BERKELEY
LIBRARY
UNIVERSITY OF
V^AUFORNlAy/
MATH/STAT
' LIBRARY
B. G. TMJBNERS SAMMLUNG VON LEHRBÜCHERN
AUF DEM GEBIETE DER
MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN
MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN.
BAND X 2.
NIEDERE ZAHLENTHEORIE
VON
Peof. Du. PAUL BACHMANN
ZU WEIMAR.
ZWEITEE TEIL
ADDITIVE ZAHLENTHEORIE.
LEIPZIG
DEUCK UND VEELAG VON B. G. TEUBNEE
1910
cj: -. ^ KcJii ."-STa
•4lATH-STÄr.
ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.
■334
iMATH..
STAT.
UBRARY
Vorrede.
Viel später erst, als ich gewünscht, kann ich hiermit den zweiten
Teil meiner „Niederen Zahlentheorie^' der Öffentlichkeit übergeben.
Er behandelt dasjenige Gebiet der Zahlentheorie, welches man nach
Kroneckers Vor gange als „Additive Zahlentheorie" bezeichnet,
weil es die auf additiver Verknüpfung beruhenden Eigenschaften und
Beziehungen der Zahlen umfaßt. Noch gibt es kein Werk, welches
eine systematische Entwicklung der additiven Zahlentheorie oder eine
geschlosseneDarstellung der vorhandenen auf siebezüglichenForschungen
zum Inhalte hätte. Wenn so das vorliegende das erste ist, das den
Versuch dazu macht, so bin ich mir wohl bewußt, daß ich die Nach-
sicht des Lesers in Anspruch nehmen muß. Bei der Mannigfaltigkeit
und Zerstreutheit der in Betracht kommenden Gegenstände war die
Aufgabe nicht leicht, ein einheitliches Ganzes zu bilden. Eine streng
systematische Darstellung wollte zurzeit überhaupt nicht gelingen,
da es noch an allgemeinen Methoden und Grundlagen zu einer rein
arithmetischen Entwicklung der additiven Zahlentheorie fehlt; die
Anfänge, welche dazu von Sylvester gemacht worden sind, sind noch
wenig genügend. Meist bedarf es, ihre Sätze zu begründen, des
Hilfsmittels der Analysis, insbesondere jenes fruchtbaren Eiderschen
Mittels, der Entwicklung unendlicher Produkte in Potenzreihen; auch
ist es bei der leichten Handlichkeit dieses Hilfsmittels sowie bei den
interessanten Einblicken in den wissenschaftlichen Zusammenhang der
Probleme, die es vermittelt, kaum ratsam, ganz darauf zu verzichten.
Mußte ich daher einerseits mich darauf beschränken, die Ergebnisse
der Forschung über additive Zahlentheorie nur zu ordnen und nach
Möglichkeit in Zusammenhang zu bringen, so vermochte ich anderer-
seits nicht überall im eigentlichen Rahmen der niederen Zahlentheorie
zu verbleiben, und verweise in dieser Hinsicht auf das, was ich über
den Titel meines Werkes schon in der Vorrede zum ersten Teile
hervorgehoben habe, daß derselbe nicht durchweg aus dem Inhalte
des Werks, sondern aus dem Ursprünge desselben aus dem gleich-
namigen Artikel der Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften
zu erklären ist.
MV758VG
IV Vorrede.
Nachdem ich im ersten Kapitel die additive Bildung der wichtigsten
Zahlenarten, Polygonalzahlen, figurierten Zahlen, vornehmlich der
Summen gleicher Potenzen der natürlichen Zahlen und im Anschluß
an diese die wesentlichsten zahlentheoretischen Eigenschaften der
BernoulUschen Zahlen entwickelt, behandle ich im zweiten Kapitel
die rekurrenten, insbesondere die von Lmas als fonctions numeriques
simplement periodiques benannten Zahlenreihen. Das dritte Kapitel
bringt die Lehre von der Zerfällung der Zahlen in Summanden der
verschiedensten Art, die bezüglichen Untersuchungen von Cayley und
Sylvester, den Pentagonalzahlensatz von Euler -Legendre, den engeren
Pentagonalzahlensatz von Vahlen u. a. mehr, woran sich im fol-
genden Kapitel die gleichzeitige Zerfällung zweier Zahlen (die
partition bipartite) anschließt. Das fünfte Kapitel gibt die Unter-
suchungen über relative Zerfällung einer Zahl in bezug auf einen
gegebenen Modulus, die von Stern begonnen und neuerdings von
Bauhlebsky von Sterneck in erfolgreicher Weise fortgeführt worden sind.
Dann folgen im sechsten Kapitel mannigfache Rekursionsformeln
von der Art der berühmten Euler%Q\ien. Formel für die Summe der
Teiler einer Zahl. Das siebente Kapitel enthält die Sätze über die
Zerfällungen einer Zahl in zwei und vier Quadrate, zudem die neuesten
Untersuchungen über die für die Zerfällung jeder Zahl notwendige
Anzahl von Kuben, Biquadraten und höheren Potenzen. Im achten
Kapitel findet man eine größere Auswahl der lAouvilleschen Formeln,
die er unter dem Titel „sur quelques formules generales qui peuvent
etre utiles dans la theorie des nombres" veröffentlicht hat, ihre An-
wendung zur Bestimmung der Anzahl der Darstellungen einer Zahl
durch gewisse quaternäre quadratische Formen, sowie endlich zur
Herleitung einer der KronecJcerschen Rekursionsformeln für die Klassen-
anzahl binärer quadratischer Formen. Ein Schlußkapitel behandelt
die Gleichung x^^ -\- y"= 0^', nachdem zunächst die Pythagoräischen
Zahlen oder die rationalen rechtwinkligen Dreiecke, dann allgemeiner
die rationalen Dreiecke überhaupt bestimmt worden sind, wird nach
Kummer die Bestimmung rationaler Vierecke gelehrt und zuletzt eine
zusammenhängende Skizze der hauptsächlichsten Bemühungen und Er-
gebnisse der Forschung über das „letzte Fermatsche Theorem" geliefert^
für welches neuerdings das Interesse der Mathematiker einen besonderen
Anreiz erhalten hat.
Der Verfasser hofft, daß es ihm gelungen sei, trotz der gemischten
Methode ein hinreichend abgerundetes Ganzes zu schaffen, welches,
wie es einem fühlbaren Bedürfnisse entgegenkommt, dieses auch
einigermaßen zu befriedigen vermöge.
Weimar, den 15. September 1909.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Erstes Kapitel: Bildung von Zahlen auf additivem "Wege.
Nr. 1. Arithmetische Reihen. Porygonalzablen 1 — 4
Nr. 2. Uifferenz- und SummeurelEienT^ T 4 — 8
Nr. 3. Figurierte Zahlen, Binomialkoeffizienten, Pascahches Dreieck 8—14
Nr. 4. Die symbolischen Formeln
ai = (l + Aa)^*\ A^'^a = (a-1)^'^ 14-16
Nr. 5. Die Summen S^*^ der fcten Potenzen der ersten n ganzen Zahlen.
^ Methode von ARarchi 16—20
Nr. 6. Der Ausdruck für ^^ mittels BernoullüciheT Zahlen .... 20—22
Nr. 7. Sätze von Stern und Lampe 22 — 25
Nr. 8. Die Summen der Z;ten Potenzen der ungeraden Zahlen bis 2w — 1;
Satz von Ibn Albannd-, alternierende Potenzsummen gerader
und ungerader Zahlen 25 — 27
Nr. 9. Die Summen der Äjten Potenzen der Glieder arithmetischer
Reihen; eine Formel von Fermat 27 — 29
^-Nr. 10. 'Die Bernoullischen Zahlen; Rekursionsformeln zu ihrer Be-
rechnung; ihre analytische Definition; Sätze von Lipschitz . 30—33
Nr, 11 — 12. Ein Kummerschev Satz und seine Anwendung auf die
Eulerschen Zahlen (Sekantenkoeffizienten); Sätze von Sylvester
und von Stern 33—38
Nr. 13. Die Tangentenkoeffizienten; Satz von Stern 38—40
Nr. 14. ^M?/2mer8che Kongruenzen für Bernoullüche Zahlen .... 40—42
Nr. 15. Der von Staudt-Clausensche Satz. Hilfsbetrachtungen . . . 43—46
Nr. 16. Beweis des Satzes nach von Staudt 46—49
Nr. 17. Der Beweis von Lucas 49 — 51
Nr. 18. Die ganzzahligen Teile der von Stauätschen Formel; Sätze
von Hermite und von Stern. Sätze von von Staudt und von
Lipschitz 51 — 55
Zweites Kapitel; Kekurrente Zahlenreihen.
Nr. 1. Allgemeinste Art der rekurrenten Zahlenreihen 55—56
>' Nr. 2. Die G^awssschen Klammerausdrücke . 56 — 61
Nr. 3 — 4. Darstellung einer Zahl als Aggregat von Potenzen der Zwei.
Die Farey&chen Zahlenreihen 61 — 67
Nr. 5—6. Rekurrente Zahlenreihen mit unveränderlicher Skala; Fun-
damentalreihen 67—72
Nr. 7. Die Reihen zweiter Ordnung (Lucas) und ihre Fundamental-
reihen jj. ^
Die Zahlenreihen von Fermat, von Fibonacci, von Bupre . . 72—76
Nr. 8. Grundformeln für die Eigenschaften der Rj^, S^,. Linearformen
für die Primteiler derselben 76—79
Nr. 9. Die Additionsformeln und daraus folgende Teilbarkeitssätze
für die B^, Sj^. Eine Formel von d'Aurifeuille 79—82
VI Inhaltsverzeiclinis.
Nr. 10—11. Eigentliche Teiler der Bj^, S^, Primteiler derselben.
Der Satz
•K /A\= ^ (mod. 2?);
Linearformen der eigentlichenPrimteilervonÄ^, S^. Zerlegung
von 2*''*— 1 in Primfaktoren. Periodizität der E^, S,^ in bezug
auf einen Primzahlmodulus p 82 — 89
Nr. 12. Die Häufigkeit eines Primteilers von Bj^. Der allgemeine
Kongruenzsatz
i2^(^) = 0 (mod. m) 89—91
Nr. 13. Anwendung zur Zerlegung großer Zahlen in Primfaktoren.
Die Zahlen 2'* + 1 91—93
Nr. 14. Lucas' Satz über die Zahlen von der Form JV=2**'-|-1 . . 93—94
Nr. 15. Kriterien von Pepin und von Lucas für die Primzahleigen-
schaft gewisser Zahlen 94 — 97
Nr. 16. Vollkommene Zahlen. Satz von Euclid und von Euler. Die
iHfersenweschen Zahlen. Ob auch ungerade vollkommene
Zahlen möglich? 97—101
CrfWi Drittes Kapitel: Zerfällung einer Zahl in Summanden.
"^ Nr. 1. Zerfällungen verschiedener Art; Zergliederungen .... 102 — 103
Nr. 2. Eulers analytische Methode 103 — 105
Nr. 3. Die Anzahl der Zergliederungen einer Zahl s in n positive
Summanden und in positive Summanden überhaupt . . . 105 — 108
/ Nr. 4. Ein Eulerscher Satz über Zerfällungen 108—109
Nr. 4 a. Seine Verallgemeinerung durch Schur 109 — 110
Nr. 5. Elementare Zerfällungssätze. Der Eulersche Reziprozitätssatz 110—114
Nr. 6. Rekursionsformeln für die Anzahl C^ ^ der Zerfällungen von
s in n verschiedene, für die Anzahl F^^ ^ der Zerfällungen
von s in w gleiche oder verschiedene positive Summanden,
und für die Anzahl y^ ^ ihrer Zerfällungen in Zahlen der
Reihe 1, 2, 3, . . ..w . '. 114—116
Nr. 6 a. Sätze über die Anzahl c^^ ^ der Zerfällungen von s in ver-
schiedene Zahlen der Reihe 1, 2, 3, ... n 116—120
Nr. 7. Die 1, 2, 3, . . . r- freien Zerfällungen und Zergliederungen
einer Zahl s in n gleiche oder verschiedene positive Sum-
manden. Xawe'sche Zahlenreihen /-t^r Ordnung 120 — 124
g
Nr. 8. Der Denumerant - , ..• Einfachste Fälle: der Denu-
g a,h, . . .1
merant == für teilerfremde Elemente a., «g 1^^ — 1^0
^l> ^J s
Nr. 9. Der Denumerant = 130—133
Nr 10. Der Denumerant als Entwicklungskoeffizient der Funktion
1 1
Ä^)~ (i_^«)(i_Äi*)---(l-ajV
Cayleys Zirkulatoren und Parti albruch Zerlegung 133—136
Nr. 11. Die Partialbruchzerlegung von -r—r 136—138
' (^) S Tl • • 1
Nr. 12. Cayleys Ausdruck für den Denumeranten y, Beispiele 138—140
g
Nr. 13 — 14. Sylvesters Bestimmung des Denumeranten ===== •
Die Wellen (Waves) desselben 140—149
Nr. 15. Vergleichung mit Cayleys Formel. Beispiel: 149—153
1, ^, O, 4
Nr. 16. Eine Schlußfolgerung Sylvesters 154 — 157
Inhaltsverzeichnis. - VII
s ^^'*®
Nr. 17. Der Demimerant y„ , = ^ - „ — =-- ; Bildungsweise der
'"' ' 1, 2, 3, •• , n
Reihe y^,o> y«i' y,,2^ y»3' 157—161
Nr. 18. Die Schlußreihe F: Pq, T^, T«, Tg , . . . und ihre Zusammen-
setzung mit sich selbst; ihre Potenzen; die Potenz T""^ . • 161—162
' Nr. 19. Der Eulei' - Legemlreache Pentagonalzahlensatz; Geschicht-
liches; Ausdruck desselben in FaA7enscher Schreibweise. Der
Beweis von Franklin . . . 162 — 167
Nr. 20. Der engere Pentagonalzahlensatz von VaJiJen und sein Beweis 167 — 171
Nr. 21. Eine Ergänzung des Beweises. Hinweis auf bezügliche Ar-
beiten von von Sterneck . 171—173
Nr. 22. Folgerungen aus Vahlens Satz. Ausdehnung auf den Fall
der Poljgonalzahlen 173 — 177
Nr. 23 — 25. Untersuchungen von D. von Sterneck über die Bedin-
gungen, unter denen die Anzahl gewisser Zerfallungen un-
gerade ist 177—183
Nr. 26. Ein additives Kriterium für Primzahlen 183-185
Viertes Kapitel: Gleichzeitige Zerfällung mehrerer Zahlen.
Nr. 1. Mehrteilige Zahlen und ihre Zerfällung. Die Bestimmung
der Anzahl Lösungen zweier Gleichungen
s = a^^X]^-\-a20C2 -{•••■ , 6 = aiX^-\- a20C2-\- • ■ •
in nicht negativen ganzen Zahlen 185—186
Nr. 2 — 3. Analytische Methode von Cayley für den Fall, daß die
korrespondierenden a., a. teilerfremd und die Quotienten
^, ^, . . . verschieden voneinander sind. Ko7inumeranten . 186 — 191
Nr. 4 — 5. Die Anzahl der Zerfällungen von ^^ in 6 gleiche oder
verschiedene Zahlen 0, 1, 2, . . ., »i 191—196
Nr. 6. Berechnung zweier Beispiele 196—198
Nr. 7. Methode von Faä di Bruno 199—204
Nr. 8. Die Anzahl der Zerfällungen aller Zahlen in nicht mehr als
r gleiche oder verschiedene Summanden ^ n 204—205
Nr. 9. Arithmetische Methoden. Sadims Bestimmung der Anzahl
der Zerfällungen von s in 6 gleiche oder verschiedene Zahlen
1, 2, 3, . . ., s 205—210
Nr. 10. Sylvesters allgemeines Resultat 210—211
Nr. 11. Die arithmetische Methode Sylvesters bei gleichzeitiger Zer-
fällung zweier Zahlen 211 — 213
Nr. 12. Beispiele 213—216
Nr. 13 — 14. Rekurrente Behandlung der Zerfällung. Ein Beispiel
Eulers 216—219
Nr. 15. Bestimmung des kleinsten Restes einer positiven Zahl »i
(mod. m) mittels Denumeranten 219 — 222
Fünftes Kapitel: Relative Zerfällungen (mod. 7n).
Nr. 1. Zerfällung einer Zahl n in verschiedene Elemente e^, «g» ^S' • • •
(mod. p). Das Elementensjstem 1, 2, 3, . . ., p — 1. Methode
von Stern 222—225
Nr. 2, Anzahl (w)^. der Zerfällungen von n in i verschiedene der
gegebenen Elemente; Anzahl [nj^. der Zerfällungen in /
gleiche oder verschiedene der Elemente. Zwei allgemeine
Rekursionsformeln von D von Sterneck 225 — 227
Nr. 3. Das Elementensystem 0, 1, 2, 3, . . ., m — 1 (mod. m) . . 227—229
Nr. 4. Herleitung der Resultate der Nr 1 229-230
Nr 5. Hilfssätze über eine zahlentheoretische Funktion f (w, d) . 230—234
Nr. 6. Anzahl der Zerfällungen in i verschiedene der Elemente
0, 1, 2, 3, ... , w - 1 (mod. m) 234—237
k0^\
VIII Inhaltsverzeichnis.
Seite
Nr. 7. Anzahl der Zerfällungen in i verschiedene der Elemente
1, 2, 3, . . ., w — 1 (mod. m), sowie in verschiedene dieser
Elemente überhaupt 237 — 241
Nr. 8. Das Elementensystem der ^^~ quadratischen Reste (mod p).
Die Anzahlen (0)^, (g).^ {y).. Hilfsbetrachtung 241—245
Nr. 9, Die allgemeine Bestimmung der Anzahl (n)^. mittels einer
rekursorischen Formel. Anwendung auf die Kreisteilung.
Allgemeinere Aufgaben 245—248
Nr. 10. Gesamtanzahl der Zerfällungen (der geraden wie der un-
geraden) einer Zahl n in verschiedene quadratische Reste
(mod. p) überhaupt; ihre Bestimmung mit Hilfe der Kreis-
teilung nach Stern 248 — 252
Nr. 11. Die beiden Fälle p=4Ä;-|- 3 und p = 4 Ä;-|-l besonders betrachtet 252—255
Nr. 12. Das Elementensystem 1, 2, 3, . . . , ^~ (mod. p) Methode
von Stern 255—259
«- 1
Nr. 13—14. Die Aggregate oder Formen ± 1 ± 2 + • • • + ^-y- . 259—264
Sechstes Kapitel: Rekursionsformeln.
Nr. 1. Verschiedene zahlentheoretische Funktionen:
C.' ^i"^ ^.1 ^m(*)^ t^s), tl{s\ S^{s) = ^i{s)-^l{s\ Q{s) 264-265
Nr. 2. Analytische Methode. Sätze von Euler, Stern und Zeller
betr. C,, r, 265—267
Nr. 3. Eulere Formel für die Teilersumme ^^(s) einer Zahl und be-
zügliche Sätze von Stern 268—270
Nr. 4. Fortsetzung. Ein Satz von Glaisher betr. die Funktion d^(s) 270—273
Nr. 5 — 6. Arithmetische Methode. Grundformeln von Vahlen Ein
bemerkenswerter Zerfällungssatz 273 — 278
Nr. 7. Neue Herleitung früherer Sätze 278—280
Nr. 8. Ein Umkehrsatz für zwei zahlentheoretische Funktionen . . 280 — 281
Nr. 9. Neue Herleitung früherer Sätze . . .281 — 283
Nr. 10. Die Theorie der elliptischen Funktionen als Quelle solcher
Sätze. Zwei Sätze von Halphen für ^^{s) und von Glaisher
für die Zerfällung einer Zahl in vier und in zwei Quadrate 284 — 287
Nr. 11. Eine Formel von Glaisher betr. die Funktion ^^(s) . . . . 287—288
Nr. 12. Ein mit Nr. 4 analoger Satz betr. die Funktion q{s) und ihre
summatorische Funktion 6{s) 288—292
w/- Nr. 13. Zwei Hilfssätze für die Summe S^^^ der Ä^teu Potenzen der
/^ natürlichen Zahlen 1, 2, . . ., w 292—294
> j^p^ 14 Herleitung eines merkwürdigen Zahlensatzes 294 — 297
Nr. 15. Eine Formel von Glaisher für die Funktion ^„(s), durch
welche die Summen ungerader Potenzen der Teiler gewisser
Zahlen mit den Summen gerader Potenzen der natürlichen
Zahlen verbunden werden 297—299
Nr. 16 — 17. Ein zweiter ähnlicher Zahlensatz und zwei neue Formeln
für die Funktion ^Js) von analogem Charakter 299 — 304
Siebentes Kapitel: Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
Nr. 1—2. Zerfällung einer Zahl in zwei Quadrate. Ein der Theorie
der quadratischen Formen entnommener Satz über die An-
zahl solcher Zerfällungen 304—310
Nr. 3—4. Vahlens Herleitung dieses Satzes aus Formeln der additiven
Zahlentheorie 311—319
Nr. 5—6. Über die Anzahl der Darstellungen einer Zahl s in der Form
s = (6X + l)H(6/^ + l)H(6': + l)'.
Darstellbarkeit jeder positiven ganzen Zahl in jeder der Formen
a;2-f 2 2/H3^H6^', x^i-y^-\-z'i-t' .... 319—324
Inhaltsverzeichnis. IX
Seite
Nr. 7. üarstellbarkeit einer Zahl als Summe dreier Quadratzahlen
nebst Folgerungen 324 — 327
Nr. 8. Darstellbarkeit jeder Zahl durch andere Formen der all-
gemeinen Gestalt ^,^^y,j^s,,^j_st- ä2,_S28
Nr. 9— 10. Zerfällbarkeit der Zahlen in Biquadrate; über die kleinste
erforderliche Anzahl der letzteren 328—335
Nr. 11. Zerfällbarkeit der Zahlen in Kuben und die kleinste erforder-
liche Anzahl der letzteren. Hilfssatz 335—337
Nr. 12. Methode von Maillet und Fleck 337—339
Nr. 13—15. Methode von Wieferich 339—345
Nr. 16. Zerfällbarkeit der Zahlen in 5*6, 6te, 8te, lOte Potenzen.
Bestätigung einer Vermutung von Waring durch Eilbert . 345—348
Nr. 17. Jacobis Satz über die Anzahl der Darstellungen einer Zahl
als Summe von vier Quadratzahlen. Beweis von Dirichlet . 348 — 351
Nr. 18. Verallgemeinerung 352—354
Nr. 19. Beweismethode von Stern 354—358
Nr. 20. Ein Satz von Liouville mit dem Beweise von Stern . . . 358—363
Nr. 21. Über Zerfällungen einer Zahl in die Summe von drei, fünf
und mehr Quadraten 363 — 365
Achtes Kapitel: Untersuchungen von Liouville.
Nr. 1. Allgemeiner Charakter dieser Untersuchungen 365 — 366
Nr. 2. Eine erste Liouvülesche Grundformel 366 — 369
Nr. 3. Besonderer Ausdruck dieser Formel für ein gerades s.
Folgerungen über die Anzahl der Darstellungen von s
durch die Formen
xij^y^^Z'-\-t\ x^ + y^-i-4:Z*i-4:t^ .... 369-373
Nr. 4. Weitere Sätze über die Anzahl der Zergliederungen von s
in acht Quadrate u. a 373—375
Nr. 5. Über die Darstellung des Doppelten einer Primzahl S)=8i-\-S
in der Form ^ äi = ^. + i>*'' + '• y' • -. 3^5-377
Nr. 6. Der allgemeine Fall der Grundformel 377—378
Nr. 7. Ein Folgesatz bezüglich der Funktion ^^ (s). Satz über die
Darstellung einer Primzahl cb=16^*-j-7 in der Form
G>=2x* + p^" + ^-y^ 379-380
Nr. 8—9. Spezialisierungen der Grundformel. Ein Folgesatz über
Zerfällungen in quadratische Formen 381—385
Nr. 10. Herleitung einer zweiten Lmiv üleBchen Grundformel . . 385 — 389
Nr. 11. Besondere Fälle derselben und Folgerungen 389 — 391
Nr. 12. Eine dritte Lwuvillesche Grundformel 391—395
Nr. 13. Spezialisierungen derselben 395 — 396
Nr. 14. Rekursionsformeln für die Funktion ti(s), desgleichen eine
solche für die Funktion q (s). Satz über die Anzahl der
Zerfällungen in drei Quadratzahlen 397 — 400
Nr. 15. Eine Beziehung zwischen den Funktionen q (s) und ^j (s)
und ihre Deutung 400—403
Nr. 16 — 17. Eine vierte Liouvillesche Grundformel 4' 3— 407
Nr. 18. Spezialisierungen derselben und Folgesätze 407 — 409
Nr. 19. Die Funktionen q (w), q' (u), q" (u), welche die Anzahl der
Darstellungen einer ungeraden Zahl u durch die Formen
x^-\-y\ x^-\-2y\ x* + Sy^
ausdrücken 409 — 411
Nr. 20. Anwendung der LiouviUeachen Formeln zur Bestimmung der
Anzahl der Darstellungen einer Zahl durch quatemäre qua-
dratische Formen. Anzahl der Darstellungen durch die Form
a;2-f iy2 + 2 0«-{-2<2 411-415
Nr. 21. Anzahl der Darstellungen durch die Form
a:» 4- 2/« 4-4^^4** 415-417
Bachmauu, niedere Zablentheorie. IL a*
X Inhaltsverzeichnis.
Seite
Nr. 22. Anzahl der Darstellungen durch die Form
x^-]-y^-\-4.z'-\-8t^ 417—419
Nr. 23. Anzahl der Darstellungen durch die Form
Über die Form
ic«-f 22/H32H6** ....... 419-423
Nr. 24. Zusammenhang zwischen der Klassenanzahl binärer qua-
dratischer Formen mit der Determinante — n und der Anzahl
gewisser Lösungen der unbestimmten Gleichung
4:S^ — u{u-{-id) = -n 423—428
Nr. 25—26. Herleitung einer der Kroneclcer&chen Rekursionsformeln
für die Klassenanzahl 428 — 433
Neuntes Kapitel: Die Gleichung ac** -|- i/** = »^*
Nr. 1 — 2. Ganzzahlige Auflösung der Gleichung
ic* 4-1/2 = ^2 433—437
Nr. 3. Die Gesamtheit der rechtwinkligen rationalen Dreiecke . . 437—438
Nr. 4—5. Die Gesamtheit der rationalen Dreiecke überhaupt . . 438—442
Nr. 6. Ein Hilfssatz über rationale Vierecke 442 — 443
Nr. 7—8. Kmnmers Bestimmung aller rationalen Vierecke . . . 443—447
Nr. 9. Behandlung der dabei auftretenden Aufgabe, den Ausdruck
a -f- bx-\-cx^ + dx^-{-ex^
zu einem Quadrate zu machen, nach Fermat und Euler . . 447 — 449
Nr. 10. Der „große Fermateche Satz" oder das „letzte Theorem
FermaU"". Behauptung der Unlösbarkeit der Gleichung
ic^-f 2/^ = ^;^ in ganzen Zahlen, falls p> 2 449—451
Nr. 11. Fermate Methode; der Inhalt eines rechtwinkligen Dreiecks
mit ganzzahligen Seiten ist keine Quadratzahl 451 — 452
Nr. 12. Unmöglichkeit der Gleichungen ic* — 2/* = 5^^; x^-\-y^ = z^ . 452—454
Nr. 13. Unmöglichkeit der Gleichung x^-\-y^ = z^ nach Euler mxdi
Legendre ... * 454 — 458
Nr. 14. Unmöglichkeit der Gleichungen x^ -\- y^ = z^, x"^ -\- y'' = z''
nach Diriehlet und Lame, Lebesgue 458—459
Nr. 15. Eingreifen der Körpertheorie in die Betrachtungen; das
allgemeine Ergebnis Kummers 460—461
Nr. 16. Untersuchung der allgemeinen Gleichung x^ ■\- y'^ = z^ für
den Fall eines Primzahlgrades p. Vorbetrachtungen . . . 461 — 464
Nr. 17. Herleitung der sogenannten J.feeZschen Formeln. Zwei ver-
schiedene Fälle. Zwei Bemerkungen von Sophie Germain . 465 — 468
Nr. 18. Erörterung des ersten Falles. Ein Satz von E. Wendt be-
züglich der Unmöglichkeit der Gleichung x^ ■]- y^ ■{■ z^ = 0
in ganzen durch p nicht teilbaren Zahlen 468 — 471
Nr. 19. Dieser Satz ist gleichbedeutend mit einem schon von Legendre
nach Sophie Germain ausgesprochenen Satze 471 — 472
Nr. 20. Erörterung des zweiten Falles. Gesamtergebnis 472—474
Nr. 21. Schlußfolgerungen aus demselben 474—476
Zusätze 477—480
Berichtigungen.
Seite 15 Zeile 16 v. u. lies (-i)*.a" statt (-Va)".
„ 23 „ 14 lies —n^ statt — n.
„ 113 Formel (28) lies n-a'^ statt n ■ a,^^.
„ 149 „ (118) lies a statt cc.
„ 221 Zeile 7 v. u. lies Den. /S^(7, w, v, tv) statt Den S^^iz, u, v, w).
Erstes Kapitel.
Bildung Yon Zahlen auf additivem Wege.
1. Die additive Zahlentheorie, deren Darstellung dieser Band ge-
widmet ist, betrachtet diejenigen Eigenschaften und Beziehungen der
ganzen Zahlen, welche aus ihrer additiven Verknüpfung zu neuen
Zahlen hervorgehen.
Die aU unseren Untersuchungen zugrunde liegende natürliche Zahlen-
reihe selbst entsteht durch eine stets wiederholte additive Verknüpfung
der Einheit mit sich selbst; so findet man die aufeinander folgenden
Zahlen
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .
Verbindet man dagegen mit der Einheit in steter Wiederholung die
zwei, dann die drei, usw., so entsteht die Reihe der ungeraden
Zahlen:
(2) 1, 3, 5, 7, 9, 11,...,
dann die Reihe
(3) 1,4,7,10,13,16,...
USW. fort. Um das allgemeine Gesetz dieser zunächst sich darbieten-
den additiven Zahlenverbindungen zum Ausdruck zu bringen, betrachte
man allgemein die Reihe der Zahlen
■)
(4) a, «1, «2, «3, a^, .
welche aus einer anfänglichen Zahl a durch stets wiederholte Ad-
dition einer gegebenen Zahl d hervorgehen, so daß allgemein
(5) üi = ai-i -\- d
(für i = l, 2, 3,.. .)
ist. Eine solche Formel, durch welche jedes Glied ai einer
Zahlenreihe mittels vorhergehender Glieder derselben aus-
gedrückt wird, heißt eine Rekursionsformel; die Formel (5)
ist die einfachste und ursprünglichste Art derselben, die sich auf-
stellen läßt. Die Zahlenreihe (4) aber, welche nach dieser Formel (5)
gebildet wird, heißt eine arithmetische Reihe, a ihr Anfangs-
Baclimann, niedere Zahlentheorie. II. \
2 Additiv gebildete Zahlen.
glied, d ilire Differenz. Offenbar folgt aus (5) das allgemeine
Glied üi durch diese Gegebenen ausgedrückt mittels der Formel:
(6) ai= a -\- id.
Es liegt sehr nahe, nun eine Anzahl aufeinander folgender, etwa
die ersten n-Zahlen der Reihe (4) additiv zu verknüpfen, d. h. die
Summe zu bilden
(7) 5n = a + a^ + «2 H f- a«_i.
Schreibt man, um ihren Wert zu ermitteln, mit umgekehrter Folge
der Summanden
und bemerkt, daß zwei untereinander stehende Glieder
ai = a -\- id, an-i-i = a -\- {n — i — \)d
die Summe 2a + (n — V)d ergeben, so findet sich sogleich
2Sn = 2na + ni^i — 1)^,
also die gesuchte Summe
(8) Sn = na-\ ^^ — - ' d.
Aus dieser allgemeinen Formel erhält man, wenn a = 1 gewählt
wird, für i^ = 1, 2, 3, ... die Gleichungen:
(8a) 1 + 2 + 3 + •••+ n ==üi!^^,
(8b) 1 + 3 + 5 + • • . +(2^-1) = w^
(8c) 1 + 4 + 7 + .. .+(3^-2) = ^^^^,
Die Zahlen von den so gefundenen Formen, d. h. die Zahlen,
welche man aus den hier zur Rechten stehenden allgemeinen Aus-
drücken erhält, wenn man darin sukzessive n gleich 1, 2, 3, . . . an-
nimmt, haben einen besonderen Namen erhalten; sie werden ins-
gesamt Polygonalzahlen genannt, insbesondere heißen die Zahlen
der ersten Form:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 2^,...
die Trigonal- oder Dreieckszahlen, die der zweiten Form:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, . . .
die Quadratzahlen, die der dritten Form:
1, 5, 12, 22, 35, 51, . . .
Polygonalzahlen.
diePentagonal- oderFünf-
eckszahlen, usw. Setzt mau
in (8) für a, d bez. 1 und
r — 2y so gibt die Formel
(8d)S„ = M + ?^^.(,--2)
die sogenannten r-Ecks-
zahlen.
Der Grund dieser, schon
im Altertum gebräuchlichen
Bezeichnungen, kann in dem
Umstände gefunden werden,
daß die bezeichneten Zahlen
zum Vorschein kommen, wenn
die Reihe der natürlichen
Zahlen auf polygone Weise
angeordnet wird, wie folgt:
Man denke an eine Hori-
zontallinie crleichseitiore Drei-
ecke angetragen, deren ge-
meinsame Spitze in ihr liegt,
während deren Seiten suk-
zessive gleich 1, 2, 3, . . .
Einheiten sind, und bezeichne
die Endpunkte der der Ein-
heit gleichen Strecken auf
den Seiten dieser Dreiecke
durch die aufeinander folgen-
den Zahlen, so kommen all-
mählich zur ersten Zahl 1 die
zwei folgenden, dazu die drei
folgenden, usw. hinzu; daher
stellen dann die auf die Hori-
zontale fallenden Zahlen die
aufeinander folgenden Drei-
eckszahlen dar. Eine ähn-
liche Anordnung nach Qua-
draten, Fünfecken usw., führt
auf der Horizontallinie, wie
die beigefügten Zeichnungen
anschauen lassen, die Quadrat-
zahlen, die Fünfeckszahlen
usw. herbei.
Z
yl5
yl't
Fig. 3.
1*
4 Additiv gebildete Zahlen.
Die Polygonalzahlen waren, wenigstens in ihren einfachsten Arten
als Trigonal- und Quadratzahlen bereits den Pythagoräern bekannt,
und schon Plutarch und Nikomachus (1. Jahrh. nach Chr.) führen
auch die Sätze an, welche in den beiden einfachen Formein
(9a) 8-^^^^ + l = (2» + l)^
(9b) «(^^n(«_fi)_^,
ihren algebraischen Ausdruck haben, wonach also das Achtfache jeder
Trigonalzahl um eins vermehrt eine ungerade Quadratzahl und die
Summe je zweier aufeinander folgender Trigonalzahlen stets eine
Quadratzahl ist.
Setzt man in (8 b) für n zwei aufeinander folgende Trigonalzahlen
? J" ; SO finden sich die Gleichungen:
l+3 + 5 + ... + (2.ö-l) = (^)^
deren Differenz die folgende ergibt:
(2.M + l) + (2.M + 8)4-... + (2.^ + 2^-l)
d. i.:
(^2 - ^ + 1) -f (^2 _ ^ ^. 3) 4. . . . 4- (i2 _ ^- + 2i - 1) = i^
also für i = 1, 2, 3, 4, . . . der Reihe nach
1 = P,
3 + 5 = 2^
7 -f 9 + 11 = 33,
13 + 15 + 17 + 19 = 4^
Hieraus folgt für die Summe der ersten i Kubikzahlen die Formel:
(10) P+ 2^+ 3«+ • • • + i' = f^^)'-
2. Die Zahlen der arithmetischen Reihe (4) haben der Formel (5)
gemäß die Eigenschaft, daß die Differenz je zweier aufeinander
folgender Zahlen ein- und dieselbe ist. Betrachtet man dagegen
irgendwelche Reihe von ganzen Zahlen
Differenzreihen. 5
(11) a, «1, «2» ^3? «4« • • •
und setzt allgemein die Differenz zweier aufeinander folgenden Glieder
derselben:
(12) a, + i - a;=AWa,-,
so wird die Reihe dieser Differenzen, die sogenannte erste Differenz-
reihe
A^a, A(^>ai, A^a,, A^^ag, . . .
eine neue Zahlenreihe sein, deren Glieder im allgemeinen verschieden
voneinander sind. Setzt man daher dann wieder die Differenz zwischen
zwei aufeinander folgenden Gliedern derselben
(13) A(i)a,+i - AWa, = AW»,,
so gewinnt man eine dritte Zahlenreihe, die zweite Differenzreihe
A(2)a, A(2)ai, A^'^^a,, A(^^a„ . . .
usw., allgemein also, wenn
(14) A("-i)a,+i - A^«-^)a, = AWa,
gesetzt wird, die n^^ Differenz reihe
A(«)a, A("\, A(^)a2, A(")a3, ...
Geschieht es hierbei, daß eine Differenzreihe aus lauter gleichen
Zahlen gebildet ist, so wird die folgende und jede weitere aus Nullen
bestehen, und umgekehrt muß der ersten aus NuUen bestehenden
Differenzreihe eine aus gleichen Zahlen zusammengesetzte, und dieser
folglich eine arithmetische Reihe voraufgehen. Wäre dabei zuerst
die n + V^ Differenzreihe der Reihe aus Nullen zusammengesetzt, so
würde die Reihe (11) eine arithmetische Reihe w*^' Ordnung
genannt werden. So ist die Reihe der Polygonalzahlen jeder
Art eine arithmetische Reihe zweiter Ordnung, denn die
Differenz zwischen der n + 1*^^ und der n^^^ r-Eckszahl beträgt nach
Formel (8d)
A(i)>S„=l+w(r-2),
daher findet sich
also
A(3)5, = 0.
Q Additiv gebildete Zahlen.
Zufolge (14) bestehen die Gleichungen
A(«-i)a3 = A<«-i)a2 + A^"^a^
(14a)
welche lehren, daß man die n — 1*® Differenzreihe aus der n^^^ findet,
sobald noch das Anfangsglied der ersteren gegeben wird. Entsprechend
dieser Beziehung bilden wir jetzt aus der ursprünglichen Reihe (11)
eine andere, die wir mit
(15)
(1) (1) (1) (1)
2«, ^a^, ^a„ ^a„
bezeichnen wollen, die erste Summenreihe, indem wir deren
Anfangsglied willkürlich gegeben denken, mittels der mit (14a) ana-
logen Gleichungen:
(1) (1)
(1) (1)
(1) (1)
^^3 == 2^2 + «2
(15a)
desgleichen aus (15) wieder eine neue Reihe, die zweite Summen-
reihe
(8) (2) (2) (2)
(16) ^Cl> ^Öt,, ^«2, ^«3, . . .,
(2)
indem wir deren Anfangsglied ^a willkürlich annehmen, mittels der
Gleichungen
° (2) (2) (1)
(2)
(2)
(1)
(2) (2) (1)
)
usw. Werden dann, wie es Tafel I erkennen läßt:
Summenreihen und Summentafel.
Tafel I.
• • •
A<2)a
A(i)a
a
(1)
2'
(2)
2-
.
. . .
A(2)ai
AWa,
öfi
(1)
(2)
. . .
- . .
A^'^a,
AWa,
«2
(1)
2«^
(2)
. . .
. . .
A(*)a3
A^'^a,
«3
(1)
2«»
(2)
2«3
. . .
. . .
.
•
•
•
•
in einer mittleren Spalte die Glieder der anfänglichen Reihe unter-
einander gesetzt, in Spalten zur Linken die Glieder der aufeinander
folgenden Differenzreihen, in solchen zur Rechten die Glieder der
aufeinander folgenden Summenreihen, so haben die in dieser Tafel
zusammengestellten Zahlen zueinander die ausgezeichnete
Beziehung, daß jede Zahl die Summe ist aus der über ihr
und der neben der letztern linksstehenden Zahl. In der Tat
bestehen die folgenden Gleichungen:
(«)
in)
in-1)
(1) (1)
A("-%,+i = A(''-%,-H- A(%,,
Kommt man überein,
welche diesen Satz zum Ausdruck bringen
(-")
und
A(«)a,= Va,
(0)
A^a,
zu setzen, so lassen sich die vorstehenden Formeln in die einzige,
dann für jeden ganzzahligen Wert von w geltende erste derselben:
(n) (n) (n-1)
(17) 2'»'+'=2"'+2'''-
zusammenfassen. Aus ihr aber ergibt sich allo^emein
8 Additiv gebildete Zahlen.
(n) («) /(n — 1) (n — 1) (« — 1) \
(18) 2'"'=2''^+v2''*+2'"'+---+2'"^-'A
insbesondere also
(1) (1)
(18a) 2^^^ 2^ + (a + »1 + «2 + . . . + a,_i)
(für i = 1, 2, 3, 4, . . .).
In der gedachten Tafel ist also jedes Glied um das will-
kürliche Anfangsglied der Spalte, in welcher es sich be-
findet, größer als die Summe der ihm vorangehenden
Glieder der links benachbarten Spalte. Beachtet man, daß die
Glieder jeder Spalte die erste Differenzreihe für die Glieder der rechts
benachbarten Spalte sind, so läßt sich der ausgesprochene Satz auch
folgendermaßen fassen:
Aus der ersten Differenzreihe bestimmt sich das allgemeine Glied
der zugehörigen Zahlenreihe als die Summe der ihm in jener vorauf-
gehenden Glieder plus einer Konstanten, welche das willkürlich
bleibende Anfangsglied der Zahlenreihe repräsentiert.
3. Wählt man z. B., unter h eine positive ganze Zahl verstehend,
jZi '~ 1. 2. 3. . . . (Ä+l) ' ^ \ C-'
(1) (1)
so ergibt sich ^öt,.j.i — ^«t, d. h. a»- gleich
(^• + l)(^•-^2)■■■(^ + /^)
1-2 • Ä '
(1)
also, da ^a = 0 ist, aus (18a) für i = n nachstehende Gleichung:
(19)
1-2-3---Ä 2-3---(l-{-7i) 3-4---(2-f 7i) , ^ ^(w-f-l)- • -(n 4- Ä-1)
1.2- 3-Ä ' 12- -h ' l-^'h ' ' 1-2
«(n + l)(w-|-2)- • -{n^-h)
1-2-3- . -(Ä + l)
Wird allgemein
/o^N -p (A) ^ n(n + l)(n + 2)- • -{n-^-h-X)
gesetzt, so nimmt sie diese Gestalt an:
(19 a) F,W + F,(^) + . • . + i^„W = Fn^^^+^l
Die durch die Formel (20) definierten Zahlen werden die figurierten
Zahlen /i*" Ordnung genannt; diejenigen erster Ordnung sind die
FigTirierte Zahlen. 9
Zahlen der natürlichen Zahlenreihe, die der zweiten Ordnung die
Trigonalzahlen. Die Gleichung (19 a) aher spricht den schon Fermat
(Observationes zum Diophant Nr. 46) bekannten Satz aus:
Die n^^ figurierte Zahl der h + V^"" Ordnung ist die Summe
der ersten n figurierten Zahlen der Ä*^^ Ordnung.
So entstehen, wenn man sukzessive h = 1, 2, 3, . . . wählt, folgende
besonderen, von Fertnat angegebenen Gleichungen:
-1 + 2+3 + --.+ n =!^(!i±i).
(21)
1+3+ 6 + --.+
12
njn + l) _ n(n-fl)(n4-2)
1-2 ~ 1-2-3 ^
1. Aiinj_ , n{n-\-l)in-\-2) n(n+l)(M+2)(n+3)
1+4+10 + ---+ j.2.3 = 12.34
USW. Da sich aus der Formel (9b) der Nr. 1 die Gleichungen finden:
1' = 0 + 1,
22 = 1 + 3,
3^ = 3 + 6,
2 _ n(n-l) n(n + l)
^ - 2 "^ 2 '
so gibt die zweite der Formeln (21) noch die folgende neue:
1+^+0+ \-n — jy^—g \ ^-2-3 >
oder vereinfacht:
(22) V+ 2^ + 3' . . ■ + «^ = "(» + ^H^" + i).
Dieser Ausdruck bestimmt z. B. die Anzahl der Kugeln in einem
Kugelhaufen mit quadratischer Basis, wenn die Seite des Quadrates,
ebenso der zweite der Ausdrücke (21) die Anzahl der Kugeln in
einem Haufen mit gleichseitig dreieckiger Basis, wenn die Dreiecks-
seite n Kugeln enthält.
Aus (22) findet sich für n = 2m + 1:
femer:
durch Subtraktion dieser Gleichung von der vorigen kommt:
p+ 3^+ 52 + . . .+ (2m + 1)^= (2m + 3)(2m + 2)(2m + l)
10 Additiv gebildete Zahlen.
Da nun allgemein
(n -\-l)n (n — l) = n^ — n
ist, liefern die vorstehenden Gleichungen folgende zwei Formeln
(2m + 1)' = 2m + 1 + 6 [22 + 42 + . . . -I- (2myi
^^^^^ ' (2m+2)3=2m 4-2+ 6[12+ 324-- • - + (2^ + 1)2]
Der allgemeinen Formel (20) zufolge ist
7P(A) _ (n + l)(n + 2)...(ti + /^)
^^ + '"~ 1.2. 3. • h '
wofür symmetrischer sich schreiben läßt:
^^^J ^"+^ = 1.2.3.../..1.2.3..T^-
Dieser Ausdruck ist stets einer ganzen Zahl gleich, wie aus
elementaren Sätzen der Teilbarkeit gefolgert werden kann (s. Bd. I,
S. 56). Auch komhinatorische Betrachtungen ergeben dasselbe, denn
jener Ausdruck bezeichnet die Anzahl der Arten, wie m = n -\- h
Elemente ohne Rücksicht auf ihre Anordnung in zwei Gruppen von
n und von h Elementen verteilt werden können. Aus dieser kombi-
natorischen Bedeutung des Ausdrucks und aus der Bedeutung der
Potenz (a + ß)^ als eines Produkts von m- Faktoren a -{- ß geht so-
fort die binomische Entwickelung, nämlich die Gleichheit
hervor, in welcher die Summation über alle positiven ganzen Zahlen
fif h einschließlich der Null zu erstrecken ist, deren Summe gleich m
ist; insbesondere wird mithin
(24) (l+,;)". = l + (™) .^+ (») .^^+ ... + Q .^»
WO zur Abkürzung der Binomialkoeffizient
1 • 2 • 3 • • • wi
-" C)
1-2 ■ ■ ■ n- 1- 2 ■ ■ h
bezeichnet worden ist. Da in demselben m = n -\- h zu
denken ist, schließt man aus der Symmetrie desselben in bezug auf
n und h die Gleichungen:
zudem ist immer
(25a) 0=1, 0 = 1.
Binomialkoeffizienten .
11
Das allgemeine Induktionsverfaliren gestattet die binomische Ent-
wickelung (24) auch ohne das Hilfsmittel der Kombinationslehre zu
bestätigen. Nehmen wir in der Tat an, diese Entwickelung sei bereits
als richtig anerkannt bis zum }}i^^'^ Grade, so ergibt sich daraus durch
Multiplikation mit 1 -\- x und Entwickelung der rechten Seite nach
Potenzen von x nachfolgende Gleichung:
(i+-)'"--i+(i':)+i)-+-+((r)+C!:x)
+
x^ +
((:::)+(,„-.)) -■"+(::)-"
Nun ist aber, wenn w = n + h gedacht wird,
\h!^\h-l 1-2
2- 3
4-
1- 2 • 3
■h-l-2--n ' 1.2---(;?-l)-l-2- --(n-fl)
_ 1 • 2 • 3 ■ • • 7n / 1 1
~ 1-2 •• • (/i-1) • 1-2- • • n \Ti "^ ^i-f 1,
m • (m -|- 1)
1 ^-S
l-2---Ä-l-2---(?i + l)
d. h. es besteht die allgemeine Beziehung:
(25b)
Ö + (;:x^=(T>
und da fem er ( ) = ( , ^ ) = 1 ist, nimmt die obi^e Gleichuncr die
Gestalt an
(i+. )-"+•=!+ ("'|^).. + ('»+^)..H.--+(;;;+;) •."•+>
und bestätigt so das allgemeine Stattfinden der Binomialformel (24)
für jeden positiven ganzen Exponenten m, da sie offenbar für w=l
besteht.
Schreibt man die Binomialkoeffizienten der aufeinander folgenden
Potenzen
il + xf, {\ + x)\ (l + x)\ {l + x)\...
wie folcrt, untereinander:
1
1.1
1.2.1
1.3.3.1
1.4.6.4.1
so entsteht ein dreieckiges System von Zahlen, welches als das Tar-
tagliasche Dreieck bezeichnet zu werden pflegt Zu einer anderen
Anordnung aber führt die obige Beziehung (25b). Da der Binomial-
12 Additiv gebildete Zahlen.
koeffizient ( , I nur für die Werte des Index h^ welche < m sind^
definiert ist, so gilt diese Beziehung auch nur für h ^ m. Kommt
man jedoch überein, (;,) = 0 zu setzen, sooft Ji> m d. i. m <Ch ist,
so wird ihre Gültigkeit auf alle positiven Werte des Index h aus-
gedehnt. Dann lehrt aber eine Vergleichung dieser Formel mit der
Formel (17), daß die Wertreihe
0=0, (:)=o,...,(«-)=o,(:)=i,c'rH"r)----
die erste Summenreihe von der folgenden Reihe ist:
\n-l) ^' \n-lj ^^ • • -^ \n-l) ^' Vn-1/' [n-lp U-V' * * '
Stellt man also die Tafel auf:
1
Tafel IL
2
3
1
3 1
4
5
6 4 1
10 10 5 1
1 (T) C) C) •••(:)
in welcher die Glieder der aufeinander folgenden Spalten die Binomial-
koeffizienten
( ■). C> 0' 0' ■ ■ •
für i = 0, 1, 2, 3, 4, . . .
darstellen, so kommt den Zahlen dieser Tafel offenbar die gleiche
charakteristische Eigenschaft zu, wie den Zahlen der Tafel I: jede
von ihnen ist die Summe aus der über ihr und der neben
dieser links stehenden Zahl. Das so sich bildende Zahlendreieck,
in welchem die einzelnen Horizontalreihen die Binomialkoeffizienten
der aufeinander folgenden Potenzen enthalten, wird das Pascalsche
Dreieck genannt. Entsprechend der Formel (18) wird jede
Zahl dieses Dreiecks, da das Anfangsglied in jeder Spalte
gleich Null ist, gleich der Summe der in der links be-
Pascalsches Dreieck. 13
naclibarten Spalte ihr voraufgeliendeii Zahlen, nämlicli all-
gemein [vgl. (19 a)]
(26) (r)=(.!>C.)+(.-0+-+(r.^)
sein. Summiert man andererseits die Gleichungen, welche aus (25b)
füj. /i = 1^ 2, . . ., 7)1+1 hervorgehen, so findet man ohne Mühe die
Beziehung
2[i+(T)-.(:)+...+(:;)j=i+r+vrr)+-+(::i:D'
d. h. die Summe aller Glieder in einer Horizontalreihe des
Pascalschen Dreiecks ist doppelt so groß, wie die Summe
aller Glieder in der nächst vorhergehenden. Da nun diese
Summe für die zweite Horizontalreihe gleich 2^ ist, so findet sich
allgemein die Gleichung
(26a) i + (») + (») + ...+(;;;) = 2™,
welche auch unmittelbar aus der binomischen Entwickelung (24) her-
vorgeht, wenn darin für x die Einheit gesetzt wird. Da dieselbe
Entwickelung, wenn x = — 1 gesetzt wird, die Gleichung
(26b) i_(';) + (»)-...+ (-i)».(:) = o
ergibt, so finden sich durch Verbindung mit der vorigen die beiden
anderen:
(26e) 1 + (:) + (!)+•••= 2»-'
(26d) (':)+(:)+(:)+■• =2".-.
Bildet man dagegen aus (25b) die folgende Reihe entsprechender
Gleichungen:
/m - 2\ /m - 2\ _ /w - 1 \
U-2/"^U-3/~\/f-2;
um sie zur Gleichung (25b) zu addieren, so ergibt sich die Formel
(27) i+r''yrn-^-+('r-i)H:HT)'
14 Additiv gebildete Zahlen.
d. h. der Satz: Jede Zahl im Pascalsclieii Dreiecke ist gleicli
der Summe der Zahlen, welche die von der voraufgehenden
Zahl der gleichen Spalte aus nach links aufsteigende
Parallele zur Hypotenuse repräsentieren. Z. B. ist
10 = 6 + 3 + 1, 10 = 4 + 3 + 2+1.
4. Kehren wir noch einmal zu den Differenzreihen zurück. Aus
ö^i = « + A^^^ a, «2 = «i + A^^^ a^
findet sich wegen A^^) a^ = A^^^ a + A^^) a die Gleichung
a2=a + 2A(i)a + A(^)a;
aus der entsprechenden Gleichung
«3=«!+ 2AWai+ A(2)ai
kommt weiter, wenn man bemerkt, daß A^^^ a^ = A^^) a + A(^) a ist,
a.^=a + 3 AW a + 3 A(2) a + A^^) a.
Diese Formeln für a^, «2? ^3 lassen ein gemeinsames Gesetz erkennen,
welches für a,- den Ausdruck ergeben würde:
(28) a,.= a + (;').AWa+ (;)-A(^)a+. ..+ (*'). A(%;
durch allgemeine Induktion läßt es sich beweisen. Denn, setzt man
entsprechend
und bemerkt, daß allgemein A^") a^ = A^a + A^" + ^)a ist, so kommt
«..+,= « + ((;)+ l)-A(')a + ((;) + (;)).A(^)a+...+ (^)-A*+%,
d. h. der Beziehung (25 b) zufolge
«,+: = « + f + ').Aa)a + f+').A<«)a+...+ (!'+J)-A>+ia,
das allgemeine Gesetz ist mithin bestätigt, da es für die ersten Werte
1, 2, 3 des Index i bereits festgestellt worden war. Man kann dies
Gesetz in symbolischer Form einfacher schreiben, wie folgt:
(28 a) a,= (l + Aay«),
wo zur Rechten die ^*^ Potenz des Binoms 1 + Aa entwickelt, dann
aber für (Aa)" die Differenz A(")a, für 1 = (Aa)^ aber a zu denken
ist. Nach diesem Gesetze läßt sich also jedes Glied der betrachteten
Zahlenreihe (11) aus dem Anfangsgliede der Reihe und den Anfangs-
gliedern ihrer verschiedenen Differenzreihen bilden.
Symbolische Form der Diiferenzen. 15
Umgekelirt folgt aus
die Gleichung
und, wenn diese mit der gleichgebildeten
«3 — 2a2 -f «1 = A^) a^
verbunden wird, die folgende Gleichung:
(lg — 3^2 + 3«! — a = A(3)(X.
Auch diese Formeln geben ein allgemeines Gesetz zu erkennen,
welches für A^^a den Ausdruck liefern würde:
(29) A»a = rt,- (^).a,_i + (;)•«,_, — ■ •+ (- ly-a,
ein Gesetz, das wieder durch allgemeine Induktion als gültig zu er-
weisen ist. In der Tat ergibt sich daraus durch Verbindung mit dem
entsprechend gebildeten Ausdrucke
A(')a,= a,^i-(^')-a,+ (*).a,-i-..-+(-iy.a,
die Gleichung
d. h. wegen (25b) einfacher
A(.+ "a = a,+i-f +!).„,+ f + ')-a,._i---+(- !)<+' -a,
mithin gilt die Formel (29), wenn sie bis zum Index i gilt, auch noch
für den Index i + 1, und da sie für seine ersten Werte schon fest-
gestellt worden ist, allgemein. Auch hier kann der Formel (29)
ein einfacherer Ausdruck in symbolischer Bezeichnung ge-
geben werden, wie folgt:
(29 a) A«« = (a- 1)«
wo zur Rechten die Entwickelung von (a — 1)', in derselben aber
statt jeder Potenz a" das Glied a^,, für 1 = a° aber das Glied a zu
denken ist.
Bedenkt man ferner, daß die Zahlenreihe (11) die erste Differenz-
reihe für die erste Summenreihe ist, so liefert die Formel (28) sogleich
diese neue:
(1) (1) . .. , ...
2'«,- =2'« +(;)•«+ (;) ■ a«« +•■•+(:.)• ac-%.
16 Additiv gebildete Zahlen.
Wenn also wieder
Sn = a + a^+ a^+ \- ün-i
gesetzt und die Formel (18 a) berücksichtigt wird, so ergibt sich aus
der voraufgehenden Gleichung für i = w die Beziehung:
(30) &=(;).« + (;) . A<')a + Q) . A.% + ■••+(:)• A("-%,
eine Formel, zu der man von (28) aus auch gelangen kann, wenn
man letztere Formel für i = 0, 1, 2, 3, . . ., n ~1 aufstellt, und die
so entstehenden Gleichungen mit Rücksicht auf die Formeln (21)
addiert.
5. Ist nun die Reihe (11) z. B. die Reihe der Potenzen
(31) P, 2\ Z", 4', . . .,
WO h eine positive ganze Zahl, so daß ai = (i + 1)^ ist, so ergibt sich
der binomischen Entwicklung zufolge
(32) AW«, = (5.(i + l)^-i + g).(»+l)*-2+... + (^.^J.(i+l)+l.
Da also beim Übergange von a,- zur ersten DijßPerenz A^^^a,- die höchste
der auftretenden Potenzen von ^ + 1 einen um eine Einheit geringeren
Exponenten hat wie a«, so wird dieser Exponent beim Fortgange
zu den folgenden Differenzen sich jedesmal wieder um eine Einheit
verringern, in A^'^^ai wird also ^ + 1 überhaupt nicht mehr vorhanden
und daher diese Differenz vom Index des Gliedes unabhängig sein;
in der Tat findet man leicht
(33) AWa, ==lcQc-l)(k-2)--3-2 • 1.
Sonach besteht die ¥^ Differenzreihe aus gleichen, von Null ver-
schiedenen Zahlen, und die k + 1*® ist die erste Differenzreihe, welche
aus Nullen besteht; die Reihe der Potenzen (31) ist mithin eine
arithmetische Reihe h^^"^ Ordnung. Aus dieser Ursache nimmt daher
die der Reihe (31) entsprechende Summenformel (30), wenn
(34) SJ'^ = p + 2^ 4- 3^ + • • • + >^'-
gesetzt wird, folgende Gestalt an:
(35) S„.,= Q + Q.Aa) + Q).A..+...+(^;j.A<-
unter A^^), A(^\ . . ., A^*) werden die Anfangsglieder der aufeinander folgen-
den Differenzreihen der Reihe (31) verstanden. Die in der Formel auf-
tretenden Binomialkoeffizienten sind aber in bezug auf n ganze
Funktionen resp. vom 1*^", 2*^^, . . ., 7c + l*®"" Grade mit rational ge-
brochenen Koeffizienten und sämtlich algebraisch teilbar durch n.
Die Summen Sß).
17
Demnach läßt sich die vorige Formel für die Summe der Jc^^^ Po-
tenzen der ersten n Zahlen auch folgendermaßen schreiben:
(36) >S„W = Cq • /^^■+l + Ci • w* + C2 • n*-i + h Ck • n
und es erübrigt nur die nähere Bestimmung der Koeffizienten.
Für die ersten Werte des Exponenten h ist diese Aufgabe nicht
schwer zu lösen. In (21) und (22) fanden wir bereits:
n{n-\-l)
5„(i) = 1 + 2 + 3+. ..-f»^
5„(2) = 12_^ 2^+ 32+ • . • + n'-
12 '
n(n-fl)(2n-f 1)
1- 2-3
Da nun
ist, so findet sich
d. i.:
(37)
(n-l)n _J n{n^l)
12
1-2
^3_ (w-l)n-(n-l-l) (n-l)n
1- 2
12
, (M-l)n(n + l) , n(n + l)
12
1-2
.3_g^(n-l)n(n + l)_^^^
12-3
mithin mittels der Formeln (21) sogleich
o (3) _ ß (n-l)n{n-\-l)(ni-2) n{n + l)
" 12 -3. 4 "^ 1-2 *
Aus (37) bildet man in ähnlicher Weise:
,,4_g^ (n-l)n(n + l)(n + 2) (n-l)n(n+l) , ^^,
1-2-3-4 ^^' 1.2-3 "^^^
woraus mittels der Formeln (21) und (22) die Gleichung:
>S.W=24-
(n - 1) n {n + 1) (n -f- 2) (n -f 3)
1-2-3-4-5
12.^
4-
(m - 1) n (m + 1) (m + 2)
1 2-3-4
?^(n-f-l^ (2n-f-l)
1-2-3
hervorgeht; usw. Entwickelt man aber die gefundenen Ausdrücke
nach den Potenzen von n, so gewinnt man die gesuchten Gleichungen
&W==|/^2+i^^
(38)
30
Bachmann, niedere Zahlentheorie. II.
18 Additiv gebildete Zahlen.
aus denen man für die allgemeine Formel (36) einstweilen nur die
Werte der beiden ersten Koeffizienten Cq = tttt' ^i == ir mutmaßen
kann. Bevor wir zu dieser allgemeinen Formel zurückkehren, leiten
wir ein paar interessante Beziehungen zwischen den Potenzsummen
verschiedener Grade her, die sich hier darbieten.
Aus der Formel
n{n + l) = 2-Sn^^)
ergibt sich, wenn das Produkt zur Linken in der Form
((«-l) + l).((« + 2)-l)
1)-
geschrieben
wird,
*■
Da zudem
{n
-l)(« + 2) =
2-(Ä„w
(39)
(2» + l)-S„m
= 3-S„(
(2)
gefunden wird, so nehmen die Formeln für Sn^^^ und SJ^^^ ohne Mühe
die Gestalt an:
(40) Sn^'^=={Sn^^^y, Vgl. Formel (10);
(41) Ä(^) = i [{4n + 2) (Sn^^)y - SJ')l
welch letztere Formel sich einfacher schreiben läßt, wie folgt:
(41a) S„» = ~S„(2)(6Ä,(')-1)
oder auch so:
(41 b) S,W = i-^ + S„<« ) • Ä„<^> .
Diese Beziehungen zwischen den Potenzsummen verschiedener Grade
sind schon lange bekannt; die Formel (41) sprach Fermat in einem
Briefe an Böberval (4. November 1636) aus, doch wurde die gleich-
bedeutende Formel (41b) schon vor ihm von Bjamchid hen Mas'oud
(nach einem Manuskripte des British Museum i. J, 1589) gegeben.
Noch älter ist die den Indern zugeschriebene Formel (40). Älkarchi
(um 1010) bewies sie nach einer sehr eleganten geometrischen Methode,
deren Prinzip von E. Lucas zu weiteren Resultaten ausgebeutet ist.
Denkt man nämlich untereinander geschrieben die Reihe der natürlichen
Zahlen, das doppelte derselben, das dreifache, vierfache usw., und
bildet die Quadrate zu 1, 4, 9, 16, 25 . . . dieser Zahlen, wie bei-
stehende Tafel es zeigt:
Sätze von Alkarchi, Jacobi, Lucas.
Tafel IIL
19
1
2
3
4
5
6
.
2 4
6
8
10
12
.
31 6| 9
12
15
18
4 8
12J16
20
24
.
5 lOjlö
20
25
30
6 jl2!l8
24! 30 36
.
•
. 1
. !
.
so beträgt allgemein die Summe der Zahlen, um welche das der
Zahl n entsprechende Quadrat das der Zahl n — 1 entsprechende
übertrifft,
(42) 2 (1 + 2 -f- 3 +• • H- w) ?i - n^=n^
und somit wird die Summe aller Zahlen, welche in dem der Zahl n
entsprechenden Quadrate enthalten sind, gleich Sn^^^ sein. Addiert
man diese Zahlen aber nach Horizontalreihen, so erhält man als Summe
(1 + 2 + 3 +. . . + n)-{l + 2 + 3 + • • • 4- ?^) = (>Sf„W)2
und mithin die Gleichung (40). Denkt man sich, um die Betrachtungs-
weise von ÄlJcarcJu an die Stelle der rein arithmetischen zu setzen,
ein Quadrat mit der Seite
1 + 2 + 3+.-. + •/^
in die Quadrate mit den Seiten
1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, ... 1 + 2+.. .+ (.^-1), l + 2+...+ ,^
zerlegt, so bezeichnet der Ausdruck (42) den Inhalt des Flächen-
stücks zwischen den zwei letztgenannten, und hiernach wird ersicht-
lich der Inhalt des gesamten Quadrates, nämlich
gleich der Summe
wofür auch
(l + 2 + 3+...+ ,^)2,
+ (w- l)3 + ...+ 3^+2^+ V,
l'+23+33 + ...+ ;^3
gesetzt werden darf.
Wenn man aber mit Lucas in der Tafel die Quadratzahlen statt
der Zahlen selbst gesetzt denkt, so gibt die gleiche Betrachtung
statt des Ausdrucks (42) den folgenden:
20 Additiv gebildete Zahlen.
also als Summe aller in dem der Zahl n entsprechenden Quadrate
enthaltenen Zahlen den Ausdruck
Da dieselbe Summe andererseits aber {SrP''>y ist, so geht die neue
Beziehung
(43) 2Sn^^)-\-SrP^==^-{SrP^Y
hervor.
Werden ferner statt der Quadratzahlen die Kubikzahlen gesetzt,
so erhält man an Stelle des Ausdrucks (42) den folgenden:
2 (13 + 23 + . . . + »^3) .>^3 _ n^ = i^' ^ i^5^
als Summe aller Zahlen in dem gedachten Quadrate, welche offen-
bar {SrP'^y ist, also den Ausdruck
und somit durch Vergleichung die Beziehung
(44) SrP) + &(5)= 2-(,S«(3))2= 2.(&W)^
eine Formel, die zuerst von Jacöbi (Briefwechsel zwischen Gauss und
Schumacher, herausg. von Peters, Altena 1863, 5, S. 299) gegeben
worden ist.
Diese Betrachtung kann beliebig fortgesetzt werden und ergibt
z. B. mit Rücksicht auf die letzte der Formeln (38) beim Übergang
zu den Biquadraten der natürlichen Zahlen in obiger Tafel die weitere
Gleichung
(45) 6&(9) + 10&(^) - &(^) = 15-(&(^))^
usw. fort.
6. Zur Formel (36) zurückkehrend führen wir nun statt der Ko-
effizienten Cq, q, C2, ..., Ck andere, mit h^, \, hf-y ^k bezeichnete
ein, indem wir setzen
(46) (fe+l)-S„W
So läßt sich der Formel die bequeme symbolische Form geben:
(46a) {l + 1)-&W = {n + &)(^+^> - h+u
wo man nach Entwickelung der binomischen Potenz (n -f &)^+^ statt
¥ den Koeffizienten h, insbesondere statt W=l den Koeffizienten \
zu setzen hat. Schreibt man hier w + 1 statt n und subtrahiert die
Formel (46 a) von der so entstehenden, so kommt als Differenz zur
\2
Der allgemeine Ausdruck für S^(^). 21
Linken (Je -\- l)-(w + 1)*, während die Differenz zur Rechten sich
schreiben läßt, wie folgt:
((w + 1) + h}'-^'^ - (w + &)(*+'\
oder auch, da die Entwickelung des subtraktiven Gliedes offenbar mit
derjenigen von
{(n +!) + (&- l))(*+i)
übereinstimmt, so:
{(n + 1) + &)<*+'> - {(n + !) + (&- 1))(*+^),
so daß die Gleichung hervorgeht:
(47) (Je + l)-{n + 1)* = ((n + 1) + &)(*+i) - ((« + 1) + (p- 1)}'+ '\
Wird diese aber nach Potenzen von n -{• 1 entwickelt und die
Koeffizienten derselben Potenzen rechts und links einander verglichen,
so findet sich
S + l=f+^).(6^_(6-l)a)),
d.h.
(48) 1 = b„
für jeden Index i > 1 aber die Gleichung
0 = 6,-(6-l)(0,
(49) (;).6._.-(;).^._.,+ (;)..,_,-. .M-iy-G:,)-^
^ ^ ^ +(-l>+'.6,= 0.
Insbesondere wird
(50) 6, = i.
Die erhaltene Rekursionsformel für die Koeffizienten 5,- läßt die
wichtige Tatsache erkennen, daß deren Wert von dem Grade Ic der
Potenzsummen /S^W ganz unabhängig und nur durch den ihnen selbst
eigenen Index i bestimmt ist, daß mithin, wenn Je in jfe + 1 ver-
wandelt wird, die Gleichung (46) durch die folgende zu ersetzen ist:
(Ä; + 2)-S„(*+«
wo die Koeffizienten &^j, \y . . ., hk dieselben sind wie in (46) und
nur ein neuer Koeffizient &i+i hinzutritt.
Leicht übersieht man auch, daß die Koeffizienten &,-, deren Index
ungerade und größer als Eins ist, verschwinden. Aus (46) folgt
nämlich für w = 1,
22 Additiv gebildete Zahlen.
(51) Ä + l==6„+f+^)6,+ f+^)6,+...+ g + ;)6,_,+ ff)^,
ist, während die Rekursionsformel für i = h -\- 1 die Gleichung ergibt:
aus deren Subtraktion von der vorigen die folgende, für jeden
positiven ganzen Wert von Je gültige:
hervorgeht. Da nun der Binomialkoeffizient ( t^ ) verschwindet,
wenn /i > /^ + 1 , so findet sich aus dieser Gleichung für h = 2 der
Wert &3 == 0, also für k = A der Wert h^ = 0, also für h = ß der
Wert ?>7 = 0, usw., also allgemein:
(52) &2.-i==0 (2^-l>l).
Indem nun noch
(53) 6,,= (_l).+i.B.
gesetzt wird, sind die Zahlen Bi die sogenannten Ber7ioullischen
Zahlen, und die allgemeine Formel (46) nimmt schließlich
folgende Gestalt an:
(54) SJ")
Da jene Formel nur bis zum Gliede ( T ) ^^^ fortschreitet, so
wird, wenn Ic gerade, h = 2j ist, das letzte Glied dieser Gleichung:
dagegen, wenn h ungerade. Je = 2 j + 1 ist, das folgende:
sein, die ganze Summe in diesem Falle also mit der zweiten Potenz
von n schließen.
7. Die so gefundene Formel gestattet zunächst, die allgemeine
Gleichung hinzuschreiben, zu welcher die weitere Fortsetzung der
Methode von ATJmrcJii führt und in welcher mithin die durch sie ge-
fundenen Beziehungen der Nr. 5 enthalten sind. Da nämlich zu-
folge (54):
Formeln von Stern und Lampe. 23
gesetzt werden kann, so ergibt sich allgemein nach den obigen
Betrachtungen:
(55) (S»-)^ = ;^-Ä<"+"+(i')--BrS.<"-"-(3)-^-S,/-*-" + --v
eine Formel, welche man nach der kurz zuvor gemachten Bemerkung
nur bis (7. _^) bzw. (7. _o); J® nachdem Je gerade oder ungerade ist,
fortzusetzen hat.
Die Formeln (40) und (44) lassen eine Verallgemeinerung in
anderer Richtung zu, welche wohl zuerst von Stern angegeben, dann
aber von Lampe aus einer noch allgemeineren Quelle gewonnen worden
ist (s. Journ. f. r. u. a. Math. 84, S. 216 und 270). Nach (54) ist die
Differenz : (^^(,) y _ ^g^)_ ^y^
da Sn—i = SrS^\—n ist, gleich dem nachstehenden Ausdrucke:
welchem man, wenn
gesetzt wird, die folgenden Formen geben kann:
^.^^ {fin)+^nf-{f(n)-^nf
= 2{(7)/(«)'»-i.|«'- + (^')-/-(«)'»-^-{»'^- +...]■
Der letzte Ausdruck besteht aus Gliedern von der Form
während f(n)'^-~^—'^ seinerseits nach dem polynomischen Lehrsatze
nur Potenzen von n enthält wie die folgende:
>e«(^+i)+.^(^— i)-f y(i— 3)+- • •,
wo cc + ß -{- y -{ = m — 2h — 1 ist. Da diese Potenz also auch in
der Form ^^..(Ä+i)-(2A+i)i_2^-i
geschrieben werden kann, so enthält (57) und folglich auch der Aus-
druck (56), in welchem die Klammern nur bis zur Potenz ?2"»(*+i)
24 Additiv gebildete Zahlen.
aufsteigen, die in ihrer Differenz sich hebt, selbst nur Potenzen
von der Form ^^(ä_I_i)_2^_i
und ist daher von nachstehender Gestalt:
(58) (Ä„W)"»- (/Sl*ii)"» = ^,w"»(*+i)-i+ J.2^"»(^+i)-3 4....
Aus der so erhaltenen Gleichung findet man, indem man n= 1, 2, 3,. . .
setzt und die entstehenden Gleichungen bis zur Formel (58) hin
addiert, diese andere:
(59) (&*)- == ^i->S>(*+i)-i) 4. j[2.;S>(*+i)-3) + ^3.ä>(*+i)-5)h- . . .
Wie die Herleitung der Formel (58) erweist, kann man der letzteren
Gleichung offenbar einen symbolischen Ausdruck geben, wie folgt:
wenn man übereinkommt, in der Entwickelung der Klammern nach
Potenzen von Sn die Exponenten der Potenzen als obere Indizes zu
schreiben. Dies ist die allgemeine von Lampe gegebene
Formel; für lc=l, für welchen Wert schon die Glieder mit ( )
wegzulassen sind, liefert sie die folgende:
deren Entwickelung in der angegebenen Weise sofort die Sterns che
Verallgemeinerung der Formeln (40) und (44), nämlich die
Gleichung
(60) 2--i.(5„W)- = (7)-6f„^2--i) + (3).Ä/2--3)+^^).5^(2«-5)_^. .
ergibt. Es ist leicht, sie mit Stern mittels allgemeiner Induktion zu
bestätigen. Offenbar besteht sie nämlich, wenn n == 1 gedacht wird,
da sie alsdann mit der Gleichung (26 d)
^--^cn +(:)+(:)+
übereinstimmt. Nehmen wir also an, sie bestehe bereits bis zu einem
Werte >^ > 1, und beweisen dann ihre Gültigkeit auch für w + 1; so
gilt sie allgemein. Nun ist aber:
2»-i-[(S?'+x)'» - (-?„«)•"] = ^^^^•((» + 2)-» - n-).
Sxmime der Ä:ten Potenzen der ungeraden Zahlen. 25
Schreibt man diese Formel in der Gestalt:
= 2"-i-(S„»>)'" + ^^^ (((« + 1) + l)""- {in + 1) - l)"),
SO findet sich mit Rücksicht auf die vorausgesetzte Gleichung (60)
die rechte Seite gleich
(7) •S„(*"'-^' + (3) .s»(^"-^> + (5) •s„(^"-^' + • ■ •
+ (7) •(« + iy™-l + (»).(„ + l)2»-3 + (»y (,j + l)2m-» + . . .,
mithin
wie zu beweisen war.
8. Aus der Formel (54) entnimmt man nun auch leicht
die Summe der Ä;*^^ Potenzen aller ungeraden Zahlen bis zu
einer gegebenen Grenze.^) Denn offenbar ist, wenn man zur Ab-
kürzung
(61) tS_i = 1*+ 3'-+ 5'+. . ■+ (2w - 1)*
schreibt,
S</] = 2'?^_i+2*.S„W,
woraus in der symbolischen Schreibweise der Formel (46a) die Be-
ziehung hervorgeht:
(fc + l)-2'?i_i = (2« + 6)»+i) - 6^+1
-|-(2>« + 26)<*+i)+2*-6*+i,
oder noct einfacher
(62) {k + l)-rS_i = (211 + |3)(*+« - ft+i,
wenn man setzt:
(63) /5,.= (l-2'-).6.
i = 0, 1, 2, 3, . . .
Dieser Formel zufolge ist mit Hinsicht auf die Definition der BemouUi-
schen Zahlen in (53):
(63a) ft,. = (-iy.(22'-'-l)5„
während
(63b) ß2i-i = 0
l) Siehe dazu auch Kap. 6 Xr. 13.
26 Additiv gebildete Zahlen.
ist, offenbar auch für 2i ~ 1 == l. Entwickelt läßt sich daher die
Formel (62) schreiben wie folgt:
(64) Tfi_i
A_^^i-+i_Q.2^-i^^7^^-i+ (^). 2^-3(23 _ 1)
wo die Fortsetzung der Formel in der gleichen Weise beschränkt ist
wie diejenige der Formel (54). Z. B. findet sich hiernach für h = 1
m Übereinstimmung mit (8 b):
(65) Ti»_i=n\
Für Je = 2 gibt die Formel den Wert
d h., da Bi=l)2 aus (49) gleich — gefunden wird (vgl. 22 a):
(66) -/2n-l = 1.2.3 —==[ 3 )'
Desgleichen findet sich für /c = 3 die Formel
Nennt man N diesen Wert von Tai— i, so besteht die Gleichung
aus welcher
also
2n - 1 =l/l/8ir+l + 1-1
erhalten wird. Diese Beziehung zwischen dem Werte der Kuben-
summe der ungeraden Zahlen und der Zahl, bis zu welcher sie aus-
gedehnt wird, gab bereits Ihn Älhannä, ein Zeitgenosse des Leonardo
von Pisa. Ihr zufolge bestimmen die positiven ganzen Zahlen N^
für welche der Ausdruck y^SN + 1 + 1 eine ungerade Zahl wird,
die Summe der aufeinander folgenden ungeraden Kubikzahlen bis zum
Kubus der besagten ungeraden Zahl einschließlich.
(k)
Bezeichnet man ferner mit 2 die Summe der abwechselnd positiv
2n
und negativ genommenen k^^"^ Potenzen der ungeraden und geraden
Zahlen von 1 bis 2n, setzt also:
Alternierende Potenzsummeu. 27
(k)
(67) 2= 1^ - 2^ + 3^- - 4* + • • • + (2?? - ly - (2ny,
SO findet sich sogleicli
mithin
(s + 1) -s
2n
= (2n + &)(*+!)- &,4-i- (2 1^ + 2&p+i)+ 2*+^.2>,-|.i
oder vereinfacht:
(68) (k + 1) -2= (2^i + yj'^'^ - n-fi;
2«
wenn gesetzt wird:
(^^^ .• = 0,1,2,3,..,,
mithin ^q= 0, ;^i = — &i = — 77, ^21—1 = 0, wenn ?' > 1, und:
(TO) r,, = (-iy.(2^'-i)£,.
Die Entwickelung der Formel (68) liefert daher die Gleichung:
(Ti) 2
= - 2^-V- (^■) -(2^- l)§-2^-^^^^-^+ (^"). (2^- 1)^2^
-(^■)-(2^-l)^2^-^^^-5 + ...,
nach welcher z. B.
(2)
2=-n(2n+ 1)
oder
r-_ 2' + ^'--A' + --+(2n-iy=n{2n-l)
ist, ein Resultat, das sich mittels der Formeln für Ä/-) und To'n-i
sogleich bestätigen läßt.
9. Man kann auch für eine beliebige arithmetische Reihe
a, a + d, a + 2d,. . ., a + (n — l)d
die Summe ihrer Glieder, die Summe von deren Quadraten, Kuben,
Biquadraten usw. bestimmen. Setzt man allojemein
28 Additiv gebildete Zahlen.
<?A= a^+ (a + dy^ {a H- 2^)*+-..+ {a -{- {n - l)d)\
so findet man mittels des binomischen Satzes
n — 1 .
t=i
(72a) <j,= »a* + (J)«'-i^Sll, + Qa*-^^;^«;,^, +. .+#.S<'1,
t=l
d.i
Man gewinnt aber eine andere Formel auf folgendem Wege. Die
Summe
^W = a* + (öt + 1)* + (a + 2)* + • • •+ (a + w^ - 1)*
läßt sich anordnen wie folgt:
öW ^aJ^j^ia^ df-\-{a-^2ä)^- • •+ (a + (^ - \)if
+ (a + !)* + (« + ^4- l)* + (a + 2c^4-iy + ---+(^ + (w-l)(?+l)*
4-(a + ^-l)*+(a + t? + c?-l)*+--H-(a + (w-l)^ + c^-l)*,
d.i.
(jW = ^, +2[(a + 0* + (a + ^ + i? +• • •+ (a + (w - 1) ^ + ^)*l
oder mit Hilfe des binomischen Satzes
.(1)
'Ä— 1
oder
(72b) «») = ff»+örÄ^ii + (l)<J*-rS^
Während die Formel (72 a) die gesuchte Summe 6u unmittelbar finden
läßt, ist die letzte Formel nur eine Rekursionsformel, durch welche
der Reihe nach jede der Zahlen (?j, ög? ^3? • . • <^ä eine aus der anderen
berechnet werden kann.
Handelt es sich insbesondere um die Summe
ö,= P+ (^ + 1)*+ {2d + !)* + •• •+ (in - \)d + l)^
so nehmen die Formeln (72a) und (72b) die Gestalt an:
Potenzsnmmen für arithmetische Reihen. 29
(72c) 6,=^n + [\)dS^U+[l)d'^^:ir-\--- + d^S^J:l^,
(72d) Ä= (?(?, + Q^,_i^iLi+(2>*-2Ä^ii + --- + (Jo-Ä?-i.
Da
^1) nd(nd + l)
^"d== 1:2
o(2) _ nd(nd-\-l){2nd-^l)
^nd— 1.2-3
ist, ergibt sich aus (72 d) der Reihe nach:
(72e) ^1 = ^ — ^ + ^'
was mit Formel (8) bis auf die Bezeichnung übereinstimmt; ferner:
(72f) ds, = «''M+i)(^"'^ + ^) _ .26,S'^l, - n^U
woraus
dann:
(72g) rfÖ3 = (!t^(ll±}lf _ 3^,S?li - 3ö, S^L, - n^U,
eine Beziehung, welche bereits Fermat bekannt gewesen ist (Brief an
Mersenne, oeuvres II, S. 63). Z. B. findet sich für d = 6, w = 4
5^1i=10, >S^;ii=30, ST-i-100,
nach (72 e)
^1=34,
nach (72f)
20-21. 41 ^ o. 5-4 . 4-5.9
oa, = — ^ 2.34— -4— g-
6, = 414,
endlich also nach (72 g)
'20-2l\2
5^3 = (^) -3 41410-3-34 30-4100,
(?3 = 5644.
Da
Äi'Li=6, Ä^Li=14, >Si'ii=36
ist, liefert die Formel (72c) unmittelbar
03= 4 + 3 5 6 + 3 25 14 + 125 36,
d. i. denselben Wert
a, = 5644.
30 Additiv gebildete Zahlen.
• 10. Die Zahlen Bi, welche als Bernoullische Zahlen bezeichnet
wurden, tragen ihren Namen von Jacob Bernoidli, der in seiner ars
conjectandi 1713 zuerst auf sie geführt worden ist. Seitdem sind sie
bei den mannigfachsten mathematischen Fragen aufgetreten und haben
so sehr zahlreiche Untersuchungen ihrer Eigenschaften veranlaßt.^)
Größtenteils sind diese von analytischer Bedeutung, entfallen also
dem Rahmen dieses Buches; wir werden uns darauf zu beschränken
haben, von ihrer zahlentheoretischen Beschaffenheit zu handeln.
Vor allem erinnern wir an die Formel (49), welche dazu dient,
diese Zahlen der Reihe nach zu berechnen. Mit Rücksicht auf die
Gleichungen (52), (53) gibt diese Formel, je nachdem man darin
i = 2n -\- 1 oder i = 2n -}- 2 wählt, die erste oder die zweite der
nachstehenden Rekursionsformeln, deren erste bereits von
Moivre (Miscellanea analytica, 1730), die andere von Jacohi (Journ.
f. r. u. a. Math. 12, 1834, S. 263) mitgeteilt worden ist:
^2n + l^^^_^2. + l^^_^^...^
(73a)
(73b)
Durch Subtraktion der ersten von der zweiten erhält man, wenn
man sich der allgemeinen Beziehung (25 b) zwischen Binomial-
koeffizienten erinnert, die folgende dritte, von Stern (Journ. f.
Math. 84, 1878, S. 267) angegebene Formel:
Setzt man in diesen Formeln für 7i nacheinander die Werte 1, 2, 3, . . .
ein, so gestatten sie, die aufeinander folgenden BernoulliBchen Zahlen
zu berechnen. Auf solche Weise hat bereits Euler (calc diff. II,
Kap. 5, § 122) die ersten 15, nach ihm Ohm (Journ. f Math. 20, S. 11)
die folgenden bis zur 31*®"", dann Adams (ebendas. 85, S. 269) die
weiteren bis zur 62*^^ berechnet. Wir geben nur die Werte der
ersten acht hier an:
(75)
^.=f
^2 = ^^
^3 = ^^
^^-w
^5=^'
^6 ~ 2730'
^7=6^
^ 3617
^8 - 510
l) Eine zusammenfassende Darstellung derselben findet man u. a. in L. Saalschütz'
trefflicher Monographie: Vorl. üb. die Bernoullischen Zahlen, Berlin 1893.
Die BernoulUschen Zahlen. 31
Außer den obigen drei einfachsten Rekursionsformeln hat man
eine sehr große Anzahl anderer der verschiedensten Art gefunden,
zudem die BernotiUischen Zahlen auch direkt durch verschiedene all-
gemeine Ausdrücke gebildet, doch bedürfen wir dieser Resultate für
die Zwecke nicht, die wir allein hier verfolgen. Dagegen sind zur
Herleitung mehrerer Sätze, die hierher gehören, aber bisher auf rein
arithmetische Weise nicht gewonnen werden konnten, einige einfache
analytische Betrachtungen erforderlich, mit deren Darstellung der An-
fang gemacht werden soll.
Die Funktion
X X
X e -\-e
F{x)
2
bleibt bei der Verwandlung von x in — x unverändert und nimmt
für X = 0 den Wert 1 an. Ihre Entwickelung nach Potenzen von x
kann mithin in die Form gresetzt werden:
X X
2 2
e —e
Aus dieser Gleichung ergibt sich, wenn ihre linke Seite durch den
ihr gleichen Ausdruck - — ^^ ersetzt und nun für e^ die bekannte
X
(77) '
Reihenentwickelung gesetzt wird, die folgende:
Vergleicht man hier aber beiderseits die Koeffizienten von x'''+^, so
ergibt sich sogleich die Beziehung
welche, mit (— 1)"-^ multipliziert und mit der Moiweschen Formel
(73a) verglichen, zur folgenden Gleichheit führt:
Dadurch nimmt dann die Gleichung (76) diese Gestalt an:
(79) ^/ +^ " = 1 I A;0;2_ -^2 4 I ^3
X'-
32 Additiv gebildete Zahlen.
und definiert also die Bernoullischen Zahlen analytisch als Ent-
wickelungskoeffizienten der mit F(x) bezeichneten Funktion. Nun
ist für jeden Wert von a, den wir indessen gleich als positive ganze
Zahl annehmen,
2 2
e ~ e
Daraus findet man ohne Mühe:
F(ßxi _ F{x)
X X
(80)
ax ax
^ dx ^ X X ~ dx ° .,3^ _ 1 2~
und folglich, wenn man die Entwickelung (79) benutzt, diese Gleichung:
e^^ — 1
Hier ist eine ejanze Funktion von e^ vom a —V^"^ Grade, also
der Differentialquotient zur Linken der vorigen Gleichung ein Bruch,
dessen Nenner gleich dieser Funktion, dessen Zähler ebenfalls eine
gewisse ganze und ganzzahlige Funktion von e^ ist. Wird noch
2n — 1 mal differenziert, so gilt für den Zähler das gleiche, während
der Nenner jetzt die 2n^^ Potenz der erstgenannten Funktion wird.
Setzt man daher alsdann x = 0, so wird der Zähler eine von a ab-
hängige ganze Zahl sein, welche G{a) heiße, während der Nenner, da
für X =^ 0 den Wert a erhält, gleich a^^ wird. Dieser Bruch
geteilt durch 1 • 2 • 3 • • • (2^ — 1), ist aber der Maclaurinschen
G{a)
^' . .
Reihenentwickelung zufolge nichts anderes als der Koeffizient von
^27^—1 [^ jgj. Entwickelung der zur Linken von (81) stehenden
Funktion und somit ffleich -^^ — ^ ^ ^ "^
Demnach besteht die Gleichheit:
(_ 1)^-1 5„(a2«_i) G{a)
^^^^ l-2.3...2n 1.2...(2n-l).a^'^
oder der Satz: Der Bruch
(S^) 2^
Sätze von Lipschitz und Kummer. 33
ist einer ganzen Zahl gleich, welche positive ganze Zahl a
auch bedeute.
Durch eine geringe Verallgemeinerung der vorigen Betrachtung
gewinnt Lipschitz (Journ. f. Math. 96, S. 3), dem wir diesen Satz
verdanken, noch den zweiten Satz:
Für je zwei positive ganze, relativ prime Zahlen a, h
ist der Ausdruck
(84) (a^"-l)(&^"-l)JBn
gleich einer ganzen Zahl.
11. Zu Ergebnissen anderen Charakters führt ein sehr all-
gemeiner Satz, welchen Kummer (Journ. f. Math. 41, S. 368) be-
wiesen hat, und welcher in etwas verallgemeinerter Form (nach
Stey-n, ebendas. 88, S. 90) folgendermaßen ausgesprochen werden kann:
Läßt sich eine Funktion f(x) in eine Reihe
(85) f(x) =^a, e^*(f' - ^'f
k = 0
entwickeln, in welcher sowohl die Koeffizienten ak als die
Exponenten q, r, s rationale Werte sind, deren Nenner eine
ungerade Primzahl p nicht als Faktor enthalten, und ist
andererseits:
(86) ;^(a;) = ^„ + ^..^+^,.^ + ...
ihre Entwickelung nach Potenzen von x, so besteht die Kon-
gruenz:
(87) Äm-Q'Äm+p-l + (^)'Äm + 2(p-l) 4-(-l)"-^m+«(p-l)
_ ^O(mod. p"),
sobald m > n.
Entwickelt man nämlich im allgemeinen Grliede der Reihe (85)
die Potenz (e^^ — e*^)*, so kann man schreiben:
woraus
Är.= f^-KO)=^^i-iy'Q'a,[Qc - h)r + hs + qjn
und folglich für den Ausdruck zur Linken in (87), der kurz Ä ge-
nannt werde, die Formel:
Bachmann, niedere Zahlentheorie. 11. 3
34 Additiv gebildete Zahlen.
hervorgellt. Setzt man nun in reduzierter Bruchform
Qc-}i)r + hs + q^'-^y
so ist nach der Voraussetzung N nicht teilbar durch p und das all-
gemeine Glied der Doppelsumme nimmt die Form an:
(-!)"(;)
2^jn-{-n{p—l)
wo nun entweder M oder nach dem JPerma^schen Satze Np ~ ^ — Mp ~ ^
durch p aufgeht. Sobald mithin m > w, geht der Zähler des vorigen
rationalen Ausdrucks sicher durch p^ auf, während sein Nenner durch
p nicht teilbar ist. Somit ist Ä selbst eine Reihe von Brüchen,
deren Zähler sämtlich durch p^j deren Nenner durch p nicht teilbar
sind, ein Resultat, welchem die Formel (87) Ausdruck geben will.
Wie man sich leicht überzeugt, läßt sich dem Kummerschen
Satze noch größere Allgemeinheit geben, indem die Kongruenz (87)
durch die folgende ersetzt werden darf:
(Sla^Äm—Lj 'Äm-{.{p — l)pi 4- {^j'Äm-^2{p—l)pi h (— 1)" '^m + fiCp — l)p«
^0 (mod. i)«(^+i)),
sobald m 5 '^^(ß + 1).
12. Wir wenden diesen allgemeinen Satz als auf ein erstes Bei-
spiel zunächst auf die Funktion:
fix) =
an, welche nach Potenzen von x entwickelt in die Form:
(88) ^(,,) = i_A^= + _A_^4___^__^.+ ...
gesetzt werden kann, eine Gleichung, aus der sich durch Vertauschung
von X mit x}/— 1 die andere:
(89) sec^ = l + ^^^+j:^^^+jJ^«^ + ---
ergibt. Die Zahlen Ei, welche hier als Entwickelungskoeffizienten
der Funktion secrr erscheinen, werden demgemäß Sekantenkoeffi-
zienten oder aber nach dem Vorgange von Raahe und ScJierJc auch
Eulersche Zahlen genannt. Wird die vorige Gleichung mit cosx
Die EuJerschen Zahlen (Sekantenkoeffizienten) JE.. 35
multipliziert und für die letztere Funktion ihre Reihe gesetzt und
darauf auf beiden Seiten die Koeffizienten von x-" miteinander ver-
glichen, so findet sich zur allmählichen Berechnung dieser
Zahlen nachstehende Rekursionsformel:
(90) E„ - (\«) .£„_, + {\")-En-2 •••+(- 1)"-' G«'! 2)-^i+(- 1)" =0,
aus der man sogleich erschließt, daß die Eitler sehen Zahlen
ganze Zahlen sind. Und zwar sind sie ungerade. Dies gilt
in der Tat für E^, für welche Zahl die Formel den Wert 1 ergibt;
nimmt man es nun schon als feststehend an bis zur Zahl En—i, so
schließt m'an aus der Rekursionsformel, indem man sie als eine Kon-
gruenz (mod. 2) auffaßt:
d. i. nach (26c) kongruent 2*"—^ — 1 = l(mod. 2), und somit ist dann
auch En ungerade, usw. — Frühzeitig hat man bemerkt, daß die
Eiderschen Zahlen abwechselnd mit der Ziffer 1 und 5 schließen 5
weitergehende auf ihre Endziffern bezügliche Bemerkungen machte
u. a. schon ScherJc, ganz besonders aber hat sie Stern in einer aus-
führlichen Arbeit (Journ. f. Math 79, S. 67) untersucht, indem er die
Eiderschen Zahlen zugleich mit anderen betrachtete, die, eng damit
verbunden, deshalb Eulersche Zahlen höherer Ordnung von ihm ge-
nannt worden sind und für welche ähnliche Sätze statthaben, wie für
die eigentlichen Eiderschen Zahlen. Hier beschränken wir uns allein
auf die letzteren und wollen, von einer Reihe besonderer Resultate
absehend, welche Stern ganz elementar aus ihrem Zusammenhange
mit den ersteren gewinnt, nur einen allgemeinen Satz herleiten, der
sich aus dem Kunwierschen Satze unmittelbar folgern läßt.
Setzt man nämlich
X X
e- — e~ ^ = z,
woraus ^ + e~' = z^ -\- 2 hervorgeht, so wird
die Funktion f{x) gestattet also eine Entwickelung von der Form
(85), in welcher die Exponenten 2' = 0, r = — ? s = — — sind, sowie die
Koeffizienten a^ nur den Primteiler 2 im Nenner haben. Mithin er-
gibt sich, da hier ^2£_i = 0, A^t = (— ly-Ei zu setzen ist, in bezug
auf jede ungerade Primzahl^ aus (87) für m = 2/a die Kongruenz:
3*
36 Additiv gebildete Zahlen
(91)
^.-(-i)'^'-(i)-£,.+--^+(-if'^'-(:)-^.+..^+'
sobald /i > ^-
Für w = 1 folgt hieraus die Beziehung
(92) (- 1)^ . E^+£=i = £^ (mod. p)
und daher allgemeiner
(93) {-ir^-E,+,.p=l = EA<^oä.p),
eine Formel, welche sich auch schreiben läßt, wie folgt:
(94) (- l)"'- E^. s (- 1)" • £^ (mod. p\
sobald ^' = /Lt (mod. ~ )•
Da jEi==1, findet sich aus (92) ^^ + i = (— 1) ^ und dann für
«4- 1 . ^
[i == ^—~ die Kongruenz Ep^ 1 (mod. p).
Benutzt man aber die in Formel (87a) ausgesprocheneVerallgemeine-
rung des -Kwmmerschen Satzes, so erhält man für n = 1 statt der Formel
(92) diese andere für jeden Wert von /i > -^^ gültige:
(92a) (- 1)^< E^+p^ ,< = E, (mod. p'+i),
aus welcher allgemeiner:
(93a) (- l)*'^<£^+i . i^^i = E^ (mod. !>•■+')
oder folgende Formel hervorgeht:
(94a) (- ly . E^' = (- ly . E^{mod.p^ + '),
sobald ii' ^ ^ (mod. j)' V
Die letztere Beziehung wurde von Sylvester mitgeteilt
(Paris, Comptes Rendus 52, S. 212), der jedoch dabei die für sie
durchaus notwendige Beschränkung /* > — ^ übersehen hat.
Nun gilt die bisher nur für die ungerade Primzahlpotenz p^ als
Modulus bewiesene Formel (91) auch für den Modulus 2". Um dies ]
zu zeigen, hat Stern die bisher angewandte KummerBche Betrachtung ]
Die Eulerechen Zahlen E.. 37
durch eine andere analoge ersetzt, welche zudem das Stattfinden jener
Formel (mod.j?") bestätigt. Wird nämlich
also
oder, da *""^
j^^J 1 • Ä • o • • fl
ist^
gesetzt, so wird
f(.'')(0) = (- i)™.^2(_i)».lM!^i±iIi^ÄA:ii} .2'(/» + Jt)».
h k
Wählt man nun wieder 7n = 2^ und beachtet die Beziehungen:
/•(2.--i)(o) = Au-1 = 0, /•(20(o) = ^2, = (- ly .E,,
so erhält man für den zur Linken in der Kongruenz (91) stehenden
Ausdruck folgende Summe:
h k
In dieser ist aber entweder h + h oder 1 — Qi -{- Jc)p-^ teilbar durch
p und ebenso eine dieser beiden Größen teilbar durch 2, und somit
ist jedes Glied teilbar sowohl durch ^" als durch 2", sobald 2^^ n
angenommen wird. Alsdann zeigt sich also die Kongruenz (91) so-
wohl (mod.^") als auch (mod. 2") und daher auch (mod. 2"p") erfüllt.
(Das Bedenkliche, was bei diesen Beweisführungen in der Benutzung
der unendlichen Ausdrücke, namentlich des letzten für /"("») (0) liegen
mag, soll nicht verschwiegen werden.)
Wird insbesondere ^ = 5 gewählt, so findet sich hiernach
folgendes Resultat:
Sobald /* > Y ist, hat man
(95) ^,u-(^).^^+2+(2)-^^+.— •• + (-l)"-^u+2n=0(mod.lO^).
Denkt man sich nun die aus den Eulerschen Zahlen, deren Indizes
gleiche Parität haben, also entweder sämtlich ungerade oder sämt-
lich gerade sind, zusammengesetzten Zahlenreihen:
38 Additiv gebildete Zahlen.
^17 ^3f ^b7 ^11"
(96)
E^y E^, Eqj E^, . . .
und entnimmt der einen oder der anderen die Reihe:
E^^y E/u^2j -E>*+4, E/u+ß, . . .f
so stellt der Ausdruck, welcher die linke Seite der Kongruenz (95) bildet,
der Formel (29) zufolge die w*^ Differenz (— 1)" • A(") E^u dar; demnach
spricht die Kongruenz (95) folgenden von Stern (a. a. 0.) gegebenen
Satz aus: die beiden Reihen (96) haben die Eigenschaft,
daß spätestens in ihrer w*®^ Differenzreihe alle Glieder,
deren Index > — ist, mit wenigstens n Nullen endigen.
Da sich insbesondere für n = 1 hieraus ergibt, daß in der ersten
Differenzreihe jeder der beiden Reihen (96) sämtliche Glieder mit
Null schließen, so haben alle Glieder der ersten Reihe (96) die gleiche
Endziffer wie E^j d. h. die Endziffer 1, und alle Glieder der zweiten
Reihe (96) die gleiche Endziffer wie E2J d. h., da man aus (90) E^
selbst gleich 5 findet, die Endziffer 5: eine schon vorher erwähnte
Tatsache.
13. Ein anderes Beispiel für den Kummerschen Satz entnehmen
wir einer Abhandlung von Stern im Journ. f. Math. 88, S. 85.
Aus der Identität: .
findet sich, wenn wieder F(x) die gleichbezeichnete Funktion der
Nr. 10 bedeutet,
Setzt man daher die ungerade Funktion:
^^'^^ e^_|.e-^ = ^r r ~" ^2* 17^ + ^3- 1.2.3-4.5 '
so folgt mit Rücksicht auf (80):
■^1' 1 ^2* 1.2.3 "^ ^3- 1.2.3 4-5
1-2 1.2.3.4 "^1-2. 3. 4. 5. 6
Die Tangentenkoeffizienten T^. 39
mithin zwischen den Entwickelungskoeffizienten Ti und den Bernoulli'
sehen Zahlen folgende Beziehung:
(98) T, = !Ü(!!i^.
Dem Satze von LipscliiU zufolge, den wir in Nr. 10 fanden,
sind diese Entwickelungskoeffizienten Ti ganze Zahlen, für
welche nun ein ähnliches Resultat abgeleitet werden soll, wie wir
für die EiderBohen Zahlen gewannen. Man setze
Da dieser Ausdruck mit 1 identisch ist, findet sich
sogleich: '
(99) ,,(.) = i_r,.f + r,.j^-2'3T:^^,+ ---
Da aber andererseits auch
/ X x\5
also:
/ X x\2 I X x\4
gesetzt werden kann, so erfüllt diese Funktion die Bedingungen des
JSTwwmerschen Satzes mit Bezug auf jede ungerade Primzahl ^j, und
folglich besteht, da hier A^^\, ^2t = 0, ^2i-i = (— 1)' • ^,- ist, die
aus (87) für m = 2/i — 1 hervorgehende Kongruenz:
^'.-(-1)'^ (:)!:„+.- + (- i)-^-=iQ)r„+,..--...
(100)
\n-\-n
.+ (-l)"-^"-— .T„+„.^jzi = 0 (mod.p"),
sobald /t > — 2 — Die linke Seite dieser Kongruenz nimmt aber durch
Einsetzen der Werte (98) für die Ti folgende Gestalt an:
22''-2. r2.(22/'-l):^ - (-1) 2 ■(")2y-'-2(22"+i— '-1)— ^
(101)
+ (_ ly -^ f«) 2^(p-». 2 (2^"+«"-«- 1) "+'V
+ ...}
40 Additiv gebildete Zahlen.
Nun werden wir bald den Nachweis führen (s. Nr. 18), daß der
Ausdruck :
(102) 2-(2''-l)Bi
einer ganzen Zahl gleich ist. Da wegen (98) von dem Quotienten
i
dasselbe gilt, so muß, sooft i ungerade ist, auch
i
ganzzahlig sein. Beschränken wir uns daher jetzt auf die Voraus-
setzung, daß /A ungerade, aber ^-s— gerade, d. i. p von der Form
4/i + 1 sei, so steht in der Klammer des Ausdrucks (101) eine ganze
Zahl und der Ausdruck selbst, d. h. die linke Seite der Kongruenz
(100) ist teilbar durch 2^^-^ und folglich durch 2", sobald ^ als
eine ungerade Zahl > ^^^^ gedacht wird. Alsdann besteht daher
diese Kongruenz auch (mod. 2"j)"). Wählt man insbesondere i? = 5,
so wird:
(103) T^ - Q) T^ ^.2 + (3 2*^+4 + (- 1)" ^,.+2« = 0 (mod. 10")
für jede ungerade Zahl /i > — ^- Hier ist aber der Ausdruck zur
Linken das Glied (— l)'* • ^(") T^ in der w*®^ Differenzreihe der Zahlenreihe
(104) T„ T„ T„ T, . . .,
nnd somit besteht der Satz: Die Zahlenreihe (104) hat die Eigen-
schaft, daß spätestens in ihrer w*®^ Differenzreihe alle Glieder,
deren Index > "—^ ist, mit wenigstens n Nullen schließen.
Ein entsprechender Satz gilt für die Zahlenreihe
-^2^ -^4; -^6) -^8? • • • ;
doch soll mit Bezug auf seine Herleitung der Kürze wegen auf die
genannte Stern^Q\iQ Arbeit, in der er sich findet, verwiesen werden.
14. Um endlich auf die BernouHim\iQB. Zahlen zurückzukommen,
betrachten wir, unter a eine positive ganze Zahl verstehend, wieder
die Funktion
F{ax) _ F(^ _ F{ax) __ F{x)
XX ax X
deren Entwickelung als Potenzreihe in (81) vorliegt. Man kann ihr
aber auch folgenden Ausdruck geben:
Kummersche Kongruenzen für Bernoullieche Zahlen. 41
a e'^'+l _ J. e^' + l _ a-1 , __a 1
oder, wenn e^ — 1 = ^ gesetzt wird, diesen anderen:
g-l l + aü-(l + gf
in dessen zweitem Teile der Faktor s^ aus Zähler und Nenner sich
hebt und dann der gesamte Ausdruck eine Entwickelung nach Potenzen
von Sj d. i. von e* — 1 zuläßt, welche mit Bezug auf jede ungerade
Primzahl p, durch welche a nicht teilbar ist, die Bedingungen
des Kummer sehen Satzes erfüllt. Da wegen (81) hier A^i = 0,
A^i—i = (— 1)'~^ • ■^. ^ zu setzen ist, so nimmt die Kongruenz (87),
wenn m = 2/i — 1 gewählt wird, die Gestalt an:
(105) ^^^^-(-i)^-(:)-\ .,J-: '
sooft ^ ^ ^^^J— Für n=\ liefert diese Formel insbesondere
2
(a»" - 1) • ^ = (- 1) ^ • (a^^'+P-i - 1) • ^-^ (mod.i.).
Setzt man nun voraus, daß a eine primitive Wurzel (mod. p) und
2/i durch j) — 1 nicht teilbar ist, so sind die Differenzen
einander (mod. p) kongruent, aber nicht teilbar durch p, und man
erhält aus der letzten Kongruenz für jeden Wert des Index /i, der
kein Vielfaches von ^-17— ist, die einfachere:
(106) ^^(_1) 2.__^(^od.p)
und daraus allgemeiner
(107) ^ ^ (- xy-^- ^"^"Ir, (mod.i,).
42 Additiv gebildete Zahlen.
Nun folgt weiter aus (105) für n = 2
+ (- ^y-' ' {a'^'+'P-' - l) fi^~5i - 0 (mod,p^% sooft /tt > 1.
Dieser Kongruenz läßt sich aber mit Rücksicht auf die Kongruenzen
(106), (107) die Form geben:
(aS"-l).^-2.(-l) 2. (a«.«-l)
i^ +
p-i
+ (_l)p-i.(as._i).?öz=l_2a3.(a^-i-l).^
+ a^f* {a'^P-' - 1) . ^ = 0 (mod-i)«),
und die beiden letzten Grlieder zusammen sind
"^^ • (aP-' -iy = 0 (mod. p'),
denn, da ^^ — — - einer ganzen Zahl gleich ist, aber a^^ — 1,
sooft fi kein Vielfaches von ^-r— ist, durch p ebensowenig aufgeht
als die primitive Wurzel a, so muß jede in /i etwa enthaltene Potenz
von p sich gegen Bu heben. Somit schließt man, indem man mit
(j2.tt_ i dividiert, nachstehende einfachere Kongruenz:
(108) ^-2.i-l)^^^ + f^^^0(moi.p')
U n z —
p — 1 .
für jeden Wert ^> Ij der kein Vielfaches von ^-^— ist.
In gleicher Weise kann man fortfahren und findet den von Kummer
(a.a.O.) gegebenen Satz: Für jeden Wert ^^^^-^y der kein Viel-
faches von ^—^;— ist, besteht die Kongruenz:
(109)
B^
3.^ . Ra + 3.^-:^
-(-1) -^ + ...^0(mod.^«).
V. Staudt-ClausenBchei Satz. 43
15. Wir leiten minmelir denjenigen Satz ab, der für die Erkenntnis
der arithmetisclien Beschaffenlieit der BernoulliBch.eii Zahlen am wich-
tigsten ist. Man nennt ihn den ü. Staudt- Clausens che n Satz, da er
fast gleichzeitig von diesen beiden Forschern aufgefunden worden ist
(v. Staudt im Journ. £ Math. 21, S. 372, Clausen in den astronomischen
Nachrichten 17, S. 352). Um ihn einfach aussprechen zu können,
woUen wir diejenigen ungeraden Primzahlen a, /3, ... A, für welche
«— 1, ß— 1, ... k — 1 Teiler einer Zahl 2n sind, die v. Staudir
schen Primzahlen für 2n oder diejenigen Teiler a, &, ... Z von n,
für welche 2a -}- 1, 2& + 1, • • • 2Z + 1 Primzahlen sind, die v. Staudt-
schen Teiler von n nennen. Offenbar sind jene Primzahlen nicht
größer als 2« 4- 1. Der zu beweisende Satz sagt dann aus:
Sind a, ß, ... X die v. Staudtschen Primzahlen für 2n, so
gilt für die n^^ BernoulliBche Zahl die Gleichung
(110) (-l):£„ = G„+| + i + i + ... + i,
wo G„ eine gewisse ganze Zahl ist. Man kann dafür auch sagCD:
(UOa) (_i)':B„ = (?, + i + ^ + ^ + ... + ^,
wenn a, 6 , • • • ? die ü. Staudtschen Teiler von n sind.
Wir geben für diesen wichtigen Satz zwei gänzlich verschiedene
Beweise, deren erster der ursprüngliche Beweis von v. Staudt, deren
zweiter von E. Lu€as gegeben worden ist (s. seine theorie des nombres,
I, S. 433), schicken ihnen aber, um den Gang der Betrachtung zu
ebnen, einige arithmetische Erörterungen voraus, deren wir auch
nachher noch bedürfen.
1) Ist eine ganze Zahl n, in Primzahlpotenzen zerlegt,
(111) n=p'y'-p"y"'p'"y"'...
und rp(ii) das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen gp(p''0>
9^(p"^ )? ff^p"^ ) •••> so besteht bekanntlich nach dem Fermatschen
Satze für jede zu n prime Zahl w? die Kongruenz
fji^M _ 1 = 0 (mod n)
(s. Bd. 1, S. 157), die jedoch für eine Zahl m, welche einen gemein-
samen Teiler mit n hat, nicht bestehen kann. Um eine Kongruenz
zu erhalten, die für jede Zahl m ohne Ausnahme gilt, bezeichne y
den größten der Exponenten y\ y^\ y'" . . . ; dann ist stets
(112) my ■ (mV(") - 1) = 0 (mod. n);
denn, ist p' ein Primfaktor von n, der in m nicht aufgeht, so wird
44 Additiv gebildete Zahlen.
der zweite Faktor, wenn aber ^' in m aufgeht, sicher der erste Faktor
des Produktes zur Linken durch p^^' teilbar und somit das Produkt
im ganzen immer durch n teilbar sein.
2) Aus jp^ = (l + 0 - 1)^ = 1 + /i • 0 - 1) + • • •
folgt, sooft p eine ungerade Primzahl ist, für jeden positiven Ex-
ponenten Ä, wenn aber p = 2 ist, für h> 1 die Ungleichheit
jp^ - 2 ^ /i.
Aus dieser einfachen Bemerkung erschließen wir zu-
nächst die Tatsache, daß, wenn P ein Produkt verschiedener
Primfaktoren ist, unter denen sich alle Primzahlen bis w>2
hin befinden, die Potenz P«-2 stets durch n teilbar ist.
Denn eine Primzahl p, die in n genau h mal aufgeht, findet sich in
jener Potenz n — 2 mal, und man hat, wenn p ungerade ist,
n — 2^ p^ — 2^h\
ist aberjp = 2, so ist entweder /i> 1, also besteht dieselbe Ungleichheit;
oder es ist /i=l, dann muß w = 2v, v>l sein, mithin ist wieder
n-'2>h.
Des weiteren ziehen wir aus derselben Bemerkung den
Schluß, daß stets
(113) nS'^(n) + y
ist. In der Tat: ist zunächst n eine Primzahlpotenz ^'y', so ist
(114) n - ^{n) — y=p'y'--^- y\
d. h. gleich
[yr--i_2-(/-l)] + l.
Wenn p^ ungerade, so ist der Ausdruck Null für y^ = 1, der obigen
Bemerkung gemäß aber positiv für j^'> 1; ist ^' = 2, so wird der-
selbe Ausdruck Null für y' = 1 oder 2, dagegen nach jener Be-
merkung positiv für y' > 2. Mithin ist der Ausdruck (114) Null,
wenn n = 2 oder 4 oder eine ungerade Primzahl ist, sonst positiv,
w. z. b. w. — Ist dagegen n aus mindestens zwei verschiedenen Prim-
zahlen zusammengesetzt, so folgen aus den Gleichungen
p'Y'=(pQp'Y')^p'Y'-l
dem eben Bewiesenen zufolge die Ungleichheiten:
Arithmetische Hilfssätze. 45
also, da wenigstens zwei solcher Ungleichheiten vorhanden sind, durch
ihre Multiplikation a fortiori die folgende:
n> (p(n) + y,
also auch die Ungleichheit (113).
3) Bedeutet jetzt p eine ungerade Primzahl und g eine primitive
Wurzel (mod. p), so ist die Summe
t = 0
durch p teilbar, wenn Je kein Vielfaches von p— 1 ist, dagegen mit
p — l oder — 1 kongruent (mod. p), wenn k ein Vielfaches von p — l
ist. Andererseits bilden die Potenzen 1, g, g^ . . .<, g^~^ ein volles
reduziertes Restsystem (mod. p), sind mithin den Zahlen 1, 2, 3, . . .
2? — 1 in gewisser Reihenfolge genommen kongruent; daher ist die
obige Summe mit S''^^_^ kongruent, und man findet folglich den Satz:
^^*J_ ist kongruent — 1 oder 0 (mod. ^), je nachdem Tc ein
Vielfaches von ^ — 1 ist oder nicht.
4) Da 1, g, g^y ... gP~^ den Zahlen 1, 2, 3, ... ^ — 1 insgesamt
kongruent sind, so sind die Werte von 1 + p' für 2 = 0, 1, 2, . . .
p — 2 den Zahlen 2, 3, ... p — 1, p (mod. p) kongruent und somit
(115) _§ (1 + ?')' = «1, - ^ - 1 (""»d. P),
t = 0
d. h. kongruent — 2 oder — 1, je nachdem Ic durch ^ — 1 auf-
geht oder nicht.
Nun ist aber nach dem binomischen Satze
t=0 I t i
folglich nach der unter 3) gemachten Bemerkung
i = 0
Diese Formel ist auszudehnen bis zum größten Vielfachen von p — 1,
das nicht größer als k ist. Heißt h(p — 1) dasjenige größte
Vielfache von jp — 1, welches noch kleiner als h ist, so wäre in
46 Additiv gebildete Zahlen.
dem Falle eines durch p — 1 teilbaren Ic das letzte Glied der Formel
~ \{h 4- 1) (p _ 1)) = - ( J = - 1 •
Mit Rücksicht hierauf sowie auf den Satz (115) ergibt
sich aus der letzten Kongruenz in beiden Fällen, gleich-
viel ob Ic teilbar oder nicht teilbar ist durch p — 1, die
andere Kongruenz:
ai6) Ui) + (2(.-i)) + - + C-,))-0 (mod.p),
WO h(p — 1) das größte Vielfache von p—1 ist, welches
noch kleiner als Ic ist.
Hiernach bestehen für eine beliebige ganze Zahl n die beiden
folgenden, bis zum größten Vielfachen h{p — 1) <i2n -\- 2 fort-
zusetzenden Kongruenzen:
(117)
aus deren subtraktiver Verbindung mit Beachtung der Formel (25 b)
noch die dritte:
hervorgeht.
16. Nach diesen Vorbereitungen wenden wir uns nun zum Be-
weise des V. Staudischen Satzes, wie ihn v. Staudt selber gegeben hat.
Sind m, n zwei beliebige Moduln, so können sämtliche Zahlen
1, 2, 3, ,.,mn durch die Formel x -{■ my dargestellt werden, wenn
darin x die Zahlen 1, 2, 3, . . . m und y die Zahlen 0, 1, 2, . . ., ?^ — 1
durchläuft. Infolge davon ist S^l = 2J(x -}- myY) wenn diese Summe
über die gedachten Werte von x, y ausgedehnt wird. Nun ist aber
(x -f myy = o;^ -f ( j -x^-'^-my (mod. m^),
also geht für jene Summe die Kongruenz hervor:
(119) S':i ^ n ■ SL« + 0 . m . ^M . sL*"« (mod. m>),
mithin auch diese andere:
(120) S^l = n-^^^{moi.m).
Beweis von v. Staudt. 47
Sei n = ni'm". . . ein Produkt aus Faktoren, die sowohl unter sich
als auch zu 7n relativ prim sind. Dann lehrt die vorige Kongruenz,
daß der Ausdruck:
S'J^lm"..-m'm".--S
nicht minder also auch der folgende:
Sil'™-. .. - m'm" ■■■St^- mm" • • • SS! - »tm' ■ • • SS'.
durch m, und, da er in bezug auf m, 7n', m'\ • • • symmetrisch ge-
staltet ist, ebenso durch m\ durch m", • • •, folglich auch durch das
Produkt 7nm'7n" • • • teilbar ist. Es findet sich, anders aus-
gedrückt, die Tatsache, daß der Ausdruck
^(*) , „ 5W ^w ^w
m m m
(121)
mm'm"... m m' m"
einer ganzen Zahl gleich ist, sooft m, 7n\ m", • • • relative
Primzahlen sind.
Setzen wir andererseits in der Formel (119) n als eine Primzahl C[
und 711 als eine Potenz derselben, 7n = q^~'^y wo c > 1 ist, voraus
und beschränken uns fernerhin auf einen geraden Wert 21i von Ä*,
so nimmt diese Formel die Gestalt an:
«;'" = 2 ■ ä::i + 2'^ • 2- ^^ ■ «"-r* (mod. ä--)
also auch (mod. q_^), jedenfalls ist also
1 ^(2A) 1 ^(2A)
qQ ' q^ qc — 1 <f~'^
gleich einer ganzen Zahl. Da dasselbe für die Ausdrücke
(2/0 1 q(2A)
. S''''^ l-.S'
1 2=-^ QC-'2
1 c(2/») 1 o(2A)
gilt, so muß auch ihre Summe, d. h. der Ausdruck
(122) i . ST" - i • «'"'
einer ganzen Zahl gleich sein.
Sei nunmehr P eine ganze Zahl, welche, in Primzahlpotenzen
zerlegt,
P = 2'q'q''' ...a'-ß' ...
ist, wobei wir mit a, ß, ... die v. Staudtschen Primzahlen für eine
gegebene Zahl 2n bezeichnen; nimmt man alsdann in (121) für
48 Additiv gebildete Zahlen.
m, m', m", ... die Primzahlpotenzen dieser Zerlegung und berücksichtigt
den an letzter Stelle ausgesprochenen Satz, so wird offenbar folgender
Ausdruck
ri9^\ ^" ^ Q(2") ^ Q(2n) 1 Q(2n) 1 q(2«)
einer ganzen Zahl gleich sein. Da nun aber
2 2 ^
ist, da ferner, weil 2w durch g— 1, g''— 1, ... nicht teilbar, durch
cf — 1, /3 ~ 1, ... aber teilbar gedacht ist, nach dem unter 3) der
vorigen Nummer ausgesprochenen Satze die Ausdrücke
ganzzahlige Werte haben, so ergibt sich zuletzt, daß auch nach-
stehender Ausdruck:
(124) ^^i.i.i....
einer ganzen Zahl gleich sein muß.
Aus diesem Resultate läßt sich der zu Beweis stehende Satz
leicht auf dem Wege der allgemeinen Induktion erschließen, wenn
man die Formel (54) zu Hilfe nimmt, aus der für den vorliegenden
Fall die nachstehende Formel zu entnehmen ist:
S^l"^ p2n p2n-l .o»,\ p2n-2
(125) (-l)».5„ + ^ = ^-|l^ + ^,- + (\").A-^
-CD •^.•s+-+(-i)" •(.:->«
pr
'■-¥
Nehmen wir nämlich an, der v. Stauät-Clausensche Satz stehe be-
reits fest für alle Bernoullischen Zahlen Bi, deren Index i <in ist,
so daß, wenn «', /3', . . . die v. StaudtBchen Primzahlen für 2i be-
zeichnen, welche sämtlich gleich oder kleiner als 2i + 1, mithin
kleiner als 2n -\- 1 sind, die Gleichheit besteht:
(-iy.i?, = ff,+i + ^ + i, + ..,
verstehen wir ferner unter P das Produkt aller Primzahlen ^ 2l^ + 1,
unter denen sich also auch alle v. Staudtachen Primzahlen für 2n be-
finden, so daß P die bei (124) vorausgesetzte Zusammensetzung hat,
so leuchtet einerseits ein, daß jedes der Produkte JBi . P einen ganz-
zahligen Wert hat, andererseits wird
Beweis von v. Staudt. 49
p2 7i — 2i — l
da der Exponent von P um 2 geringer ist als der Nenner^ nacli 2)
voriger Nummer ganzzahlig und somit das allgemeine Glied zur Rechten
von (125) einer ganzen Zahl gleich sein; endlich sind auch die beiden
ersten, abweichend gebildeten Glieder der Formel ganze Zahlen, mit-
hin findet sich
(-l)«.B„ + i.S^2")
als ganze Zahl, d. h. aber mit Rücksicht auf die Gleichung (124),
es ist
(126) (-l)".B„ = (?„ + i + i + J + ...,
WO Gn ganzzahlig ist. Der zu beweisende Satz gilt also auch noch
für die w*® JBernoullische Zahl, wenn er für die vorhergehenden gilt.
Da aber für die erste BernoiiUische Zahl B^ = — die Gleichheit statt-
findet
-i.5, = -i + i + |
und 3 die einzige hier vorhandene v. Ständische Primzahl ist, so ist
hiermit der Satz als allgemein gültig bewiesen.
17. So interessant und einfach diese Reihe von Schlüssen auch
ist, so erscheint der Beweis, den Lucas gegeben hat, doch als der
angemessenere, insofern er tiefer auf die Grundlage der Sache zurück-
greift. Wir wurden auf die BernonJl ischen Zahlen geführt, indem wir
die ersten 7i Glieder der Zahlenreihe
(127) 1^ 2*, 3*, . . .
summierten; für die Summe S^^^ derselben fanden wir zwei ver-
schiedene Formeln, die Gleichungen (35) und (54). Setzen wir
k = 21i voraus. Denkt man alsdann in der ersteren Formel die
Binomialkoeffizienten nach Potenzen von n entwickelt und vergleicht
darin das Glied mit n'^ mit demjenigen der Formel (54), so ergibt
sich für die Bernoullische Zahl B/, folgender eigentümliche Ausdruck:
Untersuchen wir deshalb für k = 2h das Glied z/^^^-^^m* der n ~ 1 ^«'^
Differenzreihe in bezug auf den Modul n. Offenbar wird der Rest
dieses Gliedes sich nicht verändern, wenn statt der einzelnen Glieder
der Zahlenreihe (127) andere, ihnen (mod. n) kongruente gesetzt
werden. Bedeutet aber F(7n) irgendeine ganze ganzzahlige Funktion
Bachmann, niedere Zahlentheorie. II. a
50 Additiv gebildete Zahlen.
von m, so läßt sich durch Division derselben mit my{m^^"^— 1) eine
Gleichung erhalten von der Form
F{m) = myimy'^"^— 1) • Q{m) -f f(jn),
wo f(m) ebenfalls eine ganze ganzzahlige Funktion von m bedeutet,
deren Grad aber kleiner ist als ^(«) + y] demgemäß ist, wenn unter
y dieselbe Zahl verstanden wird, wie in Nummer 15,
F(m) = f{7n) (mod. n).
Somit darf man, um den Rest von ^^"-'^^m^ zu suchen, auch m^
durch eine ganze ganzzahlige Funktion von m ersetzt denken, deren
Grad höchstens ^(?^) + y — 1 ist. Letztere Zahl ist gleich 7i — 1,
wenn n gleich 2 oder 4 oder eine ungerade Primzahl ist; in diesen
Fällen wird daher die n — 1*® Differenzreihe nach Anfang von Nummer 5
aus lauter (mod. n) gleichen Zahlen bestehen, in den anderen Fällen
aber, wo ^(n) -\- y — 1 <in — 1 ist, aus lauter Nullen (mod. n)j
d. h. dann werden alle Zahlen der n — V^^ Differenzreihe und somit
auch ihr Anfangsglied ^i» — ^) durch n teilbar sein. Jedes, einem
^'
1)
Falle der letzteren Art entsprechende Glied in der Formel (128)
wird mithin ganzzahlig sein.
Für die übrigen Fälle greifen wir zurück auf die Formel (29),
die hier folgende Gestalt erhält:
z/(«-i) = >i*- (^'-^^ . {n-iy+(^'~^) ■ {n-2y + . . • + (- l)«-i. 1*.
Für Ol = 2 ergibt sich daraus
z/(i) = 2*- 1*=1 (mod. 2),
also -—- gleich einer ganzen Zahl weniger — ; für w = 4 kommt, wenn
Je gerade ist, wie vorausgesetzt worden,
^(3) = 4^- - 3 . 3* 4- 3 . 2* - 1* = 0 (mod. 4),
i(3)
also -— gleich einer ganzen Zahl. Endlich erhält man, wenn oi eine
ungerade Primzahl p ist,
^(P-i)= (_ 1)^ + 1 \^(P-^^ . P-(^;^) . 2^ + (P- 1)*] (mod,p).
Der Ausdruck in der Klammer aber besteht, wenn der allgemeine
Binomialkoeffizient
1 .2- • Ä
aufgelöst wird, aus der Summe
Beweis von Lucas. 51
_ p _ 2* {jp-iy
plus einer Reihe von Brüchen, deren Zähler durch p teilbar, deren
Nenner durch ^j nicht teilbar sind. Daraus folgt offenbar
^0.-1 = (_ ly (p _|. 2* -f . . . + Q; - 1)^-)
oder auch
^(P-i = ^^iy.Sf_, (mod.i)),
d. i., weil h gerade gedacht wurde,
z/(i'-i) = >S^'li (mod.p)
und folglich nach dem Satze unter 3) in Nummer 15 kongruent — 1
(mod. p) oder teilbar durch p, je nachdem Je = 2h ein Vielfaches von
p—1, d. h. 2^ eine der v. Staudtschen Primzahlen für 2h ist oder
nicht ist. Je nach diesen beiden Fällen ist demnach
gleich einer ganzen Zahl minus - oder selbst eine ganze Zahl.
Da nun unter den Nennern in (128) alle Primzahlen bis 2h + \
inklusive, also auch sämtliche v. Stmidtschen Primzahlen für 2h sich
vorfinden, so erhält man aus alle diesem schließlich das Ergebnis:
ist gleich einer ganzen Zahl vermindert um
l + ^ + ^- + r
wenn a, ß, . . . X die v. Staiidtschen Primzahlen für 2h bedeuten. Dies
ist aber der genaue Inhalt des v. Staudt-Clausenscheji Satzes.^)
18. In einer kleinen Abhandlung (de numeris Bernoullianis; Erlangen,
1845) hat V. Staudt diesen Satz noch dahin erweitert, daß, wenn
n> \ gedacht wird und B;, den Bruchteil der Formel (126) be-
zeichnet, nämlich
(129) B„=i + i + ... + i
gesetzt wird, der Ausdruck
B. + (-!)" + • . (b„ + ^=^),
1) Einen anderen Beweis des Satzes s. bei Saalschütz a. a. 0. S. 138 und
im Anschluß an LipscJiitz' Arbeit im Journ. f. Math. 96 ebendas. S. 146. Ferner
zwei Beweise von K. Schwering (Math. Ann. 52, S. 171) und J. C. Kluyver
(ebendas. 53, S. 591), doch beruhen die drei letzten mehr auf analytischer
Grundlage.
52
Additiv gebildete Zahlen.
in welchem ö» die Anzahl der v. Staudtschen Primzahlen für 2n be-
deutet, und welcher dem v. Staudi-Clausenschen Satze zufolge stets
eine ganze Zahl ist, sogar eine gerade Zahl sein muß, oder auch,
daß die Zahl
/3. = 5n + (-l)- + ^.(B.+ i)^
gerade oder ungerade ist, je nachdem umgekehrt 6n un-
gerade oder gerade ist.
Stern ist in dieser Richtung noch weiter gegangen und hat in
einer, im Journ. f. Math. 81, S. 290 befindlichen Arbeit den Nachweis
geführt, daß
für ungerades n stets /3„ -f ö„ = 3 (mod. 4),
für gerades n aber /3„ + ö„ ^ 3 oder 1 (mod. 4)
ist, je nachdem die Anzahl der v. Staudtschen Primzahlen für
2hf welche von der Form 4/^ + 3 sind, gerade oder uugerade
ist. Doch soll hier auf diese Ergänzungen des Satzes nur kurz ver-
wiesen werden.
Dagegen wollen wir nicht unterlassen, ein paar andere Folgerungen
aus dem v. Standt-Clausenscken Satze noch abzuleiten. Zunächst:
jede Rekursionsformel für die Bernoullischen Zahlen Bi gibt auch
eine solche für deren ganzzahlige Bestandteile Gi, So folgt aus
Formel (73 a), wenn man die Glieder ihrer linken Seite in umgekehrter
Reihenfolge schreibt, nachstehende Gleichung:
Setzt man darin aber für die Bi ihre durch den v. Staudi-Clausen-
schen Satz bestimmten Ausdrücke ein, so kommt:
1
n — —
(130)
+
i+rir)-(<^"+i+^+f+--)=o-
In dieser Formel hat der Bruch — in Summa den Faktor
Bedeutet ferner p irgendeine der darin auftretenden ungeraden Prim-
Sätze von Hermite nnd Stern.
53
zahlen, so hat — zum Faktor die bis zum crrößten Vielfachen von
P
p — lj das noch kleiner ist als 2n + 2, fortzusetzende Summe
/2w + l\ /2n + l\ /2n-f 1\
U-lj + Up-2J + l3p-3J + -"'
da der Bruch — nur bei denjenigen Gliedern auftritt, für deren Index
2, 4, . . . 2w die Primzahl p eine v. Staudtsche Primzahl ist, deren
Index nämlich durch p — 1 teilbar ist; diese Summe ist aber nach
(117) teilbar durch p. Setzt man demnach die ganze Zahl:
p>
so nimmt die Gleichung (130) schließlich folgende Gestalt an:
(131) r+>(?.+r+>e.+--+C';r)-«"
P
worin die Summe sich auf alle ungeraden Primzahlen <2n-}-l
erstreckt, da diev.Standtschen Primzahlen für alle Zahlen 2, 4, 6, . . . 2n
mit den Primzahlen 2^ + 1 übereinstimmen, bei denen i ein Teiler
von 1, 2, 3, . . ., w, d. i. irgendeine der Zahlen < n ist. Die Formel
(131) gab Hermite im Journ. f. Math. 81, S. 93.
Geht man mit Stern (Journ. f. Math. 84, S. 267), statt von der
Formel (73a), von der Rekursionsformel (74) aus, indem man schreibt:
so kommt durch Einsetzen der Ausdrücke für die J5,- die Gleichung:
1
(132)
+
+a:i:)-(«»+i+i-fi+..-)=o;
hier hat — den Faktor:
i+cwfw- ■+(::i;)=2^"'
54 Additiv gebildete Zahlen.
ein Bruch — aber gehört nur zu solchen (x^-, für deren doppelten
Index 2i die Primzahl p eine v, Staudtsche Primzahl, mithin 2i ein
Vielfaches von p — l ist, er erhält also als Faktor die bis zum
größten Vielfachen von p — l, das noch kleiner ist als 2n + 2, fort-
zusetzende Summe:
/2n + l\ /2n + l\ /2^-|-l\
\p-2 } "^ \2p-3/ "^ \Sp-a) "^
welche nach (118) teilbar ist durch p. Setzt man also die ganze
Zahl:
SO nimmt die Gleichung (132) folgende Form an:
(133)
)-o.+rn-G,-^--+{i:t';}-G.
p
wo wieder die Summe auf alle ungeraden Primzahlen <2?^ + 1
zu erstrecken ist. Diese Formel verdankt man Stern.
Wir bemerken ferner, um eine in Nr. 13 gegebene Zusage
zu erfüllen, daß aus dem v. Stauät-Clausen sehen Satze der
Ausdruck:
(134) 2(2'--l)-Bn
sich, was schon Euler bekannt war, als eine ganze Zahl heraus-
stellt. Wir zeigen es sogar allgemeiner, unter a irgendeine
(positive) ganze Zahl verstehend, für den Ausdruck:
(134a) a(a'--l)-Bn.
Jenem Satze zufolge ist nämlich offenbar Bn ein Bruch, in dessen
Nenner nur 2 und die v. Staudtschen Primzahlen für 2n, und zwar
jeder dieser Faktoren nur einmal aufgeht. Somit hebt sich 2, wenn
a gerade ist, gegen den ersten, wenn aber a ungerade ist, gegen den
zweiten Faktor des Ausdrucks; desgleichen geht jede der Primzahlen
a, ßj . . . entweder in a, oder, da 2n ein Vielfaches von « — 1, /3 — 1, . . .
ist, dem Fermatschen Satze zufolge im zweiten Faktor des Ausdrucks
auf, und somit hebt sich der gesamte Nenner von Bn heraus.
Einen weiteren, auf den Zähler von Bn bezüglichen Satz gab
V. Staudt (in seiner zuletzt angeführten Arbeit; s. auch Lipschitz^ Journ.
f. Math. 96, S. 4). Sei nämlich:
Weitere Sätze von v. Staudt. 55
(135) 2n = 2^'p^qK. .r^sK..,
wo p, 2, . . . diejenigen Primfaktoren von 2n bedeuten, die etwa zu
den V. StaudtscheiL Primzahlen für 2n gehören, während r, s ... die
übrigen sind, welche zu diesen nicht zählen. Ist dann g eine primi-
tive Wurzel (mod. r), so folgt aus dem Umstände, daß nach Nummer 10
der Ausdruck
2n
ganzzahlig ist, die Zahl 2n aber kein Vielfaches von r — 1 ist, daß
weder g^'' noch g^"" — 1 durch r teilbar sein kann und demnach JB„
oder vielmehr der Zähler von JBn durch r^ aufgehen muß. Da
gleiches für die Primzahlpotenzen s*, . . . gelten muß, so findet sich
der Satz:
Die Primfaktoren von 2n verteilen sich nach Angabe
der Formel (135) in zwei Kategorien derart, daß die der
ersteren Kategorie, die Primzahlen 2, p, q, . . . selbst einmal
im Nenner von B„, die in 2n aufgehenden Potenzen r^, s*, ...
derjenigen der zweiten Kategorie aber im Zähler von JB„
aufgehen.
Zweites Kapitel.
Rekurrente Zahlenreihen.
1. Die bisher behandelten Arten additiver Bildungr von Zahlen
sind nur besondere Fälle einer allgemeinen Bildungs weise, die wir
nunmehr ausführlich besprechen wollen.
Man nennt eine Zahlenreihe
(1) Xj, X^, Xg, . . .
rekurrent, wenn jedes Glied derselben als lineare Funktion
von voraufgehenden Gliedern der Reihe dargestellt werden
kann. Der allgemeinste Ausdruck einer solchen Beziehung wäre die
Formel
(2) X„ = |„ + af X, + at Z,-, + ■ ■ ■ + äff Z,-, ,
in welcher Xn eine ganze Zahl <w und \j i^, . . . i^^ irgend A„ Zahlen
der Reihe 1, 2, 3, ... n - 1 bezeichnen; |„, af , a^\ . . . a,f bedeuten
gegebene Werte, welche wir für das Folgende im allgemeinen als
ganze Zahlen voraussetzen. Somit würde im allgemeinen nicht nur das
unabhängige Glied |„ des Ausdrucks (2), sondern auch die Anzahl
56 Rekurrente Zahlenreilien.
Xn der ZaUen der Reihe (1), auf welche rekurriert wird, sowie
die Skala der Koeffizienten a/"\ ai"\ . . . a\f von einem Gliede der
Reihe (1) zum folgenden veränderlich sein. Unter dieser allgemeinsten
Voraussetzung sind die rekurrenten Zahlenreihen von D. Andre in
einer größeren Arbeit untersucht und explizite Ausdrücke für ihre
allgemeinen Glieder X„ hergeleitet worden (D. Andre, Annales de
l'Ecole Normale, 2. ser. 7, 1878, S. 375). Hier werden wir uns auf
einfachere Fälle beschränken und unsere Aufmerksamkeit mehr auf
die zahlentheoretischen Eigenschaften der Zahlenreihen richten. Ge-
wöhnlich versteht man unter einer rekurrenten Zahlenreihe speziell
eine solche, bei der in der Formel (2) das unabhängige Glied fehlt
und sowohl die Anzahl der Zahlen, auf welche rekurriert wird, als
auch die Skala der Koeffizienten von einem Gliede zum anderen
unveränderlich bleibt, mithin die rekurrente Beziehung die folgende
Form hat:
(3) Xn = a^ Xn _ 1 4- 0^2 Xn — 2 + h Ci?. X„ — X.
Rekurrente Reihen dieser Art sind zuerst von Cassini bemerkt,
demnächst von Moivre, der ihnen den Namen gab, näher untersucht
worden; später zogen Euler und Lagrange sie in Betracht, neuerdings
hat besonders E. Lucas die zahlentheoretischen Eigenschaften der-
selben zum Gegenstand der Untersuchung gemacht.^) Bevor wir aber
zu ihrer Betrachtung übergehen, erörtern wir noch ein paar Fälle
anderer Art, die gleichfalls ein besonderes zahlen theoretisches Inter-
esse darbieten.
