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Full text of "Nouveaux elemens d'arithmetique et d'algebre, ou, Introduction aux mathematiques"

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33 


1- 


i^ 


\ 


N  'I 


kf^ 


Î^OUVEAUX  EL E MENS 

D'ARITHMETIQUE 
ET    D'ALGEBRE' 

INTRODUCTION 

AUX 

MATHEMATIQUES. 

'jj^^tcr  i > 

txr-'ll.  DE    LACNT  ,    de  rAudmic 

Royale  det  Sciences,  ~ 


A      PARIS,  -" 

j          Chez  JiAK     JoMBERT.  prés  dcsAuguftins," 
[  d  l'Image  Nâtce-Dame. 

>  M.    D  c    xc  viT     ^~£ 

f  AVEC   IKirihEOf.    DV  KOr. 


»,  f 


.\ 


    MONSEIGNEtTR 


LE  CHANCElIER- 


lONSEIGf/EVR. 


Lu.  fnteliion  A/Ht  VÔTRE 
Grandeur  honore  la  jins 
&  les  Sciences ,  fonrmt  en  quel- 
que  manière  jujiijier  U  hberte  que 
je  frens  de  Ihj  offrir  ces  nom/el- 
les Jicoitvertes  fur  divers  fitjett 

'     334684 


EPISTRE. 

Ide'  .Mathématique  s^  de  Phyjt- 
^e  s  mais  outre  cette  raifon  gé- 
nérale je  m  y  trouve  engagé  par 
V attachement  particulier  que  fay 
a  y^otre  lUuJlre  Maijon  j  ^  qui 
nia  donné  lieu  de  confacrer  à  ton 
fervice  ce  que  je  puis  avoir  de 
lumières  &  d*experience  fur  ces 
matières. 

La  France  a  veu  depuis  deux 
Jtécles  fes  Chanceliers  prefque  auf- 
fi  ^ppliq^^Z  à  faire  fleurir  les 
Sciences  que  la  Jujtice  ;  mais  au- 
cun de  ces  grands  hommes  ne  la 
fait  avec  plus  i éclat  que  VÔTRE 
ÇsLÀJ^^pEUÏ?..  A  peine  fûtes 
njo^^  élevé  à  cefte  dignité  fupre- 
me  que  vous  donnâtes  vos  ordres 
pour  que  des  gens  hahiles  trayaiU 
lajfent  a:  l'puyrage  le  plus  utile 
qui  ait  parif  j  0"  donp  le  dejfein 


k. 


EPISTRE. 

ayant  été  (tahôrd  formé  à  Park^, 
a  fcrvi  enfmtc  de  modèle  à  fous 
les  fais  étrangers.  Cet  .Ounjrage 
a  et^  ^  rétabli  par  "Vos  foin^  dans 
fon  ancienne  réfutation  i  ^   èeft 

à  Vous MONSEIGNEVK, 

{jjUe  te  fuUic  efi  redevable  de  cet^ 
te  connoiffance  exaéh  c^  généra-- 
le  quon  luj  donne  de  ce  que  l'Euu 
rope  Sçavante produit  tous  les  jours 
de  nouveau.  •      ' 

Votre  honte  en  faveur  des  gens 
de  Lettres  a  été  encore  plus  loin; 
tous  ceux  mi  fe  font  àflingueT 
par  leurs  fçavoir  ^  tar  leurs  f- 
crits^  ont  fend  les  effits  de  Votrte 
puisante  proteSîion  ;  (sr  ils  ont 
hé  prévenus  (^  comhleT  dt  ces 
grâces  dont  Sa  Majesté' 
vous  a  fait  le  fidèle  dépoptaire. 

Ce  f croit  rn  écarter  de  mon  fu jet 

a  iij 


EPISTRE. 

f  fentireprenofs  içy  de  'Vomt(mer, 
par  tOHS  les  endroits  qui  njOHf 
ont  attiré  l'efiime  du  Prince  j  ^ 
l'admiration  de  [es  Sujets  ;  mais 
je  ne  puis  refufer  à  mm  T^le  de 
twçher  au  moins  une  partie  de 
sef  ^andes  qualité^,  dont  Votre 
modefiie  e3r  mon  refpeB  m'empêf 
aient  dt  faire  l'éloge. 

La  nature,  ï étude.  Inexpérience, 
eîT  U  Heligion  ont  concouru  pour 
firmeren  votre  perfonne  unMa- 
gifirat  accompli,  La  nature  vous  a 
wnné  de  grands  talens  ,  l'étude  a 
étendu  vos  eonnoijfances  j  l'expe^ 
nence  vous  ajhumi  de  nùuveUes 
lumières  ,&la  Religion  à  laquel*- 
le  on  vous  a  toujours  veu  fifideU 
temem  attaché  ,  les  a  confacréet 
au  bien  général  de  l'Etat.  Votre 
tfprit  également  vaflc  ^  folide 


E  P  I  s  T  R  E. 

tntn  dam  les  plus  impartantes  df" 
fdrei  ^  ^  àefcenà  en  même  tenu 
Àmi  les  flu^f^ts  détails.  Il  em-t 
krajfs  àjafiis  une  infinité  de  dif" 
ferens  objets  fans  lef  mêler  ni  ht 
«onjimère.  Tout  ala  fe  trowvefm» 
ténu  dtm.  jmd  de  probité  (^  de 
droiture  j  ver^fi  neceffùrefà  ceux 
que  la  providence  a  defiineZ  peur 
faire  régner  l'équité  dans  les  tri' 
hunaux.  Voui  d^nneT  un  libre 
occeTaux  foires  &  aux  malheu- 
reux. Vouf  écouteZ  leurs  plaintes, 
Vous  (ompatifj'eTÀ leurs ièplMfirs, 
Cjr  vous  les  cor^oleTparteJpe- 
ramx,o^  dune  prompte  jufiise ,  ou 
dune  meilleure  firtune, 

Dofis  combien  de  grandes  Char- 
ges »  dattf  <^ls  Emplois  de  àfiinr 
iUon  na/veTyous^ point  fait  parQU 

^  0'  ^o(  tdem  fHf*  vos  vertutt 

i<     •  •  •  • 

a  iiij 


EPI  STRE. 

ièmilant   h  droit  des  particuliers^ 
faifanf  régner  l'abondance  ç^  ïor-^ 
dre  dans  les  Armées  >  reformant 
far  tout  les  ahm  f^  donnant  le 
repos  aplufieurs  Provinces  ?|  quel 
mérite  plus  foûtenu  j  plus  confiait 
que  le  votre  j  (^  plus  générale- 
ment applaudi  !  On  vous  a  veu 
toujours  égal  a  vous  même  dans 
les  tems  les  plus  difficiles  ;  toujours 
aéiifj  vigilant  ^  infatigable^  incor^ 
ruptible;  toujours  au  dejfus  de  vas 
Emplois.  Tout  au  Prince  par  votre 
^le  j  tout  au  peuple  par  vatrc 
honte. 

Faut -il  donc  s^ étonner  que  te 
Roy  vous  ait  honoré  defon  choix^ 
lorjquil  voulut  remplir  le  pcfte 
iminent  que  vous  occupe?  au  jour-- 
A'hwy  f  quelle  glaire  3! être  élevé  à 
la  première  dignité  d'un  Rojaunie 


epistre;  ^ 

fflofiffantj  &À'y  être  éU'véfdrU 
choix  d'un  Prince  toujours  guidé 
par  la  ftgejji\  ^  Cous  le  refne  du- 
(jf^l  les  pondes  Â^teTjont  des 
preuves  certaines  du  ^and  méri- 
te ^  CH^  les  plm  glorieufes  recom- 
penfes ,  le  prix  ajfuré  de  la  plus 
haute  vertu  ! 

Les  marques  fenjtbles  que  ce 
Grand  Roy  vous  a  tant  de  fois  don^' 
né  de  fon  efiime  (^defa:  canfian- 
ce^  C^  les  nouveaux  témoignages 
que  vous  veneT  den  recevoir, 
doivent  être  conJidereT ,  comme  de 
nouveaux  accroijjèmens  de  gloire 
four  vous  s  &  ils  font  d autant 
plus  pretieux  me  la  fource  en  eSh 
plus  pure  eSr  plus  brillante.  Puif 
fe:^  vous,  MONSEIGNEUR, 
pour  la  filicité  publique  jouir  de 
tes  avantages  aujf  long-tems  que 


EPISTRE. 
Sa  Majesté',   elle  même  4 

marqué  Jowvent  le  fouhaiter.  Ce 
font  les  vœux  de  toute  la  France j^ 
&  les  dejirs  ardens  de  celuy  emi 
efi  avec  un  très  profond  refheéi  ^^ 
un  attachement  inviolak 

MONSEIGNEVR, 


De  Vôtre  Gbakdeur» 


V 


le  aearhtivoHt  9c  tre$-obeïâaoc 
fcrviteuf, 

lÀGNY. 


JVRKTI S  SEMENT. 

L^Àlgcbre  {>aroît  d'abord  fi  re- 
butante par  la  nouveauté  des 
termes  &  des  caraâfiere«  qu'^elle  em- 
ploie ,  Se  par  la  fechetefTe  de  la  ma- 
tière qu'elle  traicte,  qu'il  neft  paf 
Surprenant  que  peu  de  gens  ayent, 
ou  alTez  de  curiofité  pour  com- 
mencer à  s'y  appliquer  y  ouafTezde 
fermeté  pour  continuer  de  s'y  atta- 
cher autant  de  tems  qu'il  fauc  pour 
en  tirer  quelque  avantage.  La  pl&« 
part  même  des  Savans  ne  regardent 
cette  Science ,  que  comme  une  oc- 
cupation vaine  &:  pénible  de  gens 
oififs ,  qui  fe  forment  exprés  des 
difficultez  arbitraires  ,  afin  d'avoir 
iç  piaifir  de  les  refoudre. 

Pour  détruire-un  préjugé  fi  gê- 
nerai &  fi  injufte^  il  faut  remon- 
ter aux  principes  U  donner  une 


AVERTISSEMENT. 

idée  claire  &  diftinftc  de  la  nature 
&i  des  ufages  de  cette  Science;  peul>- 
ctre  qu'après  une  exacte  difcuflîon 
on  conviendra^  qu  il  y  a  peu  de 
Sciences  plus  agréables  ni  plus  u* 
tiles. 

Tout  ce  qu  on  peut  connoître 
des  corps ,  outre  les  qualttez  fenfî- 
hlcs  &  les  proprietez  gcncralrs  de 
la  matière ,  comme  la  divifibilité  à 
l'infini ,  la  figure  &  le  mouvement, 
fc  réduit  aux  rapports  de  grandeur 
que  ces  corps  ont  entre-eux ,  foit 
qu  on  les  compare  félon  leur  fblir 
4ité  ou  leur  maflé ,  fiM,  que  Ton 
l^e  compare  que  leurs  lignes ,  leurs 
«angles  ou  leurs  furfaces  ;  mais  nous 
:!connoi{rons  les  corps  de  deux  ma^ 
jîiereSjTunc  générale, exaâe  &  pur 
irement  intelligible ,  l'autre  particur 
liere,imparfaite  &  fenfiblé.Les  idées 
de  la  Ligne  droite ,  de  l'Angle ,  da 
Triangle,  du  Quarré,  du  Cercle,  de 
la  Piraitnide ,  du  Cubc,de  la  Sphere,^ 
font  des  idées  générales  ,  exaâes> 
purement  intelligibles  i  &  les  ma«- 


AVERTISS 
mes  dans  cous  les  hommes.  Les  io- 
dées du  Soleil,  de  la  Terre,  d'un  Ar- 
bte  font  des  idées  particulières,  des 
idées  fenfibles  qui  ne   font  point 
exaâes  ,    &  apparemment  difFe- 
rentes  dans  chacun  ,  félon  la  dif- 
férence  des  impreffions    plus  ou 
moins  fortes   qu  il   re^^oit  par  les 
fens  ;  Se  félon  la  difFcrence  du  rap« 
port  de  grandeur  entre  les  organes, 
des  fens ,  les  objets  qui  les  frap- 
pent, &  le  corps  entier  de  celuy 
qui  apperçojt  ces  objets. 
.  Les  rapports  de  ces  corps  fenfibles 
peuvent  Qtre  connus ,  ou  par  Texpe- 
rience  feule,0U  par  la  raifon  feule,oa 
€n  partie  par  la  raifon&  en  partie  pat 
Texperience,  L'expérience  ne  nous 
{>eu.tirieii  apprendr/î  avec  une  en- 
tière certitude;  il  y  a  pourtant  une 
manière  de  s'y  conduire  avec  or- 
4re,  en  forte  qu'on  foit  afTuré  d'ap- 
;procher  de  la  vérité  ^ar  le  plus 
xourt  chemin  ,&  le  plus  préj  qu'il 
-eft poffiblepar  les /çnsul  faut  toii- 
jçurs  conasiepçèr  pat  cette  ctxpe^ 


AVERTISSEMENT. 

TÎence  méthodique  lorfqu  il  s'agic 
des  corps  fenfibles.Ec  c'eft  ainfi  que 
tous  les  raifonnemens  des  Aflrono«« 
mes  6c  des  Géographes  fuppofenc 
les  obfervacions  ;  mais  à  caufe  de 
cette  incertitude  attachée  infepa- 
rablement  &  effentiellement  à  l'ex- 
périence ,  il  ne  faut  s'en  fervir 
Qu'autant  precifément  qu'il  eft  ne- 
ceflaire  pour  déterminer  la  que- 
iUon  9  à  quoy  la  raiibn  ne  peut  pas 
iuppléer^  parce  que  ce  font  des  faits 
-qu'on  ne  peur  deviner. 

L'expérience  eft  abfolument  inu- 
tile pour  découvrir  les  rapports  des 
corps  Géométriques,  Par  exemple 
îl  eft  ridicule  de  chercher  la  qua- 
drature du  Cercle  en  pefant  un  Cer- 
<dc  6c  un  Quarré  faits  de  même 
matière  &  de  même  épaifTeur  ;  mais 
on  peut  toujours  trouver  exaûe^i- 
ment  ces  rapports ,  ou  du  moins  en 
approcher  à  l'infini  par  la  raifon 
feule ,  6c  fans  faire  aucune  expe^ 
rience»  en  ne  confultant  que  l'idée 
de  l'étendue  figurée  ^  &  celle  des 
nombres. 


AVERTISSEMENT. 

Aînfi  la  raifon  peut  bien  {up<« 
pléec  en  partie  à  l'expérience  pat 
rapport  aux  corps  fenfibles  ,  mais 
1  expérience  ne  peut  en  rien  fup^ 
pléer  à  la  raifon  par  rapport  auxcorps 
Geometriques;rexpcriencepeut(cu- 
lement  fcrvir  d'occafion  à  chercher 
des  raifons  qui  confirment  ou  qui 
corrigent  le  témoignage  des  fens^ 
Lx>rrqu'on  connoîc  les  rapports 
exacH  des  corps  Géométriques  &È 
de  leurs  dimenfîons  ,  il  n  y  a  de 
difficulté  à  connoître  le  rapport  des 
corps  fenfibles  qu'autant  que  l'ap- 
plication des  Règles  générales  aux 
cas  particuliers  ,  demande  de  Tu- 
fage  &  une  certaine  adreffe  à  (c 
fervir  des  Inftrumens  ;  &  cette  a*- 
dreiTe  paroit  excellemment  chez  les 
Aftronomes  &  les  Géographes,   Il 
«ft  donc  très- important  de  connoî- 
tre ces  rapports  des^  corps*Gcomc- 
triques.  Or  il  n'y  a  que  deux  mé- 
thodes pour  parvenir  à  cette  con- 
Tioiflance ,  qui  font  la  Simhefe  ic 
l*Anafyfe.    * 


-*  I 


AVERTISSEMENT, 

^    Par  la  Sinthcfe  on  compare  &  on 
combine  les  pren>iercs  &c  les  plus 
fimples  proprictez   connues    d*un 
fujet ,  pour  ^n  tirer  <le  nouvelles 
proprietez  cpii  fervent  à  en  trou- 
ver d'autres ,  &:  celles-cy  en  font 
^encore  découvrir  de  plus  compo* 
fces  i  &:ain{i  de  fuite  a  rinfini.  Si 
dans  cette  méthode  on  fuivoit  un 
ordre  exaâ:  ,  on  (èroic  affuré  de 
trouver    fucceffivement  toutes  les 
proprietez ,  &  tous  les  rapports  con- 
^loiffables  de  fon  fujet;  mais  parce 
.que  le  nombre  des  combinaifôns 
devient  d'abord  immenfe ,  on  n  au* 
joit  jamais  fait  à  les  examiner  tou- 
xes  par  ordre  ^  &  il  faut  une  cer- 
jcaine  habitude  &  une  certaine  ha* 
bileté,  qui  ne  s'acquiert  que  par  un 
long  ufagè  pour  rcjctter  comme  du 
4>remier  coup  d'oeil  les  combinai-.- 
ions  inutiles  ,  &  n'examiner, que 
jcelles  qui  peuvent  conduire  à  quel- 
jque  propriété  confiderable.    Cette 
méthode  çft  ;géacrale  pour  toujtes 
/brtes  de  fujets  &;  de  Sciè;accs,n>aîs 

• 

je 


AVERTISSEMENT- 
]c  n  en  parle  icy  que  par  rapport 
aux  Mathématiques. 

C'eft  ainfi  que  les  anciens  Geo- 
metres^en  ne  ruppofant  que  leurs  de- 
finitions ,  leurs  axiomes  ic  leurs  de- 
mandes ont  fait  apparemment  tou* 
tes  leurs  découvertes.  Parexemple, 
lors  qu'ils  oik  trouTc  cette  admi- 
rable propriété  du  Triangle  reâan» 
gle ,  éjue  le  quarté  du  coti  0ff$sé  i 
l'affgU  dfêii  cH  égal  aux  quarret,  des 
deux  autres ,  ils  ne  penfoient  peut* 
être  (knplemement  qu  a  découvrir 
de  nouvelles  prôprietez  du  triangle^ 
.&  celle-là  s'eft  prefentée  à  leur  ci- 
prît. 

On  peut  au  contraire  en  (ê  fer- 
vant  de  la  Sinthefe  avoir  \m  but 
déterminé  ,  comme  de  treuver  k 
wappùft  éfiê^'il  y  a  entre  les  quarrez» 
des  citez,  é^un  triangle  reliangle  i 
le  alors  on  tente  fucccilivemcnt  .di- 
vers chemins  abbregez ,  qui- paroif^ 
fcnt  pouvoir  conduite  à  ce  qu'on 
cherche  j  c'cft  à  dire  on  examine 
les^  proprierez  dé)^  connues  pour 


AVERTISSEMENT.    . 

tacher  en  les  comparant^  de  dé- 
couvrir celle  qu'on  ne  connoic  pas« 
Je  dis  qu'on  tente  fucceffivcment 
dcs^  chemins  dbhregex,,  parce  que  la 
^«yye  générale  des  combinaifons  eft 
impraticable  par  fa  longueur. 

Dans  la  première  manière  de  Ce 
fervir  de  la  Sinthefe  ,  le  chemin 
dépend  du  choix  y.  mais  le  but 
efk  incertain  &  dépend  en  quelque 
manière  du  hazard  ^dans  la  féconde 
manière  au  contraire ,  le  but  eft  cer- 
tain ^&  le  choix  du  chemin  ne  Teft 
pasf&:  dans  Tune  &  l'autre  de  ces  ma- 
nieres^TAlgcbre  eft  d'un  très  granâ 
fecours.  Car  au  lieu  de  comparer 
par  un  effort  pénible  d'cfprit&d'i^ 
magination  5  pluficurs  lignes,  plo- 
fieurs  anglcSj  plufieurs  furfaceSj&c^ 
Il  fuffit  d'exprimer  par  des  lectrcs 
de  l'Alphabet  les  rapports  donnez 
ou  connus  de  quelques  lignes  droi- 
tes 5  qui  déterminent  le  rapport 
des  autres  dimenfions  i  &  on  ajou- 
te ,  on  fouftrait,  on  multiplie,  &c. 
ces  lettres  les  qnes  par  les  autres 


à  mefure  que  confultanc  l'idée  de 
retendue  figurée  ^  on  voit  qu'il 
faut  ajouter ,  fouftraire  ou  multi- 
plier les  lignes  mélne$>&  Ton  décou-- 
?re  fans  peine  de  nouveaux  rap- 
ports avec  beaucoup  moins  <le  riC* 
que  de  fe  tromper  ,  parce  qu'on 
n'eft  pas  obligé  ^  comme  dans  la 
Géométrie  ordinaire ,  d'envifager  à^ 
la  fois  une  longue  fuite  de  prîtici-- 
pes  &  de  raifonnemens  y  &  qu'on 
peut  au  contraire  s^arréter  o&  Von 
veut,  &  reprendre  efiûiite  fcs  re- 
cherches. 

Cette  manière'  d^cxprimer  les 
nombres  ou  les  rapports* par  des> 
lettres  de  T Alphabet  ne  doit  pas  pa- 
roîcre  rebutante.  Les  Hébreux ,.  les* 
Grecs  &  les  Romiains  s'en  font  fer- 
Vis  pour  exprimer  les  nombres  que* 
nous  e3tprinK>ns  par  des  chifres*  Les 
Philofophes  &  les  Géomètres  onc 
emploie  ces  mêmes  lettres  pour  de* 
figner  d'une  manière  générale  tou- 
te forte  de  chofes.  Cette  cxpref- 
fion  eft  crcs-firople  &  tres-famî- 


AVERTISSEMENT. 

lierc  y  il  eft  aifé  de  s'y  accoûtiK 
mer  }  &:  les  opérations  en  font 
beaucoup  plus  faciles  que  celles 
des  chifres  dans  l'Arithmétique  or- 
dinaire» 

Si  r Algèbre  eft  utile  dans  kSin- 
thefejon  peut  dire  qu'elle  cft  preiP 
que  abfolument  ncceflairc  dans  T  A-* 
nalyfey.qui  eft  la  féconde  métho- 
de générale  pour  découvrir  eoutçs 
fortes  de  veritez;  mais  je  û'en  par- 
,  le  icy  que  par  rapport  aux  Mathe* 
-inatique?.  Je  diftingjae  deux  efpc- 
ces  d'Analyfes  ,  celle  des  Anciens 
&  celle  des  Modernes.  Dans  celle 
là  on  commence  par  fuppofer  que 
la  propofkion  qu'on  veut  examiner 
«efl  vraye,  ou  qpe  larqueftion  qu'on 
veut  refoudre  çft  effcûivemcnt  rc- 
foluë.  L'on  examine  ce^i  doit  (Ul- 
vre  neceflairement  &  réciproque-- 
ment  de  cette  fuppofition  ,  jufques 
à.  ce  qu'en  remontant  pour  ainfi 
dire  vers  les  premiers  principes^  on 
trouve  quelque  propriété  contiuë^ 
ou  quelque  âbfurdité  manifefteé.  Si 


AVERTISSEMENT. 

Ton  trouve  quelque  propriété  con^ 
nue ,  on  conclut  que  la  propoGcion 
eftvraye,  ou  que  la  quellion  peut 
être  refoluc  $  &  on  la  refont  efFe« 
âivement  en  commençant  par  la 
propriété  connue,  &  remontant  )uf- 
ques  à  la  queftion  propofée  par  la 
même  fuite  de  raifannemens  &  de 
confec^ences  -,  û  Ton  trouve  quel- 
que absurdité ,  on  conclut  que  la 
propofition  cA  fau&,&quela  que^* 
(lion  eftimpoflible^  Cette  méthode 
cÛ  plus  commode  èc  plus  utHe  que 
la  Smthefe  dans  la  plu  (part  écs  pro 
pofîtions  &  des  queftions ,  fur  tout 
dans  celles  qui  ne  dépendent  pas 
précifément  &  immédiatement  des 
combinaisons  ;  car  pouT  celles-là  il 
n y  a  prefque  que  kSîntbc<e.  L'a*- 
vantage  de  l'Analyfe  confifte  en  ce 
que  Ion  a  un  point  fixe  d'où  l'on 
commence  fes  recherches  ^  elle  efi: 
djrdinairement  plus  courte  que  la 
S4nthefe,&  plus  propre  pour  inven* 
ter  ;  mais  d  un  autre  coté  elle  eft 
.  iujette  au  même  tâtonnemem  pour 


AVERTISSEMENT. 

le  choix  du  chemin  qu'on  doit  fuî^ 
▼rc ,  &  elle  demande  la  même  con- 
tention dVfprit  &  d'imagination ,  à 
moins  qu'on  ne  fe  fcrve  des  expreC 
fions  &  de  la  méthode  Algebrai- 
ques}  enfin  elle  eft  moins  propre 
&  moins  naturelle  pour  enfeigner 
tjue  la  Sinthefe. 

Dans  TAnalyfe  des  Modernes  on 
exprime  indifFeremmcnt  par  des  let- 
tres de  r Alphabet  les  lignes  qui 
font  données  ou  connues ,  &  celles^ 
qui  ne  le  font  pas  ;  c'cft  à  dire  qu'oit 
exprime  les  nombres   donnez  on 
connus  par  de  certaines  lettres ,  & 
les  nombres  inconnus  par  d'autres 
lettres.   On  opère  enfuite  fur  ces 
lettres  par  adaition  ,  fouftraûion  y. 
multiplication,  &c.  conformcnicric 
à  la  propoficion  ou  à  la  qucftion^ 
jufques  à  ce  que  Ton  trouve  deux 
cxpreffions  femblables  ou  différen- 
tes d'u.ie  même  valeur,  &où il  ny 
ait  qu'un  nombre  inconnu,  ajouté^ 
fouftraît ,  multiplie.,  &c.  égal  à  un 
nombre  connu.  Lorfque  les  deux 


AVERTISSEMENT. 

exprcilîons  font  égales  &  fembla^ 
blés ,  c  eft  une  preuve  que  la  pro- 
poGcion  eft  vraye,ou  que  la  queftion 
e/l  tellement  indéterminée  ,  que 
tout  nombre  peut  y  fatisfaire  j  lorP 
que  les  deux  expreffions  font  âi6* 
fcrentcs ,  le  Problème  fe  réduit  à 
trouver  un  nombre  ou  une  ligne 
qui  étant  ajoutée  fouftraite ,  multi« 
çUée ,  Sec.  ce  qui  refulte  foit  égal 
a  un  nombre  ou  à  une  ligne  don<« 
née  \  c'eft  ce  qu'on  appelle  une  /- 
éi»atiçn.  Et  c'eft  le  moyen  généra! 
&  univerfel ,  le  moyen  feul  &  uni- 
que dont  on  fe  fert  dans  TAnalyfe 
Algebraïque  pour  refoudre  toutes 
fortes  de  queftions.  Car  on  ne  cher- 
che jamais  dans  les  queftions  Ma-^ 
thématiques  que  des  rapports  en 
^nombres ,  &  tous  les  rapports  fe  ré- 
duifent  à  celuy  de  Tégalité.  Par 
exemple  dire  que  a  eft  double  de 
^ ,  c'cft dire  que  4  eft  égal  ï  ib\&c 
dire  que  4  eft  à  ^  comme  2  à  j , 
c'cft  dire  que 3 4  eft  égal  \%b%  ic 
^nû  du  rcfte. 


AVERTISSEMENT. 

Il  s'enfuie  de  tout  ce  que  je  viens 
de  dire ,  que  TAlgebre  eft  umnoyen 
fur,  facile  y  inépuifablc^pQUr  faire 
tous  les  jours  de  nouvelfe^  décou** 
vertes  y  &  comme  le  de£r  de  con-- 
noîcre  la  vericé^  eft  une  des  plus  for^ 
tes  pafiions  de  rerprk  humain^  rieA 
ne  peut  tant  contribuer  à  la  fati£- 
faite  innocemment  que  l'étude  de 
cette  Science*  Ce  font  des  plaifirs 
purs  y  des  plaifirs  continuels  &  très- 
vifs^  qu'on  peut  fe  procurer  fàiw 
peine  &  fans  remords  5  on  ne  peut 
jpas  douter  de  fon  utilité,  puis  qu'el- 
le s'étend  à  toutes  les  parties  des 
Mathématique^, dont  tout  lempn- 
.de  connoît  Tufage  ou  plutôt  la  nc- 
ccffité- 

W  m  i 

Il  ne  me  reffe  plus  qu'à  dire  un 
mot  fur  l'origine  &  le  progrez  de 
cette  Science  ^  &  fur  Tordre  que 
j'ay  fuîvi  dans  ce  petit  Traite.  . 
.  Le  mot  d'Algèbre  vient  de  l' Ara,- 
bc,  comme  il  cft  aisé  de  le  connoître 
X,  l'article  aL  Ce  ncft  pas  que 
es  Arabes  &  entre  zottci  un  cei^ 

tdio* 


n. 


AVERTISSEMENT, 

tain  Geber^  qu'on  prétend  avoir  vé- 
cu vers  le  milieu  du  onzième  fiécle, 
en  foient  inventeurs.  Les  Arabes 
n'ont  fait  tout  au  plus  que  nous 
conferver  ce  que  les  Grecs  avoienc 
invente.  Quelques  Auteurs  tirent 
1  otimologic  de  TAlgcbre  d  un  mot 
Hébreu ,  dont  la  racine  fi  gnifie^r- 
€e  &  fuijfance^  pour  marquer  Te* 
tendue  &  la  force  de  fes  Règles, 

Le  plus  ancien  Auteur  que  nous 
ayons  fur  T  Algèbre  eft  Diophantc 
d'Alexandrie ,  qui  vivoit  fuivant  le 
calcul  de  Monfieur  Bachet ,  il  y  a 
prés  de  quinze  cens  ans;  il  fut  tra- 
duit dans  le  fîécle  pafTé  fur  des  Ma« 
nufçrits  du  Vatican  par  Giwllaume 
Xylander  >  &  commente  cnfuite  par 
Meffieurs  Bachet  &  de  Fermât. 

Il  n  y  a  gueres  plus  de  loo  ans 
quon  a  commence  de  connoîcrc 
TAlgebre  en  Europe ,  &  ce  fut  par 
le  moyen  de  quelques  R'-ligicux  L 
taliens  dç  FOrdre  de  S.  François, 
qui  apportèrent  de  TOricnt  les  pre- 
mières Règles  9  aufquellcs  ils  don- 


AVERTISSEMENT.  j 

nercnt  le  titre  de  Règles  de  U  cha^ 
fe  ou  de  l'alm/scabula.  Tartalca, 
Cardan  ,  Stiflfcl ,  Raphaël  Bombel- 
li  &c.  débrouillèrent  &  perfcûion- 
nercnt  ces  premières  Règles.  Tar- 
talca  fur  tout  en  inventa  de  nou- 
velles pour  la  refolution  des  équa- 
tions du  troifiéme  degré.  Ils  vi- 
voîent  vers  le  milieu  du  fiécle  pafTé. 

MonfieurViete ,  Maître  des  Re- 
quêtes fous  Henri  III.  fut  le  plus 
grand  Algebrifte  de  fon  fiécle  5  c*eft 
luy  qui  a  inventé  TAlgebrc  fpe- 
cieufe  &  la  méthode  générale  de 
refoudre  numériquement  toutes  les 
équations.  Cette  méthode  a  été 
cnfuite  perfectionnée  par  Meffieurs^ 
^arriot,  Ougtred  Pell,&c. 

Monfieur  Defcartes  enfin  a  in- 
venté plufîeurs  nouvelles  Règles, 
&  il  a  appliqué  plus  heureufement 
que  Viete  l'Algèbre  à  la  Géomé- 
trie. C*eft  luy  qui  a  enfeigné  le  pre- 
mier la  méthode  générale  de  refou- 
dre toutes  les  équations  déterminées 
&  indéterminées  parla  Géométrie^ 


AVERTISSEMENT. 
te  qui  a  ouvert  le  chemin  à  une 
infinité  de  nouvelles  découvertes 
qu'on  a  fait  depuis  en  fuivant,  ea 
abbrcgcant  &  en  perfedionnant  Ta 
méthode  pour  les  Tangentes. 

Je  ne  parleray  point  icy  de  plu- 
ficurs  Auteurs  célèbres  qui  font 
encore  en  vie,  leurs  ouvrages  font 
affcz  leur  éloge  ;  &  je  craindroîs 
d'en  dire  toujours  trop  à  leur  gré, 
U  trop  ou  trop  peu  au  gré  des  au- 
tres. 

Comme  la  refolution  des  équa« 
tions  eft  l'objet  &  la  fin  de  toute 
r Algèbre ,  ce  Traité  roule  tout  en- 
tier fur  les  équations ,  &  je  Tay  di- 
visé en  trois  parties. 

Dans  la  première  je  donne  tou- 
tes les  Règles  du  calcul  Arithmctî- 
<;ue  &  littéral ,  &  qui  font  necef* 
faites  pour  former  les  équations, 
:  :La  féconde  partie  contient  la 
manière  de  préparer  ces  équations, 
lors  qu  elles  font  formées. 

Enfin  dans  la  troifiéme  je  don- 
ne toutes  les  diâferentes  méthode^ 


AVERTISSEMENT. 

qu'on  a  trouvces^pourrcfoudrc  ces 
mêmes  équations  après  qu  elles  onc 
çté  préparées. 

]'ay   taché  de  ne  rien  omettre 
de  ce  que  les  Anciens  &  les  Mo- 
dernes  nous  ont  donné  ;  &  j'y  ay 
ajouté  une  vingtaine  de  méthodes 
&  de  demonftrations  nouvelles  fur 
la  divifîon ,  les  fraâions ,  les  incom- 
menfurables ,  Textradion  &  lap- 
proximation  des  racines ,  &  enfin 
fur  la  refolution  des  équations. 
.  Au  refte  en  ne  citant  pas  continuel- 
lement les  Auteurs  »  dont  je  me  fuir 
iervi,  je  n'ay  pas  prétendu  les  priver 
des  louanges  qui  leur  font  dues,  Se 
beaucoup  moins  m'attribucr  leurs 
nouvelles  découvertes  ;  mais  j'ay 
ciu  que  dans  des  chofes  de  noto^ 
rieté  publique ,  c'étoit  une  précau* 
tion  Aiperfluë. 

,   Voicy  Tordre  que  j'ay  (uivi  dans 
la  première  Partie. 

U Algèbre  n  a  précisément  pour 
objet  que  les  nombres.  Ces  nombres 
fpnt  ou  particuliers  &  connuSjCom. 


^  '  • 


AVERTISSEMENT. 

tiie  un ,  deux,  crois,  &c.  &  on  les 
exprime  par  des  chifres  ;  ou  ils  font 
fimplemenc  donnez  en  général ,  oU 
ils  font  inconnus  ;  &  dans  ces  deux 
derniers  cas  on  les  exprime  par  des 
lettre». 

Toutes  les  opérations  qu'on 
peut  faire  (ur  les  nombres  de  quel- 
que manière  qu'ils  (oient  exprimez 
fe  réduifent  à  deux,  au^enter  & 
diminuer.  On  augmente  par  trois 
opération,  l'addition, la  multipli- 
cation &;  la  formation  des  puiflan- 
ces;  on  diminue  par  trois  opéra- 
tions oppofées ,  la  fouflraâion ,  la 
divifion  &:  Textraâion  des  racines. 
Dgns  le  premier  Livre  je  donne  les 
Hegles  pour  l'addition  ,  la  fouflra- 
âion, la  multiplication  &c  la  divi* 
£on  des  nombres  entiers  exprimez 
en  chifres  &  en  lettres. 

L'addition  &  la  fouflradion  im- 
parfaite forment  des  nombres  en- 
tiers d'une  nouvelle  efpecc  qu'on 
appelle  nombres  comflexes.     Ceft 

ppur(|qoy  dans,  le  fecolid  Livre  je 

iiij 


AVERTISSEMENT. 

donne  les  Règles  de  l'addition  de 
la  fouftradion ,  de  la  multiplication 
&:  de  la  divifion  de  ces  nombres 
complexes. 

La  divifion  imparfaite  des  nom* 
brës  entiers  forment  une  nouvelle 
efpece  de  nombres  qu'on  appelle 
fraifiûffSyC^ciïpcmvquoy  dans  letroi-^ 
£éme  Livre  je  donne  toutes  les  Rè- 
gles des  opérations  (iir  les  fraâions.. 
Ces  opérations  font  de  deux  fortes^ 
tes  unes  propres  Se  particulières  aux 
fradlions ,  &  que  je  comprens  fous  le 
Bom  général  de  redHSion  ;  les  au«- 
très  (ont  communes  aux  nombres 
entiers  &  aux  fraâions^  comme  Tad** 
dttion^la  fouflraâion^  &c.  A  Tocca* 
don  des  redudions  je  donne  unTrai-» 
té  nouveau  des  rapports  &  des  pro- 
portions y  dans  lequel  on  trouve  la 
Règle  de  trois  par  corollaire ,  &  les 
fradions  décimales.  Comme  jen'ay 
rien  voulu  fuppôfer ,  pas  même  les 
Elemens  d'Euclide ,  j'ay  été  obligé 
de  démontrer  exactement  ces  redu- 
ôions  y  &  c'eô:  peut-être  le  feul  co^ 


AVERTISSEMENT. 

droit  de  ces  Elemcns  qui  fcia  quel- 
que peine  aux  commcnçans. 

La  formation  des  puiffanccs  eft 
une  efpece  de  multiplication  réité- 
rée &  abbregce  3  &  la  refolution  de 
ces  puifTances  ou  Textraâîon  des 
racines  eft  une  efpece  de  divifîon 
oppofce.  Je  donne  dans  le  quatriè- 
me Livre  les  Règles  de  ces  deux  o- 
perations  pour  les  nombres  entiers 
&  rompus ,  complexes  &  incomple- 
xes ,  en  chîfrcs  &  en  lettres. 

L'extradion  imparfaite  des  raci- 
nes forme  une  nouvelle  efpece  de 
nombres  qu'on  appelle  incommen- 
furabUs.  Ces  nombres  ont  comme 
les  frayions  leurs  opérations  pro- 
pres &  particulières ,  que  je  com- 
prens  fous  le  nom  général  de  r^- 
4uSH$n ,  &  leurs  opérations  com- 
munes,  comme  laddition ,  la  fou- 
ftradion,  &c.  C'cft  dequoy  je  trait- 
te  dans  le  cinquième  Livre. 

Enfin  Faddicion  &  la  fouftra- 
âion   imparfaite  des   incommen- 

furablcs  forment  une  nouvelle  eP 

^  •  •  •  • 

1  \\\\ 


AVERTISSEMENT.  ^ 

pece  de  nombres  complexes  qu  on 
appelle  Polynômes  ,  dont  je  trait- 
te  dans  le  (îxiéme  Livre. 

J'ay  compare  en  divers  endroits 
ces  opérations  1  une  avec  Tautre^SC 
)*ay  tâche  d'en  faire  connoître  exa- 
ftcment  la  nature  &  Tufage.  Ceux 
qui  ne  veulent  que  la  pratique  pour- 
ront omettre  ces  reflexions ,  &  lire 
Amplement  les  Chapitres  fui  vans» 
Livre  i.  Chap .  2.  y.  6. 7. 8.  %  lo.  Liv. 
z,  Chap.  I.  %.  y  4.  y.&7.  Liv.  j.Chap* 
1. 4.  S.  9.  10.  II.  11.  Apres  quoy  fi 
Ton  veut  laifler  les  incommenfura* 
blés ,  on  peut  pafler  à  la  féconde 
partie  \  &  lire  feulement  les  Chap.. 
£.5.4.;.  &6.  de  la  préparation  des 
équations ,  &  enfin  les  deux  ou  trois 
premiers  Chapitres  de  la  troifiéme 
partie  3  qui  ne  fuppofent  au  plus 
que  Textraâion  de  la  racine  quai>« 
rée  &  de  la  raciûe  cubique. 


TABLE    DES    CHAPITRES. 

PREMIERE    PARTIE. 
Du  Calcul  Anthmetique  8e  LîtteraL 

LIVRE    PREMIER. 

Des  quatre  premières  opérations  Cit  les 

Nombres , 

L'Addition, 'kl  Souftradion,  la  Multipli- 
cation 6c  la  Divifion. 

Chap.  I.  /^E  que  c*efi  que  rVnit/  ^ 

^  les  Nombres ,  Page  i 

Chaï.IL  De  V  exfrejpen  des  Nombres»  ^ 

Chap.IIL  Des  différentes  expreffiens  des 

mimes  Nombres  y  i^ 

Chap.IV.  ^ue  cette  manière  d'expreJfioH 

nefi  pas  purement  arbitraire^ 

mais  quelle  ejt fondée  en  rai'* 

foh  &'fHr  la  nature  ;  &  qn'em 

jfaifant  très  pen  de  change^ 

ment ,  eUe  ferait  la  plus  par* 

faite  qui  fut  fofpble  ,         i$ 

Chap.  V.  De  Cexpre^on  en  Lettres  »    21 

ÇviAs:^l.D€  VAdditipi^y  x% 


TABLE  DES   CHAPITRES- 

Cfl.  VII.  De^  U  SoufirdSlhH  %  yf 

Ch.VIII.  De  la  MnltifUcAtien ,  48 

Ch.  Ï  X.   De  la  Divifion ,  65^ 

Ch.  X.  De  U  Divifion  littérale,  lot 

LIVRE     SECOND. 

Des  quatre  Opérations  (ur  les  Nombres 

complexes. 

Ch.  I.  T\E  t Addition  des  Nombres 
*^  complexes  Arithmétique  s  y\dS 

Ch. IL    De  V Addition    des  Nombres 

complexes  littéraux ,         ii} 

Ch.IIL   De  laSoufiraHion  des  Nombres 

complexes  Arithmétiques^  nj 

Ch.  I  V.  De  la  Soufira£tian  des  Nombres 

complexes  littéraux,        124 

C  H.  V.  J^e  la  Multiplication  des  Nom- 
bres complexes  littéraux^  118 

C  H,  V  L  De  la  Multipbc^tion  des  Nom^ 

bres  complexes  Arithméti- 
ques y  l}7 

Ch.VIL  De  la  Divifion  des  Nombres 

complexes  littéraux,         158 

Ch.  VIIL  Remarques  fur  la  Divifion,  164 

C  H.  l  X»  Relies  pour  éviter  les  Divifions 

inutiles,  171 

Ç  K«  X%  Méthode  nouvelle  pour  éviter 

toutes  les  fraSHons  numeri* 
qnesi,  vjf 


-  TABLE    DES   CHAPITRES. 
^Ch.XI.  De  Id  DivifioH  dei  Nombres 

complexes  Arithmétiques  »  iSa 

LIVRE    TROISIE'ME. 
Des  Fraâ:ions% 


C  H.  I.  T\E  la  Redultiê»  Je  s  FraStions 
^  «i  moindres  termes^        18$ 

Ch.  1 L  T>es  RMffofis  d'des  Froportionsyioi 

ChAÏL.  Jtiethode  noHveSè  pour  r/dttirt 
une  fraElien  dfes  moindres  ter^ 
mes  y  fans  divifer  le  numerd" 
teury  ni  le  dénominateur  par 
leur  plus  grande  commune  me^ 
furoy  115, 

Ch.  IV*  De  la  r/duâion  à  mime  déno^ 
mindtion  %  119 

C  H.  V.  Méthode  pour  réduire  plupeurs 
frdBions  i  moindres  termes  do 
même  dénomination  »  ii) 

Ch.  VI.  Méthode  nouvelle  pour  réduire 
plufieurs  fraUsons  à  moindres 
termes  de  même  dénomimh 
tion  y  ivj 

Ch.VII.Dw  autres  efpeees de  rédultion^ 

Ch.  Vin.  Dit  la  réduction  des  fraBions  de 

frayions  on  fractions  Jimplesy%'^f 

Çn.lX.  Do  ^Addition  des  fractions,  14? 


TABLE   DÉS   CHAPltRÈS: 
C  H.  X.   De  U  SofffiraSthn  des  fraSliitffTm 

14S 
C  H.  XI.  De  U  Multiflication  des  frA^ 

^ïonsy  24^ 

Ch.  XII.  De  U  Div'jfion  desfraHions,  151 

LIVRE      IV. 

De  la  Formation  &  de  la  Refolution^de^ 

Puiflanccs» 

Oh 

0e  rExtra&ion  deyKacincs.' 

Chai».  L  T\E  l^Formation  dcsPuipinees^ 

^^  desNombres  incemplexes^  1 55 

C  H.  1 1.  De  Id  Refilntion  des  Puijffinces 

ineomplexes ,  lét 

C  H.  III •  De  U  Formation  des  Pnijfancesy 

tir  de  L*extraEtion  des  raewei 

des  fractions  incomfiexesyijo 

Cb.  I V.  Demonfirâtion  nouveUe  &  gini^ 

raie  desimommenfurMeSyT^j^ 

C  B.  V.   De  U  Formation  des  pHiJfances 

complexes ,  277 

Ch.  V  L  De  la  Refolmion  des  Pnijfances 

numenques  »  ii6 

Ç  H.  VIL  De  r approximation  des  Racinjs 

numériques  9  ^300 

QH^yilI.  Méthode  nouvelle  four   Vap-^ 

proximâtieu  dçs  Râeinesy  fof 


TABLE    DES  CHAPITRES. 

Cji.  IX.  A£eth9de  nouvelle  pour  VExtrd^ 
Qion  des  Racines ,  jo^ 

Çh.  X.  De  l'extraihon  des  Racines  des 
Tmjfances  littérales  comple- 
xes ,  31S 

LIVRE       V. 

Y>ts  Incomtncnfurablcs. 

Chap.  I.  r\E  la  rédnÛion  des  ineommen 
L^  furahles  a  moindres  termes:^ 
fardivifion^  jii 

Ch.il  De  la  rednStion  des  ineommen^ 

furahles  à  moindres  termes  far 

extraUion  de  racines  ,       314 

Çh,  IIL  De  U  réduction  des  incomsmen* 
furahles  à  même  dénomination^ 
32,6  • 

Ch.  I V.  Méthode  four  trouver  fi  deux 
uombres  incommenfuraUesfont 
commenfurables  entre  eux,  327 

C  H.  V.   De  t Addition  des  nombres  in* 
commenfurables  y  )j2 

Ch.  VI.  De  la  Soujhra&ion  des  ineommen^ 

_  fi^rables ,  jj  j 

Ch.  vil  De  U  Multiplication  des  incom^ 
menfurables,  m 

Ch.  VIII.  De  la  Divifion  des  incommenfu" 
râbles  y  jj4 

Ch«  I X*  De  l' Extraction  des  racines  des 
incemmenfurabhs  $  jjs 


TABLE  DES   CHAPITRES. 

LIVRE       V  ï. 

Des  Polynômes.  -• 

Cn.  I.     r\E  V Addition,  USoufirA^îen 
J^tà*  UMiilùflicathn  des  Po- 
lynômes ,  J3'7 
Ch.  1 1.  De  la  Divijion  des  Foljnomes,  341 
•Ch.  III.  Méthode  nouvelle  four  la  divi^ 
fion  de  s  Polynômes  i            34^ 
Ch.  IV.   De  r Extraction  des  racines  des 
Polynômes  ,                          35^ 
Ch.V.    Refiexions  générales  fur  le  calcul 
Arithmétique  &  littéral ,  354 

SECONDE    PARTIE. 

De  la  Formation  &  de  la  Préparation 

des  Equations. 

Chap.  I.  T\  Es  différentes  efpeces  dePrê^ 
J-^ blêmes  >  373 

C  H.  II.  Règle  générale  four  la  formation 
des  équations  y  37S 

Cm*  III.  De  la  fre far  attendes  Equations 
far  tranffofition  ^  ou  far  Ad-- 
dition  &  SoufiraStion*  Oïl 
De  révanoiii£iment  des  ter^ 
mes  Homogènes ,  380 

Cl{.  IV«  De  la  frefaration  des  équations 
far  Muhiflieation  dr  Divifiou* 
Ou  De  i*évanoiiiJemènt  des  fra- 


TABLE   DES   CHAPITRES. 

RiâHS  é'dc  Vsbfolm  de  U  haute 

fuijfance^  385 

Ch.  V.  De  U  prepsrdtion  par  fnbptu^ 

tion ,  oude  U  trànsfermation 

des  Equations  >  ;8â 

Ch.  VI.  De  (évano'ùijfement  des  Incon* 

nuis ,  3gt 

Ch. VII.  De  t évAueuiffement  des  Incom" 

menfnrahles ,  394 

Ch.VIII.  De  Vivanouijfement  des  termes 

moyens  >  is% 

TROISIEME      PAUTIE. 

De  laRefoIucion  des  Equations* 

Chap.  I.  T\E  u  Refolution des  Problèmes 
^ du  premier  degré. 

ARTICLE  I.  Des  Problèmes  déterminex0  dm 
premier de^r/ oà  il  njaquune  incou" 
nui ,  40a 

Ai<.T.IL  Des  Problèmes  détertninez^  dm 
premier  degré  ok  il  j  a  plujieurs  in* 
connues  »  415 

Art.  III.  Des  Problèmes  plus  que  déter» 
minez»  du  premier  degré ok  il  y  a  unâ 
oHpluJteurs  inconnues  ^  413 

A&T.IV.  Méthode  nouvelle  pour  U  refolu'^ 
tion  des  Problèmes  indéterminex*  dtê 
premier  degrés  415 

Çh.  Û,  Delà  refolution  des  Problèmes  dm 

fécond  degré* 


TABLE   DES    CHAPITRES. 

Art.  I.  Des  Problèmes  détermine zs  du  fé- 
cond degré ,  436 

Art.  il 'Des  Problèmes  pltu  que  détermi- 
nex»  du  fécond  degré  y  ^^^ 

Art.  III.  7)es  Preblemes  indéterminex^  dfs 
fécond  degrés  445 

Art.  IV-  Méthode  nouvelle  four  la  refo- 
Intion  des  doubles  ç^  des  triples  jE- 
quations  du  fécond  degré ,  451 

C  H.  III.  Des  Problèmes  du  troifiémc  dt^ 

S^^^  455 

Ch.  IV.  Des  Problèmes  du  quatrième  de^ 

gré ,  48^ 

C  H.  y.  Méthode  générale  de  Monfieur 

Defcdrtes  y  four  I4  refolution  des  JE* 

quatiêns  qui  ^nt  des  racines  ration^ 

nelles ,  457 

Ch.  VI.  De  la  méthode  de  Médiation  > 

507 
Ch.  Vil.  Méthode  des  Cafcades ,         511 

Çh.  V I II. Mcthpdc  de  Fiete y  5 15 


NOUVEAUX    ELEMENS 

D'ARITHMETIQUE 

ET     D'A  L  G  EBRE. 

PREMIERE     PARTIE. 

Du  Calcid  Arithmétique  &  Litcetal. 

LIVRE     PREMIER. 

Des  tfHâtre  f rémérés  ôferét't*ms  fur  Ui 

NanAres , 

L'Addithn ,  U  SomfiraSian,  U  Multipli- 

CMha  é"  i*  Div*fiûn, 

Chapitrc.  I, 
Ce^me  cefique  VVnhé&tes  Afamires. 
Otfque  l'on  conCiActt  .quel. 
'W  ^^WV^^  choCe'i  QQ  comme  kuIc 
Jr*j^B  aç  fon  cCpece ,  ou  comme  fe- 
^^B  parée  de;  toutes  les  autres  de 
efpcte  »  Sci^u'oa  la  confîdere  com- 
A 


2  Nouveaux  Elemens 

iaoMmioti  fi  &s  paftîes ,  on  t&  ^4a  tow 

de  -cette  choie  >  conÉderëc  4\»e  tefle- 
manière  ;  ainfi  Von  dit  ,  un  Toleil ,  une 
terte ,  un  honrnie ,  -on  ad»ce ,  an  Jbn,&c. 

LocTque^'on  ccmikicre  plufiettrs  choÇcs 
die  Hième  genre  ou  detnème  «^eœ^ccH»» 
me  ;]parfiiitsemQnt'fÎBmblaUe^t>u  du  n»^ins 
fans  faire  attention  a  leur  aitterence ,  Se 
faifant  enfêmble  «n  ^tdtvut  tout  ^  on  & 
fert  des  mots  -qu'on  appelle  Membres  ^ 
pour  exprimer  l'idée  qu  on  a  de  ces  cho- 
Tes'  ^conudefées  dé  cette  manière.  Alnii 
1  on  fe  fert  de$  mots»  deux,  trois»  &c.  pour 
exprimer  d'une  ttfatiidre.  déterminée  l'idée 
Uu  OR  a  4e  plufieucs  iiidmmes  »  fdufietts 
étoiles ,  pluueursarbïei5,{>Iu(ieurs  fonst&c. 

Lois  qu'on  ne  fait  aucune  afteïïtion  4 
cette  chofe»  oui  ces  choCèsen  panicu- 
lier  y  mais  feulement  à  la  manière  de  les 
confiderer  -,  on  a  l'idée  abftraite.  de  l'uni- 
té  &des  nomWs. 

Ainfi  FuDÎté  eft  une  manière  de  con- 
cevoir chaque  chofe  >  comme  n'ayant 
point  de  parties. 

.  Les   nondbi^e^  fi>nt  des  manières  de 
-concevoir  pluiieurs  chofes,  comme  ptfe** 

ties  égales  de  fcmbUbles  £mi  vm» 


et  AtUhmatiqUi  #  J^JOgehre.        ^ 

£c  pasce  x|ue  chaque  Aarfiie  eft^llc-nvi- 
gùt  CQS^iàetic  Gomtae  Tunné,  Ic^  pan»- 
jves  fooc  auffi  une  midôoidc  rd'upiceiu 

X^xœ  manwte  ahfttaice  de  ^aiofidccw: 
f  unité  &  les  uonbr^  peut  s'appliquer 
cgaleme&c  à  tome  ibcce  lie  çkafes. 


Ï;L  j  M  ^esis  tn«$iififes  idr^imic^s  d*«:^ 
çmnct  les  idées  ^e  rfUNPs  uvaA^  ^ 
mcEJMes  ;  Qfi  :l<s  ^xpri^ftCdpar  des  rmofiiu 
«&>ks  <8pnme  attûE  dl«$  ^pAcmf m(pj: 
icetutBs  oaniâetes  ^utHi  4pp^  J^ftw* 
Iss  liommes  liez  >6ftâmbk  par  la -fin 
cbné  ciriks  fc  par  le  canmpt^fce^ Ce iàpt 
tiDUV^ii  obliges  4e  lib?fas«e  c/Grnnoicre  1^ 
uns  âsix  autfcs  d  uue  matûe^  coiifce  A: 
facile ,  non  feiilenient lîe&ejo&de-iiiidqiie 
chofc  9  mais  encor  ie  noimre  des  chofes 
dexaême  e^ece-,  de  il  ^  a  appacetuoe /qiie 
ces  mots  ^^cspriia^Crles  nonibresrnîonc 
été  djahoîd  inventez  que  pour  sépondre 
i  la  ^oiçftîon  «^ mfe^ ,  ou  pour  la  pre  ve« 
ain  Orjef  emarque  qu^on  peut  faire  trois 
£>rtes  de  répontei  cette  queftion.  Car  fi 
i bn  demaoae  7  par  esemple^  combien  il jr 

Aij 


"4  Nouveaux  Elément 

a  d'atbres  dans  un  jardin,  on  peut  répon*^ 
dre ,  ou  qu'il  n'y  en  a  point ,  ou  qu'il  n  y 
en  a  qu'un ,  ou  enfin  qu'il  y  en  a  un  tel 
nombre»  &  fiiivant  cette  idée  on  voit  que 
le  f9$nt  »  s'il  m'eft  permis  de  me  fervir 
de  ce  terme  y  eft  un  nombre  impropre.  Il 
eft  nombre  en  ce  qu'il  répond  a  la  que- 
ftion  combien  9  il  eft  nombre  impropre 
en  ce  qu'il  ne  répond  qu'indirectement 
&  négativement.  C'eft  ce  qu'on  appelle 
z»er4>  »  en  terme  d'Arithmétique.  Ce  zéro 
ou  point  Arithmétique  eft  le  terme  nega« 
tif  d'où  commencent  les  nombres,  de  mê-* 
me  que  le  point  Géométrique  eft  le  ter* 
-me  negaord'où  con^mence   l'étendue; 
L'unité  eft  le  ptenùer  àts  nombres  pofî^ 
tifs  9  &  elle  fait  un  e(pece  de  nombre  i 

Î^art ,  tous  les  autres  nombres  ne  font  que 
'unité  répétée  &  ajoutée  à  elle  même  ; 
te  parce  qu'on  peut  l'ajouter  continuelle^ 
tnent  à  l'infini ,  il  eft  évident  que  la  fui^ 
te  des  nombres  eft  infinie. 

Si  on  vouloir  donc  exprimer  chaque 
nombre  par  un  mot  ou  par  un  caraâe-- 
re  primitif,  il  faudroit  étudier  toute  {a 
vie  pour  apprendre  à  conter  &  d  chifrec 
depuis  Funité  jufques  à  un  nombre 
fort  médiocre ,  comme  par  exemple  ju(^ 
ques  i  cinquante  mille  *,  &  on  ne  pour«» 
roit  jamais  conter  jufques  à  uti  million* 


^Arithmttiqui  &  iCjilgebre.  f 
Mais  on  a  trouve  dans  toutes  les  Lan^^ 
gués  un  moyen  fi  facile  ^  qu'en  répétant 
cinq  ou  fis  fois  très  peu  de  mots  &:  très 
peu  de  chiftesy  on  exprime  tous  les  plus 
grands  nombres  dont  on  puiâe  avoir  be- 
k>in  dans  la  Pratique  :  ce  qui  paioîc  fur* 
prenant ,  c*eft  que  toutes  les  Nations  fe 
'  ibîent  accordées  â  choifit  le  même  cxpe-* 
dient.  J'expliquevay  en  quoy  il  con£ue> 
«n  expliquant  la  Table  (uivante. 

Tatfh  de  tixpnjpôn  des  Nombres* 

zero>         .       o       dix»  to 

un»                  I       vingt»  2Q 

deux  9              z       trente»  30 

trdis  »               3       quarante  »  40 

quatre»            4       cinquante»  ^o 

cinq»                f       fbixante»  60 

fix»                 6       ftptantc»  70 

(êpt»                y       huitante»  80 

hvk  »               8       nouante  »  ^6 

neuf»              p       cent,  iqq 

mille»  looo» 
million»  1 000000 

ExpUcasien  de  U  Tsbte. 

Cette  Table  contient  deux  colomnes; 
dans  la  première  on  voit  comment  oa 
exprime  les  dix  premicts  nombres  par 

A  ii| 


èbt  mots  y  teto  r  un ,  deux  >  Sce.  Si  paar 
dix  caraâeres  Oy  I?  i>-&<c;  ces^nomwey 

Vwkké  aj0ucée  i^  me  met»»  &k  ^i^at» 
«8  rnàcé  ajdfttés  àiià^Ar"  6tic  ppêif.Scc: 
Sms:  kit  ftc0a^sï  cdidfûiie  cm  vmv  com*- 
Aietw  col  exprime  tes  dixaines  y  une  di« 
ttisxe  srd{)|nakt  <&x ,  &  s'^exprime  pat?  ees^ 
éisux  c)li&e9'y  f  o«  deux  dlbxiiines  s'app^l^ 
lent  vinj^r  &E  s'espctment  par  ce3  dcvat 
chifres ,  20  &c  en  forte  que  ces  cara- 
Aenrs  i  ,^  2^,  3; ,  àc^p  éxmt  à  ta  féconde 
jlacc  de  droite  i  gauche ,  valent  dix  fois 
jltis  que  s'its  étt)icnt  feuls  >  ou  à  la  pre- 
mière place* 

Les  nombres  compris  entre  chaque 
itecaiae  s'expriment  par  fe  mot  &  !e  ch£- 
fît  propre  aé  leur  dixàine ,  &  par  Te  moç 
'Ârle  diifte  propre  des  imitc;^  doot  i& 
ftrtpaflent  la  dïxamt.  Ainfi  les  nombres 
ennre  vingt  ,  &  trente,  s'expriment  par 
vmgt'un,  21  ;  vingt-deux,  215  vingt^ 
tsois ,  2 3 >  &c,  vingf-netff  i  29. 
*     Mais    les  fix  premiers  entre  dix  6c 
Tingt,  ^expriment  par  des  mots  parric»- 
Jiercs ,   &  aa  lieu  de  dire  dix«-un ,  dix- 
deux  ,  8tc.  dix-lîx  -,  on  dit  onze ,  douze  , 
«Tsixe  y  isfuac^tâe  5  qoifKXe,  U  Cti%€ ,  S(  on 
Mormxmt  foivam  U  ReglV  générale  p^ 
iBt-fe{Ny  dix-bM/  àisi-umt,  fls  9'expriÉ^ 


ment  tpu^  unifocmément  en  cm&es  \  ott^ 
M  ;  1 1  •  ^uze  )  1 2  &c.  Dans  la  d^uti^* 
91e  colombe  il  y  ^  trois  mots  f  cfnt» 
çpk  s^exfrime  par  trois  cbiftcs  lOQ*  ic 
vaiK  dix  di%iiines« 

JMb&8  y  9oi  «'exprime  pctr  quatre  dii* 
£tes  ;  I OQO*  &  qui  vaiu  dut  cœtaines^ 
#1)  dix  fois  cent* 

MUtian ,  qpi  s'cxpdme  par  (èm  chi« 
&es3  iQOOOOO*  ^  qm  vaut  mille  fois 
aiiile. 

Les  nombres  compris  entre  cent  & 
mille  s'expriment  pour  aiufi  dire  i  trois 
fois  >  la  première  on  exotime  le  nombre 
àts  centaines ,  la  (èconae  on  exprime  te 
nombrç  ics  dixaines  »  la  uoiiîéme  on  ex- 
prime les  unitez  :  &  ils  s'expriment  auA 
par  tcoii  chi&es»  donc  le  premier  de 
gawhe  à  droite  masque  le  nombre  des 
centaines»  le  i^cond  mairqae  k  nombre 
des  diwj^ieir  >.  le  troiâome  marque  le 
mvi^m  des  ufttt^z  j  &  k>ss  qu'il  n  y  à 
pcttnt  de  dixaines  ou  d'ooitciiiç  on  les  fup^ 
prime  en  paclaot  >  te  on  met  des  zéros 
a  leur  pl^e  eii^ecriTarit.  Ainfî  l'on  ex|«ir 
m^  apréat  c^Ht»  cont^nni  i  o  i  •  cent-deux; 
toiki^^  cent- dix;  mo«  cent- onze; 
X 1 1 *  cc^-r douée  1  x  1 2>  fi^c.  cent-vingt; 
iia>&e;  cent  tf ente- fept;  137.  deux 
cm  %  2iOQ%  quarte  cens  huit  \  4o8# 

A  •  •  •  •- 

A  iii| 


t       '      IfoHveMx  ElemeHî. 
cinq   cens   quarante  -  trois  ;  ^4%* 

Les  nombres  compris  entre  mille  &  Tift 
million  ,  s'expriment  pour  ainfi  dire  à 
deux  rcprifes  ,   dont  cnacunt  s'exprime 
généralement  parlant  â  trois  fc^s  ;  la  pre-^ 
miere  rcprifc  exprime  les  centaines ,  les. 
dixaines  &  le  nombre  des  mille  s  la  fe*. 
conde  reprife  exprime  les  centaines,  les 
dixaines  &  lés  nombres  des  nnîtez.lls 
s'expriment  auiUpar  (ix  ou  cinq ,  ou  qua- 
tre chifres^qui  le  divifent  en  deux  tran- 
ches ,  dont  la  première  comprend  les  trois 
premiers  chi&es  de  droite  à  gauche ,  ic 
la  féconde  comprend  le  refte  des  chifres; 
&  dans  chaque  reprife  on  (upprimc  çbl 
parlant  les  centaines ,  les  dixaines  &  les 
nombres  qui  manquent  ,  ou  la  dernière 
reprife  toute  entière  fi  elle  manque,  dç 
on  met  des  zéros  à  leur  place  en  écri* 
vaut.  Ainfi  on  exprime  après  milte ,  mil-" 
le-un  looi*  mille* deux  loox  &c.  mil* 
le*dix  ioiO«milfe  dix-neuf^  loi 9  &c; 
deux  mille  2000*  trois  mille  deux  cens; 

?;ioo.  cinq  cens  quarante  -  trois  mille  » 
èpt  cens  (bixante  cinq  543.  7^5» 

Les  nombres  compris  entre  un  million 
&  mille  millions,  s'expriment  à  trois  re- 
prifes ,  dont  chacune  s  exprime  générale^ 
snent  parlant  à  trois  fois  *,  la  première  ro- 
prifc  exprime  les  centaines  >  les  dizaines 


éT  jtritbmeti^Me  &  d'jil^ehre.  f 
&  les  nombres  des  millions  i  la  féconde 
exprime  les  centaines  >  les  dixaines  &  les 
ncffnbres  des  mille  ',  ia  troifiéme  exprime 
les  centaines  >  les  dixaines  8c  les  nombres 
des  unitez.  Ainfi  on  exprime  après  un 
million ,  la  fuite  des  nomores  par  an  mit- 
lion-un  i  i  ooo*  oo  i  •  un  roilîion-deux  i 
iooo*ooz.*  &c.  &  neuf  cens  nouante- 
neuf  millions ,  neuf  cens  nouante  -  neuf 
mille,  neuf  cens  nouante- neuf.  999* 
999*999'  ^^  le  plus  grand  nombre 
qu  on  puifTe  exprimer  régulièrement  en 
François ,  fans  employer  que  les  termes 
receus.  On  fe  contente  d^exprimet  en 
cliifres  les  nombres  au  deflus  :  fi  on  veut 
pourrant  fe  fervit  des  mots  introduits  dc« 
puis  peu  parmi  les  Ârichmedciens  >  les 
voicjr.  • 

Mille  millions  s*appelle  un  milliard  f 
ou  plût6t  un  billion  \  i  ooo*  ooo<  ooo» 

Mille  bitUons  s'appelle  un  trillionj 

I  ooo*  coo*  ooo*  000 
Mflle  trillions  s^appelle  un  quatrillion; 

looo«  ooo*  ooo*  ooo*  ooo* 

Et  ain£  de  fuite  par  quindllions  >  fex« 
allions  9  (èprillions  »  oâillions  &c.  &  tes 
nombres  compris  entre  chaque  nouveau 
nom ,  s'exprimeront  par  une  reprife  de 
plus,  &  chaque  reprife  i  trois  fois  par 
centaines  >  dixwiçs  8c  nommes  ?  cooh^ 


»  IfttiWMx  EUmans 

me  cy  «  deâiui  en  fupfiiimatu:  tct^ 

Pouc  CGStcet  commodémeQt  ub  graa4 
nombre;  de  cboCes  >  il'  êwk  les  comex  «oe 
à  un«  jdfques  à  dix  »  fc  enfuiie  les  conter 
dÂx  à  d»f  )u%ics  à  cens  a,  ^  ea&ifie  ccotr 
là  cent  jufijuesr  i  miile>  &  mille  4  «iitie 
îtt%K:^auxdiixaifieSfdeimlle&c.  &maii- 
jyiAf  à  cha^e  Êm»  ce  «pi  refte  en  I^ 
contassdtx;  idbr»  conmie  ceanc  à^%  unir 
ytz  V  $  ce  qui  ceftc  en  Us  coni^ot  ce«r 
i  cent  )  comme  étant  des  dixaines  \,Jk.  ce 
^i  refte  ea  les^  coMaat  miUe  à  vaille» 
comme  iétam.  de^  centainest  &e.  ic  09 
ttoaveca  i  la  fio  le  nombre  cherché  cx^ 
primé  par  des  HX>ts  &  par  de»  chifi^es  prc^ 
près. 

'On  &  fotmeca  de  m&UAC  facilotRent  iTir 
dée  de  tout  nombre  exprimé  par  des.  01091^ 
ou  par  d<es.  chifres  veti  asraDgeant  (es  idées 
daitô.  U  même  oïdco  >  ^  on  poima  s'o» 
^bipips  U9ft;  inp^e  dîftinâe  par  FàppH<:a« 
tio^  aux  chofes  ièn£bles«,  Car  Wi  exei%- 
||lc  OUI»  imagine  diftt^^ernc^  dix  doiets 
ou  moins ,  on  i (pagine  dift inârcfpent  djx 
|u>mme&ou  moins  ^  eninaagine  diftinfte- 
^neoc  dix  cb^ml^ift^  jq«  moins  >.  dws  châ>- 
cune  der<|ueUe$)  il  y*  m  )c  même  oom^ 
lire  d' iMH^me$  s  (çiivoirdixottmoîns^oii 
imagine  diftipd:9ment  dix  njiaifibns  ».  èsàm 
icfa^ime  dc%i$tf  esr  il  j^  iût  dis^  dambset 


éfJrifbmetufMè  &  JtAlgàn^  T t 
»a  mofiis  en  même  nombre  \  on  imagine 
dillmAement  dix  xuës ,  dix  quartiers,  dix 
Villes  &c«  dcxic  en  ne  pouvant  pas  la 
dnfier  {dus  loin  y  on  pcoc  imaginer  diftîn^ 
âefoem  imn  les"  isombres  dtpuis  l'unilé 

On  espcîmeni  pas  de»  mot»  la  valetir 
de  mui  nombre  exprimé  par  des  chii&es>' 
en  divifànt  ces  chifres  de  trois  en  tioîs 
de  dDDÎtc  k  gaache  j  8r  commençait  pat 
ftooabres^dixames»  cencdnes  d'onfcez,  pms 
par  Aocobtes,  dixaines,  centaines  de  milïe^ 
pois  par  nombres  ,  dixaines  »  centaines  de 
miihons&c.  joiqoes  â  cequW  ait  tcoi»- 
vé  la  vatenr  du  premies  chif re  à  gatrehet 
<c  alocs  commençant  fexprcflion  par  ce* 
luy-U,  on  dit  toM  de  iime  la  valeur  dbf 
trois  chifres  de  chaque  tranche  »  8c  CHI 
aioute  (on  nom  panicolier,  de  million» 
de  mille,  oq  d'unitez ,  en  déprimant  tou- 
tes les  expre0ions  où  il  y  a  des  zéros. 

SaenBpkcy  7f  (8^  s expniiae  tteme« 
cinq  mille ,  huit  cent  lepcante-trois. 

f  03  I  tf  00  I  708  s*cxprime  cinq  cens 
Kois  «illfons  y  fix  cens  mille  fept  ctm 
hak»  &  7[ooo|50i  s'e:i^me  feptmjl- 
hans  csoqr  ccns^tKU 

A»  cocnradre  pour  exprimer  par 
la  valew  de  roiat  nombre  exprimé  par  de» 
mocS).  ca  cononeace  par  éaiie  1er  di^ 


f^ 


{tt%  de  gauche  à  droite  &  par  Itf  pfa^ 

Î;rand  nombre.  On  exprime  par  cxcn^le 
es  centaincs^,  nuis  les  dixaincs ,  puis  Je 
iK>mbre  des  raillions  ;  enfuite  on  exprime 
les  centaines ,  puis  les  dixaînes ,  puis  le 
nombre  des  mille  &€•  &  on  met  des  zéros 
à  la  place  des  tranches  que  Ton  omet,  ou 
des  parties  de  ces  tranches  qui  rïc  font 
pas  exprimées. 

Ainii  pour  exprimer  en  chifres  ce  nom- 
bre ,  trente  mille  deux  cens  fept ,  j'écris 
30x07.  &  pour  exprimer  deux  cens  cin- 
quante -  quatre  mille ,  trois  cens  trente- 
Huit -,  j'écris  2  ç 43  3  8.  un  peu  d  ufage  ap. 
prendra  le  refte ,  ac  il  fuflSt  de  favoir  con- 
ter &  chifrer  jufqucs  à  deux  cens  pour 
conter  &  chifrer  i  l'infini. 


Chapitre    III. 

-  1>€S  diffmntes  exfrejftûns  dei  mimes 

Nimbreu 

POut  exprimer  fept  dixaincs ,  huit  di- 
xaines,  neuf  dixaincs,  on  dit  en  cal- 
culant fcjptante ,  huitance,  nouante ',  hors: 
du  calcul  on  dit  &  on  éerie  feixante-dïs^ 
quatre-vingts ,  quatre  -  vingts  -  dix. 
Et  ks  nombre»  d'encre  deux  s  expriment 


JC Arithmétique  &  tf  Algèbre. 
«at  foixance-onze  >  foixante  -  douze  tccl 
ibixante  dix-neuf î  quatie-vingcs-un>qua- 
trc-vingts-deux ,  &€.  quatre-vingcs-ooze» 

3 uatce- vingts-douze  &c.  quatre  -  vingts^ 
ix-neuf. 

Au  lieu  de  c^nt-vingt  on  dit  fix-ving(^ 
mais  on  continue  fuivant  la  Règle  pat 
cent  vingt-un ,  cent  vingt-deux  Sec. 

On  dit  aufli  onze  cens,  douze  cens  ^c« 
onze  mille  »  douze  mille  &c.  mais  en  ma« 
ciere  de  Chronologie  on  dit  Tan  miU 
deux  cens  &c.  mil -fix- cens,  (bivant  la 
Règle. 

La  raiCbn  de  cette  irrégularité  peut  è« 
tre  attribuée  vray  femblablement  à  Ta^» 
grément  de  la  prononciation  que  Ton  trou* 
ve  plus  douce  dans  ce  mot  ,  par  exem- 
ple, (bixante-dix  que  dans  feptantejd  eau-* 
le  des  deux  confbnnes  f  t,  que  nôtre  Lan* 
gue  évite  ,  &  par  la  même  raifbn  on  a 
mieux  aimé  dire,  quaue- vingts  qu'étante, 
comme  on  diibit  autrefois  â  caufe  des 
deux  con(bnnes  et,  Se  oStante  sl  peut-<e^ 
tre  fait  auffi  rejetter  huitante ,  quoique 
ce  dernier  mot  n*ait  rien  de  rude;  &  com-^ 
me  on  a  dit  {bixanteidix ,  foixante  -  onr- 
ze ,  on  a  voulu  dire  auffi  quatre-vingts^ 
dix ,  quatre-vii^ts  *  onze  pour  confervec 
l^Analogie..  >    peut  •«•  être  auffi  a  - 1  -  on 

cjça  mieux  concevoir  c^^uc  ccft  qoe 


14  ihùwmx  JEl^moMs 

ajoute  i  fûiK«ue ,  que  ce  ^quc  c  cft  que 
fept  fois  4ix  i  &  ce  que  c  eft  ^ac^<q\mxc 
fois  viagt ,  que  ct^xtc  c'eft  que  ^mt  fois 
4ix.  Quj?y  qu'^^  ^  ^^^  ^^  ^chmeticieM 
ont  eu  raifon  <îe  retenir  les  mats  de  fe- 
pcante»  liuitaote ,  nouante ,  parce  qux)U- 
cre  qoe  cette  es:c«eflion  eft  plus  cource» 
plus  rcglec  8c  plus  uniforme  ,  ce$  eoDts 
te^aXhot  natureliement  lïdée  Be  fept, 
de  hnk  &  de  nerf  diwtmes  »  A  quawifi 
en  ^ft  porté  à  écrite  ou  à  retenir  les 
chifrcs  y\  8  &.9  qm  Tes  jcxprimcnt,  iitt 
lieu  quen  diftot  toixantc  -  dix ,  quatre.* 
jongtsv,  quatre-vingts-fldiKiîon  eft  fmxé  â 
Aaâoc  ott  i  retenir  les  chifrcfi  r6  Î8C4 ,  c» 
loui  eft  une  x^cscafion  d'emeun 

Pour  ^  -  vftfjr^  >c«ft  la  «èiBC  fiiifôn 
^ue  pour  quatre-vingts. 

Pour  onze  cens ,  douze  «fi» 'toc.  c'cft 
«me  fiûte  de  lapremiejDeji££egidatiré,t>n- 
Xt ,  douze  &c.  &  il  T  a  appaeence  qu*om 
a  forme  ces  mots  propres  pour  les  fix 
|îremiers  nombres  aa  oefliis  de  dix  ,  i 
caufe  du  graid  ufage  dont  ils  font  dai» 
Jes  poids ,  les  mefiues ,  .&  les  monnoyes» 
JPui^ue  f en  fins  for  la  Grammaire  jrar 
4D&tera^  jp'on  prononce  dk-fept,  dix* 
tuitjdix.neaf,  vingt-un, vingt-deux &c. 
frkigt-neuf,  comme  s'il  y  avoit  vn  § 


^nsit  difce-fept  »  vingce-un  &c.  &  qùaii 
cracrdtoe  lociqiic  ks  nosîhres  tles  ^mai^ 
iKs  fir  tqimiixaxc  par  on  e  muet  5X0100» 
leenee»  quacanoe^âcc.  on  pcononce  «am« 
01e  s'il  y  avoic  nn  (^  encre  ces  deox 
motSi,  iorique  le  dernier  eft>  nn,  :<iiz»oii- 
te  &C.  'âii^neaf ,  <Sc  comme  fi  on  <écd- 
^çÀt  trent'&  un ,  fishcanc'&'clix ,  foiz»t* 
4c  oicee  êcc  Mais  on  pmiKmoe  comme 
<m  'écrit  trente -demc,  xcence-ttoÎB  fcc» 
<tente--neo£  On  {vonanoe  auffi  qtuaco» 
vingts -'Wi»  quacce-vîngtsHonze  ,  ommie 
£  on  écnvoit  quacrevin-un  ,  quaccenn- 
onze;  mais  on  iéQrit.& on  pionimoe  œe»* 
«e-iringts  ans  »  panx  que  vii^t  fc  ifecune 
4c  {iiit  la&egle  des  pUirien»  comme  :rfM 
4c  xnilUon  avec  Ces  compo&x  :  tous  les 
Antres  (ont  indéclinables. 


Cba^pitkb    IV. 

jg«rjf  ^^rr  manUre  d^exprejjîan  neppéH 

funmtfU  4rhitré$re  »   mais  ^m'ettc  cjk 

find/e  en  rmpm  &  fur  la  nature  /jà* 

quen  y  faifant  très  pen  de  chan^é^ 

mens ,  eâejerêit  U  pins  psfféite      *'" 
fût  poffiiie. 

DE  qoelque  Meâiode  qti*on  (e 
ti»iic^PMt  aoatec  ni  chifta  ^ 


i€  Nouveaux  Elemens 

fini  {ans  employer  ou  une  infinité  <ie 
mots  &  de  chifres  difFerens  >  ou  une  infi« 
nité  de  fois  le  même  mot  &  le  même 
chifi:e  :  mais  la  plus  parfaite  de  toutes  les 
Méthodes»  eft  celle  qui  pour  exprimer 
le  même  nombre  employé  le  moins  de 
mots  &de  chifres  qu'il  eft  poffible;  qui 
les  employé  d'une  manière  réglée  &  uni- 
forme »  &  qui  ne  fiippofe  ni  trop  ni  trop 
peu  d  étendue  de  mémoire  Se  d'imagina* 
cion.  Cela  ûippoTé  >  je  croy  pouvoir  de<- 
montrer  que  la  Méthode  dont  on  fe  fcrt 
eft  la  plus  parfaite  qu'il  fbit  poffible.  Car 
premièrement  il   eft  évident  qu'on  ne 
peut  fe  pafTer  de  progrefiion  »  c'eft  à  di^- 
fe.  .d'une  répétition   fùivant  un  certaia 
axombre  >  comme  de  dix  en  dix ,  de  cent 
en  cent  y  &c.  parce  qu'autrement  il  fatx^ 
^4ioit  un  mot  &  un  chifre  nouveau  pour 
chaque  nombre ,  ce  qui  eft  impraticable, 
zo.  Pui^  .qu!on  peut .  exprimer  tous  les 
nombres  par  une  feule  proereflîon  >  il  £b* 
Voit  inutile  &  contre  1  ordre  d'en  ertt* 
ployer  plufieurs  »  en  quoy  nôtre  cxpret 
lion  en  chifres  Temporte  fur^  celle  des 
Jiebretix,  des  Grecs  &  des  Romains^i  30, 
tntte' toutes  les  progrcflions  il  n'y. a  que 
celle  de  dix  en  dix  qui  foit  fondée  fur 
la  nature  Se  en  tai&n.  Car' comme  *to?s 
]çs:h^^e(.fe  ^ot  aaturellemcnt  fg:^ 


vis  de  certaines  parties  de  leurs  corpSy 
pour  xtiefarer  les  longueurs  &  les  lap* 
geofs  )  que  c  eft  de  U  que  (oïii  venues  les 
mefbres  par  pieds  ,  pouces  9  coudées  » 
brafles  >  aulnes,  &c^  ils  ont  été  de  mê- 
me portez  à  conter  fur  leur  doigts  ju^ 
ques  â  dix  >  &  à  recommencer  enfuite 
lufques  à  la  ièconde  dixaine ,  &  ainfi  de 
iiiite. 

La  main  eft  de  toutes  les  parties  da 
corps  la  plus  propre  i  conter  ,  comme 
ayant  le  plus  de  parties  fcnfibles ,  mobi-r 
les  &  expofées  diftinâement  i  la  tuëv 
Ceft  ainii  eue  le  pied  eft  ta  mefure  la 
plus  nararelle  des  oiftances  (ur  la  terre» 
&  le  bras  la  mefure  la  plus  naturelle  de 
la  longueur  des  corps  flexibles  qui  peu-*^ 
Tem  Y  hre  appliquez. 

D'ailleurs  filonprenoit  une  autre pro» 
greflion ,  ou  elle  feroit  plus  grande  que  la^ 
progreflîon  décuple  y  ou  elle  feroit  plu» 
petite.  Si  elle  étoit  plus  grande ,  comme 
par  exemple  de  cent  en  cent  y  il  faudroic 
Te  charger  la  mémoire  de  cent  termes  * 
&  de  cetK  chifres  primitifs  au  lieu  de  dix^ 
&  à  proportion  que  la  progreffion  feroic 
plus  grande  9  il  faudroit  apprendre  un 
plus  grand  nombre  de  mots  &  de  chifires)^ 
ce  qui  eft  déjà  un  inconvénient  y  mail& 
parce  qu'on  pomroit  tépondse  qae  d'us» 


il  NûMVêémx  JEUwnm 

sxmt  cote  on  aucoic  ravamdge  d'expr»» 
mer  de  plus  grands  noisbres  par  moins 
de  iftots  &  QK}ins  de  chifres  >  j^ajoûce 

Zie  dans  cette  (appofidon  il  faudroic 
voit  pai  cœur  toutes  les  operati<H)s 
^'oQ  peut  faire  (m  deux  oomores  fJlus 
petits  que  ccK»  de  nême  que  dans  Wy^ 
potkc£b  ordinaire  on  fu{^{e  <yi'oii  ùtr^ 
che  ajouter  par  cctur  tout  nombre  plus^ 
petit  cpie  dix ,  à  tout  nombre  plus  petir 
^e  dix  >  &  SDcltiplier  tout  nombre  pW 
petit  que  dix,  par  tout  nombre  plus  petir 
que  dbx  r  of  il  eft  ridxcute  de  fuppofer 
^'oo  lâche  multiplier  pau:  cotur  6y  pat 
5  8  y  comoae  nous  uippoions  que  l^en  fa>- 
che  nraltipiier  (ept  par  cinq. 

Si  au  contraire  oo  fe  ferroit  unique^ 
ment  on  dt  ta  répétition  dv  mot  un  »  H 
du  chifre  i.  ou  fi  Ion  prenoit  une  pro* 
greffion  beaucoup  moindre  que  la  deco*^ 
pie,  3  (audroit  repeter  trop  fouvent  \t% 
«D&nes  mots  &  les  mêmes  chifres  »  &  oi» 
ne  pourroit  de  cette  manière  conter  com-^ 
modémcnt  que  de  très  petits  nombres» 
On  ne  tireroit  même  aucun  avancée  de 
CCS  petites  progreffions  ;  quoique  les  ope-» 
rations  par  cœur  en  ftiSent  pfus  aifeest 
parceque  d'un  autre  coté  il  en  Êiudroie 
faire  beaucoup  plus.  En  un  mot ,  comme 
tous  les  fc^ypyiiny  Iboc  poctcs  à  coioei' 


i  Aiiémti^i  é  Jt  Atgilre.  if 
(îir  Uiir  doigs  >  les  intervalles  d'un  tecme 
4ç  la  pi^t^ion  à  Tautre ,  on  aiuoit  pour 
wA^  mre  des  doiets  de  reftc  »  en  prenant 
»nc  progreffiop  plus  pedce  que  la  decu<r 
pie  ,  &  Q0  n'en  auroit  pas  aflez  fi  on  pre-* 
sioit  «ne  progrcffion  fdus  grande  \  dans 
le  premier  cas  on  fuppofè  trop  peu  d'é^ 
tendue  de  mémoire  &  ^'imagination  ^ 
dans  le  fécond  on  en  fuppofe  wjç  Se  fans 
fecoucs  du  coté  des  fens.  Enfin  toutes  les 
antres  progreffions  feroiem  purement  ar«r 
bitraircs  >  la  progrcffion  décuple  cft  la 
feule  qui  Ibit  naturelle  5  Se  t'uuige  en  ttt 
tellement  étabfi  qu'il  £broît  iciutiie  d'en 
ptopofèr  une  autre* 

11  n'y  a  rien  du  tout  1  changer  dans 
reipreflion  en  c.hifircs  >  fi  ce  n'eft  peut-r 
eue  la  forme  des  caraâieres  qui  pourroir 
itre  plus  fimple  >  comme  fï  c'etoit  de  fim*- 
pies  traits  I  ou  des  points  arrangea  diffi> 
temmenc* 

-  Pcnir  l'expreflion  verbale  il  y  aaioit; 
«uatre  choies  i  cfaaçeer.  r>*  Que  les 
2om  des  &x  preoùen  nooibtes^flear 
a^oQofylIabes  9  &  les  fylkbes  les  plus  fins-- 
pies  qu^il  fut  poffible»  29.  Qu^àu  lieu  des 
Sx  mots  onze ,  douare  Sec.  feize  >  os  dît 
dix-un,  diK-rdcQX  ârc^o-  Qu/Q  Ken  de 
vingt  trente,  quarante  Sec.  on  d!t  deuK 
dk  >  txois  Jàjf,  ^  comfoc  I  on  dit  dsm^ 

»9 


*-(»■.• 


to  Nûuveanfx  Elemtm 

cens  9  ttois  cens ,  cfcux  mille  ,  crois  tnif- 
le,  deux  millions,crois  millions.  40*  Com^ 
me  on  a  évité  la  répétition  du  même  mot 
tout  de  fuite ,  &  que  c'eftpour  cela  qu'a- 
prés  dix-neuf  au  lieu  de  dire  dix-dix»  par 
addition  on  a  formé  te  mot  de  vingts  8i 

3 u  après  tionante-neuf ,  au  Kea  de  dire 
ix-drx  par  multiplication  on  a  fomiéun 
nouveau  mot  ccft^y  on  ne  devoit  point 
avoir  formé  de  nouveau  mot  pour  dix 
fois  cent  qui  eft  milte>  comme  on  n'en 
a!  point  fcumé  pour  dix  mille  3  pour  dix 
millions  &c^  mais  fuivant  la  même  ana- 
logie, comme  pour  dix  fors  dix  on  a  for- 
mé un  nouveau  mot  cent ,  Se  pour  mille 
fois  mille  un  nouveau  mot  miUi§m,  on- 
xie  devoit  former  un  nouveau*  mot ,  que 
pour  cent  fois  cent  qui  répondroit  à  nô- 
tre dix  mille  r  &  un  autre  nouveau  mot 
pour  mille  (bis  nulle ,  qui  répondroit  è 
nos  cent  millions,  &ainfî  de  fuite.  De 
cette  manière  il  aurodtc  £iilu  incompara- 
bkmem:  moins  de  mots  r  la  Méthode  au^ 
roit  été  parfaitement  unifomie  ,  &  au^ 
lieu  de  divifer  tes  chi&cs  de  trois  en  trois 
en  progreffion. Arithmétique  y  il  autoic 
falkfcks  diVifer  fuivant  cette  progreffioni 
Géométrique  i*  2*  4.  8.  16,  fcc»  mais» 
comme  ces  reflexions  ne  peuvent  pas  è- 
ttc  réduites  en  pratique  »  je:  ne  m'y  aç^- 


JC Arithmétique  &  J^jitgehre.  n 
têteray  pas  davamage.  Je  croy  en  avoir 
aâTez  dit  pour  expliquer  à  fonds  l'e:^re& 
lion  des  nombres  y  ce  qui  me  fèmble  n'a/ 
Toir  pas  encore  été  fait. 


^  Chapitre    y. 
Ue  texfrejjiem  en  Lettreu 

LEs  tiombres  particnfiers  de  connut- 
cofnroe  deux  >  troi»  &c#  s'exprimcnç 
comrne  nous  avons  dit  par  des  chifres  ^ 
&  c'eft  lobjet  de  TArithmecique  prati* 
que  ;  mais  outre  ces  nombres  il*  y  en  a 
que  j'appelle  mmbre$  dennet^y  &  d'au- 
tres que  j  appelle  nombres  inconnus ,  fe* 
Ion  qu*^ils  expriment  les  rappons  des 
q[Uântitez  données  on  inconnues  \  ce  qui 
^entendra  mieux  par  cet  exemple ,  toit 
le  triangle 

ABO,do»-  ,B 

^é,  ceftà  y^    jg,_^ 

dire  trace  a-  ^     .  x    •**      - 

âueliement 


fur  le  papier  A . 

on  fur  le  ter-  1) 

fain,  &par  confequent  fes  trois  cotez; 

e'eft  i  dire  les  trois  lignes  A  B  ,  B  C  , 

ÇA^  font  âQÛi  données  y  inais  elle»  nei 


2z  Naumeêffx  Ekmensf 

ibnt  pas  connues  »  parce  qu'on  ne.  ùat 
pas  le  raf^Kifft  qu  elles  ont  en  nombres  ^ 
on  ne  fait  pas  cornhien  de  fois  chacune 
conrienc ,  par  exemple  leur  conumine 
mefure  E ,  &  on  ne  peut  fçavoir  ce  rap- 
port que  par  ^une  expérience  methodi-^ 
que ,  en  fouftrayaoc  la  plus  petite  de  lu- 
ne  des  deux  plus  grandes  »  &  fbuftrayant 
le  rcftç  de  la  plu»  petite ,  &  le  Cecond  re- 
fte  du  premier  refte ,  &  le  troifiéme  reftc 
du  iê<ond  9  tu  ainfi  de  fuite  jufques  à  ce 
qu  on  trouve  un  cefte  qui  mefure  jufte 
Je  refte  précèdent  :  il  fe  peut  faire  même 
qu'on  ne  trouve  point»  ou  qu'il  n'y  air 
point  de  tel  refte  »  &  en  ce  cas  ces  lignes 
ibnt  données  &  ne  peuvent  être  ccm^ 
fiues. 

La  manière  de  me&nrer  ctt  lippes  fur 
le  tetraÎR  par  l'application  d'une  toife  ^ 
4es  pieds  &  èc%  pouces ,  &  de  tes  mefu^^ 
ter  Ixxx  le  pœierpar  une  échelle»  eft  cot?if 
mode  pour  fa  pratique;  mais  elte  cft  Mer 
caniquc  &  point  du  tout  Géométrique* 

Je  fiippofe  qu  pn  veuille  favoir  en 
gênerai  &  en  nombres  ,la  longueur  d^o** 
Bf  perpendiculaire  BD  >  qui  tcmbe  d'un 
point  B ,  fur  le  coté  oppofé  AB  >  dawf 
un  triangle  donné.  Et  comme  tout  tria0(- 
gte  donné  peut  être  reprefenté  par  tr 
jttiangLe  A  B  C>  fi  j'exprime  les  ttai»  Jft^ 


r 


itjiritbmitlfMêfJhérjtlgiire.        x^ 

^nes  ABs  BC,  CA>  par  des  nombre» 

p^rdculters  &  connus,  comme  C  je  (up* 

pofe  que  A  B  fi>ic  <ie  i5,BC»dex}r 

&  C  A  de  14  s  &  que  fuivani  cette  (ûf^ 

fofidon  je  cherche  la  iongaeuc  de  la  per-» 

pe&dicui^re  B  O»  la  Geomcciie  &  i'A%e* 

Me  me  fommiont  une  rcfelotion  parti-» 

ctiliere,  &  ;e  trouverayque  BD  eft  cit 

1 2r  >  mats  poof  avoir  une  refolution  ge« 

mesale  »  fc  qui  convienne  également  â 

icMis  les  cas  poffibks,  il  ùm  qu'au  lietx 

des  nombres' particuliers  M*  14*  &  tf*^ 

je  me  ferre  d  une  expreflmn  générale  >* 

&  il  eft  iBipcffiUe  d'en  trouver  de  plu» 

fimple>  de  plus  ^mitiere ,  de  plus  com^ 

mode  que  l'etpciSoD  arbitraire  dts  let»^ 

1res  de  F Alpjiaoet  »  ain£  j'appelleray  par 

crois  lettres  les  urois  lignes  données,  ')z^ 

peiieory  A  B»4,  &  B  &  ,  je  TappeScxair 

à»  &CA>  je  rappellera^  #,  c'cft  à  dire 

que  ces  trois  tetaes  4>  ^  >  r  >  me  reprer 

fenterocit  généralement   &   rndiftinfte-^ 

ment  tous  les  nombres  poffiblcs  avee 

cette  ieute  ceftriâion>  que  les  deux  joints^ 

«ifcmble  ibienr  pfns  grands  que  le  troi«« 

€éme  >  parce  que  tes  deux   cotez  d^u» 

triangle  font  toujours  >  Itant  pris  en&nv* 

Ue  plus  grands  que  te  troifiétne« 

La  perpendtculatre  B  D  cft  inconnmi^ 
êc ^  Tappclie  Mi  9c  cette  teoie  me  xo; 


5^4  KtùUveâHX  Etimeng  . 

prefente  gjénétatem^nc  tou$  les  nombres 
qui  ont  le  rocmc  rapport  aux  trois  nom- 
bres A ,  B ,  C ,  que  la  perpendiculaire  a 
aux  côte^S  fcpre{entez  par  ces  nombres.^ 
•  La  Géométrie  &  FAlgiebre  tnc  fourni- 
ront une  refolution  gencrrfe ,  c  eft  à  di- 
re la  valeur  à*x ,  exprimée  par  les  trois 
lettres  A,  B ,  C. 

