Full text of "Neue Denkschriften der Allg. Schweizerischen Gesellschaft f Gesammten Naturwissenschaften = Nouveau mires de la Soci helvque des sciences naturelles"

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Neue Denkschriften 


der 


allgemeinen schweizerischen Gesellschaft 


für die 


gefammten Haturwillenfhaften. 


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NOUVTEAUX MEMOIRES 
SOCHETE NELNETIQUR 


DES 


SCIENCES NATURELLEN. 


Mierte Dekade. 
Band VII. 


ZÜRICH 
auf Kosten der Gesellschaft und mit Subvention des Bundes 
Druck von Zürcher & Furrer. 
In Commission bei Georg & Co. in Basel, Geneve und Lyon. 


1901. 


Neue Denkschriften 


der 


allgemeinen schweizerischen Gesellschaft 


für die 
aefammten Haturwillenfhaften. 
SOCHETE HELVETIQUR 


SCIENCES NATURELLEN. 


Band XXXVIIl. 


ZÜRICH 
auf Kosten der Gesellschaft und mit Subvention des Bundes 
Druck von Zürcher & Furrer. 
In Commission bei H. Georg in Basel, Geneve und Lyon, 


1901. 


Theorie 


der 


vielfachen Kontinuität. 


Von 


r L. Schläfli. 


Herausgegeben im Auftrage der 
Denkschriften-Kommission der Schweizer. Naturforschenden Gesellschaft 
von 


J. H. Graf, Bern. 


Druck von ZÜRCHER & FURRER in Zürich. 


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Vorbemerkung, 


Die vorliegende Abhandlung Ludwig Schläfli’s stammt aus den Jahren 1850 
bis 1852. Schläfli erwähnt sie zum ersten Mal in seinem Brief an Steiner 3. I. 1852*) 
und sandte sie, nachdem die Wiener Akademie seine Arbeit „Ueber die Resultante eines 
Systems mehrerer algebraischer Gleichungen“ angenommen und in ihren Denkschriften 
1852 publiziert hatte, dem Sekretär dieser Akademie ein. Auf dem Umschlag findet sich 
von dessen Hand der Vermerk: „655/1852 praes. 8. Okt.“. Schläfli bringt im ange- 
gebenen Brief noch mehrere Integrale, die wir als Anmerkung zum Brief publiziert 
haben und spricht die Absicht aus, falls die Akademie die Schrift wegen ihres grossen 
Umfangs (sie wurde auf 23 Bogen 4° geschätzt) nicht annehmen wolle, dieselbe als 
Privatschrift herauszugeben und bittet Steiner, ihm hiezu in Berlin behülflich zu sein. 

Seite 27 des „Briefwechsels“ haben wir das Konzept eines Briefes dat. vom Dez. 
1851 an den Sekretär der k. k. Akademie der Wissenschaften in Wien publiziert. Dieser 
Brief sollte denselben über die Absichten des Autors orientieren. Die Aufnahme der 
Arbeit wurde des grossen Umfangs halber verweigert. Vergeblich ermunterte Steiner 
(siehe Brief vom 15. Okt. 1853, S. 41 des Briefwechsels, sodann in einem Brief an 
Schläfli's Freund Prof. Ris und an Schläfli vom 10. März 1854) aus der „Weltüber- 
stürmenden Erdewälzenden“ Abhandlung einen Auszug zu machen, der etwa 4 oder 
12 Bogen wäre, Schläfli's erste Begeisterung für die Arbeit war vorbei (8. 59). Er 
sandte sie erst 1854 an Crelle in Berlin, den Herausgeber des Journals für reine Mathe- 
matik (siehe S. 74). 1855 liess Steiner Crelle wieder an die Arbeit erinnern (siehe $. 191), 
dann verwandte sich Steiner erfolglos bei Reimer, dem Verleger des genannten Journals; 
auch Borchardt, der neue Herausgeber desselben, wollte mithelfen, die Publikation der 
Arbeit zu ermöglichen. Am 17. Mai 1856 konnte Steiner seinem Freunde L. Schläfli 
schreiben, dass sich Reimer herbeigelassen habe, die Aufnahme der Arbeit ins Journal, 


*) Vergleiche „Der Briefwechsel zwischen Jakob Steiner und Ludwig Schläfli“, herausgegeben von 
J. H. Graf, Mittlgen. der bern. Naturf. Gesellschaft 1896, S. 76 und auch separat bei K. J. Wyss, Bern, S. 20. 


IV 


sowie 200 Extraabzüge und ein kleines Honorar zu versprechen. Trotzdem sich Schläfli 
laut Brief vom 19. Mai 1856 sofort, beseelt von dem Wunsch, die Arbeit nach so vielen 
Jahren endlich einmal veröffentlicht zu sehen, mit allen Bedingungen einverstanden er- 
klärte, da auch die Fortsetzung dazu schon längst geschrieben sei, so unterblieb der 
Druck doch. Nach einer Aeusserung Steiner’s zu schliessen, war nun Borchardt dagegen. 
Die Arbeit kam wieder nach Bern zurück, wo wir sie unter den nachgelassenen Papieren 
des grossen Meisters gefunden haben. Das Manuskript gehört wie alle andern von 
Schläfli stammenden der schweizer. Landesbibliothek in Bern an. Der erste Teil 
bis Seite 78 trägt Korrekturen, wahrscheinlich von der Hand Crelle’s oder Borchardt's, 
um die Arbeit zum Drucke einzurichten. Sie sind mehr redaktioneller Natur oder be- 
ziehen sich auf die Auswahl der Lettern oder die Anordnung. Wir halten aber dafür, 
die Arbeit soll im ursprünglichen Wortlaut ohne jeden Zusatz oder irgend 
eine Anmerkung unsererseits gedruckt werden, und sind der Meinung, dass sie 
nicht bloss historischen Wert, sondern gerade für die Theorie der Geometrie von 
n Dimensionen noch eine Fülle anregender Gedanken enthalte. Beigegeben wird die 
Selbstanzeige, dat. 5. Juli 1352, hinzugefügt ist ein Inhaltsverzeichnis. Der Denkschriften- 
Kommission der Schweiz. Naturforschenden Gesellschaft gebührt der beste Dank, dass sie 
die Herausgabe des Werkes ermöglicht hat. Herr Prof. Dr. P. Stäckel in Kiel hat 
die Güte gehabt, die Korrektur ebenfalls durchzusehen, wofür ich ihm an dieser Stelle 
herzlich danke. 


Bern, im Oktober 1901. 
Prot:-Dr. J, A.:Grat 


Anzeige einer Abhandlung 
über die Theorie der vielfachen Kontinuität. 


Die Abhandlung, die ich hier der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften vorzu- 
legen die Ehre habe, enthält einen Versuch, einen neuen Zweig der Analysis zu begründen 
und zu bearbeiten, welcher, gleichsam eine analytische Geometrie von n Dimensionen, 
diejenigen der Ebene und des Raumes als spezielle Fälle für n— 2, 3 in sich enthielte. 
Ich nenne denselben Theorie der vielfachen Kontinuität überhaupt in demselben Sinne, 
wie man z. B. die Geometrie des Raumes eine Theorie der dreifachen Kontinuität nennen 
kann. Wie in dieser eine Gruppe von Werten der drei Koordinaten einen Punkt bestimmt, 
so soll in jener eine Gruppe gegebener Werte der n Variabeln &, y. ... eine Lösung 
bestimmen. Ich gebrauche diesen Ausdruck, weil man bei einer oder mehreren Gleichungen 
mit vielen Variabeln jede genügende Gruppe von Werten auch so nennt; das Unge- 
wöhnliche der Benennung liegt nur darin, dass ich sie auch noch beibehalte, wenn gar 
keine Gleichung zwischen den Variabeln gegeben ist. In diesem Falle nenne ich die 


Gesamtheit aller Lösungen die n-fache Totalität; sind hingegen 1, 2, 3,.... Gleichungen 
gegeben, so heisst resp. die Gesamtheit ihrer Lösungen (n — 1) faches, (n — 2) faches, 
(n — 3) faches, ... Kontinuum. Aus der Vorstellung der allseitigen Kontinuität der 


in einer Totalität enthaltenen Lösungen entwickelt sich diejenige der Unabhängigkeit 
ihrer gegenseitigen Lage von dem System der gebrauchten Variabeln, insofern durch 
Transformation neue Variabeln an ihre Stelle treten können. Diese Unabhängigkeit 
spricht sich aus in der Unveränderlichkeit dessen, was ich den Abstand zweier ge- 
gebener Lösungen (x, %, - . -), (@&, Y, ...) nenne und im einfachsten Fall durch 


V(&' — 2)? + (y — y) + etc. 


definiere, indem ich gleichzeitig das System der Variabeln ein orthogonales heisse, 
zum Unterschied von einem schiefen System, worin 


Y(& = — y% + ete. ak —a)(y — Y)- ete. 


den Abstand zweier Lösungen darstellte. Indem ich ferner ausschliesslich orthogonale 
Systeme gebrauche, nenne ich jede lineare Transformation der Variabeln, durch welche 
die Orthogonalität eines Systems nicht geändert wird, d. h., bei welcher die analytische 


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Form des Abstandes, Quadratwurzel aus einer Summe von Quadraten, dieselbe bleibt, 
eine orthogonale Transformation. Sind diese Vorstellungen durchlaufen, so hat 
man einen Begriff von der Gleichgültigkeit der vielfachen Totalität, ganz ähnlich 
wie von der des Raumes; man hat gleichsam die Totalität von dem willkürlichen 
Zwang des zu ihrer Darstellung verwendeten Variabeln-Systems wiederum befreit. 
Diese Andeutungen, bei denen ich einige Weitläufigkeit nicht wohl vermeiden konnte, 
mögen genügen, um die Grundlage der hier behandelten Theorie zu bezeichnen. 

Die Abhandlung zerfällt in drei Abschnitte, 1. über die linearen, 2. über die 
sphärischen, 3. über die quadratischen und höheren Kontinuen. Um ohne Weitläufigkeit 
zu zeigen, dass namentlich in den zwei ersten Abschnitten Dinge vorkommen, welche 
von der analytischen Geometrie des Raumes aus kaum sich ahnen lassen, führe ich nur 
den Satz in $ 22 an. 

Um die Aussage desselben einzuleiten, diene folgende Erklärung. Wenn 
p=acr+by+ez+...+hw, y =ac+by-+...-+ hw zwei lineare und homogene 
Polygone der n orthogonalen Variabeln x, y,.... w bezeichnen, und man denkt sich die 
Gesamtheit aller Lösungen, für welche zugleich p>o, p >o: so steht diese zur unbe- 
schränkten Totalität im Verhältnis eines Bruchteils zum Ganzen. Wird 2: als letztes 
Glied dieses Verhältnisses angenommen, so nenne ich das erste Glied den Winkel der 
Polynome p,p'. Wird derselbe durch Z (p,p”) bezeichnet, so ist 


au bb Ice... Fhh \ 
VER... +72 Ya?td®+...+n® 


wo die Quadratwurzeln im Nenner nur positiv zu verstehen sind. 


— cos Z (pp‘) 


Ist nun das »fache Integral S, — I dxdydz...dw durch die Bedingungen p, > 0, 
PB>% ...: mM>0o, &@®+y°—+...—+w°<1 begrenzt, so hängt sein Wert nur von den 
Usn (n—1) Winkeln zwischen den n linearen und homogenen Grenzpolynomen p ab 
(wesshalb ich diese Winkel die Argumente der Funktion S, nenne); und, wenn die 
transcendente Funktion, als welche der Winkel in Beziehung auf seinen zunächt ge- 
gebenen Kosinus aufzufassen ist, nicht mitgezählt wird, so erfordert die Berechnung 


3 ? ; 
fache Integrationen, je nachdem n gerade oder 


: n— 2 
jenes Integrals nur - y® oder 3 


ungerade ist. Denn der z. B. nach dem Argument / (p, Ps) genommene Differential- 
koeffizient von S, ist der nte Teil eines ähnlichen, aber bloss (n — 2) fachen Integrals 
S„_., dessen Argumente durch trigonometrische Relationen mit den ursprünglichen Ar- 
gumenten verbunden sind. Transformiert man nämlich orthogonal die Variabeln so, 
dass die Polynome p, und p, nur die zwei ersten von den neuen Variabeln enthalten, 
und tilgt dann in allen übrigen Polynomen diese zwei Variabeln, so hat man die n — 2 
Grenzpolynome von S,_.. 

Ist die Ordnung n einer Funktion 5, ungerade, so kann man diese linear durch 
lauter solche Funktionen von gerader Ordnung ausdrücken, deren Argumente geradezu 


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schon unter den ursprünglichen sich vorfinden. (Hieher gehört es z. B., wenn fürn —=3 
der Inhalt eines Kugeldreiecks nicht eine neue transcendente Funktion erfordert, sondern 
sich durch die schon der Ebene eigenen Funktionen, nämlich durch die Winkel des 
Dreiecks, linear ausdrücken lässt.) Nur die Integrale S, von gerader Ordnung sind 
demnach eigentümliche transcendente Funktionen. 

Man kann ferner jedes Integral S, auf mannigfaltige Weise als Summe von 
Integralen derselben Ordnung darstellen, deren Argumente mittels trigonometrischer 
Relationen aus den ursprünglichen zu berechnen sind. Unter diesen Arten der Zer- 
legung giebt es auch solche, wo sämtliche Teil-Integrale eine spezielle Beschaffenheit 
erhalten. Man kann nämlich die Grenzpolynome einer solchen 5, so an einander reihen, 
dass nur die Winkel zwischen je zwei unmittelbar auf einander folgenden von rechten 
abweichen, alle übrigen Winkel dagegen rechte sind. Eine so spezialisierte Funktion 
S,„ hat also nur noch n— 1 freie Argumente. Da es wünschbar ist, die Zahl der Argu- 
mente einer Funktion so sehr als möglich zu vermindern, so richtet sich nun die ganze 
Aufmerksamkeit auf diese speziellen Funktionen S,, welche ich Orthoscheme genannt 
habe. Unter anderem führt die Betrachtung gewisser Perioden solcher Orthoscheme 
zur Kenntnis einiger Fälle, wo der Wert eines Orthoschems in finiter Form angegeben 
werden kann. Sollen zugleich alle Argumente rationale Teile des Halbkreises -r sein, 
so glaube ich in der vorliegenden Abhandlung alle Fälle, wo dann auch das Orthoschem 
zur Polysphäre ein rationales Verhältnis hat, vollständig aufgezählt zu haben. Für 
n —= 4 können die Nenner der Argumente nur 3, 4, 5, für alle höheren Dimensions- 
zahlen gar nur 3, 4 sein (das Argument I ist auszuschliessen, weil es immer auf eine 
niedrigere Ordnung zurückführt). Der Entscheid, ob alle hieher gehörenden Fälle voll- 
ständig aufgezählt sind, scheint ungemein schwierig; aber man wird das Interesse der 
Frage am besten würdigen, wenn man bedenkt, dass ihr für n = 2 die bekannte von 
Gauss absolvierte Aufgabe der Kreisteilung entspricht. 

Was in den zwei ersten Abschnitten gegeben ist, halte ich alles für neu. Anders 
verhält es sich mit dem dritten Abschnitt. Hier findet die Bestimmung der Hauptaxen 
eines quadratischen Kontinuums, als analytische Aufgabe betrachtet, sich schon in der 
Theorie der sekulären Störungen der Planeten, wie sie Laplace in seiner Mecanique 
celeste gegeben hat, Die Bestimmung des kürzesten Weges auf einem quadratischen 
Kontinuum findet sich angedeutet von Jacobi in einem Vortrag an die Berliner-Akademie 
vom Jahre 1839. Dass ich ferner die Frage nach der Existenz orthogonaler Kontinuen 
aufgeworfen und erörtert habe, war veranlasst durch den von Lame eingeführten Be- 
griff orthogonaler Flächen. Ob die hier für n—=3 gegebene Konstruktion eines ganz 
beliebigen Systems orthogonaler Flächen schon von Lam& ausgeführt worden ist, weiss 
ich nicht, da mir die ersten Bände von Lionville’s Journal, in denen dieser Gegenstand 
wahrscheinlich behandelt ist, nicht zu Gebot standen. Die Begriffe des Potentials und 
des Differentialparameters sind von Gauss und Lame so benannt und zu physikalischen 


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Untersuchungen angewandt worden, und mehrere hieher gehörige Sätze von überraschender 
Eleganz, zum Teil wenigstens, wie es scheint, von Lame herrührend, hat Lionville in 
seinen Briefen an Blanchet (über verschiedene das Ellipsoid betreffende analytische 
und mathematisch-physikalische Fragen, Lionville XI, Juni 1846) mitgeteilt und bewiesen. 
In der vorliegenden Abhandlung sind auch diese Sätze von drei auf n Dimensionen über- 
getragen. — Wenn ich nun auch das Verdienst des Generalisierens nur gering anschlage, 
so hielt ich es doch für nötig, einmal alle diese Betrachtungen in der Theorie der viel- 
fachen Kontinuität zu vereinigen; man wird hier manches Neue finden, was ausser diesem 
Zusammenhang nicht dargestellt werden konnte. 

Ich hoffe, durch die vorliegende Abhandlung faktisch gezeigt zu haben, dass in 
der reinen Analysis die Konstruktion nicht weniger mit Erfolg angewandt werden kann, 
als in der Geometrie. 


Bern, den 5. Juli 1852. 


Dr. L. Schläfli. 


Theorie der vielfachen Kontinuität. 


Einleitung. 


Wenn man die gegenseitige Abhängigkeit zweier Variabeln zur lebhaften An- 
schauung bringen will, so bedient man sich häufig der ebenen Kurven, indem man jene 
zwei Variabeln als rechtwinklige Koordinaten setzt, und baut so auf die geometrische 
Anschauung eine Reihe von Schlüssen, deren letztes Ergebnis eine rein analytische 
Bedeutung hat. Es wird wohl niemand es bestreiten, dass ein solches Verfahren eben 
so sicher sein kann, als ein rein analytisches, welches sorgfältig alle der Geometrie 
entlehnten Ausdrücke vermeidet, und dass in beiden eigentlich dieselben Dinge, nur in 
anderer Sprache, dargestellt werden; denn es ist gewiss ganz dasselbe, ob man die 
Funktionsweise, in der zwei Variabeln von einander abhängen, unmittelbar anschaut, 
oder erst, indem man mit den Augen den Lauf einer gezeichneten Kurve verfolgt. Das 
durch geometrische Anschauung vermittelte Verfahren hat freilich den Vorzug der 
leichtern, auch dem Unvorbereiteten sogleich verständlichen Sprache, und kann daher 
für die populäre Darstellung nur empfohlen werden. Wenn aber die Zahl der in gegen- 
seitiger Abhängigkeit stehenden Variabeln über drei hinausgeht, so bleibt die bequeme 
Nachhülfe der geometrischen Anschauung und Ausdrucksweise zurück; aber sollte es 
wohl darum der Analysis versagt sein, aus eigenen Mitteln diesen fühlbaren Mangel zu 
ersetzen und sich einen Vorrat von Anschauungen und Bezeichnungen anzulegen, worin 
sie dieselbe leichte Uebersicht der Funktionsweisen und ihrer singulären Eigenschaften 
wiederfindet, welche sie vorher von der Geometrie entlehnte? Als einen Versuch, nach 
dieser Seite hin eine neue Bahn in der Analysis zu eröffnen, möchte ich gegenwärtige 
Abhandlung dem nachsichtigen Urteile des geneigten Lesers übergeben. 

Der vorliegende Stoff ist so eingeteilt, wie wenn man etwa in der Geometrie 
1. die Gerade und Ebene, 2. den Kreis und die Kugel, 3. die Kurven und Flächen 
zweiten Grades, 4. endlich die infinitesimalen Eigenschaften der Kurven und Flächen 
überhaupt, nach einander behandeln würde. 


Seite 3, dritte Zeile von unten, sowie 


” 


4, zweite und vierte Zeile von oben 
lies: 
Liouville statt Lionville. 


Erster Teil. 


Lehre von den linearen Kontinuen. 


S$ 4. Definitionen. 


Wenn eine oder mehrere Gleichungen die „ Variabeln x, y, 2,... enthalten, so 
nennt man jede Gruppe von Werten dieser letzten, welche allen jenen Gleichungen 
genügen, eine Lösung des gegebenen Systems. Diese Lösung ist bestimmt, wenn die 
Zahl der Gleichungen ebenfalls n ist; dagegen wird ein kontinuierlicher Uebergang von 
einer Lösung zu einer anderen möglich sein, wenn die Zahl der Gleichungen geringer 
ist; in diesem Falle nenne ich die Gesamtheit aller Lösungen ein Kontinuum, und 
zwar ein ifaches, wenn ö die Zahl der unabhängigen Variabeln (oder die Dimensions- 
zahl des Kontinuums) ist; ferner ein lineares, wenn alle Gleichungen vom ersten Grade 
sind, ein höheres, wenn wenigstens eine Gleichung den ersten Grad übersteigt. Ein 
einfaches Kontinuum überhaupt werde ich Weg, und wenn es insbesondere noch linear 
ist, Strahl nennen. Unter dem Weg, der zwei Lösungen verbindet, ist die Ge- 
samtheit aller Lösungen zu verstehen, welche von der Anfangs- bis zur Endlösung 
kontinuierlich auf einander folgen. Da von Kontinuen, welche nur durch eine Gleichung 
zwischen n Variabeln bestimmt sind, häufiger die Rede sein wird, als von solchen, deren 
Dimensionszahl zwischen 1 und n — 1 liegt, so werde ich ein (n — 1) faches Kontinuum 
meist schlechthin Kontinuum nennen, wenn kein Missverständnis zu besorgen ist. 

Da einmal das Wort Lösung eine Gruppe von zusammengehörigen Werten der 
n Variabeln x, y,... bezeichnet, so werde ich dasselbe Wort noch behalten, wenn auch 
gar keine Gleichung vorliegt; und in diesem Sinne nenne ich die Gesamtheit aller 
Lösungen die Totalität und zwar nfache Totalität, wenn es nötig wird, die Zahl 
n aller Variabeln x, y,--- anzugeben. Sind zwar alle Variabeln unter sich unabhängig, 
aber dem nfachen Integral Sdxdydz. .. Grenzen gesetzt, durch welche keiner Variabeln ein 
unendliches Wachstum gestattet wird, so nenne ich die Gesamtheit aller Lösungen, 
über welche sich dieses Integral erstreckt, ein geschlossenes Stück der Totalität 
und das Integral selbst dessen Mass. Wie geschlossene Stücke eines Kontinuums 
von beliebiger Dimensionszahl gemessen werden können, wird sich im weiteren Ver- 
laufe zeigen. 


Wenn wir nun die Vorstellung von der Kontinuität aller in der »fachen Totalität 
enthaltenen Lösungen von dem speziellen Systeme, vermöge dessen in jeder Lösung 
die Variabeln gerade diese und keine anderen Werte erhalten, frei zu machen suchen, 
indem wir uns n Transformationsformeln, durch welche die alten Variabeln in neue 
übergehen können, denken, so ist es ganz natürlich, dass wir den linearen Transformationen 
vor allen anderen einen gewissen Vorzug geben. Die allereinfachste lineare Trans 
formation besteht darin, dass man jede alte Variable als Summe einer Konstanten und 
einer gleichnamigen neuen Variabeln setzt, und durch eine solche Transformation sind 
wir immer im stande, irgend eine gegebene Lösung als eine erscheinen zu lassen, in 
der sämtlichen neuen Variabeln der Nullwert zukommt. Wenn wir daher eine Funktion 
suchen, welche auf die möglichst einfache Weise die Verschiedenheit zweier Lösungen 
misst, so werden nur die Unterschiede der gleichnamigen Variabeln darin eingehen. 
Sind diese Unterschiede alle bis auf einen gleich Null, so ist offenbar dieser, absolut 
genommen, das natürliche Mass der Verschiedenheit beider Lösungen, und überhaupt 
darf jene Funktion sich nicht ändern, wenn auch ein Unterschied negativ genommen 
wird, weil die Aenderung des Vorzeichens bei einer Variabeln die Aufeinanderfolge 
der Lösungen in der Totalität nicht ändert. Es ist ferner natürlich, anzunehmen, dass, 
wenn alle Unterschiede in demselben Verhältnisse vergrössert werden, auch jene Funktion 
in demselben Verhältnisse sich vergrössern muss. Die Funktion muss also in Beziehung 
auf die Unterschiede x, y,2,... der Variabeln homogen und vom ersten Grade sein. 
Endlich muss noch die Freiheit linearer Transformationen, durch welche die Form dieser 
Funktion nicht geändert wird, möglichst gross sein. Alle diese Rücksichten zusammen 
bestimmen uns, Ve+y+2-+.... als Form dieser Funktion anzunehmen, wo die 
Quadratwurzel immer positiv zu verstehen ist. Wir beginnen demnach die Theorie der 
vielfachen Kontinuität mit folgender Definition: 

Das Quadrat des Abstandes zweier Lösungen ist gleich der Summe 
der Quadrate der Unterschiede der gleichnamigen Variabeln. 

Satz. Wenn drei reelle Lösungen gegeben sind, so giebt es zwischen 
denselben im ganzen drei Abstände. Die Summe von je zweien derselben 
kann nie kleiner sein als der dritte. 

Beweis. Die Unterschiede der Variabeln seien a,Db,..., wenn man von der 
ersten Lösung zur zweiten fortgeht, und «, b',..., wenn man von dieser zur dritten 
fortgeht, dann sind sie a+a, b-+-DV,....., wenn man von der ersten Lösung zur 
dritten fortgeht. Werden nun die Abstände mit », »’, r" bezeichnet, so ist 


P=@®"+0t.., r?=a’+b°’+.., r?=(ata) + Hd) -....; 


folglich 


r?— r—r’=2(ad + +...), 


ur? — (fr —4 (ab — db" —+ ete.!. 


Für reelle Lösungen ist also das Produkt 
(—+r+r') -r+r-+r") r —r-+r") (r+r —r”) 


immer positiv. Nehmen wir nun alle drei Abstände als positiv und »<r'<r" an, so 


sind ausser dem Faktor » —+»" — r alle drei übrigen positiv, folglich muss auch dieser 
positiv sein, d.h.» +r' >". 

Sollte #» +" = r" werden, so müssten alle Ausdrücke ab’ — «ab, etc. verschwinden, 
d.h. es müsste azDbee:... = Q:bi:cH.... sein. 


Wenn die Unterschiede der Werte zweier Lösungen, einer konstanten A und 
einer veränderlichen P, proportional wachsen, so durchläuft die Lösung P einen Strahl; 
denn ihre Werte sind dann Funktionen ersten Grades einer einzigen unabhängigen 
Variabeln. Es sei B irgend eine von A verschiedene, in jenem Strahl enthaltene Lösung, 
die wir uns als fest denken. Wenn dann auf demselben Strahl irgend eine Lösung P 
auf A folgt und vor B vorhergeht, so ist immer der feste Abstand AB gleich der 
Summe der veränderlichen Abstände AP und PB. 

Den Abstand AB denken wir uns daher fortan auch als Mass des Strahls, 
welchen die Lösung P von A bis nach B durchläuft. 

Nehmen wir ausser den Lösungen A, B noch einige andere (, D, E an, welche 
nicht auf dem Strahle AB liegen, so ist leicht zu zeigen, dass die Summe der hier ge- 
nannten Abstände grösser ist als der Abstand AB. Es ist nämlich AC-COD>AD, 
AD--DE>AE AE-+EB>AB, also AC-CD-- DE EB>AB. Jene vier 
Abstände, an einander gereiht, bilden aber ein einfaches Kontinuum, das von A bis B reicht. 


Denken wir uns nun die n Variabeln der Lösung P als eben so viele beliebige 
Funktionen einer Unabhängigen, welche für einen Anfangswert derselben mit den Werten 
der Lösung A und für einen Endwert mit den Werten der Lösung B zusammenfallen 
und dazwischen keine Unterbrechung der Kontinuität erleiden, so beschreibt gleichsam 
die Lösung P einen von A bis B reichenden Weg, und es wird immer möglich sein, 
auf diesem eine hinreichende Menge von Lösungen P so zu verteilen, dass der Fehler, 
den man begeht, indem man den zwischen zwei unmittelbar auf einander folgenden 
Lösungen enthaltenen Weg durch ihren Abstand ersetzt, von einer höheren Ordnung 
wird, als dieser Abstand selbst, den wir uns als verschwindend klein denken. Daraus 
folgt, dass jener totale Weg AB, wofern er nicht gerade ein Strahl ist, immer grösser 
sein wird als der von einem Strahle beschriebene Abstand AB. 

Sind x, y, ... die Variabeln, dx, dy, ... ihre Differentiale unter der Voraussetzung 


einer Unabhängigen, so ist s = Iy de®+dy®—+... die Länge des Weges, wenn 
« 


das Integral von der Lösung A bis zur Lösung B reicht. Die Variationsrechnung 
zeigt, dass dieser Weg ein Minimum wird, wenn die Variabeln Funktionen ersten 
Grades sind. 


$ 2. Orthogonale Transformation der Variabeln. 


Werden die n Variabeln &, y,... durch solche lineare Funktionen von » neuen 
Variabeln #, t, t',... ersetzt, dass der Ausdruck für den Abstand zweier Lösungen 
seine Form nicht ändert, so soll diese lineare Transformation eine orthogonale heissen. 

Da im Ausdrucke für den Abstand » zweier Lösungen nur die Unterschiede ihrer 
"gleichnamigen Werte vorkommen, so sind hier die Konstanten jener linearen Trans- 
formationsformeln von keinem Belang; und, wenn man sie weglässt, so sind die Differenzen 
des ursprünglichen Systems im übrigen dieselben Funktionen der Differenzen des zweiten 
Systems, wie die Variabeln des ersten von denen des zweiten. Es seien daher x, 9, ... 
die Differenzen der ursprünglichen, t, t',€',... die der neuen Varjabeln, oder, was auf 
dasselbe hinauskommt, 0, 0, 0, .... seien in beiden Systemen die Werte der ersten Lösung, 
2, Y, 2, ... diejenigen der zweiten Lösung im alten, und ft, £',... im neuen Systeme. 
Dann sei 


I 


z=aetta@l-t---, 
yaßrtRtlte, 
etc., 
so wird 
++. = (++ )R+ete +2 lad + PP --)tl + ete., 
und wenn 7? —= ?--t?°--ete. sein soll, so müssen die Transformationselemente den 
Bedingungen 


a+ + Pt... —H1, etc. | (A) 
aa + BP" + yy + —=0, ete. | 
genügen. Es sei 
[ ' ’ ’ 
AZ || 020lH ol 
BETH IRRE 
| 
so ist nach einem bekannten Satze: 
Se 6: DR er | — 
DEE 0 I IR 
BSCH LOHN DO CH SD 0 | 
also vermöge jener Bedingungen 4°—=1, und 4 entweder =— 1 oder =+.1. Wäre 
4= —1, so brauchte man nur eine der neuen Variabeln entgegengesetzt zu nehmen, 
um sogleich 4=1 zu erhalten. Wir wollen daher fortan 4= 1 annehmen. Sind nun 


a,b, c,... die ergänzenden Elemente zu «, ß,Y,..., d.h. ist 


1 
a=—,b= dB etc., 


te 


so folgt It = ax + by cz —+ »--, etc. Wenn man aber die Transformationsformeln 
resp. mit @, 8,7, ... multipliziert und addiert, so ist vermöge der Bedingungen (1): 
t=a2—-ßy- ---, also, wenn 4= 1 vorausgesetzt wird, «=a«a, b=ß, ete., d.h. die 
ergänzenden Elemente sind den entsprechenden ursprünglichen gleich. Nun ist überhaupt 


aa aa ..-=4, etc, 
aB—- af: -—=(, etc, 
also - 
a +ad” 4a +:.- =1, ete,, 
eo +aß ta’ B" + ---—=0, ete. 


Mag man also die neuen Variabeln in die alten, oder diese in jene verwandeln, beide 
Verwandlungen sind durchaus ähnlich. 

Die Unterschiede der gleichnamigen Werte zweier Lösungen A, B mögen fortan 
Projektionen ihres Abstandes AB= r heissen. Dann ist in jedem orthogonalen 
Systeme das Quadrat des Abstandes r gleich der Summe der Quadrate seiner Projektionen, 
und dieser Satz ist als Definition eines orthogonalen Systems zu betrachten. Dann sind 
auch orthogonale Transformationen solche lineare Transformationen, durch welche irgend 
zwei orthogonale Systeme in einander übergehen. 

Sind die Anfangslösung A und alle » Projektionen des Abstandes » gegeben, so 
ist dadurch die Endlösung B völlig bestimmt. Ist aber jene Anfangslösung frei und 
sind nicht die Projektionen selbst, sondern nur ihre n — 1 Verhältnisse gegeben, so 
sagen wir, die Richtung des Strahls sei bestimmt und nennen jene Projektionen, bei 
denen es somit nur auf ihre gegenseitigen Verhältnisse ankommt, die Richtungs- 
elemente dieses Strahls. Werden sämtliche Projektionen durch den Abstand dividiert, 
so mögen die Quotienten Richtungscosinus heissen; diese sind also Projektionen eines 
auf dem Strahle genommenen Abstandes 1. 

Wenn zwei Strahlen gleiche Richtung haben, d. h. wenn die Richtungselemente 
des einen mit denen des andern proportional sind, so mögen sie parallel heissen. 

Demnach sind die oben gebrauchten Koeffizienten «a, ß, y,.... im alten Systeme 
die Richtungscosinus derselben Richtung, welche im neuen Systeme durch die Gleichungen 
t=t"=-:-—=( bestimmt ist u.s. f, und «,«@,«',... sind im neuen Systeme die 
Richtungscosinus der im alten durch y = z = -:- = 0) bestimmten Richtung. Die Gleichung 
ad +-PBP —-yy---—=0 drückt die Orthogonalität der beiden durch £ und f zu 
bezeichnenden Richtungen aus. 


$ 3. Ueber den Winkel zweier Richtungen. 


Es seien x, y, 2,... die Projektionen eines Abstandes » und &,,Y1, 2; .- . die- 
jenigen eines andern »,, so geben die obigen orthogonalen Transformationsformeln: 


m + yyı za + sth Hr Hl + 


ae - 


Dieser Ausdruck bleibt also in jedem orthogonalen System immer derselbe. Wir setzen 
daher 

2% Yyı I 24: —=rr, cos w 
und nennen w den Winkel der Richtungen der beiden Abstände ” und r,. Daraus 
folgt sogleich auch 


r, sinw=Y (ey — my) + (ea — 22)? + ete., 


wo die unter dem Wurzelzeichen stehende Summe sich auf alle Kombinationen zweiter 
Klasse erstreckt. 

Der Cosinus des Winkels zweier Richtungen ist gleich der Summe der 
Produkte der gleichnamigen Richtungscosinus. 

Zwei Richtungen sind orthogonal, wenn die Summe der Produkte ihrer gleich- 
namigen Projektionen gleich Null ist. 


S 4. Anwendung der orthogonalen Transformation 
5 I G 2 
zum Beweise des Satzes, dass der Strahl der kürzeste Weg sei zwischen zwei 


auf ihm befindlichen Lösungen. 


Es seien «, ß, y,.... die Richtungscosinus des gegebenen Strahls, so können immer 
n— 1 andere Richtungen gefunden werden, welche mit jenem ein orthogonales System 


E : c (n — 1 — 2) B 3 c b 
bilden. (Dabei bleiben ya Richtungscosinus frei.) Transformiert man dann 


die ursprünglichen Variabeln x, Y, ... in solche t, t,£',..., welche dem neuen System 
entsprechen, so ist der gegebene Strahl nunmehr dadurch bestimmt, dass nur £ variabel 
bleibt, während 7, t',... konstante Werte erhalten. Ein Stück desselben ist also durch 


das Integral /dt, irgend ein anderer dieselben Lösungen verbindender Weg dagegen 


ro 


durch das zwischen denselben Grenzen genommene Integral | V dt? + dt?’ —+ dt 


dargestellt. Vergleicht man die Formen beider Integrale, so sieht man unmittelbar, 


. rn . . . - / c 7 . 
dass dieses grösser ist als jenes. Also ist auch das Integral | Ydx’—+-dy’----- , zwischen 
Lz 
zweien gegebenen Grenzlösungen genommen, ein Minimum, wenn die Variabeln lineare 
Funktionen einer Unabhängigen sind. 


$S 5. Mass des Paralleloschems. 


Das Mass V einer umschlossenen Totalität ist durch das nfache Integral Yh dedydz... 
ME 


ausgedrückt. Hat nun das (n— 1)fache Integral /dydz... einen konstanten, von x 
unabhängigen Wert A, und sind die auf x bezüglichen Grenzen zwei konstante Werte, 


deren Unterschied « ist, so ist offenbar V= a4. Die erste Voraussetzung ist unter 
anderm erfüllt, wenn eine Grenzgleichung von der Form 


F(y—p, 2—49,....)=0 


gegeben ist, wo 9, q,.... beliebige Funktionen der einzigen Variabeln x bezeichnen. 
Es kommen dann nur noch zwei Grenzgleichungen von der Form 2 = const. hinzu, und 
das Integral V wird sich auf alle Werte von & erstrecken, welche zwischen diesen zwei 
Konstanten liegen. Sind insbesondere 9, g,.... lineare Funktionen von x, so wird die 
durch F=0 bezeichnete Grenze erzeugt durch die Bewegung eines Strahls, welcher 
stets mit dem durch y=9p,2=4q,.... bestimmten parallel bleibt. Die geschlossene 
Totalität V ist dann dem Cylinder der Geometrie zu vergleichen, wo 4 der Basis, 
« der Höhe entspricht, und der hier angedeutete allgemeine Satz kann symbolisch so 
ausgesprochen werden: Das Mass eines Cylinders ist gleich dem Produkte seiner 
Basis und Höhe. 

Wenn nun die Grenze des (n— 1)fachen Integrals A (der Basis) wiederum so 
beschaffen ist u. s. f., so wird zuletzt V=abe... Dann ist & zwischen zwei Konstante, 
deren Unterschied a, y zwischen zwei lineare Funktionen von x, deren Unterschied Ö, 
2 zwischen zwei lineare Funktionen von x, , deren Unterschied c u. s. w. eingeschlossen. 
Die Totalität wird somit zwischen n Paare von parallelen linearen Kontinuen einge- 
schlossen; sie heisse Paralleloschem. Wir dürfen immerhin annehmen, dass die 
Gleichungen für die n Anfangsgrenzen durch die Nullwerte sämtlicher Variabeln befriedigt 
werden. Nehmen wir je n— 1 von diesen linearen Anfangsgleichungen zusammen, so 
bestimmen sie immer einen Strahl, den wir, durch das weggelassene Paar paralleler 
linearer Kontinuen begrenzt, Kante des Paralleloschems nennen. Dieses hat im ganzen 
n. 2”! Kanten; da aber je 2”! parallel und gleich lang sind, so zerfallen sie in n Gruppen, 
von denen wir diejenige fixieren, wo die n Kanten vom Ursprung ausgehen. Von den 
n Gleichungen, von denen je eine durch ihre Weglassung einer Kante entspricht, ist die 
erste 2—= (0, die zweite ax + Py = (0, die dritte ex +ß'y+yz=0u.s.f. Lässt man 
die erste weg, so braucht im allgemeinen keine Variable zu verschwinden; lässt man 
die zweite weg, so bleibt & = 0; lässt man die dritte weg, so bleiben 2e=0, y=0; 
lässt man die vierte weg, so bleiben 2=0, y—=0, z=0 u.sf., d.h. für die erste 
Kante verschwindet keine Projektion und ihre erste Projektion ist a; für die zweite 
Kante ist die erste Projektion o, die zweite b; für die dritte Kante sind die erste und 
zweite Projektion o, die dritte c u.s.f. Wenn also die Projektionen der n Kanten in 
ein quadratförmiges Schema gebracht werden, so befinden sich darin auf der einen Seite 
der Diagonale lauter Nullen, und V ist gleich dem Produkt der in die Diagonale fallen- 
den Projektionen, also gleich der Determinante aller Projektionen. Wenn wir nun die 
Variabeln in ein neues orthogonales System transformieren, so ist die Determinante der 
alten Projektionen bekanntlich gleich dem Produkt der Determinante der Transformations- 


elemente und der Determinante der neuen Projektionen, also (da jene für ein orthogonales 
neues System gleich 1 ist) gleich dieser. Da aber, wie wir sogleich zeigen werden, 
für jedes Paralleloschem immer ein orthogonales System von der Beschaffenheit jenes 
alten gefunden werden kenn, so haben wir den allgemeinen Satz: 

Das Mass eines Paralleloschems ist gleich der Determinante der ortho- 
sonalen Projektionen seiner Kanten. 

Die Projektionen der Kanten eines Paralleloschems in irgend einem orthogonalen 
Systeme seien a, b,c,...; ad,b,c,...;@,b’,c’...; ete. Man soll dieses System in 
ein neues orthogonales transformieren, zu welchem das Paralleloschem die oben voraus- 
gesetzte Beziehung hat. Denkt man sich sowohl die Kanten als die neuen Variabeln 
X, Y,... in einer der oben- angenommenen entgegengesetzten Ordnung, so sind die 
Projektionen im gesuchten System: 

A or A) 
u 
EBEN CH ROW. 


Es sei ferner 


n—=oX Le Ya! Zt ., 
BR Piz 


S 
I 


so hat man 
De Au 0 wa Aa Bea a g_ A'u Bla ar Ola 
b — Al b —4AB +BPß b' =. — B'ß 4 (0 
Durch die Gleichungen der ersten Vertikalreihe sind 


b 
DIS SIWO 


bestimmt. Da das neue System orthogonal sein soll, so liefert die zweite Vertikalreihe 
A_gaetpdß-..... 


und, wenn man nun den gefundenen Wert von A substituiert, auch 


A=-Yetbt.. ude=-, = 


a — A’« 


a a a 
Die dritte Vertikalreihe giebt 
A’=aa+b’Bß+-..--, Bed + ---- 
und, wenn diese zwei Werte substituiert werden, endlich auch €", «', ß',.... u. s. f. 
Jede im Paralleloschem enthaltene Lösung ist durch die Gleichungen 


z=latNd Na +, y-ıAb+Ab NND —..., etc. 
dargestellt, wo die unbestimmten Faktoren A, 4, 4, .... positive, echte Brüche bezeichnen. 


a ie 


Wird die Determinante V= 2+.abe'... mit sich selbst multipliziert, so ist das 
Produkt wiederum gleich einer Determinante, deren Elemente 


na DE ern au —bb cd +---, aa’ +bb' —ce A ‚ete., 
gaatbbtce-t..., a?” ID? Ic? L..., aa —bb Ice —...., ete,, 
etc. 
sind. Bezeichnet man nun die Kanten des Paralleloschems mit k, %, %',... und die von 


je zweien gebildeten Winkel mit Z (kA), ---, so ist z. B. 


eb... —h, ad —+bb—+:..- —=kk cosZ (kk) 
und man hat 
Ne h? :kk 608 ZUkh) HEART ZEN 
kk cos/(kk) . Habe KK cosZ/L(kR").....| 
kK'kcos /(k'k).k'k cosZ (KK). 1 . 
— (lo Ba) 1 008, ZU E LA). ..cos ZUkR ). 
cos/(kk) . 1 ..c08Z2 (KK). 


cos /(k'k).cosZ(k'k). 1 


Das Mass des Paralleloschems ist also das Produkt aller seiner Kanten, multipliziert 
mit der Quadratwurzel der Determinante, deren allgemeines Element der Cosinus des 
Winkels ist, den jede Kante mit jeder Kante bildet. 

Ist Y=0, so genügen alle Kanten einer und derselben linearen Gleichung, sie 
fallen in eine und dieselbe Ebene und umgekehrt. Dann muss also auch die Deter- 
minante der Cosinus verschwinden. Sind die Winkel, welche n— 1 vom Ursprung aus- 
gehenden Strahlen mit einander bilden, beliebig gegeben, und es soll ein nter Strahl in 
dem durch jene bestimmten linearen Kontinuum liegen, so kennen wir also eine Be- 
dingung, welcher die an — 1 Winkel, die dieser mit den übrigen Strahlen bildet, genügen 
müssen. Setzt man n—=4, so passt das Gesagte auf den Fall, wo im Raume vier 
Strahlen von einem Punkte ausgehen, und die obige Formel liefert uns unmittelbar die 
Bedingung, welcher die Cosmus der sechs Seiten eines sphärischen Vierecks genügen 
müssen. Nennen wir drei von einer Ecke ausgehende Seiten a, b, c, ihre Gegenseiten 
«,b,c, so ist die Bedingung: 


Ve 1 (eos) DE. ee — Fcos’a + 2208 a cosb cosc 
cosa. 1 .cosc .cosb 
cosb.cosc. 1 .eosa —+ 2 cos? a cos? a — 2 Fcosacosa cosbcosb. 


cose.cosb.cosa@. 1 


Ey mE = 


Fällt man aus einem innerhalb eines Tetraeders befindlichen Punkte Senkrechte 
auf seine Ebenen, so ist jeder von zwei Senkrechten gebildete Winkel das Supplement 
eines Flächenwinkels des Tetraeders. Man hat also in der letzten Gleichung auch die 
Bedingung, durch welche die sechs Flächenwinkel eines Tetraeders verbunden sind. 


$ 6. Ueber schiefe Systeme. 


Wenn wir die auf das vorige Paralleloschem bezüglichen Bezeichnungen be- 


halten und 
Bne.. at at data, x e bt f bt pr" re 
ı.— 1; 4 I" t 1” — Er Y 2; k j Te" j I" I y etc. 


setzen, so stellen diese Gleichungen eine Lösung dar, zu der man vom Ursprung aus 
auf einem gebrochenen Wege gelangt, der aus den n Abständen #, t', t',... zusammen- 
gesetzt ist, welche resp. mit den Kanten %, %, !_... des Paralleloschems parallel sind. 
Denkt man sich die Abstände t, t,i',... variabel, so repräsentieren sie ein schiefes 
System. Setzen wir jetzt "—=x°+ y?—----, so bekommen wir als Abstand irgend 
einer Lösung (t, t, t',...) vom Ursprung: 


Des Z(ERE aesz jEr 


Durch die —-n (nr — 1) Cosinus, welche in diesem Ausdruck für einen Abstand r, dessen 


schiefe Projektionen t, t,t',... sind, vorkommen, ist die Beschaffenheit des schiefen 
Systems völlig bestimmt. Wird der Ursprung festgehalten, so ist die Lage eines schiefen 
Systems durch n (n — 1) Data bestimmt, die Lage irgend eines orthogonalen Systems 


1 
9 


hingegen nur durch n(n— 1) Data. Da es nun für die wesentliche Beschaffenheit 


des schiefen Systems gleichgültig ist, auf welches orthogonale System dasselbe bezogen 
werde, so hat man diese Zahl von jener abzuziehen, und es bleiben also wirklich nur 


In (n — 1) wesentliche Data für das schiefe System übrig; als solche kann man die 


Winkel Z (kk),..., oder die Koeffizienten der Produkte der Variabeln im Ausdruck 
für das Quadrat des Abstandes r ansehen. 

Das Element der Totalität ist im schiefen System ein Paralleloschem, dessen 
Kanten dt, df,dt',... mit den Axen k,%,%k”,... parallel sind. Bezeichnen wir die 
Determinante der Cosinus der Winkel / (kl), Z (kk), ... mit A?, so ist dieses Element 


AT UA Sahgehe ehr 1 


$ 7. Mass der Pyramide. 


Es ist klar, dass das Integral P— A /dtdti dt’... durch die Bedingungen 
t zu re 
k k' - k" 


0 or 


— 16 — 


völlig begrenzt ist. Wir nennen ein solches von n 4-1 linearen Kontinuen umschlossenes 
Integral P eine Pyramide. Setzt mn t=ku,t=ku,t’=k'u,...., so wird 


PEN EEK x fdudu du er: 


mit den Grenzen u>0, W >00, «W>0,..., u+-wW-+w'—+-.-<1; da das Integral 
keine Konstanten enthält, so kann es durch ‚f(n) bezeichnet werden. Die vorletzte 
Integration: 
n—1 
| du du du ... [" >00, WW" >0,...,w-tW"+uw —...-<1— ]. 
Man setze «= (1— u)v, W = (1— u)v', ete., so wird 
n—\ n—1 
r 7 n—1 ; ’ [7 rn rn 7 r Era 
[au du Ban) | Donau dee E mA en +... <1] 
r—1 
= (u) fn—)); 
( f( 1 1 
2 2 u n—1 a} n—1) N 
SW=f/R=1.|( Die 
0 
weil O)= | du E >(, u< 1] — 
ist. Es ist also 
REINE TE v 
nn EI ern Ne ISOIEN ee n 


Die Pyramide ist gleich dem Paralleloschem, das mit ihr n von einer 
Lösung ausgehende Kanten gemein hat, dividiert durch die Permutationszahl 

Wir wollen die Aufgabe noch aus einem allgemeineren Gesichtspunkte betrachten. 
Denken wir uns ein geschlossenes Stück eines linearen Kontinuums, für welches die 
orthogonale Variable & konstant ist, so können wir sein Mass durch 


n—1 


S=fdyd2... 


ausdrücken, gleich wie wenn es ein Stück einer (n— 1)fachen Totalität wäre. Die 
Grenze werde durch den Durchschnitt irgend eines höhern Kontinuums gebildet, dessen 
Gleichung die Form 


Y 2 
BL, E,..)=0 
habe. Setzt man nun y—-xu, 2—xuU",...., so wird 
Mil 
. r r . 77 
S= a" fdu dw‘... mit‘ der Grenze F(w,w',...)=0. 
Bezeichnen wir mit U den Wert des Integrals I dw du” ..., welcher offenbar nur 
durch die Natur der begrenzenden Gleichung F= 0 bedingt ist und daher konstant 


eaer— 


bleibt, wenn auch x variiert, so haben wir S= U.x"”'!. Variiert nun © von 0 bis h, so 
entsteht eine geschlossene Totalität P, begrenzt vom linearen Kontinuum @ = h und 


vom höhern 


ihr Mass ist 


Kurz iewerde S/— Br solist B— Orks und 


Se 
n 


h.B. 
Nennen wir nun die geschlossene Totalität P einen Kegel, B seine Basis, den Ursprung 
Spitze und den orthogonalen Abstand A dieser Spitze vom linearen Kontinuum der 
Basis B die Höhe, so haben wir den Satz: 

Das Mass eines Kegels ist der nte Teil des Produkts seiner Basis 
und Höhe. 

Setzt man die Basis wieder als Kegel einer (n — 1)fachen Totalität voraus u. s. f., 
so erhält man den frühern speziellern Satz über das Mass der Pyramide. 


E : er 0 1 N = 
S 8. Mass der Pyramide, ausgedrückt durch ihre —n (n— 1) Kanten. 
S Y I 2 


Bezeichnen wir die als Ursprung angenommene Ecke durch o, die übrigen durch 
1, 2,...n und die von jenem nach diesen gehenden Kanten durch k,, lg, ... /ö,, ihre ortho- 
gonalen Projektionen durch a, b,c,... mit entsprechenden Zeigern, ferner das Quadrat 
der Kante, welche die mit den Ziffern A, u bezeichneten Ecken verbindet, durch (Au), 
so sind die Projektionen dieser Kante 


aa, b,—b,..., also (Au)= (a, — a,)’ + (b, — b,)’ + ete. 


f 


= kt, — 2h,k, eos Z (k,k,); folglich 


it 


(Au) — (oA) — (ou) = 2k,k, cos / (k, Ku)» 


und es wird (AA) = 0, (Au) = (u4) sein. Betrachten wir nun eine Determinante 2, deren 

allgemeines Element (Au) -- © ist, und wo in jeder Horizontalreihe die Zahl « und in 

jeder Vertikalreihe die Zahl A die Werte 0, 1, 2,3, ...n durchläuft und subtrahieren zuerst 

die Elemente der Horizontalreihe (4 = 0) von den entsprechenden Elementen aller übrigen 

Horizontalreihen, so wird in diesen das allgemeime Element (Au) — (ou). Subtrahieren 

wir ferner die Elemente der Vertikalreihe (u — 0) von den entsprechenden Elementen aller 
Bi 


— lee 


übrigen Vertikalreihen, so wird in diesen das allgemeine Element (Au) — (ou) — ((1.0) — (00)) 
— (Au) — (ok) — (ou) = — 2k,k, cos Z (k,k,), und & bleibt nur in dem Element (A = o, 


Au 


u = 0) noch übrig. Also ist 2 eine lineare Funktion von ©, in welcher der Koeffizient 
von o gleich 


92 ee 
IE — Er 2 
od “) :- ( 2) } 
ist, wenn V*, wie früher, die Determinante der Elemente %k,%, cos Z (k,%,) bezeichnet, 
wo sowohl A als u die Werte 0, 1,2,3,...n durchläuft. Also ist 
Be At zu ee 
= = == Die zZ undrendlich2— t V- 1 _ 2 — 
(— 2) [00] 122 DM (— 2) do 


Für n=3 findet man 


P= —;-z[(01) + @39)][— (01) (23) + (02) (13) + (09) 19] — 212) (23) (13). 


Wird dieser Ausdruck gleich Null gesetzt, so hat man die Relation, durch welche die 
Quadrate der sechs Seiten eines Vierecks verbunden sind. Für n = 4 ist 


[= (01) (23)° — 2 2(01)" (23) (34) — 4 3 (01). (23) (34) (42) | 


Bo 2 (01) (12) (23) 30) + S (01) (12) (23) (34) | 


(Die unter das Summenzeichen gesetzten Ziffern geben die Zahl der Glieder an, welche 
jede Summe enthält.) Das Verschwinden dieses letzten Ausdrucks ist die Relation 
zwischen den Quadraten der zehn Entfernungen von fünf beliebigen Punkten im Raume. 


Sind für ein beliebiges n alle en n (na— 1) Kanten der Pyramide der Einheit 


gleich, so ist 


$ 9 Anwendung von $ 6 auf die Verwandlung vielfacher Integrale. 


n 

Es sei 7’ eine Funktion der n Variabeln &, y, 2,... und $ = ,f Tdxdydz.... Man 
soll dasselbe Integral durch die n neuen Variabeln t, f, ft"... ausdrücken, wenn &, y, ... 
als unter sich unabhängige Funktionen derselben gegeben sind. 

Fassen wir &,%,... als Variabeln eines orthogonalen Systems auf, so ist das 
Produkt dx. dy ... das Element einer von den Integrationsgrenzen umschlossenen Totalität. 
Wird jedes solche Element mit dem der betreffenden Lösung entsprechenden Werte der 
Funktion 7 multipliziert und die Summe aller innerhalb des gegebenen Kontinuums 


— 1) 


fallenden Produkte genommen, so hat man das Integral S. Wenn nun die Incremente 
von 7 innerhalb der gegebenen Grenzen überall von derselben Ordnung sind, wie die 
unendlich kleinen Abstände je zweier Lösungen, so steht es offenbar frei, das gegebene 
Stück der Totalität in Elemente von anderer Form einzuteilen, das Mass eines jeden 
mit 7 zu multiplizieren und die Summe aller dieser Produkte zu nehmen. Da der 
Fehler jedes Produkts von einer höhern Ordnung ist als das Mass des Elements, so 
wird der Fehler der Summe von einer verschwindend kleinen Ordnung sein und daher 
das neue Integral mit S zusammenfallen. Wird nun das gegebene Stück der Totalität 
durch Kontinuen, welche den Gleichungen t = const., ? = const., t’ = const.,.... ent- 
sprechen, in Elemente zerschnitten, so ist ein solches Element ein schiefes Paralleloschem, 


5 x £ = x ) R £ 4 R 2 
dessen erste Kante die Projektionen Hr dt, ra di,..., die zweite die Projektionen 
dx dt, as dt ..., u.s.f. hat. Sein Mass ist also 
ot dt 


SE rg) X date... 


(= er RT 
wo die Summe die Determinante der partiellen Differentialkoeffizienten bedeutet. Das 
Integral verwandelt sich demnach in 
9% Iy I 


N ii 7 (2 S= dt ZZ EZ .. N) dtdt hi ... 


S$ 10. Ueber Polyscheme. 


n 

Wenn das nfache Integral Sdaedydz ... durch lauter Gleichungen ersten Grades 
vollständig begrenzt wird, so dass keine der Gleichungen bei der Begrenzung als über- 
flüssig erscheint, so nennen wir die geschlossene Totalität, deren Mass jenes Integral 
ist, ein Polyschem P,. Seine Grenzkontinua sind durch jene linearen Gleichungen 
dargestellt und ihre Zahl kann nicht kleiner als n-+-1 sein. Fixieren wir eines dieser 
Grenzkontinua, so erscheint es uns, wenn wir nur die in ihm befindlichen Lösungen 
betrachten, welche zugleich innerhalb jenes Integrals liegen, als ein geschlossenes lineares 
Kontinuum. Wir können dann das ursprüngliche System immer so orthogonal trans- 
formieren, dass eine neue Variable in der ganzen Ausdehnung dieses linearen Kontinuums 
verschwindet. Mehrere jener ursprünglichen Grenzgleiehungen, deren Zahl wenigstens 
n betragen muss, werden dann in ihrer transformierten (offenbar wieder linearen) Gestalt, 
wo sie nur die n— 1 übrigen neuen Variabeln enthalten werden, zur Umschliessung 
des fixierten Grenzkontinuums dienen. Da eine Variable nın ganz aus der Betrachtung 
wegfällt, so ist alles wieder so, wie in einer Totalität, aber einer bloss (n — 1)fachen ; 
das geschlossene Grenzkontinuum hat ein dem ursprünglichen ähnliches Integral, das 
aber nur (n — 1)fach ist, zum Mass; innerhalb der von den (n — 1) übrigen neuen 


5 20 


Variabeln gebildeten Totalität ist es daher auch ein Polyschem P,_,. Das gegebene 
P, ist also wenigstens von n--1 P,_, umschlossen, jedes von diesen wenigstens von 
n PP, u. 8. f. Im allgemeinen schneiden sich drei P,_,, als unbegrenzte lineare Kontinua 
aufgefasst, erst in einem (n — 3)fachen, linearen Kontinuum, und wenn sie sich schon 
in einem (n — 2)fachen linearen Kontinuum schneiden, so sind ihre Gleichungen nicht 
mehr unabhängig von einander. Tritt ein solcher spezieller Fall ein, so können doch 
nicht alle drei (oder mehrere) P,_,, als begrenzte Gebilde aufgefasst, das fragliche P,_, in 
seiner ganzen Ausdehnung gemein haben; wir zerlegen es dann in Stücke, deren jedes 
in seiner ganzen Ausdehnung immer nur zweien nachbarlichen P,_, gemein ist. 

Wir wollen daher durchweg annehmen, dass ein im Umschluss des P, vorkommen- 
des P,_, immer nur zweien ?,_, und dann in semer ganzen Ausdehnung gemeinschaftlich 
sei; hingegen zugeben, dass ein ?, , nicht nur wenigstens dreien, sondern auch mehreren 
nachbarlichen P,_, gemein sein könne: em P,_ 
RUSS 

Wenn keine zwei der P,_, aus denen der Umschluss eines ?, besteht, sich 
schneiden, und dasselbe doch eine einzige zusammenhängende Totalität bildet, so nennen 
wir es nicht überschlagenes Polyschem, im entgegengesetzten Falle ein über- 
schlagenes. Wenn keine innerhalb des gegebenen Polyschems befindliche Lösung 
dem verlängerten Kontinuum eines seiner Grenz-P,_, angehört, d. h. wenn für sämtliche 
innerhalb des Polyschems fallende Lösungen das Polynom einer jeden Grenzgleichung 
immer dasselbe Vorzeichen behält, wenn z. B. alle Polynome stets positiv bleiben, so 
ist das Polyschem konvex. Durch eine innere Lösung sei ein unbegrenzter Strahl 
gezogen, so kann auf diesem die Lösung nur nach den zwei entgegengesetzten Richtungen 
sich fortbewegen; man denke sich die Werte der Lösung fortwährend in den Polynomen 
aller Grenzgleichungen substituiert. lu demselben Augenblicke nun, wo der Wert eines 
einzigen dieser Polynome ein entgegengesetztes Vorzeichen angenommen hat, ist auch 
die bewegte Lösung ausserhalb des Polyschems getreten. Das Gleiche gilt für die 
Bewegung in der entgegengesetzten Richtung. Folglich kann der Umschluss eines 
konvexen Polyschems von einem Strahl in nicht mehr als zwei Lösungen geschnitten werden. 

Wird der Umschluss eines Polyschems P,, ohne eines der P,_, zu zerbrechen, so 
in zwei Teile geteilt, dass jeder ein einziges gebrochenes (» — 1)faches Kontinuum bildet, 
so soll jeder dieser Teile eine offene polyschematische Figur heissen. 

Satz. Wenn unter der Voraussetzung einer nfachen Totalität in einem 
Polyschem oder einer offenen polyschematischen Figur die Zahl der Grenz- 
lösungen mita,, die der Grenzstrahlen mit a,, überhaupt die Zahl der öfachen 
polyschematisch geschlossenen linearen Grenzkontinuen P; mita, bezeichnet 
wird, und ist endlich a„= 1, wenn ein geschlossenes Polyschem, a, = (0, wenn 
eine offene polyschematische Figur vorliegt, so ist 


un A We on al: 


, wenigstens vieren oder auch mehreren 


— 23 


Beweis. Ich nehme an, der Satz sei für die (w„— l)fache Totalität schon 
bewiesen, und bezeichne in der nfachen Totalität für irgend eine offene polyschematische 
Figur die linke Seite der fraglichen Gleichung mit A,. Wird nun dieser Figur ein 
neues P,_, angefügt, ohne dass sie dadurch zu einem geschlossenen Polyschem wird, 
so ist die diesem ganzen geschlossenen P,-, entsprechende Zahl A,_, nach der Voraus- 
setzung gleich 1. Es hat aber mit der anfänglichen Figur eine derselben (n — 1)fachen 
Totalität angehörende, offene polyschematische Figur gemein, deren Zahl A,_, ebenfalls 
gleich 1 ist. Da diese zweite Zahl A, _, schon in der anfänglichen Zahl A, enthalten 
ist, so muss sie, bei der Berechnung ‘des Zuwachses von 4,, von der ersten Zahl 
A,_, abgezogen werden; der Rest ist 0. Die Zahl a, ist auch jetzt noch 0 wie vorher. 
Die anfängliche Zahl A, hat also durch das Anfügen eines neuen P,_, keine Veränderung 
erfahren. Ist hingegen die anfänglich offene Figur so beschaffen, dass sie durch das 
Anfügen eines neuen P,_, zu einem geschlossenen Polyschem wird, so verändern sich 
die Zahlen «a, &ı, ds, - -. 4, nicht, die Zahl «,_, wächst um 1, und die Zahl «a, geht 
aus 0 in1 über. Da aber die Zahlen «,_, und «a, in dem fraglichen Ausdruck mit 
entgegengesetzten Vorzeichen versehen sind, so wird auch in diesem Falle der Wert 
4A, dieses Ausdruckes nicht geändert. Nehmen wir nun nach und nach ein P,_, nach 
dem andern weg, so dass immer eine offene polyschematische Figur übrig bleibt, so 
wird diese zuletzt aus einem einzigen P,_, bestehen, und, da ohnehin «a, = 0 ist, so 
wird das entsprechende 4, gleich sein der Zahl A,_, dieses einzigen P,_,, also nach 
der Voraussetzung gleich 1. Nun ist für n—=1 das P, ein begrenzter Strahl, also 
“= 41; folglich a = —-m—=1. Der Satz ist somit bewiesen. 


[> 


$ 11. Berechnung des Masses eines Polyschems. 


Durch ein (n — 2)faches lineares Kontinuum und eine ausserhalb desselben be- 
findliche Lösung kann immer ein (n — 1)faches lineares Kontinuum, und zwar nur eines, 
gelegt werden. Denn, wenn jenes durch die zwei simultanen Gleichungen u = 0, v—(, 
wo u, v lineare Funktionen der Variabeln bedeuten, bestimmt ist, so ist jedes durch- 
gehende (n — 1)fache lineare Kontinuum in der Gleichung u +-Av=0, wo 4 einen 
willkürlichen Faktor bezeichnet, enthalten. Soll es aber durch die gegebene Lösung gehen 
und erhalten für diese die Funktionen ı, v resp. die bestimmten Werte p, q, so muss auch 
p--Aqg=0 sein. Hiedurch ist A bestimmt, und man hat gu — pv — 0 als Gleichung 
des verlangten linearen Kontinuums. 

Denken wir uns nun das gegebene Polyschem P, als konvex, wählen innerhalb 
desselben eine beliebige Lösung und fixieren dann irgend ein P,_, des Umschlusses, so 
ist auch dieses wieder von vielen P,_, umschlossen, und wir legen durch jedes derselben 
und jene innere Lösung ein lineares Kontinuum; dann erhalten wir einen polyschema- 
tischen Kegel, welcher die Lösung zur Spitze und jenes fixierte P,_, zur Basis hat. 


-_.: I) —: 


Wird das Polynom der Gleichung dieser Basis für jene Lösung ausgewertet und durch 
die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der Koeffizienten der Variabeln dividiert, 
so hat man die Höhe des Kegels gefunden. Kennt man ferner das Mass der Basis 
P,-,, multipliziert es mit der Höhe und dividiert durch n, so hat man das Mass des 
Kegels. Da endlich das gegebene Polyschem P, in lauter solche Kegel zerfällt, so ist 
sein Mass gleich der Summe der Masse aller dieser Kegel. 

Wie die Aufgabe, ein P, zu berechnen, auf die für ein P,_, zurückgeführt ist, 
so hängt auch diese wieder von der Berechnung eines P,_, ab u.s.f. Zuletzt hängt 
alles von der Berechnung eines P, oder eines Abstandes ab. Die Berechnung der Höhen 
und die orthogonalen Transformationen, welche jeweilen zur Wegschaffung einer Variabeln, 
deren Verschwinden einer Basis entsprechen soll, gemacht werden müssen, erfordern 
immer eine Ausziehung der Quadratwurzel aus einer Summe von Quadraten, während 
der Natur der Aufgabe nur rationale Rechnungen wesentlich eignen. 

Die Zahl der zu berechnenden Kegel wird geringer, wenn man eine Grenzlösung 
des P, zu ihrer gemeinschaftlichen Spitze wählt. Nehmen wir nun an, jede Basis 
P,-, sei schon in lauter Pyramiden (x"”") zerteilt, so ist jede von diesen die Basis 
einer Pyramide ("), welche jene Grenzlösung zur Spitze hat. Wenn man also über- 
haupt ein P,_, in lauter Pyramiden zerlegen kann, so ist dieses auch für jedes P, 
möglich. Nun kann man aber jedes P, oder Vieleck in lauter Pyramiden (?) oder 
Dreiecke zerlegen, folglich kann auch jedes Polyschem (x©”) in lauter Pyramiden (x) 
zerlegt werden. Das Mass einer solchen ist der 1.2.3...nte Teil der Determinante 
der Projektionen von n ihrer Kanten, die von einer und derselben Ecke ausgehen. 
Hiedurch ist also die Berechnung des Masses eines Polyschems auf lauter rationale 


Rechnungen zurückgeführt. 


$ 12. Ueber die Projektionen eines linearen mfachen Kontinwums, wenn m 


zwischen 1 und n liegt. 


Da das Kontinuum in paralleloschematische Elemente zerlegt werden kann, so 
wollen wir das Mass 5 eines Paralleloschems (®©”) untersuchen, wenn m geringer ist 
als die Dimensionszahl n der Totalität. Transformieren wir die Variabeln orthogonal, 
so dass für das gegebene Kontinuum n — m der neuen Variabeln verschwinden, so haben 
wir es bei der Berechnung des Paralleloschems (®©”) nur mit den übrigen m Variabeln 
zu tun. Es gilt also der frühere Satz ($ 5), wenn darin m statt n gesetzt wird. Sind 
nun /öy, li, .... /, die Kanten des Paralleloschems „, so ist 


Se= | ki . kı ko cos L (ik, ko) . k, kz cos Z (ki, k,) ee 
| kok, cos Z (kak,). k; AS COST (Tee) 


Dt 


23 


Sind nun @,, D,, €, ... die n Projektionen von /k, im ursprünglichen System, so haben 
wir früher gesehen, dass 


kl cosZ (ki) = u, bb, —.--- 


ist. Bezeichnen jetzt f, 9, h,.... irgend m der n Projektionen «a,b, c,..... so ist nach 
einem bekannten Satze: 
Se m Roh elle oe! 

Ihn ol elle © 

| Im > Im S In > 
wenn die Summe sich auf alle Kombinationen gl... ohne Wiederholungen und mter 
Klasse aus den n Elementen a, b, e,.... erstreckt. Jede der 1) Determinanten, aus 
deren Quadraten diese Summe besteht, nennen wir eine Projektion von S auf das ent- 
sprechende mfache lineare Kontinuum, für welches alle n — m mit f, 9, h,.... nicht- 
gleichnamigen ursprünglichen Variabeln verschwinden. Es ist sogleich klar, dass, wenn 
wir nur die Längen Ä,,%,,...%, der Kanten, aber nicht ihre Richtungen ändern, 


sämtliche Projektionen mit S proportional sich verändern werden. 
Betrachten wir nun wieder das beliebig umschlossene nfache lineare Kontinuum 
und teilen dasselbe durch Scharen paralleler (m — 1)facher linearer Kontinuen in un- 


endlich kleine Paralleloscheme (©”) dS, deren jedes die (6, Projektionen dP,dP',dP',... 


hat, so ist dS®=dP?+ dP?’- dP"°--...., und die Verhältnisse dS:dP:dP':dP":.... 
sind konstant. Wenn also S das Mass des mfachen Kontinuums, P, P', P”,.... seine 
Projektionen bezeichnen, so ist 

Eee ner 2 


d. h. das Mass irgend eines geschlossenen linearen mfachen Kontinuums ist 


N 


gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate seiner (im 


) Projektionen. 


n 


Wenn 1<m<n—1 ist, so sind die (& 


) Projektionen nicht unter sich unab- 


hängig. Man kann nämlich die Gleichungen des linearen nfachen Kontinuums immer 
so darstellen, dass n — m Variabeln als lineare Funktionen der m übrigen erscheinen. 
In jeder von diesen sind m Koeffizienten der Variabeln und noch eme freie Konstante 
gegeben; die letzte zählen wir nicht, als ohne Einfluss auf die Richtung des mfachen 
Kontinuums. Diese Richtung wird also im ganzen durch (n — m) m Data hinreichend 
bestimmt. Setzen wir jetzt Projektionen, so kommt ausser der Richtung noch das Mass 


u... r . - . . 2 
des projizierten Kontinuums als neues Datum hinzu. Also sind unter den („) Pro- 


jektionen nur n — m)m--1 unter sich unabhängig, alle übrigen aber sind 
durch diese bestimmt. 


dh 


Die zwei angeführten Zahlen ändern sich nicht, wenn man m mit n — m vertauscht; 
. & — 1 2 
wir dürfen also m <-,- n voraussetzen. Betrachten wir nun den Bruch 


n n—| n—2 n—3 n—m-+1 
23m Nn— mM 3 4 m 


’ 


so sind seine Faktoren 


N — n—1 n— 2 


n—m-+1 
3m n — m 3 


Mm 


al or >ale 


* 


- en n—1 - > eh 
der Bruch ist also grösser als en und, wenn wir mit (n — m) m multiplizieren, 


Mm 


) > (n—- D)m=(n—m)m-+m(m — 1), 
also, da m > 1 vorausgesetzt ist, auch 


(er) > (n— m)m—+1. 


m 


(Für m—=1 oder m=n— 1 hingegen wird jede der zwei hier verglichenen Zahlen 
gleich n. Also kann erst für n>4 der Fall eintreten, dass nicht alle Projektionen 
unter sich unabhängig sind.) 

Es seien nun a, b, «,...e die Zeichen für irgend m-+-1 Projektionen einer 
Kante / jenes mfachen Paralleloschems; f, 9, h, ... die Zeichen für m — 1 Projektionen 
derselben Kante; nur darf die Kombination (m — l)ter Klasse, f, 9, h..., weder eine 
aus den Elementen D, c, ....e gebildete sein, noch das Element a enthalten. Dann sei 
die Determinante 


| END N me | =eA+rbBr cl L...+eE, 
EM oo Dooc A 
a EC 


wo a,b,c,...e willkürliche Grössen bezeichnen, während die mit Zeigern versehenen 
Buchstaben gegebene Projektionen von Kanten bedeuten; es wird also sein; 


„Ab B+aC—:...4 4 B=0, 
e 


%A—-W,B+6C—+ Hr, E=(, 
m4-b,„B+ „C++: +, 2=) 
Ferner sei 
tg a er et 
| Er | k 


a n 
Umelıme Im: Im: DE Zn | | ( Im: An: 


er 
Man sieht nun leicht, mit welchen Faktoren man die m Gleichungen des vorigen Systems 
multiplizieren muss, um die Gleichung 


YA+BB+CC+: —CE=0 


zu erhalten, welche eine der gesuchten Relationen zwischen den (>) Projektionen von 
S darstellt. Wir wollen nun diese Relationen so zu ordnen suchen, dass es klar wird, 
wie viele Projektionen P unabhängig sind, und wie alle übrigen aus diesen berechnet 
werden können. 

Lassen wir vorerst die von den mit a bezeichneten Elementen abhängigen Pro- 
jektionen P weg und denken uns die wesentlichen Relationen zwischen den übrigen 
schon aufgestellt und mittelst derselben diese alle berechnet. Denken wir uns nun 
B,0C,.... E, an Zahl m Projektionen (mit «) willkürlich gegeben und bilden dann aus 
den n — 1 Elementen b, ce, ... alle Kombinationen (m — 1)ter Klasse, f,g,h ..., mit Aus- 
schluss der aus den m Elementen 5b, c,...e zu bildenden, so sind die entsprechenden W 
durch obige Relation immer in Funktion der m unabhängigen 5, (,... E gegeben. Alle 


iene W, mit diesen B,C,... E zusammen, sind aber sämtliche (” — I) Determinanten, 
m — 1) 


worin der Buchstabe « vorkommt, und unter diesen sind also höchstens m unabhängige. 
Ebenso kann man zeigen, dass unter allen Determinanten, worin «a fehlt, aber b vor- 
kommt, höchstens m unabhängige sind; ebenso unter denen, worin «a, b fehlen, aber c 
vorkommt u. s. f. Endlich gelangen wir zu den Determinanten, worin die n — m —1 
ersten Buchstaben fehlen und der (n — m)te vorkommt; ihre Zahl ist offenbar m. Zuletzt 
ist noch eine Deserminante, diejenige, worin die m letzten Buchstaben vorkommen, übrig. 
Wir bekommen so offenbar höchstens (n— m) m --1 unabhängige Projektionen. Der 
Natur der Sache nach müssen aber gerade so viele sein, wie wir vorhin gesehen haben. 
Folglich haben wir auch alle wesentlichen Relationen aufgezählt. 


Sind 69) Projektionen, welche diesen Relationen genügen, beliebig gegeben, so 


ist es leicht, die n — m Gleichungen eines entsprechenden linearen Kontinuums zu finden, 


das z. B. durch den Ursprung gehen möge. Es seien z, y,... z die m ersten Variabeln, 
4, v,a0,.... die übrigen und 
USA Yyt tm, VE t+hYt fm? et. 


die n — m gesuchten Gleichungen des linearen Kontinuums. Dann sind die in dem Schema 


ICAO Om Of ee 
OR ER TON 
N OEL RR ag Mon tr Een 


n x sub ER h a 
enthaltenen (”) Determinanten den Projektionen des Kontinuums proportional. Da nun 


m, 


4 


26 


die Verhältnisse dieser gegeben sind und unter jenen (n — m) m-+-1 sich finden, denen 
die Werte 

EN ee Tan ae 
zukommen, so sind diese Werte bekannt. 


$ 18. 


Mass eines mfachen höheren Kontinwums. 


eines orthogonalen Systems seien in Funktion von m 
unabhängigen Variabeln t, t, £',... gegeben. Wenn durch keine Transformation dieser 
unabhängigen Variabeln jene &, y,2,... als lineare Funktionen erscheinen, so nennen 
wir das durch die n Gleichungen dargestellte mfache Kontinuum ein höheres. Es wird 
durch m Scharen von (m — 1)fachen Kontinuen, welche den Gleichungen t — const., 
Ü = const., ?” — const. ete. entsprechen, in paralleloschematische Elemente zerschnitten. 
Die Kante, welche der Variation des einzigen t entspricht, hat die Projektionen 


Die n Variabeln x, y,2,... 


— dt, — dt, ı Alec, 
u.s.f. Das Mass des Elements wird also erhalten, wenn man die Quadratwurzel aus 
aus der Summe der Quadrate der (}) in dem Schema 

1.00 0920,10 ug 

Io 01 It 

| PORD NEUE SEN N 

| 87 dt dt 

ee 

I DR GBR ot An 

| 


enthaltenen Determinanten mit dt dt dt"... multipliziert. Integriert man endlich dieses 
Produkt innerhalb der gegebenen Grenzen, so erhält man das Mass des geschlossenen 
höheren Kontinuums. 

Man kann die Gleichungen des Kontinuums so transformieren, dass die m ersten 
Variabeln x, y,... z als unabhängige und die n — ım übrigen «, v, w,.... als Funktionen 
jener erscheinen. Das vorige Schema erscheint dann in folgender einfacheren Gestalt: 


| 2120 0€ 


We 


du 
0% 


© dv Iw 
oz 9x 
0) KÜ Do 
Iy 9y 
dv dw 
02 £ 


Ist m = 2, so wird 


ch NER TOT Nenn 
s=- ([Vı+( ( ee) — etc. —+ ( Fa TEA ) —-ete. dedy 
das Mass des Kontinuums. Ist m —=n—1 und sind x, y,... z die unabhängigen, « die 
letzte und einzige abhängige Variable, so wird 


s-[Yı+( N, a ea, a 


das Mass des Kontinuums. 


$ 14. Orthogonale Transformation der Projektionen eines linearen Kontinwums. 


Was in Beziehung auf Verhältnisse der Projektionen für ein paralleloschematisches 
Stück eines mfachen linearen Kontinuums gilt, ist auch auf ein beliebig umschlossenes 
Stück desselben auszudehnen. Wir denken uns daher ein Paralleloschem, dessen Kanten 
die Projektionen 

BRD EB ar den, 

versehen, mit den Nummern 1,2, 3,... m der Kanten als untern Zeigern haben. Es sei 
ab...c irgend eine Kombination mter Klasse aus den n Elementen a,b, ....c,d,e, f,.. 
so entspricht denselben die Kontinuumsprojektion 


I 22 arkıh Wi oo ol 

Die orthogonalen Transformationsformeln seien nun 
z=ot at tet + ---- ! 
y— BR ET Bu >, 


z=yt+yt rt - ; 
v=dt+0t+lt - 
v=et+eEei tet 


Die Projektionen der Kanten des mfachen Paralleloschems im neuen Systeme seien 


h,W,h',..., versehen mit den untern Zeigern 1, 2,...n, entsprechend den Nummern 
der Kanten. Dann ist 
G [77 r [23 II 
u 0020 oe Mh Moe); 


Bu SB: Bar au hy ha cha no e.e | 


Er 


welches Schema eine Determinante bedeutet, deren allgemeines Element die Summe der 
Produkte der gleichaccentigen Glieder irgend einer Horizontalreihe links und irgend 
einer rechts vom mittleren Vertikalstrich ist. Es ist bekannt, dass diese Determinante 
gleich ist der Summe der (7) Produkte von je zwei homologen Determinanten, welche 
jedes der beiden durch den mittleren Vertikalstrich geschiedenen Schemate liefert. Die 
Determinanten, welche das Schema rechts liefert, sind aber die Projektionen des m- 
fachen Paralleloschems im neuen System, und die homologe Determinante im Schema 
links ist der Faktor, mit dem man das mfache lineare Kontinuum (ff ...), auf welches 
diese einzelne Projektion gefällt wurde, und dem sie angehört, multiplizieren muss, um 


seine Projektion auf das axiale Kontinuum (xy ...z) des ursprünglichen Systems 
(@y ...zuvw...) zu erhalten. Man kann daher die Transformation auch so darstellen. 

Im ursprünglichen System (xy ...zuwvw....) wird ein durch die m Variabeln 
(xy . . 2) bestimmtes axiales Kontinuum fixiert. Im neuen System (t!'f'...) denkt man 


sich alle axialen mfachen Kontinua und projiziert auf diese das gegebene geschlossene 
lineare mfache Kontinuum 8; dann werden alle diese Projektionen wiederum auf das 
fixierte ursprüngliche axiale Kontinuum (xy... z) projiziert; die Summe dieser letzten 
Projektionen wird gleich sein der Projektion von 8. 

Irgend eine aus der linken Hälfte des obigen Schemas entnommene Determinante 
kann auch aufgefasst werden als Projektion eines Stückes des axialen Kontinuums 
(x/...2) vom Masse 1 auf das mit der Determinante homologe axiale Kontinuum des 
neuen Systems. Ersetzen wir das Mass 1 durch T, so haben wir nach dieser Auf- 
fassung folgenden Satz: 

Wennin der nfachen Totalität ein orthogonales Axensystem und 
irgend zwei lineare mfache Kontinua S und T gegeben sind, so ist die 
Projektion von S auf T, multipliziert mit 7, gleich der Summe der Pro- 
dukte der Projektionen von S und T auf je eines und dasselbe axiale 
mfache Kontinuum des orthogonalen Systems. 

Es ist also klar, dass man im Subjekte dieses Satzes auch S und 7 vertauschen 
darf, ferner, dass der Wert des/Prädikats vom gewählten orthogonalen System unab- 
hängig ist. Wir.können ihn daher mit ST cos / (ST) bezeichnen. 


Wir wollen noch die Beziehung eines linearen mfachen Kontinuums S zu einem 
schiefen System betrachten. Fixieren wir in diesem irgend ein axiales mfaches Kon- 
tinuum (/, um S darauf zu projizieren, so müssen wir in allen Lösungen von $ die 
Werte der n — m Variabeln, welche in C, verschwinden, durch Null ersetzen. Das ge- 
schlossene in C, fallende Kontinuum aller so veränderten Lösungen ist die Projektion 
P, von S auf C,. Es ist sogleich klar, dass der Wert von P, nur von den Richtungen 
der n — m nicht in ©, fallenden Axen des schiefen Systems, aber nicht von den m 
Axen, durch welche ©, gelegt ist, abhängt. Nehmen wir S als mfaches Paralleloschem 


an und bilden die Determmante D, der Projektionen seiner Kanten anf die in €, lie- 
senden Axen, ferner die Determinante ©,, der Kosinus der Winkel, welche jede dieser 
m Axen mit jeder bildet, so ist A} = D, YO,,. Es sei ©, ein anderes axiales ın- 
faches Kontinuum des schiefen Systems, P, — D, Y@,;, und ©,; die Determinante der 
Kosinus der Winkel, welche jede der Axen von (©, mit jeder von (©, bildet, so ist 


S?= Di 091 + D 92 ...+2DD©%:+...+2D D0,4+... 


= P-FARt...+2D 
& ep n . a 1er - 
welche Summe -—, (tn) —1 h Glieder zählt. Aus dem für ein orthogonales 
System Gesagten ist klar, dass 
9: = Y9ı - VO: 
ist. Man kann also setzen: 
S—- Pr Rt... 1 8P BR cos2(e Olten 
Man bemerke die vollständige Analogie dieser Formel mit derjenigen für einen 
Abstand im schiefen System. 
Sind &, Bi, Yı,-.. dien Richtungskosinus der ersten Axe in (), u.s.f. mit 
den unteren Zeigern 1, 2,.. m, ferner @', 8°, y,... (mit den unteren Zeigern 1, 2,... 
m) die m Gruppen von je n Richtungskosinus der Ayeh in (©, (alle Richtungskosinus 
beziehen sich auf ein orthogonales System), so ist 


ic0E/ (C, ,CH) 


Y BE Een Vi erelee | Sace: ee Ne 200800.) 
| rer |* Br. Y - a . Pr | 
| 
KessBeryn.... En DER ER lan. Bu. | 
EN Ne Bar: a | 
Gy. Ba 92 - & . Br. P: 


| 
le. Im: N oenoblne es | 
$ 15. Ueber das Verhalten linearer Kontinua zu einander. 


Sind in der nfachen Totalität zwei lineare Kontinua, ein mfaches und ein m’- 
faches, gegeben, so hat man im ganzen 2 n — (m —- m’) Gleichungen; die beiden Kontinua 
werden also im allgemeinen nur dann sich schneiden, wenn m + m >n ist. Ist z. B. 
m m’ =n, so haben sie im allgemeinen nur eine Lösung gemein, einen Strahl, wenn 
m+m —=n-+1,u.sf. Wenn dagegen m + m’<n ist, so können im allgemeinen 
die beiden Kontinua keine Lösung gemein haben. Handelt es sich nur um die Ver- 


— 890 — 


gleichung ihrer Richtungen, und legt man daher mit jedem derselben ein Kontinuum 
parallel durch den Ursprung, so bestimmen diese zusammen ein (m+m’)faches Konti- 
nuum,. Man kann das System orthogonal transformieren, sodass n — (m +- m’) neue 
Variabeln für dieses lineare Kontinuum verschwinden, und dann dieses wie eine (m+-m')- 
fache Totalität betrachten, in welcher jenes mfache und m’fache lineare Kontinuum ge- 
geben sind. Der Fall m + m’ <n ist somit auf den Fall m + m — n zurückgeführt. 

Um der ferneren Erörterung dieses Gegenstandes die gehörige Deutlichkeit geben 
zu können, muss ich den Begriff normaler Kontinuen einführen. Sind x, y,... die 
Projektionen eines dem mfachen linearen Kontinuum (€ angehörenden Strahls », und 
X, Y,... diejenigen irgend eines Strahls »’, für welchen z#’ + yy +... = 0 ist, 
bleibt ferner die Lage des ersten Strahls » innerhalb des Kontinuums (© völlig frei, so 
sind sämtliche vom Ursprung ausgehende Strahlen » in einem (n — m)fachen linearen 
Kontinuum (© enthalten. Nun, zwei solche Kontinuen C und € nenne ich normal. 

Sind 4, %,...t, die Variabeln eines beliebigen in C’ angenommenen schiefen 
Systems, und demgemäss 


Beh ne a ar so (ler 
yÄßhthı trieb... 4 Bun tm 
etc. 
die orthogonalen Projektionen eines Strahls », dessen schiefe #,, fy,... f,„ sind, so ver- 
wandelt sich die obige Bedingung z«’ + yy +... = 0 für den Strahl » in 
eh +, +...+, WW) +B th kt. - +. )Yt:..-=0 


und zerfällt, da 4, t,,.... i,„ frei bleiben sollen, in die m Gleichungen 
el Een 
Diese stellen ein (n — m)faches lineares Kontinuum (’ dar, welches wir das normale 
nennen. 
Ich behaupte nun, dass, wenn (, C’ als geschlossen gedacht werden, die Pro- 
jektionen des einen mit denen des andern proportional sind. Um dieses zu 


beweisen, teile ich die n Variabeln «, y,..... in zwei Gruppen, von denen die eine aus den 
m Variabeln «&',y,...z,w, die andere aus den n — m Variabeln v, w,...p,q 
besteht. 


Elimimiert man nun aus den m Gleichungen 
()se + y+..:- +32 +4 W EV +...+&pP+ngd=0,ke=12,...m] 
die m — 1 ersten Variabeln &,Yy,...z, so wird man die Gleichung 

u: B--.H1.- u av tt... +6. md) 
%. Ber au t,V +... +bp md) 


oder 
Aw-+EvV+...Zp+ Hg =0 


zuTe > 


erhalten. Es seien n — m unter sich unabhängige Lösungen des Systems (a), nämlich 
= Yy = Py..:k=m+1l,m+2,...n —1,n] bekannt, so ist auch 

mn It nEt..- +. Z+ mu H=(0, 

EN BR IE 


mr? mt 2 


ae re ER a Sn N = al 

Folglich sind die mfachen Determinanten 4, E,... H proportional mit den (n — m)- 
fachen, welche aus den Koeffizienten d, &,...» der n — m letzten Gleichungen gebildet 
werden können; z. BA = N ß, .-. Yu, 0. ist proportional mit Ir &,14 Ente» -. 


dm Uu.8.f. Die Zahl der proportionalen Glieder in jeder der beiden Reihen ist hier 


en-1 m 
freilich nur n — m + 1; aber, wie man leicht sieht, kann man sie bis auf ) bringen, 
wenn man nach und nach immer andere Gruppen von je m — 1 Variabeln aus dem 
System («) eliminiert. Den soeben gefundenen Satz kann man nun so aussprechen: 
Wenn im Schema einer nfachen Determinante die Kombination jeder 
der ın ersten Horizontalzeilen mit jeder der n — m letzten eine verschwin- 


dende Produktensumme liefert, z.B. 


,. +Bß; +...-+5%- N) et 9, ;) ’ 
so sind die aus den Elementen der m ersten Horizontalzeilen gebildeten 
mfachen Determinanten proportional mit ihren reciproken (n — m)fachen 
Determinanten, deren Elemente in den n — m letzten Horizontalzeilen 
enthalten sind. 

Da nun die mfachen Determinanten den Projektionen des Kontinuums (), die reci- 
proken (n — m)fachen Determinanten den Projektionen des normalen Kontinuums ( 
entsprechen, so ist der oben behauptete Satz bewiesen. 

Für ein System orthogonaler Transformationselemente ist jede partielle Deter- 
minante ihrer reciproken (oder ergänzenden) Determinante geradezu gleich. Dies folgt 
aus der mn $ 2 erwähnten Eigenschaft dieses Systems, vermöge welcher jedes ur- 
sprüngliche Element seinem reciproken Elemente (einer (n — 1)fachen Determinante) 
gleich ist. Da man die Axen t,, t,,...t„ des Kontinuums (© orthogonal annehmen 
kann, und ebenso diejenigen des normalen Kontinuums ©’, so erhellt leicht, wie man 
auch von dieser Seite her den Satz beweisen kann, dass die Projektionen zweier nor- 
malen Kontinua proportional sind. 

Nach dieser Abschweifung über dienormalen Kontinua kehren wir zur Betrach- 
tung des gegenseitigen Verhaltens zweier linearen Kontinua zurück, deren Dimensions- 
zahlen zusammen derjenigen der Totalität gleich sind. Das eine mfache Kontinuum 
heisse A, das andere (n — m)fache B, und es sei m<-+n. Das zu A normale Kon- 
tinaum A’ wird dann B in einem (n — m)fachen Kontinuum € schneiden; das normale 
zu diesem ist ein 2 mfaches Kontinuum C', welches A in sich enthält und B in einem 


ah 


mfachen Kontinuum D schneidet. Wird dann B als (n — m)fache Totalität aufgefasst, 
so sind darin die Kontinua C und D enthalten und zu einander normal. Das ursprüngliche 
Kontinuum DB hat also gleichsam eine orthogonale Zerlegung in die Kontinwa C und D 
erfahren, und da von diesen ( zu A orthogonal ist, so darf es bei der Beurteilung der 
gegenseitigen Lage von A und D ausser acht gelassen werden; es kommt nunmehr alles 
hlossauf die gegenseitige Lage der mfachen Kontinua A und D an, welche beide dem 2- 
mfachen Kontinuum ©’ angehören. Man kann also alle dem (n — 2 m)fachen Kontinuum 
C entsprechenden Variabeln gleich Null setzen, das Kontinuum C’ als Totalität be- 
handeln, und hat es dann nur mit der Untersuchung der gegenseitigen Lage zweier 
mfacher linearer Kontinua innerhalb einer 2 mfachen Totalität zu thun. 

Der Fall, wo die Summe der Dimensionszahlen der gegebenen linearen Kontinua 
die Dimensionszahl der Totalität übertrifft, ist auf den vorigen Fall zurückzuführen. 
Sind die gegebenen Kontinua ein (+ m)faches A und ein (l -+ n)faches B, und die 
Dimensionszahl der Totalität !-+- m — n, so schneiden sich A und B in einem /fachen 
Kontinnuum ©. Das normale (m —- n)fache Kontinuum sei 0”, so schneidet dieses die 
Kontinua A und B resp. in einem mfachen D und einem »fachen E, deren gegenseitige 
Lage nun ebenso wie oben zu behandeln ist. 

Den Weg zur Beurteilung des einzigen Falls, auf den alle übrigen zurückgeführt 
wurden, bahnen wir uns nun durch die Lösung der folgenden Aufgabe. 

Aufgabe. Eine orthogonale Transformation der n Variabeln x, y,...z 
in die neuen t,,%,,...t, zu finden, durch welche die beliebig gegebenen 
n homogenen und linearen Polynome 


y=acr+by—+... +02, pP =saz+bdby—+...—+ cz, etc. 
in solche Formen 
yahth ht... +, pP ah +hb+...+ Mt, etc. 


übergehen, wo alle Summen gleichnamiger Produkte je zweier Koeffizienten 
denselben Polynom, z. B. 

h, ,+hbk+lhl —... 
verschwinden. 


Auflösung. Es si + A’ +h + MM —...—=s, ete, N die Determinante 
der nn Elemente h; die reciproken Elemente sollen mit 4 bezeichnet werden, z. B. 
OaN 9N ' 
7 Fı an Hs etc. 
Dann ist 
H, 


h= hi — A ,, etc. 


Sind num x, te td mn, u ee, ur Biene ya Ze de 
orthogonalen Transformationsformeln, so ist 


h, = ao, bp, +... 69, ete., 


= 


also 


N=|«@ Dan ee] 
I | | 
U En 2 10 ur | 


weil die Koeffizienten h entstehen, indem jede Horizontalzeile der linken Hälfte dieses 
Schemas mit jeder Horizontalzeile der rechten Hälfte zu einer Produktensumme kom- 
biniert wird. Die Determinante der rechten Hälfte ist bekanntlich 1, und die reci- 


proken Elemente sind den ursprünglichen gleich. Die Determinante der linken Hälfte 


ö ? { } Ab, a 
sei J, und die reeiproken Elemente seien 4, B,...0; A,... z.B. A = = 5 


Dann 


ist N — 4. Die Grössen H entstehen aus obigem Schema, wenn in jeder Hälfte eine 
Horizontalzeile weggelassen wird. Also ist 


AH =Au+Bb +:..:-+9, HH = Aa +Bh +... + C'y, etc. 
Wir bekommen daher n Systeme von je n Gleichungen: 


(55 a) « H(3s b)B oo (Ss \r=0, 
(3: «') « (£s vB | (5s -)y=0, REN N) 


Dieses System hat man sich nmal wiederholt zu denken, indem die Buchstaben s, «, ß, 
...y nach und nach mit den unteren Zeigern 1, 2, 3,...n versehen werden. Eli- 


Koeffizienten von @,ß,...y mit S: 4, so erhält man eine Gleichung 5 — 0, in der 
nur die Unbekannte s vorkommt. Die irgend einer Horizontalzeile jener Koeffizienten 
entsprechenden reciproken Elemente der Determinante werden nach geschehener Sub- 
stitution eines Wertes von s mit «, ß,...y proportional, sodass zu jedem bestimmten 
Werte von s immer nur eine Reihe von Verhältnissen @:ß:...:» gehört. Die De- 
terminante S: 4 wird man erhalten, wenn man das Produkt 


(= 9)(2° 3). (3-9) 


entwickelt, ohne die alphabetische Folge der Faktoren jedes Monoms zu verändern, und 
dann jedes solche Monom durch eine Determinante ersetzt, in deren Schema die Faktoren 
jenes als Elemente der ersten Horizontalzeile erscheinen. Wird ferner jede solche De- 
terminante als Summe von Produkten je einer aus den Elementen — a, — b,...—c 


: - ? > ß © A 
gebildeten Determinante öten Grades mit der ungleichnamigen, aus den Elementen 7, 5, 


ete., gebildeten (n — ö)fachen Determinante dargestellt und beachtet, dass diese immer 


das (— 1)" ® 5 fache von jener ist, so erhält man 


— By 


Se RE Be er Ra) 
wo K, die Summe der Quadrate aller Determinanten ten Grades bezeichnet, welche 
aus den Elementen a, b,...c,«@,... gebildet werden können, und somit (r) Glieder 
zählt. Es ist klar, dass X, = 4° wird. Wenn also die Polynome p,p,p',... alle 
von einander unabhängig sind, so ist die Gleichung 5 = 0 vom nten Grade und kann 
die Null nicht zur Wurzel haben. 

Betrachten wir nun ein reciprokes Element der Determinante $: 4, z. B. das, 
welches dem ursprünglichen Element 4 s — «@ entspricht, und sehen davon ab, das 4, 


' ; e ’ 0/8 A 

B', ete. Funktionen von a sind, so ist dasselbe (5) Denkt man sich aber S als 
BR. S ı 88 R 

Funktion von s und den nn Grössen a, b,...C,d,..., soist — 9 wegen der überall 
vorkommenden Quadrate von Determinanten gerade doppelt so gross. Jenes erste reci- 

1098 
proke Element hat also den Wert — TEN 
08,08 08 08,98 0,5 , 

=) ee ette mn Or DE Ton open  ERt. Du RRE Far, (3) 
Die gesuchten Verhältnisse werden erst dann unbestimmt, wenn sämtliche nach den 
nn ursprünglichen Elementen a, b,... abgeleiteten Funktionen von S verschwinden. Da nun 


08 08 


Folglich ist 


an gl 
an — 24 da — etc. 
ist, so ist dann zugleich $S = 0, a8 —= 0; folglich hat dann die Gleichung S = 0 gleiche 
os 


Wurzeln. 
Wir müssen jetzt umgekehrt zeigen, dass, wenn die Systeme (1) gelten, sie die 
gemachten Voraussetzungen zur notwendigen Folge haben. Es sei h = aa +bB—... 


+, W=de+ bB-+...+cy, ete, wo h,W,...a,ß,...y nach Belieben mit 
einem der unteren Zeiger 1,2,3,...n zu versehen sind. Multipliziert man die Glei- 
chungen (1) mit a,«@,«@',... und addiert, ‘so ergiebt sich, wenn man die ähnlichen 


Gleichungen hinzunimmt, das System 


weder Sr | 


B=bh+bW + —+..., 
RENNER ee 
sp =ch +ch +c'W + | 

Bringen wir hier den untern Zeiger 1 an, multiplizieren mit «,, ß,,...Y, und addieren, 


so ergiebt sich 
sy,» +hAB+.:-- mn Yy)=hh, thkt+hil +... 


Vertauscht man die Zeiger 1 und 2 und subtrahiert beide Gleichungen von einander, 
so bekommt man 


G<- 5); +hı +... mm). 


Wenn die Wurzeln s,, ss verschieden sind, se folgt hieraus 


2 0 Be ee er een eng (0) 
und 
„kb, +hh—+...=0. 
Wären s,, ss zwei konjugierte imaginäre Wurzeln der Gleichung S — 0, so hätten auch 
je zwei Verhältnisse, wie ß, : «,, ß, : @, konjugierte Werte, und ihr Produkt wäre die 
Summe zweier Quadrate; die Gleichung (5) könnte also nicht bestehen. Also kann die 
Gleichung S = 0 keine imaginären Wurzeln haben. Hätte sie gleiche Wurzeln, und 


man durch geringe Variation eines oder mehrerer der ursprünglichen Elemente die 
Gleichheit der Wurzeln in eine geringe Verschiedenheit umändern, und dann würden 
auch die entsprechenden Verhältnisreihen nur sehr wenig von einander abweichen; die 
Gleichung (5) würde dann 


®—+-ßB+...+7+2(eode + BdB + ...—+ ydy) =. 
Da man die Variationen de, dß,...dy so klein, als man nur will, muss machen können, 
so muss auch @ 4 ß?--...-- 9? für die wirkliche Gleichheit beider Wurzeln ver- 


schwinden, was die imaginäre Beschaffenheit der Verhältnisse, also auch des entspre- 
chenden Werts von s voraussetzt. Wenn also die Gleichung $ = 0 gleiche reelle Wurzeln 
hat, so dürfen die Verhältnisse @&:ß:...:y durch das System (1) nicht bestimmt 
werden, was notwendig erfordert, dass alle nn abgeleiteten Funktionen von 5 für eine 
solche Wurzel verschwinden. Es ist dann immer noch möglich, dass n — 2 Gleichungen 


liefern, und es ist dann leicht, diese so einzurichten, dass sie der Orthogonalitätsbedingung 
genügen. Der entsprechende rechte Winkel kann dann nach Belieben in seinem zwei- 
fachen linearen Kontinuum herumgedreht werden. 

Man kann immer a? -- ß?--...--y®—= 1 machen. Wenn man nun die Glei- 
chungen (4) resp. mit «, ß,...y multipliziert und addiert, so erhält man 

s=#®+NMN’+N"”—+.... 
Die Wurzeln der Gleichung S — 0 sind also sämtlich positiv, was auch schon aus den 
n Zeichenwechseln in (2) folgt. 

Wir haben nun nachgewiesen, dass die Auflösung des Systems (1) im allgemeinen 
(Gleichheit [von Wurzeln der Glchg. S—= 0 ausgeschlossen) alles dasjenige in reeller 
Form leistet, was die Aufgabe verlangt. Wegen der Anwendung auf das Folgende be- 
merke ich nur noch, dass vermöge der Eigenschaft h, h, —+- A hy +- ete. = 0, etec., aus 
den Frrmn p= ht +h,&+..:+4,,pP=lMt-+..., ete. noch andere sehr 
vereinfachte sich sogleich ergeben. Man mache 

h h' li nr 


= Der he == 
Vs Vs 


Ys 


— 36 — 


wo zu s,h,n nach und nach die untern Zeiger 1,2,...n hingehören, dann sind 
! ’ [77 ‚ f ’ ’ [23 [27 
np typ tm? rt.» Bm PtTmpPp tmp +... etc 


orthogonale Transformationsformeln, und man erhält mittelst derselben 
> 
4ı Vsı S b, ds \s3 & to, a, An VS. 7 ln. 


Satz. In der 2nfachen Totalität sind zwei nfache lineare Kontinua 
C und © beliebig gegeben. Von ihrer gemeinschaftlichen Lösung aus werden 
in denselben resp. die Strahlen », » gezogen. Der spitze Winkel / (vv) hat 
offenbar ein absolutes Minimum, welchem das Strahlenpaar a, « entsprechen 
möge. Die Bestimmung desselben hängt von einer algebraischen Gleichung 
nten Grades ab, deren Unbekannte cos? Z (aa) ist, und ihre Auflösung liefert 
daher im ganzen n Strahlenpaare a,d; b,b;...c,c, welche den analytischen 
Bedingungen der Aufgabe genügen. Dann bilden die n Strahlen a,b,...e 
ein orthogonales Axensystem des Kontinuums (), und ebenso die n andern 
Strahlen a,b,...c ein orthogonales Axensystem des Kontinuums CO’; und 
jeder Strahl a des einen Kontinuums ist mit den nichtzugeordneten n — 1 
Strahlen d,...c des andern Kontinuums orthogonal. Endlich ist der Pro- 
jektionsfaktor des einen Kontinuums auf das andere, oder 


608 7 (CO) — c08 / (aa) > eos ZNbb) >... C08,7 (ee). 
Wenn »,»' zwei beliebige Strahlen beider Kontinua (, ©’ sind, so ist 
cos / (rr)= cos / (aa) . cos / (ar) . cos Z (ar) + cos Z (bV’'). cos / (br). cos / (br) 


a, eos. (ce); 2e03.2 (er). eos Zen): 

Beweis. Es ist leicht, in jedem der gegebenen Kontinua C, ©’ ein orthogonales 
Axensystem zu finden. In C sei es durch die » Variabeln z,y,...2, in ©’ durch #, 
t3,... t, dargestellt. Zu jenem System nehmen wir noch n Axen ı,»,...w hinzu, 
sodass &, Y, .-- 2, 1,%,...w die orthogonalen Variabeln der Totalität sind. Dann sind 
u 0, v—0,... w= 0 die Gleichungen des Kontinuums C; diejenigen von (€ seien 

TO ne ; 
Ulz= B, tı 17 B, t, ro dr Pr Ins 
zeyhtrbte. rn en 
vu Tb. Ion 
OLE Wen ont En 


MD ee era, 


Es wird sein 


— 3917 — 


mit unterm Zeiger 1, 2, 3,...n; ferner bestehen 4n (n—1) Gleichungen, wie 
herr th rt en. (6) 
Alle diese Relationen bestehen fort, wenn man auch das Axensystem (t,,1,,...t,) oder 
das System (x,Yy,...2) oder das System (z#,v,...) orthogonal transformiert. Wir 
haben nun schon gesehen, dass man durch die zwei ersten Transformationen bewirken 
kann, dass die n ersten Gleichungen des linearen Kontinuums ©’ sich so vereinfachen: 


zone Min 
Dann reduzieren sich aber die } n (n — 1) Orthogonalitätsbedingungen (6) auf: 
5 tE 5 t..:-4+4& =), ete. 


Wird jetzt «=1—-e°,ß = ß,...y°=1-—y” gesetzt, so hat man auch 
2 2 ı 72 Daye SSE 1ER oo Ernte 2 BP) ann 
284... +0=03, 828 =Pß%..,,+&84+...4[Q ; 


«' t! n* 


dutesv+...+4w ‚ Ggu+&gV0+...+&w ' HUtEmdY +... + mw ‚ 
D 2 IE B; I ; pl 
Diese auf ı,v,...w bezügliche Transformation ist orthogonal. Bezeichnet man die 
daraus entstehenden neuen Variabeln wieder mit x, v,...w, so hat man zuletzt folgende 
Systeme von Gleichungen: 

für das Kontinuum © 

U 00 Ol 0; 

für das Kontinuum C’ 

a oe en 
Man sieht, dass der Kosinus des Winkels der Axen x und t, gleich « ist, und dass 
die übrigen Axen t,,t,,...t, zur Axe x orthogonal sind, u. s. f. 
Denkt man sich ein nfaches Paralleloschem, dessen Kanten sämtlich gleich 1 
sind und auf den Axen t,,t,,...t, liegen, so ist sein Mass I, und die Projektionen 
seiner Kanten auf die Axen &,%,...z des Kontinuums C sind: 
OWNER 
DIBROETO: 
Op: 

folglich ist der Projektionsfaktor von ©’ auf (€, oder cos / (CO) = aß...y. 

Es sei » irgend ein in (’ befindlicher Strahl, &, y,...z seine Projektionen, ebenso 

r irgend ein Strahl in 0’ und #,,t,,...t, seine Projektionen, © —= Z (vr'), so ist 
rr cos = ext, + By t... + Yalı 
woraus vermöge einer bekannten identischen Gleichung 
(e?2?+ B?y?—+...+yY?z?)r? —(rr cos 9)? = (axt, — Byt,)’ + ete. 
folgt. Wenn also der Strahl » fest bleibt, und nur »’ variiert, so ist «@®’=?-4- By? —- 
...-+Y°z? der grösste Wert von ”* cos? ©, und dieser findet statt für 
BE BYE PA None F 


Ist ferner «® das 
Maximum von 


und dieses Maximum findet statt für y=0,...2= 0; dann ist aber auch t%, — o, t, = 0, 

.t,=o. Folglich ist der spitze Winkel / (xt,) das absolute Mnimum von ©, und für 
dieses « = cos ©, wenn « positiv genommen wird. Da aber «* eine Wurzel derselben 
Gleichung nten Grades ist, welche auch ß°,...y” zu Wurzeln hat, so haben die Winkel 
Z (Yyts),.../(zt,) und die Axenpaare, von denen sie gebildet werden, dieselbe analy- 
tische Bedeutung, wie der / (xzt,) und die ihn einschliessenden Axen. 


Bemerkung 1. Ergänzt man das System t,, t,,t, zu einem totalen orthogonalen 
System, so kann man unter anderm dem Schema der Transformationselemente folgende 
Gestalt geben: 

ee en 


One or These (0) 


ON, Po Op 
OR or, 0) 
Oo Mihean 0 
On klare 0 


Die Determinante muss den Wert 1 haben. Es ist leicht, dieses zu verifizieren, 
Die Determinante wird erhalten, wenn man die Vertikalzeilen auf alle möglichen Arten 
permutiert und das Produkt der in die Diagonale fallenden Elemente positiv oder negativ 
nimmt, je nachdem die Permutation eine positive oder negative ist. Sobald man aber 
nicht zwei gleichnamige Vertikalzeilen der linken und rechten Hälfte vertauscht, fällt 
eine Null auf die Diagonale. Hieraus ist klar, dass die Determinante 


(e + 9) (B+89...(9°-+ 7%) 
sein muss. 


Bemerkung 2. Wenn ein Strahl und ein lineares Kontinuum gegeben sind, so 
ist der in diesem befindliche Strahl, welcher mit jenem den kleinsten spitzen Winkel 
bildet, seine Projektion auf dieses lineare Kontinuum. Dieser Satz ist sehr leicht zu 
beweisen. 


Sind nun in der 2nfachen Totalität zwei lineare »fache Kontinua beliebig ge- 
geben, so sind ihre n Axenpaare durch die Bedingung bestimmt, dass von je zwei 
Axen eines Paares jede die Projektion der andern ist. 


$ 16. Ueber die Zahl der Teile, in welche die n fache Totalität durch eine 
beliebige Menge (n — I)facher linearer Kontinua geteilt wird. 

Satz. Sind i lineare Gleichungen mit n Variabeln gegeben, von denen 
nie n--1 zugleich bestehen, so ist die Zahl der durch sie gebildeten Teile 
der Totalität 

PESHEZHEZHE EEE NE AU! 

Beweis. In der letzten der i linearen Gleichungen nehmen wir die Konstante 
gross genug an, dass ihr Polynom immer das gleiche Vorzeichen mit dieser Konstanten 
behält, welche gemeinschaftliche Lösung von je n der i— 1 übrigen Gleichungen man 
darin auch substituieren mag. Die Zahl der Teile der Totalität, für welche jenes Polynom 
das entgegengesetzte Zeichen seiner Konstante behält, ist dann gleich der Zahl der Teile 
des (n—1)fachen linearen Kontinuums, für welches das Polynom verschwindet, oder 
gleich der Zahl der Teile, in welche eine (n— l)fache Totalität von i—1 linearen 
Kontinuen geteilt wird, also gleich f (n— 1,i—1). Da aber die erwähnten Teile der 
nfachen Totalität durch die letzte lineare Gleichung zu den schon von den übrigen 
i—1 Gleichungen gebildeten Teilen neu hinzugebracht werden, so ist 


In) =fmi- DIR 1:1). 

Variiert man nun jene zuerst sehr gross angenommene Konstante, sodass die Gleichung 
irgend eine schon vorhandene gemeinschaftliche Lösung von n der übrigen festen Glei- 
chungen passiert, so ist leicht zu zeigen, dass die Zahl f (n, ö) nachher gleich gross 
ist, wie vorher. Statt eines geschlossenen Teiles nämlich, worin jenes bewegte Polynom 
gleiches Vorzeichen mit seiner Konstanten und die n zur Lösung gehörenden Polynome 
jedes sein bestimmtes Vorzeichen hatten, tritt nun wiederum ein geschlossener Teil auf, 
innerhalb dessen alle n-+1 Polynome entgegengesetzte Vorzeichen haben, wie vorher; 
innerhalb aller übrigen Teile dagegen behält jedes der i Polynome dasselbe Vorzeichen 
wie vorher. Um das Gesagte noch näher zu begründen, bezeichne ich diejenigen n von 
den ö gegebenen Polynomen, welche für die betrachtete Lösung verschwinden, mit p,, 
Per». P,, das Polynom, dessen Konstante berührt wird, mit p,;+,, eliminiere dann aus 
den n-+-1 Gleichungen, welche diese p als lineare Funktionen der n Variabeln x, y,... 
angeben, diese letzteren, und erhalte so die Gleichung 


am try +... +, m Ft Han O, 
wo nur (© von jener variierten Konstanten abhängt. Ist nun zuerst €’ positiv gewesen, 
so geben die Bedingungen, dass alle Glieder der linken Seite positiv sein sollten, einen 
geschlossenen Teil der Totalität; und wenn jetzt € die Null passiert hat und negativ 
geworden ist, so muss man verlangen, dass a, Pı, da Pay --- 4-41 P41 sämtlich negativ seien, 
um eine geschlossene Totalität zu bekommen. Innerhalb beider geschlossener Totali- 
täten hat also der Wert eines jeden der Polynome p,,P3, - - - 2.4, entgegengesetztes Vor- 


0) — 


zeichen. Die gemachte Bemerkung gilt, so oft das bewegte Polynom eine Lösung 
passiert. Die Zahl f (n, ö) ist daher von der gegenseitigen Lage aller ö linearen 
Kontinua unabhängig, wofern nur nie mehr als n derselben in einer Lösung zusammen- 
treffen. 
Ist kein lineares Kontinuum gegeben, so zählt die ungeteilte Totalität für 1; 
folglich ist f (n,o)=1. Addiert man nun die Gleichungen 
In) =fni—V)+fn—Li—1), 
ISmni—-Y)=fni—2)+fn— 1i—2), 
n,D)=f(no)+f(n— 1,0), 
Ro), 


so erhält man 
Flo, dt Sl, 0) Ad An een a: 
Es sei f(n,i) -f(n—1,i)=g(n, i), so ist p(n,o) =o, und 
9yn,)= pn — 1L,1)+9(n— 1,2) +9 (n— 1,3)—+...+p(n — 1: —]). 
Nun ist /(l,J)=i-+1, also f(,ö—1)=f(l,i)—f(l,:—1)=1, daher auch f(o, i) 
—] und deshalb p(1,:)=i; folglich ist 
9@)=1+2+3+...+l -D=(j) 
= Q+O+ + (5) =0) 


und überhaupt p(n, i) = (o): Da somit 


N 


fo) =fa—-19)+() 


ist, so folgt nun leicht: 


Sad) Fr th) 
Man sieht leicht, dass, wenn ö<n ist, f (n, ©)?‘ wird. 

Der soeben bewiesene Satz kann auch so ausgesprochen werden: Wenn : li- 
neare Polynome mit n Variabeln beliebig gegeben sind, sodass nie mehrals 
n zugleich verschwinden, aber auch immer n durch eine und dieselbe end- 
liche Lösung zum Verschwinden gebracht werden, so ist die Zahl der ver- 
schiedenen Gruppen von Vorzeichen, welche die Werte dieser Polynome für 
alle reellen Lösungen annehmen, gleich ()+ (o)airneus () 

Satz. Unter derselben Voraussetzung ist die Zahl der Vorzeichen- 
gruppen, welche nur für endliche Werte der Variabeln stattfinden können, 


gleich =; Man kann dies die Zahl der geschlossenen Teile der Totalität nennen. 


2... ge 


Beweis. Wenn irgend n--1 Polynome gewählt werden, so kann man dieselben 
mit solchen konstanten und endlichen Faktoren multiplizieren, dass aus der Summe der 
Produkte die n Variabeln verschwinden. Wir haben dann eine homogene lineare Funktion 
der n-H1 Polynome gefunden, welche einer Konstanten gleich ist. Denken wir uns z. B. 
jene Faktoren und diese Konstante sämtlich positiv und setzen für die n —- 1 Polynome 
eine Gruppe positiver Vorzeichen, so ist klar, dass unter dieser Bedingung kein Polynom 
einen unendlich grossen Wert haben kann. Da aber jede Variable als lineare Funktion 
von n dieser Polynome dargestellt werden kann, so kann auch keine Variable unendlich 
gross werden. Nun sei ein Polynom p so beschaffen, dass sein Wert für alle Lösungen, 
welche irgend n der übrigen Polynome verschwinden machen, dasselbe Vorzeichen, z. B. 
—-, habe, und es sei eine Gruppe von Vorzeichen bekannt, welche für p = o nur endliche 
Lösungen gestattet, z. B. die Gruppe von ©— 1 Pluszeichen; man nehme dann beliebige 
n Polynome p,,Ps,...2„ heraus und suche die identische Relation 


pm Mm -t-..:-+,m = 4: 
wo A positiv sein möge, so müssen, damit für p—=o nur endliche positive Werte von 
Prs Per» Pn Stattfinden können, sämtliche Faktoren a,, das, ...«, positiv sein. Da aber 
für die Lösung p, = 0,3 = 0,...p, = 0 auch p positiv sein soll, so muss auch a positiv 
sein. Dann gestattet aber die Gruppe der positiven Vorzeichen für 9,9,,...p, nur 
endliche Lösungen. Sobald man aber dem Polynom p» jeden beliebigen negativen Wert 
giebt, so kann auch z. B. p, jeden beliebigen positiven Wert bekommen. Hieraus er- 
giebt sich, dass zu der für die &— 1 Polynome stattfindenden Zahl der fraglichen Vor- 
zeichengruppen durch das neue Polynom p noch die Zahl der für p = o stattfindenden 
Vorzeichengruppen, welche nur endliche Lösungen erlauben, hinzugebracht wird. Wenn 
wir also die fragliche Zahl mit f (n,i) bezeichnen, so ist 

In) =fmi—-— + fn—-Li—). 
Dass der Durchgang von p durch eine Lösung nichts ändert, haben wir schon gesehen. 
Daher dürfen wir jetzt die Bedingung fallen lassen, dass unter den gegebenen Polynomen 
eines » sich finde, dessen Wert immer dasselbe Vorzeichen behalte, so oft auch je n der 
übrigen Polynome zugleich verschwinden mögen; die Formel gilt allgemein. Nun ist 
FRa,Ü)=o für i<n, aber f(yn+1)=1; also fu, i)=fn — 1L,n)+fn—1,n-+1) 
+ — 1,n+2)+...+fn— 1i—1) Es ist f(L)=i—1 für i>1, daher 
De) — (sed Ke)— ( ar überhaupt f (n, i) = we) 


9 
za 


Satz. Wenn ö homogene lineare Polynome mit n Variabeln beliebig 
gegeben sind, so ist die Zahl der Vorzeichengruppen 


i FEN) A) Mr ea) 

2 {( ) : 1 ; 2 ee 
oder doppelt so gross wie für i—1 nicht homogene lineare Polynome mit 
nur n— 1 Variabeln. 


Beweis. Man transformiere die n Variabeln so, dass eines der Polynome sich 
auf eine einzige Variable, z. B. x, reduziert, dividiere dann alle übrigen Polynome durch 
diese Variable x, so hat man es nur noch mit n —1 Variabeln und ©— 1 nicht homo- 
genen Polynomen zu thun. Man stelle sämtliche Gruppen der <—1 Vorzeichen auf. 
Multipliziert man jetzt die Polynome mit einem positiven Werte von x, so werden die 
Gruppen nicht geändert, und zu jeder kommt noch das positive Vorzeichen des Polynoms 
x hinzu. Multipliziert man dann auch mit einem negativen Wert von x, so werden in 
jeder Gruppe alle Vorzeichen geändert, und für das Polynom x kommt das Minuszeichen 
hinzu. Die Zahl der Vorzeichengruppen wird also wirklich doppelt so gross als vorher. 


Wenn z nichthomogene Polynome mit n Variabeln gegeben sind, so ist die Zahl 
aller Vorzeichengruppen zusammengesetzt aus der Zahl derer, welche nur endliche 
Lösungen, und die Zahl derer, welche auch unendliche Lösungen gestatten. Die letzte 
Zahl ist aber dieselbe, wie wenn man die Konstante eines jeden Polynoms weglässt, 
sodass alle Polynome in Beziehung auf die n Variabeln homogen werden. Wenn also 
F(n,i) die Zahl aller Vorzeichengruppen überhaupt bezeichnet, so ist 


In)=2/(n—1,i Den 


Verbinden wir dieses mit 


Sad) =fmni -Y+-fnm—1Li—]), 
so folst 
a) = 
oder 
Sn, — fm —1,i) = (): 


woraus wiederum 


sich ergiebt. 


$ 17. Reguläre Polyscheme der vierfachen Totalität. 


Wenn in der dreifachen Totalität, oder im Raume, ein reguläres Polyeder von 
regulären m Ecken umschlossen wird, deren je n in einer Ecke zusammenstossen, so 
wollen wir dasselbe mit dem Charakter (m, n) bezeichnen. Die Geometrie kennt zwei 
Verfahren, alle Kombinationen (m, n), welche vorhandenen Polyedern entsprechen, auf- 
zuzählen und die Zahl der Stücke eines jeden zu bestimmen. Das erste Verfahren ist 
rein konstruktiv, ohne Rücksicht auf Massverhältnisse. Man stellt sich nur die Aufgabe, 
aus lauter » Ecken, deren je n einen Körperwinkel bilden, ein geschlossenes Polyeder 


[5] 


zusammenzufügen. Der Satz in $ 10 reicht für diesen Zweck hin; für n—=3 wird er 


%—- +4 —a,—=1, oder, da as=1 ist, ,— 4, +@=2. Man findet leicht na, = 
2a, = ma, und hieraus 


4,:4 :4:1=4m:2mn:4n: (A— (m — 2) (n— 2)). 


Die Natur der Aufgabe verlangt für 4 — (m — 2)(n — 2) einen positiven Wert. Da nun 
der kleinste Wert für m sowohl rn für n die Zahl 3 ist, so sind für das Produkt 


(m — 2)(n —2) nur die Werte 1, 2, 3 möglich, woraus als einzig mögliche Charaktere 
3,3) 89), @, 5), (&, 3), (5, 3) ze .. a man für @,„,d,,@, auch unendlich 
grosse Werte, so kann noch (m —2)(n— 2) =4 sein, woraus die Charaktere (3, 6), 


(4,4), (6, 3) entstehen, welche nur die Arten anzeigen, auf welche die Ebene mit gleichen 
regulären Vielecken bedeckt werden kann.) Durch dieses Verfahren ist das Vorhanden- 
sein der den fünf obigen Charakteren entsprechenden Polyeder noch nicht bewiesen, 
sondern nur gezeigt, dass keine anderen Charaktere möglich sind. Es kommt nur noch 
darauf an, einen dem Charakter entsprechenden Körperwinkel zu konstruieren. Gelingt 
dies, so weiss man dann zum voraus, dass beim wiederholten Aneinanderfügen der offenen 
polyedrischen Figur des Körperwinkels ein geschlossenes Polyeder von der bestimmten 
Anzahl von Stücken entstehen wird. Vermöge der Natur dieses ersten konstruktiven 
Verfahrens ist es gleichgiltig, ob der Körperwinkel einfach oder überschlagen sei; ebenso 
in Beziehung auf das Vieleck; die Zahl der Stücke des Polyeders wird dieselbe bleiben. 
Wenn wir z. B. das Symbol ; für ein überschlagenes reguläres Fünfteck gebrauchen, 
dessen Perimeter zweimal herumgeht, so haben das einfache Polyeder (5,3) und das 
überschlagene (3,3) die gleiche Zahl von Stücken. 

Das andere Verfahren gründet sich auf die Betrachtung von Massverhältnissen. 


Man weiss z. B., dass die Konstruktion eines dem Charakter (m, n) entsprechenden re- 


1 l l E 
gulären Ecks die Bedingung a io: erfordert, und dass ein solches Eck auch für 


Z 


gebrochene Werte von m,n möglich ist, wenn sie nur dieser Bedingung genügen. Die 
Projektion der Oberfläche des Polyeders auf eine um sein Centrum beschriebene Kugel 
liefert ein Netz von regulären sphärischen Vielecken, und, da der Inhalt eines solchen 
durch seine Winkel ausgedrückt werden kann, so ist das rationale Verhältnis, in welchem 
er zur ganzen Kugelfläche steht, bekannt. Dabei ist aber immer noch möglich, dass 


das Netz nie sich schliesst. Setzen wir z. B. m Te 9, so ist die Bedingung 
1 3 NER 5 A 
n + — > erfüllt; der Inhalt des (5 )Eeks ist — sc oder J der Kugelfläche. Obschon 


man däher einen Augenblick glauben könnte, das Netz bestände aus 12 überschlagenen 
Siebenecken und enthielte die Kugelfläche 5 Mal, so kehrt doch das Netz nicht in sich 
selbst zurück, weil (7,3) nicht Charakter eines Polyeders sein kann. 

Schliesst man aber überschlagene Körperwinkel und Vielecke von der Betrachtung 
aus, so giebt auch dieses zweite Verfahren nur die wirklichen regulären Polyeder, und 


44 


der Satz über den Inhalt eines sphärischen Vielecks lehrt uns die Zahl der Stücke eines 
jeden kennen. 

Gehen wir jetzt vom Raume zur vierfachen Totalität über, so ist sogleich klar, 
dass der Umschluss eines regulären Polyschems aus lauter gleichen regulären Polyedern 
bestehen muss, denen wir den Charakter (m,n) geben wollen. Da aber um jede Grenz- 
lösung herum die betreffenden Stücke des Umschlusses auf reguläre Art zusammengefügt 
sein müssen, so ist nicht weniger klar, dass die Enden aller von der Grenzlösung aus- 
gehenden Grenzstrahlen oder Kanten in einem und demselben dreifachen linearen 
Kontinuum liegen, und wenn man dieses als Raum betrachtet, darin als Ecken eines 
regulären Polyeders gruppiert sein müssen; da die Seitenflächen des letzten reguläre 
n Ecke sind, so setzen wir (n,p) als Charakter dieses Polyeders. Hierdurch ist die 
Bedeutung des Charakters (m,n,p), den wir für ein reguläres Polyschem gebrauchen 
wollen, hinreichend erklärt. Bei der Aufsuchung der möglichen Charaklere dieser Art 
können wir wiederum, wie vorhin für den Raum gezeigt worden, entweder ein kon- 
struktives oder ein rechnendes Verfahren anzuwenden versuchen. Das erste würde, 
wenn m,n,p rationale Brüche sind, nur ihre Zähler, das zweite hingegen ihre Werte 
berücksichtigen. Was die allgemeine Bestimmung der Zahl der Stücke eines vierfachen 
Polyschems vom Charakter (m,n,p) betrifft, so lassen uns leider beide Verfahren gleich 
sehr im Stich; das erste, weil die Formel ,— «4, +4, —a,--a,—=1 sich auf «,— a, 
A, — Ad, —0 reduziert und deshalb nur die Verhältnisse der gesuchten Zahlen, nicht 
ihre Werte selbst uns kennen lehrt; das zweite, weil es auf einfache Integrale von 
transcendenter Natur führt, deren Auswertung nur für jeden einzelnen Charakter be- 
sonders und zwar mit Hilfe des ersten konstruktiven Verfahrens gelingt. Es bleibt 
also kein anderes Mittel übrig, die Existenz irgend eines Polyschems (m,n,p) zu beur- 
teilen und die Zahl seiner Stücke zu erfahren, als die wirkliche Konstruktion; durch den 
Mangel einer apriorischen Formel für reguläre Polyscheme unterscheidet sich demnach 
die vierfache Totalität wesentlich vom Raume. 


Wir versuchen zuerst auf dem allgemeinen Standpunkt das Mögliche zu thun. 
Der Umschluss des regulären Polyschems (,n,p) enthalte «, Ecken, a, Kanten, «, 
Vielecke, a, Polyeder, so ist a,— 4, +4, — a, —0. Das schon erwähnte Polyeder (n,p) 
nennen wir Basis derjenigen Grenzlösung des Pelyschems, welche Kanten aussendet 
nach allen Eeken jenes ersten. Diese Basis hat 4n: (2n--2p—np) Ecken, 2np: 
(2n-H-2p— np) Kanten und 4p: (2n-+-2p — np) Vielecke. Von der entsprechenden 
Grenzlösung des Polyschems gehen also resp. so viele Kanten, m-Ecke und Polyeder 
(m, n) aus. Multipliziert man mit a, so erhält man die Gesamtzahlen. Da aber jede 
Kante zwei Grenzlösungen verbindet, jedes m-Eck deren m und jedes Polyeder (m,n) 
deren 4m: (2m + 2n — mn) in sich vereinigt, so hat man 


u ea IL a, ma I a = 
am +p)—np ° TV Ym+p)—np ° >9(m+p)—np °  2m-tn)—mn 3° 


oder 
0,24 :4:4 =m(2 (n+P) — np): mn:2np:p@ (mn) — mn) . . (A) 
Es versteht sich von selbst, dass beide Charaktere (m, ») und (n,p) nur existie- 
renden Polyedern entsprechen dürfen. Ist 1 die Seite eines regulären Polyeders (n,p), 


- NEE PIE N} 5 Te o 6 = ä 
so ist — sin I Vsin® Br der Radius der umschriebenen Kugel. Wird aber 


7 Sei: DE 
1 als Kante AB des Polyschems (m,n,p) angenommen, so ist 2 cos = die Seite der 


Basis der Grenzlösung A, und wenn M das Centrum dieser Basis bezeichnet, so ist also 


Ä 2 2 Ze rt ee VE I 
der Radius MB der umschriebenen Kugel — cos m nz: Van:  : Da AMB 


ee 5 : = s - ELONTCH: 57 Te See Bar7. 
ein in M rechtwinkliges Dreieck ist, so ist AM Vonz a Van: Di cos” m) 


und sin "sin => cos DEREN ALS (D) 
m p n 

eine Bedingung, ohne welche das Polyschem nicht existieren kann. Auf der Verlänge- 
rung des Strahls AM liegt eine Lösung O, welche von A und B gleichweit absteht; sie 
wird dann auch von allen andern Ecken der Basis gleichweit abstehen, ist also über- 
haupt von allen Grenzlösungen des Polyschems gleich weit entfernt; wir nennen sie 
daher das Centrum des Polyschems und OA seinen Radius. Ist nun € die Mitte der 
Kante AB, so ist das Dreieck OAC’ dem ABM ähnlich; daher der Radius gleich: 


zu 


Von 27 _ cos? 
» n 


ya EEE NE: Tr 
= / sin? — sin? — — cos? 
m pP 


N 
Ist N das Centrum eines der in A zusammenstossenden Grenzpolyeder, so ist 


NA= — sin: Vsin: = cos? ; folglich bleibt das Verhältnis 


sin Vsin: * sin? a cos? 
EOBeHEL BE nn 
NA vr £ N Bi m p n 


OA Malz Sa aa EZ 
sin“ — — 608° — V sın“ — — cos” 
m n p 


N 

sich gleich, wenn man auch m und p miteinander vertauscht; daher ändert sich auch 
das Verhältnis ON:OA nicht. Im Raume entspricht der Satz, dass, wenn (m,n) und 
(n, m) derselben Kugel eingeschrieben sind, sie auch wieder derselben Kugel um- 
schrieben sind. 

Halten wir uns an ganze Werte von m,n,p, so genügen der Bedingung (2) nur 
folgende Charaktere: 

(553,3), &; 3,4), @,3,5), (8,4, 3), (443,3), 18, 3, 3): 

Der Charakter (4, 3, 4), welcher sin = - sin = — 08 - giebt, lässt A mit M zusammen- 


fallen und zeigt also nur die Erfüllung des Raums durch aneinander gelegte Würfel an. 


u de 


Die Centra N aller in A zusammengefügter Polyeder (in, n) liegen in einem drei- 
fachen linearen Kontinuum und entsprechen den Vielecken jener Basis (n, p), indem die 
Strahlen AN durch die Mittelpunkte dieser Vielecke gehen; diese N bilden also em 
Polyeder (p,n). Es ist nun leicht einzusehen, dass die Centra aller das Polyschem 
(in, n,p) umschliessenden Polyeder die Grenzlösungen eines neuen Polyschems (p, n, ın) 
sind. Wenn also ein Polyschem von einem gewissen Öharakter existiert, so existiert 
auch das Polyschem, in dessen Charakter die Elemente die umgekehrte Ordnung be- 
folgen. Wir nennen solche Polyscheme reciproke. Wenn zwei reciproke Polyscheme 
gleichen Radius OA haben, so ist auch m beiden der Abstand ON des Centrums eines 
Grenzpolyeders vom eigentlichen Centrum gleich. Unter den 6 oben nicht als unmöglich 
aufgeführten Charakteren sind zwei, (3, 3,3) und (3, 4,3) mit sich selbst reciprok; die 
übrigen bestehen aus zwei Paaren reciproker Charaktere: (3,3, 4), (4, 3,3) und (3, 3,5), 
(5,3,3). Im Raume ist bekanntlich nur das Tetraeder mit sich selbst reciprok; reciproke 
Paare sind: Oktaeder, Hexaeder und Ikosaeder, Dodekaeder. 

Wir wollen nun durch wirkliche Konstruktion die Existenz aller 6 den obigen 
Charakteren entsprechenden Polyscheme beweisen. 

1. Dem Charakter (3, 3,3) entspricht das Polyschem mit der kleinsten Zahl von 
Grenzkontinuen. Es hat also 5 Ecken, 10 Kanten, 10 Dreiecke und 5 Tetraeder. Wir 
nennen es Pentaschem. 

2. Um das Polyschem (3, 3,4) zu konstruieren, tragen wir auf den positiven und 
negativen Hälften der vier vom Ursprung O ausgehenden Axen acht gleiche Abstände 
auf, so werden je vier auf lauter verschiedenen Axen befindliche Endlösungen ein Te- 
traeder bilden, und da eine Gruppe von vier Vorzeichen auf 16 Arten variiert werden 
kann, so giebt es 16 solche Tetraeder. Ist A das eine Ende einer Axe, so bilden die 
6 Enden der 3 übrigen Axen ein Oktaeder (3, 4), als Basis von A. Das konstruierte 
Polyschem entspricht also dem Charakter (3,3, 4); es hat 8 Ecken, 24 Kanten, 32 Drei- 
ecke und 16 Tetraeder, und möge daher Hekkaidekaschem heissen. 

3. Da jede Grenzlösung des Polyschems (3, 3,5) eine ikosaedrische Basis hat, so 
erheischt die folgende Erörterung eine vorläufige Bezeichnung aller Stücke des Ikosaeders 
mit Ziffern. Ich denke mir zwei entgegengesetzte Ecken desselben durch eine Axe 
verbunden und zähle dann die Stücke zonenweise ab. Es giebt dann zwei Zonen, welche 
je 5 Ecken enthalten; je die dem einen Axenende benachbarte nenne ich seinen 
Fünfeckschnitt. 


Schema der Ecken. | Schema d. Dreiecke. Schema der Kanten. 
1 mzmarttr 5 1 2 3 4 5 
DES Di Seal) 6 % (6) 0) 10 
Tr 88: ZILO LE NDS 15 | 1219.16: RR 1713.18 EI TI5T2O 
12 16 17 18 19.20 | 25 31 23 23 24 
} | 26 27 28 29 30. 


Im Schema der Ecken sind 2,3,4,5,6 die Ecken des Fünfeckschnitts von 1; die Ecken 
2,3,7 bilden ein Dreieck, u. s. f. Im Schema der Flächen bedeutet 1 das 4 (1.2.3), 
die erste Horizontalzeile enthält die um das Eck 1 herumliegenden Dreiecke, die zweite 
die fünf Dreiecke, welche mit den vorigen Kanten gemein haben; und wie die 
übrigen Dreiecke angeordnet sind, wird deutlich genug werden, wenn ich sage, dass 
z. B. die Dreiecke 1, 2, 7,11,6 im Eck 3, die Dreiecke 7, 11, 16, 17,12 im Eck 8 zu- 
sammenstossen. Im Schema der Kanten enthält die erste Horizontalzeile die vom Eck I 
nach den Ecken 2, 3, 4, 5, 6 gehenden Kanten, die zweite die Seiten (2.3), (3.4), etc. 
des Fünfeckschnitts, die dritte die Kanten (2.7), (7.3), (3.8), (8.4), ete., die vierte 
die Kanten (11.7), (7.8), (8.9), ete., endlich die fünfte die vom Eck 12 ausgehenden 
Kanten (12.7), (12.98), ete. 

Es sei nun «a ein Eck des Polyschems; die 12 Ecken seiner ikosaedrischen Basis 
seien mit Db bezeichnet; ich stelle dann dieses Eck dar durch 


b, b, 
i Fi “= ai He Y ak “ - ln b. 
7 8 9 10 11 4 8 12 10 5 
bie bs 
indem ich links die Grenzlösung, rechts innerhalb der Klammern die Ecken ihrer Basis 
in irgend einer Anordnung, aus der man ihre gegenseitige Lage erkennen kann, hin- 


6 


schreibe. 

Die dreifachen Kontinuen der Basen von « und b, müssen sich in einem zwei- 
fachen linearen Kontinuum schneiden. Unter den 12 von b, ausgehenden Kanten des 
Polyschems sind nun 6 schon bekannt; es sind die, welche nach «, b,, b,, b,, b,, b, gehen. 
Diese Ecken gehören also der Basis von b, an, und die fünf letzten derselben hat sie 
mit der Basis von a gemein. Jenes zweifache Kontinuum ist also die Ebene des Fünf- 
eckschnitts b, 5b, b, b, b,; und in Beziehung auf denselben kann man « und Db, vertauschen. 
Das Eck b, kann demnach durch die Formel 

7 
DEEDEEDNEDEE DE 

b, = 
dargestellt werden, wo x einen der noch unbekannten Scheitel der Basis bezeichnet. 
Wiederholt man das gleiche Verfahren in Beziehung auf die beiden Formeln für « und 
b,, um Formeln für D, und D, zu erhalten, so werden diese 

a A \ 
Dbsntabn b; Diabı bealr.b, 


b; GE RE ER TN b, 


N 


einzig in diesen Formeln für D,, b,, b, kann das neue Eck z vorkommen, weil unter 
allen bis jetzt bekannten Ecken nur diese mit z durch Kanten verbunden sind. Die 


en . 2 - 5 12.8 B 
Zahl aller ähnlichen neuen Scheitel ist demnach —,—- = 20; sie entsprechen den 
Flächen des Ikosaeders und sollen durch c,, €, ...,, bezeichnet werden. Die mit a 
diametral entgegengesetzten Scheitel der Basen von b,, bz,... bj, mögen d,, dg,...dys 


heissen. 
Demnach sind jetzt die vollständigen Formeln für die Ecken b,, b,, b,, welche 
wir darum gerade anführen, weil nur diese den Scheitel ec, enthalten, folgende: 


[7 a A 
’ Ds on na li: ’ Mi. ib Wr din 0: 5 I li li. le 
) 5 
i VL G NEs Cs} Ca NA NEE &% % %&ı 6 0% 
d, dy, d, 
Sie geben für das Eck c, die Formel: 
} b, 
I a a 
Ci Ey el ds; 


Von den drei noch unbekannten Scheiteln der Basis kann der mit & bezeichnete nur in 
den Formeln der benachbarten Ecken c,, d,, d, vorkommen. (Die beiden nicht bezeich- 
neten verhalten sich ähnlich). Jeder mit x analoge Scheitel kommt also in den 20 
a e 2 E 20 E 

Formeln für ce nur zweimal vor; ihre Anzahl ist daher ——- = 30; sie entsprechen den 
Kanten und sollen mit e bezeichnet werden; jenes z z. B. wird, da es der den Flächen 
1, 2 gemeinschaftlichen Kante entspricht, zu e,. Wir bekommen so für die Ecken ec 
der ersten Horizontalzeile, deren Basen den Scheitel d, gemein haben, die Formeln: 


b, b; b, 
m ine, ah & DD HG, Dr a 
ı Be Rd, es Ken Eden .6 sale 8 er Ba RR De) 
es: e es 
b, b, 
DDR ec, li a eh, 
04 EL EL a En: 


09 10 
Aus der früheren Formel für b, und aus diesen fünf ergiebt sich folgende Formel für 
d,, welches anderswo bis jetzt nicht vorgekommen ist: 


— 4 — 


Der einzige hier fehlende Scheitel kann sonst in keiner der 12 Formeln für die d vor- 
kommen. Alle analogen Scheitel sind daher auch 12 an der Zahl; wir bezeichnen sie 
mit /, den hier fehlenden z. B. mit /\. 

Der Scheitel e, findet sich nur in den Formeln für c,, e,, d,, d,; die zwei 
letzten sind: 


“ Y 


Der eine hier noch fehlende Scheitel kann unter allen 30 Formeln für die e nur in 
denen für e,, €, e,, der andere nur in denen für e;, e,, e,. vorkommen. Jener entspricht 
also dem von den Kanten 1, 2, 6 umschlossenen Dreieck 1, dieser dem Dreieck 5. Die 


analogen Scheitel sollen mit y bezeichnet werden; ihre Zahl ist‘ 2. — 20. Wir be- 
kommen so folgende Formeln: 
61 2) Cz 
ie ch 0 & ce due, ae: Me en a 
e n e; n R e 4 f : 
I a NEO) en a laadan Dale 
I; I VB 
71 \ cz € 
DIBERC, Ede Tesmke, Win an ce en & User cards euer 
e > e; a e [ 
: uhr RE eh h A 
Is I Is 


Unter den bis jetzt gefundenen Formeln sind die für d,, e,, €, &,, e,, €, die einzigen, in 
denen f, vorkommt. Sie geben 

d, 

Bi LO er nery 65 
Ai Iı 9 9% A 9] 
' h, 

wo wir den neuen Scheitel schon mit h, bezeichnet haben, weil es sogleich klar ist, 
dass er in allen 12 ähnlichen Formeln nur einmal gerade hier vorkommt und daher 
dem f, oder dem Ikosaedereck 1 entspricht. 


—ı 


— 50° — 


9, kommt vor nur in den Formeln für e,, &, €, fi, fa /,; von diesen sind die 
zwei letzten: 


e, & ı @0 Co e& & os eco &% 


J I I Is Io 9]' Ja 92 % Iı I 9ı 
li, N; 


Alle sechs Formeln geben 


e 
Mh P { 
91 SS 9 hg] U 
\ Nz / 
alle Ecken der Basis von g, sind also schon vollständig vorhanden. 
h, kommt bis jetzt vor nur in den Formeln für f,, 91, 92, 93, 94, 95: Nie geben 
r \ 
r 9ı %$ 9 9 9 
! By Dr Alle Vz De 
t 
Der neue Scheitel © muss in den Formeln aller benachbarten Scheitel Ka RNIT: 
sich wieder finden. Er ist daher einzig in seiner Art, hat die vollständige Formel 
h, 
(Ho Wi ler Id, ide 
: hr hs an, Rolle 
Nie 
und schliesst daher das Polyschem zu. 
Die Ecken a und ö waren einzeln, die b, d, f, h zu 12, die c und g zu 20, die e 
zu 30. Das Polyschem hat also 120 Ecken, 720 Kanten, 1200 Dreiecke und 600 Te- 
traeder; es möge Hexakosioschem heissen. 
Die hier ausgeführte Konstruktion ist von der einfachen oder überschlagenen Be- 
6) 


. . . D . 2 . . 7T . Zt 
schaffenheit der ikosaedrischen Basis eines Ecks unabhängig. Da nun sin 7 sin 


7U . n . En . . . . 
cos „ und daher die Zusammenfügung eines Ecks möglich ist, so ist durch das vorige 


> 


B) 


auch die Existenz des überschlagenen Hexakosioschems (3, 3 


) bewiesen. 


