Méthodes et théories pour la résolution des problèmes de constructions géométriques: avec ...

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040: : |aMiU |cMiU
041:1: lafre |hdan
100:1: I a Petersen, Julius, |d 1839-1910.

245:00: | a Méthodes et théories pour la résolution des problèmes de
constructions géométriques, | b avec application à plus de 400 problèmes, | c
par Juiius Petersen. Tr. par O. Chemin.
250: : I a 2. éd.

260: : | a Paris, | b Gauthier-Villars & fils; | a Copenhague, 1 b A. F. H0st &
fils, |cl892.

300/1: : |a4 p. L., 110 p.,1 L. |bdiagrs. |c21cm.
650/1:0: jaGeometry | x Problems, exercises, etc.
700/1:1 : j a Chemin, Octave, | d 1844- | e tr.
998: : |cRSH | s 9124

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MÉTHODES ET THÉOIIES

POUR LA RÉSOLUTION DES PROBLÈMES
DE

CONSTRUCTIONS GlOMÉTHIQUES

AVEC APPLICATION A PLUS DE 400 PROBLÈMES

PAR

JULIUS PETERSEN

PROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE COPENHAGUE
TRADUIT PAR

O. CHEMIN

DEUXIEME EDITION

GAUTHIER -VILLARS & FILS IMPRIMEURS- LIBRAIRES
55, QUAI DES GRANDS-AUGUSTINS

COPENHAGUE

ANDR.-FRÉD. U0ST & FILS, ÉDITEURS

{Tous droil! rUervUj

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COPENHAGUE. -

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AVERTISSEMENT DU TRADUCTEUR

pour la première édition

\Jn a publié en France un assez grand nombre de recueils
de théorèmes et de problèmes de géométrie: quelques-uns
sont accompagnés d'un résumé des solutions; mais on peut
dire d'une manière générale que, dans aucun d'eux, on ne
s'est attaclié spécialement aux problèmes de construction
proprement dits et à la méthode à suivre pour les résoudre.

Tout le monde sait pourtant quelles difficultés ils pré-
sentent souvent, alors même qu'ils paraissent le plus simples.
Tous les professeurs ont vu l'embarras des élèves, leurs hési-
tations et leur tâtonnements infructueux quand ils se trouvent
aux prises avec une de ces questions dont la solution n'est
pas une conséquence plus ou moins immédiate des théorèmes
qu'on leur enseigne dans les cours.

Nous croyons qu'il faut en voir la cause dans l'absence
complète de méthode qui préside aux recherches. j^No us avons
à coup sûr d'excellents ouvrages pour l'enseignement^ de la
géométrie élémentaire; maïs, jusqu'ici, on ne s'est pas ". pré-
occupé d'une manière spéciale de la résolution des problèmes
et, il faut bien le dire, dans les quelques ouvrages publiés
sur cette matière et qui sont dans les mains des élèves, on
ne paraît pas s'être attaché à leur apprendre comment ils
doivent procéder méthodiquement pour avoir chance de
trouver les solutions qu'ils cherchent.

C'est cette lacune que M. Petersen s'est proposé de combler.
Un simple examen de l'ouvrage actuel montrera sans peine
qu'il ne s'agit pas ici d'un recueil comme tant d'autres et ne
contenant que des problèmes plus ou moins nouveaux, plus
ou moins intéressants.

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L'autear au contraire n'a eu qu'un but unique: mettre
les méthodes bien en évidence; et les nombreux exemples
qu'il a donnés, la plupart sans solutions, n'ont d'autre objet
que de forcer les élèves à s'assimiler les principes généraux
qu'il énonce, en les appliquant à des questions judicieusement
choisies. Aussi ce petit livre renferme-t-il beaucoup plus de
choses importantes que sa taille exiguë ne pourrait le faire
croire au premier abord.

Sur la demande de l'auteur, nous en avons entrepris la
traduction avec d'autant plus de plaisir que sa lecture nous
avait plus vivement intéressé. Nous avions surtout été ex-
trêmement frappé de voir des problèmes célèbres, comme
celui de Malfatti, résolus d'une manière aussi élémentaire que
nouvelle et ingénieuse. Le lecteur éprouvera certainement
la même impression que nous, quand il aura pris connaissance
des Chapitres II et III, et vu avec quelle élégance sont traitées
les difficiles questions des n"*' 200, 201, 403 et 404. La matière
du Chapitre 111 est nouvelle et nous attirerons spécialement
l'attention sur la simplicité des solutions auxquelles elle
conduit d'une manière naturelle et presque intuitive.

L'ouvrage de M. Petersen a, depuis 1866, rendu les plus
grands services à l'enseignement de la géométrie dans le Dane-
mark et les pays voisins. On le traduit actuellement en
anglais, en allemand et en italien.*)

Nous le croyons appelé au plus utile avenir en France
et nous nous estimerons heureux, si sa vulgarisation peut
aider au développement du goût des études géométriques
chez les jeunes gens, en leur montrant qu'une méthode sage-
ment conçue et judicieusement appliquée fournit aisément les
moyens de vaincre des difficultés, dont souvent le hasard ou
une sagacité innée pourraient seuls donner la clef.

Paris, Novembre i8']ç

') En allemand (Copenhague 1879), en italien (Copenhague 1881), ^
(Copenhague 1879).

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PREFACE

de la première édition

Jrlusieurs siècles avant l'ère chrétienne, la géométrie était
déjà arrivée à un très haut degré de développement. L'Al-
gèbre, qui lui a rendu plus tard de si grands services, avait
progressé plus lentement; aussi les anciens en étaient-ils à
peu près exclusivement réduits aux méthodes géométriques
pour résoudre les problèmes de construction et la solution
de ces questions jouait-elle un rôle important dans leurs ou-
vrages. Quoique les mathématiciens modernes n'aient pas cessé
de s'intéresser à cette branche de la science, les moyens de
traiter rationnellement cette classe de problèmes se sont dé-
veloppés d'une manière relativement moins rapide. Apollonius,
par exemple, aurait aussi bien pu que Steiner résoudre le
problème de Malfatti, s'il en avait eu connaissance. Cette
situation a été cause que beaucoup de personnes ont considéré
les problèmes de constructions géométriques comme des sortes
d'énigmes dont la solution ne pourrait guère être tentée que
par quelques esprits doués de facultés toutes spéciales. Il
en est résulté que ces questions ont à peine pénétré dans
les écoles où pourtant elles auraient tout naturellement dû
être cultivées; car il n'existe pas de problèmes qui servent
autant à aiguiser la faculté d'observation et de combinaison
et à donner à l'esprit de la clarté et de la logique; il n'y
en a pas qui présentent autant d'attrait pour les élèves.

L'ouvrage actuel a pour objet d'essayer d'apprendre à
ces derniers comment on doit attaquer un problème de con-
struction. Après avoir résolu un grand nombre de questions,
les unes originales, les autres extraites des nombreuses col-

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lectîons existantes, j'ai essayé d'analyser l'enchaînement des
idées qui conduisent à la solution de chacune d'elles et d'en
faire une classification sous forme de règles générales. S'il
se trouve que mes solutions diffèrent de celles des autres
auteurs et si, dans certains cas, elles paraissent plus compli-
quées, c'est que j'ai préféré celles qui sont méthodiques à
celles qui semblent dues à un hasard heureux. L'objet que
j'ai principalement en vue, c'est la méthode; dans la plupart
des cas, je n'ai fait qu'indiquer la clef de la solution et j'en
ai laissé la discussion détaillée au lecteur ou au professeur.

Il y a très peu de figures dans le texte; on comprend
bien mieux une figure et on se la rappelle bien plus facile-
ment quand on l'a vue pendant la période de la construction.
Mon idée, c'est de forcer les élèves à travailler le présent
ouvrage et non pas simplement à le lire.

Les „Méthodes et Théories" ont été publiées pour la
première fois en 1866 et en langue danoise. Ce livre a donc
été soumis à une épreuve complète et j'ose dire qu'il l'a subie
avec succès. Il y a bien des preuves de l'influence heureuse
qu'il a exercée sur l'étude de la géométrie, non seulement
en Danemark, mais aussi dans les autres étals Scandinaves.
Le succès qu'il a eu ici justifie suffisamment, je' pense, mon
désir de le répandre au dehors dans un cercle plus étendu
de lecteurs. J'espère qu'on le trouvera utile, non seulement
pour aider à l'enseignement de la géométrie élémentaire, mais
encore pour préparer à l'étude de la géométrie moderne.

Copenhague 18 "j g

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INTRODUCTION

Les propositions de géométrie se présentent sous deux
fortnes distinctes. Ou bien elles expriment qu'une fig;ure qui
a été tracée d'une certaine manière, déterminée à l'avance,
satisfait à certaines conditions. Ou bien elles demandent qu'on
trace (qu'on construise) une ligTire de manière qu'elle remplisse
certaines conditions données. Dans le premier cas, on a le
théorème', dans le second, \& problème.

Comme la solution des problèmes doit se traduire graphi-
quement par un dessin, il faut recourir à l'emploi de quelques
instruments. Habituellement, on ne se sert que de la règle, à
l'aide de laquelle on peut tracer une droite passant par deux
points donnés, et du compas qui permet de décrire autour
d'un centre donné un cercle de rayon donné. Une solution
quelconque se composera donc pour nous de ces deux opéra-
tions (une ou plusieurs fois répétées).

Cette restriction a pour conséquence que beaucoup de
problèmes, simples en apparence, ne pourront pas être résolus
(trisection de l'angle, quadrature du cercle, &Ci). En général,
on peut démontrer qu'il en sera ainsi pour ceux où le calcul
.conduirait à des équations qui ne peuvent pas se ramener
au premier ou au second degré.

Un problème est suraboni^mment déterminé, quand la
figure cherchée est soumise à plus ^e conditions qu'il^n'en
faut pour la déterminer; il est déterminé, quand il ne com-
porte qu'un nombre 6ni de solutions ; enfin il est indétertttiné,
quand il en admet un nombre infini.

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2 IHTRODtCTiOK.

Pour résoudre un problème déterminé, il faut:

Effectuer la construction

Dém-ontrer qu'elle est exacte

La discuter^ c.-a.-d. indiquer les limites entre lesquelles
les données doivent être comprises pour que le problème
admette o, i, 3, &c. solutions.

Parmi les problèmes indéterminés, ceux qui deviendraient
déterminés par l'adjonction é'une seule condition en plus, pré-
sentent un intérêt tout particulier. Quoiqu'un pareil problème
ait une infinité de solutions, îl n'y sera pas satisfait par une
figure quelconque ; mais toutes ses solutions se grouperont d'une
certaine manière, déterminée par les conditions données. Ainsi
un point est déterminé quand il doit satisfaire à deux condi-
tions données; si on ne lui en impose qu'une seule, il devient
indéterminé; mais tous les points qui remplissent cette dernière
condition se trouveront sur une ligne droite ou courbe; on
lui a donné le nom de h'ez{ géométrique des points qui satis-
font à cette condition. Il en est de même d'une figure pour
la détermination de laquelle il manque une condition; car en
général, chaque poinfde la ligure se trouvera dans le même
cas, en sorte que chacun d'eux aura son lieu géométrique.

La Géométrie Analytique fournit une méthode complète-
ment générale pour la résolution des problèmes de géométrie.
Mais par cela même qu'on applique une seule et même mé-
thode aux problèmes les plus différents, il s'en suit naturelle-
ment qu'on doit très-fréquemment faire de grands détours.
Ainsi, dans la Géométrie Analytique, on considère les distances
des points à un couple d'axes qui en général n'ont absolument
rien à faire dans la question. En outre , en appliquant cette
méthode, on parvient aisément à faire mécaniquement les calculs,
sans que cependant on puisse toujours interpréter géométrique-
ment les équations qu'on obtient. Enfin, et c'est peut-être la
raison la plus sérieuse, ces dernières arrivent facilement à un
degré de complication tel qu'il n'est plus possible de les ré-
soudre en pratique.

En raison de ces difficultés qu'on rencontre dans l'appli-
cation directe de la Géométrie de Descartes, on a imaginé

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dans ces derniers temps une grande quantité de méthodes
particulières (fondées sur l'emploi de différents systèmes de
coordonnées, &c.) qui permettent de résoudre individuellement
les problèmes d'une manière plus naturelle et plus élégante; mais
la difficulté s'est reportée maintenant sur le choix de la mé-
thode. On a toutefois créé ainsi une transition entre les pro-
cédés algébriques et ceux purement géométriques. Dans ces
derniers, on tâche de trouver la solution du problème, en
étudiant par la voie géométrique quelles sont les liaisons qui
existent entre les éléments donnés de la figure et ceux qu'on
cherche. Pour faciliter ces investigations, on commence dans
tous les cas \>ar ^esstner tme Jigtire qui représente la solution
cherchée et il ne s'agit plus alors que de l'étudier à l'aide
des théorèmes connus de la Géométrie.

S'aperçoit-on, comme c'est le cas dans un grand nombre
des problèmes les plus simples, que tout se ramène à la dé-
termination d'un point inconnu? La méthode qu'on doit appli-
quer découle immédiatement de ce qui précède.

On considère, en les prenant isolément, les deux
conditions auxquelles le point cherché doit satis-
faire; à chacune d'elles correspondra un lieu géo-
métrique; et si ce sont des droites ou des cercles,
le problème est résolu. Car le point, devant se trou-
ver en même temps sur chacun des deux lieux, doit
se trouver aux points où ils se coupent.

Si les lieux géométriques sont deux droites, le problème
n'admet qu'une solution et ne peut devenir impossible que
si les lignes sont parallèles. Si ce sont deux cercles, ou un
cercle et une droite, le problème admet deux solutions quand
ils se coupent, une quand ils sont tangents; il devient impos-
sible quand ils sont extérieurs l'un à l'autre. Il y a une diffé-
rence qualitative entre ce cas et le précédent, où l'impossibilité
n'était qu'une question de limite.

Quand les lieux géométriques sont d'autres courbes, on
ne peut plus les employer directement pour les constructions
et il faut reprendre la question d'une autre manière. Il faut
toutefois remarquer qu'un point qui est donné par l'in

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d'une droite et d'une conique peut-être déterminé au moyen
d'une droite et d'un cercle, tandis que la construction ne peut
plus s'effectuer si le point est déterminé par l'intersection de
deux coniques indépendantes l'une de l'autre.

La méthode qu'on vient d'indiquer pour les problèmes
les plus simples, peut s'étendre aux plus compliqués. La
règle serait la suivante:

On considérera l'une des conditions imposées à
la figure comme n'existant pas, et l'on cherchera
les lieux géométriques des points de la figure ainsi
rendue indéterminée.

On conçoit aisément qu'il est de la plus grande impor-
tance de connaître beaucoup de lieux géométriques, en tant
que ce seront des droites ou de cercles. Dans le premier
chapitre, nous donnerons les plus importants d'entre eux, avec
un développement détaillé des principales règles énoncées
ci-dessus.

Quand on ne pourra pas appliquer immédiatement les
lieux géométriques, la règle à suivre sera celle-ci: De la fi-
gure tracée on en déduira une autre dans laquelle
la liaison entre les éléments donnés et ceux qu'on-
cherche ressortira plus commodément. Nous traiterons
ce sujet en détail dans le second chapitre.

Dans ce qui suit, pour abréger, nous désignerons un tri-
angle par ABC et les longueurs de ses côtés par a, è, c. La
hauteur correspondant à a s'appellera ha', la médiane ou même
côté (transversale passant par le centre de gravité) sera ?«û.
La longueur de la bisectrice de Z ^ sera w„. r et p sont les
Bayons des cercles circonscrits et inscrits, tandisque /;„, pi,, pc
sont ceux des cercles ex-inscrits (le cercle de rayon p^ est
tangent à a et aux prolongements de b et c). Quand on parlera
d'un quadrilatère ABCD, il faudra se représenter les sommets
dans l'ordre où on les énonce.

Z {a-,b) représente l'angle compris entre deux lignes a et b.

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PREMIER CHAPITRE

LIEUX GÉOMÉTRIQUES

A. Lieux géométriques de points.

a. Le lieu géométrique de tous les points qui
sont à une distance donnée d'un point donné est un
cercle qui a le point donné pour centre et la distance
donnée pour rayon.

CorolL 1. Le lieu géométrique des extrémités des tan-
gentes d'égale longueur d'un même cercle est un cercle con-
centrique au premier.

CorolL 2. Le lieu géométrique des points qui jouissent
de la propriété que les couples de tangentes menées de ces
points à un même cercle comprennent le même angle, est un
cercle concentrique au précédent.

Coroll.-S. Le lieu géométrique des centres de tous les
cercles de rayon donné, tangents à un cercle donné, se com-
pose de deux cercles concentriques au cercle donné et dont
les rayons sont respectivement la somme et la différence des
rayons donnés.

b. Le lieu géométrique de tous les points qui
sont à une distance donnée d'une droite donnée se
compose de deux droites, parallèles à la droite
donnée et situées à la distance donnée de celle-ci.

Coroll. 1. Le lieu géométrique des sommets de tous les
triangles équivalents de même base est une droite parallèle
à cette base; car les triangles ont tous la même hauteur.

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6 LIEUX C.EOMEIRIQCES DE POINTS.

C, Le Heu géométrique de tous les points égale-
ment distants de deux points donnés est une droite,
perpendiculaire à celle qui joint les deux points et
passant par son point milieu.

d. Le lieu géométrique de tous les points à
égale distance de deux droites données se compose
de deux droites perpendiculaires entre elles et qui
bissectent les angles compris entre les deux droites
données.

e. Le lieu gêométriqne de tous les points tels
que les droites qui les joignent aux extrémités d'un
segment donné comprennent un angle donné, est un
arc de cercle qui a pour corde le segment donné.
On dit de l'arc de cercle qu'il est capable de l'angle donné,
et du segment qu'on le voit de tous les points de l'arc de
cercle sous l'angle donné.

Si un point de l'arc a la propriété en question, il doit
en être de même pour tous les autres, puisque tous les angles
sont des angles inscrits dans le même arc. Si l'on mène une
droite qui soit tangente au cercle à l'une des &xtrémités du
segment (ou de la corde), elle fera avec cette corde un angle
égal à l'angle donné, puisque tous deux sont mesurés par le
même arc. On déduit de là la construction suivante: Par
une des extrémités du segment, on mène une droite faisant
avec lui l'angle donné; on a ainsi une tangente; une perpen-
diculaire à cette dernière, menée par le point -de contact,
passera par le centre, qui se trouvera également sur une
perpendiculaire au segment, élevée par son milieu.

L'arc est une demi circonférence, quand l'angle donné
est droit.

Remarque. Quand on ne sait pas de quel côté de la
ligne donnée doit se trouver le point cherché, il faut construire
deux arcs capables de l'angle donné, un de chaque côté de
la ligne. Les deux autres arcs, qui complètent les deux cercles,
correspondent au supplément de l'angle donné. S'il ne s'agît
pas de l'angle compris entre deux lignes, mais de celui qui
s'étend d'une ligne à une autre ligne et si l'on donne un signe

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a ce dernier angle, en regardant comme positive l'une des deux
directions de rotation, le lieu géométrique sera un cercle com-
plet. Etant donné les points A et B, l'angle depuis la ligne
passant par A jusqu'à la ligne passant par B est égal à l'angle
depuis la tangente en A jusqu'à AB.

Coroll. 1. Le lieu géométrique des points milieux de toutes
les cordes menées par un point donné est un cercle; car les
lignes, qui joignent les milieux des cordes avec le centre du
cercle et avec le point donné, forment un angle droit.

Coroll. 2. Dans un cercle, on inscrit des triangles ABC,
ayant un côté commun AB, et dans ces triangles on inscrit
des cercles; le. lieu géométrique des centres de ces derniers
est un arc de cercle qui a AB pour corde et qui est décrit
du milieu de l'arc AB comme centre. Le reste de ce cercle
est le lieu géométrique des centres des cercles ex-inscrits.
En eiïet, de chacun des centres en question on verra AB sous

des angles qui seront égaux respectivement à 1 C et

— C\ et AB sera vu du milieu de l'arc AB sous un angle

égal à TT — C.

f. Lelieugéométriquede F

tous les points dont les distances Z' ^N,

à deux points donnés sont dans / \

un rapport donné 7n:n est une A C B C,

circonférence de cercle.

Soient A, B les points donnés, P un des points cherchés.
Menons les bissectrices intérieures et extérieures de z. APB en
PC et PCj . Nous avons alors :

AC AC, m_ y rPP ~ ""

cb"bc;-^' ^^^^' ^T"

Les points C et C, divisent donc la ligne AB intérieure-
ment et extérieurement suivant le rapport donné et ne changent
pas, quel que soit F. Comme le segment CC, est vu du
point F sous un angle droit, le lieu géométrique de F sera,
(d'après e), un cercle ayant C'C, pour diamètre.

On dit que les points C et Cj divisent harmoniquement

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X GEOMETRIQUES D

AB suivant le rapport m:n, ei le problème se ramène alors
à celui-ci:

Diviser harmoniquement une ligne donnée et
suivant un rapport donné.

Cette construction est effectuée

/■■:;■-.... ^ tians !a figure ci-contre. AD et BE

j j ■■ /""'"--—. ^ sont entre eux dans le rapport donné

/" ' et sont menés parallèlement. BF est

égal à BE. DE et DE coupent alors

AB suivant les points cherchés.

c est un cas particulier de f, oii m =- «.

g. Le lieu géométrique de tous les points, dont
les distances à deux droites données sont entre elles
dans un rapport donné m:n se compose de deux
droites, qui passent par le point d'intersectio'n des
droites données.

Soient

OA

et

OB les lignes

données. Si

un

point P a la pro-

priété requise.

il doit en être de

même pour

tous

îles

; points de OP;

Soit P, l'ur

I d'<

ÎUX,

nous avons;

OP,

A

,P,

P,P,

OP

ÀP

BP~

ou bien
A,P^ _ AP
B^, BP'

On peut donc mener cette ligne dès qu'on
point; et ce dernier peut se déterminer facilement à l'aide de b,
en prenant arbitrairement les deux distances dans le rapport
donné. L'autre ligne se tracera de la même manière; elle se
trouve dans le supplément de AOB. Ces quatre lignes menées
par forment un faisceau harmonique. LTne droite quel-
conque sera en effet coupée par elles en quatre points har-
moniques,

d est un cas particulier de g, où m =-- n.

CorolL Soient données deux droites AB et CD, et soît
proposé de chercher un point P tel que A PAB et A PCD

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soient dans un rapport donné; le lieu géométrique de P est
le même que le précédent; car le rapport des hauteurs est
constant.

h. Le Heu géométrique de te
les caj^s des distances à deux
une différence constante ts- , est
diculaire à la droite qui joint
les deux points.

Soient ^ et B les points donnés,
P un des points cherchés, PD une per-
pendiculaire à ^ fi- Tout point de Pj9
aura alors la propriété requise; Car
prenons Pj par exemple, nous avons:

AÏ\ == AD + P~dI Bp] =

is les points, dont
points donné.s ont
ine droite perpen-

de 1

P.B—P.A = BD — AD

PB — PA = BD — AD.

Construisons un triangle rectangle dont un des côtés soit
a, et décrivons autour de J et B comme centres des cercles
dont les rayons soient respectiven-»nt égaux à l'hypothénuse
et à l'autre côté de ce triangle, la ligne cherchée passera par
les points d'intersection de ces deux cercles. Ici on a sup-
posé P plus éloigné de B que de A.

Coroll. î. Le Heu géométrique de tous les points d'où
l'on peut mener des tangentes égales à deux cercles (ou qui
ont même puissance par rapport aux deux cercles) est une
droite perpendiculaire à la ligne des centres (axe radical, axe
d'égale puissance des cercles); on voit aisément en effet que
les distances des points aux centres des cercles doivent être
telles que la différence de leurs carrés soit égale à la diffé-
rence des carrés des rayons. Quand les cercles 6e coupent,
l'axe radical passe par leurs points d'intersection. Les trois
lignes d'égale puissance (axes radicaux) de trois cercles passent
par te même point, le point d'égale puissance (centre radical).
On détermine aisément par là un point de la ligne d'égale

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lO LIErX GEOMETRIQUES IIE POINTS.

puissance de deux cercles qui ne se coupent pas ; il suffit de
décrire un cercle quelconque qui coupe les deux premiers.