Mais  parce  qu'il  eft  important  de  di* 
ftinguer  dans  ks  opérations^  les  nombres 
donnez  d'avec  tes^  nombres  inconnus, 

{'exprimeray    les  nombres  donnez   par 
es  onze  premières  lettres  de  FAtphaber^ 

les  nombres  inconnus  par  les  onze  der^ 
sieresyM ,  &,  p,  f  >  r,/,  tyu,x,j,z>* 

U  arriva   rarement  qu'on  ait  befoin 
d'exprimer  une  fi  grande   quantité  de. 
Aornores ,  s*il  en  fatloit  exprimer  da\^- 
csige  on  fe   fèrriroic  dTautres  paraâerea 
ou  d'autres  Alphabets  à  di(cretion. 

Ces  nombres  donnez  &  inconnus  ex** 

frimez  par  des  kttres  font  proprement 
objet  de  l'Algèbre  ;  ces  lettres  ne  re^ 
pretentenr  pas  dirc&ement  les  quanritez 
données  >  mais  ks  rapports^  en*  nombre 
de  ces  quantitez.  A  reprefente  le  rap^ 
port  de  la  ligne  A  B  à  la  figne  E ,  unité 
réelle  ou  ruppofée,  ce  (ont  ces  rapports 
qaou  muitipue  6c  qu^on  diviic  tœt  qu'on 

veut 


^jirithméthpie  t^  d'Algthre.  xj 
Veut  à  l'infini  les  uns  par  les  autres,  ce 
qui  ne  fc  peut  dire  fans  ablîirdité  des 
lignes  mêmes ,  ou  des  autres  cfpeces  de 
quantité  de  même ,  ou  de  différent  gen- 
re. Ainfi  l'objet  de  l'Algèbre  n'eft  point 
la  grandeur,  ou  la  <juantité  en  gênerai; 
mais  les  nombres  donnez  &  inconnus,  en 
tant  que  ccux-cy  peuvent  avoir  un  rap- 
port connu  aux  nombres  donnez. 


CHAPITRE      VI. 

De  l'Addition. 

Definithn  de  f  Addition. 

L'Addition  cft  une  Méthode  d'expri- 
mer leplus  fimplement  qu'il  cft  poC- 
fible ,  la  (omme  de  deux  ou  plufieur^ 
nombres. 

frof  option  fromiero. 

Ajouter  deux  nombres  connus,  &  ex- 
primez par  des  chifres. 

On  fuppofe  qu'on  fâche  ajouter  par 
cœur  tout  nombre  plus  petit  que  dix ,  à 
tout  nombre  plus  petit  que  dix,  &  en  ex- 
primer la  fommc  en  chifres,  que  (î  Ton 
ne  veut  rien  fuppofcr ,  voicy  une  Table 
qui  marque  ces  additions  toutes  faites. 

C 


%s 


ITâUVcaitx  Ekment 


TABLE    D^ADDITION. 


%  6c%  font  4 

2  &  3  font  % 

2  &4  font  6 

2  &  y  font  7 
%  &c6  font  8 
X  &  7  font  9 
z  &8  font  lo 
X&c^  font  1 1 

}  &  3  font  tf 

3  &  5  font  8 
3  &  6  font  9 

3  ^7  ^^^^  ^^ 

3  &  8  font  1 1 

j, oc  9  font  II 


A  &4  font  8  ' 

4  &  y  font  9 

4  &($  font  lO 

4  &7  font  II 

4  &  8  font  I  z 

4  &  9  font  1 3 


m 


y  &  y  font  lo 

^  Sc6  font  I  r 

y  &  7  font  I  z 

^  6ct  font  1 3 

y  &9  font  14 

6&é  font  iz 

6  Se  y  font  l  J 

^&8  font  14 

6&9  font  ly 


7  &  7  font 
7  &  »  font 
7  &  9  font 

14 

ly 
i(î 

8  &  8  font 
8  &  9  font 

\6 

17 

9&9  font    1$ 


Ceft  la  même  chofc  d'ajouter  tf  I  3, 
que  d'ajouter  3^6.  mais  Tordre  veut 
qu'on  ajoute,  ou  un  nombre  égal  à  un 


JC ArithnHiiqne  &XAr^hre.  i^ 
tiotnbre  égal,  ou  un  plus  petit  aombte 
i  un  plus  grand ,  &  le  grand  nombre  eft 
proprement  le  nombre  auqpel  on  ajoute» 
Se  le  petit  nombre  eft  le  nombre  à  a-* 
joûtec. 

Premier  Exemple. 

Il  faut  ajouter  3 17  442  x. 
j^écris  le  petit  nombre  fous  le  plus 
grand ,  les  unirez  fous  les  unitez , 
les  dixaines  fous  les  dixaines.  Sec.     yt^ 

Et  je  dis  en  commençant  par  les  uni-, 
tez  1  &  7 ,  ou  7  &  X  font  ^  j  j'écris  y 
au  rang  des  unitez. 

Je  pafle  enfùite  aux  dixaines.  Se  je  df^ 

3  &  2  font  (  >  j^écris  ^  au  rang,  des  di^ 
xaines. 

Enfin  je  viens  aux  centaines  &  je  dis 

4  &  3  font  7  •,  f  écris  7  au  rang  des  cen- 
cainesj  &u  fomme  eft  j^f» 

Secend  Exemple. 

n  faut  ajouter  87S  à  ^^%t.  f  481 
f  écris  878  fous  ^  48  2,  les  unitez  878 
(bus  les  unitez  &c.  &  je  dis  en  >>■ 
commençant  par  les  unitez  x  6 '^60 
&  89  ou  8  &  z  font  lo*  &  parce  que  10 
ne  peut  s'exprimer  que  par  deux  chi- 
fres ,  j'écris  le  dernier  qui  eft  o  >  au  rang 
des  unitez ,  &  je  retiens  1  .pour  les  di- 

C  ij 


1$  Nouveaux  Elemeni 

xaincs  9  aufqucUes  je  paflc ,  &  je  dis  f - 
dixainc  que  j  ay  retenue  &  S  font  9  ; 
&  9  &  7  font  I  tf.  j  écris  par  la  même 
raUbi  (^  au  irang  des  dixaines>  &  je  re- 
tiens I.  pour  les  centaines  aurquetles  je 
paflc  •,  &  je  dis  i  centaine  aue  j'ay  re- 
tenue ,  &  4  ou  (itnplement  i*&  4  font  %*y 
tc^  & 8 font  i^\  j'écris  3  au  rang  des 
centaines  >  &  je  retiens  i-pour  les  n)ille> 
aufquels  je  pafTe ,  &  je  dis  i  &  5  font  6y 
l'écris  6  au  rang  des  mille  ^  la  fomme  eft 

Trùiji/mi  Exemple* 

Il  faut  ajouter  J70300  i  83^070* 
)'écri$  570300  fous  0  3  ^070.  &  je  dis 
en  commençant  parles  uni-  836070 
tez,  o  $^  o  font  o>  car  il  570300 
eft  évident  que  rie^i  ajouté  ^  ^  "  >    ■■ 

à  rien, fait  pour  ainh  di-  1406370 
re  un  autre  rien  ;  j'écris  o  >  au  rang  des 
unirez ,  &  pafTant  aux  dixaines  >  je  dis  7 
&  p  fpnt  7.  car  il  eft  évident  que  zéro 
oii  rien  ajouté  à  un  nombre»  ne  l'augmen- 
te point  5  j^écris  ^  &  je  paflc  au  rang  des 
centaines ,  Se  je  dis  o  &  3  font  3  \  j'é- 
cris ^.  &  continuant  je  dis  6  &  o  font 
6  5  j'écris  6.  pnis  3  &  7:)  ou  7  &  3  font 
I  o  >  j'écris  un  o  9  &  je  retiens  i  •  enfin 
i  q^ue  j'ay  retenu  &  8  font  9  ^  &  5  font 


r 


Jt  Arithmétique  &  à^Algelri.  ijf 
14)  &  comme  il  ne  rcfte  plus  rien  i 
ajouter  ,  j'écris  les  deux  chifres  14*  8c 
là  {bmme  eft  140^370^ 


L 


VAiâiti^n  rékitit. 

Ots  qu'on  à  phis  de  deux  niombre^  1 
ajouter,  c*eft  une  Addition  réitérée. 
On  luppofe  qu'on  fâche  ajouter  tout 
nombre  plus  petit  que  dix  à  tout  nom- 
"  bre  connUi&  en  exprimer  la  fotnnie:qu  on 
fâche  5  par  exemple  que  ^  ajouté  à  45 
fait  J4,  &  7  ajouté  a  yt  fait  ^2. 

Que  fi  l'on  ne  veut  rien  fuppofer,  il  faut 
conter  fur  fes  doists ,  par  exemple  9  uni^ 
tez  depuis  4  y ,  jufqoes  à  ^4»  ou  7  unirez 
depuis  je  jufqueftàtfi.  Car  on  n'y  peut 
pas  fuppléer  par  une  Table. 

Pnmier  Exemfte. 

Il  faut  ajouter  ces  trois  nopoibres  87084» 
37^oo>8j07.  jeles   87084 
écris  l'un  (ous  l'autre,    37300 
Icsv  unitez  (bus  les  uni-       83  07 
lez,  les  dixaines  (bus    ■  ■'    '  ,    m 

les  dixaines ,  &c.  &  1^1691  (bmmcr 
commençant  par  les  unirez ,  je  dis  4  &  o 
font  4,  &7  font  1 1,  ou  (împlement pour 
abbreger  omettant  tous  les  zéros  qui  ne 
changent  rien  à  la  fomme.  Je  dis  4  &  7 
font  n  5  j'écris  i.  &  je  retiens  i.  &  paf; 


^o  KoMViâUx  Elemens 

faut  aux  dixaines ,  je  dis  i  &  8  font  ifi^ 

fécm  9* 

Enfuite  je  dis  3^3  font  6  >  j'écris  6^ 
Puis 7& 7  font  1 4, & 8  font  ix ,  j'écris 
2  &je  retiens  i.  Enfin  1  &  8  font  io> 
S^  3  font  1 3 .  j'écris  1 3.  &|a  fomme  chec- 
chce  eft  13x^^1* 

Second  Exemfle* 

II  faut  ajouter  ces  quatre  nombreir 
578  ,  407,  $3»  88. 
Je  les  écris  l'un  fous  l'autre  &c.  Ç78 
le  plus  petit  nombre  foa$  celuy  405^ 
ui  eft  immédiatement  plus  grahd,  ^  3 
u  moins  ceux  qui  ont  moins  88 

de  chifres  >  fous  ceux  qui  en  ont  ■ 

plus,  &  opérant  comme  cy-def-      1 1 65 
fils,  je  trouve  que  la fomme  eft  1 1 66* 

Si  Ton  avoit  une  trop  grande  quantité 
^nombres  â  ajouter,  par  exemple  fi  Ton 
avoit  quarante  nombres ,  on  peut  partâ* 
ger  Toperadon ,  &  faire  par  exemple  qua*- 
tre  fommes  partiales  de  dix  nombres  cha* 
cune  5  &  la  lonune  de  ces  quatre  fommes 
pardales  qu'on  ajoCfteroit  à  part ,  donne- 
loit  la  fomme  totale  cherchée.  L  ordre 
Teut  qu  on  n^ajoûte  pas  à  la  fois  pKis 
de  dix  nombres  i  afin  de  n'avoir  jamais 
quHin  cbifre  â  retenir  dans  tous  Içs 
ïangs. 


3: 


REGLE      GENERALE 
FOUR   l'Addition. 

IL  faut difpofer  les  nombres  i  ajoûtef 
de  telle  foitte ,  que  les  unitdz  fbient 
fous  tes  unitez ,  les  dixaines  fous  tes  di- 
zaines ,  les  mille  fous  les  mille  »  les  di- 
xaines de  mille  fous  les  dixaines  de  mil- 
le  &c.  &  poui  un  plus  grand  ordre,  le$ 
nombres  qui  ont  moins  de  chifres»  fous 
ceux  qui  en  ont  plus. 

Apres  cela  il  faut  commencer  par  ajou- 
ter les  unitez  »  &  fi  la  fomme  des  unitetc 
peut  être  exprimée  par  un  feul  chifre , 
on  écrit  ce  chifre  au  rang  des  unitez  ;  ic 
on  pafle  aux  dixaines.  K4ais  fi  cette  fom- 
me s'exprime  par  deux  chifres  :  on  écrit 
le  dernier  au  rang  des  unitez ,  ic  on  re- 
tient le  premier  pour  Tajouter  au  rang 
des  dixaines. 

On  ajoute  cfe  même  les  rangs  àtt  di- 
xaines en  retenant  pour  les  centaines ,  jS 
la  fomme  eft  expfimée  par  deux  chifres  y 
éc  ainfi  dé  fuite  jufques  au  dernier  tan^ 
où  Ton  écrit  la  fomme  telle  qu  elle  ell 
fans  rien  retenir. 

On  ne  fait  aucune  attention  aux  zé- 
ros,  fi  ce  n  eft  que  la  fomme  de  pluficmS 

zéros  eft  zéro  &  s'écrit  o» 

C»  ••• 


3^  Nitmfemx  Ehmenf 

DeMOI^S  TRATIOK. 

La  Demonftratîon  de  cette  opération 
-  cft  évidente  par  les  Règles  de  TexpreC^^ 
fion  des  noinbresr  Car  en  exprimant  la 
ibmme  partiale  des  unitez ,  &  la  fomme 
partiale  des  dixaines,  &  la  fomme  par- 
tiale des  centaines  îcc.  H  eft  évident 
qu'on  expriipe  la  fomme  totale  des  unir- 
tez,  des  dixaines  &  des  centaines  &c. 
puifque  le  tout  eft  égal  à  toutes  fes  pac- 
ties  jointes  enfemble.  Il  eft  évident  auC- 
fi  que  r^xpreflîon  de  la  fomme  eft  a1>- 
bregcc  ,  réglée  &  uniforme  ,  ce  qu'il 
falloir  trouver.  Tout  l'artifice  confiftc 
à  faire  par  parties  &  fuccellivement,  ce 
qu'on  ne  peut  pas  faire  tout  d'un  coup^ 
&  d'une  leulc  veuc. 

Antres  Exemples. 

On  demande  combien  d'années  il  y  a 
depuis  fa  fondation  de  Rome  jufques  d 
l'année  courante  1^97. 

Il  eft  prouvé  que  Rome  fut  fondée  fe 
11.  Avril  753.  ans  avant  l'Ere  vulgaire. 
il  n'y  a  donc  qu'à   ajoutes  1^97 

7J3  à  i6^P7.  &  la  fomme  7J3 

24^0  ou  24^1*  depuis  k  ■  i  1 
21  Avrils  cft  Tannéç  de  la  2450 


d*  Arithmétique  &  dtJlgehre.  ^ 
fondation  de  Rome.  On  trouvcia  de  mê- 
me le  commencement  des  Olympiades 
en  ajoutant  776- à  l'Ere  vul-  1697 
gaiie  ;  ainfî  l  année  couran-  jy6 

te  a  commencé  depuis  le  ■        ■' 

Solfticc  d'été   d'être   la  2^473 

X473«"«  aptes  le  rétaWifTemcm  des  jeux 

Olympiques  pariphitus. 

On  demande  combien  d'années  Rome 

a  été  fous  fes  Rois ,  il  nV  a  qu'à  ajoÛL- 

ter  les  années  des  règnes  de  chaque  Roy. 

Romulus  3  S 

Numa  Pompilius  43 

TuUus  Hoftilius  j  ^ 

Ancus  Martius  24 

Tarquinius  Prifcus  38 

Scrvius  Tullus  44 

Tarquinius  Superbus  x  5 


Somme  z44 

On  demande  combien  il  y  a  d'annéet 
depuis  la  Création  du  Monde  jufques'  au 
Déluge.  Il  n  y  a  qu'à  ajouter  les  années 
qu  ont  vécu  les  dix  Patriarches ,  chacun 
avant  la  naiffancc  de  teur  principal  fils 
^^ufques  à  Noë ,  qui  avoir  6cO'  ans ,  Ibrs 
que  le  Déluge  arriva  •>  &  parce  que  le 

texte  Hcbreu ,  «c  ccluy  de  la  V ulgatc  fom 


)4  Nouveaux  Elemern 

diffcrcns  du  texte  des  Septante.  Voicjr  Te 

calcul  de  ces  années  (uivant  les  deux  textes» 


Hebr.  &  Lat. 


Adam 

Seth 

Enos 

Cainam 

Malaleel 

Jared 

Henoch 

Mathufalem  1 87 

Lamech        i8i 

Noc  600 

Somme      16^6 


130 
loy 

90 

70 

f5 


70  Interpr. 
130 
205 
1^0 
170 
165 

1 67  pour  1 87, 
188 

600 


2x41*  pour  xié2< 


D'où  je  conclus  que  le  Déluge  cft  arri- 
ve fuivant  la  Vulgatc  Tannée  du  Monde 
-1^5  6*  &  fuivant  les  Septante  Tannée  da 
Monde  iij^z.  ou  plutôt  Tannée  iz6i^ 
comme  S.  Epiphane  &  S.  Auguftin  ont. 
lû  ;  parce  que  fi  Mathufalem  n'avoit  eu 
que  167  ans,  lorsqu'il  eut  pour  fils  La- 
mech &  ayant  vécu  969  ans,il  auroit  fur- 
vécu  f  4  ans  au  Déluge  contre  ce  qui  eft 
.marqué  dans  la  Genefc,  qu'il  n'y  eut  que 
Noc ,  fcs  trois  enfans  &leur  quatre  fem- 
mes qui  fe  fauverent  dans  l'Arche.  Il  faut 
donc  lire  comme  dans  la  Yulgate  1 87» 


et jirhhmetiqMe  &  JtAlgtlnV       jj 

Proposition   Second e« 

Ajouter  deux  Nombres  exprimez  par 
lettres-  Ces  nombres  font  exprimez  ou 
par  la  même  lettre  ,%ou  par  des  lettres  di&; 
fcrentes. 

Dans  le  premier  cas  on  les  ajouté 
comme  les  nombres  connus  dans  la  Pro- 
poficion  précédente-  Ainfi  pour  ajouter  4, 
avec  4 ,  on  écrit  iSy  Se  pour  ajouter  s 
avec  z  a  on  écrit  34,  &  pour  .ajouter 
a  4  avec  3  4  on  écrit  5  4.  Et  pour  ajoû* 
ter  1 7  4  ^  43  4  on  écrit  40  4.  Et  ainii  des 
autres- 
Cette  addition  eft  une  addition  pro- 
pre &  parfaite ,  parce  que  Ton  connoit  le 
rapport  qu'il  y  ^  entre  la  fbmme,  &  les 
parues  qui  la  compofent. 

Dans  le  fécond  cas ,  lors  que  les  nora^ 
bres  font  exprimez  par  des  lettres  difFc*- 
tenriïs  ;  dn  les  ajoute  d'une  manière  in»- 
propre  8c  imparfaite ,  en  les  joignant  pat 
ce  caraftere  -♦-  qu'on  appelle  te  figne 
flw.  Ainfi'pour  ajouter  4  avec  b  pn  écrit 
a  -h  t  y  et  qui  (ignifie  4  plus  ^.  Et  poiit 
ajouter  2  a  avec  3  i»,  on  écrit  x  4  -h  3  ^, 
ce  qui  /ignifie  deux  4  plus  trois  b. 
•  On  ajoute  de  même  les  nombres  ex- 
primez par  des  chifres ,  aux  nombres  ex* 
primez  par  des  lettres.  Ainfi  pour  ajoft^ 


' 


3^  NâU^âMx  Elcfmns 

ter  I  >  avec  a  ,  on  écrit  4  -^^  i  >  &  pour  ^ 

i^ûtef  2  avec  3  é ,  on  écrit  3  ^  -f-  iv 

Cette  addition  eft  une  addition  in^ 
propre  &  imparfaite,  parce  que  Ton  ne 
connoît  pas  le  rappon  de  la  fbmme^  â 
fes  parties. 

Cette  additioi*  ne  ferviroît  de  rien  ,' 
&  on  n'^en  (éroit  pas  phis  avancé  pouc 
avoir  mis  le  fîgne  h-  entre  deux  nom* 
bres  y  dont  on  ne  connoît  pas  le  rap- 
port ,  mais  on  la  fait  ainfi  pour  pouv&ic 
venir. â  ce  qu*on  appelle  équatien  &  te- 
foudre  la  queftion  ,  comme  Ton  verra 
dans  la  fuite. 

De  tjiddition  littérale  reiterU*     - 

tOrs  qu'on  a  plus  de  deux  nombres 
exprimez  par  lettres  ,  ou  exprimez 
^différemment ,  a  ajouter  enfemble  ,  c'eft 
une  addition  réitérée»  &  il  n'y  a  point 
^e  difficulté  nouvelle.  Ainfi  pour  ajouter 
342 ^>  20O*>&73  hi  j'écris ^£j^ 
&  pour  ajouter  27  4 , 1 8^ ,  i  o  (t  r  j'écris 
2.7  4  -«-  1 8  ^  -f-  \0€  i  &  pour  ajouter 
274,  18^,  13  ^j'écris  274-**  18  *  -h; 
13.  &  ainfi  des  autres* 

L'Addition  fimple  &  réitérée  des  nom^ 
bres  exprimez  en  lettres  »  ou  exprimes 

idiâFeremmcnt  eft  ua  coxqIUuc  éviacnt^de 


r 


i* Arithmétique  &  dtAtgehre.  ff 
Vaddition  fimple  &  rcïtcrcc  des  nom- 
bres connus  >  il  n  y  a  de  nouveau  quQ 
1  expreflion  aibitraire  du  figne  -i- . 


Chapitre    VIL 
De  La  Souftradion. 

Définition  de  id  SoufiratHen. 

LA  Souftraftion  eft  une  Méthode  d*cx- 
©rimcf  le  plus  fimplement  qu'il  eft 
jx>(fiDle ,  la  différence  de  deux  nombres; 
<:'eft  à  dire  Texcez  du  plus  grand  fur  le 
plus  peut. 

Trofofition  première. 

Deux  nombres  connus  exprimez  par 
des  chifres  étant  donnez ,  exprimer  leur 
différence . 

On  ftppofe  qu'on  fâche  ibuftrairc  par 
cœur  tout  nombre  plus  petit  que  dix, 
de  tout  nombre  qui  le  furpa/Te  de  moins 
de  dix  j  &  qu'on  fâche  exprimer /c  reft«# 
Que  fi  Ton  ne  veut  rien  luppofer,  Voicy 
une  Table  qui  njiarque  ce^  Spuftrad^içijht 
toutes  f^ite^. 


^EH^lË^ i 

Ej::L^i l£ 


Pour  txouvcr  dans  cette  Tamc  combien 
il  reftc ,  par  exemple  en  ôtant  7  de  i  ç. 
je  prcns  7  dans  la  première  colomnc  per- 
pendicuiaire>  &  je  prens  dans  le  rang  ha- 
fifontâl  qui  luy  repond ,  la  cellule  qui 
repond  à  i  ^  ,  dans  le  premier  rang  hori-* 
zontal  :  &  j  y  trouve  le  nombre  8 ,  qui  cfl: 
le  refte  cherché,  &  ainfi  des  autres. 

Premier  Exemple. 

Il  faut  (buftraire  235  de  348.  je  les 
difpofe  comme  dans  l'addition  mettant  le 
nombre  à  ibuftraire ,  fous  le  nombre  dont 
on  (buftrait^  &  commençant  parles  unitez 
je  dis  de  8  j'ôte  ^  ,  il  refte  3.  348 

f écris  3  au  rang  des  unirez;  23^ 

enfuite  venant  aux  dixa'nes  ^  ■■ 

de 4.  j'ôte  3.11  refte  I, j'écris  I.  113 
enfin  de  3  ,  j'ète  t.  il  refte  i.  que  j'écris 
&  le  refte  cherché  eft  113. 

Secend  Exemple* 

n  faut  j(buftrairc  3247  de  y247«  je 
difpofe  ces  deux  nombres ,  comme  dans 
î'exemple  précèdent  \  &  je  dis  j  247 

de  7  j'ôte  7.  il  refte  o  >  de  4  3  247 

j*ote  4.  il  refte  o  >  &c.  de  5,  •   , 

jôte  y  il  refte  2.  le  reftc  200O 

chercné  eft  2000. 

Troisième  Exemple. 

Il  faut  ibuftrairô  237  de  J24.  je 


a(io  y^ouveMUX  Etemens 

difpofc  CCS  nombres,  comme  J24 

cy-dcffus^  &  je  dis  de  4.  j'ô-  .2.3 7 

te  7.  je  ne  puis.    J'emprun-         • • 

te  i^  dixainc  au  rang  des  dixai-  287 

nés  que  je  pondue  pour  m'en  fouvcnirs 
or  cette  dixaine  jointe  à  4  fait  14.  &  je 
dis  de  14  étant  7.  il  rcfte7.  j'écrisy.  je 
viens  enfuite  au  rang  des  dixaines  3  &  je 
dis  de  I .  &  non  pas  de  z,  parce  que  j'ay 
cmpmnté  i ,  de  i.  ôtant  8.  je  ne  puis,, 
c'eft  pourquoy  j'emprunte  i  ;.  au  rang  des 
centaines  que  je  ponftue  pour  m'en  fou- 
vcnîrî  &  je  dis  10  &  i  font  1 1 .  dont 
ôtant  5.  il  rcfte  8. que  j'ccrU.  Enfin  venant 
aux  centaines  je  dis  de  4  ôtant  2.  il  rcftc 
a.  que  j'écris ,  &  le  rcfte  jçhçrchc  cft  zS/. 

^Atriimi  Exemple. 

11  faut  fouftraire  28078  de  38007. 
je  difpofc  ces  nombres  comme  cy-defluss 
&  je  dis  de  7  ôtant  8 .  je  ne  38 007 
puis,  j'emprunte  du  8  une  28078 
unité, qui  vaut  looo*  mais  ■■ 
parce  que  je  n  ay  befoin  que  99^9 

de  ddix,  je  ponftue  les  zéros  d'entre  deux, 
£c  en  les  faifant  valoir  9 .  c'eft  comme  fi 
je  rcmettois  ^90.  &  que  je  n'cmprun- 
taflc  que  i  o.  je  dis  donc  i  o  &  7  font 
I7,&de  17  ôtant  8.  il  reftep.  quej*é-  . 
ç^jjs.  Je  dis  cuûxiïc  dans  le  rang  des  di- 
xaines; 


5laines  5  à  caufe  que  le  zéro  eft  poiiéhié  > 

6  qu'il  vaut  9.  de  9  ôtant  y.  il  refte  x* 
que  j'écris  \  &  palTant  aux  centaines  je  dis 
de^  ôtant  09  il  refte  f.  que  j'éais^  & 
paflant  aux  mille  je  dis  à  caufe  que  le  8 
eft  ponâué ,  il  ne  vaut  plus  que  7.  &  de 

7  ôtant  8*  je  ne  puis.  J'emprunte  i.du 
€hifre  précèdent  3,  &  je  dis  io  icj.  font 
17.  &  de  17  ôtant  8r  il  refte  9.  j'ccri»  9 
au  rang  des^dixmilles  &  paftant  enfui  te 
au  rang  des  dix  mille  r  je  dis  à  cau£b  que  le 
3  eft  ponâué  il  ne  vaut  plus  que  2 ,  aiiv 
u  de  z  ôtant  t.  il  refte  o  >  ou  rien» 
que  je  n'écris  point  9  parce  qu'un  zéro  atc 
commencement  d'un  chifre  ne  (èrt  d& 
lien.  Le  refte  cherché  eft  donc  991^^ 

Re^lc  g^nifah  j0Hr  la  SonfirA^êfh 

Dlfpofez  les  deux  nombres  comme 
dans  l'addition ,  le  plus  pent  fous  le 
f^Ius  gi:and.  Après  cela  commencez  par 
es  unirez  3  &c  ôtez  les  unitez  du  nombre 
à  (buftraire,  des  unirez  du  nombre  dont  on 
ibuftrait^&ii  cette  Souftraâi  on  fe  peut  faire 
marquez  le  refte  par  le  chifre  qui  luy  cour* 
vient  7V&  paftez  aux  dixaines»-  Que  u  cette 
Souftraâion  ne  fe  peut  pas  faire  ^  parce 
que  le  nombre  des  unitez  à  ÉDuftraire  e£t 

plus  ^zf^à  que  le  nonbic  4ç^  unitez  donc: 


y 


41  TsTçffveoftx  Elément 

on  fouftrait  ,  il  faut  emprunter  i.  au 
rang  des  dixaines  du  nombre  dont  oa 
{bultrait  >  &  ponâuer  le  chifre  dont  on 
emprunte  :  mais  s'ilf  n*y  a  qu'un  zera 
dans  ce  rang  des  dixaines  il  faut  env* 
prunter  i  au  rang  des  centaines ,  &  pon- 
âuer  le  zéro  des  dixaines,  &  le  chifre  d^s 
centaines  \  que  s'il  n'y  avoir  encore  qu'un 
zAro  au  rang  des  centaines  ,  il  faudroit 
emprunter  i*  au  rang  des  mille  &  pon- 
âuer  les  deux  zeros.^  En  un  mot  il  faut 
emprunter  i .  du  premier  chifre  fignifi- 
catif  ;  Se  ponftuer  tous  les  zéros  d'entre 
deux  y  par  deffus  lefquels  on  faute  &  les 
ponâuer  ponr  les  faire  valoir  chacun  p.. 
cet  !•  que  Ton  emprunte  vaut  toujours 
10-  &  ajoutant  io«^  aux  unirez  dont  oa 
^liftrait)  ilfautôterde  la  (bmme ,  les  uni- 
rez d  (buftraire ,  &  marquer  le  rcfte  avec 
!e  chifre  qui  luy  convient»  &  paHer  aux 
dixainesr 

Le  nombre  At$  dixaines  dont  on.  (00^- 
ftrait  eft  ponâîué  ou  il  ne  l'eft  pas ,  s'it 
«ft  ponftué  il  vaut  i.  moins  que  fa  va^ 
letu:  naturelle ,  &  fi  c'eft  un  zéro  il  vaut 
^.  Ocez  de  même  les  dixaines  des 
dixaines  »  &  les  centaines  des  centai- 
nes, &c.  &  marquant  tous  les  reftes  cha-^ 
cun  dans  (on  rang  vous  aurez  le  rçftc  to* 

tal  »  ou  la  differenct  cherchée* 


DEMONSTRATIOKr 

Cetce  Règle  a  deux  cas.    Le  premier 
lors   cjue  le  nombre  partial  à  (buftraire 
efl:  plus  petit  que  le  nombre  partial  donc 
on  &>uftrait^  ou  lors  que  ces  deux  nombres 
ibnt  égaux.  Car  pour  lors  on  exprime  le 
reftc  par  le  chifre  qui  luy  tonvient ,  c*efl: 
a  dire  par  un  chifre  iignificatif ,  comme 
I  •  2r*  3  •  &c.  ou  par  zéro.  Ce  cas  n*a  au- 
cune difEcutté  puis  qull  eft  évident  qu  ô* 
tant  chaque  panie  feparement  de  chaquer 
partie ,  la  fbmme  des  reftes  eft  égale  a  U 
différence  des  deux  touts. 

Le  fécond  cas  eft  lors  que  te  nombre 
partial  i  fouAraire  eft  plus  grand  que  lé 
nombre  partial  dont  on  (buArait  ;  &  ce 
cas  (e  peut  (ubdivifer  en  deux.  Fremic-^ 
fement  file  chifre  du  rang  précèdent  im-^ 
mediatement  eft  un  chifre  fignificatif^ 
c  eft  à  dire  fi  c  eft  i  »  £ ,  T  >  &c.  &  tout 
autre  que  le  zéro ,  il  eft  évident  que  Tu- 
nité  que  I  on  emprunte  vaut  i  o  fois  une 
unité  du  rang  pour  lequel  on  lempran- 
te  -5  puifque  foivant  reipreffion  des  nom- 
bres ils  augmentent  en  valeur  de  dix  et» 
dix  d  chaque  rang»  Et  il  eft  évident  auffî 
que  puisqu'on  continuant roperation» on^ 
a  égard  d  cette  unité  que  Ton  a  emprun- 
tée ^^  cela  ne  change  eu  sien  fa  vérité  ffe 

P  n 


44  NoHveMX  Elemenî 

l'opération.  Secondement,  comme  Tunîtë 
que  I  on  emprunte  vaut  i  oo*  s'il  y  a  un 
axro  entre  deux,  &  qu'elle  vaut  i  ooo.  s'il 
y  a  deux  zéros,  &  qu'elle  vaut  loooo. 
s'il  y  en  a  trois  *,  &  que  cependant  oa 
n'a  befbin  que  de  dix  pour  pouvoir  fpa- 
ftraire,  il  eft  évident  qu'il  faut  remettre 
le  iurplusr  c*e(là  dire  ou  90,  ou  5^90» 
ou  ^900*  Telon  le  nom^bre  des  zéros -» 
&  par  confequent  qu'il  faut  les  faire  va- 
loir ^.  lors  qu'ils  font  ponduez.    Com-* 
me  on  a  égard  dans  la  fuite  de  l'opéra- 
tion à  cet  emprunt,  il   eft  évident  que 
cela  ne  change  en  rien  la  vérité  de  l'opé- 
ration^ ce  <^'il  falloit.  démontrer. 

RemArqfét. 
Au  lieu  df ajouter  ce  i  o-  que  Ton  em- 
prunte au  nombre  dont  on  fouftrair,  par 
exemple  à  7:  pour  dire  enfoite  de  17 
dtant  8  il  refte  9  *>  on  peut  commencer 
par  ôter  8  de  i  o«  &  au  refte  %  ajoutant 
y  on  trouve  le  même  9  qu'on  écrit 
pour  refte.  Cette  dernière  manière  a 
quelqjie  chofe  de  plus  fimple ,  &  on  fup- 
pofe  feulement  qu^on  fâche  oter  par 
'Cccur  du  nombre  aix ,  tout  nombre  plus 
petit  que  dix:&  fiToa  ne  veut  rien  fup- 
pofer>  Voicy  une  Table  femblàble  à  cel- 
le de  Taddition^oà  l'on  trouvera  ces  Soit; 
Xlradioos  toutes  faites^ 


TABLE  ©E  LA  SOUSTRACTION. 


de  lo  ôtez^  z  reftc  8v 
de  lo  ôtez  j  rcftc  7^ 
de   10  ôtez  4  rcftc  6* 

de  10  ôtez  5  reftc  j. 

tfe  10  ôtez  é  lefte  4» 

de  10  ôtez  7  reftc   j. 

de  10  ôtez  8  rcftc  %. 


'  >  ■ 


de  $  ôtez  X  reftc  7; 
de  9  ôtez  3  reftc  tf. 
de  5  ôtez  4  rcftc  Jt 
de  9  ôtez  j  reftc  4. 
de  9  ôtez  6  reftc  3. 
de  9  ôtez  7  rcftc  2. 

f^lÊmmmmmÊmamtmmittmÊÊmmtmmÊammMmmÊmmÊmmÊiÊÊÊmÊÊmÊm 

de  8  ôtez  z  reftc  6. 

de  8  ôtez  3  reftc  y- 

de  8  ôtez  4  refte  4* 

de  8  ôtez  j  rcfte  j. 

de  8  ôtez  6  refte  z. 

de  7  ôtez  2  refte  y- 

de  7  Otez  3,  refte  4. 

de  7  ôtez  4  reftc  3. 

de  7  ôtez  j  rcftc  2» 


■te 


MT 


NùHViÂUx  Elément 
de  6  ôtez  2  refte  4. 
de.  6  ôtcz  ^  lefte  3. 
de  6  Otez  4  refte   x» 


■fa— t      '  ■■  ■ ^ 


de  ç  ôtcz  X  refte   5, 
de  5  otez  3  refte   z* 

de  4  ôtez  2  refte  z» 


Trof^fitian  fecandc* 

DE  deux  nombres  exprimez  par  let- 
tres, ou  exprimez  difFcrerament>  fou*^ 
ftraire  le  plus  petit  du  plus  grand ,  &  mar- 
quer leur  difFcrence. 

Les  deux  nombres  donnez  (ont  expri- 
mez par  la  même  lettre  3  ou  ils  font  ex- 
primez differemmentr 

Dans  le  premier  cas  on  fait  cmé  {bu-> 
ftraâion  propre  &  parfaite,  comme  dans^ 
la  propomion  précédente.  Ainfi  4 ,  étant 
ôté  de  4  il  rcae  o ,  &  4  ôté  de  2  4 ,  il 
refte  i  a.  Se  i  s  ôcez  de  5  4,  il  refte  ^ 
4,  &  17  4  ôtez  de  40  «>  il  refte  23  4. 

Dans  te  fécond  cas  on  les  fouftrait  par 
tine  Souftraâion  impropre  6c  imparfaite,, 
en  mettant  entre  le  nombre  dont  on  fou- 
ftrait>  (lequel  on  écrit  le  premier  de  p». 


jr arithmétique  é"  ttjHgehre.      47 

cKc  à  droite ,)  &  le  nombre  a  fouftrairc, 

ce  caraâreie  ■—  qu  on    appelle  le  fignr 

moins  9    ainii  pour  fouftraire  ^  de  a  on 

écrit  a  —  b,Sc  pour  fouftraire  2  4 de  ^ 

l  ou  ccrir  3  i • —  Z4,  Se  pour  fouftraire 

10  de.z  ^on  écrit  X  4~- lo&pourfou- 

^^ice  2.  ^  de  3  o  >  on  écrit  30—^14»  ce 

qui    fignifie  a  moins  ^  ;  trois  h  moins 

La  remarque  cy-deiTus  fur  la  nature,  8c 

U  différence  de  l'addition  propre  Se  im« 

propre  »  a  lieu  auffi  dans  la  Souftraâion» 

La  Souftradion  propre   fuppofe  tou* 

/ours  qu'on  ôte  le  plus  petit  nombre  du^ 

fVus  grand  ;  mais  dans  la  Souftraâion  im^^ 

propre ,  comme  on  ne  connok  pas  fc  rap*^ 

pou  des  nombres  exprimez  ;  la  Souftra>> 

âion  fe    fait  kidependemment  de  cette 

fuppofition. 

De  même  que  lors  qu'on  ajoute  plu* 
àc  deux  nombres ,  c'cft  une  adaition  rcï* 
teréê  ,   auffi   tors  que  du  même  nom- 
V>rt  exprimé  ou  en  chifrcs ,  ou  en  let- 
tres ,  on  propofe  de  fouftraire  fncceffive- 
mtnt  (fivers  nombres ,  c'cft  une  Souftrar 
ûdon  réitérée, 
lors  qu'on  ajoute  fucceffirement ,  & 
.  quon  fouftrait  fucceffivcment  plufieur» 
nombrcsjc'cft  tout  enferable  uneAddition, 
^  uoe  Souftraâ;k)nr  rntçréc»  Ainfi  fi  Vq$^ 


4?  Nouveaux  Elemens 

propose  d'ôcer  ^  de  4,  &  da  refte  d'ôter 
côic  Cy  on  écrira  a  —  b  —  r ,  ce  qui  n  ay anr 
aucune  diâicuké ,  je  ne  m'acrèteray  pasâ 
en  donner  des  exemples.^ 

m'mÊÊÊ^ÊmmmmmmmmÊmêmÊÊmmmmÊmimmtammÊmÊtmÊfmmmÊmmtmmmirmmaim^mmmmÊÊÊtÊmtmmmmm 

C  H  A  P  t  T  B<  S      VlIIr 

De  la  Multiplication. 
Définition  de  U  MtêltifUçéUion^ 

LA  Multiplication  eft  une  cfpece  d'Adr 
dition ,  par  laquelle  on  ajoute  à  luys- 
même  le  nombre  à  multiplier ,  autant  d€ 
fiais  que  le  nombre  q^i  le  multiplie  a  d'u<> 
nitezr 

Le  nombre  qu'on  multiplie  s'appelle 
Nombre  À  multiplier* 

Le  nombre,  par  lequel  on  multiplie 
s'appelle  le  Multiplicateur. 

Ain/i  multiplier  1 6  par  3*  c'eft  ajou«- 
ter  I  é  trois  fois  â  luy*meme  ce  qui  fait 
48*  1 6  eft  le  nombre  à  multiplier  9  &  j 
cft  le  Multiplicateur» 

Lors  que  les  deux  nombres  donnez 
£)nt  inégaux  >  le  plus  petit  eft  ordinai-- 
cément  pris  pour  Multiplicateur.  Je  dis 
ordinairement  »  parce  qu'il  eft  plus  nat- 
jttcel  6c  plus,  fisaplc  d  ajoûcci  1 6  trois 


^Arithmétique  &  J^Afgehre.  49 
fois  à  luy-mème ,  que  d'a|oûtcr  3  ,i  luy- 
lïiemc  feize  fois.  Mais  abibXumeilt  par* 
lànt  on  peut  prendre  pour  multipucar- 
teur  celuy  des  deux  qu'on  veut ,  &  il  j 
a  même  des  cas  où  il  eft  plus  commo- 
<lc  de  prendre  le  plus  grand. 

La  fomme  du  nombre  i  multiplier  a-' 
Joute  à  luy-mème  s'appelle  produit^  ait*- 
fi  48  eft  le  produit  de  16  par  s . 

La  différence  eflcntielle  de  1  addition 
à, la  multiplication  confîfte  en  ce  que 
dans  l'addition,  on  fait  abftraâion  de 
l'égalité  ou  de  l'inégalité  des  nombres 
qu  on  ajoute  ;  &  que.  dans  la  multiplica- 
tion on  fiippofc  tous  lc5  nombres. à  ajou- 
ter .é^aux. 


répond  à  Taddition 
«'itérée  ;  il  eft  évident  qu'il  a  fallu  in- 
venter iine  nouvelle  opération  différente 
de  reddition  réitérée  pour  multiplier  des 
nombres  un  peu  grands  par  d'autres  grands 
nombres  î  car  s'il  falloir  jpar  exemple 
multiplier  67^  par  587^  &  qu'on  vou- 
lût fè  Xeryir  oc  l'addition  réitérée  ,  il 
faudroit  écrire  ^73  en  colomne  perpen- 
diculaire ^87  fois,  ce  qui  eft  cntîerc- 
tntnt  impraticable. 
Mais  comme  le  rapport  d'égalité  efl^ 

E 


50  Nouveaux  Elemens     v 

plus  fimplc  que  ccluy  d'inégalité ,  Tope- 
tmon  qui  ruppofe  ce  premier  rapport  eâ 
fufceptible  a  abbreviation. 

Trop  option  première  • 

Multiplier  deux  nombres  exprimez 
par  des  chifres ,  &  en  exprimer  le 
produit. 

On  fuppofe  qu*on  fâche  multiplier  par 
coeur  tout  nombre  plus  petit  que  dix> 
pat  tout  nombre  plus  petit  que  dix. 

Mais  parce  quon  peut  fuppofer  arec 
faifbn  que  les  commençans  ne  favenc 
ppint  par^cœur  toutes  ces  multiplica- 
cions.  Voicy  une  Table  où  Ton  les  trouve* 


TsUc  de  MultipUcâtion» 


X  fois 
z  <  fois 
X  fois 
X  fois 
X  fois 
X  fois 
X  fois 
X  fois 


X  font  4 

3  font  6 

4  font  8 

5  font  10 

6  font  IX 

7  font  14 

8  font  1 6 

9  font  1 8 


3  fois  3  font  $ 
fois  4  font  IX 
fois  5  font  i< 
fois  6  font  18 
fois  7  font  X I 
fois  8  font  X4 
fois  9  font  x'j 


r 


JCJrithmettqut  &  JtAliéhn.       y 


^  &is  4  font  i6 
4  fois  5  font  xo 
4  fois  6  font  14 
4  fois  7  font  z8 
4  fois' S  font  3X 

4  fois  9  font  3  6 

<  fois  j  font  xj 
^  fois  6  font  3  o 

5  fois  7  font  3  5 
5  fois  8  font  40 
5  fois  9  font' 4  ç 


6  îois  6  font  ^6 
6  fois  7  font  41, 
•6  fois  8font4S 
6  fois  9  font  ^4 


*•«-». 


^MPM« 


7  fois  7  font  49 
7  fois  8  font  5  f 
7  fois  9  font  6  5 


1^*1 


«**< 


8  fois  8  font  ^4 
8  foi^  9  fooc  71, 

■  im 

$  fois  9  font  8x 


llfaat  multiplier  34  par  X» 
Je  mets  le  multiplicateur  i,      ^4 
fous  le  nombre  a  multiplier        % 
3  4.  les  unitea:  fous  les  uni-    ■ 
tez,  &c.  Je  dis^  2  fois  4  68  produit 

font  8  5  j'écris  8  fous  4.  je  dis  cnfuite  % 
fois  3  fcMTt  5-  j'écris  6  tous  j.  &  le  pro- 
duit eft  ^8. 

Second  Exemple. 

Ufaw  muliiplicr  x6x  par  y.  Je  di^^ 
fèces  nofnbres  conune        26 x 
cy-deflus»  &  je  dis;  j  Sois  y 

X  ou  X  fois  5  font  10»  < 

j'écris  o>  &  je  retiens  i*        1310  ptx>duic 

Ei; 


1^%  NfùHveAHx  Elemeni 

je  dis  cn&itc  5  fois  6  font  50.  &  I  qug 
j'ay  retenu  font  3 1 .  j'écris  i  ,  &  je  ror 
tiens  3.  enfin  je  dis  ç  fois  a  font  10 ,  & 
X  que  j'ay  retenu  font  13.  j'écris  13*  It 
|)roduit  eft  13 10. 

il 

Troifiéme  ExêmfUy 

fl  faut  multiplier  ^78  par  7.  je  di{po-i 
fe  CCS  nombres  comme    :      ^78 
cy-uleÂTus ,  &  je  dis^  7    ,  7 

fcMS  8  font  5^, j'écris  ■■■■' 
^ ,  &  je  retiens  5-  je  4746  produit 
dis  cnfuite  7  fois 7  font 49.  &  5  que  j'ay 
retenu  font  54*  j'écris  4&ie  retiens  j. 
enfin  je  dis  7  rois  6  ou  ^6  fois7  font  4Z. 
&  5  que  j*ay  retenu  font  47.  j'écris  47- 
1^  produit  eft  474^* 

Quatrième  Excmfle» 

Il  faut  multiplier  7805  par  14.  je 
difpofe  ces  homores  comme  cy-deflus^ 
&jedis4fois3font  7^03^ 

II.  j'écris  z>&  je  rc-  ^4* 

tiens  I-  /  ' 

Je  dis  enfuite  4  fois       31211 

O  font  o  >  &  I  q»ie         7803  ; 

j'ay  retenu  font  i ,  j'é-  j  • 

cris  I .  je  dis.enfuitc       xo^z42rproduîf 


^Arithmétique  &  d'Algelte.  5) 
Vf  fois  8  font  3  2.  j'écris  %^]t  retiens  3. 
Enfin  je  dis  4  fois  y  font  189  &  3  quo 
j  ay  retenus  font  3  f .  j'écris  j  i  •  &  le  pre- 
mier prodttiB  partial  eft  3 1  z  r  i** 
.  ,  Je  viens-  enfuice  au  fécond  chi&e  du 
multiplicattear  qui  eft  i ,  &:  je  dis  i  fois 
,'^  fait  3:.  j'écris  3  fous  \t  rang  des  dixai* 
nés.  Je  dis  enfuice  i  fois  o  »  fait  o>  j'é- 
cris o ,  &  r  fois  8  fait  8 ,  j'icns  8  >  &  i 
fois^7fait  7*^  j'écris  7.  &  le  fc«ond  pro- 
duit partial  eft78o3>dixainesou  78030^ 
j'ajoute  ces  deux  produits  enfembie  lui«> 
Tant  la  Régie  de  l'addirion-,  &  là  {bmmf 
105 241  eft  le  produit  chercher 

Civqui/ffU  Exemple* 

iF  faut  multiplier  7080Î00  par  tf  03  oa- 
-_j;C  di{pofe  ces  nombres  comme  cy-dcfr 
fus ,  èc  je  dis  o  >  par  o  >  produit  o  >  j*é* 
cris  o  >  &  o ,  par  o ,  produit  o  >  &c. 

Jediscnfuitc  708000 

3  fpisofontô)  ^0300 

&  3  fois  8  font  ^ 

24.  j'écris  4  ÔC  000000 

je  retiens  x  ;  3-  000000 

fois  o  font  o.  Se     Z.1 24000 
2  que  j'ayrete-       000000 
nus  font  2  5      4248000 
j  écris  z>.  3  fois  ■  -    ■ 

7  font  xi.       42^^2400000  prodiiiç 

E  u^ 


54  Nouveaux  Elemenr 

j'ccrîf  11.  Se  continuant  de  mèrac  je  troxK 
Te  <  produits  partiaux  ^  donc  la  ibmnre 
eft  le  produit  cherché  41692400000^ 
Cet  exemple  de  iHême  que  tous  ceux 
eà  il  y  a  des  zeios  peut  être  aBbregé  f 
comme  on  voit  en  fupprîmant  6c  ibuf^en« 
tendant  toutes  les  multiplications  des  o, 
du  multiplicateat  en  quelque  rane  quiU 
Ibient  ^  &  n&  multipliant  que  parles  chif- 
fres fignificatifs ,  parce  qu'effeâivemcnt 
les  zéros  multiplicateurs  ne  changent  rîen^ 
à  l'expreffion  des  produits  pardaur,  û  ce 
fi'eft  qu'ils  en  augmentent  !a  valeur  en 
leur  dosmam  un  rang  plus  reculé  à  gau- 
che; &on  ajoute  tous  les  zéros  qui  font 
à  la  fib  du  iK>mbre  â  multiplier,  &  du 
multiplicateur  l'opération  faite  toute  au 
tong  démontre  la  raifbn  de  labbiegé 
^*on  voit  à  coté. 

708000 
60300 


^m. 


2124 
4248 


Produit    ..    •   426^2400000 

Reite  generéU  four  U  Muttijlkétion* 

P  Lacez ,  comme  dans  les  deux  opera^^ 
tipns  précédentes ,  le  multiplicateur 


JtArithmitîaÉie  ^  iAlgthri.  f^ 
iofVS  le  nombre  a  multiplier  3  les  unitez 
fous  les  unirez  ^  les  dixaines  fous  les  di« 
xaines ,  &c.  Multipliez  le  premier  chifre 
du  nombre  à  multiplier,  par  le  premier 
chifre  du  multiplicateur,  &  pour  marquer 
le  produit,  il  faut  avoir  égard  ideux  casi 
car  ou  ce  produit  peut  être  exprimé  par 
en  feul  chifice ,  Ac  alors  on  Técrit  au  rang 
des  unitez  ,  ou  ce  produit  eft  exprimé 
par  deux  çhifres  ;  &  alors  ai;  écrit  le  der- 
nier chifre  au  rang  àt^  Unitez ,  &  on  re- 
dent par  cœur  le  premier  pour  Tajoâtet 
au  produit  àt^  dixaines.' 

Mulppliez  enfuite  par  ce  même  chifre 
du  multijplicateur  le  fécond  chifre  du 
nombre  1  àmlripher ,  &  ajo&tez  au  pro- 
duit ce  que  vous  avez  retenu  du  produit 
précèdent,  &  £  la  fbiùme  peut  Stre  ex- 
primée par  un  feul  chifre  ,  écrivez  ce 
chifre  ani  rang;  des  dixaines.  Si  cette  foffl^ 
me  ne  peut  être  exprimée  que  par  deux 
cbifires,  écrivez  k  dernier  au  rang  de^ 
dixaines,  &  retenez  le  premier  pour  ra- 
jouter au  produit  des  centaines  ,  conti-^ 
nuez  de  nâime  I  multipher  tout  fe  nom- 
bre à  multiplier  par  chaque  chifre  dn 
muftipricateur  >  &:  écrivez  les  produits 
partiaur  en  reculant  â  gauche  y  félon  le 
xang  des  chifre»  du  miutiplicateur  \  c'efir 
â  dire  <ni'en  mulciplianc  p^r  Ie«  unitcr 

E  mj 


j6  ffouveaifx  Elemeni 

du  multiplicateur  ,  il  faut  comtnencét 
d'écrite  le  produit  fous  le  rang  des  uni- 
tez  >  &  en  multipliant  par  les  dixaines  de 
ce  même  multiplicateur  5  il  faut  com^ 
mencer  d'écrire  le  produit  fous  les  di- 
xaines. 

Enfin  ajoutez  tous  ces  produits  par- 
tiaux» &  la  fomme  donnera  le  produit 
cherché. 


I 


DemonfirAtion. 

Pour  démontrer  la  vérité  de  cette  Re- 
Je  &  des  abbregez ,  il  n'y  a  qu'à  cons- 
idérer que'  multiplier  un  nombre  ,  par 
exemple  par  ^7»c'eft la  même  chofe  que  dt 
le  multiplier  par  zo  -«-  7;  &  le  multiplier 
par  3  27 ,  c'eft  la  même  chofe  que  de  le 
multiplier  par  300  -*-  20  -4-  7*  Or  on 
fait  chacune  de  ces' multiplications  par- 
tiales, lors  qu'on  multiplie  ptenaierement 
par  7^  &  puis  par  2,  en  reculant  d'un 
lang ,  &  puis  par  3  ,  en  reculant  encore 
d'un  rang  de  phis  ^  donc  en  ajoutant  ces 
produits  partiaux  la  fomme.  donnera  lie 
produit  total  ou  le  nombre  cherché. 

Il  eft  évident  auffi  que  tout  nombre 
d'unitez  multiplié  par  des  unirez  produit 
àts  unirez ,  &  que  tout  nombre  a  unirez 
multiplié  par  des  dixaines  produit  des 
di3uines  >  &c.  C'cft  pourquoy  on  ccculç 


ï 

\ 


X Arithmétique  &  tTAlgehre^.  'if 
dTun  rarîg  à  chaque  multiplication  par- 
tiale ,  à  mefure  qu'on  multiplie  par  les 
unirez  ,  puis  par  les  dixaines  >  &c.  da 
multiplicateur. 

La  multiplication  teïterée  eft  lors 
qu'on  multiplie  plus  de  deux  nombres 
Continuellement  l'un  par  l'autre  ;  c'eft  à 
dire  qu'on  multiplie  \c  premier  nombre 
par  le  fécond ,  &  le  produit  on  le  mul*- 
tiplie  encore  par  le  troifîéme  nombre>& 
ce  dernier  produit  encore  par  le  quartier 
me  nombre  ;  Se  ainfi  de  (îiite  jufaues  aa 
dernier ,  ce  qui  n'a  aucune  difficulté  par- 
ticulière y  différente  de  h  multiplication 
ranprc 

Autres  Exemples  de  Muttiflitâtiôul 

Un  grand  cercle  de  la  terre  >  fc  qui 
en  marque  tout  le  tour  eft  divifé  en 
3^0  parties  égales,  qu'on  appelle  de* 
grez ,  chaque  degré  eft  de  z  ^  ueiies  >  6c 
chaque  tiéîie  de  2x8 z  toifes;  &  chaque 
toife  de  6  pieds  de  Roy  9  fuivant  les  ob- 
fervations  tes  plus  exaâes  de  Monfieiic 
Picard.  On  demande  combien  le  tour  de 
la  terre  a  de  lieiies  >  combien  de  toifêsy. 
&  de  pieds. 

Pour  avoir  le  nombre  des  lieue»,  il 
faut  d'abord  multipliet  j  €0  pas  %  5  •  3c 


NéU^edme  Etemitts 


y. 


en  trouve  9000  lieiiçs. 
Pour  avoir  le  nombre 
des   coifes  »     il  faut 
multiplier  9000  par 
zxSx.ou  2282  par 
jooo*  &on  trouve 
2.0^38000   toifes»^ 
Enfin  multipliant  ce 
dernier  nombre  pat 
6  9  on  trouve  que 
la  terre  a  de   tour 

12J228000 
pieds. 


^5 


1800 

7^ 


9000  produit 
2282 


1 8000 
72000 
18000 
18000 


20538oooproduk 


têm 


r25228oooproduît 


jtfftre  Exemplt* 

Le  jour  naturel  eft  de  24  heures»  &: 
Tannée  Julienne  cft  compofce  de  j^ç 
jours  &  6  heures,  on  demande  combien 
d'heures  a  Tannée  Julienne,. 

Il  faut  multiplier  3^5  par  24*  &  au 
produit  ajouter  ^,  &:  on  trouve  que  le 
liombre  àts  heures  eft  de  87*^  ,  & 
parce  que  chaque  heure  tk  de  60  n^ 


Jt  jimhmetkiM^  é*  iAtgtlri.      Jf 
litites  9  en  multi-  36 J 

pliant  ce  nombre  24 

par  60'  on  trou-  

ye    qae    l'année  1460 

Julienne  eft    de  3^30  •- 

%x%^6o  naÎBi»-  ^ 

•es*  

%j66   psodait 
60 


5x55^0  produit  ' 

%tmAr€jnes  fur  ^ei  Règles  Mregées  dr 
Im  MnkifUçstiom. 

COmme  la  mnttiplication  eft  fadguan-  . 
te  dans  les  grands  nombres,  on  a 
cherché  2^  l'abbreger^plufiears  manie* 
res  9  qui  peuvent  le  réduire  à  quatre. 

La  première  eft  de  conftruire  des  Tar^^ 
bles  ou.  les  multiplications  fè  ttouvent 
toutes  faites. 

Cette  Méthode  a  trois  inconveniens» 
Le  premier  d'être  fojette  aux  fautes  de 
calcul  de  l'Auteur  fie  aux  fautes  d'impref- 
fion  y  ce  qui  rend  touiours  l'opération 
un  peu  doutcufe.  Le  fécond  défaut  eft 
d'être  bornée  i  de  fi:>rts  petits  nombres  \ 
Se  le  troifiéme  eft  qu'il  tant  prefqué  a»*- 
iaoc  de  wm  &  de  peine  pour  trouver 


#0  yfduvtdux  JÊÎefHenr 

ftt  nombres  qu'on  cherche  dans  ces  Tîrf 
bles ,  que  pour  faire  foy-mcme  1  opéra-» 
tion.  Cependant  une  Table  de  nombres 
naturels  pour  la  multiplkation  dépuis  i\ 
jufcjues  à  loo.  par  tout  les  lîombîres  de^ 
puis  I ,  jufques  à  i  oo-  pourroit  être  de 
quelque  ufagc  y  elle  feroit.trçs  aifcc  â 
conftruire  9  &  il  feroit  comme  impofliUc 
qu'il  s'y  glifsât  des  fautes  ,  &  foppofc 
qu^ayant  cette  Table  il  fallut  multiplier 
%669  par  7987-  je  trancherois  le  nom- 
bre à  multiplier ,  &  le  multiplicateur  cha- 
cun en  deux  tranches  de  deux  chifi-e* 
chacune,  en  commençant  de  droite  à 
gauche. 

Enfuïtc  cherchant  dans  la  Table  le  pra* 
duit  de  87  par  6^ 
qui  eft  6003-  &;  le 
produit  de  87  par 
^6  quieft  7à8'2; 


86 

69 

79 

87 

éooj 

7481  . . 

5451  .. 

^794 

&  le  produit  de  79 

par  6^  qc^  eft 

54 Çi.  Se  enfin- 

le  produit  de  79 

par  8  6  qui  eft         ^9 i 5  9  3  o  z  produit 

4^794.  J'écrirois  ces  quatre  produits  par^ 

tiaux ,  comme  ou  voit  fuiyant  leurs  yzu 

leurs  ,  &la  fomme  ^9x393^03  feroit  le 

produit  cherche. 

La  féconde  maniçte  d'abbregerUnui}^ 


£  Arhhmetitpie  &  ifAlgehn.        Si 

fipUcationcft  de  fe  fcrvir  de  certaines 
tx^achines  >  comme  de  celle  qu'on  appeU 
le  les  bâtons  de  Ncper  qui  ne  font  autre 
chofe  que  des  Tables,  mobiles  de  la  muU 
nplication  des  neuf  premiers  nombres. 
Ces  machines  font  d'un  ufage  plus  éten<- 
AvL  que  les  Tables  >  &  ne  font  point  fu^ 
jettes  aux  erreurs  de  calcul  &  d'impref* 
£on.  3c  ne  vois  pourtant  perfonne  qui 
s'en  ferve  dans  la  pratique  »  l'invention 
en  eft  ingenicufe,  mais  ce  n  eft  pas  icj  le 
Jieu  de  I  expliquer. 

La  troiGcmc   manière  d'abbregcr  ïaJ 
multiplication ,  eft  de  multiplier  par  par-- 
ties ,  lors  que  le  multiplicateuc  eft  luy- 
même  un  produit  de  deux  ou  plufieurs 
nombres  miiltipliei^  continuellement  ;  ain-« 
'  fi  au  lieu  de  multiplier  par  1 5  on  peut 
multiplier  d'abord  par  3,  &  le  produit  pat 
5  S  parce^ue  3  fois  ç  font  1 5,  &  de  mê- 
me au  lieu  de  multiplier  par  1 8  >  on  peut 
multiplier  d'a]bord  p^ti  ,&  le  produit  it 
faut  le  multiplier  par  3 ,  &  ce  (econd  pto-« 
duit  il  faut  encor  le  multiplier  par  3*  te 
ce  ^dernier  &  troifî«me  produit  fera  le 
pi^duit  cberché ,  parce  que  2  fois  3  font 
4i  Se  ^  fois  ^font  i8.  C'eft  là  lefon« 
.dément  de  tout  ce  qu'on  appelle  Règles 
brèves  Se  parties  aliquotes*   Mais, ce  ne 
font  que  des  mmucies  qu'on  apprend  de 


€i  Nonvtdnx  Ekm^x 

iby-m&me  par  l'ufage»^  qui  ne  (ont 
point  neceÀaires. 

Enfin  la  quatrième  manière  d^abbreger 
la  multiplication  efi:  fondée  Cm  Texprejf- 
£on  des  nombres  {iiivant  la  progre(Eoi^ 
décuple.  Ain&au  lieu  de  multiplier  conv- 
me  dans  un  des  exemples  precedcns  9000 
par  2x82*  ilauroitété  plus  court  à  eau- 
le  des  iseios  de  multiplier  zz^z  par 
5000*  c'eft  à  dire  simplement  pât  9 ,  & 
ajouter  au  produit  uois  zéros  >  comme  om 
ii^oit. 

5000    '   zztz 
zz%z  9000 


1 8  o 00    20  ç  3  8  000  produit*; 
72000 
x8ooo 
fSooo 


«WMMHa 


2oy  3  8000  produit. 

De  même  au  lieu  de  multiplier  par  z$i 
il  eft  plus  court  de  multiplier  par  30-  & 
du  produit  otant  une  fois  le  nombre  â 
multiplier  le  refte  eft  le  nombre  cherché; 
te  de  même  au  lieu  de  multiplier  par  27* 
il  eft  plus  court  de  iwltipiici:  par  3  o  ^  3  « 


) 


JC Arithmetiqut  &  £jilgthu*      6} 
Exemples* 

718  718 

29  30-^ r 


6^^L  21840 

14  j  5  oc«      728 


piodsiit  iiiiz  21 1 12  refte; 

728  728 

27  30  — j 


509^  21840 

14^6         ôtcz    2184 

■  ■       m\ 


produit  1^6  ^6  196^6  refie« 

Dans  les  grands  nombres  on  pent  pont 
opérer  plus  furemenc  fe  faire  par  addi* 
tion  une  Table  où  le  nombre  i  multi- 
plier foit  multiplié  par  2>  3  »  4  »  Sccp.  afin 
d'avoir  tou^  (es  produits  partiaux  prêts  ; 
&  qu'il  n  y  ait  qu'à  les  arranger  6c  à  les 
ajourer. 

Profofition  fec9nde» 

Mlfitiplier  deux  ou  plufieurs  nom- 
brcs  exprimez  par  deslcuresj>  ou 
exprimez  diflFeretnme&c 


4^4  Nouveaux  Elemem 

Pour  multiplier  a  par  b  on  écrit  ai^ 
pour  multiplier  a  par  2  on  écrit  34,  pour 
multiplier  3  4  par  j  j  on  écrit  1 5  4  f • 
Ainii  il  n'y  a  aucune  difiEculcé   dans  la 
inultiplication  fimple  littérale,  les  nom- 
i>res  qui  précèdent  les  lettres  &  qui  les 
multiplient  s'appellent  des  abfblus ,  ainfî 
dans  3  ^*  3  ^ft  i  abfblu  y  8c  dans  i  j  4  ^» 
I  f  eft  ranfolu.  La  Règle  générale  effc 
«donc  de  multiplier  abfolu  par  abfblttj  & 
«de  joindre  au  produit  les  lettres  du  mul- 
tiplicateur &  du  nombre  i  multiplier  9 
comme  pour  multiplier  7  ^  par  8  ^^  j'é- 
cris ^6  4b,  &  pour  multiplier  7  4  par  9 
l'écris  tf  3  4.  Cette  expreffion  eft  arbi* 
traire  \  Se  n  a  aucune  difEcuIté. 

La  multiplication  eft  toujours  la  même 
pour  la  forme  en  lettres  ,  foit  que  Toa 
multiplie  par  la  même  lettre,  ou  par  des 
lettres  différentes  s  mais  cette  multiplica<« 
tion  n  eft  propre  &  parfaite  ,  que  lors 
qtfon  multiplie  un  nombre  littéral  pat 
un  nombre  abftrait.  Ainfî  la  multiplîca- 
tion  de  j  4  par  3  ,  qui  donne  pour  pro- 
duit j  ^  4,  eft  une  mufItipK cation  parfai- 
te ,  parce  qu  on  connoît  le  rapport  du 
psoduit,  au  nombre  multiplié,  elle  n'eft 
pourtant  pas  fi  parfaite  que  celle  des 
nombres  connus ,  parce  qu'on  ne  connoît 
pas  le  rapport  du  produit  154  au  mul- 
tiplicateur 3«  DE 


PÊ     LA    MULTIPLICATIO» 

z  a  mukipHé  par  3  k  produit  6  a  h^- 
Se  6  a  b  multiplié  pat  5,  coproduit  30 
a  h  c 

Il  eft  indifferem  d'éctire  30  aie  oa^ 
30  b  a  CyOû  jjo  e  b  4  &c.  parce  qu'ils 
cft  évident  que  de  multiplier  2  par  3  ;  & 
Its  produit  par  5  ,  ou  de  multiplier  z  par 
5  &  le  produit  par  3  ,  ou'  de  multiplier 
3-  par  ^  ,  &  le  produit  par  2  c'eft  toû« 
jours  le  même  produit  ao*- 

Cependant  le  refte  étant  égal ,  il  eië 
plus  naturel  de  fuivre  l'ordre  de  lettres 
de  TAIphabet. 

iT  par  d-  produit  a  a,  8c  a' a  multiplie* 
encore  par  a  produit  4a  a.  Se  444  miuti- 
^ié  encôr  par  4  produit  ^^44*^  Mais* 
pour  abbreger  on  éctit^  quelquefois  4^ 
au  lieu*  de  4  4^ 

1 1  on^  écrit  fouvcnt  4'  au  lieu  d  4  4  4i- 
Se  en  écrit  toujours  4*,  4S  4^  y  aulieui 

de   4  44  4  r  4  4  444  y.  4  444  44  9      Ct%' 

isbifres  écrits  à  droite  au  haut  de  la  tet- 
ne  marquent  le  nombre  de  fois  que  I^ 
Itçtcre  a  été  multipliée,  &  ces  chifres^s'ap 
jjellcnt  les  e:cfof4nt  de  la  lettre.- 

£^  Règle  gçuctale  dans  la  multipÏÏcs^ 

-     fi- 


tion  rc Itérée  cft  de  multiplier  coBtinueF- 
lement  les  abfolus  ^  &  d'ajoâter  au  pro^ 
duit  les  lettres  avec  la  (bmine  de  leurs 
cxpofans.  Ainfî  pour  multiplier  aii*  par 
74*^  j'écris  v\é?*  ce  qui  cft  cvi dent  par 
cç  qui  vient  d'être  expliqué,  car  puifque 
à^  eft  la  même  cliofe  que 44 &  4^,  la^ 
même  chofè  que  4^4  44  j(  &  que  par 
finftitution  le  produit  dt  4  4  par  a^M^MO' 
s'exprime  par  émé^éOrUÂà*  Ils*exprime~ 
aufltpar  4  • 

Par  la  même  raifon  fe  produit  de  7- 
W^i*  par  5  A^h  c  eft  i  ç  4^t^£r ,  Se  pour; 
en  faire  la  preuve  on  la  Demonftration,  if 
n'y  a  qu'à  multiplier  tout  au  long  '^  aam^ 
bb  par  ^  aabc  r  car  on  trouvera  3^5 
a  Ad  A  A  ^^^c  fuivant  la  Règle  générale,* 
ce  qui  çft  la  même  cBofe  que  ^^a^Pc 
exprimé  plus  brièvement,  if  y  a  des  oc- 
cafîonsou  dans  Tarrangenient  des  lettres"^ 
.  qui  absolument  parlant  eft  arbitraire ,  ic 
où  nous  av6ns  pourtant  dit  qu'en  genc- 
faly  il  croit  plus  naturel  de  luivre  l'or- 
dre des  Icnres  de  TArphabet ,  il  y  a  dis- 
je  des  occadons ,  oâ:  il  eft  plus  â  propos 
de  fui  vre  Tordre  des  expofans  ;  &  de  met- 
tre (a  première  lettre  celle  qui  a  lé  pliis^ 
grand"  expofant,  &Ia  féconde  celle  qui  a 
Fexpofant  immédiatement  plus  petit ,  & 
sûnC  de  fuite»  de  forte  q^iau  Ueu  ie« 


erirc  ya^b^  c ,    il  vaut  mieux  écrire  yr 

Remarquez  qu'une  lettre  qui  n'a  poinr. 
d'expoûnc  cft  cenfcc  avoir  Punitc  pooi: 
expofàntr  &  par  là  on  eonferve  TAnalo.^ 
gie-  Âinfi  4  eft  la  même  chofe  que  4^ 

La  fçttre  qui  marque  le  nombre  in* 
connu  s'if  n  y  en  a  qu'un ,  ou  le  princi- 
pal inccmnu  s'il  y  en  a  plufieurs  fè  mer 
toujours  la  derniers.  On  appelle  priftcù 
fal  inconnu  y  Le  nombre  dont  on  ches^ 
che  àconnôître  le  premier  la  valeur- 

Befmthns^ 

0  ott  a^  s'appelle  le  eoié ,  Te  pTemier 
degré ,  ou  la  première  puitTance  £4. 

a?-  s  appelle  fe  quarré ,  le  fécond  db- 
gré  ou  la  fécondé  puiffance  d'^r^ 

éi?  s'appelle  le  cube ,  le  troifiémc  de- 
gré ou  la  traifiéme  puiflancc  d'^. 

n^  s'appelte  le  quatrième  degré  9  ^^ 
la  quatrième  pai{!ance  d'4» 

4^  s'appelle  le  cinquième  degré,  ou  la^ 
cinquième  puii&uie  d'4  t  Se  ainfi  dr 
foire.'   . 

lesr  mots  de  coté»  de  quané  ,  Se  <fe 
cube  font  étrangers  à  l'Algèbre ,  &  eisk- 
pruntez  de  la  Geomectie  ^  à  câa&  du'  rap- 
port %ue  ces-  nombres:  ont  avec  les  rao^ 


^  NofàWétux  Eleménr 

ports  des  cotez  y  des  quarrez  y  Se  des  ctK 

tes  Géométriques. 

Le  dernier  ou  le  plus  haut  degré  d'une 
kttrc  s'appelle  fa:  haute  puiflance;  &on 
a  appelle  tes  autres  puiflances  inférieur 
res  des  dc£rex,  i  parce  que  par  le  moyen 
de  la  multiplication  continuelle  ^  le  nom- 
bre multiplié  s-élcve  comme  par  dcgrez 
au<  dernier  produit  >  ou  â  la.  haute  pui^ 
(ànce.^ 

Il  y  a  cette  différence  cflcntielk  entre 
la  multiplication  &  la  formation  des  puii^- 
fànces,  que  dans  la  multiplication ,  on  fait, 
abftraâion  Ci  le  multipliiant  Se  le  multi- 
plié font  égaux  ou  inégaux ,  au  lieu  que 
cati5  la  formation  des  puiflances ,  le  mxùr 
tipliant  &  le  multiplié  font  d*abord  fujv 
pofez  csaux  ,  &  on  continue  de  multi* 
plier  toujours  par  le  même  nombre. 

L:a.  formation  du  quarré  répond  à  [a 
multiplication  fimple. 

La-  formation  cle  toutes  les  autres  puit 
fknces  répond.  L  la  multiplication  reïte-^ 
lée^ 

Et  ce  que  la  multiplication  eft  par  rap- 
port à  l'addition  >  La  formation  des  puid 
fiances  l'eft  par  capport  à  la  multiplica- 
tioiu^ 


Jt  Arithmétique  &  i'Algehi.      if 

■        Il  I  1—*^— i^l^hMi— — il— ^I^M— — — ^- 

De  la  Divifion.' 


De/imi^de  la  DiviJpûH* 

LA  Divifion  cft une  cfpecc  de  Soudtû^ 
éïion,  par  laquelle  on  retranche  d'un 
grand  nombre  un  autre  plus  petit  ouégaî» 
autant  de  fois  <|u'il  eft  pofiible  ^  &  on  e}fr- 
prime  combien  de  fois  il  y  eft  contenu^ 
precifément  ou  ce  qm  refte* 

Le  nombre  que  Ton  divife  s^'appelte 
Nombre  à  divifer  y  ou  le  dividende. 

Le  nombre  par  lequel  on  divife,  s'ap^' 
pelle  le  Divifiar. 

Le  nombre  qui  exprime  combien  de 
fois  le  divifetit  eft  contenu  dans  le  àh^ 
yjdende,  s-'appelle  te  0Hgtien$. 

Âinfi  quand  on  divife  4  &  par  i^  on 
cherche  combien  de  fois  y  eft  contenu 
dans  48  9  &  on  trouve  qu'il  y  eft  conr- 
tenu  1 6  fois.  48  eft  le  dividende.  3  eft 
k  divifeur  &:  i  ^  eft  le  quotient  y  &  quand 
on'  divife  47  par  3  on  trouve  pour  quor; 
tienË  1 5. 9  &  il  refte  z* 

On  fiippofe  qu'on  fâche  divifer  par 

€«ur>  tout  nombre  plus  petit  que  ^a^r 


l 


par  tout  nombre  plus  petit  qu«  i  o  y  fars- 
me  le  dividende  contient  moins  de  i  a 
ois  le  divifeur  ï  c'eft  i  dire  on  fuppofo 
qu'on  fâche  par  coeur  combien  de  fois 
le  divifeur  cft  compris  precifément  dans 
le  dividende ,  &  ce  qui  reftc  :  par  exem- 
ple on  fuppofe  qa'on  fâche  que  divifant 
54  par  6 ,  le  quotient  eft  9^,  prccifcment^^\ 
que  divifant  62^  par  7  le  quotient  cft  S, 
&  qu'il  refte  6  y  que  divi&nt  8^  par  9, 
le  qlio tient  eft  9 ,  &  qu'il  refte  8^  Mais- 
comme  on  ne  peut  pas  fuppofer  raifoiî- 
nablemenr  que  des  commençans  facheiït 
faire  par  cœur  toutes  ces  divifions  qui 
fcnt  au  nombre  de  jjiî  ,  fans  y  com-^ 
prendre  les  divifions  impïopres ,  où  le 
dividende  étant  o  >  ou  plus  petit  que  le 
divifeur,  le  quotient  eft  toujours  o.  Tay 
conftruit  les  Tables  fuivantes  où  lorr 
trouve  ces  mêmes  divifions  primitives 
a\œc  îes  quotiens  &  les  reftes.  On  a  fup- 
pofe que  les  Tables  de  la  multiplicationi' 
ëtoient  les  mêmes  que  celles  de  h  divt- 
£on  ^  au  lieu  qu'elles  doivent  être  fort 
différentes.  C'cft  peut-être  en  partie  ce: 
<q[uî  a  fait  paroître  "là  divifion  fi  difficile 
aux  commençans  ;  ne  trouvant  point  dan». 
ces  Tables  tout  le  fecours  qu'ils  ea  d^ 
iRE>xciit  atccndccr 


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j:i[y:i|;;}[<      \6\i\6'.t\6i^ 


4:i|4:2- 


3^13^4 


4-3|4î4i;      |f:i|;:i 


3-3 |4     (4: I |4:i|4î3 


3|3jiU^i  1 3-:  5 1 3  H  hj/ljif 


i;jfi;^|i;7(3      |3:Miil!lil 


i:3|^:4r^:yh:<?[t:7l«'»«h 


iS  I  lyt 


;>:i(p: 


7      |7:l^ 


y'5(j:4 


4:4l4:j 


4      I4: 


3'-^|3-J 


3:i|3:i 


Troifiéme  TabU 


31  I  U  I  .M  I  34|  3y  U^l  37|  38|!3^1 


7'3|8      |8:i[8:i|8:3  [-9      [9: 1  [pî^-l^: 3 


<^:i['^;i|<?:3|^:4[7      |7:i  j?:  1 17^3^754 


j:i|;;i|j;.}|;;4|,j;;|^      |  ($  :  1 1  <^;i  [é:  ) 


'4n|4r4|4'/[4:^|T     |/:  i  |  P^U^  3i 5^4 


3'7|4     |4:i|4:gr4:3l4''4|4:T|4î<l4î7 


3>-4{3:/l3:^||:7[jî8|4      |4:  i  U^a^U- 3 


^jfAtriéme  Table* 


41  un  43  |44(:4;|4<îl47f48r45> 


i|8:i|.*:3|8:4|^     [^:i|9;i|y  :  3{f  ^4 


;|7      |7:i|7:M:7:3bî4l7:-r-lllli^ 


é[tf     |^n[6;i|6;3[6;4|<^-fr^-^|7 

M^'>iy'y|j>4|y:j|j:^|j'7|<^Vl<g-' 

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CmfuOm  Tnkte. 


7|7;i|7  =  tj7=?|7:4f7:/|7:<l«     l8:i|«.Ji;~ 


&|<!t(é:}|<;4J<;j|<;<(<;y 
9\s-s]$-6\S:7\s:i\6     |<;i 


Z-JZiilZiiiZii 


Sixième  Tdbk, 


[.  »i7:4i7r/i7:<|7:7l<     | 


Stftiinu  t*hU. 


|7P|7«|7t|7H'7;i7fl7^lV^J,.frri 
1  »|7=7|7:gl«     l«-M«->f8:3|ir4|«:rt,:^|,r;| 


HMittém  tàbh. 


a 


74  Nouveaux  Elemens 

EXPUCAZIOH  liBft  .<^S.    T  ABUS. 

DAns  CCS  XâBlqiTle  "pf emîer  ran^  i 
gauche  de  haut  en  bas ,  conrient  les 
clivilèurs  z,  3,4,  &c.  5.  on  n'a  pas  mis 
parmi  ces  divifeurs  o  >  ni  i  ,  parce  <ju'on 
né  dlvifc  point  par  o  >  &  iju^en  divifant 
par  l^Ie  (Juoufîticdt  ^gdlau  dividende^. 
ou  plutôt  parce  que  i ,  ne  divife  point. 
Ainfi  3  étant  divifô  par  i  »  le  quotient 
cft  3. 

Xc  premier  tang  de  gauche  î'  droite 
contient  les  dividendes. 
'  Les  ccHnîçç  qui  rjépondcw ,  wk  cdlu* 
les  d'un  dividende  &tl*un  diviifeuf  don- 
nez ,  çontienoMt  les  quotiens-pcecis ,  4Mft 
avec  leur  rçfte.  ^ 

Ainfi  dans  chaque  cellule ,  il  y  a  or- 
dinairen?cnt  deux  çhifres. ,  ,  dont  le  pre- 
mier  dp  çauche:  à  ^d|roite  malrquel  le  duor 
tient  -,  &le  fécond ,  qui  eft  fcparé  du  pre- 
mier pan  deux  points  9  marqua  le  rdle  : 
c*cft  pourquoy  dans  la  première  T^blCâti 
deflus  duprcimeç  çhiJfrAi^  y  a  cette  let- 
tre ef  ,  pour  marquer  que  c'eft  le  que- 
ckiU)  ic  att-defius  du  Second  dbifre^  il  y 
a  cette  lettre  r ,  poiu:  marquer  que  c'éft 
Ic.rcfte.  ^  ,.  , 

Lors  qu'il  n'y  a  qu  un  fcul  chifre,  c  cft 
le 'ijuotient  précis. 


1 


JC  Arithmétique  (J*  £  Algèbre.       75 

La  pretnicrc  Taj>Ic  cft  pour  les  divi- 
dendes depuis  X  juiques  a  xo  y  la  fécon- 
de pour  les  dividendes  depuis  XQ  y^Çç^ç^ 
à  30  S  la  croifiémc  fett  depuis^  jjo  jujf. 
4]ues  à  40  S  &c«  La  huitième  &  dernie;^ 
re  eft  pour  les  dividendes  depuis  8q 
Jufques  a  50  cxclufivement. 

Pour  favoit  doiK  par  cxerqplç  q^el  eft 
ie  quotient  de  54  divifé  par  ^.  je  cher- 
-che  daifts  la  cinquième  Taole  C4au  rang 
des  dividendes!  &  ^.  «u  rang  des  divi- 
feurs»  &  je  trouve  dans  la  cellule  cor* 
refpondamç  ce  nombre  ^  f^\  marque 
^e  6  eft  le  quotient  prcci«  de  J4  di- 
.vifé  par  9  .^  car  6  fov  9  font.  J4; 

Mais  fi  jeveuxTavQic  quel  eft  leauà- 
ti^nt  de  £9  divifé  par  &•  je  trouve  dai^g 
ia.xncme  Xable  ^  dans  ki  c^ll4]l^  qnii  ^ér 
Dond  au  divid|É;ide  $9,  &  au  divijfcmf 
o  >  ces. deux  chifres  7  >  J>  qui  marquent 
que  le  quotient  eft  j'fic  le  refte  3.  Car 
7  fois  &  font  5^ ,  &  5^  ôte  de  j^  il 
refte  3  •  &  ainfî  des  autres* 

On  fo|çofc  imcore  dam  h  divifidit 

3aV»i  fecKe  {Quftraifce  par  cccur ,  tout  pro- 
xàt  primitif,  de  tout  nombre  qui  (ur- 
paflTe  ce  produit  de  moins  de  10.  Tap- 
|)ellc  produit  primitif  le  produit  de  tout 
nombre  plus  petit  que  dix,  multiplié  par 
tout  nofiabre  pliis  petit  que  10.    Ainû 

G  ij     ^ 


75  Nouveaux  Elemtnf 

Z4  cft  un  produit  primitif ,  parce  qu  il 
cft  produit  de  8  par  3 .  il  faut  favoîc 
qaôtant  14  de  i4,il  reftc  o  :  qu'ôtant  Z4  ' 
de  30  ilrcfte  é:  quotant  24  de  33  il 
rcfte  9  :  &  ainfi  des  autres  ,  jufques  i 
8 1 ,  qui  étant  ôté  de  90.  il  refte  9. 

PROPOSITION   PREMIERE. 

Divifir  un  nombre  donné  far  un  nof0^ 
bre  moindre  que  lO* 

PrEMIIR      EXEMPIE. 

•  * 

IL  faut  divifer  10  par  2.  j'écris  ledi- 
Vifeur  2.  fous  la  quotient 


première  figure 
du  dividende  de 


divid.  •  •  20«       I O 


gauche  i  droi-  divifcut  2« 

te ,  qui  eft  auffi  reftc  o 

2.  &  je  dis  en  di vifeur  2 
2,  combien    de 


fois2,ilycfti;  o 

Récris  1 9  au  quotient ,  &  mulripliant  mon 
di  vifeur  2'>  par  le  quotient  i^  j'ôte  le 

f)Foduit  2  »  du  chifre  correfpondant  dans 
e  dividwide,  qui  eft  aufli  %.  &  parce 
qu'il  ne  refte  lien  ,  je  pafTe  à  la  féconde 
opération. 
J'écris  comme  teftc  la  £ccoude  figure 


^u  dividende  Oy  dans  le  même  rang  de 
haut  en  bas  y  8c  j'écris  de  nouveau  moi^ 
divifeur  i  Tous  ce  refte  du  dividende  \  &r 
je  dis  en  o  >  combien  de  fois  i  ?  il  y  eft 
b  >  j'écris  o  >  pour  féconde  figure  du  qtio« 
tient ,  Se  multipliant  mon  divifeur  2  par 
le  quotient  o>  jote  le  produit  o>  du  re-. 
fte  o  >  &  il  ne  refte  rien.  La  divifîon  eft 
faite  >  &  le  quotient  cherché  eft  i  o. 

II.    £  X  s  M  P  L  E.  ^ 

Il  faut  divi  fer  4  3  4  par  j.        quotieni 

l'écris  le  divifeur  j.  4341^2 

fous  la  féconde  h-  i         ■ 

giure  du  dividende  divif.  7  •            , 

y  ôc  non  pas  fous  refte   14 

fa  première  figure»  divif.   7 

comme  dans  Texem-  ,  m 


pie  précèdent,  par-  o 

ce  que  la  première  figure  4  eft  plus  pe* 
tite  que  Icl  divifeur  7 ,  &  que  c'cft  une 
règle  générale  qu'il'  faut  que  le  divifeur 
foit  ou  égal  ou  plus  petit  que  k  chi&e^ 
ou  que  les  chifires  du  dividende ,  au  def^ 
fous  duquel  on  l'écrit.  Je  dis  enfuite  ea 
43  combien  de  fois  71  il  y  eft  6  fois» 
&il  refte  i.  j'écris  6  au  quotient»  &je« 
cris  1 ,  comme  refte  au  deilbus  &  dans  le 
ineme  rang  que  le  3  du  dividende»^  &  que 

9  H 


75  Nouveaux  ^lemenf 

le  7  <îu  d^ivifcur.  J'ajoute  i  cet  i ,  tottr 
Az  faite  la  figure  fuivante  du  dividende 
4.  ce  qui  donne  1 4  pour  premier  rcfte> 
&  pour  fécond  ou  nouveau  dividende  y 
tC]t  pafleila  féconde  opération. 

J'écris  dtr  nouveau  mon  divifeur  d'un 
fang  plus  avance  vers  la  droite  ;  fous  le 
ttôuvcau  dividende  14.  &  je  dis  en  t4 
combien  de  fois  7.  il  y  cfl  i  fois  précv- 
fément  -,  j^écris  1  au  quotient  >  &  parce 
qu'il  rie  rcfle  rien  ,  le  quotient  cherché 
eft  6i*  c'efl  à  dire  que  7  efl  contenu  6:t 
fois  dan^  43  4.  ou  que  la  fepttéme  partie 
de  43  4  dl  6  t.  ou  que  454  étant  parta- . 
gé  également  en  7  parties  ,  chacime  àt 
ces  parties  eft  de  6  z. 

{IL      EXEMPLI. 

II  faift  divifer  3  04 103  par  8.  féc^rî^ 
t  fous  la  féconde  figure  du  dividende  ; 
8c  je  dis  en  3  o  combien  de  fois  8  Hl  y 
eft  3  fois,  &il  reftc  69  j'écris  3  au  quo- 
tient ,  8c  j'écris  6  comme  rcftc  au  dcfl 
fous  &  dans  le  mènoe  rang  que  le  o  >  du 
dividende  &  le  8  du  divifeur;  &  j'ajou- 
te à  ce  (^  tout  de  fuite  le  chifre  4 ,  qui 
eft  la  figure  {ùivantc  du  dividende.  Ce 
qui  me  donne  pour  premier  reftc  &  fé- 
cond dividende  ^4 ,  &  je  pafle  à  la  âr- 
conde  opération. 


récris  de  nonveau  mon  divifeor  8  s 
d'un  rang  plus  avatilcé  vers  la  droite  fous 
le  nouveau  .  dividende  1(4.  Se  Je  dis  en 
^4  combrende  fcds  8^  il  y  en  précifé^ 
^  ttsent  8  ÊnSf  J^cris  S  au  quotient  9  6c  je 
n'caisariéh  au'seftepfarceqo^tKerdiciim* 
tik  d'écrife  on>o^  niais  j'éaris  feulement 
pour  tefte  la  figure  Vivante  du  dividen^^ 
de  qui  eft  i  •  ce  qui  me  donne  pour  (è- 
cond  refte^  tro^me  dividende  i.  Mais 
parce  que  i  ,  ne  peut  pas  être  diyifc  par 
2.  6c  que  8  tft  comenu  o  >  de  ïbis  dans 
I  )  l'écds  pour  ci;oiiîéme  figure  de  mon 
quotient  O)  &jepa(reà  la  quatrième  o- 
peration  en  ajoutant  à  cet  i  >  là  figuïê 
lui  vante  du  dividende  o  9  <^  qui  donne 
pour  quatrième  dividende  10^  6c  je  di^^ 
en  10  combien  de  fois  8  ^  il  y  eft  i*. 
fois.  Se  il  refte  1 3  j  écris  i  •  au  qùotienti 
&  j'écris  2 ,  comfne  refte  au  deflbus  y  6c 
dans  le  même  rang  que  le  o  9  du  drvi*. 
dende  &  le  8  du  divifeur  ^  «&  j'ajoute  i 
ce  2*  tout  de  ime-U  figure  fuivante  du 
premier  dividende  3 ,  ce  qui  me  donne 
pour  dernier  dividende  23. 

J'écris  de  nouveau  mon  dîvifeur  fous 
23*  &  je  dis  >  en  23  combien  de  fois  8  ? 
il  y  eft  2  fois»  &  il  refte  jr.'  j'écris  2  au 
quotient  »  &  j'écris  7  pour  dernier  refte 
^f»  fc  garée  a  part^  ^u  je  t  écris  à  c&c£ 

G  uii 


'du  quotient  avec  une  petite  ligne  entre 
deux ,  &  le  divifeur  8  ao  delTous  de  cet- 
te ligne,  de  cette  manière  |,  &  c'eft  cç 
qui  s'appelle  itfjyr  Pr4£b'aii  9  dont  je  ttait«- 
teray  au  Livre  troifiéme.  L'opération  eft 
faite ,  &  le  quotient  cherché  eft  3  So 1 2. 
Ç,  c'efl:  à  dire  que  8  eft  contenu  3801^ 
fois  dans  504103  >  &  qu'il  refte  7. 

Ofermion» 
^ Ut  dividende  304io3l38oia|quot; 

divifeur    8  .  •  . . 
icr  reft.&  i.divid.^4  • .  » 

divifeur     S 
a.  refte  &  }.  divid»    i  •  » 

divifeur     '  8 
3*  refte  &  4*  divid.    i  o  «^ 

divifeur      8 
4*  refte  &  5.  di vidend.  2  7 


mmm 


^uMriéme  Exmpli* 

il  Êiut  divifèr  400 18  par  .  8*  Cet 
exemple  ne  diffère  du  précèdent  dans 
1  opération  ^  que  parce  que  un  dividende 


itJrithmêfi^itié'J'jitgéhre.  K 
pâmai  fe  tcôuvc  être  un  o  ^  &  que  %. 
dans  o  >  eft  contenu  o  >  de  fois  ;  rinfpe- 
âiom  fetile de  lopciation  fuffit pour  l'en^ 
^dré« 

Opération'' 
Premier  dividende  .  .    400l8|500tfi' 

.mmmmimmmmmmmimmmmÊÊÊmmmmm 

divifeur        S  •  •  • 
1er  refte  ic  fécond  divid.      o  •  • 

divifeur     8 
(econd  refte  &  3«m«  divid.      i  . 

divifeur      8 
jroifiéme  refte  &4«»«  divid.  ig 

divifeur      8 


dernier  refte     •    .    .     % 
Jtegh  giniratcm 

i^.  Ecrivez  le  divifeur  fous  la  pre^ 
miere  figure  du  dividende  de  gauche  à 
droite  >  h  cette  nremiere  figure  eft  ^a-« 
te  ou  plus  grande  que  le  £vi(èur  :  mais 
fi  cette  première  figure  eft  plus  petite, 
écrivez  le  divifeiu:  (bus  la  {èconoe  figa:-< 
re  du  dividende. 

2^.  Voyez  combien  de  fois  le  divi- 
feur eft  compris  dans  la  première  ,  oa 
^xs^  les  deux  prçinietts  figures  du  di^i:: 


8t  NàHvUUx  Ètemenf 

àtvAt  qui  luy  répondent  *,  &  caî«z  1er 
nombre  des  fois  au  quotient  :  s'il  rcfte 
quelque  chofe  »  écrivez*le  au  deflbus  <la 
divifeur-,  &  foit  qu'il  refte  ou  qu'il  ne 
reftc  rien ,  écrivez  de  fuite  la  figure  fui- 
vante  du  dividende  ^  vis4-vis  &  audef^ 
jbus^  d'elle-menae ,,  8(  d'un  tanj^  plus  baS 
que  le  divifeur»  écrivez  fous  ce  preroiec 
rcfte  qui  eft  un  fécond,  dividende ,  vôtre 
même  divifeur. 

j®.  Voyez  combien  de  fois  vôtre  di- 
vifeur eft  compriis  dans  ce  feCond  divt-4 
dende  >  &  écrivez  le  iiombre  de  fois  au 
quotient ,  s'il  refte  quelque  chofe  écri- 
vez-le au  deflbus  du  divifeur  j  &  foit  qu'il 
rcfte  ou  qu'il  ne  refte.  rien  ,  écrivez  de 
(itite  la  figuc.e  fuivante  du  dividende  » 

f>our  avoir  un  troiiïéme  dividende  ,  far 
equel  vous  opérerez  coinme  vous  avez 
fait  fur  le  premier  2c  fur  le  fécond^ 
continuez  oe  même  jufqijies  à  la 'der- 
fiiete  figure  du  premier  ,  <m\  donner 
ra  le  dernier  dividende  partial  >.  fie  li  le 
divifeur  eft  contenu  precifément  dansctf 
dernier  dividende^la  divifion  fera  finie» 
en  écrivant  au  quotient  le  nombre  des 
fois  qu'il  y  eft  contenu.  Qjjc  s*il  reftc 
quelque  cho'fe  >  :1a  ^vifion  fera  imparfai-* 
1^3  &  Ton  écrira  ce  dernier,  refte  à  cô« 
té  du  quotient  comme  fi»£tion!>  ménauit 


d'jirithmetiifue  &itJMre.^  f^ 
Bnc  petite  ligne  entre  ce  rcfte  qu'on  é- 
cm  dcflus ,  &  le  divifcur  qu  on  écrit  â^ 
iteflbu$« 

A0tre  Exemfle. 