4. Sind x, y, 2, w orthogonale Variabeln, so können diese auf 6 Arten zu zweien 
kombiniert werden; bei zwei Variabeln können die Vorzeichen auf 4 Arten variiert 
werden. Es giebt also im ganzen 24 Gleichungen von der Form 2—+y=1; diese nun 
stellen den Umschluss des Polyschems (3, 4, 3) dar. Das Oktaeder («--y=1) hat die Ecken 
(1,0, 0, 0), (Ye, Ye, Ya, Ye), (Va, Ya, Ye, Ye), (le, Ya, — Ys, — Ye), (Ur, Ye, Ya — a), 
(0, 1, 0,0). Auf den Axen liegen 8 Ecken, wie (1, 0, 0, 0), (— 1, 0, 0, 0), ete.; ausser 


— 51 e- 


diesen giebt es noch 16 Ecken, wie ("/a, Ye, '/s, /s). Im Eck (1, 0,0, 0) treffen die 6 
Oktaeder, <+y=1, 2t+z=1, etw=1, zusammen; im Eck (ta, !/e, !/a, '/2) die 
6 Oktaeder, 2 Tl y = ee 21,2 y—- 1, yv=1l wre =], 
z+-w=1. Der Abstand jedes Ecks vom Ursprung ist 1; jede Kante ist 1. Das 
Centrum des Oktaeders (e—-y=1) ist (2, '/., 0,0), sein Abstand vom Ursprung also 

1 

ve) 
Polyschem (3, 4, 3) nach der Zahl seiner Grenzoktaeder Eikositetraschem. Es hat 
24 Ecken, 96 Kanten, 96 Dreiecke und 24 Oktaeder. Will man eines der 16 Ecken 


gleich dem Radius der dem Oktaeder umschriebenen Kugel. Wir nennen dieses 


1 1 1 1 r 5 R 
( -- 7) als Axenende erscheinen lassen, so braucht man nur die Variabeln 


TER ET 


mittelst der orthogonalen Formeln 


Ey 2, 
y-=+17+4y—-+z7—;w 
z=4+2 — 4y++z7Z tw, 
u—=+a 4y —47++wW 
zu transformieren; die Determinante dieser Transformationselemente ist — I. Eine 
andere orthogonale Transformation ist 
== Ya Hey 
y=--Yı E4y:Y 
2 = VE-2+YV4w, 
w— ee: 


im neuen Systeme sind dann alle 24 Ecken auf ähnliche Weise, z. B. durch der v. 


. . . . r /T 
0, 0) dargestellt, hingegen von den Grenzkontinuen acht durch Gleichungen, wie « —=Y5 


und die 16 übrigen durch Gleichungen, wie « +y +27 + w= 2. 

Man wird leicht erkennen, dass dieses Polyschem (3, 4, 3) eine Kombination des 
Hekkaidekaschems (3, 4,3) und des sogleich näher zu beschreibenden Oktaschems 
(4, 3, 3) ist. 

5. Das Polyschem (4, 3, 3) ist zum Hekkaidekaschem (3, 3, 4) reciprok; seine 
Existenz ist hierdurch schon bewiesen; es hat 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Quadrate und 
8 Würfel, und möge daher Oktaschem heissen. Als Gleichungen der acht Grenz- 
kontinua kann man w=+1, 2 =+1, y=+1, z2=+1 setzen; dann geben z. B. die 
Bedingungen w= +1, —1<z>1, —1<y<1, —1<z<1einen Würfel. Die Ecken 
sind (1,1,1,1), und alle übrigen, welche sich hieraus durch Variation der Vorzeichen 
ergeben. Das Oktaschem ist das vierfache orthogonale Paralleloschem, dessen Kanten 
alle gleich sind. 

6. Die Existenz des Polyschems (5, 3,3) ist schon durch seine Reeiprozität zum 
Hexakosioschem (3, 3,5) bewiesen, Das es 600 Ecken, 1200 Kanten, 720 Fünfecke, 


120 Dodekaeder hat, so möge es Hekatonkaieikosaschem heissen. Es giebt zwei 
Arten desselben, ein einfaches, das eigentliche (5, 3,5), und ein überschlagenes 


(7: ah 3), welches von überschlagenen Dodekaedern (3; 3) umschlossen wird. 


Ich lasse hier eine Uebersicht der Massverhältnisse der vierfachen regulären Poly- 
scheme folgen. Die Kante eines jeden ist als lineare Einheit angenommen. Es sei O 
das Centrum des Polyschems, AB eine Kante eines Grenzpolyeders, N dessen Centrum, 


OA=R, NA=K, ON=r, ZAOB=a; ferner sei 0= cos = der Radius der einer 
Basis eines Ecks umschriebenen Kugel, X’ der Radius der einem Grenzpolyeder ein- 
geschriebenen Kugel, n die Zahl der Grenzpolyeder, P der räumliche Inhalt eines solchen, 
und S das Mass der vom Polyschem umschlossenen Totalität; endlich sei d der Winkel 
zwischen zweien benachbarten Grenzkontinuen, d. h, wenn ac +by+ cz +dw=r, 


act+by+cz+du=r (ww + +d.+d=1, @’+b’+c’+d’=]) die 


Gleichungen dieser Grenzkontinuen sind, so sei aa + bb +4-ccd + dd’ = — cos d. Dann ist 
1 Br, RE en 
Be gnz, re Rı RK, Me Se 
1. Pentaschem. o= a ne 2, K=|?,K = 2 
8 4 5 s 24° 
Vi Zah et ya 
ne mn We I; Ten IRe 
2. Hekkaidekascl st gerne Er 
d. e almdekaschem. 0 — DW d = 9» = 9a A = 3 == 94’ 
NV 11 EL 
= V4=$R,0 a 1 
5 : 51y5 5 /5+2 
3. Einfaches Hexakosioschem. oe = 415 u 5 — RR: h er 
d _W%-2. ES Va 
cotg —; — = sind—=sin 5 sin 10: 8 1 3 = Rt. 
: 3 5—1 5— 23 
4. Ueberschlagenes Hexakosioschem. a=, R= et le 
N) v5+2 
cotg = vs 
r \ /3 - MI ; ar Au 
5. Eikositetraschem. o =, a—=,; ale Ke— 3; = Zurzlan 


OL au veil-a 


4 3 = 3 =: 1 1 { 7 
6. Oktaschem. =, Me = Hill; Bet -,  R—_- , r7r——-,0— a 


S — 1: 


3 YHi a 
= E) rir, tang 7 Pre 


R a), K UN w_l Ve)". hand () ol de] 


2 m) 2 


7. Einfaches Hekatonkaieikosaschem. o= % 


s— 15/5 (ke ,) 45 


2 2 


oo: [7 (DER 
8. Ueberschlagenes Hekatonkaieikosaschem. tang — = Y 


2 
2= ya. (Ba al 


e) 3 2 


Wie das Eck des Polyschems (in, n, p) durch seine Basis (n, p) und den Wert 
von e bestimmt war, ebenso ist das centrale Eck O, welches das Grenzpolyeder (m, n) 


zur Basis hat, durch diese und durch den Wert von = bestimmt. Ist nun eines jener 


äusserlichen Ecken mit irgend einem der centralen kongruent, so ist das jenem ange- 

hörige Polyeder geeignet, durch Aneinanderreihung .die vierfache Totalität auszufüllen. 
= a en 

Nun ist e (3, 3,4) —# (3, 4, 3) = V:: ea, = ,03,3) = 


E33, 4). Die vierfache Totalität wird also stetig erfüllt: 1. durch Hekkai- 


dekascheme, indem deren 24 um eine Lösung herumliegen, und die oktaedrischen 
Basen der hier zusammenstossenden Ecken ein Eikositetraschem bilden, Charakter 
(3, 3, 4, 3); 2. durch Eikositetrascheme, indem deren 3 um eine Lösung herum- 
liegen, und die hexaedrischen Basen der vereinigten Ecken ein Oktaschem bilden, 
Charakter (3, 4, 3, 3); 3. durch Oktascheme, indem deren 16 um eine Lösung herum- 
liegen, und die tetraedrischen Basen der vereinigten Ecken ein Hekkaidekaschem bilden, 
Charakter (4, 3, 3, 4). 


$ 18. Reguläre Polyscheme der fünffachen und aller mehrfachen Totalitäten. 


Was in der fünffachen Totalität der Charakter (m, n, p, q) eines regulären Poly- 
schems bedeuten soll, ist nach dem Vorhergegangenen wohl ohne Erklärung zu ver- 
stehen. Damit nun ein solches Polyschem existieren könne, müssen in der vierfachen 
Totalität die regulären Polyscheme (m, n, p) und (n, p, q) schon existieren, und der 
Ausdruck 

...9. TE PrLi . oo an 9 MT 9, MT g a 
sin? — — cos? —) (sin? — — cos? —) — cos? — cos? — 
m n q p n p 
muss positiv sein. Für ganze Zahlen m, n, p, q entsprechen diesen Bedingungen nur 


Er 


die drei Charaktere (3, 3, 3, 3), (3, 3, 3, 4) und (4, 3,3, 3). (Es giebt auch nur drei 
Charaktere, für welche der letzte Ausdruck verschwindet, nämlich (3, 4,3, 3), (3, 3, 4, 3) 
und (4, 3, 3, 3), welche, wie wir schon wissen, alle Arten anzeigen, auf welche die vier- 
fache Totalität durch reguläre Polyscheme ausgefüllt werden kann.) Die Existenz der 
entsprechenden Polyscheme ist leicht zu beweisen. Das erste ist die Pyramide mit 
lauter gleichen Kanten; das letzte ist das orthogonale Paralleloschem mit gleichen 
Kanten, und das zweite das reciproke des letzten. 

Ueberhaupt existieren in der nfachen Totalität drei reguläre Polyscheme: 1. die 
Pyramide vom Charakter (3, 3, 3...3, 3), 2. das orthogonale Paralleloschem vom Cha- 
rakter (4, 3,3...3, 3), 3. das diesem reciproke Polyschem (3, 3, 3...3, 4). 


Es leuchtet auch sogleich ein, dass durch das Paralleloschem die Totalität erfüllt 
werden kann, und dass diese Erfüllung durch den Charakter (4, 3,3...3,3, 4) dar- 
gestellt wird. 


Wenn nun für die (an —-1)fache Totalität nur die drei angeführten regulären 
Polyscheme existieren, so sind für die nfache Totalität nur vier Charaktere denkbar: 
1. wo alle Elemente gleich 3 sind, 2. wo die n— 2 ersten 3 und das letzte 4 sind, 
3. wo dieselben Elemente in umgekehrter Ordnung stehen, 4. wo das erste und letzte 
Element 4, alle übrigen 3 sind. Da aber der letzte Charakter die Erfüllung der (n—1)- 
fachen Totalität anzeigt, so giebt es auch für die nfache Totalität nur drei reguläre 
Polyscheme. 


Da nun schon in der fünffachen Totalität nur die drei erwähnten regulären Poly- 
scheme existieren, so existieren überhaupt in der „fachen Totalität nur diese drei, 
sobald n>4 ist. Wir wollen nun diese regulären Polyscheme etwas näher betrachten. 


1. Reguläre Pyramide. Die n+-1 Grenzkontinuen sind durch ebenso viele 
Gleichungen dargestellt. Zur Bildung eines ifachen Grenzkontinuums werden n —i von 
n +1 


diesen Gleichungen erfordert; es giebt ver 


) Kombinationen dieser Art; wenn also a, 
die Zahl der öfachen Grenzkontinuen bezeichnet, so ist a,— a) Sind ferner S, B, h 
resp. das Mass, die Basis und die Höhe der »fachen Pyramide, so ist nach dem 
Schlusse von $ 8: 

un 1 TE AH 1 RE 

S= 793 a on Dh De les 


. n-+1 .. 4 5 3 ae 
folglich hı =, — = sin „, wenn a den Winkel bezeichnet, unter dem die Kante vom 
: 1 & 5 
Centrum aus erscheint, also auch cos « = ee und, wenn d den Winkel zwischen 


zweien (n — 1)fachen Grenzkontinuen bedeutet, cos d = m Wird die Kante als lineare 


Einheit angenommen, der Abstand eines Ecks vom Centrum durch R, derjenige eines 


—- DD — 


. n 
(n — 1)fachen Grenzkontinuums durch r bezeichnet, so ist R= -— . — = Vor = 


sin & Yn-1) ’ 
1 R /m-+1)jr* n [ja +ı 3 1 
h— R=- ——--,$= ar" ze - R". Setzt man abkürzend — — cos d, 
Y2n(n +1) n nm" n n—l 
1 n ir s 2 6 & > 
= a OR Od, ... 9 — 608 0,_., bezeichnet die Variabeln mit x,,%,...2, 


und die Polynome der Gleichungen der Grenzkontinuen mit 9, P1, Pas--:P„, so kann 
man setzen: 9, —=X%,, 
— 22 — 080; 0 AL  — 


Pm 1 
- — — c08 0 — cos d, 
0) Ö 1 Ü m—1 


- COS Dy cos o7 cos c [0753 7 cos - 9 


+1 en Im 


u für m=1,2,3,...n —1; 


m 
cos 3 
) x 00 a 
Ba _ eng COS eos, =, N. 
cos — COS cos 5. cos 


Das durch die Gleichungen p=0, 9, =0, m; =9%..., Maı=ı mt =%:..p=o be- 
stimmte Eck hat dann folgende Werte der Variabeln: 
On 


92 


0) d 
Lmtz = 608 0,008 1....241 = 6080,_16087, 


0 a = 608 


Ön_a 
D) 
Z 


2. Reciprok-Paralleloschem (3, 3,...3,4). Sein Umschluss kann durch 
Gleichungen wie e 
= er —i alas BR ! V:=o 


dargestellt werden, wo die Vorzeichen der Variabeln auf alle möglichen Arten zu vari- 


Br 05.075.608 n = RR One 


ieren sind. Es giebt also 2” solche Gleichungen. Die Ecken sind z.B. x, = ya 2 


— — —x,= 0; da die Vorzeichen der nicht verschwindenden Variabeln nach Be- 
lieben zu sind, so giebt es 2n Ecken. Irgend ein ifaches Grenzkontinuum geht 
durch i-+ 1 Ecken, von denen keine zwei ae diametral entgegengesetzt sind; 


sieht man von den Vorzeichen ab, so giebt es 3: ) Kombinationen; die @©—1 Vor- 


+1 
zeichen aber können auf 2‘! Arten variiert werden; folglich ist die Zahl der ifachen 


Grenzkontinuen 
— 9i+ Hi 
(= ee (; r ) 


Gilt die Kante als lineare Einheit, so ist a—J, cos“ 


2° n 2 


92 In 
IE OEL 


_ 56 — 


3. Reguläres Paralleloschem (4,3,...3,3). Sein Umschluss wird durch die 
2n. Gleichungen , = +4 u = +5... =+ + dargestellt, wenn die Kante als 
lineare Einheit gilt. Die Zahl der ifachen Grenzkontinua (lauter Paralleloscheme) ist 


;/[R . . . rn . . 
= 2a" la) Eines der 2” Ecken ist (a, =4, 2, =#,...2,= 5); die übrigen erhält 


man durch Variation der Vorzeichen. 


A Ki 1 j ae en 
sin =i i A, B=#, a N 


D) 


Zweiter Teil. 


Lehre von den sphärischen Kontinuen, 


$ 19. Einleitung. — Begriff der Polysphäre, Mass derselben und ihres 


Umschlusses. 


Dieser Abschnitt ist der Betrachtung des nfachen Integrals P,=[ "Axdydz. Be, 
begrenzt durch 2° -+y?—+---<1 und durch n lineare und homogene, unter sich unab- 
hängige Polynome, welche z. B. nie negativ werden dürfen, gewidmet. Obschon P, zu- 
nächst als Funktion der nn Koeffizienten dieser Grenzpolynome erscheint, so ist doch 


leicht zu zeigen, dass nur „n (n — 1) Unabhängige vorhanden sind, die sich immer 


2 
gleich bleiben, welche orthogonale Transformation auch mit den Variabeln vorgenommen 
werden mag; eine solche Unabhängige ist nämlich die Summe der Produkte der gleich- 
namigen Koeffizienten je zweier Grenzpolynome, vorausgesetzt, dass die Summe der 
Quadrate der Koeffizienten eines jeden Polynoms der Einheit gleich sei: Wird für n—2 
das Integral P, geometrisch aufgefasst, so stellt es den Inhalt eines Kreisausschnitts 
dar, und die einzige Unabhängige ist der Kosinus des Mittelpunktswinkels; wir werden 
der Konsequenz wegen in diesem Falle eine notwendige Integration annehmen, da der 
Ausschnitt, oder, wenn man lieber will, der Kreisbogen eine transcendente Funktion 


seines Kosinus ist. In diesem Sinne können wir sagen, dass das ursprüngliche nfache 


n n—| e - - 5 = 
Integral P, nur — oder —,— notwendige Integrationen erfordert, je nachdem seine Di- 


mensionszahl n gerade oder ungerade ist. Es wird sich nämlich zeigen, dass im letzten 
Fall das Integral P,,;, als lineare Funktion von Integralen P,.„, Pu. ,--- Pi, P, dar- 
gestellt werden kann. Während diese Reduktion ungerade Dimensionszahlen betrifft, 


bringt eine andere nicht minder merkwürdige die Zahl >. n (n— 1) der Unabhängigen auf 


n — 1 herunter. Die allgemeine Funktion P, kann nämlich auf n Arten als ein Ag- 
gregat von 1.2.3.4...(n— 1) speziellen Funktionen @, dargestellt werden; wenn 
bei einer solchen Q, die Grenzpolynome passend geordnet sind, so ist die Summe der 
Produkte der Koeffizienten je zweier benachbarter im allgemeinen eine von Null ver- 
schiedene Unabhängige, die Zahl dieser Unabhängigen demnach » — 1; alle anderen 


8 


Produktsummen dagegen sind Null. Nachdem einige diese besondere Klasse von Funk- 
tionen betreffende Sätze, finite Relationen zwischen denselben enthaltend, bewiesen und 
zu Wertbestimmungen benutzt worden sind, werden diese letzten noch mit Hilfe der 
regulären Polyscheme des vorigen Abschnitts verifiziert, und nehmen wir hievon Anlass, 
ganz besonders die Theorie der regulären Polyscheme der vierfachen Totalität zu ver- 
vollständigen. 


Erklärung. Sind x, &%g,..:., z, orthogonale Variabeln, so ist die durch die 

Bedingung 

+22 + ---+22<a? 
umschlossene Totalität eine n-Sphäre oder Polysphäre; a ist ihr Radius, und die 
Lösung mit den Nullwerten sämtlicher Variabeln ihr Centrum. Demnach würde der 
Kreis Disphäre, die Kugel Trisphäre heissen. 

Wir sagen, eine Lösung sei innerhalb, auf oder ausserhalb einer Polysphäre, 
wenn ihr Abstand vom Centrum kleiner, gleich oder grösser als der Radius ist. Das 
(n -- 1)fache höhere Kontinuum, welches alle auf der Polysphäre befindlichen Lösungen 
enthält, also dieselbe umschliesst, heisst totales sphärisches Kontinuum; ein Stück 
desselben, welches von (n — 1)fachen durchs Centrum gehenden linearen Kontinuen 
begrenzt wird, sphärisches Polyschem, und im Besondern Plagioschem, wenn die 
Zahl der begrenzenden Kontinuen n ist. (Dieses ist nämlich die kleinste Zahl, wo die 
Eigentümlichkeit der n-Sphäre sich offenbaren kann; für eine noch kleinere Zahl be- 
grenzender Kontinuen sinkt das Polyschem, als analytische Funktion betrachtet, auf 
eine niedrigere Stufe herab.) Die einzelnen Stücke, aus denen die ganze Begrenzung 
besteht, nennen wir Perischeme, und zwar haben wir zunächst (n — 1)sphärische Peri- 
scheme, deren jedes wiederum von einer Menge (n — 2)sphärischer Perischeme begrenzt 
ist, u.s. f. Die disphärischen Perischeme endlich mögen Seiten und die monosphäri- 
schen Ecken heissen. 

Jedes Element des sphärischen Kontinuums ist zu seinem Abstand vom Centrum 
(seinem Radius) normal, weil 


x, de, de, I ---I-.2,.de,—o0 
ist; seine Projektionsfaktoren sind also 
a Un. 
RR a 
daher kann es durch 
7 a 
= BERUHEN 6 Un, er dr dd de: 
x, %g 


ausgedrückt werden. 
Setzt man 
X —7.6050,5, 0, —N SIND COS1p8 2, MSIOID EINIGE LCOSID ee, 
%, — Sn, SIND, er. SINI9,1.C0S. DE ee SINN, BIN O5 SInImE Bm Dr 


so heissen 7, @,, 3, .--, 9,., sphärische Variabeln. Variiert man immer nur eine 
dieser neuen Variabeln, während alle übrigen konstant bleiben, so durchläuft die Lösung 
die Wegelemente 

dr, rdg,, rsinp, dg,, rsing, sing, dg,,...., rsing, SiNQ,.... sin @,—.d@,-ı, 
deren Projektionsfaktoren das orthogonale System 


COS P,, SIN P, COS @y, Sin, SINP, COS Pa,» . , SINPLSIN Pz SIN Pz...SINPy-. COSP,.., , SINQ, Sin Pz SIN Pg.. .SIN Py-2 SIN Py-ı 
— sin P4, COS, COS Py, COSP, SIN Py COS Pz,..., COSP, SIN Pz SIN Pz..- SIN Py„_» COS Py_, , COS; SINP, SIN Pg... SIN Pr. SIN Pu-ı 


0%, — sin, COS Pg COS Py.. +, COS p, SIN Pz..- SIN Pn_a COS Py_ı COS Pz SIN Pz:».SIN Py_a SIN Pu—ı 
0, 0, — SIN Pgy +, COS Pg...SIN Pn_a COS Py_ı COS Pg ...SIN Py„_g SIN Pu—ı 
0 0, Öjsey — Sin P,_1 , COS Pn_ı 


bilden. Das Element dx, de, ...dx, der Totalität verwandelt sich demnach in 
r" sin" ”o, sn", ...sin®Q,_,sing,.drdp, dp ...dp..u 
und, wenn man hier den Faktor dr weglässt, so hat man einen Ausdruck für das 


.._. 7 . . 25 r 
Element des sphärischen Kontinuums vom Radius r anstatt des früheren 7 Ursdre dr 
ı 


Ist nun 
am A age ! 
IN | RR UHES E ; N= | — Mesa dach h 
. Js, 
(+22 -+..-+@2<a?) (+ 3 +22 +... +i=a) 


d.h. sind X, S die Masse der Polysphäre und des totalen sphärischen Kontinuums, so 
hat man auch 


ar 


Eu 
95 d 9%... sin Q,_2 d Pu-2 d Pu-1r 
“o “ 


Eu IT 


SI— 037% (Esin”2o, do \rsin 


0 0 


n—?2 n—3 


a 


K= ae | he 
d “u 
oder, weil 
dem 
sin” odpo=— E ) 

ist, 

: ik n—1 u ® n. 

En (Br Re ” 

5) (+) 


5 . a er 
Füra=1 undn=4,5,6 ist S'resp. 27°, — 77°, rı°. 
v3 , 


— 60° — 


S 20. Gegenseitige Abhängigkeit der Stücke eines sphärischen Plagioschems. 


Es sei 2-+232 +. :+22=1 die Gleichung des sphärischen Kontinuums, 
Ian 
Ts pe. 1 
a | U dig . » . Al 


fe 2 

das Mass eines Teils, welcher alle den Bedingungen p, > 0,9, > 0,..., 9„> o genügenden 
Lösungen enthält, wenn p,,Ps,...,?, unter sich unabhängige lineare und homogene 
Polynome bezeichnen. Es steht frei, anzunehmen, dass in jedem Polynom die Summe 
der Quadrate der Koeffizienten gleich 1 sei. Dann sei z. B. — cos (12) die Summe der 
Produkte der gleichnamigen Koeffizienten in den Polynomen p,,ps, und (12) heisse der 

R 0 9 £ ö ıl > 
Winkel dieser zwei Polynome. Es giebt im ganzen „n(n — 1) solche Winkel (12), 
13),...((n — 1)n); ich nenne sie die Argumente des Plagioschems S; sein Mass ist 
’ oO oO 

eine Funktion von nur diesen „n (rn — 1) unter sich unabhängigen Argumenten. Denn 
die Zahl aller unter sich unabhängigen Elemente der n Polynome p ist n (n — 1), und, 


Q B 1 Te B 
wenn man hievon die Zahl gn (n — 1) der unabhängigen Elemente einer orthogonalen 


1 . s 
>n (n — 1) wesentliche Elemente des Plagioschems 


Transformation abzieht, so bleiben nur 


übrig; als solche können wir daher jene der Zahl nach übereinstimmenden Argumente 
annehmen. ; 

Das (n— m)fache lineare Kontinuum, das durch p, = 0,P, = 0, ... Prn—ı = 0, Pn 0 
bestimmt ist, werde durch (123...m) bezeichnet. Man kann die Variabeln immer so 
orthogonal transformieren, dass für dieses Kontinuum m der neuen Variabeln verschwinden. 
Man unterdrücke dann diese Variabeln in den Polynomen pP, , Prmnt2s-:-P„ dividiere 
jedes durch die positive Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der in ihm übrig 
gebliebenen Koeffizienten und bezeichne sie dann mit 


p(123...m,m-+1), ARERZIR p(123...m,n) 
als Grenzpolynome des (n — m)sphärischen Perischems S(123...m); die Winkel dieser 
neuen Polynome oder die Argumente des von ihnen begrenzten Perischems mögen z. B. 


durch (123...m, (m +1) (m +2)) dargestellt werden. Ihre Zahl ist (3: und da 


2 


R . Beuks . Fa el . . 
wo) die Zahl aller (n — m)sphärischen Perischeme von S ist, so kommen an diesem im 


im ganzen ) et Stücke der erwähnten Ordnung vor ((n — m)sphä- 


2 2 m 
rische Stücke). Gegen das Ende treten Kugeldreiecke, wie (45 ...n), auf; die 
Argumente eines solchen (trisphärische Stücke) sind seine Winkel (45...n, 23), 
(4 Dranllnedie ), (45...n, 12). Endlich kommen Kreisbogen (disphärische 


STAR 


Stücke oder Seiten), wie (345...n), von denen jeder selbst sein einziges Argument ist; 
d.h. es ist 8 (345...n)=(345...n,12); hingegen S(45...n)= ge SR) 
en, ;T 3)+(45...n,12)— x. Da die Zahl der Seiten — n (n — 1) 


) 
ist, so kann man das Plagioschem S auch als Funktion seiner Seiten auffassen. Die 
’ oO 


Zahl aller seiner Stücke mit Einschluss der Argumente und Seiten ist 


m=n—! i 9 
N E was) NN (3): on-2 
—— i . 
FEN m 2 


Ihre Abhängigkeit von den Argumenten ist folgende. Da man die Variabeln immer 
so orthogonal transformieren kann, dass in den drei Polynomen ?,, Ps, p, nur drei Va- 
riabeln erscheinen, so kann man die Argumente (23), (13), (12) als Winkel eimes Kugel- 
dreiecks auffassen, welches die (n — 1)sphärischen Stücke (1,23), (2, 13), (3, 12) zu Seiten 
hat; diese sind somit durch die bekannten trigonometrischen Relationen in Funktion 
jener gesetzt. Man kennt also alle (n — 1)sphärischen Stücke in Funktion der Argumente. 
Wiederum sind z.B. (1, 34), JuE 24), ( (1,23) als Winkel, und (12, 34), (13, 94), (14, 23) 
als entsprechende Seiten eines Kugeldreiecks anzusehen und dadurch mittelbar alle 
(na — 2)sphärischen Stücke in Funktion der Argumente gesetzt. Dies geht so fort, bis 
endlich die Seiten in Funktion der Argumente gefunden sind. Es ist klar, dass die 
Supplemente der Argumente dieselben Funktionen der Supplemente der 
Seiten sein werden, wie die Seiten von den Argumenten sind. 

Um diesen Vorstellungen ein analytisches Gewand zu leihen, suchen wir zuerst 
ein Grenzpolynom eines Perischems so auszudrücken, dass wir keiner Transformation 
der Variabeln bedürfen. Denkt man sich im Ausdruck eines solchen die anfänglichen 
Variabeln restituiert, und ist die Ziffer ? von 1, 2,... m verschieden, so muss man setzen 


Deo (1) 
die Faktoren A sind dann durch die Bedingung bestimmt, dass das neue Polynom zu 


jedem der m Polynome p,, Ps,:.:Pm orthogenal sein muss, also zusammen mit e durch 
die Gleichungen: 


1—0°— A, cos il) — A, cos 2) — ...— A, cos (im) = (0, 
—cos(li) —+A, — Ag cos (12)— ... — A, cos (lm) =(, | 
— cos(2:) —A,cos 21) —-A, —...—4,cos(2m)=(, (2) 
— cos (m i) — A, cos (m1) —A, cos (m2)— ..... + A, —ı | 


Gehen ;, 0,4 in k, o, «u über, so ist offenbar die Produktsumme der Koeffizienten der 
Polynome Pt 4, PH An dm und Pr + Pı hmm gleich, wie wenn das 
zweite Polynom bloss durch p, ersetzt wird, da die Polynome ?,, Ps, -:. 9, Zum ersten 
orthogonal sein sollen. Man hat demnach 


. @6.c0s (12...m,ik) = cos (ik) +Aeos(1k)-+ A, cos (2k)+... +, cos (m k). 


u 


Bringt man in dieser Gleichung alle Glieder auf die linke Seite und setzt sie dann im 
Systeme (2) an die Stelle der ersten Gleichung, so wird man durch Elimination der 
Grössen A den Wert von e6cos(12...m,ik) bekommen, während der von 0° sich 
unmittelbar aus (2) ergiebt, und der von 6° aus diesem durch Vertauschung von i und k. 
Setzt man abkürzend 


al, een. m) = ,— cos (ik)- — cos (il) - — cos (2) - — cos (iB)--- — cos (im) 
— cos (1%)- 1 .— cos (12)- — cos (13)---— cos (1 m) 
— cos (2%k)- — cos (21)- 1 » — cos (23)... — cos (2 m)) 
elek did eh ek eltern u | 
— cos (m k)- — cos (m 1) - — cos (m 2) - — cos (md)... 4er 
und hiefür einfach 4 (i123...m), wenn k—=i und daher cos ik) = — 1 ist, so hat man 


A(123...m).o6cos(12...m, )+4(} 123...m)—0, 


4(123...m)— 0°4(123...m)=0, 4(k123...m)—0°4(123...m)—=0, 
und hieraus 


al, 123...m) 
m Yad12 3...m) YA(k123...m) 
wo die Quadratwurzeln positiv zu verstehen sind, weil in der Gleichung (1) für p, = o, 


(3) 


cos (12... m,ik) = 


Ps = 0%... Pm = 0 die Polynome p; und p (12...m, i), grösser als Null gesetzt, dieselbe 
Grenzbedingung ausdrücken sollen, wodurch e (und ebenso 0) notwendig positiv werden. 
Die drei in diesem Ausdruck vorkommenden Determinanten sind receiproke Elemente der 
symmetrischen Determinante 4 (ik123... m); und wenn wir diese auf leicht verständliche 
Weise durch die Ziffern der fehlenden Horizontal- und Vertikalzeile bezeichnen, so be- 
kommen wir 


Ela] cos? (12...m,ik) = :[%) 
|;| El sin? (12...m,ik) = :]: £) AN ER) E Bil 
k k 
BER 
AERO NAD BER) (4) 
ZI REEL ENTE 
Man kann diese Formel auch durch Betrachtung eines Paralleloschems beweisen, dessen 
Kanten zu den linearen Kontinuen (1), (2),...(m), (#), (k) normal sind. Der hierzu 
erforderliche Satz würde heissen: 

Das Mass eines nfachen Paralleloschems ist gleich dem Produkt zweier begren- 
zender (n —1)facher Paralleloscheme, welche in einem (n — 2)fachen Paralleloschem sich 


oder 


sin? (12...m, ik) — 


na 


schneiden, dividiert durch dieses letzte, und multipliziert mit dem Sinus des von den 
beiden ersten gebildeten Winkels. 

Um ihn zu beweisen, bezeichnen wir die erwähnten vier Paralleloscheme mit P, 
A, B,C, den Winkel zwischen A und B mit ©, betrachten A als Basis von P, und C© 
als Basis von BD, und setzen h, k als entsprechende Höhen. Denkt man sich nun das 
Paralleloschem ? von einem auf € normalen zweifachen linearen Kontinuum geschnitten, 
so liest in diesem ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse /, der Winkel, dessen 
Scheitel in © fällt, ©, und die gegenüberliegende Kathete h ist. Es ist also h =ksin ©. 
Aber P=Ah, B=Ck. Also CP=ABsin®. 

Die independenten Formeln (3) und (4) verwandeln sich in bekannte Relationen 
der sphärischen Trigonometrie, wenn m=1 angenommen wird. Die erste z. B. giebt 
cos (2 k) + cos (1) cos (1 %) 

sin (12)sin (1 k) 


cos (1, ik) = 


Das orthogonale System der Variabeln kann immer so gewählt werden, dass die 
Grenzpolynome in folgender Gestalt erscheinen: 


Bir %5 

pP = — 2%, cos (12) + z, sin (12), 

Ps = — &, cos (13) — x, sin (13) cos (1,23) + x, sin (13) sin (1,23), 

Pan = — 2, cos(lm) — x, sin (1 m) cos (1,2m) — x, sin (Im) sin (1,2m) cos (12,31) en 


+2, sin(1m)sin (1,2m)sin(12, 3m)...sin(123...(m—3), (m—2)m) cos(12...(m--2),(m—1)m) 
+ x, sin (1m) sin (1,2m) ... sin (12...(m—3), (m —2) m) sin (12... (m—2), (m —1) m), 


Bei dieser Darstellung ist die Lösung (& =, = --= m, =0,m—=]1) das mit 


(123...(n— 1)) zu bezeichnende Eck des Plagioschems $; nennen wir dieses Spitze 


A, so entspricht ihr das Perischem (n) als Basis. Von A aus gehe ein Strahl normal 
zum linearen Kontinuum der Basis (p,= 0) und treffe dieses in der Lösung B; die 
Länge des Strahls oder der Abstand AB der Spitze vom linearen Kontinuum p, —= 0 sei 
sinh. Vom Centrum O aus gehe ein Radius durch B und treffe die sphärische Basis 
selbst in C; diese Lösung heisse Fusspunkt; der Kreisbogen, welcher 4 und € ver- 
bindet, ist A und soll Höhe heissen. Endlich sei P irgend eine auf der sphärischen 
Basis befindliche Lösung, p ihr sphärischer Abstand von der Spitze A oder der Winkel 
der Radien OA und OP. Da wir jetzt nur drei Strahlen OA, O0, OP vor Augen haben, 
so können wir uns durch dieselben ein lineares dreifaches Continuum (Raum) gelegt 
denken, und die Lösungen A, ©, P werden als Ecken eines rechtwinkligen Kugeldreiecks 
erscheinen, worin AP=g die Hypotenuse ist. Ist der Winkel APO=®, so ist sin h 
—sinpsin®. Um P herum liege ein unendlich kleines Element 6 der sphärischen 


Zu, 


Basis; alle darin enthaltenen Lösungen werden mit der Spitze A durch Kreisbogen ver- 
bunden; dadurch entsteht ein partielles sphärisches Kontinuum, welches die einzige end- 
liche Ausdehnung von A bis P hat, während die übrigen unendlich klein sind. Wird 
nun dieses in P normal durchschnitten, so ist der Querschnitt ein (n — 2)faches unendlich 
kleines Kontinuum, dessen Mass o sin © beträgt. 

Da AB =sinh der der Spitze entsprechende Wert des Polynoms p,, so ist nach (5) 


sinh=sin (1n)sin (1,2 n) sin(12,3n)....sin(12 ... (n— 3) (n—2) n) sin(12... (n—2,(n—-1)n), (6) 
wo die Ziffern 1, 2,3,...n — 1 permutiert werden dürfen; die Werte des Fusspunkts (sind: 


x, —tang h eos(1n), &, = tang I sin (1 n) cos (1,2n),..., m = cos h. 


$ 21. Hilfssatz. 


Wird jedes Element des n-sphärischen Plagioschems $ mit dem Kosinus 
seines sphärischen Abstandes von der Spitze multipliziert, so ist die Summe 
dieser Produkte der (n—1)te Teil des Produkts des Masses der Basis und 
des Sinus der Höhe. 

Beweis. Es seien 


& — BIDP.. 0 2, — 80.0. 2 De END rn, er COsAp, 


so wird das Element des sphärischen Kontinuums 


sin”gpgdgp.o, 
wo w das äquatoriale Element bezeichnet, welches man auch durch 
Verden dm 2. ' 15 9 
Te BE ee 
| 


ausdrücken kann. Wenn wir nun das Integral 


zn 


cosp.sm'"pdp.w 


bestimmen wollen, so setzen wir zuerst &/, #5, . . . x, _, als konstant voraus und integrieren 
von g—=o bis zu dem durch die Basis p, — o bestimmten Werte von ®, für den wir 
diesen Buchstaben behalten wollen. Wir bekommen 

n—2 


1 Y a 
1 | Sin, - 9.0, 


oder, da, wie wir oben gesehen haben, für eime auf der Basis befindliche Lösung P der 
normale Querschnitt 


« r . . oO 
sm’p.@—=sin O.0=sith--— 
sing@ 
ist, zuletzt 


n—1 n—2 


r En sinh f 
| cos p . sin pd9.0— .o; | 


d. h. gleich dem (n — Nten Teile des Simus der Höhe, multipliziert mit der Basis. 


’ 


65° — 


$ 22. Mass eines sphärischen Plagioschems. 

Satz. Die in Beziehung auf die Argumente genommenen Differential- 
koeffizienten des Masses eines n-sphärischen Plagioschems sind gleich den 
Massen der mit den Argumenten gleichnamigen (n» — 2)-sphärischen Peri- 
scheme, dividiert durch n — 2: 

; 1 : E NET 7 

ds — ISÜY)AUY+SAH) AH) +: +8 (m Ind (an)! 


N 


Beweis. Um das einzige Argument (12) zu variieren, variieren wir nur das 
Polynom p,, die Darstellung (5) in $ 20 voraussetzend. Dasselbe verwandle sich in 
(dl Ir k,) 2 Z 2 hi, %, Ar hy %z —- “re =1- ki Ins 
wo /y,la,... /k, unendlich kleine Grössen bezeichnen. Da die Summe der Quadrate der 
Koeffizienten gleich 1 bleiben und die Argumente (15), (1&),... (1 ») konstant sein sollen, 
so hat man n—1 Bedingungsgleichungen, welche gerade hinreichen, um die n—1 Ver- 
hältnisse Ak, :Ay:...:%, zu bestimmen. Die erste Gleichung 


(S: FR): = k2 Hate... | 


reduziert sich, da es nur auf unendlich kleine Grössen erster Ordnung ankommt, auf 
2%, =o. Dann sind aber sämtliche Bedingungsgleichungen gerade so beschaffen, wie 
wenn die Werte der Variabeln für das Eck (1345...n) zu bestimmen sind. Versetzen 
wir uns aber in das (n— 1)-sphärische Kontinuum (1) hinein, indem wir die durch 22 
bezeichnete Dimension aufheben, und fassen (1 2) als Basis des Perischems S (1), folglich 
jenes Eck als dessen Spitze auf, so tritt der für diese geltende Wert von ©, als Sinus 
der Höhe, sin ı, auf. Da man ferner für den Winkel zwischen dem variierten Polynome 


m = ken, + k 0% +: k,x, und dem unveränderten Polynom 
Pa = — %,cos (12) + x, sin (12) die Gleichung 
— cos ((12)+d(12)) = — cos (12) — %k, sin (12) 
hat, so muss /, = d(12) sein. Folglich verhalten sich \,, /,,...%, zu den gleich- 


namigen der Spitze (1345... n) zukommenden Werten der Variabeln, wie d (12): sin h. 
Ist nun @ der sphärische Abstand der Spitze von irgend einer im Perischem $ (1) ent- 
haltenen Lösung (0, x, @,, ... . 2,), so ist demnach 


Bon £ 
ya tl. + m = 42), 


und das partielle n-sphärische Kontinuum dS bekommt ausser den Grenzen von S (1) 
noch die unendlich nahen Grenzen: ursprüngliches p, < 0, und variiertes p, > 0, oder 


COS (ip 


+ al)>o>n, 


=. 


oder eier 

sin A 
Weil somit x, unendlich klein ist, so sind im Ausdruck für dS die auf x, ©,,...@, 
bezüglichen Integrationsgrenzen so zu nehmen, wic wenn x, — 0 wäre, also dieselben 
wie für das Perischem $ (1). Integriert man nun die Formel für d S in Beziehung auf 
x, so ergiebt sich dS gleich der Summe sämtlicher Elemente von S (1), jedes multi- 


.. . COS rn vhs, . 
pliziert mit . d(12); und dag der sphärische Abstand dieses Elements von der 


Spitze (SA n), so ist nach dem vorigen Hilfssatz: 
SAU U) ee Aa 9 
OSE — nn —, Basis S (1 2 RI — re IP) Da 2): 
Bemerkung. Diese Form des Satzes hat das Unbequeme, dass man ihn nicht 


bis auf n — 2 hinunter verfolgen kann. Dies wird jedoch durch eine leichte Umge- 
staltung möglich gemacht. 


Es sei v 
= | Rbanı Gheas (95 or olthaR. 
a el 
pı > 0, >20, 200 


ein von n durchs Centrum gehenden linearen Kontinuen begrenztes Stück der n-Sphäre, 
das wir allenfalls »-sphärische Pyramide nennen können, so ist offenbar 
„ı 
ES | T'dr, oder P= Z S. 


« 7 
{j 


Bezeichnet dann z.B. P(12) die im (n— 2)fachen linearen Kontinuum (p, = 0, P, = 0) 
befindliche (n — 2)-sphärische Pyramide, so ist ebenso 
Per Se): 


n—2 


Wenn man also im gegenwärtigen Satze sphärische Pyramiden statt der sphärischen 
Plagioscheme einführt, so erhält man 


d P= n PÜDAAL)+PUS)AAH) +: +Plm-Yn)dlm—ı) nl. 


Setzen wir jetzt n 2, so wird die disphärische Pyramide zum Kreisausschnitt, 


und in der Formel dP—-  P(12)d(12) bezeichnet (12) den Mittelpunktwinkel und 


[SS 


P(12) das Mass des nullfachen Kontinuums, welches die begrenzenden Radien (p, =o, 
Ps 0) innerhalb des Kreises gemein haben, d.h. das Mass des Centrums. Nun sind 


zn = 


leicht Gründe aufzufinden, die uns berechtigen, 1 als Mass einer nullfachen Totalität 
er l - l 
anzunehmen. Wir bekommen also d P= — d(12), und durch Integration P= ,(12), 
als Inhalt eines Kreisausschnitts vom Radius 1. 
Setzen wir n—3, so wird die trisphärische Pyramide zur Kugelpyramide; 
in der Formel 


pet | p(i2) AADHPÜ)AAY)+PAHNAE 3) 


sind (12), (13), (23) die Flächenwinkel der Pyramide oder die Winkel des Kugel- 
dreiecks S; P (12) ist das Mass des einfachen Kontinuums (p, — 0, p, — 0), welches 
durch die Bedingungen p, > o und «7 + 3 + a3 < 1 begrenzt wird, d. h. das Mass des 
vom Centrum nach dem Eck (12) gehenden Radius, also gleich 1. Bezeichnen wir die 
5 R c 1 5 
drei Argumente mit «, ß, 7, so ist demnach d P= — (da + d? -+dy) Um die Inte- 
grationskonstante bestimmen zu können, lassen wir P verschwinden, was dadurch ge- 
schieht, dass wir p, = Ps = — p, annehmen; dann wird aber (12) — x, (13) = (23) = 0. 
Wir haben also 


De : (e+ß+y— nz) oder: S=a+ß+y —z, 


wenn S das Mass des Kugeldreiecks bezeichnet. 
Von jetzt an halten wir uns wieder an die erste Form des Satzes. Für n = 4 


oder für das tetrasphärische Plagioschem 5 ist das disphärische Perischem S (12) 


ein Kreisbogen, dessen Mass mit seinem Argument (12, 3 4) ein und dasselbe ist. Also ist 


13 


I 
a 


34)412)+(13,24)4(13)+ (14,23) a(14) + (23,14) (23) 
+(24,13)a2@ +84, 12)AWH), 


oder: das Mass des tetrasphärischen Plagioschems hat seine halben Seiten 
zu Differentialkoeffizienten. Sind diese Seiten unendlich klein, so verwandelt sich 
Sin eine dreiseitige Pyramide des Raums; man kann nun wirklich nachweisen, dass 
das Integral des vorliegenden Ausdrucks sich alsdann auf die bekannte Formel für den 
Inhalt einer räumlichen Pyramide reduziert. 

Für das pentasphärische Plagioschem S wird das trisphärische Perischem 5 (12) 
zum Kugeldreieck, dessen Mass gleich der Summe seiner Winkel weniger ‚r ist. Die 
Funktion $ hat 10 Argumente, und von den bezüglichen Differentialkoeffizienten ist z. B. 

DES 
92) 


1 yL u 
„(2 3)+(12,35)+(43,45) — =}, 


I, PAR. 


und, wenn man die 30 Glieder wie (12,34) d(12) nach den Kombinationen (123 4) 
vierter Klasse ordnet: 
348/13, 34) 4(12)-+(13, 24)4(13)+ (14, 23)4 (19 
+ (23, 14) 4 (23) --(24, 13) (@4)+ (34, 12)4@4) !-+ ete. 

— ad (1) +(13)+::-+@5)} 
= 2d15(1239 + 81235) + S(1245) + 8(1345) + 8(2345)} 
— ad (YA) +5}, 


wo 8 (1234) z. B. ein tetrasphärisches Plagioschem bezeichnet, dessen Argumente (12), 
(13), (14), (23), (24), 34) sind. Um die Integrationskonstante zu bestimmen, nehmen 
wir an, alle Argumente des pentasphärischen Plagioschems seien rechte. Dann wird 


In l Sn n® ae In? zu* 

SI 235) A I ee 
und wir bekommen 

zZ — z — 77. 10%. = —+- Const., also Const. = 4r”, 


und endlich 
9) 


$(12345)=-— 


> 
12} 


18(2345)+S(1345)--8(1245) +8(1235) +8 (1 234)! 


— [12 343) FAN ee (34)4+@5)4-45)} | =, 


Wir sehen hieraus, dass, wie das Mass des Kugeldreiecks auf Kreisbogen zurückkommt, 
so dasjenige des pentasphärischen Plagioschems auf tetrasphärische Plagioscheme und 
Kreisbogen. Wollten wir diese Wahrnehmung weiter verfolgen, so würden Gamma- 
funktionen und Potenzen von r den an sich einfachen Satz „über die Reduktion perisso- 
sphärischer Plagioscheme auf artiosphärische“ *) ohne Not verwickeln. Wir ziehen es 
daher vor, zuerst statt der allgemeinen Masseinheit eine besondere für sphärische Plagio- 
scheme passende Einheit einzuführen, von ähnlicher Bedeutung wie die des Quadranten 
für Kreisbogen. 


$ 23. Plagioschematische Funktionen; vreduzierbare Fälle von Orthogonalität 
Wir setzen fortan 
| dxzdydz.,: NDS) | drdaydz..: 


; Ra) B u y? AAN) 
MEN BEI U > On 


*) |Die Ausdrücke „perissosphärisch* und „artiosphärisch‘ werden S. 70 erklärt.| 


— 69 — 


oder, was dasselbe ist 
n n 
n? BB, n? 


P(123...n)=z. Fey} 123. ..W). 8(123...n)< = ras/t23. m 


und nennen /(123...n) eine n-sphärische plagioschematische Funktion, pP, Pas» + Pı 
ihre Grenzpolynome, und die von diesen gebildeten Winkel (12), ... ihre Argumente. 
Jede solche Funktion bekommt die Einheit als Wert, wenn alle Argumente z sind. 
Es ist dann z. B. 

FU (2, FAB)-FUN)+FAH)+FAH)- 2, 
ste, 2 (713) + ete. | oT 


ist, so wird die allgemeine Differentialgleichung 


des vorigen $: 
daf(123..m)=f(12,34...n) afa2)+f(13,245...n) df(L3)+ete. 


Nehmen wir jetzt an, jedes der m ersten Polynome p,, Ps, - - - 9, sei zu jedem 
der übrigen Pyı» Pmtss -- - P„ orthogonal. Man wird überhaupt die Variabeln so 
wählen können, dass in jenen nur die m Variabeln x, x3,... x, erscheinen. Kämen 
nun diese auch in einem der folgenden Polynome vor, so würde aus den entsprechenden 
m Orthogonalitätsbedingungen das Verschwinden der Determinante der Koeffizienten 
jener m ersten Polynome folgen, was wir nicht zugeben dürfen, da diese unter sich un- 
abhängig sein sollen. Also können die n — m letzten Polynome nur die übrigen Va- 
riabeln 2,41, Lmf2, - - : x, enthalten. Es sei nun 


BO rt. = SEM O.Y, ne MO Ya... in En GO. Ya 


und man denke sich die m ersten Variabeln, also auch ®, zuerst als konstant, und die 
Integration nur in Beziehung auf die n — m letzten Variabeln vollzogen, so werden die 
auf diese bezüglichen linearen Integrationsgrenzen durch die Einführung der Variabeln 
y nicht geändert, und es kommt noch die Grenze y +12 ++ 1%. < 1 hinzu. Da 
das Produkt 4%... dx... -. da, sich ın 


L 
SImLTig) ul ADE E 
verwandelt, so hat man: 


P123..n)=flm +1) m-+2)... n)x | sinlar- Oldzı dusın. ads dypdyaecsdiinem 
(M>% B>9.-.Pn> 0, Yı >09, Ya> 9; ..-Ym-m>0) 


” 
„r 


— (im +1) m—+2)... n) x | IE Ola) ne REEL u RE Eye og Kr ; 
(RIO > 0.20 >0) 


Au: 
Denkt man sich bier die n — ın letzten Variabeln 2,41, Zunjes - - - 2, zuerst als konstant, 


und die Integration nur in Beziehung auf die m ersten Variabeln vollzogen, so erhält 
man auf demselben Wege wie vorhin: 


P(23..n)=f(m +) m+2)...n)xf(123...m)x | Dede, ; 


also endlich: 
FB ne fill 281.80) Allm-- Dim 2)enen); 


d. h., sind m Grenzpolynome einer n-sphärischen Funktion sämtlich zu den n — m übrigen 
orthogonal, so ist dieselbe das Produkt der von jenen begrenzten m-sphärischen Funktion 
und der von diesen begrenzten (n — m)-sphärischen. Hierbei ist zu bemerken, dass 
FU)=1, weil auch für die Grenzen 2 <1,2>o, [d&=1ist. Wenn also, das 
erste Grenzpolynom zu allen übrigen orthogonal ist, so hat man f (123...n)=f(234...n); 
und wenn überhaupt die m ersten Polynome nicht nur zu allen übrigen, sondern auch 
alle unter sich orthogonal sind, so hat man f(123...n) = f((m-+ (nn). 

Wenn zwei plagioschematische Funktionen sich bloss dadurch unterscheiden, dass 
ein bei der ersten positiv genommenes G@renzpolynom bei der andern negativ genommen 
wird, so ist die Summe dieser Funktionen doppelt so gross als die nur von allen übrigen 
Polynomen begrenzte Funktion; oder 


Ale Paetz- = Da) ll Dos Denn Da (NE DR ee 


Wenn man sich nämlich die zwei ersten Funktionen durch die entsprechenden Integrale 
ersetzt denkt, so ist deren Summe ein ähnliches Integral, worin die Grenzbedingung 
pı > 0 oder — p, > 0 wegfällt; diese Summe bleibt sich daher gleich, wenn auch das 
Polynom p, sich ändert, z. B. zu allen übrigen Polynomen orthogonal wird; dann hat 
aber jede der Funktionen, aus denen die Summe besteht, den Wert f (234...n); 
folglich ist diese 2 f 234...n). 


$ 24. Reduktion der perissosphärischen Plagioscheme auf artiosphärische. 


Um die zwei Fälle einer geraden und einer ungeraden Dimensionszahl zu unter- 
scheiden, gebrauchen wir die Ausdrücke Artiosphäre und Perissosphäre. Wir haben 
schon gesehen, dass die trisphärischen und pentasphärischen Plagioscheme sich linear 
durch artiosphärische Plagioscheme niedrigerer Ordnung ausdrücken lassen, und stellen 
nun folgenden allgemeinen Satz hin: 

Wenn f,,4. eine von den Polynomen 9,, Pas - - - Pantı begrenzte plagio- 
schematische Funktion ist, und man mit NY /,, die Summe aller 2m-sphärischen 


2ın 


— 7 


Funktionen bezeichnet, welche von irgend 2m jener Polynome begrenzt 
werden (/, = 1 angenommen), so ist 


m 


TED Mint, U mlen au.on 


wo die Koeffizienten « durch die Gleichung 


SS | 
ED een a re) 
Ko: ROBERT OE) ( 


definiert sind. 
Beweis. Differentiiert man die Gleichung (1) nach irgend einem Argument von 
Jon+ı, z. B. nach (12), so fällt rechts das letzte Glied (— 1)”a, weg, und man erhält 


REIS ee), 


eine ähnliche Gleichung, worin nur die Dimensionszahl 22-1 durch 2n — 1, und die 
Grenzpolynome durch p (12,3), p (12,4), ...p (12, n) ersetzt sind. Wäre nun der 


Satz für die (272 — 1)-Sphäre schon zugegeben, so könnte man durch Integration von 
dieser Gleichung auf (1) zurückschliessen, und brauchte nur noch nachzuweisen, dass die 
Integrationskonstante (— 1)” «a, richtig bestimmt ist. In der That, wenn wir annehmen, 


dass alle Argumente von /f,,,., rechte seien, und edenken, dass die Summe N f,,_,,; so 
viele Glieder zählt, als 22 -- 1 Elemente zu je 2rn — 2i kombiniert werden können, 


so wird die Gleichung (1) 


PZN ealssn,) 


oder, wenn man mit 1.2.3...(2n—-1) dividiert, 
men . 
Di Palo SER EL. PEN ER 3) 
— 119.32..0n2) 1.933...08F1} 193... 0m) 


cos I 7 I 


multipliziert, und in der Entwickelung die Koeffizienten von =°”'' auf beiden Seiten 
einander gleich setzt. Die Integrationskonstante wäre also richtig bestimmt, wenn der 
Satz für die Dimensionszahl 22 — 1 wahr wäre. Da aber für die Trisphäre wirklich 
I 2 ad, 1, a, = 2 ist, so ist der Satz allgemein bewiesen. 
22175 2, und 7a, 2 ist, so ist der Satz allgemein be 

ir wollen di ichung noch einer andern Pr nterwerfen, indem wir 

Wir wollen die Gleichung (1) nocl er andern Probe unterwerfen, inde 

annehmen, ein Grenzpolynom von fs... sei zu allen übrigen orthogonal; jenes mag 


=..78 


äquatorial, diese meridian heissen. Scheiden wir nun alle Funktionen ‚f,, in zwei 
Gruppen, je nachdem das äquatoriale Polynom in der entsprechenden Kombination vor- 
kommt oder nicht, und versehen im ersten Falle den Funktionsbuchstaben mit dem 
Zeichen des senkrechten |, und bei der ungeschiedenen Summe das Symbol & mit 
demselben Beisatz, um anzuzeigen, dass das äquatoriale Polynom sich unter den Ele- 
menten befinde, über deren Kombinationen die Summe sich erstreckt, so haben wir 


m 


; ee, h = Dub 
Jen Jam Jon Jen 2 fom = Zjem t ZJamtır 
2 5 2 N an S h 
wo auf der rechten Seite der letzten Gleichung die erste Summe (, Mi; die zweite 


( -” ) Glieder zählt. Nach (1) ist 


2m—l 
A a A—1  ) 
Vo > >> = 1) dr-ı Sn -mahr 
4=1 


Will man nun dieses in der vorigen Gleichung substituieren, so frägt es sich, wie oft 
eine und dieselbe Kombination von 2m — 24 meridianen Polynomen, oder vielmehr die 
entsprechende f,,.,, im entwickelten Ausdruck für &f,,,_, sich wiederhole. Da 2m —24 
meridiane Polynome schon gesetzt sind, so bleiben deren noch 2n — 2m -- 24 übrig, 
und daraus können 24 — ] gewählt und mit jenen zu einer Kombination vereinigt 
werden, welche einer gewissen Funktion /,,_, entspricht. Dies kann aber auf 
> —- 2m-+214 
23ı —1 
Jsn-, wiederholt. Demnach ist 


) Arten geschehen, und eben so oft wird also jede einzelne Funktion 


a8 Jim y 1, 70) 9 9 
5 e > In —-2m+2X > £ 
DER et > ca) ( n 94 . 1 )ai ı ZJom-23 - 


1 


Setzen wir nun, indem wir diese Formel in der Gleichung (1) substituieren, m = n —i 
und 4 = k — i, so bekommen wir 


= : ; a i 1 (daran Ik m 
"=> Ce Da 2. DD DE (u ya re 


0 


Kehrt man in der Doppelsumme rechts die Ordnung der Summationen um, so durch- 
läuft, wenn man % als konstant voraussetzt, i@ die Werte 0,1,2,...%— 1; und dann 
ist nach und nach k=1,2,...n zu setzen. Man bekommt daher 


ken | i=k—1 \ 


0 = > ( 1). (dy, — »>3 (: 2% ) dt, ui) I fen 9x- 


Kl 


bs 


Zur identischen Giltigkeit dieser Gleichung wird erfordert, dass überhaupt 


i=n-1, 


) 
E ST ( zn / 
a, = > SE, aka a ee es Ss) 
sei. Dividiert man diese Gleichung durch 1.2.3...2x, so sieht man leicht, dass sie 


aus der Gleichung des Koeffizienten von z°" dx in der Entwicklung von dtang x — 
dx -+- tang’x . dx hervorgeht. 
Setzt man «a, —= 2" c,, so erhält die Rekursionsgleichung (4), indem man die Fälle 
von geradem und ungeradem n unterscheidet, die Formen 
ien—I ’ 


i=n—1 
4n S en-+2 Il (4n+2 £ 
Can — >> ( nl CG;lan-i-n Can+ıD = 5 h ) €; Cgn- Ze ei; ) C % 
: — il 2 = — aaa) e Srrozie 2 \an+H1) 


2 Am-2\ » 3 n 
Man braucht also nur zu zeigen, dass (; 2) immer durch 2 teilbar sei, um daraus 


schliessen zu dürfen, dass alle ce ganze und positive Zahlen seien. Dieses ist nun wirklich 
in folgendem allgemeinen Satze enthalten. 
Wenn p eine Primzahl, n, i, /* überhaupt ganze positive Zahlen sind, o<k<p, 


so ist Be: ) durch p teilbar. Denn es ist 
ip-+k 


en)ih (ni) (np—ip— 1) (np—ip—2)..: (ap—ip—4+ 1) (,,2,) .(ip+1) (ipr2)...(ptk); 
da die linke Seite den Faktor p hat, und rechts die % letzten Faktoren durch p nicht 

np 
ip+ 
ar 


5 


teilbar sind, so muss der erste Faktor ( .) es sein. 
7, 


Manktındesce lee lan 
Baar jener Bl... 
Sind die Bernoullischen Zahlen B, durch die Gleichung 


na o 
en x ST 22 
a in WE MINE 03 om 
definiert, so folgt 
N £ " lan Yan+2_1 A 
tang x = eotg x — 2cotg2 cr = a a, m Prim es 
n—ü Zee En4 ) 
also 6. 9n+tı® 
= 


Endlich möge noch eine leichte Probe der Gleichung (1) erwähnt werden. Wird 
das von n --1 linearen Kontinuen umschlossene reguläre Polyschem der n-fachen To- 
talität auf die konzentrische Sphäre projiziert, so zerfällt ihr Umschluss m n +-1 re- 


ur . 5 = > eo ß © Ir 
guläre Plagioscheme, und die Argumente eines solchen sind sämtlich gleich —. Wenn 
o 


10 


ea 


R 2 3 Inn 2 ; an 
also alle Grenzpolynome der Funktion /, miteinander Argumente —— bilden, so ist f, ER 
Setzt man diese Werte in die Gleichung (1), so erhält man 

Y2nH i_n [9 an 2n-—2i 
EA = ES (— 1): I } 1 2) Dansk. 
2n+2 En ’ \an-Ü) In —airt 
(— 1)" he ö 2 le 
Multipliziert man diese Formel mit ; 95 er m), 50 fällt sie zusammen mit derjenigen, 
welche man durch = en e Koeffizienten von x?” * in der Entwicklung der 
Gleichung 1 — cos? x = sin 22 X tang x erhält. 
S 25. Zerlegung der sphärischen Plagioscheme in Orthoscheme. 
D) LE x 
Sind die Grenzpolynome ?,, Ps, - - - P„ eines Plagioschems S so beschaffen, dass nur 


die n— 1 Argumente (12), (23), (#4), (45), ... ((n — 1)n) frei bleiben, alle (92 > ') 


übrigen aber rechte sind, so nennen wir S ein Orthoschem und betrachten sein Mass 
als Funktion der n — 1 freien Argumente, bei denen die obige Ordnung wesentlich ist, 
aber auch umgekehrt werden darf, ohne dass die op sich ändert. Es soll nun 
gezeigt werden, dass jedes n-sphärische Plagioschem in 1.2.3... (n — 1) Orthoscheme 
zerlegt werden kann, deren Argumente durch ee Relationen aus denen 
des Plagioschens herzuleiten sind. 

Wir wollen zuerst sehen, wie die orthogonalen Variabeln gewählt werden müssen, 
damit die Grenzpolynome eines Orthoschems in der einfachsten Gestalt erscheinen. Ich 
setze voraus, man habe die in $ 20 gegebene Darstellung (5) der Grenzpolynome vor 
Augen, wo das erste nur eine Variable und jedes folgende immer eine neue Variable 


mehr als das vorhergehende enthält. Weil nun (13)—=(14)=---—=(1n) = sein soll, so 


muss x, in den Polynomen 93, P4, - -- P. fehlen. Da p, nur =, und x, enthält, so folgt 


, 7T . . 
ferner aus (24) —= (25) =... =(2n)=,.dass in den Polymomen »,, P., »- . Du die 


Variable x, fehlen muss. Also ist nicht nur (13) = (14)=---—=(1n) — sondern 


auch (@ 24) = (di 25)— .—=(1,2n)= = . Wird diese Schlussweise fortgesetzt, so 


sieht man, dass das Polynom p,„ nur die Variabeln x„_, und x, enthält, und dass 


(123...n .ın, (m +1) (m-+3 ))= (123...m, (m—+ 1) (m-+4))— — (123...m, 23...m, (nm )n)<z 


ist; die Grenzpolynome erhalten folgende Form: 


| 

I 
| 
EL 

| 


PN TF 2, 

9% = — x, cos (12) + x, sin (12), 

pP; = — X, C0S (1, 2,3), x,.sin (MB 2 3), 

De — 93 C0S (1 2. 34) —- x, sin (1 2, 34), 

= — Inıcos(123... (n—2,(n—1)n) + &, sin (ERBE RR): 


Werden die allgemeinen Formeln (1) bis (4) des $ 20 auf die Grenzpolynome 


und Argumente des Perischems 5 (m) angewandt, so erhält man 


mE | m C0S = 1 Fer m+ı 7 m cos ( se 
a Ne Dauenncne Lem Dad N Trac Ameosilmm )), 
sin ( (m — 1) m) sin (m (m +1)) 
und für jedes von m — 1, m, m --1 verschiedene :, p (m, i) =», 


cos ( (m +1) (m +2) ) 
sin (m (m +1) ) 


== N os ((m—2 —1) = / 
cos (in, (m — 2) (m — ee me) Wm= » cos (m, (m-+1) (m-} 2)) = 
sin ((m —1) m) 


’ 


cos (m, (m—1) (m+1)) - cotg ((n—1)m) cotg (m (m +1) ) 


sonst (m, : G+1))=(6 @+1)) füri=1,,3,...m 3; m +23, m+3,...n—1; 
ausser diesen n — 2 Argumenten von S (m) sind alle übrigen rechte; also ist 
S(m,123...(m— 1) m-+-2) (m-+3)...n) ein (n— 1)-sphärisches Orthoschem. Der 
Beweis gilt für alle (n — 1)-sphärischen Perischeme und kann an jedem von diesen in 
Beziehung auf seine (n—2)-sphärischen Perischeme wiederholt werden, und so fort. 
Folglich sind alle Perischeme von jeder beliebigen Ordnung Orthoscheme, und bei jedem 
die Ziffern seiner Grenzpolynome in derselben Ordnung zu nehmen, wie sie im Ausdruck 
des ursprünglichen Orthoschems auf einander folgen. 

Denken wir uns nun das soeben betrachtete Orthoschem S(123...n) auf eine 
(n -+- 1)-sphäre gesetzt, und x, als neue Variable, so dürfen wir immerhin x, — 0 als 
Gleichung des Kontinuums, in dem jenes Orthoschem sich befindet, annehmen und alle 


vorigen Ausdrücke für die Grenzpolynome p,, Ps, . - - 2. beibehalten. Dann seien x, 
hy... %&, die Werte der Variabeln, welche die Gleichungen p, = 0, 9 = 0,...m 0, 
2-23 --- +24 = 1 genügen, oder die Werte des Ecks (0234...n). Durch dieses 
Eck und durch die Normale (x, = x, =: ::x,-- 0) oder den Pol jenes Orthoschems 
gehe ein lineares zweifaches Kontinuum (x :%:...:0,=&:2,:...:@,), welches 


das (n +- 1)-sphärische Kontinuum in einem Kreisbogen schneidet, der jenes Eck mit 
dem Pol verbindet. Oder kurz gesagt: man ziehe durch jenes Eck einen zum Orthoschem 
normalen Kreisbogen. Auf diesem nehme man eine beliebige Lösung A, so sind deren 
Werte 


2, sin h, 2, =, 00h 2 — Deo. I Eich, 


n n 


=: 7 = 


wo h ihre Höhe über dem n-sphärischen Orthoschem bezeichnet. Es ist zum voraus 
klar, dass alle durch diesen normalen Kreisbogen gelegten n-sphärischen Kontinuen zum 
Orthoschem S (0) orthogonal sind, mit andern Worten, dass in ihren Gleichungen die 
Variable x, fehlt. Durch jedes (n— 1)-sphärische Perischem des letzten und durch jene 
Lösung A ist ein n-sphärisches Kontinuum bestimmt; man versehe die Polynome jener 
mit Accenten und schreibe diejenigen dieser gleich, aber ohne Accent; dem Orthoschem 
selbst entspreche das Polynom p,. Man hat dann im ganzen n-+-1 ein Orthoschem 
umschliessende n-sphärische Kontinua, wie man sogleich an den Ausdrücken ihrer Po- 
Iynome sieht: 


= (x cos h) 0 + sin. 


Y sin? h + x? cos? 


} n 
Mora u — Pa — Pr Pa Pa Pr Pr» 


Es ist übrigens vermöge der Formel (6) in $ 20: = = sin (345...n, 12); daher 


2 sin (84...n,12) cos%+ 2 
Pu Tune u 


Yı— sin? @ An, 1 »)sin?n 


Wie wir jetzt gesehen haben, kann man jedes n-sphärische Orthoschem zur Kon- 
struktion eines (n-| 1)-sphärischen gebrauchen, indem man jenes auf eine (n--1)-Sphäre 
versetzt, auf dasselbe durch sein erstes Eck einen normalen Kreisbogen 7 zieht, diesen 
beliebig begrenzt und durch dessen Endlösung (Spitze) und jedes der n-Perischeme des 
gegebenen Orthoschems (Basis) ein »-sphärisches Kontinuum legt. Das erste derselben 
wird dann zur Basis schief, alle folgenden aber orthogonal sein; d.h. man hat ein 
(n +- 1)-sphärisches Orthoschem konstruiert, wovon das gegebene n-sphärische (die Basis) 
das erste Perischem ist, und die n übrigen dieselbe Ordnung befolgen wie die (n—1)- 
sphärischen Perischeme der Basis, durch welche sie gelegt sind. 

Nach dieser Vorbereitung ist es nun leicht, irgend ein n-sphärisches Plagioschem 
von einer beliebig gegebenen Lösung A aus in 1.2.3...n Orthoscheme zu zerlegen. 
Es mag beiläufig bemerkt werden, dass die Zerlegung eine wahre Summe geben wird, 
wenn alle ursprünglichen Argumente spitz sind, und die Lösung A innerhalb des 
Plagioschems liegt. Weil dieser Fall die geringste Schwierigkeit für die Vorstellung 
hat, werde ich mich im folgenden immer so ausdrücken, als ob ich nur diesen Fall 
vor Augen hätte; wir haben dann den Vorteil, dass alle in Betracht kommenden Winkel 
positiv und kleiner als — sind. Im allgemeinen aber kann die Zerlegung auch negative 
Örthoscheme enthalten. Ich zeige zuerst die Möglichkeit der Zerlegung, und dann gebe 
ich die trigonometrischen Relationen, durch welche die Argumente der Orthoscheme in 
Funktion derjenigen des gegebenen Plagioschems und der sphärischen Abstände semer 
Perischeme von der Lösung A bestimmt sind. 


er ae — 


Es seien zuerst ein trisphärisches Plagioschem (Kugeldreieck), begrenzt von den 
disphärischen Perischemen (Kreisbogen) 5 (Mi Ss (2), 5 (3), denen die Polynome p,, 
Ps, P, entsprechen, und die Lösung A gegeben. Man ziehe von A aus auf S (1) einen 
normalen Kreisbogen, A (1) sei sein Fusspunkt. Dieser teilt S (1) in zwei Stücke, von 
denen das eine nach dem monosphärischen Perischem S (12) geht, welches wir auch 
als Fusspunkt betrachten und durch A (12) bezeichnen können. Dieses von A (1) bis 
4 (12) reichende Stück können wir als disphärisches Orthoschem betrachten, obgleich 
auf der Disphäre die Unterscheidung zwischen Plagioschemen und Orthoschemen eigent- 
lich dahin fällt; und da A A (1) zu demselben normal ist und durch sein erstes Eck 
A (1) geht, so bekommen wir ein trisphärisches Orthoschem, welches A zur Spitze und 
das genannte disphärische Orthoschem, welches einen Teil von 8 (1) ausmacht, zur 
Basis hat. Von seinen disphärischen Perischemen ist das erste der genannte Teil von 
S$ (1), das zweite geht durch A und $ (12), das dritte durch A und A (1). Diese 
Ordnung entspricht der Permutation 123. Da es im ganzen 1.2.3 solche Permu- 
tationen giebt, und jeder ein trisphärisches Orthoschem entspricht, so ist die Zerlegung 
des trisphärischen Plagioschems in 1.2.3 Orthoscheme bewiesen. Obgleich es auf 
der Stelle klar ist, dass ein Kugeldreieck mit lauter spitzen Winkeln von einem inner- 
halb desselben befindlichen Punkte aus in sechs rechtwinklige Kugeldreiecke zerlegt 
werden kann, so habe ich doch absichtlich die Sache mit dieser scheinbar unnötigen 
Ausführlichkeit behandelt, um am leichtesten Beispiel den Gang der nun folgenden 
allgemeinen Konstruktion zum voraus anzudeuten und dadurch etwas klarer zu machen. 


Nehmen wir an, es sei bereits gezeigt, dass ein (n — 1)-sphärisches Plagioschem 
von einer innern Lösung aus in 1.2.3...(n — 1) Orthoscheme zerlegt werden kann, 
welche den Permutationen seiner Grenzpolynome entsprechen, und versuchen nun das 
Gleiche für ein »-sphärisches Plagioschem zu bewerkstelligen, dessen Grenzpolynome 
mit den Ziffern 1,2,3...n bezeichnet sein mögen. Von der gegebenen innern Lösung 
4A aus werde auf das (n — 1)-sphärische Perischem S (1) ein normaler Kreisbogen ge- 
zogen, und von seinem Fusspunkte A (1) aus dieses Perischem in 1.2.3... — 1) 
Orthoscheme zerlegt; eines von diesen entspreche der Permutation 234...n. Da A() 
sein erstes Eck ist, und durch dieses der Kreisbogen A A (1) normal zum genannten 
(n — 1)-sphärischen Orthoschem gezogen ist, so ist nach dem früher Gezeigten das letzte 
Basis und A Spitze eines n-sphärischen Orthoschems, welches der Permutation 123...n 
entspricht. Wird von A (1) auf S (12) ein normaler Kreisbogen mit dem Fusspunkt 


\ 


A (12), von diesem aus auf 8 (123) ein normaler Kreisbogen mit dem Fusspunkt A (123), 
u. 8. f. gezogen, so ist das erste Perischem dieses n-sphärischen Orthoschems jenes ortho- 
schematische Stück von $ (1), das zweite geht durch S (12) und A, das dritte durch 
S (123), A und 4 (1), das vierte durch 8 (1234), A, A (1) und A (12), und so fort, 


un 78 


das letzte endlich durch A, A (1), 4 (12), A (123),..., A (1234...(n— 2)). Es ist 
klar, dass z.B. der Fusspunkt A (123...m) sich nicht ändert, wie man auch die 
Ziffern 1, 2,3,... m permutiert. Denn, um denselben zu bestimmen, kann man auch 
durch das Centrum auf das (n— m)fache lineare Kontinuum (123...m) das normale 
mfache lineare Kontinuum legen; dieses wird mit dem nach A gehenden Radius ein (m--1)- 
sphärisches Kontinuum bestimmen, welches das (n— m)-sphärische Perischem S (1 Dax: m) 
im verlangten Fusspunkt A (123... m) triftt. Wird diese Konstruktion in Beziehung 
auf alle (n— 1)-sphärischen Orthoscheme, in welche 5 (1) zerfällt, wiederholt, so setzen 
sich die erhaltenen n-sphärischen Orthoscheme, welche den sämtlichen mit 1 anfangenden 
Permutationen der Ziffern 1, 2,3...n entsprechen. zu einem Plagioschem zusammen, 
welches A zur Spitze und das ganze Perischem $ (1) zur Basis hat. Nimmt man nun 
nach und nach S (2), 5 (3),...S (n) als Basen, so setzen endlich alle entsprechenden 
Plagioscheme um die gemeimschaftliche Spitze A herum sich zum ganzen ursprünglichen 
Plagioschem zusammen. Da nun die Möglichkeit der Zerlegung in Orthoscheme für das 
trisphärische Plagioschem bewiesen ist, so ist es nach dem vorigen auch für das tetra- 
sphärische, und so fort; sie ist also allgemein bewiesen. 


Fällt die Lösung A nicht in die Begrenzung des gegebenen n-sphärischen Plagio- 
schems, so ist aus dem Gesagten klar, dass 1.2.3...n die Zahl der Orthoscheme 
sein wird, aus denen es besteht. Fällt sie aber mit einem Eck, z.B. (2 34.. .n), ZU- 
sammen, so ist dieses die gemeinschaftliche Spitze von 1.2.3... (n— 1) Orthoschemen, 
deren Basen das gegenüberliegende Perischem 5 (1) zusammensetzen, und mit diesen 
ist die Zerlegung vollendet. Wenn man also eine Zerlegung des Plagioschems in die 
kleinstmögliche Zahl von Orthoschemen verlangt, so muss sie von einem Eck aus ge- 
macht werden. 


Wenn wir nun zweitens die trigonometrischen Relationen anzugeben haben, durch 
welche die Argumente eines durch die Zerlegung entstandenen Orthoschems, z. B. des- 
jenigen, welches der Permutation 123...» entspricht, in Funktion der Argumente des 
gegebenen Plagioschems bestimmt sind, so liegt es uns daran, den Gebrauch der ortho- 
gonalen Werte der Lösung A, von der aus die Zerlegung geschehen soll, zu vermeiden, 
um nicht durch die Willkürlichkeit des orthogonalen Systems belästigt zu sein, sondern 
nur die wesentliche Zahl von Daten der Aufgabe in Rechnung bringen zu können. Wir 
bestimmen daher die Lösung A durch die Werte der Grenzpolynome 9, Pas: - - Pa- 
Dann ist z. B. der Wert von p, der Abstand der Lösung A von dem durch p, = 0 
dargestellten linearen Kontinuum (1), oder, da A auf der n-Sphäre liegt, der Sinus des 
sphärischen Abstandes der Lösung A vom Perischem S (1). Man kann also auch sagen, 
die Lösung A sei durch die Längen der auf den Perischemen normalen Kreisbogen 
AA(), AA(2),...AA(n) bestimmt. Weil aber A auf der Sphäre liegen soll, so 


79 


muss zwischen den Werten von 9,, Ps, - - . ?, eine Relation bestehen, welche der Glei- 
chung &°—+ y’—+2?----- = 1 entspricht, wenn &,%,... die orthogonalen Variabeln 


bedeuten. Wir finden diese leicht auf folgendem Wege. 
Es seien y = cc +b,y-+.. 
Da der Ausdruck 


Mm = bYy--..., ete. die Polynome. 


en. RR UNNZ 
| TMOTREG, binnen 
| ne 05.16, Os  orle 
| - Je: 

| Ad, b, En | A, b, Ey 


verschwinden muss, weil jede Hälfte dieses Schemas n — 1 Horizontalzeilen und nur 
n Vertikalzeilen hat, so bekommt man, indem man ihn in eine Determinante von Produkt- 
summen verwandelt und 2° -+- y?-1-»-- = 1 voraussetzt, 


Mies mie: Ps Suse Ba VEN) Beer ai) 
In il; — cos (12)... — cos (1n) | 
| 9. cos (12). 1 .„ eos (an) 
| Pa. — cos (ln). — Tosl2 n). 1 | 


als Gleichung des n-sphärischen Kontinuums. 


Formeln zur Berechnung der Orthoscheme, in welche ein gegebenes 
n-sphärisches Plagioschem zerfällt. 


Es seien «a (1), a (2), ..... a (n) die Werte der Grenzpolynome p (1), p (2)... p (rn), 
welche für die Lösung A stattfinden, von der aus die Zerlegung geschehen soll, mit 


andern Worten, die Sinusse ihrer sphärischen Abstände von den Perischemen; sie müssen 
der Relation (1) genügen. Es sei ferner 


a(l)eos Im) +a (m) 
a (1.m) = — sin (1 m) : 


Me a (1,2) cos (1, 2m) + (1, m) 
‚ (12,m) = 


sin (dr 2 m) 


sin (12,3 m) 


79.3) cos nz J, < 
alas, m) a (12,3) co: (E} 3m) a(ı2 m) (2) 


Fasern — al12...m—2),n—1) eos (12... 2), (n—1)n) + a(12...(n—2),n) 
sin (12... — 23), (n—1)n) 


- 80 — 


(A) 1,3) a (12, 3) 
u tang P,, MIR) INNE = tang ß,, si TR 
PRGEENE ala, 3) a (123,4) 
> 
a(123 .n— 3), n—1)_ e en) 
ER — —— = tang P,-:; 
ECCSEmBIE 3, n) 5 
so sind cos .ß,, Sin PB, COS ß,, sin Br COS Bs,..., SUP, 5 CB, ı - . Ka) 
die Kosinusse der Argumente desjenigen Orthoschems, welches der Permutation 123...n 
entspricht. 
An diesen Satz reihe ich noch folgende Behauptungen. 
Der Wert von a (123. ..;, m) ändert sich nicht, wie man auch die überstrichenen 
Ziffern 1,2,3,...2 permutiert. Die Gesamtzahl dieser Grössen ist demnach 
naar, USE als Day art: ehe BD) 


Die Relation (1) verwandelt sich in 


a(1)®+ 01,2)? +a 13,8) + a 128, +. - Fa RBedan:=1. (6) 

Wird im Systeme (2) der Buchstabe « durch p ersetzt, d. h., ‚ denkt man sich die 

Werte der Variabeln nicht gegeben, sondern frei, so ist p (12...i,m) das Polynom 

des durch $ (123...im) und orthogonal zu $ (1)....S @), ...S (i) gelegten 

Kontinuums. . . an Eee 
Für den Tupankt Mt (a2 ...) gelten die Gleichungen: 


Pr m=I...m =, 


——— [7 (12: 23...i,m) 
308 m) — == = 
Van emEen inte 


(m=i+1li+23,i+3...n) 


». & 


wo der Radikand im Nenner durch eine Permutation der Ziffern 1,2,3,... nicht 
geändert wird. 
Beweis. Das durch (ln) und die Lösung A gelegte lineare Kontinnum hat 
die Gleichung 
an) en) 0 1 ee) 
Die Summe der Quadrate der Koeffizienten der Variabeln auf der linken Seite ist 
a (1)? —+ 2a (1) a (m) cos (1 m) + a (m)? = (a (1) cos (1 m) +- a (m) )>+-a(1)’ sin? (Im), 


also nach (2) gleich 
% 


(a (1)2 2a, n)?) sin? (1 ın). 


— is 


Das Polynom des betrachteten Kontinuums ist demnach 


sin (m) Yalı)?-+a (1, m)? 


Wenn nun das Orthoschem, dessen Argumente wir suchen, der Permutation 123...n 
entspricht, so ist p (1) = q, sein erstes Grenzpolynom, und 


Ar ON De) 
sin (12) Ya (1)?+a (1,2)? 


sein zweites. Ist ß, der Winkel der Polynome q,, 9, so hat man 


a 1) eos (12) Ha (2) 42 ONE 46.46 HL, (11) 


sin (12) Ya (1)? + a (1,2)? Ya? +a (1,2)? 


cos f, = 


woraus sogleich 


folgt. 
Multiplizieren wir die Gleichung (9) mit einem beliebigen der Ziffer ın entsprechen- 
den Faktor A, und summieren dann für m = 2,3,...n, so stellt die erhaltene Gleichung 
2) ’ {>} 


"m 


ein durch A gehendes Kontinuum dar. Soll dieses noch zu (1) orthogonal sein, so muss 
24, (a (1) cos (1 m) + a (m)) = 0 


sein. Demnach ist für den von A aus normal auf das Grenzkontinuum (1) gezogenen 
Kreisbogen 


al) m)—am)p(l) _ 5) 
TONER ee el) 


während m = 2, 3,...n wird. Durch die hieraus entspringenden n — 2 Gleichungen 
ist das normale disphärische Kontinuum gerade bestimmt. Für den Fusspunkt kommt 
noch die Bedingung p (1) = 0 hinzu. Mit Rücksicht auf (2) haben wir also für den 
Fusspunkt 4A (1): 

uoh 


— —— —geonsia UN 2 aa): 
a (1, m) sin (1 m) \ 5 ) 


Nach der in (7) vorausgesetzten Erweiterung des Systems (2) ist aber 


_ p(l) cos (lm) + pP (m) e 
sin (1 m) 


p (1, m) 


Wie wir weiter unten noch erläutern werden, und wie schon durch die Bezeichnung an- 
gedeutet werden soll, hat dieses Polynom für das (n — 1)-sphärische Perischem $ (1) 
11 


Pr Ro 


dieselbe Bedeutung, wie p (m) für das ursprüngliche »-sphärische Plagioschem. — Im 
vorliegenden Falle haben wir also, wegen p (1) = 0, für den Fusspunkt A (1) 


252) = BAUT Rn See, 
a(1,2) a (1,3) a(1,n) 


Wir erfahren hieraus nur die Verhältnisse der Werte der Polynome p (1, ın). Um ihre 
wirklichen Werte zu bekommen, schreiben wir in der Gleichung (1) überall « statt p, 
was erlaubt sein muss, weil die Lösung 4 auf der Polysphäre liegt. Die oberste Ho- 
rizontalzeile beziffern wir mit 0, die folgenden mit 1,2,...». Multiplizieren wir nun 
die Horizontalzeile |1] mit cos (1 m) und addieren die Produkte zur Horizontalzeile |], 
während [1] unverändert bleibt, so ändert sich der Wert der Determinante bekanntlich 
nicht, und die zwei ersten Glieder der Zeile [m] werden: 


a (m) + a (1) cos (1 m) = a (1, m) sin (1 m), 0 
Das Glied vom Range m wird sin? (1 m), und dasjenige vom Range i wird 
— cos (i m) — cos (11) cos (lm) = — sin (1 ;) sin (l m) cos (1, im); 


diese Horizontalzeile ist also durch sin (1 m) teilbar. Da rechts die Null steht, so kann 
man diesen Faktor der Determinante weglassen. Man führe dieses durch für m — 2, 
3,...n. Von der Zeile [0] subtrahiere man die mit « (1) multiplizierte Zeile [1], so 
werden ihre Glieder 


1—a(1),0,a (1,2) sin (12), a (1,3) sin (18),..., a (1,n) sin (1). 


Bezeichnen 4, H,,... H, die ursprünglichen Horizontalzeilen, so können wir die 
neuen durch 


I, a, Ba. (Be, con) nl 


ausdrücken. Man wird nun bemerken, dass die Vertikalzeile |1] nur im Range [1] das 
Glied 1, sonst lauter Nullen hat; folglich kann man auch in der Horizontalzeile [1] alle 
Glieder ausser dem erwähnten durch Nullen ersetzen. Jetzt ist aber die Vertikalzeile 
[ö] durch sin (1) teilbar geworden. Man lasse diesen Faktor für = 2,3,...n weg, 
so hat man endlich die Gleichung 


1—-a(l). ale) ® EB) FR, a (1,n) NDR (14) 
aa) E 1 .- —eos (1,28) ----— cos(1, 2%) 


a (1,3) -— cos (1,32). 1 -+..—cos(1,3n) | 
| 
| 


a (1,n) -— cos(1,n2)- — cos(1,n3)-... 1 


33 — 


Da diese Gleichung für das (n — 1)-sphärische Kontinuum (1) gerade dieselbe Bedeutung 
hat, wie die Gleichung (2) für das »-sphärische, so folgt, dass für A (1) die Grenz- 


polynome von (1) folgende Werte bekommen: 


ul 1, m) 


p (mi - 
Mal) 


ann ee er 

Was am gegebenen n-sphärischen Plagioschem in Beziehung auf sein Grenz- 
kontinuum (1) und die Lösung A gethan worden ist, soll nun am (n — 1)-sphärischen 
Plagioschem (1) in Beziehung auf seine Basis (12) und die Lösung A (1) wiederholt 
werden. 

Man hätte also eigentlich die Variabeln orthogonal so zu transformieren, dass 
das Polynom p (1) einer einzigen Variabeln gleich würde, und dann in jedem der übrigen 
Polynome diese Variable wegzulassen und seine zurückbleibenden Koeffizienten pro- 
portional so zu verändern, dass wiederum die Summe ihrer Quadrate — 1 wird. Nun 
ist z. B. im Polynom p (m) der Koeffizient der zu unterdrückenden Variabeln — cos (1m); 
die zurückbleibenden Koeffizienten sind also mit sin (1m) zu dividieren; das entsprechende 


Grenzpolynom von (1) wird demnach 


2» (m) ee em, 
und man braucht sich in die Transformation der Variabeln nicht einzulassen. — Mit 
andern Worten: Durch die Unterdrückung der mit p (1) koineidierenden Variabeln geht 
das Kontinuum (m) in ein durch (1m) gelegtes und zu (1) orthogonales über. Die 
erste Bedingung wird durch die Form p (m) 4 4p (1) erfüllt, und der Faktor A ist durch 
die zweite Bedingung, p (m) +Ap(1) Lp (1) oder cos (1 m) — A —= 0 bestimmt. Da 
nun die Summe der Quadrate der Koeffizienten des Polynoms p (m) + 4 p (1) gleich ist 
14-4? — 2%4cos (lm) — sin’ (1 m), so haben wir auch so wieder die obige Formel 
für p (1, m) bewiesen. Sie ist übrigens als spezieller Fall in den allgemeinen Formeln 
(1) und (2) des $ 20 enthalten. 

Für das folgende brauchen wir einen Ausdruck für den Winkel der Polynome 


p() und p (1, m). Wir finden seinen Kosinus 


\ 


cos (im) + cos (1 i) eos (1 m) 
sin (lm) 


— sin (1) cos (1,im) | (16) 


und im Besonderen fürö—= m, — — sin (1m). | 


Nun haben wir ähnlich wie in (10) für das dritte Grenzpolynom des betrachteten 
Örthoschems den Ausdruck 


I: a 


r a(1,2)2 (3) — a1. 3) (1, 2) ugs 
NT 0 — —.e ° a 2 > , > > (an) 
sin (1,23) Ya(1,2)°+ a (13,3)° 
Der Zähler ist eine homogene lineare Funktion von p (1), p (2), p (3), also geht das 
Kontinuum durch (123); der Zähler verschwindet für A und wegen (15) auch für A (1), 
das Kontinuum geht also durch beide Lösungen. 
Wir haben also die negative Summe der Produkte der gleichnamigen Koeffizienten 


der Polynome p (2) und «a (1,2) p (1,3) — a (1,3)p (1,2) zu berechnen; nach (16) ist sie 
sin (12) | a (1,2) eos (1,23) + a (1,3) N — a (12,3) sin (12) sin (1,23); 


ferner ist p (1) La (1,2) p (1,3) — a (1,3) p (1,2), und endlich mit Rücksicht auf den 
in (10) gegebenen Wert von gs: 


we = AN) —— =sin ß, cos ß,, 


VYalı)?+a(2)? Ya(ı,2)°+a(13,3)* 


cos / (9 45) 


wenn man die Abkürzungen (3) gebraucht. 
Bezeichnen wir mit p (12, m) das Polynom eines durch (12) und orthogonal zu 


(1) und (2) gelegten Kontinuums. so finden wir durch die oben gebrauchten Schlüsse 


» (12,m) — PLm) + pl.) cos (119m), Yergl. (7) 


sin (1,2 m) 


Es erhellt schon aus der Definition, dass dieser Ausdruck durch Vertauschung der Zeiger 
1, 2 nicht geändert wird; man kann dies aber auch direkt verifizieren; denn man 
findet leicht 


p (13, m) mn (m) sin (12) +» (A) sin (2 m) cos (2.1m)+P (2) sin (1 m) cos (1,2 m) e 
sin (12) . sin (1 m) sin (1,2) 
wo hinsichtlich des Nenners zu bemerken ist, dass sin (1 m) sin (1,2 m) — sin (2 ın) 
sin (2,1). Wenn aber p (12,m) = p (21, m), so folgt von selbst, dass auch a (12, m) 
— a (21,m). Hieraus kann leicht die Richtigkeit der Behauptung (5) gefolgert werden. 
Wie aus der Gleichung (1) die Gleichung (14) sich ergab, so kann aus dieser 
wiederum die Gleichung 


ey 1)’ —a (1,2)2- PER ln) =0 . (18) 


| 
3) - 1 | 


a (1®, n) == eosil2,n8).. 2... Ma | 


hergeleitet werden, und es folgt, dass der Ausdruck «a (1)? + «a (1,2)? sich nicht ändert, 
wenn man auch die Ziffern 1 und 2 vertauscht. Setzt man dies weiter fort, so erhält 
man durch wiederholte Anwendung derselben Schlüsse, durch welche (13) und (15) ge- 
funden wurden, für den Fusspunkt A (123...) die Gleichungen (8). Da zuletzt das 
Polynom p (123...(n—1), n) nur noch eine Variable enthält, und diese der Gleichung*) 
der Monosphäre, so ist sein Wert + 1; daraus folgt die Gleichung (6). Das Gleiche 
folgt auch aus der fortgesetzten Reduktion der Gleichung (18). 
Es ist leicht, die Gleichung (17) zu verallgemeinern; man hat 


4 a(12...(m—2), m — Up (12... m— 2) ‚m)— a(l2. 
In -=157 - 


(m — 2), m — 1) 


sin (12... (m—2), (m — 1) m) Valı2... m—2), = m: 


Aus dieser allgemeinen Formel für ein Grenzpolynom des Orthoschems folgt dann 


a(12...(m—2), m—1) Wear, m+1) 
(m), \,m)® ron (m— Tim)? 2 \ a(12.. .m, M- u 


cos/ (I, Im) = ——— 
PER Yatız.. eamen! "ram... 


— sin P„_, cos ß„. Vergl. (4). 
Wenn die Bedingung für die Quadratsumme der Koeffizienten nicht erfüllt zu 
sein braucht, so kann man das mte Grenzkontinuum des Orthoschems auch durch die 
Gleichung 


| 1-— cos (12) - — eos (13) - --- — cos (1 (m—2)) -a (1) -p(i) | 
| —cos(21)- 1 - — cos (23)- --- — cos (2 (m—2)) -a (2) -p (2) | 
| FERN 1) - — cos 32) - 1----— cos (8 (m-2))-«a @) -p@) | 
R; cos kai). — cos (m2) - — cos (m3) » =» - — cos (m (m—2)) - a (m) - p (m) | 


darstellen. Es erhellt aus dieser Form der Gleichung sogleich, dass das Kontinuum 


durch (123...m) und A geht und zu allen durch (12... (m—2)) gelegten Kontinuen 
orthogonal IR und dass eine Permutation der Zeiger 1, 2,3,...m — 2 keinen Ein- 
fluss hat. 


S 26. Reduktion der perissosphärischen. Orthoscheme auf artiosphärische. 
Ss 1 ] L Ji 


Auf den ersten Blick scheint die Aufgabe dieses Paragraphen schon mit derjenigen des 
$ 24, welche sich auf Plagioscheme überhaupt bezog, zugleich gelöst zu sein, indem man nichts 
weiter zu thun brauche, als die dortige Gleichung (1) dem besondern Fall eines Ortho- 
schems anzupassen. Dieses Geschäft kann für niedrige Dimensionszahlen allerdings 


*) So im Manuseript. ! 


en 1 


ausgeführt werden. Da aber der m $ 23 betrachtete Fall, wo eine plagioschematische 
Funktion in ein Produkt zweier anderer zerfällt, sehr oft mit perissosphärischen Faktoren 
eintritt, und diese dann wiederum durch lineare Polynome artiosphärischer Funktionen 
dargestellt werden müssen, so mag es schwer halten, auf diesem Wege zu einem all- 
gemeinen Gesetz zu gelangen. Hingegen wird die Lösung der speziellen Aufgabe dieses 
Paragraphen ganz leicht, wenn man sie unmittelbar angreift, ohne von der Gleichung 
(1) in $ 24 auszugehen. 


Zur Vorbereitung auf das folgende diene diese auf $ 23 gestützte Bemerkung. 
Bedeutet / (123 4...n) eine orthoschematische Funktion, wo die Ziffern den Grenz- 
polynomen entsprechen, und die Ordnung derselben die bekannte Bedeutung -hat, also 
bloss umgekehrt, aber sonst nicht durch Permutation verändert werden darf, und man 
lässt einige Polynome weg, sodass die Folge der übrigen durch Lücken unterbrochen 
wird, so sind alle zwischen zwei Lücken oder zwischen einer Lücke und dem Anfang 
oder Ende der ursprünglichen Reihe enthaltenen Polynome zu jedem der übrigen ortho- 
gonal; daher findet die in $ 23 gelehrte Zerfällung einer Funktion in Faktoren ihre 
Anwendung auf jede niedrigere orthoschematische Funktion, welche einer durch Lücken 
unterbrochenen Kombination der gegebenen Polynome entspricht. Ist z Be m—i>1, 


m<n, so ist 


28 ran). nm =7 023... Arnd m): 


Im folgenden Satze können nur artiosphärische Faktoren vorkommen. 


Satz. Wenn /,+, die einem perissosphärischen Orthoschem ent- 
sprechende Funktion bezeichnet, und man lässt in der Reihe seiner 2n —- 1 
Grenzpolynome deren 25-1 auf alle möglichen Arten so weg, dass jede 
der ununterbrochenen Reihen, in welche die ursprüngliche Reihe durch die 
entstandenen Lücken getrennt wird, eine gerade Anzahl von Polynomen 
enthält; bezeichnet man ferner die Summe aller Funktionen, welche den 
erwähnten Kombinationen der Grenzpolynome entsprechen, mit 2 %,„_s, WO 
die einzelnen Glieder teils einzelne Funktionen, teils Produkte von solchen 
sind, je nachdem in der betreffenden Kombination alle Polynome eine fort- 
laufende oder durch Lücken unterbrochene Reihe bilden, — so ist 


» ul (— 1)! Yi = 
end le) SAH Bach eur, Hard 


Fa23)=f@3) + FAN) —1, 
/12345)=f(2345) + f(1Df(45) + f(1234) 
—(FAHHFEHAFCEH HAN +2 
FA23456 )=f@3456 NL-FANMFA5EN -HfL23HFlET)FF(L23456) 
— Ira EEN+-FEHAFECEN +FBLIEH)SAHFLAIFET)+f(23)f(5 6) 
FeBA5) TFA FEN A FÜANFEHAFFAMN)FA5-FfÜ23% 
+2 { SECN+FEH)S+FAH)HFBHAHFAI) FA) } — 5. 


Beweis. Es frägt sich zuerst, wie oft man aus der Reihe 1,2,3,4,...2n+1) 
je zwei 2i-1-1 Ziffern weglassen kann, sodass jede der zurückbleibenden fortlaufenden Reihen 
eine gerade Anzahl von Ziffern enthält. Man ordne die zurückgebliebenen Ziffern paar- 
weise, so hat man n—i Paare, und denke sich jedes Paar durch ein einziges Symbol 
ersetzt. Zählt man die weggelassenen Ziffern einzeln ebenfalls als Symbole, so sind 
deren im ganzen n+i--1, und man hat eine gewöhnliche Kombination (2i—-1)ter 
7 ; 5 x n+i-+1 D 
Klasse aus n--2--1 Elementen. Die Summe I f%,,_.; zählt also ( RU ) Glieder. 

Sind nun alle 22-1 Polynome unter sich orthogonal, so hat jede Funktion f 
den Wert 1; und, wenn die Gleichung (1) richtig ist, so muss 


a OR U ae ale 


sein. Bedeutet Ah, die Summe rechts, so ist 


nn SE Arsch) 6) 


—0 S 


- al 


Alsoiist , =, 3 = in =---—=h, =%,; und, da h,=1 ist, so, ist; die Gleichung: (2) 
allgemein gültig. Daraus ist zu schliessen, dass, wenn die Form der Gleichung (1) die 
richtige ist, die Koeffizienten ebenfalls richtig gesetzt sind. 

Um die Form zu prüfen, differentiieren wir die Gleichung (1) nach irgend einem 
Argument der Funktion f,,., und erhalten offenbar eine Gleichung von derselben Form, 
mit dem einzigen Unterschiede, dass die zwei das variierte Argument einschliessenden 
Polynome herausgefallen, und durch die Unterdrückung des zu beiden normalen zwei- 
fachen Kontinuums die zwei benachbarten Polynome verändert sind. Wenn also der 
zu beweisende Satz für die (2n — 1)-Sphäre bereits zugegeben ist, so kann man durch 


— 88 


blosse Integration auf die Richtigkeit der Gleichung (1) schliessen, indem man zugleich 
die Integrationskonstante nach (2) bestimmt. Da nun der Satz (1) für die Trisphäre 
richtig ist, so ist hiermit seine allgemeine Geltung bewiesen. 


$ 27. Perioden artiosphärischer Orthoscheme. 


Wenn ein Plagioschem $ (123...) verschwindet, so sind seine Grenzpolynome 
nicht alle unter sich unabhängig; die Determinante ihrer Koeffizienten wird also ver- 
schwinden, oder, wenn man will, das Quadrat derselben, die Determinante der negativen 
Kosinus der Argumente, welche wir in $ 20 mit 4 (123...n) bezeichnet haben. Nach 
demselben Paragraphen ist z. B. 

4(123&...n) 4 (3453. 
2034...n) I( Een 


sin? (345...n,12) = 


Wenn also keine der Determinanten (» — 1)-ten Grades verschwindet, so müssen beim 
Verschwinden des Plagioschems $ (123...n) auch die Sinusse aller seiner Seiten ver- 
schwinden; aber diese selbst können dann immer noch 0 oder -r sein. Man darf aber 
im allgemeinen nicht umgekehrt von 4 (123...n)= 0 aus auf das Verschwinden des 
Plagioschems schliessen. Wenn man jedoch sicher weiss, dass alle Seiten verschwinden, 
so überzeugt uns schon die unmittelbare, ich möchte sagen, geometrische Anschauung, 
dass das Plagioschem verschwindet. Setzen wir jetzt den Fall, dass alle Argumente von 
S(123...n) im ersten Quadranten liegen, so folgt aus 


EEE cos (23) + cos(12)cos(13) 
cos (1,23) sin - 2) sin (13) 1 ells 
dass das nämliche auch für alle Argumente der (n— 1)-sphärischen Perischeme gilt, 
denn cos (1,23) kann in diesem Falle nur positiv sein; daraus folgt aber weiter, dass 
auch alle (n — 2)-sphärischen Argumente spitz sind, und so fort, zuletzt, dass die Seiten 
alle im ersten Quadranten liegen. Ist nun auch noch 9 (123...n)—0, während keine 
der ähnlichen Determinanten (rn — 1)-ten Grades verschwindet, so kann hieraus nur auf 
das Verschwinden sämtlicher Seiten, also auch des Plagioschems selbst, geschlossen 
werden. Erwägt man die Sache noch genauer, so findet man, dass auch keine Deter- 
minante (n — 1)-ten Grades verschwinden kann. Denn, wäre z.B. 4 (234...) 0, 
während keine Determinante (n — 2)-ten Grades verschwindet, so müssten nach der Formel 


A(2345...n) 


; I(& 
Sin? (ea 20645...n) 28% 


DR) 
De 


alle aus den Ziffern 2,3, 4,...n gebildeten trisphärischen Stücke, wie (45...n,23) ver- 
schwinden, und, da alsdann z. B. in der Gleichung 


= 


an) @5...m. 12) + cos (a5.. m 13) cos (45...n, 23) 
sin (#5...n, 13) sin (45...n, 23) 


rechts der Nenner des Bruchs verschwände, so müsste auch der Zähler verschwinden, 
was nicht sein kann, da derselbe die Summe zweier positiver Grössen ist. Der gleiche 
Schluss ist auf die Annahme anwendbar, dass eine Determinante (n — 2)-ten Grades, 
aber keine (n — 3)-ten Grades verschwinde, und so fort. Eine Determinante zweiten 
Grades endlich, wie 4 (12) kann nicht verschwinden, weil sonst ein ursprüngliches 
Argument (12) gleich Null sein müsste. Demnach ist folgender Schluss rückwärts sicher: 

Wenn alle Argumente des Plagioschems $S (123...n) positiv und spitz 
sind, und es verschwindet die Determinante 4 (123...n) der negativen Ko- 
sinus der Argumente, so muss auch das Plagioschem verschwinden. 

Für ein Orthoschem S (123...n) ist 


ne I 222 (87) a a BE ! 0 
| —ecos(21)- 1 - —c0s(23)- 0 ee - 0 
| 0 -— cos (32)- 1 -—cos(34)-... 0 - 0 
| . . » . . 5 . . ö . . . . ee . . . > B . . es 
| ) . 0 . 0 . 0 . 1 .— cos ((n — 1)n) 
| 0 . 0 . 0 . 0 .—cos (n(n—1))- 1 | 


= 4(234...n)— cos?(12) 4 (84...n)= 4(123...(n--1)) — cos? ((n—1)n) 4(123...(n—2)). 
Gebrauchen wir einfache Zeichen für die Argumente, indem wir (12)=«, (23) = ß, 
84)=7,...,(n —-1D)n)=© und 4(123...n)= 4, (e, ß,... ©) setzen, wo der untere 
Zeiger bei 4 den Grad der Determinante bedeutet, so haben wir zur successiven Be- 
rechnung derselben folgende Reihe von Gleichungen: 


4,— 1,4, — 14,0) A) — 4,eos®e = sin” a, A, (le, ß)= 4A, = 4, cos? 
—= sin’ «— cos?ß, A, (a, ß,y)= I; — I, c0s? y = sin?e sin? y — cos? ß, 
A oe En) ern) - Cole ee) 
Die Realität des Orthoschems S (e, ß,...», ©) erfordert, dass keine dieser Deter- 
minanten negativ,sei. Die Reihe ihrer Werte nimmt also fortwährend ab, und daher 
ist es nicht möglich, dass eine ausser der letzten verschwinde. Man sieht leicht, dass 
die Determinanten auch durch Kettenbrüche definiert werden können; denn es ist z. B. 


I(a.P,y,d,...n, ©) cos? « 
4A(B,y,0,...n, 9) m er cos? ß 
cos?y 
1.— 1 cos?) 
I = 
cos?n 
"1 — cos? 


ae 
Aus (1) folgt auch leicht 
4(a,ß,...8,67,0)+c08?74(a,ß,...e)=sin’O4A(a, ß,...&,L). 
Wenn also A(«&,ß,...e&,&, 2, ©)= 0 ist, so hat man 


ANEHBaENE; 7) : 5 AUSTBREE) 
ß "7, sin’O=cos’n de 


DENE male ae Se Ta... 


Zwei Sätze über die mit 4 bezeichneten Funktionen mögen das folgende vor- 
bereiten. 


1. Es ist 
| 4(B,9,...9 9): 4(a,B,Y,...7,0) | =cos®e | 4(9,...9, ©)-4(P,Y,...7, ©) I 
|  Albıp...n): AlaBı 909) Ay Dee 


Um dieses zu beweisen, braucht man nur im Schema links die erste Vertikalzeile von 
der zweiten abzuziehen und dann beide Zeilen zu vertauschen, indem man zugleich das 
Vorzeichen der Determinante verändert. Wenn man aber die Determinante rechts wieder 
so behandelt und dieses Verfahren fortsetzt, so gelangt man zuletzt zur Derminante 


4.4; 


Ah 52h, KO) | —1—-sin?0 = 008579; 

also ist 

4(0,B,...97)4(B....n,9)— 48,8, .- .9,9)4 (Bir ».9) — cos: cos" P cos" y...e0s29, (2) 
2. Multipliziert man die Gleichungen 


Alan DAB &)— 608°. 4,0, ..8), 


A(#,9,0,3..&7) = 1 W;0er...6,m) — 6038,20, en), 
A (y.0r.. 59,9) — 44,0, ..26:7) 6032 @4(7,0,.8), 
4 (9,....69,9, 0) — 4\6,. .. 59,9) — 605.04(0,...6) 


resp. mit 4(d,...5,7), —4(d,...d), 4(d,...8), — I(9,0,...Ld), 
addiert sie und bezeichnet die Summe links mit @, so hat man 
= 408...) 14@,9,6...9+008?B4(8,...)} 
— 4(49....d 14(&.--&99)+ 008?04(8,...d)| 

= 40,...6n) 29,9--,6) 4.9...) 20, ...5n)—0. 


Man hat also die identische Gleichung 


en 


4,69% 9)... 5)... 9, Ally‘. 
= [4848.60 408,...5%9)}2(%...0.. ee re) 


Um nun zum eigentlichen Gegenstand dieses Paragraphen überzugehen, setzen 
wir den Fall, wo in der Gleichung (1) des vorigen Paragraphen die perissosphärische 
Funktion links verschwindet. Es seien «,ß,y,6,...7,4,u ihre 2n Argumente, so giebt 
die erwähnte Gleichung die Summe der zwei artiosphärischen Orthoscheme 


TECH Oh SEE Oel) 


in ganzer Funktion artiosphärischer Orthoscheme niedrigerer Ordnung. Man kann aber 
eine in sich zurückkehrende Reihe solcher Gleichungen auf folgendem Wege erhalten. 

Die 2n— 1 Argumente «, ß,y,d,...%,4 seien frei im ersten Quadranten ge- 
geben, aber so, dass ihre Determinante positiv wird; dann seien drei fernere Argumente 
u,»,& durch die Gleichungen 


A A, let, Eee rei) 


bestimmt. Da nur die Quadrate der Kosinusse hier vorkommen, so steht es uns frei, 


auch «,», & im ersten Quadranten zu nehmen. Da 4(y,d,...4, u) positiv ist, so folgt 
nach (3) aus den drei Gleichungen (4) 


ER OENRENE OT ÜR Ahrens ehe 20) 
Ebenso folgt aus den zwei letzten Gleichungen (4) und aus (5) die Gleichung 
(Er oo 0): 


und so fort; überhaupt verschwindet jede Determinante, welche sich auf 2n successive 
Argumente der durch fortwährende Wiederholung der (2n-+- 2)-gliedrigen Periode 
@,B, 7, 0,...%, 4, u, », & bezieht. Daher verschwindet auch jedes perissosphärische 
Orthoschem, welches einer solchen Determinante entspricht. Wendet man immer die 
Gleichung (1) des $ 26 an, so sieht man eine Periode der (2 n +- 2)-artiosphärischen 
BEBgScHeme ED, DI a (10 ONE kennen %) 
entstehen, wo immer die Summe von zwei unmittelbar auf einander folgenden Gliedern 
als ganze Funktion niedrigerer artiosphärischer Orthoscheme gegeben ist. Man kann 
also auch entweder die Summe oder den Unterschied von irgend zwei getrennten 
Gliedern der Periode auf ähnliche Weise ausdrücken, je nachdem eine gerade oder un- 
gerade Zahl von Gliedern dazwischen liest. Wenn im ersten Falle beide Glieder ein- 
ander gleich sind, so ist jedes derselben durch niedrigere Orthoscheme ausgedrückt, ein 
Umstand, den wir im folgenden Paragraphen betrachten werden. 


Wir wollen die drei letzten Argumente u, v, & der Periode durch die unabhängigen 
@,ß,y,...%, 4 ausdrücken. Man hat auf der Stelle 


ANEHEEZAN) 
AN, BERE, 


cos? u — on re 


wofür man auch die entsprechenden Kettenbrüche setzen kann. Um v zu finden, müssen 
wir aus der Gleichung 


5 A) 
08° 9 — —O— 
nr BEN 
u eliminieren. Wegen 4 (a, ß, 9, ... 4, u) = 0 giebt uns die Relation (2) 
A(0,ß,...mA) A(ß,y9,...A,u) = cos? a cos? ß cos’y...cos”A cos’ u. 
Mittelst (6) bekommen wir also 
2 cos? « cos? ß cos? Y...cos?A AH B ERZER) 
coo’v = ———  —— —— + - ’ 
EN) AN OHBIREA RZ) 
oder endlich 
0 cos? @ cos? ß cos? Y...cos? A 
cos“ » —= : ’ 
I(a, PB, 9... IB, 7 2, 4) | (7) 
cos? ı IB yn...2A) IB. ..2) 
TEEN BIS ZEN) 


Zum Schlusse wollen wir den Grund der Periodicität der Argumente in den 
Polynomen selbst aufsuchen. Es sei n die gerade Dimensionszahl eines Orthoschems 
S(123...n) und ein (n-+-l)-tes Polynom durch die Bedingung 4 (12...n (n+1))=0 
bestimmt, sodass das perissosphärische Orthoschem 8 (123...n(n-+1)) verschwindet. 
Wenn man nun auch n-+-1 orthogonale Variabeln gebraucht, so kann man doch ihr System 
immer so einrichten, dass die n ersten Polynome nur die n Variabeln &,,&3, ... %, 
enthalten. Wegen des Verschwindens der Determinante muss aber das Polynom 
P„., von den vorigen abhängen und kann daher x,,, auch nicht enthalten. Aus 
4(23...n (n+1) (n+-2)) = 0 wird das Gleiche in Beziehung auf p„+s geschlossen, 
und so fort. Da also die Variable z,;, nirgends vorkommt, so hat die Betrachtung 
sich auf die n-Sphäre zu beschränken. — Wie im Eingang zu $ 25 gezeigt ward, kann 
man bei der Darstellung eines Orthoschems die Variabeln immer so wählen, dass das 
erste Grenzpolynom nur eine, jedes folgende nur zwei Variabeln und zwar immer eine 
neue enthält. Wendet man dieses auf das verschwindende Orthoschem S(123...n(n-+-1)) 
an, so erhalten die Polynome p,,Ps,...p,„ dieselben Ausdrücke wie in $ 25, dagegen 
wird p „ Da ferner S(234...n(n +1) (n-+-2))=0 sein soll, so hat man 


= —% 


ni 


— 8 


ein neues Polynom p,+s zu suchen, welches zu 9,,P3,...p,„ orthogonal ist; es ist durch 
diese Bedingungen vollkommen bestimmt und wird im allgemeinen alle Variabeln 
21,%o,...x,„ enthalten. Soll ein folgendes Polynom, ohne eine neue Variable aufzunehmen, 
ZU Pas Pas»: -Prs Pan +ı Orthogonal sein, so erfüllt nur p, diese Bedingung, sodass man 
SB4...n (n+- 1) (n—+2) 1)= 0 hat. Wie dies weiter geht, ist klar; wir sehen daraus, 
dass auch die Polynome 9, , Pa; - - : Pr» Pat Pax, eine Periode bilden. 


$28. Anwendung des vorigen auf die Bestimmung artiosphärischer Orthoscheme 


in einigen besondern Fällen. 
Es ist leicht zu beweisen, dass überhaupt 
AN NEAR... NR) or) 21lo,... 1) U) 


ist. Denn nehmen wir an, die Formel sei bis zu einer gewissen Zahl von Argumenten 
7, ©,...,4, welche auf & folgen, bereits bewiesen, und denken uns die vorliegende 
Gleichung (1) noch einmal mit Weglassung des letzten Arguments A geschrieben, multi- 
plizieren diese mit — cos® « und fügen sie der vorigen hinzu, so ergiebt sich offenbar 
eine ähnliche Gleichung, worin u als letztes Argument erscheint, und daher die Zahl 
der auf & folgenden Argumente r, ©,...%, 4, u um 1 grösser ist als vorhin. Da nun 
fo) [o) /R} I oO 
die Richtigkeit der Formel (1) für ein einziges auf & folgendes Argument » leicht ein- 
© fe oO to} 1 

zusehen ist, so ist dieselbe allgemein bewiesen. 

I. Vergegenwärtigen wir uns wieder die in $ 27 behandelte Periode von 2n-+2 
Argumenten «, ß,y,d,...2, 4, u,»,& und verlangen, dass das (n —2)-te Orthoschem 

oO , , ’ u, - {>} 

mit dem ersten S (a, ß,...x, 4) direkt zusammenfalle, so ist klar, dass auch die Periode 
der Argumente aus zwei direkt kongruenten Hälften bestehen muss; sie sei 

o- lo] 


&, B, Yı---& £, 7, 9, &, ß, Yı--& = N, ©. 


Von den drei Bedingungsgleichungen, denen diese Argumentenreihe genügen muss; 
untersuchen wir nur die erste 


AED, et) — 0, 
mit der Absicht, sie nach cos’ © aufzulösen. Wir finden nach (1) 
ER Aa 2. En) cr © Al at) } = 
also, da 4 (a, ß,...E) nicht verschwinden darf, 


HB ME C032 OA ee) (2) 


4 


= gl 
Machen wir hier cos? », frei, so bekommen wir 
4(0,ß,...&,£) — cos? 4(ß,...& 6) — c08?7.4.(a, B,...2)= 0, 


oder auch 
4(9,0,ß,...8,8) — c08?74(a,ß,...e)—=(, 


d. h. die Gleichung (2) koineidiert mit einer ähnlichen, worin die periodische Argumenten- 
reihe um ein Glied zurückgeschoben erscheint. Die eine und selbe Gleichung (2) kann 
also im ganzen unter n —+-1 Gestalten erscheinen, welche durch eine Art von Kreis- 
bewegung der n---1 Argumente in einander übergehen. Da nun die drei Bedingungs- 
gleichungen, von denen im Anfang gesprochen wurde, nichts anders als die resp. mit 
den Faktoren A (@,ß,...8,4(B,9,...&7), 4A(9,...n, ©) multiplizierte Gleichung (2) 
sind, so sind sie alle zugleich mit dieser Gleichung (2) erfüllt. Dass die Gleichung (2) 
von der Wahl des Anfangs der Argumentenreihe unabhängig ist, kann auch unmittelbar 
eingesehen werden, wenn man ihr die Form 


2 c0s @ cosß... cos cos + ls © cosieuw,0 25510 Se 0 Er E03] 
— c0S @ 1l — cos ß 0 ) 0 0 
0 — cos ß 1 — c0sY 0 0 0 
ED oe oe (1 Son — {eljane 1 — 6087 
—e08 0... sn Er ES re Bl os 


giebt. Damit nun von dem Gesagten eine Anwendung auf die Bestimmung der ortho- 
schematischen Funktion 


Tom (a, ß; ® ..&, & 7, 9, a, 8% .E) 


möglich sei (ein Ausdruck durch artiosphärische Funktionen niedrigerer Ordnung), so 
müssen uns die bekannten Ausdrücke für die Summe je zweier successiver Orthoscheme 
nach einer Reihe wechselnder Additionen und Subtraktionen auf eine Summe, nicht 
auf einen Unterschied, des ersten und (n—-2)-ten Orthoschems führen; deshalb muss n 
gerade sein, d. h. die Dimensionszahl der Sphäre muss durch 4 teilbar sein. 
Für die Tetrasphäre braucht man drei Argumente «, ß, 7; die Relation (2), welche 
sie verbindet, wird 
Cosa cos hr 1. cos" al 


Das zweite Beispiel der Formel (1) in $ 26 giebt 


0 =fla,B,r,0)=f (Bye) + (Fe) HF) 2) - FA - FM) 2 


oder: 
Fe, ß, y) = (B, Y» a) = — f (e)* Schr 2/ (@) Sri (B) En (9) 2, 
I: (B, Y: «) Ze &, ß) — == FB) en (@) Ir 2 T (B) 2 (9) wu 2, 
es, +fa,B = -FW)’ +) +) +2) — 3; 
hieraus folgt: 
2° - LM Lo WIE ie 340) 


Für die Oktasphäre braucht man fünf Argumente «, ß, y, d, &; die Relation (2) wird: 


1 — cos? « — cos? B — cos?y — cos? d — cos? E-+- cos? @ cos? y —- cos? B cos? d —- cos? Yy cos? e 
% 


—- cos? d cos? «a — cos? e cos’ ß —= (0. 


Diese Gleichung hat das Eigentümliche, dass, wenn ihr «, ß, y, d,e genügen, dann auch 
7T r 
Tor ß) = 4 (a,ß) 
ist. Wenn also eine Lösung für das Orthoschem taugt, so giebt die mit den Komple- 


menten ein unmögliches Orthoschem. Um Raum zu gewinnen, lasse ich in der folgenden 
Formel die Trennungszeichen zwischen den Argumenten einer Funktion weg. 


. er zT 
die Komplemente genügen werden. Man bemerke aber, dass 4 (5 


Flaßrdea)-A—f@) FlaRrdda+il-FSO)FRFIERh 
+) EyIE)- ZSÄaBM?— ge? zwi) 

+ 3/71 + FC H-FAAHLAHFD) FH) 

+ OF) HFWFERA+FW+SO)FL IH 
-FOFErA+FGE)+FWFSOFA+FB) — 2a hy) 
2) -2/W IE) HF - FALTEN 
FF +FO + +FEO) 1. 


Setzt man alle fünf Argumente eimander gleich, so wird die einzig mögliche 
A & 1 /ı a 1 5 ne: 
Lösung cos’a« = a u! 5)ha=, — 7 aretang 2; der Ausdruck für die okto- 


9 


sphärische Funktion reduziert sich auf 


Reh ga HERHERAHEN— 6A —- 15420 7. 


II. Sollten in der Periode der 2n-sphärischen Funktionen zwei successive ver- 
kehrt zusammenfallen, z. B. die erste und die zweite, so muss das 2n-te Argument dem 
ersten, das (272 — 1)-te dem zweiten, u. s. f., endlich das (n +-1)-te dem n-ten gleich sein. 


— % — 


Die Argumente seien demnach ß,9,...7, ©, ©, n,...7,ß. Dem ersten ß gehe « voran. 
Es müssen dann die zwei Gleichungen 


AN B, 2, 2... 9, a N ee 
4.(8,9,.1..0.9, 0,00 Sa N nes 


erfüllt sein. Wird die erste so geschrieben 


AO RICH Te al, 


so ist sie gerade die dritte Bedingungsgleichung. Es bleiben also nur zwei Bedingungen 
zu erfüllen; und das (2n— 1)-te und (2 » + 2)-te Argument sind einander gleich. Man 
hat also im ganzen nur n—-1 verschiedene Argumente «, ß, Y, ... & 7, ©, wovon zwei, 
z.B. « und ®, in Funktion der n — 1 übrigen ß,7,...&n bestimmt sind. Die Glei- 
chung (6) wird nach (1) 


XB,9,0..9,0)4 (m 5 2..9, pP) 00048 9...7) Aa... 
=410,9...651)[4& 2...) - 20804, %,...d1=0; 


also 
N) 2 N )) 
2 Ser Ps /5 S - D} 0) = AM 2, Ps»? IE 
ed y sen... gar N ame 
und hiernach durch blosse Umkehrung der Argumentenreihe 
s AN ; An) 
co? — Zu cos 2 « — cos? ß ZW 


ARE) 


was man auch auf einem etwas längeren Wege durch Substitution des schon gefundenen 
® in der Gleichung (5) erhält. 

Für die Tetrasphäre ist die Periode der Argumente « ßp y ß «; die Bedingungen 
sind — cos2« = — cos2y = cos? ß, also «= y, und die Period &ßa«ße« ist nur 
ein besondererer Fall der schon oben behandelten Periode aßy.«ßy, für welche die 
Gleichungen (3) und (4) bestehen. 

Für die Hexasphäre ist die Periode der Argumente aßyddyPße; die Be- 
dingungen sind 

cos? ß 


— ceo8dua = ———— , —cos2d= —— 
sin® y sın = 


5 
cos?y_ 


’ 


unter diesen ist: 


Bil, 


FBrddy)= 
! 
Elan 


FB +FErN)HFWG Ne (B)F (0) 
KOHFM-2 FA AFW +FO)+5; 
FlkBrdd)=- - FA) F WISH FEN - FMFleBy) 
+F@E) LEN +LFJFI HILF - FM +30) 
Dre oaoa 


die Ausdrücke für die zwei noch übrigen Orthoscheme ergeben sich aus diesen durch 
Vertauschung von «, ß, 7, d mit d, y, ß, «. 


Sind alle Argumente einander gleich, so folgt aus — cos 2 «@ — cotg” « die Formel 


Fr 7T 
cs2@«—=1-— Y2 oder cs@—=1:2cos —, und ıman hat 


N EN 


+ 
7 
= 
10757 
| 
{er} 
Sr 
[57 
I 


cos? ß sin? d 
a reed 


sin? ß cos? d 
>= Er — cos2e — ß 
sin? 7 — cos? d 


sin? 8 — cos? y 


Man findet dann zunächst einen Ausdruck für f (By dee dy) und aus diesem Ausdrucke 


für f(eßydeed) und f(«a«Pßy dee), von denen ich nur den letzten, der sich durch 
Symmetrie auszeichnet, hersetzen will: 


FlaaBydee) — —f(ö)fla By) — FBF (Erde) +F)F(aBydE) 

— fleeB) fee) 4+-fleBy) fd) — ii By)’ —+fleauBrö)+flBrdee) 
+f(@ aß) AFI+HFH)) +f (IE) (Fl) +) FEIN (FA) + FO) 
—f(y) (Flaßy) +fY8 E)) + Fa) f (9)? HF) F (BI? — 2 f(laa B) —2f (dee) 
— 2 (By 8) — 4f(a) Fe) — EFF LFI IF) 

— F)-+FO) 5 AH +FA+FO)) — 17. 


III. Wir betrachten noch den Fall besonders, wo alle Argumente einander gleich 
sind. Bedeutet « das Argument, so hat man 


e + yI — 4 cos? a 


2 


(= VE 
\ I 


—M 


puren ee) 
Yl-—4cos’ « 


En or 


und, wenn man cos « = „——— setzt, 
9 cos 9 
sin (n +1) © 
A, = As u 7 Pu 
L (2 cos O)* sin 9 
N ne . .. _ . . 7T . 
Sollen 4,, 4,, 44,... 4„-ı sämtlich positiv, aber 4, = 0 sein, so ist © = Sr die 
einzig mögliche Lösung 
Für ein verschwindendes ® ist 
a n +1 TE 
In yn ’ 0,7 Ey ’ 
also 
7U 70 ze 7ı n+1 7T n 1 
Anzı Tor ee rar] Gum 005. a 
Sea ur In 4° gm-ı In 
, 7 7E 7c 7e 70 EN. 1 DE 1 a 
Anız (4 a a Me er 


$ 29. Ueber das Orthoschem f (3: oe = ia ehe 2) . 


er: 3 
Satz. Wenn das m-te Argument eines n-sphärischen Orthoschems 2 «, 


das vorhergehende und nachfolgende «, alle übrigen aber 7 sind, so ist das 
Orthoschem e) mal so gross, wie wenn sein erstes Argument « und alle 
ee 5 TE 
übrigen sind. 

Beweis. Setzt man f(123...m(m-+1)...n) = f. (e), wenn (12) = (23) 
-8)=.. = (m—-d) (m —1))= 7, (m —Dm)=e, (m (m + 1)) = 2a, 


> 
[27 


((m +1) (m-++2))= «, ((m-+ 3) (m + 4)) = ((m+4) (m +5))=---= (m —1)n) = = 


ist, und insbesondere f («; = = ven: =) Ze): f( a0, = zz .. -Z) —u 


hat man zunächst 

Aro)=h(le), 
weil die Ordnung der Grenzpolynome eines Orthoschems auch umgekehrt werden darf. 
Wenn ferner der Kürze wegen 


sin « 


Cosa — 7 ——— 
yA sin? «a —1 


a 


gesetzt wird, so findet man leicht 
(m — 1m, 123...(m —2) (m -+1)(m+2)...n)= fr (a), 
fm (m 1),123...(m —1) (m +2) m +3)...n) = fi} (a), 
Sm) m-+2),123...m(m-+3) m+4)...n)= ft. (a); 


und hieraus 
OO EN EEE) FREE N) 


Für n= m ist. fi («) = (e); fürn =m-+1 ist f7,ı (e) = fx (@); wir müssen 
also zuerst f, («) zu reduzieren trachten. Die Gleichung (1) giebt 


ae) 2. a da) 0... Q) 
Fürn=3 ist f (e)=f(2«)+f(e) —1=3f(e) —1, hingegen f?(e) — 
Fo+rG)-1=f@— 5; also 
Ss (e) = 3/5 (e). 
Burn est def (@))— 12.f (a) +f(2 a)} dAf(e) = 4#f(a) df(e); weil aber 
af? (a) = f (a) df («) ist, so folgt hieraus 
I a) 2), 


Wäre nun der Satz 


NONE ae ee nu. el) 


für m = n — 2 schon bewiesen, so würde aus (2) folgen d f} (e) = nfu_:(a) df («) = 
ndf, («), und hieraus durch Integration 


A (&) 
Da aber die Gleichung (3) für m = 3 und m — 4 schon bewiesen ist, so gilt sie 


allgemein. 
Wir kommen jetzt zur Gleichung (1) zurück. Wäre der Satz 


Or NO) 


für = n — 2 schon zugegeben, so würde aus der Gleichung (1) folgen 


a dar 


m 


also durch Integration 
\ 172 n, \ 
le) v (« 
lo ORAL! 
d.h. der vorige Satz würde auch für © —= n gelten. Nach dem frühern ist aber wirklich 


” 


m (N B ) v \ om \ » N m-+1 
E$=-RW)=-() RO Fr -An@)-(", Rn), 
d.h. der fragliche Satz gilt für © = m undö—= m--1. Also gilt er überhaupt. 
Wir machen nun von dem bewiesenen Satz folgende spezielle Anwendungen. 


il, Men, So 02 == z: — Es ist nach dem vorigen Satz ‚f,! (5) ern (3); da 


5 ß 5 In 7 . 5 
aber in beiden Orthoschemen die ersten Argumente —- und Dr also supplementär sind, 
[> } « 


alle folgenden hingegen übereinstimmen, so ist nach dem am Ende von $ 23 Gesagten 


. 


oder 
ofae\ 2 \ nz 
In ©) = grides: ( .) 
2 IR: 5 
und, da 25) — — =>, ist, endlich 
[27 oO ..u 
5 TOT r Zi an A 
In \ el) einen) j () 
2. Fall, wo « = — — Es ist /, (+) — fs 4) und nach $ 23 zugleich 


2 Tot; ZU N, B EN le 21 Be al 
7 (5 ee =) = jo (ZI); also f, (£) = (2) und da f () = 


ist, allgemein 


Wenn man rechte Argumente ausschliesst, so sind, für alle Dimensionszahlen über 
4, die Formeln (4) und (5) wahrscheinlich die einzigen, worin sowohl alle Argumente 
mit dem Kreisumfang kommensurabel, als auch die Werte der orthoschematischen Funk- 
tionen rationale Zahlen sind. Der Beweis hiervon scheint mir aber sehr schwer. Die 


— 101 — 


genannten Formeln sind übrigens leicht mittelst der regulären Polyscheme der n-fachen 
Totalität zu verifizieren, indem man dieselben auf eine konzentrische Sphäre projiziert. 
Bei der regulären Pyramide zerfällt dann das sphärische Kontinuum in n-1-1 reguläre 
Q o , 5 PL 0 

Plagioscheme, deren jedes alle seine Argumente gleich ,- hat, und daher in 1.2.3... 
7 7T ZT rc us . . EFT 
el 3) zerfällt. Dadurch ist die Formel (4) verifiziert. 
D . « [27 4 

Beim Reciprok-Paralleloschem (3, 3, 3,... 3, 4) wird das sphärische Kontinuum in 2” 

, 4 


gleiche Orthoscheme S.( 


7 . 
aller Argumente geteilt; 


reguläre Plagioscheme mit dem gemeinschaftlichen Wert , 


jedes entspricht also gerade der Einheit der sphärischen Funktion, und da es nun in 


1.2.3...n gleiche Orthoscheme S$,, e2 le. 2, 7) zerfällt, so ist hierdurch auch 


die Formel (5) verifiziert. 

Auch bei der Tetrasphäre weiss ich keine solche Formeln mit kommensurabeln 
Argumenten und rationalem Funktionswert anzugeben, die nicht mit den regulären 
Polyschemen der vierfachen Totalität im Zusammenhang wären. Da für diese Dimen- 
sionszahl die grösste Mannigfaltigkeit stattfindet, so ist ihr der folgende Paragraph 
eigens gewidmet. 


$ 30.  Rationale tetrasphärische Orthoscheme, deren Argumente rationale Teile 
von sr sind. 


Aus den allgemeinen Formeln (4) und (5) des vorigen Paragraphen folgen sogleich: 


ed Erd 


Die für die Periode « ßy « ß y bei der Tetrasphäre in $ 28 gefundene Bedingungs- 
gleichung (3), eos? «+ cos? ß-+- cos?’y — 1, hat, abgesehen von Permutationen, nur 


5 £ Mi a en TO TC TG S 
zwei rationale Lösungen: (7 3’) und (e Br = Jene giebt ausser (2) noch 


B} 
1 (er. eu iR. 3) 
2 = 4 5) 73 nn 5 
diese giebt 
3 MR en Es 1 
IG>5 m ee ee) 
af EN TO 1 r\ 
H (ee ne Eh (2) 


— NE a Beer P (6) 


Da nach $ 23 die Gleichung 


‚(An 9a a\, ‚(m 2a an orl2® © 14 
ea) ler re Ahle 


> 2 


stattfindet, so folgt aus (6): 


325 


% 2 191 ” 
f ( AIR =) zer EI SED ENG 
Durch Anwendung von $ 29 ergeben sich aus (4) und (7) die Formeln 


Tr er 1 c 
Alar3: 35) on’ ee Me 


> 
[ 
ol 2 
a 
ws 
co| a 
st 
| 
25 
[em By 
em 
“o 
ad 


Nimmt man im letzten Orthoschem das zweite Polynom entgegengesetzt, so erhält man 


ed ar Per s 191 49 
J 5 Se ) u 5, 7215005 150% 


nimmt man hier wieder das erste Polynom entgegengesetzt, so erhält man 


9 9 
f (Gr 23, =) = en Se NEN 

Mit Weglassung von (7) hat man also im ganzen 10 kommensurable tetra- 
sphärische Orthoscheme mit kommensurabeln, im ersten Quadranten befindlichen Argu- 
menten. Ich zweifle sehr, ob es ausser diesen noch andere gäbe, und diese stehen alle 
mit den regulären Polyschemen (3, 3, 3), (3, 3, &), (3, 3, 5), (3, 4; 3) im Zusammenhang. 
Wendet man die in $ 27 gezeigte Periodenbildung auf die vorliegenden Funktionswerte 
an, um daraus neue zu finden, so bekommen diese inkommensurable Argumente. 

Um überhaupt keinen Fall zu verschweigen, wo orthoschematische Funktionen 
finite Ausdrücke haben, wollen wir auch noch mit der Periodenbildung zunächst an der 
Tetrasphäre das Mögliche versuchen. 


Setzt man 2 df(,By) =wde+bdß-+cdy, so is 


cos € cos P cos y cos @ sin y 


sin @ cos y 
. ee 


c08  — —— — — —  —, ‚cool, — 
Ysin?® « — cos? ß 


Ysin? « — cos? $ Ysin? 3 — cos? y Ysin® 3 — cos? y 


— 13 — 


Vergleicht man diese Ausdrücke mit den Relationen (6) und (7) in $ 27, so ergiebt sich 
. . 7T 7T . . . 
die Periode «, ß, 9, „ —4,b, „ — c. Demnach sind oben schon Perioden mit lauter 


) 

. En . ae at 7T at 7 7T . . 

kommensurabeln Gliedern vorgekommen, nämlich: 1. —: lin wohin die 
[27 »> [2} [27 + 

zz m 3x 


=) 1 = 
3.80 65) 


; r en 9x nn 4 \ = Fe $ 
Formeln (2) und (3) gehören; 2. a ’> 5, wohin (4), (5) und (6), und 3. 
7 RA 7 
An 


2 = \ r 5 x : ER 
Bin... , wohin (10) und (11) gehören. Die Argumente in (1) und (8) 


R a 5 5 - 1 
geben dagegen Perioden, worin inkommensurable Glieder sich finden; wird cos 24 — 


4 
2 2 mu 70 0 a ee a her In ei 
gesetzt, so sind sie: re 1,24,A und Se hr N 4); man erhält 
© € « . E27 « . > .r 
daraus die neuen Funktionswerte: 
zn rn 2) 12% 7 : s VIER An 
= 15" ara h2r) - ge ar 
an 2a an A 43 ea 
f I Bee a Er 
In a PL; 391 MA 
u ( ee 900 m’ 
Te 9r 7 401 ar 
Ele nn 
D) a 53 ol 
fG—-h5 7) = EIN 
L >) “) > 300 3 
r a (TE TE zT 7% an © 7 ER 
$ 51. Deber das Orthoschem al) Rn Tr 3 =) und einige 
“ « .) . - [27 « 


mit diesem und dem in $ 29 betrachteten in Beziehung stehende Sätze. 


Satz. Wenn in einer n-sphärischen orthoschematischen Funktion das 
(m — 1)-te, m-te, (m —1)-te und (m —+ 2)-te Argument der Reihe nach 
E4 E14 EN 5 T . & 5 5 n—1 
—-,@,& ‚alle übrigen aber — sind, so ist die Funktion mal so gross, 
4 4 oO 3 ’ m 5 
TT 
4 


Beweis. Wird die zuerst genannte Funktion mit 9) («) bezeichnet, so muss 
folgerecht die zweite durch g («) dargestellt werden. Setzt man 


. . TC . 
wie wenn das erste Argument «, das zweite — und alle folgenden -, sind. 
.) 


sin « 
(RL TE ——— 
y2 (2 siın?« — 1) 


— 14 — 


m 


und lässt f} («) dasselbe bedeuten wie in $ 29, so findet man 
d.0% (e) = Mer (a) + fr: (a) } df («), 
also nach dem Satz des angeführten Paragraphen 


ad) +), Am=@ ar) 


m —1 m 


oder, da d g} («) = fr. (a) d.f (e) ist, durch Integration 


tn) 


Mm 


was zu beweisen war 


Tr TC 7e 7 7 
ee re] a 


ee 


Tr 


ee E 7 ET 7% il 1 
Die in $ 30 behandelten Perioden —» und =» = >’ Arc Cos (), 
[7 [27 [27 [27 za & 


1 1 1 5 en . a E 
are cos ( 7 ): „ Arc cos ( ) sind besondere Fälle zweier allgemeiner Perioden, welche so 


4 
definiert werden: 


. . T.» u . 
1. Folgen n— 1 Argumente, deren jedes gleich „, ist, auf einander, 


; | t 4 i 
und man setzt cos24 = 7,50 werden jene Argumente durch die drei darauf 


folgenden A, 24,A zur Periode ergänzt. 


TC . T . 
2. Folgen n — 2 Argumente „ und eines auf einander, und man setzt 


3 
Ai & z 3 = 
cos u — ) a werden jene Argumente durch u,u, , zur Periode ergänzt. 


Die Beweise hierfür sind aus $ 28, III und $ 27, (6) und (7) zu entnehmen. 


Zur Bestimmung der Funktionen, welche diesen Perioden entsprechen, führen 
ausser dem Satz von $ 29 und dem ersten dieses Paragraphen folgende Sätze. 


I. Sind alle Argumente eines n-sphärischen Plagioschems 2 «, dasselbe also 
regulär, so zerfällt es von seinem sphärischen Centrum aus inl.2.3...n Örthoscheme, 


. . n . rd 
deren jedes als erstes Argument «@ und die n — 2 folgenden gleich „ hat und daher der 
[27 


Funktion /? («) entspricht. 
Wird nun hierauf die Gleichung (1) des $ 24 angewandt, so sind die dortigen 


Tan durch" Em 17 («) 


en+l 


ar ee Bo 


Im—2i 


— 15 — 


zu ersetzen, wodurch man erhält 


an («) = > (= 1y)E Afanı 2; («), 


i—0 


wenn die Koeffizienten A durch tang x = Y A,;x°'*' definiert snd. Wenn also 


ı Re 
cos 2% — ,, ist, so hat man 


a A) Aa ad) Alena Aa A: 


II. Sind die Stücke eines n-sphärischen regulären Polyschems nach dem Cha- 
rakter (3,3...3,4) geordnet und alle Winkel zwischen je zwei angrenzenden Peri- 
schemen 2 «, so zerfällt dasselbe von seinem sphärischen Centrum aus in 2”! con- 
gruente Plagioscheme; von den n Perischemen eines solchen bildet eines (die Basis) mit 
allen übrigen das Argument a, während je zwei von diesen zu einander orthogonal sind. 
Ein solches Plagioschem zerfällt daher von seiner Spitze aus in (n — 1)! Orthoscheme, 
Tr . . TE . 
Zu die n— 3 folgenden sämtlich 2 sind. 
Das erwähnte Plagioschem, durch die n-sphärische Einheit gemessen, beträgt also 


(n — 1)! 9 (e). 


bei deren jedem die zwei ersten Argumente «, 


Wird nun hierauf der Satz des $ 24 angewandt, so hat man 
D) 5 ’ 


Fnrı= (Aan)!gurı (e), 
sr ur an RO REN! / ‚res an 
N ee "gan 2, (& In—2i 


en)! v an 
— @i+1) Ian 2: («) = (3 7 


zu setzen, und man erhält 


i=n— 


rn =D CV Ag. + Do 


i=_0 
wenn die Koeffizienten A und ( durch die Gleichungen 


n—=@ 1 


De DE N = 


n—0 


definiert sind. 


. 
Ist cos u = Vz. so hat man 


Ian (u) = Aı g2u-: (e) — Argin-ı We 1). 0. 


— 106 — 


as . 7e 1 Du 
Kirn 2 Ewirdens— 33 also, da A, = er (= „ıst, 


REN a N ze fferı Se! 
9 bs) = a n) rl (4) Te 


was mit der Formel (3) in $ 30 übereinstimmt. 


$ 92. Ueber sphärische Perischeme. 


n 


Wir haben bisher uur solche Integrale | dzdydz..„(@’+y+--<1l,n>0, 


Ppı > 9,...) betrachtet, wo die Zahl der Grenzpolynome p der Dimensionszahl n gleich 
war. Es liegt uns also noch die Untersuchung der zwei Fälle ob, wo jene Zahl der 
homogenen Grenzpolynome kleiner oder grösser als n ist. 

Der erste Fall bietet gar keine Schwierigkeit dar. Sind nämlich nur n — m 
homogene und lineare Polynome p,, Ps,--.P,_„ mit n Variabeln gegeben, welche das 
Integral 


| dadydz... — EA DEE Den) | dzdyd2... 
en a a 
em ATI ae il), el 55: 


begrenzen, so braucht man nur die Variabeln orthogonal so zu transformieren, dass die 
gegebenen Grenzpolynome nur » — m derselben enthalten, und dann das in $ 23 ge- 
zeigte Verfahren anzuwenden, um 


N a on) 


zu bekommen, wodurch das vorgeleste n-fache Integral mit bloss n — m Grenzpolynomen 
auf eine (n — m)-sphärische plagioschematische Funktion zurückgeführt ist. 

Im zweiten Fall, wo die Zahl der Grenzpolynome des n-fachen Integrals die 
Dimensionszahl n übertrifft, nennen wir das entsprechende Stück des n-sphärischen 
Kontinuums ein n-sphärisches Polyschem und denken uns die Anordnung seiner 
Perischeme in ähnlicher Weise gegeben wie bei einem linearen Polyschem der (n — 1)- 
fachen Totalität. Wie nun dieses nach $ 11 in lauter Pyramiden (n-Scheme) zerlegt 
werden kann, welche eine gegebene (innere) Lösung zur gemeinschaftlichen Spitze haben, 
gerade so kann auch jedes n-sphärische Polyschem in lauter Plagioscheme zerlegt werden. 

