trouver aucun abri pour le baromètre.

1809. | 66

522 SUR LA MESURE DES HAUTEURS

Station inférieure, | Station supérieure.

si
i85 EE
] L2
TT C2]
Jours. | 5% VEnTSs. tm H e ts H H LE
EÈ BUS LR ONE INSEE
DE d ps Πa e = E
: EURE RER HS
ca to ® 52 Œ 8

8mars.....| 10.3[EN E.très-beau....|738.45| 14.4] 10.6/712,39| 11.0] 9.8/203.98|f
4 mars.....| 10.80 S O. et SE....... 735.97] 12.6] 12.5|710.00| 9.7| 9.2|294.82
y mars..…..| 11.6ESE. beau....,...|736.05| 15.3] 11.8|710.34| 12.7] 211.3/295.10
idem.......| 11.7|— de même.........|735.85] 15.4] 12.3|710.08| 12.7] 21.0|2ÿ3.85

—

Moyenne......... 293.76|f.
Les extrêmes de la variation étant renfermés dans l’es-
pace de 1,"7, la marche des observations m’a parue
assez régulière pour me dispenser de les pousser plus

loin.
TROISIÈME ÉPREUVE.

Cap de Prudelles. Sommet oriental.
(Situation encore moins favorable).

Ce sommet est plus exposé que l’autre au rebrousse-
ment des vents qui viennent de la plaine. Il est aussi plus
aiguisé. Les courans d’air que les pentes y conduisent,
sont encore plus inclinés ; et pour peu que l’atmosphère
soit agitée, on ne sauroit y faire des observations sûres.
J'ai donc choisi de beaux temps. Mais j’ai multiplié les
observations en proportion des inconvéniens de la sta-
tion , et à mesure que j’y apercevois de la divergence.

A L'AIDE DU BAROMÈTRE. 523

EEE
= |

Station inférieure. | Station supérieure.

—— ——

H
+10
= =
2e LT D PE RE ER RE
f|Osserv.| Jours. 8 & VEnxTSs. tj H H [2] H H E.&
Ë © = F La E F Lu F2
8 5 ë
PE 8 CA = 3 e ( A1
5 c2 = FA m- FE Fa
F & Q = = Q |

UMR AE +10.2|0 S O. nuages ..... LR .35|+12. af: ages .8) pue o|+ 8.9[288.03:
.43| 14.6 : Z Ë

DS als 8 mars,.,:.| 10.8|E NE. soleil HÉNATE 712.85 1.5 9-71288.94.
ÉLOROER 9 mars..... 10.9/E S E. superbe...... 736. 15] 15,0 de 8|-10.84 LA 10.0/285.25
LAPPRE ©] DAPAREE CT ds 5|— de même. 735.95] 15.3 12.4/710. 55| 12.0] 10.6[288.36:
5°.....] 1 avril... 41S O. gros nuages....|718.23| 16.4 14. 91693.60| 12.4] 11.8/285.30
6°.....119 mars... S ©. soleil ardent....|729.33] 13.7] 19.3|704.75| 13.0] 12.5]260.38.
7°.....[20 mars..... 95 nuapes , Dee .[731.65| 14.2] 16.1/707.00| 13.3] 12.5|288.00
Be Nage 20 5/S O: soleil... ...../718.26| 16.5] 15.7/693.84| 13.5] 13.2/287.58.
GER) PELEMPOULTE 14.7|— de A ÉME RRe 718.18] 16.5] :5.0]6,3.92] 14.7] 14.3/287.75
CBC ‘5août1808.| 26. .9[S. E. très beau......|728.52| 24.7] 28.3/705.65| 27.8] 25.5/287.25

Moyenne........ 287.78

L'observation du 5 août de l’année dernière est celle
sur la foi de laquelle j’ai déterminé l’élévation absolue
de Prudelles, n° 23 du tableau des hauteurs joint à mon
précédent Mémoire.

Cette série est moins régulière que les deux précé-
dentes ; cependant les variations de la mesure n’em-
brassent qu’un espace de trois mètres, ce qui est fort peu
considérable , eu égard au nombre des observations. Au
reste, en examinant les circonstances qui les ont accom-
pagnées, je trouve que ces variations appartiennent prin-
cipalement aux méprises faites sur la température ou du

mercure ou de Pair. Il est toujours très-difficile de les
éviter quand les thermomètres varient eux-mêmes beau-
coup, comme il arrive sur un sommet très-exposé au
soleil ; aux réverbérations, et à des vents directs et ré-
fléchis. k

524 SUR LA MESURE DES HAUTEURS
QUATRIÈME ÉPREUVE.
Le Pont du Berger.
(Situation assez bonne ).

Ce pont, nouvellement construit entre la Barraque et
les Goules, sur la route de Clermont à Limoges, se
trouve dans cette espèce de plaine inégale et élevée qui
domine la Limagne. Les vents ont ici beaucoup d’impé-
tuosité ; mais les montagnes, sans être bien éloignées,
ne sont pourtant pas assez voisines pour changer sensi-
blement l’inclinaison des courans d’air. Mes observa-
tions n’ont pas été nombreuses, et elles ont été faites
par de mauvais temps. Cependant , comme les écarts de
la mesure étoient peu considérables, j’ai cru pouvoir
m'en contenter , et il m’a paru inutile de les multiplier

davantage.

Station inférieure. | Station supérieure.

Ozssery.| Jours.

“ouuo{our
ammerodue T,

“IAWOIEY

=
4
ts

5 avril 1809.|— 1.3/N E. violent, neige.
; .3[— forte bourrasque.|733.3 : 5
.5[N N ©: fort. soleil. 9

.6|— de même

7
3.2[0 $ O.. soleil vif,...

Moyenne... ....,

aimpap
AN9INEHT

193.30

494.46
493.30

A L'AIDE DU BAROMÈTRE. 525
CINQUIÈME ÉPREUVE.

Au Hameau dit chez Vasson, à lembranchement de
la traverse d’Orcines avec La grande route.

(Excellente position).

LE hameau de chez Vasson est situé sur la grande
route , entre la Barraque et le pont du Berger, et beau-
coup plus près du premier de ces points que du dernier.
Il se trouve dans une des parties les plus unies de cette
plaine élevée. J’y ai observé à l’ombre, dans le calme
et par un beau temps. La position et les circonstances
mont inspiré tant de confiance que j’ai cru pouvoir
m'en tenir à une seule observation.

à = Station inférieure. | Station supérieure.
GE Edas
: 2 y | — | 5°
Osserv.| Jour. | 0œ ENT. œ H E æ 13 EE
2% È = De Ë F EN RE
Re S = © £ = DE
nn E F1 ea = =" z = Fa

® & FE £ Re = =

F œ L) Cd &

—_—_— | ——— | ——— | | |

—

1e .....[31 mai 1809..|416.2|S S O. Beau temps... |730.33|+19.4|+18.4 594:45|+14.5| 4414 0| 420.761

SIXIÈME ÉPREUVE. K
Col des Goules.
(Position extrêmement défavorable).

Le col des Goules est un défilé court et étroit, dominé
d’un côté par le Puy de Pariou, et de l’autre par celui

526 SUR LA MESURE DES HAUTEURS

des Goules. La largeur du passage se réduit à celle de la
route , qui est rapidement ascendante des deux côtés du
défilé, et atteint là le point culminant entre Clermont
et Limoges. Je ne connoiïis pas une pire position pour les
instrumens météorologiques. Il y a toujours du vent, et
les moindres vents y deviennent impétueux de manière
à rendre les observations incertaines. D'ailleurs , quelle
que soit leur direction, ils s’inclinent en traversant la
gorge , et devenus ascendans ou descendans, au gré des
pentes qui les conduisent , ils maintiennent obstinément
le mercure au-dessus ou au-dessous du point que lui
auroit marqué la simple pression de lPatmosphère. De
plus, on ne sauroit se soustraire à la température locale
qui déguise celle de la couche d’air soumise à l’expé-
rience. Tantôt c’est le froid occasionné par le séjour des
neiges ou l’évaporation des surfaces environnantes ;
tantôt c’est la chaleur réverbérée par toutes les pentes
dont on est dominé. Enfin , bien que la distance qui sé-
pare ce col de Clermont ne soit pas forte, puisqu’elle
n’excède pas un myriamètre , cependant l’interposition
de hautes et larges montagnes divise réellement les deux
atmosphères, et expose l’une à des modifications qui ne
sont point partagées par l’autre. Cette position peut avoir
de Panalogie avec celle du Mont-Cenis. Il auroit manqué
quelque chose à mes expériences si j’avois négligé d’en
vérifier l’influence. J’y ai donc porté le baromètre à plu-
sieurs reprises , et je n’ai même pas craint de l’essayer
par de très-mauvais temps pour voir jusqu’où pourroient
aller les erreurs de la mesure. Mais aussi j’ai cru néces-

À L'AIDE DU BAROMÈTRE. 527
saire de multiplier assez les observations pour me mettre
en état de distinguer ce qui appartenoit aux accidens, de
ce qui appartient à la formule.