L  année  contante  i  tf 97.  cft  la  24  y  i  ««« 
depuis  rinftitution  o*  le  rétabliflement 
des  jeux  Olympiques ,  &  depuis  le  com* 
mencement  des  Olympiades ,  chaque  O- 
lynipiade  cft  de  4ansi  on  demande  quel- 
le fcroit  l'Olympiade  courante  ,  fi  1  on 
tontoit  encore  par  Olympiades,  &  quelle 
'  feroît  Tannée  de  cette  Olympiade* 

Il  faut  divifcr  X4ÇI  par  4;  je  trou- 
ve pour  quotient^  12  >  &  il  reftc  3. 
<f ou  je  conclus  que  245 1 1  ^l  z  :  3.» 
depuis  le  Solftice  >  ■  > 
d'été ,  ctcft  à  dire  4 

depuis  le  22  Tuin,  5 

nous  (bnimes  dans  4 

la  troifiéme  année  il 

de  la  é  1 3  «««  Olym-  4 

{>iade;  ce  qu'il  fal-  ■ 

oit  trouver.  x 


Demânfirétiâpty 

Diviier  un  non&re  par  un  atltte  »  c*cft 


•  • 


14  Kàwoekust  ^UnUnï. 

prendre  ufic  telle  partie  du  dividende? 
que  l'unité  l'cft  du  divifeur.  Divifer  6a 
par  3 .  c  cft  en  prendre  le  tiers  qui   cft 
20.  c'eft  à  dire  prendre  de  6o  une  partie 
telle  que  Tunité  l'cft  de  j .   Divikr  6o 
par  4,  c'cft  en  prendre  le  quaït  qui  eft 
I  ç  •  c  eft  i  dire  prendre,  de  60  une  par- 
tic  telle  que  Tunité  Tcfl:  de  4.  Gar  conv 
ine  1  eft  le  quart  de  4.  de  même  1 5^  efi: 
le  quart  de  60  »  &c.   Or  par  loperation 
de  la  propofition  cy-dcflUs  on  prend  fuc- 
ccflîveitient/la  mcifite  pisCrtie  ,  premierer 
ment  dés  centaines ,  puis  des  dixaines  %, 
puis  des  unitez  \  ou  premièrement  des 
mille ,  puis  des  centaines ,  puis  des  dixai-t 
nés,  &c.  (uivant  le  nombre  des  chifres  du 
dividende.  Donc  on  prend  la  même  par*- 
*tic  de  tout  le  dividende  >  c'eft  à  dire 
qu'on  le  divife  par  le  nombre  donné  \  ce 
qu  il  falloir  faire;  car  il  cft  évident  qji'a^ 
joutant  enfemble  par  exemple  la  moitié 
des  centaines ,  la  moitié  des  dixaines  >  & 
la  moitié  des  unitez,,  on  a  la  moitié  to- 
tale des  dixaines ,  des  centaines  &  des 
unitez ,  il  en  eft  de  même  dii  tiers  Ibr» 

3u  on  divife  par  3 .  Du  quart  lors  qu'on 
ivife  par  4  :  &  ainfi  des  autres  \  pat 
exemple  quand  je  divdfe  245  !•  par  4». 
c'eft  la  même  chofe  que  (i  je  me  propo- 
^i%  de  prendre  le  ^lart  de  z400  h»^ 

1  'X 

I 


Jt ArkbmeHqHt&  d*Algeire.       S^ 
^o  -f-  i  ou  de  2400  -H  40  -+-  ii.Ot 
^400*  ceft  14  centaines.  Le  quart  de 
24  centaines  c  eft  6  centaines ,  &  il  n'y 
^  qu  à  confiderer  que  le  quart  de  24  eft 
6  9  c'eft  Pourquoy  j'écris  é  au  quotient» 
&  ce  é  doit  être  des  cenmnes,  je  dis  eor 
fiiite  5  o  fi>nt  ^  dixaines ,  &  le  quart  de  ^ 
eft  I  •  c'^  pourquoy  j'écris  i ,  au  quo« 
tient  9  &  ce  doit  être  une  dixaine  *,  mais 
il  refte  encore  une  dixaine  qui  jointe  aux 
2  unitez  fait  1 2  unitez.  Je  dis  le  quart 
de  1 2  unitez  eft  3«  &  j'écris  3  au  rang 
des  unitez.  Il  eft  évident  que  24  c  2  di«- 
^ifé  par  4  eft  é  1 3  >  puis  que  le  quart  do 
2400  -;•-  40  -H  1 2  eft  600  -f-  10  -^  3* 
le  refte  eft  une  fuite  évidente  de  l'expref- 
£oti  des  nombres  ,  félon  la  proerefiion 
4ecuple>  ce  qui  n'a  aucune  difficulté. 

SECONDE    PROPOSITION. 

Diviftr  un  nombre  donné  par  un  nonh, 
bu  exprimé  fdr  pUa^d'un  chifre* 

PUBMIfiR    .EXEMPII* 

*  »  ■  ' 

IL  faut  divifer  69  par  23*  J'écris  le 
divifeur  23  fisus  le  dividende  69  »& 
fe  <Ks  3  en  é:  combien  de  fois  2 1  il  y  eft  3 
fbisVavantqué  d  ecri£e3  au  quoçcnt^Je  cook 


$S  Nouveaux.  Elemens 

Ëàctt  fi  la  jTcjconde  figute  3  du  divifeor 
cft  auf£  coâteauc  3  fois  dans  ce  qui  refte 
du  dividende  :  c  en  à  dite  dans  9,  &  trou* 
yane  qu'il  y  eA  compris  ^iffi  j  £315 ,  j'é- 
cris 3  au  quotient»  1  opération  cft  finie* 
j  cft  le  quorient  cherché. 

^9(3  quotient 

2.3 

■  .  -      ■  •       ,7 

Second  Exemple. 
11  fawt  divifcr  30e  par  17.  J'écris  le 
idivifeuciT^  fous  le  dividende3o6^*&}e  dis 
en  3  pieini^re  figure  du  dividende,  cbny- 
bien  de  fois  i  «première  figure  du  divifeut? 
Il  y  eft  3  fois>  mais  avant  que  d'écrire  3  au 
quodem  >  je  confiderc  fi  U  féconde  fi- 
gure 7  de  mon  divifcax  efl:  auffi  contenue 
j  fois  dans  ce  qui  teftc  des  deux  premiè- 
res figures  du  dividende  i  c'eft  à  dire  dans 
O  >  &  je  vois  qu'il  n'y   cft  pas  compris. 
C'eft  pourquoy  je  prcns  un  moindre  quo.- 
tient  1 5  &  je  djj  en  3  première  figure  de 
mon  dividende  combien  de  fois  i  ?  il  y 
eft  X  fois  &il  cefte;i .  qui  joint  au  zéro 
fuivant  fait  10.  mais  avant  que  d'écrire  z 
auquotfent,  je  confidcre  fi  7  eft  confenli 
âuiu  1  iois  dans  i  o  »  &  voyant  qu'il  n'y 
cft  pas  compris  z  fois  >  je  prcns  i  pour 
ijaoriens  4^  ï^^^lh. 


d Afithmetuiue  &  d\Atgehre.       ty 
le  dis  enfuite  en  multipliant  le  quo- 
tient  par  la  dernière  figare^de  mon  di« 
videndç  ly.  i  &is  7  cft  7*  &  7  ôïc  du 
chifre  qui  hiy  répond  dans  le  dividende 
iqui  eft  o>  i^ne  puis  pas  ;  j  emprunte  i 
4a  chifre  précèdent  opx  vaut  i  o>  &  je  dis 
de  I  o  ôtcz  7  reftc  3  ,  j  écris  j  pour  refte 
au  dellous  èxi  7.  je  dis  enfuite  i  fois  £ 
eft  f-.  &  tquef  ay  emprunté  font  z.Scz 
ôté  de  3  ,  itrefte  i,  que  j'écris  fous  le  i . 
du  divifeur.  Je  palTe  à  la  féconde  opéra-- 
tion  après  avoir  ajouté  au  refte   13   le 
chifre  GHYûm  6  du  dividende ,  de  forte 
que  j'ay  pour  premier  refte  >  Se  fécond  di- 
vidende itS* 

yécns  de  nouveau  mon  divifcur  en 

avan9ant.duft  r»^  de  gauche  à  droite 

fous  ce  nouveau  dividende,  &  je  dis  en 

13  combien  de  fois  ï  ?ily  eft  13  fois; 

.mail?  ritiyafit  h  Regle.genérale je  ne  pufc 

«jam^is.,pcendre  plus  de  9  pour  quotient; 

pui{que  je  ne.  chcçche  qu'un .  chifre  à  la 

fois  ,  &  que  5»  eft  le  chifre  de  la  plus 

grande  valeun  Akifi  avwtqjUfe  d'écrire  5^, 

ie  confidere  q^'otaJkc  uiie  fois  9  de  1:3)'^ 

refte  4 ,  qui  ^t^t  au  âir^eft^m  y  fait  4  ^ , 

&:  que  7  fe@3^e  figi^  de  mon  diyifout 

n'eft  pas  ccmip^ifè  9  S^is  dans  4  6.  G'eft 

pourquoy^e  ne  prr* ns  que  8 ,  &  Texami^ 

nanj:  av^at  ^^%  detllécrirë^ftt  touve  que 


m    . 


tu  iTûMveâux  EUmtns 

je  pub  ocec  8  fois  7  de  5^  »  en  ^mphm- 
cant  ç  ^c  1 3 .  &  que  )i  fois  i  >  plus  5  que 
l'ay  em^Hiuntez  font  les  mêmes  1 3  •  Cfft 
pourquoi  j'écris  8  au  quotient ,  &  en  tout 
1 8 .  c*efk  le  quotient  cherché ,  c'cft  â  dire 

3ue  17  cft  çoutcmn8  fois  precifémcnt 

306(18 


^7- 
i  136 

Wmmmmmmm 


•Vi' 


00 

Trùifi^me  Exemple* 
fl  faut  divifcr  305438  par  ^37* 

Operétion* 
t^rcmicr  dividende    305438]  1 188  ~|* 

divifeur     237 .. . 

k«'refte&  l'^divid.     684  •• 

divifcur        237 
fécond  rcfte& je.divid.  2 1 0  3  - 

divifcur        237 

jcme  jcftc  &  4«~*.  divid,  2078 

divifcur      X37 


^Jt AritimifiqHe  &  J'Jllgshri.  ff 
récris  ^57  foiis  ^05^38 >&jeii^t9 
la  preimece  ngore  z  du  aivifeuc  Ço\xSr  la 
preiniete  figure  3  du  dividende  »  parce 
^ue  celle- cy  eft  plus  grande  que  Tautre* 
Car  fi  prenant  le  même  nombre  de  ehifres 
au  commencement  du  dividende  que  dans 
le  divifeur,  le  nombre  exprimé  par  ces 
chiéres  du  dividende  a  eft  pas  égal  ou  plus 
grand  que  le  divifeur  ^  alors  il  faut  écri- 
re la  première  figure  du  divifeur  fous  la 
féconde  figure  du  dividende.  La  rai&n 
eft  qu'on  ne  peut  pas  divifec  un  plus 
petit  nombre  par  un  plus  erand*^ 

Je  cbs  £a  3  peemiere  figure  du  diyi^ 
dende,  combien  de  fois  tl  première  fi^ 
gure  du  divifiruc^  il  y  eft  une  fois.  Se  je 
vois  que  tout  le  divifeur  137  eft  com« 
pris  au  moins  une  fois  dans  305  parciCL 
du  dividende  qui  luy  répond.  C'eff  pour- 
quoy  j'écris  i  >  au  quotient  &  je  multiplie- 
par  ce  même  i.  tout  mon  aivifeuc  csx 
commençant  par  les  derniers  ehifres,  c'eft^ 
à  dire  par  les  unirez ,  &  je  dis  i  fois  7 
CI17,  ècy  ôtédc  I  5  il  refte  S.J'ay  dit7 
oté  de.  1 5,  quoy  qu*iï  n'y  ait  que  ç  au  def^ 
iiis  de  7.  parce  que  foivant  la  Règle  gène-- 
raie  il  faut  emprunter  des  ehifres  prccc- 
dens  du  dividende,  ic  ajouter  au'  chifre 
donc  on  vexa  oter  le  produit,  il  fautdis^ 
je  y  ajouter  autant  .de  dixaines:  qu'il  eft 

H 


90  Nouveaux  Elemens 

neceflaif e  pour  en  ôter  ce  produit.  Je  dis 
donc  7  ôté  de  I  5  il  reftc  8*   que  j'écris 
âu  dcflbus  du  y.  comme  partie  du  pre- 
mier rcfte.   Je  dis  cnfuite  i  fois  3  eft  j, 
&  î  &  1  que  j'ay  emprunté  font  4*  &4 
ote  de  I  o  il  rcfte  6 ,  j'écris  6  au  dcflbus 
du  3.  enfin  je  dis  i  fois  2  ceft  2  ,  &  i 
que  j'ay  emprunté  c'cft  3.  &  3  ôté  de  3. 
il  ne  refte  tien.  J'ajoute  au  refte  ^8.  le 
chifre  immédiatement    fuivant  du  divi- 
dende,  qui  eft  4»  &  j'ay  pour  premier  re- 
fte ^  nouveau  dividende  6.84. 

J'écris  de  nouveau  mon  divifeur237^ 
fous  ce  fécond  dividende  684  >  &  je  dis 
en  6  combien  de  fois  2  hI  y  )eft  3  fois^ 
mais  je  reconnois  que  3  eft  trop  grande 
parce  que  je  ne  puis  pas  ôter  3  fois  37 
de  84*  Ainfi  je  ne  prens  que  2.  que  j'écrisr 
au  quotient,  &  multipliant  par  ce  2  tour 
mon  divifeïir  2  37-  &  commençant  par  le 
7.  je  dis  2  fois  7  font  14.^  &  14  ôté  de 
14,  il  rcfte  o>  qîie  j'écris  au  deflbus  du 
7,  &  je  reriens  i .  je  dis  en(uite  2  fois  3: 
font  é,  &  I  qne  j'ay  retenu  font 7.  &  7 
ôté  de  8.  il  refte  i,que  j  écris  au  dcflbus 
du  3»  enfin  je  dis  2  fois  2  font  4 ,  &  4 
&é  de  6  il  refte  2  que  j'écris,  J'ay  nour 
fécond  rcfte  210.  &  j  ajoutant  le  cnifre 
immediatexnent  fiiivant  ou  dividende  qui 
xtt  J .  J'ay  pour  cnnfiéaic  dividende  x  i  o  j*' 


) 


fbiis  lequel  j'ccris  de  noureau  mon  divî- 
feur  237-  &  continuant  loperation  je 
trouve  que  le  quotient  cherché  eft  1 1 8  S 


La  Règle  ic  la  Demonftration  font  les^ 
mêmes  que  dans  la  propdfitibn  précéden- 
te ercepré  que  dans  celle-Il  ,  on  prend 
toûjoufs  pour  Quotient  le  plus  grand 
nombre  d€  fois  que  le  divifeiit  eft  con>- 
pris  dans  le  pretniet  0ti  ks  deux  pre'- 
miers  chifres  du  dividende ,  fut  lequel  on 
opère  ;  &  que  dans  cette  féconde  propofi-' 
cion  il  ne  faut  pas  toujours  p^àdre  pouir 
quotient  le  plus  grana  nomore  de  fois^ 
que  la  première  Bgure  du  divifeur  eÉ 
comprife  dans  k  prefiiiere  ou  fes  deu^ 
premières  figures  du  dividende  r  parce 
qu'il  (km  avoir  égard  aux  autres  figure» 
du  divifeur ,  comme  on  a  pu  remarque» 
dans  les'  exempl^es  ptecedensr 

'     < 

LA  Divifion  eft  mie  çQ)ecc  de  Sotï^ 
ftradion  ,  puifqoc  Ton  "ote  fe  divi- 
feur du  dividende  ,  autant  de  fois  qu*ii 
t&  poffibte.  G'èft  une  fèufttaôioiîi  m^ 
pie  ,  lôrS  «que  le  divifeur  eft  coftfcn» 
moim  Ac  deux  fôià  dans  le  dividende ,; 
Ceft  une  Soââcâ^îa  i^ïterée,  lots  qjae 


fi  NoHveanx  Elément 

le  divi(èur  y  eft  contenu  deux  ^  ou  plu^ 

fieurs  fois. 

La  Divi/bn  diffère  elTentiellement  de 
la  Souftraâion  réitérée  ;  en  ce  que  dans 
la  Souftraâion  on  fait  abflxaâion  de  l'é* 
galité,  ou  de  Tinégalité  des  nombres  at 
touftraire  ;  2ixl  lieu  que  dans  ta  divifion» 
les  nombres  à  (buftraire  (ont  tous  égaux; 
ou  plutôt  c'eft  le  niême  nombre  qu'on 
(buftraic  plufieurs  (cas  \  &  ce  rapport  d'é- 
galité étant  plus  fimple  que  le  rapport 
d'inégalité  rend  Toperation  fufçeptible 
d*abbreviation«  On  a  été  obligé  de  cher- 
cher une  manière  abbregée  de  faire  la  di^ 
viiion  >  &  qui  fut  différente  de  la  Sou- 
ftraâion^  i&ns  quoy  la  divifion  aurozt* 
été  impraticable  par  fa.  longueur  prodi^ 
gieufe,  fur  des  nombres  itème  fort  npie'-' 
idiocresw  Par  exemple  fi  on  vouloit  divi* 
fer  3 06  par  ly.  &  le  faire  par  une  (ov^ 
ftraâion  réitérée  ,  il  £iudrort  d'abord 
(buftraice  17  de  ^06  9  &  du  refte  289. 
ôter  encore  17,  &  du  rcffc  271  ôtcr 
encore  1 7 ,  &  continuer  de  même  juf-  ; 
ques  i  ce  qu'il  ne  reftât  rien  ,  ou  qu'il 
icftât  un  nombre  plus  petit  que  17/,  ^ 
prés  quoy  il  faudroit  conter,  lé  nombre 
des  (buftraâions ,  qui  fe  trouve  d'ans,  cet 
exemple  être  1 8.  &  i  &  iêcoit  le  nombre^  ; 
011  le^  quotient  clicrchc  >  il  eft  évident 


it jirithmefique  fk  d' Algebrel       ^ 

2ttc  cela  n'cft  pas  praticable.  La^vi* 
on  ditferc  encore  de  la  Souftra&ion 
réitérée  »  en  ce  que  dans  la  Souftra-* 
âion  9  on  fait  combien  il  y  a  de  ibtu 
ftraâions  continuelles  à  faire  ,  &  oa 
cherche  le  refte  y  au  Ueu  que  dans  la  Di- 
vifion  on  cherche  direâement  &  princi* 
paiement  ce  nombre  de  &i]ftraâ:ions 
continuelles  que  l'on  ignore-,  c'eft  àdi- 
f  e  on  cherche  le  quotient  ;  &  on  ne  cher^ 
che  qu'indireâement  &  moins  prindpa-* 
lement  ce  qui  refte  après  la  Diviiion. 

Lors  que  le  divifeur  eft  contenu  predfé^ 
ment  un  certain  nombre  de  fois  dans  le 
dividende ,  la  divifîon  eft  parfaite  ;  lor» 
qu'il  n'y  eft  pas  conttfnu  pcecifémenty 
mais  avec  un  refte  la  divifion  eft  impar- 
faite. Ainfî  quand  ondivife  48  par  j.  b 
divifîon  eft  parfaite  ;  mais  lors  qu'on  dr« 
yife  48  par  f  >  ta  divifîon  eft  imparfaite^ 
&  des  quatre  opérations,  fîir  les  nombres 
connus,  ou  exprimez  par  des  chifres,  il 
n'y  a  que  la  divifîon  qui  puiflc  être  im- 
parfaite» 

La  Divifîon  eft  aufîi  la  feule  des  qua-* 
îre  premières  opérations  qui  fott  fiajettc 
au  tâtonnements  ce  qui  afrrive  lors  que  le 
divifeur  eft  exprimé  pat  plus  d^m  chifte, 
parce  qu'on  ie  règle  par  le  premier  oa 
les  deux  premier^  chi&es  du  dividende  i 


^ 


94  Nouveaux  ZUmtns 

&  par  le  premier  chifce  du  diviicur  ;  cc^ 
pehdanc  il  faut  avoir  égard  aux  autres 
chifres  du  divifèur  >  ce  qui  fait  qu  on  ne 
peut  pas  voir  tout  d'un  coup  &  d'une 
feule  vue  quel  quotient  il  faut  prendre» 
avec  un  peu  d'ufage  on  ne  fait  jamais 
plus  d'un  tâtonnement  ou  deux  au  plusv 
Il  ne  peut  jamais  y  avoir  plus  de  fix  ta- 
tonnemens  ^  ce  que  je  démontre  par  cet 
exemple.  Il  faut  divifer  900  par  i^«  en 
examinant^ combien  de  fois  le  premier 
chifre  du  divifeur  eft  compris  dans  le 
premier  chi&e  du  dividende  »  on  voir 
qu'il  y  eft  9  fois  »  cependant  ^  eft  trop- 
grand  pour  quotient ,  2  caufe  qu'on  ne 
divife  pas  p^r  io<  Mais  par  19.  &  £1  oft 
prend  8,7,6,5,  ifs  font  encore;  trop 

Î;ranfds-,  &  on  eft  obligé  de  prendre  fcu^ 
ement  4  pour  quotient.  Il  eft  évidcnr 
que  dans  cet  exemple  le  ^emier  chifre 
du  dividende  ne  peut  être  plus  grand> 
&  en  même  rems  le  dividende  avec  ce 
même  premier  chifr^  ne  peut  être  plu* 
petit  ,  &  au  contraire  le  premier  cBifre 
du  divifeur  ne  peut  être  plus  petit  qu'il 
eft,  &  en  même  tems  le  divifeur  avec  ce? 
nifemc  premier  cbifrc  «c  peut  être  pluss 
grand  <>  doù  il  s'enfoit  que  le  iiombrèf 
des  tâtoimemeûs  réguliers  ^ft  It  pti^ 
grand  ^'il  foil  poâmcr 


^  ArithmetiqHe  &  £  Algèbre  *       ^ 
Paur  éviter  ces  tâtonncmcns  qui  font 
très  incommodes»  &  qui  rendent  l'ope- 
ration  très  longue  ,  il  n'y  a  qu'a  confi- 
der  que  1 9  approche  beaucoup  plus  de 
10  que  de  lo*  Ainfi  au  lieu  de  dire  ei» 
^  combien  de  fois  i.  il  auroit  fallu  dire 
en  9  wmbien  de  fois  2  ^  fit  on  autoir 
d'abord  pris  pour  qHêttent  d  épreuve  le 
nombre  4.  6c  parce  que  multipliant  i^ 
par  4.  ie  prodiût  étant  6té  de  90*  il  te^ 
fte  moins  de  i  ^.  le  nombre  4  eft  le  quo^ 
rient  cherché,  de  même  fi  le  divifeut  é- 
toit  z^.  on  devroit  le  regardei  comme 
30,  Sec. 

On  peut  donc  pour  éditer  la  pins  gran*^ 
^e  partie  des  tâtonnemens»  augmenter 
d4me  unité  la  première  figure  du  divi* 
feur  ,  lors  que  la  féconde  eft,  ou  ^  ou  89^ 
^u  j.  &  lors  quVIle  eft  ou  4,  ou  5,  ou  69 
on  peut  prendre  le  double  de  la  première,^ 
ou  M%  deux  premières  figures  du  dividenr 
^e  félon  les  cas ,  &  divifer  ce  double  par 
!e  double  de  la  première  figure  du  divi- 
icur,  en  augmentant  ce  double  d'une 
unité»  Ainfi  fi  favois  àdivifer  900  par 
I  ^ .  au  lien  de  dire  en  9  combien  dé 
fois  I  ,  je  dirois  en  1 8  •  combien  d^ 
fois  3» 

Comme  il  ne  faut  pas  prendre  fe  quc^^ 
tient  trop  grand  ^  il  ne  le  faut  pas  noir 


9^  PFâMvedux  Etemem 

f\as  pren^lre  ti?op  périt  ;  &  on  côir-^ 
Botcca  fi  on  l'a  pris  trop  peut  >  lors  que 
le  refte  eft  plus  grand  ique  le  dîvifèury 
ou  égal.  Il  ne  peut  aufli  y  avoif  jamais 
que  deux  ckifres  au  plus  du  dividende, 
qui  répondent  au  premier  chi&e  du  di- 
viifêur  y  &  si\  y  en  a  davant^e  c  eft 
qu'on  a  pris  quelque  quotient  trop^ petit». 
Il  y  a  autant  de  divifions  panielles  a 
faire  ,  &  autani:  de  figures  au  quotient 
que  le  nombre  des  chifres  du  dividende 
.furpa(!è  le  nombre  dea  chifres  du  divî<- 
feur,lors  que  le  divifeur  eft  plus  grand 
que  les  premiers  chifres  en  même  noniH 
bre  du  dividende  >  &  il  y  a  une  divifion 
de  plus  i  faire ,  Se  un  cfaifre  de  plus  au 
quotient  dans  les  autres  cas.  Ainfi  s'il 
fautdivifer  jotfoïSpar  53»  comme  le 
dividende  a  fix  chifres,  &  que  le  diviw 
feur  n'en  a  que  deux»  &  que  jo  pre- 
jmers  chifres  du  dividende  eft  plus  pe- 
^it  que  <  3  •  J  ote  d'eux  de  fix,  il  refte  quai- 
trc ,  je  dis^  qu*il  y  a  quatre  divifions  par- 
tielles d  faire  -,  &  que  le  quotient  aurr 
quatre  chifres  *,  mais  s'il  avoit  fallu  divi«- 
fer  306^018  par  28.  il  y  auroit  eu  jj 
cbiées  au  quotient,  &c.  Et  de  même  s'ii 
avoit  fallu  divifer  par  3 1 .  il  n'y  auroit 
eu  que  4  chifires  au  quotient.  L'Opera- 
^xxa  feule  prouve  la  vérité  de  cette  rer- 

mar^iev 


Ji*  jirithmeti^Hi  é*  ijilgebnl  97 
xnatque ,  &  clic  eft  utile  lors  qu  il  y  a 
des  o  y  dans  le  quotient* 

La  divifion  efl:  oppcfée  à  la  mnlcipU^ 
cation  ,  comme  là  Souftradioii  l'eu  i 
l'Additiocu 

Quand  on  multiplie  par  o ,  le  produit 
cft  03  ce  qui  eft  un  produit  infiniment 
petit  i  quand  on  divife  ;  ou  plutôt  fi  loa 
divifoit  par  o  >  le  quotient  feroit  infini- 
ment grand. 

La  multiplication  pat  i  ,  ne  change 
xien  au  nombre  multiplie  ;  &  elle  répond 
à  l'addition  qu'on  feroit  de  o* 

La  divifion  par  i  ,  ne  change  rien 
auffi  au  dividende,  &  elle  répond  à  la 
^ouftraftipn  qu  on  feroit  de  q. 

X>^s  laUregeg,  de  U  I>mjt$n* 

LA  Divifion  eft  la  plus  difficile  des 
quatre  operatidhs ,  &  on  a  cherche 
;â  l'abbregçr  comme  la  multiplication  j 
ces  abbregez  jfe  reduifent  aux  quatre  mê- 
mes cheh  9  favoir ,  les  machines  comme 
les  bâtons  de  Neper  ,  les  Tables  ,  les 
Nombres  multiples  ,  &  Fexpreffion  fiii- 
vaut  la  progreffioB  décuple.  Je  ne  diray 
tien  des  deux  premières  manières ,  &  ce 
que  j'en  ay  dit  au  Chapitre  de  la  mèlti- 
jpUc^ÔQtt  dpit  s'appliquer  auflî  à  la  divi- 


9%  NoHveém^  Elément 

fion  avec  cette  reftriftion  ,  que  par  les 
Machines  &  les  Tables  on  trouve  tou- 
jours le  produit  cherché ,  mais  qu  on  ne 
trouve  avec  les  mêmes  machines  Se  les 
mêmes  Tables  le  quotient  cherché ,  que 
lors  que  ce  quotient  eft  exaâ  &  qu'il  n'y 
a  point  de  refte  >  dans  les  autres  cas  on 
trouve  le  c[uotient  approché  »  &  le  refte 
par  une  Souftraftioru 

Conmie  la  divifion  par  un  feul  chifré 
cft  beaucoup  pliis  aifée  que  la  diviiîîoti 
par  deux  ou  plufieurs  chi&es  y  6c  qu  it 
cft  même  plus  aifé»  fur  tout  pour  des 
commençans  de  faire  deux  ou  trois  di-> 
viiîons  continuelles  par  un  feul  chifre  9 
que  de  faire  une  feule  divifion  par  deux 
ou  trois  chifres  »  au  lieu  de  divifer  pat 
exemple  par  i8*  on  divife  par  les  nom- 
bres qui  fe  multipliant  l'un  Tautre ,  ou 
les  uns  les  autres  a)ntinuellement  pro« 
^luifent  1 8  >  &  qui  (ont  exprimez  par 
un  feul  chi&e.  Ainfi  on  dtvKera  d'abord 
par  3  ,  &le  quotient  on  le  divifera  par  4* 
ou  bien  on  divi(éra  d'abord  par  2 ,  Se  le 
quotient  par  j  ,  &  ce  fécond  quotient  en- 
core par  3  •  &  le  dernier  quotient  fera  le 
qûodenc  cherché.  C'eft  la  le  fondement 
de  tout  ce  qu'on  appelle  Règles  brèves^ 
&  des  parties  aliquotes. 

On  peut  de  mçme  au  lieu  de  idivifer  p^ 


î  1 9.  divifer  d'abord  par  7.  &  puis  pac 
17.  Parce  que  7  fois  17  font  1 19.  & 
.au  tien  de  divifer  par  1309*  on  peut  di« 
vifcr  par  7.  &  le  quotient  par  1 1  •  &  le 
quotient  par  1 7.  parce  que  7  fois  1 1  fbit 
17  font  1 30^  CÎettc  Méthode  n'cftpra- 
tiquable  que  dans  les  petits  divifeurs ,  & 
dans   ceux  où  li>n  voit  d'abord  quels 
font  les  nombres  qui  fe  multipliant  conti- 
-nucUcment  ptoduifcnt  le  divifeur  donn£» 
Le  quatrième  abrégé  fe  réduit  aux  di^ 
Tifeurs  qui  font  terminez  par  un  ou  plu^ 
fieurs  zéros ,  dans  ce  cas'  il  n'y  aqu  a  re- 
trancher du  dividende  autant  de  chifres 
^e  droite  à  gauche  qu  il  y  a  de  zéros  i  la 
fin  du  divifeur  >  ainfî  pour  divifer  par  i  o» 
îl  n'y  a  qu'à  trancher  le  dernier  chi&e 
de  droite  à  gauche ,  &  pour  dàvifeç  *par 
f  00«  ri  n'y  a  qu'à  trancher  les  deux  cier- 
ciers  chifres ,  &  pour  divifer  par  3  o  ii 
^'y  a  qu'à  trancher  le  dernier  chifre ,  & 
dvifer  le  refte  par  3.0:  pour  divifer  par 
2300  »  il  n'y  a  qu'à  trancher  les:deux 
derniers  dhi&es  du  dividende  >  /&:di^ 
£erie  ceftepar  zj. 


tùù  Nouveaux  Elemenî 

Exemples* 


lo  lo  zoo 


8o_ 


xoo 

2.3  00  • 

58 


"37 

Au  lieu  de  divifer  par  ç  ,  il  cft  plus 
commode  de  doubler  le  dividende  ic  re« 
trancher  le  dernier  chifre  >  car  c'cft  divi- 
fer le  double  par  io« 

Au  lieu  de  divifer  par  '25  ,  il  eft  plus 
cQtsmode  de  multipUer  par  4 ,  &  de  rc;- 
àfàâçher  les  deux  derniers  chi&cs  »  parce 
que  c*eft  divifer  le  quadruple  par  i  00. 
&  aii%fi  des  autres. 

L'ufage  apprendra  une  infinité  de  fem- 
blables  abbregez  »  &  on  ne  doit  point      4 
s'embarraflcr  de  les  apprendre  d'abord. 
La  raifon  Se  la  Dcmonàration  de  ces  Re- 


r 


d'Arithmétique  &  J^Algehrel  ioi 
gles  abbrcgées  fe  tirent  des  Règles  de 
rexpreflion  des  nombres  quîc  j'ay  ex- 
pliquées^ &  des  proprietez  connues  Se 
évidentes  des  mêmes  nombres. 


CilAPITRE      X. 

î)e  la  Divifio»  Littérale» 
Rbgib     Gcnsrali.^ 

IL  faut  commencer  par  écrire  les  let- 
tres du  dividende  au  deiTus  des  lettres 
du  divifeur  &  les  feparer  par  une  petite 
ligne ,  effacez  enfuite  les  lettres  commu- 
nes^ dans  lun  &  dans  lautre,  lorsqu'el- 
les ont  le  même  expofànt ,  ou  ôcez  \z  pe- 
tit expofant  du  plus  grand  ,  effacez  la 
lettre  qui  a  le  plus  petit  expofant  >  & 
laiilèz  celle  qui  avoit  le  plus  grand  dans 
Ion  rang  ,  en  luy  donnant  pour  nouvel 
expofant  la  différence  des  deux  premiers- 
Ce  qui  reftera  marquera  le  quotient  lit- 
rerâJ^ 

Dîvifez  enfuite  Fabfbhi  du  dividende 
par  l'abfolu  du  divifeur,  &  écrivez  le 
quotient  numérique  devant  le  quotient 
tot^l,vou5  aurez  le  quotient  cherché  >it 
y  a  qus^cre  cas.- 


loi  Nouveaux  jEtemim 

PnEMiiR     Cas» 

tors  qti'il  ne  rcftc  aucune  lettre  ap& 
fcffiicetnent ,  le  quotient  numérique  eft: 
le  quotient  chercné*  Ainfi  4 ,  divifc  pap 
é ,  donne  i ,  &  2  4  >  dinfé  par  a  ^  donne 
X 9  Se  6^4  divifé  par  Z4  s  ctonne  2  pous 
quotient  y  &c  de  nacmc  6a^bi^zixaU  uoo^ 

jtutres^  ExemfUu 

24jf  ÎI4*|4f 


«■» 


34  y  Mb 

1  s'appelle  une  fiaâion ,  dont  2  •  eft  le 
Numeratiur  y  Se  3.  eft  \t  Dénominateur-. 

4 1  eft  un  nombre  mixte ,  parce  qu'il 
comj)i?end  le  nombre  entier  4  &  la  fia- 
ftion  |.  Je  parleray  des  fîaftions  &  dc^ 
nombres  nûxtes  au  Livre  troifiéme. 

Second  Cds^ 

Lors  qu'il  refte  quelque  lettre  dans  le 
dividende ,  &  qu'il  n'en  refte  point  dans 
le  divifeur.  Il  faut  écrire  ce  refte  apré^ 
le  quotient  numérique  pour  avoir  le  quo- 
tient cherché.  Ainiï,  64  4^r,  divifé  pair 
Xé€y  donne  pour  quotient  ^éb- 


6 Mab€\  3  sk 

1  se 

Car  rabfoitt  6  étant  divifé  par  TzhCo^ 
la  2-  dornie  pour  quotient  numérique  3» 
&  effaçant  des  lettres  du  dividende  aal^c, 
celles  du  divifeur  mc,  il  refte  sh,  que 
l'écris  après  }•  pour  avoir  3  4^  quotient 
cherché. 

La  peuve  ié  fait  en  multipliant  le 
quotiçnt  j  4  ^  »  par  le  divifeur  x  4  r ,  car 
le  produit  6s4%c  tR,  égal  au  dividende 
propofé. 

La  raifbn  de  Poperation  littérale  dansf 
CCS  deux  casi  eft  que  ta  multiplication  fe 
faifant  par  addition  de  lettres  &  d'cxpo- 
iâns  y  la  (buftcaftion  doit  fe  faire  par 
ibuftraâion  de  lettres  Se  d'expoGms.  Si 
félon  l'inftitution  4 ,  multiplié  par  h,  pro» 
duit  4  h ,  donc  4  b  »  di vifé  par  4 ,  doit  don- 
ner i  pour  quotient , &  le  même  abj  di- 
vifé  par  b ,  doit  donner  4  pour  quotient» 
de  même  que  parce  âue  2  ^is  5  font  i  f  » 
en  conclut  que  1 5  diviic  par  5  donne  j,^ 
Se  que  1 5  divifé  par  3  dot)ne  5.  Ainfi  enr 
effaçant  du  dividende  les  lettres  qui  s*y 
trouvent  au  même  degré  que  dans  te  di- 
vifeur ,  on  divife  effeâlvement  le  divi- 
dende par  le  divifeur  >  d  où  il  s'enfuit 

I  uij 


que  lors  que  la  même  lettre  fc  trouver 
avec  differens  expofans  dans  le  divifcur 
&  dans  le  dividende  i  on  n*a  qu'i  fou- 
ftraire  rexpofant  du  divifeur  de  l'cxpo- 
fant  du  dividende ,  &  laifler  au  quotient 
la  mètne  lettre  avec  l'expofant  de  la  dif- 
férence -,  ainfi  a^  divifc  par  a^  donne 
pour  quotient  4  ».  Car  4  ^  eft  la  même 
chofe  que  4aaM  &  4*  eft  la  même  cho- 
fe  que  an ,  or  par  Tinftitution  âaad4  eft 
k  produit  de  aa  par  aàa  ,  donc  adOéta 
divifé  par  aay  donne  444,  ou  ê?  ^ivifé 
par  4*  donne  4^. 

Troijifme  Cas. 

S'il  refte  quelque  lettre  dans  le  divî- 
leur ,  &  qu'il  nen  rcfte  point  dans  le  di- 
vidende, it  faut  écrire  ce  refte  en  fra- 
âion  &  en  forme  de  dénominateur  fous. 
Je  quotient  numérique ,  fi  c'cft  un  nom- 
bre entier,  ou  à  côté  du  dénominateur» 
fi  ce  quotient  numérique  eft  une  fiaftion. 
Ainfi  ôaab  divifé  par  zaabc  donne  pour 

quotient  J-&  64ab  divifé  par  xn^h  don-. 

ne  —ce  qui  fignific  3  divifc  par  £?  ;  j 
divifé  par  4,  &  844^*(r  divifé  par  i  xa^bbc 
donne  pour  quotient  -^  &  24^  divifc 


-  --r 


d'Arithmétique  &  iJlgeire^*  ^^ 
par  i^ah  donne  pour  quotient  —  & 
3  laab  divifé  par  74^**  donne  pour  quo^ 


^^^^  ^• 


Quatrième  Câs* 


Enfin  lors  qu'il  rcftc  des  lettres  dan» 
le  dividende  &  dans  le  divifeur ,  on  é- 
crit  le  quotient  numérique  fuivi  du  re- 
fte  du  dividende  en  forme  de  numéra- 
teur ^  &  du  refte  du  divifeur  en  forme 
de   denlteinatcur.    Ainfi   \tabc  divifé 

par  iMC  donne  pour  quotient  4—  ou 
1^  &  ixabc  divifé  par  1744^  donne 
pour  quotient  -^  &  3  i^Jc  divifé  par 
744<r  donne  -~-  ou  4j-j- 

©ans  les  deux  premiers  cas  ïa  divi- 
fion  eft  parfaite  ,  foit  que  le  quotient 
numérique  ibit  un  nombre  entier ,  foit 
que  ce  foit  une  fradîon  ou  un  nombre 
mixte ,  parce  qu'on  n  a  ccard  qu  aux  let- 
tres &  non  pas  aux  abfolus  ,  dans  le^ 
deux  derniers  cas  la  divifion  eft  impai'^ 
faite. 


^^  KoHWMX^  Etemels 

^qp^  ins  la  divifiou  littérale  comme  dai» 
îa^àivifion  numérique  ,  la  divifion  im- 
parfaite produit  les  fractions.  CeHe  -  cy 
produit  les  fraâioos  numériques  ,  & 
celle-là,  tes  fraâions  littérales  dont  je 
traittcray  au  Livre  troîfîcme» 
-  La  raifon  de  1  opération  dans  ces  deux 
derniers  cas  eft  fa  même  (pie  dans  le» 
4cux  premiers. 


JtArithmeti^e  &  êtAt^irél    itl^ 

LIVRE     SECOND, 

Des  qitétre  Of  if  étions  fur  Us  Nombrn 

€<imfl€»CS* 

L'Addition  &  la  Soufliaûion  împar^ 
faites  fonnent  les  nombres  comple- 
zes.  Ainfi  quand  j'ajoute  des  quantîcez  de 
différent  nom  où  que  je  les  (buftrais, je  fpr-^^ 
me  un  nombre  complexe  arithmetiquej 
dont  je  connois  le  rapport  comme  lors 

aue  j'ajoute  àts  livres  ^  àt%  ibb  &  des 
enif n  s  ou  àts  degrez ,  its  minutes,  des: 
fécondes  ;  des  heures ,  des  minutes  \  des 
toifcs ,  des  pieds  >  des  pouces  ;  &c  les  {bm^-. 
mes  (ont  des  nombres  complexes  arith* 
metiques  y  &  on  n'en  forme  jamais  danft 
la  pratique  que  par  addition ,  ainfi  ^\.  S 
f.  8  d*  qui  fîgniâe  3  iiv.  6  fols  ^  8  deniers^' 
€^  un  nombre  complexe  arithmétique», 
ou  les  nombres  3,  è,  &  8.  ont  desva* 
leurs  différentes  à  proportion  de  leur 
"râleur  naturelle  9  à  caufe  de  la  valeur 
différente  des  monnoyes  réelles  ou  d*e- 
ftimation  i  quoy  on  les  applique  >  &  c'eft^ 
k même  chofe  que  5  liv.-i^  6Ù ^  85^ 


lo8  Nouveaux  Elemeui 

^  -j-  ^  cft  nombre  complexe  littéral  par 
addition,  #e  —  b  eft  un  nombre  comple- 
«  par  fouftraûion ,  5  ^  -^  3^  -i-  2  c-— 
8^*-,  ^^  eft  un  nombre  complexe  par 
addition  &par  fouffcraâion  réitérées^  ^& 
de  même  74^  —  T^aab^  &c.  Et  comme 
par  plufîeurs  additions  &  fouftra^ions 
iîmplcs  ic  réitérées ,  on  peut  avoir  pla- 
ceurs des  ces  nombres  complexes  à  ajoû« 
ter,  i  fouftraire,  à  multiplier,  a  divifer 
les  uns  par  les  autres ,  ou  par  des  nom- 
bres fimplcs  &  incomplexes  tek  que  font 
ceux  dont  j'ay  traittc  dans  le  Liîrtc  pré- 
cèdent i  il  faut  avoir  des  règles  pour  fai- 
re ces  quatre  opérations  fur  ces  nooK 
bres  complexes. 


Chapitre     I. 

J)e  V Addition  des  Nombres  complexes. 

jirishmetiqHes* 

Régie    Générale. 

1®.  T?  Crivcz  chaque  c^cc  fous  cfaa- 
Xi  que  c(pece  \  les  livres  fous  les  li- 
vres ,  les  fols  fous  les  fols  ,  les  deniers- 
fous  les  deniers  s  ou  les  toifes  fous  les 
tpifes  »  les  pieds  fous  les  pieds»  les  pau^ 


d'Arithmétique  &  iAlnhre.      io> 
ces  fous  les  pouces  ;  &  ainu  des  autres. 
Il  faut  commencei  par  les  plus  grandes 
clpeces ,  &  paffcr  enfuite  par  degrez  ju£- 
ques  aux  plus  petites  &  dernières  créées. 
i?.  Ajoutez  premièrement  les  petites 
ic  dernières  efpeces ,  comme  par  exem- 
ple les  deniers ,  &  fi  la  fomme  eu;  moin- 
dre en  valeur  qu  une  des  efpeces  précé- 
dentes >  écrivez  dans  le  même  rang  cet^ 
te  (bmme ,  comme  fi  la  fbmme  des  de- 
niers étoit  moindre  que  1 2  >  &  qu'elle 
fsasi  9  par  exemple  i  o  »  il  faudroit  écri- 
re 10. 

}®.  Si  cette  fomme  vaut  predfcmcnt 
une ,  ou  plufieurs  des  efpeces  précéden- 
tes ,  comme  fi  la  (bmme  des  deniers  cft 
1 2>  ou  24  )  ou  3  6 ,  &c.  qui  valent  i ,  2, 
3  fols,  &c.  n'écrivez  rien  au  rang  de  cet- 
te efpece ,  &  retenez  autant  d'unîtez  que 
cette  fomme  vaut  d'efpcccs  précédentes, 
fi  cette  (bmme  eft  de  12  deniers  >  rete- 
nez I  »  a  c*eft  24,  retenez  2  >  pour  les 
{ois. 

4^.  Enfin  fi  cette  fomme  vaut  une,  ou 
plufieurs  efpeces  précédentes ,  8c  quelque 
chofe  de  plus  *>  marquez  dans  le  même 
rang  le  furplus ,  &  retenez  autant  d  uni- 
tez  que  cette  fomme  vaut  d'efpeces  pré- 
cédentes. Comme  fi  cette  fomme  ctoit 
1 1  deniers  »  ilfaudcoii;  icrire  3  deniers» 


sto  Nouveâsêx 

&  rctcmr  i  foli  fi  c'étoit  2^  deniers  »  il 

faudroit  écrire  5  deniers ,  &  retenir  z 

lois. 

f.  Ajoutez  de  même  Tefpecc  immé- 
diatement plus  grande  »  comme  les  fols, 
en  retenant  i  livre  pour  chaque  20  ibis, 
&  ainfi  de  fuite  en  remontant  jufques  i 
la  première  &:  plus  ^ande  e^ecc 

Premiir  Exemple. 

La  livre  vaut  xo  fols ,  &  le  fol  1 1  dcn. 
|1  faut  ajouter >       i%h  i^C    6d. 

8  L    I  f.    y  d. 


a 


ibmme       11  l*  i^C  11  d. 


^  faut  ajouter ,        1 3 1. 1 4  f.   $  d. 
i  ixL    5^    3  d. 


fotnme      z6L  o.     o< 


wmmimmÊtmmmmmm 


îl  faut  ajouter,       1 8 1*  i  ç  f.   8  d. 

à  13I.  l8f.    6d. 

^  1«    .f  f.    9  d. 


i««MHiMi«M»«l 


ibmme      4iLi9f*iid. 

II"!        ■      W    '       ; 


d* Arithmétique  &  d*Aîffhre*      ttt 

Second  ExemfUy 

La  toife  vaut  €  pied$  >  le  pied  vaut 
«douze  pouces,  le  pouce  vaut  douze  lignes* 
il  faut  ajouter     Z3  t»  ipi.    8  pou.    4U 

à        7  t.  3  pi.    2  pou.    7L 


wÊÊm 


fomme     30 1.  5  pi.  i  o  pou.  1 1  L 


mm 


îl  faut  ajouter      i  ^  t.  y  pi.   7  pou.    9 1. 

â       1 8 1.  o  pi*   4  pou.    3  !• 

fonune     34t.o*      o*         o* 


il  faut  ajouter      1 8 1.  3  pi.  8  pou.  6  !• 

6t*  4pi«  4  pou.  y\m 

5  P^'  3  P^^*  ^  '« 
£}rnme     26  t.  i  pi.  4  pou.  5!. 


Trgijiéme  Exempte» 

La  circonférence  de  chaque  cercle,  eh 
matière  de  Gcomcme  pratique ,  de  Tri- 
çononîctrie,dcNaryigation,  de  Gcogra- 
j>lxic,  d'Aftroponnie,  &jc  cft  ûippoféç ,  di- 


ht  NouvtMx  Elemens 

viféc  en  3  60  parties  égales,  qu'on  appel- 
le dcgrcz  ;  &  chaque  degré  en  ^o  parties 
égales ,  qu  on  appelle  minutes  ;  &  chaque 
minute  en  60  parties  égales,  qu'on  ap- 
pelle fécondes  *,  &  chaque  féconde  ea 
^o.  tiçxces  ,  &  ainfi  de  fuite. 

jl  faut  ajouter  Z3°degrez.48'mi.  13'^f. 


■PHta 


fomme     40°  d.         5  5 'm.  42''  f. 


|l  faut  ajouter      23  d.    48'     13'' 
à        17°      H'    47''' 


fonjme       41  d.      o       o 


^mmmmmmmmmimtfmi^mmmmtmm^m' 


il  faut  ajouter      xtà.    48'     lî"       f      # 


I   ■< 


fomme     41  d.    15'    11^ 


Çhak 


JtArithmetiifue  &  iAîffirt*      »j 

Chapitre    IL 

JDc   (Addition  des  tJgmhres  complexes 

limrUHx. 

RsGtx      GemekAis^ 

POttt  ajoûtei  les  nombres  complexes 
littéraux ,  il  faut  les  écrire  1  un  fous 
Tautre* ,  chacun  avec  fon  figne  de  -h  oup 
de  —  i  &  chaque  nombre  fncomptexe  lit- 
téral fous  (on  Semblable.  Il  faut  enfuitc 
ajouter  fepareraent  tous  les  nombresr  in- 
complexes  fetfiblables  qui  ont  le  même 
figne  3  fuivant  les  Règles  générales  de 
l'addition  ;  &  ceux  qui  ont  un  fiene  con- 
traire i  il  faut  les  fouftraire  le  plus  petic 
db  plus  grand ,  ou  la  fbmme  des  plus  pe- 
tits de  la  (bmme  des  plus  grands  >  &  mar- 
quer le  refte  avec  le  ngne  des  plus  grands*^ 
La  (bmme  ^e  ces  additions  particulière?^ 
donnera  h  £bmme  cherchée. 

ExemfUs^ 

* ■  I       I        I 

•  - 


«!■■■■■««»  mmmmtmimm»'9i»^»maimmmr 


r  4  KoHVtânx  EliminS 

3**.       24—3*         4^   24 — 3^ 
34+3*  3  4  H- 7^ 

^MVaM-«MM«MiMHM>MaS  —III      I  ■■ 

fommc  5  4  -H  o.  54-1-4* 


ttHMi 


5^   24  -♦-  3*  ^®.  2^-1-3* — çr 

34 7*  3  4' — 7*  -H  2  c — 8^ 

■■■■■             ■■              ■    »    ■■■■!  ■•  «naaMaMB«iM>M«—i«iiMiHHMM> 

fom,  j  4  < —  4*  J4 — ^4** — 3  c^^tL 


7^    745  -I-  ^adb-^  hhc 
—  24'  -H  844*  H-  5**^ —  jr^^] 


MMliMi 


fommc    j4^  -♦- 1 3  44*^  -H  jW^  — •  jcc^. 

Remarquez  i^.  que  s'il  y  a  pluficurs^ 
nombres  ixicomplcxes  {emblables  ,  c'efli: 
i  dire  qui  ayent  les  mêmes  lettres  avec 
les  mêmes  expofans ,  &  qu'une  partie  de 
ces  nombres  ayent  le  (igné  -f-  &  les  au^ 
très  le  figne  •— ,  il  faut  ajouter  feparé* 
ment  ceux  qui  ont  le  £gne  -4-  >  &  fepa- 
cément  ceux  qui  ont  le  ugne  — *  >  afin  de 
n'avoir  i  la  fin  que  deux  nombres  i  a- 
jputec  y  t'un  pofitif  ic  L'autre  negatiC 
Aihii^  p<)Ui:  ajpucci^ 


JtAritbmetiqtÊt  ^  Ij([gtif€.      tif 

H-  i%6 a —    6i  h 

—  534-4.    i%b 
-4-  2174—103^ 

—  58^4-1-173^ 


fetnitie 


ic    • 

—  2754  -f-   25* 

Je  fais  les  opérations  cy-de£[bvs.^ 

-f^  12^4  .^  j^^4( 

H- 2374         --53^ 


i«*«^  «Mii^MMMpaMaHMHMr 


femmes  -h  3634         •*— ^424 


3^34 


Tomme 


•■ 


275* 


•M 


■r 


^ymmes  —  i66h         s- 151  ^ 


i€6 


•»i 


fomme  -h    25^ 

Remarquez  2**.  «u'on  peut  commett*^ 
€^i  indifféremment  de  gauche  à  droite,  oir 
jdedroiteâgauche.^ 

1} 


3^.  Les  nombres  qui  ne  font  prtce^ 
dez  d'aucun  iigne ,  comme  font  ordinal-^ 
renenc  les  premiers  nombres  de  gauche^ 
à  droite  ,  font  cenfex  avoir  le  fignc  -+-  'y 
ainfi  dans  le  feptiéme  exemple  cy-deflus, 
"^a^  -H  ^dak  —  xbic,  efl;  laincme  cho- 
ie que  -+.  yn?  -h  5  aah  —  ibb  r^en  ce  fens 
le  ligne  +  marque  amplement  un  nonv- 
brc  pofîtif.. 
^    4®.  La  Règle  de  foaftraise  les  fignes 
Contraires  eft  fondée  fur  ce  que-  le  ngne 
• —  marque  une  fouftraâion  à.  fair^ ,  & 
qu'au  contraire  le  fignç  h^  marque  une 
addition  à  faire  y  ainii  lors  que  les  nom- 
bres précédez  de  fignes  différents   font 
égaux  y  ils  fo  déttuifent  &  leur  fomme 
eft  égale  à  zero^  -f-  3-4  ajouté  à  • —  3^ 
fe  detruifent,  &  la  fomme  eft  o  v  parce 
qu^on  ajûike  autant  qu'on  fouftrait  »  oir 
qu'on  fouftrait  autant  qu'on  ajoute.  Mai$ 
file  nombce  qui  eft  précédé  au  figne  -k, 
&  qui  par  confoquent  doit,  ^tre  ajout^»>: 
eft  plus  grand  que.  celuy  qui  eft  pcecedé 
du  4igne  — ,  &  qui  doit  être  fouftrait  r 
comme  on  ajoute  plus  qu'on  ne  fouftraitr 
il  eft  évident  qail  faut  marqujîr  ja  diffé- 
rence de  ces  deux  nombres  avec  le  figne: 
-é-  X  qui  eft  le  figne.  d'addition. 

Au  contraire  fi  le  nombie  précédé  dua 
jSenc  •—  a,  &  qu  on  doin  fouftraire  cft^ 


plus  grand  que  le  nombre  précédé  du  fi« 
gne  -H  qui  doit  être  ajouté ,  comme  onp 
touftrait  plus  qu'on  n'ajoute ,  il  eft  évi^ 
dent  qu'on  doit  marquer  la  diâîerencede 
ces  deux,  nombres  avec  le  figne  -*-  qur 
eft  le  figne  de  fouftraâion  :  il  eft  donc 
vray  en  gênerai  que  la  différence  des  nonv 
bres  incomplexes  femblables  precedez^  de 
{ignés  difFerens ,  doit  être  marquée  danS' 
l'addition  »  du  figne  du  plus  grand  de  ces* 
deux  nombres ,  iuivant  la  Règle. 


C  H  A  F  I  T  RE      HT. 

J>c  Iâ  SeufirsSHofÊ  des  Nombres  compte^; 
xes  ArithmttiqHcs^ 

CEtte  Souftraâion  n'a  aucune  difEP 
culte  particulière  :  car  de  même  que 
dtans  la  ^ftraâion  dè^  nombres  fim^ 
pies  5'  on  commence  par  (buftraire  les  uni- 
rez des  unirez ,  qu'enfuite  on  (buftrait  les 
dixaines  des  dixaines»  &c.  de  même  auffi- 
d^ns  la  (buftraâion  de  ces  nombres  com- 
plexes ,  c^  commenae  par  fouftraiie  les 
dernières  &  plus  pctites^efpeçes;,  des  der- 
nières &  plus  petites^  c^eces  femblablcs» 
cn&ite  on  fouftcait  les-  efpeces  immédiat 
tcmentplu^  grandes  ^  des.  eipeces  imme^ 


J^Mveaux  EUmenr 
^iatement  plus  grandes  y  Se  ainfi  de  (ur- 
te  jufques  aux  premières  &  plus  grandes 
efpeces  :  &  de  même  qu'oa  emprunte 
des  dixaines  pour  payer  les  unirez  ;  on 
emprunte  par  exemple  des  fols  pour  payer 
les  deniers ,  Se  des  livres  pour  payer  les 
fols.  Sec.  Et  comme  Tunité  qu'on  em- 
prunte pour  pyer  les  unitez  vaut  toû- 
{'ours  I  o ,  &  les  zéro  que  l'on  faute  va- 
ent  9-  de  même  aufll  Tunité  qu'on  em- 
prunte pour  payer  les  denier»  vaut  tou- 
jours 1 2. parce  qu'un  (bl  vaut  i  z  deniers» 
&  les  o>  de  fols  que  l'on  faute  valent  i^^ 
parce  qu'une  livre  vaut  20  fbb;  &ainfi 
a  proportion  de  toutes  les  autres  efpeces> 
felon  le  rapport  que  ces  efpeces  ont  ea«r 
cre-elles*^ 

Exemftei, 

de    37liv.  i5f.  Iden. 
6tez   1 8  livr  1 3  f.  6  den« 

refte    1 9  liv.    2  f-^  x  den. 


die    37  liv.  r  ç  f.  8  den^ 
âtez    18 liv.  i^f  8den. 


tcfte    19IÎV.  0-0 


de    37liv.  i4f.    5  den. 
ôtcz    1 8  liv»  1 7  f*  I  o  dcn. 


ml^ 


r eftc    r  8  Mr.  1 6(*ii  dcBi. 


de    J.7  liv.    o  n    8  den. 
ôcez    1 9  liv*  X  3  r.    5  den. 


MMT- 


reftc    1 8  liw    6C11  den. 


Autres  MxempUs» 

de     8  toi&9  y  ^  pieds  9   8^  pouce^»^ 
otez     3  tr         4  pi.       1 1  poaces«' 

rcftc    5  t..         o  pi*        9  pouces. 


mmm% 


de    x4t*  xpi*  3  pouces, 
otez     5  t.  3  pi*^  pouces. 

sefte    1 8  t«  4  pi.  7  pouces. 

de   24 1.  o  pi.  o  pou.    3'  lignes.^ 
€cez    17  t.  4  pi.  7  pou.  j  o  lignes. 

seftc     6u  i pu  4 pou.  5  lignes^ 


Ma  NofiVidffx  EUmtnr 

Antres  Exemplef* 

de   i3°degrcz,  8'minut.  35'^'^fcci' 
ote7.     15CI.  43'  58'^ 


rcftc      7**.  24'  37 


de    43^       o^      o'^ 
ôtcz     18^     37^    x^^ 


reftc     24^     22'     37'' 


■Mai 


Remarque!  qirc ,  quoique  les  nombres 
entiers  exprimez  par  plus  d'un  chific 
foiem  ordinairement  regardez  comme 
des  nombres  fimples  &  incomplexes ,  iis 
font  pourtant  véritablement  des  nombres 
complexes.  Car  237  eftla  même  chofc 
que  200  H-  30  -+-  7.  ou  que  i.  centai- 
nes -f-  3  dixaines  -+-  7  unirez  ;  les  mê- 
mes chures  n'ont  pas  la  même  valeuf 
en  différentes  places ,  &  les  chifrcs  dif- 
férents en  différentes  places  n'ont  pas 
des  valeurs  différentes  dans  le  même  rap- 
port quils  auroient  dans  la  même  place. 
C'eft  en  cela  que  confifte  la  tianire  dcsi 
nombres  complexes  i  mais  l'exprcfïion  de 

€cs  nombres  entiers  cft  beaucoup  pl**^ 

fimplc 


^Arithmétique  &  d'Algèbre,  tit 
fimple  que  celles  de  toutes  les  autres  efpc- 
ces  de  nombres  complexes ,  par  deux  rai- 
fons.  I  ».  Parce  que  le  rapport  d'une  e&e' 
ce  a  1  autre  eft  toujours  le  même  ,  c  cft 
à  dire  de  dix  à  un  ;  au  lieu  que  dans  la 
plulpart  des  autres  nombres  complexes 
ce  rapport  eft  différent,  i  livre  vaut  20 
fols,  &  I  (ol  ne  vaut  pas  io  deniers, 
mais  feulenient  1 2.  i  coife  vaut  6  pieds, 
Se  I  pied  ne  vaut  pas  feulement  6  pou- 
«s  ,  mais  il  en  vaut  12. 

2*.  Dans  l'expreflîon  des  nombres  en- 
xttcrs,  le  rapport  eft  fondé  en  raifon.au 
heu  que  dans  \ti  autres  nombres  Arith- 
njctiqucs  complexes  le  rapport  eft  arbi- 
traire, ou  trop  grand,  Ou  trop  petit.  Cc- 
luy  des  dcgrez, minutes, fécondes,  &c 
eft  certainement  trop  grand  &  fatigue  l'il 
fflaginationi  il  feroit  i  fouhaiterque  dans 
les  divifions  &  fid>divifioBs  arbitraires 
de  chaque  tout  réel  &  d'eftimation  on 
eut  fuivi  la  ptogreffion  décuple ,  le  calcul 
en  eut  été  fais  comparaison  plus  aifé. 

Rcmstfquez  2*.  <pie  tout  l'avanuge  de 
I  expieflion  ordinaire  des  nombres,  de  la- 
quelle on  attribue  l'invention  aux  Ara- 
bes,  ne  vient  que  de  .l'exprcffion  du  zé- 
ro, il  n'étoit  pas  difficile  de  marquer  des 
nombres  réels  &  pofîtifs  par  des  cara- 
âcKs ,  âc  rien  n'étoit  plus  naturel  que 


/ 


fil  Nouveaux  EUmtns 

<lc  fe  fcrvir  pour  cck  des  lettres  de  l'Ai-- 
phabet ,  comme  étant  des  caraâercsdéja 
tout  trouvez ,  des  caraâeres  fimples  & 
aufquels  l'imagination  étoit  accoutu- 
mée )  mais  il  étoit  difficile  de  s  avifcr 
d'exprimer  la  négation  même  du  nom- 
bre ,  &  de  tirer  quelque  uiage  de  cette 
txpreffion. 

Cependant  fans  le  zéro  il  eft  impof^ 
fible  de  conferver  une  parfaite  Analogie 
dans  l'expreflion  abbregée  des  liombres^ 
Les  Grecs  par  exemple  exprimoiént  les 
cinq  premiers  nombres  i ,  2  »  3  >  4  »  f  » 
par  les  cinq  premières  lettres  de  leur  Al- 
phabet ,  ils  exprimoiént  6  par  une  lettre 
double,  j^ 9  qui  étok  hors  de  Ton  rang; 
ce  qu'ils  appelloient  un  Eftfeme  jp  &  us 
continuôient  4'exprimer  les  nombres  7, 
8, 9  9  par  la  iîxiéme ,  feptiéme  &  huitiè- 
me lettres  jàe  leur  Alphabet»    Us  expri- 
moiént I  o  par  la  neuvièmes  20  par  la  ai* 
xiéme  v  30  par  la  onziéme,&c.  5^0  par  un 
carajfterc  nouveau,  ou  fécond  Epifemeé 
100  p^  la  dix^feptiime  lettre,  zoo  pay 
la  dix-huitiéme,  &c.  900  par  un  nou-^ 
veau  caraâere  ,  ou  troifiéme  Epifemei 
Ainiî  avec  leurs  24  lettres  &  trois  Epifi^ 
mes,ïls  exprimoiént  tous  les  nombres  de-i 
puis  I  ,  jufques  à  1 000.  exclofivemenf^ 
ils  exprimoiént  ipoo,  2aoo>3X)jOO>&C' 


^Jrifhmetipte  &  d'Algelre.      txf 
|>at  la  première ,  la  féconde  ,  la  tcoiùL 
me,  &c.  lettres  de  leur  Alphabet  avco 
«n  point  au  deflbus ,  ou  une  petite  ligne 
en  forme  d'accent  en  bas ,  à  droit  ou  â 
gauche  indifféremment  ,   &  ils  tkpn* 
moient  ainfi  tous  les  nombres  iufques  1 
un  million  exclufivcmcnt,  &c.  Cette  mar 
uiere  d'exprciBon  eft  après  ctUc  des  A- 
ratcs  la  plus  parfaite  au'on  ait  trouvée 
Zc  ce  n'cft  pas  icy  lé  lieu  d'en  <tire  da-"" 
yantage-,  cependant  il  eft  aifé  de  voit  de 
combien  cUe  eft  moins  £mple ,  moine 
imiformc ,  moins  étendue  que  celle  des 
Arabes ,  ponr  exprimer  ce  nombre  xtx' 
il  faut  trois  lettres  différentes  chez  lés 
Grecs ,  &chez  les  Latins,  au  lieu  qu'il  ne 
faut  qu'un  fcul  chifrc  répété  dans  nfttte 
Méthode ,  &  ces  trois  lettres  diffwente» 
font   un  nombre  complexe  plus  con*. 
pôle. 

Remarquez  enfin  que  la  différence  deg 
nombres  complexes  arithftjctiques ,  «t? 
des  nombres  -complexes  littéraux  confi- 
fte^en  ce  que  dans  les  premiers ,  on  con- 
noit  en  nombres  le  rapport  d'une  efpcce 
a  1  autre  .comme  des  livres  aux  fols,  des 
lois  aux  démets ,  &  que  dans  \c$  oonibttà 
complexes  littéraux  on  ne  connoît  point 
<e  rapport  dans  4  -i-  ^.  on  ne  connoît 
fOMU  le  rapport  de  4  avec  b. 


xi4  Nouveaux  EUmeus 


Chapitri    IV. 

Di  U  SoufirstHon  des  Nombres  complexes 

Littéraux. 

Règle    Générale» 

Ecrivez  les  nombres  à  {buftraire  (bus 
les  nombres  femblables  »  dont  on  les 
doit  fouftraire  chacun  avec  Ton  figne» 

Si  ces  fignes  (ont  femblables ,  &  fi  le 
nombre  à  (ouftraire  eft  égal  ou  plus  pe- 
tit qae  celuy  dont  on  fouftrait»  il  faut 
faire  la  (buftraâion  fuivant  la  Règle  des 
nombres  fimples  &  incomplexes ,  &  met- 
tre devant  le  refte  le  même  figne. 

Si  les  ûznes  étant  femblables ,  le  nom- 
bre à  {bulbaire  eft  le  plus  grand,  il  faut 
marquer  leur  différence  avec  un  figne  con« 
traire. 

.  Si  les  fîgnes  font  differens  il  faut  ajoû^ 
ter  les  nombres ,  &  donner  à  la  fbmme 
le  figne  du  nombre  dont  on  fouftrait. 

Si  dans  le  nombre  complexe  à  (bu* 
ftraire  il  y  a  des  nombres  incomplexes» 
qui  n  ayent  point  leur  femblables  dans 
le  nombre  complexe  dont  on  (buftrait  » 
il  faut  chapger  le  figne  de  ce&  nombres 


éC Arithmétique  &  iT Algèbre.     "^  li  j 
à  /buftraire  &  1  écrire  avec  le  refte. 

Enfin  fi  dans  le  nombre  complexe 
donc  on  (buftraic  ,  il  y  a  des  nombres 
qui  n'ayent  point  leurs  Temblables  dans 
le  nombre  que  1  on  ibuftratt ,  il  ne  faut 
rien  changer  a  ces  nombres  ;  -mais  les  é- 
criie  avec  le  refte. 

Exemples  dm  premier  Cas* 

I*.   àt^A^iob     x^.   de  J4— lot 
ôtez   24-*-   3^       ôtez   xa —    3^ 


reftc    34-*-  yb       rcfte   34--   yb 

3^  de     Sa-^  ^b 
ôtez    z  4.-f-  3  t 

.    Xcttc  3  4  H-  0*  ou  }4 

Exemples  du  fécond  Cas. 

4^  de  54-f-~  jfr        5^  de  54—    3^ 
ôtez  Z4H-  lot  -ôtez  24-<-iot 


rf^k 


rcfte  34—  7^  reftc   34-1-    yh 

^        Exemples  du  trûijiime  Cas. 

é^de  ^'4-t-    3*        7^  de  54—    jt 
ôtez   2^—   7^         ôtez    z#-i«^    yb 

leftc  341-i-iot        «ftc    34~xof 

I*  •  « 


ix6  NcifveâHx  lEUmenf 

Exemples  dn  quatrième  Càt^ 
8^     de.  5  4t  •+-  3  ^ 

\5*.    de  j  4  -h  3  J 


«**■!• 


rcftc     3  ii^-i«4Jf-4.  2^ 
SximfUs  d$$  cimqm/mi  Car» 
lO*.  de   ^é-^  ^h  -^  xc 


rcftc      34-^ii(*H^c 
11^  de  54+  3*  — Xtf 

ôtcz     2.^-4-4^ 

icftc    34 — I  i— z^ 

On  peut  comprendre  tons  ces  cas  (but 
me  ^tile  Règle  ^  qui  cft  de  changer  tous 
Içs  fignes  des  nomorcs  à  fouftraire ,  &  les 
•«jeâter  «ftTuite  «u  nombre  dont  on  (bu^ 
Ibîaits  k  fomme  donnera  fe  refte  cher- 


I     > . 


ché.  Par  exemple  pour  fouflxaire  24—- 
5  ^  de  5  4  -H  7^,  j'écris  • —  %  4-+-  3  i^, 
jous  54  -»-  7^  &  je  les  ajoure  ;  la  fomme 
34-1-  10^  eft  le  refte  cherché.. 

Certe  Règle  eft  vraye ,  parce  que  par 
le  changement  des  Hgnes  on  fair  une  vé- 
ritable fbuftradion^  mais  elle   n'eft  ni 
iiatureUe  ni  utile  :  elle  n'eft  pas  naturel- 
le 9  parce  que  c'eft  un  dérour  de  faire  par 
addition  ce  qu  on  fe  propofe  d  abord  de 
faire  par  {ouftraAion  »  elle  eft  inutile  en 
ce  que  l'on  n'évite  pas,  la  multiplicité 
des  cas  qui  (ont  toûjouj:s  les  mêmes  dans 
le  fonds  y  &  le  changement  à.t%  fignes  ne 
fait  que  rendre  l'opération  plus  longue 
&  plus  fujette  à  erreur.  Ce  que  j'ay  dit 
pour  expliquer  &  pour  démontrer  la  Re* 
gle  de  l'addition  des  nombres  comple*» 
xes  >  doit  s'appliquer  a  la  Règle  de  la 
(buftraâion  »  &  cette  application  eft  trop 
aiféc  pour  s'y  arrêter.  Il  fuffit  de  remar- 
quer qu'ajouter  —  c'çft  véritablement 
fouftraire ,  &  fouftraire  — -  c'eft  veritable<* 
ment  ajouter. 


->  t  >- 


•  t^M» 


LWM» 


nS  Nûfêveâux  Elem^s 


«MMMipi 


Chapitre    V» 

De  ié$  Mnltiflicâtion  des  nâmhes  C9m^ 
flfxis  LittersHx^ 

LA  Multiplication àts notnbfcs  com^ 
plcxcs  littéraux  cft  plus  fimplc  que 
celle  des  nombres  complexes  arithméti- 
ques >  c'eft  pourquoy  je  commence  pat 
les  littéraux» 

RlGLt      GlKBRALX. 

Multipliez  chaque  partie  du  nombre 
a  multiplier,  par  cnaque  partie  du  mut- 
tiplicateur,  en  obfervant  que  les  (ignés 
femblaUes  produisent  -^  >  &  les  fignès 
diflferens  produifent  — .  La  fomme  de 
tous  les  produits  p&nkux  doxmeta  le 
produit  cherché. 

Exemptes^ 

Pour  multiplier  Z4  -h  3^  par  ç,  j*ccrîsi 
5  fous  Z4  âcTous  3^,  &  je  dis  y  fois 
xa  font  10 4;  que  j  écris  (bus  24;  je  dis 
enfui  te,  ^  fois  3^  font  i  jj^,  &  j'écris -^ 
15^.  Le  produit  eft  io4-h  15]^ 


Jtjtrithmetique  &  JtAllelrél     12^ 
i4H-    ib        la —    ib 
S  5  î  î 


pr.  104-1-15^       I04 — i^b^oàmil^ 

Pour  multiplier  44  -+-  j^  par  1 4  -fî 

?^,  j'écris  ces  deux  nombres  conAplexes 
un  fous  1  autre ,  chaque  nombre  incom' 
plexe  fbus  Ton  femblaDle ,  enfuite  com^ 
mençanipar  24»  je  dis  X4  par  44  pro- 
duit 8  44  >  que  j'écris  au  projdutt.  }e 
multiplie  auffi  h-  5^  par  le  même  ^^  là 
&  j'écris  au  produit  -4-  10  a  b* 

Je  pafle  enfiiite  à  la  féconde  partie 
du  multiplicateur ,  qui  eft  3  ^  &  je  dis 
\b,  par  44  produit  1 2  4^ ,  &  h-  5^  par 
e  même  3^,  produit  h-  i^bb^  j'écris 
-^  ii4^-f-  15^^»  &  ajoutant  tous  ces 
produits  ^enfemble  ,  le  produit  total  te 
cherché  eft  844  h-  iidb-^  lOdb  'fj 
i^bb  on  iéa-^  zZ4$b-*-  l$bb^ 

4^^  ïf 
a4  -f-  3* 

8  4  4  -f-  lOà^i  produits. 

-4-  IX 4^-^  15^6 produite» 

844  -i-  224^  H-  X  5^^prod«  chercÊ^ 


}. 


tjô  Nouveaux  Elen^nr 

Pour  multiplier  44  •—  5^  par  14 '^^ 
5i^  Je  dis  en  coiTimençam  par  44  &  24> 
Icfqucls  fuivant  ce  que  j  ay  dit  cy-deflus 
/ont  cenfez  avoir  le  figne  h--,  je  dis  donc 
en  ne  confïderant  que  ces  fignes  -f<  par 
.*«-  produit  -t^  )  paflant  en(uite  auxabfb^ 
lus  y  t)  &  4>  je  dis  2  fois  4  font  8 .  j'écris 
S*  enfuite  multipliant  la  lettre  ^,  par  la 
lettre  4»  j'écris  le  produit  aa^Sc  le  pre* 
.mier  produit  partial  eft  -t-  844,  ou  fimpte- 
menc  844.  le  pa^  à  la  féconde  partie 
du  nombre  à  multiplier  qui  eft  •— *  t  ^ 
ue  je  dois  multiplier  par  -f-  24 ,  &  je 
i$  H-  par  —  produit  —  j'écris  ^—  ;  2  par 
5  produit  I  o  j'écris  i  o  s  4  par  ^»  produit 
#  k ,  j'écris  ah  s  &  le  fécond  produit  par- 
tial eft-^  i04^. 

Je  pafife  enfuite  à  la  (econde  partie  dit 
toûltiplicateut  qui  eft — 3^,&]édis*~ 
•jt: par  H-  44  produit*^  1 24 A ,  jSc  — .  3^ 
par  •^  5*  produit  -t-  i  ç^iSquc  i'écris,(^ 
|*ay  pour  produit  total  Recherché  844*— 

-h  44—    5^ 
-H  24—  .3* 

84^4 I(j4j      -  ' 


a 


•  #* 


J44'^124t  -ti  IXtfrpCôMt^ 


r 


lArtthmtHqHt  &  JtAîgthrî*      qjt 
Antre  ExempU. 

fzx  J44' —  54^-+-  xbb 


«M 


a  14*' —  1245^  H-  944^^  ptodaicsv 
-^  3  54**  H-  2044^^1 54^' 

-<-Ii|t44**~    84*J^tf*4 
214*474^*-».  4344^—234**  H-  6*4 

produit  totaL 
Remarquez  i*.  qu'on  peut  commen- 
cer indifTeremment  de  droite  i  gauche  ott 
de  gauche  à  droite  »  en  commençant  de 

Eauche  à  droite  cm  conferve  phis  d'Ana* 
^gie  avec  ia  snultiplicatiosi  numesique 
te  ordinaire. 

2^  Lors  que  les  abfolus  (ont  un  pen 
grands ,  c'eft  i  dire  que  Tun  des  deux  eft 
exprimé  par  plus  d^un  chi&e  >  il  faut  mul-; 
tiplier  ces  aD&)Ius  féparement. 

3^.  Dans  chaque  multiplication  pat* 
tiale  )  il  faut  avoir  égard  a  quatre  cho- 
fes  y  (avoir,  au  i%ne^  a  t'abfolu,  à  la  lettre^ 
0U  aux  lettres ,  &  à  rexpofant  de  la  tet^ 
tre,  pour  multipliei  ^-  234^  *^  par  *-â. 
574^^5,  it  faut  dire  i^.  -#-  par —  pro^ 
duir-— ,  enfuite  2  3  par  57  produit  1 3. 1 1  • 
faiiânt  cette  mattipUcatiou  d  part»  cnfii^ 


1^1  }^9UV€àux  Élément 

é^h*-  par  ê!^h^  produit  t^V  en  écrivant  Ici 
mêmes  lettres ,  &  ajoutant  leurs  cxpofaiis 
&  le  produit  partial  cft  —  131  inH^ 

4^  Quoique  Tarrangemctit  des  parties 
des  nombres  complexes  foit  indiffèrent 
en  un  fens;  cependant  il  eft  utile  de  les 
ranger  chacune  félon  Tordre  des  expo* 
fant  de  la  lettre  la  plus  élevée ,  lors  qu'il 
n'y  a  point  d'inconnue ,  &  lors  qu'il  y 
en  a  une  il  faut  les  ranger  félon  l'ordre 
des  expofans  de  cette  inconnue  ,  par 
exemple  pour  multiplier  44^  —  744  par 
3  44  * —  f  4^ ,  il  faut  écrire  le  nombre  à 
•multiplier  de  cette  manière  —  744  -f- 
j^h  9  Se  au  defibus  le  multiplicateur  «««^ 
-344  "^  <at^    . 

De  même  pour  multiplier  idtte  '^ 
4a^h  ' — ^aad^  par  hacd^  -^^bbâ  +  844^ 
il  faut  ranger  le  premier  nombre  fous 
cette  forme  h-  44^^ —  ^aad^^h*  xàbkcs 
€n  (è  réglant  par  é^  ^a^^ai  &  le  fécond 
(bus  celle^cy  ^  844^  -¥-  ahci-^  zbhd, 
«d'fe  réglant  par  44>  4,  &  il  faut  fe  ré- 
gler par  la  même  lettre  dans  l'un  &  l'auy 
tre  des  deux  nombres  complexes ,  &  lors 
u'il  y  aquelque  (îgne— «dans  Fun  des  deux, 
il  faut  exprimer  le  figne  -t-  qu'on  (bui^ 
jCntend  ordinairement  au  premier  terme. 

5®.  On  abbrege  le  produit  par  addi- 
tioa  ou  ibuâxadaion^  lorsqu'il  fc  trouvi 


1 


JC Arithmétique  &  ^Alphre.  rjjf 
des  produits  partiaux  fcmblaSlcs,  comme 
on  peut  voie  dans  les  derniers  exemples 
cy-deflus ,  &  en  obferyant  Tarrangcmcnt 
de  la  lettre  la  plus  élevée  que  nous  ap- 
pellerons dans  la  fuite  U  lettre  princU 
fale ,  CCS  produits  partiaux  femblables  fe 
trouvent  naturellement  difpofcz  dans  la 
même  colomne,  ce  qui  en  facilite  la  ré- 
duction ou  abbrcviation.  Ces  degrez  diC- 
ferens  de  la  lettre  principale  rangez  par 
ordre  répondent  à  l'arrangement  ordi- 
naire des  unirez ,  des  dixaincs ,  des  cen- 
taines ,  &c.  dans  Icxpreflion  îc  dans  U 
multiplication  numérique* 

Demonfirâtion  de  la  Règle* 

Il  n*y  a  nulle  difficulté  à  comprendre 
pourquoy  -^  par  -i-  produit  -fr  \  pourquoy 
-i-  44  multiplié  par  -fc-  24 produit  -+-  8^^. 
Car  il.eft  évident  qu'un  nombre  pofitif 
multiplié  par  un  nombre  pofitif,  doit  pro- 
duire un  nombre  pofitif»  c'cft  ajouter 
un  noçibre  pofidf  à  luy  même  un  certain 
nombre  de  fois  ,  donc  h  fommc  eft  un 
nombre  pofitif. 

II  eft  auffi  fort  aifé  de  voir  pourquoy 
-f.  par  — ,  ou  -T-  par  -e  produit  • — \  pour- 
quoy é'-rh  multiplié  par  c  produit  4  r  — * 
kc  on  pourquoy  ç  multiplié  par  s^^  kt 


T}4  fToHVtaux  Elemens 

prodnit  4c  ^-^  bc*  Car  <]«and  on  muUi<^ 
plie  é'-^b  par  r  9  on  ne  veut  pas  mulci-^ 
plier  a ,  tout  entier  par  c  >  mais  feulcmenti 
^*^b.  Ainfî  lors  qu'on  a  multiplié  4  par 
€y  le  produit  ^r,  eft  Qrop  grand  »  &  il 
l'eft  trop  prccifcment  du  produit  de  b 
par  c,  e  cft  pourquoy  on  retranche  kct 
ic  on  écrit  4  f  —  ic.  Ccft  le  même  rai-^ 
Ibnnement  iî  œ  multiplie  c  pat  4  ^^b* 

Que  fi  Ion  veut  confidcrct  le  nombre 
négatif  abfolument  &  indépendamment 
du  nombre  pofitif ,  il  eft  encor  évident 
^ue  multipliant  —  ^  par  ^,  le  produit 
cft  —  ^  ^ ,  car  c'eft  ajouter  — .  ^  à  luy- 
tnême  autant  de  fois  que  c ,  contient  d'u* 
tiitez  réelles  ou  fuppofées  ;  or  la  iomme 
de  plufieurs  nombres  négatifs  ne  peut  ê- 
tre  que  négative. 

Il  y  a  un  peu  plus  de  difficulté  à  ei^* 
pliquet  pourquoy  —  par  -^  doit  produi- 
re -I-  ;  pourquoy  —  h  par — d  produit  -4- 
bd*  Si  i  on  veut  confiderer  ces  nombres 
négatifs  abfolument  &  indépendamment 
<les  nombres  poiitifs;  on  peut  dire  que 
puifque  — i  multiplié  par  -^d;  c*eft  à 
dire  ajouté  à  luy-mcme  pofitivement  un 
certain  nombre  de  fois  produit  un  nom- 
bre négatif — bdy  ce  même iiombre né- 
gatif—  b  multiplié  par^ — d,  c'eft  âdi- 
«  étant  ajouté  à  hiy-vstmt  négativement 


d^ jirithmHi<jHe  &  d'Atgelre.  l^y 
doit  produire  le  nombre  pofitif  oppol 
^  tdt  pâtce  que  la  négation  d'un nom^ 
)bre  négatif  cft  un  nombre  pofiiif.  Mais 
cette  raifon  eft  trop  Metaphyfique ,  &  la 
fuppofition  abfoluc  des  nombres  néga- 
tifs ou  moindres  que  rien  peut ,  être  trait- 
tée  d'impoffible  &  d'imaginaire  ,  c'eft 
pourquoy  voicy  une  preuve  plus  fenûble 
Se  plus  convainquante* 

Le  cas  dont  il  s'agit  ne  peut  jamais 
arriver  réellement ,  que  lors  qu'on  multi- 
plie un  nombre  complexe  par  fouftra- 
âion>  par  un  autre  nomUre  complexe 
par  (buftraâion ,  comme  par  exemple  fi 
on  doit  multiplier  -+-  a  —  (tpar  *4-  c*— * 
d ,  mais  en  ce  cas  quand  je  multiplie  -h 
41  par  -f-  ^  &  que  j'écris  le  produit  aCyCC 
produit  eu  trop  grand  par  deux  raiibns* 
La  première  parce  que  j'ay  pris  a  tout 
entier  pour  nombre  à  multiplier ,  &  j'ay 
feulement  4 — b\  la  féconde,  parce  que 
j*ay  pris  c  tout  entier  pour  raultiplicateuri 
&  j'ay  feukmcnt  c —  d*  Je  remédie  d'a- 
bord à  la  première  de  ces  deux  erreurs 
<n  mulciplianr  h  par  c  &  retranchant  h  c, 
car  lexeftc  dc—ic  eft  véritablement  le 
produit  de  a^^^l^  par  c.  Mais  ce  produit 
eft  encor  trop  grand  par  la  féconde  rai- 
fon, prife  de  Texcez  du  multiplicateur 
your  lequel  j'ay  prisx  tayu:  enxior,  au  lieu 


ii»' 


t^S  Nouveaux  Elemens 

de  prcûdre  feulement  r—  di  je  multiplier 
donc  aç2xd9  &  j  ote le  produit  adyScil 
rcfte  dc^^hc  —  ad*  Mais  ce  refte  eft  trop 
aetit ,  parce  que  j*ay  trop  ôté ,  il  ne  fat 
loit  pas  ôter  le  produit  de  4  tout  entier 
par  dy  mais  feulement  le  produit  de  a* — 
^par  d»  j*ay  donc  trop  oté  precifcment 
du  produit  de  t  pat  d ,  c  eft  à  dire  du 
nombre  hd,  il  faut  donc  que  je  Tajoûte  par 
k  figne  -4-  pour  avoir  le  véritable  produit 
dh-^bc — ad-^Bd»  EtvoiUcommcnt 
— .  ^  par  •—  /&  produit  -^bd.On  plus  fim- 
plement  pour  avoir  le  produit  de  4  • —  B 
par  c—dy  il  eft  évident  qu'il  n'y  a  qu'à 
Oter  le  produit  de  4  —  Bp^d,  du  produit 
d'à  * —  Bpdsc  9  c'eft  à  dire  qu'il  faut  oter 
^^. — bdy  dcac-^Bcy  Se  pour  cela  il 
n'y  a  qu'à  changer  les  fignes  du  produit 
dd — Bd,  &  écrire  dC^^Bc^^dd  ^- 

bd. 

En  nombres  7-!-^  z  >  qui  eft  égal  à  c 
étant  multiplié  par  9  —  3  qui  eft  égal  a 
6  >  le  produit  doit  ètce  30.  or  en  multi^ 
pliant  fuivant  -la  Règle  7  —  z  par  9  —  3 
comme  fi  c'étoit  des  nombres  complexes» 
on  trouve  63  —  18' —  zi-4-6>  c'eft  à 
dire  69*-^  39  qui  eft  égal  à  30*  comme 
a  falloit. 


^KAF« 


Xjirithmâti^e  ^  Jl^Atffh^      tjif 


mm 


Chapitkb    VIr 

De  ÎA  mabiflicÂticn  dn  Nombres   Cêfit^ 
plexcf  Arithmétiques^ 

IL  y  a  deux  cas >  le  premier  eft  de  mut» 
tiplier  un  nombre  con^lext  Arithmé- 
tique pâfun  noçabre  abftrait  :  le  fécond 
de  midciplier  un  nombre  complexe  par 
un  autre  nombre  complexe. 

Dans  le  premier  cas  il  n'y  a  point  de 
Jifficuttér  II  faut  multiplier  fepaiiemenr 
chaque  efpece  en  commençant  J>ar  I^s^ 
dernières  &  les  plus  petites ,  Se  réduire 
a  mefure  qu'on  multiplie,  les  produits^ 
des  petites  efpeces  aux  efpeces  prodiai- 
nemem  plus  grandes  p  félon*  îe  rapport  quç 
ces  elpeces  ont  entre  elks«^ 

Exemple» 

Dune  nouvelle  Lune  i l'autre  il  y  a^ 
X^  jours,  1 1  heures,  44  minutes  ,  3  fé- 
condes ou  environ  ,  on  demande  €om<^ 
i>ien  font  13^  mois  Lunaires^ 

Il  faut  multiplier  2^  jours >  i  %  Keov- 
«»,  44'   3";earz3$. 


Il 


^fifS       '     ITouvea»x  Elément 

Oferation. 

3" 


,      44' 

.940 
II 

103 ji  I7Z 

43  S       . 
60 

151 

m\      .  1 r-    ... 

^  ■  — 


705"!  Il' 


6b  ii 

lOJ 

60 


45''  rcfte. 


2,9  jour».  I  z  hem-CK- 


21 15  470 

470  *Î5 

1 2-4  i__l7* 


i<  ■■  ' 


14 . . 
*4 


li  hejniej  se^ 


Le  produit  eft  6933  jours,  \6  heu- 
res, 31  minutes  ^  45  lecondes ,  &  c'eft  ï 
peu  prés  la  valeur  de  z }  ^  mois  Lunai- 
«es. 

Je  multiplie  d*abotd  2jç  par  3'^  ce 
qui  produit  70:5^'  &.  parce  -que  cnaque 
6d*  valent  i''  je  diviie7o5  pat  ^o»lc 
quotient  eft  1 1^  que  je  garde  pour  ajou- 
rer au  produit  des  minutes  »  &  J*éçris  le 
lefte  45''. 

Je  multiplie  ehiuite  13  5  par  4^^-  &  au 
produit  j  ajoûte^'itîS  i  v  que  )*ây  fetS- 
nuës ,  ce  qui  doiu;ie  pour  produit  &  pour 
&mme  i035T''r^e  je  divife  par  60 
pour  avoir  des  heures  ,  le  quotrenc  eft 
I7xque  je  gardrpOur  ajouter  aû^prodtrtt 
d^es  heures ,  &  j'écris  le  refte  3 1^ 

Je-mulciplie  enfuite  Z3 5  par  1 2  h.  & 
iti  produit  j'ajoirtc  les  172  h.  que  j'ay 
f  etemuës ,  ce  qui  donne  popr  prodt|it  & 
pbur  fontnle  29^2  heures  ^  &  parce  que 
«fôque  24  heure*  font  ijopr,  je  divife 
2592  par  24.  të  quotient  eft  1 24.  que 
fe  garde  pour   a^oikec  au  produit  aei^ 


(».  »■  •  • 


purs. 

Enfin  je  iiiultiplic  2}  J  p^r  %9  ^  air 
prbddit  jTajoûté  1 24  <^e  f  ay  retefnu,  ce 
^i  daniie  jpeJuf  pto|duîtî  ^  ]poàr  ^on&rtc 
^93P9JoiS:sï  &  chitàift  f5^35>^joûr»  t^ 
fccuresji'  4j^ 

M  i^ 


m 

146  Nouveaux  EUmenï 

Seeonà  Exemfle* 

L'année  Julienne  cftde  ^6^  jours >  ^ 
heures  »  on  demande  combien  font  i  ^ 
ans,  il  faut  multiplier  3^5  jours >  6  lu 
par  ip. 

Oferdthnl 

3^5  jours»  tf 

rp 


jx8$ 

3<îj 

4 

24 


tf5>j^  iSreftc*   ; 

Le  produit  eff  6$  ^9  jours,  18  heures»^ 
^où  il  s'enfuit  qu'au:  bout  de  dix-neuF 
ans  la  nouvelle  L^inc;  arrive  le  même  quaor 
tiém;e  du  mais  i  une  Eeure  &ç  quelques 
minutes  de  différence  prés.  CttL  ce  qiLofi^ 
appelle  le  nombre  à! ou 

Troifi/mc  Exemple»^ 

Qn  demande  combien^  valent  30 f  ssa^ 
nés  de  drap  ^  1 5  L  ^  f.  8d.  l'aune  y  il 
faut  mukipUa  i^  I.  ^f.v  S  d^par  30$* 


joy  jof  îo< 

1 5  Hr.  ér  f.  0  J« 


1525           1830           ^4401203: 
305  205:        * ■ 

lOI  ■   ■  12'. 

■    '■  203.31*01       4. 

4  tf  7é^  liv.     ■  1 2 

20  •  ^  4a 

13.  rcfte  -i* 

4  refte; 

te  produit  cft  467^  r.  1 3  f.  4  d.- 

Les  Marchands  ont  aceoûmmé  de  &!>» 
te  Gccce  moleiplicatioa  d'une  autre  m^ 
niete  quil  appcllenc  Ui  fértHS^  ^H^ua^» 
ta  ôc  alûjUMnte^^  Mais- cette  Méthodes 
cy  cft  (kn&  comparaifon  plus  a^féc  d  ap* 
prendre  &  a  retenir,  elle  eft  même  {do6 
aifée  à  pratiquer  en  plufieurs  cas,  &  moins 
fbjette  a  erreur.  Vpicy  en  quoy  eonfille 
ia  I^çthodc  ocdinaice* 

Lors  qu'ua petit  nombre. eft  çonteii(i 

preçiiement  wv  certain  nombre  r  de  foî^ 

dans^  un  plus  grand ,  on  dit.  qis&  ce  petit 

jiombre  meTurc  le  plu^  ^and^  ou  qu'ù^eft 


^4^  JfjMwaux"  Efinffxà 

partie  aliquote  du  plus  grand  Aind  f, 
tnefure  i  c  >  ou  eft  partie  Siquote  de  1 5  ,, 
parce  <pi'ii  en  eft  precifémem  la  cinquié* 
me  partie. 

Lors  qu'un  petit  nombre  ncft  pas  con- 
tenu preciréftient  un  çereain  nombre  de 
fois  <îans  un  plus  grand  »  on  dit  que  ce 
petit  nombre  ne  mefuire  pas  le  plus  grandr 
&  qu'il  eft  partie  aliquante-du  plus  grand. 
Ainfi  4  ne  mefûre  pas  i^^&c  il  eft  partie 
ou  partie  alîquame-de  1  j.  ;* 

Toute  partie  aliquante' contient  pre« 
cifément  un  certain  nombre  de  fois,  ou 
ta  même  ou  différentes  parties  aliquotesv 
Car  lunité  étant  fuivant  la  définition 
cy  -  deffiis  ,  partic^  aliquote  djc  tous  les 
nombres ,  fe  petit'  nombre  contiendra  au 
moins  prccifémcnt  cette  partie  aUquote*- 
Ainfi  4  contient  4  fois  la  quinzième  pas- 
-fie  de  r  5 .  &  ,6  contient  5  fois  le  quart 
^e  8  »  qui  eft  x;  &  le  même  6  contiertt 
tme  fois  la  moitié  de  8  >  &  une  fois  le' 
^art  du  même  8  :  &  S  par  rapport  à  iq. 
contient  2  fois  la  cinquième  partie  de 
20  qui  eft  .4.  &  7  contient  une  fois  Fa 
cinquième  partie  tîtii  même  ïo>qui  eflt 
49  &  tme  fdis  la'diiiéme  partie  dé  ce 
mêmc^^ib^  oii 'cfc  iqiii  tevîerir  au  mëmie,. 
ime  ^is^  la  moitié  de  la  cinquième  pat« 
tie  qui  eft:  %  }  U  encor  imt  fois  U  na^ 


Jt  Anthmexiejm  çr  ^Atgehrel  ï^j 
tié  de  cette  dixième  partie  qui  cft  i  ^ 
car  4  -f-  2  -f-  I  font  égaux  à  7. 