Wenden wir jetzt $ 22 an, um das Differential der »-sphärischen polyschematischen 
Funktion zu bestimmen, und messen der grössern Einfachheit wegen alle vorkommenden 


— 17 — 


Argumente oder Winkel je zweier Polynome durch den Quadranten, und die (n —2)- 
sphärischen Perischeme durch das (n — 2)-sphärische Orthoschem mit lauter rechten 
Argumenten, so bekommen wir ein Aggregat von Produkten je eines plagioschematischen 
(n — 2)-sphärischen Perischems und des Differentials des entsprechenden Arguments. 
Von den Grenzpolynomen jedes durch die Teilung entstandenen Plagioschems ist eines 
(p) mit dem gegebenen Polyschem gemein; die übrigen (q) scheiden dasselbe von den 
angrenzenden Plagioschemen; unter seinen (n— 2)-sphärischen Perischemen können wir 
daher innere, welche je zwei Gleichungen, wie g= 0, q =(0, und äussere, welche 
je zwei Gleichungen, wie p=0, q= 0, entsprechen, unterscheiden. Die innern Peri- 
scheme sind dreien oder mehreren Polynomen q, worunter nur zwei unabhängige sind, 
gemein, weshalb die Summe der entsprechenden Argumente, wie z. B. 


ZW = NM) +Z, -E)+Z@, - Ed )+Z2@",-g, 


immer — 4, und daher die Summe ihrer Differentiale gleich Null ist, so dass die be- 
treffenden Glieder des Aggregats sich aufheben. Einem äussern Perischem (p = 0, q = 0) 
entsprechen entweder zwei supplementäre Argumente / (p,g) und / (p, —q), deren 
Summe 2, das Differential also 0 ist, so dass die entsprechenden Glieder des Aggregats 
sich aufheben; oder, wenn g nur von zwei Polynomen p, p abhängt, so entsprechen 
demselben äussern Perischem die Argumente / (p,q) und / (— q,p'), deren Summe 
Z (p, p) ein Argument des gegebenen Polyschems ist. Denkt man sich die be- 
treffende heduktion des Aggregats vollzogen, so wird man im allgemeinen mehrere 
Produkte finden, welche dasselbe Differential eines Arguments des Polyschems zum 
Faktor haben, und dann wird die Summe der andern Faktoren ein ganzes (n — 2)- 
sphärisches Perischem des gegebenen Polyschems sein, indem mehrere durch die Teilung 
entstandene plagioschematische Perischeme sich zu einem polyschematischen zusammen- 
setzen. Eine solche Zusammensetzung findet indes erst für n=5 statt. Diese An- 
deutungen, welche zur Vermeidung von Weitläufigkeit die Stelle eines vollständigen 
Beweises ersetzen sollen, berechtigen zu dem Schlusse: 


Das vollständige Differential eines n-sphärischen Polyschems ist 
gleich der Summe der Produkte aller seiner (n— 2)-sphärischen Perischeme 
mit den Differentialen der entsprechenden Argumente. 


Wären nun die Argumente wirklich alle unter sich unabhängig, so könnte man 
die (n — 2)-sphärischen Perischeme als partielle Differentialkoeffizienten des n-sphärischen 
Polyschems betrachten. Dies gilt indes nur für die Tetrasphäre. Für die Trisphäre 
ist die Zahl der Argumente zu klein, für n >4 ist sie zu gross. 


Ist nämlich ın die Zahl der Winkel eines Kugelvielecks, so ist bekanntlich 2m — 3 
die Zahl seiner wesentlichen Bestimmungsstücke. Ueberhaupt ist die Zahl der wesent- 


— 18 — 


lichen Data eines n-sphärischen Polyschems derjenigen für ein lineares Polyschem der 
(n — 1)-fachen Totalität gleich, wenn die Anordnung der Perischeme bei beiden 
übereinstimmt. Wir wollen daher diese letzte Zahl zu berechnen suchen. 

Ist y die Zahl aller (» — 1)-fachen linearen Kontinuen, welche ein Polyschem 
der n-fachen Totalität begrenzen, und gehen h derselben durch ein erstes Eck, h durch 
ein anderes, %’ durch ein drittes, u.s.f.; so sind von den h Polynomen, welche dem 
ersten Eck entsprechen, A — n von den übrigen abhängig, was für h — n Bedingungen 
zählt, u.s.f. Man wird sich bald überzeugen, dass keine von diesen Bedingungen über- 
flüssig ist, und dass alle zusammen gerade hinreichen, um die Anordnung der Teile des 


Polyschems auszudrücken. Da nun n die Zahl der wesentlichen Elemente einer linearen 


Gleichung mit n Variabeln, und y (n-+-1) die Zahl der Data ist, durch welche irgend 


2 


ein orthogonales System der Variabeln bestimmt wird, so bekommen wir 


ng — (kh—n) — (lH —n) — (h’ —n) — ete. — = n (n-H-1) 


als Zahl der wesentlichen Data des Polyschems, d. h.: 

Die Zahl der Bestimmungsstücke eines linearen Polyschems der n-fachen 
Totalität ist gleich der n-fachen Summe der Zahl aller (na— 1)-fachen Peri- 
scheme und derjenigen aller Ecken, vermindert um die Summe der Ecken- 


® : : 1 
zahlen eines jeden (n — 1)-fachen Perischems und um, n (n+-1). 


Wenn für n=3 die Zahlen der Ecken, Kanten und Vielecke eines Polyeders 
mit do, d,, d, bezeichnet werden, so ist die Eckenzahl jedes Perischems oder Vielecks 
seiner Seitenzahl gleich, die Summe dieser Zahlen also auch gleich der Summe der 
Zahlen der durch jede Kante gehenden Perischeme, d.h. gleich 2a,; demnach ist die 
Zahl der Data des Polyeders gleich 


3 +) — 2, —6=-I3mw —- u +, - In —M. 


Es folgt hieraus, dass ein räumliches Polyeder durch seine Kanten gerade bestimmt ist, 
ebenso ein tetrasphärisches Polyschem durch seine Seiten oder auch durch die Argu- 
mente, welche von je zweien sphärischen Vielecken an der gemeinschaftlichen Seite 
eingeschlossen werden. 

Denken wir uns alle Kanten eines linearen Polyschems der vierfachen Totalität 
gegeben, so ist nach dem vorigen jedes der polyedrischen Perischeme vollständig be- 
stimmt. Da aber jedes Vieleck zweien Polyedern gemein ist, so sind unter seinen 
Winkeln die, welche die Dreizahl übersteigen, doppelt bestimmt. Beschreibt man jetzt 
um irgend ein Eck des gegebenen Polyschems eine Tetrasphäre, so schneidet diese die 
nötigenfalls verlängerten Räume der in jenem zusammentreffenden Polyeder in einem 


— 109 — 


das Eck charakterisierenden tetrasphärischen Polyschem, in dessen Umschluss bereits 
alle Kugelvielecke vollständig bekannt sind. Daher ist nach dem obigen auch das tetra- 
sphärische Polyschem selbst vollständig bestimmt, namentlich seine Argumente, welche 
mit denen des ursprünglichen linearen Polyschems zusammenfallen. Also ist auch dieses 
in allen seinen Teilen wenigstens hinreichend bestimmt. 

Führt man auf eine Kante desselben einen normalen Raum, so schneidet derselbe 
die in der Kante zusammengrenzenden polyedrischen Perischeme in einem gewöhnlichen 
Körperwinkel, und dieser wird durch das vorhin beschriebene Verfahren von beiden die 
Kante begrenzenden Ecken her zweimal bestimmt. Inwiefern aber hier doppelte Be- 
stimmung der Stücke des genannten Körperwinkels stattfindet, bin ich nicht imstande, 
zu entscheiden. 

Die vorige Erörterung berechtigt uns nur, zu sagen, dass ein lineares Polyschem 
der vierfachen Totalität durch seine Kanten immer wenigstens bestimmt ist; und wir 
dürfen noch beifügen, dass, wenn die zweifachen Perischeme nicht lauter Dreiecke sind, 
dann die Zahl der Kanten diejenige seiner wesentlichen Bestimmungsstücke gewiss über- 
trifft. Es ist aber sehr wahrscheinlich, dass die Gleichheit beider Zahlen nur da 
stattfindet, wo sie unmittelbar evident ist, beim Pentaschem, und dass hingegen bei 
jedem andern linearen Polyschem der vierfachen Totalität die Zahl der Kanten grösser 
ist als diejenige der wesentlichen Bestimmungsstücke. 

In Ermangelung eines strengen Beweises kann man diesen Satz im einzelnen 
z. B. durch die in $ 17 für die regulären Polyscheme der vierfachen Totalität gegebenen 
Zahlen bestätigen. 

Für höhere Dimensionszahlen über 4 ist dasselbe nach einer ganz natürlichen 
Induktion in noch grösserem Masse zu erwarten. 

Tragen wir nun diese Betrachtungen auf sphärische Polyscheme über, deren 
Dimensionszahl n grösser als 4 ist, indem wir zugleich nach Art der reciproken Be- 
ziehung die Ecken mit den (rn — 1)-sphärischen Perischemen, überhaupt die m-sphärischen 
Perischeme immer mit den (n — ın — 1)-sphärischen vertauschen, so sehen wir, dass die 
Zahl der (n — 2)-sphärischen Perischeme, oder, wenn man will, der daran liegenden 
Argumente, nicht kleiner als die Zahl der wesentlichen Bestimmungsstücke des n-sphä- 
rischen Polyschems sein kann, und finden es wahrscheinlich, dass mit Ausnahme des 
Plagioschems jene Zahl immer grösser ist als diese. Während also ein tetrasphärisches 
Polyschem immer durch seine Argumente gerade bestimmt ist, so ist dagegen höchst 
wahrscheinlich von da hinweg jedes polysphärische Polyschem durch seine Argumente 
mehr als bestimmt. 

So wie in $ 24 jedes perissosphärische Plagioschem durch artiosphärische von 
niedrigerer Ordnung ausgedrückt ward, ohne dass man einer Berechnung neuer Argu- 
mente bedurfte, so vermute ich, dass im allgemeinen jedes perissosphärische Polyschem 
durch artiosphärische Polyscheme niedrigerer Ordnung, von denen keines neue Argumente 


— 110 — 


hat, wird ausgedrückt werden können, ohne dass man eine Zerfällung des gegebenen 
Polyschems in Plagioscheme vorzunehmen braucht. Wenn wir hierüber eine Weile 
näher eintreten, so nehmen wir der Einfachheit wegen auf jeder Polysphäre das Orthoschem 
mit lauter rechten Argumenten als Einheit des Masses an, also z. B. den Quadranten 
als Einheit der Winkel oder der Argumente. 


Das trisphärische Polyschem oder das Kugelvieleck ist bekanntlich gleich der 
Summe seiner Winkel minus seine doppelte Seitenzahl plus 4. Sind p,,Ps,...?,„ die 
Grenzpolynome, welche der Reihe nach den Seiten entsprechen, so kann man diesen 
Satz durch die Formel 


fe (P:22: 2) =F (Bm) + FDP) ++ F (Pan En) + mp) am 
oder kurz durch 
I (28 P,P',..)„=4-2 [2 — f(p, p' Eck) N 
ausdrücken. 


Satz. Sind p,p',p",p",... die Grenzpolynome eines pentasphärischen Polyschems 
I (m p,P',p",p"”,...), und bezeichnet f, (p,9,P",p”,... Eck) das tetrasphärische Poly- 
schem, welches von allen ein Eck bildenden Polynomen begrenzt wird, f(p,p' Vieleck) 
das disphärische Plagioschem oder das von zweien Polynomen p,p, welche ein im 
Umschluss vorhandenes sphärisches m-Eck bestimmen, eingeschlossene Argument, so ist 


LS (29 ,9',2",2”,..)= —- 28 —fı (pP ,P',P",... Eck) +2 Z(m — 2) (2—f(p,p' Vieleck)) + 16 


— 2f, (9, PP »P" Eck) — 228 (m — 2) f(p,P Vieleck) +4Sım — 8b, — 8b, +16, 


wenn by, b,, by, b, die Zahlen der Ecken, Seiten, Vielecke, tetrasphärischen Perischeme 
des Polyschems f, bedeuten. 


Beweis. Indem wir nach und nach vom Einfachern zum Zusammengesetztern 
überzugehen beabsichtigen, setzen wir zuerst ein Polyschem, begrenzt von den Polynomen 
P,P, >48 ---Q,, und zwar so, dass unter den mit q bezeichneten nur 3 unabhängige 
sind, und alle zusammen innerhalb des trisphärischen Perischems (P=0, p—0) ein 
Kugelvieleck bilden. Man wähle innerhalb desselben eine beliebige Lösung und lege 
durch diese, jedes Eck des Vielecks und die zwei übrigen Ecken des Polyschems die 
Polynome 7,,75,...r3, welche das ganze in m Plagioscheme zerschneiden. Unter diesen 
Polynomen r werden dann nur zwei unabhängige sein, und », wird zugleich mit q,, 9, 
ferner r, zugleich mit 9,,9,, u. Ss. f., endlich r,, zugleich mit q,,q, verschwinden. Für 
eines dieser Plagioscheme hat man nun z. B. 


(1) 


— 11 — 


Is (P, P, > "ms ur] r,) =fj (& > Is Kr r,) cn (P, I» Yns Tu N) 

fa (P, Pr Im — r,) +fi (P,P, Hr) Se (PP; 2: 71) 

FRI 2f(P, P) Im; a 9) 19: 2/(» N) 135 2/(P, n) cr, 2f(P, zu, r,) 

Fo 2f(» ra) —25(D; 77 2) r= 2, in) E35 2/(q; TzR =) on DE (Ur: Ps a) == 16. (2) 


Man ersetze hier 9,,”,, —?, durch 9,7, — ?,, durch 95,9%, — 73, u. S. f., endlich 
durch q,,”%- 1; — 7, und summiere. Da alsdann 


a ern RI (E00, Dick), 
afı (P,», an r,;) > 4f(P,»), 

AP». n)1a&20n)- A (PD9N,%) 
20 er calan) 

(a; =) +f(@: r1) —f(q ‚ Te), 

af, rn)=4 


ist, so folgt 


ir (P,p, 4. da» ee 4m) = /f; (B, 1» 13» OUEO Im) Sl (p qı $) Aa; wei Am) SF af, emp, Is + ) 
— 2 (m—2)f(P,p) - 22f(PR, a) — 22, a) —-—22f, u) +8m—8. .. 08) 


Die Polynome », 91,92; ---%, welche zusammen nur 4 unabhängige Variabeln 
repräsentieren, begrenzen für sich allein ein tetrasphärisches Polyschem, das in Beziehung 
auf die Anordnung seiner Stücke einer räumlichen m-seitigen Pyramide zu vergleichen 
ist. So wie nın im Raume jedes Polyeder von einem innern Punkte aus in lauter 
Pyramiden zerlegt werden kann, welche diesen Punkt zur gemeinschaftlichen Spitze und 
die vieleckigen Flächen des Polyeders zu Basen haben, so kann auch das gleiche mit 
jedem tetrasphärischen Polyschem geschehen. Die Polynome, welche dasselbe begrenzen, 
seien 9,9 ,p',p",... und mögen, wenn auch explizite 5 Variabeln darin vorkommen, 
doch wesentlich nur 4 unabhängige Variabeln repräsentieren. Wir können uns dann 
eine besondere Art von pentasphärischem Polyschem, f, (P,p,p,pP',pP",...), denken, 
worin die Gleichung P= 0 gleichsam als Basis ein tetrasphärisches Polyschem von all- 
gemeiner Natur, und die Gleichungen » = 0, p =0, pP’ —=0, pP" —=0,... die zugehörige 
Spitze darstellen. Wird die Basis von irgend einer innern Lösung aus in pyramiden- 
artige tetrasphärische Polyscheme zerlegt, so wird dieser Zerlegung auch eine des penta- 
sphärischen Polyschems entsprechen, und für jeden Teil dieses letzten eine Gleichung 
wie (3) bestehen. Bei der Summierung dieser Gleichungen hat man dann 


zZ, (B, ON) —S: 
ZT; (D, I» dor In) =/f (pP, v, 2, 2, 2. A) 
Z2/(P,9, 44 )= X (f (Pr. N)-tf(Br,d,- d)+ (Pre, —d") +ete.), 


wenn die Polynome p,p',p',... zusammen ein Eck der Basis bilden, also nur 3 Va- 
riabeln repräsentieren, und die Polynome q,9',q',... den durch dieses Eck gehenden 
Teilungen entsprechen und daher nur 2 Variabeln repräsentieren; wenn ferner das dem 
Aggregat vorgesetzte Summenzeichen sich auf alle Ecken der Basis bezieht; also endlich 


—= Df, (P,p,p,p",... Eck der Basis); 

SPBd-+f/(B—-D=23 also Z&/(P,g;) = der doppelten Zahl der Basis = Im; 

In -+f(P, —-M=/(p,p), wenn das Paar Gleichungen p=(0, p = 0 einer 
Seite der Basis entspricht; 

Z22/ (9, Q:41) = der vierfachen Zahl der Ecken der Basis; 


also zuletzt, imdem man die Zahlen der Ecken, Seiten und Vielecke der Basis 


mit Cy,C,,c bezeichnet und die Glieder — 8%, + Sc —8,= — 16 setzt, 
h(P,2:2,9,%",--)=Ah(BPıP",P"s-..)+ 2% (BP, 9:P),P", ... Eck der Basis) 
—23(m —2)f(P,p) —2Ef(p,p Seite der Basis) +2 2m —8. . ..... 


Sind endlich P, P', P', P", P'’,... die Grenzpolynome eines ganz beliebigen 
pentasphärischen Polyschems, so kann dieses von irgend einer innern Lösung aus in 
solche Polyscheme geteilt werden, wie das, welches wir soeben betrachtet haben. 
Werden dann die Polynome, welche die Teilung bewirken, wie vorhin, durch p be- 
zeichnet, so hat man bei der Summation der Gleichung (4): 


&f, (pP, P,P’,P",... Basis) — dem totalen tetrasphärischen Kontinuum — 16, 
ZXf,(P,p,p',p',... Eck der Basis), (P, P', P', P',... Eck des pentasph. Polyschems), 
(PP) +JF(P',—p)=J(P,P' Vieleck des Polyschems); 


ferner, wenn die Polynome p,p',p",... einer und derselben Seite des Polyschems ent- 
sprechen, also alle zusammen nur zwei Variabeln repräsentieren, 


Im) HF -P)HFE,—P)rete—t, 
folglich 
ZX/(p,p Seite der Basis) — der vierfachen Seitenzahl des pentasph. Polyschems. 


Wenn man endlich die Zahlen der Ecken, Seiten, Vielecke, tetrasphärischen Perischeme 
des gegebenen pentasphärischen Polyschems mit b,,b,,dz3,b, bezeichnet und die Sum- 
mation der Gleichung (4) ausführt, so erhält man 


SB, PET DE ZTBIENPIIBE 2 nole) 
—22(m —2)f(P,P' Vieleck) +4 2m — 8b, — 8b, +16, 


113 — 


wo m die Zahl der Seiten eines Vielecks bezeichnet. Da b, — b, --b, — b, = 0 ist, so 
kann man dieser Gleichung auch die Form 


EP PIE SPP ER BER OBERE, 
— 2 8(m — 2) f(P, P' Vieleck) +4 (EZm— 2 b,) +16 
—38(m —2) !2— f(PBP' Vieleck)| 


a 55 18 SHARP PUND A RAM Eck) —+- 16 


geben, wo die erste Summe sich auf alle Vielecke, die zweite auf alle Ecken des ge- 
gebenen pentasphärischen Polyschems erstreckt. Diese Gleichung stimmt mit der zu 
beweisenden (1) vollkommen überein. 

So wie nun die Formel für das Kugelvieleck den Euler'schen Satz a, — ı, +4, —=2 
giebt, wenn man sie auf das durch Projektion eines Polyeders auf eine Kugelfläche ge- 
bildete Netz anwendet, so führt auch die Formel (1) auf den Satz a, — a, +4, —a,+a, = 2, 
wenn man sie auf das pentasphärische Netz anwendet, welches durch Projektion eines 
linearen Polyschems der fünffachen Totalität entsteht. 

Das gegebene Polyschem (»°) habe a, Ecken, a, Kanten, «a, Vielecke, «a, Po- 
lyeder, a, vierfache Polyscheme; 

irgend ein vierfaches Perischem desselben habe b, Ecken, b, Kanten, b, Vielecke, 
b, Polyeder; 

ein Polyeder desselben habe c, Ecken, ce, Kanten, c, Vielecke; in «diesem grenzen 
2 vierfache Perischeme zusammen; 

ein Vieleck habe d Ecken, also auch d Seiten; es sei gemein e Polyedern, also 
auch e vierfachen Perischemen; 

eine Kante hat immer 2 Ecken; sie sei gemein f, Vielecken, /, Polyedern, 
Ja Perischemen; 

ein Eck sei gemein y, Kanten, y, Vielecken, g, Polyedern, 9, Perischemen. 


Dann ist 


En 20 I, a  —>ie, al 
DIE 2 Den Def Silo 26, 
DS rl; 
2a rn = 96, 
= n u) Aue 
u bh +, -— 1, 0, 9-4 +98 =23 A Art 


u — 


Wird nun die Gleichung (1), worin m durch d zu ersetzen ist, über das ganze 
pentasphärische Netz summiert, so geben je diejenigen /, zusammen, welche einem und 
demselben Eck des Netzes entsprechen, den Wert des totalen tetrasphärischen Kon- 
tinuums oder 16; aus &/, (p,P,P',p",... Eck) wird daher 16a,. 

Alle / (p, p' Vieleck) zusammen, welche einem und demselben Vieleck entsprechen, 
geben 4. Aus — 2 2(d—2)f(p,p Vieleck) -— S2(d—2)=—82d+-16a,. 

Was das folgende Glied 4 2d betrifft, so wird im ganzen jedes d eines Vielecks 
so oft gezählt, als vierfache Perischeme dieses Vieleck gemein haben, also e mal. Aus 
42 d wird demnach 4 &de. Da aber de auch das Produkt der Zahl der Polyeder, 
welche ein Vieleck gemein haben, mit seiner Seitenzahl ist, so wird &de auch erhalten, 
indem man die Seitenzahlen aller Vielecke eines Polyeders addiert, was 2c, giebt, und 
dann die so von allen Polyedern erhaltenen Zahlen summiert; folglich ist 2de—=2XFc.. 
Aus 4 &d wird also zuletzt Sc. 

Die Summen der noch übrigen Glieder ergeben sich unmittelbar. Da nun 32 das 
Mass des totalen pentasphärischen Kontinuums ist, so erhält man: 


2=16,— 88d+16, +83. — 8231, —S!b,+16a,.. . . 6) 
Nun ist 
—Id+ ao = -!fh +: = ?’h- 24% 
2b, +2, =! +2), =! +20, 


Demnach verwandelt sich die Gleichung (5) in 


2=16%, + 16,160 - 160, —-16%,, 
oder 


oh + —- ta = 2, 


was zu verifizieren war. 


Das stufenweise Verfahren, welches wir bei der Konstruktion des Ausdrucks 
eines ganz beliebigen pentasphärischen Polyschems befolgt haben, wird desto länger und 
verwickelter, je höher die Ordnung der Perissosphäre steigt, und ist wohl kaum einer 
Verallgemeinerung fähig. Wendet man dasselbe noch auf das heptasphärische Polyschem 
an, wobei man, vom Plagioschem ausgehend, noch fünf andere Stufen durchlaufen muss, 
so gewähren die gefundenen Ausdrücke für das trisphärische, pentasphärische und hepta- 
sphärische Polyschem eine hinreichende Induktion, um aus denselben auf die Form des 
allgemeinen Ausdrucks für irgend ein perissosphärisches Polyschem zu schliessen. Wir 
setzen nämlich für ein (2n-4- 1)-sphärisches Polyschem den Ausdruck 


Ianzı = fon + 2A fon-2+ .r = I Are = "r +2 An-ı ft Arnzı- (6) 


115 


Die im allgemeinen Glied angezeigte Summation erstreckt sich auf alle (2m +1)- 
sphärischen Perischeme; einem jeden derselben kommt eine ganze (positive oder negative) 
Zahl A,„;+. eigentümlich zu, welche nur von der Zahl und Anordnung der Teile dieses 
Perischems, keineswegs aber von seinen Argumenten abhängt; und das mit dieser Zahl 
multiplizierte f»._.,. bedeutet dasjenige (An — 2 m)-sphärische Polyschem, welches von 
allen Grenzpolynomen, deren Verschwinden das (2m --1)-sphärische Kontinuum des be- 
trachteten Perischems bestimmt, gebildet oder umschlossen wird. Es ist z. B. immer 
4, =1, ferner 4, =4 — die doppelte Anzahl der Ecken des betreffenden Kugelvielecks 
(trisphärischen Perischems). Die Richtigkeit der Form des Ausdrucks (6) muss ebenso 
durch Differentiation bewiesen werden, wie es in $ 24 für die Gleichung (1) geschah; 
wir wollen uns deshalb nicht länger dabei aufhalten, sondern gehen sogleich zur Be- 
stimmung der Integrationskonstanten 4,,,, über. Lassen wir alle Grenzpolynome des 
Polyschems f: „. ı , mit Inbegriff des Vorzeichens, koinzidieren, so wird dasselbe gleich dem 
halben (2r +-1)-sphärischen Kontinuum, also gleich 2°"; ebenso wird f„_.. = 2" """"; 
man hat also, wenn & A, die Zahl der Ecken des Polyschems bezeichnet, 


Ba DL et DT DEAL —: a 2 Armzı Enge Dem, 


Die mit A bezeichneten Konstanten sind also immer durch Rekursionsformeln zu be- 
stimmen, und hiermit ist unsre Aufgabe vollständig gelöst. Wahrscheinlich ist (— 1)" 
das Vorzeichen von A,„+1; doch sehe ich mich ausser Stand, diese Vermutung zu be- 
weisen. 

Am Ende dieses Paragraphen will ich noch eine merkwürdige Eigentümlichkeit 
tetrasphärischer Polyscheme erwähnen. Werden auf der positiven Seite eines jeden 
Grenzkontinuums eines gegebenen tetrasphärischen Polyschems /, Radien normal darauf 
gezogen, so bestimmen deren Endpunkte ein zu jenem reciprokes Polyschem F\,, dessen 
Ecken, Seiten, Vielecke resp. den Vielecken, Seiten, Ecken von /, entsprechen, und 
namentlich ist jedes Argument von F, das Supplement der entsprechenden Seite von f,, 
und umgekehrt. Wenn nun irgend ein Argument von f, mit «, und die Seite, an welcher 


es liegt, mit 4 bezeichnet wird, so ist 


folglich 
K£+M)=—d2R—-%)%: 


eine leicht zu integrierende Differentialgleichung. Um die Integrationskonstante zu be- 
stimmen, nehmen wir die Seiten von /, verschwindend klein an; dann werden alle Ar- 


— 116 


gumente von F, dem Halbkreis gleich, und die Grenzpolynome von Z', sämtlich, mit 
Inbegrifl des Vorzeichens, identisch; es ist also zugleich f, =0 und F, = dem halben 
tetrasphärischen Kontinuum = 8. Hiedurch ist die Integrationskonstante bestimmt, und 
man hat allgemein 


> a B : E 1 . 
Ersetzt man die tetrasphärische Einheit durch ihren absoluten Wert —, so erhält man 


für die Summe zweier reciproker tetrasphärischer Polyscheme den Ausdruck 


9 I 
7° — 2 (m —o)u. 


$ 33. Ueber reguläre sphärtsche Polyscheme, 


Die tetrasphärischen regulären Polyscheme entsprechen in Beziehung auf 
Zahl und Anordnung ihrer Teile genau den regulären Polyedern des Raums. Sind die 
trisphärischen Perischeme eines solchen lauter kongruente reguläre m-Ecke, deren je n 
in einem ebenfalls regulären Eck zusammentreffen, und sind alle Argumente gleich 2 «, 
so soll das Polyschem mit P,,,. (2 «) bezeichnet werden. Man ziehe aus seinem sphä- 
rischen Centrum O einen Kreisbogen O0 A normal auf ein trisphärisches Perischem, so 
wird der Fusspunkt A das Centrum dieses Perischems sein; von A aus ziehe man den 
Kreisbogen A A, normal auf eine Seite BB’ des Perischems, so wird der Fusspunkt 4, 
die Mitte von BB’ sein. Dann ist AO BA, ein Örthoschem, worin die an den Seiten 
0 4,, A, A, A B liegenden Argumente rechte und die an den Seiten 40, OB,OB, BA, 


liegenden resp. =. = « sind; der Wert des Orthoschems ist also f, 4; z e). Je 
2 m Orthoscheme setzen sich zu einem pyramidalen Polyschem zusammen, welches O 
zur Spitze und ein Vieleck zur Basis hat; und dieses ist wiederum im ganzen regulären 
Polyschem so oft enthalten, als die Zahl An: Am -+-2n — mn) seiner trisphärischen 


Perischeme anzeigt; folglich ist 


De) — 


( 714 96 
ah (. m «) 5 5 5 5 R > = 5 (1) 


3m - 


b 


ie in e ER 7 0 h 
Für das Minimum von « ist sın 7, sin a — cos; hier verschwindet ?£. Von da an 


PURE N t Q nr 
kann « bis — wachsen, wo dann P,,,. (7) = 8, d h. gleich dem halben tetrasphärischen 


Kontinuum wird. Können mehrere Polyscheme P,,. (2«) um ein Eck herum so zu- 


sammengefügt werden, wie es dem Oharakler (»,p) entspricht, d.h. so, dass jede vom 

er En 5 H In 
Eck ausgehende Seite p Polyschemen gemein ist, so ist offenbar das Argument 2« — Ti 
Dieser Fall tritt ein, wenn das mit (m, n, p) bezeichnete lineare reguläre Polyschem der 
vierfachen Totalität auf die konzentrische Tetrasphäre pojiziert wird; die Projektion 


i : i D) 

jedes Grenzpolyeders (m, n) ist dann ein tetrasphärisches P,,, Ic) Da nun das totale 

tetrasphärische Kontinuum 16 beträgt, so ist die Zahl der Grenzpolyeder von (m, n, p) 
J 

gleich 16: P,,. e) Wenn das betrachtete lineare Polyschem «a, Ecken, a, Kanten, 


a, Vielecke, a, Polyeder zählt, so können wir demnach die Proportionen (1) des $ 17 
in die Gleichungen 


ao Pd __Ma dig 22 (2) 
I Tu VEREINE 3 
er ee Sl > EN Be er 
N p m 4 n J ( m 0) ) 


umsetzen. Durch dieselben werden $ 17 und 30 in eine solche Verbindung gesetzt, 
dass, wenn die Ergebnisse des einen noch nicht bekannt wären, sie aus denen des 
andern gefunden werden könnten. 

Nach dem bisherigen ist es wohl leicht zu verstehen, wenn ich hier den Ausdruck 
für ein pentasphärisches reguläres Polyschem, ohne Erklärung und Herleitung, hinsetze: 
Er; (@ R)— BERDEIGE N MM! de a + nr «) an HEHE BERN ET? 28 2). 


De | au. el 
® E 7 “) mm D n.» Mm N?) C 
rn 
min m 


Hat nun ein lineares reguläres Polyschem der fünffachen Totalität den Charakter 
(m, n, p, q), und ist a, die Zahl seiner Ecken u. s. f., so ergiebt sich aus der vorliegenden 
Formel leicht: 


oe: =) In 26, (- 2 ) ae 
Na=2f (> aa ee N 
9 9 DET 
3 7 un 9 en 
Nas 2 - IR 1), Na; = 2 (. a’ 2% 
wo abkürzend 
na a na (a m az 4 9 2 9 2 
N en ter e rg N ende B gr ei = 2 
1 ( n 2) J ( N p . q ) m q m N p q 


gesetzt ist. 

Diese Beispiele mögen hinreichen, um anzudeuten, wie derselbe Gegenstand auch 
für höhere Totalitäten zu behandeln wäre. Man würde dann die Formeln (4) und (5) 
des $ 29 unmittelbar aus den durch Konstruktion gewonnenen Ergebnissen des $ 18 
herleiten können. 


118 . 


Wenn in der auf die Tetrasphäre bezüglichen Formel 
> 


E Ya\ 2a 
P+9=8-22-)7: 


P74 7t 


welche eine Anwendung des letzten Satzes von $ 32 darstellen soll, Q oder bestimmter 
(! (m, n,p) das tetrasphärische Mass eines Ecks des linearen regulären Polyschems 
(m, n, p) bezeichnet, so ist das zu Q reciproke P die Projektion des Grenzpolyeders von 


(p, n, m) oder ein P,, (7). Wenn also k die Zahl der Seiten von P und a den Wert 


einer solchen bezeichnet, so hat man 


„a JgE nz 
SINN —760S”— 
m 


f 2np E85 a p 
= S = 9 
: Int2p—np' 2 Betr: Ser 
sın “ m 005% 7 
2 4\ 2a 
Alm, n,p)=8 — 7) -r(2-, . 
N b} ‚p) 8 Pen m [3 - m = 


Wendet man diese Formel auf alle sechs regulären und einfachen Polyscheme an, indem 


R In - a . & 
man die Werte von P,, . („) direkt aus $ 17 entnimmt, so erhält man: 


€ 16 162 

08, 3, 3) — = Ten ce — 2A, wo ee 
7 4 
E 106 so f ” 
aaa,  a-dı =, 
i D) 
083,4)=-3: u=5 
0843) = 2, a= — 
iA 


Q(4,3,8)=1, d=-ı 


08,8, 8) — a 
Da nun 


an Dd=B,@- = arf(& 3,77%) 


n 


= U — 


Q3,3,)=P,, (>). TE BE (>): 0 Meß (z) 


06,3,3)= PB, () re IA, I: re 2; 3e\ 19 


5 75 600 


Von den angeführten Eckenmassen sind vier rational. Dieses hängt mit der stetigen 
Erfüllung der vierfachen Totalität durch lauter gleiche reguläre Polyscheme, welche 
wir am Ende von $ 17 betrachtet haben, zusammen und bestätigt das dort Gesagte. 
Den drei Charakteren (3,3,4,3), (3, 4,3, 3), (4,3,3,4) als den einzigen, nach 


= = s a. . . . . . “ E 5 
denen eine einmalige Erfüllung möglich ist, ist aber noch ein vierter (5; 3 3,5) und 


sein reciproker beizufügen, von denen der erste eine wiederholte Erfüllung durch ein- 
fache, der zweite durch überschlagene Hekatonkaieikosascheme anzeigt. Man kann sich 
übrigens hievon auch mittelst des am Ende von $ 17 gebrauchten Verfahrens überzeugen; 
wenn nämlich die gleichen Bezeichnungen gelten wie dort, so ist 


Arc; 7 IK md 
0.(3, 3,3) — cos ( — 2) —n (3. 3, 2): 


191 


Da wir nun. Q. (65, 3,3) = 600 16 gefunden haben, und das überschlagene Hexakosioschem 


5 R 
3) angezeigten 


(3 3, 3) sechshundert Grenztetraeder zählt, so liegen bei der durch (5,3, 3 = 
Erfüllung der vierfachen Totalität je 600 einfache Hekatonkaieikosascheme um eine 
Lösung herum und wiederholen dadurch die Totalität 191 Male. Folglich hat das 
überschlagene Hexakosioschem einen 191fachen Mantel. Im folgenden Para- 
graphen wollen wir dieses noch direkt aus der Konstruktion beweisen. 

Für reguläre Polyscheme mit einfachem Mantel war die in den $$ 17 und 18 
gegebene Aufzählung vollständig. Es frägt sich noch, wie viele es deren mit mehr- 
fachem Mantel geben kann. Um die Antwort hierauf vorzubereiten, schicke ich folgende 
Betrachtung voran. Gesetzt, es gäbe eine durchaus symmetrische Verteilung von Lö- 
sungen auf der Polysphäre, deren ursprüngliches Netz mehrere Male herumgeht, so ziehe 
man die Kreisbogen, welche die kürzesten sphärischen Abstände darstellen, die es 
zwischen je zwei Lösungen geben kann; dann werden diese sich zu einfachen regulären 
Kugelvielecken, diese wiederum zu einfachen regulären tetrasphärischen Polyschemen, 
u.s.f. gruppieren; die Perischeme höchster Ordnung endlich werden ebenfalls regulär 
und einfach sein und können das totale polysphärische Kontinuum nur einmal besetzen. 
Wenn also auch in irgend einer Totalität überschlagene reguläre Polyscheme existieren, 
so können sie doch keine neue Art von symmetrischer Verteilung der Radien einer 
Polysphäre erzeugen, welche nicht bereits von einem einfachen regulären Polyscheme 
geliefert worden wäre. Wenn nun im Charakter eines regulären Polyschems keine 


—- 120 — 


andern Ziffern als 3 und 4 vorkommen, so ist leicht einzusehen, dass es rein unmöglich 
ist, seine Ecken so zu verbinden, dass etwas Ueberschlagenes entsteht. Die einzige 


noch vorkommende Ziffer — denn von der zweifachen Totalität, welche eine endlose 
Mannigfaltigkeit regulärer Gebilde gestattet, kann hier keine Rede sein — ist 5 und 


kommt nur in der dreifachen und vierfachen Totalität vor; ihr entspricht das einfache, 
der Ziffer 
so können überschlagene Polyscheme nur im Raume und in der vierfachen Totalität 


resp. durch andere Verbindung der Ecken des einfachen Ikosaeders und des einfachen 
Hexakosioschems gebildet werden. 


e 
2 .. .. .. . ra D 
„ dagegen das überschlagene Fünfeck. Lässt man reziproke Gebilde weg, 


$ 34. Nähere Untersuchung der Hexakosioscheme. 


Zum leichtern Verständnis alles folgenden ist es nötig, mehrere trigonometrische 
Relationen, welche das räumliche Ikosaeder betreffen, vor Augen zu haben. Man pro- 
jiziere die Oberfläche des Ikosaeders auf eine konzentrische Kugel und merke sich ausser 
den Ecken des Netzes noch die Mittelpunkte seiner Dreiecke und die Mitten seiner 
Seiten; man wird dann immer Kugeldreiecke finden, deren blosse Anschauung zum Be- 
weise der erwähnten trigonometrischen Relationen hinreicht. 

Sind ABC, ABD zwei benachbarte Dreiecke eines Ikosaeders, #, F ihre Mittel- 
punkte, O das Centrum des Ikosaeders, «= ZAOB,bD= /ZÜOE, DE 7 0.VESORST 


meh =, cosd = —ı ing —ı 
v5 > 
ek u ä 
a ö el 1, tangdb =3— Y5, 

3y5 3.75 

y>-2 = tal) 1 

cosb — Ra —ı, . tnsd =3-+4-Y>. 
65) ; 


Mittelst dieser Winkel können wir nun die tetrasphärischen Werte der 120 Ecken des 
einfachen Hexakosioschems, wie folgt, angeben. Die eingeklammerten Buchstaben be- 
zeichnen, gleichwie in $ 17, die in die einzelnen Zonen fallenden Gruppen von Ecken. 
Eine ganze Zahl, welche die Werte 0, 1, 2, 3, 4 durchläuft, ist mit ö bezeichnet. Die 
Bedeutung der tetrasphärischen Variabeln ©, p, w erhellt aus ihren Beziehungen zu den 


orthogonalen Variabeln w, x, y, 2: 


w= c0s0, 2 =sin®cospg y=sin®©sinpcosW, z= sin Osin sin y. 


zen — 


Tetrasphärische Werte der 120 Ecken des einfachen Hexakosioschems. 
(a): 9=0; 


(b): o = 5 2 |? > v, 'p ——W 2 { — HU ’ E— z\ ; 
| Ih rn I» _ Birljr | 
\ a 1 > 


(@):; 9 = = | p—b In jml ‚(=z —-b\,/g=n—-b |; 
| u = (2 =) 1 — iz I — 2RUnE r — 2 im | 
5 Ü% 5 ' B) 


Ir 
(d): ir (90; Bon, = eG el; 
| " an \. — eitnn] | 
\ Du 1 B) 
e TE [73 n —ı 7 er) [7 
(e): Bi a9 2 Re hit >> Pi ira Dee he 
Yin 9i-+1)r ri +1)z Yin | Qi+1)r 
zZ —— ee — — — ee —— 
Y RN 5 u 10 v 5 N 5 


N: 0-0, o=Uu ‚gp=nm=o\, Be 
| \ = up: \ = @i+l)r | 


@: 9-7 (‘ —b 


 ——— 
SS 
Il 
ee 
[637 
SLUllım 
[3 
a 
u 
8 
I I 
er! 
SulD 
IR | 
— 
u 27 
ET 
z 8 
|| 
DD = 
et 
Se 
| 
— 
ea 


E 9-7 Br: p9—au alu,  o= Alk 
| r e re BIER | 


+) 
@): O=x. 


Die Ecken b, d, e, f, h sind Ecken von Ikosaedern, die Ecken c, y sind Mittelpunkte 
der Dreiecke eines Ikosaeders, und die Ecken e sind Mitten von Kanten eines solchen. 
Da die Entfernung aller Ecken vom Centrum als lineare Einheit angenommen ward, 


so beträgt die Seite er 5 ist also gleich der Seite des regulären Zehnecks. Die 
{o} 2) to} oO 


Durchschnitte des Polyschems, welche durch lineare Kontinua ıw — const. entstehen, 
können, indem man von der Variabeln w absieht, als Körper betrachtet werden. Wir 
wollen dieselben der Reihe nach untersuchen. 
Der Schnitt w —= cos = ist ein Ikosaeder, dessen Dreiecke sämtlich Grenztetraedern 
angehören. 
16 


ER, N. h Ä Na ve 
Der Schnitt ıw — cos — ist ein Dodekaeder mit der Seite Da, auf dessen Fünf- 
o z 


le I er I 
2 1 5 - 5—1 5—1 3—-)5 2 
ecken Pyramiden aufgesetzt sind, deren Seiten I E l GE — o betragen. Die 


z z 


Ecken c dieses Dodekaeders gehören dem Hexakosioschem an, ebenso die Kanten; aber 
die 60 gleichschenkligen Dreiecke, welche den Schnittkörper begrenzen, sind Tetraeder- 
schnitte, geführt durch eine Kante, und die Gegenkante im mittlern und äussern Ver- 
hältnisse teilend. Diese Gegenkante verbindet zwei homothetische Ecken b und d; und 
wenn m den Teilungspunkt bezeichnet, so ist bd: bm = bm: md, also auch 1:bd = bd:bın. 


Der Schnitt w — cos — enthält die 12 Ecken d und schneidet jede der 60 Seiten 


ce in einem Punkte n so, dass l:ce=ce:cn=cen:ne. Der Schnittkörper ist von 


9 fe: 
D .ı* . . . — ) . . . . 
20 gleichseitigen Dreiecken mit der Seite rn 60 gleichschenkligen Dreiecken mit 
Je ERS: EUlE : ; : ; h 
„ und der Seite le: und 60 gleichschenkligen Dreiecken mit der 
/’Y 


4 2 


der Basis 


nn 3 — [5 . Q ... . . 
Basis v5 — 2 und der Seite or begrenzt. Die gleichseitigen Dreiecke, Durchschnitte 
der Tetraeder ceee, können als Abstumpfungsflächen der Ecken eines Dodekaeders 
aufgefasst werden, und die 120 gleichschenkligen Dreiecke, Durchschnitte der Tetraeder 


«dee und ecde, bilden dann zehnseitige auf die Dodekaederflächen gesetzte Pyramiden. 
Der Schnitt w = 0 enthält die 30 Ecken e und halbiert jede der 12 Seiten df. 

Der Schnittkörper wird aus einem Ikosaeder, dessen Seiten den Wert Y5— 1 haben, 
erhalten, wenn man durch Ebenen, welche diese Seiten halbieren, seme Ecken abstumpft, 
und auf die durch die Abstumpfung entstandenen regulären Fünfecke Pyramiden aufsetzt, 
yv395—1 


deren Seiten — —, 


betragen. 


Die nun folgenden Schnitte sind in umgekehrter Ordnung dieselben wie die vorigen. 


Uebersicht und Anzahl aller Seiten. 


Das Eck a ist mit jedem b durch eine Seite verbunden, Zahl 12. Je zwei b sind 
durch eine Seite verbunden; Zahl gleich derjenigen der Kanten eines Ikosaeders, also 30. 
Die Seiten be vereinigen Ecken, die sich wie Mitte und Eck eines Dreiecks des Iko- 
saeders entsprechen; ihre Zahl ist also 3 - 20 = 60. Die Seiten bd verbinden Ecken, 
welche demselben Eck des Ikosaeders entsprechen, sind also zwölf an der Zahl. Die 
Seiten cc verbinden Ecken, welche den Mittelpunkten zweier benachbarten Dreiecke des 
Ikosaeders entsprechen, also 30. Die Seiten cd verbinden Ecken, die dem Mittelpunkt 
und einem Eck einer und derselben Ikosaederfläche entsprechen, also 60 an Zahl. Die 
Seiten ce verbinden Ecken, die dem Mittelpunkt und einer Seitenmitte einer und der- 


123 


selben Ikosaederfläche entsprechen, also 60. Die Seiten de verbinden Ecken, welche 
einem Ende und der Mitte einer Kante des Ikosaeders entsprechen, also 60. Die Seiten 
df verbinden Ecken, welche einem und demselben Eck des Ikosaeders entsprechen, 
also 12. Die Seiten ee verbinden Ecken, welche den Mitten zweier benachbarten Kanten 
des Ikosaeders entsprechen, also 60. Von da an Wiederholung in umgekehrter Ordnung. 
Mit Ausnahme der Seiten df und ee sind also die Anzahlen aller übrigen Seiten zu 
verdoppeln, wodurch sich 720 als Anzahl aller Seiten ergiebt. 

Denkt man sich, wie bisher, alle Ecken in dasselbe äquatoriale ikosaedrische 
Netz projiziert, und bedeutet dann w den äquatorialen Abstand zweier durch eine 
Seite verbundener Ecken, so sind die Verbindungen derselben zu Seiten immer so be- 
schaffen, dass w den kleinstmöglichen Wert hat, wie folgende Uebersicht zeigt: 


ab, hi ohne Bedingung, | cd, fg, al: 
A | b’—b 
bb, hh, w d, ce, ch, We kzel, 
DEE galt w—b, = 
a d 
(Dich PlbE  —(, de, e7; DW —g: 
a: LET | 
ec, 99; W b ); d u 5 w— 0, 
| Bu 
| erenm: vw — 
> 


Die Tetraeder, aus denen der Umschluss besteht, sind folgende: abbb 20, 
bbbe 20, bbee 30, beed 60, cede 60, cdee 60, ceee 20, deef 60, etc., im ganzen 600. 


Nachdem wir so die Struktur des einfachen Hexakosioschems untersucht haben, 
bereiten wir uns zu einer ähnlichen Behandlung des überschlagenen vor, indem wir 


zuerst das überschlagene Ikosaeder (3.5) betrachten. Ist p Poldistanz und % 


Azimut, so bilden die Ecken g=0;9=r—.a, (v == =) ein Dreieck, die 


Ecken der ersten Zone sind durch g= x — a, vu — —_ dargestellt; ferner bilden die 
zwei Eckeng = ır — a, (v = Ve =) mit dem Eck g=a, U = = ein Dreieck, 


2 - B R (ki — 3 = 
die Ecken der zweiten Zone sind in der Formel g=a,y = — > /X enthalten. Dies 


reicht hin, um von der Verbindung der Ecken eine deutliche Vorstellung zu geben. Um 
nun zu beurteilen, wie vielfach der Mantel dieses Ikosaeders umgeschlagen ist, unter- 
suchen wir nur, wie oft die um den Pol g = 0 herumliegende unendlich kleine Stelle 
der Kugelfläche von der Projektion des Ikosaedermantels bedeckt wird, oder, was das- 
selbe ist, wie oft ein vom Centrum ausgehender, unendlich wenig von der positiven 
Axenhälfte abweichender, aber sonst freier Strahl den Mantel des Ikosaeders durchbohrt. 


a > 


Da das überschlagene Fünfeck einen doppelten Umlauf hat, so bilden die fünf Dreiecke, 
welche den Pol = 0 mit den Ecken der ersten Zone g = »r — a verbinden, einen 
doppelten Mantel. Die Dreiecke, welche je zwei Ecken der ersten Zone mit einem der 
zweiten verbinden, gehören nicht hieher, weil sie zwischen dem Centrum und dem 
Gegenpol 9 — x durchgehen. Jedes Dreieck dagegen, welches ein Eck der ersten Zone 
mit zweien der zweiten verbindet, geht zwischen dem Centrum und dem Pol durch, und 
seine Projektion bedeckt die Gegend des letzten ringsum vollständig; alle fünf Dreiecke 
dieser Art bilden also einen fünffachen Mantel. Die fünf letzten Dreiecke endlich, 
welche je zwei Ecken der zweiten Zone = «a mit dem Gegenpol p = r verbinden, 
kommen nicht in Betracht, weil sie sich auf den Gegenpol projizieren. Wir schliessen 
hieraus auf einen siebenfachen Mantel des überschlagenen Ikosaeders. Ist seine 
Seite 1, so ist der Radius der umschriebenen Kugel oe — Er = = 
2 cos 


D) 


Nach dieser Vorbereitung gehen wir an die Untersuchung der Massverhältnisse 
5 B a 3 R : 
des überschlagenen Hexakosioschems (3; 3, >): Das Eck a sei Pol @ = (0. Ist © die 


5 3 R R R 5 5 5 - o 

Poldistanz der in seiner Basis liegenden und ein (3. >) bildenden Ecken, so ist cos —- 
h 3 2 p . nen 

== sin, also © = = die erste Zone (f). Wird das Eck f, für welches p = zr, 


mit dem Eck «a vertauscht, so geschieht dies durch die Transformationsformeln: 


Ir ' SR DITCNE: ‚ ' 
cos 9 = — cos c0osO® — sin sin O0 cos, 
5 a RE ’ DT. ‚ ‚ 
z sin © cos g = — sin —- cos © + cos sin® cosp, 
sn Osing — sin ©’ sin p', 
v=%W'. 


m 


Mittelst derselben können wir genau das konstruktive Verfahren in $ 17 nachahmen. 
Wir kennen nämlich die Werte von ©, g, W, welche den Ecken f der ersten Zone 
entsprechen. Setzen wir dieselben an die Stelle von ©’, @, ı', so lernen wir die Ecken 
der ersten Zone für den Pol © = 0 kennen; unter diesen finden sich neue Ecken 
für den Pol © = 0, und wir sehen das Gebiet der bekannten Ecken von diesem ur- 
sprünglichen Pol aus erweitert. Indem wir diese Erweiterung auf den zweiten Pol 
0' — (0 übertragen, so wird durch die entsprechenden Substitutionen das Gebiet des 
ersten Pols wieder erweitert. Wird dieses Verfahren lange genug fortgesetzt, so werden 
uns endlich alle Ecken zugleich mit ihrer Verbindung bekannt. Ich lasse hier eine 
Tafel der Substitutionsergebnisse folgen, in der Absicht, daraus die Ordnung herzuleiten, 
in welcher die Ecken durch Seiten verbunden sind. 


1. (a) 0 = 0 =", o=n (NM 
2. (N) 0°", - 7 u 9—=5: mu (ce) 
3. (9 = 22 gg — 0 = = g=0 WM 
Be — = go —=n—b 9-2: o= nr -—b(e) 
3..() =, ge ı 0=-%, g=n-a() 
6. = yen-b | 0-4, 9-0 
Ti) © — = ee) = ze go=2 (e) 
SalR) 9 = —; 0° — | 0=—= ne N) (b) 


Da jede Substitution mit ihrem Resultat vertauscht werden kann, und da, wenn 
@', g' durch x — @', x — g ersetzt werden, auch ©, in x — ©, sc — g übergehen, 
so braucht diese Tafel nicht weiter fortgesetzt zu werden. 

Wenn die Werte einer Lösung der Gleichung w” — x? — y?® + 2° — 1 genügen, 
® Y 2 


’ —_y ——, - ) die äquatoriale Projektion 
yY1-w?: y1i-w’ y1i1-w” 


der ursprünglichen Lösung (iw, x, y, 2), und den auf der äquatorialen Kugel (w — 0, 
x? y? 4-2? —= 1) gemessenen Abstand zweier solcher Projektionen nenne ich äqua- 
torialen Abstand der zwei ursprünglichen Lösungen. Sind nun ®, 9, v; ©, p, W 
die tetrasphärischen Werte zweier Ecken des Polyschems, y ihr tetrasphärischer und w 
ihr äquatorialer Abstand, so ist 


so nenne ich die Lösung (9, 


cos y — cos cos ©’ + sin Osin ©’ cosw, cosw = cos pcosp —- sin p sing cos(V — W). 


Jede Eckenverbindung wird durch das entsprechende w hinreichend bestimmt. Hier 
folgt nun eine Uebersicht aller Eckenverbindungen mit Angabe ihrer Herleitung aus 
der vorigen Tafel. 


af. Keine Bedingung. 

fer 70 — 10. 

fe. Durch die Formeln 1., 2. geht eine Verbindung «f in eine fc über, wo 
v=n—b. 

fh. Durch 1., 3. geht eine af in eine fh über, wo w= zr. 

cc. Durch 2. geht eine Verbindung ff mit dem Azimutunterschied ı — = in 
eine cc mit demselben Azimutunterschied über; also 

cos w —= cos? b’ + sin? b’ cos = — — cos (b —b, v=r—(b —b). 


ch. Durch 2. und 3. geht eine Verbindung ff in eine ch über, www=b). 

ce. Durch 2., 6. geht eine fc mit dem Azimutunterschied , in eine ce über, 
n-+-a e . a +4 37 7 vb’ —b 
—- sin D’ sin a: -a— ww —— 


6) 
2 3 F 2 2 
a +a 

® 


also cos w —= cos b' cos 


he. Durch 3., 6. geht eine fc in eine he über, wo w — 
hb. Durch 3., 8. geht eine fh in eine hb über, wo w = 0. 

4 5 6 A 5 DT: > « 
ee. Durch 6., 7. geht eine ch mit Azimutunterschied vw = in eine ee über, 


37 


wo w = es ® 
Von hier an wird eine weitere Fortsetzung überflüssig, Gemäss dem bisherigen sind 
nun in folgender Tafel die Seiten des Polyschems vollständig aufgezählt. 


af, di, ohne Bedingung. ch,bg, w=b.. 
ae PA 7 a ; 

ff, dd, w IE &r HER 2 Fe z 
Te, gas = nm be a 2 
s +0 
lb, eh 0) =: he,eb, w=—. 
cc,9,; w=x —(b —b). hb, = N 

37 

ee, u 
[9] 


Die Verbindungen von je vier Ecken zu einem Tetraeder sind: 
afff, SFFe, ffee, fech, eche, chee, ceee, heeb, eeeg, eebg, ebgg, bggd, ggdd, gddd, ddd:. 


Wir schicken uns jetzt an, die Frage zu beantworten, in wie vielen Lösungen 
ein vom Öentrum ausgehender Strahl den Umschluss des überschlagenen Hexakosioschems 
schneidet, oder wie oft in der tetrasphärischen Projektion desselben das totale tetra- 
sphärische Kontinuum enthalten ist. Für diesen Zweck reicht es hin, zu untersuchen, 
in welchen der vorhin aufgezählten Klassen die Tetraeder die positive Hälfte der Axe 
w schneiden. 

I. Die 20 Tetraeder a //,f haben den Pol » —= 1 zum gemeinschaftlichen Scheitel. 
Ein nahe beim Pol senkrecht auf die Axe geführter Schnitt ist ein überschlagenes Iko- 
saeder, und ein von einem innern Punkte des Schnittraums ausgehender und diesem 
kaum angehörender Strahl trifft die Grenzoberfläche 7 Mal. Dreht man nun den Strahl 
um seinen Anfangspunkt aus dem Schnittraume heraus, so muss er fortfahren, den 
Umschluss des Polyschems, insofern er nur aus diesen 20 Tetraedern besteht, 7 Male 
zu schneiden; und nur, wenn er nach dem Pole w —= 1 selbst geht, schneidet er nur 
einmal. Es ist leicht, dies auf einen vom Centrum ausgehenden, der Axe w unendlich 
nahen Strahl überzutragen. 


II. Die Tetraeder f/fc sind 20 an der Zahl. Werden alle vier Ecken eines 
solchen Tetraeders auf die äquatoriale Kugel projiziert, so bilden die Ecken f ein Kugel- 
dreieck, dessen Seiten ce — a betragen, und das Eck c ist dem Mittelpunkt dieses Drei- 
ecks, der von den Ecken um 5’ absteht, antipod.e Man kann demnach die Werte der 
vier Ecken so ansetzen: 


i 3z Ba zL ' TUE 
(f) w= cs z=sin— cosb, y=sin— sinb Zr 
5 5 2 5 2 
r BE; 3 BE ’ ar an PL el: 8 a Dart 
a1 eos 2 sin cos br, = sin "= sin br cos, 2 sın sm /b’ sin — > 
6) B) 5 3 5 3 
n In OB ’ len Va) ) BE STONE DE 
Bew cos 2 —= sin —cosb, y—sin”—-sinb cos >: z—- -sn-—-sinb sin; 
6) B) b) B} 5) 3 
7T . m 
(e) w— ca, , = snnı y=0, Bel) 


Sind p, q,r,s beliebige positive Faktoren, für welckep+-q—+-r—+s=1 ist, und 
multipliziert man die orthogonalen Werte der vier Ecken mit denselben, so sind die 
Summen der Produkte die Werte irgend einer innerhalb des Tetraeders liegenden 
Lösung. Richtet man die Faktoren so ein, dass die Variabeln &, y. z verschwinden, so 
wird ıw der erste Wert der Lösung, in welcher der Raum des Tetraeders die Axe 
schneidet. Kann dieses durch positive Faktoren geschehen, so schneidet der Tetraeder 
selbst die Axe, ohne dass es einer Verlängerung seines Raumes bedarf. Man erhält 
v—1 3— 15 3—y5 


DEE — En — == . 
I 3 2Y5 2Y5 2y5 2Y5 


Das Tetraeder ff’ f" e schneidet demnach die Axe auf der negativen Seite; also schneiden 
die 20 Tetraeder yddd die Axe auf der positiven Seite. 

III. Die Tetraeder ffcc sind 30 an Zahl. Daw (ff)=r —a, w (ce) = —(b —b), 
w (fe) = ce — b’. Man kann daher den vier Ecken folgende tetrasphärische Werte geben: 


KH) O=- = Nu M)y=r; 


E14 b—b 7 
EL Zar ,° 
Aus diesen folgen die orthogonalen Werte: 
37 Be ce [7 
= 608°: 2 = sin -=sin-» ) — Esin==cos-, g—=(; 
b) 5 2 \ — 5 2 
m nn. bb Et V—b 
W=(008 —.ı = sin — sin Il) 2) = 22 sin = C0S . 
3 oO 3 Sch o 2 


= N 


Für die Durchschnittslösung der Axe wird 


pP=q Dr FIG re Oi 


Die 30 Tetraeder ff cc schneiden also die Axe auf der positiven Seite. 


IV. Die Tetraeder fech sind 60 an Zahl. w(fh) =, w(ch)=b’. Tetra- 


Tee 3 BE; 4 TE 
sphärische Werte der Ecken: (f) © = 2 ‚9=;()0=-7,P=0; (ec) 9-5, 
Ir 
o=h, b= 3 >. Orthogonale Werte: 
; PL; dr War 
I ae) y=d, 2); 
7T . 7c 
(h) w= —e0s ı sin y=', 2=(0; 
4 7 ENTE ’ An en 9x a N NET 
(Gieh)Ror— cos Ew 2 = sin 5 C08 5 = An „, sin lb cos 5, 2—+sinz sin b sin = 
' il. y—1 Y—1 i : 
eg r sel, = = ‚=, -: w=-—- —>-—-: Also schneiden die 


60 Tetraeder bygd die Axe auf der positiven Seite. 


V. Die Tetraeder cche sind 60 an Zahl. Tetrasphärische Werte der Ecken: 


ER, 7 7E b—b N 7 Az n—( 
(e, €) © 3,9 > u) 0,2; 9-5: 9=- m; (O=—:9 = > 
0 = —. Orthogonale Werte: 
Gh 008 x —= sin - ein EP, y = Sn = cos "2, 2 =: 
&) Bel, Bl, =), EU: 
7U . 7T . a . Te [74 
(DE cos 22 — sin Ein 270; 2= sin 0085 
SR 5 r Be 
0 IE, P=\® el) a . 


Die 60 Tetraeder cche schneiden also die Axe auf der positiven Seite. 


VI. Die Tetraeder chee sind 60 an Zahl. Tetrasphärische Werte der Ecken: 


(h) oe, = (0) = z’ DE ann, = +; (c) 9=7,9=b, = ur 


2 


Örthogonale Werte: 


nt . 7T A 
h) w=—cos—ı 2 —=sin . 70 2 — 0; 
B) 5} e 
h N: a 2 ; Ha ed 
(se)w = (, = sn; y = 605, 608 =» 2 = 008, sin 3 
J 2) vu 2 H 3 19) 
14 . 4 D . Zt . ’ 
(@) w= cos a x = sin „ cos b, y-—- sn—smb, 2=(. 


HE = Nr ı=r ( = U s- Be a WW — (} Sa 


Also schneiden die 60 Tetraeder eeby die Axe auf der positiven Seite. 


VI. Die Tetraeder ceee sind 20 an Zahl. 


7 von 7 7 b—b : In 

(c) Be au; REN RN oT aan a Vinjeieieer 
TT . 7T m 
(OO w=e0s,, = an, y=0, 20; 
oO 
. b’—b '—b 

0), Ei NEN a COS! z—=0; 
ae Urn) BL: b—b ch —b, ,@ i b—b . 
(ee )w — 0, 2=Sn Tg 4 — 087g 00857 2— 4008 Sin, 


Also schneiden die 20 Tetraeder ceee die Axe auf der positiven Seite. 


VII. Die Tetraeder heeb sind 60 an Zahl. Jedes hat eine mit der Axe pa- 
rallele Seite A b und schneidet also die Axe im unendlich entfernten Punkte. 

Wenn für ein Tetraeder alle vier Faktoren p, q, r, s positiv und von Null ver- 
schieden sind, und wenn auch w positiv ist, so umgiebt seine tetrasphärische Projektion 
den Pol @ — 0 vollständig. Ist einer jener vier Faktoren gleich Null, so fällt der 
Punkt der Axe in eine Seitenfläche des Tetraeders; und man muss die zwei Tetraeder, 
welche diese Seitenfläche gemein haben, zusammennehmen, damit der Pol © = 0 von 
den Projektionen ringsum bedeckt werde; so in V; die Tetraeder cche zählen also 
nur für 30 Deckungen. Sind zwei jener vier Faktoren gleich Null, so liegt der Punkt 
der Axe auf einer Kante des Tetraeders.. Da nun 5 Tetraeder diese Kante gemein 
haben und 2 mal um dieselbe herumgehen, so wird von den Projektionen dieser 5 
Tetraeder zusammen der Pol erst 2 mal ringsum bedeckt. So in IV; die Tetraeder 
bgygd zählen also nur für 24 Deckungen. 

Demnach geben die Tetraeder afff 7, gddd 20, ffce 30, bggd 24, eche 30, 
eebyg 60, ceee 20, im ganzen 191 Bedeckungen des positiven Pols. 

Die tetrasphärische Projektion des überschlagenen Hexakosioschems 
enthält also 191 totale tetrasphärische Kontinua; und jedes einzelne Tetra- 

17 


— 130 — 


He.) a ae E 
schem P,,; (=) ist nn des totalen tetrasphärischen Kontinuums; folglich 


; 2 LO Zt 191 2 a R > 
7 (7 =) u mE SE Zone Der rationale Wert dieses Orthoschems ist jetzt auf 


einem zwar etwas mühsamen, aber direkten Wege durch reine Konstruktion gefunden 
worden; auch die etwas leichtere, aber weniger direkte Art, wie dieses Orthoschem in 
$ 33 mittelst des Eckenmasses des einfachen Hekatonkaieikosaschems bestimmt wurde, 
mag hieher gezählt werden. Da sonst alle übrigen rationalen Orthoscheme mit kommen- 
surabeln Argumenten (eines ausgenommen, das wir bald nachher behandeln werden) 
unmittelbar aus den Konstruktionen des $ 17 folgen, so lag es mir daran, auch 


1 Ar & 6 “8 : = 5 ENT R = 
Ü (3: a =); unabhängig von dem künstlichen Verfahren in $ 30, durch direkte Kon- 


struktion zu bestimmen; und man möge es mir verzeihen, wenn dieses nicht ohne Weit- 
läufigkeit geschehen konnte, und wenn ich sogleich noch eine zweite direkte Art, wie 
dasselbe Resultat durch Konstruktion erreicht werden kann, beifüge. 


Denkt man sich beide Hexakosioscheme (3, 3, 5) und (3. 3% >) auf dieselbe Tetra- 


sphäre projiziert, so liegen bei beiden je 5 Tetrascheme um eine gemeinschaftliche Seite 
herum, beim einfachen mit einmaligem, beim überschlagenen mit doppeltem Umlauf; 


e 5 a. In . 4a 
beim einen hat also das reguläre Tetraschem das Argument — , beim andern —. Be- 


_ 


2 a: a 270 x fir B - : 4 
zeichnen wir ihre Masse mit $ (F) und $ (3); so wissen wir bereits aus $ 17, dass 


‚(2 1 all B. F R : & 
S ( =) — ap des totalen tetrasphärischen Kontinuums ist; die Bestimmung von S (7) 


In 


. = 9 Be y [Ka 4 : 
hängt also nur noch von der Kenntnis des Verhältnisses S (ee S (7) ab, und diese 


kann man direkt erhalten, indem man untersucht, wie viele kleine Tetrascheme das 
grosse in sich schliesst. 


Die Ecken des grossen können wir auf folgende Weise angeben: 


(0-0; (M0=-", 9-1; IM) 9=-",9-,v-+”. 


[3] 


Lässt man der Ordnung nach je ein Eck weg und legt durch die drei übrigen und durch 


das Centrum einen Raum (lineares Kontinuum), so mögen die vier Diametralräume, 


welche $ 5) begrenzen, durch die Gleichungen p, =, p = I, 9, —=0,p, =0 dar- 


gestellt sein. Wenn nun die homogenen Polynome p so eingerichtet werden, dass die 
Summe der Quadrate der Koeffizienten eines jeden gleich 1 ist, und dass sie sämtlich 
für eine innere Lösung positiv sind, so hat man in tetrasphärischen Variabeln: 


ze ABB. ’ U Tran 
P, = C0S 5 c0S ®—+-sin— sn ©cosw, wo cosw=— — cosb cosp + sin b sin p cos ı, 
« [27 
. . dt d . 
pP, = sın © (— sın z c0S @ + €08 > sın p cos v), 


Ps, P, = Sin © sin g sin e } v). 


Da sin ©, sin immer positiv sind, so geben die zwei letzten Polynome für eine 


F e R £ PA; 9r H & s 
innere Lösung die Bedingungen - — <yY<7. Das Polynom p, giebt die Bedingung, 
dass die äquatoriale Projektion der innern Lösung auf der Halbkugel liegen müsse, 
eye n+U 5 R - o ke 2 
deren positiver Pol g = —,-, ı — ( ist und auf der Mitte einer Seite des äquatorialen 


0} 
Ikosaedernetzes liegt. Alle drei Bedingungen zusammen liefern ein äquatoriales Dreieck, 
innerhalb dessen die Projektion einer innern Lösung fallen muss, und dessen Ecken die 
Projektionen von II, III, IV sind. Der Mittelpunkt dieses Dreiecks ist = m —b, y—0; 
das obige w ist also der sphärische Abstand irgend einer äquatorialen Lösung von diesem 
Mittelpunkt; das Maximum von ı findet für die drei Ecken statt und ist D’; daher ist 
cos w immer positiv. 


— un . . eye . = . 
Wenn also © <. ist, so ist p, immer positiv. Ueberhaupt ist p, der Kosinus 
. . . . . . . . T7T . 
des dritten Winkels eines Kugeldreiecks, worin die zwei Winkel En und zw = © die 


Seite w zwischen sich haben. Für ein konstantes © nimmt p, ab, wenn ı wächst; 
und der Spielraum von w reicht von w = 0 an bis da, wo p, = 0 wird, darf aber auch 
nicht über w —= b hinausgehen. Dieser Spielraum fängt also da an beengt zu werden, 


wo für w — b zugleich p, = 0 wird, verengert sich für ein abnehmendes »z — © immer 
mehr und verschwindet endlich da, wo p, = 0 wird für w = 0. Aus der Anschauung 
Eee . . han e Ir 6 
des sphärischen Ikosaedernetzes ergiebt sich für jenen Anfang x — 9 = 7; dieses 
Ende verlangt cos (0 — 3) = 0 oder = —. Somit ist die Grenzbedingung p, > 0 
er or 3n 2n An 
nur für die Zonen 0 = —» 5’ 5 zu untersuchen. 
In 


In der Zone © = ”— findet noch keine Verminderung der Ecken statt; nur fallen 
sie für II, III, IV in die Grenze p, = 0 hinein. 

In der Zone © = = kommen nur 10 Mitten von Ikosaederflächen in Betracht, 
wovon 6 paarweise auf die Seiten des begrenzenden Kugeldreiecks fallen. Es muss sein 


cos w > cotg” 


Q 


1 f > P - 7 
== — — cos b cos b —- sin b sin b cos ne 


d. h. w darf nicht grösser sein als der sphärische Abstand eines jener sechs Punkte vom 
Mittelpunkt des genannten Kugeldreiecks. Auch hier ist also in der Zahl der Eeken 
noch keine Beschränkung; nur fallen die sechs genannten Punkte in die Grenze p, = 0 
und zugleich paarweise auf je eine der drei übrigen Grenzen. 

Te 7t 


4 P = Eı4 -— > 
In der Zone © = — muss sein cos w > cotg 3 cotg — — cos b, oder w<b. Die 


.) 
in dieser Zone möglichen Ecken werden also auf die drei innersten Ikosaederecken be- 
schränkt, welche zugleich im die Grenze p, = 0 fallen. 
Hier unten sind nun alle Ecken des einfachen Hexakosioschems, deren Projek- 


k 5 I; . EI: 
tionen auf oder innerhalb das grosse Tetraschem $ ( ) kommen, nach der in $ 17 ein- 


r 


geführten Bezeichnung aufgezählt. Die, welche in eine Grenzfläche, Grenzkante fallen, 
sind resp. mit einem, zwei übergesetzten Strichen versehen, die mit einem Eck des 
grossen Tetraschems zusammenfallenden mit der betreffenden römischen Ziffer. 

Tale: 


De, dyas Dan bias Den d;; 


Gm Co Co Go O5 E15 Ci, Cam Cm Cı23 


ke hs U ersß 


E20, Cııs Caız &6; Cı2, Caor E30, Cıa, Cıos Cr &a5, Car} 


Fe Fin Fu fir If UL, 7, IV; 


Jin, Iıo Io Iıor Is Ars Yı5» J2os Yin Yıa5 


Tas Ta u. 


Die von diesen Ecken gebildeten Tetrascheme sind teils ganz, teils durch die 
Grenzen p halbiert; bei den letztern geht die Grenze immer durch eine Seite des Tetra- 
schems und die Mitte der Gegenseite; dass es sich so verhält, und dass demnach wirklich 
Halbierung eintritt, ist für ein einzelnes Tetraschem nicht schwer zu beweisen; aber 
die Aufzählung aller einzelnen Fälle wäre zu weitläufig. Ich gebe daher sogleich die 


o irre 5 0 
Uebersicht aller ganzen und halben Tetrascheme S (3): in welche das vorhin be- 


schriebene grosse Tetraschem $ (7) zerfällt. 

abbb 4 ganze, 6 halbe | de ef 18 ganze, 6 halbe 
bbbe 4 . 6 I eeeg 4 Z 6 & 
DiDlercan 9. In uah comes, bw 
Neal Al _- BA _ 
ea, Bl ® — fggh 15 5 6 n 
idee | SE ae rel on a 
Cioveie DRAN MEER ghhh 1 Du a Seh 


Addiert man alles zusammen, so erhält man 
n D 
s() - 191.8 (4): 
13 .) 


Es giebt noch ein Paar reciproker Polyscheme, deren Ecken mit denen des ein- 


n ä zo : > 
fachen Hexakosioschems zusammenfallen. Sie entsprechen den Charakteren (5, 3, 2) 


und (3 Fa) 5) und mögen die zwei amphibolen Hekatonkaieikosascheme heissen. 


R c s re WERTE 5 1 7 R , : R 
Wirklich ist sin ll ” >, = eos, Ist nun 1 die Seite eines überschlagenen 
e ® + - oO 


E > 6 & 8 TO e 6 n - 2 
Ikosaeders (3, 3): so ist sein Radius sin Ei die genannte Seite ist aber zugleich Dia- 


gonale des Fünfecks des einfachen Dodekaeders (5, 3), das als Bestandteil des Um- 


schlusses des gesuchten Polyschems auftritt; die Seite dieses Fünfecks oder die Seite 


. . gt ._. 
des Polyschems ist also 2 sin jo; wenn daher @« den entsprechenden tetrasphärischen 


d 


. . . . A . TE . Te 7 
Centriwinkel bezeichnet, so ist cos „ — sin S: 2 sin 


. 7t 
— = (0S —; slich a& = ger; 
10 = 608 19; folglich a =, gerade 
wie beim einfachen Hexakosioschem. Bei diesem kennen wir nun schon eine dodeka- 


. . . . . 7 
edrische Gruppe von Ecken; sie wurden mit c bezeichnet und lagen in der Zone ©; 


3 
Der Radius der eingeschriebenen Tetrasphäre ist also halb so gross als derjenige der 
umschriebenen; d.h. wenn die zwei amphibolen Hekatonkaieikosascheme der- 
selben Tetrasphäre eingeschrieben sind, wie das Oktoschem und Hekkai- 
dekaschem, so sind sie auch mit ihnen derselben Tetrasphäre umschrieben. 


‚Jedes derselben hat 120 Ecken, 720 Seiten, 720 Fünfecke und 120 Dodekaeder. 


a x s | 
Wir wollen nun untersuchen, wie oft der Umschluss dieses Polyschems (5, 3, ) 


I 
sich auf die Tetrasphäre projiziert. Ordnet man die einfachen Dodekaeder zonenweise 
um den Pol a, so bedeckt erstens das Dodekaeder (ccc...), welches diesen Pol « zum 
tetrasphärischen Centrum hat, denselben ringsum; zweitens kommen die 20 Dodekaeder, 
deren Centra die Ecken e sind, und welche um das gemeinschaftliche Eck a herum, 


wie die Dreiecke eines überschlagenen Ikosaeders (3. >) auf einander folgen, in Be- 


5 R 5 E = 
tracht; sie bedecken den Pol « nur 7 mal, weil auch das (3, =) einen 7fachen Mantel 


hat; drittens gehören die 12 Dodekaeder, welche die Ecken b zu Centren haben, hieher ; 
jedes derselben bedeckt den Pol a ringsum. Da es nun sonst keine Dodekaeder giebt, 
deren Projektionen den Pol « erreichen, so wird derselbe 1 + 7-12 = 20 mal be- 


deckt. Das Polyschem (5, BR =) projiziert sich also 20 mal auf die Tetrasphäre. 


u 


Dasselbe Resultat erhalten wir, wenn wir nachsehen, wie viele Tetraeder des 
(3, 3, 5) auf ein Dodekaeder des (6, 3 


bildet, so umfasst es ganze Tetraeder, die 20 abbb, 20 bbbe, 30 bbee und die 60 
halben Tetraeder beed. Dass diese von den sphärischen Fünfecken des Dodekaeders 
wirklich halbiert werden, davon überzeugt man sich am leichtesten, wenn man eine 
Gruppe von je 5 um eine gemeinschaftliche Seite herum liegenden Tetraedern unter den 
Pol bringt; es sei dann ab, die gemeinschaftliche Kante, die Gegenkanten bilden das 


sphärische Fünfeck b,b, b, b, b,; die Kugelfläche des letzten halbiert den Kreisbogen 


[1 
€ 


> . . 
=) gehen. Wird dieses von den Ecken c ge- 


7 . . . . L 7T E14 . 
TA — =. denn jene ist durch die Gleichung > tang — cos a — tang 10° dieser durch 
die Gleichungen y = 0, z= (0 bestimmt. Wenn man also immer die tetrasphärischen 


Projektionen betrachtet, so ist das Tetraeder im Dodekaeder 100 mal enthalten. Da 


3 1 SE : es = , 1 
nun jenes „oo des tetrasphärischen Kontinuums beträgt, so ist dieses g und der ganze 


aus 120 Dodekaedern bestehende Umschluss zählt 20 tetrasphärische Kontinua. Dem- 
nach ist 


2 : r Bun = 
Zum Schlusse muss ich noch bemerken, dass, obschon das Orthoschem f = 5” =) 


einen rationalen Wert hat, doch der Charakter (4 


=.19; 3) kein echtes Polyschem dar- 


stellt, weil auch im Raume der Charakter (5, =) zwar ein Gebilde, das mit dem Iko- 


saeder die Ecken gemein hat, aber kein echtes Polyeder darstellt. Dasselbe genügt 
nämlich der Bedingung a, — a, + a, = 2 nicht. 


$ 35. Ueber die Summe der Quadrate der Projektionen eines Strahls auf 
symmetrisch verteilte Richtungen. 


Wir werden in diesem Paragraphen Fälle kennen lernen, wo mehrere von einem 
gemeinschaftlichen Centrum ausgehende feste Strahlen » die Eigenschaft haben, dass 
nicht nur die Summe der Projektionen irgend eines beliebigen Strahles s auf alle jene 
festen Strahlen verschwindet, sondern dass auch das arithmetische Mittel der Quadrate 
der Projektionen gleich ist dem Quadrat des Strahls s, dividiert durch die Dimensions- 
zahl der Totalität. Um diese Eigenschaft kurz bezeichnen zu können, wollen wir jene 
festen Strahlen » eutaktisch nennen. Von dieser Erklärung ausgehend, können wir 
nun folgenden Hilfssatz aussprechen: 

Wenn in der n-fachen Totalität A eutaktische Strahlen r gegeben sind, 
und es gehören zu jedem derselben als Axe u seitliche Strahlen og, welche 


— 1355 — 


durchweg mit ihrer Axe denselben Winkel «a bilden und überdies so um 
dieselbe geordnet sind, dass immer ihre äquatorialen Projektionen eine 
Gruppe von « eutaktischen Strahlen einer (r—1)-fachen Totalität dar- 
stellen, so sind alle Au Strahlen o zusammen eutaktisch für die n-fache 
Totalität. 

(Unter äquatorialen Projektionen verstehe ich die Projektionen auf das zur je- 
weiligen Axe normale (n — 1)-fache lineare Kontinuum, und den Winkel zwischen den 
äquatorialen Projektionen zweier Strahlen werde ich ihr Azimut nennen.) 

Beweis. Bezeichnet p den Winkel, den der Strahl s (von der Länge 1) mit 
irgend einem festen Strahl r bildet, so ist vermöge der eutaktischen Eigenschaft aller 
Strahlen r: 

2csp=(, Foo®y= 2 ‚ also Fsin’p = —z 
Bedeutet ferner y das Azimut zwischen dem Strahl s und einem Strahl og in Beziehung 
auf seine Axe v, so ist 


Sueosalr One, 


wenn diese Summe sich nur auf die u Strahlen oe, welche zu derselben Axe gehören, 
erstrecken. Ist nun w der wahre Winkel zwischen s und o, so ist 


% 


na 
) 


cos © — C0S ( C0S p - sin a sin Q cos b; 


folglich 
D u OR: Ger, 
2 cos w = u CoS A C0S Q, 2 cos’w= wu cos’a cos’p— 4 sn’asin®p, (1) 


und wenn man die Summen links auf alle Strahlen p ausdehnt, vermöge der zuerst 
gesetzten Gleichungen, 
(n —1)A Au 


n } ı u er ; 
cos w—=l0, 2cos:w = ucos’a- 3 - Fa sin?’a- a A (2) 


was zu beweisen war. 

Wir wollen nun zeigen, dass für jedes reguläre Polyschem die von seinem Centrum 
nach seinen Ecken gehenden Strahlen eutaktisch sind, indem wir, bei der Ebene an- 
fangend, nach und nach immer zu einer höheren Totalität fortgehen. 

I. Zweifache Totalität. Die Formeln 


ien—ı ien—1 


Din = e Jin N fun 6 
cos (« + —-) = (0 für n = 23,3,4,..., und cos? (« + —" fürn>2 
2 n 


2) 
n D) 


i=0 Sl! 


sind bekannt; folglich sind die Radien jedes regulären Vielecks eutaktisch. 


II. Dreifache Totalität. Dass die Summe der Projektionen eines Strahl s auf 
alle nach den Ecken gehenden Radien » eines regulären Polyeders verschwindet, folgt 
mit Ausnahme des Tetraeders bei den vier übrigen daraus, dass je zwei Radien ein- 
ander entgegengesetzt sind. Beim Tetraeder kann man es daraus schliessen, dass das 
Centrum zugleich Schwerpunkt der Ecken ist. 

Wenn u Ecken des regulären Polyeders im einer durch den Polabstand a be- 
stimmten Zone liegen, so sind die äquatorialen Projektionen der entsprechenden Radien 
o offenbar eutaktisch als Radien eines regulären «-Ecks. Sind dann p, w die Winkel, 
welche ein Strahl s mit der Axe und mit einem Strahl o bildet, so ist nach (1) 


' 1 P D 3 LRIEL ie, 
p=:cosw=u c0s4c0sp, g=Lcos’«u = u c0s?’a cos®’p +, sin?«a sin’ 9Q. 


Diese allgemeinen Formeln wollen wir nun auf jedes einzelne reguläre Polyeder an- 
wenden und in Bezug auf alle Zonen summieren. 
1. Tetraeder. Ein Radius gehe nach dem Pol; für diesen ist p = cos, q— cos’. 


Die drei übrigen Radien bilden eine Zone, deren Poldistanz a durch cos a = — — be- 
3 2 | BAR: \ wi 
stimmt ist, also p = — cosg, g= „ cos’p+ sin’. Wird die Summe aller Pro- 


. E ö e R 2 6 e H = 4 
jektionen mit P, die Summe ihrer Quadrate mit @ bezeichnet, so ist P=0, | = Ar 


2. Oktaeder. Die 6 Kadien können als positive und negative Hälften der Axen 
eines rechtwinkligen Koordinatensystems aufgefasst werden. Also ist P=0, Q = 2. 


€ 


3. Ikosaeder. Für den nach dem Pol gehenden Radius ist y = cos’. Dann 
kommt eine Zone, wo cos d — u=5 ist, für diese also q = cos®p + 2 sin? y. 
Die übrigen 6 Radien sind diesen entgegengesetzt; somit Q — 4. 

Aus den Werten von ( ist ersichtlich, dass die Radien eines jeden der drei an- 
geführten Polyeder eutaktisch sind. Werden nun vom Centrum aus nach den 
Mittelpunkten der in einem Eck zusammentreffenden Vielecke Strahlen gezogen und 
das Eck selbst als Pol aufgefasst, so sind die äquatorialen Projektionen jener Strahlen 
eutaktisch. Wird das Gleiche in Beziehung auf jedes Eck wiederholt, so fallen 
im Mittelpunkt jedes Vielecks so viele Strahlen zusammen, als dasselbe Ecken zählt, 
und da alle diese nach (2) eutaktisch sind, so wird man hieraus auch leicht auf die 
Eutaxie des Systems schliessen, worin jeder nach dem Mittelpunkt eines Vielecks 
gehende Strahl nur einmal gezählt wird, d. h. auf die Eutaxie der Radien des 
reciproken Polyeders. Also sind auch die Radien des Hexaeders und Dodekaeders 
eutaktisch, und die Butaxie ist somit für alle regulären Polyeder bewiesen. 

Durch eine ähnliche Betrachtung wird man sich auch überzeugen, dass alle 
Strahlen, welche vom Centrum eines regulären Polyeders nach den Mitten seiner Kanten 
gehen, eutaktisch sind. 


II. Vierfache Totalität. Wird ein Eck eines regulären Polyschems als Pol 
aufgefasst, so können die übrigen nach Zonen geordnet werden; und da alle zu einer 
Zone gehörenden Ecken sich entweder geradezu wie Ecken eines regulären Polyeders 
oder wie Kantenmitten eines solchen verhalten, so sind die äquatorialen Projektionen 
der entsprechenden Radien des Polyschems eutaktisch. Wenn daher u, a, 9, p, q eine 
ähnliche Bedeutung haben wie oben, so ist 


u . : 9 
— u C0S ad COS qg = ucos®®acos’p-+ — sin’asın?g. 
q ‚4 4 p 3 


1. Pentaschem. Für das als Pol gewählte Eck ist p = cos p, q = cos’; 


= . In er . 1 1 5.9: 

für die 4 übrigen ist cosa—= — ;; daher p= — cosp, 9=7, cos’p —+ z sin? p; 
r 

ale PAR (Or z 


2. Hekkaidekaschem. Die 8 Radien können als positive und negative Hälften 
der Axen eines orthogonalen Systems gefasst werden; also ist @ — 2. 

Ist die Eutaxie von den Radien irgend eines regulären Polyschems bewiesen, so 
folgt sie vermöge (II) und (2) auch für das reciproke Polyschem. Sie ist also nun auch 
für das Oktoschem bewiesen. 

Da das Eikosikaitetraschem die Ecken des Hekkaidekaschems mit denen des 
Oktoschems vereinigt, so sind auch seine Radien eutaktisch. 

3. Hexakosioschem. 


(CO ll so siateh 


b)) az, u=l,g—-12 cos? = cos? p -—- 4 sin? = sin? g, 
7T 
() a=z,u=20,9=5, 
PA; 2 22c 5 Loy 220g 
(O) = 5; u=12, g= 1208’ cos’ p + 4 sin’ sin’Q, 


eo) = =. Pal, N) nen: 


Die Werte von q für die Ecken (a), (b), (ce), (d) sind doppelt zu nehmen wegen der 
entgegengesetzten Radien. Da 


[6) ‘ 0) F 
PL; er 3 ER ZT > 
ee RR > sin? sn — = 
5 5 0 ns sin? > 1 
D 08 ? 120 © Dee c 
ist, so wird Q = 30 = 7 Wegen der paarweise entgegengesetzten hadien ist 


ohnehin P= 0. 
Aus der Eutaxie des Hexakosioschems folgt sogleich auch diejenige des Heka- 
tonkaieikosaschems. 
15 


— 1383 — 


IV. n-fache Totalität. 
1. Reguläres (n—- 1)-Schem (3, 3,...3,3). Für das zum Pol gewählte Eck 


ist p=cosy, q= cos’Y; für die n übrigen ist cos a = — n also p = — cos g, 
1 5 IK. ae ‚+1 
=, 08” p + u sin?’ 9; also zuletzt P=0, Q = 2 + . 
2. Reguläres 2n-Schem (3, 3,...3,4). Alle 2n Radien können als positive 
und negative Hälften der Axen des orthogonalen Systems aufgefasst werden; also 
Q0=2= 2m, 


Hieraus folgt die Eutaxie auch für das reciproke Polyschem, d.h. für das 
2n-Schem (4,3, 3,...3, 3). 

Ich muss noch bemerken, dass in dem für das (n-+-1)-Schem geführten Beweise 
die Richtigkeit der Formel für die (n — 1)-fache Totalität schon vorausgesetzt ward. 


Wir können das Bisherige in folgenden allgemeinen Satz zusammenfassen: 

Wenn in der n-fachen Totalität mehrere (mehr als zwei) von einem 
semeinschaftlichen Centrum ausgehende Strahlen, welche die Einheit zur 
Länge haben, auf reguläre Art geordnet sind, und man projiziert sie auf 
irgend eine Richtung, so ist 1. die Summe aller Projektionen gleich Null, 
2. das arithmetische Mittel der Quadrate dieser Projektionen gleich n. 


Es seien a, b,... die n Kosinus der Winkel, welche einer der A eutaktischen 
Strahlen mit den orthogonalen Axen bildet, 9, q,.... dieselben Grössen für irgend einen 
einzigen Strahl s, so ist 


2(ap+bg+::.)’= 2 
Da aber p,q,... beliebig sind, so folgt 
ni = a, N = a, etc, Lab=0, ete 
Ist nun noch ein zweiter Einzelstrahl s durch die Richtungskosinus p', q',.. .. bestimmt, 


und ® der Winkel zwischen den Strahlen s und s’, also os@=pp +44 + ::-., so 
folgt aus dem Vorigen leicht: 


F(lap+bga+--)(ap-+dbqd +: )= = cos ©. 


Aus dieser für eutaktische Strahlen überhaupt geltenden Formel folgt im besondern der Satz: 


— 139 — 


Wenn in der n-fachen Totalität Radien nach allen Ecken eines regu- 
lären Polyschems gehen, und man multipliziert für jeden derselben die 
Kosinus der Winkel, welche er mit zwei beliebig gegebenen Richtungen 
bildet, so ist das arithmetische Mittel aller so erhaltenen Produkte gleich 
dem n-ten Teile des Kosinus des von den zwei gegebenen Richtungen ge- 
bildeten Winkels. 

Diesem Satz, der endliche Summen zum Gegenstand hat, ist ein ähnlicher an 
die Seite zu setzen, welcher den Wert eines bestimmten Integrals angiebt. Da sein 
Beweis von gleicher Natur mit den in $ 19 geführten Rechnungen ist, so spreche ich 
hier nur den Satz selbst aus, ohne in jenen mich einzulassen. 

Wird das totale n-sphärische Kontinuum in lauter unendlich kleine 
Elemente geteilt, nach jedem derselben ein Radius gezogen und das Produkt 
der Kosinusse der Winkel, welche dieser Radius mit zweien beliebigen 
festen Richtungen bildet, mit dem entsprechenden Element selbst multi- 
pliziert, so ist die Summe aller so erhaltenen Produkte gleich dem n-ten 
Teile des totalen sphärischen Kontinuums, multipliziert mit dem Kosinus 
des Winkels der zwei festen Richtungen. 


Dritter "Del. 


Verschiedene Anwendungen der Theorie der vielfachen 
Kontinuität, welche das Gebiet des Linearen und Sphäri- 
schen übersteigen. 


$ 56. Bestimmung des Centrums eines quadratischen Kontimuums. 


Aufgabe. Es sei irgend eine Gleichung zweiten Grades mit den n Variabeln 
%y Co, .%, gegeben; man soll den Ursprung so versetzen, dass die mit den ersten 
Potenzen der neuen Variabeln behafteten Glieder aus der Gleichung wegfallen. 


Auflösung. Es seien 4, t,,...t,die Werte der Variabeln für den gesuchten 
eo] 1 2 n je) 
Ursprung, %, Yes --:Y„ die neuen Variabeln und t, ein die Einheit bezeichnendes 


Symbol, durch dessen Einführung die gegebene Funktion homogen wird. Das Polynom 
der gegebenen Gleichung gehe in 7 über, wenn darin 1, &,, &,,...x, durch to, tt, ... &„ 
ersetzt werden, und es sei 


so ist die transformierte Gleichung 
TH-DT+ _DT=0, 


und die Aufgabe ist erfüllt, wenn, unabhängig von den Werten der neuen Variabeln, 
DT=V( ist. Diese Bedingung zerfällt in die n linearen Gleichungen 


IT IT oT 
u ee, sea 


und so viele sind im allgemeinen nötig und hinreichend, um die n Konstanten t, ,t,,.. En 
zu bestimmen. Da die Gleichung 


re) oT 
ee 


— 4 — 


in identischer Weise besteht, so reduziert sich die neue Gleichung des (n — 1)-fachen 
Kontinuums auf 


TE TEE s 
2 84 —- 2 VDE REN ET re a (2) 
Ist irgend eine Lösung (Y,, Ys, - - - 4) bekannt, welche dieser Gleichung genügt, 
so wird nun auch die Lösung (— Y,, — Ya, --- — Y,), worin sämtliche Werte der 


Variabeln den vorigen gleich und entgegengesetzt sind, genügen. Jeder durch den 
Ursprung gehende und vom Kontinuum begrenzte Strahl wird also durch den Ursprung 
halbiert. Daher soll dieser Ursprung das Centrum des (n — 1)-fachen Kontinuums 
zweiten Grades heissen. 

Können die Gleichungen (1) nur befriedigt werden, indem man t, — 0 setzt, 
oder sind sie nicht alle unter sich unabhängig, so hat das Kontinuum kein wahres 
Centrum. 


Wenn mit dem Bestand der Gleichungen (1) zugleich auch — — () wird, so wird 


die Gleichung (2) in Beziehung auf die n neuen Variabeln homogen, und das Centrum 
selbst befindet sich im Kontinuum. Ist irgend eine andere Lösung (Y,, %s, - - - Y„) be- 
kannt und bedeutet % einen willkürlichen Faktor, so wird auch die Lösung (ky, , kys ,...ky,) 
der Gleichung (2) genügen. Da somit jeder das Centrum mit irgend einer andern 
Lösung des Kontinuums verbindende Strahl ganz in dasselbe hineinfällt, so möge es 
strahliges Kontinuum zweiten Grades heissen. Für ein solches muss demnach 
die Determinante der Koeffizienten aller n + 1 abgeleiteten linearen Polynome von T 
verschwinden; aber dieses Merkmal ist nicht hinreichend, wenn die vorhin erwähnten 
Ausnahmsfälle eintreten. 


$ 37. Bestimmung der Hauptaxen. 


Es sei f (x, Y, 2,...) eine homogene Funktion zweiten Grades der n orthogo- 
nalen Variabeln &, y,...., und f (x, y,...) = 1 die Gleichung eines Kontinuums zweiten 
Grades, wo das Centrum als Ursprung angenommen ist. Eine orthogonale Trans- 
formation der Variabeln stellt 4 (n — 1) Elemente zur Verfügung. Die Zahl der 
Glieder in @y, &2,... ist gleich gross. Daher ist es möglich, die Variabeln so ortho- 
gonal zu transformieren, dass in der Gleichung des Kontinuums die Produkte der Va- 
riabeln wegfallen, und nur’ die Quadrate bleiben. 

Es sei z=at+at! tat!" +--„y=bt+bt' 4D’i" tr... ete. die 
gesuchte orthogonale Transformation und pt? +-pt?’+p't'?—+--.—1 die trans- 
formierte Gleichung des Kontinuums. Es sei ferner 


5 df(&,y.:.)=Xde+ Ydy-+---, 


a 


und wenn in den linearen Polynomen X, Y,... die alten Variabeln durch a,b,... 
ersetzt werden, so wollen wir sie durch A, B,... bezeichnen, und ähnlich mit Accenten. 
Dann ist 

I yo yore Ar - By :-:-=pi 

te); E ’ 


u.s. f. mit Accenten. Diese Gleichung schliesst in sich die n Gleichungen: 


Ann Bi Slot 
A ey Sal Auaonı —=0, 
A 0 ar B Bu ai Ce" 4 ee, ie 0 
etc. 
Multipliziert man diese mit a, a’, @',... und addiert sie, ebenso mit b, U, b’,..., us. f., 


so ergeben sich die Gleichungen 
A pa WB - Pb — 0, ME pe 077 Ne 


Diese n Gleichungen sind in Beziehung auf «a, b, c,... homogen und linear. Man kann 
also die n— 1 Verhältnisse dieser Richtungskosinus eliminieren und wird eine Gleichung 
n-ten Grades P—= 0 erhalten, in der die einzige Unbekannte p vorkommt. Es sei p 
eine Wurzel dieser Gleichung, so wird dieser im allgemeinen nur ein System von 
Richtungskosinussen a, b, c,... entsprechen; und die in Beziehung auf die einzelnen 
Elemente der Determinante P abgeleiteten Funktionen derselben werden mit a?, ab, ac,...; 
ab, b2, be,...;ac, be, c?,...;... proportional sein. Wenn also «, ß,y,... die in die 
Diagonale fallenden abgeleiteten Funktionen der Determinante bezeichnen, so ist 


2 er D® [ü 2 7£ 


ee TFatptrt- atp+tyt. 0 Tarptı 


Für eine zweite von p verschiedene Wurzel p, der Gleichung P= 0 mögen a, b,c,..., 
A,B,...in a, d1,..., Ay, Bu, - - - übergehen, so ist auch 


Ana EB N AO: 


Multipliziert man diese Gleichungen mit a, b, c,.... und addiert sie, so ergiebt sich 


», (a +bb, tea +: )=Aa+Bb+ = Aa, +Bb + .—plaa, +bb, +) 
oder (pP —- 9) (Ca, +, ea +: )=0; 


folglich ER ara ee EEE 1] Ds are) 


— 143 — 


Wäre p imaginär, so könnte p, die konjugierte Wurzel sein; dann wären auch 
a, a; b, b,;... konjugiert, und daher könnte keines der Produkte aa,, bb,,... negativ 
sein, was der Gleichung (4) widerspricht. Die Gleichung P = 0 hat also lauter reelle 
Wurzeln. 

Die Elemente der Determinante P seien hl (5) ee EL 


1 2 3 


h i R 2 Hy - - \ ; : 
(;) — ) und, abgesehen von dieser Gleichheit je zweier in Beziehung auf die Dia- 


1 ö 
ok etc., wo ımmer 


gonale gleichliegender Elemente, sei 

a Zee 
d [G 2 @f 

BP ae 

(e) 


Da nun nr 1 ist, so folgt leicht, wenn P als Funktion von p aufgefasst und 


P (p-+- w) nach steigenden Potenzen des Inkrements ıw entwickelt wird, 


P(p+w=P(p -— w2|“]+ w*2|. 3 _ w"2|“ | +. ..+- wW".. . 0) 
Hat nun die Gleichung ? (p) = 0 nicht lauter ungleiche Wurzeln, und bezeichnet z. B. 
p eine Wurzel, welche m mal vorkommt, so behaupte ich, dass für diesen Wert von p 
alle (m—1)-ten abgeleiteten Funktionen von P (bloss formell verstanden, wie wenn sämtliche 
n®= Elemente der Determinante ? von einander unabhängig wären) verschwinden müssen. 
Zunächst ist nämlich klar, dass auf der rechten Seite der Gleichung (5) die Koeffizienten 
von w, ', °, ... w””! verschwinden müssen; und es soll gezeigt werden, dass daraus 
das Verschwinden aller (m — 1)-ten Abgeleiteten der Determinante P mit Notwendigkeit 
folgt. Ist dieses für m — 1 gleiche Wurzeln schon geschehen, so kann man auch ferner 
beweisen, dass es für m gleiche Wurzeln gilt. Um nicht weitläufig zu werden, wollen 
wir m — 4 setzen; das allgemeine ist aus diesem besondern Fall leicht zu entnehmen. 
Da, wenn die Behauptung für m = 3 richtig ist, die zweiten Abgeleiteten von P einzeln 
verschwinden, so kann man setzen: 


wofern nur nicht alle dritten Abgeleiteten der Determinante P auch verschwinden (in 
welchem Falle übrigens das zu Beweisende schon statt hätte). Dann ist, wenn die 
Zeiger «, 8,y von 1, 2,3 verschieden sind, 


«By Aa 2 
en 
also 
2[77]= [ij +++ tat tt ah 
+ lu :u,|?-tete. +|A, -A,.A,|? we) : 
DIn.o DR EU ERENEIE 


BE SUR 


Diese Formeln gelten für drei gleiche Wurzeln. Sind vier gleiche vorhanden, so muss 
aßy 
aßy 
deuten, gleich Null sein. Da aber im vorigen Ausdruck für dieselbe das mit ihrem 


ersten Gliede ı 3 | multiplizierte Aggregat aus lauter Quadraten besteht, von denen 


die Summe z| ie wo jetzt «, ß, y beliebige Zeiger mit Einschluss von 1, 2,3 be- 


23 
eines 1 ist, so kann dieses Aggregat nicht verschwinden; weshalb notwendig der andere 


> 123 > 3 
Faktor, das erste Glied h | der Summe, verschwindet. Das gleiche kann aber auch 
: 5 Sr By 5 123 
von jedem andern einzelnen Gliede der Summe F E h A gezeigt werden. Aus |ı 5 1 —( 
F 2: 


folgt, dass man setzen darf: 


Eve GD)+El)+: +5 a 
1234 
12338 
ausser den vier ersten Elementenreihen nicht auch noch die fünfte von den übrigen ab- 
hängt (in welchem Falle alle vierten Abgeleiteten der Determinante P verschwänden, 
also fünf gleiche Wurzeln vorhanden wären). Multipliziert man mit A, und summiert 
nach =4,5,...n, so erhält man 


sobald nur nicht alle | | verschwinden, was man immer wird vermeiden können, wenn 


ähnliche Ausdrücke für (5), (5): Die Formel (6) gilt also für i— 1,2, 3,4, 5,...n. 


2 3 


Da somit jede der vier ersten Horizontalreihen in ihrer ganzen Ausdehnung von den 


— 15 — 


übrigen abhängt, so müssen alle Determinanten, welche durch Weglassung von drei 
Horizontalreihen entstehen, verschwinden, d. h. alle dritten Abgeleiteten von P. Wenn 
also obige Behauptung für m = 3 richtig ist, so gilt sie auch für m = 4; und es ist 
leicht, diesen Beweis zu verallgemeinern. 

Wenn demnach eine m-fache Wurzel p der Gleichung P = 0 im Systeme (3) 
substituiert wird, so werden m seiner Gleichungen von den übrigen abhängig. Man 
kann daher m unter sich unabhängige Gruppen von Verhältnissen: 


angeben, deren jede dem System (3) genügt. Dann wird aber auch jede Gruppe 


Ga +82% +. +50): 8b, +: +8,b,)::.:.., 
WO &,&,...&,„ Willkürliche Faktoren bezeichnen, genügen. So wie nun jeder einfachen 
Wurzel der Gleichung P= 0 ein durch die Richtungskosinus a, D,e,... bestimmter 


Strahl als Hauptaxe entspricht, so wird demnach jeder m-fachen Wurzel ein m-faches 
lineares Kontinuum, bestimmt durch jene m unter sich unabhängigen Lösungen des 
Systems (3), entsprechen; und wie man auch innerhalb dieses Kontinuums m orthogonale 
Axen wählen mag, so kann man sie immer als Hauptaxen des gegebenen quadratischen 
Kontinuums auffassen. 

Setzt man in der transformierten Gleichung 


De Dt 


[77 


Ge 270250 erhältiman — _ als absoluten Wert der betreffenden Hauptaxe. 


) 

Ist p positiv, so wird die Axe der £ zu heden Seiten in gleichen Abständen vom Centrum 
durch das quadratische Kontinuum reell begrenzt; die Lösungen, in denen dieses ge- 
schieht, mögen Hauptscheitel des Kontinuums heissen. — Die Wurzeln der Gleichung 
P= 0 sind die umgekehrten Werte der Quadrate der Hauptaxen des quadratischen 
Kontinuums. Dieses hat also so viele imaginäre Hauptaxen, als die Gleichung P = 0 
negative Wurzeln. Soll das quadratische Kontinuum reelle Lösungen enthalten, so 
dürfen nicht sämtliche Wurzeln p negativ sein. Je nachdem nun die Zahl der negativen 
Wurzeln 0,1,2,...n — 1 ist, kann man n Gattungen von quadratischen Kontinuen 
unterscheiden. 


$ 38. Konjugierte Halbmesser. 
Die auf Hauptaxen und Centrum bezogene Gleichung des quadratischen Konti- 
nuums sei 2 15? 


RER EEE == 
u cm ler 1, 


— 146 — 


wo die Axen a, b,...d teils reell, teils rein imaginär sind. Es sei ferner a, ß,Y,...; 
@,ß,y,...5... ein orthogonales System von Richtungskosinussen, und t,f,t',... 
seien neue Variabeln eines schiefen Systems, in welche die alten übergehen durch die 
Relationen 


ı 1b TER JSBDEER tv n C 
m 0 wre re ee se tin ete., 


so ist die transformierte Gleichung des quadratischen Kontinuums 


E v2 le: 


a el a 
und Ah, W,W',... sind die Werte der konjugierten Halbmesser oder schiefen Axen 
des neuen Systems. Sind A, u,»,...; 4, w,»',...; etc. die Richtungskosinus der kon- 


jugierten Halbmesser, so muss sein 


seht A E HN" —---,, yzut+uWt Wi —+-->,ete. 
weraus folgt 
hr hu Be .. ale BMA Mas - KORRREe > 
N N ne gr a En ; etc. 


Die einzigen Bedingungen, durch welche Richtungen und Werte der konjugierten Halb- 
messer von einander abhängen, sind also folgende: 


9% uw vv 
a? 22 & 7) —= 0, etc ) A) 
l 1° u we LANE 1 1° Me .. ete | 
h? a? db? Zn IE TandE b2 BaRuN, 
Da überdies noch ? + wW" +: -=1,4”—+ w’—--::-=1, etc. ist, so enthält das 
R ee 1 B N : 
System der konjugierten Halbmesser nur 5 n (n — 1) freie Grössen. Es ist auch 


a RER? MOHN be Hu Eh? Wr, Vete: | (2) 
WAu+l’XwW--M”N WW —+:.:.-—=(, ete. | 


1 1 


1 ER: 1 1 
It <<. ."<,, 50 ist jedes —, 
a“ - d? W 


aa Ha 


e 1 9 a 3 En 1 
dem Maximum = enthalten. Ist ferner jenes negativ, dieses positiv, so kann z.B. 78 


5 AR: 1 
zwischen dem Minimum FE und 


den Nullwert passieren. Setzt man aber a*, b?,...d? sämtlich als endlich voraus, so 
ist aus den Gleichungen (2) klar, dass dieses nicht geschehen kann, ohne dass zugleich 


— 47 — 


B a = 1 h 
wenigstens noch ein reciprokes Halbmesserquadrat z. B. 78 durch Null geht. Bleiben 
bei diesem Uebergang alle andern Halbmesserquadrate endlich, so hat man annähernd: 


WANN’? —=0, Mu?+M?wW?= 0, ete, und durch Addition dieser Gleichungen; 


Au=Nu, ete, woraus A:u:v:...=X:wW:v:...folg. Wenn also ein reci- 
prokes Halbmesserquadrat unendlich klein wird, so muss wenigstens noch eines zugleich 
unendlich klein werden, und wenn dann alle übrigen endlich bleiben, so sind die un- 
endlich grossen Werte dieser zwei Halbmesserquadrate gleich und entgegengesetzt, und 
ihre Richtungen fallen unendlich nahe zusammen. Es scheint nun im allgememen 
immer möglich, ein System konjugierter Halbmesser von reeller Richtung allmählich 
durch eben solche Systeme hindurch in irgend ein anderes gegebenes System reeller 
konjugierter Richtungen überzuführen und dabei zu vermeiden, dass je mehr als zwei 
Halbmesser zugleich unendlich werden. Da nun bei jedem Durchgang bloss zweier 
Halbmesserquadrate durchs Unendliche beide vorher entgegengesetzt gewesen sind und 
nachher ihre Zeichen gewechselt haben, und da sonst kein Halbmesserquadrat sein 
Zeichen wechseln kann, so scheint es im allgemeinen unmöglich, dass in zwei Systemen 
konjugierter Halbmesserquadrate die Anzahl der negativen Quadrate verschieden sei. 
Um dieses noch strenger zu beweisen, schicke ich folgenden leichten Hilfssatz voran: 

Sind in der n-fachen Totalität nur m konjugierte Halbmesser eines quadratischen 
Kontinuums (oder auch nur das durch dieselben gelegte m-fache lineare Kontinuum) 
gegeben, so ist dadurch das (n — m)-fache lineare Kontinuum, welches die n — m 
übrigen konjugierten Halbmesser enthält, schon bestimmt; aber innerhalb desselben 
können diese übrigen Halbmesser gerade mit derselben Freiheit gewählt werden, wie 
wenn überhaupt nur n — m Variabeln in der quadratischen Gleichung vorkommen. 
Man kann daher sagen, in Beziehung auf ein gegebenes quadratisches Kontinuum in 
der n-fachen Totalität sei einem diametralen ım-fachen linearen Kontinuum immer ein 
bestimmtes (n — m)-faches lineares Kontinuum konjugiert. 

Beweis. Ist Ax®®+ By? +(Cz2’+--:-=1 die auf Centrum und Hauptaxen 
bezogene quadratische Gleichung, und ist ein diametrales m-faches lineares Kontinuum 
durch die Richtungen (A, u, »,...), (A, w,v,...), ete. bestimmt, so wird jeder dem- 
selben angehörende Strahl durch die Projektionen 089 A -@W + O'A' -L..., 
Bu+OwW-+0O'wW'—+:--, ete. dargestellt, wo ©, ©, ©',... ganz beliebige reelle 
Faktoren bezeichnen. Sind nun /, m, n,... die Projektionen irgend eines dem letzten 
konjugierten Strahls, so muss die Bedingung 


A(OA ONE" +--)I+-B(Ou+QOwW+O'W + :---)m-+ ete — 0 


erfüllt sein. Soll aber dieses unabhängig von den m Faktoren ®, ®',... geschehen, 
so zerfällt die letzte Gleichung in m einzelne Gleichungen, welche ein diametrales 


u 


(n — m)-faches lineares Kontinuum darstellen, welches alle dem gegebenen m-fachen 
linearen Kontinuum konjugierte Strahlen enthält. 


Satz. In jedem System konjugierter Halbmesser eines Kontinuums 
zweiten Grades sind immer so viele negative Halbmesserquadrate als negative 
Hauptaxenquadrate. — Oder: Wenn n reelle Grössen A, B,C... gegeben sind, 
und n Gruppen von je n Grössen (A, w»,...) (A,w,»,...), etc. den + n (n—1) 
Bedingungen AAX + BuW + Cvr +»: : 0, ete. genügen, so sind unter den 
n Grössen AR -+ Bu?+ 09? + :---, AX?+ Bw?+ @W?+---, ete. immer eben 
so viele negative, wie unter den gegebenen Grössen A, 5, (,... 


Beweis. Zwischen das System der Hauptaxen a, b,c,... und dasjenige der 
konjugierten Halbmesser h, W,h”,... kann man immer zwei Systeme kKonjugierter 


Halbmesser einschalten, welche unter sich n — 2 Halbmesser gemein haben, und von 
denen das eine mit dem Hauptaxensystem z. B. den Halbmesser «, das andere mit dem 
gegebenen Systeme konjugierter Halbmesser z. B. den Halbmesser 7 gemein hat. Denn 
a und h bestimmen ein zweifaches lineares Kontinuum, welchem das durch die zwei 


Gleichungen & = 0, Buy + Cvz-+---—= 0 dargestellte (n — 2)-fache lineare Kon- 
tinuum konjugiert ist. In diesem wähle man nach Belieben die konjugierten Halb- 
messer k,ko,...%,_s. Im zweifachen Kontinuum seien die Halbmesser a, a und h, 


konjugierte Paare. Dann hat man folgende Reihe von 4 Systemen konjugierter Halb- 
messer: 


(0.0 en (i Kurla, er a nu 


Für eine Kurve zweiten Grades ist nun der Satz bekannt; also sind in den Systemen 
(a, a) und (h, h) gleich viele negative Halbmesserquadrate. Nehmen wir nun an, der 
Satz sei für n — 1 Dimensionen bereits bewiesen, so enthalten auch die Systeme (b, c,...) 
und (a, k,ky,...%n-.2) gleich viele negative Halbmesserquadrate, ebenso die Systeme 
(b, Au, ka,...%k,_s) und (W,W,...). Also müssen auch die gegebenen Systeme (0,.0;:0,..2) 
und (h,W, h,...) gleich viele negative Halbmesserquadrate enthalten. Da nun der 
Satz für n— 2 gilt, so gilt er auch für n = 3, deshalb auch für n = 4, u.s. f.; also 
gilt er allgemein. 


Wenn wir der Kürze wegen jedes durch m Hauptaxen gelegte m-fache lineare 
Kontinuum einen m-fachen Hauptschnitt des gegebenen quadratischen Kontinuums 
von n Dimensionen nennen, so gilt folgender 


Satz. Werden alle m-fachen Paralleloscheme, welche aus den konju- 
gierten Halbmessern irgend eines Systems gebildet werden können, auf 
einen oder auf zwei verschiedene m-fache Hauptschnitte projiziert, so ist 


— 149 — 


im ersten Falle die Summe der Quadrate der Projektionen gleich dem Qua- 
drate des Produkts der m Hauptaxen des betreffenden Hauptschnitts, und 
im zweiten Falle ist die Summe der Produkte je zweier gleichnamiger Pro- 
jektionen gleich Null. 


Beweis. Nimmt man z.B. m = 3 an, so ist vermöge der Gleichungen (2) und 
nach Sätzen, die aus der Theorie der Determinante bekannt sind: 


abe—= |h’A—+h’N?—..., hiuth’XwW—+:---, hKiv+N®ivV-—... 
hua+MNWX +... -., Hu+h?wW?—+:-.-, Mur NW —.-- 
hyaN?VvX—---, Hyvathtv/W—+:---, My? +?! 4 
= || A IR EN er N er ae a a | 
KERN Ber A EU ER. REED RS NEUE IM | 
Tine Tara Ges er Be E11} PESE VER) ae 1 ag a Va a | 


— u el We re 


wo die durch !' bezeichnete Summe sich auf alle Kombinationen dritter Klasse, welche 
rt 


aus den n konjugierten Halbmessern h, W, hW',W",.... gebildet werden können, er- 
streckt. Da nun der Ausdruck 


Bahalıı A han A 
HN 


r rn 


vV.v.v 


z. B. die Projektion des von den Halbmessern h, W, h' gebildeten dreifachen Parallelo- 
schems auf den Hauptschnitt («be) darstellt, so ist hiemit der erste Teil des Satzes 
bewiesen. 

Wird dasselbe Paralleloschem (h WM’) auf die Hauptschnitte (abe) und (a b.d) 
projiziert, so ist das Produkt der Projektionen 


RIERE Aa SA SCH Kr 


r 


2 

ww. 
a 1 12) 
= 05 Ss 


und die auf alle Kombinationen der n Halbmesser h, h’, W',... sich erstreckende Summe 
solcher Produkte 


SI RaRHanT A Ana ME a 
’ [73 [77 

f ww. 

TE Ertl 


a | ge a a a | 
N ER RER Fa u"? 7. A RER, 
Di. DER, DANN MIFRISSECTHLBIER. WO EINER TER ZUR 
— | h2A2-H-W2N? +, MuAtlW?WN +-.-, hyithtvi+:-- | —ı 9230 0-0. 
hruth?’XwW---, Mu’Nh?W?+-.-, hvuthrwW—--- 0..8° ..01 
| MAELMENEIL..., NMusthiud—..-, NYyErhWVä-t... | Dane 


Es wird kaum nötig sein, dem hier behandelten Fall, wo die zwei Hauptschnitte, auf 
welche projiziert ward, zwei Hauptaxen gemein hatten, noch Beispiele der zwei übrigen 
Fälle, wo die Hauptschnitte entweder nur eine oder gar keine Hauptaxe gemein haben, 
beizufügen. Wir können demnach den zweiten Teil des Satzes für m = 3 als bewiesen 
ansehen. Wenn wir endlich auch, um in der schriftlichen Darstellung Raum zu er- 
sparen, den ganzen Satz nur für m = 3 bewiesen haben, so ist doch die Verall- 
gemeinerung des gebrauchten Verfahrens klar genug. 

Erste Folgerung. Die Summe der Quadrate der orthogonalen Projek- 
tionen aller aus den konjugierten Halbmessern eines Systems gebildeten 
m-fachen Paralleloscheme auf irgend ein gegebenes m-faches lineares Kon- 
tinuum ist konstant. 

Denn, wenn %z..B: 4m. —.3, ist, Land Ka4 Bm Huhn dis at )y. (QnsBe, Das dr, Se: 
(@, By, Ya, 04, - . .) sind die Kosinus dreier unter sich orthogonaler Richtungen, durch 
welche das gegebene dreifache lineare Kontinuum bestimmt wird, so ist z. B. die Pro- 
jektion des Paralleloschems (hl) auf dieses Kontinuum 


Wh |Aa taub 4, Ay te, Macke 
1a taf tt, Ko tut, A tußt-- 
Ka teßtr, Matwßtr, Matt: | 


— Anh Armee Rich ne &.ß,.0, | + ete 
N gn &y. Py- Ya Ps 0. 002005 
A FR &y. By. Y5 N neh 


Bezeichnet nun X eine Summe, welche sich auf alle Kombinationen Ah’, S dagegen 
eine solche, die sich auf alle Kombinationen « bc der Hauptaxen oder auch auf alle 
binären Verbindungen von zweien dieser Kombinationen erstreckt, so ist 


2 (Quadrat der obigen Projektion des Paralleloschems) 


)) 


— Su KemBra, La An ger 


&o. Pa. Ya au) 
&y. Bz- Ya Abk Wu 
an! lo | lee on se lee ame k.w.s } 
&g- Ba- Ya 02.1B20, | K. w. 2 M. w. 5 
Rz. By. %5 Qg. By: 05 ara 5.2 u 5 
—Sygalbien Korean 
@y. Pa Ya 


Da der letzte Ausdruck von den Richtungen der konjugierten Halbmesser unabhängig 
ist, so ist die Behauptung bewiesen. 


Zweite Folgerung. Die Summe der Quadrate aller m-fachen aus den 
konjugierten Halbmessern eines Systems gebildeten Paralleloscheme ist 
gleich, wie wenn das System von den Hauptaxen gebildet wird. 


Wird nämlich das Quadrat eines jeden der zuerst genannten Paralleloscheme nach 
$ 12 der Summe der Quadrate seiner Projektionen auf alle »n-fachen Hauptschnitte 
gleich gesetzt, und kehrt man dann in der so entstandenen Doppelsumme die Ordnung 
der Summationen um, so folgt die Richtigkeit der Behauptung sogleich aus dem ersten 
Teil des vorhergehenden Lehrsatzes. 


S 59. Berührende Kontinua ersten Grades. 


Wenn ein lineares Kontinuum eine Lösung und die derselben entsprechende erste 
Differentialgleichung mit einem höhern Kontinuum gemein hat, so ist jenes das Tan- 
gentialkontinuum für diese Lösung. Ist 


y 2 


a? 2 
na 


die Gleichung eines quadratischen Kontinuums, so ist für die Lösung (x, y, 2,...) die 
Gleichung des Tangentialkontinuums 


N yuy 22 


a oa 


>= 


wo die Variabeln ,y,z,... dem letzten linearen Kontinuum angehören. Dem vom 
Centrum nach der Lösung (x, y,....) hin gehenden Halbmesser h ist das diametrale 
Kontinuum, dessen Gleichung 


ist, konjugiert. Dieses ist also mit dem Tangentialkontinuum parallel. Der von der 
Lösung (x, ,...) ausgehende zum Tangentialkontinuum normale Strahl heisse die 
Normale jener Lösung. Setzt man 


iv Fe | D h PL 
a Te 
so sind 
pa Du pz 
gr ge 


die Richtungskosinus der Normale, und der Abstand des Centrums vom Tangential- 
kontinuum oder das Perpendikel ist e«x-+-ßy---::=p. Man hat also auch 


P=A®"+Bf+lCP—+---- 


Hieraus erhellt, dass, wenn vom Centrum aus auf der Richtung des Perpendikels sein 
reciproker Wert aufgetragen wird, die so erhaltene Lösung wiederum einem quadratischen 
Kontinuum angehört, dessen Hauptaxen zwar gleich liegen wie beim ursprünglichen 
quadratischen Kontinuum, aber die reciproken Werte haben, ferner, dass die Normale 


mit A parallel ist, und dass das Perpendikel den Wert . hat. 


Das Tangentialkontinuum schneidet das quadratische Kontinuum in einem (n—2)- 
fachen Kontinuum. Die Beschaffenheit desselben wird am leichtesten erkannt, wenn 
man das System der Hauptaxen in ein System konjugierter Halbmesser transformiert, 
welchem h angehört. Geht dadurch die quadratische Gleichung über in 


£ AL 
HL a ze ne 

wo H=H, so ist t=h die Gleichung des Tangentialkontinuums für die Lösung 
t=ht=t'"=...— 0), und das (n — 2)-fache Durchschnittskontinuum wird durch 
die Gleichungen 

r'2 v2 


H" t gg“ 4 


e® 2er: 
el, 7 = . 


dargestellt, ist also innerhalb der durch t— h bezeichneten (n — 1)-fachen Totalität 
ein strahliges Kontinuum zweiten Grades. Für dessen Reellität reicht es hin, wenn 
nicht alle Halbmesserquadrate 4’, H', H',... gleichartig sind. Diese Ausnahme er- 
eignet sich nur in zwei Fällen: 1. wenn alle Hauptaxenquadrate A, B,... positiv sind, 
2. wenn nur eines positiv, alle übrigen negativ sind. Daher der Satz: 


In den zwei Gattungen von quadratischen Kontinuen, wo entweder 
alle Hauptaxenquadrate oder nur eines positiv sind, hat jedes Tangential- 
kontinuum mit ihm nur die Berührungslösung in reeller Weise gemein; in 
den n — 2 übrigen Gattungen dagegen schneidet das Tangentialkontinuum 
das quadratische Kontinuum in einem strahligen Kontinuum zweiten Grades. 


Sind f, 9, h,.... die Werte einer beliebigen Lösung, durch welche ein Tangential- 
kontinuum an das gegebene quadratische Kontinuum gelegt werden soll, so muss die 
Berührungslösung (z, y, ... .) der Bedingung 


fz | 


enüsen. Diese stellt das polare lineare Kontinuum zu (/, 9, ...) dar. Alle Tangential- 
to} ’ I; , = 


strahlen, welche den Pol (/, 9, ...) mit je einer Berührungslösung (x, , . . .) verbinden, 
bilden ein umschriebenes strahliges Kontinuum, dessen Gleichung 


I a Sg BR NEL IN, ) ME NINE, =& 
14 Bere le Dez - as ET 
oder 

Wagen Me WEI 2% 

ZIR H+ etc. A B ee — U) 


ist. Der Beweis ist aus der Identität beider Formen dieser Gleichung zu entnehmen. 


Dass jeder vom Pol (f, 9, ....) ausgehende Strahl vom polaren linearen Kontinuum 
in Beziehung auf die beiden Lösungen, in denen er das quadratische Kontinuum trifft, 
harmonisch geschnitten wird, ist leicht einzusehen. Man braucht nur durch den Strahl 
ein zweifaches lineares Kontinuum zu legen. 


Wenn, wie bisher, A, B,... die Quadrate der Hauptaxen eines Kontinuums 
zweiten Grades, p das auf ein Tangentialkontinuum aus dem Centrum gefällte Perpen- 
dikel und «, , y,.... dessen Richtungskosinus oder, wenn man will, diejenigen der ent- 
sprechenden Normale bezeichnen, so war oben p= Aa®—+- BPß?+(y?-+ +». Versieht 
man nun in dieser Gleichung p, «@, ß,.... nach und nach mit den Zeigern 1,2,...n 
und setzt die entsprechenden Richtungen als sämtlich unter sich orthogonal voraus, so 

20 


folet soeleich aus den bekannten Eigenschaften eines orthogonalen Transformations- 
o- o- [eo] > 
systems 


P+pR+p+ - +p=A+B+C+--- 


Dann sind aber auch die entsprechenden Tangentialkontinua alle zu einander orthogonal; 


es seien 2, %, ... die Werte ihrer Durchschnittslösung. Dieselbe ist offenbar das dem 

Centrum entgegengesetzte Eck eines orthogonalen Paralleloschems, dessen Kanten 

Pi» Par «+ + 2m Sind; folglich ist ® + y’ + = mtmTt'':+ 9; also zuletzt 
a ER a ae EI 


eine Gleichung, welcher jene Durchschnittslösung genügt. Wenn also ein solches 
Eck, wie wir es früher als Masseinheit des n-sphärischen Kontinuums ge- 
braucht haben, von lauter Tangentialkontinuen eines quadratischen Kon- 
tinuums der n-fachen Totalität gebildet wird, so liegt dasselbe auf einer 
konzentrischen n-Sphäre, deren Radiusquadrat gleich ist der Summe der 
n Hauptaxenquadrate. 

Die entsprechenden Sätze für die Ebene und den Raum sind bekannt, der letztere 
trägt Monge’s Namen. 


$ 40. Bestimmung der Hauptaxen eines diametralen Schnitts; Definition der 


konfokalen Kontinuen. 


Dem Halbmesser h, dessen Projektionen x, y,... sind, sei ein diametrales lineares 


Kontinuum konjugiert; «, ß,... seien die Richtungskosinus der Normale des letzten, 
also « — A [= I, 3... Sind’mun (d, 8% 7, er), Vs.) else 


tungskosinus der Hauptaxen dieses diametralen Schnitts, Z’, R”, ete., deren Quadrate, 
so müssen die Bedingungen 


Dose BB, aa" + BB"+yy" +. =), ete. 
et +yy +... — dee, + Zt tr —ß eie 
a PB’ry’+:--=1, ete. 


erfüllt sein; und dann ist 


RULDBEN IR 
ea re 


Stellt man nun die Gleichungen 


« ne = Ze “ ia er _ 

Be a pt, Sn 

Hr th, 
etc. 


zusammen, multipliziert sie mit «, @, «',... und addiert sie, so folgt, nachdem man 
mit 4 — X’ dividiert hat: 


l [SC | [0 


Re am: N TE TER FEIN DR RO) 


Multipliziert man diese Gleichung mit A« und summiert sie in Beziehung auf A, B, (,..., 
so ergiebt sich 
Aa? BP? i Cy2 
AR BER Ge! 


.—=ß0, 


oder, wenn für «, ß, p,... ihre Werte a =; . . . substituiert werden, 
x Un — a .....—= 
AYA=R") 1% BIZERU) COLOR) AI Zn 
oder, da 
RR: 1 PH y re 
TEE ee er DT er ee 
ist, auch 
ar = y ie & Aa 5) 
ARE Ben gen IR GO) 


Wird diese Gleichung von Brüchen befreit, so erscheint sie im Beziehung auf die Un- 
bekannte Z2’ vom n-ten Grade. Da sie aber schon durch R’ = 0 befriedigt ist, so sind 
na 


ihre » — 1 übrigen Wurzeln gerade die gesuchten Quadrate KR, R”, R"',... der Haupt- 
axen des der Lösung (x, , ...) konjugierten diametralen Schnitts. 


Die Gleichung (1) giebt nun 


Bay: Win; Y 2 


N a, AeIRL: BER 


Wird (2) als Gleichung eines quadratischen Kontinuums aufgefasst und das entsprechende 
Perpendikel mit p' bezeichnet, so sind 


’ I) «£ ' I r 24 

= m fen hıcm 

zugleich die Richtungskosinus der Normale dieses neuen quadratischen Kontinuums. 
Wenn für zwei quadratische Kontinua die Hauptaxen der Richtung nach zu- 

sammenfallen. und die Hauptaxenquadrate des einen Kontinuums alle um gleich viel 

von den gleichnamigen des andern sich unterscheiden, so sollen sie konfokale Kon- 

tinua heissen. 


Wenn demnach in der Gleichung - —+ ge —+ = 1 die Hauptaxenquadrate 
A, B,... so variiert werden, dass immer dA=dB=d(0=-.-- ist, so stellt dieselbe 


eine Schar konfokaler Kontinua dar. Ist die reelle Lösung (z, y,....) gegeben, 
so zeigt die Diskussion der Gleichung, dass sie im Beziehung auf die Unbekannte A 
vom n-ten Grade ist, und dass ihre n Wurzeln immer alle reell sind; für die erste 


Wurzel sind alle Hauptaxenquadrate A, B, C,... positiv, für die zweite ist eines, für 
die dritte sind zwei, u. s. f., für die n-te sind deren u — 1 negativ. Setzen wir 
A>B>(C>-..-. und lassen A von 0 bis + & wachsen, so geht das quadratische 


Kontinuum n mal durch jede in der n-fachen Totalität enthaltene Lösung. Durch jede 
gegebene reelle Lösung gehen also immer gerade n konfokale Kontinua, und diese ge- 
hören allen n Gattungen von quadratischen Kontinuen an. 

Man kann auch leicht zeigen, dass zwei konfokale Kontinua derselben Gattung 


. er . = . Eu: x y* 
keine reelle Lösung gemein haben können. Sind nämlich Er — 5 = Verereye —le 
> y° c & 5 - 5 . 
T 5 —+ = 1 ihre Gleichungen, und zieht man diese von einander ab und di- 


vidiert durch A— A=B-B=(0-— (= etc. so folgt 


Di Y Zu 


Ar = BB' CC el ea (a) 


6) 


Da aber hier der Voraussetzung zufolge alle Nenner positiv sind, so kann die Gleichung 
für reelle Werte x, y,.... nicht bestehen. 

Gehören aber die beiden quadratischen Kontinua verschiedenen Gattungen an, so 
wird es in der Gleichung («) auch negative Nenner geben; diese ist daher möglich, und 
sie zeigt zugleich, dass die Normalen der konfokalen Kontinua in einer gemein- 
schaftlichen Lösung auf einander senkrecht stehen. 

Die obige Bestimmung der Hauptaxen eines diametralen Schnitts des quadratischen 
Kontinuums kann nun in folgendem Satze ausgesprochen werden: 


Ist ein diametraler Schnitt eines quadratischen Kontinuums gegeben, 
so ziehe man aus dem Centrum O den konjugierten Halbmesser OA, führe 
durch die Lösung A die n—1 konfokalen Kontinua und errichte in A auf 


— 157 — 


jedes die Normale. Dann sind die Hauptaxen des Schnitts mit diesen Nor- 
malen parallel, und ihre Quadrate sind gleich den Ueberschüssen eines 
Hauptaxenquadrats des gegebenen quadratischen Kontinuums über das 
gleichnamige Hauptaxenquadrat eines jeden konfokalen Kontinuums. 


$ 41. Fortsetzung der Lehre von den konfokalen Kontinuen. 


I. Konfokale Kontinua sind orthogonal. Schon bewiesen. 

II. Satz. Wenn n konfokale Kontinua, deren Centrum O, sich in einer 
Lösung P schneiden, und gilt P wiederum als Centrum einer Schar konfo- 
kaler Kontinua, deren Hauptaxen mit den Normalen der vorigen zusammen- 
fallen; werden ferner diese Hauptaxen resp. irgend n gleichnamigen Haupt- 
axen der vorigen n konfokalen Kontinua gleichgesetzt : so geht das so 
bestimmte quadratische Kontinuum durch OÖ, und seine dortige Normale hat 
gleiche Richtung mit den erwähnten gleichnamigen Hauptaxen der ur- 
sprünglichen Schar. 

Beweis. Der Ausdruck 


vi d Fr. (di=4B=dl=...) 


erhalte für A= A,, A, 4A,,... A, den Wert 1, oder, wenn man will, 4,, 4,,.:.4, 
seien die Wurzeln der Gleichung V= 1. Dann ist 


x gr y° 5 ; 
ee ABU: ee 
für jeden beliebigen Wert von A. Schafft man nämlich die Brüche weg, so sind links 
die höchsten Glieder vom (n — 1)-ten Grade; rechts sind die höchsten Glieder ABO... 
und — 4”, und es ist klar, dass bei ihrer Entwicklung die n-ten Potenzen der Variabeln 
A sich aufheben. Die vorliegende Gleichung ist also höchstens vom (n — 1)-ten Grade. 
Nun wird sie aber durch die n Werte A=4,4=4,4=4,,...4=4, befriedigt 
und muss also eine identische Gleichung sein. 

Multipliziert man die Gleichung (1) mit A und setzt dann A= 0, so erhält man 


n ARUAUE SEN Ai 


Re ne: 
ZeIeBIArSCH” 


We Or 


‚ ebenso y?: , etc. 


Lässt man A — A, verschwinden, so ergiebt sich nach vorhergegangener Differentiation 


Be Yy AH) AA An) 
ale + ARNO 


— 158 — 


Wenn man also die vom Centrum auf die Tangentialkontinua der konfokalen Kontinua 
gefällten Perpendikel mit p,, P3, - - - P„ bezeichnet, so ist 


Pe 4, B, Gr: Re 4 AB,0,..... ete 
ED ZTar 4,)14, = 2a en een 


Da diese Ausdrücke denen für «°, y°,.... genau entsprechen, wenn man 4, B,C,... 
mit A,, A,, A,,... A, vertauscht, so ist 


2 „ oe H »3 I: 
ae HEHE, 

Denkt man sich aber die Lösung (x, y,...) als Ursprung und die Normalen als neues 
Axensystem, so sind 9, Pa, - - - ?, die Werte der neuen Variabeln, welche dem alten 
Centrum O zukommen. Da nun die letzten n Gleichungen ein System konfokaler Kontinua 
darstellen, so ist die im Satz ausgesprochene wechselseitige Beziehung zwischen dem 
Centrum O und der Lösung P bewiesen. 

Il. Satz. Wenn n konfokale Kontinua, welche eine reelle Lösung 
gemein haben, auf einem beliebigen Strahle resp. die Sehnen 23, 28,23’,... 
abschneiden, wenn ferner X, H', H',... die Quadrate ihrer mit dem gegebenen 
Strahle parallelen Halbmesser, p,p' p',... die aus dem Centrum auf die 
Tangentialkontinua der gemeinschaftlichen Lösung gefällten Perpendikel 
bedeuten, so ist 


sp 2 s’p' % sp" 2 f SEE 2 1 
(er =) nu 7 Rem) He) el 


Beweis. Es sei (®,%,...) irgend eine dem gegebenen Strahl angehörende 
x IE: . 
ar I le am o 

A 5 1 gemein 
hat; dann seien rA,rwr»,... die Projektionen von LP=r auf die n Hauptaxen. 


Da A, u,»,... gegeben sind, so liefert die Gleichung 


Lösung Z, und P eine Lösung, die er mit dem Kontinuum 


(Hr  YyHru) 
A B 


| | 
„m 


= 


zwei Werte für die Unbekannte »; ihr Unterschied ist die Sehne 2s; ferner ist 


Mi 22 u? v? 

H A IE B } C t $) 
setzt man noch 

IE y 8: h a 7 


so wird die Gleichung für r: 


7? IE TR] = 
a (ae ln ne ei) 
Ei G Se )’ re 


woraus folgt, wenn man das Summenzeichen & auf die Variabeln x, y,... bezieht, 


DEIEHERZ 


Betrachtet man jetzt in der Gleichung V—= (0 ein Axenquadrat, z. B. A, als Unbekannte, 
bezeichnet ihre Werte mit A,, As, .. . . A,, die entsprechenden Perpendikel mit p,,Ps»---P, 
und die Kosinus der Winkel, welche der gegebene Strahl mit 
durch Z gelegten konfokalen Kontinua bildet, durch e&,, &,, 
Summenzeichen für den untern Zeiger öi= 1,2,...n, so ist 


den Normalen dieser 
.e, und gebraucht $ als 


A 25 oe: m= yszH, etc., 


2-88 (544), 5-23) a 


-4A—A; = 4; A A—4; 

2 NE u. Ey SAGE BAT Pi ‚Ax > &Ppi \2 
S 2 9. (3 aa ers, SS e) A SERVER (STE Een 9 
m Sup( — | A: >) | 4) ze 
also 

N rn =; 
a le 
aber z. B. 
© 2 as € 
——S$89|2— 25 -— 
daher 


ABCHTEN : 
überdies 
Are ABC - 
I , Aa z2)a 1), 
also 
()’- AAN An)E .g 2 2 
H Re) era ee Be en N 


— 160 — 


Ist nun @ die gemeinschaftliche Lösung der n gegebenen konfokalen Kontinua, welche 
durch die ersten Hauptaxenquadrate A, A’, A’,... bestimmt sind, und werden die 
Normalen dieser Kontinua in Q als Axen der Variabeln t, f,f',... eines neuen durch 
die Gleichung 
f? v2 gi 
zes 2 
= Im hd ER 7 1 


A-—U Am 


dargestellten Systems konfokaler Kontinua aufgefasst, werden endlich die Variabeln 
t,t,t',... dadurch völlig bestimmt, dass sie den Werten v=A,,u =A,,...u—=4, 
entsprechen sollen, so giebt die Gleichung (2) 


r 


DS Nana [DIENT una den ai < 
(7): Ss Gr) "se... 
Addiert man diese Gleichungen und bedenkt, das 2 98-4 ----+-&, —=1ist, so er- 
hält man 


(Bet 


+ = ..0.2.2..2.0@ 


IV. Setzt man 


le 2 Du 
Een { —- DI 
(A—4;)” N 4A:)* iD KATZ AR)= 1° 


woraus z. B. 
a ee Nie eh 
I = (9, A NASS AN 


folgt, dividiert die Gleichungen (3) resp. durch A— A, A'— A,4A’— A,... und 
addiert sie, so erhält man 


PERL: EL Re ! 


BO: yes u 


UM a ee ar 


Sind die konfokalen Flächen A, A’, A”,... und die Lösung Z (also auch A,,As,... A,) 
gegeben, so sind 9, 29,25 =» +5 Qıs des Qu bekannt. Man kann nun für die Brüche 
bestimmen die Gleichungen (5) die Richtung des von Z ausgehenden Strahls, welcher 
den genannten Bedingungen hinsichtlich der auf ihm abgeschnittenen Sehnen entspricht. 

V. Soll das quadratische Kontinuum, dessen erstes Axenquadrat A ist, den Strahl 


berühren, so muss die halbe Sehne s verschwinden; man bekommt so die Bedingung 
> [>] 


. beliebige Werte annehmen, welche der Relation (4) genügen, und dann 


& & N & 


up VEEEE ee le ea era BE: —(. En ES 6 
IE aa De een s (6) 


= af = 


Sie ist in Beziehung auf A vom (n— 1)-ten Grade. Irgend ein Strahl wird also 
gerade von n— 1 konfokalen Kontinuen berührt. Sind diese dieselben mit denen, 
deren erste Axenquadrate vorhin mit 4, A',... 4” bezeichnet wurden, so ist 
s=s’=...—0(, und die Gleichung (4) giebt ps = H. Sind die Kontinua A, 4, A",... 
alle fest, aber die Richtung des Strahls veränderlich, so ist » konstant, und s daher mit 
H proportional. D. h.: 


Wenn durch einen beweglichen Strahl das erste von n festen konfo- 
kalen Kontinuen geschnitten und die übrigen berührt werden, so ist die vom 
ersten Kontinuum auf dem Strahl abgeschnittene Sehne dem Quadrat seines 
mit dieser parallelen Halbmessers proportional. 


VI. Denkt man sich in der Gleichung (6) nur die Kosinus &,, &,&,..., va- 
riabel, so bewegt sich der Strahl um die Lösung ZL herum, indem er fortwährend das 
quadratische Kontinuum (A) berührt; er beschreibt also um dieses ein strahliges Kon- 
tinuum. Die Formel (6) liefert dann den Satz: 


Wenn aus einer beliebigen Spitze einem quadratischen Kontinuum ein 
strahliges Kontinuum umschrieben wird, so sind seine Hauptaxen die Nor- 
malen der durch die Spitze gelegten mit dem erstern konfokalen Kontinua, 
und die unendlich kleinen Hauptaxenquadrate sind proportional mit den 
Ueberschüssen eines Axenquadrats des gegebenen Kontinuums über die 
gleichnamigen der konfokalen Kontinua. 


VII. Bei diesem Anlasse wollen wir auch den allgemeinen Fall untersuchen, wo 


ein quadratisches Kontinuum überhaupt einem andern umschrieben ist. — Betrachten 
wir zuerst zwei quadratische Kontinua, die sich schneiden, und setzen u —=(, v = 0 
als Gleichungen derselben, so wird « -- Av = (0, wo 4 einen willkürlichen Faktor be- 


deutet, jedes quadratische Kontinuum darstellen, welches durch das (n — 2)-fache Kon- 


tinuum des Durchschnitts geht. (Durch 5 n (n 4-3) Lösungen wird nämlich im all- 


gemeinen ein quadratisches Kontinuum bestimmt. Wählt man nun —n (n 3) —1 
Lösungen auf dem Durchschnittskontinuum und eine ausserhalb desselben auf dem durch- 
gelegten quadratischen Kontinuum nach Belieben, so befriedigen jene Lösungen die 
Gleichung u + Av = () schon von selbst, und diese einzige Lösung dient zur Bestimmung 


des Faktors 4. Da jetzt das durch «u -- Av —= 0 dargestellte Kontinuum mit dem vorigen 


D} 


5 n(n +3) Lösungen gemein hat, so fallen beide in ihrer ganzen Ausdehnung zu- 
sammen.) Macht man nun die Polynome z, v durch Einführung einer (n —- 1)-ten 
Variabeln homogen und setzt die Determinante der zweiten abgeleiteten Funktionen 
oder die Funktionaldeterminante vV(n--Av) = 0, so bekommt man eime Gleichung 


21 


al 


(n -+ 1)-ten Grades für A, durch welche die Bedingung eines strahligen Kontinuums 
ausgedrückt wird, das durch jenen Durchschnitt gehen soll. (Siehe die Bemerkung am 
Ende von $ 36.) Es giebt also solche strahlige Kontinua, seien sie nun reell oder 
imaginär. — Nehmen wir jetzt an, der Durchschnitt sei im Besondern eine Berührung, 
d.h. für jede gemeinschaftliche Lösung der Gleichungen x = 0, v — 0 seien die n—-1 
ersten abgeleiteten Funktionen von ı mit den entsprechenden von v proportional, so 
sind sie es auch mit denen von « — Av, d.h. alle in der Gleichung v +-Av—=( ent- 
haltenen quadratischen Kontinua berühren einander in der ganzen Ausdehnung eines 
(n — 2)-fachen Berührungskontinuums. Unter diesen giebt es strahlige Kontinua. Ist 
ein solches nicht schon linear, so liegt das Berührungskontinuum ganz in dem (n—1)- 
fachen linearen Polarkontinuum seiner Spitze. Hieraus fliesst der Satz: 

Wenn zwei quadratische Kontinua sich in einem (n—2)-fachen Kon- 
tinuum berühren, so fällt dieses Berührungskontinuum ganz in ein (n —1)- 
faches lineares Kontinuum. 