2. Zuerst betrachten wir eine Reihe von Zahlen X, X^, Xg, Xg, . . .
welche durch die folgenden Gleichungen:
(4)
Xg = 0^3X2 + Xi
Xn = ün — l Xn — 1 + X„
miteinander verbunden sind. Sie sind zuerst von Euler untersucht
worden^) und haben ihre besondere Bedeutung für die Theorie der
Kettenbrüche; die rekurrente Beziehung hat in diesem Falle eine feste
1) Cassini in Hist. de l'Acad. de Franc« 1680, S. 309; Moivre, Miscellanea
analytica, S. 27; Euler, Introd. in Analysin I Kap. 13 und 17; Lagrange, Oeuvres
1, 3, 5; E. Lucas, Journ...amer. of Math. I (1878), S. 184, 289.
2) Euler, Comment. Äcad. Petrop. 7 (1734/35), S. 46; Nov. Comm. Petrop. 11
(1765), S. 28, oder Comm. Arithm. coli. I, S. 11 resp. 316. Die hier folgenden,
schon im ersten Teile unseres Werkes S. 102 — 104 etwas anders dargestellten
Betrachtungen werden des Zusammenhangs wegen wiederholt.
Die Gaussischen Klammern. 57
Anzahl von Zahlen, auf welche rekurriert wird, doch eine wechsehide
Skala, deren Glieder a, als ganze Zahlen gedacht werden. Indem man
nun den Wert von X^ aus der ersten der Gleichungen (4) in die
zweite substituiert, findet man
diesen in die folgende Gleichung eintragend erhält man
X^ = («sK»! + 1) + aJXi + (agöfg + 1)X
und, wenn man so weitergeht, jede der Zahlen Xg, Xg, X^, ... als
eine homogene lineare Funktion von X^, X, deren Koeffizienten, weil
aus den ganzen Zahlen öj, «g, «g, . . . nur durch Additionen und Multi-
plikationen gebildet, gleichfalls ganze Zahlen sein werden, insbesondere
positive ganze Zahlen, wenn jene es sind. So findet man also schließ-
lich auch die Gleichungen
■Xn-2 = A';X, + Ä"X
(5) \Xn-,-=Ä[X[ + A'X
Xn =A^X^^AX.
Für die Koeffizienten J.^, A^ welche — von X^, X unabhängig —
lediglich durch die Zahlen a^, «g? . . . a„_i bestimmt sind, hat Gauss
ein besonderes Symbol eingeführt (Disquis. arithm. art. 27); mit ihm
setzen wir
(6) A, = [«!, «2, ag, . ..ön-l]
und nennen dies Symbol eine Gaussische Klammer. Es handelt
sich darum, die Bildung dieses Ausdrucks für J.^, mit welcher auch
diejenige von A erhalten werden wird, näher zu bestimmen, denn,
wenn wir das Gesetz dieser Koeffizienten ermittelt haben, so liefert
uns die letzte der Gleichungen (5) das allgemeine Glied X„
der vorliegenden rekurrenten Reihe, deren erste zwei Glieder
X, X^ willkürlich gewählt werden können. Zu diesem Zwecke be-
merke man, daß offenbar in gleicher Weise
^i = [«i>«2? • • • ««-2]
gesetzt werden darf. Werden nun speziell die Zahlen X, Xj gleich
Null und Eins gewählt, so erhalten nach (5) die zugehörigen Zahlen
Xn-2, X„-ij Xn resp. die Werte A'l, A[j A^ und, da zwischen jenen,
welche speziellen Werte X, X^ auch besitzen, die letzte der Gleichungen
(4) stattfindet, so ergibt sich die Beziehung
A, = an-iA[ + Äl,
d. h. das Bildungsgesetz:
58 Rekurrente Zahlenreihen.
(7) [a^ja^fa^j . . . a«_i] = [a^, ag, . . . «„-2] -ö^n-i + [ö^i, <^2? • .. «^«-a]
für die Gaußisclien Klammern.
Andererseits leuchtet ein, daß, wenn die erste der Gleichungen (4)
unterdrückt wird, sich entsprechend der letzten der Gleichungen (5)
eine Beziehung ergeben wird von der Form
(8) Xn = JB,X, + BX„
in welcher nun
(9) -Bl = [«2, «3^ • • -ö^n-l]
zu setzen ist. Da aber aus (8) mit Rücksicht auf den Wert von Xg
die Gleichung
(10) Xn==ia,B, + B)X, + B,X
hervorgeht, welche mit der letzten der Gleichungen (5) identisch sein
muß, so liefert die Vergleichung dieser Gleichung mit der hier ge-
fundenen die Beziehungen
(11) Ä^^a.B. + B, Ä = B,
also
(12) Ä = [a^, «3, . . .an-i]
und dementsprechend auch
B = [«3, «4, ... a„_i],
endlich also nach (11) und (6) die Formel
(13) [»1, 0^2, «3, . . . ün-i] = %• [ö^2» 0^3, .. . Gn-i] + [«3, «4, . . . «^j-l],
welche gleichfalls ein Bildungsgesetz für die (rat^ssischen
Klammern zum Ausdrucke bringt.
Die beiden Gesetze (7) und (13) lassen nun unmittelbar
die Gleichheit
(14) [ttj, «2? • • • ^n-l] = [dn-i, a„_2, • • • Ö^J
erkennen. Nimmt man nämlich an, diese Gleichheit stehe schon
fest für Symbole, deren Elementenzahl kleiner ist als n — \, so darf
man die Formel (13) auch folgendermaßen schreiben:
[a^j a^j »3, . . . dn — i] = [f^n — l) Ctn — 2} . • • cig] • «^ + [a„_i, a„_2, . . . dg],
wo nun für die rechte Seite dem Gesetze (7) gemäß auch
\ßn—l, dn — 2,'''d2, «j]
gesetzt werden darf; demnach gilt unter der gemachten Voraussetzung
auch die behauptete Gleichheit; da aber für zwei Elemente a^, »g
in der Tat
Die Gaussischen Klammem. 59
[«1, ^2] = «1 • a, 4- 1 = «2 • ^1 + 1 = [^'2} ^1]
ist, so ist hiermit die Formel (14) als allgemein gültig erwiesen.
Ebenso leicht erkennt man die Richtigkeit nachstehen-
der Gleichung:
(15) [- a,, - a,, . . ., - ßn-i] = (- 1)"-'- [«1, ci^, . . . cin-il
Denn nach dem allgemeinen Gesetze (13) ist das Symbol zur
Linken gleich
— a-i • [— a,^ — ag, . . ., — ci^-i] + [— «3; — ^ly • • •? — cin-i]]
wird also angenommen, daß die Beziehung (15) schon für Klammern
mit weniger als w — 1 Elementen richtig sei, so ergibt sich für den
vorigen Ausdruck der Wert
(- 1)«-^ • ai [^2, «3, . . . ün-i] + (- 1)"-^ • K, 0^,... a„_i],
der nach (13) mit der rechten Seite der Gleichung (15) identisch
ist. Da nun für zwei Elemente
[- a^, - a,] = (- «i) • (- a,) + 1 = (a^ • ag + 1) = [a^, a.^
gefunden wird, so findet die Formel (15) allgemein statt.
Noch hat man die Beziehung
(16) [1, ^1, ^2, ... a„_i] = [«1 -f- 1, «2, • . . «n-l].
In der Tat ist wegen (13) die linke Seite zunächst gleich
[«1, «2; • • • «n-l] + [«2? «3? ' ' ^n-l]
und dies nach demselben Bilduugsgesetze gleich
(«1 + 1) • [«2, «3, . . . a„_i] + [«3; »4^ • • • «« - l];
wofür wieder diesem Bildungsgesetze gemäß die rechte Seite der
Gleichung (16) gesetzt werden darf.
Bemerken wir endlich, daß die Reihe der Gleichungen (4) in
umgekehrter Ordnung geschrieben werden kann, wie folgt:
Xn — 2 = — Clfi — l- Xn — l-\- Xn
Xn _ 3 = — ö^« — 2 • Xn _ 2 + ^ — 1
X^ = — a, X2 + ^3
X = — a^Zj + X2,
so wird daraus, entsprechend den Formeln (5), (6), (12), (15) sogleich
Z = (-l)— i-[a„_i,a„_2,...aJ.Z„_i + (-l)«-2.[a._2,...ai]X„
gefunden, während andererseits die letzten beiden der Formeln (5)
durch Elimination von X^ die Gleichung
QQ Rekurrente Zahlenreihen.
{Ä'Ä, - ÄÄ\) 'X = Ä,- Xn-1 - Ä[ • Xn
liefern. Da in diesen beiden Gleichungen wegen (6) und (14) die
Koeffizienten von X^-i bis auf den Faktor (— 1)^-^ übereinstimmen,
so erhält man durch Vergleicbung der Koeffizienten von X unmittel-
bar die Gleichheit
Ä'Ä, -ÄÄ[ = {-iy-'
oder durch Einsetzen der Gaussischen Klammern für A und Ä^ sowie
der entsprechenden für Ä' und Ä[ die neue Beziehung
(17) [«2, «3, . . . a„ _ 2] • [a^jtt^y.. .««-1] — K, a^, ...»^-.2] • [cig,. . .a«-i]
= (-l)-i.
Aus ihr erschließt man sofort, daß die Koeffizienten
A, A^ relative Primzahlen sind.
Es wurde schon erwähnt, daß die vorliegende rekurrente Reihe
zur Theorie der Kettenbrüche in naher Beziehung steht. In der Tat
läßt sich ohne Mühe zeigen, daß der Kettenbruch
(«1, «2, 0^3, ... dn — i, Cln — l)
a?i — 2 + 1
welcher unter der Voraussetzung, daß die a,- positive ganze Zahlen
sind, einen positiven rationalen Wert darstellt, gleich — , d. i. gleich
dem Quotienten zweier Gaussischen Klammern ist:
(18) {a,, a,,...an-i) = K, «.. •••an-j]
Denn man hat
nimmt man daher als schon erwiesen an, daß
\a^, »3, . . . an-x) - ia,,...an-{\
ist, was für zwei Elemente jedenfalls richtig ist, da
gefunden wird, so besteht die Gleichung
(n n n \ — n J^ [CT3 , a^ , . . . a^-l]
«1 • [«2 , «3 , • • • CTw — 1] + [^3 ^ ^4 ^ • • • <^W — 1]
~ [^«3, . ..an_i]
Die Farey5che Zahlenreihe. Q\
d. h. mit Rücksicht auf (13) die behauptete Formel (18), die hiermit
allgemein bewiesen ist. Man schließt aus ihr die Tatsache, daß
die beiden Gaussischen Klammern
Zähler und Nenner des w — 1^®^ Näherungsbruchs für den
beliebig weit fortgesetzten Kettenbruch (a^, a^, ßg, «4, . . .)
sind, falls jener auf seine einfachste Benennung gebracht
wird.
3. Wir behandeln an zweiter Stelle eine rekurrente Reihe, welche
eng mit den 6^aw55ischen Klammern zusammenhängt und von J. Hermes
(Math. Annal. 45, 1894, S. 371) als jPare?/sche Zahlenreihe be-
nannt worden ist. Dies ist die Reihe
(19) Xj, Xg, X3, . . . Xn, . . .
mit dem Anfangsgliede X^ = 1, deren allgemeines Glied X„, so oft
(20) 2»■<7^5 2^' + l
ist, durch die Gleichung
(21) X„ = X„_,v + X2v+Ui_„
mit Yoraufgehenden Gliedern verbunden ist. Statt dieser Rekursions-
formel darf offenbar auch die folgende gesetzt werden:
(22) ^ ** X2»'+A = Xä + Xiv-h+i
(für h = l, 2, ... 20-
Die so definierte Reihe zerfällt hiernach in Abteilungen, welche
den sukzessiven Werten v = 0, 1, 2, 3, ... entsprechen und bezw
1, 2, 4, 8, 16, ... Glieder enthalten; die anfänglichen Glieder der
Reihe sind, in Abteilungen geschrieben, die folgenden:
1|2|3,3|4,5,5,4|5,7,8,7,7,8,7,5|...
Die 2' +^ Glieder in der Abteilung, welche dem Exponenten v + 1
entspricht, können als bestimmt angesehen werden durch die Glieder
aUer voraufgehenden Abteilungen mit Koeffizienten, welche mit dem
Werte von h wechseln, so daß hier ein FaU der allgemeinen Rekursion
vorliegt, wie wir sie anfangs erwähnten. Um nun das Bildungsgesetz
für das allgemeine Glied der Fareyschen Zahlenreihe aufzustellen und
zahlentheoretische Eigenschaften derselben zu erhärten, bedarf es eines
Satzes über eine eigentümliche Darstellungsweise jeder positiven ganzen
Zahl, den wir zu diesem Zwecke zunächst beweisen.
Jede positive ganze Zahl n kann auf eine einzige Weise
als ein Aggregat aus einer ungeraden Anzahl von ab-
62 Rekui-rente Zahlenreihen.
wecliselnd positiv und negativ genommenen wachsenden
Potenzen der Zwei, also in der Form
(23) ^ = 2^1-2*2+2^3 + 2*2/ + i
dargestellt werden. In der Tat: sei 2'' die erste Potenz von 2,
welche gleich oder größer ist als n, so daß
(24) 2*5w>2''-i
ist. Dann ist n ==2^ — n\ wo n^ == 2'* — w = 2^'-^ — (n — 2''~ ^)
entweder Null oder doch <2'^~^ ist. Im ersteren Falle hat man die
gemeinte Darstellung w = 2^'; im letzteren bestimme man V so, daß
2'''5n'>2'''-S
dann ist n^ = 2^^ — n'\ wo n'' = 2'*' — w' entweder Null oder doch
< 2^'-^ sein wird. Ist n^^ Null, so ist doch /^'</^— 1; dann
schreibe man für w' = 2'*' die Differenz 2'*'+^ — 2'*' und erhält die
gewünschte Darstellung
>i = 2'' — 2^' + ^ + 2^'
für n. Im entgegengesetzten Falle kann man in gleicher Weise fort-
fahren und gelangt so jedenfalls zu einer Darstellung von der Form (23),
wenn man die Reihenfolge der Glieder umkehrt. Eine solche Dar-
stellung ist aber auch nur eindeutig vorhanden. Denn aus (23) ergibt
sich zunächst, sobald der Ausdruck zur Rechten mehr als ein Glied
aufweist, also n von der Potenz 2*2i+i verschieden ist,
n < 2*2;+i und 7i > 2*2i+i — 2*2»,
d. i.
n> 2^2*+i-i + (2*2i+i-i — 2*2/) > 2*2i+i-i,
da wegen fe» < fei+i die Klammer sicher nicht negativ ist; man sieht
also, daß 2*2e+i die erste Potenz von 2 ist, welche großer ist als n,
also Jc2i^i == Ji. Setzt man nun
n' = 2*2»+i — n
also
n' = 2hi — 2*2i-i + 2*2i-2 2*1,
so ergibt sich
n' <2^2i und j^' > 2*2/ — 2*2/-i,
d. h. w' > 2*2/-^, mithin 2*2/ als die erste Potenz von 2, welche größer
ist als n', d. i. Jc2i = h' usw. Man erkennt daher, daß die Exponenten
der Darstellung (23) genau die vorher bestimmten Zahlen hjh\V\...
sein müssen und die zuvor nachgewiesene Darstellung die einzig
mögliche ist.
Die FareyBche Zahlenreihe. 63
Wir leiten hieraus zuvörderst einen wichtigen Satz her;
auf welchen wir im folgenden Kapitel von anderen Seiten her werden
geführt werden. Man bemerke, daß in der Darstellung (23) die Zahlen
(25) Si = kl, «2 = ^2 ~ ^1 ) 53 = ÄTg — A'g , . . ., S2 1 + 1 = ^2 j + 1 — ^*2 ö
welche wir die Spatien der Darstellung nennen wollen, wesent-
lich positiv (die erste s^ möglicherweise auch Null) sind, während
die Spatiensumme
d. h. nach der Bedeutung von hi-^i
(26) Si + SgH \-S2i-{-i = h
ist. Jeder Gleichung von der Form (23), in welcher ^'2t + i= ^^ ist, ent-
spricht somit eine Zerfällung der Zahl h in eine ungerade Anzahl
positiver Summanden s^, Sg,... 521+1 (deren erster auch Null sein
kann); umgekehrt liefert aber auch jede solche Zerfällung eine
Gleichung von der Form (23), in welcher fet-|-i = /i ist und die
übrigen Exponenten Jc^ durch die Gleichungen (25) bestimmt sind.
Nun ist vorher gezeigt, daß jeder Ausdruck von der Form (23), in
welchem A'2 i + 1 = /^ ist, eine Zahl n darstellt, für welche die Ungleich-
heiten (24) bestehen, daß aber auch umgekehrt jede solche Zahl auf
eine einzige Weise in jener Form mit ^2 »• + 1 = 7i dargestellt werden
kann. Hiernach gibt es offenbar soviel Zerfällungen der Zahl h von
der angegebenen Art, als es Zahlen n gibt, welche den Ungleich-
heiten (24) genügen, d. h. 2^'—^. Man bemerke aber dabei, daß die
Summanden in der Zerfallung von /i, d. h. die Spatien des Aus-
drucks (23) nicht voneinander verschieden zu sein brauchen, sowie
daß zwei verschiedene Ausdrücke (23), bei denen zwei Spatien, welche
in dem einen die Werte Saj §& haben, im andern gleich St, Sa
sind, zwei Zerfällungen von h geben, die sich nur durch die Ver-
tauschung der Summanden 5^, 5^ unterscheiden. Mit Beachtung hier-
von läßt sich das gewonnene Ergebnis in folgendem Satze zum Aus-
druck bringen:
Die Anzahl der Zerfällungen einer positiven ganzen
Zahl h in eine ungerade Anzahl positiver (gleicher oder un-
gleicher) Summanden s^, $2, S3, • . ., deren erster auch Null
sein darf, d. h. die Anzahl ihrer Zerfällungen in positive
Summanden überhaupt beträgt 2^~^, wenn Zerfällungen,
die aus denselben, aljer verschieden geordneten Summanden
bestehen, als verschieden gezählt werden.
4. Dem ersten Satze der vorigen Nummer zufolge dürfen wir die
Zahl n als eine Funktion der Exponenten ki oder auch, da diese nach
Q4: Rekurrente Zahlenreihen.
den Formeln (25) durch die Spatien bestimmt sind, als eine Funktion
der Spatien Si auffassen und wollen sie als solche durch das Symbol:
(27) w = {si, Sg,. . .S2t-fi}
bezeichnen. Dies vorausgeschickt, besteht für die Fareysche Zahlen-
reihe folgender Satz:
Das allgemeine Glied X„ der jPare?/schen Zahlenreihe ist
gleich der Gaussischen Klammer
[l + Sj, 52, «3,^. . .,S2.+ l],
wenn sein Index:
ist. Zum Beweise dieses Satzes bemerken wir zuerst, daß nach der
Rekursionsformel (22), wenn darin v — 1 statt v gesetzt wird:
gefunden wird, eine Formel, aus welcher, wenn allmählich v =1, 2, . . ., s^
gesetzt und dann die entstehenden Gleichungen addiert werden, sich
(28) X{,,) = X,s, = 5, + 1 = [1 + sj
ergibt. Ferner erhält man nach derselben Rekursionsformel, wenn
darin v = 8^ + s^ — lf /^ = 2*^+*»-^ — 2*^ + 1 gesetzt wird:
^{0,«i,«4 d- i« Xi_2«i + 2«i + «^
gleich
Xi _ 2«! 4- 2*1 + *2 — 1 + ^2*^ }
woraus durch Sg malige Wiederholung der Rekursion endlich:
(29) X{o,s„s.} = 1 + §2 . Xg.. = 1 + «2 {s, + 1) = [1 -f Sj, s,]
hervorgeht. Wir nehmen nun an, man habe bereits festgestellt, daß
(30) ^{^.,'.,....^2e-l} === [^ + ^1> ^2, . • y S2i-l]
und
(31) ^{o,,„.„...,*2,.} = [1 + Si, 5„...,S2,]
sei, so ergibt sich, da
^{«i,«2,..., «2i + l) ^'^' ^2«i-2»i + «2-j-...4-2«i+«2+"- + «2i-f 1
nach der Rekursionsformel (22), wenn darin .
1^ = Si + §2 + • . • + S2/+1 -1, h = 2^' - 2^^+^^-f.--+ 2*^+^^+-- •+'2.-+i-i
gesetzt wird, gleich
Die Fareyschen Zahlenreihen. 65
und nun durch 50/4-1 nialige Wiederholung der Rekursion gleich
gefunden wird^ die Gleichung:
d. h. nach der Formel (7):
(32) ^{.., *.,..., .3,^1} = [1 + s,, S2, 53, . . ., S2i+i].
Auf gleiche Weise geht mittels der Rekursionsformel (22), wenn darin
V = 5^+52 + . . •+ S2,+2-l, /i = 1 - 2*^ + 2'!+'» -...+ 2'x+'>+-+*2/+2-i
gesetzt wird,
-^{0,«i,...,*2i-|-2}
zunächst gleich:
-^{0,«i,Si,...«2._|_2 — 1} + ^{«i,«a, ..•.»2,-_j_i}>
also durch S2;+2 malige Wiederholung der Rekursion gleich
hervor. Mit Rücksicht auf die Werte (31), (32) erhält man also
^{0, *!,*.,..., s,.^^} = [^ + ^1? ^2> • • -^ ^2 J + 52/ + 2 • [1 + 5i, «2, . . ., 52/ 4.1],
was wegen Formel (7) einfacher geschrieben werden kann, wie folgt:
(^^) ^{O. '1, «.>••■ «2/-f2} = [1 + 5i, 5o, . . . 52/ + 2]-
Aus den Yorausgesetzten Formeln (30), (31) fließen also die auf
je zwei weitere Elemente ausgedehnten Formeln (32), (33), und man
erkennt daher auf Grund der schon festgestellten Gleichungen (28), (29)
die allgemeine Gültigkeit der vorausgesetzten, und somit auch die-
jenige des oben behaupteten Satzes.
Diesem Satze zufolge ist jede Zahl Z„ der i^are^schen Zahlen-
reihe, deren Index die Spatiensumme h zukommt, gleich einer un-
geraden G^a2f/3ischen Klammer, das soll sagen: einer (xa«/3ischen
Klammer mit einer ungeraden Anzahl von Elementen, die
sämtlich positiv sind und h + 1 zur Summe haben. Da umgekehrt
jeder Zerfällung
^1 + 52 + 53 H h 52/ + 1 = h + 1
der Zahl h -{- i in eine ungerade Anzahl von lauter positiven Sum-
manden, indem ^^ = 1 + s^ gesetzt wird, eine Zerfällung von h in
Bachmann, niedere Zahlentheorie. II. 5
QQ Rekurrente Zahlenreihen.
eine ungerade Anzahl positiver Summanden, deren erster s^ auch
gleich Null sein kann, also auch ein Index n mit der Spatiensumme
h entspricht, so kommt auch jeder ungeraden Gaußischen Klammer
der bezeichneten Art eine bestimmte der i^are^schen Zahlen zu, deren
Index n die Spatiensumme Ji hat. Somit können sämtliche ungerade
Gaußischen Klammern in Gruppen verteilt werden, welche den Ab-
teilungen der jParei/schen Reihe genau entsprechen, indem alle un-
geraden Gaußischen Klammern mit der Elementensumme A + 1 den
i^arei/schen Zahlen, deren Index die Spatiensumme /^ hat, d. h. welche
die Qi 4- 1)*® Abteilung der Fareyschen Zahlenreihe bilden, eindeutig zu-
geordnet und gleichwertig sind.
Hiermit verbindet sich die Eigenschaft der Fareyschen
Zahlenreihe, jede ihrer Zahlen m so oft aufzuweisen, als
es Zahlen kleiner als m und prim zu m gibt, also (p{m)ma\.
Ist nämlich m eine Zahl der Fareyschtn Reihe, also etwa m = X„,
so ist, wenn
n = {5i, §2, ... %+i)
gesetzt wird,
setzt man dann
m = [l + Si, 52, . ..S2,-+i];
so ist
fi [«2, S3,...S2t + l]
der reduzierte Wert des Kettenbruchs
(1 -fSi, §2, «3, . . .S2i+l)
mit einer ungeraden Anzahl positiver Elemente, und demnach — ein
unechter Bruch, dessen Nenner /x eine der Zahlen ist, welche kleiner
als m und prim zu m sind. Jede Zahl der Fareyschen Reihe, welche
gleich m ist, wird mithin gefunden, wenn die unechten Brüche —
dieser Art, was bekanntlich stets auf eine einzige Art geschehen
kann, in einen gewöhnlichen Kettenbruch mit ungerader Anzahl von
Gliedern:
(^1, §2, 53, . . . 52/+l)
entwickelt und dann der Fareyschen Reihe das Glied mit dem Index
. . . S2i + l),
WO 5i = (?i — 1 ist, entnommen wird. Da es solcher Brüche — genau
(p(m) gibt und aus dem zugehörigen Kettenbruche jedesmal so auch
wirklich ein Glied X„ = m der Fareyschen Reihe entsteht, da aus
der Gleichung:
Rekurrente Zahlenreihen mit fester Skala. ß7
^ V n 2^ 3? ^.+V |-5^^ S3,...S2t-fl]
sich
m = [1 + 5i, 5,, Sg, . . . S2;+i] = X;,
findet, so gibt es in der Tat genau qp(m) Glieder dieser Reihe, welche
den Wert m haben.
5. Nunmehr wenden wir uns zur Betrachtung der ge-
wöhnlich so genannten rekurrenten Zahlenreihen, deren
Skala nach Anzahl und Wert ihrer Glieder eine feste ist,
die also durch eine Beziehung von der Form
(34) Xn+i = a^Xn+i-i + a.^Xn + i-2 + h a„Xi
{i = 1, 2, 3, . . .)
mit konstanten (ganzzahligen) Koeffizienten a^ miteinander
verbunden sind, wobei offenbar die ersten n Glieder Xj, X^, . . . X„
der Reihe willkürlich bleiben. Solche Beziehung fand sich zum
erstenmal gelegentlich der Entwickelung rational gebrochener Funk-
tionen einer Veränderlichen x nach den steigenden Potenzen der
letzteren. Setzt man nämlich die Funktion
(35) \
nach steigenden Potenzen von x in eine Reihe entwickelt gleich
(36) X^-{-X,-x + X^'X''+ ■'■,
so erhält man durch Multiplikation mit dem Nenner die Identität
1 = (1 — a^x — a^x^ _ . . . _ anX"") (X^ + X^ - x -\- X^ - x^ -\- • • -),
aus welcher nun durch Yergleichung der Koeffizienten der Potenzen
von X zur Rechten und Linken die Gleichungen
1 = 1 . Xi
0 = -a,X, + X,
0 = — «2 ^1 — ^1 ^2 "^ ^3
0 = — ün — lX^ — an — 2X2 — . • • — a^Xn — l + Xn
0 = — ttnX^ — an -1X2 — •• ' — a^Xn-{- X„-fl
hervorgehen. Die ersten n dieser Gleichungen bestimmen die Werte
der Koeffizienten X^, Xg, ... X„, während die ferneren Koeffizienten
X„+i, X„+2, .-. mittels der Rekursionsformel (34) aus jenen ent-
stehen. Man sieht: die Skala der Rekursion ist nichts
anderes als die Reihe der Koeffizienten a^, «g? • • • ^n der
5*
68 Rekurrente Zahlenreihen.
sogenannten erzeugenden Funktion, nämlicli des Nenners
von (35).
Denkt man sich statt des Ausdrucks (35) den folgenden:
^ ^ 1 — a^x — a^x^— ■ • • —anx»
dessen Zähler die mit entgegengesetztem Vorzeichen genommene Ab-
leitung der erzeugenden Funktion ist, in eine Potenzreihe (36) ent-
wickelt, so erhält man auf gleichem Wege für die Koeffizienten Xn
dieser letzteren die Bedingungsgleichungen:
«1 = 1 • Xi
2a^ = — a^Zi 4 X.^
3 c/g = — a.^ X^ — a^ X2 -\- X^
(38)
n Cln= — (^n—1 X^ — <^M — 2 X^ — • • • — ü^ Xn — 1 + Xn
0 = — Q,n X-^ — (Xfi — 1 X2 — • • • — (1^ Xn ~\- Xn -j- 1
denen zufolge wieder die Koeffizienten X^, X^, . . . Xn aus den ersten
n derselben bestimmt werden, jedoch andere Werte erhalten wie
zuvor, aus diesen aber auch jetzt wieder die ferneren Koeffizienten
XnJ^i, X„_^2? • • • mittels der Rekursionsformel (34) hervorgehen.
Hier erkennt man leicht die Bedeutung der Entwickelungskoeffizienten,
wenn man den Bruch (37) in bekannter Weise in seine Partialbrüche
zerlegt. Bezeichnen nämlich «j, a^j . . . an die Wurzeln der Gleichung
(39) r - ö^i^-' - ^2r"' öT. = 0,
deren linke Seite aus der erzeugenden Funktion entsteht, wenn x
durch — ersetzt und mit «/^ multipliziert wird, so liefert die Partial-
bruchzerlegung unter der Voraussetzung, die wir erfüllt denken wollen,
daß alle Wurzeln verschieden sind, die einfache Formel:
n
«1 -f 2agic-f • • • -fna^a:"-! "^1 ak
1 — a.x — a^x^ — • • — anx^ ^J 1 — o^kX
und aus ihr entsteht, wenn das allgemeine Glied nach Potenzen
^ ° 1 - akX
von X entwickelt und die Summe der U^^ Potenzen aller Wurzeln:
(40) 4 + 4 + . ..+^^„ = 5,
gesetzt wird, die folgende Entwickelung des Ausdrucks (37):
B^-^S2'X-\-8^-x'^-\ ,
welche mit der Entwickelung (36) identisch sein muß und daher
- = S, + S,^-x + Ss-x'- +
r\Ä
. Rekurrente Zahlenreihen mit fester Skala. 69
zeigt, daß die durch die Formeln (38) bestimmten Koeffizienten Xh
die Potenzsummen S^ der Wurzeln bedeuten. In der Tat sind die
Formeln (38) nichts anderes als die aus der Theorie der algebraischen
Gleichungen her bekannten Neivton8ch.en Formeln.
Beispielsweise findet man, da die Gleichung
y'-y -1-0
die zwei voneinander verschiedenen Wurzeln
1 -I- 1/5" 1 - y 5"
besitzt, die Entwickelung
l-f 2a;
1 — x — x
worin _
ist. Die Anfangswerte S^, S^ der Zahlenreihe
(42) S„ S,, S,, S„ ...
sind Si= l, /Sg = 3, die folgenden Glieder bestimmen sich aus ihnen
mittels der rekurrenten Beziehung
(43) Si^2 = Si^i + Si
(.• = 1,2,3,...)
und es entsteht so die Zahlenreihe
(44) 1, 3, 4, 1, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, . . .,
die zuerst bei Leonardo von Pisa (Fibmiacci) sich findet und daher
nach ihm benannt werden soll.
6. Was sich so auf analytischem Wege dargeboten hat, soll nun
im folgenden mit rein arithmetischen Mitteln ausführlich behandelt
werden. Sei
(45) X„ X„ X„ X,...
eine rekurrente Zahlenreihe, für deren Glieder die Beziehunsr
(46) Xn + i = a^X„^i_i + a2Xn^i_2 + • • • + Cl„Xi
(i=l, 2, 3, ...)
vorgeschrieben ist; sie entsteht aus der Gleichung
(47) X" = a^x^-^ + a^x^-'- -{-■■■ + any
wenn darin allgemein o;* durch X^ 4- ,- ersetzt wird; die Koeffizienten
dieser Gleichung oder, wie wir kürzer sagen wollen, die Glei-
70 Rekurrente Zahlenreihen.
chung selbst ist die Skala der Rekursion. Die Wurzeln der
Gleichung, deren Koeffizienten einer früheren Übereinkunft gemäß
stets hinfort ganzzahlig gedacht werden, seien a^, a^^ ... a„. Durch
die rekurrente Beziehung sind die Zahlen der Reihe (45) von der
n + l*®"" an durch die ersten n Zahlen Z^ , Xg , ... Xn völlig be-
stimmt und erhalten ganzzahlige Werte, wenn die letzteren als ganze
Zahlen gewählt werden. Da diese Wahl aber auf unendlich ver-
schiedene Weise geschehen kann, so gibt es entsprechend diesen
verschiedenen Anfangswerten auch unendlich viel rekur-
rente Zahlenreihen (45), welche doch der gleichen Rekursions-
formel (46) gehorchen. Z. B. wird die Zahlenreihe (42) der vorigen
Nummer von der Reihe von Fihonacci durchaus verschieden, wenn
dieselbe Rekursionsformel (43) mit den anderen Anfangswerten S^ = 0,
S^ = 1 verbunden wird; man erhält dann die Reihe
(48) 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .,
welche als Zamesche Zahlenreihe benannt werden mag. Es muß
jedoch bemerkt werden, daß die verschiedenen, derselben
Rekursionsformel (46) gehorchenden Zahlenreihen nicht
unabhängig voneinander sind.
In der Tat, denken wir uns n verschiedene Zahlenreihen: -
(49) Xf, Xf, Xf, . . .
(Ä = l, 2, 3, ...n),
welche sich nur durch die verschiedenen Anfangswerte
(49a) Xf , Xf, . . . Xf
(7i=l, 2, 3, ...w)
unterscheiden, aus denen sie dann durch dieselbe Rekursionsformel
(50) Xf^i = aiX\/-i + a,Xt\i^, -f • • • + anXf
(Ä = 1, 2, 3, . . . n)
entstehen. Bildet man alsdann mit unbestimmten Koeffizienten Ck
den linearen Ausdruck
(51) X, = c,n' -f c,Xf + • • • + CnXt\
so erhält man, wenn (50) mit Cn multipliziert wird und dann die für
/i = 1, 2, 3, . . . n so entstehenden Gleichungen addiert werden, offen-
bar für die Reihe der Zahlen Xj, die gleiche rekurrente Beziehung
wie zuvor, während die Anfangswerte der Reihe sich aus (51) ergeben,
wenn it = 1, 2, 3, . . . n gesetzt wird, nämlich:
Fnndam entalreihen. 7 1
Z, = c,Zi" + c,Xf + .
■ + c„xr
x, = c,rp + cxf + -
■ + c„xr
Findet man also auf diese Weise, sobald die Koeffizienten Ck ganz-
zahlig gedacht werden, stets eine der Rekursionsformel (46) gehorchende
Reihe ganzer Zahlen X^, so erhält man auch alle möglichen Reihen
dieser Art, wenn man, was stets auf unendlich viel Weisen möglich
ist, die n besonderen Reihen (49), d. i. die Anfangswerte (49 a) so
wählt, daß die Determinante | Xf^ ' der Gleichungen (52) gleich 1 ist.
Denn, wie auch immer die Anfangswerte X^, X.^, ... X„ der rekur-
renten Reihe (45), d. h. welche der möglichen ganzzahligen Reihen
mit der Rekursionsformel (46) auch gedacht werde, stets liefert dann
die Auflösung der Gleichungen (52) ein System ganzzahliger Werte
für die Koeffizienten Ca-, bei dessen Wahl die Reihe der X^. aus den
n Reihen (49) in der vorher angegebenen Weise hervorgeht. Man
erreicht dies beispielsweise, wenn man die Anfangswerte (49a) jener
n Reihen so wählt, daß
(49 b) Xf = 1, Zf = 0 für h^h
ist, wodurch gewiß Xf^ = 1 wird. Die so gewählten w Reihen
mögen hinfort als fundamentale Reihen für die Rekursions-
formel (46) benannt werden, da aus ihnen als den einfachsten von
allen sämtliche übrigen rekurrenten Reihen derselben Art, wie gezeigt
worden, hervorgehen.
Im einfachsten Falle n = 1 wird somit jede rekurrente Reihe der-
selben Art auf eine einzige von ihnen zurückgeführt. In der Tat ist
die Skala der Rekursion in diesem Falle eine Gleichung ersten Grades
x = a,
oder die rekurrente Beziehung von der Form
X,--j-i = aXi,
(1 = 1,2,3, ...)
woraus, wenn X^= c gewählt wird,
Xi^i = c ■ a*
{1 = 0, 1, 2, .. )
hervorgeht; jede rekurrente Reihe dieser Art ist also eine geo-
metrische Reihe mit demselben Quotienten a; die fundamentale Reihe
erhält man, wenn speziell c = 1 gewählt wird, als die Reihe der
72 Rekurrente Zahlenreilien.
Potenzen a% und aus ihr entstellt jede andere Reihe derselben Art,
wenn sie mit einer (ganzen) Zahl c multipliziert wird.
7. Wir wenden uns nun völlig dem nächsten Falle w = 2,
d. h. den rekurrenten Reihen mit der Skala zweiten Grades
(53) x^= a^x -\- «2
oder mit der Rekursionsformel:
(54) Z,+2 = a^ X-f-i -f 0^2 -^^•
(i = l, 2, 3, . ..)
ZU, von denen wir in der erwähnten Reihe von Fibonacci mit der Skala
(55) x' = x-}-l
schon ein Beispiel antrafen.
Die Theorie dieser Reihen, welche wir Reihen zweiter Ord-
nung nennen wollen, ist besonders eingehend in einer schon (s. Nr. 1) kiS-
angeführten größeren Arbeit von E. Lucas erörtert worden; eine '
Anzahl der wichtigsten zahlentheoretischen Eigenschaften derselben
wurde jedoch bereits viel früher von H. Siebeck [Journ. f. Math. 33
(1846), S. 71] gegeben. Bei der hier folgenden Darstellung
setzen wir die ganzzahligen Koeffizienten der Gleichung (53)
als relative Primzahlen voraus und schreiben die Gleichung be-
quemer:
(56) x''=ax-b.
Heißen «j, a^ ihre Wurzeln und setzt man
(57) d = «i-«2, A = d2,
so bestehen die Beziehungen:
-^ a^= a, a^a^ = b,
A=a^-Ab.
(58) { ""'
Der Fall, daß die Diskriminante A gleich Null ist, kann sich
nach unserer Annahme über die Koeffizienten a^ b, dessen »erster
jpositiv gedacht werde, nur ereignen, wenn b =1, a = 2 ist. Dann
entspricht der Skala x'^=2x — l die Rekursionsformel:
(*=1, 2, 3, ...),
aus welcher sich
Xj_|_2 — ^i+i = -^i-i-i — -Xt,
d. h. die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder der Reihe
sich konstant ergibt; bedeutet d diesen konstanten, durch die Differenz
d = X,-X,
der Anfangsglieder gegebenen Wert, so ist folglich:
Die ZaUenreihen zweiter Ordnung. 73
X,+i = X, + d
und die Reihe zweiter Ordnung nichts anderes, als die sogenannte
arithmetische Reihe, wie sie in Nr. 1 des ersten Kapitels betrachtet
worden ist.
Wenn dagegen, was nun immer vorausgesetzt wird, die
Diskriminante A von Xull verschieden ist, könnte man mit Lucas
drei verschiedene Arten von Reihen zweiter Ordnung unterscheiden, je
nachdem A eine positive Quadratzahl, mithin 8 eine reelle ganze, wegen
a^ — ^h = 8^ mit a zugleich gerade oder zugleich ungerade Zahl ist,
oder A einen positiven nicht quadratischen, oder einen negativen
Wert hat. Im ersten Falle wären die Wurzeln
(59) «1=-^-' ^ = -^
ganzzahlig, im zweiten irrational, im dritten komplex. Doch werden
wir hier alle drei Fälle gemeinsam behandeln.
Schreibt man die der Skala (56) entsprechende Rekursionsformel
(60) Z,4.2 = aX,_^i-&X,
(i = l, 2, 3, . . .)
mit Rücksicht auf die Gleichungen (58) in der Form:
(61) Z,-4_2 — («1 + «2) X,-+i 4- «1 «2 ^i = ^f
so leuchtet ein, daß sie von den beiden Größensystemen Xk^ Xk er-
füllt wird, welche bzw. den Gleichungen:
T ;' . (für i= 1,2, 3,...)
XiJ^x = a.^'Xi V
genügen und welche, analog mit dem in Nr. 6 Gesagten, als Glieder
geometrischer Reihen durch die Formeln:
,7 / ^' (für* = 0, 1,2,3, ...)
bestimmt sind. Allgemeiner wird man daher der Rekur&ionsformel
(60) oder (61) genügen durch die Formel:
i^^"^) X,+i = Ä,^ai + A,^ «^.
(für i=0, 1,2,3, .. .)
Wählt man nun die unbestimmten Koeffizienten Ä^, A^ in der
Weise, daß
Xj = J.1 + J^ = 0, Xg = ^1 «1 + ^2 "2 = 1
wird, woraus leicht
74 Rekurrente Zahlenreihen.
^ ^^^^^^^J^''^ (^=0, 1, 2, 3, ...) ' - ' /
rvorgeht, so bilden die so ermittelten Zahlen X^ die eine der
Fundamentalreihen, deren andere gefunden wird, wenn man A^^ A^
so wählt, daß umgekehrt
i^ * ^^ j?7ird. Bei dieser Wahl ergeben sich die Werte:
, . ^ «1 - 0^2 «1 - Cfg
' folglich: i , i i-i i-i
SO daß, wenn die Glieder der zweiten Fundamentalreihe X/+i genannt
werden,
(64) X/_^i = - & . X,
(i=l, 2, 3, ...)
gefunden wird, während Xi = 1 ist. Da so die zweite Fundamental-
reihe unmittelbar aus der ersten hervorgeht, alle übrigen Reihen
aber, welche derselben Rekursionsformel (60) gehorchen, aus den
beiden Fundamentalreihen gefunden werden, ersieht man, daß hier
schon die erste, durch (63) bestimmte Reihe ausreicht, um alle
übrigen anzugeben. Z. B. wissen wir aus Nr. 5, daß auch die Summen
^ . , gleicher Potenzen der Wurzeln der Gleichung (56):
^"^i ' &5J^/; ^ |>^ ^i. ; ^^ ^ Ä- = «J + 4 . y
*w J^~ der Rekursionsformel (60) — auch für ^ = 0 — genügen^setzen wir
J it^ (66) K • 1^^. ^ 2-/ £4: r,+i = &,
A^JU so besteht also die Beziehung:
^J^ (67) * r,+i = c'X.+i + c"X,Vi,
^*-'*^^ (ä; = 0, 1,2,3, ...)
d. h. nach (64):
(68) r,+i = c'X,+i-6c"X„
(Jc=l, 2, 3, . . .)
während:
(69) Y,= c'X,+ e^'X[
ist. Nun sind die Anfangswerte ¥^ = 8^ = 2, Fg = /S^ = «i + ofg = ^> ^i*"
hin erhält man zur Bestimmung von c', c" die beiden Gleichungen:
Die Fundamentalreihen Bj;, S/.. 75
(70) 2 = c'X, + c"X[ = c",
(71) a==c'X,-hc"X,= c',
und nunmehr aus (68) die Formel:
(72) S,= Y,+, = aX,^,-2hX,.
(ä: = 1, 2, 3, ...)
Die beiden rekurrenten Reihen mit den allgemeinen Gliedern:
(73) E.^X.^. = ^,\^^^^^^^^ ^^
(74) S,= Y,^^=al + al J
bestehen, wie sie es als Lösungen der Rekursionsformel (60) mit
ganzzahligen Anfangsgliedern müssen, aus ganzen Zahlen, gleichviel
ob die Wurzeln a^, a^ der Gleichung (56) ganz, irrational oder
komplex sind, denn die Ausdrücke (73), (74) sind ganze und ganz-
zahlige symmetrische Funktionen der Wurzeln, also ganze und ganz-
zahlige Funktionen der ganzzahligen Koeffizienten a, h. Mit den Eigen-
schaften dieser beiden Zahlenreihen wollen wir uns nunmehr ein-
gehender beschäftigen. Als ausgezeichnete Beispiele derselben heben
wir hier zunächst, um uns darauf berufen zu können, die folgenden
besonders hervor:
Sei erstens die Skala
(75) x'=-3x-2
mit den Wurzeln „ .
«1 = 2, a.2 = 1,
so erhält man die rekurrenten Reihen mit den allgemeinen Gliedern
(76) R, = 2'-l, S, = 2' + l.
(Jc = 0, 1, 2, 3 .. .)
Wegen des Anteils, welchen schon Fermat den Zahlen von dieser
Form zugewandt hat, mögen diese Reihen als Fermatsche Zahlen-
reihen benannt werden; ihre anfänglichen Glieder sind die folgenden:
0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, .. .
2, 3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, 257, 513, . . .
Zweitens liefert die Skala
x^ = X + 1
mit den Wurzeln _ _
l+l/o 1-1/5
die rekurrenten Reihen mit den allgemeinen Gliedern
76 Rekurrente Zahlenreihen.
(^ = 0, 1, 2, 3, ...)
deren zweite wir bereits in Nr. 5 als die Reihe von Fiho-
nacci angetroffen haben (s. dazu Niedere Zablenth. I, S. 115); sie
mögen daher beide mit diesem Namen belegt werden. Ihre anfäng-
lichen Glieder sind die folgenden:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, . . .
Drittens sei die Skala
aj2 = 2^+l,
deren Wurzeln
«1 = 1 + y2, cf2 = 1 - 1/2
sind, so daß die entsprechenden beiden rekurrenten Reihen die all-
gemeinen Glieder
(78) ^^^(i+y^y-Ci-v^/, s^^d + vw+d-VW
A y M
(^ = 0, 1, 2, 3, ...)
besitzen (s. dazu Niedere Zahlenth. I, S. 118) und mit den folgenden
Zahlen beginnen:
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, . . .
2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, 2786, . . .
E. Lucas hat diese Reihen als Pe??sche Reihen bezeichnet, um
das Verdienst zu ehren, welches Fell um die Auflösung der so-
genannten Pe??schen Gleichung zukomme; gegenwärtig weiß man aber,
daß dies Verdienst gar nicht nachweisbar ist, und so wollen wir
lieber diese Reihen mit Rücksicht auf die (Niedere Zahlenth. I,
S. 117/118) darauf bezügliche Arbeit von Dupre nach dem letzteren
als Dupr esche Zahlenreihen bezeichnen.
8. Indem wir nun die zahlentheoretischen Eigenschaften der Zahlen
Bk, Sk ermitteln wollen, leiten wir zunächst eine Reihe von Be-
ziehungen zwischen ihnen her, aus denen wir jene entnehmen.
Aus den Formeln (59) oder, wie wir sie auch schreiben können:
_ a + VA ^. _ a - y A
erhält man unmittelbar
«i = — y— ^ «2 2
Grundformeln für J?^., Sj^. 77
oder, wenn diese Ausdrücke nach den Potenzen von |/a entwickelt
werden:
(79) 2^-^ .i?,= j a'-' +fcÜi^a^-3A -f . . .
(80) 2^-1 . Ä. = a' + ^^^ a^-2 A + ^(J^-m-mk-^) ^^-4^2^. . .
Da ferner die Zahlen Rk, Sk derselben Rekursionsformel (60) ge-
horchen, man somit die Gleichungen hat:
Si^2=ciSi^i_ — h Siy
so findet man durch Elimination von a aus ihnen die folgende:
JR£_l_2^i+i — SiJ^iBi^i = h • {Bi^iSi — Si^iRt)
{i = 0, 1, 2, 3, .. .)
und, wenn darin i in i—lj i — 2,... verwandelt und die ent-
stehenden ähnlichen Gleichungen miteinander verbunden werden, diese
andere:
Bij^^SiJ^i — i?j-_|_i5j + 2 = &' + ^ • {ßiS^ — B^S^y
d. h. nach den Anfangs werten
JB, = 0, i?, = 1, S„ = 2, S^ = ff
die Gleichung
BiJ^^SiJ^i — Bi^iSi + 2 = 2&' + ^,
also auch
(81) i?,+i>S,-i?,5, + i = 2&'-.
Führt man in diese Gleichung nach (72) die Werte
Si = aB,-2hB,-^, Si + ^ = aBi^i- 2hBi
ein und reduziert die so entstehende linke Seite, so ergibt sich die
fernere, für das Folgende besonders wichtige Gleichung
(82) m-Bi-iB,+, = b'-\
Andererseits folgert man aus den Beziehungen
(83) a[-a^=^d' B;, «[ -f «^ = Ä
die anderen:
78 Rekurrente Zahlenreihen.
(84) 2a{ = Si^-d-E,, 2a'^ = 8,- d • E,,
und aus deren Multiplikation mit Rücksiclit auf a^a2 = h und A = d^
die Gleichung
(85) 4¥ = 8f- A- El
Diese Gleichung lehrt zunächst, daß die Zahlen JR,, Si
keinen ungeraden Primteiler gemeinsam haben können.
Denn ein solcher Primteiler p müßte in h aufgehen. Nun folgt aber
für h = i aus der Gleichung (80), wenn sie als eine Kongruenz
(mod. h) aufgefaßt wird, für welchen Modulus aus A = a^ — 4:h sich
A = a^ ergibt, die nachstehende Kongruenz:
2^-^'Si = 2'-^'a' (mod. &),
also auch (mod. p), oder einfacher
8i = a' (mod. p).
Demnach müßte der Primteiler p auch aufgehen in a, während doch
a, h als relative Primzahlen vorausgesetzt worden sind.
Ferner läßt die Gleichung (85) einen Schluß zu auf die Linear-
formen, in denen die ungeraden Primteiler der Zahlen jR/, 8i ent-
halten sein müssen. Ist i gerade, so muß jeder ungerade Primteiler
von 8i offenbar Teiler „der quadratischen Form^' x^ + Ay^, mithin
bekanntlich in gewissen, durch die Diskriminante A bestimmten Linear-
formen enthalten sein. Ist i ungerade, so folgt aus (85)
4¥+^ = 'b-8'j - Ah'EJ
und somit jeder ungerade Primteiler von 8i als ein Teiler der qua-
dratischen Form x^ -{- Ah ' y^. Was die Primteiler von Ei anbelangt,
so können wir ähnliches nur für diejenigen folgern, welche den
Zahlen Ei mit ungeradem Index i angehören; für ungerades i folgt
nämlich aus (85), daß jeder ungerade Primteiler von Ei Teiler der
Form x^ — hy^ ist. Wir dürfen hiernach den Satz aussprechen:
Jeder ungerade Primteiler der Zahlen Ei ungeraden
Ranges geht auf in x^ — hy^-, jeder ungerade Primteiler der
Zahlen 8i geraden Ranges in x^ -f- Ay^, jeder derartige Teiler
der Zahlen Si ungeraden Ranges in x^ -f Ahy^.
Beispielsweise sind hiernach und nach den Sätzen über die Linear-
formen der Teiler quadratischer Formen
1) in den Fermatschen Reihen die Primteiler der Zahlen 2^*+^ — 1
Teiler von x^ — 2y^j also von der Form Sh ± 1] die Primteiler der
Zahlen 2^* -\- 1 Teiler von x^ + y^, also von der Form 4/i + 1; die-
jenigen der Zahlen 2 2* + ^ -f 1 Teiler von x^-}-2y% mithin von der
Form Sh + 1 oder Sh -f 3;
Sätze über Primteiler der E^^, Sf^. Die Additionsformeln. 79
2) in den Reihen von Fihonacci sind ähnliclierweise die Prim-
teiler von 1^2* + 1, S2k, S2k-\-i bezw. Teiler von rr^-f 2/^ x^ + by\
x^— bif, mithin von den Formen 4/i + 1; 20h + 1, 3, 7, 9; 201i -f 1,
9, 11, 19;
3) in den Dwpreschen Reihen sind die gedachten Primteiler bezw.
Teiler von x^^ -\- y^^ x^-{-2y^-, x^ — 2y^, also von den Formen 4:h + 1;
8/i + l, 3; Sh + 1, 7.
9. Kehren wir nun wieder zu den Formeln (84) zurück. Setzt man
darin i = m, i = n und multipliziert die entstehenden Gleichungen,
so kommt
4«,- + - = >S^;S„ + d . (ßmBn + SnBm) + A • B^Rn
zwei Gleichungen, deren Addition und Subtraktion die beiden folgenden
liefert:
,^^. f 2 • Sm+n = Snßn + A • BmB„,
[ 2 ■ Bm-}-n= SjnBn + S„Bmf
welche wir als die Additionsformeln in der Theorie der re-
kurrenten Reihen zweiter Ordnung bezeichnen wollen. Der
zweiten von ihnen geben wir noch eine andere Gestalt, in der sie
von Siebeck aufgestellt worden ist. Ersetzt man darin nämlich Smj Sn
nach (72) durch die Ausdrücke:
Sm = aBm — 2'bBm-lj Sn = üBn — 2lBn-i ,
SO gelangt man zur Gleichung:
Bm-\-n = aBjnBn — 'b(BmBn — i + BnBm — i),
wofür man wegen aBn — hBn-i = jR^+i auch schreiben kann:
(87) Bjn-\.n = Bjn • Bn-\.l — b ■ Bm—1 • Bn-
Nimmt man 7n = qn an, so folgt hieraus:
-R{2 + l)n = Bqn . Bn^i — b Bgn — lB„:^
wenn daher Bgn teilbar ist durch Bn, so muß es B^q^i)n auch sein;
da nun gewiß Bn selbst durch B^ teilbar ist, so ist es auch Bs»^
dann auch JRs«, i?4„, •••, kurz, man erhält den Satz:
Ist 7n teilbar durch n, so ist auch Bm teilbar durch Bn.
In Beachtung der Bedeutung des Zeichens Bn darf man hiemach
sagen: Der Ausdruck
(a-M/Ä)^"-(a-yÄ)^" 1
(a + l/A)"-(a-yA)" 2<2-i)«
ist einer ganzen Zahl gleich.
80 Rekurrente Zahlenreihen.
Hieraus schließt man nun weiter, daß, wenn sowohl m als n Viel-
fache einer Zahl d sind, die Zahlen i?^, JR« beide teilbar sind durch
Bd, oder: ist d gemeinsamer Teiler von m und n, so ist Ra
gemeinsamer Teiler von JR^, i?„.
Ferner folgt aus (86), daß jeder ungerade gemeinsame Teiler von
Bm+n und Bmf da er jener Gleichung zufolge in Sm-Bn aufgehen
muß, nach (85) aber Bm und Sm keinen gemeinsamen ungeraden Teiler
haben, notwendig auch in i?„ aufgehen muß. Mittels des Euklidischen
Algorithmus zur Aufsuchung des größten gemeinsamen Teilers zweier
Zahlen erkennt man hiernach, daß jeder ungerade gemeinsame
Teiler von Bm^ Bn auch in Ba aufgehen muß, wenn d den
größten gemeinsamen Teiler von m und n bezeichnet. Da
dann dem Vorigen zufolge umgekehrt Bmj Bn beide durch Ba teilbar
sind, läßt sich folgender neue Satz aussprechen:
Der größte ungerade gemeinsame Teiler von Bm^ Bn ist der
ungerade Faktor der Zahl Bdf deren Index d der größte ge-
meinsame Teiler von m, n ist.
Daher werden Bm, Bn ohne einen ungeraden gemeinsamen
Teiler sein, wenn m^ n teilerfremd sind, denn dann ist d = 1,
mithin B^= 1 der größte ungerade gemeinsame Teiler von B^, Bn.
Ist also p eine ungerade Primzahl, so können B^, B^y •••,
Bp—1 keinen ungeraden Teiler gemeinsam haben mit Bp.
Aus dem Umstände, daß B^n teilbar ist durch Bn, folgt, daß,
wenn m eine zusammengesetzte Zahl ist, im allgemeinen dasselbe von
B,n gilt, denn, wenn m = qn gesetzt wird, ist eben Bm teilbar durch
Bny also zusammengesetzt, falls numerisch Bgn> Bn> 1 ist.
Wenn demnach die rekurrente Reihe der Bn eine numerisch
wachsende Wertreihe ist, so gilt der Satz:
Bm kann nur dann Primzahl sein, wenn auch m es ist.
Doch ist die so ausgesprochene notwendige Bedingung nicht auch
ausreichend, wie folgendes Beispiel zeigt. In der Reihe von Fibonacci ist
JR53= 53316291173
keine Primzahl, sondern zerlegbar in das Produkt
953-55945741.
In dieser Reihe ist der erste Koeffizient der Skala a gleich 1; sooft
dies aber der Fall, ist jedesmal B2= Bi=ly dann kann also ein
Glied Bm mit geradem Index eine Primzahl sein, obwohl m ein Viel-
faches von 2; doch, wenn dann die Reihe der Bk vom Gliede B^ an
numerisch wächst, mithin JR« > 1 für w > 2 ist, so ist B^ das einzige
Glied, welches eine Primzahl sein kann, ohne daß sein Index es eben-
falls ist.
Teilbarkeitssätze für B^, S^. 81
Schreibt man die zweite der Additionsformeln (86) oder die
Gleichung (87), wie folgt:
B„ B.
= ^r--^/i + i— 0- ±1,
und multipliziert dann beide Seiten der Formel mit
so entsteht die Gleichung
B„B^_^-B^ B^B^_^-B^ "+^
_ 7 "* + » — !' "^ffl + n — 2 • • • ^m-{- 1 -n
Aus ihr folgert man den Satz:
Das Produkt aus n aufeinander folgenden Zahlen der re-
kurrenten Reihe der R^ ist durch das Produkt R^- B^- Bn
der ersten n dieser Zahlen teilbar. Nimmt; man nämlich an,
dieser Satz bestehe bereits für jede geringere Anzahl von Faktoren,
sowie, falls m kleiner ist als ein bestimmter Wert, auch für n Faktoren,
so sind die Quotienten, welche zur Rechten der vorigen Gleichung
auftreten, ganzen Zahlen gleich und der Satz ist also auch für n Faktoren
und den um 1 größeren Wert von ni gültig. Nun gilt der Satz für
71 = 1, welchen Wert m auch hat, denn wegen JR^ = 1 ist stets
-^ eine ganze Zahl; er gilt aber auch für >^=2, wenn 7n = 1, denn
B3 • B^ 73
ist einer ganzen Zahl gleich; somit gilt der Satz auch für w = 2,
welchen Wert m auch habe; da dann wieder für n = 3, m = 1
■R4 -Rg • -Rg __ jo
Bs-B^B^ *
ganzzahlig ist, erkennt man die Richtigkeit des Satzes auch für n = 3,
welchen Wert m auch habe; usw. fort.
Weiter erhalten wir aus der zweiten der Formeln (86) für m = n
die Formel
während die erste derselben
ergibt, wofür aber wegen (85):
Bachmann, niedere Zahlentheorie. IL g
82 Rekurrente Zahlenreihen.
(89) S2n = 2h--hA.El^Sl--2h-
geschrieben werden kann. Diese Formeln leisten guten Dienst,
um die Zahlen Bkf Sk mit geradem Index k in Faktoren zu
zerlegen. Ist z. B. w = 2v + 1, h ==2ß\ so ist die rechte Seite der
Gleichung (89) als Differenz zweier Quadrate zerlegbar, nämlich:
Für die Fermatsche Reihe ist & == 2, d. i. h = 2/3^, wenn ß = 1 ge-
setzt wird; da für sie Sk = 2^-\-l ist, findet sich demnach die Formel
(90) 2*^+2 + 1 = (22^+1 + 2*'+! + l)(22-+i - 2' + i + 1),
welche von E. Lucas als zuerst von d'Äurifeiiille gegeben angeführt
wird, die aber nur ein spezieller Fall einer allgemeineren schon von
Sophie Germain gegebenen Formel ist. Für v = 14 ergibt sich daraus
2^8 + 1 = (2«« + 2^5 + 1) (2^9 - 2'' + 1),
wo der zweite Faktor, da 2^ = — 1 (mod. 5) ist, sich als durch 5 teil-
bar herausstellt; die Formel liefert die folgende Zerlegung:
2^8 + 1 = 5 . 107 567 629 • 586 903 681.
Ist andererseits n eine Potenz von 2^ n= 2^, so folgt aus (88)
jR^r + l = B2V ' S^v
und kraft dieser Formel läßt sich J?2^+^ berechnen, sobald man die
Reihe der Zahlen
^ir ^2> ^4? ^sf ^16> • • •
berechnet hat, denn wegen i^j = 1 ist allgemein
(91) B,v+i=.S,-S,^S, ... S,v,
Wir werden später von dieser Formel Gebrauch zu machen haben.
10. Um nun weiter zu untersuchen, welche Primzahlen in den
einzelnen Gliedern der rekurrenten Reihen der JR^, S^ aufgehen können,
und so deren Zerlegung zu erkennen, betrachten wir zuvörderst die end-
liche Menge der Primzahlen pj welche in den Koeffizienten a, h der
Skala oder in deren Diskriminante A aufgehen.
Doch schicken wir noch eine allgemeine Bemerkung voraus. Wir
nennen eine ungerade Primzahl p einen eigentlichen Teiler von
Bn, wenn n der kleinste Index ist, für welchen Bn durch p aufgeht,
und definieren die eigentlichen Teiler von Sn auf entsprechende
Weise. Ist dann p ein eigentlicher Teiler von Bjt, so sind
alle Zahlen JR„ und nur diejenigen Zahlen Bn durch p teil-
bar, deren Index ein Vielfaches von 7t ist. Denn, sind gleich-
zeitig Bn und Brt teilbar durch p, so geht nach einem früheren
Die Primteiler der i?^., Sf,. -83
Satze p auch in Ba auf, wenn d der größte gemeinsame Teiler von 7t
und n ist, der, entgegen der Bedeutung von Jt, kleiner als ;r sein
würde, wenn n kein Vielfaches von jt wäre. Demnach muß n teilbar
sein durch ä; ist dies aber der Fall, so ist auch R^ teilbar durch
R:r und folglich durch p, w. z. b. w.
Die eigentlichen Teiler von Sn stimmen mit den eigent-
lichen Teilern von Bin überein. Denn erstens ist, wenn p ein
eigentlicher Teiler von Sn ist, nach (88) p auch ein Teiler von 1^2«.
Wenn nun p ein eigentlicher Teiler von i2^ wäre, so müßte 2n durch
3r teilbar sein; n selbst kann nicht durch jt teilbar sein, denn sonst
wäre auch Bn teilbar durch p^ während es doch ohne gemeinsamen
ungeraden Teiler mit Sn ist; daher muß tc = 2n' sein, wo 7i' ein
Teiler von n. Da nun B2n' = B„' • Sn' und Bn' durch den eigentlichen
Teiler p von B^t nicht teilbar sein kann, müßte es Sn' sein, woraus
n' = n und somit :r = 2n hervorgeht. Umgekehrt geht jeder eigent-
liche Teiler p von Bin wegen (88) und da er in Bn nicht aufgehen
kann, in Sn auf; wäre er nun nicht eigentlicher Teiler von S„y so
gäbe es einen kleineren Index ?^', für welchen p eigentlicher Teiler
von Sn' wäre; dann würde er aber dem eben Bewiesenen zufolge
eigentlicher Teiler schon von Bin' sein, gegen die Voraussetzung.
Was nun zuerst die Primzahl 2 anbetrifft, so folgt aus
den Eekursionsformeln
JR/4.2 = aBi^i — hBi, Si^2 = ciSi^i — hSi
unmittelbar, daß,
falls a ungerade, h gerade ist, wegen i?^ = 1, B.^ = a sämt-
liche Bij wegen S^ = 2j S^ = a sämtliche ä, bis auf die geraden
Anfangsglieder Bq, Sq ungerade sind;
falls a gerade, h ungerade ist, werden die Bi von Bq an
abwechselnd gerade und ungerade, die S; sämtlich gerade sein;
falls aber beide a, h ungerade sind, werden die Bi von Bq,
die Si von Sq an immer eins gerade, die beiden folgenden ungerade sein.
Sei ferner p ein ungerader Primfaktor von a. Da B^ = 1,
B^ = a ist, so ist p ein eigentlicher Teiler von 2^, somit ist jedes
Bn mit geradem Index n teilbar, dagegen jedes Bn mit ungeradem
Index nicht teilbar durch p. Da Sn keinen ungeraden Teiler mit Bn
gemeinsam bat, kann Sn bei geradem Index nicht durch ^ teilbar sein;
da andererseits Bn bei ungeradem Index nicht, wohl aber Bin=BnS„
durch p teilbar ist, muß Sn bei ungeradem Index durch p teilbar
sein. Insbesondere werden von den drei aufeinander folgenden Zahlen
Bp—ij Bpj i^p-fi die beiden äußeren teilbar, die mittlere nicht teil-
bar sein durch p.
Sei nunmehr p ein ungerader Primteiler von h. Aus (80)
haben wir bereits die Kongruenz:
6*
84 • Rekurrente Zatilenreilieii.
Si = a' (mod. p)
hergeleitet, und in gleicher Weise ergibt sich aus (79)
Bi = a'-'^ (mod. p).
Da ttj h als teilerfremd vorausgesetzt sind, lehren diese Kongruenzen,
daß keine der Zahlen JR,, Si, insbesondere keine der drei Zahlen
Bp—i, Bpy Bp^i durch p teilbar sein kann.
Ist endlich p ein ungerader Primfaktor von A, der wegen
weder in a noch in h aufgehen kann, so folgen aus (79), (80) für
k = i die Kongruenzen
2^-^Bi = ia'-\ 2'-^8i = a' (mod. p\
welche lehren, daß keine der Zahlen Si, von den Zahlen Bi aber nur
diejenigen durch p teilbar sind, deren Index i selbst durch p aufgeht.
Die Primzahl p ist mithin eigentlicher Teiler von Bp] da ferner aus
(79) für h = p die Grleichung
mithin, da sämtliche Binomialkoeffizienten durch p teilbar sind, die
Kongruenz:
2P'-'^Bp ^p • aP-^ =p (mod. p^)
hervorgeht, so erkennt man, daß der Primfaktor p in Bp nur zur
ersten Potenz enthalten ist. In diesem Falle ist von den drei auf-
einander folgenden Zahlen Bp-i , Bp, Bp^i nur die mittlere durch p
teilbar.
11. Wir betrachten nunmehr die ungeraden Primzahlen^,
welche weder in a noch in h noch auch in A aufgehen.
Aus (79) folgt für Ä;=i)
2^-^^Bp=^p^aP-^ + ^-^^^^^^
also, da 2^-^=1, A^" = ^^) (mod. ^9) ist, die Kongruenz
(92) Bp = {f) (mod. p).
Da nun die Gleichung (82) für i=p die Kongruenz
Bl - Bp.i • Bp+t = 1 (mod. p)
ergibt, so fließt aus dieser mit Beachtung des eben erhaltenen Resul-
tates die andere:
Die Primteiler der Bf^, Sj.. 85
Rp-i ' Bp^i = 0 (mod. 2)\
also muß eine der beiden Zahlen JR^— i, -Rp-f-i und, da das dem
größten gemeinsamen Teiler 2 der beiden Indizes entsprechende Glied
R2 = a der Reihe nicht durch p aufgeht, auch nur eine derselben
durch p teilbar sein. In diesem Falle ist also von den drei auf-
einander folgenden Zahlen Bp—i, Bp, -R^-fi nur eine, und zwar eine
der beiden äußeren durch p teilbar. Welche von beiden es ist, wird
vom quadratischen Charakter der Diskriminante A (mod. 2)) bestimmt.
Aus (79) fließt nämlich für Z; = ^^ -f 1 die Gleichung
2f ■ B,+^ = (j, + 1) a" + (i'+^i)^<^-i) aP-'-A +...+{p+ l)aA~^
und aus ihr die Kongruenz
2-B,+, = a(l + [f)\(mod.p).
Demnach ist Bp-\-i dann und nur dann teilbar durch p, wenn
(— ) = — 1 ist, und deshalb Rp^i dann und nur dann, wenn (— ) = -f 1
ist. Man erhält sonach den Satz:
Je nachdem A quadratischer Rest oder Nichtrest von ^
ist, geht Rp—i oder jRp+i durch p auf, ein Satz, der sich aus-
spricht in der Formel
(93) jR^_/A\=0 (mod.p).
In diesem Satze ist als besonderer FaU der i^erma^sche Lehrsatz
enthalten. Für die Reihen der ersten der von Lucas unterschiedenen
drei Arten ist nämlich
während «j, a^ ganze Zahlen und A = («^ — «3)-, also quadratischer
Rest von jeder nicht in a^— a^ aufgehenden Primzahl ist. Hier lautet
der Satz also so, daß aP~^—a^~^ für jede weder in a = a^ + «3
noch in & = a^Og noch auch in A d. i. in cc^— cc^y oder einfacher, da
aus «1 ± «2 = ^ auch af— ^— a^~^ = 0 (mod.^;) gefunden wird, für
jede nicht in 6 d. h. weder in a^ noch in a^ aufgehende Primzahl p
durch p teilbar sei, ein Satz, den schon EuJer (Comm. arithm. coli. I
S. 2) ausgesprochen hat, und der nur eine andere Form des jPerma^schen
Satzes ist.
Setzt man nun in (81) einmal i=p, das andere Mal i=p — l
und schreibt die so entstehenden Gleichungen als Kongruenzen (mod.p),
so erhält man
Rp+i • Sp - Sp+i . (y) = 2h
(i)
I (mod. p).
Sp—i — Sp • Rp—i ^ 2
86 Rekurrente Zahlenreihen.
Wegen (93) ergibt sich also, wenn ( — j = — 1 ist,
Sp^i^ 2h,
wenn aber ( — j = 1 ist, (mod.^),
so daß allgemein gesetzt werden darf
(94) S/A\=2h^\\^l) (mod.p).
Aus (80) endlicb folgt für li = p die Kongruenz
oder einfacher
(95) Sp^a (mod. p).
Wenn nun auch durch (93) festgestellt ist, daß jR^+i oder Bp^i
durch p teilbar ist, so brauchen diese Zahlen doch nicht die ersten
in der Reihe der Zahlen B^ zu sein, welche durch p aufgehen. Sei
vielmehr Brt die erste durch p teilbare Zahl, also p ein eigentlicher
Teiler von B^t- Dann muß nach der Vorausbemerkung in voriger Nr.
der Index p — l — j ein Vielfaches von ;r, also p — (— j = h7t sein.
Man darf also folgenden Satz aussprechen:
Ist die Primzahl p ein eigentlicher Teiler von Bjt, so hat
sie die Form p = hjt -\- l — ) und sie kommt in der Reihe der Zahlen
Bk in allen denjenigen Zahlen vor, deren Index h ein Vielfaches von 7t
ist, und nur in diesen. Ist insbesondere eine solche nicht in a, h, A
aufgehende Primzahl p ein Teiler einer Zahl B^y deren Index €[ eine
Primzahl ist, so ist sie ein eigentlicher Teiler von Bg^ und somit, je
nachdem A quadratischer Rest oder Nichtrest ist von Py von der Form
2Ä;g+ 1 oder 2Ä;^- 1.
Da wir fanden, daß die eigentlichen Teiler von Sn mit den eigent-
lichen Teilern von B^n übereinstimmen, läßt sich dem vorigen Satze
der folgende hinzufügen: Ist die Primzahl p eigentlicher Teiler
von Sjt, so hat sie die Form p = ^hic + (— )•
Handelt es sich z. B. um die Reihen von Fibonacci mit der Dis-
kriminante A = 5, so geht jede Primzahl p, für welche f-j = (^ j = 1
ist, d. h. jede Primzahl p von einer der Formen 10ä:+ 1 in Bp—i,
dagegen jede Primzahl p, für welche (— j = (^) = — 1 ist, d.h. jede
Primzahl p von einer der beiden Formen lOJc ± S in Bp-^i auf.
Zerlegung der B^ in Primfaktoren. 87
Man kann diese Sätze mit Nutzen verwenden, um die Zerlegung
der Zahlen B^ in ihre Primfaktoren zu gewinnen. Handelt es sich
etwa um die Zahl
2^- 1 = 18446744073709551615,
d. h. um das Glied B^^ der Fermatschen Reihen, so erhält man zunächst
nach (91) die Zerlegung
worin
S^ = 3, S, = 5, 5,= 17, S, = 2bl, S,, = 65537
Primzahlen sind, während
S,, = 4294967297
ist. Die eigentlichen Primteiler von S^^ sind, da A = 1 quadratischer
Rest von jeder Primzahl ist, von der Form 64 Ä; + 1; man hat daher,
um sie zu finden, die Zerlegung von S^^ n^^' °^i^ ^®^ Primzahlen von
dieser Form:
ij = 193, 257, 449, 577, 641, •••
zu versuchen. Man findet, daß erst 641 in S^2 aufgeht und erhält
532=641.6700417.
Um, wenn mögHch, den zweiten Faktor noch weiter zu zerlegen,
versuche man aufs neue die Division mit den folgenden Primzahlen
jener Form:
641, 769, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, ...,
welche die Quadratwurzel aus jenem Faktor nicht übertreffen; da
keine von dieseu, noch auch 3, 5, 17 in ihm aufgehend befunden wird,
die Primzahl 65537 aber größer ist als jene Quadratwurzel, ist der
Faktor selbst eine Primzahl, und damit die Zerlegung der Zahl jRg^
in ihre Primfaktoren geleistet.
Ahnlicherweise findet man für das Glied
i?,g = 956722026041
der Reihen von Fihonaccij dessen Primfaktoren, da jetzt a = 1, 6 = 1,
A = 5 ist, weder in a, noch in h, noch in A aufgehen, also dem
Obigen zufolge als eigentliche Primteiler von jRjg von der Form
118 fc ± 1 sein müssen, daß die erste von ihnen 119 zwar nicht, da-
gegen die zweite 353 in B^^ aufgeht, so daß
1^59 = 353.2710260697
gesetzt werden kann.
Verbinden wir endlich die gewonnenen Sätze mit den für die
Reihen der Bky Sk geltenden Additionsformeln, so erhalten wir eine
33 Rekurrente Zahlenreihen.
eigentümliche Periodizität, welche Liicas veranlaßt hat, die Zahlen
i?i, Sk der rekurrenten Reihen zweiter Ordnung als fonctionsnume-
riques simplement periodiques zu benennen. Die auffallende Ana-
logie, welche diese Größen durch die Additionsformeln und eine Menge
anderer algebraischer Eigenschaften mit den trigonometrischen Funk-
tionen sin ^, cos z darbieten, kommt durch die genannte Periodizität
zu besonders prägnantem Ausdrucke. Doch gilt diese Periodizität
nicht in absolutem Sinne, vielmehr nur in bezug auf einen Frim-
zahlenmodulus p der hier betrachteten Art.
Aus (87) ergibt sich für n = h7t die Beziehung
Ist nun zunächst p ein eigentlicher Primteiler von Rn, für
welchen (— ) = + 1 ist, und j) == 7i:r 4- 1, so ergibt vorstehende
Beziehung als Kongruenz (mod.^) gefaßt folgendes Resultat:
Bm^h7t = Ii'm (mod.^),
welchen Wert m auch habe; daher liefert dann die Beziehung
Sm-\-h7t = Cl • lim-\-h7t — 2 6* lim-\.h7t—l
die Kongruenz
Sm+hrt = a'Bm—2l'Bm-i^Sm (mod. i?).
In diesem Falle ist also
-Rm+ATT = -Rm; Sm-{-h7t^ Sm (uiod. p).
Die Zahlenreihen der Rky Sk sind daher in bezug auf den
Modulus p periodisch und ihre Periode ist Jix =p — 1.
Wenn dagegen p ein eigentlicher Primteiler von Bjt ist, für
welchen ( — ) = — 1 ist, und man setzt also p = li7t — 1^ so findet
sich aus (87) für n = h^ — 1 die Beziehung
Bm-\-hn = Bm-\-l ' -Rkn — 0 • Mm ' ühn—l}
also die Kongruenz
Bm+hn = 0 'Um,
allgemeiner also
BmJrhdn = M • 2?^ (mod. p),
SO daß, wenn 8 der Exponent ist, zu welchem h (mod. p) ge-
hört, sich
Bm+h67t = Ilm (mod.^))
ergibt, welchen Wert m auch habe. Daher kommt dann aus der
Beziehung
Periodizität der J?^., Sj.. Häufigkeit der Primteiler. 89
auch die Kongruenz
S„,^hön = Sm (mod. ^).
In diesem Falle sind also die beiden Reihen der Bk, Sk
zwar wieder periodisch, ihre Periode ab er beträgt
öh:t = d(2) + 1).
12. Aus der Vorbemerkung in Nr. 10 wissen wir schon, daß eine
Primzahl p, welche eigentlicher Teiler von B^ ist, in allen Zahlen Bn
und nur in solchen aufgeht, deren Index 7i ein Vielfaches von tc ist.
Wir fragen aber auch einmal nach der Häufigkeit dieses Aufgehens,
nämlich: wenn p in Bn, wie wir annehmen wollen, genau X mal auf-
geht, wie oft wird es in B^jt aufgehen?
Die Beantwortung dieser Frage stützt sich auf eine
Formel, die wir zunächst beweisen müssen. Wir behaupten,
es sei identisch «"»-[-<
(96) = (a, + a,r - f «,«,.(«, + «,)-2 + f . (' - yial • {a, -f «,)— ^
und bestätigen dies durch allgemeine Induktion. Man hat
nämlich offenbar
Gesetzt nun, die Formel (96) bestünde für alle Exponenten
1, 2, 3, . . . 7)1 inklusive, so erhielte man durch Einsetzen in die vor-
stehende Gleichung die linke Seite gleich einem Ausdrucke mit dem
allgemeinen Gliede
(-i)-e-r;7-r)+!^-("\--:^)]-{4-(«.+«.)"'-n
wo nun der Wert der Klammer leicht gleich
ni -j- 1 /m — 7?\
der des allgemeinen Gliedes also gleich
gefunden und somit die Gültigkeit der Formel (96) auch noch für
den Exponenten m + 1 erkannt wird. Da sie aber für 7n = 2 und
7)1 = 3 ersichtlich stattfindet, so ist sie bewiesen.
Ersetzen wir nun in dieser Identität die Zeichen a^, a., durch «J
und — a^ resp., indem wir wieder unter a^, cc^ dann die Wurzeln der
90 Rekurrente Zahlenreihen,
Gleichung (56) verstehen und wählen für m eine ungerade Primzahl p,
so nimmt sie, durch d = «j — «g geteilt, nachstehende Form an:
E,„ = A-^ ■ RP + U-A^ ■ Er' + f • \^-^)VA-^ ■ Br'
(97)
in welcher die sämtlichen Koeffizienten, da allgemein
P (p-h-i\ _ (p-h\ /p-h-i\
h' \ h-l J \ h ) ~^ \ h-l )
ist, ganze, und zwar durch p teilbare Zahlen sind. Gesetzt also, p
sei eigentlicher Teiler von R^ und gehe genau Amal in Hn auf, so
folgt sogleich aus (97), indem darin n gleich % gewählt wird, daß p
p 1
in Bprt genau so oft aufgeht, wie im letzten Gliede p'h~j^^ • i^;^,
d. i, genau A + 1 mal, demnach in Bp'ijt genau X + 2 mal, in RpZyt ge-
nau A + 3 mal usw., allgemein in Bp^n genau A + /i mal. Ist dem-
nach n ein beliebiger Index, so kann Bn durch p nur teilbar sein,
wenn n = h7t] geht aber p in h genau v mal auf, so daß n = 'hJ -p^it,
wo y nicht mehr teilbar ist durch p, so enthält Bn genau die X + v^^
Potenz von p als Faktor; denn, da Bn aufgeht durch BpVyt, enthält es
jedenfalls die Potenz ^^+% aber nicht mehr die Potenz p^+^+i, da
sonst Bny BpV-\-iyt den gemeinsamen Teiler p^+^ + ^ besäßen, während
der größte gemeinsame Teiler ihrer Indizes gleich p^Tt ist, BpV^ aber
den Teiler p^+'^+^ nicht besitzt. Hierdurch ist die oben gestellte
Frage vollständig beantwortet.
Hieraus können wir nun einen Satz erschließen, der als die größt-
mögliche Verallgemeinerung des Satzes (93) zu betrachten ist. Sei
nämlich jetzt m eine zu a, &, A prime, aber sonst beliebige ungerade
Zahl, welche, in Primzahlpotenzen zerlegt,
(98) m=_p«-jp'«'-i)"«". . .
gesetzt werde, und bezeichne x(m) die zahlentheoretische Funktion
(99)
, jp!!a"-l . . I p
-(f))(»''-(l))(-"-(#))-.
welche für den Fall, daß A quadratischer Rest von m ist, in die
Funktion cp (m) übergeht, welche die Anzahl der zu m teilerfremden
Zahlen < m angibt. Man bezeichne mit i?^, B^', B^", ■ . . diejenigen
Zahlen der rekurrenten Reihe, für welche die Primzahlen ^,jö',^", . . .
eigentliche Teiler sind, und in ihnen seien genau die Potenzen
Allgemeiner Kongruenzsatz. 91
2^\ p'^'j P"^\ ... dieser Primzahlen enthalten. Dann wissen wir aus
dem Voraufgehenden, daß die Zahlen
^-(7) '-{j'J '-{-Fl
ebenfalls genau durch ^A p'^', p"^", . . . resp. teilbar sind, denn
p — (— I ist ein Vielfaches liJt, bei welchem h nicht durch p teilbar
sein kann, desgleichen j)' — (^) ein Vielfaches h'Tt'y bei welchem
h' nicht durch 2^' aufgehen kann usw. Hiernach ist x(m) ein Viel-
faches /ijc, bei welchem h gewiß durch ^;"-^ aufgeht, ein Vielfaches
h':t'j bei welchem h' gewiß teilbar ist durch p)'"" ~^ ^sf. Daraus er-
gibt sich dann nach dem Voraufgehenden, daß B^^m) gewiß aufgeht
resp. durch p^-+"-'^, jy^'+"'~^, p"^"+""-^, . . . und folglich auch
durch m. Man erhält also den allgemeinen Satz:
Ist ni irgendeine zu a, h, A prime ungerade Zahl, so ist
stets
(100) B^^m) = 0 (mod. m)
und in Erweiterung des Begriffs des eigentlichen Teilers darf man
sagen: m sei eigentlicher Teiler einer Zahl Bu, deren Index .a ein
Teiler von x{^) ist-
Es liegt nahe, zu fragen, inwieweit diese Sätze auch umkehrbar
sind. In dieser Hinsicht beweisen wir nur folgenden Ausspruch:
Ist m eine zu a, &, A prime ungerade Zahl, von welcher
A quadratischer Rest ist, und B^-i die erste Zahl in der
rekurrenten Reihe der Bj^, welche durch 7n aufgeht, so muß
7)1 Primzahl sein. Denn unter diesen Voraussetzungen ist ;^(w) = qp(m)
und (p(jn) ist stets kleiner als 7n — 1, sooft m keine Primzahl ist;
dann würde aber aus dem gleichzeitigen Bestehen der Kongruenzen
Bjn-i — O, Bcp(yn) = 0 (mod. m)
auch i?d = 0 (mod. m) folgen, wo d den größten gemeinsamen Teiler
von 7)1 — 1 und (p(7n), d. i. eine Zahl < ^(^0 < »^ — 1 bezeichnet,
gegen die Voraussetzung über B^-i. Demnach muß 7n eine Prim-
zahl sein.
13. Der so gewonnene Satz ist Ursprung einer eigentümlichen
Methode, gegebene ungerade Zahlen auf die Prim Zahleigenschaft hin
zu untersuchen. Man denke sich irgendeine rekurrente Reihe der
B),, deren Diskriminante A quadratischer Rest in bezug auf die zu
untersuchende Zahl )n ist. Es bedarf dann nur der Berechnung der
ersten 7n — 1 Zahlen
(101) B„ B,, ... Bm-,
dieser Reihe; geht die Division mit w beim letzten Gliede, aber bei
keinem der früheren auf, so erweist dies m als eine Primzahl. Stellt
92 ßekurrente Zahlenreilien.
man dieser Methode die gewöhnlich angewandte gegenüber, bei
welcher zu gleicher Untersuchung die gegebene Zahl m als Dividend
durch eine Reihe wechselnder Divisoren, etwa durch die Primzahlen
unterhalb der Grenze }/m auf ihre Teilbarkeit hin geprüft wird, so
sieht man hier, wie Lucas sehr lichtvoll hervorgehoben hat, um-
gekehrt eine wechselnde Reihe von Dividenden, nämlich die
Zahlen (101), dieser Prüfung in bezug auf die gegebene Zahl m als
Divisor unterworfen; und während in jenem Falle der Nichterfolg
der Divisionen die Primzahleigenschaft von m entscheidet, so bedarf
es hier zu dieser Entscheidung des Erfolges der Division wenigstens
bei dem letzten dieser Dividenden.
Indessen ist doch zu bedenken, daß der Satz der vorigen Nummer,
auf welchem diese Methode begründet ist, kein völlig charakteristisches
Merkmal für die Primzahleigenschaft einer Zahl abgibt, da er zwar
eine dafür ausreichende, aber nicht zugleich auch notwendige Be-
dingung zum Ausdruck bringt: die Zahl m kann sehr wohl auch
dann eine Primzahl sein, wenn Bm—i nicht das erste durch m teil-
bare Glied der rekurrenten Reihe ist. Aus diesem Grunde ist es
wünschenswert, noch weitere Sätze zu finden, welche genaueren Auf-
schluß ermöglichen. Man verdankt Lucas und Pepin eine Reihe
solcher Sätze, welche wenigstens für Zahlen einer bestimmten Form
zur Untersuchung ihrer Teilbarkeit geeignet sind. Es handelt sich
vornehmlich um große Zahlen der Fermatschen Reihen, d. i. von einer
der Formen Bn = 2^— 1, & = 2" + 1. Was diejenigen der ersteren
Form betrifft, so können sie, entsprechend einem allgemeinen Satze
in Nr. 9, nur dann Primzahlen sein, wenn der Exponent n selbst eine
Primzahl ist, denn, wäre n = qr, so ergäbe sich nach der Formel
22^ — 1 = (22 — 1) . (22(^-1) + 22(^-2) -j ^ 22 -fl)
die Zahl 2** — 1 als zusammengesetzt. Da ferner 2^ — 1 = 3 Primzahl
ist, so bedarf es nur noch der Untersuchung der Zahlen Bp= 2p— 1,
wo p ungerade Primzahl ist. Jeder Primteiler q einer solchen Zahl
ist jedenfalls eigentlicher Teiler von B^ und deshalb, da die Dis-
kriminante der Fermatschen Reihen gleich 1 ist, nach Nr. 11 von der
Form 2hp -\- 1, eine schon Fermat bekannte und Non Euler und Legendre
bewiesene Tatsache.^) — Was andererseits die Zahlen Sn = 2^ -\- 1 be-
trifft, so können sie nur dann Primzahlen sein, wenn n eine Potenz
von 2, n = 2" ist; enthielte nämlich n einen ungeraden Teiler, so daß,
wenn n' ungerade ist, n = 2'^ - n' gesetzt werden kann, so fände sich
1) Siehe hierzu JEuler, Comm. Petrop. 6, 1732/33, S. 103 oder Comm. arithm.
coli. 1, S. 1; Novae Comm. Petr. 1, 1747/48, S. 20 oder Comm. ar. coli. 1, S. 51.
Legendre, essai sur la th. des nombres, 2. ed. 1808, S. 191 sqq.
über Zerlegbarkeit der Zahlen 2« + 1. 93
22'«'+ 1 = (22'' + 1) . (22^ («'-!) - 22>'-2) + . . . + 1),
also als zusammengesetzte Zahl. Man hat es also allein mit der Frage
zu tun, ob die Zahlen von der Form 2-' + 1 Primzahlen sind. Daß
sie zwar für v = 0, 1, 2, 3, 4 Primzahlen, es nicht aber, wie Fermat
gemeint hat, für jeden Wert, nämlich schon für v = b nicht sind,
ist bereits in Nr. 11 gezeigt worden. Die Frage ist bekanntlich von
besonderer Bedeutung für die Lehre von der Kreisteilung, da der
letzteren zufolge nur für solche Primzahlen p, welche jene Form haben,
der Kreis mittels Zirkel und Lineal in p gleiche Teile geteilt werden
kann.^)
Wir wollen hier nun noch einige Sätze von Imcüs und von Pepin
beibringen, welche bei der Untersuchung der Zahlen Rp = 2^ —1 und
S^v = 2^*^+1 in der gedachten Hinsicht sich nutzbringend erweisen.
14. Sei N = 2^* + 1. Wenn diese Zahl eine Primzahl ist, so ist
sie, falls v^2 ist (für v = 1 ist ^ = 5 Primzahl), von der Form
8Ä* + 1, in bezug auf sie also 2 quadratischer Rest. Legen wir des-
halb der Untersuchung die Reihen von Diipre zugrunde, deren Dis-
kriminante 2 ist. In ihr müßte R.y—i = jR^s* durch N teilbar sein,
wenn N Primzahl ist. Da nun nach (91):
(102) i?2" = S^ ■ S.2 • S^ . . . S.2n — 1
ist, müßte dann einer der Faktoren Sj^, Äg, S^, . . . S^^^—'^ durch K
teilbar, und deshalb X gewiß eine zusammengesetzte Zahl sein, faUs
keine dieser Zahlen oder, wenn zur Abkürzung allgemein
gesetzt wird, falls keine der Zahlen
1) Legendre a.a.O. gibt die Zerlegung von 2''-f-l, 2^^-{-l, 2^^— 1; die
Zahl 231-1 = 2147483647 erwies Euler (Me'm. de l'Ac. de Berlin (1772) 1774, S. 36
als die größte bis dahin bekannte Primzahl. — ,Die Zahlen
2^1 = 3, 2H1 = 5, 2^1 = 17, 2^1 = 257, 2iß-|- 1 = 65537
wurden leicht als Primzahlen erkannt. — Für 2^*-|- 1 fand schon Euler ^ was in
Nr. 11 gezeigt, daß sie den Faktor 641 hat (Nov. Comm. Petr. 1, 1747/48, Comm.
ar. coli. 1, S. 55). Nach Perruschin (Bull. Ac. Pe't. 24 u. 25) ist:
22^'+ 1=0 (mod. 114689 = 7-2^^+1),
2-" -f 1 = 0 (mod. 167 772 161 = 5 • 2^^ + 1),
2-'^+ 1 = 0 (mod. 2748779069441).
Für 22^-fl = 2s* + l zeigte Landry (Mondes (2) 52; Nouv. Corr. Math. 6,
■ ^^'^' 2^^-1-1 = 274177 -67280421310 721
ist, vgl. Seelhoff Arch. f. Math. u. Phjs. (2) 2, S. 329.
94 Rekurrente Zahlenreihen.
(103) So, 5i, $2, . . ., S2V-1
durch N teilbar ist. Zwischen diesen Zahlen besteht die aus (89)
fließende Rekursionsformel:
(104) Sn^i = sl-2 (fürn>0)
mit den Anfangsgliedern Sq= 2 , s^= sl -\- 2 =- 6. Ist nun im Gegen-
teil eine der Zahlen (103), etwa Sx—iy durch N teilbar, so ist sie es
auch durch jeden etwa in N aufgehenden Primfaktor p. Nun folgt
aus (104), daß, wenn s„ = 0 (mod. p) ist, 5„4-i ~ — 2, 5„-|-2 ^^ 2,
5„_}_3 = 2, ... (mod. p)j also kein auf 5^^ folgendes Glied der Reihe
(103) mehr durch p teilbar ist. Daraus ist zu schließen, daß, weil
Sx—i durch p teilbar vorausgesetzt ist, kein früheres Glied der Reihe
(103) und daher wegen (102) keine der Zahl B2^. in der Reihe
i^i, i?2, 2^4, , -^2^"
voraufgehende Zahl durch p teilbar, p also eigentlicher Teiler von
R^'z-f mithin von der Form 2^Ä; + 1 ist. Wäre nun ^>2^~^ und
p = 2^1c -\- 1 die kleinste der etwa in N aufgehenden Primzahlen,
so wäre N, wenn zusammengesetzt, mindestens gleich
p^=2^^¥-\-2^'-^'Jc+ 1,
was doch im Gegenteil größer ist als iV= 2^"^+ 1. In dieser Voraus-
setzung müßte also N Primzahl sein. Man gelangt so zu folgendem
von Lucas ausgesprochenen Satze:
Ist in der Reihe (103) kein Glied teilbar durch N, so ist
JVzusammengesetzt; ist aber das erste durch iVteilbare Glied
der Reihe die Zahl S;._i, so ist jeder etwaige Primteiler
von N von der Form 2^Jc -h 1 und N selbst ist eine Primzahl
von dieser Form, wenn A>2*'~^
Ganz analoge Sätze hat Lucas auch mit Bezug auf die Zahlen
von den Formen 2*2+1 _ 1 ^j^^ 2*5-1-3 _]^ aufgestellt, doch zeigen
sie sich sämtlich immer noch als unzureichend, um jederzeit über die
Primzahleigenschaft der fraglichen Zahlen zu entscheiden, insofern
z. B. die Zahl N auch dann noch eine Primzahl sein könnte, wenn
die oben mit X bezeichnete Zahl < 2*'"^ ist.
15. Ein vollkommenes Kriterium, um zu entscheiden, ob
die Zahl N = 2^" -\- 1 Primzahl sei oder nicht, hat Pepin ge-
geben. (Par. Comptes Rendus (1877) 85, S. 329; einen ähnlichen
Satz für einen andern Fall gab er ebendas. (1878) 86, S. 307.) Sei q
irgendeine Primzahl von der Form 47^+1, die nicht zugleich von
der Form Nz -f 1 und in bezug auf welche N quadratischer Nicht-
rest ist, z. B. g = 5, für welchen Modulus in der Tat, falls v > 2 ist.
Sätze von Lucas und Pepin. 95
^ = 2 (mod. 5) also ein Nichtrest ist. Seien femer die rekurrenten
Reihen der Rk, Sk jetzt auf die Skala
ic' = (g 4- l)x — q
mit den Wurzeln «1 = ^, «2=1 und der Diskriminante A = (q — iy
bezüglich, welche von jeder nicht in q— 1 enthaltenen Primzahl
quadratischer Rest ist. Hiemach ist
Dann wird behauptet: Damit N Primzahl sei, ist notwendig
und hinreichend, daß
N—l
(105) S^i'-i = 2~2~+ 1 = 0 (mod. N)
sei. Daß es notwendig ist, ergibt sich aus dem allgemeinen Satze,
wonach, falls N Primzahl ist, Ra — i = i^2» durch N aufgehen muß,
während R^^^—i durch N nicht aufgehen, nämlich die Kongruenz
g"^~- 1 = 0 (mod. N)
nicht bestehen kann*), denn, da N quadratischer Nichtrest von q ist,
so ist auch umgekehrt, wenn N Primzahl ist, q quadratischer Nicht-
rest von N, Daß die Bedingung (105) aber auch ausreichend ist,
erkennt man folgendermaßen: Aus (105) folgt R^^^ teilbar durch N,
also auch durch jeden etwa in N enthaltenen Primfaktor p. Dieser
muß daher eigentlicher Teiler einer Zahl R^i der Reihe
R^y R^y R^, •••, J?2^%
daher auch Teiler von ^Sg^ — i sein, d.h. es wäre
g* = — 1 (mod. p),
also p kein Teiler von q— l und, wenn l < 2* wäre,
g*'~'=-f 1 (mod.p)
entgegen der Kongruenz (105), welche auch (mod. p) erfüllt sein
müßte. Man schließt demnach, daß p ein eigentlicher Teiler von
R^i"^ und daher von der Form 2*"^: + 1 sein muß. Da p andererseits
aufgeht in N= 2^^ + 1, muß p mit N identisch, N also Primzahl sein.
1) Man erkennt hier den Grund, warum statt des noch unzureichenden
Kriteriums, wie der Satz von Lucas es bietet, ein vollkommenes erreicht wird,
in dem Umstände, daß bei der Wahl der vorgelegten rekurrenten Reihe an Stelle
derjenigen von Dupre die Zahl N, wenn sie Primzahl ist, ein eigentlicher
Teiler von JRj*' sein muß.
96 Rekurrente Zahlenreihen.
Wir schließen diese Betrachtungen ab, indem wir noch zwei ähn-
liclie Sätze von Lucas beweisen. Sie lauten:
I. Ist p = 4g 4- 3 Primzahl, so ist 2j) + 1 = 8g' 4- 7 dann und
nur dann eine Primzahl, wenn in der jPerma^schen Reihe
Rp = 0 (mod. 2^+ 1) ist.^)
II. Ist jp = 4^' + 3 Primzahl, so ist 2p — 1 = 8g -f 5 dann
und nur dann eine Primzahl, wenn in der Reihe von Dupre
Rp=0 {mod.2p- 1) ist.
Zum Beweise des ersteren Satzes bemerken wir, daß, da die Dis-
kriminante der Fermatachen Reihen gleich 1, also für jede Primzahl
quadratischer Rest ist, die Zahl 2p + 1? wenn sie Primzahl ist, notwendig
in R2p aufgehen muß. Nun kann Sp = 2p + 1 nicht durch 2^ + 1
teilbar sein, denn 2^+1 ist kongruent 7 (mod. 8) und in bezug auf
einen solchen Modulus ist 2 quadratischer Rest, — 1 aber quadra-
tischer Nichtrest, unmöglich also 2^ = — 1. Also muß i?^ = 0 sein
(mod. 2p + 1). Diese notwendige Bedingung reicht aber auch
aus. Denn, wäre 2^+1 alsdann eine zusammengesetzte Zahl und
7t einer ihrer Primfaktoren, so wäre auch JR^ = 0 (mod. tc) und dieser
Kongruenz zufolge tc ein eigentlicher Teiler von J?^, mithin von der
Form ut = 2Jcp + 1. Da andererseits tc ein Teiler von 2^ + 1 ist, so
folgt wieder die Identität von 7t und 2^ + 1, d. h. die Primzahl-
eigenschaft der Zahl 2p -\- 1.
Ebenso beweist sich, wenn wir zum zweiten Satz übergehen, da
die Diskriminante der Dupreschen Reihen gleich 2, also quadratischer
Nichtrest von 2p — 1 = 8q + 5 ist, die Kongruenz i?2p ^ 0 (mod.
2p — 1) als eine für den Fall, daß 2p — 1 Primzahl ist, notwendige
Bedingung. Nun ist aber
nicht teilbar durch 2j) — 1, denn sonst wäre
I ,-W I .-VI ,-\p (mod.2i)-l),
(i+T/2)"=-(i-i/2r(n->/ar-i j
während doch, wenn zur Abkürzung P = 2p — 1 gesetzt wird,
(l + y2r==(l+y2):(l + )/2r^(l-fy2)(l + 2^1/2)
=•1 + 2 2 4-/2(1 4-2 2)
und, da (^j = 2 2 = _ 1, 2 2 ie: - 2 ist, im Gegenteil:
1) Daß, wenn ^ == 4^ + 3 und 2p-\-l = Sq-^7 Primzahlen sind, 2^—1 zu-
sammengesetzt, nämlich durch 2p 4-1 teilbar ist, findet sich schon bei Euler
Comm. arith. coli. I, S. 2.
Vollkommene Zahlen. 97
(l + V2f^ = - 1 (mod. 2p - 1)
gefunden wird. Hieraus schließt man also zunächst, daß, wenn
2p — 1 Primzahl ist, notwendig R^^ = 0 (mod. 2p — 1) sein muß.
Dies reicht aber auch aus. Denn, wäre P= 2p— 1 zusammengesetzt
und 7C ein Primfaktor von P, so fände sich wieder 7t als eigentlicher
Teiler von Bpj mithin von der Form 7C = ]cp±l, während doch
2p — 1 teilbar ist durch 7t -^ man schlösse daraus wieder leicht die
Identität von 7t und 2p — 1, d. h. die Primzahleigenschaft der letz-
teren Zahl.
16. Die Frage, ob die Zahlen von der Form 2" — 1 Primzahlen
oder zusammengesetzte Zahlen sind, ist von wesentlichster Bedeutung
für die Aufsuchung der sogenannten vollkommenen Zahlen. Man
versteht unter vollkommener Zahl eine ganze Zahl N, für welche die
Summe ihrer aliquoten Teile d. i. ihrer von N selbst verschiedenen
Teiler gleich N, oder, was dasselbe sagt, für welche die Summe ihrer
sämtlichen Teiler einschließlich N gleich dem Doppelten der Zahl N
ist. Bezeichnet man mit LiouviUe diese Summe durch J^ (N)^ so be-
stimmt also die Gleichung
(106) i^{N) = 2N
die vollkommenen Zahlen. Schon Eudid hat gelehrt (Elementa, liber 9,
prop. 36), daß, wenn die Summe der Zahlen
1 + 2 + 22+ ... +2^-1=2^'- 1
eine Primzahl ist, was nach Nr. 13 nur dann der Fall sein kann,
wenn p selbst Primzahl ist, die gerade Zahl
(107) N^2p-^-(2p-\)
eine vollkommene Zahl ist. In der Tat ist für diese Zahl dann die
Summe ihrer T«iler gleich
(1 + 2 + 2^+ ...2i'-i)(l + (2^-l)),
^' ^ {2p -1).2p = 2K
Aber Euler verdankt man den Beweis, daß die so für hinreichend
erkannte Form (107) auch die notwendige Form für gerade voll-
kommene Zahlen ausmacht (s. die erst nach Eulers Tode veröffent-
lichte Schrift tractatus de numerorum doctrina, Comm. ar. coli. 2,
p. 514 oder besser de numeris amicabilibus, ebendas. S. 630, § 8).
Soll nämlich
N= 2«.m,
wo m ungerade, eine gerade vollkommene Zahl sein, so muß a>0 und
Bachmann, niedere ZaUentheorie. IL 7
98 Rekurrente Zahlenreihen.
jj(i\r) = (2«4-i _ 1) . ^^(m) = 2«+i • m
mithin:
w 2«+i - 1
sein. Da der Bruch zur Rechten seine einfachste Gestalt hat, so
muß, unter n eine ganze Zahl verstanden,
?i(w) = 2«+i -n, m = (2«+i - 1) • w
sein. Demnach wären, wenn n von 1 verschieden,
1, n, 2«+i- 1, (2«+i-l)n
vier notwendig verschiedene Teiler von m und folglich die Summe
gi(m) sämtlicher Teiler von m mindestens gleich der Summe dieser
Zahlen. So erhielte man die Ungleichheit
2«+i.w52«+Hl + w),
welche unmöglich ist. Also kann n nur gleich 1, d. h.
m = 2«+i-l und Ji(m) = 2"+i = 1 + m
sein, was nur der Fall, wenn m eine Primzahl :r, also a + 1 eine
Primzahl p ist. Man findet also:
Soll N = 2" ' m eine gerade vollkommene Zahl sein, so
muß
sein, während p und 7t = 2p — 1 Primzahlen sind.
Man kann fast noch einfacher schließen, wie Lucas (th. des nombres,
S. 375). Sei, in Primzahlpotenzen zerlegt,
(108) N=2^'7ti^Ky ...
Dann ist
i,{N) = (2«+i - l)(l ^ jc + :t^ + ' ■ ■ + 7t^{i+ x+ ■ ' ' + Tiy)- ■ •
Für vollkommene Zahlen bestünde also die Gleichung
2«+i • :tl^xy • • • = (2«+i - 1) (1 + :r + \- :itß){l +ic+ h^^)---,
aus welcher
^^Tcy • . • + ^Xi-i = (1 + :r + • • • + ^0(1 + ^ + • • • + ^0 • • •
hervorgeht. Demnach muß , ^ _ eine ganze Zahl sein und hat
als solche die Form Ttt^'^y' . . . Die beiden Glieder zur Linken:
Vollkommene Zahlen. 99
sind zwei verschiedene Teiler der Zahl tcI^tc^ . . ., deren sämtliche
Teiler zur Rechten stehen. Die Gleichheit kann mithin nur statt-
finden, wenn die gesamte Anzahl der Teiler, nämlich:
nur zwei beträgt, was erfordert, daß von den Exponenten ß, y, ...
ein einziger, etwa /3, gleich 1 ist, die übrigen aber verschwinden, daß
mithin die Zerlegung (108) sich auf die folgende:
reduziert. Die Bedingung für vollkommene Zahlen liefert dann weiter
2«+i:r = (2«+i-l)(l + ;r),
d. i.
;r = 2«+i-l
und a + 1 gleich einer Primzahl p.
Nach Mersenne8 Versicherung (cogitata physico-mathem., Paris
1644, praefatio generalis art. 19) geben unter allen Primzahlen
p ^ 257 nur die folgenden:
(109) i? = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257
eine Primzahl :t = 2^ — 1. Hiernach haben die zugehörigen Werte
der Zahl 2^ — 1 den Namen Mersennesche Zahlen erhalten. Daß
die ersten sieben von ihnen in der Tat Primzahlen sind, war ohne
große Schwierigkeit zu bestätigen. Für ^ = 31 bewies es Uuler
durch Ausführung der Divisionen mit den Primzahlen < ]/2^^ — 1
(s. S. 93 Anm.). Auch die weitere Behauptung Mersennes, daß für
die übrigen Primzahlexponenten p < 257 die Zahl 2p — 1 keine Prim-
zahl sei, ist wenigstens für j) < 61 als richtig erkannt worden. In
einer Tabelle, welche Landry gegeben^) und Lucas seiner großen
Arbeit [Amer. Journ. of Math. 1 (1878)] eingefügt hat, finden sich
die Zerlegungen aller Zahlen von der Form 2" ± 1 von n = 1 bis
^ == 64 (bis auf vier). Aus dieser wie aus späteren Ergebnissen von
Le Lasseur hat Lucas in seiner th. des nombres p. 357 eine Zusammen-
stellung aller Exponenten p gezogen, für welche 2^—1 bisher als
zusammengesetzte Zahl erkannt worden ist. Wir geben sie in folgen-
der Tabelle wieder, welche in der Spalte p den Exponenten, in der
Spalte d den kleinsten Faktor der zugehörigen Zahl 2^—1 angibt:
1) Decomp. des nombres 2» + 1 en lenrs facteurs premiers de w = 1 ä n = 64
moins quatre, Paris 1869 (mit: Anx mathematiciens de toutes les parties du
monde. Communication sur la decomposition des nombres en leurs facteurs
simples, Paris 1867).
7*
100
Rekurrente Zahlenreihen.
p
d
V
d
P
d
V
d
11
23
47
2 351
97
11447
211
15193
23
47
53
6 361
113
3 391
223
18 287
29
233
59
179 951
131
263
233
1399
37
223
73
439
151
18121
239
479
41
13 367
79
2 687
179
359
251
503
43
431
83
167
191
383
.
Von
den hie
r zusammengeste
ilten Resultaten
gehören
die au
p = l\j 23, 37 bezüglichen schon Fermat an (op. math., Tolosiae 1679,
S. 164). Für i) = 29 gab es Euler (Comm. Petr. 6, S. 103 oder Comm.
ar. coli. 1, S. 2), desgleichen für p = 43, 73. Nach dem ersten der
in Nr. 15 bewiesenen Sätze von Lucas ist 2^ — 1 ^ 0 (mod. q)^ wenn
p = 4w + 3, q = Sn -\- 1 Primzahlen sind, was, wie dort in der An-
merkung erwähnt, schon Euler bekannt war. Aus diesem Satze folgt
die Z erlegbar keit der Zahlen 2p — 1 auch für
p = 83, 131, 179, 191, 239, 251.
Die Zusammensetzung für p = 41 gab Plana (mem. R. Ac. Torino
(1) 20 (1863), S. 130); für i? = 43, 47, 53, 59 gab sie Landry; Le
Lasseur (s. Lucas Amer. Journ. 1, S. 236, sowie seine recreations
math. 1, S. 241 und 2, S. 230) für
p = 73, 79, 97, 113, 211, 223, 233.
Zudem fand Seelhoff die folgenden Zusammensetzungen für den Fall
der Exponenten p = 31 (Arch. f. Math. u. Phys. (2) 5, S. 211) und
p = 41, 47, 53 (ebend. (2) 2, S. 327):
2^7 _ 1 = 223-616 318177
2^1-1 = 13 367. 164 511 353 1)
2*7-1 = 2 351.59 862 819 377
2^^ - 1 = 69 431 • 129 728 784 761 ;
auch der zweite Faktor in der ersten dieser Zerlegungen ist eine
Primzahl.
Wenn soweit die Mersennesche Aussage sich als richtig erwiesen
hat, so hat dagegen Seelhoff (Ztschr. f. Math. u. Phys. 31 (1886), S. 174)
nachgewiesen, daß sie für ^ = 61 unrichtig, daß nämlich
1) Bei Seelhoff heißt der erste Faktor 13 767, was Valentin (ebend. (2) 4,
S. 100) berichtigt hat; auch bemerkt Dieser, daß der zweite Faktor in der Zer-
legung von 2^^— 1 noch keine Primzahl, sondern gleich
. . 6361 • 20 394 401
ist.
Vollkommene Zahlen. 101
2«^- 1
Primzahl ist. Dasselbe fand nach einem im Bull. Acad. Pei (3) 31 (1887)
col. 532 enthaltenen Berichte von Imsclienetzhi und Biiniakowsky
schon 1883 Perwiischin. Inwieweit aber Ilersennes Aussage für die
Exponenten
p = 67, 71, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 137, 139, 149, 157, 163,
167, 173, 181, 193, 197, 199, 227, 229, 241, 257
zutrifft, blieb bisher noch unbekannt. (Man sehe hierzu W. W. Rmise
Ball, Mess. of Math. (2) 21, S. 34 u. 121).
Aus diesen Resultaten ergibt sich nun in Verbindung mit dem
zuvor Bewiesenen, daß bisher nur neun gerade vollkommene
Zahlen bekannt sind: diejenigen Zahlen
welche den Exponenten p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61 entsprechen;
die ersten acht derselben, zwar schon von J. Prestet, nouv. elements
de math. 1, Paris 1689, S. 155 angeführt, stehen aber erst seit Eider
fest, die neunte nach den Resultaten von Seelhoff und Penvuschin.
Ob es aber auch ungerade vollkommene Zahlen gibt, ist zurzeit
noch zweifelhaft. Schon Euler hat eine einfache Bedingung gegeben,
denen solche Zahlen genügen müßten. Sollte nämlich eine ungerade
Zahl N eine vollkommene Zahl sein, so folgte aus der sie definierenden
Gleichung:
die Kongruenz
i{N) = 2 (mod.4);
an späterer Stelle (Kap. 8, Nr. 5) wird gezeigt werden, daß infolge
hiervon die ungerade Zahl N von der Form
sein müßte, wo p eine Primzahl von der Form 4Z; + 1. Auch sonst
sind weitere Bedingungen, die für ungerade vollkommene Zahlen not-
wendig wären, aufgestellt.^) Doch ist noch ebensowenig ihr Nicht-
vorhandensein bewiesen, wie andererseits tatsächlich eine solche Zahl
gefunden.
1) Siehe M. Ä. Stern, Cl. Servals, E. Cesäro, J. J. Sylvester, C. Bauriet,
M. Stuyvaert resp. in Mathesis (1) 6, S. 248; 7, S. 228, S. 245; 8, S 57; Nouv.
Ann. math. (3) 15, S. 297; Mathesis (2) 6, S. 132.
102 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
Drittes Kapitel.
Zerfällung einer Zahl in Summanden.
1. Haben wir im vorigen die additive Bildung von Zahlen aus
anderen Zahlen behandelt, welche als die gegebenen anzusehen waren,
so wollen wir nunmehr die umgekehrte Beziehung in Betracht nehmen,
nämlich untersuchen, wie eine gegebene ganze Zahl als Summe
anderer Zahlen dargestellt werden kann, die also die gesuchten
sind. Es wird sich dabei vornehmlich um die Anzahl solcher Dar-
stellungen handeln. Als Summe der letzteren Zahlen bezeichnen wir
die gegebene Zahl stets mit dem Buchstaben s, und wir nennen jede
Darstellung von s als Summe positiver ganzer Zahlen eine Zer-
fällung von s. Da die Summanden nicht größer als s, mithin nur
Zahlen der Reihe 1, 2, 3, . . ., s sein können, wird jede Zerfällung
von 5, wenn gleiche Teile vereint werden dürfen, die Form haben
(1) s = l'X^-h 2x2 + S-x^-\ \- s-Xsf
worin die Xi nicht negative ganze Zahlen bedeuten. Die Anzahl
aller derartigen Zerfällungen von s ist also identisch mit
der Anzahl aller Auflösungen der unbestimmten Gleichung
(1) in nicht negativen ganzen Zahlen Xi. Zur Bezeichnung dieser
Anzahl wählen wir ein Zeichen, das, soviel ich sehe, zuerst von Jacobi
^ (Journ. f. Math. 12, S. 167) und später namentlich von Th. Vahlen in
seiner größeren Arbeit über additive Zahlentheorie (ebendas. 112, S. 1)
mit Vorteil benutzt worden ist, das Zeichen:
N{s = 1-Xj^ + 2-X2 +■ ■ + s-x,).
Aus der gesamten Menge dieser Zerfällungen kann man aber nach
den verschiedensten Gesichtspunkten einen Teil derselben ausscheiden.
Z.B. kann man, statt alle Zahlen 1, 2, 3, ..., s als Summanden,
oder, wie wir sagen wollen, als Elemente der Zerfällung zuzulassen,
nur einen Teil derselben zu Elementen wählen. Bezeichnen also a^,
«2; •••> ein nur n<^s bestimmte Zahlen der Reihe 1, 2, 3, ..., s, so
kann man nach den Lösungen der Gleichung
(2) s = a^x^ -f a2ii^.2 -f h anXn
in nicht negativen ganzen Zahlen Xi fragen; die Anzahl dieser
Lösungen d. i. der entsprechenden Zerfällungen der Zahl s bezeichnen
wir analog mit
ZerfälluDgen ; Zergliederungen. 103
Sylvester hat dafür ein in gewisser Hinsicht vorteilliafteres Zeichen
benutzt, das wir hier, ein wenig verändert, folgendermaßen schreiben:
«1 > «9 ^ . . . a.
Die so bezeichnete Anzahl der Lösungen der Gleichung (2) aber
heiße im Anschluß an Sylvester der Denumerant dieser Gleichung.
Dies Zeichen soll auch benutzt werden, wenn die Größen a» nicht,
wie bisher vorausgesetzt, voneinander verschiedene positive
Zahlen, ja selbst, wenn sie negative Zahlen sind, doch wird auch;
dann immer nur nach den Lösungen in nicht negativen ganzen/
Zahlen gefragt.
Statt die Elemente der Zerfällung selbst festzusetzen, kann man
auch nur ihre Anzahl festsetzen, also etwa die Zerfällungen der Zahl s
in n Summanden verlangen. Dabei läßt sich bestimmen, daß diese
Summanden sämtlich voneinander verschieden sein, die Elemente der^
Zerfällung also nur einmal auftreten sollen, oder aber daß auch, wie--
bei den bisher betrachteten Fällen, deren Wiederholung zulässig sei;^
Danach hat man also Zerfällungen mit und ohne Wiederholung d. i.
in verschiedene Elemente oder in Elemente überhaupt zu unterscheiden.
Man kann ferner statt der Anzahl der zulässigen Elemente auch deren
Größe durch irgendwelche Bestimmungen beschränken, oder kann
auch festsetzen, daß die Natur der Elemente eine besondere, daß sie
z. B. lauter ungerade oder lauter gerade Zahlen oder Zahlen von sonst
einer vorgeschriebenen Form oder Beschaffenheit sein sollen usw.
Endlich kann man auch, da eine Summe durch Vertauschung der
Summanden ungeändert bleibt, bei den Zerfällungen im Gegensatz zu
den anfangs betrachteten Fällen auf die Anordnung der Elemente^
Rücksicht nehmen und zwei Zerfällungen, die aus den gleichen, aber
anders geordneten Elementen bestehen, als verschiedene zählen. Dann
sollen im Gegensatz zu den Zerfällungen der bisherigen Art, die
schlechthin Zerfällungen (partitions) heißen sollen, diese geord-
neten Zerfällungen oder Zerfällungen mit Permutation der Elemente
Zergliederungen (compositions) genannt werden.
2. So entsteht eine Fülle von Aufgaben, denn für alle die an-
gedeuteten mannigfaltigen Arten der Zerfällung wäre die Anzahl der-
selben zu bestimmen und etwaige Beziehungen zwischen diesen ver-
schiedenen Anzahlen aufzudecken, u. dgl. mehr. Schon Fermat hatj
eine Reihe dahin zielender Sätze ausgesprochen, unter denen sein
Satz von der Zerfällbarkeit jeder Zahl in Polygonalzahlen einer der
berühmtesten ist. Vornehmlich aber war es Euler ^ der dies Gebiet
104 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
der matliematisclien Spekulation erfolgreich eröffnete, indem er sich
eines vorzüglich dazu geeigneten analytischen Hilfsmittels, der Ent-
wicklung gewisser unendlichen Produkte in Potenzreihen, bediente.
So erwies sich eine innige Beziehung der Theorie von der Zerfällung
ganzer Zahlen zur Analysis. Da sie andererseits enge verwandt ist
mit der Kombinationslehre in weiterem Sinne, so erscheinen die
rühmenden Worte, mit welchen sie Sylvester in einer seiner bezüglichen
J^ Arbeiten charakterisiert hat, nicht unberechtigt: Partitions constitute
\ the sphere in which analysis lives, moves and has its being; and no
power of language can exagerate or point too forcibly the impor-
tance of this tili recently almost neglected but vast, subtle and uni-
versally permeeting element of algebraic thought and expression.
Um das erwähnte analytische Hilfsmittel zu kennzeichnen (s. Näheres
(3 darüber in des Verf. Analytische Zahlentheorie, Kap. 1 und 2), be-
trachten wir das Produkt^)
n
TIo^ + ^) = (1+ ^)(i + ^')(i + ^') • • • (1 + X-).
Ä=i
Wird es nach Potenzen von x entwickelt, so erscheinen in deren Ex-
ponenten alle Zahlen, die additiv aus verschiedenen der Zahlen 1, 2,
3, . . ., w gebildet werden können, und die Potenz rr* so oft, als
s in verschiedene jener Zahlen zerfällt werden kann. Nennt
man c„, « diese Anzahl, so darf man also schreiben:
(3) J7(i + «^)=2' 's.^,
Ä = l « = 0
da die Entwicklung mit der Potenz x^=\ beginnt und mit der Potenz
^1 -1-2 + 3+ •..+«_ ^ T
schließt. Weil so die Anzahl Cn, « durch Entwicklung des Produktes
gewonnen wird, heißt man dies letztere die erzeugende Funktion
für c„, ,.
Ahnlicherweise lassen sich auch bei anderen Zerfällungsarten er-
zeugende Funktionen für deren Anzahl aufstellen. Werden z. B. die
Reihen
1) Um mit unendlichen Produkten und Potenzreihen rechnen zu können,
bedarf es der Konvergenz derselben. Diese ist hier wie bei den sonst in der
Folge zur Verwendung kommenden Ausdrücken dieser Art gewährleistet, wenn
die Variable ihrem absoluten Betrage nach klein genug gedacht wird. S. die
oben zitierte Stelle.
Eulers analytische Methode. 105
1
1-x
l+x^ + x^ -{- X^ + ■ ■
-i-, = l + x'-\-x'-hx' + - • •
l — x
-1- = 1 -f ^n -f. a;2« + OJ^" + . . .
ineinander multipliziert, so entsteht als allgemeines Glied der Ent-
wicklung die Potenz
worin die ^,- nicht negative ganze Zahlen bedeuten; die Potenz oc* wird
demnach so oft hervorgehen, als die Gleichung
(4) 5 = 1 . ^1 + 2 • ^2 + 3 . ^3 + • • • + w • -2^«
Lösungen in nicht negativen ganzen Zahlen zuläßt, d. h. so oft, als
die Zahl s in gleiche oder verschiedene der Zahlen 1, 2,
3, . . ., w zerfällt werden kann, eine Anzahl, die als Denumerant
der Gleichung (4) durch
1, 2, 3, . . ., n
zu bezeichnen wäre. Schreibt man einfacher
(^) r"" = l,2,B!...,n'
so entsteht die Entwicklung
h = l » = o
und das Produkt zur Linken ist die erzeugende Funktion für y„^ ,.
Läßt man hier 7i unendlich groß werden und schreibt dann
h=l s=0
80 bezeichnet der Koeffizient F,., für welchen das Produkt zur
Linken die erzeugende Funktion ist, die Anzahl der Zerfällungen
von s in gleiche oder verschiedene Summanden überhaupt,
d. h. die Anzahl der Lösungen der Gleichung (1) oder den Denume-
ranten
3. Bisweilen liefert auf solche Weise die, eine gesuchte Anzahl
erzeugende Funktion unmittelbar einen einfachen Ausdruck derselben.
Wenn z. B. die Gleichung
y
106 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
-^ = a; + a;2 + a;3 + a;^ + . . .
wmal mit sicli selbst multipliziert wird, so ist das allgemeine Glied
der Entwicklung die Potenz
deren Exponent jede Summe aus n gleichen oder verschiedenen posi-
tiven ganzen Zahlen vorstellt, wobei aber dieselben Zahlen verschieden
geordnet sein können. Demnach entsteht die Potenz x^ so oft, als
die Anzahl der Zergliederungen von s in w positive Summan-
den beträgt, und die erzeugende Funktion der Anzahl ist
Setzt man hier n •\- i=^ s, so nimmt das allgemeine Glied die
Form an:
n(w + l)---(s-l) , (s-1)!
• ^ = / \. / .^. '0(f=\ A'X
\n-\)
1. 2---(s-w) {s-n)\ (n-1)!
und man erhält die Entwicklung
(8) (r^.r=2(::x)-^'
y derzufolge (^~.) die Anzahl der Zergliederungen von s in w
positive Summanden bestimmt. Die erzeugende Funktion für
die gesamte Anzahl der Zergliederungen von s in positive Summanden
überhaupt wird offenbar
(9) 5fer=r^.a+r^.+ter+-)
n = l
X \ X
\-x ^ ^ 1 — 2a;
1 — X
deren Entwicklung nach Potenzen von Xj nämlich
für die gesamte Anzahl der Zergliederungen von s den Aus-
druck 2*-^ ergibt, wie man auch aus (8) und mittels der Formel
unmittelbar erschließt.
Wir fanden dies Resultat schon an einer früheren Stelle (Kap. 2,
Nr. 3) auf rein arithmetischem Wege. Noch einfacher ergibt es sich
aus der Bemerkung, daß die Zergliederungen von s sich unterscheiden
Anzahl der Zergliederungen von s in positive Elemente. 107
lassen in solche, welche mit 1, und solche, welche mit 2, 3, . . . be-
ginnen. Die ersteren entstehen offenbar, indem man allen Zergliede-
rungen von 5—1 den Summanden 1 vorsetzt, die übrigen aber aus
den Zergliederungen von s — 1, welche resp. mit 1,2, ... beginnen,
d. h. aus den Zergliederungen von 5—1 insgesamt, indem man darin
den ersten Summanden um 1 vergrößert. Z. B. entstehen aus den
sämtlichen Zergliederungen von 4:
4; 3+1; 2-^2; 2+1-fl; 1 + 3; 1 + 2 + 1;
1 + 1 + 2; 1+1+1 + 1
die Zergliederungen von 5 auf folgende Weise:
1)1 + 4; 1 + 3 + 1; 1 + 2 + 2; 1 + 2 + 1 + 1; 1 + 1 + 3;
1 + 1 + 2+1; 1 + 1 + 1 + 2; 1 + 1 + 1 + 1 + 1;
2) 5; 4+1; 3 + 2; 3 + 1 + 1; 2 + 3; 2 + 2 + 1;
2+1 + 2; 2+1 + 1 + 1.
Wird daher die Anzahl aller Zergliederungen von 5 mit Äs bezeichnet,
so ergibt sich die einfache Beziehung Äs= 2Äs-i und, da J.^ = 1 ist,
allgemein Ä,= 2'-\
Auch die durch (8) bestimmte Anzahl der Zergliederungen von 5
in n positive Summanden kann auf einfache Weise ohne Hilfe der
Analysis hergeleitet werden. Sie gilt ersichtlich für n == 2, denn man
hat dann nur die ( j Zergliederungen in zwei positive Summanden:
5 = 1 + (5 - 1) = 2 + (5 - 2) = • ■ • = (5 - 2) + 2 = (5 - 1) + 1.
Im allgemeinen Falle heiße Ä„^s die gesuchte Anzahl. Da die ge-
dachten Zergliederungen von 5 in solche zerfallen, welche mit 1, 2,
3, . . . resp. beginnen, und deren Anzahl offenbar derjenigen der Zer-
gliederungen von 5—1, 5 — 2, 5 — 3, ... in n — 1 Summanden resp.
gleich ist, so besteht die Beziehung
■Än^s = -4« — 1, s — 1 + A.n — 1^ s—2 + -^« — 1, « — 3 + • • •
Nimmt man daher an, die zu beweisende Formel sei bereits für 7i — 1
Summanden festgestellt, so wird
^».' =(,:::) + (:::) + -+(::5-
d. i. in umgekehrter Reihenfolge geschrieben gleich
i , w-l n(M-l) {n-\-l)n(n-l) (s-2)(s-3)- • .(s-n-^1)
"^ 1 "^ 1-2 "^ 1.2.3 ■+-•••-+- l.2...(n-2) '
ein Ausdi'uck, der bei allmählicher Vereinigung der Summanden gleich
108 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
(qr\ n{n-]-l)(n-\-2)- • -(s-l) ^ (s-l\
^^ 1 • 2 • 3 . . • (s - n) \n-l)
gefunden wird. Hiermit ist aber das Resultat allgemein erhärtet.
4. Geben nun die erzeugenden Funktionen in ihren Entwicklungs-
koeffizienten die Anzahl der Zerfällungen einer bestimmten Art, so
dient die Yergleichung verschiedener erzeugender Funktionen dazu,
Beziehungen zwischen den Anzahlen von Zerfällungen verschiedener
Art zu ermitteln, da jede zwischen zwei erzeugenden Funktionen
etwa bestehende Beziehung eben auch eine entsprechende Beziehung
zwischen ihren Entwicklungskoeffizienten bedingt. Es ist Eulers
Verdienst, zuerst auf diesem Wege eine Reihe wichtiger Sätze über
Zerfällungen gefunden zu haben. Unter anderen bewies er die
folgende Gleichheit:
(10) J7(i+^')=irri
A=l u
zwischen zwei unendlichen Produkten, in deren rechtsstehendem die
Multiplikation über alle ungeraden Zahlen der natürlichen Zahlenreihe
zu erstrecken ist. Nun ist, wie aus (3) für >^ = cx) zu schließen ist,
(11) fj(l + af) = ^C,-cc;
h=i s=o
worin Cs die Anzahl aller Zerfällungen von s in verschiedene
positive Summanden bezeichnet. Andererseits findet sich ähnlich
mit (7) die folgende Gleichung:
u s = 0
wenn ly die Anzahl der Zerfällungen von s in gleiche oder
verschiedene ungerade Summanden bedeutet. Wegen (10) er-
schließt man daher nachstehende Gleichung:
(13) c.^r^''^
oder den Satz: Jede positive ganze Zahl s zerfällt ebenso oft
in verschiedene positive Summanden, als sie in gleiche oder
verschiedene ungerade Summanden zerfällt werden kann.
Wir werden noch von anderen Sätzen handeln, die Euler auf
ähnliche Weise gewonnen hat. Wenn wir aber in der Folge auch
nicht auf die Anwendung analytischer Betrachtungen gänzlich ver-
zichten wollen noch können, so ist doch unsere Absicht, die Theorie
der Zerfällungen, wie dies in voriger Nummer zuletzt schon geschehen
ist, soweit es gelingen will, auf rein arithmetischen Grundlagen auf-
zubauen. Wir leiten daher auch den soeben ausgesprochenen Satz
von solcher Grundlage aus nochmals her.
Ein Eulerscher Satz, verallgemeinert von Schur. 109
Die Anzahl der Zerfällungen einer Zahl s in verschiedene positive
Summanden kann bei Anwendung des in Nr. 1 eingeführten Zeichens,
indem man die Summanden der Größe nach geordnet denkt, durch
N(s = a^ + «2 + «3 H )
0 < a, < ff j < «3 ...
bezeichnet werden. Wir denken uns in jeder solchen Zerfällung
(14) s = »1 + «2 + % + • • •
alle diejenigen Summanden a, zusammengezogen, deren größter un-
gerader Teiler Ui der gleiche ist; ihr Komplex kann dann durch
]c. . Ui = (2^i + 2'"/ -f 2n- -f . . .)w^
bezeichnet werden, wo 0 < A^- < /i^ < i',- < • • ■ ist, und daher ent-
spricht der Zerfallung (14) eine bestimmte Zerfällung der folgenden
Art:
(14') s = \Ui 4- A'gMa + ^gifg + • • •,
bei welcher die ungeraden Zahlen u^, u^, ii^j . . . voneinander ver-
schieden sind, so daß u^ < 11.2 K^h • • • angenommen werden kann.
Aber aus jeder Zerfällung der letzteren Art entspringt auch wieder
umgekehrt, da jede ganze Zahl
]c^ = 2h 4- 2^H + 2n- -f- . . .
0 ^ X/ < [Li <Vi...
gesetzt werden kann, eine bestimmte ZerfäUung von s von der Art (14),
und demnach besteht die Gleichheit
N{S = % + «2 + ^3 + • ■ ■) = ^{ß = ^1^*1 + ^'2^*2 ~^ ' ' )j
0 < «1 < «2 < • • • «*1 < ^2 < • • •
worin die Ui ungerade sind, d. h., was zu beweisen war: die Anzahl
der Zerfällungen von s in verschiedene positive Summanden /
ist ebenso groß, wie die Anzahl ihrer Zerfällungen in gleiche
oder verschiedene aber ungerade Summanden.
4 a. Der Verfasser verdankt Herrn J. Schur die Mitteilung, daß Ov.' /
dieser Euler^ohe Satz erheblich verallgemeinert werden kann. Un-
mittelbar fast leuchtet zunächst ein, daß auch die Anzahl der Zer-
fällungen von s in verschiedene positive Summanden, welche zu
einer gegebenen ungeraden Zahl m teilerfremd sind, ebenso
groß ist, wie die Anzahl ihrer Zerfällungen in gleiche oder ungleiche
aber ungerade zu m teilerfremde Summanden. In der Tat, sind
die Elemente a» der Zerfällung (14) teilerfremd zu m^ so sind es
auch die nach Absonderung der in ihnen aufgehenden höchsten Potenzen
von 2 verbleibenden Faktoren i«,-, mithin ist die aus (14) hervor-
I
110 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
gehende Zerfällung (14') eine der im Satze an zweiter Stelle ge-
nannten; und umgekehrt folgt aus einer solchen, wenn
0 < ^; < ft,- < v; . . .
gesetzt wird, eine Zerfällung von s in lauter verschiedene Elemente
2^-'Ui, welche ebenso wie die Zahl Ui selbst zur ungeraden Zahl m
teilerfremd sind.
Aber man darf den allgemeineren Satz aussprechen:
Bezeichnet S ein System von endlich oder unendlich
vielen positiven durch eine gegebene Zahl r nicht teilbaren
ganzen Zahlen und JR dasjenige System von Zahlen, das
aus dem ersteren hervorgeht, wenn seine Zahlen mit allen
Potenzen 1, r, r^, r^, . . . multipliziert werden, so ist für
jede positive ganze Zahls die Anzahl ihrer Zerfällungen in
gleiche oder verschiedene Summanden aus dem Systeme S
ebenso groß, wie diejenige ihrer Zerfällungen in Summan-
den aus dem Systeme JR, wenn deren jeder höchstens r— Imal
auftritt.
Ist nämlich
s = fCiS^ -\- K2S2 -f- f^^Sß -}-•••
eine Zerfällung der ersten Art und schreibt man jeden Koeffizienten
hi als eine Zahl des aus der Grundzahl r gebildeten Zahlensystems
in der Form
wo die c? Zahlen der Reihe 0, 1, 2, . . ., r — 1 sind, so entsteht eine
Zerfällung von s in lauter verschiedene Summanden von der Form
cf^ -r^Si, d. i. in Elemente aus JR, deren jedes höchstens r— Imal
auftritt; und umgekehrt hat jede Zerfällung von s von der letzteren
Art die Form
2"^''
wo die cT der Reihe 0, 1, 2, ... r — 1 angehören, und ergibt durch
Zusammenfassung der Summanden, welche dasselbe Element Si ent-
halten, eine eindeutig bestimmte Zerfällung von s von der ersteren Art:
Aus diesem hiermit bewiesenen allgemeinen Satze geht wieder der
besondere EulerBQ\iQ hervor, wenn unter S das System aller ungeraden
Zahlen verstanden und r = 2 gedacht wird.
5. Unseren weiteren Betrachtungen schicken wir nun zunächst
eine Reihe anderer, noch elementarerer Sätze vorauf.
Elementare Sätze über Zerfällungen. 11^1
Ist
(15) s = «1 + «2 H h ««
eine Zerfällung von s in n verschiedene positive Summanden, die wir
wieder der Größe nach geordnet denken, so daß
(15a) 0<a^<a^<- ■ ■ <an
ist, und setzt man dann
(16) ttn — ttn-l = ai, ün-i — an-2 = «2, • -, «g — «^ = öj,-!, öj = a^,
so sind die sämtlichen a\ > 0 und man erhält leicht
(17) s = 1 . al + 2 . a4 + • • • + w • «;.
Da aus dieser Gleichung umgekehrt vermittelst der Beziehungen (16)
eine Zerfällung (15) mit n der Größe nach wachsenden positiven
Summanden gefunden wird, so geht die Gleichung
(18) I^{s = ffj + ö, + ■ • • + ö.) = i\r(5 = 1 . fli _|_ 2 . al + • • • + « • a/0
0 < «, < a, • • • < a« «;• > 0
hervor. Ersetzt man hierin allgemein a' durch «, 4- 1, so wird ai^O
sein und jeder ZerfäUung
s = 1 • ai + 2 • «2 + • • • -f w • dn
von s eine Zerfällung
(19) s-^^i^ = l.«, + 2- «, + ••■ + ».«„
von s —
n (n -f 1)
entsprechen, und umgekehrt. Man erhält daher die
2
neue Gleichung:
(2O)i^(s=a, + «, + ... + a,0 = iY(5-^^^^=l.«, + 2-c.2+--- + n-^
0 < a^ < ttg • • • < rt« a/ ^ 0
in welcher die rechte Seite auch als der Denumerant
(21)
n (n 4- 1)
1, 2, 3, , . . n
der Gleichung (19) geschrieben werden kann, und somit folgenden
Satz:
Die Anzahl (7„, , der Zerfällungen von s in w positive
Elemente ohne 'Wiederholung ist dem Denumeranten (21) '
gleich:
(20a) C„,. = ,„,,_M^. y^.^j../0^
112 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
Die Verbindung der Formeln (18) und (20) führt zu der dritten:
Werden nunmehr in der Zerfällung (15) die positiven Elemente
ai beliebig als gleich oder verschieden gedacht, so daß sie jetzt die
Bedingungen erfüllen:
(23) 0 < «1 ^ 0^2 ^ 0^3 . . . ^ a^,
so geht zwar wieder durch die Beziehungen (16) eine Zerfällung (17)
hervor, in ihr ist aber nur an > 0, die übrigen a\ ^ 0, oder aber man
erhält eine Zerfällung von s — ni
5 — ^ = 1 • a'i 4- 2 . a'2 + • ■ ■ -\- n • OÜny
in welcher nun sämtliche cü i > 0 sind. Da aus ihr umgekehrt eine
Zerfällung (15) von 5 in ?^ gleiche oder verschiedene positive Sum-
manden erschlossen wird, erhält man die Gleichung
(24) 'Nis = «1 + 0^2 + 1-0^«) = iV(s — ?^ = 1 • a'i + 2 . a'2 + • • • + w • 0^'«),
deren rechte Seite auch als der Denumerant
(25)
s
1, 2, 3,
geschrieben werden kann. Demnach gilt der Satz:
Die Anzahl Tn^^ der Zerfällungen von 5 in n positive
Elemente mit Wiederholungen ist dem Denumeranten (25)
gleich:
(24a) r,,, = r«,,_„.
Hiernach sind die erzeugenden Funktionen der Anzahlen Tn, s und Cn, s,
wie mit Rücksicht auf (5) und (6) sogleich zu übersehen ist, die
Produkte
n n
11 1-Xh' 11 1-Xh
A=l h=l
respektive.
Den gefundenen beiden Sätzen gemäß aber zerfällt s ebenso oft
in n verschiedene positive Summanden, wie 5 ^ — in gleiche
oder verschiedene Summanden aus der Reihe 1, 2, 3, . . ., n; dagegen
zerfällt s ebenso oft in n gleiche oder verschiedene positive Summanden,
wie s — n in gleiche oder verschiedene Summanden aus jener Reihe.
Durch Verbindung dieser Resultate miteinander erkennt man den
Elementare Zerfällungssätze. 113
neuen Satz: daß die Zahl s ebenso oft in n verschiedene posi-
tive Summanden zerfällt, wie s — -^ — - in n gleiche oder
verschiedene positive Summanden, ein Satz, der sich in der
folgenden Formel:
(26) N{s = a, + a2+- • ■ + a„) =^ N(s -'^^^^=-a[ + a', + • • • + a'„)
0 < a^ < ttg . . . < a« 0 < «1 :^ 02 . . . < a'n
ausspricht. Setzt man in dieser allgemein a'i = a» + 1, so erhält sie
die neue Gestalt:
(27) iV(s = «1+ «2 + - ■ •+ «.) = N{s - ^^i^ ==«,+ «2 + . . .+ «n).
