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BIBLIOGRAPHIC RECORD TARGET
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035/2: : j a (CaOTULAS)l 60330202
040: : | a DLC/ICU | c ICU | d MiU
041:1: |ager jhlat
050/1:0 : | a QA35 | b .N573 1908
100:1 : I a Newton, Isaac, | c Sir, | d 1642-1727.
245:00: | a Newtons Abhandlung über die Quadratur der Kurven. (1704) | c Aus
dem lateinischen übers, und hrsg. von Dr. Gerhard Kowalewski. Mit 8
Textfiguren.
260: : |a Leipzig, | b W. Engelmann, je 1908.
300/1: : ja 66p. jbdiagrs. |cl9cm.
440/1: 0: | a Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften. | v nr. 164
500/1: : | a First published in 1704.
650/1:
700/1:1
740/2:0
I a Curves j x Rectification and quadrature
I a Kowalewski, Gerhard, | d 1876-1950. | e tr. and ed.
I a Abhandlung über die Quadratur der Kurven.
998: : jcDPJ | s 9120
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ÜSTWALD'S KLASSIKER
R EXAKTEN WISSENSCHAFTEN.
Nr. 164.
NEWTON
ABHANDLUNG ÜBEE DIE
DER KÜRYEN
(1704)
WILHELM ENGELMANN IN LEIPZIG.
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Qt^ ....... .^^R
DER
EXAKTEN WISSENSCHAFTEN
8. Gebunden.
Erschienen sind bis jetzt aus dem Gebiete der
Mathematik:
Nr. 1. H. Helmlioltz, Erhalt, der Kraft. (1847.) T.Taus. (60 S,) ^/? -.80.
» 2. C. F. Gauss, AUgem. Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten
Verhältnisse des Quadrats der Entfern, wirk. Anziehungs- u. Ahstoß.-
Kräfte. (1840.) Herausg. y. A.Wangerin. 2. Aufl. (60 S.) ^/—-.80.
> 5. Elächentheorie. (1827.) Deutsch herausg, v. A. y.Wangerin.
Dritte Auf läge. (64 S,) J/ — .80.
» 10. F. Neuinailll, Di& mathematischen Gesetze d. inducirten elektrischen
Ströme. (1845.) Herausg. y. 0. N eumann. (96 S.) ^/1.50.
>' 11. (jalileo Öalilei, Unterred. u. mathem. Demonstrat. über zwei neue
Wissenszweige usw. (1638.) 1. Tag m. 13 u. 2. Tag m. 26 Fig. i. Text.
Aus d. Ital. übers, u. hera,usg. v. A. y. Oettingen. Zweiter, unver-
änderter Abdruck. (142.S.) J^ 3.—.
» 14. C. F. Gauss, Die 4 Beweise der Zerleg, ganzer algebr. Funktionen usw.
(1799—1849.) Hrsg, v.E. Netto. 2. Aufl. Mit 1 Taf. (81 S.) ^l.öO.
» 17. A. Bravais, Abhandlungen üher symmetr. Polyeder. (1849.) Übers,
u. in Gemeinschaft mit P. Groth herausgeg. von C. u. E. Blasius.
Mit 1 Taf. (50 S.) ei/ 1.—.
^ 19. Über die Anzieh, homogener Ellipsoide, Abhandlungen vonLaplace
(1782), Ivory (1809), Gauss (1813), Cliasles (1838) und Diriclilet
(1839). Herausgeg. von A. Wangerin. (118 S.) J^ %—.
» 24. Galileo Galilei, Unterred. u. math. Demonstrat. üb. 2 neue Wissens-
zweige usw. (1638.) 3. u. 4. Tag, m. 90 Fig. i. Text. Aus d. Ital. u.
Lat. übers, u. hrsg. v.A.v. Oettingen. 2. Aufl. (141 S.) «i/2.— .
> 25. Anh. z. 3. u. 4. Tag, 5. u. 6 Tag, mit 23 Fig. im Text, Aus d. Ital.
u. Latein, übers, u. herausg. v. A. v, Oettingen. 2., unveränderter
Abdruck. (66 S.) J/ 1.20.
> 36. F. Neumanu, Theorie inducirter elektr. Ströme. (1847.) Herausgeg.
von 0. Neumann. Mit 10 Fig. im Text. (96 S.) Ji 1.50.
>^ 46. Abhandig. über Variations-Rechnung. X. Theil: Abhandlungen von
Joh. Bernoulli (1696)-, Jac. Bernoulli (1697) u. Leonliard Euler
(1744). Herausg. v.P. Stack el. Mit 19 Texttig. (144 S.) e^ 2.— .
» 47. 11. Theil: Abhandlungen von Lagrauge (1762, 1770),
Legendre (1786) und JaCoM (1837). Herausgeg. von P. Stack el
Mit 12 Textfiguren. (110 S.) Ji 1.60.
>> 53. C. F. Gauss, Die Intensität der erdmagnet. Kraft auf absolutes Maß
zurückgeführt. Herausgeg. von E. D orn. (62 S.) «i/ 1. — .
» 54. J. H. Lambert, Anmerk. und Zusätze zur Entwerfung der Land- und
Himmelscharten. (1772.) Herausg. v. A. Wanger in. Mit 21 Text-
flguren, (96 S.) J^ 1.60.
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Nr. 55. Lagrange und Gauss, Kartenprojectlon. (1779 u. 1822.) Herausg.
Ton A. Wan gerin. Mit 2 Textflguren. (102 S.) ^/1.60.
» 60. Jacol) Steiner, Die geometrisclien Constrnctionen, ansgeführt mittels
der geraden Linie und eines festen Kreises, als Lehrgegenstand auf
höheren XJnterxiclits- Anstalten 11. zur praktischen Benutzung. (1833.)
Herausgegehen von A. y. Oettingen. Mit 25 Textflguren. (85 S.)
^M 1.20.
» 61. (j. Green, Yersuch, die math. Analysis auf die Theorien d. Elektric.
u. des Magnetismus anzuwenden. (1828.) Heransgegehen von A. v.
Oettingen und A. Wangerin. (140 S.) ^ 1.80.
» 64. C. (j. J. Jacolbi, Über die vierfach periodischen Functionen zweier
Yariafeeln, auf die sich die Theorie der Ah eischen Transcendenten
stützt. (1834.) Herausgeg. von H.Weber. Aus dem Lateinischen
übersetzt von A. Witting. (40 S.) ^ —.70.
» 65. Georg Rosenliain, Abhandl. über die Functionen zweier Variabler
mit 4 Perioden, welche die Inversen sind der ultraelliptischen Inte-
grale erster Klasse. (1851.) Herausgeg. von H. Weber. Aus dem
Französischen übersetzt von A. Witting. (94 S.) J^ 1.50.
» 67. A. Göpel, Entwurf einer Theorie der Abelschen Transcendenten
erster Ordnung. (1847.) Herausgegeben von H. Weber. Aus dem
Lateiniscben übersetzt von A. Witting. (60 S.) J4 1. — .
» 69. James Clerk Maxwell, Über Faradays Kraftlinien. (1855 u. 1856.)
Herausgegeben von L. Boltzm an n. (130 S.) J^ 2. — .
» 71. N. H. Al)el, Untersuchungen über die Reihe :
. , m , m-im — 1) „ , m«(m— l)«(w — 2) „ ,
1'1.2' 1.2.3
(1826.) Herausgegeben von A. Wan gerin. (46 S.) «i/ l.~.
73. Leonhard Euler, Zwei Abhandig. über sphärische Trigonometrie.
Grundzüge der sphärischen Trigonometrie- und allgemeine sphärische
Trigonometrie. (1753 u. 1779.) Aus dem Französischen und Latein,
übersetzt u. herausgegeben von E. Hammer. Mit 6 Fig. im Text.
(65 S.) ^ 1.—.
75. Axel Gadolln, Abhandig. über die Herleitung aller krystallograph.
Systeme mit ihren Unterabtheil, aus einem einzigen Prinzipe. (Ge-
lesen den 19. März 1867.) Deutsch herausgeg. von P. Groth. Mit
26 Textflguren und 3 Tafeln. (92 S.) ^ 1.50.
76. F. E. Neumann, Theorie der doppelt. Strahlenbrech., abgeleitet aus
den Gleichungen der Mechanik. (1832.) Herausg. v. A. Wan g er in.
(52 S.) ^—.80.^^
77. C. G. J. JaCOl)i, Über die Bildung und die Eigenschaften der Deter-
minanten. (De formatione et proprietatibus determinantium.) (1841.)
Herausgeg. von P. Stä ekel. (73 S.) «i/ 1.20.
78. Über die Functionaldeterminanten. (De determinantlbus func-
tionalibus.) (1841.) Herausgeg. von P. Stack el. (72 S.) ^/1.20.
79. H. V. Helmholtz, 2 hydrodynamische Abhandlungen. I. Über Wirbel-
bewegungen. (1858.) — IL Über discontinuierliche Flüssigkeitsbe-
wegungen. (1868.) Herausgeg. von A. Wan gerin. (80 S.) ^1.20.
80. Theorie der Luftscbwingungen in Röhren mit offenen Enden.
(1859.) Herausgeg. YonA. Wan g er in. (132 S.) e// 2.— .
82. Jacob Steiner, Systemat. Entwickl. der Abhängigkeit geometr. Ge-
stalten voneinander, mit Berücksichtig, der Arbeiten alter und neuer
Geometer über Porismen, Projections-Methoden, Geometrie d. Lage,
Transversalen, Dualität und Reciprocitat usw. (1832.) I. Theil.
Herausgeg. von A. v. Oettingen. Mit 2 Tafeln und 14 Textfiguren.
(126 S.) eJ2.— .
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Newtons
Abhandlung über die Quadratur
der Kurven«
(1704)
Aus dem Lateinisclien übersetzt
und herausgegeben von
Dr. Gerhard Kowalewski
a. 0. Professor an der Universität Bonn
Mit 8 Textfiguren
Leipzig
Verlag von Wilhelm Engelmann
1908
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cAj tAj tAj tAj cAj cAj tAj tAj tAj t^xj tAj
Abhandlung über die Quadratur der Kurven.
Einleitung zur Quadratur der Kurven,
1. Ich betrachte hier die mathematischen Größen nicht als
aus äußerst kleinen Teilen bestehend, sondern als durch stetige
Bewegung beschrieben ^). Linien werden beschrieben und im
Beschreiben erzeugt nicht durch Aneinandersetzen von Teilen,
sondern durch stetige Bewegung von Punkten; Flächen durch
Bewegung von Linien; Körper durch Bewegung von Flächen;
Winkel durch Rotation von Seiten; Zeiten durch stetiges Fließen;
und ebenso ist es in andern Fällen. Diese Erzeugungen finden
in der Natur tatsächlich statt, und man kann sie täglich bei
der Bewegung der Körper beobachten. Auf diese Weise lehrten
auch die Alten die Erzeugung von Rechtecken, indem sie be-
wegliche Geraden an unbeweglichen Geraden entlang führten.
2. Indem ich nun in Betracht zog, daß in gleichen Zeiten
wachsende und wachsend erzeugte Größen je nach der größeren
oder kleineren Geschwindigkeit, mit der sie wachsen und er-
zeugt werden, größer oder kleiner ausfallen, suchte ich nach
einer Methode zur Bestimmung der Größen aus der Geschwin-
digkeit der Bewegung oder des Wachsens, wodurch sie erzeugt
werden. Diese Bewegungs- oder Wachstumsgeschwindigkeiten
nannte ich Fluxionen, und die erzeugten Größen nannte ich
Fluenten, und ich kam allmählich in den Jahren 1665 und
1666 auf die Fluxionsmethode, die ich hier bei der Quadratur
der Kurven benutzt habe.
3. Die Fluxionen verhalten sich äußerst genau wie die in
äußerst kleinen gleichen Zeitteilchen erzeugten Zunahmen der
Fluenten, und sie stehen, um genau zu reden, im ersten Ver-
hältnis der eben beginnenden Zunahmen. Sie können aber
durch irgend welche Linien dargestellt werden, die zu ihnen
proportional sind.
4. Es mögen z.B. die Flächen ABC^ AB DG von den
Ordinaten B(7, BD beschrieben werden, die auf der Basis AB
1*
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4 Newtons
m gleichförmiger Bewegung fortrücken. Dann werden die
Fluxionen dieser Flächen sich zueinander verhalten wie die be-
schreibenden Ordinaten .5 (7
j:
Fig. 1.
und BD ^ und man kann
sie durch jene Ordinaten
darstellen, \veil jene Or-
dinaten sich verhalten wie
die eben beginnenden Zu-
nahmen der Flächen.
Die Ordinate B G rücke
von ihrem Platz Bö nach
irgend einem neuen Platz
bc. Man vollende das
Parallelogramm i? C^ö und
ziehe die Gerade VTH^
die die Kurve in G be-
rührt und die Verlängerungen von bc und BÄ in T und V trifft.
Dann werden die eben erzeugten Zunahmen der Abszisse AB,
der Ordinate BC und der krummen Linie AG folgende sein:
Bb, Ec und Gc. Im ersten Verhältnis dieser eben beginnen-
den Zunahmen stehen die Seiten des Dreiecks GET. Daher
verhalten sich die Fluxionen von AB, EC und AG wie die
Seiten GE, ET und GT jenes Dreiecks GET^ und man kann
sie durch eben diese Seiten darstellen oder, was dasselbe ist,
durch die Seiten des ähnlichen Dreiecks VBG^).
5. Auf dasselbe läuft es hinaus, wenn man die Fluxionen
im letzten Verhältnis^) der verschwindenden Teile annimmt.
Man ziehe die Gerade Gc und verlängere dieselbe bis K. Nun
kehre die Ordinate bc nach ihrem früheren Platz BG zurück.
Dann wird beim Zusammenrücken der Punkte G und c die
Gerade GK mit der Tangente CH zusammenfallen, und das
verschwindende Dreieck GEc wird in seiner letzten Gestalt
dem Dreieck GET ähnlich werden, und seine verschwindenden
Seiten GE^ Ec und Gc werden sich zuletzt zueinander ver-
halten wie die Seiten GE^ ET unä GT des andern Dreiecks
GET. Daher stehen in diesem Verhältnis die Fluxionen der
Linien AB, BG und AG. Wenn die Punkte G und c um
irgend ein kleines Intervall voneinander entfernt sind, so wird
die Gerade GK um ein kleines Intervall von der Tangente
GH entfernt sein. Soll die Gerade GK mit der Tangente
GH zusammenfallen, und sollen die letzten Verhältnisse der
Linien GE, Ec und Gc gefunden werden, so müssen die Punkte
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Abbandlimg über die Quadratur der Kurven.
C und G zusammenrückeu und gänzlich zusammenfallen. Audi
über noch so kleine Irrtümer darf man in mathematischen Dingen
nicht hinweggehen.
6. Eine ähnliche Überlegung gilt, wenn ein um den Mittel-
punkt B mit dem Radius BG beschriebener Kreis auf der Ab-
szisse AB^ zu der er senkrecht ist, in gleichförmiger Bewegung
entlang geführt wird. Die Fluxion des erzeugten Körpers ABC
wird sich verhalten wie jener erzeugende Kreis und die Fluxionen
seiner Oberfläche wie der Umfang jenes Kreises multipliziert
mit der Fluxion der krummen Linie AG, Denn in derselben
Zeit, in welcher der Körper AB G erzeugt wird, indem man
jenen Kreis auf der Abszisse AB entlang führt, wird seine
Oberfläche erzeugt, indem man die Peripherie jenes Kreises
an der Kurve AG entlang führt. Auch die folgenden Beispiele
für diese Methode nehme man an.
7. Die Gerade P5, die sich um den gegebenen Pol
P dreht, schneide eine andere ihrer Lage nach ge-
gebene Gerade AB.
Gesucht wird das Ver-
hältnis der Fluxionen
jener Geraden AB
und PB.
Die Gerade PB gehe
aus ihrer Lage PB in die
neue Lage Ph über. Auf
Ph nehme man P(7 gleich
PB und ziehe PD so nach
AB, daß der Winkel hPD Fig. 2.
gleich dem Winkel hBG
ist. Wegen der Ähnlichkeit der Dreicke hBG, hPD wird sich
die Zunahme Bb zu der Zunahme (7ö verhalten wie Pb zu Db.