Wird dieses lineare Kontinuum durch die Gleichung s = 0 dargestellt, so muss 


2 


also v die Form wu —- ks’ haben, wo %k einen willkürlichen Faktor bedeutet. Setzen 
wir nun 
u =... — 1], s=adaetbyt.:-— 1, 


so wird 


Sl HE 


die Gleichung irgend eines dem Kontinuum « —= 0 umschriebenen Kontinuums_ sein. 
Wir suchen zunächst die Werte f,g,h,... seines Öentrums. Setzt man f,g,h,... 
anstatt x, Yy,..., so sind sie durch die Gleichungen DIE | 0 Bra 0, etc. bestimmt. 
Also ist N ; 

Z Ziskaıs —0R 


Multipliziert man diese Gleichungen mit Aa, Bb,... und addiert sie, so erhält man 


1 


Ser — (NM 5 = TERZA@" 


kAu kDb 


alersueN N geapzaa net 


Hierdurch sind die Werte des Centrums bestimmt. Setzt man nn 2 =f-+%, 
y=9+Y,..., so wird 


"2 x 
v—= SS I%Bae 9 _1, w@-— & 


A 1 Ek2Aa8 


—. 163 — 


Es seien ferner 4, «, »,... die Richtungskosinus einer Hauptaxe, ı (1 — ©) das Quadrat 
derselben, = «aA--Dbu-—---, so hat man 


A y\ 
— + kAa=—, etc, 
A w 


also 
R Aa i Bb 
ll Zzm® w—= kA w Mm etc., 
und wenn man diese Gleichungen mit a, b,... multipliziert und addiert, 
 A@ (Aa)’ = ) 
1l=-kw2-_=%k (= ee | «) r 
A—w A-w 
oder 
(Aa) l Se 
y \ Zul E N 
A—w 9’ oder Tan 
Es ist ferner « = £ b I, ete., also 
; 94’ oB' Dur: 
ee Te Eu 
ee ao ee 
o A o A a8 SE 
A 


Die Gleichung des umschriebenen Kontinuums kann jetzt unter der Form 


EN EAN )(@ Vak, )- @ az = 
= IEBIM 5 S A 1 Be l RENTEN LEE 5 2 
. ” . r . G 
gegeben werden. Es sind dann fg, h,... die Werte seines Centrums, > I 


diejenigen des Pols des (n — 1)-fachen linearen Kontinuums, welches durch die Berüh- 
rung gelegt ist. Wird das Centrum festgehalten, so kann also der Pol sich nur auf 
dem Strahle bewegen, welcher beide Centra verbindet. Man verändere nun die linearen 


. . . - . . + e. . [7 
Dimensionen des ersten quadratischen Kontinuums im Verhältnisse 1: ©, und lasse 
dieses neue dem ersten ähnliche und konzentrische Kontinuum eine Schar konfokaler 


Kontinua bestimmen, von denen n durch das zweite Centrum (/, 9, . - -) gehen werden 
und durch die Gleichung ® = 9 dargestellt sind, wo man für ıw nach und nach 
n verschiedene Werte zu denken hat. Da aus den obigen Relationen jezt leicht 
h J i SE i 
u... ; 0, :- ++ folgt, so sind die im zweiten Centrum er- 
N A—w'’B—-w'C—w st, 


richteten Normalen der Richtung nach die Hauptaxen des umschriebenen zweiten Kon- 
tinuums, und im Ausdruck ıv (1— ®) sind alle entsprechenden Axenquadrate enthalten. 


164 


Durch diese Erörterung ist die Aufgabe gelöst, einem gegebenen quadratischen 
Kontinuum (dessen Centrum O) ein anderes umzuschreiben, wenn sein Centrum ZL und 
auf dem beide Centra verbindenden Strahle O Z nach Belieben ein das Berührungs- 


kontinuum bestimmender Pol P (0 17 — Ss 0) L) gegeben sind. 


S 42. Reduzierte Form der Differentialgleichung zweiter Ordnung eines 
S 1 
höhern Kontinuums. 


Es sei f (x, y,...) = 0 die Gleichung eines höhern Kontinuums, &,v,... seien 
die (als unendlich kleine Grössen erster Ordnung zu denkenden) Inkremente der n- 
Variabeln x, y,..., und 


“ein Ableitungssymbol, für welches &,v,... als konstant gelten; dann ist bis zur zweiten 
Ordnung der Inkremente 


ats 4+u..)=f@y..)+Df+z DDf=0, 
also 


Df+,DDf=0, 


und da D_Df von der zweiten Ordnung ist, so muss auch D_f von der zweiten Ordnung 


sein. Sind nun 4, u,... die Richtungskosinus der Normale, uf — Iren - a 


also 
Drau nn) Zr 


so ist auch £, oder „die Entfernung der Lösung (e +&,y--v,...) des gegebenen 
höhern Kontinuums vom linearen Tangentialkontimnuum‘, eine Grösse zweiter Ordnung. 
Demnach ist in der vollständigen Gleichung DDf=D. Rt=tDR--RDt rechts 
das Glied DR als Grösse dritter Ordnung im Vergleich mit Di=&DA+vDu--:- 
als einer Grösse zweiter Ordnung zu vernachlässigen, sodass man einfach hat: 
DDR — BR Dit, Bolelichzist 


die Differentialgleichung zweiter Ordnung des gegebenen Kontinuums. 


— 165 — 


Es seien jetzt E= At «dt! at... v=ut+ßt+ Pt ---, etc. 


2 Andrang 2 
orthogonale Transformationsformeln, durch welche Dt in „+ + + - übergeht, und 


die Ableitungssymbole mögen sich nur auf A, u,»,..., aber nicht auf die übrigen bis 
jetzt noch unbestimmten Richtungskosinus beziehen, ebensowenig auf t,t',.... Es 
sei ferner 


Dee nn +’ Br + eul=a" — +" y +, etc; alo D=t!ö+td'+---; 
9(Dt r ot ot 88 | dv ; ; 
daher ur —=0öt-+D PT aber m A wteH +. =iatuß:: 


was bloss formell zu verstehen ist; also D = —eDA+8'Du-+t::-:- Nun ist 
öDf=Döf, oder 


(RD) = «Dot ı BD Be Dee 
oder 
tÖR+Röt=R(«Di-+P'Du-+-- )+(Ad+uß+::-)DR. 
Da aber £ von der zweiten Ordnung und A«@-—-uß-+ --- — 0 ist, so folgt 
öt=«@DA+PB'Du-.:.:- 
Demnach ist endlich 
BDA) a, ıy 
oe Ka öt, 
oder, da Dt = —, — = —+ » » » vorausgesetzt war, 
dt HVö+--- 
Da diese Gleichung in Beziehung auf £',t,... identisch, und-ohnehin wegen AH u. -—1 
auch AöOR + udu-..:—= 0 ist, so darf mant= A, t'=«a,t’—=«”,... darin sub- 
stituieren, wodurch <= 1,v=&=..-:- — () wird, und bekommt 
° — dA, ebenso r = (m, L eo Weten 


oder in explieiter Form: 


DRUM Me, BO one a 
(d= = a Dun Tips neue | 
* Br ) 
OR, Iu 1 , Or 
due | 7 / gel L... = 
d, 7 (# mL; as tin 0, | 
etc. 
Eliminiert man aus diesen n Gleichungen die n— 1 Verhältnisse @': B': y:..., 
so scheint sich auf den ersten Blick eine Endgleichung n-ten Grades für die Unbekannte 
ee ER : 2 29 2 
= zu ergeben. Das von derselben freie Glied ist aber die Determinante 2 + - dy Sr 
und muss wegen der Gleichungen 
0% du Or 
En Ki a ne a ale] 
8A. 0. du Da .. | 
5, Ra a EA — 
Iy ne Iy Iy u 0, 
etc. 
verschwinden, da 4, u, »,... nicht alle zugleich verschwinden dürfen. Jene Endgleichung 


hat also den Faktor _,, den wir nicht brauchen können, und erniedrigt sich nach Ent- 


fernung desselben auf den (n — 1)-ten Grad. Bezeichnet man ihre n — 1 Wurzeln mit 


1 1 1 B b SR c > B 
arena etc., so geben die Gleichungen («) für jede derselben im allgemeinen nur eine 


ee 

Gruppe bestimmter Verhältnisse («: ß': y: .. ..), (@’: B’: y':...), (@': B":y':...), ete., 
und es bleibt noch nachzuweisen, dass diese Verhältnisse wirklich den ÖOrthogonalitäts- 
bedingungen genügen. Multipliziert man die Gleichungen (a) mit A, u, »,... und addiert 
sie, so ergiebt sich 


NOTHBEhE u een eer—: 


0 


S 


Multipliziert man sie mit Z, so erscheinen sie unter der Form: 


Sl Her RE, PER 0 ER 


Iy [Ü 
Multipliziert man jetzt die Gleichungen mit «@', 8"... und addiert sie, so erhält man, 
da schon Ad’ uß”-—- --- — 0 bewiesen ist, 


if - a (ee + B'B"+- - -), ebenso d’df = z Ca 2 1 2 OD 


S 


a 


da aber 06 f= 66‘ f ist, so folgt hieraus 


r 


R l l B > E 
und, wenn die Wurzeln — » „‚, ungleich sind, notwendig 
el. 


Hieraus kann ebenso, wie bei der Bestimmung der Hauptaxen eines quadratischen Kon- 
tinuums in $ 40, geschlossen werden, dass, wenn alles übrige reell ist, immer alle ge- 
suchten Grössen 0',_’,... und die entsprechenden Transformationselemente @,?,... 
reell sein werden. 

Was den Fall betrifft, wo die Endgleichung für o dieselbe Wurzel mehrfach ent- 
hält, so weiss ich da nicht anders zu helfen, als indem ich dem System der Gleichungen 
(a) eine Form gebe, wo die Vertikalzeilen der Koeffizienten mit den Horizontalzeilen 


gleichen Rangs übereinstimmen, nämlich: 


ON If. I 
5° DANN ß 9:7? ll 
a SIE ‚ Or OR 1 un 
dr (dr } )« 92 dy N ee v) 
DONE SEHE OT ae Bi nahen Mh & 
Iy } dIy da (or ) dIy de’ zn? 
Ola NER GE ra Ne ru er 
PERL 82 0x ° ur 92 dy ee (Be R )r j % 
etc. 
Hier ist !— =: W—= — d' log R. Die Form dieses Systems giebt auch sogleich zu 


erkennen, dass die Endgleichung in $ nur vom (n—1)-ten Grade ist. Wendet man 
auf dieses System die gleichen Schlüsse an wie in $ 40, so gewinnt man auch die Ein- 
sicht, dass, wenn die Gleichung für s’ z. B. eine m-fache Wurzel hat, auch ın Gleichungen 
des Systems von den übrigen abhängen müssen, sodass man statt der gesuchten ein- 
fachen Richtung ein m-faches lineares Kontinuum erhält. 


Zu den Gleichungen (b) gelangt man unmittelbar so. Es war Df-+- = DD N: 


und es sol Df=R(QAE+tuuv+-- )=Rth X” + W@+--- =|1, ferner, wenn 
E=At+atf+ at" ..-, ete. orthogonale Transformationsformeln sind und t= 0 


gesetzt wird, DDf= st’+s’t’’+ --- sein. Dann ist st! = = . DDf, und, wenn 
9) ’ ’ 0) [2 . rı# vn - - 
ar NM: = u) dy =...— 06, ete. gesetzt wird, s!—= Dodf. Da diese Gleichung 


de 
in Bezug auf ?',t",... identisch ist, so kann man auch !'=«',t"=«',... setzen, 
aa ee De , also EN 9 Laer 
wdurh$=1-A,v=—-Auf=—4», also D= ze ( Te -) 
wird. Setzt man nun abkürzend 
u N NER N 
en Mi — USE E en are za NE > 
Bv-adatadg,d r (5,0 5 ) IR, 
also W— — d’log R, so hat man 
EEE ch er 
BR — 0) dx De) etc., 
woraus durch Entwicklung die Gleichungen (b) hervorgehen. 
> } 
Setzen wir nun != — ne N — —r ‚... (ändern also die Vorzeichen der früher 


gebrauchten @,_',...), so nimmt die zweite Differentialgleichung des gegebenen höhern 


Kontinuums die Gestalt 


et? za y’2 
Ve een mr 


[0 [0 
x x 


an. Denkt man sich im Tangentialkontmuum t = 0 von der Berührungslösung aus 


irgend einen Strahl » gezogen, der mit den orthogonalen Axen der f,f',... Winkel 
bildet, deren Kosinus €, €',... seien, so ist 

9 e? Eu RUE 1 

770 —— r Se Erg =F vr H — ns 

Y R 0 0 k 


Da das Aggregat auf der rechten Seite dieser Gleichung nur gegebene Grössen enthält, 
so ist k konstant, und man kann den Schnitt ("’= 2%t) des durch die Variabeln t, » 
bestimmten linearen zweifachen Kontinuums (Ebene) als Kreisbogen auffassen vom Halb- 
messer /k; sein Centrum hätte die Werte + Aula Wil. Wir nennen + die 
der Richtung r entsprechende Krümmung des höhern Kontinuums, / den Krümmungs- 
radius, - .. . die Hauptkrümmungen und die entsprechenden Richtungen 
(, By...) (@, By». .), etc. die Hauptkrümmungsrichtungen. Ist 


EN 1 1 
I <H<m<rrt<oo 


vr 
0 [d) 0 [ds 
S x S x 


so ist 


unter den Hauptkrümmungsrichtungen ist also eine die Richtung der grössten, eine 
andere die der kleinsten Krümmung. 


— 169 — 


Satz. Werden in dem (n—1)-fachen linearen Tangentialkontinuum 
aus der Berührungslösung Radien eines regulären Polyschems gezogen, so 
ist das arithmetische Mittel der allen diesen Radien entsprechenden Krüm- 
mungen des höhern Kontinuums gleich dem arithmetischen Mittel der n—1 
Hauptkrümmungen und bleibt also konstant, wenn auch jenes reguläre 
Polyschem um sein Öentrum gedreht wird. 


2 en 1 €? a ; © 
Beweis. Oben war die Krümmung a Senn Bea. die 
u x 
Hauptkrümmungsradien und €, €',... die Kosinus der Winkel bezeichnen, welche die 


. en 1 2 = . F 
Richtung der Krümmung 7, mit den n — 1 Hauptkrümmungsrichtungen bildet. Da nun 


vermöge $ 35, wenn das Symbol M ein arithmetisches Mittel anzeigt, im Sinne des 


Y [2 rn2 1 > 
ausgesprochenen Satzes M -E’=N.E' =... = Dei ist, so folgt 
1 1 ad 1 

. — 1 Tale » 

MT a1 (er Ta j odeı 
1 1 

M-—=M 

k [Ü 


Da weniestens für den Raum die Summe und das Produkt aller Hauptkrümmungen 
= pP 8 
von Bedeutung sind, so wollen wir aus der algebraischen Gleichung für o die betreffenden 
Ausdrücke herleiten. Der Krümmungsradius o ist hier so zu verstehen, dass 2 — Ao, 
Y— w0,.... die Werte des Krümmungszentrums sind. Wir können den (n — 1)-ten 
Teil der Summe aller Hauptkrümmungen auch mittlere Krümmung nennen; die al- 
gebraische Gleichung, welche aus dem Systeme (a) durch Elimination der Richtungs- 


kosinus «, ß, Y, -.. hervorgeht, giebt für dieselbe den Ausdruck 
1 1 IA ; Iu d VE ) 
M: oe n—l (d= on Soz 
Entwickelt man die Determinante der Koeffizienten in den Gleichungen (b), so bekommt 
die höchste Potenz s’”-' den Koeffizienten — (— 1)"-'R’, und da s”"'— R""':0"' 
ist, so erhält man für das Produkt aller Hauptkrümmungen den Ausdruck 
nr Ta Te TE 3 Eu: ABER = 
San a di En] Weaa  olmaı ne 


Or 
8% od: drdy Or dz 
ER 2 


du Oydr Ay: dydz 


|» 

Am Ende dieses Paragraphen gebe ich noch einige mehr unmittelbare Ausdrücke 
für die Krümmung und für ihre Variation. Oben waren die Hauptkrümmungsrichtungen 
durch die Gleichungen 


[837 
[53] 


a' or A r ’ PN 
eh eh... - 0, a 
bestimmt. Geht nun im Tangentialkontinuum von der Berührungslösung aus irgend eine 
Richtung, welche mit den Axen der &,y,... Winkel, deren Kosinus «, ß,y,..., und 
mit den Hauptkrümmungsrichtungen Winkel, deren Kosinus €, €',... sind, bildet, so ist 


AN 


e=det We +, B=efpeEtPed + ---, etc; 


also 
IR EIER a 2 le ae Mae arg! Bi PAR e 
dx + Iy re # y g’ = .. 
du Da nalen: IE ec 
* DE ß dy eu I o' Ti g’ En gu2 etc., 
I 0% du u ur: ge’? g'2 1 
«(e 5, Eine +) ! B(e 55 Ra, 1 wa N etc. — 7, — +4 


oder, ade = ads, dy=Pds... ds=dx+dy+---, auch 


1 _ deddI+dydutrdedv +--- 


k de+tdy+rdst.. 


dies ist der anfangs erwähnte Ausdruck für die allgemeine Krümmung. 
Derselbe soll nun bloss in Beziehung auf die Differentiale dx, dy,... variiert 
werden, und d sei das Symbol dieser Variation. Es ist 


Zazsddl=ward(Rdi+AdR)=REdedda+sdRErda; 


ai — 


also, da 2Adxz = (0 sein muss, Sdxdd — R&dxddA. Andererseits ist 


sadf- Ayay +, ddy+ ET ddz+.- 


daher 


le of De 
Zdröd, - 2 (5 zn dy+ y./,de- .)dde 


—a0f.ddx +dyl- ddy+---=Z(RdatAdR)ödx= REda.öddx-+dRZidda. 


Da aber Zi dx = 0 ist, so folgt auch 2Addx —= 0; also ist 2dadd = = R3dıA.dda. 
Aus beiden Verwandlungen folgt endlich 


SO OR ES ON: 


—- 71 — 


Mittelst dieser Relation ergiebt sich nun leicht 


’ (a2— )542 + (du — P)\öay+ (v— F)ödz+:-- ; 
d Be: - da? Zt dy® a5 dz? we 


Wenn diese Variation, unabhängig von den Variationen dd, dödy,..., ver- 
schwindet, so möge das betreffende k durch o ersetzt werden; man erhält dann die Be- 
dingungen 


End ady ade 
ee 


welche die Bedingung Adz+-udy--vdz--.--=0 schon im sich enthalten; es ist 
sogleich klar, dass sie mit den Gleichungen («) zusammenfallen; sie dienen daher eben- 
falls, um die einer Hauptkrümmungsrichtung entsprechenden Verhältnisse da:dy:dz:... 
und den zugehörigen Hauptkrümmungshalbmesser o zu bestimmen. D. h. dieselbe ana- 
lytische Bedingung dk — 0, welche den grössten und kleinsten Krümmungshalbmesser 
liefert, giebt zugleich alle Hauptkrümmungsrichtungen samt den zugehörigen Halb- 
messern. 


$ 43. Ueber orthogonale Kontinua überhaupt, und über die Hauptkrümmungen 
eines quadratischen Kontinwums. 


Definition. Wenn n Funktionen f, f,f ,... der n Variabeln x, y,... so be- 
5 St - 
schaffen sind, dass die 5 n (n— 1) Gleichungen von der Form 


DPA N KOTOL SEN In 


9:02 " Ayday \ 8208 


alle in identischer Weise bestehen, so bilden die n durch die Gleichungen / = const., 
f = eonst., f''—= const., ete. dargestellten Scharen (n — 1)-facher höherer Kontinua ein 
System orthogonaler Kontinua. 

Dass solche Systeme auch für eine beliebige Dimensionszahl existieren, ist durch 
die konfokalen Kontinua zweiten Grades bewiesen. 

Satz. Orthogonale Kontinua schneiden einander in den Haupt- 
krümmungsrichtungen. 


Beweis. Es sei or — = le er —l, u = Ri, 
an — Rw,..„ Au’... —1], etc, so sind A,u,...; A,w,...; etc. orthogonale 


Transformationselemente. 


Wenn man also die Gleichungen 


Fanart ndyt = rdatWdy+:-sete. 
mit A,A,... multipliziert und addiert, so folgt 
aaa rn dyan rw re. sete. 
Daher ist, wenn man jetzt f, f, f ‚... als die unabhängigen Variabeln ansieht, 
wir 7 Rp, ur . ; ete. 


Y 7 0) 7 0) u ib all. 94 
a ma di 
betrachten. Zuerst folgt aus der Gleichung AA’—uw’—+---—=0(, wenn sie in Be- 


ziehung auf f' differentiiert wird, sogleich 


BE 
he Kine . . . . . . . . . . . (1) 


Zweitens folgt aus den Gleichungen A—= R I ..., dass 


dx 
9-R 
we 7 On 77 0° 2 OR y ck: 
ist. Da aber zu =- = R=*+ 2’— 0 ist, und der Ausdruck NA” non Ver- 
tauschung von f und f’ ne geändert wird, so folgt 
Mais Ren ‚ ko „OA! 
v ee ae ” Br > Se 
RR2A Bar R2z1 If —ne Aa a: (2) 
Wegen der Relation (1) ist 
ER S ‚Br 
N. an = — RA df’ 


und wegen (2) sind 


Ir ’ Or ,OX m d Le 
IS et een y Sr > 
RS af R'zA dp R2% m R' 24 dp” 
Da nun jeder der beiden Ausdrücke links = — R'@ ist, so folgt 
IX OA 
h) ERSTE 
4A mn P27 If 
Nach (1) ist aber auch 
roll) ala Aaa: den 
Shan 24 rn 0. 
ERY i 
Also ist 4 an 0, oder =. 
Betrachten wir ferner die Summe H = 8) Era "so 1St 
08 L 
DR d di 
‚ Er 8a ee R' 
BENES ee EN > el 7 == 
H=24 —- m nes Jar R2A Dr df 
Differentiiert man endlich die Gleichung 4° w«’+---—=1 nach f', so hat man 
Oı 
21 Fr —=0: 


Nach dieser Vorbereitung stellen wir die n Gleichungen 


A gt e ar Fr» Br Sr. — 0, 
Kt te = 
[ ir bw BE al jr beo=ß, 
Me we He" te 0, 
etc. 
zusammen; man sieht dann sogleich, dass 
7 = ja a = (EL nn — HELEN 
ist. Da wir aber = R’ I etc. hatten, so bekommen wir nun die Proportionen 
92 du, d2 ,9y , de 


— MM — 


oder, wenn f,f ,f ,... als konstant angenommen werden, 
‚ di du dv 1 e 
RA When Hebel te Tee, nal 
2 N > R i } r d} du 
Betrachten wir weiter nichts als diese n — 1 Differentialgleichungen ee Fr = 1.1.5 


so ist klar, dass ihre vollständige Integration n — 1 finite Gleichungen mit n — 1 arbi- 
trären Konstanten erfordert. Nehmen wir alle früheren Voraussetzungen hinzu, so kennen 
wir wirklich das vollständige System Integralgleichungen für (3), nämlich f = const., 
f = const., f'"—= const., ete.; denn dieses enthält » — 1 arbiträre Konstanten. 

Die Gleichungen (3) sind uns aber auch sonst schon aus $ 42 bekannt als Be- 
dingungen für eine Hauptkrümmungsrichtung des Kontinuums / = const. Wenn also in 
der n-fachen Totalität ein System orthogonaler Kontinua existiert, so wird jedes einzelne 
Kontinuum von je n— 2 der übrigen in einer Hauptkrümmungsrichtung geschnitten. 
Wir wollen dieses noch strenger begründen. 


Durch das System der Gleichungen (3) sind die Verhältnisse de:dy:dz:... 
in algebraischer Weise bestimmt. Nach der obigen Herleitung von (3) würden die- 
selben den Verhältnissen A: w:v':... gleich sein. Da man aber nur die Funktion f 
zu kennen braucht, um die Gleichungen (3) bilden zu können, so ist klar, dass auch die 
Verhältnisse A’: @':v':..., oder die Verhältnisse A”: #”:»"':...., oder u.s.f., für 
dxz:dy:dz:... gesetzt, dem System (3) genügen. Dieses hat also wenigstens 
nn — 1 algebraische Lösungen (da:dy:dz:...). Wir wissen nun schon, dass es gerade 
n — 1 solche Lösungen hat; es sind die Hauptkrümmungsrichtungen. Wenn wir also 
die n arbiträren Konstanten durch die Substitution einer bestimmten Lösung (x, y,...), 
von der die Hauptkrümmungsrichtungen des Kontinuums f=- const. ausgehen sollen, 
fixieren und dann der Gleichung dieses Kontinuums je n— 2 der Gleichungen f’= const., 
f' = eonst., etc. beifügen, so bestimmt jede der so erhaltenen n — 1 Gruppen von 
finiten Gleichungen je eine Hauptkrümmungsrichtung des ersten Kontinuums. 


J 9 1 ’ . R- B <c 
Wenn man in der Gleichung — = R’H (siehe (3)) für 4 seinen früher gefundenen 


Wert setzt, so erhält man als Hauptkrümmung des Kontinuums f = const. in der Rich- 
tung der Normale des Kontinuums f’— const. 


Die allgemeinen Betrachtungen sollen jetzt auf die konfokalen Kontinua an- 
gewandt werden. Da eine vollständige Schar derselben alle n Gattungen reeller Kontinua 
zweiten Grades enthält, und jedes Kontinuum aus einer Gattung von allen Kontinuen 
der übrigen Gattungen reell und orthogonal, aber von keinem derselben Gattung 


= — 


geschnitten wird, so zerfällt jene vollständige Schar in n besondere Scharen, die ein voll- 
ständiges System orthogonaler Kontinua darstellen. Wenn daher in der n-fachen 
Totalität irgend ein reelles quadratisches Kontinuum und auf demselben eine Lösung 
gegeben ist, und man legt durch diese die an — 1 konfokalen Kontinua, so wird jenes 
erste von irgend n — 2 aus diesen in einer Hauptkrümmungsrichtung geschnitten. Oder 
kürzer ausgedrückt: 

Konfokale Kontinua schneiden einander in den Hauptkrümmungs- 
richtungen. 

Sind nun, wie früher, A,, As,... A, die ersten Axenquadrate konfokaler Kontinua 
aus n verschiedenen Gattungen, so treten diese Grössen an die Stelle von , f,f s---, 
und wir wollen die Hauptkrümmung des Kontinuums (4,) suchen, deren Richtung in 


die Normale des Kontinuums (4,) fällt. Zunächst haben wir R} = (+ (+ ... 


4 - Ani: Er eo P ke 
zu berechnen. Wenn wir die Gleichung er z —...—=1 nach & differentiieren, so 
1 1 
erhalten wir 2 — (& a td -) I een p, das entsprechende Perpen- 
A, Aa. AB ji Dana: 1 

dikel und A,, w,,... die Richtungskosinus der Normale bezeichnen 

dA om® . A 

Da 2: —= 29,,4,, ebenso Di — a [Ban DEE ı6H 


1 47 . : 
also R,=2p,, R,= 2p,. Bedeutet gr die gesuchte Hauptkrümmung, so haben wir 


nach der obigen allgemeinen Formel 


er yo d log Ps 
as AN eyes 
UHBREH. Kr d 10g (A,— A,) p 
R ee 2D, (a gs (4A, ige 1 N 
EEE aA ad dA, Te 
oder endlich no —_ AHA. 


D.h. für jede auf einem quadratischen Kontinuum gegebene Lösung Z ist das Produkt 
des zugehörigen Perpendikels mit einem der n — 1 Hauptkrümmungsradien gleich dem 
Ueberschuss eines der Axenquadrate des gegebenen Kontinuums über das gleichnamige 
Axenquadrat desjenigen durch L gelegten konfokalen Kontinuums, dessen Normale: in 
die gewählte Hauptkrümmungsrichtung fällt. Oder nach dem am Ende von $ 40 aus- 
gesprochenen Satz: Die n— 1 von der Lösung ZL ausgehenden Hauptkrümmungs- 
richtungen sind parallel mit den Axen des zu Z konjugierten diametralen Schnitts, und 
die Quadrate dieser Axen sind resp. gleich den Produkten des zu L gehörenden 


“ 


— 116 — 


Perpendikels mit den entsprechenden Hauptkrümmungsradien. Hieraus folgt leicht, dass 
überhaupt das Quadrat irgend eines Halbmessers des diametralen Schnitts gleich ist 
dem Produkt des Perpendikels mit dem Radius der Krümmung von paralleler Richtung: 
— ein Satz, der auch unmittelbar bewiesen werden kann. 


$ 44. Allgemeine Betrachtungen über die Existenz orthogonaler Kontinua; 


Konstruktion eines ganz beliebigen Systems orthogonaler Flächen im Raume. 


I. Während für den Raum die Untersuchung über die Bedingungen der Existenz 
eines beliebigen Systems orthogonaler Kontinua völlig erledigt werden kann, unterliegt 
sie für eine mehr als dreifache Totalität bedeutenden Schwierigkeiten. Man erwarte 
daher hier keine Entscheidung der Frage, ob z. B. in der vierfachen Totalität noch 
andere Systeme orthogonaler Kontinuen existieren ausser den konfokalen; sondern der 
Zweck dieses Paragraphen ist nur, die erwähnten Schwierigkeiten in den einfachsten 
Ausdrücken darzulegen. Für den Raum hingegen werde ich am Schluss dieses Para- 
graphen als Anwendung der allgemeinen Formeln die Konstruktion eines Systems ortho- 
gonaler Flächen zeigen, wenn eine einzige derselben beliebig gegeben ist. Ob diese 
Konstruktion neu ist, weiss ich nicht, da mir die Originalabhandlungen, worin der Be- 
griff der orthogonalen Flächen zuerst erörtert ward, nicht zugänglich gewesen sind. 

Wenn die n Funktionen f, f,f ,... ein orthogonales System in der n-fachen 
Totalität darstellen, so muss, da nach der Bezeichnungsweise des vorigen Paragraphen 
df= R(Adxe + wdy-—---) ist, die Differentialgleichung 


Kar day rd el BE EEE 


integrabel sein. Die Zahl der hierdurch geforderten Bedingungen ist 


- (n — 1) (n — 2) - n(n — 1) — (n— 1) 


und stimmt daher mit der Zahl der in der Natur der Aufgabe liegenden Bedingungen 


für die Funktion f überein; denn wir hatten ursprünglich - 


‚.n (n — 1) Gleichungen, 


worin die n— 1 Funktionen f’, f”,... zu eliminieren sind. Da ferner A,w,... die 
Richtungskosinus einer Hauptkrümmung des Kontinuums f= const. und daher aus $ 42 
uns als irrationale Funktionen der partiellen Differentialkoeffizienten erster und zweiter 
Ordnung von f bekannt sind, deren Verhältnisse sämtlich in rationalen Funktionen einer 
und derselben Wurzel einer algebraischen Gleichung (n — 1)-ten Grades ausgedrückt 
werden können, so muss auch jede der erwähnten Integrabilitätsbedingungen, von der 


Irrationalität befreit, als partielle Differentialgleichung dritter Ordnung in Bezug auf 
die unbekannte Funktion f sich darstellen lassen; und man wird sich aus der Form 
der Gleichungen (a) $ 42 leicht davon überzeugen, dass sie in Beziehung auf die 
Differentialkoeffizienten dritter Ordnung höchstens auf den (n— 1)-ten Grad steigen 
wird. Haben wir aber einmal die 4 (n — 1) (n — 2) Integrabilitätsbedingungen der 
Differentialgleichung (4) in rationaler Form, so ist sofort klar, dass in denselben auch 
diejenigen für die übrigen Gleichungen A'dx—+ w'dy—+---—=0, ete. schon mitbegriffen 
sind. Wir hätten demnach für die gesuchte Funktion f wirklich nur dieselbe Zahl 
+ (n — 1) (n — 2) von Bedingungen zu erfüllen, welche die Natur der Aufgabe auf den 
ersten Blick zu erfordern scheint. Wir sollten es aber im allgemeinen für unmöglich 
halten, dass eine einzige Funktion mehrern partiellen Differentialgleichungen dritter 
Ordnung zugleich genügen könnte, wenn nicht die Existenz der orthogonalen Kontinuen 
uns faktisch von der Möglichkeit überzeugte. Es wäre daher höchst interessant, wenn 
es gelänge, a priori von den partiellen Differentialgleichungen aus zu entscheiden, ob 
ausser den konfokalen Kontinuen noch andere orthogonale Systeme existieren oder nicht, 
und im letzten Falle aus den Bedingungen mit Notwendigkeit auf die konfokalen Kon- 
tinuen zu schliessen. Das Wenige, was nun folgen wird, steht freilich weit hinter 
diesem Ziele zurück. 

Wir wollen sämtliche Integrabilitätsbedingungen der Gleichung (4) in einer ein- 
zigen Formel zusammenfassen, und um für diesen Zweck die Bezeichnung möglichst 
abzukürzen, setzen wir 


d d d 0) 
ee Ds 
wo A,u,... die zugleich mit der Funktion ‚f gegebenen Richtungskosinus der Normale 


sind; und, um auch für das Auge die in irrationaler Weise bestimmten Haupt- 
krümmungsrichtungskosinus von jenen scharf zu unterscheiden und unsre gänzliche 
Unbekanntschaft mit den Funktionen f’, f",... anzuzeigen, bezeichnen wir diese n —1 
Kosinusreihen mit (a, ß, 7, ...), (@,ß,Y,...), etc. und setzen ferner 


ö d | d f Eee: ’ d ’ 0) u% f E 
a 9, 1 or Ei =, A: 1) dy Auoc d’, ete., 
so dass, wenn 0,0,_0',... die entsprechenden Hauptkrümmungsradien bedeuten, 
dx du dv Be 1 dr du a 1 h 
& ß Y Va B' PL etc. 


wird; endlich gebrauchen wir n— 3 unter sich unabhängige Reihen von je n beliebigen 


23 


WB 


Grössen, bee abe a elese  Wardmunwüber diewZeichen 
der Variabeln, auf welche die Operationen D,d,d',... einzig ausgeübt werden sollen, 


ein horizontaler Strich gesetzt, so sind sämtliche Integrabilitätsbedingungen der Gleichung 
edz-+ßdy-----=( in der Formel 


Zen), 0), 0, N. (5) 
DEN LEE er 
ie 
el & or 
Q, b, c5 Mor 
a ee 


vereinigt. Denn man würde z. B. die Integrabilitätsbedingung 


en See 


aus (5) erhalten, wenn man = ,=:'-=1.,=(, bı y— > oa a, — ll) 
==" —(„_,3= (0 setzte. Wir können nun der Determinante T eine andere Gestalt 
geben, wenn wir die nicht überstrichenen Variabeln «, ß,y,... durch Determinanten 


(n — 1)-ter Ordnung ersetzen. Wenn nämlich 
ya Ro 


die Determinante aller orthogonalen Transformationselemente A, u,...;,ß,...;@',B,...;@, 
ß"...; ete. bezeichnet, deren Wert bekanntlich + 1 oder — 1 sein kann, und wir uns für 
die Annahme des positiven Werts entscheiden, so ist, wenn die Differentialkoeffizienten rein 


formell verstanden werden, « = ce = 95 etc.; daher 


Pa] be re ee | De dr oa Ale SE 
a Be. u ect NW nr. (a (ale) Klo) ee 
RE ae (A) 8 la) ER) 
RS N U VCH N: 
wo abkürzend z.B. (eaa)=Aa+ub--vc-H--- gesetzt ward. Im ersten durch einen 


einfachen mittlern Vertikalstrich in zwei Hälften geschiedenen Schema enthält jede 
Hälfte n—-1 Horizontalzeilen mit je n Elementen. Das Schema bedeutet, dass man in 


beiden Hälften je zwei gleichnamige Vertikalzeilen weglassen, die zwei Determinanten 
der übrigen Elemente miteinander multiplizieren und die Summe der so entstandenen 
n Produkte nehmen solle. Diese Summe wird nun bekanntlich auch erhalten, wenn 
man die Elemente irgend einer Horizontalzeile der ersten Hälfte des Schemas mit den 
in irgend einer Horizontalzeile der zweiten Hälfte enthaltenen gleichnamigen Elementen 
multipliziert, die Produkte addiert und aus allen solchen Produktsummen die Deter- 
minante bildet. In der zweiten Horizontalzeile dieser Determinante steht (A «) als erstes 
Element; da es mit dem Öperationszeichen D in der gleichen Vertikalzeile liegt, so 
können auf dasselbe nur die übrigen mit d’,d",... bezeichneten Operationen ausgeübt 
werden. Nun ist Ag +-uß---=0, also 


0=d'(Ae) =d'(Aa)—+d'(Aa), oder d’(Ae)= — Lad’; 


7 il ar 0, SBEhE6 A’ (A ) — 0, US. 


Man kann also in der letzten mit U äquivalenten Determinante das Element (A«) ge- 
radezu durch 0 ersetzen. Da man ferner die n (n — 3) freien Grössen a,b, c,... immer 
so wählen kann, dass in der betrachteten Determinante (n — 1)-ter Ordnung jedes in 
den n— 3 letzten Horizontalzeilen vorkommende Element einen willkürlich gegebenen 
Wert erhält, dass z. B. alle in irgend zweien Vertikalzeilen vorkommenden Elemente 
gleich Null werden, so folgt aus U=(, dass alle im Schema 


aber d’i = a 5; also d’(Ae) = — 


1? d’ ER en er Me ee 


enthaltenen Determinanten zweiter Ordnung einzeln verschwinden; und umgekehrt, aus 
(6) folgt (5) oder die Integrabilität der Differentialgleichung edz4 Bdy----—=(. 
Wir bekommen also n— 2 Gleichungen 


e@ De+ßDßB-+--:-=0, a” Da+ß"DPB+--=0,etee ... (MN 
und - (n —2) (n— 3) Gleichungen 
dat B"dB+--=ad'a+PBd’B-+:--,ete . 2.2.0.8) 


In der Absicht, diesen Gleichungen eine Form zu geben, worin die dritten Diffe- 
rentialkoeffizienten der Funktion f sichtbar hervortreten, führen wir zuvor einige Ab- 
kürzungen ein. Wenn z. B. die Polynome &2-+-By--yz-+:: undAx-+uy-vz---- 
mit einander multipliziert und im entwickelten Produkt Glieder wie &°, xy resp. durch 


9° 9: A . 
da’ Dry ersetzt werden, so soll die entsprechende zusammengesetzte Operation durch 


— 180 — 


(d.D) oder (D.d) bezeichnet werden; die Elemente der operativen Polynome D,d 
werden dann wie Konstanten behandelt, und bei ihrer Multiplikation wird den Opera- 
tionen selbst kein gegenseitiger Einfluss verstattet. Bezieht sich hingegen z. B. die 
Operation D nur auf die Elemente des operativen Polynoms d, so soll die daraus her- 
vorgehende neue Operation durch Dd bezeichnet sein. Es wäre demnach, wenn @ 
irgend eine Funktion der Variabeln x, y,... bezeichnet, 


I 
Iy 


Ip 


Ddg= d% Da+ DßB-+:-;, aber ADp— geda-+ edut--- 


Dieses vorausgesetzt, ist z. B. 
D(dy)—(D.d)y-+-Ddg, 
D (@d.d) 9) —(D.d.d)9+(d.Da)g-+(d. Dad) 9, 


u.s.f. Die zusammengesetztern Anwendungen dieser Bezeichnungsart werden sich nun 
leicht von selbst verstehen. 


Mit Rücksicht auf 


a 


Or a 
dx dy 0y — Em... ‚Aatußt—=0, ete. 


€ 


erhält man leicht 


De el ee ee 
Wenn nun d irgend ein lineares operatives Polynom bedeutet, so ist 
SDf- 29 5a— RZAdR—=0 wegen AH ur. =1, 
Ode 25, Ie= RZd@a—=— RFed4. 
Man hat daher, weil d (Df)=(D.0)f+ 8 Df, u. s. f., 
(DE:ö) Ole, ee) (di) f=R 20042, eic,..r (10) 


. . \ . . [0 
Setzt man in der zweiten Formel d—d’ und erinnert sich, dass dA —= er etc., so er- 


hält man 


ee, PT a 


Es ist ferner 


(a.dd)f-=Z6d.agl = Zön.RdR+RaN)=AaR.Lröd- &r Te, 


oder, da (d’ .ösJf=RZ«dA—= — RLıröa, auch 


(d.dd)f= FE: De ve, 


Wendet man aber die Operation d auf die Gleichung (11) an, so bekommt man 


(d.d.s)f+(d.da)f+ (d.sdA)f=0. 
Daher ist 


(a.d.yy- da. zei (a) Edda .. (19) 


Setzt man hier zuerst d—=_D, dann d—=d’”, und berücksichtigt die Gleichungen (9) und 
(11), so erhält man 


D.a.a0yf-et ER )2eDa....:.(W 
[J @ 
(d.d’.d)f=R -4)2«de.. . EN) 


Da in (14) links die Symbole d, d’, d” permutiert werden dürfen, so ergeben sich rechts 
sechs verschiedene Ausdrücke; unter anderm hat man 


ryır 1 1 NEN 
(—5)2dda = (g)Lade. ee el) 
e & Q 


Die Formel (13) kann auf folgende Weise vereinfacht werden. Es ist 


(a.d) R=(d.d)(DS)=*(a.d)(R5f) 
a an ae ara 
A NarUER RAN) LI. MER RANAH (DA. A) F. 

Da nun überhaupt 2484 — 0 und daher ZA (6.0 )A-+-LF8A.ödR—0, so ist 


Zrld.d)A= — Edia.di= — (Zae):oo=(; 
folglich 
(da) Ber lD 5 


— 12 — 


Nun ist ferner (d.d') 5; = _. 2 1-2 a % Wenn man also die Gleichung (13) 
durch %° dividiert, so ergiebt sich 
2. len lE IE  aez 
(d.d) = ch „)2 «De. ei, N ee 


Wenden wir jetzt diese allgemeinen Formeln auf die transformierten Integrabilitäts- 
bedingungen (7) und (8) an, so ergiebt sich namentlich aus der Vergleichung von (8) 
mit (15), da im allgemeinen 0° und 0°’ verschieden sein werden, offenbar Fa’d’« — 0. 
Daher haben wir jetzt 


dran) — 0.0 — N Qt or 0 ec n — eichungen 
1.0.) te 17 2 Gleichung 


8.0.02) f— 0, (dream 040) E— 0r.ete, (aaa) 0 (18) IE} Gleichungen) 


als Bedingungen der Integrabilität der Gleichung «ed=+ßdy-+---—=0. Da z.B. 


’ [23 191208 ’ „ [2 ’ ’ [27 03 
Cache Si +(@e B+eaB+acpß a etc. 


ist, so sind die Gleichungen (18) in Beziehung auf die dritten Differentialkoeffizienten 
von / linear und homogen, aber in Beziehung auf die ersten und zweiten irrational. 
Will man auch in den Gleichungen (17) die dritten Differentialkoeffizienten sichtbar 
machen, so bringe man sie unter die Form 


dR.dR, 


(Dede) Ri 


Da auch die übrigen Differentialgleichungen «dz+ßdy—:-:=0, etc. inte- 
grabel sein müssen, so bekommen wir im ganzen so viele Bedingungsgleichungen von 
der Form (d.d') r — (, als die n— 1 Symbole d, d',d",d'",... zu zweien, und so viele 
von der Form (d.d’.d’)f=0, als dieselben Symbole zu dreien kombiniert werden 


n—1 


q ) = (5) Bedingungen. Es liegt also die schwierige 


5 © n—1 
können, ım ganzen also ( 5 Vr( 


© - n 9 S n—1 = 
Aufgabe vor, nachzuweisen, dass alle diese &) Bedingungen schon in den ( F ) Glei- 


chungen (17) und (18) enthalten seien, eine Aufgabe, für deren Lösung ich durchaus 
keinen Rat weiss. 


Wir wollen'nun annehmen, die Form der Funktion f, welche der Aufgabe voll- 
komanen genügt, sei verloren gegangen; aber aus der ganzen Schar der durch f = const. 


a u 


— 13 — 


dargestellten Kontinua sei ein einziges für unsre Anschauung zurückgeblieben und durch 
die Gleichung Y= 0 dargestellt, welche explieite nur die n Variabeln &, y, 2,... ent- 
hält. Wir müssen uns dann V auch implicite als Funktion von / denken, in der aber 
durch die Annahme eines konstanten Werts für / und Verschmelzung desselben mit 
allen andern Konstanten jede Spur der Funktionsweise in Beziehung auf f ausgelöscht 
ist. Welchen Bedingungen wird die Funktion ‚V genügen müssen, damit das ent- 
sprechende einzelne Kontinuum einer Schar angehören könne, welche fähig ist, einem 
orthogonalen Systeme sich einzureihen? 

Wird V nicht nur explicite, sondern auch implicite vermittelst / als Funktion von 
©, Y,... aufgefasst, so ist V mit Null identisch; daher wird auch jede ableitende Operation 
ein mit Null identisches Resultat liefern. Wird V so aufgefasst, so soll es durch V be- 
zeichnet werden; sonst aber mögen alle ableitenden Operationen nur explieite verstanden 
werden und unter sich unabhängig sein. Werden sie mit d, d’, 6” bezeichnet, so ist 


8Vv- (485.2) 7-0, | 
00V (0+0F- en) (00%: 5) VHSdf = 0, 


800 V-(o+öf- 3) (4 0,f- a) (0° 40": N) v 


gr \ 9\9V np ' EN ur MM vr o\9V RZ - 
larger: (94 0f- >) ler) =. 


Setzt man in der ersten Gleichung dö = D, so erhält man 
= oV 


Werden in der dritten Gleichung 6, 6‘, 6 durch d, d’, d’' ersetzt, so ergiebt sich ver- 
möge der von speziellen Voraussetzungen unabhängigen Gleichung (11) 


(d..d. a”) v+a.d.d)f.=0.. ee 


Da Hr unbekannt ist, so reicht die Gleichung (19) zur Bestimmung der Funktion R 
nicht hin; die Gleichung (20) hingegen verglichen mit (18) giebt (d.d’.d’) V=d. 

Wenn also das einzelne Kontinuum V=0 einem orthogonalen System 

RN) m—2)m—3) 
1 3 


7 


in der Form 


soll angehören können, so müssen erstens alle 


(d.d'.d’)V= 0 begriffenen Bedingungen erfüllt sein, und zweitens dürfen 


— 14 — 


or ; \ 2 e L 
die „An L) Im — 2) partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung von 


der Form (d.d') 5 — 0, durch welche die unbekannte Funktion R der n Va- 


riabeln &,y,... bestimmt wird, einander nicht widersprechen. 

Obgleich nach $ 42 die Elemente A, u,..., ,ß,..., @,ß,... der operativen 
Polynome D, d,d',... als Richtungskosinus der Normale und der Hauptkrümmungen 
des Kontinuums V= 0 ihren Werten nach bekannt sind, so sind uns doch ihre Funktions- 
weisen wegen des Verlusts der Funktion f gänzlich unbekannt; und wenn wir auch 
die genannten Elemente durch Funktionen aller 2 Variabeln &, y,... ausdrücken, ohne 
irgend eine Substitution oder Elimination mittelst der Gleichung V= 0 anzuwenden, 
so haben wir doch lauter unechte Funktionsweisen, welche sich ändern, so oft wir 
dasselbe Kontinuum durch eine von g (V) = g (0) verschiedene Gleichungsform dar- 
stellen, wie z. Be x—- u (y,2,...) = 0. Daher sind alle Variationen willkürlich, welche 
Richtungen entsprechen, die vom gegebenen Kontinuum V= 0 sich entfernen; und 
ihren Werten nach bestimmt sind nur diejenigen Variationen, welche tangierenden 
Richtungen entsprechen; zu diesen gehören nun allerdings die mit d, d',.... bezeichneten 
Variationen, zu jenen unbestimmten hingegen die Variation D. Diese Betrachtungen 


1; 


mögen anschaulich zeigen, dass man allerdings, wenn die Werte einer Funktion a Ww 


nur für jede dem Kontinuum V= 0 angehörende Lösung bekannt sind, die Differential- 
gleichung (d.. d’)W=: 0 in der ganzen Ausdehnung dieses Kontinuums verifizieren kann, 
wenn anders W derselben genügt. Denn da d’ einer tangierenden Richtung entspricht, 
so ist d’ W überall auf dem Kontinuum bekannt, daher auch d (d’ W). Da ferner «, ß,... 


überall auf dem Kontinuum bekannt sind, so sind es auch d«,dß',.... Die diesen 
ö 3 A 1 
Elementen entsprechende Richtung tangiert aber, weil ! dd = — !addi— — S; Dre U: 


Daher ist auch dd’ W überall auf dem Kontinuum bekannt; also ist es endlich auch 
(d.d)W=d(d’W) — dd’ W. Da ferner leicht gezeigt werden kann, dass überhaupt 


(d..dia")V= DV- (7 — =) 2a do, 


so sieht man sogleich ein, dass auch die Gleichung (d..d’. d’)V— 0 auf dem ganzen 
gegebenen Kontinuum verifiziert werden kann, indem man sie durch I «dd «= 0 ersetzt. 

Die partielle Differentialgleichung (d.. d’)W= 0 z. B. enthält eigentlich eine un- 
abhängige Variable zu viel. Will man dieselbe nicht bloss gleichsam graphisch 
verifizieren, sondern sie auf eine echte analytische Form bringen, so kann man, um mög- 
lichst allgemein zu verfahren, jede der » Variabeln &, y,... so in Funktion von n neuen 
Variabeln &, t,,...t, ausdrücken, dass {,— const. dasselbe Kontinuum, wie V= 0, dar- 
stellt. Es ist dann möglich, alle nach x, y,... genommenen partiellen Differential- 
koeffizienten durch solche, die nach t, t, ...i, genommen sind, auszudrücken; und 


— 80, — 


zuletzt wird man anstatt (d.d)W= 0 eine Gleichung erhalten, worin nur die nach 
den n — 1 Variabeln t,, 1... 4. _, genommenen partiellen Differentialkoeffizienten erster 
und zweiter Ordnung von x, Y, ..., W vorkommen. 

Um dieses Verfahren durch ein leichtes Beispiel zu erläutern, legen wir den 
Raum mit den drei orthogonalen Koordinaten x, y, z zu Grunde, und denken uns diese 
als solche Funktionen der drei neuen Variabeln t, «, v, dass v —= const. eine krumme 
Fläche, und überdies, was angeht und zur Vereinfachung beiträgt, « — const. die der 
Richtung («, 8, y) entsprechende, t — const. die andere Krümmungslinie darstellt. Es 


» 9x 9y 02 dx Edy : de 1 E 
sei dann = Po PB = PYfign I u ah, ar; (hm ») die 
Richtung der Normale. Da nun = — = vorn = = e »- 80 1st leicht nachzuweisen, 
dass 

8°x 9°y ER 
ET en % En N 
ist, d. h., dass die den Elementen nn - + entsprechende Richtung die Fläche tangiert. 


Man darf daher setzen 


ler Ra EN dIy a N 02 
Ba rl ren, Hu Eat I 


indem von diesen drei Gleichungen immer eine die notwendige Folge der zwei übrigen 
ist; und 7, U sind als bekannte Funktionen von £, u anzusehen. Nun ist 


nen ; 


1.9 (1 9W 
» a du) 

d 1 
1 „00 9W I 7 >) WW 1 q dW 1 te N 


dad W — » q Iu ; dx p It 9u pa“ ou 9% 


Z0E 0% p 8 
E) 1 

RE NNA 1 9W aWw\. 

p 9 du 4 Dar Eu): 


man erhält also zuletzt 


vala: a) ww EW 


gu 


ÄNaES  E e 
ot Ol 


Ih 


eine partielle Differentialgleichung mit bloss 2 unabhängigen Variabeln. 

Um den Gang der folgenden auf den Raum bezüglichen speziellen Erörterung 
nicht zu unterbrechen, wollen wir hier noch eine allgemeine Relation voranschicken. 
Setzt man in (10) d = d, so ergiebt sich 

24 


2 er 
(d.af=Rredı=$; 


thut man das Gleiche in (12), so bekommt man mit Rücksicht auf (11) 


@ 


(RR et (- —-,) Eode. 


Wendet man aber die Operation d’ auf die vorletzte Gleichung an, so hat man 


0 E—(d.d.a)S+2(4.00)Ff. 
Hier ist 
d.da)f=:da.d a —= SdeAdRRdN)=—-dR.>ad I SR 0; 
0% E 
also (d.d.d)L— nn = de. 


Durch Vergleichung der zwei Ausdrücke für (d.d.d’)f ergiebt sich demnach 


ade —, 
a ) 
folglich auch 
Za’dia = ER, ats al, bie. es er Ba 


ein Ausdruck, den man als Wert einer Hauptkrümmung des Kontinuums mit der Normale 
(«, ß,...), und zwar nach der Richtung («, ß',...) hin, auffassen kann. 


II. Anwendung auf den Raum. Für n =3 giebt es nur die einzige Bedingung 
(d..d') — 0. Da nun überhaupt 
' c3 Dr dx dy 


ist, so muss für n — 3 die Irrationalität wegfallen. Es sei ad=4 $ß=B, yy=(C, 
By+ßy=D, yda+ya=E, aß a«ß= F, so gelten die Gleichungen 


2AA+ uFf+ vE=(, 
AF+-2uB+ vD=|(, 
AE+ uD-+2»C 


I 
= 


— 197 — 


aus denen sich leicht 


wD= WV”A—-wB—vC, | 
AREEN NA EB N EEE 2 (2) 
Auf=—-VA—wWB-+vC | 


ergiebt. Wenn man ferner die zwei Gleichungen 


OA 
Iy 


[44 


‚OA 
oe’ reg: 


O1 O1 ‚O4 ‚04 a 
Fe ur dy Eden 


resp. mit «@, « multipliziert und addiert, so erhält man 


O4 04 0% 


1 1 1 % 
24 Ir 1 Fr, Art): oder, da Pr t Fl OR r dy 1 Oz 1st, 
Ola Hu Ad O2 DIA, ER 
en er uf c 


Multipliziert man diese Gleichung mit Aw», eliminiert Z und F' mittelst (22), setzt 


PZE In de 04 „oe LE 9% du 
BRETT “dr dn oy Iy Iy’ O2 8: "5: 
und führt die abkürzenden Bezeichnungen 
dı _„0R Be ‚Yu de _,% dı 
ie a Er u 


ein, wo dann Z-m-+-n=0 als Bedingung für die Integrabilität der Gleichung 
Adz-+ udy-+vdz= 0 schon erfüllt ist, so erhält man (— un + vn) A+- uw! B— vll 0, 
und wenn man A mittelst der Gleichung A+ B-+-C=0 eliminiert, (u’+-»") (m C—nB)—0. 
Also ist A:B:C =1:m:n. Setzt man deshalb 


Auv Auv Auv 
a a rl a 3) 


so folgt 


D= a (#l— wm — »’n), E= e (— Al u’m — v’n), F= z: (— Al— wm v’n). (24) 


Da ferner A=ßy—ß'y, A=aa, D=Py — ß'yist, so hat man AA D= aa (ß’y’— By’), ete., 


AAD-+uBE-+vCF=aw«.BßPß.yy=ada+pßß+yYy.BP.rr\=|0.P 

a a : PR + ry .ß® y’ a mr: 
«- A Bin 2 y° K* +ß”"+y” j B° 3 y” 1 ß 2 
= — (BytPß'y) Br—ß'y) = hu, 


— 18 — 


und, wenn man in dieser letzten Gleichung die vorigen Ausdrücke für A, B,... sub- 
stituiert, 


T= X T+ Wm + vWn®’— Aumwn —2avrnWl—2llum. . . (25) 


Durch die Gleichungen (23), (24) und (25) sind uns die Elemente des quadratischen 
operativen Polynoms (d.d’) vollständig bekannt, und die einzige Bedingung, von der 


> m 
oben die Rede war, ist nun, wenn „, — — W gesetzt wird, 


7”. (dd) W—Auv (1 4m m = 7 +n = Us) 


{ h 9° 7 dw 
+ AMT — um — v’ ) 0 I Hu(—MI+u’m—v’n) d% 7 HM mtr) u! (26) 


Setzt man endlich hier W = (5 - ! +) z= (55 = a nn = = - ete. und mul- 


tipliziert mit R", so wird die Gleichung in Beziehung auf alle partiellen Differential- 
koeffizienten der gesuchten Funktion f ganz und rational. 

Ich führe bloss noch an, dass die partielle Differentialgleichung dritter Ordnung 
für eine Funktion f, welche eine zu einem orthogonalen Systeme gehörende Flächen- 
schar darstellt, auch unter folgende Form gebracht werden kann: 


an 0) 0) d Im n dv Hu 
TE( 5 — )- „uva (m a + IAL(Pl — wm — v’ Dier = ‘) — il} 


Trägt man auf jeder Normale des Kontinuums f — const. ein unendlich kleines 
Stück a so liegen die Endpunkte aller dieser Stücke in dem successiven Kontinuum 


alihen Schar, für welches f (x, y, ...) = const.+ df ist. Wenn man also eine 
Funktion W kennt, welche der Bedingung (d.d')W= 0 genügt, und trägt dann auf 
jeder Normale der Fläche V= 0 ein Stück Wo auf, wo ® eimen sehr kleinen kon- 
stanten Faktor bedeutet, so liegen die Endpunkte in einer neuen Fläche, welche fähig 
ist, zugleich mit der vorigen einem orthogonalen System anzugehören. Diese Bemerkung 
führt uns zu einer graphischen Konstruktion eines beliebigen orthogonalen Flächen- 


systems. 
Da Sıda=0, FZadea—=0 ist, so folgt d’a:d'ß:d'y = «a: P':y und hieraus 
de —=«.N «da, etc. Daher ist das operative Polynom d’d= !d' 5, Zud’ax<d, 


und es wird dadurch (d.d’)W= d’(dW) — Fad’axd' W. Wenn also die Funktion 
W der Bedingung (d.d’)W= 0 genügt, so ist mit Rücksicht auf die Formel (21) 
überall auf der Fläche 


d’(dW) = eat. A 


— 189 — 


Man wähle nun eine ganz beliebige Fläche, ziehe alle ihre Krümmungslinien, nehme von 
diesen zwei sich im Punkt A kreuzende /, !' heraus und verfüge nach Belieben über 
die Werte der Funktion W, welche diesen Krümmungslinien entlang stattfinden sollen. 
Entspricht die Krümmungslinie ! der Richtung («, £, y), so kennen wir derselben entlang 
die Werte von dW. Auf der andern !' liege A, unendlich nahe bei A, und es gehe 
durch A, die auf ! folgende Krümmungslinie . Da Wlängs !' bekannt ist, so ist auch 


d’ W in A bekannt; der Faktor sans ist auf der ganzen Fläche bekaunt; folglich ist 


d(dW) in A bekannt. Aber dW in A, ist gleich 4W in A plus A A,X d'(dW) in 4; 
also ist dW in A, bekannt; und da W in A, bekannt ist, so kennen wir, wenn A, B, ein 
Element der Krümmungslinie /, ist, auch Wn B(=Win ,+4B,xdWin A,). 
Die zwei successiven Krümmungslinien /,!, mögen von den aufeinander folgenden 
Krümmungslinien U, m, n,... in die entsprechenden Elemente AB, 4A,B,; BC, BC; 
CD,C,D,;... geteilt werden. Da Win B und in B, bekannt ist, so kennt man d’W 
in B, also vermöge jener Relation (27) auch d’(dW) in B. Aber dW in B ist bekannt; 
man kennt also auch dW in B,, und, da W in B, bekannt ist, auch W in C,. Folglich 
kennt man d Win €, u.s.f. Man lernt so W längs der ganzen Krümmungslinie 1, 
kennen. Ist /, eine unmittelbar folgende Krümmungslinie, welche !’ in A, schneidet, so 
wird man ebenso, vom Werte der W in A, willkürlich beigelegt ward ausgehend, die 
Werte der Funktion W längs der ganzen Krümmungslinie /, bestimmen können. Wird 
dieses Verfahren fortgesetzt, so ist klar, dass die Werte der Funktion W für alle 
Punkte der Fläche durch die, welche wir längs der Krümmungslinien I! und !’ will- 
kührlich angenommen haben, bestimmt sind. 

Ist jetzt ® eine unendlich kleine Grösse, und wird Wo in jedem Punkte der 
Fläche auf die Normale aufgetragen, so bilden die Endpunkte eine neue Fläche. Da 
die Bedingung (d.d’)W= 0 erfüllt ist, so werden die Endpunkte der auf den Normalen 
der ersten Fläche aufgetragenen Stücke, längs einer Krümmungslinie derselben verfolgt, 
immer eine Krümmungslinie der zweiten Fläche bilden. 

Die zweite Fläche kann man wieder wie die erste behandeln und unter anderm 
die beiden Krümmungslinien, längs denen über die Funktion I von neuem frei verfügt 
wird, den mit ! und !’ bezeichneten der ersten Fläche entsprechen lassen. Nun ist 

OR 


ER RT: 
ER 77a a a a a Pe Fra 


BE BDEERDIR, 
DR7 


und zugleich 


. —-ADR-+odR-+«dR; 
folglich 


Di =edleg Rt ddbg. RB, et sen .Iah,h in. 128) 


— 190 — 


ER = . ‚| 
Man kennt also DA, Du, Dv für jeden Punkt der ersten Fläche (indem = 2): also 
auch 4, u, » für jeden Punkt der zweiten. Wir sehen so durch die Bedingungen (28) 
die entsprechenden Krümmungslinien der ersten, zweiten, dritten, etc. Fläche sich an 
einander reihen, und dadurch die zwei andern Flächenscharen entstehen, welche mit 
jener ersten Schar ein orthogonales System bilden. 


Ich behaupte nun, dass, wenn drei im übrigen beliebige Flächen gegeben sind, 
welche sich in drei je zweien gemeinschaftliche Krümmungslinien orthogonal schneiden, 
diese Flächen, ohne einer ferneren Bedingung zu genügen, immer einem orthogonalen 
System angehören und dasselbe vollständig bestimmen. 


Vom Punkte A aus, in welchem die drei gegebenen Flächen sich schneiden, 
gehen auf der ersten die Krümmungslinien /, ! und die der zweiten und dritten Fläche 
gemeinschaftliche Krümmungslinie. Auf dieser schneide man von A an ein unendlich 
kleines Stück s ab und ziehe durch dessen Endpunkt die zu /, !’ successiven Krümmungs- 
linien der zwei letzten Flächen; man kennt dann beiden / und !' entlang die Abstände 


w . ee Oak . 1 - 
= der genannten successiven Krümmungslinien, wobei der Wert von Zu und 
rt 


beliebig angenommen und so die unendlich kleine Konstante ıw bestimmt werden kann. 
Da somit die Funktion W längs zweien sich kreuzenden Krümmungslinien der ersten 
Fläche bekannt ist, so ist sie auch nach dem, was wir vorhin gesehen haben, auf der 
ganzen ersten Fläche bekannt. Man kennt daher auch die unmittelbar auf diese folgende 
Fläche der ersten Schar. Für das Gelingen der Fortsetzung dieser Konstruktion braucht 
bloss noch nachgewiesen zu werden, dass die Bedingungen (28) durch die zweite und 


dritte der ursprünglichen Flächen schon erfüllt ist. 


Führt man statt des dortigen R das unendlich kleine normale Element s = e 


R 
ein, so werden jene Bedingungen: 
DA= — adlogs— «dlog ss, ete.; also - degs=«DA+-ß Du-yD», 
oder 
dlegs=4De-+uDßB+»Dy. . ... . . (28bis) 


Es handelt sich also darum, die Variation des unendlich kleinen Abstandes zweier 
successiver Krümmungslinien /, !, einer Fläche auszudrücken, welche längs ! stattfindet. 
Dieser Abstand, als Element der kreuzenden Krümmungslinie !”sei 6’, das Element von 
I hingegen sei 6. Vom Durchschnittspunkt A der Linien /, 2’ aus schneide man auf 
diesen die unendlich kleinen Stücke 6= AB, !—= AA, ab; die durch A, und B gehenden 
Krümmungslinien Z, und m’ bilden dann mit 1,!' das Viereck ABB,A,, und es ist 
BB—-AA=AB.do=6do. Von der Variation der Richtung von B B, im Ver- 
gleich mit A A, darf man absehen, weil sie wegen der orthogonalen Stellung dieser 


N 


Viereckseiten zu der Basis A B in der Länge dieser Linienelemente nur eine Variation 
zweiter Ordnung hervorbringt; deshalb darf man in obiger Differenz das Element BB, 
durch seine Projektion auf A A, oder auf die Richtung («', 8’, y) ersetzen. Man kann 
also auch die Differenzen der Projektionen von BB, und AA, auf die Axen der x, 9, 2, 
oder die ihnen resp. gleichen Differenzen der Projektionen von A,B, und AB mit «, ß, y' 
multiplizieren und addieren; die Summe wird 6do' sein. Da man aber nach der vorigen 
Bemerkung von der Richtungsveränderung von B B, absehen darf, so braucht man bei 
A,B, nur die Richtungsveränderung (weil bewirkt durch eine Längenvariation von BB, ) 
zu berücksichtigen und kann hingegen die Längenvariation (weil sie keine solche für 
BB, bedingt) vernachlässigen. Die Variationen der Richtungskosinus von AB sind 
oda, o'’d'’ß, 6d’y; als Länge kann man diejenige von AB oder o behalten. Demnach 
dürfen statt der Differenzen der Projektionen von A,B, und AB auf die Koordinaten- 
axen die Grössen 0 0d'a, 00'd'ß, 0 0'd'y gesetzt werden. Multipliziert man nun mit 
«,ß,y, addiert und lässt den Faktor 6 weg, so erhält man 


do =6 (dda+ Ba ß-+yd'y). 


Vertauscht man hier «', ß',y,6,d' mit A, u, »,s, D, so erhält man gerade die zu be- 
weisende Gleichung (28 bis). 

Da die partielle Differentialgleichung (26) in Beziehung auf die Funktion f von 
der dritten Ordnung ist, so muss ihre vollständige Lösung drei arbiträre Funktionen 
enthalten. Diese Forderung ist durch die vorige graphische Konstruktion insofern er- 
füllt, als die drei ursprünglichen Flächen mit Ausnahme der Bedingung, sich in Krüm- 
mungslinien und orthogonal zu schneiden, ganz willkührlich sind. 


$ 45. Anwendung der konfokalen Kontinua auf die Bestimmung des Masses 
der durch ein Kontinuum zweiten Grades (mit lauter reellen Axen) begrenzten 
Totalität und des begrenzenden Kontinwums selbst. Relationen zwischen voll- 


ständigen Abelschen Integralen. 


Wir wollen das Element der n-fachen Totalität mittelst der Variationen der 
Axenquadrate eines Systems konfokaler Kontinua zu bestimmen suchen. Es seien 
4,B,(0,...J die n Axenquadrate irgend eines Kontinuums des Systems, und wenn 
n Kontinua die Lösung (x, y,...) gemein haben, so mögen die Axenquadrate eines 
jeden mit demselben untern Zeiger versehen werden, sodass die Zeiger 1,2,...n der 
Reihe nach allen durchgehenden Kontinuen entsprechen. Ist jetzt ds, das lineare Element, 
welches der Variation d A, entspricht, während A,, A,,... A, sich nicht ändern, sind 


ar. onpaie ER 10 
ferner «, A ßı B° 


so hat man dze = ads, dy= ß,ds,,..., und durch Differentiation der Gleichung 


- die Richtungskosinus der Normale des Kontinuums A,, 


mE u” .- 
TB ER 
ergiebt sich 
(rt, Ybı ) (E-+ Y ) oe 
2( 1, | 5, ! ds, Pr | RB — 4A, 
woraus 
dA, 
Us — Fr 


folgt, wobei man sich an den Ausdruck 


= HB 
5 (A—-4)(A— 45)... (Aı— An) 


zu erinnern hat. Bedeutet nun dV das Element der Totalität, so kann man dieses als 
orthogonales Paralleloschem auffassen, dessen Seiten ds,,ds,...ds, sind. Es ist also 


I a ie { 
gan PıPa » »» Pr 


DV — 


Die Integration dieser Formel kann auf unter sich unabhängige Quadraturen zurück- 
geführt werden, da die Variabeln A,, Ag,,... A, sich trennen lassen. Wir müssen aber 
vorher einige Abkürzungen einführen. 

Wenn A>B>(>-.-->H>J angenommen wird, so sei auch A, >4,> :-->4,. 
Dann ist 7 >0, ,>0>J,, G>0>AH,,u.s.f. Die Quadratwurzeln R, = VABICHEN: 
BVZ AB. ee BeNe WB. Ir RN DIR 
sind also alle reell, und wir wollen sie überdies noch als positiv annehmen; jede der- 
selben enthält nur eine Variable. Wenn wir ferner die alternierende Funktion 


(A, — As) 4d= 4,) (4, — 4,) De (A: Fi An-ı) (A: —4,) 
AA a ee ee 
x (45;— A) .... (da — Au-ı) (ds — Au) 
x etc. 
Sal Hark A) 
x (Anı— An) 


mit 42 bezeichnen, so ist 


—. EB — 


WO &,&,...£, irgend eine Permutation der Exponenten n — 1, n — 2, n —3,...2,1,0 
sein, und das obere oder untere Vorzeichen des Produkts gelten soll, je nachdem die 
Permutation eine positive oder negative ist. (Der Beweis steht in Jacobis Abhandlung 
De funetionibus alternantibus im Crelleschen Journal.) Wird 2 durch 


A Aula ee Aa 


dividiert, so soll ®,;der Quotient sein; man kann also auch sagen, (— 1)'"' @, sei das 
Aggregat aller in der Entwicklung von 2 vorkommenden und durch A}! teilbaren 
Glieder, wenn sie von diesem Faktor befreit sind. Es ist klar, dass ®, wiederum eime 
alternierende Funktion ist. Es versteht sich übrigens, dass die Ausdrücke für 2 und ®, 
sich nicht ändern, wenn auch sämtliche Axenquadrate A um eine und dieselbe Konstante 
vermindert werden. Wir erhalten nun zunächst 


Ne ANdEA: dA 
= oO ı RE z 
ar ( B) ) TeRDER: Rn 


also für das Mass einer von n Paaren zu derselben Gattung gehörender konfokaler 
Kontinua begrenzten Totalität den Ausdruck 


fake h, EN Ar _ A, ar 
r-(G)r+/: a Be zn 


Wird das erste Integral zwischen den Grenzen J, = 0 und J,= J, das zweite zwischen 
H,= (0 und J„,= (0, ete., das letzte zwischen A,„— 0 und B,—= 0 genommen, so erhält 
man das Mass V der von einem Kontinuum (4) erster Gattung begrenzten Totalität, 
dividiert durch 2”. Das ganze Mass ist aber offenbar R mal so gross als dasjenige 
einer Polysphäre vom Radius 1; folglich ist in diesem speziellen Fall 


der finite Wert eines Aggregats von Produkten von je n Abelschen Integralen, welche 
immer alle bis auf eines vollständig sind. Man kann aber überhaupt die Zahl der 
Faktoren Babe Produkte um 1 vermindern, wie wir jetzt zeigen wollen. 


Da ! Ar (— 1)" &,—=0 oder —= 2 ist, je nachdem 0 <m <n — 1 oderm—=n—1 


ı=1 


ist, so ist überhaupt 


SA): -1"0=-8 


— 14 — 


wenn / eine ganze Funktion (n — 1)-ten Grades bezeichnet, wo 1 der Koeffizient der 
höchsten Potenz ist. Nun ist 


Bd = 1(- 97"[8,0...54+40...u4 0 +4B0n.:Hn) 


eine ganze Funktion (n — 1)-ten Grades von A;, worin die höchste Potenz den Koeffizienten 


(— 1)'-' 2 hat; folglich ist 


DI 


IR; n 
y 2 D ee [9) 
Da IA, ®, 52. 
Man erhält demnach 
= 1 5 dA, dA, dAn .: dA, dA, dAn dA, dA, | 
ER 5 De a) re a a ee 
Vi ja Rı.®ı R, RB, Rn, td. 7, Ra +dR..®, R, R, BI 
OR q - . z 
wo z.B. dA, durch dR, ersetzt ward, weil R, nur die Variable A, und ®, diese 
1 


nicht enthält. Integriert man, so ist 


aA dA, ads 


Er a ey ete.} 


€ 1 f 5 an — 1 
Vo) | ®D, 
. 
wo die Klammern, in die man z. B. R, gesetzt hat, bedeuten, dass diese Funktion 
zwischen den auf A, bezüglichen Integrationsgrenzen zu nehmen sei. Da ®; eine alter- 
nierende Funktion ist, so zerfällt das (n — 1)-fache Integral in ein Aggregat von Pro- 
dukten von je n— 1 Abelschen Integralen. 


Nimmt man die auf A, As, ... A, bezüglichen Integrationsgrenzen und die untere 
für A, so weit, als es die Bedingung der Realität der Funktionen R,, R,,... R, nur 
erlaubt, so wird 

B)=-R)= = (M)=0 (B)=E; 
und man erhält 
wi aA, ae, ddr m’ 
J 2: IF Rs Me 7 al) 2 F ; F r “ H 3 (1) 
2) 


eine Relation zwischen (n — 1)? vollständigen Abelschen Integralen, deren jedes in der 


; m dA . 
Formel | (A— k) 7 [m = 0, 1,2,...n — 2] enthalten ist. 

Indem wir uns das Kontinuum erster Gattung als fest denken, lassen wir in den 
Zeichen seiner Axenquadrate den Zeiger 1 weg und setzen uns vor, das Mass $ eines 


von n — 1 Paaren konfokaler Kontinua begrenzten Stücks des Kontinuums 4A erster 
Gattung zu bestimmen. Man hat 


Y "1 dA, dA; , , dAn _ Tonzug SIT d. m dA; ,,,dAn, 
ds G ) —— m ByaAAAaL AN nm © 


Setzt man ,—k=K, A,—k=K;,,..., wo eine beliebige Konstante bedeutet, 
so ist 


BE ENTE (RER RRE SLR —K) 


== IK . rue ze he. te fe,fe IRE ES — W-- ER. E > 
ER ARE IR u Oh 
RE RR; MIR, ME NINE. 
IE IR OR, ARD 
1 | 31 | 
wo (&, &,... &,) eine Permutation der Exponenten n— 2, n —1,...2,1,0 bezeichnet. 
Man hat also 
RE v+f Bi Y 4-4, as ER za, ee je er 1, 1A, 


ein Aggregat von Produkten von je n— 1 Abelschen Integralen. Nimmt man jedes 
Integral vollständig und multipliziert die rechte Seite mit 2”, so erhält man das Mass 
des ganzen Kontinuums a 


Setzt man n = 2 — - — K2, 5 —_ —%2, so dass k+ %k°=1, ferner 
NO = dx A = / Ir ; 
F (k) = J an: E (k) = I j) 1—k°sin?’x dx, 


so verwandelt sich die Gleichung (1) in 
FR) Eky)+E(k)F(k)— F(k)F(k) = =: 
die bekannte von Legendre gefundene Relation zwischen vollständigen elliptischen 


Integralen der ersten und zweiten Art mit komplementären Moduln. Die Gleichung 
(2) giebt für n = 3 die Oberfläche des Ellipsoids. 


N 


Was in diesem und dem folgenden Paragraphen vorkommt, ist eine Ausführung 
von sehr interessanten Andeutungen, welche Jacobi in jener Abhandlung (Crelle’s 
Journal B. XIX) gegeben hat, wo er zuerst die Gleichung und Rektifikation der geo- 
dätischen Linie auf dem Ellipsoid durch einfache Integrale darstellte. Ich habe diese 
Gegenstände hier aufgenommen, weil sie in einer Theorie der vielfachen Kontinuität 
nicht fehlen dürfen. 


$ 46. Bestimmung des kürzesten Weges sowohl in der Totalität als auch auf 
einem quadratischen Kontinwım oder dem Durchschnitte mehrerer konfokaler 
Kontinua. 


Wenn die Werte x, y,... einer Lösung als Funktionen der ersten Axenquadrate 
A, 4:,... A, der n durchgehenden konfokalen Kontinuen gedacht werden, so sind 


dA, dA, d An 
’ URION:—— 
29 2 2 Pn 


die Projektionen des Wegelements ds = Ydx? 1 dy’----- auf die Normalen der kon- 
fokalen Kontinuen. Da diese ein System von orthogonalen Richtungen bilden, so ist 


2 _(dA,\?, (dA,;\? dAn\?, 
d> er ) ash er) i 


oder auch, wenn A,, 4, ...4, die Kosinus der Winkel bedeuten, welche das Wegelement 
ds mit den Normalen bildet, 


dA, a 1] dAn 


A enae=eie 2 Ip ne ra Pr 


Wenn aber A, A,,... 4, überhaupt Grössen bezeichnen, welche der Bedingung 24°— 1 
genügen, so ist 


ae (rer N... 2... 


3» 4.29: 1.29 


Gelingt es nun für A,, As, ... A, solche Funktionen der Variabeln A,, 4:,... A, anzu- 


2 2 = 
geben, dass 5 nur 4: nur A,, u. s. f. enthält, und setzt man dann 
1 2 


le k A, dA, ei 3 1,dAs } ar B And An 9 
S 5 El 


— 197° — 


so hängt, da hier die Variabeln getrennt sind, der Wert von S nur von beiden Grenz- 
lösungen ab, aber nicht von dem Wege, der sie verbindet. Es wird daher vermöge 
(1) im allgemeinen für irgend einen aus reellen Elementen zusammengesetzten Weg 
immer sein | ds> $, und nur dann [ ds = 8, wenn 


dA, ,dA,, ,,.dAn 
2m 20 "2 Pn 


I N ee een le) 


ist. Also ist dann der Weg, der diese Proportionen zu seinen Differentialgleichungen 
hat, der kürzeste zwischen den zwei gegebenen Grenzlösungen. 

Der kürzeste Weg muss ein Strahl sein. Ein solcher wird von n—1 konfokalen 
Kontinuen des gegebenen Systems berührt; ihre ersten Axenquadrate seien W;, Y;, ... A,. 
Dann gelten, wie wir bereits aus $ 41, V, Gl. (6) wissen, n — 1 Gleichungen von der 
Form 


A? E 1: r 
Aa —- Aa — ser — A et 0, . . . . . . . . (4) 
wo zu W nach und nach die Zeiger 2,3,...n zu setzen sind. Die Realität des Strahls 


erfordert übrigens 
A>ÄN>L>U>-.- > HH, >U,>A,. 


Vermöge der Proportionen (3) sind die Gleichungen (4) als System von Differential- 
gleichungen erster Ordnung, hervorgegangen aus einmaliger Integration der n —1 
Gleichungen zweiter Ordnung, welche die gewöhnliche Variationsrechnung liefert, auf- 
zufassen; und da sie an — 1 arbiträre Konstanten enthalten, so ist diese Integration die 
allgemeine. 


er . - AR B c = 
Um nun untersuchen zu können, ob wirklich ER DE -» Funktionen von je einer 
1 2 
Variabeln sind, müssen wir zuerst A, 4A,,... m Funktion der konfokalen Variabeln an- 


geben. Wenn wir das System aller n Gleichungen, durch welche die Grössen 4 bestimmt 


sind, so schreiben 
22 22 2 


1+0A4, Da ner le (5) 
A a3 a 3 ® | 
o(A— N o(A,— A) (A, I, 
wo zu A die Zeiger 2,3,...n hingehören, und ® einen verschwindenden Faktor be- 


deutet, so können wir auf das System (5) die aus $ 41, II bekannten Relationen zwischen 
orthogonalen und konfokalen Variabeln anwenden, und bekommen: 


1+0A4) k— U) (A— N)... (Ai— Un) 


= 4-4) 4-4)... A—4_, (&—- Ay)... (A4— 4) 


lese cos] 


— 198 — 


wo noch & = (0) zu setzen ist. Da der Ausdruck für p; denselben Nenner und 4, B;(,...J, 


zum Zähler hat, so sieht man sogleich, dass der Ausdruck für —,; nur die Variable 4; 


.. . Y. Pi B 
enthält. Wenn wir fortan der Kürze wegen q, — 2 setzen, so ist 
ı 


A: Bili...Ji > 
4 ar WAR)... (436) 


(Da unter den Faktoren des Zählers die ©— 1 letzten, und unter denen des Nenners 
die i— 1 ersten negativ sind, so ist g; positiv.) Die Form dieses Ausdrucks giebt g: 
als Abstand des Centrums vom linearen Tangentialkontinuum des quadratischen Kon- 
tinuums (4A;), welches durch seinen (imaginären oder reellen) Durchschnitt mit den n—1 
festen konfokalen Kontinuen (A) gelegt ist, zu erkennen. Da nicht einmal alle Kon- 
tinuen (A) zu n— 1 verschiedenen Gattungen zu gehören brauchen, so kann sehr wohl 
das einfache Kontinuum, in dem sie sich schneiden, imaginär sein; und wenn auch alle 
(U) n — 1 verschiedene Gattungen repräsentieren, so muss erst noch das variable Kon- 
tinuum (4;) der letzten noch übrigen Gattung (es kann nur ö=1 oder i=n sein) 
angehören, wenn das Perpendikel g; einer reellen Lösung entsprechen soll. In diesem 


einzigen Falle stellt das Integral a die Länge eines reell begrenzten Stücks der den 


zdi 


n — 1 festen Kontinuen (N) gemeimsamen Krümmungslinie dar. Nichtsdestoweniger hat 


das Integral | 9, mn allen Fällen, die hier in Betracht kommen werden, einen reellen 


Wert und kann analytisch immerhin als zwischen zweien Kontinuen (A) derselben 
Gattung befindliches Stück der reellen oder imaginären Krümmungslinie (U, U, . . . A.) 
gefasst werden. Wenn uns erlaubt wird, von zweien Wegen, welche durch dasselbe 
Paar konfokaler Kontinuen gleicher Gattung begrenzt werden, den einen Projektion 
des andern zu nennen, und wenn alle auf die einzelnen Variabeln A,, A, ... A, bezüg- 
lichen Paare von Integrationsgrenzen von den zwei Grenzlösungen des Weges [ ds 
hergenommen sind, so ist der kürzeste Weg 


N oe er re ° dAn 
SS En 2 Bee 
gleich der Summe seiner Projektionen auf die feste Krümmungslinie (U, U, . . . X), 


welche von allen n durch die Grenzlösungen gelegten Paaren konfokaler Kontinuen je 
einer und derselben Gattung gebildet werden. 
Da p = q4, so geben die Proportionen (3) für den kürzesten Weg die Bedingungen 


A A . 2 . 
= — Nds, wo A,q,A mit den untern Zeigern 1,2,...n zu versehen sind. Die 
Gleichungen (4) werden demnach 

(5) (=) (@ Ze) 
2m 2 Ri 2m) _ 7 
a an Aa ea) an 


—- 19 — 


wo X nach und nach mit den untern Zeigern 2,3,...n zu versehen ist. In diesen 
n — 1 Differentialgleichungen erster Ordnung sind die Variabeln getrennt; sie können 


also mittelst blosser Quadraturen integriert werden. Dadurch werden n — 1 Integrations- 
konstanten hereingebracht, sodass nunmehr die n — 1 finiten Gleichungen des kürzesten 
Wegs 2 (n — 1) verfügbare Konstanten enthalten, .was gerade nötig ist und hinreicht, 
um die zwei Gruppen von je n — 1 Bedingungen, damit der Weg durch die zwei ge- 
gebenen Grenzlösungen gehe, zu befriedigen. 

Wird der Anfangswert einer Variabeln z. B. A, beliebig gesetzt, so ist dadurch 
der Weg noch nicht im geringsten näher bestimmt; denn dieser Weg muss im Verlaufe 
jedes Weges, dessen U, kleiner ist, zweimal vorkommen. Wenn daher die Anfangswerte 
der n Variabeln A,, As, ... A, so angenommen werden, wie es die gegebene Anfangs- 
lösung verlangt, so zählt dieses nur für n — 1 Bestimmungsstücke des Wegs. Wenn 
nun alle Integrale mit diesen Anfangswerten beginnen, so sind durch die n—1 Weges- 
gleichungen 


REG. u Asdieds Al re J 

Ba 4 2 A EN A: ren 2 K Q 

rer ) re I) ZAım a: (8) 

fortan immer n — 1 der Variabeln A,, A:,... A, in Funktion einer einzigen unter ihnen 


und der n — 1 Konstanten A gegeben, und diese letzten sind durch die Bedingung, dass 
der Weg durch die Endlösung gehen soll, gerade bestimmt. 
dA 


24 


Es ist noch zu bemerken, dass wegen 


— Ads für ein positives Wegelement 


N : 5 5 dA 1) e e 
immer auch seine Projektion 5, positiv zu nehmen ist. Das Vorzeichen der Quadrat- 


wurzel 4 muss also immer mit dem des Differentials d A übereinstimmen. Wenn also 
ein g durch Null oder Unendlich hindurchgeht und infolgedessen einen Zwischenwechsel 
erfährt, so muss auch das entsprechende d_A diesen Zwischenwechsel mitmachen. Hiermit 
ist nun auch der Verlauf der einzelnen Integrale in (8) hinreichend bestimmt; beim 


e EEE: 2 < R 3 aa ei 
Fortschreiten des Weges nämlich ist im Ausdruck ihrer Elemente immer 9, positiv zu 
nehmen. Ein Durchgang des Faktors von d A durch Unendlich stört die endliche Be- 
schaffenheit des Integrales nicht. Denn entweder rührt derselbe her vom Durchgang 


einer der Grössen A,B,...J durch Null; geht z. B. J durch Null, so sind ausser 
dia 


2yJ7 
einen mit Zeichenwechsel des Inkrements, endlicher Faktor X YJ, begleiteten ununter- 
brochenen Fortgang (z. B. Wachstum, wenn A— positiv ist) des Integrales an. Oder 
jener Durchgang rührt vom Verschwinden des rationalen Nenners A — W her; dann 


findet sich aber auch Y A— Wim Nenner von q, und da alles übrige endlich bleibt, 
dA 


— d.YJ alle übrigen Faktoren oder Divisoren endlich, und die Form d.yJ zeigt 


hat man nur : 3 dyA-— X zu beachten, was ebenso wie vorhin einen ununter- 


brochenen Fortgang des Integrals anzeigt. Im letzten Falle ward vor dem betrachteten 


— Bi — 


Durchgang A > vorausgesetzt, und es ist aus dem Gesagten klar, dass auch nach dem 
Durchgang wieder A>NX sein wird. Ganz ähnlich verhält sich die Sache, wenn anfangs 


A<NM ist; man hat nur d YA — A zu beachten. Aus diesen Bemerkungen folgt, 1. dass 
jede Variable A die ihr, sei es durch ihre Gattung selbst oder durch Konstanten A der- 
selben Gattung, gesetzten Grenzen niemals überschreitet, sondern zwischen denselben 
oscilliert, 2. dass bei keinem der in den Gleichungen (8) vorkommenden Integrale je 
ein Uebergang vom Wachstum zur Abnahme oder umgekehrt eintritt, sondern jedes 
fortwährend wächst oder abnimmt, je nachdem die entsprechende Differenz A — A von 
Anfang an positiv oder negativ war. 

Da man n — 1 algebraische Gleichungen zwischen den Variabeln A, A,... 4, 
angeben kann, welche denselben Weg darstellen, wie die aus transcendenten Funktionen 
zusammengesetzten Gleichungen (8), so sind jene mit diesen äquivalent. Werden die 
Abelschen Integrale, welche im System (8) vorkommen, wie Argumente, und die ur- 
sprünglichen Variabeln A,, A... 4A, als Funktionen derselben aufgefasst, so kennen 
wir also n — 1 algebraische Relationen zwischen diesen Funktionen. Die Gleichung 
(6) endlich lehrt uns die Summe von n andern Abelschen Integralen, welche mit den 
vorigen in engem Zusammenhang stehen, in algebraischer Form kennen. Für n = 2 
enthält die alsdann einzige Gleichung (8) das Additionstheorem für elliptische Integrale 
der ersten Art, die Gleichung (6) für solche der zweiten Art. 

Wenn einige der konfokalen Kontinuen (X) verschwindende Axenquadrate haben, 
so sind sie als lineare durch die an — 1 übrigen Axen der Lage nach bestimmte Kontinua 
aufzufassen, begränzt von einem in denselben befindlichen (n — 2)-fachen quadratischen 
Kontinuum ((n — 2)-faches Fokalkontinuum), dem die übrigen Axenquadrate auch 
dem Werte nach zukommen. Der Strahl oder kürzeste Weg muss alsdann das (n—2)- 
fache Fokalkontinuum in einer Lösung treffen. Der Ausdruck für g vereinfacht sich 
desto mehr, je mehr Kontinua W diese Eigenschaft haben. Ist z. B. 


00 Or Bi 10,4: Si Br 0 


so wird q — YA, die den Kontinuen (X) gemeinschaftliche Krümmungslinie ist die Axe 
der x, und die Gleichungen (6) und (8) erhalten die Formen: 


S= fa YA: SL ie nr a 
fl a fele re -. 


Bee, 


a 


Die erste dieser Gleichungen zeigt uns die Länge eines Stücks des Strahls gleich der 
Summe seiner reellen Projektionen auf die Axe der «, welche von je einem Paare 
durch die Enden jenes Stückes gelegten konfokalen Kontinuen derselben Gattung ab- 
geschnitten werden; es ist aber wohl zu merken, dass die Elemente dieser Projektionen 
immer mit dem Elemente des Strahles selbst zugleich positiv zu nehmen sind, wenn sie 
auch auf der Axe der x bald in dieser, bald in jener Richtung auf einander folgen. 
Die n — 1 folgenden Gleichungen haben Integrale, wie 


a Een Te en Er 
YA, +VYA-B ya YA-B VA + YA-B = 
u.s.f.,, wenn man B durch €, D,....J ersetzt. Dies ist übrigens der einzige Fall, wo 


alle jene sogenannten Projektionen auch der Lage nach reell sind. 
Indem wir wieder zum allgemeinen Fall zurückkehren, bemerken wir, dass die 
Gleichungen (8) unter die Form 


98 98 98 
a, I I Die. DR 1 


zu bringen sind. Daraus ergiebt sich folgende Vorschrift für die Bestimmung des 
kürzesten Weges zwischen zweien gegebenen Endlösungen. Man lege durch diese die 
n Paare konfokaler Kontinuen der gleichen Gattung, nehme die Summe der Projektionen, 
welche jedes Paar auf einer und derselben Krümmungslinie des Systems abschneidet, 
wiederhole das Verfahren so lange in Beziehung auf successive Krümmungslinien, bis 
man endlich eine gefunden hat, in deren nächster Umgebung die Variation jener Summe 
sogenannter Projektionen verschwindet. Die Summe selbst ist dann die Länge des 
kürzesten Weges, und jedes zum Strahl verlängerte Element wird die n — 1 festen 
Kontinuen des Systems, die in jener Krümmungslinie sich schneiden, berühren, wodurch 
die Richtung jedes Elements, also auch der Verlauf des ganzen Weges hinreichend 
bestimmt sind. — Es versteht sich freilich von selbst, dass diese Elemente sich alle zu 
einem einzigen Strahle zusammensetzen; aber um der Uebereinstimmung mit dem Folgenden 
willen haben wir dem Satze diese Fassung gegeben. 

Wir können das Gesagte durch eine einzige identische Formel für das Wegelement 
ds ausdrücken. 

Wenn in den Gleichungen (5) die Grössen A, A,,...4, gewöhnlichen Variabeln 
%, Y, .... entsprechen, so mögen m, 1, ®, 14,©,...4,@ den sonst mit P1, Pas» » - Pu be- 
zeichneten Perpendikeln entsprechen. Es ist dann 


1 2 23 FF 


— — 5 = | - 
we  (A—W: 1% (4,— A)? REN: 


wo W, u immer mit demselben Zeiger zu versehen sind; 


KEANE SEHE ERDE er x 
MT mi ran). Uhom) aaa ze) 'eir. 


Die Gleichung 


m? (u, @)® (fs o)® B ORTE 1 
1+»A4, o(A,— 4,) o(A,—X;) (AU) 
verwandelt sich dadurch in 
51 Ä us Sl u ma le, us — 
al a a er 


u.s. f., indem für A, nach und nach A,, A, ... A, gesetzt wird. Zieht man die zweite 
der n so erhaltenen Gleichungen von der ersten ab und dividiert durch A, — A,, so folgt 


x uu 


= A- NLA 


= 1, etc. 


Vertauscht man hier A, mit A, und zieht beide Gleichungen von einander ab, so folgt 
leicht 


x u u Fi. 
Sa Dan Oele da ee) 
Es ist ferner 
DAMIIER IST VRULIDIEITE DRM: 
EEE a ee ur ‚7, 
oder, wenn & = 0 gesetzt wird, 
wu u >, 1 
1-+ 2 am =y etc. 
und, wenn man 1 —+ Zan aa — () subtrahiert, 
wu u Be 
— (Aı—4,) & (GR T0Fesc mr OLG. = 2.0.0 0 a ZEN dl) 


Diese Vorbereitungen sollen uns zur Verwandlung der identischen Formel (1) 
dienen. Setzen wir p = q4, so wird das dortige 


a 2 dad A, 
41.2 Pı 1.29 Adı 29 Ad, 20% 
= dA, x u u .dAäs u u 
(AA) (ag > Aa F 3 > EWR 


— 203° — 


vermöge der Gleichungen (10), und wenn man die Gleichungen (9) hinzunimmt: 


un SA A.) 2 aa en Er en er EP Re . rar 
Wird nun 
Den 
gesetzt, so ist der eingeklammerte Ausdruck = — 2.d er also 
= = BeCr — 2(A— A) ga, l = 


und zuletzt 


ler a Sr un EI +... 
US Va S’+423 [A 2, (A, A;) = (4,— A) (4d,— A) d ) 4 \ ) 


Bis jetzt haben wir den kürzesten Weg in der Totalität betrachtet, von dem 
wir zum voraus wussten, dass er ein Strahl ist. Die letzte identische Formel (11) 
kann nun aber auch unmittelbar zur Bestimmung des kürzesten Weges auf einem 
quadratischen Kontinuum oder auf dem Durchschnitt mehrerer konfokaler 
Kontinuen benutzt werden. — Wenn z. B. der kürzeste Weg auf dem Durchschnitte 
der « konfokalen Kontinuen 4A,, As, ... Au verlangt wird, so sind ihre Axenquadrate 
konstant; es wird daher 


£ 4 Po -2 A 
dSs= Bier Een | 2 a 
= la+ı = da+2 ZA 
wo in den Ausdrücken für q die frühern Axenquadrate VW, U, ... U; nunmehr durch 
die ebenfalls konstanten A,, A... Au ersetzt sind. Die Grössen A,A,...Au ver- 


schwinden, und für die übrigen ist 


a AL, 


Iatı Aut? 2 4 An Se äiee 6) £ ] 
AT 44 ERSESE — + FR 0; «+23, e+3,...n] 


ae Ag ); ( Aa+2 ) ; ( An )- 
wu u m 4 Aar+z — A 4 e) An— AU 


Nach dieser Verminderung der Gliederzahl fährt die identische Formel (11) zu bestehen 
fort, und es ist klar, dass auf dem gegebenen (n — «)-fachen Kontinuum zwischen irgend 
zweien gegebenen Grenzlösungen immer $ von ihrem Verbindungswege unabhängig ist, 


und daher im allgemeinen [ds>S sein wird. Nun reichen aber die un — « — 1 Be- 
88 £ 5 se = - 

dingungen ET — (0) gerade hin, um die n — «@ — 1 arbiträren Konstanten A zu bestimmen, 

und dann zeigt wiederum die Formel dass, wenn der Verbindungsweg durch die 


n — @« — 1 Differentialgleichungen a? In — () bestimmt wird, [ds = S wird. Der so 


bestimmte Verbindungsweg ist also unter allen der kürzeste. 

Wir wollen noch einen ganz speziellen Fall erwähnen, wo elliptische Integrale 
hinreichen, um einen kürzesten Weg auf dem allgemeinen quadratischen Kontinuum in 
der n-fachen Totalität darzustellen. Es sei «= 1, (A,) das feste Kontinuum, 9, — 0, 
&=0(0,..., €&,_-,ı=0, B,—= 0. Sind »v, w die letzten Variabeln, so ist die den Kon- 
tinuen A,, A, WU, ... WU, gemeinsame Krümmungslinie durch die Gleichungen 


yelz=l,s:H DE Aush ae 


bestimmt, also eine Ellipse. Diese wird von allen Kontinuen, welche nicht zur ersten 
Gattung gehören, geschnitten. Alle » — 1 Projektionen eines Stückes des kürzesten 
Weges sind also Bogen der genannten Ellipse und reell vorhanden; es ist ?—=AJ: (A—Aı), 


= Vo aa + [VE aa. + VE aa, 


und die an — 2 Wegesgleichungen sind 


Mr V“ un Se s—Aı dA, ae A dA _g 
1, I ARTEN EB: Andn Br L 


etc. 


I JE je —Aı dA, | a. Se —A, dAn 0 
Jr ES Jet D lad. eR AND HR ; 


Die Formel (11), aus der wir bei der allgemeinen Aufgabe die Minimums- 
bedingungen, in Form von Differentialgleichungen erster Ordnung mit getrennten Va- 
riabeln, unmittelbar ablesen konnten, ersparte uns den für solche Zwecke gewöhnlichen 
Gebrauch der Variationsreehnung, welche zunächst auf Differentialgleichungen zweiter 
Ordnung führt, deren erste Integration schon sehr schwierig erscheint. Wir wollen 
nun zeigen, wie auch diese ziemlich leicht ausgeführt werden kann. 


Sind A, As, ... Aa die ersten Axenquadrate der festen konfokalen Kontinuen, 
auf deren Durchschnitt ein kürzester Weg angegeben werden soll, so giebt die Variations- 
rechnung folgende Bedingungen zweiter Ordnung: 


das Tan a, ha & 
d ds Es z ARZ; \ 3) wds, | (12) 
day _ hı_ Le eo) S 
leer +.) yds| 
etc., 
wo hu, hs... Aa zu eliminierende Konstanten bedeuten. Da eine der Gleichungen (12) 


eine vollständige Folge der übrigen ist, so ist nach geschehener Elimination die Zahl 
der wesentlichen Gleichungen n — «— 1. Die erste Integration wird also nur dann 
vollständig sein, wenn sie eben so viele arbiträre Konstanten einführt. 

Es seien nun W,®,6,...% die konstanten Axenquadrate irgend eines mit den 
gegebenen konfokalen Kontinuums; man multipliziere die Gleichungen (12) erstens mit 


Bey dz dy . 
AB Ads Bas’ 


y x de e v a ab ) Um h, DR BAR IE la : 
2 (2 a | + AU ' 3) ds, 


„da ‚de yıadı ( hı N; Er Ra ) . 
2 ne ee er ver ds, 


-„, zweitens mit --, und addiere; man erhält so die zwei Gleichungen 


und hieraus durch Elimination des die Faktoren h enthaltenden Aggregats und nach 
gehöriger Reduktion: 


Fred x*® RN 
dU=d (257) (25-1!) Zua=....:: (8) 
Wir haben also ein erstes Integral U = const. gefunden. Es muss aber auffallen, dass 
für die Darstellung eines und desselben Weges alle beliebigen Werte der Konstanten A 
gebraucht werden können. Man kann nichts anderes daraus schliessen, als dass die 


Integralgleichung in Beziehung auf X identisch sein müsse, sobald x, y, . . . in Funktion 
einer einzigen Variabeln, wie es der gesuchte Weg verlangt, ausgedrückt sind. Be- 
dx dy 


De welche irgend einem Wegeselement 
dS 45 


entsprechen, als gegeben, so findet man U, mit Weglassung der sich aufhebenden Glieder, 
als ein Aggregat von Brüchen, deren Nenner teils einfach W,®,..., teils Produkte, 
wie AB, sind, während in den Zählern A gar nicht vorkommt; setzt man W unendlich 
gross, in welchem Falle die Verhältnisse X:8:@:... unendlich wenig von der Einheit 


7: Daher it U=-P(W:ABE...), wo @ eine 
ganze Funktion (n — 1)-ten Grades bezeichnet, deren höchstes Glied den Koeffizienten 
1 hat. Setzt man A = A,, As, ... Aa, so wird = —1=(, 2 — 0 alsoau-—0: 
Wir kennen also schon « Wurzeln der Gleichung 9 (A) = 0, die n — 1 — « übrigen 


trachtet man nun die Grössen x, 9, . . 


abweichen, so reduziert sich U auf 


— 206 — 


seien War2, YAarss Yu. Demnach haben wir endlich das Integral der Gleichung (13) 
in seiner wahren Form, nämlich: 
zda\: ca da 
ee en FE ge 
(2 =, (z A 1) = Aas 
= (A eh) (U — 42)... (A — Aa) (A — Aar2) A— Ya)... (U— U.) (14) 
ABC...93 Bu 


Da diese Integralgleichung wegen ihrer identischen Beschaffenheit in Beziehung auf die 
Unbestimmte A ein ganzes System von Gleichungen in sich schliesst und die geforderte 
Zahl n — « — 1 arbiträrer Konstanten Wars, Wars, -. . X, enthält, so ist diese erste 
Integration des Systems (12) vollständig. 

Um das Zusammenfallen der Gleichungen (4) und (14) nachzuweisen, bezeichnen 
wir die Kosinus der Winkel, welche das Wegelement ds mit den Normalen der n — « 
Variabeln konfokalen Kontinuen bildet, mit 


karı, Kar, A,; dam st dAA=2Apds i=e+h,e+2,...n], 


und wenn das Summenzeichen S sich nur auf diese letzten Zeiger erstreckt, 


de my dr, ) 
Fr er Er Fe Ba Be RAT 
2 1298 Aa ’ 
(7) = 4 +2 2°%.8 a ‚ete,, 
u ee als N ß il = ): 
ae ae ( ne) SA er 
aber 
ling. (x rpm =) Arge Areudzitn 
a En er ZA A--AT 4? 
= 1 (z u 1) 1 4 
(Aa \T a P(A— N) 
ypeliisen (2-1); 
NAAA (A—- W(A— A) A ? 
daher 


y„ da = (r% — )( DEN UN ME 
ee erg eo) Se 


Wenn man ferner die identische Gleichung 


a, N aaa A)... aA) 
zuic ABE...93 


logarithmisch differentiiert, so erhält man 


2 =(25 1)- 8 An 


INSERENT Ze=sl\ 


Mittelst dieser Formeln verwandelt sich endlich die Gleichung (14) in 


gi (A Naro) A Urs) AU) 
PAR Are) 
woraus 
Zee EEE Deal lpkapan galt —U,E=042,0.3 n] 
Bea Ar; AA— U ’ ’ ER 


als System der n — @« — 1 Differentialgleichungen erster Ordnung des kürzesten Weges 
folgt, welches mit (4) zusammenfällt, indem man A, = =. - Au (0 setzt, wie es die 
Konstanz der Axenquadrate A,, As, .... Au erfordert. 


Es ist bekannt, mit welchem Erfolg in der Statik die Begriffe des Differential- 
parameters und des Potentials von Gauss, Lame, Liouville und andern eingeführt und 
angewandt worden sind. Die meisten hier einschlagenden Sätze sind aber durchaus nicht 
auf den Raum beschränkt, sondern gelten für jede beliebige Totalität. Dieses nachzuweisen, 
ist der Zweck der folgenden Paragraphen. Wenn darin auch das meiste dem Leser bloss 
als generalisierende Nachahmung der genialen Arbeiten der erwähnten Analysten er- 
scheinen muss, so wird er doch am Ende dieses Abschnitts eine sehr allgemeine Form 
der Entwicklung arbiträrer Funktionen von beliebig vielen Variabeln in Reihen von 
periodischer Natur finden, die vielleicht einiges Interesse darbietet; überdies glaubte ich, 
Dinge, die mit der Theorie der vielfachen Kontinuität in so engem Zusammenhang stehen, 
hier nicht übergehen zu sollen. 


$ 47. Ueber die Verwandlung des Differentialparameters mittelst orthogonaler 


Funktionen. 


Werden auf die » unabhängigen Variabeln &, y,... einer Funktion V die linearen 
und orthogonalen Transformationen 


z=et tot Het"... y-ßtitßt+ Bl" ---, ete. 


angewandt, so ist 


— 208 — 


‚0 


2) d 2) "o d 2) 
TUT BE NR 


Da a a Te m 


woraus sogleich erhellt, dass dasselbe Rechnungsverfahren, welches 


te rel une ee 
giebt, auch zu 
av Ev Mey Mewl mw, ow | 
ta aatı de tam Tom 
führen wird. Die Operation = + 35 —.. - ändert also ihre symbolische Form nicht, 


wenn die Variabeln orthogonal transformiert werden. D.h., wenn x, y,... als ortho- 
gonale Variabeln betrachtet werden, so ist jene Operation zweiter Ordnung von der 
Wahl des orthogonalen Systems unabhängig. Das Resultat derselben möge der Diffe- 
rentialparameter der gegebenen Funktion V heissen. 

Wir stellen uns nun die Aufgabe, wenn n Funktionen f,f',f',... der n Va- 


R 1 Ola B 
riabeln ©, y,... denn (n — 1) Orthogonalitätsbedingungen von der Form 


afof NE 
dx 8% yo y = 


genügen, den Differentialparameter 


NZ BEN 
wW=- I) —- Fels] = Be 
DE DEZ 
gemäss der Forderung, dass f, f', f ,... als unabhängige Variabeln erscheinen sollen, 
umzugestalten. 


Zu diesem Zwecke denken wir uns das n-fache Integral S= "Wdxdy... 
durch ein beliebiges einfach geschlossenes Kontinuum begränzt. Die Richtungskosinus 
einer Normale dieses Kontinuums seien A, u, »,...; und wenn die Werte der Variabeln 


einer Lösung desselben zukommen, so sei A = — u 5 + ...—= D. Jenes Integral 8 
n 2 = 
nun zerfällt in n Teile, wie | > m dzdydz... Bei diesem z. B. kann die auf x be- 


n—1 
Rn : e SE IV a 
zügliche Integration ausgeführt werden; sie giebt | (5) dydz..., wo die Klammer 
2 oV - 
anzeigt, dass man vom Endwerte von „den Anfangswert zu subtrahieren hat. Be- 


zeichnet nun do ein Element des Grenzkontinuums, und wird überall die Richtung der 
Normale im gleichen Sinne verstanden, nämlich nach aussen, so ist beim Endwert 
dydz...=Adw, beim Anfangswert hingegen — A dw (wo A, do andere Werte haben 


—y Dial 


mögen als beim Endwert); die Subtraktion wird also durch dieses letzte Minuszeichen 
wieder aufgehoben, so dass man hat 


Bun —1 oV ° A1r 
j (52) d U dz.. A u do, 


wo das letzte Integral sich ohne Unterbrechung über alle Elemente des Grenzkontinuums 
erstreckt. Da Aehnliches für die übrigen Teile des Integrals S gilt, so folgt 


S$S=( DV.do. 


Die Operation D ist von der Wahl des orthogonalen Axensystems unabhängig. 
Man kann daher an der Stelle eines jeden Elements 4» auch die Normalen der durch- 
gehenden Kontinuen des orthogonalen Systems (f,f',f,...) als Axen gebrauchen. 
In Beziehung auf diese seien ©, @',©",... die Richtungskosinus der Normale des 
Elements do, so ist, wenn, wie früher, 


RB (ef) er (2) De ah 


IX 
gesetzt wird, 
dw DO 


— ®.- Ry,t 0.R age She etc.; 
also 
D-ORyH+ORgn + 


Da die Form des Elements do frei steht, so kann man seine Projektion auf das lineare 
Tangentialkontinuum / = const. als orthogonales Paralleloschem auffassen, dessen Seiten 
oO « o- 


af of" k EEE tn ana. en 
Be sind und daher O do RER setzen. Dadurch wird 
an— 1 
R a zultn 
for grto-| (Fer) a 
Dem Durchschnitt der Kontinuen f',f",... entlang zieht sich ein Element der zugleich 


mit $ begrenzten Totalität ("dzdydz..., welches nur eine endliche Ausdehnung hat 
und an welchem Anfang und Ende zu unterscheiden ist, gerade wie bei der Anwendung 


der ursprünglichen Variabeln x, y,... Es ist also auch 
Fe = nn) 
forga.-f?\ 2 R” an Ajytli ely @lyf oeoh 


[532 
1 


— 210 — 


also, wenn man wieder alle Teile zusammenfasst: 


jo: R IV Är Bi: IV 8. RU" 9, 
BR’ el WE SO IRRE BRREITIHOR \ ee 
s-f! Ing If AT I u Dr 


Da aber das Element der Totalität als Paralleloschem aufgefasst werden kann, dessen 
Sun Aa cup 
Seiten RR'mT 


SP "Waxzdydz. BR; -| a dfdf ph re 


sind, so ist 


Die begrenzte Totalität, über welche sich das Integral S erstreckt, kann so klein an- 
genommen werden, als man nur will; folglich muss der Differentialparameter 


N ED R aa d RR an, 0, o en 
WERRRT. lem or) tor (ker or) Kap" (ma Hr" Ks] 


sein. 

Wir wollen noch im Besondern diese Formel auf konfokale und auf polysphärische 
Koordinaten anwenden. 

Werden die Bezeichnungen von $ 45 gebraucht, so sind bei Einführung konfokaler 


Variabeln.g, 113: 0... RB...“ durch A, An A, 4, 29, 282 oz 
setzen, und man hat 
re d pi oV A d PR ay\\ 
W=4Ppıpa...Dn Io SE 54) = dA, en 32.) 
4 ln. Ban J [9] ( #,R, 7) ae 2) ( „BR, ZN 
ni 10 9A, \R,R,... Ru 94, OA, \RıR,... Bn-ı 0An 
es Men hrn 0 re 
| 1 1 dA, =; 2 tb) 94, } 5:20 ı n fbn 8A, ’ 
weil z.B. ®,, R,, R;,... R, die Variable A, nicht enthalten. 
Wenn die polysphärischen Transformationen 
% = 7 (08 Q, % — r Sin 9, COS.P, % —r Sin Q, SIN @ COS @,.... 
2, — SIND SINIDEE. SIND 0 COS DR, 2 Sin IDeSImLDIT Er SIND Sina 


1 1 1 
., Tem 3° 
Pa SIDEO. SINKOI A A r sin g, Sin @,...sing@,_, ersetzen und erhält: 


sind, so muss man f,f,Jf ; durch 779,0... 2 Jon 1:01,72 SIn Dr 


— au — 


( in? -1 IV 
SZ I ne! == P 
ı 7° SIn“ gy, SIN”@, ... SINÜ pi —ı Sin?! 1: I pP: Iyi 


Eine spezielle Folgerung aus dieser Formel hat für das folgende Bedeutung ; 


ee r 1 5 5 
wenn nämlich V = 7m: Ist, so wird W= 0. 


en — 


s$ 48. Ueber das Potential. 


Wenn % eine gegebene Funktion der n Variabeln x, y,... bezeichnet, 
welche ausserhalb eines begrenzten Teiles der Totalität verschwindet, und ferner 
r = Yla— 2)" +(b—y)’-+... der Abstand der zwei Lösungen (a, b, c,...) und 
(©, 9...) ist, so ist 


dx dyıden 2.0, 


v-[" 


als Funktion der Variabeln «a, b, c,... betrachtet, das Potential der Masse 
"’kdxdydz... für die Lösung (a, D,...), und die gegebene Funktion / ist die jeder 
Lösung (x, y,... .) zukommende Dichtigkeit. Ist % innerhalb der Begrenzung konstant, 
so heisse die Masse homogen. 


Bestimmung des Potentials einer homogenen Polysphäre. 


Wir setzen uns vor, den Wert des Integrals 


at 


Se | sin” p dp 


u 


m 


° (® —2acosp-+ 1): 


zu ermitteln, wenn m eine ganze positive Zahl ist. Ist erstens « > 1, so setze man 
sin ı = a sin (I — Q), so wächst vr gleichzeitig mit @ von 0 bis -r, und man hat 


cos ılı sin y sin ıb 


d —— 1 ee — ) dı IS ———— — 
“ ( Ya? — sin? ı» f "a? a 
Demnach ist 

sin” ıb cos ıb 


£ 1 ae b 
SH = am J (sin 110] = ee d v, 


Ya? — sin? y 


und wenn man die Elemente vereinigt, welche supplementären Werten von ı» entsprechen, 


A = ) r( ) 
N 1 Le 5) 3 
= | sin” w dw — ? 
ax m 
{i) r(2 + ı) . (m 


Ist zweitens « < 1, so ist 


also 
Sn nenn 


0 


° 5 9 5 Ö 2 = ” do 
Nach dieser Vorbereitung gehen wir an die Bestimmung des Potentials V = | en 
eines totalen polysphärischen Kontinuums vom Radius 1, wenn das Massenelement mit 
dem Element do des Kontinuums identisch und « der Abstand der Lösung, für welche 
das Potential gesucht wird, vom Zentrum der Polysphäre ist. Bedeutet p den Winkel, 


welchen der nach dw» gehende Radius mit dem genannten Abstand «a, den wir als erste 


Axe der polysphärischen Variabeln ansehen wollen, bildet, so ist » — Ya — 2acosp-+1. 
Das Element do kann als Paralleloschem von n — 1 orthogonalen Seiten, welche den 
Variationen der polysphärischen Variabeln entsprechen, aufgefasst werden; seine erste 
Seite ist dp, und das Produkt der übrigen mit sin’”* @ proportional; wenn man 
do = sin"""pdg: dw setzt, so ist das äquatoriale Element dw von p unabhängig. 
Die Masse ist 


Et . 
0 T ( 2) 
9 


Das Potential ist also nach dem Vorigen 


 , u 2 - 
V=—l sin vdyvw- | do = — oder = 2, 
| \ m: 


ar=2 n— 


je nachdem « >1 oder « <1 ist; d.h. 

Das Potential eines homogenen polysphärischen Kontinuums ist für 
eine äussere Lösung (oder auch für eine auf dem Kontinuum selbst befindliche) 
gerade so, wie wenn die Masse im Zentrum vereinigt wäre; für eine 
innere Lösung dagegen gleich, wie auf dem Kontinuum selbst, also inwen- 
dig konstant. 

Das Potential einer homogenen Polysphäre von der Dichtigkeit 1 und dem 
Radius 7 ist für eine äussere Lösung, welche um « vom Zentrum absteht, 


n 
728 gi" 


nl 
(at) 


für eine innere Lösung dagegen 


Differentialparameter des Potentials. Wir betrachten wieder eine beliebig 
verteilte endliche Masse und bezeichnen mit r den Abstand der variabeln Lösung, auf 


welche sich das Potential als Funktion bezieht, von irgend einem Element dın der ge- 
’ don oO 
dm 


gebenen Masse; das Potential dieses Elements ist Fu da nun für ein endliches 


die unendlich kleinen Dimensionen von dın nicht in Betracht kommen, so enthält dieser 
Ausdruck nur die Variable », und sein Differentialparameter ist daher 


; 1 
De 
1 d a zul) Kt 
dm: re \ dr 0. 


Nun ist das Potential V der totalen Masse gleich der Summe der Potentiale ihrer 
Elemente; also auch der Differentialparameter W von V gleich der Summe der Differential- 
parameter der Potentiale aller einzelnen Elemente. Daher muss I für jede ausserhalb 
der Masse befindliche Lösung verschwinden. 

Um nun auch für eine der Masse angehörende Lösung den Wert von W zu 
finden, beschreiben wir um dieselbe eine Polysphäre von unendlich kleinem Radius, so 
dass mit Vernachlässigung von Grössen erster Ordnung die Dichtigkeit % innerhalb 
dieser Polysphäre als konstant angenommen werden darf. Dann teilen wir W in einen 
dieser Polysphäre und einen der ganzen übrigen Masse entsprechenden Teil. Jener ist 


nach dem Obigen — 4 kr’: r( = t)) dieser ist Null. Also ist überhaupt: 


n 


e) 


da? I? 92 r(3 -1) 


D.h. Der Differentialparameter des Potentials einer gegebenen Masse für 
irgend eine Lösung ist — (n— 2) mal das Produkt des totalen Masses des 
polysphärischen Kontinuums vom Radius 1 und der für die Lösung statt- 
findenden Dichtigkeit. 


$ 49. Bestimmung des Potentials der von einem quadratischen Kontinuum 


erster Gattung umschlossenen homogenen Totalität. 


Es sei T -+ z +. —1 die Gleichung des Grenzkontinuums, (a, b,...) die 
Lösung, für welche das Potential V gesucht werden soll, »’ = (2 — a)’ + (y—b)’ + ++», 
NET a Yy 
v J Pe E Erz al 
daV=Xda+Ydab+Zdc-+---; 
dann ist 
"dndydz 3 D Rn Mad 1 
NOW) 2) | en (2 — a) = | dr dzedydz-.--—= 2 (==) Aya2, 
wo die Klammer den Unterschied zwischen dem End- und Anfangswert anzeigt. Es 
seien nun 4’, B',... die Axenquadrate des durch die Lösung (a, b,....) gehenden kon- 
2 2 Pe } 
fokalen Kontinuums erster Gattung, also G = S 222 ale fernerz E— VATER? 


y=YB-y,....; a=YA-a, b=YB'.b,....; dann wird 


a ET. IM) (he st Bee 


= 
wo das Integral sich über das ganze durch die Gleichung &°’ + y’—+----—= 1 bestimmte 
polysphärische Kontinuum erstreckt. Wird das Element dieses Kontinuums mit do be- 
zeichnet, so kann dy dz.... durch x do ersetzt werden, und man hat 

r ar 

X=—-YBC...| al; 


Wenn wir nun den Wert von r näher betrachten, so ergiebt sich eine merkwürdige 
Transformation des vorliegenden Integrals. Es ist nämlich 


r=Ax’-+ By’+---—2(YAA Wa +YBB-by+--)+Aa’+Bb’+.-.. 


— 215 — 


Da aber in der ganzen Ausdehnung des letzten Integrals + y’+ = 1 =a’+-b’-+...:, 

und überdies A—A=B-—B=-:- ist, so hat man auch 
(A—A)2”-+(B—B)y’+---=(4— A)a’+(B—- B)V’+..- 5 

oder 

Ax@®+By’—---+Aa’+Bb”’+---= Aa” By’... - H-Aad”+ Bb’+...; 


folglich auch 
"Act Biy’+---=2 (VyAA- da + YVBB-dy-.--)+ Aa?+ Bi? +.-.; 
d. h. wenn die polysphärischen Variabeln sich gleich bleiben, so darf man beide kon- 


fokale Kontinua mit einander vertauschen, ohne dass der Wert von »” sich ändert. Es 
sei nun 


2 WER OE, \ ad 


m-2’ 


also X: = YBC...:YB'C...; und ferner si = YA:a, bh, = YVB:V,.", 
dar, = N da Ydb4+Zda-+----; dann ist V, das Potential der vom zweiten kon- 
fokalen Kontinuum (4) umschlossenen Totalität für eine auf dem ersten Kontinuum (4A) 
befindliche Lösung (@,, b,, ...). Dadurch sind die zwei Fälle, wo die Lösung, für welche 
das Potential gesucht wird, innerhalb, und wo sie ausserhalb des quadratischen Grenz- 
kontinuums liegt, in gegenseitige Beziehung gebracht. 
Wir behandeln nun zuerst den Fall, wo die Lösung innerhalb liegt, indem wir 

von der Formel 

= / N za arday..- 

X=(n — 2) | ul 
ausgehen und polysphärische Variabeln einführen, welche die Lösung («, b,...) zum 
Zentrum haben. Es sei z=a-+ri, y=b+rwm...., alo ?+w+---—=1; und 
das Element des polysphärischen Kontinuums vom Radius sei do; dann wird das Rle- 
ment der Totalität r""'dr do, und wir haben demnach X = (n — 2) ([Adr do = 
—(n—2) | Ar do, wo ” stets positiv zu nehmen, und das Integral über das ganze 
polysphärische Kontinuum auszudehnen ist. Da die Werte von r im letzten Integral 


: 2 Pi y® > d 
sich auf das Grenzkontinuum 7 1 z 4... —] beziehen, so hat man- vr’ + 2ur =h, 
wenn 
Aa u? Ad 


ae { Di ‚ ub I a? b: Hi 
De on (5 54 -) 


— 216 — 
gesetzt wird; nach der Voraussetzung ist h positiv, und es folgt 


— u+ Yu?+ nv 
nr BE, 


v 


r = 


wo die Wurzelgrösse als positiv gelten soll. Vergleicht man nun zwei Elemente des 


Integrals X, für welche die polysphärischen Variabeln A, u,... sämtlich gleich und 
entgegengesetzt sind, so sind die entsprechenden Werte von — Arr:v einander gleich, 


hingegen die Werte von A YJı+-hr:» gleich und entgegengesetzt. Dadurch ist die 
Wurzelgrösse beseitigt. Vergleicht man jetzt auch zwei Elemente, für welche a, v,... 
gleich, aber A gleich und entgegengesetzt ist, so ersieht man leicht, dass das Integral 
sich auf 


reduziert. Der Wert von X ändert sich also nicht, wenn man auch alle linearen Dimen- 
sionen der Masse proportional verändert, wofern dann nur die Lösung (a, b,....) immer 
noch innerhalb bleibt. 

Um nun für diesen Fall einer innern Lösung auch den Wert des Potentials V 
zu bestimmen, wollen wir denselben zuerst für das Zentrum suchen. Es ist für dieses 


Re (& 2 Kur ) =, WV= Sfrardo —— Srde, 


also 


Diese Formel giebt uns die Konstante, wenn wir die Gleichung dJV = X da-- Yab + 
integrieren. Wir bekommen für irgend eine innere Lösung 


a? 32 b° u® 
. 1 do n— 2 A a Ti 
J 5 m — — — 4 —dö. ... (0 
z SE Ne Le... Y Zi 
ma B A B 


Es wird sich in der Folge zeigen, dass diese (n — 1)-fachen Integrale sich in einfache 
verwandeln lassen. 

Wir wenden uns nun zur Behandlung des schwierigern Falls einer äussern Lösung. 
Aus dem früher Gesagten folgt leicht 


— A — 


1 VABC...J a 2 do 
rg ER — DE — 7m FE) 2 „2 ee 
n—2 VA 
4 } 


Be 7 er 


Wenn wir aber die Gleichung dV = X da + Ydb-—-.-- imtegrieren wollen, so dürfen 
a? 0b? (5 
U 
A eine Funktion von a,b,c,... ist. Wären A’, B',... konstant, so bekäme man bei 
der Integration die Funktion 


wir nicht vergessen, dass vermöge der Bedingung --.— 1] nunmehr 


a? b2 u? 
WAYABTET A 
U= oO D— FE 3 do 
2 ZI Eee 
FÜ Bat 


Durch vollständige Differentiation ergiebt sich aber 


> GEZE 
/ zz: j 1 ' 
Ei A Bieechund gras: An 
n—2 ET A „A 
A 
arı2 22 a? 2 
BANNER. 4” DA NENEISERE) a) Sonn 
= P} . re 3 do Ö) Ö Tr ua FE 3 do. 
Are ee UBER, B3) ) 
4A' FA 


22 


FÜ im Nenner 


Wir müssen suchen, für das letzte Integral, wo das Quadrat von & 


steht, wegzuschaffen. Es ist 


Ü 2? a? 2 a? 2% 2% a? PR 
zw ‚a? na 
Due Em DE] A 
OR ER : ar R = zu 
a RER Zn (27) 
1? 322 bs 27? a2 27? 
(at ze 2 Em 2 
2) 2 d=37' — dot 2 ZE de — 2 as do. (2) 
; = 3 2 ei) 


Auf der linken Seite ist der Faktor von do in Beziehung auf A, u,... homogen und 
vom nullten Grade. Wenn man also mit [' nr""'"dr —1 multipliziert und dann das 
Element »"='" dr do der Totalität durch dx dy... ersetzt, so kann man auch im Faktor 


desselben A, u, .... durch x, y, ... ersetzen. Man erhält 
38 


I zer n-1/E „atat rı „a8 
) 4' 4' 4’ 4' A AR 
n | — | — | -dedydz---—=n —— | dydz---=n = — -Ado. 
J 0a 5 ö > ® x # 
A’ e RR FB 
(@"-y-+--- — 1) 


Also ist jene Summe auf der linken Seite 


ae 
N — do=n 


—=n)>2 A 


Bnaen PER 
(Fi dot | Wde+---.), 


oder, da offenbar [ A’do = [ u’do — etc. — rn S@—+-wW—+-.-.)do—= 4 f do ist, auch 


- (5 +5 = )Sdo—= Sdo=2 


wo ım Nenner das 


Durch diese Vorbereitung in den Stand gesetzt, jenes Integral, 
Quadrat einer Summe steht, zu entfernen, bekommen wir 


3 TO VABICHET dd, 
T 


dV 7 
dU= n— 2 in n\ 2 Yarpıı 
(4) WAUBLCERE 
0) 
und hieraus endlich 
n t a2 72 
3 Se = FOIOREN Fa 
= YAaBO...I | a Te EI | —- de, (8) 
VAB...J Ur 
4' 


V= _fn 
le) 
4’ 
wo die Integrationskonstante so bestimmt ward, dass V für eine unendlich weit entfernte 


Lösung (a,b...) verschwindet. 
Liegt die Lösung (a, b...) auf dem Grenzkontinuum (4), so muss dieser Aus- 
druck mit dem früher für eine innere Lösung gefundenen übereinstimmen. Man hat also 


do 2 na m N dA’ 
— ANBOR .. J Sp —— 
jr u n ) j' VABCTETE 
ae 4 
wodurch ein (n— 1)-faches Integral in ein einfaches Abelsches Integral verwandelt ist. 


Hiedurch zu der Vermutung geführt, dass auch das andere (n— 1)-fache Integral, 
welches in (1) und (3) vorkommt, in ein einfaches sich verwandeln lasse, untersuchen 


— 219 


wir in dieser Absicht die oben gefundene Redüktionsgleichung (2), welche, indem wir 


1 nn & HaR 
die Accente weglassen, «a,b,... als unabhängig annehmen und abkürzend v= 2,» 
242 al en e 
vw—=2 T: R=YAB(Ü...J setzen, folgende Form erhält: 
ö 1 Ü dlogR fw 1 dw e ® 
sl ya fe er og & se $, 
324 [do dA J 7 do J Bon do (w JA d 
9 (1 fw 
— > = 
— Ha (3 J 5 do) 5 
wo die Differentialkoeffizienten im Smne von d4=dB=dC=:-:-—=d.T zu verstehen 


sind. Integriert man so, dass beide Seiten der Gleichung für ein unendlich grosses A 
übereinstimmen, so wird 


Beide Fälle, einer innern und einer äussern Lösung in einem Ausdruck vereinigend, 
können wir nun das Endergebnis dieses $, wie folgt, aussprechen: 


It = (e-a” + (y-—b®”’-+:---, und das n-fache Integral V 
anders dun:ich T 1 - ——...<] begrenzt, wofür alle A, B, (;... 
positiv sein müssen, so ist 

Br 2 Lu v e N 
wald MB A ei Bi N ee 


YA+au, (B+u) (CH uw. E 


wo als untere Grenze des Integrals «—=(0 zu nehmen ist, wenn dadurch der 
Zähler des unter dem Integrationszeichen befindlichen Bruchs nicht nega- 
tiv gemacht wird, sonst aber der positive Wert von «, für welchen dieser 
Zähler verschwindet. 


Die folgende allgemeine Betrachtung wird uns einen noch kürzern Weg kennen 
lehren, auf dem man zu diesem Satze gelangen kann, welcher für n — 3 den, wenn ich 
nicht irre, zuerst von Ivory gefundenen Ausdruck für die Attraktion eines homogenen 
Ellipsoids in sich schliesst. 


un 


50. Ueber eine Verteilung von Masse auf einem quadratischen Kontinwum 
erster Gattung, welche zugleich mit ihrem Potential bekannt ist. 
Gelten die Bezeichnungen des $ 45 und setzt man abkürzend 


r dA 
Ian Mi an Meran: 


so kennen wir aus $ 47 folgenden Ausdruck des Differentialparameters mittelst kon- 
fokaler Variabeln : 


en Da 0°:V 7 RIOHEE Oala 2 
Diffpar. = (95 + 99 Da) 
Wäre nun (— 1)'"' I für ©=1,2,3,...n immer einer und derselben ganzen Funk- 


tion (n— 2)-ten oder niedrigeren Grades der einzigen Variabeln A, proportional, so 
müsste nach einer in $ 45 gemachten Bemerkung Diffpar. V verschwinden. Es sei M; 
eine solche ganze Funktion von A,, und man soll bewirken, dass 


wird. Dieses wird erreicht, wenn man 


la lea con USE =MP 


setzt, wo für ö—1,2,...n immer P; eine und dieselbe Funktion von A; bedeutet. Ist 
diese Funktion P algebraisch und nicht gebrochen, d. h. wird sie für keinen endlichen 


Wert von A unendlich gross, so vermehrt die Operation == ihren Grad um n — 2; 
also muss die Funktion M vom (n — 2)-ten Grade sein. Da die Differentiation nach 
Wurzelgrössen hineinbringt, so sehen wir uns bewogen, von vornherein die Funktion P 
als Produkt einiger Axen YA, YB,... mit einer ganzen Funktion des Axenquadrates A 
vorauszusetzen ; das Produkt jener Axen sei YX, diese Funktion / (A), also P= VK.f(4). 
Ferner sei RP—= ABC....— KL, und n, 9 seien die Grade von K und f in Beziehung 
auf A (was wir unter der Voraussetzung dA=dB= .-- als einzige Variable ansehen). 
Werden nun die nach A abgeleiteten Funktionen durch Accente bezeichnet, so ver- 


2D 
wandelt sich die Bedingung a —= MP in 


AKEF' 2 @K DI KL) SR Run Run) Me 


Da es auf einen konstanten Faktor in f nicht ankommt, so wollen wir 1 als Koeffizient 
von A’ annehmen. Dann wird der Koeffizient der höchsten Potenz A""” in der Ent- 
wicklung von M gleich 


45 — 1) +2 7a +n— )9) +27 - YD+yn—n) 
=49 +22 a +n — 29 +7(n+n7—2) 
= (29+9)29+n+n—2). 


Ist m der Grad von Pin Beziehung auf die Axe YA, so ist m — 294 7, und m (m-+n— 2) 
der Koeffizient von 4"-* in der Entwicklung von M. Es bleiben in den ganzen Funk- 
tionen f und M noch n — 2-+9 Koeffizienten zu bestimmen übrig. Die Gleichung (1), 
die wir identisch zu machen haben, ist aber vom (n — 2-+-/)-ten Grade, und da wir 
die höchsten Potenzen schon berücksichtigt haben, so bleiben noch n — 2-9 Beding- 
ungen übrig, welche wenigstens ihrer Zahl nach gerade hinreichen, das Verlangte zu 
leisten. Die nähere Erörterung dieser Aufgabe werden wir erst später in $ 52 vor- 
nehmen. 


Es ist klar, dass die algebraische Funktion P nicht das allgemeine Integral der 
ey 
Gleichung de — MV ist, weil nur der arbiträre Faktor, den sie haben kann, als 


Integrationskonstante zählt. Es sei Q@ ein von P wesentlich verschiedenes Integral der- 
selben Gleichung, so folgt, wenn man aus den Gleichungen 


pP Eee 
ag = MP, 9: Mm 


das Polynom M eliminiert, 


ee 0, 


9 
ek rer 


und durch Integration dieser Gleichung 


90 IP 

— (4 — — 1] EB 
? Ip d dp i &) 
wo wir — 1 für die arbiträre Konstante gesetzt haben, da irgend eine andere Konstante 


nur der Multiplikation von Q mit einem konstanten Faktor entspricht. Da wir beab- 
sichtigen, Q für ein unendlich wachsendes A verschwinden zu lassen, so setzen wir 


29 


Ge iin che Free) 


« 


299) 


„ao 


als Integral der Gleichung (2). Für ein unendlich grosses A verschwindet der Einfluss 


der Unterschiede zwischen den Axenquadraten A, B, C,..., und wenn man JA=a 
setzt und 1 als Koeffizient der höchsten Potenz in P annimmt, so wird 


1 1 
n+2m—2  arfm-2 


Ds 


und verschwindet daher für ein unendlich wachsendes «, sobald n > 2 ist, was wir 
fortan voraussetzen wollen. 

Es ist jetzt leicht, das allgemeine Integral der vorliegenden Differentialgleichung 
zweiter Ordnung anzugeben; es ist « P+PßQ, wo «a, ß die arbiträren Integrationskon- 
stanten bedeuten. 

Da nur die erste Gattung quadratischer Kontinuen ein unendliches Wachstum der 
Axenquadrate verträgt, so können wir Q nur auf solche Kontinua beziehen und daher 
nur den Zeiger 1 bei dieser Funktion anbringen. 

Aus dem gleichen Grunde, warum Diffpar. (P, P,... P,) = 0 war, ist nun auch 
Diffpar. (Q, B, P,... P,) = 0, wofern nur die Funktion P für keinen zwischen A, und 
+ © liegenden Wert von A verschwindet. Man kann nun immer das Axenquadrat A 
y 
B 
Funktion P weder für diesen, noch für irgend einen grössern Wert von A verschwindet. 
Dann ist klar, dass nicht nur, wie sich von selbst versteht, das Produkt U=P P,...P, 
für keine innerhalb des gegebenen quadratischen Kontinuums liegende, sondern auch das 
Produkt T=Q,PP,...P, für keine äussere Lösung unendlich gross wird. 

Wir wollen nun die zwei Integrale 


: ee x : 
eines Kontinuums — + 5 -+:':=1 erster Gattung gross genug annehmen, dass die 
£ 


de ga u E ) RR: 
nn F zero ı| 
1 1 
2 I —— I — 
11 n—2 9 yn—2 x: 

Di en Fe ns Bee z : 

Q ij | tg Ins dyd2..., | > ı| 
näher betrachten. Ersetzt man für ein sehr grosses A das Element d& dydz... der 


Totalität durch »""'dr do, wo wir auch ”» uns als sehr gross denken, so sind die 


Differentialkoeffizienten von von keiner niedrigern Ordnung des Unendlichkleinen 


yn—? 
1 5 q 1 2 > 

als mail und da Q, wie wir oben gesehen haben, von der Ordnung zntm= Ist, SO sind 

auch IT’ und dessen Differentialkoeffizienten wenigstens von keiner niedrigern Ordnung; 


dr Be 
;, also für ein 


a 
daher ist endlich Q wenigstens von keiner niedrigern Ordnung als FErDEr 


unendlich wachsendes r von einer verschwindenden Ordnung, sobald n + m >53 ist. Für 


. BR 3 1 1 DR In 7 
m—0 ist P=1, und (für ein sehr grosses A) nahezu Q — ee EN, 


Also hat überhaupt für n>2 das Integral Q einen endlichen Wert, wenn nur A gross 
genug ist, dass P, für A, > 4 nicht verschwinden kann; hiebei ist freilich der Rinfluss, 
den das Hineinfallen der Gegend, wo r —= 0 ist, in die Totalität des Integrals auf dessen 
Wert haben kann, nicht berücksichtigt. Umschreibt man mit dem unendlich kleinen 


Radius o um das Zentrum (a, b, ...) eine Polysphäre, so kann man innerhalb derselben 


‚9a 2 
IRHERR a etc. als konstant ansehen. Dann ist z. B. 


ei 
; ges 2 re 
ee (=) dy az. 0, 


- 1 1 1 5 > © 5 
weil (=) ie —( ist, oder auch, wenn man will, weil das vorliegende 


Integral =o [Ado—=0 ist. Wenn wir also auch die um die Lösung (a, b, ...) mit dem 
unendlich kleinen Radius o beschriebenen Polysphäre, mag sie in die Totalität des Inte- 
grals WB oder die des Q hineinfallen, davon ausschliessen, so wird dadurch der Wert des 
betreffenden Integrals nicht geändert. Wir können nun diese Integrale auf zwei Arten 
verwandeln. 


1. Es ist 
ae 

RO ET EN ( 1 3) [ er 13 

9x 9x TEE m: de AT 
wo die Klammern den Unterschied zwischen dem End- und Anfangswert anzeigen. Da 
nun das (n — 1)-fache Element dydz... durch A do ersetzt werden kann, wenn es einer 
Stelle des gegebenen quadratischen Kontinuums (4) entspricht, wo do das Element 
dieses Grenzkontinuums, und A, «,... die Richtungskosinus der entsprechenden Normale 

i F H d d N: 

bezeichnen, so ist, wenn abkürzend D= 4 I Lu dY —... gesetzt, und die Gleichungen: 


Diffpar. 77 0, Diffpar. 11’— 0, berücksichtigt werden, 


” ” Ta 
B— (2, SD = do. 


yn—? .n—2 


Im letzten Ausdruck ist das auf die unendlich weit entfernte Grenze bezügliche mit 
positivem Vorzeichen zu versehende Integral von derselben Gestalt weggelassen wor- 
den. Dann für m>0 ist DIT wenigstens von derselben Ordnung mit IT’ oder Q, 


und da dw = r""' do gesetzt werden kann, so ist das 


j 
also von der Ordnung en, 


rw, und verschwindet, wenn n > 3 ist. 


fragliche Integral wenigstens von der Ordnung ö 


25 - 1 1 
Für m = 0 ist IT’ von der Ordnung mt daher DIT’ von der Ordnung = also das frag- 


liche Integral von der Ordnung und verschwindet mithin ebenfalls für n = 3. 


yn—? 
Die Operation D bezeichnet die Variation einer Funktion längs der Normale des 
Elements do, dividiert durch das betreffende Element der Normale. Sie ist daher gleich 


0) ; a e e 
2»--, wo p» den Abstand des Zentrums vom linearen Tangentialkontinuum in do 
9A © 


bezeichnet, und von den Axenquadraten A;, A;,... A, der übrigen konfokalen Konti- 
nuen unabhängig; also DW —(DP). PB... und. DU DO. ZB. 
Ferner ist p= R:Y(A— 4) (A— 4)... (A— A,); folglich, wenn wir abkürzend 
10 6) 


DE Ideen 4)...(A—=A4,) setzen, D= FR Da nun in den vorliegen- 
den Integralen A als konstant gilt, so haben wir 
BP PB... B, IOFBPB...P 
Mu | Zar Bo 2 43 
PB dp n ga do, Q dp j qm = do, 
und vermöge der Gleichung (2) 
PO+0QP=| De A... a VE 
dyde... A Aq . 
Man kann do durch en Any. — Er dydz... ersetzen. Verwandelt man 
durch 2—= YA. x, y—=YB.y, ete. das quadratische Kontinuum in ein polysphärisches 
vom Radius 1, dessen Element wir gewöhnlich mit do bezeichnen, so wird dy' dz---— «do, 
do 
und — =do. 
q 


2. Die andere Verwandlung ist 


1 1 1 
5 On er er 
. _ = ala 2 | m z— dm. 


Bevor wir nun diese Gleichung mit dy dz... multiplizieren und in Beziehung auf x, y, 2,... 
summieren, wollen wir die Folgen der Ausschliessung der Polysphäre oe um (a, b,...) 


2 2 
beurteilen. Im letzten Gliede rechts ist immer (= 4 ve 1 ) (>) — (, so lange 


r nicht verschwindet. Wenn also die Polysphäre o ausgeschlossen wird, so ist auf der 
rechten Seite in der Summe das zweite Glied wegzulassen. Hinsichtlich des ersten 
Gliedes rechts kann die durch Wegnahme der Polysphäre o entstandene Lücke durch 


ee 
n(D ai eg" de = n(5, (=) .g"'de=—(n—2) IT | ds — — „(en 
2) 


ausgedrückt werden, wenn für IT der der Lösung (a, b,....) entsprechende Wert gesetzt 
wird. Steht IT’ an der Stelle von IT, so ist das der unendlich weit entfernten Grenze 
entsprechende Integral von der Ordnung j- /I'do, verschwindet also. Durch das Gesagte 
wird die Richtigkeit der folgenden Gleichungen hinreichend begründet sein. 


2 2 
Wenn a  gd ist, so ist 


1 n 
Dp n—2 7 
N An 5 do N — [BP B]; 
(3-1) 
Da 
EEE, Ze 
A ee 
D Q) r 9 do 
wenn dagegen T + z —..->1 ist, so ist 
ausm 
RBB er 
Du 24 z 5) do, 
1 R 
3 EIER, n—2 Ana 
-=-0j ee 40 ae 
I ne) 


wo die in Klammern geschlossenen Produkte sich auf die Lösung (a, b,...) beziehen. 
Diese Gleichungen geben im ersten Falle 


iR —1 


im zweiten 


| 


A PP, 


n 
de) 


Hält man damit die Formel (4) zusammen, so findet man 


« 


— 26 — 


an, do REP N Piroder 2 Fu BIO, Bern WEAN 


q n n 
ei Ale) 


je nachdem die Lösung (a, b,...) innerhalb oder ausserhalb des quadratischen Konti- 
nuums (A) liegt. Beide Formeln fallen zusammen, indem PR =P, Q =@ wird, wenn 
die Lösung dem Kontinuum selbst angehört. 

Die linke Seite dieser Formel (5) stellt das Potential einer auf dem Kontinuum (4A) 
verteilten Masse dar, wenn überall die Dichtigkeit k= PB P;,... P,:q ist. 

Sind P, P' zwei sich nicht nur durch einen konstanten Faktor unterscheidende 
Funktionen, welche die im Eingang dieses $ erwähnten Bedingungen erfüllen, und wendet 
man das soeben gebrauchte Verfahren auf das Integral 


RNORPNPHSNPRRONDN DR NPER y° 
re: 7 + ete.) de dydz... Bi 


an, so findet man 


oPp' 


DE 23 
Ip 


ee 


(P BB. sBrBr ann. 
Der vorgesetzte Faktor kann nicht verschwinden, wenn nicht P’': P konstant ist; 
daher muss : 


(Bremen ge zöhulı. A ERWERIRTEN 


sein. — Da auch P'=1 zu dieser Klasse der Funktionen gehört, so ist für eine Funk- 
tion P, deren Grad die Null übersteigt, 


IE m (), - Me ae 


q Va N 
2) 


Hätte eine Funktion P imaginäre Koeffizienten, so gäbe es auch eine Funktion P’ 
mit den konjugierten Koeffizienten; und wenn BP... P,=u-v = 1 gesetzt würde, 


>% R —— ad Pu? + v° 
wo u, v reell sein sollen, so wäre P; P,... P,=u—v V — 1, und man hätte | Te do —0. 


Diess ist nicht möglich, weil q immer positiv ist. Die Funktionen P sind also 
alle reell. 