0 < «1 < «2 • • • < «^? 0 :^ «1 ^ ttg . . . < «n
Ersetzt man ferner in (24) 5 durch s f n und allgemein öj durch
ai -\- 1, so läßt sich die Formel folgendermaßen schreiben:
(28) N{s = «1 + «2 + • • • ci„) = ^"(s = 1 . al + 2 . «2 + . • • + w • ««)
und lehrt, daß jede Zahl s ebenso oft aus n nicht negativen
Elementen wie aus den Elementen 1, 2, 3, . . ., n additiv ge-
bildet werden kann, wenn Wiederholung der Elemente ge-
stattet ist. Die gemeinsame Anzahl dieser Zerfällungen ist gleich
dem Denumeranten
(29) y„, . =
1, 2, 3, . . ., 71
Offenbar kann dieselbe Formel (28) auch in dem folgenden, so-
genannten ^,Eiderschen Reziprozitätssatze '^ ausgesprochen werden: die , f-ich^
Anzahl Zerfällungen einer Zahl s in weniger als n-\-l gleiche 1
oder verschiedene Elemente ist gleich der Anzahl ihrer Zer-
fällungen in gleiche oder verschiedene Elemente, die kleiner
alsw-f 1 sind. Um dies ohne weiteres einzusehen, sei m = n-\- 1 und
eine Zerfällung von s in Z;i -f Ä:2 -f • • • + ^'v < ni Summanden, so ist
jedes ki < m und
s = aiÄ'i 4- a2^'2 + • • • + dvkv
eine Zerfällung von s in /i = Oi + «2 4- • • • + «1 Summanden, welche
kleiner als m sind. Ist umgekehrt eine solche gegeben und werden
die Summanden der Größe nach greordnet credacht:
A'i < A'2 < • • • < Av < m,
so kann man schreiben:
Bachmann, niedere Zahlentheorie, n. 8
114: Zerfällung einer Zahl in Summanden.
s = ö^i^i + «2(^1 + (h~K)) +0^3(^1 + Ä— ^1) + (^3—^2)) + • • •
= ii-\ + {ii-a^)- (fi^ — \) 4- {^i — «1 - »2) • (ÄJg - ^2) + • • •
und erhält also eine Zerlegung von s in
^1 + (]h — ^1) + (^3 — ^2) + • • -f (kv — h— i) = 'kv<ni
positive Summanden //-, ^ — a^y 11 — a^ — a^^ ... Sonach entspricht
jeder Zerfällung der einen Art eine Zerfällung der anderen Art, und
umgekehrt, ihre Anzahl ist also beiderseits dieselbe.
6. Zur Berechnung der Anzahl
(30) ft, . = JN»^(s = ai + «2 + • • • + an)
0 < «i < «2 . . . < a«
bietet sich eine einfache Rekursionsformel dar. Setzt man nämlich in
der Gleichung
(31) s == «1 + «2 + • • • 4- a«
allgemein ai = a^ + 1, so ergibt sich daraus
(32) s — w == «1 + «2 + • • • + ««
mit den Bedingungen 0 < a^ < Wg • • • < a«, und umgekehrt aus einer
Gleichung dieser Art eine Gleichung der ersteren, so daß sich die
Gleichung
(33) JV(s = «1 + 0^2 + • • • + a„) = i\^(s - w = «1 4- «2 + • • • + ««)
0 < aj < «2 • • • <^ <^« 0 ^ a^ < «2 • • • < «n
ergibt. Nun kann man aber die Lösungen der Gleichung (32) in
solche unterscheiden, bei denen a^ > 0, und in solche, bei denen «^ = 0
ist, bei denen also die Gleichung die Form annimmt
s — n = ac^-\- a^-\- ' ■ ' -\- Un
mit den Bedingungen 0 <ia^<,a^- - - Kun. Hieraus entnimmt man
die rekurrente Beziehung
(34) iV(s = ai + «2 + • • • + an)
= N{s — w = «1 + (^2 + • • • + «^) + -^(^ — w = «2 + 0^3 H \- ^n)
0 < «I < «2 •• • < a« 0 < «2 < 0^3 • • < an
oder
(34a) Cn, 8 = Cn,3 — n-]r ^n — l,s — n'
Aus ihr aber folgen, wenn 5 allmählich durch s — n, s — 2n, ...
ersetzt wird, die Gleichungen:
^n, s — n ^^^ ^n, s — 2n i ^n — 1, « — 2ra
^n,s—2n = ^n,s — Zn "T ^n — l,s — 3n
durch deren Addition zu (34a) sich endlich die andere;
Die Anzahlen C^,,, r^,„ y„,,. 115
(34b) C„^ s = Cn — l,8 — n + Cn — l,s — 2n + Cn-l,s — 3n + * ' *
ergibt, so weit fortzusetzen, bis die Zahl s — hn <^ J" wird, die
entsprechende Anzahl Cn,s—h>i also verschwindet. Durch diese Formel
wird die Anzahl der Zerfällungen von s in n verschiedene positive
Summanden auf die Anzahl der Zerfällungen kleinerer Zahlen in
n — 1 solche Summanden zurückgeführt. Da sie offenbar bei einem
einzigen Summanden stets gleich 1, bei zwei Summanden für eine
Zahl s gleich dem größten Ganzen — ^ ist, wird sie mittels der
Rekursionsformel allgemein bekannt.
Behandelt man in gleicher Weise den Ausdruck
r„, s = N{s = «1 -f öo + f- an\
indem man zunächst a, = ai -\- 1 setzt, so kommt
Fn, s = N{s — w = «1 + a, H h ««)
d. i., wenn nun diejenigen Zerfällungen, bei denen cc^ > 0 ist, von den
anderen, bei denen «^ = 0 ist, unterschieden werden,
(35) r„, , = i\^(s - W = «1 + «2 + • • •+ ««) + iV(s - ?i = ^2 -f «34 • • • + CCn)
oder, da s — n = (s —1) — (n —1) gesetzt werden kann,
(35a) r„, , = r„,,_„ + r,_i,,_i,
woraus nun weiter die Formel hervorseht
(30b) Fn, s = Fn — l^s — l + Fn-l,s — n — l + A — i, s_2« — 1 + ' ' ■,
so weit fortzusetzen, bis r„^s-hn verschwindet, d. h. bis s — lm<n
wird; die Anzahl der Griieder zur Linken beträgt also T-l.
Ganz ebenso führt der Ausdruck
iV(s = «1 H- «2 4- h £^,0;
welcher nach (28) mit y„, , gleich ist, zu der Rekursionsformel
(36) y„,, = N{s = a,+ a,'+----\- cc,) -j- N(s = a,+ a,-\- ■ ■ ■ + «,),
d. L mit Beachtung von (24) und (28) zur Gleichung
't3
/
116 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
(36a) y^, , = y„^ ,_„ + y„_i^ ,,
woraus endlicli die Formel
(36b) yn, s = yn-l, 8 + yn-1, a-n + 7n-l, s-2n + ' ' '
erschlossen wird, diese so weit fortgesetzt, bis s — hn <0, d. h.
/i > - wird; die Anzahl ihrer Glieder zur Rechten beträgt also
\^\-\- 1- Übrigens leitet man (36a) auch unmittelbar aus (35a) ab,
wenn man sich der Beziehung (24 a) erinnert und s durch s -\- n
ersetzt.
6*. Betrachten wir jetzt statt der Größe yn,s die durch die Formel
(a) JJ^' + ^)-'Z/~''"'-'' /klO^(>>/
definierte Größe c„, „ nämlich die Anzahl der Zerfällungen von
s in verschiedene Summanden, welche kleiner als n -\- 1 sind,
d. h; in verschiedene Zahlen der Reihe 1, 2, 3, . . . n. Diese
Größe kann in der Weise von Vahlen durch das Symbol
(b)
\s = Nis = ^i ■ Xi \ wo Xi = 0 oder 1 ist,
bezeichnet oder als die Anzahl der Lösungen der unbestimmten
Gleichung
^ (c) S = 1 ' X^ -\- 2 ' X^ -{- ^ 'X^ -\- " • -\- n ' Xn
aufgefaßt werden. Unterscheidet man hier die Lösungen, in denen
Xn = 0, also
s = 1 • Xi-\- 2 ' x^ + ' ' ' + (n — 1) • Xn-i
{xi = 0, 1)
ist, von den anderen, bei welchen Xn = ly also
s — n => 1 ' x^ + 2 ' x^ -\- • • ' + (n — 1) ' Xn^i
{Xi = 0, 1)
ist, so erhält man unmittelbar die Rekursionsformel
V^Clj Cn, 8 ^^ ^n — 1, 8 "r ^w — 1, « — n)
welche die Größe c„, « allmählich zu berechnen verstattet. Da jede
der Größen Xi zwei Werte annehmen kann, so erhält der Ausdruck
1 • X^ + 2(^2 + 30^3 + ••• + nXn
2^ Werte, deren kleinster Null, deren größter '^^'^^ ist. Demnach
muß
Die Anzahl c„^g. 117
(e) ■ 2 ' c„,. = 2'
sein, wie auch aus (a) für x=l ohne weiteres hervorgeht. Sind'^*'"
unter denjenigen Werten jenes Ausdrucks, bei welchen x^ = 0 ist,
G gerade und ü ungerade, so werden unter den anderen, bei welchen
x^ = 1 ist, ü gerade und G ungerade sein; man hat demnach
^C„, 9 = ^^n, u== G -\- U,
wenn diese Summen resp. über die geraden und über die ungeraden
Zahlen der Reihe 0, 1, 2, ... , erstreckt werden, oder auch
(f) ^"^(-l)'-^".'^*^-
Da ferner jedes Xi in der Hälfte der 2" Werte des Ausdrucks gleich
Null, in der anderen Hälfte gleich Eins ist, so erhält man durch
Addition aller jener Werte offenbar die Summe
2«-i(l + 2 + 3 + • • • -f »^) = 2«-i . !Li!?il).
Dieselbe Summe läßt sich jedoch, weil jede Zahl s der Reihe 0, 1,
2, . . . genau resp. c„, « mal entsteht, auch darstellen durch
den Ausdruck
0 • c„,o + 1 • c„,i + 2 • c„,8 + • • . +ü^5±i^ . c„,1^.
Somit ergibt sich die Gleichung
n{n-\-l) .... /
(g) 2'^~^-''-=2"--^^-
« = 0
Setzt man allgemein Xt + 2/^=1, so nimmt, wenn Xi die Werte
0, 1 erhält, yi die Werte 1, 0 an. Daher kommt einerseits
^i ' Xi + ^i • yi = ^i = — - — j
n {n + 1)
2~
andererseits entspricht hiernach jeder Auflösung der Gleichung (c)
eine Auflösung der Gleichung
^^^^5 = 1. ^^ + 2. 2/, + . -. + ^.2/«
(2/^ = 0,1)
und umgekehrt. Also ist
1;[3 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
\P-) ^n, s ^^^ ^n, s'
j,.. , , n{n-\-l)
für s -f s' = ^ ^ •
Mit Beachtung dieser Beziehung nimmt die Gleichung (e) oder (g),
wenn ungerade ist, ohne Mühe folgende einfache Form an:
Vn (n + l)-j
(i) 2 ' ^■Cn,s^2''-\
5 = 0
während, wenn gerade ist, das letzte Glied in der Summe
zur Linken nur halb zu nehmen ist.
Nunmehr setze man
n n(n-\-l)
(k) r[(l-oc'') = 2^d„,.-x',
A = l 5 = 0
d. h. man bezeichne mit dn,s den Unterschied zwischen der An-
zahl der geraden und der der ungeraden Zerfällungen von
s, d. h. kurz der Zerfällungen von s in eine gerade oder un-
gerade Anzahl verschiedener Zahlen der Reihe 1, 2, 3, ... n,
eine Größe, die nach VaJden durch das Symbol [vgl. Formel (169)]
dn,s = N{s=^i-Xi] {-1)^ I für ^,- = 0,1
auszudrücken ist. Die Zerfällungen von s, bei denen Xn= 0 ist, liefern
zu dem gedachten Unterschiede den Beitrag
— 1 n—l
Nls=^i'xr, (-1)^ j = dn-i,sf
die anderen aber, bei denen Xn= l ist, den Beitrag
n—l
N\^S — n ^2^i'Xi\ - {—ly j = ~ dn-l,s-n'
Daraus geht die rekurrente Beziehung hervor:
^w, s """^ (^n — 1, s ^n — 1, « — nj
derzufolge auch ^ ^ ^
dn — l, s = ein — 2, s — <^n — 2, s — n-\-l
dn — 2,s '^ dn — i,s — ^n — 3, 5 — « + 2
i(i J_X)
sein wird. Nun ist d^k also auch di^h gleich Null, sobald ^ J <7c
ist; setzt man also die Reihe der vorstehenden Gleichungen so weit
Die Anzahl c„^,. 119
fort, bis die Größen ^/,, verschwinden, und addiert sie dann, so ge-
winnt man die Formel:
(1) dn^s = — {dn-l,g-n + f?n — 2,«-?? + l + dn-3,t — n + 2 +•'•)•
Endlich sei
(m)
JJ(li^Ä)
5 = 0
A = l
d. h. d„^s der Unterschied zwischen der Anzahl gerader und
derjenigen ungerader Zerfällungen von s in gleiche oder
verschiedene Zahlen der Reihe 1, 2, 3, . . ., n. Dann darf man
setzen »
^.,. = ^V s
fl:/>0
oder auch „_i
d„,, = N\s =^ iXi + nxn\ (— 1) ^
Diejenigen Zerfällungen von s, bei welchen Xn = 0 ist, liefern zu
vorstehendem Unterschiede den Beitrag
71— l
ersetzt man in den anderen, bei welchen Xn > 0 ist, das Zeichen Xn
durch Xn+^, so sieht man, daß sie zu jenem Unterschiede den Beitrag
.V,-.
2
beisteuern. Somit ergibt sich die Rekursionsformel
aus welcher weiter
0,1 — l.s = On — 2,s — 0;;_1, « — „^-i
^n — 2,s = ^» — 3, Ä — ^« — 2,*— »4-2
^2,5 = <^1, « — ^2, « — 2
folgt, während offenbar
dl,, = (-!)' = - dl,, _i
ist. Durch Addition all dieser Gleichungen findet sich
j^20 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
Multipliziert man noch die Gleichungen (a) und (m) miteinander,
so liefert die entstehende Gleichung
«(n-}-l)
1 =^Cn,sX''^dn,,
00'
5 = 0 « = 0
durch Vergleichung der Koeffizienten der Potenzen von x auf beiden
Seiten die beachtenswerte Beziehung:
(o) Cn, 0 • ^n, 5 + C«, 1 • dn, s-1 + Cn,2 ' ^n,s-2 + • • • = 0,
(für S > 0)
deren linke Seite so weit fortzusetzen ist, bis die Glieder verschwinden.
(Man vgl. zu dieser Nummer die Arbeit von J. B. Pomey, Nouv. Ann.
de math. (3), 4 (1885), S. 408.)
7. Die Formeln (35b), (36 b) finden sich in einer Arbeit von
J. F. W. Berschel (London Roy. Soc. Transact. 140 II (1850) S. 399),
der sie Warburton zuschreibt und durch folgende Betrachtung beweist.
Die Zerfällungen von s in w gleiche oder verschiedene positive
Elemente enthalten entweder das Element 1 oder sind frei von 1; die
Anzahl der ersteren ist offenbar gleich Fn—i,«—!- Die 1- freien Zer-
fällungen aber enthalten entweder das Element 2 oder sind 1, 2 -frei;
jede Zerfällung der ersteren Art hat die Form
s = 2 + «2 + % H \- any
worin die a, > 2 sind, und gibt eine Zerfällung
5 _ 2 - (>^ - 1) = («2 - 1) -f (% - 1) -f • • • + (a. - 1)
von 5 — ^—1 in n — 1 positive Elemente, und umgekehrt; ihre An-
zahl beträgt also r^_i, ,_„_i. Die 1, 2-freien Zerfällungen von 5
enthalten nun wieder entweder das Element 3 oder sind 1, 2, 3 -frei.
Jede Zerfällung der ersteren Art hat die Form
S = 3 -f «2 + % H \- ün,
worin die a/ > 3 sind, und gibt eine Zerfällung
s - 3 - 2 (w - 1) = (6*2 - 2) + (0^3 - 2) -f • • • + {an - 2)
der Zahl s — 2n — 1 in n — 1 positive Summanden, und umgekehrt;
ihre Anzahl beträgt also F^-i, «-2^-1; usw. fort. Hieraus ergibt sich
dann schließlich die Formel (35 b), auf entsprechende Weise aber auch
die Formel (36 b).
Wir sind so zur Betrachtung der 1, 2, 3, . . . r-freien Zer-
fällungen von s in n gleiche oder verschiedene positive Elemente,
d. h. der Zerfällungen
Die 1, 2, 3, . . . r- freien Zergliederungen von s. A>v ^^ß/^^
mit den Bedingungen r < a^ 5 ^2 5 % ' • ^ ^« geführt worden, deren ^/^ '^ ^^
Anzahl ersichtlich mit derjenigen der Zerfällungen Oyp, ^/^ ^
5 _ ^2r = («1 — r) + (»2 — r) + h {(In — r)
von s — nr in n gleiche oder verschiedene positive Summanden gleich
ist. Bezeichnet man ihre Anzahl durch ri,«, so besteht also die
Gleichung
\p*) -t- n, s ^^ ■*-n,3 — nr-
Wir wollen nun auch die 1, 2, 3, . . . r-freien Zergliederungen
von 5 in w gleiche oder verschiedene positive Elemente betrachten
und zeigen, daß sich deren Anzahl durch einen einfachen Ausdruck
bestimmt. Bezeichnen wir sie mit (t„,«, und setzen zur Ab-
kürzung r -{- 1 = Qf so behaupten wir die Gleichung
(38) e«=(« + «-_i-»^).
Um sie zu beweisen, nehmen wir an, sie stehe bereits für Zer-
gliederungen fest, deren Elementenanzahl < n ist, welche. Werte s und r
auch haben; für n = 1 ist dies gewiß der Fall, da dann beide Seiten
gleich Eins oder beide gleich Null sind, letzteres, wenn s <i q ist.
Da in den gedachten Zergliederungen die auftretenden Elemente > q
sind, gibt es allgemein solche Zergliederungen nur, wenn s^nQ ist,
mithin ist
wenn s <.nQ] da alsdann aber s-\-n — 1— nQ<^n— 1 ist, ver-
schwindet auch der Binomialkoeffizient in (38) und die Gleichung
trifft zu. Ist s = nQ, so wird der Binomialkoeffizient gleich 1, in
diesem Falle ist aber auch nur die eine Zergliederung von s in w
gleiche Summanden q vorhanden, also die Gleichung (38) wieder er-
füllt. Nehmen wir daher endlich s^uq an. Dann lassen sich die
Zergliederungen in solche unterscheiden, bei denen die Elemente
> ^ + 1 sind, und in die übrigen, bei denen der Summand q ein-,
zwei-, dreimal usw. auftreten kann. Tritt er genau h-mal auf, so
entsteht nach seiner Absonderung eine 1, 2, 3 • • • r -{- 1- freie Zer-
gliederung von s — liQ in n — h Summanden, und umgekehrt würde
eine solche, deren Anzahl Gn-h^»—hQ beträgt, eine der gedachten Zer-
gliederungen oder vielmehr, da zu jeder von ihnen die h Summanden
Q auf l j verschiedene Weisen hinzutreten können, genau K j Zer-
gliederungen der gedachten Art liefern, deren Anzahl also
122 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
/n\ ^(r+l)
beträgt. Aus solcher Erwägung fließt folgende Beziehung:
(39) ^ '^ ^ ^
welcher der gemachten Annahme zufolge die Gestalt gegeben werden
kann:
/^(r) /^(r+i) (n\ /s-nQ-l\ /n\ /s-nQ-l\
(40)
Nun besteht für Binomialkoeffizienten die Beziehung:
c«) 1 • c) + c) •(.!,)+©•(.-.)+•••+ c) • c) = ny
In der Tat findet sie statt für w = 1, welche Werte m und h
auch bezeichnen, da
i'(:)+«)-G!x)=rr)
ist [Kap. 1, (25b)]. Angenommen nun, sie bestünde so auch für
größere Werte bis zum Werte n, so wäre auch
i-(.!:o+(:)-(.-.)+--+(.-0 •(:)=(:-!">
und, wenn diese Gleichung zur Gleichung (41) addiert wird, so ent-
steht die folgende:
i-(:)+ctT(.!:.)+cr)-G!:.)+-+rr)-(:)=r-*-r+^).
derzufolge die Formel (41) für alle m, h auch noch bei dem um 1
größeren Werte von n bestünde. Damit ist ihre Allgemeingültigkeit
bewiesen.
Setzt man daher in (41) Ji = n - 1, m = s — fiQ — 1 ein, so läßt
sich mit Hilfe der so entstehenden Gleichheit die Formel (40) um-
formen in die folgende:
p(.r) _ r^ir [^D _ [s-nQ-\-n-l\ _ /S-nQ-l\
^n,s ^n,s -y ^_i ) [ ^_i ),
aus welcher, wenn r in r -f 1, r + 2, . . . verwandelt wird, diese
anderen:
Die 1,2,3,... r- freien Zergliederungen von s. 123
/-/(r+l) p(r+2) _ /S-nQ-l\_/S-7lQ-n-l\
tT„, , ^r^,^ -[ ,,_i ) \ n_i )
/-r(r + 2) ^(r + 3) _ (S-7lQ-7l-l\ _ /S - 71 Q - 271 - 1\
hervorgehen. Setzt man die Reihe derselben fort, bis das subtraktive
Glied ( ^ _ ^ ) rechts verschwindet, was gewiß geschehen wird,
wenn /^ -f p = — wird, und addiert dann die Reihe dieser Glei-
chungen, so kommt
oder, da 5<?i-( — +1) und demnach das subtraktive Glied auf
der linken Seite gleich Null ist, schließlich die Gleichung (38):
welche so für alle Werte von s bewiesen ist.
Da aber
/s — nQ-\-7'i-l\ _ /s — 7iQ-{- n — 2\/s — nQ-\-7i — 2\
\ 71-1 ) ~ \ 71-1 / "^ V 71-2 )
und
s — UQ + n — 2 = (s — q) — (n — 1) Q + (n — 1) — 1
ist, folgert man nunmehr weiter
^^»,s — ^^}i,s — l ~r '-^w — 1, s — Q
und, indem man n die Werte 1, 2, 3, . . . s durchlaufen läßt und als-
dann summiert, diese Gleichung:
t s s
(42) ^ Gn, s = ^ G-n^ s-1 + ^ Ö^«-l, s-Q' »
w = l « = 1 n = l
Doch braucht man die erste Summation zur Rechten nur bis n = s—l
hin zu erstrecken, da die Zahl 5 — 1 nicht in mehr als s — 1 Sum-
manden zei-fällt werden kann. Schreibt man ferner bei der zweiten
Summe n statt n — 1, so braucht aus gleichem Grunde die Summation
s — 1
nur bis n = s — q erstreckt zu werden, außerdem ist Gt^t—g als Null
zu achten, und die vorige Gleichung nimmt also die Gestalt an:
124: Zerfällung einer Zahl in Summanden.
(43)
i'<'.=
s—l
=2'
t?i:i.-i +
Ik'.
w = l
n = l
w = l
oder diese
andere:
(44)
wenn
zur
Abkürzung
Ls
= £..
s
-r—1,
(45)
L.=
■■2^t
n = l
[
gesetzt wird. Zudem wird X^ = 0 sein, solange s < r + 1, denn eine
solche Zahl s kann nicht in Summanden zerfällt werden, welche
größer sind als r; desgleichen wird Lg = 1, wenn r+l^s<2r-|-l,
da eine solche Zahl s nicht in mehr als einen Summanden > r zer-
fällt werden kann. Man hat also in der Reihe der Zahlen
(46) L,, 4, X3, L^y ...
eine der Formel (44) gehorchende rekurrente Zahlenreihe,
welche mit r Nullen und darauf folgenden r Einheiten be-
ginnt, gerade so, wie die in Nr. 6 des vorigen Kapitels erwähnte
Lamesohe Reihe der Rekursionsformel
(44') Z. = i._x + i._2
gehorcht und mit einer Null und einer darauf folgenden Eins be-
ginnt. Die Zahlenreihe (46) ist also als eine Verallgemeinerung
jener Lameschen Reihe anzusehen und kann nach Hermes (Math.
Ann. 45, S. 371) als Lame'sche Reihe r*®' Ordnung jener als der
Lameschen Reihe V^^ Ordnung gegenüber gestellt werden. Wir
haben demnach in der Formel (45) einen allgemeinen Aus-
druck für die Glieder der La^neschen Reihe r*®^ Ordnung
gefunden.
8. Wenngleich wir in den Rekursionsformeln (34b), (35 b), (36 b)
ein Mittel besitzen, um die mit C„, «, P«, «, yn,s bezeichneten An-
zahlen in jedem Falle zu berechnen, so ist doch das, was verlangt
werden muß, ein allgemeiner Ausdruck, durch welchen jede dieser
Anzahlen als eine Funktion der sie bestimmenden beiden Zahlen 5, n
gegeben wird. Da nach den Formeln (20 a) und (24a) die ersteren
beiden auf die dritte zurückgeführt werden können, genügt es, diese
Aufgabe für die Größe ^„^ «, welche als die fundamentale angesehen
werden darf, zu leisten.
Statt dessen versuchen wir zuvörderst allgemeiner die Bestimmung
des Denumeranten
(47) ^ ^ ,;
^ ^ a, 0, c, . . . l
nämlich der Anzahl der Lösungen der Gleichung
Der Denumerant . — =f • 125
a, ü, c, . . ., t
(48) s = ax -^ hij -\- cz -{-■■■ -\- lu,
in welcher a, 6, c, ... l gleiche oder verschiedene positive ganze
Zahlen bezeichnen, in nicht negativen ganzen Zahlen Xj y, s, ... u.
Wir beginnen mit der Betrachtung einiger besonders einfachen Fälle.
1) Die Gleichung s = ax gestattet nur dann eine und zwar eine
einzige derartige Lösung, wenn s ein Vielfaches von a ist; also ist
(49) . 1 = 1 oder 0,
je nachdem s durch a teilbar oder nicht teilbar ist.
2) Da nun unter a aufeinander folgenden Zahlen
SyS — 1, s — 2, ...s — (a — l)
nur eine einzige durch a teilbar ist, so folgt die Gleichung
(50) l + i=i + i^ + ... + i^M^M=i.
^ ^ a a a a
Ist r der kleinste nicht negative Rest von s (mod. a), so daß
s = aq ~\- r, q = \ — \ gesetzt werden kann, so folgt weiter
(50a) l.l + i^.l^ + ... + ^-C-^) . i^M^ = m,
^ '' a a a a a a l«J
wofür man auch schreiben kann
("11 = 1 _ i (O . i + 1 . 1^ + . . . + (a - 1) . i:^ia^) ;
LaJ a a \ a ^ a' '^ ^ «/'
man gewinnt also für die Differenz
— [g
d. h. für den kleinsten nicht negativen Rest von s (mod. a)
folgenden Ausdruck:
(50b) 0. = +l- = + 2. = + ... + (a-1). i^M^l
(s. J. F. W. Herschel, London R. S. Trans. 140 II, S. 399).
Sind ferner a, a zwei relativ prime Zahlen, so ist unter den Zahlen
s, s — a, s — 2a, ... s — {a — l)a
eine einzige teilbar durch a, andererseits sind sie sämtlich teilbar durch
a oder sämtlich nicht teilbar durch a, je nachdem s es ist oder nicht
ist, und somit ist unter ihnen eine einzige oder keine durch aa teil-
bar, je nachdem s durch a aufgeht oder nicht. Hieraus ergibt sich
mit Rücksicht auf (49) die Beziehung
126 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
(61) I. + i^ + i^Il + ... +i;zM^lt = l,
^ -^ acc aa aa acc a
welche als eine Yerallgemeinerung von (50) anzusehen ist.
3) Nach (49) ist | = 1. Die Gleichung:
S == X-^-f- x^
gestattet die Auflösungen
X^=Oy \, 2, . . .y s — \f s
x^ = s, s — 1, s — 2, ... 1, 0 resp.,
also ist _? o I 1
Schreibt man, um die Gleichung
S = X-^-\- x^-T x^
aufzulösen, zunächst s = x^-\- s^, wo nun
rr^ = 0, 1, 2, . . ., s — 1, s; s^ = s, s — 1, s — 2, . . ., 1, 0 resp.
gewählt werden kann, und zerlegt nun jedesmal s^ in x^-\- x^y so er-
hält man den Werten von s^ entsprechend der Reihe nach
s + 1, Sy s-1,..., 2, 1,
insgesamt also Auflösungen, mithin ist:
s _(^4-l)(s + 2)
1, 1, 1 12
Die Fortsetzung dieser Betrachtung liefert offenbar als Anzahl der
Auflösungen der Gleichung
(52) s = x^-{- X^-\- ' ' --{-Xn '
den Denumerant
/roN s _ (s-fl)(g + 2)---(s + n-l)
^^^^ 1,1,1,...,! 1.2...(n-l)
Die Gleichung s = ax war nur dann lösbar, wenn s ein Vielfaches
von a, und entsprechend diesem oder dem entgegengesetzten Falle
== = 1 oder 0. Gleiches gilt von der Gleichuncj
a o o
(54) s = ax^ + ax^ -\ h aXn\
die Anzahl ihrer Lösungen ist demnach Null oder gleich derjenigen von
— = X-j^-f- X2~T • ' ' 'T Xny
U
d. 1. gleich (g + a)(g + 2a)...[g-f (»i-l)a]
la . 2a . . . (w — l)a '
SO daß allgemein gesetzt werden kann:
s
(55)
Der Denumerant , 7. 127
_s (s + a)(s + 2a) . . . [s + (n-l)a]
a, a, a, . . . , a a 1 a • 2 a . . . (n — 1) a
Beschränkt man sich bei Auflösung der Gleichungen (52) resp. (54)
auf solche in positiven Zahlen Xi, so lehrt die gleiche Betrachtung,
daß die Formeln (53) resp. (55) durch die folgenden:
(s-l)(s-2)...{s-n-\-l)
1 . 2 ... (n - 1)
(s-a)(s — 2a) . . . [s — (n — l)ä]
(53 a)
(^^^) a la . 2a . . . (n-l)a
zu ersetzen sind. Die erste dieser Formeln stimmt mit der Formel (9 ')
in Nr. 3 überein, und in der Tat ist die Anzahl der positiven Auf-
lösungen der Gleichung (52) nichts anderes als die Anzahl der Zer-
gliederungen von s in w Summanden.
4) Nunmehr betrachten wir die Gleichung
(56) s = a^Xi-\- a^x^.
Sei m das kleinste gemeinsame Vielfache von a^, a^. Setzt man dann
^1 = :^ • 5i + «1, ^2 = ^ • ^2 + «2;
vro «1, «2 resp. Zahlen aus der Reihe
0, 1,2,...,^-!; 0, 1,2,...,^-!
sind und f^, Jg nicht negative Zahlen bedeuten, so geht die Glei-
chung (56) in die folgende über:
(57) s — (a^aj -f «2^2) = ^Si + ^?2;
wo nun für jede der Kombinationen a^, ojg, für welche s — (a^di + ci^^^
nicht negativ ausfällt, die Anzahl der Lösungen in nicht negativen
ganzen Zahlen Jj, Jg ^u finden ist, welche der Formel (55) zufolge
gleich
s - (a^ cc^ + Og a^) ^ s - (a, a^ + g^ a^) + m
m m
ist. Die Anzahl der Lösungen für die Gleichung (56) beträgt also
^ ^ a,, a, ^J m \ m ]
So findet sich z. B. für die Gleichung
(59) s = x-\-2y,
in welcher «1 = 1, «g = 2, m = 2, «^ = 0,1; «2 = ^ ist, aus (58) der
Ausdruck:
128 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
da nun, je nachdem s gerade oder ungerade ist,
1 = 1, ifi = 0 oder 1=0, i^ = l
ist, wird je nacli diesen beiden Fällen die Anzahl der Lösungen der
Gleichung (59) gleich y "^ -^ ^^®^ ~i — ^ ^ ^^®^ allgemein gleich
(60) [i] + 1
sein, wofür auch
(60a) l£±l + (_i)..^
geschrieben werden kann.
Sooft wie in diesem Beispiele «j, «g relativ prim sind, also
m = a^ • «2 is*; nimmt die Formel (58) die Gestalt an:
a,, a,
Hier verschwinden aber nur diejenigen Glieder der Summe nicht, in
welchen s — a^a^ — a^a^ nicht negativ und durch a^a^ teilbar ist.
Setzt man
also
(61) s = 0^1 «1 + 0^2(^2+ ^i^)>
so sieht man, daß ^^1=0^1, x^= a^-\' a^z diejenige stets vorhandene
Lösung der Gleichung (56) bedeuten, bei welcher x^ der Reihe 0, 1,
2, . . ., «2 — 1 angehört. Wäre für sie s — a^ a^ < 0, so würde a<^ + a^z^
also, da a^ eine Zahl der Reihe 0, 1, 2, . . ., a^— \ bedeutet, auch z
negativ sein und kein von Null verschiedenes Glied der Summe (58')
vorhanden sein; alsdann ist also die Anzahl der Losungen der Glei-
chung (56) gleich Null. Da, wenn c^ + a^^^ == — «2 gesetzt wird,
5 + öf2 ^2 = <^i c^i < dy ^2 ^Is^ <^2 < Ci\ mithin — ein echter Bruch ist,
so findet man
rs-o^-] ^ r-«q = — 1-
L a^a^ J L «1 J '
man darf also auch sagen, die Anzahl der Lösungen der Gleichung
(56) sei in diesem Falle gleich
fi^^i + i.
L ot^ag J
Im entgegengesetzten Falle liefert die Formel (61) einen nicht
Der Dennmerant • 129
negativen Wert von a^ -\- a^^ d. i. einen nicht negativen Wert von ^,
also ein Glied der Summe (58'), das nicht verschwindet, und die
ganze Summe reduziert sich auf dies eine ganzzahlige Glied
ein Ausdruck, welcher, da 1 ein positiver echter Bruch ist,
wieder mit ~ + 1 gleichwertig ist. Da ferner
s — a^cc^ s u^
und —^ ein positiver echter Bruch ist, kann ~\ entweder nur
mit oder mit —1 gleich sein. Somit findet sich
UiaJ L«i«2J ^ ° g
schließlich, daß allgemein die Anzahl = der Lösungen der
Gleichung (56) im Falle relativ primer a^, a^ einer der beiden
Zahlen
^ ^ " oder f-^l + 1
— 1
gleich sein muß. Hiermit stimmt der besondere vorherbehandelte
Fall und seine Formel (60) überein. (S. F. A. Lebesgue, exerc. d'analyse
numerique, S. 52.)
Man erhält dies Resultat auch folgendermaßen. Setzt man in
Gleichung (56), immer unter der Voraussetzung, daß «j, «2 relativ
prim sind, x^^= a^i,^-\- a^^ x^= a^^^'^ ^ ^^"^^ zugleich, unter r den
kleinsten nicht negativen Rest von s (mod. a^ a^) verstehend, s = qa^a.2 + r,
so nimmt sie die Gestalt an
(62) q ■ a^a.2 -{■ r = a^a.^ ■ (^^ + to) + «i«i + ^2"2-
Nun durchläuft a^cc^ + «0^2^ wenn u^, a^ die oben angegebenen Werte
annehmen, a-^a^ verschiedene und auch (mod. a^a,) inkongruente
Werte, welche kleiner als ^a^a^ also gleich / oder a^ac.-^-'t^^ sind,
wo die /-', r" zusammen alle kleinsten nicht negativen Reste (mod.
a^a^ darstellen; entweder gibt es daher ein System a^, a^^ für welches
«1«! + «2 £^2 = ^' ^^^ dann li + I2 "^ ^1
oder ein solches, für welches
»1«^ + «2 «2 = ^1^2 + ^ "^d ^2.mi li + I2 = 2 ~~ 1
ist. Mithin gestattet die Gleichung (62) je nach diesen Fällen q-\-\
oder q Auflösungen, wo q = \ — ^
Bachmann, niedere Zahlentheorie. 11.
130 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
Hiernacli läßt sicli der obige Satz auch so aussprechen: Ist r der
kleinste nicht negative Rest von s (mod. «i • «g), so besteht
die Beziehung:
(63) =i= = ^= + r^i.
In dieser Form findet er sich bei Weihrauch^ Ztschr. f. Math. u. Phys.
20, 1875, S. 97. Siehe dazu die sehr elegante Herleitung, welche
Hermite in Quarterly Journ. of Math. 1, 1857, S. 370 gegeben hat.
Man kann der Formel (63) offenbar auch die folgende, wie wir sehen
werden, geeignetere Form geben:
(63 a)
+ N(r + ö^i«2 = % ^1 + «2^2) • [^]-
0<«/<
9. Diese Betrachtungen lassen sich leicht verallgemeinern.
Um die Gleichung
(64) s = a^x^ + «2^2 H + f^nXn
zu lösen, bezeichne man mit m das kleinste gemeinsame Vielfache
der Zahlen dj, a^, ... a„ und setze für ^ = 1, 2, 3, . . . n
eil
wobei ai eine Zahl der Reihe 0, 1, 2, ...——1. Dann nimmt die
Gleichung die Form an:
(65) s — {a^a^ + a^a^ -\ f- a„a„) = ml^ + rnl^ H h m^,
wo nun für jede Kombination a^j cc^j ... ccn, für welche die linke
Seite nicht negativ ausfällt, die Anzahl der Lösungen in nicht nega-
tiven ganzen Zahlen 1^, Ig? • • • in zu finden ist; der Formel (55)
zufolge beträgt sie, wenn zur Abkürzung
(66) s — («1«! -f a^a^ H h «««„) = s'
gesetzt wird, ^ ^ (g/_^^,) (g^ ■|.2m) . . . (s^ + (7i-l)m)
m 1 w • 2 m • . . . (w — 1) wi
und somit die gesamte Anzahl Lösungen der Gleichung (64) in nicht
negativen ganzen Zahlen
s ^ ^ ^ {s' + m) js' -f- 2m) . . .{s' -\-{n-l) m)
(67) «1 , a, , . . . a« "^ .^— / m Im • 2m • . . . (w— l)m
wo die Summation auf alle eben bezeichneten Wertkombinationen
«1, «2? • • • ^n zu erstrecken ist.
Der Denumerant „ „ ^ ' 131
Liegt z. B. die Gleichung vor
(68) s = x^ + 2x,^ 4.T3,
für welche a^ = 1, ßg = ^; »3 = 4, m = 4 ist, so läßt a^ die Werte
0, 1, 2, 3; «2 ^i® Werte 0, 1; «3 nur den Wert 0 zu, demgemäß
^^^^^* ai«i + rt2«2 + «3«3 = «1 + 2«2 + 4«3
die folgenden Werte: ^^^ «^ = 0: 0, 1, 2, 3
für «2 = 1: 2, 3, 4, 5;
man findet demnach für s' einmal die Werte s, 5—1, s — 4, s — 5
und zweimal die Werte s — 2^ s — 3, mithin nach (67)
1, 2, 4
_j^ (s + 4)(g + 8) s-i (g + 3)(5 + 7) 5-2 (s + 2)(s + 6)
4' 4-8 ''"4 4-8 "^ 4 4-8
S^ (5 + 1) (5 + 5) 5-4 5(5 + 4) 5-5 (5-1) (5 + 3)
"^"^'4' 4-8 "^4 4-8 "^4' 4-8
Da offenbar === = =? === = =^= ist, kommt nach einfachen Reduk-
444 4 •^
tionen c
1, 2, 4
5-2
+- i^ . (s^ + 65 + 5)].
Je nachdem also s = 0, 1, 2, 3 (mod. 4) ist, wird die Anzahl der
Lösungen der Gleichung (68) in nicht negativen ganzen Zahlen
^i) ^2; ^3 ^®SP- gleich
s8 + 8s + 16 s* + 6s+9 5^85+12 sH6s + 5
16 ^ 16 ' 16 ' 16
Man sieht, die Formel (67) gestattet, die Anzahl der Losungen
der Gleichung (64) bei bestimmt gegebenen Koeffizienten als eine
Funktion von 5 zu berechnen, doch zeigt sie schwer die Abhängigkeit
dieser Anzahl von den Koeffizienten der Gleichung an. Indem wir
uns auf den Fall beschränken, wo diese letzteren zu je zweien relativ
prim sind, wollen wir dem gedachten Übelstande durch nachfolgende
Betrachtung abzuhelfen suchen.
Man nehme unter der gedachten Voraussetzung zunächst die
Gleichung:
(70) s = a^x^ + a.^x.^ + a^x^,
so daß das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten m = a^a^a^
ist. Setzt man
9*
132 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
^1 = «2Ö^3?1 + f^U ^2 = «3Ö^ll2 + (^> ^-6 = «1«2?3 + %?
wo «1, «2; ^8 resp. Zahlen der Reihen
0, 1, 2, . . ., agttg - 1; 0, 1, 2, . . ., aga^ - 1; 0, 1,2,.. ., a^öTg - 1
sind, und setzt ferner ^ _ ^ . ^^^^^^ ^ ^^
unter r den kleinsten nicht negativen Rest von s (mod. a^a^a^ ver-
stehend, so nimmt die Gleichung (70) die Gestalt an:
(71) g • ^3^/2^3 + ^ = ai^s^C^i + I2 + y + %<^i + «2<^2 + «s^s-
Nun durchläuft der Ausdruck a^a^-[- a.^a2 -\- a^a^^ wenn man den
^1? ^2? "3 ^^® ^^^^ bezeichneten Werte beilegt,
<^2^3 ■ %<^i ■ Ö^i<^2 ^^ (^1^2 ^3)^
Werte, welche alle kleiner sind als ?>a^a<^a^. Die Gleichung (71)
wird aber nur erfüllt, wenn entweder
r = a^a^ -\- a^a^ -{- a^a.^
ist, was N{r == a^a^ + «20:2 + ^«3) mal geschieht, während
ist, und dann g; = li + I2 + ^3; ^^^^ 12 Auflösungen gibt; oder
wenn , , ,
r 4- % 0^2 % ^ ^1 "1 H- 0^2 ^2 + '^s ^3
ist, was N(r + a^aä^g = a^a^ -{■ a^a^ -\- a^a^ mal geschieht und dann
3' — 1 = li + I2 + I3 also jedesmal ^^"^ Auflösungen liefert; oder
endlich, wenn r -[- 2 a^a^a^ = a^a^ -\- a^a^ + a^a^
ist, was JV(r -\- 2a^a^a^ = a^a^ -^ a^a^ -\- a^a^ mal geschieht und dann
g — 2 = Ji + I2 + I3 also jedesmal Auflösungen gibt. Somit
wird die gesamte Anzahl der Auflösungen der Gleichung (70)
in nicht negativen ganzen Zahlen Xi
a,, a.
/r^i + 1) (r_^i + 2)
(72) ^ 3yr(^ + «^«^«^ =. a,a, + «,«, + «,«3) • L^KKllfe^lli/
+ i\^(r + 2a^a^a^^a^a^ + ^2^2 + öt3«3) • ^.^
Der Denumerant • 133
sein. Die Vergleichung dieses Ausdrucks mit dem Ausdrucke (63 a)
läßt das allgemeine hier herrschende Gesetz erkennen, so daß
es nicht nötig ist^ in dieser Richtung noch weiter zu gehen.
Sei z. B. zu lösen
35 = rTi + 2^2 + ox^.
Hier ist m = 1 • 2 • 3 = 6 und wegen 35 = 5 • 6 + 5 ist g = 5, r = 5 ;
«1 hat die Werte 0, 1, 2, 3, 4, 5; «^ ^ie Werte 0, 1, 2; «3 die Werte
0, 1 zu durchlaufen, und man findet leicht, daß dabei der Ausdruck
«j + 2^2 + ^ ^3 fünfmal den Wert r = 5, einmal den Wert 5 + 6 = 11,
keinmal den Wert 5 + 12 = 17 liefert, und somit nach (72)
^^ = 5 . ^ + 1 ~ = 5 • 21 + 5 • 3 = 120
1, 2, 3 2 ' 2
ist.
Nennt man N^^, N^y N^ die drei Anzahlen N, die in der Formel (72)
auftreten und setzt
'- = M„ t±^A3^ = M„ '•+'"' °^°- = M„
SO liefert die Formel die Beziehungen
M, = N„ M, = 3JV„ + J^i, -Ms, = 6iV„ + SN, + N„
aus denen umgekehrt
JSf, = Jfo, N, = M,- 3M,, N,==M,- 3M, + 3M,
hervorgehen. Dadurch nimmt die Formel (72) die Gestalt an:
(73) ' = ^o-23fx + 3^. . 2 _ 3lf,-4M, + .af, , j^^
^ >' a^, a., «3 2 ^ 2 ^ o-
10. Diese Formel löst aber eigentlich noch immer nicht die Auf-
gabe, den Denumeranten ==^ als Funktion seiner Elemente
s, »1, GTg, «3 zu bestimmen, sondern führt seine Bestimmung nur auf
den einfacheren Fall, in welchem s <^a^a2Cis ist, zurück. Bisher ist
die gedachte allgemeinere Aufgabe für die Anzahl — ; . auch nur
von analytischem Gesichtspunkte aus erledigt, nämlich diese Anzahl
unter der Voraussetzung positiver Elemente a, h, . . . l nur als der
Koeffizient von x" in der Entwicklung der Funktion
(74)
(i_a^«)(i_^^)... (i_^i)
nach steigenden Potenzen von x durch analytische Betrachtungen
ermittelt worden.^) Cayley und Sylvester^ denen beiden, besonders dem
1) S. die Anmerkung zu Nr. 15.
1^34 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
letzteren, die Theorie der Zerfällungen überliaupt erhebliche Fort-
schritte zu danken hat, haben Ausdrücke für den genannten Koef-
fizienten aufgestellt, deren Herleitung nun unsere nächste Sorge
sein soll.
Wir beginnen sie mit einer einfachen Bemerkung über den Koef-
fizienten von ic* in der Entwicklung eines Ausdrucks von der Form
Ist r der kleinste nicht negative Rest von s (mod. d)y d.h.. s = qd + r,
worin 0 ^ r < c?, so ist jener Koeffizient offenbar a^. Bezeichnen
wir nun mit di die Eins, wenn i durch d teilbar ist, entgegengesetzten-
falls die Null:
di = 1, wenn i = 0 1 ,
so hat von den d Großen
dsy dg—lj ds—2y • . •; dg— {d—1)
nur eine, nämlich dg-r den Wert 1, die übrigen sind Null; demnach
ist der Ausdruck
(77) aodg + a^dg—^ + • • ■ + a^-ic?,- (d_i)
gleich ür- Einen Ausdruck solcher Art hat J. F. W. Herschel eine
function circulating, Cayley einen circulator genannt (Herschelin
London R. Soc. Trans. 140 II (1850) S. 399; Cayley ebend. 146 I
(1856) S. 127), weil er ersichtlich, wenn s alle ganzen Zahlen durch-
läuft, je nach dem Reste (mod. d)^ welchen s dabei läßt, in steter
Wiederholung die Wertreihe «q, a^, . . ., aa—i annehmen wird. Sind
1, ^, ^', . . . die sämtlichen dien Einheitswurzebi, so ist bekanntlich
p ^ ^i + ^f.- _|. . . .
gleich d oder gleich 0, je nachdem i durch d teilbar ist oder nicht,
und somit könnte
(78) rf.- = ^'' + ^' +/••+■■•
angenommen werden. Noch einfacher wählt man
(79) * = |,
da auch dieser Denumerant nach Anfang von Nr. 8 gleich 1 oder 0
ist, je nachdem i durch d aufgeht oder nicht. Der Zirkulator
(77) schreibt sich dann
/or\\ S| S"~l| I s— (d — l)
(80) ao . ^ H- a^ . -^ + . . . -f a^-i • =r=^
und stellt den Koeffizienten von x' in der Entwicklung von
(75) dar.
Die Zirkulatoren. 135
Um nun diesen Koeffizienten für den Ausdruck (74) zu ermitteln,
müssen wir an die Zerlegung einer rational gebrochenen Funktion
<p(g-)
in Partialbrüche erinnern. Ist q eine Wurzel des Nenners f{x) und
bezeichnet Ä'^ wie oft dieselbe zu zählen ist, so daß f{pc) die genaue
Potenz (x — qY als Faktor enthält, so entspricht dieser Wurzel be-
kanntlich in der Partialbruchzerlegung von ^^ eine Reihe von Brüchen
von der Form: a a a
-A |_ ^1 L . . . A.^hizl
{X-Q)f^ ^ {X-Q)k — l ^ ^ X-Q
mit von x unabhängigen Zählern; dieser Teil der Partialbruchzerlegung
heiße {77^} • Man überzeugt sich leicht, daß er gleich dem Koef-
n — in der Entwicklung
fizienten von — in der Entwicklung der Funktion
X-Q-Z f{Q -f Z)
oder daß, wie wir schreiben wollen,
ist. Wird aber für die Veränderliche ^ eine andere Veränderliche t
eingeführt durch die Substitution z = (p{t)y derzufolge t gleicbzeitig
mit z verschwindet, so ist nach einem allgemeinen Satze von Cauchy
Setzen wir daher q -^ z = Qe-% so läßt sich (81) schreiben, wie folgt:
Schreibt man für einen Augenblick x = q^ und bedenkt, daß
d^ ( 1 \ _ d^ ( 1_
A V. w^^«>, ^^(^) ^-^(«) ^^ dF{x)
d.h. wegen -^^ = ^AJ . _ = ^ . ^
dt (^p(l_,5 + ^)j^_,= ^ • dx\Q-x)
ist, so findet man, wenn zur Abkürzung die Operation x-^ durch
d X
A^ und ihre wiederholten Ausführungen durch Af, A^^\ . . . bezeichnet
werden, mittels der Maclaurimchen Reihenentwicklung diese Gleichung:
136 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
(qp(^)]
also, wenn ^ v
(83) .(.) = ^-.(.-^^)
gesetzt wird,
(841 l^ =^_J_.A('--i)(^.
11. Diese Cayleysche Formel wenden wir nun auf den vorliegenden
Fall an, in welchem (p{x) = 1 und
f(^x) = (1 - x'^){l -x')---{l~ x')
ist. Bedeutet [1 — x^l denjenigen irreduktibeln Faktor von 1 — x^,
welcher die primitiven ^*®^ Einheitswurzeln zu Wurzeln hat, so ist
nach einem bekannten Satze der Kreisteilung (s. des Verfassers Vor-
lesungen über die Lehre von der Kreisteilung usw. S. 15)
(85) l-x^=JJ[l-x''],
d:a
wenn die Multiplikation über alle Teiler d von a, die Zahlen 1 und a
einschließlich, erstreckt wird. Nennt man daher d jeden Teiler der
Elemente a, h, . . ., ?, und Je die Anzahl der letzteren, in denen er
aufgeht, so findet man für f(x) diese andere Zerlegung:
(86) /■W=JJ[l-ä^P,
d
wo nun die Multiplikation über die verschiedenen Teiler d der Elemente
a, hj..., l auszudehnen ist. Indem also mit q irgendeine Wurzel
der Gleichung
(87) [1 - ^T = 0
bezeichnet wird, folgt nach (84) für den ihr entsprechenden Teil der
Partialbruchzerlegung von vt-t der Ausdruck
m \ml-2^r-^-"&
' -1)1 %i^^)
^ i:=l
in welchem / « \
ist, und derjenige Teil der Partialbruchzerlegung für ttt^, welcher
Hilfssatz über Partialbruchzerlegung. 137
den sämtliclien Wurzeln von (87) entspricht und welchen wir kurz
I^TT^ r ^1 nennen wollen, wird daher
sein. Hier kann aber
0
gesetzt werden, wo di{x) eine ganze Funktion von x vom Grade
d — 1 bezeichnet, die um 1 kleiner ist als der Grad ö = (p{d) des
Neuners [1 — x^]^ unter cp (d) die Anzahl der zu d primen Zahlen
< d verstanden.
Um diese Funktion zu bilden, verfährt Cayley folgendermaßen
(London R. Soc. Trans. 148 I, (1858), S. 47). Seien a, a', ... die-
jenigen der Elemente a, &, . . ., ?, welche den Teiler d nicht haben,
und dhy dh'j ... die ä; Elemente, welchen er zukommt, so kann man
setzen, also, da ^"^ = 1 ist.
Da aber ieder Faktor sich in eine nach positiven Po-
tenzen von t steigende Reihe entwickelt, dagegen wegen
^ ^ ~ 1 12+ 1-2.3
die Entwicklung eines ieden der Faktoren tt-, mit der Potenz
- beginnt, so findet sich
J7(^-.^e— )J7(l-e— 0 ^ " ^
und demnach
(91) X<(.9) = 9 • ^-<-
Aber aus (90) ergibt sich, wenn mit q — x multipliziert und dann
X = Q gesetzt wird,
z.(9)-ö,w-(iS]) .
138 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
Bekanntlicli kann aber
[1 — ir^] = (q — x) {q'i - x) (^'2 — x) ' ■ ' {q'S—'^ — x)
gesetzt werden, wo \, z^j z^, . . ., Zd—i die sämtlichen zu d teiler-
fremden Zahlen < d bedeuten. Daraus folgt
i = l
also mit Beachtung von (91)
6-1
(92) 0,(^) = ^_,.(>^.J7(^^-^-l).
1=1
Denkt man sich hier die rechte Seite mit Hilfe der Identität
[1 - e^] = 0
als eine ganze Funktion F(q) vom Grade d — 1 dargestellt, so er-
schließt man aus dem Bestehen der Gleichheit di(Q) = F(q) für jede
Wurzel Q der irreduktibeln Gleichung (87) die identische Gleichheit
beider Seiten und gewinnt also in der Funktion F(x) den Ausdruck
für die gesuchte Funktion di(x).
Da nun jedem Faktor des Produkts (86) ein mit (89) entsprechender
Teil der Partialbruchzerlegung für j^-r zukommt, gelangen wir
schließlich zu folgender, von Cayley angegebenen Zerlegung
der Funktion -^r-z\
f{x)
f{x) j^4^{i-\\ "x \ii-xd\y
WO die erste Summation auf alle verschiedenen Teiler d der
Elemente a, h, . . . l zu erstrecken ist, und Je je die Anzahl
dieser Elemente bedeutet, in denen d aufgeht.
12. Nach Herstellung dieser Formel ist es nun leicht, den ge-
wünschten Koeffizienten von x^ in der Entwicklung von j-^ nach
den steigenden Potenzen von x zu ermitteln. Dem Satze (85) ent-
sprechend darf man schreiben
[1 -Xd] 1-Xd ^
wenn die Multiplikation im Zähler über alle von d verschiedenen Teiler
d' von d erstreckt wird. Man setze nun den Zähler, welcher eine
ganze Funktion von x vom Grade d — 1 ist, da [1 — x^'] vom
Cayleyü Formel für den Denumeranten , ^ ,• 139
Grade (p(d'), di{x) Yom Grade d — 1 = q)(d) — 1 und bekanntlich die
auf alle Teiler d' von d, die Zahl d einschließlich, erstreckte Summe
ist, gleich
also
2Jcp(d) = d
[1 -Xd] 1-X<i
Der Vorbemerkung zufolge, mit welcher die Nr. 10 beginnt, wird
der Koeffizient von oc* in der Entwicklung dieses Ausdrucks durch
den Zirkulator (80) gegeben, den wir in der Cayleyschen
Schreibweise durch das Zeichen
(94) («0, »1, «2; • • -5 (^d-i) clr. d,
ausdrücken wollen. Wenn nun der entwickelte Ausdruck
[l-Xd]
nach X differenziert wird, so geht das Glied Cx^ in Cs • 0(f~'^f durch
die Operation Ax also in sC • 0(f und allgemeiner durch A^"~^) in
s'~'^Cx^ über, d. h. der Koeffizient von x^ wird mit s'~'^ multipliziert.
Demnach ist der Koeffizient von x:^ in
^x \[l-xd])
gleich
s^*-^ • (a^j, «1, . . ., ttd-i) clr. d,
und somit ergibt sich aus (93) als der gesuchte Koeffizient
von X* in der Entwicklung von ^tt-t d. h. als der Wert des
Denumeranten ===== folgender Ausdruck:
a, b, . . ., l ^
(^^) a,b,'...,t =2 ( 2 i^^. • K, «1, ■ • ■ , «<*-i) clr. d. ).
d \t = l /
Unter den Teilern dy auf welche diese Summation zu erstrecken
ist, befindet sich stets der Teiler d = 1, der insofern vor den übrigen
sich auszeichnet, als ihm nicht eigentlich ein Zirkulator entspricht,
denn dieser hätte nach (94) die Form einer Konstanten:
(ao)clr.l, = ao.
Scheidet man daher in der Formel (95) diesen Teiler von den übrigen,
so nimmt sie, wenn man beachtet, daß der Teiler ^ = 1 so oft auf-
tritt, als die Anzahl s der Elemente a, h, . . .yl beträgt, die neue
Gestalt an:
140 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
(96)
a, b,...,l
*■■ !— 1
=<)«'-'+ a<^}s'-^+- + a(^)+^^^r:^_- (a„, a,,.. .,a,_Oclr d,
d 1=1
WO nun d nur noch alle von 1 und untereinander verschiedenen
Teiler der Elemente a, h, . . .yl zu durchlaufen hat, eine Formel,
derzufolge der gesuchte Denumerant aus zwei wesentlich
verschiedenen Teilen besteht: einer ganzen Funktion von s
mit festen Koeffizienten und einem die Zirkulatoren ent-
haltenden Bestandteile mit periodisch wechselnden Koeffi-
zienten.
Cayley hat nach dieser Formel für eine größere Reihe besonderer
Fälle den numerischen Wert dieser Zirkulatoren und des Denumeranten
berechnet und u. a. folgende Resultate gewonnen:
1, 2
(vgl. hiermit 60 a);
s 1
i(2s + 3 + (l,-l)clr.2.)
1, 2, 3 72
[6s^+365 + 47+9.(l,--l)clr.2,H-8.(2,-l,-l)clr.3,],
ig[2s3-f 30s2+ 135s + 175 + (9s + 45) • (1, -l)clr. 2,
+ 32 . (1, 0, - 1) clr. 3, -f 36 ■ (1, 0, - 1, 0) clr. 4,].
13. Indem wir nun auch denjenigen Ausdruck für den Denume-
ranten herleiten wollen, welchen Sylvester gegeben hat (Outlines of
seven lectures on the partitions of numbers, Proc. London Math. Soc.
28, S. 33; Quarterly Journ. of Math. 1 (1857) S. 81, 141), um ihn
dann mit demjenigen von Cayley zu vergleichen, beginnen wir mit
dem Beweise folgenden Hilfssatzes:
Der Denumerant ==?= ist bleich dem Ausdrucke
a, fc, . . . Z °
(97) _L_.2'Ä(«,^,...,A),
in welchem Ss{cCy ß, . . , X) die Summe aller aus a, /3, . . ., A ge-
bildeten Produkte von der Dimension s bedeutet, während
unter a, ß, . . ., X eine Kombination aus je einer Wurzel der
Gleichungen
(98) ^«=1, X^=ly'X^=l
resp. zu verstehen und die Summation über alle a .h . . .1
solche Kombinationen zu erstrecken ist. In der Tat bezeichnet
Sylvesters Bestimmung des Denumeranten , y 141
zunächst Ss(a, ß, - • -, ^) den Koeffizienten von x' in dem nach
steigenden Potenzen von x entwickelten Quotienten
{l-ax){l-§x) • ■ • {l-XxY
SO daß dieser letztere gleich
gesetzt werden kann. Werden mithin durch
a, a!, ...; ß, ß\ . . .; . . .; A, A', . . .
die sämtlichen Wurzeln der Gleichungen (98) bezeichnet, so wird
offenbar der Ausdruck
<99)
yi-ax^ l-ax^ J \l-ß!C^ 1-ßx^ j
«=o
sein, wenn die zweite Summation über alle oben genannten Kombi-
nationen erstreckt wird. Nun ist, wenn x~'^ = y gesetzt wird, der
erste Faktor der linken Seite gleich
X«'
(100) 2,(^ + _^ + ...) = y.«_|^ = ^
^ ^ ^\y-cc ' y-a! } ^ y""-! 1-
und da für die übrigen Faktoren Ähnliches gilt, findet sich die
Gleichung
aus welcher der behauptete Satz erhellt, da der Denumerant , ,
der Koeffizient von a^ in der Entwicklung des links stehenden Quo-
tienten ist.
Beschränken wir nun der Einfachheit wegen unsere Betrachtung
auf den Fall dreier Elemente a, h, c, d. h. auf den Fall des Denumei'anten
, • Seien wieder a, /3, y je eine Wurzel der Gleichungen
(102) x^=.l^ 0^=1^ af=l.
Dann ist S,(a, /3, y) der Koeffizient von oc* in der Entwicklung des
Quotienten
142 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
1
{l-ax)(l-ßx){l-'yx)
nacli steigenden Potenzen von x oder, was dasselbe sagt, das konstante
Glied in der entsprechenden Entwicklung des Ausdrucks
(103) tc, ^, , (a;) = ^ . (i_„^)(i_^ß^)(i_y^-
Sind nun erstens a, ß, y voneinander verschieden, so besteht
bekanntlich die Partialbruchzerlegung
(104) ^,,„(.) =^ + ^ + ^ + ^iL,
i = l
derzufolge
(105) S,ia, ß,y) = A + B+C
sich ergibt. Nun folgt aber aus (104), wenn x == cc~^e~* gesetzt
wird, die Gleichung
^«,^,y((^-^e-0 =r=7=^ + J + f + y]Aa^e\
a. ci
aus welcher man erkennt, daß
d. h. gleich dem Koeffizienten von — in der Entwicklung der ^-
Funktion nach den steigenden Potenzen von t ist. Ähnlicherweise
finden sich die Formeln
mithin nach (105) der Wert
'S.{,a, ß, y) = Jr_i[V'„,ft,(«-'e-')+*<.,ftr(/3-'«-')
Sei jetzt zweitens a gleich ß aber verschieden von y. Dann ist
(106 a)
(107) ^, «„(.) = ^^. + r^ + 1:^ + i'f '
i = l
demnach
(108) 8.{a,a,y) = A + A' + C.
Da nunmehr bei der Substitution x = a-^e~' resp. x^y-'er'
A + A!^ K-,{tl,a,.,r(a-'e-')), C = K-x{tl>a,a,r{y-'e-))
gefunden wird, so ergibt sich
Sylvesters Bestimmniig des Denumeranten ^ ^ ^' 143
wofür jedoch mit Rücksicht auf a = ß auch geschrieben werden kann
(106b) ^ . x1
Ist endlich drittens a = ß = y, so ist
woraus
(109) &(«, a, «) = ^ + ^' + Ä\
Andererseits geht bei Substitution von x = a~^e~^ in die vorige Glei-
chung die Summe A -\- Ä -\- Ä" als Koeffizient von -? und daher
die Gleichung
Ss{a, a, a) = ^_i(t^a,«,«(a-ie-0)
hervor, der man aber mit Rücksicht auf a = ß = y auch die Form
geben kann:
S,{a, «, Ci) = K-i[jta,a,aicC-'e-^)i-jta,a,a{ß-'e-^)
+ jta,a,a(r-'e-*j].
Um nun gemäß den Formeln (106 a, b, c) die Summe
(110) 2^.{cc, ß, y)
ZU finden, verteile man die Wurzeln a der Gleichung x" = 1 in vier
Gruppen: die Wurzeln «,, welche von den drei Gleichungen (102)
nur der ersten genügen; die Wurzeln a^, welche der ersten und
zweiten, aber nicht der dritten; die Wurzeln cfg, welche der ersten
und dritten, aber nicht der zweiten; endlich die Wurzeln a^, welche
allen drei Gleichungen genügen/' Es seien ebenso ß^, ß^, ß^j ß^ diejenigen
Wurzeln ß, welche resp. nur der Gleichung cd" = 1^ nur der ersten
und zweiten, nur der zweiten und dritten, endlich allen drei Glei-
chungen genügen; desgleichen y^^ y^, y^y y^ diejenigen Wurzeln y,
welche resp. nur der Gleichung ic° = 1 , nur der ersten und dritten,
nur der zweiten und dritten, endlich allen drei Gleichungen genügen.
Man bemerke, daß dann die Wurzeln a^ mit den Wurzeln ß^, die
Wurzeln ctg mit den Wurzeln y^^ die Wurzeln ß^ mit den Wurzeln ^g,
endlich die Wurzeln a^ mit den Wurzeln ß^ wie y^ übereinstimmen
werden.
(106 c)
144
Zerfällunfif einer Zahl in Summanden.
Wir suchen nun zunächst denjenigen Bestandteil der Summe (HO),
welcher die ^-Funktionen mit den Argumenten a~^e~^ umfaßt. — Ist
erstens a ein Wj, also von jedem ß, y verschieden, so lehrt die
Formel (106 a) sowie die analog mit (106b) für ^'^(a, y^ y) gebildete
Formel, daß, gleichviel ob /3, 5/ verschieden voneinander sind oder
nicht, einem solchen a^ sämtliche Funktionen ^aj, /?, y(«i~^e~0 ^^'
kommen, ihm also der Bestandteil
(a)
entspricht. — Ist a ein a^^ also von jedem y verschieden, so kommt
einem solchen a^ nach (106a) sowie nach der Formel für ^(0:, y^ 7)
jede Funktion ta^,ß,y((^^^^~^) zu, in welcher ß von a^ verschieden
ist, dagegen nach (106 b) nur jede Funktion - T^a^,^,y(a2-^e-'), wenn
ß = cc^. Demnach entspricht dieser Wurzel a^ der Bestandteil
(b) Ä-_i ^"'^«„^,,(«r'«-0-|^*».«.x(«2-^^«-')
der Summe (HO). In gleicher Weise entspricht jeder Wurzel «g
der Bestandteil
(C) K_i ^^a3,/9,y(o^3~'ß~0--^^^«a,/?,«X«3~'ß~0
Ist endlich a ein «4, so kommt einem solchen «4 jede Funktion
-^«4,^, y(«4~^e~0 zu, gleichviel ob ß^y gleich oder verschieden sind, wenn
nur keins von beiden gleich a^ ist, ferner nach (106 b) jede Funktion
Y^a«, «4, y(«4~^6~0j wenn nur y von a^ verschieden ist, sowie jede
Funktion -^fl^a^,ß,a, (c^4~^6~0; wenn nur ß von c^^ verschieden ist, end-
lich die Funktion -wi'ai,a^,aX^r^^~^)- ^^ ganzen ist also der a^ ent-
sprechende Bestandteil der Summe (HO) gleich dem Koeffizienten von
— im Ausdrucke
t
(d)
t^^y 1 's:-!
i V
^cc.
2 ^^ ''•^«4, «4, Y
Y
(a-^e-') +i^a„a„a,(^r'^~0
^^^«.,/^,«.(«r'ß"0+|^«„«„a,(^r'ß"0
^K,i^,y(^4"'ß"0- 2^'«-i^'«^(^4"'^~0
/^,y
2 2'K,«„y(«r'^~0 + 3i^a„«„«,(c^r'^"0-
Sylvesters Bestimmiing des Denumeranten , y 145
Entsprechende vier Bestandteile der Summe ergeben sich, wenn man
die auf die Argumente ß-^e~* und y~'^e~^ bezüglichen ^-Funktionen
zusammenfaßt.
14. Wir drücken nun diese einzebien Bestandteile passender aus.
Da nach dem Ausdrucke (103) für die Funktion ^a,^,y(a;) allgemein
geschrieben werden darf, findet sich mit Hilfe der Beziehung (100)
zunächst der Bestandteil (a)
fi,Y \ 1 / V 1 y
wofür ofi'enbar auch geschrieben werden kann
TP- cc\e*^ • aic
JL-l
Die sämtlichen Wurzeln a^ liefern also zusammen zur Summe (110)
einen Bestandteil gleich der über alle diese Wurzeln bezogenen Summe
Aus gleicher Erwägung aber erhält man aus den Wurzeln ß^, y^
resp. die beiden Bestandteile:
"' ' ^' i-(^.^o-^- i-(^.^o-^- i-(^y)-^
Femer aber findet sich
und
also der Bestandteil (6) gleich
R /__4e^_ / & 1_ 1 \\
Denkt man sich hier den ersten Faktor in eine Potenzreihe entwickelt
gleich
Bachmann, niedere Zahlentheorie. IL iq
146 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
(1 + C< + • • •)«!.
so findet sich leicht der gedachte Koeffizient von - gleich
t
2
Nun entspricht aber jeder Wurzel ojg ®i^® i^^ gleiche Wurzel ß^
und dieser in analoger Weise der Bestandteil
2 '
ihnen beiden zusammengenommen also der Bestandteil
der, wie einfach zu übersehen ist, gleich
^-1
ist. Alle Wurzeln cc^ oder ß^ zusammen liefern daher für die Summe
(110) den Bestandteil
^ ^^ aje*' • abc
Nunmehr geben ebenso die Wurzeln a^ oder j'g zusammen den Ausdruck
^ "^ ale'* ' abc
(«s) ^-1 • ^i_(.,e')-«-l-(«3e')-' •!-(%«')-"'
desgleichen alle Wurzeln ß^ oder ^g zusammen den Bestandteil
Betrachten wir endlich die Bestandteile, welche den Wurzeln a^
oder ß^ oder y^ entsprechen. Der auf eine solche «^ bezügliche Teil
(ß) nimmt zunächst die Form an:
nm IT r <e''-bc 1 aje'^ - b
Man beachte nun die allgemeine Formel
~a2)c\2 + 2 "^ 4 "^ 12 j'
Sylvesters Bestimmung des Denumeraüten — j y 147
welche leicht durch Entwicklung der Funktion nach Potenzen von t
sich herausstellt. Werden hiernach die einzelnen Glieder des vorigen
Ausdrucks gebildet, so geht nach Zusaramenziehung derselben für den
Ausdruck (111) folgender Wert hervor:
-.(1-^-^4-^+^^+^)
Vereinigt man diesen Bestandteil mit den auf die gleiche Wurzel ß^
oder y^ bezüglichen Bestandteilen
so erhält man zusammengenommen
«lg
d. i. nach (112)
«ig+
a-\-b-{- c ab-\-bc-^ ca a^-\- h^-\- c*\
^ 2 + 4 + 12 r
j^ / die" -aöc \
^ / g^e • abc \
Der Bestandteil der Summe (110), welcher von den Wurzeln a^ oder
/3^ oder y^ herrührt^ ist also die auf alle diese WurzeLa bezogene
Summe
/ X jy- "^ ccle'^ • abc
(aj ^^•^l-(a.e')-«-l-ke')-'-l-U.e')-"'
Demnach ist endlich die Summe (110) gleich der Summe der
Ausdrücke (a^), (ßj), (y^), (a^), («g), {ß.2), («4), sämtlich von über-
einstimmender Form. Man beachte aber, daß die Wurzeln cc^, ß^j y^j
«2, «3. ß.>y «4 die sämtlichen untereinander verschiedenen Wurzeln
der Gleichungen (102) sind. Bezeichnet also co jede dieser voneinander
verschiedenen Wurzeln, so kann man einfach setzen
(113) ^S,(«, ß, y) = K_,'2
Bekanntlich sind jedoch die sämtlichen Wurzeln einer Gleichung
af = l identisch mit den primitiven Wurzeln aller Gleichungen
af^ = 1, deren Grad ein Teiler von a ist; wenn daher d\ d", d'", . . .
alle verschiedenen in den Elementen a, hy c aufgehenden Teiler be-
10*
148 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
deuten, so ist die Gesamtheit der Wurzeln co identisch mit der Ge-
samtheit der primitiven Wurzeln aller Gleichungen
X'^'=lf X^"=\, X^"'=ly ...
Faßt man dann in (113) immer diejenigen Glieder zusammen, welche
den primitiven Wurzeln q^ je einer dieser Gleichungen
x^ =1
entsprechen, so gewinnt man als Schlußresultat der ganzen Unter-
suchung die Formel:
(114)
worin
w^^ V ^^^
Diese für den Fall von drei Elementen a, &, c durchgeführte
Untersuchung kann offenbar entsprechend nicht nur auch für zwei
Elemente a, h, sondern auch für den Fall einer beliebigen Anzahl
von Elementen a, h, . . ., l angestellt werden und führt dann zu dem
allgemeinen von Sylvester ausgesprochenen Satze:
Der Denumerant , ist gleich einer Summe:
a, b, . . .,1 °
d
welche sich auf alle verschiedenen in den Elementen a^hj . . .,1
aufgehenden Zahlen d erstreckt, und in welcher das all-
gemeine Glied
"d
ZU setzen und die hierin auftretende Summation auf alle
primitiven Wurzeln q^ der Gleichung x*^ = 1 zu beziehen ist.
Sylvester nennt jeden dieser Ausdrücke Wd eine „Welle (Wave)'^
des Denumeranten.
Wählt man in diesen Formeln für die Elemente »,&,...,? ins-
besondere die Zahlen 1, 2, 3, . . ., w, so liefern sie den allgemeinen,
in Nr. 8 verlangten Ausdruck für die Anzahl
Yn,
1, 2, 3, . . ., w
In diesem Falle nimmt das Zeichen d gleichfalls die sämtlichen Werte
Die Wellen (Waves) Sylvesters. 149
1, 2, 3, . . ., n SLR und die Anzahl der Wellen des Denumeranten yn,*
ist daher gleich n})
15. Die Vergleichung der Formel (115) mit der nach Cayley her-
geleiteten Gleichung (95) legt die Vermutung nahe, daß jede Syl-
vestersoh-e Welle mit dem auf den entsprechenden Zirkulator bezüg-
lichen Bestandteile der dortigen Summe identisch ist. Dies bestätigt
sich in der Tat, wenn man die einzelnen Wellen wirklich berechnet.
Zu diesem Zwecke ist die Entwicklung von {q^}* • €?\ nämlich
(116) ((,.)•• e" = (p,)' .[l + f + -!!^ + j£^ + ...]
mit den Entwicklungen der einzelnen Faktoren
i-e7"
e
■at
soweit zur Ermittlung des Koeffizienten von — erforderlich ist, zu
multiplizieren. Ist in einem solchen Faktor q—"^ verschieden von 1,
so bleibt der Faktor für ^ = 0 endlich und gestattet eine Entwicklung
nach den positiven Potenzen von t von der Form
Ist dagegen ()~" = 1 , so wird der Faktor
worin die ^i die BernouUischen Zahlen bedeuten. Hat man diese
verschiedenen Entwicklungen aufgestellt, so findet sich durch ihre
Multiplikation der gesuchte Koeffizient von — •
In dem besonderen FaUe des stets auftretenden Teilers c? = 1, d. h.
zur Auffindung der Welle W^ schreibe man das dann einzig vor-
handene Glied der Summe in der Form:
(119) g*^-2:iog(i-«-«o.
Da
1) Eine einfache Herleitnng der Sylvesterschen Formel (115) mittels des
Residuenkalküls von Cauchy s. bei Brioschi, Ann. di scienze mat. e fisiche 8, 1857,
S. 5. Vgl. auch S. Roberts, Quart. Joum. 4, 1861, S. 155 Einen andern Ausdruck
für den Denumeranten , welcher von JPod di Bruno herrührt,
1, 2, 3, . . ., n'
bringen wir im folgenden Kapitel Nr. 7, (47).
250 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
ist, so ergibt sich, durch Einsetzen des Ausdrucks (118) und nach-
folgende Integration die Gleichung
log(l-6-«0 = ^ + logl^-y + ^-^ + rrYTsTl • -4- + • * "
also, da für ^ == 0 _^^
wird,
log (1 - 6-«0 = log a^ - -^ + ^ . — + ^-Vn • ^ + • • •
Hiernach wird, wenn man die Anzahl der Elemente a, &,..., Z wieder
a nennt und zur Abkürzung
(120) 5. = a^ + &^ + . . . + ^-
setzt,
2'lög (1 - ^""0 = log a& •••? + «• log ^ - l • 5i
also der Ausdruck (119) gleich
Demzufolge ist W^ der Koeffizient von t-'^ in der Entwicklung dieses
Ausdrucks oder, was dasselbe sagt,
W^ = Koeff. von p-'^ in
(121) Tn—^i-^'^
a. b l
WO zur Vereinfachung s -\- — s^ = Sq gesetzt worden ist. Denkt man
sich hier für die Expo'nentialgröße ihre Entwicklung gesetzt, so leuchtet
unschwer ein, daß der Koeffizient von t^—'^ die Zahl Sq und folglich
auch die Zahl s nur in der £ — 1*®^ Potenz höchstens enthalten kann,
daß also W^ einer ganzen Funktion von s vom Grade s — 1 mit
festen Koeffizienten gleich sein wird, wie nach der Formel von Cayley
auch das von den Zirkulatoren freie Glied derselben es ist.
Sind nicht alle Elemente a^hy..., l ungerade, so tritt der Divisor
d = 2 auf; sind dann g, g\ ... die geraden Elemente und ri ihre An-
zahl, u, u\ . . . die ungeraden Elemente, so nimmt die Welle Wg; da
nur eine primitive Wurzel q^ = — l vorhanden ist, die Gestalt an:
(122) W, = K-,. T_ „.,
Schreibt man also
Beispiel: Der Denuinerant ^ „ „ • 15X
1, iS, i), 4:
und bedenkt, daß — analog wie bei W^ —
(123) ,-r/'' ... = tJ— 'i~'' e{'-^Y')'-A:'^'
/7(i-e-^o
99
gesetzt werden kann, wenn man unter 6i die Summe g' -{■ g'^ -\-
versteht, so ergibt sich schließlich
!W2 = Koeff. von t^-^ in
wo wieder zur Abkürzung <5^, für s + — ö^ eingeführt worden ist.
Suchen wir hiernach z. B. den Denumeranten
1, 2, 3, 4
Hier erhält der Teiler d die Werte 1, 2, 3, 4 und demnach sind
vier Wellen "PTi, TTg, TFg, W^ zu berechnen. Zunächst ist
e = 4, 7/ = 2; s^ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10, 5^ = 1 + 4 + 9 + 16 = 30,
ö^ = 2 + 4 = 6.
Also wird nach (121) W^ gleich dem Koeffizienten von f im Ausdrucke
1
24
.ß(«+5)^-^^
= ^[l+((. + 5)<-^i'+...) + i((. + 5)<-?^<f + i(s + 5)V...}
d.i.
(125)
T^. = ^(-(« + 5)^ + |(« + 5)')
= ^(2sä + 30s^ + 135s + 175).
Ferner ist nach (124) TF^ gleich dem Koeffizienten von t im
Ausdrucke
(j^' . e('+3)' . (c, + c. < + a<» + • • ■),
wo die Klammer die Entwicklung des Quotienten
1
vorstellt, welche leicht gleich
152 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
gefunden wird. Da nun
ist, ergibt sich schließlicli
oder, da (— 1)* gleich + 1 oder — 1, je nachdeip s durch 2 teilbar
ist oder nicht ist,
(126) . TF2=4(95 + 45).(1, ~l)clr.2,.
Nunmehr ist, unter q jede der beiden primitiven dritten Einheits-
wurzehi d. i. jede Wurzel der Gleichung
(127) 9^ + ^ + 1 = 0
verstanden, die auch die Gleichung q^ = 1 erfüllt,
W =K .• V -^
Der unter dem Summenzeichen stehende Ausdruck gibt, nach Potenzen
von t entwickelt, den folgenden:
.(1-^.2. + . ..)(l4-|*+...)(l-^.4.+...)
QS
für welchen der Koeffizient von — gleich -r-r, ^-^ — jz r ist. Be-
zeichnet also q' die zweite Wurzel der Gleichung (127), so kommt
1/ QS—QS + 1 q's—q' g + 1 \
oder, da
(i-p)(i-p^) = (i-e')(i-9'^) = 3
ist, einfacher
Nach Anfang von Nr. 10 kann aber der Ausdruck
Beispiel: Der Denumerant i o ^ i' 153
1 + Qi + Q''
3
für den im Zirkulator auftretenden Wert 3^ gewählt werden, so daß
zunäclist Tjr ^ rQ Q \
oder, da, wenn s ^ 0 (mod. 3) ist, 3., = 1, 35_|_i = 0
„ s=l ,, ;, 3^ = 0, 3, + i = 0
„ s = 2 „ „3, = 0, 3, + i = 1
zu setzen ist,
(128) W,=j-i\, 0, -l)clr.3. = 2i8-32-(^' *^' -l)cl'--3,.
Endlicli sind für d = 4 unter Qa die beiden primitiven vierten Ein-
heitswurzeln /, — i zu verstehen, also TF4 gleich der Summe aus
«•» ^« t
K.
und dem konjugiert imaginären Werte. Hier geht durch die Ent-
wicklung nach Potenzen von t ähnlich wie bei TFg der Wert
'^'4 4 . 2 (1 + i) (1 - ^) ^ 4 . 2 (1 - i) (1 4- *)
_ i'{l + (-iy)
16
hervor. Da aber für s = 0, 1, 2, 3 (mod. 4) sich
^.(l_l_(_iy) = 2, 0,-2,0
resp. findet, darf man auch schreiben
(129) Tr, = | • (1, 0, - 1, 0) clr • 4, =^ • 36 • (1, 0, - 1, 0) clr • 4,.
Addiert man nun die vier in (125), (126), (128), (129) gefundenen
Werte der Wellen TFj, W^, TF3, TF4, so erhält man genau denselben
Ausdruck des Denumeranten v=^=q=t' ^^® ^^^ ^^^ ^^^ ^^^ Cayley
aus seiner Formel gewonnen am Schlüsse von Nr. 12 mitgeteilt
haben.-^)
1) Eigentlich lösen auch die Formeln von Cayley und Sylvester noch nicht
in erwünschter Weise die Aufgabe, den Denumeranten — ~ zu bestimmen,
a^ 0^ ... l
sondern geben nur eine allgemeine Regel, um ihn für irgend gegebene Elemente
a, fe, . . . Z als Funktion von s ausdrücken zu können. Die so gefundenen Aus-
drücke für den Denumeranten lassen erkennen, daß er eine ganze Funktion von
s ist, in deren Koeffizienten die Zirkulatoren, d. h. gewisse Divisionsreste (mod. s)
eingehen. In neuerer Zeit hat H. Wolf (Inaug.-Dissert., Halle 1899) versucht,
rein arithmetisch, nämlich von einem allgemeinen Zerfällungssatze aus, den er
mittels n-dimensionaler Raumbetrachtungen begründet, für den Denumeranten
yn, s den allgemeinen Ausdruck als eine Funktion der angegebenen Art zu finden.
Er gibt für die Fälle w = l, 2, 3, 4, 5 Ausdrücke, welche leicht auf die von
Cayley gegebenen zurückkommen (vgl. dazu übrigens Sylvester^ Amer. Jonm. of
154 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
16. Wir schließen diese Untersucliungen mit einer sehr
interessanten Folgerung ab, welche Sylvester aus seiner
Formel gezogen hat (s. Phil. Magaz. 16 (1858), S. 369).
Zur Abkürzung bezeichnen wir dabei den Denumeranten
a^ b^ c, . . l
d. i. die Anzahl der Auflösungen der Gleichung
(130) ax ~{- hy + c^ -\- ■ ' ' -\- lu = s
in nicht negativen ganzen Zahlen x, y, z^ . . .u einfach mit iV, und
(«e^)-" mit X{n). Dann ist nach Sylvesters Formeln (115), (115a)
(131) ^-^-^■2'l-X(a).l-Vl-X(c)-'
diese Summe auf alle untereinander verschiedenen Wurzeln cd der
Gleichungen ^ _ i^ ^. _ j^ ^o = i^ . . .
erstreckt. Schreibt man aber statt der Gleichung (130) diese andere:
(132) ax' -h a^" -\-ly ^ cz + \-lu=^ Sy
für welche der zugehörige Denumerant
(133) ^'-^~^-2j^^lW^^^W^I^Il^.
sein wird, so entsprechen jedem der in den N Auflösungen der
ersteren Gleichung auftretenden Werte von x genau x -\- 1 Systeme
x\ x'\ da die Gleichung x ^= x' -\- x" ebensoviele Auflösungen zuläßt.
Demnach muß
(134) N' = ^x + N
sein, wo die Summation über alle jene Werte x zu beziehen ist.
Math. 5, S. 79; Zuchristian, Monatsh. f. Math. u. Phys. 4, S. 185; Glösel, ebend. 7,
S. 132 n. 290), zeigt aber weiter nur, wie die Koeffizienten des Ausdrucks y«,«
als lineare Funktionen derjenigen des Ausdrucks yn — i, « bestimmbar sind, so daß
in rekurrenter Weise aus yn — i,s auch y«, « gefunden werden kann. So gewinnt
er schließlich yn,s auch für n=6 (vgl. dazu Cayley, London Roy. Soc. Trans.
146 I, S. 127; 148, S. 47, sowie v. Sterneck, Arch. f. Math. u. Phys. 3. Reihe 3,
S. 195), der allgemeine Funktionsausdruck des Denumeranten fehlt aber auch
hier. Andererseits hat schon K. Weihrauch (Ztschr. f Math. u. Phys. 20, S. 97
und 112; 22, S. 234) rein arithmetisch einen allgemeinen Ausdruck für die An-
zahl der Lösungen der Gleichung
ax-\-'by-\-----\-lii — s
in positiven ganzen Zahlen aufgesucht, welcher von der Art der Formel (73) ist
und trotz seiner natürlichen Kompliziertheit der Eleganz nicht entbehrt. Aber
er schließt ihn nur durch Induktion aus den beiden einfachsten Fällen von
2 und 3 Elementen, ohne dieselbe als für beliebig viel Elemente zutreffend zu
bestätigren.
Eine Schlußfolgerung Sylvesters. 155
Aus (131) und (133) ergibt sich daher die Gleichung:
(135) 2^-^-^-2i.-H<^n'T-l'^'\-H,..:
Wird dagegen statt der Gleichung (130) die folgende betrachtet:
ax' + ax" + ax'^' -{- hy -{-'■■-{- lu = s,
deren Denumerant
(136) -V'-^-^-2'(.-.(ay.i-r(tx-^c)...
ist, so entsprechen jedem der gedachten Werte von x genau
(x + 1) (a; + 2) _ a;«-f 3a; + 2
2 ~ 2
Systeme von Werten x', x'\ x"\ da die Gleichung x = x' + x" -\- x'"
ebensoviele Lösungen verstattet. Man findet demnach
also mit Beachtung der Gleichungen (131), (135), (136) ohne Mühe
die folgende:
n^7^ Vr2-7r V X(a).(l + X(ai)X{-s)
So fortfahrend erlangt man die allgemeine Formel:
(138) y^ = ^_ . . V, — j;4M«))-^(-^) :
^ ^ ^ ^(l-X{a)y-^^ ■l-X{h)-l-X{c) ...
worin jP„ Ix (ayj eine ganze Funktion von X (a) vom Grade cc bedeutet.
Nunmehr betrachten wir neben der Gleichung (130) die andere:
ax -f ly' + hy" -\- c^ + • - • -\- hi = s.
Da jeder der Werte von x jetzt nicht einer Lösung y von (130),
sondern y -\- 1 Lösungen y', y" der neuen Gleichung zugeordnet ist,
so wird die mit (138) korrespondierende Summe jetzt
^X (^^+ij-A_i Zj(l-X{a)y + ^.{1-X{b)y.l-X{c)...
sein und durch Verbindung dieser Gleichung mit (138) sich
fl39) ^x".y-K . -y F,{X{a)).X{b).X{-s)
cidy) 2jX ■y-J^-i'2j(i-xia)Y+^.(i-x^b)y-i-x{c)...
ergeben. In gleicher Weise ginge aus (138) für die Gleichung
156 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
ax + by' + hy" + hy'" + cs -\- h lu = s
die Formel
^ 2 1 '^(l-X(a))«4-i.(i_X(&))8.i_;i(c)...
und nun durch Verbindung mit (138), (139) diese weitere:
T^« y' = K_ • -y J^a(M«))-H&)(i + ;t(^>))-M-^)
-^ ^ ' ^(l-^(a))« + i (l-;i(ö))«.l-Z(c)
hervor, und man findet allgemeiner
So fortfahrend gewinnt man als schließliches Resultat die
ganz allgemeine Formel:
(141) >v.-...-^-.(2'^(-.).i7^^)
in welcher die Summation zur Linken über alle Lösungen x,y,z,...u
der Gleichung (130), diejenige zur Rechten über alle voneinander
verschiedenen Wurzeln o der Gleichungen
a;^ == 1, ^^ = 1, rr'' = 1 . . .
auszudehnen ist, während das Produkt im allgemeinen Gliede dieser
Summe aus so viel analog gebildeten Faktoren besteht, als die Anzahl
dieser Gleichungen, d. i. der Elemente a, &, c, . . ., l beträgt.
Nachdem diese Formeln gefunden worden sind, bezeichne man
jetzt mit x^j x^y x^j . . .,Xm die N gleichen oder verschiedenen Werte
von Xy welche in den N Auflösungen der Gleichung (130) auftreten.
Da man nach (138) die Summen gleicher Potenzen dieser N Werte
bilden kann, so lassen sich bekanntlich auch die Koeffizienten einer
algebraischen Gleichung bilden, als deren Wurzeln jene N Werte be-
stimmt sind und durch deren Auflösung sie gefunden werden können;
die gedachten Koeffizienten sind der Formel (138) zufolge bestimmte
Funktionen der Elemente a, 5, c, . . . Seien nun etwa N^ unter
jenen Werten gleich x^y N^ gleich ^2? • • •> ^/a gleich ic^, so stellt (140)
eine lineare Gleichung vor, welche zwischen den Summen für die
^ten Potenzen je derjenigen Werte von y, die jenen Werten x^^ x<^y . . .,x^
resp. in den Lösungen von (130) zugeordnet sind, stattfindet. Aus
den /i für cf = 1, 2, . . ., /i- gebildeten linearen Gleichungen dieser Art
können daher jene Summen gleicher Potenzen von beliebigem Grade
berechnet werden, demnach auch die Koeffizienten der algebraischen
Gleichungen, denen jene iV^^, N^y . . ., N/^ Werte von y resp. genügen;
Der Denumerant y^ ^. 157
aus der Auflösung dieser Gleichungen werden sie selbst bekannt.
Nachdem aber so die N Systeme x, y ermittelt sind, die in den
Auflösungen der Gleichung (130) auftreten, gewährt nun die all-
gemeine Formel (141) die Möglichkeit, die algebraischen Gleichungen
aufzustellen, denen die zu jedem Systeme Xj y zugeordneten Werte
von z genügen, und durch deren Auflösung sie zu finden, usw.
So stellt sich die sehr beachtenswerte Tatsache heraus,
daß die Auflösung der unbestimmten Gleichung (130) in nicht
negativen ganzen Zahlen auf die Auflösung einer Reihe
bestimmter algebraischer Gleichungen zurückgeführt werden
kann, deren Koeffizienten als Funktionen der Elemente
a, h, c,.,.yl angebbar sind.
Zudem haben wir in der Formel (141) den aus den sämtlichen
Lösungen Xy y, s,...,u der Gleichung (130) gebildeten Aus-
welcher, wenn a = /3 = y...==v = 0 gesetzt wird, in die Anzahl
dieser Lösungen übergeht, als Funktion der Elemente a, &, c, . . ., ?
dargestellt; so führt uns diese Formel gewissermaßen vom bloßen
Schatten zum Ding an sich, from the shadow to the substance, wie
in seiner feinsinnigen Weise Sylvester sich ausgedrückt hat.
17. Wir wenden uns nun wieder insbesondere zur Betrachtung
des Denumeranten
s
^"'*^ 1, 2, 3, . . ., n
zurück. Mit ihm ist die Anzahl
r„,, = N{s = «i -f- «2 H \- f^')
der Zerfällungen von s in w gleiche oder verschiedene positive Sum-
manden durch die Formel
(24a) rn,s = r„,,-n
verbunden. Da aber aus jeder Zerfällung:
S = «1 + «2 -f • • • + «;,
eine ZerfäUung
s _ w = (»1 — 1) + (a2 — 1) H \- (ßn-l)
in n nicht negative, d. i. in höchstens n positive Summanden hervor-
geht und umgekehrt aus jeder ZerfäUung der letzteren Art eine Zer-
fällung der ersteren, so ergibt sich (für s > n) die neue Gleichung:
(142) r„^g = A,«— n + A,«— ?i+ • • • + T„^,—n-
158 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
Schreibt man sie in der Form
(142a) r„,,+, = ri,, + r2,. + --- + n,,,
was mit der Gleichung
(142 b) yn, . = ri, «-1 + ^2, .-2 H -h yn, s-n
identisch ist, so lehrt sie den Satz [s. (28)]: Die Zahl s -\- n ist so
oft in n gleiche oder verschiedene positive Summanden zer-
fällbar, als die Zahl s in ein, zwei, drei, . . . oder n solche
Summanden zerfällt. Für n = s insbesondere erkennt man so, daß
die Zahl 2s so oft in s solche positive Summanden zerfällbar
ist, als die Zahl 5 überhaupt in solche Summanden zerfällt.
Analog mit (142) ist
i- n — 1, s — 1 ^^= -^ 1, s — n 'T ^ 2, s — n "r * ' " "T" -^ n — 1, s — ny
also findet sich wieder die Gleichung (35 a) für s^n:
■*■ n, s ^^^^ ■*- n — 1, s — 1 \ ■*■ n, s — nj
aus welcher für s > 2 w die Formel
yn, s ~n ^^ yn — 1, s — n i yn, s — 2n
oder für s > w die Formel
(36 a) yn, « = 7« — l, « + yn, s — n
hervorgeht. Dagegen ist für 5 < w
(36 a') yn,s = yn-l,sf
denn die Gleichung
s = 1 • «1 + 2 • «2 H \- (n— 1)' an~i + n-a»
hat alsdann nur Lösungen, in denen a„ = 0 ist, d. h. die Lösungen
der Gleichung ^ = l-a,-^ 2 -a^^ • ■ ■ -\- (n - l)-an-i.
Außerdem ist für jedes n
(143) yn, 0 = 1.
Hiernach ordnen sich die y„, , für sämtliche Werte der Indices n, s
in folgendes Schema von Reihen:
yo,s: 1, 0, 0, 0, 0, 0, ...
?hs- 1, 7iu 7121 ri3; ru> ri5^ •••
72, s'- 1, 72ly 7221 ^23? ^247 ^25» •••
r3, Ä- 1> 7uy 7-021 ^33? 7zii 7-6^1 •••
(144)
dem wir noch eine Reihe y^^ g vorgesetzt haben von der Beschaffen-
heit, daß auch für die erste Reihe der yi^ , die mit (36 a) und (36 a')
entsprechenden Gleichungen
159
(36 a")
Bestand haben.
Statt dessen betrachten wir im Verfolg einer mir von Herrn
J.Hermes (s. hierzu übrigens auch dessen Abh. Math. Annal. 47, S. 281)
mitgeteilten Idee allgemeiner die Reihen
ildungsweise
der
Reihe
YnO^
Vnl^
r«2'
Yn3
j55
1:
y^,> =
= yo,
s +
Yhs
— 1
s =
0:
?hO =
= ro,
0
(145)
Rq
^00?
nof
^30 >
''Ol?
'117
''21 >
02;
42?
''03?
'■137
''23?
'.^3>
'047
''24?
^34?
deren Zahlen aus denjenigen der Grundreihe Bq nach den mit (36 a),
(36 a'), (36 a") analogen Formeln
(146)
s<n: a„,s = ccn-i,s
entstehen, also folgende Bildung aufweisen:
O^nn» Cint » CCno « CC,
(147)
de
00? ''^Ol ? ''*02 ; "'03 ? "-04 9
«00? «00+Sl? «00+«^01+<^o2? «00+ «01+«02+«^03? «00+ «01+ «02+«03+«04>
«00? «00+«öl? 2aoo+«01+«02? 2aoO+2«01+«02+«03? 3«00+2«01+2«02+«03+«04»
Offenbar hat jedes Glied der Reihe R„ die Form
(148) cf„, s = cS; 0 • «00 + Co'; 1 • «Ol + Co; 2 • «02 H f- co, l • «o, ,,
wo die Koeffizienten zu bestimmen bleiben. Wählt man hierzu statt
der Grundreihe Rq die Reihe der yo^ „ so leuchtet ein, daß die dieser
Wahl entsprechenden a,,^ s einerseits mit den y^^ g, andererseits wegen
(148) mit den cj^'o identisch werden müssen, also findet sich zunächst
n, s
€0,0 = 7», s.
Wählt man dagegen die Grundreihe
0, 1, 0, 0, 0, . . .,
so reduziert sich das Schema (145) oder (147) offenbar auf das
Schema (144), dem noch eine aus Nullen bestehende Yertikalreihe
vorgesetzt ist; demnach wird a„, s einerseits mit y», s-i, andererseits
wegen (148) mit Co]! identisch, man findet also
und auf ähnliche Weise
cS;i* = y„,_i
^S; 2 = >'/?,«- 2, . . ., Cq =yn,0-
IßO Zerfällung einer Zahl in Summanden.
Demnacli nimmt die Gleichung (148) die Gestalt an
(149) ans = yn,s • «00 + 7n,s-l ' «oi + ' ' ' + 7"«, 0 • C^O . ■
Insbesondere wird also
ciss = 7s,s- cc,o + r.,«-i • cCöi-\- • • ' + 78,0- CCOsy
d. i. mit Rücksicht auf (36 a')
(150) ass = ys.s ' c^oo -^ ys-i,s-i • «Ol + • • • + ro,o • «0«.
Nun bildet sieb ersichtlich der Anfang der aufeinander folgenden Reihen
Bq, B^, R^, B^, . . .j indem zu den ersten n Gliedern der Reihe jR„_i
in der folgenden Reihe Bn das Glied an» hinzutritt, um dann in allen
folgenden zu verbleiben; geht man so ins Unendliche fort, so erhält
man eine gewisse ,, Schlußreihe ^' B^, die aus den sämtlichen Gliedern
J^cc' «00^ ^11; ^22) ^33? • • •; «ss> • • •
besteht. Ihr allgemeines Glied Ugs bildet sich aus den Gliedern der
beiden Reihen
■^0* ^00? ^OU ^02? ^03 7 • • •
F: yofi, yi,i, ^2,2, ^3,3, • • ,
d. i. aus der Grundreihe Bq und aus der Schlußreihe des Schemas
(144) nach dem in (150) ausgesprochenen Gesetze, indem man nämlich
die ersten s + 1 Glieder der ersteren mit den in umgekehrter Reihenfolge
genommenen s + 1 ersten Gliedern der letzteren multipliziert und dann
addiert. Nennt man diese Operation eine Zusammensetzung beider
Reihen und bezeichnet sie als das Produkt Bq • F, so darf man
sagen: die Schlußreihe B^ sei dies Produkt, in Zeichen:
(151) B„=B,-r.
Ist s^ n, so folgt durch wiederholte Anwendung der ersten der
Formeln (146)
(152) CCns= OCos -\- CCl,s-l + «2, « — 2 + * • ' + «;?,«-«,
insbesondere also
(153) a^s = CCQs + «1,«— 1 + «2,s-2 + • • • + «50,
d.h. man findet cCss, wenn man die Reihen (145), jede gegen die
vorhergehende um eine Stelle nach rechts verschoben, untereinander
schreibt und dann die s -f 1*® Kolonne addiert. In gleicherweise er-
gibt sich (vgl. (142 b))
(154) y,, = yos + yhs-i + ^2,^-2 + • • • + yso-
Die Anzahl y^,, der Zerfällungen der Zahl 5 in gleiche oder ver-
schiedene der Zahlen 1, 2, 3, . . ., s ist aber (s. (7a)) die Anzahl F,
Die Schlußreihe Fq, T^, F^, Fj, . . . 161
ihrer Zerfällungen in positive Summanden überhaupt; die vorige
Formel nimmt daher auch die Gestalt an:
(155) r, = yo, + ri,'-i + y2,.-2 + • • • + y,o
und die Schlußreihe F des Schema (144) läßt sich schreiben wie folgt:
(156) r: r„, r„ r„ .. , r., . . .;
ihre Anfangsglieder sind^ wie leicht festzustellen (s. Eider, Introductio
in Analjsin I, Kap. 16, S. 270; Lausanne 1748), die Zahlen
(157) r: 1, 1, 2, 3, 5, 1, 11, 15, . . .
18. Wird diese Reihe selbst zur Grundreihe Bq des Schema (145)
genommen, so wird die Schlußreihe desselben durch Zusammensetzung
von r mit sich selbst erhalten, also durch die Formel
B^ =r r
auszudrücken sein oder als Quadrat von F gedacht werden dürfen,
und ebenso lassen sich höhere Potenzen von F bilden. Für alle
diese Reihen gelten dann die gleichen, insbesondere die durch die
Formeln (146), (152), (153) zum Ausdruck gebrachten Grundgesetze,
wie für die Reihen der y,,^ «. Man findet so aus der Reihe (157)
die Reihen
r-: 1, 2, 5, 10, 20, 36, . .
F': 1, 3, 9, 22, 51, 108, . . .
usw. Die Grundreihe des Schemas (144'i darf als die nullte Potenz
F^ aufgefaßt und mit F~ ^ diejenige Grundreihe bezeichnet werden,
aus welcher durch Zusammensetzung mit (157) jene als Schlußreihe
hervorgeht. Nimmt man sie also als die Reihe BqI
(158) Uqq, «Ol, CiQ,, «03? • ■>
so sind die Zahlen
(159) a^Q, «11, «22^ «33> • • •
mit der Grundreihe 1, 0, 0, 0, ... identisch, und nach (150) bestehen
die Gleichungen
1 =" /^oo ■ ^0)
0 = 7ii • «00 + no • «Ol
0 = y.22 • «00 + 711 • «Ul + ^'OO • «02
(160)
aus denen die Zahlen (158), da ^oo = 1 i^^? allmählich berechnet
werden können. Nun ist das in (150) ausgesprochene Gesetz zur
Bildung der Zahlen (159) offenbar genau das gleiche, wie dasjenige,
nach welchem die Koeffizienten des entwickelten Produkts der beiden
Reihen
Bachmann, niedere Zahlentlieorie. II. H
162 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
^ rS0+ «01^ + «02^^+ «03^' + • • •
aus den Koeffizienten der Reihen selbst entstehen. Den Gleichungen
(160) zufolge erhielte man also die Beziehungen:
(162) 1 = («00 + «01^ + %2^' + •••)• (roo + rii^ + ?22^^ + •••)•
Nach Formel (7) in Nr. 2 ist aber der zweite Faktor mit der Ent-
wicklung des Produktes
1 I 1-Xh
identisch, und so geht aus (162) die Gleichung
(163) JJ(1 - x^) = a,^ + a,,x + a,,x' + • • •
hervor. Denkt man sich hier das Produkt entwickelt, so wird er-
sichtlich die Potenz + x^ so oft entstehen, als s aus einer geraden,
und die Potenz — x^ ^o oft, als s aus einer ungeraden Anzahl posi-
tiver voneinander verschiedener Summanden gebildet werden kann.
Bedeutet daher wieder Gn,s die Anzahl, wie oft 5 in ^ positive un-
gleiche Summanden zerfällt werden kann, und setzt man
(164) A. = ^(-l)».(7„,„
71 = 1
SO erhält x^ zur Linken von (163) den Koeffizienten A^ und somit ist
ccos = A,
und r~^ identisch mit der Reihe
(165) r-i: Ao, A„ A„ A3, . . .
Nach Formel (20 a) ist
also
(166) A.= -n,._l_^+y,,._?_^-y3,.-!ji+---,
eine Reihe, die so weit fortzusetzen ist, als s — ^^^ ^ ^ bleibt.
Es kommt nun darauf an, den Wert dieses Ausdrucks zu finden.
19. Ein Satz, welchen man Euler verdankt und der unter dem
Namen Legendr e-Euler scher Pentagonalzahlensatz geführt
Der Pentagonalzahlensatz. 163
wird, liefert jenen Wert unmittelbar. Nach diesem Satze besteht die
Gleichheit ^ +00 3„.^„
(167) YI(^ - ^') = ^(- 1)" • ^~^-
Sie ward von Euler zunächst auf dem Wege der Induktion aus der
Entwicklung des linksstehenden Produktes entdeckt und findet sich
zuerst in einem Briefe an D. Bernoiäli (28./1. 1741) von ihm er-
wähnt, demnächst ohne Beweis mitgeteilt in der Abhandlung Obser-
vationes analyticae variae de combinationibus, Comment. Petrop. 1741/43,
in der Introductio in Analysin I (1748), S. 270, sowie in den Ab-
handlungen De partitione numerorum, Nov. Comment. Petr. 3, 1750/51,
S. 125 (comment. arith. coli. 1, S. 73 [91]) und Observ. de summis
divisorum, Nov. Comment. Petrop. 5, 1754/55, S. 59 (comment. arithm.
coli. I, S. 146 [151]). Doch gab er dann auch mittels einer eigen-
tümlichen Umformimg des Produktes einen Beweis des Satzes (Demon-
stratio theorematis circa ordinem in summis divisorum observatum,
Nov. Comment. Petrop. 5, 1754/55, S. 75; comment. arithm. coU. I,
S. 234), welchen er 25 Jahre später in etwas veränderter Form er-
neute (evolutio producti infiniti etc.. Acta Petrop. 4, I, 1780; vgl.
dazu de mirabilibus proprietatibus numerorum pentagonalium, ebendas.
S. 56, comment. arithm. coli. II, S. 105). Auf andere Art bewies die
Gleichheit (167) in seiner theorie des nombres (3. ed.) II, S. 128
Legendre, welcher Eulers Beweis nicht gekannt zu haben scheint, da
er zwar auf die Abhandlung de partitione numerorum und die Intro-
ductio hinweist, der späteren Euler^ohen Arbeiten jedoch keine Er-
wähnung tut. Während aber bei Euler der Satz wesentlich die
analytische Tatsache der Gleichheit (167) zum Ausdrucke
bringt, gab ihm Legendre zugleich seine arithmetische Fassung,
so daß die Doppelbenennung desselben als L€ge>idre-Etdersch.eT Satz
ihre Berechtigung hat. Offenbar folgt nämlich aus der Gleichung (167),
wenn man die Koeffizienten gleicher Potenzen von x zur Rechten
und in der Entwicklung des Produktes zur Linken miteinander ver-
gleicht, der folgende Satz:
Im allgemeinen ist der Unterschied A^ zwischen der An-
zahl der Zerfällungen von s in eine gerade, und der Anzahl
ihrer Zerfällungen in eine ungerade Anzahl voneinander
verschiedener positiver Summanden Null, d. h. die Anzahl
der — wie wir abkürzend sagen wollen — „geraden" Zer-
fällungen gleich der Anzahl der „ungeraden"; nur, wenn s
die Form hat
(168) s=i^, («|0),
wenn also s eine sogenannte Pentagonalzahl ist, ist A^ = (— 1)",
11*
164 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
d. h. die Anzahl der geraden Zerfällungen, je naclidem n
gerade oder ungerade ist, um eine Einheit größer oder
kleiner als die der ungeraden.
Um diesen Satz in eine einfache Formel zu fassen, bezeichnen wir
n
mit ^ ak eine Summe von n verschiedenen positiven Elementen ak
1
und nach Vahlen mit
n
die Anzahl der Zerfällungen von der Form s=2/^ä; jede von
1
ihnen positiv oder negativ gezählt, je nachdem n gerade
oder ungerade ist; dies ist ersichtlich der Unterschied zwischen der
Anzahl gerader und derjenigen ungerader Zerfällungen in verschiedene
positive Summanden, welchen wir A, genannt haben. Bei entsprechen-
der Deutung des Zeichens
ist dann der Pentagonalzahlensatz der Inhalt der Formel
(169) n(s =^a,; (- 1)A = n{s =i^±l'; (_ 1)«).
Den ersten rein arithmetischen Beweis dieses Satzes gab
Jacöbi (Beweis des Satzes, daß jede fünfeckige Zahl usw., Journ. f.
reine u. angew. Math. 32, 1846, S. 164), indem er allgemeiner für be-
liebig gegebene Elemente a, jS, 7, . . . den Unterschied
A(5; a, ß, y, ...)
zwischen der Anzahl der aus einer geraden und der aus einer un-
geraden Anzahl derselben gebildeten Zerfällungen von s aufsuchte.
Sehr viel einfacher aber ist ein Beweis von J. Frariklin (C. R. der
Ac. Paris 92 (1881), S. 448), mit welchem ein später von L. Gold-
schmidt (Programm der höheren Handelsschule, Gotha 1892 oder
Ztschr. f. Math. u. Phys. 38 (1893), S. 121) gegebener wesentlich
identisch ist. Diesen Beweis wollen wir hier mitteilen.
Man denke sich alle Zerfällungen s von der angegebenen Art je
nach der Anzahl ihrer Elemente in Klassen verteilt, so daß die Zahl s
selbst die erste Klasse K^, die Zerfällungen
1 + (s - 1), 2 + (s - 2), 3 + (s - 3), . . .
die zweite Klasse K^ und allgemein die Zerfällungen von der Art
Beweis von Franklin. 165
(170) . " s = «1 + a, + ag + • • • + ön
die n*® Klasse K„ ausmachen, und denke in diesen Zerföllungen die
Elemente stets der Größe nach geordnet, also
Man zähle femer in jeder dieser Zerföllungen, wieviel der letzten
Elemente aufeinanderfolgende Zahlen sind; sei in der Zerfallung (170)
die Anzahl dieser Elemente gleich k] diese Zahl ist mindestens 1, da
man das letzte Element für sich als ein solches auffassen kann. Dann
lassen sich die Zerfällungen der Klasse K» in zwei Arten
unterscheiden, in die erste Art, bei der das anfangliche Element a^
nicht größer ist als diese der Zerfallung zukommende Zahl Je, und
in die zweite Art, bei welcher a^ >• Je ist.
Sei die Zerfallung (170), die kurz Z heiße, zunächst von der
ersten Art:
(171) s = ai + a^ H j- a«-i -f a»-i+i +---+a„_i + a„,
wo a^ < /: und a„_i^i, . . . a„_i, a^ aufeinanderfolgende Zahlen be-
deuten, a„_i aber um mindestens zwei Einheiten kleiner ist als a„_i_i_i.
Dann kann man, das Element a^ unterdrückend und die Einheiten,
SOS welchen es besteht, auf die letzten a^ Elemente verteilend, aus Z
eine andere Zerlegung Z' ableiten:
(1710 5 = Or^ + ■ ■ • -f an-a, + (1 + a«-a,-f l) + ' " " + (1 + «„ _i)
+ (1 + 0.),
welche offenbar zur Klasse K^-i und, da ihr Anfangsglied «g > a^
d.h. größer als die Anzahl der letzten Elemente ist, welche jetzt
aufeinanderfolgende Zahlen sind, zur zweiten Art der ZerßUungen
dieser Klasse gehört. Xur in einem Falle wäre solche zu Z ent-
sprechende Zerfallung Z' nicht vorhanden, wenn nämlich k = n d. h.
Amtliche Elemente aufeinanderfolgende Zahlen xind zugleich a^ = k
wären, denn in diesem Falle ließen sich die n Einheiten des Anfangs-
gliedes nicht in der angegebenen Weise auf die übrigen n — 1 Ele-
mente verteilen.
Ist zweitens die Zerfallung Z von der zweiten Art also in (171)
ö^ > i*, so kann man, von den letzten k Elementen je eine Einheit
abhebend und deren Summe k als Anfangsglied voranstellend, aus ihr
eine andere Zerfallung Z" ableiten:
(171*0 » = fe -f 0^+ - -h a„_i -f (a^_i+i - 1) -f ... -f (a._i - Ij
+ («.-1),
welche eraichtlich zur KLasse K»^t und, da jetzt die Anzahl der
letzten Glieder, wekhe aufeinanderfolgende Zahlen sind, mindestens
gleich I-, also mindeBteos gleich dem AnCugsi^ede ist, zur ersten
\Qß Zerfällung einer Zahl in Summanden.
Art der Zerfällungen dieser Klasse gehört. Nur in einem Falle wäre
wieder solche zu Z entsprechende Zerfällung Z" nicht vorhanden,
wenn nämlich wieder Je = n d. h. sämtliche Elemente aufeinander-
folgende Zahlen und zugleich a^ = 1c -{- 1 wären, denn in dieser Vor-
aussetzung würde auch das Element a^ um eine Einheit verringert
werden müssen und dann dem Anfangsgliede gleich werden, während
nur Zerfällungen von s in verschiedene Elemente zulässig sind.
Sucht man nun umgekehrt zur Zerfällung Z' der Klasse Kn—i,
welche von der zweiten Art ist, die ihr nach der letzten Regel ent-
sprechende Zerfällung der Klasse Kny so findet man dafür offenbar
die Zerfällung Z, welcher Z' selbst entsprach. Desgleichen entspricht
der Zerfällung Z" erster Art der Klasse Kn-\.i nach der ersten Regel
ersichtlich die Zerfällung Z der Klasse Knj welcher Z" selber ent-
sprach. Demnach darf man sagen: Abgesehen von den erwähnten
besonderen Zerfällungen lassen sich sämtliche übrigen Zer-
fällungen von s derartig in Paare verteilen, daß von den Zer-
fällungen desselben Paares jede der anderen in der zuvor angegebenen
Weise entspricht. Da aber von den Zerfällungen eines jeden Paares
die eine gerade, die andere ungerade ist, so wird der Beitrag, welchen
sie zur Bestimmung des Unterschieds A^ zwischen der Anzahl der
geraden und der ungeraden Zerfällungen liefern, stets gleich Null,
und somit, falls es keine Zerfällung der erwähnten besonderen Arten
gibt, auch dieser Unterschied A« selbst gleich Null sein.
Wäre aber eine Zerfällung Z der Klasse Kn vorhanden, bei welcher
a^ = Jc = n ist, so hätte man
5 = ^ + (^ + 1) + (w 4- 2) + . • . + (n + w - 1),
also , .. _ ,
5 = «'+^-^ = ^^—'
d. h. 5 wäre eine Pentagonalzahl. Gäbe es eine Zerfällung von 5, in
welcher h = n und a^ = 'k -{- \, so würde
s = (n -f 1) + (^ + 2) -f- (^ H- 3) -f . . • -f 0^ -f w),
also
9 , n{n-\-l) 3n^-|- n
d. h. s wieder einer Pentagonalzahl gleich. Andererseits kann eine Zahl
stets nur auf eine Weise Pentagonalzahl sein, da aus der Gleichung
2 ~~ 2
und, da 3(Ä; + Ä;') + 1 nicht Null sein kann, sich !<; ==V ergibt. Man
schließt aus diesen Bemerkungen, daß, falls s keine Pentagonal-
Vahlens engerer Pentagonalzahlensatz. 167
zahl ist, keine der erwähnten besonderen Zerfälluogen möglich und
dann also A, = 0 ist; daß aber, falls s eine Pentagonalzahl,
s = ^^ — ^^ ist, nur eine solche Zerfällung und zwar in der Klasse Kn
vorhanden ist ; ihr entspricht aber in der Bestimmung des Unterschieds
A^. eine positive oder negative Einheit, je nachdem )i gerade oder
ungerade ist, und folglich ist alsdann A^ = (— 1)".
Dadurch ist der Pentagonalzahlensatz bewiesen.^)
20. Aus einer allgemeineren analytischen Gleichheit, welche aus
der Theorie der elliptischen Funktionen gewonnen wird, läßt sich ein
Satz ablesen, den man als encreren Pentacronalzahlensatz kenn-
zeichnen darf und für welchen K. Th. Yalüen (Journ. f r. u. a. Math. 112,
S. 10) einen arithmetischen Beweis aufgestellt hat. Die Gleichung
lautet wie folgt:
ZTi^ — h
n
(1 - a-"-2 . z){l - x^"-' ■ ^-i)(l - x"^") =^(-zy ■ X ''
i7<
wofür, wenn r(s) den absolut kleinsten Rest einer Zahl s (mod. 3)
bezeichnet, auch
* Sh^^' — h
71=1 h=—X
geschrieben werden kann. Durch Vergleichung der Koeffizienten
gleicher Potenzen von x zur Rechten und in der Entwicklung des
Produktes zur Linken geht, wie man leicht sieht, daraus folgender
Satz hervor: Unter denjenigen Zerfällungen einer Zahl s in
verschiedene positive Elemente, bei welchen die Summe der
absolut kleinsten Reste (mod. 3) der Elemente einer ge-
gebenen positiven oder negativen Zahl h gleich ist, gibt
es im allgemeinen ebensoviel gerade als ungerade Zer-
fällungen; nur in dem Falle, daß s die Pentagonalzahl
s = — - — ist, ist die Anzahl der ersteren, je nachdem h ge-
rade oder ungerade ist, um eine Einheit größer oder kleiner
als die Anzahl der letzteren.
Der Vahlensche Beweis dieses Satzes verläuft in ähnlicher Weise
wie der soeben für den Legendre- Eiderschen Satz gegebene. Man be-
zeichne, wie üblich, mit \h\ den absoluten Wert der Zahl h und in
Kronecherscher Weise mit sgn-h den Quotienten -j- d. h., je nachdem
/i < 0 ist, die positive oder negative Einheit. Jede der gedachten
Zerfällungen von s hat dann die Form
1) Nach Hrn. JD. von Sternecls Aussage (s. Wien. Sitzgsber. 106 II, S. 116)
hat auch L. Gegeyibauer diesen Beweis in seinen Vorlesungen mitgeteilt, ob als
von ihm gefunden oder nicht, ist mir unbekannt.
168 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
?. /U V
(172) s =^a, +^h + 3 ^ny
11 1
worin die Elemente a^ den Rest sgn-h, die Elemente h^ den Rest
— sgn-h (mod. 3) lassen, während die Elemente ^yk die durch 3
teilbaren Elemente darstellen; zwischen A, fi besteht die Beziehung
{X — ^i) • sgnh = h
oder
(173) ).-ii = \h\;
ihr zufolge ist A > 0, also stets ein Element ak in der Zerfällung
vorhanden; sollte kein hk oder kein y^ darin auftreten, so fiele die
bezügliche Summe in (172) aus. In den einzelnen Summen denken
wir die Elemente stets nach der Größe geordnet. Nun lassen sich
sämtliche Zerfällungen (172) in zwei Arten unterscheiden
nach folgendem Prinzip.
Die Elemente a^ sind einander (mod. 3) kongruent, ihre Differenzen
also teilbar durch 3. Man zähle nun, wieviele der Differenzen
ttA — «A— 1; a^—i — (ix—2j ax — 2 — cix—Zf •••
gleich 3 sind; ist i — 1 deren Anzahl, so daß ax—i-\-i — ax—i die erste
Differenz ist, welche ein Vielfaches von 3 ist, so soll i der Index der
Zerfällung heißen. Zur ersten Art rechnen wir dann alle Zer-
fällungen (172), bei denen entweder kein yk auftritt oder entgegen-
gesetztenfalls i <^yi ist, zur zweiten Art diejenigen, bei welchen
i ^ y^ ist. Ist zuerst die Zerfällung (172) von der zweiten Art, so
kann man, die Einheiten, aus denen 'dy^ besteht, zu je dreien auf
die letzten a^ verteilend, ihr stets eine andere Zerfällung
(172") s = a^ + «2 + • • • + ax-y^ + (3 + a^-y^+i) + • • • + (3 -f a;t)
4-2^^^ + 32
n
zuordnen, welche ein Element weniger enthält und der ersten Art
angehört, da entweder kein yk mehr vorhanden oder entgegengesetzten-
falls der Index der Zerfällung, welcher offenbar y^ ist, kleiner als
das erste Element y^ ist. — Gehört dagegen die Zerfällung (172) der
ersten Art an, so ordne man ihr die andere Zerfällung
(172') s = a^ 4- «2 + • • • + öt,_, 4- {ax-i+i - 3) 4- • • • + (ö^a - 3)
4-^2>>fc 4- 3(i 4- yi4- r2 4- • • • 4- r.)
1
zu, welche ein Element 3i mehr enthält und zur zweiten Art gehört,
da wenigstens das eine durch 3 teilbare Element 3^ vorhanden ist
und der Index der Zerfällung, weil nach Voraussetzung
Beweis nach Vahlen. 169
(ax - 3) - (ax-i - 3) = (a,_i - 3) - {a,_, - 3) • • • = (a,_,4_2 - 3)
— {ax-i+i — 3)
gleich 3, die Differenz (a/._,.|_i — 3) — a;i_f jetzt aber > 3 ist, min-
destens i beträgt. Indessen ist diese neue Zuordnung dann, aber auch
nur dann nicht möglich, wenn i => X und zugleich a^ < 3 ist, da als-
dann die Subtraktion einer Drei auch vom Gliede a^ nötig würde,
also kein positives Element der Zerfällung mehr ergäbe.
Läßt man einstweilen die Zerfällungen dieser Ausnahmeart bei-
seite, so sieht man leicht ein, daß umgekehrt die der Zerfällung
(172') resp. (172") nach denselben Regeln zugeordnete Zerfällung
eben die Zerfällung (172) ist, der resp. sie selbst zugeordnet waren,
und man erkennt so, daß alle übrigen Zerfällungen der gedachten
Art sich wieder in Paare verteilen, solcherweise, daß jede Zer-
fällung eines Paares der anderen Zerfällung dieses Paares zugeordnet
ist. Da aber von ihnen die eine gerade, die andere ungerade ist,
heben sich die Beiträge, welche sie für den gesuchten Unter-
schied Ag^ft der Anzahl gerader und derjenigen ungerader
Zerfällungen liefern, gegenseitig auf Es bleiben demnach
zur Bestimmung dieses Unterschiedes nur die vorher aus-
geschlossenen Zerfällungen zu berücksichtigen.
Diese Zerfällungen, welche zur ersten Art gehören, so daß in
ihnen, falls ein 7^. auftritt, i < y^ ist, verteilen wir in drei
mögliche Kategorien:
erstens in diejenigen, bei welchen weder ein hk noch ein y^
vorhanden ist;
zweitens in solche, bei welchen kein hjc, wohl aber min-
destens ein yk vorhanden ist;
drittens in solche, bei welchen mindestens ein hk auftritt,
und diese Kategorie von Zerfällungen bietet wieder zwei
kleinere Gruppen;
in der ersten ist entweder kein yj, vorhanden oder entgegengesetzten-
falls ax -f 61 < 3 y^] in der zweiten ist ax + 2>i 5 ^Vv
Ist -
1
eine Zerfällung der ersten dieser Gruppen, in welcher nur ein hjt auf-
tritt, so ordnet sich ihr eine Zerfällung
s = 2'«^. + 3(^tA + 2'n)
ZU, welche ein Element weniger enthält und zur zweiten Kategorie
zählt; aber auch umgekehrt folgt aus jeder Zerfällung der letzteren
Kategorie
170 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
, . l V
1 1
weil a^ < 3 und X = i < y^ vorausgesetzt, also
ax = 3(A - 1) + ^1 5 3(7^1 - 2) + a,
Sy,-ax-3>0
und
ist, eine Zerfällung
1
in welcher a^+i = a;i + 3, \ == dy^ ~ ax — ^ gedacht ist, die also
ein Element mehr enthält und eine nur ein hk enthaltende Zer-
fällung der ersten Gruppe ist, da, falls noch ein yk darin auftritt,
^24-1 H- &i = Sy^ < 3^2 ist. Hiernach heben also, da auch hier
die Zuordnung je zweier Zerfällungen, wie leicht einzusehen, eine
gegenseitige ist, die Zerfällungen der zweiten Kategorie und
die bezeichneten Zerfällungen der ersten Gruppe der dritten
Kategorie, was ihre Beiträge zu dem gesuchten Unter-
schiede As,h anbelangt, gegenseitig sich auf
Die übrigen Zerfällungen dieser Gruppe tilgen aber
den Beitrag der Zerfällungen der zweiten Gruppe. Denn, ist
(174) s=^a,+^h + S^n
11 1
eine Zerfällung derselben, welche mehr als ein hk enthält, so ordnet
sich ihr eine Zerfällung
ZU, welche ein Element weniger enthält und der zweiten Gruppe zu-
gehört, denn a^ ist kleiner als 3, der Index i ist gleich der Anzahl
X — 1 der Elemente akf und a^-i + h^ ist
a^ -j- 62 — 3> «2 + &i,
d. h. größer oder gleich dem kleinsten der durch 3 teilbaren Elemente.
Gehört umgekehrt die Zerfällung (174) der zweiten Gruppe an, so
ordnet sich ihr eine andere Zerfällung
s =(^«* + («;. + 3^ + ({Sn - «, - 3) +^6J +3-2';
ZU, welche ein Element mehr enthält und eine Zerfällung der ersten
Beweis nacli Vahlen. 171
Gruppe mit mehr als einem hk ist, da a^ < 3 und ilir Index i gleich
der Anzahl der aj, ist, während entweder kein y^ mehr auftritt oder
entgegengesetztenfalls
(a, + 3) + (3n - a, - 3) = 3^1 < 3^2
ist; auch sind diese Zuordnungen wieder gegenseitig.
Nach alle diesem handelt es sich also nur noch um die
Beiträge der Zerfällungen der ersten Kategorie:
s = ^ük-
1
Da in ihnen /a = 0 und a^ < 3 ist, so wird, je nachdem h positiv
oder negativ ist, a^ = 1 oder 2 und A wegen (173) gleich + h oder
— Ji sein, und demnach die Zerfällung, weil die i = A Elemente a^
um je drei Einheiten wachsen, entsprechend die erste oder die zweite
der folgenden sein:
s = 1 + (3 + 1) + (2 • 3 + 1) + . . . 4- ((A - 1) • 3 + 1)
= A + 3.— ^— = ^^—
s = 2 + (3 + 2) + (2 . 3 + 2) + . . . + (( A - 1) . 3 + 2))
==2A + 3.^^ = 1^.
Also ist nur dann eine Zerfällung der ersten Kategorie vorhanden,
Sh^ — h
wenn s == — - — ist, und in diesem Falle nur eine solche Zerfällung,
welche zugleich mit h gerade oder ungerade ist, folglich ist der Bei-
trag dieser Kategorie zum Werte von A,, ^ gleich (— 1)^ oder Null,
le nachdem s = — t: — ist oder nicht ist.
♦^ 2
Somit ist der Satz von Vahlen bewiesen.
21. Diesen Betrachtungen entzieht sich der Fall h = 0. Um auch
ihn zu erledigen, kann man folgende Erwägung anstellen. Schreibt
man jede Zei-fällung von s in Elemente, für welche die Summe der
absolut kleinsten Reste der Elemente (med. 3) gleich h ist, in der Form
(175) s =^(3a, + 1) +^{$ß, - 1) +^37,,
111
SO daß X — ^ = h zu denken ist, so lassen sie sich in solche unter-
scheiden, in denen das Element 1 auftritt, d. h. in welchen die
kleinste der Zahlen af, gleich 0 ist, und in die übrigen, in denen alle
«A > 0 sind; die ßk müssen stets > 0 sein. Aus jeder dieser letzteren
1-freien Zerfällungen von s ergibt sich eine 1-freie Zerfällung
(176) s-2/. = ^(3ft + l)+^(3«,-l)+^3n
172 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
der Zahl s — 2h, für welche die Summe der absolut kleinsten Reste
der Elemente (mod. 3) gleich ^ — X = — h ist, und offenbar auch um-
gekehrt. Bezeichnet man also für die 1- freien. Zerfällungen von s
mit der Summe h der absolut kleinsten Reste der Elemente (mod. 3)
den Unterschied der Anzahl gerader und derjenigen ungerader Zer-
fällungen mit a1/a; so findet sich die allgemeine Beziehung
(177) A<;i = Ari2;„_,.
Andererseits ergibt sich aus jeder Zerfällung (175) von s, welche das
Element 1 enthält, für welche also c^^ = 0 ist, eine 1- freie Zerfällung
(178) s-l=2'(3«* + l)+5(3j3,-l)+^3n
2 11
der Zahl s — 1 , welche ein Element weniger enthält und für welche
die Summe der absolut kleinsten Reste der Elemente (mod. 3) gleich
l— 1 — li = h— 1 ist, und offenbar auch umgekehrt. Der Unter-
schied Afli, /i_i ist also, negativ genommen, der für die nicht 1- freien
Zerfällungen von s mit der Summe h der Reste gebildete Unterschied
zwischen der Anzahl gerader und ungerader Zerfällungen. Demnach
findet sich der für sämtliche Zerfällungen von s mit der Restsumme
Ji der Elemente gebildete Unterschied A^^^ durch die Formel
(179) A,,, = A«,-A<»i,,_i.
In Anwendung von (177) geht daraus die Gleichung hervor:
A A (1) A (1)
i^s,h = i^s-2h, -h ~ ^s-2h + l,-h + lf
während (179) durch Yertauschung von s, h resp. mit s — 2h -\- 1,
— h-}-l die Gleichung
A a(1> A^^)
^s-2A + l, -A + l ^ ^«-2ä + 1, -A+l — ^-^5-2^, -h
liefert, deren Vergleichung mit der vorigen zur folgenden führt:
(180) A,,, = - A,_2,+i,_,_,.i.
Diese für jedes h gültige Beziehung gibt insbesondere für h == 0
Dem VahlensGhen Satze zufolge ist die rechte Seite dieser Formel gleich
3 • 1^—1
Null , den einzigen Fall ausgenommen, in welchem s + 1 = ^ — - = 1
also s = 0, und in welchem sie gleich + 1 wird. Demnach ist im all-
gemeinen ^s, 0 = 0, nur, wenn s = 0 = ist, wird A^, o = 1 = (— 1)^-
Man erkennt hieraus die Gültigkeit des Vahlenschen Satzes
auch für den Fall h = 0.
Aus dem engeren Pentagonalzahlensatze gewinnt man dann aber
auch sogleich den Legendre - Eulerschen Pentagonalzahlensatz wieder,
wenn man sämtliche Zerfällungen einer Zahl s in verschiedene posi-
Ergänzung des Vahlenschen Beweises. 173
tive Summanden nach den Werten, welche die Summe h der absolut
kleinsten Reste der Summanden (mod. 3) darbietet und die ersicht-
lich nur mit s (mod. 3) kongruent sein können, in Gruppen Gn ver-
teilt. Da der Unterschied A,,;, für jede dieser Gruppen Null ist bis
auf die eine etwa vorhandene Gruppe (t+„, für deren Index s= — f=^
ist, für welche dann A^^^^ gleich (— 1)" wird, so nimmt der gesamte
Unterschied A^. =^ A^^^i auch nur in diesem Falle den Wert (— 1)"
h
an, während er sonst Null ist — Wie der genannte Satz es aussagt.
Durch Betrachtungen, welche den eben angestellten ähnlich sind, hat
JR. Dauhlebshj v. Sterneck (Sitzungsber. Wien. Akad. 106, 11, S. 115)
einen einfacheren Beweis des Fa/i?ewschen Satzes gegeben, der jedoch
den Legendre-Eule7'sch.eB. Pentagonalzahlensatz, statt ihn aus jenem zu
folgern, im Gegenteil zu Hilfe nimmt. Seine Betrachtungen gestatten
dann v. Sterneck ^ dem Satze von Vahlen einen noch enger gefaßten
ähnlichen Charakters anzugliedern.
Er hat ferner in einer in den Sitzungsberichten der Wiener Aka-
demie 109 II, 1900, S. 28 enthaltenen Arbeit auch für diejenigen
Zerfällungen einer Zahl, bei welchen die Summe der absolut kleinsten
Reste der Summanden (mod. 5) gleich h ist, den Unterschied A«,ä
zwischen der Anzahl der geraden und derjenigen der ungeraden Zer-
fällungen aufgesucht. Es gelingt ihm mittels des Legendre- Euler -
sehen Satzes Rekursionsformeln aufzustellen, durch welche unschwer
der Wert jenes Unterschiedes berechnet werden kann.
22. Aus jeder Zerfällung (175) der Zahl s, in welcher X — yb = h
ist, geht eine Zerfällung der Zahl s^ = — - — :
(181) s,=;^\,+2ß.+2n
I 111
hervor, wo ^ aj^ eine Summe von X verschiedenen Zahlen ist, die
1
bis auf die erste eventuell der Null gleiche positiv sind; und um-
gekehrt. Demnach folgt aus dem FaMmschen Satze, da, wenn
s = — - — ist, Sj == — - — wird und umgekehrt, daß der Ausdruck
(182) iv^l^s,^^'«^- +^^^- ^^r^'^ (- ^y-^'^'i (^- /^ =^)
dessen Bedeutung als Anzahldifferenz nach dem zur Formel (169)
Gesagten verständlich ist, im allgemeinen gleich Null, nur, wenn
^1 = — ^— ist, gleich (— 1)^ ist. Dies spricht sich, wenn X = h -\- ^
eingesetzt und für s^ wieder s geschrieben wird, in der für ein be-
stimmtes h gedachten Gleichung
174 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
(183) n(s = i"«"^ +2'ft +%; (- ly) -n{s= '^^)
aus. Man setze nun in dieser Gleichung für h die aufeinanderfolgenden
positiven Zahlen 1, 2, 3, . . . ein und addiere die entsprechenden
Gleichungen. Unterscheidet man bezüglich der Summe ^cck, in
1
welcher das erste Element Null sein darf, die Fälle, in denen dies
ILl + h-l
eintritt, von den übrigen, derart, daß sie sowohl eine Summe ^ aji
als auch eine Summe ^cck bezeichnen kann, deren Summanden nun
1
sämtlich positiv sind, so geht offenbar bei der Addition zur Linken
von (183) der Ausdruck
n[s =2«* +2^^ +2y^' (- i)y
+ 2 . i\^( 5 =^«, +^ft +^n; (- l)d
worin h > 0 gedacht ist, hervor, ein Ausdruck, welcher dem folgenden
einfacheren:
n\s =^a, +^ß, -\-^n', (- lyi
worin X = ^ zu denken ist, gleichkommt. Andererseits geht durch
Addition auf der rechten Seite der Gleichung (183) die für irgendein
positives n gedachte Anzahl nIs =^ » j hervor, und es entsteht
demnach die Formel
(184) N (^s ==^a, +^ßk +^n: (- 1)^) = iV (s = ^) ,
der man auch, wenn s durch — x— ersetzt wird, die folgende Gestalt
geben kann:
(X ^i V \
s == 1 + s^ak + s^ßk + s^^n; (- 1)' )
= JV(s == (2 w - ly = ii').
(x^ ft, u pos. ungerade)
Folgerungen; Ansdelinmig auf Polygonalzahlen. 175
Ferner folgt aus jeder Zerfällung
>i =2«. +2ßk i-^rk
von 5i, in welcher X — ^ = h ist, wenn q, r positive ganze Zahlen
bezeichnen, deren erstere größer ist als die zweite, eine Zerfällung
' ;. u V
qs, + rh =^(qa, + r) -^^{qßk - r) +^qyk
111
oder
^ + ,"4-»'
qs^ -f rh =^ak
1
der Zahl qSj^ + rh in positive Elemente a^, die (med. q) kongruent r,
— r oder 0 sind, bei welcher die Summe der absolut kleinsten Reste
der Elemente (mod. q) gleich rh ist, und offenbar auch umgekehrt.
Demnach ist, wenn zur Abkürzung ^5^ + rh = s' gesetzt wird, der
unter den angegebenen Voraussetzungen gebildete Ausdruck
s'=2a,', (-iy- + ." + >j
dem Ausdrucke (182) gleich, d. h. im allgemeinen Null, nur wenn
Si= d. i. s' = ^ ~ o ~ ^^^} gleich (— 1)^ Schreibt man da-
her wieder s für s', so findet man die Gleichung
(185) k(s =2'«.; (- ly) = N{s = ^'' -%-"->"; (- If),
falls ttk^^r, — r, 0 (mod. q) und die Summe der absolut kleinsten
Reste der a* (mod. q) gleich hr ist. Durch Summierung über die
zulässigen Werte von h, wie sie durch die Beziehung s = qs^ + rh
oder s = rh (mod. q) sich ergeben, folgt weiter
(186) ^'(.=2'«,;(-iy)-^(«='-^^^^^F^i (-1)")-
\o,j. = r, — r, 0; rn^ s (mod g)J
Insbesondere finden sich, wenn r=l gewählt wird, die
beiden Sätze: Es ist
(185a) n{s =2'«*; (_ 1).) = j^(, = 2J^!^|^^; (_ 1)*),
l^Q Zerfällung einer Zahl in Summanden.
wenn a^t = + 1, 0 (mod. q) und die Summe der absolut kleinsten
Reste der Elemente (mod. q) gleich h ist, und
(186a) ^(.=2«^.;(-iy) = iV(.= i^^^=|^; (_ 1)»)
(a^^^ :\z 1^ 0; n ^ s (mod. qU.
Die Zahlen i^'-^^-^')" = « + ?^) . j sind aber (s. Kap. 1, Nr. 1)
die Polygonalzahlen; die Formeln (185 a), (186a) stellen also
eine Ausdehnung des VaJilenschen bzw. Legendre-Eulerschen
Satzes von den Pentagonalzahlen auf alle Polygonalzahlen
höherer Ordnung dar.
Für q = 2 geben sie, wenn die Elemente ük je nach ihrem absolut
kleinsten Reste in besondere Summen zusammengefaßt werden, die
zwei folgenden:
(185b) n(s =^g, +^u[ +^u'^; (- ly+f+A = N{s = V; (- 1)"),
worin ^i — v = hy die Elemente gk gerade, die Elemente u'ky u'l un-
gerade gedacht sind, und
(186b) n(s ^^g, +^u', +^4; (- ly+f+^j = N{s = n'; (- 1)"),
worin n^ wenn von Null verschieden, positiv oder negativ gedacht
werden muß, die rechte Seite dann also Null oder 2 • (— 1)^ ist, je nach-
dem s keine Quadratzahl oder eine Quadratzahl ist. Die Formel (185b)
nimmt, wenn ^i = v -{- h eingesetzt wird, die Gestalt an:
(185 c) nL =^ g, +^ ul +^ <; (- 1)A = N{s = h'),
woraus durch Summierung über alle zulässigen d. i. mit s gleichartigen
Zahlen h
(186 c) Nfs =^ g, +^ u', +^ 4'; (- 1)A = N{s = n')
(n^O)
hervorgeht. Bedenkt man, daß offenbar
Nfs^^g,+^u,+^u';;i--i-y+''+')
und, wenn 2w=»^ gesetzt wird.
Untersuchungen von v. Sterneck. 177
n{s = n'; (- 1)") = iV(4s = g'; (- 1)^)
ist, so läßt sich die Gleichung (186 b) auch schreiben, wie folgt:
(186 bb) Nfs = 4^ g, + A^ul + 4^ ul; (- iy+."+ A
= N{s^g'-, i-iy)
(3 = 0)
und ebenso (186 c) folgendermaßen:
(186cc) Nfs=4.^g, + A^ii',-\-4.^u'^- (- iy\ == N (s = g').