Cela  étant  fuppofé  il  cft  évident  que 
de  multiplier,  un  nombre  par  10  f^  ctfk 
la  même  chofe  que  de  le  multiplier  par 
la  moitié  d^unc  livré  ,  parce  que  i  o  C 
font  la  moitié  d^une  livre*  Âin£  au  lien 
de  multiplier  par  exemple  35  aunes  pat 
roi*  &  réduire  ie  produit  3  60  (*  en  li^ 
vres>  en  divi{am  j^o  par  lo^  il  fer» 
plus  court  de  prendre  tout  d'un  coup  la 
fDoitié  de  jtf  qui  cft  i8v  ic  le  produit^ 
cherché  eft  1 8  liv*  &frie  nombre  propo* 
fé  eût  été  impair,  Tunité  rcfbnte  auroir 
valu  xo  r.  y^  aunes  d  lo  f.  vâlenr  1 8  H^ 
▼res ,  I  o  f. 

Par  la  même  rai(on  y  au  Ireu  àt  mul« 
ci  plier  gar  5  f.  il  n'y  a  qu'a  prendre  \ù 
^uart ,  &  pour  multiplier  par  6  f-  8  d*  it 
By^â.qu'à  ptpndrp  le  tiers *♦  parce  que 
6  (I  8  d.  font  le  tiers  cJauie  livre.  Au  lie^i 
de  multiplier  par  ïj.f.  -4*  il  faut  écrire 
deux  fois  le  ciers  Se  1  ajoâter  ,  &  ainiî 
des  autres*  Mais  pour  multiplier  par  9 
d*  il  faut  confidf rer  que  f  dr-  (ont  les 
trois  quarts  d'un  fol ,  ou  la  pioitié,  plus 
ia  moitié  de  la  moitié  d'un  fel.  Or  fi  on 
avoit  i  multiplier  ^pari  exemple  r6  auw 
aes  par  i  foly4l  eft  évident  que  le  pro^^ 

ixàt  i^roit  jélbif  >donc|ouc  multiplier 


t44  NéuwâHx  Eîtmenr 

t6  aimes,  par  9  d.  il  n'y  a  qu'à  prencTre 
:  la  tnoitié  dtj6  qui  eH  1 8  y  Se  la  moitié 
4e  cette  moitijé  qui  eft  9.  de  ajouter  9  i 
18  >  pour  avoir  k  produit  clietché  27 
ibls>  ou  1 1.7  f. 

Pour  récktire  les  deniers  en  Cols  au  li^u 
de  divifer  par  i  z ,  on  peut  prradre  le 
tiers  y  Se  enfuice  le  quart  du  tiers.  Car  le 
quart  du  tiers  efl  un  douzième*  Ou  la 
moitié  &  enfuite  un  fîxiéme. 

Pour  réduire  les  fols  en  livres»  au  liea 
de  divifer  par  zo  5  il  n'y  a  qu'a  tran- 
cher le  dernier  ctifre  z  droite ,  &  pren- 
dre la  moitié  de  ce  qui  refte.  Car  en 
tranchant  le  dernier  cnifre  on  prend  la: 
dixième  panie  ou  Ton  divife  par  10.  Se 
prenant  la  moitié  de  cette  dixième  pai> 
fie,  on  dèvife  par  zo^  ,     ' 

Exemflf* 

30;  aonesàxj  L  6C  %  d.  cotcitit% 
fafcnt  elles*  .       ^ 

ijl.    éf.  »d*. 


■»- 


fBi  tiers    ioil'r3r*4d. 


imé 


^6yr6 1. 1 5  f»  4  d.  cora.  cy^dcfl^ 


^AritkmtiqHC  (t  d'Alffshre.      145 

l^e  tiers  de  305  eft  loi*  car  le  tiers 

^e:  5  eft  I  •  le  tiers  de  o  eft  o  9  le  tiers 

de  5  eft  I .  &  il  refte  z.  c  eft  à  dire  2 1. 

ou  40  f*  dont  le  tiers  eft  1 3  f.  4<L 

jtmtre  Eximfte. 

Combien  valent  3  07  aunes  à  i  j  lir. 
7  f.  j  dcn. 

Oferation  fmvant  la  fumiere  Methêdé, 


3^7'  307^ 

yt  yd. 


127        .- 


11 


•  • 


2i7l6|ii3'  ^33. 

■      ■       ' î-      12 


20  .  ^^î 

itfjeftc  .12 


II 
Le  produit  eft  471 8  liv.  1  tf  f.  1 1  d. 


N 


» 


CpiTMi^n  f^r  Us  fsrtUs  aUij^pui^ 

307 

I  j  1.   7  f.  j  d. 


307 


«* 


f.     7^  !•  I S  f-  pQUf'f  jdç  liv.  ou  j  fols. 
3oI«  14^.  pour —crncdc  hv^ou  z  £ 

dcn.    6  !•  7  f'  1 1  <!• 


47x81>ii^r.iid 


■f 


»- 


l  O  *  •  I  •  qtti  và^t  3  d.  pour  4  d.  - 
X5  :  )»^^i valent  8  d.  pour  i  d. 


^        -  '-       —-•      «...     , 

1*171.      .  ji   ...  ..^ 

Le  produit,  cft  ^comnaé  cy-dcflîis  47 1 8 
liv.  16 Ç  II  à.  mais  cette  dernière  Mé- 
thode eft  fans  compai^aifon  plus  fatiguaiv- 
te,  plu»  lofigue  ;^.|lu$  fujctte  a  frjreur 
^ue  la  première. 

Il  y  a  de  même  plùfieurs  petites  ab- 
breviations ,  pour  les  autres  efoeces  que 
i'ufage  apprendra ,  &  qui  ne  valent  pas  la 
peine  d*çtre  expliquées^ 


iShtfithmetiqnè  (jr  d'jilgebre.    147 

/• 
i)c  la' multifUcâtion  des  Nombres  cotm^ 

flexes  Arithmétiques ,  les  tms  fésr 

les  autres* 

LA  Méthode  la  plus  fure  &  la  plus 
ai  fée  i  retenir  eft  de  réduire  chacun 
<les  deux  nombres  connexes  au  fcul 
-nonibre  incomplexe  de  leurs  ^us  petites 
^efpeces ,  ce  qui  Ce  fait  par  la  nmlciplica- 
tion  &radditk>n.  H  faut  efifuite  multi* 
plier  un  incomplexe  par  l'autre  pcnir  a- 
Toir  le  produit  cherché  en  petites  espè- 
ces 9  &:  on  réduira  par  la  divHîdo  ces 
petites  espèces  aux  moyennes  >  <&  ces 
moyennes  aux  plus  grandes  pour  avoir 
l'expteffion  la  pus  iùnpic  de  ce  sième 
|>roduic 

Exempte. 

On  demande  combien  valent  7  toifcs» 
5  pieds,  S  pouces  de  mallbonerie  à  30 
l^v.  yC  5  d.  la  toiCc  {kr  une  toife  de  lar- 
geur. Je  redais  tout  en  pouces ,  &  en  de- 
allers. 

Puirque  diaque  toîfe  yaut  6  pieds  s  y 
^oifes  pos  j  piefls  vaudront  47  pieds,  Se 
faiùpc  chaque  pied  vaut  1 1  pouces,  47 
pieds  plus  8  pouces  vaudront  572  pou- 
ces. iÛnfi  au  lieu  du  nombre  complexe 

N  ij 


^  Nouveaux  Elément 

7  toifcs ,  j  pieds ,  8  pouces  ,  j'auray  le 
Bombre  incotnplexe  572  pouces. 

Je  trouveray  de  inicme  au  lieu  dje  30 
liv.  7  f.  j  d.  le.BLombrc  iacomplcxe  7289 
deniers.  Car^  puifque  chaque  livre  vaut 
20  f.  3  o  liv.'plus  7  f.  vaudrswit  607  f.  &: 
puifque  chaque  (bl  vaut  12  deniers,  607 
t  plus  5  deniers  vaudront  7285  deniers. 
Je  fay  donc  qu  une  coife  ou  6  pieds  s  ou 
72  pouces  vâlept  7289  deniers.  Il  s'agit 
de  (avoir  combien  valent  7  toiles,  j  pieds, 

8  pouces ,  ou  572  pouces  ,  fur  quoy  je 
fais  ce  raifonnement ,  fi  i  pouce  valoir 
7289  deniey:s>  pour  (avoir  combien  va- 
lent 572  pouces,  il  n  y  auroit  qu'à  mul- 
tiplier 7289  jpar  Ç72.  cela  cft  évident. 
Mais  puis  qu'il  faut  72  pouces  pour  va- 
loir 7289  d.  chaoue  pouce  vaw72  fois 
moins ,  il  faudra  donc  divifer  le  produit 
par  72.  pour  avoir  la  valeur  des  572 

EQUces^  C*eft  je  .crois  la  manière  la  plus 
mplc  d'expliquer  &  de  démontrer  la  Rè- 
gle de  trois ,  ou  la  Règle  d'or ,  doiit  je 
parleray  encore  dans  la  fuite. 
Je  multiplie  donc 7289  par  572,  & 

Î'c  divifc  le  produit  4169308  par  72. 
e  quotient  57907  ^eft  le  nombre  des 
^ieniers  que  valent  les  7  toifes ,  ç  pieds, 
8  pouce$  de  longueur ,  fur  i  toife  4e  lar» 
geur  à  3  o  liv.  7  £  5  id«  la  toifc.  Je  Kduis 


^Arithmétique  &d*j4Σehre.  149 
éa  (bis  ces  57907  deniers  négligeant  la 
firaâion,  Scdivifanc  par  i  2;  le  quotient 
eft  4825  fok  y  6c  il  refte  7  denieifs.  Je 
réduis  ces  48^5  fols  en  livres,  endi*vi- 
Cmt  par  lo,  ôa  ce  qui  revient  au  mSmey 
tranchant  le  dernier  chifre  5  ,  &  prenant 
k moitié  du  refte  Ait.  la  valeur  cher- 
chée eft  donc  241  1.  5  C  y  à. 

Cette  Méthode  eft  fans  comparaifon* 
plus  commode  que  celle  des  parties  ali* 
4§uotes  )  mais  on  peut  la  rendre  encore 
plus  aifée*,  &  n'avoir  dans  l'opération  que 
des  nombres  beaucoup  plus  petits  i  mul** 
tiplier  ic  i  divifer,  en  partageant  Pope^- 
]!atioi>  en-  deux»  Il  faut  pour  cela  cher- 
cher à  parf  la  valeur  de  ta  gfande  efpe- 
ce,  &  chercher  enfuite  la  valeur  des  pe* 
cites  efpeces  ,  &  ajouter  enfemble  ces 
deux  valeurs ,  pour  avoir  la  valeur  cher- 
chée» ainfi  dans  l'exemple  cy-deiTus  il 
faut  <:herchcr  d'abord  la  valeur  de  7  toi- 
Tes  )  en  multipliant  30  liv.  jÇ.  5  d.  pao 
7.  ce  qui  donne  2 1  oiiv^  49  f.  3  5  d.  8c 
par  redqétion  2l2l*iiriid.  On  cher«> 
çhera  enfuite  la  valeur  de  5  pieds»  8  pou«^ 
ces,  ou  de  68  pouces,  &  pour  lavoir 
on  multipliera  3  o  liv.  7  f.  y  d.  ou  par  re- 
duâion  7289  cl.  par  6%*  &  on  diviferaf 
k  produit  4^^652  d.  par72  pouces^,  & 
Jk  quotient  ^884  Y%  ^ft  ^^  nombre  de» 

N  iiî  . 


1^6  K^MvtdHx  Eîimenr 

deniers  >  que  valent  les  <  pieds^  %  pouces^ 

E  réduis  en  fols  ces  6%%j{à.  négligeant* 
&aâion  &  divifant  par  i  %.  je  trouve 
pour  quotient  5  73  f.  oc  &  deniers  de  i e- 
fte.  Je  réduis  ces  573  f.  en  livres  >  en  di* 
yifànt  par  ^o»  ou  (  ce  qui  revient  au  m&* 
me  &  cft  plus  court  y  )  tranchant  le  der-- 
nier  chifre  ^ ,  &  prenant  la  moitié  du  re-^ 
fte  57.  Cette  moitié  eft  x8  >  &  il  refte  u» 
qui  vaut  i  o  fl  parce  que  c'étoit  ^7  di- 
zaines de  ibis  ou  ^70  fols  que  j'ay  re*> 
duitS'  en  livres.  La  valeur  des  5  pieds ,  8^ 
pouces  efk  donc  18  !•  13  H  %à.  &  cette 
valeur  étant  ajoutée  à  ta  valeur  àt^  7  toi* 
(es  >  c'eft  à  dire  a  2 1  z  1.  1 1  f.  1 1  d«  La^ 
femme  donne  comme  cy-deffus  X41  liv» 
5f.  7d. 

La  raifon  pourquoy  on  fait  une  op€-« 
fâtion  i  part  Cm  la  première  &  plus  gran» 
de  efpece  ,  c*cft  qu'il  n'y  a  que  cette 
ièule  efpece  qui  fott  indéfinie  de  fa  nar^ 
ture  :  le  nombre  des  pieds  eft  toujours 
moindre  que  6  y  le  nombre  des  pouce» 
eft  toujours  moindre  que  i  x  >  de  même 
que  le  nombre  des  Kgnes.  Mais  le  nonv* 
bre  des  coifes  peut  augmenter  à  l'infini^ 
it  en  eft  de  même  à  proportion  de  tout 
les  autres  nombres  com^excs  arithmeti*- 
ques;  le  nombre  des  fols  eft  toujours 
moindre  ^  20  »  k  noo^c  des  dcnicsi^ 


cft  toujours  moindre  que  i  z  ;  le  nom^ 
bre  des  onces  jxxïiadre  que  8  »  &c.  De 
cette  féconde  manière  le  nombre  a  multi-^ 
ptîer  eft  tbâjours  ^us  petit  qu'un  nom- 
Qcc  donné  >  aaltettqoederautte  manie- 
le  »  il  peut  être  tndcfîniment  grand. 

Il  fcioit  enccM:  plus  commode  de  filtre 
cette  même  multiplication  à  trois  fois, 
1°,  En  multipliant  jo  Uv.  7  f.  5  d»  par  7 
ro^es.  %^.  en  multipliant  68  pouces  par 
3ol«  ou  par  71000.  &  diyiunt  le  pto^^ 
duitpar7z.  3^  multipliant  é%  pouces 
par  7 r.  5  d.  ou  par  85^  d.  &  divifant  le 
proauit  pat  71.  &  ajoutant  enfuite  ces 
trois  valeurs  ou  pcodutrs ,  on  ausa  la  va«- 
leur  ou  le  produit  cherché. 

Dans  les  divifions  on  néglige  le  refte 
4es  dernières  efpeccs ,  parce  qu'on  les  re- 
garde cocnnK  indiTifibies»  &  ces  icftefr 
ne  moitent  pas  qu'on  y  ait  égard  >  s'iF 
f  efte  pounant  la  moitié  ou  plus  que  la 
inoàtié  du  divifeur  >  on  augmente  ordinai- 
rement te  (patient  d'une  unité  »  ou  1  on 
£abdiW&  encot  cette  dernière  efpecr,  par 
exemple  le  denier  en  1 1.  doQ:uémes  de 
denier»  mais  cette  exaâritude  ne  va  )ar 
mais  à  x  deniers  de  pÀus  ou  de  moins 
fiirdeux  operatîoiiSf  ce  qui  nenraùrpan 
iâ  peine*. 


D  tt     Tors  t\ 

LE  coifé  eftla  Méthode  d  opérer  fur 
les  toifes ,  pieds,  pouces  &  lignes  pour 
la  mefiire  ou  l'évaluation  des  longueurs» 
des  furfaces  &  des  fbliditez  des  corps. 
L'Addition  &  la  Souftraâion  n'ont  rien 
de  difficile ,  ni  de  différent  de  ce  qui  a 
été  dit  dans  hs  Chapitres  precedens» 
mais  laMultiplicadotr&laDiviiîon  font 
différentes ,  en  ce  que  les  produits  &  les 
quotients  changent  de  nauire  >  &  de  rap- 
port entre  les  efpeces  ,  ce  qui  n'arrive 
•pas  dans  les  autres  nombres  complexes 
arithmétiques  ,  qui  n'expriment  pas  les 
dimenfîons  des  corps. 

Il  y  a  trois  fortes  de  toifes*  i^.  La  toi- 
fe  linéaire  >  par  laquelle  on  mefure  les 
longueurs  feulement  ou  les  largeurs  des 
corps  en  ligne  droite  >  cetre  toife  fe  di- 
vife  en  6  pieds ,  le  pied  en  i  x  pouces» 
le  pouce  en  I  z  hgnes.  a^.  La  toife  quar- 
rée  par  laquelle  on  mefure  toutes  les 
furfaces  >  ou  les  aires  des  corps ,  &  cette 
toife  fe  divife  en  3  6  pieds  quatrez ,  &  le 

Eied  en  1 44  pouces ,  &  le  pouce  en  1 44 
gnes  quarrées.  3°.  La  toile  cube  par  la- 
3uelle  on  ^mefure  la  maffe  ou  la  foJidité 
es  corps  ^&  cette  toife  fe  divife  en  z  1 6 


Jt Arié^meti^He  &  ifAfgehn.  if) 
pieds  cubes ,  chaque  pied  en  1728  pou^ 
CCS  y  chaque  pcruce  en  ïyii  ligneV  cu- 
bes. 

On  ne  peut  jamais  avoir  i  multiplier 
que  toife  linéaire  par  toife  linéaire  >  ce 
qui  produit  des  toi  Tes  quarrées,  outoi* 
£ès  quarrées  par  toifes  linéaires  ,  ce  qui 
produit  àts  toifes  cubes.  }e  ne  parle  pas 
de  la  multiplication  its  toifes  îineaires» 
quarrées  9  ou  cubes  par  dés  nombres  ab- 
ftraits ,  ou  par  des  nombres  complexes 
dun  autre  genre, comme  par  livres, fols 
8c  deniers ,  parce  que  je  Tay  déjà  expli^ 
que.  Je  ne  parle  pas  non  plus  de  la  mul- 
tiplication des  toifes  linéaires  par  les  toi- 
fes cubes  ,  ni  de  la  multiplication  des 
toifes  quarrées  par  des  toifes  quarrées,ou 
par  des  toifes  cubes,  ni  de  la  multiplia 
cation  des  toifes  cubes  par  des  toi  fes  cur 
bes ,  parceque  ces  quatre  efpeces  de  mut* 
tiplication  prifes  absolument  (ont  réelle-* 
ment  impoffibles  ,  &  n  anivent  jamais 
dans  la  pratique.  Elles  peuvent  pourtant 
avoir  lieu  dans  des  cas  faits  â  plaifir ,  oà 
ces  produits  doivent  être  divifez  par  d'aa^ 
très  quantitez. 

Exemple. 

De  la  multiplication  àt%  toifes  lineaif 
1res  par  les  toiles  linéaires*. 


154  Nâ»veaux  EUmefâ 

multipUcz  jo  toifcs)  4pi.  8  pou.  7%# 
par  4otoifcs,  ç  pi.  7poiu  6,ïgr 
Je  fais  cette  opération  a  trois  fois*- 
j^  Je  muIcipHe  les  toi&s  par  les  coifes». 
50  pàc  40.  ce  qui  me  ^nne  2000  toi* 
Ces  quarrées  que  )e  g^<k  à  part. 

2^ .  Je  multiplie  4  pieds  »  8  pooees  y  y 
lignes  par  40  toifes  \  le  produit  eft  1 60 
toifes  -  pieds  >  plus  5  lo  toifes*  ponces  ^ 
plus  z8o  toifes  -  lignes.  Je  m%ilaplie 
duifi  ^  pieds  9  7  pouces ,  6  ligties  par  ^o 
toifes»  le  prodfint  eft  250  toifes  -  piedsy^ 
plus  5ÇO  toifes- pouces,  plus  300 toi-* 
fes  *  lignes ,  j'ajoute  ces  deux  produits,  la 
ibmme  eft  410  toifes- pieds,  plus  6^0 
toifes -pouces,  plus  580  toifes- ligncsw. 
Il  faut  réduire  cette  tomme  i  £)n  tsottÇ^ 
£on  la  plus  iîmple  ,  pouc  cela  je  divife  ^ 
5  80  par  1 1.  le  quotient  eft  48,  que  ;'«- 
|oute  si  670  >  &  il  îcfte  4 ,  que  Je  g^tde 
^  {^àrt.  Je  divife  tf  70  -4-  48  >  ou  71 8  pir 
12*  le  quotient  eft  59  que  J apoûre  i 
4 10  »  &  il  lefte  r  o.  que  je  gardé  âulfi  i 
part.  Enfin  je  divife  410-^  ^  9  chi  4^^ 
ar  £ ,  &;'afoiite  te  quotiem  y%  m  nom« 
redes  toifes  quarrées  200a»  Acit  reffe^ 
I  que  je  garde  aufG  à  part.  J  ay  ^nc  pour 
la  femme  de  ces  deux  produits  partiaux 
SO78*  toifes  >  plus  I  wife^pied ,  plus  x  o 
toifcsrpouctt  ».  1^  4  taîfe9-hgnes 


i 


x£es  >  te  parce  <}ue  chaque  toifes  linéai- 
res vaut  é  pieds  »  &  chaque  toife  quar^ 
fée  vaut  3^  pieds  quarrez  >  il  eft  évident 
qoc  chaque  toife  -  pieds  vaut  6  pouces 

Suarrex  :  de  même  parce  que  chaque  toi* 
i  linéaire  vaut  7^  pouces  »  chaque  coi* 
fe  *  pouce  vaut  yt  pouces  quarrez  ^  &: 
parce  cfxt  chaque  toife  linéaire  vaut  8^4 
lignes  »  chaque  toife-Iigne  vaut  8  ^4  li- 
gnes quarrées  :  d'ailleurs  chaque  pied 
quarré  vaut  1 44  pouces  y  ic  chaque  pou«» 
ce  vaut  1 44  lignes  >  donc  chaque  toife- 
ligne  vaut  6  pouces  quarrez >  chaque  toi- 
fe-pouce  vaut  -  pied  quané  »  ou  18' 
pouces  quarrez  ;  &  chaque  toife  -  pied 
vaut  ^  de  toife,  ou  6  pieds  quarrez,  d'oà 
/e  conclus  que  2078  toifes,  plus  i  toife- 
pied)  plus  10  coites^pouces »  plus  4 toi- 
fes- lignes  valent  207  8^  toifes  quarréesj, 
plus  1 1  pieds  quarrez  -+-  24  pouces  quacr: 
rez. 

3^  Enfin  je  multiplie  les  piedî.  Ici 
pouces  8c  tes  lignes  ,  réduits  en  lignes 
par  les  pieds ,  tes  pouces  &  les  ligne$ 
réduits  en  lignes  »  4  pieds  >  8  pouces  >  7 
lignes  valent  6y^  lignes ,  ^  pieds  >  y 
pouces,  alignes  valent  810  lignes.  Je 
multiplie  S  i  o  par  ^7^.  6c  je  divi(è  Jte 
produit  549990»  par  144*  le  quotient 
fft  ^&i^  pouces  qaaacz»  que  j'ajoute 


»5^  NoMeâUx  Elemen} 

aux  24  pouces  quarrez  cy-defTus  *,  k  Covsf^ 
me  eft  3845  pouces  quarrez,  &  il  rcftc 
54  lignes  qaairces.  le  divife  3843  par 
144.  le  quotient  eft  26  pieds  quarrez^ 
que  j'ajoute  aux  1 1  pieds  quarrez  cy-de(^ 
fus^  la  fomme  eft  3  7  pieds  quarrez  ^our 
I  toife  &  I  pied  quatre  >  &  il  refte  p^* 
pouces  quarrez. 

Le  produit  cherché  eft  2079  toifes 
quatrées  )  plus  i  pied  quarré  ,  plus  9^ 
pouces,  plus  5 4 lignes. 

Pour  faire  fans  peine  les  divifions  par 
144  &  par  I  ^.  il  faut  fe  fervir  des  deux^ 
Tables  fuivantes  ,  qui  contiennent  les 
neuf  premiers  produits  de  ces  àtxxn  ikmH'- 
bres. 

Tables  four  le  nifi  des  furf^çes^ 


% 

3 
4 

S 

6 


1% 
Z4 

84 
108 


3 
4 

6 


14^ 
z88 
431 

710 
S  6  4L 

1008^ 


M 


Poui;  naultipliet  des  toifes  lineaiscs  p^ 


ï  Arithmétique  &  d' Algèbre*  157 
des  toifes  quacrées ,  il  faut  fuivre  la  mê- 
me méthode  ;  mais  dans  les  reduâions 
il  faac  fe  fouvenir  que  i  toife  cube  vaut 
21 6  pieds  cubes;  qu'un  pied  cube  vaut 
iyzo  pouces  cubes  y  Se  qu'un  pouce  cu- 
be vaut  1728  lignes  cubes. 

Takles  pur  le  toifé  cnhe^ 

I.    xi6  I.     1728  - ' 

z.  432  !•  i^l!^ 

3.  648  3.  Ç184 

4*  8^4  4.  6911 

5.  1080  5*  8^40 

6.  1x96  6a  103^^8 

7.  i%i%  7*  11096 

8.  I7z8  8.  13814 
p.  1544  y.  IJ55Z 

On  pourroit  auffi  fuppicer  enriercmcnt 
pat  une  Table  i  la  troifîéme  multiplica- 
tion, qui  eft  celle  des  petites  efpeces  pat 
les  petites  efpeces ,  parce  que  cette  mul- 
tiplication n'a  qu'un  nombre  de  cas  de- 
ierminé,  au  lieu  que  les  deux  premières 
multiplications  en  ont  une  infinité. 


t^t  NoMWâux  Elememi 


Chapitrs    vil 

jD<  td  Divifiom  des  Nêmbres  ^9mfUxes 

LintrdHx. 

RiGL€      Générale. 

ï^.  Ç^  I  le  Divifcur  eft  un  nombre  in- 
i3  complexe  Arithmetidue  ou  litte- 
taU  il  feue  divifer  (  fui vant  les  Règles  du 
Livre  précèdent  )  chaque  partie  du  divi- 
dende par  le  divifeur ,  &  la  {bmme  des 
^quotients  donnera  le  quotient  cherché. 

2°*  Si  le  divifeor  eft  un  nombre  com- 
plexe »  &  le  dividende  un  nombre  in- 
complexe ,  en  écrit  en  forme  de  fraâioa 
3c  divifcur  (bus  le  dividende. 

j^.  Si  le  divifcur  &  le  dividende  font 
chacun  un  nonibre  complexe  »  il  faut  ran- 
ger les  parties  du  dividende  6c  celles  ixL 
^Tifeur  de  manière  que  ies  plus  hautes 
puiflances  de  la  lettre  princip^e  de  l'un 
^de  Tautrefoient  les  premières  de  gau- 
che i  4roite  ;  ml  met  enfuite  les  difFe^ 
cens  dcgrez  de  cette  nlème  lettre ,  chacun 
par  orcue  en  diminuant ,  ic  ceux  du  di- 
vifeur  fous  ceux  du  dividende,  qui  Ie« 
iiirpa0ent  autant  que  la  plus  haute  pai£* 


u 


fance  èa  dividende  furpafle  u  plus  hau-. 
te  puifiance  du  divifeur.  C*cft  ainâ  à  peu 
Iprcs  que  dans  la  divifion  numérique ,  qvl 
commence  par  ccrite  le  premier  chifre 
^a  diviièor^  (bus  le  prcnûer,  00  (bus  les 
4leux  premiers  chifre  du  dividende  ,  & 
4}u'on  écrit  <ie  fuite  les  mille  ,  les  cen- 
taines ,  les  dixaines,  &c« 

4^.  Oncomntfbcep^  divifer  le(îgne 
mr  le  (igné.  Si  les  l^nes  (bnt  fembla* 
mes  le  quotient  eft  -4*  >  ii  les  (ignés  (bnc 
«difFerens  le  quotient  eft  *-^. 

5*.  On  divife  enfuite  le  premier  ter- 
me du  dividende  par  le  premier  terme 
du  divifeur  fisivattt  les  Règles  du  Livre 
^  précèdent^  ^ car  iefuppofeicy que  leprc- 
jEnier  terme  de  Tun  &  de  l'autre  (bit  un 
nombre  iûcom{)4cxe  )  &  on  écrit  le  quo- 
tient comme  premier  quotient  partial. 

6^.  On  multiplie  tout  le  divifeur  par 
ce  quotient  partial ,  de  on  6te  le  produit 
du  dividende»  Le  rcfte  fert  de  fécond  ou 
4c  nouTcajii  dividende  partial. 

y^.  Si  la  ^>ltts  liaute  puilfance  de  la 
lettre  princip^e. -du  premier  terme  de  ce 
nouveau  dividende ,  eft  pius  grande  que 
la  plus  hsfute  puiffance  de  cette  même 
lettrc^dans  W  mvifedr>  ou  fi  elle  eft  du 
moins*  égale  y  on  diviic  eomme  aupara- 
ij^tic  le  prcQ^er  tdiEtieuIa  «Kv^ende  p;M: 


i6o  NoHvedux  EUmtm 

le  premier  terme  du  divifeur ,  &  on  écrit 
le  quotient  comme  fécond  quotient  pal- 
liai :  on  multiplie  tout  le  divi^euf  par  ce 
fécond  quotient  partial  ^  &  on  ete  le  pro-^ 
duit  du  nouveau  dividende ,  pour  avoir 
im  fécond  refte  &  troi£éme  ^vidende^ 
fur  lequel  on  opère  de  même  )ufques  i 
ce  qu'il  ne  refte  rien ,  ou  que  ce  qui  re« 
fte  foit  une  puiflance  ptus  petite  que  cel- 
le du  diviiibur,  alors  la  diviûon  eft  finies 
&  on  écrit  en  forme  de  fraâion  ce  refte 
comme  numérateur ,  &  le  divifeur  com-» 
me  denominateun 

Premier  Exen0fU» 

Il  faut  divifer  i  lad  —  3  on  par  tf . 
tlivid.  -I-IZ44' — 304|244*— 54qu.  cher» 


m^ 


fdivif.  -H   6     H-  6 

Second  ExemfUy 

Il  faut  divifer        844  par  34  ^  5 
J'éais  en  fraâion  \  844 ,   &  c  eft  le  quo- 
tient xiierché.         3^*^  $ 

Treipime  Exemple» 
Il  faut  divifer  -«-844-1-  2.4—  f$ 


# 


par     ri-4#!—  % 


■; 


d' Arithmetiqff^  &  iAlgtlri.  t6t 
Je  dis  en  -h  844  combien  de  fois  hk 
44,  il  y  eft  H-  2r4.  récris  -f-  24  au  quo- 
tient 'y  je  multiplie  tout  mon  divifèui  h- 
44—  j  par  -*-  i4  ;  le  produit  eft  -*-  844 
—  I04 ,  que  j'ote  du  dividende  844] «4* 
^4 —  15  >&  il  refte-k  ii4«-*  15.  Je 
divife  -H  1 24—  1 5  par  Hr  44  —  5  ,  & 
je  dis  en  -I-  1 14  œmbien  de  fois^-i-  44, 
il  y  eft  -I-  j  ;  j'écris  -h  3  au  quotient.  le. 
multiplie  tout  mon  divueur  +  44  *—  $ 
par  -f-  3  }  le  produit  eft  -♦-  1 24  —  i  ç  y 
que  j  ote  de  -4-  1 24  —  1 5  s  il  ne  xcâc 
rien^  &la  divifion  eft.  finie»  . 

dividende  -f- 844-4*24-^1  5|h- 24 -i^3. 


divifcur     ^  44  — .  ^ 

pK>d.à6ter-4^844-—  I04. 

premier  reftc     -+-  124  •^  i  ç 
Se  fécond  dividende. 

diviftut  -t-^  44—    ç 
iecond  prod.  à  ôter  +  1 24  *— - 1  f 


db- 


dernier  refte         o*         o* 

Quatrième  ExempU* 

Il  faut  divUcu  4944 1-18  —  %64^ 


tSz  N^mveétmx  Elément 

>7^paf  j  — 1^>  j'arrange  mon  divickrK 
de  &  mon  divifcor  fuivasit  lotdre  des  ez- 
poifaDsde  b  tectre  a» 


«mmMmi 


^^  %m  -^  y    divit 


M^ 


refte  -+•  1 044  -^zyéi^ 
dÎTifewr*—    Z4  -*-  J 
ôjcat  H-  104 — 154 


rcftc       —  IZ4  -H  18 
divifcur—    Z4  -+- 

ÔtCZ    1 24   -4-    1 


tiefte  o*  o« 


Où  peut  abbrcgcr  Topcration  en  n'ifc- 
crivant  qu  «ne  fois  ledivifenrfous  Icquo-- 
tient ^  comme  multiplicateur,  &  tiécà^ 
varit  point  le  piïemicr  membre  de  chaque* 
produit  partial,  parce  cjujl  eft  toûjoui»; 
égal  2Xk  premies  membre  du  dlviaendt 
partial-  q^i  luy  réponde 


OperAtion  fU&s  ahhrt^ée. 

16  4^  H*.  494^1-^174  -l^  lïl  -4- 1}44 — ^54-4-  6» 


ôtcz  H-  3  ^dd      ^livif.   «^  X4  -t-  3 
Premier  reâe  ^  1  oas 

y  ôtez       — -  I  J» 

fécond  refte    •—  1 24 
6te2  -1^  iS 


troifiéme  refte  û* 

Cinquième  Exemple. 
Il  faut  divifer  8 1 4*  — *  1 6h  par  jf;^ 

Opération. 


*i»" 


d.  -+-  3^ -^2^ 

xeftc     -*  ^44?i 
diviC    H-    }4  H-  îi^ 
ôtcz   — •  j  4a^i  ~  j  ^44^^ 
£cfte  -»-  ^6dabb 

divif.  ^  -^  xb 

ôtcz  ^  3  ^44^* -f^  244^* 

refte  —  244!^'  •—  16^ 
divif.       )4  -♦•  2^ 
ôtez-*.  244*5  —  itfA* 


«M«i 


pi) 


•►A-  • 


1^4  Neuve  Aux  Eletmm 

Sixième  Exemfle. 

Il  faut  divifcr  Z74'  -h  8^^  par  34<~i( 

Operdtiên  Ahregee* 
xjd^H-  044^-f-  ©4*  *  -H  8^3  ]  fâd — 6dt — 4** 

Premier  reftc  *—  1844^. 
fécond  refte    —  i  lat^  -h  8*^ 


troifiémc  fefte        «1-  i6i' 


CifAPITICB     Vllt 

JRemdrques  fmr  U  Divijton* 

1^.  T  Ors  qu'il  y  a  plufieùrs  lettres  i^ 
1  j  (bit  dans  le  divifeur>  {bit  dans  le 
dividende  ,  iï  n'y  en  a  ;amaîs  qu  une  fur 
laquelle  on  fc  règle  pour  1  arrangement 
des  parties;  C  eft  la  même  lettre  dans; 
tous  les  deux ,  &  on  l'appelle  la  lettre 
principale.  Le  choix.cn  eft  arbitraire^ 
mais  ifyaut  mieux  choifir  entre  les  lettres^ 
communes  au  dividende  &  au  divifeur> 

celle  4om  lc«  4çux  plu»  Iwûs  expofas^ 


JCArithmetiaue  &  tCAtphri.  i^y 
âans  ron  &  dans  l'autre  différent  le  moins 
encre  eux  \  8c  celle  qui  eft  le  moin» 
de  fois  au  même  degré  plus  haut  dansr 
le  divifeur  >  parce  qu'il  y  aura  par  là 
moins  de  diViûons  partiales  à  faire ,  & 
on  vena  plutôt  £  la  <fiviiîon  fe  peuc  fai- 
xe  (ans  refte.. 

Exempter* 

H  faut  divifer  274J  h-  i  S^^parjM  -Hxj^. 
Je  me  règle  par  la  letae  by 

1 8*^  H- Z74J I  5*  —  I3t^^ 


xb    H-  344 
scftc     —  xjâab 

ibHr  344- 


«■mWMMa*. 


fécond  rcfte  •+-  40 1 4*^ 

Et  parce  que  ce  fccond  reftc  ne  peur 
pas  être  divifé  par  zb  ,  je  conclus  que  lir 
divifion  exaâte  eft  impoffible. 

Si  j'avois  tenté  la  divifion  en  me  ré- 
glant par  la.  lettre  4,  j'aurois  cvt  beau- 
coup plus  d'opérations  à  faire.. 

z^  En  matière  de  diviûon  littérale^ 


on  corne  pour  lien  les  &aâions  numm^ 
0pLts  y  ic  h  êÀvifion  ne  laifTe  pas  d'è-* 
trc  parfaite ,  quojr  qu'il  y  ait  des  fraâions 
dans  les  abTolus.  Ain»  en  dlvifânt  --* 
Ij.4-4-  xépar-^  Z4-t*  4,  le  quûcienc 
«ft-i-  ^i;  &  la  divifibn  eft  parfaite,  il 
ne  faut  donc  pas  dire  ;  en  -^  i  ys ,  coirw 
bien  de  fois  —  ta}  i\  y  eft  -h  ^ ,  com- 
me dans  la  diviibn  numérique  -y  mais  iP 
y  eft  -^  ^i. 

.  5*.  On  prené  toujoûR  (ans  hcJStcr  le 
plus  grand  quotient  littéral  qu'il  eft  pot 
fîblc  ,  Se  le  tâtonnement  n'a  lieu  que 
dans  les  abfofns  :  en  qupy  la  divifipn  lit- 
térale complexe  diffère  elSentiellement 
de  la  divifion  numérique  complexe.  La 
raifon  eft  que  la  divifion  purement 'litté- 
rale fe  fait  par  une  véritable  &  fimplc 
fouftradion,  8J:quiln'y  a  point  de  ta^ 
tonnement  dans  la  foulnraâion. 

A^.  S'il  y  a  des  fraâions  numériques^ 
ou  littérales  dans  le  divifeur  ou  dans  le* 
dividende ,  il  faut  les  faire  évanoiiir  par 
h  multiplicîatîon ,  avant  que  de  commen- 
epr  la  divifion,  Piar  exemple ,  foit  le  di- 
vidende donné  —  i^as-^-^s  —  3f>& 
le  divifeur  ^  s.' — 8  -.  Je  commence  par 
fmc  évanoiiir  Tune  après  l'autre  toutes^ 
ces  fraâïons ,  en  multipliant  par  le  de-^. 
fiooûnateur  de  chacune  rWix  le  dividcn^ 


i' Arithmniqme  &  J^Alniri.  rSf 
éc  ^  tout  le  divifeot  >  par  là  je  change 
Fexprefliop  de  €es  deux  nombres  fans  &» 
changer  le  rapport. 

Pour  faire  évanouir  la  fraâion  |-  4  »  je 
multiplie  tout  par  7;  2c  j'aypour  nou- 
veau dividende—  9  tass  -i-  54' —  x  J  f 
&  poui  nouveau  divifcur  Ç7  4  -—  é  i  «l. 

Pour  faire  évanouir  la  féconde  fta^ 
aion  f'y  je  muitipHe  tout  par  3  ,  &  j'ay 
pour  nouveau  dividende  - —  ijZéis  -4-' 
I  j4  —  yy^  Se  pour  nouveau  divifcur 
16^  M  —  183  |.  pour  faire  cvanoiiir 
Ia4eme  fraâ:ion|3  j^  multiplie  tout  par 
5.  Sec  &|e  trouve  enfi»  noon  dividende 
&  mon  divifcur  fans  fraâions. 

divid.  —  f^6oâM  -*-  30044 —  1 540- 


*• 


^    33:^4—3^7^. 

5^.  Lors  que  les  abfblus  (ont  forir 
grands ,  il'  faut  faire  la  ctivi/îon  nmneti- 
^œ  si  pair  &  rapporter  enfoite  le  quor 
tient  numérique  à  fa  place* 

6^  Si  le  premier  membre  du  divifcur 
&  do  dividende  font  chacun  un  nombre 
complexe  en  ft  réglant  par  une  cenaine 
lettre  principale  »  de  ibrte  qu  on  ne  puif^ 
fe  pas  trouver  par  ime  diyiiïon  limple  le 
ipjotient  pardal ,  il  faut  changer  de  let^ 
|ce  prmcipalc  ou^  fiibdwicr  le  dividcn^ 


i6t  NoHVedfix  Elément 

de ,  &  divifeur  partial  jufqucs  àxc  qu'ont 

ait  un  divifeui  partial  incompkxc^ 

Exemple* 
Soit  le  dividende  donné  , 

-♦-  iiecAa  -+-  of^hé^ 
—  4obkMa  •+•  ^pcd 
•~  iihc4s  •—  3^*^4^ 

Et  le  divifeur , 

En  prenant  pour  lettre  prindpûîe  la 
lettre  s ,  le  premier  membre  du  dividen^ 
de  eft  le  nombre  complexe  -f-iicr^ii— • 
J^ohbdd —  I  ihcaa.  Ec  le  premier  mem- 
bre du  divifeur  èft  le  nombre  complexe 
xca —  ^ba^  il  faudroit  donc  fiiivant  fa 
Règle  générale  dire  en  z  i  ccan  * —  J^obbaa 
.-«-  1 1  bcaa  ,  combien  de  fois  3  ^4  *— 
fk^f  Mais  parce  qu'on  ne  peut  pas  trou* 
ver  ce  quotient  par  une  divifion  iimple.^ 
^'examine  fi  dans  mon  divifeur  il  n  y  a 
point  de  lettre  qui  fbir  moins  de  fois  au 
même  degré  que  n'y  eft  la  lettre  4  y  8c 
jc  trouve  que  je  puis  pcendre  les  lettres 
èi  c^f»  qui  n^y  font  chacune  qu  une  fois» 
Je  me  détermine  à  prendre  f\  parce  qull 
v^j  a  point  d'^bfolu  qui  le  mtdtiplic,j'aCi« 

ttnge 


d^ Arithmetifue  &  iAlgiirc.  \6^ 
sange  mon  dividende  fuivant  ccttc  lettre 
principale/,  &^  j!ay  à  divifcr. 

^*/^     —  4044*J 

—  1 1  Aahç 


par  H-  /*     —  j4* 

-4.  34(r 

JEt  je  dis;  en  S^if*  -i-  jéicf'-^^d'-f^^ 
combien  de  fois  /M  il  y  eft  84^  ■+.  7^^ 
-r^d'^yôc  multipliant  tout  mon  divifcur 
par  ce  quotient ,  &  otant  le  produit  du 
dividende ,  il  ne  rcfte  rien,  d où  je  coiv- 
clus  que  lequotientxherché,  cft  S^b-h 

74C^  d'' 

Ou  bien  gardant  la  même  lettre  priit- 
cipale  a  ^  j  aurois  confideré  la  divifion 
paniale  de  2 1  ccsa  —  /^otbsa  •—  1 1  tcMa 
par  3(74*-**  ^ta;  comme  une  divifion  to- 
tale, &  choififlant  pour  lettre*  principa-. 
le  une  des  deux  lettres  b,c  $  qui  ne-iè 
trouve  qu'une  fois  dans  le  divifeur  ^ca 
•«—  j^4î  j'arrange  mon  dividende  fuivant 
Ja  lettre  r,  &  j'ay  à  divifer.  ^ 

Zïdacc  —  I  laabc  —  4044*^  par 
J4tr  —  54*,  .fie  je  diss  en  ^  xîaacc 

P 


tyo  Nouveaux  Elemens 

combien  de  fois  -i-  3^c?  il  y  cû;  -+-  yac^ 
que  j'écris  au  quotient,  je  multiplie  tout 
mon  divifcur  ^aç-^  ^ab  parce  quotient 
yacy&c  ôcantle  produit  2  laacc — 3  ^aabc^ 

4u  dividende  ,  il  rcfte  -h  i^abc 

Aoaàbb.  Je  dis;  en  -^  i^aabc  combien 
de  fois  -f-  34c?  il  y  eftn-  %ab  ,  que  j'é- 
cris au  quotient ,  je  multiplie  tout  mon 
divifcur  tac —  ^ab^  par  ce  même  quo- 
tient +  %ab ,  &c  ôtant  le  produit  du  di« 
vidende,  il  ne  refte  rien;  dou  je  con* 
xlus  que  le  quotient  partial 

de  11 ccaa\  divifèpar  ^ac-^  ^ab. 

—  ^obbaa 

Eft  yac  -f-  iai^>  je  multiplie  par  ce  mô- 
me quotient  le  refte  de  mon  divifeur  to- 
tal -+-/*»    &  j'ôte  le  produit  yacf'- 
•4-  ^abf^       du  refte  du  dividende. 

total      '■h  <bd^A     &ilrcAepouj: 
-h  if^ba 
-4.  yf'ca 

Nouveau  dividende -H  ^bd^a  *^  f^d\ 

" —  3^*r4* 
que  j'arrange  encore  fuivant  la  lettre  r* 
&  jay  à  dîvifcr 

— -  xad^c  -*-  Ç4W* 


d*  Jlrithmeri^ui  &  £  Algèbre.     17» 

combien  de  tois  -♦-  ^acl  il  y  cft  •— .<f«' 

^ue  f  écris  au  quotient  9.&  multipliant}  && 

il  ne  lefté  rien ,  d  ou  je  conclus  que  le 

-quotient  cherche  eft  -+-  %ab  -•-  yac — d\ 

Toute  TadreiTe  confifte  donc  à  fubdi- 

vifcr  le  dividende  partial  &  le  divifeiar 

partial  ,  en  forte  que  prenant  une  nou- 

iirclle  lettre  principale, le  cfivifeur  partial 

ibit  un  nombre  incompleze  >  &  il  n  in:v» 

porte  que  le  dividende  partial  foit  ua 

nombre  complexe  ou  incomplexe,  parce 

>que  la  difficulté  de  la  divinon  à  cet  é-* 

gard  ne  vient  uniquement  que  du  divi« 

leur. 


■F^ 


Chapitre    IX. 
!tiegUs  four  éviter  ies  Dwifiem  inutilei. 

IL  y  a  une  infinité  de  cas  où  la  divi^ 
fion  ëft  entièrement  inutile  ,  lors 
cqu  elle  n'efl:  pas  exaéle ,  &  fans  refte.  Il 
eft  donc  très .  avantageux  d  avoir  des  Rè- 
gles pour  s'épargnef  une  opération  fi  loi>- 
gue  &  fi  difficile ,  lors  qu'on  peut  pré- 
voir qu'elle  fera  inutile.  £t  c'eft  i  quoy 
îe  fiiis  (urpris  qu'on  ne  fe  foit  pas  attaché. 
D^ns  tout  nombre  complexe  littéral  il 


f 


i; 


lyi  Nouveaux  Eletnens 

a  cinq  chofes  à  remarquer,  i  ^.  Le  nanW 
re  des  termes.  2.^.  Les  lignes  -t-  &  »^. 
3^.  Les  abfolus  ou  nombres  connus.  4^. 
Les  lettres.  ^^.  Les  expofans  de  ces  let- 
très.  De  ces  cino  cliaies  il  n'y  a.que  les 
Ab(blus  pour  le(quds  on  ne  puifle  pas 
donner  de  Règle  générale ,  afin  de  con^ 
noître  tout  d  tin  coup ,  fi  la  divifion  exa« 
âe  eft  poifible,  ou  non.  Je  fuppofe  que  le 
dividende  &  le  divifeur  font  arrangez^  te 
fans  fraâions.  ^ 

i''.  Si  le  nombre  des  termes  eft  plus 
petit  dans  le  dividende  que  dans  le  divi- 
ièur ,  &  qu'il  y  ait  une  feule  lettre  éga- 
lement élevée  dans  le  divifeur  &  dans  le 
dividende ,  ta  divifion  eft  impoflible.  Pac 
exemple  foit  le  dividende  ba}  -4-  cd}  | 

ic  le  divifeur  baa-^cd'-'^acd 
Il  eft  inutile  de  tenter  cette  divifiooi 
Car  prenant  cette  lettre  h ,  pour  lettre 
pi^incipale  (  comme  on  le  peut  toujours,) 
le  quotient  fera  un  nombre  incomplexe» 
6c  venant  i  multiplier  mon  divifeur  par 
ce  quotient  ^  &  ôtanc  le  produit  qui  a 
|>Ius  de  parties  que  le  dividende  ;  il  y 
aura  un  refte  où  la  lettre  principale  ne 
fe  trouvera  point  >  donc  la  divifipn  exar 
£tc  fera  impoflible. 

^^  S'il  y  a  d^s  le  divifeur  une  feu- 


Jt Arithmitî4ue  &  étAlgthrel     vt% 
le  lettre  qui  ne  (oit  pas  dans  le  dividen- 
de ,  la  divifion  exaûe  cft  impoffiblc.  Par 
exemple 
foit  le  divid.     S^J^—  ^aob"^  -*-  l  odU  | 

Jk  le  divifcur      xaa ^^^ah  -^  ^fc 

Il  eft  inutile  de  tenter  cette,  divifion 
àcaufe  de  la  lettre/,  qui  fe  trouve  dans 
le  divifeur,  &qui  n*eft  pas  dans  le  di- 
vidende. Car  quel  que  tut  le  quotient, 
en  le  multipliant  par  mon  divifeur  »  la 
lettre/  fe  trouveroit  dans  le  produit» 
donc  ce  produit  ne  pourroit  pas^  être  é- 
eal  &  femblable  au  dividende  y  où  cette 
lettre  ne  fe  trouve  point  ;  donc  la  divi- 
fion exaâre  eft  impoffible. 

3.^.-  Si  tous  les  lignes  font  -f*  dans  le 
dividende,  &  qu'if  y  ait  des  -h  &des 
' — '  dans  le  divifeur  ,  la  divifion  exaâe 
eft  impoflîble.  Par  exemple 

(bit  le  dividende    4'  -h  ^'  [     > 

6c  le  divifeur       4  —  h 
U  eft  inutile  de  tenter  cette  divifion. 
Car  quel  que  fût  le  quotient  ,  il  y  au- 
loit.  des  —  dans  te  produit ,  donc  &c. 

ç**.  Si  la  même  lettre  fe  trouve  cga^ 
lemem  élevée  dans  tous  les  membres  du 
dividende  &  du  divifeur,  il  n'y  a  qu'à 
reffacer  dans  l'un  Se  dans  l'autre ,  &  con«- 

P  iii 


174  "Hou^iÉnx  EtemtHf 

tihucr  la  divifion  :  que  fi  la  même  liet^ 
trc  fe  trouve  plus  élevée  dans  le  divifeur^. 
le  quotient  peut  être  en  fradion  litté- 
rale Çc  fans  reftc,  &  en  ce  cas  la  divi- 
Aon  ne  laiflè  pas  d'être  exade.  Par  exem.* 
84**  "4-  54^*414  j  i^  quotient  exaâr^ 

4^ï  -+•  xya^b 


^^mmm^ma^mmi^imammmmmmaÊtmm 


Chapitkb    X« 


léethodi  fOMr  évinr  t9Ht0s  les  fratthns- 

numériques. 

LEs  fradjons  numériques  qui  vien- 
nent de  la  divifion  des  abfotus ,  em* 
barraflent  extrêmement  le  calcul  v&danSu 
ïes  -divifions  coropofées ,  il  devient  en- 
tièrement impraticable ,  même  aux  pluft 
habiles  Calculateurs.  La  Méthode  pour 
les  éviter  confifte  à  faire  en  forte  que  le 
premier  membre  du  divifeur  n'ait  pour 
abfolu  que  Tunité.  Car  en  ce  cas  il  cfit 
évident  qu'on  ne  peut  avoir  de  fradVion 
numérique ,  puifquc  Tunité  en  divifant 
ne  change  rien  au  dividende. 

Je  fuppofe  qij'il  faiHç  divifer  %a^  ^; 
44*  •—  9  par  ya  —  6. 

le  devrais  fuivant  la  Règle  générale^ 


) 


gt ArithmitiifUi  dr  itj4lgctri.  ifs 
dire  d'abord  en  8^^  »  combien  de  fois 
çra  ?  mais  parce  que  7  n'cft  pas  compris 

f^recifément  dans  8  j  j  ay  pour  quotient 
c  nombre  mixte  if4*,  par  lequel  il  fau- 
droit  multiplier  tout  mon  divifeur  ,  ce 
qui  me  donneront  une  autre  fraâion  a 
fouftraire»  Se  dans  la  féconde  diviiioi> 
partiale ,  il  faudrok  encore  divifcr  cette 
fraâion  par  7 ,  &  multiplier  mon  divi- 
feur par  le  quotient ,  qui  fcroit  une  fra^ 
âion  encore  plus  compofée  que  la  pre» 
eedente  ;  &  ainfi  de  fuite. 

Pour  éviter  toutes  ces  fradions  »  je  fup- 
pofe  que  ya ,  premier  membre  de  mon 
divifeur  foit  égal  à  une  autre  lettre  com- 
me h  y  pour  lors  Ifb  vaudra  4944»  &  t^ 
vaudra  34  34^.  Par  confequent  fi  je  veux 
mettre  ^  à  la  place  de  74 ,  dans  mon  di^^ 
viïèur  yjSc  que  je  veuille  mettre  des  hf, 
&  dzs  h^  à  la  place  des  aa  ^  ic  des  a^ 
dans  mon  dividende  ',  il  faut  que  je  mul- 
tiplie à  proportion  tous  les  termes  de 
mon  divileur,  &  tous  ceux  de  mon  divi* 
dende ,  excepté  le  pretnier  terme  de  ce^ 
lui  -  cy. 

Je  mets  donc  8^'  au  lieu  de  %a}  ,  &  il 
cft  évident  que  par  ce  changement  de 
lettre,  je  multiplie  le  premier  terme  de 
mon  dividende  par  343  *,  puifcue  b^  vaut 
^43 4^  Mais  en  mettant  j^bb  a  la  pUce 

P  iiij 


S'jS  ftôfêveanx  EUmenf 

de  444  y  je  ne  multiplie  ce  fécond  tern)e 
que  par  4^.  donc  afin  de  le  mulripiier 
autant  que  le  premier  terme  ,  il  faut  que 
je  multiplie  Tanfolu  4  par  7 ,  &  que  j'é- 
crive xibh.  Enfin  il  faut  que  je  multiplie 
fe  dernier  terme  du  dividende ,  qui  eft  -— 
9  P^^  343'  ^  que  j'écrive*— '  3087.  J'an- 
ray  donc  pour  divifeur  préparé  b  —  6Sc 
pour  dividende  prépare  %h^  -»-  xibb  — 
3087.  Je  fais  là  delTus  ma  divifion  fans 
fraâion,  &  je  trouve  pour  quotient  bh 

-♦-  76^  -¥-  4j^  • —  T~^  ^  ^'^^  le  quo- 
tient cherché  divifé  par  343 * 

Je  fuppofe  qu'il  faille  divifer  ç  la^  — 
84*  -*-  44  •—  9.  par  6^aa  -4-74  —  6* 
je  devrois  fuivant  la  Règle  générale,  di- 
re d*abôrd  en  tia^  combien  de  fois 
ê^aa  }  ou  (implement  en  ^i*  combien 
de  fois  65  ?  mais  parce  que  6  j  n'cft  pas 
compris  jprecifément  dans  j  i.  Je  fuppo- 
ie  pour  éviter  les  fraâions  que  éjn  eft 
égal  à  b  ;  donc  fuivant  cette  fuppofi*- 
tion  bb  vaudra  ^ii^aa  y  Se  b^  vaudra 
274^2  54Î. 

Par  confcquent  fi  ic  veux  mettre  bh 
à  la  place  de  6^aa  dans  mon  divifeur» 
&  que  je  veuille  mettre  des  b  >  des  b^ 
des  b^  9  à  la  place  des  4  >  des  4'  >  dçs 
4^  >  dans  le  dividende  &  dans  le  refte 


itt  divifcur  -,  6\Az=ib 

il    faut    que  6\ 

je    multiplie .      - 

à  proportion  325 

tous  les  ter-  390, 

mes  de  t'un  1 

&   de  tau-  J^^^%M^=:^h\r 

trc.  ^5 

Je    mets  -* 

donc52i^S  2.11x5 

au  lieu  de  25350 
52rfS&iI 


cft  évident  2746254'  =  *' 
que  par  ce  changement  de  lettre  »  je 
multiplie  k  premier  terme  du  dividen- 
de par  la  cinquième  puiffance  de  €Ç 
c*cft  à  dire  par  4225  fois  274^^5* 
Mais  en  mettant  %h^yi  la  place  de  84S 
je  ne  multiplie  que  par  274625.  donc 
afin  de  multiplier  ce  fécond  terme  au*, 
tant  que  Je  premier  9  il  faut  que  je  mul- 
tiplie Tabfolu  8  par  4225 ,  &quc  j'é- 
crive 3  3  800^'  &c.  Je  trouve  enfin  pouc 
divifeur  préparé  hh  -^jh  —  3  90>&  pouc 
dividenoc  préparé  52^^  '—  33800P  -♦-' 
71402^0.0* —  1044.  261562c.  Je 
fais  là  iteflus  ma  divifion  fans  fraàiom 
&  parce  que  le  dividende  a  été  multiplié 
par  11  cinquième  pui(Iànce  de  6  5  »  & 
que  le  divifeur  n'ai  été  multiplié  91e  pac 


Tjt  N/imeattx  Elémeni 

éf  5.  il  faudra  écrire  fous  le  quotient  cotiï:- 

jne  dénominateur  la  quatrième  puilTan-- 

ce  du  même,  nombre   tfj.   c*eft  à  dire 

178506^2^. 

Pour  éviter  ces  grandes  multiplica* 
tions ,  je  fupjyofe  6^ j  =  r  ,  &  j'auray 
pour  dividende  préparé  yii^**-  %cc  S^ 
-4-  ^e^b  —  9c^  &  pour  divifcur  prépa- 
ré ,  bb  -^  jb  *—  6c* 
&  pout. quotient  5xP  *— 5^4^^  &c. 

*  (j4 

Il  eft  aifé  de  former  (ur  cet  exemple- 
fa  Règle  générale ,  foi  t  qu'il  n'y  ait  qu'u- 
ne lettre  dans  le  premier  terme  du  divi- 
&ur ,  (bit  qu'il  y  en  ait  pluficurs. 

La  Demonftration  eft  évidente  ,  (up- 
pofé  ce  principe  -,  qu'en  multipliant  ou 
âivifint  par  un  même  nombre ,  &  le  di- 
vidende &  le  divifcur  ,  le  quotient  eft 
•toujours  le  même.  Par  exemple ,  c'cft  la 
même  chofè  dé  divifer  i  j  par  jj  qiie 
dedivifer  ^opar  6*  ou  60  par  ii>  le 
quotit'nt  eft  toujours  y. 

Pour  confetver  l'Analogie  entre  la  dt- 
•vifion  Aritliiyietiquc  &  la  divifion  litté- 
rale, &  même  pour  éviter  de  fe  broiiil- 
ïcr,  il  eft  avantageux  de  remplir  par  des 
0>  Icsdegrez  vuides  delà  lettre  princi- 
pile  dans  le  dividende  &  dans  k  divi^ 


f 


JtjirithmetiqHe  (^  JtAIgelrel  Ity^ 
&ur.  Ainfi  aa  lieu  d'écrire  5  zb^ —  ieeb^ 
-*- j^i  —  9c^»   Il  vaut   mieux  écrire 

5  2^  ^  -f-  oh^  •—  Srr^î  -+■  obb  ;  - —  j^c^è 

• —  9c  ^.  •&  au  lieu  d'écrire  pour  divifcur 
|3  -^^^.—  10;  il  vaut  mieux  écrire  t^ 

-#•  0^  —  7^—  10. 

La  lettre  principale  s'écrit  toujours  !a^ 
dernière  dans  chaque  membre. 

Lorfque  Ta  lettre  principale  fb  trouve 
plufîeurs  fois  au  même  degré,  on  ne  l'é- 
crit qu'une  fois  en  haut ,  &  on  écrit  au: 
deffôus  Tun  après  l'autre  tous  les  mul- 
fiplians  avec  leurs  fîgnes.  Ainii  au  lieu: 
d'écrire  8  xif  *  -f-  7^^/*  —»</*/*  on  caiç 
%abf^ 

•+■  yac 
—    dK 

Si  l'on  a  bien  compris^  la  DemonflfraJ 
tion  de  la  Règle  touchant  les  fignes  -*»] 

6  —  dans  la  multiplication  ,  on  n'aurai 
aucune  diflScultc  à  comprendre,  la  Règle 
touchant  ces  mêmes  (ignés  dans  la  divt- 
fion  ;  car  puifque  -+•  multiplié  par  *— i 
produit  • — ,  il  eft  évident  que  — divifé 
par  H-  doit  donner  —  au  quotient  ,  tC 
fi  —  multiplié  par  *—  produit  -♦-.  Il  eft 
évident  que  —  divifé  par  -♦-  doit  donner 
• — 5  &  que  -4-  divifé  par  ^—  doit  donner 

• —  au  quotient ,  parce  que  le  quotient  é- 
tant  ixuutiplié  par  le  diyifeur  >  le  produit 


1?^  ïfowoedux  Elément 

doit  être  égal  &  fcmblable  au  dividende? 

Chapitre     XL 

Df  U  Vivijlon  des  Nombres  complexes 

Arithmétiques  • 

IL  faut  partager  également  jo  liv.  en- 
tre 8  pcrfont^s. 

Je  divife  3opar8>le  quotient  eft  j» 
&  il  rcfte  6.  c'cft  à  dire  qu'il  faut  don- 
ner 3  Hv.  à  chaque  pcrfonne ,  &  qu'il  re- 
ftc  encore  ^iiv.  à  partager  en  8.  Je  ré- 
duis 6  liv.  à  l'efpece  immédiatement  plus 
petite ,  qui  eft  les  fols ,  &  je  divife  i  lo 
f.  par  8>  le  quotient  eft  i  ç.  c'eft  à  dire 
qu'il  fout  dontxeï  à  chaque  ptrConne  5  liv» 
15  f<^s. 

Second  Exemple. 

Il  faut  partager  3  o  Hv.  à  o  pcrfonncsi 
le  quotient  eft  3  Hv;  SC  8a. 

Troijieme  Ex'emple*^ 

Il  faut  partager  3  o  liv.  à  7  perfonnes^ 
te  quotient  eft  4  liv.  j  f.  8  a.  &  il  refte  i 
partager  4  d.  qu'on  néglige. 

£lH4trifme  Exemple. 

On  demande  quel  eft  Tintereft  de  3  00 


d* ArithmetiqHe  dr  itjiljjrehel  18^ 
!W.  au  denier  lo  >  au  deniei:  1 8  >  au  de- 
nier 1 4.  Par  le  denier  zo  xm  entend  là 
vingtième  partie  du  capital  ^oo*  par  le 
denier  1 8  >  on  entend  la  dix  -  huitième 
partie  du  même  capital,  &c.  donc  il  n'y  a 
€[uà  divifec  300  par  20>  par  18)  par 
^4  8cc. 

Au  denier  xo»  c'cft  1 5  li¥. 

Au  denier  1 8-  ç'cft  1 6  liv.  1 3  f.  4  d. 

Au  denier  1 4.  c'eft  1 1  liv.  5  f.  6  dr 
&  il  refte  1 2  d.  à  partager  en  1 4.  on  les 
néglige ,  ou  parce  que  i  x  eft  plus  de  U 
■moitié  de  14.  on  écrit  2. 1 1.  8  f.  7  4»  -    " 

Cinqméme  Exemple. 

L'année  civile  fuivant  la  Reforroation 
•de  Jules  Ccfar ,  &  qu'on  appelle  à  caufe 
de' cela  Tannée  Julienne  eftae  ^6<  jours 
&  6  heures.  C'eft  pourquoy  chaque  qua- 
trième année  cft  de  3  66  jours ,  &  on  l'ap- 
pelle biflTextille,  i  cau(è  que  les  Romains 
conteient  deux  fois  de  fuite  le  vingt- 
quatrième  jour  de  Pèvricr.  Sexto  Cal, 
jlpriL  ti^  fexto  Cdi.  April. 

Cette  anne  Julienne  eft  un  pe;u  trop 
grande ,  &  ne  s'accorde  pas  avec  le  cours 
du  SoleiK  Ceft  pourquoy  le  Pape  Gré- 
goire XII  I^ne,  reforma  le  Calendrier  en 
«  5^x«  &:  ordonna  que  i[ur  400  ans  on 


iti  N9UV€dHX  EUmens 

omettroit  trois  années  bKTexdles,    Ainfi 
Tannée  i  6qo*  étoit  bifTextile ,  mais  les 
;années  1700*  1800:  i^oo*  ne  le  feront 
pas;  l'année  zooo*  le  feraî  les  années 
2I00-2200.  2300.  ne  le  feront  pas; 
Tannée  2400.  le  fera.  On  demande  quel* 
le  eft  la  grandeur  de  Tannée  Gregorieime? 
Puifque  fur  400  ans>  il  y  en  a  303 
tic  36J  jour«,  &  57.  de  ^66  jours.  Il 
€(k  évident  que  chaque  année  Tune  por*- 
tant  l'autre,  éft  de  3^^  jours  ,  plus  la 
400*°**  partie  de  ^7  jours.  Je  réduis  ^7 
jours  en  heures ,  en  multipliapt  ^yjp^ 
24»  &  je  divife  le  produit  2320   par 
4.00*  le  quotient  cA:  c«  nombre  des  heu- 
res, &  il  reftc  3jt,8  heures,  que  jexe- 
iduis  en  minutes ,  en  multipliant  328  par 
iéo  >  5c  je  tfivife  le  produit  par  400*  le 
<}uotient  eft  49.  nombre  des  nnnutesj»& 
il  refteSo  nnnute$,qtte  je  réduis  en  fo" 
condes^  en  multipliant  00  par  ^o.  & 
Je  divife  le  produit  4800  par  400  >  le 
quotient  eft  x  2  »  nombre  des  fécondes 
precifémcnt ,  d  où  je  conclus  que  Tan- 
née Grégorienne  tR,  de  3  ^  j  jours ,  5  heur 
Ms  >  49  minutes  912  fécondes. 

y 

Sixi/me  Excmflâ» 

IPçolomée  rappone  au  Livre  4.  chap,  xr« 


d^  Arithmethine  &  d' Algèbre.  i8| 
Jàt  (on  Alàiagefte  que  les  Caldéens  ob« 
ferverent  une  éciipre  de  Lune  i  Babylone 
le  i6.  du  mois  de  Thoth^l'an  ^$6  de 
Nabonnaflar.  Ce  qui  revient  au  1 3 .  Dé- 
cembre à  7  h.  ic/.  après  minuit  de  l'an- 
née 383  avant  J.  C.  Monfieur  Gaflendi 
obferv^  une  autre  éclipfe  de  Lune  â  Aix 
en  Provence  le  zo.  Janvier  1628.  â  9 
h.   3  6^  3  O^.  après  midjr. 

Les  reduâions  ordinaires  étant  faites 
on  trouve  que  d  uhe  éclipfe  a  l'autre  il 
y  a  733805  jours,  I7n.  53'.  3o^.quî 
xépondentà  24849  mois  Lunaires. 

Il  faut  trouver  la  valeur  d'un  mois  Lu^ 
naire,  je  divife73  38o5  par  24849.1c 
quotient  eft  29^  nombre  des  jours,  &  ii 
refte  1 3  1 84  jours ,  que  je  réduis  enhea- 
res ,  en  les  multipliant  par  24 ,  &  au  pro- 
duit ri6j^i6*  j'ajoute  17»  à  caufe  des 
r3}ooj  jours,  17 heures j  &  je  divifc 
a  fomme  3  i  ^43  2  par  24849 ,  lequo* 
tient  eft  12*  nomore  des  heures ,  &  ri 
'refte  18245  heures  ,  que  je  réduis  en 
minutes ,  &c.  Et  je  trouve  que  la  valeuj: 
îmoycnne  d'un  mois  Lunaire  eft  d'cavi- 
«on  29  jours,  1 2  h.  44^  3^'.. 

Sefti/mc  Exemple* 

£  faut  divifcr  2079  toi/ês  quarrées^  i 


i 


x84  HoHveAHX  EUmtm , 

pied,  99  pouces,  54  lignes rpar  40  t, 

5  pieds ,  7  pouces,  é^  lieqes  linéaires. 

Reddfez  tout  le  dividende  en  lignes 
quarrcesî  &  tout  le  divifeur  en  lignes 
linéaires* 

Divifez  enfuîte  les  lignes  quarrces  par 
les  lignes  linéaires.  Le  quotient  donnera 
le  ^[uotieRt  cherché  eii  lignes  linéaires , 
que  vous  réduirez  par  la  divifion  en  pou- 
ces, en  pieds  &en  toifès;  &  vous  trou- 
verez pour  quotient  ceduit  50^4  pieds, 
8  ipouces ,  '7  lignes.  Ou  bien ,  appeliez 
les  coifes  4,  les  pieds  h^  les  pouces  c  9 
les  lignes  ii 

:&divif.  xo7944-f- ii*H-j9^*-»-54rf^] 

^at    404  ^t-  ^h  -^^  jQ  ^  6d 

• 

^Dites  en  207944  ,  coml^icn  de  fois 
4-04^  il  y  eft  514,  &  il  refte  4944; 
mais  avant  que  d'écrire  çi4  pour  quo- 
tient ,  je  multiplie  le  refte  de  mon  divi- 
feur qui  eft  5^  -H  7(r  H-  6d  par  5 14 :  le 
produit  eft  i^^ab  -^  z^yac-^^o6ad, 
&  parce  que  4  vaut  6»;  Se  h  vaut  12c, 
Se  que  c  vaut  iids  )c  réduis  ce  produit 
à  fa  plus  fimple  expreftîon ,  &  je  trouve 
qu  il  vaut  plus  de  4944  -¥-  ik^  &c.  C*eft 
pourquoy  je  n'écris  au  quotient  que  j04, 
te  .continuant  de  niepe^  je  trouve  pour 

^quotieni: 


^JnthiUttiq/tt  &  JtAtgeire.       ilf 

quorient  ço«  -+-  ^i  -»-  8c  -+-  yd-  C'cft 
d  dire  ço  toîfes,  4pic<Is,  S  pouces,  7 
lignes. 

On  opérera  de  mcme  pour  la  multi- 
plication S£  U  dîviâon  des  degiez  >  mi- 
nutes ,  fécondes,  &c.  par  des  degrcz ,  mi- 
nutes ,  fécondes  &c.  en  obfcrvant  qu'un 
degré  linéaire  vaut  60  minutes  linéaires  i 
quun  d^é  <]uflrré  vaut  3-600  minutes 
quarrées  ,  &  qu'un  degré  cube  vaut 
X I  ^00  minutes  cubes  •■,  Se  que  chaque 
minute  linéaire  vaut  60  fécondes ,  cha- 
que minute  quarrée  vaut  3  600  fécondes 
^narrées,  &c. 

Il  eft  fort  inutile  de  s'exercer  fur  cet- 
te dernière  eipece  <k  calcul ,  parce  qu'on 
s'en  a  jamais  befoin-  dans  la  pratique. 


S^  Nhurveamx-  Etemtns 

LIVRE     TROISIE'M^ 

DES     FRACTIONS, 

C  H  A  P  l  T  &  B      L- 

i 

lye  lA  KeduEUon  des  FrâBidnsi  moifp^ 

dres  pevmts* 

LA  Divifion  imparfaite  proilait  Icsc 
fiaûions  s  quand  je  divife47par  i  j,> 
le  quotient  cft  3  -^  j  ce  -^  eft  une  fra- 
âion  qui  s'exprime  ainû  deux  aHinxiié- 
mes  y  le  nombre  1  j  ,  qui  étoît  le  divi- 
feuc  en  nombres  entiers  ,  s'appelle  to- 
fradion  U  dénominâttur  t  parce  qu'il' 
donne  lot j|s(»h £l1ft'  fi^QD» lee  font  des» 

4]Htnz.tefi$es'*  ^        *        '* 

Le  nombrç  !»>  qui  étojt  le  refte  de  Ià^ 
divifion  en  nombres  entiers ,  s'appelle  en? 
fïadion  U  numeréuenr,  parce  qu'il  mar^ 
que  le-  nombxc  àt  cci?  qjttinzi«nes  >  & 
qu'il  y  en  a  dicmx.      -  \ 

Ainfi  ^  s'exprime  /rw  ci»qHi^meSyCtf& 
à:  dice  trois  fois  là  cinquième  partie  d'uni 
ccrtaiisi  tout  srjm  lir.  cinquième  partie  àt 


Jt Arithmétique  &  £Alg€hre\  187 
trois  touts.  Les  |  d  pn  écu  de  éo  fols, 
c'eft  3  fois  la  cinquième  partie  d'un  é- 
cu;  la  cinquième  partie  d'un  ccu  c'cft  i  % 
{bis  9  ainfi  3  cinquièmes  valent  3  6  fols  \ 
ou  bien  y  d'ccu ,  c'cft  la  cinquième  par^ 
cie  de  3  ècus,  qui  valent  180  f.  &  la 
cinquième  partie  de  180  C  eft  encore 
^  6  fols.  Quand  on  divife  4^  f^  i  f  y 
qu'on  trouve  pour  quotient  3.  &  qu'il 
rcfte  1  h  il  eft  évident  que  refprit  de  la 
divi/ion  va  à  prendre  la  quinzième  par- 
tie de  ce  refte  z ,  Ôc  qu'ainfi  on  dcvroit 
exprimer  la  fraûion  ^  par  ces  roots ,  U 
qmnx^iéme  partie  de  deux.  Mais  parce 
que  la  quinzième  partie  de  deux  vaut 
évidemment  deux  fois  la  quinzième  par-' 
lie  d'un;  il  eft  certain  qu'on  peut  aufli 
exprimer  cette  fraâ:ion  ^^  par  ces  inots 
âeux  4]Hm:^i/mes  j  en  (ouf- entendant  le 
mot  d'un  ,  Se  cette  dernière  expreffion 
a  prévalu,  comme  plus  courte. 

II  y  a  deux  fortes  d'opérations  fur  les 
fraâions ,  il  y  a  des  opérations  qui  leur 
font  propres  ;  6c  qui  font  comprimes  fous 
Je  mot  cie  réduction ,  ôc  il  y  a  des  ope- 
rations  qui  leur  font  communes  avec  les- 
nombres  entiers.  Ce  font  l'addition,  la 
fouftraâion,  la  multiplication  6c  la  di^ 
viiîon.- 
-   Il  n'y  a  que  deux-  efpeccs  derèdix 


y 


/ 


i%%  Nouveaux  EUmeHS 

Gtiotis  exaâes  >  la  réduâion  à  moindre? 

termes ,  &  la  réduâion  à  même  déno- 

mination. 

Il  y  a  deux  rédudions  impropres  v  la 
réduâion  à  ua  dénominaceur  donné ,  & 
la  réduâion  à  un  numérateur  donné. 

De  U  r/duSion  i  moindres  termes* 

IL  y  a  cette  .différence  entre  les  nom* 
"bres  entiers ,  &  les  fîraâions  par  rap- 
port i  l'expreflion ,  que  chaque  nombre 
rmicc  a  fon  exprefficm  particulière ,  feu- 
le &  unique  9  au  lieu  que  chaque  .fra- 
4^ion  peut ,  làns  chaneer  de  valeur  être 
•  exprimée  d'une  infinité  de,  manières  dif- 
férentes^ Ainfi  ce  nombre  trois  ne  peut 
être  exprimé  que  par  ce  feul  chifre  3, 
Suais  cette  fcaâion  un  demi  ^  peut  fans 
changer  de  valeur  être  exprimée  pas 
deux  quarts  |;  pat  trois  fixicmes  |>  pac 

3uatrc  huitièmes  | ,  &c.  Car  il  eft  evi- 
^nt  qu'une  fois  la  moitié  de  quelque 
tout  que  ce  Coit  >  eft  égale  à  deux  fois  le 
çiart  d:u  naême  tout  >  puifque  chaque 
quart  eft  la  moitié  de  la  moitié,  &  une 
lois.  la  moitié  de  quelque  tout  que  ce 
foit ,  eft:  égale  à  trois  fois  la  fixiétne  par^ 
fie  du  même  tout»  puifque  chaque  fixié- 
tac  cSt  h  ucts  de  h  moicic»  Ainâ  ta. 


s  Arithmétique  &  JtAlgehre*  ï*r 
moitié  d'un  écu  eft  xo  i*  deux  quarts 
d'un  écu  {ont  30  (bis  ,  trois  fîxiémes 
d'un  écu  font  3  o  fi>ls  1  &c.  Par  la  mè^ 
me  raHbn  cette  fraâiolt  -  peut  fans 
changer  de  valeur  être  exprimée  par  ~  5 
par  f^  \  pat  i^  &c.  Et  généralement  paï , 
toute  fraâion^  dont  le  numérateur  con- 
tiendra autant  de  fois  3  »  que  le  nomi- 
nateur  contiendra  de  fois  j .  Ce  que  je 
démontre^  ainfi  (bit  la  fradlion   quel*- 

Conque  —  &  une  autre  |-  ,  dont  le  nur 

merateur  4  c  foit  multiple  du  numéra- 
teur 4  par  le  nombre  r  ,  &  te  dénomi- 
nateur b  c  foir  multiple  du  dénomin»- 
teur  k ,  par  le  même  nombre  c. 

Je  dis  que  ces  deux  fradions  font  de 
nfîcme  valeur. 

Soit  la  ligne  A  B ,  repreféntant  un  tout 
quelconque  ,  divifce  en  autant  de  par*- 
ties  égales  aux  points  d^d^  c,d,  que  le 
nombre  t  a  d'nnirez. 

Je  prens  A  c  d'autant  de  parties  égales- 

à  de  d 

— 1  — t— i  — l— B 


1— -[-"I-— I 

d  d  C         d 


> 


lîNcr  NoHveaux  Elemem 

que  le  nombre  4  con-  A  B  ==  5^;, 

rient  d'unitez',  par      ^,3^-  A  ci=,3 
eonfcquent  prenant       by  5 .    E  F  =:  20 
AB    pour   Tunité,       c,^   Ec=:ij?, 
la  ligne  A  c    reprefentt  la  valeur  de  U 

&aâion  -^. 

b 

Soit  la  ligne  E  F  ég^è  à  la  ligne  A  B^ 
divifée  en  autant  de  parties  égales  aux 
points  dy  dy  Cy  dt  que  le  nonabre  b  a  d'u- 
nitez  5  &  je  prcns  E  c  d'autant  de  ecs  par- 
ties égales  qnc  le  nombre  a,  contienr 
dunitcz-,  &  je  divife  chaque  partie  éga- 
le comme  Ed,  ddy  dcycd,db>  en  au- 
tant de  parties  égales  que  r,  contient 
d'unitez  -,  par  confcquent  la  ligne  E  F  re- 
prcfentera  le  nombre  bc,  &  Ec  repre- 
fentera  le  nombre  acy  donc  prenant  EF 
pourrunité  ,    la  ligne  Ec  reprcfentera 

lafraiSkionp;   orEc  eft   égale  à  A  c, 

puifque  par  l'hypothefe  les  lignes  AB, 
E  F  font  égales ,  &  que  E  c  contient  au- 
rant  de  fois  une  certaine  partie  de  E  F, 
que  Ac  contient  de  fois  la  même  par- 
tie d'ABi  donc  la  fraftiqn^   eft  égale 

à  la  fradion  -^  ce  qu'il  faloit  démon^ 

frcr. 
De  toutes  ces  expreflions  différentes 


Jt  Arithmetiéfue  &  JPATgehre.      tfft 
cfe  la  même  fr^âion  «  la  plus  fimple  de 
toutes  eft  celle  où  le  numérateur  &  lè 
dénominateur  font    les   plus  petits  qu*tf 
feit  poffifele.  Par  e:3CempIè  de  routes. ces 
expreflîcois  équivalentes  >  r    :r      — ^    — * 
&c.  La  plus  umplc  eft  y ,  I  clprit  appcrçoit: 
plus  aifcment  la  valeur  de  cette  prcmic— 
Be  expreflîon  ,  &  toutes  les  opérations^ 
en  font  plus  courtes.    On  demande  une* 
méthode  pour  réduire  toute  fradkionpro- 
poféè  a  fon  expreffion  la  plus  fimple» 
c'eft  a  dire  à  fes  moindres  termes.    J'ay 
Befoin  pour  cela  de  quelques  définitions.- 

I®.  TJb  nombre  en  racfure  un  autres'» 
lors  qu  il  eft  contenu  precifément  un  cer-- 
min  nombre  dfe  fois  dans  cet  autre.  Ain- 
fî  5  mefùre  j:,  parce  qu'il  y  eft  contenu' 
une  fois ,  &  3  médire  6>  parce  que  3  eft' 
contenu  %  fois  dans  6*  ^ 

%^\  Le  nombre  qui  mefure  s'appelle 
•partie  dé  celiiy  qu^il  mefure  ,  &  cette 
partie  prend  fon  nom  du  nombre  par 
lequel  il  le  mefure,  c'eft  à  dire  du  nom- 
bre des  fois  qu'il  eft  contenu  precifé- 
ment. Ainfi  3  eft  partie  de  12  :  3  mefu- 
re r  2  par  4 ,  ou  eft  contenu  4  fois  dans. 
112^:  5;  eft  le  quart  dç  12. 


V 


j®.'  Le  nombre  qui  cft  mefiire  s'ap- 
pelle mtêltifU.  Ainfî-  it  eft  multiple 
de  3. 

4^  Nombre  premier  cft  celuy  .<^iu 
n*clk  mcfuré  que  par  Tunité.  (Car  lù- 
nicé  mefurc  tous  les  nombres^)  Ainfî  z. 
3*yir7*li.ljr  &c^  font  des  nombres 
premiers^ 

..  j*.  Nombres  premiers  entre  eux  font 
ceux  qui  n'ont  point  d'autre  commune 
mcfure  que  Tunitc  >  5;  &  ç  font  premiers 
encre  eux;  j  &  lo*  de  même  que  8  Si 
2  5  font  auffi  premiers^  entre  eax« 

'6^.  Nombre  c^mpofe  c&  celuy  qui  eft 
mefuré  par  quclqu'autf  e  nombre  que  l'u- 
nité.  I  5  eft  un  nombre  compofc,  parce 
qu'il  eft  mcfure  par  3  &  par  5.- 

j4xiomes.  Le  nombre  qui  mcfure  le 
fimple  meAire  auffi  les  multiples. 

Le  nombre  qui  mcfure  les- deux  par^ 
ùtSy  mcfure   auffi  le  toutr 

Le  nombre  qui  mefure  le  tout  &  le  re^* 
wanehq,»  mefure  auffi  le  rcftc-  Si  7  meforc 
le  tout  3  ç  par  j ,  &  fi  7  mefiirç  le  re- 
tranché 2 1  par  j  s  7  mefurera  auffi  le 
refte  14.  par  j  —  3  ou  i« 

7°. .Une  fraékiotr  réduite  à. moindres 
termes ,  eft  une  fraâion  doin:  le  nume-' 
tSLXtxxt  ôc  le  dénominateur  font  les  plus* 
petits  qu'il  foit  poffiblc  |,  ^,  -^ ,  font 

des 


t  JrHhjneiiàMi  &  d' Algèbre,  ij; 
^es  fraéfcions  leauites  à  moindres  ter- 
tncs-,  mais  |^  ,  f-^  ^»  font  des  ft^ 
ûions  qui  ne  font  pas  teduites  à  moinr 
dres  termes. 

Eegle  ginlréHe* 

DIvifez  le  dénominateur  par  le  nu- 
\  mcratcur ,  &  le  numérateur  par  le 
refte ,  jK  ce  premier  refte  par  le  fécond» 
&  le  fécond  refte  par  le  troificme ,  &c, 
jufques  à  ce  que  vous  trouviez  un  di^ 
vifcur  exaft. 

Si  ce  divifeuc  exa£b  eft  l'unité ,  la  fra- 
âioa  propofée  étoit  déjà  réduite  i  k% 
moindres  termes.  v 

Si  ce  divifeuT  exaft  eft  tout  autre 
nombre  >  divifez  par  ce  nombre  le  nu^ 
merateut  &  le  dénominateur  donnez  9  le$ 
deux  quotients  (  qui  feront  toujours 
cxafts ,  )  donneront  le^numerateur  ôç  le 
dénominateur  de  la  fradion  reduke. 

Exemple^ 

'Soit  la  fraéikion  ~  propofée  a  rédui- 
re à  moindres  termes  9  je  divife  i  j  pat 
3  ,  le  quotient  eft  ^.  donc  3  eft  un  divi- 
Icur  exaft.  Je  divife  3  &  rf  par  3.  les 

Îjuotients  font  i ,  &  5  j'écris  J-j  c  eft  la 
ration  réduite. 

R 


1^4  NoH'OedHX  Elcmcns 

Second  Exemflc^ 

Soit  la  fraâion  proporée{>  je  divifè 
^  par  3  ,  le  quotient  cft  i  >  &  il  reftc  z , 
je  divife  3  par  x  »  le  quotient  eft  i ,  & 
il  refte  i ,  divifeur  cxaà  ;  mais  parce  que 
c*efl:  Funité.  Je  conclus  que  la  firaâioii 
propofée  j  étoit  déjà  réduite  à  fes  moin* 
ares  termes. 

Troijifmc  Exemple. 

Soit  la  (raftion  propofée  |?. 

Je  divife  3  J  par  ii.ilrcfte  iaj  je  di- 
vife II  par  1 4.  il  reftc  7»  je  divite  1 4  pat 
7 ,  il  ne  refte  rien  -,  donc7  eft  un  divifeut 
exaâ;.  Je  divife  x  i  par  7.  le  quotient  eft 
3.  je  divife  3<  par  7,  le  quodent  eft  ^« 
j'écris  j  c'cft  La  fraâion  réduite. 

^luâtriéme  Exemple. 

Soit  la  6:aâdon  propofée  |^. 

Je  divife  xç9  par  1 1  x.  il  refte  3  Ç  >  je 
divife  1 1  X  par  2  ^' ,  il  reftc  7;  je  divife  j  5 
pr  7 ,  il  ne  refte  rien ,  d'où  je  conclus 
que  7  eft  un  divifeur  exaâ ,  &  la  plus 
grande  commune  me(ure  de  1 1  x  ;  &  de 
X  5  9*  Et  les  divifant  Tun  &  l'autre  pat  7, 
les  quoticns  font  16  &  37.  j'éais  j-|. 
C'cft  la  fraûion  réduite. 


JT Arithmétique  ç^  éCAtgeire.      ij^ 

Cinquième  Exemple. 

*Soit  la  fraâion  f  ropofée  y* 

J*efFace  les  lettres  communes  au.  tm^ 
tnerateur  (c  au  dénominateur ,  &  qui  s  y 
trouvent  clans  le  même  d^ré.  La  fraâion 

TTcduite  eft  4"* 

XX 4  fc  réduit  1    ^^»  &   214  i    34 

Sixième  Exemple* 
Soit  la  fraâion  prqpofée    ^^^^ 

l'efface  4'  de  paix  6c  d  autre  &c.    La 
fraftion  réduite  eft  - — . 

Îi£^!L  fc  réduit  à  JLl!î 

354^*  s^ 

Septième  Exemple. 

'Soit  la  fraâion  pfopofée  » 
z  14  4  -f-  z64 —  I  j 

^■M— i— 1^^—     Il  ■  # 

2844-4-      24 tf 

Je  divife  284  a  -4-  24^--  tf  par  2144 

'**-  264—  I S  •  ^  négligeant  le  quotient 

Ri) 


Sffé  Nouveaux  Eteméus 

exaft  •+••  I  >  je  prcns  le  rcfte  yxa  —  244 
H-  5 ,  par  lequel  je  Hivife  le  numérateur 
xidd-^  164  »— •  15»  &  négligeant  le 
quotient  -4-  24  >  je  prcns  le  reftc  +  ^84 
-ç-  41, ,  par  lequel  je  divifc  le  premier 
rcîfte  y4  4 —  244  -s-  9.  &  négligeant  te 
quotient  -*-^4,  (que  je  trouve  en  rc- 

duifant  la  fraftion  fîmple  I^      à    fcs 

moindres  termes ,  )  >c  prens  le  reftc  -« 
v^{4  ^  ^^  par  lequel  je  divife  le  fé- 
cond reftc,  -*-  984-— 4J,.  &  négligeant 
le  quotient  •»—  4*  (que  je  trouve  en  divi- 
fant  -+.  98  par —  zi  ;)  je  prens  le  reftc 
-4-  1 44  -—  6  y  par  lequel  je  divifc  le  re- 
ftc précèdent  • —  214  h-  5.  le  rcfte  cft 
*~  74  -i*  j  »  qui  divifc  exAftemcnt  le 
reftc  preccdcnt  -1- 1 44-—  ^  par  — 2*  d  où 
)c  conclus  que  - —  74  h-  3  cft  la  pic» 
grande  commune  mefure  du  nnmerateuc 
&  du  dénominateur  de  la  fraâion  pro- 
poféc.  Ceft  pourquoy  je  les  divife  Tun 
&  l'autre  par  ■ —  7^  "+•  3»  &  je  trouve 

pour  fradipn  réduite    -^  "^  ^  fur    quoy 

il  faut  remarquer  que  —  74  -h  3.  cft 
le  même  nombre  que  74  —  3  avec  un 
figne  contraire ,  &  que  parce  que  —  di- 
y^fé  par  — •  donne  h-  de  même  que  -4- 
divifc  par  -i-9  Le  quotient  cft  toujours  le 


in&ine,  lors  qu'on  change  toas  les  iîgnes 
du  divifeur  &:  du  dividende  ^  &  que 
quand  on  divife  une  fraâion  ,  c'eft  la 
même  chofe  de  divifer  le  numérateur  & 
}e  dénominateur  par  un  nombre  pofiti^ 
ou  de  les  divifer  par  le  même  nombre 
négatif.  Ainfi  en  ai vi  fan t  par  — «  ^4  -h»^ 
3  >  on  trouve  pour  quot.  -^34  —  ç 

—  4^ —  z 
qui  eft  la  même  chofe  que  -1-  3^-+-  5'. 


-4-  4<l  -H  i. 

II  eft  plus  commode  &  plus  naturel  de 
rendre  pofitif  le  premier  terme  du  di^ 
vifcur.^ 

Demonjhition  de  la  Keglel 

î'ay  démontre  cy-delTus  que  toutes  Içs 
fraâions  dont  les  numérateurs  &  les  de-^ 
nominateurs  étoicnt  également  multi-» 
plès ,  ou  équimultiples  d'un  même  nom^ 
bre ,  j*ay  démontré  y  dis  -  je ,  que  toutes 
ces  fraâions  étoient  de  mèn?e  valeur , 
d'où  il  s'enfuit  évidemment  qu'une  fra«^ 
âion  réduite  à  fes  moindres  termes ,  eft 
nne  fraâion  dont  le  numérateur  &  le 
dénominateur  font  premiers  entre  eux- 

Il  faut  que  je  prouve  premièrement 
qu'en  fuivant  la  Règle  5  on  divife  le  nu* 
fnerateur  &  le  dénominateur    par   leur 

R  iij 


T98  N^uviâMx  Elemenf 

plus  grande  coimnane  mcfiire,  &:  que 
par  confequent  les  quotients  font  de» 
■ombres  premiers  entre  eux. 

i^.  Si  le  numérateur  a  »  me&re  le  de*» 
4  :=rr  3  •  nominaceur  i^^il  eft  évident  que 
tz=:i^»  a  étant  la  plus  grande  mefure 
de  luy-m&ne>  il  cft  aufli  la  plus  grande 
commime  mefure  dU  >  &  de  b* 

z^.  Si  4  ae  médire  pas  b  »  mais  que 
4=15  le  refte  rmefure  4 ,  je  dis  que 
f  =:  20  c  fera  fa  plus  grande  commune 
r  =  5  mcfure  à' s  &  de  ^.Car  i  ^  pui iF- 
dz=^ . .  que  e  mefure  ^yil  mefurera  tous 
les  multipfcs  d'4 ,  fi  2r  mefure  6 ,  1  me- 
furera IX,  1 8,  24 ,  &c.  Oc  il  fe  mefure 
auffi  luy-mème  donc  c  mefurera  h,  qui 
n'eft  que  la  fbmme  d\in  multiple  dV» 
ajouté  d  €•  z^.  e  eft  ta  plus  grande  corn* 
mune  mefure  d'^  &  de  ^  »  car  foit  s'il 
cft  pofliUe  un  atitre  nombre  d  plus  grand 
que  c.  Se  commune  mcfytc  d  4  &  de  K 
Puifque  d  mefure  4  &  fés  multiples ,  8c 
qu'il  mefure  k  y  il  mènera  auffi  le  refle 
c  »  c'eft  i  dire  qu  w  nombre  en  mefure- 
ra un  plus  petit  >  ce  qui  e(l  abfiirde,  donc 
r  eft  la  puis  grande  commune  mefiire 
d4&de^. 

3^  Si  4  ne  mefure  pas  Jr,  &:  que  le 
refte  c  ne  mefure  pas  4  »  mais  que  lé 
fécond  refte  d^  mcfiirc  le^  premier  re^ 


s 


fie  c  i  jej  dis  que  d  t&  h  plus  #==  1 5 
grande  commune  me furc  d'^  &  bzzzii 
de  A*  Car  i^  puifque  d  mefu-  c=^6 
Mt  eSc(çs  multiples  >  &  qu'il  {c  d=z^ 
mefure  luy-mème»  il  mefurera  #=:.•• 
aufld  le  nomVre  a  >  qui  n  eft  aue  la  (bm- 
me  d'un  multiple  de  c  >  ajouté  à  dy  Se 
puifque  d  mefure  4  &  fes  multiples  »  & 
u'il  mefure  c,  il  mefiurera  aufli  le  nom- 
re  b  y  qui  n'eft  que  la  fomme  d*un  mul- 
tiple d'4  ajouté  â  c.  1^.  d  eft  la  plus 
gtandô  commune  mefure  d^  &  de  ^; 
car  (bit  s'il  eft  poffible  un  autre  nombre 
t  plus  grand  que  dy  &c.  Oh  prouvera 
que  €  mefureroit  dy  ce  qui  eft  abfurde;; 
&  ain(î  de  fuite ,  donc  on  trouve  par  la 
Règle  la  plus  grande  commune  mefurct 
que  fi  cette  plus  grande  commune  me* 
ikr^  eft  rumté  y  les  nombres  sScby  font 
prenûôrs  entre  eux  ftxivant  leur  défini- 
tion. 