Die obigen Ausdrücke für das Potential eines quadratischen Kontinuums (4) sind 
unter der Voraussetzung bewiesen worden, dass P, für 4, > A nicht verschwinde. Könnte 


( 


) 


san) — 


P, für ein kleineres A,, das immer noch einem Kontinuum erster Gattung angehörte, 
verschwinden, so denke man sich das quadratische Kontinuum, welches dieses zunächst 
umschliesst; für dieses müsste dann Q einen sehr grossen Wert haben; eine innere 
Lösung (a, b,...) wird immer anzugeben sein, für welche keine der Funktionen P,, PR, 
... P, einen sehr kleinen Wert annimmt, so dass das Produkt Q P, P,... P, immer noch 
sehr gross wird; dann haben wir aber für das Potential einen sehr grossen Wert, was 
nicht sein kann, da die Dichtigkeit auf dem ganzen quadratischen Kontinuum nirgends 
sehr gross werden kann. Wir schliessen hieraus, dass die Funktion P, nie verschwindet, 
dass also Q, nie unendlich gross wird. Die Formeln (5) sind daher allgemein gültig. 


S 51. Anwendung des Vorigen auf die Bestimmung des Potentials der 

5 . g 

von einem quadratischen Kontinuum erster Gattung umschlossenen homogenen 
Totalität. 


Die Funktion P vom niedrigsten Grade ist P=1; für diese geben die Gleichungen 
(5) und (3) des vorigen $: 


Anm? I dA, 
= ; 
A q a = 1) < 


wo rechts als untere Grenze des Integrals A, = 4 oder der der Lösung (a, b,....) ent- 
sprechende Wert von A, zu nehmen ist, je nachdem diese Lösung innerhalb oder ausser- 
halb des quadratischen Kontinuums (4) liegt. 

Bedeutet h eime unendlich kleine Zahl, und werden alle linearen Dimensionen des 
gegebenen quadratischen Kontinuums (A) im Verhältnisse 1-+-h vergrössert, so dass ein 
mit jenem konzentrisches und ähnlich liegendes Kontinuum entsteht, so ist ph die Dicke 
der zwischen beiden Kontinuen enthaltenen Schicht, und wenn man diese sich homogen 


und von der Dichtigkeit 1 denkt, h.pdo=hR:- = das Massenelement. Das Potential 
dieser Schicht ist also 


In2 da 
<— Rh t 
r(% = 1) J I 
sen ————— f du 
— — ——_ hYABO...J. —— — —) 
r(3 E ı) = c j YyA-+au)(B-F-u)...(J-+ u) 
9) 


wo das Integral entweder bei dem positiven Werte von u, welcher der Gleichung 
a? f [de 
A+u B+u 


H-...— 1 genügt, oder, wenn es keinen solchen giebt, bei u — 0 anfängt. 


—_— 283 — 


Verkleinern wir die linearen Dimensionen des gegebenen quadratischen Konti- 
nuums in den Verhältnissen 9% und #--d9 und suchen das Potential dV der zwischen 
den entsprechenden Kontinuen enthaltenen Schicht, so ist h = N die Axenquadrate 
A, B,... und die Variable « sind durch 0°A, 0°’B,..., #’u zu ersetzen, und wir be- 
kommen 


n 


0) 2 
daV = — — 
rg -1) 


wo als untere Integrationsgrenze entweder der positive Wert h von «, für welchen 
— Era 12 lien —...— #° ist, oder, wenn kein solcher existiert, «—= (0 zu nehmen ist. 
A+u B-+u 

Ist 9 — 0, so muss ı positiv unendlich gross sein. Wie 9 wächst, wird h immer kleiner; 
endlich erreicht 9 einen Wert &, für den A Null wird. In diesem Intervall ist das 

du 

VA+zu)B+u.... 
h=0 sei E. So wie aber 9 über & hinaus wächst, muss man dem Integral den kon- 
stanten Wert E geben. Es ist aber 


du 


VYatu)B+to...(d+ ) 


Duo ae 


— ® eine Funktion von 9; ihr Wert für d9=e oder 


Integral [ % 


dh 
v0 _000n _ d0 
90 09h 00 YA+tMBHn..... 
daher 
0=0 dh 
0"? —— di’ . 
0) <E ar 1 90 a 1 [ph=» 0°? dh! 
a a EN VA+R)(B+R) 
0=0 0=0 | on. a 3 .... 
u=» 98 a? = b2 a 
> Es A-+u B+Uu Ei, 


en VAFUBERA.....: 


Ist die obere Integrationsgrenze ein Wert von 9, welcher & übertrifft, so hat man 


v=® = a? 
N) =eE ' S Aen 2,2 pu=@ u 
®0d9-- E0d0 = 3 l — EU du 4- 6 nn EUNZ 
Gr ie Yya(A+u) ae YI(A+u) 


RE e a? 
1 ee Eu 
= ———— du 
an Ya(A+u) 


=. = 


Erstreckt sich die Integration von #—= 0 bis #—=1, so hat man endlich 


n as dedy...dw x Yen mare a | 
V= | % Fee & 7 t + 7: 
7 [x - a®+(y— 6? ++ (w— dr]: 
a? b? Du 
5 , 71 + — GE a a) 
en an! ano. | i (an ER DM 
yYA+tu (B+Wu....(J+u) 


wo als untere Integrationsgrenze der Wert von ı, für welchen der Zähler des Bruchs 
verschwindet, wenn jener positiv ist, sonst aber der Nullwert zu nehmen ist. — Dieses 
Resultat stimmt mit $ 49 (4) überein. 


$ 52. Ueber die algebraischen Lösungen der Gleichung a. — 

Es scheint etwas schwer, mit Sicherheit die Zahl der verschiedenen Formen der 
ganzen Funktion f anzugeben, welche der identischen Gleichung (1) in $ 50 genügt, 
wenn ihr Grad 9 und die 7 Axenquadrate, aus denen das Produkt X besteht, gegeben 
sind. Da die Koeffizienten der höchsten Potenzen in f und M bekannt sind, so gehen, 
wie wir schon gesehen haben, aus (1) nur d--n — 2 algebraische Gleichungen zweiten 
Grades zwischen den an Zahl gleichkommenden übrigen Koeffizienten hervor. Das System 
derselben hat also höchstens 2° +"? Lösungen. Da aber die Gleichungen eine sehr 
spezielle Beschaffenheit haben, so kann man wohl vermuten, dass diese Zahl zu hoch 
sei, und braucht nur für die ersten ganzen Werte von 9, 7 die Rechnung auszuführen, 
um diese Vermutung bestätigt zu finden. 

Um dem wahren Sachverhalt näher auf die Spur zu kommen, wollen wir die un- 
bekannte Funktion M dadurch eliminieren, dass wir für die Variable nach und nach alle 
ihre Werte substituieren, durch welche f—= 0 wird und deren Zahl offenbar 9 ist. Sie 
treten als die Unbekannten des Systems an die Stelle der an Zahl gleichen unbekannten 
Koeffizienten der Funktion /; und da die Zahl der Gleichungen, die wir so erhalten, 
ebenfalls 9 ist, so reichen sie zur Bestimmung der Funktion f gerade hin, und dann 
ergiebt sich die andere unbekannte Funktion M aus der ursprünglichen Gleichung (1) 
von selbst. 

Es sei also dAA=dB=dC=-:--=du, f(u) = (u—e) w—P)... w—d)), 
R=KL=H(), 3KL+-KD-=4J(u), wo H, J resp. als Zeichen von ganzen 
Funktionen n-ten und (n — 1)-ten Grades gelten mögen. Dann ist 


He.f'a-+2JIuıfe = 0,ete. (d'Gleiehungen). . . =... (9) 


Diese Gleichungen sind in Beziehung auf die Unbekannten «, ß,...Z vom Grade 9-1 n — 2. 
Wenn wir aber von der ersten Gleichung des Systems nach und nach alle übrigen sub- 
trahieren, so können wir resp. mit @ — ß, @—y,..., @—L dividieren, wodurch der 
Grad um eine Einheit hinuntergeht; subtrahieren wir dann wieder von der ersten dieser 
Gleichungen nach und nach alle übrigen, so können wir mit $ — y, ß — d,... dividieren, 
u. s. f.; und zuletzt haben wir eine Reihe von 9 Gleichungen, deren Grade resp. 
don —2, 0--n—3,...n,n—1 sind. Die Endgleichung für eine einzige Unbekannte 
ist also höchstens vom Grade (d +n — 2) (d-+n—3)...n(n—1). Da aber hiebei 
alle durch Permutation einer und derselben Gruppe von Werten der Unbekannten «, ß,y.. 
entstandenen Lösungen des Systems als unter sich verschiedene aufgezählt sind, obgleich 
sie nur eine und dieselbe Funktion / liefern, so reduziert sich die Zahl der Funktionen f, 
n+0—2 
0 

Zahl sei, geht zwar aus dieser Betrachtung nicht mit Sicherheit hervor; aber die für 
bestimmte Werte von n7 und 9 angestellten Versuche bringen es zur höchsten Wahr- 
scheinlichkeit. 

Um die Form der Gleichungen, welche das soeben beschriebene Verfahren liefert, 
zu erkennen, setzen wir zuerst fu = (u —ea)pu. Dadurch verwandelt sich die erste 
Gleichung des Systems (9) in 


welche dem Systeme (1) genügen, auf höchstens ( \ Dass dieses wirklich die wahre 


Ha.pa+Jae.ga—0. 


ga PEIFIR 1 ’ N 1 e bus De 3 4 3 
Da eier renzy Be EEE und gP =(0, py=L, etc. ist, so kann diese 


erste Gleichung (9) auch so geschrieben werden: 


„H«.pa«—HPß.pP 


Fan -IJua.ge=0, 


wo die letzte Summe sich auf alle 9 unbekannten Wurzeln der Gleichung f—= 0 und die 
erste auf deren Kombinationen zu zweien erstreckt. Ist nun 


fu = Hu ku Tr... + ko_ ut hg: 
so ıst 
pu=ul!ira| u 2.0: | nr ei I 
-+ kı —- kı & = kı au 2 
— lg —- log a Tz 


— 2. 


daher wird, wenn man abkürzend 


3 na Ha— ft H 38 Be 
I —=2 e—B +20 Ja 
setzt, die erste Gleichung (9) 
Sg — tr (@ —+k,) Sg _ Nr (a + ki, @ Sie ks) Sy —H t en es t (a? = 1 Ir a u 5 + kg u. n) SS 0, 


und die übrigen Gleichungen des Systems (9) entstehen aus dieser, indem man nach und 
nach « durch ß, y,...{ ersetzt. Das System (9) ist also zu einem Systeme von 9 
linearen Gleichungen in Beziehung auf die 9 — 1 unbekannten Verhältnisse der Grössen 5 
geworden. Wenn also diese Grössen nicht verschwinden, so muss die Determinante ihrer 
Koeffizienten es thun. Diese reduziert sich aber auf die Determinante 2+ «I 180 7,0 ...e!& 
— IT(«— ß). Man hat also nur die Wahl, entweder alle Grössen S als verschwindend, 
oder in der Gleichung f—=0 gleiche Wurzeln anzunehmen. Das letztere als etwas 
Spezielles setzen wir einstweilen bei Seite und entscheiden uns für das Erstere, dem 
allgemeinen Fall Entsprechende. Wir haben dann die 9 Gleichungen S,, 8}, Sa, Sg 105 
und wenn diese Statt haben, so ist auch das System (9) erfüllt. Man bemerke, dass 


diese Gleichungen, deren Grade resp. n — 1,1,n—+1,...,n—9— 2 sind, in Beziehung 
alle Wurzeln «, ,...& symmetrisch sind und daher rational und ganz mittelst der 
Koeffizienten k,, kg, .... ig ausgedrückt werden können. 


Das Produkt X kann auf () verschiedene Arten aus den Axenquadraten A, B,... 


zusammengesetzt werden. Wenn also wiederum der Grad der ganzen und rationalen 
Funktion PP in Beziehung auf A mit m = 29-7 bezeichnet wird, so ist 


A) ee) ze De 


die Zahl der einem gegebenen Grade entsprechenden Funktionen P. Sie ist also der 
Koeffizient von =” in der Entwicklung von (1 — «°)-"*'(1-4- x)" nach steigenden Potenzen 
von x. Dieser Ausdruck reduziert sich auf (1x) (l—x)-"*'. Die fragliche Zahl 
ist also gleich 


b* t ar ') (> 1m (, n + ') = ri (" Br n a % ar °) ü 


m m—1 
$ 53. Darstellung gewisser arbiträrer Funktionen von n — 1 unabhängigen 


Variabeln. 


Es sei g eine beliebige Funktion, deren Werte für alle auf dem quadratischen 


BE Pi Z B nn c : 
Kontinuum Fin E —.-.— 1 befindlichen Lösungen bekannt sind, also, wenn man will, 


39 = 


eine bekannte Funktion der n — 1 konfokalen Variabeln A,, A,,...A4,. Man bestimme 
nach dem im vorigen $ beschriebenen Verfahren nach und nach für m = 0,1,2,3... 
alle algebraischen Funktionen P, welche der Gleichung nn —= MP genügen. Denkt man 
sich p von der Form Fk PR, P,... P,, wo k einen konstanten Koeffizienten bezeichnet, und 
die Summe sich über alle Formen der Funktion P erstreckt, wobei wir ferner annehmen, 
dass für m = 0,1,2,.... die Koeffizienten k eine abnehmende Reihe bilden, welche 
schneller fällt als eine geometrische: so kann man jeden Koeffizienten % durch ein über 
das ganze quadratische Kontinuum (A) sich erstreckendes Integral ausdrücken. Vermöge 
der Gleichung” (6) in $ 50 ist nämlich 


fg do le „do 
J 9-PiPı... PT —k| (BR..B)T 


Da das Integral rechts lauter positive Elemente enthält, in denjenigen links hingegen 
das Vorzeichen von P, P,... P, desto häufiger wechseln wird, je höher der Grad m von 
P in Beziehung auf YA ist, so wird im allgemeinen höchst wahrscheinlich der häufigste 
Fall der sein, dass das Integral links ungefähr nach geometrischer Progression immer 
kleiner wird, je höher m steigt. Ist /k, das konstante Glied der angenommenen Ent- 
wicklung von @, so hat man 


Ich halte es für sehr wahrscheinlich, dass jede Funktion, deren Werte überall 
auf dem quadratischen Kontinuum (A) nach Belieben gegeben sind, unter die Form 
N%kP,P,...P, gebracht werden kann; allein die Schwierigkeit des Beweises erscheint 
mir fast unübersteiglich. 


$ 54. Reduktion einiger vielfachen Integrale auf einfache. 


Bei der Bestimmung des Potentials der von einem quadratischen Kontinuum um- 
schlossenen homogenen Totalität in $ 49 kam die Reduktion eines gewissen (n — 1)- 
fachen Integrals auf ein einfaches vor. Hier sollen nun einige vielfache Integrale von 
allgemeinerer Beschaffenheit, welche jenes als speziellen Fall enthalten, reduziert werden. 

I. Aus der Theorie der Eulerschen Integrale folgt 


ai yEzızr ZN. eig de dan — ne 


= Te) TAT... De), 
Te+ß-+y+:--+e) 


r ne 
(u re a Por ep | 


Um die, wenn ich nicht irre, von Catalan gegebene Formel zu beweisen, kann man mit 


> 4 2... Jh) | 2 se. -g£ w/ 1 = . 2 
fer@tur  tWuygatste terigu—= T(e-+-ß+--- +8) multiplizieren, ux, uy,... uw 
0 


in 2, Yy,...w umsetzen, und endlich, da x -—-y----- +w=u sein muss, dw durch dx 
ersetzen; das Integral zerfällt dann in ein Produkt von n einfachen Integralen. 

Setzen wir in der vorliegenden Formel 2=4,y=u',...w—= ©’, so stellt die 
Bedingung A’—+ u’. --—- o’—= 1 ein polysphärisches Kontinuum dar; das (n — 1)-fache 
Element du dv...do ist daher eine Projektion des Elements do dieses Kontinuums und 
hat den Wert Ado. Wir bekommen so: 


t 2B 9y — 9 5_ a ET EEE). 


wa 2 Gier Ee 
Be en) 
A u” ! 4 0 —1 


B — 22 ? o: 
II. Wird der Kürze wegen A —= FG = Au ae ae 


beliebige Funktion von n Variabeln, so soll das Integral 


. x al u [2] do 
ıp — h —n I Ho 
l v (7 ya =) " 


gesetzt und bedeutet Y eine 


verwandelt werden. Setzen wir für diesen Zweck 0° .1—1, so kann das Integral auch 
unter der Form 


2 a0 £ en la . . 
w — | ( | 1 dry A ru...r0) rl dr) do 


an ı 2) Y 


on rar Busse. ro 
— | BD TEIRE Bann ra) dx dydz...dw 


4 ya—ı Ir 

r—=.+y—+ — 10%, z=rÄ, etc. 
Ze N 
Fee gt 


dargestellt werden. Bedeuten ı,, Y.,...4, die ersten abgeleiteten Funktionen von %, 
so ist 

1 Ola! 17 

yr— 12) y 


—nU + zu + ya + SO9-r wW%,, 


und, wenn 2 —= x yA, y=yYB,..., @=rk,y=r'w,... angenommen wird, 


1 r (gr /D 1 9.rrulra ya, ul By: 
nn _—_. nn (A YA.dı tw VB .p, he.) > = ‚6 rn apzze), 


yın —1 


30 


= al = 


Man erhält also 


I rn va YA, ru Y DAR RE F h ; 
=yABC.. .J ir mi LEW 6 2 KhBur IR Hape... Arv!, 


("=e’+y’t+.  +w’<]) 


oder, mit Weglassung der Accente und Ersetzung von dx dy dz...dw durch v" "dr do, 


MEERE a alı un ıl f . DT 
2 yAB0...J| (J nn ) dr) do; 


also endlich 


(v (1 Ey. le — YAB...ISv(aYA,uVB,....oYN)do, . © 


/ 
az 0er 
a u? [7% P . 2, R 
WO - und beide Integrale sich nur über den Teil des poly- 
sphärischen Kontinuums A°’-+ w’4--»--- w’—= 1 erstrecken, wo sämtliche Variabeln A, 
u,...0© positiv sind. 
1 1 £ u u “ 
Setzt man d = 1 und lässt .mi-t 1. Br übergehen, so ver- 


AB 4 
wandelt sich (2) in 


do ar : ir EEE, 
Ja ODE 


wenn das Integral links sich über das ganze polysphärische Kontinuum erstreckt. Je 
nachdem man auf beiden Seiten nach den steigenden oder nach den fallenden Potenzen 
von 2 entwickelt, enthält man finite Ausdrücke für [ -7do, | -1do, | -1'do, etc., oder für 


do do nic ” do u 5 5 
ie a; Yen ‚etc. Den Wertfür | —;, wenn i irgend eine zwischen 0 und 


" liegende Grösse nn, al werden wir bald auf ein einfaches Integral zurückführen. 


III. Um das auf alle Lösungen mit positiven Werten A, u,... eines polysphärischen 
Kontinuums vom Radius 1 sich erstreckende Integral 


s-[[ ice Ze eh ru... ‚ro)ı" ar dd 


8 EN 
= u, also r—=(14u-A) ” und erhalten 


et 
zu verwandeln, setzen wir ep 


D 
= 
[321 
| 


er2 


: [ u 
re J |’ ( zn ) 


do 


—- f (u) du. 
(1-+u-4)? 


Durch Anwendung der Gleichung (2) ergiebt sich hieraus 


u aa ae Ace 2 A re N | (3) 
De ale 


IV. Gehen wir zu speziellen Umwendungen dieser Formel über und setzen 
v(z, Y,... w) = ada1 y2Pa1,,,w?e=1, so bekommen wir vermöge (1) die Gleichung 


y 


” »] BE? | 
| sc 7 Yrastiucte I dr. Ma-iyap-1,,,.o8e-1 = 
Ju P 


f (u) du 


een] lee A 


0 


= ( N: T(e) T(ß)...T(e) 


2 


Die Funktion f (w) unterliegt hier gewissen Bedingungen; sie muss von v=0bsu—=® 
kontinuierlich sein, und für ein verschwindendes « muss sich uf (v) wie eine Potenz 
von ı mit positiven Exponenten, für ein unendlich wachsendes « dagegen muss sich 
uf (u) : u@+P#+ +8 wie eine solche Potenz mit negativen Exponenten verhalten. Nimmt 
man f (u) = uw! an, so ist links das Integral 


5 N N 1 ON) 
NN! „2 (a4 +8 2 Ye er SER ER ee ET BE LEINE, 
J (1 v°) 19 B+ pi] = FRA ee) 


0 


Man hat also endlich 


" Eee e% BERNER BIETER NT a . 
BR wr\i END TÖ)T(«e+ß+---+€e—)) , u\a u\ß 
Bean) abe 


Diese Gleichung gilt nur für positive Werte von @, ß,...e und für Oo <i<a +++ 
Für ö—= 0 tritt die Formel (1) an deren Stelle, und für i=«@+ß---:---e erhält man 
durch Anwendung der Formel (2): 


EN rer B IE EEE) HB LE) game 2 
er. Se eg 
A Um Ti 


— 236 — 


| 1 
‚ und erstens « = 


J y°’ 


Setzt man n AJ)B=y=.--=e= zweitens @ — = ‚so erhält 


man die zwei Formeln 


(ge S- do ne Im = en W—rdu & 
SCH or) eh 


[ 12do - ee rag we N au 
22 ur ü F « n ü | } VRR en ee an) 
LEN AI ER MEER: an u u m u 
EN) (4+5+ ) () (3 +1). G+E) Ye a) 
wo nunmehr die Integrale links sich über das ganze polysphärische Kontinuum erstrecken. 
Setzt man ö= 1, so ergeben sich die in $ 49 gebrauchten Reduktionen. 
p „2 2 2 

Set ani Dean Is Fe] en 

Setzt man in (4) TE. u BR“ 17) 7’ so ist pn ! B 4 ei: 1; 
und das Integral links erstreckt sich über denjenigen Teil eines quadratischen Konti- 
nuums, wo alle Variabeln zugleich positive Werte haben. Nach der üblichen Bezeich- 


nung wird dann 
m men a1 BRAUN, 0 gE-1 
DR m m Im ’ 
ö ee (A=A,) dA, 


ee ner T(«) (ß)... Ile) ® te 1 RE (6) 
TERN MONA) u\a Er er 
ul EEE 


wo links unter den Axenquadraten A,, B,,....J,. die m — 1 letzten entgegengesetzt zu 
nehmen sind, damit alle positiv erscheinen, und wo ® = (A,— A,) (A»— A,)... (As»— 4,) 
xX....x(4A,.,— 4.) wo ferner rechts das Produkt 7.(A — Bine so viele Fak- 
toren zählt, als die Grössen A, B, C,....J zu zweien kombiniert werden können. Die 
linke Seite zerfällt in ein Aggregat von Produkten von je n — 1 einfachen und voll- 
ständigen Integralen. 

Richtet man für n —= 3 die Exponenten «, ß, y,i so ein, dass vollständige ellip- 
tische Integrale herauskommen, so scheint trotz aller noch möglichen Mannigfaltigkeit 
immer nur die bekannte Legendre’sche Relation, F(k) E(k’) + F(k') E(k) — F (k) F(k‘) 


h Qi Le B—-C 
— ” , aus (6) hervorzugehen. Setzt man z.B. e=ß=y ae, VE =* 


\; — = k, Eon: 9, und bezeichnet das vollständige elliptische Integral dritter Art 


A—C A 
a 1 1x 
| ® — — er durch 7 (n, k), so verwandelt sich (6) zunächst in 
1-+-nsin®z Vi — A?sin?x 


| 
ID 
I 
| 


7 
tang 0 


IT (R? tang? 8, k) F (X) — IL(— k?sin? 6,K) F (ki) = — — Fü, 0). 


1 
Y1— %?sin?O 


cos? 0 


Substituiert man aber hier für die Funktion IT ihre durch elliptische Integrale der zwei 
ersten Arten ausgedrückten Werte, so erhält man nur: 


F(, 6) [r (k) Ek)+F(k) B(k) — Fk) F(k) — 3 = (. 


N 


Inhaltsübersicht. 


Erster Teil. Lehre von den linearen Kontinuen. 


Seite 
1. Definitionen . { B 5 2 : 3 i h & 5 : 2 6 
9. Orthogonale Tı en des ahtaheln i A 5 : s 2 h 4 4 ; E 9 
3. Ueber den Winkel zweier Richtungen . £ e 5 S e E e A 10 
4. Anwendung der orthogonalen Transformation zum Dee ae Satzes, dass der Strahl der 
kürzeste Weg sei zwischen zwei auf ihm befindlichen Lösungen 5 ; R > P - 11 
5. Mass des Paralleloschems e £ . 5 s o i Ä : e : : 5 Y 11 
6. Ueber schiefe Systeme . : 4 5 : i : > ; 2 n : 5 e 5 15 
7. Mass der Pyramide 5 : : ? : B : : : : : e ; e : 15 
8. Mass der Pyramide, ausgedrückt durch ihre In (rn — 1) Kanten £ > 2 B c e 17 
9. Anwendung von $ 6 auf die Verwandlung vielfacher Integrale . De 6 - e $ 18 
10. Ueber Polyscheme ; ; ; S : 5 : 5 : 5 ; : 5 . 5 19 
11. Berechnung des Masses eines Polyschems . 6 > 2 
12. Ueber die Projektionen eines linearen m-fachen Kontinnums wenn m zw Sehen 1 a N — f ieh 22 
3. Mass eines m-fachen höhern Kontinuums . - - - . ; 26 
14. Orthogonale Transformation der Projektionen eines Inearen Koniinlams - 2 5 2 5 97 
15. Ueber das Verhalten linearer Kontinua zu einander . R R 29 
16. Ueber die Zahl der Teile, in welche die »-fache Totalität durch eine Speliehie or - — D- 
facher linearer Kontinua geteilt wird . s 8 k 2 2 : > . ; Ä £ 39 
17. Reguläre Polyscheme der vierfachen Totalität . ; 5 A - B i 42 
18. Reguläre Polyscheme der fünffachen und aller mehrfachen "Totalitäten 5 A s : o 53 
Zweiter Teil. Lehre von den sphärischen Kontinuen. 
19. Einleitung. Begriffe der Polysphäre, Mass derselben und ihres Umschlusses . : ® 5 57 
20. Gegenseitige Abhängigkeit der Stücke eines sphärischen Plagioschems ; : L 5 - 60 
21. Hülfssatz % : : : : 3 3 B ; ; : 5 r 64 
22. Mass eines Re Blagioschems c b > 5 - ’ 5 65 
23. Plagioschematische Funktionen ; reduzierbare Fälle von Orthogonalität R . - e 2 68 
24. Reduktion der perissosphärischen Plagioscheme auf artiosphärische . e : J : 3 70 
25. Zerlegung der Plagioscheme in Orthoscheme 4 e A R . . x 74 
26. Reduktion der perissosphärischen Orthoscheme auf iosphangikre 5 : - ; : . Ss 
27. Perioden artiosphärischer Orthoscheme 5 ss 
28. Anwendung des Vorigen auf die Bestimmung anrehe One in einigen hesondeten 
Fällen . » : A 6 e h & B : : 5 : ö : a 5 : 93 
29. Ueber das Orthoschem f (3 ; = Be E a = = , 5) 95 
30. Rationale tetrasphärische Orthoscheme, deren Argumente rationale Teile von = sind : ; 101 


- nn nn ı za ı x n Mt uch 
31. Ueber das Orthoschem f (3 ta, Zr ) und einige mit die- 
3 3’ 4 Aa 3 
sen und dem in $ 29 betrachteten in Beziehung stehende Sätze s - 103 


32. Ueber sphärische Polyscheme. \Differential eines Polyschems, Zahl seiner Berne 
Reduktion eines perissosphärischen Polyschems auf artiosphärische, neuer Beweis der Formel 


A—- bh + — A, +a,—=2, Summe zweier reziproker tetrasphärischer Polyscheme) o a 106 
33. Ueber reguläre sphärische Polyscheme B . o © B B 6 E ; h = 116 
34. Nähere Untersuchung der Hexakosioscheme i e : 0 E 120 
35. Ueber die Summe der (Quadrate der Projektionen eines Strahls An sy Emelk.ch erleile Rie % 

tungen . x & B £ B : 5 < e < ß & a 5 5 S 5 134 


Dritter Teil. Verschiedene Anwendungen der Theorie der vielfachen Kontinuität, 
welche das Gebiet des Linearen und Sphärischen übersteigen. 


36. Bestimmung des Zentrums eines quadratischen Kontinuums ö > - 5 . 5 : 140 
37. Bestimmung der Hauptaxen . £ : : & ; : : 6 ; . : : - 141 
38. Konjugierte Halbmesser & 5 e . h h 5 : £ : 5 5 C 145 
39. Berührende Kontinua ersten Erde : - SSR: ; s ; . : . 151 
40. Bestimmung der Hauptaxen eines diametralen Schnitts. Definition der konfokalen Kontinua 154 
41. Fortsetzung der Theorie der konfokalen Kontinua h . - © 157 
42. Reduzierte Form der Differentialgleichung zweiter Be eines Haken nee = 164 
43. Ueber orthogonale Kontinua überhaupt und über die Hauptkrümmungen eines en 
Kontinuums . B E : : L ; ö 2 . 171 
44. Allgemeine Betrachtungen über ie men Onoeenler Konknan: Konstruktion eines ganz 
beliebigen Systems orthogonaler Flächen im Raume . © 176 


45. Anwendung der konfokalen Kontinua auf die Bestimmung des insses dr Basch ein ae 
Kontinuum begrenzten Totalität und des begrenzenden Kontinuums selbst. Relationen zwischen 


vollständigen Abelschen Integralen B © 5 5 & B 191 
46. Bestimmung des kürzesten Weges sowohl in der Totalität als dee il einem ration 

Kontinuum oder dem Durchschnitte mehrerer konfokaler Kontinua . 6 E B : £ 196 
47. Ueber die Verwandlung des Dan mittelst orthogonaler Funktionen : B 207 
48. Ueber das Potential e £ : © ; B : 211 
49. Bestimmung des Potentials der von einem nadratischen en erster ea Suse: 

senen homogenen Totalität . > : . : ö - 214 
50. Ueber eine Verteilung von Masse auf einem ae oa erster Cs welche 

zugleich mit ihrem Potential bekannt ist . i - - ö © ; & 220 
51. Anwendung des Vorigen auf die Bestimmung des Päfenttals as von einem quadratischen 

Kontinuum umschlossenen homogenen Totalität . ; : : - & B © i R 297 

9°P 

52. Ueber die algebraischen Lösungen der Gleichung Er = 1 5 5 : o e . 239 
53. Darstellung gewisser arbiträrer Funktionen von » — 1 unabhängigen Variablen 2 2 5 251 
54. Reduktion einiger vielfachen Integrale auf einfache . : 5 s i : 5 : > 232 


—— — 


Ueber den Föhn 


Vorschlag zur Beschränkung seines Begriffs. 


Mit 18 Tafeln. 


Druck von ZÜRCHER & FURRER in Zürich. 


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Bei Gelegenheit eines Vortrags des Herrn Direktor R. Billwiller in der Sektion 
für physikalische Geographie der Versammlung der Schweizerischen Naturforschenden 
Gesellschaft im August 1898 zu Bern: „Ueber ein gleichzeitiges Auftreten von Föhn zu 
beiden Seiten der Alpen“ machte ich bei der Diskussion die Bemerkung, es dürfte in 
neuerer Zeit der Begriff „Föhn“ zu weit gefasst und damit zu unbestimmt geworden 
sein. Als Föhn sollte nur eine Windströmung bezeichnet werden, welche, wie das beim 
typischen Föhn der Alpen der Fall sei, auf den beiden Seiten eines Gebirges vollständig 
verschiedenen Charakter habe, nämlich auf der Leeseite warm und trocken, auf der 
Luvseite kälter und feucht erscheine. Der von Herrn Billwiller besprochene Fall wäre 
dann nicht als Föhn zu bezeichnen, da er eine allgemeinere Erscheinung, nämlich das 
Herabsinken der Luft im Centrum emer Anticyclone repräsentiere. !) 

Herr Billwiller hat nun im Mai-Heft 1399 der Deutschen Zeitschrift für Meteoro- 
logie S. 204 u. folg. unter dem Titel: „Ueber verschiedene Entstehungsarten und Er- 
scheinungsformen des Föhns“ seine Ansichten des Näheren dargelegt, die einer weiteren 
Fassung des Begriffes Föhn das Wort reden. Da ich dadurch nur in meiner abweichenden, 
oben angedeuteten Ansicht bestärkt worden bin, so war ich zunächst willens, in der- 
selben Zeitschrift auch meinen Standpunkt zu dieser Frage näher zu erörtern und zu 
begründen, in der Hoffnung, damit zur Beseitigung „der eingetretenen Verwässerung des 
Begriffes Föhn in der Meteorologie‘, wie Herr Professor Brückner sich ganz passend 
in der oberwähnten Diskussion ausdrückte ?), beizutragen. 

Als ich indessen an diese Arbeit ging, fühlte ich bald die Notwendigkeit, noch- 
mals eine Zahl typischer Föhnfälle einer eingehenden Untersuchung zu unterwerfen und 
daraus ist dann allmählich die vorliegende umfangreichere und allgemeinere Arbeit über 
den Föhn entstanden, mit deren Publikation in’ den Denkschriften der Schweizerischen 
Naturforschenden Gesellschaft ich zugleich eine alte Schuld abzutragen hoffe, da meine 
erste Untersuchung über diesen Gegenstand im Jahre 1867 damals nur kurz in ihren 
Resultaten publiziert wurde. 


') Verhandlungen der Schweiz. Naturf. Gesellschaft zu Bern, August 1898, S. 102. 
2) ]. c. S. 104. 


Was wir unter dem typischen Föhn der Thäler auf der Nordseite der Alpen, 
speziell der schweizerischen, zu verstehen haben, ist nach den zahlreichen Untersuchungen 
darüber als bekannt vorauszusetzen. In einer besondern, dem Föhn gewidmeten Schrift 
hat Herr Gustav Berndt!) überdies in höchst übersichtlicher und gründlicher Weise 
alle darauf bezüglichen Forschungsresultate zusammengestellt, so dass ich in Betreff des 
nächst folgenden einfach darauf verweisen kann. 

Der typische Föhn manifestiert sich darnach in der Schweiz besonders im ganzen 
Rheimthal mit seinen Verzweigungen bis zum Bodensee herunter, im Linth- und Sernf- 
thal des Kantons Glarus, im Reussthal und Engelbergerthal bis gegen Luzern hin, im 
obern Aarethal bis nach Brienz herunter und im untern Rhonethal. Seine charakte- 
ristischen Eigenschaften sind da: Südöstliche bis südwestliche Richtung je nach dem 
Verlauf der Thäler, grosse Heftigkeit bis zu eigentlicher Sturmstärke, Verminderung 
des Luftdrucks, starke Erhöhung der Temperatur und bedeutende Abnahme der Feuchtig- 
keit im Thal, Aufheiterung des Himmels mit darauf folgender Bewölkung desselben. 
Der Föhn tritt hauptsächlich im Herbst, Winter und Frühjahr auf und ist im Sommer 
nicht bloss viel seltener, sondern auch schwächer. Als charakteristische Begleiterschei- 
nungen in der Umgegend sind zu erwähnen: Auf der Südseite der Alpen bis zu ihren 
Kämmen und Pässen hinauf schwache Winde veränderlicher Richtung, verhältnismässig 
kühlere uud feuchtere Luft und im Verfolg starke Regengüsse oder Schneefälle, auf 
den Pässen selbst südliche starke Winde und in der Höhe südwestlicher Wolkenzug. 
Südwestliche Winde mit regnerischer Witterung finden wir auch durchweg im Flachland 
der Schweiz und im Jura; im Föhngebiet selbst pflegt nach Aufhören des Föhns dieser 
Witterungscharakter sich ebenfalls meistens geltend zu machen. Dem typischen Föhn 
seht endlich voran und begleitet ıhn eine vom Ozean her in den Westen oder Nord- 
westen der Schweiz eindringende Üyclone resp. Zone niedrigen Luftdrucks, während 
zugleich über Italien und im Südosten hoher Druck stattfindet. 

Das letztere Faktum führte zur Erklärung des Föhns, er bildet den südwestlichen 
Teil einer Öyclone über West-Europa, wobei auch aus dem Gebiet höhern Drucks über 
Italien und den angrenzenden Meeren. die Luft über die Alpen weg nach der Zone 
niedrigen Drucks im Nordwesten der Schweiz strömt. Die Hemmung dieser Strömung 
in den untern Schichten der Atmosphäre durch die Alpen schwächt die Geschwindigkeit 
am Südfuss derselben, veranlasst durch das Emporsteigen der Luft an den Südabhängen 
starke Niederschläge und erzeugt ungewöhnlich grosse, von Süd nach Nord gerichtete 


!) Dr. Gustav Berndt, Der Föhn. Ein Beitrag zur orographischen Meteorologie und komparaliven 
Klimatologie. Götlingen 1896. 


Druck-Gradienten über den Alpen. Die diesseits der Kämme und Pässe in die Thäler 
heruntersteigende stürmische, südliche Strömung repräsentiert dann den Föhn, dessen Luft 
durch die erfolgte Kompression beim Herabfliessen stark erwärmt wird und infolge dessen 
ihre relative Feuchtigkeit entsprechend bedeutend vermindert. In der Höhe, i. e. der 
Wolkenregion und im nordwestlichen Flachland der Schweiz entwickelt sich die eyelonale 
Bewegung der Luft ungehemmter, so dass da die Richtung der Luftströmung im all- 
gemeinen eine südwestliche und von den normalen Niederschlägen begleitete ist. 

Dass je nach der Entwicklung und Fortbewegung der Cyelone, ihrem Auftreten 
mehr im Westen als Nordwesten von der Schweiz, der Grösse und Verschiebung des 
Druckmaximums über Italien auch die Intensität, Dauer und Ausbreitung des Föhns in 
den Alpenthälern und von ihnen aus sogar in die angrenzenden ebenern Teile der 
Schweiz verschieden sein wird, erhellt aus dem vorigen von selbst. 

Gleichwohl gibt es sowohl betreffend der typischen Eigenschaften des Föhns als 
besonders auch bezüglich ihrer Erklärung, wie Herr Berndt in der Einleitung zu seinem 
Werk (S. 13—16) sehr richtig bemerkt, noch eine Reihe dunkler und streitiger Punkte. 
Es schien mir daher wünschenswert, durch eine eingehendere Untersuchung zuerst wo 
möglich noch diese Punkte aufzuhellen und zu entscheiden, ehe ich der Veranlassung 
zu derselben gemäss den Unterschied des typischen Föhns von andern föhnartigen Er- 
schemungen, die zum Teil auf ganz andern Grundursachen beruhen, des Nähern erörtere. 

Um zunächst die Häufigkeit und zeitliche Verteilung des Föhns genauer 
festzustellen, habe ich nach den in den Annalen der Schweizerischen meteoro- 
logischen Central-Anstalt von 1864 bis und mit 1898 enthaltenen Angaben alle 
Fälle von entschiedenen Föhn-Erscheinungen zusammengestellt. Für die meteorologischen 
Jahreszeiten und das Jahr ergaben sich hiernach die m der nachstehenden Tabelle ent- 
haltenen Werte. 


I. Zahl der typischen Föhne. 


Sommer Herbst Winter Frühjahr Jahr | Sommer Herbst Winter Frühjahr Jahr 
1864 1 5 3 1 TORTE 2 2 a: 
1865 1 2 4 5) IVEHelle75 0) 0 1 2 3 
1866 4 3 4 4 15 1576 0) 1 &) 1 Bi) 
1867 0) 1 2 4 7 | 1877 1 1 2) 5 
is 1 3 4 3 11 | 1878 4 0 3 8 
1869 l 4 4 5 14: |..1879 2 2 Bi 5 12 
1870 1 B) 3 3 2) 1550 2 > 7 1 fe) 
1571 2 1 1 4 8 |. 1881 3 B) 4 3 13 
1872 0 2 2 2 6 1852 2 4 3 6 15 
1875 (N) 3 1 2 6 | .1883 2 3 2 4 11 


Sommer Herbst Winter Frühjahr Jahr Sommer Herbst Winter Frühjahr Jahr 
1884 0 1 3 5 te) 1594 0 2 2 4 8 
1885 2 2 r 5 12° 1895 2 > 2 1 8 
1586 1 RB) > 8 115) 1596 1 2 2 l 6 
1887 0 4 1 4 y 1897 2 a) 5 2 12 
1388 0 2 3 3 8° | 1898 1 4 4 6 15 
1889 2 2 3 8 al 86 t615) 112 324 
1890 1 2 2 3 8 also 
1891 5} B 0 4 10 per Jahr 1,2 2,9 2,4 32 9,3 
1892 1 1 2 2 6 
1893 1 2 4 2 ] 


Hieraus folgt also, dass wir in den 35 Jahren 324 Föhnfälle oder durchschnittlich 
per Jahr 9,3 Föhne hatten. Die Jahressumme schwankt zwischen 3 und 15 Fällen, 
und wenn wir genauer zusehen, so scheint sich eine nahezu neunjährige Periode 
der Häufigkeit zu ergeben. Von 1864 bis 1570 hielt sich nämlich die Jahreszahl 
durchweg über dem Mittel von 9 Fällen, blieb darauf bis und mit 1878 stets darunter, 
stieg dann von 1879 bis 1387 wieder durchwegs darüber, gieng von da bis 1896 neuer- 
dings fast ausnahmslos unter den Mittelwert und steigt endlich mit Beginn einer neuen 
Periode von 1897 wieder zu hohen Werten an. 

Was den jährlichen Gang nach Jahreszeiten in der Häufigkeit des Auf- 
tretens von Föhn betrifft, so kommen nach unserer Tabelle im Durchschnitt auf 
1,2 Fälle von Föhn im Sommer, deren 3,2 im Frühling und 2,4—2,5 im Winter 
und Herbst. Dementsprechend sind auch die Öyelonen-Stürme im Sommer in Mittel- 
Europa am seltensten und schwächsten und treten m den andern Jahreszeiten viel 
häufiger und stärker auf. 

Ich muss aber bemerken, dass die Zahlen unserer obigen Tabelle nicht auf grosse 
Sicherheit Anspruch machen können. Wohl habe ich bei der Zählung offenbar irrtüm- 
liche Föhnmeldungen einzelner Stationen ausgeschlossen und anderseits als Föhn auch 
Fälle gezählt, wo Hauptstationen zwar keinen solchen notiert hatten, alle Anzeichen 
eines solchen aber vollständig vorhanden waren. Immerhin kamen aber eine Reihe 
zweifelhafter Fälle vor, wo vielleicht ein anderer Forscher anders als ich entschieden 
hätte. Am angegebenen Hauptresultat bezüglich der jährlichen und säcularen Periode 
hätte dies indessen kaum eine Modifikation bedingt. 

Eine richtige Einsicht in das Wesen des Föhns können offenbar nur genauere 
Untersuchungen verschiedener Föhnfälle und ihrer begleitenden Erscheinungen über einem 
grössern, jedenfalls mindestens die ganze Schweiz umfassenden Gebiet gewähren. Von 
solchen eingehenden Bearbeitungen sind mir aber nur zwei bekannt, nämlich die viel- 
fach zitierte Schrift von L. Dufour: „Recherches sur le Fehn du 23 septembre 1866 


| 
| 


en Suisse“ ') und der Artikel des Herrn R. Billwiller: „Der Föhn vom 13. Januar 
1895 am Nordfuss der Alpen und die Bildung einer Teildepression daselbst“ °). Während 
aber Herr Dufour die Barometerstände zu den aufeinanderfolgenden Terminen für die 
einzelnen Orte je durch Kurven veranschaulichte, hat Herr Billwiller die synoptische 
Darstellung durch Isobaren gewählt und damit, wie mir scheint, den einzig zum Ziele 
führenden Weg eingeschlagen. Ich bin denn auch bei meiner Untersuchung seinem 
Beispiele gefolgt und habe die synoptische Darstellung auf alle Termine und alle Ele- 
mente ausgedehnt, welche auf den meteorologischen Stationen der Schweiz gewöhnlich 
beobachtet werden, nämlich Druck, Temperatur und relative Feuchtigkeit der Luft, Be- 
wölkung, Richtung und Stärke des Windes, Niederschlag °). 

Im Ganzen habe ich so fünf entschiedene Fälle von Föhn behandelt, nämlich den 
Föhn vom 7.—9. März 1864, denjenigen vom 6.—9. März 1872, den vom 30. Januar 
bis 3. Februar 1885, den Föhn vom 18. und 19. August 1892 und endlich denjenigen 
vom 28. Oktober bis 1. November 1892, so dass also mit Einschluss des analog von Herrn 
Billwiller bearbeiteten die Resultate von 2 Frühlings-, 1 Sommer-, 1 Herbst- und 
2 Winter-Föhnen vorliegen, was genügen dürfte, um allgemeinere Charakteristika des 
typischen Föhns abzuleiten. 

Da die Annalen der Schweizerisch meteorologischen Central-Anstalt nur von einer 
beschränkten Zahl von Stationen (12) die Beobachtungen in extenso, d. h für alle Elemente 
und alle drei täglichen Termine: 7"a., 1" und 9%p. veröffentlichen und von den übrigen 
bloss Monats- und Jahres-Resumes geben, so war ich genötigt, für die letztern Orte zu 
den Original-Beobachtungen zurückzugehen. Herr Direktor R. Billwiller hat mir zu 
dem Ende die Benutzung des wohlgeordneten Archivs der Central-Anstalt freundlichst 
gestattet, und er sowohl wie die Herren Dr. Maurer, Adjunkt, und J. Mettler, Assistent, 
haben mich dabei vielfach aufs Zuvorkommendste mit Auskünften unterstützt, wofür ich 
ihnen hiemit meinen besten Dank ausspreche. 

Von auswärtigen Beobachtungen benutzte ich zur Orientierung über die engern 
Verhältnisse der Schweiz nur die Daten und synoptischen Karten des internationalen 
Wetter-Bulletins von Paris und von 1885 an das Wetter-Bulletin der schweizerisch 
meteorologischen Centralanstalt. Leider gestatteten es mir die Umstände nicht, weitere 
und genauere Daten für die benachbarten Länder zu sammeln und zu benutzen. 

Die Barometerstände habe ich für die synoptische Darstellung nach dem Vor- 
gang von Herrn Billwiller, sämtlich auf 500 m Meereshöhe reduziert und dies auch 
für die Temperaturen ausgeführt. Dabei bediente ich mich der unter meiner Redaktion 
1894 von der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in St. Petersburg als Beilage zur 


1) Extrait du Bulletin de la Soeiete vaudoise des sciences naturelles. Vol. IX, Nr. 58. 1868, 

2) Meteorologische Zeitschrift vom Jahr 1895, S. 201. 

®) Erst nachträglich habe ich bemerkt, dass ich hiemit zum Teil einen Wunsch erfüllt habe, den 
Herr J. M. Pernter am Schluss seiner Abhandlung: „Die allgemeine Druckverteilung und die Gradienten 
bei Föhn (Sitzungsber. der Wiener Akademie. Bd. CV. S. 117. 1596)“ ausgesprochen hat. 


8 


Instruktion für meteorologische Stationen herausgegebenen Tafeln zur Berechnung der 
meteorologischen Beobachtungen. 

Obschon für bedeutendere Höhenunterschiede diese Reduktionen besonders bei den 
Barometerständen keine grosse Sicherheit darbieten, so habe ich dieselben doch auf alle 
in den Annalen komparierenden Stationen ausgedehnt, selbst wenn deren Meereshöhe 
weit über 1900 m betrug, wobei aber der Vereinfachung halber nur je für den mittleren 
Zustand während der fraglichen Föhnfälle die Reduktion berechnet und dann als Kon- 
stante an allen Tagen und Terminen angebracht wurde. Infolge dessen ist es nötig, 
sich über den wahrscheinlichen Sicherheitsgrad dieser Reduktionsgrössen ein Urteil ver- 
schaffen zu können. Zu dem Ende stelle ich dieselben in der nachstehenden Tabelle II 
für die vier letztern Föhnfälle von einer Zahl von Stationen zusammen, welche ohne 
wesentliche Veränderung von 1872 bis 1892 funktioniert haben. 


II. Reduktionsgrössen für Barometer und Temperatur auf 500 m. 


Meeres- Föhne vom Jahres- Unsicherheit 
Station Höhe — März Jan.-Fehr. August Oktober mittel der 
— 500 m 1872 1885 1892 1592 1555 Reduktionen 
m mm mm mm mm mm mm 
Bi Hera ons AAO AMT mE AR Ab 
Bernhardin 1570 ie 2. nn ri nn e > 
Sils-Maria 1311 Si 5 ia Ben ‚ge2 B H 
Mean a a a 
Davos-Platz 1057 > nn ee nn u 7 = 
Andermatt 948 ker ha de kr = rn 
Reckingen 849 nn nn a en ns = w 
Chaumont 628 cn a 3 gn ee ir 
MU Eee 
Einsiedeln 410 en Er 2 en E: 7 
Aare SUP a ee a ee 


ten) Wer 


Meeres- Föhne vom Jahres- Unsicherheit 
Station Höhe — März Jan.-Febr. August Oktober mittel der 
— 500 m 1572 1855 1592 1892 1585 Iteduktionen 
m mm mm mm mm mm mm 
: =— 22,6 20,9 22 22 + 0,8 
Faido 259 ” . 2. % Er 
= 120 16 1%2 1 a0 
- ns! 17,9 16,2 17,2 7,0 FÄUIS 
Castasegna 200 { GE De Al 
1,0 0,5 1,2 1,0 0,9 +0,23 
3 DB 12,6 EZ 12,3 2 IE 

Lohn 145 3 \ { 2 1 ‚* Fu N 
0,7 0,6 0,9 0,7 0,7 + 0,1 

£ = 8,2 8,9 Tod 8,2 2 El 
Reichenau 97 Ei 7 We n n A: 
0,5 0,4 0,6 0,5 0,5 am Ol 

Bein 79 6,1 6,9 5,8 6,1 6,2 E 0,2 
0.4 0,8, 0,5 0,4 0,4 2 al 

, Br — 6,9 — 65 — 5,9 — 63 — 63 0.3 
Frauenfeld — 73 ir 4 3 fr \ N Ir; 0: 
— 0,5 — (0,9 —e5 — 04 — 03 al 

R © — 8,0 — 89 A Mi — 8 — 8 : 5 
Genf HNgE 2a ’ 2 S,1 3,1 2E 0,9 
— 05 — 0,4 — 0,6 ZI) 0 

== E = 9 Ss = Ss 3 =— 9 — s ( 7 l te) 

Ba 999 19,4 19,5 15, 1 „1 15,9 + 0,8 
— 10 — 0,8 -- 13 — 10 — 1,0 02 

— 7 — 20,2 — 18 — 197 —19 ae 

Lusano —925 N 9, N Let nn NE 
= — 1,0 — 0,9 — 13 — 10 — 10 502 


Wie man aus der Tabelle ersieht, habe ich noch die für die Jahresmittel der 
Barometerstände und der Temperatur vom Jahr 1885 berechneten Reduktionen beigefügt. 
Die halbe Differenz der Extreme dieser Reduktionsgrössen nämlich für die Föhne im 
Januar-Februar 1885 und im August 1892 habe ich in der letzten Spalte der Tafel als 
wahrscheinliche Unsicherheiten derselben beigefügt; in Wirklichkeit werden die Fehler 
eher kleiner als grösser sein. 

Es würden sich darnach ungefähr folgende Unsicherheiten der reduzierten Baro- 
meterstände für verschiedene Höhenstufen ergeben: 


Höhe über Meer Fehler der Reduklion 
m m mm 
500 + 50 a 
500 + 100 = 0,4 
500 # 175 + 0,6 
500 + 260 0,8 
900 ae 0) 

1200 + 32,0 
1500 Er) 
1900 + 4,0 
2500 + 6,0 


— 10 — 


Bedenkt man, dass durchweg über 60° der benutzten Stationen den vier ersten 
Höhenstufen angehören, so erscheint die Gefährdung unserer Isobaren durch obige 
Maximalunsicherheiten nicht sehr bedenklich. 

Viel geringer ist die Unsicherheit der reduzierten Temperaturen, indem noch 
für Stationen bis zu 500 + 200 m absoluter Höhe die Sicherheit derselben + 0°,2, bei 
solehen um 1000 m Höhe + 0°%,5, bei Stationen um 1500 m Höhe nur + 1°,0, bei 
2000 m Höhe + 1°,5 und endlich bei 2500 m Meereshöhe nur noch + 2°,0 beträgt. 

Es frägt sich nun, in welchem Verhältnis diese, wie wir auch weiterhin noch 
sehen werden, jedenfalls maximalen Unsicherheiten der bei den einzelnen Terminbeob- 
achtungen des betreifenden Föhns anzubringenden Reduktionen auf 500 m Höhe zu den 
Fehlern der Beobachtungen selbst stehen. Was zunächst die Barometerstände be- 
trifft, so sind die Ablesungen am Barometer, wie die Vergleichung des Ganges benach- 
barter Orte zeigt, jedenfalls durchweg mit einer Sicherheit von + 0,2 mm gemacht 
worden. Wie in andern Stationsnetzen, so kommen auch hier hie und da Versehen um 
halbe Centimeter vor, welche aber leicht nach den Daten benachbarter Stationen zu 
erkennen und darnach auszumerzen sind. Nicht ganz so gut scheint es mit der Kenntnis 
der Korrektionen der Barometer und ihrer Meereshöhe bestellt zu sein. Zwar hat mir 
Herr Direktor Billwiller gütigst die auf den Inspektionsreisen vom Jahr 1865 und 
1866 von Herrn Weilenmann, sowie auf seitherigen Inspektionsreisen der Beamten der 
Centralanstalt bestimmten Korrektionen der Barometer mitgeteilt, welche von 1865 an 
bereits an den, in den Annalen publizierten Beobachtungen, nicht aber an den von mir 
vielfach benutzten Original-Beobachtungen angebracht sind, und ebenso erhielt ich von 
ihm auch Aufschluss über Aenderungen der in den Annalen angegebenen Barometer- 
höhen durch seitherige Anschlüsse an das Nivellement der Schweiz seitens des eidgenös- 
sischen topographischen Bureaus. Indessen hat mir doch nach Anbringung aller Kor- 
rektionen der Vergleich der auf gleiches Niveau reduzierten Barometerstände benach- 
barter Orte, obschon wegen des geringen Höhenunterschiedes kein erheblicher Fehler 
von dieser Reduktion her entstehen konnte, mehrfach konstante Differenzen ergeben, welche 
die Beobachtungsfehler weit überschreiten und nur durch Fehler in den Höhenangaben 
oder Aenderungen der Barometer-Korrektionen zu erklären sind. So ergiebt sich z. B. 
ziemlich bestimmt, dass im März 1872 an den Barometerständen der Station Bernina 
noch eine Korrektion von —- 5,7 mm, an denen der Station Chur eine solche von 
— 3,6 mm und an denen der Station Altorf eine solche von — 1,7 mm auzubringen 
ist. Kleinere Fehler dieser Art schienen mir auch in andern Jahren vorzukommen, und 
ich habe daher versucht, ihnen dadurch sicherer auf die Spur zu kommen, dass ich für 
1585 und 1592 Jahresisobaren wieder nach Reduktion der Jahresmittel der Baro- 
meterstände auf das Niveau von 500 m konstruierte. Aus der erstern Karte liess sich 
mit Bestimmtheit erkennen, dass die Barometerstände in Sursee und Göschenen je 
um ungefähr 1 mm zu niedrig seien und dass das Jahresmittel für Sitten, das freilich 
erst nach Interpolation von drei fehlenden Monatsmitteln gewonnen wurde, ebenfalls um 


} 


ZW 


mindestens 1 mm zu klein ausgefallen sei. Die synoptische Karte für 1892 ergab 
dagegen für keine Station ganz entschiedene Indizien fehlerhafter Barometerstände, 
während eine, aus gleich näher anzugebenden Gründen angefertigte Isobaren-Karte für 
1875 bei der Station Sursee auch wieder um l mm zu niedrige, bei Aarau und 
Ragatz um ungefähr 2 mm zu hohe und endlich in Sitten um mehrere Millimeter zu 
niedrige Stände erkennen liess. 

Diese Jahres-Isobarenkarten leisteten für die Beurteilung der Sicherheit der abso- 
luten Barometerstände leider nicht so viel, als ich erwartet hatte, weil die Verteilung 
des Luftdrucks über die Schweiz auch im Jahresmittel keine gleichförmige ist. Er 
schwankt in den beiden Jahren 1885 und 1892 allerdings nur zwischen den Grenzen 
717 mm und 720 mm auf unserm Gebiete, wobei die niedrigen Stände übereinstimmend auf 
den Westen, Nordosten und Südosten fallen, während der zentrale Teil der Schweiz und 
insbesondere das Hochgebirge die höhern Stände aufweist. Doch ist, wenn wir die Stationen 
von über 900 m Meereshöhe wegen der Unsicherheit der Reduktion auf gemeinsames 
Niveau ausschliessen, die Zahl der übrig bleibenden Stationen an vielen Stellen zu gering, 
um kleinere Fehler durch den Vergleich sicher aufzudecken. Nun sind aber die Jahre 
1892 und besonders 1885 nach unserer Tabelle I solche mit vielen Föhnerscheinungen, 
was möglicher Weise einen komplizierten Verlauf der Jahres-Isobaren hätte begründen 
können. Deshalb schien es mir geboten, noch für das Jahr 1575, im welchem nach 
Tabelle I nur drei Föhnfälle, das Minimum derselben, sich zeigten, ‚Jahres-Isobaren zu 
konstruieren. Der Luftdruck variiert da auf unserm Gebiet nur zwischen 718 mm und 
etwas über 720 mm, ist aber auch noch recht unregelmässig verteilt, so dass aus dem 
Vergleich mit den beiden obigen Karten sich nur ein relativ höherer Luftdruck über 
der Schweiz in Jahren mit wenig Föhnerscheinungen zu ergeben scheint. Dagegen 
gestatten die drei Jahres-Isobarenkarten wegen der viel geringeren Druckvariationen 
über unser Gebiet hin die Sicherheit der Barometer-Reduktionen für grössere Höhen 
besser zu beurteilen. In der nachstehenden Tabelle III habe ich zu dem Ende für 
16 Kombinationen von Stationen recht verschiedener Seehöhe die übrig bleibenden 
Differenzen ihrer auf 500 m reduzierten Barometerstände zusammengestellt. 


111. Differenzen in Höhe in Barometerständen 

1875 1885 1892 

Im mm mm mm 

Julier — Sils-Maria 427 — (5 — 0,2 
Bernhardin — Splügen 600 — 0,2 — — 01 
Chaumont — Neuchätel 640 0,6 0,3 0,1 
Gäbris — Altstätten 783 — 0,1 0,3 
Andermatt — Altorf 964 0,4 — 0,2 0,6 
Andermatt — S. Vittore inkzal 16 1,0 1,9 


Rigi — Luzern 1336 0,2* 0,4 — (0,5 


Dilferenzen in Höhe in Barometerständen 


1875 1885 1892 
Im inm mımm min 
Rigi — Gersau 1347 12 0,5 — 
Bernhardin — Caslasegna 1370 1,5 1,4 1,1 
Bernhardin — Chur 1460 0,0 ONE 0,4 
St. Gotthard — Altorf 1616 1,4 0,2 —_ 
Pilatus — Luzern 1617 - — 02 
Bernhardin — S. Vittore 1800 1,4 123 1,2 
St. Gotthard — S. Vittore 1832 2,7 1,4 
Säntis — Ebnat 1850 — 0,3 0,3 
St. Bernhard — Martigny 1998 — 0,7 _ 1,3 


Bei den mit einem Stern bezeichneten Differenzen konnte der nicht gegebene 
Barometerstand für die untere Station leicht nach den Isobaren interpoliert werden. 
Die Tabelle zeigt zunächst durchweg positive Vorzeichen für die Differenzen der Baro- 
meterstände, d. h. also die höhere Station hat je durch die Reduktion ihrer Barometer- 
stände auf das gemeinsame Niveau von 500 m, von welchem sich die Höhen der untern 
Station nur in wenigen Fällen erheblich entfernen, zu hohe Werte derselben erhalten, 
was, da wir es hier mit sichern Jahresmitteln zu thun haben, auf eine etwas zu hohe 
Konstante in der benutzten barometrischen Höhenformel hinweist. Die in allen Jahren 
1 Millimeter übersteigenden Fehler bei den Kombinationen: Andermatt — S. Vittore, 
Bernhardin — S. Vittore und Bernhardin — Castasesna sind unzweifelhaft zum grössern 
Teil einem wirklichen, bei der obigen Differenzenbildung nicht berücksichtigten Gradienten 
von ungefähr 1 mm beizumessen, um welche Grösse im zentralen Teil der Schweiz und 
im Hochgebirge der Luftdruck höher steht als an den südöstlichen Alpenabhängen. 
Darauf weisen auch die nahezu verschwindenden Barometerdifferenzen der Kombinationen: 
Andermatt — Altorf und Bernhardin — Chur hin. Berücksichtigen wir dies auch bei der 
Kombination: St. Gotthard — S. Vittore, so werden da die Barometerdifferenzen nahe 
gleich gross wie bei der Kombination St. Gotthard — Altorf auf der Nordseite des Gebirgs. 

Während also die Jahres-Isobaren in Betreff der absoluten Barometerstände immer- 
hin Fehler von etwa + 0,5 mm nicht mehr sicher zu erkennen gestatten, haben sie 
bezüglich der Reduktionen mittlerer Barometerstände eine Genauigkeit derselben bis 
nahe zur gleichen Grenze wahrscheinlich gemacht. 

Als Sicherheit der Ablesungen bei den Thermometern kann im allgemeinen 
jedenfalls + 0°%,1 angenommen werden und gewiss sind auch deren Korrektionen bis zu 
dieser Grenze als sicher bestimmt und angebracht zu betrachten; dagegen stellt jedenfalls 
die so abgelesene und korrigierte Grösse durchweg nicht die wahre Lufttemperatur am 
Ort der Beobachtung dar, sondern wird von ihr je nach der Exposition der Thermo- 
meter den vorliegenden Erfahrungen zufolge besonders am Mittagstermin häufig um 
0°,5 bis 1°,0 abweichen. Wieder in der Hoffnung besonders ungünstige Expositionen 


Zee 


der Thermometer besser eruieren zu können, habe ich für dieselben drei Jahre 1875, 
18855 und 1892 auch Jahresmittel-Isothermen für das Niveau von 500 m über 
Meer konstruiert. Auch diese verlaufen viel unregelmässiger, als ich erwartet hatte. 
In allen drei Jahren variiert das Jahresmittel der Temperatur über der Schweiz aller- 
dings nur zwischen 7° und etwas über 10°; stets ist im Rhonethal und um den Genfer- 
see das Jahresmittel höher als 9°, im südlichen Teil des Kantons Tessin und in Chia- 
venna höher als 10°; das obere Aarethal, das Reussthal bis nach Gersau herunter und 
das untere Rheinthal bis zum Bodensee weisen auch durchweg höhere Temperaturen 
bis zu 9° auf; die niedern Temperaturen endlich von 7 bis 8° treffen wir im nördlichen 
bis nordöstlichen Teil der Schweiz, im Linththal, Engelbergerthal, um den Gotthard 
und besonders im obern Engadin. Da also die Temperatur hiernach in hohem Grade 
von der örtlichen Lage abhängt, ist es schwer, bestimmter auf Einflüsse der Thermo- 
meteraufstellung zu schliessen. Ich beschränke mich daher auf folgende Bemerkungen. 
Die Station Aarau scheint durchweg um ungefähr 0°%,5 zu niedrige Mitteltemperaturen 
zu zeigen und die Station Weissenstein um 1° zu hohe. Die verhältnismässig nied- 
rigen Temperaturen von Andermatt und Bevers sind zwar auch auffallend, können 
aber doch auf lokalen Besonderheiten beruhen. Dass die Reduktion auf die gemeinsame 
Höhe von 500 m hiebei Fehler bedingt habe, ist nicht anzunehmen, da dieselbe selbst 
für die grössten Höhen, wie die des Säntis, keine + 0°,2 übersteigende Abweichungen 
erkennen lässt. Es zeigt die letztere Thatsache auch, dass die oben aus Tabelle I ge- 
folgerten Unsicherheiten der Temperaturreduktionen mehr bloss der realen Differenz 
derselben in den verschiedenen Jahreszeiten beizumessen ist. 

Für die auf den Stationen beobachteten Feuchtigkeiten, von welchen uns hier 
besonders die relative Feuchtigkeit interessiert, sind keinerlei Reduktionen auf gleiches 
Niveau angebracht oder auch nur versucht worden, so dass wir es da nur mit den 
Beobachtungsfehlern zu thun haben. Auf den meisten Stationen, wo überhaupt die 
Feuchtigkeit bestimmt wurde, hat man zu dem Ende das Psychrometer angewendet. 
Es ist bekannt, dass dieses Instrument eine sorgfältige Behandlung erheischt, wenn es 
einigermassen richtige Resultate geben soll, und dass um Null Grad herum, sowie bei 
sehr niedrigen Temperaturen seine Angaben überhaupt unsicher sind. Das Haarhygro- 
meter, wie es auf vielen Stationen angewandt wurde, kann in den letztern Fällen und 
auch sonst vorteilhaft benutzt werden, wenn dasselbe von vorne herein einer sorgfältigen 
Verifikation unterworfen worden ist und auch später von Zeit zu Zeit eine Prüfung auf 
unveränderte Erhaltung erfährt. Während aber das letztere Instrument mit der Zeit 
nach beiden Seiten hin fehlerhafte Angaben machen kann, d. h. infolge Austrocknung 
des Haares überhaupt zu grosse Trockenheit anzeigt oder dann wegen allmählicher 
Verlängerung desselben stets zu grosse Feuchtigkeit ergiebt, machen sich die Fehler 
beim Psychrometer besonders bei ungenügender Befeuchtung des mit Battist überzogenen 
Thermometergefässes immer nur im Sinne zu grosser Feuchtigkeitsanzeigen bemerkbar. 
Beispiele von Fehlerquellen dieser Art finden sich verschiedene bei den von mir be- 


= INA. 


arbeiteten Föhnbeobachtungen. So sind z. B. im Appenzellerland und seiner Nachbar- 
schaft die am 18. August 1592 beobachteten relativen Feuchtigkeiten in Prozenten 
der Sättigung: 


Ort Höhe in m ua: ikp. 9hp. Beob.-Instr. 
Säntis 2500 41 39 42 Psychrometer 
Gäbris 1253 4 7 10 Haarhygrometer 
Schwäbrig 1152 18 69 39 : 

Heiden 797 29 15 18 A 
St. Gallen 703 60 52 42 Psychrometer 
Altstätten 470 63 33 26 


Während wir hier die aus den Psychrometerangaben abgeleiteten Feuchtigkeiten 
auf dem Säntis, in St. Gallen und in Altstätten als nahezu richtig betrachten können, 
haben die Beobachtungen am Haarhygrometer in Gähris offenbar viel zu geringe Feuch- 
tigkeiten (Sandwüstenklima!) und diejenigen im ganz nah gelegenen Schwährig viel zu 
hohe ergeben; auch die Feuchtigkeitsangaben in Heiden erscheinen auffallend klein. 

Folgende Zusammenstellung der Feuchtigkeitsangaben vom gleichen Datum in: 


Ort Höhe nm m 7a. Ih p. guy. Beoh.-Instr. 
Göschenen 1108 48 - 75 »6 Psychrometer 
Gurtnellen 742 98 90 77 a 
Altorf 484 68 22 26 


” 
weisen unzweifelhaft darauf hin, dass in Gurtnellen wegen offenbar ungenügender Funktion 
des Psychrometers zu hohe Feuchtigkeiten erhalten wurden. 

Vom gleichen Datum ergaben ferner die Beobachtungen in: 


Ort Höhe in m 7ha. ih p. Yh p. Beob.-Instr. 
Davos-Platz 1597 78 24 al Psychrometer 
Arosa 1835 20 itil 26 Haarhygrometer 


wo in Berücksichtigung der Feuchtigkeitsangaben umliegender Orte diejenigen von Arosa 
nach dem Haarhygrometer zu klein erscheinen. Dafür spricht, dass beim Föhn von 
1885 (30. Januar bis 3. Februar) die Psychrometerangaben in Davos-Platz und im 
nahe gelegenen Wiesen (1454 m) durchweg bis auf wenige Prozente übereinstimmen. 

Während bei diesem Föhn Gäbris auch schon zu grosse Trockenheitsangaben 
macht, erscheinen dagegen die Feuchtigkeiten in Gurtnellen richtig zu sein. Zu hohe 
Feuchtigkeit hat zu dieser Zeit offenbar das Psychrometer der Linthkolonie wahr- 
scheinlich wegen unrichtiger Behandlung desselben ergeben, während beim Föhn von 
1572 (6.—9. März) die Feuchtigkeitsdaten dieser Station sich sehr gut an die der um- 
liegenden Stationen anschliessen. In diesem Jahre dürfte dagegen die auf der Grimsel 
und in Solothurn beobachteten Feuchtigkeiten zu hoch ausgefallen sein. 


Es kann an diesen Beispielen genügen, um zu zeigen, dass die Feuchtigkeitsbeob- 
achtungen oft erhebliche Fehler aufweisen, im Grossen und Ganzen aber können wir 
konstatieren, dass die Mehrzahl der Stationen recht befriedigende Daten für die relative 
Feuchtigkeit geliefert haben. 

Was die Beobachtungen über Richtung und Stärke des Windes betrifft, so 
leiden sie in unserm gebirgigen Lande mehr als anderwärts unter den lokalen Verhält- 
nissen, welche häufig nur zwei Windriehtungen, thalauf- und thalabwärts, zulassen. 
Selbstverständlich ist auch die Schätzung der Windstärke eine sehr individuelle und wo 
sie nach dem einfachen, von mir semer Zeit angegebenen Windstärkemesser ge- 
schieht, wieder eine durch seine Aufstellung lokal sehr bedingte. Glücklicherweise geben 
eine Zahl von Stationen auch den Wolkenzug an, so dass man daraus wenigstens auf 
die Windrichtung in der freien Atmosphäre schliessen kann. 

Gemäss der Instruktion des Herrn Direktor Billwiller für die Beobachter der 
meteorologischen Stationen in der Schweiz (2. Auflage von 1893 S. 16 u. folg.) ent- 
sprechen die nach Schätzung oder nach meiner Windfahne mit Stärketafel in den Beob- 
achtungstabellen und Annalen angegeben Stärkestufen folgenden Definitionen: 


0 nahe vollkommene Windstille . 0,0—0,5 Meter pro Sekunde Geschwindigkeit. 
1 leichter, eben bemerkbarer Wind 0,5—- 5 3 x & 
2 mässiger Wind a Er 5—10 R e a . 
3trischer? Wand. 27771015 5 = 5; N 
Aestarker Wunde 20 2 5 y h 
5 stürmischer Wind EN) » 5 Mm R 
6 Orkan (bei uns selten vorkommend) 30—40 s = r > 


Die letztern Bezeichnungen sind erst in neuerer Zeit eingeführt worden, so dass 
die Zahl 4 in den frühern Beobachtungen häufig auch stürmischen Wind darstellt. 

Ueber die Angaben des Bewölkungsgrades ist höchstens zu bemerken, dass 
sie für eine Bergspitze mit ganz freiem Horizont und für ein enges Thal, wo nur ein 
kleiner Teil des Himmelsgewölbes sichtbar ist, offenbar einen verschiedenen Charakter 
besitzen, der im gegebenen Fall Berücksichtigung erheischt. 

Die Einführung der Niederschlagsmengen in die synoptische Darstellung hat 
bekanntlich etwas missliches. Man pflegt den Niederschlag auf den Stationen meistens 
nur einmal im Tag zu messen und der Bearbeiter weiss dann nicht, wie er die Menge 
auf die Intervalle zwischen den drei Terminen verteilen soll, auch wenn, wie es seit 
einiger Zeit gefordert wird, der Beobachter angiebt, ob es am Termin selbst geregnet 
oder geschneit hat. Leider wird das letztere noch häufig versäumt, so dass man ge- 
nötigt ist, nach Gutdünken zu verfahren. 

Nach diesen allgemeinen Erörterungen gehe ich jetzt auf Grundlage der Beob- 
achtungen und der darauf basierenden synoptischen Karten, drei für jeden Tag, zur 
Betrachtung der einzelnen Föhnfälle über. Erst nachträglich habe ich mich entschlossen, 


= 16 


Reproduktionen meiner synoptischen Karten für den Druck und Wind in verkleinertem 
Masstabe der Abhandlung beizugeben. Es sind daher die nachstehenden Schilderungen 
des Verlaufs der Isobaren hie und da unnütz weitläufig ausgefallen. 


Föhnsturm vom 7.—9. März 1864. 


Infolge eines am Morgen des 5. März an den Nordwest- und Westküsten Frank- 
reichs bestehenden Druckminimums bei höherm Druck über Italien wehten an jenen 
Küsten überall südöstliche, stellenweise stürmische Winde, ferner stürmische südöstliche 
bis südwestliche Winde in und um die Schweiz und stürmische Ostwinde an der Mittel- 
meerküste Frankreichs. In einigen nördlichen Alpenthälern der Schweiz trat denn auch 
am Abend des 5. März bereits Föhn auf. Dieser verschwand indessen wieder bis zum 
Morgen des 6. März, da inzwischen infolge einer Nordwärtsbewegung des Centrums der 
Öyclone und einer Verstärkung derselben der Luftdruck in Spanien gestiegen und im 
Ligurischen Meer und in Italien gefallen war. Daher wehen südlich vom Öentrum der 
Öycelone über England südwestliche stürmische Winde in Frankreich, Deutschland und 
dem ebenen Teil der Schweiz, starke westliche Winde im nördlichen Spanien und an der 
Südküste Frankreichs, in Nord-Italien aber südöstliche Winde, so dass es den Anschein 
hat als befinde sich ein zweites schwaches Druckminimum bei Genua. 

Im Laufe aber des 6. März bis zum Morgen des 7. März hob sich der Druck 
wieder stark über Italien und im Südosten der Schweiz, während er im Westen und 
Nordwesten derselben durch weitere Vertiefung der Cyclone über den britischen Inseln 
(Minimum in Schottland mit 734 mm) noch weiter sank und somit der barometrische 
Gradient von ihr aus nach Nordwesten sich verstärkte, wodurch die südwestlichen 
Winde in Frankreich und Deutschland noch stürmischer wurden. An der Riviera und 
der Südküste Frankreichs haben sich die Winde wieder nach Osten gedreht, in Italien 
aber wehen bei sehr geringem Druck-Gradienten schwache veränderliche Winde. 

Im nordwestlichen Teil der Schweiz: Jura und Flachland zwischen Jura und Alpen 
treffen wir um 7"a. des 7. März entsprechende Witterungszustände wie im mittleren 
Frankreich und Deutschland, nämlich mässige bis frische, südwestliche bis westliche 
Winde, die sich besonders auf den hoch gelegenen Stationen wie Ste. Croix, Chaumont, 
Uetliberg, auch noch auf dem Rigi entschiedener markieren. Demgemäss ist auch die 
Luft da durchweg sehr feucht, 90° und mehr ven Genf bis Schaffhausen hin, 
im Westen der Himmel bedeckt und treffen wir Regen in Ste. Croix, Chaumont und 
Neuchätel. Gegen das Hochgebirge hin und im östlichen Teil der Schweiz ist die 
Feuchtigkeit viel geringer, bis 60%, um dann jenseits des Gebirges im südlichen Tessin 
wieder bis über 90 °/o anzusteigen, im ganzen östlichen Teil haben wir auch noch heitern 
Himmel bei im allgemeinen schwachen Winden verschiedener, resp. wechselnder und 
unbestimmter Richtung. Auf den Alpenpässen: St. Bernhard, Grimsel, St. Gotthard, 
Bernhardin haben sich aber bereits überall südliche Winde (SW bis SE) eingestellt und 


a 


in ihrem Gefolge zeigen sich in Klosters, Sargans, Chur und Auen Vorboten des Föhns 
in frischen Ost- bis Südostströmungen trockener gewordener Luft. Die Winde aber 
in der Centralschweiz: N in Beatenberg und Schwyz, NE in Zürich, Zug, Engelberg, 
Ost in Stanz und Bern, Nord-West in Altorf, Südost in Einsiedeln und Glarus ete. 
werden erst durch die besondere Luftdruck-Verteilung im Innern der Schweiz verständ- 
lich. Der Wolkenzug ist vorherrschend Süd-West. 

In unserer synoptischen Karte für 7"a. des 7. März im Niveau von 500 m über 
Meer verläuft zunächst eine Isobare von 710 mm am Nordwest- und Nordrand der 
Schweiz, welche mit der Meeresniveau-Isobare von 755 mm des Pariser-Bulletins vom 
gleichen Datum nahezu übereinstimmt. Die nächst höhere Isobare von 711 mm über dem 
Genfersee im Westen beginnend, steigt zwischen Biel und Solothurn bis zum Jura empor, 
folgt ihm bis zu seinem Ende im Kanton Zürich, hebt sich dann über Schaffhausen 
empor und sinkt durch den östlichen Thurgau etwa bis Ebnat im Toggenburg herunter, 
von wo sie zum Vierwaldstättersee geht, um dann südlich von ihm wieder nach Osten 
nördlich am Wallensee vorbei bis Klosters im Prättigau zurückzugehen. In dieser 
Schleife hat sich zwischen dem Vierwaldstättersee und dem südlichen Appenzell eine 
sekundäre Depression (vielleicht auch mehrere separate in den einzelnen Thälern) mit 
einer Isobare von 710 mm eingelagert. Die Isobare von 712 mm geht von der Mitte 
des untern Rhonethales bei Bex über die Berner-Alpen und das obere Reussthal bis 
zum Glarnerland hin, wo sie dann in einem Bogen zum Wallensee um ein lokales 
Maximum bei Glarus emporsteigt und darauf an Chur und Thusis vorbei zum obern 
Engadin heruntergeht. Diese Luftdruck-Verteilung ist es offenbar, welche die Wind- 
verhältnisse in der Öentralschweiz bedingt. 

In westöstlicher Richtung mit einer Hebung bis über den Gotthardpass hinauf 
verläuft die nächste Isobare von 713 mm und zwar im Westen längs des Nordabhangs 
des mittleren Rhonethals, im Osten das Oberengadin etwa beim Malojapass quer durch- 
schneidend. Endlich haben wir um ein bis nahe an 715 mm heranreichendes Maximum 
des Drucks bei Faido eine, wie es scheint, geschlossene Isobare von 714 mm im Tessin, 
die vom Gotthard östlich nach Castasegna herunter geht, südlich von Lugano nach 
West sich herüber zieht und über den Simplon und Gliss im Rhonethal längs dem süd- 
lichen Abhang desselben wieder zum Gotthard empor steigt. Die schwachen Winde an 
den Stationen in diesem Gebiet stimmen ihrer Richtung nach, abgesehen von Lugano, 
durchweg mit diesen Druckverhältnissen überein. 


Gehen wir über die Centralschweiz ungefähr von Nord nach Süd herunter, so 
finden wir demgemäss folgende Barometerstände im Niveau von 500 m, denen wir 
gleich die Temperaturen im gleichen Niveau und die relative Feuchtigkeit beifügen: 


7. März Tha. 7. März 7ha. 

mm %/o mm °/o 
Lohn 710,3 5,4 87 | St. Gotthard 714,2 6,6 — 
Zürich 744.3 5,6 84 | Faido 714,9 4,0 717 
Einsiedeln 709,8 2,8 55 Bellinzona 714,2 0,0 96 
Schwyz 710,3 4,6 "6 | Lugano 714,7 08 100 
Altorf zililas 3,0 84 | Mendrisio 713,8 1,0 96 
Andermatt 7123 8,0 


Also starker Druck-Gradient von Norden zum Gotthard hin und die höchsten 
Temperaturen am Gotthard, die niedrigsten im südlichen Tessin und da auch die grössten 
Feuchtigkeiten der Luft. 


Besonders hohe Temperaturen zeigen auch die hohen Stationen im Jura und den 
Vorbergen der Alpen, welche der warmen Luftströmung in der Höhe in erster Linie 
ausgesetzt sind: Ste. Croix 11° gegen 3° in Morges, Chaumont 8° gegen 7° in Neuchätel, 
Weissenstein 6° gegen 1° in Solothurn, Uetliberg 7° gegen 5° in Zürich, Rigi 11° gegen 
0° in Stanz und Rathhausen und 2° in Zug. Ueberhaupt erhebt sich im ebenern Teil 
der Schweiz zwischen Jura und Alpen und im untern Teil der Alpenthäler die reduzierte 


Temperatur wenig über 0°, während sie auf den Höhen durchweg über 5° steht. 


Von 7"a. bis um I®p. des 7. März hat sich nach unseren Isobaren für 500 m 
der barometrische Gradient am Gotthard und in Graubünden wesentlich verstärkt, indem 
sich der Druck im Tessin bis 716 mm erhöht hat, während derselbe auf dem Gotthard 
nahe gleich geblieben ist (714,4 mm) und auf dessen Nordseite zu einem tiefern lokalen 
Minimum 708,6 mm in Einsiedeln, Schwyz und Beatenberg abfällt. An der Stelle der 
Isobare von 710 mm verläuft jetzt im Nordwesten eine solche von 709 mm; die nächst 
höhere Isobare von 710 mm hat sich aber bis gegen die Alpen hin von ihr zurück- 
gezogen und nähert sich ihr bloss noch im Osten. In dem weiten Raum zwischen 
beiden ist obiges Lokalminimum eingelagert. Im Tessin und im südlichen Graubünden 
aber drängen sich die Isobaren erheblich mehr, indem besonders in der letztern Gegend 
der Druck von Chur und Thusis mit 710 mm, rasch zu 714 mm auf dem Bernhardim 
und weiterhin bis 716 mm in Castasegna und in Bellinzona ansteigt. Damit hängt nun 
die bedeutende Verstärkung südwestlicher bis südöstlicher Winde nicht bloss auf den 
Höhen des Gotthard und Bernhardin, sondern auch in allen Thälern Graubündens und 
bis nach Sargans hinunter zusammen — wo Wolkenzug notiert ist, kommt er vor- 
wiegend von Südwest, in der östlichen Hälfte aber von Süd, so z. B. in Altorf —; frischen 
Südost und Süd finden wir auch bereits in Engelberg, Altorf, Beatenberg, und auf dem 
Rigi ist der Wind von West nach Süd übergegangen. Dagegen haben wir schwache 
Winde in Rathhausen von Ost, in Stanz und Einsiedeln von Nordost, in Schwyz von 
West, in Glarus von Nordwest, welche mehr als die Windverhältnisse am Vormittag 
auf die Ausbildung kleinerer Druckminima in den einzelnen Thälern statt im Allgemeinen 


— lg. — 


hinweisen. Besonders deutlich ist dies im Engelberger- und Linththal, wo die Winde 
oben und unten im Thal gegen dessen Mitte hin wehen. Im Flachland der Schweiz 
und besonders im Jura haben sich die südwestlichen bis westlichen Winde mit der 
Vertiefung der Cyelone durchweg verstärkt. 

Die Temperaturen sind fast überall mehr, als es dem normalen täglichen Gang 
entsprechen würde, gestiegen, am wenigsten am Südabhang der Alpen und auf den 
Höhen, am meisten in den nördlichen Alpenthälern und sodann im Flachland der Schweiz. 
Hier treffen wir im Niveau von 500 m Temperaturen von 14 bis 17°, während sie im 
Tessin nur wenig über 5° betragen. So ist denn auch im Tessin die Luft sehr feucht 
geblieben, 80—90°/o, der Himmel hat sich da bis zum Gotthard und Bernhardin hinauf 
bedeckt, ja in Castasegna regnet es bereits. Dagegen hat auf der Nordseite der Alpen 
die relative Feuchtigkeit auch mehr, als es der normale tägliche Gang erheischen 
würde, abgenommen und in einzelnen Alpenthälern sind bereits dem Föhn entsprechende 
Trockenheiten eingetreten, so in Altorf 23, in Auen 27, in Marschlins 31 und in Chur 
32°/o, obschon nur die letztere Station bereits Föhnwetter meldet. 

Im Laufe des Nachmittags bis zum Abend-Termin um 9"p. entwickelt sich der 
Föhn weiterhin bei durchweg heiterem Himmel im unteren Rhonethal (Bex 35°o bei 
14°), im Linththal (Glarus 33°/o bei 13°), im Reussthal (Altorf 25°/o bei 14°, Schwyz 
39% bei 12°) und im untern Rheinthal (Marschlins 38° bei 13°, Altstätten 27 °/o bei 
14°). Auch im Appenzellerland macht sich bereits der Föhn mit frischem Südwind bei 
hellem Himmel durch seine hohe Temperatur und Trockenheit bemerkbar (Trogen 36 '/o 
bei 130%). Die Richtung und Geschwindigkeit des Windes, wie auch der Wolkenzug, 
sind fast überall nahe dieselbe geblieben, nur im untern Rheinthal hat die Stärke zu- 
genommen. Die Druckverteilung ist auch um 9"p. ziemlich dieselbe wie um 1"p.; es 
hat sich nur die Isobare von 709 mm im äÄussersten Westen gegen den Genfersee hin 
gesenkt und dagegen in der Mitte über den Nordrand der Schweiz emporgehoben. 

In dem erwähnten Föhngebiet hat sich die Trockenheit nordöstlich ausgebreitet, 
in der übrigen Schweiz ist es mit Ausnahme des untern Rhonethals wieder feuchter 
geworden; auch im Tessin ist dies geschehen, so dass es ausser in Castasegna auch in 
Faido, Splügen und Bellinzona regnet und der Himmel bis zum Gotthard und Bernhardin 
hinauf ganz bedeckt ist. 

Das Pariser Bulletin von S"a. des 8. März ergiebt gegenüber demjenigen des 
vorigen Tages nur geringe Aenderungen der allgemeinen Situation. Das Sturmcentrum 
ist in die Nähe von London heruntergerückt und dementsprechend sind auch die Isobaren 
für 740 mm, 745 mm, etc. nach Süden fortgeschritten, so dass die Isobare von 755 mm 
(gleich derjenigen von 711 mm im Niveau von 500 mm) jetzt über das Hochgebirge 
der Alpen hingeht. Die Isobare von 760 mm ist ihr dadurch und ausserdem durch ein 
Vorrücken nach Norden über dem adriatischen Meer und Italien näher gekommen, so 
dass jetzt über ganz Italien und an der Südküste Frankreichs kräftige Südostwinde 
wehen, nur in der Nähe des Südabhangs der Alpen sind die Winde schwach und unbe- 


— 2) 


stimmt, z. B. in Turin schwacher Nordwest. In Frankreich und Deutschland dauern 
die stürmischen Südwest-Winde fort. 
Im Anschluss hieran zeigen unsere synoptischen Karten für die Schweiz im Niveau 


ah 


von 500 m an unserer Nordwestgrenze um 7"a. des 8. März eine Isobare von 707 mm, 
d.h. ein Fallen des Barometers in dieser Gegend um nahe 2 mm seit 9" p. des Vortages. 
Die Isobare von 708 mm hat einen analogen Verlauf wie die von 711 mm um 7"a. vom 
gleichen Termin des Vortages. Wie jene enthält sie in ihrer Ausbuchtung ein lokales Mini- 
mum beim Vierwaldstättersee und ausserdem ein zweites im Appenzellerland mit Drucken 
bis 707” mm. Um den Gotthard und Bernhardin drängen sich die Isobaren ebenfalls noch 
stark aneinander, obschon im Tessin der Druck um 1 mm abgenommen hat. Im untern 
Rhonethal nimmt der Druck von Martigny bis nach Montreux auch um 3,4 mm ab. 

Diese Druckverhältnisse haben eine Fortdauer und Ausbreitung des Föhns be- 
günstigt. Die südlichen Winde haben sich in den Alpenthälern stellenweise bis zum 
Sturm verstärkt, so in Engelberg, Altorf, Sargans und Platta, nahezu auch in Trogen 
und demgemäss ist überall die Trockenheit der Luft unter Erhöhung ihrer Temperatur 
seit dem Vorabend noch gesteigert worden. Es zeigen: Engelberg 26° bei 12° redu- 
zierter Temperatur, Altorf 26°/o bei 14°, Glarus 31°/o bei 18%, Auen 31°/o bei 13°, 
Einsiedeln 35 °/o bei 12°, Trogen 31°/o bei 13° und Altstätten 24°0 bei 15°. In Schwyz 
ist zwar die Temperatur auch um 0°,3 gestiegen und die Feuchtigkeit um 1°/o seit dem 
Vorabend vermindert; es weht aber da um 7"a. noch ganz schwacher NW, der erst 
um 11"a. in heftigen Föhnsturm von SE umschlägt. Die Wolken ziehen wie am Vor- 
tage von SW bis $. Auf dem Bernhardin, St. Gotthard und Rigi weht noch ein kräf- 
tiger Süd, während die Winde im Flachland der Schweiz schwach und veränderlich 
erscheinen, die Temperaturen überall gesunken und die Feuchtigkeiten gestiegen sind. 
Im Jura haben wir mässigen bis starken Südwest. Auf der Südseite der Alpen hat 
sich die Feuchtigkeit bis zu den Kämmen hinauf vermehrt und ausgebreitet; es regnet 
oder schneit dort auf allen Stationen: Mendrisio, Lugano, Bellinzona, Faido, St. Gotthard, 
Castasegna und Bernhardin. 

Zum Vergleich mit dem Zustand am gleichen Termin des Vortages stelle ich 
schliesslich für dieselben Stationen wieder die Barometerstände und Temperaturen im 
Niveau von 500 m und die relativen Feuchtigkeiten nachstehend zusammen: 


8. März 7ua. Absolute Höhe 
mm %/o m 
Lohn 707,4 al 87 645 
Zürich 708,1 9.1 69 480 
Einsiedeln 706,8 12,0 35 910 
Schwyz 706,9 12,2 38 347 
Altorf 708,5 14,2 26 454 


Andermatt 712,4 Tr u 1448 


To 
8, März T7ha. Absolute Höhe 
mm a m 
St. Gotthard 714,2 2,6 _ 2100 
Faido 715,2 5,0 97 722 
Bellinzona 714,2 5,6 91 229 
Lugano 715,1 9,4 97 275 
Mendtisio 714,5 5,9 98 355 


Einsiedeln liegt sehr nahe in der Mitte zwischen Lohn und Faido und zeigt 
also jetzt einen um 0,6 mm niedrigern Barometerstand als Lohn, aber um 7,4 mm 
niedrigern als Faido, während diese Differenzen 24 Stunden früher: 0,5 und 5,1 mm 
im gleichen Sinn waren. Die Entwickelung des Föhns hat also die Druckdifferenz 
zwischen Faido und Einsiedeln um 2,3 mm gesteigert. Dass trotz der grossen Höhen- 
differenzen die Reduktion des Barometers auf 500 m diese Verhältnisse nicht wesentlich 
beeinflusst hat, zeigt die Vergleichung der reduzierten Stände in Einsiedeln und Schwyz. 

Von 7"a. bis 1"p. haben sich die beiden sekundären Depressionen mit einer Iso- 
bare von 707 mm und mit Drucken im Innern bis 706,6 mm in der Centralschweiz und 
im Appenzellerland vereinigt. Die Isobare von 708 mm geht vom Rheinthal um jene 
im Bogen bis Luzern herum und steigt dann nach Schaffhausen empor, von wo sie 
nochmals ins Thurgau herabgeht und dann jenseits der Nord- und Westgrenze der 
Schweiz sehr nahe ebenso verläuft wie die Isobare von 709 mm um 9"p. des 7. März. 
Wie dort zeigen sodann auch wieder der Weissenstein, Chaumont und Ste. Croix im 
Jura relativ um ungefähr 1 mm höhere, resp. zu hohe Stände. Die weiteren Isobaren 
von 709 bis 714 mm haben einen entsprechenden Verlauf wie um 7"a. behalten, nur 
sind sie am Gotthard und im Rhonethal etwas weniger, in Graubünden aber mehr ge- 
drängt. Im untern Rhonethal ist ein lokales Minimum zu verzeichnen. 

Diesen kleinen Veränderungen der barometrischen Gradienten gemäss hat bis um 
1"p. der Föhn als Süd bis Südost, besonders in den östlichen Alpenthälern sich noch 
verstärkt, in der Centralschweiz aber eher etwas abgenommen. Die Temperaturen und 
relativen Feuchtigkeiten im Föhngebiet sind jetzt: 


8. März Temp. Feucht. hp. Temp. Feucht. 

%o 0/9 
Bex 18° 34 Auen 5% 32 
Zermatt ilil 44 Glarus 18 26 
Engelberg 12 38 Thusis 16 41 
Stanz 16 34 Chur 17 34 
Rathhausen 16 41 Marschlins 17 31 
Altorf 17 31 Closters 14 29 
Schwyz 16 32 Sargans 17 28 
Einsiedeln 14 31 Altstätten 17 28 
Zug 16 49 Trogen 16 By 


ge ae 
as 


Das Flachland der Schweiz, wo jetzt wie im Jura frische bis kräftige westliche 
Winde wehen, bildet bezüglich Temperatur und Feuchtigkeit den Uebergang vom Föhn- 
gebiet zum Jura und dem nordwestlichen Teil jenseits desselben, wo verhältnismässig 
niedrige Temperaturen 8—9° und hohe Feuchtigkeiten bis S0°/o bei bedecktem Himmel 
stattfinden und wo es auch bereits in Morges, Ste. Croix, Neuchätel, Weissenstein, 
Porrentruy, Schaffhausen regnet. Regen bei bedecktem Himmel dauert auf der Südseite 
der Alpen im Tessin und in Castasegna an. 

Die Isobaren von 9"p. des 8. März zeigen eine allgemeine Zunahme des Drucks 
in der nördlichen Schweiz an und zwar um 1 mm im Nordwesten und bis zu 4 mm 
im Nordosten; dagegen hat derselbe im Südwesten um 1 mm und im südlichen Tessin 
um 0,5 mm abgenommen. Es ist dies durch eine Aufrichtung der Isobaren von 708 
und 709 mm im Westen in mehr meridionale Lage geschehen, sowie durch die Bildung 
einer Isobare von 710 mm im Nordosten mit eingeschlossenem Druckmaximum von 
711 mm im untern Linththal. Zwischen dieser Isobare von 710 mm und einer südlichen 
Einbuchtung der entsprechenden, von Süd-West nach Nord-Ost von Martigny über das 
Hochgebirge nach dem Prättigau verlaufenden Isobare finden wir noch über der Central- 
Schweiz ein lokales Druckminimum von 709 mm eingelagert. 

Der Druckgradient ist daher überall geringer geworden, besonders um den Gott- 
hard, und es hat daher auch fast überall die Stärke der Winde abgenommen und ist 
ihre Richtung unbestimmter geworden. Auf dem Gotthard und in Altorf haben wir 
zwar noch mässigen Süd, und ebenso auf dem Rigi, in Zug, in Einsiedeln, in Gliss, 
Platta, Thusis, Chur, Marschlins, Ölosters, Bernhardin, Splügen südliche Winde von 
geringer Stärke, in Glarus aber schwachen Ost, in Auen und Engelberg West, in Schwyz 
NW, in Beatenberg NE, in Altstätten N u. s. w. von unbedeutender Geschwindigkeit. 
Dementsprechend haben die spezifischen Föhnerscheinungen überall nachgelassen oder 
ganz aufgehört, wie die nachstehenden Temperaturen und Feuchtigkeiten im Föhngebiet 
zeigen: 


8. März Temp. Feucht. 9hp, Temp. Feucht. 

9%, ur) 
Bex 90 65 | Auen Tin 6 
Zermatt 7 74 | Glarus 5 57 
Engelberg 6 90 Thusis 12 47 
Stanz 6 90 Chur 12 43 
Rathhausen 6 94 Marschlins 12 41 
Altorf 10 65 Closters ) 58 
Schwyz 8 78 | Sargans 10 — 
Einsiedeln 5 95 | Altstätten 8 75 
Zug 7 35 Trogen Ü 85 


Auch sonst hat die Feuchtigkeit der Luft bei sinkender Temperatur überall zuge- 
nommen, besonders im Norden der Schweiz, wo es bei bedecktem Himmel überall regnet 


eg = 


Im Süden ausser dem Wallis hat sich der anhaltende Regen auch noch bis zur Grimsel 
hin sowie zum Bernhardin und nach Splügen ausgedehnt. Heitern Himmel finden wir 
nur noch im untern Rhonethal, am Genfersee, in der Centralschweiz und von da zum 
Appenzellerland hin. 


In der Nacht vom 8. März zu 7b a. des 9. März hat sich m der Schweiz ein 
förmlicher Barometersturz vollzogen, so dass sich die im Pariser Bulletin von S" a. 
des 9. März gegenüber dem vom Vortage manifestierende südliche resp. südwestliche 
Ausbreitung des barometrischen Minimums über England, die in Südfrankreich und in 
Spanien ein Fallen des Barometers um nahe 5 mm. bewirkt hat, wohl auch erst in 
dieser Nacht vollzogen hat. Da der Luftdruck über Italien und nach Osten hin nahe 
derselbe geblieben ist, so ist eine Drehung des Windes in Oberitalien nach Ost und 
eine Verstärkung der südlichen Winde in Südfrankreich eingetreten. 

In der Schweiz geht die Isobare von 711 mm (entsprechend der von 755 mm 
im Meeresniveau des Pariser Bulletins) jetzt durch das westliche Tessin bis zum Gott- 
hard hinauf und von da längs der Gebirgskante über den Bernhardin zum süd- 
westlichen Ende des Engadins hinunter. Der Druck hat also da seit dem Vorabend 
um 2 mm abgenommen und dasselbe ist auch im südöstlichen Tessin und südlichen 
Bünden der Fall, wo noch eine Isobare von 712 mm besteht. 


Im Westen der Schweiz sind an die Stelle der Isobaren von 708 und 709 mm 
des Vorabends jetzt solche von 704 und 705 mm getreten, so dass da ein Fallen des 
Barometers um volle 4 mm stattgefunden hat. Im Nordosten aber, wo an Stelle 
des Druckmaximums von 711 mm ein östlich verschobenes, lokales Minimum von 
704 mm getreten ist, ist das Barometer gar um 7 mm gesunken, und in der Central- 
schweiz, wo sich das lokale Minimum des Vorabends nur verstärkt hat, hat der Druck 
um 5 mm abgenommen. Trotz der Verminderung des Druckes im Tessin ist also seit 
dem Vorabend doch der Druckgradient nach dem Norden der Schweiz hin wieder 
stärker geworden und haben sich demgemäss die südlichen Winde auf den Alpenpässen, 
dann auch in den Thälern Graubündens, Appenzells und Glarus, sowie in Einsiedeln. 
Engelberg und im unteren Rhonethal bedeutend verstärkt, während sie im Reussthal 
eigentümlicher Weise nicht zugenommen haben. Da treten denn auch keine besonders 
bemerkenswerten Föhnerscheinungen auf, während sie sich in den ersteren Thälern 
wieder stark markieren, wie nachstehende Tabelle zeigt. 


9. März Temp. Feucht. Zu a. Temp. Feucht. 
0/, 0) 
Bex 14° 40 Auen 14° 31 
Zermatt 10 47 Glarus 16 27 
Engelberg 13 31 Thusis 12 49 
Stanz 4 92 Chur 13 42 
Rathhausen 3 98 Marschlins 13 39 


9. März Temp. Feucht. | Zu a. Temp. Feucht. 
0% % 
Altorf 12 48 Ülosters 13 30 
Schwyz 12 46 Sargans 14 = 
Einsiedeln 12 36 Altstätten 14 28 
Zug 4 95 Trogen 15 36 


Heiteren Himmel zeigt sogar im Föhngebiet nur der äusserste Nordosten (Trogen), 
sonst ist das Wetter überall trüb und es regnet ausser im Tessin wie am Vorabend 
auf der Nordseite in Aarau, Schaffhausen und Lohn. Zur Vergleichung gebe ich nach- 
stehend wieder die auf 500 m reduzierten Barometerstände und Temperaturen und die 
Feuchtigkeiten der Linie von Nord nach Süd: 


9. März Th a. Feucht. Absol. Höhe 
mm %/o m 
Lohn 704,6 70,2 s0 645 
Zürich 705,4 7,0 83 480 
Einsiedeln 703,7 12,3 36 910 
Schwyz 704,0 11,9 46 547 
Altorf 705,2 12,4 48 454 
Andermatt 709,4 6,8 - 1448 
St. Gotthard 712,2 5,0 _ 2100 
Faido le) 6,2 98 122 
Bellinzona 711,0 6,7 95 229 
Lugano Zug 7 93 279 
Mendrisio 711,8 It 92 355 


Die Druckdifferenzen von Einsiedeln zu Lohn einerseits und zu Faido anderseits 
betragen jetzt: 0,9 und 7,6 mm, sind also im gleichen Sinne etwas grösser als 
24 Stunden früher. 

Eine sehr bedeutende Veränderung in der Verteilung und der Grösse des Luft- 
drucks tritt nun weiterhin im Intervall von 7" a. zu 1" p. des 9. März ein, indem 
von Nordwesten her der Druck erhöht, im Südosten aber vermindert wird. Wir finden 
auf der synoptischen Karte von 1" p. eine nach Westen offene Isobare von 706 mm 
im nördlichen Teil der Schweiz, die sich am Westende des Kantons Zürich bis nach 
Zug und dann weiterhin im Linththal bis nach Glarus senkt, um von da durch 
St. Gallen und Thurgau bis Frauenfeld heraufzugehen und dann nach Westen umzu- 
biegen. Parallel zum letzern Ast verläuft eine Isobare von 705 mm zwischen Schaff- 
hausen und Lohn hindurch längs des Bodensees bis nach Rorschach, geht durch das 
Appenzell hinunter bis ins Vorder-Rheinthal und dann mit Einbuchtungen ins Hinter- 
Rheinthal bis Thusis und ins Prättigau bis Closters, endlich bei Luziensteig wahr- 


scheinlich ins Vorarlberg hinüber. Ein schwaches Minimum des Druckes von gleichem 
Betrag ist in der Zentralschweiz. Eine weitere Isobare von 705 mm finden wir im 
Südwesten, wo sie mitten durchs Waadtland hindurch geht, dann am Ostend des 
Genfersees ins untere Rhonethal sich senkt, längs des Nordabhangs des mittlern Rhone- 
thals bis gegen Leuck hin und von da nach Süden verläuft. Parallel zu ihr nach Süden, 
hin dürfte noch eine Isobare von 704 mm da zu verzeichnen sein. Im Tessin endlich 
haben wir eine wahrscheinlich geschlossene Isobare von 709 mm, die bis über den Gott- 
hard hinauf und östlich über den Bernhardin bis Chiavenna sich erstreckt und im Süden, 
durch einen Bogen Bellinzona mit bloss 708,4 mm ausschliessend, bis Lugano geht. 
Mendrisio zeigt bereits 708,5 mm Druck. Isobaren von 708, 707 und 706 mm trennen 
obiges Maximum von den Isobaren-Aesten 705 mm im Westen und Osten. Die Druck- 
differenz vom Tessin gegen die Centralschweiz hin hat sich also um 3 mm verringert, 
während sie gegen das Bündner Land nahe gleich geblieben ist. Obschon zur Zeit auf 
dem Gotthard und Bernhardin noch heftiger Süd weht, zeigen sich doch nur in Altorf 
und Closters bei frischem Süd, in Auen bei frischem Südwest, in Sargans bei mässigem 
Südost noch Spuren von Föhn, während er an andern Orten des Föhngebiets bereits 
schwächern und andern Winden Platz gemacht hat; so weht in Schwyz und Einsiedeln 
mässiger Nordwest, in Engelberg und Trogen leichter West, in Glarus frischer Nordost. 
Die Temperatur- und Feuchtigkeitsverhältnisse im Föhngebiet sind jetzt: 


9. März Temp. Feucht. 1b p. Temp: Feucht. 
0) 0/0 
Bex 50T 64 Auen 1229) 41 
Zermatt 11,3 49 Glarus 12,6 52 
Engelberg 9,5 76 Thusis 10,2 75 
Stanz 11,9 57 Chur 10,9 70 
Rathhausen 10,8 76 Marschlins 2,5 62 
Altorf 13,8 3 Closters 12,1 47 
Schwyz 11,5 65 Sargans 16,6 47 
Einsiedeln 8,6 37 Altstätten 14,3 48 
Zug 10,4 70 Trogen 10,1 ag 


Vergleichen wir diese Tabelle mit derjenigen vom gleichen Beobachtungstermin 
am vorigen Tage, so sehen wir unmittelbar, dass die Herrschaft des Föhns durchweg 
aufgehört hat. Dies bekundet sich auch dadurch, dass der Himmel in der ganzen 
Schweiz ganz oder doch nahezu bedeckt ist und dass es fast überall regnet, ausser im 
Rhonethal, im untern Rhemthal und in der Centralschweiz. 


Das Steigen des Barometers setzt sich auch von 1" p. bis 9" p. in der ganzen 
Schweiz fort ausser im Tessin, wo es stationär geblieben ist. Im Südwesten beträgt 
dasselbe nahe 3 mm, im Norden 2 mm, in der centralen Schweiz 1 mm, so dass 

4 


= 86 


zwischen dem jetzt nahe gleich hohen Druck im Süden der Alpen: 709 mm und an der 
Nordgrenze der Schweiz: 708 mm, in der Mittelschweiz ein Depressionsgebiet von 
707 mm mit eingeschlossenem lokalen Minima von 706 mm existiert, was das Fort- 
bestehen südlicher Winde im Tessin und auf den Alpenpässen und das nunmehrige 
Vorherrschen nördlicher Winde in der Nordschweiz und westlicher in der Westschweiz 
erklärt. Dort hat sich die Temperatur erhöht, im Norden aber erniedrigt. Der Himmel 
ist überall, ausser im Zermatthal, bis herunter nach Gliss bedeckt und mit Ausnahme 
des mittleren und unteren Rhonethals, der Centralschweiz um den Vierwaldstättersee 
und des untern Rheinthals melden alle Stationen Regen oder Schnee. An mehreren 
Orten ist der eintretende Regen von Gewittern begleitet. Damit sind wir, mit Aus- 
nahme von Zermatt, wo bei stürmischem Südwest die Feuchtigkeit noch bis 38°/o 
gesunken ist (in der Nacht tritt auch da Schneefall ein), am Ende des Föhns angelangt, 
wie auch die nachfolgende Tabelle es zeigt. 


9. März gh’p. 9. März Ih p. 

mm 0/0 mm 0 
Lohn 706,5 H05 s6 St. Gotthard 709,7 5,6 — 
Zürich 707,4 7,0 87 Faido 709,3 1,2 95 
Einsiedeln 705,3 3,8 87 | Bellinzona 707,7 11,0 68 
Schwyz 705,7 m 80 |, Lugano 709,7 ala 69 
Altorf 709,4? 1,2 54 Mendrisio 709,5 9,3 I0 
Andermatt 707,7 6,7 — 


Während also die Druckdifferenz: Lohn—Einsiedeln sich zu 1,2 mm vergrössert 
hat, beträgt diejenige von Faido-Einsiedeln nur noch 4,4 mm und die höchsten Tempe- 
raturen finden sich jetzt bei verminderter Feuchtigkeit südlich vom Gotthard. 


Das Pariser Bulletin vom 10. März S" a. weist denn auch seit dem Vortag auf 
ein Fortschreiten des Hauptminimums zur Ostsee hin, wobei der Druck über Spanien 
und Südfrankreich bedeutend gestiegen, über Mittelitalien aber stationär geblieben ist. 
Die Winde sind überall schwach geworden. 


Der Föhn vom 7. bis 9. März 1864 hat also durchweg die S. 4 und 5 als typische 
Eigenschaften desselben charakterisierten Erscheinungen gezeigt. Besonders bemerkt zu 
werden verdient der hohe Druck im Tessin und das lokale Druckminimum während der 
ganzen Zeit in der Centralschweiz, das aber nur von Föhn begleitet war, wenn die 
Druckzunahme von Einsiedeln—Schwyz bis Faido— Lugano oder allgemeiner über die 
Alpen herüber, mindestens 6 mm betrug. Hervorzuheben sind auch die hohen Tempe- 
raturen, welche sich am Morgen des 7. März, also einige Zeit vor Eintritt des Föhns 
auf allen Höhenstationeu manifestiert haben. Der Wind in der Höhe ist nach dem 
Wolkenzug im Westen vorherrschend Südwest, im Osten mehr Süd. 


Dit 
Föhnsturm vom 6.—9. März 1872. 


Der hohe Druck — bis 770 mm im Meeresniveau —, welcher sich nach dem 
Pariser Bulletin um S" a. des 4. März bei östlichen Winden über Mitteleuropa mani- 
festiert hatte, war bis zum gleichen Termin am 5. März infolge des Herannahens 
eines Minimums vom Atlantischen Ocean her an den Westküsten bereits stark abge- 
schwächt worden — in Irland und Schottland bis 755 mm — und infolge davon 
hatten sich dort die Winde unter Auffrischung nach Südost und Süd gedreht. In Süd- 
deutschland, der Schweiz, Provence und Italien und östlich davon beträgt aber der 
Druck immer noch 770 mm und darüber. 

Das Pariser Bulletin nun von 8" a. des 6. März, mit welchem Datum unsere 
Untersuchung über die Witterung m der Schweiz beginnt, zeigt eine weitere Ver- 
minderung des Luftdruckes an den oceanischen Küsten von Irland bis nach Spanien 
herunter (750 mm) und damit auch eine solche ins Land hinein an, wobei die Isobaren 
fast parallel zu den Meridianen verlaufen. In ganz Frankreich und Spanien sind bereits 
stürmische südöstliche Winde eingetreten, während in Italien schwache Winde ver- 
schiedener Richtung wehen. 

Die Isobare von 765 mm verläuft nach dem Pariser Bulletin einfach nord-südlich 
durch die Schweiz von Basel nach Turin herunter und würde in dem für unsere synop- 
tischen Karten angenommenen Niveau von 500 m Seehöhe nahe der Isobare von 720 mm 
entsprechen. Nach unserer synoptischen Karte von 7" a. des 6. März hat aber innerhalb 
der Schweiz diese Isobare von 720 mm keineswegs einen so einfachen Verlauf, sondern 
geht von Basel über Zürich und Marschlins bis ans Ostende Graubündens und von da 
durchs Engadin über den Bernhardin, St. Gotthard, das obere Rhonethal, das südliche 
Bern und Freiburg, durch die Mitte des unteren Rhonethals bei Bex erst wieder nach 
Süden ins Savoyische herunter. Dieser eigentümlichen Ausbuchtung der Isobare von 
720 mm folgt dann auch westlich die Isobare von 719 mm in geringer Distanz nach, 
um sich dann erst im Kanton Bern bis zum Bielersee hinauf von ihr zu entfernen. 
Eine Zunge niedrigern Drucks mit Isobare von 715 mm scheint weiterhin von Westen 
her bis ins Bernische Mittelland in diese Ausbuchtung hineinzuragen. Im Tessin folgen 
noch Isoharen von 721 und 722 mm gegen Süden hin auf diejenige von 720 mm und 
endlich manifestiert sich noch ein lokales Druckminimum bis 718 mm innerhalb des 
Gebietes höhern Drucks als 720 mm im Appenzellerland von St. Gallen bis zum 
Rheinthal und Bodensee hin. 

Der Hauptdruckgradient ist also in der Schweiz von Südost nach Nordwest 
gerichtet, und es wird daher auch in der Höhe der Atmosphäre eine südliche bis süd- 
östliche Luftströmung über der Schweiz wie in Frankreich eingetreten sein, obschon 
in den Niederungen derselben noch schwache Winde verschiedenster Richtung wehen. 
Für jene spricht der kräftige Südost auf dem Simplon und die frischen Südwinde bis 
Südostwinde auf dem Gotthard, Rigi und Bernhardin, der Grimsel, dem Berninapass, 


u We 


sowie dem hochgelegenen Churwalden und Ülosters. Der kräftige Südwest in dem 
1379 m hohen Platta ist jedenfalls auch nur ein durch die Thalrichtung abgelenkter 
Südwind und wohl ebenso auch der Südwest auf dem Grossen St. Bernhard. Dem- 
gemäss wird in Closters schon um 7" a. Föhn gemeldet, was mit der bereits auf 39 %o 
herabgesunkenen relativen Feuchtigkeit übereinstimmt. Auch in Platta, Auen und Chur 
sind die Feuchtigkeiten der Luft mit 53, 49 und 46°/o bereits relativ gering geworden. 
Ausser diesen Punkten zeigen alle übrigen Stationen, und namentlich die der Nord- und 
Westschweiz, hohe Feuchtigkeiten bis zu 100°. Die Temperaturen sind durchweg 
noch niedrig, doch auf den Höhen einige Grade über Null (auf 500 m reduziert) z. B. 
Rigi + 6°, in der Tiefe einige Grade unter Null, z. B. Sursee, Einsiedeln, Aarau etc. 
—5°, Im obern Engadin haben wir im Thal sogar Temperaturen von —6 und — 7", 
während der Bernina- und Julierpass 0° und -—+-2° zeigen, ebenso Monte Generoso 4 
gegen 1° in Lugano. Der Himmel ist überall, ausser in dem nordöstlichen Teil der 
Schweiz und im südlichsten Tessin, wolkenlos. 


Unsere synoptische Karte von 1" p. des 6. März zeigt im Niveau von 500 m 
über Meer einen analogen Verlauf der Isobaren wie um 7" a.; es ist nur ihr Wert 
nördlich der Alpen durchweg um 3 mm kleiner als am Vormittag, während die Druck- 
abnahme im Tessin bloss 1 mm betragen hat, was eine bedeutende Erhöhung des 
Druckgradienten vom Tessin über den Gotthard nach der Centralschweiz sowie nach 
Graubünden hin zur Folge hatte. Dies hat denn auch zur Entwicklung des Föhns in 
den meisten nördlichen Alpenthälern im Laufe des Vormittags geführt. In Closters 
und Thusis hat der Süd, in Churwalden der Südost bis zum Grade 3 zugenommen, in 
Reichenau und Marschlins weht schon mässiger Süd, in Altorf erst schwacher Süd. 
Auen meldet um 12!» Mittags den Eintritt des Föhns als Sturm, während er als 
solcher erst um 2!/» p. in Glarus erscheint. Um 1" p. ist in Glarus noch schwacher 
Nordwest notiert, und in Linthkolonie schwacher NNW bei Wolkenzug aus Süd. In 
Sitten bemerken wir, der Thalrichtung entsprechend, mässigen Ostwind, während in 
Martigny bereits frischer Südost weht, im Bex aber tritt der Föhn als Südsturm erst 
um 5" p. ein. Auf dem Gäbris im Appenzell hat sich auch schon mässiger Süd ein- 
gestellt, in Trogen, Rorschach, St. Gallen aber wehen noch frische nördliche Winde, 
entsprechend dem lokalen Minimum daselbst. Die Temperatur- und Feuchtigkeits- 
verhältnisse im Föhngebiet sind zur Zeit: 


6. März Temp. Feucht. Ip» Temp. Feucht. 
0% 0 
Bex 139,9 50 Glarus 99,6 46 
Martigny 14,1 27 Linthkolonie 9,9 40 
Engelberg 9,9 +4 Thusis 14,0 25 
Luzern 10,1 63 Chur 14,0 25 
Gersau 5,8 79 Marschlins 13,8 31 


— 29 


S. März Temp. Feucht. tl p. Temp. Feucht. 
®/o 0/0 
Altorf 13%,4 33 Closters 109,6 29 
Schwyz 9,5 57 Sargans 5,0 — 
Einsiedeln 9,9 56 Altstätten 2,4 99 
Interlaken 10,4 55 Trogen 515 60 
Auen 11,4 26 Gäbris 11,5 — 


Der Föhn ist also im Rhonethal noch nieht über Martigny, im Reussthal nicht 
über Altorf, im Linththal nicht über Auen, im Rheinthal nicht über Marschlins herunter- 
gekommen. 


Am Südabhang der Alpen hat sich der Himmel bis hinauf zum Bernhardin und 
St. Gotthard bedeckt, auf der Nordseite, das Wallis inbegriffen, ist näher am Gebirge 
teilweise Bewölkung eingetreten und nur der Nordwesten, sowie Bünden um Chur herum 
zeigt noch heiteren Himmel. 


Von 1"p. zu 9%p. des 6. März hat weiterhin überall in der Schweiz ausser im 
südlichsten Teil von Tessin ein Fallen des Barometers stattgefunden und zwar im Nord- 
westen bis zu 3 mm. Die Isobaren zeigen immer noch einen analogen Verlauf mit 
lokalem Druckmimimum im Appenzellerland, die Druckdifferenz zwischen Nordwest und 
Südost beträgt aber jetzt nach ihnen 9 mm. Diesem stärkeren Gradienten entsprechend 
hat sich die Stärke der südlichen Winde im untern Rheinthal, Linththal, Reussthal, 
und untern Rhonethal, "sowie im Appenzellerland erheblich vergrössert resp. der Föhn 
mit seinen begleitenden Erscheinungen sich verstärkt und verbreitet. Dies zeigt folgende 
Zusammenstellung der Temperatur- und Feuchtigkeitsverhältnisse im engern und weitern 
Föhngebiet: 


6. März Temp. Feucht. 9h pn. Temp. Feucht. 
0% 0/o 
Bex 109,3 33 Auen 804 97 
Martisny 9,6 35 Glarus 10,5 30 
Engelberg 9,4 28 Linthkolonie 10,1 35 
Luzern 8,5 45 Thusis 82 50 
Gersau 94 35 Chur 3,6 46 
Altorf 10,2 38 Marschlins 8,3 51 
Schwyz 10,0 35 Sargans 10,0 = 
Einsiedeln 8,5 39 Altstätten 9,3 35 
Interlaken 8,0 59 Closters 6,3 50 
Trogen 7,9 39 St. Gallen 8,7 35 
Gäbris 5,8 == Rorschach 8,3 43 


— 0 


Mit der Entwicklung des Föhns hat sich auf der Südseite der Alpen auch in ge- 
wohnter Weise die schon um 1"p. eingetretene Bedeckung des Himmels zu Regen ver- 
dichtet. Es regnet abends in Lugano, Bellinzona, S. Vittore, Castasegna und schneit 
in Sils-Maria auf dem Monte Generoso und Julier. Auch in den übrigen Teilen der 
Schweiz ist der Himmel weniger hell geworden. 

Nach dem Pariser Bulletin von 8"a. des 7. März hat sich das Druckminimum 
über Irland um 10 mm vertieft, während die Isobare von 765 mm nur wenig nach 
Osten zurückgewichen ist. Der Gradient der immer noch nahe von Nord nach Süd 
verlaufenden Isobaren ist daher grösser geworden, und demzufolge haben sich die süd- 
lichen bis südöstlichen Winde in Spanien, Frankreich und Deutschland, sowie an den 
Nordküsten des Mittelmeeres verstärkt und sind auch in Italien herrschend geworden. 


Im Westen der Schweiz verläuft nach dem Bulletin die Isobare von 765 mm, der 
im Niveau von 500 m eine solche von ungefähr 711 mm entsprechen würde. In der 
That zeigt unsere synoptische Karte von 7"a. des 7. März eine Isobare von 711 mm 
am Westrande der Schweiz, die aber auch wieder eine tiefe Einbuchtung bis zum 
Thuner- und Brienzersee und bis zum Vierwaldstättersee aufweist und noch ein lokales 
Minimum dieses Betrags bei Glarus besitzt. Da im Tessin der Druck nur wenig abge- 
nommen hat, so beträgt jetzt auch wieder die Druckdifferenz zwischen Nordwest und 
Südost 9 mm, aber dies auf viel kürzere Distanz als am Vorabend, nämlich schon von 
Bellinzona über den Gotthard bis zu den obgenannten Seen der Centralschweiz. Dieser 
stärkere Gradient hat nämlich in der Centralschweiz und auf den Alpenpässen eine 
Erhöhung der Windgeschwindigkeit zur Folge gehabt und damit an vielen Orten eine 
Zunahme des Föhns, die sich in der folgenden Tabelle ausspricht: 


7. März Temp. Feucht. 18: Temp. Feucht. 
9/9 0/0 
Bex 122,2 Sl Auen 90,8 33 
Martigny Il 40 Glarus 11,6 30 
Engelberg 9,5 36 Linthkolonie 10,3 37 
Luzern 5,9 68 Thusis 5,6 59 
Gersau ilssl 34 Chur 8,2 58) 
Altorf 10,6 34 Marschlins 9,1 49 
Schwyz 10,7 35 Sargans 9,0 —_ 
Einsiedeln 7,9 49 Altstätten 10,9 Sl 
Interlaken 7,2 74 Closters 8,3 44 
Trogen 9,1 35 St. Gallen 10,8 26 
Gäbris 1,2 — Rorschach 10,5 34 


Hiernach sind höchstens in Luzern und Interlaken die Manifestationen des Föhns 
erheblich zurückgegangen, während sie im Osten allgemein stärker geworden sind. 


zu = 


Auf der Südseite der Alpen und deren Pässen regnet oder schneit es bei ganz 
bedecktem Himmel in Lugano, Bellinzona, S. Vittore, Castasegna, auf dem Monte Gene- 
roso, Bernhardin, St. Gotthard, Grimsel, Simplon, dann auch in Platta, Andermatt und 
im Westen in Murten und Ste. Croix. Auch in der übrigen Schweiz ist der Himmel 
bedeckt oder wenigstens stark bewölkt. 

Wie unsere Isobarenkarte von 1"p. des 7. März zeigt, hat vom Morgen zu Mittag 
durch weiteres Fallen des Barometers im Nordwesten bei gleich bleibendem Druck im 
Südosten die Druckdifferenz zwischen beiden noch um 2 mm zugenommen und damit 
bei nahe gleicher Konfiguration der Isobaren (lokale Minima bei Glarus und Trogen) 
die Windgeschwindigkeiten allgemein bis nahe zum Sturm verstärkt, so dass sich die 
Föhnwirkungen mit südöstlichen Winden, wie die folgende Tabelle klar macht, weit 
hinaus verbreitet haben: 


7. März Temp. Feucht. 1b p. Temp. Feucht. 
%o °/ 
Bex 16°,9 31 Auen 1202 33 
Martigny 13,2 30 Glarus 15,7 25 
Engelberg 12, 29 Linthkolonie larırz 28 
Luzern 16,3 25 Thusis 11,9 al 
Gersau 13,2 28 Chur 13,0 31 
Altorf 14,5 30 Marschlins 14,5 35 
Schwyz 14,1 235 Glosters 10,6 34 
Einsiedeln 14,1 29 Sargans 14,0 = 
Interlaken 15,8 3 | Altstätten 13,4 24 
Trogen 12,1 30 | Beatenberg 14,2 36 
Gäbris 11,3 — Muri 15,6 28 
St. Gallen 14,0 35 Zürich 21160 26 
Rorschach 13,5 45 Aarau 17,0 27 
Kreuzlingen 15,3 30 Lohn 16,5 21 


Im Norden und Westen der Schweiz und auch an einigen Orten des Föhngebietes 
hat sich der Himmel aufgeheitert; es regnet nur noch in Lugano, Bellinzona, S. Vittore, 
Castasegna und auf dem M. Generoso, also bloss im äussersten Süden. 

Bis um 9"p. des 7. März erfolgt zwar eine Abnahme der Druckdifferenz um 
2 mm, indem das Barometer im Nordwesten um 1 mm steigt und im Südosten um 
1 mm fällt. Da aber bei annähernd gleichem Verlauf der Isobaren der Unterschied 
immer noch 9 mm beträgt, so hat die Windstärke im Allgemeinen nur wenig abge- 
nommen und demgemäss hält auch der Föhn durchweg noch unvermindert an. Die 
nachstehende Tabelle giebt wieder die bezüglichen Temperaturen und Feuchtigkeiten 
im Föhngebiet: 


7. März Temp. Feucht. 9kn. Temp. Feucht. 
%/o . o 
Bex 155) 31 Auen 10°,4 30 
Martigny 10,2 47 | Glarus 12,3 25 
Engelberg 10,1 35 Linthkolonie 11,5 29 
Luzern 1223 30 Thusis y,4 42 
Gersau 11,5 31 Chur 10,0 37 
Altorf 11,6 35 Marschlins 10,2 43 
Schwyz 12,5 24 | Closters DL 40 
Einsiedeln 10,3 36 | Sargans 11,4 — 
Interlaken 11,8 39 Altstätten 11,4 68? 
Trogen 9,5 32 St. Gallen 10,3 28 
Gäbris 7,5 — | Zürich 11,5 38 
Rorschäch 11,6 28 | Lohn 93 42 


Obschon um 1"p. an den meisten dieser Orte die Temperaturen höher und die 
Feuchtigkeiten geringer waren, so sind doch diese Daten von 9" p. für den Föhn be- 
zeichnender, weil schon allein dem täglichen Gang bei den erstern ein wesentlicher 
Anteil in diesem Sinne zukommt. 

In der Bewölkung des Himmels sind im Allgemeinen seit Mittag keine wesent- 
lichen Aenderungen erfolgt, wohl aber hat sich im Süden ausser Regen in der Tiefe 
wieder Schneefall auf dem Bernhardin, St. Gotthard und Simplon eingestellt. 

Für den ganzen 7. März sind die im Westen und stellenweise auch im Norden, 
wohin nämlich der Föhn mit seinen Ausläufern nicht gelangt, auftretenden schwachen 
oder mässigen westlichen und nördlichen Winde hervorzuheben, da sie dem Südost im 
Föhngebiet nahezu entgegengesetzt sind. Das von Nordwesten her bis zur Central- 
schweiz sich hereinstreckende Gebiet niedrigen Drucks ist jedenfalls an diesen Verhält- 
nissen als Ursache mit beteiligt. 

Betrachten wir für den Morgen des 8. März wieder zunächst die allgemeine 
Wetterlage nach dem Pariser Bulletin, so sehen wir, dass sich das Druck-Minimum 
über Irland vom Vortage ohne erhebliche Vertiefung nordwärts nach Schottland fort- 
bewegt hat, dass die Isobaren sich daher im Norden etwas nach Osten ın Frankreich 
und über der Schweiz dagegen nach West gebogen haben und dass sich zugleich die 
Isobare von 760 mm nach Osten zurückgezogen hat. Infolge dessen hat von S"a. des 
7. März zu S"a. des 8. März der Druck in Italien und im Osten der Schweiz abge- 
nommen, dagegen im Westen derselben und in Süd-Frankreich sich verstärkt, was eine 
Abnahme der Windstärke in diesen Gegenden bewirkte. 

Nach unsern synoptischen Karten vom 7. März und derjenigen von 7"a. des 
März haben sich die letztern Vorgänge in der Schweiz zum Teil schon im Laufe des 
. März vollzogen und auch von 9"p. des 7. März zu 7a. des 6. März fortgesetzt. 


-1 0 


Wir finden daher am letzten Datum die Isobaren über den Alpen etwas weniger ge- 
drängt als am Vorabend und dementsprechend sind auch die Windstärken stellenweise 
etwas schwächer geworden. Ohne wesentliche Aenderung in der Konfiguration der 
Isobaren (auch die lokalen Minima verbleiben an ihren Stellen) nimmt der Druck im 
Nordwesten der Schweiz im Laufe des Tages bis um 9" p. weiterhin langsam um 2 mm 
zu, während er im Südosten nahe gleich bleibt. Dementsprechend sind auch ausser 
um Mittag, wo in der östlichen Schweiz die Isobaren sich lokal etwas mehr drängen, 
die Manifestationen des Föhns bis zum Abend geringer geworden, wie die folgende 
Tabelle der Temperaturen und Feuchtigkeiten aus dem Föhngebiet zeigt. 


Temperatur Feuchtigkeit 

S. März Ta. 1 p. ghp. Tha. 1hp. Ihn, 
Bex 11,6 10783 12,2 35 30 47 
Martigny 8,8 16,2 9,7 91 27 44 
Engelberg 10,1 12,0 6,5 35 40 61 
Luzern 8,7 15,5 7,9 48 33 58 
Gersau 15 13:5 11,9 32 44 41 
Altorf 1153 14,6 12,7 34 30 B) 
Schwyz 10,2 14,0 11,0 38 32 37 
Einsiedeln 6,7 14,3 4,3 51 32 77 
Interlaken 11,4 15,0 94 37 37 61 
Auen 11,4 13,6 92 27 28 42 
Glarus 12,9 et 8,4 28 26 56 
Linthkolonie 10,3 18,7 11,5 35 30 38 
Trogen 10,1 13.3 11,0 3l 33 37 
Gäbris s,1 11,5 8,5 
Altstätten 11,7 15,9 1943 68 24 31 
St. Gallen 10,5 15,3 10,7 32 30 35 
Thusis 92 14,3 8,2 44 35 58 
Chur 92 14,6 7,6 48 39 35 
Marschlins 9,3 OH 10,9 48 42 45 
Olosters 3,9 10,3 4,9 gl 35 s0 
Sargans 10,0 13,4 10,8 
Lohn Tat 15,6 9,1 45 29 49 


7h 


Die Bewölkung des Himmels hat seit dem Vortage bis um 7" a. des 8. März zu- 
genommen, so dass er nur im äussersten Nordosten noch hell erscheint. Es regnet 
resp. schneit in Lugano, Bellinzona, S. Vittore, Castasegna, Simplon, Gotthard, Bern- 
hardin, Andermatt und Splügen-Dorf. Gegen Mittag hellt sich der Himmel im Norden 
und bei Martigny auf, und Niederschläge finden nur noch in Lugano, Bellinzona und 


Oo 


S. Vittore statt. Bis zum Abend erfolgt sodann bei zunehmendem Druck von Nordosten 
her in der ganzen Schweiz nördlich von den Alpenkämmen eine fast vollständige Auf- 
heiterung des Himmels, während er auf der Südseite derselben bis zu den Kämmen 
hinauf ganz bedeckt bleibt und die Niederschläge wieder zugenommen haben. Dies, 
sowie die verhältnismässig geringen Feuchtigkeiten an den meisten Orten der vorstehenden 
Tabelle zeigt, dass der Föhn immerhin noch seine Herrschaft behauptet. 


Wenn wir nun die synoptische Karte des Pariser Bulletins für $" a. des 9. März 
betrachten, wonach der Luftdruck im Osten der Schweiz und zugleich auch im Westen 
über dem Biskayschen Golf hoch (760 mm), über dem Mittelmeer und über der Nordsee 
niedriger (755 mm) ist (das Sturmeentrum ist ganz nach Norden gerückt), und dem- 
gemäss überall ausser an der Südküste Frankreichs schwache Winde verschiedener 
Richtung wehen, so sollte man glauben, dass der Föhn in der Schweiz unter solchen 
Verhältnissen ganz aufgehört haben müsse. Die eigentümliche Druckverteilung in der 
Schweiz selbst, welche nach unsern Isobarenkarten vom 9. März im Niveau von 
500 m derjenigen der Vortage trotz des allmählichen allgemeinen Steigens des Baro- 
meters noch ganz analog bleibt, ja um 1" p. sogar ein ausgebreitetes Druckminimum 
in der Öentralschweiz mit einer Druckdifferenz von 6 mm von da zum Gotthard auf- 
weist, lässt die südlichen Winde mit Föhnerscheinungen an vielen Orten noch bis zum 
Nachmittag andauern und erst am Abend hat das Auseinandertreten der Isobaren — 
Druckdifferenz über den Gotthard herüber nur noch 4 mm — ein allgemeines Aufhören 
des Föhns zur Folge, wie dies aus der nachstehenden Tabelle der Orte, wo er über- 
haupt am 9. März noch auftrat, hervorgeht: 


Temperatur Feuchtigkeit 

9. März Th a. 1 p. 9hp. 7h a. il p. gu p. 
Martigny 6,07 zit) 10,08 75 32 57 °/o 
Engelberg 12,0 14,2 9,5 36 46 59 
Altorf 14,2 17,4 14,0 26 29 41 
Glarus 2) 17,6 8,6 77 32 75 
Trogen 11,3 18,0 9,8 36 38 61 
Gäbris 97 14,3 11,8 = 
Altstätten 6,8 IT) 10,7 59 36 61 
Sargans 8,0 17,0 14,0 
Chur 7,8 15,6 162 52 38 59 
Churwalden 7,0 14,2 9,9 51 36 66 


Im Gefolge des abnehmenden Föhns hat sich schon vom 8. März 9" p. bis zum 
9. März 7" a. der Himmel über der nördlichen Schweiz wieder grösstenteils bedeckt 
und bleibt es auch den ganzen Tag. Die Niederschläge im Süden der Alpenkette und 
auf den Pässen nehmen zu, so dass es um 9" p. regnet oder schneit in: Monte Gene- 


roso, Lugano, Bellinzona, St. Vittore, Castasegna, Sils-Maria, Bevers, Bernina, Julier, 
Bernhardin, Splügen-Dorf, St. Gotthard, Andermatt, Grimsel und Simplon. 

Der Föhn vom 6.—9. März 1872 unterscheidet sich von dem vorher betrachteten 
im März 1864 hauptsächlich dadurch, dass der Haupt-Druckgradient bei ihm mehr von 
Südost nach Nordwest als wie damals von Süd nach Nord gerichtet ist. Die typischen 
Erscheinungen in den Alpenthälern sind aber dieselben wie damals, höchstens hat, wo 
dies möglich ist, der Wind mehr eine östliche Richtung. Auffallend ist bei diesem 
Föhn der beständige schwache Nordwest in Chur, während alle umliegenden Orte wie 
Marschlins, Closters, Churwalden, Reichenau, Thusis durchweg starke südliche bis süd- 
östliche Winde aufweisen, und beim Föhn von 1862 in Chur stets starker Südwest 
beobachtet wurde. Entweder ist dieser Nordwest aus einem, am mächtigen Bergstock 
des Calanda gegenüber Chur reflektierten Südost entstanden, der selbst aus dem Thal 
der Plessur herauswehte, oder der untere Gegenwind zu diesem. 

Für die Theorie des Föhns scheint folgendes analoge Verhalten der Föhne vom 
März 1864 und 1872 im Linththal bemerkenswert. Am 7. März 1864 hatten wir 
bereits Föhn in Auen um 1" p., nämlich bei frischem Südost 14°,0 und 27°/o Feucht., 
während in Glarus bei schwachem Nordwest die Temperatur zwar schon 15°,3, die 
relative Feuchtigkeit aber erst 43°/o war; am Abend um 9" zeigte Auen bei kräftigem 
Südost 11°,8 und 34°/o, Glarus bei frischem Südost 13%4 und 33°. also jetzt auch 
schon Föhn. An beiden Orten hielt dann der Föhn als kräftiger Südost mit hoher 
Temperatur und geringer Feuchtigkeit bis zum Nachmittag des 8. März an, war aber 
um 9% p. verschwunden, indem da bei schwachem West in Auen und leichtem Ost in 
Glarus die Temperatur auf 6°,5 resp. 5°,2 gesunken und die relative Feuchtigkeit auf 
S6°/o gestiegen war. Am folgenden Morgen hatte sich wieder an beiden Orten Föhn 
als kräftiger, trockener und sehr warmer Süd resp. Südost (Auen 13%,7 und 31°%o, 
Glarus 15°,6 und 27°/o) eingestellt, der aber schon um Mittag nahezu und am Abend 
jedenfalls ganz wieder aufgehört hatte, wo es bei nördlichen Winden sogar regnete. 

Am 6. März 1872 trat um 12" 30% mittags in Auen der Föhn ein, so dass um 
1" p. bei kräftigem Süd bereits 11°,4 und 26°/o notiert wurden, während zu gleicher 
Zeit in Glarus schwacher Nordwest, 9°,6 und 46°/o Feuchtigkeit beobachtet waren. 
Erst um 2" 30% manifestierte sich der Föhn auch unten im Thal bei Glarus, wo dann 
um 9° p. bei stürmischem Südost die Temperatur auf 10°,5 gestiegen und die Feuchtig- 
keit bis 30° gesunken war, während bei fortgesetztem kräftigen Süd in Auen 8”,4 und 
37 °/o Feuchtigkeit notiert wurden. Der Föhn setzte sich hierauf als kräftige, ja 
stürmische südliche Winde mit hoher Temperatur und sehr geringer relativer Feuchtig- 
keit an beiden Orten bis zum Abend des 8. März fort, wo dann um 9" p. bei bloss 
frischem Süd die Temperatur in Auen zwar noch 9°,2, die Feuchtigkeit aber schon 42°/o, 
in Glarus bei ganz schwachem Süd jene auf 8%,4 gefallen und diese auf 56°/o gestiegen 
war. Am folgenden Tag fand nur am Mittag gewissermassen noch eine Tendenz zur 
Föhnbildung statt. 


36 


Ein entsprechender analoger Verlauf zeigt sich endlich auch im Gang der Baro- 
meter-Differenz: Glarus—Auen, gemäss der nachstehenden Tabelle dafür: 


1564 7. März 8. März 9. März 
Glarus— 7 1 1) 7 l N) 7 1 g 
mm mm mm mım mm mm mm mm mm 
— Auen 2,0 10 06 03 —-01 15 0,1 0,8 1,2 
1572 6. März 7. März S, März 9. März 
Glarus— 7 il N) 7 1 $) 7 j N) f 1 ) 


mm mm mm mm mm nm nm mm mm mm mm mm 


— Auen 04 -01—0,7 —1,0 —1,8 —1,0 —0,8 —1,2 —0,4 —0,1 —L1 —0,2 


Hält man diese Barometerdifferenzen mit den vorhergehenden Bemerkungen über 
den Eintritt des Föhns an beiden Orten zusammen, so sehen wir, dass die barometrische 
Differenz: Glarus— Auen, dieselbe als positiv vorausgesetzt, abnimmt, sowie in Auen 
der Föhn eintritt und noch weiter sich vermindert, wenn derselbe dann auch in Glarus 
erscheint, und dass beim Verschwinden des Föhns dieselbe umgekehrt wieder anwächst. 
Zur Erleichterung der Uebersicht sind die Barometerdifferenzen, wo nur in Auen der 
Föhn auftritt, cursiv und die, wo er bereits an beiden Orten eingetreten ist, fett 
gedruckt. Angesichts der Unsicherheit der absoluten Meereshöhen und der Correktionen 
der Barometer in jenen Jahren kann ich nicht entscheiden, an welchem der beiden 
Orte dabei der absolute Luftdruck grösser ist. Das aber können wir also sagen, sowie 
der Föhn in Auen sich manifestiert, so bewirkt er ein verhältnismässig noch stärkeres 
Fallen des Barometers in Glarus, und dieser Effekt nimmt zu, wenn er bis ins Thal bei 
Glarus heruntergekommen ist. 

Auch bei diesem Föhn von 1872 haben wir endlich vor seinem Eintritt eine 
Steigerung der Temperatur an den hochgelegenen Orten bemerkt, allerdings weniger 
auffallend als bei dem von 1864. 


Föhnsturm vom 30. Januar bis 3. Februar 1855. 


Am 28. Januar 1885 herrschte nach dem Wetter-Bulletin der Schweizerischen 
meteorologischen Centralanstalt im Alpengebiet noch allgemein helles Frostwetter 
bei hohem Druck (770 mm im Meeresniveau), obschon sich bereits ein starkes baro- 
metrisches Minimum im Norden Irlands (737 mm) entwickelt hatte, das von starken 
Südwestwinden über den britischen Inseln und Nordwest-Frankreich begleitet war. 
Bis zum Morgen des 29. Januar vertiefte und erweiterte sich dieses Minimum unter 
Auftreten stürmischer Südwinde an den Küsten von England bis nach Spanien herunter 
und südwestlicher, kräftiger Winde in Norddeutschland, wo es auch stellenweise bereits 
regnet. Bei nur um 5 mm vermindertem hohen Druck dauert der Frost mit hellem 


Wetter in der Schweiz und in Norditalien an, wo noch östliche bis südliche Winde 
vorherrschen. 

Nach dem Bulletin der Centralanstalt von 8" a. des 30. Januar (im Westen 
nach dem Pariser Bulletin ergänzt) haben sich unter weiterer Ausbreitung des Minimums 
besonders nach Süden hin in ganz Frankreich und dem nördlichen Spanien stürmische 
Südwinde eingestellt, die Isobare von 706 mm im Meeresniveau verläuft am Westrand 
der Schweiz ins Mittelmeer herunter, und südöstlich von ihr findet über Italien, Oester- 
reich etc. noch hoher Druck bis 765 mm statt. Im Alpengebiet und in Norditalien 
herrscht noch überall Frost (ohne Reduktion der Temperatur auf das Meeresniveau). 

Betrachten wir jetzt unsere synoptische Karte für 7"a. des 30. Januar mit den 
auf 500 m Höhe reduzierten Barometerständen und Temperaturen, so bemerken wir 
am Westrande der Schweiz eine Isobare von 714 mm (annähernd 760 mm im Meeres- 
niveau entsprechend), die aber sehr gewunden erscheint und ebenso ist auch die Isobare 
von 720 mm (nahezu 765 mm im Meeresniveau) längs des Südostrandes der Schweiz 
mit starken Ein- und Ausbuchtungen versehen. Da im nördlichen Tessin noch eine 
Isobare von 721 mm kompariert und die Isobare von 715 mm in der Centralschweiz 
sich stark dem Gotthard nähert, so besteht da bereits eine barometrische Differenz von 
6 mm, welche stürmische südliche Winde im obern Rhein-, Reuss- und Aarethal, resp. 
beginnenden Föhn zur Folge hat. 


30. Januar Tl a. Temp. Feucht. 
Platta 6°,8 33% 
Gurtnellen 1002) 22 
(ruttannen 9,6 39 


Während im Flachland der Schweiz nördlich von der Alpenkette durchweg noch 
Frost herrscht mit Temperaturen bis — 10° im Nordosten, und ebenso im äussersten 
Osten sowie im Tessin bis Airolo hinauf und im Oberwallis die Temperatur unter Null 
ist, stellenweise tiefer als — 5°, ist im grössern Teil von Graubünden, im Appenzeller- 
land, im mittlern und untern Wallis und besonders an allen höher gelegenen Stationen 
bereits eine starke Erwärmung durch die südlichen bis westlichen Winde in der Höhe 
eingetreten. Auf das Niveau von 500 m reduziert haben wir nämlich auf dem Chau- 
mont 3°,3, in Beatenberg 5°7, Andermatt 4,2, St. Gotthard 0°,1, Bernhardin 1°,0, 
" Rigi-Kulm 6°,5, Grächen 3°,9, St. Bernhard 0°,7, Säntis 5°,4, Gähris 6%1. Uebrigens 
haben schon am 29. Januar einige hochgelegene Orte beim Eintritt. westlicher bis süd- 
licher Winde relativ hohe Temperaturen und teilweise auch geringe Feuchtigkeiten ge- 
zeigt, wie folgende Zusammenstellung beweist: 


1855 Temperatur Feuchtigkeit 
29. Januar 7 | e) 7 l o) 
Säntis 20,7 69,9 49,7 48 44 By7 


Gäbris 6,7 13,3 re) 132 6? 87 


m; 


1555 Temperatur Feuchtigkeit 
29. Januar 7 | ) 7 1 9 
Rigi 7,4 9,6 7.8 27 21 21 
Platta 1,0 9,0 7,0 76 40 16 
Beatenberg 4,9 11,3 4, 70 53 EZ 
Chaumont 3 9,5 2,9 94 82 95 


Dass das Haarhygrometer in Gäbris offenbar viel zu geringe Feuchtigkeitsangaben 
machte, haben wir schon früher bemerkt. 