Observations suspectes et rejetées.

Station inférieure. | Station supérieure

Jours.

euus£out
2anerodwo y,

aimp?p

BUETLUUS

Jauoxeg
21QI["UL

5 avril 1809.|— 1.9]N E. violent et neïge.|733.50|+11.4|+ 0.31678.75|— 3.5|— 4.0|593
7,2-°[T vent moins fort-..|733.40| 11.8] 1.9/678.70|— 3.0|— 3.5/505.4
- H10.9/S E. temps orageux..|731.10| 14.6] 12.6|680.25|i0.4|+ 9-215)4.
e «..[14 mai 19.9ÏS SE. furicux, soleil. 728.06] 20.3] 22.7|678.45] 18.8| 16.0 604.24
f.s.s..l10 mai.,....| 20.5]SE. violent, orageux,|728.05 19.3] 22.8/680.00| 20.5] 18.2|602.8;

Observations régulières.

727.80|+11.21+ 5.91674.85|+ 1.31+
727.78 .6 6.11674.89
11.9/672.60
12.0|672.65
mËmM 12.6|672.5a
10.2] — soleil vif,........ 3. : 12.6|672.65
10.6/S E. très-fort, convert. 12.9|681.30
‘ 11.3|— coups de soleil... . 5. 14.11681.30
11.5|— soleil vif.,...... 3 : 14.0/631.30
14.0|681.27
15.2|677.75
L 15.0|677.65
12.9|— ciel orageux...., : .2| 16.8]677.50
16.2]S O. fort, soleil... 520. : 19.1167).60
16.5|— de même... 3 À É 19.41679.45
de 19.71679.35
See 679.35
27.0|684.15

Moyenne......... 5j

Je ne rapporte les cinq premières observations que
pour n’en omettre aucune; et je les rejette, parce qu’elles
ont été faites par de si mauvais temps qu’il étoit impos-

528 SUR LA MESURE DES HAUTEURS

sible de déterminer au juste la hauteur du baromètre et
du thermomètre. Elles ne sont pas inutiles cependant,
puisqu'elles marquent , en quelque sorte, la limite des
erreurs que peuvent occasionner les incertitudes de Pob-
servation , réunies aux inconvéniens du lieu et au dé-
sordre de l’atmosphère. Il est utile encore de remarquer
que les vents qui déployoient leur furie dans la région
supérieure, étoient assez modérés à Clermont. Cela ex-
plique pourquoi les mesures les plus foibles sont du côté
des vents boréaux , et les plus fortes du côté des vents
méridionaux. Ces vents agissoient principalement sur
le baromètre supérieur , et ils agissoient non-seulement
par leur température, mais encore par une inclinaison
accidentelle et due en partie à la direction des pentes
environnantes. Le nord-est étoit plongeant et soulevoit
la colonne de Mercure. Le sud-est étoit ascendant, et
soulevoit la colonne d’air. Je m’en suis assuré , et il est
toujours facile de reconnoître le sens de l’inclinaison,
en consultant le baromètre , tantôt au moment de la
bourrasque , et taniôt dans les instans d’intermit-
tence. L’inclinaison des vents seroit une indication à
ajouter aux observations météorologiques ; mais on
sent qu’il faudroit tenir le baromètre éloigné des sur-
faces réfléchissantes ou conductrices ; car au lieu de
faire l’histoire du vent, on ne feroit que celle du lieu où
l’on observe.

Au reste, les écarts des cinq observations ont lieu
dans les deux sens, eu égard à la moyenne des observa-
tions suivantes, et elles se compensent si bien qu’on pour-

A L'AIDE DU BAROMÈTRE. 529

roit encore les employer sans rien changer à la hauteur
définitivement déterminée.

Quant aux dix-huit observations qui ont servi à cette
détermination , leurs écarts se bornent à environ deux
mètres, soit en delà soit en deçà de la moyenne. Il n’est
pas difficile de voir que les variations de la mesure dé-
pendent principalement de l’état du ciel , de la réverbé-
ration de la terre, c’est-à-dire de la présence ou de lab-
sence du soleil aux deux stations, ou à l’une des deux à
l’exclusion de l’autre. L'influence de ces causes est sur-
tout manifeste dans le résultat des observations faites le
même jour , et de quart d’heure en quart d’heure. Lir-
radiation solaire élève les thermomètres par l’effet de la
chaleur réfléchie à laquelle on ne peut les soustraire, et
elle abaisse le baromètre, en accélérant le mouvement
des courans ascendans. La suppression de cette irradia-
tion opère les effets contraires , et les divers degrés d’in-
tensité des vents, combinés avec leur direction et leux
inclinaison , contrarient ou secondent les causes locales
de chaud ou de froid.

C’est ainsi que les hautes températures tendent à exa-
gérer un peu les mesures, et les basses températures à
les affaiblir, sans qu’on puisse en accuser la correction
que nous mettons en usage ; et l’on aperçoit ici cette
tendance, quoi qu’en général les mesures fortes et foibles
soient assez bien réparties entre les divers degrés de
l’échelle thermométrique. Ceci est dû à la réaction du
sol sur la petite atmosphère qui environne les instru-
mens. Dans des lieux faits comme les Goules, quand

1809. 67

530 SUR LA MESURE DES HAUTEURS

la terre domine l’observateur , au point qu’il y est pour
ainsi dire enseveli, il lui est bien difficile d'obtenir exac-
tement les mêmes résultats au soleil, à ombre, en
hiver et en été, quelque attention qu’il apporte à ne
point confondre la température atmosphérique avec la
température locale.

L'observation du 17 juillet 1808 , m'a donné l’éléva-
tion absolue des Goules, consignée dans mon tableau
des hauteurs, n° 39.

Ces épreuves m’ont parues plus que suffisantes , et mes
hauteurs étant déterminées avec autant d’exactitude que
le baromètre et la formule le comportent, il ne restoit
qu’à leur faire subir l’épreuve du nivellement. Je n’ai
pas voulu y procéder moi-même, et M. de Cournon,
ingénieur en chef du département , a eu la complaisance
de s’en charger. Quant à la partie mécanique de l’opé-
ration, rien n’a été négligé pour en assurer la justesse.
Les nivellemens ont été répétés en montant et en des-
cendant, et j'ai eu soin de faire comparer les mires aux
étalons authentiques du mètre. Quant aux précautions
morales, elles n’ont pas été moins scrupuleuses, et tout
inutiles qu’elles étoient, j’ai pris plaisir à m’en envi-
ronner comme si elles eussent été nécessaires. De même
que j’avois fait mes observations sans attendre les nivel-
lemens, de même M. de Cournon a exécuté ses nivel-
lemens sans connoître mes évaluations. Les résultats
respectifs n’ont été confrontés qu’après avoir été sépa-

A L'AIDE DU BAROMÈTR E. 531

rément arrêtés de part et d’autre, J’exprimerois diffici-
lement ce que nous avons éprouvé , moi de Satisfaction
P , ,
“lui de surprise lorsqu’en échançgeant nos mesures , nous
3 P ? © ?
nous sommes trouvés six fois d’accord.

+ Voici le tableau Comparatif de nos résultats. Je range

les lieux par ordre d’élévation.

Nombre Mesure 4 stat
É ni Nivellement. | Différence.
d'observations. barométrique,

Im,
Prudelles, sommet oriental... 287.78

————— Extrémité occidentale. 293-76
Be} HaRQUes «denied ce Lo 380.36
Ghez Vasiénise., AJMNUNS" 420.76
Le Pont du Berger. soc ue 493-30
Le Col des Ganlese eee | 597-93

Ce concert paroîtra bien remarquable. Il est même si
merveilleux qu’on seroit tenté de le regarder comme
fortuit, si je n’avois Pa$s autant varié les épreuves et
multiplié les exemples. Sans doute, le hasard joue ici son
rôle. Ce qui lui appartient c’est le degré d’exactitude qui
excède les moyens de l'observation; mais ce qui appar-
tient à la formule c’est la répétition habituelle de ces
hasards. Je ne m’étonne pas de voir les moyennes s’ac-
corder avec autant de précision, quand je trouve que
Sur quarante-huit mesures barométriques il y en a déjà

532 SUR LA MESURE DES HAUTEURS

trente et une qui se rencontrent avec le nivellement à
moins d’un mètre près, que l’erreur de treize autres est
renfermée entre un et deux mètres , et que pour décou-
vrir des écarts de plus de trois mètres , il faut les aller
chercher dans les cinq observations incertaines que j’ai
rejetées. Que l’on répète les nivellemens et les observa-
tions , on n’obtiendra sûrement pas les mêmes quantités
précises. Le hasard variera ses chances: ce qui étoit
plus juste le deviendra moins; ce qui l’était moins le
deviendra davantage ; mais les propriétés de la formule
limiteront toujours de la même manière le cercle étroit
où il est permis au hasard de se jouer, et dont il ne lui
est pas permis de sortir.