Coroll. 2. Le lieu géométrique des centres des cercles
qui coupent deux cercles donnés, chacun suivant un diamètre
est une droite perpendiculaire à la ligne des centres et -à la
même distance de l'un d'eux que l'axe radical est de l'autre.
Coroll. j. Le lieu géométrique des centres de tous les
cercles qui coupent orthogonale ment deux cercles donnés (c. a. d.
tels que les deux tangentes menées aux cercles en leur point
d'intersection soient rectangulaires) est la ligne d'égale puis-
sance des cercles.

i. Le lieu géométrique de tous les points don
les carrés des distances à deux points donnés on
une somme constante n^, est un cercle qui a son cen
tre au milieu de la ligne qui joint les deux points.

Soient A et B les points don-
nés, P un des points c"herchés.
nons !a médiane PC, nous avoiis,
—^ comine on le sait,

~ÂP+ BF^ VpC-1 \AB

ou '~PC= >^a^ —iab\

Les points cherchés sont donc

- j)^ à distance constante de 0. Pour

déterminer sur AB les points par

lesquels passe le cercle , faisons

en A, /L BÂD =- 45°. De B, avec un rayon a, décrivons un

arc de cercle qui coupe AD aux points D et J),. De D et i*,

abaissons sur AB des perpendiculaires; leurs pieds E et E,

sont les points cherchés; car

«2 = De\'ËB et a' = ~D,E, +E^B
mais DE=AE et D,E, = AE,.

k. Le lieu géométrique de tous les points dont
les distances à deux droites données ont une somme
ou une différence donnée, est un système de quatre
droites.

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Soient AB et AC les droites données, F un des points
cherchés, par suite PC + PE ==^ a. Faisons FB = PE; le
lieu géométrique de D se composera de deux droites, paral-
!à!es à AC et à la distance a de celle-ci. Soient BD et J>,B,
ces droites. Les points cherchés doivent maintenant être à
égale distance de AE et d'une de ces droites; ils seront donc
sur une des quatre droites qui bîssectenc les angles aux points
d'intersection B et B^. Le pro-
blème est aussi résolu par là
même, quand la différence des
distances doit être a. Car un
examen attentif de la ligure
montre aisément que les quatre
segments limités BF, FB,,B, F^
et FyB correspondent au cas
oij la somme des distances est
a, tandisque les portions illi-
mitées restantes se rapportent
à la différence.

Re'ifiarque. Si l'on convient
de regarder CF comme positif ou négatif, i
d'un côté ou de l'autre de la droite donnée AF\ et de même,
de compter EP positivement ou négativement, suivant que P
sera d'un côté ou de l'autre de AB ^ on aura pour lieu géo-
métrique une droite illimitée; car on a respectivement pour
les quatre s lignes.

CP+ EF -= a; CF - FF --= a;

~ CP+EP ^ a; — CF—EF=- a.

\

R

/lli

''■\

\ /

»/

7

\
\

; F sera

l'aide de ces lieux géométriques , on peut résoudre
les problèmes qui suivent; on considère individuellement cha-
cune des deux conditions imposées au point cherché; on ob-
tient ainsi deux lieux géométriques pour le point.

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Exemples.

1. Déterminer un point qui soit à égale distance de trois
points données (c).

2. Déterminer un point à égale dislance de trois droites
données -(d).

3. Construire un triangle, connaissant ses trois côtés (a).
Construire un cercle de rayon donné,

4. qui passe par deux points donnés (a)

5. qui passe par un point donné et soit tangent à une
droite donnée (a et b)

6. qui passe par un point donné et soit tangent à un cercle
donné (a)

7. qui soit tangent à deux droites données (b)

8. qui soit tangent à une droite donnée et à un cercle
donné (a et b)

9. qui soit tangent à deux cercles donnés (a).

10. Construire un triangle, connaissant a, /i„ et mu (a et b).

11. Mener à un cercle donné une tangente sur laquelle une
droite donnée détermine un segment donné (a, coroll. i).

12. Construire un cercle qui passe par un point donné et
qui soit tangent à une droite donnée ou à un cercle
donné en un point donné (c).

13. Déterminer sur une circonférence de cercle un point qui
soit à une distance donnée d'une droite donnée (b).

14. Sur une droite donnée, déterminer un point qui soit a
égale distance de deux points donnés (c).

15. Construire un cercle tangent à deux droites parallèles et
passant par un point donné (d et a).

16. D'un point donné, mener une tangente à un cercle (e).
Construire un triangle, connaissant

17. A, a et ha (e et b),

18. à, a et m„ (e et a).

19. Déterminer un point d'où l'on voie deux segments don-
nés sous des angles donnés (Problème de Pothenot) (e).

20. Construire un quadrilatère înscriptlble , connaissar t un
angle, un côté adjacent et les deux diagonales {e et a).

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LIECX GEOMETRiecES DE POINTS. I3

21. Construire .un point dont les distances à trois droites
données soient entre elles dans les rapports donnés (g).

22. Dans un triangle, déterminer un point dont les distances
aux trois sommets soient entre elles dans des rapports
donnés (f).

23. Par un point donné, mener une droite qui rencontre un
cercle donné de telle manière que les distances des
points d'intersection à une droite donnée aient une somme
donnée.

On détermine le point milieu de la corde (e, coroU, i
et b).
34. Déterminer un point de telle manière que les tangentes
menées de ce point à deux cercles dor.ics aient des
longueurs données (a, coroll. i).

25. Déterminer un point d'où l'on voie deux cercles donnés
sous des angles donnés (a, coroll. 2).

26. Dans un triangle donné, inscrire un triangle isocèle de
hauteur, donnée, de manière que sa base soit parallèle à
un. des côtés {b et c).

27. Décrire un cercle, dont le centre soit sur une droite
donnée et dont la périphérie soit à des distances données
de deux droites données (k).

28. Construire un triangle, connaissant A, w.-„ et p (d, b et 16).

29. Construire un quadrilatère inscriptiiile ABCD, connaissant
AB, se, AC et l'angle des diagonales (3 et i).

30. Construire un point tel que les tangentes menées de ce
point à trois cercles donnés aient des longueurs égales
(h. coroll. i).

31. Construire un triangle, connaissant A, a et b''- -\- c- (e et i).

32. Dans un triangle donné, trouver un point tel que les
droites, qui le joignent aux sommets, partagent le triangle
donné en trois triangles équivalents.

Soit ABC le triangle, le point cherché. Si A AOB
et A AOC sont équivalents, le lieu géométrique de
doit être une droite passant par A. Comme la médiane
diWse le triangle en deux parties équivalentes, le milieu
de -SC doit être un point du lieu; ce dernier est donc

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la médiane elle-même. Le point cherché est par suite
le point d'intersection des médianes.

33. Dans un triangle donné, inscrire un triangle dont deux
côtés soient donnés, et de telle manière qu'un de ses
sommets tombe en un point donné (a).

34. Construire un cercle qui soit tangent intérieurement à
trois cercles égaux donnés (i).

35. Construire un triangle, connaissant a, hi„ hc (e et a).

36. Déterminer un point dont la distance au sommet d'un
angle donné soit donnée et dont les distances aux côtés
de l'angle soient entre elles dans un rapport donné
(a et g).

Construire un triangle, connaissant

37. a, A et b^ ~é (e et h),

38. «, K et è^ 4. c^ (b et i).

39. Construire un triangle rectangle, connaissant la hauteur
correspondant à l'hypoténuse, deux points de l'hypoté-
nuse et un point de chacun des côtés {b et e).

40. Circonscr-.-e un carré à un triangle éqmlatéral, de manière
que les deux figures aient un sommet commun.

On cherche â déterminer le sommet opposé du carré
(e et c).

41. Construire un triangle, connaissant a, A et p (e, coroll. 2).

42. Couper une droite donnée en deux segments qui aient
pour moyenne proportionnelle un segment donné {e et b).

43. Etant donné un triangle rectangle, construire un cercle
tangent à l'hypoténuse, qui passe par !e sommet de
l'angle droit et ait son centre sur un des côtés (d).

44. On donne deux parallèles, un point A sur l'une d'elles,
et un autre point situé d'une manière quelconque en
dehors. Mener par une droite qui coupe en X la
parallèle passant par /! , en Y l'autre parallèle, de ma-
nière que AX = A Y.

On cherche à déterminer le milieu de XY.

45. Déterminer un point d'où l'on voie sous des angles
égaux les trois segments AB, BC, CD d'une même droite
donné (f).

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46. Dans un triangle, déterminer un point d'où les trois côtés
paraissent de même grandeur (soient vus sous le même
angle) (e).

47. Déterminer un point d'où trois cercles donnés paraissent
de même grandeur.

Les distances du point aux centres des cercles doivent
être entre elles dans le rapport des rayons; on trouve
alors le point au moyen de f.

48. Construire un triangle, connaissant 0, h„ et l>ic(b et f).

49. Dans un quadrilatère donné, trouver un point dont les
distances à deux des côtés opposés aient une somme
donnée et les distances aux deux autres un rapport
donné.

50. Sur une circonférence donnée, trouver un point dont la
somme des distances à deux droites données soit un
minimum (k).

51. Construire un cercle qui coupe orthogonalement trois
cercles donnés (h, coroll. 3).

52. Construire un cercle, qui coupe trois cercles donnés sui-
vant des diamètres (h, coroll. 2).

53. Dans un cercle donné, inscrire un triangle rectangle dont
les côtés passent chacun par un point donné (e).

54. Dans un cercle donné, inscrire un triangle rectangle, con-
naissant un angle aigu et un point d'un des côtés (e).

55. Sur un billard circulaire sont placées deux billes sur le
même diamètre; comment doit-on lancer l'une pour que,
après réflexion, elle vienne rencontrer l'autre? (f).

Dans les problèmes qui précèdent, on pouvait immédiate-
ment appliquer les lieux géométriques , parceque tout se
ramenait de suite à la détermination d'un point; ou bien
parcequ'on voyait aisément que le problème était résolu
quand on avait déterminé un pareil point. Quand il n'en est
plus ainsi, on fait usage des règles suivantes:

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i6

X GEOMETRIOUES D

On introduit dans la figure les éléments donnés;
si, par exemple, la somme de deux lignes est donnée, il ne
suffit pas que ces lignes y figurent isolément, il faut aussi
introduire la somme donnée elle-même; en thèse générale, on
te fait en s'arrangeant de telle manière qu'une extrémité tombe
en un point donné.

On soumet la figure à un examen attentif, pour
trouver les lignes et angles qui, sans être donnés,
peuvent se déterminer facilement au moyen des élé-
ments donnés.

On cherche ensuite à découvrir une portion de la
figure, qui soit d'elle-même déterminée par les
éléments donnés et qui puisse ainsi, quand on l'a
tracée, servir à déterminer les autres parties de la
figure. On peut avoir ici le choix entre plusieurs parties;
en règle générale, il faudra prendre celle qui permettra d'ob-
tenir immédiatement la plus grande portion de la figure
cherchée. En particuher, on employera souvent le principe,
qui consiste à rechercher des triangles dont trois éléments
sont connus.

Pour introduire les côtés d'un triangle, ou leurs sommes
et leurs différences, on se sert souvent des quatres cercles
inscrits au triangle. Sur chaque côté se trouvent deux som-
mets et quatre points de contact, et ia distance entre deux
quelconques d'entre eux peut s'exprimer simplement au
moyen des côtés du triangle. Si l'on désigne par s la moitié
du périmètre du triangle, on a en particulier les résultats

a) Le cercle inscrit détermine sur les côtés les segments

b) La distance de A aux points où le cercle de rayon ^„
est tangent aux côtés b et e, est s. La distance de ces
points de contact à celui du cercle inscrit est a.

c) Le cercle inscrit et l'un des cercles ex-inscrits sont tan-
gents à a en des points qui sont également éloignés
de -S et C et dont la distance de l'un à l'autre est b — c
ou c—b.

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LIEBX GEOMETRimiES DE POINTS. 1/

Exemples.

56. Construire un quadrilatère, connaissant AB, BC, AC, BD
et Z D.

Le A ABC peut être construit immédiatement; on

détermine ensuite D (a et e).

57. Construire un quadrilatère inscriptible , connaissant z. A,
Z. ABD, AC a BD.

On construit A ABD; par là, le cercle circonscrit se
trouve déterminé et on obtient C au moyen de a.

58. Construire un parallélogramme, connaissant AB, AC
et AD.

59. Construire un triangle, connaissant A, Aj, et «»„.

On peut construire immédiatement le triangle qui a
pour côtés A„ et iva.

60. Construire un triangle, connaissant ha, ma et r.

On trace le triangle qui a pour côtés /*„ et m„, et on
détermine ensuite le centre du cercle circonscrit au moyen
de a et c.

61. Construire un triangle, connaissant a, r et h^.

On construit le triangle qui a pour côtés a et h/, et
on détermine ensuite le centre du cercle circonscrit au
moyen de a.

62. Construire un triangle, connaissant B, a et p.

63. Construire un triangle connaissant a, 6-|-c et ht,.

64. Construire un parallélogramme, au moyen d'un côté et
des deux diagonales.

65. Construire un triangle, connaissant /<„ et nia et sachant
aussi que a = 2b.

66. Construire un quadrilatère, connaissant AC, z CAB,
ZACD, CD et DB.

On trace le A ADC et on détermine ensuite B.

67. Par un point donné, mener une droite qui coupe les
deux côtés d'un triangle de telle manière que les points
d'intersection et les extrémités <"
sur une même circonférence de cercle.

Construire un triangle, connaissant

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68. a, h„ et m„.

69. /to, ÏKa et 6.

70. h„, h et B.

71. fi„, m„ et a: 6.

72. A„, B et C.

73. Construire un triangle, connaissant u, ^, i 4- c.

On introduit b -\- e dans la figure, en prolongeant AC
au delà de  et d'une quantité JZ> = c, et joignant en-
suite D avec fi. Comme on le voit facilement, le A CDB
peut maintenant se construire immédiatement , puisque
Z.D = \A. On détermine alors le sommet A au moyen
de C.

On voit en même temps que, si BC est une corde
donnée et si l'on prolonge une corde BA jusqu'à D
d'une longueur AD = DU, le lieu géométrique de D est
un cercle, dont le centre se trouve sur le milieu de
l'arc BC.

74. Construire un triangle, connaissant A, b et a — c.

On prolonge a au delà de A de la longueur a-^c.

75. Diviser un arc donné en deux arcs tels que la somme
des cordes correspondantes soit un maximum.

76. Construire un triangle, connaissant A, h -\- c ut hf, + DC,
D représentant le pied de hi,.

77. Construire une triangle, connaissant (ï, b -\- c et B — C.

78. Construire un triangle, connaissant a, A et b — c.

7g. Circonscrire un carré donné à un autre carré donné (73).
80. Circonscrire un n-gone régulier donné à un autre n-gone

régulier donné.
8r. Construire un quadrilatère , connaissant AB, BC, BD,

^ A et z. B.

82. Construire un quadrilatère, connaissant AB, AC, /^ A,
Z.D &i ^C.

83. Construire un quadrilatère inscriptible, connaissant r, AC,
BD et AB±Ba

On trace le cercle, on y porte AC et on détermine
B (73); on trouve ensuite D.

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lieds: géométbiqces de pockts. 19

84. Construire un quadrilatère inscriptible , connaissant ÂB,

BC, AC et CTJ±DA.
85. _ Construire un quadrilatère, connaissant AB , CD^ AC,
' ^ BAC et Z.ABB.

86. Construire un quadrilatère inscriptible , connaissant
AB^BC. DA, BD et ^Â.

87. Construire un triangle, connaissant a, 6 — c, B — C.

Menons BD^ de manière que AD = AB et aussi que
DC = b — c ; on voit alors aisément que Z. DBC =
A (B — (7). On peut donc construire immédiatement le
A BCD et on détermine A au moyen de C.

88. Construire un triangle, connaissant c, Wa et B — C.

Le triangle, qui a pour côtés c et u?„, peut se con-
struire immédiatement, puisque /_{wa,a) =90° — \{B~C).

89. Construire un trapèze, connaissant les diagonales, un des
côtés parallèles et un angle.

90. On donne une droite, un point A sur cette droite et un
point P en dehors. Déterminer sur la droite donnée
un point X^ te! que AX + XP =^ m, où m est donné
{AX doit être affecté d'un signe).

Sur la droite donnée, à partir du point A, on porte
la longueur m; A" se détermine alors au moyen de c.

91. On donne deux points j4 et iS et une droite passant
par B. Sur cette dernière, déterminer deux points X
et F à égale distance de B et de manière que XY soît
vu de A sous un angle donné.

On prolonge AB jusqu'en 6', de manière que BC
=- AB.

92. On donne deux parallèles, sur l'une un point A, sur
l'autre un point B et entre elles un point 0. Mener par
une droite qui rencontre les parallèles en X et Y de
telle manière que AX et fi Y {pris chacun avec un signe)
aient une somme donnée.

La droite passe par le milieux de AC, si YC == AX.

93. Construire un triangle, connaissant o, A et CD.b, où _Z>
est le pied de ht,.

On peut facilement déterminer le pied de h,^.

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94- Construire un triangle, connaissant JS, e~a et la diffé-
rence des deux segments suivant lesquels h est divisé
par hà.

Portons les différences données , soit AD et AE,
respectivement sur AB et AC, alors Z AED est connu
{BE = BD =^ BC).

95. On donne trois points A, B, C et une droite passant
par A. Décrire un cercle qui passe par ^ et fî et
coupe la droite donnée en un point Z>, tel que DC soit
une tangente du cercle.

Z BVC = Z BAD, ce qui permet de trouver facile-
ment D.

96. Construire un triangle, connaissant r, h/, et B — (7.
L'angle compris emre ha et le rayon, dirigé suivant A,
est connu.

97. Dans le A ABC, mener XY parallèle à fiC, de manière
que X¥ = XB+ YC.

La ligne cherchée passe par le centre du cercle inscrit.

98. Construire un triangle, connaissant B-~ C, Wa et la

, , b + e

valeur du rapport — — .

99. Dans un parallélogramme, mener une ligne AX vers un
point X de CD, de manière que AX -= AB + XD.

En retranchant AB de AX sur cette ligne, l'extrémité
tombe sur BD.
100. Dans un triangle ABC, on donne AB en grandeur et en
position; en outre l'angle A et le point D où le dia-
mètre mené par C coupe AB; on demande de construire
le cercle circonscrit au triangle.

BD sera vu du centre du cercle sous un angle connu.
lOi. Dans un triangle où AD bissecte l'angle A, on connait
AD, AB — BD et AC—CD. Construire le triangle.

Portons BA et CA sur BC de manière que DA^ et

DA^ soient les différences données. Le cercle qui passe

par A, A^ A^ est concentrique au cercle inscrit dans le

triangle cherché et a un diamètre connu.

102. Construire un quadrilatère, connaissant les projections

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X GBOMBTBiaCKS D

(P, Q, T, S) du point de rencontre des diagonales sur
les quatres côtés.

L'angle des perpendiculaires élevées sur deux côtés
opposés est connu (t8o°^^|P — 2'|).
■ On donne les points J et S sur un des côtés d'un angle
droit; chercher sur l'autre côté un point X tel que
^ AXB = 2Z.ABX.

On

détermine le mi

ieu

de .Y y, y

étant

un point de

BX e

t AX = A Y.

Paru

n point donné, mener

une droite

qui

dét

ermine dans

un an

gle donné un triangl

i de périmètre

donné.

On

peut construire un des cercles ex

ins

rits

du triangle.

Construire un triangle,

connaissant A

iL'a

et

a + b + c.

Cons

ruire un triangle,

co

naissant A

P

et o

+ b + c.

Cons

ruire un triangle,

co

naissant A

;t a

+ b + c.

Comme a est connu, le problème se ramène à 73 ou 137.
Construire un triangle, connaissant p, pa et Wg.
A„ est déterminé au moyen de p et p^,.

iiire un triangle, connaissant p, pa et h- — e.
c est la distance encre deux points de contact.
I triangle, connaissant a, p Qt b -\- c.
s et a sont connus et déterminent deux points de
contact et un sommet.

Construire un triangle, connaissant a p et h — c.
Construire un triangle, connaissant ha, p ei a + b + c.

Construire un triangle, connaissant a, pu et pc-

Le segment compris entre les points de contact des
deux cercles est connu.
Construire un triangle, connaissant p^, pu et a-\-b.

Le segment compris entre les points de contact des
deux cercles est connu.
Construire un triangle, connaissant pi,, pc et B —C.

L'angle compris entre BC et la ligne des (
deux cercles est connu.
Construire un triangle, connaissant a, é •+ c et

Comme les centres des cercles inscrits et

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et les points d'intercection de leurs tangentes communes
sont des points harmoniques, leurs projections sur AB
doivent aussi être des points harmoniques. l.)e ces quatre
points, on en connaît trois; par suite on détermine aisé-
ment le quatrième.

Le problème peut se résoudre plus facilement, en tra-
çant «!„ et déterminant j9 et C au moyen de cette pro-
priété, que leurs distances aux extrémités de w^ sont
entre elles dans le rapport connu (b-\-c): a.

Multiplication des courbes.

__ Si, d'un point F, on mène

une droite à un point quel-
conque A d'une courbe don-
née K, et si l'on divise cette
droite par un point a tel que
Fa:FA =- m:n, le lieu géo-
métrique de a est une courbe
k, semblable à !a courbe
donnée.

On dit des deux courbes, qu'elles sont semblables l'une
à l'autre et semblablement placées. F s'appelle le centre de
similitude et les droites passant par P les rayons de similitude.
On dit que les deux points A et a des courbes situés sur le
même rayon sont homologues; que des droites sont homo-
logues quand elles joignent des points homologues. Cette
conception peut se généraliser; car un point quelconque du
plan peut être considéré comme appartenant à un des systèmes
et par suite il a son homologue dans l'autre. Le centre de
similitude est alors le point du plan qui, considéré comme
appartenant à un des systèmes, coincide avec son homologue
dans l'autre système. Comme la théorie de la similitude est
traitée dans la plupart des ouvrages de géométrie, nous nous
contenterons de rappeler les théorèmes suivants;

A une droite ou à un cercle correspond une droite ou
un cercle.

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LIEUÏ. CEOMETnidDES DE PIIINTS. 23

Toutes les lignes homologues sont parallèles.

Tous les angles homologues sont égaux.

Toutes les lignes homologues sont dans le rapport de
m: H. Les figures sont dites semblables suivant ce rapport.

Si l'on porte Pa sur le prolongement de FA , de l'autre
côté de P, ces théorèmes subsistent encore. On dit alors que
les systèmes sont inversement semblables.

Deux cercles quelconques peuvent être regardés comme
directement ou inversement semblables. Les centres de simi-
litude s'appellent les centres de similitude extérieurs ou
intérieurs des deux cercles.

A l'aide de ce qu'on vient de dire, on peut résoudre un
problème général qui trouve très-souvent son application.

Far un point P, mener une droite qui coupe
deux courbes données A' et K' en des points ^ et a
tels que PA et Pa soient entre eux dans un rapport
donné m:n.

On considère le point donné comme un centre de simili-
tude et l'on construit une courbe k semblable à ^ et dans le
rapport de n:m. Elle coupera K' aux points cherchés. Le
nombre des solutions est égal au nombre des points d'inter-
section de K' et i. Le problème peut toujours se résoudre
avec la règle et le compas, toutes les fois que les courbes
données se composent de droites et d'arcs de cercle.

Si le point donné doit être du même côté que A et a
(m:w positif), on trace h en similitude directe avec K; si au
contraire, il doit être entre A et a (m: n négatif), on construit
k inversement semblable à K.

Quand i! s'agira de tracer une courbe semblable à une autre
courbe donnée et dans le rapport de m:n, je dirai, pour abréger
le langage, qu'on multiplie la courbe donnée par :^ - *- par
rapport au centre de similitude, les signes + et — s' appliquant
respectivement à la similitudp directe et à la similitude inverse.

S'agit-il de multiplier une droite? Sa direction ne change
pas et il suiïït par suite de multiplier un de ses points.

S'agit-il d'un cercle? on n'a qu'à multiplier le centre et
le rayon, ou le centre et un point de la circonférence.

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LIEDÏ GEOMETRieDES DE POINTS.