Der Himmel ist am Morgen des 30. Januar in der ganzen Schweiz fast wolkenlos 
trotz hoher relativer Feuchtigkeit in den Niederungen. 

Wie unsere synoptische Karte von 1"p. des 30. Januar zeigt, hat sich der baro- 
metrische Gradient über dem ganzen Hochgebirge seit dem Morgen erheblich verstärkt, 
indem an der Nordwestgrenze der Schweiz das Barometer um 3 mm, im Tessin aber 
nur um 1 nım gefallen ist; ausserdem hat sich um den Vierwaldstättersee ein kleines 
lokales Minimum gebildet, während das im Appenzellerland verschwunden ist. Durch 
ein weiteres Sinken des Barometers um 3 mm im Nordwesten und ein solches von bloss 
1 mm im Südosten bis um 9% p. des 30. Januar verstärkt sich die barometrische 
Differenz beider Grenzen zu diesem Termin auf 11 mm und zugleich treten zwei kleine 
Minima auf, eines am Vierwaldstättersee und eines bei Glarus. Demgemäss haben sich 
die südlichen Winde auf den Alpenpässen, besonders am Gotthard verstärkt und hat sich 
der Föhn im Laufe des Tages nach und nach im ganzen Föhngebiet entwickelt. Ausser 
den oben für 7"a. angeführten Orten manifestiert er sich als stürmischer Süd oder Südost 
um 1" p. in Altorf, Elm und Sargans, um 6" p. tritt er in Glarus ins Thal und auch 
in Altstätten auf und um 9" p. hat er sich auf das untere Rhonethal, das untere Linth- 
thal und untere Rheinthal ausgebreitet. Wo Wolkenzug beobachtet worden, schwankt 
er zwischen S und W. Nur in Airolo ist er als NW notiert. Die bezüglichen Tempe- 
ratur- und Feuchtigkeitsverhältnisse erhellen aus der nachstehenden Zusammenstellung: 


1555 Temperatur Feuchtigkeit 

30. Januar ibn. ghp. 11 p. 9h p. 
Aigle 4%,9 NL 75°/o 36°/o 
Sepey 10,6 7,8 42 39 
Beatenberg 10,7 7,4 48 51 
Engelberg 6,0 9,2 52 42 
Guttannen 10,3 82 42 35 
Gurtnellen 11,0 9,6 25 50 
Altorf 13,8 11,4 23 36 
Einsiedeln 4,2 — 1,9 50 s0 
Gersau 3,9 6,1 65 46 


1885 Temperatur Feuchtigkeit 
30 Januar 1k°p. guy. ih p. 9hp. 
Linthal 6,0 8,4 85°%o 66°/ 
Elm 2,2 8,8 aim Ins dor 
Glarus 2,6 94 58 36 
Linthkolonie 4,0 7,7 90 17 
Davos-Platz 11,9 4,5 39 70 
Wiesen 12,4 4,2 38 74 
Ragatz 12,5 u 36 42 \ 
Sargans 12,0 3,0 43 50 
Wallenstadt 14,7 11,9 — — 
Altstätten — 25 10,9 90 33 
Gäbris 12,5 8,2 — — 
Trogen 11,1 10,3 43 63 


Hieraus ersehen wir, dass das Vorrücken des Föhns von 1" bis 9" p. gegen die 
Thalenden hin an den gesperrt gedruckten Orten zugleich von einer Abschwächung seiner 
charakteristischen Eigenschaften an den rückwärts gelegenen Stationen begleitet ist. 
Die 174 m tiefer als das frühere Auen gelegene Station in Linthal notierte zwar den Ein- 
tritt des Föhns um 4" p., indessen scheint die Windstärke dort keinen hohen Betrag 
erreicht zu haben und demgemäss ist auch die Steigerung der Temperatur und Ver- 
minderung der Feuchtigkeit eine viel geringere als z. B. früher in Auen und jetzt auf 
der neuen Station in Elm. In Elm haben wir auch schon um 1" p. typischen Föhn, 
_ der sich dann wohl hauptsächlich durch das Sernfthal hinab nach Glarus fortgepflanzt hat. 


Was die Bewölkung betrifft, so ist der Himmel um 1" p. im Föhngebiet, in der 
Nordostschweiz, im Engadin und obern Thal des Tessin noch fast durchweg heiter, 
dagegen hat sich derselbe im Westen und im südlichen Teil von Tessin bedeckt. Bis 
um 9" p. aber hat die Bewölkung allgemein zugenommen, im Tessin ist der Himmel 
überall ausser in Airolo bedeckt, es regnet in Genf, Rivera Bironico, San Vittore und 
schneit auf dem St. Bernhard und Bernhardin. 


Das Bulletin der Centralanstalt von St" a. des 31. Januar (auch wieder nach dem 
Pariser Bulletin ergänzt) zeigt gegenüber dem des Vortages eine allgemeine Abnahme 
des Luftdrucks infolge einer Vertiefung des Minimum-Centrums über Irland um 10 mm. 
Doch hat in Ober-Italien der Druck sich bloss um ungefähr 5 mm verringert, also der 
Gradient von da nach Irland sich entsprechend verstärkt, was an den atlantischen 
Küsten die Süd- bis Südwestwinde zur vollen Sturmstärke entwickelte. 


Nach unserer Isobaren-Karte für 7% a. des 31. Januar ist die Isobare von 708 mm, 
die sich am Vorabend am Nordwest-Rande der Schweiz befand, bis zu den Alpen vor- 
gerückt und es hat sich ausser dem lokalen Minimum am Vierwaldstättersee noch im 


—-— 4° — 


Nordosten ein solches von 707 mm gebildet, während dasjenige bei Glarus ausgefüllt 
erscheint. Da zugleich im Tessin der Druck nur um 1—2 mm gefallen ist, so ist der 
Gradient von da zur Centralschweiz eher noch etwas stärker geworden als am Vorabend. 
Daher Fortdauer und stellenweise sogar Verstärkung des Föhns über Nacht. Im engern 
Föhngebiet: Reussthal, Linthal, Appenzellerland und unteres Rhonethal findet, wie eine 
spätere Zusammenstellung des Nähern zeigen wird, bei Temperaturen von über 10° eine 
bedeutende Austrocknung der Luft und heiterer Himmel statt, während im Jura und 
Flachland, in Oberwallis und im Tessin niedrige Temperatur, bis 5° unter Null, mit 
hoher Feuchtigkeit und Bewölkung sich paart. Es schneit in Lugano, Rivera Bironico, 
San Vittore, Airolo, auf dem Bernhardin und St. Gotthard und regnet in Genf. 


Von 7% a. zu 1" p. des 31. Januar ist im ganzen Nordwesten der Schweiz 
wieder ein erhebliches Steigen des Barometers erfolgt, so dass jetzt eme Isobare von 
709 mm am Nordwestrande derselben verläuft; im Tessin ist der Druck eher etwas 
gefallen, und es sind daher die Isobaren erheblich auseinandergerückt. Besonders ist 
dies mit den Isobaren von 710 und 711 mm der Fall; indem sich aber in ihrem 
Zwischenraum wieder über dem Vierwaldstättersee und über dem Appenzeller- und 
Glarnerland je lokale Minima von 709 mm und darunter eingelagert haben, besteht 
vom Tessin aus über die Alpen herüber doch noch eine Druckdifferenz von S mm, 
welche den Föhn mit seinen specifischen Eigenschaften erhält. Dem täglichen Gang 
und eimer Auffrischung der Südwestwinde in der Westschweiz entsprechend ist die 
Temperatur nördlich von den Alpen überall bei abnehmender Feuchtigkeit und Bewölkung 
gestiegen, während es auf der Südseite bis zu den Alpenpässen hinauf und ebenso im 
Engadin bei ganz bedeecktem Himmel schneit. 


Bis um 9" p. des 31. Januar steigt das Barometer in der ganzen Schweiz ein- 
schliesslich des Tessin um 2 mm an, und da auch die lokalen Minima am Vierwald- 
stättersee und beim Wallensee verblieben sind, so bleibt der Gradient über das Gebirge 
derselbe wie um 1" p. und damit auch der Föhn im Wesentlichen unverändert. In 
dem oberwähnten engern Föhngebiet erhält sich die Temperatur bei relativer Trocken- 
heit der Luft zwischen 5—-9°, während sie im Norden wieder etwas unter Null gesunken 
ist. Ausser auf der Südseite der Alpen, den Alpenpässen und dem Jura hat die Be- 
wölkung cher seit Mittag etwas abgenommen. Es regnet in Liestal, Neuchätel, 
Locarno und Lugano und schneit auf dem Julier, Bernhardin, in Faido und Airolo. 


Der Wolkenzug ist in der ganzen nordwestlichen Schweiz vom Genfer- bis zum 
Bodensee hin Südwest, in der centralen und südöstlichen Schweiz aber Süd, ausser in 
Airolo, wo wieder Nordwest als solcher notiert ist. 


Im weiteren Föhngebiet sind an diesem Tage die Temperaturen und Feuchtigkeits- 
Verhältnisse, sowie die Windverhältnisse folgende: 


1555 Temperatur Feuchtigkeit Ganze Tag 
31. Januar 1lı gh zu ph gh 


1 


Cuves 8°,6 na Fer Er yo — 

Aigle Kl 11,8 9,9 22 37 36 S E-Sturm 
Sepey 8,7 9,8 4,5 35 97 55 7° a. S-Sturm 
Beatenberg Sa 9,9 Sal! 60 58 67 starker SSE 
Engelberg 8,3 9,5 6,5 41 35 43 stürm. SE 
Guttannen 7,8 6,9 6,4 57 63 56 stürm. SE 
Gurtnellen 92 82 82 37 48 37 stürm. S 
Altorf 10,4 12,4 8,8 35 30 36 stürm. S 
Einsiedeln 11,6 168) 0,1 25 45 45 7" a. stürm. 8 
Gersau 1 9,0 5,9 27 43 50 SE-SW 
Linthal 6,0 8,8 7,0 68 59 73 kräftiger S 
Elm 8,6 8,8 6,6 40 39 42 stürm. SE 
Glarus 10,5 11,8 8,9 42 41 38 stürm. 8. 
Linthkolonie 10,9 14,3 8,3 66 s1 99 stürmischer E 
Ragaz 9,1 12,1 7,9 48 47 55 SW—SE 
Sargans 5,0 14,0 9,0 39 DM 48 stürm. S 
Altstätten 10,8 12,4 S,4 31 32 36 i 

Gäbris ee A 1 2:1, r 

Trogen 11,5 9,9 S,1 63 19 64 S-Sturm ausser 1" p. 


Wenn wir für den Morgen des l. Februar zunächst wieder das Bulletin der 
Centralanstalt ins Auge fassen, so ergiebt sich, dass seit dem Vortage überall in Europa 
das Barometer um ungefähr 5 mm gestiegen ist, indem ohne Verminderung seiner 
Tiefe das Depressionscentrum von Irland nach dem Norden von Schottland vorgerückt. 
ist. Die Druckgradiente haben dadurch keine wesentlichen Aenderungen erlitten , so 
dass noch überall im Westen die stürmischen Südwinde fortdauern. 


Unsere synoptische Karte von 7" a. des 1. Februar weist gegenüber dem Vor- 
abend auf keine erheblichen Aenderungen in der Luftdruckverteilung hin, indem nur 
im Südosten der Druck um 1 mm gestiegen ist. Demgemäss dauern auch in der 
Schweiz die stürmischen Winde fort, und der Föhn macht sich an einigen Orten wie 
Elm, Glarus, Einsiedeln, Gersau, Gurtnellen, Ragaz, Sargans mehr, an andern wie 
Gäbris, Trogen, Engelberg, Altorf, Linthal, Altstätten, Aigle weniger geltend. Hohe 
Temperaturen von 5—10° finden wir nur im Föhngebiet, wo auch der Himmel noch 
stellenweise heiter ist. In den übrigen Teilen der Schweiz gehen die Temperaturen 
bis Null herunter, der Himmel ist bedeckt und es regnet nicht blos auf der Südseite 
der Alpen, sondern auch nördlich davon an 15 Stationen, und auf den hochgelegenen 
Stationen wie Säntis, Rigi, Bernhardin, St. Bernhard, Grächen schneit es. 


= WB) 


Bis um 1" p. des 1. Februar hat sich gemäss unserer synoptischen Karte für 
diesen Termin die Situation insofern geändert, als bei gleich gebliebenem Barometer- 
stand im Südosten, im Nordwesten der Druck um 1 mm gestiegen ist. Das lokale 
Minimum um den Vierwaldstättersee hat sich bis zum Wallensee hin ausgebreitet, und 
der Föhn ist im Reussthal, Glarner- und Appenzellerland wieder stärker geworden. 
Da treffen wir denn auch durchweg über 10° betragende, ja bis 15° gehende Tempera- 
turen und bei geringer Feuchtigkeit schwach bewölkten Himmel, während er in der 
übrigen Schweiz bei Temperaturen unter 10° ganz bedeckt ist und es, ausser in Rivera 
Bironico, San Vittore und Castasegna, auch an 16 Stationen zwischen Alpen und Jura 
regnet. 

Ein weiteres Steigen des Barometers erfolgt bis um 9% p. des 1. Februar und 
zwar um 3 mm im Nordwesten und um 1 mm im Südosten und, obschon um den Vier- 
waldstättersee noch ein lokales Druckminimum besteht, so ist jetzt die Druckdifferenz 
von da zum Tessin nur noch wenig mehr als 5 mm, was an den meisten Orten das 
allmähliche Ersterben des Föhns zur Folge hatte. Dagegen ist ausser im Jura und im 
Tessin Aufheiterung des Himmels eingetreten und der Regen hat auf der Nordseite der 
Alpen fast ganz aufgehört. 

Für den Wolkenzug gilt dasselbe wie am Tage vorher. 

Die Temperatur- und Feuchtigkeitsverhältnisse im Föhngebiet für diesen Tag giebt 
die folgende Zusammenstellung: 


1885 Temperatur Feuchtigkeit 
1. Februar H l 9 7 1 %) 

Aigle SuM 8,8 | 980 525 
Guttannen 1.8 9,0 8,6 56 57 57 
Engelberg 5,0 10,4 2,9 54 44 sl 
Gurtnellen 8,8 10,6 9,6 40 37 46 
Altorf 10,0 12,8 6,6 39 45 63 
Gersau 6,9 11,9 3,7 56 35 sg 
Einsiedeln 4,4 7,2 ayıl 52 38 70 
Linthal 4,0 11,0 2,0 37 51 S6 
Elm 5,4 10,8 6,2 38 39 57 
Glarus 3,8 13,6 2,2 71 40 95 
Sargans 4,8 13,0 6,0 42 53 42 
Altstätten 5) 14,0 2, 41 31 93 
Gäbris 6,5 kalgıl 6,5 22? 20? 39? 
Trogen des 1ll57 9 71 60 100 


Die Steigerung des Luftdrucks im nordwestlichen Teil der Schweiz im Laufe des 
1. Februars um nahe 5 mm ist, wie das Bulletin der Centralanstalt vom Morgen des 
2. Februar lehrt, hauptsächlich dem Fortschreiten des Druckminimums über Schottland 


nach Norden längs der norwegischen Küste beizumessen. Dies, sowie der Umstand, 
dass um St a. des 2. Februar an der Westküste Irlands ein neues barometrisches Minimum 
mit 730 mm aufgetreten ist, hat ein Aufrichten der Isobaren und ein Auseinander- 
rücken derselben mit abnehmender Windstärke in der Nähe der Schweiz zufolge, 
während unter dem Einfluss des neuen Minimums die südlichen bis südwestlichen Winde 
über den britischen Inseln und im Nordwesten Frankreichs sich wieder bis zur vollen 
Sturmstärke entwickelt haben. Der hohe Luftdruck, 765 mm und darüber, dauert in 
Italien und östlich davon fort. 

Unsere synoptische Karte von 7" a. des 2. Februar weist im Vergleich mit der 
des Vorabends hauptsächlich auf eine allgemeine Zunahme des Druckes in der Schweiz 
hin, die im Südosten 2 mm, im Nordwesten aber nur 1 mm beträgt. Vom Tessin zum 
lokalen Druckminimum am Vierwaldstättersee hat sich die Druckdifferenz wieder bis zu 
6 mm gesteigert, was eine neue Entwicklung des Föhns vorbereitet. Es haben sich 
daher im Föhngebiet die Temperaturen überall über Null gehalten, ja das Thermometer 
steht an vielen Orten desselben noch ebenso hoch wie am Vorabend, S—9°; der Himmel 
hat sich ausser im südlichen Tessin aufgehellt, er ist sogar fast überall wolkenlos. Es 
regnet nur in Locarno. Die Winde sind aber durchweg noch schwach und veränder- 
licher Richtung. 

Im Laufe des Vormittags haben sich die Winde durch Steigerung des Druck- 
gradienten jedenfalls verstärkt und ist auch der Föhn in den Thälern wieder aufge- 
treten, indessen habe ich über den Zeitpunkt seines Eintritts keine Angaben finden 
können. Um 1" p. des 2. Februar herrscht nach unserer synoptischen Karte heftiger 
Föhn im ganzen Föhngebiet, frische Südwinde wehen auf dem Bernhardin und St. Gott- 
hard und kräftige Südwestwinde auf dem Rigi und .Säntis. Demgemäss ist da überall 
die Temperatur ungewöhnlich hoch, bis 15°, und die Feuchtigkeit sehr gering (bis 23%o 
unter Ausschluss der irrigen geringern Angabe von Gäbris). Hoch, bis 10°, sind auch noch 
die Temperaturen im Nordwesten, gehen dagegen in der ebenen Schweiz zwischen Jura 
und Alpen und im Tessin bis zu 5° ja bis 3° herunter. Der Himmel ist wieder 
teilweise bewölkt, im Westen und im Tessin fast ganz bedeckt; es schneit auf dem 
Bernhardin. Dies Alles findet seine Erklärung aus der Druckverteilung um 1" p., wor- 
nach der Druck im Tessin seit dem Morgen um 1 mm, im Nordwesten aber um volle 
4 mm gefallen ist. Lokal niedrigen Druck von 713 mm finden wir wieder am Vier- 
waldstättersee und am Wallensee und daher von da zur Isobare von 722 mm im 
nördlichen Tessin eine barometrische Differenz von 9 mm. 

Diese bedeutende Druckdifferenz steigert sich aber bis um 9" p. des 2. Februar 
noch zu vollen 11 mm, indem im Nordwesten der Druck weiterhin bis zu diesem Termin 
um 4 mm, im Tessin aber nur um 2 mm gesunken ist. Heftige Südwinde wehen jetzt 
auf dem Bernhardin, St. Gotthard und Rigi, und auf dem Säntisgipfel stürmt es von 
Südsüdwest. Der Föhn mit seinen begleitenden Erscheinungen hat sich denn auch fast 
überall noch verstärkt. Ganz besonders auffallend sind die mit Rücksicht auf den täg- 


= 


lichen Gang ungewöhnlich hohen Temperaturen im Föhngebiet; in Aigle, Sepey, Chäteau 
d’Oex, Engelberg, Platta, Elm, Linthal, Glarus, Wald, Rorschach sind sie sogar absolut 
höher als um 1" p. Noch interessanter wird das Verhalten der Temperatur-Verteilung, 
wenn man nach den auf 500 m Höhe reduzierten Thermometerangaben Isothermen 
für dieses Höhenniveau konstruiert. Gemäss der beiliegenden Isothermenkarte für 9" p. 
des 2. Februar zieht sich eine Isotherme von 10° vom Ostende des Bodensees längs 
dem ganzen Rheinthal und Rhonethal durchweg auf dem Kamme und dem südlichen 
Abhange des Hochgebirges bis nach Aigle im untern Rhonethal hin und geht dann 
längs des Nordabhangs der Alpen mit einer Ausbuchtung bis zum Rigi und durch das 
westliche St. Gallen wieder zum Bodensee zurück. Innerhalb dieser schmalen, den 
srössern Teil des Föhngebietes in sich fassenden Zone erhebt sich die Temperatur in 
den Thälern des Nordabhanges stellenweise bis zu 15°. Von ihr drängen sich sodann 
die Isothermen ausser im bernischen gebirgigen Mittelland eng zusammen, so dass die 
Isotherme von 5° noch nahe am Gebirge verläuft und im breiten Flachland der Schweiz 
nur Variationen von 5 bis 2° vorkommen, im nordwestlichen Jura steigt die Temperatur 
wieder bis 5° an. Im Süden von jener Zone von 10° drängen sich die Isothermen nur 
im Wallis bis zum St. Gotthard hin etwas enger zusammen, so dass auf dem, dasselbe 
nach Süden einschliessenden Hochgebirge nahezu «Wie Isotherme von 2° erreicht wird. 
Da dasselbe am Gotthard und an dem Graubünden nach Süden begrenzenden Hoch- 
gebirge der Fall ist (Oberwallis und Gotthard zeigen sogar Temperaturen unter 0°), so 
findet der stärkste thermische Gradient nach Süden zu am Gotthard statt, während in 
Graubünden die Isothermen weit auseinander treten. Im Tessin herrschen durchweg um 
2° schwankende Temperaturen. 

Auf die kurze Strecke zwischen Luzern und Gersau haben wir so um 9" p. im 
gleichen Niveau bei heiterem Himmel infolge der Föhnwirkung am letztern Orte eine 
Temperaturdifferenz von 11°, zwischen Reckingen im Oberwallis und Aigle im Unter- 
wallis sogar eine solche von 19° bei ganz bedecktem Himmel an beiden Orten. 

Der Himmel ist am Abend des 2. Februar überall ausser um den Vierwaldstätter- 
see und im untern Linthal stark bewölkt oder ganz bedeckt, es regnet in Genf, 
Lugano. Rivera Bironico und San Vittore und schneit in Airolo, Faido, auf dem Gott- 
hard und Bernhardin. 

Der Wolkenzug manifestiert sich ebenso wie am Vortage. 

Im weiteren Föhngebiet sind an diesem Tage die Temperatur- und Feuchtigkeits- 
verhältnisse folgende: 


1585 Temperatur Feuchtigkeit 
2. Februar Zur ju 9h zu Ih 9h 
Rigi-Kulm 6%,8 10°,2 5,6 45%/0 80% 450% 
Davos-Platz — 1,9 10,1 8,1 99 Sn 58 
Wiesen ler 10,2 s,9 91 61 58 


Platta 1,4 7,8 8.0 74 51 65 


ze. 


1885 Temperatur Feuchtigkeit 

2. Februar zh ih yh zh 1R gh 
Gäbris 79,9 1107 907 18%? 6%? 1390? 
Beatenberg 6,9 12,3 10,9 59 53 46 
Wildhaus 7,6 11,7 11,3 u = En 
Guttannen 8,2 10,8 9,0 58 49 63 
Sepey 5,3 1lalzyt ls: 61 28 36 
Engelberg 2,5 11,0 12,1 s0 31 34 
Chäteau d’Oex 2,8 8,5 10,7 70 46 25 
Elm 2) 11,8 1159 60 27 38 
Einsiedeln 1,4 11,8 8,4 65 40 20 
Trogen BR 12,5 I, 75 54 55 
Gurtnellen 8,9 12,0 11,4 41 32 44 
St. Gallen 2,9 13,7 Lay! 17 28 3l 
Linthal 1,0 11.0 11,4 Ss0 57 BB} 
Ebnat 0,0 3,6 8,7 - - 
Wald 2,9 8,8 10,8 72 56 40 
Sargans 9.0 13,4 7,0 39 42 B) 
Glarus 0,0 3,4 13,6 95 28 3 
Altstätten 4,7 lol 14,0 62 23 30 
Rorschach 0,2 15,3 15,8 ._ _ — 
Altorf 6,6 14,8 13,4 58 28 34 
Gersau 4,0 14,9 14,7 79 24 30 
Wallenstadt 6,7 14,7 14,7 — —_ — 
Linthkolonie 4,1 10,5 10,1 97 s0 me: 
Aigle 6,4 14,8 16,1 56 19 19 


Die Orte sind in dieser Tabelle, abweichend von früher, nach ihren absoluten 
Höhen angeordnet, um zu zeigen, dass die Reduktion der Temperaturen auf das gemein- 
same Niveau von 500 m keine erheblichen Fehler bewirkt haben kann. Auffallend und 
daher zweifelhaft sind in dieser Zusammenstellung die relativ hohen Feuchtigkeiten in 
Linthal gegenüber denen in Elm bei nahe gleichen Temperaturen an beiden Orten. 
Für 9"p. des 2. Februar findet man auch die Verteilung der relativen Feuchtig- 
keit durch Linien gleicher relativer Feuchtigkeit in einer Karte neben der Isothermen- 
karte dargestellt. Der verwandte Verlauf beider Linien ist unverkennbar. 

Vom Morgen des 2. zu dem des 3. Februar hat in der allgemeinen Wetterlage 
nach dem Bulletin der Centralanstalt insofern eine Veränderung stattgefunden, als das 
Centrum der Cyclone bei gleicher Tiefe desselben von Irland zum nördlichen Schottland 
fortgeschritten ist, die Isobare von 770 mm zwar im Osten noch am gleichen Orte 
geblieben ist, dagegen die von 765 mm in ihrem südlichen Teil sich bis nach Griechen- 


ee 


land zurückgebogen hat und diejenige von 760 mm jetzt durch Oesterreich nach Mittel- 
Italien verläuft. Die Isobaren sind daher im Westen beträchtlich auseinander getreten, 
so dass die Winde in Frankreich und Deutschland schwächer geworden sind; nur im 
Alpengebiet sind sie noch stürmisch geblieben, da dort durch die bedeutende Annäherung 
der nahe von West nach Ost verlaufenden Isobaren von 755 und 750 mm ein starker 
Druckgradient von Süd nach Nord besteht. In der Schweiz ist darnach seit dem Vor- 
tage das Barometer um 11—12 mm gefallen. 

Nach unserer synoptischen Karte von 7" a. des 3. Februar hat die Nacht vom 
2. auf den 3. Februar an diesem schon im Laufe des 2. erfolgten Fallen des Barometers 
sich im Nordwesten nur noch mit ungefähr 4—6 mm beteiligt, im Südosten dagegen 
mit 5—7 mm. Die lokalen Minima um den Vierwaldstätter- und beim Wallensee haben 
sich bedeutend vertieft, nämlich um 7 resp. 6 mm, und im Tessin ist stellenweise das 
Barometer bis um 5 mm gefallen, am Südabhang des Hochgebirges aber nur um etwa 
6 mm, so dass sich der Druckgradient über das Gebirge herüber gegen den Vorabend 
eher noch etwas verstärkt hat, und so sehen wir denn am Morgen des 3. Januar die 
südlichen Winde im Föhngebiet noch in ungeschwächter Sturmstärke fortdauern. 
Bemerkenswert ist aber, dass der Sturm auf dem Säntis und Rigi von der mehr süd- 
lichen Richtung des Vorabends wieder nach Südwest sich gewendet hat. In den Thälern 
herrscht durchweg noch starker Föhn und die Isothermen im Niveau von 500 m zeigen 
noch ganz dieselbe besondere Verteilung der Wärme, wie wir sie für den Vorabend 
geschildert haben, am Gotthard und im westlichen St. Gallen drängen sich dieselben 
sogar noch mehr aneinander und die Temperaturen schwanken innerhalb der Schweiz 
noch um volle 15°. Die Bewölkung hat sich nicht wesentlich verändert, dagegen haben 
die Niederschläge zugenommen, indem es ausser in Genf auch in Lausanne, Platta, 
Göschenen, Gurtnellen und Lugano mehr oder minder stark regnet, ferner auf dem 
Chaumont, Gotthard, Bernhardin und Julier, sowie in Andermatt, Airolo, Faido, S. Vittore, 
Castasegna und Rivera Bironico schneit. 

Dies deutet bereits auf das nahe Ende des Föhns hin, das denn auch durch eine 
totale Aenderung der Luftdruckverteilung bis um 1"! p. des 3. Februar zu diesem 
Termin bereits eingetreten ist. Unsere synoptische Karte von 1"p. zeigt zwar noch tiefe 
lokale Druckminima um den Vierwaldstättersee und beim Wallensee und ein ebensolches 
am Nordende der Schweiz, indem aber im Südosten eine Druckverminderung von 4 mm 
eingetreten ist, haben die Druckgradienten überall abgenommen und nur vom Engadin 
nach dem Glarnerland hin beträgt die Druckdifferenz auf kürzere Strecke noch 6 mm. 
Die unregelmässige Druckverteilung lässt indessen auch da keine stürmischen Föhnwinde 
mehr zur Geltung kommen. Immerhin macht sich im Davos, Prättigau, mittleren und 
unteren Rheinthal bis zum Bodensee herunter die erwärmende Wirkung der südlichen 
Winde durch hohe Temperaturen und dadurch geltend, dass da noch keine Nieder- 
schläge eingetreten sind, während es sonst auf fast allen Stationen der Schweiz regnet 
oder schneit. 


er, Mae 


Dieser gewöhnliche Ausgang des Föhns vollzieht sich nun ganz bis 9° p. des 
3. Februar, zu welchem Termin, wie unsere betreffende synoptische Karte zeigt, nur 
noch Druckdifferenzen von 2—3 mm innerhalb der Schweiz vorkommen und entsprechend 
durchweg nur schwache südwestliche bis nordwestliche Winde wehen. Der Himmel ist 
ohne Ausnahme auf allen Stationen bedeckt, auch regnet oder schneit es überall, ausser 
im mittleren Rhein- und Rhonethal. Die Temperaturen im Niveau von 500 m variieren 
in der ganzen Schweiz nur noch um 5° gegen 19°” am gleichen Termin des Vortages. 
Im Wolkenzug zeigen sich auch an diesem Tage keine erheblichen Aenderungen; es 
tritt nur gegen Abend im Osten der Süd gegen West- und Nordwestwind zurück. 
Auffallend ist bei diesem Föhn der beständige nordöstliche Wolkenzug in Schaffhausen 
und ebenso das Vorherrschen nördlicher Winde in der Tiefe, während Lohn auch bei 
nördlichen Winden in der Tiefe durchweg südwestlichen Wolkenzug aufweist. 

Zum Vergleich mit der Tabelle des Vortages gebe ich nachstehend in gleicher 
Anordnung und Ausdehnung eine entsprechende der Temperaturen und Feuchtigkeiten 
im Föhngebiet für diesen Tag: 


1855 Temperatur Feuchtigkeit 

3. Februar 7h Ih gh 7h ih gh 
Rigi-Kulm 10:6 229 —0°,7 55% 100% 100°/o 
Davos-Platz 9,5 11,4 2,5 60 62 99 
Wiesen 92 10,1 3 62 70 100 
Platta 6,8 4,0 2,6 69 96 100 
Gäbris 10,1 6.5 0,9 16? 50? 100 
Beatenberg s,1 5,3 1,5 59 87 100 
Wildhaus 11,8 9,0 6,4 — — — 
Guttannen De: 5,6 2.2 74 91 100 
Sepey 91 4,2 la! 46 99 100 
Engelberg 12,0 Zoll 2,8 32 67 100 
Chateau d’Oex 6,1 55 ie 49 71 95 
Elm 10,5 3,3 2,0 483 60 97 
Einsiedeln 54 6,1 3,6 58 s0 90 
Trogen 428 S,5 2,1 59 89 100 
Gurtnellen 9,0 15 3,0 62 S6 96 
St. Gallen 12,9 8,5 112) 36 75 95 
Linthal 12,4 8,0 1,2 40 92 100 
Ebnat 11,3 0,4 1,4 — — — 
Wald 3,9 Te 155 76 76 96 
Sargans 6,0 13,0 4,0 39 59 40 
Glarus 13,3 8,7 1,6 38 69 96 
Altstätten 11,0 9,7 2,4 47 62 100 


ee 


1585 Temperatur Feuchtigkeit 

3. Februar zu 1b Hh zu 1h gh 
Rorschach 12,6 11,4 2,1 — _ — 
Altorf 12,8 10,4 3,4 38 57 90 
Gersau 14,7 8,9 31 39 55 89 
Wallenstadt Bun 9,7 4,7 _ — — 
Linthkolonie 10,5 7,9 3,0 91 97 99 
Aigle 12,8 6,2 3,1 35 71 55 


Nur in Sargans und Aigle bleibt also um 9" p. die Feuchtigkeit noch erheblich 
unter 90 °/o. 

Auch bei diesem Föhn ergiebt sich wieder sowohl im Linthal als im Reussthal, 
dass derselbe zuerst am obern Thalschluss eintritt und sich von dort allmählich thal- 
abwärts gegen die Oeffnung fortpflanzt, und ebenso zeigen die folgenden Zusammen- 
stellungen der barometrischen Differenzen der höher oben und tiefer unten im Thal 
gelegenen Stationen, dass die Differenz der unteren gegen die obere Station, dieselbe 
als positiv vorausgesetzt, beim Eintritt des Föhns abnimmt, resp. negativ wird und 
zwar stärker, wenn er bereits an beiden Orten sich manifestiert: 


1885 30. Januar 31. Januar 1. Februar 2. Februar 3. Februar 
7 1 9 7 1 9 7 l 9 7 1 9 M 1 9 
mm 
Glarus— Elm +1,11 —0,5 —2,7 —2,8 —1,0 —0,5 +0,2 —1,4 41,0 +0,85 —1,8 —1,0 —2,9 +1,2 +2,0 


„ —Linthal +0,92 —0,2 —2,1 —0,9 —1,1 —0,4 —0,2 —1,0 +0,1 +0,6 —1,6 —2,1 —1,3 +0,4 43,1 
Altorf—Gurtnellen —0,4 —1,2 —2,6 —1,8 —2,0 —2,3 —2,2 —1,3 — 0,2 —0,1—1,9 —0,8 —3,2 —0,3 +1,0 


Hier stellen auch cursiv gesetzte Barometerdifferenzen den Eintritt des Föhns erst 
am obern Ort und halbfett gesetzte Barometerdifferenzen solche dar, wo derselbe be- 
reits an beiden Orten aufgetreten ist. 


Föhnsturm vom 18. und 19. August 1892. 


Das Bulletin der schweizerischen Centralanstalt von S"a. des 18. August 1592 
weist ein Druckmaximum von 765 mm südöstlich von der Schweiz auf, während sich 
vom Ozean her den Westküsten Europas eine Depression von 755 mm nähert. Infolge 
davon wehen in Frankreich und Ober-Italien südliche bis südöstliche Winde. Diese 
Situation ist der Entwicklung eines Föhns in der Schweiz günstig. 

Unsere synoptische Karte von 7" a. des 18. August spricht auch hiefür, indem 
sie im Tessin eine Isobare von 723 mm und innerhalb derselben Barometerstände von 
723,6 mm aufweist, während in der Centralschweiz ein lokales Druckminimum von 


r 


720 mm mit einem Barometerstand von 719,7 mm in Gersau besteht, also eine Druck- 


— 49 — 


differenz über den Gotthard hinüber von nahe 4 mm. Eine solche würde nach dem 
bisherigen im Winter und Frühjahr nicht zur Erzeugung eines Föhns genügen, doch 
scheint ein Föhn im Sommer schon bei geringern Druckdifferenzen einzutreten. Um 
7% a. stürmt es nämlich auf dem Säntis bereits aus Südwest, bei 26°,S auf 500 m redu- 
zierter Temperatur und bei 41°/o Feuchtigkeit, Sargans meldet Eintritt des Föhns bei 
allerdings erst mässigem Südost, 21°,2 und 59°, in Guttannen aber haben wir bei 
frischem Südost bereits 29°,0 und 30 °/o Feuchtigkeit, während in Meyringen bei schwachem 
Süd die Temperatur erst 18°,8 erreicht hat und die Feuchtigkeit noch 78°/o beträgt. 
Der mässige Südost auf dem Monte Generoso mit 41°/o und der mässige Süd auf dem 
Rigi mit 42°/ weisen auch auf den bevorstehenden Eintritt des Föhns hin. Der Himmel 
ist in der ganzen Schweiz, wie übrigens schon am Vortage, wolkenlos und die Tempe- 
raturen sind infolge des anhaltend schönen Wetters der letzten Tage überall hoch — 
Minimum 16°,5 in Böttstein und Campro Vasco, Maximum 29° in Guttannen und Gäbris. 

In dem Zwischenraum von 7"a. bis 1" p. melden nun weiter den Eintritt des 
Föhns: Grächen als Südsturm von 8'/e" bis 10% a., Meyringen als heftigen Ost (gemäss 
der Thalrichtung) um 10° a., Auen und Glarus als mässigen Süd, Elm als mässigen 
Südost je um IR p. 

Die synoptische Karte um 1”p. des 18. August zeigt eine allgemeine Druckver- 
minderung, nämlich im Jura und der Centralschweiz um 3 mm, im Tessin um 2 mm, 
so dass jetzt die Druckdifferenz über den Gotthard auf 5 mm gestiegen ist. Diese ist 
genügend, um auf dem St. Bernhard und Pilatus stürmische Südwestwinde, auf dem 
Säntis stürmischen Südsüdwest zu bewirken und überall in den Thälern des Föhngebiets den 
Föhn mit seinen charakteristischen Eigenschaften zu entwickeln. Wir begegnen aber 
um 1" p. nicht bloss im Föhngebiet, sondern auch in der übrigen Schweiz imfolge des 
heiteren Himmels ungewöhnlich hohen Temperaturen und geringen Feuchtigkeiten, die 
im Föhngebiet die obern Grenzen 35°,9 und 15°/o, ausserhalb als untere nur 27° und 
82°/o erreichen, wenn wir zwei Angaben von 90°/o in Gurtnellen und Muri als offenbar 
unrichtig ausschliessen. 

Obschon unsere synoptische Karte von 9% p. des 18. August bei einer weiteren 
ziemlich gleichmässigen Verminderung des Drucks um 2 mm von Schaffhausen bis 
Bellinzona auch nur eine Druckdifferenz von 5 mm aufweist und die Isobaren um den 
Gotthard sich weniger drängen, halten die starken südlichen Winde mit Föhnerscheinungen 
fast überall ungeschwächt an und v.rbreiten sich stossweise auch weiterhin. So meldet 
Gersau von 3\/e—5t p., Luzern von 5—7! p. starken Föhn, in Brünig wird der Eintritt 
stürmischen Föhns von 2! p. an angegeben, in Schwyz am Abend. Die Isothermen drängen 
sich bei diesem Termin noch mehr als um 1" um das Föhngebiet, da in diesem die 
Temperaturen seit Mittag nur um etwa 5° (das Maximum beträgt noch 30°,0), ausser- 
halb desselben aber um mehr als 7° (das Minimum ist 19°,3) gefallen sind. Der Himmel 
bleibt nach wie vor durchweg heiter und zwar auch im Tessin, wo die Feuchtigkeit 
bei nahe gleichen Temperaturen wie im Norden, nämlich von 20—24° mit Ausnahme 


rn 
Ä 


— 90 — 


von Faido eher geringer als in der nördlichen Schweiz ausserhalb des Föhngebiets ist. 
Den ganzen Tag über herrschen dort in Lugano und auf dem Monte Generoso südöst- 
liche, in Faido westliche, in San Vittore östliche, in Locarno westliche bis südliche 
Winde, in Bellinzona aber bald Nord bald Süd und zwar in der Tiefe nur schwache, 
auf dem Monte Generoso frische Winde. Das Verhalten der Feuchtigkeit im Tessin ist 
also von dem bei den bisher betrachteten Föhnen abweichend. Der Wolkenzug ist 
wieder im nördlichen Teil der Schweiz von West bis Südwest, um den Gotthard und in 
Bünden Süd, nur in Andermatt Nord, im Engadin SW. 


Die Temperaturen und Feuchtigkeiten im Föhngebiet ergeben sich für diesen Tag 
des Nähern aus der folgenden Zusammenstellung: 


1892 Temperatur Feuchtigkeit 
18. August yo a 9h 7a 1h 9h 
Siders 20°,1 Sl 280,3 68% 29% 35°/0 
Beatenberg 24,9 30,9 25,9 59 58 35 
Guttannen 29,0 33,8 28,4 3) 28 37 
Meyringen 18,3 30,7 28,2 78 37 _ 
Brünig 23,6 31,0 29,1 67 56 30 
Göschenen 25,0 33,8 27,8 43 75 36 
Altorf 19,2 33,6 29,2 68 22 26 
Gersau 1 26,2 25,8 79 64 43 
Schwyz 20,4 29,2 26,8 65 55 100? 
Luzern 19,0 29,1 25,8 73 39 18 
Pilatus 26,6 31,2 26,6 46 28 41 
Rigi 26,7 30,1 26,3 42 38 7 
Engelberg 20,1 Bo 27,8 60 236 2 
Platta 20,5 31,5 26,1 62 26 37 
Auen 21,2 33,2 26,7 50 23 3 
Elm 22,2 Son! 28,0 51 23 26 
Glarus 17,4 32,8 28,5 75 41 37 
Schuls 21,1 34,3 26,6 58 28 32 
* Arosa 27,5 32,1 26,4 20 11 26 
Chur 20,8 Sl 24,0 58 21 46 
Sargans 21,2 35,9 29,8 59 15 32 
Wildhaus 26,6 33,4 27,6 
Säntis 26,8 29,8 25,5 41 39 42 
Altstätten 21,4 32,0 30,0 63 33 26 
Heiden 27,2 34,9 28,8 29 15 18 
St. Gallen 22,8 30,5 29,8 60 52 42 
Zürich 21,4 31,0 26,4 75 37 25 


Die Stationen, wo nur um Mittag besonders hohe Temperaturen und niedrige 
Feuchtigkeiten notiert waren, sind hier weggelassen, da bloss der tägliche Gang diese 
Wirkung gehabt haben könnte. 

Der Wetterbericht der Centralanstalt vom Morgen des 19. August zeigt, dass 
sich die Depression seit dem Vortage ausgebreitet hat und mit ihrem Centrum bis nach 
Holland vorgerückt ist. Infolge davon ist das Barometer da und auch im Osten überall 
um 5 mm gefallen; immer aber herrscht höherer Druck, über 760 mm, noch südöstlich 
von der Schweiz. In Frankreich haben sich Gewitterregen eingestellt. Die Winde sind 
durchweg schwach. 

Die Isobaren unserer synoptischen Karte für 7" a. des 19. August weisen ohne 
erhebliche Aenderungen in ihrem Betrag einen der Föhnbildung günstigeren Verlauf, als 
am Vorabend auf, indem das lokale Druckminimum am Vierwaldstättersee sich zu 
715 mm vertieft hat und die Isobare von 717 mm durch eine solche von 716 mm ersetzt 
ist, so dass die barometrische Differenz von 5 mm jetzt schon zwischen Gersau und 
Bellinzona besteht. Die starken südlichen Winde mit begleitenden Föhnerscheinungen, 
hohen Temperaturen und geringen Feuchtiskeiten, halten daher noch an, doch hat die 
Feuchtigkeit überall und besonders im Tessin zugenommen und ‘in der Nacht ist in 
Locarno, Campro Vasco, Guttannen, Meyringen und Andermatt durchweg unter Gewitter- 
erscheinungen etwas Regen gefallen. Um 7®a. ist aber der Himmel überall wieder hell. 
Obschon der Unterschied zwischen der höchsten und niedrigsten reducierten Temperatur 
innerhalb der Schweiz noch 9°,9 (27°,4—17°,5) beträgt, so erscheinen doch die Iso- 
thermen verhältnismässig viel weniger um das Föhngebiet gedrängt, als am Vorabend. 

Unsere synoptische Karte für 1’p. des 19. August zeigt vom Tessin über den 
Gotthard zur Centralschweiz keine wesentliche Veränderung im Verlauf der Isobaren, 
indem entsprechend dem allgemeinen Fallen des Barometers um 1 mm seit 7"a. der 
Druckgradient da derselbe geblieben ist; nur im Nordwesten und im mittleren und 
unteren Rhonethal!) ist lokal noch eine weitere Druckabnahme um 1 mm erfolgt. Die 
südlichen Winde haben daher im allgemeinen an Stärke gewonnen und der Föhn seine 
Herrschaft verstärkt und ausgedehnt. Nur in einem schmalen Streifen vom Genfersee 
längs des Jura bis zum Rhein hinauf und zum Vierwaldstättersee hin und sodann im 
Tessin hinauf bis Andermatt und in Graubünden bis Thusis hin haben wir noch Tem- 
peraturen unter 30° (Minimum 26°,3 in Montreux), im Föhngebiet steigen sie bis 33%,4 (in 
Martigny). Die Variation beträgt also jetzt nur 7°, was ein weiteres Auseinandertreten 
der Isothermen bedingt hat. 

Der Himmel ist mit Ausnahme des Südostens, wo teilweise Bedeckung eingetreten 
ist, noch überall hell. Vorübergehende Gewitterregen um 1®p. herum werden von Altorf, 
Gurtnellen und Lugano gemeldet. 


!) Vorausgesetzt, dass die Barometer-Angabe in Siders richtig und die in Sitten und Martigny je 
um 5 mm zu hoch seien. 3 


ee 

Von 1"p. zu 9"p. des 19. August ist nach unseren synoptischen Karten eine be- 
deutende Veränderung in der Verteilung des Luftdrucks erfolgt. Im äussersten Nord- 
westen der Schweiz ist der Druck um 4 mm gestiegen, so dass jetzt da eine Isobare 
von 718 mm verläuft vis-A-vis einer solchen von gleichem Betrag im östlichen Wallis 
und westlichen Tessin. Dazwischen erniedrigt sich der Druck zu drei lokalen Minima 
von je 715 mm, nämlich ein solches im mittleren Wallis um Sitten, ein zweites um den 
Vierwaldstättersee, ein drittes in St. Gallen, dem nördlichen Thurgau und Zürich. Diese 
Druckverteilung hat lokale stürmische Winde verschiedener Richtung, besonders aber 
westlicher und nördlicher im Jura und Flachland der Schweiz zur Folge, wo denn auch die 
stärkste Abkühlung, nämlich bis 19° erfolgt ist, während im Föhngebiet trotz des all- 
mählichen Rückgangs des Föhns sich noch an vielen Stationen, namentlich der äusseren 
Teile, hohe Temperaturen (bis 29° in Rorschach) mit geringen Feuchtigkeiten erhalten 
haben. Trotz vermehrter Feuchtigkeit im Westen der Schweiz und besonders im obern 
Thal des Tessin ist der Himmel doch noch fast überall heiter. Niederschläge sind nur 
in Basel, Genf, Locarno und Lugano erfolgt, durchweg in Begleit von Gewittern, die 
in der folgenden Nacht an vielen andern Orten auftreten. Eine Aenderung im Wolken- 
zug ist nur in Andermatt eingetreten, wo ein Umschlag von Nord nach West statt- 
gefunden hat. Campro Vasco giebt Wolkenzug aus Nord an. 

Zur bessern Orientierung stelle ich wieder die Temperaturen und Feuchtigkeiten 
aus dem Föhngebiet für diesen Tag zusammen; 


1892 Temperatur Feuchtigkeit 

19. August 7h ıh yh 7h a1 9h 
Siders 220,1 31,0 DO. 51%% 86% 41%0 
Beatenberg 283,9 31,5 119)5) 57 34 65 
Guttannen 25,1 29,9 25,8 51 45 46 
Meyringen 26,4 30,0 26,2 
Brünig 26,2 30,6 26,1 45 32 37 
Göschenen 23,5 26,4 23,6 93? 39 52 
Altorf 25,4 30,2 26,6 40 42 30 
Gersau Zap 29,9 27,2 60 25 26 
Schwyz 26,2 31,0 26,8 84 28 98 
Luzern 20,7 28,7 23,6 67 27 24 
Pilatus 23,4 29,0 24,0 52 36 40 
Rigi 23,3 at 23,9 57 43 53 
Engelberg 25,9 30,3 25,1 36 2a al 
Platta 20,1 27,9 23,8 76 37 45 
Auen 23,8 30,2 23,1 43 28 35 
Elm 25,6 30,3 24,8 38 27 33 


Glarus 22, 31,0 26,7 62 35 35 


—- 535 — 


1592 Temperatur Feuchtigkeit 

19. August 7a iR gh 7 1h gb 
Chur 21°,6 30°,5 22,6 50% 24% 45%/0 
Sargans 23,0 - 32,4 25,7 54 30 40 
Säntis 23,2 26,9 21,8 b5) 38 ol 
Altstätten 26,9 32,9 26,9 By/ 19 29 
Heiden 27,4 32,2 26,8 23 15 19 
St. Gallen 23,7 31,3 26,0 95 14 28 
Frauenfeld 22,5 al) 21,5 66 33 50 
Zürich 20,0 31,8 22,7 72 24 36 
Winterthur 20,8 30,4 26,6 66 33 29 


Nach dieser Tabelle könnte es scheinen, dass für den folgenden Tag ein Auffrischen 
des Föhns und seiner Wirkungen hätte eintreten sollen; indessen stieg über Nacht das 
Barometer allgemein um 3—4 mm, jede Spur von Föhn war um 7"a. des 20. August 
verwischt und an vielen Orten der Schweiz traten bei bedecktem Himmel Niederschläge 
mit und ohne Gewitter ein. 

Fassen wir das über diesen Sommerföhn Mitgeteilte zusammen, so gilt auch für 
ihn, was wir über die Veranlassung zum Föhn früher gefunden haben, er zeigt dieselben 
charakteristischen Rigenschaften stürmischer Winde, abnorm hoher Temperaturen und 
grosser Trockenheit in den nördlichen Alpenthälern, dagegen finden wir als Begleit- 
erscheinungen nicht relativ so niedrige Temperaturen und hohe Feuchtigkeiten der Luft 
sowie starke Niederschläge auf der Südseite der Alpen. Ueberhaupt manifestiert sich 
der Föhn, wie auch andere Sommerföhne zeigen, weniger intensiv in dieser Jahreszeit 
und dauert, wie der vorstehende, nur kürzere Zeit an. Es scheint, dass gerade dieses 
rasche Vorübergehen des Föhns auf der Südseite nicht einen starken, aufsteigenden 
Luftstrom hat zu Stande kommen lassen, . welcher durch Abkühlung eine Zunahme der 
relativen Feuchtigkeit und Wolkenbildung zur Folge gehabt hätte. Hiezu mag aller- 
dings auch die grössere Trockenheit der Luft in der Lombardischen Ebene zu dieser 
Jahreszeit beigetragen haben. Dass aber auch dieser Föhn durch einen die Alpen von 
Südost nach Nordwest überwehenden, mit einer Cyclone im Nordwesten in Zusammen- 
hang stehenden Wind bedingt wird, beweist der während beider Tage auf dem frei- 
gelegenen Monte Generoso beständig herrschende Südost und die durch die Isobaren 
auch in diesem Fall deutlich charakterisierte Stauung der Luft auf der Südseite der 
Alpen. Beim Beginn des Föhns finden wir um 7"a. des 18. August auch wieder die 
weitaus höchsten Temperaturen auf den Bergspitzen und Alpenpässen: Chaumont, 
Weissenstein, Pilatus, Rigi, Säntis, Gäbris, St. Bernhard, Bernhardin, Julier, Monte 
Generoso. Endlich bemerken wir auch bei diesem Föhn das früher erörterte Verhalten 
der Barometerdifferenzen zwischen höheren und niedrigeren Stationen im gleichen Thal 
bestätigt wie nachstehende Tabelle zeigt: 


1592 IS. August 19. August 
zu ih oh zu ıh gh 
inm 
Glarus— Elm +0,8 —1,0 —0,6 0,0 —0,3 0,8 
Glarus— Auen (05) — 0,8 —1,) — O1 — 0,6 —0,7 
Altorf—Göschenen +0,4 — 1,9 — 0,4 — 03 — 0,6 0,6 


Föhnsturm vom 28. Oktober bis 1. November 1892. 


Am Morgen des 27. Oktober 1892 herrschte gemäss dem Wetterbulletin der 
schweiz. meteorologischen Centralanstalt nach vorangegangenem Regen in Central- und 
Ost-Europa unter Aufheiterung des Himmels hoher Druck, die Isobare von 765 mm 
geht an der Nordwestgrenze der Schweiz hin und diejenige von 760 mm geht von 
Dänemark durch die Mitte von Frankreich herunter. Den Westküsten Europas nähert 
sich aber vom Ocean her eine neue Depression von bereits 740 mm Druck in Irland. 
Diese Wettersituation accentuiert sich im Laufe des Tages, so dass am Morgen des 
28. Oktober bei nahe gleich gebliebenem hohem Druck im Osten und Verstärkung der 
Depression über den britischen Inseln zwischen Schottland (735 mm) und Budapest 
(770 mm) eine Druckdifferenz von 35 mm besteht. Es wehen daher an den Westküsten 
Europas, über Frankreich und Deutschland starke bis stürmische südliche Winde bei 
vorherrschend heiterem Himmel. An der Nordwestgrenze der Schweiz geht zur Zeit 
die Isobare von 760 mm vorbei. 


Betrachten wir jetzt unsere synoptischen Karten für 7®a., 1" und 9" p. des 
28. Oktober, so wird man sich beim Vergleich mit denen der bisher untersuchten 
Föhnstürme unmittelbar sagen, dass die Isobaren vom Morgen an die für eine Föhner- 
scheinung charakteristische Druckverteilung repräsentieren. Schon um 7" a. zeigen sich 
lokale Druckminima auf der Nordseite der Alpen und die Druckdifferenz zwischen dem 
Tessin und der Centralschweiz über den Gotthard hin beträgt bereits 7” mm. In der 
That finden wir dem beginnenden Föhn entsprechend resp. als Vorläufer desselben relativ 
hohe Temperaturen und geringe Feuchtigkeiten auf den Höhen des Chaumont, Weissen- 
stein, Pilatus, Rigi, Säntis, Gäbris, Churwalden, Arosa. Während in den Niederungen 
reduzierte Temperaturen von 0—5° vorkommen, treffen wir dort solche von 10—14° 
und Feuchtigkeiten von 35—67°/o, in der Tiefe aber durchweg 90—100°. In einigen 
höher gelegenen Alpenthälern ist auch bereits um 7" a. Föhn eingetreten, so in Platta 
und Gurtnellen. Bei nicht erheblicher Aenderung der Luftdruckverteilung entwickelt 
sich der Föhn im Laufe des Tages immer mehr, wie aus folgender Zusammenstellung 
der Temperatur- und Feuchtigkeitsverhältnisse im Föhngebiet resultiert. 


1892 Temperatur Feuchtigkeit 

28. Oktober zu 1h 9h zu tl 9h 
Platta 86 110 112 59%/ 50%. 50% 
Beatenberg 9,0 14,8 10,4 68 55 52 
Guttannen 82 13,9 13,2 75 40 43 
Engelberg 3,6 13,9 6,0 s1 47 s0 
Brünig 5,9 13,6 14,7 s0 Hz 96 
Elm 4,5 16,7 11,9 73 23 35 
Auen 5,0 14,4 11,3 79 46 45 
Heiden 3,4 15,5 14,4 s0 32 22 
Gurtnellen 13,2 15,4 14,6 44 39 44 
Chur 6,5 16,5 92 63 34 54 
Meyringen 2,6 8 8,5 100 70 71 
Schwyz 2,2 11,2 13,4 100 s0 44 
Sitten 5,6 16,6 8,8 79 40 66 
Sargans 34D 15,5 13,2 95 43 45 
Altstätten hl 6,0 11,6 96 9 45 
Altorf 3,8 16,9 14,7 95 40 37 
Territet 4,7 8,7 16,1 96 96 36 
Montreux 4,4 8,9 14,5 92 54 36 
Glarus 1,9 10,5 6,0 96 B) 37 
Gersau 4,9 9,3 8,7 94 sl 54 


Wir ersehen hieraus, dass sich der Föhn bis 1" p. bereits in Beatenberg, Guttannen, 
Brünig, Elm, Heiden, Altorf und Sargans (hier schon seit 9" a.) und bis um 9" p. dann 
auch in Meyringen, Schwyz, Altstätten und Territet-Montreux eingestellt hatte, dagegen 
in Engelberg, Chur, Auen, Glarus und Sitten noch nicht, wo die höhere Temperatur und 
geringe Feuchtigkeit um Mittag bloss dem täglichen Gang beizumessen ist, was auch 
die Richtung und Stärke des an diesen Orten beobachteten Windes bestätigt. Der 
Wolkenzug ist W bis SW und nur in Davos und Bellinzona S bis SE. 


Der Himmel ist auf der ganzen Nordseite der Alpen hell und, wo er am Morgen 
noch bewölkt war, hat er sich wenigstens bis zum Abend durchweg aufgeheitert. Da- 
gegen ist er im Tessin bis zu den Alpenpässen herauf bewölkt oder ganz bedeckt, die 
Luft feucht und am Vormittag regnet es in Locarno und Bellinzona. 

Vom 28. auf den 29. Januar zeigt das Bulletin der Centralanstalt für S" a. nur 
unbedeutende Veränderungen der Luftdruckverteilung über Europa. Die Depression über 
den britischen Inseln hat sich etwas nach Osten ausgebreitet, so dass das Barometer 
im Norden und Westen der Schweiz ein wenig gefallen ist, während sich der hohe 
Luftdruck im Südosten fast unverändert erhalten hat. In Oberitalien haben wir daher 
östliche bis südöstliche Winde. 


Unsere synoptische Karte für 7" a. des 29. Januar ist von der des Vorabends 
nur dadurch unterschieden, dass der Luftdruck überall um ungefähr 1 mm abgenommen 
hat, die Verteilung desselben ist nahe dieselbe geblieben und damit auch die Richtung 
und Stärke der Winde sowie die Manifestation des Föhns. 

Bis um 1° p. des 29. Januar sodann ist nur insofern eine Veränderung einge- 
treten, als im Kanton Glarus und im unteren Rheinthal lokale Minima sich entwickelt 
haben und damit dort jetzt auch der Föhn eingetreten ist und zwar in Glarus bereits 
von 10" a. an. 

Ein allgemeines Fallen des Barometers bis um 9" p. des 29. Januar und zwar 
um 2 mm im Nordwesten und I mm im Südosten hat eine Verstärkung des Luftdruck- 
gradienten namentlich vom Tessin zur Centralschweiz zur Folge gehabt, so dass zum 
Abend eine Zunahme und Ausbreitung des Föhns im ganzen mittleren und östlichen 
Föhngebiet eingetreten ist. Dies erhellt ausser durch die Angaben des Windes in unsern 
synoptischen Karten aus der nachstehenden Zusammenstellung der Temperatur- und 
Feuchtigkeitsverhältnisse im Föhngebiet: 


1892 Temperatur Feuchtigkeit 

29. Oktober 7h 1h 9h yi 1h 9h 
Beatenberg 119,8 140,8 15°,6 52%) 59%  51%/o 
Öber-Yberg 7.2 163 17,6 66 56 44 
Wildhaus 12,7 18,5 15) 
Guttannen 14,2 16,5 16,5 33 43 51 
Engelberg 5,9 13,4 17,6 69 58 37 
Brünig 15,5 17,8 18,3 56 56 48 
Elm 14,9 18,3 et 37 31 34 
Auen 10,7 19,6 18,8 51 35 36 
Heiden 15,4 20,4 18,0 24 17 25 
Gurtnellen 15,4 16,7 17,4 48 48 50 
Chur 82 18,3 12,7 63 37 61 
Meyringen 15,7 18,3 17,0 85 41 57 
Thun Da. 10 14,7 93 79 55 
Schwyz 13,8 16,3 18,0 s0 59 76 
Sitten 7,8 17,0 12,0 70 51 76 
Sargans 11,3 19,4 15,8 51 39 5 
Glarus 4,7 20,1 19,7 54 3 40 
Altstätten 15,6 20,2 18,6 35 al 32 
Altorf 15,5 16,5 18,9 40 50 37 
Gersau 7,9 15,1 19,1 s3 67 36 
Territet 14,9 12,5 16,7 40 32 48 
Montreux 13,9 12,5 17,4 37 67 36 


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In Gersau ist also erst auf den Abend der Föhn zur Geltung gelangt. 

Der Wolkenzug ist auch an diesem Tage vorherrschend W bis SW und nur in 
Davos und Göschenen Süd; auf dem Julier Nord (?). 

Im Laufe des 29. Oktober nimmt die Bewölkung in der ganzen Schweiz zu, ausser- 
halb des Föhngebiets auch die Feuchtigkeit der Luft, doch treten erst abends Nieder- 
schläge allgemein auf der Südseite der Alpen und vereinzelt auch im Nordwesten, Basel 
und Bern, auf. 

Nach dem Wetter-Bulletin der Centralanstalt vom 30. Oktober S"a. ist die 
Luftdruck-Verteilung in der Nähe der Schweiz, abgesehen von einem leichten allge- 
meinen Fallen des Barometers ziemlich unverändert, während sich die Depression im 
Norden unter Vorrücken ihres Centrums nach Norwegen abgeschwächt hat und demzufolge 
in Frankreich und Deutschland nur schwache Winde wehen. In der Nähe von Spanien 
zeigt sich ein neues schwaches Minimum. 

Auch unsere synoptische Karte von 7" a. des 30. Oktober ergiebt gegenüber 
dem Vorabend nur ein allgemeines Fallen des Barometers um 1 mm ohne wesentliche 
Aenderung der Luftdruckverteilung im Innern der Schweiz. Demgemäss sind Richtung 
und Stärke der Winde und die Manifestation des Föhns auch nahe dieselben geblieben 
wie am Vorabend. 

Die Wetterlage bleibt auch bis um 1"p. des 30. Oktober sehr nahe dieselbe, 
indem sich nur im Nordwesten noch ein weiteres schwaches Fallen des Barometers 
nicht ganz um 1 mm geltend gemacht hat. Eine noch geringere Aenderung der Luft- 
druckverteilung findet dann bis um 9" p. des 30. Oktober statt, so dass also den 
ganzen Tag bis zum Abend der Föhn mit unveränderter Stärke andauert. 

Wir haben nördlich der Alpenkette ungewöhnlich hohe Temperaturen besonders 
im Föhngebiet, im letzteren grosse Trockenheit, und der Himmel ist nur teilweise be- 
deckt, während auf der Südseite der Alpen die Temperaturen verhältnismässig niedrig 
erscheinen, die Feuchtigkeit eine hohe und der Himmel ganz bedeckt ist, auch die 
meisten Stationen Niederschläge aufweisen. 

Nachstehend gebe ich auch für diesen Tag eine Zusammenstellung der Tempera- 
turen und Feuchtigkeiten im Föhngebiet: 


1892 Temperatur Feuchtigkeit 

30. Oktober zh 1b 9h 7h 1h 9h 
Pilatus 1339 153 15°,9 BIO INGA EN ESG 
Rigi-Kulm 1ayr/ 16,9 17,4 — 50 53 
Beatenberg 15,8 20,5 19,0 58 52 39 
Göschenen 15,0 ze) 16,5 57 50 52 
Ober-Yberg 18,0 21,0 18,6 43 35 46 
Wildhaus 16,1 20,1 18,1 = _ —_ 
Guttannen 17,6 19,2 18,5 46 47 49 


1892 Temperatur Feuchtigkeit 

30. Oktober 7h 1" gh zu 1h yh 
Engelberg 186 2093 199,4 36%) 40% 39%) 
Brünig 19,0 21,8 19,7 47 45 50 
Elm 18,1 20,5 18,4 34 33 37 
Einsiedeln 12,3 19,6 19,4 78 3 34 
Auen 19,2 21,4 19,8 38 38 38 
Heiden 18,3 21,9 20,4 24 22. 23 
Gurtnellen 17,0 19,8 18,2 53 53 70 
St. Gallen 15,9 21,2 21,0 47 41 Byj 
Haidenhaus 13,6 19,8 16,6 50 55 58 
Chur 14,4 ter] 13,0 59 48 69 
Meyringen 18,7 21,6 20,3 47 40 58 
Siders 11,0 19,6 17,4 78 59 67 
Zermatt 15,5 lan! 12,7 - 
Schwyz 19,0 18,7 21,6 100 ? 607 87? 
Sitten 10,4 20,2 14,4 so 49 66 
Sargans 16,3 20,0 17,4 50 45 32 
Glarus 20,1 22,9 2,2 39 38 76? 
Martigny 12,6 1er) 19,5 39 62 61 
Altstätten 19,2 22,2 19,2 35 3 38 
Rorschach 8,6 14,0 20,8 _ — — 
Luzern 1.) 15,5 19,4 91 57 55 
Altorf 18,7 20,7 20,3 43 40 38 
Gersau 19,8 21,6 ale 35 35 43 
Territet 9,8 19,7 18,9 93 50 46 
Montreux 9,7 18,7 18,7 sl 46 33 


Siders meldet von 1" p. an Eintritt des Föhns, und in Zermatt soll am Vormittag 
heftiger Föhn geweht haben. Es bedarf kaum der Erwähnung, dass die Feuchtigkeiten 
in Schwyz wahrscheinlich infolge unrichtiger Funktion des Psychrometers viel zu hoch 
erscheinen, da von dort fortwährend starker Föhn gemeldet wurde. 

Aus der Zusammenstellung ersehen wir deutlich, dass sich die Wirkungen des 
Föhns bis zum Bodensee hin erstreckten und vom untern Wallis aus bis nach Montreux hin. 

Das Wetterbulletin der Centralanstalt von S" a. des 31. Oktober zeigt in Central- 
Europa fast gar keine Veränderung der Luftdruckverteilung. Das schwache Minimum 
an den Küsten Norwegens und das sekundäre in Spanien bestehen noch fort, ausserdem 
hat sich noch im Kanal ein entsprechendes Teilminimum gebildet. 

Unsere synoptische Karte für die Schweiz von 7® a. des 31. Oktober ist denn 
auch nahezu identisch mit derjenigen des Vorabends; doch ist im Südosten das Baro- 


a Re 


meter um 1 mm gefallen und daher der Druckgradient über die Alpen hin entsprechend 
geschwächt worden. Es erscheinen demzufolge auch die Winde im Allgemeinen und 
besonders im Föhngebiet schwächer, was ein Nachlassen der Föhnwirkungen zur Folge 
hatte. 

Da indessen nach unserer synoptischen Karte von 1" p. des 31. Oktober bis zu 
diesem Termin ein neues Fallen des Barometers um 1 mm im Nordwesten stattfand, 
während im Tessin der Druck derselbe blieb, so hat diese neue Verstärkung des 
Gradienten auch eine erneute Zunahme der Windgeschwindigkeit besonders in der Central- 
Schweiz und damit ein Wiederaufleben des Föhns bewirkt. 

Unsere synoptische Karte für 9" p. des 31. Oktober ist von derjenigen für 1" p. 
nur dadurch verschieden, dass im Nordwesten der Druck stellenweise wieder etwas ge- 
stiegen, im Appenzellerland dagegen etwas gefallen ist und so die Winde sich hier 
verstärkt haben, in der Centralschweiz aber etwas schwächer geworden sind. Wie sich 
der Föhn dazu verhält, ergiebt sich am besten wieder aus der nachstehenden Zusammen- 
stellung der Temperaturen und Feuchtigkeiten im Föhngebiet. 


1892 Temperatur Feuchtigkeit 
31. Oktober 7u jı gh 7h 1h gu 
h Pilatus 159,9 16°,7 14°,7 60% 57%  62°/o 

Rigi-Kulm 17,6 17,4 16,2 53 53 55 
Gähris 18,5 21,5 18,5 

Beatenberg 18,4 21,0 16,2 43 49 47 
Ober-Yberg 19,8 20,9 17,0 34 35 49 
Wildhaus 16,9 21,9 ll - = 
Guttannen 19,2 18,4 17,0 49 47 51 
Engelberg 16,6 19,1 17,4 48 45 43 
Brünig 19,8 20,1 17,7 47 47 Sl 
Elm ala! 20,8 17,9 38 32 35 
Einsiedeln 19,1 21,3 16,9 34 34 50 
Auen 14,6 Al 17,3 57 33 47 
Heiden 20,4 23,0 20,1 21 16 15 
Gurtnellen 19,2 19,0 17,0 93 92 55 
St. Gallen 153 24,1 18,0 54 31 43 
Haidenhaus 15,3 19,6 16,8 56 57 51 
Chur 10,4 20,0 2,7 71 39 65 
Meyringen 20,3 21,5 19,2 72 75 64 
Siders 14,4 20,2 15,4 60 38 67 
Schwyz 13,4 22,0 19,0 96? 59? 1002 
Sitten 13,8 22,0 16,2 65 35 —_ 


Sargans 12,7 22,6 16,6 62 38 50 


— 60 


1592 Temperatur Feuchtigkeit 


31. Oktober zh 1" gh zu 1b 9h 
Glarus 130,7 220,7 192,9 720/ 34%/0 46°/o 
Martigny 15,9 22,3 1585 74 59 83 
Zürich 9,1 19,8 144 53 45 52 
Altstätten 19,2 23,4 20,5 35 26 30 
Rorschach 10,8 16,0 20,4 _ — _ 
Luzern 7,6 20,2 13,9 97 25 54 
Altorf 19,9 21,1 19,0 38 39 41 
Gersau 15,8 21,8 19,1 69 32 39 
Montreux at 15,7 7) 45 54 38 


Der Wolkenzug ist an diesem Tage im allgemeinen ein mehr südlicher geworden. 

Während die vollständige Bedeckung des Himmels und der Regen im Tessin den 
ganzen 31. Oktober fortdauert, hat sich dagegen der Himmel im Norden und Osten 
der Schweiz bis um 7a. dieses Tages aufgeheitert, um Mittag sich wieder mehr be- 
wölkt, bis um 9% p. aber im mittleren Rheinthal und untern Rhonethal sowie in der 
Centralschweiz neuerdings aufgehellt. Ausser im Tessin regnet es zur Zeit dieses 
Termins auch noch in Genf, Grächen und Leuck. 


Nach dem Wetterbulletin der Centralanstalt von S"a. des 1. November hat 
sich die Hauptdepression von der Küste Norwegens am Vortage bis zum weissen Meer 
hin fortgepflanzt und die beiden Minima vom Canal und über Spanien haben sich zu 
einer langgestreckten Depression über Frankreich, den Niederlanden und dem westlichen 
Teil von Deutschland vereinigt. Im Osten und Südosten der Schweiz aber bleibt unter 
geringer Abnahme der höhere Luftdruck noch bestehen. Die Winde sind überall 
schwach, nur im nordwestlichen Frankreich haben sich frische Nordwinde eingestellt. 


rm 


Unsere synoptische Karte von T"a. des 1. November lässt gegenüber dem 
Vorabend eine allgemeine Abnahme des Luftdrucks von 2 mm ohne erhebliche Ver- 
änderung in der Verteilung desselben erkennen und dementsprechend halten auch die 
stürmischen Winde im Föhngebiet nahezu unvermindert an. 


Bis um 1"p. des 1. November tritt weder absolut noch relativ eine merkliche 
Aenderung in den Luftdruck- und Windverhältnissen ein und somit auch nicht in der 
Erscheinung des Föhns. 


Dagegen zeigt unsere synoptische Karte von 9" p. des 1. November eine Zu- 
nahme des Luftdrucks um 2 mm im nordwestlichen Teil der Schweiz und im äussersten 
Süden des Tessins eine Abnahme um denselben Betrag, also eine erhebliche Verminderung 
des Gradienten, die denn auch eine Abschwächung der Winde und des Föhns stellen- 
weise bis zu gänzlichem Aufhören desselben zur Folge hatte, wie des Näheren aus der 
folgenden Tabelle ersichtlich ist. 


il 


1592 Temperatur Feuchtigkeit 

1. November zu 11 gh 7 ih 9h 
Pilatus 140,3 14°,5 ne 70%0 69% 72%0 
Rigi-Kulm 15,4 14,2 12,4 66 69 84 
Gäbris 18,5 1765 14,5 
Beatenberg 15,4 18,7 11112 62 40 67 
Ober-Yberg 17,0 18,5 11,8 50 44 56 
Guttannen 12,8 14,7 15,4 67 55 50 
Engelberg 14,2 15,0 13,6 s0 37 47 
Brünig NER) 18,8 1 52 48 54 
Elm 19,4 16,6 14,8 34 42 40 
Einsiedeln 14,5 18,7 12,1 60 43 70 
Auen 18,3 18,2 15,0 44 37 41 
Gurtnellen 14,0 iv 15,2 79 59 58 
Heiden 18,5 19,2 16,0 24 24 24 
St. Gallen 20,4 20,2 13,9 32 3 64 
Haidenhaus 18,6 18,0 14,4 48 62 63 
Chur 15,3 14,7 9,9 55 60 S6 
Meyringen lmlar 19,6 1789 73 73 69 
Siders 13,0 15,4 13,2 so 87 7 
Schwyz . 19,2 19,8 16,4 100 76 98 
Sitten 13,6 17,6 11,6 84 68 78 
Sargans 15,4 16,4 13,6 70 BR) 60 
Glarus 14,5 20,1 16,1 za 40 51 
Martigny 13,8 17755 12,3 18 75 79 
Zürich 14,2 16,8 8,8 56 58 97 
Altstätten 14,4 19,3 17,0 59 42, 34 
Rorschach 19,4 21,2 10,0 — _ — 
Luzern 12,0 17,0 10,1 65 53 17 
Altorf : 18,3 19,2 ale! 43 35 41 
Gersau 20,1 19,1 12,2 3 3 74 
Montreux 16,7 17,8 12,1 44 41 65 


Wir ersehen hieraus, dass bis zum Abend auf Rigi-Kulm und Pilatus, in Beaten- 
berg, Ober-Yberg, Eimsiedeln, Schwyz, Luzern, Gersau, dann auch in Chur, Sargans, 
Rorschach, St. Gallen, Haidenhaus, Zürich, Sitten, Martigny und Montreux der Föhn 
ganz oder nahezu verschwunden ist. In der T'hat meldet Montreux Föhn bloss bis 2" p. 
Gersau bis 7tp., Glarus noch für 1"p., für 9" p., aber nicht mehr. Auf dem Brünig 
wird nur um 7" a. bei stürmischem SSW Föhn angegeben, um 1"p. weht dort 
stürmischer Nordost und um 9"p. schwacher WSW; die Stationen Elm und Siders 
melden noch zu allen drei Terminen Föhn, der am letztern Ort die Richtung von 


BB 


Nordost einhält. Offenbar dauert derselbe um 9"p. auch noch an in Auen, Heiden, 
Altstätten, Gurtnellen, Altorf, Meyringen, Guttannen. 

Am Morgen des 1. November ist der Himmel nirgends hell, ja sogar vorherrschend 
ganz bedeckt, und es regnet fast auf allen Stationen im Süden bis zu den Pässen herauf, 
auch im ÖOberwallis bis herunter nach Siders, in Chur, Andermatt, Göschenen, Gurt- 
nellen, Guttannen, Engelberg, Lausanne und Neuchätel. Bis um Mittag hellt sich der 
Himmel nördlich von der Alpenkette, besonders im Westen, auf und am Abend ist es 
unter dem Einfluss vorherrschender nördlicher Winde da durchweg ganz hell geworden 
und nur im Tessin, Engadin und bei Genf bleibt der Himmel bedeckt. Um 1 Uhr 
regnet oder schneit es auf dem St. Bernhard, Bernhardin und Julier, im Tessin und 
obern Engadin, in Splügen und Elm, 9"p. a. ausser im Tessin und untern Engadin auf 
dem Bernhardin und Chaumont, in Genf und in Sursee. 

Bis zum Morgen des 2. November hat sich nach dem Bulletin der Centralanstalt 
zwar ein neues Minimum vom Ocean her Irland genähert; indem aber ein Teilminimum 
im Ligurischen Meer sich entwickelt und über Spanien und Südfrankreich der Luftdruck 
stark gestiegen ist, sind trotz des im Südosten noch anhaltenden höheren Drucks die 
Bedingungen für den Föhn aufgehoben, der denn auch in der That am Morgen des 
2. November überall verschwunden ist und schwachen westlichen Winden mit Regen 
Platz gemacht hat. Während wir um 9"p. des 1. November zwischen Locarno und 
Gersau noch eine Druckdifferenz von 6,7 mm hatten, beträgt sie um 7"a. des 2. Nov. 
nur noch 0,6 mm. . 

Dieser Herbstföhn schliesst sich also in semem Verhalten vollständig an die be- 
trachteten Frühlingsföhne und den Winterföhn an und dasselbe gilt auch von den 
Barometerdifferenzen höher und tiefer gelegener Stationen im gleichen Thal, wie nach- 
stehende Tabelle zeigt: 


98. Oktober 39. Oktober 30. Oktober 31. Oktober 1. November 
1892 7h 1h 9h 7h 1h 9h 7h ih gh 7h 1h gh 7h 1h gh 
mm 
Glarus— Elm 1,7 10 03 08 -16 -1,9 -1,27 -1,5 -31 -12 -2,4 -1,8 -0,9 -0,7 -0,6 


„ —Auen 11 02 03 05 -0,7 -1,0 -0,9 -1,0 -1,1 -0,3 =1,1 -0,8 -0,2 -0,5 -0,2 
Altorf-Göschenen -0,4 -237 -3,3 -1,0 -2,6 -1,4 -2,1 -2,7 -16 -14 -15 -1,1 -1,5 -2,6 -0,4 


Ehe ich nun zu einer Zusammenfassung der Untersuchungsresultate dieser fünf 
Föhnstürme und des Winterföhns vom 13. Januar 1895, den Herr Billwiller seiner 
Zeit in ähnlicher Weise untersucht hat, übergehe, halte ich es für nötig, an der Hand 
der vorliegenden Daten die Zuverlässigkeit unserer Barometer-Reduktionen auf das 
Niveau von 500 m für höhere Stationen während der Föhne noch näher zu diskutieren 
Beim Ziehen der Isobaren habe ich nördlich und südlich von der Alpenkette allerdings 
die reduzierten Barometerdaten für Hochstationen wie Chaumont, Pilatus, Rigi, Säntis, 


- 9 — 


Monte Generoso, wenn sie erheblich von denen der benachbarten Tiefenstationen ab- 
wichen, als unsicher nicht berücksichtigt, im Gebirge selbst aber war ich zu dem Ende 
doch auf die Daten hochgelegener Stationen angewiesen, und es frägt sich daher, inwie- 
fern da die Reduktionen trotz der bedeutenden Störung des Gleichgewichtszustandes der 
Atmosphäre zur Zeit der Föhnerscheinungen noch zuverlässig seien oder mit andern 
Worten die darnach gezogenen Isobaren, wie sie in unsern synoptischen Karten kom- 
parieren, Gültigkeit haben. Zur Beantwortung dieser Frage habe ich in der nach- 
stehenden Tabelle für die vier letzteren Föhne die Differenzen der auf 500 m reduzierten 
Barometerstände von einer Zahl von Kombinationen hochgelegener und benachbarter 
tieferer Stationen zusammengestellt, wobei das positive Vorzeichen höhere Stände der 
oberen Station bezeichnet. 


Differenzen der auf 500 m Höhe reduzierten Barometerstände für Kombinationen 
benachbarter hoher und niedriger Stationen: 


Chaumont Rigi-Kulm Beatenberg St. Bernhard M. Generoso Uetliberg 
1128 m — 17S7 m — 1150 m — 3478 m — 124m — S7Am — 
Neuchätel Gersau Interlaken Martigny Lugano Zürich 
1872 Termin 488 m 440 m 571 m 4S0 m 275 m 4S0 m 
mm mm mm mm mm mm 
6. März ea.  —1,4 0,5 — 3,4 — 2,3 1,4 —1,5 
Ep 1-06 1,9 — 24 0,3 1,8 15 
sh P- — 2,9 —1,2 — 1,3 0,5 —0,8 
7. März Ü —0,8 21 —2,2 — 0,1 0,6 —0,7 
1 0,4 3,4 —1,7 2,9 0,9 — 0,0 
9 0,5 2,8 5 0,7 1,8 206 
8. März 7 0,0 3,2 —1,3 — 0,9 1,2 0,4 
1 0,4 3,5 —0,8 0,8 1% 0,1 
9 0,4 3,1 2,0 0,9 2,3 Fe 
9. März 7 —0,7 24 a A 2,1 N) 
1 —0,2 39 — 2,0 3 1,6 —0,3 
9 03 2,8 9,4 0,8 1,5 25 
Säntis Säntis 
2467 m — 2467 m — 
idem — Vitznrau — Thun idem Wallenstadt Ebnat 
1885 440 m 565 m 439 m 647 m 
30. Januar A 1,0 0,1 — 1,8 4,5 2,5 2,8 
1 2,3 0,5 —0,6 5,9 4,6 4,3 
1) 5 28 —0,3 6,7 SH 3,6 
31. Januar 7 4,3 2,9 0,9 6,4 2,4 5,5 
1 2,6 2,2 0,4 42 3,2 aut 


9 13 1.7 0,8 3,5 1,6 2,7 


a > 


Chaunont Rigi-Kulm Beatenberg N. Bernhard Süntis Säntis 
1125 m — UST m — 150m — Him— 2167 m — 2167 m — 
Neuchäfel \itznan Thun Nartigny Wallenstadt Khnat 
48 m 40 m 565 m 43) m 4139 m 619 m 
1855 Termin mm mm mm mm mm mın 
1. Februar ua. 2,4 iR 0,1 San 2,6 1,6 
In, 2,2 2,6 — (0,2 3,2 4,1 5,1 
Yon: 2,1 1,4 0,1 2,7 2,4 9,6? 
2. Februar 7 1,3 1,4 0,9 2,4 2,6 14,2? 
1 2,1 1,9 0,7 6,2 4,5 10,4? 
a 24 0,7 8,3 45 0,3? 
3. Februar 7 3,6 4,8 0,3 6,0 6,4 —5,3? 
1 2,5 ie: 42 A ro 
9 aa eg 
N. Generoso Säntis Pilatus 
1610 m — 300 m — 26T m — 
idem — dersau idem idem Lugano Ebnat Luzern 
1592 440 m 275 m 649 m 451 m 
18. August 7 —1,1 — 0 —() 3) 1,0 —1,0 —(,6 — 3,0 
1 —0,1 1,4 0,6 1,4 0,4 tal —0,4 
9 LAW 0,6 0,6 1A es] ; 
19. August 7 2 0,0 — N) ıl 0,1 —1,7 07 —1,4 
I 08 11 1,4608 9803 0 ee 
) — 2,0 —0,2 0,0 1,2 —0,9 0,0 —2,1 
Säntis 
2300 m — 
idem idem idem idem idem Gäbris idem 
1255 m 
28. Oktober 7 —2,1 —2,0 —1,1 3,8 —1,9 ilzil — 9,1 
1 — 1,5 —0,2 0,1 4,9 — 1,0 —(0,2 —1,9 
Dee 0,4 a ee 
29. Oktober 7 —11 0,0 0,2 3,6 —1,3 0,8 —1,0 
ee 0,1 A ei) 
gr en 2,2 1,6 Bene 0,4 14 
30. Oktober 7 0,5 1,4 1,2 6,3 —0,4 0,8 0,2 
it 0,2 1,6 le 7,6 0,0 0,7 0,8 
9 0,0 91 91 8,1 0,1 1,5 1,7 
31. Oktober 7 0,3 1,8 1,4 7,2 —0,2 1,0 1,5 
1 0,5 0,3 17 832 —02 91 2,3 
9 0,5 1,9 1,4 6.85.50, 1,6 1,4 
1. November 7 0,2 2,0 0,8 5,9 2,0 0,9 1,4 
1 0,4 1,2 1,4 Bl 0,0 1,3 0,9 


9 —0,2 — 0,1 0,7 5,1 1,2 — (Nil —0,3 


—- m — 


Aus dieser Tabelle ergiebt sich zunächst in Uebereinstimmung mit dem S. 12 
bereits gezogenen Schluss, dass gemäss dem Vorherrschen der positiven Vorzeichen der 
Differenzen, die Reduktionsgrössen für die hohen Stationen durchweg zu hoch aus- 
gefallen sind. 

Für Kombinationen von Stationen, die beide gar nicht oder in ähnlicher Weise 
vom Föhn beeinflusst erscheinen, wie Chaumont— Neuchätel, Monte Generoso— Lugano, 
Pilatus— Luzern, Uetliberg— Zürich, Beatenberg— Thun, erreichen die Barometerdifferenzen 
selbst für 1600 m Höhendifferenz durchweg keine höhern Werte als +2 mm; bei Rigi- 
Kulm-—Gersau (resp. Vitznau) mit 1300 m Höhendifferenz und Beatenberg—Interlaken 
mit 600 m Höhendifferenz sind die höheren Barometerdifferenzen im März 1872 wahr- 
scheinlich auf fehlerhafte Barometerkorrektionen zurückzuführen; die bedeutenden, bis 
S mm gehenden Barometerdifferenzen der Kombination St. Bernhard—Martigny mit 
2000 m Höhenunterschied dürften zum Teil der lokalen Druckverminderung durch den 
Föhn an der untern Station, zum Teil fehlerhaften Barometerkorrektionen — das 
Jahresmittel für 1892 von Martigny ist um 1,3 mm niedriger als auf dem St. Bernhard 
und die Barometerdifferenzen im März 1872 sind viel kleiner als die vom Januar 1885 
und Oktober 1892, allerdings auch diejenigen vom August 1892 — und nur bis zu 
einem Betrag, wie wir ihn bei Säntis-Wallenstadt!) mit gleichem Höhenunterschied 
finden, d. h. bis etwa zu {mm einem wirklich zu grossen Wert der Barometerreduktion 
bei der hohen Station beizumessen sein. Hiernach kämen wir zum Schlusse, dass im 
Hochgebirge zur Zeit des Föhns unsere, auf das Niveau von 500 m reduzierten Baro- 
meterstände je nach der absoluten Höhe der Station um 2—4 mm zu hoch sein dürften. 

Es frägt sich jetzt, welchen Einfluss ein solch eventueller Fehler auf die Gestaltung 
der Isobaren im Hochgebirge resp. auf das Barometergefälle von Süd nach Nord über 
die Alpen weg haben würde. Da sich die Isobaren am meisten beim Gotthard drängen, 
und wir auch im ungefähren Meridian desselben nördlich und südlich tief liegende 
Stationen haben, so wird es am besten sein, zu dem Ende die Druckverhältnisse über 
den Gotthard hin von Süd nach Nord näher zu besprechen. In der beiliegenden Tafel I 
habe ich für gewisse Terminstunden einiger ausgezeichneter Föhntage sowie auch von 
Zeiten vor oder zu Beginn eintretenden Föhns die Druckgefälle der auf 500 m redu- 
zierten Barometerstände einer Zahl von Stationen in der fraglichen Gegend graphisch 
dargestellt, wobei die Abscissen der Kurven die horizontalen Entfernungen der Orte von 
Altorf (lmm = 1 Kilometer) repräsentieren. Betrachten wir nun z. B. die Kurve von 
7" a. des 31. Januar 1885 näher, so beträgt darnach der Druckunterschied zwischen 
Basel und Lugano 11,0 mm; derselbe wird nur um 0,1 mm vergrössert, wenn wir die 
beiden Barometerstände im Niveau von Lugano: 275 m nehmen, wobei der von Basel 


!) Aus dem Vergleich der Barometerdifferenz Säntis—Wallenstadt und Säntis—Ebnat pro Januar— 
Februar 1885 ersieht man sofort, dass die Barometerstände in Ebnat von 9"p. des 1. Februar an ganz 
unrichtig sind, was auch bereits die Isobaren zeigten. 

9 


(278 m) nur eine Reduktion von 0,3 mm erfährt. Diese Differenz entspricht also der 
natürlichen ohne irgend eine keduktion. Wie aber die Berücksichtigung der Höhen- 
verhältnisse der Stationen ergiebt, gilt dies auch für alle nördlich von der Alpenkette 
gelegenen Stationen, ausser etwa Einsiedeln, Engelberg, Pilatus und Rigi, da für jene 
wegen der geringen Höhenabweichung von 500 m die Reduktionsgrössen + 15 mm 
nicht übersteigen. Aber selbst die reduzierten Werte für Einsiedeln und Engelberg 
schliessen sich ganz gut an die der benachbarten Stationen an und auch der Rigi zeigt 
nur einen wenig zu hohen Wert. Wir können also sagen, dass auf der Nordseite der 
Alpen bis nach Altorf hin unsere Kurve der Wirklichkeit sehr nahe entspricht. Auf 
der Südseite gilt dies jedenfalls von Lugano bis in die Gegend von Bellinzona resp. 
San Vittore hin. Nun weicht aber die Meereshöhe von Faido nicht viel mehr vom 
Niveau 500 m nach oben hin ab als die von Lugano und San Vittore nach unten und 
wir dürfen daher auch den reduzierten Wert von Faido bis auf emige Bruchteile des 
Millimeters als sicher betrachten und entsprechend wohl auch den des sehr nahe gleich 
hoch gelegenen Gurtnellen auf der Nordseite des Gotthard. Hiefür spricht auch der 
Umstand, dass die 5,9 mm betragende Differenz der auf 500 m reduzierten Barometer- 
stände dieser Orte (Faido—Gurtnellen) nur um 0,1 mm im positiven Sinn vergrössert 
wird, wenn wir bloss das Barometer in Faido auf das 17 m tiefer gelegene Gurtnellen 
reduzieren. Die Differenz der auf 500 m Höhe reduzierten Barometerstände in Airolo 
und Göschenen beträgt nur 1,6 mm (Airolo—Göschenen) und wird auf 0,7 mm ver- 
kleinert, wenn wir das Barometer in Airolo bloss auf das Niveau des 46 m tiefer ge- 
legenen Göschenen reduzieren. Die für diese Stationen bereits über 50 mm betragenden 
Reduktionsgrössen auf das Niveau von 500 m, involvieren also jedenfalls schon grössere 
Unsicherheiten, vielleicht über 1 mm. Nun ist kaum anzunehmen, dass der Druck in 
Airolo niedriger als der in Faido sein sollte, da jedenfalls eine gewisse Stauung der 
Luft auf der Südseite des Gotthard eintritt; es könnte also höchstens Göschenen einen 
zu hohen Druck aufweisen, was auch, abgesehen von der Reduktion, aus dem Vergleich 
mit der vorhergehenden und nachfolgenden Kurve wahrschemlich wird, ja sogar auf 
einen Beobachtungsfehler hinzuweisen scheint. Dass der Druck auf dem Gotthard nach 
der Kurve geringer ist als in Airolo, ist wegen Aufhören der Stauung auf der Passhöhe 
plausibel, so dass wir die reduzierten Werte für ihn und weiterhin auch für Andermatt 
jedenfalls nicht als zu hoch ansehen dürfen. Auf der Strecke zwischen Faido und 
Gurtnellen haben wir also sehr wahrscheinlich einen Druckabfall von 6 mm, jedenfalls 
aber zwischen San Vittore und Altorf einen solchen von 7 und zwischen Lugano und 
Altorf von nahe 9 mm. Fehler in den reduzierten Werten der zwischenliegenden 
Stationen könnten also nur den Effekt haben, dass der Barometersturz auf dieser Strecke 
zu einem steilern oder minder steilen als in unserer Kurve gestaltet und etwas nach 
Süden oder Norden verschoben würde. Die allgemeine Verteilung der Isobaren in 
dieser Gegend würde aber hiedurch nicht wesentlich modifiziert. Es bleibt jedenfalls 
bestehen, dass der Druck im Süden der Alpen um über 10 mm höher ist als auf der 


AT 


Nordseite, dass er am Nordabhang der Alpen rasch bis zu einem Minimum am Vier- 
waldstättersee (die Differenz Vitznau—Gersau bis Lugano beträgt nahe 13 mm) fällt, 
weiterhin nach Norden wieder etwas ansteigt und sich dann bis zur nördlichen Grenze 
der Schweiz ziemlich gleich erhält. 

Aehnliches zeigen auch die Kurven für 1864, 1872 und 1892, wo nur nach 
stärkerer Entwicklung des Föhns die reduzierten Werte für den Rigi grössere Ab- 
weichungen aufweisen. 

Lehrreich dürfte die nachstehende Tabelle sein, in welcher ich die Differenzen der 
Barometerstände von Rigi-Kulm und Monte Generoso einmal nach Reduktion beider auf 
500 m Höhe und sodann nach Reduktion derer von Monte Generoso auf die Höhe von 
Rigi-Kulm wit den Differenzen der auf 500 m Höhe reduzierten Barometerstände in 
Gersau und Lugano zusammengestellt habe. 


Rigi-Kaln —Nonte Generoso Gersan—Lngano | Rigi-Kulm — Monte Generoso Gersan— Lugano 
1757 m 2 m 40 m 5m | 1757 m 1610 m a0 m 275 
beide aul N. Gemeroso heide aul 500 m Höhe heide auf II. Generoso beide aul 500 m Höhe 
500 m Höhe  anl Rigi-Kulm reduziert, 500 m aul Rigi reduziert. 
reinziert, reduziert. Dilferenz reduziert, reduziert. Dillerenz 
1172 um mm mm um 159 mm mm mm mm 
62 März: 78 —4,6 —95 —40 —0,6 ISO 70 —7,5 55 — 17,4 — 0,1 
5 l 3 32 5,4 0,1 m 1 —7,2 —5,2 —S,0 0,8 
= 9 6,2 41 7,4 1,2 2 9 —6,5 —4,5 —6,3 —0,2 
7. März 7 — 1,8 —5,7 —9,9 41 39. Okt. 7 6,9 4,9 s,2 1,3 
n l —S,1 —6,0 -10,6 25 = 1 —1,3 —5,3 —7,7 0,4 
- J —7,7 —5,6 —8,7 1,0 n 5) 6,9 4,9 9,3 9,4 
8. März 7 6,1 4,0 sl PA) 30. Okt. 7 6,2 4,93 s,0 1,8 
E 1 —6,1 —4,0 —7,9 1,5 B 1 —6,7 —4,7 —8,3 1,6 
R ) —5,0 —92,S -58 0,8 5 9 —6,8 —4,3 —8,8 2,0 
9. März 7 4,6 v3) 5,9 1,3 31. Okt. 7 —b6,1 —41 —S,l 3,0 
x 1 5,1 3,0 6,5 177 F 1 7,0 5,0 Yes) 0,5 
= h) 3,2 1,4 4,8 1,3 E ) 6,3 4,9 8,7 29 
1. Nov. 7 ,2 6,2 3,2 0,0 
- 1 6,0 4,0 162 1,2 
= 9 —6,8 4,8 5,5 1,3 
Die letzte Kolumne enthält je den Unterschied der Differenzen Gersau— Lugano 


und Rigi-Kulm— Monte Generoso, beide auf 500 m Höhe reduziert. Man ersieht hieraus, 
dass der Gradient über den Gotthard herüber am grössten ist für die in der Tiefe ge- 
legenen, wenig von 500 m Höhe abweichenden Orte beiderseits, dass er um durch- 
schnittlich 2 mm geringer wird für die ungefähr 1500 m hoch gelegenen benachbarten 
Orte nach Reduktion ihrer Barometerstände auf 500 m Höhe und nochmals um 2 mm 
abnimmt, wenn wir direkt die Differenzen der Barometerstände in ungefähr 1500 m 
Höhe betrachten. 

Immerhin habe ich beim Ziehen der Isobaren darauf Rücksicht genommen, dass 
die reduzierten Barometerstände für den St. Bernhard um einige Millimeter zu hoch 
sein dürften. 


68° — 


Trotz der Unsicherheit der Barometerreduktionen im Hochgebirge können wir 
nach dem Vorigen schliessen, dass unsere Isobarenkarten auch da der Wirklichkeit 
nahezu entsprechen werden. Dies gilt allerdings nur von den allgemeinen Zügen, denn 
sicherlich würde bei einem reichern und stellenweise auch zuverlässigern Beobachtungs- 
material im Detail sich manches anders gestaltet haben. Ebenso hätte die mir nicht 
mögliche Benutzung der Daten benachbarter ausländischer Stationen gewiss mehrfach 
kleine Modifikationen der Isobaren bedingt. 


Die nähere Untersuchung von sechs typischen Föhnstürmen in den nördlichen Alpen- 
thälern der Schweiz (den von Herrn Billwiller behandelten mit inbegriffen) gestattet 
nun, die charakteristischen Eigenschaften derselben in folgenden Sätzen etwas schärfer 
zu formulieren: 

1. Der Föhn stellt einen durchaus stürmischen, in den nördlichen Alpenthälern 
vom obern Anfang zum untern offenen Ende des Thales meistens stossweise wehenden, 
also im allgemeinen von Süd nach Nord gerichteten Wind dar. Da er sich indessen 
der Thalrichtung anpasst, so kann er je nach dieser bald als Südwest, Süd, Südost, ja 
auch als Ost (Wildhaus, Linthkolonie) und sogar, allerdings schwächer, als Nordost 
(oberes und mittleres Rhonethal) auftreten. Es dürfte kaum ein Thal am Nordabhang 
der Alpen geben, in welchem nicht zeitweise der Föhn erscheint. 

2. Der Föhn tritt als stürmischer Wind immer zuerst am obern Ende des Thales 
auf und pflanzt sich von da in kürzerer oder längerer Zeit gegen das untere Ende hin 
fort. Dabei zeigt sich zu Anfang durchweg ein vom Ausgang des Thales her wehender 
schwacher Gegenwind, der auch den schon eingetretenen Föhn hie und da unterbricht. 

3. Das Eintreten des Föhns ist stets von einem Fallen des Barometers, einer Er- 
höhung der Temperatur und Verminderung der relativen Feuchtigkeit der Luft begleitet. 
Je stärker der Föhn auftritt, um so abnormer werden diese begleitenden Erscheinungen. 
Der Himmel heitert sich beim Eintreten des Föhns, wenn er nicht bereits wolkenfrei 
war, gewöhnlich auf, worauf dann im Allgemeinen bald wieder mehr oder minder starke 
Bewölkung erfolgt. 

4. Nach ein- bis fünftägiger Dauer schlägt gewöhnlich der Föhn in sein Gegenteil 
um, d. h. es tritt bei westlichen bis nordwestlichen Winden eine Erniedrigung der 
Temperatur, Vermehrung der Feuchtigkeit, volle Bedeckung des Himmels und Regen ein. 

Hiemit gehen wir bereits zur Erörterung der den eigentlichen Föhn in den nörd- 
lichen: Thälern vorher und nachher, also zeitlich, und ebenso ausserhalb derselben, also 
räumlich, begleitenden Witterungserscheinungen über. 

5. Zur Zeit des Föhns zeigt sich stets über der Schweiz eine ganz abnorme Ver- 
teilung des Luftdrucks. Die im Allgemeinen von Südwest nach Nordost verlaufenden 
Isobaren drängen sich über dem Hochgebirge und namentlich beim Gotthard nahe zu- 
sammen infolge starker Erniedrigung des Druckes im ganzen nordwestlichen Teil und 
Erhöhung desselben im Südosten der Schweiz und zwar besonders im Tessin, so dass 


— 69 


also ein starker von Südost nach Nordwest gerichteter Druckgradient über den Alpen 
entsteht. Während über der Schweiz im Jahresmittel höchstens drei ganzen Milli- 
metern entsprechende Isobaren im Niveau von 500 m zu verzeichnen sind, muss 
zur Entstehung eines typischen Föhns der Druckgradient über die Alpen im Niveau von 
500 m so gross sein, dass z. B. zwischen Faido und Altorf die Druckdifferenz mindestens 
7 mm im Winter, 6 mm im Herbst und Frühling und 4 mm im Sommer beträgt, oder 
es muss der Gradient nach der mternationalen Uebereinkunft pro Aequatorgrad (111 km) 
mindestens gleich 18 mm, resp. 15 mm, resp. 10 mm sein. 

6. Zur Zeit des Föhns bemerken wir am Nordabhang der Alpen stets mehr oder 
minder zahlreiche und stärker oder schwächer ausgesprochene lokale Druckminima, die 
meistens an den Ausgängen der Thäler, aber auch in diesen selbst auftreten. Vielleicht 
würden solche Minima bei genügendem Beobachtungsmaterial in allen vom Föhn heim- 
gesuchten Thälern nachweisbar sein. Doch bedingen diese Mimima nicht allein den 
Föhn, da sie häufig auch vor Beginn oder nach Aufhören des Föhns bestehen; es muss 
jedenfalls der oberwähnte Gradient über dem Hochgebirge hinzukommen, um einen Föhn 
zu erzeugen. 

7. Ausser dem Föhn in den Alpenthälern finden wir zur Zeit desselben starke 
Winde nur auf den Höhen des Jura und der Alpen, dagegen im Flachland der Schweiz 
zwischen Jura und Alpen und besonders im Tessin meistens nur schwache Winde aller 
möglichen Richtungen, unter denen immerhin dort westliche bis nordwestliche und im 
Tessin südliche Winde vorherrschen. 

8. Zur Zeit des Föhns drängen sich auch die Isothermen ähnlich wie die Isobaren 
in abnormer Weise um das Hochgebirge. Während über der Schweiz im Jahresmittel 
durchweg nur drei ganzen Graden entsprechende Isothermen, nämlich im Niveau 
von 500 m von 8° im Norden bis 10° im Tessin verlaufen, zählen wir deren zu Föhn- 
zeiten bis zu sechszehn, z. B. am 2. Februar 1885 solche von 0° bis 15°, wobei sich im 
Süden der Alpenkette und ebenso im Flachland der Schweiz zwischen Alpen und Jura 
die niedrigen Temperaturen finden und die abnorm hohen nur im eigentlichen Föhngebiet, 
d. h. in den Thälern am Nordabhang der Alpen auftreten. 

9. In analoger Weise wie die Temperaturen erscheinen auch die relativen Feuchtig- 
keiten der Luft zur Zeit des Föhns abnorm verteilt, indem wir im den Föhnthälern 
trockene Luft bis zu 20/0 relative Feuchtigkeit antreffen, während wieder im Flachland 
der Schweiz nördlich von den Alpen, ganz besonders aber im Süden derselben, hohe 
Feuchtigkeiten auftreten. Ausser im Sommer ist nach eingetretenem Föhn der Himmel 
im Tessin gewöhnlich ganz bedeckt und die Luft mit Wasserdampf bis zur Kondensation 
desselben gesättigt. 

10. Das Eintreten des Föhns kündigt sich durchweg durch ein vorhergehendes un- 
gewöhnlich starkes Steigen der Temperatur und Fallen des Barometers auf den Höhen- 
stationen der Schweiz an, und in den Föhnthälern bemerkt man bereits stürmischen Wind 
in der Höhe, ehe der Sturm ins Thal heruntersteigt resp. sich da bemerklich macht. 


EI 


11. Bei heftigem Föhn in den Alpenthälern zeigen sich meistens auch in den be- 
nachbarten ebenern Teilen der Schweiz dem Föhn entsprechende Erscheinungen, d. h. warme 
und trockene südliche Winde, welche aber nie die stürmische Heftigkeit wie dort erreichen. 

12. Der Zug der Wolken oder also der Wind im den höhern Schichten der Atmo- 
sphäre ist bei Föhn meistens Südwest, doch kommt häufig auch einerseits Süd und 
Südost und anderseits West und Nordwest vor. Von den isolierten Berggipfeln ist auf 
dem Monte Generoso Südost, auf dem Rigi Süd, auf dem Säntis Süd-Südwest und auf 
dem Pilatus Südwest vorherrschend. 

13. Vor Beginn des Föhns und während desselben finden wir stets ein starkes 
Depressionscentrum über den britischen Inseln oder an der Westküste Frankreichs und 
hohen Druck in Italien, Süd-Oesterreich, Ungarn und der Türkei, also niedrigen Baro- 
meterstand im Nordwesten und Westen der Schweiz und hohen im Osten und Südosten. 
Cyelonale, durchweg starke Südwestwinde wehen infolge dessen in Frankreich und 
Deutschland, in Italien südliche bis östliche Winde, die aber in Norditalien am Süd- 
abhang der Alpen schwach und veränderlich in der Richtung werden. 

14. Der Föhn in den nördlichen Alpenthälern der Schweiz hört auf, sowie sich im 
Südwesten und Westen derselben, als6 über Spanien und Süd-Frankreich, beim Fort- 
schreiten des Depressionscentrums im Nordwesten nach dem Nordosten Europas der Druck 
hebt oder an Stelle des hohen Druckes im Süden und Südosten ein niedriger Druck tritt. 

Dies sind wohl so ziemlich alle wesentlichen Eigenschaften des typischen Föhns 
und der ihn räumlich und zeitlich begleitenden Erscheinungen. Im Detail und in ein- 
zelnen Fällen liesse sich noch dies und jenes beifügen, worauf wir auch gelegentlich 
in der folgenden Diskussion der Theorie des Föhns noch eintreten werden. 

Allerdings sind hier nur besonders stark entwickelte Föhnfälle zur Untersuchung 
ausgewählt worden. Es schien mir indessen dies zur Feststellung aller wesentlichen 
Eigenschaften des Föhns geboten, indem schwächere und unbestimmtere Fälle desselben 
dann nur gewisse beschränkende Modifikationen der letztern, sei es in der räumlichen 
Ausdehnung, sei es bezüglich des Grades ihrer Entwicklung aufweisen werden. 


Theorie des Föhns. 


Eine richtige physikalische Erklärung des Föhns, wenigstens was die ungewöhnliche 
Erwärmung der Luft m den Thälern am Nordabhang der Alpen trotz niedriger Temperatur 
und hoher relativer Feuchtigkeit derselben auf den Höhen betrifft, hat Helmholtz in 
seiner populären Vorlesung, gehalten zu Frankfurt a./M. und Heidelberg im Februar 1865, 
„Ueber Eis und Gletscher“ ') mit folgenden Worten gegeben: „In einer Luftmasse 


1) H. Helmholtz, „Populäre wissenschaftliche Vorträge“ S. 97. Braunschweig bei Vieweg. 18565; siehe 
auch: J. Hann, Neue Arbeiten über den Föhn II. Oesterr. Zeitschrift für Meteorologie Bd. III, S. 293, 
Anm. 2. Wien 1868. In dem von Hann an dieser Stelle eitierten Referat Tyndalls über den obigen Vor- 
trag (Philos. Magaz. Dez. 1865) ist die Helmholtz’sche Erklärung des Föhns nur ganz kurz, ohne eigenes 
Zuthun, reproduziert und verlohnte daher kaum die Erwähnung. 


nämlich, welche sich ausdehnt, verschwindet ein Teil ihres Wärmevorrats, sie wird 
kühler, wenn sie nicht neue Wärme von aussen aufnehmen kann. Umgekehrt wird 
durch erneutes Zusammendrücken der Luft dieselbe Wärmemenge wieder erzeugt, 
welche durch die Ausdehnung verschwunden war. Wenn also zum Beispiel Südwinde 
die warme Luft des Mittelmeeres nach Norden treiben und sie zwingen, zur Höhe des 
grossen Gebirgswalls der Alpen hinaufzusteigen, wo sich die Luft, entsprechend dem 
geringeren, durch das Barometer angezeigten Luftdrucke, etwa um die Hälfte ihres 
Volumens ausdehnt, so kühlt sie sich dabei auch sehr beträchtlich ab — für eine mitt- 
lere Höhe des Gebirges von 11000 Fuss um 16 bis 25° R. je nachdem sie feucht oder 
trocken ist — und dabei setzt sie auch gleichzeitig den grössern Teil ihrer Feuchtig- 
keit als Regen oder Schnee ab. Kommt dieselbe Luft nachher auf der Nordseite des 
Gebirges als Föhnwind wieder in 'Thäler und Ebenen hinab, so wird sie wieder ver- 
dichtet und erwärmt sich auch wieder. Derselbe Luftstrom also, der in den Ebenen 
diesseits und jenseits des Gebirges warm ist, ist schneidend kalt auf der Höhe und 
kann dort Schnee absetzen, während wir ihn in der Ebene unerträglich heiss finden.“ 
Öbschon diese Erklärung, was den Föhn betrifft, in einigen Punkten nicht ganz zu- 
treffend ist und namentlich auch den grossen Unterschied in der relativen Feuchtigkeit 
der Luft diesseits und jenseits des Gebirges als Konsequenz nicht betont, so führte sie 
doch das Hauptprinzip der Abkühlung der Luft durch Dilatation und der Erwärmung 
derselben durch Kompression in die Theorie des Föhns ein. Dass die Erwärmung 
beim Herabsinken der Luft in die Alpenthäler diesseits dieselbe relativ sehr trocken 
mache, hat Herr Hann in seinem Artikel „Zur Frage über den Ursprung des Föhn‘ !) 
ausgesprochen, in welchem er über die Wirkung der Dilatation und Kompression der 
Luft fast genau dasselbe wie Helmholtz sagt. In der Anm. auf S. 261 heisst es näm- 
lich: „Wird ein trockener Luftstrom gezwungen, z. B. zur Gipfelhöhe der Berner-Alpen 
(11-—12000‘) aufzusteigen, so kühlt er dabei um etwa 25° R. ab, sinkt er drüben wieder 
ins frühere Niveau hinab, so wird eine gleich grosse Erwärmung eintreten. Bei einem 
feuchten Luftstrom würde die Abkühlung nur 16° betragen und seine Wärme am jen- 
seitigen Fuss des Gebirges dementsprechend höher sein?). Bestimmter spricht sich Hann 
ein Jahr später in seinem Aufsatz: „Der Föhn in den österreichischen Alpen“ °) aus, 


!) Oesterr. Zeitschrift für Meteorologie Bd. I, S. 261. Oktober 1866. 

2) Die auffallende Uebereinstimmung dieser Erklärung mit der von Helmholtz gegebenen wird erst 
dadurch verständlich, dass sie Hann, wie er erst S. 294 des III. Bandes der österreichischen Zeitschrift in 
Anm. 2 mitteilt, der Schrift von Helmholtz entlehnt hatte. Später (Deutsche meteorol. Zeitschrift 1885, 
S. 3095) hat Herr Hann darauf aufmerksam gemacht, dass eigentlich schon James P. Espy in seinen 
Schriften von 1857, ja zum Teil sogar bereits 1841 Sätze ausgesprochen hat, welche freilich ohne An- 
wendung der mechanischen Wärmetheorie doch bereits eine vollständige Theorie der Föhnerscheinungen, 
wie sie später Helmholtz und Hann aufstellten, enthalten haben. Diese Stellen von Espys Schriften sind 
indessen ebenso wie die eitierte aus Helmholtzs Vorträgen seiner Zeit unbeachtet geblieben. 

°) Oesterr. Zeitschrift Bd. II, S. 433. Oktober 1867. 


woher 


wo er unter Beibringung von Beobachtungsdaten in den österreichischen Alpen, besonders 
in Bludenz (S. 440 und folg.), eine präzisere Erklärung des Föhns daselbst nach den 
obigen Prinzipien giebt. 

Eine vollständige Charakterisierung und Erklärung des Föhns in den 
Schweizer-Alpen habe ich im Jahr darauf in meiner Schrift: „Ueber Föhn und Eis- 
zeit“ (Rektoratsrede gehalten in Bern am 16. November 1867) und im Nachtrag dazu 
„Der Schweizer-Föhn* (Bern 1868) gegeben, in denen ich die Resultate meiner Unter- 
suchung von 37 Föhnwinden im Zeitraum vom 1. Dez. 1863 bis 30. Nov. 1866 auf 
Grundlage der drei ersten Jahrgänge der Beobachtungen der schweizerisch meteoro- 
logischen Stationen in Verbindung mit dem internationalen Wetter-Bulletin des Pariser 
Observatoriums mitteilte. Leider war es mir damals nicht vergönnt, diese Untersuchung 
meiner Absicht gemäss vollständig zu publizieren. Ich bemerke daher hier nur noch, 
dass ich schon damals aus der Theorie die Wahrscheinlichkeit einer Föhnerscheinung 
unter gewissen allgemeinen Witterungsverhältnissen auch auf der Südseite der Alpen 
folgerte und dann auch die Existenz dieses, von mir zum Unterschied als Nordföhn 
bezeichneten Windes aus den vorliegenden Beobachtungen in 6 Fällen nachweisen konnte. 
Ebenso habe ich dort eine physikalische Erklärung des paradoxen Phänomens, dass der 
Föhn aus der Höhe herabkommt und stets am hintersten Ende des Thales beginnt, ja 
dort fast am stärksten tobt, zu geben versucht (siehe S. 23 der Rektoratsrede und aus- 
führlicher S. 25—28 des Nachtrags oder S. 30 und 69—72 der gemeinsamen Ausgabe, 
Bern bei Jent & Reinert 1868). 

Im Jahre 1868 erschien sodann die Schrift von L. Dufour „Recherches sur le 
feehn du 23. Sept. 1366 en Suisse“'), worin derselbe sehr ausführlich diesen speziellen 
Föhn behandelte und auf S. 58 die Hann’schen Anschauungen über die Trockenheit des 
Föhns vollständig adoptierte.e Herr Dufour hat bei Abfassung seiner Schrift meine 
Rektoratsrede noch nicht gekannt und konnte sich daher nicht auf dieselbe beziehen.?) 
Dagegen war es mir vergönnt, mich in meinem später verfassten Nachtrag S. 24 (S. 68 
der gemeinsamen Ausgabe) bereits auf seine Untersuchung stützen zu können. 

In seinem Artikel: „Ueber den Föhn in Bludenz“®) hat später Herr Hann die 
Theorie des Föhns noch eingehender als vorher an der Hand der Beobachtungen ent- 
wickelt. Nur in einem Punkt ist seine dortige Erklärung der Vorgänge beim Föhn 
ungenügend, nämlich was die Ursache des Herabstürzens des Windes in die T'häler 
betrifft, von der Herr Hann hier zum erstenmale spricht. S. 435 (S. 20 des Separat- 
abdrucks) sagt nämlich Herr Hann: „Man hat früher Schwierigkeiten gefunden, das 
Herabsteigen des Föhn in die innersten Alpenthäler zu erklären und noch ganz neuerlich 
hat Herr Hebert in einer sonst sehr verdienstlichen Arbeit eine sehr künstliche und 


!) Bulletin de la Societe vaudoise des sciences nat. vol. IX. No. 58. 1868 

?) Siehe S. 11 und 12 meiner eitierten Schrift: „Der Schweizerföhn‘ (od. S. 55 der gemeinsamen 
Ausgabe von: „Ueber Föhn und Eiszeit“ und dem Nachtrag dazu „Der Schweizerföhn.*“ 

°) Sitzungsberichte der Wiener Akad. Bd. LXXXV. II. Abt. März 18832. 


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= 22 m 


gewagte Hypothese aufgestellt, um das Auftreten des Föhn in den Alpenthälern zu 
erklären. Herr Wild hat früher eine saugende Wirkung des über die Alpenkämme 
hinbrausenden Sturmes angenommen, welche aber eher einen aufsteigenden Luftstrom in 
den Thälern erzeugen müsste. In neuerer Zeit hat Herr Billwiller diese scheinbare 
Schwierigkeit auf die einfachste Weise durch den Hinweis auf die natürlichen Kon- 
sequenzen eines Luftzuflusses gegen die atlantischen Depressionsgebiete hinweggeräumt 
(Zeitschrift für Meteorologie 1878 Bd. XII p. 319).*“ Auf die Zusendung seiner Ab- 
handlung schrieb ich damals von Petersburg aus unterm 5/17. Juni 1882 an Herrn 
Hann gemäss der mir vorliegenden Kopie des Briefes Folgendes: „Ihre interessante 
Abhandlung über den Föhn in Bludenz, für deren Zusendung ich bestens danke, habe 
ich gelesen, bin aber mit Ihrer Ansicht auf S. 20 über die Erklärung des Herabkommens 
des Föhns in den Alpenthälern nicht einverstanden, sondern muss sogar, gestützt auf 
Ihre eigene Untersuchung S. 18 über den Gradienten in der Höhe und Tiefe nur um 
so mehr an meiner Ansicht festhalten. Herr Billwiller hat in seiner Abhandlung 
meines Erachtens nichts Neues gebracht, was nicht Dove und ich (siehe $. 24 meiner 
ersten Schrift) bereits gesagt hätten. — Leider bin ich auch jetzt anderweitig so sehr 
in Anspruch genommen, dass ich auf eine Klarstellung der ganzen Frage augenblicklich 
nicht eintreten kann. Jedenfalls haben Sie die Stelle S. 27 meiner zweiten Schrift 
(S. 71 der gemeinsamen Ausgabe) übersehen, wo ich darauf aufmerksam mache, dass 
der Föhn, resp. der thalabwärts gerichtete Wind immer zuerst hinten im Thale auftritt, 
von dort gegen den Ausgang desselben fortschreitet und dabei durchweg mit einer 
unmittelbar vorhergehenden, von der Oeffnung des Thales gegen seinen Grund hin 
fliessenden Strömung zu kämpfen hat. Das ist entscheidend wie die Beobachtung der 
Vorgänge in einem Regenmesser bei Schneefall mit Wind. Die Schneeflocken gehen 
auf der dem Winde zugewandten Seite sofort in die Tiefe herunter und dann grössten- 
teils auf der andern Seite wieder herauf und heraus.“ 

Meine bezügliche Erklärung in der Rektoratsrede, die Herr Hann angreift, lautet 
(S. 28 resp. 30): „Einer weitern, gegenwärtig allgemein bekannten, weil bereits viel- 
fach praktisch verwerteten Thatsache zufolge wird in einem oben offenen, sonst aber 
abgeschlossenen Raum jedesmal die Luft verdünnt, wenn ein kräftiger Luftstrom über 
den Rand der Oeffnung hinstreicht. Dies wird auch mit der in unsern innern Alpen- 
thälern stets mehr oder minder abgeschlossenen Luft geschehen, wenn ein heftiger Sturm über 
die einschliessenden Gebirge hinbraust. Die Folge davon ist aber, dass dieser Luftstrom 
in den durch die entgegenstehende Gebirgswand vor ihm geschützten Raum hinein 
aspiriert wird, also der Sturm nach und nach auch in das Thal heruntersteigt.“ Von 
einer saugenden Wirkung des über die Alpenkämme hinbrausenden Sturmes ist also bei 
mir nicht die Rede, wenn aber Herr Hann eine solche als Ursache der Verdünnung 
der Luft im Thal annehmen zu müssen glaubte, so würde sich ein allfällig demgemäss 
aufsteigender Luftstrom jedenfalls nur auf den Anfang des Föhns beschränken, und wir 
wissen nicht, ob nicht zuerst etwas derartiges geschieht. 

10 


ee Be 


Da das Heruntersteigen des Föhns im Thalgrund zur Zeit noch den 
einzigen unklaren Punkt in der Föhntheorie bildet, so halte ich es für geboten, hier 
etwas näher darauf einzutreten. Rekapitulieren wir zunächst einige bezügliche 
Thatsachen. 

Im $ 18 seiner Schrift über den Föhn vom 23. September 1866 erwähnt L. Du- 
four drei Fälle, wo der Föhn im Grunde von Thälern als direkt von Höhen bis zu 
2500 m herunterkommend beobachtet wurde.') Herr Berndt eitiert in seinem Werk über 
den Föhn 8. 124 folgende Aeusserung von Fuchs: „Im Juli 1877 erlebte ich in 
Engelberg einen mehrtägigen Föhnsturm. Die Luft stürzte damals über alle die Berge 
vom Surenenpass an über Spanörter und Titlis hinweg in furchtbarer Gewalt in das 
geschlossene, aus einem See entstandene Thalbecken herab und tobte in dem Kessel in 
der wildesten Weise durcheinander, indem die von Süd, Südost und Südwest herab- 
kommenden Windstösse allerwärts anprallten und sich durchkreuzten.“ Nach derselben 
Quelle 8.65 hat Kohl in seinen Alpenreisen das Eintreten des Föhns im Thal zwischen 
Guttannen und der Handeckstufe folgendermassen geschildert: „Je weiter wir kamen, 
desto mehr Spuren zeigten sich von dem schlechten Wetter, das auf der Grimsel 
herrschte. Kleine Wolken und Nebel flogen, selbst als wir in der Tiefe noch etwas 
Bise oder Nord hatten, mit ausserordentlicher Hast über unsern Köpfen hin. Der Föhn 
haust in den oberen Regionen, sagte unser Führer, und da ist sicher weiterhin schlecht 
Wetter. Weiter hinauf hörte die Bise ganz auf und es kam uns ein warmer Stoss 
Föhnwind entgegen, der jedoch bald wieder von der Bise verdrängt ward. Als wir 
noch weiter stiegen, wechselten warmer Föhn und kalte Bise Welle auf Welle, Schlag 
auf Schlag. — Ueber unseren Köpfen stand ein grauer Wolkenbogen, der die Grenze 
der Föhn- und Bisherrschaft bezeichnete. Ueber diesem scheinbar ziemlich festen Bogen 
wurden einzelne Wolkenflocken rasch hinweggetrieben, so dass es also schien, als ob in 
den höhern Regionen der Föhn die Oberhand hätte. Der Thalwinkel nach der Grimsel 
zu war sehr finster, abwärts in der Ferne lächelte Sonnenschein. Man sollte nun 
glauben, dass, wenn ein Sturm erst angefangen habe, aus dem einen Ende eines Thales 
herabzuwüten, er auch bald nach unten wie ein Wasserfall hinabgeflossen sein müsse. 
Wir erwarteten jeden Augenblick, dass dies geschehen und der Föhn über uns herfallen 


!) Bovernier (val d’Entremont, entre Sembrancher et Martigny) est au pied du Catogne au NNO et 
protege semble-t-il par cette sommit& (haute de 2500 m) de tout courant venant du midi. Le fehn y a 
regne avec violence le 93 et, d’apres les t&moignages concordantes de plusieurs personnes, le courant 
tombait direetement du Catogne, il ne venait point dans le sens de la vallee c’est-a-dire de Sembrancher. — 
La vallee des Ormonts se termine par un cul-de-sac, le Greux de Champ, domine au S et au SE par 
l’enorme massif des Diablerets, dont les sominets forment un espece de colossale enceinte a 2000 m en- 
viron au-dessus du fond de la vallee. Or le foehn a commenc&e ä soufller dans la nuit du 22 au 23 
preceisement dans ce fond de vallee; sa direction etait exactement S-N et s’il n'avait pas une direction 
inelinee sur l'horizon, on aurait quelque peine ä comprendre qu'il atteignit ce point r&cule. — La m&me 
remarque peut ötre faite pour le vallon de Frenieres, oü le vent a &t& furieux dans les parties les plus 
enfoncöes, protögees au midi par les hauts chainons qui se rattachent A la chaine de la dent de Morcles. 


I 


werde. Statt dessen blieben wir stundenlang an der Grenze des Schlachtfeldes, wo 
Föhn- und Biswellen immer abwechselten, und der dunkle Wolkenbogen hielt sich immer 
über unserem Kopfe, ohne vor- oder rückwärts zu schreiten.“ Endlich will ich noch 
einen Bericht über den generellen Eintritt des Föhns in Glarus, welchen Herr Dr. med. 
Josua Oertly, langjähriger Beobachter daselbst, mir seiner Zeit (19. Oktober 1867) 
freundlichst eingesandt hat, hier reproduzieren, da er wegen der besonderen Aufmerk- 
samkeit interessant ist, mit welcher dieser akademisch gebildete Mann den im Glarner- 
land bekanntlich. so heftig und typisch auftretenden Föhn viele Jahre hindurch 
verfolgt hat: | 

„Als allgemeine Anzeichen eines ins Thal tretenden Föhnes sind nachstehende an- 
zuführen. 

Im Süden an den Bergketten zeigen sich leichte, hie und da auch wieder ver- 
schwindende Wolken. Ein leichter Cumulus löst sich z. B. zu einem verschwindenden 
Cirrus auf. Später lagert sich festes Gewölk auf den Spitzen der Berge und wird von 
einem Fremden sehr leicht für den Kamm der Berge selbst gehalten. Die Färbung 
dieser Wolkenschicht, bei uns „Föhnmauer“ genannt, ist verschieden je nach dem Grade 
der Beleuchtung oder der Tiefe der Wolkenmasse. Von silberner Färbung geht die- 
selbe bis zu graudunklem, ja dem Nimbus sich nähernden Kolorit. Morgens und abends 
ist der Horizont gewöhnlich gerötet; der Himmel ist nicht durchweg bedeckt, die 
Wolken ziehen aus SO oder SW nach NW oder NO. Der erstere Zug ist der vor- 
herrschende; die Form der Wolken ist durchweg als Cirri, Cirrostrati, Cirrocumuli zu 
bezeichnen. Wunderschön vor allem sind die herrlichen Südbäume, womit oft der ganze 
Himmel bedeckt sich findet. Gegen Norden ist blauer Himmel, doch oft ganz im 
Norden dichtes, dunkles, sattblauschwarzes Gewölk sichtbar. 

Auf verschiedene Weise tritt bei uns der Föhn auf. In erster Linie unterscheiden 
wir den wilden Föhn und den sogen. „Dimmerföhn“; der wilde Föhn, dem oft der 
zahme oder Dimmerföhn vorangeht, ist eime grossartige Erscheinung in unserem Lande. 
Dunkles Gewölk bekränzt die Ränder unserer Alpen im Süden. Die Luft ist durch- 
sichtig, aber noch ruhig. Oben jagen die Wolken eilig von S nach N. Unheimliches 
Tosen und Rauschen in den Bergen zeigt uns die Ankunft des gewaltigen Sturmes an. 
Immer tiefer sinkt der Wind, endlich im Thale angelangt, zeigt er seine Ankunft durch 
Bewegung der Windfahne von Nord nach Süd an. Anfänglich mit einzelnen Stössen 
durchtobt er das Thal, um endlich in einen furchtbaren, Menschen und Tiere depri- 
mierenden Sturm auszuarten, der dann in abwechselnder Stärke bis zu 3—4 Tagen 
andauert. 

Dass der Föhn ein aus der Höhe zu Thal steigender Strom ist, ist für uns ziem- 
lich unangreifbar. Elm, die letzte Ortschaft im Kleinthal, hart am Fusse der gewaltigen 
Alpenkette, wird von Föhn durchrast, während eine Stunde, zwei Stunden vom Orte, 
entweder Windstille oder leichter Nord herrscht. Föhn kann bis Mitlödi (Ye Stunde 
von Glarus) wehen und in Glarus selbst ist nichts bemerkbar als die Föhnmauer im 


76 


Süden, die von Süd nach Nord ziehenden Wolken, bei ruhiger, aus Norden weisender 
Windfahne. In seltenen Fällen geht der Föhn nur im Kleinthale, im Grossthale aber 
nicht. Auch hat zuweilen der Wallensee Föhn, das Glarnerland aber nicht. Der aus 
dem Kleinthale wehende Föhn erscheint viel heftiger, als der aus dem Grossthale. 
Beim Dimmerföhn findet nur eine mässig starke südliche Luftströmung statt. Die 
Berge scheinen uns näher gerückt, da die Luft bei hoher Temperatur durchsichtiger 
ist. Es wechselt oft ein leichter Nordwind mit dem Südwind ab und die Windfahne 
dreht sich häufig in kurzer Zeit von Nord über Ost nach Süd und umgekehrt.“ 
Obschon ich mit Herrn Billwiller und Hann darin einig bin, dass die Hypothese 
des Herrn Hebert von der Existenz von horizontalen Luftwirbeln in den Föhnthälern, 
welche nach Faye von oben nach unten fortschreitend die Luft aus der Höhe in die 
Tiefe reissen sollen, wie überhaupt die ganze Cyclonentheorie des Herrn Faye als den 
Thatsachen widersprechend zu verwerfen sei, so muss ich doch Herrn Hebert insofern 
Recht geben, als er in der Hann’schen oder wenn man so will in der Espy-Helmholtz- 
schen Theorie des Föhns ein ausreichendes Motiv für das Herabsinken der Luft 
vermisst. Diese Ergänzung zur Theorie des Föhns habe ich seiner Zeit in der schon 
mehrfach erwähnten Weise in meiner Schrift über Föhn und Eiszeit zu geben versucht 
und mich schon damals gegen eine Erklärung dieses auffallenden Phänomens des Her- 
absteigens ausgesprochen, wie sie später Herr Billwiller') aufgenommen und ein- 
gehender befürwortet hat und von der eben Herr Hann im obigen Citat sagt, dass sie 
diese scheinbare Schwierigkeit in der einfachsten Weise hinwegräume. S. 26 (unten) 
des Nachtrags zu Föhn und Eiszeit (S. 70 unten der gemeinsamen Ausgabe) drücke ich 
mich hierüber folgendermassen aus: „Man könnte aber auch als Ursache dieser 
sprungweisen Erniedrigung des Luftdrucks an dem nördlichen Alpenabhang 
(an welche ich nämlich meine Erklärung des Hinabsteigens des Windes anknüpfe) an 
das Abfliessen der Luft nach einer nördlichen Auflockerungsstelle denken, 
welches Abfliessen Herr Dove in seiner neuesten Schrift (Der Schweizer 
Föhn $. 24) als Ursache des Sturmes in den Alpen aufzufassen scheint. Nun 
liegt an beiden Tagen das nächste und Haupt-Depressionscentrum im Nordwesten 
Europas über England und dem Kanal; dorthin müsste also wohl die Luft aus der 
Schweiz abströmen. Sehen wir indessen die Beobachtungen nach, so finden wir in der 
ganzen nordwestlichen Schweiz, .wo sich doch dies am auffälligsten zeigen müsste, fast nur 
südwestliche Winde, im Aarethal wie z. B. in Bern und Olten sogar nordöstliche Winde 
in der Tiefe und einen von Südwest nach Nordost gerichteten Wolkenzug in der Höhe. 
Ferner wäre, damit im Luftdruck ein Sprung eintrete, notwendig, dass auch die Luft 
aus den Alpenthälern teilweise abströme; es müsste also bei diesem Sturme der Wind 
in den Thälern von Anfang an stets thalabwärts gerichtet gewesen sein und sein Ein- 
tritt vom Ausgang des Thales rückwärts bis zum Thalgrunde sich fortgepflanzt haben. 


!) Oesterr. Zeitschrift für Meteorologie Bd. XIII, S. 319. 1878. 


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I 


Die Erfahrung zeigt auch hier das Gegenteil. Der Föhn resp. der thalabwärts gerichtete 
Wind tritt immer zuerst hinten im Thale auf, schreitet von dort allmählich gegen dessen 
Ausgang hin fort und hat dabei durchweg mit einer unmittelbar vorhergehenden, von 
der Oeffnung des Thales gegen dessen Grund hinfliessenden Strömung zu kämpfen. 
Dieses letztere Faktum eines dem Eintritt des Föhns unmittelbar vorhergehenden Gegen- 
windes scheint mir noch viel sicherer als die vereinzelten Terminsbeobachtungen am 
Barometer für eine Verdünnung der Luft im Thalgrunde durch den oben über die ein- 
schliessenden Bergkämme hinbrausenden Sturm zu sprechen. Es wird nämlich dadurch 
im Anfang die Luft von der Oeffnung des Thales her ebenso gut aspiriert wie von oben 
her, bis endlich der nach und nach herabkommende Sturm das erstere verhindert. Ich 
bin übrigens weit davon entfernt, die Verminderung des Luftdrucks in den Alpenthälern 
ausschliesslich dieser Verdünnung derselben durch den Sturm in der Höhe zuschreiben 
zu wollen. Wenn aber am 23. Sept. 1866 der auf das Meeresniveau reduzierte Luft- 
druck von Rom bis zum St. Gotthard nur um 5 mm und von Altorf bis zum Depressions- 
centrum im Kanal La Manche nur um 10 mm abnimmt, während er vom Gotthard bis 
zum nahen Altorf um 7 mm sinkt, so kann ich mir einen fast plötzlichen Absturz von 
solchem Betrag ohne Zuhülfenahme meiner Verdünnungstheorie nicht erklären.“ — 
Die hier mitgeteilten neuen Untersuchungen setzen uns jetzt in den Stand, uns viel 
bestimmter, als es damals geschah, auszusprechen. Zunächst können wir mit Sicherheit 
behaupten, dass das blosse Abfliessen der Luft nach dem Depressionscentrum im Nord- 
westen in den Thälern nicht die Ursache des stürmischen Herabkommens des Windes 
im Thalgrund sein kann. 

Nehmen wir nämlich sogar an, es finde beständig, wenn auch nur vom Flachland 
der Schweiz her, bis in die hinterste Thalecke im gleichen Niveau ein steigender Druck 
statt, der ja allein ein Abfliessen der Luft aus dem Thal nach der Ebene hin bewirken 
könnte, so wird dies nur so lange fortgehen, bis der Druck im Thalgrund demjenigen 
an seiner Oeffnung oder draussen gleich geworden ist; von einer eigentlichen Verdünnung 
der Luft im Thalgrunde könnte daher hiernach nicht die Rede sein, und es ist daher 
auch kein Grund vorhanden, weshalb Luft von oben stürmisch ins Thal herunterfliessen 
soll, denn die Luft in der Höhe ist wenigstens im Anfang nicht relativ schwerer als 
die in der Tiefe. Es würde höchstens die Luft in der Höhe, wenn der Druck in ihrem 
Rücken grösser ist, sich selbst in der Höhe und mit einer schwachen Neigung zum 
Boden hin gegen das Flachland hin in Bewegung setzen, was ja auch in der That 
geschieht. 

Aber auch jene Voraussetzung ist im Allgemeinen unhaltbar, indem, wie wir ge- 
zeigt haben, der Druck vor Beginn des Föhns am Ausgang des Thales stets höher ist 
als in seinem Grunde und demgemäss zu dieser Zeit auch durchweg der Wind that- 
sächlich von der Oeffnung gegen den Thalgrund hinweht, also von einem Abfliessen der 
Luft aus demselben keine Rede ist. Gegen dieses hypothetische Abfliessen der Luft 
aus den Thälern vor Eintritt des Föhns spricht auch der Umstand, dass die relative 


Feuchtigkeit zu dieser Zeit am Ausgang derselben überall bedeutend höher ist als weiter 
oben im Thal, während sie beim Abfliessen resp. Herunterfliessen im Thal infolge der 
dabei stattfindenden Erwärmung ganz wie später nach Eintritt des Föhns nach dem 
Ausgang des Thales zu umgekehrt geringer werden müsste. Erst wenn nach Eintritt 
des Föhns der Druck im Thalgrund höher geworden ist als weiter unten im Thal tritt 
ein Abfliessen der Luft aus ihm ein. Um die schon bei den untersuchten Föhnstürmen 
jeweilen am Schluss dargelegte Druckverteilung in einigen Föhnthälern vor und während 
des Föhns noch in einem speziellen Fall ad oculus zu demonstrieren, habe ich in der 
beiliegenden Tafel II die Druckverhältnisse im Linththal mit seinem Zweigthal der Sernf 
für den Föhn vom Januar bis Februar 1885 graphisch dargestellt unter Hinzufügung 
von Angaben über das Eintreten und Verschwinden des Föhns an den vier Stationen. 
Da die Linthkolonie an der Umbiegungsstelle des Linththales und seiner Verbindung 
mit dem Wallenseethal liegt, durch welches von Osten her ebenfalls häufig Föhn- 
strömungen sich geltend machen, so ist das Verhalten dieser Station nicht immer den 
Verhältnissen des obern Linththales entsprechend. Wenn man mit dieser Darstellung 
der Druckverteilung im Linththal die in den Tabellen und in unsern synoptischen Karten 
angegebenen Winde der Stationen vergleicht, so wird man in 12 von den 15 Terminen 
die letztern ganz jenen entsprechend finden. Ebenso bestimmt finden wir dies beim 
Föhn vom Oktober 1892 bestätigt, wo freilich die Station Linthkolonie nicht mehr 
fungiert hat. 

Ich kann also Herrn Billwiller nicht beistimmen, wenn er an der oben eitierten 
Stelle sagt: „Die geheimnisvolle Kraft, welche die herabsteigende Bewegung der 
Luft veranlasst, ist nichts anderes als die Aspiration eines in grösserer oder geringerer 
Entfernung vorüberziehenden barometrischen Minimums, in welchem bekanntlich die 
Luft von allen Seiten her in Spirallinien dem Centrum zuströmt. Diese Aspiration, 
welche zunächst in den unteren Luftschichten stattfindet, saugt gleichsam die Luft aus 
den Thälern heraus; durch die Verdünnung derselben wird das Gleichgewicht gestört 
und es strömt daher oben von den Alpenkämmen, namentlich durch die Pässe, die Luft 
von der andern Seite der Gebirgsmauer in den luftverdünnten Raum der Thäler; aber 
dazu bedarf es keiner Wirbel, sondern die Bewegung erfolgt ganz in der Weise eines 
thalabwärtsfliessenden Wassers, d. h. die Strömung folgt der Richtung der Thäler und 
breitet sich an der untern Thalmündung nach allen Seiten, wie es eben das Terrain 
gestattet, aus.“ Nicht nur findet, wie wir gezeigt haben, thatsächlich kein Abfliessen 
der Luft aus den Thälern vor Eintritt des Föhns statt, sondern eher ein Hineinströmen 
in dieselben, ja es könnte selbst ein solches Abfliessen nie eine eigentliche Verdünnung 
der Luft in den Thälern bewirken, welche das stürmische Herunterströmen der Luft 
von den Alpenkämmen zur Folge hätte. Aber auch die Aeusserung des Herrn Bill- 
willer, dass die Aspiration nach der Depressionsstelle zunächst in den unteren Luft- 
schichten stattfinde, scheint mir nicht den Thatsachen zu entsprechen. Wir haben 
vielmehr in allen von uns untersuchten Föhnfällen gemäss Erfahrungssatz 10 gesehen, 


— 79 — 


dass in der Schweiz vor Eintritt des Föhns sich zuerst in den höheren Schichten der 
Atmosphäre eine warme Südwest-Strömung, welche der cyclonalen Bewegung der Luft 
um das Depressionscentrum im Nordwesten Europas entspricht, einstellt, dass auch über 
den Thälern eine starke westliche bis südliche Luftströmung in der Höhe dem Herab- 
steigen des Sturmes ins Thal vorangeht und dass dagegen in den untern Luftschichten 
resp. im Flachland der Schweiz zwischen Alpen und Jura relativ niedrige Temperaturen 
mit schwachen Winden aller möglichen Richtungen, vielfach sogar nördliche, gegen die 
Alpen hin gerichtete Strömungen die Regel sind. 

Wenn endlich Herr Hann auf 5. 21 seiner citierten Abhandlung über den Föhn 
in Bludenz die Helmholtz’sche Theorie des Föhns, die er wie ich früher ganz vertrat, 
insofern verlässt, als er bestreitet, dass „Südwinde die warme Luft des Mittelmeeres 
nach Norden treiben und sie zwingen zur Höhe der Alpen hinaufzusteigen, wobei sie 
sich abkühlt und den grössern Teil ihrer Feuchtigkeit als Regen oder Schnee absetze“, 
so muss ich mich nach unsern vorstehenden Untersuchungen damit, was das Zuströmen 
der Luft aus der Tiefe im Beginn des Föhns betrifft, einverstanden erklären, dagegen 
scheint es mir nicht den Thatsachen zu entsprechen, überhaupt jedes Zuströmen der 
Luft im Süden der Alpen vor Beginn des Föhns zu leugnen und dasselbe erst als eine 
Folge des Föhns zu betrachten. Wir haben gesehen, dass vielmehr längere Zeit schon 
vor Beginn des Föhns die Luft in der Höhe über den Alpenkämmen von Süden und 
Westen her in stürmischer Bewegung sich befindet und dieses stürmische Herüber- 
streichen der Luft über die Alpenkämme ist meines Erachtens eben die Kraft, welche 
schliesslich die herabsteigende Bewegung der Luft in den Thälern veranlasst. Sie ist 
zwar keine geheimnisvolle Kraft, sondern, wie ich früher schon geäussert habe, das 
Resultat bekannter physikalischer Gesetze. Die stürmische Bewegung der Luft in der 
Höhe hat eben auch aörodynamische Wirkungen zur Folge. Wenn ein Luftstrom sich 
plötzlich erweitern kann, so entsteht bekanntlich seitlich von der Erweiterungsstelle 
stets ein negativer Druck resp. eine Luftverdünnung. Wie sie zu Stande kommt, könnte 
uns hier gegenüber der bestehenden Thatsache gleichgültig sein; offenbar erfolgt sie 
aber in der Art, dass die nächsten Luftschichten an der Wand infolge der Reibung an 
ihr eine kleinere Geschwindigkeit haben als die entferntern, bei der Erweiterungsstelle 
werden also diese jene überholen und so ein Einbiegen der Luftfaden in den geschützten 
Raum infolge ihres höhern dynamischen Druckes veranlassen; sie reissen dann die 
nächsten Teile der ruhigen Luft daselbst mit in ihre fortschreitende Bewegung herein 
und bewirken damit die Verdünnung der Luft, welche mit dem Manometer nachzuweisen 
ist. Etwas ganz Entsprechendes wird offenbar auch beim Herüberstreichen eines Windes 
über einen Gebirgskamm eintreten müssen. Der Luftstrom wird etwas in den ge- 
schützten Raum hinter der Bergwand einbiegen, die nächsten Luftschichten mit fort- 
reissen und so einen luftverdünnten Raum bewirken, in welchen zunächst nach aussen 
gelegene ruhige Luft im Thalgrund zurückströmt, kurz es wird sich eine Art vertikaler 
Luftwirbel im Thale einstellen, wie wir ihn als Wasserwirbel hinter jedem breiten 


— 80 — 


Brückenjoch eines rasch fliessenden Gewässers in horizontalem Sinne sich vollziehen 
sehen. Wir haben oben zur Genüge beim Beginn des Föhns den niedrigen Druck hinten 
im Thal und den Gegenwind von der Oeffnung desselben her kennen gelernt. Dass 
nun nach und nach am Anfang des Thales immer tiefere Luftschichten von dem obern 
Strom direkt ergriffen werden, bis endlich der Wirbel da verschwindet und der Strom 
von der Höhe das Thal bis auf den Grund erfüllt, also der Föhnsturm dort ins Thal 
heruntergestiegen ist, wie man sich ausdrückt, während weiter unten im Thal noch die 
Wirbelbewegung fortdauert, ist selbstverständlich. Die Verdünnung der Luft pflanzt 
sich also, wie wir es auch gesehen haben, nach dem Thalausgang zu fort, während der 
Druck am obern Ende durch Ausfüllung mit Luft steigt. Diese Ausfüllung mit dem 
obern Strom wird aber nach und nach auch unten erfolgen, bis der Föhn das ganze 
Thal durchbraust. Wir verstehen aber jetzt auch, wie ein Auffrischen des Windes in 
der Höhe neue Wirbel im Thal erregen und ein erneutes oder verstärktes Auftreten 
des Föhns von oben nach unten im Thal zur Folge haben kann. Diese aörodynamische 
Theorie des Heruntersteigens des Föhns ins Thal erklärt auch zugleich sein stürmisches 
und stossweises Auftreten, sowie das namentlich zu Anfang desselben häufig erfolgende 
Umspringen des Windes durch Vor- und Zurückweichen des Wirbels im Thal. Man hat 
früher allgemein und so auch beim Föhn von einem Kampf entgegenstehender Winde, 
z. B. Südwind und Bise gesprochen, als ob man es da mit zwei agressiv aufeinander 
losgehenden Gegnern zu thun hätte und die Luft vielmehr nicht einfach dahin strömte, 
wo der geringere Druck herrscht. Nur wenn die Stelle niedrigern Drucks selbst sich 
verschiebt, wie das bei den vertikalen Wirbeln nach unserer Theorie der Fall ist, wird 
es an einem bestimmten Ort scheinen, als ob bald der eine bald der andere Wind die 
Oberhand gewinne. 