Iln’y a rien de certain en fait d’expérience, ou il est
certain que les mesures barométriques sont actuellement
susceptibles d’une grande précision, que le nouveau
coefficient introduit dans la formule de M. de la Place,
s’accommode aux petites différences de niveau comme
aux grandes , et que l’ancien coefficient ne convient pas
plus aux unes qu’aux autres. Je ne puis donc m’empêcher
de regarder l'observation du Mont-Cenis comme fautive.

Elle l’est, en effet ; et maintenant c’est par elle-même
que je le prouve. Le baromètre supérieur étoit trop bas,
puisque l’élévation du mercure au point culminant du
passage , comparée à l’élévation moyenne qu’il affecte
sur les bords de la mer du sud, donne au Mont-Cenis
une hauteur toute pareille à celle que Saussure lui as-
signe (1). Saussure , comme on sait , employoit un coef-

() Voyez la note citée,

A L'AIDE DU BAROMÈTRE. 533

ficient assez analogue au nôtre, et ne comparoît entre
elles que des observations faites dans nos propres ré-
gions ; on sait aussi qu’aux bords de la mer du sud, le
baromètre se tient à environ trois millimètres plus bas
qu’il ne fait au niveau de nos mers. Pour que M. de
Prony se renconträt avec Saussure , il falloit que le ba-
romètre de Mont-Cenis se trouvât fort au-dessous de la
moyenne hauteur qui correspond à l’élévation du lieu,
combinée avec les dispositions particulières de notre at-
mosphère. Or , si cela est arrivé, ce ne peut être que par
un événement étranger à l’action des causes générales ;
car à l’époque du premier janvier, date de l’observation,
nos baromètres d'Europe, bien loin de descendre, étoient
montés à une hauteur remarquable, et s’y sont assez
long-temps soutenus. Celui de l'Observatoire de Paris
étoit ce jour là à 772.44, et celui de Clermont à 737.30,
tous deux réduits à la température 12°.5 du thermomètre
centigrade. Si nous comparons actuellement l’observa-
tion du Mont-Cenis avec ces observations exactement
contemporaines et faites dans la même atmosphère, ce
qui est plus naturel et plus conforme aux procédés de
Saussure, nous trouvons sur la hauteur du point cul-
minant une erreur d’une centaine de mètres en plus, par
la même raison que nous la trouvions juste en cherchant
notre point de comparaison dans les baromètres de zone
torride. Donc l’abaissement du mercure au Mont-Cenis
est un pur accident dont il n’y a rien à induire pour ou
contre aucun coefficient.

Mais cet accident, quelle est son origine? L’impu-

534 SUR LA MESURE DES HAUTEURS, etc.

terons-nous à l’instrument, à la station, aux perturba-
tions locales, aux dispositions particulières de l’atmos-
phère de la montagne? Voilà ce que je n’entreprendrai
pas de décider, puisqué je ne connois ni l’instrument,
ni les lieux, ni les accessoires de l’observation. Quw’il
me suffise d’avoir recommandé à l’attention des Physi-
ciens le peu que j'ai été à portée d'apprendre touchant
les circonstances qui décident de la justesse des mesures.
Je ne puis que les inviter à tenir compte de mon expé-
rience , et je me trompe fort s’ils ne finissent par trouver
ce que j’ai trouvé, et ce que je trouve encore une fois
après sept années de pratique et des milliers d'opérations
de ce genre, savoir que notre coefficient exprime
assez bien le rapport du poids de l’air à celui du mer-

cure, que le facteur = ne satisfait pas mal aux varia-

tions de la température, et que tout bien considéré, la
formule de M. de la Place est une très-bonne formule.

Pr

. EXAMEN! DES DIFFÉRENTES MANIÈRES, etc. 9535

EXAMEN

DrEs diférentes matières d'orienter une chaine de
triangles;

Par F. C. BurcKkHARDT.

Lu le 7 août 1800.

Lz problème , dont il s’agit ici, est de la plus grande
importance dans la mesure d’un arc du parallèle ; j’ai
donc cru nécessaire d'examiner avec soin les différentes
solutions dont il est susceptible, pour choisir la plus
exacte.

Ce problème se réduit à déterminer l’azimut d’un
objet, c’est-à-dire sa distance angulaire au méridien,
prise dans le plan de l'horizon: On peut l’obtenir 1) en
plaçant réellement une mire méridienne , ‘et en mesu-
rant l’angle entre cette mire et l’objet donné, 2) ou en
observant la distance de l’objet à un astre, dont l’azimut
est connu, soit par la hauteur de l’astre observée en

même temps, soit par le temps, donné par une horloge
bien réglée.

I. ire méridienne.

1) Ox peut la placer au moyen d’une lunette des pas-
sages , en observant le passage supérieur et inférieur des

536 EPXAMEN DES DIFFÉRENTES MANTÈRES

étoiles circonpolaires. Cette méthode exige une excel-
lente pendule et beaucoup trop de temps , de sorte qu’on
ne peut guères l’employer que dans des observatoires
fixes.

2). On peut observer les passages de deux étoiles,
- dont l’une est très-haute et l’autre très-basse, et dont la
différence d’ascension droite est connue. Cette méthode
est très-facile et très-commode ; elle a l’avantage de
n’exiger la marche régulière de l’horloge que pendant
un court espace de temps. D’un autre côté elle sup-
pose la différence des ascensions droites connue ; mais
Perreur qui en peut naître sur les azimuts absolus, sera
constante pour les endroits situés sur le même parallèle;
il suffira donc d'employer les mêmes étoiles dans les
deux endroits pour que leur différence d’azimuts soit
juste.

Cette méthode a été proposée et employée par un
missionnaire , mais avec si peu de succès, qu’on l’avoit
totalement oubliée. M. Delambre l’a trouvée de nouveau
en 1780; il a de plus donné des formules simples et
faciles à réduire en tables pour l’usage pratique de cette
méthode. Le peu de succès du missionnaire provenoit
en grande partie des petits mouvemens des étoiles ,
connus sous le nom de l’aberration et nutation, qu’on
ignoroïit à cette époque: ne pourroit-on pas conclure
de cet exemple qu’on risque un peu d'employer cette
méthode lorsqu'on désire la dernière exactitude, vu
que les étoiles peuvent avoir des petits mouvemens
encore inconnus ?

D'ORIENTER UNE CHAINE DE TRIANGLES. 537

3). On pourroit encore employer la lunette méri-
dienne à observer les passages des étoiles connues par
le vertical de l’objet donné , on épargneroit de cette ma-
nière la mesure de l’angle entre la mire et l’objet donné,
mais en revanche on auroit des calculs assez longs à
faire:, et on obtiendroit moins d’exactitude. 11 me semble
donc qu’on préférera toujours la méthode précédente.

Dans tout ce qui précède j’ai supposé que la lunette
méridienne n’a aucun défaut, ce qui est pourtant infi-
niment peu probable ; car il faudroit que l’axe fût par-
faitement horizontal, l’axe optique bien perpendiculair,
les intervalles des fils exactement connus, les pivots
bien ronds et bien égaux , et les axes de deux pivots dans
la même ligne droite (1); or rien de tout cela peut s’ob-
tenir avec une exactitude géométrique. La somme où
l'influence totale de ces petites erreurs peut devenir très-
considérable dans une recherche aussi délicate. Si l’on
ajoute à cela que chaque dixième de seconde dont on se
trompe sur le passage , ou par la faute de la marche de
la pendule, produit une seconde et demi en arc, et
quelquefois davantage sur l’azimut, on sentira toute la
difficulté de ce problème. Aussi le général Roy fit élever
à grands frais un échafaud à Greenwich, afin de profiter
de la mire méridienne , en plaçant son cercle exactement
au-dessus de la lunette des passages de cet observatoire.