Jetzt kehre Pb in seine frühere Lage PB zurück, so daß jene
Zunahmen verschwinden. Dann wird das letzte Verhältnis der
verschwindenden, d. h. das letzte Verhältnis von Pb zu Dh,
dasjenige sein, welches PB zu DB hat, wenn der Winkel
PDB ein rechter ist. Daher steht in diesem Verhältnis die
Fluxion von AB zu der Fluxion von PB.
8. Die Gerade PP, die sich um den gegebenen Pol
P dreht, schneide zwei andere ihrer Lage nach ge-
gebene Geraden AB und AE in B und E. Gesucht wird
das Verhältnis der Fluxionen jener Geraden AB
und AE.
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6
Newtons
Fig. 3.
Die sich drehende Gerade gehe aus ihrer Lage PB in die
neue Lage Ph über, wo sie die Geraden ÄB^ ÄE m den
Punkten h und e schneidet, und man ziehe zu der Geraden
AE die Parallele BG^ die
Ph in G trifft. Dann wird
sich Bh zu. BG verhalten
wie Ab zu Ae und BG zu
Ee wie PB zu PE und,
wenn man die Verhältnisse
multipliziert, Bb zu Ee wie
AbxPB zu AeXPE.
Jetzt kehre die Linie Pb
in ihre frühere Lage PB
zurück. Dann wird die ver-
schwindende Zunahme Bb
sich zu der verschwinden-
den Zunahme Ee verhalten wie ABxPB zu AExPE.
Daher steht in diesem Verhältnis die Fluxion der Geraden AB
zu der Fluxion der Geraden AE.
9. Wenn nun die sich drehende Gerade PB irgend zwei
ihrer Lage nach gegebene krumme Linien in den Punkten B
und E schneidet und die jetzt beweglichen Geraden AB^ AE
jene Kurven in den Schnittpunkten B und E berühren, so wird
sich die Fluxion der Kurve, die die Gerade AB berührt, zu
der Fluxion der Kurve, die die Gerade AE berührt verhalten
wie AB X PB zu AEX PE. Das wird auch eintreten, wenn
die Gerade PB eine beliebige ihrer Lage nach gegebene Kurve
beständig in dem beweglichen Punkte P berührt.
10. Die Grösse x möge gleichförmig fließen, und.
es sei die Fluxion der Größe x^^ zu finden.
In der Zeit, in der x beim Fließen zu x -{- o wird, wird x"'
zu (x + o)^, d. h. nach der Methode der unendlichen Reihen zu
+
— o^x'^
" ^ + usw.
Die Zunahmen
und nox^^~^ +
2^n — 2
■ O^X
+ iisw.
verhalten sich zueinander wie:
+
^2,2 — ^1
1 zu nx^^"^ + ■ — - — occ'^~^ + ^"isw.
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Abhandlung über die Quadratur der Kurven. 7
Nun mögen jene Zunahmen verschwinden. Dann wird ihr
letztes Verhältnis 1 zu nx^^^ "~ ^ sein. Es verhält sich daher die
Fluxion der Größe x zu der Fluxion der Größe x'^ wie 1
zu nx^~^.
11. Durch ähnliche Überlegungen lassen sich mittels der
Methode der ersten und letzten Verhältnisse die Fluxionen der
Linien, sei es der geraden, sei es der krummen, in beliebigen
Fällen gewinnen, sowie auch die Fluxionen der Oberflächen,
der Winkel und anderer Größen. Es harmoniert aber mit der
Geometrie der Alten, die Analysis in dieser Weise in endlichen
Größen anzustellen und von endlichen Größen, die eben beginnen
oder verschwinden, die ersten oder letzten Verhältnisse auf-
zuspüren. Und ich wollte zeigen, daß es bei der Fluxions-
methode nicht nötig ist, unendlich kleine Figuren in die Geo-
metrie einzuführen. Man kann freilich die Analysis bei beliebigen
Figuren durchführen, seien es endliche oder unendlich kleine,
die man sich verschwindenden Figuren ähnlich denkt, sowie
auch bei Figuren, die nach den Methoden der Indivisibilien für
unendlich klein gehalten zu werden pflegen. Nur muß man
vorsichtig zu Werke gehen.
12. Aus den Fluxionen die Fluenten zu finden 4)^ ist ein
schwierigeres Problem, und der erste Schritt der Lösung ist
mit der Quadratur der Kurven gleichbedeutend. Über diese
habe ich vor langer Zeit folgendes geschrieben.
Über die Quadratur der Kurven.
Die unbestimmten Größen betrachte ich im folgenden als
in stetiger Bewegung wachsend oder abnehmend, d. h. als fließend
oder abfließend. Und ich bezeichne sie mit den Buchstaben
%^ y^ x^ v^ und ihre Fluxionen oder Wachstumsgeschwindigkeiten
drücke ich durch dieselben Buchstaben mit Punkten versehen aus,
also durch i;, ^, i, v^). Von diesen Fluxionen gibt es wieder
Fluxionen oder mehr oder weniger rasche Änderungen. Man
kann sie die zweiten Fluxionen von %^ y, cc, v nennen und so
bezeichnen: £, i/, x, v\ die ersten Fluxionen hiervon oder die
dritten Fluxion von z, y^ x, v ^o: %/y^ x,v\ die vierten so:
%, 2/j ^j 'i' Wie nun i, iy, äi, v die Fluxionen der Größen
£, ^, cc, V sind, diese die Fluxionen der Größen ^, y^ x^ v
imd diese die Fluxionen der ersten Größen %^ y^ x, v^ so
können diese Größen als die Fluxionen anderer betrachtet
werden, die ich so bezeichnen werde: ;^, y^ cc, v^ diese als die
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8 Newtons
Fluxionen anderer i, y^ i, ^» nnd diese als die Fluxion anderer
III 111 lll III T^ , . , , II I :: .V.
^^ y^ x^ V, Es bezeichnen also %^ %^ %^ z^ %^ %^ %^ % usw.
eine' Reihe von Größen, von denen jede spätere die Fluxion
der vorhergehenden ist nnd jede frühere eine Fluente, welche
die folgende als Fluxion hat. Eine solche ist die Reihe
\ a% — %%^ raz — zz^ V az — zz^ Vaz—zz^ Vaz — zz^ V az — zZj
sowie auch die Reihe
az -\- zz az -{- zz az -^ zz az-{-zz az-{-zz az-{-zz
a — z a — z a — z a — z a — z a — z-
Es ist zu bemerken, daß in diesen Reihen jede frühere
Größe sich verhält wie die Fläche einer krummlinigen Figur,
deren rechtwinklige Ordinate die folgende Größe, und deren
Abszisse z ist. So ist Vaz — zz , die Fläche einer Kuvre,
deren Ordinate Vaz — zz und deren Abszisse z ist. Wohin
aber dieses alles zielt, wird in den folgenden Paragraphen klar
werden.
§ 1. Problem 1.
Wenn eine Gleichung gegeben ist, die irgend eine
Anzahl von Fluenten enthält, die Fluxionen zu
finden 6).
Lösung.
Man multipliziere jedes Glied der Gleichung mit dem Ex-
ponenten je einer Fluente, die es enthält; und bei den ein-
zelnen Multiplikationen verwandle man einen Faktor der Potenz
in seine Fluxion. Dann wird das Aggregat aller Resultate
mit ihren eignen Vorzeichen die neue Gleichung sein.
Erklärung .
Es seien a, &, c, d usw. bestimmte und unveränderliche
Größen, und es werde irgend eine Gleichung vorgelegt, die
die Fluenten z^ y^ x usw. enthält, wie
x^ — xy'^ -f- a'^z — h'^ = .
Man multipliziere die Glieder zunächst mit den Exponenten
von X und schreibe bei den einzelnen Multiplikationen für einen
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Abhandlung über die Quadratur der Kurven. 9
Faktor der Potenz, also für ein x in erster Dimension, x.
Die Summe der Resultate wird dann sein:
Zxx'^ — xvp-.
Dasselbe geschehe für y^ wobei sich ergeben wird:
— 2xyy.
Dasselbe gescbehe für %\ wobei sich ergeben wird:
Die Summe der Resultate setze man gleich Null. Dann erhält
man die Gleichung:
Sia:^ — xy'^ — 2xyy + ci^% = .
Ich behaupte, daß durch diese Gleichung die Beziehung
zwischen den Fluxionen definiert wird.
Beweis.
Es sei nämlich o eine ganz kleine Größe, und oi, oy^ ox
seien die Momente der Größen ;^, ^, x^ d. h. die gleichzeitigen
augenblicklichen Inkremente. Wenn die Fluenten jetzt %^ y
und X sind, so werden sie nach einem Zeitmoment, um ihre
Inkremente oi, oy^ ox vermehrt, zu ^ + o%^ V + oy, x -^ ox
werden. Schreibt man diese in der ersten Gleichung anstatt
^, y und cc, so geben sie die Gleichung:
x^ + 3x^ox + Sxo^x^ + o^x^
— xy'^ — oxy'^ — 2oxyy — 2o^yxy — o'^xy'^ — o^^xi/^
+ a^z + ct^o% — Z)3 = .
Man ziehe hiervon die frühere Gleichung ab. Dann wird der
Rest, durch o dividiert, lauten:
^xx'^ + ^xox'^ -{- o'^x^
— xy"^ — 2xyy — 2oyxy — oxy^ — o'^'xy^
Nun lasse man die Größe o ins Unendliche abnehmen. Dann
wird, wenn man die verschwindenden Glieder vernachlässigt,
übrig bleiben:
3xcc^ — xy'^ — 2xyy + a^% = ,
was zu beweisen war.
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10 Newtons
Vollständigere Erklärung.
Auf dieselbe Weise würde man, wenn die Gleichung:
x^ — xy'^ -f- a^ Vax — yy — 6^ =
gegeben wäre, herausbekommen
Sx^x — xy'^ — "^^yy + ctP' Vax — yy = 0.
Wjenn man hier die Fluxion Vaa:; — yy beseitigen will, so
setze man:
Vax — yy
= z.
Dann
wird sein:
ax — ^2 -
— ;v2
und nach dem
obigen
Satze
d.h.:
ax —
2yy =
= 2zz oder
ax
— ^yy
2z
und
daher:
dx'^X
ax — 2yy
2^ ax — yy
— xy'^ — 2xyy +
Vax -
a'^x —
-yy
= 0.
*^ y ax — yy
Durch Wiederholung der Operation geht man weiter zu
den zweiten, den dritten und den folgenden Fluxionen. Die
Gleichung sei:
zy^ — z'^ -\- a'^ = 0.
Dann entsteht durch die erste Operation:
zy'^ -\- dzy^y — 4:Z^z = ^
durch die zweite:
zy^ + Qzy'^ij ~\~ 6zyy^ + dzy^y — 12 z'^ z'^ ^- 4t z'^z = 0,
durch die dritte:
zy^+ dzy^y+lSzyy^+ dzyHj + dzy^y + ISzyijy + Qziß
-- 4:Z'^z —^Qz^zz — 24:zzj = 0.
Wenn man aber in dieser Weise zu den zweiten, den
dritten und den folgenden Fluxionen weitergeht , so ist es
zweckmäßig, irgend eine Größe als gleichförmig fließend zu
betrachten und für ihre erste Fluxion die Einheit zu schreiben,
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Abhandlung über die Quadratur der Kurven.
11
0,
für die zweite Fluxion aber und für die folgenden Null. Die
Gleichung sei wie oben:
und 7^ fließe gleichförmig. Dann entsteht durch die erste
Operation :
y^ — 'dzy'^y — Az^ = 0,
durch die zweite:
ßy^ + Qzyy'^ + ^^y^y — 12%2 ==
durch die dritte :
ISyy^+dy^y + dzy'^y + ISzyyy + Qzy-
Bei Gleichungen dieser Art ist aber zu bemerken, daß die
Fluxionen in den einzelnen Gliedern von derselben Ordnung
sind, d. h. entweder alle von der ersten Ordnung:
y^ ^7
oder alle von der zweiten:
/ 2 öl 'Y. 'Y. 2
24;^ = 0.
y, y
oder alle von der dritten:
yz,
/2ck
y7.
y, yy, y^i y'^ y'^h y^i
usw. Wo die Sache sich anders verhält, ist die Ordnung
durch hinzugedachte Fluxionen einer gleichförmig fließenden
Größe zu vervollständigen. So wird die letzte Gleichung durch
Vervollständigung der dritten Ordnung^):
ISyy'^z + dy'^yz + 3zy^y + ISzyyy + ßzy'^ — 2^zzJ = 0.
§ 2. ProMem 2.
Kurven zu finden, die sich
quadrieren lassen.
.^jB C sei die zu findende Figur,
BG die rechtwinklige Ordinate
und AB die Abszisse. Man ver-
längere OB bis Ej so daß BE
= 1 wird, und vollende das Recht-
eck AB ED. Dann werden sich
die Fluxionen der Flächen ABG^
AB ED verhalten wie B GundBE.
Man nehme also irgend eine Gleichung an, durch weiche die
Beziehung zwischen den Flächen definiert wird. Daraus wird
Fig. 4.
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12 Newtons
sich dann die Beziehung zwischen den Ordinalen B C und BE
mittels des § 1 ergeben, was zu finden war.
Hierfür hat man Beispiele in den folgenden beiden Para-
graphen.
§ 3. Theorem 1.
Wenn man für die Abszisse AB und die Fläche AE oder
J.5 X 1 ohne Unterschied % schreibt, und wenn man für
e~{- fz^^ + gz^'^ + }iz^'^ '-\- usw. R schreibt, die Fläche der
Kurve aber z^'R'^- ist, so wird die Ordinate BC gleich
{^G+{d^-\-l^)fz'i^{d^'^2Xr])gz'''n-i^[d^-^Ur])^^^^^
sein.
Beweis.
Wenn nämlich
z^R} = V
ist, so wird (nach § 1)
d^zz^'^W^ + Iz^RR/^-^ =- h .
Für R^' im ersten Gliede der Gleichung und %^' im zweiten
schreibe man RR^~^ und 7vZ^~^. Dann wird d^zR + KzR
mal z^~^R^~^ gleich h. Es war aber:
E = 6 -1- f%-^\ + g%^-^\ + }i7J>n + USW.,
und es wird daher (nach § 1):
B = rjfzz'i'^ + 2rjgzz^n-'^ + SPihzz''''-^ + usw.
Setzt man diese Werte ein und schreibt ^E'oder 1 für ^, so wird:
\^e-\-{^-i-lrj)fz^^+{d^--{-2lr^)gz'^n+{^+3lrj)hz^^^^^
= BC,
was zu beweisen war.
§ 4. Theorem 2.
Wenn AB^ die Abzisse der Kurve, z ist, und wenn man
für 6 -\- fz'^ -\-gz'^'^ ~\-u^w. R und für k+ Iz'^ + mz^'' + usw. S
schreibt, die Fläche der Kurve aber z^'R^'S^ ist, so wird die
Ordinate BG gleich:
\&6k + (&■+- lrj)fkz'i + [3^ + 2lrj)gkz^^i -\ 1
+ {d^+^i7^)elz'i + {d + li] + f.trj)flz^^i+'-\z^-^^^^^
(^+ 2(,L7])6mz'^^l + -']
sein.
Bewiesen wird dies in der Weise des vorigen Paragraphen.
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Abhandlung über die Quadratur|der Kurven. 13
§ 5. Theorem 3.
Wenn ÄB^ die Abszisse der Kurve, z ist, und man für
e -\- f%''^ -\- g%^^ + hz^^^ + usw. B schreibt, die Ordinate aber
ist, und man setzt:
— = r, r -\- X = s^ s + /1= i^, i( + ^= '2^ usw.,
so wird die Fläche gleich %^'B^ mal
re ' (r+l)e (r+2)e
-- 6^ — (5 + 2)/'a — (?5 + l]gB — vhÄ
^1 ^^^i + usw.
(r-f-3)6
sein.