Die in dieser Nummer abgeleiteten Formeln sind der schon genannten
Abhandlung von Vahlen entnommen, die wir auch ferner uns noch
mehrfach zunutze machen müssen.
23. Bilden a^, «g, ^g, a^, . . . eine endliche oder unendliche
Menge gegebener positiver ganzer Zahlen, so sollen jetzt Zer-
fällungen
(187) s = a^x^ + a.^x^ + a^x^ + • • •
der Zahl s in Betracht gezogen werden, deren Elemente Zahlen jener
Menge sind, die auch wiederholt auftreten dürfen, aber jedes Element
ai höchstens eine vorgeschriebene Anzahl A,- mal. Die Anzahl
(188) N{s = a^x^ 4- «3^2 + ^3^3 + • • •)
O^Xi^ Je,
solcher Zerfällungen von 5 heiße kurz ^^5 die Anzahl derjenigen von
ihnen, in welchen das Element a, auftritt, also OKXi'^hi ist, werde
mit Ng *, die Anzahl der übrigen, in denen a, nicht auftritt, also Xi= 0
ist, mit Ns bezeichnet, so daß also
(189)
oder
N, = n:'
+ iv/"'-'
(190)
i^/"'-^= N.
- n:'
ist. Nun fo:
Igt
aus der Gleichung
s = a^Xi-\- «2^2 + ■
• • + ai
wenn
0<Xi
5
hi ist, die andere:
Bachmann, niedere Zahlentheorie. II.
12
178 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
(191) s — ai = a^x^-}- a^x^ + • • • + o^iXi + • • •,
worin 0 ^rr' <Äi — 1, und umgekehrt; für x\=''ki aber folgt aus
letzterer Gleichung eine Zerfällung der Zahl s — {ki + 1)«^:
s — Qii + 1) ai = a^Xi + «3^2 + • • •>
welche das Element a,- nicht enthält, und umgekehrt aus jeder solchen
Zerfällung eine Lösung der Gleichung (191) mit x'i = ki. Die Anzahl
Ns—ai ^®^ Zerfällungen von s — ai, in denen 0 < rr • ^ ä;j ist, beträgt
daher die Summe der Anzahlen Ns ' und Ns\jlk-+i)a-y was in der
Rekursionsformel
oder
(192) N^' = N,_a, - ^/-i, + 1)«,
zum Ausdrucke kommt. Verbindet man sie mit (190) und setzt* M
zur Abkürzung für Jci -{- 1^ so entsteht die Gleichung
iv,_„.. = iv;'-+i^/"i,+i)„^
JV;' = iSr,_„,.-JV._iU + 2V;i
h^p
woraus nun durch wiederholte Verwendung der Formeln (190) und
(192) die allgemeinere Beziehung hervorgeht:
(193) i^;*=2'^._(„;.+,)„,-2'^,_„;.„^,
h h
in welcher die erste Summation auf alle Werte h von 0, die zweite
von 1 ab auszudehnen ist, die den Index des Zeichens iV nicht negativ
machen-, offenbar ist dabei Nq= 1 zu setzen.
Nunmehr denke man aus den gegebenen Elementen irgend-
einen Inbegriff J von Elementen ausgeschieden, für welche
einzeln die Gleichung (193) aufgestellt werde. Wenn die so gebildeten
Gleichungen alle summiert werden, so wird links offenbar jede Zer-
fällung von s von der anfangs betrachteten Art so oft gezählt, als
darin verschiedene der Elemente des Inbegriffs J auftreten; die so
erhaltene Anzahl heiße N«. Ist andererseits n eine Zahl < 5, so wird
in der Summe der Gleichungen (193) zur Rechten die Anzahl iV,_n
so oft positiv gezählt, als n durch irgendein Element ai des In-
begriffs J teilbar und der komplementäre Teiler von der Form hU + 1
ist, dagegen so oft negativ, als dieser Teiler von der Form hh'i ist.
Heißt demnach ön der Überschuß der Anzahl der Teiler von n der
ersten Art über die Anzahl der Teiler von n der zweiten Art, so
geht auf die angegebene Weise aus der Gleichung (193) die folgende
hervor:
Untersuchungen von v. Sterneck. 179
(194) N,=^d„-.V._„.
In N5 aber wird jede Zerfällung von s von der betrachteten Art eine
gerade oder ungerade Anzahl mal gezählt, je nachdem sie eine gerade
oder ungerade Anzahl verschiedener Elemente des Inbegriffs J auf-
weist; daher wird N« (mod. 2) mit der Anzahl derjenigen Zerfällangen
von s, die eine ungerade Anzahl verschiedener solcher Elemente
aufweisen, kongruent sein. Nennt man Nu^^ diese letztere Anzahl,
so ist also
(195) iV„,,= N, (mod. 2).
•
Wird daher die Gleicbung (194) als eine Kongruenz (mod. 2)
aufgefaßt, so bietet sie die Möglichkeit, Bedingungen auf-
zustellen, unter denen die Anzahl ^u,s gerade oder ungerade
ist. Von diesem Gesichtspunkte aus hat Dauhlehshj von Sterneck
(Wien, Sitzungsberichte 105 11, 1896, S. 875) eine Reihe interessanter
Ergebnisse gefunden, von denen hier ein paar charakteristische mit-
geteilt werden sollen.
Wir beschränken uns dabei auf den einfachsten Fall, in welchem
die Elemente ai in der Zerfällung von s höchstens einmal auftreten
dürfen, alle Zahlen A*, also gleich 1, aUe Ä- gleich 2 sind. Dann be-
deutet 8,1 den Überschuß der Anzahl derjenigen ungeraden über
die Anzahl derjenigen geraden Teiler von n, deren komplementäre
Teiler Elemente des Inbegriffs J sind; d„ ist also Null, wenn n
durch keins dieser Elemente teilbar ist. Nach dem Modul 2 wird ön
der Gesamtanzahl aller Teiler von n, deren komplementäre Teiler
Elemente von J sind, oder der Anzahl solcher Elemente, welche in
n aufgehen, kongruent sein.
24. Zunächst sei nun die Menge der gegebenen Elemente
^1? %; ö^3> • • • die aller positiven ganzen Zahlen, also iV« die
Anzahl der Zerfällangen von s, desgleichen JV^.—» die Anzahl der
Zerfällungen von s — n in lauter verschiedene positive Summanden.
Da diese Gesamtzahl -^^,_„ (mod. 2) dem Unterschied zwischen
der Anzahl der geraden und der der ungeraden Zerfällungen von
s — n kongruent ist, wird sie nach dem Pentagonalzahlensatze im
allgemeinen gerade und nur in dem einen Falle ungerade sein, wenn
s — n eine Pentagonalzahl ist.
Dies vorausgeschickt, sei jetzt J der Inbegriff aller
durch eine gegebene Zahl m teilbaren positiven Zahlen. Es
kommen dann bei der Summation in (194) nur solche Zahlen n = 7nv
in Betracht, die ebenfalls durch 7n teilbar sind, und d„ wird (mod. 2)
der Gesamtanzahl aller Teiler von v kongruent, und daher dann und
nur dann ungerade sein, wenn v ein Quadrat, also n = m z- ist. Mit
12*
j^30 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
Rücksicht auf die letzte der Vorbemerkungen werden also nur die-
jenigen Glieder der Summe in (194) ungerade, in welchen zugleich
fi = niz^ und s — n eine Pentagonalzahl, d. h. für welche
(196) s = m^2_,_?£!±^ (^>o, :.^0)
ist. Demnach wird N« oder Nu,s dann und nur dann ungerade
sein, wenn die Anzahl Lösungen dieser Gleichung eine un-
gerade ist. Sie ist aber ebenso groß, wie die Anzahl der Lösungen
der folgenden Gleichung:
24s -j- 1 = 24m^2 ^ (6a; ± 1)2, (0>o, ^c^o)
oder auch dieser:
24s + 1 =24m02+ y\ (^>o, y>0)
denn in jeder Lösung der letzten muß offenbar y von der Form 6ä; + 1
sein. Ist m nicht teilbar durch 4, so darf man sogar die letzte
Gleichung noch durch die einfachere
(197) 24s 4-l = 6mM2_|_^2 (^>o, 2/>o)
ersetzen; in der Tat gibt jede Lösung Zj y der früheren Gleichung
eine Lösung u = 2z, y der neuen, die ihrerseits nur Lösungen zu-
läßt, in denen u gerade ist, wie man sogleich sieht, wenn man be-
merkt, daß y ungerade sein muß, sich also die Kongruenz 6mu^ ^0
(mod. 8), d. h. u gerade ergibt, und welche also zu jeder ihrer
Lösungen u = 2^, y eine Lösung ^, y der früheren Gleichung liefert.
Gesetzt nun den Fall, von den Klassen binärer quadratischer Formen
mit der Determinante —6m sei die Hauptklasse die einzige, durch
welche Zahlen von der Form 24s -f 1 darstellbar sind, so kann be-
kanntlich^) die Anzahl ihrer Darstellungen aus der Primzahlzerlegung
von 24s + 1 entnommen werden. Dieser Fall trifft, wie v. Sterneck
anmerkt, zu, wenn m einen der Werte 1, 2, 3, 5, 7 hat; für den ersten
soll seine Betrachtung hier ausgeführt werden.
Es handelt sich dann einerseits, weil J zum Inbegriff aller posi-
tiven Zahlen wird, um die Anzahl Nu,s der Zerfällungen von s
in eine ungerade Anzahl verschiedener Zahlen, andererseits
um die Anzahl der Darstellungen von 24s -f 1 mittels positiver Werte
II j y durch die Form 6u^ -{- y^. Sei
(198) 24s + 1 == pl^p^- ■ --Pk^' & '&'"
die Prim Zahlzerlegung von 24s -f 1, wo die pi diejenigen Primfaktoren
bezeichnen, von denen — 6 quadratischer Rest, die qi diejenigen, von
welchen — 6 quadratischer Nichtrest ist, und sei d^ irgendein
quadratischer Teiler von 24s + 1. Dann setzt sich die Anzahl aller
1) S. zur folgenden Betrachtung die Lehre von den quadratischen Formen^
etwa in des Verfassers Zahlentheorie, Bd. 1.
Untersuchungen von v. SternecTc. 181
der gedachten Darstellungen Ton 245 -f 1 aus den Anzahlen der
sämtlichen eigentlichen Darstellungen der Zahlen — ^^ — ? d. i. der
Darstellungen dieser Zahlen mittels teiler fremder positiver u, y zu-
sammen. Nun beträgt die Anzahl solcher Darstellungen einer Zahl
24s 4- 1
— ^j— Null, sobald auch nur noch ein Primfaktor q; in ihr aufgeht,
was gewiß der Fall sein wird, wenn auch nur einer der Exponenten
7Ci ungerade ist. Sind aber alle Exponenten y.i gerade, so unter-
scheidet sich die Anzahl der eigentlichen Darstellungen einer Zahl
— J^ von Null nur dann, wenn diese ein Teiler von p'l^ • p^^ . . .p^^
ist und beträgt dann 2'-~'^, wenn die Zahl genau X Primfaktoren pi
enthält, ist also gerade, sobald A > 1, ungerade, wenn A = 1 ist. Der
erstere Fall wird stets eintreten, wenn mindestens zwei der Exponenten
7ti ungerade sind, denn die ungeraden Exponenten in 24s + 1 bleiben
ungerade auch in den Primzahlzerlegungen aller Zahlen — ^^ — In
den bisherigen Fällen ist mithin für jede der Zahlen — -~- die An-
zahl ihrer eigentlichen Darstellunoren und daher auch die Gesamtzahl
der Darstellungen von 24s + 1 gerade. — Ist aber, während die Xi
sämtlich gerade sind, nur ein einziger der Exponenten :r/, etwa :t^
24:S 4- 1
ungerade, so gibt es auch Zahlen — ^ — ; welche nur einen Prim-
faktor haben, nämlich die Zahlen
Piy PhPh •" Pi'y
deren jede eine eigentliche Darstellung zuläßt, und welche folglich
insgesamt eine gerade oder ungerade Anzahl von Darstellungen für
24s + 1 liefern, je nachdem rtj ^ 3 oder = 1 (mod. 4) ist. In diesem
FaUe ist also auch die Gesamtzahl aller Darstellungen von 24 s -f 1
entsprechend gerade oder ungerade. — Wenn endlich sämtliche xi
gerade und keiner der Exponenten :t; ungerade, d. h. wenn 24s -f 1
eine Quadratzahl ist, so gibt es folgende Zahlen — jr~*
i>f , Pt, "' Pf
P\y Ph '"PP
Plj Pty '"PI\
welche nur einen Primfaktor enthalten, also je eine eigentliche Dar-
stellung gestatten, und demnach für 24 s -f- 1 eine Anzahl
(199) |(;r, -t-;r2-f ... + ;i:,)
24 s 4- 1
von Darstellungen ergeben; alsdann wird also, da die Zahl — ^t— = 1
j^32 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
keine Darstellung in positiven Zahlen zuläßt, die Gesamtzahl aller
Darstellungen von 24s + 1 zugleich mit dem Ausdrucke (199) gerade
oder ungerade sein. Somit gelangt man schließlich zu folgendem
Ausspruche:
Die Anzahl Nu, s aller Zerfällungen von s in eine un-
gerade Anzahl verschiedener Summanden ist dann und nur
dann ungerade, wenn in der Primzahlzerlegung (198) der
Zahl 24s + 1 sämtliche xi gerade sind und zudem entweder
nur ein einziger Exponent 7ti ungerade und zwar = 1 (mod. 4),
oder aher auch sämtliche Exponenten üti gerade und zu-
gleich der Ausdruck (199) ungerade ist.
Bei der ersteren Alternative hat 24s + 1 die Form pz^, wo p eine
Primzahl, von welcher — 6 quadratischer Rest ist. Man erkennt aber
leicht, daß, sooft 24s -f- 1 diese Form hat, p notwendig von der
gleichen Form 24^ -f- 1, mithin — 6 quadratischer Rest von p sein
muß. Demnach kann der Satz auch formuliert werden, wie es
V. Sterneck getan hat, und lautet dann:
Die Anzahl aller Zerfällungen von s in eine ungerade
Anzahl verschiedener Summanden ist dann und nur dann
ungerade, wenn bei der Primzahlzerlegung von 24s -|- 1 ent-
weder nur ein einziger Exponent ungerade und zwar = 1
(mod. 4), oder aber, wenn die Zahl 24s -f 1 ein Quadrat ist,
dabei aber die halbe Summe der Exponenten derjenigen
ihrer Primfaktoren, für welche — 6 quadratischer Rest ist,
d. h. welche von einer der Formen 24Ä + 1, 5, 7, 11 sind, un-
gerade ist.
25. Ähnliche Sätze gelten für m = 2, 3, 5, 7 ; z. B. ist für m = 2
die vorige Aussage nur dahin zu ändern, daß die Anzahl aller
Zerfällungen von s in lauter verschiedene Summanden,
unter denen sich eine ungerade Anzahl gerader Summan-
den befindet, dann und nur dann ungerade ist, wenn bei der
Primzahlzerlegung von 24s -f 1 entweder nur ein einziger
Exponent ungerade und zwar = 1 (mod. 4), oder aber, wenn
die Zahl 24s + 1 ein Quadrat, dabei aber die halbe Summe
der Exponenten derjenigen ihrer Primfaktoren, von denen
— 3 quadratischer Rest ist, d. h. welche von einer der Formen
24:h + 1, 7, 13, 19 sind, ungerade ist.
Sei M die letztgedachte Anzahl, N dagegen die Anzahl der Zer-
fällungen von s in lauter verschiedene Summanden, unter denen sich
eine ungerade Anzahl ungerader Summanden befindet. Betrachtet
man alsdann eine Zerfällung von s in eine gerade Anzahl ver-
schiedener Summanden, so wird sie, je nachdem unter den letzteren
eine gerade oder ungerade Anzahl gerader, mithin auch eine gerade
resp. ungerade Anzahl ungerader Summanden befindlich ist, resp.
Additives KriteriTim für Primzahlen. 183
weder zu den M ersteren^ noch zu den N letzteren Zerfällungen ge-
hören^ oder sowohl der ersteren als der letzteren Anzahl zuzurechnen
sein; in der Summe 31 -\- N wird sie also entweder kein- oder zwei-
mal gezählt werden. Eine Zerfällung von s in eine ungerade An-
zahl verschiedener Summanden gehört aber entweder zu den 31 ersteren
oder zu den X letzteren Zerfällungen und wird also in der Summe
31 -{- N einmal und nur einmal gezählt. Demnach ist die Anzahl
der Zerfällungen von s in eine ungerade Anzahl verschiedener Sum-
manden der Summe 31 + N (mod. 2) kongruent. Hieraus folgt, daß
N dann und nur dann ungerade ist, wenn 31 und jene Anzahl weder
zugleich gerade, noch zugleich ungerade sind. Aus den beiden vorauf-
gehenden Sätzen erschließt man daher den folgenden:
Die Anzahl der Zerfällungen von s in verschiedene Sum-
manden, unter denen eine ungerade Anzahl ungerader be-
findlich ist, ist dann und nur dann ungerade, wenn die
Zahl 24s -f 1 ein Quadrat und zudem in ihrer Primzahl-
zerlegung die halbe Summe der Exponenten derjenigen
ihrer Primfaktoren, welche von einer der Formen 24Ä: + 5,
11, 13, 19 sind, ungerade ist.
Bei der Herleitung dieser Sätze bildete der Pentagonalzahlensatz
eine wesentliche Grundlage. Man kann nun, wie v. Sterneck a. a. 0.
weiter gezeigt hat, auch auf Grund des engeren Pentagonalzahlensatzes
von Valilen Sätze ähnlichen Charakters erhalten, von denen hier nur
einer hervorgehoben und ohne Beweis kurz angeführt sei:
Die Anzahl Zerfällungen von s in eine ungerade Anzahl
verschiedener Summanden, bei welchen die Summe der
(mod. 3) gebildeten absolut kleinsten Reste der Summanden
gleich h ist, ist dann und nur dann ungerade, wenn ent-
weder — r— ^ eine positive Quadratzahl oder s = ü^ und h un-
gerade ist; dabei bedeutet üj^ die Pentagonalzahl — - —
26. Noch eine andere interessante Anwendung der Formel (194)
machen wir mit v. StemecTx, indem wir mit 2hf P-2y • • • Pk ^i® ersten
k Primzahlen bezeichnen und nunmehr unter den gegebenen
Elementen a^, ag, ög, ... die 2* Glieder des entwickelten
Produktes
il+p,)il+p,) ... (1+ä)
verstehen, den Inbegriff J aber mit der Gesamtheit dieser
gegebenen Elemente zusammenfallen lassen. Die Zahl m == 1
ist nur durch das Element 1 des Inbegriffs J teilbar, mithin findet
sich dl = 1. Ist w > 1 eine nur aus Primzahlen der Reihe p^p^j • - • Pk
zusammengesetzte Zahl und durch genau r derselben teilbar, so ist sie
es durch genau 2'' Elemente des Inbegriffs J, daher ist die Gesamtzahl
134 Zerfällung einer Zahl in Summanden.
der Teiler von w, deren komplementäre Teiler Elemente von J sind,
ebenso groß, also gerade, und demnach ist auch dn eine gerade Zahl.
Hieraus ergibt sich zunächst leicht ein neuer Beweis für die
Tatsache, daß die Menge der Primzahlen unendlich ist. Gäbe
es nämlich nur eine endliche Anzahl h solcher Zahlen p^, p^, . . .,
Pk, so wäre jede Zahl s sowie auch jede Zahl n^s nur aus ihnen
zusammengesetzt und die Gleich nng (194) nähme als Kongruenz
(mod. 2) aufgefaßt die Form an:
oder wegen (195)
(200) Nu,s = N,^i (mod. 2).
Nun läßt die Zahl
(201) s = (1 + p,)(l +i>2) • • • (1 +i).) - 2
nur eine einzige Zerfällung in die gegebenen Elemente, unter denen
eins gleich 2 ist, zu, und es tritt in ihr eine ungerade Anzahl 2* — 1
derselben, d. h. von Elementen des Inbegriffs J auf, mithin ist
Nu,s = '^') die Zahl
s-l^(l+p,){l+p,)- . .(l+p,)-3
aber läßt zwei Zerfällungen zu, je nachdem in der Summe aller ge-
gebenen Elemente entweder die eine Zahl 3 oder die beiden Zahlen
1 und 2 unterdrückt werden; also ist iVa_i = 2; für die Zahl (201)
fände also die Kongruenz (200) nicht statt, und demnach ist die
Annahme einer nur endlichen Menge von Primzahlen unzulässig.
Bezeichnet nun^yfc_|_i die nächstgrößere h + 1*^ Primzahl, so findet
man für jede Zahl s <pk-\-iy da sie nur aus Primzahlen der Reihe
Pi) P2f • ' -f Pk zusammengesetzt werden kann, wieder die Kongruenz
(200) oder
(202a) Nu, s + Ns-i = 0 (mod. 2).
Die Zahl s =pk-\-i aber ist nur durch das eine Element 1 des In-
begriffs J teilbar, folglich ist öp =1, während bis auf d^ = 1
jedes dnf dessen Index n <pk-{-i ist, eine gerade Zahl ist. Aus (194)
geht mithin für s=pk+i die Kongruenz hervor
N, = iV;_i + iVo (mod. 2),
d. h.
(202b) Nu, s + Ns-, = 1 (mod. 2).
Additives Kriterium für Primzahlen. 185
Man erhält auf solche Weise ein additives Kriterium, um für
jede der auf die Z:*® Primzahl folgenden Zahlen s der Reihe nach
festzustellen, ob sie die nächstgrößere Primzahl sei oder nicht. In
der Tat folgt aus dem Vorstehenden der Satz:
Die Anzahl der Zerfällungen von s in eine ungerade An-
zahl verschiedener der gegebenen Elemente vermehrt um
die Anzahl der Zerfällungen von s — 1 in jede beliebige An-
zahl derselben ist gerade oder ungerade, je nachdem s noch
nicht die folgende Primzahl oder aber diese Primzahl ist.
Mannigfache Kriterien ähnlichen Charakters, denen jedoch eine
praktische Bedeutung kaum zukommen kann, lassen sich angeben, wie
a. a. 0. zu ersehen ist, indem die Menge der gegebenen Elemente
verändert wird, doch beschränken wir uns hier auf das vorstehende,
das zuerst, wenn auch auf andere Weise, von Zsigmondy (Monatshefte
f. Math, u Phys. 5, 1894, S. 127) gegeben worden ist.
Viertes Kapitel.
Gleichzeitige Zerfällung mehrerer Zahlen.
1. Die Aufgabe, eine gegebene Zahl in Summanden einer be-
stimmten Art zu zerfallen, läßt sich wesentlich verallgemeinern. Seien
w, V, w, . . . beliebig viel Unbestimmte und
(1) f = au -\- hv + ctv -f • • •
eine gegebene aus ihnen gebildete Linearform, so kann man eine Zer-
fällung derselben in vorgeschriebene, gleich gebildete Linearformen
(2)
verlangen derart, daß — unter x^^ x^j .^3, v. • ganze Zahlen verstanden —
(3) f= xj^ -f x^f,^ + ^s/'s + • • •
werde. Denkt man sich unter tf, 1;, m;, . . . bestimmte Zahlen ver-
schiedener Beschaffenheit, so kann man mit den englischen
Mathematikern den Ausdruck (1) als eine mehrteilige Zahl (je
nach der Anzahl der u, v, w, ... als numbre bipartite, tripartite, . . .,
multipartite) bezeichnen; das einfachste Beispiel wäre eine im deka-
dischen Systeme geschriebene Zahl, wobei dann u, v, w, . , . die ver-
schiedenen Potenzen von 10 darstellen:
/■=a. 1 + &. 10 + c- lOO-f---
Die Zerfällung einer solchen mehrteiligen Zahl in andere Zahlen der-
selben Art oder die obgenannte Zerfällung der Linearform / in gleich-
a
==a,x.
+ «2^2
+ ofs^s
+ •••
h
= ß,x.
+ A^2
+ ß,x.
+ ...
c
= ri^i
+ 72^2
+ 73^3
+ •••
186 Grleichzeitige Zerfällung mehrerer Zahlen.
gebildete andere kommt bei der Unabhängigkeit der Größen u, v,
Wj... voneinander offenbar auf die folgende Aufgabe zurück: das
System von Gleichungen
(4)
deren Anzahl derjenigen der „Teile" der Zahl bzw. der Unbestimmten
u, Vy w, . . . gleich ist, in ganzen (nicht negativen) Zahlen x^y
x^, x.^y ... aufzulösen. Wir werden bei dieser Aufgabe wieder
wesentlich nur die Anzahl der möglichen Lösungen untersuchen.
Beschränkenwiruns vorläufig auf den Fall zweier Unbestimmten
(oder auf numbers bipartite), so ist ein System von zwei Glei-
chungen zu lösen, denen wir besserer Übereinstimmung mit den
früheren Bezeichnungen wegen folgende Form geben wollen:
\6-=a^X^-\- «2^2 + ^3^3 + • • 7
wobei ttj, 6*2, a^y .... «j, a^y «3. ... gegebene positive ganze Zahlen
bedeuten sollen und die Lösung in ganzen nicht negativen Zahlen x^,
^2) ^3; • • • gesucht wird. Die a, dürfen offenbar hierbei als nicht
größer als s, die ai als nicht größer als 6 gedacht werden.
2. Auch diese Aufgabe kann mit analytischen Hilfsmitteln in An-
griff genommen werden. Da, nach steigenden Potenzen von x, y ent-
wickelt,
x, = 0
gesetzt werden kann, so ergibt sich
(1 - ic«^2/"0 (1 - ä''^2/"0 (1 - «'''^/"O
''^^aiXi + a2X2 + - • • .^o;ia:i+a2X2 + -
also, wenn hier alle Glieder zusammengefaßt werden, in welchen der
Exponent von x ein und denselben Wert s und zugleich der Ex-
ponent von y ein und denselben Wert (? erhält, d. h., in denen s, (?
durch die Gleichungen (5) bestimmt sind, folgende Entwicklung nach
steigenden Potenzen von Xy y\
^^) U-x^- 1/«0 fl - x''' i/«0 il-x''^ ^«0 • • • 2j ""' ^ ' ^ ^
wo demnach der Koeffizient Z,, a von xfy"^ die Anzahl der
Lösungen der beiden Gleichungen (5) in nicht negativen
CayleyB analytische Lösung. 187
ganzen Zahlen Xi bedeutet. Diese Bedeutung des Entwicklungs-
koeffizienten Kg^ a der links stehenden ,, erzeugenden Funktion" ist
schon von L. Eider bemerkt worden. Aber erst beträchtlich später
hat man erkannt, daß die Bestimmung der Anzahl Ks, a auf diejenige
gewisser Denumeranten zurückkommt. Dies festgestellt zu haben, ist
hauptsächlich ein Verdienst von Sylvester. Nehmen wir der Ein-
fachheit wegen an, die einander korrespondierenden Zahlen
ü!, ü! seien teilerfremd und die Quotienten — ; — > — ? • • von-
einander verschieden, so gelangt man zu der besagten Erkenntnis
durch folgende, von Cayley (Phil. Mag. 20 (1860), S. 337) angegebene
Betrachtung:
Zerlegt man den Bruch
^ ^ (l - x''^ 2/"0 (l - ^"^ y"') (l - aj^ 2/"0 • • • '
als Funktion von y betrachtet, in bekannter Weise in seine Partial-
brüche, so ist derjenige Teil der Zerlegung, der sich auf den Faktor
1 — af^y"^ des Nenners bezieht, von der Form
A(^^ y)
l-x'^'y"'
wo Ä^{x, y) eine ganze Funktion von y vom Grade Wj — 1 mit
Koeffizienten ist, die rational in x sind. Für die übrigen Teile der
Partialbruchzerlegung gilt Entsprechendes, so daß eine Gleichung
hervorgeht von der Form:
1
(8)
(i - rc«^ 2/"0 i 1 - ^"^ y"") (i - oc""' /')
^ ^i(^, y) , Ai^' y) I A{^> y) .
_ Ol,
Wird diese mit 1 — x^^^ y"^ multipliziert und dann y = x "^ gesetzt,
so verschwinden die Brüche zur Rechten vom zweiten an und es wird
(9)
Die Potenz x~ "^ hat a^ verschiedene Werte, welche, wenn co eine
primitive Einheitswurzel des Grades a^ bezeichnet, durch
Ol «1 Ol
dargestellt werden können. Multipliziert man den Bruch zur Linken
im Zähler und Nenner mit denjenigen Werten des Nenners, welche
X38 Gleichzeitige Zerfällung mehrerer Zahlen.
den cc^ — 1 letztgenannten Werten der Potenz entsprechen, so ent-
steht im Zähler eine ganze Funktion von x und x "i mit rationalen
_ «1^
Koeffizienten, die man sich in bezug auf x "i unter den Grad «^
reduziert denken kann, und die vorige Gleichung nimmt die Form an:
A ( -v) _ ""«^^^ + a,{x)^x «^ + • • . + a^^_^{x) ■ x
.Zl-i \X, X ^ I — 'z ;;^ r '
Da X "i aber jeden beliebigen Wert dieser Potenz bezeichnen kann,
so erschließt man aus vorstehender Gleichung die folgende Identität:
. . . %{^) + ö^i(^) • 2/ + • • • + V_i(^) • /^~^
Aax, y) = —7 —TT ^
(l — a;"^^''"""i"0(l — ä;"'"''~"^"0 • • •
Nun ist
A, {x, y) ^ A^ {X, y) 1-a;^^/^
l-x"^-y l-x"'-y
A ( \ ( — i ?^ («1 — l)ai \
1 rc ^-y
Da hier die Klammergröße nur gebrochene Potenzen von x enthält,
kann der Koeffizient von x^y° in der Entwicklung von ^ ^ ^^ nach
steigenden Potenzen von x, y kein anderer sein, als in derjenigen von
^^^^^ y^ . Weil ferner die Differenz
A^{x, y) — a\xj X «0
Ol Ol
durch 2/ — ic "^ also auch durch 1 — ^"i|/ teilbar ist, so kann man
l — x'^^y l — x"'y
setzen, wenn man unter ü(Xj y) eine Funktion von x, y versteht, die
in bezug auf y ganz und höchstens vom Grade cc^ — 2 ist. Der zweiten
der Gleichungen (5) zufolge ist aber a^ < ^; somit ist der Grad a^— 2
kleiner als (?, die Funktion ü(x, y) liefert also kein Glied mit x^y"
und demnach ist der Koeffizient von afy" in der Entwicklung von
a{x x"^)
^ ^' ^ identisch mit demjenigen von — ^ — '-^ , d. L mit dem
l — x"^y 1 — x^^y
Koeffizienten von a^ in der Entwicklung von
Cayleys analytische Lösung. 189
Äj[x, X "O'X"^
nach steigenden Potenzen von x. Dieser stimmt aber seinerseits mit
dem Koeffizienten von x*~~'^ in Ä^Xx^ x "v oder auch mit dem-
jenigen von x^"i—(^<^i in Ä^{x"^, ^^^"0; d- i- ^egen (9) in der Entwick-
lung des Quotienten
1
(1
,«100 Ol
"')(!-
■ai'aA _ ^ ^
nach steigenden Potenzen von x überein.
Hat man solcherweise den Koeffizienten von xfy^ in der Ent-
wicklung des ersten Partialbruchs zur Rechten von (8) bestimmt^ so
gilt für die der anderen Partialbrüche Entsprechendes, und man ge-
langt zu folgendem Ergebnisse:
Um den Koeffizienten X,, a von of y^ in der Entwicklung
des Bruches
1
^^^) (l - x^^ 2/"0 (i - ^""'y"') (i - ^''' 2/"0 • • •
nach steigenden Potenzen von x, y zu finden, entwickele
man die Brüche
1
(11)
nach steigenden Potenzen von x und bestimme die Koef-
fizienten der Potenzen
(12) ^a,-aa,^ ^a^-oa,^ ^a,-oa,^ . . .
in diesen Entwicklungen resp.; die Summe dieser Koeffi-
zienten ist der verlangte Koeffizient Kg^ a, d. h. die Anzahl
der Lösungen der Gleichungen (5) in nicht negativen ganzen
Zahlen.
Man bemerke, daß die Faktoren in den Nennern der Brüche (11)
nach den für die ai, U; gemachten Voraussetzungen nicht verschwinden
können, da ihnen zufolge niemals
öitti — ajiUi = 0
ist. — Wenn der Exponent einer der Potenzen (12) negativ ausfällt,
so scheidet der bezügliche Bruch (11) aus der Betrachtung aus, da
(1-
-rc"^
02-
-«l«.)(l_
1
.^«x«.-
- % «3) . . .
(1-
-x"
i«!-
-«.«l)(l_
1
-x"-^'~
-%"3). . .
(1-
-x"
«1-
-«-«0(1-
-x"*""^-
- 03 «2) . . .
190 Gleichzeitige Zerfällnng mehrerer Zahlen.
in seiner Entwicklung nach steigenden Potenzen von x keine Potenz
mit negativem Exponenten auftreten kann.
3. Nun haben wir die Anzahl der Lösungen der Gleichung
(13) ax -\-})y -\- cz -\- • • • = s
in nicht negativen ganzen Zahlen ic, «/; ^> • • • ^®^ Denume-
ranten der Gleichung genannt und durch das Symbol
a, h, c, . . .
bezeichnet, gleichviel ob die Zahlen a, &, c, ... positiv oder negativ
sind. Wenn sie alle positiv sind, so stimmt dieser Denumerant mit
dem Koeffizienten von x^ in der Entwicklung des Bruches
nach den steigenden Potenzen von x überein. Dies ist jedoch nicht
mehr der Fall, wenn eine oder mehrere der Zahlen a, &, c, . . .
negativ sind. Ist z. B. a negativ gleich — a, so hätte man, um die
gedachte Entwicklung von (14) zu finden, diesen Bruch zu schreiben,,
wie folgt:
während die Gleichung (13) die Gestalt
(16) — ax + hy -]- cz -\- ' ' ■ = s
erhält. Nun ist offenbar der Koeffizient von x^ in der Entwicklung
des Ausdrucks (15) gleich dem mit negativem Vorzeichen genommenen
Koeffizienten von x^~~^ in der Entwicklung des Bruches
1
{l-x''){l-x''){l-x') • • •'
d. h. gleich der negativ genommenen Anzahl der Lösungen der Gleichung
(17) ax + ly -\- cz + ' • - = 8 — a
in nicht negativen ganzen Zahlen x, y^ z^ . . . oder gleich dem De-
numerant en
(18) - a, l7cl . :
nicht aber gleich dem Denumeranten
- u, h, c, .
der Gleichung (16).
Cayleya analytische Lösung. 191
Sylvester hat den Koeffizienten von x" in der Entwicklung des
Bruches (14) nach den steigenden Potenzen von x, falls eine oder
mehrere der Zahlen a, h, c, . . . negativ sind, den Konnumeranten
der Gleichung (13) genannt. Ist allein a = — a negativ, so wäre
also dieser Konnumerant gleich dem negativ genommenen Denu-
meranten der Gleichung (IT), und ähnlich läßt er sich stets durch
den Denumeranten einer Gleichung ersetzen; sind alle a, h, c, . . . po-
sitiv, so darf man Konnumerant und Denumerant identifizieren. Be-
zeichnen wir also den Konnumeranten der Gleichung (13) etwa durch
das Symbol
\a, h, c, . . .}
so ist zu setzen
( ' ) = - !-" ,
\a, 0, c, . . ./ u, b, c, . . .
wenn a allein negativ, a = — a ist, und dem für den Koeffizienten
Ks^a ausgesprochenen Satze kann folgender Ausdruck gegeben werden:
Die Anzahl der Auflösungen der Gleichungen (5) in nicht
negativen ganzen Zahlen ist gleich der Summe der Kon-
numeranten folgender Gleichungen:
[a^a^ — a^a.^ x^ + {a^a^ — a^a^x^-\ = a^s — a^6
(19) I («2^1 — a^a^) 2/i + (a.,a^ — «s^s) 2/2 H = a^s - a,ö
. («3«! — a^a^) ^1 + {a^a^ — a^a^ z^-^ - • ■ = a^s — a^6
alle diese Konnumeranten sind gewissen Denumeranten, die
eventuell mit negativen Vorzeichen zu nehmen sind, gleich;
die gedachte Anzahl von Lösungen ist also jederzeit ein
Aggregat von Denumeranten.
4. Die Voraussetzungen, welche den vorstehenden Betrachtungen
zugrunde lagen, sind in dem besonderen Falle erfüllt, wo es sich um
die Anzahl der Auflösungen für das System der beiden Gleichungen
I a^x^ -f «20^2 + %^s + • • • = s
1 X^+ X,2-\- 0:3 + . • • = Ö,
d. i. um die Anzahl der Zerfällungen der Zahl s in ö gleiche
oder verschiedene Summanden der Reihe a^, a,^^ «3, . . . handelt,
falls diese Reihe aus verschiedenen Zahlen besteht. Wir heben
den besonders ausgezeichneten Fall hervor, daß die Anzahl der Zer-
fällungen von s in 6 gleiche oder verschiedene Zahlen der
Reihe 1, 2, 3, ..., n bestimmt werden soll. Die Gleichungen (20)
nehmen dann die besondere Form an:
I 1 • 0^1 + 2 a;.^ + 3 0^3 H \-n Xn=== s
\ O^i + X^-\- ^»3 + ■ • • + Xn = C.
192 Gleichzeitige Zerfällung melirerer Zahlen.
Wir bezeiclinen die gesuchte Anzahl mit Ä^J^o] sie ist der Koeffizient
von oify^ in der Entwicklung des Bruches
nach den steigenden Potenzen von x, y, der somit gleich
s, 0 = 0
gesetzt werden kann. Man bemerke, daß J.o, o = 1; dagegen, wenn
s > 0 ist, Ä^o = 0 ist. Daraus folgt
1
(22)
(,l-y){l-xy)il-x'y) ■ ■ ■ (l-x'y)
=-il + y-\-f +■■■)■ ^At^-x'y
'-'^{At + 4:1-1 + 4:1-2 + • • • + A^:X)«ff.
ü, CS
Demnach ist, falls s > 0,
(23) 4:\ + 4:u--- + 4:i
der Koeffizient von x^y^ in der nach steigenden Potenzen von x, y
fortschreitenden Entwicklung des Bruches {22) , d. h. die Anzahl der
Zerfällungen von s in (5 gleiche oder verschiedene Zahlen
der Reihe 0, 1, 2, 3, ... n] und in der Tat muß diese Anzahl der
Anzahl aller Zerfällungen von s in höchstens ö gleiche oder ver-
schiedene Summanden der Reihe 1, 2, 3, . . ., n gleich sein. Cayley
hat sie durch das Symbol
(24) P(0, 1, 2, 3, ..,, n):
bezeichnet, und wir wollen jetzt für diese besondere Anzahl ihre
Zurückführung auf ein Aggregat von Denumeranten in der Weise
von Cayley entwickeln.
Denkt man sich den Bruch {22) nach steigenden Potenzen von y
entwickelt in der Form
{l-y){i-xy){\-x^y)---{l-x^y) ^
so geht daraus, wenn y durch xy ersetzt wird, die Beziehung
iz=0 i = Q
Zerfällimg von s in ö Zahlen 0, 1, 2, . . ., n. 193
und nun ohne Mühe die Rekursionsformel
1 — 7-" + *
; = A/_i • r-;
1 — X
also schließlich der Wert
^ _ (l-a;"+O(l-a;»+^)...(l-^" + 0
{l-x){l-x^ . . . (l-icO
des Entwicklungskoeffizienten hervor. Man hat also
.25^ ^ ^(l-^n + i)(,_^. + 2)...(,_^n + .-)
'^ ^ (l-2/)(l-a:2/)... (l-a;"2/) ^^ (1 - x){l- x') . . . (l~x') -^ '
wo jedoch die rechte Seite offenbar auch durch
Zj^ (l-^)(l-^*)...(l-aj«)
ersetzt werden kann. Demzufolge wird die Grröße (24), die kürzer
mit P bezeichnet werde, als Koeffizient von afy^ in der Entwicklung
des Bruches (22) gleich dem Koeffizienten von af in der nach
steigenden Potenzen von x fortschreitenden Entwicklung
des Ausdrucks
(2e) {i-x^+')ii-x^-^')...(i-x^+")
sein.
Betrachten wir nun das Produkt
(1 -{- xy)(l -^ xhj) . . . {1 + x-ij),
so finden wir für dasselbe auf gleichem Wege wie die Formel (25)
nachstehende Entwicklung nach steigenden Potenzen von y:
(l + xy){l+xhj).-.{l-\-x"y)
=.^J^ (i-^-)(i-^"-^)-u-^-^+0 ^,
-Z {l-x){l-x')"-(i^x') ^'
aus welcher für y = — x^ sich
(1 - x'+^) (1 - x'+^) .••(!- a;^+^)
= ^i-iy (i-x^)(i-x^-')^..(i-x^-^+') ^^^^
m ii-x){l-x^"-{l-xO
ergibt. Wird dieser Wert in (26) eingesetzt, so wird der erwähnte
Koeffizient von x' gleich dem derselben Potenz in
Bachmann, niedere Zahlentheorie. II. 13
194 Gleichzeitige Zerfällung mehrerer Zahlen.
y'(_ ly ^
oder es ist
M — s h*«^
(27) P= y(- 1)' mal Koeff. v. x' in ^- . ^.
^, {i-x)-.\i-x^){i-x).-\i-x—^)
In dieser Formel haben wir die gewollte Zurückführung
der Anzahl P auf Denumeranten. Doch vereinfachen wir deren
Bestimmung noch durch folgende Erwägungen.
5. Man bedenke zunächst, daß n6 die größte Zahl ist, welche
durch 6 gleiche oder verschiedene Zahlen der Reihe 0, 1, 2, 3, . . ., n
dargestellt werden kann. Daher ist
P(0, 1, 2, . . ., rifs = 0, wenn s > na.
Ist dagegen s"^— und
s=-0- Xq-\-1'X^ -[-2' x^ -[-''•-{- nxn
eine Zerfällung von s in die Zahlen 0, 1, 2, . . ., n^ bei welcher die
Anzahl der Summanden
Xq -\- X-^ "T ^2 ~^ ' ' ' * "^^ ^^^ ^
ist, so ist
{n — 0) Xq-\- {n — l)xi + . . • -f (^ — n)Xn = nö — s
eine Zerfällung von nö — s in ebensoviel Summanden derselben Reihe,
und umgekehrt. Demnach ist
P(0, 1, 2, . . ., n)^„-s = P(0, 1, 2, . . ., n)s^ wenn 5 ^ '^^^
gelegen ist. Aus
!S, aie Ziani jr lur aie i« aiie zu berechnen, wo s <
wir also
mithin n0 — s zwischen na und — gelegen ist. Aus dieser Ursache
genügt es, die Zahl P für die Fälle zu berechnen, wo s < — ist. Setzen
s = -{n6 - q),
wo Q eine Zahl der Reihe 0, 1, 2, . . ., nö ist, für welche die rechte
Seite ganzzahlig wird. Die Anzahl der Zerfällungen für diese Zahl s
ist nach (27) gleich
(28)
n
i = 0
n
1 ä r^"
ly K Y :i;"^^"''~^^n ""
^^ ^^""^ ^" {l-x){l-x'')-.\l-xO{l-x)---(l-x''-0
^^ '^'^'^ '^ il-x^il-.^)...{l-x^)il-x)...{l-x^-^)
Zerfällimg von s in 6 Zahlen 0, 1, 2, . . ., w. 195
Da hier, falls n ungerade, der Exponent —n — i eine gebrochene
Zahl wird, ist es vorzuziehen, in diesem Falle den vorstehenden Aus-
druck durch den offenbar gleichen:
(29) y{- ly ■ K. V. a;(''-2')^in ^^^—^^ , . ,.,
za ersetzen.
Dies vorausgeschickt, verstehe man nun, je nachdem n gerade oder
ungerade ist, unter X die Zahl -- n — i oder n — 21, und unter /i die
Zahl -|- 4- 1" oder q -\- i (i -f 1) resp. Dann ist das allgemeine
Glied des Summenausdrucks (28) resp. (29)
(— 1)' mal d. Koeff. von x^''
in der Entwicklung eines Ausdrucks von der Form
in welchem fi(x) ein Produkt aus lauter Faktoren von der Form
1 — oc^ ist. Bezeichnet aber a das kleinste gemeinsame Vielfache von
a und A, so ist eine ganze Funktion g (x), mithin
1 9{^)
und, wenn diese Umformung bezüglich eines jeden der Faktoren
1 — x^j aus denen fi(x) sich zusammensetzt, ausgeführt wird, so geht
der Bruch (30) in die Form
über, in welcher Fi(x^-), (^i(x) ganze Funktionen bezeichnen, deren
erstere aus lauter Faktoren 1 — x" zusammengesetzt ist, bei denen a
ein Vielfaches von A, und welche demnach eine ganze Funktion von
x^ ist. Da nun zur Bildung des Koeffizienten von x^-^ in der Ent-
wicklung von (31) offenbar nur diejenigen Potenzen der ganzen
Funktion X''''(3i(x) beitragen, deren Exponenten durch X teilbar sind,
so kann man die übrigen unterdrücken, wodurch dann aus (31) ein
Ausdruck
®f)(^')
hervorgeht, dessen Nenner aus lauter Faktoren 1 — o;" = 1 — x^-''^ zu-
13*
196 Gleichzeitige Zerfällung mehrerer Zahlen.
sammengesetzt ist. Hier ist aber der Koeffizient von x^° kein anderer
als der Koeffizient von x'^ in der Entwickluug des Bruches
dessen Nenner aus lauter Faktoren \ — x^ zusammengesetzt ist. Da-
her nimmt der Ausdruck (28) bzw. (29) die folgende Gestalt an:
V(- 1)^ mal Koeff. v. x' in -^-^,
«=o *
d. h. aber schließlich: P ist der Koeffizient von x^ in der Entwick-
lung einer gewissen rationalen Funktion
@(.y)
deren Nenner aus lauter Faktoren von der Form 1 — :c"* zusammen-
gesetzt ist. Dieser Koeffizient und folglich die Anzahl
P(0, 1, 2, . . , <
findet sich aber, wie in den Nummern 10 — 12 des vorigen Kapitels
nach Cayley auseinandergesetzt worden ist, und erscheint so schließ-
lich durch sogenannte Zirkulatoren ausgedrückt.^)
6. Um ein paar Beispiele für diese Theorie zu geben, wählen
wir zuerst
n = 3, 5 = 6, (5 = 4.
Da alsdann s = -^ also q = 0 ist, erhält man nach (29)
P(0, 1,2, 3)J =
y (- ly mal K. V. x^-''^^ in . ^^ y ^^^^^^^ 7 ^"TÄ^
jedoch darf man von den Werten i = 2, 3 absehen, da die Entwick-
lung des unter dem Summenzeichen stehenden Bruches keine nega-
tiven Potenzen von x liefert; die Summe zieht sich dadurch auf die
zwei Glieder:
Koeff. V. (T^^ in j-< ^tt:; ttt^ ä^
(1 — x^) (1 — x^) (1 — x'^)
— Koeff. V. X^ in -; ^-^^ ^-j-^ rr
zusammen. Für das erste Glied ist A = 3; formt man also die ein-
1) Man findet diese CayleyBche Betrachtung reproduziert bei Brioschi, Annali
di mat. pura ed applicata 2 (1859), S. 265.
Beispiele.
197
zelnen Faktoren desselben in der oben angegebenen Weise um, so
nimmt das Glied die Gestalt an:
{l-x^{l-x^*){l-x^) ~ {1 - xy ■ {1 - x'^)
oder, wenn nun die überflüssigen Glieder des Zählers, deren Ex-
ponenten nicht durch X = 3 teilbar sind, unterdrückt werden, diese
einfachere: . , ^ , ,„
l-f iC^-f ^
{i-x^y-{i-x^^^
und der Koeffizient von x^^ in der Entwicklung dieses Bruches ist
identisch mit demjenigen von x^ in der Entwicklung von
l+x-\-x^
Für das zweite Glied ist X = 1, dasselbe bedarf also nicht mehr
der bezeichneten Umformung, und der Koeffizient von x^ in seiner
Entwicklung stimmt mit dem von x^ in der Entwicklung von
X
(1- xy • {i-x^
überein. Demnach wird offenbar P(0, 1, 2, 3)J gleich dem Koeffizienten
von x^ in der Entwicklung der Differenz
14-^ + ^* X l-\-x^
{l-x)\l-x^) {1-xy ■ (l-x')^
. • 0(1 + rc2 + . . .) = 1 4- 2:r + 5ä;^ +
(i-xy-ii-x^)
d. h. im Ausdrucke
(1 -j-x^) • (1 + 2x-{-3x^-\-
und demnach findet sich
P(0, 1, 2, 3)^ = 5.
In der Tat hat man nur diese fünf Zerfällungen :
6 = 1.0+l-l + l-2+l-3
6-1.0 + 0. 1 + 3.2 + 0. 5
6 = 2.0 + 0- 1 + 0.2 + 2.3
6 = 0.0 + 3- 1 + 0-2 + 1.3
*6 = 0-0 + 2- 1 + 2-2 + 0-3
der Zahl 6 in 4 Summanden der Reihe 0, 1, 2, 3.
Zweitens sei
w = 5, 5 = 6, (5 = 3.
In diesem Falle ist 5 =-(wö — 3) also p = 3, und nach (29) ist
P(0, 1, 2, 3, 4, b)l
5
= y(- l)'" . Koeff. V. rr(5-20-3 i^
;+.(t+i)
{l-x'')il-x^"-{l-x''^^')
198 Gleiclizeitige Zerfällung mehrerer Zahlen.
Man darf aber sogleich die Glieder der Summe unterdrücken, in
denen der Exponent (5 — 2^) • 3 negativ oder kleiner als 3 4- i(i + 1)
ausfällt, und findet so einfacher
(32) -P(0> h 2, 3, 4, 5)1
= Koeff. V. x^^ in
(1 - X^) (1 - X^) (1 - X^} (1 - iC«) (1 - x^')
- Koeff. V. x^ in (i_^2^ . (i_^2^(i_^4) ^^ _^6^(i_^8)-
Der zweite dieser Koeffizienten ist gleich demjenigen von x^ in der
Entwicklung des Bruches
(1 - x^) . (1 - x^) (1 - x^) (1 - x^) (1 - x^) '
d. h. gleich dem Koeffizienten von a;^ in
^t-xy\i-x^) = (1 + 2^2 + 3^^ + . . .) (1 + ^* + • • •)
mithin gleich 4. Um den ersten Koeffizienten zu ermitteln, welcher
demjenigen von x^^ in der Entwicklung von
1
(1 - x^) (1 - x^) (1 - a;«) (1 - x^) (1 - x^")
gleich ist, schreiben wir den letzteren Bruch, ohne diesmal die oben
angewandte Transformation zu benutzen, als das Produkt der Reihen
1-^ x^ + x^ + x^ + x^ -t x^^-{-x'^ + ' ■ '
1+x^-^ x^ + x^^ -}- - ■ •
1 + a;« 4- ir^2 ^ . . .
l + x'-h---
l-^x^' + ---.
jede derselben nur so weit fortsetzend, als die Exponenten nicht größer
als 12 werden; das ebenso gebildete Produkt lautet dann:
l + x'' + 2x^ + 3x^ + bx^ + Ix^^ + 10:r^2 _|_ . . .^
daher ist der zweite Koeffizient gleich 10 und denajiach
P(0, 1, 2, 3, 4, 5)^ = 10 - 4 = 6.
Die sechs vorhandenen Zerfällungen sind die folgenden:
6 = 0.0 + 1.1 + 1.2 + 1.3
6 = 0.0 + 2.1 + 1.4
6 = 0.0 + 3.2
6 = 1.0 + 11 + 1-5
6 = 1.0 + 1.2 + 1.4
6 = 1.0 + 2.3.
Methode von Faä di Bruno. 199
7. Die in den beiden voraufgehenden Nummern gelöste Aufgabe
hat durch Faä di Bruno (Math. Ann. 14, 1879, S. 241, vollständiger
im Journ. f. Math. 85, 1878, S. 317) eine Behandlung gefunden,
welche sich, wenn nicht in theoretischer, doch vielleicht in rechne-
rischer Hinsicht durch größere Einfachheit empfiehlt. Wir wisseu aus
der vorigen Betrachtung, daß
P(0, 1, 2, . . ., n):
der Koeffizient von of in der Entwicklung des Ausdrucks
(33)
{\-x){l-x^ • ■ • {l-x"")
nach steigenden Potenzen von x ist. Setzen wir diesen Ausdruck
kurz gleich i^ix) und zerlegen Zähler und Nenner in ihre Linear-
faktoren. Bezeichnet a oder auch — die sämtlichen Einheitswurzeln
" 1
der Grade <5 + 1, ^ + 2, . . ., ö -f w, und ß oder auch -^ die sämtlichen
Einheitswurzeln der Grade 1, 2, . . ., w, so läßt sich schreiben
Wenn daher
(34) ^^^%^~^h
gesetzt wird, so ergibt sich
(35) log.(.)=2ffe-^?)=i^'
, = 1 \ ß ^ a / 1 = 1
und hieraus durch Differenzierung
(36) ^=2'^.'
X'
1=1
Übrigens läßt sich der Koeffizient 6i früheren Bemerkungen zufolge
(s. Kap. 3, Nr. 10) sehr einfach ausdrücken. Für die über alle Wurzeln a
oder — einer Gleichung x"^ = 1 ausgedehnte Summe
2i
a
durfte d • di gesetzt werden, wenn unter di die Eins oder die Null
200
Gleichzeitige Zerfällung mehrerer Zahlen.
verstanden wird, je nachdem i durch d aufgeht oder nicht. Demgemäß
wird offenbar
(37) ^i
= 1 + 2.2,4-3.3, + .•.+^.i>^,- (ö + !)•((? fl)/ (ö-^n)-{6 + n)i.
Denkt man sich andererseits den Bruch il^{x) nach den steigenden
Potenzen von x entwickelt und setzt so
(38) ilj(x) = 1 + C^a; + C^x^ + C^x^ + • • .,
so kommt
tp{x) l + C^x + C^x^^G^x^i----
und nun durch Vergleichung dieses Ausdrucks mit (36) die Beziehung
Ol + 2C,x + SC^x' + '-'=={l+G,x+C,x' + - . .) . ^0i • x^-\
i=i
woraus die folgenden Rekursionsformeln
(39)
(j^ _ (7, = 0
6s + Ci<3s-i + C26S-2 h Cs-161 — sCs = 0
hervorgehen. Sie haben die größte Ähnlichkeit mit den JVißt^teschen
Formeln, welche zwischen den Koeffizienten einer algebraischen Glei-
chung und den Potenzsummen ihrer Wurzeln bestehen. Nimmt man
die Gleichung vom Grade s:
x" + Ä^x"-^ + A^x'-^ + • . . + ^, = 0
an und bezeichnet die Potenzsummen der Wurzeln mit S^, S2, S^, . . .,
so lauten bekanntlich jene Formeln wie folgt:
(40)
S, + AiS.-i + ■■■ + ^_iÄ + sA, = 0
und werden also mit den ersten s der Gleichungen (39) identisch,
wenn man setzt
(41) ö, = - S,-, a = Ai.
Nun findet sich aber aus den Newtonsehen Formeln (40), wie etwa
Methode von Faä di Brwno. 201
in J. A. Serreis Handbuch der höheren Algebra (deutsch von Wertheim)
1868, 1. Bd. S. 363 zu ersehen ist, für Ä, der Ausdruck^):
worin die Summation über alle nicht negativen ganzen Zahlen i^,
2*2, . . ., ig auszudehnen ist, welche der Gleichung
1 ■ ij^ + 2 ■ i^ + ■ • ■ -h s - is = s
genügen. Hiernach bestimmt sich also auch Cs durch die Formel
(42) ^-2.7xr^-(Ty-(f)'---(^y'-
Doch kann man dieser Formel eine elegantere symbolische Gestalt
geben, wenn man bemerkt, daß nach dem polynomischen Lehrsatze
(ß + ccj^x + «2^^ + 1- ««^)
^ t^l »i! l^\ . . . l^l 12 s
r>0
gesetzt werden kann, wo die innere Summation sich auf alle nicht
negativen ganzen Zahlen i^, 2*i, ig, . » . is erstreckt, für welche zugleich
^0 + «1 + 4 + \- is = s
und
1-^1+ 2«2 H h S'is = r
ist. Demnach wird der Koeffizient von x^ orleich
(43) > . ■ . ' r-r • ö'o ai^ ab- • • • a's ,
worin gleichzeitig
h -I- *i + ig + \- is = s
1 • *i + 2 eg + h 5 • i = 5
ist. Würde hier d'^ durch IqI ersetzt, so entstünde die in gleicher
Ausdehnung zu nehmende Summe
5- > • , ■ . r-r a\^ a]^ ' • • a's
deren Umfang jedoch, da die erste der Bedingungen nur aussagt, daß
*i + 4 + • • • + 4 nicht größer als s ist, was aus der zweiten derselben
1) Dieser Ausdruck ist zuerst von E. Waring (Mise, analytica 1762, S. 9,
Corollar. I) gegeben und in seinen Meditat. algebraicae 1782, S. 15 bewiesen
worden. S. darüber L. Saalschütz, Biblioth. Math. (3) 9, S. 65.
202 Gleichzeitige Zerfällung mehrerer Zahlen.
von selbst schon folgt, jetzt einfacher dahin zu fassen ist, daß sie alle
der zweiten Bedingung genügenden Zahlensysteme i^^ i^, . . ., 4 um-
fasse. Da der letzte Ausdruck sich aber, wenn a, == -.- gesetzt und
dann durch s\ dividiert wird, in den Ausdruck (42) für Cs verwandelt,
so erkennt man ft als den Koeffizienten von x^ in der Ent-
wicklung der symbolischen Potenz
(44) i^(a+fL^+^%... + M!f,
die so zu verstehen ist, daß nach geschehener Entwicklung der s*®"^
Potenz überall statt der Potenzen d'o die Fakultäten i^l gesetzt werden.
Da bei Bestimmung dieses Koeffizienten Potenzen von ru, welche höher
als die s*® sind, zu vernachlässigen sind, kann im Ausdrucke (44)
unbedenklich die in der Klammer stehende Größe durch die folgende:
S+^"^ = S + logi,{x)
t = l
ersetzt werden, endlich also mit Rücksicht auf die Bedeutung von
ijj {x) wie von Cs folgender Satz ausgesprochen werden:
Die Anzahl
P(0, 1, 2, ...,n):
der Zerfällungen von s in höchstens ö gleiche oder ver-
schiedene Summanden der Reihe 1, 2, 3, . . ., w ist gleich
dem Koeffizienten von x^ in der symbolischen Potenz
K-
(45) ^U + log
Wird die gleiche Betrachtung statt auf die durch den Ausdruck
(33) gegebene Funktion ^ (x) auf die Funktion
^^^^ ^ (l-.^«)(l-a.^)(l-a.O ...(l-^O
angewandt, so ändert sich daran offenbar nichts weiter, als daß die
Größen (34) durch die folgenden:
-2j
, '
in welchen die Summation auf sämtliche Einheitswurzeln /3 der Grade
a, hf c, . . ., l auszudehnen ist, ersetzt werden. Man gelangt dann zu
dem völlig analogen Ergebnisse:
Die Anzahl
(46) • a,h, c,
Beispiele. 203
der Zerfällungen von s in gleiche oder verschiedene Sum-
manden der Reihe a, h, c, . . ., l ist gleich dem Koeffizienten
von af in der symbolischen Potenz
(47) i(d + log. ^^—^^-^^^—^-^f
Auf solche Art ist eine neue, von den von Caijley und von Sylvester
gegebenen völlig verschiedene Bestimmungsweise des Denumeranten
(46) erreicht, die zur numerischen Bestimmung desselben vielfach
günstiger erscheint.
Um wenigstens je ein Beispiel zu geben, suchen wir zuerst wieder
die Anzahl der Zerfällungen der Zahl 6 in höchstens 3 Zahlen der
Reihe 1, 2, 3, 4, 5. Sie ist nach (45) der Koeffizient von x^ in der
Entwicklung von
1 /. , (i-a;«)(l-a:^(l-a;»)\(6)
d. i. in Anwendung der bekannten Potenzreihe für log (1 — ^) und
mit Vernachlässigung von höheren Potenzen von x als die sechste
der Koeffizient von x'^ in der Entwickelung von
^ (x ^ I 3 2 . 4 3 , 3 , 1 5\(6)
Nach Substitution von i\ für d* findet er sich gleich ;^mal
15-24(l + ! + y) + 20-6(¥ + !+12)
+ 15.2(^ + ¥) + 6.^+l,
d. i. gleich 6, wie in Nr. 6.
Handelt es sich ferner um die Bestimmung des Denumeranten der
Gleichung
2x^-^y-\-b3 = 8,
d. h. um die Werte s = 8, a = 2, & = 3, c = 5, so ergibt er sich nach
(47) als Koeffizient von x^ in der Entwicklung der symbolischen
Potenz
d. i. in der Entwicklung von
^^[8 -\-x^ -\- x^ ^ — -{■ x^ -\- -x'' + ^j •
Nach Substitution von ?! statt d' in der letzteren findet man ihn
gleich — mal
81
204 Gleichzeitige Zerfällung mehrerer Zahlen.
7! 8 . i + 6! 28 (^ + I + 2) + 5! 56 (I + 3) + 4! 70
oder vereinfacht
8. Da wir mit Ä'J^o die Anzahl der Zerfällungen von s in 6 gleiche
oder ungleiche Summanden der Reihe 1, 2, 3, . . ., w bezeichnet haben,
wird die Summe
(48) 4r'o + A^\ + Atl + ■■■ + A'-:i
die Anzahl der Zerfällungen von s in nicht mehr als r gleiche oder
verschiedene Summanden, die nicht größer als n sind, bezeichnen.
Nun ist offenbar nr die größte Zahl, die aus solchen Summanden
entstehen kann. Bildet man daher die Summe (48) für alle Werte
von s < wr, so erhält man in dem Ausdrucke
n r
(49) ^(^w + ^w + 4f, + • • ■ + ^i:>r)
die Anzahl der Zerfällungen in nicht mehr als t gleiche
oder verschiedene, die Zahl n nicht übersteigende Sum-
manden, deren alle Zahlen zusammen fähig sind. Auch diese
Anzahl kann als ein Entwicklungskoeffizient gedeutet werden (s. Mac
MaJion, London Phil. Trans. 1896 vol. 187, S. 619). Da 4fa der
Koeffizient von x^y" in der Entwicklung des Quotienten
oder, was dasselbe sagt, das von Xj y unabhängige Glied in der
Entwicklung des Ausdrucks
_i 1
{l-xy){l-x'y)--{l-x''y)' x'y''
darstellt, so findet sich der Ausdruck (49) ersichtlich als das von x,
y unabhängige Glied in der Entwicklung der Doppelsumme
nr r
w
f^^^^{^-xy){l-x'y)"'{l-x^y) x'y''
{l-xy){l-x'y)
1
{l~xy){l-x^y)-'-(l-x''y) x'^^'y'
Hier darf man aber die Potenzreihen ins Unendliche fortsetzen, da so
nur Glieder hinzutreten, welche positive Potenzen entweder von x
Zerfällung aller Zahlen in höchstens r Summanden <; n. 205
oder von y liefern, das von x, y unabhängige Glied der Entwicklung
also nicht verändern. Somit ist die Größe (49) das konstante Glied
in der Entwicklung von
1 1
0^x){l-y){l-xy){l-x'y)---{l-x''y)' x^'-y''
oder der Koeffizient von x"''y'' in der Entwicklung des
Bruches
1
(1 -x){l-y){l-xy){l-x'y)---{l- x" y)
nach steigenden Potenzen von x, y.
Dieser Koeffizient hat einen sehr einfachen Wert, es besteht näm-
lich der Satz: Die Anzahl Zerfällungen aller Zahlen in nicht
mehr als r gleiche oder verschiedene Summanden, welche
nicht größer als n sind, ist dem Binomialkoeffizienten
( j gleich. Dies erkennt man auf ganz elementare Weise folgender-
maßen. Alle solche Zerfällungen, deren alle Zahlen zusammen fähig
sind, erhält man offenbar, wenn man zunächst keine der Zahlen
1, 2, 3, . . ., n, dann diese Zahlen entweder einzeln nimmt, oder sie
zu je zwei, zu je drei, . . ., endlich zu je r gleichen oder verschiedenen
addiert; dies gibt der Reihe nach
^ n n (n 4- 1)
1' l' 12 '
n(n + l)(n + 2) n(n + 1) • • • (n + r- 1)
1 • 2 • 3 ' ^ 1 • 2 • • • r
Zerfällungen. Da
n(n-f l)(n + 2).
..(^n + h-l) {l+h){2-^h)---{n-l + h)
1-23-h l-2-(n-l)
ist, läßt sich die Summe vorstehender Zahlen, d i. die gedachte An-
zahl von Zerfällungen schreiben, wie folgt:
1 . 2 ... (n - 1) 2B- n (1 + r) (2 + r) • • • (n - 1 -f r)
1 . 2 ... (n - 1) ' 1 • 2 • • • (n - 1) ' ' 1 • 2 • • • (n - 1)
eine Summe, welche nach Kap. 1, Nr. 3 gleich
(r + l)(r-f2)...(r-fn) _ /n-\-r\
1 • 2 • • w \ n )
ist, wie behauptet. ,
9. Haben wir bisher die Aufgabe der gleichzeitigen Zerfällung
mehrerer Zahlen wesentlich mit analytischen Mitteln behandelt, so
wollen wir nunmehr versuchen, sie rein arithmetisch zu lösen. Wir
beginnen mit einem ausgezeichneten Falle der in den letzten Nummern
behandelten Aufgabe, nämlich mit der Bestimmung der Anzahl
der Zerfällungen einer Zahl s in ö gleiche oder verschiedene
Summanden der Reihe 1, 2, 3, . . ., s, d. h. der Anzahl Lösungen
der beiden Gleichungen
206 Gleichzeitige Zerfällung mehrerer Zahlen.
(50) I
1 • ^1 + 2x^ + • • • 4- 5 • rr,. = s
a^i + rr2 4- • • • 4- Xs = ^
in niclit negativen ganzen Zahlen Xi. Diesem Falle jiat jE. /Sac^ww
(Ann. di Mat. (2) 15 (1887/8), S. 209) eine besondere Arbeit gewidmet,
wovon hier das Wichtigste mitgeteilt werde. Zur Abkürzung stehe
dabei statt des bisherigen Zeichens J.«, ^ das Zeichen A^^ o\ wir setzen
ferner
(51) ^,,i + ^,,2+-- + ^... = ^,.
Von vornherein leuchtet die Gleichung
(52) As, (7 = 0, wenn ö > s ist,
ein, da die linke Seite der zweiten Gleichung (50) nie größer sein
kann als die linke Seite der ersten. Demnach setzen wir fortan stets
ö ^ s voraus. Dann besteht der Satz :
Die Anzahl der Auflösungen der beiden Gleichungen (50)
ist ebenso groß, wie die Anzahl derjenigen Auflösungen der
Gleichung
(53) 1 • Ä^i + 2 • iTg + • • • + <5 • ^a = s,
bei welchen Xa positiv ist.
Wir nehmen zuerst ^> 1 an. Unterdrückt man dann in der
Gleichung die Größen Xi, welche Null sind, so nimmt sie, falls Xa > 0,
die Gestalt an:
(54) ii-xi^+ H'^iA hin-r^/,„_i+ ^-Xa = 5,
wo m eine Zahl ^ (?, \, i^, . . . im-i aber verschiedene Zahlen der
Reihe 1,2, 3, ...,(?— 1 sind, welche der Größe nach steigend ge-
dacht werden können, so daß
0 <ii <i^' ' • < im-i < ^1
also
ff — »„_1 = yt,
im-\ — im-i = 2/i,
h-h = 2/*»-
-1
h = 2/t„
positive ganze Zahlen sind; die Zahlen Xi^, X;.^, . . ., ^/^_i sind sämt-
lich positiv gedacht, so daß Z^, Ä^g, . . ., ^m? wenn man
tC^ == Xa
fCx} = X(j ~\~ Xj,
'm — 1
K^Xa-^- Xi^_^ H + Xi^ + Xi
Arithmetische Methoden. Die Anzahl r„ ^ nach Sadun, 207
setzt, wachsende positive Zahlen sind, welche der Reihe 1, 2, . . ., s
angehören, da wegen (54) offenbar Tim ^ s. Da nun
Vk, -f 2/A-. + h yk„, = ö
ist, und
leicht gleich
d.h.
K • Vk, 4- h -yk.A — Viim' yk„.
gefunden wird, so ergibt sich aus jeder der gedachten Lösungen der
Gleichung (53) eine Lösung des Systems (50). Aber auch umgekehrt.
Denn wegen der zweiten der Gleichungen (50) kann nur eine Anzahl
m <; 6 der Zahlen Xi von Null verschieden sein; sie mögen nach der
wachsenden Größe ihrer Indices geordnet y^^, ijk^, . . ., ijk^ heißen;
dadurch nimmt die erste dieser Gleichungen die Gestalt an:
K ' Vk, + h ' Vk, H \-'km-yk^ = s,
während
yk, + yk, + ■•• + yk^ = ö
ist. Setzt man nun
h = yk„, + yk,,_,
im-i = yk^-\- yk„,_^ + \-yk,
^ = yk^ + yk^_^ + ■•■ + yk, + yk,,
so sind ^^, 4, . . ., i„i—i wachsende Zahlen der Reihe 1, 2, 3, . . .,
(? — 1, ferner sind die durch die folgenden Gleichungen definierten
Zahlen
Xi^ = njn f^m — 'i
Xu ^^ i^ni — 1 ~ ^m — 2
^/„,_i — h — K
Xa = H-i
positiv, und es ergibt sich ohne weiteres, daß sie die Gleichung (54)
erfüllen; demnach geht in der Tat aus jeder Lösung der Gleichungen
(50) eine Auflösung der Gleichung (53) hervor, in welcher x„ = l\
positiv ist. Hiermit ist der behauptete Satz für ö > 1 bewiesen. Aus
ihm folgt aber, daß für ö>l die Anzahl Ag^ o der Lösungen
des Systems (50) gleich der Anzahl der Auflösungen aller
Gleichungen von der Gestalt
208 Gleichzeitige Zerfällung mehrerer Zahlen.
(55) 1 • X^-\- 2x.2+ ' • • -h(^ — l)^a-i =S — a • Xa
für Xa = 1, 2, 3, . . , [g
ist; man hat mit anderen Worten, wenn man sich des früheren Zeichens
yo, s für den Denumeranten ===== bedient, für (5 > 1 die Beziehung
1, J^ . . f 6
(56) Äs, o = ya-l,s-o + yo-l,s-2a +'-■■}- y rsl ,
o — 1, s — I — \ o
La ]
durch welche die gesuchte Anzahl unmittelbar auf Denumeranten
zurückgeführt ist.
Der ausgesprochene Satz gilt aber auch für ^ = 1. Denn
die Anzahl der Lösungen der Gleichung
1 • x^ = s
bei positivem rc^ ist 1, ebenso groß aber auch J.^, i, da aus der Gleichung
nur eine der Zahlen Xi von Null verschieden, nämlich gleich 1, und
nun aus der Gleichung
1 • x^ -{- 2x2 -\- • • • + s Xs = s
hervorgeht, daß dieses die Zahl Xs sein muß.
Wenn ö == 2 ist, folgt aus (56)
A 2 = 7i,s-2 + 71..-4 + • • • + y _^ pi,
d.h. ^ »-2J
(a) A2=[g.
Für (5 = 3 ergibt sich aus (56) zunächst
oder ' L3j
m
^s,3 = ^^2, Ä-3^
Nun ist aber nach (36 b) des vorigen Kapitels
daher verwandelt sich die vorige Gleichung in die Formel:
Die Anzahl rn,s nach Sadun. 209
Ebenso kommt für (7 = 4 zunächst
Man hat aber
und
y2,.s-3>/-4^ = ^^>l,.-2r — 3>/-4g
=T+[1^1|:^].
und nunmehr endlich
m m m p-i^
Daraus folgt
s-37j-4r
Usw. —
Die Formel (56) läßt sich aber einfacher schreiben. Zunächst ist
m
^s,o=^^ya — l,s — ^a — ya — l,s}
wofür jedoch nach Kap. 3, Formel (36 b)
-^s, o = yo, .s — ya — l,sj
d.h. nach Formel (36 a) daselbst
(57) As,o = ya,s-(r
gesetzt werden kann. Man erhält demnach den Satz:
Die Anzahl der Lösungen der beiden Gleichungen (50) ist ebenso
groß, wie die der Lösungen der einzelnen Gleichung
(58) l'X^-{- 2'X2-\ + 6-Xa= s — 6y
oder: die Anzahl der Zerfällungen der Zahl s in ^ gleiche
oder verschiedene Summanden der Reihe ], 2, 3, . . ., s, d.h.
aber in 6 positive Summanden mit Wiederholung ist gleich
Bachmann, niedere Zahlentheorie. II. 14
210 Gleiclizeitige Zerfällung mehrerer Zahlen.
der Anzahl der Zerfällungen der Zalil s — ö in gleiche oder
verschiedene Summanden der Reihe 1, 2, 3,.,., ö. So sind
wir auf anderem Wege zu einem Satze zurückgekehrt, den wir schon
in Kap. 3 in der Formel (24a) erhalten haben, und erkennen die
Identität der Anzahl Äs, a mit der dort durch Fo, « bezeichneten An-
zahl, die wir von vornherein hätten bemerken können. Der Definitions-
gleichung (51) zufolge ist also die Zahl Äs mit T«, d. i. mit der An-
zahl aller Zerfällungen der Zahl s überhaupt identisch.
Falls ö > s — (?, stimmt die Anzahl Lösungen für die Gleichung
(58) offenbar mit der für die Gleichung
(59) l'X^ + 2x^-\- h (s — ^)-Xs-o=s— 6
überein, da die Xi mit jedem Index i > s — (? verschwinden müssen.
Demnach ist für 6^ s — ^
(t)0) Äs,o= ys—o,s — a= rs—o = Äs — af
d.i. die Anzahl der Zerfällungen der Zahl s in ö gleiche
oder verschiedene positive Summanden der Anzahl aller
Zerfällungen der Zahl s — 6 überhaupt gleich (vgl. Kap. 3,
Formel [142a]).
10. Mder hat zuerst (Algebra II, Kap. 2) die Aufgabe behandelt,
die positiven ganzen Zahlen zu finden, welche zweien Gleichungen
mit mehr als zwei Unbestimmten genügen; das hierzu von ihm an-
gewandte Verfahren bezeichnet er als die regula coeci oder an anderer
Stelle (N. Comm. 14, 1, 1769, S. 168 oder Comm. arithm. coll.I, S.400)
als regula virginum, Bezeichnungen, deren Bedeutung fraglich ist.
Eine Regel zur Bestimmung der Anzahl der Lösungen hat aber
Euler nicht gegeben. Dagegen ist es Sylvester, wie er in seiner Note
in dem Phil. Mag. 16 (1858), S.371 angibt, geglückt, zu zeigen, daß
diese Bestimmung jederzeit auf den Fall der einfachen Zerfällung von
Zahlen, d. h. auf Denumeranten einzelner Gleichungen zurückkommt.
Sylvester hat dabei nicht nur den Fall zweier Gleichungen, sondern
den allgemeinsten Fall von r linearen Gleichungen mit w > r Un-
bestimmten in Betracht gezogen und einen allgemeinen Satz fest-
gestellt, dem er in der angegebenen Note verschiedenen Ausdruck
leiht. Nach diesem Satze kommt die Bestimmung der Anzahl positiver
ganzzahliger Lösungen eines beliebigen Systems von Gleichungen
immer auf die gleiche Bestimmung für ein oder mehrere Systeme
von Gleichungen einer gewissen Normalform zurück. Liegt
aber ein solches Normalsystem von r Gleichungen zwischen n> r
Unbestimmten vor, so hängt die Bestimmung der Anzahl seiner Lösungen
wieder ab von der gleichen Bestimmung für 1 . 2 • • • (r — l)
Einzelgleichungen, die aus jenem Systeme durch Elimination
hervorgehen, und die gesuchte Anzahl findet sich als ein Aggregat
Arithmetische Methode von Sylvester. > 211
gewisser Vielfachen der Denumeranten dieser Einzelgleichungen. An
anderer Stelle (outlines of seven lectures on the partition of numbers,
Proceed. London Math. Soc. 2S, S. 33) hat Sylvester von Vorlesungen,
in welchen er seine bezüglichen Untersuchungen vorgetragen, eine
kurze Skizze veröffentlichen lassen. Doch bedarf diese Darstellung
noch sehr einer nachspürenden Ausführung; es ist bisher mir nicht
gelungen, den ausgesprochenen allgemeinen Satz daraus herzuleiten.
An dieser Stelle wollen wir uns daher wieder auf den zuvor mit
analytischen HilfsmitteLu behandelten Fall zweier Gleichungen be-
schränken, um wenigstens einige der hauptsächlichsten Ergebnisse
der SylvesterscheiL Arbeit zu entwickeln.
11. Seien die beiden Gleichungen
\ax-\-dy -\-C2 -\ = s
hx-\- ßy-}-y2+.-- = a
in nicht negativen ganzen Zahlen x^y, 0^ . . , aufzulösen. Wir nehmen
zuvörderst an, daß die Koeffizienten der gleichen Unbe-
stimmten beider Gleichungen: a, a; h, ß] c, y] . . . zueinander
teilerfremd, und daß die Verhältnisse —f -w> — y • • • vonein-
a ß y
ander verschieden sind. Das System beider Gleichungen heiße
S(Xj y, Zj . . .) und die Gleichung, welche daraus durch Elimination
von X oder y oder z, . . . hervorgeht, werde kurz mit ^^(a;, y, z, . . .),
Sy{Xj y, z, ..),.. , resp. bezeichnet. Auch wollen wir für irgend-
eine Größe u mit u den Wert — {\ -\- u) bezeichnen.
Dies vorausgeschickt, sei rr, y, z j ... irgendeine ganzzahlige
Lösung der Gleichungen (61), bei welcher x positiv. Null oder negativ
sein mag, y, z^ . . . aber nicht negativ gedacht werden. Da aus jenen
Gleichungen durch Elimination von x die Gleichung Sx(x, y, Zj . . .):
(62) (ha — ßa)y + (ca — ya)z -\- ■ • • = sa — 6a
hervorgeht und den Annahmen zufolge keiner der Koeffizienten von
yj Zy . . . Null sein kann, so entspricht jeder der gedachten Lösungen
Xj y, Zy , . . je eine Lösung der Gleichung {^2) in nicht negativen
ganzen Zahlen t/, z, ... Aber auch umgekehrt. Schreibt man näm-
Hch die Gleichung {ß2)y wie folgt:
aipy -\- cz -{- s) = a(ßy -\- yz -i ö),
so muß, da a, a teilerfremd gedacht sind,
hy -\- cz + ■ • ■ — s = — ax
ßy + yz -\ a = — ax
sein, wo x eine ganze Zahl, positiv. Null oder negativ ist, daher
entspricht jeder Lösung der Gleichung (62) in nicht negativen Zahlen
14*
212 Gleiclizeitige Zerfällung mehrerer Zahlen.
ifj Sj . . . eine Lösung der Gleichungen (61) von der oben angegebenen
Art. Jede negative ganze Zahl aber kann durch x = — (1 ■\- x) be-
zeichnet werden, wenn unter x eine nicht negative ganze Zahl ver-
standen wird. Demnach ist offenbar die Anzahl der Lösungen von
(62) in nicht negativen ganzen Zahlen «/, ^, . . ., d. h. der Denumerant
der Gleichung Sx(x, y^ Zy . . .) gleich der Summe der Anzahl von
Lösungen in nicht negativen ganzen Zahlen x, y, z^ . . . für die beiden
Gleichungssysteme S{x, y, 0, - . •) und S(x, «/, ^, . . .); ^- ^- ^^^ Systems
(61) und des folgenden Systems:
(ax+hy-{- c.z-\---- = s
\ax + ßy + y0 -] = 6,
wofür auch geschrieben werden kann:
^ {-ax + hy + C0 + ■ ■ - = 8 + a
\— ax -\- ßy -{- ^0 + ■ • ' = <3 -{- a.
Man kann also die Gleichung ansetzen:
(64) Den. &(^, 2/; ^? • • •) = ^^^' ^i^f 2/. ^j • • •) + I^^n. (x, y, 0, .. .),
wenn man die Anzahl der gedachten Lösungen der Systeme (61)
und (63) wieder als deren Denumeranten bezeichnet. Beachtet
man, daß ersichtlich
&(a;, 2/, ^, . . .) = &(^, y> ^; • • •) = &(^; y, ^1 " •)
ist, so läßt sich vorstehende Gleichung auch schreiben, wie folgt:
(64') Den. S{x, y, z, . . .) = Den. Sx{x, y, z^ . . .) — Den. S{x, y, Sj . . .).
Das System (63) läßt aber mit Bezug auf die Unbestimmte y das
gleiche Verfahren zu, wie es für das System (61) mit Bezug auf die
Unbestimmte x ausgeführt wurde, und ergibt dann die weitere Gleichung
(64") Den. S{x, y, 0, . . .) ==^ Den. Sy(x, y, z, . . .) — Den. S(x, y, z, . . .),
desgleichen kommt
(64'") Den. S(x, ^, ^, . . .) = Den. S,(x, ^, i, . . .) - Den. S(x, y^'z, . . .)
usw., falls mehr als drei Unbestimmte a;, y, z, ... vorhanden sind.
Für den Fall von nur drei Unbestimmten erschließt man aus den
vorigen Gleichungen, daß
Den. S{Xy 1/, z)
= Den. Sx{x, y, z) — Den. Sy(x, y, z) + Den. Sz{x^ y, z)
— Den. S(x, 2/? 0)
ist; für den Fall von vier Unbestimmten x, y, z^ t kommt
Arithmetische Methode von Sylvester. 213
Den. (x, y, z, t)
= Den. Bx(Xj i/, z, t) — Den. Sy{x, y, z, t) + Den. S,{Xy y, z, t)
— Den. St{x, y, z, t) + Den. S{x, y, z, t)
usw. Sooft also das System S{Xy y, z, . . .) keine Lösungen in nicht
negativen ganzen Zahlen x, y^ z, . . . zuläßt, was z. B. stets der Fall
sein wird, wenn die Gegebenen der Gleichungen (61) sämtlich positiv
sind, so treten nur Denumeranten von Einzelgleichungen auf, und
es wird z. B.
(65) Den. S{x, y, z)
= Den. Sx(Xj y, z) — Den. Sy{Xj y, z) + Den. S^^x^ y, z).
Hier ist Sx{x, y^ z) die Gleichung
(66) Q)a — ßa)y + (cu — ya)z = sa — aa,
^y{^} Vj ^) ^äre die Gleichung
{aß — ah)x 4- (cß - yh)z = sß — ab,
Sz{Xf yj z) die Gleichung
{ay — ac)x -f (py — ßc)y = sy— (5c,
von denen die letzten zwei auch folgendermaßen geschrieben werden
können :
(ba - ßa)x + {cß - y'b)z = (s + a)ß - (ö + «)&
(66') ,
{ca — ya)x + {cß - y'b)y = {s + a + h)y — ((? + « + ß)c.
Man sieht durch diese Formeln die Anzahl der Lösungen des ge-
gebenen Systems zweier Gleichungen genau wie bei Cayleys analytischer
Methode als ein Aggegrat von Denumeranten von Einzelgleichungen
dargestellt und den allgemeinen Sylvesterschen Satz in diesem ein-
fachsten FaUe voUauf bestätigt.
12. Nimmt man die Koeffizienten in den Gleichungen (61)
sämtlich als positiv an, so wird die Lösung in nicht negativen
Zahlen x, y, z, , . . unmöglich sein, faUs eine der Größen 5, 6 negativ
ist. Wir setzen deshalb dann auch sie als positiv voraus. Hält man
ferner an der Annahme fest, daß die Koeffizienten a, a; h,
ß'^ Cy y\ teilerfremd sind, so kommt zunächst das System (61) leicht
auf eine einfachere Form dadurch zurück, daß man ax = % setzt.
In der Tat folgt dann aus jeder Lösung von (61) in nicht negativen
ganzen Zahlen x, y, z, . . . auch eine solche in nicht negativen ganzen
Zahlen |, ?/, ^, . . . für das System
a^ -\- ha ' y -{- ca ' z -{• ' • -= sa
^ + ßy + yz + - ••=0',
214 Gleichzeitige Zertallung mehrerer Zahlen.
umgekehrt ergibt sicli aber aus einer solcben a| wegen der ersten
dieser Gleichungen als eine nicht negative durch cc teilbare ganze
Zahl, woraus dann, weil a, cc teilerfremd sind, auch ^ = ax und so-
mit Xj y, z, . . . als eine Auflösung von (61) in nicht negativen ganzen
Zahlen hervorgeht. Falls auch die Koeffizienten oj, ß, y, , . .
zu je zweien teilerfremd sind, reduziert sich in solcher Weise
das System (61) durch die Substitutionen
(67) ccx = % ßy = rii r^ = i,'"
auf das folgende einfachere System:
in welchem, wenn g) = aßy . . . gedacht wird,
/nf\\ a ~ A <^0} -r> heb ^ C&
ist. Hier werden, weil nun auch die zweite der in voriger Nummer
geltenden Voraussetzungen, daß die Verhältnisse — > -^> _, . . . von-
einander verschieden sind, erfüllt ist, auch die Koeffizienten Ä, B, C^ . . .
verschieden sein. Jedes System dieser Art gehört unter den Fall der
vorigen Nummer und die Anzahl seiner Lösungen in nicht negativen
ganzen Zahlen |, 9^, J, , . . kann nach den dort angegebenen Regeln
bestimmt werden.
Dies gilt insbesondere für die ausgezeichneten Systeme
/-^QN ri-^-f22/ + 3^H \-nu=^s
\ x+ y + 0-{ hw =^,
die wir in den Nr. 4 — 9 betrachtet haben.
Es handele sich z. B. um das System S {x, 1/, z):
/^j^x n-x -{-2y + 30 = s
\x-i-y+0 = ö.
Offenbar läßt es Lösungen in nicht negativen Zahlen nur zu, falls
s > (? und zugleich s^3ö ist. Um ihre Anzahl zu finden, stellen
wir die Eliminationsgleichungen
^x(x,yjz)'. 1 • 2/ + 2^ = s — (?
Sy{x,y,i): — X ■\- z = s — 20
oder x+ z = s — 2(5—l
Sz {x, y, 0): — 2x i- y = s— Sd
oder 2x -{- y = s — Bö — 3
Beispiele. 215
auf, deren Denumeranten
s — 26 — 1 s — 3a
1, 2 l, 1 2, 1
resp. sind, und finden nach (65)
Den S(x y 2^- '-^^ - ^~^^~^ 4- i^jA^.
i^en. o [X, 2/; s) j— g- — f^ — t" — 271 —
Wegen s < 3 (5 verschwindet das letzte Glied. Ist 6^s^2ö,
so Yerschwindet auch das zweite und es wird (vgl. Kap. 3, Formel [60a])
Den. S(^,2/,.) = |^ = i^ + 1 + (- l)-"-{-
Ist 2(5 < s < 3(5, so kommt
TV o / \ ^ — ^ s — 26 — 1
Den. S {x, y, s) = == - -^^y— ^
d. h. (Kap. 3, Formeln [53] und [60a])
Den. S{x,y,,) = ^ + ^+{- 1)--- f
Sei ferner S {Xy y, z, t) das System
^^gx n'X + 2y + 32-^4.t = s
1 x+y+0-\-t = 6.
Hier muß, wenn Lösungen in nicht negativen Zahlen vorhanden sein
sollen, s oflPenhar zwischen ö und 4ö einschließlich der Grenzen ge-
dacht werden. Nun finden sich die Eliminationsgleichungen
Sx(x,y,z,t): l-y ^-2z -\-?>t = s— 0
^y (^; y^^fi)' - ^ + Z-\-2t = S — 26
oder x+ z + 2t = s — 26 — 1
S,(x,y,~z,t):—2x— y+ t = s — 36
oder 2x -{- y -\- t = s — 36 — 3
^tipOjyjzly. —3x—2y— z = s — 46
oder 3x -\-2y + z = s — 4^6 — 6,
und ihre Denumeranten sind
s — 6 s — 2g — 1 s — 3g — 3 s — 4g — 6
17273' 1, 1, 2 ' 2, 1, 1 ' 3, 2, 1
Den Formeln in voriger Nummer zufolge wird also
Den. S(Xy y, z, t)
_ g — g g — 2g — 1 g — 3g — 3 _ g — 4g — 6
"~ 1, 2, 3 ~ 1, 1, 2 "^ 2, 1, 1 ~~ 3, 2, 1 *
216 Gleichzeitige Zerfällung mehrerer Zahlen.
Wegen s<4(J ist wieder das letzte Glied Null. Je nachdem aber
ö^s^2a oder 2ö<s^3^ + 2 oder 3(? + 2<s^4(7 ist, be-
scbränkt sich dieser Ausdruck auf sein erstes, seine zwei, resp. seine
drei ersten Glieder, und man erhält nach den für die Denumeranten
einer Einzelgleichung im dritten Kapitel gegebenen Formeln folgende
drei Werte:
Ist ö ^ s ^ 2ö, so ist
Den. S{x, y, z, t) = ==
= ^ ((5 - ^ + 3)^ - {) + I . (- ly-^ + I . {^^-^ + ^2(-^)).
Ist 2(5 < s 5 3(? + 2, so ist
-rw a/ j\ -S — ö S — 2 6—1
Den. S{x, y, z, i) = ^=^^ - =====
+ \ ((- 1)'-" + (- ly) + 1(9'-" + P^<'-°0-
Ist endlich 3(? + 2 < s < 4(?, so ist
Den. S(a;, y, z, t) = j=^ - =f^^^ + =^^=5;=^
= j^ ((4ö - s + 3/ - I) + i . (- 1)' + ICp-" + e^(-<'));
in diesen Formeln ist unter q eine primitive kubische Einheitswurzel
zu verstehen. Die Verschiedenheit im Ausdrucke des Denumeranten
je nach dem Intervalle, in welchem die Größe 5 liegt, ist bei diesen
Ergebnissen besonders beachtenswert.
13. Wären in dem Systeme (68) nicht alle Koeffizienten A, JBj
Cf . . , die wir der wachsenden Größe nach geordnet denken wollen,
voneinander verschieden, sondern etwa die ersten n einander gleich,
so daß wir das System folgendermaßen schreiben könnten:
(73) l^^^' + I2 4- • • • + y + &i? + cS + • • • = s
I 1^ + ?^ + . . . + |„ + ^ + g + . . . = (5,
so hätte dies System offenbar die gleiche Anzahl Lösungen in nicht
negativen ganzen Zahlen, wie dies andere System:
Setzt man nun
(75) |, + |, + ... + |„ = X
Rekurrente Methoden. 217
und schreibt das System (74) in der Form:
(76) |^ + cg + --=5-aZ
\(b - a)ri -i- (c — a)i-\ = s — a6,
so leuchtet zunächst ein, daß X nur eine endliche Zahl von Werten
annehmen, nämlich nur eine Zahl der Reihe
0, 1, 2, . . . g]
sein kann. Denkt man nun für jeden dieser Werte den Denumeranten
des Systems (76) bestimmt und bezeichnet ihn als eine von X ab-
hängige Zahl mit D{X), so lehrt die Bemerkung, daß jedem solchen
X nach (75) eine Anzahl
(X + l)(X+2)...(X-fn-l)
1.2... (w - 1)
von Wertsystemen |^, ^^j • • •> in entspricht, daß die Anzahl von
Lösungen für die sämtlichen Systeme (76), d. h, daß der Denumerant
des Systems (73) gleich der Summe
^n(T^ iX+\){X+2)..-{X + n-l)
2j ^^ 1-2. ..(n-l) . .
x=o
ist. So kommt also die Bestimmung dieses Denumeranten für das
System (73) auf die gleiche Bestimmung für eine Anzahl von Systemen
(76) zurück, die mindestens eine Unbestimmte weniger enthalten,
wie das ursprüngliche, und nun ähnlich behandelt werden können.
Theoretisch kann solcherweise die gestellte Aufgabe (auch für den
Fäll n = 1) als gelöst angesehen werden, doch würde die wirkliche
Berechnung des Denumeranten nach dieser Methode meist äußerst
umständlich sein.
14. Legen wir noch einmal ein ganz beliebiges System zweier
Gleichungen
.rjrj. iax-\- hy + cz +•••=§
\ax-\- ßy-\-ys ^---'^a
der Betrachtung zugrunde. Solche Systeme zerfallen in zwei Klassen,
je nachdem sie eine nur endliche oder eine unendliche Anzahl Lösungen
in nicht negativen Zahlen verstatten; ein System der letzteren Art
wäre z. B. die einzelne Gleichung
ax — hy — s = Sj
wenn a^ h positive (teilerfremde) Zahlen bedeuten, da die Gleichung
ax — hy = s + z
218 Gleichzeitige Zerfällung mehrerer Zahlen.
für jeden (nicht negativen) Wert von z unendlich viel nicht negative
Auflösungen x^ y besitzt. Dagegen wird das System (77) stets ein
System der ersten Art sein, sooft alle Koeffizienten a, &,..., a, j3, .. .
positiv sind. Systeme der ersteren Art mögen endliche Systeme
heißen, und wir setzen voraus, das System (77) sei endlich.
Man nenne a den größten gemeinsamen Teiler von a, a, so daß,
wenn a = a • a', a = a- c^ gesetzt wird, oJ, d teilerfremd sind. Aus
den Gleichungen (77) folgt durch Elimination von x die Gleichung
{ha — ßa')y + {ca!— ya')z -\ = sa'— 00! ,
und man erkennt leicht, daß das System (77) die gleiche Anzahl von
Lösungen in nicht negativen ganzen Zahlen zuläßt, wie das abgeleitete
System
^ ^ \ (hei- ßo!)y H- {ca!- ya^)z + . • • = sa'- 6a\
denn jeder solchen Lösung des ersteren entspricht auch eine solche
Lösung dieses letzteren, und umgekehrt folgen, wenn x, y, z, . . . eine
Lösung von (78) in nicht negativen Zahlen bedeuten, aus der zweiten
Gleichung, wenn sie in der Form
a'{hy + c^ + • • • — s) = a'(ßy -{- yz -{-'■• — ö)
geschrieben wird, da a\ d teilerfremd sind, die Gleichungen
&«/ + c^ + • • • — s = — a'l
ßy^yz-\-"-G = - d%
wo I ganzzahlig; und da wegen der ersten der Gleichungen (78)
% = QiX also d\^=ax sein muß, nehmen die neuen Gleichungen die
Gestalt der Gleichungen (77) an, d. h. jeder Lösung des Systems (78)
der gedachten Art entspricht auch eine solche des gegebenen Systems.
Schreibt man aber jenes System in der Gestalt
(79)
J hy -V cz -\- ' ' • = s — ax
\ (hd- ßa')y + (ca'— ya')^ + • • • = sd- öa',
d. i. als ein System mit einer Unbestimmten weniger als das gegebene,
und bedenkt, daß x für ein . endliches System nur eine endliche An-
zahl nicht negativer Werte annehmen, d. h. eine aus dem Systeme zu
bestimmende Zahl g nicht überschreiten kann, so sieht man, ebenso
wie in der vorigen Nummer, die Bestimmung des Denumeranten für
das gegebene System auf die gleiche Bestimmung für eine endliche
Menge von ersichtlich ebenfalls endlichen Systemen (79) mit einer
um Eins geringeren Anzahl von Unbestimmten zurückgeführt, wo-
durch in rein theoretischem Sinne die allgemeine Aufgabe als gelöst
angesehen werden darf.
EulerBches Beispiel. 219
Behandeln wir, um diese Methode durch ein einfaches Beispiel zu
erläutern, das von Euler (Algebra II, Xr. 30) gelöste System
49x + 2by + 9^ = 2920
^^^^ l 7a; 4- by -{- 3z = 560.
Wir haben für den Koeffizienten von x den größtvorhandenen ge-
wählt, da nach (79), wenn alle Koeffizienten positiv sind, x jeden-
falls die Grenze — nicht übersteigen kann, und diese Grenze am
kleinsten, die Anzahl der weiter zu behandelnden Systeme also am
geringsten wird, wenn a als größter Koeffizient gedacht wird. Aus
(80) folgt nun durch Elimination von x das gleichbedeutende System
2oy + 9^ = 2920 -49a;
\0y + 12z = 1000.
Die zweite dieser Gleichungen erfordert z und alsdann die erste auch
X als ein Vielfaches von 5; setzt man also x = bx', z = bz\ so nimmt
das System die Form an
öl/ + 9^'= 584 -49a;'
(81)
^ ^ ' 2/4-6/= 100
Der ersten dieser Gleichungen zufolge kann a;' nur eine ganze Zahl
<— d. i. < 12 sein, und für jedes a/ dieser Art wäre der Denume-
rant des Systems zu ermitteln. Man findet aber durch Elimination
von y die Gleichung
3/= 7a;'- 12,
derzufolge a/ durch 3 teilbar, a;'=3a/' sein muß,
der Zahlen 0, 1, 2, 3 sein kann. Da jetzt
/=7a;" -4,
?/=124-42a;"
gefunden wird, so muß zugleich a;" > 0 und < 3, also eine der Zahlen
1, 2 sein. Der Denumerant des Systems (81) ist also nur für diese
zwei Werte von a:" von Null verschieden, nämlich gleich Eins, und
folglich hat das System (80) nur zwei Lösungen in nicht negativen
ganzen Zahlen a;, y^ z, nämlich
a;=15, ?/ = 82, z = 15
ic = 30, 2/ = 40, ^ = 50.
15. Wennschon die zuletzt angegebene Methode in der Tat zur
Bestimmung der gesuchten Anzahl von Lösungen verwendbar ist, so
eignet sie sich doch nicht nur wenig zur wirklichen Berechnung der-
220 Gleichzeitige Zerfällung mehrerer Zahlen.
selben, sondern führt auch nur selten zu einem expliziten Ausdrucke
jener Anzahl als Aggregat von Denumeranten einzelner Gleichungen,
wie dies in dem ausgezeichneten Falle der Nr. 11 gefunden worden
ist. Für diesen Zweck empfiehlt es sich bisweilen, wie Sylvester ge-
lehrt hat, mit dem gegebenen Systeme eine oder mehrere Hilfs-
gleichungen zu verbinden. Wir wollen dies an einem interessanten
Sylvesterschen Beispiele erläutern.
Es handele sich darum, den kleinsten Rest einer positiven ganzen
Zahl n (mod. m) zu bestimmen. Dieser Rest x ist eine nicht negative
ganze Zahl < w — 1 und ist daher eindeutig bestimmt durch die
beiden Gleichungen
(81) n = my + X, x -\- 0 = m — 1,
worin x, y, s nicht negative ganze Zahlen bedeuten. Das System
beider Gleichungen hat also nur eine Lösung in nicht negativen
ganzen Zahlen x^ y, s. Fügt man ihm die Gleichung
(82) u^v = x-l
hinzu, welche x Lösungen in nicht negativen ganzen Zahlen Uj v
besitzt, so hat das System der drei Gleichungen (81) und (82) oder
auch das System
imy + u-^v = n-l
\ 0 + u + V =m— 2
ebenfalls genau x Lösungen in nicht negativen Zahlen y^ ^, u, v.
Dasselbe gilt ofi'enbar auch von dem um eine Gleichung erweiterten
Systeme >S(i/, 0, u, v, w):
my -\- u -\- V = n — 1
(84) z^u + v =m-2
y + u — w = 0.
Auf dies letztere kann man aber die gleiche Betrachtung anwenden,
wie wir sie in Nr. 11 für ein System zweier Gleichungen angestellt
haben. Setzen wir ihm an die Seite die Systeme, welche durch Eli-
mination der einzelnen Unbestimmten daraus hervorgehen, insbesondere
das System Sy(y, s, w, Vj w):
[(1 — ni)u -\~ V -{■ mw = w — 1
(85) \
\ u -\- V -\- 0 = m — 2,
so erkennt man genau wie a. a. 0. die Gültigkeit der Beziehung
m^ (I>eii- ^2/(2/; ^; ^; ^; ^) = I>en. S{yj s, u, v, w)
\ + Den. S(y, 0, u, v, w)]
Bestimmung des kleinsten Restes von 7i (mod. m). 221
desgleichen für das System Su{yf z, u, v, w):
(87) — my — s = n -\- 1 , y -{■ z -\- v -\- iv = m — ^
die Beziehung
(88) Den. Su{y, z, u, v, w) = Den. S(y, z, u, v, w) + Den S (y, z, u, v, w),
wobei S(y, z, u, v, w) das System der drei Gleichungen
— my — u -}- V = n -{- m
z — u + v = m — l
— y — u = w-\-2
bezeichnet. Da weder dies letztere noch das System (87) eine Lösung
in nicht negativen Zahlen verstattet, wie die letzte resp. erste
Gleichung der Systeme zeigt, so sind ihre Denumeranten Null, und
man findet aus (86) und (88) die Gleichheit
(89) Den. S(y, z, u^ v, iv) = Den. Sy{yy z, u^ v, w).
Nun läßt sich für das System (85), das wir kürzer jetzt durch das
Zeichen S'(z, u, v, w) andeuten, die Betrachtung der Nr. 11 bezüglich
der Unbestimmten u, v, z wiederholen, deren Koeffizienten in seinen
beiden Gleichungen relativ prim sind. Man bilde die Eliminations-
gleichungen
Sü{z, u, Vj w): mv -f {m — \)z + 7ntv = n — 1 -\- (m — l)(w^ — 2)
S'z (z, Uj Vj tv): (in — l)u^v-\- mw = n — m
Sliz, Uf V, w): mu + ^ + ^w; = n — 2m,
sowie das System S'{Zj u, v, tv):
(m — l)ii — V -}■ miü = n — m -\- 1
— n — V — z = m -\- 1,
aus dessen letzter Gleichung seine Unlösbarkeit in nicht negativen
Zahlen erhellt, so findet man nach Nr. 11 die Beziehung:
Den. S\z, ii, ^;, w)
= Den. Su{z, u, v, tv) — Den. Sl(Zj n, v, tv) + Den. S!,{z, w, v, tv).
Nach (89) ist also der Denumerant des Systems (84) oder die Zahl
X gleich
/Qr\\ {n — l)-\-(m— 1) (m — 2) n — m n — 2m
^ ^ m, m, m — 1 m, m — 1, 1 m, m, 1
Durch diesen Ausdruck wird also der kleinste nicht ne-
gative Rest der Zahl n (mod. m) auf interessante Weise,
nämlich als ein Aggregat von Denumeranten dargestellt.
222 Relative Zerfällungen (mod. m).
Sei z. B. n=13, m = 4, also x = 1, so muß der Formel (90)
gemäß
sein; die leictit zu bestimmenden Werte
4
geben in der Tat
18 _ . 9 __ _ 5 _ o
7473 - ^' 4, 3, 1 'U, 4, 1
5-7 + 3 = 1.
Fünftes Kapitel.
Relative Zerfällungen (mod. ni),
1. Kehren wir zu den Zerfällungen einer einzelnen Zahl wieder
zurück! Gegenüber den bisher betrachteten Zerfällungen, die absolute
genannt werden können, steht eine andere Art der Zerfällung, welche
relativ heißen soll, insofern sie nur in bezug auf eine gegebene
Zahl m als Modul stattfindend gedacht wird. Stern zuerst hat die
x^ufgabe gestellt, zu ermittehi, wie oft eine gegebene Zahl n
nach gegebenem Modul m einer Summe, deren Elemente aus einer
gegebenen Reihe e^, e^y e^, . . . von Zahlen genommen sind, kongruent
gesetzt werden, oder, wie wir kurz sagen wollen, (mod. m) aus den
Zahlen 6^, eg, ^3, . . . additiv zusammengesetzt oder in Zahlen
dieser Reihe zerfällt werden kann. Er hat diese Aufgabe unter
der Voraussetzung, daß der Modul m eine ungerade Primzahl p sei
und es sich nur um Zerfällungen in verschiedene Summanden
handele, für die drei Fälle, wo die gegebene Zahlenreihe die Reihe
1, 2, 3, . . ., ^ — 1 oder 1, 2, 3, . . ., "^-r— oder endlich die Reihe
der quadratischen Reste (mod. p) ist, vollständig gelöst und eine Menge
interessanter Details in ihnen entwickelt (Journ. f. r. u. a. Math. 61,
1863, S. 66 und 334). Es zeigt sich dabei, daß die neue Aufgabe
durch die Restbeziehung zu einem gegebenen Modulus außerordentlich
an Einfachheit gewinnt und elegante Ausdrücke für die gesuchten
Anzahlen zuläßt, nach denen man bei den absoluten Zerfällungen
meist vergeblich ausschaut. Die Methode freilich, durch welche Stern
zu seiuen Resultaten gelangt ist, ist keine rein arithmetische, sondern
nimmt algebraische Betrachtungen, insbesondere die Irreduktibilität
der Kreisteilungsgleichung zu Hilfe.
Wir zeigen sie am einfachsten Falle, in welchem die ge-
gebenen Elemente e^, e^^ e^, ... der Zerfällungen die Zahlen
1, 2, 3; . . ., p — 1 sind.
Das Elementensystem 1, 2, 3, . . ., p — 1. Methode von Stern. 223
Wird unter r die primitive p*® Einheitswurzel
(1) r = cos h 2 sm —
verstanden, so sind bekanntlich ], r, r^, . . ., rP~'^ die Wurzeln der
Gleichung
(2) xP=l
und
(3) ^^"^ + xP-^ -f • ■ • + ^ 4- 1 =/J(^ - ^'l
A = l
VToraus für x = 1 die Gleichung
(4) jjii-r'O^P,
h = l
für a; = — 1 aber die Beziehung
(4 a) |j(l + ^0 = 1
hervorgeht. Entwickelt man nun das Produkt
(1 4- ^)(1 + x^){l + x')- . .(1 + xP-^)
nach den Potenzen von x, so sind die Exponenten der letzteren sämt-
liche Summen, die aus verschiedenen der Zahlen 1, 2, 3, . . ., ^ — 1
ohne Rücksicht auf die Anordnung gebildet werden können, und wenn
demnach x irgendeine Wurzel der Gleichung (2) bedeutet, werden
zwei solche Potenzen jedesmal dann einander gleich sein, wenn
ihre Exponenten (mod. p) kongruent sind, d. h. denselben Rest n
(mod. p) ergeben. Somit erhält man dann die Gleichheit
p-i
(5) JJ{1 + x') = l + A,x + A^x'^ +■ . •+ ApxP,
A = l
worin allgemein An anzeigt, wie oft die Zahl n (mod. p) additiv aus
verschiedenen der Elemente 1, 2, 3, . . ., p — 1 gebildet werden kann;
da ^ ^ 0 (mod. p) ist, kann Ap auch als die Anzahl derartiger Zer-
fällungen der Null angesehen werden. Setzt man noch
(6) A = 1 + A,
so folgt
C^) JJ(1 + ^') = A + Ax + Ax'-^---+ Ap_ixP-K
A=l
224 Relative Zerfällungen (mod. m).
Wählt man hierin fiir x die Einheitswurzel r, so erhält man mit
Rücksicht auf die Gleichung (4a) diese neue:
1 = ^ + Ä,r + Ä,r' +. . .+ Äp-,rP-^
und nun wegen der Irreduktibilität der Kreisteilungsgleichung
(8) xP-^ + xP-^ 4- . . . -f a: + 1 = 0
die Gleichheit der Koeffizienten
(9) Äi = Ä2="-= Äp^i = Äp.
Wird dagegen in (7) für x die Eins gewählt, so kommt
woraus in Verbindung mit (6) und (9) sich
(10) A, = A,=---=A, = ^-^^f^
ergibt. Man schließt also: Jeder der Reste 0, 1, 2, . . ., p — 1
wird (mod. p) aus verschiedenen der Zahlen 1, 2, 3, . : ., p — 1
gleich oft additiv erzeugt.
Genau wie die Gleichung (5) erhält man für jede Wurzel x der
Gleichung (2) die folgende:
(11) JJ(1 - x^') =-l-hB,x + B,x' 4-' • •+ BpXP,
h=i
worin jetzt aber JBn den Unterschied der Anzahlen bedeutet, welche
anzeigen, wie oft die Zahl n (mod. p) aus einer geraden, und wie
oft aus einer ungeraden Anzahl verschiedener der Zahlen 1, 2, 3,
• • -f P ~ ^ additiv gebildet werden kann. Der Kürze wegen nennen
wir wieder die Zerfällungen in eine gerade oder in eine ungerade
Anzahl von Summanden selbst gerade resp. ungerade Zerfällungen;
Bn wäre demnach der Unterschied zwischen der Anzahl der geraden
und derjenigen der ungeraden Zerfällungen von n der gedachten Art
(mod. p). Aus (11) fließen nun, je nachdem x = r oder ic = 1 gewählt
wird, die folgenden beiden Beziehungen:
p = B, + B,r + B,r'-\--'-+B,^irP-\
worin wieder
(12) B.^l + Bp
gesetzt ist, und
(13) o = B, + B, + B,-i-"+Bp-i,
also wegen der Irreduktibilität der Kreisteilungsgleichung
Methode von B. v. Sterneck. 225
mithin aus (13)
Jeder der Reste 1, 2, 3, . . ., ^ — 1 entsteht also einmal
mehr aus einer ungeraden, wie aus einer geraden Anzahl,
der Rest Null dagegen _p — 2 mal mehr aus einer geraden wie
aus einer ungeraden Anzahl verschiedener Summanden der
Reihe 1, 2, 3, . . ., i? - 1 (möd. p).
Mit Rücksicht auf die in (10) gegebene gesamte Anzahl der ge-
raden und ungeraden Zerfällungen erkennt man hiemach, daß jeder
der Reste 1, 2, 2>, . . ., p -l
(^^) —2^ + 2 ^^«P- —2^ - V
dagegen der Rest Null
/-ip-^N 2P-^-l ü-2 2^-^-1 , i)-2
(loa) ^ resp. h ^-^r-
^ ^ 2p 2 ^ 2p ~ 2
ungerade und gerade Zerfällungen (mod. p) von der gedachten Art
gestattet.
2. Die von Stern gestellte Aufgabe ist neuerdings von It. DauhlebsJcy
von Sterneck nach verschiedenen Richtungen hin wesentlich weiter-
gefördert worden (Sitzungsber. d. Wiener Akad. 111, 1902, S. 1567;
113, 1904, S. 326: 114, 1905, S. 711). Nicht nur, daß er Sterns
Untersuchungen auch auf den FaU eines beliebigen Moduls m aus-
gedehnt und für die gegebenen Elemente e^, e^, ßg, . . . neben der
Reihe der quadratischen Reste auch die der höheren Potenzreste
(mod. p) in Betracht gezogen hat, so hat er insbesondere auch die
Aufgabe darin verschärft, daß er statt der Anzahl der Zerfällungen
überhaupt vielmehr die Anzahl der Zerfällungen in eine gegebene
Anzahl der gedachten Elemente e^, e^^ e^, . . ., zudem aber auch Zer-
fällungen mit Wiederholung dieser Elemente in Betracht zieht. Seine
Methoden sind dabei durchaus elementar, rein arithmetischer Natur.
Indem wir uns dazu wenden, die Hauptresultate seiner Untersuchungen
abzuleiten, beginnen wir mit der Aufstellung zweier Rekursionsformeln,
welche die wesentlichste Grundlage dazu ausmachen.
Mit von Sterneck bezeichnen wir durch (w),: die Anzahl der Zer-
fällungen von n in die Summe von i verschiedenen der Elemente
^i; ^2; ^3; • • • (inod. ni) und mit {nff' die Anzahl solcher ZerfäUungen,
bei denen das Element e ausgeschlossen ist, während im Gegenteil
(w),- die Anzahl derjenigen jener Zerfällungen sei, in welchen dies
Element e auftritt. Offenbar gibt jede dieser letzteren Zerfällungen
Bachmann, niedere Zahlentheorie, n. 15
226 Relative Zerfällungen (mod. m).
eine Zerfällung von n — e in i — 1 der gegebenen Elemente (mod. m),
unter welchen e sich nicht findet, und umgekehrt entsteht aus einer
Zerfällung von n — e dieser letzteren Art eine Zerfällung von nini der
gegebenen Elemente, unter denen e auftritt. Mithin ist (n)l ={n — ef/l-i.
Andererseits besteht die Gesamtheit aller Zerfällungen von n — e in
i — 1 der gegebenen Elemente (mod. m) zusammengenommen aus
denen, bei welchen e auftritt, und denen, bei welchen e ausgeschlossen
ist, also ist
(n — e)i-i = (n - e)-_ i+(n- efL i.
Daher ergibt sich die Gleichung
(n)l = {n- e)i_i - {n — e)-_i
und hieraus allgemeiner
(16) (n\! = {n- e),_i ~{n-2 e),_2 + (^ - 3e),_3 ...
^{-\y-''{n-ie\.
Addiert man nun, indem man für e jedes der gegebenen Elemente
setzt, alle Gleichungen dieser Art, so wird jede mögliche Zerfällung
von n in i der gegebenen Elemente links i mal gezählt werden, da
sie ja aus i Elementen e besteht, und somit ergibt sich die erste
unserer Rekursionsformeln:
(I) *•(»), ^^(» -e),_. ^2(« - 2e).._x
e e
e e
in welcher die Summen auf der rechten Seite über die sämtlichen
gegebenen Elemente e^, e^, e^, ... erstreckt werden müssen.
Tritt insbesondere unter den gegebenen Elementen die
Null auf, so darf man diese statt e in der Formel (16) wählen und
erhält dann die zweite Formel
(la) («)f = («), - («),_! + (w),_2 -...+ (- l).- . {n\,
da statt (n)^ offenbar (n)i — (n)i gesetzt werden darf.
Wir ziehen endlich auch noch Zerfällungen mit Wiederholung
der gegebenen Elemente e^, Cg, ßg, ... in Betracht. Bezeichnet [n]i
die Anzahl derartiger Zerfällungen von n in i gleiche oder verschiedene
jener Elemente, so ist die Rekursionsformel (I) durch die fol-
gende zu ersetzen:
(II) i.lnl=^[n-el^i+^[n-2el-2 + --'+^[n~- ie]„
Zwei Reknrsionsfonneln. 227
worin wieder über alle gegebenen Elemente e zu summieren ist. In
der Tat, sei
(17) w = Ai^i + ^2% + -^3^3 H (mod. m)
eine Zerfällung von n in i = X^ -\- X^ -\- X^ -\ — • Summanden. Diese
Zerfällung findet sich nicht aus denjenigen der Zahl n — he in i — h
der gegebenen Elemente, sobald e von den in ihr auftretenden Ele-
menten ßj, ^2, ^3, ... verschieden oder sobald, falls e gleich einem
der letzteren, etwa e = e^ ist, h > X^ wäre; dagegen entspricht in
diesem Falle jener Zerfällung je eine der Zerfällungen von n — e^,
n — 2e^, . . ., n — X^e^ in resp. ? — 1, ^ — 2, . . ., i — X^ Elemente,
nämlich die Zerfällungen
e^ = (X^ — 1)^1 + ^2^2 + Agßg +
2e^ = (Ai - 2)^1 -h X^e^ + X^e^ +
(mod. m).
fi — Aj 6j — A^ ^2 •" ^3 ^3 i~ ' '
daher wird die Zerfällung (17) in den ersten X^ Gliedern zur Rechten
von (11) für 6 = ^1, und aus gleicher Erwägung in den ersten Ag
Gliedern für e = e^ usw. je einmal gezählt, sonst aber überhaupt nicht,
sie wird also zur Rechten von (II) genau A^ + Ag + Ag + • • • = ^ mal
gezählt, d. h. ebenso oft wie zur Linken und somit erweist sich die
Formel (II) als richtig.
Ist insbesondere wieder die Null eins der gegebenen
Elemente e^, e^^ ßg, . . ., und bedeutet dann [w];- die Anzahl der Zer-
fällungen von n in i gleiche oder verschiedene dieser Elemente mit
Ausschluß der Null, so besteht offenbar die Beziehung
oder die folgende:
(IIa) \nt = in\; -W,-i,
welche jetzt an die SteUe der Formel (la) tritt.
3. Nunmehr wählen wir als die gegebenen Elemente
^17 ^2? ^3? • • • zuerst die Reihe 0, 1, 2, 3, . . ., w — 1 (mod.m). Hier
gelten dann zunächst ein paar einfache Bemerkungen. Sind w, n^
(mod. m) kongruent, so ist selbstverständlich
(18) («),=(„'),, («)f=(„')f.
Dasselbe gilt aber auch, wenn w, m den gleichen größten
gemeinsamen Teiler haben, wie n\ m. Denn alsdann ist jede
der beiden Kongruenzen
nx = n\ n'x' = n (mod. m)
in ganzen zu w teilerfremden Zahlen x, xf auflösbar; aus jeder Kongruenz
15*
228 Relative Zerfällungen (mod. m).
w = e^ 4- ^2 + • • • + e^ (mod m),
in welcher e^, e^, . . .<, Ci verschiedene i Zahlen der Reihe 0, 1, 2, 3, . . .,
m — 1 hez. 1, 2, 3, . . ., m — 1 bezeichnen, folgt aber durch Multipli-
kation mit X eine Kongruenz
n^ ^e\-\- 62 -{-••' -\- e[ (mod. m),
in welcher ej, 4; . . ., ej ebenfalls i verschiedene Zahlen der bezüg-
lichen Reihe bedeuten, und umgekehrt aus jeder Kongruenz der
letzteren Art durch Multiplikation mit x^ wieder eine solche der
ersteren, woraus die Gleichungen (18) folgen.
Ferner besteht die Beziehung
(19) (0),+ (l),+ (2),+ ... + (m-l), = (7),
unter \A wie üblich den i*®"^ Binomialkoeffizienten der m*^^ Potenz
verstanden, denn rechts steht die Anzahl aller aus i verschiedenen
Summanden der Reihe 0, 1, 2, . . ., m — 1 möglichen Summen, wenn
von deren Anordnung abgesehen wird, und jede von ihnen ist einer
der Zahlen 0, 1, 2, ... m — 1 (mod. m) kongruent, links aber steht
die gesamte Anzahl der Zerfällungen, deren diese Zahlen in i solche
Summanden fähig sind, und die unter jenen Summen sich vorfinden müssen.
Nun sei i teilerfremd zu m und
n^e^-\- e^-\- • • ' -\- ßi (mod. m)
irgendeine der Zerfällungen von n m i verschiedene Zahlen der
Reihe 0, 1, 2, . . ., m — 1 (mod. m), dann entspringt dieser eine eben-
solche Zerfällung
n-\- i = e[-\- e'^-^ ' ■ • -\- e\ (mod. m)
der Zahl n -f i, indem man
ei = e^ + 1, e^ = ^2 + 1, . . ., e\ = e-, + 1
setzt und, wenn eine dieser Zahlen gleich m sein sollte, diese durch
Null ersetzt; und umgekehrt entspricht jeder solchen Zerfällung von
n -{■ i eine ebensolche von >^, indem man in gleicher Weise
e^ = e[ — 1, ^2 = ^2 — 1, . . ., 61 = e\ — 1
setzt. Demnach ist {n -f i)i = {n)i und, da hierin nmn-\-i, n + 2i,. . .,
verwandelt werden kann, so finden sich die Gleichheiten
(n)i = (w 4- i)i = {n + 2i)i ■ ■ ' = (n -j- (m - 1) i)i,
wo nun die Zahlen n/n -]- iy n + 2i, . . ., n-\- {m — 1) i ein voll-
ständiges Restsystem (mod. m) ausmachen und man daher einfacher
schreiben darf
(0), = (!), = (2),= ... = («-!),.
Das Elementensystem 0, 1, 2,..., m — 1 (mod. m). 229
Die Formel (19) liefert nunmelir — •(•) als den gemeinsamen
Wert dieser gleichen Ausdrücke und daher den Satz:
Ist i teilerfremd zum Modulus JUj so ist stets
(20) w.=^(!).
4. Dies vorausgeschickt, leiten wir zunächst mittels der Sterneck-
sehen Formeln die in Nr. 1 nach Stern erhaltenen Resultate nochmals
her. Sei also m = p eine ungerade Primzahl und 0, 1, 2, . . ., ^ — 1
die Reihe der gegebenen Elemente. Dann ergibt sich nach (20) für
jeden der Indices / = 1, 2, ?>,..., p — 1 die Formel
(21) («).=i-(!>
während {n\ offenbar Null ist, sobald n durch p nicht teilbar, da-
gegen gleich Eins ist, sobald n durch p teilbar ist, da eine Zahl n
dann und nur dann als eine Summe von null Elementen (mod.^) an-
gesehen werden darf, wenn sie (mod.^) kongruent Null ist. Gleiches
ergibt sich für (n)^, da die einzige Summe von p verschiedenen der
gegebenen Elemente die Summe
0 + 1 4- 2 +. • .+ (i? - 1) =^^^^= 0 (mod.i?)
ist. Hieraus findet sich mit Hilfe der Rekursionsformel (la) für
i = 1, 2, 3, . . ., p — 1 die Formel
d. i. nach einer für Binomialkoeffizienten gültigen Be-
ziehung
(22) e)-c!.)+c-.)-+(-i)'--(:)=f7^)
diese andere:
(23) («)1°) = A((^T^) + (_ !>•-)+(- iy.(«),-
(für * = 1, 2, • • •, 2?-l)
Heißt nun wieder An die Anzahl aller möglichen Zerfällungen (mod.^)
von n in verschiedene Summanden der Reihe 1, 2, 3, . . ., p — 1 über-
haupt, so ist offenbar
Durch Einsetzen des Ausdrucks (23) für {n)f^ findet sich hieraus
ohne Mühe für jeden Wert des Index n die frühere Formel (10):
^n =
230 Relative Zerfällungen (mod. m).
Desgleichen wird die in Nr. 1 mit Bn bezeichnete Anzahldifferenz
durch folgende Summe gegeben sein:
durch Einsetzen des Ausdrucks (23) für ni ^ erhält man aber hieraus
sogleich für jeden der durch p nicht teilbaren Indices n = 1, 2, . . .,
p — 1 den Wert Bn= — 1, dagegen für den Index n=p den Wert
Bp = p — 2 übereinstimmend mit den in Nr. 1 erhaltenen Formeln.
Unter Festhaltung des Elementensystems 0, 1, 2, . . ., m — 1 bezw.
1, 2, . . ., m — 1 hat v. Sterneck die Anzahlen {n)i und {n)i ^ auch für
die Fälle bestimmt, in denen der Modulus m das Produkt zweier ver-
schiedenen Primzahlen oder auch eine Primzahlpotenz ist. Indessen
zeigt die Ermittelung der bezüglichen Formeln schon eine so große
Weitläufigkeit, daß man von einer direkten Herleitung für zusammen-
gesetztere Moduln von vornherein wohl absehen muß. Es ist v.Sternech
aber gelungen, eine Formel aufzustellen, welche die besonderen von
ihm erhaltenen Resultate in sich zusammenfaßt, und in einer späteren
Arbeit (der zweiten der obengenannten) die Gültigkeit dieser Formel
für jeden Fall zu beweisen. Indem wir also seine speziellen Ergebnisse
übergehen können, wenden wir uns jetzt dazu, jene allgemeine, für
jeden Modul m gültige Formel zu begründen.
5. Zu diesem Zwecke führen wir mit v. Sterneck eine Funktion
f(ny d) zweier ganzzahligen Argumente n, d ein durch folgende De-
finition: Sei [w, d] der größte gemeinsame Teiler von n und d.
Dann soll
(24) ^ nn,d) = 0
sein, sobald ^ — ^ einen quadratischen Faktor hat, andern-
falls sei
(24a) f{n,d)^{-iy- "^^^^
*(p6])
wobei j die Anzahl der Primfaktoren bedeutet, aus denen
P — j; sich zusammensetzt, während qp {d) wie gewöhnlich die
Anzahl der Zahlen <^d bezeichnet, welche teilerfremd sind
zu d. Hiernach ist insbesondere
(25) f(n,d)^q>id),
sobald p — ^ =1 d. h. n teilbar ist durch d.
Wir entwickeln zuvörderst eine Reihe von Sätzen, welche für
diese Funktion gelten, und auf die wir die Begründung der Sterneck-
sehen Formel aufbauen werden.
Hilfssätze über eine Funktion f (w, ä). 231
1) Da (mod. d) kongruente Zahlen >^, n^ stets denselben größten
gemeinsamen Teiler mit dem Modulus haben, ergibt sich zuerst
die Formel
(26) f{n\ d) = f (w, d), wenn w' = w (mod. d).
2) Sind ferner d\ d^', d'^'j... verschiedene, zu je zweien
teilerfremde Zahlen, so findet sich sowohl
[n, d^ d" d'" . . .] = [w, ^'J . [w, d"] ' K d'"] . . .
als auch
d'd"d"' . . . _ d' d" d'"
[n, d'd" d'" . . .] [71, d'] ' "[n, d"] ' [w, d'"] ' ' ''
wo die Faktoren zur Rechten gleichfalls zu je zweien teilerfremd
sind, und nunmehr nach der bekannten Eigenschaft der Funktion <p (d)
auch für die Funktion f (n, d) leicht die entsprechende
Eigenschaft
(27) f in, d' d" d'" ...) = f (w, d') . f (n, d") • f (n, d'") . . .
3) Hieraus erschließt man die Formel
(28) ^f{n,d) = 0,
d:m
wenn über all-e Teiler d einer gegebenen Zahl m, von welcher
n kein Vielfaches ist, summiert wird. In der Tat: ist, in
Primzahlpotenzen zerlegt, diese Zahl
also
m=p1^-pf- ■ -pl
d=pfi-p^^,. .pk\
worin allgemein d,- jeden der Werte 0, 1, 2, . . ., a^ haben kann, so
ergibt sich mit Rücksicht auf (27) die Summe (28) gleich dem
Produkte
(29) jj ^nn,pio.
Die Summe, welche den allgemeinen Faktor dieses Produktes aus-
macht, ist aber Null, sobald n kein Vielfaches von pf' ist. Denn, ist
alsdann p^' die höchste Potenz von pi, welche in n aufgeht, so ist
ßi < (ij, ferner ist — '-j— gleich 1 für d,= 0, 1, 2, . . ., ßi, gleich pi
für di = ßi -f 1; dagegen durch 2^1 teilbar für die größeren Werte
von di, daher findet sich nach der Definition der Funktion f (n, d)
jene Summe gleich
232 Relative Zerfällungen (mod. m).
d. i. gleich _pf*" \)-\ "" ^* ^^^ ^^^^ ** ^^^^ Vielfaches von m, so
kann es auch von wenigstens einer der Primzahlpotenzen pl' kein Viel-
faches sein und folglich ist einer der Faktoren von (29) also auch
die Summe (28) gleich Null.
Ist dagegen n ein Vielfaches von m, so hat man
(28a) •^f{n,d)=m,
d:m
denn in dieser Voraussetzung ist ßi > ai und der allgemeine Faktor
des Produktes (29) gleich
9P (1) + 9 fe) + ^ (Pl) + • • • + 9^ (i>?0 =P?.
4) Weiterhin besteht, falls d ein von 1 verschiedener
Teiler von m ist, die Gleichung
(30) ^f^e,d) = 0,
wenn darin die Summation auf ein vollständiges Rest-
system e (mod. m) erstreckt wird. Um dies zu zeigen, genügt es
wegen (26)j die Gleichung für den Fall zu bestätigen, wenn e ein
vollständiges Restsystem (mod. d) durchläuft, denn, wenn sie für
diesen Fall erfüllt ist, so ist sie es auch in dem erstgenannten, da
das Restsystem (mod. m) sich aus -^ vollständigen Restsystemen (mod. d)
zusammensetzt. Läßt man nun e ein Restsystem (mod. d) durch-
laufen, so darf man dabei sogleich von denjenigen Werten e desselben
absehen, bei denen t^— ^ einen quadratischen Faktor enthält, und sich
also, wenn d aus den verschiedenen Primzahlen
(31) i^i, p,, . .., pö
zusammengesetzt gedacht wird, auf diejenigen beschränken, für welche
P — jr einer der Primzahlen (31) oder einem Produkte von verschiedenen
derselben gleich ist. Ist so z. B.
[e,d]= )
^^ PhiPhi ' ' -yP^Q 9 jener Primzahlen bedeuten, was für (p(px^- Px^ • • - PxJ
Zahlen e des Restsystems (mod. d) zutrifft, so gibt der zugehörige
Teil der Summe (30) den Wert
da es aber ( j solcher Kombinationen von q der d Primfaktoren (31)
gibt, Q aber jeden der Werte 0, 1, 2, . . ., d annehmen darf, auf
Hilfssätze über eine Funktion f (w, d). 233
solche Weise dann aber auch sämtliche Reste e (mod. d) umfaßt
werden müssen, von denen nicht bereits abgesehen worden ist, so
erhält man schließlich
2'A.^)=.w<(:)-0+Q--H-iy-(3)=0'
d. i. die auf ein Restsystem (mod. d) erstreckte Summe ist gleich
Null, also auch die Summe (30).
5) Endlich behaupten wir, wenn d wieder ein von 1 ver-
schiedener Teiler von m und i kein Vielfaches desselben ist,
die Gleichung
(32) y]f{n - ie, d) = 0,
e
wenn die Summation auf ein vollständiges Restsystem e
(mod. 7)i) erstreckt wird. Zum Beweise darf man die Summe
durch die folgende:
(33) ^f{n - re, d\
e
•
in welcher t = [i, d] gedacht ist, ersetzen, denn, durchläuft e ein
vollständiges Restsystem (mod. m), d. h. -r vollständige Restsysteme
(mod. d), so durchlaufen (mod. d) die Zahlen ie und te und folglich
auch die Zahlen n — ie und n — te dieselben Werte, wenn auch in
anderer Reihenfolge, jeden gleich oft; für (mod. d) kongruente Werte
von n ~ ie, n — ze aber besteht nach (26) die Gleichheit der Zahlen
f(n — ie)j f{n — re). Nun ist r ein Teiler von d, welcher nach der
über i gemachten Voraussetzung kleiner als d ist. Man kann daher
(34) d = d,d,
setzen, in der Weise, daß d^ das Produkt aller der Primzahlpotenzen
sei, welche d und t gemeinsam sind, d.^ aber das Produkt der Potenzen
derjenigen Primzahlen, welche in d öfter aufgehen als in t. Die
Zahlen d^y d^ sind relativ prim, folglich
f{n — xe, d) = f(n — te, d^-fin — te, d^)
oder, da t durch d^ aufgeht und daher n — te^n (mod. d^ ist, wegen
(26) einfacher
f(n - te, d) = f{n, d^)-f{n - te, d^,
mithin auch
^f{n -te,d) = f(n, d,)''^f(n - te, d^).
234 Relative Zerfälluugen (mod. m).
Setzt man t = d^r^ so ist t' ein von c?2 selbst versclaiedener
Teiler von d^] da aber c?^, (?2 relativ prim, so durchlaufen, wenn e ein
vollständiges Restsystem (mod. m), d. h. -=- vollständige Restsysteme
(mod. c^g) durchläuft, die Produkte te = d^'t'e und r'e (mod. (^2) ^o^i
der Reihenfolge abgesehen dieselben Werte jeden gleich oft, so daß
man auch schreiben kann
(35) ^fin - te, d) = f(n, d,y^f{n - r'e, d,).
e e
Die Summe zur Rechten verschwindet jedenfalls, wenn n nicht
durch t' teilbar ist, denn alsdann enthält n wenigstens einen Prim-
faktor von r' weniger oft als r' und daher geht dann dieser in n und
ebenso für jedes e in n — r'e mindestens zweimal weniger oft auf als
in d^, d. h. 7: f , -, enthält einen quadratischen Teiler und das all-
gemeine Grlied f(n — r'e, tig) der Summe ist Null. Aber dieselbe
Summe verschwindet auch, wenn n durch t' teilbar, n = t'v ist; denn
alsdann ist n — r'e = t' (v — e), wo mit e auch v — e ein vollständiges
Restsystem (mod. m) durchläuft, so daß wegen (26)
e e
gesetzt werden kann. Nun ist aber [r'e, c^g] = 'p'* U; ^ ^iid
[r'e.d,] r c^y
woraus nach der Definition der Funktion /"(w, d) leicht die Beziehung
und somit die Gleichung
hervorgeht. Da hierin -7- ein von 1 verschiedener Teiler von m ist,
so verschwindet nach (30) die Summe zur Rechten, also auch die
links stehende Summe, was zu beweisen war. Wegen (35) ist also
allezeit die Summe (33) und damit auch die Summe (32), wie be-
hauptet, gleich Null.
6. Nach diesen Vorbereitungen beweisen wir folgenden Satz:
Die Anzahl (n)i der Zerfällungen einer Zahl n in i ver-
schiedene Summanden der Reihe 0, 1, 2, 3, . . ., m — 1 (mod. m)
wird gegeben durch die Formel
Zerfällungen von n in i Elemente 0, 1, 2, . . ., m—1 (mod. m). 235
(- 1)'
(36) {n)^-^'2f{n,dy(-l)
d:m
in welcher die Summation auf alle Teiler d von 7n zu erstrecken und
m'
das Symbol I • 1, welches für ganzzahlige Werte von ^ den Binomial-
d
koeffizienten bedeutet, sooft -^ eine Bruchzahl ist, gleich Null zu
setzen ist. Zum Beweise dieses Satzes bemerken wir, daß nach der
allgemeinen für (n)i entwickelten Rekursionsformel (I) der Wert des
Symbols (n)i auf andere Symbole zurückkommt, deren Index kleiner
ist als i, zuletzt also auf solche Symbole, deren Index Null ist.
Wenn demnach eine durch n und i bestimmte Größe genau derselben
Rekursionsformel Genüge leistet wie (n)i und zudem für jeden Wert
von n und für den Index Null den gleichen Wert hat wie (n)o, so
muß sie ersichtlich auch für jeden Index i mit (w); übereinstimmen.
Wir haben also nur diese zwei Punkte für den in (36) rechts stehenden
Ausdruck nachzuweisen, um die Formel (36) als richtig zu erkennen.
Was nun den zweiten Punkt anbelangt, so ist er nach den in der
vorigen Nummer angegebenen Eigenschaften der Funktion /"(w, d)
leicht zu bestätigen. Denn einerseits hat das Symbol (n)o offenbar
den Wert Null, sooft n nicht durch m teilbar ist, und den Wert
Eins im entgegengesetzten Falle, denn nur die Zahl w = 0 (mod. m)
läßt sich (einmal) durch null Summanden additiv (mod. w) erzeugen;
andererseits liefert die Formel (36) für (w)o den Wert
d:m
welcher nach der dritten der für f(n, d) gefundenen Eigenschaften in
der Tat je nach den beiden unterschiedenen Fällen Null oder Eins ist.
Um auch den ersten Punkt festzustellen, tragen wir den Ausdruck
(36) in die Rekursionsformel (I) ein, die wir jedoch für diesen Zweck
in folgender Form schreiben:
(3^) '^■^(.n-Q-e),=^{n-Q-e),--2{n-l-e),-, + ---
+ (-l)'-^(»»-'e)c
Wir richten dann zunächst unsere Aufmerksamkeit auf die Glieder,
welche einem bestimmt gedachten Teiler d von m entsprechen. Da
zur Rechten von (37) im allgemeinen Gliede
236 Relative Zerfällungen (mod. m).
(38) (_iy.^(„_Xe),_,
e
der diesem Teiler d entsprecliende Bestandteil den Binomialko effizienten
/ - \
I • _ jl^ I zum Faktor hat, so liefert das Glied (38) nur dann einen
Beitrag, wenn — j- eine ganze Zahl, also X^i (mod. d) ist, und
dieser Beitrag
« \ d
darf, da dann nach (2ß) f(n — Xe, d) = f(n — ie, d) gesetzt werden
kann, durch
ersetzt werden, so daß der gesamte auf den Teiler d bezügliche Be-
standteil der rechten Seite von (37) gleich — - • ^f(n — ie, d)
mal dem Ausdrucke e
(39) (- 1)^. I + (- 1)'^'. ( ^ + . . . + (_ l)"?- 1 iZ^-
sein wird, während der entsprechende Bestandteil der linken Seite
von (37) auf gleiche Weise gleich ^ — - • ^f(n — ie, d) mal
l
d
gesetzt werden kann. Beide Bestandteile werden also einander gleich
sein sowohl, wenn
y^f(n - ie, d) = 0
ist, als auch, wenn die Ausdrücke (39) und (40) einander gleich sind.
Das erstere trifft gemäß 5) voriger Nummer zu, sooft ^ > 1 und
i durch d nicht teilbar ist; anderenfalls aber das letztere, denn, wenn
i aufgeht durch dy. was für d = 1 gewiß geschieht, so bleiben in (39)
als von Null verschieden nur die Glieder
Zerfällnngen von « in i Elemente 1, 2, .. ., m— 1 (mod. m).
237
(-1)'
= (-1)
d. i. aber nach Formel (22) gleich
i-2d+-- • + (-!)"■
1)'
(-1)"
= (-1)"
m
und folglich sind (39) und (40) einander gleich
Da demnach die beiden Seiten der Formel (37) für jeden Teiler d
von m den gleichen Beitrag liefern, stimmen auch die gesamten
Werte beider Seiten überein, und der beabsichtigte Nachweis ist
geführt.