Exemples.
Par un point donné 0, mener une droite qui coupe deux
droites données de telle manière que les distances de
aux points d'intersection soient entre elles dans le rap-
port m : n.

Prenons comme centre de similitude et multiplions
par ^j^ — une des droites données; puis menons une droite
par et par le point d'intersection de la dernière ligne
avec celle qui n'a pas été multipliée.
Par un point situé à l'intérieur d'un cercle donné, mener
une corde qui soit divisée par le point en deux segments
qui soient entre eux dans le rapport m:n.

Prenons comme centre de similitude et multiplions

le cercle par ; les lignes cherchées passeront alors

par les points où le nouveau cercle coupe le cercle donné.
Si le point donné est extérieur au cercle, on multiplie
ce dernier par — ou — .

Si le segment en dehors du cercle doit être dans le
rapport de — avec la corde interceptée, on multipliera

Par un des points d'intersection O de deux cercles, mener
une droite qui détermine des cordes égales dans leur

On multiplie l'un des cercles par — r , en prenant
comme centre de similitude.

120. Dans un quadrilatère donné, inscrire un parallélogramme
dont le centre soit en un point donné.

121. Construire un triangle connaissant a, h et m^.

On construit ntc =- CE et on décrit des arcs autour de
C comme centre, et avec les rayons a et h\ on multiplie
l'un d'eux par — i, en prenant E comme centre de simi-
litude. On pourrait commencer par tracer un des cotés;
on devrait alors multiplier l'un des arcs par h ou l'autre

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par 2; cette dernière construction est plus facile à
exécuter mais demande plus de place.

122. Construire un triangle, connaissant «, A et m„.

Sur a on décrit le segment circulaire capable de l'angle
A\ de S on trace un arc ayant in^ pour rayon; on le
multiplie par 2, ou bien on multiplie le premier cercle
par ^, en prenant C comme centre de similitude.

123. Par un point donné sur la circonférence d'un cercle,
mener une corde qui soit divisée en deux parties égales
par une autre corde donnée.

On prend le point donné comme centre de similitude
et on multiplie la corde donnée par 3 ou le cercle par i-,

124. Dans deux cercles concentriques, mener une droite telle
que la petite corde soit la moitié de la grande.

125. Construire un triangle, connaissant a, - et m^.

126. Construire un triangle, connaissant un angle et deux
médianes.

127. Construire un triangle connaissant les trois médianes.

Ce problème se ramène à 121, puisque les médianes
se coupent dans le rapport de 1:2.

128. Pour construire un triangle, on donne: son centre de
gravité (point d'intersection des médianes), un sommet
et deux courbes (droites ou cercles) sur lesquelles
doivent se trouver les deux autres sommets.

129. Construire un triangle, connaissant a, m^ et z.{ma, b).

130. Construire un triangle, connaissant 6, trib et zi(nia, «)■

131. Construire un quadrilatère inscriptible, connaissant z. A,
DB^ Z. A CE et le rapport des segments de AC.

132. Construire un parallélogramme, dont deux sommets op-
posés soient en des points donnés et les deux autres
sur une circonférence donné.

133. Dans un triangle, mener depuis A jusqu'à BC une ligne
AD qui soit moyenne proportionnelle entre BD et CD.

On se sert du cercle circonscrit au triangle.

134. Construire un triangle, connaissant a, b et ivc.

135. Construire un triangle, connaissant A, b et Z. ("*„,«).

136. Dans un triangle donné, mener par A une ligne telle que

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LIEUX QEONETRIOUES DE POINTS.

les segments v-omprîs entre A et les projections de B

et C soient dant un rapport donné.

Mener les tangentes communes à deux cercles.

Deux cercles, considérés comme figures semblables,
ont deux centres de similitude. Ceux-ci sont sur la ligne
des centres, et une droite menée par les extrémités de
deux rayons parallèles passe par le centre de similitude
extérieur ou intérieur, suivant que les rayons sont dirigés
dans le même sens ou en sens contraire. Une tangente
menée à l'un des cercles par un des centres de similitude
est aussi tangente à l'autre cercle.

Etant donné un point et deux cercles, mener à chacun
d'eux une tangente telle que les deux tangentes soient
parallèles et c^ue leurs distances à soient dans un rap-
port donné.

En multipliant !'un des cercles par rapport à 0, !e
problème se ramène à 137.

Construire un triangle, connaissant A, mt et Z. («, Wc).
Sur une circonférence de cercle, on donne deux points
A et B. Déterminer sur la circonférence un point X de
manière que XA et XB coupent un diamètre donné en
deux points Y e^t Z tels que leurs distances au centre
soient dans un rapport donné.

On multiplie AX par rapport au centre du cercle de
manière que Y tombe sur Z\ A vient alors en un point
connu Ay et ^A^^ZB est connu.

Construire un triangle, connaissant les trois points qui
divisent les trois côtés suivant des rapports donnés.

Soit ABC le triangle cherché, D, E, F les points
donnés et BI):I}A = m:n; AF-.FC ^ p:q; CE:EB
=- ris. Prenons /.' comme centre de similitude et mul-
tiplions BD par — - , i> ne change pas et B tombe au
point inconnu A. Multiplions DA par — - par rapport
à. F, A tombe en C et i? vient en un point connu D^ ;
multiplions D,C par —-7 par rapport à E, C vient en

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LIECX GEOMETRIQUES DE PC INTS. 27

B et D, en un nouveau point connu D^. Comme la
direction d'une ligne droite ne change pas par la mul-
tiplication, BI)^ doit être parallèle à DB; en sorte que
DJ), coïncide avec AB. Pour avoir le côté BC, on
recommence la même opération en sens inverse, en par-
tant de E.

Cette même construction peut s'appliquer à un poly-
gone quelconque. Considérons en particulier le cas où
l'on donne les milieux de tous les côtés et oià leur
nombre est pair; le problème est alors indéterminé ou
impossible.

On donne quatre cercles concentriques; mener une droite
qui les rencontre respectivement en A, B, C et 1), de
manière que AB = CD.

Représentons par (AB) !a puissance d'un point du
cercle A par rapport au cercle B; la droite coupant
respectivement les cercles pour la seconde fois aux points
A,, -Sj, C, et Z»,, on a: (AD) = AD . Al) ^ ; (BC) =
BC.BC^\ AD, = BC,, par suite

AD:BC= {AD):{BC).

On peut aisément construire ce rapport en menant
deux lignes telles que le segment compris entre  et D
sur l'une soît égal au segment compris entre B et C sur
l'autre. On connaît aussi maintenant le rapport AB.AC
et on peut tracer la ligne cherchée par un point A,
arbitrairement choisi sur le circonférence A,
Dans un quadrilatère ABCD, on donne AB, BC, CD
et AC; si l'on amène AB dans une position déterminée,
quel sera le lieu géométrique

a) du sommet D,

ji) du milieu de la diagonale BD,

y) du milieu de la ligne, qui joint les milieux des
diagonales ?
Dans un cercle de centre 0, on trace un diamètre fixe
AOB et une corde BC qu'on prolonge jusqu'en D, de
manière que CD = BC. On demande quel est le lieu
géométrique du point d'intersection de OD et AC.

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Trouver le lieu géométrique du point symétrique
point fixe A, par rapport à une droite qui tourne
d'un autre point fixe B.

d'un

Méthode de

ilitude,

La méthode, qu'on a appliquée dans la multiplication des
courbes, est comprise dans une autre plus générale, connue
sous le nom de méthode de similitude. On l'employé
toutes les fois qu'en omettant ou laissant de côté
une des conditions imposées, on obtient un système
de figures semblables (et serablablement placées).
Et tandis que nous n'avons recherché jusqu'ici que des por-
tions de la figure qui étaient complètement déterminées par
les donnés, nous aurons maintenant à rechercher les
parties de la figure dont la forme est connue.
Les cas les plus importants sont les suivants:
a) On donne une longueur, mais le reste se com-
pose seulement d'angles et de rapports. On fait
alors abstraction de la longueur donnée et on cherche à con-
struire une figure qui ait les angles et les rapports donnés,
en choisissant arbitrairement la longueur d'une des lignes de
la figure. La figure ainsi tracée est alors S€
qu'on cherche et l'on a cette dernière elle-m
duisant la ligne donnée,

146. Construire un triangle, connaissant deu:
ligne (médiane, hauteur, périmètre, &c.).

On construit un triangle quelconque qui ait les angles
donnés et on en détermine un autre semblable, qui con-
tienne la ligne donnée.

147. Construire un triangle, connaissant A, a et b:c.

Un triangle quelconque renfermant l'angle A et où
les côtés adjacents à cet angle seront dans le rapport
donné, sera semblable au triangle cherché.

148. Construire un carré, connaissant la différence entre les
diagonales et les côtés.

149. Construire un triangle, connaissant A, b et a:c.

mblable à celle
?me en y intro-

: angles et une

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LIEUX GEOUETHIQCES DE POINTS. 29

150. On donne un angle au centre ACB; mener une tangente
qui soit divisée suivant un rapport donné par le point
de contact et les côtés de l'angle.

On commence par mener la tangente, dont la gran-
deur sera prise arbitrairement, et on cherche le centre
du cercle. La figure a maintenant la forme exacte et
on lui donnera la grandeur requise, en prenant le centre
du cercle comme centre de similitude.

151. Construire un triangle, connaissant A, K et le rapport
des segments que h,, détermine sur a.

152. Construire un triangle, connaissant ses trois hauteurs.

Le rapport des côtés est connu. D'un point quel-
conque menons à un cercle -trois sécantes dont les seg-
ments extérieurs soient égaux aux hauteurs données, les
sécantes entières sont entre elles dans le même rapport
que les côtés du triangle cherché.
J53. Inscrire dans une demi-circonférence un quadrilatère
semblable à un quadrilatère donné, de manière que deux
de ses sommets soient sur le diamètre et les deux autres
sur la circonférence.

On trace un demi-cercle antour du quadrilatère donné.
La figure ainsi obtenue est semblable à celle qu'on
cherche,
b) Dans les problèmes précédents, la position de la figure
cherchée était indifférente; si au contraire la figure
doit avoir une situation déterminée par rapport
à des lignes ou des points donnés, il faut chercher
à faire abstraction d'une condition, de manière que
l'on n'ait plus qu'un système de figures semblables
et semblablement placées. Alors les lieux géométriques
de tous les points de la figure sont des droites passant par
le centre de similitude et l'on arrive facilement à la figure
cherchée, en déterminant d'abord une quelconque des figures
du système, puis celle qui lui est semblable et qui remplit
en même temps la condition provisoirement laissée de côté.
Cette condition, qu'on est conduit de la sorte à négliger tem-
porairement, consiste généralement en ce qu'une ligne doit

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30 LIEDÏ GÉOMÉTRIQUES DE POINTS.

avoir une longueur déterminée, ou qu'un point doit
se trouver sur une ligne donnée, ou qu'une ligne
doit passer par un point donné.

154. Dans un triangle donné ABC, inscrire un autre triangle
ahe de manière que ses côtés soient parallèles à des
droites données.

Laissons de côté la condition que a doit tomber sur
BC; on satisfera aux autres au moyen d'un système de
triangles semblables ayant A comme centre de similitude.
Traçons l'un d'eux, par exemple û^ÈjC,; Aa^ coupera
le côté BC en a.

155. Inscrire un carré dans un triangle, un secteur ou un
segment donné.

156. Dans un triangle donné, inscrire un parallélogramme
semblable à un parallélogramme donné.

157. Par un point donné, mener une droite qui fasse des
angles égaux avec deux droites données.

158. Par un point donné, mener une droite telle que trois
droites données, passant par un même point, y détermi-
nent deux segments qui soient entre eux dans un rap-
port donné.

Au lieu du point donné, on prend un point quelconque
sur une des droites données (117).

159. Par un point donné, mener une droite qui détermine
sur les côtés d'un angle donné des segments, qui soient
entre eux dans un rapport donné.

160. Dans un triangle mener à l'un des côtes une parallèle
qui soit dans un rapport donné avec un des segments
qu'elle détermine sur un des autres côtés.

161. Mener une droite de direction donnée, sur laquelle les
côtés de deux angles donnés déterminent deux segments
qui soient entre eux dans un rapport donné.

Soient BA C et DEF les angles et X le point cherché
sur EF\ si on laisse EF de côté, X décrira une ligne
droite passant par le point de DE, qui se trouve sur
une droite passant par A et ayant la direction donnée.

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i63. Construire un triangle isocèle, connaissant la hauteur et
la médiane relatives à un des deux côtés égaux.

On peut tracer de suite le triangle dont les droites
données sont les côtés et l'on connaît alors la forme du
triangle qui a la médiane pour l'un de ces côtés et le
sommet du triangle isocèle pour sommet opposé.

163. On donne un point A d'une circonférence et une corde
BC. Mener une corde AD qui coupe BC en E, de
manière que DE et DC soient entre eux dans un rap-
port donné.

On connaît la forme du triangle CED et on trace un
triangle semblable, en prenant C comme centre de simi-

164. On donne deux rayons dans un cercle; mener une corde
qui soit divisée par eux en trois parties égales.

165. Dans un quadrilatère, inscrire un losange dont les côtés
soient parallèles aux diagonales du quadrilatère.

166. Dans un triangle donné inscrire un triangle XYZ; on
connaît la direction de YZ, le point de BC où X doit
tomber et le rapport XYiXZ.

On considère BC comme n'existant pas (mais on garde
bien entendu la ligne qui va de A au point donné sur5C)
et on prend A comme centre de similitude.

167. Mener une ligne de direction donnée, qui divise e
le même rapport un couple de côtés opposés d'u
drilatère {154).

168. Dans un triangle, mener une droite parallèle à l'i
côtés et de telle manière qu'elle soit moyenne p
tionnelle entre les segments suivant lesquels elle divise
un des autres côtés.

169. On donne un point B et deux parallèles dont l'une
passe par un point A. Mener par A et B deux nou-
velles parallèles qui, avec les deux premières, détermi-
nent: i" un losange; 2° un parallélogramme de périmètre
donné; 3" un parallélogramme dont les côtés soient
dans un rapport donné.

1 qua-

opor-

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32 LIEES GliOUlS TRIQUE S DE POINTS.

170. Dans un triangle, inscrire un losange dont un des angles
coïncide avec un angle du triangle.

171. Inscrire un triangle isosèîe dans un cercle, connaissant
la somme de la hauteur et de la base.

On considère A ABC comme le triangle cherché et
on introduit dans la figure la somme donnée en prolon-
geant la hauteur BD jusqu'en E\ on doit alors avoir
DE =■ 2AD, en sorte que la forme du triangle ADE
est connue; le problème se résout facilement alors en
prenant E comme centre de similitude.

172. Dans un triangle, inscrire un rectangle de périmètre
donné.

On introduit le démi-périmètre dans la figure.

173. Dans un triangle, inscrire un autre triangle dont un
sommet -4 tombe en un point donné d'un des côtés; en
outre l'angle A est donné et le côté opposé à cet angle
doit être parallèle à une droite donnée.

174. Dans un triangle inscrire un parallélogramme dont les
cptés soient entre eux dans un rapport donné. L'un des
côtés doit se trouver sur BC et en outre l'un des som-
mets être en un point donné de BC.

175. Déterminer sur l'un des côtés d'un triangle donné un
point te! que les droites menées de ce point, dans des
directions données,- jusqu'à rencontre des deux autres
côtés aient une somme donnée.

176. On donne un segment AB et deux parallèles AX et CY.
Mener par B une droite qui coupe les deux parallèles
en deux points X et Y tels que AX et A Y soient entre
eux dans un rapport donné.

On fait abstraction du point B\ on choisit sur AX
un point arbitraire .X", au lieu de X et on détermine le
point y, correspondant à Y sur A Y.

177. On donne un angle A et un point P. Mener par ce dernier
une droite XF, qui coupe les côtes de l'angle en des
points X et y tels que la distance du sommet de l'angle
à XY soit dans rapport donné avec XZ, qui a une

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LIErS GKOMÉTRJWES DE POINTS. 33

direction donnée et joint X avec un point Z sur l'autre
côté de l'angle.

On fait abstraction de F et Ton choisit arbitrairement
sur AX le point X^ au lieu de X

178. Dans un triangle ABC, mener une ligne de direction
donnée qui coupe AB en X, BC en y, de telle manière
que AX et OY soient entre eux dans un rapport donné.

La forme de AXYO est connue: on prend A comme
centre de similitude et on choisit B à la place de X.

179. Dans un triangle ABC, mener une transversale XY de
manière que SX = XY ^ YC.

La forme de BXYC est connue.

A ce problème on peut ramener le suivant: Construire
un triangle, connaissant A, a-[- b et a-\- e.
iSo. Dans un triangle ABC, mener une transversale XY pa-
rallèle à BC, de manière qu'il y ait une relation homo-
gène donnée entre XY, XB et YC (par exemple: Xy =
XB. YC; Xy'=- XB^'Yc] &c,).

181. Tracer un cercle, qui passe par un point donné A et
soit tangent à deux droites données, qui se coupent en 0.

Un cercle quelconque, tangent aux deux droites, doit
être semblable à celui qu'on cherche, étant le centre
de similitude. La droite OA doit couper le cercle ainsi
tracé en un point qui est l'homologue du point A dans
le cercle cherché. Aux deux points d'intersection corres-
pondent donc deux solutions. Menons dans le cercle
tracé des rayons allant aux points d'intersection; nous
aurons les centres des cercles cherchés , en menant par
A des parallèles à ces rayons.

182. Sur une droite donnée, trouver un point qui soit à égales
distances d'un point donne et d'une droite donnée (Inter-
section d'une droite et d'une parabole).

On fait abstraction du point donné et on choisit le
point d'intersection des droites données comme centre
de similitude. En réalité, ce problème est le même que
le précédent.

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34

83. Sur une droite donnée, trouver un point dont les distances
à un point donné et à une droite donnée soient dans un
rapport donné {Intersection d'une droite et d'une conique
déterminée par un foyer, une directrice et l'excentricité).

Au lieu de la perpendiculaire abaissée du point cherché
sur la ligne donnée, on peut choisir une droite qui fasse
avec la droite donnée un angle quelconque donné, sans
qu'il y ait de changement essentiel dans la solution.

84. Construire un cercle qui ait son centre sur une droite don-
née, qui passe par un point donné et sur lequel une droite
donnée détache un arc dont l'angle au centre soit donné.

85. Tracer un cercle qui passe par deux points donnés et
soit tangent à une droite donnée.

86. Dans un triangle ABC, mener une ligne de direction
donnée, qui coupe AB en X et BC en Y, de manière
que XY et YA aient une somme donnée.

87. Construire un triangle, connaissant a, B et h — l'a-

On prolonge /(„ du segment donné b — ha au delà
de a {182).

88. Construire un triangle, connaissant A, a — c, et h^-\-C]\
D désignartt le pied de Aj.

On prolonge CD jusqu'en E, de manière que TjE =
h,, et BA jusqu'en /'", de manière que AF =-- a ~ c.
Comme on le voit facilement, on peut tracer CE, /_ CEE
=== 45° et mener par F une parallèle à CE. On déter-
mine alors B (183).

:89. Construire un triangle, connaissant a, A et h ■\- ne; n est
un nombre donné.

.90. Construire un triangle, connaissant ^, i -f c et a -!- c.

On prolonge 6 de c au delà de A jusqu'en D, et c
de a au delà de B\ on voit alors qu'on peut tracer CI),
puis DB et déterminer B (183).

:9i. Dans un triangle donné ABC, inscrire une demi-circon-
férence, tangente à BC en un point donné P et .dont les
deux extrémités soient sur les deux autres côtés.

On multiplie AB ou AC par — i par rapport à /'
et le problème se ramène au N° 173.

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Une droite tourne autour d'un point fixe P {le centre
d'inversion) tandisqu'en même temps un point mobile A de
la droite parcourt une courbe donnée K. Sur la droite, dé-
terminons un point J, par la condition que PA.PA^ = 1,
où / (la puissance d'inversion) est une quantité constante
(positive ou négative). Le point A^ décrira une courbe K^.
On dit des courbes K et S", que l'une est la courbe inverse

réciproques).

de l'autre (la transformée par rayons
A ei A^ sont dits points correspondants.

La courbe inverse d'une droite
est un cercle qui passe par le
centre d'inversion.

Soit PB une perpendiculaire à la
droite donnée , S et fij deux points
correspondants et A et A^ deux autres
points correspondants. De la relation

PA.PA, == PB. PB,
il résulte que les triangles BPA, A^PB, sont semblables, en
sorte que Z PA,B, = — . Le lieu géométrique de A, est
donc un cercle qui a PB^ pour diamètre.

Si la droite donnée passe par le centre d'inversion, elle
est à elle-même sa propre courbe inverse.

Si A, parcourt la circonférence, A décrira la droite; la
courbe inverse d'un cercle passant par le centre
d'inversion est donc une droite.

La courbe inverse d'un cercle, qui ne passe pas
par le centre d'inversion, est un cercle; et le centre
d'inversion est un centre de similitude pour celui-ci
et pour le cercle donné.

Soient B et B, deux points correspondants, tandis que
PB coupe le cercle une seconde fois en IJ. Les deux produits
PB>iPB^ et PB X PU sont alors constants; par suite le
rapport PB, : PI) est aussi constant. On trouve donc le lieu

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;K on ETHIQUE s D

géométrique de S, en multipliant par rapport à P le lieu
géométrique de I> (le cercle donné) par une constante. Le
lieu est ainsi un cercle semblable au cercle donné et ayant P
pour centre de similitude. Si la puissance d'inversion est égale
à la puissance de P par rapport au cercle donné, ce dernier
sera à lui-même sa propre courbe inverse.

On a prouvé que B et 6^ parcourent en même temps
des circonférences; il faut toutefois remarquer qu'ils ne dé-
crivent pas en même temps des arcs semblables; au contraire
B^ et D parcourent des arcs semblables et semblablement
placés.

On peut maintenant résoudre le problème général suivant:

Par un point donné P, mener une droite sur la-
quelle deux courbes données K et K^ déterminent
deux segments PX et PX , dont le produit soit donné.

Faisons abstraction de ^j ; le lieu géométrique deX, sera
la courbe inverse de A", qui aura P pour centre d'inversion
et le produit donné comme puissance d'inversion. X^^ sera
donc déterminé comme point d'intersection de cette courbe
avec K^. Le problème peut se résoudre avec ie compas et
la règle, toutes les fois qile les courbes données se composent
de droites et d'arcs de cercle.

193. Par un point donné P mener une droite qui coupe les
côtés d'un angle donné en A et B de telle sorte que
PA.PB^a"^, a étant un segment donné.
193. On donne un cercle, un de ses diamètres et un point P.
Mener par P une droite qui coupe le cercle en X et le
diamètre en Y, de manière que PX.I'Y^a'^.

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LIEliX GKOHKTRIQPES DE POINTS. 3/

194. Par l'un des points d'intersection de deux cercles mener
une droite telle que les cordes déterminées sur elle par
ces deux cercles aient un produit donné.

195. Construire un triangle ABC, connaissant le côté du carré
inscrit dont deux sommets sont sur BC, zl ^ et le pro-
duit des deux segments qu'un sommet du carré détermine
sur AB.

196. Construire un triangle, connaissant a, A et BD . BA,
D étant le pied de h,.

L'inversion s'employe souvent avec avantage, quand on
veut exécuter une construction ou donner une démonstration,
parceque la figure inverse est souvent plus simple que la
figure donnée. Nous appellerons entre autres l'attention ici
sur les relations suivantes qui existent entre deux figures
inverses.

a) Si deux courbes se coupent ou sont tangentes
en A, les courbes inverses se couperont ou seront
tangentes au point A^ qui correspond à A.

En effet, si A est sur les deux courbes, A^ doit se trouver
sur les deux courbes inverses; et si deux points d'intersection
se réunissent en A, leurs correspondants coïncident également
en ^1 .

Si A est au centre d'inversion, le théorème n'a plus lieu
parcequ'en général à ce point ne correspond plus un point,
mais îa droite de l'inllni.

b) Si deux courbes se coupent en A sous un cer-
tain angle (l'angle de leurs tangentes), les courbes
inverses se couperont en A^ sous le même angle
(mais pris avec un signe contraire, si l'on mesure l'angle depuis
l'une des courbes jusqu'à l'autre).