Dabei bedeuten Ä^ B^ C^ D usw.fdie vollständigen Koef-
fizienten, wie sie bei den einzelnen Gliedern in der Keihe auf-
treten, mit ihren Zeichen + oder — , nämlich:
Ä den Koeffizienten des ersten Gliedes,
1
B den Koeffizienten des zweiten Gliedes,
^b — sfÄ
JL
(r+l)e '
C den Koeffizienten des dritten Gliedes,
l-c^[s + l)fB-tgA
(r + 3)6 '
D den Koeffizienten des vierten Gliedes,
^d — {s-^2)fG—{t+l)gB-^vhA
und so fort.
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14 Newtons
Beweis. 8)
Es seien nach dem dritten Paragraphen die Ordinaten der
Kurven und die entsprechenden Flächen folgende:
Ordinaten der Kurven,
l.{^%Ä+{^^+lr|)fÄ%'l+{^^+2lrj)gÄz^^^+{^^+3lYj)hAz'^n-J^^
2. {{^+rj)6Bz'^ + {S'~{-r^+lr])fBz^^i + (^ + ^ _[- 2?.r])gBz^^^ + usw.)^^-iJ?^~^
3. {(^ + 2 7]) e (7^2,; + (^ _j, 2iy + l'ri)fCrJn + u^w.^z'^-^R^'-^
4. {(^ + 3r])eDz^n + usw-j^^-^i^^-^
Entsprechende Flächen.
1. Äz^R\
2. Bz^-^nB^^,
4. Dz'^+'^^iR\
Setzt man die Summe der Ordinaten gleich der Ordinate
[a + hz'i + c;'^-^' + 6^^^ n + usw.j^^-'^i^^-^,
so wird die Summe der Flächen
(A + Bz'i + (7^.2^1 + Dz^^^ + usw.);^^'\ß^'
gleich der Fläche der Kurve sein, deren Ordinate jene ist.
Man setze daher die entsprechenden Glieder der Ordinaten
gleich. Dann wird
a = -d-eÄj
b=:{^ + lrj)fÄ + {^ + r^)6B,
c = (^ + 2 lrj)gÄ + (^ + 1^ + h'j)fB + (^ + 2 >;) e (7
usw.
und daher
r = c - (^ + 2 lr,)gÄ -{& + r, + Iti) fB
und so fort ins Unendliche.
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Abhandlung über die Quadratur der Kurven. 15
Jetzt setze man
— = r, r -\- l = s . s -{- l = t usw.
V
und schreibe in der Fläche
[Ä + Bz'^ + Gz^'i -+~Dz^nJ^ usw.) z^R^
für Ä^ jB, G usw. die gefundenen Werte. Dann wird sich die
angegebene Reihe ergeben, was zu beweisen war.
1. Es ist zu bemerken, daß jede Ordinate auf zwei Weisen
in eine Reihe aufzulösen ist. Denn der Index 'rj kann ent-
weder positiv oder negativ sein. Vorgelegt werde die Ordinate
3 k — Iz'^
Man kann sie entweder so schreiben :
oder so:
^-2 (- / + ?>kz~^) [m — lz-^ + kz-Y^'
Im ersten Falle ist
a='3k^ b = o, c = — Z, e = k^ f z= o ^ g
h = m, 1 = 1-, ?; = 1 . ^ _ 1 = — 1 , ^ =^ —
.3 r
s = — 1, t = — 1, V == .
Im zweiten Falle ist
a = — Z, h = j c = 3/(;, e = m, /"= — l j
h = k, l = i, rj = —l, ^--1==— 2, ^:
r = l, s = lf, ^=2, ^ = 21.
i7 = o,
Jeder der beiden Fälle muß versucht werden. Und wenn
eine der beiden Reihen wegen schließlich mangelnder Glieder
abbricht und ein Ende erreicht, so hat man die Fläche der
Kurve in endlicher Form. So verschwinden, wenn man im
ersten Falle dieses Beispiels in der Reihe die Werte von a,
% ^j ^> /) 9j ^^? ^? ^, Tj s, t, V einträgt, alle Glieder hinter
dem ersten bis ins Unendliche, und es ergibt sich als Fläche
der Kurve 9)
-2]/^
Iz'^ + mz^
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16 Newtons
Und diese Fläche liegt wegen des negativen Zeichens an der
über die Ordinate hinaus verlängerten Abszisse. Denn jede
positive Fläche liegt sowohl an der Abszisse als auch an der
Ordinate. Eine negative jedoch fällt auf die entgegengesetzte
Seite der Ordinate und liegt an der verlängerten Abszisse;
dabei bleibt natürlich das Zeichen der Ordinate erhalten. Auf
diese Weise erreicht eine der beiden Reihen und manchmal
jede von ihnen immer ein Ende und wird endlich, wenn die
Kurve geometrisch quadriert werden kann. Wenn dagegen die
Kurve eine solche Quadratur nicht zuläßt, so wird jede der
beiden Reihen ins Unendliche fortlaufen, und eine von ihnen
wird konvergieren und die Fläche näherungsweise liefern, außer
im Falle r (wegen Unendlichkeit der Fläche) entweder Null ist
oder eine negative ganze Zahl, oder im Falle — der Einheit
gleich ist. Wenn -^^ kleiner als die Einheit ist, so wird die
Reihe konvergieren, bei der der Index rj positiv ist. Wenn
aber — - größer als die Einheit ist, so wird die andere Reihe
konvergieren. Wenn in dem einen Falle die Fläche an der bis
zur Ordinate gezogenen Abszisse liegt, wird sie in dem andern
an der über die Ordinate hinaus verlängerten Abszisse liegen.
2. Man bemerke überdies folgendes. Wenn die Ordinate
das Produkt aus einem rationalen Faktor Q und einem irredu-
ziblen irrationalen Faktor R"^ ist und die Basis R des irratio-
nalen Faktors in dem rationalen Faktor Q nicht als Teiler
enthalten ist, so wird X — 1 = 7t und E^~^ = i?^ sein. Wenn
aber die Basis R des irrationalen Faktors ein einfacher Teiler
des rationalen Faktors ist , so wird )^ — 1 ==-. ^r + 1 und
R^^-"^ = jß^+^ sein. Ist sie ein zweifacher Teiler, so wird
l — 1 = TT + 2 und R'^-^ = i^^+^ sein, ist sie ein dreifacher,
so wird l — 1 = TT + 3 und R^'"^ = E^+^ sein und so fort.
3. • Wenn die Ordinate ein irreduzibler rationaler Bruch ist
mit einem aus zwei oder mehr Gliedern zusammengesetzten
Nenner, so muß man den Nenner in alle seine Primteiler auf-
lösen. Und wenn ein Teiler da ist, dem kein anderer gleich
ist, so läßt sich die Kurve nicht quadrieren i^). Wenn aber
zwei oder mehr Teiler gleich sind, so ist einer von ihnen fort-
zuwerfen, und wenn noch zwei oder mehr andere einander
gleich und den früheren ungleich sind, so ist auch von ihnen
einer fortzuwerfen, und ebenso muß man es bei allen gleichen
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Abhandlung über die Quadratur der Kurven. 17
Teilern maclien, wenn noch mehr solche da sind. Der Teiler,
der dann übrig bleibt, oder das Produkt aus allen Teilern, die
übrig bleiben, wenn es mehrere sind, ist für R zu setzen ^i)
und dessen reziprokes Quadrat R~^ für E^"^ (außer wenn
jenes Produkt ein Quadrat oder ein Kubus oder ein Biquadrat
ist usw., in welchem Falle seine Basis für R zu setzen ist
und der Exponent der Potenz, 2 oder 3 oder 4 usw. negativ
genommen für vi), und die Ordinate ist auf den Nenner R'^
oder R^ oder R^ oder R^ usw. zu reduzieren.
4. Die Ordinate sei z. B. 12)
^5 ^ ;^4 „ 5;^3 _ ^ß _j_ 8;^ _ 4
Dieser Bruch ist irreduzibel, und der Nenner hat gleiche Teiler^
nämlich
% — 1, % — 1, % — 1 und %-{- 2^ ;^ + 2.
Icli werfe also einen Teiler von jeder Größe fort und setze
das Produkt der übrigen
z — Ij z — Ij Ä + 2,
also
%'^ — 3z-\-2
für R und das reziproke Quadrat hiervon -—- oder R~'^ für
R^'-K Dann reduziere ich die Ordinate auf den Nenner R^
oder R^~^y und es ergibt sich
%6 — 9;v4 + s,;^^
d. h.
z^S
— 9z
,3 _
- ?>z
z^){2
+ 2)2
-3;?
■' +
z^)-"^
Es ist
daher
a
==8,
, h =
: —
-9,
c —
0,
d =
^1,
e
-2,
f=-
-3,
9 =
0,
7t =
= 1,
l
— 1 =
= —
2, X
=
— 1,
, 7y =
= 1,
d-
— 1 ==
= 3,
^
= 4
^= r,
s
=- 3'
, t =
= 2,
V ■-
= 1.
Trägt man <
die Fläche
iiese
Werte
in
die
z^
Reihe
ein,
so
ergibt
sich
für
z'^ — 3z'i-2
OstwalduS Klassiker. 1C4.
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18
Newtons
Es verschwinden nämlich in der ganzen Reihe alle Glieder
nach dem ersten.
5. Wenn endlich die Ordinate ein irreduzibler Bruch ist
und dessen Nenner das Produkt aus einem rationalen Faktor Q
und einem irreduziblen irrationalen Faktor R"^, so muß man
alle Primteiler der Basis R finden und einen Teiler von jeder
Größe fortwerfen. Mit den übrig bleibenden Teilern, wenn es
solche gibt, ist der rationale Faktor Q zu multiplizieren. Ist das
Resultat gleich der Basis R oder gleich einer Potenz jener Basis,
deren Exponent eine ganze Zahl ist, so sei dieser Exponent m.
Dann wird l — 1 := -— 7t — m und R^-^ = R-"^-^.
Die Ordinate sei z. B.
3q^ — q^z+9c
x?- — q^?'.
ßqz^
[q^ — ^P) (q^ -{- q^z — g%2 ,
Die Basis R oder
q^ + q
2,r,
q9.
des irrationalen Fators hat die Teiler
die von zwei Größen sind. Ich werfe also einen Teiler von
jeder Größe fort, und mit dem Teiler g + ^, der übrig bleibt,
multipliziere ich den rationalen Faktor q^ — %^. Das Resultat
q^ + q^Z — qz^ — z^
ist gleich der Basis R. Ich setze also m = 1, und es wird
dann, weil 7t gleich |- ist, X — 1 =1 — | . Ich reduziere daher
die Ordinate auf den Nenner i?3, und es ergibt sich
z^ (3g6 + 2qH + SqH'^ + Sq'^
(q^ + q'^z — qz'^ -
Mithin ist
a = 3g6, h = 2q^ usw., e =
^—1=0, ^ = 1 = 7^, Z =
t = I, V == 0.
Trägt man diese Werte in die Reihe ein, so ergibt sich für
die Fläche
dq^z+^qz^
zJ — lqh.^ — 6qz^)
f-
= q'^ usw.,
= 1, s =
(^3 + ^2.. _^.
^3V^
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Abhandlung über die Quadratur der Kurven.
19
Es verschwinden nämlich in der ganzen Reihe alle Glieder
nach dem dritten.
§ 6. Theorem 4.1^)
äB^ die Abszisse der Kurve, sei ^, und man schreibe für
e + fz'^ -{- gz^^i -\-h%^'^ + usw. R und für k + Iz^^ + mz'^ '^
-j-nz^'^-^- usw. /S, die Ordinate aber sei
z^-^ E^-i Sf'-^ (a + bz'^ + Gz'^n + dz^'i + usw.).
Die Produkte der Glieder e, /*, ^, /^ usw. mit k^ l^ m, ^2 usw.
seien
ekj
el,
en^ ffbj gn^ hn usw.,
Die numerischen Koeffizienten dieser Produkte seien bezüglich
rj
r-^fi=z s\ s + {.i = f, t -\- f^i =z v\ V -\- i^i == w' usw.,
s ^ l^i^z t'\ t' + /t :== v" ^ v' + li == iv"^ w' -\-f.i = x" usw.,
^" + /^ = 'y"', v" + .u = ^^'", w"+ii = x'", d' + M = y usw.
Dann wird die Fläche der Kurve folgende sein:
z^W-B^' mal
fk,
gk,
hk usw.,
fh
9h
hl usw.,
fm,
gm.,
hm usw.,
= r, ?' + jl=5, s + A ==^, ^+A ='?; usw.,
1^
sfk
.+ s'ei
refc
(r+ l)ek
+
l+(s' + l)6i
B-
tgk
(+ t" em] A
{r-\-2]6k
r^'/
1 (s+2)A| <
[t-\-l]gk\
+ {f + l)fl\ 1
+(i("+l)emj5—
vhk
+v'gl
+ usw.
(r + 3)eÄ;
2*
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20 Newtons
Dabei bedeutet Ä den gegebenen Koeffizienten des ersten
Gliedes
1
— a
V
rek '
mit seinem Zeichen + oder — , B den gegebenen Koeffizienten
des zweiten Gliedes, den gegebenen Koeffizienten des dritten
Gliedes und so fort. Von den Gliedern a, h, c usw., 6, f, g usw.,
/i^, ^, m usw. kann einer oder auch mehrere fehlen.
Der Satz wird in der Art wie der vorige bewiesen, und die
dort gemachten Bemerkungen behalten hier ihre Gültigkeit. Die
Reihe derartiger Sätze geht aber ins Unendliche fort, und die
Fortsetzung der Eeihe liegt auf der Hand^^j^
§ 7. Theorem 5.
Man schreibe wie oben für e + f%'i + gz^'^ + ^sw. R und
in einer Kurvenordinate, die
lautet, mögen d\, 'Yj^ A, 6, f^ g usw. gegebene Größen bleiben,
und für er und t schreibe man der Reihe nach alle ganzen
Zahlen. Wenn die Ordinaten Wurzeln aus Binomen enthalten,
genügt es, daß die Fläche einer der Kurven gegeben wird, die
durch die unendlich vielen so hervorgehenden Ordinaten be-
zeichnet sind; wenn die Ordinaten Wurzeln aus Trinomen ent-
halten, so genügt es, daß die Flächen z^veier von den Kurven
gegeben werden; wenn die Ordinaten Wurzeln aus Quadrinomen
sind, so genügt es, daß die Flächen dreier von den Kurven
gegeben werden, und so fort ins Unendliche. Ich behaupte,
daß dann immer die Flächen aller Kurven gegeben sein werden.
Als Nomina betrachte ich hier alle unter der Wurzel
stehenden Glieder, sowohl die fehlenden als auch die, voll-
ständigen, deren Exponenten in arithmetischer Reihe sind. So
muß man die Ordinate
wegen der beiden zwischen a^ m^^ — ^x^ fehlenden Glieder
als quinquinomisch betrachten. Dagegen ist
Va^ + x^
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Abhandlung über die Quadratur der Kurven. 21
binomiscli und
trinomiscli; denn die Reihe schreitet hier nach größeren Diffe-
renzen fort.
Der Satz wird so bewiesen:
Fall 1.
Die Ordinaten zweier Kurven seien ^^)
pz^-^R'-^ und qz^ + ^i-^R^-^
und die Flächen pÄ und qB^ wobei R die trinomische Größe
e + fz^^ + gz'^n
ist. Da nun nach § 3 z^' R^ die Fläche der Kurve ist, deren
Ordinate
{^6 + (^ + lrj)fz^^ + {^ + 2lrj)gz^n]z^-^R^-^
istj so ziehe man die ersten Ordinaten und Flächen von der
letzten Ordinate und Fläche ab. Dann bleibt
(^6__p _j_ [(^4- lyj)f^qy^n _|_ {d^-\~2lri)gz'^n}z»-^R^'-^
als neue Kurvenordinate und
z^R^' --2^Ä — qB
als Fläche dieser Kurve. Man setze
^e =r. p und '&f-{-l}]f=q.
Dann wird die Ordinate
{^-{-2lr])gz'^>Kz9-^R^-^
nnd die Fläche
z^R^ — d^6A — [S^f+ lrif)B.