Gi) Cette circonstance n’a pas été remarquée jusqu’à présent par les Astro-
normes ; les artistes en connoïssent l’importance et la difficulté, qu’on dimi-
nueroit peut-être en perçant les deux pivots,

1809. 68

538 EXAMEN DES DIFFÉRENTES MANIÈRES

4). Les méthodes précédentes supposent qu’on ait
une lunette des passages pour placer la mire méridienne;
M. de Zach a trouvé moyen de s’en passer. Pour cet
objet il place un globe de verre dans la direction estimée
du méridien, et il observe les momens où le soleil se
trouve à égale distance de ce globe l’avant-midi et l’après-
midi. Le milieu entre ces deux instans donneroit Le midi
vrai, si le globe de verre étoit réellement dans le mé-
ridien. En comparant donc ce milieu avec le midi vrai
conclu par des hauteurs correspondantes, on trouvera
facilement l'erreur de la mire. Si au lieu d’un seul globe
de verre on en emploie plusieurs , placés à des distances
connues , il sera facile de trouver l’erreur de chaque
globe, et par conséquent l’endroit où passe le méridien.
On voit que par cette méthode un chronomètre et un ins-
trument à réflexion suffisent pour tracer une méridienne
avec une grande exactitude , et dans une seule journée,
ce qui est souvent bien précieux. ;

IT. Mesure de la distance d'un astre à l’objet donné.

1). LA première méthode exige un instrument com-
posé d’un cercle horizontal et d’un cercle vertical, afin
qu’on puisse observer un angle horizontal en même
temps qu’on prend la hauteur de l’astre. Il faudroit que
‘ cet instrument eût un rayon considérable et une grande
exactitude ; malgré cela les vérifications seroient très-
difficiles , et il seroit même permis de douter du succès,
à en juger par le cercle de Palerme.

D'ORIENTER UNE CHAINE DE TRIANGLES. 539

2). Dans la deuxième méthode on suppose le temps
connu par une bonne pendule , pour en conclure l’azimut
de l’astre , la pendule ayant été vérifiée par des hauteurs
absolues de lastre. On peut alors choisir un astre du
côté du midi ou une étoile circonpolaire , et dans ces
deux classes on a préféré le soleil et la polaire.

Les observations du soleil me paroissent jouir de la
même exactitude qu’on peut espérer des étoiles du côté
du midi. Il est vrai que la différence de deux azimuts
sera exacte malgré une petite erreur commise sur le lieu
de l’étoile, pourvu qu’on emploie la même étoile dans
les deux endroits. Mais nos tables du soleil sont si
exactes qu’il n’y a que des très-légères erreurs à craindre,
et qui se détruiront dans nne suite d'observations : d’un
autre côté il pourroit y avoir des petits mouvemens in-
connus dans l’étoile qu’on emploie. Enfin en observant
le matin et le soir, ce genre d’erreur devient tout à fait
insensible. Mais le temps doit être connu avec la der-
nière rigueur , au lieu que cela ne me paroît pas néces-
saire pour l'étoile polaire. Il est vrai que l'ascension
droite de la polaire est incertaine de plusieurs secondes
de temps , et qu’on pourra hésiter de l’employer. Néan-
moins il me semble qu’il ne s’agit ici que du point ab-
solu occupé par l'étoile , et nullement du point de l’équa-
teur auquel elle répond. En effet , supposons une étoile
au pole juste , en mesurant l’angle qu’elle fait avec un
objet terrestre , on aura l’azimut de ce dernier , sans autre
erreur que celle qui peut provenir de la nécessité de
réduire cet angle à l'horizon. Revenons à présent à la

54d EXAMEN DES DIFFÉRENTES MANIÈRES

polaire: Il est certain que sa distance au pole est bien
connue, ayant été observée si souvent et si exactement
dans ces derniers temps. La décomposition de cette dis-
tance , selon le sens du méridien et du parallèle , dépend
en effet de l’angle horaire ; mais une incertitude d’une
minute ou de =; du rayon ne produira pas deux
secondes sur la position absolue de la polaire , le rayon
étant au-dessous de 2°. Enfin en choisissant l’instant
où l'étoile est dans les plus grandes digressions, cette
erreur disparoîtra tout à fait.

On verra par les calculs qui suivent, qu’une erreur
commise sur la latitude n’a aucune influence sensible
sur l’azimut; mais 2” d’erreur sur la déclinaison de la
polaire en produiroit dans nos climats une de 3" sur les
azimuts. Néanmoins cette dernière erreur varie bien
peu pour deux endroits voisins, de sorte que la diffé-
rence de deux azimuts n’en sera pas sensiblement af-
fectée, pourvu qu’on emploie dans les calculs la même
déclinaison pour les deux endroits; et comme on peut
encore observer d’autres étoiles circonpolaires, comme
8 ou d'de la petite ourse, les petites erreurs inévitables
se détruiront totalement.

L’incertitude qui résulte de la réduction à l’horizon
est en général bien petite, vu que la hauteur du pole
est bien connue, et elle disparoît tout à fait en employant
une mire placée dans la direction du premier vertical;
une distance de mille mètres paroît suffire pour cette
mire , de sorte qu’elle coûtera peu, et sera facilement
éclairé pendant la nuit, Enfin il paroît plus facile d’ob-

D'ORIENTER UNE CHAINE DE TRIANGLES. 541
server avec exactitude une étoile presque stationnaire
et tranquille, que le soleil, qui a beaucoup de mou-
vement diurne, et dont les bords sont raremént sans
ondulations.

Sur les azimuts.

Ossrrver un azimut, c’est mesurer la distance an-
gulaire entre un objet terrestre et un astre dont on peut
calculer l’azimut , et réduire cette distance à horizon.
Examinons chacune de ces opérations pour choisir les
cas les plus favorables,

A Soient L — colatitude; P — angle
+ horaire; 3 — azimut; D — distance
polaire ; nous aurons
Dir CDN à Les

cot. D. sin. L.

Er — cos. L. cot. P.

con = —

“ES sin22 FA D, sin. L +SP CT) a. (coë. D, cos. L+sin. Lcos.P) |

sin, P sin.2 D. sin. P

pour l’étoile polaire z et encore plus s27.° z sont très-
petits. Supposons par exemple la latitude — 45° et
P — 90°, Z sera 20 23' et sin.° 3 — 575 OU 0.00173. La
petitesse de ce facteur rendra les termes qui dépendent
de d'Pet de L insensibles , quoiqu’ils soient multipliés
par la cotangente D. Dans le cas cité cot. D. sin. P
est à peu-près 23. Ainsi il restera encore un facteur assez
petit, savoir +. Et quand on se tromperoit de 4 sur

l'angle horaire, ou de 60° en arc, il n’en résulteroit

542 EXAMEN DES DIFFÉRENTES MANIÈRES

que 2" + sur l’azimut, même au méridien. En choisis-
sant les plus grandes élongations , l’influen ce de l’angle
horaire disparoit.

Le terme qui provient de d D est plus considérable ;
car sir." D est aussi petit que sir. z, et même deux fois
davantage. Il en résulte que dans nos climats 2" d’erreur
sur la déclinaison produiront 2".8 ou 3" sur l’azimut.

Remarquons encore que ces erreurs sont presque cons-
tantes pour deux endroits voisins, et qu’on obtiendra
par conséquent la différence de deux azimuts avec une
très-grande exactitude si l’on calcule pour les deux en-
droits avec les mêmes données.

Pour 8 de la petite ourse sin.” gest +, et cor. D —3 %.

Pour les étoiles dans les environs de l’équateur, il
faut supposer l’angle horaire petit, si l’on veut que

Sin? Z

l’azimut le soit; d’où il résulte que le facteur 7 n’est

que du premier ordre, tandis qu’il étoit du deuxième
ordre pour les étoiles circonpolaires. Lorsque P — 0, le
terme dépendant de JP devient

sin2z sin. (L—D) 46 d'P.sin.(L—D)

QE sin2P° sin: D y sin. D,

Ainsi l’erreur sur l’angle horaire en produit un effet à
peu-près double sur l’azimut dans nos climats ; chaque
seconde de temps 30" sur lazimut.

Lorsque P — go° le même terme devient égal à
— d'P. cos. L. sin.* z,et une seconde de temps ne pro-
duira que 10" sur l’azimut, et ce terme dépendant du
carré de sin. 3 ne change pas de signe le soir et le matin,

D'ORIENTER UNE CHAINE DE TRIANGLES. D43

de sorte que les erreurs ne se corrigent pas, comme
l’avoit déjà remarqué M. Delambre.

Erreurs qui peuvent résulter de la réduction à l'horizon.

Supposons l’objet terrestre dans l’horizon , ce qui est
assez exact, et simplifiera cet examen. On a alors

cosinus de la distance angulaire eñtre\W’objet et l’astre

; FFE des azimuts —= -
Cosinus de la différence cosinus de la hauteur de l’astre:

À 1 cos. distance. sin. hauteur de l’astre
et À (diff. azim.) —— À (hauteur astre).

sin. différ. azim. cos.2 hauteur astre.