On voit aisément (fig, pg. 35 et 36) que le théorème a lieu,
quand l'une des courbes est un cercle et l'autre une droite
passant par le centre d'inversion. Il subsiste encore pour deux
cercles quelconques; car une droite menée de A au centre
d'inversion passe par A^. A l'aide de cela, on peut alors
démontrer facilement que le théorème a îieu pour deux courbes

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quelconques; car elles forment encre elles en A le même angle
que deux cercles quelconques, tangents chacun à l'une des
courbes en A.

Applications.

197. Construire un cercle passant par un point donné P et
tangent à deux cercles donnés.

En faisant l'inversion avec P comme centre d'inversion,
!e problème se ramène à mener la tangente commune à
deux cercles. On peut choisir la puissance d'inversion
de manière que l'un des cercles ne change pas.

198. Démontrer qu'un cercle quelconque, passant par les
intersections de deux cercles, coupe sous le même angle
un système de cercles tangents aux deux cercles donnés
(et par suite aussi une tangente commune).

Par inversion, ce théorème se ramène au suivant: Une
droite quelconque, qui passe par le centre de similitude
d'un système de cercles semblablement placés, coupe
tous les cercles sous des angles égaux.

199. Construire un cercle tangent â trois cercles qui passent
tous par le même point.

200. Dans un cercle donné, inscrire un quadrilatère dont les
côtés passent chacun par un point donné.

Soient a, b, G et d les points par lesquels passent
respectivement AB, BC, CD et VA. On se sert de ces
points comme centres d'inversion en prenant comme puis-
sance d'inversion pour chacun d'eux sa puissance par
rapport au cercle. Après quatre inversions successives
autour de a, b, e et d, A viendra retomber en A. Soit
P le point qui, après trois inversions autour de a, à et c
vient tomber en d; on trouve ce point en faisant succes-
sivement l'inversion de d autour de c, b et a. Tout
cercle ou toute droite passant par P se transforme, après
inversion autour de a, 6 et c, en un cercle passant par
d et en conséquence, par inversion autour de i^, devient
une droite. La droite PA, après quatre inversions, se

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L!ECX GKOMKTniSnES BB POINTS. 39

transforme donc en une droite Pi A, P^ étant le point
que Ton obtient quand on fait successivement l'inversion
de a autour de b, c et d. Mais comme l'angle que FA fait
avec le cercle n'a changé ni en grandeur ni en signe après
les quatre inversions, et que le cercle reste le même,
PA et /*, A doivent former une seule et même droite.

La solution est donc la suivante: On détermine/', par
l'inversion de a autour de b, c et rf; puis P par l'inversion
de d autour de c, b et a. La ligne PP^ coupe le cercle
en A.

La solution peut s'étendre facilement à une figure
quelconque d'un nombre pair de côtés.
201. Dans un cercle inscrire un triangle ABC de manière que
chaque côté passe par un point donné (o, h et c).

On procède comme dans le problème précédent, en
ne faisant que trois inversions au lieu de quatre. La
conséquence en est que PA et P, A ne forment plus une
même droite, parceque les angles qu'elles font avec le
cercle sont de signe contraire. On fait l'inversion, autour
de (I, 6 et c, d'un des points où Pa coupe le cercle;
soit Q le point ainsi trouvé. Après l'inversion, les lignes
aP et PA se sont donc transformées en QP^ et i^, A
qui font entre elles le même angle que les deux pre-
mières lignes. Ces angles ont le même signe (on en voit
facilement la raison, en suivant l'inversion; les lignes se
correspondent deux à deux, maïs leurs points d'inter-
section ne se correspondent pas) et les quatre lignes
forment un quadrilatère composé de cordes, tel que A
se trouvera déterminé par un cercle passant par P, P,
et le point d'intersection de aP et P^ Q.

Cette solution peut facilement s'étendre à un polygone
quelconque d'un nombre impair de côtés.

Lieux géométriques en général.

En outre des lieux géométriques que nous avons indiqués
dans ce qui précède, il en existe beaucoup d'autres, qui sont

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40 LIEUX GÉOMÉTKIQCES DE POINTS.

souvent appliqués, mais dont l'étude individuelle prendrait trop
de temps. Il faudra donc, dans chaque problème où les lieux
mentionnés plus haut ne pourraient pas trouver leur emploi,
rechercher ou tâcher de trouver les droites ou les cercles qui
sont les lieux géométriques des points de la figure. Dans ce
cas, un dessin fait avec soin pourra être un auxiliaire, peu
scientifique il est vrai, mais très-pratique.

Il arrive souvent que, si Ton a une figure qui doit être
tracée dans une position déterminée, on pourra, en laissant de
côté une des conditions qui lui sont imposées, la dessiner dans
une situation en partie arbitraire, puis la ramener dans la posi-
tion requise par une translation parallèle ou une rotation autour
d'un certain point. Les lieux géométriques des points de la
figure sont respectivement alors des droites parallèles ou des
cercles concentriques.

Exemples.

202. Tracer un cercle de rayon donné, dont le centre soit
sur une droite donnée et dans lequel une autre droite
donnée détermine une corde de longueur donnée.

On trace le cercle de manière que, dans une position
arbitraire, il intercepte la corde donnée sur la droite
donnée; on peut ensuite l'amener dans la position requise
en faisant décrire à son centre une droite parallèle à la
droite donnée.

203. Décrire un cercle de rayon donné, dont le centre soit
sur une circonférence donnée et qui coupe un autre
cercle suivant une corde de longueur donnée.

204. Décrire un cercle de rayon donné, qui passe par un
point donné et coupe une droite donnée suivant une
corde de longueur donnée,

205. Construire un triangle congruent à un triangle donné,
qui ait un côté sur une droite donnée et le sommet
opposé sur une autre droite donnée.

206. Dans un segment de cercle donné, inscrire un triangle
congruent à un triangle donné.

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LIEUX gkomktriqi;es nr, points. 41

307. Décrire un cercle de rayon donné, qui coupe deux
droites ou deux cercles donnés suivant des cordes données.

308. Mener à un cercle une tangente sur laquelle deux
droites parallèles données, on deux cercles concentriques
donnés, interceptent un segment de longueur donnée,

209. Par un point donné mener une droite telle que le seg-
ment de cette droite, compris entre deux cercles con-
centriques donnés, soit vu de leur centre sous un angle
donné.

210. On donne deux cercles; déterminer un point tel que les
tangentes menées aux deux cercles comprennent un angle
donné et que l'une d'elles ait une longueur donnée.

On mène la tangente dont la longueur est donnée, de
manière qu'elle soit tangente à l'un des cercles en un
point quelconque et, à son extrémité, on construit l'angle
donné; on fait alors tourner l'autre cercle autour du
centre du premier jusqu'à ce qu'il soit tangent à la se-
conde ligne; puis on ramène le tout dans la première
position.

211. Tracer un cercle, qui soit tangent à deux parallèles
données et passe par un point donné.

212. Par un point donné, mener une ligne sur laquelle deux
couples de parallèles détermiment des segments égaux.

La ligne doit être parallèle à la diagonale du paral-
lélogramme formé par les deux couples de parallèles.
313. Tracer deux cercles de rayons donnés de telle sorte
que l'un d'eux détermine sur une droite une corde de
longueur donnée et que l'autre intercepte sur une seconde
droite une autre corde donnée; de plus les cercles doivent
être tangents et leur tangente commune doit avoir une
direction déterminée.

214. Dans un cercle donné, inscrire un triangle dont un côté
est donné et dont la médiane relative à ce côté passe
par un point donné et ait une direction donnée.

215. Inscrire dans un cercle un triangle, dont on donne un
côté et la médiane relative à un des autres côtes et qui

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soit tel que le point d'intersection des médianes soit sur
un diamètre donné.

216. Dans un cercle donné mener une corde de longueur
donnée de telle manière qu'elle soit coupée par un dia-
mètre donné, suivant un rapport donné.

217. Dans un quadrilatère donné, inscrire un parallélogramme
dont les côtés aient des directions données.

On fait abstraction d'un des côtés du quadrilatère;
alors le sommet libre du parallélogramme décrit une

218. Par un point donné, mener une droite qui coupe trois
droites données de telle manière que les points d'inter-
section et le point donné soient harmoniques.

On laisse une des droites de côté; alors le point libre
décrit une droite qui passe par le point d'intersection
des deux autres droites données.

219. Construire un triangle connaissant w^. D et la distance
de C à w„.

On trace !ii„ et on élève une perpendiculaire à tCa en J.
Le problème est maintenant ramené au précédent, avec
cette différence qu'à la place d'une des droites données,
on a l'arc qui est capable de z. B.

B. Lieux géométriques de lignes,

La ligne droite, de même que le point, est déterminée
quand elle doit satisfaire à deux conditions. Comme celui-ci
aussi, elle sera partiellement déterminée par une seule condi-
tion, parcequ'il existe toujours une courbe à laquelle doivent
être tangentes toutes les lignes qui remplissent cette condition.
Par analogie, ou peut donc donner à cette courbe le nom de
lieu géométrique des lignes. Dans des cas particuliers, cette
courbe peut être un point, en sorte que toutes les lignes, qui
ont la propriété requise, passent par ce point. A l'exception
de ce cas, nous n'aurons à considérer ici que ceux où la
courbe est un cercle.

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LIECX GÉOMETEIQDES DE LIGNES. 43

Si donc on peut déterminer deux lieux géométriques
pour une ligne, le problème se ramène à l'un des suivants:
I^ Mener une droite par deux points donnés.
2^ Par un point donné, mener une tangente à un cercle (i6).
3^ Mener la tangente commune à deux cercles (137).

Dans ce qui suit, nous indiquons les lieux géométriques
de lignes les plus importants.

1. Le lieu géométrique de toutes les cordes
égales d'un même cercle est un cercle concentrique
au cercle donné.

On trace dans le cercle la corde de longueur donnée et
l'on mène le cercle concentrique qui lui est tangent.

m. Le lieu géométrique des lignes, dont les di-
stances à deux points fixes sont dans un rapport
donné, est le point qui divise, suivant le rapport
donné, la ligne qui joint les points donnés. 11 faut
prendre les distances chacune avec un signe.

n. Le lieu géométrique des lignes, dont les di-
stances àdeux points donnés ontune somme donnée,
est un cercle dont le centre est au milieu de la ligne
qui joint les points.

Si la différence des distances doit être égale à une
ligne donnée, le lieu géométrique se compose de deux points
infiniment éloignés et les lignes forment alors deux systèmes
de parallèles. Leur direction est déterminée par les tangentes
qu'on mène d'un des points au cercle décrit autour de l'autre
comme centre, avec la ligne donnée poui

Les distances doivent être prises i
signe.

O. Dans un cercle, on trace des angles inscrits
dans le même arc et on les divise suivant les deux
mêmes angles; le lieu géométrique des lignes de
division est le point de l'arc que l'on obtient en di-
visant de la manière donnée un quelcontjue des
angles inscrits.

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un cercle ■

: la H,

qui jo

les points don

Soient A et B les points

donnés, et supposons un cercle

quelconque, mené par ces points,

qui coupe le cercle donné en C

et D. I.a ligne CD rencontrera

alors ABe.n 0, Heu géométrique

cherché; car si un autre cercle

quelconque, passant par A et B,

coupe le cercle fixe aux points

E et F, les lignes P'E, DC et AB sont les lignes d'égale

puissance des trois cercles; et comme elles se coupent en un

même point, EF doit passer par 0.

Exemples.

Par un point donné, mener une droite qui soit coupée
par une cercle donné suivant une corde de longueur
donnée.

A l'aide de 1, le problème se ramène à i6.
Mener une droite qui détermine dans deux cercles donnés
des cordes de longueurs données.

Mener une droite qui coupe une droite donnée en X et
un cercle donné en Y et Z^ de manière que KY et YZ
aient des longueurs données.

A l'aidé de 1, le problème se ramène à ii.
Inscrire dans un cercle donné un triangle semblable à un
triangle donné et dont un côté passe par un point donné.
Tracer dans un cercle donné une corde de longueur et
de direction données.

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LIBOX fiKOMKTRIQUES DE LIGNES. 45

225. Inscrire dans un cercle donné un triangle dont un côté
soit égal et parallèle à une ligne donne et dont la bis-
sectrice de l'angle opposé passe par un point donné.

On a immédiatement un côté (1) ; on connaît alors
deux points de la bissectrice de l'angle opposé.

226. Dans un cercle donné, inscrire un triangle, connaissant
la direction d'un coté, la bissectrice de l'angle opposé
et un point de cette dernière.

La direction donnée d'un côté détermine le milieu de
l'arc correspondant et par suite la bissectrice de l'angle
opposé.

227. Par un point donné mener une droite dont !a distance
à un point donné soit égale à la somme de ses distances
à deux autres points donnés.

33S. On donne les points A et S sur une circonférence de
cercle donnée. Par un point donné /', mener une droite
qui coupe le cercle aux deux points X et F, de telle ma-
nière que AJi et BY forment entre elles un angle
donné (220).

229. Diviser un arc de cercle en deux parties telles que leurs
cordes soient dans un rapport donné.

L'angle que font entre elles les cordes cherchées sera
bissecté par la ligne qui divise la corde de l'arc donné
suivant le rapport donné et qui passe par le milieu de
l'arc qui, avec l'arc donné, complète la circonférence
entière.

230. Par un point donné, mener une droite pui passe par le
point d'intersection de deux droites données, sans que
celles-si soient prolongées de manière à se couper.

On mène entre les lignes données deux parallèles,
dont l'une passe par le point donné; la ligne cherchée
coupe les deux parallèles dans le même rapport.
331. Construire un triangle, connaissant les portions suivant
lesquelles ^ A et a sont partagées par une ligne AD.

On trace le cercle circonscrit dans lequel a est une
corde; on connait alors deux points de Af> (o).

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Construire un triangle, connaissant h,,, Wg et Wia.

Les triangles rectangles, qui sont déterminés par les
trois lignes données peuvent se construire immédiate-
ment. On connaît alors le point A et la ligne sur la-
quelle se trouve a; il s'agît maintenant de déterminer JS
et C. On les obtient en construisant le cercle circonscrit au
triangle. A cet effet, prolongeons Wa et élevons une
perpendiculaire sur le milieu de a; ces deux lignes doi-
vent se couper au milieu de l'arc que sous-tend a. Ce
point trouvé, le cercle se construit facilement.
Mener à un cercle une tangente dont les distances à
deux points donnés aient une somme donnée.
Etant donné un quadrilatère ABCD, mener une droite
qui soit à égale distance de A et C, et de B et D.
(Distances égales prises avec des signes contraires.)
Dans un cercle donné, inscrire un quadrilatère ABCD.,
connaissant la diagonale AC, l'angle que font les diago-
nales et sachant en outre que le quadrilatère cherché
doit être circonscriptible à un cercle.

On trace la diagonale AC comn\& corde dans le cercle;
on connait la direction de Si>, par suite aussi les milieux
des arcs que sous-tend BD. On peut alors mener les
lignes qui bissectent les angles ^ et C et celles-ci doivent
se couper au centre du cercle inscrit. Les lignes, qui
bissectent les angles B et D, doivent passer par ce
centre et par les milieux des arcs que sous-tend AC\ on
peut donc les tracer et par suite B et D sont déter-
minés.

Construire un carré dont les côtés doivent respective-
ment passer par un des points A, B, C et D.

Sut AB et CD, comme diamètres, on décrit des cercles
qui sont les lieux géométriques de deux des sommets
du carré; comme la diagonale d'un carré en bissecte les
angles, elle doit passer par les milieux des deux demi
circonférences; on peut donc la tracer immédiatement.
Elle détermine ainsi deux sommets du carré et par suite
les deux autres.

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l-TEUX GÉOMÉTRiaUES DE LIGNES. 47

237. Construire un quadrilatère semblable à un quadrilatère
donné et dont les côtés passent respectivement par quatre
points donnés.

Ce problème est une généralisation facile du précédent
et se résout d'une manière analogue, puisque les dia-
gonales divisent les angles d'une manière connue.

238. Par deux pointa donnés mener un cercle tangent â un
cercle donné.

Par les deux points donnés, Â et B, on mène un cercle
quelconque coupant le cercle donné. La corde commune
rencontre AB en un point qui doit aussi se trouver sur
la tangente commune au cercle donné et à celui qu'on
cherche. Si donc on mène cette tangente, on obtient le
point de contact des deux cercles et par suite le centre
du cercle demandé.

Ce problème peut aussi s'énoncer de la manière sui-
vante: On donne un cercle et deux points^ et S; trou-
ver sur la circonférence du cercle un point X tel (jue
les lignes XA et XB le coupent en deux autres points
dont la ligne de jonction soit parallèle à AB.

239. Par deux points donnés, mener un cercle qui coupe un
cercle donné suivant une corde donnée.

240. Construire un quadrilatère inscriptible, connaissant CA,
BD, Z ^ et Z ACB.

On trace BD et on détermine le point A au moyen
de e et de o,

241. Par deux points donnés, mener un cercle qui coupe un
cercle donné de manière que la-corde commune soit
tangente à un autre cercle donné.

242. Par deux points donnés, tracer un cercle qui coupe un
cercle donné de manière que les distances de la corde
commune à deux points donnés soient entre elles dans
un rapport donné.

343. Construire un triangle congruent à un triangle donné,
de manière que deux de ses côtés passent par des point
donnés et que la bissectrice de leur angle soit tangente
à un cercle donné.

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4» LIEDS GÉOMÉTRIQUES DE LIGNES.

244, On donne deux parallèles, un point A sur l'une, et un
point B sur l'autre; mener par un point donné F une
droite qui coupe ces parallèles en X et Y de telle ma-
nière que les segments AX et BY soient entre eux dans
un rapport donné.

345. On donne un cercle et trois points A, B et C. Mener
par A et B deux cordes ZX et FF telles que XF et
ZV passent par C.

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DEUXIEME CHAPITRE

TRANSFORMATION DES FIGURES

Pour que les méthodes développées dans 1
dente puissent s'appliquer, il faut que, dans la figure qu'on
trace, les éléments donnés soient les uns par rapport aux
autres dans des relations assez simples et notamment qu'ils
soient assez près les uns des autres; parcequ'on arrive
souvent ainsi à construire de suite une grande partie de la figure
de manière à ramener le problème à la détermination d'un
point ou d'une ligne. Quand il n'en est pas ainsi, on ne peut
pas recourir immédiatement aux lieux géométriques; mais ce
que nous avons établi précédemment conduit facilement au
principe qu'on devra appliquer alors et qui forme la base
fondamentale de l'analyse qui suit. De la figure qu'on aura
tracée, on devra chercher à en déduire une au-
tre, où les éléments donnés se trouvent rassemblés
de telle manière qu'on puisse effectuer la construc-
tion. Quand cette figure aura été déterminée, on pourra en
général revenir à celle dont il était d'abord question. Les
méthodes qui peuvent servir à effectuer cette transformation
sont

A. La translation parallèle^

B. Le retournement^

C. Le déplacement par rotation.

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A. Translation parallèle.

On se sert de cette méthode pour rapprocher les uns des
autres les éléments donnés, en transportant quelques unes des
lignes de la figure dans de nouvelles positions, parallèles aux
positions primitives. En particulier, cette méthode pourra
souvent s'appliquer quand on connaîtra deux lignes de la
fîgure et l'angle qu'elles font entre elles, parcequ'en déplaçant
l'une d'elles de manière qu'une de ses extrémités coïncide avec
une extrémité de l'autre, on obtiendra un triangle qu'on peut
construire de suite. Dans un polygone quelconque, on peut
rapprocher les éléments les uns des autres en transportant
tous les côtés parallèlement à eux-mêmes, de telle sorte qu'ils
passent tous par un même point. Les lignes peuvent être
tracées dans une direction telle que les angles qu'elles font
entre elles soient égaux aux angles extérieurs du polygone
primitif, dont la somme est, comme on le sait, égale à 4
angles droits. En joignant les extrémités des lignes, on ob-
tient un nouveau polygone qui esc souvent plus facile à con-
struire que le premier. Les cas particuliers qui suivent le
feront mieux comprendre.

Triangle. Par translation, on déduit du triangle ABC le
triangle CZ'-Ë^; AE=^ AB^X.DB =^ AC. Les lignes qui partent
de A sont les côtés du triangle primitif
t les angles formés autour de A sont les
es extérieurs. Comme -fi(7=2C0, les
3 du nouveau triangle sont le double
' des médianes du triangle primitif, tandis-
que réciproquement A est le point d'in-
tersection des médianes du nouveau tri-
angle. Comme .0 et i> sont à égale distance de AC, les hau-
teurs du triangle ABC se retrouvent dans les triangles qui se
joignent en A. Comme dans la translation parallèle les angles
ne changent pas, tous ceux que font entre eux les côtés, les
hauteurs et les médianes se retrouvent dans la nouvelle figure.
Puisque A DAC= /\ ABC, la surface de DEC est triple de

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celle de ABC. Toutes les fois qu'on pourra tracer le A DEC,
ou l'un des petits triangles, on pourra facilement revenir de
ceux-ci au A ABC.

Exemples.

346

Construire un triangle, connaissant ses trois médianes.

On construit' />£6' et on en déduit A et B.

247

Construire un triangle, connaissant me, h^ et hi.

On trace DOC (35); puis ou mène 0B= OA.

Construire un triangle, connaissant

248

/la, t"o et tM(.

249

ha, t»i et Ile.

250

An, mi, et m^.

25"

A, K et m..

352

K, m. et h,:b.

'53

A, A„ et mt.

354

m„ m, et Z («>., «).

255

>»„ *. et h.

256

K, h et z ("î„, 6).

257

i., et z (rrn, «).

«58

*.,» + « et *, : /...

Quadrilatère. Dans un quadrilatère ABCD. on peu

transporter AB et J-D en CS[ et CZ*,. Le parallélogramme

BB^D^D ainsi formé contiendra

alors beaucoup des éléments du jj ^^

quadrilatère en liaison simple les

uns avec les autres.

Les lignes qui partent de C
sont les côtés du quadrilatère.

Les angles formés autour de
C sont les angles du quadrilatère.

Les côtés du parallélogramme
quadrilatère et leur angle est celui q
diagonales de ce dernier.

La surface du parallélogramme (
quadrilatère.

jnt les diagonales du
est compris entre les

t le double de celle du

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Les diagonales sont le double des lignes qui joignent les
milieux des côtés opposés; on le reconnaît aisément en con-
sidérant le parallélogramme qu'on forme en joignant succes-
sivement les milieux des côtés du quadrilatère.

On retrouve ainsi dans le parallélogramme toutes les
quantités que l'on considère généralement dans le quadrilatère.

La translation se montre surtout à son avantage, quand
on connaît les diagonales et leur angle; car, dans ce cas, on
peut immédiatement tracer le parallélogramme et le problème
se ramène à déterminer le point C. On a de suite deux lieux
géométriques de ce point, quand on connaît deux des élé-
ments indiqués ci-dessus, ou une certaine dépendance entre
plusieurs d'entre eux (par exemple, le rapport de deux côtés,
la somme ou la différence de leurs carrés, &c,). La clafase
très-nombreuse de problèmes, qu'on peut ainsi résoudre sans
coup férir, s'augmente encore considérablement si l'on remarque
que, dans un quadrilatère, ou peut considérer deux côtés
Opposés quelconques comme des diagonales et les diagonales
comme des côtés; et en effet, on peut par ce moyen résoudre
les problèmes correspondants, où l'on donne deux côtés op-
posés et leur angle, au lieu des deux diagonales et de leur
angle.

Pour mieux faire comprendre la méthode, nous allons,
dans ce qui suit, l'appliquer à quelques problèmes de diverses
espèces.

Exemples.

259, Construire un trapèze, connaissant ses quatre côtés.

Transportons l'un des côtés non parallèles jusqu'à ce
qu'il rencontre l'autre; nous donnons naissance à un
triangle, dont les trois côtés sont connus.

260. Dans un cercle, on mène deux cordes AB et CD. Trouver
sur sa circonférence un point X tel que les lignes XA et
XB déterminent sur la corde CU un segment FG. égal
à une ligne donnée.