Man dividiere beide durch O^g + 2lrjg und nenne die ent-
stehende Fläche C. Nimmt man alsdann r beliebig an, so
wird rG die Fläche der Kurve sein, deren Ordinate
ist. Und wie wir aus den Flächen pÄ und qB die Fläche
rC gefunden haben, die der Ordinate
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22 Newtons
entspriclit, so wird es möglich sein, aus den Flächen qB und
rö eine vierte Fläche sD zu finden, die der Ordinate
entspricht, und so fort ins Unendliche. Und die gleiche Art
von Progression führt von den Flächen B und A nach der ent-
gegengesetzten Richtung. Wenn von den Gliedern
^, d^+lr] und* & + 21y]
eins fehlt, und die Eeihe abbricht, so nehme man die Fläche
jpA als Anfang der einen Progression und die Fläche qB
als Anfang der andern Progression, und es ergeben sich
dann aus diesen beiden Flächen alle Flächen in jeder der
beiden Progressionen^^). Umgekehrt kann man von zwei andern
angenommenen Flächen durch diese Analysis zu den Flächen
A und B zurückgehen, so daß aus zwei gegebenen alle übrigen
gegeben sind. Das wollten wir erreichen.
Dies ist der Fall von Kurven, bei denen der Exponent ^^
von % durch fortgesetzte Addition oder Subtraktion der Größe
'Yj vermehrt oder vermindert wird. Der zweite Fall ist der von
Kurven, bei denen der Exponent X um eine Einheit vermehrt
oder vermindert wird.
Fall 2.
Wenn man die Ordinaten
pz^-^R' und qz^ + 'i~^R\
denen jetzt die Flächen j)^ ^i^^ ^^ entsprechen sollen, mit
R, d. h. e + fz^ + gz'^^^
multipliziert und dann wieder durch R dividiert, so werden sie
{p6+pfz'i+pgz'^^^)z^-^R^-^ und (qez'^-^qfz^^^-i-qgz^'^)z9--^R^-K
Nun ist (nach § 3) az^ R^ die Fläche der Kurve, deren
Ordinate
[d^ae + (^ + lr])afzn + [& + 2lri)agz'^n]z^-^R^'-\
und hz^' + '^R^ die Fläche der Kurve, deren Ordinate
{{ü' + r])b6zn+{^JrV+^)^ß'^'^+{''^+V+^^)^^^^^
ist.
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^'^^'^w-
Abhandlung über die Quadratur der Kurven. 2S
Die Summe dieser vier Fläcben ist^'^):
und die Summe der entsprechenden Ordinaten:
+ [(^ + Xri)af+ (^ ■+ri)b6 + pf + qe\%n
+ [{^ + 2Xri)ag + {& + rj + lrj)hf+jpg+qf]%'^^
+ {[^-\-rj + 2lyi)hg + qg\%^n
Wenn man das erste, dritte und vierte Glied einzeln gleich
Null setzt, so wird auf Grund des ersten:
-d-ae-^ p6 = oder — ^a=j?,
auf Grund des vierten:
— ^b — Tib — 2lT^h = q
und auf Grund des dritten (wenn man p und q eliminiert) :
^"^ = &.
Hiernach
wird der
zweite Koeffizient:
;.,;
af^ — 4:Xr]age
f
Also
ist
die
Summe der
vier Ordinaten:
Irit
Z/-2-
- ilrjage ^g.^^^i
1J2'-S
und die Summe der vier entsprechenden Flächen ist:
Man dividiere diese Summen durch:
Irjaf^ — 4:lrjag6
f
Nennt man den zweiten der beiden Quotienten D, so wird D
die Fläche der Kurve sein, deren Ordinate der erste Quotient
^5 + >i-ii^A-i
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24 Newtons
ist. Auf dieselbe Weise, läßt sich, indem man alle Glieder
der Ordinate außer dem ersten gleich Null setzt, die Fläche
der Kurve finden, deren Ordinate
ist. Diese Fläche heiße G. Wie aus den Flächen A und B
die Flächen G und B gefunden sind, lassen sich aus diesen
Flächen G und B zwei andere , E und F^ finden , die den
Ordinaten
%^~^R'-^ und z^-'rn-^R'^-^
entsprechen, und so fort ins Unendliche. Durch die umgekehrte
Analysis kann man von den Flächen E und F zu den Flächen
G und B und von dort zu den Flächen A und B zurückgehen
und zu den andernf die in der Progression folgen. Wenn also
der Exponent X durch fortgesetzte Addition und Subtraktion von
Einheiten vermehrt oder vermindert wird, und man aus den
Flächen, die den so sich ergebenden Ordinaten entsprechen,
zwei ganz einfache erhält, so sind alle andern bis ins Unend-
liche gegeben. Das wollten wir erreichen.
Fall 3.
Verbindet man diese beiden Fälle und vermehrt oder ver-
mindert irgendwie sowohl den Exponenten & durch fortgesetzte
Addition und Subtraktion von iq als auch den Exponenten l
durch fortgesetzte Addition und Subtraktion der Einheit, so
werden sich die Flächen ergeben, die den einzelnen hervor-
gehenden Ordinaten entsprechen. Das wollten wir erreichen.
Fall 4.
Eine ähnliche Überlegung gilt, wenn die Ordinate eine
Wurzel aus einem Quadrinom enthält, und drei von den Flächen
gegeben werden, oder wenn sie aus einem Quinquinom besteht,
und vier von den Flächen gegeben werden, und so fort. Es
ergeben sich alle Flächen, die sich durch Addieren und Sub-
trahieren der Zahl r] bei dem Exponenten & und der Einheit
bei dem Exponenten X erzeugen lassen. Und ebenso verhält
es sich bei den Kurven, wo die Ordinaten binomisch zusammen-
gesetzt sind, und die Fläche einer von diesen Kurven, die
geometrisch nicht quadrierbar sind, gegeben wird. Das wollten
wir erreichen.
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Abhandlung über die Quadratur der Kurven. 25
§ 8. Theorem 6.
Man schreibe für
6 + f^i?^ + g^^'i + usw, und k -^ 1%'i + mz^'^ + iisw.
E und S, wie oben, und in einer Kurvenordinate, die
lautet, mögen -O-^ tjj l^ i^ij e, f, g^ k^ l, m usw. gegebene
Größen bleiben, und für er, t und v schreibe man der Reihe
nach alle ganzen Zahlen. Wenn die Größen R und S Binome
sind, so genügt es, daß die Flächen zweier der Kurven, die
durch die so hervorgehenden Ordinaten bezeichnet werden,
gegeben sind; wenn R und S zusammen aus fünf Nomina be-
stehen, so genügt es, daß die Flächen dreier der Kurven
gegeben sind, und so fort ins Unendliche. Ich behaupte, daß
dann die Flächen aller Kurven gegeben sein werden.
Bewiesen wird dieses in der Weise wie der vorige Satz ^^).
§ 9. Theorem. 7.
Die Flächen von zwei Kurven, deren Ordinaten
sich umgekehrt verhalten wie die Fluxionen der Ab-
szissen, sind einander gleich.
Es werden nämlich die Produkte aus den Ordinaten und
den Fluxionen der Abszissen gleich sein, und die Fluxionen
der Flächen verhalten sich wie diese Produkte ^^).
Folgerung 1.
Man nehme irgend eine Beziehung zwischen den Abszissen
zweier Kurven an und suche daraus nach § 1 die Beziehung
zwischen den Fluxionen der Abszissen. Die Ordinaten setze
man umgekehrt proportional zu diesen Fluxionen. Es lassen
sich so unendlich viele Kurven finden, deren Flächen einander
gleich sind.
Folgerung 2.
So geht nämlich jede Kurve, deren Ordinate folgende ist:
wenn man irgend eine Größe v annimmt und
-^ = 5 und z^ == X
V
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setztj in eine andere ihr gleiche über, deren Ordinate
-^ X ^ (e + fx" + gx'^^ + usw.)^
ist.
Folgerung 3.
Und jede Kurve, deren Ordinate
z^'-^ [a + hz'^ + cz^'^ + nsw.) (e + fz^ + ^^^^^ + nsw.)^-
ist, geht, wenn man irgend eine Größe v annimmt und
-L ^=2 s und z^ = X
V
setzt, in eine andere ihr gleiche über, deren Ordinate lautet:
- ^ X 'i {a + hx^ + cx^^ + usw.) (e + fx'' + gx^'' + usw.)'^,
Folgerung 4.
Und jede Kurve, deren Ordinate
z^-^ [a + bz'^ + c^^'^'i + usw.) [e + /^^'^ + gz^n + nsw.)^^ .
{k + ?;i;'^ + ^^^^'^ + usw.)'''
ist, geht, wenn man irgend eine Größe v annimmt und
— == s und z^ = X
n
setzt, in eine andere ihr gleiche über, deren Ordinate
V
■ — X ''^ [a + hx'' + GX^" + usw.) (e + fx'' + goi?"^ + usw.)'^
{k + Ix^ + mx^^ + "USW.)'"
ist.
Folgerung 5,
Und jede Kurve, deren Ordinate
z^'~^ [e + /'^'^ -\- gz^'^ + usw.)^-
ist, geht, wenn man
z
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Abhandlung über die Quadratur der Kurven. 27
setzt, in eine andere ihr gleiche über, deren Ordinate
ist, d. h.:
-f+i [e + f^~'^ + ^^~^'^ + usw.)^
wenn nur ein Binom in dem Wurzelausdruck steht, oder
wenn ein Trinom dasteht, und so fort.
Folgerung 6.
Und jede Kurve, deren Ordinate
;^5 -1 (g _j_ ß,j ^ g^2n ^ ^^^^Y [k + Iz'^ + m%2'/ + usw.).«
ist, geht, wenn man
%
setzt, in eine andere ihr gleiche über, deren Ordinate
—^^ (e + f'xr'^ + gocr'^'i + usw.)^ [k + 1%-'^ + mx-^'^ + usw.).'*
ist, d. \i.\
wenn in jedem Wurzelausdruck ein Binom steht, oder
wenn in dem ersten Wurzelausdruck ein Trinom und in dem
zweiten Ausdruck ein Binom steht. Ebenso ist es in den
andern Fällen.
Man beachte, daß die zwei gleichen Flächen in diesen letzten
beiden Folgerungen auf entgegengesetzten Seiten der Ordinaten
liegen. Wenn die Fläche bei der einen Kurve an der Abszisse
liegt, so liegt die ihr gleiche Fläche bei der andern Kurve
an der verlängerten Abszisse.
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28 Newtons
Folgerung 7.
Wird die Relation zwischen der Ordinate y und der Abszisse
% einer Kurve durch irgend eine affizierte Gleichung von fol-
gender Form definiert:
y^ (6 + /*^''^^ +^^^''^'^^+ usw.) = %(^ [k-\~ly^^%'^-\'- my'^^i%^^-\- usw.)^
so geht diese Figur, wenn man
- — ' -- — - ^-5 und A — ^
■Y] ' s aö-\~ßrj
annimmt , in eine andere ihr gleiche über , deren Abszisse x
sich bei gegebener Ordinate v durch die nicht affizierte Gleichung
— ■ v^^ [e -\- fv^^ 4-^'^^'^+usw.)^- (h~{~lv'^ -{- ^nv'^'^ -{- UBW.)~ ^ = x
bestimmt.
Folgerung 8.
Wird die Relation zwischen der Ordinate y und der Ab-
szisse z durch irgend eine affizierte Gleichung von folgender
Form definiert:
y''(e + fyn%^'-^gy'^nz^^-\-u^w,)==z^k + kjU^ + my^'^z^^^
-{-•^^[j^-^qy^^z^^'^ry^'^z'^^-^wäw.),
so geht diese Figur, wenn man
7] — d 1 ad -{- ßrj ^ ad-hyr,
^ :==, _!_ — X = — z^, u = -— und V = V-
'Y] S Tj — Tj —
annimmt , in eine andere ihr gleiche über , deren Abszisse x
sich bei gegebener Ordinate v durch die weniger affizierte
Gleichung :
v^{e + fv'^ + gv'^'^ + usw.) = sf-^x^-' {k + Iv^^ + mv'^'^ + usw.)
+ s^x^[p + qv'^ + ru^'i -|" i"isw.)
bestimmt.
Folgerung 9.
Jede Kurve, deren Ordinate
nz'^'~^{v6+{v+ri)fz'i+[v'j-2r])gz^nj^u^w.){e-i-fz'^+gz'^'i-\-nQw^^^^^
mal(a + b{6Z'' + fz'"^'^ + gz""^^'^ + usw.)^}^
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Abhandlung über die Quadratur der Kurven. 29
ist, geht, wenn ^ = Iv ist, und man
x = {ez"-\-f%"'^'^-+gz^'^'^'^ + vi^w.Yj ö- = — und ^' = -^—
annimmt, in eine ihr gleiche über, deren Ordinate
ist. Man beachte, daß die erste Ordinate in dieser Folgerung-
einfacher wird, wenn man >l = 1 setzt oder r = 1 setzt, und
wenn man bewirkt, daß sich der Wurzelausdruck mit dem Ex-
ponenten CO angeben läßt, oder auch, wenn man co = — 1
und l = l = T; = o = 7t setzt, nm andere Fälle zu übergehen.
Folgerung 10.
Für
6%" + fz'' + '^ + gz" + 2/j _j- usw. ,
vez"-^ + [v + rj)fz''-^'i-^ + (v + 2rj)gz'' + '^*i-^ + usw.
und für
k + l^'^ + mz'^'^ + ^sw. ,
if]W^-^ + 2}^mz^'^~^ 4- usw.
schreibe man bezüglich i?, r und S^ s. Jede Kurve, deren
Ordinate
ist, geht, wenn
a — vco V CD r l — ^ ,, ■. t^ r,
A TT Tz; TT TT
ist, in eine ihr gleiche über, deren Ordinate
ist. Man beachte, daß die erste Ordinate einfacher wird,
wenn man für r, v und 1 oder f-t Einheiten setzt, und wenn
man macht, daß der Wurzelausdruck mit dem Exponenten to
sich angeben läßt, oder wenn man w = — 1 oder f^t == o setzt.
§ 10. Problem 3.
Die einfachsten Figuren zu finden, mit denen sich
eine beliebige Kurve, deren Ordinate y sich bei ge-
gebener Abszisse ^ durch eine nicht affizierte Gleichung
bestimmt, geometrisch vergleichen läßt
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Fall 1.
Die Ordinate sei
Dann wird die Fläche
sein, wie man ans § 5 leicht ersieht, wenn man
'b = o = G = d = f=g==^h und 6=1
setzt.
Fall 2.
Die Ordinate sei
az^'^-^e + fz'i + gz^n + nsw.)^-^
Wenn sich die Knrve mit geradlinigen Figuren geometrisch
vergleichen läßt, so wird man sie nach § 5 quadrieren, indem man
setzt. Wenn nicht, so wird man sie nach Folgerung 2 in
§ 9 in eine andere ihr gleiche Kurve verwandeln, deren Ordinate
cc
— ■ X 'i (e + f X + gx'^ + usw.)'^"^
S^ — j]
ist. Wenn man dann von den Exponenten '- und l — 1
rj
(nach § 7) Einheiten fortwirft, bis jene Exponenten möglichst klein
werden, so wird man zu den einfachsten Figuren gelangen, die
man auf diese Weise gewinnen kann. Eine jede von diesen
gibt dann nach Folgerung 5 in § 9 eine andere, die manchmal
einfacher ist. Und aus diesen ergeben sich, wenn man sie
nach § 3 und Folgerung 9 und 10 in § 9 miteinander ver-
gleicht, zuweilen noch einfachere Figuren. Endlich wird man
aus den Figuren, die man als die einfachsten angenommen hat,
rückwärts die gesuchte Fläche berechnen.
Fall 3.
Die Ordinate sei
z^'-^[a + bz'^ -^- G%-\- usw.)(e + fz'\ + gz^'^ + usw.)'^-i.
Diese Figur wird man, wenn sie sich quadrieren läßt, nach
§ 5 quadrieren. Wenn nicht, so hat man die Ordinate in die
Bestandteile zu sondern
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Abhandlung über die Quadratur der Kurven. 31
usw. und nach Fall 2 die einfachsten Figuren zu finden, mit denen
die jenen Bestandteilen entspreclienden Figuren verglichen werden
können. Denn die Flächen der Figuren, die jenen Bestand-
teilen entsprechen, werden, mit ihren eigenen Zeichen + iii^^ —
verbunden, die ganze gesuchte Fläche zusammensetzen.