7. Aus der so bewiesenen Formel (36) für die Anzahl {n)i findet
sich nunmehr leicht auch eine Formel für die Anzahl (n)i aller
Zerfällnngen von n in i verschiedene Summanden der Reihe
1, 2, 3, . . ., m — 1 (mod. m), indem man den Ausdruck für {^n)i in
die Rekursionsformel (la) einführt. Dadurch findet man
(41)
(nn^ = '^^.^fin,d).
d :m
+ (-!)" li^ +-+(-l)^L',-
Hier sind aber wieder nur diejenigen Binomialkoeffizienten
i-X
von Null verschieden, bei denen
i
d
i
d
große des Ausdrucks auf
d
eine ganze Zahl, d. h., unter
das größte in ~ enthaltene Ganze verstanden, einer der Zahlen
, -^ — 1, . . ., 1, 0 gleich ist. Somit reduziert sich die Klammer-
(-1)
m.
lania-
=(-i)[^l.H
+•••+(
_„l£0)
B] ■
238 Relative Zerfällungen (mod. m).
und die Formel (41) nimmt ihre endgültige Gestalt an, wie
sie folgt:
(42) ^nr-^t^.^an, ä)(-lpli}~'
Hieraus erschließt man die weiteren Gleichungen
/m
t = 0 d:m t = 0 \ Idj
(44) g(-i).(«)f)=i.2'M d)-2{- ^PAVn
t = 0 d:m i = 0 y \_dj
Man teile nun die Werte, welche der Index i durchlaufen soll,
in die Abteilungen:
h d + 1, 2d-{-l, •• (^-1)^^ + 1
d-1, 2d-l, 3d-l, '■'^d-1,
und betrachte zunächst den Teil der auf i bezüglichen Summen,
welcher der Abteilung
h, d-i-h, 2d + h, •-(^'^-l)d + }i
entspricht; er ist in (43) der Ausdruck
(-ly
(d M+(_i)<i+iYd M-)-(_ 1)2(^+1)7 d ^
7-^
d.h. (_l)*.(l + (_ 1)^+1)« ,
also Null, wenn d gerade, dagegen gleich (— l)''-2'' , wenn d un-
gerade ist ,^ und daher erhält die ganze auf i bezügliche Summe in
der Gleichung (43) den Wert Null für gerades d, dagegen den Wert
Zerfällungen von n in Elemente 1, 2, . . , jii — l (mod. m) überhaupt. 239
^-i/ \ — -1
2d (^i_i + i_i_|....4.(_ ly-i) = 2 '
für ungerades d. Daraus folgt
(45) '^\n)T^^^-^2'^-f{n,d),
i = 0 6:m
worin die Summation auf die ungeraden Teiler d von 7n zu er-
strecken ist.
Ebenso ergibt sich in (44) der auf die einzelne Abteilung bezüg-
liche Bestandteil der nach i zu nehmenden Summe gleich
(l"')-(l-)Kl-)---"
d. h. Null, mit Ausnahme des Falles, wo -5 — 1=0 oder d = m ist^
wo dann der Wert des Ausdruckes Eins ist. Da dies für jede ein-
zelne Abteilung gilt, so geht für die gesamte Summe der Wert Null
oder m hervor, je nachdem d von m verschieden oder d = m ist, und
folglich kommt endlich ganz einfach
rn — l
(46) ■2{-r)'-{n)f^f{n,m).
Die Formel (45) gibt die Gesamtanzahl aller überhaupt
möglichen Zerfällungen der Zahl n in verschiedene Sum-
manden der Reihe 1, 2, 3, . . ., m — 1 (mod. m), die Formel (46)
den Überschuß der Anzahl der geraden über die Anzahl der
ungeraden dieser Zerfällungen. In diesen Formeln ist jedoch,
falls n ^0 (mod. m) ist, die dann vorhandene Darstellung von n als
Summe von null Summanden mitgezählt.
Leicht bestätigt man nach diesen allgemeinen Formeln noch ein-
mal die Resultate der Nr. 1, wenn man m =p wählt. Nehmen wir
statt dessen w als ein Produkt aus zwei verschiedenen ungeraden
Primzahlen p, q au:
7)1 = p- q.
Dann hat d nur die vier Werte 1, ^, q, pq und aus (36) folgen
nach der Definition der Funktion /*(«, d) sogleich die Resultate:
Wenn i teilerfremd ist zu pq, so ist
in Übereinstimmung mit (20):
240 Relative Zerfällungen (mod. m).
ist i == Xp, X niclit teilbar durch g, so ist
wo f(n, p) gleicli p — 1 oder — 1, je nachdem n teilbar ist oder nicht
ist durch p;
ist i = Xq, X nicht teilbar durch p, so ist
w^^=^-K) + ^('*' «)■(!)]
wo f(nf q) gleich q — 1 oder — 1, je nachdem n teilbar ist oder nicht
ist durch g;
endlich für i = 0 und i =pq ist
Wo = i^)pi = ^ ' [^ + f(^> P) + /"(^^ ^) + f^^y -P^)]'
d. h. Eins oder Null, je oachdem n teilbar ist oder nicht ist durch pq.
Aus (45) folgt für m = pq als Anzahl aller möglichen Zerfällungea
von n in verschiedene Summanden der Reihe 1, 2, 3, , . ., pq — 1
(modi.pq) der Wert
ygin^, M) + 2^-'fin, p) + 2P-'f{n, q) + 2^i-^f{n, 1)],
d. h. je nachdem n teilerfremd tm pq oder durch p allein, oder durch
q allein, oder durch pq teilbar ist, der folgende Wert resp.:
— (1 — 25-1 _ 2i^-i 4- 2^!?-i)
P9.
^((p-l)(25-i-l)- 2^^-1+2^5-1)
i^((2-l)(2^-i-l)- 25-1 + 2^5-1)
A ((^ - l)ö - 1) + 2P-\q - 1) + 25-i(^ - 1) + 2^5-.).
Desgleichen gibt die Formel (46) als Überschuß der Anzahl gerader
über die Anzahl ungerader Zerfällungen von n in verschiedene Zahlen
der Reihe 1, 2, 3, . . ., pq — 1 (mod. ^g'), je nachdem n teilerfremd
zu. pq, oder durch p allein, oder durch q allein, oder durch pq teil-
bar ist, entsprechend den Wert
1, -(i'-i), -(ä-i), (i>-i)(2-i)-
Endlich sei noch bemerkt, daß für den Fall der Zerfällungen
einer Zahl n in gleiche oder verschiedene Summanden dei
Reihe 0, 1, 2, . . ., m — 1 (mod. m) eine allgemeine, der Formel
(36) ganz ähnliche, nur wesentlich einfachere Formel auf
Das Elementensystem der quadratischen Reste (mod. p). 241
völlig entsprechende Weise bewiesen werden kann. Man
findet
dm \ d
8. Wir legen nunmehr zweitens der Betrachtung statt des
Elementensystems 0, 1, 2, . . ., w — 1, indem wir jetzt den
Modul m als ungerade Primzahl p voraussetzen, dasjenige
Elementensystem e^y e^, e^, ... ßp—i zugrunde, welches aus den
ü — 1 2
^-Y~ quadratischen Resten (mod. p) besteht. Indem wir wieder
mit {n)i die Anzahl der Zerfällungen von n m i verschiedene
Summanden der Reihe e^, e^^ ... e^_i (mod. p) bezeichnen, können
wir von vornherein bemerken, daß dies Symbol nur drei verschiedene
Werte zuläßt, nämlich die Werte
(0),, (p),, w,,
wo Q einen beliebigen quadratischen Rest <ipj v einen beliebigen qua-
dratischen Nichtrest <^ (mo^.p) bezeichnet, welche Werte es annimmt,
je nachdem n kongruent XuU, oder ein quadratischer Rest oder ein
Nichtrest von p ist. Für alle quadratischen Reste n hat in der Tat
das Symbol (w),- den gleichen Wert, und ebenso für alle quadratischen
Nichtreste n. Denn, sind n, ri zwei verschiedene quadratische Reste,
so kaun eine Zahl x, die gleichfalls quadratischer Rest ist, so bestimmt
werden, daß nx^vt (mod^), und dann ergibt sich aus jeder der ge-
dachten Zerfällungen
n = 6/, + ek -\- ei -\ (mod. p)
von n durch Multiplikation mit x eine Zerfällung von n!:
n' = e[-\- e'k -\- e'i-\--- (mod.p),
in welcher auch e^, ei, e'i, ... verschiedene quadratische Reste von p
sein werden, und umgekehrt aus jeder solchen ZerfäUung von n' auch
eine Zerfällung derselben Art für n durch Multiplikation mit dem
Sozius von X. Gleicherweise überzeugt man sich, daß (n); auch für
alle quadratischen Nichtreste n ein und denselben Wert besitzt.
Beachtet man dies aber in der Rekursionsformel (I), so kommt es
offenbar darauf an, festzustellen, wie oft im allgemeinen Gliede
(48) (_iy.-i.^(,^_Ae>_,
derselben die Differenz n — Ae, während e alle quadratischen Reste,
Bachmann, niedere Zahlentheorie. II. Iß
242 Relative Zerfällungen (mod. m).
oder, was auf dasselbe hinauskommt, wie oft die Differenz n — Xx^j
während x die Zahlen 1, 2, •••, ^—^— durchläuft, der Null, wie oft
einem quadratischen Reste, wie oft einem quadratischen Nichtreste
(mod.p) kongruent wird. *
Dabei setzen wir zuvörderst n als nicht durch p teilbar
voraus. Die gesuchten Anzahlen seien 0, R, N-^ statt dessen suchen
wir die entsprechenden Anzahlen O'y B', N' für den Ausdruck
— nX + y^] offenbar ist
(49)
0=0\ R = R\ N^N', wenn (— ) = 1
0==0\ R = N\ N= R\ wenn (-^) = - 1 ist.
Statt der eleganten algebraischen Methode, durch welche v. Sterneck
diese Anzahlen bestimmt, wählen wir, um ganz im arithmetischen
Gebiete zu verbleiben, die folgende, aus dem Grunde der Sache
fließende Betrachtung. Dan — Xx^ stets einen der drei unterschiedenen
Fälle darbietet, findet sich zunächst
(50) 0' + R' + N' = ^•
Ferner ist offenbar 0' gleich Null oder Eins, je nachdem ( — j = — 1
oder ( — j = + 1 ist, also allgemein
Demnach findet sich
(52) jj' + iV'=|(p-2-(^)).
Um R', N' zu bestimmen, unterscheiden wir nun zwei Fälle.
Erstens sei {--—} = — 1. Aus einer Kongruenz — nX + y^^ m
(mod. p) folgt dann durch Multiplikation mit — nX
— nX-y^ + (nXy= — nX-m,
oder, wenn mit i/' der Sozius von y bezeichnet und nXy' ^ ^ gesetzt
wird,
— nX + 0^^ — nX-my'^,
wo die Zahl —nX-my'^ entgegengesetzten quadratischen Charakter
hat, wie m. Hieraus schließt man
N' = R',
also
(53)
Hilfsbetrachtung. 243
Gleichviel also, ob ( — ) = + 1 oder — 1 ist, erhält man in diesem
ersten Falle
Zweitens sei ( j= + 1. Wir zeigen zuerst, daß R', N' von
Null verschieden sind.
Ist (— ) = — 1, so nimmt der Ausdruck — nX -^y^ ^~ ^^^ ^vdl
verschiedene Werte an, die nicht sämtlich quadratische Reste sind,
da — wA nicht darunter ist, also ist N' > 0. Ist ( — j = -f 1, so wird
— nX -\- y^ einmal NuU und nimmt außerdem ^-^^ verschiedene Werte
an, die nicht sämtlich quadratische Reste sein können, denn, da die
Summe aller quadratischen Reste (mod. p) kongruent Null ist, würde
die Summe jener ^-^r— quadratischen Reste dem nicht unter ihnen be-
findlichen quadratischen Reste — nX entgegengesetzt sein (mod. p),
und durch Addition aller Ausdrücke — nX -}- y^ entstände die un-
mögliche Kongruenz
—^-^•nX^nX (mod.^).
Also ist wieder N' > 0.
Daß aber in beiden Fällen auch i?' > 0 ist^) folgt so: Wäre im
Gegenteil jeder der von Null verschiedenen Ausdrücke — nX -\- y^
quadratischer Nichtrest, so entstünde aus zwei Kongruenzen
— nX + y^= Vj — nX -\- y'^= v'
durch Multiplikation die dritte:
- nX {nX ± yy'f + (nX (y ± if))^ =-nX- vv\
wo wenigstens eine der Zahlen >^A + yy^ durch p nicht teilbar ist,
da X <^% <r~^ ^s nicht ist. Wenn nun mit 6 ihr Sozius bezeichnet
und nöX (y ± y') =^ 2 gesetzt wird, so kommt dann
1) Das Folgende setzt ^—- — ^ 3 also i> ^ 7 vorans. Ist aber jp = 3, so kann
wegen der vorausgesetzten Gleichung ( ) = -f- 1 nur (—) = — 1 und dann
iV' = 1, R' = 0 sein; fürp = 5 dagegen kann nur ( — ) "= "f ^ ^^^ dann wieder
JV' = 1, B' = 0 sein. In beiden Fällen bestehen also die weiter unten erhaltenen
Beziehungen (56 a) ebenfalls.
16*
244 Relative ZerfällTingen (mod. »n).
(54) -nl-Vz'^ ~nl'vv'6'',
d. h. kongruent einem quadratischen Reste, gegen die Voraussetzung.
Also ist in der Tat immer auch J^' > 0.
Nachdem dies festgestellt ist, betrachte man die W verschiedenen
Kongruenzen
— nl -\- if'^^^j — nX -{- y'^—v\ •••
Durch Multiplikation der ersten mit den, falls N' > 1 ist, N' — 1
folgenden erhält man N' — 1 Kongruenzen von der Form
— nX -{- z'^= Q^
wo Q ein quadratischer Rest, also ist R' ^ N' — 1, ein Resultat, das
auch, falls N' = 1 ist, zutreffend ist, da JR'>0. Wird aber eine
jener N' Kongruenzen mit allen R' Kongruenzen der letzteren Art
multipliziert, so findet man gleichermaßen li' Kongruenzen von der Form
— nX -\- z^^^ V,
wo V ein quadratischer Nichtrest, mithin ist N' > R'. Da nun der
Ausdruck (52) im gegenwärtig betrachteten Falle stets ungerade ist,
also nicht R' = N' sein kann, so folgt
(55) R' = N'-1,
Man findet daher jetzt durch Verbindung von (52) und (55)
(55a) i.' = i (,-(-))-!, iV'=i(,-e)).
So gelangt man zu den Resultaten:
Ist (--—) = 1; so ist
wenn aber (— ) = — 1? so ist
(53a) 0=i(l + (=i)), B LW N = ^^.
Die in den beiden unterschiedenen Fällen gefundenen Tatsachen
lassen sich schließlich folgendermaßen aussprechen:
Ist n = Q quadratischer Rest (mod. p)^ so finden die
Formeln statt:
(56)
B
Zerfällung in i quadratische Reste (mod. p).
245
ist dagegen n = v quadratischer Nichtrest (mod.p), so ist
zu setzen
(57)
0 = 111
iJ =
,,>-(y)^e)_.(._(:^)).
9. Wenn man jetzt auch in der Rekursionsformel (I) die eben
unterschiedenen beiden Fälle, welche n bieten kann, gesondert be-
trachtet, so ergeben sich durch Beachtung der vorigen Formeln bei
den einzelnen Gliedern der Rekursionsformel die nachstehenden
Gleichungen:
■••w,
7 {9)i-i+ 7 iyh-i
(58)
=2'^-iy-'
X = l
+i(i+e))(o).
(59)
=2^(-iy-'
i=i
+
l(^-®-(0).-'-
Da endlich, wenn n durch p teilbar ist, das allgemeine Glied (48)
der Rekursionsformel sich auf
(-i)^->.^(-H._,
reduziert, — Xe aber ^-^— mal quadratischer Rest oder Nichtrest ist,
je nachdem i — j = 4-1 oder — 1 ist, kann man den vorigen beiden
Formeln die dritte hinzufügen;
(0).
(60)
■2^(-i)^-'B(i+(^))v-(.).-.+i(i-(^))y-(.),-4
246 Relative Zerfällungen (mod. m).
in welcher p^ zur Abkürzung für ^-x— gesetzt ist und mit der nun
alle mögliclien Fälle erschöpft sind.
Mit diesen Formeln darf das in Nr. 8 gestellte Problem, nämlich
die Bestimmung der dort definierten Anzahl {n)i als gelöst betrachtet
werden, insofern sie gestatten, die Werte dieses Symbols allmählich
für die wachsenden Werte des Index i zu berechnen. Doch fehlt
hier noch, was bei der früheren Aufgabe durch die Formel (36) er-
reicht worden ist, daß aus den erhaltenen Formeln ein expliziter Aus-
druck für (n)i hergeleitet werde, eine Aufgabe, die noch ungelöst ist
und nicht leicht zu sein scheint. Davon also hier absehend, wollen
wir nicht unterlassen, eine interessante Anwendung der erhaltenen
Resultate auf die Lehre von der Kreisteilung nach v. Sterneck noch
mitzuteilen.
Bezeichnen, wie üblich, i^^, iq^ die beiden aus den Wurzeln der
Kreisteilungsgleichung (8) gebildeten ^ — gliedrigen Perioden
2
% = y^^; ^i=V
V
worin die Summationen sich resp. auf alle quadratischen Reste q und
Nichtreste v <ip erstrecken, so sollen die Gleichungen aufgestellt werden,
denen die in jeder dieser Perioden enthaltenen Wurzeln Genüge
leisten. Sei
p — 1 p — 3 p — 5
(61) x^~+ M^'X~^+ M^'X~^+ • • • -f iJfp_i = 0
2
die erste dieser Gleichungen mit den Wurzeln r?; dann ist
(62) (- ly • Mi = V r?i+?^+ • • • + ^i,
wo die Summation über alle Kombinationen aus i verschiedenen der
quadratischen Reste q (mod. p) zu erstrecken ist. Da sich unter diesen
Kombinationen, wie in Nr. 8 bemerkt worden, jeder Rest (()),- mal,
jeder Nichtrest {v)i mal und die Null (0); mal vorfinden muß, nimmt
die Gleichung {^2) die Gestalt an
(63) (- 1)^- ■ Jf, = (0), + {q\ . 7^0 + {v)i • nv
Nach der Theorie der Kreisteilung ist aber bekanntlich
raA\ -1 + -P -1-P
1/ ^^
worin P zur Abkürzung steht für + K (— 1) ^ -p. So kommt, wenn
(65) ö, = (9), + w,, <y, = (e),-w,
geschrieben wird,
Anwendung anf die Kreisteilung. 247
(66) (- mi = - 1 ö, + p4 ^' + W"
also
(67) 2 i • M,- = (- 1)' . [- 16, -\- P'id,-\-2i' (0),].
Aus den Formeln (58) und (59) fließen aber diese beiden anderen:
i.s, =J(- iy-x[-i-.,j,_, -i-(A).,,_, + (A) . (o),_,].
Durch Substitution dieser Werte und des Wertes (60) in die vorige
Formel entsteht die Gleichung
2 i ■ Mi
+ p- 2'(- 1)'-^ ■ [4- ^.- + 1 (}) • "-. - (7) • (o)-4
der man mit Rücksicht auf (66) leicht folgende Gestalt gibt:
(68) 2f.ilf,.=2'^/,._,Yl-P.(A)Y
So hat man eine Rekursionsformel erhalten, um die Koeffi-
zienten der Gleichung (61) allmählich zu berechnen. Aus
dieser Gleichung erhält man bekanntlich die andere, welche die
Wurzeln r' der zweiten Periode ij^ zu Wurzeln hat, indem man in
ihren Koeffizienten das Vorzeichen der Quadratwurzel P entgegen-
gesetzt nimmt.
Ganz ähnlich, wie wir im vorhergehenden die Anzahl {n)i der
Zerfällungen der Zahl >^ in i quadratische Reste (mod. ^) ermittelt
haben , ließe sich auch die Anzahl ihrer Zerfällungen in i quadratische
Nichtreste (mod. p), welche wir (n)i nennen wollen, herleiten.
Doch bedarf es solcher Herleitung nicht, da sich (rt)i unmittelbar
aus (n)i folgern läßt. Es ist nämlich zunächst leicht wieder einzu-
sehen, daß auch (w), für alle quadratischen Reste 71 und ebenso für
alle quadratischen Nichtreste w je den gleichen Wert hat. Ist aber
n = eh + ek + eii- ■ ■ ■ (mod.p)
eine Zerfällung von n in i verschiedene quadratische Reste und v
irgendein quadratischer Nichtrest, so ergibt sich aus dieser Zerfällung
durch Multiplikation mit v eine Zerfällung der Zahl n'^nv (mod.p),
248 Relative Zerfällungen (mod. ni).
welche den entgegengesetzten quadratisclien Charakter hat wie n, in i
verschiedene quadratische Nichtreste, wie denn auch umgekehrt
aus jeder Zerfällung dieser Zahl n' in i Nichtreste eine Zerfällung
der Zahl n von entgegengesetztem quadratischen Charakter in i qua-
dratische Reste hervorgeht. Demzufolge ergeben sich sogleich die
beiden Gleichungen
(69) (p). = W.-, W,: = (e>,
während drittens
(70) . • (0), = (Ö>
sein wird Mit diesen Formeln erledigt sich daher ohne
weiteres die auf das Elementensystem der Nichtreste be-
zügliche Aufgabe.
Noch wollen wir bemerken, daß man ganz ähnlich wie im vorigen,
aber auf Grund der allgemeinen Rekursionsformel (II) zu Gleichungen
gelangen kann, welche den Gleichungen (58) bis (60) entsprechen
und die Anzahl [n]i der Zerfällungen von n in i gleiche oder ver-
schiedene quadratische Reste (bezw. Nichtreste) (mod. p) zu berech-
nen verstatten. Doch können wir hier nur kurz auf die betreffenden
Stellen der Arbeit von v. Sterneck verweisen, ebenso wie es mit Bezug
auf seine Untersuchungen über die Anzahl der Zerfällungen einer
Zahl in kubische oder höhere Potenzreste (mod. p) geschehen mag,
welche, wie er für kubische Reste ausführlich, für höhere Potenzreste
andeutungsweise dargetan hat, durch völlig analoge Betrachtungen
ermittelt werden kann.
10. Noch einmal zum Elementensysteme der quadratischen Reste
zurückkehrend, fügen wir hier noch die Hauptresultate der darauf
bezüglichen Untersuchung Sterns an. Bei ihr handelt es sich um
die Bestimmung der Gesamtzahl aller möglichen Zerfällungen
einer Zahl n in verschiedene quadratische Reste (mod. p).
Da die Anzahl der Zerfällungen in irgendeine bestimmte Anzahl i
solcher Reste für jeden quadratischen Rest n die gleiche, und ebenso
für jeden quadratischen Nichtrest nj so wird dies auch gelten für
jene Gesamtanzahl aller Zerfällungen: für jeden quadratischen Rest
n == Q beträgt sie
p'
(71) (P)=2'^9)
für jeden quadratischen Nichtrest n = v
(72) {v) ^^iv\
i = l
WO wieder p' zur Abkürzung steht für ^-^; endlich erhält man für
Gesamtzahl der Zerfällungen in quadratische Reste. 249
jede durch p teilbare Zahl die Gesamtzahl jener Zerfällungen durch
die Formel
(73) (0) =2'(0).-
Nun beträgt, da jede Summe verschiedener der p' quadratischen
Reste notwendig entweder der Null oder einem quadratischen Reste
oder Nichtreste (mod.^) kongruent sein muß, die ganze Anzahl aller
aus verschiedenen der p' quadratischen Reste (mod. p) möglichen
Summen , ,
(0)+y-((?)+W);
da sie andererseits offenbar gleich
ist; SO folgt zwischen den Anzahlen ((>), (y), (0) die Beziehung
(74) l + (0)+y((e)+(r))=2p'.
Unterscheidet man ferner die geraden von den ungeraden Zer-
fällungen, so wird auch die Anzahl aller ersteren sowohl, wie die
aller letzteren und daher auch deren Unterschied für jeden quadratischen
Rest und desgleichen für jeden quadratischen Nichtrest je der gleiche
sein. Nennt man (q)' diesen Unterschied für jeden quadratischen
Rest, (v)' für jeden quadratischen Nichtrest und (0)' für die durch p
teilbaren Zahlen, so finden sich daher die Formeln
(75) (p)'=2'(-i)'-(e)<
(76) (^)'=J^(_l).-.(„)..
« = 1
(77) (Oy=2'(-l)'-.(0),.
f=l
Hiernach beträgt der Unterschied zwischen der Anzahl aller aus einer
geraden und derjenigen aller aus einer ungeraden Anzahl von
quadratischen Resten (mod. p) gebildeten Summen einerseits
(0)' + i>' (((.)' +(«-)'),
andererseits offenbar
P' I P'iP'--^) p'(p'-i)(p'-2) . /_iv__ 1
l"^ 1-2 1.2-3 "^ ^ K -^J — ^
und somit geht folgende Beziehung:
(78) l + (0y + p'((9)'+(t,)') = 0
zwischen den Anzahlen (0)', (q)', (v)' hervor.
250 Relative Zerfällungen (mod. m).
Wir entnelimen nun der Lehre von der Kreisteilung die
bekannte Formel:
(79)
JJ(x -»•?)= i {y{x) + Z{x) -Vi- 1) ^ '-p),
in welcher links über alle inkongruenten quadratischen Reste Q<ip von
p zu multiplizieren ist und die Funktionen Y{x)y Z{x) zur Rechten
ganze ganzzahlige Funktionen von x bedeuten. Setzen wir darin
zuerst X = — 1, so bedeuten Y{~ 1), Z{— 1) ganze Zahlen, die wir
kurz y, z nennen wollen, und man erhält
(80) ^_i).'.2-J(i + ,,) = ^^
Da aber andererseits
i? — 1 j? — 3
(81) TT(a; -Y^)=^x 2 4- M^x ^ + • • • + Jf^-i
V
ist, so findet sich auch
JJ(i 4- r?) = 1 +^(- lyM,,
d. i. nach (63)
JJ(1 + r«) = 1 +_2'((0).- + (C)^% + W.'Ji)
oder
JJ(1 + r?) = 1 + (0) + (9)-Vo+ W • Vi
Q
oder endlich mit Beachtung der Gleichungen (64)
(80a) 2Y(i + ^,) = 1 + (0) _ lö + 1 «JJ',
worin zur Abkürzung
(82) e={Q) + iv), S = iQ)-(,v)
gesetzt ist. Die Vergleichung der Formeln (80), (80 a) führt die neue
Gleichung
l+(0)-|e + i-dP=(-l)i''.(|+|.P)
herbei, welche sogleich in die beiden folgenden zerfällt:
(83) i+(0)-i-ö = (-l).'.|, d = {-iy-,.
Verbinden wir die erstere von ihnen mit der Gleichung (74), so er-
halten wir
Gesamtzahl der Zerfällungen in quadratische Reste. 251
2^'+ '-(-1/2/
(84) 6 =
und auf
drücke :
und aus den so gefundenen Werten von 6 und ö die folgenden Aus-
(85) (,) = ?^^:H|^^ + (-i)..|
zu denen nun nacli (83) als dritter der Ausdruck
(85a) ^ (0) = !^il^MzlÖ_i
hinzutritt.
Setzen wir dagegen in (79) nunmehr :r = 1, so werden wieder
Y{x)j Z(x) zu ganzen Zahlen, welche wir kurz mit y\ ^' bezeichnen
wollen, und man erhält
(86) JJ(l_,.?)=l(y+/P),
q
andererseits aus (81)
JJ(l _ rQ) = 1 + 3f^+ Jf, + . . . + ilf^__i,
d. h. nach Einsetzung der aus (63) sich ergebenden Werte von M^,
31,,.,., 3Ip_^
2
JJ(1 - r?) = 1 +2'(- !)'■ • ((0), + (e),% + {v),r^,)
= l + (0)' +((.)'•% + (»')'-i?,
oder endHch, wenn zur Abkürzung
(87) a'=(^y + (vy, d'=iQy-(vy '
gesetzt wird,
(86a) 2j(i_,e) = i + (oy--^: + |:.p,
Durch Yergleichung von (86), (86 a) kommt jetzt
l + (0)'-4ö'+i-d'.P=|2/'+|/.P,
(88) i + (0)'-i-^=ly, d'=^,
Gleichungen, deren erstere in Verbindung mit (78)
(89) 0'=--^
p
ergibt. Aus dieser Gleichung erkennt man, daß «/ ein Vielfaches von
252 Relative Zerfällungen (mod. m).
p sein muß, und wenn wir deshalb y'= — pt' setzen, so kommt
einfacli
(90) 6'=t'
und nun aus den erhaltenen Werten für ö', d'
(91) (P)'=^, W-^'
zwei Gleichungen, denen sich wegen (78) die dritte
(91a) (0)' = _^.«'_1
hinzugesellt.
11. Handeln wir zuerst von dem Falle jö = 4^ + 3. Da in
diesem Falle im ganzen die Zahlen — v mit den Zahlen q (mod. p)
übereinstimmen und 2Jv = 0 (mod. p) ist, so ist
JJ(1 - r?) =1^(1 -r-') = - JJ(1 - r^).
Q V V • ■
Andererseits ist nach (4)
27(1 - r") =U(1 - r^) JJil - r) = p.
A = l Q V
Demnach ergibt sich zunächst ♦
(92) JJ(l-rQ) = ±iy^.
Um über das Vorzeichen der rechten Seite zu entscheiden, schreiben
wir das Produkt zur Linken, indem wir für r seinen Wert
r = cos h * sm —
einsetzen, in der Form
JJ(l _ cos ^ _^ sin ^) = (- 2 i)p' • i^ ■ ]J^ sin ^•
Da hier das Produkt / I sin — zugleich mit seinen einzelnen Fak-
toren positiv ist, hat das fragliche Produkt das gleiche Vorzeichen wie
(— ^y . e^~ = (— i)p'-(- 1) P ,
d. h. das Vorzeichen von (— 1) ^ . Man darf daher die Formel
(92) in folgender Form schreiben:
(93) ]Jil-r^)-{-lf^^^'-iVp-
Der Fall p = ik -\- 3.
253
Ferner ist
JJ(1 + r?) ß{l - r^) =JJ(1 - r».),
also, je nachdem 2 quadratischer Rest oder Nichtrest von p^ d. h.
p = 8;c 4- 7 oder p = Sk + 3 ist, gleich dem Produkte 11(1 — r?)
oder rT(l — ^') = — rT(l — ^)- Daraus folgt jederzeit
(94)
JJ(1 + ^.) = (_ 1)% \
Vergleicht man diese Resultate mit den Formeln (80) und (86),
in denen jetzt P = iy^p zu setzen ist, so finden sich ohne weiteres
die Werte
2/-=-2.(-l) « , ^ = 0
p-—i
y' = 0, ^' = 2.(-l)^~'^^^, ^'=0
und daraus dann die nachstehenden Anzahlen
(95)
p-1
p^-1
((>) = « =
1)
p-1
p-^ — 1
(0) =
2 ^ -(-1)
P
y' — 1
f (-1)— -1
und
(96)
(0)'
^'-'--, (.y = _(_i)^-^^-^.
(9)'=(-l) *
Für jede durch p nicht teilbare Zahl n ist also
p' — 1
(97)
während
(98)
(«)' = ©•(-!)■
p^— 1
in)
(-1)
ist. Im Falle ^ = 8;« + 7 ist sogar für jede ganze Zahl n ohne
Unterschied die Anzahl ihrer Zerfällungen in verschiedene quadratische
Reste (mod.^) die gleiche, nämlich
w
p-1
2 ^ -1
254 Relative Zerfällungen (mod. m).
Nunmehr sei zweitens p == 41c -\- 1. In diesem Falle lassen die
Formeln (91), (91a) keine weitere Vereinfachung zu. Was die
Formeln (85), (85a) anbelangt, so unterscheiden wir die beiden
Fälle p == Sti -{- 1 und ^ = 8x + 5.
Im ersteren von beiden ist
(99) JJ(1 + r9) JJil - r9) =JJ(1 -
Q Q Q
identisch mit 7/(1 — ^0? mithin, da dies Produkt von Null verschieden,
JJ(1 + r^) = 1,
Q
demnach wegen (80)
2/ = 2, ^ = 0,
woraus sich nach den Formeln (85), (85 a)
(100) • (0) = (^) = (i.)=^ '
p
ergibt. Im Falle ^ = 8 ;c + 1 ist daher wieder wie im Falle p = 8k -\- 7
für jede ganze Zahl n ohne Unterschied
w =
2 2 _1
Falls dagegen zweitens p = Sa + ö ist, nimmt die Gleichung (99)
die Gestalt an
(101) jrjr(i + r^) . JY(i - r^) =|"j(i - n
Q Q r
Da nun, wenn die Reste q durch die Nichtreste v, d. h. die
Wurzeln rQ der Periode t^q durch die Wurzeln r^ der Periode rj^ er-
setzt werden, in der Grundformel (79) aus der Kreisteilung die
Quadratwurzel zur Rechten ihr Vorzeichen wechselt, so ergibt sich
auch aus (86)
jrj(l-r')=i(2/'-.'-P)
V
und folglich liefert (101) zwischen den Zahlen y, 0, y\ ^' die Be-
ziehung
(102) j(}, + Pg) (y' + P0') = 2/' - P^',
während aus
JJ(1 - rO JJil - r') =]7(1 - >•") =i>
Der Fall p = Ak + 1. 255
die Gleichung
hervorgeht. Aus (102) aber erschließt man die Gleichungen
yy' + pz^' = 2y\ yz^ -^ y'z= — 2z'
und durch Elimination von y aus diesen weiter die Beziehung
(103) ^=^-
Nach einer Bemerkung von L. Dirichlet (Journ. f. r. u. a. Math. 18,
S. 270, s. auch des Yerf. Lehre v. d. Kreisteilung S. 298, wo — z an
Stelle von z zu lesen ist) ist y' positiv, dagegen z' negativ; der
vorigen Gleichung zufolge hat daher z einen positiven Wert. Aus
den Formeln (85) erschließt man also, daß in diesem Falle
(e) > {v)
ist, ein Umstand, durch welchen der Fall p = 8x + 5 sich von
den drei übrigen Fällen j) = 8« + 1, 3, 7, in welchen stets
(9) = W
war, wesentlich unterscheidet.
12. Wir behandeln endlich an dritter Stelle, indem wir
auch jetzt den Modulus als eine ungerade Primzahl p
voraussetzen, das Elementensystem 1, 2, 3, . . ., mittels
der in Nr. 1 angegebenen Methode von Stern.
Sei also wieder x eine beliebige p*® Einheitswurzel und, während
immer p' =^—— gesetzt wird,
p'
(104) JJ(1 +x'') = a,+ a,x + a,x' + ---i- a^-iO^'^
h=\
so daß, wenn man cip-{- 1 = a^ schreibt, «j, c^g? • • •; ^p—u ^p ^i^ ^^-
zahl der Zerfällungen der Zahlen 1, 2, 3, . . .^ p — \ und ^ oder Null
in verschiedene Summanden der Reihe 1, 2, 3, . . ., ^-^ (mod. p)
bedeuten. Ebenso findet sich
(105) Jj[(l -x^) = ß^^ ß^x + ß,x'-^. . • + ßp-ixP-\
/. = !
worin ß^, ß^, . . ., /3^_i und /3p, wenn ßQ= 1 i- ßp gesetzt wird, den
Unterschied der Anzahlen bedeuten, wie oft die Zahlen 1, 2, 3, . . .,
p — 1 und p oder Null in eine gerade und in eine ungerade Anzahl
verschiedener Summanden jener Reihe (mod. p) zerfällt werden können.
256 Relative Zerfällungen (mod. m).
Zur Bestimmung der Zahlen a, setzen wir in (104) einmal x = 1^
das anderemal x = r und gewinnen so die Beziehungen
(106) 2^^'= «0 + «1 + «2 + • • • + «P-i
p'
(107) Jjf(l + r^) = a,-^ a,r -{■ a,r' + • . •■}- ap^,rP-\
Ä=i
Nun ist
p' p' p — 1
jTT (1 + yA) = r^ä . JJ(^i ^ ,,-A) _ y^^Ä . rj^i ^ ^k^
h=i h=i h=p'+i
und, da
(108) 2"'*=l + 2 + 3 + ... + ^=^
und nach Nr. 1 (4 a)
]7(i + r'.)=i
ist, so geht die obige Gleichung in die folgende über:
p p- — i.
demnach ist
p' p^—i
TT(l 4- ^A) = + y 16 ,
h=i
Um hier über das unbestimmte Vorzeichen zu entscheiden, schreibe
man
P' £v;i _P' ( A _A\ P- — 1 p'
Tl(l+r^)==r^^ 'TTyr^ + r ^) = 2P'-r^^ -TTcos— ,
Ä=l Ä = l Ä = l
p^— 1
woraus zu ersehen ist, daß r ^^ mit positivem Faktor multipliziert,
also
p' p"^ — 1
(109) JJ{l + r^) = + r~^
h=i
ist. Wenn nun ~ gerade, d. h. (-) = + 1 ist, so nenne man y
den kleinsten positiven Rest der ganzen Zahl ? so daß
(110) ^-=1=^ (mod.i,);
ist dagegen ^ 7 ungerade, d. h. (— ) = — 1, so bezeichne man mit y
den kleinsten positiven Rest der ganzen Zahl ~^ — h — ? so daß
(llOa) Pl^ + l=y (mo±p).
Das Elementensystem 1, 2, 3, .
p-1
(mod. p).
257
Im ersteren Falle ist r ^^ = r'^, während sicli im zweiten Falle
r ^^ = — ry ergibt. Daher kann (109) in der Form
geschrieben werden, und daraus folgt wegen (107) die Beziehung
welche wegen der Irreduktibilität der Kreisteilungsgleichung die Gleich-
heit aller Koeffizienten der verschiedenen Potenzen von r, d. h. die
Gleichungen
(111) «0 = «1 • • • = «x-i = «•/ - (p) = «y+i • • = «i,-l
erfordert. Verbindet man diese mit der Gleichung (106), so erhält
man sogleich die folgenden Wertbestimmungen:
■2'
(112)
«v =
-■-© . n
+ (|)
«„ = 1
^'-©
— (i von Pj y verschieden)
für die gesuchten Anzahlen.
Verfährt man, um die Zahlen ßi zu bestimmen, genau wie zuvor
jetzt mit der Gleichung (105), so gelangt man zunächst zu den Be-
ziehungen
(113) 0 = /3o+A+ft+... + ^^_i
(114) YI^^~ '■"^ -ßo+ßi>- + ß,r' + ■■■ + ß,-trP-K
Da nun
JJ(1 - r^) = r^K(- 1)P'-J^{1 - r-^) = r^". (- 1)^'- |T(1 - r^)
/' = 1 Ä = l ä=p4-1
geschrieben werden kann, findet sich wegen (4) und (108)
und folglich
Ä = l
P'
p-^-1
JJ(1 _ r^^) = ± r 16 •!/(- l)p' p.
h=i
Bachmann, niedere Zahlentheorie. 11.
17
258 Relative Zerrällungen (mod. m).
Da ferner
hn
rj(l - r^') = 2p'- (- i)p'- r i^ jTTsin
A = l h = l
gesetzt werden kann, bestimmt sich leicht das Vorzeichen der rechten
Seite als dasjenige von (—1) ^ , so daß genau
p' p' — 1 p- — 1
JJ(l _ r^^) = (_ l)"8-. r'^.yi^-iy.p
zu setzen ist, oder dem Obigen zufolge noch einfacher
jj(i _ r'o = ry-Yi-iy-p.
h = l
Ersetzt man hier endlich die Quadratwurzel zur Rechten durch den
ihr bekanntlich gleichen Ausdruck
^rg - ^r
C r
worin (), Vy wie früher, die quadratischen Reste, resp. Nichtreste (mod. 2>)
bedeuten, welche positiv und kleiner als p sind, so geht aus (114)
die Gleichung
(114a) ^'{y,^ ~2''') = ^» + ^''* + A'"' + • • • + (^i-i*"""'
hervor, welche wieder erfordert, daß die Koeffizienten der verschiedenen
Potenzen von r sämtlich gleichen Wert haben. Da nun die Zahlen
Q + y, V ■\- y sämtliche Reste (mod. p) mit Ausnahme des Restes y
darstellen, finden sich so die folgenden Gleichungen:
in welchen «q, s^, . . ., £p_i lauter Einheiten, zur Hälfte positiv, zur
anderen Hälfte negativ, bedeuten. Ihre Verbindung mit (113)
liefert sogleich die Werte:
(115)
\ßi=Bi {i^y).
Für ß^ ergibt sich der Wert + 1. Die Einheit Sq hat nämlich
das Vorzeichen desjenigen Gliedes zur Linken von (114 a), für welches
y -\- n^O (mod. p\ d. h. n^E — y (mod. jp) ist; nun ist stets 2y =
p^ — i
(mod. p)f also Ay = ^-— — und
p'-l _P-1 pi-l _p~l ( p-i\ /y-iy
folglich
Das Elementensystem 1, 2, 3, . . ., ^ (mod. p).
d. h. (— ) = 1- Demnach ist auch (— j =1, d. li. 7i eine der Zahlen q
und daher 6q= + 1. Aus i3o=l folgt endlich ßp=0. Diesen
Werten der Zahlen ßi zufolge gestattet die Zahl y ebensoviel
gerade wie ungerade Zerfällungen in verschiedene Sum-
manden der Reihe 1, 2, 3, . . , ^-^— (mod.^), nämlich nach (112)
-■-©
+ !•©
2p ' 2 \p,
Zerfällungen von jeder der beiden Arten. Für jede andere
der Zahlen 1, 2, 3, . . ., ^ — 1 ist die Anzahl der Zerfällungen
der einen Art um eine Einheit größer als die der anderen
Art; welche Anzahl jedesmal die überwiegende ist, dies aufzuweisen
übergehen wir hier der Kürze halber und verweisen den Leser in
bezug hierauf wie auf manche andere Einzelheiten der Untersuchung
auf die Sternsche Arbeit selbst.
13. Wir müssen uns darauf beschränken, noch von der eigenartigen
Verwendung, welche Stern in seiner Arbeit von den voraufgehenden
Resultaten gemacht hat, das Wesentliche hier mitzuteilen.
Bezeichnen s^, fg? • • ? ^p—i positive oder negative Einheiten, so
2
wollen wir jeden Ausdruck
(116) e^.i + 1,^.2 + ... + s^.P^,
d. i. jedes aus den Zahlen 1, 2, 3, . . ., ^^^ gebildete Aggregat
kurz eine Form nennen und zwar eine gerade oder ungerade Form,
je nachdem die Anzahl der negativen Glieder oder Einheiten gerade
oder ungerade ist. Solcher Formen gibt es im ganzen
und darunter ebensoviel gerade als ungerade, nämlich
i , P'(l>'-i) , p'(p'-l){p'-2)(p'-S) _9y_i
"^ 1-2 "^ 1.2-3-4 "^
gerade und ^. j>- (j>' - D (^ - 2) _ ._,
l"^ 1-2-3 "^■■'
ungerade Formen.
Als Hauptformen bezeichnen wir diejenigen Ausdrücke (116),
welche (mod.^) kongruent mit ^—^ — sind; zu ihnen gehört, da
(117) 1 + 2 + 3 + .. .+^-^=£1^
ist, die Form mit lauter positiven Gliedern, die, weil jede andere
17*
260 Relative Zerfälliingen (mod. m).
Hauptform mindestens ein negatives Glied enthalten muß, von diesen,
welche negative Hauptformen heißen sollen, als positive Haupt-
form unterschieden werden soll. Die Anzahl der negativen Hauptformen
ist ebenso groß, wie die Anzahl der aus verschiedenen Summanden der
Reihe 1, 2, 3, . . ., ^~^ gebildeten Summen, welche der Null kongruent
sind (mod p). Denn, ist
^1 + ^2 + • • • = 0 (mod. p)
eine solche Summe, so entsteht, wenn sie zwiefach von der Gleichung
(117) subtrahiert wird, links eine Form, in welcher die Zahlen e^,
^2, ... negativ, alle übrigen positiv genommen sind, und deren Wert
«* — 1
kongruent ^—' — (mod p) ist, es entsteht also eine negative Haupt-
form und zwar eine gerade oder eine ungerade, je nachdem jene Summe
aus einer geraden oder ungeraden Anzahl verschiedener der Zahlen
1, 2, 3, . . ., ^—^ besteht. Da es ap solche Summen, darunter aber
wegen ßp==0 ebensoviel gerade wie ungerade gibt, so entstehen also
(118) 2"^-^ 2
gerade und ebensoviel ungerade negative Hauptformen. Auf die ge-
nannte Weise entsteht aber auch jede negative Hauptform; denn,
sind e^j e^j e.^, ... die negativen Glieder einer solchen, so wird der
Unterschied zwischen der positiven und dieser negativen Hauptform
einerseits gleich
andererseits kongruent Null (mod. p) sein, woraus auch die Summe
61+62 + e^-i = 0 (mod.^),
d. i. als eine der gedachten, der Null kongruenten Summen aus ver-
schiedenen der Zahlen 1, 2, 3, . . ., —~ hervorgeht Setzt man
also kurz
(119) |«P=A,
SO beträgt, die positive Hauptform mit eingerechnet, die
Anzahl aller Hauptformen 1 + 2^, unter welchen 1 -f A gerade
und A ungerade Formen sind.
Wir suchen ferner die Anzahl der Formen, welche kon-
gruent Null sind (mod p). Sie beträgt
■2'
pl , /2
C^y = h
()•
Die aus 1, 2, 3, . . ., •? gebildeten Formen (mod. p). 261
i
Ist nämlich
^1 + ^2 + % H
eine Summe aus verschiedenen Zahlen der Reihe 1, 2, 3, . . ., ,
welche kongruent y ist (mod. p), so erhält man durch zwiefache
Subtraktion derselben von der positiven Hauptform, da 2y stets
kongruent ^—z — ist, eine Form, welche der Null kongruent ist (mod.^),
und umgekehrt entsteht auf solche Weise auch wieder jede der ge-
dachten Formen aus der positiven Hauptform. Da zudem die ent-
stehenden Formen offenbar gerade oder ungerade sind, je nachdem jene
Summen aus einer geraden oder ungeraden Anzahl Summanden be-
stehen, und es wegen ßy = 0 von jeder dieser Arten gleich viele
gibt, so gibt es auch gleich viel gerade wie ungerade Formen,
welche der Null kongruent sind, nämlich, wenn
(120) i«,= ^
gesetzt wird, ^ gerade und /t ungerade solcher Formen.
14. Um nun auch die Anzahl der Formen zu bestimmen, welche
einen der übrigen Reste (mod. p) lassen, bedürfen wir einer Yor-
betrachtung.
Sei
(121) s,-l -^ 6,-2 -{■-■'+ B^-i-^= s (mod.p)
2
eine Form, welche den Rest s läßt, und k irgendeine durch p nicht
teilbare Zahl. Multipliziert man mit dieser Zahl k die vorstehende
Kongruenz und setzt, wie im Gau ßischen Lemma der Theorie der
quadratischen Reste
2 2
WO die rechten Seiten die absolut kleinsten Reste der bezüglichen
Produkte, also tj^j rj^y . . ., rjp—i positive oder negative Einheiten und
2 _
A'i, Jc2, . . ., kj^^i verschiedene Zahlen der Reihe 1, 2, 3, . . ., ^-— ,
zusammen also diese gesamte Reihe bedeuten, so ist bekanntlich
jenem Lemma zufolge
die Kongruenz (121) aber erhält die Gestalt
^1^1 • ^1 + ^2^2 • ^2 H f- ^p-i Vp-i • ^p—i = t (mod. p),
2 2 2
wo t = sJc gedacht ist. Aus der zuerst betrachteten Form ist
somit eine neue entstanden, und da
262 Relative Zerfälluugen (mod. m).
ist, so wird das Produkt der Einheiten für beide Formen gleichen
oder entgegengesetzten Wert haben, d. h. aber: die beiden Formen
werden gleicher oder verschiedener Art, entweder zugleich
gerade resp. ungerade, oder die eine gerade, die andere un-
gerade sein, je nachdem h quadratischer Rest oder Nicht-
rest von p ist. Ist s eine nicht durch p teilbare Zahl, so wird
bei diesem Vorgange der Rest der Form, der sich in t^slc
verwandelt, seinen quadratischen Charakter je nach diesen
beiden Fällen behalten oder wechseln.
Nunmehr sei s=^—^ — , d. h. die Form (121) eine Hauptform, und
t irgendeine der Zahlen 1, 2, 3, . . ., —^ . Da ^— r— nicht durch p
teilbar ist, kann ein Wert h so bestimmt werden, daß t '=z ^— - — • h
(mod. ^). Demnach entsteht aus jeder der \ -\- 2 X Hauptformen eine
Form, welche kongruent t ist (mod. p), durch Multiplikation mit /c.
Die so entstehenden 1 + 2 A Formen sind auch alle voneinander ver-
schieden, denn entstünde aus zwei verschiedenen Hauptformen f und
f dieselbe Form, so würden offenbar durch Multiplikation dieser
letzteren mit dem Sozius ^ von h wieder die Hauptformen f und /'
hervorgehen, diese also nicht verschieden sein können. Endlich er-
schöpfen jene 1 -f 2 A Formen aber auch alle Formen, welche kon-
gruent t sein können. Denn aus einer Form, welche den Rest t läßt,
muß durch Multiplikation mit A;' eine solche entstehen, die den Rest
hH^^—z — (mod. p) läßt, d.h. eine Hauptform ist, aus der nun um-
gekehrt jene durch Multiplikation mit li hervorgeht. Es gibt dem-
nach genau 1 + 2A Formen mit dem Reste t.
Welche dieser Formen nun gerade, welche ungerade sind, hängt
einerseits davon ab, welcher Art die Hauptform ist, aus der sie ent-
stehen, andererseits von dem Werte von ( ), welcher wegen der
Kongruenzen
t = ^-~- ''k^2y'k (mod. p)
mit demjenigen von (-^) oder, da (— j = 1 gefunden worden, mit
2 /\ / 2 t\
j gleich ist. Ist ( j = + 1, so werden die
1 4- A geraden Hauptformen ebensoviel gerade, die X ungeraden
Hauptformen ebensoviel ungerade Formen mit dem Reste t liefern;
ist y^ — ) = — 1, so verhält es sich umgekehrt: jene liefern 1 -f A
Die aus 1, 2, 3, . . ., ^ — - gebildeten Formen (mod. p), 263
ungerade, diese A gerade Formen mit dem Reste t Oder man erhalt
folgenden Satz:
Ist ( — j^^y ^^ lassen jeden quadratischen Rest genau
1 -^ ?. gerade und X ungerade Formen, dagegen jeden qua-
dratischen Nichtrest genau X gerade und 1 4- A ungerade
Formen- Im Falle ( — j = — 1 gilt umgekehrt für jeden qua-
dratischen Rest das letztere, für jeden quadratischen Nicht-
rest das erstere.
Oder man darf auch sagen: Die geraden Formen gehen den Rest t
l(l4-(=f')) + ;. ma,,
die ungeraden Formen
Man kann endlich noch bemerken, daß aus jeder Form (116) durch
Multiplikation mit 2 eine aus den Zahlen 2, 4, 6, . . ., p — 1 ebenso
gebildete Form gleicher Art, die nämlich zugleich mit jener eine
gerade oder eine ungerade ist, herrorgeht, daß aber der Rest, welchen
diese letztere läßt, mit dem Reste der ersteren gleichen oder ent-
gegengesetzten quadratischen Charakter hat, je nachdem (— j = + 1
oder — 1 ist. Mit Beachtung hiervon schließt man aus dem letzten
Satze den anderen Satz:
Ist ( — ) = 1, so lassen jeden quadratischen Rest genau
1 + A gerade und X ungerade Formen, dagegen jeden qua-
dratischen Nichtrest X gerade und 1 -\- l ungerade Formen
der neuen Art. Für ( — j = — 1 verhält es sich umgekehrt.
Nimmt man aber eine der neuen Formen mit entgegengesetztem
Vorzeichen und ersetzt dann die Zahlen — 2, — 4, ..., — (/? — 1)
durch die ihnen (mod })) kongruenten Zahlen p — 2, p — 4, . . ., 3, 1,
so entsteht eine aus den letzteren Zahlen ehenso gebildete und zu-
gleich mit jener Form gerade und ungerade Form, während der Rest,
den jene laßt, denselben oder den entgegengesetzten quadratischen
Charakter hat wie der Rest der neuen Form, je nachdem (— -) = + 1
oder — 1 ist Infolge davon fließt aus dem zuletzt ausgesprochenen
Satze noch der folgende, der von allen bisher erhaltenen der ein-
fachste ist.
Die geraden aus den Zahlen 1, 3, 5, . . ., p — 2 gebildeten
Formen lassen jeden quadratischen Rest 1 + A mal, die un-
geraden Formen X mal, dagegen lassen die geraden Formen
264 Rekursionsformeln.
jeden quadratischen Nichtrest X mal, die ungeraden Formen
1 -\- X mal. Zudem gibt es ^ gerade und ebensoviel ungerade
Formen, welche den Rest Null lassen.
Mit diesem eleganten schon Eisenstein bekannten /S^erwschen Satze
beschließen wir die Behandlung der relativen Zerfällungen einer Zahl
(mod. m)y und wenden uns nun wieder zu Untersuchungen, welche
die absoluten Zerfällungen betrejffen.
SechstesKapitel.
Kekursionsformeln.
1. In diesem Abschnitte werden wir von einer ganzen Kategorie
von Rekursionsformeln handeln, deren analytische Quelle die gleiche
ist, wie sie Euler für die Zerfällung der Zahlen benutzt hat: die Ent-
wicklung unendlicher Produkte in Potenzreihen. Sie beziehen sich
auf die mannigfaltigsten zahlentheoretischen Funktionen. Wir heben
darunter hervor die Anzahl
(1) ft=iV(s=2'«/)
der Zerfällungen der Zahl s in lauter verschiedene positive
Summanden, welche nach Kap. 3, Nr. 4 der Anzahl ihrer Zer-
fällungen in gleiche oder verschiedene aber ungerade
Summanden:
(la) (7,= JV(s=^^,w,)
gleich ist; ferner die Anzahl
(2) Cf=jv(s=2'»0
der Zerfällungen der Zahl s in verschiedene ungerade Sum-
manden, sowie die Anzahl
(3) rs^N(s^^lia)j
ihrer Zerfällungen in positive Summanden überhaupt Da
aus der Gleichung s = '^hi Ut sich
s = y]hi (mod. 2)
ergibt, folgt aus (la) offenbar die Beziehung
(4) iv(s=_^Ä,M,; (-!)«.•)=(- l>'-a;
desgleichen, wenn man mit X die Anzahl der Elemente in der Gleichung
s = ^Ui bezeichnet, so daß s = A (mod. 2) wird, aus (2) die Beziehung
(5) N{s^^iu;(-iy)=(-iy-of\
Verschiedene zahlentheoretische Funktionen. 265
Wir bezeichnen ferner nach dem Vorgange von Licmvüle mit g(s)
die Anzahl der Teiler von s, mit
(6) k{s)^y]d
s = d6
die Summe dieser Teiler, und allgemeiner mit •
die Summe der w*^^ Potenzen aller Teiler von 5, so daß
Us)=t{s).
Mit
(8) ttis)=^u
S^UV
(9) t{{s) =^g
sei die Summe der ungeraden resp. der geraden Teiler von s
bezeichnet, so daß fi'(s) = ^^(s) ist, sooft s eine ungerade Zahl, und
(10) , d,is) = itis) - m
bedeute den Unterschied dieser beiden Summen; endlich sei q (s)
der Unterschied zwischen der Anzahl der Teiler von 5,
welche die Form 4k -\- 1 haben, und der Anzahl derjenigen
von der Form 4Jc -\- 3, so daß
(11) K«) =2'(- 1)'
u—l
gesetzt werden kann, wenn die Summe auf sämtliche ungeraden Teiler
von s ausgedehnt wird; demzufolge wird
(IIa) ^(,)='V(-1)V
s=d6
falls s eine ungerade Zahl, und die Summe über sämtliche Teiler
dieser Zahl erstreckt ist.
2. Den Ausgangspunkt unserer Betrachtungen bildet der Legmdre-
Eulersche Pentagonalzahlensatz oder die Gleichung (167) des o*^^
(12) j7(i-^^o=^(-i)"-^ ' •
Verbindet man sie mit der Formel
Ä=l m=0
durch Multiplikation, so erhält man zuvörderst die Beziehung
266 Rekursionsformeln.
1
-2^- ^y
<n'--f n
cT — H "'
die, wenn alle Glieder zusammengefaßt werden, welche dieselbe
Potenz c(f ergeben, die Gestalt
s = 0 ^ n 2
annimmt, wo die auf n bezügliche Summation so weit fortzusetzen
ist, als s ~ — > 0 bleibt. Hieraus folgt aber durch Vergleichung
gleicher Potenzen von x auf beiden Seiten für jeden positiven
Wert von s die von Euler (Novi Comment. Petrop. 3, S. 155)
gegebene und von Zeller (Acta Math. 4, S. 415) wiederholte
Rekursionsformel:
(13) y(-i)"-r s„--±.-o,
der man auch folgende Gestalt geben kann:
(14) r, =^^(- 1)^- [r 3n^ + n + r Zn^-n\
worin die Summation über alle positiven ganzen Zahlen n auszudehnen
ist, für welche die Indices der Funktion P nicht negativ werden; der
Index Null tritt offenbar dann und nur dann auf, wenn s eine Pentagonal-
zahl, s = — -^= — ist, und dann ist rj) = 1 zu setzen.
Dieser Formel hat Stern (Journ. f. Math. 21, S. 177) zwei andere
an die Seite gesetzt, welche sich auf die Funktion Cs beziehen. Die
letztere ist der Entwicklungskoeffizient des Produkts
(15) I7(i+a^)=2'c«-^''.
Ä = l « = 0
Schreibt man aber
Ijd-.-)
jj(i + ^')=^
A = l
fl=l
und benutzt die Beziehung (12), so erhält man aus (15) die Gleichung
y^,^» ^ CO 8m^_±m'
m = 0
aus welcher die neue:
^
Sätze von Euler, Stern, Zeller. 267
, Zm^ + m
n + -
«, 7ft 7/1 = 0
oder, wenn links alle Glieder zusammengefaßt werden, welche dieselbe
Potenz oif ergeben, diese andere:
« = 0 ^ m 2 / ^^0
hervorgeht. Vergleicht man hier die Koeffizienten gleicher Potenzen
von X auf beiden Seiten, so ergibt sich der Satz:
Die Summe
(16) 2^~ ^^''' ^- ^"'^"^
n 2
ausgedehnt über alle Zahlen w = 0, 1, 2, 3, . . ., für welche
s ^ —^ nicht negativ wird, ist gleich (—1)"* oder Null,
je nachdem s das Doppelte einer Pentagonalzahl, s = 3m*+m
ist oder nicht ist. Unter Cq ist 1 zu verstehen.
Seinen zweiten Satz erhielt Stern durch Verbindung zweier anderen
analytischen Formeln, deren eine die Eulersche Gleichung (10) des
dritten Kapitels: ^
TT(1 + X^) =TJ —;, («*> 0 und ungerade),
h = l u
deren zweite die von Gauss (summatio quarundam serierum singu-
larium, art. 8) gegebene Beziehung
°o ^ 2h _^_ n{n-{-l)
7i=l
ist. Mit Rücksicht auf (12) und (15) nimmt diese die Gestalt an:
ao CO 00 w (n -j- 1)
« = 0 «=0 n=0
WO die linke Seite auch in der Form
•X 2 ,
s = 0 ^ n ^
geschrieben werden kann, und man findet daraus den Satz:
Die Summe ^-i, ^. ^
n
ausgedehnt über alle >^ = 0, 1, 2, 3, . . ., für welche s — ^n^+n
nicht negativ wird, ist 1 oder 0, je nachdem s eine Trigonal-
, T m m-\-l) . , j • 1 . • .
zahl, s = — - ist oder nicht ist.
268 Rekursionsformeln.
3. Eine besonders berühmt gewordene, auf die Summe der Teiler
einer Zahl bezügliche Rekursionsformel erhielt Euler ^) aus der Glei-
chung (12) durch einen Prozeß, welcher der logarithmischen Diffe-
renzierung gleichkommt. So entsteht daraus zunächst die Formel
00 Sn^ + n
Vlog. (1 - ^^) = log. V(- 1)^- x~'^~
Ä=l
und nun, da
X • cZlog. (1 — x^) = Y ^~ x ^^^'^>
also
00
X . V^ log. (1 - x^) = -^hx'^' = -V Ji {n)x''
h i,h « = 1
ist, die folgende Beziehung:
3n^ + n
^(_i)«-i. !^^^-f
(18) ^lM)x-
n = l
_ 00 dn^ ±n
Wenn aber hier der Nenner fortgeschafft und in der dann links
auftretenden Doppelsumme alle Glieder mit derselben Potenz af zu-
sammengefaßt werden, so findet sich
3«^ + w
s=l \ n / n = l
Sn^±n\ \ _ ^.-1, . _, ^ Sn^±n
X
2
und demgemäß folgender Satz:
Die Summe
n
ausgedehnt über alle w = 0, 1, 2, 3, . . ., für welche s f^^-
o 2 I
positiv ist, ist (— 1)"*— ^ . ^^ — ^ oder Null, je nachdem
s eine Pentagonalzahl, s == ^\~" — ist oder nicht ist. Man
darf diesen Satz auch als Gleichung schreiben:
(19) ^i-iy^s-'-^) = o,
n
1) Euler: Decouverte d'une loi tout extraordinaire des nombres par rapport
ä la somme de leurs diviseurs. Observatio de summis divisorum. Demonstratio
theorematis circa ordinem in summis divisorum observati. Commentat. arithm.
coUectae I, S. 234, 146; II, S. 639.
Sätze von Euler, Stern, Zeller. 269
wenn man die Summation über alle n = 0, 1, 2, 3, ... ausgedehnt
denkt, für welche s f=^- nicht negativ ist, und überein-
kommt, unter dem Zeichen f^ (0), welches nur dann auftreten wird,
* falls s eine Pentagonalzahl , s = ^= — ist, diese Zahl s selbst zu
verstehen.
Durch Multiplikation der Gleichung (18) mit der anderen:
sc 00
n = 0
und mit Berücksichtigung der Gleichung (12) entsteht ferner die
folgende:
n — 1 ??=0 ?j = l
deren rechte Seite in der Form
geschrieben werden kann. Daher erschließt man aus ihr die
Beziehung
(20) kis) = y(- 1)-^ ■ ^^ r an^^n.
n 2
in welcher die Summation auf alle Zahlen ^^ = 1, 2, 3, ... zu
erstrecken ist, für welche s ^^— nicht negativ wird.
Diese letzte Formel verdankt man Zeller (Acta Math. 4, S. 416).
Durch Vergleichung des aus (19) entnommenen Wertes von %^ (s)
mit dem in (20) gegebenen findet sich noch die von Stern (Acta Math.
6, S. 327) erwähnte Gleichheit
(20a) 2'(- !)"-'■ '^'J^,_-1±.=2'(- 1)''-H.(s - ^),
n 2 „
in welcher beiderseits von n = \ an zu summieren ist.
Ferner entsteht durch Multiplikation der Gleichung (18) mit dieser
anderen:
1
wenn dabei
n = 0
270 Rekursionsformeln.
jrT(i - x'^^) = V(- iyx^^'±^
gesetzt wird, die folgende:
^{-iyx^-'-±».^i,{n)x- -^CnX-'^{- ^y-^—^^x
3n2 + n
%
Wenn hier die Multiplikationen ausgeführt und die Koeffizienten
gleich hoher Potenzen rechts und links verglichen werden, so geht
folgende mit (20a) analoge Gleichung hervor:
(20b) 2"^- !)"• ^.(« - 3~^+ «) -^{- 1)"-^-^^ C_5^„,
n n ^
WO links von ^ = 0, rechts von >^ = 1 an so weit fortzuschreiten ist,
als das Argument von J^ positiv, der Index von C nicht negativ wird
{Siern, Acta Math. 6, S. 328).
4. Geht man, statt von der Gleichung (12), von der folgenden:
OO 00
JJ(1 _ ^2/.) = V(- 1)«. a;3-^-±«
aus, so entsteht durch deren logarithmische Differenzierung statt (18)
diese Beziehung: ^
^ei^(2^).a;2«==-_^
und aus ihr der neue Satz: Die Summe
^(-l)--f/(s-39^^+n),
" (s gerade)
ausgedehnt über alle Zahlen n = Of 1, 2, 3, . . ., für welche
s — 3w^ + n positiv bleibt, ist (— 1)"*-^- (3m^± m) oder Null,
je nachdem s das Doppelte einer Pentagonalzahl, s = 3m^+m
ist oder nicht ist. Dieser Satz kann wieder in Gestalt einer Re-
kursionsformel gefaßt werden:
(21) ^{- l)n . j.(s - 3n2 + ^) = 0,
n
worin die Summation über alle w = 0, 1, 2, 3, . . ., für welche
s — ^n^"^ n nicht negativ ist, zu erstrecken und unter dem Zeichen
J;(0), welches nur dann auftritt, wenn s = 3m^+m ist, die
Zahl s selbst zu verstehen ist. — Ähnlicherweise liefert die Formel
« = 0
die Beziehung
Sätze von Stern und Glaisher. 271
0
n=i Vr<f>a;"
n = 0
und hieraus den Satz: Die Summe
ausgedehnt über alle n = 0, 1, 2, 3, . . ., für welche s — n nicht
negativ wird, hat den Wert S'r^^\ in Zeichen:
(22) ^tiin)-r^rln-s-ri"\
n
Die gleiche Behandlung der Ö^ai(5sischen Formel (17) aber führt
zu der Gleichung ^ n{n-\-i)
(23) -^^f {2n)x^'^ 4-^£?(^)^" = ^"' , .(. + i) '
n=0
deren linke Seite einfacher
n = l
geschrieben werden kann, und hieraus zu dem Satze: Die Summe
n
ausgedehnt über alle n = 0, 1, 2, 3, . . ., für welche s j"
positiv bleibt, ist gleich ^^H^^-h oder Null, je nachdem s
eine Trigonalzahl, g = » ist oder nicht ist, mit anderen
Worten: es besteht die Gleichung
(24) 2'<^,(,_!^(?i±l)) = 0,
n
wenn die Summation so weit fortgesetzt wird, als das Argument der
Funktion d^ nicht negativ wird, und für das Zeichen di(0), das nur
dann auftritt, wenn s eine Trigonalzahl ist, der Wert — s gesetzt wird.
Die letzten drei Sätze finden sich zuerst bei Stern (a. a. 0.), der
dritte derselben später auch in einer Arbeit von J, W. L. Glaisher
272 Rekursionsformeln.
(Proceedings of London Math. Soc. 15, 1883/4, S. 104). Hier wird
der Formel (24) noch eine beachtenswerte andere an die Seite gesetzt.
Um sie zu erhalten, multipliziere man in der Gleichung (23) Zähler
und Nenner der rechten Seite mit
Das Produkt im Zähler ist dann
(25) ^{'"2-^^)
Je (Je 4- 1)
ist also 7^ die größte, die Zahl n nicht überschreitende Trigonal-
zahl, in Zeichen;
(26) m)^^<(^ + m^ + ^
SO wird
der Ausdruck (25) also gleich
^-^kiJci- l){k + 2)
2
X'\
ö
n = l
Desgleichen ist das entwickelte Produkt im Nenner gleich
^{lc+1).^,
n = 0
WO ebenso wie zuvor die Zahl Ic durch die Ungleichheiten (2ß) be-
stimmt wird. Somit findet sich zunächst
(27) 2^1«^"= —
Jc{]c-{.l){Jc^
6
^(^+1)'
~ l-\- 2xi- 2x^-\-3x'-{- 5 x^-^Sx'-\-4:X^ ■}-■■■ '
durch Multiplikation mit dem Nenner entsteht aber zur Linken eine
Doppelsumme; werden in ihr die Glieder zusammengefaßt, welche
dieselbe Potenz x^ ergeben, und nun die Koeffizienten gleicher Po-
tenzen von X auf beiden Seiten verglichen, so erhellt das folgende
Ergebnis:
(28)
er Ausdruck
+ 2d,(s-l) + 2
+ 3.di(s-3)-f 3
+ 4.di(s-6) + 4
Arithmetische Methoden. 273
di(s-4) + 3.di(s-5)
di(s - 7) + 4 • di(s - 8) + 4 . d,(s - 9)
+
fortgesetzt, solange die Argumente der Funktion d^ noch
positiv bleiben, ist gleich
{m — 1) m (m + 1) _ wi'— m
~ 6 6~'
wenn m durch die Ungleichheiten
(28a) (»^. = ^ < «(- + 1)
bestimmt gedacht wird.
5. Wir suchen nun diese auf analytischem Wege hergeleiteten
Sätze auch rein arithmetisch zu begründen, indem wir uns zu
diesem Zwecke der schon mehrfach benutzten Abhandlung von
K. Th. Valilen (Journ. f. Math. 112, S. 1) anschließen.
Zunächst ist eine Reihe allgemeiner Formeln zu beweisen, die
wir in der Folge als Vahlensche Grundformeln bezeichnen werden.
Man denke sich irgendeine Zerfällung:
(29) s==VciGr,
der positiven ganzen Zahl s in positive Elemente, deren jedes mehr-
fach auftreten darf, und nenne v die Anzahl der voneinander ver-
schiedenen Elemente a,-. Indem man X beliebige ä/ der letzteren
aus der Summe herauszieht, nimmt die Zerfällung die Form an
;.
(30) s =^ä, -\-^hai,
1
worin die Elemente ai nicht von den üi verschieden zu sein brauchen
und die Koeffizienten Ä\ derjenigen a,, die zu jenen zählen, um 1
kleiner sind, als die entsprechenden c,. AUe ZerfäUungen (30), welche
in solcher Weise aus der gedachten ZerfäUung (29) hervorgehen
können, mögen die Gruppe der letzteren heißen. Die ZerfäUungen
(30), welche einer anderen Gruppe angehören, sind ersichtlich von
den vorigen verschieden, denn in einer anderen Zerfällung (29) von
s sind entweder zwar die gleichen Elemente a,, aber andere Koeffi-
zienten d vorhanden, oder aber sie besteht aus anderen Elementen ttf.
Andererseits gehört jede Zerfällung (30) einer bestimmten Gruppe an,
d. h. sie entsteht aus einer bestimmten ZerfäUung von der Form (29).
Nun betrachte man alle möglichen ZerfäUungen von s von der
Bachmann, niedera Zahlentheorie. 11. Jg
274 Rekursionsformeln.
Form (30) und zähle jede von ilinen positiv oder negativ, je nachdem
l gerade oder ungerade ist, d. i. so oft, als (— 1)^ angibt; man bilde
also in Vahlenscher Bezeichnung die Anzahldifferenz
Nfs=^ä,+^har, {-iy\
Die erste der VaMenschen Grundformeln lautet dann:
(31)
N{s=^ä:+^kar, (-1)A = 0.
Diese auf sämtliche Zerfällungen von der Form (30) bezügliche
Formel wird bewiesen sein, wenn gezeigt wird, daß sie gilt, wenn
sie nur auf alle Zerfällungen einer beliebigen Gruppe bezogen wird.
Handelt es sich aber um die Gruppe einer bestimmten Zerfällung (29),
so kann X nur die Werte 0, 1, 2, . . ., v erhalten^, und jedem Werte l
dieser Reihe entsprechen lA Zerfällungen der Gruppe, die mithin zur
Anzahldifferenz (31) den Beitrag (V\ • (—1)^ liefern. Zusammen geben
also sämtliche Zerfällungen der Gruppe den Beitrag
i-(i)+(;)-Q+--+(-i)-(:)=(i-i)'=o,
was zu beweisen war. —
Die Betrachtungen, durch welche die Formel (31) gewonnen worden
ist, bleiben offenbar durchweg in Kraft, wenn die Elemente a^-, statt
als beliebige positive ganze Zahlen, sämtlich als positive ungerade
Zahlen Ui vorausgesetzt werden, und man kann daher sogleich
nachstehende zweite Formel schreiben:
(32)
n(s =^m,- +^kur, (- 1)M = 0,
welcher nach dem üulerschen Satze in Nr. 4 des dritten
Kapitels auch die Gestalt
(32a)
N(s='^ü,+^ar, (-])A = 0
gegeben werden kann.
Durch eine Betrachtung derselben Art überzeugt man sich von
der Richtigkeit auch der folgenden Formel:
(33) N{s=^ä,-^^hai', (-1)Ä)=0.
Die Vahlenschen Gnmdformeln. 275
6. Nunmehr sei
(34) s =^hai
irgendeine Zerfällung von s, bei welcher die v verschiedenen Ele-
mente tti nicht öfter als zweimal auftreten; von ihnen mögen /i zwei-
fach, die y! anderen nur einfach vorhanden sein. Denkt man sich
dann die Zerfällung in die Form
i
(35) s=^a,+^a,
gesetzt, wo sowohl die X Elemente a» als auch die Elemente Oi unter
sich verschieden gedacht werden, während die a, von den a, nicht
verschieden zu sein brauchen, so leuchtet ein, daß die /i zweimal
auftretenden Elemente sämtlich zu den üi gehören müssen, so daß
;i = ^ 4- ;t' gesetzt werden kann, wo A' einen der Werte 0, 1, 2, . . ., /i'
hat, während die ^' einfach auftretenden Elemente sich derartig auf
die beiden Summen verteilen, daß A' von ihnen zur ersten gezählt
sind. Wir nennen wieder alle so für die bestimmte Zerfällung (34)
möglichen Zerfällungen von der Form (35) die Gruppe derselben
und können sämtliche Zerfällungen dieser Form in solche Gruppen
verteilt denken. Wird nun wieder jede derartige Zerfällung (— 1)^ mal
gezählt, d. h. die Anzahldifferenz
N(s=^ä, + -^ar, (-l)A
(36)
gebildet, so besteht folgende Gleichung:
(37)
Beschränkt man sich nämlich zunächst nur auf diejenigen Zerfällungen
(35), welche die Gruppe von (34) bilden, so kann A' nur die Werte
0, 1, 2, . . ., /t' annehmen, und jedem dieser Werte entsprechen \\A
Zerfällungen, also der Beitrag
©•(-i)' = (r)(-l)^'-(-l)"
zur Anzahldifferenz (36); alle die gedachten Zerfällungen geben also,
wenn ft' von Null verschieden ist, den Gesamtbeitrag
(-i)"[^-(i')+e)--+(-i)'"0]=o.
Nur, wenn ^' = 0, mithin auch A' == 0 und die Anzahl der zwiefach
auftretenden Elemente der Zahl v aller verschiedenen Elemente gleich,
d. h. die Zerfällung (34) von der Form
18*
276 Rekursionsformeln.
V
1
und l = ii = V ist, liefert die dann einzige Zerfällung
V V
1 1
der zugehörigen Gruppe den Betrag (— 1)^, und die auf sie beschränkte
Anzahldifferenz (36) ist ihm gleich. Aus diesem Verhalten für die
einzelnen Gruppen ergibt sich die zu beweisende Formel (37).
Betrachte man weiter die Zerfälluugen von der Form
(38) s^^a'.+^a'/,
1 1
in denen nicht nur die Elemente jeder Summe für sich, sondern auch
die der ersten von denen der zweiten verschieden und A', X" als gleich-
artige Zahlen, beide gerade oder beide ungerade, gedacht werden.
Wenn jede solche Zerfällung positiv oder negativ gezählt wird, je
nachdem —^ — gerade oder ungerade ist, so findet sich die An-
zahldifferenz
(39) n{s =^«; +^ah (- 1)^) = 0.
Denkt man sich nämlich zunächst alle diejenigen Zerfällungen
(38), in denen die Anzahl A = A'-f Z" sowohl, wie die Gesamtheit
der a'ij a'/, die durch a^, »g, . . ., ax bezeichnet werde, dieselbe ist,
so daß ^
1
gesetzt werden kann, so entstehen sie alle aus dieser letzteren, indem
die X Elemente ai auf alle Weise in zwei Gruppen verteilt werden;
bezeichnen A', X" je die Anzahl der Elemente derselben, so gibt es
( . , ) entsprechende Verteilungen und der Beitrag derselben zur Anzahl-
differenz (39) beträgt
Ö.(-i)'-^=(-i)T. (-1)^(3,
folglich ist der Gesamtbeitrag all der gedachten Zerfällungen
)^ = 0.
(-i)^.V(-i)^'(;)=(- 1)^(1 -ly
Die Vahlenschen Grundform ein. 277
Hieraus folgt die Gleichung (39), da sie bei Beschränkung auf die
besondere Kategorie gilt, offenbar auch für alle möglichen Zerfällungen
von der Form (38). Diese Gleichung bleibt ersichtlich auch dann
richtig, wenn die aj, a- als ungerade vorausgesetzt werden.
Brauchen dagegen in den Zerfällungen (38) die Elemente der ersten
Summe nicht von denen der zweiten Summe verschieden zu sein, so
findet sich unter den sonst gleichen Voraussetzungen durch
eine Betrachtung, welche derjenigen ganz ähnlich ist, die zur Formel
(37) geführt hat, nachstehende Gleichung:
(40) iv/s=_2'»'+J'«^'; (-l/~^') = ^(s = 2^a,).
Offenbar bleibt diese auch bestehen, wenn alle a,, a', a'' ungerade
gedacht werden.
Diese Grundformeln gestatten sogleich, einen interessanten Zer-
fällungssatz herzuleiten. Betrachten wir die Anzahldifferenz
(41) nL =^«,. +^ä, +^har, (- iy+^''\
WO die Ui verschiedene ungerade, und sowohl die a^ wie die ä/ ver-
schiedene, doch sonst beliebige ganze positive Zahlen sind. Der
Grundformel (32 a) zufolge wird für alle Zerfällungen der gedachten
Art, bei denen der Teil ^Ä;,a, derselbe ist, ihr zu der Anzahldifferenz
(41) gelieferter Beitrag verschwinden, mit Ausnahme der besonderen
Zerfällungen von der Form
s =^Jciai,
für welche A = 0 ist, und somit ergibt sich im ganzen der Ausdruck
(41) gleich
(42) N{s=^har, (- 1)^".).
In derselben Weise erkennt man aber auf Grund der Formel (33)
seine Gleichheit mit
n(s=^U,; (-l)A,
d. h., da s — X mod. 2) gefunden wird, mit
(43) (-l)^.iY(s=^^(.■).
Die Gleichsetzung der beiden Ausdrücke (42) und (43) gibt den durch
die Gleichung
278 Rekursionsformeln.
(44) n{s =^u^ = (- 1>. n{s =^har, (- 1)^^/)
ausgedrückten Satz: daß jede Zahl ebenso oft in verschiedene
ungerade Elemente Zerfällbari st, als der Unterschied zwischen
der Anzahl ihrer geraden und derjenigen ihrer ungeraden
Zerfällungen in beliebige, beliebig oft genommene Elemente
beträgt.
7. Wir nehmen nun wieder zum Ausgangspunkte unserer weiteren
Betrachtungen den Eulerschen Pentagonalzahlensatz, dessen
arithmetischer Inhalt, wenn zur Abkürzung
gesetzt wird, in der Gleichung
(45) N(s=^a,; {-iy\ = N{s = S,„; {-!)")
zum Ausdrucke kommt. Unterscheidet man bei den Elementen ai
die geraden gi von den ungeraden Ui und bezeichnet mit X die Anzahl
der ersteren, mit /i die Anzahl der letzteren, so daß
111
s ^E ^ (mod. 2)
wird, so findet sich offenbar die Beziehung
(46) n(s =^ar, (- 1)A = (- 1>- Nfs =^g, +^ur, (- 1)A,
durch welche zunächst der Unterschied zwischen der Anzahl der
geraden und der der ungeraden Zerfällungen einer Zahl in verschiedene
positive Elemente einen neuen Ausdruck erhält.
Schreibt man aber die Zerfällungen
1
auf welche sich die Grrundformel (31) bezieht, in der Form
1
SO wird der Gesamtbeitrag, welchen alle diejenigen Zerfällungen, bei
denen der Bestandteil s' der gleiche ist, zur Anzahldifferenz
Neue Herleitung früherer Sätze. 279
(47) N{s=^ä, + '^k,ar, i-iy\
liefern j in Gemäßheit von (45) gleich
N{s-s'=ä>„', (-1)«)
sein. Um also die gesamte Anzahldifferenz (47) zu bilden, hat man
für alle Differenzen 5 — ö„, welche >0 sind, die sämtlichen Zerfällungen
s — ö„ = ^ hiüi
zu bilden, und jede derselben (— l)"mal zu zählen. So erhält man
den Ausdruck __, , ,^-^ ^
^(- 1)" ■ N(s - &„ =^ha>\,
n
d. i. nach (3) die Summe
n
und die Grundformel (31) führt zu der Gleichung
(48) 2'(-i)"-r._., = o,
n
die mit der Rekursionsformel (13) oder (14) identisch ist.
Behandelt man in gleicher Weise die Grundformel (37), so geht
auf Grund des Pentagonalzahlensatzes ihre linke Seite über in
2'(- 1)" • N{s - &„ =2'«') =^(- 1)" • C.-c„,
n n
während die rechte Seite, welche nur für ein gerades s von Null
verschieden ist, nach demselben Satze gleich
N[s = 2&m', (-1)'")
gefunden wird. Demnach geht die Gleichung
(49) ^i- 1)" • ^'-<^. = N(s = 2ö„; (- \Y)
n
hervor, in welcher die Summation wieder über alle n = 0, 1, 2, 3, . . .
zu erstrecken ist, für welche s -- ö„ > 0 bleibt, und die mit dem
ersten der Stern^c^Qu Sätze in Nr. 2 identisch ist.
Ferner nimmt die Formel (46) zunächst diese Gestalt an:
N[s = ö^; (- 1)-) = (- 1)^ .n(s = 2 ^a, + ^ur, (- 1)A,
wo die rechte Seite, welche sich nur für diejenigen ZerfäUungen, bei
denen s —^Ui gerade ist, von Null unterscheidet und daher auch
280 Rekursionsformeln.
geschrieben werden kann, mittels des Pentagonalzahlensatzes auf den
Ausdruck
(- 1)' -^c- ^)'' • ^ (« - 2 ö„ = 2'"') '
n
d. i. auf ^-, ^ , .
n
zurückkommt. Die vorige Gleichung verwandelt sich also in
die folgende:
(50) '2^- 1)" • ^'- ^-« = ^(« = ^- (- l)'""")'
n
eine Rekursionsformel von analoger Gestalt, wie die schon analytisch
erhaltenen beiden voraufgehenden.
8. Bevor wir andere Formeln dieser Art aufsuchen, beweisen wir
auf einfache Weise einen allgemeinen Umkehrsatz.
Sei f{s) eine für jeden nicht negativen ganzen Wert von 5 de-
finierte Funktion und ä; eine gegebene positive ganze Zahl. Besteht
dann zwischen f(s) und einer anderen Funktion F{s) für jedes eben
bezeichnete s die Beziehung
(51) ^{-\)''-f{,s-hS,„) = F{s),
n
WO die Summation wieder so weit ausgedehnt gedacht wird, als die
Argumente s — ^ö„ > 0 bleiben, so gilt zugleich die umgekehrte Be-
ziehung „^^
(52) 2^J'(s-M).r„=/^(s).
h
In der Tat nimmt die links stehende Summe nach Einsetzen des
aus (51) entnommenen Wertes von F{s — hh) den Ausdruck einer
Doppelsumme an:
n, h
welche, wenn alle Glieder zusammengefaßt werden, in denen h -\- G)n
den gleichen Wert i hat, in die Gestalt
2'(/-(«-fc»)-2'(-i)"^--»)
übergeht, wo nun, sobald i von Null verschieden ist, der Formel (48)
zufolge die innere Summe verschwindet, und demnach die ganze
Doppelsumme auf das eine Glied f{s) sich zusammenzieht.
Ein Umkehrsatz. 281
Man erkennt ebenso, daß aus der vorausgesetzten Gleichung (52)
rückwärts wieder die Gleichung (51) hervorgeht, mithin eine jede von
ihnen die andere nach sich zieht.
Die Anwendung dieses Satzes auf die RekursionsformeLn (49) und
(50) ergibt ohne weiteres nachstehende neue Beziehungen:
^N{s - /» = 2 ö,„; (- l)») . r„ = C,
h
^N{s - -2h = ö„,; (- 1)' + "') . r„ = C<'".
h
Da die unter dem Summenzeichen stehenden Anzahldiflferenzen aber
nur für diejenigen Zahlen h von Null verschieden, nämlich resp.
(— 1)"* und (— 1)*+'" sind, für welche s — h =- 2G)jn resp. s — 21i = a^
ist, lassen sich diese Gleichungen schreiben, wie folgt:
(53)
m
wo die letztere Summation nur über diejenigen m = 0, 1, 2, 3, . . .
zu erstrecken ist, für welche — ^-^ eine ganze Zahl ^ 0 wird. Durch
nochmalige Anwendung des Umkehrsatzes auf die erste dieser Formeln
erhält man vreiter die folgende:
(54) r,=^c,_2.-r,.
h
9. Nunmehr betrachten wir die Anzahldifferenz
(55) n(s =^fl,. + A-a„; (- l)^-rtA
Hierbei bedeutet A* eine beliebige positive ganze Zahl und a^ ein
positives ganzzahliges Element, das auch einem der unter sich ver-
schiedenen Elemente «,- gleich sein darf, und jede der bezeichneten
Zerfällungen von s ist a^ oder — a^ mal zu zählen, je nachdem X ge-
rade oder ungerade ist. Dem Pentagonalzahlensatze zufolge ist für
die Gesamtheit der Zerfällungen, bei denen der Bestandteil Iva^ der-
selbe ist.
N
/ 5 =^ai+ A-ao; (- lYaÄ^aQ'N(s - ka^^ ä)„] (- 1)^');
sie liefern also dann und nur dann einen von Null verschiedenen
Beitrag, und zwar den Beitrag (— 1)" • a^ zu (55), wenn üq ein Teiler
einer der Zahlen s — ö„:
282 Rekursionsformeln.
IcÜQ == S — &„
ist, und demnach wird der gesamte Ausdruck (55) gleich der Summe
(56) ^(-iy-i,{s-e,,),
n
WO die Summation so weit fortzusetzen ist, als das Argument s — &„
noch positiv bleibt.
Andererseits entspricht der Zerfällung
X
(57) s=-^ai-{-kaQ,
1
bei welcher üq einem der Elemente «, gleich ist, eine zweite Zer-
fiillung x — i
s ^^a, -\- [Je i- 1)^0
1
und die Beiträge dieser beiden Zerfällungen zum Ausdrucke (55),
nämlich (_ ly^^ und (- l)^-^ao;
heben sich auf, Ist aber üq in der Zerfällung (57) von den a,: ver-
schieden, so entspricht ihr, falls Ä; > 1 ist, eine zweite Zerfällung
X
0
und beider Beiträge
(- iy«„ und (- iy + >a„
heben sich auf. Somit bleiben nur die Zerfällungen
o
s =^^/ + a^,
1
bei denen Oq von den a» verschieden ist, und der Ausdruck (55) ist
dem folgenden gleich:
Vs =^„, + a,; (- 1)^«A
Hierbei ist aber s in irgend A + 1 voneinander verschiedene Elemente
zerfällt, von denen «q ein beliebiges bezeichnet; indem man darunter
der Reihe nach jedes derselben versteht, erhält man insgesamt den
Beitrag (_ ^y . („^ + „^ + . . . + „^) _ (_ ly . ^
und somit darf die vorige Anzahldifferenz einfacher geschrieben werden
wie folfft: / JL^ \
d. i. nach dem Pentagonalzahlensatze gleich
Neue Herleitung früherer Sätze. 283
nämlich Null oder (— l)"*-^^,«, je nachdem 8 keine Pentagonalzahl
oder eine solche, s = G)m ißt.
Durch Vergleichung dieses Ergebnisses mit dem Werte (56) ent-
steht folgende Beziehung:
(5^) ^(- ^Y' Us - ö«) = 0 oder (- l)«-i. &„.,
n
je nach den angegebenen beiden Fällen, oder auch allgemein
(59) ^(_j)".5,(s_s,) = 0,
n
wenn man die Summation so weit ausdehnt, als die Argu-
mente s — ö„ nicht negativ werden, und übereinkommt,
unter dem Zeichen fi(0), welches nur dann auftritt, wenn 8
eine Pentagonalzahl ist, diese Zahl selbst zu yerstehen.
Dies ist die in Nr. 3 bereits gegebene Etdersche Rekursionsformel
für die Summe der Teiler einer Zahl.
Schreibt man für den Wert der Summe (58) wieder
und wendet dann den Umkehrsatz der vorigen Nummer an, so geht
ähnlich wie die Gleichungen (53) folgende mit (20) identische
Gleichung:
m ^(-1)— •ö„r._<,„=£.(s)
n
hervor. Mit Rücksicht auf die Formel (48) läßt sie sich schreiben:
^(-i)".(5-ö„)r,_^„ = e,(5)
n
und ergibt so durch nochmalige Anwendung des Umkehrsatzes die
andere Formel:
(61) sr. =2^Us - h)-r, =^^/o--r.-*.
fi h
Analog dieser Gleichung, welche sich der von Stern gegebenen
Formel (22) als gleichartig an die Seite stellt, lassen sich noch
(s. Vahlen, S. 8) zwei völlig analoge Beziehungen mit Bezug auf die
Funktionen C\ und Cf^^ nachweisen, welche lauten:
h
8.ci"'=^(-i)"d"'(Ä)-c<i*.
h
234 RekuTBionsformeln.
10. So haben wir auf arithmetischem Wege einen größeren Teil
der zuvor erhaltenen Formeln wieder hergeleitet und noch andere
hinzugefügt.*) Solcher Rekursionsformeln gibt es noch eine große
Menge, doch sind davon bisher die wenigsten aus arithmetischer
Grundlage gewonnen, sondern die Mehrzahl aus einer Quelle, die
weder arithmetisch noch elementar ist, nämlich aus der Theorie der
elliptischen Funktionen geschöpft worden. Wir würden glauben, in
unserem Werke eine Lücke zu lassen, wenn wir diese Formeln ganz
übergingen. Wollen wir sie aber ableiten, so müssen wir doch eben
die Gleichungen, aus denen sie fließen, jener Theorie hier einfach
entnehmen.
Neben der Gleichung (12) besteht, wie Jacöbi (fiindamenta nova
theoriae funct. ellipt. § QQ) gezeigt hat, auch folgende Entwicklung
(62) TT(1 - x^y =^(- l)-.(2n + 1)0;-^—.
Wird diese logarithmisch differenziert, nimmt man nämlich beider-
seits die Logarithmen, differenziert, und multipliziert endlich mit x^
so findet man
3-"V?i(m)a?"==i
^ MV"V~ ^ «(» + 1)
^(-1)"(2« + 1)« '
Indem man nach Multiplikation mit dem Nenner in der zur Linken
gebildeten Doppelsumme alle Glieder zusammenfaßt, welche dieselbe
Potenz x^ enthalten, erhält man durch Vergleichung gleicher Potenzen
von X auf beiden Seiten den neuen Satz:
Die Summe
n
ist (- l)'»-i(2m + 1) . ^^i^|±l) oder Null, je nachdem s eine Trigonal-
zahl, s = ^ ist oder nicht ist. Man darf dafür auch
schreiben:
(63) 2'(-i)"(2« + i)-e.(«-^^) = o,
n
wenn die Summation über alle Zahlen /^ == 0, 1, 2, 3, . . . aus-
gedehnt wird, für welche s — ^ nicht negativ ist, und
1) Eine arithmetische Herleitung der Formel (24) s. bei Vahlen a. a. 0.
S. 18 u. 19.
Elliptische Funktionen. Sätze von Halphen nnd Glaisher. 285
unter dem Zeichen ?i(0), welches nur dann auftritt, wenn s
eine Trigonalzahl, s = ^ ^ ist, der Wert
(63 a) S.(0) = |
verstanden wird. Diese neue Rekursionsformel gab zuerst Halphen
(Bull. Soc. Math, de France 5 (1877) S. 158), später auch Glaisher
(Quart. Joum. Math. 19, S. 220; Proc. London math. Soc. 15, S. HO).
Der letztere zog aus derselben Jacohischen Formel einen interessanten
Satz, indem er sie mit der Ganssischen Formel (17) in Verbindung
setzte. Da dieser zufolge
77(1 -x^*)
11 X n(/i-fl)
X
2Y(1 - o;*)^ =^(- 1)" (2« + 1).
und nach Jacöbi
)X 2
A = l n=0
ist, woraus
Ä=l n=0
folgt, so ergibt die Beziehung
jj(i-x")
j7(i-^)=]7(i-^")^
A = l
TJii-x^^-^) ^=1
A=l
nachstehende Gleichunsr
/ 00 w(« + l)\ 3 <» «(n + l)
1^«' ' •2(-l)"(2'« + l)^ '
= ( ^(- 1)^ {2n 4- l)a;«(« + i) j .
Indem man hierin x^ statt ic setzt und darauf mit x^ multipliziert,
nimmt sie die Gestalt an
/ 00 \ 3 00
( ^(- 1)" (2w + 1)ä;2(2"+i)M .
286 Reknrsionsformeln.
Man verstehe unter ii, u-^, u.^j ^%, %, v^ positive ungerade Zahlen;
dann folgt durch Ausführung der Multiplikationen:
U 1 Vi — lv^ — 1
wo über alle Werte jener Zahlen zu summieren ist. Faßt man nun
rechts und links diejenigen Glieder zusammen, in denen die Exponenten
von X ein und dieselbe Zahl darstellen, so erhält man folgenden
von Glaisher gegebenen Satz:
Man denke einerseits alle Darstellungen der Zahl 4s als
Summe von vier Quadraten positiver ungerader Zahlen:
A s = u^ -\- u^^ -\- Hj<^ 4- ttg ,
nehme in jeder von ihnen die Basis u des ersten Quadrates
positiv oder negativ, je nachdem sie von der Form 4Ä; -f 1
oder 4yfc 4- 3 ist, und bilde das Aggregat dieser Zahlen:
^(_i)'V.„.
man denke andererseits alle Darstellungen der Zahl 2s als
Summe zweier Quadrate positiver ungerader Zahlen:
nehme für jede von ihnen das Produkt der mit den ebenso
bestimmten Vorzeichen gedachten Basen und bilde das
Aggregat dieser Produkte:
dann sind diese beiden Aggregate jederzeit einander gleich:
2(- ly
U 1 »1 1 »2 1
2
U
"M-i) ' ^i-(-i) ' %
Z. B. hat man für die Zahl 100 = 4-25 die Zerfällungen
124-32-f 32+92=l2 + 52+52+72==l2 + i2 4-72 4.72_52_|_52_^52_|_52
nebst den daraus durch Vertauschung der Summanden hervorgehenden;
demnach ist ^_^
= 3-l+6-(-3) + 3.9 + 3.1+6.54-3-(-7) + 3.1 + 3-(-7)+l-5 = ll.
Andererseits gestattet die Zahl 50 = 2 • 25 die Darstellungen
12+72=72^ 12=52.^52^
woraus
2
Eine Glaishersche Rekursionsformel für ^^(s). 287
Vi — 1 % — 1
(- 1)~2~ V, . (- l)~^v,= 1 . (- 7) + (- 7) . 1 + 5 . 5 = 11
gefunden wird.
11. Glaislier hat noch eine Menge anderer Rekursionsformeln ent-
wickelt, von denen wir im folgenden nur noch eine Auswahl be-
sonders charakteristischer zu geben vermögen; im übrigen sei der
Leser auf Glaishers zahlreiche Arbeiten über diesen Gegenstand ver-
wiesen.^) Zumeist sind die Gleichungen, aus denen die Formeln ge-
zogen werden, durch Kombination der Potenzreihen für die Potenzen
der Ausdrücke ,^^ ,^^ ,^
erhalten, in denen in Legendrescher Ausdrucksweise unter Ic der
Modulus des elliptischen Integrals, unter K das vollständige, unter E!
das zum komplementären Modulus h' gehörige vollständige elliptische
Integral verstanden ist.
So folgt u. a. aus den beiden Reihen
V^=2gV..(i+ä.-2_^ 22.34....)
{~y= 16 -^iiMi", (« > 0 ungerade)
U
— nK'
in denen g zunächst gleich e ^ ist, demnächst aber als Veränderliche
gedacht werden darf, die Beziehung
und durch ihre logarithmische Differenzierung in bezug auf q die
andere:
= 1 + 4
w = 0
^f,(»)9"
l + V^^'l^ + l) y^gn{n-^l)
n=l »1=0
1) Außer den schon und noch in der Folge angeführten Arbeiten von Glaisher
siehe Phil. Magazin (o) 33, S. 54; Messenger of Math. (2) 28, S. 29; Quarterly
Journ. 30, S. 166; London Math. Soc. Proceed. 21, S. 395, wo die Funktion H{n)
betrachtet wird, welche den Überschuß der Anzahl der Teiler von n von der
Form 2>'k-\-l über die Anzahl derjenigen von der Form 3Z:-f2 bezeichnet;
in Messenger (2) 31, S. 64 findet sich eine darauf bezügliche Tabelle, wie ebenda
S. 82 eine solche für den Überschuß der Anzahl der Teiler von n von den Formen
8^• + 1, 3 über die Anzahl derjenigen von den Fonnen 8^ + 5, 7. Im Quart. J. 36,
S. 305 werden verschiedene Funktionen behandelt, welche auf die Darstellung
einer Zahl als Summe von vier Quadraten bezüglich sind.
288 Rekursionsformeln.
Durch Multiplikation mit den Nennern und durch Vergleichung
der Koeffizienten der Potenz rr^* + ^ auf beiden Seiten findet man hier-
aus die Gleichheit:
^(2n + ly . Si(2s + 1 - n(n + 1))
n
n
wo die Summationen über alle n = Oy 1, 2, 3, ... auszudehnen sind,
für welche die Argumente von Jj positiv bleiben. Man hat also in
entwickelter Form
(25 + l%{2s 4-1) + (2s - l)e,(2s - 1)
(64) +(25-5)Ji(2s-5)4-(2s-ll)ei(2s-ll) + --.
= ti(25+l) + 9§,(2s-l) + 25Si(2s-5) + 49e,(2s-ll) + .--
oder einfacher
sM2s + 1) + U^s - 1) + g,(2s - 5) + Si(2s - 11) + ■ • •]
= 5Ki(25 - 1) + 3ei(2s - 5) + 6?, (25 - 11) + • • •]•
12. Eine andere auf dem zuvor bezeichneten Wege entstehende
Formel der elliptischen Funktionentheorie ist die Gleichung
CO m(7» + l)
_^(-ir(2m+l)s"^~
(65) 1 + 4 .2'(- 1)-? wr = '"°'' . ^+^
m=0
Aus ihr geht unschwer die folgende hervor:
(66) 2'(-l)"'9W2"'='==^^ ^r^^£5
n»=0
Man erweitere den Bruch zur Rechten durch Multiplikation von
Zähler und Nenner mit der Reihe
l + q + q' + q' +■-
Dann entsteht im Zähler die Doppelsumme
771, Ä
in welcher wir diejenigen Glieder zusammenfassen wollen, in denen
der Exponent von q gleichen Wert:
+ A
Eine Rekursionsformel für die Funktion q{s). 289
m (m + 1) , 7
hat. Verstehen wir unter k die durch die Ungleichheiten
(67) tk^n<h + i,
in denen zur Abkürzung tk die Trigonalzahl — ^^ bezeichnet^ be-
stimmte ganze Zahl^ so geht die Doppelsumme über in
n = l\ rn = l /
Nun ist, je nachdem A' = 2r — 1 oder k= 2r, d. h. je nachdem n
zwischen Ur—i und Ur oder zwischen Ur und ^sr+i liegt, die Summe
2(-^)-m=-[G]-ra+B]-ri]+-+(-i)-m]
m = l
gleich — —^ oder Null. Der Zähler zur Rechten von {QQ) wird
also die einfache Summe «
(68) ^c„-g",
n = l
worin je nach den angegebenen beiden Fällen
Cr, = - [^] oder NuU
ist. — In gleicher Weise verwandelt sich der Nenner von (foQ) in
^(^- + 1)2"-
« = 0
Wird aber mit ihm die Gleichung {fo^) multipliziert, so entsteht
zur Linken die Doppelsumme
7/j, n
als einfache Summe in der Form
« = 1 \ n
geschrieben und mit (68) verglichen führt sie zu folgendem Ergebnisse,
welches dem am Ende von Nr. 4 gegebenen analog ist:
Es ist , X
-2q(s-1)^2q{s-2)
(69) i -3()(s-3) + 3^(5-4)-3()(s~5)
+ 4p(s - 6) - 4.q{s - 7) + 4()(s - 8) - 4^(s - 9)
= (-iy-^.,
Bachmann, niedere Zahlentheorie, n. jq
-n)\
290 Rekursionsformeln.
wo, wenn 5 zwisclien hr—i und hr-\-i liegt, Cs = — r oder Null
ist, je nachdem s zwisclien ^2r-i und t2r oder zwisclien t^r und
^2r+i enthalten ist.
Zur Formel (66) zurückkehrend multiplizieren wir ihre beiden
Seiten mit der Reihe
l + ö'+s'+öH---
So kommt rechts als neuer Zähler die Summe
2(-.)-m,--^'"'=2(,-..2(-')-m>
myk w=l \ /
wo die innere Summation zur Rechten über alle positiven ganzen
Zahlen m auszudehnen ist, für welche
m(m-\-l) =
und von gleicher Parität ist mit n. Sei wieder
Ist nun zunächst n gerade, so muß, damit auch — gerade sei,
m von einer der Formen 4^ oder 4^ — 1 sein; also wird ^^~— ==2^.
Ist dann Ti von einer der Formen Ah, 4th + 1, Ah -\- 2, so ist der
größte für i zulässige Wert h und Ah der größte für m, also wird
V(- \Y . [^] = -2 + 2-4+4- 2/^ + 2/^ = 0.
Ist dagegen Tc von der Form Ah — 1, so ist Ah — 1 der größte Wert
für m, also
2'(- 1)"* • [^]= - 2 + 2-4 + 4 2h = -2h.
Für den Fall eines ungeraden n muß m, damit auch — &r-i
ungerade werde, von einer der Formen 4i + 1 oder Ai + 2 sein, also
wird — ^ =2^ + 1. Wenn dann Ä; von einer der Formen 4/i + 2, 3, 4
ist, kann i höchstens h, und wird der größte für m zulässige
Wert Ah -\- 2 sein, und man findet
2'(-l>"-[^] = -l + 1-^ + 3 (2;i + l) + (2A + l) = 0,
dagegen ist, wenn h von der Form Ah -\- \ ist, 4/i+ 1 der größte
für m zulässige Wert und
2'(-l)»'.['^] = -l + l-3 + 3 (27» + l) = -(2fe+l).
Dementsprechend wird q[^j wenn w in der Reihe der Trigonalzahlen
hj hl hy ■ ' ' zwischen t2r und ^2r4-i liegt, gleichviel ob n gerade oder
Eine Rekursionsformel für die Funktion q{s). ' 291
ungerade ist, den Koeffizienten Null erhalten. Liegt aber n zwischen
4/,_i und tut, so haben die Potenzen q" mit geradem Exponenten den
Koeffizienten ~ 2hy die mit ungeradem Exponenten den Koeffizienten
Null; liegt dagegen n zwischen ^4^+1 und hh-\-iy so haben jene den
Koeffizienten Null, diese den Koeffizienten — (27i + 1). Bedenkt man,
daß die Zahlen
hr — h ^2r — 1+2, ^2r — 1+4, . . ., ^g^ — l+2r — 2
die zwischen Ur—i und Ur liegenden Zahlen von derselben Parität
wie Ur—iy also gerade oder ungerade sind, je nachdem 2r— 1 von
der Form 4/j — 1 oder 4/i + 1 ist, so kann dies folgendermaßen aus-
gedrückt werden: Der Koeffizient von g" ist Null oder — r, je
nachdem die zwischen Ur-i und Ur-^-i gedachte Zahl n keine
oder eine der Zahlen
kr-ly ^2r-l+2, fg. -1+4, ..., Ur-l+2r-2
ist.
Nachdem dies für die rechte Seite der Gleichung {^^) festgestellt
ist, betrachten wir die mit der gedachten Potenzreihe multiplizierte
linke Seite derselben. Diese ist
2(-l)"'9Wr+^*=^(ä" ■ (- \)"'^9{n~2h)),
m,h n = 1 h
oder, wenn zur Abkürzung die innere Summe zur Rechten, aus-
gedehnt über alle h = 0, 1, 2, 3, . . ., für welche das Argument
n-2h>0 bleibt,
^Q{n — 2h) = 6(n)
h
gesetzt wird, gleich
_§(- i)''o(»)r.
n = l
Nach Multiplikation mit dem Nenner geht somit die linke Seite
der Formel (66) in die nachstehende Summe über:
m{m+l)
30
= 2(- ly g'i^is) - 6{S - 1) - 6{S - 3) + 6{S - 6) + ^(5 - 10) ).
«=1
Demnach ergibt sich durch Vergleichung mit dem zuvor an-
gegebenen Werte des Koeffizienten von q" zur Rechten der Formel
der Satz:
Der nach den Trigonalzahlen fortschreitende Ausdruck
(70) ö(s) - 6(8 - 1) - 6(s - 3) + 6(s - 6) + ö{s - 10)
19*
292 Rekursionsformeln.
ist gleich Null oder gleich (— l)*""^r, je nach den beiden
zuvor unterschiedenen beiden Fällen, wobei r durch die
Ungleichheiten ^2r— i<s < <2r+i bestimmt gedacht ist.
13. Bevor wir in der Ableitung neuer Sätze weitergehen können,
müssen wir zwei Hilfsbetrachtungen einfügen, welche die Summen
gleicher Potenzen der natürlichen Zahlen betreffen.
Neben der bekannten Sinusentwickelung
sin nx
1! 3! ' 5!
besteht (s. etwa Saalschutz, Vorles. über die BernouUischen Zahlen,
S. 12) die Gleichung
cotg rz; = i - ff 2'x' - ^ 2'x' - f^ 2'x' - ■ ■ ■,
° ic 2! 4! 6! '
worin die Koeffizienten B^^ B^, B^, ... die Bernoullischen Zahlen
bezeichnen. Multipliziert man diese beiden Gleichungen ineinander,
so entsteht die Formel
,-^x sin na;
(71) -^ — • COS ^
^ ^ sin X
_ ^r"— 1 \h.^2h i _J! L 92:^ _^ ._. 94-^2 ^ . . _j_ 92ä L \.
—^y ^) -^ \(2/i-f 1)! ^^ 2! (27i-l)! ^ 4! (2/i-3)! -^ (2/?.)!/
Nun hat man bekanntlich
für gerades n
sin n X
sinrc
2 cos a; -f 2 COS 3a; + • • • + 2 COS (n — 1) x,
woraus durch Multiplikation mit cos x und bei Beachtung der Formel
2 cos (2/^ — 1)^ • cos rr = cos {2h — 2)x + cos 2hx
die Gleichung
(72) ^^?^.cosÄ;==l-f 2cos2a; + 2cos4rr-f • • . -h2cos(^-2)::^ 4- coswa;
hervorgeht. Dagegen ist
für ungerades n
sin w^
= 1 + 2 cos 2ri; + 2 COS 4a; + • • • + 2 cos (w — 1) x.
woraus man in gleicher Weise
(73) !^??^ . cos ic = 2 cos a; + 2 cos 3a; + • • . + 2 cos (w - 2) a; + cos wa;
erhält. Ersetzt man nun in diesen Formeln (72), (73) die Kosinus
durch ihre bekannten Potenzreihen, so ergibt sich als Koeffizient von
x^^' im ersten Falle
(2Ä)
im zweiten Falle
Herleitung eines merkwürdigen Zalilensatzes.
y|^ (2 (22/' + 42^ + • ■ • + (^^ - 2y^) 4- n«*),
293
{2 h)
gj- (2 (1^^' + 32. ^ . . . 4. (^ _ 9)2a) + ,,2.y
Durcli Yergleichung mit dem Koeffizienten von x^^' in (71) folgt
nun der Satz:
Für gerades n ist die Summe
22A ^ 42Ä ^ . . . 4. (^^ _ 2)2ä + ^2A^
für ungerades n die Summe
I2h _|_ 32Ä _!_... + (^_2)2Ä + ,i2A
gleich ein- und derselben Funktion
Man schließt hieraus eine, für unsern Zweck zwar entbehrliche,
aber an sich bemerkenswerte Beziehung. Offenbar ist für jedes n
p, _^ 22Ä -f 3«* -f ■ • . 4- n'' = nW + (ph{n - 1),
andererseits ist derselbe Ausdruck gleich
2-2A^22'' + 42^ 4. 62^ + • • • + (2>^)2'') = 2-»^* • 9^ä(2w).
Also besteht für jedes n die Gleichheit
(75) g),(2^^ = 2^^' (9), (n) + q^n{n - 1))-
Bezeichnet wieder ^„ , wie im ersten Kapitel, die Summe
>S?^= l'+2'+3'>----f n',
so erkennt man ferner durch Induktion aus den für A* = 2, 4. 6 be-
stehenden Werten der Potenzsummen Sf\ Sn\ S^n das Stattfinden einer
allgemeinen Beziehung von der Form:
(76) ^
5(1)
= .4,.5L^^-V^r^.'''-'^ + ---+^(2.-2)-Äf + ^2.(5l^-^),
die bestätigt wird, wenn man ihre Koeffizienten Ai passend bestimmen
kann. Zu diesem Zwecke hat man nur die durch die Formel (54)
des ersten Kapitels gegebenen Werte der Potenzsummen beiderseits
294
Rekursionsformeln.
einzusetzen, und gewinnt dann durch Vergleichung derselben Potenzen
von n auf den beiden Seiten der Formel nach einiger Rechnung die
folgenden Werte:
(77)
1 , __2h-l
2^2 — 2Ä-f 1
2h ^
2h
1 . ^ 2h-l _ /2 M ^ , /2 h\ B^
2^6 2/^ + 1 V W ■ 1 "^ U/ 2
1 . _ 2fe-l /2/i\ B^ /2h\ J5j /2Ä\
2^8-2/,-]_i U/1 "^U/~2"~UJ
durch welche die Gleichheit (76) hergestellt wird.
14. Nunmehr können wir eine Reihe von Sätzen mitteilen, welche
Glaisher in den Proceed. London Math. Soc. 22 (1891), S. 359/410
entwickelt hat. Die Grundlage, von welcher er ausgeht, ist nach-
stehende, aus der Theorie der elliptischen ^-Funktionen gezogene
Gleichung:
(78) Ä- [1 - (1 -f 2cos x)q + (1 + 2cos x + 2cos 2x)q^
- (1 4- 2cos ^ + 2cos 2ic + 2cos ^x)q^ -!-••]
= mixq — (sin^ -\- 2sin2a;)g^+ (sinrr + 2sin 2x -f 3sin ^x)q^ ,
worin zur Abkürzung
S==^^(q^y]^mdx\
gesetzt ist; die hierin vorhandene innere Summe ist über alle Teiler d
von n zu beziehen. Schreibt man, um das Gesetz der einzelnen
Reihen klarer auszudrücken, diese Formel in der Gestalt:
V/'s« Vsin(^a;yV(-l)'*(l-F2co8a; + 2cos2a;-f'' + 2cos/irr)3 *
(79)
CO m(m+l)
== ^(— 1)"*-^ -(sin ^ -f 2sin 2ri; -I \-m^m.mx)ci ^ ,
m = 0
so läßt sich zunächst die Doppelsumme auf der linken Seite, indem
man die Glieder mit derselben Potenz €^ zusammenfaßt, als einfache
Potenzreihe schreiben, wie folgt:
oo
^W ■ (y]{- 1)'' • (1 + 2cos ic -h • • • + 2cos /irr) Vsin d
wo die auf h bezügliche Summation über alle h = 0, 1, 2, 3, ... zu
Herleitnng eines merkwürdigen Zahlensatzes. 295
erstrecken ist, für welche s ^ positiv bleibt, und nun der
Koeffizient von q;' mit Beachtung der Formel
2sin axGos hx = sin {a + 'b)x -f sin {a — h)x
durch den Ausdruck
V/(- 1)^ V(sin dx + sm(d -\- l)x + sin {d-l)x-\-"
^' 2 +sin(f?-f /O^c-f sin(^-/Oa;) I
d. i., ausführlich geschrieben, durch
^sin dx — ^(sin dx + sin {d -\- V)x + sin {d — 1)^)
(80) __,, .
4- >^^(sin(Za;H-sin(^+l)a; + sin(^— l)a;+sin(cZ-f-2)a;+sin(^— 2)a;j
ersetzt werden kann. Vergleicht man ihn aber mit dem Koeffizienten
von g* auf der rechten Seite der Gleichung (79), so ergibt sich leicht
folgendes :
Der Ausdruck (80) ist Null für jeden Wert von 5, der
keine Trigonalzahl ist, dagegen ist er für eine Trigonalzahl
m (m ■\- 1)
gleich dem Werte
(81) (— 1)"*~^- (sin X + 2sin 2rr + 3sin 3ä; H h m sin mx).
Nun haben die Argumente der Sinusfunktion, welche in dieser
merkwürdigen Gleichheit auftreten, nicht die mindeste Beziehung zu
den Eigenschaften dieser Funktion, und so läßt die Formel den
Schluß zu, daß die in ihr ausgesprochene Beziehung nicht sowohl
zwischen den Sinus jener Argumente, als vielmehr zwischen den
letzteren selbst stattfinde. Man kann mit Glaislier aus der Gleich-
heit des Ausdrucks (80) mit Null resp. mit (81) einen Zahlensatz
ablesen, der sich folgendermaßen ausspricht:
Versteht man allgemein unter dem Zeichen
Gm{^{d), t{d), Xid), ...)
die Gesamtheit der Werte
^{d\ t(d), xid), ...
für alle Teiler d von m, sowie unter
- Gm[^{d), ^(d), X{d), . . ■)
296
Rekursionsformeln.
die Gesamtheit der für alle diese Teiler d gebildeten Werte
- (p(d), - ip{d), - xid), ■ . •,
so heben sich in der durch die Formel
G-s{d)-a,^i{d,d + l,d-l)-\-as-i{d,d-{-l,d-l,d + 2,d-2)
--G,-Q(d,d + l,d-l,di-2, d-2, d-^3,d~3)
(82)
+
bezeichneten Gesamtheit sämtliche Zahlen auf, falls s keine
Trigonalzahl ist, ist dagegen s eine Trigonalzahl, s = » ^
so bleibt darin, mit dem Vorzeichen von (—1)"*""^ genommen,
eine Eins, zwei Zweien, drei Dreien, • • •, m Zahlen m.
Sei z. B. s = 9, so gibt die Formel (82) folgendes System von
Zahlen:
1, 3, 9
[ 2, 3, 5, 9 1
1, 2, 4, 8
+
i 0, 1, 3, 7 J
[4,6^
3, 4, 5, 8 1
3,5
2, 3, 4, 7
2, 4
1, 2, 3, 6
—
1,3
0, 1, 2, 5
0, 2
-1,0, 1,4,
-1,1
-2,0.
in welchem, da 9 keine Trigonalzahl ist, sämtliche Zahlen sich heben.
4 • 5
Ist dagegen s = 10, d. i. die Trigonalzahl ---? so erhält man das
System:
( 3, 9]
[ 2, 4, 10 1
2, 8
1,3, 9
+
1, T
—
1 0,2,8 j
0, 6
4,
5, 7
3,
4,6
2,
3, 5
1,
2,4
0,
1, 3
-1,
0,2
-2, -
-1, 1
1, 2, 5, 10 -
und es verbleiben in ihm nur die Zahlen
-1, -2, -2, -3, -3, -3, -4, -4, -4, -4.
Abgesehen von den weiteren Folgerungen, die wir aus diesem
eigenartigen Zahlensatze ableiten wollen, ist er auch deswegen sehr
beachtenswert, weil er offenbar, wenn die Teiler aller Zahlen 5 — 1,
s — 3, s — 6, ... bekannt sind, sogleich alle Teiler der Zahl s selbst
finden lehrt; es sind diejenigen Zahlen, welche in der Gesamtheit (82),
Eine Formel für die Funktion t^is). 297
wenn vom ersten Gliede Gs{d) abgesehen wird, nach eventueller Aus-
scheidung der im Satze zuletzt bezeichneten Zahlen noch verbleiben.
15. Offenbar aber darf man nun in dem Zahlensatze die darin auf-
tretenden Zahlen d, d ±1^ d ± 2, ... durch ein und dieselbe Funktion
f(d), f{d ±1), f{d ±2), ... derselben ersetzen, vorausgesetzt, daß sie
für gleiche aber entgegengesetzte Argumente ebenfalls gleiche und
entgegengesetzte Werte hat; mit anderen Worten: in dem für den
Ausdruck (80) geltenden Satze darf die Sinusfunktion durch eine
beliebige andere ungerade Funktion ersetzt werden, z. B. sin x durch
X", wenn n ungerade ist. Auf diese Weise geht dann (80), wenn
speziell x = \ gewählt wird, über in den Ausdruck:
^d- -^[d- -h (^ + 1)" +{d- ly^
+^[d- +{d + \y +(d- 1)« + (^ + 2)« +{d- 2)«]
, — Z = dö
t — S = dd
welcher also verschwindet, sooft 5 keine Trigonalzahl ist, dagegen
falls s = ^^ eine solche ist, dem Werte
(— l)'»-i.[l«+i+ 2«+!+ 3"+i-f f- m«+i]
gleich ist. Benutzt man das Liouvillesche Zeichen ^„(s), um die Summe
der w*®^ Potenzen aller Teiler der Zahl s zu bezeichnen, und versteht
unter t(s) die Eins oder die Null, je nachdem s eine Trigonalzahl
s = ist oder nicht ist, so darf man dem erhaltenen Er-
gebnisse in folgender Formel Ausdruck geben:
Us) -^Us - 1) + 0^5 - 3) - 7 Us - 6) + . ■ .
=2-(^)[l«.e„_2(5-l)-(P+2^).t._,(5-3)-F(P+2^+3«).e„_2(s-6)...]
(83)j+2.(^)[l^.t%-4(5-l)-(l^+2^).S,,_4(5-3)4-(lH2^+3^).r„-4(5-6)...l
+
+^-(n-i)[l^'"'-'i(^-l^(l"~'+2"-')-Si(5-3)+(l«-i+2''-^+3"-i).?,(5-6)..]
+ r(s) . (- iyn-i(i«+i + 2'' + i + . . . + 7w"+i):
298 Rekursionsformeln.
die linke Seite sowohl, wie die einzelnen Klammern auf der rechten
sind so weit fortzusetzen, als die Argumente der J- Funktionen noch
positiv bleiben. Die weitere Fortsetzung würde in dem Falle, wo
das supplementäre Glied von Null verschieden d. h. wenn s eine
Trigonalzahl ist, auf Funktionen mit dem Argumente Null
führen und links das Glied
(_ 1)» . (2 m + 1) e„(0) = - (- 1)»-' . 2 (S<r + I) ?„(0),
rechts aber insgesamt den Ausdruck
=(-i)"-.2[c;)g,(o)sL«-«+ Qmst-''+- ■ + il,)tn-m «q
liefern. Andererseits ist nach Formel (76), wenn darin n = m und
2h = n -\- 1 gesetzt wird,
Man sieht hieraus, daß man, statt in der Formel (83) das supple-
mentäre Glied zu schreiben, die linke Seite sowie die einzelnen
Klammern zur Rechten bis zu den Gliedern mit dem Argumente
Null fortsetzen darf, vorausgesetzt, daß man die J- Funktionen, deren
Argument Null ist, durch nachstehende Formeln:
2-(i)-5,(0) = s-4,
2.(;).53(0) = s.A
2. J„(0)=s- A+i
d. i. nacli den Formeln (77), in denen 2h — n+l zu denken ist,
durch die Gleichungen
(84) ^(:)?3(o)=^(^-r+n)
usw. bestimmt.
Eine Formel für die Funktion ^^(s). 299
Die Formel (83) schreibt sich demnach gleichmäßig für
die beiden unterschiedenen Fälle, ob s Trigonalzahl ist oder
nicht, folgendermaßen:
Bei ungeradem n ist
Us) - 3 J„(s - 1) + 5 J„(s - 3) - lUs - 6) + . • •
=2-Q[l^-e„_2(s-l)-(P+22)e„_2(5-3) + (lH22+30?„_2(s-6)...]
(85){42-Q[l*-5»-4(s-l)-(lH2^)e._4(s-3)-f(l^+2H30e,_,(s-6)...]
+ , . . . .
+^ • (n-i)[^""' • ^i<^^-^Hl"-H2'-^)^,(s-3)+( l'-^+2"-^+3- %(s-6) • . ] ^
wo beiderseits so weit fortzuschreiten ist, als die Argumente
der J-Funktionen nicht negativ werden, und für die darin
auftretenden Funktionen mit dem Argumente Null die durch
(84) bestimmten Werte zu setzen sind.
Eine sehr einfache Gestalt erhält diese allgemeine Formel
in dem Falle, wo n= 1 ist, sie lautet dann [s. Formel (63)]:
(86) g,(s) - 3 ?,(s - 1) + 5 t,{s - 3) - 7S,(s - 6) . ■ ■ = 0,
vorausgesetzt, daß man links so weit fortschreitet, als das
Argument der Funktion f^ nicht negativ wird, und unter
dem Zeichen Si(0), das nur dann auftritt, wenn 5 eine Tri-
gonalzahl, s = — -~ — - ist, den Wert
s m {7)1 -f 1)
y "~ 6
versteht.
Was der Formel (85) ein ganz besonderes Interesse verleiht, ist
der Umstand, wie durch dieselbe zwischen den Summen un-
gerader Potenzen der Teiler gewisser Zahlen und den
Summen der geraden Potenzen der natürlichen Zahlen ein
merkwürdiger Zusammenhang festgestellt wird.
16. Setzt man in der Formel (79) 2x statt x und multipliziert
sie dann mit sin Xj so geht der Koeffizient des allgemeinen Gliedes
der rechtsstehenden Summe über in:
(— l)"*-^[sin2a;sinir4-2sin4a;sina;4-3sin6'a;sina;H [-msm2mx8mx]
(-1)
2
— cos Sx — 2 cos DX — 3cos Ix w cos (2m -{- 1) x
-\- cos rr -f 2 cos 3x + 3 cos bx f- 7n cos (2w — 1) x
2 [cos::c+cos3ir+cos5ir+ — hcos(2w? — l)ic-wcos(2m+l)ir]
und derjenige des allgemeinen Gliedes der zweiten Summe links in:
300 Rekursionsformeln.
(— iy'(sin ^ 4- 2 cos 2x sin x + 2 cos 4:X sin x -j- ■ ■ • -{- 2 cos 2hx sinic)
, ^ ^, /sin :2; + sin 3^ + sin 5ii; 4 + sin (2h + 1)^ v
== (— ly* ( . . ^ ^
\ — sin o; — sin Srr — • • • — sin (2h — l)ic '
= (- iy.sin(2/i+ l)x.
Auf solche Weise entsteht aus (79) die neue Formel:
OD CO h(h + l)
2- V/'2«Vsin2^a;y V(- ly sin {2h + l)X'q ^
m = l
m(m + l)
. (cosä; 4- cos3;2; H h cos(2m — 1)^ — mcos(2m4- 1)^)^' ^
Schreibt man hier die Doppelsumme zur Linken als eine einfache
Potenzsumme; so erhält (^ den Koeffizienten
V/(- ly V2sin 2dx ■ sin {2h + 1)^
= V/(- ly* V(cos {2d - 2h-l)x - cos (2d + 2h + l)x)\
die Summation über alle /i = 0, 1, 2, 3, . . . erstreckt, für welche
s j" positiv bleibt, und durch Vergleichung mit dem Koeffizienten
derselben Potenz zur Rechten erhält man den Satz: der Ausdruck
V(cos(2^-~l)a;-cos(2(^4-l)a;)- V(cos(2(^-3>-cos(2^+3)a;)
V(cos(2^-5)^-cos(2f7 + 5)a;)- V(cos(26^-7)a;-cos(2^+7)a;)
(88)
4-
1 +
ist Null, sooft 5 keine Trigonalzahl ist, dagegen gleich
(— 1)"»— 1 . (cos X 4- cos 3a; 4 4- cos (2m — V)x — m cos (2m 4- 1)^),
wenn s eine Trigonalzahl —^ — - ist.
Aus diesem Ergebnisse^ liest man nun wieder folgenden Zahlen -
satz ab, in welchem unter dem Zeichen \x\y wie üblich, der numerische
Wert von x und das Symbol Gm in gleicher Weise zu verstehen ist,
wie in voriger Nummer: In der durch die Formel
i G,{2d + l,-\2d-l\)- G,-i(2d + 3,-\2d-3\)
(89) I + G.-,(2d 4- 5, - ! 2^ - 5 I) - ft_6 (2c^ 4- 7, - | 2^ - 7 i)
4-
Herleitung eines zweiten Zahlensatzes.
301
ausgedrückten Gesamtheit von Zahlen heben sich alle
Zahlen gegenseitig auf, falls s keine Trigonalzahl ist; wenn
dagegen s eine irigonalzahl ^ — ist, so bleiben, mit dem
Vorzeichen von (— 1)"* genommen, die Zahlen
1, 3, 5, . . ., 2m — 1 und m mal die Zahl — (2w? -h 1).
Infolgedessen darf man in (88) die Funktion cos x durch irgend-
eine andere gerade Funktion, z B., unter n eine ungerade Zahl ver-
stehend, durch :r" + ^ ersetzen. Für x = 1 geht dann aus (88) folgende
neue Beziehungr hervor: Der Ausdruck
(90)
y[(2rf+l)"+' -(2(^-1)"+'] -y[(2rf + 3)''+i-(2^-3)«+i]
s^di
i = d6
+^[(2(^ + 5)»+i-(2f7-5)"+i]-2[(2f? + 7)«+i-(2t?-7)"+i]
s- 3=rd(
1 +
ist Null resp. gleich
(91) (-l)-.[l"+i+3^+i+5" + i + ...+(2-m-])"+i-7>2-(2m+l)«+i].
Mittels des binomischen Satzes und bei Verwendung des Lioiwüle-
schen Zeichens f„(s) nimmt das allgemeine Glied des Ausdrucks (90)
die Gestalt an:
(-l)".[2("|y2»(2A+lU„(.-?^)
+ 2 (« j ^) . 2''-^i2h + iy%^,{s - *M)
+ 2(" + y2(2A+in.(s-im)]
d. h. 2"+i(« + 1) mal dem Ausdruck
(92)
(-1)'
il)
(2h + l)i,{s - '^) + ^(2/, + m.,-.(s - ^-M±>)
■ +|1(2;. + 1)^S„_,(.-?^).,
Somit ergibt sich dann die Summe dieser Ausdrücke (92) gleich
NuU resp. gleich dem Werte
^f^^^-[m(2m + l)''+i - l"+i - 3" + ' {2m - !)" + •],
der, wenn zur Abkürzung 2m -f 1 =^ gesetzt wird, in der Form
302
Rekursionsformeln .
P+i
oder nacli (74), wenn dort 2Ji = n+l und n=p gesetzt wird, in
der Form
(93)
p+i
(-1)
P
7l-\-2
^
+ ••• +
n + 1 * 2 2
geschrieben werden kann. Nun schreitet zwar der Ausdruck (90) nur
so weit fort, als die Differenz s > 0 bleibt. Setzte man ihn
jedoch in dem Falle, wo s eine Trigonalzahl ist, fort, bis jene
Differenz verschwindet d. h. bis h = m, so träte zu ihm der für h = m
gebildete Ausdruck (92) hinzu, der bei umgekehrter Ordnung seiner
Griieder geschrieben werden kann, wie folgt:
p-\-i
(-1)
(n\ In)
(")
2"-5(^_4)
'{n-2)
t,{0)p—'-\--.--U0)p
Indem man also übereinkommt, die J- Funktionen mit dem Argu-
mente Null durch nachstehende Formeln:
ft)
Si(0)^
^1
1-2
« + 1
(n\ in)
(n-2)
^
3 2-2''
(ö)
(1)
B,
5 3-2
n—3
(?i(0) = -i4, ^3(0)= -4, j,(o) = -i4^
zu definieren, d. h
(94)
« + 1 ^71+1
?»(0)=(-i)
4 w + 1
Zwei neue Formeln für die Funktion ^ (s).
303
zu setzen, darf man das supplementäre Glied (93) auf sein Anfangs-
glied beschränken und dafür den Ausdruck (90) so weit fortsetzen, als
die Differenz s ^ — nicht negativ wird. So erhält man endlich,
ausführlicher schreibend, den mit (85) korrespondierenden Satz:
Wird bei ungeradem n der Ausdruck
^ ^ Us) - Hn{s - 1) + bUs - 3) - lU^ - 6) + • • •
(1)
(95)
-hif^[in-2is)-3nn-2S-l)i-bnn-2{S-^)-Vtn-2{S-6)+--]
-f^[J„_,(s)-3^f„_4is-l) + 5^^._,(s-3)-75^,_4(s-6)4--..]
+
L%)
+ ff^£r^Ki(«) - 3"5i(s - 1) + 5"5,(ä - 3) - 7"e,(s - 6) +■ ■ ■]
so weit fortgesetzt, als die Argumente der J-Funktionen
nicht negativ werden, und versteht man unter den J-Funk-
tionen mit dem Argumente Null, welche nur auftreten, wenn
Ti 1.1 m(m 4-1) • , j. . /rvjN 1
ngonalzahl, s = — - ist, die m (94) angegebenen
Werte, so erhält man Null, sooft s keine Trigonalzahl ist,
dagegen, wenn s = — - eine solche ist, den Wert
17. Indem Glaisher die Formeln (79) und (87) durch Multiplikation
mit verschiedenen Faktoren umformt, gewinnt er noch andere, durch
deren mit der früheren analoge Behandlung er Sätze von ähnlicher
Beschaffenheit wie die zuvor gegebenen ableitet. Nach einem der-
selben ist der Ausdruck
Us) - 2(?„(s - 1) + J„(s - 2)) 4- B{Us - 3) + ?„(s - 4) + t„(s - 5))
,„. -4(S„(s-6)+...+ 5„(s-9))+...
!f![?„_2(s)-2»(?,._2(s-l)+5„_,(s-2))+3'(S„_2(s-3)+g„_s(Ä-4)+J„_j(s-5))
-4»(j„_2(s - 6) + . . .+ 5„_Hs - 9)) + ■ ■]
+
C-i)
(96) =(-1)*
[5i(s)-2»(?,(«-l)+J.(s-2)) + 3"(?,(s-3)+g,(s-4) + ?,(s-5))
-4»(?,u-6)+. .+ f,(Ä-9)) + ...]
B
— B Z:«4- 22. Alz. :^?.7.«-2_o4.\ 4
^^«-^ +
304 Rekursionsformeln.
wenn -^- die nächste oberhalb s gelegene Trigonalzahl bezeichnet.
In dem besonderen Falle w = l gibt diese Formel den Satz:
Der Ausdruck
-2e,(s-l)-2?i(s-2)
+ 3^.(s - 3) + 3e,(s - 4) + 3?i(s - 5)
-4i,{s - 6) - 4 J,(s - 7) - 4?i(s - 8) - 4g,(s - 9)
+ • ■ • •
(97)
ist gleich (— 1)^ — ^? ein Satz^ welcher mit den in den Formeln (28)
und (69) ausgesprochenen Sätzen ersichtlich gleicher Art ist.
Noch andere Sätze ähnlichen Charakters, in denen aber statt der
Funktion ^„(ß) die mit einer Potenz von s multiplizierte Funktion
s^-^niß) auftritt, hat derselbe Forscher in einer im Messenger of
Math. (2) 21 (1892), S. 49 befindlichen Arbeit mitgeteilt. Aus dem
gleichen Gebiete der Theorie der elliptischen Funktionen hat er ferner
im Quart. Journ. of Math. 20 (1885), S. 97 teils zwischen den Funk-
tionen q(s), ^i(s), teils zwischen diesen und einer anderen, von ihm
durch x{s) bezeichneten Funktion, die zur Lehre von den komplexen
ganzen Zahlen von der Form a -f hY - 1 Bezug hat, Beziehungen
hergeleitet, welche sich den in (28), (69) und (97) gegebenen an die
Seite stellen, u. a. mehr. Wir müssen uns aber versagen, hier noch
weiter in diese den Elementen so fernliegenden Betrachtungen uns
zu vertiefen, und den Leser auf die angeführten Stellen verweisen.
Siebentes Kapitel.
Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
1. Bereits in Nr. 1 des dritten Kapitels ist der Aufgabe Erwäh-
nung getan, daß eine Zahl s in Summanden von einer vorgeschriebenen
besonderen Natur zerfällt werden solle. Wir heben unter den Zer-
fällungen dieser Art diejenigen hervor, bei welchen die Summanden
Potenzzahlen eines bestimmten Grades sein sollen, die Zerfällung
also die allgemeine Gestalt haben würde:
s^x"^ -i- y^ + 0"' -\ .
Der einfachste Fall dieser Aufgabe wäre die Zerfällung der Zahl s in
eine Summe von Quadraten:
Zerfallung in zwei Quadrate. 305
s = a;2 4- r ■+ •^"' + • • •,
und wir untersuchen dabei zuvörderst die Möglichkeit, eine gegebene
Zahl s als Summe zweier Quadrate, also in der Form
(1) s^x^-j- i/
darzustellen. Nicht jede Zahl gestattet eine solche Darstellung. Ist
z. B. s von der Form Ah -\- 3, so ist die Gleichung (1) unmöglich,
da aus ihr die Kongruenz
3 = x^ -{- y^mod. 4.)
hervorginge, welche nicht stattfinden kann, da jedes Quadrat nur
einen der Reste 0, 1, also die Summe x- + y^ nur einen der Reste
0, 1, 2 (mod. 4) lassen kann. Auch nicht jede Zahl s von der Form
4Ä: -f 1 läßt eine Darstellung (1) zu. Ist jedoch s eine Primzahl
p dieser Form, so kann stets
p = x^ + y^
gesetzt werden, wovon wir uns zunächst mittelst einer von Lagrange
angestellten Betrachtung überzeugen.
Da — 1 bezüglich einer solchen Primzahl quadratischer Rest ist,^
gibt es eine durch p nicht teilbare Zahl z der Art, daß ^^ = — 1 oder
z^ -\- \ = 0(mod. p) ist, oder allgemeiner ausgedrückt: es gibt durch
p nicht teilbare Zahlen x, y^ für welche die Summe x^ + y^ durch
p aufgeht, so daß
(2) x^ -\- xß = p -m
gesetzt werden kann. Ist nun nicht schon m = 1, so darf doch m <Cp
gedacht werden, denn aus vorstehender Gleichung folgt für irgend-
welche ganzzahligen Werte von |, rj die andere Gleichung:
(x -p^y + {y- PvY =P ' ^\
wo m' ganzzahlig; jene Werte |, ri aber können so gewählt werden,
daß X — p^y y~PV) otiie zu verschwinden, absolut kleiner als |
werden, und dann ergäbe sich:
pm'<2~ also m' <p',
man darf daher gleich in (2) die x, y so denken, daß m <p. Alsdann
können x, y nicht beide durch m teilbar sein, da sonst p • m durch
m^, p durch m aufginge, was nicht sein kann, da w <p und von 1
verschieden ist. Dies vorausgeschickt, folgern wir aus (2) für irgend-
welche ganzzahligen x^, y^ die Gleichung
Bachmann, niedere Zahlentheorie. II. on
306 Zerfällungen in gleiclinainige Potenzen.
(3) (x — mx^^ -\- iy — ^2/1)^ = m-m^,
wo m^ eine ganze Zahl, und können nun wieder x^, y^ so wählen,
daß X — mx^, y — my^j ohne beide zu verschwinden, absolut kleiner 't^-
als —y mithin ,
wird.
Man beachte nun die Identität
(4) ix' + 2/0(^" + ^'^) = (^o;' ± yyj + (^2/' T x^y)\
derzufolge das Produkt zweier Summen von zwei Quadraten
wieder eine solche Summe ist. Multipliziert man demgemäß die
Gleichungen (2) und (3) miteinander, so kann mit Rücksicht auf (2)
der neuen Gleichung leicht die Gestalt gegeben werden:
(5) (i> -^^1-2/2/1)^+ (2/^1- 2/1^)' =i? • !^l; ^
worin m^ < m < p, mithin die Basen der Quadrate nicht beide durch
m^ teilbar sind, falls m^ > 1. Man kann daher jetzt mit dieser
Gleichung verfahren, wie mit der Gleichung (2) usw., und muß
schließlich so zu einer Gleichung gelangen von der Form
d. h. zu einer Darstellung von p als Summe zweier Quadrate.
Ist ferner
(6) s = 2^.i)V«y«". . .
eine Zahl, welche außer etwa durch 2 nur durch Primfaktoren p^ p\
p"j . . . von der Form 4Ä; + 1 teilbar ist, so wird, da nicht nur jeder
dieser letzteren, sondern auch 2 — 1^+1^ die Summe zweier Quadrat-
zahlen ist, sich durch Zusammensetzung nach Formel (4) auch 5 als
eine solche Summe ergeben. Jede solche Zahl s läßt sich also in
zwei Quadratzahlen zerfallen.
Man unterscheidet nun eigentliche und uneigentliche Dar-
stellungen (1), je nachdem darin x^ y teilerfremd sind, oder einen
von 1 verschiedenen größten gemeinsamen Teiler d haben. Setzt
man für die letzteren x = dxfj y = dy\ so daß ic', 2/' teilerfremd sind,
so muß 8 durch d^ teilbar und
(7) ^ = a/^ + y^
eine eigentliche Darstellung von v^ sein, wie deim auch umgekehrt
aus einer solchen sich eine Darstellung
s == rr^ + «/^
ergibt, in welcher x = do^ y y = äy^ den größten gemeinsamen Teiler d
haben. Daher finden sich sämtliche Darstellungen von s als Summe
Zerfällung in zwei Quadrate. 307
zweier Quadrate, wenn für alle quadratischen Teiler d^ von s
die eigentlichen Darstellungen der Zahlen ^ bestimmt werden.