C<cte  Demonftration  eft  plus  (Impie 
6c  [>l«i$  propre  «u  fujet  que  celle  qu  otr 
tire  des  <ieux  premières  propofitions  da- 
feptiéme  Livxe  d'EucIide  ,  parce  qu'Eu- 
dide  fuppofe  qu'on  opère  par  (buftra£kion». 
au  lieu  que  je  fuppofe  qu'on  opère  (com- 
me on  le  fait  etteâivement  )  par  divi- 
âon* 

Il  eft  évident  pat  là  que  la  firadion» 


aeo  NùUWâM  Elem$nr 

-^  y  on  4  ic  h  font  premiers    entre  curi- 

cft  plus  fîraple  q^ue  toute  autre  ftaâion 

équivalente  7- ,  où  le  numérateur  &  le 

d^enominateur  font  nombres  composez 
entre  eux.  Mais  cela  ne  {uffit  pas  pour 
démontrer  qu'on  a  réduit  la  fraâion  i 
ks  moindres  termes  ,  c*eft  à  dire  aux 
plus  petits  nombres  qu'il  foit  poflibre9 
fi  Ton  ne  démontre  encore  qu'il  eft  im- 
poffiblc  quiFy  ait  une  autre  fraûion  é- 

quivalente  -^>  où  c  &  ^  foient  pîus  pe- 
tits que  4  &  ^  ;  il  faut  auflî  que  c  ic  d 
foient  premiers  entre  eux  ,   puis  qu'bn 

fuppofe  que  la  fraâion  -j    eft   la    plus 

petite  qu'il  foit  poflible. 

II  ne  fuâîc  pas  par  exemple  de  dé* 
montrer  que  la  fraââon  ~  eft  équiva- 
lente à  la  fraétion  propoféc  -^ ,  &  que 
S  &  I  5  font  premiers  entre  eux  9  il  &ut 
encor  démontrer  qt^  toute  autre  fra^ 
ôion  plus  petite  &  primitive  comme  ~ 
ne  peut  être  équivalente  à  la  fraâioti 
primitive  ~ .  Pour  le  démontrer  j'ay  bc-  , 
foin  de  quelques  proprietez  des  nom- 
bres proporcionnaux ,  &  à  cette  occasion 
)e  vais  donner  dans  le  Chapitre  fuivant 
tout  ce  qui  eft  neceftàire  a  favoir  dans» 


d"  Arithmétique  (^  d'jilfehe.  wt 
ïes  proportions  ,  &  je  le  dcmontrcray 
d'iine  manière  nouvelle ,  &  par  la  feule 
expreffion  de?  nombres. 


Châfitrb     II. 

Des  Raifons  &  des  Proportions*^ 

Defimfiaw. 

1^  r  E  rapport  >  ou  la  raifon  du  nom^- 
JL  bre  a  au  nombre  A ,  eft  la  granr* 
deur  du  nombre  a ,  comparée  a  la  graur- 
dcur  du  nombre  A  »  entant  que  a  con- 
tient b  ou  une  certaine  partie  aliquote 
de  h. 
Çc  rapport  ou  cette  raifon  s'exprime 

par  cette  fraâipn  y-.  Car  pour  trouyei 

combien  de  fois  B  ed  contenu  dans  Mt 
H  cft  évident  qu'il  faut  divifer  4  par  H^ 
6c  que  le  quotient  qui  e(t  la  fraftion 

-r->  exprime  la  manière  dont  ^  eft  càtUf^ 

tenu  dans  4  »  &  par  confcqucnt  le  rap 
port  de  4  à  ^4  if  faut  remarquer  que  4 
peut  être  égal  à  h-,  que  4  peut  être  plus 
grand  ou  plus  petit  que  ik 

Dans  le   premier  cas  la  fiaélion -p 
Taue.  i  r  daas  le  fécond  elle  vaut  uanom^: 


tôt  NoHi>eâux  TUmens 

bre  entier  ou  un  nombre  mixte  \  dans  tt 

Hoifiéme  elle  vaut  une  (raâion. 

Âinfi  fi  4  eft  égal  i  6  {  et  que  j^ex<^ 
primeray  d'orénavant  par  ce  caraékererzz: 
c'eft  à  dire  pat  deux  petites  lignes  pa- 
rallèles ,  qui  marquent  Tégalité  entre 
deux  nombres  complexes  ou  incomplet 
xes)  fi  4  =^  6  &  <'=z  >  îe  rapport  de 
nib  s'exprime  par  cette  fradkion  ^ , c'eft 
â  dire  par  j ,  &  on  dît  que  4  eft  triple 
de  b* 

Si  Ton  fiippofe  au  contraire  que  4==: 
X  Schjzn  6 iit  rapport  dt  a  à  b  s'expri- 
me p.^r  cette  fraftion  |  ou  -,  &  00  die 
que  4  eft  le  tiers  de  b> 

Si  4  ^=  j  &  i  =  }  l'expofant  du  rap» 
port  eft  |,  ou  le  nombre  iriixtc  i  yi  c'eft 
a  dire  que  4  contient  5  fois  le  tiers  âc 
b)  o\x  cu'il  le  comient  une  fois  &  enco- 
re fcs  deux  tiers  5  de  «ncxne  û  4"^^=  1 3 
^  ^  =  ^  ,  rexpofant  du  rapport  ^a  i  î 
eft  Y  ou  i|.  &  au  contraire  fi  4=  j^ 
8c  J=:  j  fexpofant  du  rapport  eft  y.  Et 
fi  4==  6  Se  b^  10  l'expofant  du  rap- 
port feroit  encor  i ,  qui  eft  équivalent  i 
^  ;  c*eft  à  dire  que  6  contient  3  fois  la 
cinquième  partie  de  10  >  qui  eft  z. 

2®.  Le  premier  nombre  que  Ton  coiji-» 
pare ,  ou  le  ptemier  terme  d'un  rapport 
ei^d'une  raifon  s'appcttc  l'àm^ctdctu^ 


d jirithmetiqUi  (^  iCjilgehrel     Mf 
3^.  Le  fécond  nombre  auquel  loa 
eonipare^  ou  le  fécond  ternie  s  appelle 
le  confe^HCnt. 

hxm  quand  *je  confidere  le  rapport 
^4  avec  hy  a  t^  Tantecedent  »  &  ^  le 
confcquenc. 

4*.  Proportion  cft  une  égalité  de  rap 
port  )  s'il  y  a  même  rapport  du  nombre 
4  au  nombre  b  >  que  du  nombre  c  au 
nombre  d  ^  il  y  a  proportion  entre  ce$ 
quatre  nombres ,  ce  qui  s'exprime  ain(H 

4  eft  à  ^ ,  comme  ^  cft  à  ^,  ou  plus  am- 
plement de  cette  manière  4.  hi€*  dySc 
ces  quatre  nombres  ibnt  proportionnaux* 

3.  é:  4«      i* 

5  •  3  :   I  o*  6  fi>nt  des  nomb.^  proport.^ 
J.   5  :  tf .      10. 

Il  s'enfuit  de  ce  que  nous  avons  dit 
cy-delTus  ,  que  lors  que  les  quatre  nom- 
bres dyhyCyd^  ^t  pcoportionnaux  les 

deux  fraftions  4-  -^  y  o\x  tes  (raâions 

h        d 

'^  — (ont  égales  ou  équivalentes  »  8C 

réciproquement  que  lors  que  les  fraâions 
fi>nt  égales  >  les  nomf)res  font  propor^ 
tionnaux. 

Demande.  Un  nombre  quelconque  es- 
tant es^timc  par  une  lettre  ^cooime  4» 


1^4         NoHi)êdMx  Elemenu 
tout  autce  nombre ,  b  peut  être  exprime 
parla  même  lettre  s>  multipliée  par  une 
troificme  lettre  c ,  qui   exprime  le  rap^ 
port  de  ^  à  4  >  c'cft  i  dire  que  fuppofant 

—  i=3  r  >  on  aura  le  nombre  t  =zcd.  Ce 

qjLÙ  eft  évident  en  multipliant  l'un  & 
l'autre  par  a*  Car  toute  fraâion  muIâ-> 
pliée  par  Ton  dénominateur  produit  (on 
numérateur  en  entiers  ^.puifque  la  feiâien 
n  cft  autre  cbofe  que  ce  numérateur  di- 
vifé  par  le  dénominateur  y.  &  cnie  divî- 
fant  Se  enfuite  multipliant  par  le  même 
nombre». on  ne  change  rien  au  nombre 
multiplié  & divifé;  c  peut  être  ou  lunité» 
ou  un  nombre  entier ,  ou  une  fraâion  > 
ou.  un  nombre  mixte  »  félon  les  rapports 
diSerens  du  nombre  a  au  nombre  t* 

Tremierf  confequena» 

Si  4.  b  :  t.  d.       6'   1  i  1 2-     4v 
donc  b>  a  :  d'  €>       z>   6  i     4*1 2.^ 

Cela  eft  évident  par  l'idée  même  de 
la  proprotion.  Car  fi  4  Contient  b ,  com- 
me c  contient  rf,  il  eft  évident  que  ^eft 
contenu  dans  a,  de  même  que  d  eft  conh- 

tenu  dans  c,  donc  les  fraâions  -^    J^ 

V        d 

L  J 

&  les  fraftions  *-     —  font  égales,danc 


Jt  AriihneuqHe  &  d'Algèlre.  105 
£û  dx  d.  €•  Si  a  eft  tiiple  de  ^  >  &  c 
triple  de  ^  ,  il  eft  évident  que  b  eft  le 
tiers  d*a9  &c  d  le  tiers  de  c.  Et  qu'il  y  a 
];nèrne  rapport  entre  un  tiers  &  (on  tout» 
qu'entre  un  autre  tiers  &  Ton  tout.    ' 

Ce  raifonnemcnt  s'appelle  en  renvcr^ 
Jiutt  en  Latin  invertendo* 

Seconde  confe^uence 

Si  4*  b  *  c^  d.      6»     i:  IL.  4, 
donc  4>  Cl  b»  d.      6*  m     z*  4. 

£>it— ^=^  donc —  =:  ^donc^  =:  e  4>doric 

«  c 

d=2ce>  Or  4*  c:  es.  ecy  puis  que  h$ 

deux  fraâions  —  >  —  font  équivalen-^ 

tes.  Ce  raifonnement  s'appelle  sltet'^ 
nando* 

r 

Treifi^me  confequence* 

Si  4«  b  •  €•  d.  6'  X  :  11*  4; 
donc  4dz=bc*  C'eft  à  dire  que  le  pron 
duit  des  extrêmes  eft  égal  au  produit 
des  moyens.  6  fois  4  c=  2  fois  12=:  24t 

Car  (bit  — =rdonc — =r  donc  b=s 

es  y  donc  d:=:  ec*  C^eft  i  dire  que  4, 
ts  i  c*  ecy  01  le  produit  du  premiet 
nombre  a  y  par  le  quatrième  ect^  aec^ 
&  le  produit  du  fécond  #  4  par  le  troî^ 


to6  Nowvtâux  EUmens 

fiéme  c >  cft  encor  atc^  dune  ces  deux 

prodaits  font  égaux. 

COHOLLAXIIE. 

Trois  nombres  étant  donnez  on  trou* 
vera  le  quatrième  proportionnel.  En  mul- 
tiptîant  le  fécond  par  le  troi£éme,  &  di« 
vifant  le  produit  par  le  premier.  Car 

Îuifque  ce  quatrième  étant  multiplié  par 
i  premier  opit  faire  un  produit  égal  au 
produit  du  fécond  par  te  troifiéme,  ileft 
«vident  que  £  le  produit  du  fécond  pa: 
le  troiftéme  cft  divifé  par  le  premier  »  le 
quotient  fera  le  nombre  cherché. 

jo  hommes  depenfent  50  &ancs,com- 
bien  depenferont  4$  hommes?  je  mul- 
tiplie 45  par  ço,  ou  jo  par  45  ,  &  je 
diyife  le  produit  2 150 par  30,  lexjuo- 
tient  75  eft  le  nombre  cherché. 

C'eft  ce  qu'on  appelle  U  Règle  de 
frets  »  â  caufe  quHl  y  a  trois  nombres 
ou  trois  termes  donnez ,  &  qu'on  cher- 
che le  quatrième.  On  Tappelle  auffi  U 
Règle  ier^  i  caufe  de  fon  utilité. 

On  peut  démontrer  cette  Règle  plus 
amplement  >  en  mettant  Vunité  pour  pre- 
mier terme.  Par  exemple  ii  un  homme 
feul  depcnfoit  ^o  francs,  il  eft  évident 
que  45  hommes  en  depenferoient  4< 
fois  5  o> ou  az50*  Mais  fuifque  ce  n  c& 


^âs  ua  homme  feul  qui  depenfe  jo 
Irancs ,  msis  que  c  cft  jo  hommes  \  il  efi: 
évident  que  diaque  homme  ne  depenfe 
que  la  trentième  partie  de  ç  o  francs,  & 
par  confequent  45  hommes  ne  depenfe^ 
ront  que  la  trentième  partie  de  n<o 
francs.  Il  faut  donc  div.fer  zzjo  pro- 
■duit  du  fécond  terme  par  le  troifiéme» 
il  faut  dis- je  divifer  z  1 5  o  par  le  pre- 
mier terme  3  o«  donc  Ôcc.  ce  qu'il  falloit 
démontrer. 

Dans  Fapplication  qu'on  peut  faire  de 
cette  Regl«  aux  chofes  fenubles  le  pre- 
mier terme ,  &  le  troifiéme  font  toujours 
de  même  nature  y  de  même  que  le  fé- 
cond &  le  quatrième.  £t  l'on  conclut 
ordinairement  du  plus  au  plus  >  &  du 
moins  au  moins,  comme  il  eft  aifé  do 
le  remarquer  dans  l'exemple  cy  -  deflus* 
Mais  fi  par  la  nature  de  la  queftion  on 
étoit  obligé  de  conclure  du  plus  au  moins. 
Se  du  moins  au  plus ,  fl  faudroit  multi« 

5 lier  le  premier  terme  par  le  fécond ,  & 
ivifer  le  produit  par  le  troifiéme.  Ceft 
ce  qu'on  appelle  la  Règle  jie  trois  #»• 
verfe.  Par  exemple  30  hommes  font  50 
jours  à  faire  un  ouvrage  »  combien  de 
jours  feront  4^  hommes  d  faire  le  mê- 
me ouvra^.  Par  la  nacurc  de  la  queftion 
il  e&  évident  que  plus<  le  crôifiémc  ter« 


io8  NomeMx  EUmns 

tke  cft  grand,  plus  le  quatrième  qaxm 
cherche  lioit  èac  petit  -,  Car  plus^  il  7  a 
d'ouvriers  ,  moins  ils  doivent  être  de 
tems  i  faire  le  même  ouvrage.  Ccft 
pourquoy  Je  muhiplie  le  prcnucr  terme 
«o  pat  le  fécond  50  ,  &  je  divife  le 
produit  1 500  par  4$  ,  le  quorient  3  5  f 
ett  le  nombre  des  jours ,  ou  le  quatriè- 
me terme  cherché.  On  peut  démontrer 
cette  Re^e  ea  mettant  l'unité  pour  troi- 
fiéme  terme.  Si  30  hommes  font  <o 
jours  à  faire  un  ouvrage,  il  eft  évident 
qu'un  homme  feul  y  feroit  30  fois  yo 
jours  ou  1  500  jours ,  dor^c  45  hommes 
n'y  feront  que  la  quarante-cinquième  pat- 
liic  de  1500  jours,. && 

e^tnimt  confequinct. 

•    Si  4.h.e.eU     8.  3  :    16-    6- 
donc  4  -h  h-  i^.  c  -*-  d'  d. 

Car  Ipit  ^  =  f>  douci»  ==ie  &<-<^ 

*==è*  ■+-^>  <lo«c  X  ^eicc:=.de* 

ne  ■*-d^de  -*-  d.  ■ 

Or    b«-*-  h  =(f  •*•  l'      de  -t-  d 

b  d 

-_-^  H-  I. donc**-*-  *.*:</* ■*-<'•  «^-o" 
^^b.h'>6^d.d»^^  qu'il  Éalloit  dé- 
montrer. ■ 


Ce  raifonnerocnt  s'appelle  en  g0mf0* 
fant  en  Latin  compùnendâ* 

On  fe  fcioit  exprimé  plus  cxaûcnàcnr 
fi  l'on  avoit  dit ,  donc  en  Ajoutent  o\x 
addenda* 

On  peut  rendre  eette  confequence 

F  lus  générale  &  plus  utile  en  ajoutant  i: 
antécédent  s  y  tout  muldple  du  confe- 
quent  b  comme  fb»  Se  a  Vantecedent  ^ 
tout  multiple  femblable  du  confequent 
dy  comme  fd^  Car  fuivant  k  même  rai- 
sonnement s  H-  f  b^bi  c-^  fd*  d*  foi^ 

~  =  e  &  -4-  =  *  donc  b  e  -*-  fb  =^- 

e-^f  6c  de  -h  fd  * 

d 

z=ie  -^f.  donc  &c.  Et  ce  raifonnemenr 
s^'àj^elleroit,  fif  multipliant  &  ajout  ant*^ 

Chffm/me  confeqmnee» 

Si  a.  b  :  c  d*  Si  8.3:1  tf.  tf.  &quc 
/r  foit  plus  petit  que  4. 

Donc  a  —  b.b  :  c — d»  d*   donc  j.  3^ 

to^6.    Car  foit  ^z=z  e^  on  trouvera^ 

qjie  4*^^  =:r— I.  &quc    C'^dzizc 

~T^  d~ 

•—  I.  donc  4  — -^.  b  :  c  *^  d.  d*-  Cc^ 

saifbnnement  s'appelle  en  divifant* 
OnCc  ferait  exprimé  plus  cxaâement,^ 


:tio  N^Hwafêx  Etemens 

rpn  avoit  dit  >  donc  en  étant  ou  fuhrd^ 

hendo. 

Oq  peat  rendre  cette  confèquence 
plus  générale  &  plus  utile  >  en  ôtant  du- 
nombre  é  taut  multiple  du  confcquenc 
h  comme  fby  plus  petit  que  ig  ,  &  en 
6tant  de  c  tout  multiple  femblable  de  d^ 
comme  /i.  On  trouve  le  olus  grand 
multiple  en  divifant  4  pat  b.  C^ar  fuivanr 
le  même  raifonncment  s  —  fb*  bi  tf—- 
fd*  d»      %  —  6.  j  :  16  — 11»  6* 

Soit    -y-  rr  r-  donc  d  -^fb  =  e  *— /& 

€  ^^fd  =  r- — f  <6>nc  &c. 

Skci/mt   eonfeqttence. 

Si  a»  b\  ç.d*     8*  3:  :  1 6^  6^ 
ioncM.  4^^ b'^^c^c — ^.  donc  8*  5:10*^ 
Ce  raifbnnement  s'iappelle  convertendo^r 
ic  fe  démonore   precifément  conune  le 
prccedient; 

C  O'  R  O  c  I  A  I  K  E. 

Deux  firaftîons  primitives  ne  font  pasp 
dfe  même  valeur,  c'cft  ce  qui  manquoit: 
i  la  Demonftration^  de  la  Règle  pour  ré^ 
duire  les  fra<%ions  â  moindres  termes.  —.. 
€&  que  &a£tio&  f  rimicive  ^  oa  8  &  ^$ 


^Arithmétique  i^  J[^Atge$re.  itt 
font  premiers  entre  eux.  Je  dis  qu*il  cft 
impoïïiblc  de  trouver  une  autre  fraâiion 
primitive  comme  -^^  qui.  foi t  plus  petite, 
&  là  plus  petite  qu'il  foit  poffible  ;  &  de 
même  valeur  que  ^.  Car  fi  ^zr^  donc 
I  5- 1 3  î  8.7.  & diviiendo  2*  I  3  : 1.7. 
Mlternando  z.  i:  i3.7.donc^  rr^j  or 
la  fradion  i  eft  plus  petite  que  la'^  fra- 


foit  pofiibler  Soit  la  fraftion  primitive 
y  >  je  dis  que  toute  autre  fra&ion  pri- 

initîve  —  cft  ,  ou  plus  grande  ou  plu» 

petite.  Car  fi  elles  ctoicnt  égales ,  d  fe- 
f oit  à  b  comme  c  éa;  mais  d  n'eft  pas 
multiple  de  ^,ni  r  multiple  d^,  autre- 

fiïent  la  -fradion  -^  ne  feroit  pas  pri- 
mitive ;  donc  ôtant  k  autant  de  fois  qu  if 
cft  poffible  du  nombre  d ,  le  reftc  d  -— 
fb  fera  plus  petit  que  ^ ,  &  de  même  ïc^ 
fefte  c  -^fd  fera  plus  petit  que  a»  Soit 
d, —  ft=:i  6c  c  ----  fd  =r^.  donc  par 
h  deuxième  &  quatrième  confequence  la' 

fraâîon -1-  feroit  équivàlentiei  la  fraÛioïV 

fySe  elle  effi  jJas  petite  en  expiefli<»)^ 

S  t| 


211  NoHvtaux  Elemens 

puifquc  t  eft  plus  petit  que  b^  &c  g  pFus 

petit  que  aj  Qr  la  fraftion—  eft  primi- 
tive ou  elle:  lue  Teft  pas.  Si  elle  eft  pri- 
tnitive  on  trouvera  par  la  même  metno* 
de  une  quatrième  tradioa  équivalente 
&  plus-  petite  en.  exprcilîon ,  &  ainfi  de 
fuite  à  L'infini  ^  ce  qui  eft  abfurde..  Si  la 

fraââon—  n^cft  pas  primitive ,  fuit  trou- 
vée pat  ta  méthode  da  Chapitre  I.-  fi 
jprimitive-r-,  qui  fera  encore  plus  petite 

en  exprefliott  qut— >  donc  on  trouverai 

entre  fcs  deux,  (ta&ions  primitives  ^ 

ac-T-  une  autre,  ffaâioa  équivalente  ic 

h 

plus  petite  en*  expreffion  que-r-,  &  aih— 

fi:  de  fiiitc  a  rinfihi ,  ce  qui  eft  'abrurde;. 
Car  on  ne-  peut  pas  trouver  une  infbi* 
té-  de  nombres  entiers  plus  petits  que  le» 
nombres  donnez-  aSibs  donc  deux  fra- 
aionsî.  primitives  ne  peuvent  pas  être- 
&alEs  >.  &  toute  fraâion)  primitive  eft: 
rtduite  è  fesi  moindres  termes.  Ce.  qu  iE 
Êloit  démontrer  S.  donc  fi  de  deux  fia-j- 

âSctn^  %âlcs7~  1.  ^  la  fïaaibn;.^  e⣠


JTArithmttique  dr  d*Aljphre.      xrj: 
Seftiémt  confitptence^ 
S*il  y  a  àtxxxi  rangée»  de  norobieSi- 

4*  b»  Cy         tt^         0  9  ScG.- 

}0.    zo.    2y.    jo.    4Ç. 
/•      £»      *»      h      4&C.- 
12*     o.     lo*    zo-    i8* 

Se  que  4.  i  :  f  g^ 
h*  c  i  g'  h' 
Ci  d  :  h*  ù 

Je  dis  que  tel  nombre  qu'o%  voudrai 
de  la  première  rangée   eft  à  tel  autre? 
nombre  qu'on  voudra  de  la  même  raa« 
ffée  y  comme   le  nombre  correfpondanci 
dans   la  féconde  rangée  eft  au  nombre^ 
Gorre(pondant  de.  k  féconde  rangée* 
a.     €  .1    f.     k: 
a.     d  :    f.     u 
b-»     di  i.    a,      #1 
Car  je  puis  exprimer  univerfellcmenr 
ces  deux  rangées  de  cette  manière. 
4'  é^m*   amny  a^mn-Oy  émnap  y  Sec: 
f.  fm>  fmnyfmneyfmnof^icctr. 
Or  4.  am;tafi  f.,  fmnof.. 
4.  Mm»9  i  /•  fmftà* 
dm^  amnov fm.  fmff^. 
£)ona£ar  rcxprcflion' feule  y.  qui  ot^ 


tr4  Noitve4MX  Efemewf 
tamcmcnt  eft  arbitraire,  je  démontre  d*ufi- 
nc  manière  beaucoup  plus  générale  qu*Eu- 
clidc  ,  les  confequentcs  qu'on  tire  en 
matière  de  proponionspar  égaUti  regléc^ 
ou  ex  aquQ  ordinata^ 

HmtUmi  confe^tnce^ 

S'il  y  a  deux  rangées  de  ncwnbres^ 

&  que   s.  b  :^.  A»     30-  xo  :  1 5- 1  o.- 

r.  d :  i.  j^     Z  J*  JO  *.    9*  I  o^ 
d^ethéi.      50.  45- 10*'   9* 
&c.    &c.         &c.       &c. 
Jt  dis  que  4. c :/. h.     3 o- 1 J :  il*  I^v 
s.eifk^    30.4c  MZ-  18^ 
e^eih'kj    z5-4pio.i8* 
Car  on  peut  exprimer  univerfellemenc: 
ces  deux  rangées  de  cette  manière^ 

Or  il  eft  évident  que 

4.  i^m no p  :  /.  fm  h (fp^ 
amn*  amnop  :  fmn.fmnûf* 
C'eft  ce  qu'on  appcllo  conclure  par  é-- 


étJritBmetifiie  &  JtAlgthre.  ïti> 
Chaque  tecme  impair  d  une  rangée  eft  è 
chaque  terme  impair  de  la  même  rangée, 
comme  les  termes  impairs  cone^ondans^ 
de  l'autre  rangée  font  entre  eux* 

Cette  Demonftration  eft  plus  eénéra* 
le  &  [dus  fimple  que  celle  a  Euclide. 


ir» 


Cbapitrb    III. 

Mttbêde^  nouvelle  pour  riduire  t$ne  fra^- 
6tian  àfes  moindres  tenues  ,  [Ans  ^i- 
n)ifer  le  ntmeratetir  ^  le  dénominm^ 
teùr  pav  le$0r  plus  grande  commune^ 
mefnre*^ 


s 


Oit  la  fraâion  propofe    a  tcdtnr^^ 

m* 

OperAtion^ 


mmmmimmmmmmÊÊÊÊimt^mammmmmmmmmm' 

ii$lSl 

Jedivire.851  par  3^8  >  Te  quotient  eft 
X  >  Q^ç,  j'écris ,  &  il  rcfte  i  x  ^^ 


aft^  Nouveaux  Elemenr 

Je  divife  a  6  8  par  1 1 5  >  le  quotietxtr 
eft  3  ,  que  j'écris ,  &  il  rcfte  13. 
,  Je  divife  1 1  j  par  23  ,  le  quotient  cft 
^  precifétnent ,  âci}.  eft  la  plus  grande 
commune  mefure  ,  vis-à-vis  de  laquelle 
j^écris  toujours  i.  au  rang  des  <^otients; 

Je  dis  enfuite  3  fois  ç  font  1 5  >  &  l 
font  1 6  >  que  j'écris  vis-à-vis  du  quo* 
tient  j. 

Je  dis  encore  %  fois  1 6  font  31  >  &  J. 
font  37. 

La  firaftion  rédiiite  eft  j^. 

Car  divifant  iJP^  luy-mcme  le  quo- 
tient eft  I .  &  divifant  1 1  j  par  2  j  >.  le 
quotient  eft'  5,  donc  divifant  3689  qui 
cft  égal  à  3  fois  1 1  5  >  -+-  23.  en  le  di- 
vifant dis-je  par  23  ,  le  quotient  fera  3^ 
fois  5  H-  I  OU'  1 6.  &  en  divifant  8  5 1. 
=:  2  fois  3  6%y  -♦-  1 1  j  par  23  >  lé*  quo^ 
tient  fera  2  (ois  16^  -h  J'=:  32  -+-  5  = 
J7.  &  ainfi  des  autres. 

Ccrte  Règle  eft  incomparablement  plus 
coune  que  la  Règle  ordinaire ,  lors  que* 
\ts  quotients  font  petits ,  &t  que  la  plus 
grande  commune  mefure  cft  un  grand^ 
nombre  ,  parce  qu'on  s'épargne  deur 
grandes  divifions,  a  la  place  defquelles 
on  ne  fait  que  quelques  petites  multi-^ 
plications^  additions. 

Oh  peutauftiréduirc  £eu  apcttlafra^ 


^E^ion  proporéjî  a  re$  moindres  termes  de 
cette  manière..  .  , 

Si  le  numetateiu;  ic  le  dénoipinateur 
font  des  nombres  pairs  >  pn,  les  divife 
l'un  3c  l'autre  par  z  ;  >&  encdçe  :par  x , 
|u{qùes  à  ce  que  tous  les  d^x  quotients» 
ou  i  un  des  deux  fbit  impair.  Après  quoy 
on  tente  ladivifion  par  .3  y  puis  par  5 ,  par 
7  ,  &c  Et  de  même  continuellement 
|ur  la  (uite  des  nqmbces  premiers^  ju£^ 
ques  à,  ce  que  les  deux  quotients  (oient 
premiers  emre  eux*  Ce  ^que  l*on  con* 
noîtra ,  lors  que  1  im  des  deux  fera  nom- 
bre premier  ,  ou  que  des  nombres  preu* 
micrs  qui  mefurerit  run  des  deux  quo- 
tients 9  aucun  ne  mefune  Tautré»  Cti  der- 
niers quotients  fe.Kom  la  fri|â;ioa  réduitç» 

■  ■  ' 

Exemples* 

.    'Soit  la  fraftion  propofée  |^. 
Je  divife  par  2 ,  c  eft  ^.  ^ 
Je  divife  encore  par  2  y  ceft  -  j. 
Je  divife  par  j  ,  c'eft  j^|. 
Je  divife  encore  par  3  ,  c*eft  -y. 
Je  divife  par  7^  c'cft  1  ,  &  'c*eft  U 
fraâion  réduite; 

Lors  qu'il  y  a  des  zéro  à  la  fin  du  nit- 
jnerateur  &  du  dénominateur,  on  les  ef- 
face de  part  Se  d'autre  co  pareil  nombre. 

T 


^ 


•Ainfî  ^^ictéàmt  <l*abord  i  l*-*.  ' 

Puis  à  4r>  nr>  i  -.• 

On  connoit  par  le  dernier  chifrc  fi 
un  nôtîibre  eft  ^àir  pu  impak. 

Si  ce  (Cterhjer  chifrc  ifft  o  ,  ou  r.  le 
nombre  eft  divîfiblc  pap  5 . 

Si  la  fommc  des  chifr es  qui  forment 
un  nombre  eft  5.  ou  un  multiple  de  3. 
le  nombre  eft  divijSble  par  3  ^ 

jPar  exemple  201;.  eft  diTifiWe  par  3, 
l^areé  que  %  +  6  -i-  I  ±=:  3 .  de  même 
y%l6j^%  eft  divifible  pat  3 ,  parce  que 
7-4-8-1-4  -*-X=:il  njultipie  de  3, 

f^arcc  que  i  -i-  i  r:  3  •  on  omet  les  o, 
es  3, les  é,  &les  9. 

Si  la  (bmme  des  chifres  qui  forment 
un  norhbre^ft  9.  ou  un  tnuitiplc  de  5, 
le  nombre  eft  divifible  par  p. 

Par  exemple  i|J7i  eft  divifible  par 
9,  parce  que  z  -+•  3  h-  5  h-.7  -♦-  i  zz: 
18  &  I  -*-  8  z=9.  on  omet  les  o,  & 
les  9. 

La  raifbn  dés  deux  premières  Règle* 
touchant  les  notobres  pairs  &  les  nom- 
bres divîfibles  par  ç,  eft  évidente  par  îex- 
preffion  des  nom'brcs. 

Les  deux  dernières  font  auflî  fondées 
fur  cette  cxprcffion  de  dix  en  dix,  par- 
ce que 


IQ=    }  fois  5,  H-  I. 
«onc       zo=    ^fokj.H-i. 

30=  10  fois  3. 
«onc      4o=ï3fois3, -I- 1. 

Sor=r6fois3,  h- x. 
&c. 

20  =  18 -I- 1  r=  2  (bis  ^,-».  i, 
30  =  27^  3  ~3  fois j,,^ 

4P  =  3^H-4r=4fcis^,^4. 
&c. 

'00  =  3  5  J>«3. -»■  I  =  1 1  fois o.-j.  r 

*°0  =  ^*  f~«3»  +  4  =  44  fois  5,^4! 

1000=3  33foi«j,+ 1=1 1  ifois5>,^.x. 


Çmapitr»    IV. 
D*  A»  rA/«a»,»  i  même  déntminAtitH. 

S?^*="f./«  îîf «  /"«aions  proposes  i 
f  qu  il  faille  réduire  4  nèmVdénoî 
inination. 

Je  multiplie  îe  ninncratcur  &  !c  dé- 


équi 
Je  multiplie  le  numérateur  &  le  dé 
«ominatcat  de  la  fraûion  |  par  , ,  dél 


lio  Nouveaux  Elemens 

nominateur  de  l'autre  ftaûion  ,  &  j'ay 
unefrafkian  équivalente  |-^  Ainfi  les  deux 
fradkiorts  7  >  7  >  qui  àvoient  differens  dé- 
nominateurs >  (ont  réduites  aux  deux 
ftaâions  7-^  >  ^  *  qui  ont  un  même  dé- 
nominateur 2 1  ;  ce  qui  doit  toujours  ar- 
river puifque  1 1  eft  d'abord  le  produit 
de  3  par  7.  &  enfiiitc  le  produit  de  7 
par  3.  &  1?  =f  &  f{  =1  pai:  le  chap. 
i»  de  ce  Livre, 

La  Règle  eft  donc  de  multiplier  dé- 
nominateur par  dénominateur,  pour  a- 
Voirie  dénonnnateur  commun  ,  &.de 
multiplier  enfuite  le  numérateur  de  l'un 
par  le  dénominateur  de  l'autre  pour  ar 
voit  le  numeratetir  équivalent. 

Soient  les  deux  fraétions-^-  -r  >  on 
les  réduira  aux  deux  ^     ^ 

pd9    de* 

Soient  les  deux  fraârions  , 
14—5^    44'^  7 


1 


On  les .  réduira  aux  deux  fraâioixs. 
iç^s . —  15^^—  léa-^  40. 

^„     ,11,  >     lllll^    III  '  ~1 T      ~  I     IIK 

154^^       304^     244*    48. 

£t     124^-4-  244^-*-  2  14* -H  42. 


154^ -H  304^ 244;^ --^48. 


d* Arkhmeti^Uê  &  JtAlgelyf.  xxi 
Bn  multipliant  d'abord  ^^4  «^  8  pat 
J4X  ^  ^  pout  avoir  le  dénominaceut 
commirn ,  i  j^^  -i-  304*  %M^  --  48  »  & 
xnuldpbant  cnfuite  54*  —  8  par  24* — 5^. 
pour  avoir  le  numérateur  1 04^  r**^  2  f  4^ 
&c.  « 

Si  il  y  a  plus  de  déOx  fradions  i  r^ 
duire  à  même  dénomination  >  il  faut  mut* 
tiplier  continuellement  tous  les  dénomi- 
nateurs l'un  j^ar  Faurre,  pour  ayoii:  ledé- 
nominareur  commirn. 

Et  pour  avoir  \t  ntcmeratieur  équiva** 
lent  ,  il  faut  divifei  ce  dénominateur 
commim  par  le  dénominateur  propre  de 
la  fraâion ,  &  multiplier  le  quotient  par 
le  numérateur  propre  de  la  même  fra» 
âion  ,  le  produit  fera  le  numerateiv  #- 
quivalent.^ 

R 

Il  faut,  réduire  à  même  dénomination 
*es  trois  fraâions  f  |  '  !• 

Je  multiplie  le  dénominateur  3'  ,  pat 
le  dénominateur  4»  &  je  multiplie  en* 
<:ore  le  fk^oduit  1 2  par  le  dénominateur 
y  \  le  produit  84  eft  le  dénominateur 
commun. 

Pour  avoir  la  fraâion  équivalente  à 
la  fraction  |  fur  ce  dénominateur  84  S  je 

T  w) 


<tivife  84  par   le  dénominateur  propre 
qui  eft  3>  ^  je  multiplie  le  quotient  28^» 
par  le  numérateur  propre  qui  eft  i*  Le 
produit  j  ^  eft  le  numérateur  cherchf» 
Tay  donc   |f  =.  f. 
JPour  avoir  la  rradion  i^quivalente  a  lar 
iraûion  |  fur  ce  m2me  dénominateur 
S4  >  je  dlvife  S4  par  le  dénominateur 
propre  4  »  &  je  multiplie  le  quotient  z  i^ 
par  le  numérateur  propre  qui  eft  3.  le 
produit  6^  eft  le  numérateur  cherché. 
J'ay  donc  |{  =;  -J. 
Je  divife  84  par  7*  le  quotient  eft  i  z 
que  je  multiplie  par  ^ ,  le  produit  eft  6o* 
Se  j'ay  1^  =  |>   &   les  trois  firaâions 
ibnt  réduites  d  même  dénomination  >  ce 
qu'il  faloit  faire. 

J  aurois  pu  trouver  les  numérateurs 
«iàns  diviiSon  >  8ç  par  deux  multiplica* 
tions  ;  pour  avoir  le  numérateur  f  tf  •  je 
ii'ay  qu'à  multiplier  continuellement  le 
numérateur  propre  z  par  les  autres  dé- 
nominateurs 49  7>  en  difànt  z  fois  4  font 
8>2C7foi$  8  ront  ^6* 

Ou  bien  en  multipliant  d'abord  le  dé* 
nominateur  commun  84  >  par  le  mune^ 
rateur  propre  z  >  &  divifant  le  produit 
1^8  par  le  dénominateur  propre  qui  eft 
3  •  le  quotient  <  6  eft  le  numérateur  cliec- 
ché.  ^ 


Soient  les  trois  fraftions-r-     -r,  -r  • 

X)iî  les  réduira  aux  trois  ^     rir    Ta?,  ^ 

li  cpl  eft  de  même  <ie^  .f]:aâions  coçupltxes* 

Puis  qu'on  multiplie  égalemetit  le  nii- 

netateur  4  »  fc  U  dérâtninateur  b  s*  par 

Je  produit  des  amie^  dénonttnatcurs  ^^ 

il ^eflr  évident  qûei|^  ;=î:'^^  .  &.  pnif- 

ique  Tcm  multiplie  de  même .  toutes  les 
autres  frayions ,  il  cft  évident  qu  on  les 
iréduit  à  des  frayions  équivalentes  & 
de  même  dénomination  »  ce  <piHl  faloit 
^émonçrcr.  .      ,     . 


Chapitke    V* 

-M€thad^  four  réduire,  flmfiemrs  frdElians 

kff^indns  termes  de  mime  dé* 

tfomifuiîke»* . 

IA  Méthode  cy-deffus  cft  Ta  plus  aî- 
aÇtt  k  tetcnir  &  à  pratiquer ,  mais  et 
Je  ric.dcttmft  îpas  "toujours  les  fi:a6kion$  ré- 
duiteslts  pjôs  (Impies  qu'il  foit  poflible. 
Par  exemple  &  on  avoir  à  réduire  à  mê- 
me dénonânation  ces  dieux  fraétions  |> 
^^  ♦  oa  trcAweioir  pour  fraûions  rédui- 

T  iiij 


114  îtùHveâu»  EUmeHâ 

tes  7g  >  H  >  qui  peuvent  eue  réduites  l 

j7  ^  ri* 

Et  fi  on  avoit  à  réduire.,ee$  deux  fr^ 
âions  '7?  5  7^  >  on  trouveroit  pour  fta^ 
ôions  réduites  ^ y^»  ^' ^^y^o^  ^ 
tre  réduites  à  |-^7  f^-° 

Lor(ique  tous  les  dénominateurs  fi>ot 
premiers  entre  eux ,  les  /ra&ions  tcdui«' 
tes  par  la  méthode  cy  -  dtttns  font  les 
plus  fimpfcs  qù^il  eft  ppflibl'c. 

Lor(qûc  ces  dénominateurs  ne  font  pas 
premier^  entre  eux  »  les  fraftions  rédui- 
tes à  même  dénomination  parla  métho- 
de cy '^  dcfliis', 'pôurtoht  encore  être  ré- 
duites d  moindres  termes  par  ta  Réglé 
XuivantCa 

Cherchez  la  plus  grande  commune 
mefure  du  nùnieratêur  âc  du*dénohiina^ 
teur  de  la  pemiere  fîaârrcMi  par  la^  Rè- 
gle que  j'ay  donnée  au  .Chapitre  premier 
de  ce  Livre. 

Cherchez  une  féconde  plus  grande 
commune  meûire  entre  cette  première  &c 
le  numérateur  '  ^e  la  féconde  £raâion> 
puis  entre  cette- féconde  commune  me* 
fure  &  le  troifiéme  numérateur  ,  ic  enr 
tre  cette  troifiéme  plus  grande  commu* 
ne  mefure  &  le  quatrième  numérateur  » 


JtAthhmeti^Ui  &  i'Jlgehre.  21$ 
te  ainfi  de  fuite  jufques  au  dernier  nu* 
merateur. 

Divifez  par  \^  dernière  plus  grande 
commune  mefure  tous  les  numérateurs^ 
&  le  dénominateur  commun  >  les  quo- 
tients donneront  toutes  les  fraéEions  ré- 
duites à  leur  moindres  termes  pofltblcs 
de  même  dénomioatbn. 

Il  faut  réduire  l  moindres  termes  dc 
même  dénomination  ces  uois  fîraâions 
^^  r:,  ^  -h  y  \^  'es  réduis  par  la  Reele  du 

chapr4/^a  ces  trois  ff«,%,ff:= 
La  plus  .grande  commune  mefure  entré 

^48.  &  8(^4  eftzitf. 

La  plus  grande  commune  ihefure  entre 
2ïtf.  &  ço4>eft  7z. 

La  pFtts  grande  comirnme  médire  entre 
7Z&240>  cft  24. 

je  diyifetf48  j  504,  140,  8^4, pat 
24.  &  j'éais  pour,  fradions  réduites  j^i 
Il ,  ||.  B  eft  avantageux  de  réduire  cha- 
que n:a<%ion  en  partictdier  i  fes  moin- 
dres eertnes  ,  avant  que  de  les  réduire 
toutes  d  même  dénomination  >  afia  d'a^ 
voit  de  plus  petits  nombres. 

Si  une  feufe  des  plus  grandes  conyout'^ 
ne»  mcfuces  que  Vpn  cherche  k  trouvg 


être  rutiité ,  les  fraâion^  f>ioporées  Cotît 
séduites  à  leurs  moindres  termes  ,&  il  c£l 
inutile  de  continuer  Toperation, 

Dimonfiration. 

Pour  réduire  une  fraâion  a  Tes  nsoin- 
dres  termes  ,  il  faut  divifer  ie  numera« 
teur  &  le  dénominateur  par  le  même 
nombre  »  6c  par  le  plus  grand  nombre 
quil  foit  poffible,,  ceft  à  dire  par  leur 
plus  granae  comniane  mcfurc. 
.  U  faut  donc  qije  jç  prouve  ,que  24.- 
imefuce  f es  trois  numérateurs  &  le  déno- 
minateur commun  s  &  qu!il  t^  le  plur 
^rand  de  tous  les  nombres  qui  ^uv$nt 
KS  mefïircn 

X^  PutTque  iJ^vs^tÇvM  xj^^^  icy^x^  \ï 
méditera  auffi  le  multiple  de  7i>  q»i  eft 
504^  mais  ^^mefureaùifi  xiSy  donc 
2,4  mefurera  auffilcs;  muftipli^sde  tr^ 
^  font  64S  &8é4t  doQc  2;4  meCurè 

.ii4Q.  Ç04,  i$4^  ^8^4. 

%9.  Soit  s'il  eft  ppffiblc  un  nombre  éty 
plus  grand  qi^e  2*4  >  <Jur  cçi^fure  auffi  1^ 
mêmes  i;ombr/:&  ft4pf  Ç€)4>  6^%t^64^ 
puiiqpe>r.iTîeiîjrc;8è4  fil:  ^48  i  U  vs^(n^ 
rera  auffî  leur  différence- &lieac  |4iis  grisia- 
<Ae  commune  mefuie  2  j:^.  ic  puis  qu'il 


£ Àrithmeti^i  c^  d^Algt^e.  iij 
leur  différence  288 ,  &  puis  qu'il  mcfurc 
a.i6yôcii2y  il  meiûrera  auffî  leur  dif- 
férence jx*  c'eft  à  dire  que  a  meflurera 
la  plus  grande  commune  mefure  de  64$ 
&  de  504.  Je  prouvcray  de  même  qu'il 
mefiirera  ^40  &7^>&leur  plus  grande 
commune  mefuie  14.  donc  «  plus  grand 
que  24.  mefureroit  24*  ce  qui  eft  ab* 
furde. 

Donc  les  fraâions  proposes  ont  été 
réduites  si  leurs  moinaf es  termes  de  mè- 
^e  dénomination  ,  ce  qu'il  faloit  dé* 
montrer* 


ipM«i 


Chafithb    VI. 

AmM  Méthode  fofêr  rédmre  flmfieêêff 
frdSiens  i  lenrs  mêindres  termes 
de  même  '' 

I 

il.       ^L      *JL? 

I  ®.  Je  tes  reams  premièrement  chacu- 
ne en  particulier  â  leurs  moindres  terr 
mes  -|.,.  ^,   -{. 

z^.  it  cÊierckc  cnfuite  h  plus  grande 
commune  mefurc  entre  les  deux  pr^ 
miers dénominateurs  1 5  8cio »  F ^kmWÇ 
que  c'cft  j.. 


L  faut  réduire  à  moincbes  termes  dé 
même  dénomination  ces  trois  fiaâioQ9^» 


ni  Nouveaux  ElemeHf 

3*.  Je  divifé  les  dénominateurs  i^  St 
iO>  par  cette  commune  me(ure  5.  &  j'é- 
cris les  quotients  3  &  4  (ous  les  déno-» 
minateurs. 

4^.  Je  multiplie  le  fécond  dénomina- 
teur 20 >  par  le  premier  quotient  a.  oa 
le  premier  dénominateur  i  $  »  par  le  fe^ 
tond  quotient  4.  Se  j'écris  le  produit  ^o» 
fous  ce  même  dénominateur  20* 

ç®.  Je  chcrclie  la  plus  grande  com- 
mune mefure  entre  ce  produit  60  >  &  le 
dénominateur  18.  je  trouve  que  c'eft  $* 
6^.  Je  divife  le  dénominateur  1 8  >  % 
le  produit  60  par  6^  Se  j'écris  les  quo- 
tients 3  &  I  o  9  fi)us  le  produit  6o«  Se 
fous  le  dénominateur  j  &^ 

^.  Je  multiplie  60  par  le  quotient  3  - 
ie  produit  1 80  eft  le  dénominateur  com^ 
muû que  Ion  cherche* 

8^.  Podr  avoir  les  numérateurs  équi- 
Talents ,  je  multiplie  chaque  numérateur 
propre  continuellement  par  les  quotients 
du  produit  précèdent  &  des  dénomina- 
teurs fuivants  9  divifez  par  les  plus  gran* 
des  communes  mefures*.  Âinfi  je  multi-^ 
plie  continuellement,  ter  numérateur  pro<- 
pre  8*  par  les  quotients  4  &  3  »  ce  qui 
produit  pour  numérateur  équivalant  969 
Sec.  Se  les  trois  fraiîlions  réduites  font; 

•  96       J?9  So 

ïg?     HOr^      XJo* 


Jt Arithmétique  (^  d^jiigehre*     %t9 
OptratioMs 

S.S  lo  18*       ^ 

5  commisne  melare. 
3  •  •  •  4  quotients. 
60  produit.   1 8  dénominateur. 

6  commune  mcfure. 
10  «  •  •  z  quotients. 
180  produit  Se  dénominat*  cherché. 

Autre  Exempte. 
Il  faut  réduire  à  moindres  termes  de 
même  dénomination  ces  cinq  fraftions. 
^       îl      11     11      U 

Opération. 

I  y  ,    zo  ,   42  »   24  ^  tf  3  dénominau 
ç  mefure. 

J;         4   quotients, 
uit  60       j^i  dénominateur. 

6  mefure. 
I  o        7    quotients- 
produit  420-     24  dénominateur. 
12  mefure. 
3  ç.        2    quotients, 
produit  ,840*       ^3  dénominateur. 
21  mefure  i 
40.        3   quotients. 

2520  dénominateur  cherché* 


1 


I30  NoHVeâux  Elemeffs 

Ce  dcnoininateur  étant  trauvé  y  on 
trouyera  aifément  tous  les  numerateiu^ 
Par  exemple  pour  U  fr adion  ^ ,  je  di- 
vife  2520  par  IJ-  &  je  multiplie  le 
<]uotient  i6i  par  8»  le  produit  1344 
cft  le  numérateur  cherche,  &  -J  —  '^** 


•xS.lo 


OU  je  multiplie  i^io  par  8.  &  je  di- 
vife  le  produit  20 1  éo  par  i  y  ,  le  quo- 
tient 1 3  44  eft  le  numérateur  chercha 
ôc  ainfî  des  autres. 

Ou  plus  fimplement  &  plus  élegam-* 
ment  (ans  faire  aucune  divifion ,  je  mul- 
tiplie continuellement  8  par  les  quotients» 
qui  repondent  aux  autres  (raâions ,  c'efi: 
à  dire  par  4,  par  7,  par  z  j  par  3  ,  & 
le  produit  eft  i  344. 

Pour  avoir  le  fécond  numérateur  y  je 
multiplie  continuellement  1 1  par  les  quo- 
tients 3,7»  2  j  3.  le  produit  138^ 
cft  le  numérateur  cherché  &  ^^  rr  ^. 
Pour  j-^  y  je  multiplie  j  par  le  quotient 
10.  du,  produit  précèdent  ,  &  par  les 
quotiens  2  >  3  »  des  dénominateurs  fui* 
vans;  le  produit  eft  300  &  ~  rr  '■^. 

Pour  ^,  je  multiplie  continuellemcnjc 
I  3  par  le  quotient  j  ç  du  produit  pré- 
cèdent ,  &  par  3  quotient  du  dénomina- 
teur fuivant  le  produit  eft  iz6k  ôc  ^ 
—  lin.  -^    •>        »4 

Enfin  pour  ^^ ,  je  multiplie  8  par  40» 


d*  Arithmétique  &  d'Algthre.      ijt 

quotient  du  produit  précèdent»  le  produit 

^ft  3  zo  &  ^j  =^P  >  &  les  cinq  fraftions 

propofécs  font  réduites  i  moindres  ter- 

txkts  de  même  dénomination. 

DemonfirdttM. 

Il  faut  démontrer  que  z^ xo  dénoiDi* 
iiateur  commun  eft  mefiHré  par  \ts  cinq 
tlénominateurs  donnez.  Car  autrement 
z  ^  zo  ne  pourroit  pas  être  un  dénomir 
natcur  équivalent. 

z°.  Que  Z5Z0  cil  le  plus  petit  npm^ 
htc  mefuré  par  ces  cinq  dénominateurs* 
<!Iar  autrement  les  fradions  propofée^ne 
ièroient  pas  réduites  à  moindres  termes 
de  même  dénomination. 

3  °.  Que  les  numérateurs  i  x  44. 138^^ 
&c.  (ont  autant  multiples  des  numéro- 
teufs  propres  8  »  1 1>  &c.  que  z^zo  e{!: 
multiple  des  dénominareurs  propres ,  i  j^ 
ZO)  &c*  C^t  autrement  les  fraâions  ne 
fcroicfit  pas  équivalentes. 

!*•  zçzo  ^=:  40  fois  63.  donc  il 
cft  mcfure  par  63. 

zçzo=  5  fois,  3  jfois  Z4.  donc  il 
éft  mefiiré  par  Z4- 

zyzo==  3  fois  z  fois,  iafQiS4z, 
donc  il  eft  mefuré  par  41. 

Z5Z0  ==  3  fois  z>  fois  7  foif,  3  fois 
ZO,  donc  il cû  mefuré  par  zo« 


tji  Nmvedux  EUmens 

i  5  20  =  3  fois  >  2,  fois  7  fois ,  4  fois 
i  5 .  donc  il  cft  mcfuré  par  1 5 . 

2.^.  60.  cft  le  plus  petit  nombre  me- 
furc  par  i  ç  ,  &  par  to-  Car  foit  s'il  cft 
poffible  un  autre  nombre  a  plus  petit  que 
So ,  &  mcfurc  par  i  5  ,  &  par  xo. 

Que  I  j  mcwre  4  par  c ,  donc  ^  Icra 
plus  petit  que  4. 

Que  zo  mcfure  4  par  ^,  donc  ^lera 
plus  petit  que  J .  ■ 

Mais  puifque  zorf*==;  i  jç  =  ^.  donc 
1.0        iT  - 
^  '        ^  • 

Et    iO«  i  j  ••  ^-  ^• 

Or  zo.  15  ;  4.  5» 
Dont  c.  ^  :  4.  3*    donc  -j-  =    -^^ 

mais  4  &  3  fcnt  premiers  entre  eux,  puH> 
ique  par  conftrudtion  ce  font  les  quo- 
tiejitsde  zo  &  15  >  divifcz  par  leur  plus 
grande  commune  mefurev  donc  ddÇom 
plus  grands  que  4  &  3  •  mais  ils  étoicnt 
plus  petits,  pui-Éque^  cft  plus  petit  que 
£0  >  donc  ils  font  plus  grands  &  plus 
petits  ,  ce  qui  -cft  abfurde. 

On  prouvera  de  même  que  4^0  eft  le 
plus  petit  nombre  mefuré  20,  i  ç,&  411 
que  840  eft  le  plus  petit  nonibre  mefu- 
ré par  I  <,  20  >  42>  24. 

£t  enfin  que  252.0  cft  le  plus  petit 

nombre 


\ 


<^, 


JtArithmttiqU^  &  i^Algehri.  m 
ï)re  mefuré  par  15  ,  20»  41,  24»  63. 
3**.  Pat  conftruftion  320  =  8  fois- 
40  >  de  xiSèmt  que  2520  s  £3  fois 
40.  donc  ^^-^  3=  ||.  Par  conftru£kion 
1365  =  13  fois  J  fois  «5,  de  même 
que  2510  =  24  fois  3  fois  35 ,  donc 
ijf^  î=r  ^.  Et  ainfi  des  autrcç. 


C  H  A  p  1  T  R  1    VIft 

Des  antres  effeces  de  rédu^iom 

I®.  ^T^  Out  nombre  entier  fera  réduit 
X   en  forme  de  fraâion,  en  écri- 
vant au  deflbus  l'unité  >  comme  dénomi<- 


nateur.f^i.   —     —     -.^ ce  qdt 

ne  change  rien. 

2°.  Tout  nombre  entier  fera  facilement 
réduit  en  forme  dfc  fradion  avec  un  déno*. 
minatcur  donné ,  il  faut  pour  cela  multi- 
plier le  nombre  par  le  dénominateur,  Se 
écrire  Te  produit  pou^  numcrareun  Par 
exemple  on^  veut  réduire  3  ,  en  forme  de 
fraâiiom,  dont  le  dénominateur  foit  5^. 
j;écri$  Y  =  3. 

3^.  Tout  nombre  mixte  fera^  réduit 
en  forme  de  fraâion  ftnple* 

V 


2J4  NoniyeAirx  Etemens 

.  il  faut  multiplier  le  nombre  entici^ 
par  te  dénominaceur  y  de  zxa  produit  a- 
jouter  le  mimcrateur ,  h  fommc  fera  le 
numérateur  cherché.  Il  faut  réduire  ^ 

1  en  forme  de  fraâion  iimple  ^  je  dis 

2  fois  7  font  2;i»&zi  -H  5=  ^^•^ 
j'NJcris  *^  ==^  3  f 

4^.  On  réduira  une  ftaâion  propofée- 
à  un  numérateur  ou  i  un  dénominateui^ 
donné  par  une  Règle  de  trois  en  fai(ànt» 
comme  le  numérateur  ^eft  au  dénomina- 
teur >  ainii  le  numérateur  propofé  au  dé' 
nominateut  cherché  &  correfpondant,  ou^ 
comme  le  dénominateur  eft  au  numera*^ 
teur ,  ainfi  le  dénominateur  propofé  am 
numérateur  cherdié* 

Ex^mfle, 

n  faut  réduire  la  fraftibn  |j  a  une 
fraâion  dont  le  numérateur  foit  S.  Jb* 
dis  24*  45  :  8*  I  y  en  multipliant  4^ 
par  8  9  &  divifant  le  produit,  par  Z4*  Se: 
jf écris  j|  =»  ^  par  Ife  cHap.  i;. 

Second  Exemfiè. 

n  faut  réduire  la  fraétion  ^  à  une* 
fîaâdon  >>  dont  k  numérateur  (bit  i  o*- 
le  dis  24.  4j  :;  to-   18^7  x  &  X*é^Sî 


4' 


•— •  ,*^  4J.' 


1 


i 


^ 


Traiji^me  Exemple* 

Il  faut  réduire  la  fradlion  ^  à  une  fiar- 
âion ,  dont  le  dénominateur  foit  i  j  •  je 
dis  45.  Z4  :  1 5  :  8.  j  écris  ~  ==^,^- 

^Atriime  Eximflc. 

11  faut  réduire  la  fraékion  ^  à  une 
fraftion  5  dont  le  dénominateur  (bit  lo.- 

jpc  dis  45.  24:  IQ-  jf.  j'écris  JT 

10. 

Cinqmétm  Exempte. 

Il  faut  réduire  la  même  fraûion  ^  ^ 
lâEtie  fcadion  >  dont  le  dénominateur  ioit: 

ïoo.  je  trouve  <3f 

100. 
Cette  efpece  de  réduârion  eft  inutile, 
lorfque  le  quaméme  terme  cherché  n*eft 

f>as  un  nombre  entier,  parce  que  poar 
ors  la  fradion  eft  eipjprimée  d'une  ma-- 
niere  trop  compofée ,  ayant  pour  nume* 
meur  ou  pour  dénominateur  une  fr^ 
âion,  QU  un  nçmibre  mixte. 

Dans  le  quatrième  &  le  cinquième 
exemple  on  voit  comment  on  peut  ré« 
4bire  toute  fraâion  donnée  en  fradions- 
décimales  »  c'eû;  à^  dire  qui:  ayent  pour 
dénomixiatçu]^  %.  mi  (o  >  ou  i.oo  >  ou^ 

¥  I), 


i^i  Nouveaux  Elemens 

iooOj  &c.  on  n'exprime  point  ces  dé^- 
nominateurs ,  6c  on  néglige  les  fra£bions 
du  numérateur.  Mais  lors  qu'elles  ont 

Sour  dénominateur  lo»  on  les  appelle 
es  frimes*  Ainfi  au  lieii  d'écrire  ^^ ,  oii 
écrit  y',  ce  qui  fignific  y  pnmes  ou  7 
dixièmes. 

Lors  que  le  dénominateur  eft  loo^on 
les  appelle  à^%  fécondes*  Ainfi  au  lieu 
d^ccriré  :^^  ,  on  écrit  7^^  &  au  lieu  d'é- 
crire '—  ,  on  écrit  8  6''  >  ce  qui  fignific 
%6  centièmes 9  ou  %6*  fécondes,  ou  8 
primes  ,  plus  6  fécondes ,  &c^ 

On  ne  peut  réduire  exactement  en  fra- 
ôions  décimales  que  les  fraftions  dont 
le  dénominateur  eft  compofé  de  z  ,  -ou 
de  j  feulement  &  de  leurs  puifTances  » 

comme  ^,1,  f>  I»  ^^',^0'  Tt'  &^- 
Car  loit  2=  4  fc  y  =^ ,  donc  toute 
fraâion  reduâibJe  s'exprimera  par  cette 

-      .       c 

fraftion-^  ou  4? ,  &  <  marquent  un  er- 

pofant  queldonque  des  puiflances  d'4  & 
de  b^  ou  bien  zéro  poiu:  l'un  des  deux. 
Or  puifque  10  =  4'i*>  4*^^  =  lOQf 
#|3  ^3=  iooo>&c.  Il  cfl:  évident  qur'ork 
peut  choifir  dans  cette  progrcffion  lo. 
îoo.  1000.  &c.  iit>  nombre  multiple 
dkif <^  h^  )  c'efl  à  dire  un  nombre  ou  l'cx- 
poiànt  d'4  ^  ibit  égal  ou  plus  grand  que 


Jt Arithmétique  &  JtAUtlre.  tyf 
dy  Se  l'expofant  de  b  Coit  pfus  grand  ou 
égal  à  l'expo  fam  dV  \  (bit  ce  nombre 
^d  4- 1  ^6  ^  il  faudra  fui vanc  la  Règle  trou- 
ver aux  trois  nombres  donnez  a'^b^,  r» 
^dH-i^c  j  un  quatrième  terme  propor- 
tionnel, qui  fera  cm  nitmerareur  cher- 
ché. Par  exemple,  je  yeux  réduire  cette 
fîraâion  ^  en  fraâion  décimale.  Parce 
que  I  é  =  4^.  Je  prens  pour  dénomina- 
tcur  la  quatrième  puiifance  de  i  o*  qui: 
eft  loooo*  &  je  dis  itf.  j  :   loooo- 

i87<.  La  fraction  décimale  eft— ^— 

/ J  lOOOO 

s=r  ^^,  Se  on  écrit  fimplement  187$'^^ 
Il  n'y  a  donc  qu'à  ajouter  au  numéra- 
teur 3  un  nombre  fuffifant  de  zéro  ,  Se 
continuer  la  diviiïon  par  le  dénomina* 
teur  3000Q  I  187J. 

i  ^  - . . 
le  quotient  1 87  5  eft  le  numerat.  cherché; 
x^.  Si  le  dlnominateur  donné  eft  con>- 
pofé  de  quciqu'autre  nombre  premier 
que  2 ,  ou  ç  ,  on  rie  trouvera  jamais  un 
quotient  fans  rcfte ,  par  exemple  fi  on  a 
y ,  jl  &c.  Je  fuppofc  la  fra^ion  rédui- 
te a  fes  moindres  termes.  Car  quelque 
nombre  de  zéro  qu  on  ajoute  ,  3  oooo» 
&c.  fera  toujours  nombre  premier  à  7, 
&  20000  &c.  fera  toujours  nombre  pre- 
ixiier  à  3  >  compofânt  de   j  {•  donc  oa 


tit  pourra  jamais  divifer  «xaâieittenr 
joooo  &€•  p»r  y.  ni  iroobo  &c.  par 
t^.  Car  tout  nombre  qui  peut  être  me- 
frré  par  15  ,  peur  à  plu$  forte  raifoa 
être  mefuré  par  j.  5c  ce  qui  nç  peut  pas- 
Strc  mefuré  par  j ,  ne  peut  pas  Têtrô 
par  ij. 

Pour  le  démontrer  il  faut  que  je  prou*- 
▼c  que  fi  de$$pe  nombres  font  f  remien  k 
un  troifiéme  lenr  proJmt  firn^  suffi  pre^ 
,  mier  à  çè  trpifii^eé 

Si  3  ic  10  (ont  premiers  à  7. 30  fera 

remier  37,  &ff  30  &  10 font  premiers 
7«  3 00  fera  premier  a  7,  &  (1  500  & 
10  font  premier^  a  7.  3000  fera  pre- 
mier à  7.  &  ainfi  de  fuite  donc  30»  3  005' 
5000  >  Sec.  ne  pourront  pas  être  mefu<- 
i?ez  par  7. 

Si  3  o  n'étoit  pas  nombre  premier  à^ 
7«  foit  leur  commune  ipefure  a^ôc  que: 

If  mefuré  20  par  ii  donc  —  =3^  >  dona 

j:o  =  4  ^  &  4.  3  :  I  o»  fc  Mais  parce* 

3ue  3  eft  premier  à  7 ,  lequel  4  mefuré,. 
onc  3  eft  premier  à  4  5  car  fi  4  mefu- 
roit  3.  &  7,  ou  fi  4  &  3  avoient  une 
commune  mcfurc  f ,  cet  e  mefureroit  3 . 
&  7.  &par  confequent  3  &  7.  ne  feroient 
pas  premicK  entre  eux  contre  rhypothe- 
fc,  donc  puifqpe  4.  $  :-  i-o*  h  &  qj^c- 


^r  Si:  3  (ont  premiers  entre  eux<  la  fra«^ 
ôion  —  cft  une  ftaftion  primitive  &r 

&m  équivalente  — en  effi  équimultiple^ 

Ccft  à  dire  que  a  mcfure  i  a.  mais  il 
mefuroit  auifi  y  y.  donc  ^  mefute  7  &  i  o»' 
donc  7  &  I O'  ne  font  pas^  premiers  en-» 
tre  eux  contre  Thypothefe.  On  prouvet- 
ra  de  même  que  puifque  30  &  10  fbnr 
premiers  a  7.  leur  produit  300  eft  auf&i 
premier  a  y,.  Se  ainfi  de  fuite  ,  ce  qu  iC 
faloit  démontrer* 

En  continuant  indéfiniment  cette  di^ 
vifion ,  on  trouve  une  fuite  de  révolu- 
tions* (cmbrablcs  des  mSmes  chifres  dans- 
le  quotient.     Par  exemple  en  divifant: 

^^^  Sec.     On  trouve  pour  quotient.- 

4x8^71-428571.  418571 ,  &:c.  Ce 
<jui  doit  arriver  necefîàirement  >  lors  qqc- 
le  refte  de  la  di  vifion  fe  trouve  égal  au? 
premier  numérateur  ou  i  un  refté  pre-r 
cedènr.  Car  pour  lors  le  dividende  &  le* 
dîviièur  étant  Tes  mêmes  >  il  faut  que  la»- 
fliite  des  quotients  (biènt  lès  mêmes  >  &' 
ri  eflr  impofiîble  que  le  dénominateur  é-.- 
tant  un  nombre  fini»  on  ne  trouve  des» 
seffies  égaux.' 

Cette  reduâioA  àkt  fcaâîons:  ordi^ 


*4p  ^  ÏTâu^edux  EUmtHS 
»aircs  'en  fractions  décimales  peut  ctfr 
d'un  grand  ufagcdans  le  toifc,& géné- 
ralement dans  tous  les  nombres  comple- 
xes arithmétiques ,  où  il  s'agit  de  fuppu- 
ter  ou  de  mefurer  des  chofes  fenfibles^ 
On  fuppofe  par  exemple  la  toife  diviféc 
en  loooo  parties  égales,  au  lieu  delà 
divifer  en  6  pieds ,  &  le  pied  en  douze 
pouces ,  &c.  &  parce  que  le  pied  eft  la 
~  de  la  toife ,  il  s'enfuit  qu'un  pied  vaut 

j66  6'^'^  4 ,  ou '^  ^  mais  on  neeli- 

5'  I0900  t> 

gc  la  fraélion  j.  Comme  ne  pouvant  pas 
caufer  un  erreur  fenfible  dans  le  calcul, 
&  on  fuppofe  I  pi.:=  i66y^^^.  i  pi.== 
3  3  3  î  •  3  pi«  =  ÇOOO  &c.  un  pouce  vaut 
1 3  o^^^jy  &  on  fuppofe  i  po,  s=  1 3  ^ ^ 
a  po.  i=:  zy^^^\  &c.  I  ligne  vaut  1 1'^'^ 
IJ ,  &  on  fuppofe  I  lig.  =  i  iW'l  2  lie* 

Suppofé  donc  qu'il  faille  multiplier  jo 
toifes ,  4  pieds  :  8  poucei ,  7  lignes  >  pai 
40  toifes,  5  pieds, 7 pou.  ^lig. 

Tajoûte     yo.  0000"*.    40.    oeoo""' 

4 pieds.  6667       jpi.    8333 

8  pouces.-  irii       7po.    ^72, 

7  lignes.  8 1        ^  Kg;      69 

femme     jo.  7^S$'f.    40-     917^'" 

G'cft 


\ 


tfjdrifhmetiijue  &  d'jilgebre.     141 

SfS  comme  fi  j'avois  ■  â  muItipUct 

îoflps  ou  ifzm.  par  ^01^/3^ 

=  4»  &c.  c  cft  comme  fi  j  avods  â  xnûîl 
tiplicr  507859-4  par   409374*4.    Le 
Wmt  eft  1079.  o427oz66*«î   c'eft 
a  due  2079.  04270 z 6 6»"'  ou  2079 
toifes  r^, ,  négligeant  les   quatre  dcr- 
niets  chifres  ;  &  reduifant  cette  fradio» 
ï^lfs-»  O"  pai    le  moyca   d'une  Table 
(  ce  qui  eft  le  plus  commode  )  ou  ^ 
la  Règle  gencrde  des  réduékions,  en  niul_ 
«pliant  le  numérateur  4  27  par  3  d,  fiom- 
torc  des   pieds  quarrcz  que  vaut  une 
toile  qaarrce,  &  retranchant  «lu  «roduit 
1 5 372, les  quatre  derniers  chifres,&c 
On  trouve  que  cette  fraftjon  vaut  i  bicd 

T"u''7^T'^î  î'  "g-   Reproduit 
cherche  eft  donc  de  2079  t.  i  pi.  -- 

pou.  y  I  lig.  mais  il  eft  cffcdivement 
fmvant  la  méthode  exaâe  du  Chapit  '1 
du  Livre  2.  de  2079.  i  pied.  99  po.  Ç4Î 
Donc  1  erreur  eft  infcnfible  pw  ceTte 
dernière  méthode,  te  elle  çft  bcaucouo 
plus  courte.  " 

,  L'erreur  eft  toujours  moindre  que 
i^^  de  toile,  dans  chacun  des  deux  ter- 
mes à  multiplier,  en  forte  que  l'erreur  ne 
peut  être  d'une  toife  quarrée  dans  le 
jproduit.à  moiasquc  la  fomme  des  toi- 

X 


DO 


241  N$nvېux  Elemtnt 

Tes  à  niulciplier  ne  foie  plus  grande  que 
tfooo  toifcs,  ce  qui  n'arrive  prefqueja- 
tnais  dans  la  pratique.  L'erreur  fera  moin- 
dre que  I  pied ,  Ç\  cette  fomme  eft  moin^ 
dre  que  180  toifes,  &c.  On  peut  abbre- 

er  la  méthode  en  ne  multipliant  d'a- 
rd  que  les  toifes  par  les  toiles  >  ^o  par 
40*  dont  le  produit  eft  zooo  t.  &  en- 
fuite  9374'''^  pat  JO.   &  7859'^'^  par 
40»  la  fomme  des  produits  eft  78  3  o  60"'' 
PU  78  toif.  1060*"* -  Enfin  |e  multiplie 
9374"''  par  78  5  y' 5  mais  parce  que 
le  produit  doit  être  des  huitièmes  ,  & 
<j9  on  négligé  ce  qui  pafle  les  quatrièmes, 
au  lieu  de  multiplier  9374  par  78^9 
i  la  manière  ordinaire  »  .j  écris  les  chifre^ 
4e  mon  multiplicateur  i  rebours ,  &  je 
mecs  le  premier  chifre  du  multiplicateur 
78599  c'cft  à  dire  je  mets  7. devant  le 
ijuatriéme  chifre  du  nombre  a  multipUers 
j^'çft  à  dire  devant  4  >  &  kl  autres  chi- 
fre s  je  les  icris  à  rebours  de  droite  â 
gauche. 


V. 


750 -+-  46070 

47  -^  749^ 2r 

8—  6^61% 


yié'f^    prodait  73 6702 66^^. 

Je  multiplie  cnfuitc  9  37  ~  par  7.  ce 
qutproduittfjtfa  â  peu  prés;  &93  73 
pat  8  prodttit  7Ç0  à  peu  prés >  &  9  tJj 
par  j  produit  47  a  pea  prés  \  enfin  -fj 
par  9  produit  8  i  peu  prés.  La  (bmmo 
donne  73  ^T^'^'»  q»ii  jointes  à  3060'''^ 
donne  10417'^''  ou  i  toifc,  &  A^J^'^ 
comme  cy-dcflus.  Cette  manière  abbre- 
gée  de  multiplier  eft  d'un  très  grand  ufa- 
ge  dans  la  Règle  de  trois  >  lorfqu'e  le 
premier  terme  eft  Tunité  fuivie  d'un 
nombre  donné  de  zéro  9  comme  il  arri- 
ve dans  prefque  toutes  les  queftions  de 
la  Trigraomecrie. 


Xî| 


144  KouveàHx  EUmtnt 

Si  lOOOOO-   So^DZ  :  S^Sjf.  il%6Q* 

57893 


«■«■ 


A4Z7I 
7i«î 

S7 
4 


produit  3i^^o* 

Il  ne  faut  que  comparer  ropcratîoa 
faite  par  la  méthode  ordinaire  avec  To- 
peration  abbregée  .,  pour  voir  en  quof 
confiftc  rabbregc. 

On  peut  encore  abbreger  la  Règle  de 
crois  en  réduifant  à  moindres  termes  » 
une  fraâion  dont  le  premier  terme  don* 
né  fbit  le  numérateur ,  &  le  fécond  le 
dénominateur;,  &  réduifant  encore  âmoitir 
dre  termes  une  fraâion  dont  le  niime^ 
rateur  foit  ce  numejrateur  réduit  9  &  le 
dénominateur  foit  le  troifiéme  donné. 
Car  ù  le  quaaiéme  terme  cherché  eft  un 
nombre  entier;  op  4e  trouvera  en  mul- 
tipliant les  deux  dénominateurs  rcdiiit^ 
l'un  par  l'autre  yic  fi  ce  n'eft  pas  un  nom- 
bre entier  on  le  trouvera  en  divifant  ce 
produit  par  le  numérateur  réduit. 


JtArithmitîque  &  eCAlgihc'^      245 

M  45. 2.4. 30.       ^===8   jr=i* 

IJ.      8:30. 

I  •    z  :   8 .  I  ^  nombre  cherché. 


Si    45.  24:  3tf.       tx  —  ^ 
Si     15.    8  :  i6.       W.  —  l^ 

y.  12  :     8. 1 9  j nombre  cherché; 


««■■^"^■«««HMMMMlWHMMWHianMMMMriMa 


Chapitre    VIIL 

i)^  /4  réduSion  dts  froBions  de  fré(^^ 
tiioHS  in  frsSions  Jimfhs* 

ON  veut  réduire  en  firaétion  fimpitt 
cette  fraéKon  de  fra&ion  f  de  ^\ 
:<fc&  i  dire  on  demande  à  exprimer  ce 
que  c'eft  que  les  deux  tiers  des  trois 
quarts  de  quelque  tout.  Je  dis,  le  tiers 
de  |-  eft  ^,  en  divifant  le  numérateur  j 
de  la  dernière  fira&ion  -|  par  le  dcnomi;- 
nateur  3  de  la  première  yj  &  fi  un  tiers 
de  -f  eft  ^ ,  donc  deux  tiers  de  ^  feront 
^  ou  ^,  ce  qu'il  falloir  trouver.  On  veut 
réduire  en  fraétion  fimple  cette  fraâion 
de  fraékion  f  de  j.  Je  dis  le  tiers  de  ^ 
cft  •—-  y  car  il  eft  évident  que  chaque 
^  cft  le  tiers  de  |,  donc  f-  de  |-  s=;^r 
en  multipliant  dénominateur  par  dénoml^ 

nj 


i4^  Nouveaux  Elément 

naceur  ^  par  7.  &  numérateur  par  nurne* 
ratcur  %  par  j .  On  veut  réduire  _cn  fra* 
dion  fùnple  cette  fraâton  de  fraâion  de 
fraâion  f  de  ^^  de  -J J  ,  je  multiplie  con* 
tinucllement  le  numérateur  i  par  %  ,  pai 
X  3  ,  le  produit  eft  1 3  o  >  fc  les  dénomi- 
nateurs 3  par  7  5  par  17»  le  produit  cft 

La  Règle  générale  eft  donc  de  multi^ 
plier  continuellement  tous  les  numera-» 
teurs  pour  avoir  le  numérateur  de  la  fra-^ 
âion  fimpte ,  &  de  multiplier  continuel-» 
lement  tdus  les  dénominateurs  pour  a- 
voir  le  dénominateur  de  la  même  frar 
âion  fîmplê* 

Cette  R-egle  a  fes  abbregez  comme 
dans  le  premier  exemple  >  lors  que  le 
numérateur  d'une  fraâion  &  le  dénom^ 
nateurde  Tautreont  des  communes  me- 
fures  9  mais  ces  abbregeE  font  embarraf^ 
fans  >  &  il  vaut  mieux  dans  la  pratique 
fe  fervirde  la  Règle  générale ,  &  réduire 
cnfuite  la  fraâion  fimple  à  fes  moindres 
termes. 


J^Arithmtique  &  i\Algthre.    14? 


Chapitre*  ÏX. 
De    reddition  des  fraHiens- 

SJ  les   fraftiotis  propofccs  a  ajouter 
ont  le  tncmc  dénominateur,  il  n'y  a 
qu'à  ajoûterlcs  numérateurs,  &  garder  le^ 
même  dénominateur  pour  avoir  la  fom- , 
me. 
Si  les  fraûions  propofécs  n'ont  pas  le 
ime  dénominateur  *  il  faut  lei  réduire 


même 


d  même  dénomination  par  les  Règles  pré- 
cédentes. 


Il  faut  ajouter  |  à 
filème  dénomination 
dont  la  fomme  eft  4?- 


fxicme  denominauon  ,   c  clt  »-^   ^  Tï  » 
dont  la  fomme  eft  ^  œ  i  •^. 

Il  f^ut  ajouter  -1 ,  çf  ^.  Je  tes  ré- 
duis à  même  dénomination  ;  c'eft  jj- , 
fr,  5^,IàfdmrtieeftfJ=i|i. 

Il  faut  ajouter  4- avec    -^    »    'c*eft 


m»     ••  •  • 

A  UIJI 


i4*  Nouveaux  Etemtta^ 

Il  faut  ajouter  -j-  «^  "7  '  J*^  ^*    ^ 
duis  i  même  dénomination  i   ccft    ^> 


7j  »   la  fommc  cft  Z*^  -»■  ^^' 


i'/^ 


Chapitri     X. 

De  la  SoHJbrA^ion  des  frayions* 

POur  oter  une  fraâion  d'un  nombre 
entier,  il  faut  diminuer  ce  nombre 
d'une  qnité  &  y  ajouter  pour  fiaâion 
le  même  dénominateur  avec  la  différen- 
ce du  numérateur  au  dénominateur  pour 
numérateur.  Il  faut  ôter  i-  de  io« 
réais  ^  I ,  parce  que  ^  h-  i  ou  9  -4-  ^^ 
=  10.  &  pour  ôter  2^  de  10  7  >  j'é- 
cris 77  -«-  7  =  7  If* 
«  Si  les  deux  fraâtons  pîopofées  ont  le 
,  même  dénominateur  ,  il  faut  fouftraire 
numérateur  de  numérateur. 

Si  les  fraélions  ont  un  dénominateur 
différent»  il  faut  les  réduire  à  même  dé^ 
nomination. 

Exemples* 

Il  faut  fouftraire  ^  de  |  refte  L 


J^ Arithmétique.  &  £Aïgehre\     14  jf 
Il  faut  fouftraire  *|  de  1 ,  je  les  réduis 
\  même  dénomination  *,  c  cft  -^  de  -^  i 
refte  --^. 

Il  £aut  fouftraire  "4"  ^c  -^  V  il  rcft'ô 

1 

H  faut  (buftraire  ~  de  -^  ,  je  les  ré* 


aination;  ceit 
il  refte   ^c^afl 


duis  à  même  dénomination;  c'eft4-.  t? 


kd. 


Chapïtri    XI. 
De  U  MnltiplicÂtien  des  frayions. 

POur  multiplier  une  fraâion  par  nti 
nombre  entier ,  il  n'y  a  qu'à  multi-* 
plier  fôn  numérateur  &  garder  le  même 
dénominateur ,  ou  divifer  fon  dénomina» 
teur  &  garder  le  même  numérateur» 

Exempter. 

II  faut  multiplier  f  par  |.  je  dis  3 
3  fois  1  font  6  y  j'écris  |  c'eft  le  produit 
cherché^  ce  qui  eft  évident  par  foy-même« 


t^o  l^ûMWâUX  Etemem 

Il  fant  multiplier  -^  par  4,  je  divlfo 

I X  par  4.  le  quotient  eft  x .  j'écris  j  =ï=s 

X  7  )  c'cft  le  produit  chercné.  Car  |  vaut 
4  fois -^»    . 

Il  faut  multiplier  ^  par  xo.  Le 
produit  eft  -^  =:  lofs  mais  parce  que 
ZO  Ac  15  ont  une  commune  mefure  5» 
qui  divifant  i  5  donne  5  ,  je  prcns  5 
pour  dénominateur  ;  &  parce  que  le  mê- 
me 5*mefure  2.0  par  4.  Je  multiplie  8 
par  4.  le  produit  eft  3 1  que  je  prcns  pour 
numérateur,  &  j^ay  pour  produit  M-  s= 
I  o  1*  >  car  multiplier  par  zo  &  divifer 
par  1 1^  eft  la  même  chofe  y  que  multi- 
plier par  4  &  divifer  par  3. 

Pour  multiplier  une  fraâion  par  une 
fraâion  ,  il  faut  multiplier  numérateur 
par  numérateur  &  dénominateur  par  dé- 
nominateur, ou  divifer  le  premier  déno- 
minateur par  le  fécond  numérateur  ,  & 
multiplier  le  quotient  par  te  fécond  dé^ 
iiominateur. 

Exemples^ 

Pour  multiplier  j  par  y,  j'écris  -f-*,  car 
fi  je  multipliois  ^  par  %.  le  produit  fe- 
roit  I  >  mais  je  multiplie  par  le  tiers  de 
a  5  il  faut  donc  diviler  f  par  3.  c*eft  ce 
que  je  fais  en  multipliant  5  par  3  ,  &  ^ 
çrivant  ^.  Car  le  numeratetu:  démets 


rantlc  même  ,  la  fradion  cft  d'autant 
plus  petite  que  le  numérateur  eft  plus 
grand.  Si  je  divifois  une  ligne  en  cinq 
panies  égales ,  chacime  de  ces  parties  fe- 
roit  trois  plus  grande  i^ue  &  j'eufTe  divi- 
fé  cette  même  ligne  en  quinze  parties. 

Pour  multiplier  -|.  par  |  ,  je  divife 
1 5  par  3  ,  &'  je  multiplie  le  quotient  J 
par  4.  c'cft  zo  >  j'écris  ^  produit  cher- 
ché.   Car  ^  =5  f 

Pour  multiplier  yf  par  ff-  »  parce  que 
20  &  I  $  ont  une  commune  mefure»  5 
qui  mefiire  zo  par  4,  &  ly  par  3.  & 
que  1 4  &  2 1  ont  une  commune  me» 
iure>  ^quimefure  14 par  x»  &  zi  par 

,.      jw    .      20  fois  14       ^,0 
a  »  au  lieu  d  écrire  p-: =  11. • 

^  2^1  fois  IÇ   '     ^" 

J'éais  4  fois  2=1  produit  cherché* 

3  foi<  3  • 
Pour  multiplier  nombre    mixte  pat 

nombre  mixte  »  ou  je  les  réduis  en  fra« 

ftion ,  ou  je  multiplie  nombre  entier  pat 

nombre  entier ,  puis  fradtion  de  l'un  par 

nombre  entier  de  l'autre  -,  &  enfin  fra- 

âion  par  |i:aâidn»  La  (bmme  de  ces  pro* 

duits  donne  le  produit  total. 

11  faut  multiplier  i  o  f  par  ç  -^ ,  ou  je 

réduis  tout  eh  fraftion,  c'eft  ^p^r-^i 

dont  le  produit  cft  ^  ou  ^  i»  61  j* 


x^z  NûiiveÂU)C  EUmens 

Ou  je  multiplie  lo  -h  fcat  ç  h-  i;; 
en  forme  de  nombre  complexe ,  le  pro* 
duit cft  50-4-  ^  H-  '-^1  ^^  :^  =i  (îi  f 


Pour  muItipIier-T''  par — .,  j'écris  tj 

Pour  multipficf  -j"  P^^  7"  »    )^^^ 
^^  es  -^  ,  ce  qui  démontre  le  croi- 

fiéme  exemple  cy-deflus. 

Il  paroît  furprcnant  que  ^  par  \  pro-  • 
duifc  ii  en  forte  que  le  produit  foitplus 
petit ,  que  ni  le  multiplicateur  ni  le  mul- 
tiplié V  &  de  même  j  par  j  produit  ^. 
Mais  il  eft  aifé  d'en  comprendre  la  rai- 
son par  cette  hypothefe;  fi  je  mukipliois 
I  par  I .  le  proQuic  fcroit  |  ;  mais  je  mul- 
tiplie par  un  nombre  cinq  fois  plus  pe* 
tit  que  I  ,  qui  eft  i-  donc  le  .  ptodnit 
doit  être  cinq  fois  plus  petit  que  y  j  c'cfE 
à  dire  qu'il  doit  être  -^. 

La  réduftion  des  fraâions  de.  fra- 
£bion,  &  la  multiplication  des  fradions 
font  une  même  opération* 

Chapitre     X^IL 

De  U  Bivijion* 

que  tant  le  divifeur  que  le 
font  rédttitsen  foone  de 


( 


éTjiriphmeti^He  é"  d'Algèbre.  155 
ïtaâiion.  Si  l'un  des  deux  eft  un  nom- 
bre entier,  il  n'y  a  qu'à  fuppofer  l'uni- "^ 
té  pour  dénotninateur ,  il  c'eft  un  Xiovor 
bre  mixte  on  le  réduira  auffi  en  forme 
ile  £raâ:ion  Hmple  par  la  Régie  du  Cha-^ 
pitre  8. 

Il  fiiat  multiplier  le  numérateur  du  di- 
vidende parle  dénominateur  du  divifeur> 
pour  ayoir  le  numerat.eur  du  quotient. 

Et  multiplier  le  dénominateur  du  di« 
vidende  par  le  numérateur  du  divifeur^ 
pour  avoir  le  dénominateur  du  quotient. 

Pour  divifer  |  par  |,  je  miJtiplie  en 
croix  3  par  ç ,  &  2  par  7.  le  quotient 
cherché  eft  jj  •  Car  fi  je  voulois  divifer 
f  P^^  '5  ,ouiprendre  la  cinquième  de|^, 
je  n'aurois  qu  a  multiplier  3  par  5 ,  6C 
écrire  pour  quotient  -^.  Mais  ce  quo- 
tient eft  trop  petit ,  parce  que  je  ne  di- 
vife  pas  f  par  j ,  mais  par  f  -,  c'eft  à  di- 
re feulement  par -la  fcptiéme  partie  de 
5  ,  il  faut  donc  que  je  multiplie  le  quo- 
tient -^  par  7.  c  eft  à  dire  que  j'écrive 
|j-  pour  quotient  cherché. 

Pour  divilcr  y  P^  -7-  »  j  ^^^*  •y" 
Pour  divifer  -A  P^r  -jA-,  j'écris  V?^ 
ta  tt ,  d'où  je  tire  cette  Règle  abbrc- 


2f4  NûHvcdHx  EUmens 

gcc.   Redaifez  Jcs  numérateurs  -^  à  leur 

plus  fimple  expreflîon  -^  &  les  dénomi- 

bc 

xiateurs-T-»  à  leur  plus  ficnple  expreflîon 
*-rr  \  multiplier  ttit^  croix  4  par  /  »  &  il 

par  b  y   ic    écrivez   pour  quotient  ^ 

Il  n'y  a  point  de  difficulté  particulier 
ire  pour  les  fraâions  complexes  >  c'eft 
pourquoy  je  n'en  donne  pas  d'exemples. 


tÇAriAmttlqMâ  &  d^ Algèbre.       15$ 

LIVRE      IV. 

J)je  la  formation  &  de  U  Re/dation  des 

Pnijfancis* 

Ou 

Di  VExtrsStiom  des  Racines. 


Chapitre     L 

De  UFofmdtieudesTmffances  desNem^ 
hres  incomplexes. 

! 

J*Ay  déjà  explique  Livre  i.  Chap.  t. 
pag.  67.  ce  que  c  eft  que  les  puifTances 
â*un  nombre  incomplexe ,  &  la  manière 
de  les  former  par  une  multiplication  reï« 
terce. 

Tout  nombre  incomplexe  donné  (bit 
qu'on  l'exprime  par  un  feul  chi&e,  ou 
par  une  feule  ouplufieurs  lettres ,  ou  pat 
un  chifre  &  des  lettres  peut  être  confia 
deré  comme  côte ,  comme  racine ,  com^ 
me  première  puiffance. 

Ainfi  j  y  a^ahi  74^, 74^^* , peuvent 
être  conu4erex>  comtpe  içinq  cotez^  com«* 


%^6  Nouveamx  Elemeus 

me  cinq  racines  ,  comme  cinq  preœie* 

res  pui(îànces. 

Le  produit  de  la  racine  multipliée. par 
elle  même  s'appelle  le  quarrc  de  cette 
racine.  Ainfi  49  eft  le  quarré  de  7.  44 
s'appelle  le  quarré  d'4  >  Mo^bt  9  ou  ^^b^ 
s'appelle  le  quarré  d'ab*  494*^*  s'appel- 
le le  quarré  de  yai  ,  &  j^^a^b^  eft  le 
quarré  de  74^^*. 

Le  quarré  multiplié  par  la  racine  pro« 
duit  le  >Gttbe  ou  la  troihéme  puiiTance  de 
la  jracine. 

Ainfi  7  fois  49  produit  343  cube  dé 
7.  &  le  produit  de  ya^b^  par  494*^^  qui 
cH:  )434^^^  eft  le  cube  ou  la  troifiémc 
puiflance  de  74^^*. 

Le  cube  multiplié  par  la  racine ,  ou 
le  quané  multiplié  par  le  quarré  produit 
le  quarré  de  quarré,  ou  la  quatrième  puif- 
fance  de  la  racine,  ainfi  343  multiplié 
pat  7*  produit  2401^  &  49  multiplié 
par  49  produit  2401.  &  240 1  eft  le 
quarré  oe  quarré ,  ou  la  quatrième  puif- 
fance  de  7. 

3434^4^  multiplié  par  74^1^*  >  ou 
494"^^*  par  494^^*  produit  24014"^* 

3uané  de  quarré  ou  quatrième  puiftance 
e  '^a^b^ 
La  cinquième  puifTance  fe  forme  de 
m^me,  ^  multipliant  la  quatrième  pui^ 

lance 


Jt  AritbmttiqHe  &  d*  Algèbre.  t^ 
fancfc  par  la  racine  >  ou  la  féconde  pui^ 
Tance  par  la  troifiéme, 

La  lîxiéme  puKTance  fe  forme  en  mul- 
tipliant la  cinouiéme  pat  la  racine ,  ou  la 
quatrième  par  la  feconcie,  ou  latroifiémc 
par  elle  même, ou  eji multipliant  la  fé- 
conde cubiqaciment ,  c'eft  a  dire  en  la 
multipliant  d'abord  par  elle-même,  fie 
multipliant  encor  ce  produit  par  la  mê- 
me féconde  puifTance»  &  ainfi  des  autres* 

Keglb.   Gchbraie* 

Elever  UH  Ninihe  inçcmplexe  qffelcoff^ 
que  ^  $Hse  fuijfance  donnée  >  donP 
Uexfofémt  f$ip  p. 

MUItipIiel  continuellement  le  nom- 
bre donné  par  luy-mème  autant  de 
fois  que^--^  i  a  a  unitez>  le  dernier  pro- 
duit fera  la  pùifTanccf  cherchée. 

Ou  bien*  élevez  le  nombre  donné  à 
lapuiflance  (/.&:  àlanuiSancep^— i/.&muL*/ 
tipliez  cesdeuxpuiuàncesrune  par  TauDrc, 
leur  produit  fera  la  puifTânce  cnerchée. 

Si  f  eft  un  nombre  premier,  il  eft  plus 
{impie, &  plus  avaotageuXr  de  prendre  â^ 


Si  f  n  eft  pas  un  nombre  premier  >  IV 

Y 


eft  avantageux  de  prendre  d  »  égal  a  ce- 
luy  des  deux  nombres  qui  produifent  f^ 
qui  furnafle  le  moins  l'autre  nombre. 

Ou  bien  Ç\  d  t^  encore  trop  grand,, 
élevez  le  nombre  donné  a  la  puiiTance 
r,  â  la  puifTance^,  â  la  puifTance  g^  ea 
forte  que  c  -♦-  /-h  /=  f*  &  que  ces 
nombres  c^ftit  approchent  le  plus  prés 

3u*il  foit  poffible  de  Tégalité  ,  &  ainfi 
c  fuites 

Exemptes* 

Il  faut  élever  ^a^h  i  I»  {epticme  puî^ 
fance  ,  je  multiplie  j^'^pat^^J^,  Je  pro- 
duit eft  xj^^^S  Je  naultipïie  i^a^t^  par 
5^5^,  le  produit  eft  12^54^^^;  je  multi- 
plie ix^a?i^  par  54't,  le  produit  cflt 
ét^s^^h  i  je  multiplie.  &c.  La  fixié- 
me*  multiplication  donne  pour  produit 
78r2Ç^'i^3  &  c'eft  là  Yèptiéme  puif- 
lance  cherchce.^  . 

Mais  parce  que  7  eft  un  nombre  pre- 
mier, &  qiie  7=^3  -f-  4-  &  que  5  & 
4  font  les  deux  nombres  qui  par  addi- 
tion forment  7.  &  qui  en  même  temps^ 
approchent  le  plus  de  régalïtc  ,  iF  eft 
plus  couA  de  multiplier  la  troifiéme  jpuiP- 
ÙDCC  i  z^é^b^çx  h  i^atriéme ^z^4"^ii^- 


J^  Jtritbmetiqm  &  £Algebri*     15? 

Second  ExemfU* 

Il  favit  çlever  ^A^b  à  la  neuvicmc. 
puiÛance  ,  je  n'aurois  qu'à  multiplier 
543^  par  54'^,  par  54^^,  par  54'^,  &c^ 
en  l'écrivant  ^  fois»  &  faifanc  8  multi-- 
plications  continuelles  s  mais  parce  que 
^==  j  fois  3.  il  eft  beaucoup  plus  coure 
d'élever  la  troifiéme  puiflance  'i,%^0^b\ 
à  la  troifiéme  puiflànce  ,  en  multipliant 
I2Ç4?^'  par  i%^é(^b^  9  &Je  quarré 
156154'*^*^  par  ix^A^b^  y  le  produit 
1 5  5  3  I  z  54*7^  cû  la  neuvième  puiflan- 
ce cherchée. 

Troi^émt  Exemple. 