Transportons f'G de manière que F tombe en A]
G viendra en un point H, que nous pouvons déte

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53

immédiatement; nous déterminons ensuite d'après cela
le point G au moyen de e, puisque z G =^^ Z. X (comme
inscrits dans le même arc AB).

261, Construire un quadrilatère, connaissant les quatre côtés
et la ligne EF qui joint les milieux de AB et CD.

Pour rassembler les éléments, transportons BC et AD
parallèlement à eux-mêmes jusqu'à ce qu'ils soient dans
les positions EC^ et ED^. C,, F et D^^ sont alors en
ligne droite, puisque A Cj Ci^ZJjZJF. On peut mainte-
nant construire le AC^ED^ (121); puis on détermine C
et D. La construction montre que l'angle que forment
les côtés opposés, Z C\ED^, est indépendent de la lon-
gueur des deux autres.

La construction peut aussi s'efïectuer au moyen de la
translation générale indiquée plus haut.

262. Par le point d'intersection de deux cercles, mener une
droite sur laquelle les deux cercles déterminent des
cordes ayant une différence donnée, (Les cordes doivent
être affectées d'un signe et être comptées à partir du
point d'intersection.)

La projection de la ligne des centres sur la ligne
cherchée est égale à la moitié de la différence donnée.
Transportons la projection jusqu'à ce qu'une de ses ex-
trémités tombe en un des centres; elle formera avec la
ligne des centres un triangle rectangle qu'on peut con-
struire. La ligne cherchée sera alors parallèle à l'un
de ses côtés. Si l'on donne la demi-somme des cordes,
on peut l'introduire dans la figure, en multipliant par
— I l'un des cercles, par rapport au point d'intersection,
substituer ce nouveau cercle à la place de celui qui
était donné et effectuer la construction qu'on a indiquée
plus haut.

363. Construire un rectangle, ayant un côté donné et tel que
chaque côté passe par un point donné. {262).

2:4. Dans un triangle donné ABC, mener par un point X de
AB et un point Y de BC une ligne telle que XY ait une
longueur donnée et que AX : CY ^^ p : q.

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54 TRAKSLAl

Transportons parallèlement XY jusque dans la posi-
tion A F, ; nous pourrons alors déterminer le point F, ,
puisqu'on connaît sa distance à j1 et la forme du tri-
angle Y, YC.
365. Mener une droite de direction donnée qui rencontre deux
cercles donnés de telle manière que les cordes inter-
ceptées aient une somme ou une différence donnée.

On déplace l'un des cercles suivant la direction donnée
jusqu'à ce qu'il coupe l'autre sur la ligne cherchée.
Dans cette situation, on détermine aisément son centre.

266. Par un point donné, mener une droite qui soit coupée
par deux cercles donnés suivant des cordes égales.

On transporte l'un des cercles de manière à faire coïn-
cider les cordes égales. Son centre peut alors se déter-
miner par cette double propriété que l'on voit de ce
point la ligne des centres sous un angle droit et que sa
distance au point donné est connue; la tangente menée
du point donné à ce cercle est en effet égale à la tan-
gente menée du même point au cercle fixe.

267. Dans deux cercles donnés, dont les centres sont A et 5,
mener deux rayons ^Xet BY qui soient vus d'un point
donné P sous des angles égaux.

On transporte parallèlement le triangle AXF d'une
longueur égale et parallèle à la ligne des centres et on
le multiplie en même temps par le rapport des rayons
de manière que AX et BY coïncident. Le point P
viendra alors dans une nouvelle position P^ qu'on déter-
mine aisément puisqu'on connaît la longeur et la direc-
tion de la ligne BF, . Comme Z YF^B ^ /i XPA , les
points F^ P,, B et Y doivent se trouver sur une même
circonférence; ce qui détermine Y.

268. Construire un parallélogramme, connaissant les côtés et
l'angle des diagonales.

Transportons parallèlement l'une des diagonales jusqu'à
ce qu'une de ses extrémités tombe sur une extrémité de
l'autre. Nous pouvons alors construire le triangle dont
les diagonales sont les côtés (18).

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55

26g. Construire un trapèze, connaissant les diagonales, la ligne
qui joint les milieux des côtés non parallèles et un angle.
Par le mêtne procédé que dans le cas précédent, on
ramène ce problème à 3.

270. Dans quels cas le point C sera-t-il sur une des diago-
nales du parallélogramme, résultat de la translation géné-
rale dans un quadrilatère?

Au moyen de la translation parallèle, on peut résoudre
un problème général qu'on rencontre souvent:

Entre deux courbes données mener une ligne
qui soit égale et parallèle à une ligne donnée.

On déplace l'une des courbes d'une longueur égale et
parallèle à la ligne donnée; elle coupera l'autre courbe au
point où il faut mener la ligne. Ce problème peut toujours
se résoudre avec la règle et le compas quand les courbes
sont des systèmes composés de droites et d'arcs de cercle.

271. Mener une ligne égale et parallèle à une ligne donnée
et qui ait ses extrémités sur deux circonférences données.

272. Dans un triang-le, mener une transversale de longueur
donnée, parallèlement à un des côtés.

273. Dans un cercle, mener une corde qui soit égale et pa-
rallèle à une ligne donnée.

274. D'un navire on voit deux points connus sous un angle
donné; ce navire s'avance d'une longueur donnée suivant
une direction donnée et on voit alors les deux mêmes
points sous un autre angle connu; on demande de déter-
miner le lieu du navire.

Par les points donnés, on fait passer des arcs de cercle
capables des angles donnés; le problème est alors ra-
mené à 271,

On employé souvent un genre spécial de translation pa-
rallèle, quand on a affaire à des cercles qui touchent d'autres

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56 TRANSLATION PARALLELE.

cercles ou des droites; on imagine que le rayon d'un des
cercles diminue jusqu'à zéro, pendant qu'en même temqs les
droites ou les cercles tangents suivent le mouvement, en con-
servant les unes leurs directions, les autres leurs centres. On
arrive souvent ainsi à ramener un problème à un autre plus
simple, où les autres conditions imposées restent les mêmes,
mais où un cercle est remplacé par un point.

275. Mener la tangente commune à deux cercles.

Faisons diminuer le plus petit jusqu'à ce qu'il se ré-
duise à un point, tandis que les tangentes le suivent;
l'autre cercle doit continuer à être tangent aux tan-
gentes; il prendra donc un rayon égal à la somme ou
à la différence des rayons donnés, suivant que l'on con-
sidérera les tangentes intérieures ou extérieures. Le
problème se ramène ainsi à 16.

276. Construire un cercle tangent à deux droites données et
à un cercle donné.

Faisons décroître le cercle donné, jusqu'à ce qu'il se
réduise à son centre; le problème se ramène à 181. Le
cercle cherché peut être tangent au cercle donné de
deux manières différentes, auxquelles correspond la trans-
lation des tangentes dans des directions opposées.

277. Construire un cercle tangent à un cercle donné et à une
droite donnée, en un point donné.

278. Construire un cercle tangent à deux cercles donnés, et
à l'un d'eux en un point donné.

Exemples divers de translation parallèle.

27g. Construire un quadrilatère, connaissant ses quatre côté-,
et l'angle compris entre deux côtés opposés.

2S0. Construire un quadrilatère, connaissant les diagonales,
leur angle et deux angles opposés.

281. Construire un trapèze, connaissant les diagonales, leur
angle et la somme ou la différence de deux côtés suc-
cessifs.

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2Sz. Construire un triangle, c

onnaissant m„, z (mj, Wr) et la

surface.

283. Dans un triangle ABC,

rectangle en B, mener une trans-

versale XY de longueur

donnée, de telle manière que

AX+XY+ YC soit égal à un carré donné.
Le point F, (264) est déterminé par a.

284. Construire un quadrilatère inscrit, connaissant les diago-
nales, leur angle et l'angle d'une diagonale et d'un côté.

285. Construire un quadrilatère, connaissant les diagonales,
leur angle, le rapport de deux côtés successifs et l'angle
des deux autres côtés.

286. Circonscrire à un triangle donné le plus grand triangle
équilatéral possible.

287. Construire un quadrilatère, connaissant deux angles op-
posés, sa surface et les deux lignes qui joignent les mi-
lieux des côtés opposés.

L'angle des deux lignes données se détermine au
moyen de ces lignes et de la surface. On peut alors se
servir de la translation générale du quadrilatère.

288. Construire un quadrilatère ABCD, connaissant AB, CD,
Z BAC, Z ACD et z BDA.

289. Construire un quadrilatère, connaissant deux côtés op-
posés et tous les angles.

290. Construire un trapès^e, connaissant les diagonales, leur
angle et un côté.

291. Construire un quadrilatère, connaissant trois côtés et les
angles adjacents au quatrième.

292. Construire un quadrilatère ABCD, connaissant AB, CD,
AC, /lABD et z BDC.

293. Construire un quadrilatère, connaissant z BCA, Z.CAD,
les diagonales et leur angle.

294. On donne deux parallèles L et M, une troisième droite
A' et un point P; mener par P une droite qui coupe les
précédentes respectivement en des points .4, S et C tels
que AB et CP soient entre eux dans un rapport donné.

On transporte AB et CP dans les positions ^.Q et

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S8 ,...SL„,., ,«..LLi,...

QP,, Q étant le point d'intersection de M et A', et on ■
détermine F,.

295. Dans un triangle AXBYC, mener X F suivant une direc-
tion donnée de telle manière que AX et YC aient une
somme donnée.

396. Construire un trapèze connaissant les diagonales et les
côtés non parallèles (142).

297. Résoudre les problèmes 169,^ étant un point quelconque.

398. Construire un quadrilatère, connaissant les diagonales,
deux côtés opposés et leur angle.

299. Construire un quadrilatère, connaissant la ligne qui joint
les milieux de deux côtés opposés, les diagonales, le
rapport de deux côtés opposés et la somme des carrés
des deux autres.

On peut construire le parallélogramme ordinaire, puis-
qu'on en connait les côtés et une diagonale.

300. Construire un quadrilatère, connaissant les quatre côtés
et la ligne qui joint les milieux des diagonales.

Analogue au précédent ou à 261.

301. Construire un triangle, connaissant deux médianes et
l'angle que la troisième fait avec le côté correspondant.

302. Construire un trapèze, connaissant les côtes parallèles
et les diagonales.

303. Dans un cercle donné, inscrire un trapèze dont on donne
la hauteur et la différence des côtés parallèles.

304. Construire un quadrilatère, connaissant deux côtés op-
posés, la ligne qui divise les deux autres côtés opposés
suivant un rapport donné, l'angle que forment ces der-
niers et leur rapport.

Analogue à 261.

305. Construire un trapèze, connaissant les diagonales, la ligne
qui joint les milieux des diagonales et la ligne qui joint
les milieux de deux côtés opposés.

306. Dans un cercle, inscrire un trapèze dont on connait la
hauteur et la somme des côtés parallèles.

Le trapèze peut se placer de telle manière qu'un
diamètre pris arbitrairement le divise symétriqui

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ALLELE. 59

Le milieu d'un des côtés non parallèles doit donc se
trouver sur une ligne connue qui est parallèle au dia-
mètre. On peut maintenant déterminer le pied de la hau-
teur menée par lextrémité d'un des côtes non parallèles
(271 et 336).

307. Sur une ligne donnée AB, placer une autre ligne CD de
longueur donnée de manière que C et D divisent har
moniquement AB.

Sur AB, comme corde, décrivons un cercle quelconque;
et en supposant le problème résolu, menons de C et J^
les lignes CJE et I)F aux milieux des deux arcs AB.
Ces lignes sont perpendiculaires entre elles et ce coupent
sur la circonférence du cercle. Déplaçons CD parallèle-
ment à lui-même jusqu'en EG; FG sera vu de D sous
un angle droit.

Soit M le milieu de AB , on connaît le produit et la
différence de MO et MD\ on peut donc aussi résoudre
le problème à l'aide de ces quantités.

308. On donne deux points A et B et entre eux deux paral-
lèles. Mener entre celles-ci une ligne MN de direction
donnée telle que AM-\-MN+NB soit un minimum.

309. Par un point donné P, mener une droite dont les distances
^X et BY k deux points donnés .^ et S aient un pro-
duit donné.

Transportons parallèlement BYen AY,, le lieu de F,
sera une droite, celui de X étant un cercle décrit sur
AP comme diamètre; déplaçons parallèlement la droite
d'une longueur égale au segment AB, nous avons une
droite et un cercle, comme lieux géométriques pour Y.
3:0. D'un point donné F, on mène une ligne PA au point A
d'une courbe donnée; et d'un autre point donné L, on
mène la ligne LB parallèle à PA et telle que LBiFA
= m:n. Que] sera le lieu géométrique de S?

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B. R E T O II R N E M F, N T.

On se sert de cette méthode, comme de la précédente,
pour donner aux différents éléments une position commode
pour effectuer la construction. Elle consiste à amener une
partie de la figure dans une nouvelle position , en cherchant
par là :

i) A réunir ensemble les éléments donnés.

311. Dans un cercle donné, inscrire un quadrilatère ABCD,
connaissant la grandeur des deux côtés opposés AB et
CD et le rapport des deux autres côtés.

Retournons le triangle ABC de telle sorte que A
vienne en C et C en ^ ; B devra encore être sur la cir-
conférence. On arrive de cette manière à placer les élé-
ments donnés dune manière plus commode, puisqu'on
connaît ainsi deux côtés successifs et le rapport des
deux autres; on peut alors tracer les deux côtés donnés
et déterminer le quatrième sommet (239).

Il n'y aura plus en suite qu'a ramener le triangle ABC
dans sa position primitive.

312. Construire un quadrilatère circonscriptîble , connaissant
Al}, AB, zLD tx. z. B.

Retournons JDCautour de la ligne qui bissecte Z_A;
D Gt C viendront en /?; et C, et iy,C, continuera à
être une tangente. Nous pouvons maintenant construire
le triangle dont un côté est BI),, parceque nous con-
naissons ce côté et les deux angles adjacents; le cercle
se détermine facilement alors, puisqu'il est tangent aux

2) A introduire dans la figure les éléments
donnés.

313. Construire un triangle, connaissant a, b et A--B.

Retournons le triangle de manière que A vienne en B
et B en A. Nous pouvons maintenant construire le tri-
angle dont les cotés sont a et 6, et l'angle compris ^ — B.

314. Construire un triangle, connaissant a, A„ et B — C,

On introduit B — C en retournant le triangle de ma-

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nière que B vienne en C, C en B, et A en A-^. On peut
maintenant construire le parallélogramme, qui a pour
diagonale ÂA^ et pour troisième sommet B, puisque la
diagonale menée par B est vue de A sous un angle
connu.

315. Construire un triangle connaissant hc, m^ et B—C.

Si l'on retourne le triangle pour le mettre dans la
position BA,C, la surfarce connue de A^BA sera égale
à la surface du triangle isocèle qui a ma pour côtés.
3) A superposer des lignes ou des angles de
même grandeur. Ce procédé s'employe très souvent quand
les éléments de même grandeur sont inconnus et la méthode
sert, dans une certaine mesure, à les éliminer. On peut em-
ployer une méthode analogue quand on connait le rapport
de deux lignes; pour les superposer on fait croître une partie
de la figure suivant le rapport donné pendant qu'on opère en
même temps le retournement.

316. Construire un quadrilatère inscriptible .^SCi), connaissant
les quatre côtés.

On multiplie les côtés du triangle ABC par ADiAB
et on le retourne dans la position ABC,, oùZ'C, et CB
forment alors une ligne droite. On peut maintenant
construire le triangle CA Cj ; car on connait le rapport
CA: C\A de même que CB, BC, et BA.

317. Dans un cercle, inscrire un triangle connaissant les mi-
lieux des arcs que soustendent les côtés.

Soit ABC le triangle cherché, ;- le milieu de AS,
jS celui de AC et a celui de BC. Faisons tourner A
autour du diamètre passant par y, puis de ceux pas-
sant par « et /3; ce point viendra de nouveau retomber
en A ; tandisqu'un point quelconque de la circonférence,
qui est à une distance déterminée de ^ , se retrouvera,
après une opération semblable, à la même distance de A
m.iis du côté opposé. On pourra donc déterminer A en
partant d'un point quelconque, puisqu'il se trouvera au
milieu de la position de ce point et de celle qu'il vient
occuper après les trois retournements. Le problème peut

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s'étendre à un polygone à n sommets; mais on voit aisé-
ment qu'il est indéterminé ou impossible quand n est
pair, tandisqu'il est déterminé quand n est impair.

318. On donne une droite et un point A sur cette droite;
mener par le centre d'un cercle donné une droite qui
coupe la circonférence en Y et la droite donnée en X
de telle manière que XF et XA soient dans un rapport
donné.

On amène XY (en le multipliant) en superposition
sur XA; vient en un point connu 0, et A Y est la
parallèle à 00,.

319. Construire un quadrilatère, connaissant AB^ AD, /_ B,
Z i> et le rapport BC: CD.

On employé le même retournement qu'au N° 316.

4) A constituer une figure symétrique, de telle
manière qu'un point cherché soit sur l'axe de sy-
métrie.

320. Sur une droite donnée trouver un point qui soit à égale
distance d'un point donné de cette même droite et d'une
autre ligne donnée.

On élevé une perpendiculaire au point donné et l'on
bissecte l'angle qu'elle forme avec la droite donnée.

321. Construire un cercle 'qui soit tangent à une droite
donnée en un point donné et coupe un cercle donné
suivant un angle donné.

On déplace le cercle donné de manière qu'il coupe
la droite donnée au point donné et sous l'angle donné.
L'axe de symétrie des deux cercles passera par le centre
du cercle cherché.

5) A amener une portion de la figure dans une
position telle que deux points inconnus se confon-
dent en un seul, tandis que deux lignes qui passent
paï: ces points font entre elles un angle connu et
contiennent chacune un point connu. On peut alors
tracer un cercle qui passe par le point d'intersection des
deux droites.

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6$

On donne deux cercles et deux points A et B sur la
circonférence de l'un d'eux. Trouver sur cette même
circonférence un point X tel que AX et BX rencontrent
l'autre cercle respectivement aux points M et A' de ma-
nière que MN ait une longueur donnée.

Soit le centre du second cercle, l'angle MON est
connu. Faisons tourner MA de cet angle autour de 0,
M vient en A' et j4 en un point connu A^. Comme
MA et NB font entre elles un angle connu, l'angle BNA^
est connu et A' se trouve par là déterminé.

Exemples "divers pour le retournement.

Dans un cercle donné inscrire un quadrilat
sant deux côtés opposés et la f

324. Construire un triangle. (

On retourne le triangle de manière que B vienne en C
et C en B tandîsque A passe du côté opposé en Aj.
On peut maintenant tracer AAj et en déduire B.

325. Circonscrire un triangle à un cercle, de manière que les
trois sommets soient sur trois lignes données issues du
centre du cercle.

Le problème est anologue à 317.

326. Construire un losange de telle manière que deux de ses
côtés soient sur deux parallèles données et que les deux
autres passent respectivement par les points A et B.

On place le losange de manière que ses deux autres
côtés soient sur les parallèles; alors AB vient dans une
nouvelle position dont la direction est connue. I,'angle
entre celle-ci et AB détermine l'angle du losange.

327. Construire un triangle de. base donnée, dont le sommet
se trouve sur une ligne donnée et dont en même temps
!a différence des angles à la base est donnée.

On retourne le triangle, comme dans 313, et on employé
la méthode de similitude.

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64

328. Dans un triangle, on mène une ligne joignant le sommet
à un point de la base. Trouver sur cette ligne un point
d'oii les deux segments de la base soient vus sous des
angles égaux.

329. Dans un triangle ABC, AC est divisé suivant les seg-
ments AD et DC. Trouver sur AB un point .X d'où l'on
voie AD et DC sous des angles égaux.

On peut déterminer le point de AB qui est le symé-
trique de C par rapport à DX pris comme axe de
symétrie.

330. Par le sommet B d'un triangle, mener une droite telle
que les perpendiculaires AF et CQ. abaissées sur elle
déterminent deux triangles ABP et CBQ dont les sur-
faces aient un rapport donné.

On amène ABP dans la position CBP^^ en faisant en
même temps varier sa grandeur, et sur BC comme dia-
mètre on décrit un cercle. La corde Pj Q a alors une
longueur déterminée et est coupée par BC suivant un
rapport connu, (z QBP^ = Z. ABC).

331. Construire un triangle connaissant i«n, è^— c^ et /_ (a, m„).

332. Construire un quadrilatère, connaissant les quatre cùlés,
et sachant qu'il doit satisfaire à la condition qu'une dia-
gonale bissecte un angle.

333. On donne deux cercles dont les centres sont A et B.
Mener un cercle passant par A et B, qui coupe respec-
tivement les deux premiers en X et F (de côtés diffé-
rents par rapport à AB) de manière que la somme des
angles ABY et BAX soit égale à un angle donné.

On amène le triangle -diî F dans la position BAY^ de
manière que Z- XA F, soit l'angle donné.

334. Construire un triangle, connaissant .-l, p et e — b.

En appelant le centre du cercle inscrit, on connaît
trois éléments du triangle BOC, à savoir: l'angle 0, la
hauteur OF et la distance du point F au milieu de BC.

335. Construire un triangle, connaissant p, e—b et 0—B.

On trace le même triangle que dans le problème
précédent.

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Rotation autour d'un axe.

Ce n'est qu'un cas particulier du retournement; cependant
ce procédé sera si souvent employé qu'il mérite une mention
spéciale. On cherche à en retirer les mêmes avantages que
du précédent, en faisant tourner une partie de la figure autour
d'une droite de manière que ses deux positions soient symé-
triques par rapport à cette dernière. On peut ainsi, par ex-
emple, résoudre facilement le problème général suivant:
336. Mener une droite perpendiculairement à une

droite donnée ei

: de telle manière que deux

courbes données

interceptent sur elle des seg-

ments égaux.

Faisons en effet t<

Durner l'une des courbes autour de

la droite donnée cot

nme axe, elle coupera l'autre aux

points cherchés.

337. Construire un carré dont deux sommets opposés soient
sur une droite donnée et les deux autres sur deux cir-
conférences données (336),

33S. Sur une droite donnée, trouver un point X tel que les
droites qui le joignent à deux points A et B, situés d'un
même côté de la ligne donnée, fassent avec celle-ci des
angles égaux.

On fait tourner le point donné A autour de la ligne
donnée jusqu'à ce qu'il soit venu en A,. Alors BXAi
est une ligne droite.

Remarque. Ce problème se présente souvent dans la
nature parcequ'un corps élastique lancé contre un plan,
un rayon de lumière qui se réfléchit sur une miroir, une
onde qui vient frapper un plan, sont renvoyés en arrière
de telle manière que l'angle de réflexion est égal à
l'angle d'incidence. On peut imaginer, par exemple, que
A soit un point lumineux et que la ligne soit la coupe
d'un miroir. Le problème consiste donc à trouver le
chemin que suivra le rayon lumineux pour passer en B
après la réflexion. Comme le chemin total qu'il par-
court est égal à la ligne .B/l,, tandisque, pour tout

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autre point que X, ce serait une ligne brisée joignant
les deux points, on voit que ce rayon effectue son trajet
par la voie !a plus courte.

Si le rayon passait par un autre point que X, il se
réfléchirait encore comme s'il était issu de Jj; en sorte
que dans des problèmes de ce genre on peut imaginer
que la ligne n'existe pas, quand on remplace le point
A par A j .

Sur un billard, qui a la forme d'un polygone de n côtés,
se trouvent deux billes M et A'. Lancer M contre le
côté AB, de telle manière qu'après s'être refléchi sur BC
et sur tous les autres côtés successivement, elle revienne
frapper A'.

On fait tourner M autour de ^7Î jusqu'en M, ; on peut
alors faire abstraction de AB, en remplaçant M par Mj.
On continue de la sorte jusqu'à ce que le problème soit
ramené au précédent; ainsi on détermine d'abord le point
cherché sur le dernier côté et de là on passe facilement
aux autres. Si l'un des points cherchés tombe sur le
prolongement du côté correspondent, le problème est
impossible.

Dans un polygone donné, inscrire un autre polygone
dont le périmètre soit un minimum.

Deux côtés successifs doivent faire des angles égaux
avec le côté du polygone sur lequel tombe leur point
d'interseciion; car s'il en était autrement pour l'un de
ces points, on diminuerait le périmètre en amenant le
point dans une position telle que le cas précédent se
réalisât. Le problème est donc en liaison intime avec
le précédent et peut se résoudre d'une manière analogue.