Ist nnn
(8) s = s'-q'-q"'---,
wo s' außer etwa durch 2 nur durch Primfaktoren von der Form
4fc -f- 1 aufgeht, während q, gf, .-• Primfaktoren von der Form 4:1c + 3
sind, so wird in jedem der Quotienten ^ jeder der letzteren, dessen
Exponent in der Zerlegung (8) ungerade ist, in ungerader Potenz
auftreten und daher wird jeder Quotient ^ mindestens einen dieser
Primfaktoren enthalten, wenn auch nur einer der Exponenten Z>, ?>',...
ungerade ist. Alsdann ist aber eine eigentliche Darstellung (7) un-
möglich; denn, träte etwa q als Faktor von ^ auf, so ergäbe sich
aus (7) die Kongruenz
x'^ ^y'i = 0 oder af^ = - iß (mod. g), .- / ^ £-3
derzufolge — 1 quadratischer Rest von q wäre, während doch ^ von '""
der Form 4 Ä: -f 3 ist. Dann ist also die Zahl s nicht als Summe ^ ^. ,'
zweier Quadratzahlen darstellbar. Sind dagegen alle Exponenten n ^
h, y, ... gerade, d. h. ist s von der Form ~ "^
wo ^ keine, Q aber nur Primfaktoren von der Form 4Ä; + 3 enthält,
so gestattet allein der Quotient t^ = s' Darstellungen in der Form
x^ ■\- y'^j und somit s ebensoviel Darstellungen in derselben Form, die
aus den vorigen hervorgehen, indem ihre darstellenden Zahlen Xy y
durch Q multipliziert werden.
Hiernach läßt sich der Satz aussprechen:
Ist s = s's" und s' außer etwa durch 2 nur durch Prim-
faktoren von der Form 4^:+ 1, s" nur durch solche von der \'^^^^^/\
Form 4Z; + 3 teilbar, so kann s als Summe zweier Quadrat-
zahlen nur dann dargestellt werden, wenn s" eine Quadrat-
zahl ist, und gestattet alsdann ebensoviel Darstellungen wie
die Zahl s'.
2. Diese Betrachtungen gehören einer allgemeinen Theorie an,
deren Entwicklung in diesem Werke nicht gegeben werden kann,
der Theorie der „binären quadratischen Formen"
ax^ -f hxy + c?/^,
wo a, &, c gegebene ganze Zahlen bezeichnen. Die Hauptaufgabe
dieser Theorie besteht in der Untersuchung der Bedingungen, unter
20*
308 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
welchen eine gegebene ganze Zahl 5 durch eine Form der angegebenen
Art darstellbar, nämlich die Gleichung
(9) s = ax^ 4- ^xy + cf
in ganzen Zahlen x^ y auflösbar ist, sowie in der Auffindung ihrer
Lösungen, insbesondere auch in der Bestimmung von deren Anzahl.
Offenbar ist x^ + y^ eine ganz spezielle Form der bezeichneten Art,
und wir könnten daher der Lehre von den quadratischen Formen die
Sätze über die Zerfällbarkeit der Zahlen in zwei Quadratzahlen und
über die mögliche Anzahl der Zerfällungen, wie wir in Kap. 3, Nr. 24
getan haben, ohne weiteres entnehmen. Unter anderem lehrt jene
Theorie den folgenden Satz:
Ist u eine ungerade Zahl, so hat die Gleichung
(10) 2u = x^-\-y'^
nur dann, wie wir schon wissen, ganzzahlige Auflösungen,
wenn u = F • Q^, P eine nur aus Primfaktoren von der Form
4Zj4-1, Q eine nur aus Primfaktoren von der Form AJc -{- 3
bestehende Zahl ist, und sie hat in diesem Falle soviel Auf-
lösungen in positiven ganzen Zahlen rr, 2/> welche notwendig
ungerade sind, da wegen (10) x'^+y^^2 (mod. 4) sein muß, als
^^ö*iir*fc <ii6 Anzahl der Teiler von P beträgt.
Um diesem Satze zunächst einen bequemeren Ausdruck zu geben,
d^iJ^J^Tr- stellen wir folgende Betrachtung an. Sei
U^
11^ «1^ (11) u = a-N' . . . a'«'&'^'
die Zerlegung einer ungeraden Zahl u in ihre Primfaktoren, wo
a, h, . . . von der Form Ak + 1, a', h\ ... von der Form 4^ -f 3 sein
mögen. Entwickelt man das Produkt
(1 + « 4- ^2 + . . . + a«)
■ (1 + & 4- &'+••• + &0
(12) 11^ ,^i^a'+a'' + (- 1)«' a'-')
so erhält man offenbar jeden Teiler von u mit einer Potenz von — 1
multipliziert, deren Exponent die Anzahl derjenigen seiner Prim-
faktoren angibt, welche die Form 4/? + 3 haben. Je nachdem diese
Anzahl aber gerade oder ungerade ist, ist einerseits die Potenz von
— 1 positiv oder negativ, andererseits der Teiler von der Form AJc+l
oder 4Jc + S resp. Das entwickelte Produkt TT liefert also den Unter-
schied zwischen der Summe der Teiler der ersteren, und derjenigen
Zerfällung in zwei Quadrate. 309
der Teiler der zweiten Form und geht, wenn statt der Teiler überall
die Einheit d. h., wenn alle a, }>,..., a\ h', . . . gleich 1 gesetzt
werden, in den Unterschied zwischen der Anzahl der Teiler der
ersten und derjenigen der Teiler der zweiten Form über. Dieser
Unterschied ist also gleich
mithin nur dann von Null verschieden, wenn die sämtlichen Ex-
ponenten «', ß', ... gerade sind, d. h. wenn w, wie im obigen Satze,
die Form P- Q^ hat, und er ist in diesem Falle gleich
(1 + «) (1 + ^) . . .
d. i. gleich der Anzahl der Teiler von P = a"h'^ . . .
Verbindet man dies Resultat mit dem obigen Satze, so darf man
ihn fassen, wie folgt:
Die Anzahl der Auflösungen der Gleichung (10) in
positiven ganzen Zahlen x, y ist gleich dem Unterschiede
zwischen der Anzahl der Teiler von Uy welche die Form
4Ä -f 1 haben, und der Anzahl derjenigen von der Form 4/.' + 3.
Bezeichnet man mit Liouville durch q(u) den gedachten Unter-
schied, so darf gesetzt werden
(13) Q(U) =^(- 1)
d—1
2
wenn die Summe auf alle Teiler d von u erstreckt wird; und in
Vaklensaher Bezeichnungsweise spricht sich der letzte Satz
aus in der Gleichung
(14) N(2u = ^2 4- 2/2) _ p (^^).
(^,2/>0)
Dieser, der Theorie der quadratischen Formen entnommene Satz wurde
von Jaedbi zuerst aus der Lehre von den elliptischen, genauer von
den Thetafunktionen gewonnen, indem er die Formeln (5) S. 103 und
(7) S. 184 seiner fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum
miteinander verglich. Wir woUen hier zeigen, wie VaMen ihn auf
ganz elementarem Wege aus der Theorie der ZerfäUung ganzer Zahlen,
also als ein Resultat der additiven Zahlentheorie hergeleitet hat.
Dabei kann wieder zwischen Zerfällungen und Zergliederungen
einer Zahl in Quadratzahlen unterschieden werden. Die Gleichung
(1) bleibt nämlich bestehen, wenn x, y — sei es einzeln oder beide
— mit entgegengesetztem Vorzeichen genommen oder auch miteinander
vertauscht werden. Wird nun bei einer solchen Darstellung von $
als Summe zweier Quadrate auf deren Anordnung bezw. auf das
Vorzeichen der darstellenden Zahlen Xy y keine Rücksicht genommen,
3JQ Zerfällungen in gleiclinamige Potenzen.
SO nennen wir die Darstellung eine Zerfällung, anderenfalls eine
Zergliederung von s. Sind oc, y von Null und untereinander ver-
schieden, so entsprechen der Zerfällung, wenn nichts Näheres von Xy
y ausgesagt wird, stets acht, entgegengesetztenfalls nur vier Zer-
gliederungen. Hiernach können wir, da in (14) die Darstellungen
sooft (T, y verschieden voneinander sind, als verschiedene gezählt
werden, den Satz folgendermaßen aussprechen:
Die Anzahl der Zergliederungen von 2%i in zwei Quadrate
positiver Zahlen beträgt (>(w), in zwei Quadrate überhaupt
Aq{u).
Nun sind, da Xj y in (14) ungerade sein müssen,
ganze Zahlen, deren erstere positiv ist; mit Beachtung der Identität
ergibt sich also aus jeder Darstellung (14), in welcher Xy y verschieden
voneinander sind, eine Darstellung
und aus der anderen: 2u = y^-}-x^ die Darstellung
während einer Darstellung 2u = x^+ y^, in welcher Xj y gleich sind
und welche nur stattfindet, wenn u eine Quadratzahl ist, eine Darstellung
entspricht. Da dies offenbar auch umgekehrt gilt, folgt mit Rücksicht
auf (14) die Beziehung
(15) N{u = x' -^ y^) == q(u).
Hierbei darf man y als gerade voraussetzen, da eine der beiden Zahlen
X, y ungerade, die andere gerade sein muß, und man, falls y ungerade
ist, statt der Darstellungen u = x^-{-{+yy die anderen: ^^ == i/^ -f-
(+ xy zählen darf. Demnach beträgt die Anzahl der Zerfällungen
von u in das Quadrat einer geraden und einer positiven ungeraden
Zahl ebenfalls q{u). Zählt man aber statt jeder Darstellung u =^ x^ -^ y^
mit negativem geraden y die Darstellung u == {— yY + x^, so erkennt
man, daß Q{%i) auch die Anzahl der Zergliederungen von u in
zwei Quadrate nicht negativer Zahlen, Aq{u) die Anzahl der
Zergliederungen von u in zwei Quadrate überhaupt bestimmt.
Methode von Vahlen. 311
3. Zwecks der gedachten Herleitung dieser Sätze knüpfen wir
an die Formel (183) des dritten Kapitels an, der man die Form
geben kann:
(16)
Nfs =2*V. +^ß, +2'n; (- lyA = n{s = '^; (- 1)*),
wo in der ersten Summe ein Summande ak Null sein darf. Setzt
man zur Abkürzung, indem man jetzt alle Summanden der ersten
Summe positiv denkt,
A = n{s =2"«. +^ft +^n; (- 1)"+'')
= n(s =^«. +^ß, +^n; (- iy+"+'Y .
(i-fi = A)
SO folgt zunächst für positives h aus (16) die Formel
(17) A-A-i=A^(s = ^; (-1)*).
Da aber offenbar
(18) D-.= Z>,
ist, ergibt sich, wenn h = — h' -{- 1 gesetzt wird, während /i'>0
ist, aus / h'^ — h' \
die Gleichung / t,» 7.
A-A-i = i^(s = ^; (-IV),
also auch für nicht positive h die Gleichung (17). Dies voraus-
geschickt, wählen wir die positive ganze Zahl n so groß, daß —~ — ^>5
ist; dann ist gewiß keine Zerfällung von s in w oder mehr verschiedene
Summanden vorhanden und daher auch der Unterschied Dh für h^ n
gleich Null.
Ist also erstens s keine Trigonalzahl, so finden sich die Gleichungen
-D„=0
(19)
daher sind in diesem Falle sämtliche 2)^ und folglich auch ihre Summe
gleich Null, und man erhält
312 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
(20) Nfs =^a, +^ß, +^n; (-iy + " + A= 0.
\ 1 1 1 /
Ist aber zweitens s eine TrigonalzaU, s== --P-j so treten an die
Stelle der Gleichungen (19) je nach dem doppelten Vorzeichen diese
andern;
(21)
A+i-A—0 resp.(- 1)^ + 1
i),-D,_i = (-!)*• resp.O
D_(,_i) - D_ i ^ (- l>-i resp. 0
D_,-ZI_(,+i) = 0 resp. (-l>•
2)_(,_l) -D_„=0,
aus denen jedes 2)^, dessen Index absolut > i resp. > i ist, wieder
gleich Null, dagegen
resp.
n, = A_i = . . . = D_(,_i) = D_ , = (- 1)^-
gefunden wird. Die Summe sämtlicher Dh ist also in diesem Falle
gleich (2^* — 1) • (— l)'-i resp. (2^* + 1) • (— ly, und man findet statt
(20) die Gleichung
(22) N{s=^^a,+^ß,+^n', (-l)^-+."+A = (-l)±/-i.(±2i-l).
Da nun eine Zahl, wenn überhaupt, auf zwei Arten Trigonalzahl
ist, so kann man beide Fälle zusammenfassend schreiben:
(23)
N
s =^«. +^ß. +^n; (- iy+"+^
= ijv(s = "-±^; (-1)±'-K±2»-1))
(i>0)
oder auch, wenn 8s + 1 = s' gesetzt wird,
Methode von Vahlen.
313
''.+/^+»'
AT 5^ = 1 4. 8^«, + ^^ß, + 8^^^,; (- 1)
\ 111
= \n{^-(+ 2i - 1)^; (- 1)±»-^ •(+ 2^ - !))•
(i>0)
Diese Formel setzt eigentlich s' = 1 (mod. 8) voraus ; da aber offenbar
in jedem andern Falle sowohl die links als die rechts stehende An-
zahl verschwindet, so besteht für jedes s die Beziehung:
(24) ms = \-^ 8^«, + %^ß, 4- 8^y,; (- 1)
). + ^i^^
1 1 1
+ 8^«i + 4^«.^ + 42'fi
1
+ 8^ai' + ^^li, 4- 4^^;;; (- ly + /^ + *+/''+ ^'
worin nun u als positire ungerade Zahl gedacht werden muß.
Die links stehende Anzahl ist aber gleich der folgenden:
(25)
worin die Uk, u\y v^, v* ungerade Zahlen sind. In der Tat, faßt man
S^u; + 4^v, in 4^a',
8^«;' + i^u; in 4^a4'
zusammen, wo die ajt, a'k beliebige voneinander verschiedene Zahlen
bedeuten, so geht
]^(s - 1 _ 8^«, - 8^"^^ - 8^n - 4^«^. - ^^a't
1111
= i^vl + i^a'i ; (- l/+.«+' + '''. (- 1)A
weil nach der Fa/tZe^zschen Grundformel (32 a) des 6. Kapitels
nUs' = 4^f; + 4^ai'; (- 1)»'^= 0
ist (eine Formel, die offenbar auch richtig bleibt, wenn 4s' durch
irgendeine nicht durch 4 teilbare Zahl ersetzt wird), in den Ausdruck
314 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
Villi /
über, der nun nach derselben Grundformel sich in den anderen:
verwandelt. Andererseits geht aber der Ausdruck (25) zunächst nach
Formel (184a) des 3. Kapitels über in diesen:
nL = u' + 8^/3, + 8^n 4- 4^% + 4.^v',
\ 1111
der nun seinerseits mit Rücksicht auf (186 cc) des 3. Kapitels gleich
n{s = u'+g'+ S^ß, + 4^% + 4:^v',; (~ l)''+/''+^')
und endlich nach (186 bb) daselbst gleich
N{s = u' + g'+r';{-^V')
gesetzt werden kann, wo g, y gerade Zahlen bedeuten. Auf solche
Weise liefert die oben gefundene Beziehung (^24) die folgende Gleichung:
(26) n{s ==u'+g'+ y'-, (- 1^) == n{s = u'; (- 1)"^- ^(),
in welcher beiderseits u eine positive ungerade Zahl, g, y aber gerade
Zahlen bedeuten, die positiv, Null oder negativ sein können. Be-
zeichnet man also mit A(s) die Anzahl der Darstellungen
der Zahl s in der Form
s = u^-{- g^
(w>0 ung., g = 0 ger.),
SO erhält man schließlich die Beziehung:
(27) ^(- l)^.A(s - y') = n{s = u^-, (- I)^- w),
(t*>0 ung., y = 0, + 2, + 4,...)
in welcher wir s als ungerade Zahl denken wollen, die jedoch auch
für gerade Werte von s besteht, da für solche ihre beiden Seiten
von selber verschwinden.
Methode von Vahlen. 315
4. Jetzt keliren wir zur Formel (185 c) des 3. Kapitels zurück,
der wir für gerade s, für welche der darin auftretende Buchstabe h
eine gerade Zahl g bedeutet, die Form geben wollen
n(s ~^g,+ 2'«1- +2'«^'; (- if^^^ = n{s = g'-; (- ly).
wo n—v = g
Summiert man nun über alle zulässigen Werte von n, v, so kommt
-»(•-2'»+^"'+2'"''' <- i)''^'^\- "{•-»'; (- 1)*),
eine Formel, welche mittels der VaJilenschen Grundformel (40) des
6. Kapitels die Gestalt annimmt:
(28) nL .^„ + 2^„; (- lf\ - »(. - ,'; (- 1)*).
Für ungerade s dagegen geben wir der Formel (185c), in der
jetzt h eine ungerade Zahl u sein wird, die folgende Gestalt:
{*=^^* +^«* +^«*; (- if^'~^ •(;» - v)\ = n{s = u': (- 1)^.«).
wo ^ — V = u
Durch Summation über die zulässigen Werte von fi, v kommt
zunächst
}9) iv('s=^9*+2'«'+^«i'! (-l/^^^^-(/*-»')y Ms = M>'; (-1)""^-«).
Werden hier die etwa in den beiden letzten Summen gleichzeitior
auftretenden Summanden ausgesondert, so kann die linke Seite ge-
schrieben werden wie folgt:
worin, wenn h die Anzahl der Ui, [i' = ^ — k, v' = v — k also
fi' — v' = [i — V ist und die sämtlichen Ui, u\'y v^l» untereinander ver-
schiedene ungerade Zahlen bedeuten. Nun ergeben die sämtlichen
Zerfällungen
(31) s =^g, + 22'«.- +^«;' + 2«"
1 1
316 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen,
die sämtliclieii Zerfällungen von der Form
(32) s ==^g, + 2^u, +2*«;- +^»''' + «0,
1 11
in denen die Ui^ u\' W/'', Uq voneinander verschiedene ungerade Zahlen
sind, und zwar jede von diesen zweimal. Denn erstens entsteht aus
jeder Zerfällung (31) eine Zerfällung von der Form (32), wenn aus
einer der Summen ^w[' oder '^u'!" nach Belieben ein Element ab-
1 1
gesondert und mit Uq bezeichnet wird, wobei dann, je nachdem u^
der ersten oder der zweiten Summe entnommen wird, ^" ^ ^' — 1,
v" = v' oder ^l" = /i', v" = v' — 1 wird. Aber auch umgekehrt ent-
spricht jede Zerfällung (32) einer oder vielmehr je zwei Zerfällungen
fi" v"
von der Form (31), indem man entweder ^^u\' + u^ oder ^^u-" -\- u^
1 1
zu einer Summe zusammenfaßt, wobei dann je nach diesen Fällen
^' = ^/' -\- 1, v'=v" oder ^i' = /i", v' = v" + 1 wird. Bsl ^'—v=n — v
ungerade, so ist ^i" — v" gerade. Wird nun jede aus den Zerfällungen
(31) entstehende Zerfällung von der Form (32) (— 1) ^ mal
genommen, so entsteht die doppelte Anzahldifferenz
(33)2
Nfs =^g, + 2^uc +^<' +^^' + %; (- 1)'"^' ' \
Diejenigen Zerfällungen (32) aber, welche aus ein und derselben Zer-
fällung (31) entstehen, liefern offenbar den Beitrag
^t'-l-r' ,u'-v'+l /t'-r'-l
(-1)^ 2 .^.+ (_1)+ 2 .^^=(_1)+ 2 .(^'-v'),
da Uq jedes der /a' Elemente u'r und jedes der v' Elemente u'-" be-
deuten kann; sie liefern also den gleichen Beitrag zum Ausdrucke
(33), wie die eine Zerfällung (31) zum Ausdrucke (30). Insgesamt
werden also die beiden Ausdrücke (30) und (33) übereinstimmen
müssen, und daher die Formel (29 j auch folgendermaßen gefaßt
werden können:
(34) V 1 ^ 1 1 /
= Tv^G = ti^', (- 1)~^- u), wo u ^ 0.
Durch Anwendung der FöT^^mschen Grundformel (39) des 6. Kapitels
reduziert sich die linke Seite auf den Ausdruck
Methode von Vahlen. 317
(35) 2-Nfs=^g, + 2^Ui + H„; (- 1 A
WO Uq von den Ui verschieden ist, und dieser endlich ist dem folgen-
den gleich:
(36) 2 . Nfs ^^g, + 2^u, + uu,\ (- 1)'"^^Y
in welchem Uq auch mit einer der Zahlen w, gleich sein darf, u aber
eine positive ungerade Zahl bedeutet. In der Tat, wenn Uq ^ Wj und
n > 1, so werden, wenn k die Anzahl der ?i, bedeutet, die zwei Zer-
fällungen k k
s =^ g,: + ^^Ui + w Wo
1 1
1 0
für die Anzahldifferenz (36) resp. die Beiträge
M — 1 u —3
(-1)'+^, (-!)'•+—
liefern, welche sich zerstören; ebenso umgekehrt; und es bleiben nur
die Zerfällungen des Ausdrucks (35) zu berücksichtigen.
Hiernach geht aus (34) die einfachere Formel
2 . ms =^gk + 2^u,+uu,', (- 1)'"^^" j = n{s = u'- (- 1)^'- u)
hervor, die nun, da s — ^lu^^ gerade ist, nach Formel (28) in die andere:
2 . N{s = g'-\-uUo] (- 1)^'^~^)=n{s = w^; (- if^-ii).
oder noch einfacher in diese:
(37) n{s = g^ + uu,; (- 1)"^ "^ ^ = n{s = u'-, (- 1) V. ^)
übergeht, in welcher nun beiderseits u eine positive ungerade Zahl.
Bedenkt man endlich, daß für eine ungerade Zahl s der Ausdruck
n{s = uu,', (- 1)^)
offenbar nichts anderes ist als die Summe
dd'=
318 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
so spricht sich die voraufgehende Beziehung auch in der
Formel aus:
(38) ^{-l)i„{,~fl-N{,-u>, (-1)^-.).
(»i«) .
(u>0)
Ihre Vergleichung mit der Formel (27) läßt erkennen, daß
(39) 2'(-ir-A(s-p^)=^(-l)^.9(s-/)
ist, wo beiderseits sich die Summationen über alle geraden Zahlen
g^O erstrecken, für welche s > g^ bleibt. Hieraus folgt aber
die Gleichheit
(40) A(s) = e(s).
Denn, gilt diese Gleichheit bereits für alle ungeraden Argumente,
welche kleiner sind als die gegebene Zahl s, so folgt sie aus (39)
auch für das Argument s und somit allgemein, da offenbar für s = 1
A(l) = 1 = p(l)
ist. Die Gleichung (40) ist nun identisch mit (15) und dem-
nach der in der letzteren also auch der in der Formel (14)
ausgesprochene, zuvor der Theorie der quadratischen Formen
entnommene Satz bewiesen.
Ist s weder ungerade noch das Doppelte einer ungeraden Zahl, so
kann s = 2* • tt gesetzt werden, wo u ungerade und ä; > 2 ist. In
jeder vorhandenen Darstellung dieser Zahl 2* • u als Summe zweier
Quadrate nicht negativer Zahlen:
sind Xy y gerade, da sie sonst beide ungerade sein müßten, in der
vorstehenden Gleichung dann aber deren linke Seite =0, die rechte
EE 2 (mod. 4) wäre. Setzt man also x = 2x\ y = 2y'j so folgt
und man könnte ebenso fortschließen, wenn noch Ic — 2 "^ 2 wäre.
So kommt man, wenn zuerst h ungerade, h = 2h -\- 1 ist, auf eine
Gleichung 2« = X^+P
d. h. jeder der gedachten Darstellungen von 2* • u entspricht eine Dar-
stellung von 2u in positiven Zahlen X, Y, und offenbar auch um-
gekehrt, da aus einer Gleichung der letzteren Form sich
22Ä+i.w = (2ÄX)2-F(2Ar)2
ergibt. Ist aber zweitens Ic gerade, ]c = 2hy so kommt man von der
vorausgesetzten Darstellung von 2^u zu einer Darstellung
Allgemeiner Satz über die Anzahl der Zerfällungen in zwei Quadrate. 319
in nicht negativen Zahlen X, Yy also auch zu den Gleichungen
2ii = {X + Yy+ (X - Yy= (X + 7)^+ (7- X)2
d. i. zu einer Darstellung
in positiven Zahlen x'y y'-^ umgekehrt aber folgt auch aus einer solchen,
indem man
setzt, das Vorzeichen so wählend, daß Z> 0 wird, eine Gleichung
u = X^-^Y^
und daraus
Man ersieht hieraus, daß die Anzahl Darstellungen der Zahl
5 = 2*w als Summe zweier Quadrate nicht negativer Zahlen für ä: > 2
ebensogroß ist, wie für Ä: = 1 oder ä; = 0, nämlich gleich q{u). Nun
sind die Teiler von u die ungeraden Teiler von s; man kann daher
den Ausdruck (13) für q{u) auch folgendermaßen schreiben:
s=u'd'
indem man die Summation auf alle ungeraden Teiler u^ von s be-
zieht, und erhält den allgemeinen Satz:
Für jede positive ganze Zahl s ist die Anzahl ihrer
Zergliederungen
s = x^ + y^
in zwei Quadrate nicht negativer Zahlen rr, y gleich dem
Ausdrucke
(13') 9(.)=2'(-l)^
s = u'd'
d. i. gleich dem Überschüsse der Anzahl ihrer Teiler von
der Form Ah -\- \ über die ihrer Teiler von der Form 4/? -f- 3.
5. Kehren wir noch einmal zur Formel (23) zurück. Die drei-
malige Anwendung des Pentagonalzahlensatzes d. h. der Formel (169)
des 3. Kapitels führt ihre linke Seite über in den Ausdruck
wo
N[s = ö;i + &^+ a>r] (- 1)^-+^+'),
' Cu = ; G3v = 7i
2 ~" 2
Pentagonalzahlen sind, während ihre rechte Seite auch in der Form
320 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
geschrieben werden kann. Man erhält also die Beziehung:
(41) N{s = ÖA -f ö,. + ö.; (- 1)^+^'+^) = n{s = ^; (- iy(2k + 1))
/c>0
oder den Satz: Die Anzahl der geraden Zerfällungen einer
Zahl s = ÖA + ö^ 4- »»• in drei Pentagonalzahlen ist im all-
gemeinen gleich derjenigen der ungeraden, wenn eine solche
Zerfällung zugleich mit X -i- [i -\- v gerade oder ungerade
heißt; doch übertrifft die erste Anzahl die zweite, falls s
k^ -\-k
eine Trigonalzahl — — — ist, um (— l)*-(2^-h 1). Da die
Gleichungen
s = o/ 4- Gt/ii 4- ö,;, s == — 2—
sich auch schreiben lassen, wie folgt:
24s + 3 = (6X + 1)2+ (6/i + 1)«+ (61/ + 1)2, 24s+3 = 3-(2/^+ 1)2,
so kann man der Formel (41) auch diese Gestalt geben:
(41') N{s'=^{6X 4- ly-hi^fi 4- iy+ (61/ 4- 1)^; (- 1)^+^*+^')
= n{s'=3u'', (_1)~^.J,
worin u eine positive ungerade Zahl; s' bedeutet zunächst eine Zahl
von der Form 24s 4- 3, doch gilt die Beziehung für jedwede Zahl s',
da für Zahlen anderer Form ersichtlich beide Seiten gleichzeitig ver-
schwinden. In Worten spricht sich die Formel (41') folgender-
maßen aus:
Die Anzahl der geraden Darstellungen einer Zahl s in
der Form
(42) s = (6A 4- .1)^4- (6/i 4- 1)' + {Qv + 1)'
ist gleich der Anzahl der ungeraden, ausgenommen den
Fall, wenn s = 3u^ d. i. das dreifache Quadrat einer un-
geraden Zahl ist, in welchem Falle die erste Anzahl die
letztere um (— 1) 2 .^ übertrifft.
Da dieser Unterschied numerisch größer ist als 1 , sobald s > 3,
so muß dann auch die Anzahl aller Darstellungen von s in der
Form (42) größer als 1 sein, die Zahl s = 3u^ also mehr als eine
solche und somit mindestens eine von der selbstverständlichen Dar-
stellung
s = u^ -f u^ 4- «^^
verschiedene Darstellung (42) verstatten. In der letzten sind dann
Darstellbarkeit einer Zahl durch die Form x^-\- 3y^-\-3z^-^6t^. 321
A, /i, V nicht alle einander gleich. Nun kann man der Gleichung (42)
die Form geben:
3ti^==(idX-^ l)2+2(3/i + 3i/ + 1)'+ IS (ii-vy.
Da aber identisch
ist, geht vorstehende Gleichung in die folgende:
u'^{2 {X + ^u + v) -j- ly + 2 -{2X - II - vy + ß' Ca - vf
über. Setzt man zur Abkürzung
2{X + ^ -\- v) + 1 ==l, 2 X — ^ — V = 7)1, ^ — V = n,
so können m, n, da X, ^, v nicht alle gleich sind, nicht gleichzeitig
verschwinden, und somit folgt
(43) u^ > P und ""^^ = m^ + 3 wl
Nun sind Uj l ungerade, mithin
durch 8 teilbar, während die Faktoren u -{-l, u — l zwar durch 2,
aber nicht zugleich durch 4 teilbar sind. Geht also etwa ti — l durch
4 auf, so sind ~-, —7— zwei ganze Zahlen, welche wegen (43)
Teiler der Form m^ -\- 3n^ sind. Setzt man im besonderen jetzt u
als Primzahl voraus, so sind sie auch relativ prim, da ein ihnen ge-
meinsamer Teiler auch in
_-+2. -^ = ^., -^-2--^=l
aufgehen müßte, was nicht sein kann, da l numerisch kleiner ist als
die Primzahl ii. Daun folgt aber aus der Lehre von den quadratischen
Formen, daß die Faktoren ^— , —7^ selbst von der Form x^ + 3y^
sein müssen, etwa
und daher ergibt sich schließlich die Gleichung
?f = «2.^2/32+3/+ 6d^
oder der Satz: Jede ungerade Primzahl ist darstellbar in der
Form
(44) x^+2i/+3z^-{-6f.
Die Primzahl 2 ist es ebenfalls, indem man ?/ = 1, x = 2 = t=0
setzt.
Nun besteht aber für die allgemeinere Form
x^+Ät/-hBs'^+ÄBf^
Bachmann, niedere Zahlentheorie. II. • 21
(45)
322 Zerfällungen in gleidmamige Potenzen.
der ausgezeichnete Satz, welcher den schon ohen angewandten
Satz von der Summe zweier Quadrate wesentlich verallgemeinert, daß
das Produkt von zwei Ausdrücken dieser Form wieder ein
solcher Ausdruck ist, indem die folgende Identität statt-
findet:
- {xi-Ayri - Bzi - ABt^y -f A{xri -f- 2/I + 5(^0 - t^))'
+ B[xi j^l^^Aifri- yd)y + AB{xd -{- ^t -{- y^ - zri)\
Es setzen sich daher auch zwei Ausdrücke (44) durch Multiplikation
wieder in einen ehensolchen zusammen. Da aber jede positive ganze
Zahl durch Multiplikation aus gewissen Primzahlen entsteht, so er-
schließt man aus diesen Umständen das allgemeine Ergebnis:
Jede positive ganze Zahl kann in der Form (44) dar-
gestellt werden.
Die Identität
==x'-\-{y-^z-\-tf+{-y^z + tf-^{z- 2ty
lehrt dann weiter, daß jede positive ganze Zahl auch als Summe
von vier Quadratzahlen darstellbar ist.
Die in dieser Nummer hergeleiteten Sätze verdankt man Jacöbi,
der sie zuerst aus einer sehr merkwürdigen Formel der elliptischen
Funktionentheorie entnahm. In der Gleichung (167) des 3. Kapitels
gaben wir nach Euler die Entwickelung des unendlichen Produktes
w
(1 - rr'O
in eine Potenzreihe; Jacohi aber hat, wie schon in Nr. 10 des vorigen
Kapitels bemerkt, im § QQ seiner Fundamenta nova auch die dritte
Potenz desselben in eine solche Reihe entwickelt und gewann durch
Vergleichung mit der ersteren Entwicklung die Formel:
(00 3w^ + w\ 3 00 P + A
^{-ly.x 2 ) =y(-i)*.(2/b-j-i)^"
n = — flo
-^'
aus welcher der in Formel (41) enthaltene Satz unmittelbar abzulesen
war. Ersetzt man darin aber x durch x^^ und multipliziert beiderseits
mit x^y so nimmt die Formel die andere Gestalt an:
(47) ( ^(-l)».x(''" + ')'j=2(-l)
{u > 0, ungerade)
u — l
2
Zerfällbarkeit in vier Quadratzahlen. 323
in welcher die Summation zur Rechten sich auf alle positiven un-
geraden Zahlen u = 21v -^ 1 erstreckt, und aus ihr entnimmt man den
zweiten oben gegebenen Ausspruch (41') des Satzes. In einer späteren
Arbeit (J. f. Math. 21, S. 13) hat dann Jacobi den Satz aus elemen-
taren arithmetischen Quellen abgeleitet und die Folgerungen hinzu-
gefügt, die wir vorher aus ihm gezogen.
6. Der wichtige Satz, daß jede positive ganze Zahl in eine Summe
von vier Quadratzahlen zerfällbar ist, ist im vorigen nur mit Hilfe
der Theorie der quadratischen Formen erhalten worden. Man beweist
ihn aber mit viel einfacheren Mitteln nach Lagrange ganz ähnlich,
wie in Nr. 1 die Zerfällbarkeit jeder Primzahl von der Form 4Ä; -f 1
in eine Summe von zwei Quadratzahlen gezeigt worden ist.
Die Grundlage dieses Beweises ist die Bemerkung, daß, wenn p eine
ungerade Primzahl, B und G aber Zahlen sind, welche durch p nicht
aufgehen, ganze Zahlen x^ y vorhanden sind, für welche der Ausdruck
(48) x^-By^-C
durch p aufgeht. Dies ist zuerst von Lagrange und von Euler nach-
gewiesen worden {Lagrange in den Mem. de l'Acad. de Berlin 1770;
Eider in den Acta Petrop. I, II 1775, s. Comment. arithm. collectae I,
S. 538); einen noch elementareren Beweis dafür lieferte v. Sternech,
den einfachsten von allen aber Bölzano (s. i\ Sterneck, Monatshefte f
Math. u. Phys., 15. Jhgg. S. 235); diesem schließen wir uns an.
Gibt man nämlich dem Zeichen x alle Werte 0, 1, 2, . . ., ^ — 1,
so liefert das Quadrat x^ genau ^-r— (mod. p) inkongruente Zahlen,
nämlich Null und die ^—z— quadratischen Reste (mod. p), ebenso gibt
ü + 1
der Ausdruck By'^ + 0, wenn y jene Werte durchläuft, ^^-" inkongruente
Zahlen, von denen mindestens eine einer der erstgenannten ^-— —
Zahlen kongruent sein muß, da es sonst ^ + 1 inkongruente Zahlen
(mod. p) gäbe. Für ein gewisses System x, y muß daher
x'=By'-{-C
oder
x'- By'--C = 0 (mod.p)
sein, wie behauptet; auch können dabei die Zahlen x, y nicht beide
durch p aufgehen, da C es nicht tut.
Wählt man im besonderen B = C = — 1, so ist also, allgemeiner
gesagt, das Vorhandensein von drei durch p nicht sämtlich teilbaren
Zahlen Xy y, z bewiesen, für welche x^ -\- %f -\' z^ durch p aufgeht, oder
noch allgemeiner das Vorhandensein von vier ganzen Zahlen o;, t/, ^, t,
die nicht sämtlich durch p aufgehen und für welche
(49) x^^iß-\-z''-Vi^^P'm
21*
324 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
(m ganzzahlig) gesetzt werden kann. Nun ist der Ausdruck zur
Linken dieser Gleichung ein spezieller Fall der allgemeinen Form
x' -i- Alf + Bz' -}- ÄBt',
daher schließt man aus dem Satze (45), daß das Produkt aus
zwei Summen von vier Quadratzahlen wieder eine solche
Summe ist, und kommt nun von der Gleichung (49) aus zum Nach-
weise einer Gleichung
für jede ungerade Primzahl p auf völlig analoge Weise, wie wir in
Nr. 1 von der Gleichung (2) aus zur Gleichung
X'+ Y' = p
geführt worden sind. Da nun auch die Zwei als Summe von vier
Quadratzahlen darstellbar ist, nämlich
so folgt durch Multiplikationen mittels des soeben ausgesprochenen
Satzes das gleiche auch für jede beliebig zusammengesetzte positive
ganze Zahl.
7. Denselben Satz entnehmen wir endlich noch einer dritten
Quelle. Fragen wir jetzt nach der Zerfällbarkeit der Zahlen in eine
Summe von drei Quadraten oder nach der Möglichkeit der Gleichung
(50) s = x^-\-y^+0l
Setzt man s = 4''-s', so gibt diese Formel jede positive ganze
Zahl, wenn 5' alle positiven ungeraden Zahlen und das Doppelte von
solchen durchläuft und h die Reihe der Zahlen 0, 1, 2, 3, . . . Ist
nun h> 0, so müssen Xy y^ s in der Gleichung
(51) 4J's' = x^^ 2/'+^'
gerade sein, denn sonst müßte eine dieser Zahlen gerade, die beiden
andern ungerade sein, dann würde aber die linke Seite der Gleichung
rr= 0, die rechte =2 (mod. 4). Setzen wir also x = 2x\ y = 2y\
0 = 20'y so erhalten wir die Gleichung
und können, falls h — 1 noch > 0 ist, in gleicher Weise fortfahren.
Man gelangt so endlich zu einer Gleichung
Wäre nun s' ungerade, so müßten entweder alle drei Zahlen X,
Y, Z ungerade und daher, weil das Quadrat jeder ungeraden Zahl
EEE 1 (mod. 8) ist, s' von der Form 8/? + 3 sein; oder eine der Zahlen
Zer^llbarkeit in drei Qüadratzahlen. 325
müßte ungerade, die beiden andern gerade sein, und dann ergäbe
sich s' von der Form Ak -\- 1 d. h. von einer der beiden Formen
8Ä; + 1 oder Sh + 5. Demnach ist keine Zahl s' von der Form
Sk -{- 1 und folglich allgemeiner keine Zahl von der Form
4'^-(8Ä;+7) in eine Summe von drei Quadratzahlen zer-
fällbar.
Dagegen ist es jede positive Zahl, welche diese Form
nicht hat. Letzteres hat Gauss als einen tiefliegenden Satz der
Theorie der „ternären quadratischen Formen" gefunden, auf welche
hier nicht eingegangen werden kann, und es ist bisher nicht gelungen,
es ohne dieselbe zu begründen.^) Wir müssen den Satz also hier
jener Lehre entnehmen, um ein paar einfache Folgerungen daraus zu
ziehen.
Sei zunächst s eine positive Zahl von der Form 4:k -{- 2] nach
dem Gaussschen Satze gibt es ganze Zahlen x, y, z von der Beschaffen-
heit, daß
(52) 4Ä; + 2 = a;2+2/^-f<2r2
ist. und es müssen zwei dieser Zahlen ungerade, die dritte gerade
sein, damit die Summe ihrer Quadrate = 2 (mod. 4) werde. Setzen
wir also etwa x, y als ungerade voraus, so geben die Gleichungen
x = x^ +y\ y =x'— y', z = 2z^
ganze Werte x\ y\ z' und aus (52) folgt
(53) 2k -h l=x'^-\-y''-\-2z'^
d.h. jede positive ungerade Zahl läßt sich in die Summe
von zwei Quadratzahlen und einer zweifachen Quadratzahl
zerfallen. Da von den ersten beiden Quadratzahlen offenbar eine
gerade, die andere ungerade sein muß, darf man auch sagen: Jede
positive ungerade Zahl 2k + 1 kann in die Form gesetzt
werden:
(53') 2k + l=x^+2y'+4z^.
Sei zweitens s von der Form 8Ä: + 3, so kann wieder dem Gauss-
schen Satze gemäß
(54) Sk + 3 = x'-{-y^-}-z'
gesetzt werden, worin sämtliche drei Zahlen x, y, z ungerade sein
müssen, so daß
x = 2x'+l, y = 2y'+l, z = 2 z' + 1
geschrieben werden darf. Die Substitution dieser Werte in (54) liefert
dann die folgende Gleichung:
1) Mittels sehr einfacher Sätze dieser Theorie bewies es Dirichlet, Jonm. f.
Math. 40, S. 228 oder Journ. des Math. 2 ser. t. 4, S. 233.
326 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
(55) l = x\x'^\) ^ y\y[±l) ^ z\^± 1)
d. h. den Satz: Jede positive ganze Zahl kann in die Summe
von drei Trigonalzahlen zerfällt werden.
Sei endlich wieder s = 4^ • s\ wo s' eine ungerade positive Zahl
oder das Doppelte einer solchen bezeichnet, so daß s jede positive
ganze Zahl sein kann. Ist s' zunächst ungerade und von der Form
4Ä;-f- 1, so ist s'-22=4(/b- 1)+ 1, wo nun 4t {l - 1) + 1, sobald
s'> 1 ist, eine positive Zahl darstellt, welche dem (rawssschen Satze
gemäß in die Summe dreier Quadratzahlen zerfällt werden kann; da-
her kann es s' in die Summe von vier solchen; die Zahl s'= 1 kann
es offenbar aber auch: 1 = 1^ -f 0^ + 0^+ Ol Ist zweitens s' von der
Form 4Ä; + 3, so ists'— l^=4Ä; + 2 nach dem G^attssschen Satze
eine Summe von drei, also s' wieder eine Summe von vier Quadrat-
zahlen. Wenn endlich s' das Doppelte einer ungeraden Zahl also von
der Form 4Ä; + 2 ist, so ist s'— 1^= 4Ä; -j- 1 dem (rawssschen Satze
zufolge eine Summe von drei, also wieder s' eine Summe von vier
Quadratzahlen. Da also stets
s' = ic2 -f y^ -f z^ -f t^
gesetzt werden kann, so ergibt sich auch
(56) s = Z2-f r^-h Z^^T\
wo
X=2'^x, Y=2''y, Z^2^z, T=2H,
und wir sind aufs neue zu dem Satze gelangt, daß jede positive
ganze Zahl in eine Summe von vier Quadratzahlen zer-
fällbar ist.
Wie die Trigonal- und die Quadratzahlen nur die einfachsten
Fälle der sogenannten r- Eckszahlen oder der Polygonalzahlen r^^^
Ordnung d. i. der Zahlen von der Form
n + ^"^ ■ {r - 1), für >^ = 0, 1, 2, 3, . . .
sind, so sind auch die bezüglichen beiden zuletzt ausgesprochenen
Sätze nur die einfachsten Fälle eines allgemeinen Satzes, welchen
Fermatj ohne seinen Beweis desselben zu veröffentlichen, ausgesagt
hat. Dieser sogenannte Polygonalzahlensatz besagt: daß jede
positive ganze Zahl in eine Summe von r Polygonalzahlen
yter Ordnung zerfällt werden kann. Hierbei können freilich die
letzteren, wie auch in den Darstellungen (55) die Trigonal-, in den
Darstellungen (56) die Quadratzahlen teilweise Null sein; genauer
wäre also zu sagen: „in eine Summe von höchstens r von Null ver-
schiedenen Polygonalzahlen r^^' Ordnung". In diesem Simie be-
stimmter hat Cauchy den Polygonalzahlensatz dahin gefaßt: daß jede
positive ganze Zahl in eine Summe von r Polygonalzahlen r^®^ Ord-
Fermats Polygonalzahlensatz. 327
nuug zerfällt werden kann, von denen wenigstens r — 4 Null oder
Eins sind, und er hat von diesem so gefaßten Satze einen schönen
(vom Verfasser in seiner Arithmetik der quadratischen Formen dar-
gestellten) Beweis gegeben (Mem. de l'Acad. de France, 1813/15, S. 177,
vorgelegt am 13. November 1815), der aber freilich den Trigonal-
zahlensatz, also auch den Gaussschen Satz über die Zerfällbarkeit der
Zahlen in eine Summe dreier Quadratzahlen zur Grundlage hat und
auf dessen Wiedergabe daher hier verzichtet werden soU, zugleich
mit den besonderen Resultaten, durch welche Legendre (in seiner
theorie des nombres U, 6. partie) ihn vervollständigt hat.
8. Wir haben gesehen, daß jeder der beiden Ausdrücke
^2_J_ y%^ ^2_|. f.
x^ -f 2y^ + 3^2 ^ Qf
alle positiven ganzen Zahlen darstellen kann. Diese Ausdrücke sind
aber spezielle Fälle der allgemeinen Form
(57) x^ + Ay^ + Bz^ + ABt\
und es liegt nahe zu fragen, ob es auch andere Ausdrücke
dieser Form gibt, durch welche ebenfalls jede positive ganze
Zahl darstellbar ist. (Vgl. hierzu Limmlle, J. des Math. (2), 1,
S. 230). Hierbei dürfen wir A^B voraussetzen. Da nun, sobald
auch nur eine der beiden Zahlen Zy t nicht verschwindet, der Wert
der Form (57) > .B ist, müßten die Zahlen unterhalb B durch die
Form x^ + Ay'^ darstellbar sein. Ist also A = \, so kann B nicht
größer als 3 sein, da die Zahl 3 nicht in der Form x^ -\- y^ dargestellt
werden kann; ist A = 2, so muß J5 < 5 sein, da sonst 5 durch die
Form x^ -{- 2y^ darstellbar sein müßte, was augenscheinlich nicht der
Fall ist. Da ferner der Wert der Form (57), wenn auch nur eine
der drei Zahlen y, 2, t von Null verschieden ist, ^ A ist, so müßten
alle Zahlen unterhalb A Quadratzahlen sein; daher darf ^ nicht größer
als 2 sein. Somit bleiben nur sieben Kombinationen:
. ^ = 1, 5 = 1, 2, 3; ^ = 2, 5 = 2, 3, 4, 5
d. h. die sieben Formen:
1)
^-4- y'+ z'+ f-
2)
x'+ 2/2+2^2+ 2^2
3)
x^+ y2^3^2_^ 3f
4)
x^^-2if-\-2z'^^ At^
5)
a;2 4-2!/2+ 3^^ + Qt'
6)
x^+2y'+4z^-\- St'
7)
zu betrachten.
x^-{- 2y'+5z^+\0t'
328 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
Es soll nachgewiesen werden, daß jede der ersten sechs
dieser Formen alle positiven ganzen Zahlen darstellen kann.
Da sie spezielle Fälle der Form (57) sind, hat jede von ihnen die
Eigenschaft, daß das Produkt aus zwei Formen derselben Art wieder
eine ebensolche ist, und deshalb genügt es für den gedachten Zweck
zu zeigen, daß jede Primzahl durch sie dargestellt werden kann.
Von dem ersten und fünften Ausdrucke steht es schon fest. Von
der Zwei leuchtet es auch für die übrigen ein, da man hierzu bei
2) und 3) nur x ^ y = 1, 0 = t = 0^ bei den anderen x = s = t = Oj
2/ = 1 zu setzen braucht. Durch den Ausdruck 2) ist außerdem jede
ungerade Zahl, also auch jede von Zwei verschiedene Primzahl dar-
stellbar, indem man ^ = 0 wählt, da nach (53) voriger Nummer jede
ungerade Zahl gleich
gesetzt werden kann. — Für den dritten Ausdruck geht dasselbe aus
einem Lehrsatze hervor, den Dirichlet aus der Theorie der ternären
quadratischen Formen entwickelt hat (J. f. Math. 40, S. 228 oder
Journ. des Math. (2), 4, S. 233), und nach welchem die Zahl 3 und
jede durch 3 nicht teilbare ungerade Zahl, mithin auch alle von 3
verschiedenen ungeraden Primzahlen durch die Form
^2+2/2 + 3^2
darstellbar sind, also aus 3) hervorgehen, wenn man ^ = 0 wählt.
Der Ausdruck 4) stellt jede Primzahl von der Form 4^ + 1 dar, wenn
y = 0 = O gesetzt wird; da ferner y^ -{- 0^ -{- 2 f^ jede ungerade Zahl
2Jc-\-l darstellt, so ergibt 2y^ + 2^^ + 4:f jede Zahl von der Form
4Ä; + 2, somit der Ausdruck 4), wenn x = 1 gewählt wird, jede Zahl
und insbesondere auch jede Primzahl von der Form 4Ä; + 3. — Der
Ausdruck 6) endlich stellt nach (53') jede ungerade Zahl, also auch
jede ungerade Primzahl dar, wenn t = 0 gewählt wird. —
9. Unsere Untersuchungen über die Zerfällbarkeit der Zahlen in
Summen von zwei, drei oder vier Quadratzahlen haben ergeben, daß
zwar jede positive ganze Zahl in eine Summe von vier, aber nicht
jede solche Zahl in eine Summe von weniger als vier Quadratzahlen
zerfällt werden kann. Schon Waring hat die allgemeine Vermutung
ausgesprochen (Meditat. algebraicae ed. 3. Cambridge 1782, S. 349/50),
daß auch bei Potenzen höheren Grades zur Darstellung jeder ganzen
Zahl als Summe solcher Potenzen stets eine feste Anzahl derselben
ausreichend sei. Wir wollen unter dieser Annahme durch das
Zeichen
die kleinste Anzahl von positiven m*^^ Potenzen bezeichnen,
welche genügt, um jede positive ganze Zahl als Summe
solcher Potenzen darzustellen, so daß zwar jede solche Zahl
Darstellbarkeit in der Form x'i- Ay^+ Bz^-irÄBt\ 329
in Njn aber nicht jede in weniger als iV,„ m*® Potenzen zerfällt werden
kann. Durch die voraufgehenden Betrachtungen ist dann festgestellt, daß
(58) N, = 4
ist.
Man hat bereits versucht, den Wert der Zahl N^ auch für den Fall
höherer Potenzen zu ermitteln. Wenngleich dies bisher noch nicht
einmal für den Wert m = 3 völlig gelungen ist, so sind doch die erzielten
Ergebnisse und die zu diesem Zwecke angestellten Betrachtungen
interessant genug, um ihre Darstellung an dieser Stelle zu rechtfertigen.
Wir handeln zunächst von der Darstellung einer Zahl s als Summe
vierter Potenzen oder von Biquadraten. Für diese hat schon Liouville
gezeigt, daß eine feste Höchstzahl N von Biquadraten vorhanden ist,
welche gewiß ausreicht, daß alle positiven ganzen Zahlen in N oder
weniger Biquadrate zerfällbar sind, und er hat dafür den Wert N = 53
angegeben. Nach ihm hat Bealis diese Schranke auf 47, Lucas auf
45, später sogar auf 41, ÄlheH Fleck demnächst auf 39 erniedrigt.
Dann hat E.Landau gezeigt, daß N= 38, endlich Ä.Wieferichj daß
>y[ = 37 gesetzt werden darf.^)
Zur Grundlage dieser Untersuchungen dient die Identität
(59) 6-{x'-i-i/+z'+ ff
= (x + tjy-\- (x - yf+ [x + zY-\- {x - zf+ix + 0*+ (^ - if
+ (^ + ^)'+ {y - ^y+ (y + 0'+ (y - 0' + (^ + 0*+ (- - 0'-
Da jede positive ganze Zahl n als Summe von vier Quadratzahlen
n = x^-}- y'-+z'^+f-
darstellbar ist, lehrt diese Identität, daß das Sechsfache jeder
Quadratzahl in eine Summe von 12 Biquadratzahlen zer-
fällbar ist.^) Folglich ist es die Summe
1) IJouville's nur mündlich im College de France vorgetragener Beweis findet
sich dargestellt in Lebesgue's Exercices d'analyse numerique, 1859, S. 113/15.
Bealis a. Note sur un theoreme d'arithmetiqne, Nouv. corresp. math. 4 (1878),
S. 209/10; Lucas ebendas. S. 323/25 und Xouv. Annal. (2) 17 (1878), S. 536/37;
A. FlecJc, Sitzungsber. d. Berliner Math. Ges. 5 (1906), S. 2/9; Landau, Rendic.
circ. math. Palermo 23 (1907\ S. 1/6; Wieferich Math. Annal. 66 (1908), S. 106.
2) Man kann genauer folgendermaßen sagen: Für jede positive ganze
Zahl n gibt es zwölf ganze Zahlen von der Beschaffenheit, daß Qn
die Summe ihrer Quadrate und zugleich 6n* die Summe ihrer Bi-
quadrate ist. Setzt man nämlich
so folgen die Gleichungen
2n = {x-\-yy' + {x-yy--i-{z + ty' + {z-tr
2n = {x + Zi*-{-ix-zyi-iy-^ty + {y-ty
2n = {x + ty -\- (x-t)' + (y i- zy-\- (y - zy
mithin
330 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
d. h. das Sechsfache jeder positiven ganzen Zahl N in eine Summe
von 48 Biquadratzahlen. Da nun jede positive ganze Zahl s gleich
6N -\- r gesetzt werden kann, wo r^ wenn nicht Null, eine der Zahlen
1, 2, 3, 4, 5, d. h. in ebensoviel Biquadrate Eins zerfällbar ist, so
wird, wie Liouvüle es ausgesagt hat, jede solche Zahl in höchstens
53 Biquadrate zerfällbar sein. Aber diese Schranke ist zu hoch.
Um es zu zeigen, ziehen wir zunächst mit Landau aus der
Identität (59) eine einfache Folgerung. Setzt man z = t, so geht
sie in die andere über:
(60) -={x^- yy +(x- yf + 2{x + ^)^ -f- 2(^ - z)'
+ 2{y-\-zy-^2(y-0Y+(2zy.
Da nun x^ -{■ y^ -\- 2z^ jede ungerade Zahl u darstellt, so schließt man,
daß das Sechsfache 6m^ jeden ungeraden Quadrates in eine
Summe von 11 Biquadraten zerfällbar ist. Dasselbe gilt für
das 16-fache dieses Produktes, d. i. für das Produkt 24-4?*^.
Da nun nach dem 6rawss sehen Satze (s. Nr. 7) jede positive ganze
Zahl, welche (mod. 8) einen der Reste 1, 2, 3, 5, 6 läßt, in die
Summe dreier Quadratzahlen zerfällbar ist, unter denen mindestens
eine ungerade sein muß, so wird jede der Zahlen
'6-(8Ä;-M) = 487v + 6
6.(8^ + 2) = 48Ä;+ 12
(61) I 6.(8Ä)-f 3) = 48Ä; + 18
6.(8^ + 5) = 487i; + 30
6.(8Ä;4-6) = 48/c-f 36
in höchstens 11 + 12+12 = 35 Biquadratzahlen zerfällbar
sein. Bei den Zahlen 8Ä; + 2 und 8A; + 6 sind sogar zwei der drei
Quadrate, in welche sie sich zerfallen lassen, bei den Zahlen 8Ä; + 3
alle drei Quadrate ungerade; genauer sind also die Zahlen
48/v+12 und 48Ä; + 36 in höchstens 11 + 11 + 12 = 34, die
Zahlen 48/? + 18 in höchstens 11 + 11 + 11 = 33 Biquadrate
zerfällbar.
— 6 n
während zugleicli nach (59)
-{x\yy\{x-yY\{x\zY\{x-zY\{x-^t)'\{^x-tY
ist.
Zerfällbarkeit in Biquadrate. 331
Um die Sache für die übrigen Linearformen ASlc + r zu ermitteln,
stellen wir zunächst nachstehende Tabelle auf:
Anzahl
Tabelle. der Biquadrate
4,SJc = [48 (/b - 4) -f 30] + 3^ + 3^ 37
48Ä:+ 1 = [48 Z;4-l] 36
48Z;+ 2 = [48(Ä:-l) + l8] + 2^ + 2^ 35
48Z; + 3 = [48 (Ä; - 2) + 18] + 3^ 34
48;^+ 4 = [48(^-1) + 36] + 2^ 35
48A-+ 5 = [48 (7^-1) + 36] + 1^ + 2^ 36
48Ä; + 6 = [48 ^ + 6] 35
48Ä + 7 = [48 A' + 6] + 1* 36
48fc + 8 = [48 Z: + 6] + 1^ + 1^ 37
48Z; + 9 = [48 Z; + 9] 35
48Ä; + 10 = [48 Ä: + 9] + 1* 36
48Z; + 11 = [48 Z; + 9] + P + 1^ 37
48Ä; + 12 = [48 /c + 12] 34
48Z;+13 = [48 Z; + 12] + 1* 35
48Z; + 14 = [48 k + 12] + 1* + 1* 36
48/b + 15 = [48 ^Z; - 2) + 30] + 3* 36
48Ä; + 16 = [48(Z: - 2) + 30] + 1^ + 3* 37
48Z: + 17 = [48 Z; + 1] + 2^ 37
48Z:+ 18 = [48 Z; + 18] 33
48Z; + 19 = [48 Z: + 18] + 1* 34
48Z; + 20 = [48 Z: + 18] + 1* + 1* 35
48Z: + 21 = [48(Z;-2) + 36] + 3* 35
48Z; + 22== [48 Z: + 6] + 2^ 36
48Z; + 23 = [48 Z; + 6] + 1^ + 2' 37
48Z: + 24 = [48 (Z; - 3) + 6] + 3^ + 3* 37
48Z; + 25 = [48 Z; + 25] 35
48Z; + 26 = [48 Z: + 25] + 1^ 36
48Z; + 27 = [48 Z; + 25] + 1^ + 1^ 37
48Z; + 28 = [48 Z; + 12] + 2* 35
48Z; + 29 == [48 Z; + 12] + 1^ + 2* 36
48Z; + 30 = [48 Z; + 30] 35
48Z; + 31 = [48 Z; + 30] + 1* 36
48Z; + 32 = [48 Z: + 30] +1^+1* 37
48Z; + 33 = [48 Z: + 33] 36
48Z; + 34 = [48 Z; + 18] + 2^ 34
48Z; + 35 = [48 k + 18] + 1^+2* 3o
48Z; + 36 = [48 fc + 36] 34
332 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
48Ä; -f 37 = [48 1 + 36] = 1* 35
487i: + 38 = [48 Ic + 36] + 1^+1* 36
48;b + 39 = [48 (/b - 1) + 6] + 3^ 36
48Ä; + 40 = [48 (Ä; - 1) + 6] + 1^ + 3* 37
48Ä; + 41 = [48 l + 25] + 2^ 36
48Ä; + 42 = [48 l-{- 25] + 1^ 4- 2^ 37
48Ä; + 43 = [48 {l - 1) + 9] + P + 3-^ 37
AU + 44 = [48 l-{- 12] 4- 2* + 2' 36
48A; + 45 == [48 (ä; - 1) + 12] + 3^ 35
48Ä; + 46 = [48 Ä; + 30] + 2^ 36
48/c 4- 47 = [48 l + 30] 4- 1^ + 2^ 37
Denkt man in der ersten Gleichung dieser Tabelle Ä; > 4, in den
übrigen Ä^ > 3, so stellen die Zahlen zur Linken alle ganzen Zahlen
> 145 dar, andererseits sind die zur Rechten eingeklammerten Be-
standteile positive ganze Zahlen. Mit Rücksicht nun auf die für die
Zahlen von den fünf Formen (61) zuvor angegebene Höchstzahl von
Biquadraten ergibt sich für diejenigen Zahlen der Tabelle, in denen
der eingeklammerte Bestandteil der rechten Seite von einer der Formen
(61) ist, die jedesmal am Rande hinzugefügte Zahl als Höchstzahl
der Biquadrate, deren sie zu ihrer Zerfällung bedürfen.
10. Was die noch übrigen Linearformen anbelangt, so beweisen
wir zuvörderst zwei Hilfssätze.
L Die Zahlen von einer der Formen 48Ä; 4- 1 und 48Ä; 4- 33
sind in 36 oder weniger Biquadrate zerfällbar.
Ist nämlich s eine Zahl der ersten Form, so finden sich die
Gleichungen
s- 1*=24.2Ä;
(62)
s- 5^=24-(2;b-26)
s- l^=24:-(2h- 100)
s_13^=24.(2;b- 1190),
ebenso für eine Zahl s der zweiten Form die folgenden:
IS- 3^=24-(2Ä;-2)
s- 9' =24 -(210 -212)
5 - 15*= 24. (2 Ä;- 2108)
s-21*=24.(2Ä;-8102).
Damit die betrachteten Differenzen positiv seien, setzen wir s>21*
voraus. Nun lassen in jedem dieser Systeme von Gleichungen die
vier in 24 multiplizierten Zahlen insgesamt (mod. 8) die Reste 0, 2,
(63)
Zerfallbarkeit in Biquadrate. 333
4, 6, je eine von ihnen also den Rest 6, und diese ist darstellbar in
der Form
worin u eine ungerade Zahl. Demnach ist ihr 24-faches gleich
6'{2xy-\- 6-(2yy+2A-4u'
und somit in höchstens 12 + 12 -f- H =35, die Zahl s also in höchstens
36 Biquadrate zerfällbar. Damit der behauptete Satz allgemeine
Gültigkeit habe, bedarf es also nur noch, ihn auch für Zahlen der
betrachteten Formen unterhalb der Grenze 21* zu erweisen. Ist nun
allgemein s irgendeine Zahl < 21* und x\ das größte, s nicht über-
treffende Biquadrat unterhalb 21*, so ist, da das Intervall x\ bis
(iCj 4- 1)* sicher nicht größer als 21* — 20* ist, die Differenz
Si = s - :i* 5 21* - 20* = 34481 = 13* + 5920 < 14*.
Liegt also s^ über 13*, so ist die Differenz zwischen s^ und dem
größten, s^ nicht übertreffenden Biquadrate x^ kleiner als 5920; ist
aber s^ < 13*, so ist jene Differenz < 13*— 12*= 7825; jedenfalls ist
mithin
s, = s,-x^^< 7825 ■= 9* 4- 1264 < 10*.
Fährt man in dieser Weise fort, so erhält man im ganzen folgende
Ungleichheiten:
s^ =s -x\ ^34481
§2 = «1 — ^ < 7825
53 = s, - ^ < 2465
s^ = s^ — xt < 1 105
% = 5^ — o;* < 480
«6 = «5 - ^ < 224
s- =Sq — x\ < 143
Sg = S7 — a:* < 65
also
S = S12 + 4 + ^ + 4 + ^ ^^2
d. i. gleich einer Summe von höchstens 14 Biquadraten Eins und noch
12 anderen, zusammen also gleich einer Summe von höchstens
26 Biquadraten.
IT. Die Zahlen von einer der beiden Formen 48Ä* + 9 und
48Ä: + 25 sind in 35 oder weniger Biquadrate zerfällbar.
334
Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
(64)
{
Ist s zunächst eine Zahl der ersteren Form, so finden sich die
Gleichungen
s~ 3^=24(2A;- 3)
s- 9^=24(2/0- 273)
s- 15^=24 (2 Ä;- 2109)
s-21^=24(2Ä;- 8103)
s-21^=24c(21c- 22143)
5-33^=24(2^;- 49413)
s -39^= 24(2 /b- 96393)
^ s - 45^^== 24(2Ä; - 170859).
Desgleichen für Zahlen s von der zweiten Form diese anderen:
1)
25)
(65)
99)
609)
1189)
3479)
s- 14=24(2Ä; +
s- 5^ ==24(2 Ä;-
s- 7*==24(2Ä;-
5- 11^=24(2Ä;-
s -13^= 24(2^ ~
s- 17^=24(2Ä;-
5-23^=24(2^-11659)
s -29*= 24 (2 /i; -29469).
Damit die betrachteten Differenzen positiv seien, setzen wir s > 45*
voraus. Man überzeugt sich nun leicht, daß die in 24 multiplizierten
Zahlen alle Glieder eines reduzierten Restsystems (mod. 16) darstellen
und daß folglich in jedem der beiden Systeme von Gleichungen je eine
dieser Zahlen den Rest 13 (mod. 16) läßt oder von der Form 16/^ + 13
ist. Jede Zahl von dieser Form ist aber, da sie = 5 (mod. 8), als
eine Summe dreier Quadratzahlen darstellbar und zwar, wie aus den
Resten der Quadratzahlen leicht zu ersehen ist, in der Gestalt
16h -{■ 13 ^ (Axf -{- 4u' + u'^,
worin u ungerade und tt'EZ Ji 3 (mod. 8) ist. Daraus folgt
{6Q) 24 • (Ißh + 13) = 6 • (Sxf + 24 • Au' + 24:u'^
und, da
U' = Z\ + 4 + B\
und
24 (^? -\-z\^ 4y
= 2(^, + ^2 + 0,Y + 2(- ^1 + ^2 + ^bY + 2(^1 - ^2 + ^3)*
+ 2(^1 + ^2 - 0,y + (2ß,y + (2z,y -f (2^3)*
gesetzt werden darf, zugleich aber 6 -(80;)^ in höchstens 12, 24-4w^
in höchstens 11 Biquadrate zerfällbar ist, so lehrt die Gleichung (6ß)j
daß 24(16Ä -f 13) als Summe von höchstens 12 + U + H = 34, demnach
Zerfällbarkeit in Biquadrate. 335
also die Zahl s als Summe von höchstens 35 Biquadraten dargestellt
werden kann. Diese für alle Zahlen s der gedachten beiden Formen
oberhalb der Grenze 45* geltende Ergebnis bleibt aber auch richtig
für Zahlen unterhalb derselben. Bezeichnet nämlich oc^ das größte,
s nicht übertreffende Biquadrat < 45*, so ist
5i = 5 - a;t 5 45* - 44* = 352529 = 24* + 18753 < 25*.
Liegt demnach s^ über 24*, so ist der Unterschied zwischen s^ und
dem größten, s^ nicht übertreffenden Biquadrate oc^ kleiner als 18753,
andernfalls kleiner als 24* — 23* = 51935, jedenfalls ist also
52 = 5i-4<51935<16*.
Von jeder Zahl < 21* ist aber zuvor gezeigt, daß sie in höchstens
26 Biquadrate zerfällbar ist, und somit ist es s in höchstens 28. Der
Satz II ist also jetzt vollständig erwiesen.
Übersieht man aber nun mit Rücksicht auf die beiden Hilfssätze
die oben aufgestellte Tabelle, so erhält man sofort für die noch übrigen
Linearformen die am Rande angemerkten Höchstanzahlen der für sie
erforderlichen Biquadrate. Demnach lehrt dann diese Tabelle, daß
jede positive ganze Zahl > 145 zu ihrer Zerfällung in Biquadrate
deren höchstens 37 erfordert, und da dasselbe für alle Zahlen < 145
< 21* schon erwiesen wurde, gilt dies Ergebnis allgemein, man
erhält mit andern Worten die Ungleichheit
(67) N.^Sl.
Die genaue Bestimmung der Zahl JV^ steht noch aus; schwerlich
wird sie durch die gefundene obere Schranke gegeben, da, soweit bis-
her Versuche in dieser Hinsicht gemacht sind, für jede Zahl schon
höchstens 19 Biquadrate als ausreichend befunden worden sind.
11. Die Frage nach der erforderlichen Anzahl positiver Kubik-
zahlen, um jede positive ganze Zahl als Summe von solchen dar-
zustellen, ist bereits von Waring (Meditat. algebr. 3. Aufl. Cambridge
1782, S. 349) aufgeworfen und für die Zahlen bis 3000 praktisch
geprüft worden, später von Jacobi (J. für Math. 42, S. 41), der durch
den bekannten Rechner Dahse eine Tabelle herstellen ließ, welche
die kleinste Anzahl der Kubikzahlen anzeigte, in welche je die Zahlen
bis 12000 zerfällbar sind. Nach einer sehr interessanten Methode
hat dann v. Sterneck (Wiener Sitzungsberichte 112, IIa, S. 1627) eine
solche bis zur Zahl 40000 reichende Tabelle berechnet. Aus den so
erhaltenen Ergebnissen geht hervor, daß bis zu jener Grenze höchstens
9 Kubikzahlen zur Zerfällung einer Zahl erforderlich sind, daß ferner
nur die zwei Zahlen 23 und 239 wirklich 9, 15 andere 8 solcher
Kubikzahlen bedürfen, sowie, daß über die Zahl 8042 hinaus nie
mehr als 6 Kubikzahlen erforderlich sind. Hiernach schien 9 die
kleinste erforderliche Anzahl zu sein, und in der Tat hat, nachdem
336 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
schon E. Maillet (assoc. franc. pour Tavauc. des sciences, Bordeaux 1895)
die Höclistzalil 17 dafür gefunden, welche darauf durch Flech (Sitzungsher.
d. Berliner Math. Ges. 6, 1906, S. 2) auf 13 erniedrigt wurde, in
neuester Zeit Wieferich (Math. Ann. 66, 1908, S. 95) den strengen
Nachweis versucht, daß iVg = 9 sei. Da aher dieser Beweis als noch
nicht ganz vollständig zu bezeichnen ist, so erscheint es uns angezeigt,
die scharfsinnigen Betrachtungen MaiUets, zumal sie von ihm auch
weiterhin verwandt worden sind, hier nicht zu unterdrücken.
Die gestellte Frage zu beantworten, erheischt kompliziertere Be-
trachtungen wie im vorigen Falle, weil hier eine Identität fehlt,
welche, wie bei den Biquadraten, zugrunde gelegt werden könnte.
Die MaiUetsche Betrachtung beruht auf folgendem Hilfssatze:
Sind a, a' zwei positive ungerade und teilerfremde
Zahlen, welche den Bedingungen
(68) «<«'<•!'
Genüge leisten, und bezeichnet n irgendeine ganze Zahl
zwischen den Grenzen 8a«' und a'^:
(69) Saa'^n^a'^,
so kann
(70) n = am + a'm'
gesetzt werden, wo m, m' positive ganze Zahlen bedeuten,
die in die Summe von drei Quadratzahlen zerfällbar sind
und die Ungleichheiten
(71) m <C cc^, m' < a'^
erfüllen.
Um dies zu beweisen, betrachte man die 8a' nach (69) positiven
ganzen Zahlen
(72) n, n — Uf n — 2a, . ., n — (See' — l)a.
Da « zu 2 und zu «', also auch zu 8a' teilerfremd ist, so bilden
diese Zahlen ein vollständiges Restsystem (mod. 8a') und folglich
sind acht unter ihnen durch a' teilbar. Ist Jca das kleinste Vielfache
von a, für welches
n — Jca -j .
eine ganze Zahl wird, so bezeichnet Jia^ wenn
(73) h = ]c + ia', und i = 0, 1, 2, . . ., 7
gesetzt wird, die sämtlichen Vielfachen dieser Art, und ihnen ent-
sprechen die Werte
('74) "^^ ^h' = lc'- ia für ^ = 0, 1, 2, . . ., 7.
Sowohl diese Zahlen als auch die Zahlen (73) bilden aber ein
vollständiges Restsystem (mod. 8). Da nun die Zahlen von der
ZerMlung in Kuben; Maillet und Fleck. 337
Form 4^^ (8/i + 7), welche, wie wir wissen, nicht in die Summe dreier
Quadratzahleu zerfällbar sind, nur einen der Reste 7, 4, 0 (mod. 8)
ergeben, je nachdem a = 0, 1 oder > 1 ist, so müssen unter den
Zahlen (73) mindestens 5 sich befinden, welche jene Form nicht haben,
und ebenso müssen unter den diesen fünf Zahlen (73) entsprechenden fünf
Zahlen (74) mindestens zwei sein, die gleichfalls jene Form nicht haben.
Demnach gibt es mindestens zwei Paare zusammengehöriger Zahlen
h, h\ die beide jene Form nicht haben. Ein beliebiges von ihnen
nennen wir w, m'; diese Zahlen sind dann dem Gaussschen Satze
zufolge in die Summe von drei Quadratzahlen zerfällbar. Zudem ist
7)1, wie jede der Zahlen (73), kleiner als 8 a' d. i. nach (68) kleiner
als a^, desgleichen
, n — ma
m = — -, —
u
nach (69) kleiner als «'- r<«'^ und endlich ist
n =^ma -f m^ a! y
also der Hilfssatz bewiesen.
12. Setzt man nun
yn = x\-\' x\^ xl, m' = x{ + x[^ + x^it
so ergeben sich wegen (71) die Ungleichheiten
Xi < a, x'i < a' (für / = 1, 2, 3)
und folglich bezeichnet der Ausdruck
/• = 1 »• = 1
eine Summe von 12 positiven Kubikzahlen. Dieser Ausdruck ist aber
entwickelt gleich
6a3+ 6a'3+ 6«(a;? + xl + xl) + ß a' {x[' + x,^ -\- x'^^)
= 6a^+ 6«'^+ 6(am + a'm') = 6«^+ 6«'^+ 6w.
Setzt man demnach
so bedeutet N jede Zahl, welche den Ungleichheiten
(75) a'-{-a''+Saa'^ N ^ «^ -f 2^'^
Genüge leistet, und das Sechsfache jeder solchen Zahl ist gleich einer
Summe von 12 positiven Kubikzahlen.
Hierbei dürfen wir nun a' = « + 2 voraussetzen, da dann nicht
nur die Ungleichheiten (68) erfüllt, sondern auch a, d ungerade und
teilerfi*emd sind, sobald nur a selbst als ungerade Zahl >11 gedacht
wird. Das für ^ zulässige Intervall wird dann nach (75) durch die
Ungleichheiten
(76) «3 + (« + 2)3+ 8«(« + 2) 5 iY5 «3^ 2(« + 2)^
Bachmann, niedere Zahlen theorie. 11. 22
338 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
bestimmt. Ersetzt man darauf a durch a -}- 2, so gilt das zuvor Be-
wiesene für alle Zahlen N des neuen, durch die Ungleichheiten
(a + 2)^4- (« 4- 4)3+ 8(c^ + 2){a -\- 4) "^ N "^ (a + 2)' -f 2{a + 4f
bestimmten Intervalls usw. Kann man nun durch passende Wahl der
anfänglichen Zahl a es erreichen, daß diese aufeinanderfolgenden
Intervalle ineinander übergreifen, d. h. daß für jedes a von einer
gewissen Grenze g) an
(77) (a + 2y + (« + 4)3 + 8(oj + 2){a -^ 4) < a' + 2{a + 2)'
ausfällt, so wird das zuvor Bewiesene gültig sein für alle Zahlen iV,
welche über der unteren Grenze der Ungleichheiten (76) für a = ca
liegen. Die vorige Ungleichheit vereinfacht sich zur folgenden:
a'-Uci^-S4a-120>0.
Da nun die Gleichung
a^-Ua' -S4cc -120 = 0
nur eine positive Wurzel hat, welche zwischen 18 und 19 liegend
befunden wird, so ist die Ungleichheit sicher erfüllt für jedes a > 19.
Somit besteht das Bewiesene für alle Zahlen
i\^5 193 + 213 + 8 -19 . 21 == 19312,
d. h. das Sechsfache jeder Zahl oberhalb dieser Grenze ist einer
Summe von 12 positiven Kubikzahlen gleich. Da aber' jede Zahl s
oberhalb der Grenze 6-19312=115872 die Form
(78) s = 6N-{-r
hat, in welcher iV> 19312 und r, wenn nicht Null, eine der Zahlen
1, 2, 3, 4, 5 also in höchstens fünf Kubikzahlen Eins zerfällbar ist,
so ersieht man zunächst, daß jede ganze Zahl oberhalb 115872 in
eine Summe von höchstens 17 positiven Kubikzahlen zerfällt.
Ist s < 40000, so bedarf es nach der Tabelle von v. Sterneck höchstens
9 solcher Kubikzahlen. Liegt s aber zwischen 40000 und 115872,
welch letztere Zahl zwischen den Kubikzahlen 48^ und 49^ enthalten
ist, so ist der Unterschied zwischen s und dem größten unterhalb s
liegenden Kubus x^ sicher kleiner als 493—483=7057:
5-^3^7057^
also zerfällt s nach jener Tabelle in höchstens 10 Kubikzahlen.
Hierdurch ist schließlich festgestellt, daß jede positive
ganze Zahl s in höchstens 17 positive Kubikzahlen zerfäll-
bar ist.
Indessen erniedrigt sich diese Zahl durch eine einfache
Bemerkung Flecks sofort auf 13. Da nämlich, wenn r in der
Formel (78) von Null verschieden ist, stets r^^r (mod. 6), nämlich
Zerfällung in Kuben; Wieferich. 339
1 = 13^ 2 = 23-1-6, 3 = 33-4-6, 4 = 43-10-6, 5 = 53-20-6
ist, so läßt sich (78) auch schreiben, wie folgt:
s = 6J\^' + r3,
wo N' höchstens um 20 Einheiten kleiner ist als N. Nun zerfällt
nach dem oben Bewiesenen QlSf', wenn iV'> 19312, also gewiß,
wenn N^ 19332 ist, in 12, und demnach jede Zahl s oberhalb
6- 19332= 115992
in höchstens 13 positive Kubikzahlen. Da bezüglich der Zahlen unter-
halb dieser Grenze dasselbe gilt, wie unterhalb der früheren Grenze
115872, so leuchtet die Richtigkeit der Fleck^Qh.en Bemerkung ein.
13. War hierdurch nachgewiesen, daß ^^3 jedenfalls nicht größer
als 13 ist, so geben wir nunmehr Ä. WiefericJis Beweis dafür wieder,
daß JV3 = 9 ist. Seine Methode beruht wesentlich auf der Bemerkung,
daß für irgendwelche Zahlen Ä, x^, X2, x^
(79) ^[(^ + x^f + (^ - ^OT = ^^^^ -\-^{x\^-x\^V x^
1=1
ist. Demzufolge stellt sich, wenn n eine positive ganze Zahl bedeutet,
welche als Summe dreier Quadratzahlen:
rii X-i "t" X^ ~] Xo
darstellbar ist, und wenn zugleich n < ^^, also x^, x.^, x^ numerisch
kleiner als A sind, die Zahl
(80) A'{QA^+Qn)
als Summe von 6 positiven Kubikzahlen dar. Daher erweist sich
jede Zahl 5 als eine Summe von höchstens 9 positiven Kubikzahlen
darstellbar, wenn gezeigt werden kann, daß bei geeigneter Wahl
positiver ganzer Zahlen A und n < A^^ von denen n als Summe
dreier Quadrate darstellbar ist,
(81) s = a^-\-¥-\-c^-\- A{QA^^ 6w)
gesetzt werden kann.
Jedenfalls kann dies nur zutreffen für Zahlen s, welche ^ 6^3
Verstehen wir nun unter G eine positive Konstante und unter p eine
positive Zahl, die zur Vereinfachung als Primzahl gedacht werde, so
gibt es für jede positive Zahl s, welche > C -p^, einen ganz bestimmten
positiven Exponenten v von der Beschaffenheit, daß
(82) C-p3v<;5^(7.p3(v + l)
ist. Setzt man nun
Si= s — i^
22*
340 Zerfällungen in gleichinamige Potenzen.
und i = 0, 1, 2, 3, . . ., so erhält man eine Reihe unbegrenzt ab-
nehmender ganzer Zahlen
die wir nur soweit fortsetzen wollen, als sie positiv sind d. h. solange
i<Cs^. Der Unterschied je zwei aufeinanderfolgender dieser Zahlen:
2
ist kleiner als 3^2< 3 -s^ < 3 -yO^-jp^d^+i) oder, wenn
(84) '-ß-1^
gesetzt wird, kleiner als 1c -p^^'. Wählt man daher i so, daß S/ noch
größer, S/+i aber schon kleiner ist als C-p^", so liegen in dem Inter-
valle G'P^'^ und (C -\- 2'k)p^^ mindestens die zwei Zahlen Si und S/_i.
Von ihnen wird gewiß eine durch p nicht teilbar sein, wenn es ihr
Unterschied nicht ist, d. h. wenn die Kongruenz
3^'^-3i + l = 0 (mod. p)
keine Wurzel hat. Sei dann
Sa = s ~ a^
die gedachte der beiden Zahlen 5,;, 5/_i. Setzt man ferner voraus,
daß (pip") = p"—^' (p — 1) kein Vielfaches von 3, so wird jede durch
p nicht teilbare Zahl kubischer Rest von p^ sein. Denn alsdann hat
die Kongruenz
x^=l (mod, p")
nur die eine Wurzel ic = 1, da jede ihrer Wurzeln auch die Kongruenz
^^{p^) = l (mod.^^)
erfüllen müßte, der größte gemeinsame Teiler der Exponenten 3 und
g)(jp^) aber die Eins ist. Werden daher die cp^p") Glieder eines reduzierten
Restsystems (mod. p") zur dritten Potenz erhoben, so geben sie
wieder ein ganzes reduziertes Restsystem, denn, wären zwei solche
Kuben einander kongruent:
a^ = ß^ (mod. p"),
so ergäbe sich durch Multiplikation mit dem Kubus des Sozius ß
von ß die Kongruenz
{aßy=l (mod.p^)
Zerfällung in Kuben; Wieferich. 341
d. h. a/3'=l oder a = /3, was gegen Voraussetzung ist. Jede durch
p nicht teilbare Zahl muß also, weil einer Zahl des reduzierten R«st-
systems (mod. ^') kongruent, auch Rest einer Kubikzahl (mod. p^)
sein.
Erfüllt demnach p die beiden ausgesprochenen Voraussetzungen,
so darf man setzen
Sa = h^ (mod. p")
also auch
(85) s = a3-|_ 2,3 (mod.^"),
wobei h eine Zahl <^'.
Wir genügen diesen Voraussetzungen durch die Wahl p = 6, denn
ebensowenig geht qp(5') = 5'~^ • 4 durch 3, wie
31^-3^ + 1
durch 5 auf, wie immer auch i gewählt wird. Wählt man dann mit
Wieferich gleichzeitig C = 7,4, so ergibt sich aus (84) für jeden
Wert V 5 3
Ä: < 2, 3
und aus dem bereits Bewiesenen die Tatsache, daß für jeden solchen
Wert von v eine Zahl a so gewählt werden kann, daß eine Kongruenz
(85) erfüUt und 5« zwischen 7,4-53^ und (7,4 + 2 • 2,3) • 5^»' = 12 • 5^»
gelegen ist. Daraus folgen dann weiter die Ungleichheiten:
also, wenn
6,4-53' < 5a- 6' < 12. 53^
(86)
gesetzt wird
Schreibt man ferner
6,4.52- < 2 <12.52\
(87)
SO wird
2 = 6.52''4-r,
(88)
0,4.52» <r<6.52^
14. Da aber
(89)
= a^-f 6»-}-5".(6.52''+r)
ist, wird s, wenn A = 5' gewählt wird, wo dann, da nach (82)
5>7,4-53' vorausgesetzt ist, die notwendige Bedingung s^Q-A^
erfüllt wird, die gewünschte Form (81) erhalten, falls
gesetzt werden kann, unter n eine positive ganze Zahl verstanden,
welche in drei Quadrate zerfällbar und <5-' ist. Hierzu müßte c*
342
Zerfällungen in gleichnamige Potenzen
durch 5^ teilbar sein. Setzt man c = 5^ • y, wo y nicht mehr durch
5 aufgehe, so müßte also 3A > v oder 31 = ^ -}- v und
(90)
y = 5<«.y3 _j_ Q^
sein, wo zudem /a < 3 vorausgesetzt werden kann, da jedes etwa
darin enthaltene Vielfache von 3 eine dritte Potenz ergibt, die zum
Faktor y^ hinzugezogen werden kann. Es fragt sich also, ob durch
passende Wahl der Zahl /Lt = 0, 1, 2 der Gleichung (90) genügt werden
kann, ohne daß n die Form 4"(8ä; + 7) der Zahlen erhält, die nicht
in drei Quadrate zerfällbar sind. Die Sechsfachen der letztgenannten
Zahlen haben aber eine der Linearformen
96h, 96h 4- 42, 96/^ + 72, 96/^ + 90.
Es genügt daher, wenn 6n eine der Linearformen
96/^ + 6, 12, 18, 24, 30, 36, 48, 54, 60, 66, 78, 84
annimmt. Daß dies stets erreicht werden kann, lehren die nach-
stehenden von Wieferich berechneten Tabellen, die für jeden möglichen
Rest der Zahl r (mod. 96) eine Zahl y angeben, welche für 6n eine
dieser Linearformen liefert.
L Wenn v = 0 (mod. 3), ^ = 0 ist.
r
r
0
6
12
18
24
30
36
48
54
60
66
78
84
1
7
13
19
25
31
37
49
55
61
67
79
85
2
14
20
26
32
38
44
56
62
68
74
86
92
3
33
39
45
51
57
63
75
81
87
93
9
15
4
70
76
82
88
94
4
16
22
28
34
46
52
5
35
41
47
53
59
65
77
83
89
95
11
17
6
7
8
9
10
11
13
14
15
17
18
22
42 72 90
73 91 43
50 80 2
69 21 27
58 64 10
5 23 71
1
8
3
29
0
40
Zerfällung in Knben; Wieferich. 343
II. Wenn v^.l (mod. 3), /i = 2 ist.
r
0
6
12
18
24
30
36
48
54
60
66
78
84
1
31
37
43
49
55
61
73
79
85
91
7
13
2
14
20
2Q
32
38
44
56
Q2
68
74
86
92
3
3
9
15
21
27
33
45
51
57
63
75
81
4
70
76
82
88
94
4
16
22
28
34
46
52
5
59
65
71
77
83
89
5
11
17
23
35
41
6
42
72
90
7
67
1
19
8
50
80
2
9
87
93
39
69
10
58
64
10
11
95
29
47
13
25
14
8
17
53
18
0
22
40
III. Wenn v = 2 (mod. 3), ii = \ ist.
r
0
6
12
18
24
30
36
48
54
60
66
78
84
1
11
17
23
29
35
41
53
59
65
71
83
89
2
46
52
58
64
70
76
88
94
4
10
22
28
3
45
51
57
63
69
75
87
93
3
9
21
27
4
38
44
50
56
62
68
80
86
92
2
14
20
5
55
61
67
73
79
85
1
7
13
19
31
37
6
42
72
90
7
95
5
47
8
82
16
34
9
15
33
81
10
26
32
74
11
43
49
91
13
77
14
40
15
39
17
25
18
0
22
8
344 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
Der größte Wert, den ö'^-y^ nach diesen Tabellen erhält, beträgt
5^-22^. Mit Rücksicht auf die Grenzen (88) für r wird daher mit
Sicherheit ein positiver Wert für 6w nur dann aus (90) hervor-
gehen, wenn
5^.223 < 0,4. 52-
d. h.
10648 < 0,4.52^-^^
ist. Dies findet in der Tat statt, sobald v > 4 ist.^) Wenn aber 1; = 3,
also die erste Tabelle anzuwenden ist , so tritt der Wert 5^* • 22^ = 'a2^
nur bei den Zahlen r = 96 /i + 40 auf. Für die übrigen ist der größte
Wert, den h^-'f' erhält,
183< 0,4.56
und somit 6>^ positiv.
15. Was nun die Zahlen r = 96/i + 40 anbelangt, bemerke man
folgendes. Da r — 4^= 96/^ — 24 = 6 •4(4/i — 1) ist, erhalten wir
eine Gleichung von der Form (90), wenn nur Ah — 1 nicht von der
Form 8Ä; + 7 d. h. h = 2\ ist. Tritt dieser Fall aber ein, so hat r
die Form 192\ -}- 40. Alsdann findet sich
r - 10^ = 192/^1 - 960 = 6 . 42 . (2/ii - 10)
mithin eine Gleichung von der Form (90), es sei denn 2/ii — 10 von
der Form 4« • {Sk + 7) d. h.
r = 1000 + 6.4«+2.(8^ + 7)^
wobei a > 0. Eine solche Zahl ist aber nur dann kleiner als 22^j
wenn a = 1 und Je = Oj 1, 2 ist, und erhält dann die Werte
3688, 6760, 9832,
und es finden sich für 6 - 5^^ + r = 6 • 5^ + r die Werte
97438 = 45^4- 16^+ 2- 10^+ 63+ P
100510 = 463+ 2.1P+83
103582 = 463+173+113+2-13
d. h. die entsprechende Zahl
ist in höchstens acht positive Kubikzahlen zerfällbar. Von diesen
drei besonderen Fällen abgesehen wäre aber stets die Gleichung (90) in
der verlangten Weise erfüllbar und somit jede Zahl s, für welche
die Bedingungen
1/^3; 7,4.53'' <5 5 7,4.53(^+1)
erfüllt sind, d. h. aber jede Zahl s > 7,4-5^ in höchstens neun
Kubikzahlen zerfällbar, welche positiv sind, da nach (90)
()n < r < 6 • 52^ d. i. n< (b^f ist.
1) So sagt Wieferich aus. Aber für i' = 4 = 1 (mod. 3) ist /x = 2, 2^ - ft = 6
und 10648 > 0,4-5^; also bleibt hier eine Lücke.
ZermUuDg in Kuben: WiefeHch. 345
Für alle Zahlen 8^40000 steht dasselbe durch die
V. SternecJcsche Tabelle fest. Ist endlich
40000 <s< 7,4. 5^
so läßt sich, wie aus den anfänglichen Bemerkungen hervorgeht, eine
Zahl / so wählen, daß zwar s — i^ noch über, dagegen s — (i -f 1)'
schon unter einer die Grenze 40000 nicht übersteigenden Zahl, etwa
10000, liegt und dann die Ungleichheiten
2
10000<s'<3-s^-J- 10000,
in denen s' = s — i- gesetzt ist, bestehen. Desgleichen kann dann
eine Zahl i' so gewählt werden, daß wenn s'' = s' — /'^ gesetzt wird,
10000<s"<3.s'"8 + 10000
also a fortiori kleiner als
3 . (3 • s"^ + 10000)^ 4- 10000 < 3 . (3 . i/1^- 5« + 10000)^ + 10000
also < 20000 wird. Da aber nach der v. SternecJcschen Tabelle jede
Zahl zwischen 10000 und 20000 in höchstens sechs Kuben zerfällbar ist,
so ist's
5 = ^24 i'^+s"
in höchstens acht.
Schließlich ergibt sich also, daß jede positive ganze
Zahl in höchstens neun positive Kubikzahlen zerfällbar ist.
Aber nicht jede ist es in acht Kubikzahlen, da 23 und 239 deren
neun bedürfen. Demnach ist
^91) .^3=9.
Im Anschluß an Wieferichs Ergebnis und mit Benutzung tran-
szendenter Hilfsmittel, des sogenannten „ Primzahlsatzes ^', ist es ferner
noch E. Landau gelungen (Math. Ann. 66 (1908), S. 102), zu zeigen,
daß für jede Zahl s oberhalb einer gewissen Schranke sogar acht Kubik-
zahlen zu ihrer Zerfällung in Kuben ausreichend sind, wodurch die
an der v. Steniecl'schen Tabelle beobachtete Tatsache als durchgängig
zutreffend erwiesen ist.
16. In einer späteren Arbeit (quelques extensions du theoreme de
Fermat sur les nombres polygones, J. des Math. (5) 2, 1896, S. 363)
hat E. Maulet seine Methode von Kubikzahlen auf allgemeinere Aus-
drücke dritten Grades d. i. auf gewisse Funktionen
(p(x) = aQX^ -{- a^x^ -f a^x + a^
mit ganzen (allgemeiner rationalen) Koeffizienten erweitert und den
Satz bewiesen, daß es auch für solche eine feste, nur von den
Koeffizienten a, des Ausdrucks abhängige Höchstzahl N
gibt von der Beschaffenheit, daß jede ganze Zahl s oberhalb
346
Zerfällungen in gleiclinainige Potenzen,
einer gewissen Grenze als eine Summe von höchstens N
Werten des Ausdrucks (p(x):
s = q){Xi) 4- (fix^) 4----+ (P^Xh)
darstellbar ist. Durch Spezialisierung des Ausdrucks (p{x) gelangt
man so zu dem besonderen Satze: daß jede ganze Zahl oberhalb
19272 in eine Summe von höchstens zwölf Pyramidalzahlen
d. i. von Zahlen von der Form
zerfällbar ist.
Diese Betrachtungen lassen sich, wie Maulet a. a. 0. (s. auch Inter-
mediaire des Math. 1904, S. 293) ferner auf Grund von Hilfssätzen,
welche auch dem Gauchyschen Beweise von Fermats Polygonalzahlensatze
zugrunde liegen, gezeigt hat, auch für ähnliche ganze Funktionen
(p(x) = ax^ -j- ttj^x^ -\- a^x^ -{- a^x^ + a^x + a^
vom fünften Grade durchführen, und ergeben für die Zerfällbarkeit
einer ganzen Zahl in Summen von Werten einer solchen Funktion
den ganz entsprechenden Satz, nämlich den Nachweis einer Höchst-
zahl N der dazu ausreichenden Summanden. Insbesondere genügen
nach E. Maillet stets 192 fünfte Potenzen, um jede Zahl in eine
Summe solcher Potenzen zu zerfallen, und man hat folglich
(92) iVg ^ 192.
Indessen ist der wahre Wert dieser Zahl vermutlich viel geringer und
nahezu 37.
Einen weiteren Schritt in dieser Richtung, nämlich die Unter-
suchung der gleichen Frage für sechste Potenzen, verdankt man Flecli
(Math. Ann. 63, S. 561). Zwar hatte sich schon Laisant (recueil de
problemes de mathematique, S. 125 Nr. 407) darum bemüht, doch
ohne Ergebnis, da er sich auf eine angebliche von Lucas aufgestellte
Identität stützte, die leicht als falsch erkannt wird. Statt ihrer leitete
JSlecJi die folgende richtige Identität ab:
^ 60'{a^-{-h^-hc' + dy
= (a + 6 -f c)«+ (« - & + c)6-f (a + & - cy-i- {a-l- cf
-{-{a-^l-^df+ia-l)-^ df^ (a ^l -df-\- (a -l - df
+ (a + c 4- c^)6 4- (a - c -f dy-\- (a ^ c - df-V {a - c - df
-^{h^c-\-df-\-{h-c^-df+[h-^c-df-\-Q)-c- df
+ 2(a -\-hy+2{a- If -f 2(a + c)« + 2(a - cf
+ 2{a + df + 2{a - df -f 2{h + c)^ + 2(& - cf
-f 2ih -f df-\- 2{h - df-{- 2(c -f d)'^2{c - df
l-h 36a6H- 362>«-F 36c6-|- md\
(93)
Zerfällung in 6*^ 8*^ 10*^ Potenzen. 347
Zu ihrer Rechten zählt man
16 + 2 -12 + 36 -4 = 184
sechste Potenzen, während links der 60 -fache Kubus irgendeiner
positiven ganzen Zahl n steht, da jede solche als Summe von vier
Quadraten :
w = a^ + fc2 ^ c^ -f fZ^
darstellbar ist. Demnach ist der 60 -fache Kubus jeder positiven
ganzen Zahl als eine Summe von höchstens 184 sechsten Potenzen
darstellbar. Da nun anderseits nach Wieferich jede positive ganze Zahl
N als Summe von höchstens neun positiven Kubikzahlen dargestellt
werden kann, so ist das 60 -fache jeder Zahl N in eine Summe von
höchstens 9-184 = 1656 sechsten Potenzen zerfällbar, endlich also
jede positive ganze Zahl
s==60iS^+ r,
wo r als eine der Zahlen 0, 1, 2, . . ., 59 in höchstens 59 sechste
Potenzen Eins zerfällt, als eine Summe von höchstens
1656 + 59 = 1715
sechsten Potenzen darstellbar. Hieraus ergibt sich die Formel
(94) N, 5 1715
doch ist jedenfalls die so gewonnene Schranke viel zu hoch.^)
Das Vorhandensein einer Höchstzahl N für den FaU achter Potenzen
erwies zuerst MailM (Bull. Soc. math. de France 36, 1908, S. 69;
Comptes Rendus de FAcad. 30. 12. 1907). Einfacher stellte Huricitz
(Math. Ann. 65, S. 424) sie fest auf Grund einer der Identität (93)
entsprechenden Formel für die Potenz (a^ + 6^ + c^ + d-y. Ihr zu-
fölg« ist 5040.(a2+&^+c2+^^y
gleich einem Ausdrucke von der Form
6 .^4 + 60 .^2/f +^4 + 6 •2'<
?: = 1 t = l t = l 1 = 1
in welchem die Xi, yij z^ Ui ganzzahlige lineare Funktionen von a,
h, c, d vorstellen, und aus welchem in gleicher Weise wie zuvor und
auf Grund des Wiefericli^ohQn Satzes über die Darstellung einer Zahl
als Summe von Biquadraten zu folgern ist, daß jede positive ganze
Zahl als Summe von höchstens
37 • (6 • 4 + 60 . 12 + 1 . 48 + 6 . 8) + 5039 = 36 119
achter Potenzen darstellbar, folglich
(95) ^'8^36119
ist.
1) Auf Grund von FlecU Höchstzahl 13 findet sich N^ ^2451.
348 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
Aus einem von J. Schur für
22 680(^2+ 62_|_g2_^ ^^2)5
gegebenen Ausdrucke (Math. Ann. QQ^ S. 105) als Summe von zehnten
Potenzen folgt, wenn man Maillä^ Satz über die Zerfällung der Zahlen
in eine Summe von fünften Potenzen zu Hilfe nimmt, in gleicher
Weise der Umstand, daß auch hier eine feste Höchstzahl zehnter Po-
tenzen ausreicht, um jede Zahl als Summe solcher Potenzen darzustellen.
So war die einst von Waring ausgesprochene Vermutung wenigstens
bis zu den zehnten Potenzen einschließlich bestätigt Neuerdings
ist es Hilhert gelungen, sie allgemein zu bewahrheiten (Nachr.
d. Gott. Ges. d.W., 6. 2. 1909), doch verbietet sich die Wiedergabe seines
noch ziemlich komplizierten Beweises dieser Tatsache im Rahmen
unseres Werkes, da er analytischer Hilfsmittel höherer Art bedarf.
Übrigens hat Maulet sowohl wie Hurwitz (a. a. 0.) diesem Ergebnisse
noch die weitere Bemerkung hinzugefügt, daß es unendlich viel
positive ganze Zahlen gibt, die nicht als Summe von n oder
weniger als n Potenzen n^^^ Grades darstellbar sind, mit anderen
Worten: daß die Anzahl A{s) der Lösungen der Gleichung
in nicht negativen ganzen Zahlen Xi für unendlich viel Zahlen s
Null sei.
17. Wir kehren nun zu den quadratischen Formen in Nr. 8 wieder
zurück, von denen gezeigt worden, daß sie jede positive ganze Zahl
darzustellen vermögen. Hier drängt sich von selbst die Frage auf,
wieviel verschiedener Darstellungen eine gegebene Zahl
durch jede derselben fähig ist. Ihrer Natur nach der allgemeinen
Theorie der quaternären quadratischen Formen angehörig, in welcher
sie ihre systematische Beantwortung findet, kann diese Frage doch
auch für die besonderen Formen, um die es sich handelt, auf ein-
fachere Weise durch besonders geeignete Methoden erledigt werden.
Wir zeigen es zunächst für die erste der Formen, nämlich für die
Summe von vier Quadraten:
(96) x'^-y^-^z^-^tK
Mit Bezug auf diese Form hat zuerst Jacobi den Satz gefunden,
daß die Anzahl der Zergliederungen des Vierfachen einer
ungeraden Zahl u in vier Quadrate positiver ungerader
Zahlen x^ y, ^, t gleich der Summe der Teiler von ^(, in Zeichen:
(97) N{4.u = x^+y^+z^-}- t^) = ^i {u)
ist, wo wir uns des Liouville^o^iQi^ Symbols ii{u) für die gedachte
Summe der Teiler bedienen. Jacobi entnahm ursprünglich diesen
Satz der folgenden analytischen Gleichheit:
Anzahl der Zerfällnngen in vier Quadrate. 349
^ u po9., unger.
welche er durch Vergleichung der zwei Formeln (35) S. 106 und (7)
S. 184 seiner fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum er-
halten, gab aber dann später (J. für Math. 12, S. 167) auch eine rein
arithmetische Herleitung desselben. Der letzteren hat Birichlet (J. des
Math. (2) 1, S. 210) eine sehr elegante Darstellung gewidmet, die in
ihrer eigentümlichen Grundlage zugleich den Keim für weitere, sehr
fruchtbare Untersuchungen enthält, von denen wir Kenntnis nehmen
müssen. Es folge also zunächst hier der DiricMetsche Beweis.
Bei jeder Darstellung von 4i<:
(98) 4u = t|2 4- ^^| + ^i ^ t/|
in ungeraden Zahlen ist sowohl ul + ttl als ul + ul das Doppelte einer
positiven ungeraden Zahl:
(99) ul-]-ul = 2u\ iil-^iil = 2u"
und demgemäß
(100) 2u = ii' -f ii".
Alle jene Darstellungen von 4u entstehen also offenbar, wenn man
2u nach vorstehender Gleichung in zwei positive ungerade Summanden
H'j u" zerfällt und das Doppelte derselben auf alle Weise nach den
Formeln (99) als Summe zweier Quadrate notwendig ungerader positiver
Zahlen darstellt. Auf solche Weise entsteht aber gewiß auch stets
eine Darstellung von Au von der gedachten Art. Da nun nach Nr. 2
die Anzahl der bezeichneten Darstellungen der Zahlen u'f id' resp.
u'=d'6' u" = d"ö"
beträgt, so ist die Anzahl der Darstellungen (98), welche einer be-
stimmten Zerfällung (100) entsprechen, gleich q{ii')-q(ii")^ und demnach
die gesamte Anzahl Ä der Darstellungen (98) gleich der über alle
Zerfällnngen (100) erstreckten Summe jener Produkte, d. h.
/ d' — l d"— 1\ d'—l , d"—l d'—d"
wenn die letzte, eigentlich dreifache Summation sich auf alle möglichen
Zerfällnngen der Zahl 2u von der Form
(102) 2u = d!d'+d"d"
mit positiven ungeraden Zahlen d\ d\ d'\ d" erstreckt.
Unterscheiden wir diese Zerfällnngen in zwei Klassen: in diejenigen,
bei welchen d' = d", und in die anderen, bei denen d\ d" voneinander
verschieden sind. Bei den ersteren ist der gemeinsame Wert d von
350 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
d\ d!^ *em beliebiger ungerader Teiler von 2ii, d. i. irgendein Teiler
von t*; setzt man demgemäß u = dd , so nimmt die Gleichung (100)
die Gestalt
2<J = ^' -f d"
an und lehrt, daß es entsprechend dem Teiler d genau d solcher
Zerfällungen, entsprechend den sämtlichen Teilern von u also
^''^ = ?>(»)
d' — d'
solcher Zerfällungen gibt. Da aber für jede von ihnen (— 1) ^ =1
ist, liefern die Zerfällungen der ersten Klasse für A den Gesamtbeitrag
Die Zerfällungen der zweiten Klasse lassen sich paarweise zusammen-
fassen, da es mit jeder Zerfällung (102) zugleich stets auch die Zer-
fällung
gibt, welche von jener verschieden ist, sobald d\ d" verschieden sind;
ihnen entsprechen die gleichen Beiträge
d' — d" d" — d'
(-1)"^", (-1)^
zur Summe A'^ man darf sich daher auf diejenigen Zerfällungen der
zweiten Klasse beschränken, bei welchen d^ > c^" ist, wenn man nur
deren Beiträge verdoppelt. Sei also d^ > d^' in (102). Unter dieser
Voraussetzung können die Zerfällungen aber noch wieder zu je zweien
verbunden werden, und in der Weise, wie dies geschieht, besteht das
Prinzip der Dirichletschen Methode. Schreibt man die Gleichung (102)
in der Form:
(103) 2u = (d' - d") d' + (d' + d")^",
so ist, wenn
nol^ Mi=(J'+(0 + l)(^'+n d,= d'+d(d'+ö")
^^^^) I d, = ^" - 0 (d' - d"), dg = (0 + 1) (d' -d^')- d"
gesetzt wird,
(105) d^-d,= d'+ d", ö,^ö,^ d' - d"
und
2u = (d' - d")d^- {d' -i- ö")d,
= (dl 4- d,)d, + (d, - d,)d, = d,d, + d,d,.
Man gelangt also durch die Substitution (104) von der Zerfällung
(102), in welcher d' > d", zu einer zweiten Zerfällung
2w = fl?idi+ d^d,^,
in welcher wegen (105) auch d^ > c^g ^^^ wegen (104) alle Elemente
^i> ^1) ^2? ^2 ungerade ganze Zahlen sind, wenn 0 als ganze Zahl
Anzahl der Zerfällungen in vier Quadrate. 351
gedacht wird; sollen sie aber auch positiv sein, so bestimmt sich 0
eindeutig den Bedingungen
er - 0 (fZ' - er) > 0, (0 + 1) (f^' - er) -d^'>o
gemäß, d. h.
Diese zweite Zerfallung ist verschieden von der ersten, denn,
wären sie gleich, so ergäbe sich aus (105)
d'-el"=d'+d",
mithin nach (103)
2u = {eV-el") {ö' -\- el"),
was nicht möglich ist, da die linke Seite nur durch 2, die rechte
Seite als Produkt zweier geraden Zahlen durch 4 teilbar ist. Ginge
man nun von dieser zweiten Zerfällung (7^, dj, ^2? ^2 durch eine mit
den Formeln (104) analoge Substitution aus, um eine weitere Zer-
fäUung derselben Art zu erhalten, so müßte, wie gezeigt, das zu-
gehörige 0 als eine eindeutig bestimmte Zahl , nämlich gleich , _^ .
d. i. nach (104) gleich dem früheren 6 gewählt werden. Da aber aus
der Auflösung der Gleichungen (104) die Formeln
cV =d,i- [6 + 1) (ö, -f d,), el" = d, + 0 (d, + d,)
d'=cl,-e {el,- el^, d" = (0 + 1) (eJ, - eh) - eh
von der gedachten Beschaffenheit hervorgehen, so erkennt man, daß
man auf solche Weise nur zu der ursprünglichen Zerfällung zurück-
geführt würde. Hiernach sind also stets zwei verschiedene Zerfällungen
der gedachten Art umkehrbar miteinander verknüpft. Ihre Beiträge
zur Summe Ä aber zerstören einander, denn aus (103) folgt die
Kongruenz
d. i. wegen (105)
mithin ist
1 = — 2— + —~— (mod. 2)
l^'-^-^ + ^-i(mod.2),
d' - d"
(-1) ^ +(-1) ^ =0.
Da hiernach in der Summe zur Rechten der Gleichung (101) die
Beiträge der Zerfällungen zweiter Klasse sich heben, der gesamte
Beitrag der Zerfällungen erster Klasse aber bereits gleich i^{u) ge-
funden wai', erhält man, wie der Jacofe/sche Satz behauptet, die Gleichung
4 = SiW.
352 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
18. Aus jeder Darstellung
4:U = ul -\- ul -\~ ul -i- ul
(u. pos,, unger.')
entstehen 16 Darstellungen, wenn man die Vorzeichen der Größen Ui
auf alle mögliche Weise wählt. Demnach geht die Formel hervor:
(97 a) N{4u = ul + ul + ul -\- uf) =^ 16 • J^ (u).
(u^ nnger.)
Suchen wir allgemeiner die Anzahl
bei beliebiger Beschaffenheit der ganzzahligen Elemente x^ y, ^, t.
Hierzu bemerken wir zuvörderst, daß aus jeder Darstellung
(106) ^, = |2_|.^2_^J2_^Ö2
der ungeraden Zahl u, in welcher notwendig
eine ungerade Zahl sein muß, zwei verschiedene Darstellungen der
Zahl 4u in ungeraden Zahlen Ui'.
(107) ^ 4u = ul + ul + ul-\- ul
entstehen, indem einmal
ein zweites Mal
i*, = - g + 7? -f ^ + ö, u,=-i-ri-\-i^
gesetzt wird; umgekehrt gewinnt man aus jeder Darstellung (107)
in ungeraden Ui^ für welche notwendig
Wj + ^2 + Wg + 1*4
eine gerade Zahl ist, mittels der Gleichungen (108), falls diese Zahl
durch 4 aufgeht, entgegengesetztenfalls mittels der Gleichungen (109)
eine Zerfällung (106) der Zahl u, deren Elemente
P = ^^1 + ^2 + ^8 4- ^4 „ _ u^+u^-u^- u^
, U^—U^+ U.^ —U^ n ^1 ~ '^8 ~ ^3 + ^4
resp.
j, _ — t^l + t*j + % + 1*4 _ u^ — u^ -\- u^ ■{■ u^
Anzahl der Zerfallangen in vier Quadrate. 353
sind. Da hiernach die Darstellungen (106) der Zahl u und die Dar-
stellungen (107) der Zahl Au einander ein- zweideutig zugeordnet sind,
so ergibt sich
N(4:U = Ul + lil + tll + lil) = 2 . N{U = |2 _|_ ,^2 _^ g2 _j. ö«)
11^ unger.
d.h. die Anzahl der Zergliederungen einer ungeraden Zahl u
in vier Quadratzahlen beträgt
(110) N(u = J2 _!_ ^2 ^ ^2 _^ ö^) = 8 . Uu).
Weil jedoch aus jeder Darstellung (106) eine Darstellung
4:11 = gl + gl-^9l + 9l
der Zahl 4w in geraden Zahlen hervorgeht und umgekehrt, darf man
auch schreiben:
(111) N{Au = 9l + 9l^9l + gl) = S- U^^\
(g^ gerade)
und weil in jeder Darstellung
(112) Au = x^+y^-\-^^-\-t^
entweder alle Elemente x^ y, 0, t ungerade oder alle gerade sein
müssen, damit die rechte Seite =0 (mod. 4) werde, findet sich schließ-
lich aus den FormeLu (97a) und (111) zusammen der Satz:
Die Anzahl aller Zergliederungen des Vierfachen einer
ungeraden Zahl u in vier Quadratzahlen beträgt
(113) N(4:u = x'+y'-^g'^+ t') = 24 . gl (u).
Ebenso groß ist die Anzahl aller Zergliederungen für
die Zahl 2ii:
(114) N{2u = x'+y^-hs^+ t') = 24-^1 (u).
In der Tat folgt aus jeder Darstellung (112) die Gleichung
8u = {x4- yf+ {x - yy+ (s + tf + (^ - tf
d. i. eine Darstellung
der Zahl 2u, da, wie schon bemerkt, die Zahlen x^ y, z, t entweder
sämtlich gerade oder sämtlich ungerade, mithin die Elemente der
Darstellung ganze Zahlen sind; umgekehrt aber findet sich aus jeder
Darstellung
eine Darstellung
wenn
Bachmann, niedere Zahlentheorie. II. ^^
354 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
^ = 1 + 7?, 2/ = !-^, ^ = s + e, ^ = g-0
gesetzt wird.
Man bemerke endlicli, daß eine Gleichung
(115) 2^^-u = x^+y^^z^+t^
falls /i > 2, die linke Seite also iz 0 (mod. 8) ist, nur bestehen kann,
wenn sämtliche Elemente Xy y, z, t gerade sind. Setzt man dann
also
X = 2x\ y = 2y\ z = 2^', t = 2t\
so folgt aus (115) die Gleichung
auf welche die gleiche Bemerkung Anwendung findet, falls h — 2 noch
> 2 ist. Man wird daher durch Fortsetzung dieser Betrachtung von
der Gleichung (115), je nachdem h gerade = 2Jc + 2 oder ungerade
= 2Ä; + 1 ist, zu einer Gleichung
oder
2u = X'-]-Y'+Z'-hT'
geführt; da umgekehrt je nach den beiden genannten Fällen aus der
ersten oder zweiten dieser Gleichungen, indem
X = 2*X, y = 2*r, 0 = 2*Z, t = 2'T
gesetzt wird, die Gleichung (115) erschlossen wird, ist ersichtlich die
Anzahl der Lösungen der letzteren gleich derjenigen der entsprechenden
von jenen. Man gelangt demnach zu dem allgemeinen Ergebnisse:
Die Anzahl der Zergliederungen jeder geraden Zahl in
vier Quadrate beträgt
(116) N(2^ 'U =- x^ + y^ + 0^ -^ f) = 24' i, (u),
Qi>0)
19. Die Anzahl der Zergliederungen in vier Quadrate ist,
wie hieraus folgt, für die Zahl 2u dreimal so groß wie für
die Zahl u. Für diese Tatsache hat Stern (J. für Math. 105, S. 250)
einen ganz elementaren Beweis geliefert, den wir hier anfügen, weil
wir seine Methode uns zum Beweise eines von Liouville ausgesprochenen
bemerkenswerten Satzes nutzbar machen wollen.
Wir wollen eine Zerfällung
(117) u^a'-\-h'-{-c'-^d'
eine Grundform für u nennen, wenn die Elemente der Zerfällung
nicht negative, der Größe nach fallende Zahlen sind, so daß
(118) a^h'^c^dSO
ist. Jede Zerfällung
(119) u = x'+y'+0'-i-t'
Methode von Stern. 355
creht aus einer bestimmten solchen Grundform hervor, indem die
Elemente mit verschiedenen Vorzeichen genommen und ihre Anordnung
vertauscht wird. Offenbar werden die Zerfällungen, welche in solcher
Weise aus der Zerfällung (119) entstehen, insgesamt mit den aus
ihrer Grundform entspringenden identisch sein. Zwei Zerfällungen
können nicht identisch sein und soUen wesentlich verschieden heißen,
wenn sie aus verschiedenen Grundformen entstehen. Für die Zer-
fäUungen der Zahl 2ti gilt Entsprechendes.
Nun sei
(120) 2u = ^'-tv'+t'+0'
irgendeine ZerfäUung dieser Zahl, und «, ß, y, d die Absolutwerte
der Elemente, so daß bei geeigneter Wahl der Vorzeichen
(120a) l = ±a, ^ = ±A^=±y;0 = ±(J
ist. Da von den vier Zahlen a, ß, y^ d notwendig zwei — etwa a, ß —
gerade, die beiden andern ungerade sind, kann man ganze Zahlen x^
y, 0, t durch die Gleichungen
(121) a-f-/3 = 2a:, a- ß = 2y, y + d = 2:s, y - d =^ 2t
bestimmen, für welche
d.h.
(122) u = x'-ty'-+^'-\-t'
ist. Demnach entspringt jede Zerfällung der Zahl 2ii mittels
der Gleichungen (120a) und (121) aus einer Zerfällung (122),
also auch aus einer gewissen Grundform der Zahl u.
Insonderheit folgen aus jeder Grundform (117) für ii die folgenden
Zerfällungen der Zahl 2u:
(2u = {a- hy-}- (a + 6)2+ (c - df -\- (c + df
(123) 2u = {a- c)2+ {a + c)^ + (6 - df + (6 + df
\ 2u ^{a- dy + (a + d)'+ (h - cy-^ (h + c)^,
deren Elemente nicht negative ganze Zahlen sind. Da u ungerade
ist, müßten, wenn zwei der Elemente a, 6, c, d in (117) einander
gleich sind, sei ihr gemeinsamer Wert Null oder von Null verschieden,
die beiden anderen voneinander verschieden sein. Hiernach unter-
scheiden sich nun die Grundformen (117) in mehrere verschiedene
Typen:
1) Sei a > h > c > d > 0. Dann werden die drei Zerfällungen (123)
wesentlich voneinander verschieden sein. Denn, da ihre Elemente
positiv sind, wäre nur denkbar, daß eine von ihnen aus einer anderen,
23*
356 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
etwa die zweite aus der ersten durch Vertauscliung derselben entstünde,
so daß die Elemente der zweiten denen der ersten in gewisser
Ordnung genommen gleich wären. Da aber a — c weder mit a — h
noch mit a + h gleich ist, müßte etwa a — c = c + d, dann aber
a + c, welches weder mit a — h noch mit a -\- h gleich ist, mit c + d
gleich sein, was nicht der Fall ist. Der einen Grundform (117) sind
also drei wesentlich verschiedene Formen (123) zugeordnet. Aus jener
entstehen durch Vertauschung der Ordnung und der Vorzeichen der
Elemente 16-1-2-3-4 = 16-24 Zerfällungen von u, aus den
Formen (123) ebenso 3 • 16 • 24 Zerfällungen von 2u. Somit wird
auch für den gesamten Typus von Grundformen (117), den wir be-
trachten, die Anzahl der ihnen zugehörigen Zerfällungen von u nur
ein Drittel der Anzahl der aus ihnen entspringenden Zerfällungen
von 2u sein.
2) Sei a = &>c>(^>0. Dann gehen die Zerfällungen (123)
über in die folgenden:
2u = 0'+ (2ay+(c - d)'-\- (c + df
(123') 2^l = (a - cf + (« + cf + (a - df + (« 4- df
2u = {a- df^ (a + df^-{a - cf ^ {a + c)\
deren dritte durch Vertauschung der Elemente aus der zweiten ent-
steht, also sind nur zwei von ihnen wesentlich voneinander verschieden.
Die Grundform
ergibt jetzt 16 • 12 Zerfällungen von u, die erste der Formeln (123')
gibt 8 • 24, die zweite 16 • 24, zusammen also 24 • 24 = 3 • 16 • 12 Zer-
fällungen von 2u. Also wird auch hier wieder die gesamte Anzahl
der dem Typus entsprechenden Zerfällungen von u nur ein Drittel
derjenigen von 2u sein.
3) Sei a>&>c = c?>0. Dann liefern die Gleichungen (123)
nur zwei wesentlich verschiedene Zerfällungen von 2u:
{2u = (a
2u = (a
hf-h (a + hy+o'+{2cy
cy+{a+ cy+(h-cy+(h + cy,
während
u==a'-\.h'-{-c'-{-c'
ist. Hieraus entstehen 16-12 Zerfällungen von u, aber
8 . 24 -f 16 . 24 = 24 - 24 = 3 . 16 - 12
Zerfällungen von 2?^, und wieder ist auch für den jetzigen Typus
die gesamte Anzahl der Zerfällungen von u nur ein Drittel derjenigen
von 2u.
Zu gleichem Ergebnisse führt die Annahme a'>b = c>d>0.
Methode von Ster7i. 357
4) Sei a = b = c>d>0. Dann stellen die Gleichungen (123)
wesentlich nur eine einzige Zerfällung von 2ic dar:
(123'") 2u = 0^ + (2ay+ (a - df + (a + d)\
während
it = a^ + a^ + a^ + d'-
ist. Hieraus entstehen 16-4 Zerfällungen von u und 8 • 24 = 3 • 16 • 4
Zerfällungen von 2u\ also gibt auch der neue Typus nur ein Drittel
soviel Zerfällungen für u wie für 2u.
Zu gleichem Ergebnisse führt die Annahme a>5 = c = c?>0.
5) Sei nun a>'b>c>d = 0. Die Gleichungen (123) gehen über
in diese:
2u = (a- hf-{- (a + hf^c^-^c^
2u = (a - cf + (a + cf + &H &'
l 2u = a^+ a^ + Q)- cf + (6 + c)\
(123^)
während
u^a'^j^h^^c'-^O'
(123^) .o.^.. .^.^..^.^.
ist. Dies gibt 8-24 Zerfällungen für u, 3 • 16 • 12 = 3 • 8 • 24 Zer-
fällungen für 2Uj also das gleiche Verhältnis wie in den früheren
Typen.
6) Sei a = 6>c>^ = 0. Dann erhält man aus (123)
2n = 02+(2a)2+c2+c'
2u = (a - cy + (a + cy + «' + a\
während
« = «2 _^ a^ + c^ 4- 0«
ist, also 8 • 12 Zerfällungen für u, und 8 • 12 + 16 • 12 = 3 • 8 • 12 Zer-
fällungen für 2u.
7) Sei a>h>c = d^O. Dann folgt aus (123)
2u = {a- hy+ {a -f ly + 0- + 02
2u = a^ + «2 _^ 6- + h\
während
?t = a2+?>2^02-h02
ist, also 4 • 12 ZerfäUungen für u, und 4 • 12 + 16 • 6 = 3 • 4 • 12 Zer-
fällungen für 2n.
8) Sei a > & = c > (^ = 0. Dann gehen aus (123) die ZerfäUungen
^^237) ^2u = {a-hy^-{a + hy-\--b^+l^
(123^)
2w = aH a2+02+(2&)2
hervor, während
ist. Dies gibt 8 • 12 Zerfällungen für u, und 16 • 12 + 8 • 12 == 3 • 8 • 12
Zerfällungen für 2u.
358 Zerfällungen in gleiclinamige Potenzen.
9) Sei a = h = c'>d==0. Dann erhält man aus (123)
(123«) ^ 2^^ = 0^ + (2ay +«^4.^2
zugleich, mit
also 8 • 4 Zerfällungen für Uj und 8 • 12 = 3 • 8 • 4 Zerfällungen für 2u.
10) Ist endlich a>6 = c = (^==0, so kommt
^ = a2-f 02+0^4-02
^ ^ ( 2«* = a^+ a
also 2-4 Zerfällungen für u, und 4-6 = 3- 2-4 Zerfällungen für 2u.
Da hiernach bei jedem der möglichen Typen für die Anzahl der
ihnen zugehörigen Zerfällungen von u und von 2u das Verhältnis
1 : 3 nachgewiesen worden ist, so gilt dies Verhältnis auch für die
gesamte Anzahl ihrer Zerfällungen, und der anfangs ausgesprochene
Satz ist aufs neue bewiesen.
20. Sei nun s=2^-u eine gerade, u eine ungerade Zahl, so ist,
wie gezeigt worden
^ = 24.?,(w)
die Anzahl aller Zergliederungen von s in vier Quadrate. Seien
diese sämtlichen Zergliederungen, so erhält man durch Addition aller
A Gleichungen die Formel
(125) A ■ s =^(.ccl + yj + gl + <f).
Wenn man beachtet, daß jede der Vertikalreihen zur Rechten der
Gleichungen (124) insgesamt dieselben Zahlen enthalten muß, da mit
jeder Zerfällung von s zugleich auch alle diejenigen auftreten, die
durch Vertauschungen ihrer Elemente daraus hervorgehen, und daß
somit
(125a) ^xl =^y! =^'4 =^^1
ist, so läßt sich die Gleichung (125) auch schreiben wie folgt:
(126) ^xl^\.As.
i = i
Dieser einleuchtenden Bemerkung hat nun Liouville (J.
des Math. (2) 3, S. 358) die nicht ebenso unmittelbar ersicht-
liche Aussage hinzugefügt, daß die Summe der Biquadrate:
Ein Satz von Liouville. 359
(127) ^rrf = ^-^«^
i = l
oder auch, daß
(128) J^(4 + 2/t + 4 + ^) = i
As'
sei. Wir beweisen diesen Satz nach dem Vorgänge von Stern, indem
wir wieder die sämtlichen Zergliederungen von s in die vorher be-
trachteten Typen verteilen und zeigen, daß er für die Zergliederungen
jedes einzelnen Typus richtig, d. h. — unter J.' die Anzahl dieser Zer-
gliederungen verstanden — , daß die über die letzteren erstreckte Summe
(129) ^(4 + 2/f + 4 + ^t) = ^ • A^s'^
sei; durch Zusammenfassen aller Typen folgt dann ersichtlich der
LiouviUesche Satz. Es wird zudem genügen, wenn wir uns hierbei
auf den Fall s = ^u beschränken.
Sei also s = 2ii. Jeder Zerfällung
(130) u = a'+h'+c'-[-d'
des ersten Typus entsprechen die drei wesentlich verschiedenen Zer-
fällungen (123) von 2u, für welche die Summe der Biquadrate
(«, _ i,y^(a + by+(c - dy+ (c + dy
+ (« - c)'+ (« + cy+{h - dy+ (h + dy
4- (a - dy-\-{a + dy-i-{h - cy+ {h + cy
= 6[a^ 4- &' + c^ + d'' + 2(a^' + a'^c' -f a'd' + b'c' + h'd' + c'd')]
ist. Da jede dieser drei Zertallungen aber 16-24 Zergliederungen ergibt,
ohne daß die Summe ihrer Biquadrate sich verändert, so wird die
Summe der Biquadrate für sie alle zusammengenommen
16-24. 6?<.2= 3.16-24. ^^
Ist also @ die Anzahl der Grundformen (130) des Typus, so ist
^'=3-16.24(5J
die Anzahl der Zergliederungen dieses Typus für 2w, und
@. 3. 16. 24-^
die Summe ihrer Biquadrate, diese letztere folglich gleich
A' *'.
360 Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
Beim zweiten Typus liefert die erste der Zerfällungen (123')
8 • 24 mal die Summe
16a*4-(c-^)*+(c + ^*
der Biquadrate, die zweite 16-24 mal die Summe
(a - cy +{a + cy +(a- dy-\- (a + dy,
zusammen geben sie also als Summe der Biquadrate den Ausdruck
8.24[24a4+ 6c*+ 6d^ + 24a^c^ + 24a^d^ + 12 c'd^]
= 6.8.24(2a2+c2+^2)2
oder, da
(130') u===2a^ + c^+d''
ist,
6'S'24u'^^'16'12'-''
Ist aber wieder % die Anzabl der Grundformen (130') dieses Typus,
so ist
^' = 3.1612(55
die Anzahl der Zergliederungen dieses Typus für 2w, und
(55.31612.1'
die Summe ihrer Biquadrate, diese letztere also gleich
^ 2
Beim dritten Typus entspringt ebenso aus den jeder Grundform
(130") w = «2 + 62 4. c2 + c^
desselben zugehörigen Zergliederungen (123") die Summe der Bi-
quadrate:
8 . 24((a - ly + (a -f ly + (2cy)
+ i6.24((a - cy + (a + cy-\- (h - cy + (6 + cy)
= 8.24[6a*+ 6&^+ 24c*+ 12a2&2_^ 24aV+ 246V]
= 6.8.24(a2+62_p2c2)2
oder
6.8.24«^2_3.i6.i2.^.
Man hat ferner
J['=3.1612@,
also als Summe aller Biquadrate
Beim vierten Typus ist
@.3.l6.12.y = ^'.y
Ein Satz von LiouviUe. * 361
^^^^'"^ U'=3-16.4@,
und die Summe aller Biquadrate für die jeder Grundform (130"')
entspringenden Zergliederungen von 2n gleich
= 3 • 16 . 8 (3^2 + d'f = 3 . 16 . 2ii' =3.16.4—,
die gesamte Summe der Biquadrate also gleich
^ Y
Desgleichen ist beim fünften Typus
(130^)
^' = 3-8.24®
und die Summe aller Biquadrate für die jeder Grundform (130^)
entspringenden Zergliederungen von 2u gleich
\.12[(a-hy+{a-\-hy-{-{a-cy-\-(a-{-cy-\-{h-cy + {h + cY-{-2a*+2h^+2c']
= 16 . 12[6a^ + 6&^ + 6c* + 12a^h^ + 12aV + 12&V]
= 16.12.6(a2+&2+ c^)2 = 6. 16-121*2=3. 8. 24-^,
die gesamte Summe der Biquadrate also gleich
^ 2
Geht man in gleicherweise auch noch die übrigen Typen durch,
so findet man stets dasselbe Gesetz bestätigt und erkennt daher auch
die Richtigkeit des von LiouviUe ausgesprochenen Satzes für den Fall
s = 2u.
Wir ziehen hieraus zunächst eine Folgerung. Der Gleichung (125)
entsprechend besteht offenbar auch die folgende:
A-s'=^[x^ + yJ + zJ + ^f.
Gilt also der Lioiwillesche Satz, so ergibt sich
J[ . s2 = ^ • ^ + 2 '^(xlyl + 44 + icf ^f + 2/F4 + fitj + ^ni)
und, da man aus gleicher Erwägung wie die Gleichungen (125a) die
Gleichheit der Summen
^xM -^^f^? = • . • =^4
362 ZerfälluDgen in gleiclanamige Potenzen,
erschließt, einfacher
(131) 2'''^^' = ^-
Für den Fall s = 2u steht hiernach diese Formel fest.
Nun sei s = 4u. Dann bestehen zwischen je einer Zerfälluog
und einer Zerfällung
wie schon bemerkt, die Beziehungen
oder umgekehrt
^ = I + t/, y = l-n, ^r = J + 0, ^ = s - 0.
Zudem ist die Anzahl J. der möglichen Zergliederungen in vier
Quadrate dieselbe für 4^f wie für 2u. Folglich ist
^* + 2/* + ^' + ^' = 2(r + ^* + S* + 0') + 12(|2^2 4- S'0')
und die über alle Zergliederungen von 4w in vier Quadrate erstreckte
Summe
^(^4 + 2,4 _^ ^4 ^ ^4) _ 2 .^(1* + ^4 + j4 ^ 04) ^ 24 •^r,^^
wo rechts über alle Zergliederungen von 2w zu summieren ist. Dem
schon Bewiesenen zufolge ist also
und demnach der Liotwillesche Satz sowie seine Folgerung (131) auch
gültig für den Fall s = Au.
Endlich beachte man, daß, wenn s = 2''it ist, die Lösungen der
Gleichung
(132) s^2^^-u = x^-{-y^-\-0^+ 1\
wie Ende von Nr. 18 bemerkt, je nachdem h = 2Jc + 2 oder 2Ä: + 1
ist, aus den Lösungen der Gleichung
(133) 4u=^X'+Y' + Z'-j-T'
resp.
(134) 2u = X'+Y'i- Z^-\-T'
hervorgehen, indem
x = 2'-X, y = 2''Y, ^ = 2''Z, t = 2^-T
gesetzt wird. Daher wird die über alle Zergliederungen (132) von 5
ausgedehnte Summe
^(x'-^y'+0'-^t')
gleich der mit 2** multiplizierten, über alle Zergliederungen (133)
von Ali resp. (134) von 2u erstreckten Summe
über Zerfällungen in drei oder fünf Quadrate. 363
also nach dem schon Bewiesenen gleich
2-.^Äresp.2-.^.^
d. h. gleich A • ^-^ — = A--
Der Lioiivillesche Satz, und damit auch die Formel (131),
gilt folglich allgemein für jede gerade Zahl s.
21. Indem wir hiermit die auf die Anzahl der Darstellungen einer
Zahl als Summe von vier Quadratzahlen bezüglichen Untersuchungen
abschließen, wollen wir kurz auch der gleichen Frage bezüglich ihrer
Darstellungen als Summe von mehr als vier Quadratzahlen gedenken.
Diese ganze Sache gehört der Lehre von den quadratischen Formen
mit beliebig viel Unbestimmten an. Für den Fall dreier Quadrate
hat Gauss die betreffende Frage aus der von ihm entwickelten Theorie
der ternären quadratischen Formen beantwortet.^) Für sechs, acht
und zehn Quadrate gab zuerst Eisenstein , für zwölf Quadrate LiouviUe
eine Reihe bezüglicher Sätze, welche von K. Petr und G. Humhert
mit den Mitteln der elliptischen Funktionentheorie bewiesen worden
sind.^) Wie aber die erwähnte allgemeine Theorie die Lösung der
gestellten Frage herbeizuführen lehrt, ist in des Verfassers „Arith-
metik der quadratischen Formen^' im 10. Kapitel für den Fall von
fünf, sechs, sieben oder acht Quadraten ausgeführt, auch in Nr. 15
daselbst auf die eigentümlichen Summen hingewiesen worden, welche
in den bezüglichen Ausdrücken für die Anzahl der Darstellungen eine
Rolle spielen.
Hier kann auf diese Untersuchungen nicht weiter eingegangen
werden, wir schließen vielmehr mit einigen einfachen Bemerkungen
über die Anzahl der Darstellungen einer Zahl s als Summe von drei
und von fünf Quadraten, die sich aus den von uns gegebenen Sätzen
über die Anzahl der Darstellungen durch zwei resp. vier Quadraten
ableiten lassen.^)
Aus jeder Darstellung
(135) s = x^+i/-^2%
in der an letzter Stelle das Quadrat ^^ steht, folgt eine Darstellung
s — z^= x^ -\- y^
1) S. Gauss, Disquis. arithm. art. 291, oder des Verfassers Arithmetik der
quadratischen Fonnen S. 139 ff.
2) Eiseyistein Journ. f. Math. 35, S. 135 oder Math. Abh. Berlin 1847, S. 195;
LiouviUe C. R.Acad. Paris 60, S. 1257; Journ. des Math. (2) 9, S 296; (2) 11, S. 1;
K. Petr, Archiv f. Math. u. Phys. (3) 11, S. 83; G. Humbert, CR. Acad. Paris
144, S. 874.
3) Glaisher, Messenger of Math. (2) 21, S. 122.
364 ' Zerfällungen in gleichnamige Potenzen.
und umgekehrt; der gedachten Darstellungen gibt es also, wenn
s — ;s?^> 0 ist (nach Nr. 2) 4z'q(s — 0^) oder, mit Rücksicht auf das
Doppelte für ^, falls es von Null verschieden ist, mögliche Vorzeichen
S ' q(s — 2^). Demnach ist ersichtlich die gesamte Anzahl der Dar-
stellungen einer Zahl s, die keine Quadratzahl ist, als Summe dreier
Quadratzahlen gleich
(136) 4[p(s) + 2p(s - 1) + 2q{s - 4) + 2e(s - 9) + • • ■],
die nach den Quadratzahlen fortschreitende Klammer soweit fortgesetzt,
als die Diiferenz s — 0^ noch positiv bleibt.
Ist s ^ 3 (mod. 4), so ist auch s — 0^^3 und folglich, wie aus
Nr. 2 leicht zu erschließen ist, q(s — 0^) = 0 für jeden geraden Wert
von 0] der Ausdruck (136) für die Anzahl aller Darstellungen einer
solchen Zahl s als Summe dreier Quadratzahlen reduziert sich also auf
(137) S[Qis - 1) + q(s - 9) + e(s - 25) + . . •].
Ist dagegen die nicht quadratische Zahl s=l (mod. 4),
so müssen in der Darstellung (135) zwei der Zahlen x, y^ 0 gerade,
die dritte ungerade, etwa
g, gi gerade, u ungerade sein. Beschränkt man eins der geraden
Elemente, etwa ^^, auf die erste Stelle und nimmt seine Basis g
positiv, so ist die Anzahl solcher Darstellungen d. h. der Darstellungen
von s — g^ als Summe zweier Quadratzahlen sechsfach zu nehmen,
also gleich ß- q(s — g^), und daher läßt sich der Ausdruck (136) in
diesem zweiten Falle ersetzen durch
(138) 6 .[()(5) + 2q(s - 4) + 2q(s - 16) + 2(>(s - 36) + • • •].
Nun ist, wie später (im folgenden Kapitel (92)) gezeigt werden
wird, da 5 als keine Quadratzahl gedacht wird,
q(s) - 2q(s - 4) + 2q{s - 16) - 2q(s - 36) + • • • = 0.
Wird dieser der Null gleiche Ausdruck sechsfach zu (138) addiert
oder davon subtrahiert, so nimmt (138) eine der beiden Formen resp. an:
12[^(5) + 2^(s-16) + ...]
24[q{s - 4) + (> (s - 36) + • . .],
und, da jeder dieser Ausdrücke mit dem ursprünglichen Ausdrucke
(136) gleich sein muß, erhält man die nachstehende dreifache Gleichheit:
2.[q(s) + 2q(s- 1)-\.2q{s- 4) + 2^(s- 9) + ...]
= 3.[^(s) + 2()(s- 4) + 2^(5 -16) + 2^(5-36) + ...]
= 6 . [q{s) + 2q{s - 16) 4- 2^(s - 64) -f . . •]
= 12 . [q(s - 4) + q(s - 36) + q{s - 100) + .••].
über Zerfällungen in drei oder fünf Qnadrate. 365
Auf dieselbe Weise finden sich mit Beachtung des Jacohischen
Satzes über die Anzahl der Darstellungen einer Zahl s als Summe
von vier Quadraten ähnliche Sätze über die Anzahl der Darstellungen
einer ungeraden Zahl s durch fünf Quadrate. Für eine solche muß
in der Formel
mindestens eins der Quadrate, z. B. u, ungerade sein. Beschränkt
man dies auf die letzte Stelle und nimmt seine Basis positiv, so hat
man die Anzahl solcher Darstellungen zehnfach zu nehmen. Wir
sehen ab von dem Falle s = 1 (mod. 8) ; dann kann s keine Quadrat-
zahl sein. Ist dann zuerst s = 5 (mod. 8), so wird s — u^ das
Vierfache der ungeraden Zahl — — — und verstattet nach (113) eine
— 7 — 1 von Darstellungen als Summe von vier Quadraten.
Die gesamte Anzahl der Darstellungen von s als Summe von fünf
Quadraten beträgt daher
Ist zweitens s^3 oder 5 = 7 (mod. 8), so ist s — ir das
Doppelte der ungeraden Zahl — - — und verstattet nach (114) eine An-
(g u^x
— T— ) von Darstellungen als Summe von 4, also s die
Anzahl
von Darstellungen als Summe von 5 Quadraten. Späteren Sätzen
zufolge (s. nächstes Kapitel (90 a) und (90 b)) lassen sich diese Aus-
drücke durch die folffenden ersetzen:
resp.
30. Ki(5) + 2t,{s - 4) + 2i,(s - 16) + . . .]
60 . Ms) + 2i,{s - 4) + 2t,(s - 16) + . . •]•
Achtes Kapitel.
Untersuchungen von Liouvüle.
1. Der Beweis, welchen Dirichlet für den Jaco?>/schen Satz über
die Anzahl der Zergliederungen einer Zahl Au in eine Summe von
vier Quadraten gegeben, ist für Liouvüle der Ausgangspunkt zu weit-
gehenden Untersuchungen geworden (s. J. des Math. (2) 7, S. 48).