En choisissant l’objet terrestre de manière que la dis-
tance angulaire soit de près de 90°, l’influence de l’er-
reur commise sur la hauteur deviendra nulle. En plaçant
une mire dans cette position on obtiendra son azimut
avec une grande exactitude, quelque soit la hauteur de

V’astre : on y rapportera le côté de la chaîne des triangles
dont l’azimut est cherché.

Pour placer l'instrument dans le plan de deux objets,
dont lun est très -élevé.

1). ON placera la lunette supérieure sur zéro, et de
manière qu’elle soit parallèle au petit axe de mouve-
ment, celui qui est ordinairement horizontal, et sur
lequel est fixé le petit quart de cercle ; une vis du pied
doit se trouver perpendiculairement sous la lunette

(à peu-près ).

2). On dirigera cette lunette sur l’objet le moins
élevé, de manière que le petit axe soit aussi dirigé sur

544 EXAMEN DES DIFFÉRENTES MANIÈRES

cet objet: alors cet axe de rotation se trouve dans le
plan de deux objets. 1W

3). Quand il faut hausser ou baisser la lunette pour
voir l’objet, on doit faire ces mouvemens par la vis du
pied, qui se trouve au-dessous de la lunette. Il faudra
de même déplacer un peu le trepied avec tout l’instru-
ment, si l’objet ne se trouve pas dans la lunette; on arrè-
tera après la colonne verticale sur le plateau du pied,
afin que l’axe conserve la position, qu’on vient de lui
donner.

4). Il ne s’agit plus que d’incliner le plan du cercle
de manière qu’en faisant marcher la lunette inférieure
elle passe par le second objet, ce qu’on obtient très-
facilement : on se contente de bornoyer au commence-
ment le long de la lunette , et on achève avec la vis sans
fin lorsque l’objet est déjà dans le champ.

5). Pour lazimut avec la polaire, le signal étant
toujours à peu-près horizontal , le cercle doit être incliné
de 45°, ou de l’angle — hauteur du pole.

6). Les vis du pied (leur partie utile) est à peu-près à
du rayon, par conséquent on peut incliner le plateau
horizontal de 9° à 10°, et on pourroit diriger le petit axe
sur l’objet le moins élevé, quand même il le seroit de 9°.

7). Dans les observations d’azimut du soleil on dirige

Vaxe sur l’objet terrestre , et on suit le soleil en baissant
U .

le plan du cercle par la vis sans fin du petit quart de

D'ORIENTER UNE CHAINE DE TRIANGLES. 543
cercle, et en faisant marcher la lunette en même temps :
on voit que l'étoile polaire est plus commode.

8). Dans la pratique l’objet se ramène toujours par
les vis du pied, l’astre par la vis sans fin du quart de
cercle; il est vrai que cette vis n’existoit pas dans les an-
ciens cercles .Néanmoins la polaire pouvoit s’observer de
cette manière, sa hauteur changeant peu, et la correction
qui en résulte pouvant s’obtenir par les vis du pied.

9). Quand les deux objets sont si élevés que’les vis du
pied n’en peuvent atteindre aucun, alors on estimera
le point où le plan passant par les deux objets coupe
l'horizon , et on dirigera l’axe transversal sur ce point.
Comme on peut hausser ou baisser cet axe par les vis du
pied , on obtiendra bientôt que le plan du cercle passe
par les deux objets.

1809. 69

546 sur L'ÉTAT PRÉSENT DE L'ANATOMIE

COUP D'ŒIL

Sur l’état présent de l Anatomie et de la Physiologie
végétales ,

Par M. M:RrBEL.

Lu à la séance publique le 2 janvier 1810.

Avaxr d'exposer l’état actuel d’une science, il faut
porter ses regards en arrière, et considérer quels furent
son origine, sa marche, ses écarts et ses progrès.

Les monumens littéraires de l’antiquité prouvent que
Théophraste est le premier qui ait parlé du règne végétal
en philosophe et en naturaliste. L'étude des plantes,
dit-il, embrasse leurs formes extérieures , leur organi-
sation interne, et les phénomènes de leur végétation.
Sans doute il est impossible d'indiquer avec plus de jus-
tesse le but qu’on doit se proposer dans cette étude ; mais
Théophraste manquoit de faits pour appuyer sa doctrine,
et le génie ne put suppléer à l’observation.

Après Théophraste , on négligea l’anatomie végétale,
et, pendant une longue suite de siècles, on n’examina
que les formes extérieures, c’est-à-dire, que les carac-
ières qui servent de base à la botanique proprement dite.

Enfin, dans le cours du dix-septième siècle, période
mémorable durant laquelle l’Europe atteignit à tous les

ET DE LA PHYSIOLOGIE VÉGÉTALES. 947
genres de gloire, deux observateurs, l’un en Italie,
l’autre en Angleterre, ne se connoissant pas même de
réputation, conçurent et exécutèrent le dessein d’étu-
dier, à l’aide du microscope nouvellement inventé , les
organes intérieurs des plantes et les phénomènes les plus.
cachés de la vie végétale. Malpighi et Grew (ce sont
eux dont je parle) publièrent en même temps leurs im-
mortels travaux; et l’on fut surpris de voir paroître à
la fois, deux ouvrages si profonds, sur une matière né-
gligée , ou pour mieux dire , inconnue jusqu’alors. Mais
ce qu’on n’aperçut pas d’abord, c’est que Malpighi et
Grew, étrangers à l’étude de la botanique, et trop
préoccupés des phénomènes de l’organisation animale,
à l’exemple de Théophraste, transportent souvent dans
la physiologie végétale, des opinions qui ne sont appli-
cables qu’aux animaux, et attribuent aux plantes une
organisation beaucoup plus compliquée qu’elle ne l’est
réellement. Cette fausse manière de voir exerça, dans le
siècle suivant, une influence pernicieuse sur les idées
des observateurs; car les erreurs du génie sont des
chaînes qui arrêtent l’essor de l'esprit humain.

La réputation , si bien méritée de Hales, de Charles
Bonnet et de Duhamel, ne me permet pas de les con-
fondre dans la foule, et cependant je remarquerai que
ces savans, tout entiers à leurs belles expériences de
physique végétale , n’avancèrent point l’anatomie.

Théophraste vouloit que l’on comparât les diverses
espèces “de plantes sous les trois points de vue de la
botanique ; de Panatomie et de la physiologie ; mais il

548 suR L’ÉTAT PRÉSENT DE L’ANATOMIE

falloit pour qu’on pût entreprendre ce grand travail avec
espoir de succès, que les Tournefort, les Linné , les
Adanson, les Jussieu et tant d’autres excellens esprits
qui travaillèrent à perfectionner la botanique , eussent
classé les espèces selon des principes dont la clarté
et l’évidence ne laissent presque rien à desirer; cet
objet rempli, il restoit à prouver que Théophraste ne
s'étoit pas abusé, et qu’en effet il étoit possible de
trouver, dans l’organisation interne des plantes et dans
les phénomènes de la végétation , des caractères propres
à distinguer les différens groupes du règne végétal. Cette
preuve ne tarda pas. Un naturaliste (1), membre de
cette classe, de retour d’un voyage en Afrique, où il
avoit observé à loisir le palmier-dattier , si différent des
arbres de nos climats, fit un heureux essai de la doctrine
du Philosophe grec, et ouvrit une carrière nouvelle dans
une science qui, grâces aux travaux de tant d'hommes
illustres , sembloit ne devoir offrir désormais que lap-
plication facile des principes qu’ils avoient découverts.
Les détails dans lesquels je vais entrer, relativement à
ce travail, sont une introduction nécessaire pour l’intel-
ligence des faits que je dois exposer bientôt.

On sait qu'un gland de chêne, qu’une graine de ha-
ricot produisent, en germant , deux feuilles courtes ;
épaisses, opposées. On sait encore que la graine de
l'oignon , de la jacinthe , du palmier donne naissance à
une seule feuille alongée et cylindrique. Delà deux

G).M, Desfontaines, auteur de /a Flore du Mont-Atlas.

ET DE LA PHYSIOLOGIE VÉGÉTALES. 549

grandes classes de végétaux; les uns à deux feuilles sé-
minales ou dicotylédons ; les autres à une feuille sémi-
nale ou monocotylédons.

Les dicotylédons sont ordinairement branchus ; leurs
feuilles sont presque toujours relevées de nervures diver-
gentes et retrécies à leur partie inférieure.