11  faut  élever  téi^b^  à  la  douzième 
puiflance ,  je  confidere  que  i  z  szc  z  fois 
6.  mais  6  eft  encore  trop  grand  »  &  6  =£» 
z  fois  3.  C'eil;  pourquoy  je  multiplie 
Z4  5fc^  cubiqlicment  le  produit  cft84'^i^i 
je  multiplie  ce  cube  par  luy- même  ,  le 
produit  cft  644^^^^'^.  Enfin  je  'multiriid 
6^a^b^^  par  luy-même.,  te  produtt 
j^o^éa^^b^^  eft.  la  douaicme  puiflance 
cherchée. 

^tfâtriéme  Exempte. 
H  faut  élever  Z4^â*  à  Id  qofÉiziàîî'e 


x<io  NoHveMx  EUmens 

puiflfancc ,  je  confidcre  que  i  j  =  j  fois» 
ç ,  mais  j  cft  encore  trop  grand  &  j  =-r 
2  -H  3 .  c  cft  pourquoy  je  multiplie  z^^i* 
quarrcnïeht  &  cubiquement*  C*eff  44*^^4 
&  Syt^t^V  je  nmltiplie  j^a^i"^  par  %d^b% 
le  produit  eft  3  i^'^i»'^.  qui  eft  la  cin- 
quième puiflance  de  x'k^b^.  Enfin  je  mul-^ 
tipKe- cubiquemcnt  314*^^'°,  le  produit 
5 iy^%À^^b^^  cft  la  quinzième. puiflaftca 
€her€liée. 
••  *  '  • 

C  O  R  O  L  t  A  I  K  I. 

**  Elevez  feparcment  fc  chifte  fcul .  oa' 
ï'abfolu  i  la  puiflance  propoféc ,  &  mul* 
tipliez  les  expofans  des  lettres  par  Tex- 
pofant  de  ïa  puiflance  ,  pour  élever 
zÀ^b"^  à  la  quinzième  puiflance ,  j'élevc 
labfolu:!.,  (c'eft  à  dire  le  chifec  feul  ly 
qui  truiltipliç  le  nombre  lixtexal  n^b^)  k 
lai  qùînzienàe  puiflance.  C'eft  32:768.  & 
je. multiplie  par  i  <  Texpofant  a  de  la 
lettre  a^  8c  l-expofant  2  de  la  lettre  ^^ 
|ay    P<^"r    produits  ^<*J^A^^  ,&.  j'écris 

Remarque: 

Lor(quc  rabfolu  a  plus  d  un  cHifre ,  je 
ïe  confidere*  cpmme  un  nombre  comple- 
xcj  234  cft  la  même  chofc  que  .104  -f. 


i ArithmttiéfHe  ér  JtAheire*  xèt 
*4.  Xiettc  Réglé  n'a  pas  befoin  de  Dc- 
inonftratiotv ,  puifquc  ce  n'cft  proprement 
qu'une  deénition  des  puiflances ,  &  une 
^plication  particulière  de  la  Règle  gc^; 
nérale  de  la  maltiplication.- 


Chapitre     IL 

De  U  Rèfolfffim  des  P'uijfaMQ^  in»» 

complexes. 

LA  Refolution  des  Puiflances  cft  op» 
pofée  à  leur  forniation,de  même  que 
la  diviHon  eft  oppofée  a  la  multiplicar» 
tion* 

Refoudre  une  puiflance  propofëe,  e'eft 
trouver  un  nombre  qui  étant  multiplie 
continuellement  par  luy-memc  un  cer- 
tain nomWc  de  fois  produife  la  puiflan- 
ce  ,  &  ce  nombre  qu'on  cherche  s'ap 
pelle  la  Ratine* 

Lors  que  la  puiiTance  propofée  eft  un 
ijuarré ,  la  racine  s'appeÙc  vacine  tjHajf^ 
tfe  :  lors  que  cette  puiflance  eft  un  cube, 
fa  racine  s'appelle  racine  cnhi^He  :  lors 
^ue  cette  puiflanceeftunquairc  de  quat- 
re, ou  du  quatrième' degré ,  cette  racine 
s'appelle  racine  quatrième  ,  &  ainû  de 
iirite* 


tét         Nouveaux  Elemem 

Ainfi  la  racine  quarrée  de  49  cft  7  r 
fa  racine  quarrce  de  44  eft  a  :  la  racine 
quarrée  de  dabh  eft  db  :  la  racine  quar- 
fce  de  /^^aubb  t^  yab  :  la  racine  quaï- 
rcc  de  45^4^/'^  eft  ya^bK 

La  racine  cubique  de  343  eft  7:  Iz 
racine  cubique  dV  eft  4;  la  racine  cu^ 
bique  d  4'^^  eft  4  ^  :  la  racine  cubique 
à'a^h^  cft  aabb  ;  la  racine  cubique  de 
3434^^3  cft  74*  ;  la  racine  cubique  de 

La  racine   quatrième  de    24c  X    eft 

7  •  ^^• 

La  racine  quinzième  de  3  tyCZd^^bb^^ 

t&  %a}b^i  &c*  La  racine  prend  donc  en 
général  fbn  nom  de  rcxpotant  de  la  puit 
fance  dont  elle  eft  raciner* 

On  fuppofe  qu'on  fâche  par  cœur  les 
pui (Tances  des  neuf  premiers  chifres  i> 
X ,  3 , 4 ,  &:c.  9,  Il  fuffit  de  favoir  pour 
la  pratique  les  quarrez  &  les  cubes ,  ou 
tout  au  plus  les  quatrièmes  &  les   cin- 

auiémcs  puiffances  \  èC  on  les  trouvera 
ans  cette  Table. 


'    i 


Jt Arithmétique  é'  iTAl^ehe.    %6f 
Table   dïs    Puissance  s  • 
Jldcift.  effiArfez».  cubes.  J^emes.  ^emef»' 


\ 


I 

LL_Î 


I 


i6 


I  j 


i       \   9  I    *7       I    8l        ( 


*4J 


I 


16 


I  M 


f  36    J  1X6  I  Il56|  777< 


7 I  4^    [  145   I  *40l  I  I6«07 


8   I  64    I  >ix  f  40» <  I  31768 
y   I  8  ï    I  7^9     \    6S61   I  J5049 


■V 


Tirer  une  racine  cinquième  d'un  nom-- 
brc  propoft  ,  c'^cft  chercher  un  nombre 
qui  étant  écrit  ^  fois  de  fuii^  pour  le 
multiplier  continuctlement  praduife  le 
nombre  ptôpofé  ;  tirer  ta  racine  cinquic-^ 
me  de  16807,  c*eft  chercher  un  nom- 
bre comme  7 ,  qui  étant  écrit  ç  fois  de 
fuite  pour  le  multiplier  continucHcmenr 
produjfe  1 6807.  Car  7  fois  7  fois  7 
fois  7  fois  7  produit  16807,  &  ainff 
des  autres  ;  &  comme  il  faut  écrire  deux 
fois  le  même  nombre  pour  le  multiplier, 
la  piemicre  fois  par  luy-même ,  il  eft  é- 
ridcnt  qu*il  n'y  a  que  4  muliiplications 


t64  Noûvïïâux  Elemèïtï 

a  faire  ,  c*cft  à  dire  une  de  moins  qîic?' 
rexpo&nt  de  la  piiiflancc  n'a  d'iiiiitcz*' 
L'cxpbfant  du  quarré  cft  2 ,  rcxpofant  du 
cube  eft  3  >  Texporadt  du  quarré  de  quaiv 
lé  cft  4 ,  &c.  &  Texporanc  de  la  racine 
quarrée  eft  aufli  x^,  1  expofant  de  I^  ra- 
cine cubique  eft  3, ,  8cc. 

Pour  tirer  donc  telle  racine  qu'on  vou- 
dra d'un  nombre  incocnpiexe  lifterai  9  il 
n'y  a  qu'à  divifer  -  rexpofant  des  lettres 
par  l'expofant  de  la  racine ,  Se  mettre  le 
quotient  pour  nouvel  expofant  des  mê- 
mes lettres.  Pour  tirer  la  racine  quarrée 
dV,  je  divife  i  pât  1,  le  quotient  eft  i, 
/ccds  éL^  ou  (implement  4  pour  racine 
quarrée  d'^'-  :  pour  tirer  la  racine  quar- 
ȑe  d'if^  ,  je  divife  4  par  i ,  le  quotient 
cft  2.  j'ccris-4*pout  racine  quarrée  d'<g*; 
Ainfi  la  racine  quarrée  d'/»^  eft  4'  :  la  ra.^ 
ciïie  quarrée  ^A^b^  cft  g?b^  :  la  racine 
cubique  d'4^  eft  4*  ou  4:  la  raeine  cubi-^ 
que  d'4^^  eft  A'-b^  Sec. 

Lots  que  les  expo  fans  des  lettres  ne 

Î meuvent  pas  erre  divifcz  exaftement  pac 
'expofant  de  k  racine,  on  marque  le 
quotient  en  fradion"  :•  ainfila  racine 
quarrée  de  a^  eft'  4  l':  la  racine  cubique 
de  4^  eft  4  j  :•  la  racine  (ixiémfc  de'  é^b* 
eft  4 1  ^  I  »  ôc  par  teduâion  à  moindres? 

^nnes,  cette  même  racine  cft  aj^bjt 

Se 


d' Arithn^etiqHe  &  JC Algèbre.       16$ 
&  la  racine  fixiémc  de  a^lrtA  ^ji^. 

Cette  dctnicre  efpcce  d'extraâion  lit- 
térale eft  imparfaite ,  comme  la  divifioti 
eft  imparfaite  )  lors  qu  elle  ne  Ce  fait  pas 
fans  rcfte»  , 

t^  marque  qu'il  faut  tirer  la  racine 
quarrée  de  ^.  ^     ' 

h  f  marque  qu'il  faut  tirer  la  racine 
cubique  du  quarré  de  k,  c'eft  à  dire  de  t^. 
'  4 1  maique  qu'il  faut  tirer  la  racine 
imbique  ou  racine  tr<»fiéme  du  quarré  de 
quarré  »  ou  de  la  quatrième  puifiance  d'4> 
c'eft  à  dire  d'4* ,  &  félon  les  valeurs  d'4 
&  de  ^ ,  cette  extraction  de  racines  eft 
ppflible  ou  impofllble,  comme  je  le  dé- 
montreray  dans  le  chap.  fuivant. 

Pour  tirer  telle  racine  qu'on  voudra 
d'un  nombre  connu  &  exprime  par  chi- 
frçs ,  lors  que  k  nombre  des  chitres  n'eft 
pas  plus  grand  que  l'expofant  de  la  ra- 
cine cherchée.  Il  faut  chercher  ou  par  tâ- 
tonnement ,  ou  par  la  Table  <:y-dcîïus  le 
nombre  fimple»  qui  étant' inukip  lié  par 
luy-mème  autant  de  fois  moins  une  que 
l'expofant  de  la  racine  cherchée  a  d'u- 
nitez  produife  le  nombre  donné^ouqui 
çn  ^proc^  le  plus. ,        '  . 

La  racine  quarrée  de  4  9  eft  y.  La  ra- 
cine cubiauç  de  jix  eft  8.    La  raci- 
ne cinquième  de  777^  eft  6 ,  &  la  ra- 
•  ^    ■  •  *  '  ■  z 


x66  N0MVt4mx  Etemens 

cine  cinquième  de   5  9049  eft  9. 

La  racine  quanée  approchée  de  ^z 
tft  7,  &il  rcftc  3. 

La  racine  cubique  approchée  de  400 
eft  7,  &  il  refte  57,  parce  que  le  cube 
de  7  eft  343  ,  &  que  le  cube  de  8  cft 
5 1  z*  Or  400  nombre  donné  eft  entre 
^43  &5IX,  &  il  furpaflTc  343  de  57. 

La  racine  cinquième  de  50000  eft  89 
&il  refte  17131. 

Cette  dernière  elpece  d*extraâion  mb^ 
merique  eft  imparfaite ,  &c  comme  la  di- 
viâon  impaifaite  produit  une  nouvelle 
eipece  de  nombres  quon  appelle  ^rx- 
fb#w/;  Cette  extraârion  imparfaite  pro- 
duit ufte  iK»]veUe  eipece  de  nombres 
qu  oft  appefie  incmfmenfùrabUs. 

Pour  les  exprimer  exactement  on  (è 
feit  de  ce  cara£bere  V •  qui  fignifie  Rad'^ 
ne  y  &.  on  met  au  de^S»  lexpo&nt  pro- 
pre de  Id  racine  cherchée. 

AinfiV*<x  lignifie  la  racine  quarrée 
de  j  1.  on  écrit  ftnplcmcnt  V  5  x  en  fout 
entendant  Texpofant  x* 

V^4oo*  figntfie la  racine  cubique,  ou 
la  racine  tioiiiéme  de  400* 

>^)'oooo^  /ignifie  la  racine  cjn^éme 
de  ^ooôa* 

J'ay  dit  ejne  le  Nemtre  dàmfé  (jr  ceft^ 
fm  ne  deveit  fm  ijtrc  exfrim^  fsr  fins 


Jt  Arithmttupêe  &  d'Jtgehre.  i£j 
de  thifres  que  TexfQfdnt  de  U  mcitte 
iàterchée  navoit  d'^mfex»^  Parce  qu'au* 
trement  fa  laâne  ne  feroit  pas  un  nom-^ 
hre  incomplexe  9  &  il  ne  s  agit  icf  que 
ûc  ceux  là.  Ce  que  }e  «lémoncre  de  cec« 
te  manière* 

Tout  nombre  quarré  plus  grand  que 
loo*  a  pour  racine  quarrée  un  nombre 
plus  grand  que  i  o*  puis  que  le  quarré 
ce  icscft  loo*  &  que  plus  un  nombre 
eft  grand,  plus fon  quarré  eft  grand;  ot 
I  oo*  eft  le  plus  petit  des  nombres  ex- 
primez par  troi^  diifres^  2c  lo.  eft  là 
plus  petit  des  noni>res  exprimez  par 
deux  chifres)  donc  tout  nombre  quarré 
exprimé  par  plus  <le  deux^^fres  »  a  pour 
racine  un  nombre  expriiiaé  pat  plus  d^ua 
chifre. 

Toitt  nombre  cid>e  plus  grand  que 
t  ooo  >  a  pour  racine  cobîque  un  nom* 
bre  plus  grand  que  i  o^  putfijue  le  cube 
deio  eft  iooa>  tn  looo  eft  te  plus 
petit  des  nombres  exprimez  par  quatre 
4:hi6resy  &  lo  le  plus  petit  nombre  er- 
pimc  p^  deux  chifires^  >  dont  tour  nom^ 
ibre  cube  exprimé  par  plus  de  tims  chi* 
fres^  2  pour  eadne  :  un  nombre  exprimé 
parpkis  d'uncbifee,  &aisij£rde  Tuive. 
Enfin  pottr  tifier  i^e  racine  q^^i'oa 
.  voudra  d'un  nombre  incomplexe  »  expric- 

Z  ij 


t6i  Kouveaàx  EUmens 

mé  en  parties  par  chifres  &  en  partie  par 
lettres  (  pourveu  que  le  nombre  des  chi- 
fres ne  ibit  pas  plus  grand  que  rexpofanft: 
de  la  racine  cherchée  )  il  n  y  a  qu'à  tirée 
feparçroenr  la  racine  du  nombre  &  la  ra- 
cine  des  lettres  >  &  joindre  tes  deux  ra- 
cines enfemblê. 

La  racine  quarrée  de  ^a^  eft  34  :  la  ra- 
cine quarrée  de  524*  eft  ^Vji  :  la  ra- 
cine quarrée  de  x  6d^  eQ;  44  ^  :  la  racine 
quafrée de  17*^  eft  a^V  xy* 
.  La  racine  cubique  de  iiç^'eft  (^ai 
la  racine  cubique  'de  74^  eft  dV^y  :  la 
racine  cubique  de  i  x^n^  eft  54 1  :  la  ra- 
cine cubique  de  74^^  eft  4jy^7. 

Ces  esrpreffions  de  Têxtradion  àt$  ra- 
pnes  ibnt  des  £iites  neceftaires  de  l'ex- 
preffion  de  la  multiplication  &  delà  forr 
mation  des  puiiTances.  Si  le  cube  de.  5  4 
eft  I1Ç4^-  donc  la  racine  cubique  4e 
12,54^  eft  Ç4,&:c,_ 

Je  Conclus  de  tout  ce  que  Je  viens  de 
djré  que  la-formationdes  puiftances  eft  un^ 
effe€e  de  multiplication  fimple  oh  reïte* 
rie  i  .dans  laqneUe  le  mnltipUcateur  efi 
égal  au.  premier  hombre  i  mnltipUer^  & 
que  l'extraâlion  desjracinea  ejt  une  efpe^ 
ce  de  divifion  fimple  ou  réitérée  9  dans 
la^neUe  le  divifeur  ejt  égal  an  dermer 
^ffçtii^nf*  :    :  . 


^     ^ 


Jt Arithmitiij$êe  &  J^AÏgAre.      ±6^ 

11  y  a  cette  différence  efTentielle  en- 
tre la  divifîon  & lextradion des  racines, 
i\ac  dans  la  divifion  (impie  8c  réitérée , 
le  divifeur  &  les  divifeurs  font  donnez , 
&  on  fait  abftraftioa  de  TégaUté  ou  de 
^'inégalité  de  ces  divifeurs  entre  eux  & 
entre  les  divifeurs  8c  les  quotients  y  au 
lieu  que  dans  Textraâion  des  racines  le 
divifeur  eft  toûjoursle  même,  &:il  doit 
être  égal  au  dernier  quotient.  C'eft  ce 
rapport  d'égalité  qui  rend  la  formation 
des  puifTances ,  &  l'extra&ion  des  racines 
(ufceptibles  d'abbrf viation ,  comme  é- 
tant  plus  (tmple  que  le  rapport  d'inéga- 
lité ,'  ou  que.  tout  rapport  en  géncraU 

Dans  la  divifion  les  divifeurs  font  don- 
nez ,  ^  on  ne  connoîr  pas  le  rapport  du 
divifeur  au  quotient. 
;  Dans  l'extca^ion  des  racines'  les  divi- 
feurs ne  (ont  pas  donnc2  y  mais  on  con« 
noît  le  rapport  d'cgaUté^uils'ônt  entrç 
tux  &  avec  le  dernier  quotient. 

L'Extraâion  de  -la  racine' quartée  ré- 
fond à  la  divifion  (impie. 

L'Ëxtraâion  de  toutes  les  autres  ra* 
i:inc$  répdnd  a  la  divi(îon  réitérée. 

£t  ce  que  la  divifion  eft  par  rappotc 
i  la  fouftraâion  ;  l'extraâion  des  racines 
i  eft  par  rapport  d  la  divifion. 


*7©  Ifûuviânx  Ehmtns 


Chapitui    IIL 

I>e  ts  FérmMtioM  its  Pmiftmcts ,  é'  tk 

fùxtrsBiiom  des  racines  des  fré^ 

Biens  ine^mfUxes. 

Rftail      iÎElIBllALI. 

f^ur  U  Formmiom  des  Puiffdneef. 

Ehtttz  le  immetatenr  &le  éinoxcàtiàr^ 
ttm  i  Japittflâiiae  pcopofôe. 

Le  ^acté  de  I  cft  ^  :  le  quarré  de  ^ 


és 


tft  Tt'  It  qamè 


hb 


Le  cube  de  |  cft  ^^  5  le  cube  de  -j 
«ft  lL:k  cube  de  ^^^^*    tft  _!l"iiL 

Car  puif<]oe  (uivant  ce  qui  a  écé  dé- 
montré dans  le  Livre  fMfecedenc  le  pco* 
duit  de  I  pacj  cft|,  &  le  produit  de  | 
par  f-  cft  i  &€•   ac  puîfijue  îe  produit 

de  j-  par  j"  cft  ^ ,  &  que  le  jM:oduic 
d^  îr   par  ^  «fr  ~  &c-  liaévidcBt 


-  -J 


cjue  pour  élevei  une  fraâiorr  à  qnelcme 
pttii&tice  que  ce  i^kx. ,  il  n  y  a  qu  à  éic« 
ver  ion  numérateur  &  (on  dénpminateus 
à  cette  même  puidance. 

Re&xi    Gehekiixi. 

foHT  l'extTMSkion   des  rdcines  des  ftéh 
BioMS  incomflexés. 

Tirez  fdparément  la  racine  propof^c 
du  numérateur  &  du  dénominateur, 
après  avoir  réduit  la  fraâicm  à  moindres 
termes* 

La  racine  quarrée  de  |  eft  f  :  la  racine 

quarrée  de^  cft  ^icc.  Ce  qui  cft  une 

fuite  heceflaire  de  là  Règle  precedente*^ 
I^  racine  quarrée  de  |  eR  V  f 

jSarre  Règle  four  textraBien  des  ré- 

ciftes^ 

Mutdplics  le  tnmieraceinrpar  vskt  puif- 
fajKse  da  dénominateur  ,  dont  l'expo*- 
iànt  Toit  plus  petit  d'une  unité  que  1  ex- 
pofant  de  la  tftckiè  cherchée. 

Tirez  la  racine  de  ce  produit  9  &  di- 
"Vife^  cecte  racine  par  te  dénominatetu:  t 
Je  qiumdnt  (m  la  tàidiat  de  la  fitaâioft 
dieirhée» 

Z  lu) 


iji        .  Nouveaux  Elemenî 

Cette  Règle  eft  très  -  utile  pomr  tiret 
les  racines  approchées  des  fraâions  nu- 
mériques >  qui  n*ont  pa^s  des  racines  txzr- 
des. 

Pour  tirer  la  racine  quarrée  de  f»  je 
multiplie  '3  par  8  &du  produit  Z4.  j'en 
tire  la  racioe  quartée  approchée  qui  eft 
5  ,  &  je  dis  que  f  eft  la  racine  quarrée 
approcnée  de  -|, 

Pour  tirer  la  racine  cubique  de  ~ ,  )ç 
multiplie  le  quatre  du  dénominateur  pat 
le  numérateur ,  c'eft  à  dite  je  multiphe 
8 1  par  7 ,  le  produit  eft  5  67.  dont  la 
racine  cubique  approchée  eft  8.  &  je  dis 
que  I  eft  la  cacine  cubique  approchée 
de  7. 

Pour  tirer  la  racine  cinquième  de  |, 
je  multiplie  la  quatrième  puiftance  de  8- 

3ui  eft  4095  par  ^.  le prbauit  eft  xo48o> 
ont  la  racine  approchée  eft  7.  Car  la 
cinquième  puiflance  de 7.  eft  1 6%oj*  & 
la  cinquième  puiflance  de  8  eft  3  xy6%^ 
Se  je  prens  7  comme  plus  approchée.  Je 
dis  que  la  racine  cinquième  de  |  eft  f « 


DemonfiritUm 


** 


Soit  la  fraâion  propofèe  ^  ,  dont 

il  faille  tirer  la  x^ne  ftiivant  rexpofane 
2«  il  eft  évident  que  cette  racine  eft 


racine  t&  —  \   mais  par    la  Rcglc  on 


^  par  la  Règle  précédente  ;  mais  par 
ccllc-cy  on  [trouve  7^  ,  qui  eft  cqui* 
valente  à  ia  mènie  fraftion  ---. 

Soit  la  fraâion  propofée  —  y    dont 
il  faille  tirer  la  racine  cubique  9  cette 

1 

i 

uou ve  ^ ,    qui  eft   équivalente  à  -^ 
Et  généralement  ii  la  fraâiion  eft  ^ 

la  racine  fera  —- ,  &  on  trouvera  fuî- 
vant  la  Règle  la  fraûion  équivalente 
~ L  >  où  f  marque  Texpofant  de  h 

racine  &  des  puiffances.  Par  cette  mt-^ 
thôde  on  n'a  pas  befbih  de  réduire  la 
fradion  i  moindres  termes  avant  quf 
d'extraire  la  racine. 


ab^  ' 


s 


^74  NêMViMxEkmem 


Cka^itke    IV. 

HemonfiréUiûH  génfrdk  des  in€$mmen^ 

furables. 

IL  faut  que  je  démontre  que  tout 
nombre  entier  qui  n'a  point  une  ra* 
cine  exa£be  en  entiers  n'en  a  point  en 
ftaftion  \  par  exemple  7  n*à  pomt  de 
racine  quarrée  en  entiers >  car  2  eft  trop, 
petit  &  3  eft  trop  grand ,  donc  fi  7  pou- 
voir avoir  une  racine  exa£be  ,  il  fau- 
droit  que  ce  fut  un  nombre  mixte  entre 
X  &  3  ,  comme  %\  9  ou  ^  ;  x  ||-  ott 
^g ,  &c.  c*eft  i  dire  que  la  racine  quar- 
îéc  de  7.  pourroit  être  exprimée  exaftc- 

jnent    par  une  (raâion    primitire  -r 

clans  laquelle  a  te  h  fcroictit  cremi?rt 
jcncre  «ut.^  &:  4  conticndroit  ^  aeax  fois 

«ivcc  un  r  fte  5  mais  fi  4"  ^^it  la  racine 

de  7.  ^  ftroit  égal  à  7,    c'eft  à  dire 

que  4â  feroit  égal  à  jhb  >  ^  par  confe- 
quent  bh  mefutetoit  44  »  quoique  b  ne 
mefurât  pas  4  >  ce  qui  eft  impomble  \  car 
fi  un  nombre  ne  mefure  pas  un  autre 
nombre  >  fon  quarré  ne  mefurera  pas 


Jt  Arithmiti^e  &  JtAlgehre.  17  j 
tavL  quarré  >  ni  fon  cube  ne  mefurera  pas 
&n  cube  ni  aucune  puiflance  ne  mefu- 
rera aucune.  puifTance  s  ce  que  je  démons* 
ue  ainfi. 

J*ay  déjà  prouvé  en  parlant  des  fi:a« 
âions  décimales  que^  un  uômbre  était 
premier  à  deux  entres  »  ce  même  nombre 
ùùie  éUêffi  premier   ^n  predmie  de  cet 
deux  autres.  Si  b  eft  premier  à  4  &  i 
c;  b  fera  premier  i  dCy  fi  a  eft  premier 
à  ç  &  iy^  3  fera  premier  a  3  ç ,  &parce 
que  la  Demonftration  eft  générale  (ans 
fuppofer  aucun  rapport  particulier  entre 
'■4  &  ^9  fi  on  fuppofe  4=  r>;il  s'enfuit 
que  b  fera  premier  â  44  ;  que  3  fera  pre- 
mier à  15  '9  maïs  earce  que  25  eft  pre-> 
mier  i  3  &  a  3.  il  s'enfuit  aufll  que  x< 
£ttz  preBdier  â  3  ibis  3  ou  à  9  *,  2c  puis- 
que 15  eft  premier  à  3  &  d  9.  25  fera 
premier  i  3  fois  9  ou  à  xy-y  &pui(qae 
f  eft  premier  ^  3  Ac  â  9  >  5  feraaulfi  pre- 
mier i  3  fois  p  pu  i  17  *)  &  puifque  zy 
eft  prenHer  â  j  &  a  x  5  »  27  fera  auffî  pre- 
mier à  1 2^.  &  ainfide  fisite  >  c*eft  à  di^ 
.re  que  fi  ^  eft  pcemier  i  Sy  b  fera  pre- 
mier à  44,  4^4^,  4^&c.&i^^  fera  pre- 
mier isy  sSydUét^  &c.  ic  P  fera  pre- 
mier i  4  »  44  »  4'  &c«  &  généralemeci: 
toute  puiflance  de   b%  Cct^  première  i 
toute  autre  puiiTance  d'4 ,  que  fi  4  &  ^ 


y 


1-76  Nouveaux  EtemeHs 

ne  (ont  pas  premiers  entre  tax  ;  maisr 
que  ^,  ne  mefure  pas  4 9  je  dis  encore 
qu'aucune  puifTance  de  1^  ne  itiefurera 
aucune  puifTànce  d'^.  Car  (bit  a  =2 
crf,  Sctz=:  ce  où  c  reprcfcntc  la  plus 
grande  commune  mefure  d'^&de  ^,  &  * 
di  8c  e  (ont  premiers  entre  eux.  Si  cPfP 
mefuroic  cvd^  en  divifànt  tout  par  c?» 
donc  e?  mcfureroit  dv ,  ce  que  je  viens  de 
démontrer  être  irapdflfble  ;  &  fi  on  fup 
pofeque  c?ev  mtfmc  c^  d^  i  en  divifànt 
tout  par  <c^  ou  par  c? ,  il  s'cniuivroit ,  ou 
que  ^P  étant  premier  à  ^™  ic  ï  f^  roe- 
lureroit  /^^  ^°^ ,  ou  que  d^  étant  premier 
à  <P  &  if^d^  mefureroit /o f P  ,  ce  qui 
eft  encore  également  impoffibte. 

Donc  tout  nombre  entier  qui  n  a  point 
de  racine  exaéle  en  entiers  n'en  a  point 
en  fradion ,  ce  qu'il  faloit  dén^dntrer. 

Il  s'enfuit  aum  que  toute  fraâion  ré- 
jduitequin'a  pas  pour  numérateur  &  pour 
<iénominateur  deux  puifTances  parfaites, 
xi'a  point  de  racine  exaâe  dans  ce  même 
degré.  La  racine  quarrée  de  7  comparée  i 
tout  autre  nombre  luy  eft  incommenfn- 
table  ;  c'eft  à  dire  qu'elle  n'a  point  de 
commune  mefure  avec  cet  autre  nombre, 
l^as  mèmeFunité;  ce  qui  eft  évident  puil^ 
que  V7  ne  peut  être  exprimée  eirafte* 
0)ent  par  aucun  nombre  ^  ni  en  entie» 
ni  eQ  fraâion. 


Jt  Arhhmtti^H0  &  iAlgehn*     277 


Chapitre    V. 

Jie  U  Fcrmatiom  des  Pmjfances  com^  ' 

plexcs* 

ON  peut  regarder  tout  nombre  com-' 
plexe,  comme  compofé  feulement 
de  deux  parties  >  &  chacune  de  ces  deux 
parties»  (  fi  elle  n'eft  pas  incomplexe)  peut 
être  regardée  comme  compoiee  encore 
de  deux  parties ,  Se  ainfi  de  fuite  jufques 
i  ce  que  par  cette  fubdivifion  ,  on  ne 
trouve  qu'un  nombre  complexe  formé  de 
deux  parties  incomplexes. 

Ce  nombre  complexe  formé  de  deut 
parties  incomplexes  s'appelle  un  binôme, 
&  ce  mot  eft  formé  des  deux  mots  La* 
tins  bis  y  qui  figiûâe  deux  fois ,  &  nomen 
qui  {ignifie  nom ,  parce  <]ue  ces  nombres 
complexes  ont  deux  parties  >  dont  cha- 
cune a  fon  nom ,  ou  (ovl  expreilion  dif- 
rerente ,  tout  binôme  peut  être  exprimé 
par  4  -*-  i  ou  par  4  *rr-lt, 

Pour  avoir  une  formule  de  la  fomu*' 
tion  de  tout  les  nombres  complexes» 
il  n'y  a  qu  à  multiplier  continuellement 
a-k-b^^iA-^by  par4-H^,&c.&  4-^ 
^  par  4*^^  par 4-^^.- 


Oferdtiû9t* 
M  +  l>  preaùete  puilTance. 


mé  •+-  x*b  •*■  hh*  ièconde  puidànce. 

41    H-   * 


« 


1*  H-  Z44h  -h-  dlb 


^ 


\A^  H^  34'fc  -4-  34^**   -*-  4^' 


4i4  -♦-  44^^  -H  644^  -*-  44^^  •+•  h*  4e  pi 

&C. 

Ofcrathffé 
^,^h  ptemieie  puiiTance* 
il —  b 


bh 


étArithmefi^t  &  d'Atgebre.      175 
44  —  %4b  -^hb*  féconde  puiflance. 
4—  b 


é>  —  Z44^  -^éibb 
^-  44^  -H  zabb*-^b^ 


iiî  ^—  244^  -+-  ^dbb — ^.  3cmc  puiflance* 


a^  '—  3  a^b  -I-  3  44^*  *—  Mb^ 
—  a^b-^  544** — ^ab^^b^ 

■ ■   k       ■■*  ■■ 

A^  •—  44*^  H-  644**  —  44^5  -H  i*.  qua- 
trième puififance  >  &c. 

-■' 

T^bU  des  Puijfances. 

X.  Âd  -I-  X4J  -^  bb 

5.  43-+-  34**^  34**  ^  iJ 

4.  44  -f-  44»^  H^   64»^*  -H  44A'  -H  ^4 

5.  4^  -f-  Ç4*^  H-I04Î^*  -^I04*i3-#.y4^4 

^-  4*  -4-  6a^b  -H  1 544^*  -f.  104^*^  ^ 

I  Ç^**4  ^  ^4if  ^  ^f 

7.  4^  -♦-74*^*  -4-   214^^*^  -♦-   ^^a^^  ^ 


4 


iSo  N^uvutix  Ëlemens 

I.  4  —  i> 

2«  44  —  tdb  -H  bb 

^.  a}'-r  34^  -^  ^abb  -^  b^ 

4*  44  .—  4^3^  -|.  644^^  - —  ^b^   -4-  ^*       . 

5.  4^  —  f^a^b  -¥-  loa^bb  —  loarb^  -♦- 
44^4  — K  &c 

Rtmarquis  fur  ces  Tables* 

1^.  Les  puilTances  d4 —  b  font  feiDr 
blables  aux  puifTances  de  même  degré 
d  4  -f-  ^ ,  excepté  que  les  puilTances  a  a 
H-  b  ont  pai:  tout  le  iigne  h-  ,  &  que  cel- 
les d  4  —  b  ont  alternativement  -+-  &  *-rv 

2®.  Il  y  a  autant  de  termes  dans  cha- 
que puiiTance  que  l'expofant  de  cette 
puifTance  a  d'unitez  +  i.  Le  quarré  a 
trois  termes  5  le  cubé  en  a  quatre  ,  la 
quatrième  puifTance  en  a  ^ ,  &c. 

3  ^.  Les  expofkns  des  ptutTances  d  4 
vont  continuellement  en  diminuant  a 
mefure  que  les  expofans  dè-^  augmen* 
tent ,  en  forte  que  la  fbmme  des  expo- 
fans  d  4  &  de  b  eft  toujours  égale  i  Tex* 
pofant  de  la  puifTance  entière. 

4^.  Tous  les  teripes  fans  leurs  abfolus 
font  continueUemenjC  proportionnaux. 

aa.  ab:  ab*   bb* 

4^  aab  i  aab*  abb  &  aab*  abb  :  abb*  b^* 

5^.  Les  abfblus  font  les  rçèmes  à  éga- 
le 


tt  ArléimeiiifH0  &  i^ Algèbre.  i8i 
le  diftance  des  termes  extrêmes;  &  ain^ 
£  déi  qu'on  a  la  première  ou  plus  gran« 
de  moitié  des  termes  »  on  a  auflî  le  ce^ 
ftc  des  fermes/ 

6^*  L*ahfblu  du  premier  terme  eft  l'u- 
nité :  l'abfolu  du  (ccond  terme  eft  Tex' 
pofant  même  de  la  puilTance  :  rabfolu  du 
troifiéme  terme  eft  égal  a  la  Tomme  des 
abfolus  des  féconds  termes  dès  puifTanr 
ces  précédentes.  Par  exemple  dans  la 
iixiéme  puiâance  Tabiblu  du  troîfiéme 
terme  eftijj&içsss  1-^1,-1-3-*- 
4  -4*  5  )  d:  ce  mèràe  abfblu  eft  égal  â 
la  ibmme  ^t  rabfqlu  du  fécond  &  du 
troifiémc  terme  de  la  pniflfànce  prece^ 
dente,  i  j  ssa  y  -4-  i  o  :  1  abfolu  du  quaH 
ffiéme  terme  eft  égal  â  la  iomme  de» 
ab((^us  àts  troisièmes  termes  des  fuif- 
iances  précédentes.  1^  exemple  dans  \z 
feptîéme  puiffknce  t'abfolu  du  quRtriémer 


«crmc  dt  3  <  ^  &  35'i=±2  i  -^  3  ^  é^ 
71  o  -H  X  J  •  £t  ce  même  abfolu  eft  égal  ir 
)a  fbmme  de  rai>fblii  du  troifiéme  Scâm 
^quatrième  terme  de  la  pniiTance  precC'- 
demc  3Ç  =:  15  -♦-  20*  &ainfidc  fuitc^ 
Ce  qui  eft  évident  pir  i a  formation  mô- 
me dts  puiflancès ,  ces  abfolus^  peuvent: 
£tre  asranges  en  triangle  de  cetce'  wm^ 
iiiere.^     .  ,    •     . 


«  ' 


&^ 


.^    <  ■     » 

I 

I.  2.  I 
1.3.3.1 

I.  4*  6.  4.  I 

!•  ç*  10.  10.  y.  I 

X.  6.  15.  10.  15.  6*  X 

I.  7.  21.  35.  55.  II.  7.  I 

Et  il  cft  aifé  .^e  cominuer  à  Tinfini , 
jmais  fi  Ton  propofe  d'élever  tout  d'aa 
coup  fans  multiplication  &:  fans  Table  ». 
le  Mname  4-1-^9  ou  n  — h  à  une  puif^ 
lance  cmelconque  >  dont  rexpofant  foijc: 
^.  On  la  tcouvcxa  par  cette  formule  gé- 
jiér^Ie* 

X 

Et  apr^  avoir  ttooTé  h  première  mo^ 
fié  des  termes  dans  les  puiflances,  dont 
rexpafant  eft  impair ,  ou  îa  plus  grande 
moitié  dans  les  autres  psilTances  y  c*eft  à 
dire  après  avoir  trouvé  /iP^*^*  sss  4^ 
i'^^Pou  =54  F**  '  A  P-"" 

On  reprendra  dans  un  ordre  contr»- 
re  les  mcriacs  abfolus  pour  mdltipliir 
les  paillàaces  di  4  &  de  ^  >  ég^ement  é- 


.» 


foignées  des  deux  extrêmes  àB  &  ^p« 

Exemple. 

Pout  trouver  la  feptiéme  pui/Hmce 
d  4  -+-  ^ ,  pgtte  qw.7  ==/ ,  &  /^  =  49^ 
&  ^)  s=  J43  &c.  En  fubmtuant  ces  nonn 
bres  dans  la  formule  ty-delTtis  »  dh  trou-^ 
vera  4^  h-  ya^k  •+•  xia^hb  h-  )54*iS  & 
IKHir  trouver  lesi^uatre  derniers  termes  ^ 
je  n'ay  <]u'à  difpofer  ks  abiblus  i  •  7* 
ai*  !$•  en  ordre  contraire.  a<.  xi.  7.^ 
I.  &  diminuer  uniformément  ^'uae  uni- 
té  les  paiflanees  d'à  >  &  augmenter  auffi^ 
imiformement  d'une  unité  fcs  puiflance» 
de  h»  Ainfi  ces  ^u^Kre  derniers  termes 
font  354'J^r*-  ii^^h^  -K  jab^  -♦-  16^^ 
êc  toute  la  putdance  eft  trouvée.  Tou-^ 
ce  là  difficulté  con£fte  à  tromrer  les  zb^ 
folus  )  &  ces  abfolu$  font  i  >  p      pp  *~  p^ 

j,î  _  %pt'^^f  ,.^4. —  iJ^î  -«-  lltf  —  4f ,  &Cr. 

Les  numérateurs  font  formez  par  ïx 
multiplication  continuelle  de  7  par  0,  par 
/'—  !>  parp  — 2r»pàr />— '^,&c.Etle$* 
dénominateurs  par  la  multiphcation  cen- 
tinucHe  des  nombres^  i  pac  x ,  far  5»  pair 
4,  8a:. 

Comme  cette  fèmak  h'eft  j^as  abfip^ 

Aa  i) 


aS4  NoHVe4l$x  EUmens 

linxient  neceflaire  pour  h  formaeion  des 
pui({ances,  &  aue  la  Demonftrariôh  me 
méneroit  trop  loin ,  ^e  remets  i  la  dcm-> 
ner  dans  un  Traité  des  t\pmbres  figurez** 

VfsgtdttaTMe, 

■ 

Il  faut  élever  à  la  féconde  puriHince 
ce  binôme  %d^b^  h-  ja^b^çyp  le  confr- 
•derc  cotnmefi  84^^*=  A  Se  nék^h^c^=s^ 
£  y  ^&  tne  fervant  de  la  formufe  4  4  -h 
%ai  -^hh^'yt  quarre  84^**  c*eft  ^44^^* 
t=AA;  je  mmtiplie  84***  par  ja^h^Cy 
ic  je  doimie  le  produit  >  cVft  1 1  %ék^h^t 
=s  lA  B  ;  enfin  je  quarre  jéP-h'-Cy  c'eft 
4^^W<7  =3=  BB.  Le  quarre  de  84'**  -h 
^d^b^c  eft  donc  644^^  h^  i  i  léii^h^e  -♦- 
^94^bUc. 

Si  1  on  avoitpropolc  le  binôme  84J4**-» 
y^^-b^c  t.  il  auroit  fallu  fe  fervif  de  la  for- 
mule 4À  '-^isb  -^  bbyic  on  auroit  trou- 
vé ^44'^*  —Il  24^^-1-  494*A*C** 

Soit  le  trinôme  84'^^*  —  ya^B^c  -f^ 
j  oi^  qu'il  faille  élever  A  la  ieconde  puif^ 
/knce  ,  ft  confidere  ce  trinôme  comai9 
un  binôme,  &  je  fïippofe  2d^b^ —  ya^b^c 
^  A& loî^^  s»B>  &  me  fervant  de  la 


* 

4  \ 

I 
I 


d* Arithmétique  &  iAigàre.  sSf 
formule  44-1-  xah  -4-  bb.  Je  cherche 
d*ab6rd  le  quarré  de  %a>b^  —  ya^b^Cs 
comme  dans  l'exemple  précèdent ,  &  je 
trouve  644^  fc*  —  îiia'fb^c  •+-  49^* 
S^c^  =s  AA,  en  me  (crvam  de  la  for- 
mule aa  ' —  xab  -h  bb.  Je  multiplie  en- 
fuite  ia^b^  — •  ya^b^c  par  lo^^S  &  /c 
double  le  produit ,  c'eft  1 60  4  ^  ^  7  _ 
i^oa^b'^c  r=  iAB,  enfin  je  quarte  loA^ 
c'eft  xoo^'°  =  BBi  &  le  quarré  cher- 
ché eft  6^a^b^  •—  1 1 24^^^  -+-  ^^a^b^c 

Autre  Exemffe* 

Soit  le  quadrinome  propofé  ta  hp* 
ji*— .  çi:-*-  lody  qu'il  faille  élever  i 
quelque  puiiTance  ,   je   fuppofe   %a  -«a. 

j£  t:;^  A  & jr   H-    ïOd  :=  B  ,    fo- 

pere  fur  2,4-4-  3^5  comnoe  fi  c*étoit  s 
-fr-  4;  &  for  • —  ^c  -H  ioii>  comme  fi 
c*étoit  4  — •  ^>  &c* 


abftf  NùHveMx  Eltment 

Chapxtri    VI. 

De  U  Xefilnrhn  des  Fmffknca  »/r- 

merie^Hcu 

LOffquc  une  puiflâncc  pr<^ofëe  en 
QCHnores  entiers  cft  exprimée  par 
plus  de chifres que  texpofant  de  lapuif- 
fance  n'a  d'unitcz ,  cette  "puiflance  &  fà 
racine  font  complexes  »  mivant  ce  qut 

Î'*Vf  démontré  au  chap.  i  \  c*eft  à  dire  que 
a  racine  eft  j^xvttsùêt  par  t>lus  d'un  cni^ 
fre.  On  cherche  ces  chiftes  Tun  aprér 
lauue  eii  commençant  par  le  premier  de 
g»iche  à  droite  >  &  qui  eft  de  plus  grande 
valeur  :  ce  premier  chifire  étant  trouver 
(êrt  à  trouver  le  {éccmdrles  deux,  pre-f 
miers  confiderez  comme  un  feul  nombre 
incomplexe  fervem  â  trouver  fe  croifio^ 
me:  les  trois  premiers  confiderez  c^m^^ 
me  un  feul  nombre  incomplexe  (êrvcnc: 
i  trouver  te  quatrième  s  &  arnfi  de  fiûte 
;u(qucs  au  dernier.^ 

On  ne  conEdere  donc  jamais  ta  raei-^ 

ne  que  comme  un  binôme  4  -h  ^  >  oxià 

reprcfcme  le  chifre  ou  les  chrfrcs  trou^- 

vez,  &  b  rcprefentc  le  chi&e  cherché;. 

Rappelle  f  IcxpoTant  de  ta  racin€^ 


d'JriémtifMi  &  iJlgelri.  ttj 
cherchée  ,  &  ^  le  nombre  àzt  chifsc» 
<]ui  forment  te  nombte  donné* 

RfiGLB     Ckhiraib. 
fofir  fextrsStim  des  rdcines^ 

1  •.  Divifcz  le  nombre  donné  en  atf-r 
tant  de  tranches  que  q  contient  de  fot$ 
f^dt  forte  que  chaque  tranche  à  com«- 
mencer  de  droite  à  gauche  contienne 
autant  .de  chifres  que  f  contient  d'tmi- 
tez,  ercepté  la  première  i  gauche  qui 
en  peut  contenir  moins  j  cVft  à  dîre  di« 
vifez  le  nombre  donné  en  tranches  de 
deux  chifres  en  deux  chifres  >  fi  vous  en 
toulez  tirer  la  racine  quarrée  ;  divifer 
ce  mSme  nombre  en  tranches  de  troir 
chifres  en  trolf  chifres ,  fi  vous  ea  vou- 
iez tirer  ta  racine  cubique,  &c. 

2*-  Tirez  la  racine  de  la  pretmeré 
tranche  à  gauche ,  cette  racine  fera  I^ 
premier  cbifre  de  la  racine  cherchée- 
J'appelle  ce  premier  cfaifre  a. 

3  \  Occz  fa  puiffanee  af  de  cette  pre- 
mière tranché ,  Se  écrivez  îe  rcfte  s'il  y 
en  a  cm  avec  la  tranche  fuivante,  comr 
me  un  dividendcr 

4^.  Ecrivez  comme  divifcur  (bus  tt 
dividende ,  la  âymme  de  toutes  les  aih 


lis  NoHtreAihç  Elimenr 

xxts  puilTances  ci  4  >  qui  fe  trouvent  daûf 
la  formule  de  la  puiflance  d'4-t-^>  qui 
a  p  pour  expofânt}  c  eft  à  dire  écrivez 
%a  pour  la  racine  quarrée  ^.écdirez  34^^ 
•4-34  pour  la  racine  cubique  :  écrivez 
44^  H^  ^4  -H  /La  pour  la  racine  quatrié* 
me  y  &c.  £n  oofervant  que  a  étant  des: 
dixaines  par  rapport  à  ^  »  il  sVnfuit  que 
aa  font  des  centaines  ,•  que  ^  (ont  des 
mille  t^  &c.  Le  quotient  b  fera  te  (econd 
chifre  de  la  racine  cherchée  *y  &  il  doit 
être  pris  plus  petit  qu  on  ne  le  pre&droit 
dans  la  diviflon  ordinaire ,  parce  que  a^- 
ptés  avoir  pris  h  il  faut  £ÉM:mer  tout  le 
refle  de  la  puiflance  d'4  -t-  b  élevée  i, 
rexporant  f  \  8c  1  oter  du  dividende ,  c'eâ: 
à  dire  que  dans  la  racine  quarrée  il  faut 
oter  lab  •+  M  :  que  dans  la  racine  cubi^ 
que  il  faut  oter  ^aab  -^^abh  -4-  P,  Sec. 
éc  écrire  le  reûe  s'il  y  en  a  un»  avec  la 
troiiîénie  tranche  »  comme  uÉi  nouveaux 
dividende. 

.  5^.  Confiderez  ces  deui  premiers  chi- 
Ircs  trouvez ,  comme  un  nombre  incom^^ 
plexe  de  dtxaines  ^ ,  &  le  treifîéme  chi-» 
fre  cherché  comme  des  unirez  b  \  &  ope^ 
lez  pour  trouver  ce  troiiîéme  chifre»  corn- 
ane  vous  avez  fait  pour  trouver  Je  fe-r 
cond  i  &  ainfi  jufqucs  au  denier^- 

SU  ne  reûe' lien  U  acine  eH  çxadc, 

s.'il 


4:  Arithmétique  &  d'Algèbre*  18^ 
s*ïl  rcftc  quelque  chofc  la  racine  eft  ap- 
prochée. 

Il  faut  toujours  prendre  b  >  le  plus 

Î;rand  qu'il  eil  po0ible  en  fatisfaifant  à 
a  Règle. 
Les  exemples  éclairciront  la  Reglç. 

Premier  Exemple. 
Il    faut  tirer  la  «cinc  quarréc  de 

Je  le  divife  en  deux  tranches  ,  &  je 
dis  la  racine  quarrée  de  1 3  eft  t .  j^écris 
3  st=ii  pour  prenaier  chifire  4c  la  racine 
cherchée.  -  ' 

x**.  J'ôte  9  de  1 3  •  il  tcfte  4 ,  &  j'ay 
pour  divideiuie  469»  fous  lequel  j'écris 
comme  divifeur  z4  sa  6o-  &  je  dis  en 
46  combien  d^  fois  é>  il  y  eft  7  fois; 
mais  avant  que  d'écrite  7.  je  forme  le 
refte  du  quatre  d'4  -4*  ^  »  c'eft  à  dire 
zal^  -4-  bb  =  420  -^  49  =5 4^9* 

3^.  J'ôte469  de  469  il  ne  refterieut 
la  racine  quarrée  de  13 j^^  eft  37  nom- 
bre checcHé. 


Bb 


1^  NékveMms  Belmm 

OferdtioH. 

^—     3   7 


44     9 


rcfte    4|ji^9  &  dividende. 
%A    6o   divifeur. 

%Ah  410 


■»«r 


Qtez^    4^9 


(cfte    ooo« 


000^ 


SiCênd  Exemple. 
n  faut  tirtc   U  racine  quarrée  de 

I40é2(- 


Je  le  divifc  en  trois  tranches* 
Je  tire  la  racitve'xjsanée  Aé$  deux  pre- 
mières 141 6  9  comme  dans  Texemple 
précèdent;  ôc  )e  trouve  qae  tfdl  37^5=3 
il  &  il  reftc  3 yx'f  y  (oxsr  feqael  j  écris 
comme  divifeur  xa  ^=  740*  &  je  dis 
en  37  combien  de  fois  7  î  il  y  eft  j 
fois;  mais  avant  quc~ d'écrire* y  au  quo- 
tient, j'achève  de  fôtlner:  le  refte  dtt 
^uarrc  d^  h-  /&;  c'eft,  idire  m^  h-  W 
=  372  c  que  j'ôte  dr  372ry.  il  ne  re- 
fte  rien. 

La  racine  cherchée  cft  3  7  2  Ç  • 

Oferation. 


4mf.  éo  .    $:=iA 


M»id«iMM*i 


-ai 


■  , .^"^    z^^=^zrroa 

otez   4|ér9 


37001 


WÊÊÊÊI 


tc&a     37|iî 
dtv}£   7  I  4(!> 

24it       3700 


fcfte       oooo*  Bb 


OperMioH  éAbregéc' 
67 


37 
7 


4J 

4Î 


li  ^ 


00  GO* 

Troijiémc  ExemfUi 

Il   faut  tirer  Ut  racine  cubique   de 

18^193. 

Je  le  divife  en  deux  tranches  )  Se  je 
tire  la  radne  cubique  de  la  première 
1 8  ç  >  c  eft  5.  récris  5  as  4  pour  pre- 
mier chifre  de  fa  racine  cherchée. 

%^.  De  18^  jote  II 5  cube  de  j.  il 
îcfte  ^o,  &Hy  pour  dividende  60193* 

Î^<>.  Je  prens  3^  ==5  150.  que  je  mul- 
^  ie  par  4  =  î  >  afin  d*a¥ojr  3/14  s= 
7500.  &  jaypour  divifeur  344-1-  34 
a=3  7^ ço* 

4^  Je  divifc  601 93  par  7650»  & 
avant  que  d'écrire  le  quotient  h  ^sss. 
j.  j'achève  le  refte  du  cube  d  4   -h 


t.  c'eft  à  dire  ^aab  -h  ^abk  -h  bf 
=  éoi93  »  ^î*^  f ôtc  de  dei9j«  il  ne 
refte  rien  &  la  racine  cherchée  eu  $7. 

Opération* 

i8fç|i93     f  J7 


• 

^  •  •  • 

refte 
diviC 

^0(19} 

344J. . 

7 

f- 

51- 
343 

ôtez 

601^3 

refte   oooc  o» 

f  = 

'.a 

Iî.=: 

l* 

S" 

7Î-  •  = 

344 

7^5.  ss  ^M  ^  ia  divif^ 


h 


75.»   3««     49   ^;& 

7       ^      M  3* 
49 


735-  3'»**    ... 

Bb^  nî 


-^  1 


Il  faut  tiret    la  racine  cubique  ^c 

3**.  Je  le  divifc  en  trais  tranches 
1 6 1 974 1  f  9  3  •  L^  tadnc  cubique  de  la. 
première  tranche  i  é  eft  2.  car  le  cube 
de  1  &  8  )  &  le  cube  de  3  eft  27.  Je 
fuppofe  1  :r:  4  &  ôtant  8  rr  4^  de  i  ^. 
il  me  rcftepour  dividende  8974- &fay 
pour  divifcur  344  -♦-  34  rr  iz6o- 

Si  c'étoit  une  diviupn  ordinaire  je 
pourrois  prendre  7  pour  quotient  i  -car 
7  fois  1 1 60  ne  produk  que  88io  >  qui 
eft  plus  petit  que  le  dividende  8974  V 
mais  parce  que  ce  divifcur  n'eft  qu'un  di*- 
vifeur  d'épreuve,  &  que  prenant  7=:^ 
je  ne  pourrois  pas  oter  3  aàb  -h  3  M  -i-| 
^3  de  8974.  Je  fuppofe  t  ::n  6  &  je 
trouve  qu  il  eft  encore  trop  grand  ^  c'eft 
pourquoy  je  fuppofe  ^r=:  5  &^.tant344i^ 
H-  34^^  H-  *'  zr  76 x^  de  8974.,  il  rc- 
fte  1349.  &j*ay  pour  Jiouyeau  dividen- 
de I349Î93- 

2°.  Je  fuppofe  2  ç  :=  4j  &  f ay  pour 

divifeur  344 -1-34  =  1 8^250*  le  quo- 
tient eft  7  zi:  ^,.fe  ic  trouve  ^aab  h^ 
34^^  -^  P  =  I349$93«  d*ou  je  con- 
clus que  la  lacine  xlicrcnée  eft  257*^ 


i^.  Il  y  a  atttaât  de  cfai&es  d  la  ra- 
cine, qu^iî  y  a  de  tranches  dîOis  la  pui& 
(ànce. 

•  %^.  Lors  que  fe  dividende  cft  plus  pe- 
tit que  le  divifeur,  ou  quon  n'en  peut 
pas  ôcer  lere(te  de  la  pui(ratK:e,  il  faut 
mettre  un  zéro  dans  la  racine ,  de  même 
quç  dans  Jadivifioti  ordinaire  on  met  un 
zéro  dans  le  quotient. 

3  ^  Lots  que  1  expofant  de  la  puiflaru 
ce  eft  un  nombre  compofé  >  on  peut  ex- 
traire la  racine  par  parties.  Ainfî  pour  ti- 
"ter  la  racine  quatrième  ,   on  peut  tirer 
la  racine  part  4a  formule  4^  *^  411  '^  -^ 
^iuéb  -♦-  4inb^  -4-  h  y  qui  cft  la  formu- 
'le 'propre  â  ce  d'egré  s  ou  bien  on  peut 
tiret  la  racine  quarrée,  &  enfui  te  la  ra- 
cine quarrée  de  cette  racine  ,  ce  qui  rc- 
-viewt  ati  raêmfc-,  î&potir  tirer  la  racine 
Uri^e  d  un  nombre  propofé  »  on  peut 
s'y  prendre  de  trois  manières,  i^.  En  ti- 
rant la  racine  dircâem^nt  fuivant  ia  for- 
ttîtile  propre  de  ce  degré ,  qui  eft  m^  •+• 
"éa^  H-  1  ^a^iS&cc.  2^.  En  tirant  la  ra- 
tine-qitacrée  fttTvtint  la  Ibrnfnile  10  -¥- 
'^ah  -♦-  ft6  >  iSc  tnfitite  la  racine  cubique 
4e  cent  racine  fuitani  la  formule  à^  ^ 

Bb  iiij 


Z9S  Nou^eMMx  Elemem. 
^aab  -^  ^abb  -¥-  bK  j^  Eft  tirant  la  r»- 
cine  cubique  y.  te  cnfuite  la  racine  quai^ 
rée  de  cette  racine  cubique.  La  fecondti 
manière  eft  la  plus  commode  &  en  gé- 
néral ,  il  faut  commencer  par  L'expo^t 
premier  qui  eft  le  plus  fimple  ,  &  con- 
tinuer de  même ,  parce' qu  il  eft  phs  ai- 
(c  de  tir^r  la  racine  quarrée  d  un  grand 
nombre  *>  &  enfui  te  la  racine  cubique  d'un 
petit  >  que  de  tirer  la  racine  cubique  d'un 
grand  nombre  9  &  enfuite  la  racine  quar- 
rée  d'un  petit. 

4*^.  Dans  les  divifeurs  d'épreuve  on 
peut'prefque  négliger  toutes  les  puiflan- 
ces  d  4  >  excepte  la  première ,  fur  tout  » 
locs  que  la  puiflànce  eft  d'un  degré  élch 
vé  ;  éc  que  le  chifre  d'4  ou  fon  premier 
chifre  approche  de  9.  ou  qu  il  eft  beau- 
coup plus  grand  quq^  b ,  parce  qu'alors 
ces  puifTances  inférieures  n'ont  pas  de 
rapport  fenfible  à  la  première. 

Âinfi  dans  le  cube  on  peut  fe  conten- 
ter de  prendre  ^éa  pour  divi&ur  au  lie^i 
de  344  -*-  34. 

ç^  On  peut  fe  fervir  de  ce  divifêur 
d'épreuve  pour  trouver  le  refte  de  la  puif* 
fance  i  ôter:  car  multipliant  344-1-3^4 
par  by  le  produit  eft  344^  h-  34^  ,  &  fî 
on  y  ajoute  le  produit  de  34  par  61»  -^ 
by  qui  eft  ^abb  --<  34^  plus  le  cube  de 


Jt Arithmetiefue  &  d*Algcbri.  197 
Ir  ;  on  aura  yuib  -^  ^abh  h^  b^  9  ce  qui 
abbregc  lopeiarion. 

IhmonfirÂtion* 

Si  la  puilTance  propofée  eft  une  pui(^ 
fance  parfaite ,  &  dont  la  racine  Toit  ex- 
primée par  dcmc  chifres  a  ^  b  .m  37 
:=;  jo  -H  7>  il  cft  évident  que  fa  puiflan- 
cc  fera  exprimée  çat  aV  -^  pav^ «4*  -i- 

^^""'^  dV-^b"-  Sec.  c'cft  à  dire  que  fi  la 

puiffance  propofée  eft  un  quarré  »  elle  fe- 
ra exprimée  par  aa  -h  24^  h-  bbzzz^oo 
H-  410  -H  49  9  &  fî  cette  puiflànce  eft 
un  cube ,  elle  fera  exprimée  par  a?  -4- 
J44A  -♦-  ^M  -H  4^  =  27000  H< 
18900.  -H  44ro-*-  343,  &c.  OrpuiC- 
que  Â  (ont  des  dixaines  »  il  eft  évident 
que  44  {ont  des  centaines»  &  4'  des  mil- 
le &  ainfi  de  fuke ,  donc  fi  Ton  diviiè 
lè  nombre  donné  en  deux  tranches,dont 
la  première  à  droite  fbit  de  deux  chi<* 
fres  pour  le  quarré  :  de  trois  chifres  pour 
le  cuDe,&c*  La  première  tranche  à  gau- 
che conriendra  les  centaines  >  &  par  con- 
fequent  le  quarré  aa  \  ou  elle  contiendra 
les  mille ,  &  par  confequent  le  cube  4'  ; 
&c*  donc  en  tirant  la  racine  approchée 
dç  cène  première  tranche  on  trouvesa 


HL^i  NoHWMx  Ekmens 

la  valeur  d  4  9  &  îe  dis  que  cent  valeuf 
ne  peut  ^cre  ni  trop  grande  ni  trop  pe*^ 
cite  d'qne  unité  :  je  dis  que  4  =  3  o  & 
que  a  ne  pcui  être  ni  rzz  40.  ni  zz  20. 
Car  fi  4  =r  40*  quelque  .petit  nombre 
"Tqu'on  fuppofe  pour  A, fut- ce  i  rr  o-  1& 
quarred*/!  ^i6  fera  ou  itfoo>ou  unplits 
^rand^nombrc  *,  donc  la  première  tran- 
che fcToit  on  16  ou  un  ptas  grand  nom- 
in:e  contre  rhypothtfe,  puifquc  la  raci- 
tse  appcochée  de  cette  pianieie  tranche 
n'eftque  j.  &  de  même  à  proportion  du 
cube  &  des  a^rts  pui^anccs. 

z®.  a  ne  peut  pas  ctre  plus  petit  que 
3  dixaines ,  car  fi  4  zziTso  quelque  gratrd 
•nombte  quon  fiippofe  pour  t  fot-ce'it 
szitp.   fott  quarré :,  fon  cube,  &c.   fera 
-moindre  que  le^^naité,  le  cube,3cc.  de 
30«  &  par  confequent  la  première  tran- 
se fera  moindre  ^ue  9  5  que  ty  6cc. 
^contre  i^hyipotiiefe  donc  4  rz  }  o. 

Ayant  éaié  Mf  éc  toute  ia  puiiTance  il 
-ttfte  faf-^*  ftc^'eft  à  dite  il  reftedans 
ie  quâODé  tdé-^bhi  dans  le^ube  il  re-- 
*e  34*^^  -4-  34**  -f-  *^  &c. 

Je  nue  (ers  de  «ce  refte  pour  trouver  t,  en 
^confiderant  ce  refte  comme  un  dividen- 
«de  i  &  je  prens  pour  divifcur  la  fomme 
4e^  puitlànces  éta  que  je  <:oanois  \  il  fau- 
drait 4ivt&r  li^^ktftx  XM  ^hy  afin 


i  AAthmttique  tir  ttjS^hn.  299 
it  trouver  b  pour  quotient ,  mais  parce 
que  je  ne  connois  pas  ^  ,  je  ne  puis 
prendre  pour  divifeuc  ideprcureque  z4, 
&  de  même  il  faudroit ,  pour  trouver  b 
dans  la  racine  cubique ,  divifer  iijuth  h» 

^abb  -H  b^  par  344-1-  S'**  **"  ^^*  ^^^ 
parceque  je  ne  connois  qu  4  »  je  prens 
.pour  divifeur  4'^ptcuve  344-*-  34;  &jc 
prens  un  xjuotiem  tel  que  je  ptiflc  ôtcr 
du  tcftc ,  le  jrcfte  de  la  puilCmoe  i  ^  il  cft 
ivixlent  €[ue  s'il  ne  refte  rien  la  racine 
cherchée  eft4H-itr:;=30-»-7=:  37. 
&  s'il  refte  quelque  choie  on  acmontre- 
ra  aifément  comme  c^rdeâus  »  que  la  ra« 
cine  cft  imparfaite  (entre  37  ^38  }  9c 
qu'elk  eft  incommenfurable. 

Que  (\  la  puiflance  propofée  :a  plus  de 
Atxa,  chifres  pour  fa  racine  >  on  démoDr 
crera  <x>mine  cy-deflus  qu'on  trouve  d'a- 
bord les  deux  premiers  chi£:es  \  ôc  que 
ces  deux  premiecs,  confiderez  oomme 
un  feui  nombre  incoinplexe,  font  axm- 
ver  le  troifiéme  >  6c  ainfi  de  fuite* 


}(Mi  N9MW40X  EUmi»f 


.Ait^m 


C  ITA  P  I  T  R  E      VII. 

JDr  f  dffrcximatiûn  des  Rdctnes  nkme''^ 

tiques. 

LA  Méthode  ordinaire  pour  ap(>rd^ 
cBer  de  la  valeur  des  racines  incomr 
menfurables  eft  d'ajouter  au  refte  de  Tex- 
tra&ion  autaiit  de  tranches  de  zéro  que 
l'on  veut,  &  de  continuer  rextraâiôn'^ 
&  Ton  trouve  des  fra&ions-  decitiïalés  à 
ajouter  au  nombre  entier  dé  l'a  racine 
approchée» 

En  ajoutant  une  tranche  de  zéro  on 
éne  de  moins  de  -^  :  en  ajourant  deux 
tranches  oa  erre  de  moins  de  —^  :  en 
ajoutant  trois  tranches  de  zéro  on  erre 
de  moins  de  ~- ,  6c  ainfî  de  furte. 
s  Les  tranches  ifont  de  deux  zéro  dans 
le  quarré  :  de  trois  zéro  Jkn$  le  cube  : 
&  ainfi  de  fuite. 

Exemple. 

En  tirant  la  racme  quatrée  de  f  i ,  je 
trouve  que  c^eft  7  >  dont  le  quarré  eft  49, 
&  il  refte  4. 

Je  veux  trouver  cette  mSme  racine  i 


Jt Ariphmttique  &  d* Algèbre j'  jot 
ixK>ins  dc-^  prés,  c*cft  à  dire  je  veux 
trouver  un  nombre  dont  le  quarié  foit 
çlus  petit  que  çj  ;  mais  qui  en  appro- 
che u  fort  qu'en  ajoutant  feulement  -^  i. 
la  racine  »  le  quatre  foit  plus  grand  que 

J  ajoute  deux  zéro  au  rcfte  4,  &  je 
continue  Textraâion  fut  400  par  lara^ 
cine  70  «  4  •  &  je  trouve  b  plus  grand 
que  z ,  &  plus  petit  que  3 .  je  dis  que  7 
^  eft  la  racine  cherchée  »  dont  le  quar^ 
ré  ji  Y~  eft  plus  petit  que  53.  mais  y 
ajoutant  ^ ,  le  quarré  de  7  -i  eft  plus 
grand  œie  13  5  car  c'eft  j  3  ^^  donc  la 
racine  4e  53  eft  entre  7-^  j&yJL^  ^ 
Terreur  eflr  moindre  que  -^* 

%  OperdtiêH. 

$3  I    7^' 


■««■ 


49 


4 1 00 

I  f  4X 


Ji.      1 1" 


rcfte    I      16- 

La  Règle  générale  feroit  de  multiplier 
la  puifTance  propofée  par  la  puiflànce 
femblable  du  nombre  qui  exprime  l'er* 


502  NbMVfdmx  EUmems 

Tcut  â  laquelle  on  s'efl  fixe ,  &  de  di  vi* 
&r  la  racine  da  produit  par  ce  même 
nombre  ;  car  te  quotient  feroit  la  racine 
approchée  Se  cherchée. 

Par  exemple  fi  l'on  vouloic  cirer  la*  raî- 
cine  quarrce  de  çj,  à-^  prés  j  il  faudroit 
multiplier  53  par  324quarré  de  i8>& 
divifer  la  racine  quarree  du  produit, 
iljiyi^)  qui  eft  entre  1 3  I  &  iji-ll 
faudroit  dis  -  je  divifer  131  pariS»  & 
le  quotient  7  ^  eft  la  racine  cherchée; 
mais  â  caufe  qu  il  eft  incomparablement 
plus  aifé  de  multiplier  pat  100  >  par 
I  oooo  y  Sec.  &  de  divifer  par  i  o  9  par 
ï  00  >  &c.  L'approximation  de  toutes  la 
plus  aifée  eft  celle  des  zéro ,  8c  elle  eft 
préférable  a  toute  autre  approximation 
purement  arbitratre.  # 

Demonfiration. 

Lors^  qu  on  multiplie  hu:  puiftance  pro- 
pofée  à^y  dont  on  cherclie  la-  racine  4» 
fors  dis-je  qu'on  la:  mult^lie  par  une  au- 
tre puiflance  fcmblable  quelconque  hv^ 
la  racine  du  produit  é^  eft  4  ^  »  &  en 
divifant  cette  racine  par  ^,  il  eft  évident 
que  le  quotient  eft  4  >  racine  cherchée 
cxaâe  ou  approchée* 


Jt Arithmétique  ^  JCAÏgetrc^    fcf^ 


Chapit&b     VIIL 

Jktethde  noHvette  peur  l' apfrcximâtiû» 

des  Kacines* 

LA  MctHodc  que  je  viens  d'expliquer 
eft  purement  arbitraire ,  en  voicy  une 
qui  eft  incomparablement  plus  courte, 
éc  qui  eft  fondée  fur  h  nattlre  même  de& 
nombres^  Je  la  publiay  dans  le  Journal 
du  14.  May  1^91.  &c  je  la  fis  imprimer  au 
xnoi^de  Décembre  de  la^  même  année.^ 
L'origine  &  les  principes  de  cette  mé- 
thode fuppofent  pluiîeurs  Règles  (ur  la 
refolucion  des  équations.  Ailnfî  je  me 
contenceray  de  donner  icy  la  Règle  avec 
quelques  exemples >  &  Ion  en  trouve- 
sa  la  Demonftration  dans  les  addition» 
&  édaircifTemens  qui  font  à  la  fin.^ 

Règle  gintrate* 

5oitIa  puiflance  propoice  ^  ^^,  oà' 
ir  reprefente  la  racine  approchée  cn^ 
nombres  entiers  >  &  h  reprefente  le  re-* 
fte  de  VextsaâioQ.  Seivez-vou»  pour  Est 


504  N^ttvtawc'  Ellmenr 

quarrc  de  la  formule  d  approximation  ^-k 

—  :  pour  le  cube  de  la  formule  4  :+: 


2/1 


— --^^  :  &c.  &  VOUS'  aurez  la  première 
racine  approchée. 

2,^.  Suppofez  a  -±^  —  ,    ou  4   ^ 

^  —r  ^=iCy  Se  ôcez  cP  d«  4P  -h  A,  o» 

^.p  -H  ^  de  cP  >  le  plus  petit  du  plus  grand 
&  foit  le  reftc  h^:  </. 

2®.  Prenez  pour  féconde  racine  ap- 

ptochée  tf  — •  —  dans   le  quarré  9   on 

racine   approchée  dans    le  cube   c    :±: 
^y  &  ainfi  de  fuite.  Vous  approche^ 


cd 


rcz  i  Tinfini  de   la  véritable  racine  de 
^  Hh  *- 

Exempte. 

Le  côté  du  quarré  étant  i ,  le  quarré 
de  la  Diagonale  cft  z.  &  par  eonfequcnc 
pour  avoir  la  grandeur  de  la  Diagonale , 
il  faut  tirer  la  racine  quarcée  de  2.  Tay 
donc  4=1  &/»=!.    &  fuivant   lit 

&rmulç  é*^  —  j'ay  pour  féconde  ra* 

cinc 


Jt Arithmefitpie  &  tAtgthn.  féj 
cine  approchée  4^  ou  |-,  &  pour  troi- 
ficmc  racine   j'ay  |  :  pour    quatrième 

X»  •   occ» 

Secênd  Mxempl^ 

Pour  tirer  la  racine  cubique  de  loo't 
j*en  tire  d'abord  la  racine  approchée  enir 
entiers ,  c'eft  4  ==f  4  »  dont  le  cube  eft 
^4 ,  &  it  refte  3  ^  sss^.  Se  fuivant  la 

formule  4  -+-   -^ r  y  î'ay  pour  (ècon* 

3^3  -^^    *   *  * 

de  racine  approchée  4  ^f  >  dont  le  cube 

•^  99  mf"»  9^i  diflfere  de   100  ,   de 
moins  d'une  unité» 

Cette  différence  êft  4|^  ,  &  ff  on^ 
feppofe  4  ^^  =s=  4  &  -Hfl  =c^,  on  trouî- 


yera  par  la  même  £;>rmule  a 


une  troisième  racine  incomparablement 
plus  approchée,  &Cr^ 

J'ay  expliqué  £on*  au  Idng  1  origine 
&i'uiage  de  cette  méthode  avec  fa  De^ 
monftratiôn  dans  la  fécondé  Edition  que 
yen  fis  au  mois  de  May  lé^i.  imprimée 
in  4®.  chez  Jean  Cuflbn*,  mais  comme  aet- 
(e  méthode  n'eft  pas  abfolument  nece^ 
iaire  pour  le  calcur,  &  que  cela  me:  mé«> 
aeroit  trop  loin,  li  j'entteplrenois  icyrde 
^expliquer  i  fonds  >^  je  n  en  dîray  pa*» 
davantage.. 

Ce 


V. 


foS  .fïom/cMx  Elemens 


tàtJ «i<    f 


Chapitre     IX* 

Méthode  nmw&t  f^ar  VExtrékQion  des 

ti4cj»es* 

CEttc  Méthode  cft  une  fuite  de  ma 
méthode  d'approxîmaïion  ,  &  eîle 
cft  '  indéfiniment  plus  abbïcgéc  que  la 
lùeïhode  oitdinaice* 

^      ,  Exemple. 

.Strttîc  pahc  ftopofé  817.  400.J7Ç- 
mu  j[ieii.^e  k  di viièr  en  Oéois  tranches  àer 
trois  chifres ,  comme  dans  la  méthode  or- 
dinaire ,  )e  ne  le  divifc  qu  en  deux  dont 
la  pccmîeijeeft*  i7,&Ufocôndc40057ïr 
je  néglige  entièrement  cette  dernière 
ttanchci  Se  je  ne  cherche  firopUmcnt  que 
fa  Racine  approchée  de  8 17.  en  me  fer- 

Vant  de  la  formule  4  -4-  —- — -r- 

La  racine  cubique  approchée  de  817^ 
tô  9=:^»  dotrt  lecttoe  eft  7^9^  ^^ 
fèfte.SS  t»  &.  Je  multiplie  S 8  par  9, 
afin  if  aYok  k  nnwecatcur  ^i  5=c  79  A* 
j'ajpfircc  i8>8  i  4 1 87-  ccipic  <îu  cube  72.9» 
&  fay  le  dlcnominateur  34''^  ^ss  za7S^ 


d^  Afitimeti^  é"  JtAtgi^ttw.  507 
Xa  i;acine  approchée  de^i^  eft  donc  9 
If-j-,  &  parce  qiie  la  racine  cubique  de 
^17400375  ooic  avoir  nois  chifres, 
j'ajoute  deux  zéro  au  numérateur  »  &  je 
divife  79x00  par  X  17c.  le  auotienteft 
au  plus  prés  3  r  ,  j*écri$  3  5  ae  fuite  a^ 
prés  9;  &  je  dis  que  955  eft  la  racine 
cubique  du  nombre  propoïï",  ce  qui  fe 
vérifie  en  (uppofant  900  ==r  4  &  jç 
c=  ^.  Car  344^  -♦-  3^M'  ^  ^  =:r 
88400375. 


Sicond  Exemple* 

A 

Soit  le  cube  propofé  ^96.  53  ^48 3  r 
5 1 8^40035 073  ^4 1037.  dont  la  ra- 
-ciné  doit  être  exprimée  par  neuf  chifresr 
Xe  plus  habile  Calctolaceui  ne  fauroit  ve- 
DÎT  a  bout  en  un  mois  de  tit er  cette  ra^ 
dne  par  la      *thod%  ordinaire. 

i^^.JFc  diviic  ee  cube  en  trois  tran- 
-ches.  La  txremfete  €(»ntiem  ks  trois  pre-* 
jxiiers  chihrcs  de  gauche  i  droke  696.  Lx 
féconde  tranche  contient  tes  iix  chifres 
iiiiyans  5  3  648  3  •  Enfin  la  trmfiéme  tran- 
che contieift-  les  dîK-huit  deniers  chi- 
nes ,  felquels  je  néglige  entieremetu 
comme  uiutîleà  dam  ma  méthode. 

2^^  Je  tire  la  ncine  oibique  appr»^ 
cfcée  <ks  dcux^^rcraeiei^  tranches  %f^* 

Ce  i>    ^ 


5oS  No$0veéHx  Elemenr 

Î3  ^48 }  >  comme  dans  l'exemple  *cyÉ-^ 
elTus  ',  ic  je  trouve  que  cette  racine  eit 
886  VôlrWhr  ^"ivant  U  forraule  ^  * 

^3  -+-  ^ 

3.°.  Pour  trouver  les  fîx  derniers  ciufires 
de  ma  racine ,  j'ajoute  Hx  zéro  au  numéra- 
teur i  &  fedivife  912603921000000 
par  2087.  545)1.  jjç.  le  qpotient  cft 
437166  que  j'écris  de  fuite  après. 8 8 6» 
&  je  dis  que  la  racine  cubique  cherchée: 
cil  8  8  643  7 1 66  ea  encicrs»^ 

Troi^ét9Ê€  Eximfîe. 

La  duplication  du  cube  efi:  un  des  plus* 
fimeux  Problèmes  de  l'antiquité^  &  com^ 
me  il  a  beaucoup  de  rapport  à  l'extra- 
iftion  de  la  racine  cubiqtie,  je  vais^  l'ex^ 
pliquer  en  peu  de  mots.  Plutarque  rap- 
porte dans  Ion  Traitté  du  Génie  de  So- 
crare  que  Platon  revenant  d'Egypte:  ret>« 
contra^  des  habitans  de  Vl&t  deDelosî». 
qui  lie  confulterent  fur  un  oracle  d'^ 
pollon,  dont  ils  avoient  mal  pris  Ib 
&ns  )  ils^  avoient  confulcé  ce  Dieu  furie 
moyen,  d'être  délivrez  de  plufi€urs.mauK: 
qui  les  accabloient  r  &  la  Prctrefle  leur 
répondît  que  eux  et  x.b»   Gnicf  ob^ 

ini£H9&OI£H7   G£   QUJLLS   D£MUt»I>0Ul^^ 


et  Arithmétique  &  JtAtgiire.     jcfy 

POURTEU  qu'ils  b'lEVASSENT  A  ApOL^ 
lOK  UM  ÂÙTEL  DOUBLE  DE  Cif^UY  C^ 
BSTOIT   A   DeLOS.  * 

Cet  Autel  ctoit  de  figure  cubiqiiese'eft 
si  dire  de  la  figure  d^ln  dé  à  jeuer  >  & 
compris  (bus  iix  quatrez  égaux  &  pei>* 
pendiculaires  Tun  â^Tautre. 

Dans  le  defiein  d*obeïr  à  l'Oracle  >  ifs 
drefierent  un  Aucel  qui  avoir  deux  fois 
plus  àz  longueur >  deux  fbis  plus  de- lar- 
geur y  &  deux  fbis  plus  de  hauteur  \  mars 
w  reconnurent  bien-cât  leur  erreur:  car 
ce  dernier  Autel  étoit  oâuple  ^  au  liea 
d'être  double  du  premier  \  Se  ne  Tachant 
par  oà  s'y  prendre  pour  le  rendre  doi^- 
ole,  ils  conuiltcrent  Platon  comme  im  h^ 
bile  Geometre*^  Ce  Philofophe  donna  à 
fOracle  une  intrcprcration  myftcricufe'V 
&  prétendit  que  les  Dieux  vouloieni  pat 
H  exciter  les  Grecs  i  l'étude  de  IaGeo<- 
metrie ,  &  en  général  à  L'étude  des  Scient 
ces  Se  des  beaux  Ans  :  que  cette  occupais 
«ioa  fcroir  cefler  parmy  eux  les  troubles 
&  les  divifîons  y,  la  principale  caufc  de 
kurs  malheurs. 

On  ne  laifla  pas  de  chercher  à  iatis^ 
faire  l'Orade  dans  le  fens  littéral ,  &  le 
Problème  de  la  dujdicatiotr  du  cube  dc^ 
irint  fameux  parmi  tous  les  Géomètres» 

Pour  lefoudxe  ce  Problème  arithmcti^ 


^uemenc ,  il  faut  trouver  k  rappcrrr  en^ 
nonibces  du  côté  du  aibe  iuiaple  au  cô- 
té du  cube  double  \  c'cft  à  dire  ^e  ^ 
Xe  côté  du  cube  ilmple  eft  i .  le  côté  da 
cube  double  {bray^i.  Il  faut  donc  tirer 
4a  xadne  cubique  approchée  de  il.  &  me 

fcrvant  de  la  formule  4  -h  ^ r  >   F^ 

trouve  4  :=;ri  •  &  ^  £=1^  I  •  donc  la  (econ^ 
de  racine  approchée  eft  i  i ,  dont  le  cu- 
be I  ^  eft  prfcfquc  égal  à  x  ;  la  diffé- 
rence eft  ^  <|iic  je  fuppofe  ég;J!e  à  fr , 
•&  I  ~  ou  I  =^  4  ;  je  trouve  pour  troifié^ 
«e  racine  approchée  ||^  ou  ^y^^^t- 
xe  troifiéme  racine  approche  fi  ^tt  »  qmer 
£  l'on  eut  élevé  un  fécond  Autel  fem^ 
i>labk  au  premier ,  &  dont  le  c^é  eut 
été  au  pôté  du  premier,  comme  655  à, 
J049  Apollon  auroit  eu  mauvaise  grâce 
de  chicaner  la  deflus.  Car  fuppofant  que 
le  pcemer  Autel  eut  7  pieds  en  tout  fens^ 
cVft  à  dire  1 008  lignes.  Le  côté  dt  FAu- 
«el  double  auroit  du  être  de  1270  ^^^^ 
gnes ,  c'cft  à  dire  de  8  pieds ,  9  poUces 
&  ip  lignes.  Le  premier  Autef  axtroiteu 
de  (blidité^43  pieds  cubes,  ou  une  toi- 
fc  &  1 17  pieds  cubes  :  le  fécond  Autel 
auroir  eu  £048  }  8  ;  000  lignes  cubes  'y 
c'eft  à  dicc  685  pieds  »  171^  pouccf, 
J4|i  lignes  cubas.  Ok  fourètare  piseci- 


fémcm  double  ,  cette  folidité  devroit  ë- 
trc  de  68  6  pieds  cubes  ,  &  il  s'en  faut 
environ  un  pouce  &  un  fixicme;  c'eft  â 
<{ire  beaucoup  moiiis  de  la  tuillioniéme 
partie  du  tout,  ce  opx  eftune  erreur  irv^ 
lenfiblcr 

jfutre  reffflHtion  du  mime  Pr0k[cme*\ 

S  Oit  le  côté  du  cube  fimple  =:  i  ,  & 
le  côté  du  cube  double  =  V^z.]t  muf- 
tiplie  te  cube  2  par  i  z  5  cube  de  5 ,  &  je 
tire  la  racine  cubique  approchée  de  t  j  o. 
La  raifon  potirquoy  je  multiplie  par  r  i  y 
plutôt  que  par  tout  autre  nombre  cube, 
c  eft  arai  que  la  première  tranche  foit 
plus  gramîcquc  193  »  &€cft  une  prépa- 
ration necdïaire  dans  ma  méthode;  or 
125  eft  îc  plus  petit  cube  qui  muïtiphc 
par  z  y  produife  un  nombre  plus  granti 
que  f  91 5  &  pîus  -petit  que  loôo» 
■  La  r^ine  rabique  apî>rochéc  de  iço 
eft  tf  =rr4f ,  &  il  refte  24  =  15 ,  &  fui- 

vam  la  formule  41  -♦-  r  =6-1^ 

f|f  OU  6  -ih  ]l] y  Se  ajoutant  (par  Re^ 
gle  générale.)  deux  xero  au  numérateur^ 
j*ay  pont  féconde  racine  approdiée  630 
'^—  tI^.  Je  prens  630  qui  approche  par 
czcez>  plutôt  ^ue  6zy»  qui  approche 


JM  NùUvrMx  Elément 

par  défaut»  pâfce  que  Texcez  eft  beaueot^ 
moindre  que  le  défaut.'  Le  cube  de  63  o 
cft  250047000  qui  furpaife  ifo.ooa* 
©00.  de47000«  je  fuppofc  630  =  #• 
&  47000  =  ky  je  me  fers  de  la  for- 
mule d'approximittion  par  excez  4  — ^ 

^       i  >   &  je  rrouve  pour  troifîcmc 

racine  approchée  630— ff^  ou  tfao 
r-  Î7Î J^-  rajoute  fpar  Règle  générale.) 
ux  zéro  au  numérateur  >  &  je  trouve 
630.  oooooo.  —  03.9475;.  c'cft^à  dire 
6i$j  960*  515*  dont  la  cinquième  par- 
tie 1x5991. 105.^ eft  Ut  racine  cubique 
approchée  de  zooo-ooo.ooo.ooo*ooo» 
000.  000.  000.  Ainfi  le  côté  du  cube 
Ample  étant  loo.ooo.ooo.  le  côté  du 
cube  double  eft  entre  ii.599'X.  ic.f  & 
1x59921 04.  &  û  l'on  veut  trouver  une 
quatrième  racine  approchée  y  oii  fuppo- 
Kra  62.9*  960.   I2f.  ==  4  ,  &  375* 

?^^9.  i8j.  19^7.03125=^-  Car  ccft 
excez  du  cube  de  629^9^^o.  I2  5.ruc 
250.000-000.  000.  000. 000.  000. 
coo.  ooo*   On  fe  fervira  encore  de  là 

formule  4  •—  -       7  y  &  on  ajoutera 

(par  Règle  générale  )  dix-huit  zéro  au 
numérateur,  &c.  Pour  avoir  à  moins  d'u- 
M  unité  prés  le  côte  du  cube  double» 


J^ Arithmétique  &  dAlgehre.  jîj 
U  côté  du  cube  firaplc  étant  locooo. 
ooo-  ooo.  ooo.  ooo.  ooo.  ooo.  ooo. 
&  on  trouycra  de  même  çn  général  le 
rapport  des  coter  de  tous  les  corps  fcm- 
blablcs ,  'pour  les  augmenter  ou  dimi- 
nuer en  raiibn  donnée  de  nombre  a  nom- 
bre ,  ce  qui  cft  d'un  très  grand  ufage  ;  fur 
tout  fi  1  on  joint  à  cette  methoifc  celle 
que  je  donne  dans  le  triangle  des  rap- 

£êrts  pour  trouver  \c%  plus  petits  nom- 
res  oui  expriment  au  plus  prés  une  rai-    ' 
£>p^  donnée. 

Quatrième  Exemple. 

Un  nombre  eft  moyen  prc^rtionnel 
entre  deux  autres ,  lors  que  le  premier  de 
ces  nombres  cft  au  fécond  ,  comnie  le 
fécond  eft  au  troifiénaê.  Ainfi  6  éft  taoyeri 
proportionnel  entre  4  &  9. 0*4. 6  :  6. 
5.  &4.  cft  les  deux  tiers  de  £.  comiiie  i 
cft  les  deux  tiers  de  9.  •       ' 

Pour  trouver  un  moyen  proportionnel 
entre  deux  nombres  donnez ,  il  n'y  a  qu  i 
mulriplier  ces  deux  nombres  l'un  par  l 'au- 
tre &  tirer  la  racine  quarrée  du  produit. 
Multipliez  4  par  9.  &  tirez  la  racine  quac^ 
rce  du  produit  3^,  qui  cft  tf.  moyen  pro- 
ponionnel  entre  4&^. 

Dtox  nombres  font  moyens  propottion- 
naux  entre  deux  autres  ,  loriTque  comme 

Pd 


514  Nouveaux  Elemens 

le  prcmiet  de  ces  deux  autres  eft  au  pre^^ 
mier  des  deux  moyens  >  ainû  le  premier 
des  deux  moyens  eft  au  fécond  \  &  ainiî 
«e  fécond  des  deux  moyens,  eft  gu  dernier. 
1 2  &  1 8  font  moyens  proportionnaux  en- 
tre 8  &  17.  parce  que  8.  12  :  12.  18. 
le  12*  18: 18*  27. 

Pour  trouver  deux  moyens  proportion- 
naux  entre  denx  nombres  »  il  raut  multi* 
plier  le  qaarré  du  premier  par  le  fécond» 
&  tirer  la  racine  cubique  du  produit  y  ce 
fera  le  premier  des  deux  moyens  propor- 
tionnaux s  multipliez  le  quatre  du  fécond 
par  le  premier ,  &  tirez  la  racine  cubique 
du  produit  ;  ce  fera  le  fécond  des  deux 
moyens  proportionnaux. 

Pour  trouver  deux  moyens  proportion^ 
naux  entxe  8&27*  Je  multiplie  le  quar-r 
té  de  8.  qtii  e(^  64  par  27  >  &  du  produit 
1 72 8.  j'en  tire^U  racine  cubique  i  x.  c'eft 
le  premier  des  deux  nombres  cherchez  \ 
je  multiplie  le  quatre  de  27..  qui  eft  72  ^ 
par  8.  8c  du  produit  5832 j  j'en  tire  I4 
racine  cubique  i8»  c'eft  le  fécond  des 
deux  moyens  proportionnaux  cherchez. 

Trois  nombres  font  moyens  proportion* 
naux  entre  deux  autres ,  lorfque  le  prc-p 
mier  de  ces  deux  autres  eft  au  premier 
des  troi«  moyens  ^  comme  ce  piremier  des 
trois*  moyens  eft  au  fécond  moyen  >  Se 


comme  ce  fécond  moyen  eft  au  troifié- 
me ,  &  comme  x:c  troifiçme  eft  au  dernier. 
Ainfî  1 6.  24.  3  6y  $4,8 1.  font  cinq  nom- 
bres continuclfcmcnt  propotrionnaux  i  é 
&  8 1 .  font  les  extrêmes  y  14, 3  ^,  j  4,  font 
les  trois  moyens. 

Pour  trouver  trois  moyens  proportion* 
îiaux  entre  deux  nombres  ,  il  fautmulti- 

flier  le  cube  du  premier  par  le  fécond? 
e  quarré  du  premier  pâÊ  le  quarré  du  fe- 
condi  &le  premier  par  le  cube  du  fecondj 
&  tirer  la  racine  quatrième  de  chacun  de 
ces  trois  produits  ;  ces  trois  racines  fe- 
ront les  trois  nombres  moyens  'cherchez^ 
'  Un  trouvera  4  moyens  proportionnauit 
en  tirant  4  raciaes  cinquièmes  ::  dnm 
moyens  proportionnaux  en  tirant,  5,  raci 
|iesiixi^es4&  ainfî  de  iî^e* 

ïntre  4  &  t  le  moyen  proportionnel 
tift  Yak.  Car  foit  4^=  ce  6c  b^=k  dd.  donc 
^bi=iccdd&cy4h:=s^  cd.  Oiet.cd\cd. 
dd  (  car  le  produit  des  extrêmes ,  ce  dd,  eft 
^gal  aux  produits  des  moyens ,  €eddy)doDc 

Entre  s  6C  t  les  deux  moyens  propor- 
tionnaux font  7^344^ ,  Scy^hi.  Car  foit 
#  as  e^  &  ^=  rf^»  donc  éuit  ^=c^d^  6c 

Dd  ij 


1x6  NetMfedùx  EUtnens 

Mb^^^sc^d",  àonc-y^A^b  se  tedic  V^a^ 
3=  cdd>  or  c^.  ccd  :  ced'  cdd»  &  ecd.  cdd  : 
cdd.  dK  donc  a.  y^énib  :  VUttb.  V^hh  Se 
y^ab.  yUbb  :  rUbb'  b  &C  ce  qu'il  fal- 
loit  démontrer. 

,  Remarqui. 

•  Sx  a  fcb  font  des  quar rez  ou  des  cqui« 
multiples  â^  quifrcz  ,  on  trouvera  Un 
moyen  proportionnel  en  multipliant  les 
cotez  de  ces  quarrcz ,  &  le  produit  par 
réquimuljiplicateur  -,  entre  4  &  9.  je  mul- 
tiplie 2  par  3.  le  produit  6  eft  le  moyen: 
entre  zo  &  45*  multiples  de  4.  &  de  5^. 
^ar  5  ,  je  multiplie  2  par  3  ,  par  j.  le  pro- 
duit 3,0  cftlc  moyen. 

Mais  fi  4  &  (  ne  font  pas  quarrezbu 
éqiiimultiples  de  quarrez ,  on  ne  pourra 
pas  trouver  un  nombre  moyen  exaâ:. 

Si  4  &^  font  des  cubes  parfaits,  ou 
âes  équimultiples  de  cubes  parfaits /on 
trouvera  les  deux  moyens  proportion- 
naux  en  multipliant  refpcitivement  le  cô- 
té de  Tun  par  le  quarrc  de  l'autre ,  &  le 
produit  par  réqui-multiplicateur  ;  entre 
o  &  27.  je  multiplie  4  par  3 ,  &  ^  par  2. 
les  produits  1 2  &  i  8  font  les  moyens  :  en- 
tre 40  &  1 3  y  multiples  de  8  &  de  ^,7 
par  5  i  je  multiplie  4  p^  J  par  y  -  c  cft  6O3 


et Arithmetlijue  &  i^AΣthrel  '517 
&  9  par  2 ,  par  y,  c'eft  90  >  60  &  90  font 
les  deux  moyens  entre  40  &  i  3  j,  &c. 

On  trouvera  tant  de  moyens  propor- 
tionnaux  qu  oa  voudra  entre  deux  nom- 
bres donnez. 

S'il  faut  trouver  7  moyens  proportion-* 
naux  entre  4  &  i.  J'écris  4^ ,  4^' ,  d^k^^ 
4-^*^4^^^,  4^fcS  41^*^  ^7.  &  je  tire  les  ra- 
cines fcptiémes  des  7  termes  moyens  4^4', 
4^^S  &c.  ce  font  les  7  termes  cherchez.  ' 

Pour  tirer  la  racine  quarrée  d'un  nom- 
blre  fuivant  ma  Méthode  »  il  fuffit  de  ti- 
rer la  racine  approchée  de  la  première 
moitié  ,  &  une  Ample  divifion  donne  la. 
dernière  moitié.  - 

Pour  tirer  la  racine  cubique  il  (vS&t 
de  tirer  la  racine  cubique  approchée  du 
du  premier  tiers  5  &  une  fimple  divifion 
donne  les  derniers  deux  tiers. 

Pour  tirer  la  racine  quatrième ,  il  fuf^ 
fit  de  tirer.Ia  racine  quatrième  approchée 
du  premier  quart  \  pour  tirer  la  racine 
cinquième ,  il  fuffit  de  tirer  la  racine  cin- 
quième approchée  delà  premiicre  cinquio- 
me  partie,  &c.  &  on  trouve  tout  le  rcfte 
par  une  fimple  divifion  î  ce  qui  abbrege 
indéfiniment  le  calcul  s  &  qui  l'abbrege 
d'autant  plus  que  le  nombre  donné  efi: 
plus  grand  &  la  puifTance  plus  élevée. 