Fall 4.
Die Ordinate sei
z^-^(a + bz'^ + cz^'i + usw.)(6 + fz'i + gz'^'^ + usw.)'^"^
mal {k -\- Iz?^ + mz'^'i + usw*.)"~^
Wenn sich die Kurve quadrieren läßt, so wird man sie nach
§ 6 quadrieren. Wenn nicht, so wird man sie nach Folgerung 4
in § 9 in eine einfachere verwandeln und dann nach § 8 und
Folgerung 6, 9 und 10 in § 9 mit den einfachsten Figuren
vergleichen, wie es in Fall 2 und 3 geschieht.
Fall 5.
Wenn die Ordinate aus verschiedenen Teilen besteht, so
sind diese einzeln als Ordinaten ebensovieler Kurven anzusehen,
und jene Kurven sind, so viele sich quadrieren lassen, einzeln
zu quadrieren. Ihre Ordinaten sind von der ganzen Ordinate
fortzunehmen. Darauf ist die Kurve, welche der übrig ge-
bliebene Teil der Ordinate bezeichnet, für sich (wie in Fall 2,
3 und 4) mit den einfachsten Figuren zu vergleichen, mit denen
er verglichen werden kann. Die Summe aller Flächen ist dann
als die Fläche der vorgelegten Kurve anzusehen.
Folgerung 1.
Hiernach läßt sich auch jede Kurve, deren Ordinate eine
affizierte quadratische Wurzel ihrer Gleichung ist, mit den ein-
fachsten Figuren, sei es geradlinigen, sei es krummlinigen, ver-
gleichen. Denn jene Wurzel besteht immer aus zwei Teilen,
die, für sich betrachtet, nicht affizierte Wurzeln von Glei-
chungen sind.
Es werde die Gleichung vorgelegt
a2^2 + ^iy2 ==:2a^y + 2z^y — z\
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32 I^ewtons
Die ausgezogene Wurzel wird sein
y
:j^ -1- %5 + aVa^ + 2a%^ — %^
a^ ~\- rJ^
Ihr rationaler Bestandteil
a^ + -^
und ihr irrationaler Bestandteil
aV a^ -h 2a%
a^ + z^
sind die Ordinaten von Kurven, die nach diesem Paragraphen
entweder quadriert werden oder mit den einfachsten verglichen
werden können, mit denen sie eine geometrische Vergleichung
zulassen.
Folgerung 2.
Und jede Kurve, deren Ordinate durch irgend eine affizierte
Gleichung definiert wird, die mittels Folgerung 7 in § 9 in
eine nicht affizierte Gleichung übergeht, wird nach dem vor-
liegenden Paragraphen entweder quadriert, wenn sie sich
quadrieren läßt, oder mit den einfachsten Figuren verglichen^
mit denen sie sich vergleichen läßt. Und auf diese Weise wird
jede Kurve quadriert, deren Gleichung dreigliedrig ist. Denn
jene Gleichung verwandelt sich, wenn sie affiziert ist, nach
Folgerung 7 in § 9 in eine nicht affizierte und gibt dann,
indem sie nach Folgerung 2 und 5 in § 9 in die einfachste
übergeht, entweder die Quadratur der Figur, wenn sie sich
quadrieren läßt, oder die einfachste Kurve, mit der sie sich
vergleichen läßt.
Folgerung 3.
Und jede Kurve, deren Ordinate durch irgend eine affizierte
Gleichung definiert wird, die mittels Folgerung 8 in § 9 in
eine affizierte quadratische Gleichung übergeht, wird entweder
nach dem vorliegenden Paragraphen und Folgerung 1 qua-
driert, wenn sie sich quadrieren läßt, oder mit den einfachsten
Figuren verglichen, mit denen sie eine geometrische Yergleichung
zuläßt.
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Abhandlung über die Quadratur der Kurven. 33
Zusatz.
Wenn Figuren quadriert werden sollen, so wäre es zu
mühsam, immer auf diese allgemeinen Regeln zurückzugreifen.
Es ist vorzuziehen, die einfacheren und mehr zur Anwendung
kommenden Figuren einmal zu quadrieren und die Quadraturen
in eine Tabelle einzutragen und dann die Tabelle zu Rate zu
zu ziehen, so oft man irgend eine solche Kurve quadrieren
muß. Von solcher Art sind aber die beiden folgenden Tabellen.
In ihnen bedeutet ä die Abszisse, y die rechtwinklige Ordinate
und t die Fläche der zu quadrierenden Kurve, d^ e, f, ^, /^,
7] sind gegebene Größen mit ihren Zeichen + und — .
Tafeelle einfacherer Kurven, die sich quadrieren lassen,
I.
Fo,d,K,'') dz^i-^ ==y^
Fld.K^) -^%^i=t.
V
II.
Fl.d.K. , '^f' , = t oder -—^^.=t.
III.
{Fo. d. K dz'i-^ Ve + f%n = y ,
l.L, , -r^ 2d ^, , . ,
\Fl d. K ----- R^ = t, wobei E==Ve + fz^K
' 3r]f
\Fo. d, K dz^n-^ Ve + fzn ^ y ,
4e-|-6
T5^
'■\Fi.d.K.::^^^±^äm^t.
VFo, d. K. dz:^'^-^ Ve + fzn = y ,
Hfl ä. K ^^^ - 24.^4- 3QfV-i ^^^3 _ ^
[ 10b Yjp
*) Fo. d. K. bedeutet ^Form der Kurve«, Fl. d. K. »Fläche der
Kurve«.
Ostwalds Klassiker. 164. 3
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34 Newtons
(Fo. d. IL dz^n-^ Ve + f%n = y^
\ 945 r/ /4
lY.
\F0. d. K. ~-=:=r:, = V ,
^1 Ve + fzn
Tjf
Fo. d. K. ^= y ,
2.<
4.<
i/^0. d Ji. === ?/ ,
Ve + f^^'i
FL d. K i^p~~- - ^*
Fo.d.K^^^^^y,
ye + fz'^
Fi. d. K. T^-^ 77 d H — t r.
10b i]f^
Tabelle eiiifaclierer Kurven, die sich mit der Ellipse
und Hyperl)el vergleichen lassen.
Es sei ciGD oder PQB oder GDS der Kegelschnitt,
dessen Fläche zur Quadratur der vorgelegten Kurve erforderlich
ist; A sei sein Mittelpunkt, Ka die Achse, a der Scheitel,
AP die konjugierte Halbachse, A oder a oder a der gegebene
Anfangspunkt der Abszissen, die Abszisse AB oder aB oder
aB gleich ^, die rechtwinklige Ordinate BD gleich v und die
Fläche ABDP oder aBDG oder aBDG gleich 5, während
aG die Ordinate im Punkte a ist. Man verbinde KB.^ AD,
aDj ziehe die Tangente DT, die die Abszisse AB in T trifft,
und vollende das Parallelogramm AB DO. Wenn zur Quadratur
der vorgelegten Kurve die Flächen von zwei Kegelschnitten
erforderlich sind, so heiße die Abszisse des zweiten ^, die
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Abhandlung über die Quadratur der Kurven.
35
Ordinate v und die Fläche ö. Es sei aber -^ die Differenz
zweier Größen, wo es ungewiß ist, ob man die zweite von der
ersten oder die erste von der zweiten abziehen muß. Bei der
sechsten Form schreibe man jp für }^p — 4,eg .
K A T accB
Fig. 7.
J? ixa T
Fiff. 8.
l."^
Fo. d.Ku.*)
A, d. Ke.*)
0. d. Ke.*)
Fl. d. Ku.^-)
/y;?) __ rjß
d
6 -f- fx
aGDB
(Fig. 5.)
*) Fo. d. Ku. = Form der Kurve, A. d. Ke. = Abszisse des Kegel-
schnitts, 0. d. Ke. = Ordinate des Kegelschnitts, Fl. d. Ku. = Fläche
der Kurve.
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36 Newtons
Fo.d.Ku. -~j— = y^
6 + ]'%'l
A. d. Ke. %n =z X ^
FL d. Ku, --^ zn — ~-^s== t.
Fo.d.Kn. — -^-^^ = y.
A. d. Ke. %'i^^= X.
d
0. d.Ke. - — ^~-~- = v,
6 -{- fx
FL d.Kn, -^ %^n ^ rJ] -{- ^s = t
2}]f Tjp rjP
IL
Fo.d.Kia. ^^--_^^^ = y,
M
A. d. Ke. y — ^^TTT == ^ ;
d
0. d. Ke. ]/-V ;r ^^ = V <
7~7
2.{
Fl.d.Ku. ^^^-LiL = i = A ^DGa. (Fig. 7, 8.;
Fo.d.Ku. -
6 + /■»''
A. d. Ke. ]/
6 4-7«''
0. d. Ke. ]/jr - y «2 = V ,
2d 1 46S — 2exv
Fl. d. Ku. - - zi'> -] r:
nf vf
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3.<
Abhandlung über die Quadratur der Kurven. 37
Fo.d.Ku. — ; — - — = 2/?
A.d.Ke.y^-3_VT
0. d. Ke. ]/-^ _-_^_a;2 =,^^
d 6
m.
i
Fo. d.Ku. — Fe + /«';= 2/,
A. d. Ke. — = x"^ oder — ^=^ x.
0. d. Ke. Vf+ ex'^ = v hzw. Vfx + ex^ = v ^
Fl.d.Ku.^/-^ - 5^ = #= i^ mal aGDT oder mal
APDB-r- TDB (Fig. 6, 7, 8) Z?%^^.
'r]P \ 2 Ae ^e^x] rjP
aODA + ^. (Fig. 7, 8.)
462^:; ^
2.
A. d. Ke. — = a;2 ^^^^. —
0. d. Ke. Vf-\- ex^ ^^^ v bzw. Vfx + ex^ ^= v^
Fl.d.Ku. — ^s-=^ = — ^PD^oder ^a(9D5(Fig.6,7
4cde
^t^fi/ 1 fv\ , 4(i6 ^^r^ ,T^. „o\
Z?%2^.--r 5~~i^V— — 1===^=-— ra(ri)ir. Flg.7,8.
\ 2 2e/ 17/ ^
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38 Newtons
A. d. Ke. — =^ X.
0. d. Ke. y-fx + ex'^ = v^
Fl. d.Ku. — — 5 = 2^ = ^i—cöGDBodiQYBDPK). (Fig. 8.]
A. d. Ke. — = X,
4. ^'^ '
0. d. Ke. Vfx + ecc2 = t» j
— 2
6rye
FI.d.Kn.^^-Ji--! = ..
1.-
IV.
Fo.d.Ku. — = y j
zVe -{- fz
A. d. Ke. — == 0^2 oc^er —
0. d. Ke. yf-{- 6x2 :=r= t> hxw. Vfx + ecc^ = ^ ^
Fl. d. Ku. ^^(^xv-^-s) =t= --, mal PÄD oder mal a(?D^
vf vf
/T.. . ., oN 7 86^6/ , fv\ 8d6
j (Flg. 6, 7, 8) bzw. — (. ~ 1^^ ~ ij == ^ == ^^2
l mal aGD^. (Fig. 7, 8.)
Fo.d.Ku.
2.<1
^n + ^ye + fz
1 1
A. d. Ke. — = x^ oder — = x ,
z'^ z'i '
0. d. Ke. Vf-\- ex^ = v bzw. Vfx + ex"^ == v ,
Fl. d. Ku. ^-^(5-a:v)=::2^=^-malPOjDodermaUOD6^a(Fig.6,
iqe rjG
7,8) bzw. '^~i(Uv-^^s) = t=^m&laDGa.i¥ig.l ,S.)
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''\
Abhandlung über die Quadratur der Kurven. 39
Fo.d.Ku. ^ , . = y,
A. d. Ke. — =: X.
4X
0. d. Ke. Vfx -{- ex^ = V j
¥1 ä.Ku. ~ (3 s --- 2xv) = j^ = — mal 3aDGa-^AaDB,
rje ■y]e
(Fig. 7, 8.)
d
Fo.d.Ku. —=z= = y,
A. d. Ke. — = X,
0. d. Ke. Vfx + ex'^ = v^
, ,_ 10 df XV — Ibdfs •-- 2 dex'^v
Fl. d. Ku. — — '- ^ ' — — — =- t.
y.
Fo.d.Ku. — , , ^, , «- = y,
A. d. Ke. 1/ ;; ; ^ = 05 odcV y "T->-^n 9n = ^J
1.
e + Z^&^^+^^^'' ^ e--\-fz'^-\-gz'
T.1 ;i rr ^^ "" 2s _^ ^ 25 — i^^
Fl. d.Ku. = t hzw. — = t.
rj rj
A.d.Ke.]/^_^ J^ .-^x, fzn+gz^^^=.^,
2.
0. d. Ke. |/
4^2 ' , +
Fl. d. KU. ^±4^^^::^===^.
2rig
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40 Newtons
YI.
Fo.d.Ku. IT- = y ^
. . -r^ l/ ^dg 1/ 2clg
A. d.Ke. l/-^ ^--— = cc, y ^
f-p + 2g%'' ' f' /• + j, + 2(7J
,'i
0. d. Ke. y d H ^±^- «2 = « , |/ d H ^^ |2 ==, y^
2g ' ' ' 2g
Im. d. KU. 2xv-is-2-§v + ia _ ^
Fo.d.Ku. — --r- — , ^ = w,
2.<
A. d. Ke. 1/ = x, l/ —- ^=§,
2 6^6.0; ^i
fz'i—pz'i + 2e'~'^'' ^ fz'^+pzn + 26
0. d.Ke.]/^H y^x^ = v, yd-\ ^ — ^S'^=v,
FI.d.Ku.^^-'""^^^ + ^^'^^^.
2e ' «^ ' 26
-4
VII.
l.<
^
Fo. d. Ku. — Ve + /•;?;^i + gz^n = ^ ^
z
A. d. Ke.^»/ = cc, 1/;^'/ = g,
0. d. Ke. ye + fx +~g^ ^v, Vg + f^ + e'^'^ = v ,
. A:cle^'^v+2defv-2dfgxv-¥[M6g-2fH)v-Me^o^^dfgs
(Fo. d.Ku. dz'^-^ Ve + fz^ + gz^-'^ = y ,
JA. d. Kq.z^^ = a;,
2.<
0. di.KQ.Ve + fx + gx^ = 'i;^
Fl. d. Ku. -^ s = ?^ = -^ aGDB. (Fig. 6, 7, 8.
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Abhandlung über die Quadratur der Kurven. 41
3.
Fo.d.Ku. dz^'i-^ Ve -+- /*^'' + 9^^'^ = V,
A. d. Ke. z'i = x^
0. d. Ke. Ve-i- fx -^ gx^ = v ,
di^g 2r]g
|Fo. d.Ku. dz^'^-^ Ve + f%n + gz?-'^ = y ,
A. d. Ke. .1;'^ = X,
^* \0. d. Ke. Ve + fx -i- gx'^ = v ,
l 24:r]g^ lßr]g^
YIII.
dzn~^
Fo.d.Ku. — = ^ = 2/?
Ve-i-fz'^ -^gz^'i
A. d. Ke.^'i = X,
l.{
2.
0. d. Ke. Ve + /^ + 9^^ = '^>
Sdgs — 4:dgxv —■ 2dfv 8^^
Fl. d. Ku. ' — -.» = r — - ^^
4:i]eg — Tjf^ 4:r]eg — 'rjf^
msl(aGDB ±: ADBÄ). (Fig. 6, 7.)
Fo. d. Ku. ^ = ^ .
Ve + fzn+gz'^^i
A. d. Ke.;:^;'' == x,
0. d. Ke. Ve + fx -\- gx^ == 'y ,
Fl. d. Ku. '-—^ ' — ^'— = t.
4:rjeg — i^jr^
— ^ -. -^ CuZ '
Fo.d.Ku
3.