Les monocotylédons sont souvent dépourvus de ra-
meaux, et dans la plupart des espèces , les feuilles , mar-
quées de nervures fines et parallèles, embrassent la tige
par leur base élargie.

Voilà ce que les botanistes avoient remarqué; mais
ces différences étoient légères , eu égard à celles que de-
voit offrir la comparaison des organes intérieurs.

Si Pon examine la tranche horizontale du tronc d’un
de nos arbres forestiers , on voit au centre un tissu lâche
auquel on a donné le nom de moëlle ; à la circonférence,
une écorce épaisse; dans la partie intermédiaire, des
couches de bois qui forment des zônes concentriques,
et du centre à la circonférence, des rayons médullaires
semblables aux lignes horaires d’un cadran. Mais si l’on
examine la coupe horizontale d’un dattier, ou de tout
autre végétal, à une seule feuille séminale , on reconnoît
que la moëlle forme la majeure partie de la tige; que
le bois est composé de longs filets disséminés dans le
tissu médullaire , et qu’il n’y a point de rayons prolon-
gés du centre à la circonférence ; enfin , si l’on considère
dans leur développement les végétaux à couches con-
centriques et ceux à filets longitudinaux , on reconnoît
que les premiers s'élèvent par la formation de nouvelles

550 SUR L’ÉTAT PRÉSENT DE L’'ANATOMIE

couches produites à la circonférence , et les seconds par
la multiplication et l’alongement des filets du centre.

Voici donc l’anatomie et la physiologie qui confirment
pleinement la distinction que les botanistes ont établie
entre les plantes à une feuille et à deux feuilles sémi-
nales. La belle série d'observations sur laquelle. repose
cette découverte , est la première application que l’on ait
faite de la doctrine de Théophraste, et peut-être la plus
heureuse que l’on fera jamais.

Qu'il me soit permis maintenant d’exposer en peu de
mots les principaux phénomènes dont l’examen a été
Pobjet particulier de mes études (1). Ce que je vais dire
se lie naturellement à ce qui précède.

Ce seroit une grande erreur de croire avec quelques
physiciens du dernier siécle, gens plus inclins à ima-
giner des systèmes, qu’attentifs à observer la Nature,
que les plantes ont un cœur, des artères, des veines,
des fibres, des muscles; en un mot, qu’il ne leur manque
que l’organe du sentiment pour ressembler à des animaux
d’une organisation très - compliquée. Les plantes sont
toutes entières formées d’un tissu membraneux , com-
posé d’une multitude innombrable de cellules qu’on
seroit tenté de prendre pour de petites vessies collées les
unes aux autres. Quelques cellules cependant sont façon-
nées en tubes déliés, et parcourent le végétal dans sa
longueur. Les fluides s’élèvent dans ces espèces de vais-
seaux , et leur marche à travers le tissu, est facilitée par

QG) Voyez Théorie de l’organisation végétale. (Paris 1809).

ET DE LA PHYSIOLOGIE VÉGÉTALES. 55i

les ouvertures et les fentes nombreuses dont les tubes et
les cellules sont souvent criblés. Il y a même des tubes
qui sont découpés circulairement, de manière à présenter,
dans leur ensemble , un fil roulé en tire-boure. Malpighi
les considéroit comme les poumons des plantes, parce
qu’ils ont quelque ressemblance avec les organes de la
respiration dans les insectes ; mais de nombreuses obser-
vations m'ont prouvé que ce sont les principaux canaux
du suc séveux dont le végétal puise les élémens dans la
terre et dans l’air.

Les cellules du tissu des feuilles s’allongent extérieure-
ment en petits tuyaux qui donnent , à l’épiderme de cer-
taines plantes, l’apparence d’une étoffe de laine ou de :
soie. Ces cellules allongées sont les suçoirs dont la Nature
a pourvu les végétaux.

Une partie de la sève se dissipe par la transpiration
insensible ; une autre va former les huiles et les résines
qui remplissent de grandes cavités pratiquées dans le
tissu cellulaire de la moëlle et de l’écorce ; une troisième
produit la liqueur mucilagineuse , le c4yle végétal qui
nourrit et développe le tissu de la plante.

Mais quelle force attire, dans les vaisseaux, les fluides
de la terre et de ’air? Un arbre mort ne paroît pas différer
par son organisation , d’un arbre pleinde vie, et toutefois,
ce seroit en vain qu’on plongeroit ses racines dans l’eau j
le fluide ne s’élèveroit point dans le. tissu au-dessus de
son propre niveau. Les végétaux vivans jouissent donc
d’une force qui est inhérente à la nature de leurs organes;
et jusqu’à ce jour nous n’avons fait que d’infructueuses

552 SUR L'ÉTAT PRÉSENT DE L’'ANATOMIE:
tentatives pour expliquer les phénomènes de leur végé-
tation par les lois ordinaires de la physique.

Où réside cette force dont nous connoissons quelques
effets, quoique son principe nous soit tout-à-fait inconnu?
Seroit-ce essentiellement dans la racine? Non, car une
branche privée de racine et mise dans la terre ne tarde
pas à se développer. Seroit-ce dans la moëlle? Nulle-
ment, car je puis enlever la mnoëlle d’un arbre sans que
sa végétation s’arrète. Seroit-ce dans le bois? Je ne le
saurois croire, car le boïs est une partie endurcie qui
jouit tout au plus d’une vie passive. Seroit-ce enfin dans
l'écorce ? Je n’en puis douter ; car si je plante une bran-
che dépouillée de son écorce, elle se dessèche et meurt.

On conçoit néanmoins que la force vitale (c’est ainsi
que nous désignons cette force incompréhensible), ne
réside pas dans la partie extérieure des vieilles écorces,
qui est rude et desséchée, mais seulement dans cette
partie interne , fraîche et molle, à laquelle on a donné
le nom de liber. Les boutons, les feuilles, les jeunes
branches, les jeunes racines, sont des expansions du
liber. Ils communiquent avec le centre du végétal par
les vaisseaux de la moëlle, et, comme des pompes aspi-
rantes, ils élèvent dans les longs canaux du bois, les
fluides et les gaz enlevés à la terre et à l’atmosphère.
Cette succion , qui a lieu pendant que la douceur de la
température entretient la force vitale , répare sans cesse
les pertes abondantes occasionnées par la transpiration.

Le liber est donc l'organe essentiel des développe-
mens; et nous allons voir par quel artifice la Nature

sn à

“

ET DE LA PHYSIOLOGIE VÉGÉTALES. 553

prolonge la vie des espèces ligneuses, et comment se
peuvent concilieravec les lois de la végétation , l'énorme
accroissement et la longue durée de certains arbres dont
la naissance paroît être antérieure à tous les monumens
historiques.

Vers l’arrière saison , une plante annuelle sèche sur
pied et périt. À cette mème époque , un arbre se dépouille
de son feuillage , mais il reverdit l’année suivante et re-
produit des feuilles, des fleurs et des fruits. La cause de
ce phénomène est dans l’existence du liber. Cette portion
interne de l’écorce , abreuvée par la sève et transformée
en bois pendant la belle saison, est remplacée bientôt
par un nouveau liber, humide et souple comme une
herbe dans sa première croissance. Le nouveau liber,
caché sous la partie la plus extérieure de l’écorce qui le
met à labri des rigueurs de l’hiver, n’attend que la
douce influence du printems pour couronner l’arbre de
sa parure annuelle. Chaque liber est donc tout-à-fait
comparable à l'herbe qui naît, se développe, fructifie et
meurt dans l’espace de quelques mois ; aussi, peut-on
dire que le tronc de l’arbre est formé par une succession
d’herbes qui se recouvrent les unes les autres, et que
les couches du bois marquent.la suite des générations
qui ont brillé tour à tour , etsont allées grossir le squelette
du végétal.

Puisque telles sont les lois de la végétation , bien loin
d’être surpris de la longue durée de l’arbre , on s’étonnera
peut-être qu’il soit soumis à la mort. Maïs, sans par-
ler des maladies accidentelles qui souvent abrègent sa

1809. 70

»

554 SUR L'ÉTAT PRÉSENT DE L’ÂNATOMIE

vie, l’engorgement des vaisseaux, occasionné par la nutri-
tion , en marque le terme inévitable. En effet, lors-
qu’après un temps prolongé plus ou moins, selon la na-
ture du végétal et les circonstances où il se trouve; les
conduits séveux du bois viennent enfin à s’obstruer , la
sève, arrêtée dans son cours, cesse de se porter vers
l'écorce , le liber ne se régénère plus, et arbre meurt
d’inanition.

L’épanouissement des boutons est le premier indice de
la végétation nouvelle. Les boutons s’alongent et se trans-
forment en rameaux chargés de feuilles.