Die Wolken aber, welche bei Föhn immer früher oder später an den Gebirgs- 
känımen auftreten, sind auf den aufsteigenden feuchten Luftstrom jenseits des Gebirges 
zurückzuführen, der aber nicht durch einen in der Tiefe von Süden her kommenden 
Wind hinaufgetrieben, sondern von dem in der Höhe wehenden Südwind gewissermassen 
angesaugt wird, wie wir im Verfolg noch näher sehen werden. 


Um diese Verhältnisse noch klarer zu machen, habe ich in den nachstehenden 
Tabellen die unmittelbar beobachteten Temperaturen, die absoluten und relativen 
Feuchtigkeiten sowie die Bewölkung und dann auch die auf 500 m Seehöhe reduzierten 
Temperaturen der am Uebergang über den Gotthard von Lugano bis nach Sursee und 
Zürich hin gelegenen Stationen unter Beifügung der betreffenden Daten des Rigi zu 
Anfang und des Monte Generoso am Schluss für die untersuchten Föhne mit Ausschluss 
des Sommerföhns je vom Beginn bis zu 7"a. des zweiten Tages, d. h. der vollen Ent- 
wicklung des Föhns zusammengestellt. Die zugehörigen Wind- und Luftdruckdaten 
kann man unsern synoptischen Karten entnehmen. 


I — rw 


1564 Temp. 


71. März A. F. 

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Bew. 
R. Temp. 


Temp. 
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Bew. 


R. Temp. 11,0 


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Bew. 


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$. März Temp. 
INS HIN 

7a. R. F. 
Bew. 
R. Temp. 


6. März Temp. 
A. F. 

22. RB. E. 
Bew. 
R. Temp. 


Temp. 
A. F. 
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Bew. 
R. Temp. 


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_ 90 

7 10 


hs) ll) 


Generoso 


M. 


6,2 


NB. Der Stern bei den Zahlen für Luzern im Jahr 1864 bedeutet, dass in diesem Jahre nicht in 
Luzern selbst, sondern in dem nahen Rathhausen beobachtet wurde; ebenso komparieren in diesem Jahre 
Dagegen stellt der Stern * bei den Bewölkungs- 


an Stelle von Gersau Beobachtungen im nahen Stanz. 


zahlen Schnee und der schwarze Punkt ® Regen dar. 
Die um Sh a. statt 71 a. in Bellinzona beobachtete Temp. ist am 6. März 1872 offenbar um mindestens 
5° zu hoch, wahrscheinlich infolge Versehens beim Ablesen. Reduktion von Sh a. auf 7h a. ungefähr —0%,5; 


also riehtigerer Wert ungefähr 3°.1 und in 500 m: 19,8. 


11 


) e = ‚a = Z 
= 57. 5 Bu eh 
Bee Er a ee 

1872 
6. März Temp. -00%4 305 90 80 98 907 104 — — -11 507 — 55 604 409-101 
mm nm mm mm mm mm mm mm mm mın mm mm mm mm mm mm 
IN] Du a a N N he EN = 
El op, IE 1 Et FE BEER EE Ze 3 —- 3 64 
Bew. 4 3 D) 5 5 2) De 0 10 — 108 108 10® 10* 
R. Temp. 5°,8 3%4 220 85 10%0 9A 1009. — —. 304 119 — 405 501 309 903 
1 Marz Temp: DOOR 124,6 EDRE5Ar 105 A TE SE eo 
ae, 5 Weeze ET ee er 
Ta RF — 71 99° 68° 35 3 3 96 — 96 83 
Bew. 10 10 10 10 10 7 11°. —-— — 10% 10% — 100 10% 10® 10* 
Bllıyn BO De og ee ea le A 

1885 
30. Jan. Tem. 15 -653 -70 50 °— -13 21 73 24 05 -63 34 48 -A3F 1A 0 — 
I ea ea er —159:9, FO 
el ee ee ae ee el 
Bew. 3 1 D) (a 0 0 0) 0 0) 0 0 0) 0) — 
R. Tem. 65 -65 -70 592 0— -16 -22 83 485 42 00 -08 3,8 -52 23 — 
Temp DABEI — 774,97 13,9100= 2837 2231723 220.0 2292 ZI DEE 
IE ass 1 ee Pu Ss Fe er 1X ER (IE te ER Hl en a 
ap R. m 20 68 74 65 u 65 23 Br — 85 _ s5 68 78 2. — 
Bew. 5 10 4 _ 0 10 0) 1) 0) 0) 0) 0 4.109 = 
R. Temp. S4 2,1 1,9 34 _ 359,.13:8. 11025922298 EEA0 EIG 3 al 3,9 — 
Temp 96 220,97 997067 — 76536 10.600079 DET DIE 
A. BR, 095 40- 39 38 — 3,3 44 — 97 — 33 42 42 41 — 
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Bew N) 5 3 30 — 0) >) 3 0 ie) 077071007709 — 
R. Temp. 7,6 -1,1 -2,2 -0,8 En Bla Ho a rl lo rail 0,7 —_ 
3 dan. Damp, LATE 9260700 — 1901057892 71827092261 0,47 0,8. 18008 — 
ons Day nl 3,6 3,9 — ee E30 — 41 An 4,6 — 
zug, OB. I. 50 ee 358 area 655 97009 IT 
Bew. 9 9 1) 6 _ 0) P) 3 0 10 10 10 10 10*® 108 — 
R. Temp. 6,4 -1,3 -23,6 -0,2 — 11702109 235 BIER DD EN DE IE —_ 
1892 Temp. 5,2 ar hr A er elle — A 507 TR 
6Min A. B,.3;415,004,920.05.5,855,320,6:2 725, s2A0 ee OT 
re, ea Bl ss 100 100 94 HH 4 — —_ — — 100 90 93 Si 


— 10 se Ss 10 


Bew. 2. Mo 0 lo ADeE EWR BEE 
Ta er EN a 


R. Temp. 114 12 06 94 22 49 39 132 95 


NB. Der Stern in der Rubrik Bellinzona im Jahr 1885 bedeutet, dass in diesem Jahr an Stelle der 
fehlenden Beobachtungen in Bellinzona solche vom nahen San Vittore gesetzt wurden. 


= 2 
ni = ni = Ss > 
EZ z S = En SU 2 rg = Sul = OL Aa 

1892 
bo Mare Temp. = 9%87 119,6 719%77°89,97 11907 98,6 17011409 9,9508 ° — 758 801905 1008 3058 
mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm 
PNA DE ehe A an I ei Sl Tan NS 
TSERERN 6b GI EBESAr 805 A039 100.84 81 76 
Bew. 1 P) 1 0 1 0 1 2 0 0° — 2% 6 10 9 10 
Belonnn122.02112,6219077 82.7 21107259135172,071542712787 10837 ° — 102,977 92,37 1802 7799,8991 
Im. 55 54 36 48 132. 90 149 34 SS 51 — 5167, 15:05 9107386 34 
AORuE En OTTO AT. 5:0 bo ro. 559 
pp. REF. —- % 9 8 4 U MM —-  - - — 0 9 5 8 
Bew. 0) 1 0 0 0 0) 0) 1 0) 0 — 1 0) 10 10 10 
Bafnpkinae 5423,65, 26 134 37 128156 ran TI 768 
7. März Temp. 6,7 94 08 egal Ferner zer Se — N AN DO SO EIS 6, MINE 
alla ein Ha ln a HER 7,1 Tea 90556 
Ta. R.F. 48 100 96 98 so S3 40 48 E= _ — ,,— ln) Iy} 95.97 
Bew. 3 9 1 0 (0) 0) 0) ”) 0) 0 — . 1 10 10 10 10 
Balemnetl 2:92 94.222 0:35221,62.212:.37,7.95.15.6 15, 4221197 E91 67 7 — E85 77,47 6,9, 77,62 8,7 


Aus diesen Tabellen erhellt zunächst, dass, höchstens mit Ausnahme der Orte im 
Reussthale oberhalb Altorf, der Gotthard, der Monte Generoso einerseits und der Rigi- 
Kulm anderseits am ersten Beobachtungstermin je des ersten Tages höhere Temperaturen 
als die übrigen Stationen nach Reduktion derselben auf gleiches Niveau aufweisen und 
unter diesen drei Höhenstationen der Rigi-Kulm weitaus die höchsten. Hieraus folst, 
dass Rigi und Gotthard schon vor Beginn des Föhns von warmen, aus der Höhe 
kommenden Winden getroffen werden, welche ihre Temperatur über das ihnen zu- 
kommende normale Mass erhöhen, und, wie die spätern Beobachtungen auf Rigi-Kulm 
und Pilatus zeigen, auch relativ trocken sind. In der That sind auf beiden Stationen 
durchweg Südwinde zu dieser Zeit notiert. Aus der höhern Temperatur der obern 
Schichten folgt aber auch das geringere spezifische Gewicht derselben; sie können also 
nicht bloss unter dem Einfluss der Schwere ins Thal hinuntersinken. Der Umstand, 
dass ferner bei diesem Termin die reduzierten Temperaturen von Lugano resp. Bellin- 
zona bis zum Gotthard hinaufsteigen und die absoluten sowohl wie relativen Feuchtig- 
keiten abnehmen, weist sodann darauf hin, dass eine südliche warme Strömung bereits 
auch an den obern Partieen der südlichen Bergabhänge sich fühlbar macht. Jedenfalls 
haben wir also in den südlichen Thälern noch keine aufsteigende Bewegung der Luft. 
Eigentümlich sind im März 1872 und Oktober 1392, am ersten Tag auf dem Monte 
Generoso die nordöstlichen und nordwestlichen, ebenfalls warmen Winde und der nord- 
westliche Wolkenzug dort und über Lugano, während da in der Tiefe ein schwacher Südost 


_- Hd — 


weht, der sich erst später auch auf dem Monte Generoso einstellt. Sollten dies bereits 
Ausläufer der im Depressionscentrum über den britischen Inseln aufgestiegenen und von 
da in den Höhen der Atmosphäre nach Clement Ley und H. Hildebrandsson zum Druck- 
maximum im südöstlichen Europa zurückkehrenden Luft sein? 

Vom Gotthard nach Norden hin erscheinen die Temperaturen in allen Jahren, wo 
der Gotthard kompariert, jedenfalls mindestens für Andermatt, in den beiden letzten 
Jahren auch bis Gurtnellen herunter, um Beträge erhöht, welche die normale Tempera- 
turzunahme nach der Tiefe hin um mehr als das Doppelte übertreffen, also bereits auf als 
Föhn herabstürzende Luft schliessen lassen, was auch die relativen Feuchtigkeiten und 
die Winde bestätigen. 


Gemäss der Formel für adiabatische Kompression trockener Luft: 
© A 2 N ’ 973 p )— | 
ee 273) |(% N 


wo t die Temperatur in Celsiusgraden beim Druck p, und f diejenige beim Druck p 
repräsentiert, ergeben sich nämlich für die Temperaturzunahmen vom Gotthard nach 
Andermatt, nach Gurtnellen und nach Altorf herunterstürzender Luft, gemäss den 
Barometerständen in Altorf: 716 mm, in Gurtnellen: 695 mm, in Andermatt: 640 mm 
und auf dem Gotthard: 590 mm und der Temperatur {= —5° des letztern: 


Andermatt — Gotthard: 69,4 
Gurtnellen — E 13,1 
Altorf — ei 19) 


Nach den vorstehenden Tabellen sind aber die faktischen Temperatur - Differenzen 


gewesen : 
Andermatt Gurtnellen Altorf 

— Gotthard — Gotthard — Gotthard 
1864 7. Marz 2. 69,2 — 72,3 
- 1 p. 7,2 -— lern 
h Sim, ByR>) = 17,0 
8. März Tha. 7,8 — 19,4 
1872 6. März T7ha. DB — 5,4 
“ la 5,4 = 16.5 
lbilagun 4,6 gel 16,1 
7. März ea. 5,2 — 16,8 
1885 30. Jan. 7ha. 6,8 1326 4,2 
# Lupe 4,4 12,3 16,2 
Br Allgun, 7,9 16,5 19,4 


31. Jan. Tha. 6,3 14,5 16,6 


Hieraus ist ersichtlich, dass um 7" a. des 7. März 1864 die Luft vom Gotthard 
bereits bis Andermatt, dagegen noch nicht nach Altorf herabgeströmt ist, dass letzteres 
aber bei den folgenden Terminen auch bereits geschehen war. Um 7" a. des 7. März 
1872 war ebenso der Luftstrom vom Gotthard bis Andermatt, aber noch nicht bis 
Altorf gelangt, während letzteres auch wieder bis zum folgenden Termin 1" p. erfolgt 
war. Am 30. Januar 1885 endlich ist der Luftstrom um 7" a. vom Gotthard bereits 
bis Gurtnellen, aber noch nicht bis Altorf heruntergekommen, das von ihm erst später, 
d. h. jedenfalls schon um 1" p. erreicht wurde. 

So lange als die vorstehenden faktischen Temperaturaifferenzen infolge lokaler 
Ursachen nicht die obigen theoretischen Werte überschreiten, wird durch die Schwere 
das Gleichgewicht der Luft nicht gestört werden, d. h. nur der vertikale Wirbel die 
Luft aus der Höhe herunterführen. Im Allgemeinen ist dies, wie wir sehen, schon beim 
zweiten Beobachtungstermin d. h. um 1" p. nicht mehr der Fall, und es wird daher 
von da an bereits die Luft aus der Höhe längs der Erdoberfläche ins Thal herunter- 
strömen, d. h. also ohne Wirbel das weitere Abfliessen erfolgen, wie wir es 8. 80 
bereits angedeutet haben. 

Von Altorf an nach aussen zu bis Zürich und Sursee sind beim ersten Termin 
die reduzierten Temperaturen wieder niedriger, ja durchweg niedriger als die Tempera- 
turen in der Tiefe auf der Südseite, und die relativen Feuchtigkeiten nehmen nach 
aussen hin allgemein zu. Weder die Winde und die Druckverhältnisse nach Tafel I, noch 
die Temperaturverteilung lassen also zu Beginn des Föhns auf ein Abströmen der Luft 
von Altorf nach aussen hin schliessen. Leider fehlen für den Gotthard wie auch für 
alle andern Alpenpässe und meistens auch für Andermatt Feuchtigkeitsbeobachtungen, 
so dass wir nur aus der Bewölkung gewisse Anhaltspunkte über die Verteilung dieses 
Elementes gewinnen können. 

Das Verhalten der Bewölkung ist zu dieser Zeit, d. h. vor dem Eintritt des 
Föhns, je nach dem vorausgegangenen Wetter und der grössern oder geringern Immi- 
nenz des Föhns ein verschiedenes. Im März 1864 haben wir zu Anfang hell im Süden, 
mit und vom Gotthard an nach Norden hin durchweg halb bewölkten Himmel; im 
März 1872 ist es umgekehrt im Norden bis zum Gotthard hell und von jenseits des- 
selben an bedeckt sich der Himmel nach Süden hin; am 30. Januar 7" a. 1885 ist es 
auf unserer Linie überall hell und nur in Lugano der Himmel halb bewölkt, während 
zum gleichen Termin am 6. März 1892 der Himmel überall fast ganz bedeckt erscheint, 
ausser vom Gotthard bis nach Altorf und Schwyz hin; da aber der Rigi hellen Himmel 
hat, so ist die Bedeckung im Norden der Alpen wohl mehr Nebel in der Tiefe bei- 
zumessen. 

Schon bis zum nächstfolgenden Beobachtungstermin um 1" p. und in gesteigertem 
Masse bis zu den weiteren Terminen ändern sich nun diese Verhältnisse mit der Ent- 
wicklung des Föhns in ganz prägnanter Weise. Der Gotthard hat von da an im März 
1864 und 1372 durchweg auf gleiches Niveau reduziert niedrigere Temperaturen als 


— A 


alle Stationen im Süden und Norden von ihm und am 30. Januar 1885 wenigstens vom 
Termin 9" p. an. Die Bewölkung und Feuchtigkeit nimmt südlich von ihm immer 
mehr zu bis zu vollständiger Bedeckung und Jetztere durchweg von 9" p. an auch bis 
zu eintretenden Niederschlägen zu. Auf dem Gotthard selbst ist der Himmel ausser 
um 1" p. des 30. Januar ganz bedeckt; diese Bedeckung geht um 7"a. des 8. März 1864, 
des 7. März 1872 und des 31. Januar 1885 bereits auch bis Andermatt herunter, ja es 
treten bei diesen Terminen sogar teilweise Niederschläge daselbst auf. Das alles 
beweist, dass sich auf der Südseite des Gebirges mit der Entwicklung des Föhns auf 
der Nordseite ein aufsteigender Luftstrom zu manifestieren beginnt, der sich auch in 
der zunehmenden südlichen bis westlichen Windrichtung an den dortigen Stationen 
dokumentiert und der im Verfolg bis über den Gotthard hinaus sich fortsetzt und so, 
vielleicht in Berührung mit dem Südwest in der Höhe, auch jenseits durch seine Auf- 
wärtsbewegung Bewölkung und Niederschläge zur Folge hat. Auf der Nordseite er- 
fahren vom Gotthard aus innerhalb des Reussthales und am Vierwaldstättersee meistens 
bis gegen Luzern hin die Temperaturen durch den sich entwickelnden Föhn eine un- 
gewöhnliche Erhöhung, so dass sie die auf der Südseite des Gebirges weit übertreffen. 

So steht z. B. am 7. März 1864 um 1"p. einer reduzierten Temperatur von 16°,3 
in Altorf eine solche von 6°,2 in Lugano gegenüber, am 7. März 1872 um 7" a. die 
Temperatur 11°,1 in Gersau gegenüber 2°,1 in Lugano, am 30. Januar 1885 um 1" p. 
13°,8 in Altorf 1°,1 in Bellinzona oder von unreduzierten Temperaturen am gleichen 
Datum und Termin 2°,S in Göschenen 0°,0 in dem nahe gleich hohen Airolo und 10°,0 
in Gurtnellen 2°,2 in dem nahe gleich hohen Faido der Südseite, endlich am 6. März 1892 
“um 1"p. 17%0 im Altorf neben 8°,2 in Bellinzona, 12°%,8 in Göschenen neben 10°,8S in 
Airolo, 15°,4 in Gurtnellen neben 9°,3 in Faidoe. Im Sommer sind diese Differenzen 
im allgemeinen geringer, so haben wir z. B. aın 19. August 1892 7ba. von reduzierten 


Temperaturen: Altorf 25°,4 — Bellinzona 19°%,4 und unreduziert Gurtnellen 24°%,0 — 
Faido 21°,0, Göschenen 19%,9 — Airolo 18°,3. Verhältnismässig den grössten Unter- 


schied zeigen aber jenseits und diesseits des Gotthard die relativen Feuchtigkeiten, dort 
fast Sättigungszustand, hier bis nach Altorf herunter bloss 23°o der Sättigung mit 
Wasserdampf, ja einmal auch noch in Gersau nur 27°o. Auch die absoluten Feuchtig- 
keiten sind im Thal diesseits des Gebirges erheblich (2 mm und mehr) kleiner als jen- 
seits, was auf Verluste der Luft an Wasserdampf durch Kondensationen beim Ueber- 
sang hinweist. Beim Austritt aus den Thälern der Nordseite in den ebenern Teil der 
Schweiz erscheint die Luft durchweg wieder feuchter und nur ausnahmsweise pflanzen 
sich Ausläufer des Föhns als warme südöstliche Winde bis Zürich und Aarau fort 
(7. März 1872, 1" p.) und erniedrigen dort die Feuchtigkeit auf 26 —27”/o. 

Es ist bemerkenswert, dass gerade an diesen beiden Orten, wo eigentliche Süd- 
west- und Westwinde häufig auftreten, der Föhn sich stets als Südost bis Süd mani- 
festiert, also diese Richtung nicht extra durch die Thalrichtung bedingt wird, sondern 
offenbar jener die Alpen überwehenden südöstlichen Strömung als Fortsetzung entspricht. 


Während endlich auf der Südseite des Gebirges die Bewölkung mit Eintritt des 
Föhns auf der Nordseite rasch bis zu völliger Bedeckung zunimmt, heitert der Himmel 
diesseits etwas auf, wenn er vorher bewölkt war und wenn er ganz hell war, tritt all- 
mählich, besonders weiter aussen im Flachland der Schweiz, Bewölkung desselben auf, 
die meistens gegen Ende des Föhns auch da in vollständige Bedeckung desselben mit 
beginnenden Niederschlägen übergeht. Es hält also dort noch einige Zeit in der Höhe 
die warme, trockene, südliche Luftströmung an, wie ja auch die Beobachtungen auf 
dem Rigi es zeigen, bis dann zum Schluss des Föhns westliche, feuchte Winde überhand 
nehmen und auch in der Tiefe sich geltend machen. 

Dies alles zeigt, dass wir es zur Zeit des Föhns in der Schweiz offenbar mit 
zweierlei, zum Teil sich auch wohl vermischenden Luftströmungen zu thun haben, 
nämlich einer die Alpen von Süden überwehenden, zunächst nicht aus der Tiefe jenseits, 
sondern aus der Höhe herabkommenden mehr südöstlichen als südlichen Strömung, 
welche auf der Nordseite in den Thälern vertikale Wirbel erzeugt und infolge dessen 
als Föhn in dieselben herunterstürzt und damit ungewöhnlich hohe Temperaturen und 
geringe relative Feuchtigkeiten daselbst bewirkt, ja unter dem Einfluss lokaler De- 
pressionen noch weiter herabsinkend auch bis ins Flachland der Schweiz hinaus sich 
unter entsprechenden Symptomen ergiessen kann, und sodann eine zuerst nur in der 
Höhe der Atmosphäre über den nordwestlichen Teil der Schweiz, ja auch über dem 
Hochgebirge hinfliessende südwestliche Strömung, die zunächst auch als sinkend warm 
und trocken ist und sich z. B. auf dem Pilatus und Säntis bemerkbar macht. Indem 
letztere mit dem Fortschreiten des Depressionscentrums nach Norden und Osten immer 
mehr westlich bis nordwestlich wird und vom Ozean her feuchte Luft aus der Tiefe 
mitbringt, während anderseits durch Erhöhung des Drucks im Nordwesten der Alpen 
und Erniedrigung desselben im Südosten die ersteren südöstlichen Winde und damit 
auch der eigentliche Föhn ersterben, tritt dann in der Schweiz der Umschwung zu 
trüber Witterung durch jene westlichen Winde ein. 

Was endlich die lokalen Druckdepressionen betrifft, welche sich nach unsern 
synoptischen Karten zur Zeit des Föhns durchweg am Nordfuss der Alpen zeigen, so 
bin ich mit den bezüglichen Auseinandersetzungen des Herrn Billwiller in seinem ein- 
leitend zitierten Aufsatze: „Ueber verschiedene Entstehungsarten und Erscheinungs- 
formen des Föhns“ sowie in seinem neuesten Artikel: „Bildung barometrischer Teil- 
minima durch Föhne“!) insofern einverstanden, als ich den Föhn auch nicht als durch 
diese lokalen Teilminima bewirkt betrachte, dagegen kann ich meinerseits ebensowenig 
dem eigentlichen Föhn als Ursache jener Teilminima anerkennen, wie dies Herr Bill- 
willer meint. Wir haben nämlich gesehen, dass sie nicht bloss während und nach 
dem Föhn, sondern auch einige Zeit vor demselben auftreten, also jedenfalls nicht all- 
gemein durch ihn hervorgerufen sein können. Allerdings sind wohl hievon die in Satz 6 


!) Meteorologische Zeitschrift. 1899. S. 1. Januar. 


Hgg 


erwähnten kleineren Minima in den Thälern selbst auszunehmen, welche wir nach 
unserer Theorie als vom beginnenden Föhn erzeugt zu betrachten haben. 

Entscheidend für die Frage, ob die grösseren lokalen Teilminima am Nordabhang 
der Alpen durch den Föhn erzeugt seien oder nicht, dürfte der Nachweis sein, dass sie 
eventuell auch bei emem Südweststurm auftreten, welcher durchaus von keinem eigent- 
lichen Föhn in den Thälern begleitet ist. Ein derartiger Südweststurm in der Schweiz 
trat z. B. am 8. und 9. Dezember 1397 ein und ich habe demgemäss nachträglich auch 
diesen Sturm noch untersucht, um obige Frage zu entscheiden. 


Sturm vom 8. und 9. Dezember 1897. 


Nach den Wetterbulletins der Schweizerischen meteorologischen Öentralanstalt in 
Zürich entwickelte sich bei hohem Druck im nordöstlichen und mittleren Europa und 
verhältnismässig niedrigem über dem Mittelmeer am 6. Dezember vom Ocean her eine 
Depression im Nordwesten der britischen Inseln, welche sich am 7. Dezember vertiefte 
und nach Westen zu verbreiterte. Der hohe Druck hatte sich im Osten nach Süden 
hin ausgedehnt und im mittleren Frankreich und der Schweiz zu einem lokalen Maxi- 
mum konzentriert, von welchem aus über Italien gegen das schwache Minimum im 
Mittelmeer hin nördliche aufheiternde Winde wehten. Bis zum Vormittag des 8. De- 
zember hatte sich diese Situation dadurch stark verändert, dass sich die Depression im 
Norden sehr beträchtlich, nämlich bis zu: 735 mm Druck im Centrum über der Nordsee, 
vertieft und infolge dessen über Mitteleuropa der Druck überall abgenommen hatte 
unter Entwicklung stürmischer Südwestwinde in Frankreich und dem mittleren Deutsch- 
land. Da hoher Druck im Osten und Südosten fortdauert, so wäre diese Druckverteilung 
der Erzeugung eines Föhns in der Schweiz günstig, wenn nicht als Rest des erwähnten 
schwachen Minimums im Mittelmeer ein lokales Minimum im Ligurischen Meer übrig 
geblieben wäre, so dass z.B. an der Mittelmeerküste Frankreichs nicht südliche, sondern 
nordwestliche Winde gegen dieses Minimum hin wehen. 

In Folge dieser besonderen Druckverteilung zeigt denn auch unsere, in analoger 
Weise wie bei den Föhnstürmen entworfene synoptische Karte von 7" a. des 8. De- 
zember mit Isobaren im Niveau von 500 m zwar niedrigen Druck bis nahe 717 mm 
im Nordwesten und höhern Druck bis 721 mm im Südwesten, aber auch solchen bis 
720 mm im Nordosten, dazwischen sodann einen recht unregelmässigen Verlauf der 
Isobaren und eine Reihe schwacher lokaler Druckminima. Nirgends beträgt die Druck- 
differenz erheblich mehr als 4 mm; am grössten und entschiedensten ist sie zwischen 
Reckingen 722,1 mm und Airolo 721,7 mm einerseits und dem lokalen Minimum bei 
Chur 717,3 mm anderseits, worauf wohl der starke Südwest in Platta zurückzuführen 
ist. Dieser Wind hat auch dort insofern Föhncharakter, als er da die höchste Tem- 
peratur der ganzen Schweiz im Niveau von 500 m, nämlich 6°,9, bewirkte und die 
relative Feuchtigkeit auf den geringen Betrag von 43°%/o reduzierte. In allen übrigen 


De 


N 


Thälern im Föhngebiet und ebenso auch durchweg in der ganzen nördlichen Schweiz, 
sowie besonders im Süden der Alpen sind die Winde nur schwach bei vorherrschend 
westlicher Richtung; nur in Schaffhausen, Porrentruy und Lausanne und sodann auf den 
Höhenstationen des Chaumont, Pilatus, Rigi und Säntis treffen wir stürmische nordwest- 
liche bis südwestliche Winde, in Lausanne sogar stürmischen Süd. Föhn ist nirgends 
notiert. 

Unsere Isobarenkarte von 1"p. des 8. Dezember weist eine etwas regelmässigere 
Druckverteilung auf, indem der nahezu bis 712 mm erniedrigte Druck im Nordwesten 
ziemlich gleichförmig, mit alleiniger Ausnahme des Ostens der Schweiz, gegen Süden 
hin bis 717 mm zunimmt. Nach dem Vergleich mit den umliegenden Stationen ist es 
sehr wahrscheinlich, dass bei der Ablesung des Barometers in Reckingen bei diesem 
Termin ein Fehler von 5 mm stattgefunden hat und der auf 500 m reduzierte Stand 
daher 719,5 mm statt 714,5 mm sein sollte. Alsdann ergäbe sich noch eine Isobare 
von 719 mm von Leuk durch’s Oberwallis bis gegen Airolo hin. Lokale Minima treffen 
wir um den Vierwaldstättersee und im untern Rhonethal. — Der stürmische Wind in 
Platta mit gleich hoher Temperatur und niedriger Feuchtigkeit wie am Vormittag 
hält zwar noch an, wenn aber die Station Ohur bei schwachem Südwest, einer redu- 
zierten Temperatur von 2°,3 und einer relativen Feuchtigkeit von 86°/o und ganz 
bedecktem Himmel Föhn meldet, so beruht dies offenbar auf einem Missverständnis, da 
in Reichenau, Seewis, Ragaz, Sargans, Wildhaus und Altstätten weder Wind, noch 
Temperatur und Feuchtigkeit irgendwie auf Föhn schliessen lassen. Eine zweite Föhn- 
meldung für diesen Termin liegt von Weggis vor, wo allerdings ein kräftiger Südost 
weht, allein weder die Temperatur 2°,6 noch die in Gersau einerseits und Luzern ander- 
seits beobachteten Feuchtigkeiten 89 und 85°/o bei Regen in Luzern und Schneefall 
auf dem Pilatus gestatten, ihm die Bezeichnung Föhn beizulegen. (Ich bemerke hier, 
dass die Barometerstände von Vitznau offenbar um mindestens 1 mm zu niedrig sind.) 
Endlich hat für diesen und den Abendtermin auch Guttannen Föhn notiert, wo bei 
frischem Südost die reduzierten Temperaturen 6°%,2 und 5°%,6 und die Feuchtigkeiten 
63 und 65°/o betragen. Auch in Göschenen haben wir zu diesen beiden Terminen er- 
höhte Temperatur, nämlich 5°,5 bei frischem Südwind, aber die relativen Feuchtigkeiten 
100 und 75°/o; ausserdem zeigen um 1" p. in dieser Gegend reduzierte Temperaturen 
über 5° noch Platta 6°,9, Splügen (Dorf) 6°%,3, Andermatt 5°,3, Airolo 5°%,0 und in Ver- 
bindung damit nach Süden hin Braggio 5°,2, Locarno 5°,4 und Rivera Bironico 59,0. 
Unter den letztern Stationen weht nur in Splügen kräftiger Südwest, sonst überall nur 
schwache Süd- oder Westwinde. Nach alledem ist auch in Guttannen nicht an einen 
eigentlichen Föhn zu denken, und dies um so weniger, als es zugleich im nahen Meiringen 
und auf dem Brünig regnet und schneit, und überhaupt auf fast allen Stationen der 
nördlichen Schweiz Regen notiert ist. Dort komparieren auch vom Jura nach Norden 
hin wieder Temperaturen über 5° (bis 9°,5 im Maximum), während sie von da nach 
den Alpen zu abnehmen und im eigentlichen Föhngebiet sowie auf den Höhestationen 

12 


— WW — 


am niedrigsten sind. Also so ziemlich das umgekehrte Bild eines eigentlichen Föhns, 
was auch die beigegebenen Karten der Verteilung der Temperatur und relativen 
Feuchtigkeit für 1"p. dieses Tages unmittelbar erkennen lassen. 

Bis um 9"p. des 8. Dezember tritt wieder ein allgemeines Sinken des Baro- 
meters um ungefähr 4 mm ein. Ein lokales Druckminimum breitet sich jetzt vom 
Vierwaldstättersee über das Glarnerland und den Wallensee bis zum Bodensee hin aus 
und die von West nach Ost verlaufenden Isobaren drängen sich am Gotthard so zu- 
sammen, dass die Druckdifferenz von Airolo bis nach Altorf fast 6 mm beträgt, also 
insofern die Bedingung zum Entstehen des Föhns nahezu erfüllt wäre. Wie schon er- 
wähnt, haben wir in der That stürmischen Südwest in Platta, stürmischen Süd in 
Göschenen bei südwestlichem Wolkenzug und kräftigem Südost in Guttannen; auf 
diese höhern Alpenthäler beschränken sich aber die kräftigen bis stürmischen Winde, in 
allen übrigen zeigen sich nur schwache Winde. Die Temperaturen (auf 500 m reduziert); 
die Feuchtigkeiten und Bewölkung nebst eventuellen Niederschlägen sind um 9%p. an 
obigen Orten und tiefer im gleichen Thal gelegenen: 


Platta 42,9 59%/o I 

Göschenen 5,5 78 10 

Guttannen 5,6 65 Mi 

Chur 4,0 8 10 

Gurtnellen 7,8 70 10 hegen 
Altorf 4,7 91 10 % 
Meyringen 1,6 100 Ga 5 


In Gurtnellen weht frischer Nord bei westlichem Wolkenzug, in Chur und in 
Altorf schwacher Südwest und in Meyringen schwacher Nordost. Nach alledem kann 
auch jetzt von einem eigentlichen Föhn an obigen drei Orten nicht gesprochen werden. 

Im Jura und zwischen Alpen und Jura haben sich die südwestlichen Winde fast 
überall verstärkt, es stürmt auf Pilatus, Rigi und Säntis von Südwest bis West wie 
um 1"p. Fast von allen Stationen wird Regen oder Schnee gemeldet. 

Nach dem Wetterhbulletin der Centralanstalt von S" a. des 9. Dezember hat 
sich seit dem Vortage die Depression im Norden mit geringer Verschiebung des Sturm- 
centrums nach Westen noch um 10 mm vertieft und damit ist auch im mittleren Europa 
bis nach Italien herunter das Barometer überall stark gesunken und haben sich die 
Winde um die Schweiz nach West gedreht und verstärkt. In Oberitalien zeigt die 
Isobare von 755 mm eine starke Ausbuchtung nach Westen hin mit Tendenz zu einer 
lokalen Minimumsbildung, so dass an der Riviera stürmische Nordwest- bis Westwinde 
wehen. 

Diese Verhältnisse spiegeln sich denn auch in der Druckverteilung innerhalb der 
Schweiz gemäss unserer, hier nicht mehr reproduzierten synoptischen Karte von 7" a. 


=; = 


des 9. Dezember ab. Wir haben da niedrigen Druck von ungefähr gleichem Betrag 
wie am Vorabend im Nordwesten und ein lokales Minimum ebenfalls von 708 mm im 
Tessin, das sich dort seit dem Vorabend durch eine Druckverminderung von 5 mm ent- 
wickelt hat. Eine Zone höhern Drucks von 711 mm ragt vom Genfer See über das 
Berner Oberland und ÖOber-Wallis bis nach Airolo von Westen herein und im Nordosten 
besteht eine solche von 710 mm. Ausser auf den Höhen-Stationen, im Oberwallis und 
Engadin treffen wir stärkere Südwestwinde nur noch vereinzelt in Lausanne, Neuchätel, 
Porrentruy, Basel, Schaffhausen, Affoltern und Sarnen. Feuchtigkeitsgrade unter 60° 
weisen nur Einsiedeln, Luzern und Gersau bei Temperaturen von durchschnittlich 5° anf. 
Niederschläge finden sich an der Mehrzahl der Stationen notiert. 

Die Situation des Morgens accentuiert sich bis um 1"p. des 9. Dezember. Das 
Minimum des Drucks im Tessin hat sich durch Abnahme des Druckes daselbst um 2 mm 
bis 706 mm vertieft. Am Vierwaldstättersee und im Nordwesten bemerken wir lokale 
Druckminima von 708 mm, während in der von Südwesten vom Genfersee bis Airolo 
hereinragenden Zunge höhern Drucks der letztere nur bis 710 mm sich verringert hat. 
Im Thal zwischen Jura und Alpen haben sich die Südwestwinde wieder verstärkt und 
dagegen auf den Höhenstationen etwas abgenommen und in den Alpenthälern finden 
wir nur in Sarnen, Wildhaus und Brieg noch starke Südwestwinde. Da die Luft von 
den Alpen jetzt nach dem südlichen Minimum strömt, so haben wir im Süden überall 
Temperaturen von über 5°, im Tessin sogar bis S° und entsprechend geringere Feuchtig- 
keitsgrade bis 50°. Höhere Temperaturen als 5° und geringe Feuchtigkeiten zeigen 
sich nur noch bei Thun, am Vierwaldstättersee und im Rheinthal bei Chur. Während 
aber im Tessin der Himmel sich aufgeheitert hat, ist er an den letztern Orten wie 
überhaupt durchweg in der Schweiz nördlich von der Alpenkette bedeckt und es regnet oder 
schneit überall bei bis unter 2° hinuntergehenden Temperaturen (Nordföhn-Erscheinung). 

Es erscheint überflüssig, das Ende dieses Sturmes in der Schweiz, welches übrigens 
bereits gegen Abend fast überall eintritt, weiter zu verfolgen. Wir haben gesehen, 
dass bei diesem, in der Schweiz aufgetretenen Südweststurm ebenfalls lokale Druck- 
minima am Nordfuss der Alpen vorkommen, obschon dabei kein eigentlicher Föhn sich 
entwickelt hat und jedenfalls nur in dem obersten Teil der Alpenthäler um den Gott- 
hard schwache Föhnerscheinungen sich manifestiert haben. Es können also diese Minima 
nicht vom Föhn bewirkt sein und wir müssen uns daher nach einer andern allgemeinern 
Erklärung für dieselben umsehen. Dies scheint nicht schwierig zu sein. Bei allen 
untersuchten Föhnstürmen und so auch bei dem letztern Sturm ohne Föhn begegnen 
wir gemäss der cyclonalen Bewegung der Luft um das Depressionscentrum über den 
Britischen Inseln in der Schweiz nördlich von der Alpenkette und in den obern Schichten 
der Atmosphäre selbst über dieser einer mehr oder minder starken und tiefer oder 
weniger tief hinabreichenden südwestlichen Strömung, welche notwendig durch die ein- 
seitige Reibung an den ins Flachland der Schweiz hinausragenden Vorsprüngen der 
Alpenkette horizontale Wirbel und damit die Druckminima erzeugen muss. 


92 


Ja 


Aber auch für die Theorie der Föhnbildung ist der Vergleich des Verhaltens des 
letztuntersuchten Sturmes mit dem der Föhnstürme lehrreich. In beiden Fällen haben 
wir nördlich der Alpen bis zum Depressionscentrum bei den Britischen Inseln eine ganz 
analoge Druckverteilung, welche in der nördlichen Schweiz mehr oder minder starke 
Südwestwinde mit entsprechender Druckerniedrigung bis zum Hochgebirge zur Folge 
hat, ja beim Sturm im Dezember 1897 tritt sogar der Südwest da viel stärker und 
allgemeiner auf als bei den Föhnstürmen, es müsste also das Abfliessen der Luft aus 
den nördlichen Alpenthälern auch da stattfinden und somit ebenfalls ein Föhn entstehen, 
wenn dies die entscheidende Ursache der Föhnbildung darstellte. In Wirklichkeit kam 
es aber in diesem Falle nicht zur Föhnbildung, obschon in vielen Alpenthälern ein 
solches Abfliessen stattfand und sogar, wie wir gezeigt haben, am 8. Dezember 9% p. 
der Druckgradient über den Gotthard die sonst zur Föhnbildung nötige Grösse erreicht 
hatte. Es muss also zum Südweststurm über der Schweiz in Gemässheit jener ceyclo- 
nalen Bewegung der Luft um das Depressionscentrum im Nordwesten Europas noch 
etwas Weiteres hinzukommen, um einen Föhn zu erzeugen. Das ist aber, wie wir 
schon $. 87 gezeigt und ausführlich erörtert haben, eine die Alpen von Süden 
überwehende südliche bis südöstliche Luftströmung, welche unterhalb jener 
Südwestströmung sich geltend macht, und sich auch wohl mit ihr zusammensetzt. 

Es bleibt jetzt bloss noch zu erklären, wie eine solche Strömung neben jener 
Hauptzirkulation der Luft um das Depressionscentrum zu Stande kommt. 

Zu dem Ende ist es notwendig, auf die topographischen Verhältnisse um die 
Schweiz einen Blick zu werfen. Wenn wir die Konfiguration der Alpenländer, wie sie 
z. B. in der Karte der Alpenländer aus Sydow-Wagners methodischem Schulatlas oder 
noch besser in der oro-hydrographischen Ausgabe von J. Randeggers grosser Karte des 
Alpenlandes dargestellt ist, betrachten, so ist sofort klar, dass die Westalpen (Meer- 
alpen, Cottische und Grajische Alpen) vom Mittelmeer bis nach Chambery herauf einen 
ungefähr 3000 m hohen Wall und weiter bis gegen Basel hin der französische Jura 
einen solchen von 1000 bis 1500 m Höhe bilden, dass sodann die an die erstern sich 
anschliessenden Schweizer- und Oesterreichischen Alpen jenen süd-nördlichen Wall nach 
Osten zu stellenweise sogar bis zu 4000 m Höhe fortsetzen und so die ganze Lombar- 
dische Ebene bis Triest hin im Norden abgrenzen, während sie im Süden durch den 
durchschnittlich 1500 m hohen, an die Westalpen sich anschliessenden Apennin vom 
Ligurischen Meer und Mittel-Italien getrennt ist und nur zum Adriatischen Meer hin 
offen bleibt. 

Diese Wälle verhindern nun offenbar, dass die Luft in der Lombardischen Ebene 
bis zu etwa 3000 m Höhe und die im breiten Thale der Schweiz zwischen Alpen und 
Jura bis zu ungefähr 1000 m Höhe sich bei den fraglichen Stürmen unmittelbar an der 
cyclonalen Bewegung um und gegen das Depressionscentrum im Norden beteilige. Indem 
also die Luft in der Tiefe da nicht wie in Frankreich und Deutschland durch wärmere 
und feuchtere Luft ersetzt und durch Abströmen verdünnt wird, bleibt der Druck über 


diesen Gegenden höher als westlich und nördlich von ihnen. In der That haben wir 
in unsern synoptischen Karten durchweg von jenseits des Jura zur innern Schweiz eine 
Druckstufe konstatieren können, auf welche dann eine zweite viel höhere am Hoch- 
gebirge der Alpen folgte. Bei allen untersuchten Föhnstürmen finden wir auf den 
synoptischen Karten ‘der Wetterbulletins Isobaren, welche längs der Alpenkette von 
Oesterreich bis zum Mittelmeer, ja häufig auch unter Umbiegung daselbst längs der 
ligurischen Küste und Oberitalien bis zum adriatischen Meer hin verlaufen und so das 
Gebiet höhern Druckes über der Lombardischen Ebene und weiterhin im Südosten 
Europas von dem niedrigen Drucks westlich und nördlich von den Alpen abgrenzen. 
Da haben wir denn auch in der Tiefe nur schwache Winde oder Windstille, während 
die von Westen herströmende Luft in der Provence nach Nord abgelenkt wird und 
gemäss der besondern Druckverteilung an den Südküsten Frankreichs südöstliche bis 
östliche Winde auftreten. Die höhern Schichten der Atmosphäre, etwa von 4000 m an 
aufwärts, können sich dagegen ungehindert auch über den Alpen und südlich von ihnen 
an der cyclonalen, im dieser Gegend südwestlichen Strömung beteiligen, wie dies zur 
Föhnzeit konstatiert ist. Indem sie aber dabei auch tiefere Luftschichten in diese Be- 
wegung hineinziehen, kommen für diese gemäss der erwähnten besonderen Druckvertei- 
lung von Südost nach Nordwest und sogar von Ost nach West gerichtete Druck- 
komponenten hinzu und so bilden sich in den tieferen Luftschichten nächst den Kämmen 
des Hochgebirges südöstliche bis südliche, die Alpen überwehende Winde aus, und, indem 
auch diese allmählich die tieferen Luftschichten in der Lombardischen Ebene mit fort- 
reissen, führen sie den Alpen von Süden her aus dem Adriatischen Meere stammende 
feuchte Luft zu, welche dann bei ihrem Emporsteigen am Gebirge die Niederschläge 
auf der Südseite der Alpen bewirkt. 

Diese topographischen und davon abhangenden besondern Druckverhältnisse machen 
es aber auch unmittelbar verständlich, warum gerade in den nördlichen Alpenthälern 
der Centralschweiz der Föhn besonders häufig auftritt. Bei den italienischen Seen um 
das Tessin weist die Lombardische Ebene eine starke Ausbuchtung nach Norden zu auf, 
an welche sich über die Seen hin niedrigere Teile und Pässe der Centralalpen an- 
schliessen, so dass da jener südlichen bis südöstlichen Strömung gewissermassen ein 
kürzerer und bequemerer Weg gegen das nördliche Auflockerungsgebiet hin darge- 
boten wird. 

Dieser die Alpen überwehenden südlichen Luftströmung gemäss ist es nun unserer 
Theorie zufolge unmittelbar verständlich, warum in den von Süd nach Nord gerichteten 
Alpenthälern, mit Gebirgsabschluss nach Süd hin, also im Bovernier am Nordfuss des 
Catogne, im Thal von Ormont am Nordfuss der Diablerets, im untern Rhonethal von 
Martisny bis zum Genfersee hin, im Zermatt-Thal und Saasthal, in den süd-nördlich 
gerichteten Thälern des Berner-Öberlandes, besonders im obern Aarethal, im Engelberg- 
thal, im Reussthal, in den Thälern der Linth und Sernf, im Medelsthal (Platta), im 
Hinter-Rheinthal, im untern Rheinthal von Chur zum Bodensee hin, im untern Toggen- 


— 94 — 


burg nördlich von den Kurfürsten und in den Thälern des Appenzellerlandes nördlich 
vom Säntis auch wieder bis zum Bodensee herunter starke Föhnwinde zu Stande 
kommen. Der Föhn in den Querthälern, d.h. von Ost nach West verlaufenden Thälern 
wie im mittleren und oberen Rhonethal, im obern Thal der Saane, im Grindelwaldthal, 
im mittleren Aarethal von Meyringen bis Thun, im untern Teil des Vierwalılstättersees, 
im Wallenseethal, im Vorder-Rheinthal, im Prättigau (Closters) und obern Toggenburg 
(Wildhaus), dürfte als sekundäre und daher auch schwächere Erscheinung zu erklären 
sein. Indem nämlich der Föhn in den erstern süd-nördlichen Thälern gegen ihr Ende 
hin den Luftdruck vermindert, wird auf die Luft in den seitlich gelegenen Querthälern 
ein Zug ausgeübt, so dass auch da eine abwärts gerichtete Strömung eintritt. Die 
südöstliche Bewegung der Luft in der Höhe unterstützt eine Strömung im Thal von 
Ost nach West, so dass zur Zeit des Föhns in am Östend geschlossenen Thälern föhn- 
artige Strömungen und Erscheinungen weniger auftreten. 

Die südliche Luftströmung über die Alpen hin hört auf und damit auch der Föhn, 
sowie das besondere, oben charakterisierte Luftdruckmaximum über der Lombardischen 
Ebene verschwindet und ein Föhn kommt in der Schweiz überhaupt nicht zu Stande, 
wenn wie im Falle des Südweststurmes vom 8. und 9. Dezember 1897 diese spezifische 
Luftdruckverteilung nicht eintritt, also auch die südlichen bis südöstlichen die Alpen 
überwehenden Winde ausbleiben. 

Dass der Föhn in den Oesterreichischen Alpen namentlich nach Osten hin seltener 
als in der Schweiz erscheint, ist durch die bedeutendere Breite derselben, durch die 
grössere Entfernung vom Depressionscentrum und die im Südosten derselben als Hem- 
mung wirkenden Vorberge in Krain und Kroatien erklärlich. In den Westalpen scheint 
der Föhn ganz zu fehlen, was unmittelbar verständlich ist, da hier die südwestliche 
Strömung in der Höhe eine von Italien nach Frankreich hin auftretende Ueberwehung 
des Gebirges nicht würde zu Stande kommen lassen. 

Alle diese Verhältnisse werden künftige Untersuchungen, welche sich 
auf ein umfangreicheres und vermittelst Aufzeichnungen von Registrier- 
Apparaten kontinuierlicheres Beobachtungsmaterial stützen können, im 
Detail bestimmter erkennen und darlegen lassen. Vor der Hand dürfte 
unsere vorstehende Theorie des Föhns den zur Zeit vorliegenden Beobach- 
tungen zu ihrer Verbindung und Erklärung genügen. 

Gegen die aus der mechanischen Wärmetheorie folgende Erklärung der Wärme 
und Trockenheit des Föhns auf der Leeseite des Gebirges ist mehrfach eingewendet 
worden, dass sich entsprechende Erscheinungen an allen von Winden überwehten Ge- 
birgen auf deren Leeseite zeigen müssten und dass doch die bei Triest vom Karst her- 
abkommende Bora sowie die Bora bei Noworossysk am Schwarzen Meere sehr kalt 
seien. Nun sind aber in neuerer Zeit an einer ganzen Reihe von Gebirgen, von denen 
genügende Beobachtungen vorliegen und deren topographische Verhältnisse dies gestatten, 
spezifische Föhnerscheinungen nachgewiesen worden, und durch Entdeckung des Nord- 


— 


föhns in den Alpen habe ich seiner Zeit gezeigt, dass sie nicht an eine einseitige Ueber- 
wehung des Gebirges gebunden sind, was aber die Bora bei Triest und bei Noworossisk 
betrifft, so repräsentiert sie keinen Föhn, sondern einfach an beiden Orten das Ueber- 
fliessen und den Fall stark erkalteter Luft auf einem Hochplateau, welche sich beim 
Herunterstürzen zwar auch durch Kompression erwärmt, aber trotzdem wegen der sehr 
niedrigen Temperatur auf dem Plateau unten doch noch kalt erscheint. So beträgt z. B., 
wie schon Baron F. Wrangell in seiner Abhandlung „Ueber die Ursachen der Bora in 
Noworossisk“ ') angegeben hat, der Temperaturunterschied zwischen Noworossisk und 
dem Hochplateau dahinter zur Zeit der Bora daselbst 10° und mehr, wobei auf dem 
letztern absolute Kältegrade von —17° und mehr vorkommen. Angenommen, die Tempe- 
ratur sei in Noworossisk 0° und oben —15°, so wird sich zwar die Luft beim Herunter- 
stürzen von 550 m Höhe von —15° auf —10° erwärmen, aber dessen ungeachtet doch 
noch in Noworossisk gegen 0° vorher als recht kalt erscheinen, besonders wenn man 
dabei ihre stürmische Bewegung berücksichtigt. 


Vorschlag zur Beschränkung des Begriffes Föhn. 


Im Vorangegangenen habe ich ausschliesslich den Föhn der nördlichen Alpenthäler 
der Schweiz behandelt, weil dort dieser bestimmte Wind wegen seiner Gefährlichkeit 
und anderer besonderer Eigenschaften offenbar zuerst mit einem besonderen Namen be- 
legt worden ist, also seine typischen Merkmale in diesen Thälern am sichersten werden 
zu erkennen sein.) 

Durch unsere Untersuchung haben wir aufs Neue bestätigt gefunden, dass der 
Föhn der nördlichen Alpenthäler ein aus der Höhe herabsteigender stürmischer, vom 
Thalende nach dessen Oeffnung hin wehender, heisser und trockener Wind ist. Er 
entsteht als Modifikation des südöstlichen Teils einer Cyclone, deren Centrum über den 
Britischen Inseln liegt. Die Modifikation besteht darin, dass die infolge davon über 
der Schweiz wehenden südwestlichen, mässig warmen und feuchten Winde durch die 
besondere Konfiguration des Alpengebirges veranlasst werden, sich mit südöstlichen, 
die Alpen überwehenden Winden zu kombinieren und als solche in die nördlichen 
Alpenthäler herunter zu stürzen, wobei sich die Luft durch Kompression stark erwärmt 
und dadurch auch relativ sehr trocken wird. Der bedeutende süd-nördliche barometrische 
Gradient aber, welcher durch Stauung der Luft im Süden der Alpen entsteht, hat eine 
stürmische Bewegung derselben nicht bloss über die Kämme und Pässe des Gebirges, 
sondern weiterhin auch in deu Thälern als Föhn zur Folge und das allmähliche Empor- 
ziehen der Luft aus der Tiefe jenseits des Gebirges durch die südlichen Winde in der 
Höhe bewirkt dort Abkühlung und erhöhte Feuchtigkeit bis zu Kondensationen des 
Wasserdampfes. So entstehen die Gegensätze: heiss, trocken, stürmischer, absteigender 


!) Repertorium für Meteorologie. Bd. V Nr. 4. 1876. 


ge 


Wind und kühl, feucht, schwacher aufsteigender Wind in den Thälern beiderseits der 
Alpen, welche um so entschiedener hervortreten, je heftiger und je länger der Föhn sich 
manifestiert. Dieser Gegensatz ist indessen nicht als durchgängiges Charakteristikum 
des Föhns zu betrachten, wie der untersuchte Sommerföhn gezeigt hat, und ebenso tritt 
auch in der nordwestlichen Schweiz nicht ausnahmslos zum Schluss des Föhns Nieder- 
schlag ein. 

Offenbar wird jeder einen Gebirgszug quer überwehende stürmische Wind auf der 
Leeseite desselben durch Herabstürzen in den Thälern spezifischen Föhn erzeugen und 
es wäre daher die Definition des typischen Föhns allgemein dahin zu modifizieren, 
dass er in den Thälern hinter einem Gebirgszug und zwar besonders in den nahe senk- 
recht zu ihm verlaufenden, einen aus der Höhe herabsteigenden stürmischen, vom Thal- 
ende nach dessen Oeffnung hin wehenden warmen und trockenen Wind darstellt, welcher 
durch eimen das Gebirge von jenseits quer überwehenden heftigen Luftstrom erzeugt ist. 

Da stürmische Winde resp. starke Druckgradienten durchweg im Gefolge von 
Cyclonen auftreten, so ist meistenteils die Entstehung des Föhns an Druckminima ge- 
bunden, die auf der einen oder andern Seite eines Gebirges dahin ziehen. Geht also 
eine Cycelone statt auf der Nordseite der Alpen auf deren Südseite vorbei, so kann in 
den südlichen Alpenthälern auch ein Föhn entstehen, den ich zum Unterschied Nordföhn 
genannt und auch zuerst als Schlussfolgerung der Theorie thatsächlich nachgewiesen 
habe. Herr Hann sowohl als Herr Billwiller haben später noch mehrfach solche Nord- 
föhne untersucht. In verschiedenen Weltteilen sind weiterhin bei von Winden über- 
wehten Gebirgen, wo genügende Beobachtungen dazu vorhanden waren, typische, der 
obigen Definition entsprechende Föhne erkannt worden. 

Mühry und andere haben den Föhn als Windfall bezeichnet. Ich halte es für 
besser, diese Bezeichnung nicht für den Föhn zu gebrauchen, sondern sie nur für solche 
aus der Höhe herabkommende Winde zu benutzen, wo in der That das Heruntersinken 
bloss durch die grössere Schwere bedingt wird, also von einem eigentlichen Fall die 
Rede sein kann. Beim Föhn ist, wie wir gesehen haben, die erste Ursache des Her- 
unterstürzens der Luft eine andere und erst später kommt dann ein eigentlicher Fall 
hinzu. Ein spezifischer Fallwind ist z. B. die oberwähnte Bora. 

Als Fallwind können wir ferner auch die im Centrum einer Anticyclone aus der 
Höhe als spezifisch schwerer herabsinkende kalte Luft bezeichnen. Sie wird sich dabei 
auch erwärmen und dadurch trocken erscheinen und es hängt nur von der Höhe, aus 
der sie zum Erdboden herabkommt, und ihrer Anfangstemperatur in jener Höhe ab, ob 
sie unten von uns noch als kalt oder bereits als warm empfunden werden wird. Wenn 
aber auch jene Umstände derart sind, dass sie am Erdboden als recht warm und sehr 
trocken erscheint, so ist es bis auf die neueste Zeit niemand eingefallen, in einer Ebene 
einen solchen Wind als Föhn zu bezeichnen, bloss weil er warm und trocken ist. Man 
liess sich eben von dem richtigen Gefühl leiten, dass man zwei verschiedene Erschein- 
ungen nicht deshalb mit demselben Namen belegen solle, weil das Endresultat derselben 


— 1 — 


ein ähnliches ist; auch brauchte man die Bezeichnung Föhn nur für Winde in der 
Nähe eines Gebirges.. Nun kann aber eine Antieyelone auch über einem Gebirge zu 
Stande kommen und die Luft aus der Höhe wie in dem von Herrn Billwiller ge- 
schilderten Fall vom 14. April 1398 auf beiden Seiten des Gebirges in die 
Thäler heruntersinken und dabei beiderseits warm und trocken werden. 
Dass wir aber diese, in den Thälern durchweg nur schwachen Winde, wie sie eben der 
Anticyclone entsprechen, wegen ihrer Wärme und Trockenheit als Föhn bezeichnen 
sollen, weil sie sich zufällig im Gebirge manifestieren, während wir sie in der Ebene 
deshalb nicht so benennen würden, dafür scheint mir kein ausreichender Grund vor- 
handen zu sein. Allerdings will Herr Billwiller in seinem eingangs zitierten Artikel 
die Bezeichnung Föhn oder föhnartige Winde auch allgemein auf die aus Anti- 
eyelonen herauswehenden trockenen und warmen Winde sowie auf die bei 
Lagerung einer Anticyelone über den Alpen häufig eintretende Umkehr der 
vertikalen Temperaturverteilung, obschon dabei gewöhnlich gar kein Wind statt- 
findet, ausgedehnt wissen, nur, weil da in der Höhe die aus noch grössern Höhen 
herabgesunkene Luft auch warm und trocken erscheint und Anwohner diesen Zustand 
wohl auch einem Föhn zuschreiben. Ich kann es wohl verstehen, dass Laien in der 
Meteorologie, welche, ohne selbst je einen wahren Föhn erlebt zu haben, nur auf die 
Kunde hin, dass der Föhn ein warmer und trockener Wind sei, jeden warmen und 
trockenen Wind, ja selbst wegen der geringern Fühlbarkeit der Feuchtigkeit auch 
feuchtwarme Winde als Föhn oder föhnartig bezeichnen; da dies sogar, wie wir gesehen 
haben, seitens von Stationsbeobachtern, die den wahren Föhn kennen, geschehen ist. 
Um so mehr scheint es mir aber gerade Pflicht der Meteorologen von Fach zu sein, 
solchen Verwechslungen und Ausdehnungen der Bezeichnung Föhn auf dem eigentlichen 
Föhn ganz fremdartige Luftströmungen entgegen zu treten und auf die spezifischen 
Unterschiede des wahren Föhns und anderer warmen und trockenen Winde ganz ver- 
schiedener Entstehungsweise aufmerksam zu machen. 

Der Föhn ist eine so eigentümliche Erscheinung von Gebirgsthälern, dass ich den 
Meteorologen vorschlagen möchte, diese Bezeichnung wieder auf den typischen Föhn 
unserer obigen Definition desselben gemäss zu beschränken und sogar den Ausdruck 
föhnartig zur Verhütung von Verwechslungen und falschen Deutungen zu vermeiden. 
Man spricht von föhnartigen Winden, wenn es eben einfach trocken-warme 
Winde und nicht eigentliche Föhnwinde sind; warum soll man nicht lieber trocken - 
warm im Gegensatz zu feucht-warm sagen, statt durch die nicht viel kürzere Be- 
zeichnung föhnartig eine Verwirrung der Begriffe, wie sie leider zum Teil bereits 
eingetreten ist, zu erzeugen. So kommt es, dass selbst Stationsbeobachter nicht mehr 
recht wissen, was sie als Föhn bezeichnen sollen, und entweder überhaupt gar nicht 
mehr Föhn notieren, auch wenn der Wind ganz bestimmt als solcher auftritt, oder 
dann jeden warmen südlichen Wind mit dem Ausdruck Föhn belegen, wo von eigent- 
lichem Föhn gar keine Rede ist. Wir haben in unserer Untersuchung genügend Bei- 


13 


ug 


spiele beider Art kennen gelernt. Darauf aber möchte ich noch aufmerksam machen, 
dass man beim Durchgehen der Annalen der schweizerischen Beobachtungen in den 
ältern Jahrgängen viel präzisere Angaben über den Föhn findet und höchstens da und 
dort in Thälern für dort auftretende Winde dieser Art die spezielle Benennung Föhn 
vermisst, weil dieser Name daselbst noch nicht gebräuchlich war. Erst in neuerer Zeit 
finden wir infolge der „Verwässerung des Begriffes Föhn“ vielfach südliche Winde mit 
Föhn bezeichnet, die ihrem Ursprunge nach, ja häufig auch nicht einmal ihren lokalen 
Eigenschaften gemäss diese Benennung rechtfertigen. Das ist mir bei der Zählung der 
Föhnfälle sehr unangenehm aufgefallen. 

Wenn ein Bergführer dem Touristen mit überlegener Miene voraussagt, es sei 
Föhn zu gewärtigen, obschon er gar keine bestimmte Notion davon hat, oder wenn ein 
Kanzlist in der Stadt, um sein Wissen zu bekunden, einen beliebigen, durchs offene 
Fenster hereindringenden, warmen Luftzug als Föhn bezeichnet, so hat das weiter keine 
üblen Konsequenzen; wenn aber Fachmänner in Wetterbulletins, Zeitungen oder Zeit- 
schriften aus Bequemlichkeit von föhnartigen Winden, ja sogar direkt von Föhn 
sprechen, obschon die betreffenden Winde mit dem eigentlichen Föhn gar nichts zu 
thun haben, sondern höchstens Wärme und Trockenheit mit ihm gemein haben, so be- 
günstigen sie eben beim Laien eine bedauerliche unklare und verschwommene Vorstellung 
vom Föhn, statt ihn zu belehren und auf die spezifischen Unterschiede des eigentlichen 
Föhn und anderer warmen und trockenen Winde verschiedenen Ursprungs aufmerksam 
zu machen. Der Laie, der häufig nur das Endresultat eines Windes, warme und 
trockene Luft, bemerkt, während ihm der Ursprung zunächst unbekannt bleibt, wird 
vielleicht nach wie vor die schwachen, aus einer Anticyclone herauswehenden warmen 
und trockenen Winde als schwachen Föhn bezeichnen; wenn er aber von Fachmännern 
hört, dass dies kein Föhn war, so wird er allmählich derartige Winde vom Föhn unter- 
scheiden lernen und es wird ihm dann nicht mehr auffallen, wenn auf jene vermeint- 
lichen Föhne die gewöhnliche Folge derselben, Bewölkung und Niederschläge, ausbleibt. 
So würde nach und nach der reine Begriff des Föhns, des so typischen 
Windes unsers Alpenlandes, wieder hergestellt. 


Zürich, 4. Mai 1901. 


Nachtrag. 


Herr Professor Pernet hat mir freundlichst in seinem Laboratorium des eidgen. 
Physikgebäudes seine Unterstützung zu folgendem Experiment gewährt. Auf zwei an- 
einander geschobenen Tischen wurde mit Glasplatten ein 3 m langer, 0,5 m breiter und 
hoher, oben und an den Enden offener Kanal gebildet, der 0,5 m vom einen Ende eine 
Scheidewand besass. Ueber diese Scheidewand legte man ein 0,5 m breites und nahe 
2 m langes Zinkblech so herüber, dass die Enden schräg abfallend den Boden des 
Kanals berührten und so das Ganze gewissermassen ein Gebirge mit 2,5 m langem 
Thal auf der einen und 0,5 m langem Thal auf der andern Seite darstellte. In beide 
Thäler wurden nebeneinander Schalen mit rauchender Salzsäure und mit Ammoniak- 
lösung gestellt, so dass sie sich mit Salmiakdämpfen erfüllten. Als man nun von dem 
Ende des kürzern Thales her horizontal und etwas oberhalb der Gebirgskante einen Strom 
Kohlensäure durch schwaches Oeffnen des Verschlusses einer Kohlensäurebombe hinbrausen 
liess, entstand im jenseitigen Thal ein deutlicher vertikaler Wirbel mit unten gegen 
das Gebirge hin gehender Rückströmung, der dann aber sehr rasch einem heftigen 
Herunterströmen der Kohlensäure in das Thal unter Herausblasen der Salmiakdämpfe 
aus demselben Platz machte. Sowie indessen der obere Strom durch weiteres Oeffnen 
der Bombe verstärkt wurde, stellte sich sofort wieder jener vertikale Wirbel ein, welcher 
ebenfalls bald in einen einfachen herabsteigenden Strom überging. Im Thale diesseits 
aber erfolgte nicht sofort, sondern nur allmählich ein aufsteigender Luftstrom längs 
dem Abhang des Gebirges. Durch diesen leicht zu wiederholenden Versuch hat also 
meine Theorie des Herabsteigens des Föhns ins Thal eine befriedigende experimentelle 
Bestätigung gefunden. 


20. Juni 1901. 


2 

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Anhane. 


FJahlen-Tabellen. 


In den nachstehenden Tabellen der vollständigen Original-Beobachtungen bedeuten die Zahlen bei den 
Ortsnamen die absolute Höhe des Stationsbarometers über Meer in Metern, ferner geben die in der Rubrik der 
Barometerstände über diesen aufgeführten mit + oder — bezeichneten Zahlen die an ihnen noch anzubringen- 
den Korrektionen des Barometers an (die Reduktion auf das Niveau von 500 m folgt aus dem Vergleich mit den 
Isobaren) und die entsprechenden Zahlen in der Rubrik der Temperaturen stellen die Reduktion derselben auf 
das Niveau von 500 m Höhe dar. Die Stärkezahlen bei den Windrichtungszeichen entsprechen den S. 15 mitge- 
teilten Definitionen und wo zwei oder mehr Windrichtungen nebeneinander durch Schrägstriche getrennt ange- 
geben sind, bedeutet die erste die Richtung des Wolkenzuges. Die dem Schnee in den Bemerkungen beigesetzten 
Zahlen repräsentieren die Höhe des entsprechenden Schmelzwassers. F bedeutet Föhn. Die Zeichen für Regen @, 
Schnee X, Nebel =, ete. entsprechen den bekannten internationalen Vereinbarungen. 


2 Datum Barometer Temperatur _ | Feuchtigkeit | Bewölkung Wind | 
Ort - Bemerkungen 
1564 7 1 9 7 1 9 zu Nee) 7 il 9 
— — | 
+83 
Julier | 7. März||1574,8|: 0,91-0,9| — | | —|:0) 5] 8 NE, | sw;.| SW, 
293m | 8. » 575,0: 09, 10  F nsiEst SInSWr Swan EL SW; 
| 9. » [|573,0|: 04|-1,8| — | — | —|101101 10) sw, | sw, | sw, |xX bis Ab. | 
| a, | 
St.Gotthard| 7. » 586,0 587 ,,0|- 4,01 - 2,2 |-2,8| — | — | — 6| 10 10 > SE, Sz 
3100 S. » [586,0] 585,2] 585,8|- 5,01 - 1,0 -3,8[ — |— |- [10 1010| 5 S, Ss, |%x 
9. » |1583,0| 581,3) 581,51- 2,6 - 1,0 -201 — I — | [1010110 S, S, Ss |%* 
| | +05 175 | | | 
Bernhardin 7. » |587,4| 588,2] 588,0]- 4.41 -1,4 |-2,3[ — | — | — | 0/10) 10| SW, S; S, = | 
2070 8. » [587,4 586,5 587,0[- 3,0 - 1,2 -3,1| — | [10/1010 8 5 | 5 |= *llöım. 
9. » .585,1| 583,0] 582,6-1,41-1,1\-1,2) — | — | — 10110 10| S, 5 | 5 |= x %nn. 
1 16,6 
Grimsel 7. » [1602,1| 601,8] 602,1| 0,4| 2,8) 1,01 92] 76) 69| —| —| —|SW/SE,| W/E, | W/SE, 
1874 8. » |/602,2| 602,2 603,3] 0,61 2,5| 1,8| sa] 77! 96| —| —| —| S/sw, | s/sw, | sw, ||x* 
9. » 598,9] 597,11597,9| 0,2] 0,| 1,2]1001100 s6|—1—|—| SE, | SE, | SE, || 47,1 mm. 
— 0,1 + 6,3 
Sils-Maria | 7. » 606,9] 607,6) 607,9[-3,31 0,7 -0,6| SS) 89] 96] 6) S| 10] W/SW, | W/SWe | SW/SW, || 3,7mm bis Ab. | 
1810 S. >» ||606,8| 606,6| 606,3-0,41 1,5 |-0,3| 97| 90) 97[ 10| 10] 10] SW/S, |SW/W, | SW/W,| Trüb. 
9. » 604,1) 602,91 603,5[-0,31 1,4! 1,1] S8| 94 95] 101 10 10] SWS; | SWS, | .SW/SW, || X 5,4mmg. Tag. 
+10 +62 | | 
Rigi-Kulm 7... >» |1607,0| 606,8] 606,9| 23,5] 48] 42] -—| —- | — | Sı 7) 6| W, Sr W, 
1787 8. » |[605,3| 605,21 6059| 2341 24| 101 —|1-|-| 4 4 a 85 S, SE, || Am 10. X 
9. » |1602,6) 602,2] 603,6| 38) 1,6] 000 —I1— | —| 9] 7/10) 5 SE, W, 
+07 154 | | 
Grächen 7. > |1621,1|620,8| 621,1-0,8| 5,6| 14 — | — | —| 5] 5| 2] E/W, | w/w. | W/W, | 
1632 8. » 11619,9| 619,1) 619,6] 04] 6,6| 22) — | — | — | 7| 7) 7) W/S, |SW/NE,SW/NE,| Föhnwetter. 
9. » 617,0] 615,11 615,9| 3,8| 7,6| 3,61 — | — | —- [10 10 3| S/E, | S/No | S/N. ||Föhnwetter. 
ii 


Datum 


Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind 
Ort 2 i Bemerkungen 
1864 7 1 9 7 1 9 7 1 9817 | 119 7 1 9 
+01 +5,3 | 
Zermatt 7. März || 622,7| 621,9] 622,3|- 3,4] 7,4 1,5] 85 | 48 | 68| 0) 2) 0) SW, NW, SW, | 
1613m || 8. » |621,5| 621,0] 620,6[-3,8| 5,8 | 1,5179 144 | 74| ı| 7) 6| sw, | Ss, | SW, || Windig | 
9. » 618,6) 616,81 617,5[| 5,01 6,0 | 4,7147 | 49 | 38|10| 10] e| sw, | sw, | SW, |ßtürmisch, id.Nacht 
auf den 10. X 
+ 0,6 +46 | 
|Splügen (Dorf) || 7. » ||632,9| 633,8) 633,9|-1,8| 3,6 | 3,11 — | — | —| 3) 8/10] w/sw, ISW/NW/W;| SW/SW, | @ schwach 
1471 8. » |1632,8| 633,0] 6324| 3,8] #1 | 3,3[— | — | —| 910) a| swys, | swjs, | swisw, ||@ 12,9 mm | 
9. » 630,2] 628,3] 628,0] 38] 1,1 | 32] — | — | —| 9)10110| sw, | sw, | sw, ||@ 28,2 mm 
103 +45 
Andermatt || 7. » 634,5] 635,6| 635,6] 2,2] 5,0 | 3,0) — | — -[ 4 7| 0| NE, SW, SW, 
1448 8. » |1634,6| 634,41 634,6| 381 30 | #441 — | — | —| slıol10| sw, | sw, | sw, 
9. » |/631,6| 629,6) 629,9] 3,3] 31 | 3232| — | | — [1010,10] sw, | SW, | SW, |@unax | 
10,9 +49 | 
Platta || 7. » 639,8 639,2 639,9| 0,2] 5,1 | 4,8] 78 | 60 | 61] 1) sl 10|sw/sw| sw/w, | SW/W, || Windig 
1379 8. >» |/638,1| 637,6] 638,2] 5,11 5,8 | 5,6] 58 | 63 | 59| 6| 9/10 aW/SW, | SW/SW, SW, || Windig 
9. » [|635,1|634*5| 634,0 3,8) 41 1,2| 77 | 79 \100 | 10) 10) 10| SW, SW, NE, |@ 17,4 mm, | 
z 10.%X 36,7 mm 
+05 + 4,0 | | 
Reckingen || 7. » |[643,6| 642,7| 644,11-3,6| 62 | 001-|—-| —|]5 1 NW/N, | W/N, N, | 
1339 8. >» ||643,0| 641,9] 641,8| 1,6| 80 | 23,61 — | — | — | 7| sl10 NE, W, NE, 
0,3 639,3] 637,5| 638,2] 4,61 6,8 | 4,01 — | — | — | 10) 10) 10 N, W, W, Regnerisch | 
SE) 137 | 
Weissenstein 7. » 1644,3| 644,31 644,3] 1,0] 3,4 1,01 — | — ! — | 7| 9| 7 = _ = 
1290 s. >» ||643,4| 643,41 649,41 9,4 3,2 1,41 5 OO - — ® 
9. » |1639,2| 639,2) 641,4] 3,0] 4,0 -221 — !— | —| sSl10) 7) — = - | @ 
+0,6 ers 
Closters 7. »  |1653,4 652,8| 653,8| 1,4 10,4 | 4,2159 | 3770| 6 5) 1| E, SW/S, So | 
1195 8. » ||682,8| 651,2] 652,4] 5,01 10,8 | 4,3] 57 | 29 | 58| 4) 6) 2 E, Sg Sı 
9.» 648,7) 647,5| 648,8] 9,7| 88 | 3,01 30 |47 | 93| 5/10) 5 SH SL 1) = 
+ 1,0 +3,1 
Chaumont || 7. » [656,1] 655,2) 655,4] 3,6, S,1 | 7,81 76 |69 | 59| 9| 7| 7| SW, SW, SW; ı@0,1 mm 
1152 8. » ||653,4| 654,5] 654,4] 4,6| 5,8 | 3,81 76 | St | 96 | 7 S| 5] SW, SW; SW, ‚® 1,2 mm | 
9. » ||650,6| 651,01 652,2| 4,4! 3,2 | 1,8|s6 | s6 | 9o| 9| 910] sw, | W, | SW, |A 9,8 mm 
+30 | | 
‚St. Beatenberg 1.0» 656,4| 655,2] 655,7] 3,8) 13,0 |10,3| 67 | 41 | 38| 4) 3) 3| N, SW/S, | NW, 
1150 8. >» |1653,8| 653,6] 654,6| 5,81 12,9 | 4,1] 67 | 4 | so| 2 3] © W, SE, NE, | 
9. » 651,0] 650,6) 652,1] 6,2) 8,1 | 4,51 62 | 76 | 71| 9) 9]10)| NW, NE, [6) Nachts K 
+10 + 9,9 
St. Croix 7. » |\660,9| 660,6] 660,4| 7,1110,1 | 9,1152 | 41 | 49| 9) 7| sS| SW, SW, SW, 1@0,6 mm 
1092 8. >» 658,5 659,8] 658,6] 9,1) 5,2 | 6,9] 44 | 82 | 69] 6/10) 1| SW, SW, NW, |@6,5 mm 
9. » 655,4] 656,0] 657,6| 8,61 3,5 | 1,748 | 83 | 91 [101 1010| sw, | NW, | W, ||@ 13,0 mm 
| +0,9 + 9,9 
| Wildhaus 7. ». |660,0| 659,01 658,5| 3,2 11,0| 34] —| — | —| 2) 3) —| Nwysw | NW/SW E \Bedeckt 
1094 8. >» 1658,21 657,8] 658,9| 7,6| 13,0 | 46| — | — | — | — - E W W Klar 
9. » [655,4] 654,31 656,0] 94 72 | 3] —|— | —| 2) 2) 6| m/s, INW/W,|NW/W|Stürmisch | 
| Il 


Ort 


Datum 


1864 


Barometer 


1 


D-} 


Temperatur 


-] 


1 


| 


Feuchtigkeit | Bewölkung 


=) 


Wind 


Bemerkungen 


Engelberg 
1024 m 


‚ Trogen 
926 


Einsiedeln 


| 910 


Uetliberg 
574 


Auen 
532 


‚ Faido 


722 


Thusis 
703 


\ Castasegna 
700 


679 


7. März 
8» 
u. 72 
TR 
BE 
Ya 
1.2 
8.» 
ver 
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9,» 


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902» 
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9,» 
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9.» 
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9.» 


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9,.n3 
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9...» 


667,1 
664,5 
661,8 


674,5 


1671,8 


668,9 


Ir, 
675,9 


16739 


669,8 


695,0 
695,3 
691,4 


693,5 
692,1 
639,0 


696,4 
696,8 
694,5 


697,0 
695,2 
691,5 


695,1 
692,1 
689,0 


697,9 
695,0 
692,2 


+0,9 
665,7 
664,8 
661,3 
+ 1.0 
673,8 
671,6 
669,7 


— 0,1 
674,7 
673,0 
670,5 


10 
677,1 
675,8 


673,4 
+03 


681,9 
680,6 
677,2 
+0,8 
696,1 
694,2 
689,3 


a7 
699,7 
691,2 
687,2 


+0,9 
697,9 
696,5 
691,3 


+1,33 
695,1 
694,% 
689,6 


+1,0 
694,0 
691,7 
690,2 


+ 0,1 
696,4 
695,8 
691,9 


666,0 
665,3 
662,2 


673,2 
673,9 


670,6 


674,7 
674,6 
671,4 


676,9 
677,3 


674,3 


682,2 
681,6 
678,8 


696,5 
694,8 
659,4 


692,9 
691,4 
687,6 


698,1 
696,6 
690,6 


696,3 
694,6 
689,9 


692,9 
694,1 
691,6 


696,2 
697,1 
694,1 


2:5 
9,8 
10,4 


5,4 
10,8 
10,8 


0,9 
10,1 
10,4 


4,6 
68 
5,4 


3,7 
10,6) 
12,1) 


4,4 
6,4 
6,5 


+ 9,6 
10,0 
9,5 
6,9 
+ 2,0 
5 
14,5 
sl 


+ 1,9 
10,4 
12,5 
6,7 
+1,85 
12,2 
11,2 
6,3 
6 
12,4 
13,0 
10,6 
+ 1,0 
6,9 
6,8 
5,4 


11,0 


| 13,0 


14,7 
9,2 
+ 1,0 
6,2 
6,6 
Dt 
+0,9 
13,6 
14,5 
11,9 
+0,9 
13,8 
16,9 


| 10,3 


1.07 

10,3 
9,7 
8,6 


s0 


SI-1»> 


0 
1 


NE, 
WS/SE, 


101 5W/S/sE, 


3] SW, 
3| Sau 
101 5 
4| W/SE, 
3) SW/SW, 
5 SW, 
W 
— W 
—| W 


3 
10 


5 


NW/SE, 
W/SE, 
S/S, 


Ww/SW 
NE, 
E, 


SW, 
Ww/SW, 
SW/AW, 


E/NW, 
SW, 
WINNW, 


SE, 
SW/SR, 
w, 


sw, 
sw, 
w, 


SW/NR, 
SW/W, 
NW, 


w 
W, 
w 


SW/SE, 
SW/SE, 
SW, 


NW/AN, 
SW/SW, 
NW/NW, 


W/NSW, 
W, 
W/NNW, 


NW/SW, 
SW/W, 
N, 


W 
W 
W 


SW, 
SW, 
NW, 


WSW, 
W, 
W/NNW, 


Heiter 

® stürmisch 
| 2 - 
'®, irüb u. stürm. 


Stürm, m. etwas ® 
Sturm von 2-11 a, 


Regnerisch 


® 
® 11,7 mm 
® 39,0 mm 


® 

® 49 mm 

@® 20,0 mm 
10.@ 38,6 mm 


® 
@ |,) mm 


® 114mm 


Trüb, ® | 
N 
| 


Datum Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind | 
Ort | u R Bemerkungen 
1864 7 1 » 7 1 9 7 1 917 5) 1 1 9 | 
+04 +0,6 | 
Freiburg | 7.März || 699,1) 697,8] 696,9] 2,9) 12,2 | 11,9| 91 | 56 | 61 | 9] 5101| 5, S; S, 
| 630m || 8. » |1696,0! 696,4) 697,2| 4,7| 12,6 | 7,7) 76 |55 |90 | 5] 9| 9| SS, S, Ss ı@ 
9. » 692,6] 693,8| 693,0] 5,4] 8,0 | s,3l so |s6 | sı | 7lıo 9| S, W, W, ||@ 2,3 mm 
| — 0,1 +05 | 
|Chur 7. » 709,9) 701,3] 702,3| 5,5] 16,2 Jı1,al 64 |32 a6 | 3 & a] SE, | SW, | SW, ||Föhnwetter 
| 608 8. » |/700,9| 700,1| 700,7| 10,6| 16,6 | 11,8] 49 | 34 |43 | 7| 5) 5| SW, | SW, | SW, || Föhnwetter 
9. » ||697,5| 696,8| 697,1] 13,0| 10,4 | s,1l 42 | 70 | 77 | 6110,10) Sw, | SW, | SW, ||@16,4mmF. 
| +0,6 +0,55 
Reichenau || 7. » ||703,6| 703,5| 702,9| 3,81 142 | s8S| — | — | — | 2] 5) 2| SW, 5 => 
597 8. » [701,9] 700,8) 701,4| 6,41 15,1 |103|— | — | — | 5! 6) s| SW, Ss _ 
9. » ||698,7| 697,6 697,5] 99 sa | 65 — I — | — | 5llıo 85 SW, _ ,@ 
+06 08 
Bern 7. » |704,4| 703,0) 702,9| 2,0| 13,2 | 11,2] 91 | 54&|67 | 7| 3) 2| E, W, SW, 
| 574 8. » [701,5] 701,5, 702,41 92,6) 12,7 | 6,6] sS ı 58 | 93 | 6/10|10| SE, W, Sn 
9. » |1698,9| 698,8! 700,4] 4,0) 9,4 | 5,9] 95 | SO | 95 | 8[10|10| SE, So NW, !@4,9 mm 
— 0,1 +02 
Schwyz 7. » ||706,5| 704,9| 705,0| 4,3| 13,9 | 11,7) 76 140 |39 | 3] & 0). N Ww, [38 p.8W, 
547 BR), 1 a on | 3 ern i 
Ss. » [||703,1| 703,1| 704,9| 13,0 16,0 | 7,81 38 | 32|78| 3] & 1| NW, SW; + SbD.NEı Starker Föhn 
| ) 5hp.NWı ) 
9. » 700,2] 700,5| 701,9| 11,7) 11,3 | 7,1[ 46 | 65 |so| 910) 4| SW, NW, 
| +08 +03 | 
Marschlins || 7. » |[707,7| 706,6! 707,41 5,0] 15,8 !12,6| 73 | 31 1385| 5] 6) 4 N Ss Sa 
545 Ss. » |706,1| 704,4) 705,5| 12,2] 16,5 |13,8| 41 | 31 |41 | 7| 6) 6| SE, Sz S;.;3 ||Ab. zuw.N, 
9. » |701,7| 701,9) 702,4] 13,11 122 | 7,4139 | 62 | 91) 6) 9 9| SE,, | 5 S |@Abends | 
+06 | 
Sargans 7. » ||710,9| 709,3| 709,7| 7,0 16,9 |11,4| 65 | a6 |46 | 4| a) | w/sE, | se, | SE, |@20mm | 
| 501 Ss. » ||708,3| 707,7| 709,5| 13,0] 16,8 | 10,3| 64 | 28 | 51| 3] 4] 4] SE, S/SE, E, Stürmisch 
| 9. » |)704,0| 704,1| 705,6] 14,0| 16,6 | s,0l 34 |47 |sı | 5| 4!10| S/SE, | SE, E, ||Trüb 
| +0,6 | 
Martigny le > 713,3| 711,6) 711,5| 4,1|10,3 | 9,01 s0 | 63|60| 4 3] 0| SE, SE, SE, | | 
498 Ss. » ||710,8) 709,6) 709,5| 6,61 13,4 | 9,6| 62 | 57 [56 | 3/1101 0| SE, SW, N, | | 
| 9. » 705,6] 704,0| 706,0] 12,0| 16,0 | 10,4] 47 | 42 | 65 | 1010| 3] SE, N, N, | 
| +0,7 — 01 | 
Neuchätel 7. » |711,2) 709,7| 709,1) 6,8] 123,2 | 12,4| 74 | S6 | 57 |10| 6110| W, SW; 3 ® 0,6 mm 
ASS Ss. >» [707,8| 708,2] 709,0] 9,0| 9,3 | 7,1[ 65 | 75|89 | 5110 55 W, W, 1 @® 0,7 ımm 
9. ». ||704,4| 705,8] 706,8| S4 84 | 7za|sı |71|72| Si 7|10| NW, W, 2 |@ 14,0 mm 
+ 0,6 | 
Zürich 7. » |719,5| 710,8| 711,2) 5,6] 13,7 |10,4| Ss4 | 66 |64 | 3) 5| 5| NE, SW, NW, | Schön | 
480 Ss. » 709,3| 709,2) 710,4| 9,11145 | 7,2169 |52 |90| 5) 6| 3] nw, | NW, E, |@windig | 
9. >» 706,6| 707,3| 708,6| 7,01 9,9 | 7,01 83 | 73| 87 | 710/101 N, NW, NE, |@ windig | 
107 — 0,2 
Altstätten || 7. » |712,2 710,6 710,3| 6,2] 13,0\14,4| 66| 62 | a7| 6| 2] ı| sw NE | S/S;, \Am6.n.10, Mirz ® 
| 474 8. >» |708,3| 708,5| 711,1| 15,0] 17,5| s,al aa as | 75| si al ıl Ss, | SWR; | N 
| 9. » |705,8| 706,1| 708,1| 14,4 14,5| 7,5| as as | sl 5) 1110) 5 sw, | NE 


|| Datum 


1864 


1 


l 


Temperatur Se 
9 7 


9 


Bewölkung 
179 


Ä 


Wind 


Solothurn 
441 m 


Stans 
456 


Altorf 
454 


| 
| Winterthur 
| 4 


‚ Rathausen 
440 


Porrentruy 
465 


Kreuzlingen 
431 


Zug 
429 


Aarau 
389 


7. März| 


S. 
3% 


| 


| 
+ 0,2 


| 711,9] 711,2 
|709,0 708,9 


+05 


+07 


+1,0 
| 713,6 
| 712,2 


+10 


712,4 
719,7 
710,4 
+0,9 
716,9, 715,9 
[713,5| 713,2 
[710,4 711,0) 


+11 


716,5) 714,6 


+ 0,6 
720,1) 718,1 


709,1|7 


|713,5| 710,3] 7 
709,0) 707,91 7 
| 704,6) 705,417 


[714,9| 713,017 


[715,8] 713,4 7 
713,9] 712,1[7 
708,9| 708,47 


1714, 713,2] 7 
7| 711,917 
| 709,9) 7 


710,0) 7 


7| 715,2] 715 
713,3|7 
709,77 


|713,5| 713,61 7 
|710,6| 711,317 


718,9 716,9) 7 
714,3) 714,6 7 


1,8 


5] 13,0 


15,6 


0,0 
2,2 
4,6 


3,3 
14,4 
12,6 


7| 2*%,0 


es 


4*,5 


0,4 
1,6 
92,3 


11,4 
14,6 
10,8 


— 04 


11,8 
10,3 


9,3 


16,0 
10,0 
11,0 


— 0,3 


Chr 
14,2 
10,2 


— 0,3 


13,7 
16,8 
10,7 


— 0,4 
14,4 | 


14,6 
11,1 


9,1] 97 
5,7100 
6,2] 96 


sg 
52] 31 


97 


96 
83 


,s| 92 


11,9 


1,92 
7,0 


9,6100 
7,0100 
7,3100 


76 
sg 
77 


43 
26 


52 


83 
100 


96 


NW, 
NB/SE/NEs 
N, 3 


sw, 
SW, 
NW, 


SW/E, 
NW, 
NW/NE, 


SW 
W 
n obigen Wo 


SW, 
sw, 
SW, 


NW, 
NR/NW, 
E/SW, 


Ikenzug an 


SW, 
SW, 
SW, 


NW, 
SW, 


Schön 
\ Föhnsturm Vm. 


Vn. left. F,,@p. 


Windst. i.d. Höhe, 


Abils. starker Wind | 


@ıhy. 
"@51,0 mn g. Tag 


Hell 
Trüb, @ Föhn 
Trüb, @ 1,8 


2-5 p.W, 
®). 


Datum | Barometer Temperatur Feuchtigkeit Wind | Bemerkungen 
1864 1 ( 1 { 7 1 9 17 Ä { 7 


+05 — 05 | 
Schaffhausen 719,3| 712,2| 717,0 13,7 98 41 3| 6| SW SW/SW, | Stürmisch 

395m 716,3| 715,9| 717,9 12,4 RN c ) W/W, '® 
713,8| 713,4! 715,0| 5,2] 10,6 ( - W/NW, - |@5,9 mm 


0,0 —06 
‚Montreux . » [721,0] 720,0|719,8| 7,5| 14,4 9 6 51 SWNW, | SWyNW, 
385 . » ||717,6| 718,5| 718,1 13,4 13 | 6 10) 11 SW/N, | SW/W, 


| 2 
713,9) 714,6 9,7, 13,8 : S/NE, | S/NW, ©). 


+02 0% 
| Mendrisio ERS 727,4 | 6,1 96 c 3| N, - 
| 355 Sr 3,9) 726,6 I 9,0 98 | 90 | 5 | - |@ 20,3 mm 

| 2| 720,9| 721,91 8,4 11,3 \ © 122mm & 


| — 0,1 — 0,6 
| Morges ; ‚3| 720,0 E 13,5 ( & 3 > S Schön 

| 380 Bm 719,2| 7182| 9,7| 11,1 5|78|94| & 3l s 0 |@2A4mm 
13,1 ® 1,2 mm 


a 
En 


u 


1 
IS) 


| Bewölkt 
® 
® 


72 
7, 


[857 


‚Lugano q : 34,5| 0, 39 | 98 S S a 
275 ? 733,5] 7: 5 9: ‘ % S \@® 14,3 mm 
730,3 h S 0/12,7| 93| < 0 101 9| S '® 23,5 mm 


Bellinzona : 738,0| 739,7, 73° RI 5 7,2 © ( ( \ > ® Nm. 
229 8.02 738,0 737, 3] 6,9 7,9]: % | SW N \@ ganz. Tag | 
734,8| 7: 731,5| 8,0) 8,3 | 13,3 ;S N S ® um Mittag 


1872 
St. Bernhard 6. März || 564,3 561,0|- 5,0 -8,8 

2478 .. >» 560,41 560,2] 560,7|- 8,0| - 6,7 |- 5,7 
560,6| 560,9| 561,5|- 7,81 - 6,4 - 6,0 
561,8| 563,1) 564,3]- 6,2 -4,6 x 


Bernina (Hospiz) 6. 566,7| 565,6| 564,7]- 9,0 7,4 - E | h | 

3340 5 564,1| 565,0] 564,2]- 6,8| - 3,7 |- 6,6 ! ji Ss > Stürmisch 
563,6 563,7| 563,4]- 6,0 5 I- 6,0 
565,7, 565,8 51-12 


+ 0,7 
Julier ). >» 582,2] 579,2 )I-6,0 4 S/W, , S/SW || X in der Nacht 
3337 hs 569,6| 574,7| 57: -5,0 B S/SW 

576,6| 577,0 8 | S/E, | SIE, || 
578,0) 579,1) 580,41- 3,4 D |-1,0 | S/E, > \XKgT.v.9a.an 


* * 


Datum 


Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind Bemerkungen 


1872 7 1 ZEJE2 En BEER E 1 9 u) 
Fr I) l 
| +- 7,6 | | | 
$t. Gotthard 6. März | 592,2) 591,2] 589,2]- 5,4 \- 2,9 -5,7| — 2E O1NO dOlEASıE US/SERD MES% 
2100m || 7. » 11588,4| 589,2) 589,2]- 6,0 |-4,3.-5,0| — | — | 10/10/10) SS; S; SE, ||x 70 cm 
8. » 589,1|589,3|589,8[- 5,3|-3,5 -45| —| —| — [10/10] 10| SE, &; SE, || 150 cm 
9. » ||589,8| 591,7] 592,21- 46)-1,4-1,8| — — 110110110) SS, 51 SE, ||* 3 em 
+75 
Bernhardin | 6. » 11594,8| 594,0] 592,3]- 5,0 |- 2,8 -5,6| — | — | — | 0) 10) 10 Ss S, S, 
2070 7. » 591,4! 592,41 591,9|- 5,41-3,01-4,6| — | — | —[10|10110| $, S, S,; X 6,0 mm 
8. » |591,6| 598,2 592,5[- 461-232 -40| — —| —[10l10l10l $, S, s, ||x 1,0 mm 
9. ». 599,5|593,8|594,8l- s0|-0,21. 3,01 — | — | —|10l10l 10) Ss, = $S, | 1,0 mm 
+72 
Simplon (Hosp.)\| 6. >» 598,3] 597,5) 596,2]- 3,81-3,9 -2,1| — | 00) 3110| SE, U SE || SE, 
2008 7. » |1595,1) 595,7| 595,7[- 48|-4,5 -34| — —| —J10/10/10| sE, | s®, Ss |*x — 
8. » [595,1| 595,2] 596,0- 4,7|-4,3 -34| — | — 10/10) 10| SE, SE, So IR — 
9. » 596,0] 597,1\598,8l- 3,6|-3,4 -2,8| —| — | [10/1010] SE, | SE, Sy = — 


+6,6 
Grimsel 6. » || 609,1) 608,4) 607,0|- 42) 0,6 -2,0| 90| 90| 88 | 0| 10/10) SE, NW/SB; | SE, || — — 
1874 7. >» 606,0] 606,8) 606,31- 3,0 |-0,6 -2,0|100 | 90 96.| 10) 10) 10) SE, SE, Bell & 
8. » 606,2) 606,0) 606,6|- 2,01 1,4 /-0,4|100 | 79| 96 |10| 2! 2| SE, N/S, | N/SW, 
9. >» |606,9| 608,0] 609,0- 0,6) 1,4) 0,41 83| 85| 9411010101 E, SE, E, 


+63 
Sils-Maria || 6. » [6143| 613,gl s13,0|-ı2,1| o,8|-3,6| so| 67| 90| 0] 3l10l SE, |swys, | swjs, || — 

1810 7. » 611,2) 613,0! 611,8l- 3,7) 1,2)-1,4| 92| 62| 74 | 10| 10] 10|sw/w, |sw/w, | SW/W,|| Trüb 
8. » |610,9| 611,3) 611,41- 3,7| 1,0-4,4| 93| 76| s6 | 101 10| 10| ww, |sw/s, | 8 ||= ganz. Tag 
9. » |613,1|613,8| 613,8|- 5,8| 3,0| 0,2| 87 | 63| 95 | 10] 10] 10] swysw, | sw/w, | swsw, |— KK %ı 


+6,2 | 
Rigi-Kulm | 6. » |1615,2|613,4|611,5| 00] 14-041 —| —|1—|0 9 4 8 S Se 
1787 7. >» ||608,9| 609,1) 609,7] 0,0) 3,2] 14 — —10| 5) 7) 8; Ss, S, F? ganz. Tag 
8. » 610,2] 610,6) 611,9] 1,0) 3,6) 14) —ı — | —| 9] 3) 1| $, S, S, 
9. >» |1613,0| 612,8 6152| 3234| #8| 30| —| —| —| 9 7) 3} 5, S, 8, 


+5,9 
Bevers 6. » ||693,4| 620,4| 619,6l-13,4| 1,21-3,2] s#| co| 7s| 1) 3l10| w, | new, | s/sw, 
1711 7. » 618,9) 619,5) 619,41- 3,6| 2,0|-2,0| 93| 61) 74| 9| S| 7 W, SW, SW, 
Ss. » 618,6] 618,8] 619,5|- 1,9| 0,6 |-4,0| S2| 94| S7J10110| 1 So Ss SW, 
9. » |619,9| 620,41 621,8|- 8,2| 3,0) 0,5| 95 | 62| 97| 7) slıo| 5, S Be —ı 
+5,4 
Grächen || 6. » ||627,3|635,5| 624.9l- 04| 50-30] — —| ol10 3 w | mw |ww, 
1632 7. » [693,91 623,2] 623,8|- 14| 42-02] — — | 10| 10 10] w/w, | ww, | W/W, 
8. » ||623,9| 623,71 624,81- 3,0| 561-601 — —|10/ 8| ol sw, | sw, | sw, 
9. » ||6944|695,2l697, 4 1,01 66| 15| —!| —| —-[10l slıol NE, | S/NE, | S/NE, 
+ 4,6 
Splügen (Dort) || 6. >» |1639,9) 639,11 637,7|- 37| 30-14] —| —| —| 2) 510] nyw, | N/8, | N/N.. ||Von Bun. an, 
1471 7. » |636,5!637,1\ 637,1l- 04| #2| 16| —| | —| 9| 7| 7| ww. | ww, | S/Sı || >. dam „» 
8. » |e36,7l63,elearil o6| 18| 1A |) —I 7] 7 al ss, | ss, | ww |x 
9. » |636,7|636,51639,0| 1,0| 3,9| a9| —| —| —| 5| 7| 6] awsw, | wyw, | sw, ||>K 


Feuchtigkeit 


Ort Datum Barometer Temperatur Bewölkung Wind | 
1872 7 1 9 7 1 ) 7 ao ee) 7 1 9 | 
+45| | 
Andermatt || 6. März || 641,5] 641,6) 639,4|- 0,1] 25 -1,1| —| — | — | 0) 0) 0| W, E15 NE, | 
1448 1-22 638,2] 639,2] 638,9]-0,8| 22| 0,51 — | — | — [10| 8] 10 E, E, EB, | 
8:0 639,0] 639,0| 6395| 0,8] 3,5| 1,8| —| — | — [10] 8) 0 E, NE, NE, 
9. » [639,1] 640,1\641,1| 1,9] 239] 401 —| —| —| 510110] NE, E, NE, | 
+42 | 
\ Platta (Medels) 6. » |1648,2| 646,7 645,9| 3,31 41| 0,8| 53) 54| 79| 0) 5/10| SW, SW, SW, | 
1379 7. »  |/644,7| 644,5] 644,8| 0,9) 4,0| 2,7| 77 | 52| 64|10 10/10) SW, SW; SW, 
8. » ||645,0| 644,8] 645,4| 1,8) 3,1| 3,1| 70) 56| 6710| 7) 3] SW, SW, SW; || 
9. » |1645,4| 645,51 647,0| 3.3] 6,7| 5,2] 53] 59| 65|10]) 9] 10) sw, | sw, | sw, | 
+40 
Reckingen || 6. » ||650,7| 649,2] 648,8|-42| 5,6| 0,01 — | —| —| 0/10/| 9| NE, W, N, 
1339 7. » |/648,3| 648,3] 648,5|- 1,01 4,2| 1,8 — | — | — |10| 10] 10| SW, SW, NE, 
8. » 647,9] 647,3] 647,81-5,4| 7,4| 241 —| —| —[10] 6|-4| NE, | SW, | NE, 
| 9. » |1648,5| 649,5|651,0| 34] 50| a8l —| — | — [10| 10/10) NE, N, NE, 
+35 | 
Gäbris 6 =. _ _ 93) 80) 233] —| —| | 0) 0 21 W S, Se, = im Tal 
1953 7. a Aa ze ao le ga als, S, S, 
8.» — | —- | —-[|%46 801 50-|-|—-| 35 1 s S, Sl 
De = Zee | ln el Si, || S, 
+34 | 
Monte Generoso || 6. »  11662,5| 661,4 660,4] 0,51 2,8 /-1,1| 51 4S| 64| S| S/ 10 NW/NE NE, |— — X 
1224 7.» 1659,41 659,9| 660,11-0,1| 0,9) 0,9] 83 | — |100| 1010 10) SE, | AW/sR, | NWSB, | K 16,0 mm 
8. » 1659,01 659,4 659,6| 0,3] 1,3 | 1,1100 | s5 | 93 | 10| 10| 10| sw/AB | SW/NB | AW/sR || >K 1,2 mm 
9. » [659,3] 660,6) 661,4| 0,51 23,1| 1,9| 93) 94) S6 | 10] 10) 10] NK/NW | NWAE | NWÄR | >K 42 mm 
13,4 
Churwalden 6. » 662,6) 662,1] 660,8] 0,61 8,2| 3,61 SS | 36| 63| 0) 5/10 SE, SE/SE; SE, 
1213 7. » [659,2] 658,1] 657,1| 2,01 6,6| 40] 72| 47 | 69] 10,10 10] SE, SE; SE, 
8. » ||656,8| 657,1\657,9| 3,61 7,2| 3,4 51| 49| 63J10] 5) o| se, | SE, | sE, 
9. » |1657,4| 657,5| 659,6| 3,6| 10,8| 6,5| 51| 36 | 66| 5| 4] al swysw, | SE, | sw, 
+ 3,3 
Glosters 6.08 660,4] 658,9) 658,1| 0,6) 7,3| 3,0] 39 | 29| 50| 0) 0| 0 Sy Sn Spa Föhn 
1207 7. » | 656,9| 657,5! 657,7| 5,01 7,3| 44] a2| 34| 40| 6| 7 5| S,, E, S, 
Ss. >» 657,3) 656,6| 658,0] 0,61 7,01 1,6] 71| 35| so] S! 5] 0 1 SE, E, 
9. » [657,6] 657,6|659,9| 2,11 10,3| 5,4 64| 44| 69| s| 6 3| NE, S, 5 
. +31 
Chaumont || 6. » |/664,5| 669,3] 660,1| 1,1| 6,7 | 3,9| S1| 65| 72| 0] 2) 1| NW NE/SW —_ ® 0,2 mm 
1152 7. » |/657,0| 656,9| 657,5] 1,1] 9,6| 6,8| 97| 40 | 5310| 7) 7| se, | swsw, | sw, 
8.» 658,5| 659,6] 660,6] 3,11 8,4| 4,8| 66 | 42 | 65| 9/10) 0) SW, SW, SW, 
9. »  |1660,6| 661,6] 664,1| 4,41 7,6| 7,01 57 | 62| 57] S| 9) 9| NE, N NW, 
+30 
Beatenberg | 6. » [663,4] 661,6 659,6|- 0,3) 8,8] 4,1] S5 | 50| 51| 0) 6| 3| NW, SW, NW, || Alpenglühen Abds. 
1150 7. » |1655,9| 655,5[657,4| 5,3! 11,2] 8,0] 46 | 36) 40| sl alıol S,, | Wiskss | W, || Föhngewölk 
8. » 657,4] 658,2| 659,3| 4,1) 12,0| 3,9] 50| a6| 63| 7| | 0] w, 5.5 | NW, ||Morgen-u. Abendrot 
Ole 660,2] 660,4] 662,9) 5,1] 9,1) 5,2] 58| 61 | 66| 7) 7| 3] SW, Ss NW, 


Datum | Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung | - Wind | 
| ’ 2 R || Bemerkungen 
| 7 1.0 9 7 1 | 9 7 1 | 9E 7 9 7 1 9 
a ___  _ — = = 
| 199 | 
St. Groix 6. März! 668,9) 666,6) 664,3] 0,4] 7,0| 431 88 | 64157 | 0) 1| 2) NE, | NE SW, 
1092m || 7. » 1 661,01660,7| 661,3] 1,2) S,3| 5,4 88 | 51 51 [10 2] 5] NE, | SW/SB, | NW/NRe *ind.Nacht | 
| 8. » 11669,7|663,7| 664,9] 4,9) 8,7| 43| 52 |43 | 70 |101 10) o| NE, | NE, | NE, 1,2 mm 
9. » |664,8| 665,61 668,3] 3,31 7,9| 6,1| 78 |57 75 | 7) 9| o| mE, | sw, | sw, 
1} | 
| | +96 | 
Engelberg | 6. » 675,6 673,01 6714-24 7,3| 6,8| 76 |44 128 | 0] 51 3| SW, | N/sW, | BE, 
1024 7. » ||667,4| 667,5) 668,5] 6,9) 9,5| 7,5136 |29 |35| s| sj10| E, Eu SE, 
8. >» 1669,11 669,21 671,01 7,51 9,4| 3,9135 [4061| 7| 6) 7] SER | SW/B, | SW/SB, | 
9, » 670,8] 671,6] 674,0| 9,4 11,6 | 6,9| 36 | 46 |59 | 6) 7/10) E, SE, SE, 
| +90 
Trogen 6.» 682,7) 680,31 678,6| 1,01 3,3) 5,9| 78) co |39 | 0) 0) ı S N, Ss Ab. Föhn 
926 7. » 11677,5| 676,3| 676,6| 7,11 10,1| 7,5135 | s0|32| 9) 51 ı|l S, Sı 
8...» | 676,8| 676,3| 676,6| 8,1| 11,3 | 9,01 31 |33 37 | al 2] 01.5, S, s, + Föhn 
9.» |1679,1| 679,6| 681,7| 9,3) 16,0| 7,8] 36 |38 |61 | 5| S| 9| S, S, s 
| | +1,9 | 
‚ Einsiedeln 6.» |684,6 682,1) 680,3|- 5,01 8,0| 6,6] SS | 56 139 | 0) 7110| NW, NW, NW, 
910 7. » \678,1| 677,5 678,0| 5,6) 12,2 | 8,41 49 | 29 | 36 [10| 4110| SE, S; SW, 
Ss. » 678,5) 678,6) 680,6] 4,8] 12,4| 2,41 51 |32|77 | # 410) W, SW; ! SW 
9.» 1680,55 680,9! 683,5| 1,1] 15,6) 4,7] 77 |43 |s4| S| 6101| W, SE, SE, 
| r1,8| 
‚ Uetliberg 6. » 1687,41 684,6| 683,7| 121 9,4| 3,41 92 |89 | 90 | 1| 3) 5| W W N = im Tal 
374 7. » 680,7) 680,01 680,0] 4,4| 15,8 | 8,6] 90 | 79 | 70 |10| 3) 3) N, SSW, | SSW, 
8.00» 681,7| 681,6 681,8| 9.6| 17,2| 7,6| 71 |s#|69 | 3] 3) 2 Ss Ss N 
9.» |1683,2| 683,71 685,5| 4,41 11,4) 5,8[87 |69 97 | 4 510 N | sw | w 
| I | 
| +1,5| | 
Vuadens 6.» == — [1.0] 10,1] 2,0] 96 | 62 | 90 | 3] 8| 2] 0 0 0 
s25 TS = 15 | 30] 13,0) 5,1]. 87 | 70 | 71 | 10 7 6 E E ) 
Ss.» | | 3,4 12,8| 93,61 82 |61 1 84|10)10 0) 0 0) 0 
9. >» I — 1,6| 11,6) 6,0] 90 | 64 | S6 | 101 4| N E, Eo 
| + 1,6 | | | 
| Auen | 6. » |l691,2l 688,6 687,7] 14 9,8| 6slas |a6 37| 01 4 6| NE, S/S, || Föhn s. Ohzomp, 
832 7. » |1684,8| 685,8 685,6| 82] 10,6| s,s| 33 |33 |30 | 9) 8jıo| s/s, S/S, ||Föhn | 
| 8. »  |[1685,5| 685,4] 687,01 9,8] 12,0 | 7,6| 27 | 38 | 42 9 6 01 5 SI: S/S; S/S; || Ab.sp. F. nachgel. 


9, » 687,4] 687,1) 689,7| 4,6| 14,8| 9,0| 58 | 41 | 55 | 9| 810] S/SE, | S/SW, 
+ 1,4 | | 


Affoltern 6...» ||692,8) 690,0] 687,5] 0,8| 10,6) 5,0| 77 |54 | 7a| o| ı ı| NE, NE, Wo 
795 7.» |/685,4| 684,3| 685,1] 3,4| 13,0 | 6,6| s1.|46 | 59 [10| 7| 1| NE, | N, | SW, 
Ss.» |1686,1| 686,7| 687,9] 42] 12,2] 5,61 65. |48 | 71 | 7| 6| 0] sw, | W W. | 
9. » |1688,2| 689,1] 691,6) 3,61 11,%| 7,0] 78 |56 |77 | 8110| 9| NE, | NW | Wo | 
Be | | 
lBrusio, 116... | ul 1,9) 801 #41 66 [45 78 | sl 10| 10) 0 Sirl| aw, 
7177 a en re N EN REAITEMESTE A] MEIKE MER) 0) 0 
ey Fr ee ee nt |) 99 0 0 0 
9.» —_ _ — | 3,7) 5,5| 40| 72 |83 | 97 [10] 1010| 0 0 0 ® 


[7 


Datum || Temperatur Fenchtigkeit | Bewölkung Wind 
1895 | | 


H10 

Thusis 700,6) 698,5 698,2] 2,0| 13,0 3 8] N/W, S; || Von 10h a. an F? 
7llım 10% 696,9| 697,2) 697,4 3 10,9 | 8, B) ) S/SE, | E/SW;, | | Föhn 

696,9) 696,71 695,2] S2113,3 | 7, 35 | 58 | 01 sW/W, | S/SE, | | 

697,6) 697,1) 698,5] 4 Sal: 50 |: 578 10] SW/SW, | SW/SW, | 


Castasegna || 6. »  |[|705,0) 703,5| 702,7 | 8; BR D: | 910 SW - 7,0 mm 
700 . >» |1709,6| 702,8) 702,0 55 | 45 Ss 10 ® 27 mm 

) 701,6) 701,81 702,0] 331 53 | : sb | SS | E ) D ® 4. nm 

702,2) 703,0) 704,1| : 5,6 | 38 { 10 ®43 mm 


+1,0 : = Vorher wolkenloser 
St. Gallen . >». |703,9| 701,5 699,3]- 3: 0 | i | 5 N ! Tag, abds. Föhn 


679 3 697,2 696,5| 697,0 9| 13 ( Ss ; F., Dreli, d. Windf. 
696,8| 697,0) 699,0 
699,5 699,& 702,6 


707,7| 705,8! 702,9|-2,8| 0,9 | : y 2 NE, || Neblicht 

700,9| 699,1| 700,3] 6,81 15,8 | 8,6| 52) ! D) NE, | NE, || Alpen klar 
700,7| 701,0] 702,6 9 | 8,4| 43] 2: D) S, || Alpen klar 
703,4| 703,2] 705,7| 5,6| 12,6 ) ; b B NE, | 


Frutigen ;. _ ß Ds ; 0| SI 2 NE/NE, 
640 - Dal I - 5 6 W/NE, Stürmisch 
NW, 


714,3| 712,3| 7 
710,6| 710,8 
710,8) 710,& 
711,3) 711,2 


SW/NW, | SB/W, 
NW, | NW, 
NW, | NW, 
NW, | SW, 


I OU IS 


Reichenau 
597 


| 

| A +05 | | 
| Luzern .. >» |710,5| 707,4| 705,6 5 \ArR | 
(Sonnenberg) . >» 703,5! 701,7) 702,7| 5,&| 15,8 3 530 9) } SE, | Nm.n. Nchts.oft NR, 
590 Ss. » [703,4 703,9| 703,5 5 3358| 8 S | 
705,9| 706,3| 708,8 


+0,9 
713,2) 709,9| 707,6 
705,2] 703,9| 704,5 
705,7| 706,3) 707,61 23,5 
708,2] 708,6] 711,1] 0,9 


\ Datum | 


| Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind 
= | r g& . r Ba ||: ® Bemerkungen 
182 | 7 1 ) Zu le \) Ze | gez n1R59 7 | a 
gu | (u 1 irren | un 0 ae: ur aa Te be] Sri 
| | + 0,4 | | | | | 
Interlaken 6. März || 714,0) 710,7| 708,0] 1,6| 10,0| 7,6.| 69| 55) 59| 0) 0) S| NE, SW; E, Föhn 
571m 7. » 705,3] 704,4] 705,1 6,8| 15,4 111,4 | 7&| 33) 33110110) 7) W, | NE, E, || Föhn | 
8. » 706,4 706,3 708,5| 11,0| 14,6| 9,0| 37 | 37| sı[10,10| 6| =, NE, S, | Föhn | 
9. >» 1708, 9 6,4 | 13,6 | 7,8 | 73| 50) SL| 0)10) S| W, SW, Sa 
| | +0,2] | 
Burgdorf || 6. » | — |. — |. — |-10| 100/62] —/ —| —| 1.1) 9] E/sw | 8/s. | sw, 
550 ns | = | — 7 48 13,8| 68| —| — | — 10) a) 7| w/sw| w/w | sw ||Föhn 
Ss. » || — — 5,2) 13,4 4,6 PZN ee W/S W/S W/S Föhn 
9.» | — — = 1,0| 138] 63| — — —| 4 5| 1| W/S Ws S 
Il + 0,2 2helleT.vorh. 
Schwyz 6. » 1714,41 711,3)709,7| 05| 9,31 9,8| —|57|33| 0| 7| 5[ N, NE, — || Abds. Föhn 
558 7. >. |1706,9| 706,7| 707,3| 10,5 |. 13,9 12,3 | 35| 35) 24[10| 7) 7] Ss | 5 |Föhn | 
Dieey | 707.5 707,5, 709,4| 10,0 | 13,8110,8 | 38| 33| 37 S 4 0) 8 Sr = Föhn | 
9.» 709,9 709,8 713,7 6,1|. 16,8] 9,3 | S£| 52| 65| 9| 9| 9| NE, | SW, ( | 
| | 1.09 | l2wolkenl.Er. | | 
Marschlins || 6. » |[716,8|713,7|713,8) 1,6|.13,6| s,1| 59 s1\51| 0) ı| 5| sE, | 5, | S, 
545 7. » (749,1) 712,2] 712,51 8,9) 14,3/10,0| 49| 35|43| 7| 7 7 S,, Shall She 
8. > 713,3] 711,9,712,9| 9,1) 13,5[10,7 | 48) 4245| 7) 61 0) S,. Ss S, 
9. » |713,8| 712,4) 714,3| 6,2) 15,0 /11,2| 61| 47 |,60| 6| 7| S| NW, | Ss | sw, 
10,2) Zwolkenl.T.v. 
Sion 6. >» |716,8| 713,6) 713,2] 35) 13,6|:8,0.| 70 4&| 58 01 6101 5, Es:3 E, Föhn v. Mittag an 
D44 7. » 711,9) 7105| 713,1) 6,9) 12,8] 9,3| 63) 46 | 61] 9| 9) 0 E, SINE) 5% P’sturm von Mittag 
8. » |711,6711,3|712,5| 9,0| 13,5| 7,3] 55| 46| 66| 910 0] E, E, E, bis Abend 9 
CB 712,2) 712,3) 7154| S,0| 15,6 | 9,8 62 47 | 6610| 5) 5] NE, NE, 0) 
| +0,23 | 2wolkenl.T.v. 
| Ragaz 6.» 716,7) 713,7|713,0|-23,0| 13,6) 8,2| 89) 41) 50| 1] 1] 1| NNW SE, 
| 54 7.» 711,1) 711,7) 711,7| 9,0) 13,2 111,2 57 | 44 \ 46 2 4 3] SW/SE, SE, |; Stürmisch 
Ss. » 713,0] 711,7|7125| 9,2) 50/45, 49| 4 4) 1| S/SE, | S/SE, | SE, ||Stürmisch 
9. » [713,4 712,7|713,7| 9,2 57/47, 52| 2| 2) 2| s/sE, |sw/sE| S/sE 
| | | 
| Sursee 6. » |1718,5| 715,1| 713,7) -3,3 | 10,2| 2,0] 98| 58| 96 0 0| 2] NW E NW | 
502 7. ». 710,7| 708,7, 709,01 2,4#| 15,9| 5,1| 92) 40| 73/10] 5| 2] W/NW| W/SE NW || 
8. >» [711,0] 711,1) 713,4 -0,2| 14,0| 3,2 | 92) 44 | 75 10, 90 NW/NW | NW/AN NW 
9. » 1/713,6| 713,7 716,5 -0,8| 13,5 | 42| 93 54| 99 10) 10, 5) W/W \ SW/AW NW 
0,0 2 klare;vorh. 
Sargans 6. >» —_ — — /-1,0|  5,010,0| —| —| — 10) 3] 3| E/E, |, W/W, | w/s, | 
501 TER — | — | — | 90| 1401114] —|ı —|—| 6 5| 6| W/W, | W/SE,| W/s, ||Stürmisch 
8 >» | — | — | — 1 1001 13,4 |10,8| —| —| —| 4| 3] o| W/SE, | W/SE,| E/W, || Stärmisch 
9. = | — | — I — |: 80) 170[1401 —| —| —| 4] 5| 4] W/E, || W/8; | wyw, ||Stürmisch 
| 0,2 \ 09,0 2wolkenl.T.v. 
| Martieny 6. » |1721,1| 717,1) 717,0) 0,7) 14,1| 9,6| 75| 27\ 35| 0) 7|10| SE, SE; SE, 
| as |7. » |7150|7134|7145| 9,1| 13,.2\10,2| 40| 30| 47 10 10.10) SE, SE, SE, 
| | 8. » |715,6| 714,6| 716,9| 8,8| 16,2| 9,7 | 91| 27| 44J10| 3| o| se, | SE, | SE, 
| 9. » |1716,4| 716,3] 719,6| 6,7 | 17,0110,8 | 75 32] 57| 7| 510) SE, SE, SE, | 


| 
il 
| 
l 


| 
| 


Bewölkung 


19 


Wind 


1 


| Mur 


‚ Altstätten 


DS u ES en 


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Rorschach 


Altorf 


Klar, T.vorh, 


95 
5, 10 
90 
10) 5 
35 
710 
51 0 
Ss 10 
11 3 
9 5 
3 0 
s 5 
10 0 
5 8 
4 0 
710 
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3| 3 
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10 10 
25 
4) 10 
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10 4 


I 17 00 


101 10 
3, vorh, heit. 


4 6 
5 10 
6.0 
6 10 


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NE, | NE, 
NE, | NE, 
NE | NE/NE 
SE/N, | SE/SE, 

SW/SE,| W/MW 


S/N, |sınw, 


0 NW, 
0 | SEys 
0 | NW 


N | ıw 


SWS | W, 
s/nw,| W, 


NW, | NW, 
SE, |SE/SE, 
SSE, | SR/SSR; 
SSE, | SE/WNN, 


sw | NE 
Ss 
L NE 
NE | NE 


fer 


un 
nn 


Alpen sichtbar 


2 Alp. mp2, gu, 
| Klar 


Abendrot 
@i.d.Nacht 0,Imm 


I 21/sh Ri. Tal 
| Föhn? 

| Föhn bis Ab. 
| Föhngewölk i. Süd 


Schiehtenwolken 


| Pederwolken 
\ Streifenwolken 


Temperatur 


Feuchtigkeit 


1 


1-11 1 
1-11 


Im 


Bes 


(=) 


SI 1-7 1 
DE 


[85] 


[S 


SI 1-1 1 


17.1 1 


0,0100 | 


4,6 


10,6 
13,8 
125 


97 


10,4 
11,5 
11,6 
10,2 


5,6 
DuD 
3,6 
4,8 


1,0 
7,4 
S,s 
8,8 


98 
94 
96 


| 
| 10. März @ 
| 


ECHT) 


[7 


—ı 
2 = 


| Nachm. hell 


Bemerkungen 
N) 


| Ab. leicht. F. 
NB% NE RE 


F.v. 5hp.an 
‚Föhn 
Föhn 


v. 9b p. Föhn 
Föhn 


je 
jet 


Datum | Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind Bemerkungen 
1872 |) { I « | ONE RR | 
0,4 | IR 
| Aarau 6. März || 797,6| 724,4! 722,0]-3,8| 10,2| 3,0l100 | 56| sı| 0 0) 2] sE | SE, | SE, 
l | „Ir r| 1 | a1 
| 406m || 7. » |1719,6|1717,6|718,9| 23,9) 17,4| 4,8[ 91| 97] 74| 7) al ı| SE SE, SE, 
8 » |719,8| 720,0] 721,7) 0,6] 17,1) 5,2| 94] 37 | 77| 5) 2] 0| sc, | sw, | w, 
9. » |[798,5| 722,8) 725,0|-0,7| 12,8| 6,5| 96| 51 | 83) 4] 5 0) sw | SE, SE, 
| | | 
- | | 
ZIG | | 
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Montreux 6. » |, .— 0,5) 11,4 | 10,1 — | 0) 5) 0] W/SE | NE/SE | W/W | 
(Vernez) | 7. » |. »- 11,01 1541128] — | — | — |10| 6) 0| S/s, | S/SE | S/SE | 
385 B.- I 1 11,1| 1358| 8,6 en 101 5) 0| S/SE | W/W, | W/W | 
9. >» || _ - 6.18.1140) 28:42 |E2 — | 710) 2] SW/NW | SW/NW | SW/AW | 
I} | 
| ai) 1 Tag heiter | | 
| 
Basel 6. » )739,5| 736,0| 733,6-0,3| 9,5 6,5| 91) 59) 72| 0| 0) 7| NE, NE, — | 
| 278 || 7. » 731,9] 729,7\730,1| 5.4| 12,3) 7,6| SO| 53) 87 10 5100 E, W/N; || | 
I} | | = I 
| 8. > |[731,1)'731,6|/733,6| 4,7| 1491| 7,1) 62) 29) 7278| 6) 0) °S, S; | 
9. » 734,6| 734,5| 736,6| 1,7| 11,9| 7,1| 79| 57 | sO 65 8 W, | SW, — 
| 1.0 | | 
Lusano | 6.» 749,4, 740,9| 740,9| 1,7 12,5 | 4,9 97 | 90 | 93| 10) 10) 101 NW/SE| SW/SW | SE — 3,6mm 
7 | | | r r A r 1 r r af “ 
975 7. » \7a0,1|740,3|739,6| 3,11 5,7 | 5,1| 96| s3| 97 | 10 101 10] w/w | SE/W | NW Io 4,1 0,3 mm 
S. | 739,1| 739,0) 738,6| 5,21 9,1| 6,3| 95| 79 8410 0 10) w/W | N/W | W (0 03mm — 
|| 9 739,5 740,3| 7412| 5,11 7,7 | 6,5| 96 | 87| 93 | 10] 10) 10] wyw | nwusw | swynw J— 2% 1,0mm 
| 10 1 Tag heiter | 
| o n r r r 
St. Vittore | 6. » |742,7| 740,8) 740,8| 1,2] 10,6 | 5,5] SL| 54 93] 1] 8 10|NE/SW| SW SW, ‚Abends @ 
368 || 7. » |740,3| 741,01 740,0) 34] -6,5| 3,7] 96| 83) 9710110 100 5% | 5 —  /@ 14,3 mm 
8. » 739,41 739,2| 739,3] 3,7] s,6| 5,5] 99| ss| 9410 9 9 — |sws,| — |@1,2 mm 
2 | ie 
9. » 1739,51 740,81 741,9) 43] 71| 53| 93 | 94| 97 [10 1000| — 5 Il 1,5 mm 
Be LT. wolkenl. | | 
Bellinzona || 6. » || - — 86) 9,8] 6,4 - — | 23) 7110| NE/E | S/SE "MM 5mmi.d.Neht, 
231 7. NEIN 541 80| 60) —| —| —|10| 10| 10) S/SE S/SE \@0,5 mm 
8. >» —l — 585 94| 7,01 —| — | — (10) 10/10| S/SE | S/SE | S/SE |@0,S mm 
9. » — \ı— | 72) 84| 60) —| —| — [10/10/10] S/SE | S/SE | S/SE |@1,5 mm | 
|| | 
1885 I4 ; 7 + 7,7 be Ä £ \ £ | Ip. | 
Säntis 30. Jan. 561,5] 560,5] 558,6|-2,4| 0,1|-21| 42|5/|65| 1 2| 7| S, SW, SW,  Girri = Tal 
9467 31. » [556,1] 557,1) 558,4/- 3,4 - 2,9 |-7,3| 75| 71| 77| S| 7) 4 SW, | SSW, | SW, . Ebene hell 
1. Feb. ||559,3| 560,1| 562,4|- 3,2] - 1,8 |-5,0| 61 | 79 | 95| 9) 7| 1ı| wsw, | SW, | 
| _ = = car rar sau ||a 
9. » 11563,7| 561,8] 558,7]-5,0/ - 0,3 |-2,4| 78 | 49 | 70| 1) 5) 9| SW, SW, | SSW, | Sturm 
3. » 1553,92 559,9| 553,2|- 2,3[-1,3 |-9,3| 74 | 79 |100| 7) 9/10| SW, SE, W, | res ener 
| | 
| | er] | 
St. Bernhard |) 30. Jan. 1561,9 560,91 559,3]- 7,01 -4,8|-82| —| —| — | 1| 7|10| SW, | SW; | SW; , Stürmisch X 
9478 |31. » |557,5| 557,9) 559,5|- 7,3] -7,2|-9,3 — | —[10| 1010) SW, | SW, | SW, | X Stürmisch 
1. Feb. || 560,3 561,0) 563,1|- 8,8) -6,4 5,2] — | — | —| 910/10] SW, | SW, SW, | %* 17,5 nm 
| 2. » [1563,8| 562,65 -651 — | — |) —[;7| 7100| NE, | SW, | SW, |[Stürmisch | 
3. » |1554,1|552,5|553,7|- 7,0 -5,7 |-95| — | — | — [10/101 10) sw, | sw, | NE |x 3,6 mm 


‚Julier 


393537 m 


2100 


Bernhardin 
2070 


| Sils-Maria 
ISsıl 


I 


Rigi-Kulm 
1787 


Bevers 
1711 


Grächen 
1632 


St. Gotthard 


30. 
Ip 
|| 2 


613,6 


620,1 


| 613,3 


 1988,3| 588,2 


585,9 


1 


5ss,l 


590,7 


582,2) 5 


605.2 


6102 
604,2 
608,5 


6021 


615,0 
619,1) 
622,0 


624,0) 


620,5 


|| 626,7) 625,6 


617,5) 615,6 


21-40 


41 


1,9100 
2 1-0,41100 | 


—2a1 


2,6 
-1,7 
0,8 


3,6 


-5,7 


S/E, |6,0mm K &* 


Ik x | 


2,4 mm 


33mm IK 


285mm K X | 


Stürmisch 
| - . 
Vorm. s. stürmisch 


2 


) 


Ort Datum | Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind || Bemerkungen 
| 185 | 7 1 Se zen Wale) ar, 1 9 7. M 
ml — u ann Te ——— — ! ———r a = — 
| | +0,65 | | 
Davos-Platz 30. Jan. || 628,7| 697,4| 626,8 0,3] ss| 39| 70| 1) 1| 1| NE, W, W, 
1557m ||31. » |/624,3| 694,5 627.2 -33| 63) 55) 8S8| 6) 551 3) W, | W, W | 
1. Feb. || 628,6| 628,3| 630,9 -3,1| 70| 74 |100| sj1o) 1| w, | sw, | sw, 
| 9. » 632,3] 630,5) 626,9 3,9] 99 | 37|58| 2 2 4 N, N, N, 
| 3.12 16216 619,0) 620,6 9 \-1,7| 60| 62| 99 8| 8110| W, SW, NE, ||- — 
1 
Wiesen |30. Jan Kt 638,0] 6375 0,5| 55 | 38 | 74| 0) 0) 5| NW, SW, NW, 
1454 131. » 11634,4| 635,2] 637,2 0,0| 66 | 53 | 72| A| 3] 1 NW, SW, | NW, || 
| 1. Feb. || 638,5) 638,5) 639,8 1,6] 77 70| 75] 6) 72) 08 NW, NW, | 
| 2. » [643,2] 641,2] 638,2 52] 91) 61| 58| 0) 3) 7I ©, NW, | sw, 
3 631,8) 629,2) 631,0 -0,4] 62| 70 1100| 4 10 101 SW, SW, NW, I — 
| | +03 | 
| Andermatt |30. Jan. || 6385| 6381| 637,0 0,0| 45 | 55| 60| 0] 0) al sE | sE,, | SE,, 
1448  ||31. » 635,1 635,0) 636,0 -1,0) 65 | 59| 67|10) S}10| W,,;, ı W Wis 
| 1. Feb. || 636,1) 637,3| 638,0 1,1| 70) 50| 60) 7| 8}10| W,, | W; | sw 
| 2. » 640,0] 639,9) 636,9 | 30 64| 50| 67| 0) 1l10| E, Was We 
| 3. » [631,8] 698,7! 698,7 1,1 |-3,1| 95| s£2| s5| 101 10, 10| w,, | SW NE |* &* 95mm 
| \+0,5 
\ Leukerbad ||30. Jan. || 641,5) 639,4! 638,7 1,5| S9| 64| 59| 01 3} 0| NE E E 
1415 31. » [1636,4| 637,0) 639,9 -1,4| 63| 45 | 69| 4) 4 6| SW sW sw 
| | 1. Feb. || 641,9) 641,9! 641,6 -0,4| 49| 38 | 78| Ss! 10) 0) SW Ss E 
| | 2.» ||644,7| 642,1| 639,1 5,7|100 | 52| 42] 0) s| s| sw SW | NE, ||xX5,8 mm 
3. » |1634,1| 633,3| 634,5 - 1,0] 44, 70100 | 10) 1010| SW, SW sw | 
| — 0,6 
Matta (Medels) || 30. Jan. | 644,8) 644,0| 643,2 2,01 38| 49| 55| 0| 5 9| SW, | SW, | sw, 
1379  ||31. » ||640,8| 640,9| 643,6 0,8 55 | 68| 61| 9| 9] s| sw, | sw, | sw, | x 
1. Feb. 644,3) 644,5| 646,3 2,6| 55 | 56 | 62] 9] 9] 5| sw, | SW, | sw, | 
2. » |1647,6) 646,7| 649,0 4,6] 74| 51) 65| 0) 7) 9| SW, SW, sw, |— — 
3.» ||636,9| 635,3! 636,6 -0,8| 69 | 96 100 | 10) 10 10] SW, SW SW  @iınn® 
| | 
| |+ 0,6 | | | 
Reckingen ||30. Jan. || 647,0) 645,6| 645.9 -9,5| 95| 98) 94| 0) 4 5| SE, SE, SE, | 
1313 31. » |1643,4 643,41 645,9 -3,0| 99| 84 | 96| 9] 6] 5| NW, | SW, | sE, 
1. Feb. | 646,2) 646,4! 648,6|- 3,1 -4,4| 92) 84 95| 9) 8| 0] SE, SE, SE, 
2. » 650,3) 648,7| 646,0]- 7,0 -6,4| 95 | 8s4| 77| 0| 8/10] SE, NE SE, 
3.» [640,9 637,8) 639,6| 0 -1,5| 97.) 99) 9410 10 10) SE, W, SE, ıK %* 
| | 
Braggio 30. Jan | _ _ — 0,01 70 | 43| 99| 0| 2110| SW, SW, SE, || 
1313 a | = -2,0| 91 | 91 | 92| 10/10 10) W, W, w, 1x 
i.iReb.| ea) le -0,7| ss | ss) 96 | 10] 1010| sw, | w, | w, |x 
92 | 3,01 92 | 87| sz | 3) 6] 10) W, | SW, | SE, |— 3 
3.0 | ae -0,3| 90, 92) 99 | 10) 1010| SW, | SW, | SE, x Ki 
| | 
| | | 


Or Datum | Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind 3emerkungen ) 
Ba er re er Pa 8 
| | | | 
| | | +99 | 
Gäbris 30. Jan. || 652,7| 652,0) 648,0 3,2 9,6 | 5,3 12 SIRTO) aa RIESE ES; S, \ In der Nacht Sturm 
1255 m 31. » 646,3) 645,3) 650,5] 62) 85) 2,5] 1S| 15| 23| SI 10 Al S, Sı Se | | 
1. Feb. | 651,4| 651,41 654,7| 3,6| 8,2] 3,6] 22| »0| 39| 9 7) 3| S, SAW 
2. » [654,4 65336493] 501 88) 68 ıs| 613 1 39 Ss | Ss, S; || Orkanartiger Storm 
| 3.» 644,5) 643,6] 646,7) 7,2] 3,6 |-2,0) 16 | 501100| S| 9110| 5, W, W | — x 
| | | 
| | +0,9 +96 | 
Airolo | 30. Jan. | 664,5| 663,3) 660,2|-3,4| 0,0 /-3,0| s2| s5 | s2| 0) 0] 0) NW NW | NW 
1156 |31. >» [is 661,0] 661,9|-0,4|- 0,4 |- 1,2] 92 | 85 | 84 | 10] 10] 10| Remus  |K KR KU 
| 1. Feb. | 663,2 663,5) 664,2]- 1,5) 1,4 |-3,0] 92 | 66 | S3 | 10] 10) 6] NW/NE, | NW/AR, | AW/NB, | 
| 2. >» [664,9] 664,0) 663,5]-5,4| 1,4) 0,2| 78| 82| 85| 1510) 10] AW/AB, | AW/RB, | NW/NE, |— — 40 
I 3 


» 655,8) 653,1| 653,1[-1,01 1,0 -0,2| S6 | 79 | s5 | 10] 10] 10] xw/äk, | NW/NB, | AW/ÄW, || eK K2%8 
| | | | 
| | | | +25 | 
| Beatenberg | 30. Jan. 659,9 658,6) 655,7) 3,2) 82) 491 46| 48 | 51| 0.1010) FE, S, W, 
1150 ||31. » ||654,9| 656,5 3,7 7,4| 0,6] co| 58| ez| slıo 0) 5, SER | SE, 
1. Feb. | 659,0) 659,7) 663,6| 4,9) S,4| 3,6 59 | 58 | z2| 8} 10 2| NE, | SW, | NW, |— @ Linm 
| 2. » 1664,1) 660,1) 655,7| 44] 9,8| 8,4] 59 | 53 | 46| 10,10) 10) NE, | SW, | SW, | 
3.» 651,7) 651,7\ 656,5) 5,61 2,8 |-1,0) 59 | 87 |100| 10) 10 10) Ss, N, N | 8% 
| I+ 0,7 +24 
‚ Chaumont 30. Jan. 662,3) 661,3 660,9| 0,89) 6,5| 1,7) 94 | 93| 99 | 3) 6) 6) SW, SW, sw, | 
1198 31. » |1658,7| 658,4] 659,1| 1,51 6,7| 2,91 99 | 96 | 99 | 6| 6) 4 sw, | SW, | SW, | 
1. Feb. || 661,1) 662,3] 664,9| 2,5] 4,9) 2,9 100 1100 |100 10 10 10) W, W; W © 93mm — 
| 2. » [665,1] 661,91 653,7| 3,5] 6,1| 235| 99 | 991100 | 3) 6/10| sw, | SW, | SW, | 
\ 3. >» 654,2] 655,5) 6585| 23,1) 1,9 |- 1,9] 100 |100 |100 | 10 10) 10 NW, NW, NW, |x 0,6mm — 
aA 
Göschenen ||30. Jan. || 665,4| 665,4 662.2] 24] 2385| 06 —|—- -—)000 5 Ss Sa Zu 
| 1108 |j31. » 116640] 664,1) 663,2] 1,4 236| 14 —| | | 01 0 3 & S, She 
| 1..Feb. || 666,9| 668,2] 666,8| 3,4 48) 36) —| —| | 000 8 S, S, 
2...» |1666,6) 666,2) 663,3] 3,61 6,7| &1 —| | -10 00 5 S Ss, |— FF — 
3. » |657,7| 657,9l 656;,6| 3,8] 1,41-1,0| —| —| — [10] 10] 10| wm, | Wwn | wa |® @© x 
| | +23 | 
 Wildhaus 30. Jan. | — | — — 08 95| 74 —| N 77 SE, SE, SE, || Nachts Sturm 
1096 31.03 = | = Se Bl le 7 SE, SE, SE, 
1.Feb.| — | — | — | 56) 95| 631 —| — | — [10] 3] 0| SE, N, NW, 
9.» _— | — 153 9&l 30) = —| — |: 0) 7 9| NW, Ey Ey, || Nachts Sturm 
Sl dt = 95 6,7) #1] — | — | — [10/10/10| NE, NW, NW I— — x 
F232 
Guttannen |) 30. Jan. | 668,0 666,31 666,6] 7,41 S,1| 6,0) 39| 32) 55| 0) 4 6| SE, SE, SE, ||Sturm 
1070  |31. » 664,5 665,7 666,9| 5,61 47| 42] 57 | 63) 56| 5/10] 0| SE, SE, SE, |Sturm 
| 1. Feb. || 665,7) 667,7) 6 5,01 6,8] 6,4] 56 | 57| 57| S| 7) 0) SE, SE, SE, 
2. » |1671,2) 669,7| 665,7| 6,01 S,6| 6,8] 58| 49) 63| 0] 1/10| SE, SE, SE, 
3.» 661,7 660,0] 663,4] 5,2) 3,4| 0,0] 74 | 91100 | 10) 10 10) SE, SE, Nw, |=- ®@ x 
1 


1855 


Datum 


Bewölkung 


bi) 


— 


Wind 


9 


Bemerkungen | 
7 1 9 | 


Sepey 


| 1051 m 


Saanen 
1023 


Engelberg 
1021 


Chatean d’Oex 
| 970 


Einsiedeln 
910 


Guves 
883 


. Jan. 


» 


. Feb. | 


» 


» 


. Jan. 


» 


. Feb. 