A. d. Ke.;^'/ = x^
0. d. Ke. y'e 4- /'o? + gx'^ = -y ,
T.1 ;3 TT {^dp — 4:deg)s + {-;2dp+4:deg)xv-'2detv__
FL d. Ku. . — — ^ — ~~":?ö ~ —
4:7]eg^ — rjPg
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42
Newtons
4.<
Fo.d.Ku.
dz^n-^
y,
A. d. Ke.z'^ = X,
0. d. Ke. Ve + fx-\- gx'^ == Vj
Fl d K (36 defg - I6dp)s + jSdeg'- - 2 dpg) oßv + i\0df^-~2S defg) xv + (10 dep - 1 6 de'ig) v _
1it]eg^ — ßyjPg'^
IX.
Fo.d.Ku. r-T-^-TT^ — = y.
A. d. Ke. y
g + /i%'^
d
g 4- /i^'J
0. d. Ke.
Fl. d. Ku.
[^fg — 4.eh)s-+- (— 2fg + 2e/^)a:^' +2dfv/x __
^f/^
2-{
Fo.d.Ku. . , „ — =-- y ,
A. d, Ke
■V
g -j- hz'^
d
g + hzn
= X,
Uf , 6/.-/-^
0. d. Ke. 1/V H r-^^- x^ :==z v ,
^ h h
Fl d Ku ^^^dh~W^]s + (-2e^;^ + 2fg^)xv-^idhvVx^--2dfgv/x ^ ^^
X.
Fo.d.Ku.
dz"^-
{g + hz'i)V6 + fz'^
' h. h.
Fl. d. Ku.
h ' h
2xv — 4s
Tjf
x^ = V .
rjf
ÄDOa, (Fig. 7, 8.)
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Po.d.Ku.
Abhandlung über die Quadratur der Kurven. 43
.. Ke. |/-
A. d^^ "^ ^
g + h%^^
^ h
h
Tjfh
^, - „ 4:gs — 2gxv + 2dvlx
Fl. d. Ku. —^ ^ — -— ^ — ^ = t.
XL
Fo. d. Ku. dz- 1 |/i+_(^ = ^
1.
A. d. Ke. Vg -\~hzn = x, Vh + gz-v = ^ ,
^ h h ^ ^ Q Q
_^, ^ ^^ 2dxv^z~'^ — 4:dfs — 4:dea
Fl. d. Ku. ^ — = t.
Tjfg — 7] eh
Fo.d.Ku. dzn-^ l/ ^ + ff' _ ^
A. d. Ke. y^ + hzn ==: x ,
-r-^, _ ^^ iij Co
Fl. d.Ku. --- s =- t.
Tjh
3.
Fo.d.Ku. dz-^n-i ]/' l±Jßl ^ ^
A. d. Ke. Vg~+liz^ = x^
' h h
Fl d Ku ^^ ^^^-"i^^f9 + deh)s ^
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44 Kewtons
In diesen Tafeln kann man die Reihe der Kurven einer
jeden Form nach beiden Seiten ins Unendliche fortsetzen. In
der ersten Tabelle nämlich werden in den Zählern der Flächen
der dritten und vierten Form die Zahlenkoeffizienten der Anfangs-
glieder (2, — 4, 16, — 96, 768 usw.) erzeugt, indem man
die Zahlen
— 2, — 4, — 6, — 8, — 10 usw.
fortgesetzt mit sich multipliziert, und die Koeffizienten der
folgenden werden aus den Anfangskoeffizienten abgeleitet, in-
dem man sie bei der dritten Form der Reihe nach mit
2 7 4 ? 6 J 8 ? ^ Uöw.
multipliziert, bei der vierten aber mit
1 3 5 71 ^9_
2 7 '4 7 6 7 8 7 10
USW.
Und die Koeffizienten der Nenner 3, 15, 105 usw. ergeben
sich, indem man die Zahlen
1, 3, 5, 7, 9 usw.
fortgesetzt mit sich multipliziert.
Bei der zweiten Tabelle aber kann man die Reihe der
Kurven der ersten , zweiten , fünften , sechsten , neunten und
zehnten Form mit Hilfe bloßer Division und die der übrigen
Formen mit Hilfe von § 3 und 4 nach beiden Seiten ins Unend-
liche fortführen.
Ja es pflegen sogar diese Reihen bei Änderung des
Zeichens der Zahl rj zu variieren. So wird nämlich z. B. die
Kurve
zu
yUi-l
Vf+ e%n =y.
§. 11. Theorem 8.20)
Es sei ADJC irgend eine Kurve, die die Abszisse AB = %
und die Ordinate BD = y hat, und AEKG eine andere Kurve^
deren Ordinate BE gleich der Fläche ABB der vorigen ist,
dividiert durch die Einheit. AFLC sei eine dritte Kurve,
deren Ordinate BF gleich der Fläche AEB der zweiten ist,
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Abhandlung über die Quadratur der Kurven. 45
dividiert durch die Einheit, ferner AG MG eine vierte Kiirve^
deren Ordinate BG gleich der Fläche ÄFB der dritten ist^
dividiert durch die Einheit, ferner AHNG eine fünfte Kurve,
deren Ordinate BH gleich der Fläche AGB der vierten ist,
dividiert durch die Einheit, und so fort ins Unendliche. Außer-
dena seien J., i?, (7, D, E usw. die Flächen der Kurven,
Vielehe die Ordinaten
und die gemeinsame Abszisse % haben.
Es werde irgend eine Abszisse AG== ^gegeben, und es sei:
BG = t— z = X.
Ferner seien P, 0, i?, /S, jT usw. die Flächen der Kurven,
welche die Ordinaten
y ^ xy ^ x^y, x^y^ x^y usw.
und die gemeinsame Abszisse x haben.
Diese Flächen mögen aber alle an die ganze gegebene
Abszisse A G und ebenso an die ihrer Lage nach gegebene
und unendlich verlängerte Ordinate GJ grenzen.
Dann wird von den zu Anfang angegebenen Flächen:
die erste ADJG :=^ A = P,
die zweite AEKG =tA — B=^Q,
.... .^r ^ f^A — ^tB + G 1 ^
die dritte AFLG = — -*- — = -c.-^?
die vierte AGMG ^ -• = -^- S,
b b
V ,•■ ^. ATTAin t^A--At^B+Qt'^G-4:tD + E 1 ,^^
die fünfte AHNG == -~ = ^-^ T.
24 24
Folgerung.
Wenn sich daher die Kurven, deren Ordinaten:
oder
y^ %y^ z^y^ %^y Vi^-^,
2/, xy^ x^yj x^y usw.
sind, quadrieren lassen, so werden dies aucli die Kurven
ADJG, AEKG, AFLG, AGMG usw.
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46 Newtons
tun, und man hat die Ordinaten
BE, BF, BG, BH usw.,
die den Flächen der Kurven proportional sind.
Zusatz.
Wir haben oben gesagt, daß es bei Fluenten erste, zweite,
dritte, vierte und andere Fluxionen gibt. Diese Fluxionen
verhalten sich wie die Glieder unendlicher konvergenter Reihen.
Es sei z. B, %'^ die Fluente und gehe im Fließen in (ä + ^Y
über. Man lose sie nun in eine konvergente Eeihe auf:
2 b
Das erste Glied dieser Reihe r^'^ wird jene Fluente sein, das
zweite rjoz'^^'^ wird deren erstes Inkrement oder die erste
Differenz sein, zu der, während sie eben entsteht, die erste
Fluxion proportional ist. Das dritte
wird ihr zweites Inkrement sein oder die zweite Differenz, zu
der, während sie eben entsteht, die zweite Fluxion proportional
ist. Das vierte
' L o ö ^ /i — o
6
0^
wird ihr drittes Inkrement sein oder die dritte Differenz , zu
der, während sie eben entsteht, die dritte Fluxion proportional
ist. Und so geht es ins Unendliche fort^i).
Diese Fluxionen können aber durch die Kurvenordinaten
BD, BE, BF, BG, BH usw.
dargestellt werden.
ÄDB\
Wenn z. B. die Ordinate BeI= — - — j die Fluente ist,
so wird ihre erste Fluxion sich wie die Ordinate BD verhalten.
(A TP R\
== - — -— j die Fluente ist , so wird sich ihre
erste Fluxion wie die Ordinate BE verhalten und ihre zweite
Fluxion wie die Ordinate BD.
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Ahbandlung über die Quadratur der Kurven. 47
Wenn HbI= — - — j die Fluente ist, so werden ihre
erste, zweite, dritte und vierte Fluxion sicli bezliglicli wie 5(t,
BF, BE, BD verhalten.
Es kann daher in Gleichungen'^'^), die nur zwei unbe-
kannte Größen enthalten, von denen eine eine gleichförmige
Fluente und die andere irgend eine Fluxion einer andern Fluente
ist, diese andere Fluente durch Quadratur von Kurven gefunden
werden. Es werde nämlich ihre Fluxion durch die Ordinate
BD dargestellt. Wenn dies die erste Fluxion ist, so suche
man die Fläche ÄDB = BEX 1. Wenn es die zweite Fluxion
ist, so suche man die Fläche ÄEB = BFX 1. Wenn es die
dritte Fluxion ist, so suche man die Fläche ÄFB == BGxi
usw. Die gefundene Fläche wird dann die gesuchte Fluente
darstellen.
Aber auch bei Gleichungen 23)^ die eine Fluente und ihre
erste Fluxion ohne eine andere Fluente enthalten oder zwei
Fluxionen derselben Fluente, die erste und die zweite oder
die zweite und die dritte oder die dritte und vierte usw., ohne
eine andere Fluente, kann man die Fluenten durch Quadratur
von Kurven finden. Man habe z. B. die Gleichung:
a'^i) = av -{- v^j
wobei
V = BE, V = BB, z== AB und i = 1
ist. Jene Gleichung wird, wenn man die Dimensionen der
Fluxionen vervollständigt:
a'^v = avz -\-v'^% oder ^- = %.
av + v^
Jetzt fließe v gleichförmig, und seine Fluxion sei ^ = 1.
Dann wird
av
^,2
Quadriert man die Kurve, deren Ordinate -. und deren
av -^ v^
Abszisse v ist, so wird man die Fluente % erhalten.
Ferner habe man die Gleichung:
a^'i) = av -\- v'^^
wobei
V = BF, V = BE, i = BD und z = AB
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48 Newtons
ist. Dann wird man durch die Eelation zwischen v und v
oder BD und BE die Eelation zwischen AB nnd BE finden,
wie bei dem vorigen Beispiel. Dann wird man durch diese
Eelation die Eelation zwischen ^5 und BF finden, indem man
die Kurve AEB quadriert.
Gleichungen, die drei unbekannte Größen enthalten, lassen
sich manchmal auf Gleichungen reduzieren, die nur zwei ent-
halten. In diesen Fällen wird man die Fluenten aus den
Fluxionen finden wie oben. Man habe die Gleichung:
a — bx^^^ = cxySj -j- diß^^y^.
Man setze y^^y = v. Dann wird:
a — bx^^^ == Gxv + dv^.
Diese Gleichung gibt, wenn man die Kurve quadriert, deren
Abszisse x, und deren Ordinate v ist, die Fläche v^ und die
andere Gleichung
y'^y =: V
gibt, wenn man auf die Fluenten zurückgeht,
Daraus erhält man die Fluente y.
Ja sogar bei Gleichungen, die drei unbekannte Größen ent-
halten und sich nicht auf Gleichungen, die nur zwei enthalten,
reduzieren lassen, ergeben sich manchmal die Fluenten durch
Quadratur von Kurven. Man habe die Gleichung:
(ax"^ + bx^^y = rex^'^^y^ -\- sex^'yy^~^ — /i/^S
wobei X = 1 ist. Der letzte Teil
rex'^'~^y^ + sex^'yy^~^ — fyy^
wird, wenn man auf die Fluenten zurückgeht,
f
Das ist also die Fläche der Kurve, deren Abszisse x^ und
deren Ordinate [ax^^ + bx'''^)P ist. Daraus ergibt sich die
Fluente y.
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Abhandlung über die Quadratur der Kurven. 49
Man habe die Gleiclmng:
Ve + fifi
Die Fluente, deren Fluxion
ist, wird sieb wie die Fläche der Kurve verbalten, deren
Abszisse x und deren Ordinate
[ax'^' + hx'')P
ist. Ebenso wird sieb die Fluente, deren Fluxion
Ve + fyn
ist, verbalten wie die Fläche der Kurve, deren Abszisse ^, und
deren Ordinate
ye + fyn
ist, d. h. (nach Fall 1 der vierten Form in der ersten Tabelle)
wie die Fläche:
2d. -—
^jVe + fyn,
2f/
Ich setze also —^V&-^fy'^ gleich der Fläche der Kurve,
rif
deren Abszisse cc, und deren Ordinate (aa;'" + hx^^y ist, und
erhalte dann die Fiuente y.
Man beachte, daß jede Fiuente, die aus ihrer ersten Fluxion
gewonnen wird, um eine beliebige, nicht fließende Größe ver-
mehrt oder vermindert werden darf. Wird sie aus der zweiten
Fluxion gewonnen, so darf sie um eine beliebige Größe ver-
mehrt oder vermindert werden, deren zweite Fluxion Null ist.
Wird sie aus der dritten Fluxion gewonnen, so darf sie um
eine beliebige Größe vermehrt oder vermindert werden, deren
dritte Fluxion Null ist, und so fort ins Unendliche.
Wenn man, nachdem die Fluenten aus den Fluxionen
gewonnen sind, an der Eichtigkeit des Schlusses zweifelt, so
Ostwaläs Klassiker. 164. 4
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50 Newtons Abhandlung über die Quadratur der Kurven.
muß man von den gefundenen Fluenten wieder die Fluxionen
bilden und sie mit den zu Anfang vorgelegten Fluxionen ver-
gleichen. Wenn sie sich nämlich als gleich erweisen, so ist
der Schluß richtig, wenn nicht, so muß man die Fluenten so
korrigieren j daß ihre Fluxionen den zu Anfang vorgelegten
Fluxionen gleich sind. Denn man kann die Fluente auch
beliebig annehmen und die Annahme korrigieren, indem man
die Fluxion der angenommenen Fluente gleich der vorgelegten
Fluxion setzt und die entsprechenden Glieder miteinander ver-
gleicht.
Durch diese Anfänge wird der Weg zu Größerem geebnet.
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^ ^|• ^|• ^|» ^|• ^|» ^|• ^f ^|• »f ^ ^ # # »f ^| # # # *!*
Newtons Leben.
Isaac Neivton ist 1642 auf einem Landgut in Lincolnshire
als Sohn eines Pächters geboren. Er hatte keinen Sinn für
Landwirtschaft, und man erlaubte ihm daher , sich ganz dem
gelehrten Studium zu widmen. 1661 bezog er die Universität
Cambridge und wurde ein eifriger Jünger der Mathematik.
Während Leibniz^ als er in Leipzig studierte, überhaupt gar
keine Gelegenheit hatte, die neueren Fortschritte der Mathematik
kennen zu lernen, fand Newton in Cambridge ganz ausgezeich-
nete Lehrer, die ihn mit den neuesten Errungenschaften der
Wissenschaft bekannt machen konnten. Er studierte Descartes'
Geometrie und Wallis^ Arithmetica infinitorum, und 1663 kam
Isaac Barrow als Professor nach Cambridge, dessen Vorlesungen
Neivton eine Fülle von Anregungen boten.
Barroiv (1630 — 1677) war eigentlich Theologe und hatte
1659 die priesterliche Weihe erhalten. Er betrachtete die
Mathematik als eine Hilfswissenschaft der Theologie. »Um
ein guter Theologe zu sein«, so sagte er, »muß man Chrono-
logie verstehen, welche die Kenntnis der Astronomie verlangt,
die hinwiederum die der Geometrie erfordert«. So kam es,
daß Barroiv Mathematiker wurde, und er hatte das Glück, bei
<einem so hervorragenden Lehrer wie Wallis zu lernen.
Newton nahm an Barrow^ wissenschaftlichen Arbeiten regen
Anteil. Barrow selbst sagt es in seinem Hauptwerk, dem
1669 — 1670 erschienen »Lectiones niathematiGae«^ an verschie-
denen Stellen, daß er Anregungen und Ratschläge von Newton
erhalten habe. Trotzdem kann man mit Sicherheit feststellen,
daß viel Bedeutendes darin Barroiu^ eigenste Leistung ist.