On peut commencer par le point cherché sur l'un des
côtés; mais comme on ne sait pas où il se trouve, il
faut successivement faîre tourner le côté tout entier au-
tour des autres côtés. On rassemble ainsi successive-
ment tous les côtés de la figure cherchée sur une même
ligne droite et les segments extrêmes de celle-ci sont les
deux côtés qui se rencontraient sur la ligne qu'on a fait

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67

tourner tout d'abord. Comme l'un d'eux a constamment
accompagné le côté en question pendant les rotations,
son angle avec ce dernier n'a pas changé, et le pro-
blème se trouve alors ramené au suivant :

Entre deux lignes droites d'égale. longueur, en mener
une troisième qui fasse avec elles des angles égaux et
détermine sur elles des segments égaux, comptés à partir
d'une extrémité déterminée.

Si les angles égaux sont alternes, le problème sera
évidemment indéterminé, si les lignes sont parallèles, et
impossible quand il n'en sera pas ainsi. Ce cas se pro-
duit quand le nombre de côtés du polygone donné est
pair; au contraire, s'il est impair, le problème sera tou-
jours possible, à la condition de considérer comme inscrits
les polygones dont les sommets tombent sur les pro-
longements des côtés du polygone donné.
Construire un polygone, connaissant, en position, les
perpendiculaires élevées au milieu des côtés.

Soit A un des sdmmets cherchés, B un point quel-
conque; faisons tourner la droite AB successivement au-
tour de toutes les perpendiculaires; J devra revenir en ii
tandisque B occupera une autre position B^. Comme
la ligne conserve tout le temps sa longueur, il faut que
BA-= BiA. On peut d'après cela résoudre facilement
le problème. On commence par prendre un point quel-
conque B et on détermine B^. A doit alors se trouver
sur la perpendiculaire au milieu de BB^. En prenant
de la même manière un autre point quelconque, on dé-
termine A complètement. La discussion est anologue
à celle de 340.

Construire un polygone, connaissant, en situation, les
bissectrices des angles.

La solution est analogue à la précédente.
Mener à deux cercles donnés des tangentes qui se cou-
pent sur une droite donnée et fassent avec elle des
angles égaux.

Analogue à 338 ; i! se r

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68

344- Sur une droite donnée déterminer un point X dont les
distances à deux points donnés A et B aient une somme
donnée.

On introduit dans la figure la somme donnée, en pro-
longeant ^X jusqu'en B^^ de manière que XB^ = XB.
X est donc le centre d'un cercle qui passe par le point B
et est tangent au cercle connu dont le rayon est ABi
et le centre A. Si l'on remarque que le cercle cherché
doit en même temps passer par le point qu'on obtient
en faisant tourner B autour de la ligne donnée, le pro-
blème se ramène à 238.

345. Sur une droite donnée, déterminer un point dont les dis-
tances à deux points donnés aient une différence donnée.

La solution est analogue à la précédente.

Remarque. Les deux derniers problèmes peuvent
aussi s'énoncer comme il suit:

Trouver les points d'intersection d'une droite donnée
et d'une conique dont on connaît les axes et les foyers.
Le problème peut donc toujours se résoudre avec la
règle et le compas. Si, au lieu de la droite donnée, on
prend un cercle indépendant de la conique, la solution
avec la règle et le compas n'est plus possible.

346. Dans un triangle ABC, AD est la bissectrice de l'angle J,
Trouver sur cette droite un point M tel que la diffé-
rence des angles DMC et DMB soit un maximum.

En faisant tourner AB autour de la bissectrice de
l'angle, ce problème se ramène à 185.

347. Deux cercles passent respectivement par A et S, Trouver
sur leur axe radical un point P tel que la ligne qui
joint les deux points (Q et B] où PA et PB coupent
les cercles pour la seconde fois, soit perpendiculaire à
l'axe radical.

On fait tourner le cercle passant par A autour de
l'axe radical; A vient en un point A^ et Q en Q^; on
peut décrire des cercles autour des quadrilatères QABR

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et Q^A^BR et il en résulte que le cercle AA^B passe
par F.

On donne une droite PQ et deux points A ^t B d'un
même côté de cette droite; trouver sur elle un point X
tel que z BXQ = 2 Z AXP.

On amène, par rotation autour de PQ, AX dans la
position A,X et on détermine la projection de B sur
A,X.

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TROISIEME CHAPITRE

THÉORIE DE LA ROTATION

Si d'u

d'une courbe donnée k;
angle v autour de

point donné on mène des drc

s aux points

l'on fait tourner ces lignes d'un
tandisqu'en même temps on les fait
croitre suivant un rapport donné /,
on obtient une nouvelle courbe A^pour
le lieu géométrique des extrémités des
lignes qu'on a ainsi fait tourner. Elle
doit être semblable à k\ car on peut
imaginer qu'on ait effectué les deux
opérations de la manière suivante: en
premier lieu, rotation de la courbe
primitive, ce qui ne fait que changer
sa position; puis en second lieu, mul-
tiplication par / par rapport à 0. Un point a de la courbe h
déterminera par rotation un point A de la courbe K. Deux
pareils points sont dits homologues. Les lignes homologues
sont celles qui joignent les points homologues, et les angles
homologues sont formés par les lignes homologues. Le point
peut s'appeler le centre de rotation, vl'angle de ro-
tation et /le rapport de rotation. Pour deux points
homologues quelconques, Â et a, le triangle A Oa doit con-
server la même forme puisque Z aO.4 =i) et — r^ = / sont
constants. On peut donc aussi dire que la courbe K est dé-

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71

crite par le sommet A d'un triangle AOa qui, tout en conser-
vant sa forme, tourne autour de son autre sommet 0, tandisque
le troisième sommet a parcourt la courbe donnée. Quand il
s'agira d'exprimer qu'on fait tourner une courbe autour de 0,
d'un angle de rotation v et avec un rapport de rotation /
on pourra dire qu'on multiplie la courbe par f^ par rapport
à 0.

2. Tout point du plan peut être considéré comme ap-
partenant à l'un des systèmes et aura par suite son homo-
logue dans l'autre. En considérant le centre de rotation à
ce point de vue, il sera à lui-même son propre point homo-
logue (point qui se correspond à lui-même) et on pourrait
aussi en raison ce cette propriété le nommer le point double
du système. On peut également imaginer que tout le plan
tourne autour de de telle manière qu'un de ses points par-
coure une courbe donnée. Si le système tout entier des points
du plan conserve sa forme pendant le mouvement, un quel-
conque de ses points décrira une courbe semblable à la courbe
donnée.

3. Du moment qu'on connait le centre de rotation, l'angle
et le rapport de rotation, on peut faire tourner un. système
quelconque composé de droites et d'arcs de cercîe, en em-
ployant seulement la règle et le compas. On fera tourner
un point a autour de V en prenant^ Z aOA égal à l'angle de
rotation et faisant OA =f.Oa. Pour une droite, on n'aura
qu'à faire tourner un de ses points et à mener la droite faisant
avec le rayon du nouveau point un angle égal à celui que
faisait la droite primitive avec le rayon allant au point qu'on
a fait tourner.

Pour un cercle, il suffira de trouver les homologues de
son centre et d'un point de sa circonférence.

4. Au moyen des propositions qu'on vient de développer,
on peut résoudre le problème général qui suit:

Placer un triangle, semblable à un triangle
donné, de telle manière qu'un de ses sommets soit
en un point donné et queîes deux autres se trou vent
sur deux courbes données.

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72 ™éobie m

Prenons le point donné comme centre de rotation et fai-
sons tourner l'une des courbes autour de lui, de manière que
l'angle de rotation soit l'angle du triangle dont le sommet est
en O et que le rapport de rotation soit celui des côtés adja-
cents à cet angle; la courbe qu'on a ainsi fait tourner cou-
pera l'autre courbe donnée aux points où doit tomber le se-
cond sommet.

Si au lieu de la forme du triangle, on connaît l'angle
dont le sommet doit tomber au point donné et le produit des
côtés adjacents à cet angle, le problème se résoudra de la
même manière. Seulement au îieu de faire tourner une courbe
qui soit semblable à une des courbes données, ce sera l'inverse
de cette courbe qu'on fera tourner.

Exemples.

. Placer un triangle équilatéral, de manière que ses som-
mets soient sur trois parallèles données.

Un des sommets peut être mis en un point quelconque
d'une des lignes; ce sera le centre de rotation; v = 6o°,

/-■■

. Placer un triangle équilatéral de manière que ses som-
mets soient sur trois cercles concentriques donnés.

, Dans un parallélogramme, inscrire un triangle isocèle
dont l'angle soit donné; le sommet doit être en un som-
met du parallélogramme.

. Dans un triangle donné, inscrire un autre triangle qui
soit semblable à un triangle donné et qui ait un de ses
sommets en un point donné d'un côté du premier.

. Dans un segment de cercle, inscrire un triangle sem-
blable à un triangle donné, et dont un sommet tombe
en un point donné de la corde.

. Dans un cercle donné, inscrire une corde dont la lon-
gueur soit dans des rapports donnés avec les distances
de ses extrémités à un point donné.
Dans un parallélogramme, inscrire un rectangle dont les
diagonales fassent un angle donné.

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73

Les centres des deux parallélogrammes doivent se
confondre.

356. Dans un parallélogramme, inscrire un losange dont les
diagonales aient un rapport donné.

357. Dans un carré, inscrire un triangle équilatéral.

358. On donne un cercle et deux points A et B; mener au
cercle une tangente telle que celle-ci et la perpendicu-
laire abaissée de B sur elle, soient à des distances de A
qui soient dans un rapport donné.

Par une rotation autour de A, on amène B sur la
tangente.

359. Dans un parallélogramme donné, inscrire un losange de
surface donnée.

360. On donne deux points .4 et JS et deux droites qui se
coupent en C. Mener par A et B deux droites qui com-
prennent entre elles un angle donné et qui rencontrent
respectivement les deux droites données en X et F de
telle manière que AX ttt BY soient dans un rapport
donné.

Par une translation parallèle, on amène AX et BY
dans les positions ^iC et BiC.

361. Construire' un triangle, connaissant ha, B — C et be.

362. Par un point donné -4, mener deux cercles qui se cou-
pent suivant un angle v; on donne le rapport de leurs
rayons égal à / et chacun d'eux doit être tangent à une
droite donnée.

On multiplie l'une des droites données par /„ par rap-
port à A; le problème se trouve ramené à 181.
5. Soient données deux figures semblables; si leurs élé-
ments se suivent dans le même sens de rotation (dans ce qui suit,
nous supposerons toujours qu'il en est ainsi pour les figures
semblables) elles auront toujours un centre de rotation, c. a. d.
un point autour duquel on pourra faire tourner l'une d'elles
de manière qu'elle vienne se superposer sur l'autre; le rapport
de rotation est déterminé, puisque deux lignes homologues
quelconques sont entre elles dans ce rapport, et l'angle de
rotation est l'angle compris entre deux lignes homologues.

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74 THÉORIE TE

Pour trouver le centre de rotation , on pourrait se servir du
rapport connu de ses distances à un couple de points homo-
logues ; mais on peut employer une construction plus simple.
Soient ^ et a, B ut b deux couples
^-^;;ll~""~\,^ de points homologues. Les lignes ho-

y^ ^X \ iiiologues AB et ab doivent alors coni-

.// \ \ prendre entre elles l'angle de rotation;

( y ... \ I ce même angle est aussi celui que

I \ ' -■.„ 1/ feront les droites qui joignent deux

\ \^ ..--■-■yp points homologues au centre de ro-

"\^^ ^-- -'^y^ tation; ce dernier doit donc se

^~~...,^___^,...^ trouver sur le même cercle que

le point d'intersection de deux
lignes homologues et que deux points homologues
situés sur ces lignes.

Le centre de rotation de deux lignes homologues, dans
deux figures semblables, est le centre de rotation des figures
elles-mêmes; car si l'on fait tourner une ligne de manière
qu'elle recouvre l'autre, une des figures devra aussi recouvrir
l'autre.

Le centre de rotation de deux lignes s' étendant à l'infini,
considérées comme ligures semblables, est entièrement , indé-
terminé; si sur les lignes on choisit deux points comme points
homologues, on a un cercle pour le lieu géométrique des
centres de rotation; si l'on donne encore deux points homo-
logues ou, ce qui revient au même, le rapport de rotation,
le centre de rotation sera complètement déterminé; il n'y en
a qu'un, puisque les cercles se coupent pour la seconde fois
au point d'intersection des lignes.

Pour deux cercles, le centre de rotation est indéterminé,
puisque deux quelconques de leurs points peuvent être re-
gardés comme points homologues; comme les distances du
centre de rotation aux centres des cercles doivent être entre
elles comme les rayons, le lieu géométrique de ce centre sera
un cercle qui coupe la ligne des centres harmoniquement
suivant ce rapport (c'est le cercle qui passe par les centres
de similitude des deux cercles donnés et a son centre sur la

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75

ligne des centres). Si l'on choisit deux points des cercles
comme points homologues, le centre de rotation est déterminé
et se trouve de la manière la plus simple à l'aide des deux
rayons homologues, puisque les centres sont toujours des
points homologues.

6. Le centre de rotation des deux côtés opposés
d'un quadrilatère est aussi le centre de rotation des
deux autres.

Soit le centre de rotaiion de BÂ et CD; alors A AOB
c<ADOC\ mais on en déduit facilement que A ^(Ji? eu A B OC,
et il en résulte encore que est le centre de rotation àsAD
et BC. Dans le premier cas B et C, A et J^ sont des points
homologues; dans le second, ce sont B et A, et C et D:

On voit de la même manière que le centre de rotation
de ^ fl et eu est aussi celui de A C et iW.

Prolongeons les côtés opposés jusqu'à ce qu'ils se ren-
contrent; les cercles qui déterminent le centre de rotation,
sont circonscrits aux quatre triangles, formés dans !a figure;
on doit se servir des mêmes cercles pour déterminer le centre
de rotation de deux éléments quelconques de la figure qui ne

se coupent pas à l'une de leurs extrémit

es; on a donc ainsi

le théorème suivant;

Dans un quadrilatère complet

, les cercles cir-

conscrits aux triangles qu'on fon

me en négligeant

successivement un des côtés, pas

sent tous par le

même point, et ce point est le ce

ntre de rotation

de deux segments quelconques de la figure qui ne

se coupent pas en l'une de leurs e

xtrémités.

7. Si l'on divise suivant le même rapport les^
droites qui joignent les points homologues de cour-
bes semblables, le lieu géométrique des points de
division sera une courbe semblable aux courbes
données, et deux quelconques de ces courbes ont le
même centre de rotation que les premières.

Soient A et a deux points homologues et supposons la
droite Aa divisée par B, suivant un rapport donné. Soit le
centre de rotation; la forme du triangle AOa doit rester con-

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76 ,.i„.,. ™

stante; il doit aussi en être de même du A AOP et par suite
P doit décrire une courbe semblable aux courbes données,
quand le triangle tourne autour de 0.

Coroll. Si dans un quadrilatère on mène deux systèmes
de droites qui divisent les deux couples de côtés opposés en
parties proportionnelles, les droites d'un même système seront
elles-mêmes divisées suivant le même rapport.

Applications.

363. On donne deux droites, sur chacune d'elles un point, A
et S, et en outre un point extérieur F. Mener par P
une droite qui rencontre les lignes donnés en .X et F de
telle manière que les segments AX et S F soient dans
un rapport donné.

On détermine le centre de rotation des lignes don-
nées, en considérant A et B de même que K et F comme
points homologues. Le rapport donné est ainsi le rap-
port de rotation. Comme alors A OXY^o A OAB la ligne
OP sera vue de X sous un angle connu et par suite X
se détermine facilement.

Remarque. Ce problème a été posé et résolu par
Apollonius dans son ouvrage „de sectione rationis".
L'ouvrage lui-même a été perdu, maïs Halley l'a rétabli
d'après une traduction arabe.

364. Par un point donné, mener une droite qui coupe deux
courbes semblables données en des points homologues.

Ce problème est une généralisation simple du précé-
dent et se résout de la même manière.

365. On donne deux droites, sur chacune d'elles un point,
A et S, et un point extérieur /'. Mener par F une droite
qui coupe les droites données en Jf et F de telle manière
que les segments AX et BF aient une somme donnée.

On porte sur une des lignes le segment BD égal à la
somme donnée; alors .4 Jf = FZ> et le problème se réduit
ainsi au problème 363.

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77

366. Par un point donné P, mener une droite qui forme, avec
deux autres droites données, un triangle de surface
donnée.

Soit A le point d'intersection des droites données; on
représente la surface donnée sous la forme d'un triangle,
dont un côté est AP et dont l'autre côté tombe sur une
des droites données. La droite cherchée doit maintenant
être telle que l'élément de surface qui s'ajoute au triangle
soit égal à celui qui est déterminé par la section dans
le triangle. Mais ces deux surfaces sont des triangles
dont les hauteurs sont connues. Le rapport des bases
de ces triangles est donc aussi connu et par suite le pro-
blème est ramené à 363.

Remarque. Ce problème est aussi dii à Apollonius.
L'ouvrage qui en traitait, „de sectione spatii" est perdu;
il a été rétabli en partie seulement par Hallcy,

367. On donne deux circonférences de cercle, sur l'une un
point A^ sur l'autre un point B. Déterminer respective-
ment sur les deux circonférences les points J^ et F de
manière que les arcs AX et iî F soient semblables et que
XY 2x1 une longueur donnée.

On détermine le centre de rotation des deux cercles
en regardant -4 et B comme points homologues; X et Y
sont alors aussi des points homologues et les triangles
ABO et XYO sont par suite semblables.

Ce problème renferme celui du N° 262, où le second
point d'intersection des cercles est le centre de rotation.

368. Construire un rectangle dont les quatres côtés passent
chacun par un point donné et dont les diagonales aient
une longueur donnée.

On mène les deux cercles qui sont les lieux géomé-
triques de deux sommets opposés du rectangle; le pro-
blème se ramène alors au précédent.

369. On donne deux lignes droites AB et CD. Tracer un
cercle passant par leur point d'intersection et coupant
AB en K et CD en Y de telle manière que AX-.CY et
XtS : YD soient égaux à des rapports donnés.

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Le cercle passe par le centre de rotation de AX etCY,
et par celui de XB et YB.

. Par deux points donnés A et B, mener deux droites,
faisant entre elles un angle donné lî et coupant une droite
donnée et un cercle donné respectivement en Jf et Y de
manière que AXiBY soit égal à un rapport donné i:k.
On tnuitiplie la droite donnée par kt par rapport au
centre de rotation de AX et BY.

. On donne un point A et deux droites BC et DE. Trouver
sur ces lignes respectivement les points ^ et F tels que
BX et DY soient entre eux dans un rapport connu et
que l'angle Z. XA Y soit égal à un angle donné.

On fait tourner BX jusqu'à ce qu'il couvre DY;
A tombe en un point connu A^ et l'angle AYA^ est
connu.

, Placer un quadrilatère ABCD de telle manière que B
et C soient en des points donnés et que A et D soient
sur des lignes données; on donne en même temps S^C
et le rapport BA : CD.

Se simplifie par un retournement (4).
Par un des points 5 d'intersection de deux cercles, mener
deux droites ASa, BSb {A et B sont sur une circonfé-
rence, a et 6 sur l'autre) qui comprennent entre elles un
angle donné et qui soient telles que les triangles ASB
et aSb aient même grandeur.

Le point d'intersection des cercles est le centre de rota-
tion de Aa et Bb^ comme aussi de AB et ab. Si l'on
fait tourner .^5 jusqu'à ce qu'il couvre ab, S vient en un
point connu .S^, ab a une longueur connue et ses distances
à S et Sj sont entre elles dans un rapport connu.

On a une solution plus simple en remarquant que les
perpendiculaires menées par 5 sur les deux cordes cou-
pent la ligne des centres à égaie distance de son milieu.
On donne deux cercles, sur l'un d'eux un point A et
sur l'autre un point B. Tracer par J et £ un cercle
qui coupe les deux cercles en X et Y de manière que
les arcs AX et J5 F soient semblables.

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19

On détermine le centre de rotation des deux cercles,
en prenant A e,t B cotnme points homologues. Comme
AX &i BY sont des lignes homologues, elles se coupent
sur le cercle ABO; mais elles se rencontrent aussi sur
l'axe radical des deux cercles donnés.

375. En joignant les milieux des côtés d'un triangle, on forme
un nouveau triangle semblable au précédent; comme on
le voit aisément l'angle de rotation pour ces deux tri-
angles est 180" et le rapport de rotation \. Le centre
de rotation doit donc diviser toute ligne, joignant deux
points homologues, en deux segments qui sont entre
eux dans ce rapport; et comme les médianes sont des
lignes remplissant ces conditions, le centre de rotation
doit être à leur point d'intersection. Comme les points
d'intersection des hauteurs sont des points homologues
et comme ce point, dans le petit triangle, est le centre
du cercle circonscrit au grand triangle, on voit que dans
tout triangle le point de rencontre des hauteurs, celui
des médianes et le centre du cercle circonscrit sont sur
une même droite, dont les segments sont dans le rap-
port Je I à 2.

376. On donne un cercle, les points t> et P et un angle v.
Une droite menée par P coupe le cercle en A et B.
Déterminer le lieu géométrique d'un point X tel que
AOBX^-AOAX=v.

Le cercle AOXB coupe OP en deux point fixes. Il
se meut donc autour de comme centre de rotation, de
telle manière que son centre parcourt une droite. X dé-
crit donc aussi une droite. Si est le centre du cercle
donné et v^go", X décrit la polaire de P.

8. Si l'on a trois systèmes semblables j1, S et C et si
un point est le centre de rotation de ^ et S et en même
temps celui de B et 0, il doit être aussi le centre de rotation
de A et C. Ce point est donc le centre commun de rotation
des trois systèmes ; et il peut naturellement en être de même
pour un nombre quelconque de systèmes.

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Si l'on joint trois points homologues a, b et c des trois
systèmes au centre de rotation 0, les rapports de ces lignes
et les angles qu'elles font entre elles sont constants; il en
résulte que la forme du triangle abc est aussi constante et,
pour cette raison, je l'appellerai /e triangle fo'^datnental. On
voit de la même manière qu'à plusieurs figures semblables,
ayant un centre commun de rotation, il correspond un poly-
gone fondamental de forme constante. S'il tourne autour du
centre de rotation de manière qu'un sommet décrive l'une des
figures, les autres sommets décriront les autres figures et tout
autre point du plan, considéré comme appartenant au poly-
gone fondamental, tracera une figure semblable aux autres.
Comme le polygone fondamental arrive à prendre successive-
ment toutes ses positions, le centre de rotation des figures
données est aussi le centre de rotation du polygone fonda-
mental dans toutes ses positions.

g. Pour deux lignes, sur lesquelles on donnait deux
points comme points homologues, le centre de rotation devait
se trouver sur un cercle passant par les deux points et par
le point d'intersection des deux lignes; pour trois lignes, sur
lesquelles on donne trois points comme points homologues,
le centre de rotation est alors déterminé; c'est le point d'in-
tersection de deux cercles du même genre; le troisième cercle
doit passer par le même point. En joignant les trois points,
on forme le triangle fondamental; il peut donc avoir une
forme quelconque puisqu'on peut choisir arbitrairement les
trois points; mais aux différents triangles fondamentaux corres-
pondent différents centres de rotation. On peut facilement
déterminer le centre de rotation pour un triangle fondamental
donné en construisant sur les trois droites un triangle sem-
blable au triangle donné (par exemple, comme au problème
154) et en déterminant de cette manière trois points homo-
logues.

Si les trois droites passent par le même point 0, ce der-
nier sera le centre de rotation pour chaque triangle fonda-
mental, en sorte que les triangles semblables à un triangle
fondamental donné sont semblablement placés et ont pour

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centre de similitude. Il y a cependant un cas particulier où
le centre de rotation est indéterminé; si en effet les sommets
.^ et fi du triangle parcourent AO et BO et si ^C ^ ^ A OB,
C parcourra une droite passant par 0.