J'expliqueray  cette  méthode  i  fond^ 

D  d  n^ 


vjiS  Nêwotâmx  Elemem 

dans  le  feceiiil  des  aouvelles  découvei 

tes. 


Chapitki     X. 

I>e  textrdB'ton  des  ràcims  des  V^uijfkn^ 
€€s  litttrMles  complexes* 

In  faut  tirer  la  racine  quarrée  de  ce 
nombre  complexe  ^xx  -♦-  50:1?  -h  25 
)e  l'arrange  foivant  la  formule  4a  -f-  lab^ 
•I-  kb*  Se  je  Tuppcfe  la  plus  haute  puiflan- 
ce  de  la  lettre  principale  égale  au  pre- 
mier terme  44  :  c'eft  à  dire  ^xx  :=s  aa^ 
te  la  féconde  pui(fancc  de  la  même  let- 
tre principale  ,  égale  au  fécond  terme 
Xéib.  c'eft  à  dire  3  oat  ses  xéA.  Se  enfia 
2j.=  if, 

Enfuite  je  tire  la  racine  quarrée  de 
^xx  s;  éiM  pour  avoir  jjt  3=s  4  premier 
terme  de  la  racine  pour  trouver  t.  Te 
confidere  que  divifant  zat  par  zm,  le  quo- 
tient t&  bf  donc  divifant  ^ox  =z  Zdk 
par  ^jc  r=:  Z4>  le  quotient  ^  fera  égal 
au  fécond  terme  cherché  b  s  pour  m  en 
aflluer  je  quarre  ç.  c'cft  2Ç  ==  W  con- 
formément à  rhypothefe  d  où  je  conclus 
que  la  racine  quarrée  de  cfxx  -h    30X 


d' Arithmétique  &  £Alg(^^e.      3^^ 

Si  ïc  nombre  propofé  cm  été  ^^x  — 

joa:-*-  15  5  ilauroit  fallu  fc  fervir  de  la 

formule  aéi  —  Z4t  -4-  1^^ ,  &  on  auroit 

trouvé  pour  racine  3^ 5. 

Si  le  nombtc  propofé  eut  été  ^xx  H- 
3  OAT  -+-  7.  on  auroit  trouvé  que  la  ra- 
cine cft  incomtncnfurable  -,  la  première 
racine  approchée  auroit  été  3^1:  -f-  j^.  la 
féconde  racine  approchée  auroit  été  -^x 

Et  on  peut  continuer  d'approcher  i 
l'infini  dans  l'extraftion ,  de  même  que 
dans  la  divifion  imparfaite. 

Il  faut  tirer   la    racine    quatrée   de 

I  (î^AT*  —  13  oa:^  ^  XQfjxx  y-  yox  -h 

49.  Je  fpppofe  lé^x^  ;=  ni  donc  a  = 

I  ^xx^  \t  divifç —  X  yox^  p»^  -»■  ^^^^ 
=  24  9  &  'p&xi%  le  quatient— •  ça:  =  ^> 

|e  quarrcr—  5  a:  c  eft  h-  i5^Jir>  q^^  j  o^c 
de  ■+- 107:^  5  d  refte  Hk  îSia:^  —  yox 

-+•  49.  Je  fu^ofe  i-^A»tf—  S^^^  ^»* 
iSi^^AT  --  70Ar  =  iab  y  je  divifc 
iSzArAT— '  70;cpara6Arx— iox=i4; 
&  je  trouve  pour  quotient  -h  7  =  ^  »  que 
je  quatre  c'eft  -h  49  =  bby  d  où  je  con- 
clus que  la  racine  qùarrée  de  16  9a:*  . — 
,130x5  -4-  zoyxx  —  70Ar  -f-  49  eft 
l^xx  —  5Ar-i-7. 
Il  faut  tirer   la  racine    cubique  ae 

Dd  iiij 


JW)  Keuvtéiifx  Elément 

343** —  1470**-»-  ZlOQK —  ICOO." 

Je  fiopoCc  j  4  3  *'  =  *J.  —  1 470** =  — 
idéih,  ■+■  zioox  z=:  ^diè  &  1000  = 
j),  fuivant  la  formule  «)  —  ^mmB  -f< 
^dtt  ■ —  iy  &  ;e  trouve  pour  racine 
7*  —  10. 

On  tirera  de  même  les  racines  des  fra- 
âicms  complexes  ,  ce  qui  n'a  aucune 
difficulté  difFctcnic  de  I  extraûion  des 
nombres  complexes  &  des  fraélions  fiia- 
fles. 


LIVRE    V. 

Des  Iffcommenfttrstles. 

Chapitre     I. 

De  té  reduEHon  des  incommenfnrables  ^ 
moindres  termes  far  divificn. 

m 

L'Extraftion  imparfaite  des  racines 
produit  les  incomtnen(urables  >  com- 
me la  divifion  imparfaite  produit  les  fra-* 
i):ions  >  ils  ont  aufE  comme  les  fraâions 
des  o(>eraQons  qui  leur  font  proptes  »  ic 
que  je  comprens  fbus  le  nom  de  redo- 
âion;  &  4^$  opérations  qui  leur  font 
communes  avec  le  refte  des  nombres  comf 
me  l'addition ,  la  fbuftraâion ,  &c.  Ré- 
duire par  divifion  un  nombre  incommen^i* 
iurable  à  fes  moindres  termes  ;  c'eft  trou^ 
yer  le  plus  prand  nombre  entier  qui  le 
médire*  Ainu  7^  1 8  eft  réduit  i  (es  moin^ 
dres  termes  >  3  V2 ,  lors  qu  on*a  trouvé  ji 
qui  mefure  Vi  8  par  x.  Cgr  3  =  V9  & 
V18  étant  diviiéparV^  donne  pouc 
quotient  Vz ,  de  même  yéytf  fe  réduit  à 


\ 


;i£  Nouveaux  EUmens 

15V3.  Car  ij  =>^zi5  &5fpîs  22f 
Π 67y.dcmcrt)c  ^^54  =  i^^z^  car 
2t=yJ2rr&  X  fois  27=  J4. 

Pour  recuire  un  nombre  incommenfo* 
rable  à  fa  plus  iîmple  expreffion.  Il  faut 
le  divifer  continuellemenc  autant  de  fois 
qu'il  €ft  poflîble  par  la  fuite  àts  nom* 
brcs  premiers  2.  5.  5.  7-  &c.  &  garder 
i  parc  les  divifeurs  exads,  qui  divifenc 
autant  de  fois  que  l'expofant  de  la  raci- 
ne a  d'unitez* 

Il  faut  cnfuite  multiplier  condntfelle- 
incnt  ces  divifeurs  lun  par  l'autre  ;  le 
roduit  fera  le  nombre  rationnel  hors 
u  figne  radical  »  &  qu'il  faut  écrire  le 
premier  de  gauche  à  droite ,  comme  mul- 
tiplicateur. * 
Le  refte  de  la  diviCon  multiplié  con- 
tinuellement donnera  la  partie  irràtion'» 
BcUe  qu'il  faut  écrire  après  le  ùpit  ra- 
(Ucal  9  comme  nonabre  z  multiplier  \  Se 
le  notjibce.  donné  fera  réduit  d  fes  moin- 
dres termes. 

.  Si  après  avoir  tenté  la  divifion  par  tous 
\cs  nombres  premiers  au  def&us  de  la 
racine  dû  notnbre  donné,  il  ne  s'eii  trou- 
ve aucun  qui  mefiiré  le  nombre  donné 
continuellement  autant  de  fois  cj^c  l'ex- 
Dofant  de  la  racine  a  d'unuez  \  te  nom^ 
W  donné  eft  iffedo^bte  •  Se  c'eft  ua 


s 


nombre  premier  incommcnfurable  dans 
ce  degré. 

ExempU. 

'    Il  faut  réduire  y^7j  à  moindres  ter- 
mes. 

Je  divife  ^7^  par  } ,  le  quotient  eft 
2XÇ  que  je  divife  encore  par  3  ,  le  quo- 
tient cft  7Ç  ,  que  je  divife  encore  par  j 
le  quotient  eft  15  ,  que  je  divife  par  { 
le  quotient  eft  j  ;  les  divifeurs  font  donc 
3.^.3»  c.  5.  &  parce  que  c'eft  un  in- 
commenmrable  du  fecend  degré ,  je  prens 
3  &  (  pour  prodttifants,  te  j'écris  1 5  V} 

Second  Exempte* 

U  faut  réduire  Vzioj  â  fa  plus  &xfi, 
pie  expreflîoû. 

Je  (uvife  i2aç  par  3  >  le  quotient  eft 

73  j  que  je- divife; par  2  ,  le  quotient  eft 

24 f  que  je  ne  puis  plus  divifer  par  j. 

Je  divife  24c  par  y  ,  le  quotient  eft  4^* 

^  dont  les  divifeurs  font  7  &  7. 

Les  divifeurs  primitifs  de  xxoy  font 
donc  3, 3,  ^^7>.yy  &j'écris  j  fois  ^ou 


5 14         NoHveémx  Etemenf 

Trêifi^me  Exemple* 
H  faut  réduire  d  fcs  inoindrcs  tcftncs 

Je  divifc  1080  far  2.  &  le  quotient 
540  par  2,  &  le  quotient  270  encore 
par  2-  le  quotient  cft  1 3  j  que  je  divifc 
par  3  ,  &Ie  quotient  45  par  3 ,  &  le  quo- 
tient I  5  par  3 ,  le^ernier  quotient  efl:  5 
nombre  premier. 

Les  divifeurs  font  donc  2  >  2>  z»  3  >  3> 
3.  5,&)'ccxis6V^5  =VUoao. 

^Hdtriime  Exemple» 

Il  faut  réduire  Vî  18  o- 

Ses  divifeurs  primitifs  font  2»  2.>  3>  3» 
j.  d  où  je  conclus  que  ce  nombre  eft  irr 
c^duâible  dans  ion  degré. 


Chapitrb     II. 

Pc  U  reifêEHon  des  ineommenfunAles  k 

meindres  termes  p^rexfraâhfp 

de  racines* 


Orfqttc  Texpofant  de  rincommenfuf^ 
raUe  n*eft  pas  nombre  prenaïer  >  il 


d'jirithmetiijue  é'  d'jilgehre.  jij 
arrive  quelquefois  qu  oi^  peut  tirer  la  ra- 
cine du  nombre  propofé  fuivant  un  ou 
pluficurs  expofans  qui  mefurent  Tcxpo- 
fant  donné ,  &  pour  lors  on  peut  abbre- 
gcr  l'exprcflîon  de  rincommcnfurablc. 

Exemple. 

H  faut  réduire  y  ^1^9. 

L'cxpofant  6  cft  formé  des  expofans 
Xàc^.  j'effaye  Icxtradion  fuivant  Tex- 
pofant  2.  c'eft  à  dire  je  tire  la  racine 
quarrée  de  16^  ceft  1 3,  &  j'écris  VJij 

Second  Exemple. 

Il  faut  réduire  V^i72 8. 
Je  tente  Textraé^ion  cubique  de  1728 
&jc  trouve  ii.  j'écris  ^12  &  par  di- 

Treifiéme  Exemple 
.    II  faut  réduire  y^i^iz. 

Je  tente  d'abord  la  redudion  par  di- 
vifion  fuivant  l'expofant  1.  &  je  trouve 

6V42 ,  arj'écris y^er^i = y^, . ^]^ 

Ou  bipn  je  tente  laVeduftion  par  di- 
vifion^fmvant  r  ,  &^  Wc 

^^7>^)^^^^y6yiyz=zy^i<ix. 


)i6  Notiveâux  Elemens 

Chapitre     IIL 
* 
X)e  U  reduUMH  à  mime  d^nominAtion* 

IL  faut  réduire  Y^ScV^y  k  même  dé- 
nomination. 

Je  multiplie  ç  cubiquement,  &  7  qnaf« 
rément,  &  j'écris  V^ixç  &  ^^49-  qui 
font  des  expreflions  de  même  dénomina- 
tion ,  &  équivalentes  aux  deux  V  j  & 
y ^7  i  car  il  y  a  ce  rapport  entre  les  in- 
commenfuraÛes  (  qui  font  formez  par 
l'extraftion  imparfaite  )  &  les  fraftions 
qui  font  formées  par  la  diyifion  impar- 
faite )  que  l'un  &  l'autre  ont  une  infini- 
té d'expreffions  équivalentes.  L'expofant 
du  figne  radical  tient  lien  de  dénomina- 
teur dans  les  incommenfura^bles.    Ainiî 

y^z=y^zy=z  y48i  =y5  243  = 

5^*719  9  Sec.  • 

EtV^5=y'i25. 

Second  Exemptât 

H  faut  réduire y^y  &  y^^io  i  même 
^nomiuation.  Les  expofans  4  &  6  ont 
pour  plus  grande  commune  mefure  z.  Se 
divifant  £  par  z  le  quotient  eft  3.  c'eft 
pourquoy  je  multiplie  J^y  cubiqUemcat,- 


.  «  'f, ^'''**'»«»f««  &  d'Algehre,     tir 
c  efty-34}  ,  &parce  que  (ffvifant  4  pat 
2  le  quoacnt  eft  > ,  je  multiplie  y*  i  o 
quatrémcnt,  c'eft  V"  i  qq.  &  j'ay  V"a  ^  , 
=  1/47.  &c.  V-ioo==WiQ.      ^^ 

Trotfi/me  Exemfle. 

Il  faut  réduire  V'7  ôcV^zo  à  même 
dénomination. 

L'expofant  1 1  eft  multiple  de  l'ex- 
pofant  5  par  4.  c'eft  pourquoy  j'élève 
y  7  a  la  quatrième  puiflance  ,  &  j'écris 
J'"i40 1  =  y'7.  &  la  reduaion  eft 
raite. 


Chapitre     IV. 

Méthodes  f tuf  muvtr  .fi  deux  ntmhfei 

tHCommenfHr^ltsfxHt  commenfurn- 

blés  entre  eux. 

JE  veux  favoir  fi  Vyo  &  ^ig  font 
commenfutables  entre  eux. 
J'écris  If-  en  fraûion  que  je  réduis  i 
fes  topindres  termes,  c'eft  ^;  &  parce 
^ue  15  &  9  font,  des  quarfez  parfaits, 
ie  conclus  que  ces  nombres  font  corn- 
menlurables  entre  eux }  c'eft  d  dire  qu'il 
low  catçç  eux  comme  nombre  à  noi^a 


iit  TJoHveÂitx  Eiemens 

Car  <o«  ifo«  zî  donc1;"50  =  s/* 
&  1 8  =  i  fois  9 ,  oone  y  1 8  =  3^^. 
ot  «Vx  eft  à  3^1»  comme  5  cft  à  3  j  car 
foit Vi«  <  <lonc  ^Vi  =  S4&  3^^ 
-a,4;<ionc5>'z.  sï'i.-î^-B-i:  5-  3- 
On .  ttouveta  de  même  que  y»i  f  i  i 
&  7/53.7  r/  font  commenfurables  entre 
eux ,  quoique  incommcnTurables  abfolu- 
ment  &pris  fcpatément,  parce  quelafra- 
ûion  #•  z=  \\',  j  &  q"fc  i  I  <5  «ft  le 
cube  ae  ô, Se  I IÇ  le  cube  de  j,  d^ou  je 

conclus  que  V  l  5 1 1  =  f  >"7'  «^  >"  «7  5 
:=  /Vy.  donc  ces  nombres   font  entre 

eux  ,  comme  ^  ^  5'  ,  .       -  -    . 

Par  cette  méthode  il  faut  le  fcrvir  4c 
la  divifion .  pour  trouver  la  plus  grande 
êommunc  rocfure  -,  &  faire  enfuitc  deux 
extradions  de  racines. 
•  En  voicy  une  où  il  ne  faut  faire  qu  u- 
ne  multiplication  &  une  extraOion  de 


tacmes.  •         _    ,   n  r 

Pour  favoir  fiVço  ScViS  font  com- 

inenfutaWcs ,  je  multiplie  50  pat  1 8 ,  & 
fi  le  produit  900  eft  un  quatre  partait, 
CCS  nombtcs  font  commenfurables  -,  au- 
trement ils  font  incoromenfurables.  La 
racioe  de  900  «ft  30-  Car  tous  nombres 
commenfurables  peuvent  être  exprime» 
par  4  Vi,  &  c  V  t  où  *  teptefente  la  par- 
tie commune  irtatioaAeUe  ou  incom- 
i  -    -    -  menfurable 

!  .  •  ' 


[ 


d^ ArithtnetiqHe  &  iAlgelri.  }tf 
tnenfurable  y  6c  les  lettres  a  8c  c  repre^ 
feiuenc  les  nombres  rationnaux.  Oxdl^b 
par  cV b  produit  acV  bb\  &  puifque  b 
n'eft  irrationnel  qne  du  fécond  degré»  il 
eft  évident  Vbh  zzzbs  Sc  que  le  prochiit 
eft  tout  rationnel  &  égal  àacb* 

Pour  favoir  fi  V^i  tf  &  V^ <4  font  cofm- 
menfurables  »  je  multiplie  lie  quané  dur 
plus  petit  i6f  oui  eft  %^6  par  54»  Sc 
parce  que  le  produit  eft  un  cube  parfait* 
Je  conclus  que  les  nombres  donnez  font 
commenfurables  5  car  sV^b  &  cV^b  rc- 
prefèntent  tous  les  incomtnenfurablcs  doi 
troifiéme  degré  commenfurables  cntce 
eux  y  or  4  ^y^bb  par  c  Vhb  produit  4  4  r 
y^b^  =  aacb  5  &  ccV^bb  par  a  V^b  pro- 
duit asc  y^b^  =  accb.'  toit  y^b  =  ^ 
^r^^  =4^,  ^  V^*  =  rrf.  Mddd  par  r4 
produit  44^^^^ ,  oc  ^'  =  b  donc  &c.  Ec 
généralement  foit  ay^b  ic  j^yvb  fi  1  oft 
«lultiplie  4P  ""  *  Vp  ^P  -^  '  par  c  Vp  t» ,  ïer 
produit  fi^ra,  rationnel  &  égal  à  4P  "*  '  r (•• 
Car  yp*P  -  ^  par  y?b'  proc&it  Vp^p  =r  *j» 
&  de  même  fiFon  multioUe  cP""  *  Vp^p  T": 
par  4  y^b  ,  le  produit  lera  c^'^^ab^ 

Quand  on  a  trouvé  que  les  nombres^, 
donnez  font  commenfusables^  on  croir^ 
vera  auifi  leur  rapports  &on  les  réduira 
en  même  temps  a  moindres  termes  >  qt» 
f  ft:  ce  qu'oiv  cherche  principalement.  Pa» 


5JO  '  Noftifeaux  Elemens 
exemple  V50  &)^i8  font  commen/a^ 
râbles ,  parce  que  la  racine  de  leur  pro« 
duit^oo  eft  50-  7«  réduis  30 &  18  â 
leurs  plus  petits  termes;  c'eft  5  &  3-  je 
dis  que  y 50  eft  d  ViS  comme  5  a  3.^ 
y^o=  5Vx&y'i8  =  3Vx. 

y^I  tf  &  yj Ç4  font  commcnfurables  , 
parce  que  la  racine  cubique  du  produit 
du  quarté  de  Tunpar  lautte  138x4  (il 
eft  plus  commode  de  prendre  le  quarré 
du  plus  petit)  eft  24»  Je  réduis  24  Se 
16  ^  leurs  plus  petits  termes»  c'eft  3  & 
%.  ic'yt  dis  que  ^^ 54  eft  à  Vj  6 ,  com- 
me 3  â  2  s  (^  divifant  le  plus  grand  54 
pai:  le  cube  de  3 ,  c'eft  à  dire  par  27  le 

Înotienc  eft  2*  &  divifant  1 6  par  8  eu- 
€  de  2  >  le  quotient  eft  encore  2*  donc 
V554ï=j3y2  &yîi6  =  2Vî2. 

Ce  que  je  démontre  ainii  générale-^ 
ment  foit  a^^h  8c  cV^b  deux  nombres» 
quelconques  incommenforables  &  con> 
menfurabJes  entre  eux.  Ils  font  donne:^ 
fous  cette  forme  Vvavb  j  &  y^cvh.  Si  Ton? 
élevé  l'un  des  deux  (  &  il  eft  plus  com-* 
mode  de  prendre  pour  cela  le  plus  petit) 
comme  Vvnvh  à  la  puiflance  f  —  i .  & 
qu'on  multiplie  cette  puiffance  paryp^P^, 
le  produit  iera  4P  •  '  cb*  Je  réduis aV^^cb 
Jk  àPb  i  moindres  termes  y  c'eft  a  &c  c, 
je  divjfe  4^b  mi  àf  9  Se  e^b  par  V>  Us 


tC Arithmétique  é'  JtAtgeire\  jjt 
<!eux  quotients  font  chacun  ^.  &  j'écris 
éCV'^h  Se  cVvb  nombres  ehcrchejt  &  ré- 
duits. 

J'ay  fuppofé  dans  cette  méthode  que 
Ton  lavoit  multiplierutt  nombre  itkom*- 
menfurable  par  ky-mème  &  par  un  autre 
nombre  ;  c'cft  à  dire  que  VP4  par  Vva 
produit  Vvêia ,  &  que  KP^  par  Vp j  pro- 
duit y?éé*  Pour  le  démontrer  je  fùppofe 
comme  évident  queyp^Pzz:^  :quey»4* 
az=:  à  :  que  V  ^^^  sis  4  î  &c.  de  même  que 

dans  les  fraâions  -^  :fe=  4* 

Si  Ton  fuppofe  donc  comme  on  le' 
peut  toujours  4  =:  c^  Se  b^  df ,  on  au« 
ta  ypa  -r:  VrP  =  ^  & y?h  =t: >^P</Pr^  J^ 
donc  le  produit  cd  r^yPcP^P  =:  yi^dbr 
ce  qu'il  falloir  démbritrcr. 

On  peut  aufli  démontrer  plus  géfléra* 
lement  ,  que  fi  ©n  élevé  aV^i  à  une' 
puiflancc  quelconque  P'^^iij&quonélc* 
ve  <ypé  à  ta  puiflance  d^  le  produit  de 
ees  deux  puioances  fera  mionnèl  ;  &par 
ce  produit  on  pourra  réduire  â  moindres 
termes  fcs  deux  nombres  donnez,  mais 
fa  méthode  que  je  vieni  d^cxpliquer  câf 
la  plus  jfimple  de  toutes* 


l€ 


H 


.« 


)^i  NéU'OtMMx  Mlemtns 


•Chapitre     V. 
(AddHion  des  noimhres  incâmmem^ 

IL  faut  les  réduire  à  mèise dénomina^ 
don  ic  i  moindres  termes  »  ôc  s'ils 
font  çommenfiirables  entre  eax ,  on  les 
ajoure  comme  les  nombres  littéraux  ex*' 
primez  par  la  même  lettre  ;  s'ils  font  in- 
commepfurabtes  on  les  ajoute  par  le  ih- 
gne  -♦-. 

Il  faut  ajouter  V  jo  &Vi8.  je  les  rc- 
iluis  imoindres  termes ,  5 Va  &  ^yi  >  ii 
eft  évident  que  la  fbmme  cft  iri^  Car 
foit  Vizzi  a  donc  ^Vx  rz:  V50  =  ^4h 
&3)^x=:yi8=3ii,donc84=:8V2. 

Il  faut  ajouter  y^i6  &  ^^54.  je  les 
jreduis  à  moindres  termes ,  %y^zôc  3  Vi;» 
il  cflr  évident  que  Ja  fomme  eft  jV^z» 
Il  faut  ajouter  1^7  &  V i  o  >  j'écris  V7  '^ 
y  10.  parce  que  1^7  &  Vio  f©nt  incom-^ 
xnenfurables  entre  eux. 

Il  faut  ajouter *'^7  &  V*!  o.J écris  ^37 

Lorfque  pora:  ajoftter  a  avec  ^ ,  on  c- 
crit  4  ^  *  >  c'cft  que  4  Se  k  ibnt  ic^ 


it Jrifhmetifte  &  i'Atgehrel      fj) 
garder  comme  incommenfurables* 


CttAPITRl     VL 

De  la  Sûufir4£tioH  des  iMcomtnenfurâbleTl 

IL  faut  ôter  Ï^i8  de V'jo.  c'cft  à  dire 
1^1  de  j Vx.  fccris  pour  rcfte  iVz.dc 
même  yîj4— Vîitf  =  yîz. 

Il  faut  otcr V7 ^àtVio  j  ')étm V i o 
—  7.  &c. 


m^ 


Chapitre    Yllr 

T>e  U  MnlnflkatioH  des   incommenfie^ 

raHes* 

«> 

IL  faut  \ts  réduire  au moiiis  a  même 
dénomination,  multipliei  nombre  pas 
nombre ,  &  mettre  devant  le  produit  le 
même  figne  radical. 

Vz  parV3  proàiit^^-  fc^^y  par  ^'7 
produit  ï^^3  y. 

Il  faut  midtiplier  y7par  l^^io.  je  les 
réduis  à  même  dénominaticm ,  c'cft  ^^49 
&y^iooo-  le  pcodoit  cherché  efl  V^ 
4^000. 

Il  faut  raultipUcr  V 5 o  par  Vj  ^  je  les 


$14  NùHVeànx  EUmens 

tcduis  a  moindres  termes,  c*cft  jVi  fc 
3^2.  Le  produit  cft  i  ÇV4  =  15  fois 
z  =5  30.  ou  bien  je  multiplie  Vço  par 
1^l8ȕe  produit  cft  y  900  i!r^  30.  Tout 
f ncommenfuf  able  du  fccôtid  degré  multi* 
plie  par  luy-mèmé  produit  le  même  nom- 
bre délivré  du  (îgnc  radical.  Vy  par  7^  j 
produit  5. 

Vço  par  y 61  =;:  5^2  par  3V7.  fc 
produit  cft  I  €^£4. 

J  ay  déjà  dcmontré  cy-*deflus  la  riaifon 
d^  cette  opération^ 


Chapitre    VIII- 
De  U  Divifion  des  inCQmmenfifraUesr 

IL  faut  les  réduire  atf  moins  à  mctwe 
dénomination  ,  divifer  nombre  par 
nombre  ,  &  mettre  devant  le  quotient  fe 
figne  radical. 

y  6  divifé  par  Vi  donne  pour  quo^ 
tient  y3,  V^^^  divifé  par  VJ7  donne 
pour  quotient  y^^ç. 

Il  faut  divifer  r^yo  par  y^^io.  je  les 
réduis  à  même  dénomination,  c'eft  V^ 
4900  &  y^i  000.  Iccpioticnt  cft V^4  -/^. 

Il  faut  divifer  )^jo  par.  V18.  je  fes^ 
réduis  i  moindres  tennes  ^  ceft  jVz.  p^ 


et  Arithmétique  &  £Atgeire.      tpf 
3  Vi,  le  quotient  eft  f  =:  i  j.  Car  (oir 

Vi  rr  4 ,  il  cft  évident  que  Ut    zz  j 

=:  I  -,  ouV {§■  =:  V%^-:  f '*Ôud1us 
clcgarament,  je  multiplie  y^o  par  ri  ^, 
le  produit  cft  V^oo  =:}o.  J'écris  ffcs 
I  quotient  cherché. 

Il  faut  divifcr  ^^54  par  th6.  je  mul- 
tiplie le  quarré  deV^ié  qui  eft  V^zj^ 
par  y^^4f  le  produit  cft  )^3j 38x4  =z 
24.  J'écris  If  rr  I  quotient  cherché, 
ce  qui  cft  évident  par  le  chap.  4.  cy- 
deflus.  • 


■       "1     i^if—É— —<———— ut 


CfiTAPlTRl       IX. 

D^  fExtrd^ion  des  racines  des  incâm^^ 

menfitrayies. 

IL  faut  multiplier  Texpofant  du  nom- 
bre par  rcxpofant  de  rcxtraéfcion,  & 
mettre  le  produit  pour  expofant  du  mê- 
me nombre ,  ce  fera  la  racine  cherchée. 
Il  faut  tirer  la  racine  cubique  ou  troifié- 
mc  de  y  y  ou  de  V^j.  J'écris  V^j.  c'eft 
la  racine  cherchée. 

Il  faut  tirer  la  racine  cinquième  d« 
Vh^.  je  multiplie  l'expcfant  3  par  Tex- 
ÏK>fant  5,  &  j'écris  y'^^i^.    ôc  ceft  la 


fi4  NûMvesÊfx  EUmens 

racine  cinquième  de  V^ii^  Ce  qui  cft 
évident  par  le  Chapitre  fécond  cy-def- 
fiis. 

Il  faut  tirer  la  racine  cinquième  de 
V^jx.  parce  que  32  eft  une  cinquième 
puiflànce  de  2.  j'écris  pour  racine  chei:-- 
chée  y^Zy  Se  ainâ  des  autres. 


/ 


LIVRE 


/ 


d'ArithmetiifHâ  dr  ^Mgebre.     557 

LIVRE      V  I. 

Des  foljmmeu 


C  »  A  r  ï  T  R  E    L 

Dt   fMMHon  ,  Ai  Sofifira&hH  ^  /^ 
JkfMMfOcdtiên  dis  F^jmmct^ 

L'Addirion  &  la  Soùftraàion  impar- 
faites des  nomBrcs  inconîmenfurar 
blcs  fîmplcs  &  ifitoo^iéf^  jAroduifcnc 
les  Polynômes,  de m&nftî  que  ladditioa 
&  la  foaftradion  intparÉirrey  àc%  nom- 
bres littéraux  produîfent  fc*  nombiit 
complexes.  Ainfi  Vj  ajouté  à  V7,  ou 
ôté  de  1^7  forme  k  biAc^Ac  f'7  ^  y  ^ 
ou  Vy  —y y.  de  mêine  que  4  ajouté  a 
^,  &c  L'adcfitbn  cnr  la  feraftraftion  im- 
parfaites &.  fimples  ptoKferffent  tes  f  i;^- 
mes  »  c'eft  i  dire  àt%  nombres  compojfcz  ^ 
de  deux  teKries, 

L'additioff  &  la  ^ftraAbn  imparfai- 
tes &  reïterces  produifcnt  hry  ttïnomis^ . 
les  fHéinmnns  »  &c  Et  en  gênerai  les  - 

Ff 


55S  Nouveaux  EUmens 

fêlynômesi^iOi  à  dire  des  nombres  corn- 
ppiez  de  trois ,  de  quatre ,  &c.  &  en  gé- 
nkl^y  de  plufieurs  termes. 

l'addition ,  la  fouftraftion  &  la  mul-; 
tiplicatioo  des  polynojncç  ,  n*à  aucune 
difficulté  difFcrente  de  l'addition ,  la  foa- 
ftraôion  &  la  multiplication  des  nom- 
bres fimples  incommenfurables  que  j  ay 
expliquées  dans  le  Livre  précèdent,  &c 
de  raddition ,  la  fouftraûion  &  la  multi- 
plication des  nombres  complexes  que 
j  ay  expliquées  dans  le  fécond  Livrc^ 
Ainfi  je  roc  contentcray  d'en  donner  des 
exemples. 

ExcmfUs  tCAddithfh 
r.  x«Vz  -K     3>^7 


«BMM^W 


fpçunç       ^l'^i'  *—  1 3>'7" 

éXz  ^  10^7 


i*« 


fomxne       î.3yz—   7^7* 


Sjirtthmeti€(Hè  é"  £  Allure.      535 


V         « 


ExemjfUs  de  S^nfira^ign. 

Ac    liVz  H-  10V7 
ôtcz    %yz  ^     3^7 

,  xefte  .  7K2.  -4*  7>^7. 

de    içVi  -»-     3V7 


■■ta 


de  i^x  H-    3^7 


tcfte   7>^i  — .    7^7. 


1    .         ft 


«cft*  7)^  H:  7^7: 

ff  i| 


^4i         .  Xfû0f^éMx EliMitif    «^ 

Cette  exprefCon  n'eft  pas  toujours  la 
plus  fimple  ni   la  plus  élégante»    Car 

j^^^:— j^  =  $ V7  ^  5 V5 ,  «c-ccttc  der- 
nière exprcfllon  dû  qluôtienc  ift  beaucoup 
plus  /impie.  On  ncutpar  (on  moyen  trou- 
ver beaucoup  plus  tadleroent  la  valeur 
approchée  en  nombres  entiers,  comn^e 
)*c(pere  te  faire  voir  dans  un  Traité  de 
réxam'ên^  des  metKodes  »  qiii  aura  pour 
^tre  X.&.  Cjli.  coir .  um  C  a-i.  evt^. 
La  divifion  des  polynômes  numériques 
diffère  en  cela  éUfentiellement  de  la  divi- 
fion des  nombres  complexes  littéraux  >  car 

'^  y   ne  peut  pas  (e  réduire  ixint  e«- 

•fnreiSbn  plus  fioible.  Je  traitteray  cK  éfaD- 
-te  efpece  particulière  de  diVifion  dans  lo 
chap.  fuivant. 

s  ^.  Pour  divifer  un  polynôme  par  un 
j>oTynoipe ,  on  peut  fe  fervir  de  la  me- 
^hade  ordinaire .  dans  la  divifieff  dés 
nombres  complexes  par  d'autres  nombnes 
complexes.  ; 

Exempta* 

Il  fautdivifer^y77-rVtf j H-t^jj 
>V9ipar— Vrr  H-yi3. 

Je  dis^en.—- V77  combien d^  fois  — 
Vi  I  ?  il  y  cft  -4-  Vy.  J'écris y-f  açquo^ 
dent ,  6c  je  multiplie  tout  mon  divileut 


JtJrithmêti^iiâ  &  £Atgeyrf.  %Ài 
&*.yii  ^  y  15  pai  Vy,  le  produit  cft 
^^  yjy  -I-  y  ^  I ,  que  j'ôtc  de  mon  divi* 
dcndc,  &il  reftc— y^c  -h  y 55. 
•  Je  dis  cnfuite  tn  —  Vé^  combien  de 
fois  V 1 1  î  &  parce  qu'il  n'y  cft  pas  com- 
pris ptecifément ,  ]t  tente  la  divifiom  de 
•4-  yç  ç  par^— y  1 1  onde  —  y65  par  -h 
Via,  &  je  trouve*  pour  quotient  —  V  j-, 
fc  il  ne  reftc  rien ,  de  forte  que  lequo* 
tient  cherché  t&yy  -^  '^5- 
'     Il  faut  divifer  2,  ^o — i  o  6 V^  par  jl/  5 

—  syi. 

Je  dis  en—  106^6  combien  de  fois 
H-  7^3  vil  y  cft  —  I  s  7Vz  ipu  bien  en 
'^f-'x^ô  combien  de  lois  — ^  5V2  r2  — * 
yjo?  c'eft  àdire  en  y84ioo  rr  190 
combien  de  fois  —  yjo^ilycft—- 
y  1 6 8z  =: —  i^Vz  ,  aucun  de  ces  quo- 
tients n'eit  le  véritable,  &  il  faut  pren- 
dre feulement  — ^  tVi  \  &  mtdtipliant 
^y  j  _  jy i ,  par—  8y  i»  le  produit  eft 
—  ^6^6  -^  Sbsqtie  j'ôte  de  190  ~* 
106V6,  il  reftezio  —  ÇoV^.  î^  dis 
cnfuite  en  —  joy^,  combien  de  foîs^— 
tVx  1  il  y  eft  H-  ioy3-  Notant  le  pro^ 
duit  il  ne  reftc  rien,  de  forte  que  le  quo- 
tient cherché  eft  h-  f  o>^3  —  J^i* 

Cette  efpecc  de  divifion  reiiffit  rare- 
ment, fi  ce  n  eft  dans  des  cas  faits  à  plai- 
fir,  &  il  faudroit  plufîcurs  Regfes  parti- 

Ft  uij 


jl44         JfTêMfiiétMx  SkmiÊi 
<utiesfs  pour  U  t^nàtt  praticable  âan% 
chaque  eÇftct  àt  «lividencie'  &  de.  di* 
vifein,    .   ,        , 

Ç>n  çsem  prçpatcr  Je  dividi&ndé;  &  le 
4^¥i{èiic  en  oxani  Iss  avions,  iFbtir  cc^ 
h  î^  }&ttc  XEcuvor  le  plus  petit  idiboimt 
mceuf  -^CQinmua  par  I^  .fLegle  que  j  af 
4ioon£e  au  Liyce  laroifiéme  pour  réduire 
pluiîews  Êraâ^ions  i  moiiiidres  tecrocA  de 
même  dénorointtion  )  ;&  iiSMhipIier.t»^ 
jfiiîlte  l^divideode  £^  k  divifouff  ,pac  ce 
dénominateur  commun.  Car  par  U  on  fc^ 
fa  évanoair  tou{ei$  1rs  âradUons ,  &  k  di* 
vidcâde  &  le  divilèttr  icftefoot  àms  U 
même  lappott.  Cecy  doit  s'^^c^erràui^ 
£  i  la.  ^vifioA  des  nombre  izompli^s. 
Divi&r  30  p^  6*  c£&  U  même  <cho(è 
^ue  de  divi(êr  jJo  pV  I  x  s  oti  50  par 
1 8  »  2cc.  Divifer  ^i  par  k  c'eft  la  même 
'àkoCt  que  de  divifer  4^  par  i  c  > 

X-oiîiqae  tous  les  temaes  du  4ivireur 
JBcommenfurable  &  du  quotient  font 
premiers  entre  eux  »  C'tSt  i  dire  qu'ils 
'n'ont  aucune  conymme  mefure  >  ta  divi** 
HoA  générale  donaç  faôlement  le  quo^ 
wm  'j  '  miïime  daite  U  premier  exemple 
où  le  d^idendc  ^ant  •^^77 —  V6ç 
-+■  yçç  rf.  y5|ï  *  8cU»divïfcitr  ^13  — 
>^n.  Le  quotâew eft  1^7— V5  -,  parce 
qu  en  ;cd  >ca^  là  iâuq|at  produit  partial 


Jt AritimetiiiMi  &  J^Alg^re.  %J^ 
fait  un  terme  à  parc  dans  le  dividende  ^ 
mais  lorfque  ces  termes  du  divifeur  8c 
du  quotient  ibnt .  .comparez  entre  eux 
comme  dans  le  fécond  exemple  ,  cette 
4{ivifion  générale  .eft  beaucoup  phis  diffi« 
cile ,  parceque  alors  divers  produits  par« 
tiâux  ne  font  qu  un  terme  dans  le  divi- 
dende; ix)mroe  dans  le  fécond  exemple 
:pù  ie  divifeur  eft  7V3  «^  ç>^ij  &  le  quo- 
tient eft  i  oVj  r— 8  Vi*  Car  10V3  eft 
isommenfiiràbfe  ou  con»>Qfé  à  7)^3.  & 
Jcur  commune  mefur e  eâ  V  3  ;  &  de  mô- 
me *--  çVi  eft  commenfurable  oucom* 
fofé  à  —  %yx.  Plus  il  y  a  xle  ces  t«- 
jnes  compofez»  &  en  général  plus  il  y  a 
'  et  produite  movens  qui  iè  confondent 
idans  le  divideitde ,  plus  la  divifion  eft  di£- 
ficile  par  exemple  s'il  falloir  divifer  i 
•4- VÎ90— 1^5300  par  VJ18  —  Vîzf, 
':  U  quotient  feroit  y i  i  z  -♦-  Vç,  maispaj^ 
^  ce  iquf  le  produit  de  y^iipar  V^i8  eft 
^  -H  6,  &  bproduit  <le  ^  V^ç  par  — 
y^X5  eft — .  <•  La  fomme  de  ctédeux 
protiuits  dans  le  dividende  eft  •4-  i«' 

On  voit  par  U  combien  il  eft  difficile 
die  reiiffir  dans  itnt  divUion  ^  ^e  donner 
ray  tout  ce  qu'on  oeur  (buhaitec  la  clë(^ 
fus  dans  jon  iccueii  de  AÔuvèUcs  4écouH; 
vextest 


N^U^Mx  Etemenî 


Chapxtri     IIL 
Mctb$i€  nouviUe  pur  U  éfiviJtoH  dès 

IL  faut  divifcr  lo  par  ^3  -^  y%.  |e 
multiplie  le  dividende  &  le  divifeuc 
pat  je  binôme  oppofc  V3  •—  Vt.  les 
Jtfoduîtsfont  loVy — io>^2  jpournoif- 
veau  dividende ,  &  i .  pour  nouveau  di- 
vifcur.  Car  Vj  h-  ^f  par  y  3  —  Va  pro- 
duit 3  H-yé— Vé—isrrr.parGon- 
fequcnt  le  quotient  eft  loVj—  loî^z» 
11  faut  divifer  1 1  par  V7  —  y 3,  ]t  mul^ 
tiplie  l'un  &  l'antre  par  ^7  -k  ^3.  les 
produits  font  i  %ty  ^  i  iï^  3  ,  nôUveaia 
^yidende ,  &  4  nouveau  divifcur.  Car 
«y  7  -^  y  3  par  y  7.  — 'y3  produit  7  ^ 
X2i«— yxr-^3=4.  &par  confequcm 
le^  quotient  eft  3y7  ^  3y3, 

La^difficuUé  de  la  ai vi/ion  vient  de 
oc  que  le  divifcur  eft  un  nombre  com- 
plexe 5  &  l'e^it  de  la  méthode  va  i  le 
xendre^coroplexc  par  le  moyen  de  la 
»3ultiplication -,  parce  qu*en  multipliant 
^tlèment  le  dividoide  &  le  divifeuron 
confcrve  le  même  rapport»  &  par  con*- 
fequent  on  trouve  le  même  quotient.  Ox 


JtJritbmêiîéju^ê^JtAlgehi.  ^47 
II  éft  évident  que  lotfque  le  divifeor  cft 
Vd  -^Vbj^  on  \t  multiplie  par  Va  — 
y^  3  le  prdddc  fefaii  *—  b  nombre  ra- 
tiooncl  i&  di vi  feus  infcomplexe  î  ou  d'un 
feul  termes  &  en  ce  fens  2  ^7  par  exem* 
pie  eft  xso  diyifeur:  indomptexe.  Il  cft 
"vny  que  le  dividende  devient  complexe 
s'il  étoit  mcomplexe  »  &  il  devient  or- 
dinairement plus  complexe  qu'il  n'étoic  ; 
mais  on  conte  poor  rien  avec  taifen  là 
multiplicité  ^dc3  termes  du  dividende  » 
lorCque  le  divifeur  eft  incomplexe» 

On  a  trouvé  de  même  des  mpltiplica- 
teurs  pour  toutes  les  autres  efpeces  de 
binômes  i  rinfmi,  dont  voicy  les  for*- 
anoJl^s..  .  . 

J>ivifiHr$.  Mfêltiflicétiurs*  produits  ou 

nêWOtMttx 


• 

• 

divéfitiru 

yét-yh 

;V4— y*. 

s^k   ' 

y^^yh. 

yd-^yh4 

é^h. 

y^é  H-  >"*. 

y^M'-yiéé 

st-k. 

/ 

-H  y»**. 

'    ■ 

yjj^-y»*. 

1/144  H-  yi4k 

4»—*. 

y*6^*> 


^49     •    J^tMiU*»»  EUmtki 

ou  »''»4J  H- y+iM*  4  —  * 

'.        ^y4s4*J  ^.>'4^» 

y54  ^  yf^     yr^  ^  yr^»* ,  âcc. 

y'4  -*.  v*b  y*  —y*  «u  y^*  —y* 

4*-i-y'>*.  ouyv— y* 

a^'9^y'b  y<4  ii-y«*i  e»y<4^4.' 

y««<A — y«^,  «c  ' 

Sec  Sec  Sec 

Remér^Ht. 

On  peut  par  U  divifer  tout  nômfeire 
donné  par  tout  binôme  donné  *»  on  a  re« 
marqué  au(fi  qu'on  poùyôit  réduit:e  par 
ta  tauttipticaâôn  tout  trinôme  quarré  i 
cmiûfiome ,  &  ce  binôme  par  confequent 
à  un  divifeur  incomptexe*,  mats  jptjrfbiw 
ne'\qoet^e  fâche  n'avoi»  cemairqué  que 
YoÀ  peut  dîviCef  auffi  pat  tôiK^uadimo^ 
me  quarré  »  &''>pap  tout  trinôme  cubi* 

Tout  trînonrè  V^jbtnré  comme  Vd  ;+. 
J^h  -^  ix^,  étant  fewlnplîé  par  letrîrioi- 
me'oppofé  V<#V^^^*^^ï^c  proddft  le 
binôme  4  -1-  ^^-*r  V  t^db*  Car  #1  -«-^ 
-^  ^  =3  ^.  ic  ce  binôme  étant  mubi»-^ 


d' jtrithmetiqnt  &  d:  Algèbre.  54  j 
plié  pat  fou  binôme  oppofé  d  hh  ^Vah 
produit  un  divifeur  incomprexë  dd  — - 
j^4b=ie*  Tout  quadrinomç  quarré  com* 
me  ys^yb-^  yc  ±-ydy  étant  multi- 
plié par  je  quadrinorne  opppCe  y^  H- 
"yy  ^  yc  ^  yd  produit  le  trinôme  a 
-H  *  —  £r  —  ^  ;+.  xyah  H-  zyed*  Car 
^-f-  i-^.i?*--  ^=  e^  &  ce  trinôme 
fe  réduira  en  binème  >  &;  le  binôme  en^ 
fin  en  nbn^bre  incodiplexe  s  mais  en  gé« 
nèiû  -tout  qiainquinoroe ,  fexriiK);nc,&c. 
<]uarrez  eft  irreauâible  >  parce  que  les 
produics  fon;  compofez  a  autant  ou  ds 
plus  de  termes  que  le  divifeur  donné. 
AiiîG  la'  méthode  eft  inutile. 

Tout  ttiuomc  cubique  peut  être  ré- 
duit en  binôme  cubique,  &  ce  binôme 
en  nombre  inçompUxe* 
;  Tout  quadrinome,  quinquinome  &cu«^ 
biques  eft  irreduâible  en  général.. 

Tpçt  trinoinc:,  quadrinome,  &e.   de»r 
dcgrcz  fuperièurs  eft  \^uflî  iiriséduiStibld  ' 
en  général  par  la  çicnic  uiioii. 

LQrfquc  je  dis  que  ccf  polynômes  font 
krcdudibl^  en  général  gr  je  veux  diro 
:qtt  4  moiw  de  ^ppofor  certains  rapport» 
particulier^  ent^  ks  tçrwcStÇH  les  com*^ 
pofenç ,  onuepfuïrfap  y  .appliquée,  W 


)$o  N^âÊVeéUtx  Eiemem 


Chapit&s     IV. 

Dé  tExtrs^hn  des  rdci^es  des  F4m 

tjnomesM 

COmme  il  y  a  deux  méthodes  pour 
la  divinon  des  polynômes ,  il  y  en 
a  deux  auffi  pour  Texcrdâion  de  leurs 
xacine^  ,  Tune  générale  &  femblable  â 
r^xtradion  des  nombres  complexes  lit-* 
tcraux  >  l'autre  particulière  Se  Spécifique. 

Exemple  de  U  première  Metbede. 

.  Pour  tirer  la  racine  quarrée  de  V^^ 
iy^6  -•-  y ^4.  Je  me  fcrt  de  la  for- 
as-i-iab-^thySc  fuppofant 
as  s=  y^9  9  Se  %éA  =5  iV^tf ,  je  trou- 
ve 4=31^13  &  h  —  y^%>  Se  hh^=^ 

1^14.  d  oà  je  conclus  que  la  racitie  cher* 
chéeeft  V^j  h- Vj*. 

Il  en  eft  de  même  de  toutes  les  au- 
tres puiflances  parfaites  où  les  produits 
moyens  ne  it  confondent  point.  Si  Pon 
ne  peut  pas  tirer  exaâefnent  cette  ràci--> 
2ie>xette  extr$âÎQn  imp&ifaite  produit 
une  nouvcfle  efpece  de  polynôme  qu^onî 
appelle  lié  ou  ujûvcrfeL  Pas  exemplç 


Jt  AnAmetique  &  d'Algthre.  351 
s*il  falloic  tkec  la  racine  ^isarcée  de 
y 59  -H  xV^6  -4-  yj^,il faudroit  écrire V; 

Exemple  de  té  feecnde  Metîwde* 

Lorfque  les  produits  moyens  fe  con* 
fondent ,  la  méthode  précédente  ne  peut 
pas  être  appliquée  ,   &  il  faut  quelque 
adiefle  pour  démêler  ces  produits.  Il  faut 
tirer  la  racine  quarrée  du  binôme  iz 
•4-  Vi4o*    ïc  fuppofe  cette  racine  s=s 
y  M  -«-  yy.  dont  le  quarté  >^ft  4  -1-  ^  -i- 
zV^fr.  Comme  4  h-  i  eft  rationnel,  je 
l'égale  4    i%*  ^  ]^Z^^  1^  partie  irra- 
tionnelle t^db  à  la  partie  irrationnelle 
y  1 40*  de  (brte  que  cette  extraélion  de 
même  que  la  dtvilion  dans  les  deux  Cha« 
pkres  précédents  (ont  plutôt  des  problè- 
mes d  équations  a  refbudre,  que  de  am- 
ples opérations  de  calcul. 

J'ay  donc  a  ^  h  =iii  ic  lYab^ss 
V 140  ou  44b  =  140.  La  Règle  géné- 
rale pour  reibudre  ces  fortes  d*équations 
dépend  de  la  résolution  des  équations 
du  fécond  degré ,  que  je  donneray  dans 
latcoifléme  Parties  mais  on  peut  en  trou- 
ver la  refblution  de  cette  manière. 

Puifqùe  a  -4-^=12.  je  puis  fiip-' 
pofer  4  c=  '|-  -+•  ^.s»  6  -h  çSc  l^zsqi 


1 


/- 


y^r  NoHWdMx  EUmetfs 

6  «^  c>  donc  4^1^  =a  144  -^  Ace^sss 
140*  &^  ajoutant  4r^deparc&:  a  autre, 
on  aura  144  —  j^cc-^^^cc  =b  144=25 
140  -*-  4^^>  &  ôtant  140  de  part  & 
d'autre  il  leftera  4(7r»s4&r=  i« 
donc  4  =  7&^=î>  &pâr  confc- 

2uent  la  racine  cherchée  eft  V7  -hI^J. 
où  je  tire  cette  Règle  générale  pour 
i'extradion  de  la  racine  quariée  des  bi« 

nomes. 

Règle* 

iTitez  la  racine  quarrée  dte  la  différen- 
ce des  quaaez  des  deux  ps^ties  du  binô- 
me propofé. 

Ajoutez  &  otez  cette  racine  i  ht  plus 
grande  partie.  .  \ 

Les  racines  quarrées  de  la  moitié  de  la 
ibmme ,  &  du  reftes  étant  jointes  par  le 
même  figne  que  le  binôme  »  donneront 
Ùl  racine. 

Exèmfit» 

Pour  tirer  la  racine  quarrée  de  7  -4- 
>^i4.  je  quarre  7  &  Va4,  c'cft  4^  &' 
^A*  L^  différence  eft  15.  dont  la  racine 
«ft  r.  que  j'ajoute  &  que  j'ôtc  de  7.  c'cft 
Il  &  X*  les  racines  de  leur^  moitiez» 
font  y  é  -+•  y^  ou  y^H*  r  >  &  c'eft  la 
racine  cherchée. 

On  trouvera  de  même  que  la  racine 
ottanécde7-~y  Z4  cfty^~ j  :  que  la 

"  racine 


^  yyn  ou  y-*j  -H  ï^;*i  A  •  *^^-  ^^1^ 
fi  on  chcrtiie  la  radhc  quarréc  de   10 

-+•^^7  5  on, trouvera  1/;j  -f.  V18- 

^4*  V:5  — ?^i8.  qoi  etft  une  racine  plus^ 
compofêe  que  la  propofée  •,  c*cft  pour- 
i^oy  en  i^e  cas  U  on  écrit  fîmplement 

J'ay  trouvé  pluficuts  Règles  iaibBi:égéc5^ 
pour  Tcxtraftion  des  racines  des  poly- 
nômes &  pour  trouver  tout  d*un  couper 
fi  cette  extraéHon  eft  poffibbe  ou  non- 
J*ay  aifffi  couftrpit  des  Tables  pour  ce- 
la quon  peut  aifçmcnt  continuer  àFinfi- 
liïjmais  ce  quejevrcnsd'expfiqucr  fiiflSt: 
poutdesETemensJe  donneray  le  refte  dans: 
te  rcceuil  iLts  nouvelles  découvtnes.Il  fiiC^ 
£c  de  remarquer  en  eénéral,  que  par  rap^ 
port  i  Pextrà&ion  des  racines  >  if  y  » 
cinq  chofés  à  oBferver  dans  chaque  po^ 
fynomc.  j*.  L'eipofant  de  rextraftion»- 
z*'.  L'cxpofant  des  parties  du  polynôme^ 
j^.  Le  nombre  des  patries  du  polynô- 
me. 4**.  La  combrnaifpn  des  fignes  -^ 
&  -^.  ç°.  La  grandeur  abfoluë  de  chai- 
ïjLic  partie^. 


« 


,^54         NêUViâHx  EUmeni 


CHAipiTR.!     Y. 

JiefiixtûHi  gfnfrdUs  Jur  te  cdcul  Arith^- 

T  Onces  les  opérations^  qu'on  peut  fai« 
re  fur  les  nombres  U  céduiiènt  i 
deux  y  émgmtnHt  &  Hnùmur  ;  on  les 
augmente  par  trois  opérations?^  l'addition,^ 
la  multiplication  ^  &  la  &rmaeion  des 
jpuiiTances;  on  les  dimituie  par  trois  ope^ 
rations  oppofces ,.  la  fbol^raûion r  ladite 
^iSon»  &  l'extraélion  des  racines* 

La.  premiese  &  la  plus  fimple  de  tou^ 
tes  \t%>  opérations  eu  TadHition  fimplc 
des  nombres  entiers:  &  conçus^,,  cxpri-- 
mez  par  àz%  chifres  ^  cette  addition  eft  • 
iFmpIe ,  îors  qu'on  n'a  que  dSeux  nombres 
k  ajouter  >  elle  eft  réitérée  lors  qu'il  y  d^ 
pluS'  àt  deux  &  moins  d'onzev nombres  â 
ajouter;  dans  l'addition  fimpre  on  fup^ 
pofe  qu'on  (ache  ajouter  par  cœur  tout 
nombre  plus  petit  que  dix  a  tout  nombre 
plus  petit  que  dix  >  &  qu'on  facKe  en 
exprimer  la  fbmme.  Dans  Taddition  relu- 
terée  »  on  fùppofe  qu'on  {ache  ajouter  par 
cœur  tout  nombre  plus  petit  que  dix  à 
tout  nombre  plus  petit  que^ov  &qu'oo 


fâèhc  en  exprimer  la  fommc^'il  y  a  plu« 
de  dix  nombres  à  ajouter ,  on  fait  pIu-« 
fieurs  additions  réitérées  »  dont  ichacune 
ne  contient  que  dix  nombres  ott  moins» 
&  la  femme  des  femmes  partielle»  don-^ 
ne  }a  (bmme  totale  cherchée  \  ou  biett 
l'on  ajoute  la  première  (bmme  partielle» 
comme  un  nombre  fimple  aux  nombres 
de  la  féconde  fbmme;  &ainft  de  ivàxt^ 
la  dernière  femme  donne  la  femme  to^ 
taie. 

Pour  ne  rien  fuppoier  on  peut  donner 
des  Tables  oà  ces  opérations  primîtivesr 
fe  trouvent  toutes  niites.  Celles  pouif 
l'addition  rcïttrée  que  i'ay  omîfes  i  catf- 
fc  de  leur  peu  d'utilité  peuyent  être 
conflruites:  facilement  fkr  le  modèle  de 
celks  que  j*ay  données  pour  la  divifion^ 
pages  71,  72  &73. 

Dans  l'addition ,  comme  dans  toutes 
les  antres  opérations,  on  fait  par  parties 
ce  qu'on  ne  peut  pais  faice  tout  d'un  coup^ 
&  d'une  feule  viic. 

L'Addition  ne  nous  fait  pâs  toujours 
découvrir  de  nouvelles  vérités-,  elle  ni 
fcrt  quelquefois  qu*à  exprimer  d'une  ma- 
nière plus- commode,  la  fmiimc  dèj  Nom- 
bres donnée;  quand  j'ajoute  JFcpt  à  dir> 
&quc  je  dis  que  la  femme  cft  dÎT-fepty. 
son  feulement  je  n'apprend  »ende  nem^ 


y^6  JiêUVfâHx  EUmêHS 

vc&uV  Vf^m  je  n  ay  même  aucun  âvanta« 
giç  du  CQcé  de  rezprcffion  verbale  :  lors 


litceralei  car  cette  expreffion  40  eft  plus 
fuxipjb  &  pli^g  commode  que  cellc-cy  ly 
-^  4.3.  pais.il  femble  que  je  ne  décou* 
vie  ^'^pç  vérité  <le  £ût  >  ou  qui  fuppa- 
{e^uiviaic,  c'cft  i.dire  qui  fuppofe Tex- 
preflion  par  la  progreffion  décuple,  la-* 
quelle  »  quoique  fondée  fur  la  nature  Se 
cnrairon^  eft  pourtant  à  la  riguetu:  une 
chofc  arbitraire  »  fi  au  lieu  de  1^  progrelr 
£on  de  dix  en  dix  y  on  ruppofe  qu'on  (e 
ièrve  de  la  prpgreflîon  de  ^5  en  25  >  î( 
n'y  mira  dans  l'addition  de  13  si  i^  aur 
cun  avantage  du  coté  de  Texpreilion  >  &C 
ce  fera  une  proportion  identique ,  com-' 
me  'Ceîl^cy  \  àkx  ôc  fepç  font  dix:  i^pt.  Se 
ainfi  devons  le^  autres» 

L'Addition  de  l'unité  a  tout  nombre 
donne  ,  ne  nous  fait  connoitre  qu'une 
vérité  de  fait,  c'cft  à  dire  que  les  hom- 
mes ont  donné  arbitrairement  un  tel 
nom  y  ou  une  telle  expreffion  en  chifres 
à  un  tel  nombre  ^  un  Se.  a»  font  defix  r. 
mn  Se  deux  fent  trmz  Mn  &  mnp'&vtf 
font  vifigt'fixr  &c^ 

JL'Adiution  4c  tout  nombre  plus  pecift 


JtArithmetîqni  é'i^ktin.  fjj 
que  lexpofant  de  la  progremûn  à  tout 
nombre  complet  de  la  même  progref> 
fion  »  ne  nous  fait  pas  même  connoi- 
tie  reff$lhriment  une  Tenté  de  fait  9 
mais  c'eft  une  propoiïcion  purement 
identique  ,  dix  &  ftft  font  dsx-feft:; 
viffgt  Se  t$n  font  vingt' mu:  trente  Se  fix 
font  trente- fixy  &c.  Cependant  rexprcP- 
fion  en  chifres  eft  plus  fimple  y  &  par 
canfcquent  avantageuiè  dan$r  ces  deux 
cas.  Car  x  eft  une  expreffion  plus  (impler 
que  celle-  cy  i  -+■  i ,  &  17  eft  une  ex-- 
preiBon  {dus  &»ple  que  celle- cy  10  -1-  T' 
eu  10,7. 

Dans  tous  fes^  autres  cas  Paddition  pro^ 
prenous  fait  découvrit  tm  rapport  réel- 
entre  la  {omoiC  èts  nombres  donnez  Se 
le  nombre  1  o  ^  ou  en  général  entre  ley^ 
nombres  donner  5c  Fexpofant  de  la  pro» 
greâion.  Ce  rapport  eft  quelquefois  unr 
f apport. d*éqttirouftipricité  ,  comme  17 
•♦•  2j  z:r4&is  10.  &  quclqucsfois  c'cfÉ 
un  rapport  compofé  d'équimultiplicité' 
&  d'cxcez ,  comme  18-1-25  m  4  fois^ 
ïO>  -H  5  HT  4jr  dans  l'addition  primi- 
tive des  autres  nommes  plus  petits  qu^ 
di:c,  dottt  la  fonûne  eft  plus  petite  que- 
dix  ,  le  terme  conftant  du  rapport  eft  Tu* 
«ité  :  X.&  j  font  5.  c'eft  à  dire  i  -1-  3  rz: 
I  ^  i:-*».i.  ^  I  T«^  I.  ou  il  Tott  veut  % 


JS'  Nqhwaux  EUmenr 

*♦-  X  «=  4  -f-  4  =  I  -+-  I  -♦-  I  H-  I 

Or  comme  èxat  toutes  tes  atldition» 
propres  le  terme  conftaist  du  rapport  eft 
toujours  le  même  nombre ,  i  o*  il  s'en- 
fuit qu'on  découvre  par  l'addition  le  tap^ 
port  des  diverfes  fommes  entre  elles  r 
puifque  connoifTant  le  rapport  de  deux 
ou  de  placeurs  quantitez  a  une  même, 
on  connoît  anffi  le  rapport  de  ces  quan^ 
titez  entre  ellcsir 

Après  avoir  expliqué  la  nature  der 
I  addition  des  nomores  entiers  exprime:» 
par  àts  cfai6res  r  je  viens  à  Taddition 
des  nombres  entiers  exprimez  par  des 
lettres*  Lor fque  j'appelle  #  nombre  don- 
né, &  X  nombre  inconnu ,  lorfque  dis-  je 
ie  les  appelle  des  nombres  entiers,  je 
les  appelle  aind  fimpkment  par  rapport 
i  TexprcOion.  Car  4  Se  x  peuvent  réel* 
lement  reprcfenrer  de^  fraâions  ou  mè*; 
me  des  nombres  irraiionnaux  v  mais  pcn* 
dant  qu'ils  reftent  fous  cette  expremon  r 
comme  elle  rcflcmbfc  parfaitement  i  cel- 
le des  nombres  entiers  connus  ,  je  dois? 
les  regarder  comme  dc9  nombres  en-' 
tiers^ 

Cette- addition  littérale  fe  fbudivife 
comme  l'addition  numetiqi:^ ,  ou  chiffe 


U  i  { s'il  m'cft  permis  de  me  fervir  de  ce 
terme)  en  addition  fîmple  &  réitérée» 
mais  elle  Ct  fbudivife  encore  particulie- 
£emeni(  en  addition  propre  ott  parfaite  3 
&  en  addition  impropre  ou  imparfaite, 
j  7^  -4-  23^=^  40^1  •  C^eft  une  addition 
propre  &  parfaite  >  parce  qu'on  connoit 
le  rapport  de  la  (bmme  404  >  à  chacune 
des  parties  174  &  ij^i  mais  174  -*^ 
x-^b  eft  une  addition  impropre  &  impair 
faite  7  parce  qu'on  ne  connoit  pas  le  rap- 
port de  la  (bmme  aux  parties.  C'eft  à  cet- 
te addition  impropre  que  commence 
TAlgebrc.  On  devoit  ce  fcmble  être  re- 
bute d'une  addition  qui  parok  hnpoffi- 
ble  »  comme  celte  des  fiombres  qui  font 
ÎBCommènfurables  ,  &  a  ne  confiderec 
que  l'expreffion»  éicb  font  effeâivement 
incômmenfurables  ,  cependant  il  étoic 
abfolumept  nççeCaire  d'inventer  une  ma- 
nière de  f^ire  cette  addition  y  pour  pou- 
Toir  opérer  indiftinâement  fur  Ics^  nom^ 
bres  connus ,  donnez  de  inconnus  >  afich 
de  refoudre  ks  queftions  propofées.  Cet- 
te addition,  impropre  ferme  une  nou- 
velle efpeçe  de  nombres  q,ue  j'appelle» 
nêp$bres  €omflextt. 

Tout  ce  que  ^c  viens  de  dire*  de  Fad^ 
dition  finple  &  réitérée,  parfaite &im- 
parÊiice  »  en  cbifre&  ^  en  ;  lettres  doit 


s'appliquer  â  praportioti  àlâ  (buftraélioriV 
Elle  ne  rouie  oxmtisàtçtùQrii  que  fur  deux^ 
nombres,  ainfi elle  eft  ordinairement  fim- 
pie.  On  peut  pomcanc  focmer  des  cas 

Four  la  rouftra&ion.  reïter-ée  ;  comme  ii 
on  propofe  d'oter- 15;  de  lOQ)  &  da 
reûc  ôccr^  encore  î  y^  ce  qui  fc  peut  fai- 
re en  deux  manières  9  ou  par  deux  ou  plu* 
fieurs  fbuftraâiocis  iimplts  $  ou  bieii  par 
une  addition  fimpleoia  réitérée,  &  pat 
ane  feule  fouftraââon.  roo- —  13  isss^y 
te  87  —  17=70  ou  13  H-  17==  30^ 
&  1 00  —  30  =  70.  Cette  dernière 
manière  eft  plus  £mple.  La  (buftraâxoii^ 
feïteric  arsive  très  foovent  -en  tcttres. 
•  La  fouftraâion  numérique  çfl  plus  dif-^ 
ficile  qtie  l'addition  à  caufe  des  emprunts»^ 
&  à  caufe  qu'en  apprenant  à  conter  fiir 
fcs  doigts ,  &  en  contant  aûuelkmenc 
fom  nombre  donné  de  chofes ,  on  he  faic 
jamais  qu'iajoiker  runicé  contihuellem^ntv^ 
it  faut  au  contraire  conter  à  rebours^  y  ic 
contre  lorcbe  naturel ,  ou  du  moins  con«^ 
tire  ta  coutume  &  l'habitude  en  retj?an- 
ehant  continueUement  Tunité  pour  faire 
les  fôufttââlions  primitives.  Tous  ceux:' 
qui  commencent  content  bien  plus  fad- 
fcmcnt  8  ^  7'==  15  >  en  contant  fur 
leurs  doigts  8  &!  font  9,  &  i  font  to% 
&  I  font  11^  6cc^  qu  îb  ne  content  cm 

rétrogradant 


ou  IJ 
a  pra- 


d:  Arithmetiqtie  &  d*jilgchre.       jtfi 
r^etrogradant  15  —  I==5i4,  i4-?-i 
1 3  ,  &c.    jufoucs  à  p  • —  I  ==  84 
—  y  =s  8*  d'ailleurs  on  a  dans  1 
tique   cent  additions  à  faire  pour  une 
Ê)uftraâ:ion. 

A  mefiire  qu*unc  opération  eft  plus 
difficile  >  il  eft  plus  aifé  de  s*y  tromper» 
C'fcft  pourquoy  1  on  peut  fe  fervir  de  1  ad- 
<iition  pour  s'alTurer  fi  l'on  a  bien  fait  la 
fouftraâioa.  Je  veux  favoir  fi  100  ~- 
13  =  87.  j'ajoute  1 3  &  87  ,&  trouvant 
Gue  la  {bmme  eft  100  »  je  conclus  que  la 
fouftradion  eft  bien  faite ,  c*eft  ce  qu  on 
appelfe  faire  la  preuve  d'une  opération. 
L'Addition  étant  la  plus  fimple  de  tou^* 
tes,  il  eft  contre  Tordre  &  contre  farai-- 
fbn  d'en  faire  la  preuve  par  une  opéra* 
tion  plus  difficile  >  comme  par  la  (buftra- 
âion  oppofée.  Car  fi  l'on  eft  alTez  mal- 
habile pour  fe  tromper  dans  l'addition,  i 
>lus  forte  raifon  (e  trompera- 1- on  dans 
a  (buftraâion.  La  meilleure  Règle  en 
général  pour  ne  fe  point  tromper,  eft 
d'opwrcr  lentement  &  attentivement,  ou 
de  xefaire  quelque  tems  après  la  tncme 
opération. 

Entre  toutes  les  parties  des  Mathé- 
matiques ,  il  n'y  a  que  l'Arithmétique  pra- 
tique où  l'on  fe  k)it  avifé  de  chercher 
des  picwrcs  pour  les.  opérations.   Lesi 

Hh 


i 


3^1  No$êveMUx  EUmens. 

Géomètres  i  par  exemple  eiifcigncnt  td 
manière  de  canftruire  an  quarré  égal  i 
Ain  triangle  dcmné ,  ou  à  une  figure  re-> 
âiligne  donnée  ;  ils  ne  donnent  point 
de Rcgle  pour  s'afTurer  fi  loperation  cft 
bien  taite  ;  il  faflSc  que  la  Règle  ibiedé- 
montrée  \  d'où  vient  que  les  Ârithméti* 
ciens  font  plus  difficiles  1  ceftque  dans 
les  opérations  Géométriques  on  ne  fait 
rien  par  cœur  ^  on  f&  ibuteou  par  la 
yiie  &  1  imagination  dans  le  mouvement 
réglé  &  continu  des  Icftruments  dont  on 
fe  fert  î  au  lieu  que  ^ans  les  opérations 
arithmétiques  9  tontes  les  opérations  pri- 
mitives fe  font  par  coeur  ;  amfi  il  eft  plus 
aifé  et  fe  ctomper^  d'ailleurs  il  impor* 
te  bien  moins  de  fecron^erxlans  celles-* 
U  que  dans  celles^ ,  u)tt  par  rapport 
aux  chofes  fiinâïles  »  foit  par  rapport  à 
k  connoiflàncc  de  la  vérité.  Emin  Ton 
ne  peut  s'afiun»  que  mécaniquement  d'u* 
ne  opération  Géométrique  Coit  qu  on  re^ 
commence  l'opecation ,  on  qu'on  fe  ferve 
de  différentes  méthodes  \  au  lieu  que  l'on 
^'alTute  en  quelque  manière  demonftrar 
tivement  d'une  opération  arithmétique 
far  Toperation  oppofée. 

L'Addition  n'eft  proprement  qu*inie 
itiumeration  abbregée  \  car  la  immeratiofi 
eft  .une  addition  ceûecée  U  conpaudlç 


\ 


ûe  runitci  &  on  pourroii  Taire  par  U 
tonpie  numération  toutes  les  adtfitions 
inais  cela  fcroit  d'une  longueur  ptwk! 
^eufc  &  impraticable.    On  pouniit  de 
TOcmc  taire  la  fouftraaion  par  une  fim. 
rie  numération  renverfée.    La  fouftr*. 
aion  littérale,  imparfaite,  fimple  8c  rcïte- 
réc  forme  auflï  Jcs  nombres  complexes. 
Apres  1  addition  &  la  foirflrââ:ioa  de» 
Bombrej  ewSerf ,  l'operatioti  la  plus  fim- 
rie  eft  cette  de  la  nmltiplicàionî  dan« 
la  nufltiphcadon  ttameriaic  il  eft  évi 
dent  qu'on  ajoute  îe  nombre  i  nmItiBitei 
»  luy  même  autant  de  foi,  ,  moins  \jae 
que  le  mdnphcateur  a  d'unitcx  ;  pouc 
«iult^li«:  8  oar  j  .  il  faut  «joâter  HiL 
fois  a  luy  même  -.  &  cm  •»«,„  40  aî 

lunité:  il  faut  écrire  «,  y  &i;  g,f,^ 

cfcft  ainfî  qui!  faut  entendre  la  Défini! 

donc  que  1  addition  eft  une  ««atiatio» 
abbregcc ,  la  midtiplicadon  ^  „ne^ 
dmon  abhregéc.  &  par  «nfcqueot  3ÎI 
«ft  asflî  une  numer^io«  abbcSériw 

iwe  donne  a  lu^-oïèmc.  Dans  raddition 

Hh  ij 


1 


B^4  Nouveaux  EUmem 

(impie  &  réitérée  on  fait  abftraâion  de  ^ 
l'égalité  ou  de  l'inégalité  des  nombres 
à  ajouter  9  dans  la^multiph'cation  les  nom- 
bres à  ajouter  (ont  tous  égaux  \  &  c'eft 
ce  rapport  d'égalité  comme  plus  fimple, 
qui  rend  loperation  ru(ceptiblc  dab^ 
breviation. 

La  multiplication  feroit  impraticable 
par  fa  longueur  ii  1  on  fè  (êrvoit  de  l'ad-    ' 
dition  >  &  i  plus  forte  rai(bn  (i  Ion  (e 
fervoit  delà  numération. 

Comme  l'on  ne  multiplie  point  pro'- 
prement  par  o  >  ni  par  i  ,  il  ti'y  a  que 
3  6  multiplications  primitives  à  favoic 
pat  cœur. 

Jay  fiippofé  que  le  produit  de  ^  par 
3  étoit  égal  au  produit  de  3  par  ^  ^  on 
peut  le  démontrer  fei^blement  &  exa^ 
âement  par  l'exemple  A .....  B. 
d'un  reâangle  de  points*       ..... 

t d. 

A  B  C  D.  C^  5  rangées  de  3  points 
chacune,  ou  3  rangées  de  5  points  cha« 
cune  font  le  même  reâangle. 

Si  l'on  multiplie  trois  nombres  éhc^ 
2>f  3)$»  continuellement  en  quelque  or- 
dre que  ce  (bit ,  les  produits  feront  é- 
gaux ,  les  produits  font  éhc^  hscyieu, 
slfétydety  cab* 
.   i\  4^=  ^4  donc  sbc  s»  IfUd  6c 


i 


d" arithmétique  &  d'JifgeireV  jSj 
IcAr^zcb^y&cacbz^icab*  U  Suffit 
donc  de  démontrer  que  éihe=:  dcbz=i 
h  C4*  Je  forme  ane  rangée  de  points  éga-^ 
le  à  4  A ,  &  )  y  ajoute  autant  de  rangées 
égales  &  parallèles  que  c  a  d'unitez.  Je 
formeray  le  reâangle  abc 9  dans  la  pre<* 
miere  figture  qui  leptefènte  le  produit 
ab  c. 
«  Première figute.         Dans  la  féconde 

ab figure  je  partage  la 

éib n  première  rangée  iaf,^> 

#f  ^  •  ;  •  .  •  •        compofée  d'un  nom- 

db bre  de  points  égal  i, 

dh db  ^    en  autant  de 

abc  parties  égales  que  h 

^    Seconde  figure*     contient     d'unitez» 
b  chaque   partie  con^ 

e     tiendra     autant    de 
points  que  4  9  con«^ . 
4r^  tient  d'unitez.     On 
pourra  dca(2^^  divifet 
le   grand    cb^angU 
dC^    ACy     éici       en  autant  de  petits 
Treifiéme  figure.    re4Îtangïes ,  chacun  h- 
a  gaux  a  ac  >   que   b 

E     contient     d'unitez.* 
Ainfi  la  (èconde  fi*- 
bc4  gure    reprefente    le 
produit  dcb. 

On  prouvera  pai 
Hh  iiy 


d  .  .     .  .[.  . 

r     •■  f    •      •  •      • 

-•      •  •      •'    I     •   -  • 


fié  KoH^4Mx  EfeftUHf 

un  laifonnement  femblable  que  la  troi-r 
fiéme  figure  repre fente  le  produit  bcéhr 
donc  ces  trois  produits  Sont  égaux. 

Si  i  on  itmltiplie  quatre  noa:u)£es  4y  k, 
€>d^  continuellement  en  quelque  ordre 
que  ce  (oit,  les  psoduits  feront  égaux.- 
Pour  le  prouver  )t  forme  une  rangée  de 
points  éeale  i  é$bi\  &  fy  ajoute  autant 
de  rangées  égales  &  paialleies  5  que  d 
contient  d'unitez.  Je  tormeray  par  là  vtm 
itâangle  qui  repre fcnteta  le  produit 
étkcdy  9cc.  Se  ainfi  de  fuite*. 

Cette  Demonftradon  me  paroît  xtov^ 
yelle  >  plus  fimple  que  l'ordinaire ,  inde« 
pendante  des  proportions  s  &  par  confe- 
quent  neceinure  pour  démontrer  la  mut* 
tiplication  où  l'on  ne  peut  fans  renverfer 
Toidre  fuppofet  le  Traité  des  raiibns  Sc 
des  proportions. 

La  mùhîplication  par  i,  répond  à  l'adP 
^inoi^de  zéro  :  la  multiplication  par  ^ 
cépot^d l'addition  fimple  :  la  multiplica^ 
tion  par  3,4  &c. répond  à Taddition  réité- 
rée. La  multiplicatton  numecique  eft  tqu-* 
jours  parfaite  ,  parce  qu'on  connoît  le 
rapport  du  produit  au  multipliant  .&  an 
multiplié:  la  muttiplication  d'un  nom<» 
int  par  une  lettre  eft  imparfaite  par  rap* 
port  au  nombre  .multipliant  s  &  parfaite 
par  rapport  à  U  kttre  multipliée  :  quané 


Jt  Arithmitiéfue  &  iAlgthe.  "pf 
]e  iimltipiic  54  par  3,  le  produit  154  a 
on  rapport  connu  à  54  >  &  un  rapport 
inconnu  à  3  :  la  multiplication  é'a  par 
s  eft  imparfaite  oitant  que  numérique, 
quoique  l'addition  d'4  -^  4  qui  luy  ré-* 
pond  Toit  parfaite,  elle  eft  parfaite  eh- 
fant  que  littérale  :  enfin  la  multiplica- 
tion d4  par  h  y  qui  répond  ï  Tadaition 
d'4  -4-  ^,  eft  imparfaite  même  entant 
Que  littetale.  Toute  multiplication  pat- 
laite  découvre  des  nouveaux  rapports  & 
au  terme  conftant  10»  ^  des  produits 
entre  em ,  &  des  produits  aux  multi- 
pliants &  aux  nmltipliez. 

La  preuve  de  9  eft  utile  dans  la  muF- 
tipli  cation ,  parce  que  1  opération  de  lat 
preuve  eft  beaucoup  plus  iîmple  que  la 
multiplication  même.   Pour  favoir  ii  le 

J produit  de  ç^parS^  eft  49029  j'ajoute 
es  chifres  du  multipliant  5  &  7 ,  c'eft 
1 2*  dom  (par  règle  générale  )  f ôte  9,  i( 
JKftè  3  que  je  garde  à  part ,  comme  preu- 
ve du  multipliant.  Je  dis  enfmte  8  ^  ^ 
3=:  r4>&la preuve  de  14  eft  ^;  ficc'eft 
la  preuve  du  multiplié  8  ^  »  je  multiplie  h 
fyredve  3  par  la  preuve  5  ,  le  produit  eft 
.15»  dotit  la  preuve  eft^ ,  parce  que  i  ç 
-r-  ^  =:  é,  ou  parceque  r  -•-  5  rr  tf.  Il 
•faut  que  là  preuve  du  produik  4902  (bit 
mSÙ'  6  y  &  Loperation  tfi  bien  faite.  Oi:^ 

H  h  iiij 


if&i  UoHWdUX  Etemem 

pour  avoir  k  preuve  de  4901»  )t  né- 
glige le  9  &  le  o  »  &  ajoutant  les  autres 
chifres  4  &  ^  :  comme  leur  ibmme  eft 
€ ,  je  conclus  que  l'opération  eft  bonne. 
La  preuve  de  tout  nombre  plus  petk  que 
5>  eft  ce  même  nombre.  La  preuve  de  7 
eft  7  :  la  preuve  de  5  eft  y  :  &€.  La  preu- 
ve de  9  eft  Or  La  praivc  de  o  eft  a. 
Lorfque  la  preuve  a  un  des  deux  notn»- 
bres,  ou  du  multipliant  our  du  multiplié 
eft  o  )  il  eft  inutile  de  chercher  la  preiF* 
vc  de  l'autre;  &  il.  faut  que  la  preuve  du 
produit  Toit  o  9  1^-  multiplication  ne  peut 
pas  être  bonne  &  la  preuve  faufie  *,  mais 
la  preuve  peut  fe  trouver  bonne  ^  &  l'o- 
pération être  faufie  abCblument  parlant. 
Car  fi  j^vois  pris  ou  y  901  ou  40929 
&c.  ou  généralement  tout  autre  nombre 
que  4902.  dont  la  preuve  fût  69  pour 
le  produit  de  57  par  %6*  La  preuve  fe- 
roit  bonne  &  l'opération  faufte  ,  mais 
il  eft  impoflîble  moralement  que  cela  ar- 
rive ,  parce  qu'il  faudroit  deux  ou  plu- 
£eurs  eneurs  qui  fe  compenfafTent  exa* 
Aemènt  dans  la  (bmme  des  chifres. 

La  Demonftration  de  cette  Règle  eft 
fondée  fur  ce  principe,  ^ue  U/hmmc 
des  chifres  •  qui  expriment  un  nombre 
mukiple  de  9  efi  en  /gdle  À  f  en  mnl" 
tifle  de^*  Voyez  cy- devant  pag.  %i% 


i^Arifbmetiijke  &  ^Jlgeirel  jff^ 
^11^.  foie  donc  le  multiptiant  ^a  -+•  h^ 
êc  le  itmltiplic  ^e  -i-  d.  La  preuve  dri 
precnier  eft  i^  »  &  celle  du  fécond  t^dySc 
il  eft  évident  que  la  preuve  du  produit 
8i4  r-+-  94</-H  9^c  •+-  cdy  en  retran- 
chant tous  les  multiples  de  9  eft  <r^/;  c'eft 
i  dire  que  la  preuve  du  produit  eft  égale 
au  produit  des  preuves  du  multipliant  8c 
du  multiplié ,  ce  qu'il  faltoit  démontrer. 
Il  eft  contre  l'ordre  de  fè  fervir  de  la  di- 
viiion  oppofée  pour  preuve  de  la  multi*- 
plication. 

Dans  la  multiplication  littérale  &  dans 
la  multiplication  en  général  >  où  le  mul- 
tipliant n'eft' pas  un  nombre  entier,  le 
produit  eft  mh  nùmbre  éjui  d  mime  rap" 
fort  âM  multifUé  qut  U  multipliant  i 
l'unité^ 

Le  multiplié  &  le  produit  (ont  homo^ 

gènes  >  c'eft  â  dire  de  même  nature.  Ions 

.  que  le  multipliant    eft .  un  nombre  ab* 


produit 

tiplié  font  hétérogènes  »  car  dans  le  pre^ 
mier  cas  le  produit  eft  une  furface  9  dc 
dans  le  fécond  cas^  c'eft  un  corps ,  la  mul- 
tiplication pure  ic  fimple  eft  impofBbtè 
dans  tout  autre  cas^On  ne  peut  point  mul- 
tiplier furface  par  fu£&ce>  ni  livres ,  kh 


&  deniers ,  par  livres  ^  (bis  &  deniers»  tif 
teins  par  vicefTe  ou  par  efpace»  &c.  Toàar^ 
ers  produns  pris  dans  un  feos  dtreâ  ôc 
abrolu  (bnc  chimériques ,  &  lorfque  daniB 
ka  Règle  de  trois  on  ait  ces  (brtes  de 
multiplications ,  l'on  ne  mulci|die  réelle-» 
ment  que  des  nombres  abftraits.  On  peoc 
dire  au(fî  que  dans  la  multiplication  réel- 
le des  lignes  par  dVs  lignes ,  ou  des  (ur* 
faces  par  des  furfaces ,  runité  répond  aU' 
point  ôc  le  reprefente  ;  &  que  les  lignes 
&  les  furfaces  font  reprefencées  par  des- 
nombres  infinh  ,  qui  ont  entre  eux  le 
même  rapport  »  que  ce  qu'ilis  reprefen^ 
cent.  Toutes  (brtes  de  rapports  peuvent 
en  ce  fens  ccre  reprefentes^  par  des  nom- 
ères  entiers  infinis^  de  le  produit  contiens 
dra  toujours  autant  de  rois  le  multiplié 
.que  le  multipliant  contient  cette  unité 
iaifinimcnt  petite. 

Il  eâ;  ailé  d'appliquer  i  la  divijdon  tout 
ce  que  je  ven^  de  <firt  de  la  mùltiplica- 
lion. 

La  diviâon  commence  d*ètre  fujette 
au  taconnemeor»  lorfque  It  divifeur  eft 
complexe. 

On  peut  en  hitt  la  preuve  pat  la  mut 
liplication  oppcfée  »  &  par  9.  ce  n'eft 
peint  utic  propriété  du  nombre  9.  Mais 
£  au  lieu  du  terme  confiant  ixxde  l*ex- 


l 


it  ArithmifiqMe  é^iAtgeirel  ^l 
ptttion  des  nombres  ,  on  prenoit  par 
exemple  100.  la  preuve  fe  feroit  de 
ininœ  par  3  ,  par  9,  par  1 1 ,  par  J  3  >  par 
^9.  &  ecDéralcmcnr  par  tout  nombre 

ui  tnemrer  le  terme  conftant  diminué^ 

e  Tunité. 

Pour  favoir  fi  84  Avifc  par  i  z.  don- 
ne 7  pour  quotient  ,  il  n'y  a  qu'à  mul- 
tiplier 7  par  1 2.  &  voir  fi  le  produit  cfl: 
égala  54.  ou  bien  smlciplier  la  preuve 
du  quotient  par  la  preuve  du  divifeur^ 
Se  au  produit  ajouter  la  preuve  du  refte» 
s'il  y  en  a»  Car  ïa  preuve  du  produit  ou 
de  la  (bmme  dcrit  être  égale  a  la  preu* 
▼e  du  di>^dende.  Pour  Savoir  fi  109242 
divifô  par  7S03  dûsme  pour  quotient 
14.  Je  muttiplie  ta  preuve  de  14  qui  eft 

Î,  par  la  preuve  de  7803  >  qui  cft  o. 
e  produit  eft  o.  Se  comme  la  preuve 
it  109242  eft  auiii  o  »  je  fuis  m^d^ 
tement  ajSuré  que  la  divifion  eft  bon* 
ne. 

En  divifant  217  par  14,  le  quotient 
eft  1 5  »  &  il  rcfte  7.^  la  preuve  de  1 4 
eft  j ,  la  preuve  de  i  j  eft  ^^  Je  mufti- 
plie  f  par  6.  la  preuve  du  produit  30 
eft  3  que  j'ajoute  à  la  preuve  7 ,  du  re- 
fte  7.  La  ibromc  cft  i  o  >  dont  la  preu- 
ve eft  I .  &  parce  que  la  preuve  du  di- 
vidende 217  cft  auilî  x*^  Je  fuis  mora^ 


'57».  Kau^eéMX  Elcmeni 

lement  iSmé  que  l'opeiadon'  eft  f>on>^ 

tx. 

Il  me  refteroit  encore  pltifîcurs  re- 
flexions i  faire  fur  le  calciu'  Arichmeti- 
qiie  &  littcial  >  nuis  ce  que  j'en  ij  dit  peut 
liiffiie. 


éCjiritbmctique  c^  ^Algehre.     jyj 

SECONDE    PARTIE. 

Dû  U  Formation  &  dt  U  PrefdratioH 

des  Equations* 


Chapitre     I. 
Des  différentes  effeces  de  FroHemes* 

Toutes  les  queftions  qu  on  peut  for-* 
mer  fur  les  nombres  Te  reduifent  i 
trouver  un  ou  pluHeurs  nombres  incon- 
nus 9  par  le  moyen  des  rapports  connus 
Sue  ces  nombres  ont  entre  eux ,  ou  avec 
'autres  nombres  donnex  ou  connus* 
La  comparai  fon  de  ces  rapports  fe  fait 
par  le  moyen  des  /qnations^  c'eft  à  dire 
en  trouvant  une  ou  pluficurs  fois  deux 
fommcs  égaies  ,  dont  lune  enferme  le 
nombre,  ouïes  nombres  donnez , connus 
&  inconnus  fous  une  certaine  expreffion; 
£c  l'autre  fomme  contient  les  mêmes 
nonîbres  >  ou  une  partie  fous  une  expref* 
jion  égale  ou  différente. 

Il  y  a  des  ^Problèmes  incon^plexes  6c 


174  NMnieéHX  EUmens 

des  Problèmes  complexes.  Taroelle  Pro- 
blèmes incomplexes  ceux  ou  il  n'y  a 
qu'un  nombre  inconnu  i.  trouver;  &  j'^ 
pelle  Problèmes  complexes  ceux  où  il  y 
a  plufieurs  nombres  inconnus  à  trouver» 

Entre  les  Problèmes  inobmplexes  de 
même  qu'entre  les  complexes ,  il  y  a  di- 
vers deerez  de  fimplicitéà  l'infini,  (è- 
Ion  le  degré  oii  les  inconnues  font  éle* 
vces  :  par  exemple  un  Problème  qui  fe  ré- 
duit à  cette  équation  yx  -i*  3  :=  24  eft 
«m  Problème  incomplexe  du  premier  de- 
gré  9  parce  que  x  eft  au  premier  deg^é  ; 
mais  7XX — zSjeft  une  équation  d'un  pro- 
blème incompleice  du  iêcond  degré  ,  i 
<aufe  que  l'inconnue  x  eft  élevée  tu  fé- 
cond oegré. 

Dans  chaque  degré  excepte  dans  le 
premier  il  y  a  des  problèmes  fimples ,  8c 
àts  problèmes  oompofez.  Ceux  où  l'in- 
connue* eft  une  feule  Sois  d'un  coté  de 
l'équation  ;  &  la  quantité  connue  de  l'au- 
tre coté  (ont  àts  problèmes  fimples ,  8c 
ceux  où  l'inconnue  eft  plufieurs  fois  en 
difFerens  degrez  (ont  des  problèmes  com^^ 
pofez  )  ainfî  yx^  «:=  5  é  eft  un  problème 
iacomplexe  fimple  du  troifiéme  degré: 
mais  yx^  -•-  ^xx  *—  y*  s»  <8  eft  un 
problème  incomplexe  dccompow  du  ctoi- 
Uvot  degré., 


Jt  Arithmetuitie  &  £  Algèbre.      J75 
n  y  a  auffi  aes  problèmes  décerim^ 
ticz ,  indétenninez ,  &  plus  que  dctcrmi- 
nez.  \ 

Les  ptoUeities  déterminez  (ont  ceux  i 

x>ù  il  n'y  a  qu'une  feule  refolution,  ou  un  1 

<:ertain  nombre  déterminé  de  refolutions. 
Les  indéterminez  £:>nt  ceux  qui  ont 
une  infinité  de  résolutions. 

Les  plus  que  déterminez  conviennent 
avec  les  déterminez ,  en  ce  qu'ils  n  ont 
qu'une  ou  un  certain  nombre  de  refôlu* 
aons ,  mais  ifs  différent  en  ce  qu^on  con- 
noît  plus  de  rapports  qu'il  n'eft  necelTai- 
re  pour  déterminer  la  quantité  ou  les 
quantitez  inconnues. 

On  connoit  les  problèmes  détermines 
en  ce  qu'ils  donnent  autant  des  rapports 
connus  »  &  par  confequent  autant  d*é«- 

3 nations  différentes  precifément  qu'il  y  a 
e  nombres  inconnus. 
Les  problèmes  indéterminez  en  don-^' 
nent  moins ,  &  les  plus  que  détermines 
«n  donnent  plus.  Ainfi  s'il  faut  trouver 
trois  quantitez  inconnues ,  &  qu'on  con^ 
tioifle  trois  rapports  ,  le  problème  fera 
déterminé.  Si  1  on  n'en  connoît  que  deuic 
ou  an ,  le  problème  fera  indéterminé ,  (î 
on  en  connoit  quatre  ou  cinq,  &c.  le  pro- 
Ueme  fera  plfR  qtte  déterminé. 

fl  y  1 4es  psofaieines  indéterminée  où 


j7^  Nouveaux  Elemens 

l'on  cxîgc  des  refolutions  rationelles , 
c'cft  a  dire  des  rcfolutions  en  nombres, 
&  où  1  on  rejette  les  refolutions  irratio- 
nelles  -,  ccft  à  dire  qui  renferment  des 
incommenfurablcs ,  qui  fc  prcfcntent  na- 
turellement \  comme  par  exemple  fi  loa 
propofe  de  divifer  un  nombre  quarrc  en 
deux  autres  nombres  quairez  ,  l'adrcflc 
de  Tanalife  confiftc  à  éviter  cette  irra- 
tionalité* 

Presque  toutes  les  qucftions  de  Dio- 
phanc  roulent  fur  cette  efpece  de  pro- 
blème ,  &  c'eil  une  partie  particulière  dc^ 
l'Algèbre ,  celle  même  qu'on  eflime  le 
plus  quoi  qu  elle  foit  la  moins  utile,  n'é- 
tant prefquc  propre  que  pour  refoudre 
de^  qucftions  faites  à  plaifîr  fur  les  nom- 
bres. On  peut  pourtant  la  regarder  com.- 
me  une  occupation ,  qui  donne  quelque 
fubtilité  à  Tefprit ,  qui  le  rend  inventif, 
ou  du  moins  comme  un  amufement  fort 
innocent  &  pareil  à  ceby  des  échets. 

Les  Anciens  nont  point  connu  les 
0otnbres  irrationaux ,  &  ne  les  ont  ja- 
mais regardez  comme  des  nombres.  Ccft 
ce  qui  leur  a  fait  rejctter  toutes  les  rc- 
folutions irratioaelles.  Il  y  a  des  .proble- 
tnes  poffibles  &  impoffibles.  Les  impoffi- 
blcs  font  refolus  quand  on  a  démontre 
Iciir  impoflibilité ,  &  il  y  en  a  de  trois 

degreï. 


1 


JtAriÀmtiiïH9&d*Al£0hre.  fjj 
jâegtez.  Les  uns  ibnt  purement  &  (impie- 
ment  impoflibles  »  &  on  le  connoît  en  co 
uils  Ce  reduifent  à  une  équation  abfur*- 
e  )  comme  3  sss  4.  d  où  l'on  ne  peut 
tiser  aucune  confequence  >  fi  ce  n^eft  que 
le  problème  eft  impoffible.  Les  autres 
donnent  des  refolutionis  négatives ,  corn- 
ue fi  un  problème  fe  réduit  neceflaire- 
ment  à  cette  équation  a:  rz  —  3  •  Pour 
lors  le  problème  eft  effedivement  im- 
podîble  dans  le  fens  où:  il  eft  propofé  » 
mais  cette  équation  nous  marque  qu  ii 
y  a  un  autre  problème  tour  fi^mblablc , 
iOÙ  Ion  peut  appliquer  cette  refolution 
en  changeant  feulement  quelque  ligne  de 
M-  en  —  ou  de  —  en  -h.  Enfin  tes  au- 
tres fc  reduifent  à  des  cxpreffions  ima- 
ginaires ,  cowinae  ;tf  zz  r  -^  3  qui  ttt 
une  racine  qui  n'eft  ni  pofitive  ni  néga- 
tive. Cette  exprefiion  marque  au0î  rin>- 
poffibilité  du  problème  dans  le  (ens  pro** 
pofé,  mais  avec  quelque  ufage  pour  des 
problèmes  femblable^s  où  le;  fignet  fbnt 
changez.^  On  connpît  ouue  cefa  dans- 
toutes  ces  trois  efpeces  d'impoffibilité^ 
ce  qui  rend  Te  problème  impo0ibte  ic 
par  quelle  additic»! ,  quel  retranchement 
ou  changement  àcs  conditions  on  peut 
Je  rendre  poiliible* 
'   II  y  a  des  P£obleme«>  numériques,  geo^ 


tnetriattes ,  phyiîques»  aftronomiqtte5>&c»> 
feloD  les  differehs  fujets  où  l'on  peuc  ap^ 
pliqaer  l'Algèbre  s  &:pDurIocs  il  faut  les 
dépouiller  de  tout  ce  qu'ils  ont  de  par-* 
ticuliier  à  leur  fbjet ,  pour  les  confiderer 
fous  l'idée  abftraite  de  nombres. 