Z. B. hat er schon klar erkannt, daß die beiden heute als
Differentiation und Integration bezeichneten Operationen zu-
einander inverse sind. Ferner können wir nennen seine Behand-
lung des » umgekehrten Tangentenproblems « , womit die Integration
von Differentialgleichungen erster Ordnung gemeint ist. Sicher
war nicht bloß Newton der Anregende. Er wird vielmehr
auch umgekehrt sehr viel von Barroiv gehabt haben. Schon
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52 Newtons Leben.
das umfassende Wissen Barroiv^ , der z. B. auch die Werke
Galileis kannte, muß für den Schüler von unschätzbarem
Wert gewesen sein.
Ein Akt edelster Selbstlosigkeit war es, daß Barroiv^ ob-
wohl er selbst erst 39 Jahre alt Avar, auf seine Professur zu-
gunsten Newtons verzichtete. So sehr fühlte er sich von dessen
Größe überragt. Er wurde wieder Priester und zeichnete sich
später als Prediger aus.
Schon im Jahre 1665 begann Neivton^ produktive Tätig-
keit. Die in Cambridge ausbrechende Pest veranlaßte ihn,
nach seiner Heimat zu gehen. Dort hat er, in der ländlichen
Stille, seine ersten großen Entdeckungen gemacht. Ein beach-
tenswerter Unterschied zeigt sich hier zwischen Newton und
Leibniz. Dieser lebte als Diplomat in der großen Welt. Er
war sein Leben hindurch nach den verschiedensten Kichtungen
in Anspruch genommen und konnte sich nicht in dem Maße
auf die Wissenschaft beschränken wie Newton. Dieser hat,
wie wir sehen werden, erst viel später in der Öffentlichkeit
eine Rolle gespielt, erst dann, als sein wissenschaftlicher Euhm
schon auf den Höhepunkt gestiegen war.
In den Jahren 1665 — 1667 fand Newton die Binomialformel
(für gebrochene positive und negative Exponenten), er begann
seine Fluxionsmethode auszubilden und sie für die Quadratur
der Kurven zu verwerten. Auch die allgemeine Gravitation
scheint er schon damals entdeckt zu haben. Dieselbe Kraft,
die einen Körper zur Erde hinzieht, wirkt auch auf den Mond
und hält ihn in seiner Bahn um die Erde fest. Der Mond,
dessen Entfernung von der Erde sich messen läßt, bot Neivton
eine Bestätigung seiner Theorie. Freilich stimmte das Ergebnis
der Rechnung zunächst sehr schlecht mit den Tatsachen über-
ein. Es lag aber daran, daß der Erdradius nicht genau genug
bekannt war. Als 1672 die Resultate der Ptcar(ischen Grad-
messung vorlagen, hatte man einen genaueren Wert des Erd-
radius, und nun bestätigte sich die iYei^to^iS che Theorie aufs
beste.
Es ist merkwürdig, daß Newton von seinen mathematischen
Entdeckungen nichts veröffentlichte, obwohl er schon damals
einiges schriftlich ausarbeitete. Eine solche Ausarbeitung hat
er (vierzig Jahre später!) in der 1704 erschienenen Quadratura
eurvarum verwertet, die wir hier deutsch herausgeben. Auch
die Abhandlung » De analysi per aequationes numero terminoruni
mfinitasi, die er schon 1665 niederschrieb, blieb unveröffent-
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Newtons Leben. 53
licht. Sein Lehrer Barroiv^ dem er das Manuskript vorlegte,
gab es an Gollins ^¥eiter, und dieser sollte für die Bekannt-
machung sorgen. Leihniz hatte 1676 bei seinem Londoner
Aufenthalt Gelegenheit, dieses Manuskript zu sehen. Es blieb
dann aber noch fast vierzig Jahre ungedruckt. Neiuton^ mathe-
matisches Hauptwerk, die »Methodus fluxiomim et serierum
mfinitarwn« erschien überhaupt erst nach seinem Tode. Es
handelt sich hier um eine Char akter eigentümlichkeit Newtons,
der einem öffentlichen Auftreten abgeneigt war und nicht gern
mit andern zusammen dasselbe Gebiet bearbeitete. Auch als
er 1689 als Vertreter der Universität Cambridge ins Parla-
ment gekommen war, hat er dort niemals das Wort ergriffen.
Nur einmal, so wird erzählt, soll er es doch getan haben,
aber nur, um den Diener zu bitten, ein Fenster zu schließen.
Seinen großen Namen in der Wissenschaft verdankt Neioton
einem Werk, das nicht rein mathematisch ist, nämlich den
1686 — 1687 veröffentlichten >y Philosophiae naturalis principia
mathematica«. Auch dieses Werk ist nur durch die Mit-
wirkung anderer an die Öffentlichkeit gelangt. Neivton selbst
hätte es vielleicht nie erscheinen lassen. Der Astronom Halley
überredete ihn, das Werk zu schreiben, und bezahlte sogar die
Druckkosten. Während des Druckes machte Newton noch
Schwierigkeiten, weil ihn der bereits veröffentlichte Teil in
eine Polemik mit dem Physiker Hooke verwickelte.
Obwohl es feststeht, dass die meisten Ergebnisse der
»Prinöipia^ mit Hilfe der Fluxionsrechnung gefunden sind, hat
Newton es doch vorgezogen, alles in der Sprache der gewöhn-
lichen Mathematik auszudrücken. Es ist aber leicht, es wieder
in die Sprache der Infinitesimalrechnung zurückzuübersetzen.
Übrigens finden sich in den »Principia« Bemerkungen über
die Fluxionsmethode, von denen weiter unten in Anm, 3 einiges
mitgeteilt ist. Aber nicht einmal ein Symbol für die Fluxion
wird eingeführt.
Was Newton zurückgehalten hat, bei dieser so überaus
günstigen Gelegenheit die Fluxionsmethode ausführlich ausein-
anderzusetzen und ihre Tragweite durch die Fülle wichtiger
Anwendungen, die sich hier boten, darzutun, ist nicht recht
zu erkennen.
Man kann zwei Gründe vermuten. Einer ist der, daß es
ihm wohl hauptsächlich darauf ankam, den Inhalt der »Princijna«
möglichst leicht zugänglich zu machen und das Verständnis
nicht durch eine neue Methode zu erschweren. Der andere
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54 Newtons Leben.
Grund ist der, daß Newton in den Grundbegriffen der Fluxions-
reclmung noch gewisse Unklarheiten empfand, die er nicht zu
überwinden vermochte, und die in der Tat auch erst viel später
ganz beseitigt worden sind.
Man kann fragen, warum Neivton in den »Principia« über-
haupt von der Fluxionsrechnung gesprochen hat, wenn er sie
doch nicht anwenden wollte. Vielleicht war es sein Wunsch
(wie i¥on^:^ Gantor sagt), »eine gedruckte Äußerung zu schaffen,
auf die er sich später einmal zur Datierung beziehen konnte«.
Er nahm deshalb auch Veranlassung, seine Beziehungen zu
Leibniz darzulegen, der inzwischen (1684) die Differential-
rechnung veröffentlicht hatte (vgl. Bd. 162 dieser Sammlung)«
Wir meinen das berühmte Scholion, das auch in der zweiten
Auflage der »Princijna« im wesentlichen unverändert abgedruckt
wurde (1713). Dieses Scholion lautet so:
»In Briefen, die ich vor etwa 10 Jahren*) mit dem sehr
gelehrten Mathematiker O. W. Leibniz wechselte, zeigte ich
demselben an, daß ich mich im Besitze einer Methode befände,
nach der man Maxima und Minima bestimmen, Tangenten
ziehen und ähnliche Aufgaben lösen könne, und zwar lasse
sie sich ebensogut auf irrationale wie auf rationale Größen
anwenden. Indem ich die Buchstaben der Worte**), die meine
Meinung aussprachen, versetzte, verbarg ich dieselbe. Der
berühmte Mann antwortete mir darauf, er sei auf eine Methode
derselben Art verfallen, die er mir mitteilte, und die von der
meinigen kaum weiter abwich als in der Form der Worte und
Zeichen « .
In der zweiten Auflage wurde noch darauf hingewiesen,
daß Leihni% und Neivton sich die Größen in verschiedener
Weise entstanden denken. Es ist in dem obigen Scholion
mit klaren Worten zugegeben, daß Leibniz ganz unabhängig
von Newton seine Differentialrechnung erfunden hat. Und es
wird auch gesagt, daß Leibniz sich ganz offen über seine
Methode aussprach, während Newton sie noch geheim hielt.
In der dritten Auflage der »Principia«^ die 1726, also nach
Leibniz' Tode erschien, findet man das Scholion nicht mehr.
An seine Stelle ist vielmehr folgende Bemerkung getreten***):
*) Gemeint ist das Jahr 1676.
**) Die Worte lauten: Data aequatione quotcunqiie fluerdes in-
volve7%te fluxiones invenire et vice versa.
***) Wir zitieren (wie auch vorhin) nach Morit% Cantor.
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Newtons Leben. 55
»In einem an unsern Landsmann Collins gerichteten Brief vom
11. Dezember 1672 beschrieb ich eine Methode der Tangenten^
die meiner Vermutung nach mit der damals noch nicht veröffent-
lichten Methode von de Skose identisch sei. Ich fügte folgende
Bemerkung hinzu: Dies ist ein besonderer Fall oder vielmehr
ein Zusatz zur allgemeinen Methode, die sich auf jeden mühe-
vollen Kalkül erstreckt, nicht nur auf die Konstruktion von
Tangenten an alle geometrischen oder mechanischen Kurven
oder von auf andere Kurven sich beziehenden geraden Linien,
sondern auch auf die Lösung anderer schwieriger Aufgaben
über die Krümmung, Quadratur, Rektifikation, die SchAver-
punkte der Kurven u.s.w., und sie beschränkt sich nicht (wie
die Methode von Hudde für Maxima und Minima) auf diejenigen
Gleichungen, die frei von irrationalen Größen sind. Diese Methode
habe ich jener andern eingefügt, nach der ich die Gleichungen
behandle, indem ich sie auf unendliche Eeihen zurückführe.
So weit jener Brief. Die letzten Worte beziehen sich au.f eine
Abhandlung, die ich im Jahre 1671 über diesen Gegenstand
geschrieben habe«.
Leihniz wird hier ganz mit Stillschweigen übergangen.
Zwischen der ersten und dritten Auflage liegt der uner-
quickliche Prioritätsstreit zwischen Neivton und Leibniz^ der
1699 anfing und bis zum Tode Leibnizens (1716) und darüber
hinaus dauerte. Auch nach dem Tode des Gegners hörten
die Anhänger Newtons nicht auf zu kämpfen. Erst im 18. Jahr-
hundert ist durch die Untersuchungen Gerhardte festgestellt
worden, daß Leibniz ganz unabhängig von Neivton seine Diffe-
rentialrechnung erfand und weiterbildete.
Der Streit zwischen Neivton und Leihniz hat auch eine
politische Seite. Leibniz gehörte zu den Diplomaten, die dem
hannoverschen Fürstenhause die Erbfolge in England zu wahren
suchten und mit ihren Bemühungen auch Erfolg hatten. Neivton
war im englischen Parlament Mitglied der Partei der Tories,
die diese hannoverschen Ansprüche nicht gelten lassen wollten
und aufs entschiedenste bekämpften. Jedenfalls trug dieser
politische Gegensatz zwischen den beiden großen Männern zur
Verschärfung ihrer Feindschaft bei. Newton hat übrigens in
dem ganzen Prioritätsstreit nie selbst öffentlich das Wort er-
griffen. Seitdem er 1696 an der Londoner Münze eine Stellung
erhalten hatte und 1699 zum Münzmeister ernannt worden war,
hatte er nicht mehr Zeit genug, die Ereignisse in der wissen-
schaftlichen Welt genau zu verfolgen. Seine große Zurück-
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56 Newtons Leben.
haltung darf man wohl nicht als Hochmut auslegen. Denn
wir wissen, wie bescheiden Neivton sonst war, wie er alle
seine großen Entdeckungen mit Muscheln verglich, die ein
Kind am Ufer des Meeres findet, das unerforscht und geheim-
nisvoll vor ihm liegt. Wir wissen auch, daß er 1693 eine
Krankheit durchzumachen hatte, die seine geistigen Kräfte stark
herabsetzte. Vielleicht wird dadurch manches Befremdliche in
Newtons Verhalten begreiflicher.
Seit 1703 war Newton Vorsitzender der Royal Society.
Er wurde jedes Jahr wiedergewählt. 1705 erhob die Königin
ihn in den Ritterstand. Er starb 1727.
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Aiimerlmiigen.
1) Zu S. 3. Newton will sich hiermit offenbar in Gegen-
satz zu Leihniz stellen, der schon 1684 seine Differential-
rechnung veröffentlicht hatte. Es lag aber Leibniz keineswegs
fern, die Größen als etwas Fließendes zu betrachten. Er sagt
in seiner Arbeit von 1684 an einer Stelle folgendes:
»Der Beweis alles dessen (nämlich der Differentiationsregeln)
wird für einen in diesen Dingen Erfahrenen leicht sein, wenn
er den bisher nicht genug erwogenen Umstand beachtet, daß
man die dx, dy ^ dv^ dw, dz als proportional zu den augen-
blicklichen Differenzen, d. h. Inkrementen oder Dekrementen,
der x^ y, v^ w^ % ... betrachten kann«.
Dem liegt doch augenscheinlich die Vorstellung zugrunde,
dass alle Größen Funktionen der Zeit sind. Das aber ist
gerade der 'Newton^^^ Standpunkt. Möglicherweise ist Leib^iiz
hier von Newton nicht unabhängig.
2) Zu S. 4. GET ist in der Grenze das, was Leibniz
das triangulum characteristicum inassignabile nennt. Dieses
Dreieck hat auch schon Pascal betrachtet, und Leihniz lernte
es beim Studium Pascah kennen. VBG ist Leihniz&n.^ triangulum
characteristicum assignahile.
3) Zu S. 4. Die »letzten Verhältnisse« passen besser zu
unserer modernen Definition des Differentialquotienten als des
Grenzwerts eines Verhältnisses. Auch im ersten Buch der
Newto7i^(ih.Qn -»Princiioia« finden sich Andeutungen über die
Fluxionsrechnung*). Dort sieht man, wie schwer es Neivton
wird, den Begriff »letztes Verhältnis« einwandsfrei darzulegen.
In einer Anmerkung am Schluß des ersten Abschnitts heißt es**).
»Man kann den Einwand machen, daß es kein letztes Ver-
hältnis verschwindender Größen gebe, indem dasselbe vor dem
*) Die Bezeichnuüg x gebraucht Neivton hier noch nicht.
**) Wir entnehmen die Übersetzung Cantors Geschichte der
Mathematik.
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58 Anmerkungen.
Verschwinden nicht das letzte sei, nach dem Verschwinden aber
überhaupt kein Verhältnis mehr stattfinde. Aus demselben
Grunde könnte man aber behaupten, daß ein nach einem
bestimmten Orte strebender Körper keine letzte Geschwindig-
keit habe; diese sei, bevor er den bestimmten Ort erreicht
hat, nicht die letzte, nachdem er ihn erreicht hat, existiere
sie garnicht mehr. Die Antwort ist leicht. Unter der letzten
Geschwindigkeit versteht man weder diejenige, mit welcher der
Körper sich bewegt, ehe er den letzten Ort erreicht und die
Bewegung aufhört, noch die nachher stattfindende, sondern in
dem Augenblick, wo er den Ort erreicht, ist es die letzte
Geschwindigkeit selbst, mit der der Körper den Punkt berührt,
und mit der die Bewegung endigt. Auf gleiche Weise hat
man unter dem letzten Verhältnis verschwdndender Größen das
zu verstehen, mit dem sie verschwinden, nicht aber das vor
oder nach dem Verschwinden stattfindende. Ebenso ist das
erste Verhältnis entstehender Größen das, mit dem sie ent-
stehen. ... Es gibt eine Grenze, die die Geschwindigkeit am
Ende erreichen, nicht aber überschreiten kann; dies ist die
letzte Geschwindigkeit. Dasselbe gilt von der Grenze aller
anfangenden und aufhörenden Größen und Proportionen. Da
diese Grenze fest und bestimmbar ist, so ist es eine wahrhaft
geometrische Aufgabe, sie aufzusuchen«. Etwas später heißt
es dann:
»Jene letzten Verhältnisse, mit denen die Größen ver-
schwinden, sind in Wahrheit nicht die Verhältnisse der letzten
Größen, sondern die Grenzen (limites), denen sich die Verhält-
nisse der unbegrenzt abnehmenden Größen jedesmal nähern,
und an die sie näher heran können, als irgend eine gegebene
Differenz es ausdrückt. . . .«
Neivtmi zieht noch die unendlich zunehmenden Größen
heran, um die Sache klarer zu machen.