10. D'après 5, le centre de rotation de deux cercles est
indéterminé et on peut par suite trouver un centre commun
de rotation pour trois cercles; comme ce point est déterminé
par rintersection de deux cercles (voir 5), il y a deux solu-
tions, toutes les deux également admissibles; ce sont les deux
points dont les distances aux centres des cercles sont entre
elles dans le rapport des rayons.

Si l'on prend l'un de ces points comme centre de rota-
tion des cercles, on peut aisément déterminer l'angle de rota-
tion; car les centres des cercles sont des points homologues
et les lignes qui leur sont menées du centre de rotation sont
des lignes homologues. Le triangle, dont les sommets sont
les trois centres, est le triangle fondamental et tout autre tri-
angle, obtenu en joignant trois points homologues, est sem-
blable à celui-ci.

11. Si un polygone, qui reste semblable à un po-
lygone donné, se meut de telle manière cjue trois
de ses points décrivent des lignes droites (qui ne
passent pas par le même point), tout autre point
de la figure décrira aussi une ligne droite.

Le triangle, qu'on obtient en joignant les trois points, a
une forme constante. En le prenant pour triangle fondamental,
on peut déterminer le centre de rotation des trois lignes sur
lesquelles se meuvent les points. D'après 8, ce point est
aussi le centre de rotation de toutes les positions du triangle
fondamental et par suite de toutes les positions du polygone
auquel le triangle appartient. Mais comme le mouvement du
polygone consiste en une rotation autour d'un point fixe,
tous ses points doivent décrire des courbes semblables et
par suite des lignes droites.

Si les trois lignes passent par le même point, il peut y
avoir un cas où le théorème n'a pas lieu, ainsi qu'on l'a fait
voir dans g.

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Le théorème peut facilement se généraliser; car le poly-
gone peut se mouvoir de telle manière que trois de ses points
glissent sur trois courbes semblables ayant un centre commun
de rotation. Pendant le mouvement, les trois points doivent
cependant coïncider constamment avec trois points homo-
logues des courbes, et le triangle qu'ils déterminent doit donc
être le triangle fondamental des courbes. S'il en est ainsi, on
voit de la même manière que plus haut que tout autre point
du polygone doit décrire une courbe semblable aux courbes
données. Mais on voit facilement ici que les conditions en
question sont plus nombreuses qu'il n'est nécessaire pour dé-
terminer le mouvement; il faut donc d'après cela chercher à
se débarrasser des conditions surabondantes, en ne considérant
que le cas où les trois courbes sont des cercles; car c'est
celui-là seul qui peut avoir ici une signification pour nous.
Nous devrons en particulier examiner si nous aurons le même
théorème que pour les lignes droites, à savoir: que le tri-
angle fondamental peut seulement se déplacer sur 4es trois
cercles de telle manière que ses sommets tombent toujours
en trois points homologues.

On a démontré qu'à trois cercles correspondent toujours
deux centres communs de rotation; le triangle fondamental
doit néanmoins rester le même, quelque soit celui des points
qu'on considère; car les trois centres des cercles sont dans
les deux cas des points homologues et l'on obtient le triangle
fondamental en joignant trois quelconques de ces points.
Considérons maintenant un point A sur l'un des cercles; il
aura pour homologues sur les deux autres les points B et C,
si l'on employé l'un des centres de rotation, ou bien les points
b et o, si l'on se sert de l'autre centre. Le triangle fondamental
peut donc, quand l'un de ses sommets tombe en A^ prendre
les deux positions ABC Qt Abc et on peut aisément démontrer
qu'il n'en peut prendre d'autre. En effet si l'on résout d'une
manière générale le problème de placer le triangle fondamental
de manière qu'il ait un sommet en A et que les deux autres
soient sur les deux cercles, on n'obtient, d'après la construc-
tion donnée plus haut, que deux solutions qui doivent par

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«3

suite coïncider justement avec celles qu'on vient de trouver
ici d'une autre manière.

Le triangle fondamental ne peut donc se dé-
placer sur les trois cercles, qu'avec ses sommets
tombant en des points homologues; mais le mouve-
ment peut s'effectuer de deux manières différentes.
2. Si un polygone, semblable à un polygone
donné, se meut de telle manière que trois droites de
la figure (ne partant pas du même point) contiennent
chacune un point fixe, toute autre droite de la figure
passera aussi par un point fixe.

Supposons que les trois droites AB^ BV et CD passent
respectivement par les points fixes M, NetP; il s'agit simple
ment de démontrer qu'une quatrième
droite DA doit aussi passer par un
point fixe. Il est d'abord évident
que toutes les positions du polygone
doivent avoir un centre commun de
rotation. En effet si l'on cherche ce
centre pour deux positions ABCV et
AiB^C\D^ du polygone, on doit,
d'après 5, construire un cercle qui
passe par les points homologues B
et B, et par !e point M d'intersection
des lignes homologues; ce cercle doit aussi passer par N et
on peut ainsi le construire immédiatement puisqu'il passe par
les deux points fixes M et N et est capable de l'angle
donné B. Le centre de rotation est donc fixe, parce qu'il
doit en outre se trouver sur un autre cercle, passant par N
et P, et qu'on construit d'une manière semblable. Un cercle
qui passe par 0, P et D, doit alors passer aussi par Z>[ et
par le point d'intersection des lignes homologues AD et A^D^,
pour une position quelconque de ces dernières lignes; donc
leur point d'intersection est fixe. Ce théorème se prête aussi
tout naturellement à une généralisation qui peut s'établir
d'une autre manière en envisageant les choses à un autre point
de vue.

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13. Faisons tourner, autour d'un centre fixe de rotation,
un polygone semblable à un polygone donné; jusqu'ici le
mouvement avait été déterminé par la condition qu'un point
du polygone parcouriit une courbe donnée; mais on peut
aussi imaginer que ce mouvement sera réglé par la condition
que, pendant le déplacement, un côté du polygone sera con-
stamment tangent à une courbe donnée (l'enveloppera, l'en-
gendrera). Dans ce cas, toute autre ligne du polygone devra
aussi envelopper une courbe semblable à la courbe donnée.
Imaginons en effet que, dans ses contacts successifs avec la
courbe donnée, AB prenne les positions AB, AiB^, A^B^&c.
et qu'une autre ligne BC du polygone prenne les positions
correspondantes Bt\ BjC,, B^C^ &c. ; par une rotation au-
tour du point fixe les deux systèmes de lignes doivent pou-
voir être amenés à superposition, si l'on prend pour angle
de rotation l'angle constant compris entre les lignes correspon-
dantes et pour rapport de rotation le rapport constant des
distances de deux de ces lignes au centre de rotation. Les
figures que forment les deux systèmes de lignes sont donc
semblables et, comme ceci est indépendant du nombre de leurs
positions, la proposition subsistera encore quand ce nombre
deviendra infini et quand les figures ainsi formées seront juste-
ment les courbes engendrées.

On voit aisément que le point donné est aussi le centre
commun de rotation des courbes engendrées ; l'angle de
rotation est égal à l'angle compris entre les lignes généra-
trices et le rapport de rotation est égal au rapport des
distances de ces lignes au centre de rotation. Prenons le
polygone dans une position déterminée, tous ses côtés tou-
cheront les courbes engendrées en des points homologues et
seront aussi eux-mêmes des lignes homologues pour les courbes.
Un système d'autres lignes homologues quelconques des courbes
formera naturellement un polygone, semblable au polygone
donné, et jouera ainsi un rôle complètement correspondant à
celui du polygone fondamental; je le nomme d'après cela
polygone fondamental de seconde espèce. Il y a une liaison
intime entre les deux polygones fondamentaux; celui de pre-

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8s

mière espèce peut être inscrit dans celui de seconde espèce
et continuera à y rester inscrit si l'on fait tourner ie polygone
autour du point fixe de telle manière qu'un des sommets du
polygone inscrit reste constamment sur le côté correspondant
du polygone circonscrit.

Le mouvement du polygone, qu'on a considéré ici, peut
aussi se déterminer d'autres manières; cependant nous n'ex-
aminerons que le cas où le déplacement est réglé par la
condition que trois côtés du polygone glissent sur des courbes
semblables. Pour que le mouvement puisse être le même
que ci-dessus, ces trois courbes doivent avoir un centre com-
mun de rotation et les trois côtés du polygone être constam-
ment tangents aux courbes en des points homologues; comme
ceci est suffisant pour la détermination du mouvement, celui-
ci doit être le même que ci-dessus et doit consister en ce que
le polygone se meut autour du centre de rotation des courbes,
tandisque chacune de ses lignes engendre une courbe sem-
blable aux courbes données; le triangle, formé des trois côtés
du polygone qui glissent sur les courbes données, sera pour
celles-ci le triangle fondamental de seconde espèce. Le thé-
orème de 12 est un cas particulier de ce dernier, dans lequel
les courbes sont des points.

14. Si l'on détermine le centre de rotation de deux
cercles, en prenant comme homologues deux points A et a,
les tangentes en ces points formeront un angle, déterminé par
la position de ces derniers, et qui restera invariable, si A et a
parcourent des arcs semblables. Réciproquement, on peut,
quand l'angle est donné, déterminer un couple de points ho-
mologues et le centre de rotation correspondant. En effet
deux tangentes, comprenant entre elles l'angle donné, tou-
cheront les cercles aux points homologues. (Deux solutions),

15. Une rotation autour d'un point donné peut
toujours être remplacée par une rotation autour
d'un point quelconque et une translation, le rapport
de rotation et l'angle de rotation ne changeant pas, et la trans-
lation ne dépendant que de ces quantités et de la position
du centre de rotation.

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Comme le rapport de rotation demeure invariable, la
figure acquiert par la nouvelle rotation la grandeur convenable,
et comme l'angle de rotation est resté le même, les lignes de
la figure tomberont dans les directions requises. La transla-
tion sera ainsi déterminée, en grandeur et direction, par la
ligne qui joint les deux positions où un point quelconque de
la courbe est amené par les deux rotations.

Soit donc le centre donné de rotation, 0, le nouveau
centre. La rotation autour de amènera le point 0,, qu'on
peut considérer comme appartenant à la courbe, en un nou-
veau point Oj , tandis que la rotation autour de 0^ le laisse
invariable. La ligne 0^ O^ détermine ainsi la translation. La
translation est donc déterminée par la ligne que
parcourt le nouveau centre de rotation, quand on
le fait tourner autour du centre donné.

Réciproquement, une translation et une rotation peuvent
toujours être remplacées par une rotation autour d'un nouveau
poirrt qu'on peut déterminer facilement en procédant succes-
sivement comme ci-dessus.

l6. L'ordre du succession, dan_s lequel s'effec
tuent deux rotations successives, peut être ren
versé, pourvu qu'on leur adjoigne une translation.

Car, quelque soit l'ordre de succession qu'on choisisse,
chaque ligne tournera d'un angle égal à la somme des angles
de rotation donnés et sera multipliée par le produit des
ports de rotation donnés. Les deux figures obtenues doivent
donc avoir même grandeur et leurs côtés homologues même
direction; une translation peut donc amener l'une à super-
position sur l'autre.

Soient A et B les deux centres de rotation et considérons
le centre A; pendant la rotation autour de A , ï\ reste immo-
bile et la rotation autour de B l'amène en un point C. Si au
contraire on fait tourner d'abord autour de B, A vient en C,
puis la rotation autour de A l'amène en un point D. CD ou
DC est donc la grandeur de la translation qu'il faut adjoindre,
quand on changera l'ordre de succession des deux rotations.

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s,

17. Deux rotations peuvent se composer en une
seule.

Supposons que les rotations doivent s'effectuer autour de
A et B, Dans la rotation qui doit les remplacer, il n'y a
d'inconnu que le centre C de rotation. La rotation autour
de A laisse ce point A immobile et celle autour de B l'amène
en un point A,. Il faut donc (naintenant déterminer C par la
condition que ^ AC'A, soit égal à la somme des deux angles
de rotation donnés , tandisque le rapport CA , : CA sera égal
au produit des rapports de rotation donnés. Les angles et
rapports de rotation donnés déterminent ainsi les angles et
les rapports des côtés dans le triangle dont les sommets
tombent aux trois centres de rotation. Remarquons en parti-
culier que si deux de ces points coïncident, tous les trois
coïncident, comme on l'a montré ci-dessus, et que si les angles
de rotation donnés sont nuls, les trois centres de rotation
sont sur une même droite. Les centres de rotation sont dans
ce cas les centres de similitude des figures, qui sont sem-
blablement placées deux à deux. Plus tard, nous démontre-
rons ce théorème d'une autre manière.

on arrive à des systèmes de points, où à chaque point d'un
système correspond un point de l'autre système, et à chaque
cercle de l'un, un cercle de l'autre (les droites sont comprises
sous cette dénomination de cercle) et comment cette corréla-
tion fait ressortir la signification des transformations employées
en géométrie élémentaire. Il y a donc des raisons pour re-
chercher s'il n'y a pas encore d'autres transformations où un
point corresponde à un point et un cercle à un cercle, quand
on regarde tous les points du plan comme appartenant aux
deux systèmes.

Soient S et C les deux systèmes; nous les pouvons placer
de telle manière qu'un point quelconque non singulier du
système -S couvre le point correspondant du système C, Main-
tenant nous transformons par invertion leâ deux systèmes par
rapport à en deux systèmes nouveaux S^ et C, ; dans ces
systèmes point et ligne droite correspondent à point et ligne

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droite respectivement, car les lignes droites naissent des cer-
cles passant par dans les systèmes S et C. Alors, selon
un théorècne bien connu de la géométrie moderne, les systè-
mes S, et C[ sont des systèmes projectifs et de plus, un cercle
correspondant à un cercle, des systèmes semblables. Le
système S; peut donc être transformé dans le système C, par
une rotation (et au besoin un retournement autour d'un axe).

Il est donc démontré que deux systèmes dans les-
quels les éléments points et cercles correspondent
respectivement à des points et des cercles, peuvent
toujours être transformés l'un dans l'autre par rota-
tion, inversion et retournement.

19. Des théorèmes qu'on a démontrés dans la théorie de
la rotation, on peut déduire par les méthodes de la géométrie
supérieure des théorèmes nouveaux bien plus généraux.
Comme ces applications sont étrangères au plan de cet
ouvrage, nous nous contenterons d'en donner un exemple.
Dans II, on a prouvé que si une ligne se meut de telle ma-
nière que le rapport des segments ab, hc que trois lignes
fixes déterminent sur elle, soit constant, elle tourne autour
d'un centre fixe de rotation; d'où il résulte que tout point,
de cette ligne déterminé par le rapport suivant lequel il
coupe un segment quelconque, par exemple ah, décrit aussi
une ligne droite. Les rapports en question peuvent s'exprimer
au moyen de rapports anharmoniques, si l'on a égard au
point d'intersection de la ligne mobile avec la droite de l'in-
fini. Sous la forme que prend alors le théorème, il exprime
une propriété projective, la suivante:

Si une droite mobile rencontre quatre droites
fixes en des points dont le rapport anharmonique
est constant, tout point de la droite (déterminé au
moyen de rapports anharmoniques) décrit une droite.

Si l'on fait passer deux des droites fixes par les points
circulaires imaginaires à l'infini, on en déduit :

Si un angle donné ABC a son sommet A fixe et si
.B et C parcourent des droites fixes, tout point D de
la ligne .se (déterminé par V angle B AD) décrira une droite.

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Applications

377. Dans un triangle donné ABC, inscrire un autre triangle
congTuent à un triangle donné.

D'après 9, un système de triangles semblables, inscrits
dans un triangle donné, a un centre commun de rota-
tion; d'après cela, on inscrit dans le triangle donné un
triangle de la forme requise et on détermine le centre
de rotation en le regardant comme triangle fondamental;
on obtient ensuite le triangle cherché en faisant tourner
ce triangle; et on effectue cette opération de la manière
la plus simple, en multipliant le triangle fondamental
tracé par rapport au centre de rotation de manière qu'il
ait la grandeur requise; ensuite on le fait tourner autour
de ce même point, jusqu'à ce que les sommets tombent
sur les côtés du triangle donné.

378. Dans un quadrilatère donné, en inscrire un autre qui
soit semblable à un quadrilatère donné.

On place un quadrilatère, semblable au quadrilatère
donné, de manière que trois de ses sommets soient sur
les côtés du quadrilatère donné et on détermine le centre
de rotation, comme dans le problème précédent; il ne
s'agit plus alors que de faire tourner le quadrilatère
autour de ce point jusqu'à ce que le quatrième sommet
tombe sur le quatrième côté. Pendant la rotation, ce
sommet décrit une droite (il) qu'on peut tracer facile-
ment. On peut en effet, en répétant la même construc-
tion, trouver un second point de cette droite, ou bien
encore l'obtenir en faisant tourner un côté du quadri-
latère donné autour du centre de rotation trouvé. Si
l'on applique la première construction, il n'est pas né-
cessaire de chercher le centre de rotation.

379. Sur quatre droites données en placer une cinquième de
telle manière que les trois segments déterminés sur cette
dernière soient entre eux dans des rapports donnés.

Ce problème est un cas particulier du précédent,

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90 TUKOBie DE

puisque la droite cherchée peut être considérée comme
un quadrilatère de forme connue.

Rem.arque. Ces trois problèmes se trouvent dans le
premier livre des „Principia mathematica philosophias
naturalis" de Newton.

380. Dans un triangle donné, inscrire un triangle semblable
a un triangle donné et dont la surtace soit un minimum.

381. Construire un parallélogramme, dont les angles et le
périmètre sont donnés et dont les côtés doivent passer
chacun par un point donné.

Supposons que les côtés AB, BC, CD et DA passent
respectivement par les points P, Q, R et S. Soit T le
point d'intersection des cercles SAP et PBQ; alors T
est le centre de rotation de AB et d'une ligne quelconque
ÂjPB^ menée entre les deux circonférences; par suite
ATiAB = AjT:A,B,.

Soit V le point d'intersection des cercles PAS et SDR;
on trouve de même le rapport AViAD et on peut alors
déterminer A (1S9).

382. Sur trois circonférences de cercle, placer un triangle
congruent à celui qui a pour sommet les trois centres.

On cherche le centre de rotation commun des trois
cercles; comme leurs trois centres sont des points homo-
logues, le triangle donné est le triangle fondamental et
le centre de rotation qu'on a trouvé doit aussi être le
centre de ce dernier et de celui qu'on cherche. On ob-
tient ainsi celui-ci en faisant tourner le premier jusqu'à
ce qu'un de ses sommets tombe sur la circonférence.
Le rapport donné de rotation est i , mais le problème
se résout de la même manière pour un autre rapport.

383. Construire un triangle congruent à un triangle donné et
dont chacun des côtés passe par un point donné.

On trace facilement un triangle semblable au triangle
donné et dont les côtés passent par les points donnés;
on considère alors ceux-ci comme des courbes semblables
et le triangle tracé comme le triangle fondamental de
seconde espèce; puis on détermine le centre de rotation

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9t

et on multiplie le triangle tracé de manière qu'il ait la
grandeur requise. Comme le rapport de rotation pour
le triangle ainsi obtenu et pour celui qu'on cherche est i,
deux côtés homologues doivent être à égale distance
du centre de rotation, et une des lignes cherchées se
trouve déterminée par ces conditions qu'elle est tangente
à un cercle connu et qu'elle passe par un point donné.

384. Construire un quadrilatère, semblable à un quadrilatère
donné, et dont les quatre côtés passent chacun par un
point donné.

On trace un quadrilatère quelconque , semblable à
celui qui est donné, et de telle manière que trois côtés
passent par les trois points correspondants donnés, et
on détermine le centre de rotation comme dans le pro-
blème précédent. 11 faut maintenant faire tourner ce
quadrilatère de telle sorte que le quatrième côté passe
par le quatrième point; mais cela est facile, puisqu'en
outre de ce point il contient un autre point fixe qu'on
peut déterminer de deux manières différentes (problème
analogue à 378).

385. Soit un triangle ABC inscrit dans un cercle; d'un point
de la circonférence, on mène à chaque côté du triangle
une ligne qui fasse avec lui un angle donné. Démontrer
que les pieds de ces lignes sont sur une droite.

Si l'on choisit A, B et un point convenablement dé-
terminé sur AB pour points homologues sur les trois
côtés, est le centre de rotation et les trois pieds des
droites sont des points homologues. Ces derniers sont
sur une droite, puisque le triangle fondamental est une
droite.

386. Les centres de trois cercles sont aux trois sommets JS,
C et 1} d'un parallélogramme. Construire un parallélo-
gramme, dont l'angle est donné, qui ait un sommet au
quatrième sommet A et les trois autres sur les trois
circonférences des cercles.

Multiplions le cercle C par ^ par rapport à A, nous
avons un nouveau cercle. Ce dernier et les deux cercles

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92 TIIEOBIB PE

B et D ont pour triangle fondamental une droite dont
les deux segments sont égaux. D'après cela, la diago-
nale B^D, du parallélogramme cherché doit couper ces
trois cercles en des points homologues et sera vue de Â
sous un angle donné. Faisons tourner Sfî; jusqu'à ce
qu'il recouvre DJ)^ , A vient en un point connu A^ et
^ JB^A^ est connu.

387. Déterminer le lieu géométrique des points tels que les
tangentes menées à deux cercles donnés soient dans un
rapport donné.

Supposons que les cercles se coupent en A et B et que
M soit un des points cherchés. La ligne MB coupe les
deux cercles en B et E\ et, par
: la condition imposée, le
rapport de MB . MB à ME . MB,
ou bien de MB à MJS, est con-
; comme en même temps les
angles du triangle ABE sont con-
a figure ABEM toute en-
tière est de forme constante et si
elle tourne autour de A de telle
manière que B et E décrivent des cercles, M doit aussi
décrire un cercîe. Comme A est le centre commun de
rotation pour ce dernier et les cercles donnés, le lieu
cherché doit aussi passer par A comme eux. BEM re-
présente le triangle fondamental, et comme celui qu'on
obtient en joignant les centres des trois cercles lui est
semblable, on voit que ces centres doivent être sur une
ligne droite. Les distances du centre cherché aux cen-
tres donnés sont entre elles comme MB est à ME et ce
rapport est le carré de celui qui est donné.

388. A deux cercles donnés mener deux tangentes compre-
nant entre elles un angle donné et telles que la ligne
qui joint les points de contact passe par un point
donné.

A l'aide de 14, ce problème se ramène à 364.

389. A deux cercles donnés mener deux tangentes compre-

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93

nant entre elles un angle donné et telles que la ligne
qui joint les points de contact ait une direction donnée.

Ce problème est un cas particulier du précédent où
le point donné est à l'infini.

Dans un triangle , inscrire un autre triangle semblable à
un triangle donné et dont un côté passe par un point
donné.

On détermine trois points homologues sur les lignes
données, en prenant pour triangle fondamental le triangle
qui doit être inscrit.

Le problème se ramène alors à 364.
Dans un triangle en inscrire un autre qui soit semblable
à un triangle donné et dont le centre de gravité tombe
sur une des médianes du triangle donné.

On inscrit dans le triangle deux triangles quelconques,
semblables à celui qui est donné; la ligne qui joint leurs
centres de gravité coupe la médiane donnée au centre
de gravité cherché. On peut maintenant déterminer
aisément les sommets; car un système de trois sommets
sur l'un des côtés du triangle donné détermine des seg-
ments qui sont entre eux comme les segments limités
par les trois centres de gravité.

Dans un triangle inscrire un autre triangle de telle ma-
nière que deux de ses côtés aient des directions données
et que le troisième ait une longueur donnée.

Soit uhc le triangle inscrit et bc le côté donné. Le
cercle circonscrit à abc coupera la ligne sur laquelle
tombe a en deux points, à savoir en a et en un autre
point d. On connaît alors tous les côtés du triangle dbo.
Construire trois cercles connaissant le point d'où on les
voit sous le même angle, un point de chacune des cir-
conférences et les rapports entre les rayons des cercles
et les angles sous lesquels on voit les distances des cen-
tres du point donné.

On connaît le centre commun de rotation des cercles,
leurs rapports et angles de rotation. On peut donc par
rotation amener deux des points donnnés sur le cercle

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94

où se trouve le troisième et l'on connaît alors trois
points de ce dernier.