Dieser ausgezeichnete zahlentheoretische Forscher hat eine Reihe von
achtzehn Artikeln unter dem gemeinsamen Titel: sur quelques for-
366 Untersuchungen von Liouville.
mules generales qui peuvent etre utiles dans la theorie des nombres
(J. des Math. (2) t. 3, S. 143, 193, 201, 241, 273, 325; t. 4, S. 1, 73,
111, 195, 281; t. 5, S. 1; t. 9, S. 249, 281, 321, 389; t. 10, S. 135,
169) veröffentlicht, die eine schier unerschöpfliche Fundgrube für
zahlentheoretische Sätze darbieten. Die merkwürdigen algebraischen
Formeln hängen aufs innigste, wie zuerst Hermite in einem an
Liouville gerichteten Briefe (ebendas. (2), t. 7, S. 25) entwickelt hat,
ebenso wie ihr Ausgangspunkt, die Zerfällung einer Zahl in vier
Quadratzahlen, mit der Theorie der elliptischen Funktionen zusammen,
insbesondere mit demjenigen hochgelegenen Gebiete derselben, welches
man als die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen be-
zeichnet, und sie sind hier enge mit den berühmten Sätzen verknüpft,
welche man Kronecker verdankt, und welche Beziehungen zwischen
den Klassenanzahlen binärer quadratischer Formen von verschiedenen
Determinanten aussagen. Doch scheint ihre eigentliche Quelle, welche
Liouville leider verhüllt hat, eine andere, ursprünglichere zu sein;
über das Verhältnis seiner Formeln zur Theorie der elliptischen Funk-
tionen äußert sich Liouville selbst in folgender Weise : En effet mes
formules se rattachent aussi ä la theorie des fonctions elliptiques,
seulement elles contiennent plutot cette theorie qu'elles n'en dependent
(a. a. 0. (2), t. 7, S. 44). Elles donnent naissance ä des equations
entre des series qui contiennent comme cas particulier Celles de la
theorie des fonctions elliptiques (article 7). Cette theorie . . . se
trouve donc ici remplacee pour moi par des formules appartenant ä
l'algebre la plus elementaire, obtenues au moyen de certaines identites
des plus simples (2), t. 7, S. 41). Die Beweise für seine Formeln,
welche Liouville verspricht, und die er wenigstens zum Teil in seinem
cours an College de France gegeben hat (s. (2) t. 4, S. 2 Anmerkung),
sind nicht mehr von ihm veröffentlicht worden. Man muß es daher
den Herren Pepin und E. Meissner Dank wissen, ihrerseits Beweise
dafür geliefert zu haben, der erstere (im J. des Math. (4), t. 4, S. 83)
für die einfacheren, in den ersten fünf und den beiden letzten Artikeln
enthaltenen Formeln, der zweite in seiner Inauguraldissertation
(Zürich 1907) für den größten Teil der übrigen, komplizierteren
Formeln. Eine zusammenhängende systematische Herleitung und Ver-
bindung dieser Formeln, welche ihren Quell und die Prinzipien klar-
legte, nach denen die in den Formebi auftretenden Zerfällungen sowie
die Argumente der Funktionen, auf welche sie sich beziehen, zu
wählen sind, würde sehr wertvoll sein. Hier ist uns nur eine kleine
Auslese aus diesen Formeln verstattet, um Musterbeispiele zu liefern,
aus denen wir dann als Beweis ihrer Fruchtbarkeit eine größere
Reihe von bemerkenswerten zahlentheoretischen Sätzen herleiten wollen.
2. In den Formeln, welche wir aufzustellen haben, treten Funk-
tionen von einer oder mehreren Veränderlichen auf. Diese Funktionen
Eine erste Gnindformel. 367
brauchen nur für diejenigen Wertsysteme der letzteren, die in den
Formeln vorkommen, gegeben zu sein, im übrigen sind sie ganz will-
kürlich und dürfen für alle anderen Wertsysteme der Veränderlichen
unbestimmt bleiben; sie können nach Belieben als analytische Funk-
tionen gedacht werden, oder nicht, und sonach kommt den gedachten
Formeln eine außerordentlich große Allgemeinheit zu.
Sei nun zuerst s eine ganz beliebige positive ganze Zahl
und f(x, y) eine, für die vorkommenden Werte von x, y gegebene
Funktion zweier Veränderlichen mit der Eigenschaft, daß für jene
Werte
(1) f{x, y) = f{- X, y) = f(x, - y) = - f{y, x)
sei. Die ganze Zahl s zerfalle man auf alle Weise in zwei positive
Summanden s', s" und diese letzteren zerlege man auf alle Weise in
das Produkt zweier positiver Faktoren:
so daß jede Zerfällung der Zahl s von der Form
(2) s = d'd'+d''d"
entsteht. Über alle möglichen Zerfällungen dieser Art erstrecke man
die Summe
(3) S=^f{d'-d^', d'+d")-
t = d'd'-\-d"ö"
Zur Ermittelung ihres Wertes greifen dieselben Betrachtungen
Platz, die in Nr. 17 vorigen Kapitels beim Beweise des Jacohischen
Satzes zur Anwendung gebracht sind. Man unterscheide in der
Summe S diejenigen Zerfällungen von s, in denen d' = d^' ist, von
den übrigen. Der gemeinsame Wert d von d'j d" ist jeder Teiler
von 5; setzt man also
(4) s = dd,
so nimmt die Gleichung (2) die Gestalt an:
(5) d = d'+ d".
Es bezeichne ip{d) die Anzahl zulässiger Zerfällungen von d von
dieser Art; wenn über d', d" keine beschränkenden Voraussetzungen
gelten, so ist offenbar ^(d) = d — 1. Für jede dieser rp{ö) dem Teiler
d von 5 entsprechenden Zerfällungen von d nimmt das allgemeine
Glied der Summe S den Wert f(0, d) an. Der Teil von 5, welcher
die Zerfällungen der ersten Art umfaßt, ist demnach die auf alle
Teiler von s bezogene Summe
(6) s,=^tp{d)-ao,d).
368 Untersuclaungen von Liouville.
Bei den übrigen Zerfällungen von s sind cU, d" voneinander ver-
schieden, jeder Zerfällung (2) steht also eine davon verschiedene
s == d"d" + d'd'
zur Seite; die ihnen beiden zugehörigen Funktionswerte
f{d' - d", ö' + d"\ f{d" - d\ d" + d'j
sind wegen (1) einander gleich; daher läßt sich der übrige Teil der
Summe S schreiben, wie folgt:
(7) S,^2-'^f{d!-d", d'+n
wobei nun 6?' > d^^ gedacht wird. Schreibt man nun, ganz wie a.a.O.,
(8) s = (^'-c^")^'+(^'+^")^"
und setzt
, Ml = (J' + (Ö + l)(d' -f (J"). ^2 = ^' + ö(d' + d")
^ ^ Ui = ^" - 0 (c^' - c?"), dg = (0 + 1) (c^' - ^'0 - d^\
so ergibt sich sogleich
(10) (?i-(^2=^'+^"; dl H- dg = (^' - (^", (^i>c?2,
und die neue Zerfällung
(11) s^d^d^-^d^d^
in ganzen Zahlen d^, d^, d^, d^, wenn 0 als ganze Zahl gedacht wird.
Sollen diese Zahlen aber auch positiv sein, so müssen die Ungleichheiten
(12) Ö<;^,, 0+l> ^"
d'-d" " ' ^ ^ d' -d"
erfüllt sein. Durch sie bestimmt sich ein einziger zutreffender ganzer
d"
Wert 0, falls ,, _ ,,, ein Bruch ist, nämlich der Wert
Ginge man dann von der so erhaltenen Zerfällung (11) von 5 durch
eine mit (9) gleichgebildete Substitution zu einer anderen über, so
würde das zugehörige 0, da , ^ , = ä^|-^77 + ^ ein Bruch ist, gleich
T — ^-j- d. h. dem obigen 0 gleich sein, und man erkennt, wie a. a. 0.,
daß die neue Zerfällung keine andere ist, als die durch Auflösung
der Gleichungen (9) sich ergebende ursprüngliche Zerfällung in den
Zahlen
c^' = d, + (0 + 1) (dl + dg), ^" = dl + 0(di + dg)
d' = (?g - 0((^i - (?g), d" = (0 4- l)(^i - d^) - ^g.
Unter der gemachten Voraussetzung sind also die zwei Zerfällungen
von s durch die Substitution (9) umkehrbar miteinander verbunden.
Eine erste Grundformel. 369
Nun zerstören sich aber die beiden Glieder der Summe (2), welche
je zwei solchen Zerfällungen entsprechen. Denn wegen (10) ist das
der zweiten von ihnen zugehörige Glied
/-K - d,, d, + d,) = f{ß^ + (J", d^ - ^")
und wegen der Bedingungen (1) dem Gliede
das der ersten Zerfällung zugehört, entgegengesetzt. Demnach ver-
kürzt sich die Summe S^ auf den Ausdruck
f
(13) 2^^f(d' -d", d'-hd"),
worin die Summation sich nur noch auf diejenigen Zerfällungen
d"
(2) erstreckt, bei denen zugleich d' > d'^ und ,, _ „ eine ganze
Zahl ist. So geht die Formel hervor:
(14) S =^H^) . m ^) + 2 • ^f(d' - d'\ d' + d").
Wir müssen hier hervorheben, daß, was bezüglich der Summe S^
soeben festgestellt ist, ohne über die Zerfällungen (2) von s weitere
Voraussetzungen zu machen, als schon geschehen ist, auch dann in
Gültigkeit bleibt, wenn festgesetzt wird, daß die Summanden
s'j s" also auch die Zahlen d'j d'y d", d" der Zerfällung un-
gerade sein sollen, was voraussetzt, daß s eine gerade Zahl seL
Denn alsdann sind die diesen Zahlen durch die Substitution (9) ver-
bundenen Zahlen d^^, dj, d2, dg ersichtlich auch ungerade, die der
ersten Zerfällung verknüpfte Zerfällung also auch eine der verstatteten
Zerfällungen.
3. Behandeln wir nun zuerst diesen besonderen Fall.
Setzt man s = 2* • w, wo u ungerade, so lautet die Zerfällung (2)
folgendermaßen:
(15) 2'.u==d'd' + d"d"
mit ungeraden d', d', d", d". Dann ist der Quotient ., _ ,,/? da der
Zähler ungerade, der Nenner gerade ist, jedenfalls ein Bruch, und
die Summe (13) fällt aus. Da aber jetzt d in der Formel (4) als
gemeinsamer Wert der ungeraden Zahlen d\ d" auch ungerade d. i.
ein Teiler von u ist, findet sich, wenn u = d-t gesetzt wird, d = 2^ • ^.
Da ferner in der Formel (5) auch d', d" jetzt ungerade zu denken
sind, ist die Anzahl ^ (d) der dem Teiler d von s entsprechenden
Zerfällungen der ersten Art hier nicht mehr d — 1, sondern nur noch
-^=>2^~'^ -t. Daher erhält man in diesem Falle statt der
Gleichung (14) die folgende:
Bachmann, niedere Zahlentheorie. II. 24
370 Untersuchungen von Liouville.
(16) ^f(d' - d", d' + d") = 2^-1 . ^t-f{0,2H\
die erste der LiouvillQ^Qh.Qn Formeln, die wir mitteilen
wollen.
Man erfüllt die Bedingungen (1), wenn man setzt
während unter (p{Xj y) eine Funktion verstanden wird, die ihren
Wert nicht ändert, wenn x oder y mit entgegengesetzten Vorzeichen
genommen wird. Alsdann geht die allgemeine Formel (16) in
die besondere über:
^[(pid^ - d", ö' + d") - (p{ö' + ö", d' - d")]
Da es jedoch offenbar erlaubt ist, bei der über sämtliche Zerfällungen
(2) zu erstreckenden Summation zur Linken die lateinischen mit den
griechischen Buchstaben zu vertauschen, wodurch höchstens zwei ver-
schiedene Zerfällungen (2) miteinander vertauscht werden, so darf
man die Formel auch schreiben wie folgt:
(16a)
^l(p{d^ - d", d' + ö") -(pid' + d", ö' - d")]
= 2''-l•^^ [9^(0, 2H) - (p(2% 0)].
Setzt man z. B., was mit den Voraussetzungen verträglich ist, wenn
^(rr) eine gerade Funktion von x, d. h. ^(— ^) = i^(x) ist,
JL
indem man bemerkt, daß y hier nur gerade Zahlwerte d' + ^ ', | also
nur ganzzahlige Werte erhält, so geht aus (16a) die noch speziellere
Formel hervor:
2^L(-1) ' •t{d'-d")-i-l) 2 Hä'+d")]
(16b)
= 2^-1. V^((- 1)2^'-'^ ^(0) - tl^(2H)).
In dem einfachen Falle s = 2ii, d. h. wenn h = 1 ist, gibt man
ihr leicht die Form
1 . 6"-l
(16bb)2'(_l) 2 + 2 .[t(d'-d'') + ij(d'+d^'))-^^t{t{0) + t(ßt)).
Wird dagegen in (16 a), was ebenfalls mit den Voraussetzungen
verträglich, wenn ^(ic) als gerade Funktion gedacht wird,
(p{x, y) ="tp(x)
Besonderer Fall der Grundformel fitr gerades s. 371
gesetzt, so kommt einfach (s. eine direkte Herleitung dieser Formel
bei St. Smiihf im Report British Assoc. advanc. sciences, London 1866,
S. 366)
(16c) ^{^(d' - d!') - t{d' + d")) = 2'-'-^t{^{0) - tl^(2H)).
Sei z. B. t{^(x) = cosAic, wo dann
ij{d' - ^') - tid' + d") = 2 • sin Xd'smXd"
ist, so ergibt sich die Beziehung:
(16d) y^8mXd''SmXd" = 2^-''ytsm\2^-nt).
Sie stellt schon eine reiche Quelle für zahlentheoretische
Folgerungen dar.
Wählt man z. B. den willkürlichen Parameter A = - und bedenkt,
daß für ungerade d'^ d"
,, ^-1 ,„ d"-l
sin^ = (- 1) ^ . sia^ = (- 1) ^
ist, so erhält man aus ihr die Gleichung
^(- l)~^-(- 1)^~= 2''-l•^^sin2(2^-l.?^).
Nun hat man, um die Summe zur Linken zu bilden, s auf alle Weise
in zwei ungerade Summanden s', s" zu zerfallen und für jede solche
Zerfällung dann d' alle Teiler von s', d" alle Teiler von s'' durchlaufen
zu lassen. Demnach sind die entsprechenden Summen
und die linke Seite der Formel gleich
Zur Rechten aber ist, da t ungerade,
sin(2''-l^ J) = (- 1) ^ oder Null,
je nachdem h = 1 oder /i > 1 ist. Man findet demnach
(17>) ^9(s')e(s")=2'^ = Si(«)
(17>) ^p(s')e(s") = o.
2Äm=«' + «", A>0
Die erste dieser Formeln läßt verschiedene Deutungen zu.
21*'
372 Untersuchungen von Liouville.
1) Man weiß, daß q{s') die Anzahl der Zergliederungen von 2s',
ebenso q{s'') die Anzahl der Zergliederungen von 2s" in zwei Quadrate
positiver ungerader Zahlen bezeichnet. Daher ist (s. vor. Kap. Nr. 17)
2u — s'-{-s"
die Anzahl aller Zergliederungen der Zahl
4w = 25^+25"
in eine Summe von vier Quadraten positiver ungerader Zahlen. Die
gedachte Formel lehrt daher aufs neue den Jacobischen
Satz.
2) Andererseits ist (s. vor. Kap. Nr. 2) 2q(s') die Anzahl der Zer-
fällungen von s\ 2q(s") die Anzahl der Zerfällungen von s" in ein
gerades und ein ungerades Quadrat:
und demnach
2m = «'-}-«"
die Anzahl der Auflösungen der Gleichung
2^i = ^2_^2/H4<s2+4^2
mit ungeraden x, y, ein Zusatz, der offenbar als selbstverständlich
unterdrückt werden kann. So geht aus (17^) die Gleichung hervor:
(18) N{2u = ic2 ^ «/' + 4^2 + U^) = 4 . gi(w).
3) Endlich bezeichnet 4()(s') die Anzahl der Zergliederungen von
s\ Aq(s") die Anzahl der Zergliederungen von s" in die Summe zweier
Quadrate:
s' = x^+y', s"^0'+f,
wobei in jeder derselben eins der Quadrate gerade, das andere un-
gerade sein muß. Demnach ist »
16.V(.(S')P(«")
2u = t'-{-s"
die Anzahl der Auflösungen der Gleichung
2u = x^+y^-\-s^+t^,
bei welchen x -\- y^l also auch z -\- t^l (mod. 2) ist. Man findet
also die Beziehung:
(19) N(2u = x^-\-y^-\-^^+ f) = 16 . ti(u),
a: + i/ = l (mod. 2)
Sie bestätigt sich leicht aus den Sätzen in Nr. 18 des vorigen
Kapitels. Da nämlich aus der Darstellung
Folgerungen über Zerfällungen in quadratische Formen. 373
falls m '{hr x + y = 0 also auch z -\-t^0 (mod. 2) ist, sich die Dar-
stellung
ergibt, indem
gesetzt wird, und umgekehrt, so besteht die Gleichheit
N(2u = x'-\- y'+ z'-ht') = N{it = X»4- 7^+ Z2 + r^ = 8 • t,{u).
a; + y = 0 (mod. 2)
Da zudem die gesamte Anzahl
N{2u ==x'-hy'^2'-\- f) = 24 . Si iii)
ist, folgt offenbar durch Subtraktion der beiden letzten Gleichungen
die Gleichung (19).
4. Setzt man in (16 c)
i}{x) = x\
so findet man zunächst
Hier ist die Summe zur Linken über alle Zerfällungen
in zwei ungerade Summanden zu erstrecken, und für jede derselben
durchläuft d^ alle Teiler von s\ d" alle Teiler von s". Andererseits
ist t jeder Teiler von u. Daher nimmt die Gleichung die einfachere
Form an:
(20) 2!^,{s')-i,{s")^2^'->-t,iu),
2^u = »'-\-s"
wenn wir nach Liouvilles Vorgange mit 5m (^0 ^® Summe der m^^^
Potenzen aller Teiler von ii bezeichnen. Da nun 5i(s') die Anzahl der
Zergliederungen von 4«', und ebenso 5i(s") die Anzahl der Zer-
gliederungen von 4s" in vier Quadrate positiver ungerader Zahlen
ergibt, so ist offenbar die linke Seite der Formel die Anzahl der
Darstellungen der Zahl 4 • 2^u als eine Summe von acht solchen
Quadraten. Man erhält so die Gleichung
(20a) N(2^+^ . w = rr^ + a;H- a;| + ^H ^5 + 4 + ^? + ^1) = 23^-3 . i^{u).
X. pos., ungerade
Wie sich also der JacoJische Satz in der analytischen Formel:
(x + x^-\-x^^+-- O'^^fiC«) -^^
u po8., nnger.
374 Untersuchungen von Liouvüle.
zum Ausdrucke bringen ließ, so erschließt man aus vorstehender
Gleichung die ähnliche Formel:
wo rechts h alle positiven, u alle ungeraden positiven Zahlen zu
durchlaufen hat.
Insbesondere gibt die Formel (20) für den Fall h = l d. h. wenn
s = 2ti ist, die Beziehung
(21) ^t^{s•)■Us")-iM
2u = s'-{-s"
und ihr zufolge ist die Anzahl der Zergliederungen der Zahl
Su in eine Summe von acht Quadraten positiver ungerader
Zahlen gleich der Summe der Kuben aller Teiler von ti.
Setzt man in (16 c)
tlj(x)=^x\
so erhält man, falls s = 2u ist,
Abgesehen von den , Zerfällungen 2u = d' d' -j- d^ d\ für welche in
den entsprechenden Gliedern der zweiten Summe die Zeichen d\ d"
offenbar miteinander vertauschbar sind, gehört zu jeder Zerfällung
2u = d'd' + d"S'^
eine davon verschiedene
2u = d"d'' -\-d'd'.
Demnach dürfen die Zeichen d', d" in der zweiten Summe durchweg
vertauscht werden, d. h. sie ist der ersten gleich, und die vorige
Gleichung nimmt die Gestalt an:
^a''d"^^t\
woraus dann, ähnlich der Gleichung (21), die Beziehung
(22) 2!^ds'n,is") = Uu)
2u = a' -\-s"
hervorgeht. Nun ist
16m = 8s' + 2.4s".
Nach der zuvor festgestellten Bedeutung der Funktionswerte ^3(5')»
g,(s") für ungerade Argumente liest man also aus der gefundenen
Beziehung nachstehenden Satz ab: Die Anzahl der Zergliederungen
der Zahl 16u in eine Summe 8s' von acht Quadraten positiver
ungerader Zahlen, wo s' ungerade, und in das Doppelte einer
Summe von vier Quadraten solcher Zahlen ist gleich der
Summe der fünften Potenzen aller Teiler von ti.
Zerfallung einer Primzahl 8 t 4- 3. 375
In dieser Richtung kann man weitergehen und findet, wenn in (16c)
gesetzt wird, als Verallgemeinerung der Formeln (21), (22) die folgende:
2-''-^-^2.+iC^i)
5. Aus der Formel (21) hat LiouviUe noch einen andersartigen
Satz hergeleitet, indem er sich zu diesem Zwecke auf einen auch an
sich beachtenswerten Hilfssatz über die Funktion t^ (s) stützte.
Es sei, in Primfaktoren zerlegt,
(24) s = 2^p'q^ ■ ■-.
Dann ist bekanntlich
= (l4-2 + 2*H-... + 2*).(l+i)+i>---+r)(l + 2+-- + 3*)---
Der erste Faktor dieses Produktes ist immer ungerade; die folgenden
sind gerade oder ungerade, je nachdem resp. a, h, . . . ungerade oder
gerade sind. Daher ist l^{s) immer ungerade, wenn s eine Quadratzahl
oder das Doppelte einer solchen ist; dagegen gerade in jedem andern
Falle. Untersuchen wir nun, wann t^{s)^2 (mod. 4) ist. Damit es
gerade, muß einer der Exponenten a, h, . . . ungerade sein; damit es
nicht durch 4 aufgehe, auch nur einer derselben. Sei dies etwa
der Exponent a, so ist
1 +i> +i)-4- • • • +i)^= (1 +p) (l+l>' + i?*4- • • • +1?— 0
^(l+i>)-^(niod.4);
damit zugleich mit diesem Faktor ^^(s) nicht durch 4 aufgehe, muß
p ^^ 1, a = 1 (mod, 4) sein, und alsdann wird er und sonach auch
Ji(s) tatsächlich = 2 (mod. 4). Man gelangt so zu dem Satze:
Damit fi(s) = 2 (mod. 4), ist notwendig und hinreichend,
daß s von einer der Formen:
s=^j4«+i.y2 oder s =p*''-^^ '2y^
sei, worin p eine Primzahl von der Form 4A' -|- 1.
Mit Hilfe dieses Satzes schließt man nun aus (21) den folgenden:
Das Doppelte einer Primzahl a von der Form 8?" + 3 ist
auf mindestens eine und stets auf eine ungerade Anzahl
Arten in der Form
2ö = Ä'2 + 1)^^+1. 2/^
(25)
376 Untersuchungen von Liouvüle.
darstellbar, worin p eine Primzahl von der Form 8/^ + 5 ist.
Man schreibe, um dies zu beweisen, die Gleichung (21) mit Rück-
sicht auf die Bedingung 2i* = s' -f s" in der Gestalt:
5.(1).5i(2m - 1) + J,(3) . e.(2» - 3) +. ..+ ?,(2« - 1). 5, (!) = ?,(«)
oder, die gleichen Glieder zusammenfassend, in der folgenden:
=?,(l).^2^*-l)-f'?l(3).?^(2^i-3) + ...4-&(^*--l).el(^* + l).
Wenn nun die Gleichung
2u = x^ -\- y"^
unmöglich ist, so können in der Zerfällung
2w = s' 4- s" ==s' -\- {2u — s')
nicht beide ungerade gedachten Summanden Quadrate sein, und daher
wird in jedem Gliede
(26) gi(s')-5i(2M-s')
des Ausdrucks (25) mindestens ein Faktor, also jedes Glied selbst
gerade sein. Ist ferner die linke Seite von (25) eine zwar gerade
aber nicht durch 4 teilbare Zahl, so muß eine ungerade Anzahl der
Glieder (26) kongruent 2 (mod. 4), also einer der Faktoren Si(s')>
ii(2u — s') ungerade, der andere kongruent 2 (mod. 4) sein; nach
dem voraufgeschickten Hilfssatze muß also, unter p eine Primzahl
von der Form 4Ä + 1 verstanden, etwa
sein. Es wird dann also eine ungerade Anzahl von Malen
Nun sind die gemachten zwei Voraussetzungen erfüllt, wenn
le = ö = 8^^-3 gewählt wird. Denn für eine solche Primzahl wird
= 2.(8i + 3)(16i2 + 10i + l)^2 (mod. 4)
und die Gleichung
2ö==a;^+2/^
ist unmöglich. Also findet sich die Gleichung
2ö = ir2 4-y«+i.i/2
eine ungerade Anzahl von Malen erfüllt. Da hieraus aber die Kongruenz
6 = 1 + (4Ä -f 1) = 4Ä; + 2 (mod. 8)
Der allgemeine Fall der Grundformel. 377
d. h. Ic als ungerade hervorgeht, hat die Primzahl p die Form 8^ + 5,
wie behauptet.
Wir haben diesen Satz, dem wir bald einen zweiten analogen
werden folgen lassen, hier mitgeteilt, nicht allein der eigentümlichen
Beweismethode wegen, sondern um eine ganze Kategorie zahlreicher
Sätze gleicher Art zu kennzeichnen, welche LiouviUe in den Bänden
(2) 4 ff. des Journal des Math, ohne weitere Beweise aufgestellt hat.
6. Kehren wir zu dem allgemeinen Falle der Nr. 2 und zu der
ihm entsprechenden Formel (14) zurück.
Die in letzterer auftretende zweite Summe bezieht sich auf die-
jenigen Zerfällungen
in denen d' > d'' und ,, _ ,„ eine ganze Zahl ist. Setzt man diese
gleich Je und d' — d^' = d, so findet man
d'' = Icd, d' = (k-^ l)d,
also muß d ein Teiler von s, und wenn demgemäß
(27) s = dd
gesetzt wird,
(28) d = k(d'+d") + d'
sein. Hiernach ist d > 2 und, da ö' positiv zu denken ist, d' -f ^" < ^•
Das allgemeine Glied der Summe geht über in f(dy d' + d") und,
um die ganze Summe zu erhalten, ist jede Zerfällung (27) zu be-
rücksichtigen, in welcher d > 2 ist, und ihr entsprechend für d' -f ö"
jeder der Werte 2, 3, . . ., d — 1, durch welchen geteilt d einen po-
sitiven Rest d' gibt, d. h. welcher in d nicht aufgeht. Die Formel
(14) geht auf solche Weise in die andere:
+ 2-T{f(d,2) + f{d, 3)-f ...-f A^, d-1))
über, wo der Akzent beim Summenzeichen jetzt andeuten soll, daß
diejenigen Glieder f(d, i) in der Klammer gleich Null zu setzen sind,
bei denen i ein Teiler von d ist.
Die Bedingungen (1), denen die Funktionswerte f(Xf y) unterworfen
waren, sind u. a. erfüUt, wenn man, unter q)(x) eine gerade Funktion
von X verstehend, so daß (p(^— x) = (p{x) ist,
wählt. Alsdann nimmt die allgemeine Formel (29) die besondere
Gestalt an:
(29)
378
Untersuchnngen von Liouville.
(30)
^{^{d'-d")-<p(ä'+s"))
s=:d'd'-{-d"ö"
=2'(«-l)-(9'(0)-9'W)
s=^dö
f
+ 2.^{<p(d) + g>{d) + -.- + cp{d))
-2.M9>(2) + ,)p(3) + ... + <)p(*-l));
in der ersten der akzentuierten Summen steht die Funktion (p{d) so
oft, als in der Reihe 2, 3, ... d — 1 oder, was dasselbe sagt, in der
Reihe 1, 2, 3, ... d — 1, d Zahlen vorhanden sind, welche keine
Teiler von d sind; zählt man (p (d) also d mal, so hat man so oft zu-
viel gezählt, als in jener Reihe Teiler von ö sind, d. h. in Liouvillescher
Bezeichnungsweise J(d) mal, und daher kann jene Summe ersetzt werden
durch
2.-^{d-Uä))-9id)
und zwar ohne die Beschränkung d > 2, da für d = 1, 2 sich
d — g(d) == 0 ergibt. Da ferner in der ersten Summe zur Rechten
von (30) d jeden Teiler von s bedeutet, kann darin d durch d ersetzt
werden, welches die gleiche Bedeutung hat, und so verwandelt sich
die Gleichung (30) in die folgende:
y;{9{d'-d")-<p{ö'-^-d"))
a = d'f+d"6"
(SU { = (^' (*) - S ^')) • "P W +^(2* - 2?(«) -d+l)-g>{d)
^ ^ I s = dd
!
2.^(<p(2) + .p(3) + ...+ 9,(d-l)).
Beachtet man, daß, wenn die lateinischen mit den griechischen
Buchstaben vertauscht werden, sich nur die beiden Zerfällungen
s==c?'d' + ^"d", s = d'd' + ö''d"
miteinander vertauschen, oder, falls d' = d'y d" = d" wäre, die Zer-
fällung unverändert bleibt, so sieht man, daß offenbar
y^(p{d' + d") durch ^(p(d' + d")
ersetzt, die linke Seite der Formel also auch in der Form
(31a)
^{g,(d'-d-)-g>{d'-^d"))
geschrieben werden darf.
Zerfällung einer Primzahl 16Ä--f 7. 379
7. Aus dieser neuen LionviJleschen Formel folgern wir sogleich
wieder einige interessante zahlentheoretische Sätze.
Wählen wir darin q)(x) = x^, so geht die linke, in der zuletzt an-
gegebenen Weise geschriebene Seite über in
4.^d'd"^-4 ^Us')-t,(s"),
« = «'-}-«"
und die rechte Seite in
r
^(2d-2t{d)-d+l)d' - 2. V(22+ 32-f • . • + (^ - ly).
In der akzentuierten Summe sind diejenigen Quadrate t^ weg-
zulasseQ, in denen t ein Teiler von d ist. Man kann die Summe also
schreiben, wie folgt:
wo die Summation über alle Teiler d > 2 der Zahl s zu erstrecken
ist, doch auch d = 1, 2 umfassen darf, da alsdann das Glied unter dem
Summenzeichen verschwindet. Mit Rücksicht hierauf formt sich die
rechte Seite der Gleichung leicht um in den Ausdruck:
^3(^) + -3— • t^ {s)-2. ^mw - ^,{d)i
■dd
Nun ist
s = d6 t=^dt-t s = tt'
mithin verschwindet das Summenglied des Ausdrucks und folglich
geht endlich nachstehende Gleichung hervor:
(32) ^t^is')Us") = ,^ ■ Us) - ^ ■ iiis),
wie sie von Lebesgue (J. des Math. (2) 7 (1862), S. 256) gegeben
worden ist.
Für den besonderen Fall einer Primzahl s gab sie schon Liouville
im vierten seiner Artikel (ebendas. (2) 3, S. 241). Alsdann lautet sie
(32a) 2'?,(,.)j,(,-) = (£!^ll|i^,
oder, ausführlicher geschrieben:
(32b)f,(l).J.(s- 1) + e,(3).5.(s - 3) + ...K.(^)-?.(^) = ^^^=4r^'
und aus dieser Formel erschließt sich nun wieder ein ähnlicher Satz,
380 Untersuchungen von LiouviUe.
wie der in Nr. 5 aus der Formel (21) gezogene. Wenn nämlich die
Primzahl s von der Form 16Ä; + 7 ist, so ist jede der Gleichungen
s => x^ -i- y^, s = x^ + 2 y^
unmöglich; demnach können in der Zerfällung 5 = s' + s" die Sum-
manden, deren einer notwendig gerade, der andere ungerade ist, weder
zugleich Quadrate, noch einer ein Quadrat, der andere das Doppelte
eines solchen sein. Auf alle Fälle ist also nach dem in Nr. 5 ge-
gebenen Hilfssatze das Produkt ^^(s') • Ji(s") eine gerade Zahl. Nun
überzeugt man sich aber leicht, daß für eine Primzahl s von der
bezeichneten Form die rechte Seite der letzten Gleichung kongruent 2
(mod. 4) ist, daher können die Glieder der linken Seite, ob sie schon
gerade sind, doch nicht sämtlich durch 4 teilbar sein, vielmehr hat
eine ungerade Anzahl derselben den Rest 2 (mod. 4), und demnach
ist in jedem Gliede
dieser Art einer der Faktoren ungerade, der andere = 2 (mod. 4),
also eine der Zahlen s\ s" ein Quadrat oder das Doppelte eines solchen,
und die andere von einer der Formen
^4«+i.2/2 oder i)*«+i-22/^
mithin entweder etwa
s' = x^f s" = p^"-^^'2y^, wo X ungerade,
oder
s' = x^, s" =_p^"+^-^^, wo X gerade, y ungerade,
Q ^ g j, oder umgekehrt,
s'^==2x^, s" = p^^'^^-y^f wo y ungerade.
Von den entsprechenden Gleichungen
s= a;2-fp^«+i.2^2
s== x^ +p^''-^^'y^
s = 2x^ -\-p^"+^-y^
ist aber, wie man aus den Resten der Quadrate (mod. 16) unschwer
erkennt, da zudem dem Hilfssatze gemäß p ee 1 (mod. 4) zu denken
ist, nur die letzte mit der angenommenen Linearform 16 ^ + 7 der
Zahl s verträglich, und zwar muß dann genauer p = b (mod. 8) sein.
Man erhält demnach den folgenden Satz, den LiouviUe Bouniakowsky
zuschreibt: Jede Primzahl ö von der Form 16^; + 7 läßt sich
stets und zwar auf eine ungerade Anzahl von Arten in der
Form
darstellen, in welcher p eine Primzahl von der Form 8/^-f 5.
Spezialisieningen der Grundformel.
381
8. Zur Formel (29) zurückkehrend^ setzen wir in derselben
f{^y y) = ^{^y y) - fp(y, ^)
und nehmen die Funktion (p{x, y), um den Bedingungen (1) zu ge-
nügen, als eine bezüglich beider Argumente gerade Funktion an, so daß
(33) (p{- X, y) = (p{x, y) = (p{Xy - y)
ist. So erhalten wir die Gleichung
^[<p{d' - d", d' + d") - q,{d' + d", d' - d")]
s^d'6'-^d"6"
=2(d-i)(,p(o, d)-^(<y, 0))
(34)
= dS
+ 2 ■^{q>{d, 2) + cp{d, 3) + • • + cpid, d - 1))
- 2 •^(9P(2, d) + q,{S, d)+--+cp{d-l, d)y
Wegen der ersichtlich erlaubten Yertauschung der lateinischen mit
den griechischen Buchstaben darf die linke Seite auch geschrieben
werden wie folgt:
(35) ^[cp{d' - d'\ d' 4- ^'0 - g>(d' + d'\ d' - d")l
s = d'6'-{- d"S"
Nun nehmen wir an, die Zahl s sei ungerade, so daß in der
Zerfällung
(36) s = s' + s"=d'd'+d"d''
einer der Summanden s', s" gerade, der andere ungerade ist. Dann
sind die beiden Zerfällungen
s^^d'd'+cV'd", s = d"d"-\-d'd\
welche durch Yertauschung von d', d' mit d", d" resp. entstehen,
stets zwei verschiedene Zerfällungen. Faßt man daher in der Summe
(35) immer die beiden ihnen entsprechenden Summanden
(p{d' - d", d' + S") - (p{d' + d'\ d' - d")
(p{d" - d\ d" + d') - (p{d^^ + d\ d" - d'),
welche nach den vorausgesetzten Gleichungen (33) einander gleich
sind, zusammen, so darf (35) einfacher geschrieben werden gleich
(37) 2 ■'^i<p{d' - d", ä' + ä") - ,f{d' + d", ä' - ä")l
s = d'ö'-^d"6", d'ö' ungerade
wobei man sich auf diejenigen Zerfällungen (36) zu beschränken hat,
in welchen s' = d'd' ungerade und demgemäß s^' = d"d" gerade ist.
Man setze dementsprechend
(39)
382 Untersuchungen von Liouville.
wo 5i, ^2 ungerade, und betraclite alle Zerfällungen
(36') s = 5i + 2^* • §2 = d^d^ + 2^ . d^d^.
Die Zerfällungen 8^= d^d^ stimmen insgesamt mit denen von s' = d'd'
überein, so daß (^^ = d', dj = d' gesetzt werden kann; die Zerfällungen
5"= d"d", in welchen ö" ungerade ist, sind insgesamt mit denjenigen
von s"=2*'S2 identisch, bei welchen d" ein Teiler von s^ ist, d. h.
man darf ^"=^2 ^^^ dann c?"=2*^2 denken. Beschränkt man
sich also auf diejenigen Zerfällungen (36), bei welchen
d'd' ungerade und zugleich d' + d" gerade
ist, womit zugleich d' und d" ungerade werden, so darf man setzen
d^ = d\ ö^ = d', d" == 2'(?2, d" = ö,.
Auf diese Zerfällungen aber darf man sich im Ausdrucke
(37) beschränken, wenn man jetzt die Funktion q)(Xf y), was
mit den Bedingungen (33) verträglich ist, als eine solche
voraussetzt, die für jeden ungeraden Wert von y verschwindet.
Alsdann geht demnach der Ausdruck (37) über in diesen:
(38) 2 '^[(p{d, - 2^d,, Ö, 4- dg) -(p(d, + 2^d,, d, - dj].
Während so den gemachten Voraussetzungen entsprechend die
linke Seite der Formel (34) bestimmt ist, geht zur Rechten derselben
die erste Summe, da d ungerade ist, in
-^{S - 1) ■ cpiS, 0) = -^(d - 1) • <p{d, 0)
über. In der ersten der akzentuierten Summen fallen diejenigen
Funktionswerte (p{d, i) aus, deren zweites Argument ungerade ist;
da andererseits ein gerades i niemals Teiler der ungeraden Zahl d sein
kann, fällt für sie die durch den Akzent angedeutete Beschränkung
fort, und die ganze Summe wird einfach
2 '^[(p{d, 2) + (p{d, 4) + • -f (p(d, d - 1)].
Endlich verschwindet die ganze zweite der akzentuierten Summen, da
d ungerade ist, und man erhält schließlich die neue LiouvillesGhe
Formel:
2 '^[(p{d, - 2%, d, + dg) -(p(d,-i- 2>d„ d, - dg)]
=^[cp{d, 0) + 2cp{d,2) + 2(p{d,^) + • . -f 2(p{d,ä - 1) - d(pid, 0)].
s = dö
Ein Folgesatz über Zei-fällung in quadratische Formen. 383
Da durch sie nur zwischen Funktionswerten, in denen das zweite
Argument gerade ist, eine Beziehung festgestellt wird, muß das
Verhalten der Funktion cp bei ungeradem zweiten Argumente dafür
unerheblich sein; sie gilt demnach, sobald nur die Funktion 9? für
die in Frage kommenden Argumente die Bedingungen (33) erfüllt.
9. Wir heben zwei besondere Fälle dieser Gleichung hervor.
Wird
als unabhängig von y vorausgesetzt, so kommt rechts unter dem
Summenzeichen die Funktion f{d)
1 + 2' ^ -d = d-d
mal vor, also nimmt die Gleichung (39) die Gestalt an:
(39a) 2 -^[/-(ri, - 2%) - f{d, + 2<d,)] =^(d - d) ■ fid).
Setzt man dagegen
9(^; y)-f{y) = f{-y)
also von x unabhängig voraus, so erhält man
= m ■ tM-'2^n9) + 2^(2) + 2 A4) +-- + 2f{s- 1)].
s = d8
Wählt man hier insbesondere, indem man bemerkt, daß nur gerad-
zahlige Werte des Arguments y auftreten,
^(2/) = (-l)S
so wird das allgemeine Glied der Summe zur Linken, da
(-1) 2 =(-1) 2 ^ 2 _(_!) 2 ,(_l>^ 2
a^+Ja dl — 1 da— 1
-(-1) ^ =(-1) ^ -(-1)^
dl — 1 da — 1
ist, gleich 2 • (— 1) ^ • (— 1) ^ , die linke Seite selbst also gleich
4.^(- 1)^. (- 1)-^= 4.^^(50^(53).
« = «1 + 2' «2
Das allgemeine Glied der Summe zur Rechten wird
d-i d-i
l + 2.(-l)i+2(-l)2-f...+ 2.(-l) 2 =(-1) 2 ,
(39 b)
384 Untersuchungen von Liouvüle.
die Summe also gleich ^_^
und daher nimmt die Gleichung (39b) die Gestalt an:
(40) ^•2Q{s,)-Q{s,) = t,(s)-Q{s).
Da nun s, 5^ und Sg ungerade vorausgesetzt sind und
ist, so bedeutet die Summe zur Linken offenbar die Anzahl der Dar-
stellungen von 2 s in der Form
(41) 25 = a;^ + 2/' + 2'(^2 ^ ^2)
bei allen möglichen positiven Exponenten i und positiven ungeraden
X, y, 0, t, oder auch die Anzahl der Darstellungen von s in der Form
(42) s = ^2^4i/2+2*(^2_^4f2)
bei allen möglichen positiven Exponenten i und ganzen Zahlen x, y, ^,
tj von denen x^ 0 positiv und ungerade sind. Die Gleichung (40) spricht
sich daher aus in dem Satze:
Die vierfache Anzahl der Darstellungen des Doppelten einer
ungeraden Zahl s in der Form (41) oder die vierfache Anzahl
der Darstellungen dieser Zahl selbst in der Form (42) bei
der bezeichneten Beschaffenheit der Zahlen i, x, y, z, t ist
gleich dem Überschüsse der Anzahl der Zergliederungen
von 45 in vier, über die Anzahl der Zergliederungen von
25 in zwei Quadrate positiver ungerader Zahlen.
Wird dagegen in (39b) f{y) = y^, in (39a) f(x) == x^ gewählt, so
entstehen die nachfolgenden zwei besonderen Formeln:
d. i., weil ^_^ ^i^
12+2^4. i/^^-^V 2 • 2 • ö^-S
i + ^ + •+(^ 2 j 1-2. 3 24
ist, einfacher
(43) ^t,{sO ■ Us,) = ^(5,(s) - Si(s)) ;
und
8 • y^d, ■ 2'd, = y^(d - d) d' -^d' - s ■ ^d
oder einfacher
(44) ^2% {s,%is,) = |(t3(s) - s ■ Us))
dS
Eine zweite Liouvülesche Grundformel für den Fall 8 = 2u. 385
Auch diese Formeln führen zu ähnlichen Sätzen, wie die Formel
(40), doch fällt ihre Aussage bedeutend umständlicher aus.
10. Die Llouvillesche Formel, die wir nun ableiten wollen, setzt
wieder 5 als das Doppelte einer ungeraden Zahl
voraus und bezieht sich auf ihre Zerfällungen
2u = s' + s"
in zwei ungerade Summanden, die auf alle Weise in je zwei positive
Faktoren zu zerlegen sind, d. i. auf alle Zerfällungen
(45) 2u = d'd'-\- d'^ö"
in positiven ungeraden Zahlen d', d', d^\ d". Sei F{a), y) eine für
alle vorkommenden Werte von a;, y gegebene Funktion mit den Eigen-
schaften, daß
(46) F{x, -y)== F{x, y), F{- x, y) = - F{x, y), FiO, «/) = 0
sei. Wir versuchen, die Summe
(47) S =^{- 1)"^- [Fid' H- d", d' - d") + Fid^ - d\ d' 4- 6")]
2u=d'ö'-\-d"ö"
ZU ermitteln. Da eine Vertauschung der lateinischen mit den
griechischen Buchstaben nur zwei Zerfällungen miteinander vertauscht
oder keine Veränderung hervorbringt, läßt sich die Summe S zunächst
folgendermaßen schreiben:
1') S =^[(- 1) ' • F{d' + d", d' - d") + (- 1) 2 • F{d' - d", d^ + ^")J.
Wir unterscheiden nun die Zerfällungen wieder in zwei Klassen.
In der ersten sind d', 6" gleich, ihr gemeinsamer Wert 6 also ein
Teiler von u, so daß u == dd gesetzt werden kann und dann
(48) 2d^d^ + d'^
wird. Der diesen Zerfällungen entsprechende Bestandteil der Summe
S, den wir kurz Sq nennen, wird wegen (46)
S,=^{-ir^-Fi2d,0)
d. h., da d" wegen (48) die ungeraden Zahlen 1, 3, . . ., 2d — 1 zu
durchlaufen hat, und somit
j/' •.
^(- 1)"^= 1-1 + 1-1 + .. . + (_ l)ä-i _ 1
ist,
(49) S,=^F(2d,0).
u = d6
Bachmann, niedere Zahlen theorie. 11. 25
386 üntersucliungen von Liouville.
In der zweiten Klasse der Zerfällungen sind die folgenden beiden
2u = d'd' ■^d"d", 2u = d"d" + d'd'
stets voneinander verschieden, da d', d" es sind, und wir dürfen
voraussetzen, daß etwa ^' > d" sei. In der Summe S geben sie
zusammengenommen den Ausdruck
d"—l ö" — l
(-1) 2 .F(d' + d'\ d^ -d")-^{-l) 2 .F(d' -d", d' -\-d")
d'—l d' — l
+ (- 1) ' • F{d" + d\ d" - d') + (- 1)"^- F(d" - d', d" + d'),
der nach den Voraussetzungen (46) gleich
d' — l d"— 1>
((- 1) 2 4- (_ 1) 2 ^ . F(^^f _^ ^n^ ^f _ ^n^^
+ (^(- 1) 2 - (- 1) 2 j . F{d' - d", d' + c^'O
(50)
ist. Nennen wir also S^ den der zweiten Klasse entsprechenden Be-
standteil der Summe Sy so erhalten wir
+ ((- 1)^ - (- 1)"^) • F{S' - 8", d< + ä")\,
worin nun nur noch über alle diejenigen Zerfällungen (45) zu
summieren ist, bei welchen d' > d" ist. Je zwei dieser letzteren
lassen sich aber wieder zusammenordnen. Schreibt man nämlich die
Zerfällung (45) wie folgt:
(45a) 2tf = (d' + (^") d" + (d' - d")o5'
und setzt
j d^ = d" - 0(d' - d"), dl = «(' + (0 +1) {d^ + ^")
so findet sich
(52) di-d2=c^' + ^", c?i4-(^2 = ^'-^"
und die neue Zerfällung von 2u'.
2u = (d, - d,) (c^, + 0 (d' - d")) + (d' - d") (d, - 0 ((?' + ^"))
= (d, - dg) (?i + (t^i + C?2) dg = C^^di + (^2^2
in ganzen ungeraden Zahlen, von denen d^ > dg ist, falls 6 als ganze
Zahl gedacht wird. Damit sie auch positiv werden, ist 0 nur auf
eine einzige Weise wählbar, nämlich als das größte in der offenbar
$"
gebrochenen Zahl .., _ ^„ enthaltene Ganze
(54) e = y^].
(66)
Eine zweite Liouvilleeche Grundfonnel für den Fall s = 2u. 387
Da aus der Substitution (51)
hervorgeht, ist zugleich auch
und man erkennt, wie in früheren Fällen, daß die beiden Zerfällungen
(45) und (53) eindeutig umkehrbar einander zugeordnet sind. Addieren
wir nun die je zwei solchen Zerfällungen zugehörigen Grlieder der
Summe S^:
I d'—l d"— 1\
V(- 1) ' + (- 1) ' }-F{d^^-cV\ d'- d'O
/ 6"—i 6'—l\
+ V(-1) ' -(-1)' )-F(d'-d", d'-j-d")
+ ((- 1)"^ + (- 1)"^) -Fid, + d,, d,- d,)
+ ((- 1)^ - (- 1)^) -Fiö, - (5,, d, + d,).
Wegen (45a) muß eine der Zahlen d^ + d"y d' — d", welche beide
gerade sind, durch 4, die andere nur durch 2 aufgehen. Ist erstens
d'-\-d''=0, d'-d''=2 (mod. 4), so ist wegen (52)
dfi + tüg = 2, d^-d., = 0 (mod. 4)
und der Ausdruck (56) geht mit Rücksicht auf dieselben Beziehungen in
2 ■ ((- 1)"^" + (- i)V) .p^a, + d„ s, - ä,)
über und verschwindet, wenn 0 ungerade ist, da nach (51)
d,= d"-{-2d (mod.- 4)
gefunden wird, verwandelt sich dagegen in
wenn 6 gerade ist.
Ist aber zweitens umgekehrt d' -{• d" ^ 2, d' — d"= 0, also auch
d^ + f?2= 0, ö,- d,= 2 (mod. 4),
so verwandelt sich (56) in
d'— 1
2-((-i) ' +(-1)'' yF{d'+d", d'-d")
d. i., da nach (51) ^ ,, ^^ , , ,
' ^ ^ d,2=d'-\-2d (mod. 4)
ist, je nachdem 0 ungerade oder gerade ist, in Null oder in
d'—l
4-(-l)~^-F{d'+d'', d'-d").
25*
388 üntersucliungen von LiouvilJe.
Ist also 0 ungerade, so zerstören sich die Beiträge, welche je zwei
zugeordnete Zerfällungen der zweiten Klasse zur Summe S^ liefern;
für gerades 0 dagegen ist — so können wir sagen — ihr gesamter
Beitrag gleich dem Ausdrucke
d' — l
4.(-l) 2 .F(d'-^d", ö'-d")
für diejenige der beiden Zerfällungen, in welcher d'-\-d"~-2,
d'~d"^0 (mod. 4), d h.
t\ t" ungerade, i> 0 ist. Dieser Zerfällung entspricht nach (45a)
die Zerfällung
u = t't'+2H"t"
von Uf worin t' = ö'\ t" = d\ also r', t" ungerade Zahlen sind, deren
letztere < 2t\ Demnach ergibt sich aus unserer Betrachtung, daß
die gesamte Summe S dem folgenden Ausdrucke gleichgesetzt werden
kann:
d' — 1
S =^F(2d, 0) + 4 '^(- 1) 2 . F(d^ + d", d' - d"),
wenn die zweite Summe auf alle Zerfällungen (45 a) erstreckt wird,
in denen
d'-hd"^2t', ö'-d"=2»+i.^",
g,_g„ gerade ist; oder
aucn
t"—i
(57) S =^^F{2d, 0) + 4 •^(- 1) 2 . F{2t\ 2'+H''),
wo die zweite Summe auf alle Zerfällungen
(58) u==t'T'-h2H"T"
sich bezieht, in denen t\ t" ungerade, t" <2t'y d = \ -ji^ gerade ist.
Man denke sich nun alle Zerfällungen
(59) u = t'e' + 2H"e"
von u in ungeraden t\ 6', V\ 0", welchen die Zahlen i, t', t" gemein-
sam sind. Unter ihnen ist eine einzige: 0'=t', 0"=t", bei welcher
t"<2^', und ihr entspricht ein Glied
t"—i
(-1) 2 ,F(2t', 2^+H")
der vorgedachten Summe in (57). Alle übrigen Lösungen der Gleichung
(59) in positiven ungeraden 0', 6" werden gegeben durch die Formeln
(60) d'^r'-X'2'+H", d"^t"+X'2t\
Eine zweite Liouvillesche Gmndformel für den Fall s = 2u. 389
wenn der unbestimmten ganzen Zahl X die Werte 0, 1, 2, . . . -jirr~, ^ ^
beigelegt werden. Bildet man daher die Summe
e"—i
(61) ^(-1) ' --^(^^^ 2'+H"),
u = t'd'-}-2> t"6"
SO werden diejenigen Glieder derselben, in welchen /, t', t" dieselben
Werte haben, eine Partialsumme bilden von der Form:
(- 1)^(1 + (- iy+ (- l)^''+---4- (- iy')-F(2t', 2^-^H"\
welche, je nachdem 0 ungerade oder gerade ist, sich auf Null oder
auf das entsprechende Glied (—1) ^ - F{2t\ 2'+^^'') der zweiten
Summe in (57) reduziert. Mit anderen Worten, die letztere Summe
und die Summe (61) haben gleichen Wert.
Schließlich findet sich also als Ergebnis unserer Be-
trachtunoren die Liouvillesche Formel:
d"—l
(62) ^ -'-''''+'"'" e:_^
=^F(2d, 0) + 4V(-l) 2 ,F(2^, 2^-^H"),
u=dö M = f'e4-2»r©"
wobei d\ d', d", d'^ sowohl, wie f, d\ f, 0" ungerade und ebenso wie i
positiv zu denken sind.
11. Wählt man z. B., was mit den Bedingungen (46) verträglich ist,
(46 a) F{x, y) = f{x) = - f{- x), ({0) = 0,
so nimmt die allgemeine Formel die besondere Gestalt an:
y'(- 1)^- lf{d' + d") + f{d' - d!')]
2 « = dT+ d"6"
Da jedoch in der letzten Summe die Summationen bez. ^, 0" von-
einander unabhängig sind, kann man deutlicher schreiben:
(62 a)
d"—l
_(-i) ä .[f(ir + (r) + fiel' -((')■]
u=d6 u = Ui-\-i*u^ uj = t'0'
wobei 2(i, 1*2 ungerade zu denken sind.
390 Untersucliungen von Liouville.
Für f(x) = X liefert diese Formel ohne weiteres die bemerkens-
werte Beziehung:
d. h. ausführlicher geschrieben:
(62b) ^U^')q(u") = i,(u) + 4 ■^UujQi»,)-
2u = u'-\-u" u=^Ui-{-2^Ui
Bedenkt man, daß die Summation links über alle Zerfällungen
2u = u'+u" oder 8u = 4u' + 2 '2u^'
bei ungeraden m', u'\ die Summation rechts über alle Zerfällungen
u = Ui-\- 2^u^ oder 4u = Au^-}- 2*+^ • 2 u^^
worin %, tfg ungerade und * > 0, zu erstrecken ist, so spricht sich
die letzte Formel in folgendem Satze aus:
Ist Ä die Anzahl der Darstellungen von Su in der Form
und ^ die Anzahl der Darstellungen von Au in der Form
4u = x^-^y^+0^+f-\- 2^+^(v^-\- w")
mit positivem i und beidemal mit positiven ungeraden
Zahlen x, y, Zy ty v, w, so ist der Unterschied
d. i. gleich der Summe der Teiler von u.
Durch eine völlig analoge Behandlung wie für die
Formel (62) weist man die andere nachfolgende Formel von
Liouville nach, in welcher für die Funktion F(Xj y) die
Bedingungen
(63) F{x, y) = F(- x, y) = F{x, -y)= F(y, x)
vorausgesetzt sind:
^ , . 2u = d'S' + d"S"
yp^)\ s-i ^^nl.^'zil
=^(-1) 2 .F(p,2d)-i-4-^{-l) 2 + 2 .F(2'+H",2f).
u=dS u=t'e'-\-2^t"e"
Man darf z. B. die Funktion F(x, y) so spezialisieren, daß sie für
alle in Frage kommenden Argumente konstant, etwa F(x, y) = 1 ist.
Für diesen äußerst einfachen Fall verwandelt sich dann die vor-
stehende Beziehung in die andere:
d'—i d"—i s—1 e'—i e"~-i
^(_l)-^+— -=2'(-l) ' +4.^(-l) ^ ^ ^
Besondere Fälle und Folgerungen. 391
d. h. ausführliclier geschrieben:
(64a) ^9(«')9(«") = 9(«) + 4 ■^Qiu,)Q{u,),
2u = u'-{-u'' u=^Ui-\-2> u^
eine Gleichung, welche abgesehen von der Bezeichnung mit der schon
gefundenen Gleichung (40) als identisch erkannt wird, wenn man
sich der Beziehung (17^) erinnert, nach welcher
2 M = u' -\- u '
ist.
12. Wir wenden uns nun zu zusammengesetzteren Formeln, deren
Beweis etwas größere Schwierigkeiten bietet. In der ersten derselben
handelt es sich um eine Funktion F{t, x, ?/, z) von vier Veränder-
lichen, von der wir nur voraussetzen, daß sie den beiden
Bedingungen genüge:
(65) Fi^t, - X, y, z) = F{t, x, y, z), F{- t,x,-y,-z)=- F(t, x, «/, z).
Ferner sei s irgendeine positive ganze Zahl, die wir auf
alle Weise nach den Formeln
(66) s = s'2-hs'' = s'2-f 2»(^"d",
in denen 5", ^", d" positiv, zudem cV , d" ungerade sein sollen, so
daß 2' die höchste in s" aufgehende Potenz von 2 bedeutet, während
s' positiv, Null oder negativ sein darf, zerfällt denken. Auf alle
diese Zerfällungen beziehen wir die Summe
(67) S, = y'(- iy"-'-F{2^d" + s\ d" - 2s', 2'd" + s' - d", d").
Dieselbe Zahl s werde aber zweitens auf alle Weise nach der
Formel
(68) s = sl-\-2d,d,,
in welcher (Zg; ^2 positiv, zudem d^ ungerade, s^ aber beliebig be-
schajBPen sein soll, in zwei Summanden zerfällt, und nun auf alle
diese letzteren Zerfällungen die Summe
(69) S, -^F{s,, 2d, + ^2, 2d, -s,- d„ 2s, - 2d, + d,)
bezogen. Wir suchen den Wert des Ausdrucks
(70) S = S, + S,.
Man bemerke zunächst, daß in jeder der beiden Summen S,, S^
das erste Argument der Funktion F die Summe der zwei letzten ist,
daß also nur solche Funktions werte F(y + z, x, y, z) auftreten, in
denen t == y -\- z ist.
In der Summe S, sind zudem die Werte von x, z stets ungerade
und z positiv. Setzen wir
392 Untersuchungen von Liouvüle.
ö" -2s' -^x
(71)
2^d" -\-s' -d" ==y
d" = 0,
SO ergibt sich daraus umgekehrt
2s'^z-x
(72)
d" = 0
2'2'd" = x4-2y + z
und aus der Zerfällung (66) geht eine ganzzahlige Auflösung der
Gleichung
(s) 4s = x^+4:y2 + ^0^
hervor, in welcher
(73) x, z ungerade, ^ > 0
(74) x + 2y + z>0
ist. Wenn umgekehrt Xj y, z eine solche Auflösung der Gleichung
(s) bedeuten, so folgt nach den Formeln (72) oder den ihnen gleich-
bedeutenden Formeln (71) eine Zerfällung {66\ welcher entsprechend
in der Summe B-^ ein Glied
(_iy'-i.ir(2^ + ^^ ^, y^ ^)
oder, da s" = 2'^d''d'\ also wegen des ungeraden 8"
s" = 2^d" = ^i^ (mod 2)
ist, das Glied
'(75) (-1) ^ •Fiy-Vz.x.y.z)
auftritt.
Nun steht einer Auflösung Xj y, z der Gleichung (s), welche die
Bedingungen (73) erfüllt, stets eine zweite — x, y, z zur Seite, für
die sie gleichfalls erfüllt sind. In einer von beiden ist also die erste
Variable positiv, und man darf annehmen, daß dies bei der Auflösung
Xf y, z der Fall, d. h. :r > 0 sei. Genügt dann die zweite Auflösung
nicht auch der mit (74) korrespondierenden Bedingung
-x + 2y\-z>0,
so gehört zu ihr kein Glied in der Summe S^, Ist dagegen
(76) -x + 2y + z>0,
so entspricht ihr ein solches, nämlich das Glied
(-1) 2 .F{y + z,-x,y,z)
d. h. mit Rücksicht auf die erste der Voraussetzungen (65)
das Glied _a.+2,+. ^
(77) (-1) 2 .F{y-Vz,x,y,z).
Eine dritte Liouvillesche Grundformel. 393
Aus (76) folgt aber um so mehr (74), demnach entspricht auch
der zugehörigen ersten Auflösung x, y, z ein Glied der Summe S^,
nämlich das Glied (75), welches dem eben gedachten gleich aber
entgegengesetzt ist, da
-3-+2y + < ar + 2y + c a; + 2y + « .
(-1) ^ =(-1) ^ .(-l)-=-(-l) »
ist. Da hiernach je zwei derartige Glieder sich heben, bleiben in der
Summe S^ nur solche Glieder bestehen, welche Auflösungen x, y^ z
der Gleichung {£) von der Art entsprechen, daß
x^ z positiv und ungerade
(78)
ist.
zugleich aber
2i/-^>0
Nachdem dies für die Summe 8^ festgestellt ist, behandeln wir in
gleicher Weise die Summe S^. Setzen wir wieder
I 2c?2+^2 = ^
(79) 2^^2-5,-^2 = 2/
I -2^2 -t- 2514-^2 = -^.
woraus umgekehrt
[ «1 = 2/ + ^
(80) 2^2 = 0^-2«/-^
(82)
4(?2 = ^ + 2i/-f^
hervorgeht, so erkennt man mit Rücksicht auf die Zerfällung (68)
leicht, daß x, y, z wieder eine ganzzahlige Auflösung der Gleichung
iß) bilden, in welcher
(81) ic > 0 und ungerade, s ungerade
und zugleich
X — 2y — z> 0
X -\- 2y -{- z>0
l x+2y + z = 0 (mod. 4)
ist. Umgekehrt findet sich aus einer derartigen Auflösung der Gleichung
(s) vermittelst der Formeln (80) eine Zerfällung von der Form {6S),
also stets auch ein entsprechendes, in S2 auftretendes Glied
(83) F(y 4- z, X, y, z) = (- l)""^""- F{y -f z, x, y, z).
Nun kann man wieder jeder Auflösung Xj yj z der Gleichung (s),
für welche die Bedingungen (81) erfüllt sind, eine zweite ihnen gleich-
falls genügende x, — y, — z 2ia die Seite stellen, und da in einer von
beiden die dritte Variable positiv sein muß, dürfen wir annehmen^
394 Untersuclmngen von Liouvüle.
daß dies etwa bei der Auflösung x^ y^ z der Fall d. h. ^ > 0 sei.
Wenn dann die zweite Auflösung die den Bedingungen (82) ent-
sprechenden:
[ X -\-2y-\- z>0
(84) • x--2y -z>0
. X — 2y — z ~0 (mod. 4),
deren letzte auch in der Form
(84a) ^ + 22/ + -2^ Ez 2 (mod. 4)
geschrieben werden kann, nicht erfüllt, so gehört ihr in der Summe S^
kein Glied zu. Entgegengesetztenfalls entspricht ihr das Glied
F{- y -12, X, -y, - z\
welches mit Rücksicht auf die zweite der Voraussetzungen
(65) gleich
(85) - F{y 4- B, X, y, z) = (- 1) ' • F{y + z, x, y, £)
gefunden wird. Man bemerke endlich, daß immer nur eins der beiden
Bedingungssysteme (82) und (84) erfüllt sein kann.
Sieht man jetzt bei der Summe 8^ zuvörderst von denjenigen etwa
vorhandenen Gliedern ab, welche Auflösungen der Gleichung (s) zu-
gehören, bei denen
(86) x-2y-z=^^
ist, so stimmen offenbar die Lösungen dieser Gleichung, welche den
Bedingungen (78) genügen, insgesamt mit denjenigen Lösungen über-
ein, welche den Forderungen (81) zusammen mit ^ > 0 und sei es
(82) oder (84) gehorchen. Da aber die jenen Auflösungen zugehörigen
Glieder (75) der Summe 8^ den den letzteren zugehörigen Gliedern (83)
resp. (85) der Summe S^ entgegengesetzt gleich sind, so heben sich
alle Glieder der letzteren Summe im Ausdrucke B gegen die Summe 8^
fort, und es bleiben darin nur diejenigen Glieder der Summe 8^ be-
stehen, für welche etwa die Gleichung (86) erfüllt ist.
Setzt man aber x=^2y -{- z, so nimmt die Gleichung (s) die
Gestalt an:
s = (2/ + if.
Derartige Auflösungen sind also nicht vorhanden, wenn die gegebene
Zahl s keine Quadratzahl ist. Man schließt daraus, daß in diesem
Falle /S' = 0 ist.
Ist dagegen 5 eine Quadratzahl, s = (?^, wo ö > 0, so ergibt sich
2/ -f ^ = (?,
da aus y -\- z = — 6 und x = 2y + z> 0 sich y>6>0 also das
positiv zu denkende z sich als negativ ergeben würde. Demnach
erhält man folgendes Wertsystem:
(87)
Eine dritte Liouvüleache Grundformel. 395
X = 2y -\- 3 = 26 — 2, y == 6 — 3,
während z, ohne daß x aufhört positiv zu sein, alle ungeraden Zahlen
1, 3, 5, . . ., 26 — 1 durchlaufen darf. Da zudem
gerade ist, geht das jedem dieser Wertsjsteme zugehörige Glied der
Summe S^ über in
F(6, 26-Z, 6-S, S\
und somit findet sich im gegenwärtigen Falle
S ^y^F(6, 26-0, 6-3, z).
z = \, S, 5, . . ., 2(T — 1
Schließlich gelangt man also zu folgendem X^o^^^?^Z?eschen
Satze:
Der Ausdruck
s = s"'-^rd"6" = a'^-\-»"
+^F(s„ 2d, + ^2, 2d, -s,- d,, 2s, - 2d, + d,)
« = *f + 2d,J,
ist Null oder gleich der Summe
^F(ys, 2y~s-i,ys-i, o,
t=l, 3, 5,..., 2y7-i
je nachdem s kein Quadrat oder eine Quadratzahl ist.
13. Von den zahlreichen bemerkenswerten besonderen Gestalten,
welche dies allgemeine Ergebnis annimmt, wenn die Funktion F näher
bestimmt wird, erwähnen wir hier nur zwei.
Sei zuerst
wobei die Funktion f(t) als eine gerade d. h.
f(- 0 = AO
gedacht werde. Offenbar sind bei diesen Annahmen die beiden Voraus-
setzungen (65) erfüllt. Ihnen entsprechend geht aber der Ausdruck
(87) in den folgenden über:
^(_ i)."-i . ^'' . f^2^^n ^ ,,^ -f^(2., - 2d, -f ö,)f{s,).
Hier darf^2si ' f(h) unterdrückt werden, denn die Zerfällungen (68),
bei denen s^ von Null verschieden ist, sind immer paarweise mit
gleichen aber entgegengesetzten Werten s^, — s, vorhanden, während
396 Untersuchungen von Liouville.
/(— 5i) = f(s^) ist; demnach reduziert sicli die gesamte Summe auf
Null. Ferner ist.
» = «1 + 2d2 f^a « = «1 -f- 2 «2» «2 = ^2 ^2
Setzt man nun S2 = 2^'U, wo «* ungerade, so bedeutet d^ jeden
Teiler von u, d^ aber jeden Teiler von s^, dessen komplementärer
Teiler ungerade ist d. h. das 2* fache jeden Teilers von u. Somit ist
und
^{2d, - ä,) = (2*+i - 1) • Uu) = Us,).
Mit Rücksicht auf diese Umstände sowie auf die bekannte Be-
ziehung
1 4- 3 4- 5 + • • • + (2/^ - 1) = /i^
nimmt der Satz (87) endlich folgenden besonderen Ausdruck an:
Ist f(t) eine gerade Funktion von ty so ist
(87a) ^(_ iy'-i.d"-/(2^c?" + s') -^f{s,)'i,i^s,)
gleich Null oder gleich s-f(Ys), je nachdem 5 kein Quadrat
oder eine Quadratzahl ist.
Wählt man zweitens
F{t, X, y, z) = fit),
unter f(f) eine ungerade Funktion verstehend, so daß
/•(-0 = -/'(0,/(o) = o
ist, so findet man wieder die Voraussetzungen (65) erfüllt. Der Aus-
druck (87) geht dann über in den folgenden:
in welchem zudem noch die zweite Summe verschwindet, da für
«1 = 0 auch /'(sj) = 0, für zwei Zerfällungen (68) mit entgegengesetzten
«1, — 5i aber f{s^ + f{— sj = 0 ist. Da in der dritten Summe in
(87) der Summande konstant, die Anzahl derselben gleich }/s ist, er-
hellt für diesen Fall der äußerst einfache Satz:
Ist fii) eine ungerade Funktion von ^, so ist
(87b) V(- Xy-^' f{2'd^' + s')
gleich Null oder gleich y'5-/'(ys ), je nachdem s kein Quadrat
oder eine Quadratzahl ist.
Besondere Fälle. Sätze über die Funktion g'j (s). 397
14. Sei z. B. f{x) = x. Dann liegt die Summe
vor; die sich einfacher auf die Summe
(88) ^(- ir-^-2'd" =2((- ir-^-^2<d")
reduziert, da jedem von Null verschiedenen Werte s' ein zweiter — s'
zur Seite steht. Vorstehende Summe ist also Null oder gleich s, je
nachdem 5 kein Quadrat oder eine Quadratzahl ist. Nun ist für eine
gerade Zahl 5'' = 2^w, wo u ungerade ist, die Summe
^2*d = 2*.?j(M)
== [(2*+i _ 1) _ (2* - l)]j,(,<) = 5^(s") - t,Q,
während für eine ungerade Zahl s" = u
ist. Hieraus folgt, wenn zunächst s gerade gedacht wird, wo
dann .
gerade oder ungerade ist, je nachdem s', das die Werte 0, ± 1,
+ 2, ... annehmen kann, bis s — s'^ aufhört positiv zu sein, gerade
oder ungerade ist, für die Summe (88) der Ausdruck
-?i(s) + 2-5,(s-l)-2-?,(s-4) + 2-e.(s-9)-2.ei(s-16)+--
und demnach die Gleichung
- ?i(s) + 2-i,is - 1) - 2.?i(s - 4) + 2-Us - 9) . • .
in welcher 0(5) die Null oder Eins bedeutet, je nachdem s kein
Quadrat oder eine Quadratzahl ist.
Wenn dagegen s ungerade ist, also
s" = s - s''
gerade oder ungerade wird, je nachdem 5' ungerade oder gerade ge-
wählt wird, so entsteht aus gleicher Erwägung die Formel
lUs) - 2.5.(s -1) + 2Ji(.-4) - 2.e.(s - 9) + . .
(89)
398
Untersuchungen von Liouville.
Die ungerade Zahl s ist gewiß keine Quadratzahl, wenn sie von
einer der Formen 8 h -\- 3, 5, 7 ist.
Im Falle s = 8Ä; + 5 ist
s —
für jedes ungerade s' eine ungerade
Zahl u d. h. s — s'^= 2^-Uf daher
also
S, (s - s'^) = (2» - 1) . S, («), ?i,(^^) = (2^ - 1) • g, («)
Demnach nimmt in diesem Falle die Gleichung (90), da ihre
rechte Seite verschwindet, die Gestalt an:
(90 a)
findet man
Ji (s) + 2 . ?i (s - 4) + 2 • t, (s - 16) + ■ • •
In den Fällen dagegen, wo s = SA; + 3 oder 81c + 1 ist,
- — für jedes ungerade s' ungerade d. h. 5 ~ s'^ = 2 • u,
wo li ungerade, mithin ist
?, {s - s'^) = (2^ - 1) . J, («) = 3 . g, (^-^)
oder
Für diese Fälle nimmt also die Gleichung (90), da wieder
ihre rechte Seite Null ist, die Gestalt an:
(90b)
=4(?.(^)+?.C-i-V-).
Diesen interessanten für die Funktion t,^{s) geltenden
Beziehungen kann man ähnliche auf die Funktion q{s) be-
zügliche an die Seite stellen. Setzen wir, um sie herzuleiten.
tn
in (87b) an Stelle von f(t) die Funktion sin—, so finden wir
(91)
V(-l)»"-'.si
^
sin
(2^d;"+s>
= G){s)'']/s ' sin
■Y>
Sei nun s eine ungerade Zahl. Da
sm
(2*d"-}-s')^
2*(?"ä s'n . ^'d"n . s' n
sm — -~- • cos -^ -f cos ^ • sm-
2 ^^~ 2 ■ 2 2
gesetzt werden kann, zerlegt sich die Summe in zwei andere, deren
zweite verschwindet, da s' die Werte 0, ±1, ±2, ... annehmen
Besondere Fälle. Ein Satz über die Funktion q (s). 399
darf und sin — - für gleiche doch entgegengesetzte Werte von s' eben-
falls gleiche aber entgegengesetzte Werte annimmt. Somit kommt
^(- 1)' 1 • sm -y- . cos — = cd(5) • ys • sin -|-,
wo die Summation nur noch über alle geraden s' erstreckt zu werden
braucht, da cos — für ungerade 5' verschwindet. Da aber alsdann
aus der Formel
sich s" als ungerade ergibt, so ist ^ = 0 zu setzen, und die vorige
Gleichung nimmt die Gestalt an:
Da die Summe, ausführlicher geschrieben, gleich
2'((- 1)^2'^- ^^^) ^2^- ^)^- ^ ^' - *")
gefunden wird, erhält man folgenden Satz:
Ist s eine ungerade Zahl, so ist
s' irl/~ö
V(- 1)^. q{s - s") = G)(s)-}/7- sin-|-
0 d e r *
(92) q{s) - 2 q(s - 4) + 2 • q{s - 16) = cd (5) •■)/§"• sin ^•
Diese Formel verstattet, Sätze über die Zerfällung einer
ungeraden Zahl 5 in drei Quadrate auszusprechen. Ist z.B.
s von der Form 8ä: + 5, so ist eine ZerfäUung
s = x^ -\- y^-i- ^^
nur möglich, wenn eine der Zahlen x, y, z ungerade, die beiden
anderen gerade sind, also etwa
mit ungeradem u. Nun bedeutet 2 • ^ (5 — 4 oF) die Anzahl der Zer-
fäUungen von s — 4a^ in die Summe aus einem ungeraden und einem
geraden Quadrate; somit bezeichnet
2(p(s) + p>-16)+-.-)
die Anzahl der Darstellungen
s = u2+4a2+4&^
400 Untersuchungen von Liouvüle.
in denen a > 0 und gerade ist, und
2(()(s-4) + ^(s-36) + ---)
die Anzahl jener Darstellungen, in denen a > 0 und ungerade ist. Da
nun bei der für s angenommenen Form die rechte Seite der Gleichung
(92) verschwindet, erhellt der folgende Satz:
Ist s ZI 5 (mod. 8), so ist der Überschuß der Anzahl der
Darstellungen von s in der Form
mit nicht negativem geraden a über die Anzahl derjenigen
Darstellungen mit positivem ungeraden a gleich q{s) d.i.
gleich dem Überschüsse der Anzahl der Teiler von s von der
Form 4Z;+1 über die Anzahl derjenigen von der Form
ATc 4- 3; d. h. es gilt nach Vahlens Bezeichnung die Gleichung:
(93) ^ N[s = u'+Aa'-\- W-, (- 1)«) = Q (s).
a^ 0
15. Zur Formel (87a) zurückkehrend setzen wir s als ungerade
voraus und wählen
/■(0 = <-sin*|.
So erhalten wir aus ihr die Beziehung:
^(_ ly- 1 . d" . (2.-d" + s') sin (^'-^±^- _2's. • sin ?^ . ?, (s,)
= CO (s) • s }/ s • sm -~~- •
Löst man in der ersten Summe den Sinus auf, so zerfällt sie in die
zwei Bestandteile
> (— 1)« - 1 • s" (^sm 2 • cos — -f cos — 2 - • sm — j
-f ^ (- 1)* -^' d"s' (^sm -y- . cos — + COS — ^ • sm — j •
Im ersten derselben darf man das zweite, im zweiten das erste Glied
in der Klammer unterdrücken, da die bezüglichen Summen wegen
der gleichen aber entgegengesetzten Werte, die s' annimmt, ver-
schwinden. Daher geht aus vorstehender Gleichung die folgende
hervor:
(94)
2'(-ir-'-s"-Bin^.cos?^
= (Di^s) • sy s ■ sm -~— •
Eine Beziehung zwischen den Funktionen q (s) und ^^ (s). 401
Hierbei braucht die erste Summation nur noch über alle geraden, die
zweite über alle ungeraden Werte von s' ausgedehnt zu werden, da
für die übrigen cos — resp. sin — verschwindet.
Beschränken wir uns nun wieder auf den Fall s = Sh + ö.
Dann folgt aus der Gleichung
falls s' gerade ist, s" ungerade, also / = 0; ist aber s' ungerade, so
wird s" = s — s'^ von der Form 8Z; + 4 also i = 2. Ferner ist der
Gleichung s = s| + 2^2<^2 zufolge s^ ungerade. Demnach geht dann
aus (94) diese andere Gleichung:
hervor, in welcher man den einzelnen Summen die ausführlichere
Gestalt:
2'[(- IF (s - n -^i- 1)^] -=2^- i)^is - s") ■ q(s - s'^)
und, da — —^ eine nur durch 2 teilbare Zahl, mithin
?,f-^) = (2^-l).5,(^^)
ist,
geben kann. Mit Rücksicht hierauf nimmt die erhaltene Gleichung
diese neue Gestalt an:
s • ^(5) - 2 • (s - 4) . q(s - 4j + 2 ■ (s - 16) • ^(s - 16)
woraus, wenn man sich der Gleichung (92) erinnert, nach welcher,
falls s = 81c -{- b ist,
q(s) - '2q{s - 4) + 2^(s - 16) = 0
ist, schließlich die Beziehung
[ ()(5 - 4) - 4 . q(s - 16) + 9 . ^(s - 36)
erschlossen wird.
Bachmann, niedere Zahlentheorie. II. 26
402 üntersuchnngen von Liouvüle.
Um sie zu deuten, bemerke man, daß 4-^(s— 4a^) die Anzahl
der Darstellungen
(s) s = 4a2+&'+c2
anzeigt, in denen die erste Unbestimmte den Wert a hat, und daß
folglich die vierfache linke Seite der Grleichung die Summe
^(-l)«-i-a'
ist, wenn letztere auf sämtliche Lösungen von (s) mit positivem a
erstreckt wird, eine Summe, die in VaMenscher Bezeichnungsweise durch
N{s = 4^2 + 2>2 ^ ^2. („ ly-i . ^2)
a>0
ausgedrückt werden kann. Da ebenso 8 • J^ ( — j— j für ein ungerades
Ü die Anzahl der Darstellungen von s in der Form
ergibt, so ist die achtfache rechte Seite der Gleichung die über alle
solche Darstellungen mit positivem ungeraden ü erstreckte Summe
oder
N\s=lP-\- 4:(x' + 2/' + ^' 4- f)', (- 1)"2~. ü).
Tf^O, ungerade
— - — j für ein ungerades u die Anzahl der
Darstellungen von s in der Form
s = u^ -\- ul + ul -\- ul -{- ul
mit positiven ungeraden u, w^, u^, %, %, und daher die rechte Seite
der Gleichung selbst die über alle solche Darstellungen ausgedehnte
Summe
u-l
2'(-i) ' •«
oder
u, u. pos., unger.
Man erhält demnach zwischen den soeben definierten Summen die
Verhältnisse:
u-l u-l
8. ^(-1)2 .u = 2-^(-lY-^'a'=^{-l) ' ü
Eine vierte Liouvülesche Grundformel. 403
oder die Gleichungen:
S'N{s = ti^ + ul -\-ul + ul + ul] (- 1)"^ • u)
(96)
u, u.'^ 0, unger.
a>0
17—1
= n{s = IP+ 4(a;2+ 2/'+ ^2 _^ ^2^. (_ l) 2 . u)
?7> 0, unger.
16. Noch eine der Lioitvilleschen Formeln wollen wir ableiten, um
eine wichtige Anwendung davon machen zu können.
Sei F(Xj y, z) eine Funktion dreier Veränderlichen, welche für
alle in Frage kommenden Werte von Xy y^ z die Bedingungen erfüllt, daß
(97) F{- X, y,z) = - F{x, y, z), F{x, -y,-£) = f(x, y, £)
sei. Ferner sei 5 eine ungerade Zahl, die wir auf alle Weise
nach der Formel
(98) s = 2s'2 + 5" = 2s'2 4- ^"d",
worin ^", d" ungerade sein müssen und positiv gedacht werden sollen,
zerfallen, und wir bilden die auf alle solche Zerfällungen bezogene
Summe
S^ =^F{d" + 2s', d" - 2s', 2s' + d" - d").
Andererseits denken wir alle möglichen Zerfällungen
(99) 2s = sl-\-d,d,,
worin s^ also auch d^, d^j die positiv gedacht werden sollen, ungerade
sind, und bilden die auf alle solche Zerfällungen erstreckte Summe
s,^y;F{^^,s„'-^)■
Es soll gezeigt werden, daß
(100) 2S, = S,
ist.
Setzt man zu diesem Zwecke
(101) d" + 2s' = X, d" - 2s' == y, 2s' + d" - d" = 2z,
wobei z eine ganze, Xj y ungerade Zahlen sein werden, so nimmt
das allgemeine Glied der Summe S^ die Form F{x, y, 2z) an, und
wir teilen alle diese Glieder in zwei Klassen: in diejenigen, bei welchen
z = 0y und in die übrigen, bei denen z von Null verschieden ist.
Den die letzteren umfassenden Teil der Summe S^ nennen wir S'^ und
handeln zunächst von ihm. Die Gleichungen (101) sind gleichbedeutend
mit diesen:
26*
404 Untersuchungen von Liouville.
(102) d"^x- 2sy c^" = 2/ + 2^, 2s' = x-y- 2z,
vermittelst deren die Zerfällung (98) eine ganzzaUige Auflösung der
Gleichung
(s) 2s-=x'^y^-4.z^
liefert, bei welcher
(103a) X, y ungerade, ^^0
und
(103b) x-2z>0, y-\-2s>0
ist. Umgekehrt ist für jede solche Auflösung in der Summe S[ ein
zugehöriges Glied F{Xj y, 2 s) vorhanden, dessen Argumente der
durch die Formeln (102) bestimmten Zerfällung (98) entsprechen.
Nun gehören immer acht den Bedingungen (103 a) genügende Auf-
lösungen der Gleichung (s) zusammen, die sich nur durch verschie-
dene Vorzeichen voneinander unterscheiden. Von ihnen besteht eine
aus lauter positiven ganzen Zahlen |, iq, J, und nur vier von ihnen:
vermögen die Bedingungen (103 b) zu erfüllen, also ein Glied für die
Summe S[ zu liefern. Diese Bedingungen nehmen für sie resp.
folgende Formen an:
1) |-2g>0, n + 2^>0
2) | + 2^>0, 7j-2t>0
3) ^-2e>0, -rj + 2^>0
4)-|-f2g>0, r)-2t>0',
bei 1) kann die zweite, bei 2) die erste Ungleichheit als selbstver-
ständlich erfüllt unterdrückt werden. Wenn nun aber die Be-
dingungen 4) erfüllt sind, d. h. wenn der vierten Auflösung ein Glied
Fi-^,^, -2t)'=-Fa,n,-20
der Summe ^i zugehört, so sind um so mehr die Bedingungen 2) erfüllt,
es gehört also auch der zweiten Auflösung ein Glied -F(|, 7], — 2 ^)
zu, und die Beiträge beider Auflösungen zur Summe Si zerstören
einander, während die Bedingungen 1) und 3) nicht erfüllt sind. In
diesem Falle ist also der gesamte Beitrag der vier Auflösungen Null.
Sind dagegen die Bedingungen 4) nicht erfüllt, so gehört weder der
vierten Auflösung, noch auch, falls | — 2g<0 wäre, einer der drei
anderen Auflösungen ein Glied zu; sooft aber | — 2 J > 0 ist, (der
Fall der Gleichheit ist ausgeschlossen, da | ungerade ist), sind nicht
nur die Bedingungen 1), sondern auch eine der Bedingungen 2), 3)
erfüllt, und man erhält in S[ die zugehörigen Glieder F{^, rj, 2^)
und resp. JP(|, t^, — 2 0 oder das diesem nach (97) gleiche Glied
Eine vierte Liouvülesche Gnmdformel. 405
F(^, — rj, 2^), zusammen also als den den vier Auflösungen zu-
gehörigen Beitrag
Daraus erkennt man, daß
(104) S[ =^{Fix, y, 2g) + F{x, y, - 2^))
ZU setzen ist, wenn man die Summation auf alle Auflösungen der
Gleichung (s) erstreckt, bei denen Xy y, z positive ganze Zahlen,
Xy y ungerade und
(105) x~2z>0
ist.
17. Setzen wir nunmehr zur Behandlung der Summe S^
(106) 4±i = ^, ,^ = y, iz^ = 2.,
so werden Xy y, z ganze Zahlen sein; daß es auch z ist, ersieht man
da aus (99) die Kongruenz \ = d^8^y also d^^d^ (mod. 4) hervor-
geht. Hiernach wird das allgemeine Glied der Summe S^ wieder
F{x, y, 2z)y und wir betrachten auch hier zunächst denjenigen Be-
standteil S2 der Summe, welcher die Glieder mit nicht verschwin-
dendem z umfaßt. Aus (106) folgen als gleichbedeutend die Be-
ziehungen
(107) s^ = y, d^^ = x-\-2Zy 8., = x-2z
und die Zerfällung (99) liefert eine ganzzahlige Auflösung der
Gleichung
(s) 2s = x^ -\-y^-Az\
bei welcher
(108 a) X, y ungerade, x'>Oy z^O
und
(108b) x^-2z>0y x-2z>0
ist. Umgekehrt entspricht jeder Auflösung dieser Art in S2 ein Glied
F(Xy y, 2 z). Nun gehören immer vier Auflösungen zusammen, bei
denen die Bedingungen (108 a) erfüllt sind; eine von ihnen besteht
aus lauter positiven ganzen Zahlen |, rj, ^, und die anderen unter-
scheiden sich davon nur durch verschiedene Vorzeichen:
1; V, ^; i, V, - ?; I; - V, ^; I, - v, - 5-
Die ihnen entsprechenden Ungleichheiten (108 b) reduzieren sich stets
auf die einzige:
(109) I - 2^ > 0;
ist sie nicht erfüllt, so liefern die vier Auflösungen kein Glied zu S'^y
andernfalls erhält man die vier Glieder
m,n,n), F{i,r,,-2i), Fil-r,,2Q, F{l-n,-2i),
406 Untersucliungen von Liouvüle.
also zusammengenommen und mit Rücksicht auf (97) den Beitrag
2-[Filri,2i) + Filri,-2m
zur Summe 52. Hieraus folgt
Sl = 2 ■'^{F{x, y, 20) + F{x, y, - 2«)],
wenn auch diese Summe wieder über alle Lösungen der Gleichung (s)
bezogen wird, bei denen Xy y, z positive ganze Zahlen, x, y ungerade,
und
ist. Man schließt also durch Vergleichung mit (104) zunächst die
Gleichheit
(110) 2S[ = Si
Was nun die beiden zunächst ausgeschlossenen Bestandteile der
Summen S^, S^ betrifft, welche den Auflösungen der Gleichung (s)
entsprechen, in denen s = 0 ist, so gehört der erstere nach (101) zu
denjenigen Auflösungen, bei welchen
o; = 2s' + ^" = d'' > 0, 2/ = ^" - 2s' = (?" > 0
ist, d. i. zu den Auflösungen der Gleichung
2s = x^ -\- y'^
in positiven Xj y, und er ist folglich die über solche Auflösungen
bezogene Summe
(111) ^F{x,y,0).
Der andere entspricht den Auflösungen derselben Gleichung (s),
in denen nach (106) d^ = dg also x = d^= 8.^> 0, dagegen die Zahl y,
welche, da 2s kein Quadrat ist, nicht Null sein kann, positiv oder
negativ sein darf; dieser Bestandteil ist also gleich der Summe
^(F{x,y,Q,) + F{x,-y,Qi)),
wenn der letzteren gleiche Ausdehnung wie (Hl) gegeben wird.
Wegen (97) ergibt er sich also doppelt so groß, wie (111). In Ver-
bindung mit der Gleichheit (HO) erschließt man also auch die zu
beweisende Gleichung (100).
Ausführlich geschriebenbesteht also dieneueLiot*Vi7?esche
Formel:
(112)
2 '^F{d^^ 4- 2s\ d" - 2s', 2s^ + c?" - d")
=2^('
2 ' *l^ 2 >
Spezialisierungen und Folgeningen. 407
Da in der Zerfällung (99) die Bnchstaben (?2, d^ vertauscht werden
dürfen, kann das allgemeine Glied der Summe zur Rechten auch ge-
schrieben werden:
d. i. mit Rücksicht auf (97) gleich
Nun ist in der Zerfällung (99) 5^ als ungerade Zahl nicht Null,
erhält aber immer zwei gleiche und entgegengesetzte Werte. Wendet
man also bei demjenigen Teile der Summe, welcher sich auf die
negativen Werte von 5^ bezieht, die angegebene Umformung an, so
erkennt man, daß die ganze Summe durch
ersetzt werden darf, in welcher s^ nur noch positive Werte erhält.
Man kann also (112) auch folgendermaßen schreiben:
(112') ^F(d" + 2s', d"-25',2s' + d" - d") =^F(ii^, 5,, ^^).
, = 2s'^- + d"6" 2, = .f + cf,d„.,>0
18. Wählt mau hierin
und versteht dabei unter f{y) eine gerade Funktion von y, so ver-
wandelt sich die allgemeine Formel in diese besondere:
2'(- ir^-f{d" - 2s') =2'(- 1)^' ■ fM>
deren rechter Seite man auch, wenn 25 — sf = s, gesetzt wird, die
Gestalt
2« = «| + «2
geben, die man also auch schreiben darf:
(113) ^(- li^.f(ä" - 2s') ==2'/'W-9(*.)-
Nun bedeutet q{s^ die Anzahl der Zerfällungen
Sa — wf -f g^
in das Quadrat einer positiven ungeraden Zahl u^ und einer geraden
Zahl g-^ da auch s^ eine positive ungerade Zahl bezeichnet, die der
Übereinstimmung wegen u genannt werden mag, so tritt unter dem
Summenzeichen zur Rechten von (113) die Funktion f{u) so oft auf, als
408 Untersuchungen von Liouville.
Lösungen der angegebenen Art besitzt, und die ganze Summe läßt
sich schreiben als
ausgedehnt über alle Lösungen der Gleichung
mit positiven ungeraden Zahlen u, %. So nimmt die Formel (113)
die Gestalt an:
(114) ^i- ly^-fid" - 2s') =^f(u).
Ein interessantes Ergebnis bietet die Wahl
was in der Tat eine gerade Funktion von y ist. Dann geht die
linke Seite über in die Summe
2'(- l>'-(«" - 2s') =2'(- 1)'"*" - 2-2(- !)•■«
deren zweiter Teil verschwindet, da s\ wenn es nicht Null ist, je
zwei gleiche aber entgegengesetzte Werte anzunehmen hat, und der
erste Teil wird einfacher
2'(-iy'-St(«-2s'^).
s'
Mithin erhält man die Gleichung
(115) ^i- ly- t,{s - 2s'') =^(- 1)^. u.
»' 2s = m^ + m24-^2
Nun bestimmt S-i^(s — 2s'^) die Anzahl der Auflösungen der
Gleichung
s-2s'^ = x^ + y^-{-^^-^t\
Nennt man daher N^ die Anzah 1 der Auflösungen der
Gleichung
(116) s = 2s" + ^2 + 2/' + ^' + t\
bei denen s' gerade, und N2 die Anzahl derjenigen, bei denen
s' ungerade ist, so folgt aus der Formel (115) die einfache Be-
ziehung
(117) N^-N, = S^{-lj~^'U = SN{2s = u'-i-ul-\-g'', (-if^'u),
u, Ml > 0, ungerade
deren rechte Seite auch geschrieben werden kann, wie folgt:
8 [1 • q{2s - 1) - 3 • ^(2s - 9) + 5 . q{2s - 25) ].
Definition zweier Funktionen ^'(w), q" {u). 409
Noch wollen wir in (112') speziell
setzen, wo f(x) eine ungerade Funktion sei. Dann erhalten
wir die besondere Formel (s. Stephen Smith, report of the British
Assoc. for. adv. of sc, London 1866, S. 367):
(118) ^f(d" + 2s') ^^f[^).
Wenn wir nun hier, den Voraussetzungen entsprechend, f{x) = + 1
wählen, sooft ^ > 0, dagegen f(x) = — 1, sooft a; < 0 ist, so lehrt
die Formel, daß der Unterschied zwischen der Anzahl der
Auflösungen der Gleichung
bei denen d" + 2s' > 0 ist, und der Anzahl derjenigen, bei
welchen d" + 2s' <0 ist, der Anzahl der Auflösungen der
Gleichung
2s = sl-{-d^d^
mit positivem s^ gleich ist.
19. Mit diesem Satze, von dem wir später Gebrauch machen
werden, wollen wir die Mitteilung LiouviUescher Formeln beenden
und gehen nun daran, sie für die Untersuchung der quaternären
quadratischen Formen nutzbar zu machen.
Die Bestimmung der Anzahl aller Darstellungen einer positiven
ganzen Zahl s in der Form
gründete sich, wie im vorigen Kapitel gezeigt, auf einen Satz, den
wir dahin aussprechen können, daß die Anzahl aller Darstellungen
einer positiven ungeraden Zahl u in der Form
gleich 4:'q(u) ist, wenn
oder, wie mit Anwendung des Jacohischen Symbols gesagt werden
kann,
(119) «'W=2'('x)
u = dd
gesetzt wird. Die Theorie der binären quadratischen Formen liefert
ganz ähnliche Sätze auch für die Darstellung einer Zahl durch andere
quadratische Formen, z. B. durch die Formen
x''-\-2y', x^+3y\
410 Untersuchungen von LiouviUe.
So ist die Anzahl aller Darstellungen einer positiven
ungeraden Zahl u durch die Form x^-\-2y^ gleich 2«^'(m),
wenn
(120) «''W=2'(^)
gesetzt wird, und die Anzahl aller Darstellungen einer
positiven, nicht durch 3 teilbaren ungeraden Zahl v durch
die Form x^ -\- Sy^ gleich 2 - q" (v), wenn
(121) ,"(.) ^^{-^)
gedacht wird. Während wir aber den erstgenannten Satz, wie in
Nr. 3 und 4 des vorigen Kapitels gezeigt worden, mit den Methoden
der additiven Zahlentheorie begründen konnten, müssen wir uns hier
damit begnügen, diese anderen Sätze als Hilfssätze der Theorie der
quadratischen Formen zu entnehmen, da für sie eine anderweitige
Begründung nicht vorliegt. Übrigens können sie etwas allgemeiner
ausgesprochen werden. Ist z.B.v = 3^'W eine durch 3 teilbare Zahl,
während w als nicht durch 3 teilbar gedacht wird, so ist aus jeder
Darstellung
zu sehen, daß x durch 3 teilbar, x=?>x^ sein muß; da alsdann
wird, ergibt sich auch y durch 3 teilbar usw., und man wird zu einer
Darstellung von w in derselben Form:
^ = X2 -h 3 F^
geführt. Da aber auch umgekehrt aus einer solchen sich
^K^=^x^-\- 3i/
ergibt, indem man, je nachdem h = 21c oder h = 2h -\- 1 ist,
X = 3*X, y = 3^r oder x = 3*+^ Y, y = 3^Z
setzt, so leuchtet ein, daß die Anzahl der Darstellungen der Zahl
^''w durch die Form ^^4- 3y^ ebenso groß ist, wie die der Darstelluugen
von Wj nämlich gleich
WO die Summe sich auf alle Teiler von w d. i. auf diejenigen Teiler
von v = 'd^'-w bezieht, welche nicht durch 3 aufgehen. Kommt
man aber überein, unter dem J"aco&ischen Symbole ( — j die
Null zu verstehen, sooft n durch 3 teilbar ist, so darf man
Darstellungen durch die Formen x^ -\-y^ -{-2z^ + 2t^, a;*-f 2/' + ^^* + ^**- 411
offenbar die vorige Summe auf sämtliche Teiler cl von v erstrecken,
sie also durch
2{f)
ersetzen, da (-r-) verschwindet, wenn ein solcher Teiler durch 3 auf-
geht. Man erkennt so, daß dann der zuletzt ausgesprochene
Satz auch gültig bleibt, wenn die ungerade Zahl v durch
3 teilbar ist.
20. Dies vorauf geschickt, greifen wir nun auf die Formel (16 d),
in welcher die Summationen sich auf alle Zerfällungen einer geraden
Zahl s = 2^-u in zwei ungerade Summanden s' + s" = cl'd^ + d" d"
bezw. auf alle Teiler t der ungeraden Zahl u erstrecken, wieder zurück,
und wählen darin für den Parameter X zunächst den Wert — • Dann
4
gibt die Formel die Gleichung:
Da nun
d' jt . d"7i c^, .
sin — — • sin -— — = 2''—^
4 4
■. = 2^u = d'6'-\-d"d"
. 7C . 3» t/1 5«
Sin j= Sin — = 1/— > sin
u = dt
.In -i/T
2 4
und somit allgemein für ein ungerades d
ist, nimmt die Summe zur Linken die Form:
t=d'd'-^d"d" ,=f'-|-,'
an, während, je nachdem /^ = 1, 2 oder > 2 ist,
.— t—i
%m2^-'-'^^^(^)-y\y (- 1)"^ oder Null
demnach die Summe zur Rechten gleich
^y^, 2-^t oder XuU
wird. Demnach ergeben sich die Formeln:
(122)
2'9\s')e'(0 = 4.?i(«)
4« = «'+»"
2* u =,-{-,", Ä^2
412 Untersuchungen von Liouvüle.
Multipliziert man diese Formeln mit 4, so liest man aus ihnen
bei Beachtung der Bedeutung der Zeichen 2q'{s'), 2q'(s") für un-
gerade Argumente s', s" sogleich den folgenden Satz ab: Die An-
zahl der Darstellungen von 2^-u als Summe zweier un-
geraden Zahlen s', s" von der Form
wobei notwendig x, y ungerade sind, oder, was dasselbe sagt, die
Anzahl der Darstellungen von 2^'-u in der Form
(123) 2^- ^^ = ^H !/' 4- 2^^ + 2f
mit ungeraden Xy y, in Zeichen:
N(2^^- u = x^ + y' + 2s' -j- 2t')
X, y unger.
ist 4 • Ji(ie) oder 16 • ti{^) oder Null, je nachdem /i = 1, 2 oder
> 2 ist.
Für den Fall 7^ = 1 ist eine Darstellung
2u = x'-^y'-\-2{z'+t')
mit ungeraden x^ y nur möglich, wenn ^, t beide gerade oder beide
ungerade sind, und diese Fälle ereignen sich resp., je nachdem u von
der Form 4Ä; -f 1 oder 4Ä; -f- 3 ist. Ersetzt man im ersteren Falle
die Zeichen s,t durch 2^, 2tj so gelangt man zu dem neuen Satze:
Die Anzahl der Darstellungen des Doppelten einer positiven
Zahl u von der Form 4^ -f 1 in der Form
(124) 2u^x'+y'+^{z' + f)
beträgt 4 • Jl(^l). Daß Xjy ungerade sein sollen, ist nicht weiter
hinzuzufügen, da die Gleichung selbst diesen Umstand erfordert.
Nennen wir die Anzahl der obigen Darstellungen der geraden Zahl
2^^-u kurz N^{2^'u), so ist, um die Anzahl N(2''ii) der Darstellungen
2^n = x''-^y'+2s'-\-2f
ohne Einschränkung der Zahlen Xj y zu erhalten, noch die Bestimmung
der Anzahl N2(2^ii) derjenigen Darstellungen erforderlich, bei welchen
Xj y gerade sind. Setzt man aber x = 2x\ y = 2y\ so liefert die
vorige Gleichung diese andere:
2^-^-u^s'^f-\-2(x^'^ii'')
d.i. eine Darstellung von 2'^~^-u in der Form
X'-{-Y'+2Z'+2T',
und umgekehrt folgt aus jeder solchen Darstellung von 2^~'^ - u wieder
eine Darstellung von 2'' ■ ii, deren x, y gerade sind, wenn man
Darstellungen durch die Formen x^ ■}- y^ -\- 2z^ -\-2t-, x^ -^y^ -\- 4:Z' ■\- At-. 413
setzt. Demnach muß
und folglich
N(2^'u) = Ni(2^u) + N,X2'u) = N^iß^'u) + N{2^-Hi)
sein. Diese für jeden Wert Ji > 0 geltende Beziehung gibt durch
Fortsetzung der gleichen Betrachtung die Formel
N(2Hi) = N,{2hi) + N,(2'-hi) + • . . 4- N^(2u) + N(u).
Dem ersten der obigen Sätze zufolge verschwindet aber jede der An-
zahlen N^(2^ii), iVi(2^-iw), . . . außer Ni{4:U) und N^(2u), und man
erhält, falls h^ 2 ist,
N(2hi) = N,{Au) + N,(2n) + N{ii),
dagegen für h = 1
N(2ti) = N^{2it) + Kill)
oder kürzer:
für /i 5 2: N(2^u) = 20 - i,{n) + ^{i()
^^^^^ [ für h = 1: 7yr(2w) = 4 • ^iW + N{ti).
Zur vollständigen Bestimmung von N(2^u) in jedem Falle bedarf
es hiernach noch der Bestimmung von N{u) d. i. der Anzahl der Dar-
stellungen der ungeraden Zahl n in der Form
^^==x^+y'+2z^+2t^
Hierzu erinnern wir uns der Formel (40), nach welcher für eine un-
gerade Zahl u
(126) 9(h) + 4 . 2'? ih) Pfe) = fei («)
ist, wenn die Summe auf alle Zerfällungen von u in eine positive
ungerade Zahl s^ und eine positive gerade Zahl 2'S2 erstreckt wird.
Wenn man beachtet, daß
9(^)=^(-i)
d — l
2
wie aus Nr. 2 des vorigen Kapitels leicht hervorgeht, für eine Zahl s
von der Form 4Ä: + 3 immer verschwindet, so braucht man die
Summation in der voraufgehenden Formel offenbar nur auf diejenigen
Zerfällungen
u = s^-i- 2'- §2
auszudehnen, bei welchen die Summanden s^, s.2 von der Form 4Z;+ 1
sind. Da alsdann ^q(s^), 4^(53) die Anzahl der Darstellungen von s^
414 Untersuchungen von Liouvüle.
resp. 52 als Summe zweier Quadratzahlen bezeichnen, deren letztere
bekanntlich gleich der Anzahl derjenigen von 2*"""^ s^ in derselben
Form ist, so ist
ersichtlich die Anzahl der Darstellungen von u in der Form
bei denen z^ -\- f von Null verschieden ist, und 4^(w) die Anzahl der
übrigen, nämlich der Darstellungen von u in der Form
n = x^ -\- y^.
Daher liest man aus der Gleichung (126), wenn man sie mit 4
multipliziert, den Satz ab: Die Anzahl aller Darstellungen einer
positiven ungeraden Zahl u in der Form
ist gleich 4-Ji(w), in Zeichen:
(127) N{u = x'-}-y^-{-2z'-\-2f)^4:. J^ (u).
Verbindet man dies Ergebnis endlich mit den Gleichungen (125),
so kann man über die Anzahl der Darstellungen einer Zahl durch die
Form x^+ y^ -\- 2z^-\- 2t^ überhaupt folgendes aussagen:
Die Anzahl der Darstellungen einer positiven ganzen
Zahl s = 2^' • u durch die Form
(128) a;2+2/'+ 2^2+2^^
beträgt, je nachdem /* = 0, 1 oder > 1 ist, resp.
4.?i(m), 8.?i(w) oder 24- ^^(i*).
Übrigens erhält man diese Sätze unmittelbar aus denjenigen über
die Anzahl der Darstellungen einer Zahl als Summe von vier Quadraten,
wie auch umgekehrt die letzteren aus den ersteren folgen. In der
Tat, handelt es sich zunächst um eine ungerade Zahl w, so folgt aus
jeder Darstellung
u = x'-^y'^-\-2(f-\-i^)
durch die Substitution
2z =p 4- q, 2t ^p - q
die Darstellung
u^ x^-\- y^i- f + 2^,
worin ^^+g^ = jp + g'^0 (mod. 2). Da aber umgekehrt bei un-
geradem u in jeder Darstellung
(129) ^^x^J^y'^J^fj^^^
Darstellungen durch die Formen x^ + y^-]-2z^ -\-2t^, x^-\-y^ -{■ 4:2^-\- 4^t^. 415
eine der beiden Summen x^ + y^, p^ + cf gerade, die andere ungerade
sein muß^ wird etwa ^/+ 2^= 0 d. h. p = ^ (mod. 2), daher werden
2 2
ganze Zahlen und
sein und dieselbe Darstellung von u nicht nur der Darstellung (129),
sondern auch der zweiten
?t = p^ -\- ([^ -{■ x^ -{- y-
zugehören. Daraus folgt ersichtlich
(130) 3' (h = x^^- y' + ^2 ^ ^2) _ 2 • N(u = o;« + ?/2 + 2^2 _^ 2t').
Ist andererseits 2''u eine gerade Zahl, also /i > 0, so müssen in der
Darstellung
2hi = x^-{- y''-{-2(z' + t^)
X, y einander kongruent (mod. 2), mithin
x + y oc — y
ganze Zahlen sein, und somit ergibt sich die Darstellung
2^-^-u=p^-\-q^^s''-^f,
wie denn auch umgekehrt aus jeder solchen Darstellung durch die
Substitution
2p = X -{- y, 2q = x — y
die Darstellung
2'-u = x^+y^-\-2{z^+f)
hervorgeht. Demnach besteht die Beziehung
(131) N(2'-^ .u = x^+y^-h z^-\- f) = xY(2^ . u =. x"" -V iß •{■ 2z^ + 2^).
Da nun die linken Seiten in (130) und (131) durch den Jacö&«'schen
Satz bekannt sind, erhält man unmittelbar die obigen Sätze über die
Anzahl der Darstellungen einer Zahl in der Form x^ -\- y' -\- 2z^ -\- 2t^'^
aus der gegebenen direkten Herleitung dieser letzteren folgt so aber
auch der Jaco&^sche Satz.
21. Ist u von der Form 4Ä + 1, so müssen in der Gleichung
u=.x^-^y^+2{z^-^f),
da x' + y'^ notwendig ungerade d. i. =1 (mod. 4) ist, Zy t beide
ungerade oder beide gerade sein. Setzt man daher
(132) 3-{-t = 2py z-t = 2q,
so sind p, q ganze Zahlen, und die Gleichung erhält die Form
416 Untersuchungen von Liouville.
II = x^ + y^-\- 4p^ + 4 q^f
und umgekehrt folgt aus jeder Darstellung von u in dieser Form
eine Darstellung in der früheren, wenn man durch die Gleichungen
(132) zwei ganze Zahlen 0, t einführt. Somit folgt
N{4:-k + 1 = ic^+ 2/'+ 2^2.^ 2^2) _ JV(4Ä; +1 = x^ ^ if + 4^^ _^ 4^2^)
also
(133) iV^(4Ä; + 1 = a;2+ 2/2 + 4-^2 _^ 4 ^2) _ 4 . ^^^4^ ^ ^^^
während offenbar
(133a) JNr(4i^ + 3 = ^2-f /+402-|-4^2)_o
ist.
Wenn dagegen ii von der Form 4^-f 3 ist, so muß in der
Gleichung
u==x^-\-y''-\-2{z^^-f)
von den Zahlen z, t ebenso wie von den Zahlen x, y eine gerade, die
andere ungerade sein. Je vier Darstellungen von u in dieser Form,
die sich nur durch Vertauschung von x mit y oder von 0 mit t unter-
scheiden, entspricht daher eine einzige Darstellung von u in der Form
und umgekehrt; demnach findet man die Gleichung
N{U + 3 = x'-hy' + 20'-\-2f) = 4-N(U + 3 = x'+2y'^4.z^ + St')
oder
(134) N{4:h -^ 3 =^ x^ -^ 2 y' ~\- 4.0^ + 8f) = ^.{U + 3).
Nach (133) und (133 a) ist die Anzahl der Darstellungen einer
ungeraden Zahl in der Form
^2_^^2_^4^2^4^2
bestimmt; die Formel (18) gab sie bereits für eine Zahl 2u. Ist nun
in 2^-u der Exponent h^2^ so folgt aus jeder Darstellung
2h.ti = x^+y^+4:0^+4f,
daß X, y beide gerade, x = 2x', y = 2%j sein müssen, und alsdann
findet sich
wie denn auch umgekehrt aus jeder solchen Darstellung von 2''"^^
als Summe von vier Quadraten eine Darstellung von 2^'U der gedachten
Art hervorgeht. Daher ist
N{2^-u == x^ -^ y"" ■\- A.z' -^ \f) =I({2^-^ ■ u = x^ \ y"" ^ z" -V t") ,
mithin durch den Jaco&^schen Satz bestimmt. Im ganzen gelangt man
hiernach zu dem folgenden Satze:
Darstellungen durch die Formen x^'-{-2y^-\-2z- -\- 4tt\ x^-{-2y^-\-4:Z^-{-8t\ 417
Die Anzahl der Darstellungen einer positiven ganzen
Zahl 2^ ■ u in der Form
ist Null, wenn h = 0 und w = 3 (mod. 4)^
4 • ?l(^*), wenn h = 0 und w = 1 (mod. 4), oder wenn h = l ist,
8 • ii{ii), wenn /i = 2,
24 • ?i(w), wenn h> 2 ist.
22. Zur allgemeinen Formel (39b) zurückgreifend, in welcher s
eine ungerade Zahl u bedeutet, setzen wir darin f{x) = cosAa; und
erhalten
4 • ^sinAdj . sin^dg
= §iW-^(l + 2cos2A + 2cos4A4- . . . + 2cos(d - 1)a),
u = dd
WO nach bekannter trigonometrischer Formel
l + 2cos2A + 2cos4A + -.. + 2cos(d-l)A = ^^
gesetzt werden darf. Hiernach ist einfacher
^sin dl
4 • Vsin Xd. - "öin Ado = tM — ^^-^ —
Wählt man nun den Parameter ^ = v? so geht die linke Seite in
über, und das zweite Glied zur Rechten in
So erhält man die Beziehung
(135) p'(«) + 2 -^p'C^Oc'fe) = §iW-
Nun bezeichnen 2^{s^, ^Q^s^) die Anzahl der Darstellungen von s^
resp. von s.^ oder, was dasselbe sagt, von 2'-^- s^ in der Form x^ -\- 2y^]
mithin ist die vierfache Summe die Anzahl derjenigen Darstellungen
von u in der Form
(136) u = x'+2y^-[-2{0^+2t'),
bei denen z^-\-2t^ einen von Null verschiedenen Wert 2*~^-S2 vor-
stellt, zudem aber 2q'(ii) die Anzahl der Darstellungen von u in
der Form
Bachmauu, niedere Zahlentheorie. U. 27
418 Untersuchungen von Liouville.
II = x^ -\- 2y^
d. i. derjenigen Darstellungen in der Form (136), bei denen ^^-f 2f = 0
ist. Demnach liest man aus obiger Beziehung den Satz ab: die Anzahl
der Darstellungen einer ungeraden Zahl u in der Form
(136a) x^-}-2y'+2z'-{-4:f
ist gleich 2 • ^i(tt), in Zeichen:
(137) N(u = x'-{-2y'-{-20'+4f)==2-S,(it)
Ist aber 2^' • u eine gerade Zahl, also /* > 0, so muß in jeder
Gleichung
2^-u=^x^+2y^+2^^+4f^
X gerade, x = 2x^ sein, und es ergibt sich dann
und umgekehrt folgt aus jeder derartigen Darstellung von 2^'—^- u eine
Darstellung von 2^ • u in der Form (136 a). Also ist, wenn 7^ > 0 ist,
(138) JV(2ä 'U=x^^2y^ + 2z^ + 4^^) _ jv(2/'-i .u = x^ + y^'-{-2s^ ^ 2f),
wodurch man für diesen Fall auf den Satz der Nummer (20) zurück-
geführt wird. Demnach läßt sich auf Grund von (137) und (138)
der neue Satz aussprechen:
Die Anzahl der Darstellungen einer positiven ganzen
Zahl 2^-u in der Form
x^-^2y^-^20^+4f
beträgt, wenn h = 0 ist, 2 • fi(w), für h == 1 ist sie 4 • ii{u), für
h = 2 gleich 8 • ^M ^^^ für }i> 2 gleich 24 • i^iu).
Was ferner die Form
(139) x'+ 2y^-^ 4.^^+8 f
anlangt, so folgt aus jeder Darstellung einer geraden Zahl
2^-u = x^+2y^-h40^+Sf,
d. h. wenn /i > 0 ist, daß x gerade sein muß und, wenn demgemäß
X = 2 x' gesetzt wird, die Gleichung
2'^-^-u = y'-^2x''-{-20^+4.t',
und umgekehrt aus jeder derartigen Darstellung von 2^~'^-u auch
eine Darstellung von 2^ • w in der Form (139). Demnach ist für h> 0
N(2^ ■u = x^+2y^-^ 4:0' + Sf) === J\r(2^-i .u^x'^+2y'+ 2^' + 4f)
also dem letzten Satze zufolge für h = l gleich 2 • ^^{u), für h = 2
gleich 4 . Jj (ii)j für h = 3 gleich 8 • ^^ (u) und für h>3 gleich
24 • ^i(u). Andererseits wissen wir bereits aus (134), daß die Anzahl
Darstellungen durch die Formen x^ -\-2y^ -\- 2z^ -\- 4:t'^, x^ -\-2y^ -\- 4z^ + 8t^. 419
•
der Darstellungen für eine Zahl ii von der Form 4Ä; 4-3 gleich ^^{ii)
ist. Der einzige noch übrige Fall einer Zahl u von der Form 4Ä: -|- 1
ist nicht aus gleichen Quellen zu schöpfen, sondern bedarf einer Hilfs-
formel, welche die Theorie der elliptischen Funktionen liefert. Sie
lautet:
WO i positiv und ungerade, s, x, y^ z beliebige ganze Zahlen sind.
Ihr zufolge wird (s. Zusätze), falls ^t = 1 (mod. 4),
^{u = x'+2y'-\-4.z'-{-^f)^i^ (li) -f (- 1)~^ .^(- 1)^. i.
Im ganzen also gilt der Satz:
Die Anzahl der Darstellungen einer positiven ganzen
Zahl 2^- u in der Form
x^-\- 2y'-\- 4:z^+ Sf
beträgt, wenn h = 0 ist,
i,{u) oder J,(„^ + (-l)^.2'(-l)^■»,
M = e2-f 4«', .s>.0
je nachdem i* = 3 oder = 1 (mod. 4); sie beträgt für positives h
2-i,{u), 4. ?.(«), 8.^,(»), 24. ?,(«),
je nachdem Ä = l, 2, 3 oder >3 ist.
23. Zur Behandlung der Form
(140) ^2_^^2_^3^2_^3^2
ist wieder eine neue Bahn einzuschlagen. Der Ausgangspunkt zwar
27t
bleibt die Formel (16 d), aber wir haben jetzt darin A = — zu setzen.
Man bemerke, daß
2 Ä , . .2 7t - 1 + y ^
cos — 4- ^ • sm -^ = () = ^
eine kubische Einheitswurzel und q^ ihre Konjugierte ist. Daraus
folgt
2^t7t . . 2^t7t _ 2^-1^
cos --- + 2 • sm -^- = Q^
gleich 1, wenn 2^-^-t, d.i. wenn die ungerade Zahl t durch 3 auf-
geht, andernfalls gleich q oder q^, je nachdem 2^-'^ ■ t kongruent + 1
oder — 1 (mod. 3), oder, wie dafür gesagt werden darf, je nachdem
2^-'^ -t quadratischer Rest oder Nichtrest von 3, in Zeichen:
(ir^- (1) = (- ^y-'i'r) s^"^'^ + 1 <"*«^. - ^
420 Untersuclmngen von Liouvüle,
ist. Mit Rücksicht hierauf ergibt sich aus dem Ausdrucke für q die
Beziehung:
sin — r— = 0, wenn t teilbar durch 3,
sin —^ = (— 1)^-1 . U—-\ . L^ wenn t nicht teilbar durch 3.
Die zweite dieser Formeln umfaßt auch die erste und gilt demnach
allgemein für jeden Wert von t, wenn man wieder übereinkommt,
unter dem JacöbiBchen Zeichen die Null zu verstehen, sooft Zähler
und Nenner desselben nicht teilerfremd sind. Daher geht alsdann
durch die gedachte Substitution A = — die Formel (16 d) über in die
folgende:
Mit Anwendung des durch (121) definierten Zeichens und, wenn man
beachtet, daß unter dem Summenzeichen rechts nur diejenigen Teiler t
von u verbleiben, welche nicht durch 3 aufgehen, nimmt diese Glei-
chung die Gestalt an:
(141) 2'P"(«') •«•"(«") = 2*-' •??(«),
wenn ^{u) die Summe der durch 3 nicht aufgehenden Teiler t von
u bezeichnet und links über alle Zerfällungen von 2^-u in zwei un-
gerade Summanden summiert wird. Der Bedeutung des Zeichens
2 • Q^\v) für die Darstellung einer ungeraden Zahl v in der Form
x^ + ^0^ gedenkend, kann man der erhaltenen Beziehung den Aus-
druck geben: die Anzahl der Zerfällungen einer positiven geraden Zahl
2^- u in die Summe zweier ungeraden Zahlen s', s" von den Formen
oder, was dasselbe sagt, die Anzahl der Darstellungen von 2^ • u in
der Form (140) unter der Bedingung, daß x -\- 0 und «/ + ^ ungerade
sind (das zweite ist ersichtlich zugleich mit dem ersten der Fall),
beträgt 2'*+^ • 5? («^), in Zeichen:
(142) N(2^ .u^x'-}-y'+30'+3f)=' 2'*+i . 5?(^)-
x-\-z=l (mod. 2)
Ist ^ > 1, so muß hierbei zugleich auch x + y ^1 (mod. 2) sein.
Denn sonst wären x + y und 0 -\- t gleichzeitig gerade; setzte man
alsdann
oo==^i + yv y = ^i-yv ^ = ^i + hy t = ^i- tv
so wären x^^ 2/1? ^1; h ganze Zahlen, und die Gleichung
Darstellungen durch die Form X' ■}- y^ -\- i 2^ -{- U\ 421
nähme die Gestalt an:
2'-''-u = xl + yl + 3isl-\-Stl
während doch die linke Seite gerade, die rechte Seite aber ungerade
ist, weil nach der Annahme x -\- ^ ^ 1 d. h.
^1 + 2/1 + ^1 + ^1 = 1 (mod. 2)
ist.
Nun sei
eine Darstellung, bei welcher x + y^l also auch s -\- t^l (mod. 2)
ist. Stellen wir ihr die andere Darstellung
2^.u=^x'+i/+3t'+30'
an die Seite, so ist entweder rr + ^ = 1 oder x + t=l. Je zwei
Darstellungen von 2^-ii in der Form (140), bei denen x + y^l
(mod. 2), entspricht also immer eine der Darstellungen, die in (142)
gezählt sind, und da in jeder der letzteren, wie gezeigt, x-^y^l
sein muß, so verhält sich's auch umgekehrt. Daraus ergibt sich die
weitere Tatsache:
Ist /i > 1, so ist
(143) ^^^(2^^ .u==x'^y'-{- 3^2 + 3f) = 2^+2 . ^o^^^^)^
iC -{- 2/ = 1 (mod. 2) .
Bezeichnet man diese Anzahl kurz durch N^{2^u) und durch
^2(2^^) die Anzahl der Darstellungen, bei denen im Gegenteil
X -\- y^Oj also auch z -\- 1 = 0 (mod. 2) ist, mit N(2^ii) aber die ge-
samte Anzahl der Darstellungen ohne Beschränkung für x, y, so ist
(144) iVr(2%) = N, (2^ tc) + N^ (2^ ic).
Wenn aber
2^.w = rr2+2/^+ 3-^2+ 3^^
und zugleich x -\- y ^0, z + t^O (mod. 2) ist, so folgt daraus, wie
vorher gezeigt, eine Darstellung von 2^~'^'U, nämlich
2^--''U==xl + tjl + 3zl-\-Stl
ohne Beschränkung der Unbestimmten, sowie offenbar auch umgekehrt
Daher ist
N,{2^u) = N(2^-''u)
also nach (144)
iV(2'^ . w) - iV(2^ - 1 . ii) = N, (2^ . u)
d. h., solange Ä > 1 ist,
N(2''U) - N(2^-^-u) = 2^+3- 5J(.it).
422 Untersuchungen von LiouviUe.
Setzt man hierin der Reihe nach h — \y 7^ — 2, . . ._, 2 für h und
addiert die entstehenden Gleichungen, so kommt
(145) iV(2/'. u) - N(2u) = (2^+2 + 2^+i 4- ..._{- 2^) . jo(i().
Nun ist nach Formel (142)
x-^z = l (mod. 2)
die hinzugefügte Bedingung x -\- z^\ (mod. 2) aber von selbst er-
füllt, denn, wäre ^ + ^ = 0, so müßte auch «/ + ^ = 0 sein, und es
ergäbe sich die Kongruenz
2 = 2uiz{x^- 0') + {y^ - f) (mod. 4),
wo nun
^2._ ^2_ (^ + ^) (^ - B\ y^-t'=={y^ t) (y - t)
durch 4 teilbar, also 2 = 0 (mod. 4) sein würde. Man darf also ein-
facher schreiben
(146) N(2u)=^4:'^l(u)
und erhält aus (145) die Gleichung
N{2f^u) == [2^(2^'-i - 1) + 4] • ^^^(u)
d.i.
(147) i\^(2^w) = 4(2^+1 -3)- e;(^)-
Diese zunächst für /^ > 1 erwiesene Formel gilt auch für ^ = 1,
da sie alsdann mit der Gleichung (146) identisch wird.
Um endlich noch N{u) zu bestimmen, bedenke man, daß in jeder
Darstellung
2u = x'+y^-\-30'^4-3f
X + y :eeO also auch ^ -|- ^ = 0 (mod. 2) sein muß, denn sonst ergäbe
sich
x'+y'^l, 3^2^3^2=3 (mod. 4)
also
2 = 2u = x^-{-t/+30^+?4' = O (mod.4:\
Setzt man demgemäß
x = x^-\r y^y y = x^- 2/1, 5^ = ^1 + ^1, t = z^- t^,
so findet man eine Darstellung
u = xl + yl + 3zl + mi
ohne Beschränkung der Unbestimmten, umgekehrt aber auch aus einer
jeden derartigen Darstellung eine Darstellung von 2ii. Mithin ist
N(u) = N{2u) d. h.
(148) N{u) = 4:-^,(u).
Darstellungen durch die Form x-^y- -\-dz^-\-St\ 423
Die beiden Formeln (147) und (148) lassen sich endlich in eine
einzige zusammenfassen und folgender Satz sich aussprechen:
Die Anzahl der Darstellungen einer positiven ganzen
Zahl 2^-u in der Form
beträgt
(149) N(2hi = x'-{- if + 3^2 + 3^2) = 4(2^'+! - 2 - cos 2^':r) • ^J(w).
Was zuletzt die fünfte der Formen in Nr. 8 des vorigen Kapitels
betrifft, so ist es Liouville nicht gelungen, die Anzahl der Darstellungen
(150) s = x^+2i/+3z'-+6f
allgemein zu bestimmen. Nur für gerade Zahlen s hat er, ohne ihn
zu beweisen, den folgenden Satz ausgesprochen (J. des Math. (2), 9,
S. 299):
Setzt man s = 2"-3/*w, n durch 2 und durch 3 nicht teilbar
voraus, so ist, falls a = 1 :
(151a) N(s = x'+ 2i/+ 3^-2 + Qt') = 2 • (3.^+^ - 2) • i,{n\
dagegen ist für a > 1
(151b) N{s = x'+ 2i/-\- 3^2 + 6^2) _ ß . (3.^+i_ 2) . ^^{n).
Ein Beweis dafür sowie die Ergänzung für den Fall eines un-
geraden s steht auch heute noch aus. Dagegen findet man noch eine
Menge von Sätzen über andere quaternäre quadratische Formen von
LiouviUe ausgesprochen und für eine größere Reihe derselben in einer
Arbeit von Pepin (J. des Math. (4) 6, S. 5) mittels der Lioiwilleschen
Formeln die Anzahl der Darstellungen bestimmt, deren eine gegebene
Zahl durch sie fähig ist.
24. Zum Schluß dieses Abschnitts soll nun noch gezeigt werden,
wie die LioiiviUescheji Formeln auch dazu dienen können, die schon
erwähnten Kro}iecJiersch.en Rekursionsformeln für die Klassenaczahl
binärer quadratischer Formen zu begründen. Zu solchem Zwecke
müssen wir zuvor der Theorie dieser Formen einige grundlegende
Bemerkungen entlehnen.
Ist
(152) ax^ + 2hxy -{- cif
oder, wie abkürzend gesagt werden soll, ist (a, b, c) eine quadratische
Form mit ganzzahligen Koeffizienten, so heißt der aus ihnen gebildete
Ausdruck
h^ — ac
die Determinante der Form. Letztere setzen wir als eine negative
Zahl — n voraus, so daß
(153) n = ac - h']
424 Untersucliungen von Liouville.
wir betrachteii zudem nur solche Formen, deren äußere Koeffizienten
a, c positiv und niclit beide gerade sind, und setzen w = l (mod. 4)
voraus. Alle derartigen Formen lassen sich in Klassen äqui-
valenter Formen verteilen, indem man in ein und dieselbe Klasse
diejenigen als äquivalent zusammenfaßt, die ineinander durch uni-
modulare Substitutionen d. i. durch Gleichungen von der Form
in denen a, ßj y, d der Bedingung ad — ßy = 1 genügende ganze
Zahlen sind, übergeführt werden können. In jeder Klasse befindet sich
eine einzige reduzierte Form, so daß die Anzahl der Klassen der
endlichen Anzahl der reduzierten Formen gleich ist. Diese lassen
sich in drei Kategorien unterscheiden:
1) in Formen (Ä, B, C), bei denen \2B \ <Ä<C,
2) in Formen ( J., B, Ä), bei denen 0 ^ 2^ ^ J.,
3) in Formen (2B, B, 0), bei denen 0<2B<C ist.
Dies vorausgeschickt, betrachten wir nun zunächst die
reduzierten Formen der ersten Kategorie. Sie können in solche
unterschieden werden — ihre Anzahl heiße Z^ — , deren mittlerer
Koeffizient B Null oder eine gerade Zahl ist, und in die übrigen,
bei denen er ungerade ist, und diese wieder in Paare von entgegen-
gesetzten d. h. solchen Formen, deren äußere Koeffizienten dieselben,
deren mittlere Koeffizienten entgegengesetzt sind. Wird die Anzahl
dieser Paare oder, was dasselbe sagt, derjenigen dieser Formen, deren
mittlerer Koeffizient positiv ist, Zg genannt, so ist
(154) H, = Z, + 2Z,
die Anzahl der reduzierten Formen der ersten Kategorie.
Denke man sich nun alle ganzzahligen Auflösungen der
unbestimmten Gleichung
(155) u{u + 4d)-4:^^^n,
bei welchen d eine positive, u eine ungerade positive Zahl
ist, während
(155a) u>\20\
sei. Man kann sie in zwei Arten unterscheiden, in solche, bei denen
\ 4:0 \ <U
ist, ihre Anzahl heiße Zi, und in die übrigen, bei denen
\ 42 \>u
ist, und diese teilen wir wieder in eine Anzahl Z2 von Paaren, näm-
lich in solche, bei welchen 0 positiv, also
4s > u
Hilfssatz über die Klassenanzahl quadratischer Formen. 425
ist, und solche, bei denen z je den gleichen aber entgegengesetzten
Wert hat. Die gesamte Anzahl der gedachten Auflösungen beträgt
also
(156) A == ZI -h 2Z{.
Nun ist Z\ = Zy Denn einerseits liefert jede Auflösung von
(155), für welche | 4^ | < w ist, eine Form
(m, 2^, w + 4^)
mit der Determinante
4<s^ — u{u + 4(^) = — w,
welche eine reduzierte Form der ersten Kategorie mit geradem mitt-
leren Koeffizienten ist, denn die Bedingungen
I 4^ I <w<?t + 4^
sind erfüllt. Andererseits gibt jede reduzierte Form der ersten Kate-
gorie, deren mittlerer Koeffizient J5 gerade, B = 2z ist, zufolge der
Gleichung
und der Voraussetzung n^l (mod. 4) die Kongruenz Ä- C^l d. h.
0 = J. (mod. 4), also C = A -{- 4td, worin d wegen A<^C eine po-
sitive ganze Zahl ist; mithin ist, da Ay G nicht beide gerade sind,
A eine ungerade Zahl u und es entspricht umgekehrt auch jeder von
jenen Z^ reduzierten Formen eine der gedachten Auflösungen der
Gleichung (185). Daher ist Z[ = Z^.
Ebenso ist Zi = Z^. Denn einerseits liefert jede Lösung von
(155), bei welcher 4^ > u ist, in
{iiy u — 2Zf 2u — 4z -\- Ad)
eine Form (A, B, C) mit der Determinante
(u - 2zy-u{2u -4z + 4d) = -n
und mit ungeradem mittleren Koeffizienten, der zugleich nach der
den Lösungen der Gleichung (155) aufliegenden Bedingung (155a)
positiv ist; der Koeffizient A = u ist positiv und ungerade, und der
Koeffizient
C=2(u-2z)-h4d
ist positiv und gerade, also verschieden von A] entweder ist daher
(Ay By C) oder (C, By A) eine jener Lösung zugeordnete reduzierte
Form der ersten Kategorie mit positivem ungeraden mittleren Ko-
effizienten. Wenn andererseits (Ay By C) eine solche Form ist, so ist
wegen
n==AC-B' = l (mod. 4)
eine der Zahlen Ay C ungerade, die andere das Doppelte einer un-
geraden Zahl; sind u', v' = 2u" = 2(u' + 2d) zwei solche Zahlen und
426 Untersuclaungeii vön Liouville.
w' = u' — 2^^ so stellt sich jede der Z^ reduzierten Formen der ge-
dachten Art entweder in der Gestalt
(u', w\ v') = (u\ u' - 20, 2u' -f 4^)
dar, worin
ii' — 20> Oy 2ii' — 4:0 < u\ also 4^ > u' und 0 > 0,
ferner
u' < 2u' + 4d also [u' + 4(d + 0)) -20>O
ist, oder in der Gestalt
{v', w\ w') = {2v! + 4d, lü - 20, u'),
worin ^*' — 2^ > 0 und 2u' — A0 < 2ii' -f- 4d also 4(^ + d) > 0 und
25?<^f' <u' -\-4{0 -\- d),
ferner
2w' + 4d < ti' also w' + 4d < 0 und
«*' < - 4d < 4^ also ^ > 0
ist. Man findet zudem
u\2u'-}-AÖ)-{u'-20Y = n
d. i.
u' [u' -\- A{d ^ 0)) - 4.0^ == n.
Bedeutet nun u die kleinere der beiden Zahlen ii', w' -f 4(d + 0), so
ist die andere von der Form u + Ad, wo d^ 0, und jeder der
Z.2 reduzierten Formen der gedachten Art entspricht den vorstehenden
Ungleichheiten zufolge eine Auflösung der Gleichung
u(u + 4:d) — 4:0^ = n
mit positivem 0 und den Bedingungen ^* > 2^ und 40 ^ u. Also ist
in der Tat Z2 = Z^.
Mit Rücksicht auf die Gleichungen (154) und (156) folgt daher
die Gleichheit
(157) H, = ^
d.h. die Anzahl der reduzierten Formen der ersten Kategorie
ist gleich der Anzahl aller gedachten Auflösungen der
Gleichung (155) unter Voraussetzung von (155a).
Ist ferner (Ä, B, C) eine reduzierte Form der zweiten
Kategorie, also
so bestimmen die Gleichungen
A^B=d, Ä- B=d
positive Zahlen, deren Produkt
(158) dd = n
ist; aus
Hilfssatz über die Klassenanzahl quadratischer Formen. 427
2A = d-\-8, '2B = d-d
und der Bedingung 2B <^ Ä folgen für diese Teiler d, d von n die
Ungleichheiten
d^d'^Sd,
welche genauer
(159) d^d<^ö
zu schreiben sind, da wegen ?^ ^ 1 (mod. 4) nicht d = 3d also n=3d-
sein kann.
Für die reduzierten Formen der dritten Kategorie ist
2BC- B^=n,
woraus mittels der Gleichungen
B=^d, 2C-B = d
wieder eine Zerlegung (158) der Zahl 7i in zwei positive Faktoren
hervorgeht, welche wegen der Bedingung 2B <C C der Ungleichheit
(160) 30 <d
unterworfen sind.
Denken wir nun alle ^{n) Zerlegungen (158) von n in zwei po-
sitive Faktoren, und sehen ab von denjenigen, bei welchen c? < d d, i.
d < "j/w ist, deren Anzahl gleich ^^(n) resp. ^(^W ~ v ^^^' J^ nach-
dem n kein Quadrat oder eine Quadratzahl ist, und welche also bei
Anwendung eines früheren Zeichens allgemein gleich
l{t(n) - a,(n))
gesetzt werden kann, so genügt jede andere Zerlegung entweder den
Ungleichheiten (159) oder der Ungleichheit (160), d. h. jeder von
ihnen ist entweder eine reduzierte Form der zweiten oder der dritten
Kategorie zugeordnet, und umgekehrt. Die gesamte Anzahl H^
der reduzierten Formen dieser beiden Kategorien ist dem-
nach gleich der Anzahl dieser Zerlegungen von n und beträgt
also
H, = Sin) - l{tin) - min)} = ^(gi,«) + »(«)).
Alles in allem sind wir so zu folgendem Ergebnisse geführt: Die
Anzahl sämtlicher reduzierten Formen d. h. die Anzahl fi'(w)
der Klassen quadratischer Formen (a,&,c) mit der Determinante
— w = 3 (mod. 4), deren äußere Koeffizienten positiv und nicht
beide gerade sind, ist
(161) Hin) = A + l{t[n) 4 fi.(w)),
428 Untersuchungen von Liouville.
wenn A die Anzahl aller ganzzahligen Lösungen der Glei-
chung (155) bezeichnet, in denen d > 0, u>0 und ungerade,
und die Bedingung (155a) erfüllt ist.
25. Nachdem wir diesen Hilfssatz abgeleitet haben, gehen wir
nun aus von der Formel (118):
in welcher s eine positive ungerade Zahl und f(x) eine ungerade
Funktion bezeichnet. Eine solche ist
fix) = (p(x — t)- (p(x + 0,
wenn darin (p{x) eine gerade Funktion vorstellt. Setzt man sie ein,
so nimmt die Gleichung die Gestalt an:
^ {(p(d'' + 25' -t)- (p{d" + 2s' + t))
(162)
Nun sei m eine gegebene positive ungerade Zahl, die auf alle
Weise nach der Formel
(163) m = s + 2% = s + 2Hr
in einen ungeraden und einen geraden positiven Bestandteil zerfällt
werde, wo dann tt jede Zerlegung der ungeraden Zahl u in zwei
Faktoren vorstellt; man bilde für jede solche Zerfällung die Formel
(162) und addiere alle so entstehenden Gleichungen, dann erhält man
(164)
^{^{vid" +2^-t)- g,{d" + 2s' + t)))
das äußere Summenzeichen auf alle Zerfällungen (163) bezogen. Die
gesamte Summation links erstreckt sich also auf sämtliche Zerfällungen
von der Form
(165) m = 2s''-\-d"d''+2Ht
und die Summation rechts auf alle Zerfällungen von der Form
(166) 2m = 5^ 4- ^2<^2 + 2'-^^tt.
Hier läßt die linke Seite eine Umformung zu, wenn man sich
einer anderen der Liouvilleschen Formeln erinnert. Für eine gerade
Funktion Y(a;) bestand die Formel (39 b):
(167)
Eine Kroneckersche Rekursionsformel für die Klassenanzahl. 429
2-^[f(.S,-S,)-f{S,+ S,)]
-^d ■ fiO) -^[f(p) + 2m + 2m + . . . + 2f{S - 1)].
Nun erhält die Zahl 5', wenn sie nicht Null ist, stets je zwei
gleiche und entgegengesetzte Werte. Ist s' = 0, so ist nach (165)
faßt man also in (164) alle dieser Annahme entsprechenden Glieder
der Summe zur Linken zusammen, so erhält man die Summe
m = d"ö''+2'^ ' tt
die, weil (p{x) eine gerade Funktion, der Formel (167) entsprechend
gleich
(168) \ ■ ^d"g,(0) - i ^[,p(0) + 29,(2) + . . . + 2cpiS" - 1)]
m = d"d" m = d"ö"
ist. Hat dagegen s' einen von Null verschiedenen Wert, so fasse
man in (164) in der Summe zur Linken diejenigen Glieder zusammen,
welche dem Werte s' und dem entgegengesetzten Werte — s' ent-
sprechen. So erhält man die Summe
^[{(p(d''-t + 2s') + cp{d''-t-2s'))-{(p(d!' + t + 2s') + (p{d''+t-2s%
m-2t'^ = d"d"+2^tt
Da nun
f(x) = (p{x -f 2s') + (p{x - 2s')
sich leicht als eine gerade Funktion von x erweist, auf welche die
Formel (167) anwendbar ist, so kann diese Summe durch den Aus-
druck
^^d''-cp{2s')-j-^[cp{2s') + 2(p{2 + 2s') + -'- + 2q>(d"-l-{-2s')]
+ j^d"-q>{-2s')-^.^[cp(i-2s') + 2(p{2-2s') + --- + 2q>{d''-l-2s')]
ersetzt werden. Die gesamte in (164) linksstehende Summe erhält
man, wenn man den Ausdruck (168) und die für alle von NuU ver-
schiedenen s' gebildeten Ausdrücke (169) addiert. Somit wird die
linke Seite von (164) gleich dem Ausdrucke
(170) i '^[^d" . (p {2s') -^[cp(2s') + 2cp{2 + 2s') + ••• + 2q>(d" - 1 + 2s'))],
s' m — 2s''^ = d"d" m — 2i'^ = d"6"
in welchem die äußere Summation auf alle ganzen Zahlen s' = 0 aus-
zudehnen ist, für welche m — 2s'^ positiv bleibt
;169)
430 Untersuchungen von Lioumlle.
2Q. Galt das Bislierige für jede gerade Funktion (p{x)j so
spezialisieren wir diese nun so, daß für jedes von Null verschiedene
X der Wert (p{x) gleich Null, dagegen g)(0) = 1 sei. Um zu sehen,
was bei dieser Annahme aus (164) wird, betrachten wir zuvörderst
die rechte Seite dieser Gleichung. Hier wird alles verschwinden bis
auf die Glieder
in denen --y-^ — ^ = 0 d. h. 2t=^ d^-\- d^ ist. Für diese Glieder
nimmt die Zerfällung (166) die Gestalt an
(171) 2m = sj + d^d, + 2H{d, + d,),
demnach geht die ganze rechte Seite von (164) über in die auf die
sämtlichen Zerfällungen dieser Art erstreckte Summe
oder, da 9>(0) = 1 ist, in die Anzahl aller eben bezeichneten
Zerfällungen. Da aber 2m — s\^l (mod. 4), und d^j d^ zwei
positive ungerade Zahlen sind, so ergibt sich aus (171) die Kongruenz
(^2^2= 1 ^' ^- ^2= ^2 (mod. 4), mithin sind die durch die Gleichungen
<^2 + ^2 = 2^*, d^~ 8^^ 40
bestimmten Zahlen ^f, 0 ganze Zahlen, deren erstere positiv und un-
gerade ist, und da hieraus
c?2 = w + 2^, d^ = u — 2 0
hervorgeht, muß
u>\20\
sein. Die Gleichung (171) nimmt hierdurch die Gestalt an
2m~sl = u^- 4^2 4. 2^^-^^ tu
oder, wenn 2^^~'^ -t ^ d gesetzt wird,
(172) 2m-sl = u(u + 4d) - 4.0^
und ersichtlich ist die Anzahl der Zerfällungen (171) gleich derjenigen
der Zerfällungen der letzteren Art unter der Bedingung u>\20\.