Les feuilles sont quelquefois opposées deux à deux.
C’est ainsi qu’elles se montrent dans l’hortensia. D’autres
fois elles sont isolées et placées de distance en distance,
comme on le remarque dans la giroflée. D’où provient
cette différence? Comment se fait-il qu'ici les feuilles
soient en quelque sorte jetées au hazard, tandis que là
elles sont constamment opposées ? L’anatomie des tiges
fournit une réponse à cette question. Les feuilles isolées,
ou placées de distance en distance, n’ont aucun lien
commun ; mais il n’en est pas de même des feuilles op-
posées : elles ont à leur base une bride interne qui les
unit l’une à l’autre, et fait que leur développement,
quelle que soit la marche de la végétation, ne sauroit
être que simultané.

Cette bride, foible d’abord, se fortifie en vieillissant ;
elle presse les vaisseaux de la tige, elle suspend lécou-
lement du fluide nourricier; elle occasionne des renfle-
mens, des zodus comparables à ceux que nous pouvons

+

ET DE LA PHYSIOLOGTE VÉGÉTALEs, 856
faire naître sur le tronc d’un arbre en le serrant avec un
lien. FREE"
Le pétiole, que l’on nomme communément la queue
de la feuille, cache sous.son épiderme » des filets longi-
tudinaux disposés avec un tel art dans la plupart des
plantes , qu’ils se maintiennent tous mutuellement
comme des arcs-boutans et des cordes tendues » et
donnent au pétiole une direction finalgré sa foiblesse
apparente. Maïs quand la Nature veut produire la feuille
mobile du tremble ou du peuplier, elle place les filets du
petiole de manière qu'aucun n’oppose de résistance à la
flexion des autres, et la feuille pendante est agitée par le
plus léger souffle de l’air. |

La fleur est le chef-d'œuvre de la végétation. Elle ren-
ferme les organes reproducteurs.

L’anthère, sachet membraneux dans lequel est con-
tenu la poussière fécondante , offre, dessous l’épiderme
dont il est recouvert, un tissu dont les membranes cou-
pées en petites lanières se dilatent et se contractent sui-
vant qu’elles sont plus ou moins humides. De là vient
que l’anthère s’ouvre par un mouvement élastique et
lance avec force la poussière fécondante.

L’ovairerecellelesjeunes embryons. Un savant Portu-
gais, M. Corréa , que l’Institut Compte parmi ses corres-
pondans les plus distingués, observa il y a quelques
années , les conduits déliés par lesquels s’opère le déve-
loppement du fruit et la fécondation de la graine; et
tandis que cet excellent observateur communiquoit à la
Société Linnéenne de Londres l’exposé de ses décou-

556 SUR L’ÉTAT PRÉSENT DE L’ANATOMIE

vertes, dans Pignorance où j’étois des son travail, je pour-
suivois les mêmes recherches et j’arrivois aux mêmes
résultats (1).

Des filets vasculaires passent de la plante-mère dans
chaque graine et portent aux embryons la nourriture
nécessaire à leur développement. D’autres filets vascu-

laires s'élèvent des . jusqu’à l’extrémité du stig-

QG) Dans mon Traité d Anatomie et de Physiologie végétales, publié en
1801 , on lit le passage suivant:

« On observe dans les ovaires, le tissu cellulaire et le tissu tubulaire, Leur
distribution varie autant qu’il y a d’espèces. Voici cependant un fait inva-
» riable: un ou plusieurs faisceaux de tubes, partis du pédoncule, vont
» former le placenta; ils se prolongent ensuite au-dehors , et produisent les
styles et les stigmates ; les filets qu’ils jettent dans la cavité intérieure
servent de cordons ombilicaux aux ovules. Lorsqu'il y a plusieurs placentas,

»_ il est rare qu’il n’y ait pas plusieurs styles formés par les différens faisceaux

ÿ

y
Ÿ

y
M

» qui se prolongent en divergeant, et lorsque l'exception a lieu, c’est-à-dire,
» lorsqu'il n’y a qu’un style, bien qu’on trouve dans l’ovaire plusieurs pla-
» centas, on voit par lanatomie que les différens faisceaux se réunissent en
» un seul avant de sortir de l'ovaire. Ces tubes communiquent par leur base
» avec les tubes du pédoncule floral, et forment les stigmates à leur extrémité
» supérieure, »

C’étoit ainsi que je m’exprimois en 1801. Depuis, j'ai vu mon opinion
confirmée par celle de M. Corréa. Ce savant a fait imprimer la note suivante
en 1805, dans /es Annales du Muséum , tome VI, page 378.

« Dans tout fruit proprement dit, l’on trouve un faisceau longitudinal de
» fibres et de vaisseaux que l’on peut suivre depuis l’insertion du fruit dans
» le réceptacle jusqu’au stigmate ; les graines sont attachées à ce faisceau ;
» c’est de lui qu’elles proviennent , et c’est par cette voie qu’elles sont proba-
» blement fécondées. Cet organe intéressant, jusqu’à présent négligé par les
» botanistes, je l’appelle cordon péstillaire. W y a environ six ans que j’en
» donnai connoïissance à mes confrères de la société Linnéenne de Londres , et

» je me propose d’en publier incessamment les détails. »

ET DE LA PHYSIOLOGIE VÉGÉTALES. 557

mate, organe femelle sur lequel les mâles versent la
poussière fécondante.

Mais cette liqueur onctueuse et volatile que contient
chaque grain de poussière, cet aura vitalis, ce souffle
vital, pour parler la langue des botanistes, pénètre-t-il
à travers le stigmate ? parcoure-t-il les conduits déliés
qui vont se rendre dans la graine ? arrive-t-il enfin jus-
qu’au fœtus? Sur ce point l’expérience et l’observation
sont muettes: l’extrémité des filets vasculaires se perd
dans un tissu d’une finesse extrème, et l’épiderme du
stigmate ne laisse apercevoir aucune ouverture. Ainsi,
dans les plantes, de même que dans les animaux, la
Nature a caché le mystère de la fécondation sous un voile
que la main de l’homme ne peut soulever.

Peu de temps avant la fécondation, l’organe femelle
de certaines plantes laisse écouler une liqueur odorante
et visqueuse , et lorsque la fécondation est opérée, l’écou-
lement s’arrête ; mais ce n’est pas , comme pensoit
Linnæus , parce que la liqueur est un des principes fé-
condans , c’est parce qu’elle va nourrir le fruit , et cesse
de se répandre en pure perte dès que l’embryon a recu
l'impulsion vitale (1).

L’embryon est une plante en miniature. On y aperçoit
une racine et une ou deux feuilles séminales. Lorsqu'il
ne paroît qu’une feuille , c’est parce qu’elle forme une
gaîne dans laquelle sont renfermées les autres ; et dès-

(G) Consultez le Mémoire sur l’organisation de la fleur , imprimé dans les

Mémoires de l’Institut, premier semestre de 1808.

558 SUR L'ÉTAT PRÉSENT DE L’ANATOMIE, etc.

lors on est assuré que la plante aura des feuilles engai-
nantes, et que la tige sera formée de filets longitudinaux.
disséminés dans la moëlle. ; f

Lorsque, au contraire, l’embryon présente deux ou
plusieurs feuilles séminales , il devient très-probable que
les autres feuilles ne seront pas engaînantes, et il est
certain que la tige offrira des couches concentriques et
un canal médullaire,

Nous voici donc revenus au point d’où nous sommes
partis, après avoir parcouru rapidement plusieurs des
phénomènes les plus importans de l’économie végétale.

On peut juger , d’après cet aperçu, qu'aujourd'hui
l’objet principal du physiologiste doit être de découvrir
les rapports des formes extérieures avec l’organisation
interne , et d'étendre, s’il se peut , le système d'anatomie
comparée des végétaux. Ces recherches, qui intéressent
à la fois la physique générale, la botanique et l’agricul-
ture , sont très-longues et très-pénibles : l’extrème peti-
tesse des objets y apporte de grandes difficultés; mais
le microscope nous découvre les merveilles de ce monde
inconnu , et ce n’est pas sans admiration que nous re-
trouvons dans les moindres parcelles des plantes, l’em-
preinte de cette sagesse infinie qui préside à l’arrange-
ment de l'Univers.

# *

SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES ; etc. 559

SUPPLÉMENT AU MÉMOIRE

Sr Les approximations des formules qui sont
fonctions de très-grands nombres.

Par M. LaPprAce.