4) Zu S. 7. Das ist das Problem der Integralrechnung.
5) Zic S. 7, In den »Principia« hat Neivton diese Bezeich-
nungsweise noch nicht angegeben. Er scheint nicht so großen
Wert auf gute Bezeichnungen gelegt zu haben wie Leihiiz.
6) Zit S. 8. Es wird hier zwischen cc, ^, z^ ... eine
algebraische Gleichung
f{x^ y^ z, . , ,) = IScx'^yi^rJ . . .
angenommen und gezeigt, wie man diese differenziert. Das ist
ein sehr spezielles Problem, das auch vor Leibniz und Newton
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Anmerkungen. 59
verschiedentlich behandelt wurde. In der »vollständigen Er-
klärung« betrachtet Neivton den Fall, daß zwischen x^ y, %, . . .
noch eine andere algebraische Relation besteht. Er bespricht
dort auch die mehrfachen Differentiationen.
7) Zit S. 11. Es wäre falsch, in dieser neuen Gleichung
% als eine beliebige (nicht gleichförmige) Fluente zu betrachten.
Dies wird Newton auch selbst für unerlaubt gehalten haben.
Solange die Fluenten a;, y^ %^ . . . allgemeiner Natur sind,
wird bei den aus f{x^ y, z, ,..)=: durch Differentiation
entstehenden Gleichungen das Homogeneitätsgesetz Neivton^
gelten (wonach die Anzahl der Pünktchen in den einzelnen
Gliedern immer dieselbe ist, vorausgesetzt, daß man alle Potenzen
in ihre Faktoren auflöst). Um dies Gesetz auch im Falle, daß
eine Fluente % gleichförmig ist, noch zu haben, denkt sich
Neivton überall Faktoren % in geeigneter Anzahl hinzugefügt. An
andern Stellen seiner Schriften greift er sogar, um eine in
seinem Sinne inhomogene Differentialgleichung homogen zumachen,
zu einer Fluente, die gar nicht in dem Problem auftritt, also
eigentlich völlig bedeutunglos ist. Das ist eine Unklarheit.
Man weiß jedenfalls nicht, was Neivton sich dabei gedacht hat,
8) Zu S, 14. Neivton^ Verfahren besteht darin,
wo
ist, auf die Form
Ä, A (^e-Ri) + j^ iL i^^s-^nRA + A^ 1, (^ + ^nB^-) + . . .
zu bringen. Nun findet man
{^==0, 1, 2, ...).
Der Koeffizient von z^'~^R^'^^z'^^i in
lautet also:
n
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60 Anmerkungen.
Er muß gleich a,, sein, so daß man die Gleichungen
Q
^ A,{& + rri + [q- r)A//}co-r = a,, [q ^ 0, 1, 2, . . .)
zu schreiben hat. Aus ihnen ergeben sich der Reihe nach
Äq^ J.i, ^2, . .., vorausgesetzt, daß keine der Zahlen
Oo,, (^ + r;)co, {^ + 2rj)c,, ...
JSluU ist.
9) Zu S. 15. Sollen alle A (in Anm. 8) mit Ausnahme
von A^ verschwinden, so muß sein
Diese Bedingung ist erfüllt, wenn der Ausdruck:
vorliegt. Hier ist nämlich:
Cq =^ k, Ci = 0, C2 = — h cg = m (alle andern g gleich Null),
^Q =:3/c, % = 0, €12 = — h ^h = (alle andern a gleich Null),
Ferner hat man:
1
also
= —
3
Y'
.=-
4 +
1
(
»+
Qhy.
= —
I+.
1 _
2 ""
i_
— 3
2
die Gleichungen
A(^ +
qH
Cg =
«,, (q
= 0,
1,
2,
lauten daher:
A
)(?-
- 3)c, =
2a^).
Für () = 3 und ^ > 3 verschwinden beide Seiten, ebenso für
^ = 1. Für ^ = und ^ = 2 erhält man:
— 3A^k = 6Ä;, A^l = — 21.
Man muß also ^o = — ^ nehmen und hat dann:
-pjii^_2z ■'{k-lz'^ + mz^)^:=^ — 2y'
z^
10) Zu S. 16. In dem Integral der Funktion treten dann
sicher Logarithmen auf. Dies kann aber auch der Fall sein,
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Anmerkungen. 61
AYenn der x»Ienner nur mehrfaclie Wurzeln hat. Übrigens liatteii
Leibniz und BernouUi schon 1702, also zwei Jahre vor dem
Erscheinen der vorliegenden Newton^ohQn Schrift allgemein ge-
zeigt, wie man eine rationale Funktion integriert, ihr Nenner
mag beschaffen sein, wie er will. Hier haben wir einen Fall,
wo Leihniz einen wichtigen Fortschritt ganz unabhängig von
Newton gemacht hat. Denn Newton weiß 1704 noch nicht,
wie man eine beliebige rationale Funktion integriert.
11) Zu S. 17. E ist der größte gemeinsame Teiler des
Nenners und seiner Ableitung.
12) Zu S. 17. Es kommt nur dann ein Eesultat in end-
licher Form heraus, wenn die rationale Funktion die Ableitung
einer andern rationalen Funktion ist. So ist auch das Beispiel
gewählt.
13) Zu S. 19. Dieses Theorem steht in genau derselben
Beziehung zu Theorem 2, wde Theorem 3 zu Theorem 1. Es
handelt sich um eine Funktion von der Form
wobei
-ß = Co + q-^' + G'i^'' + •••, ^ = d^ + dt%'^ + ch^^n + ...
ist. Das Neivtonsohe Verfahren besteht darin, die angegebene
Funktion auf die folgende Form zu bringen:
Jo 4- (^''^'^^' ^'') + ^1 -4~ (z'^-^'^B'S^^) +Ä2'f- [7ß-^'^nW^ ,S.") + » . .
ÜjXi dX/ €{}%
Nun ist
d%
Dieser Ausdruck wird, wenn man von dem Faktor z^~^ E^'~^
S'^"--^ absieht, eine Potenzreihe in ^'^, die mit z'^'^ anfängt, und
z^'' hat den Koeffizienten (-^ + ^^) <?o^Oj ^s wird also
CIZ
wo die f sehr leicht zu berechnen sind. Der Koeffizient von
z^'^ in
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62 Anmerkungen.
Jo 4~ («^-ß'-S^") + -^1 t: («^■+''ä'-S") + ^2 i («•''+2''Ä'-Ä") H
wird offenbar lauten:
Er muß gleich a,^ sein, so daß man folgende Gleichungen hat:
■Ao[^ + Q^]]0A + -^o-lA-l. 1 H \- Ahn = Ct„
[Q - 0, 1, 2, . . .).
Aus ihnen lassen sich A^^ J.^, Ä^^ ... der Reihe nach be-
stimmen, vorausgesetzt, daß keine der Größen
Null ist.
14) Zu S, 20. Der nächste Fall wäre der, daß die zu
integrierende Funktion die folgende Form hat:
wobei R^ S^ T gleich:
eo+c^z^i+C2Z^^i-\-'-, ^o+^p^''+4^'^'''+---, eo+ßi-'^+ß2-''''+---
sind. In diesem Falle müßte man die vorgelegte Funktion
auf die Form
Cv aj Co äj Cv /v
bringen.
15) Zu S. 21. Es wird hier (um es etwas anders als
Neiüto7i auszudrücken) bewiesen, daß im Falle eines trinomi-
schen i?,
11:==: 6 + f%n -j- g%^\
zwischen den Integralen
J %'^-^m-^clz , J z^'rn-^m-Hz, 1 z^'r^'-n-^B^-Ulz
eine Relation von folgender Form besteht:
p^z^^-^li^-H.z + qlz^-^^i-^R^-Hz-^-r^z''-^'^^-^^^
Durch Differentiation ergibt sich in der Tat:
.Af-ijii-\^jy + qz'i + rz^n)
= z^-^m-^[d'e + [d' +- lrj)fz^i + iß' + 2h^)gz^n],
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Anmerkungen. 63
Es genügt also
p = Se, q = {&+X,^)f^ r = {d^ + 2lrj)g
zu setzen.
16) Zit S. 22. Es ist nicht klar zu verstehen, was Neioton
hier meint. Wahrscheinlich will er sagen, daß z. B. im Falle
^ _j_ 2^7] = nicht von
A = Sz''-^E'-H% , B = Iz^-'r'^-^U^-Hz
ausgegangen werden kann, weil sich dann
nicht aus der Formel
pÄ-\-qB-i-rC=z'>R^
berechnen läßt, während in diesem Falle B und G als Anfangs-
glieder zu brauchen sind.
17) Zu S. 23. j9, g, a, b werden das eine Mal so be-
stimmt, daß
wird, das andere Mal so, daß
p^z'^-^R^dz+qi z^-^'i-^R-dz-\-az^B/'+bz''-^'iR^=: J z'^~^R^-hlz
wird. Aus zwei Integralen, in denen R^ steht, werden auf diese
Weise Integrale berechnet, in denen jß^"^ steht.
18) Zu S. 25. R und 8 seien z. B. Binome, also:
R=: e+ fz\ B = k+lz'i.
Dann lassen sich zunächst ^, q^ r so bestimmen, daß
A = lz^-^R'-^S!'-Hz, B =- Iz^'m-^E^-^S^'-Hz,
G = Sz^-'r^n-^R^-^S^'-Hz
die Gleichung
pA + qB + cG = z^R^^S!'
erfüllen. Durch Differentiation ergibt sich nämlich
-= z^^'^m-^S-^URS+lSz'^ + LiRz -^\
\ dz dzj
zz^-^R^-^S^-'^{dek+[(d^ + l.iri)le + (^ + lr])fk]zn + {^
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64 Anmerkungen.
Man braucht also nur
zu nehmen.
In ähnlicher Weise überzeugt man sich von der Richtigkeit
der übrigen Behauptungen des Theorems.
19) Zu S. 25. Aus du = dv folgt zunächst nur ic — v ^=
Konst. In den einzelnen Folgerungen des Theorems 7 führt
Newton neue Veränderliche in Integrale ein. Es sind aber
nur spezielle Fälle, die er behandelt.
20) Zu S. 44, Neiüton geht hier von einer Funktion f{%)
aus und bildet der Reihe nach:
Ferner setzt er
A = iVw d%, B^ l %f[z) dz , C = I ä;2 /•(*) cU, ...
und außerdem
P=lf[%)dx, Q = {{t-z)f{z)dz, B^({t-,^^mdz, ...;
t ist eine gegebene Abszisse.
Der Beweis der von Neivton in Theorem 8 angegebenen
Formeln gelingt durch partielle Integration.
Z. B. wird die Formel
Fläche AEKG = tÄ — B = Q
so bewiesen. Man hat
Fläche ÄEKG= i f^{z)d% = (^AW) — i^fi'{^)dz
oder, da
f,(t) == i f{z)dz und A'{z) = flz)
ist,
Fläche ÄEKC =tA — B,
Andererseits ist aber:
t t t
= J (2J — z)f[%]d% = 1 5 f[%)d% — 5 zf[%]d% = tÄ — B.
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UNIVERSITY OF MICHIGAN
16 1944
Nr.l24. H. Helmholtz, Abhandlungen zur The
von Max Planck. (84 S.) J/ 1.40.
» 127. Jean Baptiste Josepli Baron Fonriei 3 901 5 05'
Gleich. (Analyse des equatlons determince».; yi-y u. äux/p.; t/^i' *. — ^
> 129. Johann Friedrich Pf äff, Allgemeine Methode, partielle Differential-
gleichungen zu integriren. (1815.) Aus dem Lateinischen übersetzt
und herausgeg. von Gerhard Kowalewski. (84 S.) J^ lÄO.
» 130. N.J.Lohatschefskij,Pangeometrie.(Kasanl856.)Übers.u,herausgeg.
von Heinrich Liebmann. Mit 30 Textfiguren. (95 S.) e// 1.70.
> 133. J. H. Lambert, Bahnbestimmung der Cometen. Herausgegeben von
J. Bauschinger. Mit 35 Textflguren. (149 S.) Ji 2Ä0.
» 135. C. F. Ganss, Theorie der Gestalt von Flüssigkeiten im Zustand des
Gleichgewichts. (1829.) Übers, v. Rudolf H. Weber. Herausg.
V. H. Weber. Mit 1 Textflgur. (73 S.) J^ 1.20.
» 138. Christian Hnygens, Bewegung der Körper durch d. Stoß. Centri-
fugalkraft. Herausgeg. von FelixHausdorff. Mit 49 Textfiguren.
(79 S.) e//1.40.
» 141. J. F. Encke, Über die Bestimmung einer elliptischen Bahn aus drei
vollständigen Beobachtungen. — P. A. Hansen, Über d. Bestimmung
der Bahn eines Himmelskörpers aus drei Beobachtungen. Herausg.
von J. Bauschinger. (162 S.) .//2.50.
» 143. C. Sturm, Abhandl. über die Auflösung d. numerischen Gleichungen.
(1835.) Aus dem Französischen übersetzt u. herausgeg. v. Alfred
Loewy. (66 S.) Ji 1.20.
»144. Johannes Kepler, Dioptrik. (Augsburg 1611.) Übersetzt und
herausgeg. v. F e r d i n a n d P 1 e h n. Mit 43 Textflguren. (1 14 S.) J^ 2. — .
»146. Joseph Lonis Lagrange, Über die Lös. d. unbestimmten Probleme
zweiten Grades. (1768.) Aus dem Französischen übersetzt und
herausgeg. von Eugen Netto. (131 S.) e// 2.20.
» 151. L. Poinsot (1809), A. L. Cauchj (1811), J. Bertrand (1858),
A. Cayley (1859), Abhandlungen über die regelmäßigen Sternkörper.
Übersetzt und herausgegeben von RobertHaußner. Mit 58 Figuren
im Texte und in den Anmerkungen. (128 S.) e/^ 2.80.
> 153. Bernard Bolzano, Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, daß
zwischen je zwey Werthen , 'die ein entgegengesetztes Resultat
gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege. —
Hermann Hankel, Untersuchungen über die unendlich oft oszil-
lierenden und unstetigen Funktionen. Herausgegeben von Philip
E. B. Jourdain. (115 S.) J^ 1.80.
> 155. Quintino Sella, Abhandlungen zur Kristallographie. Herausgeg von
F. Zambonini in Neapel. Mit 8 Fig. im Text. (44 S.) e/^ — .80.
» 156. C. G. J. Jacohi, Neue Methode zur Integration partieller Differential-
gleichungen erster Ordnung zwischen irgend einer Anzahl von Yer-
änderlichen. Herausgegeben von G. Kowalewski. (2278.)«^ 4. — .
» 162. Leihniz Analysis desUnendlichen. Aus d. Latein, übers, u. herausgeg.
von Gerhard Kowalewski. Mit 9 Textflguren. (84 S.) J^ 1.60.
> 164. Newtons Abhandlung über die Quadratur der Kurven (1704). Aus
d. Lateinischen übersetzt und herausgegeben von G. Kowalewski.
Mit 8 Textflguren. (66 S.) J^ 1.50.
» 165. Johannes Kepler, Neue Stereometrie der Fässer, besonders der
in der Form am meisten geeigneten österreichischen, und Gebrauch
der kubischen Yisierrute. Mit einer Ergänzung zur Stereometrie
des Archimedes. (1615.) Aus d. Latein, übers, u. herausgeg. von
R. Klug. Mit 29 Textflguren. (130 S.) ^ 2.60.
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