394. On donne deux cercles, qui se coupent en A et B, et
deux autres points P et R. Mener dans chaque cercle
une corde telle qu'elle passe par un des points donnes
et que les deux lignes qui joignent les extrémités des
cordes passent par A.

Si l'on considère les deux cordes comme des figures
semblables, B est le centre de rotation pour elles et
pour les cerclcb. On connaît le rapport et l'angle de
rotation; on peut donc amener par rotation l'un des
points donnés sur la corde qui passe par l'autre. On
connaît alors deux points de cette dernière.

395. X est le centre de rotation de AB Gt C Y, A, B et C
étant des points donnés. Quelle courbe décrit X, quand
Y parcourt une courbe donnée?

Par une translation on amène le triangle BAX dans
la position B^CXj. Les triangles semblables B^CX^
et YCX montrent alors que B^ Y et CX, ont un produit
constant et se meuvent dans des directions opposées
avec la même vitesse angulaire. X &i Y décrivent donc
des courbes inverses.

396. Un arpenteur peut apercevoir trois points J, S et C du
terrain; les points correspondants a, /■ et c sont rap-
portés sur la planchette. Déterminer sur la planchette
le point qui correspond au point de station sur le ter-
rain.

Le point cherché est le centre de rotation des tri-
angles .^fîC et abc. Si, au moyen de l'alidade, on mène
par a, b et c des lignes qui prolongées passeraient par
A, B et C respectivement, ces lignes forment ce qu'on
appelle le triangle d'erreur. Soit a^j- ce triangle, les
lignes qui passent par a et 6 se coupant en r, &c.
A cause de la grande distance des points A, B et C les
angles a, /î et ;' peuvent être regardés comme constants,
pour de petits changements de position de la planchette.
Le point cherché est donc le point d'intersection des

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95

cercles ayb et aJSc Cependant ces cercles ne se prêtent
pas bien à la construction, parcequ'il y a toujours une
certaine difficulté à les tracer et que leurs centres tom-
bent souvent hors de la table. Prenons les ligures in-
verses des cercles par rapport à a comme centre d'in-
version et avec a^.ay comme puissance d'inversion; le
point cherché se transforme dans le point d'intersection
de deux droites, passant respectivement par ^ et j- et
qui font avec jîj- les angles ahy et aa^^ respectivement. La
construction est donc la suivante: On construit /L^yOy =
/9ca et /_y^0, = yba (en tenant compte des directions
suivant lesquelles les angles sont décrits) et on déter-
mine ainsi un point 0^. Si maintenant on fait tourner
la planchette jusqu'à ce que 0,a devienne la ligne de
visée à A, les triangles abc, ABC seront semblablenient
placés et le triangle d'erreur se réduira au point cherché.

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ADDITIONS

SUR L'INTERSECTION DES ARCS DE
CERCLES

Ce qui précède a bien souvent fait voir combien il est
important de soumettre une figure à un examen minutieux
pour découvrir les relations simples qui existent entre ses
éléments et notamment entre ses angles. En général, un pareil
examen se fait à l'aide des théorèmes qui règlent la dépen-
dance entre !es angles et les arcs de cercle et d'autres théo-
rèmes élémentaires du même genre. Mais si les figures sont
tant soit peu compliquées, la grande quantité des angles qui
y entrent rendra souvent fort difficile la détermination des
relations simples. D'après cela, il sera utile de chercher à
se procurer les moyens de faciliter une pareille recherche.
Un pareil moyen nous est justement fourni par la considéra-
tion des angles que forment les arcs de cercle, parcequ'elle
rend souvent une figure bien plus facile à saisir. Je n'ai pas
l'intention de traiter cette question à fond; je veux seulement
donner ici quelques théorèmes qui s'y rattachent et qu'on
trouvera souvent commode d'appliquer dans la pratique.

I. Dans un polygone composé d'arcs de cercle,
la somme des côtés augmentée de la somme des
suppléments des angles du polygone est égale à
quatre angles droits.

En effet une droite peut se mouvoir en tournant autour
du polygone de la manière suivante; partant d'un sommet

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ARCS DE CERCLES. 97

elle restera tangente au coté adjacent jusqu'à ce qu'elle ait
atteint le sommet suivant; elle tournera alors autour de ce
dernier jusqu'à ce qu'elle devienne tangente au côté suivant
et le mouvement se continuera ainsi de suite jusqu'à ce qu'elle
soit revenue dans sa position primitive. Elle aura donc
décrit successivement des angles égaux, les uns aux côtés du
polygone, les autres aux suppléments des angles de cette
figure; et comme elle aura justement fait un tour complet,
la somme de ces angles est égale à quatre angles droits.

Pour plus de simplicité, on a supposé que la ligne, après
un tour complet, revient à sa position primitive; pour les
polygones non convexes, elle pourra cependant faire plusieurs
tours complets {ou pas du tout), en sorte que la somme des
angles cherchée pourra être un multiple quelconque de quatre
angles droits.

Pour que le théorème ait lieu d'une manière générale, il
faut prendre les angles et les arcs avec des signes qui corres-
pondent aux sens de rotation suivant lesquels ils sont décrics.

2. Dans un triangle, !a somme des anglesdiminuée
de la somme des côtés est égale à deux angles droits.
Si les côtés passent par un même point (qui n'est pas
un des sommets du triangle) la somme des angles est
égale à deux angles droits et la somme des côtés
est nulle.

Le dernier théorème se démontre aisément quand, au lieu
des angles du triangle, on considère les angles égaux à ceux
du triangle et formés au point commun d'intersection des côtés.

3. Dans un biangle*) (figure formée de deux arcs de
cercle) les deux angles sont égaux entre eux et à la
demi-somme des côtés.

4. Un angle inscrit est égal à la demi -somme de
ses côtés et de l'arc qui ie sous-tend.

■| En l'absence de lout mot français pouvant correspondre s
Tokant, nous avons employé ici l'expression non usitée de
se comprend facilement et rend d'une manière concise l'idf

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Prolongeons les côtés jusqu'à ce qu'ils forment un biangle;
l'angle aura pour mesure la demi-somme des côtés de ce
biangle. Mais la somme des deux prolongements est égale
à l'arc qui sous-tend l'angle inscrit (2). Cet arc doit être pris
avec des signes contraires, suivant qu'on le considère comme
appartenant à l'un ou à l'autre des deux triangles suivant
lesquels le biangle est divisé.

5. Etant donné deux couples de cercles, si les
points d'intersection d'un des couples sont respec-
tivement c,hacun sur un des cercles de l'autre couple
et réciproquement, les deuxcercles de chaque couple
se coupent sous le même angle (2).

6. Dans un quadrilatère inscrit, la somme de
deux angles opposés est égale à la somme des deux
autres. Si les quatre côtés passent par le même
point, les sommes de deux angles sont chacunes
égales à deux droits et la somme des côtés est
nulle (4).

7. Si dans un quadrilatère la somme de deux
angles opposés est égale à la somme des deux autres
angles, le quadrilatère est înscriptible.

De (i) il résulte en effet que la somme de deux angles
opposés diminuée de la demi-somme des côtés est égale à
deux droits. Mais cette somme est justement celle des angles
opposés du quadrilatère rectiligne dont les sommets coïncident
avec ceux du quadrilatère donné.

8. Si deux cercles sont tangents à deux autres
cercles et de la même manière, les quatre points de
contact sont sur une circonférence de cercle (7).

9. Tout cercle passant par les points d'intersec-
tion de deux cercles fixes coupe un système de
cercles tangents'aux deux cercles fixes (et de la même
manière) sous des angles égaux.

Ce théorème a déjà été démontré plus haut (198) au
moyen de l'inversion. Nous en donnerons ici une démons-
tration directe qui subsiste encore quand les deux cercles
fixes ne se coupent pas. Par cercle passant par les points

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ARCS DE CERCLES. QQ

d'intersection, il faudra alors entendre un cercle tel qu'il ait
avec les deux cercles fixes un axe radical commun.

On peut pour l'un des cercles prendre la tangente com-
mune. Supposons qu'elle soit tangente aux cercles fixes S,
et 5g en ^ et fi tandisqu'un autre cercle S leur est tangent
en C et D. Le cercle qui passe par les points d'intersection
des cercles fixes coupe la tangente commune an E et S en F.
Les lignes AC et BD se coupent sur S au point où la
tangente est parallèle â la tangente commune. Comme les
points A^ C, D et B sont sur une même circonférence de
cercle, a la même puissance par rapport à S^ et S.^-
a donc aussi la même puissance par rapport aux trois
cercles ACF, EF et BDF et par suite il doit se trouver sur
l'axe radical de deux quelconques d'entre eux. Comme les
trois cercles ont le point F commun, OF sera leur axe radical
commun, et ils ont encore aussi un autre point d'intersection
commun situé sur OF. Ces trois cercles ayant ainsi deux
points communs, leurs centres doivent se trouver sur une
même droite. Comme ACF et BDF passent par les points
de contact, chacun d'eux coupe la tangente commune et la
tangente en F sous le même angle et leurs centres sont par
suite sur une ligne qui bissecte l'angle compris entre les deux
tangentes; et comme le cercle EF a son centre sur la même
ligne, il doit aussi couper la tangente commune et la tangente
en F, ou le cercle S, sous des angles égaux.

Des Systèmes de cercles.

Parmi les conditions qui peuvent servir à déterminer un
cercle, il faut remarquer en particulier celles qui consistent
en ce qu'il doit: ï° passer par un point donné; 2° être tan-
gent à une droite donnée; 3° être tangent à un cercle donné,
Si l'on choisit les trois conditions qui déterminent un cercle
parmi les précédentes, on obtient un groupe de problèmes
qui, à l'exception de quatre, ont été résolus dans ce qui pré-
cède. Mais, avant de nous occuper de ces quatre derniers

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et de quelques autres qui s'y rattachent, nous allons établir
deux théorèmes qui trouveront leur application dans ce qui

10. Si un cercle est tangent à deux autres cercles
en A et B, la ligne AB passe par l'un des centres de
similitude des deux cercles.

Supposons que AB rencontre une seconde fois en b le
cercle passant par B. On voit alors aisément que le rayon
qui va en b est parallèle au rayon mené par A dans l'autre
cercle. A et à sont donc deux points homologues dans les
deux cercles sembîablement placés et par suite Ab passe par
le centre de similitude.

Si le cercle est tangent de la même manière aux deux
autres, c'est à dire s'il les touche tous deux intérieurement ou
extérieurement, la ligne passe par le centre de similitude
extérieur; si au contraire il leur est tangent d'une manière
différente, cette ligne passe par le centre de similitude intérieur.

Si est le centre de similitude, les deux cercles sont
deux courbes inverses ayant comme centre d'inversion et
le produit OA . OB est par suite constant.

11, Les centres de similitude extérieurs de trois
cercles pris deux à deux sont sur une même ligne
droite.

Soient A, S et C les cercles,
Y le centre de similitude de
A et B, ^ celui de A et C,
a celui de B et C. Menons
au cercle B deux tangentes
parallèles aux tangentes com-
munes à .4 et C et qui se
coupent en P. Considérons
maintenant les deux cercles
A et B; j3 et P sont des points
sn même temps sur une même
ligne droite avec le centre de similitude j-. Prenons les cercles
B et C; P et fi sont également des points homologues et par

homologues et par suite sont

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suite sont aussi sur une même droite avec a. Il résulte de
là que a, /î et ;- sont sur une même droite.

Coroll. 1. On voit de la même manière que les t
de similitude intérieurs de deux couples de cercles st
une même ligne droite avec le centre de similitude (
du troisième couple.

Coroll. 2. Le théorème a encore lieu pour trois courbes
quelconques qui sont semblables et semblablement placées
deux à deux; aux trois courbes on peut en effet adjoindre
trois cercles homologues; le théorème a lieu alors pour leur
centres de similitude et ces derniers sont aussi les centres de
similitude des courbes.

Exemples.

397. Tracer un cercle qui soit tangent à deux cercles donnés,
et de telle manière que la ligne qui joint les deux points
de contact passe par un point donné.

398. Tracer un cercle qui soit tangent de la même manière
à deux cercles donnés et qui intercepte une corde de
longueur donnée sur une droite donnée passant par le
centre de similitude extérieur des cercles.

39g. On donne deux cercles A et £, et trois points D, E
et F. Mener par D un cercle C tel que l'axe radical
de ^ et C passe par E et que celui de .S et C passe
par F.

400. Dans un quadrilatère ABCD, le côté AB reste fixe et
les rapports des segments des diagonales sont constants.
Déterminer le Heu géométrique de CD.

Supposons que les diagonales se coupent en et soit:
AO:OC^m:n BO:OD^p:q.
Admettons que le point 0, qui est arbitraire, parcoure
une certaine courbe K. Multiplions-la par --i^-^ par
rapport à ^ et par *'"!"' par rapport à B\ on obtient
ainsi les courbes que parcourent en même temps C et /*;
elles sont semblables suivant le rapport - ^"l 't "j et leur

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centre de similitude est un point M situé sur la ligne
ÂB (il, coroll. 2). Mais comme C et D sont des points
homologues, la ligne C/? passe par J7, le rapport MC:MD
étant égal à celui qui a été trouvé plus haut. On peut
voir de la même manière que le rapport MB: MA est
constant; en sorte que M est un point fixe et que par
suite il est le lieu géométrique de CD.
Tracer un cercle qui soit tangent à deux cercles donnés
et passe par un point donné.

On connait la puissance du centre de similitude des
cercles donnés par rapport au cercle cherché. On peut
donc déterminer un autre point de ce dernier et le pro-
blème se ramène à celui du N" 238.

Tracer un cercle qui passe par un point donné et soit
tangent à une droite et à un cercle donnés.

Ce problème n'est qu'un cas particulier du précédent;
car on peut considérer la droite comme un cercle de
rayon infiniment grand.
Tracer un cercle tangent à trois cercles donnés.

Ce problème peut facilement se ramener à 401 à l'aide
de la méthode employée (page 56) à l'article de la
translation parallèle.

On peut aussi le résoudre par un procédé qui res-
semble entièrement à celui qu'on appliqué dans le N" 201.
Le triangle qu'il s'agit de construire est celui dont les
sommets tombent aux points de contact cherchés; ses
côtés passent par trois des centres de similitude des
cercles donnés. Si donc on prend ces points pour centres
d'inversion en choisissant les puissances d'inversion de
telle manière que deux quelconques des cercles s'échan-
gent entre eux, chacun des cercles après trois inversions
viendra retomber sur lui-même. Il n'y a donc pas de
différence essentielle entre le problème qui nous occupe
et celui qui a été résolu précédemment.

La solution la plus simple et la plus élégante s'obtient
néanmoins en ayant recours à ce théorème: que l'axe
radical de deux cercles coupe suivant des angles égaux

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un cercle qui leur est tangent à tous deux et une des
tangentes communes.

11 résulte en effet de la que les tangentes au cercle
cherché aux points où il est coupé par les axes radicaux
des cercles donnés sont parallèles à celles des tangentes
communes aux cercles donnés qui appartiennent au même
système de cercles tangents que celui qu'on considère.
(Les tangentes extérieures communes de deux cercles
appartiennent aux système de cercles qui sont tangents
de la même manière aux cercles donnés; les tangentes
intérieures se rapportent au système des cercles tangents
de manières différentes).

Soient Â^ B et C les cercles donnés. Considérons le
cercle cherché et le cercle  comme semblablement
placés et ayant leur point de contact comme centre de
similitude; les deux axes radicaux de J et 5 et de A
et C sont homologues aux deux lignes dont l'une joint
les points de contact entre A et les tangentes communes
^ A et B et dont l'autre réunit les points de contact
entre A et les tangentes communes de A et C. Ces deux
lignes se coupent donc en un point qui est l'homologue
du centre radical des cercles donnés et la ligne qui joint
ces deux points passe en conséquence par le point de
contact cherché.

Tous les autres problèmes où le cercle est déterminé
par trois quelconques des conditions que nous avons
citées plus haut peuvent être considérés comme des cas
particuliers du problème que nous venons de résoudre.
Dans un triangle ABC inscrire trois cercles Sa, S/, et Se
tels que chacun d'eux soit tangent aux deux autres et
à deux côtés du triangle.

Ce problème célèbre a été résolu pour la première
fois (1807) par le géomètre italien Malfatti^ qui calcula
les rayons des cercles cherchés et trouva pour eux des
valeurs qui pouvaient se construire facilement. En 1836,
Steiner fit connaître que chacune des tangentes com-
munes à deux des cercles esc en même temps tangente

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à deux des cercles qu'on peut inscrire dans les trois
triangles suivant lesquels le triangle donné est partagé
par les bissectrices des angles. Ce théorème fournit
immédiatement une construction simple du problème.
Steiner n'en donna toutefois pas de démonstration, mais
il déclara qu'on y arriverait au moyen d'une série de
théorèmes sur les centres de similitude, les axes radicaux,
les cercles radicaux, &c. qu'il énonçait en même temps.
Cette démonstration a été donnée complètement pour la
première fois et d'après la marche indiquée par Steiner,
par W Schrôter, en 1S74. Ce géomètre a toutefois eu
recours à des inversions tant soit peu compliquées.
Nous allons établir la construction de Steiner à l'aide
de théorèmes complètement élémentaires.

Nous désignerons les points de contact avec les
côtés de telle sorte qu'en parcourant le périmètre du
triangle on rencontre successivement les points Â^ Cj,
Cj, B, a^, a,, C, b^, b^\ S^ et Sj se toucheront en y,
Sh et 5c en a, Se et Sa en /9. Un cercle, tangent à S„
et Se en /3 et qui passe par Cj , coupe ^ C en un point
D et fait avec AU et AC des angles égaux (g). Ses
tangentes en c^ et D se coupent donc sur la ligne qui
bissecte l'angle A et forment avec les deux côtés un
quadrilatère inscriptibîe en sorte que l'arc c^D est égal
à l'angle A. Le cercle c^afi passe aussi par c,. Soit
E le point où ce cercle et le cercle ^Db^ se rencontrent.
On a zc.i'ôj = ZeiC3/9 + ^Lb^Dp == 180='— iA II
résulte de là que le cercle c^Eb^ a son centre en A.
Le cercle c^a^a^ coupe AB, AE et la tangente en Cj
suivant des cordes égales; car Ac^ = AE et le cercle
coupe AB et I>^c^ suivant des angles égaux. On peut
voir de la même manière que le cercle E^Db^ coupe
AE et la tangente en IJ suivant des cordes égales. Soit
E le point où se coupent les tangentes en Cj et i*, et
G et H les points où elles rencontrent respectivement
AE. De c^F = BF, c^G = ËG, iJfi = EH il résulte
qu'un côté du triangle GFH est égal à la somme des

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deux autres. Les points G et N doivent donc se con-
fondre avec F, en sorte que AEF bîssecte l'angle A.
Le cercle c^c^ajS coupe ainsi AB, AE et les tangentes
en a et ^ sous des angles égaux et on peut par consé-
quent tracer un cercle concentrique qui soit tangent à
ces quatre lignes. On démontrera de la même manière
que ce cercle est aiissi tangent à la ligne qui bissecte
l'angle B et le théorème de Steiner se trouve ainsi
établi. Si l'on veut aussi considérer les cercles qui
sont tangents aux prolongements des côtés, on obtient
d'autres solutions qui se déduisent de la précédente au
moyen de changements très-simples.

Si dans le problème, au lieu des côtés du triangle,
on prend trois cercles, on peut alors considérer la figure
inverse obtenue en prenant un des points d'intersection
de deux quelconques des cercles comme centre d'inver-
sion. On établit facilement alors que le théorème énoncé
et démontré ci dessus peut s'étendre aussi à ce cas, en
remplaçant les bissectrices des angles ■ par les cercles
qui bissectent les angles des cercles donnés pris deux
à deux (cercles radicaux) et en substituant à la tangente
en ^ le cercle qui lui correspond dans la figure inverse
et ainsi de suite.

Sur la possibilité de résoudre un problème donné
a l'aide de la règle et du compas seulement.

Il peut arriver qu'on ne puisse pas trouver la solution
d'un problème donné; et la question se pose alors de savoir
si la cause ne tient pas à ce qu'on a mal compris com-
ment i! fallait attaquer le problème, ou bien si ce dernier
n'appartient pas plutôt à la catégorie de ceux qu'on ne peut
pas résoudre avec la règle et le compas. Ce qui suit va
nous donner le moyen de trancher la question dans la majeure
partie des cas.

Du moment qu'un problème peut se résoudre, la solution,
quelque compliquée qu'elle puisse être, doit se composer des

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I06 SUR

deux opérations suivantes: mener une ligne droite par deux
points donnés et tracer un cercle dont le centre et le rayon
sont donnés. Chaque point est déterminé comme intersection
de deux lignes droites, ou d'une droite et d'un cercle ou de
deux cercles. Imaginons maintenant qu'à l'aide des formules
et des méthodes de la géométrie analytique on ait calculé
les coordonnées des points, au fur et à mesure qu'on les
construit ; dans tout le courant du calcul , on n'aura à ré-
soudre que des équations du premier et du second degré.
On peut ainsi exprimer chacune des quantités déterminées
par la construction au moyen des quantités données de telle
manière que les grandeurs trouvées ne renferment aucunes
autres expressions irrationnelles que de racines carrées; mais
comme d'un autre côté une expression quelconque de cette
espèce peut toujours se construire, la condition néces-
saire et suffisante pour qu'un problème puisse se
résoudre avec la règle et le compas, c'est que les
quantités cherchées puissent s'exp]rimer au moyen
des quantités données rationnellement et par de
racines carrées.

On trouvera une étude des équations qui peuvent se ré-
soudre à l'aide des racines carrées dans les ouvrages de
l'auteur qui ont pour titresr Cm Ligninger, der Itunne
l0ses ved Kvadratrod et Théorie der Algebraischen
Gleichungen. Kopenhagen. Andr. Fred. Host & Son 1878.
Chap. VII. L'auteur y a démontré les théorèmes suivants :

1. En dehors des coniques, il n'y a aucunes cour-
bes dont les points d'intersection avec une droite
quelconque puissent se déterminer à l'aide de !a
règle et du compas.

2. En dehors des coniques, il n'y a aucunes cour-
bes auxquelles on puisse, d'un point quelconque,
mener des tangentes à l'aide delà règle et du compas.

3. Toutes les fois qu'à l'aide de la régie et du
compas on peut déterminer les points d'intersection
d'un rayon quelconque d'un faisceau de rayons avec
une courbe qui ne passe pas par le centre du faisceau,

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SDR LA l'OSSIBlLITjt. lO^

l'ordre de la courbe doit être une puissance de 3 et,
dans le faisceau, il doit y avoirau moins deux rayons
dont les points d'intersection avec la courbe coïn-
cident par couples de deux.

De ces théorèmes on peut en déduire de nouveaux par
transformation et étendre les recherches à d'autres systèmes
de lignes que les faisceaux de rayons, à des systèmes de
cercles, &c. Pour ce qui regarde ces généralisations, il nous
suffira de renvoyer aux ouvrages cités plus haut; nous ajou-
terons seulement la proposition suivante.

4. Tl n'y a pas d'autres courbes que le cercle et
la ligne droite dont les intersections avec un cercle
quelconque puissent se déterminer au moyen de la
règle et du compas.

Ce théorème peut facilement se déduire par inversion du
premier théorème énoncé plus haut, le cercle et la ligne
droite étant les seules courbes qui , par inversion par
rapport à un centre d'inversion quelconque , donnent des
coniques.

Ces théorèmes sont suflîsants dans un très-grand nombre
de cas.

Admettons, par exemple, que dans un problème on donne
une ligne dont la position soit entièrement arbitraire et qu'un
certain point X de la ligure doive tomber sur cette ligne.
En faisant abstraction de cette condition, X décrit un lieu
géométrique et, d'après le premier des théorèmes que nous
avons énoncés, ce lieu doit être une conique si le problème
doit pouvoir se résoudre avec la règle et le compas. Le
second théorème peut s'employer d'une manière semblable,
quand la figure renferme un point dont la position est arbi-
traire.

Si l'on considère en particulier le premier cas, on voit
que, des développements qui précèdent, il découle une caté-
gorie de méthodes graphiques générales pour la résolution des
problèmes. Faisons abstraction de la ligne et construisons
deux figures quelconques satisfaisant aux autres conditions;
nous aurons ainsi deux positions de X, par exemple X, et X^.

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