Diese jedoch ist in Nr. 24 bereits ermittelt, und für jedes bestimmte
s^ gleich der Anzahl H(2m — $1) der Klassen quadratischer Formen
mit der Determinante s? — 2m vermindert um den Ausdruck
l-{^{2m-sl) + c3{2m--sl)).
Im ganzen also findet man die rechte Seite von (164) gleich der
Summe
Eine Kroneckersche Rekursionsformel für die Klassenanzahl. 431
(173) ^Hi2m - sD - j^ii2m - s?) - ^^o.(2/« - s?)
ausgedehnt über alle positive s^, für welche 2 m — sl positiv bleibt.
Nun gibt die Summe
an, wie oft 2 m — sl das Quadrat einer positiven Zahl, d. h. wie oft
2 m die Summe zweier Quadrate positiver ganzer Zahlen ist, eine
Anzahl, die wir gleich Q(m) fanden. Der Ausdruck (173) für die
rechte Seite von (164) läßt sich also. auch schreiben wie folgt:
(174) ^H(2 m - sl) - |2§(2 m - 4) - i pW-
Jetzt betrachten wir die linke Seite von (164) in der Form (170).
In dieser reduziert sich die erste Summe in der Klammer offenbar auf
m = d" S"
ferner wird das substraktive Glied der Klammer zunächst gleich
_^g)(2s') + 2 .2'(9'(2s'+ 2) + y(2s' + 4) + ■ ■ ■ + <f{2s' + 6" - 1)).
Die erste dieser Summen reduziert sich auf ^ • g) (0) = J (m).
Die Argumente m=d"c)"
(175) 2s' +2, 2s' +4, • • -, 2s'+d"-l
aber sind sämtlich von Null verschieden, wenn s' > 0, ebenso, wenn
bei negativem s'
2s'+d"<0
ist, in diesen Fällen verschwindet also das zugehörige Glied der
zweiten Summe. Wenn dagegen
s' < 0, 2 s' 4- d" > 0
ist, so ist gewiß eins und nur eins der Argumente (175) gleich Null,
demnach nimmt dann das zugehörige Glied der Summe den Wert 1
an. Somit wird die ganze Summe gleich der Anzahl derartiger
Glieder d. h. gleich der Anzahl derjenigen Zerfällungen
(176) m = 2s'2-f rf"d'',
für welche
s'<0, 2s'+d">0
ist, eine Anzahl, die wir bezeichnen wollen durch
^[ s'<0 )•
432 Untersuchungen von Liouvüle.
Hiernach erhält man für die linke Seite der Gleichung (164) den Wert
Doch läßt er sich noch weiter vereinfachen, wenn man sich des
Satzes bedient, der am Ende von Nr, 18 gegeben worden ist. Be-
deutet Ä{2s'+d">0) bzw. Ä(2s'+d"<0) die Anzahl der Zer-
fällungen (176), bei denen 2s' + d"> 0 resp. 2 s' + d" < 0 ist, so
ist jenem Satze zufolge
(178) %=Ä{2s'-\-d^'>0)- Ä{2 s' + d" < 0)
die Anzahl der Zerfällungen
2 m == sl + d^S^
mit positivem s^, die offenbar für jedes bestimmte s^ durch g(2m — sj),
also insgesamt durch die über alle positive s^, für welche 2m — sf
positiv bleibt, zu erstreckende Summe
(179) 5l=^?(2m-s?)
bestimmt wird. Andererseits ist offenbar
oder, da ^ ( ' _ o ) g^^i^^ ^®^ Anzahl der Zerfällungen m = d!^ d"
d. i. gleich g(m) ist,
(180) ^(2.' + S" > 0) = ^f ^•+^'> °) + A{''+^> ») + e W.
Man bemerke, daß ersichtlich
^(2s' + r<o)=^f^'+^;«>)
und
ist d. h. gleich der Anzahl der Zerfällungen (176) mit positivem s'
welche übrigens der Anzahl derjenigen mit negativem s', also Ä(s' < 0),
gleich ist. Für die letztere gilt aber offenbar die Gleichung
(181) Äi,<o)=Ä{^^Y;>^)+Ä{^^r;<y
Mit Beachtung dieser Bemerkungen folgt nun durch Addition der
Gleichungen (178), (180) und (181) die andere:
also der Wert
Eine Kroneckersche Rekursionsfonnel für die Klassenanzahl. 433
Wird er eingesetzt in den Ausdruck (177), so ergibt sieh für die
linke Seite der Gleichung (164) der Wert
und nun findet man durch Yergleichung dieser Seite mit dem in (174)
gegebenen Werte der rechten Seite die Formel:
^H(2m-sl) = l{t,{m) + Q(m))
oder ausgeführt geschrieben:
(182) H(2ni - 1) + H{2m-4:) + H{2ni - 9) + • • • = i (^,(m) + Q{m))
d. i. eine der von Kronecher angegebenen Rekursionsformeln.
Eine zweite findet man aus denselben LiouvüUscheji Formeln her-
geleitet von Stephen Smith im report of the British Assoc. for adv.
of sciences, London 1866, S. 368/9.
Indem wir mit diesem Ergebnisse die Betrachtung der LioiwilJesch.en
Formeln beschließen, können wir nicht unterlassen, darauf hinzuweisen,
daß Kronecker selbst später seine auf analytischem Wege gefundenen
Sätze rein arithmetisch, und zwar von einer Grundlage aus hergeleitet
hat (Abh. der Acad. zu Berlin 1882), welche im wesentlichen dieselbe ist,
wie die für DiricMets Beweis des Jacohisohen Satzes: die Transformation
bilinearer Formen mit vier Veränderlichen. Da das eigentümliche
Prinzip dieses Beweises auch für Liouvüles Formeln den eigentlichen
Ausgangspunkt bildet, erkennt man, daß beide Forscher bei der
Ableitung der gedachten Rekursionsformeln im Grunde aus gleicher
Quelle geschöpft haben.
Neuntes Kapitel.
Die Gleichung a?" + i/" = ;«!'•.
1. Ein letztes Kapitel dieses Werkes soU einer Frage gewidmet
sein, zu welcher die Zerfällungen einer Zahl von der im 7. Kapitel
betrachteten besonderen Art leicht hinführen, nämlich der Frage, ob
eine Summe von Potenzen desselben Grades wieder eine solche Potenz
sein könne. Bei Beschränkung auf eine Summe von zwei Po-
tenzen fragt es sich also nach der Auflösbarkeit der
Gleichung
Ä^ + 2/" = ^"
in ganzen Zahlen x, if, z. Diese Frage hat schon seit geraumer
Zeit die Mathematiker beschäftigt und doch bisher noch nicht in
Bachmann, niedere Zahlentheorie. II. 28
434 Die aieichung x"" -{- y"" = z"" .
allgemeiner Weise beantwortet werden können. Für den kleinsten
Grad n==2 ist sie bereits von den Pytbagoräern gestellt und teilweise
erledigt worden. Die Aufgabe, die Gleichung
(1) x'-\-f=z',
welche, wenn x^ y, z als Seitenzahlen gedacht werden, der Ausdruck
des Pythagoräischen Satzes vom rechtwinkligen Dreiecke ist, in ganzen
Zahlen x^ y, s zu lösen, verlangt, geometrisch gefaßt, die Be-
stimmung eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen,
genauer ganzzahligen Seiten. In diesem Sinne haben die Pytha-
goräer sie betrachtet. Daß sie lösbar sei, ergab sich ihnen schon
aus dem besonders einfachen und charakteristischen Falle
o; = 3, 2/ = 4, ^ = 5,
und man hat die Vermutung geäußert, daß diese arithmetische
Bemerkung der eigentliche Quell für die Entdeckung des geometrischen
Satzes des Fythagoras gewesen sei. Es gelang aber nach dem Zeug-
nisse des Proclus Diadochus den Pythagoräern sogar, eine allgemeine
Regel aufzustellen, nach welcher noch unendlich viel andere Dreiecke
der gedachten Art, die wir kurz Pythagoräische Dreiecke nennen
wollen, gefunden werden können. Diese Regel des Pythagoras
sagt aus, daß man, unter n eine positive ganze Zahl verstehend,
(2) x = 2n-\-l, y = ^ — ^ , 0 = ^ — ^^
zu setzen habe; in der Tat ist
oder
(2n -f 1)2+ (2n^+ 2ny= (2n'-i- 2n + 1)1
Man hat also, einfacher gesagt, als die eine Kathete eine beliebige
ungerade Zahl und das halbe Produkt der sie umgebenden geraden
Zahlen als die zweite Kathete zu nehmen. Später aber gab nach des-
selben Schriftstellers Aussage Plato eine andere Regel, die in den
Formeln
(3) X = 2w, y = n^— Ij 5? == w^ + 1
ihren Ausdruck findet und derzufolge in der Tat
(2ny+(n'-iy=(n'+iy
ist. Nach ihr ist also als die eine Kathete die Summe, als die andere
das Produkt zweier aufeinander folgender ungerader Zahlen zu
nehmen, wenn anders die Seiten in kleinsten Maßzahlen gedacht
werden sollen.
Schon die Verschiedenheit dieser zwei Regeln läßt erkennen, daß
weder die eine noch die andere die sämtlichen gesuchten Dreiecke
Auflösung der Gleichung x^-\-y^=z^. 435
oder sämtliche ganzzahligen Auflösungen der Gleichung (1) liefert.
Es ist erst das Verdienst der indischen Mathematiker, Formeln ge-
geben zu haben, welche dies leisten. Wir leiten zunächst diese von
Bralimagupta (um 598 n. Chr.) überlieferten Formeln in Kürze hier ab.
2. Da man die Seiten in kleinsten Zahlen gemessen denken kann,
dürfen Xy y, s als positive ganze Zahlen ohne gemeinsamen
Teiler gedacht werden. Dann sind auch je zwei von ihnen
teilerfremd, denn jeder Primteiler, welcher zwei beliebigen von
ihnen gemeinsam wäre, müßte der vorausgesetzten Gleichung
zufolge auch in der dritten aufgehen. Deshalb müssen dann die
Zahlen x, y ungleichartig, die eine gerade, die andere ungerade sein,
da sie sonst, weil sie nicht beide durch 2 teilbar sein dürfen, beide
ungerade, z also gerade sein müßten, was die unmögliche Kongruenz
2 = x^+tf=z''=0 (mod.4)
nach sich zöge. Setzen wir also etwa x als ungerade, y als gerade
voraus. Infolge davon sind z -\- x^ z — x positive gerade Zahlen,
welche aber nur den Teiler 2 gemeinsam haben, da dies von ihrer
Summe und Differenz offenbar ist. Der Bedingung
2/2 = (^ 4- X) (z - x)
zufolge wird man also Gleichungen erhalten von der Form
z -\- x = 2 ' m^y z — X = 2 • Yi^,
wo m, n teilerfremde ganze Zahlen sind, die positiv gedacht
werden dürfen, und von denen m die größere ist; man findet
also, da auch y positiv zu denken ist,
(4) x = m^ — n^, y = 2mw, z = m^ 4- w^
denen zufolge m, n, damit x, z ungerade werden, noch der weiteren
Bestimmung unterliegen, ungleichartige Zahlen zu sein.
Alle positiven ganzzahligen Auflösungen der Gleichung (1), die
ohne gemeinsamen Teiler sind, werden also gegeben durch die
Gleichungen (4), wenn rrij n den genannten Bestimmungen entsprechen.
Da aber ersichtlich auch jedes so gelieferte System von Zahlen x, y, z
eine solche Auflösung bildet, so stellen die Formeln (4) unter
den sie begleitenden Bedingungen die vollständige Lösung
der gestellten Aufgabe dar. Dies sind die indischen Formela
Brahmaguptas})
b
1) Im wesentlichen gab dieselben schon Diophant, doch stellt sich bei ihm
die Lösung nur unter rationaler Form dar. Indem er die Hypotenuse mit a be-
zeichnet, setzt er
(m^ — n^)a 2i7ina
28^
436 Die Gleichung ic"+2/*'=^^
Setzt man z. B. m == 2, n = 1, so findet man die schon erwähnte
Auflösung
(5) X = 3j y == 4, 0 = b.
Daß dies die einzige Auflösung in drei aufeinander
folgenden Zahlen ist, ersieht man einfach daraus, daß die Gleich-
heit
(u- iy+u^==(u + ly
nur besteht, wenn u^ = 4:U d.h., da w = 0 für x einen negativen
Wert ergäbe, wenn w = 4 ist, was zur Auflösung (5) zurückführt.
Aber es gibt unendlich viel Auflösungen, beidenen wenigstens
X, y zwei aufeinander folgende Zahlen sind. Der Verfasser hat
in seiner „Zahlentheorie", Bd. I S. 195/6 einen Satz gegeben, nach
welchem sie sämtlich angebbar sind. Man hat dazu nur in der Formel
(6) x-Vy-\- ^]/2 = (]/2 + 1) . (3 + 2i/2/
für jeden nicht negativen ganzzahligen Exponenten h das Rationale
und das Irrationale beiderseits gleichzusetzen und die so gewonnenen
zwei Gleichungen mit der dritten:
(6a) x-y = [-lY
zu verknüpfen. Z. B. findet man so für ^ = 1 die Lösung (5); für
/^ = 2 die Gleichungen
ic + 2/ = 41, ^ = 29, X — y =1
also die Auflösung
(7) ir = 21, 2/ = 20, ^ = 29;
für fe = 3 kommt
ic -f 2/ - 239, z = 169, x-y = -l
also die Auflösung
(8) aj = 119, 2/ = 120, ^ = 169.
Man bemerke, daß
«1 = 3 + 2y2, «2 = 3 - 2)/2
die Wurzeln der quadratischen Gleichung
(9) x^==Q>x-l
und daher die Größen
B,
^, S.= «} + <
(nach Kap. 2 Nr. 7) die allgemeinen Glieder je einer rekurrenten
Zahlenreihe mit der Skala (9) sind. Schreibt man nun die Gleichung
(6) bestimmter in der Form
Xk+Vh+H- i/2 =(y2 + 1) • (3 + 2Y2)\
so findet man durch Verbindung mit der konjugierten Gleichung
Tafel der rechtwinkligen rationalen Dreiecke. 437
a:A + y*- ^A • y^ = (- 1/2 + 1) . (3 - 2>/2)'
die Beziehung
tmd folglich ist auch z^ das allgemeine Glied einer rekurrenten Zahlen-
reihe mit derselben Skala, und somit besteht zwischen drei auf-
einander folgenden Zahlen ^a-i, ^hy ^'a+i die Beziehung
(10) ^A-f-i=6 'Zn—Zn-x.
In der Tat ist für die drei Lösungen (5), (7), (8)
^A-i=5, ^A='29, ^,+1=169
und
169 = 6 . 29 - 5.
3. Man gewinnt eine deutlichere Übersicht über die Gesamtheit
der Auflösungen oder der ihnen entsprechenden Pythagoräischen Drei-
ecke, wenn man mit H. Batli (Archiv f. Math. u. Phys. 56, S. 188) in
die Formeln (4) die Differenz
(11) d = m — n
einführt. Sie nehmen dann die Form an
(12) X = d{2n + d\ y = 2n(d -i- n), z = x + 2n'' = ij -{- d\
in denen n jede nicht negative ganze, d jede zu n teilerfremde positive
ungerade Zahl bezeichnet. Nach den Werten dieser zwei Elemente
oder ganzzahligen Parameter (?, n lassen sich die sämtlichen
Dreiecke in eine Tafel mit doppeltem Eingange ordnen,
deren Reihen den verschiedenen Werten von dj deren Spalten den
verschiedenen Werten von n entsprechen. Die erste d = \ ent-
sprechende Reihe, für welche
a; = 2n -f 1, y = 2n(n + 1\ z = 2n{n + 1) + 1
wird, enthält die nach der Regel des Pythagoras gebildeten, die
erste, w=l entsprechende Spalte, für welche
x = {d+iy-l,y = 2{d -f 1), ^ = (^ 4- 1)'+ 1
wird, enthält offenbar die nach der Regel des Plato gebildeten
Pythagoräischen Dreiecke.
Jedes Dreieck tritt in der Tafel nur einmal auf. Denn, um
seine Stelle in derselben d. b. die Werte von d und n zu finden,
welche ihm entsprechen, muß man aus den als gegeben gedachten
Werten von x, y, z nach den Formeln (4) die Werte von w, d suchen
und findet
2
438
Die aieichung x"" -\- y"" = s"" .
also eindeutig bestimmt
(13) n = ^-']/'-^,d== + V]
y-
Zugleich mit den Seiten eines Pythagoräischen Dreiecks
ist auch die Maßzahl J seines Inhalts eine ganze Zahl, wie
aus der Formel
(14) J = ~ = (m^ — n^)mn
ohne weiteres erhellt.
Die Zahlen 3, 4, 5, welche das einfachste Dreieck ergaben, haben
auch für alle übrigen eine besondere Bedeutung. In jedem Pytha-
goräischen Dreiecke ist nämlich eine der beiden Katheten-
zahlen durch 3, desgleichen eine derselben durch 4, endlich
eine der drei Seitenzahlen durch 5 teilbar. In der Tat: ist
eine der Zahlen m, n durch 3 teilbar, so geht y = 2mn durch 3 auf,
entgegengesetztenfalls ist x = m^ — n^ ^1 — 1 ^ 0 (mod. 3); ist eine
der Zahlen m, n gerade, so geht y = 2mn durch 4 auf, andernfalls ist
a; = m^ — ^^ = 0 (mod. 4); ist endlich eine der beiden Zahlen m, n
durch 5 teilbar, so ist's auch y^ im entgegengesetzten Falle geben
entweder m^, n^ denselben Rest 1 oder 4 (mod. 5) und man findet
X = m^ — n'^ "^ 0, oder das eine Quadrat gibt den Rest 1, das andere
den Rest 4, und dann ist 0 = m^ -f »^^ = 0 (mod. 5). Der Inhalt
eines Pythagoräischen Dreiecks ist dem eben Bewiesenen
zufolge stets ein Vielfaches von 6.
Nebenher bemerke man die Gleichheit
4. Man kann nun allgemeiner auch nach den schiefwinkligen
Dreiecken fragen, deren Seiten durch rationale oder einfacher — da man
sie in kleinsten Zahlen gemessen denken darf — durch ganze Zahlen
ohne einen gemeinsamen Teiler ausdrückbar sind. Im allgemeinen wird
damit nicht, wie bei den rechtwinkligen Dreiecken, auch der Inhalt
rational werden. Unter einem rationalen Dreiecke soll aber in der
Folge stets ein solches verstanden werden, bei welchem sowohl die drei
Seiten als auch der Inhalt rational ist. Bezeichnet man wieder mit x, y, z
die drei Seiten und bestimmt drei Größen a, &, c durch die Gleichungen
(15)
woraus
x-{-y-\- z , 7 ,
(16)
a =
h =
2
sc-y + 3
2
x-]-y-z
Die rationalen Dreiecke überhaupt. 439
hervorgeht, so bedeuten bekanntlich a, 6, c die Abschnitte, welche
durch die Berührungspunkte des einbeschriebenen Kreises, dessen
Radius r heiße, auf den Seiten bestimmt werden, und für den Inhalt
J besteht die Formel
(17) J = y(a + h +c)ahc.
Alle rationalen Dreiecke zu finden, kommt also zahlentheoretisch
darauf hinaus, alle positiven Werte a, h, c zu finden, für welche die
Ausdrücke (15) und (17) rational, die ersteren ganze Zahlen ohne ge-
meinsamen Teiler werden.
Da X, y, 3 keinen gemeinsamen Teiler haben sollen, sind nur drei
Fälle denkbar:
1) alle drei Zahlen x, y, z sind ungerade;
2) zwei von ihnen, etwa ic, y sind ungerade, die dritte z gerade;
3) eine, etwa x ist ungerade, die beiden anderen ?/, z gerade.
Im ersten und dritten FaUe erhalten a, 6, c Werte von der Form
»— 2 ' ^ ~ """2 ' 2 '
worin a, ß, y ganzzahlig, und (17) nimmt die Gestalt an:
J-l' ■J/(2(«T^^)T3)(2« 4-"l)(2^ 4- l)(2y + 1),
wo das unter dem Wurzelzeichen stehende Produkt eine ganze Zahl,
die sich leicht = 3 (mod. 4) ergibt. Da aber eine Zahl von der Form
4Z; -j- 3 keine Quadratzahl sein kann, so lassen diese beiden Fälle
kein rationales Dreieck entstehen. Im zweiten FaUe werden den
Formeln (16) zufolge a, h, c ganze Zahlen, die nicht alle ungerade
sein dürfen, da sonst x, y, z gegen die Annahme den gemeinsamen
Teiler 2 erhielten. Da mithin eine von ihnen gerade ist, so muß,
falls J rational wird, auch J eine gerade Zahl sein. Man darf nach
allem diesem den Satz aussprechen:
In jedem rationalen Dreiecke ist eine und nur eine der
Seitenzahlen und auch die Flächenzahl gerade, undalle Seiten-
teile haben ganze Maßzahlen, unter denen ebenfalls sich
eine gerade befindet. Da
2J J
r =
x-\-y-\-z «-f5-|-c
2J
und die auf x stehende Höhe h = — ist, auch für die auf x durch
sie bestimmten Abschnitte s und t = x ^ s leicht
gefunden wird, so sind in jedem rationalen Dreiecke auch der Radius
r des einbeschriebenen Kreises, die Höhen, sowie die durch sie auf
den Seiten bestimmten Abschnitte in rationalen Zahlen ausdrückbar.
440 Die Gleichung a;"+ 2/"*= -s""-
5. Um nun sämtliclie rationalen Dreiecke zu ermitteln,
wollen wir mit H. Eath zwei Fälle unterscheiden.
Setzen wir erstens den besonderen Fall, daß a, h, c Quadrat-
zalilen sind;
a = a^, h = ß^y c = yl
Dann wird
J=aßyY^+W+f^
und es kommt darauf an, drei ganze Zahlen a, /3, y zu bestimmen,
für welche
eine Quadratzahl wird. Nun dürfen a^ ß, y weder sämtlich gerade,
noch sämtlich ungerade sein, da sonst x, y, 0 einen gemeinsamen
Teiler 2 erhielten. Sei also etwa a ungerade, ß gerade. Setzt man
dann
cc'+ß'={d + y){d-y) = (p^f,
woraus
wird, so muß, da a^ + i3^ = 1 (mod. 4), qp = -^ sein, und damit werden
y und d ganzzahlig, y sogar genauer eine gerade Zahl. Hiernach wird
man sämtliche rationalen Dreiecke mit quadratischen Seitenteilen (und
nur solche) erhalten, wenn man alle ungeraden Quadrate (^ mit allen
geraden Quadraten /3^ durch Addition verbindet, die Summe a^ + ß^
jedesmal in zwei positive Faktoren 9 • ^ zerlegt, deren größerer 9
sei, und y == setzt; aus den Seitenteilen
a = a^j & = /3^ c = y^
ergibt sich dann nach den Formeln (15) das jedesmal zugehörige
Dreieck.
Sieht man aber zweitens von der Voraussetzung ab, daß a, &, c
Quadratzahlen seien, so gestaltet sich allgemein die Auflösung der
Aufgabe folgendermaßen. Damit J rational werde, muß nach (17)
das Produkt
(a + h + c)ahc = a • hc{a -\- b + c)
eine Quadratzahl sein. Nennen wir also d den größten gemeinsamen
Teiler der angedeuteten beiden Faktoren, so müssen Gleichungen be-
stehen von der Form
(18) a^d-i% hc(a-\-h + c) = d-h\
worin i, h relative Primzahlen sind. Daraus folgt
(19) hC'(h + c) = d(h^-hci').
Nun sei ö größter gemeinsamer Teiler von &, c, so daß
h = Sß, c = dy
Die rationalen Dreiecke überhaupt. 441
gesetzt werden kann, wo nun ft y relativ prim und d zu d teilerfremd
ist, da a, h, c keinen gemeinsamen Teiler haben können, ohne daß
ihn auch x, y, z hätten. Dann muß der zweiten der Gleichungen
(18) zufolge h durch d teilbar, h = dJc sein, und die Gleichung (19)
nimmt die Form an
d. h. der reduzierte Wert des Bruchs zur Linken ist -r- Hiernach
stellt sich folgende Regel heraus:
Um sämtliche rationalen Dreiecke zu finden, bilde man für zwei
beliebige positive teilerfremde Zahlen ß, y einerseits und für zwei
beliebige positive teilerfremde Zahlen Tc^ i andererseits den reduzierten
Wert des Bruchs
ist -^ dieser Wert, so erhält man durch die Formeln
a = di-, h = dß, c = dy
die Seitenteile eines jeden der gesuchten Dreiecke.
Z. B. für ß = 2, y = 1] Je = 2, / = 1 findet man
ß7(ß + 7) _ ±l_ _ 3
r'-ßyp 4-2 1
also fZ = 3, d = ly a = 3, h = 2, c = 1, mithin
rc = 3, 2/ = 4, <^ = 5.
Für /3 = 4, ^^ = 3; Z; = 6, e = 1 wird
ßYiß+7) _ J^i2_ _ 7
k^-ßyp 36-12 2
also d = 1, d = 2, a = 1, & = 8, c = 6 und daher
X = 14, ij = 13, z = 15.
Beide Fälle sind dadurch ausgezeichnet, daß die Seitenzahlen des im
ersten Falle recht-, im zweiten schiefwinkligen Dreieckes drei auf-
einander folgende ganze Zahlen sind.
Übrigens kann man bemerken, daß die Aufgabe, alle möglichen
rationalen Dreiecke zu finden, auf die Bestimmung der Pythagoräischen
Dreiecke zurückkommt. Legt man nämlich zwei solche, allgemeiner
gesagt: zwei rationale rechtwinklige Dreiecke, die eine gemein-
same Kathete haben, mit dieser aneinander, was auf zwei Arten ge-
schehen kann, indem die Dreiecke von dieser Kathete aus entweder
nach derselben oder nach verschiedenen Seiten fallen, so entstehen
zwei schiefwinklige Dreiecke, die wir mit Bezug auf jene als
Differenz- und als Summendreieck benennen wollen; offenbar sind
sie rationale Dreiecke, da ihre Seiten sowohl, als ihr Inhalt in ganzen
442 Die aieichung a^^-f 2/"=^"-
resp. rationalen Zahlen ausdrückbar sind. Auf solche Weise entstehen
aber auch sämtliche rationalen Dreiecke. Denn, wenn man in einem
solchen irgendeine der drei Höhen zieht, so entstehen zwei recht-
winklige Dreiecke mit einer gemeinsamen Kathete; sowohl diese letz-
tere, die Höhe, als die durch sie bestimmten Seitenabschnitte, d. h.
die zweiten Katheten der rechtwinkligen Dreiecke, sind aber, wie wir
bemerkt haben, rational, ebenso wie ihre Hypotenusen, die zwei anderen
Seiten des gegebenen Dreiecks. Also ist das gegebene schiefwinklige
Dreieck, je nachdem die Höhe die Gegenseite innerlich oder äußerlich
trifft, Summen- oder Differenzdreieck zweier rationalen rechtwinkligen
Dreiecke. Die voraufgehenden Betrachtungen haben daher mehr zahlen-
theoretisches als geometrisches Interesse.
6. Man hat diese Betrachtungen verallgemeinert, indem man statt
rationaler Dreiecke auch alle Vierecke zu bestimmen gesucht hat,
deren Seiten und Diagonalen, sowie auch deren Inhalt durch rationale
Zahlen ausdrückbar sind. Diese Aufgabe ist bereits in des Inders
Brdhmagupta Algebra (Algebra with Arithmetic and Mensuration,
herausg. von Colebrooke) in Angriff genommen und insoweit nicht ohne
Erfolg, als dort eine Reihe von Sätzen gegeben werden, nach denen
in der Tat rationale Vierecke gebildet werden können. Nachdem
Chasles in der 12. Note zu seiner Geschichte der Geometrie den dunklen
Sinn dieser Sätze gedeutet, hat Kummer (Journ. f. Math. 37, S. 1)
nachgewiesen, daß alle von Brdhmagupta verwendeten Methoden darauf
hinauskommen, rationale Vierecke durch Zusammensetzung aus Pytha-
goräischen Dreiecken zu gewinnen. Kummer hat aber zugleich dann
einen Weg gezeigt, auf welchem sämtliche möglichen Vierecke
der gedachten Art gefunden werden können. In Kürze wollen wir
die Hauptresultate seiner Untersuchung hier entwickebi.
Sie gründet sich auf den folgenden Satz:
In jedem Vierecke, welches
rationale Seiten und Diagonalen
hat, sind auch die Abschnitte,
in welche die letzteren gegen-
seitig sich teilen, rational.
In der Tat, sei AB CD ein solches
Viereck (s. Fig. 4), E der Schnitt-
punkt der Diagonalen, «, ß, y, d die
Abschnitte auf denselben, und u, v, w
die Winkel BAE, BAE und AEB.
^'»•*- Da die Seiten der Dreiecke
ABC, AGB, ABB
nach Voraussetzung rational sind, so sind es einer bekannten trigono-
metrischen Formel zufolge auch die Kosinus:
Kummers Bestimmung der rationalen Vierecke. 443
COS Uf cos Vj cos (u -\- v) = cos u • cos V — sin ii - sin v
also auch sin n • sin i;, desgleichen sin^ v = 1 — cos^ v, also auch
sin w
sin V
also
Nun erhält man mittels des Sinussatzes die Beziehungen
A B sin lü A D sin ic
BE sin 2« DE sin t;
BE _ AB^ sin it
i)J5;~ ^D'sinv'
mithin ist ^^ also auch ^^ + 1 = jy^ und daher auch J)jB, ebenso
JBE rational. In gleicher Weise finden sich ÄE und CE durch
rationale Zahlen bestimmt.
Hieraus folgt dann weiter, daß in dem Dreiecke AEB mit
rationalen Seiten auch cos iv ein rationaler Wert sein muß.
7. Auf Grund dieses Satzes sehen wir, daß die gestellte
Aufgabe zunächst zu der anderen führt, ein Dreieck AEB
mit rationalen Seiten zu bestimmen, für welches der Kosinus
eines seiner Winkel einen gegebenen rationalen Wert
m
cos w = c = ~
n
hat. Zu ihrer Lösung dient die Beziehung
(21) a^=«^+/5^-2;%A
in welcher a die Seite AB mißt. Hier darf man den Bruch — ; der
n
als ein beliebiger, doch echter Bruch gegeben gedacht ist, als in
kleinsten Zahlen ausgedrückt und, ohne die Allgemeinheit zu be-
schränken, die Zahlen a, a, ß als ganze Zahlen ohne gemeinsamen
Teiler voraussetzen. Dann muß — aß einer ganzen Zahl gleich sein.
Nun bieten sich zwei Fälle dar, je nachdem n gerade oder ungerade
ist; da jedoch in beiden die Betrachtung wesentlich dieselbe und auch
das Resultat das gleiche ist, genüge es, einen dieser Fälle hier durch-
zuführen; wir denken n als eine ungerade Zahl. Dann muß n,
weil relativ prim zu 2 m, in a/3 aufgehen. Setzen wir also n = r ■ s,
so muß etwa
a = ra\ ß = sß'
also
(22) a^ = r^«'^ + s'ß" - 2ma' ß'
sein. Da a, a, ß keinen gemeinsamen Teiler haben, können es auch
«', /3' nicht, und demnach wird wenigstens eine von ihnen, etwa ß'
ungerade sein. Durch Multiplikation der Gleichung (22) mit r^ er-
hält man die andere:
a^r^= (r'a' - mßj + {n^ - m')ß"^,
444 Die Gleichung x''\y''=z''.
der wir die Form geben:
(23) {ar - r^a' + mß') • (ar + r^a' - mß') = (n^ - m^)ß'\
Ist nun ö irgendein Primfaktor von ß\ so kann nur einer der
Faktoren zur Linken durch ihn teilbar sein, denn sonst gingen zugleich
ar — r^a', ar -f- r^a'
also auch ar und r^a' durch ihn auf, jedenfalls also auch a und ß
und wegen (22) auch a, gegen die Voraussetzung. Hiernach kann
die Gleichung (23) nicht anders stattfinden, als indem
ar + r'^a' — mß' = py^y cl'^ — ^^^' + ^i^' = qs^
ist, worin
pq=- n^ — m^, yz = ß\
Man findet demgemäß
§' ß ^ z y
Setzt man in dieser Grleichung
n'—m
— = nl also — = ^—y
z ^ y n^
wo nun I eine rationale Zahl bedeutet, so läßt sie sich schreiben,
wie folgt:
oder
(24) i = ^^±f-^-
Damit also das Dreieck ÄEB den gestellten Forderungen genüge,
ist notwendig, daß ein rationaler Wert | angebbar sei, für welchen
das Verhältnis der beiden den Winkel w einschließenden Seiten in
der Form (24) dargestellt werden kann. Diese notwendige Bedingung
reicht aber zugleich auch aus, d. h., wenn für irgendeinen
gegebenen rationalen Wert | die beiden den Winkel w einschließenden
Seiten als rationale Zahlen in dem durch die Formel (24) bestimmten
Verhältnisse gewählt werden, so ist das Dreieck ÄEB eins der ge-
suchten, denn nach (21) findet sich leicht
(25) a=ya' + ß'-2caß = ß' ^''^^~ ^'.
also a ebenfalls rational. —
8. Wird dies nun angewandt zur Bildung eines rationalen Vierecks
(Fig. 4), so findet man, da der Winkel bei E im Dreiecke CED
gleich w, in den beiden Dreiecken BEC und ÄED gleich tc — w,
der Kosinus jenes also gleich c, die Kosinus dieser gleich — c sind,
daß Gleichungen bestehen müssen von der Form
Kummers Bestimmung der rationalen Vierecke. 445
cc
2^
-1
7
{ri-cy--
2ri
-1
a
(x-cy-
2x
-1
— ;
7
(y + c)'-
22/
-1
(26)
in denen |, rjj x, y rationale Werte bedeuten. Da es übrigens nur
auf die Längenverhältnisse der Linien ankommt, darf man für eine
derselben einen beliebigen rationalen Wert, etwa ß = 1 wählen, womit
dann die beiden ersten der vorigen Gleichungen die Form annehmen
(27) -^^±f^> ^ = ^^^^-
Hier treten also fünf Größen a?, ?/, I, ^, c auf, die aber nicht unabhängig
voneinander sind, da durch Elimination von a, y, d aus den vier
Gleichungen sich eine Bedingungsgleichung, nämlich:
(9Q,\ (t?-c)^-l {yj-cY-l ^{^^cY-l {x-cY-1
^ ^ 2ri 2y 2^ * 2x
herausstellt. Demzufolge darf man für drei jener Größen, etwa für |,
ri, c beliebige rationale Werte, den letzteren kleiner als 1, annehmen
und hat dann das rationale x so zu wählen, daß y der Gleichung (28)
gemäß ebenfalls rational Averde. Ist dies auf irgendeine Weise
.geschehen, so ergibt sich ein Viereck mit rationalen Seiten
und Diagonalen, wenn seine Seiten der Formel (25) ent-
sprechend durch die Gleichungen
(29)
AB--^ ^f, BC= 2!ii!
' 2y 2x
in denen zur Abkürzung Ic^ für 1 — c^ gesetzt ist und unter
a, y die Werte (27) zu verstehen sind, bestimmt werden.
Diese Formeln stellen also die vollständige Lösung der Vierecksaufgabe
dar.
Will man zudem, daß auch der Inhalt des Vierecks rational
werde, so hat man nur zu bemerken, daß sich dieser Inhalt J aus
den Inhalten der vier Dreiecke der Figur nach der Formel
J = i(a/3 -\- ßy + yS + dcc)8mw
berechnet, also zugleich mit sinw rational wird. Nun ist
1 = cos^w; + sin^w,
und aus den indischen Formeln für die Pythagoräischen Dreiecke
findet sich ohne weiteres, was Dioplmttt schon wußte, daß die all-
gemeinste Lösung der Gleichung
446 Die Gleichung ic^'-f- 2/^=0«.
in rationalen Zahlen c, d durch die Formeln
c= -^TT-^y d =
r2 + i' ^24-1
geliefert wird, wenn r rational gewählt wird. Zu dem angegebenen
Zwecke hätte man also einfach nur den sonst beliebigen echten Bruch
c für cos w durch einen Wert von der Form ^^^ zu ersetzen, womit
dann auch sin w = -»-j-- rational wird.
r -\- 1
Nun ist die Gleichung (28) in bezug auf jede der Größen Xy y
vom zweiten Grade und läßt sich schreiben in jeder der beiden
folgenden Formen:
yX'xf — {ax^ — 2c(a -h y)x — a^) • y ~ l^yx = 0
ay-x^- [ry^~- 2c(a + r)y - r^c^)'X--h^ay==0.
Löst man die erstere dieser Gleichungen nach y auf, so findet man
y — --_
Nachdem man also |, 1^, c in der angegebenen Weise als rationale
Werte beliebig gewählt hat, wird man, damit auch y rational werde,
den rationalen Wert von x so wählen müssen, daß der unter dem
Wurzelzeichen stehende Ausdruck eine rationale Quadratzahl werde.
Die sämtlichen jeder Wahl von ?, 9^, c so zugehörigen rationalen x
liefern auf solche Weise alle zulässigen entsprechenden y und damit
die Gesamtheit der gesuchten rationalen Vierecke in Systeme geordnet,
wie sie den einzelnen Wertsystemen 1, 1^, c entsprechen. So kommt diese
Vierecksaufgabe schließlich auf die zahlentheoretische hin-
aus, alle rationalen Werte von x, z zu finden, für welche
(30) [ax^ - 2c(a 4- y)x - aW^ + 4Ä;V^^' = ^'
wird. Schon Fermat und Ealer haben die Aufgabe, von welcher die
genannte nur ein spezieller Fall ist: eine rationalzahlige ganze Funk-
tion von X vom vierten Grade zu einem rationalen Quadrate zu
machen, in Angriff genommen und Methoden angegeben, um aus
einer bekannten Lösung immer neue zu entwickeln. Mit Hilfe dieser
Methoden hat Kummer noch gezeigt, wie man, von besonders ein-
fachen Lösungen der Gleichung (30) ausgehend, verschiedene Regeln
zur Bildung rationaler Vierecke aufstellen kann. Doch würde uns
die weitere Verfolgung seiner Untersuchung zu weit vom eigentlichen
Gegenstande dieses Kapitels entfernen.
Auflösung der Gleichung a-\-bx-{- cx'-f dx'-{- ex*= z^. 447
Wir erwähnen daher auch nur kurz, daß K. Schwering (Journ. f.
Math. 115, S. 301) eine Methode entwickelt hat, um die noch all-
gemeinere Aufgabe zu lösen, welche die Bestimmung eines Tetra-
eders mit rationalen (oder ganzzahligen) Kanten und Inhalt verlangt,
und daß auch diese Methode schließlich zu der erwähnten zahlen-
theoretischen Aufgabe Fennats und Eulers wieder zurückführt.
9. Dieser Aufgabe seien daher noch kurz einige Betrachtungen
gewidmet.
Es handelt sich darum, den Ausdruck
(31) X = a-hhx + cx^-\- dx^ + e<
in welchem die Koeffizienten als ganze Zahlen gedacht
werden dürfen, durch passende Wahl der rationalen Zahl x
zu einer rationalen Quadratzahl zu machen.
In dem Falle, wo wenigstens einer der beiden Koeffizienten a, e
eine Quadratzahl ist, läßt sich diese Aufgabe, wie Fermat (oeuvres
de P. Fermat, Paris 1896, III, S. 377) gezeigt hat, sehr einfach lösen.
(32)
8«^ ' 64 a^
und folglich ist das Quadrat dem Ausdrucke X gleich, wenn x so
gewählt wird, daß
wird. Vom Werte x = 0 abgesehen, der yernachlässigt werden kann,
geschieht das für den Wert
Eine ganz entsprechende Rechnung liefert ein der Aufgabe ge-
nügendes X, falls e = £^ ist, und, wenn etwa beide Koeffizienten a, e
Quadratzahlen sind, lassen sich noch andere Wege einschlagen (s. bei
Fermat a. a. 0.), was hier nicht weiter verfolgt werden soU.
Ist aber keiner der Koeffizienten a, e eine Quadratzahl, so läßt
sich doch dieselbe Methode in Anwendung bringen, um aus einer
schon bekannten Auflösung der Aufgabe noch eine neue herzuleiten.
Kennt man nämlich einen Wert | von x, für welchen der Ausdruck X
zu einem Quadrate wird, so daß etwa
(33) a + 61 + c|2 + dl^ + el' = a'
ist, so setze man x = ^ + x' in X ein. Dadurch geht X über in
448 Die Gleichung x''^y'^=z''.
einen aus x^ gebildeten Ausdruck von gleicher Art, dessen erstes
Glied der Ausdruck (33) also gleich «^ ist:
(34) Z = «2 + Vx' + c^x'^ 4 d'x'^ + e'x^\
und nun kann auf dem zuvor angegebenen Wege ein Wert von x\
also auch ein neuer Wert x = ^ -\- x' von x ermittelt werden, durch
welchen der Ausdruck X einer Quadratzahl gleich wird. Auf solche
Weise kann man also nach gleichbleibender Regel eine unbegrenzte
Anzahl von Werten x der verlangten Art finden, falls nicht etwa
einmal die Anwendung der Regel auf einen bereits zuvor schon er-
haltenen Wert von x zurückführt.
Etwas anders verfährt Euler, der dieselbe Aufgabe zu wieder-
holten Malen behandelt hat.^) Er sucht zunächst den Ausdruck X
in die Form zu bringen:
(35) X = P'+QB,
worin
P = « -|- a^x + a^x^
Q = ß + ß^x-i- ß,x'
[ B = y -i- y^x -\- y^x^^
Funktionen zweiten Grades von x sind. Falls in X der Koeffizient a
eine Quadratzahl a^ ist, oder dadurch, daß bereits ein der Aufgabe
genügender Wert J von x bekannt ist, dem Ausdrucke X, wie soeben
gezeigt, die Form (34) gegeben werden kann, in welcher jene Voraus-
setzung erfüllt ist, wird für X in der i^erma^schen Weise die ge-
wünschte Form (35) durch die Gleichung (32) erreicht, derzufolge
(36)
^-[ä-'-^'^'^y^b-'^:^^]
X'
gesetzt werden kann. Noch einfacher erreicht man das Ziel in diesem
Falle, wenn man setzt
B = c —-r-^i- dx -\- ex^.
1) S. Mäm. Acad. St. Petersb. 11 (1830) oder in den Commentat. arithm.
coUectae II, S. 418, 467, 474 die Abhandlungen
de insigni promotione Analysis Diophanteae ; de resolutione hujus aequationis
0 = a -\- bx ■}- cy -\- dx^^ ■}- exy -{- fy^ + gx^y ■{■ hxy^ + ix^y^
per numeros integres;
methodus nova et facilis formulas cubicas et biquadraticas ad quadratum
reducendi.
Auflösimg der Gleichung a-{-bx-\- cx^ -\-dx^ -\- ex^ = Z'. 449
Nehmen wir irgendwie die Form (35) für X gefunden an, und
setzen dann
(37) X = {P+Qyy,
SO muß y der Gleichung genügen
(38) Qy'+2Py-R = 0,
welche sowohl in y als auch in x vom zweiten Grade ist und, nach
Potenzen von x geordnet,
(39) Sx'+Tx-}- U==0
heißen möge, wobei jetzt S, Tj ü ganze Funktionen von y vom zweiten
Grade bedeuten.
Gesetzt nun, man kenne einen Wert x = ^, welcher den Aus-
druck X zu einem Quadrat macht, so wird y wegen (37) einen ent-
sprechenden rationalen Wert rj erhalten, der für x = ^ der Gleichung
(38) genügt. Als quadratische Gleichung hat letztere aber noch eine
zweite ebenfalls rationale Wurzel t^', so daß die Gleichung (38) oder
die ihr gleichbedeutende Gleichung (39) durch das System x = ^j
y = 7]' rationaler Werte befriedigt wird d. h. entsprechend dem Werte
y = rj' die rationale Wurzel x = h hat. Sie muß daher als quadratische
Gleichung noch eine zweite dem Werte y = f}^ entsprechende ebenfalls
rationale Wurzel x = ^' haben, so daß (39) also auch (38) durch das
rationale Wertsystem x = ^'j y == r^' erfüllt d. h. |' ein neuer der
Aufgabe genügender Wert von x wird; dann muß aber die Gleichung (38)
für X = ^' wieder außer y = r^' noch eine zweite ebenfalls rationale
Wurzel y = if haben, der entsprechend wieder ein neuer der Auf-
gabe genügender Wert x = J" gefunden wird, usw. fort. Man sieht
also auch auf diesem Wege Eulers aus einer einzigen als bekannt
vorausgesetzten Lösung x= h, eine unbegrenzte Menge neuer Lösungen
entstehen, wenn man nicht etwa beim Fortgange des Verfahrens ein-
mal auf einen schon dagewesenen Wert von x zurückgeführt wird.
Wenngleich nun diese Methoden ausreichen, um aus einer Lösung
der Aufgabe noch andere zu finden, so leuchtet doch ein, daß damit
die Aufgabe bei weitem nicht erledigt ist. Hierzu fehlt es einerseit-s
an dem Nachweise, wie jederzeit eine Lösung gefunden werden könne,
andererseits an einer Methode, um aus dieser oder anderen funda-
mentalen Lösungen sämtliche übrigen zu erhalten, und bis zur Zeit
sind diese Teile der Aufgabe noch völlig ungelöst geblieben.
10. Wir kehren nun zur Gleichung
(40) x"" -f 2/" = -2^"
wieder zurück. Es ist gezeigt worden, daß sie, falls n = 2 ist, un-
endlich viel Auflösungen in ganzen Zahlen x, y, z besitzt. Um so
merkwürdiger ist eine berühmt gewordene x4.ussage von Pierre F&rmat,
derzufolge der Wert 2 des Exponenten 7i der einzige ist, für welchen
Bachmann, niedere ZaMentheorie. II. 29
450 ßie aieichung x"" + y'' = ä"-
überhaupt der Gleichung (40) ganzzahlige Auflösungen zukommen,
daß sie also für m > 2 in ganzen Zahlen x^ y, s unlösbar sei. Dieser
Ausspruch Fermate findet sich in seinen Observationes zu des Dio-
phanti Alexandrini arithmeticorum libri sex et de numeris multangulis
über unus, cum commentariis C. G. Bacheti 1670, und lautet in der
zweiten Randbemerkung folgendermaßen:
Cubum autem in duos cubos aut quadrato-quadratum in duos
quadrato-quadratos et generaliter nuUam in infinitum ultra quadratum
potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei de-
monstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non
caperet.
Höchst bedauerlicherweise hat Fermat auch sonst diesen „wunder-
baren Beweis '^ seines Satzes, der zum Unterschiede von dem gewöhn-
lich als Fermatscher Satz bezeichneten Satze aus der Theorie der
Potenzreste der „große Fermatsche Satz'^ genannt wird, weder ver-
öffentlicht noch hinterlassen, und seit Euler mühen sich die Mathematiker
vergeblich, diesen oder einen anderen Beweis zu finden, durch welchen
die gedachte Tatsache als allgemeingültig erwiesen würde, eine Tat-
sache, die, falls sie richtig ist, die Zahl 2 in ganz entsprechender
Weise allen übrigen Primzahlen gegenübersetzen würde, wie es
durch ihre Eigenschaft als einzige gerade Primzahl geschieht. Die
Mittel, welche Fermat für seinen Beweis zu Gebote gestanden haben,
können nur unseren Begriffen nach elementare gewesen sein, und
doch haben selbst sehr hochgehende neuere Methoden den Satz noch
nicht allgemein festzustellen vermocht, wennschon sie und einfachere
Betrachtungen seine Gültigkeit in weitem Umfange haben erkennen
lassen. An der Wahrhaftigkeit von Fermats Aussage ist bei der
großen Aufrichtigkeit, mit welcher er überall sich über Dinge äußert,
die ihm noch nicht nach Wunsch gelungen, nicht zu zweifeln; spricht
er doch mehrfach ganz bestimmt aus, daß, wie er unfähig sei, sich
mehr zuzuschreiben, als er wisse, er ebenso freimütig bekenne, was
er nicht wisse. Wenn man demnach die Frage aufwirft, ob er tat-
sächlich einen Beweis für seine Behauptung besessen, so kann man
damit nur die Richtigkeit seiner Aussage bezweifeln, nämlich an-
nehmen, daß er möglicherweise sich über die Beweiskraft seiner
Schlüsse getäuscht habe.
Vermögen wir nun auch unsererseits leider nicht, einen allgemeinen
Beweis des großen Fermatschen Satzes mitzuteilen, so dürfte doch
eine gedrängte Darstellung dessen, was zu diesem Zwecke hauptsächlich
bisher versucht und geleistet worden ist, namentlich insoweit es nur
elementare Gebiete der Zahlentheorie in Anspruch nimmt, nicht un-
willkommen und vielleicht auch für weitere Bemühungen um den
Beweis des Satzes von Nutzen sein, und so wollen wir das vorliegende
Werk mit einer solchen Skizze beschließen.
Der ,, große FermatBche Satz". 451
11. Das einzige, was wir von Fermats Beweis seines großen Satzes
wissen, ist ein allgemeiner Fingerzeig über die Methode desselben.
In seiner 33^*®" Randbemerkung zum Diophant verweist er auf eine
Beweisart, welche er in der 45^*®^ Randbemerkung zur Beofi'ünduncr eines
anderen Satzes von ähnlichem Charakter verwendet hat. Dieser Satz
hat bei ihm eine geometrische Fassung und lautet folgendermaßen:
Der Inhalt eines rechtwinklicren Dreieckes mit cranz-
zahligen Seiten ist niemals einer Quadratzahl gleich.
Wir lassen zunächst den Fennatschen Beweis hierfür, wie er von
Legendre (theorie des nombres 2. ed. 1808, S. 340) in die moderne
mathematische Zeichensprache übertragen worden ist, hier folgen.
Man darf die Seiteuzahlen Xj y, s oline gemeinsamen Teiler voraus-
setzen, da mit Unterdrückung eines solchen der Maßzahl des Inhaltes
nur ein quadratischer Faktor entzogen wird, sie mithin, wenn sie
ursprünglich eine Quadratzahl war, auch nachher eine bleibt. Dann
treten die indischen Formeln in Kraft und man darf setzen
X ~ 2ahj y = a^ ~ h^,
wo a, h ungleichartig und teilerfremd sind. Wenn also der Inhalt des
Dreiecks eine Quadratzahl wäre, so müßte
ah . (a' - h')
eine solche sein. Die Zahlen a, h sind aber auch teilerfremd zu
a^ — &^, folglich müßten die drei Faktoren einzeln Quadratzahlen, etwa
(41) a = a',h=^ß'
und
(42) a'-h' = a'-ß^ = f
sein. Schreibt man nun hierfür
(«^ + ^«).(«'-/3^) = r^
so müssen wieder die Faktoren «'- + ß-, a- — /3^, da a^, /3^ relativ prim
und ungleichartig sind, einander teilerfremd und selbst Quadratzahlen,
etwa
(43) a^J^ß^=l\ a'- ß-=7i'-
also
(44) ,2+2/3^=r
sein.
Hier bedarf man nun zum weiteren Fortgange des Be-
weises eines Satzes aus der Theorie der quadratischen Formen
mit der Determinante — 2 oder, wie wir lieber sagen woUen, aus
der Theorie des aus ]/— 2 gebildeten quadratischen Zahlen-
körpers. Unter diesem Zahlenkörper versteht man die Gesamtheit
aller Zahlen, welche aus ]/— 2 und ganzen Zahlen durch die vier
29*
452 I^ie aieichung x'' ■\-y^ = z^.
rationalen Operationen gebildet werden können. Die ganzen al-
gebraischen Zahlen desselben sind die Zahlen von der Form ^* + vf/— 2
mit ganzzahligen Uy v, und es herrschen für diese Zahlen die gleichen
Teilbarkeitsgesetze, wie für die ganzen rationalen Zahlen, insbesondere
ihre eindeutige Zerlegbarkeit in einfachste, sogenannte Primfaktoren
von derselben Form, derart, daß aus der Gleichung (44), der die Form
(rj + ßy~^) ■ in - ßy^i:) = r
gegeben werden kann, während ri + /3]/— 2, r} — ßV— 2 keinen ge-
meinsamen Teiler zulassen, zu schließen ist, daß iq -f ß"]/— 2 selbst
das Quadrat einer ganzen Zahl des Körpers, etwa
ri -f ßY^^ = (A + /tl/=^)'
d. h.
ri = l^-2ii^, ß = 2Xii
ist. Aus diesen Gleichungen, in welchen, da rj eine ungerade Zahl
ist, X ebenfalls ungerade ist, und, weil rj, ß ebenso wie a, ß teiler-
fremd sind, auch A, /i teilerfremd sein müssen, folgt mit Rücksicht
auf (43)
a'^Tj^i- ß^==X^-i- Aii\
Gäbe es also ein Pythagoräischös Dreieck, dessen Inhalt eine
Quadratzahl ist, so gäbe es auch ein zweites solches Dreieck mit den
Katheten X^, 2/i^ und der Hypotenuse a^, welche, wie man leicht über-
sieht, wesentlich kleiner sind, als die entsprechenden Seiten des
ersteren, und dessen Inhalt gleich X^ ^^, also ebenfalls eine Quadrat-
zahl wäre. Da für dies neue Dreieck die gleichen Betrachtungen
wiederholt werden dürften, erhielte man aus der Voraussetzung eine
unbegrenzte Reihe von Dreiecken mit immer kleineren ganzzahligen
Seiten, was ein Unding ist.
Man sieht, das Prinzip des Fermatschen Beweis Verfahrens ist,
wie er selbst es nennt, une descente infinie d. h. ein unbegrenzter
Fortgang von dem vorausgesetzten Dreiecke zu immer neuen von
gleicher Beschaffenheit aber mit abnehmenden Seitenzahlen und führt,
da ein solcher Fortgang widersinnig ist, per absurdum zum Beweise
des Satzes.
12. Aus ihm folgt nun sehr einfach, daß die Gleichung
(45) x^-y^=s^
in ganzen Zahlen a;, y, 0 unlösbar ist. Denn, gäbe es eine
Lösung, so dürften, wie sogleich einzusehen, x, y, z zu je zweien
als teilerfremd gedacht werden, und demnach müßten x, y entweder
beide ungerade, oder eine von ihnen gerade, die andere ungerade sein.
Die letztere Annahme führte zu einer Gleichung wie die Gleichung (42)
Unmöglichkeit der Gleichung x^-\-y* = z*. 453
und damit zu der ganzen Reihe der aus ihr gezogenen Folgerungen,
erweist sich also als unzulässig. Wären dagegen beide x, y ungerade,
so würde z gerade sein. Schreibt man dann die Gleichung (45) in
der Form
^2 -f y^ = x^^
so ergäbe sich nach den indischen Formeln
z = 2ah, if = a- - ¥, x^ = a' + W
demnach
a^-h'^^ixyY,
wo nun a, t ungleichartige Zahlen sind, und man käme auf die vorige,
als unzulässig erkannte Annahme zurück.
Die gleiche Beweismethode ist aber, wie Fermat schon
ausgesagt und Legendre (a. a. 0.) gezeigt hat, anwendbar, um
auch die Unmöglichkeit der Gleichung
(45 a) a;^-f 2/^=^2
zu erweisen. Da auch in ihr wieder x,yy z als zu je zweien teiler-
fremd gedacht werden dürfen, x^ y aber nicht gleichzeitig ungerade
sein können, da sich sonst die unmögliche Kongruenz 2 = 0 (mod. 4)
ergäbe, können x^ y nur ungleichartige Zahlen sein, mit Rücksicht
auf die indischen Formeln erhielte man also die Beziehungen
x^ = 2a6, xf=-a^- l\ s = a^ -{■ h'\
in denen a, h teilerfremd und ungleichartig sind. Zudem muß a un-
gerade, h gerade sein, da bei umgekehrter Annahme sich y^ ^ — i
(mod. 4) ergäbe, was unmöglich ist. Setzt man demnach h = 2h',
so folgt aus x^ = Ah' a, daß sowohl a wie h' Quadratzahlen sein
müssen, etwa a = a^, h' = ß^, h = 2ß^, mithin
(46) a'-4:ß^=y\
Man kann nun entweder auf den früheren Fermatschen Satz
zurückführen, indem man diese Gleichung in die Form setzt
woraus die Faktoren, da sie offenbar teilerfremd sind, sich einzeln
als Quadratzahlen ergeben, mithin eine Gleichung
a'+2ß'=i'
von der Art (44) hervorgeht, deren Unmöglichkeit gezeigt worden ist.
Oder aber man kann einfacher, ohne hier des Satzes aus der
Körpertheorie zu benötigen, folgendermaßen fortschließen: Aus
(46) folgt -
a'==4ß'-\-y'
L
452 I>ie Gleichung x''-\-y^ = z^.
rationalen Operationen gebildet werden können. Die ganzen al-
gebraischen Zahlen desselben sind die Zahlen von der Form w + v]/— 2
mit ganzzahligen w, v, und es herrschen für diese Zahlen die gleichen
Teilbarkeitsgesetze, wie für die ganzen rationalen Zahlen, insbesondere
ihre eindeutige Zerlegbarkeit in einfachste, sogenannte Primfaktoren
von derselben Form, derart, daß aus der Gleichung (44), der die Form
(7?-f-/3|/-2).(i?-/3]/-2) = r
gegeben werden kann, während ri -\- /3]/— 2, ri — ß\/— 2 keinen ge-
meinsamen Teiler zulassen, zu schließen ist, daß tj -f ß}/— 2 selbst
das Quadrat einer ganzen Zahl des Körpers, etwa
d. h.
rj = l^-2^\ ß = 2Xii
ist. Aus diesen Gleichungen, in welchen, da rj eine ungerade Zahl
ist, X ebenfalls ungerade ist, und, weil rj^ ß ebenso wie a, ß teiler-
fremd sind, auch 1, [i teilerfremd sein müssen, folgt mit Rücksicht
auf (43)
Gäbe es also ein Pythagoräischös Dreieck, dessen Inhalt eine
Quadratzahl ist, so gäbe es auch ein zweites solches Dreieck mit den
Katheten A^, 2[i^ und der Hypotenuse a^, welche, wie man leicht über-
sieht, wesentlich kleiner sind, als die entsprechenden Seiten des
ersteren, und dessen Inhalt gleich X^ ^^, also ebenfalls eine Quadrat-
zahl wäre. Da für dies neue Dreieck die gleichen Betrachtungen
wiederholt werden dürften, erhielte man aus der Voraussetzung eine
unbegrenzte Reihe von Dreiecken mit immer kleineren ganzzahligen
Seiten, was ein Unding ist.
Man sieht, das Prinzip des Fermatschen Beweisverfahrens ist,
wie er selbst es nennt, une descente infinie d. h. ein unbegrenzter
Fortgang von dem vorausgesetzten Dreiecke zu immer neuen von
gleicher Beschaffenheit aber mit abnehmenden Seitenzahlen und führt,
da ein solcher Fortgang widersinnig ist, per absurdum zum Beweise
des Satzes.
12. Aus ihm folgt nun sehr einfach, daß die Gleichung
(45) x'-y^=s'
in ganzen Zahlen x, y, s unlösbar ist. Denn, gäbe es eine
Lösung, so dürften, wie sogleich einzusehen, x^ y, z zu je zweien
als teilerfremd gedacht werden, und demnach müßten ^, y entweder
beide ungerade, oder eine von ihnen gerade, die andere ungerade sein.
Die letztere Annahme führte zu einer Gleichung wie die Gleichung (42)
Unmöglichkeit der Gleichung x^ -\- y'^ = z*. 453
und damit zu der ganzen Reihe der aus ihr gezogenen Folgerungen,
erweist sich also als unzulässig. Wären dagegen beide x, y ungerade,
so würde s gerade sein. Schreibt man dann die Gleichung (45) in
der Form
so ergäbe sich nach den indischen Formeln
z = 2a&, y' =a^- ¥, x' = a' + h'
demnach
a^—h^= {xijfy
wo nun a, & ungleichartige Zahlen sind, und man käme auf die vorige,
als unzulässig erkannte Annahme zurück.
Die gleiche Beweismethode ist aber, wie Fermat schon
ausgesagt und Legendre (a. a, 0.) gezeigt hat, anwendbar, um
auch die Unmöglichkeit der Gleichung
(45 a) x^-\-t/=z^
zu erweisen. Da auch in ihr wieder x, y, z als zu je zweien teiler-
fremd gedacht werden dürfen, x, y aber nicht gleichzeitig ungerade
sein können, da sich sonst die unmögliche Kongruenz 2 = 0 (mod. 4)
ergäbe, können ^, y nur ungleichartige Zahlen sein, mit Rücksicht
auf die indischen Formeln erhielte man also die Beziehungen
a;2 = 2ah, y' = a' - h\ z = a' -h b'\
in denen a, h teilerfremd und ungleichartig sind. Zudem muß a un-
gerade, h gerade sein, da bei umgekehrter Annahme sich y^ ^ — 1
(mod. 4) ergäbe, was unmöglich ist. Setzt man demnach b = 2h',
so folgt aus x^=4:h'a, daß sowohl a wie h' Quadratzahlen sein
müssen, etwa a = a^, h' = ß^, h = 2ß^, mithin
(46) «^ - 4/3^=2/'-
Man kann nun entweder auf den früheren FermaUdhem Satz
zurückführen, indem man diese Gleichung in die Form setzt
{a'^2ß').{a'-2ß') = y\
woraus die Faktoren, da sie offenbar teilerfremd sind, sich einzeln
als Quadratzahlen ergeben, mithin eine Gleichung
«2 + 2^^=r
von der Art (44) hervorgeht, deren Unmöglichkeit gezeigt worden ist.
Oder aber man kann einfacher, ohne hier des Satzes aus der
Körpertheorie zu benötigen, folgendermaßen fortschließen: Aus
(46) folgt .
«'^=4/3^ + 2/-
456 ^i® Gleichung x'^^'ip^z'^.
in denen a, & zwei teuer fremde, nicht durcli 3 teilbare Zahlen sind^
die erste gerade, die zweite ungerade.
Nun bedarf man zum Fortgange des Beweises wieder
eines Satzes aus der Theorie der quadratischen Formen mit
der Determinante —3 oder aus der Theorie des aus }/— 3
gebildeten Zahlenkörpers. Die ganzen algebraischen Zahlen des
letzteren sind die Zahlen von der Form mit ganzen, ein-
ander (mod. 2) kongruenten u, v^ und sind auch hier wieder eindeutig
in Primfaktoren von derselben Form zerlegbar, so daß aus der zweiten
der Gleichungen (51), d. i. aus
wo die Faktoren ohne gemeinsamen Teiler sind, sich i? + g ]/— 3, von
einer dem Körper angehörigen Einheit als Faktor abgesehen, selbst
als eine dritte Potenz ergibt und man, wie unschwer zu sehen.
p4-gy-3 = (^ — { — )
setzen kann, wobei u, v als gerade zu denken sind. Setzt man also
u = 2r, V = 2s, so kommt
_p + g-j/- 3 = y3 -9rs^ -\-3s (r' - s^) "j/- 3
d. h.
(52) p==r(r^-9s'), q = ds(r'- s')
also
(53) 2p = 2r'{r+3s){r- 3s) = al
Da wegen (52) jeder gemeinsame Teiler von r und 5 auch ein
solcher der teilerfremden Zahlen p, q wäre, müssen auch r, s teiler-
fremd sein, auch müssen sie, wie p, q, die erste gerade, die zweite
ungerade sein, endlich r durch 3 nicht teilbar; daher sind die drei
Faktoren in (53) ebenfalls zu je zweien ohne gemeinsamen Teiler
und man erschließt Grleichungen von der Form
2r = ^3, r-f35 = f, r- 3s = 1^3
also
während keine der Zahlen J, rj, ^ durch 3 teilbar ist. Dies ist aber,
wie anfangs gezeigt worden, eine Unmöglichkeit.
Ist zweitens 0 die durch 3 teilbare der drei Zahlen j;, y, 0,
also p durch 3 teilbar, so läßt sich ein ganz ähnliches Schluß-
verfahren durchführen, und man erhielte eine neue Gleichung von
der Form (49), aber in wesentlich kleineren ganzen Zahlen, von der
aus man dieselbe Betrachtung wiederholen könnte. So käme man
Unmöglichkeit der Gleichung x^-{-y^ = z^. 457
entweder endlich einmal auf eine Gleichung, wie der erste Fall sie
bietet, die mithin immöglich ist, oder es fände ein unbegrenztes
Herabsteigen zu immer kleineren ganzen Zahlen statt, also ein Wider-
spruch. Die Gleichung (49) ist also unlösbar.
Man sieht, auch hier führt eine descente zum Beweise ganz ähnlich
derjenigen, deren sich Fermat bei dem anfangs in Nr. 11 behandelten
Falle bedient hat. Jedoch bemerkt Fermat in einem an Carcavi
gerichteten Briefe (oeuvres 11 S. 431): J'ai ensuite considere certaines
questions — und unter ihnen wird die Gleichung (49) erwähnt —
qui ne restent pas de recevoir tres grande difficulte, la methode pour
y pratiquer la descente etant tout a fait diverse des precedentes,
comme il sera aise d'eprouver. Es ist nicht gut möglich zu sagen,
was Fermat hiermit gemeint hat. Aber in der Tat findet zwischen
der descente des Eulerscheii Beweises und der früheren ein Unterschied
statt, den es lohnt klarzustellen. Im Grunde wird nämlich der zweite
der unterschiedenen beiden Fälle auf den ersten zurückgeführt durch
eine neue Art der descente, deren eigentümliches Prinzip zuerst von
Legendre (Zahlentheorie, deutsch von Maser, Bd. 2, S. 348) und später
von Kummer in seinen allgemeinen Untersuchungen über den Fermat-
sehen Satz eingehalten worden ist.
Man setze
-s = 2*3^-^1,
wo % ungerade und nicht durch 3 teilbar ist; dadurch geht (50) in
die Gestalt über:
Da p^ -\- 3q^ ungerade, jetzt aber einmal durch 3 teilbar ist, er-
gibt sich hieraus das Bestehen zweier Gleichungen
2i? = 23*- 38^-1- a^i)^+32'=3&3,
in denen a, h als Faktoren von 0^ nicht durch 3 teilbar sind, und
deren letzte auch geschrieben werden kann, wie folgt:
(p + aV^) ■ (p - iV^ = (y=^)' • (- 6)'-
Mit Hilfe des Satzes aus der Körpertheorie, den wir oben benutzt,
erschließt man hieraus, da die Faktoren p + qV— 3, p — g]/— 3 die
Zahl )/— 3 des Körpers zum größten gemeinsamen Teiler haben, daß
also
p = 95(5 -f r)(s — r\ q = r(r^— 9s^)
sein muß. Folglich ergibt sich
2s{s -f- r)(s - r) = 2^' • S^^-^-a^
458 Die Gleichung x''\y'' = z'\
Die Zahlen r, s müssen ohne gemeinsamen Teiler, und da q^ ungerade
ist, s gerade, r ungerade sein; mithin sind die drei Faktoren zur
Rechten zu je zweien teilerfremd, und hieraus erschließt man ent-
weder Gleichungen von der Form
also
(54) (3*-iS)ä+^'=(2'5)»,
oder Grleichungen von dieser anderen Form:
2s = 23* . 38^^-3. g3^ s + y = J3^ 8Tr = ri^
also
(55) |'+,j5=(2*.3'>-i-0',
wobei % als Faktor von a nicht mehr durch 3 teilbar ist. Die
Gleichung (54) ist eine Gleichung von der Form (49) des ersten
Falles, kann also nicht statthaben; die Gleichung (55) hat die Gestalt
der Gleichung (49) des zweiten Falles, in welcher jedoch die
höchste in ^ aufgehende Potenz von 3 erniedrigt ist. Somit
gelangt man durch Wiederholung des gleichen Verfahrens endlich zu
einer Gleichung von der Gestalt (49), in welcher z überhaupt nicht
mehr durch 3 aufgeht d. i. zu einer Gleichung des ersten Falles, aus
deren Unzulässigkeit auch jede Gleichung des zweiten Falles als un-
möglich erhellt.
14. Auch für die nun folgenden Fälle der Gleichungen
(56) x^-Vt=z^
(57) ^^+2/^=^7
ist auf elementarem Wege die jPermai^sche Behauptung ihrer ünlösbar-
keit in ganzen Zahlen bewiesen. Zunächst kann festgestellt werden
— wir kommen später darauf zurück — , daß immer eine der Zahlen
Xy yj s durch den Exponenten 5 resp. 7 teilbar sein muß, und man
darf voraussetzen, daß s diese Zahl sei. Die Unlösbarkeit der
Gleichung (56) unter dieser Voraussetzung wurde zuerst von Dirichlet
in einer der Pariser Akademie am 11. 7. 1825 vorgelesenen Arbeit,
die in Crelles Journal für Mathematik 3, S. 354/68 veröffentlicht ist, für
den FaU bewiesen, daß 0 zugleich die gerade der Zahlen x, y, 0 ist.
Darauf bewies Legendre im 2. Supplement seiner theorie des nombres
den ganzen Satz und zwar den Birichletschen Fall in gleicher Weise
wie dieser, den andern, wo 0 ungerade ist, durch eine besondere
Analyse. In der Addition zu seiner genannten Arbeit (a. a. 0. S. 368 ff.)
gab dann Dirichlet den Beweis auch für den letztern Fall auf völlig
analoge Weise wie für den erstem. Ohne auf diesen Beweis hier
eingehen zu können, sei nur hervorgehoben, daß seine Methode, wie
bei Fermat, ein unbegrenztes Herabsteigen von einer gewissen, in der
Unmöglichkeit der Gleichungen x^ -\- y'" = z^ ; x'' -\- y"' = z'' . 459
Form schon komplizierteren GleichuDg in ganzen Zahlen zu einer
anderen von der gleichen Beschaffenheit, aber in stets kleineren ganzen
Zahlen ist, und daß die Grundlage des Beweises wieder zwei
Hilfssätze bilden, welche der Theorie des aus }/-f 5 ge-
bildeten Zahlenkörpers angehören. Um nämlich auf die all-
gemeinste Weise den Ausdruck p^—b^ mittels teilerfremder und
ungleichartiger Zahlen p, g, deren letztere durch 5 teilbar sein soll,
zu einer durch 5 nicht teilbaren fünften Potenz zu machen, genügt es
zu setzen, während die Zahlen r, s teilerfremd und ungleichartig und
r durch 5 nicht teilbar gedacht werden. Soll ebenso allgemein
X)' — 6q^ zum Vierfachen einer solchen Potenz gemacht werden, während
Pj q teilerfremde ungerade Zahlen, deren letztere durch 5 teilbar ist,
bedeuten, so ist zu setzen
P + iV^ _ (r + sVby
2 \ 2 /
und r, s als ungerade teilerfremde Zahlen zu denken, deren erstere
durch 5 nicht teilbar ist. Biriclilet stellt diese Sätze durch eine
längere Reihe von Schlüssen fest. Sie ergeben sich als eine einfache
Folge aus der Theorie des genannten Zahlenkörpers durch die Be-
merkung, daß seine algebraisch ganzen Zahlen die Zahlen von der Form
sind, wo Uj v einander (mod. 2) kongruente Zahlen bedeuten,
und daß wieder für diese seine ganzen Zahlen eindeutige Zerlegbarkeit
in Primfaktoren von derselben Form herrscht. Soll also
2 ■ 2 4 '
wo P, Q teilerfremde und ungerade Zahlen bezeichnen, eine nicht
durch 5 teilbare fünfte Potenz sein, während Q aufgeht durch 5, so
muß, da ein gemeinsamer Teiler beider Faktoren auch P und QYö
gemeinsam sein müßte, also nicht vorhanden ist, — selbst bis
auf einen Faktor, der eine dem Körper angehörige Einheit wäre, sich
jedoch durch die Bedingung, daß Q durch 5 teilbar sein soll, auf Eins
reduziert, eine fünfte Potenz, also
2
iu-\-vyo\
sein. Weil P, Q ungerade gedacht sind, so werden es auch w, v und
man erhält den zweiten Hilfssatz. Ebenso findet man den ersten,
wenn P = 2^;, § = 2g und p, q als teilerfremd und ungleichartig
vorausgesetzt werden.
(58) ^-f = ^(x^-(-lV -PY'
460 Die Gleichung x^' + y''^ 0".
15. In ganz analoger Weise hat zuerst Lame (Journ. des Math. 5
(1840), S. 195) die Fermatsche Behauptung auch für die Gleichung
(57) bestätigt und darauf Lehesgue (an dems. Orte S. 276 und 348)
eine Vereinfachung seines Beweises geliefert; auch in jener Arbeit
zeigt sich die Notwendigkeit, Sätze aus der Theorie des entsprechenden
Zahlenkörpers zu Hilfe zu nehmen. Das Eingreifen eines solchen
Zahlenkörpers in das Fermatsche Problem begreift sich so-
gleich aus dem Umstände, daß nach einem bekannten Satze
aus der Lehre von der Kreisteilung für jeden Wert der un-
geraden Primzahl^
x^y
gesetzt werden kann, wo X, Y ganze ganzzahlige Funktionen von
X, y also mit diesen Größen zugleich ganze Zahlen sind. Die beiden
Faktoren
(59) x-^yV {-i)~^.p x-yV {-i)^-p
2 ' 2 '
in welche die rechte Seite der Gleichung (58) zerfällt, sind ganze
-1/ ^^r~
algebraische Zahlen des aus der Größe K (— 1) ^ -p gebildeten Zahlen-
körpers. Aber in diesem gelten im allgemeinen nicht mehr die ge-
wöhnlichen Teilbarkeitsgesetze, und eine eindeutige Zerlegbarkeit seiner
ganzen Zahlen in sogenannte Primfaktoren ist nicht mehr vorhanden,
wenn diese von derselben Form sein sollen. Um zu einer solchen
zurückzukehren, müssen gewisse Zahlengebilde eingeführt werden, die
man Ideale nennt und welche nach einem bestimmten Prinzipe der
Äquivalenz in eine endliche Anzahl von Klassen verteilt werden können.
Jede der ganzen Zahlen des Körpers aber ist dann auf eindeutige
Weise in ein Produkt einfacher, sogenannter Primideale zerlegbar.
Nun wird später gezeigt werden, daß, wenn die Gleichung
(60) xP -^yp = 0P
in ganzen Zahlen x, y, 0 bestehen soll, die linke Seite der Gleichung
(58) eine _p*^ Potenz oder das p- fache einer solchen sein muß. Fassen
wir nur den ersteren dieser Fälle ins Auge, so müßten also die Faktoren
(59) ihrer rechten Seite, sobald sie ohne einen dem Körper an-
gehörigen gemeinsamen Teiler sind, selbst p^^ Potenzen eines gewissen
Ideals sein. Falls dann p in der Anzahl der Idealklassen nicht auf-
geht, würde aus der allgemeinen Theorie der Zahlenkörper folgen,
daß jene Faktoren bis auf Einheitsfaktoren gleich p*®^ Potenzen anderer
ganzer Zahlen
-1/ izil -1/ P:zl
uj-vV {-!) ^ p u-vV {-!) ^ p
ZuBammenliang mit der Körpertheorie. Kunimera Ergebnis. 461
des Körpers wären, und es würde sich so ein Beweisgang anschicken
ähnlich den bisher schon beobachteten. Entsprechendes gälte in dem
zweiten der vorher unterschiedenen Fälle. Doch abgesehen davon,
daß es nur für die Primzahlen p der erwähnten Art zum Ziele führen
könnte, zeigen schon die Arbeiten von Lame und Lehesgiie, wie un-
gemein die Betrachtungen mit wachsendem AYerte des Exponenten p
sich verwickeln und vermutlich bald undurchführbar werden würden.
Mit Zuhilfenahme des Kreisteilungskörpers, d. i. der aus p^^^ Wurzeln
der Einheit gebildeten Zahlen, auf welchen die voraufgehende Er-
örterung schon hinweist, ist es Kunimer gelungen, den großen Fennat-
schen Lehrsatz für alle Primzahlexponenten p, die einer gewissen
Bedingung genügen, sogar in viel allgemeinerem Sinne, als Fermat
ihn gemeint hat, zu beweisen, nämlich den Nachweis zu führen, daß
die Gleichung (60) nicht nur nicht in ganzen rationalen, sondern
auch nicht einmal in ganzen algebraischen dem Kreisteilungskörper
angehörigen Zahlen auflösbar ist. Es ist noch unbekannt, ob es
solcher Primzahlen ^; eine nur endliche oder eine unendliche Anzahl
gibt: da aber zu ihnen alle Primzahlen des ersten Hunderts gehören,
so steht der Ferynatsche Ausspruch für alle Primzahlen
p < 100 bereits fest. Aber diese luimjnerschen Betrachtungen
entziehen sich wie dem Rahmen dieses Werks, so auch unserm
Vorhaben, das vielmehr darauf ausgeht, die hauptsächlichsten ele-
mentaren Beweisversuche zu besprechen, die bisher angestellt wurden,
in Anbetracht dessen, daß, wenn Fermat wirklich einen Beweis seiner
Behauptung besessen, auch dieser nur ein elementarer gewesen sein
kann.
16. Indem wir dazu übergehen, zu entwickeLa, was in solcher
Weise für den allgemeinen Fall der Gleichung (60) bisher geleistet
worden ist, schicken wir eine Reihe von Bemerkungen vorauf,
welche, an sich interessant, dabei zur Verwendung gelangen.
Zunächst kann man der Gleichung (60), indem man ^^ auf die
linke Seite bringt und dann — z statt 0 schreibt, die symmetrische
Gestalt
(61) xP-{-yP + ZP = 0
geben, in welcher nun zwei der Zahlen x, y, z positiv, eine negativ
gedacht werden können. Auch dürfen wir sie zu je zweien teilerfremd
annehmen; daher müssen dann zwei der Zahlen x, ^, z ungerade, die
dritte gerade sein.
1) Setzen wir nun
X = a; + ?/ 4- ^, M = x\j -\-yz-\- zx, N= xyz^
so können Xy y, z als Wurzeln der kubischen Gleichung
U^-Lr--{-MU-X=0
(63)
462 ^i^ Gleichung x^-^'f = z^.
aufgefaßt werden, und wenn für jeden Index i
Si== x'-j- y'-\- z^
gesetzt wird, so bestehen nach den Newton^Q\iQn Formeln die Be-
ziehungen :
(L -S,=^0
(62) { U- S^==^{LM-N)
L'>-S, = b{LM ~ N){U - M)
U-S,'-^ 1{LM - N){IU- Mf+LN).
Mit Rücksicht auf die leicht zu bestätigenden Formeln
LM -N==(x-^ y) (y + ^) (^ + cc)
J^2 JJ^f L^ + x^ + y^ + z^
nehmen die drei zuletzt geschriebenen Gleichungen die Gestalt an:
L' - S, = b(x + y){y + g){z + x) ■ ^'±^!±l!+f!
U-8,= l(x + y)(y + «)(« + x) . [(^!±^!±l!±±y _ Lxy^j,
auf deren letzte Lebesgue (am oben angeführten Orte) seinen Beweis
für die Unlösbarkeit der Gleichung (57) in ganzen Zahlen gegründet hat.
Nun besteht für jeden Primzahlexponenten p nach dem Fermatscheia.
Lehrsatze die Kongruenz
(64) Sp= xP+ yP-\- zP=x-^ y -\- 0 (mod. p).
Damit also die Gleichung (61) erfüllt sei, muß
(65) L = X -i- y -{- 0^0 (mod. p)
sein. Demnach zieht man aus den Gleichungen (63) den Schluß, daß
zum Bestehen der Gleichungen
x'^+y'-i- z'^ = 0
in ganzen Zahlen resp. nachstehende Kongruenzen notwendig sind:
3(^ + y)(y + ^)(^ + x) = 0 (mod. 3^)
5(^ + y){y + ^)(^ + ^) • ^!±^±i!±f!= o (mod. 5^)
Ux + y)(y + 0){z + x){{'^^±^p^±^f-Lxyz]^O
(mod. 7^).
Die Gleichung ic^ -}■ 2/^ "" ^^' Vorbemerkungen. 463
Aus der ersten von ihnen folgt, daß mindestens einer der Faktoren
^ -\- ])y y ~^ ^f z -\- X und daher zufolge der nach (65) bestehenden
Kongruenz x -\- y -\- z^O (mod. 3) auch eine der Zahlen rr, ij, z durch
3 aufgehen muß. Aus der zweiten ergibt sich entweder die Teilbar-
keit eines der drei Faktoren x -\- ijy y + z, z -\- x oder die des Aus-
drucks L^ -{- x^ -\- y- -\- z^j d. i., weil nach (65) Z = 0 (mod. 5) ist, des
Ausdrucks x^ -\- y"^ -\- z^ durch 5; in beiden Fällen muß aber auch eine
der Zahlen Xj y, z durch 5 teilbar sein. So bestätigt sich in den
Fällen p = S und ^ = 5 ein früher schon bemerktes Resultat. Doch
läßt die gleiche Schlußweise schon beim nächsten Falle im Stich;
denn zwar schließt man aus der letzten der obigen Kongruenzen, daß
entweder einer der Faktoren x -{- y, y + z, z -{■ x und dann also auch
eine der Zahlen Xy y^ z, oder aber, wenn, dies nicht der Fall ist, der
letzte Faktor d. h., weil nach (65) L = 0 (mod. 7) ist, der Ausdruck
x^-\-y^-\-z^ durch 7 aufgehen muß, doch überzeugt man sich leicht,
daß letzteres geschehen kann, ohne daß eine der Zahlen x, y, z
durch 7 teilbar ist. So muß man sich in diesem Falle und noch
mehr für den allgemeinen Fall irgendeines Primzahlexponenten p zum
Beweise des entsprechenden Umstandes nach anderen Mitteln umsehen.
2) Allgemein ist die Differenz Lp — Sp d. i. der Ausdruck
(x -\- y -\- z)p — ccP — yp — zP
eine homogene ganze und ganzzahlige Funktion p^^^ Dimension von
X, y, z, deren Koeffizienten aufgehen durch p. Da aber der Ausdruck
verschwindet, wenn x -\- y oder y -\- z oder z -\- x gleich Null gesetzt
wird, ist er durch jede dieser Summen algebraisch teilbar und somit
besteht die allgemeine Formel:
(66) (o; + 1/ + z)p-xP-yP-zP = p{x + y){y + z){z + x) - F(x, y, z\
in welcher F{Xj y, z) eine ganze, ganzzahlige homogene Funktion
p — 3*®^ Dimension von x, ?/, z bedeutet.
Ebenso findet sich die Differenz
(x + yy -xP- ijp,
deren sämtliche Koeffizienten gleichfalls durch p teilbare ganze Zahlen
sind, weil sie verschwindet, wenn x oder y gleich Null, desgleichen,
wenn x -{- y = 0 gesetzt werden, teilbar durch x, y und x -\- y^ es
besteht demnach, wie auch aus (66) sogleich hervorgeht, wenn z = 0
gedacht wird, die allgemeine Beziehung
(66 a) (x + y)p - XP - yp = p - xy(x + y)f(x, y),
worin f(xj y) eine ganze, ganzzahlige und homogene Funktion jp — 3*®^
Dimension von x, y bedeutet. Diese ist nach einer, schon in Kap. 2
Nr. 12 angeführten Formel leicht angebbar. Nach ihr ist
464 ^ie Gleichung x"" ■]- y'^ = z"" .
I (^ + yy
wo das allgemeine Glied der Entwicklung
(_iy-i.|(P-^-i).^Y'(«^ + y>-"
ist, die Entwicklung also mit dem Gliede
p — 3 p — 1 p — 1
schließt; die- Koeffizienten sind ganze, durch ^ teilbare Zahlen. Daher
ergibt sich
fix, y)
(68) =(^ + 2/)^-'-^f7')^2/(^+2/y-^+^f;')^y(^+2/)^-^
j3 — 3 jt> — 3 j?— 3
+ ••• + (- 1) ^ ^ ^ y^.
Man verdankt Cauchy (Journ. des Math. 5 (1840), S. 211) eine
interessante nähere Bestimmung dieser Funktion. Setzt man
(^ + l)p-(0^+l) = 9)(^)
also
i)[(0 + l)^-i~^P-i] = 9'(4
und versteht man unter a eine imaginäre kubische Einheitswurzel,
so daß «^+a + l = 0, a -\- 1 ^ — a^, a^-\-l = — a ist, so folgt er-
sichtlich, sooft p > S ist,
a^ —1
q,{a') = - K+ cc^^+l) = - 2^ = 0,
a^ — 1
während
wird; falls daher p —1 durch 3 aufgeht d. i. p von der Form 6Z: -f 1
ist, werden auch (p' (a) und qp'(a^) gleich Null sein. Das besagt aber,
daß die Funktion (p(0) für p > S stets teilbar ist durch z^-\- z + \y
falls aber j) = 6^ + 1 ist, sogar durch {z'^ -\- z -\- Vf. Man schließt
also, daß für ^ > 3 die Funktion f{x, y) stets den Faktor x' -{- xy -{- y',
und in dem Falle, wo p die Form 61c -\-l hat, sogar das Quadrat
dieses Ausdrucks zum Faktor hat. So finden sich in der Tat die
Gleichungen:
(x + yf - x^—y^= 3xy{x -f «/)
(66b) I (x + ijf -x^-r-y^= bxy{x + y){x^ + xy + /)
(x f yy - x'^—y'^= lxy{x + y){x' + xy + y^.
Die sogenannten J.6eZ8chen Formeln. 465
17. Nunmehr bedenke man, daß
(69) ^+y,^(^^ + y).^±£
gesetzt werden kann, wo
0^) ^X^ = xP-''- xP-hj + xP-^y'^ xyp-'^^ yP-^
also zugleich mit Xj y eine ganze Zahl ist. Schreibt man
s = x-\-y,
so wird hieraus
(71) ^±^ = ^^^^^^^^ = sP-^-psP-'x + i^^sP-H^ +pc^-\
Wenn nun ö ein Primfaktor von x -\- y, so kann ö nicht aufgehen
in x, da es sonst auch in y aufginge und x, y nicht, wie voraus-
gesetzt worden, teilerfremd wären. Die voraufgehende Gleichung lehrt
xP -^-tjP
also, daß ö nur dann auch ein Primfaktor von .^ sein kann,
wenn ö = » ist, daß dann aber wirklich auch ö = « in — -p^, und
xP 4- -uP
zwar genau einmal als Faktor enthalten ist; auch kann — J^ nur
dann den Faktor p haben, wenn s = x -\- y ihn hat. Hieraus folgt,
daß, wenn x -\- y durch p nicht aufgeht, die beiden Faktoren des
Ausdrucks (69) teilerfremd sind und auch der zweite von ihnen
durch p nicht aufgeht, so daß, wenn
(72a) ^ + 2, = s, ^^ = «
gesetzt wird, s und i teilerfremde, durch p nicht aufgehende Zahlen
bedeuten. Geht aber p \tl x -\r y auf, so darf gesetzt werden
(72b) x^y-r-^-s,''^=$-t,
wo nun wieder s und t zwei teilerfremde, durch jp nicht teilbare Zahlen
bezeichnen.
Soll daher die Gleichung
(73) a^+ 2/^-f 5-^=0
in ganzen Zahlen bestehen, so muß im ersten Falle s • t und demnach
auch jeder Faktor s und t eine durch |) nicht teilbare jp*^ Potenz sein, etwa
s = ^^, i = vPy
im zweiten Falle muß p'^st eine durch p teilbare p^^ Potenz, also etwa
m =pn, s = uP, t = vP
und jedesmal u, v zwei teilerfremde, durch p nicht teilbare Zahlen
sein. Entweder bestehen also Beziehungen, wie diese:
a^ + yP
(74a) x + y = uP, -^y = vp, ^ = - iiv,
Bachmann, niedere ZaMentheorie. II. 30
466 Die Gleichung x'' + y'' = z'K
oder diese anderen:
(74b) x^y =pp«-i. uPy \^ =p • vP, z = ~p''uv.
x-f-y
Die Zahl v ist ungerade. Denn, wenn eine der Zahlen Xy y
gerade, also die andere ungerade ist, so sind alle Glieder des Aus-
drucks (70) bis auf eins gerade, andernfalls besteht er aus einer un-
geraden Anzahl ungerader Glieder. Sei nun ö eine in v aufgehende,
also von p verschiedene Primzahl; wegen (70) kann sie in keiner der
Zahlen Xj y aufgehen, da diese sonst beide durch sie teilbar, also
nicht teilerfremd wären. Da nun xP -\- y^^O (mod. ö), so wird, wenn
riy^i— 1, ^ = rjx gesetzt wird, |^= 1 (mod. ö), während nicht | = 1,
d. h. TjX — 1 ^ rj(x + y) ^ 0 sein kann. Demnach gehört J (mod. ö)
zum Exponenten p, der also ein Teiler von ö — 1 sein muß. Jeder
Primteiler a> von v hat mit anderen Worten die Form 2hp -f 1,
und folglich ist ^ / -, n
V ^l (mod. p).
Aus der Symmetrie der Gleichung (73) in bezug auf x, y, z
schließt man aber, daß in gleicher Weise wie eins der Gleichungs-
systeme (74a) oder (74b) auch entweder:
(75a) y "tz^ n'v, ^±^ = v'^, x=- u'v'
oder:
(75b) 1/ + ^=i)«'-P-i. t*'^, ^-±^=^ . ij'i', ^= — _p«'tf't;',
sowie auch, daß entweder:
(76a) z-\-x^ u\ '-^^ = v"p, y = - u"v''
oder:
(76b) 0 + x=p'^"p-^- u"p, ^ j"^ =p' v"p, y = —p''"u"v"
bestehen muß, wobei bezüglich der Zahlen u\ v^ resp. t(", «;" Gleiches
gilt, wie für die Zahlen Uj v festgestellt worden ist.
Da nun nicht zwei der Zahlen x, y, 0 durch p aufgehen können,
lassen sich diese Möglichkeiten nur auf folgende vier Weisen kom-
^i^i^^^^= (74a), (75a), (76a)
(74a), (75b), (76a)
(74 a), (75a), (76 b)
(74b), r75a^ (76a),
von denen die drei letzten Kombinationen dem Falle zugehören, wo
eine der Zahlen x^ y, z durch p aufgeht. Wegen der Symmetrie der
Gleichung (43) in bezug auf x, y z ist es gleichgültig, welche dieser
Zahlen wir als die durch p teilbare ansehen wollen; wir wählen dafür
die Zahl z und haben dann fernerhin nur zwei wesentlich verschiedene
Fälle, die erste und letzte der vier Kombinationen zu untersuchen:
Die sogenannten Äbehchen Formeln.
I. Entweder ist
467
(77a)
woraus
(78a)
hervorgeht;
n. Oder es ist
xP + y'
x + y
= VP. 3 =
UV
y^- u"v",
uP-u'P + u"P
y =
(77b)
woraus
(78b)
x + y =pp»-
uff
2
uP + u'P-
u"P
2
-uP-^u'P
+ t*
'ip
2
xP + yP
■P-
VP,
z
=
— P'^UVy
X
=
- u^v\
y
=
- u"v",
.np-
iP - u!P
X =
y =
z =
it'-P + w'
2
p«p-
-1
uP-^u'P
—
vJ'P
2
_f,-
-1
uP\v}P
+
u"P
hervorgeht. Diese Formehi gab Legendre (Mem. de l'Acad. des sciences,
Institut de France 1823 [1827], S. 1), auch findet man sie in einem
Briefe Äbd^ an Holmboe vom 24. 6. 1823; s. Abel oeuvres completes
2. ed. II, S. 264/265.
Bevor wir diese Fälle einzeln näher untersuchen, fügen wir noch
zwei Bemerkungen an, welche nach Legendres Aussage (a. a. 0.)
zuerst von Sophie Germain gemacht worden sind. Die eine besagt,
daß in den Formeln (77 b) w > 1, d. h., daß die durch p teilbare der
Zahlen x, y, z sogar durch p^ teilbar ist. In der Tat folgt aus jenen
Formeln
u'p -f ii'fp = x-}- y-\-2z = 0 (mod. p)]
dies erfordert, daß u' -{- u" selbst durch p teilbar ist, mithin nach (67)
u'p + u"p = (u' -f u")P = 0 (mod. p^\
weshalb nach der letzten der Formeln (78 b) auch z durch p^ teilbar
hervorgeht.
Nach der zweiten jener Bemerkungen haben, gleichviel ob der erste
oder der zweite der zu betrachtenden Fälle vorliegt, die Primteiler
G> von V, von denen schon gezeigt ist, daß sie von der Form 2hp -\- 1
30*
468 Die Gleichung a;** + s/"" = ^'^'
sind, genauer die Form 2 lip^ + 1 ? d. h. h muß durch p teilbar sein.
Denn es ergeben sieb in beiden Fällen die Kongruenzen:
v^O, z~Oy 1/ = u^P, X = u"Py xP -^yp^ u'p" + u"p" = 0
(mod. ö),
deren letzte durch
(79) {u' u^)P'- +1 = 0 (mod. ö)
ersetzt werden kann, wenn mit u^ der Sozius von w" (mod. ö) be-
zeichnet wird. Sei nun g eine primitive Wurzel für die Primzahl
c> = 2hp +1-^ dann ist u'u2 ^ g', wo i nicht durch h teilbar ist, da
sonst (u'u2)P =g'P = ±lj also entweder (w'wg)^'" -f 1 = 2 oder u'p
-{- u^'p ^ X -\- y ^ 0 sich ergäbe, was beides nicht sein kann. Aus
(79) ergibt sich aber
^ ^ ^ ^^-^^ + 1=0,
also ^2*>^= 1 (mod. ö), mithin 2ip^ teilbar durch ö — 1 = 2hp, ip
durch hy was nur sein kann, wenn h durch p aufgeht.
18. Wir behandeln nun zuvörderst den Fall I.
Gehen wir mit E. Wendt (Journ. f. Math. 113 [1894], S. 335) von
einer Formel aus, die für das vorliegende Problem zuerst in Lames
schon erwähnter Arbeit verwendet worden ist. Für irgend drei
Größen a, h, c läßt sich der Ausdruck
(80) S = {a -\- h -{- c)p - (a + h - c)P - (a - h + c)p ~ {- a + h -j- c)P
nach dem polynomischen Lehrsatze schreiben wie folgt:
«=2'4b-''"^Mi - (- 1)"- (- 1)"- (- 1)'')'
worin die Summation über alle nicht negativen a, ß, y auszudehnen
ist, die p zur Summe geben. Da p ungerade ist, mithin alle drei
Größen a, /?, y ungerade oder nur eine von ihnen ungerade sein
muß, im letzteren Falle aber die Klammergröße unter dem Summen-
zeichen verschwindet, so wird, indem man
a = 2A + l, ^ = 2ft + l, 7 = 2^4-1
schreibt,
(81) ^ = ^^«^^ •2(n + x)UW(2. + i)I-"^"'-"-
Setzt man also
a== uPy h = u'Py c = u"p
voraus, so wird mit Rücksicht auf die Formeln (78a) und auf die
vorausgesetzte Gleichung (73)
(uP 4- u'p + u"p)p
(82) |^4j,.(».M'.")^-2'(2X + i),(r+'i)'i(2. + i)! • «^'-«'^-«"^-.
ü — 3
Zwei Fälle. Erörterung des ersten. 4ß9
aus welcher Gleichung sich zwei andere ergeben von der Form
(83)
^(2X+l)!
(p-l)\
• u^^-Pu'^fPu"^^'P= 2p-^pP-'^ • Pp.
(2|it+l)!(2v + l)!
Dies vorausgeschickt, sei nun ö eine Primzahl von der Form 2hp-\-l.
Aus der vorausgesetzten Gleichung (73) folgt die Kongruenz
(84) xP-h yP-{- zf'^O (mod. ö),
der man, wenn keine der Zahlen x, y, 3 durch ö aufginge, mit /
den Sozius von z (mod. ö) bezeichnend, die Form
(xzy + 1 = (- yzy
oder
(85) 1^ + 1 = n^ (mod. ö)
geben kann, wo ^, ?; teilerfremd zu ö sind, so daß
(86) |2Ap -3 1^ ^2äp = 1 (niod. ö)
ist. Mit Rücksicht auf die letzteren Kongruenzen gibt die vorauf-
gehende zur 2/i*®^ Potenz erhoben die folgende:
(\*) • |("-')^ + (\^) • !<'* - 2)p + ■ . . + (^,f ^ j) . |p + 1 = 0,
woraus durch wiederholte Multiplikation mit I'' unter steter Berück-
sichtigung Ton (86) die anderen:
Q ■ 1'^-«^ + P) ■ l<— ^>^ + ■ ■ + (\') ■ 1" + (',") = 0
hervorgehen. Soll also die Kongruenz (84) für nicht durch ö
teilbare x, y^ z möglich sein, so muß die Determinante der
vorstehenden 2h Kongruenzen durch den Modulus ö = 2hp + 1
teilbar, d. h., wenn gesetzt wird:
/2 7i\ /2/i\ / 2h \
(87)
^' \i /' • • ■' \2A-2;' Ua-1/
470 Die Gleichung a?" + 2/"" = ^".
so muß
Z)2A ^ 0 (mod. G>)
sein.
Gibt es also eine Primzahl ö == 2/^jp + 1, welche nicht in der zu-
gehörigen Determinante Dba aufgeht, so kann eine Kongruenz (84)
und daher auch die Gleichung (73) in nicht durch & teilbaren Zahlen
Xy y, 0 nicht stattfinden. Mithin muß dann eine dieser Zahlen —
welche von ihnen ist bei der Symmetrie in bezug auf sie gleichgültig,
nehmen wir also etwa an, die Zahl z — durch & teilbar sein. Dieser
Primteiler g> geht dann entweder in u oder in v auf, und in letzterem
Falle, da u, v, aber auch Xj z und «/, z, mithin auch «*', v und ^f", v
teilerfremd sind, in keiner der Zahlen u, u\ u". Aus der dritten der
Gleichungen (78 a) ergäbe sich dann eine der Kongruenz (84) analoge
Kongruenz
(- uy -f u'p + u"P = 0 (mod. &)
in nicht durch a> teilbaren Zahlen — u, u'y u^', was wegen der über
& gemachten Annahme unmöglich ist. Somit bleibt nur, daß u durch
G) teilbar ist, und aus der dritten der Gleichungen (78 a) folgt
mithin [ (mod. ö).
u'^p = u"^p J
Unter diesen Umständen darf man aber in der zweiten der Glei-
chungen (83), wenn sie als Kongruenz (mod. ö) aufgefaßt wird, die-
jenigen Glieder, in denen 2 > 0 ist, als durch ö teilbar weglassen und
setzen, wodurch, da nun die Summation sich nur über alle ^, v er-
streckt, deren Summe /* + i^ = ^-^ ist, die folgende Kongruenz
hervorgeht:
(88) «'<^-')^ -^i^^^iyZm = 2-- V-^ • P" (mod. ö).
Nun bestehen die Gleichungen
a-{-ß=p-l fi-^v=^-— ^ + v=^— -
(p-l)\
(2/i)!(2i;)!
p — 1
und aus ihrer Subtraktion findet sich
^{2(i-\-l)[{2v\-l)l
pS
Satz von Sophie Germain. 471
Dadurch geht die Kongruenz (88) über in die einfachere Gestalt
tif(p—^)p = pp--i- . pp (mod. ö).
Diese Kongi-uenz lehrt zunächst, daß P durch ö nicht aufgeht, da
ii' es nicht tut, und führt durch Erhebung zur 2/i*®^ Potenz mit
Rücksicht auf den Fennatschen Lehrsatz zur folgenden:
l=p^Hp-l)
oder
(89) p2A ^ 1 (mod. ö).
Erfüllt daher die Primzahl ö noch die zweite Voraussetzung, daß
diese Kongruenz für sie nicht stattfindet, so kann auch ii und daher
auch s durch ö nicht teilbar sein. Man ist solcherweise zu folgendem
Ergebnisse gelangt:
Gibt es eine Primzahl ö = 2hp -\- 1, die weder in der zu-
gehörigen Determinante D2k noch auch in p^^ — 1 aufgeht,
so ist der Fall I für die Gleichung (73) d.h. diese Gleichung
in ganzen durch p nicht teilbaren Zahlen x, y, z unmöglich.
19. Diesen Satz findet man in wesentlich gleicher Weise in
Wendts oben angeführter Arbeit hergeleitet. In anderer Weise aus-
gesprochen gab ihn schon Legendre (an zuletzt angemerkter Stelle)
als ein Ergebnis Sophie Germains. Seine Aussage lautet: Ist eine
Primzahl ö = 2]ip + 1 vorhanden, für welche zwischen
keinen zwei p*®^ Potenzresten r', r" die Beziehung 1 + r' = r"
(mod. a) — d. h. keine Kongruenz (85) — bestehen kann, und
für welche p kein p^^^ Potenzrest — d. h. p^^ = 1 (mod. ö) nicht
erfüllt — ist, so kann die Gleichung (73) in ganzen durch p
nicht teilbaren Zahlen nicht bestehen. Diese Aussage ist aber
mit der des Wendischen Satzes gleichbedeutend, da die Kongruenz
D'2?i = 0 (mod. ö) nicht nur eine notwendige, sondern, wie jetzt ge-
zeigt werden soll, auch hinreichende Bedingung für das Bestehen
einer Kongruenz (85) ist.
Nach einem allgemeinen Determinantensatze, für welchen Stern
(Journ. für Math. 73, S. 374) einen sehr einfachen Beweis gegeben
hat, ist
(90) i)«=jfj[(i + p*T"-i],
1=1
wenn unter q eine primitive Wurzel der Gleichung
x^^ = l
verstanden wird. Daraus folgt für jede primitive Wurzel y der Kon-
gruenz
(91) x^^ = l (mod. ö)
die Kongruenz
472 Die Gleichung rc^ + 2/" = ^^
aus welcher, wenn D^h^^O ist, sicli einer der Faktoren des Produkts,
also für einen bestimmten Wert von i sich
(1+ y'y^ = l (mod. ö),
d. h. 14- y' sich als ein p*®^ Potenzrest /' (mod. ö) ergibt; da nun
auch y^ eine Wurzel der Kongruenz (91) also ein j9*" Potenzrest r'
(mod. ö) ist, so folgt eine Beziehung 1 + / = r" d. h. eine Kongruenz
(85) (mod. ö).
20. Wenden wir nun analoge Betrachtungen für den
Fall II der Gleichung (73) an, setzen also voraus, die Gleichung
(73) bestehe für ganzzahlige ^, y^ ^, deren z durch p teilbar ist.
Indem wir dann in (81)
einsetzen, erhalten wir die Gleichung
(92)Ur^(Wii'>-2'(2^+i)i(f,Vi)U^
woraus zwei andere Gleichungen hervorgehen von der Form
[ p^'P-^-uP -^u'p + u"p = 2p''uu^u"'P
[yO) j -^1 (i^~^)' .^2X(np~l) . >,j2JLp..r2iup.jrf2vp_Op—2,pp
Nun steht schon aus der Erörterung des Falles I fest, daß, wenn
eine Primzahl c> = 2hp-\-l vorhanden ist, die nicht in der zugehörigen
Determinante D2/, aufgeht, in der vorausgesetzten Gleichung (73) eine
der Zahlen ä;, y^ z durch & aufgehen muß. Wir nehmen zunächst
an, dies sei eine der beiden Zahlen Xy y, welche nicht durch
p teilbar sind, etwa die Zahl x. Aus (78b) folgt dann
(94) f'P-'^ • wP — u^P 4- «*"^= 0 (mod. ö),
zugleich muß eine der Zahlen u\ v' durch ät teilbar sein. Ist es v',
so kann es keine der Zahlen u, u\ u" sein, und man erschließt dann
aus der vorstehenden Kongruenz durch Multiplikation mit der p^^^
Potenz des Sozius von^"~^-w (mod. ö) das Bestehen einer anderen
von der Form
(95) pP-'^=^P+ rjP (mod. ö)
mit zu ö teilerfremden |, ij, so daß
(96) |2ä„ ^ 1^ ^2/,^ ^ i (niod. ö)
ist. Durch Erheben derselben zur 2h*^^ Potenz kommt dann
Erörterung des zweiten Falles.
2h
473
und hieraus durch wiederholte Multiplikation mit ^p ■ rf^h-\)p ^[q
folgenden Kongruenzen:
welche zusammen mit der voraufgehenden nur bestehen können, wenn
die Determinante
'2Ä\ /2Ä\ / 2Ä
(97)
As*
(?>(.).-'(J-.)'2-i'— "
(")'(")-••- 2 -P—M")
durch & teilbar ist. Erfüllt daher die Primzahl ö noch die weitere
Voraussetzung, auch in t^^n nicht aufzugehen, so kann v^ nicht teil-
bar sein durch ö, und demnach müßte es u^ sein. Dann folgt aus (94)
also [ (mod. ö).
(98) u^fip~p^^''P-'^).u^p )
Geht nun ö genau r mal in u' also in x auf, so geht es der ersten
der Formeln (78 b) zufolge genau ebenso oft in p"P-^ • iip -\- ii"p also
auch in
pnp-l . ^_j_ ^^'p^ ^^ffp
auf, und deshalb lehrt die erste der Gleichungen (93), daß P durch ö
nicht teilbar ist. In der zweiten dieser Gleichungen verschwinden
aber, wenn sie als Kongruenz (mod. ö) aufgefaßt wird, die Glieder
der Summe, in denen /a > 0 ist, als teilbar durch ö, und so erhält
man, da nun in den übrigen A + i/ = ^-^— zu setzen ist, mit Rücksicht
auf (98) die Kongruenz:
^ip-i){np-l)..pip-3)^ '^ iP-'^)-
2
X-\-v
p-3
^^~ ^^W' ~ 2""''^" (^ö^- ^)^
welche sich wie die Kongruenz (88) vereinfacht und die Gestalt
p{p—z){np—i).np{p~d) = pp (mod. ö)
annimmt. Wird sie zur Potenz 2 h erhoben, so kommt einfach
pGh = i (mod. ö).
474 Die Gleichung a?" + 2/" = ^".
eine Kongruenz, welche in Verbindung mit
sobald ^ > 3 vorausgesetzt wird (eine Voraussetzung, die wir machen
dürfen, da der FermatsQ\iQ Satz für den Exponenten 3 schon erledigt ist),
(99) ij2A ^ i ^^^^^ ^)
ergibt. Wenn daher die Primzahl cb noch, wie im ersten Falle, die
jetzt dritte Voraussetzung erfüllt, kein Teiler von^^'*— 1 zu sein, so
wird auch die Teilbarkeit von u^ durch ö unmöglich, und daher kann
die Gleichung (73) unter den über x^ y, z gemachten Annahmen
nicht bestehen.
Demnach werde nun noch der allein übrige Fall gesetzt,
daß die durch jp teilbare Zahl z der drei Zahlen ic, y^ z zu-
gleich auch die durch ö teilbare Zahl sei. Aus (78b) folgt dann
(100) — p«^-l.^^^+ u'P+u"p = 0 (mod. ö),
während ä> entweder in u oder in v aufgehen muß. Wäre v durch
& teilbar, so könnte es keine der Zahlen u, u\ u" sein, und man
käme genau wie vorher zu dem Schlüsse, daß Aba durch & aufgehen
müßte. Unter der Voraussetzung des Gegenteils könnte also v nicht
durch CO aufgehen und somit müßte es u, und aus (100) ergäbe sich
^'i> 4. u"p EE 0 (mod. ö).
Die Verbindung dieser Kongruenz mit der zweiten der Formeln (93)
führt aber jetzt zu keiner der Kongruenz (99) entsprechenden weiteren
Bedingung, da der Faktor p aus der Formel (93) verschwindet. Man
erschließt nur aus den Formeln (77 b), daß auch x -\- y durch & teil-
bar sein muß.
Faßt man nun zusammen, was wir für die beiden Fälle I und II
gefolgert haben, so gelangt man zu nachstehendem Gesamtergebnis:
Gibt es eine Primzahl G) = 2hp-{-l, welche in keiner der
Zahlen
D2,, A2A, p'' - 1
aufgeht, so erfordert das Bestehen der Gleichung
a;P -I- i/P + 0P = 0
in ganzen Zahlen x, «/, z, daß eine derselben, etwa ^, durch p,
und daß dieselbe Zahl z sowie auch die Summe x ■\- y der
beiden anderen durch ö teilbar sei.
21. Obwohl die in den letzten Nummern mitgeteilten Sätze von
Legendr e bzw. von Wendt durchaus noch nicht ausreichen, das
i^erma^sche Theorem zu erweisen, sind sie gleichwohl nicht ohne
Wert. Z. B. hat Legendre a. a. 0. festgestellt, daß für alle Primzahlen
p < 100 Primzahlen g) von der Art vorhanden sind, wie der Satz in
Nr. 18 sie voraussetzt; er hat ferner gezeigt, daß jede Primzahl von
Erweiterung des Satzes von Sophie Germain. Schlußfolgerungen. 475
einer der Formen 2p -{-l, 4p -\- 1, Sp + 1, 16p + 1, 10^; + 1, lip + 1
eine solche Primzahl ö ist. Damit ist dann sogleich erwiesen, daß
die Gleichung
(101) a:P-\-^jP+ 2P==0
in ganzen durch p) nicht teilbaren Zahlen unlösbar ist nicht nur für
alle Primzahlexponenten p < 100, sondern auch für diejenigen, für
welche eine der genannten Formen eine Primzahl liefert, und dadurch
findet sich leicht, daß sie sogar für alle Primzahlexponenten p < 197
Lösungen der gedachten Art nicht besitzt. E. Maillä hat später
(Assoc. fran^aise pour l'advancement des sciences, St. Etienne, 26. session
1897, S. 156) diese Grenze auf p < 223 erhöht, und durch Anwendung
von Hilfsmitteln höherer Art ist es Mirimanoff gelungen (Journ. f.
Math. 128 (1904), S. 45), sie noch weiter bis auf p < 257 auszudehnen.
Endlich hat mittels einer tieferen Ausbeutung der Bedingungen, unter
denen der Legendresche Satz in Nr. 18 besteht, neuerdings E. L. Bickson
(Mess. of Math, new series no. 445, May 1908 und Quart. Journ. of
Math. no. 157, 1908) für alle Primzahlen p < 7000 mit Ausnahme
der Zahl 6857 den Nachweis erbracht, daß die Gleichung (102) in
ganzen durch p unteilbaren Zahlen unlösbar ist. Hier woUen wir
uns damit begnügen, nachzuweisen, daß die Gleichung (101) für
alle Primzahlexponenten p, für welche 2p + 1 oder 4p + 1
eine Primzahl ist, in ganzen durch p nicht teilbaren Zahlen
unlösbar ist.
Für h = 1 wird B^n die Determinante
Do =
2, 1
= 3.
1, 2
Ist also p eine Primzahl, für welche auch ö = 2p + 1 Primzahl ist,
so geht diese nicht auf in B^, ebensowenig aber in
p^-i=(i)-i)(p + i).
Daher ist nach Nr. 18 die Gleichung
in ganzen durch p nicht teilbaren Zahlen unmöglich, z. B. für
i, = 3, 5, 11, 23, . . . ,
für welche Werte
ö = 7, 11, 23, 47, . . .
Primzahlen sind.
Für li = 2 wird Bin die Determinante
4, 6, 4, 1
4
6
4
1)4 =
6,
4,
1,
4,
1,
4,
1,
4,
6,
375 = 3 . 51
476 Die Gleichung x'' i 2/" - z"".
Ist daher p eine Primzalil, für welche ö = 4^) + 1 Primzahl ist, so
geht m nicht in der zugehörigen Determinante D^ auf, aber auch
nicht in^
p^-l = (iJ^+l).(p-l)(^ + l);
von den beiden letzten Faktoren ist dies offenbar; ginge ö aber auf
in ^^ + 1, so auch in
16(2)2 + 1) + 2 . (4jp -f 1) = (4^ + 1)2 + 17,
also auch in 17, was doch niemals der Fall. Mithin ist die Gleichung
^^ + «/^ + ^^ = 0
in ganzen durch ^ nicht teilbaren Zahlen für alle solche Exponenten
p unlösbar, z. B. für
i) = 3, 7, 13, 29, . . .,
wofür
0 = 13, 29, 53, 117, . . .
Primzahl wird.
So bestätigt sich u. a. für i? = 3, 5, 7, was bereits in Nr. 13 und
14 angemerkt worden ist. Für die Behauptung, daß die Gleichung (101)
für jeden Primzahlexponenten p nur dann lösbar sein könne, wenn
eine der ganzen Zahlen x, y, z durch p aufgeht, würde aber der
Nachweis erforderlich sein, daß für jede Primzahl j) eine Primzahl
ö = 2/ij9 + 1 vorhanden ist von der im Satze der Nr. 18 bezeichneten
Beschaffenheit. Dieser Nachweis ist jedoch bisher nicht erbracht und
auch wohl schwierig zu liefern. Könnte man zeigen, daß es solcher
Primzahlen 0 = 2A^ + 1, die nicht in 2>2a aufgehen, sogar unendlich
viele gäbe, so würde damit der große i^erma^sche Satz in seinem
ganzen Umfange bewiesen sein, denn dann müßte wenigstens eine der
drei Zahlen ^, y^ 3 durch unendlich viel Primzahlen teilbar sein, was
nicht möglich ist. Aber schon Libri hat ausgesprochen (Journ. f.
Math. 9, S. 275), daß dieser Umstand nicht stattfinde, und jüngst hat
L. E. Dickson gezeigt (ebendas. 135, S. 181), daß die Kongruenz
xP + yP + 0p = 0 (mod. 0)
für jede Primzahl
G) S (p - Vf ■ (p - 2y + 6p - 2
Lösungen besitzt, welche prim sind zu ö, daß also die Anzahl der
Primzahlen &, für welche das Gegenteil stattfindet, nur endlich ist.
Wir können hiermit unsere Skizze abschließen, weitere Ergebnisse
von künftigen Forschungen erwartend. Kaum aber dürften diese
ohne Hilfe der Theorie der Zahlenkörper das begehrte Ziel erreichen.
Znsätze. 477
Znsätze.
Zu Seite 310, Zeile 9—11.
Bei Zergliederungen in zwei Quadrate positiver Zahlen ist das
Vorzeichen der Basiszahlen bestimmt und nur die Anordnung der
quadratischen Summanden beliebig; wird nachher von Zergliederungen
in ein ungerades und in ein gerades Quadrat gesprochen, so wird
dadurch im Gegenteil die Anordnung festgelegt, aber das Vorzeichen
der Basiszahlen bleibt beliebig. Ähnliches ist für den Ausdruck Zer-
gliederungen in späteren ähnlichen Fällen zu beachten.
Zu Seite 310 letzte Zeilen.
Ist u eine Quadratzahl, ti = x^, so sind bei q (h) die zwei Dar-
stellungen „ ^o „ .
nur als eine, bei 4:q{u) aber als verschiedene gezählt. Gleiches gilt
für den Satz am Ende von Nr. 4, S. 319.
Zu Seite 344.
Der Weg, wie die hier bemerkte Lücke in Wiefericha Betrachtung
zu ergänzen wäre, ist leicht anzudeuten. Es handelt sich im Falle
1/ = 4 ebenso wie im FaUe 1/ = 3 nur um die Zahlen r von der Form
96h + 40, denn für alle übrigen ist 18 der größte Wert von y, und
52. 18^ < 0,4-58;
spezieller kommen auch hier wieder nur die Zahlen r von der Form
1000 + 6.4^' + 2.(8ä; + 7),
in der « > 0 ist, in Betracht, und zwar wegen der für r vor-
geschriebenen Bedingungen (88) auf S. 341 diejenigen von ihnen,
welche den Ungleichheiten genügen:
0,4 • 5« < 1000 + 6 . 4« + 2 . (8Z; -f 7) < 5^ • 22%
d. i. 155250 < 6 •4« + 2.(8Ä + T)< 265200.
Setzt man cc = ß + 1, wo ß^ 0, so vereinfachen sich diese wie folgt:
404<4-^.(8Z; + 7)<691.
Hieraus findet sich
478 Zusätze.
für ß =
= 0:
49 < Ä; < 86
. ß-
= 1:
11<Ä<21
V ß-
= 2:
2<k< 5
,, ß-
= 3:
Ä; = 0,
im ganzen also 48 zulässige Wertsysteme ß, Ic^ ebensoviel Werte für r
und somit endlich ebensoviel Zahlen
6-5«+ r,
für welche festzustellen bleibt, in wieviel Kuben sie zerfällbar sind.
Ich habe diese mühsame Feststellung nicht ausgeführt; ergäbe sich,
was wenig wahrscheinlich ist, daß die höchstens dazu erforderliche
Kubenanzahl ^ > 9 wäre, so hätte man zu setzen iVg = ^, andernfalls
wäre, wie Wieferich zu beweisen gemeint hat, N^ = 9.
Zu Seite 419.
Zur Herleitung der aus der Hilfsformel
(* > 0 , ungerade)
gezogenen Folgerung bemerke man folgendes.
Nach (110) auf S. 353 ist für eine ungerade Zahl u
Hier muß eins der vier Quadrate in der Zerfällung ungerade und,
wenn i* = l(mod. 4) ist, die Summe der drei anderen durch 4 teil-
bar, also diese drei Quadrate gerade sein. Beschränkt man das un-
gerade Quadrat auf die erste der vier Stellen, und auf den numerischen
Wert i seiner Basis, so reduziert sich die gesamte Anzahl der Zer-
f ällungen auf ihren achten Teil und man findet für u^l (mod. 4)
die Formel
]S[(u = ^2 4- 4:X^ -t- 4i/2 + 4^2) = g^ (^)^
^■ > 0 , ungerade
der man auch die Form geben kann:
N(u = P-\- 4x' + Ay^ + 4^2) -\-N{u = i^-\-Ax^-\- Ay^ + 4^0 = ?i W-
i > 0 ungerade, z gerade * > 0 ungerade, z ungerade.
Faßt man andererseits auf beiden Seiten von (1) die Glieder mit q^ zu-
sammen, so erhält man die Beziehung
N(u = i^+ 4a;2+ 4«/2+ 40^)-N(u = i^+ Ax^+ 4:y^+40^) = S,
i > 0 ungerade, z gerade i > 0 ungerade, z ungerade
(2)
Zusätze. • 479
wo zur Abkürzung
gesetzt ist, und nun durch Addition und Subtraktion beider Gleichungen
diese neuen:
2 'N(2C = ^2 + 4:x' + 4i/ + 4z') = i^ (ii) + S
2 >> 0 ungerade, z gerade
2 'N(u = i' + 4:r2 + 4/ + 4^^) _ j^ (^^) _ ^,
j >> 0 ungerade, z ungerade.
Dies vorausgeschickt, betrachten wir die Zerfällungen von u von der
Form
(3) u = r^+2rj'+U'-t8d\
Die Zahl | muß ungerade und, da ii^l (mod. 4) vorausgesetzt ist,
^ gerade sein: t^ = 2e] man findet also
und hierin muß, je nachdem w = l oderw = 5 (mod. 8) ist,
t gerade oder ungerade sein.
Sei zunächst te = 1 (mod. 8). Schreibt man dann die vorige
Gleichung in der Form
w = r + 4(£ + 0)2+4(6 - ey + H^
so liefert sie eine Auflösung der Gleichung
(4) w = g2_^4a;^+4y2+4^^
mit geradem ^ = J. Umgekehrt folgt aus jeder solchen, daß x'+y'+z'
also auch x-\-y-{- z und wegen des geraden z auch x-\- y gerade Zahlen
sein müssen. Durch die Substitution
x -\- y = 2sy X — y = 2d
bestimmen sich also ganze Zahlen e, 0, und aus der Gleichung (4) geht
die andere:
u = ^'+s(s'+e') + 4z^
oder
^( = r+27?2+4^'+80^
d. i. eine Auflösung der Gleichung (3) hervor, indem man )
2s = ri, z = l
setzt. Demnach ist offenbar
N{ii = i'-\-4x^+ 4y'-\- 4z')=N(u = ^'+ 2ri'+4^'+ Sd'),
{z gerade)
480 * Zusätze.
oder, indem man den absoluten Wert von J mit i bezeichnet,
(5) 2 'N(u = P + 4x^ + Ay^ + 4^^) = N(u = 1^ _|_ 2^2 _|_ 4^2 _,. 3^2^^
^■ >> 0 ungerade , z gerade
Durch eine ganz entsprechende Betrachtung findet sich, wenn
zweitens i* = 5 (mod. 8) ist, die Gleichung
(6) 2 . N{u = ^2 _|_ 4^2 ^ 4 ^2 _^ 4^2) _ jsf^^ = |2 _|. 2^2 ^ 4^2 _^ 3 ß2y
i^ 0 ungerade, z ungerade
Verbindet man dies Ergebnis aber mit den Formeln (2), so erhält man
für u BZ 1 (mod. 8)
N{u = r + 2ri' + 4r + 86^) = e.(«) + s,
für w = 5 (mod. 8)
N{u = f ^ 2,^ + 4r + 86^) = S, («) - S,
mithin allgemein für m = 1 (mod. 4), wie auf S. 413 gefolgert ist,
(7) N{u = i'+ 2n' + 4f + 86^) = e, («) + (- 1) V.^ (_ 1)'—. i.
Übrigens gilt diese Formel auch für den Fall w~3 (mod. 4),
denn alsdann hat die Gleichung
keine Lösungen, die Summe zur Rechten fällt also aus, und man findet,
wie es der Satz auf S. 419 aussagt,
N{u = r 4- 2,^2+462+860 = iM-
Zu Seite 461.
S. Kummer im Journ. f. reine u. angew. Math. 40 (1850), S. 130
oder im Journ. des math. (1) 16 (1851), S. 488. Die Primzahlen 37,
59, 67 gehören zwar nicht zu denen, welche die erwähnte Bedingung
erfüllen, aber auch für sie hat Kummer den FermaUahen Satz durch
besondere Untersuchung bestätigt (Abh. der Berliner Akad. 1857,
S. 41; Monatsberichte derselben 1857, S. 275).
Druck Ton B. G. Teubner in Eresden.
Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.
Bachmann, P., Zahlentheorie. Versuch einer Gesamtdarstellung
dieser Wissenschaft in ihren Hauptteilen. In 6 Teilen. I. Teil:
Die Elemente der Zahlentheorie. [XII u. 264 S.] gr. 8. 1892.
Geh. n. c/^ 6 . 40, geb. n. Jl 1 . 20.
— IL Teil: Die analytische Zahlentheorie. [XVIII u. 494 S.]
gr. 8. 1894. Geh. n. Jl 12.—, geb. n. Ji 13.—
III. Teil: Die Lehre von der Kreisteilung und ihre Be-
ziehungen zur Zahlentheorie. Mit Holzschnitten im Text und 1
lithographischen Tafel [XII u. 300 S.] gr. 8. 1872. Geh.
n. Ji 7. — , geb. n. Jl 8. — _
IV. Teil: Die Arithmetik der quadratischen Formen. I. Abt.
[XVI u. 668 S.] gr. 8. 1898. Geh. n. c//n8. — , geb. n. e/^ 19 . —
V. Teil: Allgemeine Arithmetik der Zahlenkörper. [XXTT
u. 548 S.] gr. 8. 1905. Geh. n. Jl 16.—, geb. n. Jl 11 .—
Vorlesungen über die Natur der Irrationalzahlen.
[X u. 151 S.] gr. 8. 1892. Geh. n. J^ 4.—
niedere Zahlentheorie. L Teil [X u. 402 S.] gr. 8.
1902. Geh. n. Jl 13.—, geb. n. Jl 14.
Bauer, G., Vorlesungen über Algebra. Mit dem Porträt G. Bauers
und 11 Textfiguren. 2. Auflage. [VI u. 366 S.] gr. 8. 1910.
Geh. ca. n. Jl 12. — , geb. ca. n. M 13. —
Böcher, M., Einführung in die höhere Algebra. Deutsch von
H Beck. Mit einem Geleitworte von E. Study. [XII u. 348 S.]
gr. 8. 1910. Geb. n. Jl 7.—
Borel, E., Elemente der Mathematik. In 2 Bänden. Deutsche
Ausgabe von P. Stäckel.
L Band. Arithmetik und Algebra. Mit 57 Figuren im Text und 3 Taf.
[XVI u. 431 S.] gr. 8. 1908. Geb. n. M. 8.60.
IL — Geometrie. Mit 403 Figuren im Text. [XII und 324 S.] gr. 8.
1909. Geb. n. M. 6.40.
Bruno, F. Faä di, Einleitung in die Theorie der binären
Formen. Mit Unterstützung von M. Noether deutsch bearbeitet
von Th. Walter. [VII u. 379 S. u. 4 tabellarische Beilagen.]
gr. 8. 1881. Geh. n. Jl 10.80.
Bucherer, A. H., Elemente der Vektoranalysis. Mit Beispielen
aus der theoretischen Physik. 2. Aufl. [VIII u. 103 S.] gr. 8.
1905. Geb. n. Jl 2.40.
Cantor, M., politische Arithmetik oder die Arithmetik des
täglichen Lebens. 2. Aufl. [X u. 155 S.] gr. 8. 1903.
Geb. n. ^ 1 . 80.
Dickson, L. E., Linear Groups with an Exposition of the
Galois Field Theory. [X u. 312 S.] gr. 8. 1901. Geb.
n. Ji 12.—
Bachmann, Niedere Zahleutheorie II.
Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.
I
Frieke, R., und F. Klein, Vorlesungen über die Theorie der
automorphen Funktionen. In 2 Bänden. T. Band: Die
gruppen theoretischen Grundlagen. Mit 192 Textfiguren. [XIV
u. 634 S.] gr. 8. 1897. Geh. n. J'^ 22 .—
■ II. Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und
die Anwendungen. 1. Hälfte: Engere Theorie der automorphen
Funktionen. Mit 34 Textfiguren. [232 S.] gr. 8. 1901. Geh.
n. Ji 10. — [2. Hälfte in Vorbereitung.]
Gans, R., Einführung in die Vektoranalysis. Mit Anwendungen
auf die mathematische Physik, 2. Auflage. Mit 35 Figuren im
Text [X u. 126 S.] gr. 8. 1909. Geh. n. Jt 3.60.
Gordan, P., Vorlesungen über Invariantentheorie, herausg.
von G. Kerschensteiner. I. Band: Determinanten. [XI u.
201 S.] gr. 8. 1885. Geh. n. .^ 6 . 40.
II. Band: Binäre Formen. [XII u. 360 S.] gr. 8. 1887.
Geh. n. Ji 11.60.
Graßmann, H., projektive Geometrie der Ebene. Unter Be-
nutzung der Punktrechnung dargestellt. In 2 Bänden. I. Band:
Binäres. Mit 126 Figuren im Text. [XII u. 360 S.] gr. 8.
1909. Geh. n. Ji 12.—, geb. n. Ji 13.— [IL Band u. d. Pr.]
Grundlehren der Mathematik. Für Studierende und Lehrer. In
2 Teilen. Mit vielen Textfiguren, gr. 8. Geb.
I. Teil: Die Grundlehren der Arithmetik und Algebra. Bearbeitet von
E. Netto und C. Färber. 2 Bände. [In Vorbereitung.]
II. Teil: Die Grundlehren der Geometrie. Bearbeitet von W. Frz. Meyer,
und H. Thieme. 2 Bände.
I. Band. Die Elemente der Geometrie. Von H. Thieme. Mit 323 Text-
figuren. [XII und 394 S.] 1909. n, M. 9.—
II. — [In Vorbereitung.]
Hensel, K., Theorie der algebraischen Zahlen. In 2 Bänden.
L Band. [XI u. 349 S.] gr. 8. 1908. Geb. n. Ji 14.—
[IL Band unter der Presse.]
Jahnke, E.^ Vorlesungen über die Vektorenrechnung. Mit
Anwendungen auf Geometrie, Mechanik und mathematische Physik.
Mit 32 Textfiguren. [XII u. 236 S.] gr. 8. 1905. Geb. n. «^ 5 . 60.
V. Ignatowsky, W., die Vektoranalysis und ihre Anwendung
in der theoretischen Physik. 2 Teile. Teil I, die Vektor-
analysis. Mit 27 Textfiguren. [VIII u. 112 S.] 8. 1909.
Steif geh. n. Ji 2. 60, geb. n. .^ 3 . — Teil IL Mit 14 Figuren.
[IV u. 123 S.] [Erscheint Ende 1909.]
Klein, F., Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auf-
lösung der Gleichungen vom fünften Grade. Mit 1 litho-
graphierten Tafel. [VIII u. 260 S.] gr. 8. 1884. Geh.n. .^8.—
— autographierte Vorlesungshefte. 4. Geh.
Ausgewählte Kapitel der Zahlentheorie.
Heft 1. [391 S.] (W.-S. 1895/96)1 2. unveränderter Abdruck 1907.
Heft 2. [354 S.] (S.-S. 1896) /zusammen n. JC 14.50.
Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.
König, J., Einleitung in die allgemeine Theorie der alge-
braischen Größen. [X u. 564 S.] gr. 8. 1903. Geh. n.
Ji 18.—, geb. n. Ji 20.—
Kronecker, L., Vorlesungen über die Theorie der Determi-
nanten. Bearb. und fortgeführt von K. Hensel. 1. bis 21. Vor-
lesung. Mit 11 Textfiguren. [XII u. 390 S.] gr. 8. 1903.
Geh. n. Ji 20.—, geb. n. Ji 21.—
Vorlesungen über die Theorie der algebraischen
Gleichungen, herausg. von K. Hensel. In 2 Teilen, gr. 8.
Geh. [In Vorbereitung.]
Vorlesungen über Zahlentheorie, herausg. von K.
Hensel. In 2 Bänden. Mit Textfiguren. I. Band. [XVI u.
509 S.] gr. 8. 1901. Geh. n. Ji 18.—
Landau, E., Handbuch der Lehre von der Verteilung der
Primzahlen. 2 Bände, gr. 8. 1909. I.Band. [XVIII u.
564 S.] Geh. n. Ji 20 . — , geb. n. «Ü^ 21 . — . IL Band. [IX
u. S. 565 — 961.] Geh. n. Ji \\.—, geb. n. Ji Ih .—
Legendre, A.-M., Zahlentheorie. Xach der 3. Ausgabe ins
Deutsche übertragen von H. Maser. 2 Bände. 2. wohlfeile
Ausgabe. I. Band. [XVIII u. 442 S.] IL Band. [XII u. 453 S.]
gl'. 8. 1893. Geh. je n. J^ 6.—
Minkowski, H., Geometrie der Zahlen. In 2 Lieferungen.
I. Lieferung. [240 S.] gr. 8. 1896. Geh. n. J^ 8.—
[Die IL Lieferung erscheint Anfang 1910.]
diophantische Approximationen. Eine Einführung
in die Zahlentheorie. Mit 82 in den Text gedruckten Figuren.
[VIII u. 236 S.] gr. 8. 1907. Geb. n. J( 8.—
Muth, P., Theorie und Anwendung der Elementarteiler.
[XVI u. 236 S.] gr. 8. 1899. Geh. n. Ji 8.—
Netto, E., elementare Algebra, Akademische Vorlesungen für
Studierende der ersten Semester. Mit 19 Textfiguren. [VLH
u. 200 S.] gr. 8. 1904. Geb. n. J^ 4.40.
■ Vorlesungen über Algebra. 2 Bände, gr. 8. Geh.
n. Ji 28.—, geb. n. Ji 30.40.
I. Band. [X w. 388 S.] 1896. Geh. n. oH 12. — , geb. n. JC 13.—
K. „ [XII u. 519 S.] 1899. Geh. n. o^C 16.—, geb. n. Ji 17.40.
Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf
die Algebra. [VIII u. 290 S.] gr. 8. 1882. Geh. n. Ji 6.80.
Lehrbuch der Kombinatorik. [VIII u. 260 S.] or 8.
1901. Geb. n. ^//: 9.—
die Determinanten. 8. Kart, und geb. [Erscheint
Ostern 1910.]
Pascal, E., die Determinanten. Eine Darstellung ihrer Theorie
und Anwendungen mit Rücksicht auf die Gesamtheit der neuesten
Forschungen. Berechtigte deutsche Ausg. von H. Leitzmann
[XVI u. 266 S.] gr. 8. 1900. Geb. n. Ji 10.—
Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.
Eepertorium der höheren Mathematik (Definitionen, Formeln,
Theoreme, Literat ar). Von Dr. Ernst Pascal, Professor an
der Universität Neapel. Deutsche Ausgabe von A. Schepp in
Wiesbaden. In 2 Teilen. 2., neubearbeitete Auflage, gr. 8.
I. Teil: Die Aiialysis. Unter Mitwirkung von E. Pascal sowie Ph. Furt-
wängler, A. Guldberg, H. Mahn, E. Jahnke, H.Jung, A.
Loewy, H. E. Timerdin»? hrsg. von Dr. P. Epstein, Prolessor an
der Universität Straßburg i. E [ca. SOO S.] In Leinwand geb. ca n. Ji 12 .
[Erscheint im Frühjahr 1910.]
II. — Die Geometrie. Unter Mitwirkung von E. Pascal sowie E. Ber-
zolari, E. Bonola, E. Ciani, M. Dehn, Fr. Ding eldey, E.
Enriques, G.Giraud, H.Graesmann, G.Guareschi, L. Heffter,
W. Jacobsthal, H. Liebmann, J. Mollerup, J. Neuberg, U.
Perazzo, 0. Staude, E. Steinitz, H. Wieleitner und K. Zindle r
hrsg. von Dr. H. E. Tim er ding, Professor an der Technischen Hoch-
schule in Brnunschweig. [ca. 900 S.] In Leinwand geb. ca. n. .// 14. —
[Erscheint Ostern 1910.]
Scheibner, W., Beiträge zur Theorie der linearen Trans-
formationen als Einleitung in die algebraische Inva-
riantentheorie. [250 S.] gr. 8. 1908. Geh. n. e/^ 10.—
Serret, J.-A., Handbuch der höheren Algebra. Deutsche Über-
setzung von G. Wertheim. 2 Bände, gr. 8. Geh. n. Jl 19. —
I.Band. [VIII u. 528 S.] 2. Aufl. 1878. n. JC % .—
11. „ [VIII u. 574 S.] 2. Aufl. 1879. n. JC 10.—
Sommer, J., Vorlesungen über Zahlentheorie. Einführung
in die Theorie der algebraischen Zahlkörper. Mit 4 Figuren im
Text. [VI u. 361 S.] gr. 8. 1907. Geb. n. Ji 11.—
Study, E., Methoden zur Theorie der ternären Formen. Im
Zusammenhang mit Untersuchungen anderer dargestellt. [XII
u. 210 S.] gr. 8. 1889. Geh. n. J^ 6.—
Tannery, J., Elemente der Mathematik. Mit einem geschicht-
lichen Anhang von P. Tannery. Deutsch von P. Klaess.
Mit einem Einführungswort von F. Klein. [XII u. 339 S.]
gr. 8. 1909. Geh. n. Jtl . — , geb. ^. Jt ^.—
Taschenbuch für Mathematiker und Physiker, unter Mit-
wirkung von Fr. Auerbach, 0. Knopf, H. Liebmann, E.
Wolf fing u. a. herausg. von Felix Auerbach. I. Jahrgang
1909/10. Mit einem Bildnis Lord Kelvins. [XLIV u. 450 S.]
8. 1909. Geb. tl. A ^ .—
Vahlen, K. Th., Elemente der höheren Algebra, gr. 8. Geb.
[In Vorbereitung.]
Weber, H., und J. Wellstein, Encyklopädie der Elementar-
Mathematik. Ein Handbuch für Lehrer und Studierende. In
3 Bänden. Mit Textfiguren, gr. 8. Geb.
I. Band. Elementare Algebra und Analysis. Von H. Weber.
2. Aufl. [VIII u. 539 S.] 11)06. n. JC 9.60.
n. „ Elementare Geometrie. Von H. Weber, J. Wellstein
und W. Jacobsthal. 2. Aufl. [XII u. 596 S.] 1907.
Tl. Ji 12.—
m. „ Angewandte Elementar-Mathematik. Von H.Weber,
J. Wellstein und R. H. Weber. [XIII u. 666 S.]
1907. n. <^ 14.—
13 19 33
RETURN Astronomy/Mathematics/Statistics Library
TO— ^ 100 Evans Hall 642-3381
LOAN PERIOD 1
i 11 /-^'^^^
2 3 i
!
i4 MuNTH
5 6
!
DUE AS STAMPED BELOW
^
FORM NO. DD3
UNIVERSITYOFCA
BERKELEY,
JFORNIA, BERKELEY
CA 94720
U. C. BERKELEY LIBRARIES
C0bS3fibt,fi4
m
Live Music Archive
Librivox Free Audio
Metropolitan Museum
Cleveland Museum of Art
Internet Arcade
Console Living Room
Books to Borrow
Open Library
TV News
Understanding 9/11