5,6) 674,1 
671,6 
3 675,0 
676,6 
665,8 


0 
677,2 
675,1 
678,0 
680,1 
673,0 


Barometer 
1 9 7 
_ == 1,8 
_ _ 6,6 
— — 9,8 
-- _ 3,2 
—_ _ 7,0 
E— >= -7,9 
= — NA 
_ _ 3,8 
— — |-0,6 
= g 8,9 
+0,9 
667,8! 665,9|- 5,0 
666,0) 667,7| 6,3 
668,9) 672,4] 3,0 
669,8] 664,5] 0,5 
662,0) 665,3] 10,0 
672,2) 669,3]- 5,5 
669,8! 6722] 3,6 
674,8) 677,1| 4,2 
673,1) 668,9] 1,0 
666,6] 670,6) 4,3 


673,2| 1,8 
674,11 6,8 
677,6| 6,6 
6722| 1,5 
669,5] 9,0 


-8,2 
10,0 
9,8 
675,5|- 0,2 
675,61 3,8 


als 


Si 


w 


SI 08 


2 


SW/SW, 
SW/SR, 
SW/W;, 
SWS, 
SWSW, 


SWI/E, 


SW/S, 
SW/S, 
SW/S, 


W/E, 
SE, 
E, 
NE, 
NE, 


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Heisser S abds. | 


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| 1.d. Nacht SW, 81. | 
ie | 
| Stürmisch 
I- © x] 
| | 
In der Nacht Sturm 
| | 


ip, = 7,9 mm 


' Datum Barometer Bewölkung | Bemerkungen 
1885 3 | * | |: 1 | | | 
I j = 2 | > | 
| +05) +15 | | 
Trogen 30. Jan. 682,0) 680,0 677,8| 0,8| 9,61 8,8] 856,43) 63| 0 0 0) &, S, S;  ||Nachis Föhn? 
S76m ||31. » 11675,1] 677,7) 679,0) 9,8) S,4| 6,6) 63 | 79| 64/101 0 0| S, S S; Nachts Föln® 
1. Feb. || 679,3) 680,8) 683,9 \ 3,8] 7160/1001101 0) 0| 5, S% S 
9. » |1684,6| 683,6) 678,9] 7,2| 11,0/10,2| 75) 5455| 0 010 5 S, $, | Heftig. Föhn 
3. » [673,0] 673,4] 677,3[10,8) 7,0| 0,6| 59| sg 100101 1010| S, S, SW.Alle ee 
| | 
+12 
Affoltern |[30. Jan. || 689,6| 687,7) 684,3|- 1,8) 5,5| 1,8| S7| 65) 69| 1| 5) 9) W, W, W, 


795 31. » 1|683,0| 685,2! 687,0| 1,8] 6,2| 1,0| 69| 69| 93| 9| 9) 1| SW SW W 

| ’ | 0 0 0 
1. Feb. | 686,5) 659,0) 691,3] 0,1) 5,0) 2,0 
2. » 692,0] 688,6) 684,3| 2,4| 6,6| 3,6| 77 65, 73) 0) 2] 9| SW, SW, SW, 


= 
1 
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3. » |1679,4| 682,01 685,3| 3,4) 3,1) 0,5| 68| s2| 96| 910 10] sw, | w, | sw, |- @ @13 
| | 
|+1,0 u) | | | 
Faido 30. Jan. || 698,4) 696,4] 695,6[-48| 2,2) 1,0 90 | 68 855| 0) 0110| W, W W 
759 31. » 693,5) 693,3) 695,3]- 0,8] 0,6 /- 0,8 |100 | 92100 | 10| 10) 10] SW, So Wesel Er 
1. Feb. || 696,5| 697,4| 698,2]-0,4| 1,2) 0,6 |100 | 96 96 | 10) 10 10) SE, SW. | SW, 
2. » 11699,4| 699,3 695,31- 2,2| 4,0| 0,2100 so 100 | 0! 10) 10 W, W, sw, |— -x®@ 
3.» 696,8) 696,1) 694,7|-1,8| 5,2| 0,8| 92| 75| 92[10] 1010| W, W, vn le ke 
+1,0 
Gurtnellen ||30. Jan. || 694,5| 692,5| 692,7 1,3) 10,0) 8,6| 22] 35) 50 Föhn 
742 31. » 1!690,0| 691,2] 693,8| S2| 7,2) 7,2| 37| 48| 37 Föhn 
1. Feb. ||694,2| 693,7| 696,9] 7,8| 9,6| 8,6 | 40| 37| 46 Föhn 
9. » ||697,2| 695,5) 693,0) 7,91 11,0/10,4| 41 | 32| 44 Föhn 
3. >» |1686,9| 684,9] 688,7) S,0| 6,5| 2,0| 62| s6| 96 98 © 
+0,3 +0,7 | 
‚St. Gallen ||30. Jan. || 698,6| 696,1) 693,8[- 6,0| 6,0/-1,2| 90) 54| 91 | 0 0 5 SW, SW, sw, |® 
650 31. >» 11690,4] 694,1) 696,0] 46| 9,0) 0,6 | 62| 52| 78|10| 5) 0) SW, SW, SW, 
1. Feb. || 696,1) 696,11 700,9| 4,4| 10,6| 3,4| 63| 46 83| 5) 7) o| sw, | sw, | sw, 
2. » |1701,9| 697,81 694,5| 2,2] 13,0|12,4| 77| a8) 31| 0) 0,10) sw, | SE, SE, 
3. >» [689,2] 689,1] 694,9[ 12,2] 7,8| 0,8| 36| 75| 95| 7| 7| 5| SE, SE, sw |— @ 93x 
+ 0,8 
Castasegna || 30. Jan. || 702,3) 701,3) 700,9|-2,3| 3,2] 0,7| 68) 56) sSO| 0) 1) 9| E, E, NE, 
700 31. >» 698,2) 698,0) 700,1| 0,0) 0,2)-0,2| S0| 98| 98 | 10) 10) 10) SW, W, W, | >&ö5lmm 
1. Feb. | 701,2| 702,1) 703,6|-0,2| 1,9| 0,4| 95 | 91) 96 | 10) 10 10| W, NW, | NW |® ®:ım 
9%. » |704,4| 704,3] 701,0|-0,5| 5,2| 1,8 Da s0| 94| 610 10| NE, SE, NE, 
3. » |[694,4| 689,9) 690,4| 0,9| 1,8| 1,2| 95! 95| 9310| 10/10) NE, NE, SW, I @und X 41,2mm 
+ 0,6 Haarhygr. 
Bourguillon||30. Jan. | — | — | — |-6,0| 5,0/-1,0| 90| 48] 70) 0) S 4 NE SW SW 
(Freiburg) |31. » — _ — |/-05|) 75| 3,0] 80| 50) 75] 5] 0) 0| SE SW, —_ 
656 1.Feb.| — | — | — | 0,0) 5,0| 3,0| 85| 90) 95| 5110 0| NNE = — |— ®&ö6,!mn 
2.» | =| - | = F10| 85| 30] 85| 55) 82] al 510) NE — SE | 


| 
SE — —_ _ 1,0) 3,0) 0,5| 85| 90| 95 | 10/10) 10| SW SW, = 


— 20 — 


Feuchtigkeit | Bewölkung Wind Bemerkungen 


7|1]9|7|1]9 


Datum Barometer Temperatur 
1885 


| 656m 31. » ||695,1| 696,7) 699,0 54] s2 | 64 
1. Feb. || 699,7| 699,6| 703,5] 3,4110,4 | 1,4 
9. » |70%5| 710,4! 698,3] 0,4! 10,4 | 10,8 
} 


» [690,5] 691,6| 693,7| 11,8| 7,4 | 0,6 


Ebnat 30. Jan. || 701,9) 699,4) 698,1|- 6,2 4,8 |-2,5 
| 649 31. »  |693,8| 696,6| 698,9] 10,2] 10,5 |- 0,2 
1. Feb. | 700,9| 698,2) 696,01 4,0) 10,2 1-04 
9. » |698,7| 694,6| 701,6|- 0,6] 13,0 | 8,1 
. » |z01,7| 699,0 698,7 11,2] 6,3 | 0,8 


er 7 01%0] Al u.SE, E, E, | Nachts starker SW 


— | —| — | $/10/10| SE, W, NW, |— ®@ Emm) 
FH 0,5 +0,6 
Lohn 30. Jan. || 703,1| 701,0) 698,0]- 3,0) 3,8 

645 131. » | 695,3] 697,9) 699,8] 40) 5, 
1. Feb. || 699,8) 700,5| 704,1| 2,0 
9. » |705,6| 702,4] 698,2| 3,0 
3. » |1699,4| 693,3] 697,7| 8,0 


100| 47 | 65| 0| 0) 3] NW, N, SW/N, || Alpen sichtb. 
64| 73| 79| 9| 7| 2) SW/NK, |SW/W%| SW/AN, || Alpen klar 

ss | s2 100 | 10) 10) 2] swysw, | SW/SW, WW | @ @&ismm 
95| 67|48| 0 2| 2| NE, NE, NE, | 
46 | 85 | 96| 4 9110| NE, | SW/sW, | SWASW | — @® x 


Wald 30. Jan. |) 704,7| 702,2) 699,1- 1,6| 4,1 1,8 
621 31. » 697,1] 700,0) 702,11 82| 85 | 2,2 

1. Feb. || 701,5| 702,7\.706,7| 6,9| 9,0.) 38 

9. » ||707,6| 703,6! 699,61 2,4 8,3 | 10,3 
3. >» 693,8) 696,2! 700,7| 34 7,2 | 1,0 


49 | 56| S2| 710) 0) SE, So N, 
72\|56| 40| 0) 2) 2) 5, SE, — — 4-5lp.E, 
76 | 76| 96| 6/10/10| NE, N, ge ar 2 >= 


Reichenau ||30 Jan. ||708,5| 706,3] 706,2] 1,2110,5 | 3,8 

597 ale 703,0] 703,6| 706,9| 3,6| 10,5 45 
1. Feb. || 707,3] 707,3| 710,0| 4,2] 10,2 | 6,0 
9. » |/711,9| 709,6) 705,6 
DR: 699,2] 697,0] 701,0 


\ Bern 30. Jan. || 707,5| 705,9! 703,0|-4,8| 3,6 | 0,8 
572 31. » 701,2) 703,2] 705,2| 0,1] 76 | 2,1 
1. Feb. || 706,1] 707,1 710,0) 0,8] 5,5 | 2,2 
9. » ||710,4| 706,8] 702,4] 1,1] 6,6 | 4,9 
3. » 698,3! 700,3| 703,8] 3,5] 49 | 1,8 


92| 64| S9| 21 7) 9 & S, W, 
ss| 69| 94| s| 6| al W,.| SW, SE, 
93| 91 1100)10] 10) 4 SE, |WSW.| Sı 
98 | s5| 92| 2) 7/10 SW, W, |NNW, 
8s| 87 | 98| 9]10110| N. |WSW„.| 5 - — 


@|l ll 
© 


| Interlaken || 30. Jan. || — — |-49]-4,0 |- 9,8 
| 568 sl. » — - — /-46-12 |-3,0 


1.06 J 
| 
Linthal 30. Jan. || 701,5] 698,8] 697, 5|-42| 5,4 | 7,81 S7 | 85) 66| 1| 0) 4| SE, SE) S/S, || F. seit 4" p. 
) 78 | DC E Saal AS \ 


Datum 


1855 


u 1 


Barometer 


1 


Temperatur 


9 


7 


Feuchtigkeit 


1 


3 


Bew ölkung 


Wind 
1 


| Bemerkungen 
9 | N ) 


Thun 
565m 


Sion 
540 


Sargans 
501 


Lausanne 
507 


Sursee 
502 


Neuchätel 
ASS 


= 


30. Jan 
Bin #2 
1. Feh. | 
EN 
a 


. Jan. 


» 


. Feb. 


ESTER 


709,7 
702,0 
706,9 
711,2 
699,4 


30. Jan 
slw> 
1. Feb 
E 
3.» 
30. Jan. 
RT. 
1. Feh. | 
DER 
Sur 
30. Jan 
Sl. = 
1. Feb 
2» 
EHE: 
30. Jan 
Sl 3 
1. Feb. 
De 
3. 8 
30. Jan 
31. > 
1. Feb. 
9.» 
E32. 


11 719,5 
1 710,2 


713,0 
713,9 
707,9 


714,8 
708,8 
713,6 
719,1 
707,6 


712,6 
706,9 
711.2 
7152 
703,6 


713,2 
717,8 
705,1 


715,8| 7 
708,97 


+1,0 


707,2 704,0|- 9,7 


704,1 
707,9 
707,4 
700,5 


709,6 
706,5 
711,9 
712,1 


709*,5 


710,7 
710,5 
713,6 
712,9 
706,9 


1195 
710,0 
713,4 
714,9 
703,3 


Ella; 


DE a Br Bi 


714,6 
714,3 
707,5 


706,1[- 0,3 
7105] 0,6 
703,01 1,7 
704,9| 2,8 


708,8] 1,0 
709,8] 5,2 
712,0| 3,6 
707,4 1,6 
705*5| 9,0 


710,4 1,4 
711,1) 9,0 
714,0] 11,4 
708,9| 11,6 
706,9] 10,8 


111,3) 0,0 
713,41 5,0 
716,7] 4,8 
711,5) 5,0 
708,9] 6,0 
708,41- 0,7 
710,3] 2,8 
7154| 4,6 
707,31 6,9 
7093| 4,3 


708,0|- 7,0 
710,21- 2,6 
7148| 0,2 
707,3|- 1,2 
708,9) 1,0 


51 710,3[-4,5 


7123]- 0,1 
7173| 23,3 
709,6] 9,6 
Zara 2:9 


Haarhy 
— 1,2100 | 98 
0,4| 94 | 71 
0,81 SS | SS 
95| 55 | 74 
2.01 so | 76 
6,3] S2| 44 
4,0] 56 | 41 
3,01 65 | 57 
741 S2| 62 
3*,0| 50 70 |* 


ut} 


-99 
2 


-0,5 


1,0 
1,8 
20 


0,4 
4,7 
3,9 


95 
90 
96 


3,9]100 


= 
on 


95 


2-1 


Io 
[DL Su Se 


1% 
[0'.] 


3| 71:NW, 
5l 0| NW, 
10) 3] NW, 
7 7 WSW, 
10) 10) NW, 
6| SI. W 
6| 2] SW, 
10) S| W, 
5110| WW, 
*10,*10| SW, 
0| 6| SE 
0 0) SW 
0} 4 SE 
0| S| SE 
10/101 SE 
(Na) 
3 0| SW/S; 
9 1 SE, 
6 S| 5 
6110| 5, 
10) 10) NW/NW, 
1 5) SW/N, 
10) 10) SW/AR, 
10 10) NR/R, 
1010| SE/N, 
101 3) W 
10| 2| NW, 
101 0| NE 
si 9| W 
10 10) W/W 
9/10) 
7| 5 NE, 
10) 10) SW, 
1010| NE, 
1010| NW, 


WNW, 
NNW, 


SE, 


SB/SW, 
W/M, 
SW/SR, 
SW/SW, 
SW/SW, 


ww 


W/NW 


NW 
W/W 
W/W 


sw, 
sw, 
W, 

NE, 
sw, 


SW/NR, 
SWN, 
SW/NR, 
NUN 
SW/SW, 


| Ki von Mittern. an 


I IR ) ei 


© ®inn 


| 812 @ 5,0mn 


— ®:imm| 


| 
| 


— 3imn ® 
> ®),imm 


17 


n@ ® 


Barometer 


Datum Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind Bemerkungen 
u a A a Eee a lan 1 LE IE Aue N 
— a ee - zen -— le 
| | fr — 0] 
Glarus 30. Jan. || 717,7| 714,6] 711,5|- 6,9) %,7| 9,5| 94] 58| 36| 0) 0] 5| SW, W, S,4 ||Cirri F. 6hp. 
480m |31. » |/710,2| 711,6| 714,6| 10,61 11,9| 9,0] 42] a1] 38| 3] 1 | 5 SIEF $, ||Föhn 
1. Feb. || 715,5) 714,6| 719,6| 3,9| 13,7| 2,3] 71) 40| 95|10| 7] 00) S, N, 
9. » 721,1] 715,8| 713,2] 0,1) 13,5 |13,7| 98| as| 37]|0 0 ıl 5 S, SH — » up ap 
3. » 705,2] 708,0| 712,8113,9| 8,8| 1,7| 38] 69 | 96| 2) 1010| S/SE, | N, len — 5 
for 
Muri 30. Jan. ||716,9| 714,7 710,9|- 6,5) 1,0 |-0,7100| s£ 1100| 3] 8| 0] W/NE | W/NE | W/NE 
483 31. » 708,8] 711,7|713,6|-1,1| 5,0| 4,5| 92| zı| sa| 9) 9) 7| w/nE | w/sE | w 
1. Feb. 713,2) 715,2] 718,6| 1,9| 7,2| 2,4] s2| sı 1100| 10/10) 0] W/SE | NE NE |— ® — 
9. » |718,9| 714,1 710,9) 1,1) s,#| 4,3]100 1100| sı| 0) 7| 6| S NW | w/w 
3. » 705,1) 708,2) 711,9| 2,3] 6,7| 2,41 s6| s3| 94| 9)10)10| W/N | W/N N |- @ ® 
| 
| 0 | 
Martigny \|30. Jan. | 717,9| 715,5] 713,1|-5,8| 5,8| 5,2] ss| so | s9| © 10] 10| NNW, | WNW, | WNW, ||8tarm i. d. Nacht 
480 31. » |711,6| 719,2] 716,5| 6,8| 10,7 | 3,5| 95 | 40 | 70|10| 3] 0] wWNW, | WNW, |NNW, | 
1. Feb. |717,1| 718,3) 720,9| 4,41 6,0| 2,2] 98| 69| s#| S] 10) 6| NNW, | WNW, |NNW, | 
9. » ||791,9| 716,9] 7125-031 85! 8,5] 93) a1 | 6ı| 1] 7) 10| WNW, | NNW, | ENE, || 
3.» ||708,6| 708,8| 712,41 6,31 5,2| 1,7] 71| ss| 95] 10| 10) 10| WNW, | NNW, |NNW, |— @20m 
—yıl 
Riv. Bironico |30. Jan. | — | — | — |-58| 6,#| 2,6] 90| 55 | 93 | 5] 10/10) SW, SW sw, |- -@x| 
475 31. » e - 1-0,4| 1,2 1,2] 96 | 96 | 69] 1010 10) SW, | sw, | sw, |@x @x *ı 
1.Feb.| — | — | — | 1,1 3,4| 3,4| 66| s3| 9310/10 10] sw, | sw, | NE, |® ®®x 
2. »|—- | — | — | 14 34| 36| 93) 90| 94] 3] 10 10) sw, | sw, | sw, ||%,/m 55nn® 
3.» — | — | — | 14 1%]| 14| 96| 96| 96] 10|10/10| SW SW, NE, | X x @ 
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Zürich 30. Jan. || 717,8| 715,3| 711,9|-6,3| 2,3 |-0,91100| 68| 94| 1] 4| 5| ESE, |WNW,| nw, |= 
470 31. » |709,7| 713,8! 714,7|- 1,11 7,5| 3,9] 96 | 62| ss| 9| 7| 5| Nw, | NW, ER, |= föhnig 
1. Feb. ||714,5| 715,9] 719,0| 25) 8,7| 35| s7| 70100] 810 0) FE, W, E, |Föhn @ — 
9. » 719,8) 716,0 711,9] 33] 9,3| 45| ss| 76|ss| 0 a 7 © S, Ww, | Föhn 
3. >» 706,0) 708,9| 713,7) 3,3| 6,1 2,1] sa) sz| 9s| 9/1010) E, w. | se&5 |- oe ® 
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Altstätten |30. Jan. | 719,5! 716,6! 713,51- 6.81 -3,3 | 11,1l100 | 90 | 33| ı/ 1 | |, NE, s, |= = seit) 
470 31. » |711,3| 719,7| 716,0| 11,0] 13,6 | s,6| 31| 32| 36| 7) 5) ıl S, Sl SW, | Starker Föhn | 
1. Feb. || 716,4! 716,0| 720,8| s,7| 14,2| 3,6 41| 31| 93] 9] 3) 0) NW, S, NW, |StarkerFöhn 
9. » |739,0| 718,0| 714,3] 4,9) 15,3 14.2| 62| 23 | 30| 0) 4] 9| NW, S, S,  ||StarkerFöhn 
3. » |708,8| 708,5 713,8| 11,2) 9,9| 2,6] 47 | 62|100| 4] 6/10) NE, NE, | NW, |F. 5$5nm @ 
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Ort | Datum Barometer Temperatur Feuchtigkeit 
| 1885 7 1 Be er ae 
— 0,2 Haarhygr. 
‚Luzern 30. Jan. || 718,9| 716,6| 713,0|-5,0| 2,6 0,6 96 | 65 | 86 
| 45m |31. » [711,0] 713,9) 716,1] 0,0) 7,0 | 1,6| S6 | 55 | 87 
| 1. Feb. ||715,5| 716,6] 720,4| 2,01 6,9 | 23,2] so | 63 | 98 
| PERS 721,0) 717,0] 712,5] 1,0) 6,8 | 3,81 92 | 8S | 78 
| 3. >» |707,1) 710,0) 714,3] 3,61 7,0 | 23,5] 72| 70| 97 
1 
Altorf || 30. Jan. || 716,7| 713,9] 712,7|- 2,1 13,9 \11,5| 96 | 23 | 36 
481 3. » |710,8| 711,8| 714,1| 10,51 12,5 | s,9| 35 | 30| 36 
1. Feb. || 714,6) 715,0) 718,6] 10,1) 12,9 | 6,7| 39 | 43 | 63 
9%. 2» ||719,7| 716,2] 713,8| 6,7|14,9 |13,5| 58| 28| 3 
3. » ||706,3| 707,2] 712,3] 12,9| 10,5 | 3,5] 35 | 57 | 90 
| 
| en 
Winterthur || 30. Jan. || 717,4 714,8! 712,0|-10,0| 0,6 |-43| 95 | 64 | 99 
475 3l. » 709,3] 712,1) 714,2|-4,4| 7,& | 0,0| 99 | 58 | 90 
1. Feb. || 714,0) 715,31 718,4] 1,8| 7,1 1,5 s4| 63 |100 
I 32 719,7| 715,8 711,9] 0,2] 6,3 3,0| 95 | 65 | 92 
3. » ||705,8| 708,11 7122| 0,3] 6,5 | 1,51 97 | 72| 99 
— 0,3 
Vitznau 30. Jan. || 719,5] 717,4| 713,81-2,2| 3,7 | 0,4 | 
440 31. » [710,7| 713,3| 715,6| 13,81 10,0°| 4,4 ll 
| 1. Feb. || 715,6| 716,1| 720,4] 6,01 11,4 | 301 — | — | — 
9. » 791,6) 718,1\714,0| 3,6] 70 | 69 —| | — 
32 706,7| 710,0| 714,31 15,0) 90 | 431 — | — | — 
— ‚03 
Gersau 30. Jan -- — — -13| 42 | 6,4 5 | 65| 46 
440 32 Re: _ E= —_ 12,0) 9,3 6,2] 27 | 43 | 50 
1.Feb.| — | — | — | 7,2]12,2 | 40] 56 | 35 | 89 
2.» | — | —- | - | 43|15,2 | 15,0| 79| 24 | 30 
3.» | — | — | — [150] 9,2 | 4,0| 39] 55 | 89 
| 
Aneroid — 0,3 
‚ Wallenstadt 30. Jan 720,6| 117,5| 716,51- 2,0] 15,0 | 12,01 — | — | — 
439 31. » 7153| 715,5| 718,41 10,0114,0 | 90| —| — | — 
| 1. Feb. || 718,3| 717,6| 721,6] 11,0 15,0 | 50| —| — | — 
DEAD 792,7| 718,9| 715,8] 7,0] 15,0 |15,0| — | — 
| 3. > 1708,4| 710,1] 715,0] 14,0) 10,0 | 5,0| — | — | — 
—0,3 
Schafhausen 30. Jan. || 720,0| 717,4 714,4- 9,8- 0,2 |-241 — | — | — 
439 ale 711,5] 713,9| 716,2|- 3,6| 7,2 |-0,6| — — 
1. Feb. || 716,4! 717,51 720,8| 04| 44 | 234 — | — | — 
2. >» (721,9) 717,6) 713,5[-1,0| 74 | 621 —| —| — 
3. » 11707,7| 709,41 7133| 24 7,8 | 36| —| —| — 


Bewölkung 
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0| 4 5 
6| 6 0 
10) 9| 0 
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4 10) 10 
010) 2 
9 5/10 
10) 7| 0 
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4 10, 10 
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Bl, 17) 
6| 8 1 
0 211 
6/| 910 
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6| 7) 2 
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| Datum 


Ort Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung 
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Linthkolonie || 30. Jan. | 721,5| 719,1| 716,7|-4,7, 4,3| 8,0] 92 | 9077| 0 SE 
434m 31. » |713,1| 711,9|715,5| 11,2] 15,1] 8,6| 66| 81 | 92| 4 S/Ez- 
1. Feb. || 718,5] 720,2] 722,2) 8,0) 15,5 | 10,51100 | 71 | 99] 10 & S/E; 
9. » ||794,7| 718,3 713,6) 4,4| 10,6 |10,4| 97 | so| 74| 0) : Sr 
3.» 709,4 719,3 717,01 108| s,.2| 3,3| 91 | 97 | 9u| 3] 10) 10]S/NE, , 
| — (8) | 
Kreuzlingen |30. Jan. || 721,2] 718,0| 715,6|-5,2]-1,6 -3,6| — | — | — [10 
| 481 31.» |719,9| 715,31 717,31-2,6| 5,6| 34 —| —| —| 9 N, 
1. Feb. 717,2] z1s,7\za1,0| 1,2] 42| 3,8 —| — | — [1010 NW, 
9. » 793,1] 719,4| 715,6) 1,6| 42) 46) —| — | —-|0 NE, 
3.» 709,0:710,1 7152| 3,81 68| 16 — —| —-| 8 NW, 
03 
Frauenfeld ||30. Jan. | 721,9| 719,1) 716,2|-10,8| 0,5 -4,6[100. | 76 | 90| 5 NE, 
427  ||31. » |713,5| 715,8|717,9|-44| 65| 1,2] 90| 60| s7| 7 SW 
| 1. Feb. 718,6] 18,8[722,3|-05| 6,1) 1,5| 90| 6s| 92| 7 sw 
| 2. » 7240| 720,2] 715,9|-1,0| 6,0) 2,2] 95| so| 93] o SE, 
3. » |[709,7| 711,7|716,0| 0,3] 7,0| 1,6] 92| so) 95| 8} 10 S/S, 
08 
Aigle 30. Jan 1722 720 |717 |-0,6| 5,2| 11,4) 71| 75) 36| 0| 8 E, 
495 31. » |714 |717 |730 !13,0| 12,1 |10,2] 22| 37) 26| 9) 3! O|SW/SE, 
1. Feb. ||790 \722 |724 | 9,01 9,1| 8,0) 53 52 56| 10] 10 S/SE, 
la. » 795 |790 \715 | 6,7| 15,1| 16,4] 56| 19) 19| 0 SE, 
| 3. 712 \715 |zıs |12,6| 65| 3,41 35| zı| 5 | 10| 10] 10| ssw/sk, 
| 04 
 Geneve 30. Jan 722,7 720,3| 717,0|-2,4| 4,0| 1,2] 8%) 69) 855| 510 SSE, 
| 405  |31. » |716,5| 718,1) 719,7| 3,2] 11,0| 7,1] S3| 66| 7810 W, 
| 1. Feb. ||720,3| 721,5| 724,7| 5,3] 10,0 | 11,3] S6 | 76 | 56 | 710 N, 
9, » |794,6| 721,4|716,9| 4,6| s,1| 5,3| 75| 71| s7| 9] 10 SW, 
| 3.» )719,9| 716,2|718,4| 4,1] 3,6| 1,6 93 | so | 97 | 10| 10 SSE, 
| — 04 
Diessenhofen 130 Jan. || 722,9] 719,8! 716,1|-9,4| - 1,5 -5,3| — | — | — | 8 == 
45  |31. » |714,5| 716,6) 7190-541 56-211 -—|—-|—|4« == 
|| 1. Feb. | 718,9] 720,5| 723,6|-0,2| 3,7| 1,8) 91 | S9 1100 | 10] 10 W 
| » |794,8|720,7|717,0-1,8| 5,9| 1,6| 96 | 91 | 96| 0 SSWw, 
| 3. » 710,9] 712,3 717,0] 0,7) 6,9, 1,3] 92 91, 98| 9! 10) 10 WNW, 
| — 0,4 Haarhygr. 
‚Aarau \ 30. Jan. || 724,5| 721,9) 718,7|-7,6| 0,7 |-1,9| 96 68 | 951 A € W/NW, 
397. ||s31. » |716,5| 718,6] 720,8|-1,6| 5,4) 0,6) 96 | 40| 96| 9|10) 9| aw/Aw, 
| 1. Feb. ||720,7| 722,21735,3| 0,6| 5,8 | 1,7| 96 2| 96| 91 10 W, 
| 2. » ||796,2! 793,4 7184-05 48| 2,41 96| s6| 9510| 3 NW, 
| > 917148171001 0160| 23] 9 74 95| 1010 10| NW, 
| | 


Wind 


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Bemerkungen 


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| | | — 04 | | | 
Olten 30. Jan. || 724,0 720,9| 717,9|- 6,5, 2,4 |- 1,0100 | 89 100 4 9) 9| W, W, | SW, 
395m ||31. » |716,8|718,8|720,7|-02] 6,2) 0,| 98| 78] —|10 7) 9| & aa) 
1. Feb. |721,0| — |725,4| 0,6| *6,0| 2,4] 93) — 1100| 8110110) N, W, || ® 
2.» |726,3| 723,0 717,6 0,11 5,8| 2,6100 | 98 100 10 3 4 SW, | SW, SW, 
3m |712,8 715,2 z1s,9l 1,1) 58| 24] 96 | s5 100| 7/1010] sw, | sw, | sw |- ®e ®@ 
| 
| | — 0,5 | 
Böttstein |30. Jan. || 728,2) 795,4| 721,8|-S,4| 0,3 |-1,3]100 | 82| 95|10| 0] 8) NE, NE, NE, 
sin 31. » [719,21 721,4 723,3|-24| 6,4 |-0,3| 96 | 66) 96| 7] 10) SI|w/NE,| NE, |W/NE, 
1. Feb. |723,8| 735,7] 727,5] 1,6| 3,9! 3,4] 75| 93] 96|10| 10) 7|w/nE,| NE, |w/iAE|— ® — 
2. » 1728,21 735,81 721,4] 0,01 s,2| 2,8j100| 79 | 93|10) 3| S| NE, | W/NE, | W/NE, 
3. >» |715,8) 716,9] 721,3| 0,5] 54| 1,4] 96 | 79) 96] 9] 8/10) w/w, W/W;, | W Walze ne 
| | — 07 
Liestal 30. Jan. ||729,2| 726,5 723,7]-42) 49| 1,8] —| — | —| 1 6| S|SE/SE,| S/sE, | SW/S%, 
| 325 31.02 91179977249 73501 24 92 22 ZI - | 8 Sı 10) SW N, |W/NW, wiaw|l— — ®@ 
| 1. Feb. || 726,0| 728,1|730,1| 5,4] 7,2) 6,8] — | — | — |10)10) 6|w/sWw,| W/SE, | W/NE, 
9. » [731,9] 797,2|723,8| 1,4) 11,3) 52] —| — | [|| 3)10| NE, | wjsE, | SW/SE, 
3. » |1719,2| 721,6|794,4| 241 64| 3,01 — | — 8| 10/10) sw/sß, \ SWw/N, | SW |I— — @ 
| 
BETıyS 
Basel 30. Jan. || 733,3| 730,8| 728,1|- 0,4 6,0| 4,6] S5 | 62| 66 3 10 10 RB | E SE, = 
378 3 » 797,0 728,51 730,2] 2,6) S,6| 3,7| S3 | 73 1100 1028168 Sı E, SE, | Abendrot 
1. Feb. ||729,6| 732,31 734,9] 6,4] 7,6 | 6,6] 74/100 | SS| 810] 5) SE, SW, EL |— 912m 
2. » |735,5| 731,4) 727,7| 3,4) 11,2| 7,6| 90| 48 | 67| 1] 5110| SE, E, E, 
3. >» [723,4 735,9 728,9] 3,8] 6,0) 3,4| s3| 79| 70| 910,100 E, sw, | SE, | ®02nn 
—.0,9 | 
St. Vittore ||30. Jan. ||740,3| 738,8! 738,6|-43!| 2,0| 3,01 95 | 78| 79] 0] 410) sw SsWw/S sw | — ®@ 
265 31. » [737,1 736,81 7385| 1,85) 1,2) 1,3| 96 \100 1100 | 10) 10] 10| sw SW sW |@ xx — 
1. Feb. || 740,0, 740,1) 742,4 1.5) 1,7 | 1,7|100 [100 |100 | 10| 10 10) SE SE SE | — im® ® 
9%. » [743,1 740,7|738,7| 0,8) 5,1| 3,1| 99 | 90 |100|10| 9 10) SE SE SE | — Ann @%x 
3. » |[|732,0| 738,5) 728,4] 1,2] 1,5| 1,0) 99 |100 11001010) 10) SE SE SE |x 5 @ 
— 0,9 | 
Lugano 30. Jan. || 740,9| 739,6| 739,51-14| 3,8| 1,6| 91 | 72| so| 510/10) ww, | NW. NW, 
275 31. » |738,4|737,7|738,7| 0,8) 0,8| 1,0] 94| 94 | 98/1010 10) SW, | SW, | SW, |X x 0125 
1. Feb. || 740,8| 740,7| 741,6) 1,81 3, 1,8| 96 | 97 | 96] 10) 10 10] SW, SW, SW, \@® im @® 
9. » |I743,4| 743,91 740,7| 2,0 6,0! 3,2] 96 | sz! 9410 10 10] sw, | SW, | SW, ||— Ann @) 
3. » 733,8) 739,4 7as,1ı| 0,61 0,8| 0,6| 99 | 96 | 99 | 10 10 10| SW, | SW, | SW, |@ @5imn @| 
—1,1 | 
Locarno 30. Jan. | — _ — [-03]| 40| 35| — | — |! —| 09/10/10), W W W | 
330 | | ee | aloe W E | 0x ® 
1.Eeb.| — | — | — | 20] 34| 231| —| —| —|101010) E E E |@x iömm — 
| ee || ol E E |@ Timm — 
SıEr> —_ _ —_ 35 1,7) 2333| —| — | — [10/101 10) W W W — @®x 2 


= 0 


Datum Barometer Temperatur Feuchtigkeit Bewölkung Wind | Bemerkungen | 


19 | 7 1 | 1:66 Salsa ze 1 9 ae | 

— — — | — — — — — — — — ——— — —lio nn —— — _ _ | 
| 412,0 

| Säntis 18. Aug. || 572,0) 570,9| 568,9| 14,8| 17,8 | 13,5| 41 | 39) 42| 0] 1) 3| ssw, | SSw, | ssw, | ul 


| 2500m |I19. » ||567,0| 567,3| 567,01 11,2] 145 | 9,8| 55| 38| 51| 2] ı| 1] ssw, | sSw, | ssw, | 


F11,9 
[$t. Bernhard || 18. Aug. ||573,7| 572,0) 570,2] 13,6) 15,9 1123| —! — | — | 0| 1| 3| SW, | SW, | SW; | 
9478 19. » |)568,5| 568,6| 569,2] 8,7) 13,2) 8,5 — | 6| A| 7| SW, | SW, | SW 
+09 + 10,4 | 
Julier 18. Aug. 590,6 589,2] 588,1] 14,0| 20,0 | 15,0) — | - 01 0) 0| SW, | SW, | SW, 
9937 19. » ||586,1| 585,6] 586,3] 13,0] 17,0 | 12,01 —| — | — | 0| 0) 0| SW, | SW, | SW, 
+95 | 
|Bernhardin || 18. Aug. || 602,8 601,7| 599,8| 16,2) 20,0 |14,6| — | — | —| 0) 2) 3| SW, | W/S, S, 
| 2070 19. » ||598,0| 597,7| 597,61 13,0] 15,4 | 13,2] — | - -| 4 7) 9| S/S, | S/S Ss Am folg. Tag @ | 
19,4 | | 
Pilatus 18. Aug. | 601,0) 599,3) 598,0] 17,2] 21,8 | 17,2] 46 98| 41| 0) 0) 1| SW, SW, SW, |$türmisch und & 
| 2067 19. » |596,3| 596,2! 595,9] 14,0| 19,6 | 14,6] 52 | 36 | 40] 0) 0) 1) SW, | SSW, | SW, ||$türmisch und & | 
| +8,0 Haarhygr. | 
Arosa 18. Aug.|| — _ — 119,5) 234,1|184] 20| 11| 26| 0) 1) 1| NE |SW,,| NW 
1835 19. » = 47.31.9149) 15.3192. 17 530)1|.0| 22 Er] ES Swer 
| | 
| + 7,9 
Sils-Maria 18. Aug. || 621,6| 620,4| 618,31 13,0| 23,5 | 17,2] 76| 35 | 57| 0) 0) 1) NE, | SW, | SW, 
1811 19. » |/617,1) 616,6) 616,9| 13,0] 18,6 114,3] 65 | 50 | 64| 3, 5] 2) 5, sw, | SW, 
| 211,8 | | 
Pontresina | 18. Aug.| — — — .1110,61.2277),17.01778)1,40) 1250| 0 | LOSE Ze 
1805 19. » zZ 7107 219810119:8 163) 143117672 2.122 10 Er — 
I} 
| 
| + 7,7 
|Rigi-Kulm || 18. Aug.) 620,8] 619,0] 616,8] 19,0] 22,4 |18,6| 42 | 38| 47 | 0 O0 SOESIES Sh Ss 
1787 19. » |/615,7| 615,8| 615,4| 15,6| 20,0 |15,8| 57 | 43| 53] 0 0 0| & SE, Sr 
| 
+74& Haarhygr. 
Bevers 18. Aug.|| 629,4) 627,0| 625,8[ 10,6) 26,0 | 15,2] s9 | 24| 68| 0) 1| 0) SW, | SW, | SW, |mSW<& 


1711 19. » |/624,7| 623,8] 624,6| 12,0| 21,8.) 14,0] s2| 34 | 63] 2) A| 3] SW, SW, |S/SW, | 
| 
| 


'Grächen 18. Aug. || 634,6) 633,5) 631,0] 17,2) 24,7 2,6 — | — | — | 0) 2] 3 So SSE, sh, |S1/-10h a.5, | 


1632 19. »  ||630,0| 628,9| 630,0| 13,6) 232 |16,1| —| — | -| 1 2 2| 5 N N. 
| + 6,7 | 
Zermatt 18. Aug. || 635,2) 634,4| 632,7] 16,4] 24,0 [19,4] — | — | — | 0] 0) 0 SW, SW, | 8 

1613 19. » 630,9! 630,2) 631,61 15,6| 21,6 |16,61 —| —| —| 0] 0) o! SE, S, S, 


| + 6,6 
Monte deneroso || 18. Aug.|| 636,3] 635,8| 633,8] 20,2] 21,4 | 17,8| 41 | 65 | 63| O0) 0) 3| SE,, | SE,, | SE, , 
1610 |19. » \631,9| 639,2] 632,0| 15,91 19,4 | 15,8l sa | 6a| s2| al a] 3| sE,, | SE... | SE,» 


Datum Barometer Temperatur Bewölkung Bemerkungen 
1892 f c 9177 | 119 


Ort 


+0,6 
Davos-Platz h .1638,8| 637,0] 635,4] 13,5 ; s| 941: S, W |nsw& 
1557 m ||19. 634,0| 633,5] 634,4 5,0| 56| 26 48 S/N, \s/sw, | sw, 


| — 0,8 
Splügen (Dorf) H .1647,6| 646,6) 644,2 & 3 — - | SW SW SW 
1471 R 643,2] 642,7, 643,0] 16, ,3 | - 1—I3 4% SW ) SW 


+03 
Andermatt } . 647,4] 646,1) 644,0] 16,8 9, (== 0| N/SW | N/SW | N/S ||Nachts Donner u, „ 
1448 } 643,0) 642,4) 642,4 51 29,6 [18 3 2) 2) W/W, |W/SW,| W/SW | 1,0 mm @ 


+ 0,5 H5,5 
Leukerbad 5 . || 650,61 649,3] 647,9] 18,8 | 26,4 19,2 ! DI WW, sw. | SW, 
1415 as 646,2) 644,7 645,9) 1} 94,4|230,2| 53 | 36 | 3: S SW, 


— 0,6 H5,3 
Platta 3. .|1653,7| 652,2] 650,7 26,2|20,8| 62| 26| : 5 ze ESIW; SW, 
1379 B 649,7, 648,8] 649,5| 14,8 | 22,6 | 18, | : 5 5| S SW; 


| +06 I+5,1 
Reckingen, ß .1656,1| 654,5] 6 5,3 | 26,8 
1349 L 651,4 650,7, 651,8 ; 392,8 


+48 
Weissenstein R .11654,9| 652,6| 653,2] 22,1 | 29,3 - Alpen hell 
1290 EaogN 652,2] 650,1| 652,3] 23,4 | 26,2 ) Alpen hell 


+49 
Braggio 3 Ä 9,4| 26,4 
1313 17,7 


Gäbris 3. Aug. || 662,8] 660,7 5| 29,21 24,0 
1953 ‚ 658,2] 657,9 95,0, 20,0 


+0,6 
‚Schuls ’ .1663,8| 661,1 3,6 | 29,8 \ l SW/S, 
1244 9, 659,0) 657,4 %6,8 | 19,° E 2 4 2| N SW/W; | SW/NW, 


+43 
Ohurwalden 5 \ = 9| 927,9 
1213 5 = 8,81 33,1 


+0,9 +40 
Airolo . Aug. 670,3) 668,4 665,9] 18,2) 30,2 
1154 , 665,8) 664,8] 664,9] 18,3 | 24,0 


+ 3,9 Haarhygr 
Schwäbrig b , - 4,6| 29,0 78| 69 
1152 h >| 26,412 100 | 96 |100 


1] 
-ı 
- 


Datum Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind Bemerkungen 
1892 7 1 9 1 1 9) 1 97167711019 ) 7 1 ) 


o ıl a sw, | m | W 
230 5 E, oe 
006 5 Ss, |nwys, 


22 
Beatenberg || 18. Aug.| 669,3) 666,8| 665,8] 21,0) 27,0 | 22,0] 59 | 58 | 35 
1150 19. »  |1664,5) 663,8| 665,3] 20,0] 27,6 | 15,6] 57 | 34 | 63 


+ 1,4 + 3,6 
Göschenen ||18. Aug.|| 671,2) 669,1| 667,4] 21,4 30,2 | 24,2] 43 | 75 | 36 
1108 19. » 666,6| 665,5\ 667,1| 19,9) 22,8 | 20,01 93 | 39 | 52] 6) 0) 0) S/S, S/S, N, 


0 0 
0 0) 2 


21,6| 30,0 122,2] 65| 33 | 47 
91,8| 25,8 |14,9| 91 | ss | 96 


Chaumont || 18. Aug. || 670,3| 668,4) 668,0 
1128 19. »  ||665,2) 664,9) 666,6 


91,0) 29,0 | 20,6] 65 | 29 | 48 
*91,5| 27,0| 21,2] — | 27 | 36 


Ober-Yberg|| 18. Aug.|| — — -- 
1126 19.- » —_ —_ — 


Wildhaus ||18. Aug.|| — = _ 
1096 19...» = — ie 


93,01 29,8 |24,0| — | — | — 
91,8) 36,8|21,0| —| — | — 


Guttannen || 18. Aug.|| 676,0 674,2| 673,5 | In der Nacht 0,1@ 


1070 19. » 1|1672,2| 671,4| 672,6 


+ 0,9 
| Engelberg 1S. Aug. || 678,1| 675,4] 674,4 
1021 19. » |673,0| 673,9| 673,1 


25,5) 30,0 | 24,9] 30 | 28 | 37 


21,6) 26,4 | 22,0 45 


+31 
17,0) 29,0 | 24,7| 60 | 26 | 97 
%9,4| 27,2 | 22,0] 36! 281 31 


eitw.P Bid. 
SE, _, || Süd-0st-Sturm 


+ 3,0 Haarhygr. 
20,6) 29,0 | 26,1] 67 | 56 | 30 
93,2) 27,6 | 23,1| 45 | 32 | 37 


S S, IV. 2bp ar<S 
sw, | sw, | sw, |- F &| 
| 


+ 9,9 Haarhygr. 
16,6) 24,4 | 29,6| 35 | 40 


Les Avants || 18. Aug.|| 681,8) 679,8) 678,2 35 
16,2] 24,4 | 16,4] 32 | 40 | 45 


7 
978 19. » || 676,9) 676,0] 678,9 


SE, SE, IF. 1b beginnend F. 
sw, | sw | s. |F. Fir 


t 
[SS] 
[85] 
> 


\ Elm 18. Aug. || 683,5| 681,4] 680,0 
961 19. » ||679,0) 678,6 680,0 


30,3 |25,2| 51 
99,8| 97,5|29,0| 38 


[833 


1. 33 


| — 0,1 +95 Haarhygr. | | 
Einsiedeln || 18. Aug. || 688,0) 685,6| 682,6] 17,0) 27,0 | 16,5] 73 | 50] 60) 0) 0) 0 E NW SW; || | 
910 ||19. » ||682,6| 682,41 685,7| 18,6| 26,8 |a3,sl 64| 32| 9ı| 0] 0) 0| NE | sw, | sw, | 
| N 
‚ Auen 18. Aug.|| 694,0] 691,4] 691,5] 19,2) 31,2 | 24,7] 50 | 2 01 01 2} E Sg S/SE, 
| sso 19. » !689,3| 689,1| 690,1l 21,8| as,2| 21,7] 43 | a8| 35| 1) 3] 1! s/SE, | ss, | SS, 


| 
| | 
Heiden 1S. Aug.|| 696,3| 693,9] 692,5] 25 
797 19. » 691,8] 690,8] 692,2 


Haarhygr. 
39| 15| 18 
93| 13 


2 
2-3 Sg Sl Sm 


> E ö E 
L >} > 
Du 
5) 
3 > 
© © 
=) ro 
ee ZI _ = m ) © 
r >) n un 
f E= Ss yQn 2 
v8 
= un un 
[<> We>| 
c7 oo» 
un un 
= Eu-| 
[77 SS © 


Datum || Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind 
a | 9 ZEN Mi 1|9 1|9 1 
+ 05 +1, | | | 
Affoltern 18. Aug. || 695,6| 693,0| 691,6] 22,0] 29,4 [93,3] 72| 52| 7s| 0) 1) 3] SW, NE, NE, 
795m |I19. » |690,6| 689,5| 691,8] 21,1) 28,3 \ 18,6] 76 | 59 | 77 | 0] 1) 1) NE, | SW/Nk, | SW, |\Sehr stürmisch 
+ 1,0 + 1,6 
" Faido 18. Aug. || 701,5! 698,0) 696,8} 21,4| 28,4 | 19,0! 64 | s2 1100| 0) 0) 0| W, W, W, — —ıı@ 
| 759 19. » ||696,9| 696,2] 695,7| 21,0] 26,1 | 21,0) 74| 77 91| 1) 5) 3| W, | SW, | SW, |2,2 mm 
| +14 | 
Gurtnellen || 18. Aug. 654,7| 652,4] 651,5] 19,0] 34,0 [28,4] 93 | 90, 77| 0) 1110| S | 8E/; | S/S,, | Föhnig 
742 |119. » 1651,1| 650,1) 648,8] 24,0 98,5 |19,4| 98 | 38 | so| 3| 5] 3|8/SW;, 8/SW341S/SW;.,| Föhnig @ 25mm 
| +13 Haarhygr. 
, Marsens 18. Aug.| — | — | — [16,6/26,2 | 18,2] 90| 63] 76| 0) 0 0| 5 E, SW, 
| 797 19. » | — | _ | — [16,2] 96,2. |17,4| 90 | 58| 5| 0 0 ı 5 N, S, 16% p. SW, 
+13] 
Langenbruck 18. Aug.| — a — 1195| 29,3 |18,0| —| — | — | 0 01 0| — W; _ 
718 19. » _ = — 119,2|98,6 |17,8| — | — | — | 0 00 0| S, SE, W, 
| +03 +12 
St. Gallen |/18. Aug.||703,5| 701,3| 699,7| 21,6| 29,3 | 28,6] 60 | 52) 42| 0) 0) 0) @still| NW, Sn I — 8 
703 19. » |[698,9| 698,0] 698,1| 22,5 30,1 [24,s| 55 | 14 35| 1) 1 00) © | SE, © 
| +1,2 
‚Castasegna 18. Aug.|| 706,2) 704,6] 702,8| 20,7| 27,7 \21,8| 59 | 41 | 62| 0) 1 0| E, SW, NE 4 ar 
700 19. » ||702,1| 701,0] 701,7| 20,2| 25,8 |20,2| 67 | 55| 65| 2 4 4 NE, | NW, | NE, | 
| 
| +12 Haarhygr. | 
Haidenhaus 18. Aug. || 704,2] 702,0) 700,1| 22,2] 30,2 |25,6| S7 | 66| 48| 0 0) 0| SE, | E Ss 
695 19. » |[699,3| 698,8] 698,8] 23,0] 29,2 |a3,8| 66 | 49| 47| 0 0) 0| SE, | SE SEranli 
| | am folgend. T. @ 
| +0,9 | | 
\ Ebnat 18. Aug.||708,4| 705,6) 704,6] 19,2 33,2 \a32| —| — —| 0 0 DAR} sw‘ | wW | 
| 649 19. » |703,5| 702,6| 703,8] 19,0| 33,6 |234| —| — | — | 0| 0) 1| SW SE Saul 
1.05 40,9 | | 
‚Lohn | 18. Aug.)| 709,0] 706,1) 704,9| 22,3| 31,5 \25,3| 67 | 30| a1 | 0) 0) 1| SW, | SW, | SW, 
| 645  |119. >» 704,1) 703,3) 704,2| 25,0 31,6 |20,3| 58| 31| 72| 0) 1) 1) SW, | SW, | sw, | — SiM. 
| 206 
Chur 18. Aug. || 713,6| 709,7, 708,3] 20,2 34,5 [23,4] 58| 21| 46| 0) 0) 0| SE, Ss S 
| 610 19. » |707,8| 706,8| 709,2] 21,01 29,9 | 22,0] 50| 24| 45| 0) 0) 0| SW, S, SWi 
+ 0,6 [Nacht @ 
Meyringen ||18. Aug.||711,4| 708,3| 707,6[ 18,2] 30,1 |97,6| 78| 37| — | 0) 1) S| 5 Eos | SEg-, || V. Mb an F., id. 
600 119. » 11706,2| 705,7| 707,0] 25,81 39,4 [25,6 —| — | —| ı| 1] 0| SEo., | SEs.s | SE,, ||F.bis3bp. 
+0,6 | 
‚Reichenau || 18. Aug.|| — = — 120,1) 34,1 |94,4| — | - IH 0 0 0 5 Sn — 
| 597 19., > —+| — [77 [20,6| 30,22 2135| —| — | — | 0] 1) 0)SW, S, — 
| 
| 
| 


Datum Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind | Bemerkungen 
1892 1 Us) Diez 9 |7|1|9 


Bern 8. .|704,4| 711,4| 710,0] 18,9| 28,5 £ | 0) SE SW, ||Stürmische Winde 
572m h 709,7| 707,8| 711,1| 18,6| 26, > 816 I"3| SE N || Stürmische Winde 


| + 1,0 
Thun 8. .)1 714,4 711,0) 710,0] 18,7| 30,7 
| 565 9, 709,4| 707,2) 710,1) 19,0 


Siders 3. .\715,8 ‚& 712,1| 19,8 © 
551 5 711,6| 709,6| 711,3] 21,8 


Lausanne B. .715,9| 713,5) 712,0| 20,6| 29,2 - 0 NE 7 \Nachts S @ 


bb) H 711,0| 709,8 5| 19,6| 29,8 \ l Nachts K ® 
+0,4 
Schwyz 3. Aug. || 715,8] 713 20,0) 28,8 
558 s 710,4| 709,8 35,8 30,6 
+0,32 
Sitten h .716,9| 71: 29,01 34,8 |28,0| ® 
540 9, 713,5 71: 99,4| 30,8 | 27,4 
+02 | 
Campro V. k E 16,4 29,2 | 19,4 x S '\ In der Nacht @ 2,9 
541 } 16,6| 27,2 | 19,0 3 | 
+0,1 
Ragaz t : - % |35 193 
517 y 94 |32 
0,0 
Sargans g.|| 720,5 3| 716,0] 21,2) 35,9 | 29,8 5| 39 2| Ss S S, Seit 7ha.F. 
507 I 715,217 715,41 23,0) 32,4 | & B 0 S, S Ss Ganz.T. F. Alp. hell 
0,0 
Valeyres 18. Aug. || 723,S| 721,9) 720,0| 20,0) 30,8 | 19,9] 68 | 25 | 48] 0| 0) 2] NW SE W 
505 19.2 719,2| 718,8| 720,0| 18,0| 30,5 | 20,5] 70| 32| 60| 0| 2) 9) sw SE Ww I— P"R- 
+ 0,4 0,0 
Sursee 18. Aug. || 719,4| 716,6| 715,8] 17,6] 32,0 |22,3| SO | 44 | 77| 0) 1) 0| w,., | SE, N, 
502 19:,%#> 714,7| 712,9| 715,9| 18,7| 31,2 | 21,5) S3| 37| 59] 0) 0) 0| W, Spar SW, |— — fohig 
il 
Glarus 18. Aug. || 722,5] 718,6| 717,6| 17,5] 32,9 | 28,6] 75| 41 | 37| 0) 1] 0) SW, S, Sı F. seit 1P p. 
481 19. » 11717,2| 716,5) 717,4] 22,2] 31,1 | 26,8| 62| 35| 35] 1| 1) 1) SW, S, Ss BE Rem 
— 0,1 
Martigny 18. Aug. || 721,6| 719,5| 717,7| 19,6| 33,0 | 25,6] 85] 48| 65| 0) 1) 0| N, NE, S, — —<£S 
480 19: >> 717,3| 718,3| 716,9| 21,5) 33,5 |24,4| 68 | 50| 74| 4) 1| 2| NE, SE, NW |— — £& 


Bewölkung 


| Datum Barometer Temperatur Feuchtigkeit 
ER | ER RE za a ae 
= — — I: Tesms.c | ein ie 
| 0,0 
Zürich 18. Aug. || 721,1) 718,1) 716,1| 21,4) 31,0 | 26,4| 75| 37 | 25| 0) 0| 2 
493m ||19. » 715,8] 714,8] 716,6| 20,0) 31,8 |22,7| 72) 24| 36| 0) 1) 2 
0,0 
Neuchätel ||18. Aug. ||721,3| 718,4} 716,5| 20,3) 30,4 194,3) 83) 49| 58] 0) 0| 1 
ASS 19. » 1/716,3| 715,6| 718,5] 20,0) 30,0 119,5] S1 | 35 | 66| 0] 0) 5 
— 0,1 
Muri 18. Aug. || 722,4] 719,3) 718,8| 20,0) 31,0 [23,8] 93 | 90| 97 | 0) 0] 3 
483 19. » |717,4| 716,0| 718,1| 19,4] 30,9 | 22,2] 96 | 95 | 98] 0) 1) © 
| 
| — 0,2 
Altstätten 18. Aug. || 722,9| 719,7| 718,2 21,6, 32,2|30,2] 63 | 33) 26| 0) 0| 0 
Pr 470 19. » ||717,8|717,0| 717,8|26,7| 38,5.\27,1| 37| 19| 29| 0) 0) 0 
| 
0,2 
|U.-Hallau ||18. Aug. || 724,6) 721,4 719,6) 17,8| 31,6 | 22,6) s5| 40| 65| 0) 0 ı 
| 465 19. » 719,5 718,2! 719,8| 18,6) 30,5 | 21,3] 78 | 27 | 62| 0) 0) 0 
| — 02 
‚Rorschach |\18. Aug. — -- — 120,8} 28,01202| —| —| —| 11 11 1 
| 455 19. >» .- -- — 120,8] 323,0| 292] — | — | -— ll 
| — 0,3 
Buus 18. Aug. || 723,0) 720,4 718,7| 19,2) 30,6 20,7| 90) 40 | 78| 0) 0) 0 
| 450 119. » 718,0) 716,8| 720,5 17,3) 31,3 | 20,3} S4| 33 | 62] 0| 0) 1 
| | | 
| | — 0,3 Haarhygr. 
Luzern 18. Aug. || 724,7) 721,4| 720,0] 19,3| 29,4 | 26,1| 73] 39| 15] 0] 0) 3 
451 119. » |719,5| 718,2] 720,1| 21,0) 29,0 | 23,9] 67 | 27) 24| 0) 1] 0 
| 08 
Altorf IS. Aug. 729,3| 718,3) 717,7| 19,5) 33,9) 29,5| 68 | 22| 2836| 0] 0) 0 
43% 119. » ||716,9| 715,6| 717,21 25,7! 30,5 | 26,9] 40 | 42 | 30| 2) 5] 0 
— 
‚Winterthur | 18. Aug. || 724,9) 721,6| 719,9| 20,0, 29,9 | 21,7| 70 | 51 | 71| 0) 0) 0 
445 119. » |719,6| 718,5] 719,6| 21,2) 30,8 | 27,0] 66 | 33 | 29] 0) 0) 0 
| —0,% 
Gersau |18. Aug. || 724,5) 721,2) 721,01 19,5| 26,6 | 26,2] 79 | 64|43| 0) 0 0 
440) 19. » 719,3| 718,3| 719,2] 23,5| 30,3 | 27,6) 60 | 25, 236] 0) 0) 0 
| — 04 | 
|Schaffhansen | 18. Aug. || 725,9) 721,9) 720,1| 18,0 32,21 21,6| — | — | —| 0) 01 0 
439 19. » 720,9! 718,8) 719,1! 19,6| 39,4 | 22,2] — — | 0) {)ı al 
— 0,& 
\ Kreuzlingen 18. Aug. || 727,2| 723,9) 721,4] 19,3) 30,7 |26,4| 79 | 57, 44 | 0) 0) 1 
431 19. » [721,0] 718,6] 719,8] 21,0) 31,2 |25,8| 79 | 65) 54] 0) 1) 0 


I 


WSW, 
WSW, 


Wind 
1 


WSW, 


sw, 


Bemerkungen 


| 
 Stürmisch 
< 


E 


Abends & 
Abds. Sturm 


Stürmisch 
Stürmisch 


Abds. stürm. ZW | 
| 
| 
| 

Sturm $-81/2lp. 
| 


n. F?, Nm.F?) 


|5-7hp.F2 — 


— (3nm@ — 


| 


| 
| 
| 


Ort Datum Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung 
rt 
1892 7 1 9 vi 1 1) 7 1 9917 
- 0,5 
Frauenfeld || 18. Aug. || 727,3| 724,5| 722,3] 22,0! 32,0 | 23,0] 70| 33| 65] 0 
427 19. » || 722,2) 721,1] 721,2] 23,0) 32,0 | 22,0] 66 | 33 | 50| 0 
0,6 
Genf 18. Aug. || 727,9| 725,0| 723,51 19,4) 28,1 | 25,8| 78 | 52| 46| 0 
405 19. » 722,9| 720,9) 724,6| 20,8| 27,7 |20,2| 70| 49 | 74| 0 
— 0,6 
Diessenhofen 18. Aug. || 727,6) 734,3) 722,5| 17,2] 31,8 | 21,0) 91 | 40| 79] 0 
400 19. » || 722,3) 721,2] 721,8| 19,0] 31,6 | 21,0) 82 | 28 | 55] 0 
0,6 
Aarau 18. Aug.|| 729,3) 725,7| 724,1| 17,6| 27,9 | 21,8] 90 | 53 | S4| 0 
397 19. » |1723,8| 722,4] 734,5| 18,9) 26,6 | 21,6) 88 | 60 57| 0 
— 0,6 
Olten 18. Aug. |) 728,7| 724,9) 723,6| 20,3) 32,2 | 22,5] 83 | 49 | 74| 0 
395 19. >» 723,7| 721,9| 724,9| 21,3] 30,5 | 22,9| 79 | 53 | 66 | 0 
0 Haarhygr. 
Territet 18. Aug. || 729,9| 727,2) 735,2] 19,8| 25,4 | 24,2] St | 66 | 58| 0 
339 19. >» 724,8| 729,6| 725,9| 19,2) 25,4 | 22,5] 74 | 58| 57| O 
— 0,7 
Montreux 18. Aug. || 730,5) 727,7| 726,0| 21,4| 27,7 |23,7| 65 | 49 | 53 | 0 
380 19. » |735,5| 723,9| 726,9| 21,4! 27,0 | 22,9| 65 | 43 | 50| 0 
08 
Böttstein 18. Aug.|| — = — [17,3| 30,6 | 23,7) 94| 54 | 67 | 10 
370 19. >» — — — 120,0) 30,2 122,8] s5 | 46 | 61 | 0 
— 1,1 
Liestal 18. Aug. || 733,9| 730,8) 729,1| 20,7| 32,2 [24,01 —| — | — | 0 
335 19. » 728,9| 727,2) 732,0| 20,0] 30,9 1191| — | — | —| 0 
9 
Basel 18. Aug. || 739,1| 736,0] 734,4| 22,8] 32,1 |24,2| 73 | 31| 61| 0 
378 19. » 733,7| 739,2| 736,3| 21,0| 31,3 | 20,6| 73 | 34| 68| O 
— 1,3 
Lugano 5| 738,0] 21,6) 32,0 | 23,4] st | 44| 59| 0 
975 | 737,01 23,2! 31,2|23,5| 73] 47 | 70) 0 
— 18, 
S. Vittore | 738,0] 21,0| 33,6 |23,4| 62 | 41| 65| O 
970 | 737,0| 22,0| 32,6 \22,8| 73 | 45 74| 0 
— 1,6 
Locarno 18. Aug. || 745,3| 743,3) 741,3] 23,2] 30,5 | 24,61 — | — | — | 0 
937 19. » |/741,6| 740,2] 740,51 29,7| ass |aaal — — | | 3 
| — 1,6 
Bellinzona || 18. Aug.|| 745,6, 743,3| 741,7| 19,9| 30,3 | 24,7| 70 | 49 | 64| 0 
3323 119. » 741,6| 740,2) 740,7] 21,0) 28,9 | 34,3| SO | 55 | 70| 0 


Wind 


— - 
| Bemerkungen 
u u: 
IL Er 
| 
SH 5, Fohnig 
S, SW, | Föhnig 2 
| 
N, | ssw, | 
NW, SEES M 174 
ESE, | NE, | 
SH Wy4 \ Wolkınrand in W 
| | 
2 | 
So So | 
NE, | N, |- —- & 
SW, SW, 
SE, N, 
SW, => | 
So u 
W, SE |— —- SU 
Wocr |vuSE, ll ask 
| | 
NE, NE, 
NE, | W 
W, SE, | stosse GW 
SE, E, 8-91 heft. Wind- 
SWS 
nl 
| | 
SE, SE, || 
SW, | SW, 3m X ® 
NE, Eu | | 
W BE | | 
| 
S, SW, || Starmi. aN.SsW 
S Ss @l,8mm — — | 
| 
S, N, 
St N, | 


Temperatur 


1 


Feuchtigkeit 


Wind 
1 


Bemerkungen 
7 1 9 


 Säntis. 
3500 m 


St. Bernliard 
9478 


\ Julier 
9237 


Bernhardin 
2070 


Pilatus 
2067 


Arosa 
1835 


Sils-Maria 
1S11 


Datum Barometer 
1892 7 1 
98. Okt. 563,4) 562,9 
29. » |1563,2) 563,2 
30. ». |1563,0| 563,4 
31.3 \ 563,3 562,7 
1. Nov. 559,8) 559,2 

| 
38. Okt. | 566,2) 566,0 
99. » 1566,41 566,5 
30. Nov. |\565,3| 565,5 
31.. » ||564,9| 5641 
1. » |1561,7| 561,4 
+ 0,9 
98. Okt. |582,8| 582,8 
39. » 583,01 583,2 
30. » |1582,8| 583,3 
31. » |581,1|581,2 
. Nov. | 579,4| 578,8 
28. Okt. ||595,8| 596,1 
29. » |1596,1) 596,1 
30. » 11595,2| 595,6 
31. » 1594,55) 594,7 
1. Nov. || 592,4! 591,5 
938. Okt. ||592,8| 592,6 
39. » |1592,7| 592,9 
30. » 1592,2| 591,6 
31. » |/599,3| 591,3 
1. Nov. ||589,0| 588,9 
Bo ae 
3. >» _ — 
30. » —_ _ 
3: % — — 
1. Nov E= — 
98. Okt. 616,1) 615,9 
39. » 616,3] 615,9 
30. » |I615,3| 615,0 
31. » ||614,2| 614,3 
1. Nov. || 611,2) 611,5 


563,7| 2,4 
563,4) 3,8 
563,6| 4,2 
562,3] 5,0 
559,7| 4,9 
566,6|- 5,1 
565,91- 4,6 
565,51- 0,7 
564,11 0,5 
561,8|- 2,4 
583,1|- 5,0 
583,7|- 0,2 
582,4] 2,0 
51,1] 0,0 
578,1] 5,0 
596,1|- 2,0 
596,1] 0,4 
595,5] 2,2 
593,9] 2,6 
591,6] 0,8 
592,9] 6,8 
599,91 7,2 
592,1] 6,4 
591,41 8,4 
589,6] 6,8 

—. 3.6 

— 5,9 

— 7,6 

N ng 

== 9,9 
616,41- 1,5 
615,8|- 2,6 
Slayer 
613,3] 3,3 
611,1] 6,0 


3,0| 4,6| 54 
4,7 | 3,5] 60 
5,31 6,4| 79 
5,4| 4,6] 80 
3,8| 1,4| SO 
+S,8 
-43|-49]| — 
Haan“ 
os] >= 
old 
-1,3 /-1,6| — 
+ 8,3 
2,2|-1,4 — 
40) 23,0] — 
5,3| 3,0] — 
30, 70] — 
1,0) 1,0| — 
+7,5 
1,4| 0,01 — 
| las — 
29| 38| — 
4,2| 2,2] — 
1,0) 1,4 — 
+75 
3,4| 6,2] 38 
7,2| 6,2] 37 
7,8| 8,4] 61 
9,2) 7,2] 60 
7,0| 4,01 70 
+ 6,9 
10,2| 2,1] 35 
10,3 | 7,1] 49 
9,7| 9,61 3 
JOB 7431| Hl 
0) 
+6,3 
3,7 \- 0,1100 
6,0 | 1,7100 
94| 4,21 95 
7,5| 3,81 95 
1,&| 0,1] 83 


Bewölkung 
IF 
DIE 0 
RS 7 
9| zumS) 
3 91 
Oaoei 
10) 10) 10 
10) 10) 10 
10) 10) 10 
10) 10) 10 
10) 10) 10 
0 0 0 
01 4 5 
1082 2 
6| 6) 3 
10/110) 2 
101 6| 5 
10) 10) 10 
10| 10) 10 
10) 9| 9 
10) 10) 10 
9% 

2 18 8 
| 31 8 
3) 8| 7 
s| 6| 2 
0 11 0 
0) 4 S 
8S|ı 9| 9 
1 4 6 
si 9| 1 
101 2) O 
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s|i0 10 
101 6| 6 
1010 6 


Sı 
N/W, 
S/E, 
S/SW, 
S/E, 


u. stürm. 
und Wind 


Zul 


x 18,0mm | 


III 


III 


® IN, mm 
®46 mm 


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Stürmische Winde | 
Stürmisehe Winde | 


| 
| 


ur 


Datum Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind 
1 c c { 119 


Rigi-Kulm >. . 1613,0| 613,2) 613,5 

1787 m ||29. |613,0| 612,7) 613,0 
‚612,5 612,3] 612,2 
‚612,0 610,6) 611,3 
.11609,4! 608,6| 608,7 


693,9) 6235| 624,1 
624,3| 623,3| 623,8 
623,6) 623,0| 693,1 
622,2) 621,7| 621,2 
. 618,4) 619,0) 619,1 


SW/SW, 
SW/SW, | SW/SW, 
SW/W,| SW, 
SW, | SW, 
S/SWw, | S Sa — 


SE SS} 


Grächen 98. Okt. ||627,6| 628,8] 629,3 

1632 29. 628,7) 628,1) 698,4 
627,6) 697,8| 627,5 
626,7\ 626,0) 626,5 
.11625,1| 624,2] 624,2 


Zermatt 98. 628,9) 628,8) 630,5 

1613 99. 629,8) 629,2] 629,6 
628,6| 628,5] 629,0 
698,2) 626,3! 697,4 
. 626,6) 625,5| 625,6 


Monte deneroso || 28. Okt. ||631,9| 631,8] 631,4 
1610 29. 631,3) 631,4 631,3 

E 630,1| 630,4) 630,4 

629,5| 629,0] 699,0) 5 
.1629,0) 626,0 636,9] : 0 SE, 


+06 
Davos-Platz 98. Okt. |632,5| 632,4] 633,9 „4 5 ; 2) 0| SE/SE, | S/SW, 

1557 . 633,5| 633,0] 633,4] 3,7| 1: 3 8 S/SWo-1|S/SWo- 
632,8| 632,7! 632,0] 6,6 g)| £ 3) 55 SE/S, | S/SW, 
631,5| 631,3] 630,7 : | S/S | S/SEo 
r.|1627,9| 628,6| 628,8 S I5E C SE/S,-ı| SE/S, 3 Blilnig ® 


DR 
Splügen (Dorf) || 28. Okt. ||642,8| 643,0| 6 : 5 5| 3| s/s, | swuw, | sW/sW, 

1471 ® 642,8 642,3| 642,2] 6,0 82 IS] SW/ÄW, | WS, | S/W, 
641,9 641,6 641} ! 5] sw/aw, | sw/sw, | SW/SW, 
641,1) 640,7| 639,8 3 - SW/SW, | SW/sW, | SW/SW, 
.||639,0| 638,5| 6: SW/W SWS | SW/SW 


Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind Bemerkungen 


Datum 


1592 1 3 e Zu ae 9 | 9 1 9 


| + 0,3 
| Andermatt ||28. Okt. | 642,7] 642,91 649,5] 2,8) 5,8| : | — WW... W/SW,| SW, 

1448 m |[29. » ||642,7) 643,5| 642,5] 5,1 PR: 8| 21W/SW,|W/SW,| W, 
641,6] 642,3] 641,7| 8,1 | - 3| 9|w/sw,|w/sw,| SW, 
640,5 641,1) 640,4] 10,1 3| 8,10 E/NE | SB/SW, | SW/M;, 
.|638,2| 638,3| 637,7| 5,5| 6,1| 6 \ | W/RW;- | W/RWE, |W/W,, 


+0, 
Leukerbad . Okt. || 645,1) 644,8) 647,3] 4,6 NE NE, 

1415 . 645,6, 644,9) 644,8] 4,2 56| 1: 0 5 SW NE 
643,7| 643,8) 643,6] 13,0 n 3 Dale 4 Ss SW SW, 
642,0) 641,4| 642,0] 12,2 5: 4 51 5] SV SW 
. | 642,0) 641,0) 641,0] 10,2 S > SW SW, 


06 
Platta 8. Okt. | 649,0) 649,5 649,7| 4,4 59| 50| 50| 5] 3) 3lwjsw,|wysw, | w/sw, 
1379 129. 649,3| 649,3) 648,5| 7,6 5 s1| 6 sw, | sw, | sw, 

30. » ||648,4 648,1| 648,0| 8,6 : 9| 8| sw, | sw; | sw, 

647,3| 647,0) 646,1| 10,2 ; 1 sc S sw, | sw, 
DV. 1644,6| 644,2] 644,5| 6,4 


1.06 
Reckingen ||28. Okt. || 650,5| 650,6| 652,3 
1349 651,6! 650,9) 650,9 
649,5| 649,9| 650.2 

648,9| 648,7| 649,9 
.|| 647,8) 646,9| 646,7 


Weissenstein 98. . 11 653,1| 652, 
1290 ! 653,1) 652, 
651,8] 651,5| 6 
650,8) 650,5 648,8 
1 645,7) 646,0] 646,7 


nn in 


gu 


Alpen hell 


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Braggio 
1313 


Gäbris . Okt. || 655,0 655,8] 652 

1253 E 655,1) 655,6) 65: 
654,9| 655,4 
659,0| 653,3 


651,6] 650,6 


Datum Barometer Temperatur Bewölkung Wind | Bemerkungen 
1592 1 ( 9171119 1 7 1 9 


+06 
Schuls 28. Okt. || 659,3| 657,2 - SE, | w, | nw 
1244m 29. » ||659,5| 657,3) 8| 0) 2] 6| NW, | sw/nk, |W/NW, 

30. » |658,1| 657,0| 658,1 9,8| 5,0 94| s| 8| 0| w/E, \swW| 5 
31. 57,6| 656,3] 656,1 5,8 1 3| S/E, | SW/E,| S/E, 
3,3| 653,8| 654,0 5,8 510) Alsw/sE|l nw | sw/Nn 


Ohurwalden 
1213 


+0,9 
Airolo . Okt. || 667,8) 667,6 

1154 ü 666,8 666,9 
665,8) 665,8 
664,7, 664,9 
. 662,8! 662,4 


Schwäbhrig 
1152 


Beatenberg || 28. . || 663,7| 663,5[ 663,7| 6,0 

1150 h 662,7| 663,0| 662,2] 8,8 
661,8) 661,4 661,6] 12,5 
661,3| 660,2] 660,2] 15,4 
.||658,3) 658,6| 659,8] 13,4 


+14 
Göschenen | 98. . 667,1) 667,6) 667,9] 6,6) 9, ‚S 100 
1108 } 667,3| 680,0) 666,1| 9,0 ‚6 ‚100 
666,2) 666,1) 665.0] 12,1 3,6 57 | 50 b SE/S, 
664.7) 664,9| 663,9] 12,8 2| 57. | 58] 64| SI 1c SE/S, 
7. 662,2) 662,5] 661,8] 10,0 S 72| 67 S; 


Ch ammont . 664,4| 664,0 S,8| 67 | 49 
1128 99. 663,4 664,2) 662,6] & ),6 44 
| 663,2) 662,0] 662,1 ‚6 43 
| 662,0) 661,3) 661,2] 1: > 
659,2) 659,4 660,9| 13,0) 1: ‚0 57 | 43 


| Datum Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind Bemerkungen 
1892 1 7 1|9 


Ort | 


, Ober-Yberg 
1126 


Wildhaus 
1096 


| Guttannen . Okt. || 671,7| 669,3| 671,6 
1070 Re 671,6) 671,8] 671,8 
671,2) 671,1| 670,6 
669,9) 668,8] 669,3 
.1667,8| 667,7) 667,3 


| +0,9 
| Engelberg |\28. . 11 673,1) 672,9 
1021 29. 672,5) 672,6 
671,2] 671,2 
670,7) 670,9 ls ı 
..1667,8| 667,81 668,8| 11,6 S S S SE, 


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52| 48|: | S NE, | WSW, 


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26 | 23 
25| 25 
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Datum 
1892 


Barometer 


1 


Temperatur 


Bewölkung 


Bemerkungen 
7 1 9 


Einsiedeln 
910 m 


Auen 
830 


Heiden 
797 


Affoltern 
795 


Faido 
759 


Gurtnellen 
749. 


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727 


30.» 
Be 
1. Nov 
98. Okt 
99.» 
30. » 
31. >» 
1. Nov 
98. Okt 
99,53 
30.» 
3l. » 
1. Nov 


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681,9 
680,5 
679,7 


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689,8 
689,0 
688,2 
687,9 


. || 683,1 


691,5 
690,2 
689,7 
688,9 


- 686,3 


691,1 
689,6 
688,1 
637,3 


.| 684,6 


700,5 
699,5 
697,4 
697,0 


- || 694,7 


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682,1 
679,5 
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690,6 
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682,9 
682,1 
16795 
677,4 
677,3 


689,6 
688,7 
637,4 
686,6 
685,0 


690,7 
690,2 


685,6) 68 


+0,55 
690,5 
689,9 
687,6 
686,4 
685,2 


+1,0 
699,8 
699,0 
697,8 
696,1 
694,9 


690,4 
688,4 
687,8 
687,0 
686,7 


699,7 
698,8 
697,0 
696,1 
694,0 


0,2 
1,2 
10,4 
17,2 
12,6 


3, 
9,1 
17,6 
13,0 
16,7 


3,0 
14,0 
17,4 
19,0 
16,9 


3,9 
6,2 
10,6 
11,0 
11,6 


5,0 
6,2 
7,3 
Sl 
8,1 


13,0 
14,2 
15,8 
18,0 
12,8 


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1,4 
5,0 
3,4 
7,2 


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Feuchtigkeit 
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9,01 ss| 58| 65 
17,5) 78| 34| 3 
15,0] 34 | 34 | 50 
10,2| 60 | 43 | 70 
9,7| 79 | 46 | 45 
17,2| 51 | 35 | 36 
15,2] 38 | 38 | 38 
15,7| 57 | 33| 47 
13,4| 44 | 37 | 41 

Haarhygr. 
13,0) SO | 32 | 22 
16,6| 24| 17 | 35 
19,0) 24| 22 93 
18,7| 21| 16) 18 
14,6| 24| 24 | 24 
6,9) 91 | 64 | 87 
9,7! 80 72| 85 
13,7 76| 65 | so 
123,9] 76 | 65 | 79 
4,6) 77 61 | 87 
5,0[100 100 |100 
7,2|100 | 90 1100 
9,1| 97 | 97 | 97 
s,a|100 | 93 1100 
7,0| 97 | 93 95 
13,4| 44 | 39 | 4& 
16,2] 48 | 48 | 50 
17,0| 53 | 53 | 70 
15,8[ 98 | 92 | 55 
14,0| 79 | 59 | 58 

Haarhygr. 
2,61100 | 85 | S5 
5,01 95 | s6 | 91 
6,2] 98 | SO | 95 
9.21 99 | 76 | 89 
5,8| 95 | 75 | so 


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10| NE 
5 NW 
s| SW, 
0| SW 
0| NE, 
8| SE, 
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3| SSE/N, 
0 
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0| SW, 
9| SW, 
101 SW, 
2] SW/NW, 
1) SW, 
0. w, 
10) SW, 
10) SW, 
10) W, 
10) W, 
1) SW/SW, 
10) SW/SWi5 
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10|S/SW, 
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0| SE, 
4 5 
3 5 
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sw, 
SW/NW, 
NW, 


W 
W, 


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SW/SW, 
SW/S 


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NW 
SW, 
sw 


In der Nacht Sturm 


Föhnsturm 
Föhnsturm 
Föhnsturm 
Föhnsturm 
Föhnsturm 


Föhnig 
Föhnig 
[>] 
Föhnig | 
Föhnig | 
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®Föhnig — 


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Datum 


| Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind Bemerkungen | 
1802| ne I | | 
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703 9923 698,2] 698,3| 697,5] 6,8] 16,0 112,4] 62 | 49 | 52| 1) 7| S| W, 0) NW, |FFo — 
30. » |1696,7| 696,8] 696,2] 14,9] 20,2 | 20,0) 47 | 41 | 37| 9| 7| 9| SE, S, SE, 
31. » |1696,2] 695,1) 695,5] 14,3| 23,1 | 17,0) 5&| 31] 43| 2) s| 9| NW, Sı 0 
1. Nov. 693,3) 693,0| 694,6| 19,4 19,2 | 12,9] 32| 3s | 6a| s| 4 ı| sE, | SE, | SE, 
+1,0 
Gastasegna || 28. Okt. | 706,4 705,6) 705,8] 5,85) 8,4| 5,5| 77 | 76| 90| 9| 9|10| N, W, NE, 
700 99. » |/705,3| 704,8|703,8| 6,4| 9,1! sol s6| s2| 92| 9) 9| 9| NE, | NW, | NE, |— lm ® 
30. » [1703,3| 703,5: 703,3] 8,0) 10,2 | 8,5j 99| 94100 | 10) 10|10| NE, W, W, 
31. » //702,8| 701,6) 702,2] 7,5] 12,5 | 8,2]100 | 82100110) 910) W, NE, SW, | — 4m @ 
1. Nov. 700,0] 699,9| 698,7] s,3| 8,5) 8,0l100| 99 | gı |10l10] 3| sw, | NE, | NE, |— %3$mn @ 
+ 1,0 Haarhygr. 
Haidenhaus 128. Okt. || 700,3) 699,9| 699,5|-1,0° 8,0| 6,6|100| 83! s7| 2] & 0| SE, \WAb. | SE, 


695 29. » 11698,9) 699,1) 697,91 8,4 10,1 13,0] 68| 70 | 60 NE, SW/NE, | SE 


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30. » |/697,5| 697,4! 696,9] 12,6| 18,8 | 15,6| 60 55 | 58 | 9) 3110| Sw/E, | SW/E,ı | E, || Föhnig 
31. » 696,8] 696,0) 696,2 14,8| 18,6 | 15,8] 56 | 57 | 51| 1| Ss! 6| SE SE, SE, 
1. Nov. || 693,5! 693,8] 695,2] 17,6| 17,0 113,4] 48 | 62| 63| s| 3) O| Sw/E,| SW, S, 
20,7 
Ebnat DSKORE I er as 5a oa E03 ONE SE SW 
649 29. » Ir ea ao — | 120101 TINEEW; N S 
30. » — | — I — | 84 9202\14,0| —| | —-|4 3 4 Ss E E 
Sa — | — | — [11,0] 21,6 )20,2| —| —| —| 210/61 N S S 
1. Nov.| — | — | — [100| a1,8| 74 —| —|—| 8] 6| 2) Ss E Ss 
+05 +0,7 
Lohn 98. Okt. || 705,3] 704,3] 704,3| 1,01 7,8) 84|100| 89| 6910) a) 0| N, NE, NE, 


645  ||99. » |703,6| 703,7|702,7| 9,0| 11,2! 9,8| 59 | 66| 72| al al a|sw/s, | SE, | NW, 

30. » ||702,8| 702,3) 701,8| 13,0] 16,4 |13,0| 61| 59| 73| 5| a] 9| ss, | m N, 
31.» |701,5| 700,4 700,8| 12,6] 17,6 |14,9| 66 | 571 54| ı| ı| 2| ss, | syn, | S/N 
1. Nov. || 698,3| 698,3) 699,6] 13,7| 19,1 [11,01 65 | 41| sı| 5) al 2] N, | swsm, | SW, 


+05 
Chur 98. Okt. || 708,6! 708,5! 710,5 6,0) 16,0| s;7| 63| 34| 54| o ı/ 0| SE, W, _ 
610 29. » |/710,0| 708,9! 709,0| 7,7| 17,8 12,2] 63| 37 | 6ı| 0] 5| 7) SE, |. sw, | SW, 
30. » |708,0| 707,6| 707,3| 13,9| 18,2 | 12,5| 59. 4s 
31. » |706,9| 706,5| 706,0| 9,9! 19,5 |12,2| 7 
1. Nov. || 701,8| 704,6 704,6[14,8| 14,2 | 9,4| 5 


Datum barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind Bemerkungen 
1592 1 { 7 D) 7 C 1|9 


Ort 


Meyringen ||28. Okt. | 708,7| 706,5] 706,4] 2,1) 10,8 | 8,0100 | 70| 71110) 1) 0) SE, SW | SEAl— — E 
600m ||29. » 705,9] 706,1) 705,7| 15,2) 17,8|16,5] S5 | 41| 57 | 4 9) 4| SE,, | SE,-, | SE,-, || Föhn 
30. » [705,1] 704,7| 704,2|18,2] 21,1| 19,8] 47 | 40 | 58] 2| 9] 7| SE, | SE,” | SE, | Föhn 
31. » |[703,9| 703,5] 702,5] 19,8) 21,0.\18,7| 72| 75| 64| 3| 2) 4| SE,_, | SE,4 | SE,4 | Föhn 
1. Nov.) 701,4) 701,6) 702,3| 17,2] 19,1 | 17,0] 73| 73| 69| s| 2) 3| SE), | SE,, | SE, | Föhn 
105 
Reichenau ||28. Okt. || — — — 5,3| 16,5 | 851 —| — | —| 0) 5] 0| SW, S, SWı 
597 9%. 7» E— — _ 7,11 1721122] —| =) —| 1) 5| 8] SW; SH Ss, 
30. » _ — — /114| 155|12,6| —| — | —| 9 9| SI S, Sı S, 
len 82 — — — [1039| 201 |12,7| —| —| —| 3| 5] 2] SW, S4 Sı 
1. Nov.| — = — 115,3) 1438| 92] —| — | — | 7/10) 0| S, S SW, 
+ 0,4 
Bern 98. Okt. | 711,2) 710,1] 710,1| 2,91 9,7| 5,8|100 | 67 | 95|10| 2| 4) SE, SE, SW, 
572 99. » || 709,1] 709,5) 707,9] 1,7) 8,9| 7,81 97 | 77 | 93] 7[10) 7| SW, NE, W -— —- 9 
30. » ||707,6| 706,31 706,7] 7,3] 15,1| 9,8| 95| 74| 97 | 7) 8S| 99 N, N, W, 
31. » ||706,5| 705,8| 706,2] 6,2! 14,7 | 11,2] 98| 73| 92) 4 7) 4 N, NW, SE, 
1. Nov. || 704,0| 704,2| 705,9| 9,0) 15,&| 9,5] 89 | 58| S9| 7) 5) 3| S,-, NW, S 
+1,0 +0,3 
Thun 98. Okt. || 711,3] 709,9| 709,8] 3,6) 11,8| 5,2] 97 | 76| S9|10| 1) O| NNE, SE, NW, 
565 99. » |709,4| 709,41 707,1! 9,4 11,0|14,4| 93| 79| 55| 2] 9) 9| ENE, SE, SE, 
30. » |707,1| 706,2) 706,0| 7,6| 18,5 |13,6| 91 | 60] 70) 7| S| S| NW, |NNW,.“| SE, 
31. » ||706,4| 705,0| 705,3] 7,2] 18,9 | 13,8] 92| 62| 63| 8| 4 55 |, SE SE, 
1. Nov. || 704,0| 703,7| 705,6| 8,4! 17,8] 8,6] 8S| 57 | 91 | 7| 1) 2] NW, SE, NW, 
+ 0,2 | 
Siders 98. Okt. || 713,7) 712,7| 714,8| 3,7| 15,4 |10,0| 92 | 58 | 67| 3) 0) 0| NE, NE, SW, | 
551 99, » |[714,3| 712,8) 712,3] 3,7) 14,3 |10,5| 91 | 73| 77| 3| 6) 9) 5 SW, SW, A 
30. » |710,9| 710,3| 710,4[ 10,8] 19,4 |17,2| 78| 59| 67 | 4 6) 6| SW, NE, NE, |— FE Fr 
31. » |709,7| 708,0) 709,5| 14,2) 20,0 | 15,2] 60 | 58| 67 | 7| 6| 6| SE, NE, NE |® RER PR) 
1. Nov.|) 708,2] 706,3| 708,3| 13,8| 15,2 | 13,0] SO | S7 | 77| 6| 6) 5| NE, , NE, NH | 2® 
+0,23 Haarhygı 
Lausanne ||98. Okt. | 712,7| 711,5| 711,1| 5,2] 15,5 |11,2] 95 | 56 | 56[10| 4 0| NE, S, N, 
553 99. » || 710,4| 710,6) 708,7| 8,4| 15,0|10,4| 71| 60| sı]| 6| Sı 9| NE, Ss E, — ®  —| 
30. » ||708,5| 707,3! 707,9| 10,6] 16,4 | 16,0| 70| 58| 56| 4 9) 3) E, SE; E; | 
31. » |707,4| 706,6| 707,4| 12,3] 18,4 | 14,7| 64 | 60| 60] 6| 4 4| SE, SE, SE, 
1. Nov.||705,3| 705,9| 707,7| 13,1| 19,3.) 10.6| 70 | 49| s6| 7| S| 5| NW; SW; NE | — — 
+02 
Schwyz 98. Okt. ||712,5| 711.9) 711,4] 2,0) 11,0|13,2]100 | 80| 44| 5| 1] 0| NW N F. 
558 239. » [711,0] 711,0) 709,8| 13,6| 16,1 |17,8| SO | 55| 76| 0)10| S| FE. NW, F. 
30,28 708,9 709,0! 708,5| 18,8] 18,5 | 21,41100 | 60 | 87 | S|10| © Ba 2 Ft 
31. » |708,7| 708,4| 708,2] 18,2! 21,8 | 18,8| 96 | 59100 | 5] 5) 3| F! 110 F? 
1. Nov.|| 704,8| 705,5! 707,1| 19,01 19,6 | 16,21100 | 76 | 98| 10) 4 1| Ft F® _ 


nr As; 


Datum Barometer Temperatur Fenchtigkeit | Bewölkung Wind 3emerkungen 
1592 1 9 1 | z 18169 
Sitten 98. Okt. ||713,6| 713,0 715,3| 5,4] 16,4 | 8,6] 79| 40| 66| 3) 2) 0) SW, | SE, 0 
540m |29. » 1714,3| 713,8] 712,8] 7,6) 16,8 |11,8| 70| 51| 76| 2| 3) 9| SW, E, 0) 
30. » 1/711,1| 710,1) 712,2] 10,2) 20,0 |14,2| so | 49 | 66 | 4 6, 5] SW, SE, 
31. » \709,9| 708,6| 710,5| 13,6| 21,8 | 16,01 65| 35| — | s| 7) 6| sw W; 
| 1. Nov. || 707,4| 706,8| 709,0| 13,4) 17,4 | 11,4] S4| 68 | 78| S 1 6| 5 SE, — oe — - 
+02 
Campro V. a8 Okt.| — | — | — | 601 98 | 64 — | — | — [1010| | 5, S, S, 
| 541 39.» I — | —- | — | 69 94 | 78[ —| —| — [1010| 10| sw/S, | sw/s, | SE 
| ee nsaloon ze | [nololdolesıs; S, SEul®  — . — 
31. >» — — li 8,7,11,0 | 9,6| —| — | — |10/10|10| W, SW, sw I — — 
Nom Se ae se | [Holao lol; N, we 
+0,1 Haarhygr. 
Ragaz 98. Okt. || — — | — 9.115 13 | 55| 37| 45| 1) 2] 1| SE, Ss SW, 
517 Do | 2 |} | 162520) 50, 15 len as, 5, Ss 
| a see |asi=|173|55:150)55:11,915 8) 91 2SE, S, SW, 
| a5 | a 2 1a oa} 3152172145, | 45.1.3107) I6l. SP, E, SE, 
| 1.ANov.|| — — [18 |17 14 | 52| 60| 6S| S| #4 2| SE S Ss 
0,0 
Sargans ||28. Okt. | 717,0] 715,7|716,9| 3,51 15,5 [13.2] 95 | 43 | 45| 4 1 0| W,, & S, ||Seit 9% a. F. 
507 99. » 716,8] 715,2] 716,2] 11,3) 19,4 | 15,8[ 51 | 39) 50| 01 5 8S| 5 Sins So ak. EL E. 
30. » |714,8| 714,7| 714,9| 16,3! 20,0 | 17,4| 50| 45 | 52| 7) 7| 5) 5, | 8, SSalik: << Ei> ıE% 
31. » || 715,0] 714,0| 714,0] 12,7| 99,6 | 16,6| 62| 38| 50| 1| 5) 5| SW... S; Shan No R.| 
1. Nov.||710,3| 710,8| 712,9] 15,4 16,4 | 13,6| 70| 55 | 6o| 4 3! 3| s,, SE S 3 || Föhnig, Alpen klar 
0,0 | 
Valeyres 98. Okt. || 715,3| 714,6| 714,5) 2,01 9,8 | 4,0| 95 | 90| 9510| 9) 9| . W E NW | 
505 9, » 713,4| 714,0) 712,8] 4,0| 9,3 | 9,01 95 | 90| sO| 9| 9| 7 W SE W | 
30. » 712,8] 711,8) 711,9) 82] 15,9 |10,0| — | — | — | S| 6) $| — _ -- 
31. » |711,1| — |711,1| 7,0|16,0 |10,0| 85| —| — | 5| 7110| — — W 
1. Nov.|| 709,0| 709,9| 711,0] 9,8] 19,2 | 9,0| 95 | 42| 75| 9) 4 7| NW W W 
| +0,4 0,0 
"Sursee 98. Okt. | 716,7| 714,8! 714,8| 0,6 12,7 | 3,6] ss| 6s| s9|10l ı o| nw, | SS, E, 
502 9. » \714,8|714,6| 713,71 0,8| 9,6 | 7,7| 96| s2| 9o| 1lıo) 3| w,., | w, |.NW, | 
| 30. » |712,1| 711,8) 711,5[ 6,7115,6 | 9,4l 96 | 6s| 95| 6 910) W,, | Su | W 
| 31. » |711,1|710,0|711,1| 6,0116,6 | sa| 97 | 72| 94| 3] s| s| w,_, | sw, | sw, 
| 1. Noy.||708,7| 708,7| 7108| 8,6117,8 | z,8| 9&| 66| 9310] s| ı| S, w. | sw |-— — ® 
| — 0,1 


Glarus 98. Okt. || 719,4! 718,1| 718,4| 1,81 10,6 | 6,1| 96 | 73 | sz|10l 3) 0) w, | w, | sw | 
| 482 |29. » |718,0| 716,2| 716,2] 4,8| 20,2 |19,8| s4| 37| 40| 0) s| 7| sw, | SE, | SE, || Von 10a. F.| 
30. » |715,8| 715,3| 714,8| 20,2] 23,0 |a1,3| 39 | 38| z6| 3) s| s| ses, | se, | |F ® P® 
31. >» |716,1| 714,81 714,3 13,8! 22,8 |20,0| 72| 34| 46| ı| 7) 7| sw, | & San ka .E8 
1. Nov.| 711,4] 712,0 713,3] 14,6) 20,2 | 16,2| 71 sl 6| ı| sE, | SE, S, |Föhnig, F. 


Datum Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind | Bemerkungen 
1892 1 ( \ 7 { c 1 9 


| Martieny 719,0] 721,4 

4S0 m . 719,1) 718,4 
715,8| 715,3 > 
713,8| 715,2 59| 8 5| 5I 9 £ SE, — K —| 
713,6) 714,6 { DAN: 5| SE, SW, | Gewitterhaft 


| 
| 
Zürich 38. Okt. 717,0| 716,6 5,4100 
716,3| 714,3 7,8[100 
713,8) 713,4 13,2] SO 
712,4) 712,6 14,41 93 
710,7| 712,3 s,s[ 56 


Neuchätel |[28. Okt. ||718,3| 717,3|716,9| 2,5) 6,1] 5,2]100 | 99 [100 | 10) 10) 2| NE, NE, NE, 
488 99. » |716,3| 716,2 714,9| 3,5] 8,3| 7,1l100| 97) 94| 9| 9) 7] NE, NE, N, 
30. » \714,5| 713,6| 713,9| 7,1| 15,6| 9,9l100| 69 | 95| Ss 6) Sl 5, NE, NE, 

31. » |713,5|719,6|713,5| 7,0) 13,8|11,2]100 | 82) 94| 5) 7) 0| W, SW, | NE 


I u I IN 


1. Nov.\710,8| 710,8| 712,9| 9,1 17,1 | 9,9100 | 71| 93| 9| 3] 7| NE, E, SW, |Oöm— — 
| — 0,1 | 
| Muri 98. Okt. ||719,2) 718,3] 717,8| 32] 7,2) 5,6 96| 97| 92|10)10| 0| NE NS AN, | 
ASS 39. » 1717,61 717,8 720,8l 12] 8,4| 8,0| 87) 97| 9a| 4110) SI W w|ıw | 

r N! | | 

30. » [715,9| 714,9| 7 s| st[10| 6110| W/W | w/Ww | Ww/W | 


1 

D) 

14,4| 6,9! 13,5 | 13,4] 97 | 98 
31. » |714,4| 713,41 713,9] 9,6) 16,8| 13,2] 88! 82] 85] a] 9) 7] W/S | w/NW | W/NW | 
1. Nov. |711,5| 711,9| 713,4| 9,4| 16,9| 9,z| 90 | s7 | 94]ı0| 9| a|lw/nw;,| w/nw | w/nw 


| | — 0,1 
| Altstätten 98. Okt. ||720,1| 719,5) 7182| 1,2] 6,1|11,7| 96| S9| 45/10) S 0) W W, S, Stürmische Winde 
ATO 29. » [717,9 717,4| 717,4|15,7| 20,3 |18,7| 35 | 31| 32] 0) 4 3l 5 Sr Stürmisehe Winde 
30. » 11716,6| 716,3| 716,4] 19,3] 22,3 |19,3| 35 | 31| 38] 9| 3| 9 Sy Sz | Sp Stürmische Winde 
31. » [715,8] 714,8| 715,3|19,3| 23,5 |20,6| 35 | 26 | 30| 5| 9| 9| SS, S, S; | türmische Winde | 
1. Nov. ||712,7| 713,3| 714,3[ 14,5) 19,4 | 17,1) 59| 42| 34| 6) & 1] SW, Sz S, | 
| 
02 | 
U.-Hallau || 28. Okt. 721,7| 720,7 720,3 1,5] 7,5| 2,7) 96| S4| 97J10| 1) 0) NE NE | NE | 
465 99. » 719,6] 719,9) 718,6| 1,5) 6,7 | 9,0 96| 90| 77 | 4110110) NE NE | NE 
30. » [718,3] 717,4| 717,2) 6,4| 16,0|14,1/ 91| .70| 6S| S| 4110| NE NE NE ee — — 
31. » |[717,0| 716,0| 716,5) S,8| 8,0|11,1| S9 | 56| s6| 2] 6) 5| NE NE NE 
| 1. Nov. ||713,8| 714,3| 716,1) 10,6) 14,8 | 7,7| SO | 56| 92| 9| 4| 0| SE SE SE 
| — 0,2 | 
Rorschach || 28. Okt. | — — 24 56| 561 —| — | — |10110) 1} SW, NE, NE, | 
| I 5a Bl el 5 SW NE Swiss 
30. » u le also SnSIE Si BEINEN ESWE S, I ey 
|31. » er. — 221 01816.23 20611 Fa 35 SE, Ss —- — 
1. Nov.| — | — | — 19,6) 21,4)102| —| — | — | 5] 4 1| 5, Si S, 


Feuchtigkeit 


1 


59 


Bewölkung 


1 


1 


|| Bemerkungen 


‚Buus 
450 m 


Luzern 
451 


' Altorf 
484 


Winterthur 
445 


Gersau 


440 


Schaffhausen 
439 


Kreuzlingen 
431 


Datum Barometer Temperatur 
1892 7 1 oe ze 9 
98. Okt. |719,7| 718,3| 7187| 331 135| 7,3 
99. » |718,1| 718,3 717,2) 6,7| 10,&| 11,0 
30. » [715,8] 715,9) 716,0] 11,5| 18,0 | 15,0 
31. » |715,3| 714,3| 715,4| 11,8) 19,1 \11,1 
1. Nov. || 713,4 713,2] 715,1| 7,9| 14,5 | 8,0 
| — 0,2 
98. Okt. | 722,2| 720,8 7205| 2,6 8,9| 4,8 
3. » 720,0] 720,2] 717,8| 1,8) 94| 83 
30. » !718,3|717,1|716,7| 7,5| 15,7 | 13,6 
31. » |717,1| 715,3| 716,3| 7,8) 20,4 | 14,1 
1. Nov. 713,9] 7143| 716,2] 12,2| 17,2 | 10,3 
| 
| — 0,1 
28. Okt. | 719,4| 717,6| 718,3| 4,0) 17,1 | 14,9 
9. » |I718,3| 718,1) 717,4 15,7) 16,7 | 19,1 
30. » |716,8| 716,1| 716,1] 18,9] 20,9 [90,5 
31. >» (716,0 716,1| 715,5] 20,1! 21,3 | 19,2 
1. Nov. 713,1) 712,6, 714,1| 18,5 19,4 17,3 
| — 0,3 
98. Okt. | 723,3| 721,4|720,8| 1,3 s3| a8 
29. » ||720,5! 720,4| 718,8 08 8s9| 5,9 
30. »  |[718,9| 718,1|717,9| 6,2) 15,8| 8,8 
31. » |[|717,8| 716,4|716,8| 6,3] 15,6 | 9,8 
1. Nov. || 714,1| 714,7| 716,4| 7,9| 17,4 | 7,7 
| 
| —03 
98. Okt. || 721,9) 720,3] 722,01 52] 9,6 | 9,0 
99. » |719,9| 719,9| 717,7| sa] 13,4 | 19,4 
30. » [718,0] 717,6| 717,0] 20,1| 21,9 | 22,0 
31. » [717,1| 717,2) 716,3| 16,1] 32,1 | 19,4 
1. Nov. || 714,3) 714,3| 715,7 20,4| 19,4 | 12,5 
— 03 
38. Okt. |723,0| 721,7| 7215| 201 66| 1,2 
99. » |721,2| 720,91 720,1] 0,01 7,6| 7,4 
30. » [1719,6| 718,3| 718,5| 5,6] 17,6 | 13,4 
31. » |718,4| 717,0 7175| 7,2] 17,2| 9,6 
1. Nov. || 715,0| 715,6| 717,0| 9,8! 17,0 | 7.0 
; —_ 013 
98. Okt. || 724,0) 723.7] 721,6| 42] 5,1| 3,9 
39. » |723,4| 720,0| 720,61 3,8] 63| 4,9 
30. » |/719,4| 718,9) 719,0| 7,5 10,9 | 6,9 
31. » |718,1| 717,1] 716,4|10,3| 15,9 | 14,6 
|| 1. Nov.|| 715,2) 714,9 715,5| 10,9) 16,8 | 14,9 


68 
s3 
60 
58 
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S4| 98 
Ss4| 56 
57 | 55 
93| 54 
53 | 77 


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‚101 SW/E, 
101 S; 

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2) 5 


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3| SW 
1 NW, 
01 W, 
8) Sa 
9) 8 
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3 Sg 3 
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10| SW, 
10) SW/E, 
5 SW, 
0) sw, 
0| NW 
6| SE 
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3 Sı 
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01 SW, 
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10] SE, 
2 5 
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Heft. R.121/2-51/2 


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| Stürmische Winde 


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Stürmische Winde 


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Datum | Feuchtigkeit | Bewölkung Bemerkungen | 
a I Tee a AT ee 1, te ala 07 0 nz 0 
—0,4 | 
Frauenfeld |) 28. Okt. || 724,7| 722,2) 723,3| 1,1) 7,6 62| 9510| 4 9) E, El AB, 
427m ||99. » ||79,8|722,9|722,9| 0,0] 4,4 | zz 91| sıo 2) — | SW, | SW ||Föhnbeleuehtung 
30. » |721,6) 720,6| 720,3| 6,0) 16,0 9|%|5 55 5 Ss SW ||— fhnig — 
31. » |)720,2| 719,1\719,3| 7,2] 16,0 89| 87| 3] slı0) 5 —_ — | 
1. Nov.||716,7| 716,8) 718,6| 9,3] 19,0 85) 93| 8] 3] 0) sw, | sw, | © 
— 0,& 
Genf 98. Okt. ||725,9) 723,9 733,6| 2,41 7,8 91 | 94110) 3) 0| 5 E, So 
405 9. » [723,3) 723,2] 721,8| 5,0] 11,3 S6 | 9710 10/101 5, 17350 So ee — — 
30. » ||721,8| 719,9) 720,1] S,6| 16,0 59 | sz[10) 101 1| S, S, S, 
31. » ||720,0| 719,0] 718,9] 6,8] 19,6 | 54| s6|10| 6110| 5, S Sul us 
1. Nov. || 718,2) 718,1) 720,0| 9,6) 16,4 77|s3|) 6 wı0) 5 S, Ss |tm- ®@ 
— 0,5 
Diessenhofen 98. Okt. || 725,2] 724,21 723,7| 1,7) 5,8 90/100 | 10) 1/10) 5, SE, Ev 
400 9. » 11793,3| 723,2] 721,9]- 0,4| 7,2 95 | 96 6 10|10| E, SW/AN, NE, 
30. » || 721,7\ 720,8| 720,5] 5,0| 15,2 73| 96| S|; 0)10| NE, SW/NE, NE, 
31. » ,720,5| 719,2| 719,6| 6,4) 16,2 197) ıı ad c| m NE, | NE, 
1. Nov. | 717,1| 717,0| 7188| 7,8| 18,3 61/96] 9 0 0 |, sw, | NW, 
— 0,5 
Aarau 98. Okt. || 726,5) 725,41 724,9] 3,0) 7,2 53/100 [10 1| 0) SW, NW, NW, 
397 99. » ||724,8) 724,9| 722,9| 2,9| 6,6 92 | 94110 10/10) W, SW/NW, | NW, 
30. » |722,7| 721,9) 721,3| 6,7) 14,3 75| 9710| 9) 10] SW/NW, | SW/ANE, |SW/W, 
31. » |[721,7| 720,2) 720,8 6,1| 13,5 so | 9710| 9| ı| nw, |SW/w, SW/Ww, 
1. Nov.|| 718,7| 718,7| 720,6| 8,1) 1&4 79| 97| 9110| 0|SW/W,|ıSW/W,| WNW 
— 05 
Olten 98. Okt. || 726,3) 725,4| 724,9| 3,4) 8,3 87| 97|10| 2[10) SW, W = 
395 99. » [724,8 724,9) 722,8] 3,01 7, 94| 95] 9 10)10| °— —_ — 
30. » |729,6| 721,8] 721,1] 7,4 15,8 74\ 95] S| #10) — SW, SW, 
31. » ||721,7) 720,1| 720,6| 7,4! 15,0 s0| 941101 7) 6| — nz —_ 
1. Nov. || 718,7| 718,2 720,5| 8,3) 15,9 77| 96| 9) 7) 0| SE/S,| 5 — 
— 0,5 aarhyer. 
Territet 98. Okt. || 727,0| 725,4| 724,8| 5,2] 9,2 96 | 36]. 2] 2] 0) SE, SW, = 
359  ||29. » |724,0| 724,0) 793,8] 15,4| 13,0 sa|4s| 7| si sl. NE, | W — 
30. >»  |723,1| 720,0| 721,6| 10,3] 20,2 50| 46|, 510) 3| E, 1 — —- FR 
31. » |721,0) 720,2) 722,7| 19,0| 15,6 66| 50| 4 SI 3| W, W —_ F —_— 
1. Nov. || 719,3) 718,9) 7232,0[ 16,6| 18,9 48| 71| 3) 4 7) 5, E, — 
— 0,6 aarhygr. 
Montreux 98. Okt. || 728,0) 726,8] 725,5] 5,01 9,5 s4| 36| 0) 1) 0| NW, sw, | — — — FR 
350  ||29. » [795,1] 725,4 723,4] 14,5| 13,1 67/1 36| 9] Sl 10l Ss, | sw, | — |FEF.6-10bp. 
30. » 723,6] 724,6| 723,4| 10,3| 19,3 46) 38| 3) 5) 5) N Sı — IE ER 
3 » . | 721,9| 721,4) 721,6| 16,3) 16,3 54|38| S| 2| 3) WW, W, —_ V. 9ha.F. 
1. Nov.|| 719,7| 720,1| 732,5} 17,3| 17,9 41 | 65| 4 1/10) Sı Sa-3 — F. bis 2bp, 
| 
| 


1 


Bemerkungen 


Böttstein 
370 m 


Liestal 


335 


Basel 
978 


Lugano 
275 


S. Vittore 
270 


Locarno 


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Bellinzona 


232 


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Barometer 
7 1) 
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|731,3| 729,11729,5 
29,5] 729,6 727,8 
211 726,7 
26,5 726,1 
724,5] 726,2 
735,9| 734,1| 734,2 
734,1) 73 732,7 
7322 8 731,8 
7315 ;| 731,6 
729,5) 729,&| 731,1 
743,8 742,8 
742,6 741,5 
740,5 740,3 
739,7 739,5 
r.|| 737,0 735,7 
743,8 743,2 
743,3 741,8 
740,5 740,1 
740,1 739,6 
rByEri 736,6 
747,8 746,9 
746,5 745,1 
744,4 743.9 
743,8 743,3 
r.|740,4| 740,7| 740,0 
11 747,7 746,9 
746,6 745,0 
| 744,3) 744,0 
743,4 743,9 


740,1) 11,2 


SI 118 © 
[3 


sr. 


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2) 


Rn = 


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10,4 
11,2 


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10,0 
10,8 


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9,6 


10,8 
13,0 
10,0]100 


9,0 


10,0 
10,7 
10,2 


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10,0 
10,4 
11,4 


9,6 


93 
95 
98 
97 
97 


100 


97 
97 
97 


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| | 


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Abends & 


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Datum 


Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung 
1897 ff 1 9 za B) 7 | 1 9% 1|9 7 

| 
Süntis | 8. Dez. || 560,3) 557,4) 553,1]- 4,0) - 4,1 \- 3,5| 53 |100 1100 | 7) 10) 10) WSW, 
500m || 9. >» 550,4] 549,5] 550,4] 10,5) — 10,2 | 11,81100 |100 |100 | 10) 10] 10] WSW, 
St. Bernhard 8. Dez. ||564,3| 562,0| 558,3]- 3,9! - 3,4 |-3,4| — | — | — | 7/1010) SW, 
3478 9,2 504,5| 553,0| 553,2]- 7,81 - 8,7 \- 11,9) — | — | — [10/10/10 NE, 
Julier 8. Dez. |1579,7| 578,4 573,7|- 0,4 -1,8|-2,4]| — | — | — | 10| 10| 10| N/SW, 
2243 || 9. » [572,8] 571,1 569,9|- 8,01 -8,6 |-102]| — | — | — [10] 5| 10] N/SW, 

I} 

Bernhardin|| 8. Dez. |592,3| 589,7) 586,9]- 1,81 - 1,6 -4,01 — | — | — | 8} 1010| S, 
2070 9.» 582,6| 581,7) 582,1|- 3,8] - 4,2 |-8,0| — | — | — [|10| 8/10 S, 
Pilatus S. Dez. || 591,2] 588,1| 585,2]- 3,31 - 23,6 - 1,5) — | — | — | 5| 10) 10| SSW, 

2067 O2 582,0] 580,8! 582,3|- 8,0| - S,2 1-84] — | — | — | 6| 10) 10) SSW, 
Sils-Maria 8. Dez. || 612,4) 609,9 605,7|-5,7| 0,6 |-3,3| 85 | 76 | 98] 10) 10] 10) SE, 
1809 9. » [601,5] 600,4| 601,8|- 3,4 - 1,0. -7,31100 | 54| 93 | | 3/10] SW, 
Rigi-Kulm || 8. Dez. | 612,6) 609,2] 605,8]- 0,2) -1,4| 0,0) 55 | 75, 95 | 9/10) 10| SW, 
1787 9.» 603,3| 602,1! 603,4]- 5,6) — 6,0 |- 7,51 95 1100 1100 | 6] 1010| W, 
Grächen 8. Dez. | 627,6] 624,6| 620,8|- 0,4 2,3 |-0,6| —| — | — | 7] 10) 10 S, 
1632 9. » 618,5] 616,3! 617,1|-9,2)-1,7 -45| —| — | — [1010| 8| E,_, 
‚Monte (enerose || 8. Dez. || 672,8] 625,2) 623,2| 0,8] 0,4 |-1,6| S9| 93| 96 | 6,10/10| SE, 
1610 9. » 617,4] 616,0) 615,8|- 2,41 - 0,4 |-5,2]100 | 60 | 91 J10| 0) 5| NW, 
+0,9 
Splügen (Dorf) || 8. Dez. || 639,7, 637,1) 633,41-09| 3,7\ 1,1l —| — | — | 3] 10) 10| sW/sW, 
1471 9. »  ||630,0| 628,5) 630,1)-1,3| 0,0 |-5,3| — | — | —[10| 3] 10) NE/NE, 
Haarhyegr. 
Leysin 8. Dez u — |-2,1/-3,2|-2,1| SO| 45/100] 510/10) N, 
1450 9 » — _ — |-2,0| - 3,1 |- 5,1|100 |100 \100 | 10) 10| 10| W, 
+ 0,3 
Andermatt || 8. Dez. || 639,4! 638,3| 635,4| 0,01 3,8) 05| —| — | — |: 3| 7/10) NW/S, 
1448 9. »  |1631,1| 630,0] 630,11- 351 - 1,4 |-5,1| — | — | — | 10) 10] 10| N/NE 
| +0,55 
Leuk Bad || 8. Dez. | 645,4 642,7| 638,3]- 1,4] 3, 9,2| 89) 87 | 83] 2/10/110| NE 
1415 9. | 636,4) 634,8| 634,0|- 2,5) - 3,6 |-4,4| 90 | 96 | 98 | 10| 10 10) NE 


| Bemerkungen 
1 Ya 75 1 9 
— — — 
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WSW, |WSW.I— x x 
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N/NW, |N/NW, 
N/SW, | N/SWw, 

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N, N |®X — %* 
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NB/NE, | NB/NE IK — — 
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N/NE, | N/NE |@ X — - — 
SE SE 
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Datum Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind Bemerkungen 
1897 Te og elle ze 1 9 14 1029 
| | | 
| — 05 | | 
Platta S. Dez. || 646,9| 643,3| 640,1| 46) 46) 2,6] 43| 4S| 59| 7) 9) 9] SW/sW; | SW/SW, | SW/SW, | 
1379m || 9. >» 637,5| 635,7| 637,1|- 3,6] - 0,2 -4,0| 96 | SO | 95| 7/10) 9] sW/sW | SW/AW, | SW/N, xx x 
0,6 | 
Reckingen || S. Dez. ||649,4| 641,8! 641,7[-8,2) 0,5 |-0,6| 99 1100 | 96) 410101 0 | 0 0 — rk 
1349 9. » 639,8! 637,4] 639,0)- 0,2] - 1,7 |-4,2| 75 | 94 | 93 | 10) 1010| W, W, 0 — ER] 
| 0,0 | 
Braggio S. Dez. || 651,8] 649,2] 646,1] 1,41 3,1| 0,3] 70| 66| 93)10)10110| SE | 5 Ss | = = x 
1313 ge3S 640,7| 639,3] 640,51- 1,1) 3,9 |-1,2|100 | 60 | 6410| 7) $| SE, | NW, W, 
I} 
| 0,6 
Schuls 8. Dez. || 656,7| 652,6] 650,1|-5,0) 1,2 /-0,3] 91 | 78100 | 7) 10/10) SW/N, | N, |SW/N, 
| 1943 9. » 1646,23] 645,31 646,9|- 0,7) 0,8|-3,8| 96 | 87 | 9410) 3) 1| N. \NE/NE,| NEIN, |X — —| 
0,9 | | 
Airolo 8. Dez. ||664,6| 661,5| 6581-14] 34| 051 —|—| —| 010 10| ww w I aw|- — x| 
1154 9. » 654,6| 753,0 654,3| 1,2] 0,6. .-0,9| — | — | — [1010 10) W wei wlK ee — 
Haarhygr. | | | 
Schwäbrig | 8. Dez. | — | — | — |-3,6.- 2,4 - 2,4100 [100 |100 | 10 1010| E, BE, BE, | 
1152 Eh nn u _ — /-30| 0,0) 0,2[100 1100| 86 [10] s[10| NW, | NW, | NW, | 
| | 
Beatenberg || S. Dez. || 664,7| 661,6) 656,8]- 1,5| 1,1| 2,41 93| SI | 90| 711010) W, | SW, 0) — —-®x 
1150 gu \ 656,5 655,0) 656,4] 1,2] 0,0-2,6] 60 | 90 | 96 [10 1010| W, | W, sw, |- * -—| 
| IA) | | 
Göschenen || 8. Dez. | 666,2) 663,4 659,5|- 2,2] 40) 4,0]100 1100 | 78| 5) 810] \E/NE, | S/S2 3 SW/S,,1— 0 — @® 
1108 9. » 658,0) 656,5] 658,2]- 0,4! 0,0 1-2,21100 | 92 | 91 | 10] 10] 10] NNE, [S/SSW,| NW, |— — xX| 
| | | 
| | 
Chaumont || 8. Dez. || 664,6) 661,8] 657,2]-0,3| 0,6 | 1,0] 94) 93 | 96| 710/10) NW, | NW, | NW, |I— @® x 
1128 9. »  |1657,6| 654,8] 656,41- 2,01 - 23,0 -3,3| 92 | 92 | ss | 10/101 10| ww, | NW, | nw, | x + x| 
| r | | | 
Wildhaus 8. Dez. || 667,1| 663,9] 659,1[-0,4| 1,7| 3,2) —| — | -/101101100 E)RE | W wu Ki) 
1094 9. » |1657,8| 657,21 659,1| 0,81 -0,9 -3,0| —| — | —| 5/10110| ww, | sw, | sw, |— x * 
| + 0,5 | | | | 
Guttannen || 8. Dez. | 671,8) 668,9) 664,2|-4,5| 48| 42] 95 | 63 | 65| 4 S| 7) SW, SE, SE, |— F. F 
1070 9. » |,664,3) 669,3) 664,1| 0,6) 1,2|-1,6| SS | 86 1100| 10| 10) 10| SW, | SW, Ne IS ER a 
| +09 | | 
Engelberg | 8. Dez. || 673,8) 670,4 666,4|-4,9| 1,1] 3,6 95 | 91 100| 5/1010) SE, | SE, SEI — ® 
1021 9. »  1665,8| 664,1| 665,6| 0,8| 1,3 |-1,9 89 | 98 | 98|10/ 1010| SE, | SE, Wie ER * 
Haarhygr. | | | 
Brünnig || 8. Dez. | 675,3) 672,5! 667,6[-3,6| -0,4| 1,0] 90| 85] 90| 9 10 10 sw, | SW, | SW |- x@ ®@ 
1010 gR3 667,0| 665,5] 667,5]- 0,4 - 0,2 |- 2,41 95 | 97 | 95 [1010| 9] NE, NE, NE, | — x —| 
| | 
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Datum Barometer Temperatur Bewölkung Bemerkungen 


1897 We : : £ 7|1]9 


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950 9, 2 665,1) 662,7) 663,0] 0,0 E 85) 


04 
Einsiedeln || 8. Dez. || 684,0) 680,8| 675,8|- 5,6 
910 9, 674,7| 673,7) 675,8] 2,8 


Auen 3. . 690,1! 687,0) 682,0|- 2,5 
830 ” 681,6) 680,1) 682,4] 1,0 


Heiden . Dez. || 691,9| 688,9) 684,1|- 2,6 
797 GW 683,6) 683,0] 684,9] 1,2 


| +05 
Affoltern h 2. 1, 693,0] 688,8] 684,1|- 0,5 
797 ). 683,4 682,1) 684,5] 2,8 


+ 0,7 
Faido . Dez. || 696.4] 693,5) 690,5| 0,6 90| : N, 
759 9. 685,5] 684,4) 691,5] 1,3 4 0 ) W 


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| 727 9. 691,2) 690,2) 691,4] 3,0 7 5 Ö W/SW, 


Langenbruk || S. 5 [= 02| 52) 46 | D l W; 
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+03 
St. Gallen || 8. Dez. ||700,3| 696,4! 691,8]- 2,4 g; ;9| 98| 6 SW, 
703 9. 691,6) 690,6) 692,7! 1,6 1 56! 9698| S ( W/SW, 


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| - | E: 
700  |19. 690,3) 689,0] 691,1] 2,1 NW, 


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Ort Datum Barometer Temperatur Feuchtigkeit | Bewölkung Wind \ Bemerkungen 
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1597 7 1 ) 7 | il 9 Zt Oz | 9 7 1 ii) 7 1 9 
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Haidenhaus S. Dez. | 703,4| 696,9] 692,4- 0,8) 2,4| 2,6] 95| 82100 | 10) 10) 10| SW sw | sw |- — 
695 m 9.» 693,2) 691,9] 693,0) 1,4| 1,4|-0,6 | 90| 95 100| 910.10) 8 Ss Ss ® 
| 1 1 
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Brig 8. Dez. | — | — | — |-7.0| 1,4| 0,2[100| 80| 99] 3/10 10| NW, N, BER = MEN. 
678 9.» | — — — 2,4| 3,2] 1,1| S3| 69, 84] 10] 10) 10) SW; SW, _ — 8  ® 
Ebnat S. Dez. || 705,5) 702,7| 699,0|-4,6| 30| 46| — —| —| 7|10/10| nW SE SE | —- . @ 
649 907,3 696,2] 695,41 697,1| 2,51 3,3| 13] — | — | —| 410100) W W W u u < 
| 105 N 
| Lohn S. Dez. |) 705,2| 701,3) 697,4| 0,4) 3,7! 40])100| S9| 9710/10 10| SW, SW, sw |-— ® ®@ 
645 9. » 696,9] 696,0) 698,3| 1,5 | 3,0| 0,2| 93| 86| 96/10] 10) S| sw, | sw, | sw, |® x 
Wald 8. Dez. || 708,4) 703,9| 700,2|-0,6| 23,41 24| —| —| —|10110110| E, E, 0) zu) 
621 9. » 699,3] 698,7] 701,0| 1,8| 1,7| 00| —| — | —| 7|10)10| E, E 0 ® 
0 
Chur S. Dez. || 707,7| 705,1) 699,8|-2,6| 2,2) 3,7) 93| 86| S1| 1010| 10[ SW, SW, SW, ||— Föhn — 
610 9. » 699,3] 698,2) 700,7| 2,6| #3| 0,7| S7| 70) s9| 510/10] SE Ww li, — 
I | 1 1 | 
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|Meyringen || 8. Dez. |710,3| 709,6) 701,51-2,8| 2,2) 1,4 | 96 100 100} 10 10) 9 E, NE, NE, |— 9x @ 
600 9. » |701,6| 699,6) 701,8| 2,7) 2,9| 0,6 | 91| 96| 96|10|10|10| NE, N, ww |® x x 
| | | | | 1 
| | | 
Reichenau || 8. Dez. | — | — | — -36 2,8 39) —| —| —| 910/10) sw, Sı N} 
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| 
Bern 8. Dez. ||712,8| 708,9| 7044] 0,9) 41) 3,5| 86| S5| 91/10/10) 101 S, NW, Ss I—-— ® ® — 
| | | 
572 9. » 1704,51 702,4| 704,4| 42) 4,6| 1,1| 82| sa| s7z|10| S| 9| SW. W NE |® ® — 
| 2 3 0 
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Thun 8. Dez. || 712,9) 709,3 703,8| 1,2| 3,7| 40[| 93| s2| 93| 10| 10) 10| sE SE NNW,I- — ®@ 
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565 9. » |/703,1| 702,31 703,31 5,4| 6,0| 2,8| 70| 71| S6[ 10/10) 10| ESE, | WNW ESE | @® ® — 
| 1 1 0 
| | | 
IF 0,1 Haarhygr. 
Siders 8. Dez. ||716,6| 712,8) 708,0|-6,0| 1,1) 1,2| 95) 79| 99| 3] 7]10| w, SW, NE, |— — 9 
551 O2 705.9 704,5 705,6| 3,2] 25| 0,6] 79| 88| 95| S| 10) 6| SW, SW, sw ‘ee ® — 
| 
Lausanne || 8. Dez. ||715,7| 712,3) 707,3| 0,6| 3,0) #8 [100 | s6100| 7) 9lıo| Ss Ss sw |-— ® ® 
| iR. 0 0 
553 9. » !706,3| 705,1) 705,7| 5,0| 2,6| 1,6| 68| SS) 90| 9/10) 9| WSW,,| WSW E ee 9x — 
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| 
Schwyz 8. Dez. || 714,7| 710,7) 705,31 02] 1,8) #4| 92| 77| 83]10|10| 10| NW NW — ——.—-.0 
558 9. » |1704,6| 703,1| 705,7) 4,7| 3,7! 0,6 23 83 | 96[ 10| 10) 10| SE NW — _— — x| 
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Datum | Barometer Temperatur | Feuchtigkeit | Bewölkung Wind \ Bemerkungen | 


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541  |9 »  |705,3| 703,0! 705,1 1,6) 8.0| 4,2] 96 | 50 | 54|10 10) 6| 5, NW, | nw, || 
| | | 
Ragaz S. Dez. || 718,4! 714,5| 709,3|- 3,4| 2,2| 6,4 | 
I 5 9,» |706,8| 707,0) 7093| 4,1| 5,1| 02 | u | 
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|Sargans || 8. Dez. ||718,3| 714,7|709,7|-1,8| 1,7 5.0] 98| s4| 78|10/10 10) 0 W, wel EB) 
I 507 9. » ‚708,21 708,01 710,0] 44 3,8| 1,0] 68 85, 92] 5,1010) W, W, w, |— @@x 
| | | 1 
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\ Valeyres S. Dez. || 717,2) 713,2] 709,1) 1,01 6,3) 6,0] 94| 62 8010/1010) SW SW sw ie ® — 
I 505 9. »  /708,4| 707,1) 708,2) 4,0) 48| 23,8] 71| 66| 81[10|1010) W Ww wie ® — 
+.0,6 Haarhyer. | 
Sursee | 8. Dez. ||718,6| 714,4| 709,7| 04 4,3| 3,4| 87 | 74| 95] 10| 1010| w/W, ‚W/NW. NE, |® ® ® 
502 19. » 708,8| 707,9) 710,5| 2,8) 2,0 | 0,9| 77 | 93 90 | 10 10 101 N, W/N, | WW I@® x %* 
| | | 
| Haarhygr. | | | 
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Sarnen 8. Dez. || 720,6| 716,6| 710,51- 0,7 ‚| 3,7| 90| 89 | 9510| 10)10| SE SW, ı NE |— — ®@ 
490 9. »  1710,4| 709,4] 713,1) 5,01 45| 0,71 68| 75| 93| 5) 7I10| swysw, | SW/ASW | NE, |-— ® @x 


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90| s6| S|101 10) W, | W; SW, 


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| 9493 9. » 1709,51 708,9 711,1] 46) 2,2] 1,41 63 


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89 | 97 | 94] 10/10/10] SW, SW, SW; ||— 


20,5| 716,3) 711; 
711 80) 93 | 95 | 10) 10/10) SW, SW; SW, || — 


10,9| 709,9 


Glarus 8. Dez. 91,2) 717,2) 711,6)-2,8| 23,0| 2,0 


7 9668| 96 | 10) 10) 10) SE, SE, SE, |— — 
482 9. » |711,2/710,4| 7135| a8 3,6| 04 


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93 | 96 | 96 [10 10/10] SE, NW | nw, |— @x x) 


68 | 54| 72110 10 100 W wiww|i- — @ 


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Muri 8. Dez. | — _ _ 961 44| 5,0) 
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Altstätten 8. Dez. || 721,4| 716,9) 711,8[- 2,01 1,0) 5,9 
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\ Porrentruy || 8. Dez. |721,3| 715,7 712,8| 46 6,6| 6,8| 70| 91 9210| 1010| W, WERE We | ® 
460 9. ». [712,41 711,9|7133| 42) 1,3| 1,6| 69| 93| S5| 810) sIsw,,;| 5, | Ss |@x x 
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Rorschach | 8. Dez —_ | — 0,6 51| 3,9| — | — | — | 3/10) 10| NE, W, sw |\-— — 8 
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'Buus 8. Dez. |721,4| 716,61 712,8| 1,4 8,1| 7,6] 93) 67| 78lJ1ol10lı0]l S, ss |w|- 0 ® 
450 9. » |1719,4| 711,8) 713,6] & 1,3| 1,6] 87 | 96.| 87 | 10| 10 W, W, SW, |@® ®x X 
| | | Haarhygr. | | 
‚ Luzern | 8. Dez. ||733,6| 719,3] 714,6|-0,6| 2,0| 3,6| 93] s5| 99| 7110110) 5, | SE, Ww|l- @® ®@ 
| 451 9. » [7135| 713,5|715,3| 5,3) 6,8| 1,2 50| 49| 95| 2) 5| s| sw, | sw, |nws|i®e @®®@x 
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Vitznau 8. Dez. ||723,3|718,9714,1| 05| 36| 40 —|—  —|10| 10) N NE, BE |— —- 0 
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Neue Denksehriften 


der 


allgemeinen schweizerischen Gesellschaft 


für die 


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NOUVTEAUX MEMOIRES 


DE LA 


SOCIETE. HELVETIQUE 


DES 


SCIENCES NATURELLEN. 


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Band XXXVIM. Vol. XXXV. 


Auf Kosten der Gesellschaft und mit Subvention des Bundes 
gedruckt von Zürcher & Furrer in Zürich. 
Commissions-Verlag von Georg & Cie. in Basel, Geneve & Lyon. 


1901. 


Band I. 1837. 38'/s Bog. 9 Taf. 


Schinz, H. R. Fauna helvetica. Wirbeltiere. 
Charpentier, J. de Fauna helvetica. Mollusques, 
Studer, Be Gebirgsmasse Davos. 

Otth, A. Froschgattung Discoglossus. 

Tschudi, J. Schweizerische Echsen, 


Band II. 1838. 47 Bog. 9 Taf. 


Schinz, H. R. Arten der wilden Ziegen. 

Stähelin, C. Badquellen zu Meltingen, Eptingen,Bubendorf. 

Merian, P.; Trechsel, F.; Meyer, D. Meteorologische Be- 
obachtungen in Basel, Bern und St. Gallen. 

Gressiy, A. Observations gdologiques sur le Jura soleu- 
rois. 1"® partie. 

Heer, 0. Käfer der Schweiz. I. Theil. 1. Lieferung. 


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Band III. 1839. 62'/» Bog. 27 Taf. 

Escher v. d. L., A. Contactverhältnisse zwischen Feld- 
spathgestein und Kalk. 

Escher v. d. L., A. und Studer, B. Geologie von Mittel- 
Bünden. 

Agassiz, L. Echinodermes fossiles de la Suisse, 1° par- 
tie. Spatangoides. 

Moritzi, A. Gefässpflanzen Graubündens. 


Band IV. 1840. 46'/ı Bog. 22 Taf. 


Heer, 0. Käfer der Schweiz. I. Theil. 2. Lieferung, 

Agassiz, L. Echinodermes fossiles de la Suisse. 2° par- 
tie. Cidarides. 

Vogt, €. Zur Nevrologie der Reptilien. 

Gressiy, A. Jura soleurois. 2% partie. 


Band V. 1841. 54'/ Bog. 17 Taf. 


De Candolle, A. P. und Alph. Monstruosites vegetales. 
Nägeli, C. Cirsien der Schweiz. 

Blanchet, R. Sur quelques insectes qui nuisent a la vigne, 
Gressiy, A. Jura soleurois. 3° et derniere partie. 
Heer, 0. Käfer der Schweiz. I. Theil. 3. Lieferung. 


Band VI. 1842. 26'/ı Bog. 20 Taf. 


Neuwyler, M. Generationsorgane von Unio und Anodonta. 

Valentin, G. Zur Anatomie des Zitteraals. 

Nicolet, H. Podurelles. 

Martins, Ch. Hypsometrie des Alpes pennines. 

Lusser, F. Nachträgliche Bemerkungen zum geognosti- 
schen Durchschnitt vom Gotthard bis Arth (Alte 
Denkschriften Band I. 1). 


Band VII. 1845. 21'/e Bog. 21 Taf. 


Vogt, €. Zur Naturgeschichte der schweizerischen Cru- 
staceen. 

Vogt, C. Anatomie der Lingula anatina. 

Agassiz, L. Iconographie des coquilles tertiaires, etc. 

Brunner, C. Polyporus tuberaster, Pietra Fungaja. 

Sacc, F. Parties constituantes de la nourriture, etc. 

Sacc, F. Proprietes de l’huile de lin. 

Studer, BB Hauteurs barometriques dans le Piemont, 
en Valais, en Savoie. 

Brunner, €. Ultramarin. 


Band VIII. 1847. 50'/. Bog. 17 Taf. 


Kölliker, A. Bildung der Samenfädchen in Bläschen. 

Mousson, A. Thermen von Aix in Savoyen. 

Raabe, J. Ueber die Factorielle ete. 

Koch, H. und Kölliker, A Zur Entwicklungsgeschichte 
von Eunice. 


Heer, 0. Insektenfauna der Tertiärgebilde von Oeningen 
und Radoboj in Croatien. (1. Abtheilung.) 


Band IX. 1847. 51'/. Bog. 13 Taf. 


Schweizer, E. Doppelsalze der chromsauren Kali mit ete. 

Nägeli, C. Die neuerın Algensysteme. 

Bremi, J. Zur Monographie der Gallmücken (Cecidomya). 

Deschwanden, J. W. v. Ueber Locomotiven für geneigte 
Bahnen. 


Band X. 1849. 47'/ Bog. 13 Taf. 


Amsler, J. Vertheilung des Magnetismus. 

De Candolle, Alph. Sur le genre Gärtnera. 

Sacc, F. Poules nourries avec de l’orge. 

Braun, A. Schweizerische Characeen. 

Hofmeister, H. Witterungsverhältnisse von Lenzburg 
(1839 —1845). 

Brunner, C.,, Sohn. Cohäsion der Flüssigkeiten. 

Nägeli, C. Gattungen einzelliger Algen. 


Band XI. 1850. 55'/« Bog. 22 Taf. 
Zweite Folge: I. Band. 


Heer, 0. Insektenfauna von Radoboj und Oeningen 
2. Abtheilung. 

Rütimeyer, L. Ueber das schweizerische Nummuliten- 
terrain etc. 

Sacc, F. Fonction de l’acide pectique, etc. 

— — Analyse des graines de pavot blanc. 

Henry, Delcroz, Trechsel. Observations astronomiques 
pour... la latitude de Beme. 


Band XII. 1852. 72'/2 Bog. 17 Taf. 


Amsler, J. Wärmeleitung in festen Körpern. 

Brunner, €. Environs du lac de Lugano. 

Girard, Ch. Revision du genre Cottus. 

Quiquerez, A. Terrain siderolithique du Jura bernois. 

Brunner, C. Elementaranalyse organischer Substanzen. 

Frick, R. Schlesische Grünsteine. 

Bruch, C. Zur Entwicklungsgeschichte des Knochen- 

systems. 

Meyer-Dür, R. Fauna helvetica. Schmetterlinge 1. Tag- 

falter. 


Band XII. 1853. S6'/ Bog. 36 Taf. 


De la Harpe, J. C. Lepidopteres. 1V. Phalenides et 
1er Supplement. 

Mousson, A. Whewellsche Streifen. 

Stähelin, Chr. Messung von Kräften vermittelst der 
Biflarsuspension. 

Heer, 0. Insektenfauna der Tertiärgebilde von Oeningen 
und Radoboj II. Abtheilung. 

Escher v. d. L., A. Gebirgsarten im eat 


Band XIV. 1855. 64°/ı Bog. 20 Taf. 


Zschokke, Th, Ueberschwemmungen von 1852, 

Pestalozzi, H. Höhenänderungen des Zürichsee's. 

Renevier, EE Perte du Rhöne. 

Denzler, H. Untere Schneegrenze während des Jahres. 

Greppin, J. B. Terrains modernes du Jura bernois. 

De la Harpe. IV. Phalenides. 2° Supplement. 

_— V. Pyrales. 

Mousson, A. Veränderungen des galvanischen Leitung 
widerstandes. 

Volger, H. 0. Epidot und Granat. 


Band XV. 1857. 60'/. Bog. 30 Taf. 


Brunner-v. Wattenwyl, C. Stockhornmasse, 

Heer, 0. Fossile Pflanzen von St. Jorge in Madeira. 

Greppin, J. B. Complement aux terrains modernes du 
Jura bernois. 

Hartung G. Lanzarote und Fuertaventura. 

Lebert H. Pilzkrankheit der Fliegen. 

Mesch, €. Flözgebirge im Aargau. 1. 

Wild, H. Nobili'sche Farbenringe. 

Rütimeyer, L. Anthracotherium magnum et hippoideum. 


Band XVI. 1858. 52 Bog. 23 Taf. 


üller, Jean. Famille des Resedacees. . 
oe la Harpe, J. C. Faune Suisse. Lepidopteres. VI® partie. 
Tortrieides. 
Y Gaudin, Ch.-Th. et Strozzi, C. 1°" Memoire sur quelques 
gisements de feuilles fossiles de la Toscane. 


r Band XVII. 1860. 68 Bog. 53 Taf. u. Kart. 


Gräffe, Ed. Radiaten und Würmer in Nizza. 
Ooster, W. A. Cephalopodes fossiles des Alpes Suisses. 
E Description des especes remarquables. I°, II®, III® 
partie. 
Zschokke, Th. Gebirgsschichten im Tunnel zu Aarau. 
Gaudin, Ch. et Strozzi, C. Contributions a la flore fossile 
italienne. 2° et 3° memoire. (Val d’Arno, Tra- 
vertins de Massa.) 
Theobald, 6 Unterengadin. Geognostische Skizze. 
x Meyer-Dür. Die schweizerische Orthopteren-Fauna. 
Gaudin, Ch. et Strozzi, C. Contributions ä la flore fossile 
italienne. 4° m&moire. Travertins Toscans par 
Ch. Gaudin et C. Strozzi. 5° memoire. Tufs vol- 
caniques de Lipari par Ch. Gaudin et le Baron 
Piraino de Mandralisca. 
Kaufmann, F. Mittel- und ostschweizerische subalpine 


Theil. 


2 Molasse. 

K. Band XVIII. 1861. 58 Bog. 62 Taf. 

Tu Thurmann, Jul. Lethza Bruntrutana ou Etudes paleon- 
“ tologiques, ete. Oeuvre posthume, terminde par 
“ / A. Etallon, 1’ partie: page 1—145. 

{ Y Venetz, Ign., pere. Extension des anciens glaciers. Oeuyre 
Er posthume, redigee en 1857. 

f ster,_W. A. C&phalopodes fossiles des Alpes Suisses. 


° partie. 
oster, W. A. Üephalopodes fossiles des Alpes Suisses. 
T. V° partie. Suite de la description des figures 
au T. XVII. 


Band XIX. 1862. 76'/» Bog. 47 Taf. 


V rütimeyer, L. Fauna der Pfahlbauten in der Schweiz. 

Thurmann, J. et Etallon, A, Leth#a Bruntrutana. 2° par- 
tie: page 147—354. 

v/ Rütimeyer, L. Eocäne Säugethiere aus dem schweizeri- 


schen Jura. 
vSchiafli, A. Zur Klimatologie des Thales von Janina. 
Band XX. 1864. 64'/2 Bog. 33 Taf. 


Thurmann, J. et Etallon, A. Lethea Bruntrutana. 
An partie: page 355—500. 
Vv De la Harpe, J. 3 Supplements au Phalenides, Pyrales, 
a Torkkiorden. 
Gaudin, Ch. et Strozzi, C. Contributions ä la flore fossile 
italienne. 6° memoire. 
Schläfli, A. Zur physikalischen Geographie von Unter- 
Mesopotamien. 
Y Cramer, C. Physiologisch-systematische Untersuchungen 
über die Ceramiaceen, 


3° et 


Heer, 0. 


 Quiquerez, A. 


63! 


Band XXI. 1865. ı Bog. 
Dritte Folge: I. Band. 


/ Heusser, J. Ch. und Claraz, G. Beiträge zur geognosti- 
schen. und physikalischen Kenntniss der Provinz 
Buenos Aires. 1. Abtheilung. 

— — Deseription A et geognostique de la Pro- 
vince argentine de Buenos Aires. 2° partie. 
Fossile Pflanzen von Vancouver und Britisch+ 

Columbien. 

“Stöhr, E.E Die Kupfererze an der Mürtschenalp. 
Rapport sur la question d’&puisement des 
minerais de fer du Jura bernois. 
/Dietrich, K. Insektenfauna des Kantons Zürich: 


Band XXI. 1867. 74°/ı Bog. 20 Taf. 
YCapellini, J. et Heer, 0. Les Phyllites eretacdes du Ne- 
brasca. 
Rütimeyer, L. BL einer natürlichen Geschichte des 
Rindes ete. 1. und 2. Abtheilung. 
‘Heer, 0. Fossile en aus Oeningen und 
Radobo). 
/Lang, Fr. und Rütimeyer, L. Die fossilen Schildkröten 
von Solothurn. 
“Fick, A. Untersuchungen über Muskel-Arbeit. 
Christ, H. Ueber die Verbreitung der Pflanzen der al- 
pinen Region der europäischen Alpenkette. 
/Prym, Fr. Zur Theorie der Funktionen in einer zwei- 
blättrigen Fläche. 


Band XXI. 1869. 83'/« Bog. 


Gerlach, H. Die penninischen Alpen. 

Heer, 0. Beiträge zur Kreideflora. 1. 

Wild, H. Zur Reform der schweizerischen Urmaasse. 

Stierlin, G. und Gautard, V. v. Die Käferfauna der Schweiz. 
I. Theil, p. 1—216. 

Loriol, P. de und Gilli6ron, V. Monographie de l’etage 
urgonien inferieur du Landeron. 


Band XXIV. 1871. 43 Bog. 11 Taf. 
Stierlin, G. und Gautard,V.v. Die Käferfauna der Schweiz. 
II. Theil, p. 217— 372. 
Heer, 0. Beiträge zur Kreideflora. II. 
/Bernoulli, ©. Uebersicht der bis jetzt bekannten Arten 
‚von Theobroma. 
Schneider, G. Dysopes Cestonii in Basel. 
Pfeffer, W. Bryogeographische Studien aus den rhäti- 
schen Alpen. 


Band XXV. 1873. 47'/2 Bog. 23 Taf. 


Mousson, A. Revision de la faune malacologique des 
Canaries. 

Rütimeyer, L, Die fossilen Schildkröten von Solothurn 
und der übrigen Juraformation. 


Band XXVI. 1874. 60 Bog. 2 Taf. 


‘Forel, A. Les Fourmis de la Suisse. Systematique. No- 
tices anatomiques et physiologiques. Architec- 
ture. Distribution geographique. Nouvelles ex- 
pe@riences et observyations de maurs, 


Band XXVI. 1876 und 1377. 59 Bog. 9 Taf. 


Favre, EE Recherches geologiques dans la partie cen- 
trale de la chaine du Caucase, 
“ Heer, 0. Ueber fossile Früchte der Oase Chargeh. 
Lebert, H. Die Spinnen der Schweiz. 


11 Taf. 


Käfer. 


.26 Taf. 


9 


[4] 


rd 


Band XXVIII. 1883. 44'/e Bog. 16 Taf. 


Heer, 0. Beiträge zur fossilen Flora von Sumatra, 

Cramer, C. Ueber die geschlechtslose Vermehrung des 
Farn-Prothallium, namentlich durch Gemmen, 
resp. Conidien. 

Kollmann, J. Die statistischen Erhebungen über 
Farbe der Augen, der Haare und 
den Schulen der Schweiz. 

Rothpletz, A. Das Diluvium um Paris und seine Stellung 
im Pleistocän. 

Keller, C. Die Fauna im Suezkanal. 

Stierlin, 6. Zweiter Nachtrag zur Fauna Coleopterorum 
helvetica. 


Band XXIX. 1885. 


Mathey, F. 


die 
der Haut in 


61/ Bog. 9 Taf. 


Coupes geologiques des tunnels du Doubs. 

Heer, 0. Ueber die nivale Flora der Schweiz. 

Beust, Fr. Untersuchung über fossile Hölzer aus Grön- 
land. 

Forel, F.-A. La faune profonde des lacs suisses. 
couronne. 

Du Plessis-Gouret, 6. Essai sur la faune profonde des 
lacs suisses. Memoire couronne, 


Band XXX. 1888-1890. 


Früh, J. J. Beiträge zur Kenntnis der 
Schweiz. 

Cramer, €. Ueber die verticillierten Siphoneen, beson- 
ders Neomeris und Cymopola. 

Franzoni, A. Le Piante fanerogame della Svizzera in- 
subrica enumerate secondo il metodo Decan- 
dolliano. Opera postuma ordinata e annotata 
da L. Lenticchia. 


Band XXXI. 1890. 61'/ Bog? 


Favre, EE Faune des Col&opteres du Valais et des re- 
gions limitrophes, avee Introduction par Kd. 
Bugnion. 


M&moire 


64 Bog. 9 Taf. 
Nagelfluh 


der 


Band XXXII. 1890-91. 33 Bog. 12 Taf. 


“Fischer, Ed. Untersuchungen zur vergleichenden Ent- 
ee aecinehte und Systematik der Phalloi- 
een. 
‘Cramer, C. Ueber die vertieillierten Siphoneen, beson- 
ders Neomeris und Bornetella. 
Riggenbach, A. Die Niederschlagsverhältnisse von Basel. 


Band XXXII. 1893—98. 21'/: Bog. 20 Taf. 
Emden, R. Ueber das Gletscherkorn. 


Nägeli, C. v. Ueber oligodynamische Erscheinungen in 
lebenden Zellen. 

Fischer, Ed. Neue Untersuchungen zur vergleichenden 
Entwicklungsgeschichte und Systematik der 
Phalloideen. 

Is A. Studien am Unter-Grindelwaldgletscher über 

Glacialerosion, Längen- und Dickenveränderung 

in den Jahren 1892-97. 


Band XXXIV. 1895. 66 Bog. 


Catalogue de la flore valaisanne. 


Band XXXV. 1896. 44 Bog. 25 Taf. u. 1 Karte. 


Nüesch, J. Das Schweizersbild, eine Niederlassung aus 
paläolithischer und neolj Eee Zeit. /Mit Bei- 
trägen von A. Bäch Früh A. Gute 
R iller, 4. Hedinger, J. Koitmann? 7 Meister, 

4A. Nehring,” A. ine Schötensack, Th. 
Studer / Varia, 


Pays ZXXVl. 1899—1900. 54 Bog. 21 Taf. 
t 


andfuss, M. Experimentelle zoologische Studien mit 
Lepidopteren. 
emisı H. Monographie des Genus Elaphoglossum. 
her, Ed. Untersuchungen zur vergleichenden Ent- 
v wicklungsgeschichte und Systematik der Phalloi- 
deen. III. Serie. 
Hugi, EE Die Klippenregion von Giswyl. 


d XXXVII. 1900. 51 Bog. S Taf. u. 4 Karten. 


schokke, F. Die Tierwelt in den Hochgebirgsseen. 


Y Jaccard, J. 


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2 . ann ale 
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