J'ai fait voir dans l’article VI de ce Mémoire, que si
Von suppose dans chaque observation, les érreurs posi-
tives et négatives également faciles; la probabilité que
l'erreur moyenne d’un nombre z d’observations sera

c Fe k x
comprise dans les limites + —., est égale à

EE 71 Kk
2 k — — a
PT are an:

F

k est l’intervalle dans lequel les erreurs de chaque ob-

servation peuvent s'étendre. Si l’on désigne ensuite par

? (+) la probabilité de l'erreur + x, k est l’intégrale

fdzx. e(+) étendue depuis æ = — + x, jusqu’à Ga
= À A; K'est l'intégrale f . dx. @ on prise dans le
même intervalle: 7 est la demi-circonférence dont le
rayon est l’unité , et c est le nombre dont le logarythme
hyperbolique est unité.

Supposons maintenant qu’un mème élément soit donné
par z observations d’une première espèce, dans laquelle

560 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

la loi de facilité des erreurs soit la même pour chaque
observation ; et qu’il soit trouvé égal à 4 par un milieu
entre toutes ces observations. Supposons ensuite qu’il
soit trouvé égal à 4 + g, par 7’ observations d’une
seconde espèce , dans laquelle la loi de facilité des er-
reurs ne soit pas la même que dans la première espèce ;
qu’il soit trouvé égal à 4 + g' par x" observations d’une
troisième espèce , et ainsi de suite ; on demande le milieu
qu’il faut choisir entre ces divers résultats.

Si l’on suppose que 4 + x soit le résultat vrai; l’er-
reur du résultat moyen des observations 7, sera — x,
et la probabilité de cette erreur sera , par ce qui précède,
k

1 Æ dr — —
— —.—,C ?2k
Ve: 2k' dx 3
on a ici,
rh
DE :
Vz

ce qui transforme la fonction précédente dans celle-ci,

a 7 | Ci j PS HT
Vr

a étant égal à — Lee
8 k ” 2 k'

L'erreur du résultat moyen des observations 7’,
est + (g—zx), le signe + ayant lieu, si g surpasse x,
et le signe — , s’il en est surpassé. La probabilité de

cette erreur est

E ! F7 —na2.(q— x).
«a Var, c à

Vs

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-CRANDS NOMERES. 561

a' exprimant par rapport à ces observations, ce que a ex-
prime relativement aux observations 7.

Pareillement l’erreur du résultat moyen des obser-
vations 7" est Æ (9 — x), et la probabilité de cette

erreur est

LAN AT CE
V7
a" étant ce que devient a relativement à ces observa-
tions ; et ainsi du reste.

Maintenant, si l’on désigne généralement parF(— x),
Y'(g—zx),+F'(g' — zx), etc. ces diverses probabilités ;
la probabilité que l'erreur du premier résultat sera —,
et que les autres résultats s’écarteront du premier , res-
pectivement de gs q'r. etc., sera par la théorie des pro-
babilités, égale au produit Fc). E. (2x).
(g'— x), etc. ; donc si l’on construit une courbe dont
l’ordonnée y soit égale à ce produit , les ordonnées de
cette courbe seront proportionnelles aux probabilités des
abscisses , et par cette raison nous la nommerons courbe
des probabilités.

Pour déterminer le point de l’axe des abscisses où
l’on doit fixer le milieu entre les résultats des observa-
tions z,7', n',etc.; nous observerons que ce point est
celui où l’écart de la vérité, que l’on peut craindre , est
un minimum ; or de même que dans la théorie des pro-
babilités , on évalue la perte à craindre , en multipliant
chaque perte que l’on peut éprouver, par sa probabilité,
et en faisant une somme de tous ces produits ; de même
on aura la valeur de l’écart à craindre, en multipliant

1809. 71

562 SUR LES APPROXIMATIONS DES FORMULES

chaque écart de la vérité, ou chaque erreur abstraction
faite du signe, par sa probabilité, et en faisant une somme
de tous ces produits. Soit donc / la distance du point
qu’il faut choisir, à l’origine de la courbe des probabi-
lités , et z l’abscisse correspondante à y , et comptée de
la même origine ; le produit de chaque erreur par sa
probabilité , abstraction faite du signe , sera (/—z). y,

depuis 4—o, jusqu’à z— /, et ce produit sera (z—/). y,
depuis z — /, jusqu’à l'extrémité de la courbe; on
aura donc

SG— 2). dz +f[(z— Ù). y. dz

pour la somme de tous ces produits, la première inté-
grale étant prise depuis z nul jusqu’à z — 7, et la se-
conde étant prise depuis z — / jusqu’à la dernière va-
leur de z. En différenciant la somme précédente par rap-
port à /, ilest facile de s’assurer que l’on aura

dif y dz — di. [y da

pour cette différencielle, qui doit être nulle dans le cas
du minimum ; on a donc'alors

J'ydz-= Nes

c’est-à-dire que l’aire de la courbe , comprise depuis z
nul jusqu’à l’abscisse qu’il faut choisir, est égale à Paire
comprise depuis z égal à cette abscisse, jusqu’à la der-
. x “ . » .
nière valeur de z ; l’ordonnée correspondante à l’abscisse
qu’il faut choisir, divise donc Paire de la courbe des pro-

QUI SONT FONCTIONS DE, TRÈS-GRANDS NOMBRES. 463
babilités , en deux parties égales. ( Woyez Les Mémoires
de l Académie des Sciences , année 1778 , page 324).

Daniel Bernouilli, ensuite Euler ét M. Gauss, ont
pris pour cette ordonnée , la plus grande de toutes. Leur
résultat coincide avec 1er précédent, Jorsque! cetté plus
grande ordonnée divisé l’aire de la courbe en ‘deux par:
ties égales , ce qui, comme on vale voir, à lieu dans la
question présente ; mais dans le cas général, il me paroît
que la manière dont je viens d’envisager la chosé , ré-
sulte de la théorie même des probabilités.

Dans le cas présent on a, en faisantzx —X +3,

VE: P' p'-etc. cer (Aa)a—p'a rm (q— Xe — pau m. (g'—X—z)i— etc.
a VA
V F

plus grande probabilité du. résultat donné par les ob-

p étant égal à ; et par conséquent , exprimant la

servations 7;p' exprime pareillementla plus grande ordon-
née relative aux observations 7", et ainsi du reste. 7° pote
yant sans erreur sensible, s NN depuis — ©. jusqu’à
—+ « , comme on l’a vu dans l’article Vite Mémoire
cité; on peut prendre z dansles mêmes limites, et alors si
l’on choisit X de manière que la première puissance de z
disparoisse de l’exposant de c; l’ordonnée y çorrespon-
dante à z nul , divisera l’aire de la courbe en deux
parties égales, et sera en même temps la plus grande or-
donnée. En effet, on a dans ce cas

UE

He Pt SE pet pSb-peteg iront

564 SUR LES APPROXIMMTIONS DES FORMULES

et alors y prend cette forme

NE Pr pl D EeN a TATNE

d’où il suit que l’ordonnée qui répond à z nul est la
plus grande, et divise Paire entiere de la courbe, en par-
ties égales. Ainsi 4 + X est le résultat moyen qu’il
faut prendre entre les résultats 4, 4 + 0, 4+ q', etc.
La valeur précédente de X est celle qui rend un mini-
mum , la fonction

(p: ÆY (Pig AE (PP) REP ER

c’est-à-dire Ja somme des carrés des erreurs de chaque
résultat, multipliées respectivement par la plus grande
ordonnée de la courbe de facilité de ses erreurs. Aïnsi
cette propriété qui n’est qu’hypothétique, lorsque l’on
ne considère que des résultats donnés par une seule ob-
servation ou par un petit nombre d’observations, de-
vient nécessaire, lorsque les résultats entre lesquels on
doit prendre un milieu, sont donnés chacun par un
très-grand nombre d’observations, quelles que soient
d’ailleurs les lois de facilité des erreurs de ces obser-
vations. C’est une raison pour l’employer dans tous
les cas.

On aura la probabilité que l'erreur du résultat 4+ X
sera comprise dans les limites + Z , en prenant dans ces
limites l’intégrale fdz c—N\*#, et en la divisant par la
même intégrale prise depuis z = — « , jusqu’à 3 =.

QUI SONT FONCTIONS DE TRÈS-GRANDS NOMBRES. 565

Cette dernière intégrale est Age ; en faisant donc
VAN
zVN— £, et Z VN— T'; la probabilité que l’er-
reur du résultat choisi 4 + X sera comprise dans les
DUB T
limites + ——, sera
VW
CAYRCR TS
V F
l'intégrale étant prise depuis z nul, jusqu’à 4— 7. La
valeur de N'est, par ce qui précède,

7. (p° + p° + p'° + etc.).

FIN DU VOLUME DE 1809.

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