II  y  a  des  problèmes  £nchetiques,  ana- 
litiques  U  mixtes.  Vojet,^  U  Vr^fdct*  En- 
fin il  y  en  a  de  theorematiques ,  ou  de 
veriâcttîons  de  Théorèmes,  dans  lefqdels 
il  faut  q|ue  les  deux  nombres  de  Fégalité^ 
fe  trouvent  precifément  les  mSmes  fî  le 
Théorème  eft  teritable.  On  verra  dans: 
la  fuite  des  exemples  de  toutes  ces  di& 
feicntes  e^eces^  de  Problèmes. 


■»- 


ClTAPltRS      IL 

Xt^t  générale  fomr  U  Fêrmâtion  itf 

EXprimem  tous  les  nombres  connus  > 
chacun  par  une  des  onze  premières 
lettres  de  TÂIphabet  4,^,  r,  ^y&c.  &le$ 
inconnaës  par  une  des  onze  dernières» 
ny  9i  &c.  x^jy  xr ,  &c»  Et  opérant  enfuite 
fur  ces  nombres  connus  &  inconnus  9 
en  les  ajoutant  enfemble  ,  les  6tanr> 
les  multipliant^  &c.  felon  les  condition) 


)âa  probième  >  &  fuivanc  les  Règles  dW 
la  première  Partie  >  compares  enfemble 
toutes  les  fommes  qui  doivent  être  ég»- 
les>  &  voiu  aurez  par  là  formé  ce  qu'on 
appelle  équation. 

Nous  commencerons  par  les  proble»* 
mes  fim{^es  6c  incomplètes  du  p^cemter 
degré. 

Iremiir  ExemfU^ 

Trouver  un  nombre  qui  étant  ajouté 
i  )r7  falTe  yi ,  &c  J'appelle  ce  nombre 
inconnu  ny  &jefuppore  yytssL0  icyi 
oss  If.  J'ay  par  tes  conditions  du  problè- 
me »  -h  4  ss=^,  &  Téquation  cft  for«- 
mée** 

Scei^ml  Ejcemfib 

Trouver  un  nondbre  lequel  étant  mtji^ 
tlplié  par  7,  &  le  produit  augmenté  d©^ 
f  face  2r6. 

Je  fuppofe  7  =5*4  &  <  aer ^  &  16  ast^,' 
Se  j'appelle  n  le  nombre  cherché.  Ce  • 
nombre  étant  multiplié  par  4  donne  a  iv> 
auquel  j*a)ofttc  lê  noitibte  t*  Ïa  fbmme 
cft  4  If  H^  ^  ,  laquelle  (Uivâm  lès  condi- 
tions du  problème  doit  ètiQ  égale  aa 
Mnbcc  Çy  )'ay  donc  réalité  formée  4#' 

Il  i; 


3^8d  NùHveâtfx  Elément 

.^  h  ±si  Cy  cette  égabté  eft  fort  aiTce  i 
refoudce  >  mais  il  ne  s*agit  par  encor  icy 
de  la  refolution. 

J'autois  pu  former  plus  facilement  une 
égalité  particulière ,  fans  avoic  recours 
aiix  lettres  SytiC,  en  écrivant  amplement 

r»  -4-  ç  rz:  t6y  mais rexprcffion  an  -** 
—  c  eft  infiniment  plus  générale:  cai 
My  by  €i  reprefentcnt  tous  les  nombres 

Kffibles.  ta  première  cxffçffion  eft  àc 
ncienne  Algèbre  qu'on  appelle  encorcr 
algèbre  fmmeriejm  ,^  &  la  ^conde  eft  de 
V Algèbre  fpfcieufe  %  inventée  par  Monw 
ficur  Viete, 


Chapitre     IIL 

Ite  té  pref4ratioH   des  Equations  fwr 
tf ânffofition ,  on  far  Addition   . 
^^Sanfiroàion^ 

Ou 

Ut  ffvanouïffement  des  ternies  Homo^ 

gènes. 

P  Réparer  «ne  Equation ,  c'eft  luy  don- 
ner la  forme  \^  plus  commode  pons 
ctrercfoluc* 
It  y  a  de  deux  fortes  de  préparation  ^ 


à' Artthmiiiqm  &  ^Algehrc.  ^ 
l  utfc  abfolumcnc  neccffairc ,  fans  laquel- 
le on  ne  peut  pas  refoacke  f  l'autre  ùco^ 
plement  commode  avec  laquelle  on  rc- 
fout  plus  facilement.  II  n*y  a  que  croi» 
préparations  necefTaires ,  qui  font  Fcva^ 
nouifTemenc  des  termes  homogtnes ,  1  e- 
vanoiiifTement  des  *  inconnues ,  &  celuf 
des  incommenfurabks  complexes. 

Il  y  a  trois  préparations  fimplcmcnt 
commodes  »  Té vanoiii dément  des  fra- 
âions ,  révanomdcment  d«  labfolu  de 
la  haute  puif&nce;  &  révanouifrement 
des  incomiDenfutaUes  incomplexes.  On 
pourroit  y  ajouter  pour  quatrième  c(pe- 
ce  de  préparation  commode,  réranoiiif- 
fement  des  termes  moyens ,  fi  l'on  avoit 
pour  cek  une  méthode  générarle. 

Dt   f/vanomjfememt  dès  termep 
Homogènes^ 

J'Appelle  fermer  Homogènes  ceux  qui 
font  exprimez  par  des  nombres  con- 
irus  ,  ou  par  les  mêmes  lettres  élevées 
.au  même  degré.  Ainfi  7  eft  homogène  à 
18  ;  ya  eft  fîomogenc  àr  i%avya^b^  eft 
homogène  à' 18  <«^^^ 

Lorfque  dans-  une  éqiTation  il  y  a  dcsr 
termes  homogènes  dans  les  deux  nom- 
bresj  on  les  îàii  évatioiiir  d'un  côté>ou^ 


if  1  Nouveaux  ElemeHs 

de  tous  les  deux ,  en  ajoutant  ou  en  Ô^- 

ttDt  également  de  part  &  d'autre. 

Exemflè. 

Il  faut  tfouvet  un  nombre  qui  étant 
multiplié  par  7»  &  It  produit  augmenté 
de  8  fafTe  autant  que  ce  mcme  nombre 
multiplié  par  i  o  >  le  produit  étant  dx^ 
minue  de  1 9. 

Soit  ce  nombre  inconnu  Xi  je  le  mul-- 
ripHe  par  7,  le  produit  eft  ^at»  à  quoy 
j'ajoute  8  >  la  fomme  c&yx  -^  i  y  Que 
je  garde  à  part  comme  premier  membre 
de  mon   équation.   }e  multiplie  enfuite 
ce  même  nombre  par  i  o  >  &  du  produit 
lox,  j'ott  19 ,  lercfte  cft  icwr  «^  19^. 
qui  eft  le  fécond  membre  de  mon  équa- 
tion. J'ay  donc7jr-»-  8=:  io;r —  19.- 
Cette  équation  renferme  quatre  termes,* 
deux  dans  chaque  membre  s  les  termes 
fiomogenes  font  yx  Se  iojt.  de  même 
que  -f*  8  &' —  19. 

On  peut  commencer  par  faire  cva* 
nouir  celuy  qu'on  voudra  des  deuir  ter- 
mes homogènes  ;  mais  la  Règle  générale 
eft  de  faire  évanoiiir  te  terme  négatif 
plutôt  que  le  poâcif  >  &  le  plus  petit  po- 
fitif  &  le  plus  grand  négatif >  lors  qiiib>> 
ont  tous  deux  S:  même  fi^c. 


t 


On  fait  évanoâir  les  termes  négatifs» 
en  ajoutant  de  part  &  d*autre  leur  valeur 
pofirive;  on  fait  au  contraire  éyanoiiir  fe' 
lus  petit  des  termes  pofitifsy  en  ratant 
e  part  &  d'auore ,  que  fi  les  deux  ter« 
mcs  homogènes  ctoient  égaux  avec  le 
même  figne ,  il  n'y  auroit  qu'à  les  effacet 
départ  &dautte^ 

Dans  Féquation  7*  +  8  =  lox  ■— 
19.  je  commence  par  ajouter  -h  ip  de* 
part  &  d'autre.  Tay  d'un  côte  yx  -1-  27 
&  de  Pautre  feulement  i  o* ,  parce  quç 
îox*—  19  ^  r  9  ss=  10^-  Par  là  je  ré- 
duis mes  quatre  termes  à  trois  s  lavoit 

En  fui  te  confiderant  tes  deux  termes  • 
pofitifs  &  homogènes  7;e&  rojc.  Je  fais 
cvanoiiir  le  plus  petit  jx ,  en  ôtant  yx 
de  part  &  d'autre  •  &  il  ne  refte  plus  que 
deux  termes^  favoir  275=  ijk».  Téqua- 
rton  eft  entièrement  préparée  \  pour  la 
refoudre  iF  n'y  a  qu'à  divifer  le  nombre 
27  par  ràbfolu  j.  le  quotient  9  donne 
la  valeur  dV  nombre  cherché. 

Cette  Règle  cft  fondée  fur  ce  principe,^ 
que  fi  À  cbofcs    égales  on  ajoute  cbofes 
égates ,  ks  Jimmes  feront  égales  i  &  fi 
JU  chojes  égales  on  fouflrait  ehofes  égék^ 
les ,  les  refte  s  feront  égaux. 

Pour  refbodre  ce  problème  univerfet** 


^4  N9HViMx  Elâmfas 

lement  :  foit  7  =  ^8=  i.  10  2=s  c*- 

1 9  =r  </.  &  le  nombire   inconnu  =  ^« 

J'aatay  Téquaiion  fuivantc  sx  -*-  è  zzr 

ffX  ---'  dy  ajoutant  -^  d  de  parc  &  d  au- 

•r  "H  ^  -  .       ——  dzzz  c  x\ 

trc,  ;'auray  ^a:  ^  J  =  r^^  2—  ^^^ 

&  ôtant  ax  àe  part  &  d'autre  >   j*ay 

On  peut  s'épargner  h  peine  d'écrire 
deux  fois  le  même  terme  qu'on  veut  fai- 
te évanouir.  Il  fuffic  de  l'effacer  dans  le 
membre  de  l'équation  où  Ion  veut  le 
faire  évanoiiir;  &  l'ajouter  à  l'autre  menr- 
bre  avec  un  (îgne  contraire.  Ainfî  dans 
l'exemple  cy-deCTus  '^x  -f-  8  =  l  o  a:  — ^ 
1 9,  au  fi  eu  d'^a  jouter  -f-  1 9  de  part  & 
d'autre ,  je  n  ay  qu'à  effacer  —  1 9  du  fé- 
cond membre;  Sec.  ajouter  -h  19  dans  le 
premier ,  ce  qui  revient  au  même. 

On  peut  par  cène  méthode  faire  paf 
fer  tel  terme  qu'on  voudra  ,  &  fi  1  ort 
veut  tous  les  termes  d"*un  membre  de 
l'équation,  on  peut  dis- je  les  faire  tous 
paflfcr  dans  Tautre  membre.  Ainfi  au  lieu 
de  XX —  ^AT  m  ^>  oh  peut  écrire  xxr 
zz:  4x  •+- 1^  ou  XX —  ax —  ^  rr  o. 


Cbxt. 


{t  Arithmeti^He  &  d^Mgcbre.      j8j 

Chapitre     IV. 
I>€   la  freparatim  par  MuMplicath» 

On 

De  tévanouijfemtnt  des  frayions  ^  ^  J^ 
l'^bfolH  de  U  hante  Puijfance. 

S  Oit  régal  ttc  propoféc  7Ar  -#-  j  iV  ==: 

Je  cherche  par  la  méthode  du  Livre 
3,  chap.  ^.  pag.  iij.  Le  plus  petit  dcno- 
minateur   commun  aux  fraâions  -*- ,  Se 

Je  multiplia  «nfiiitc  les  deux  mem- 
bres de  Tcquation  par  60.  &  ;  ay  420;^ 
-1-508===  ZJ^ox  ■+■  4 Ç 9-,  &  l'équation 
çft  délivrée  de  fradions.  J'en  fais  éva- 
noiiir  les  termes  homogènes  ,  il  reftç 

On  fera  de  même  évanoiiir  les  fra- 
yions littérales. 

Lorfquc  l'abfolu  de  la  haute  paiflan- 
cc  mcfure  les  abfolus  des  autres  termes* 
i^^faut  tout  divifer  par  cet  abfolu.  AiB^* 
fi  l'équation  yx  rziz  zi  étant  diviféc  p^c 
7,  fc  xédmt  â  cdle-cy  4;  =  1. 


fi6  NoHvedHx  Etimens 

Cette  préparation  donne  la  rcfolution 
nie  me  chercnée  dans  les  équations  du 
premier  degré. 

L'équation  yx^  *—  ^ixx  ^  6ixz=z 
S4  étant  divifée  par^ ,  abfblu  de  lahao* 
te  puilTance  yx^  fe  réduit  à  celle-cy.  x^ 
—  6xx  -+•  9JC  =  1 2. 

Mais  fi  rabfolu  de  la  haute  puilTance 
ne  mefiire  pas  les  abfblus  des  autres  ter- 
mes ,  il  ne  faut  pas  fè  fervir  de  la  divi- 
fion ,  parce  qu'on  auroit  des  fradlions  ; 
&  en  voulant  les  faire  évanoiiir  par  la. 
multiplication.)  on  feroit  un  cercle  inu« 
tile.  Il  faut  en  ce  C7&  avoir  recours  à  la 
méthode  du  Chapitre  iuivant.  Lors  que 
l'inconnue  fe:  trouve  dans  tous  les  ternies 
de  l'équation  >  on  labbaifle  en  divifant 
par  le  dernier  degré.  Ainfi  k^  -^  %:^  =5 
y XX  fc  réduit  à  /ir  *—  8«  =;  7  en  divi- 
fant tout  par  X  X* 


Chapitre     Y. 

Di  la  prepdratiom  par  fmtftituthm  â0 
trausfêrmamn  des  E^ftêatéons* 

LOrs  qu  on  change  d'inconnue  5   ce 
changement  s'appelle  y!»  j^imii^ii,  & 
la  nouvelle  équation  ^ui  en  sefuke  s'ap^ 


\ 


i' JrithmniqHe  é'  d*jitgehre.  $if 
celle  une  éauatton  transformée ,  c*cft  le 
plus  général  &:  le  plus  ingénieux  des 
moyens  que  l'Algèbre  fournxflc  pour  la 
préparation  &  la  refolution  dts  équa- 
tions. 

Soit  réquation  propoféc  jx^  •+■  %xx 
— ^  çj^  =:  jcv  lî  faut  faire  évanouie 
i'abfolu  j.  de  la  haute  puiflance  jx^. 

Je  fuppofc  X  =  -^  I   &  fiibftituatit 

cette  valeur   à  la  pUcc  d  x  »    &  -^ 

â  la  place  de  xx^  &  -^    â  la  placç 
dx'.   Je  trouve  Téquatien  transformée 

543         TT         7  '  é^  4> 

Je  multiplie  coût  pat  49.  le  pvoduit 
cfty  -4-  Sjjf  — .3J7=  1470,  &ccft 
réquation  transformée  &  préparée. 

jimtre  ExtmfU* 

'yx^'^  ^x^'^ixx  H-  ^x-izriii. 
inultipi.  o*       I.       7.         49.     34^. 


■•(■ 


j|4  ^  8j,}  —  jljyr  ^.  14î/  =r  7889. 

'  éqaadon  piepuée  »  en  ruppofânt  x  = 


Kx  i; 


<3<8  NouviéHx  Elcmtns 

.  ^j*^-4-  ox^ — iat'  -+-  oxx — 3-^=  8^ 
muiripl.o    I.   I3«  1^9*  2i97.28ç^i> 

Al'  ■  \        ' ■ 


75  •—  z6/  -+-  ^sSy  x=  228488. 
Equation    transformée  éc  préparée    ea 

fuppofant  :t  >=:  — •  .Or .  après  que  -par 

Ja  refolution  on  aura  connu  la  valeur 
jà*y ,  on  trouvera  la  valeur  cherchée  dV, 
cjn  diyifant  ou  par  7,  ou  par  ij  ,  &ç^ 
fuivant  la  fiibftitution. 

Chapitri    VI. 

;Z>r  PévaHêuiJfement  des  Inconnues. 

DAns  toute  équation  préparée  fl  rfy 
a  qu'une  feule  inconnue. 
Lors  qu'un  Problème  fc  réduit  a  plu- 
fieyrs  équations  qui  renferment  pluïieurs 
inconnues ,  on  peut  toujours  par  la  fùb-* 
ftitution  en  faire  évanoiiir  autant  qu'il 
y  en  a  qui  fe  trouvent  en  deux  équa- 
tions différentes. 

Si  le  Problème  eft  déterminé  ou  plus 
.^ue  deteroûnc  >  tout  fe  doit  réduire  à 


tttie  feule  équation,  &  a  uiic  feule  incon- 
nues 

Si  le  Problème  cft  indéterminé  tout 
fc  doit  lediiîre  à  une  feule  équation ,  oijf 
les  inconnues  hors  une  font  arbitraires^ 
Ainfi  il  n'y  a  cncbte  proprement  qu'une 
inconnue.  Cccy  fe  cotnptcndra  mieui 
j5ar  les  exemples. 

'  On  propofo  de  trouver  deux  nombresi 
dont  la  fomme  foit  jo  8c  la  différence 
4.  j'appelle  Turi  x  &  l'autre  jf.  J'ay  ces 
deux  équations  x  ^y  =r  }o  Scx — y:=S 
4.  fuppofé  que  je  veuille  faiife  évanoiiir 
jf.  Je  tranfpofe  tellement  ces  deux  équa- 
tions ,  que  ^y  Ce  trouve  fcul  d*un  côté. 
Cette  tranlj^ôfition-  fc  fait  '  par  additidrt 
&  par  foùftiraftion ,  CQmrbc  dans  le  Chapl 
j.  cy-deflus5  &je  dispuifqùe  x  ''^y^=^ 
4.  en  faifam  évanoUir  le  terme  négatif 
—  y  j'aurai  at  =r  4  •+-  j  ,  &  ôtant  4 
de  part  &  d'autre  j'aurai  x  ' —  4  ^=  7 
ou  y  z=z  X  —  4.  Car  il  faut  toûjourl 
obfervcr  de  mettre  la  ptemicte  à  gau*- 
chc  »  l'inconnue  qu'on  veut  faire  éva** 
rtoiiir.  J'aurois  peu  faire  évanouir  tout  d'uft 
roup  X  de  l'égalité  AT  —  firzj^iSc  il  me 
fcroit  refté  *-^^  ru  4-^  at»  mais  cette 
équation  n'eft  point  naturelle ,  &  autant 
qu'on  le  peut ,  il  faut  rendre  pofitifs  lc% 

inembres  de  l'équation. 

K*  •  • 
c  iiy 


j  jo  NêWûiâux  EUmens         ^ 

De  CCS  deux  équations  j  r:::i  3  o  -^  jr> 
Icj  =:  X  —  45  je  rire  cellc-cy  30  — 
X  zz  X  *— •  4  ou  jr  eft  évanoui  ce  qu'il 
failoit  faire.  La  raifbn  de  la  formacioi» 
de  cette  troifiétne  équation  eft  évidente» 
Car  puifque  dans  les  deux  équations  pré- 
cédentes ,  les  premiers  membres  7  ^  Jt 
font  égaux  entre  eux  étant  les  mêmes  y 
il  eft  évident  que  les  féconds  Membres 
30  *-^  ;r  &  ;r  — <  4  fbnr  auffi  égaux» 
parce  <|ue  les  cfaofes  qui  (ont  égales  à 
une  troifîéme  font  égales  entçe  elles. 

Si  l'on  applique  les  Règles  du  Chapi-» 
tre  ).  &  4<  fur  cette  dernière  équation 
O  —  xz=rx-^4,  on  trouvera  que 
valeur  à*x  eft  17.   &  en  iubftituant 
cette  valeiu:  d*x  dans  l'une  des  deux  é- 


n 


quations ^  =  30-—  jroujsajc—-  4 
indiftinûement ,  on  trouvera  jr  sss  1 3 
8c  le  problème  eft  refblu. 

On  abrégera  quelquefois  la  tranfpofi- 
cion  en  changeant  tous  les  fignes  de  Té** 
quation ,  &  ce  chaneement  a  lieu  lorfque 
un  des  membres  de  l'équation  eft  entière- 
ment négatif ,  comme  dans  l'exemple 
cy-deiTus  •— ••  j  zz:  h-  4  — -  jif.  en  chan- 
geant tous  les  fignes  on  aura  h-  jr  =r 
—  4  -^  X  on  y  z:z  x  —  4.  Car  il  eft 
plus  naturel  de  mettre  la  quantité  negar 
tive  après  la  quantité  pofiiiye.  La  raitoi^ 


\, 


J^Arithmitiefue  &  d^Aîgdri^  J5T 
de  certe  opération  eft  que  par  le  chân« 
frement  des  fîgnes ,  tout  ce  qui  étoic  po»- 
fitif  devient  négatif  j  &tout  ce  qui  ctoit 
négatif  devient  pofitif  ,  &  ainfi  Texcez 
ou  la  différence  eft  toujours  la  même  ^ 
&  par  confequent  régalite  fubfifte  com« 
me  auparavant ,  ainfi  fi  —  i  j  m  4  — »- 
17,  il  eft  vrai  de  dire  que  -1-131=: 
17—4. 

Quelque  nombre  d'inconnues  qu'il  y 
ftit,  fi  elles  (ont  toutes  feulemeiyt  atl 
premier  degré  fans  être  multipliées  l'ut- 
nt  par  Tautre  >  &  qu'il  y  ait  autant  d'é*- 
quations  que  dHnconnuës ,  comme  dans 
l'exemple  cy-defius,  on  pourra  toujours 
les  réduire  par  cette  méthode  à  une  kxb* 
le  inconnue  &  une  feule  équations 

Mais  lorfque  ces  inconnues  feront  é** 
Jevées  ^u  defius  du  premier  degré ,  ou 
multipliées  Tune  par  l'autre  >  il  faudra 
fe  feivir  de  la  méthode  fuivante  inven- 
tée par  Monfieur  de  Fermât»  Soient  les 
deux  cgalitez  propofées  xx  -¥-  yy  — 
41>&*jr=:20  fuppofc  qu'il  faille 
faire  évanoiiir  y ,  il  faut  ranger  ces  deux 
égalité?,  en  forte  que  les  termes  où  y  (c 
trouve  foient  feuls  d'un  côté,  comme j^^ 
rr  41  w-  XX9  Se  xy  zzz  lo-  3e  confi- 
dere  ces  deux  équations  comme  4  tei;- 
jo^e^  d'une  proportion  égale.  Je  multi- 

s  mj 


<x 


^1  Nouveaux  Elemefff 

plie  en  fuite  le  premier  ccrme  jf^^  Té 
quatrième  zo,  &  le  fécond  41  -^  ksc 
par  le  ttoifiérpe  xjs  &  j'égale  ces  deux 
produits  par  cette  nouvelle  équatton  zo 
jjrjrrr:  41  x]  —  x^jr',  &  divifant  tout 
parj  j*ay  cette  quatrième  équation  20 
y  zzz  /if\  X  —  jtf  3  ,  ou  jpcft  au  preimer 
degré,  &  divifant  tout  par  10  j'ay  £a 
valeur  jr  :zz  41  at  —  x'j  &  je  puis  fuW 

10 
ftituer  cette  valeur  dans  Tune  des  dctit 
équations  primitives ,  ou:  par  confequcnt 
fe  n'auray  plus  que  ;c  &  fes^  puiflanccs 
avec  des  nombres ,  &  jf.  ftra  entièrement 
évanoiii  ce  qu'il  fatioit  faire.  Car  au 
lieu  de  ^;tf  -f.  f  y  =  41.  J'auray  cet- 
te équation xx-^\6%\xx —  8 2a:^ -f-  xf 

'"  400 

r=:  41 ,  &  au  lieu  de  Arjr=  20  j^autay 

J^lXX' — X^   z=z  20* 

• 

.  L*e(prit  de  cette  méthode  confifte  si 
difpofer^  en  forte  les  quatre  termes  de 
deux  égalités  qu  on  en  face  quatre  ter- 
mes d'une  proportion  géométrique ,  ou 
le  premier  terme  &  le  troiiîéme  foient 
affcélcz  de  l'inconnue  qu'on  veut  faire 
ëvanoiiic»  3^  le  fécond  &  le  quatrième 
terme  n^ên  foient  point  a&âez;  Carca- 


éïjérithmetifuâ  it'SAlgehre.  ip) 
isHiltipliant  enfuite  les  extrêmes  &  Ici 
moyens ,  cette  inconnue  fe  trouvera  ne** 
ceriairemcnt  dans  tous  les  termes  de* 
deux  produits  >  &  cile  ne  fi  trouvera  ja- 
mais plus  élevée  que  dans  Tune  des  deut 
équations  propofées.  Puis  qu'on  ne  mul^ 
tiplie  les  termes  afFcûez  de  cette  incon* 
nue,  que  par  des  termes  qui  n'en  font 
pas  âfFedez;  &qui  par  ccmfeqttent  doi- 
vent être  regardei  contoe  de  firoplci 
abiblus^ 

Or  dés  qu'une  kttrc'  fc  trouve  dan!8 
tous  Us  termes  d*unc  équation  ,  il  eft 
évident- qu'on  peut  abaiffer*  cette  lettre 
au  moins  d'un  degré  par  le  moyen  de  la 
divifion  *,  &  en  réitérant  cette  opération 
&  comparant  toujours  les  dernières  équa- 
tions avec  les  plus  fimples  en  abaiflant 
toujours  d'un  aegré  >  on  arrivera^  enâA 
à  une  équation  auflî  fimple  que  la  plus 
fimple  des  deux  propofées  ;  &  en  corn* 
parant  encore  ces  deux  plbs  fimples^  on 
arrivera  enfin  à  une  équation  du  premier 
degré  qui  donnera  la  valeur  de  l'incôti- 
nuc  qu'on  veut  faire  évanoiiir  ;'  &  qxn 
S'évanoiiira  cfFeftiveroent  en  fubftituant 
cette  valeur  trouvée,  ou  fes  puiflances 
dans  tous  les  termes  où  cette  inconnue 
&  trouve  ou  (es  puiïïances. 

IL  n'eft  pas  ttcccâàire  d'avoir  secours 


594  TTùU^iâUX  Efemnif 
à  la  propriété  de  la  proportion  geome*^ 
trique  3  comme  a  fait  Monfieur  de  Fer- 
mât »  pour  prouver  que  le  produit  des 
extrêmes  eft  égale  au  produit  des  moyc^ 
nés.  Car  indépeodamment  de  cette  prç>- 

{)rieté  >  û  une  première  quantité  eft  ega^ 
e  à  une  féconde  *>  &  une  troifiéme  quan^ 
tité  égale  à  une  quatrième,  il  eft  évi- 
dent que  le  produit  de  la  première  par 
la  quatrième  eft  égal  au  produit  de  l'a 
féconde  par  la  troifiéme.  Car  c*eft  une 
fuite  de  ce  principe  que  deux  quamitcs 
égales  étant  multipliées  également  leurs 
produits  ibnc  égaux. 


Chapitui    VII. 

J>i  Vé^ânc^iijfetmênt    dis    1n€9mmenfit^ 

raUfs. 

IL  y  a  de  deux  fortes  d'incommenfû- 
râbles ,  les  uns  (ont  incomplexes  8c  les 
autres  tomplexes.  On  n'a  égard  qu'à 
ceux  qui  renferment  des  inconnues,  les 
incomplexes  font  ceux  qui  ne  renferment 
fous  le  Hgne  radical  qu'un  feul  nombre 
.incomplexe  commeVçjrx^.  ^^74^^. 

Les  complexes  font   ceux  qui  rcnfcr* 
jneprt  fois  le  figne  radical,  des  qmxiàtî'É 


'"       '  '  . 

complexes.     Par  exemple    >^8;c  -*-  7 

-  ■  —         '  -■  '■ 

y^^xx-^  ^é^bx — 13. 

Il  n'eft  jamais  abfôlament  necefjTaire 
de  faire  cranoûir  les  incommenClirables 
incomplexes,  fur  tout  lorfque  Tirratio* 
nalité  ne  tombe  que  fur  les  nombres 
connus,  comme  dans  1^ ^i^xx  qui  fe  ré* 
duit  à  ^  y  5*  Il  eft  même  en  ce  cas  non 
feulement  inutile  ,  mais  très  défavanta*. 
geux  de  faire  évanouir  ces  incommen- 
furables ,  parce  que  on  fait  par  là  monter 
Téquation  à  des  degrez  fort  élevez,  & 
fouvent  impraticables  *,  ic  il  faut  refou« 
Jre  réquarion  telle  qu'elle  eft.  C  eft  ce 
que  les  Analiftes  n'avoient  pas  remar^ 
quér  II  faut  ftulement  prendre  garde 
que  lorfque  l'expoTanc  du  figne  radical 
ne  mefure  pas  precifement  Texpcfanc  dé 
^inconnue ,  il  faut  en  fubftituer  une  au*- 
tre  qui  (bit  mefuré  par  c'eft  expofant» 
&  qui  ait  le  plus  petit  rapport  pofllblé 
â  l'inconnue  donnée.  Ainfi  au  lieu  de 
y^yabxy  il  faut  fuppofer  x  !=y  &  écrire  j^ 
y^yab.  Se  ainfi  des  autres.  ^ 

Il  eft  abfblument  neceflaire  de  faire 
évanoiiir  les  incommen furables  complet 
xes ,  parce  qu  on  ne  fauroit  fans  cela  re-» 
foudre  l'égalité.  Il  y  a  deux  methodet 
éifFerentes,  lune  par  équimuhiplicatioQ 


3^  Nouveaux' ElemeHr 

éii  formation  de  puifTance ,  laquelle  cOc 
ôppofcc  à/l'cxtradlion  des  ratines  qui 
forment  les  inconimenfurables' ,  comme 
la  multiplication  fimple  l*eflr  à  la  divi- 
fion  qui  donne  les  fraâions ,  &  Tune  ré- 
tablit ce  que  l'autre  a  dçfait; 

L'autre  méthode  qui  eft^de  Tinverii 
rion  de  Monfieur^de  Feirmai,  fuppofe  la 
iubAitution  des'indonhuës.  ^oit«doncpre« 
inieremeiit  rcquatit)n  propofée. 

^^^m^^^^^i^  ^ammm^Ê^^^t^  ^^m^m^^^m^ 

'     VZs^xx  ^  ix  =^  %x  -¥-  30. 

Pour  faire  cvanoiiir  le  terme  irratioftel 
je  confîdcre  qlie  lors  que  les  racines  font 
égales ,  lès  quarrez  font  auflî  neceflaire- 
ment  égaux;  &qu'ainfi  fi  là  racine  quar- 

rée  de  8  ç  A- AT  -f-  3^  cft  égale  à  %x  -t^ 
30.  If  çft  évident  que  le  quarré  lujrr 
•  même;  favoir  t^xx-^  ^x  fera  égal  au 
quarré  de  Tautre  membre  de  l'équation^ 
/avoir  au  quarré  de  8^  ^  jo.  ccqui  me 
donne  cette  nouvelle  équation  délivrée 
dlncommenfurablcs.  %^xx  -^  3Ar  =^4- 
Mv-i-  480 AT  -H  900. 

De  même   foit   Téquation  propofée 

y^%x^  -\-  13  =5  lOAT— '  I.  en  cu- 
bant chaque  membre  de  1  équation  »  oft 
trouvera  l'équation  rationelle  &  comment 
furable. 

Sat^h-  IJîss'ioOOAfi—  IÇ^Oxx-^: 


ff  Arithmétique  &  d^ Algèbre,     i^ 
Mais  lors  qu'il  y  a  plus  d'un  terme 
•incommenfuraDlc  ,    cette  méthode  n'eft 
pas  praticable ,  parce  que  fouvcnt  il  ar- 
rive qu'en  élevant  un  membre  de  l'équa- 
.«tion  à  la  pui  (Tance  marquée  par  le  ugne 
radical  ,  on  introduit  des  nouveaux  in- 
coînmenfurables  en  auifi  grand  nombre, 
&  quelquefois  ^même  en  plus  grand  noip- 
bre.  P^r  exemple  fi  on  avait  l'équatio^ 
fui  van  te  ^y^zx^  =  V^j  ata:  —  ip ,  en 
cubant  chaque  membre  on  aura  cette 
nouvelle  équation  ix^  =  ^xx  -. —  30  1^» 
5a:*  -H    ^ooy^^xx —  looo-    La-^ 
quelle  eft  beauooup  plus  compofée  que 
la  propofce.    Pour  refoudre  cette  équa- 
tion il  faudroit  fuppofer x==i y^.j  ce  qui 
dopnçroit  l'égalité  transformée  V^i^  -=0 

y^ç/— 10,  OU/y^Z  =;=:;r^  V3j   ^ 

lO-  &  il  faut  la  refoudre  fous  cette  der-. 
i)iere  forme. 

Il  eft  vrai  qu'en  continuant  ces»  mul- 
tiplications,  &  mettant  d'un  xôté  tous 
les  termes  rationcls  ;  &  de  l'autre  les  ir- 
rationels,  on  fait  à  4a  fin  évanouir  tous 
les  incommenfurables ,  mais  le  calcul  eft 
horriblement  long&  ennuyeux,  c*eft  pour- 
.quoy  j'aimexois  mieux  me  fervir  de  la 
:meçhode  de  Monfieur  de  Fermât,  qui  con;. 
fifte  à  fiippofer  une  inconnue  à  la  place 

.4c  chaque,  tcftnc  ipcQnamenfijrablc ,  -Çc  à 


$9^  NêUvedUx  Elément 

faire  enfuice  évanouir  toutes  ces  incon- 
nues fuivant  la  méthode  du  Chapitre 
Î^recedenc  par  le  moyen  de  l'égalité  qui 
e  trouve  par  hipotete  entre  la  puiSân- 
ce  de  chacune  de  ces  nouvelles  incon<- 
nues ,  &  la  puitTance  femblable  du  ter- 
me  incoromenfurable  }  par  exemple   fi 

on  a  cette  équation  V*  8  *  '  -♦-   13  =z 
y^  ^xx  ■+-   3  •—  10.  On  fuppofe  y  = 


y^ix^  -^  ij  Se  x.=:y^^xx  ^ 

d'où  je  tire  ces  deux  équations  f  = 
A??  H-  13  &  «.î  =:  5;c>  -H  3-  &  l'é- 
quation propofée  Te  ttouve  transformée 
en  celle-cy  j  =  ;c  *—  10*  &  par  le 
moyen  de  ces  trois  équations ,  j'en  trou^* 
ve  une  quatrième  tonte  tationelle ,  où  il 
n'y  a  qu'une  feule  incotmuë  x  >  qui  é^ 
toit  ce  qu'il  falloit  faire* 

Crapitui    VIII, 
De  f/vdniiijfement  des  termes  mejens» 

IL  y  a  long-tems  qu'on  cherche  une 
méthode  générale  pour  faire  évanoiiîr 
tous  les  termes  moyens  >  mais  on  n'a  pu 
encore  l'a  trouver. 

On  fera  évanouk  tous  les  fcconds  teiH 


éC Arithmetifine  é*  d^Algebrâ*     399 
mes  par  ia  Règle  (uivante  ,  qui  eft  de 
Monfieur  Defcartes  *,  égalez  tout  i  o.  di. 
vifez  enfuite   Tablblu  de  fécond  terme 
pat  rexpofant  de  la  haute  puKTance,  a^ 
joutez  le  quotient   à  une  nouvelle  in- 
connue avec  un  (igne  contraire  à  celuy 
^u  fécond  terme  donné,  &  (uppofez  cet- 
te (bmme  ou  ce  refte  égal  à  TinconnuS 
de  réquation  ptopofée;  en  fubftimant  cet^ 
te  valeur  à  la  place  de  Tinconnuë  ,  on 
aura  une  nouvelle  équation  transformée, 
où  le  fécond  terme  fera  évanoiii. 

Premier  exemple ,  foit  l'équation  pro- 
pofée  XX  -^%x  ^ —  6^  =:  o.  je  fuppo- 
fc  X  =::jr— 4,  &  la  {ubftitution  me 
<ionnc  jjr—  8 1  rr  Oyoxiyj  r:  8 !• 

Stcpnd  ExemfU. 

Soit  réquation  xx  —  ix'^é^zzo^ 
je  fuppofe  X  z=:y  -h  4,  &  la  fabftitu-* 
tion  me  donne  jy  —  81   =:  o  ou  >jr 

zm  o !• 

Troifiémi  ExtmfU* 

Soit  réqu^on x^  -¥•  iKxx^ —  XXx^ 
2370  zr  ©•  3fc  divifc  jfabfolu  du  fé- 
cond terme  i  ^xx ,  c'eft  i  dire  je  divife 
I  j  par  l'eacpofant  de  la  haute  puilTance 
$c^^  c'eft  àdirepar  3.  &c  j'ajoute  icquo* 


^4Q0  Mouveétux  Elément 

tient  5  ïj  nouvelle  inconnue  que  je  fub^ 
ftitue  en  fuppofanc  x=y  —  5.  la  fub- 
ftitution  me  donne  j  5  ♦ —  1^37  ""^ 
J9.30  =;:  o.  fi  j'avois  txx  x^  —  i  ^xx 
Sec.  j'aurois  fuppofé  x  égal  ij  -1-  .5. 

Cette  Règle  fiippofe  que  Tiquation  aie 
ceccu  la  préparation  du  Chapitre  5.  Cac 
li  la  haute  puiflance  éeoit  précédée  d'un 
abfQlu,  il  faudroit  divifer  labfolu  du  fé- 
cond terme  par  le  produit  de  rexpofant 
de  la  haute  puifTance  multiplié  par  Cou 
propre  abfolu.  Par  exemple  fi  on  avok 
^x^  -i- 1  zoxx  Sec.  il  faudroit  divifer  1 20 
par  3  fois  8  ou  14.  le  quotient  feroic 
5  ,  &  il  fauckoit  fupppfer  ;c  =  j  — 
5,  -ace. 

On  a  trouve  cette  Règle  &  fa  De- 
tnonftration  en  examinant  la  formation 
des  puifiances.  Car  il  a  été  aifé  de  re- 
marquer que  fi  on  élevé  un  binomp  quel- 
conque compofé  de  jc  H-  i)U  — ^quel- 
que  nombre  à  quelque  puifiânce  quece 
loit ,  rabfolu  du  fecond  terme  contient 
autant  de  fois  le  nombre  qui  fait  la  fe^ 
conde  partie  du  binôme  que  Texpofant 
de.Ja  h^ute  puiffance  de  «  a  d'unitez/ 
,La  première  puifl&nce  de  x  ±:^y  t& 

.La  feçorvlc  puifl&ncc  eft  x.x  tfc.  14^? 

La 


Jt Arithmétique  é'dt  Algèbre'^    401 
La  troificmc  puiflancc  cft  ;c*  ±:_llxx 
:-M47x  t  343.  ^  ^ 

La  quatrième  puiflance  cft  at*  ±  io 

Il  eft  aifé  de  remarquer  que  dans  le 
fécond  deeré  rabfolu  -f.  14  du  fécond 
terme  eft  double  de  7:  que  dans  le  uoi- 
fiéme  degré  -1-  1 1  eft  triple  du  même  7: 
&  ainfi  de  fuite  &  toujours  avec  le  mê- 
me figne  dans  la  racine.  Pour  faire  dotic 
évanpiiir  ce  fécond  terme ,  il  n'y  a  qu'à 
fuppofer  une  nouvelle  inconnue  ;  &  luy 
ajouter  avec  un  figne  contraire ,  rabfolu 
de  ce  fécond  terme  divifé  par  Tezpofanc 
de  la  puiffance  ;  car  en  fubftimant  ce  bi- 
nôme à  la  place  de  Tinconnuc,  le  fécond 
cermc  fe  trouvera  deux  fois;  mais  avec 
des  fignes  contraires  >  d  où.  s'enfuit  fon- 
évanoiiiflemenc. 

Kemar^ue^ 

iôû  peut  encore    faire  évanoîiir  quel^ 
Itrme  on  voudra  d'une  équation  qui  ne 
paffe  pas  le  dixième  degré,  ce  que  au- 
cun Auteqr  que  je  (àche  n'avoic  entore' 
donné. 

Dans  toute  équation  où  il  manque  un 
terme  ,  on  peut  faire  évanoiiir  fon  terme 
rcciproqjjc  (jxntew  par  terme  recipn»-^ 


401         Nouveaux  Êlemeus 

3 lie  ceax  qui  font  également  éloignes 
e  deux  excremirez;  de  l'équation ,  par 
exemple  dans  une  équation  du  cinquième 
degré  x^  Se  x^  font  des  termes  rccipro^ 
ques ,  parce  qu'ils  font  tous  deux  égale* 
ment  éloignez  ;  le  premier  de  x^  Se  le 
fécond  de  x^  ou  de  V abfoln  >  c'eft  i  dire 
jT  au  deflous  du  premier  degré  ^  &  de 
mcmz  K^  Se  x^  dans  la  même  équation 
font  encore  des  termes  réciproques ,  par* 
ce  que  x^  eft  éloigné  de  x^  autant  que 
x^  eft  éloigné  de  x^.  On  peut  encore 
les  définir  dts  ternies  dont  les  expofans 
joints  enfemble  font  égaux  i  l'expoiisinr 
de  la  haute  puiflance;  ce  qui  revient  au 


même* 


Pour  faire  évanoinr  un  de  ces  termes 
réciproques ,  il  n'y  a  qu'a  foopofer  Tin- 
connue  dcKïnée  égale  i  une  traâion^qut 
aye  pour  numérateur  l'abfolu^  du  terme 
qu'on  veut  faire  évanoiiir  >  &  pour  dé* 
nominateur  une  nouvelle  inconnue  ;  Se 
fobftituer  cette  valeur.  Par  exca^te,  foir 
l'équation  propofée. 

z.^  :z:i  4  ft^  -+-  ^. 

Je  pourrois  par  .la  méthode  précèdent 
te  faire  évanouir  z*^,  mais  la  fobftiriK 
tion  me  donneioit  des  z,^  des  &»  &  des 
ft  )  &  ainfî  j'aurois  une  transformée  bcsixir- 
coup  plus  compofée  que  la  propoféci» 


£ ArithfHitî^ke  ^  JtAîgeire.      465 
4^uis  qu'elle  auroit  cinq  termes  au  liea 

)  de  trois  ^  mais  en  fuppo&nt  x,  =  — 

j*auray  par  fubftitution  -ÎL  =  -^  -1-  ^, 

&  otant  les  fraâions  j^auiay  ^y^  e=  4^ 
— *.4^j,  dans  laquelle  au  lieu  d'un  ter- 
me moyen  du  quatrième  degré  je  n'en 
ay  qu'un  du  premier  >  ce  qui  rend  Fé- 

?uation  beaucoup  plus*  facîle  à  refondre, 
i  on  vouloir  avoir  un  premier  terme 
précédé  feulement  de  l'unité,  comâie  ce- 
la xft  toujours  plus  commode ,  il  aufoit 


fallu  fuppofer  &  tss  -^  ,  en  choifiiTant 
toujours  pour  numérateur  L'abfolu  de  l'é- 
quation propofée  >  &  on  auroit  -^  s=tf 

^  ^  lar,  &  ôtant^Ics  fradion^  &  divi- 

tant  tout  par  ^  on  auroit  |î  s»  ^4  .^ 
u  q^y.  On  transformera  de  même  «^  vJkt 
é%}  -+-  2^,  en  y  Œ3  ç*  —  ^i^jy*  ^" 
peut  auui  au  lieu  de  ^  prendre  telle 
quantité  connue  q«'on  jugera  à  propos 
&  la  plus  commode.  Énfiti  pour  faire 
évanouir  quel  terme  on  voudra  d'un« 
équation  au  dedbus  du  dixième  degré  cx- 
ctuiivement  8c  gen^alement  quel  terme 
on  voudra  des  quatre  premiers  après  la 
ham&  puiflfance  >   qu  acs  quatre  penul^ 


A 


404  NûHveâUx  EUmftif* 

cicmes  on  fe  fcrvira  de  la  méthode  (uik 
vante  qui  eft  formée  fur  les  deux  pré- 
cédentes. Si  c  eft  l'un  des  quatre  pre- 
miers termes  qu'on  veut  faire  évanoiiixi» 
on  fuppofcra  Tincounnc  propofée  x  zzz- 
«  -1-  *jf  où  T  reprcfente  rabfolu  -,  &  après 
la  {ubftitucion  on  égalera  le  terme  qu  on 
veut  faire  évanoiiir  à  o;  &  comme  où 
fait  refoudre|ùniverfellement  toutes  les 
éqnations  julques  au'quatriéme  degré  in- 
clufiv^ment  on  trouvera  la  valeur  de  f 
pour  faire  évanoiiir  le  fécond  terme  par 
une  égalité  du  premier  degré  :  On  fera 
évanoiiir  le  troifiéme  terme  par  une  équa^ 
tion  du  fécond  degré  ,  &  le  quatrième 
terme  par  une  équation  du  troiuéme,  &c. 

Mais  fi  c'cft  un  des  quatre  démiéfi 
termes  qu'on  veuille  faire-  évanoiiir ,  oa 
commencera'  par  faire  évanoiiir  fon  ter- 
me réciproque  s'il-  ne  l^ft  pas  déjà  >  St 

en  (uppofant  ;c  zi:  -2^  on  fera  évanoiiir 

le  terme  propofé.  Par  exemple  dans  l'é- 
quation z,?s='^z»&  -4*  ^x.-f-  r.  Suppofe 
qu'on  veuille  faire  évanoiiir  le  terme  qz^ 
on  le  pourra  faire  en  deux  manières^ 
En  fuppofant  «,=  at-h  y  &fubftituant 
cette  valeur  dans  l'équation  on  trou^ 
vera  x^  -+.   iJ^^  •**  ijfj^  ±l  7^  égal  i 

fXX    ^     ZfJK  j^   f  AT    :^    fJJ\  Hh    (fj 


.^^^.&  afin  de  faire  évanouir '  jc' qui 
répond  au  terme  x» ,  il  faut  que  -4-  -^jjx 
•foit  égal  à  ^AT  ^  Xfjx^  &  que  par  corP- 
fcquent  ^yj  tt:  q  ^  zfy.  Cîtte  équa- 
tion étant  refbluë  donnera  deux  valeui!S 
de  y  qui  fansferont ,  mais  parce  que  ces 
valeurs  font  uniyerfcllcment ,  parlant  ir- 
rationelies  du  fécond  degré  ,  elles  ne 
font  pas  commodes  j  c'eft  pourqnoyril 
vaudra  mieux  fe  fervir  de  ma  méthode^ 
qai  donne  toujours  un&  valeur  rationel- 

le.  Je  fuppoferois  donc  z,  in  ji^  -§*-  — —  - 

ce  qui  me  donnera  une  équation  trans* 
formée  ,  ou  le  fécond  terme  fera  éva- 

noiiii  &  en  fuppofant  enfuite  jfszs  -2^ 

j'aurajr  une  féconde  transformée  ,  ou  le 
ftcond  terme  fera  rétatli,  Scletroifiémc- 
évanoiii , .  ce  qu'il  falloir  faire» 

Une  éauation  parfaitement  prepatéc 
eft  celle  ou  il  n'y  a  qu'une  inconnue ,  où 
il  n'y  a  point  de  fradkions  ni  d*incom- 
menfurables  ,  où  Fabfolu  de  la  haute 
puiflance  eft  Tunité,  où  il  y  a  lemoin$ 
de  termes  i  Ics-plus  petits  termes  &  Icy 
nooins  élevez  qu'il  foit  poflible.^ 


^0(f  Notiveamc  Elément 

TROISIEME      PARTIE. 

De  laRefoluthn  des  équations^ 


Chafitre    L 

De  la  Refolurh»  des  Problèmes  d/4  pre^ 

mier  degré., 

Artici.1  I.    Des  Problèmes  détermir 

nez,  du  premier  degré  oà   il  nj  a 

ffiUMe  îpiconnuë» 

TOute  équation  fimple  &  préparée  Avs 
premier  degré  fc  réduit  â  cette  for- 
SDule  ax  :zi  k  oh  X  marque  l'inconnu  ë^ 
te  d  8c  k  des  quantités  connues. 

Pour  refôudre  cette  équation  il  n'y  » 
qu'à  divifer  B  par  d  pour  avoir  la  valeur 
cherchée  à'x  qui  eft  B  divifé  par  d.  La: 
Demonftration  de  cette  Règle  eft  fondée 
fur  ce  principe  que  fî  deux  quantités  6- 
sales  font  divifées  par  le  même  nom« 
bre  >  les  expofants^ou  quotients  feront  é- 


et AriémêtiilMe  &  JC^Atgthre^  407 
gaux ,  j(î  4  A-  r=:  ^  divifant  l'un  &  Tautrc 
membre  de  Tégalicé  par  4  >  les  quotients 

font  AT  &  —  y  qui   font  par  confequent 

égattx. 

Si  on  avait  par  exemple  ax  ^-^  bx 

c 

s=ic  on  aurait  pour  quotient  x  =ss    ^ 

car  en  fuppofant  4  —  ^  =  ^  on  auroic 
iï;i;  =  c  &  jr  =  -,-OUAr 


ce  qui  revient  au  ca^  précèdent.  La 
Règle  générale  cft  donc  qu'il  faut  di- 
vifcr  la  quantité  connue  par  tout  ce  qui: 
afFeâe  la  quantité  inconnue ,  foit  que  ce 
qui  afFeâc  foit  une  quantité  incomple- 
xe, comme  dans  le  premier  exemple  itjr 
-ssz  t  où  l*oR  divifc  par  4  5  ou  bien  que 
ce  foit  une  quantité  complexe ,  comnic 
dans  le  (ccond  exemple  ax  ^-^bx  =^^  c 
où  Ton  cKvife  par  4  —  ^,  &  l'on  uouvr 


frenrier  Frohlemc. 

Trois  quantitez  étant  données  en  troxr- 
▼er  une  quatrième ,  qui  ait  même  rap- 
port à  la  troiiiéme  des  donsLées-  que  m 
fécondé  i  la  première. 

J'appelle  la  première .  4  >  la  focondc 


^^t"         NôU^eMx  ElèmeH) 

hj  la  tfeUiéme  c  >   la  quatrième ^x*  Ca^ 

Vant  le  Probleïnc ,  il  '  faut  que  •^foit  é- 

galc  à  — ,    car  pour  trouver  le  rapport 

4e  deux  quantitez  >  il  faut  divifer  Tune 
par  l'autre,  &  puifque  félon  le  Problè- 
me il  faut  que  le  rapport  de  c  i  x  foit 
égal  au  rapport  de  ^  à  4 ,  il  faut  qu'en 
divifant  a  fat  b.  Se  c  par  x  les  quo- 
tient foicnT  égaux.  Jly  donc  réquatiôti 

-7"  =  —  ,  &  multipliant  tout  par-  ^ 
pour  ôter  la  première  fradion  j'ay  Te- 
quation  préparée  4  =  —  >  &  multi- 
pliant encore  tout  par  x  pour  ôter .  la 
féconde  fridion ,  j*ay  Téquation entière* 
ment  préparée  ax  "zn,  b Cy  &  par  eon* 
fequent  divifant  félon  la  Règle  tout  par 

ir,  j'ay  1  équation  ;r  =5:  — ^  &  le  Problè- 
me eft  refolu. 

Gette  équation  x  =t  —  marque  que- 

pour  trouver  Te  quatrième  nombre  cher* 
ché>  il  faut  multiplier  le  fécond  parle 
troifiéme,  &  divifer  le  produit  par  le 

i premier  ;  c'cft  ainfi  qu'on  a  pU'  trouver 
a  Règle  de  trois  &  fà  Demonftcation»- 

L'équation  ax  ^=z  bc  démontre:  ce 

Théorème- 


d  4rithmetiqMe  té- et  Alrehe.    409 
Thcoremc  important ,  ^u*  dt  t^uMre  ntm~ 
ires  preportionnattx  le  froduit  des  ex- 
trêmes efi  /gMlém  produit  des  moyennes, 
un  pourra  de  même  trouver  &  dé- 
montrer facilement  tous  \t%  autres  theol 
remcs  ou  problèmes  fur  la  proportion 
géométrique.  Par  exemple  foit  la  pro- 
grcffion  géométrique  continue  &  dimi- 
nuant i  rinfini,  8,4,  2,  i,  i,  i,  i,  &c. 
On  demande  la  (bmme  de*  ccttc'ptol 
greflîon  infinie.  Le  premier  terme  eft  g 
&  il  eft  feulement  antécédent ,  le  der- 
nier terme  eft  zéro,  &  il  eft  feulement 
confequent,tous  les  autres  termes  moyens 
comme  4 ,  2,  i  ,^ ,  &c.  font  antecedens 
&  confequens  i  foit  donc  la  fomme  cher- 
chée de  tous  les  termes  égale  i  x  y  \% 
(bmme  de  tous  les  antecc^ns  fera  x  -., 
o ,  ou  *  ;  mais  la  fpmme  des  confequens 
fera  feulement  *-f-o— 8,ou;r--8 
Or  comme  un  antécédent  eft  à  fon  coni 
fcqucnt  ,  ainfx  en  comfof^nt  la  fomme 
de  tous  les  antecedens  eft  à  la  fommc 
de  tous  les  confequens  i  donc  8.  4  :  at. 
x^  8.  donc  4*  p  8*  -  Ô4.  donc  .: 
=  16.  fommc  cherchée;  &  en  général 
comme  l'excet,  du  premier  terme  fur  U 
fécond,  efi  au  premier ,  ainfi  U  premier 
efi  2  U  fomme  de  tous  les  entres,  La  fom- 
mc <Ie  cette  progtcffion  infinie.  27,18, 

Mm 


4IO  Nquvcmx  El<mens 

I Z9  8  ,  J  7>  &c.  cft  écale  â  8 1  »  car  ij^ 

• —  i8«  27:  27*  8i»  u  ks  deux pcemiers 

cermcs  font  s  Set,  h  (brome  fera  -^.^v 

Second   Problème. 

Tmi  nombres  étant  donnez,  en  trou* 
ver  nn  qnêttriéme ,  dent  fexcex,  fur  le 
treifi/wn  feit  fgd  i  texcex,  dn  fecend 
fwr  ie  frtmier. 

Soient  les  txois  nombres  donnez  mJ^ 
c%  &  le  qifiinîéme  x  >  il  faut  que  x  *~ 
c  zzz  k  * —  4»  donc  par  tran(po£tion  x 
1=!^  H-  <  —  ji,  &  le  pœblcme  eft  rc- 
iblu. 

Cette  équation  maraue  que  pour  trou* 
ver  le  quatrième  nombre  cherché  »  il 
faut  ajouter  le  ficcond  au  troifiéme  8c  de 
la  fbmme  iSiter  le  premier  terme. 

L'équation  a:  —  c  rr:  *  -^  4  fe  chan« 
ge  par  tranijpofitiofi  en  celle  -  cy  at  -^ 
azzz  y  H- 1*  doù  je  condus  que  lorf^ 
que  quatre  nombres  font  tels  que  le  pre«> 
mier  furpafle,  ou  eft  fisrpafTé  par  le  fe^*- 
cond  d'autant  precifément  que  le  troific* 
me  (urpalTe  ou  eft  furpalTé  par  le  qua^ 
criéme^  la  (bmme  des  deux  extrêmes  eft. 
égale  à  la  (bmme  des  deux  moyens.  Cea 
{ipinbres  font  en  frefertiên  srithmeth 


t  Arifhmethpu  &  XAlgehre.  4it 
^»e*  La.  raifon  géométrique  eft  une  ma- 
nière de  contenir ,  ou  d'être  contenu  ;  la 
raifbn  arithmétique  eft  une  manière  de 
{UrpafTer  ou  d'être  furpafle  :  la  proportion 
géométrique  eft  tme  égalité  de  raifba 
géométrique,  ou  une  équimnlt  if  licite  z 
la  proportion  arithmétique  eft  une  éga- 
hte  de  raifon  arithmétique  ou  d'excez  \ 
cette  prc^rtion  eft  continue  oudiicon^ 
tinue ,  finie  ou  infime  dans  Tone  &  d  us 
l'autre  î  iorfquil  y  a  pUis  de  ttovg  tet^ 
mes  eti  ^oporticMi  ct>ndfiue  ^  ceft  une 
progrdfion» 

On  pourra  de  même  trouver  flt  dé-^ 
montrer  facilemenft  tniis  les  theor^fives, 
Se  les  proUcm^  4e  la  proportioA  aritii'' 
metique. 

Car  tous  les  raifonnemens  qu'on  fan 
£ir  la  raifon  ,  la  proportion  éc  la  pro- 
Çreffion  géométrique  ,  dtemando ,  <:9m^ 
fonendoi  invenenio  i  &c.  par  la  multi- 
plication &  la  divifion  peuvei^t  être  ap- 
pliquez à  la  raifon ,  à  la  proportion  & 
à  la  progreffion  arithmétique  »  par  l'ad- 
dition  Se  la  (ouftraâion  ,  &  tout  ce 
qu'on  fait  dans  les  rapports  geomecti- 
ques  par  formation  de  puilHmces  &:  par 
eKtraâion  de  racines ,  fe  fait  dans  les 
rapports  anthmetitjues  par  multiplication 
^  par  divifion. 

Mm  ij 


411.  Nouveaux  EUmens  - 

Tkoisie'me  Problème» 

Deux  nombres  étant  donneT^  en  trcU' 
ver  un  treifiétue  tel  que  U  femme  de 
chaque  deux  étant  multipliée  par  le  trot" 
Jiéme  y  les  trois  produits  foient  en  pro* 
portion  arithmétique^ 

Soient  les  nombres  donnez  a  k  t^ 
&  le  txoifiéme  x  \  il  faut  fuivant  le  pro- 
blème ajouter  a  avec  b  x  S>c  multiplier  la 
ibmme  4  -f-  ^  par  j^r ,  ce  qui  donne  pour 
premier  produit  ax  -^  bx»  que  je  gar« 
de  d  patt. 

J*ajoûte  enfuite  a  avec  Xf  8c  je  mul- 
tiplie la  fomme  a  -¥-  x  par  ^>  le  fécond 
produit  eft  ab  -^  bx  y  que  je  garde 
auffi  i  part. 
Enfin  j'ajoute  b  avec  x%  8c  je  multM 

Î>lie  f  4-  X  par  4  >  ce  qui  donne  le  troi- 
iéme  produit  ab  -^  ax. 

J'ay  donc  ces  trois  produits  ax  -^ 
bxi  ab  -^  bx^  ab  -^  ax  9  Icfqucls 
doivent   être  en  proportion   arithmeti- 

2ue  9  c'eft  à  dire  que  le  premier  doit 
irpaifer ,  ou  être  furpalTé  par  le  fécond» 
d'autant  que  le  fécond  furpafTe ,  ou  eft 
jQirpafle  par  le  troiiiéme  >  ce  qui  donne 
riquation  ax  -i-  I^at  — •  ab  •—  bx  fc 
ab  -H  bx  •^  ai  ^^  axy^  cette équa- 


J^ Arithmétique  &  JtÂfgehre.      4r| 
tiotî  étant  préparée  fe  réduit  d  celle-cy. 
%Ax  —>  bx  ziz  ab. 
Et  divifant  tout  par  24  —  hp  fzy  pour 

ijaotients  x  rr:  7—7  >  &  ïc  problè- 
me eft  rcfolu. 

Mais  il  ne  Teft  pas  plcinemcht  ^  par- 
ce que  les  trois  produits  ax  ^  t^x^at 
'^txydb'^dXy  peuvent  encore  être 
arrangez  en  deux  manières. 

I**.  MX  -^  bx^^  éirb'-^  dx  iiiii-*- 
ax  ^^  4b  ^^  b  X  qui  fe  réduit   i  %bx 

-^MX^ldb  8cx  =  -^ — . 

%^*  sb  -f-  ^x  — *  4X — bx  m  SX 

-f-  bx  ' — ab —  4  AT  qui  fe  réduit  à;rrr 

'^^  ^  ■  »  de  forte  que  j*ay  trpis  valeurs 
dx  qui  fatisfont ,  &  qui  (atisfont  feules, 

£h  Nombres» 
Soient  les  nombres'  donnez  5  &  3  •  $ 
c=4i  &  3  ==:*.  Ôr  xs=a   ""^     ,   »dorfC 

^  10—5*^       7      =      A    7*    ATS 

J_^  >  donc  X  =  -pîi —  rr  if  =; 

I  ^.  X  -i-     ***        /o    — -  IL   ,  J 

*î    "^—  *4-i   — ■  »    ~  *    -—3  7 

Çc4  ttqii  nombtts  »^,  ly,  »i  (kir* 

Mm  iij 


4x4  N^i^iMx  Elemms 

font.  Car  fi  je  pcens  i  ç ,  ajoiuaac  }  &  5^ 
la  fomme  eft  8  i  que  je  mukiplie  par  i  c». 
le  produir  eft  jxo*  ajoutant  }  &.i5.  la 
fomme  eft  x  8  que  je  multiplie  par  5  ». 
te  produit  eft  p  o*  Enim  ajoutant  ç  & 
I  {.  la  fomme  eft  20»  que  je  mi^tiplie 
par  )  9  le  ptodott  eft  éo»  les  trois  pro- 
duits iio»  90  y  60  font  en  proporaon^ 
atitkfséttaxe  continue*  Si  Ton  prend  jr 
s=r  2 1 ,  les  trots  predaits  feront  ^  9^ 
2|2-,  i^.  Si  Ton  prtnd  ;if  *s=r  j  i,  les 
trois  produits  feront -Ui.  ^  îiÂ.^  ^^  qui 
(ont  auifi  en  proportion  aritbn)^tique  ^ 
mais  fi  IW  Teut  avoir  une  reiblution 
oà  ter  trots  Tateurs^  du  nombre  cherché 
Ibiene  es  entiers  y  il  n  y  a  qtt'à  prendre 
pour  les  nombres  donnez  84  9c  i4o«» 
&  les  trois  valeturs  du  troifiéme  nombsc 
fcrpnt  €o>  105,  4x0. 

Problime     IV. 

M»  (jfmdtrà/me,  qui  fait  en  froforthu 
barmonU^  svec:  Ih  dêmmx^ 

ê 

LEs:  nombres  3 , 4»  &  ^  9  ibnt  enpro* 
portion  harmonique ,  parce  que  coi»- 
melé  plus  petit  3  ,  eft  a»  plus  grand  ^> 
9iaâ  Jejucez^  »D|ea4»toc  le  pbspe^ 


J^jfrirbmetiifme  &  JtA\ilre\  4I5 
fk  3  ,  cft  à  Texcez  du  plus  grand  ^^  fiir 
le  moyen  4.  Car  3.  6  :  4*— <  3*  6  ^—  4* 
ou  3*  6  :  I.  2. 

Cette  pio]^ortîon  eft  compofée  de  \^ 
proportion  géométrique  (  puis  qu'on  7 
confîdere  Tequimultiplicité  »  )  &  de  la 
proportion  ^ithmetique  ,  puis  qu'on  j 
f  onfidere  l'égalité  d'excex  \  elle  s'appelle 
proportion  harmonique  ,  parce  que  lel^ 
plus  petits  nombres  oâ  elle  fe  trouve 
étant  3  9  4  )  &  ^ ,  (es  cordes  de  même 
matière  y  de  mSme  grofleur»  de  même 
teiifîon ,  &  dont  les  longueurs  font  com- 
me ces  nombres ,  forment  les  trois  prin- 
cipaux accords.  Le  rapport  de  3  à  ^ ,  oa 
de  I  i  1  forme  l'oâave  ou  le  dtafafonz 
le  rapport  de  4  d  6  >  ou  de  r  à  3  forme 
la  quinte  ou  le  diéfftnte:  le  rapport  de 
5  âl  4  forme  le  iUatejfarm» 

Soient  donc  les  deux  nombres  don- 
nez  s  &C  ki  It  troiiîéme  nombre  cher- 
ché eft,ou  le  plus  petit,  ou:  le  moyen,  on  It 
pitrs  grand  ;  ainfi  il  y  a  trois  cas. 

SuppoTons  ifi  que  ce  (bit  le  pferpo^ 
m  y  &  appeOons-le  x,  le  moyen  s^St  le 
phis  gram  k.  donc  x.  ^;4—- at.  ^  — i  5 
St  multifdiant  les  extrêmes  Se  les  moyens» 
en  ausa  l'équation  ^;r-- <  4x  &=  ah  «-^ 

Mm  ml 


4i6         TTâMWMMx  EUmenf 

Soit  4  &3S  4  &:  ^  zr  tf  »  donc  x  r:r 

^^        ziz  ^  zzi  X  nombre  cherché. 

2.^.  Soient  les  trois  nonabrcs  d^Xyk^ 
donc  dy  t:  X  —  m.  h-^x*  Ce  qui  mç 
donne  l'équation db  —  dx=iix^^dkt 

on  dx  -¥-  hx  ^s=^  tdb  U  X  s=  ^^^. 
Soit  4  B=3  3.  ^  =:  tf ,  donc  ;^  ==  ^ 

=  4- 

3^  Soient  les  trois  nombres  dyby  x, 

on  trouvera  x  rr  -^^ 7  foit  4  =  a» 

♦  =  4 ,  donc  X  =   J^--  n:  4-  =        | 

6*  Il  faut  dans  ce   troifiéme  cas  que         ^ 
24  (bit  plus  gtand  que  ^. 

La  progcemon  géométrique  peut  aug« 
menterfic  diminuer  a  rinôni. 

I*  Zf  4  >  8  »  1^1  &c.  en  augmentant  à 
l'infini. 

!•  T>  ^*  79  7^  &c*  &  ^  diminuant  â 
1  mnoi. 

La  progreflîon  arithmétique  peut  aug^ 
oienter  Se  non  pas  diminuer  i  l'infini. 

5  >  1 1 5  17 ,  2}  5  &c.  pcuc  augmen- 
ter i  Tinfini  en  a)o(uani;  continuellement 
€  ;  mais  elle  ne  peut  pas  diminuera  rinfi-- 
ni.^  Car  23, 17,  1 1>  5,  finit  a  j  ,  parce 
qu'on  ne  peut  pas  ôter  6  de  ^ . 

La  progrcffion  harmonique  peut  dimir; 


J^  Arithmetiqui  &  iAlphre^  jfrf 
iraer  â  l'infini  &  ne  peut  pas  augmenter. 
X  La  proportion  contre  harmonique  (e 
trouve  dans  ces  noinbres  3  »  5>  6  9  parce 
que  3.6:^  —  J.J  —  3:oua.<6  :  I.Z. 
On  pouna  s'exercer  è  trouver  te  troiiiéme 
terme  contre  harmonique  »  comme  on 
vient  de  trouver  le  troiuéme  terme  har- 
monique \  mais  il  y  a  deux  cas  où  le 
Problème  eft  du  fécond  degré.^ 

P&OBLBMX     V, 

UN  pcrc  fait fon  Teftament de  cette 
manière.  Il  laiffe  1 000  ^cus  à  i'aî« 
né  de  fes  enfans ,  &  la  onzième  partie  de 
ce  qui  rcfte  :  il  laifle  au  fécond  1000 
écus  &  la  onzième  partie  de  ce  qui  re« 
fte  :  il  laiffe  au  troiuéme  3000  écus  & 
la  onzième  partie  de  ce  qui  refte ,  &  ain- 
fi  de  fuite  jufques  au  dernier  qui  a  le  re- 
fie  de  fes  frères.  Il  (è  trouve  après  le 
partage  qu'ils  ont  tout  également  9  on 
demande  quel  étoit  le  bien  du  père.* 
combien  il  avoir  d*enfans  &  la  part  de 
chacun. 

Je  fuppofc  1000  '=:  4  &  1 1  ^  ^> 
&  le  bien  du  père  z=i  x. 

La  part  de  l'aîné  eft  4  -f-  -r-^»  ou 
■    i      —  >    &  otant  cette  part  du 


k^  NMvtémx  EUmns 

bien  total  af,il  rcftc  a-—  ^*'*'* 


« 


Sut  ce  feftc  îe  fécond  fils  prend  a*, 

V~~ *   *^nt    la   onzième 

Frtie  eft  k.-^.y^.^  ^  ^^  ^^^ 

que  la    part   i\x    fécond    eft    zg  ^ 
■^^=^^r=JL±L  ou  ii±!±z:lf*--*-+-..- 

or  luirant  tes  conditions  du  Problème  la 
Prt  de  raî«é  eft  égale  à  la  part  K 

feeond}  donc  **^*~*'**~«4^~<  •*-^ 

A*  •• 

"=  "î ■—>  &  rWmfant  tout  i  mc^ 

ine  dâiominadon ,  j'ay  télth^tx^ 
J4*— 4f  -+-  4  =:  4  *  *  ^  ix^aki  cet, 
te  équation  étant  préparée  fe  réduit  i 
çeHc^cy  *  =  ***  w  44*  ^  4.  Et  le 
jprobicrac  eft  rcfo!u,  je  fubftitue  laoo. 

a^la  place  d'4&  ,1 ,  i  la-placc  n: 
«trii  i  la  place  de  f*  ,  fc  trouve  * 
^  I  ooooo.  •  c'étoit  le  bien  du  pcre 
jbnt  otant  loog,,  il re«e ^ooo.dont 

f*tt  de  1  une  eft  de  loooo  leus  y  Û 


tttbt  900CO  ccus  fur  quoy   le  fécond 

f>rend  zooo  ècusy  il  rçftc  88000  dont 
a  onzième  partie  cft  8000.  Or  zooo 
4-  8600  =-:  loboo»  donc  le  nombre 
des  cnfans  étoit  i  o  >  &  ils  avoicnt  cha?- 
•un  1 0000  écus« 

A  R  T  I  C  L  B     II- 

j)es  Trùhhmts  iéttrmintx.   dm  premhr 
degré  0k  il  f  é^  finfieurs  inegnnuis^ 

TRouvct  deux  nombres  dont  la  fom^ 
me  &  la  àifïerencc  font  données.  • 
Soit  îa  fomroe  4,  la  diffcfcnce^,  le 
plus  grand  nombre  ineomm  x  ,  le  plus 

ftûtyi  6oncx-¥- y  =:aScx — y  =^» 
ar  tran%ofition  jr s=: j  -+-  ^,&  par  fub^ 
Ikitution  y  -*-  h  ^  j  :=j  a  ou  zy  Ht  t 
^  4>  par  tranfpojfîtion  z;  =  ^  —  ^> 

par  dîvifion  y  =:  ^— ^»  par(ùbftiratioA 

M   -H   lZzi=54  ou  ZX*4---*  =  Z4 

&  X  =  ^ — -  le  problème  cft  rcfolu. 
Soit  4  =  8  &  *  =?  Z  donc   x   =3 


■  M 


4»  IfoêfvtMx  ElcmtnM 

Opération. 

Nmsdisnmhris.      Equénions  fermées 

fmivsnt  Us  emnJêm 
fomttic  ...    4  tnns  du  ProhUmc. 

cifrcrence  •   .  h 

grande  inconnue  x  Pf cmierc  at  ^  7  =r  ^ 
petite  inconnue  jF  '  féconde  ;r -^  y  — -fr 

frefdrâttûH  di  as  isux  Equ4H9ns. 

Seconde  *•=  i  -♦-jf  par  tratifpofitîon. 
Pxcmicrc  *  h-;p  ^  jr  rz  4  &  par  addition. 

*  •+•  zjr  rr  >  &  par  tranfpofition. 

^J^^  ^  —  *  &  par  divifion. 

J  =  ~-  rcfobtion  d j ,    & 
par  CubAinitioa, 

« 

Seconde  ^=  *  +  fJ=L*,  &  par  «rit 

tiplication. 

ZAT  =:  2*  -f-  4^ — *,  &  par  (btf- 
ftraâion. 

i^  =:  i^  -4-  4,  &  par  arrange- 
ment. 

zxzzzi  a-^hy  &  par  divifion.. 
^  =  ■      -  rciblution  dV^ 


•î- 


SficoKD    Problème. 

Trouver  trois  nombns  tels  que  te  pre^ 

mier  Avec  ta  moitié  des  deux  autres  faf- 

f$  l$y  le  fécond  dvec  le  tiers  des  deux 

amtres  fafe  16  j,  le  troifiéme  avec  U 

moitié  des  deux  autres  f^jffent  29. 

Ç^Oicnt  les  trois  nombres  cherchez  xi 
^^jyx^y  doncjf  -I-  l^—  rrz  2j  ,  »  -h] 

^  "^  ^  -  ^  X  •+"  y 

— '—  —  20,*-l — /     =r     2p.     Ec 

naultipliant  tout  par  les  dénominateurs 
pour  ôter  les  fiadions. 

Tay  i^   -♦- 7  -♦-  ;^-=  JC  première 
équation. 

ly  -^  X  H-  X,  zr  78.  féconde 
équation. 

i^ti"^  ^  -fr-  jr  :=  58.  troifiéme 
équation. 

Je  choifis  une  de  ces  trois  équations 
qui  me  donne  une  valeur  d'une  des  trois 
inconnues,  par  exemple  la  première  don- 
ne par  tranfpofition  ^  :=  ç  o  —  zx  —  x,. 
Je  fubftitue  (par  rcglc  générale  )  cette 
valeur  d'^,  dans  le^  deux  autres  équa- 
tions ,  &  j*ay 

150*— ^^~.  jt>-4-  4r  -f.  *  =  78. fé- 
conde équation  dérivée. 


411  NêUViMx  EUment 

2,15,-f.x  -♦-   50 — XAT-— X,  =!  58.  ttoi- 

fiéme  équation. 
Par  tranfpofirion,  addirion,  &c. 

J'ay    5^  H-  !«,=:  7Z.  féconde  équx- 
cion  dérivée. 

zx^'m  X  -f-  8.  troifiémc  équa- 
tion. 

Je  fubftituc  cette  valeur  de  x,  dans 
Véquation  précédente  %x  -^  1x0  zn  y%% 
ff,  je  trouve  ta:  -f-  1 6  rrr  71  ou  7^:  rz: 
r  6 ,  &  ;ir  rz:-  8  >  &  (ubftituant  cette  va- 
kur  connue  dV  dans  l'équation  x.  =z  ^ 
^  8  >  je  trouve  x,  rz  i  è  >  enfin  fub- 
^tuant  CCS  deux  valeurs  dV  &  de  x»» 
dans  réquation  jr  rz  50  —  X^f  —  x»^ 
je  trouve  jf  r=:  18  ,  &  k  problème  cft 
xefolu. 

«rz  i8- 

X,  =:  16.  la  preuve  eft  aifcc. 
•    Cet  exemple  peut  fcrvir  de  modèle 
pour  tous  les  problèmes  déterminez  du 
premiet  degré  où  il  y  a  pluficurs  incon- 
nues. 


I 


J^Aritbmttiqned'  {Algéhre.     4X| 

Article    II  L 

Des  frohUmes  plus  ^ne  déterminez,^  o2 
il  y  n  une  êH  flnfieurs  ineonnues* 

LEs  Problèmes  plus  que  déterminez 
(ont  ceux  où   il  y  a  plus  d'équa- 
tions que  d'inconnues.  On  les  refout  dé 
même  que  les  problèmes  déterminez  a* 
vec  ces  deux  diftercnces.  i^.  Quj3n  a  la 
ifbené  de  chotû:  entre   ces  cquarions 
celles  qui  font  plus  fimples  &  plus  fa*> 
ciles ,  au  lieu  que  dans  les  problèmes 
déterminez,  il  faut  fe  fervir  de  touteç^ 
les  équations  données.  2^.'  Lorfque  par 
le  moyen  de  ces  équations  choilies  on 
eft  venu  d  connokre  les  inconnues  ,  il 
faut  qu'en  fubdimant  leurs  valeurs  dans 
les  équations  reftantes  dont  on  ne  s'eft 
pas  fervi,  il  faut,  dis- je  ,  que  les  deux 
membres  de  l'équation  fe  trouvent  les 
mêmes  ;  autrement  le  problème  eft  im-^ 
poflible. 

Tremer  Exemple. 

Trouver  un  nombre  qui  (bit  tel  qu  e* 
tant  multiplié  par  7  ^  &  le  produit  aug- 
tnenté  de  8  >  la  (bmme  (bit  43  ,  &  que 
ce  même  nombre  étant  muItipUé  pat 
K)  »  &  le  fcodnit  diminué  de  13  le  te- 
Stt  foit  J7-  . 


4^4  NPuviâHx  EUmens 

Ce  nombre  cft  jc  >  donc  yx  h-  8  =» 
4j.  &  lOAT  •—  la  =  3y.  par  la  pre- 
mière équation  réduite ,  j  ay  7;!:  s=  35 
&  ;r  s=  r  9  &  fubftituanc  cette  valeur 
dans  la  féconde  équation  io;i:   —  13 

=  37-  J7  S^  ~  ^3  ==  37>  ou  37 
â=  37.  &  le  problème  eft  reioiu* 

Steond  Exemple^ 
Il  faut  refi>udre  un  Problème  qui  £c 
réduit  à  ces  deux  équations  3;^  -h  7  =s 

5^  — 3i,&-J  ^   j«  13. 

Par  la  première  équation  réduite  je 
trouve  X  sss  i^  'y  mais  en  fubftituanc 
cette  valeur  à'x  dans  la  féconde  équa- 
tion -î-  -♦-  y  =  1 3  ,  je  trouve  ^  ^ 


6 
-4-   y  =  1 3  ,  qui  eft  une  équation   ab- 

forde  doù  je  conclus  que  le  Problème 

eft  impoflible« 

Tfiji/mt  Exemple* 

Trouver  deux  nombres  x  &  y  avec  ces 

trois  conditions,  i^.  Que  le  premier  a- 

vec  la  moitié  du  fécond  ^afle  42»  ou  que 

jc  -♦-  7  j  =  42.    2^  Que  jf  ^  i  ;(f  s=a 

34.  3^  Q25— 7—  s=27*  Tayces  trois 

équations  délivrées  de  firaétions  xx  *«* 

^s=s  84»  3jr  -^jir  =  I02&jr-i- jr«=s 

$4.  &  comme  je  n'ay  que  deux  incon*- 

Duë$ 


i  Arithmîtit^Hê  &  d'Atgéri.  4if 
nues  le  Problème  cft  plus  que  détermi- 
né ,  je  choiH»  les  deux  plus  hmples  équa^ 
tions  jr  =  84  —  XX  &  J==  S4  "^  "^>  d  oi 
je  tire  cette  troifiémc84  • —  2;^=  54 
^—  jtf  &  a:  5c=  30  >  &  par  confequent  j 
5=5  14.  le  problème  eft  refbla  s'il  eft 
•  poflîble  î  &  pour  m'en  affurer  je  fubfti- 
me  ces  deux  valeurs  dV  &dj  dans  l'é- 
quation rcftante  jjr  h-  x*  a=  loz  >  &  je 
trouve  '^7^  ■+•  30  =  102  ou  102  2=: 
iox«  doii  je  conclus  que  le  problème 
cft  refolu. 

Article     IV. 

Méthode  noftveUe  four  la  refolkthn  des 

Problèmes  indéterminé^^  dn  fremier 

degré* 

LEs  Problèmes  indéterminez  font  ceux 
où  il  y  a  moins  d'équations  que  d'in- 
connues ,  on  les  refout  de  même  que  le^ 
Problèmes  déterminez  avec  ces  deux  dif- 
férences, i^*  Qu\>n  ne  peut  pas  fore  éva- 
xioiiir  toutes  les  inconnues  hors  une,  com- 
me dans  les  Problèmes  déterminez.  2*. 
Qu'on  peut  après  cela  fubftituer  pour  les 
inconnuifs  reftantcs  des  valeurs  arbitrai- 
res. L'élcgance  de  la  refolution  conGfte 
d  éviter  les  nombres  négatifs  &  tes  fra^ 
ôions  V  &  i  trouver  toutes  fes  refolutions 
poffiWesen  nombres  entiers,  ou  du  moins- 
la  méthode  de  tes  trouiverioutes;,  lors  qu'â^ 
y  en  a  une  infinixé^^  K  n 


-1 


4t(         NoMWdMc  J^Umf» 

E  X  E  U  »  L  fi.     . 


me  9k  le  Cycle  foldire  ejt  i^  ^le  CjcUd^ 
M  llrndiv^  I O  >  C^  Vèndiâhm  7. 

La.  période  JulifBM  cft  de  7980  aift* 
fbéc$,  ehacuBe  de  ^6;  )oai»  &  6  hesu 
ses}  ç&e  eft  Qompoiféc  de  trois. Cycle»  1^ 
<bi  Cyde  iglaÎK  c^  eft  de  28  aos  >  dtt 
Cycle  d  or  ^i  eft  de  1 9  >  &  du  Cycle 
de  Tindiâion  qui  eft  de  i  {•    Le  Cycle 
(blaire  eft  de  x8  ains»  parce  qu'avant  la^ 
correâioti  du  Calendrier  faite  par  Gré- 
goire XIIL  en  if^Sx.   le  même  qiun- 
ticme  du  mois  y  comboic  rerulieremeHr 
dans  la  même  ferie>  c'eft  à  ^e  k  mê- 
me jour  de  laiemaine.   Car  Tannée  or- 
dinaire étant  compofée  de  ^6  5  jours , 
ellç  comprend  ji  {emaines  &   i  jour  y. 
de  forte  que  ii  le  premier  de  Janvier  efr 
on  Dimanc&e  »  le  30  Décembre  fera  xm 
Sam«dy,  gtlc  j  i  uit Dimanche  s  &  le  pre^ 
micr  Janvier  de  l'année  liiivante  fera  as' 
Lundy*  Par  la  même  raifon  le  premier 
Janvier  de  la  (roifieme  année  feroit  unr 
Mardy  >  àc  la  quatrième  un  Mercredy>&c^ 
fa  fèpciéme  unSamcdy;  &  fa  huitième 
feroit  encor  un  Dif»ançhe  y  Se  ainfi  <£r 
imtc  de  7  en  j  ans  Si  mais  pasce  que  l» 


3"  >atriéiiie  année  eft  de  ^66  jours  ,  ou^ 
t  5x  femaines  &  2  jouis ,  la  cinquième 
année  an  lieu  de  commencer  par  un  Jeii^ 
dy  y  commencera  par  un  Vendredy  ,  & 
cette  iiregukidté  qui  arrive  de  4  en  4^ 
ans  Êtit  (pie  les  mêmes  quantièmes  dtt< 
mots  ne  répondettt  de  fuite  &  par  or^ 
dre  aux  mêmes  feries  qu'au  bout  de  4. 
&>is  ^  ans  ou  de  :t8-  ms.  Atniî  le  pre«- 
nûer  Janvier  tombera  un  Dimanche  la; 
^cemîere  années  fa  feptiéme  >  la  dix^^ 
huitième  &  la  vingt-quatrième,,  il  tom^ 
Sera  un  Lundy  la  feconde  aimée  y>  la  hui-^ 
fième,la  treizième, lia  dix-neuvième >  iC 
atnfi  de  (mie  de  z%  anr  cm  iS*  ans.  Mais 
depuis'la  correâion  du  Calendrier  quî^ 
«etranche  trois'  bifleiKil^s  fttr  400  ans»/ 
le  cyck  £>laire  ou  des  létttes.  Dominica^^ 
fes  eft  de  2800  ans^»  &  la  peijode  Gre*- 

Sorienne  eft  de  7^000^  ans*  Ce  cycle- 
e  2800  ans  eft  encoix  tcop  petit  fui" 
vaut  1er  ob&rvations  eiùâes  de  Moi^ 
fieur  Caâkii  y  parce  qull  faïadroit  retrait 
cher  outre  les  trois  joues  fur  chaque  400» 
ans ,  r  jour  fur  cha^ie  2400  ^  en  (bne 
«pie  le$  années  4000»  6400  9  88oOy  ne' 
fuflent  pas  '  biflextiles  ;  9c  fefon  ce  calcuf 
{"e  cycle  folaise  fecoit  d^  16800  ans. 
^  Le  cycle  dor  ou  le  cycle  lunaire  e£' 
'4t  i^  ans  9  paae  91e  au  bout  4e    ly 

»»-  ij. 


E 


4^8  Nouveaux  Elemiur  . 

ans  le  mcmc  quantième  du  mois  eft  auSâ 
à  peu  prés  le  même  quantième  de  la 
Lune.  Voyez  ce  que  j'ay  dit  là  deflus 

^&  H7'  ^3^'  139^  140*    Enfin 
e  cycle  de  l'indiârion    eft  de  15  ans  » 
c*ètoit  une  efpece  de  tribut  qu  on  payok 
aux  Empeceuis  Romains  en  uois  paye- 
mens  de  5  en  5  ans*  Les  Papes  dattenc 
encore  leurs  Bulles  de  Tannée  de  Findi- 
€Hon ,  ce  n*eft  pas  icy  le  Ireu  d'en  dire 
davantage  (m  1  origine  &  lufage  de  ces 
trois    cycles.   Il  fuffit  de  favoir  que  1^ 
période  Julienne  eft  ainfi   appellèe  du 
nom  dé  Iules  Cèfar  ,  parce  que  toutes 
les  années  y  {ont  de  2:65  jours,  6  hcu^ 
res  9  fuivant  la  cocteftion  du  Calendrier 
que  fit  ce  Prince  étant  fouTetain  Pon- 
tife :  que  Jofeph  Scdiger  Ta   inventée  r 
qu'on  fuppofe  que  la  première  année  de 
la  période  Julienne  ,  on  ait  i  de  cycle 
felaire,   t  de  cycle  lunaire  &  i  d'indi- 
âion  :  la  féconde  année  on  a  x  »  2  »  2, 
la  troifiéme  3  »  3  9  ?  >  &c.  la.  feizième.  on 
a  I  ^  de  cycle  folaire ,  1 6  de  cycle  lu»- 
naire  &  i  d  indièlion  qui  recommence; 
La  vingriéme  année  on  a  20  de  cyck 
folaire ,  i  de  cycle  lunaire  &  5  d'indi- 
^ion  s  la  19  année  on  a  i  de  cycle  fo- 
laire, 10  de  cycle  lunaire  &  14  d'in- 

diâion  »  &  ainfi  de  fiiite*  On  ne  trouve 

-  0 


^ 


d' jirithmetifue  &  J^AÎgebri.  41^ 
les  ttois  mêmes  nombres  pour  les  trois 
cycles  qu'au  bout  de  ^5^80  ans»  parce 
que  28)  1 9>  1 5  Ibnt  trois  nombres  pre-^ 
miers  entre  eux  ,  &  que  leur  produit 
continuel  eft  7980-  Cette  période  dont 
on  a  fait  tant  de  bruit,  eft  une  période 
imaginaire  &c  chimérique.  Il  n'y  a  nul 
fondement,  ni  ;iulle,  apparence  de  rai« 
ion  pour  joindre  la  période  de  Tindi*- 
jûion>  qui  eft  une  chofe  purement  arbi- 
traire >  à  la  période  naturelle  du  cycle 
d*or;  &  à  la  période  moitié  naturelle  & 
moitié  arbitraire  du  cycle  {blaire.  On 
ne  trouvera  aucun  événement  hiftorique 
qui  puifle  être  fixé  par  ce  moyen.  •  La 
période  Julienne  ne  peut  .tout  au  plus  ë^ 
tre  employée  que  depuis- la  refermation 
de  Céfar  jufques  â  la  reformation  de 
Grégoire  XIIL  &  il  eft  ridicule  d'ima.- 
giner  avec  la  plufpart  its  Chronologiftes* 
une  période  qui  commence  plufieursfié- 
c\t^  avant  la  Création  du  Monde.  Le 
cycle  (blaire  fcul  fuffit  pour  déterminer 
à  ç  ans  prés  au  moins  un  événement» 
dont  on  rapporte  le  quantième  du  mois 
&  le  jour  de  la  ferie ,  &c. 

Mais  fuppoféque  quelque  événement 
fut  datte  de  Tannée  i  3  •  du  cycle  folât- 
re y  de  Tannée  i  o  du  cycle  lunaire  \  &  de 
tannée  j  de  Tindiâion  >  on  pourroit  dé- 


/ 


4fa  rToHWéUêx  EUmtnr 

fcrminer  prccifcment  ,  combien  iï  y  i 
^*4nnées  que  cet  événement  cft  arrivé*, 
car  dans  la  période  imaginaire  de  79  80 
ans  ,  Tannée  courante   169^.    cft     la^ 
^4iocme,  &  nous  avons  26  de  cycle 
folaire ,  parce  que  di vifant  tf  4 1  o  par  2.8, 
le  qiK)ricnt  eft  n»,  &  il  reftcaé;   le 
nombre  d'or  cft  7.  parce  que  divifinr 
^410  par  li^,  Iç  quotient  cft  J37.  & 
.  ^5^  7*  ï  i^^ion  cft  ^  ,   parce  que 
divifent  ^410  par  i  j\,  le  quotient  cffi 
417,  &  il  rcffe  5. 

Ainfi  pour  refoudire  ce  Problème  je  le 
dépouille  de  ce  qu'il  a  de  Chronoloei- 

3uc>  pour  ne  le  confidercr  que  fous  1  i- 
ce  abftraitc  des  nombres ,  &  il  fe  rc^ 
duit  à  cette  qûcffîon. 

TroHvtr  un  nomhrt  ttl  q»*itsnt  iivtft 
fdr  z%.  il  refit  i  3  ,  ^h  étant  divifé  far 
t9'  H  refie  lo ,  ^  quêtant  divifi  par 
I  y  j  tf  refic  7.  ^ 

Soit  ce  nombre  ;r,  donc  ^       ^^     :=;? 

iS 

jy  — j-; — =*^-r7 —  =^  *•   J^r 

trois  éqifâtions  &  quatre  inconnues ,  x^ 
yyx,^H\  c'eft  pourquoy  le  problème  cft 
indéterminé.  Mais  parce  que  j,  9»^  m 
doivent  être  des  nombres  entiers  &  po- 
ncifs, )p  ne  puis  pas  prendre  poui?  »: 


d  Jrithmitujme  &  ij^éhe*  4)» 
iout  nombre  donne*  i^.  Parce  qae  x 
~.  I  3  doit  ctrc  on  nombre  pofîtif  >  il 
faut  que  x  foit  plus  grand  que  i  j.  l^^ 

Parce  qufe  f  '  ^  doitf  être  un  nom- 
bre entier ,  il  faut  çie  jir  furpaflc  de  i  j 
»ii  mulcij^e  de  x%y  afin  que  réquaiipQ 

^.       '^  =3»  t  (e  transforme  en  Tune  dr 

celle$-cy  i'^"^"'    =    ff  ==   i  >   o» 

£l=ii  =^i|.  =  z,&c.  3^  n  faut 
que  X  furpaflc  de  lo  un  multiple  de 
jp.  afin  que  réq«ation--~       ==  «.  fer 

transformé  en  Tune  de  celles-cf  ^~  ? 
_  19. .     48—10  _  Il  —  i.  &r 

4®.  Parce  que  c'cft  le  même  x  dans  ces^ 
deux  équations  »  il  faut  que  dans  tes^ 
Eûtes  de  ces  oiombres  41»  £9  9  ^y,icc. 
Se  i9xJ^Sy6jy  ôcc.  il  s'en  trouve  un* 
commun  aux  deux  fuites  ,  c'eft  à  dire^ 
qu'il  faut  que  2.8 iw  -h  13=:  ip»-*- 
10  9  ou  28  w  zzi:  19  «  —  3.  &  IV  zi:: 

^^^^  y  fur  quoy  je  fais  cette  rcflexioi» 

3iii  comprend  tout  Fe(pric  de  Ta  metho- 
c.  Il  eft  {cur  qu'en  prenant  z8  »  pour 
nomciateur^  &  2^  pous  déhomtnatcur/le 


^4H  Nouveaux  EUmepft. 

quotient  fera  n  »  nombre  entier*  Or  pui£. 
que  28  mefure  z8  if  par  conftruâton»  Ôc 
qu'il  mefure  19»  —  j  par  hypothefc  >  il 
mefurera  auffi  leur  différence  9  »  h-  j, 
&  fon  multiple  i  g  i»  -4-  6 ,  donc  il  me- 
furera auffi  la  diflPcrence  de  lyn  -^  ^ 
à  1 8  »  -I-  ^ ,  c*cft  à  dire  qu'A  mefkrera 

ir*— 9.  donc    ~  ^   doit   être  un  nom« 

bre  entier.  Je  le  prens  le  plus  petit  qu'il 

cft  poffiblc  \  &  je  fuppofc  ~î  =  o* 

ce  qui  me  donne  11  ==.  9  ;   fi  je  fuppofe 

—^  =  I.  j'auray  n  ~  iy\Ci  je  fup- 

pofe  —^  :i=  z  j'auray  »  =  tf  j  ,   &:c. 

&  toutes  CCS  valeurs  d  »  Tatisfont.  Je 
fiabftituc  la  plus  fîmple  valeur  à*n  dans 
réquation  x  =  19»  -♦-  10  2=3  iSiif 
■+-   I},  &  je  trouve  181    qui  fatisfait 

aux  deux    premières  équations  *  "^  '? 

^=^  y  ^  "-77 =   »  ,   a»  lieu  def- 

quelles  ray  lîlpil  =.  ili=.  6  & 

iSi— .10  171  ^,   . 

— T; =  -7;-  =  9.    Mais   cette 

valeur  étant  fubftituce  dans  la  troiiiérac 
équation  ^~I  -=  x,  Je  trouve  îilllZ 


l 


J^Arithmtfiqne  «^  d*Al£e^re*  4}$ 
-^  5=1 1—9  qui  n'cft  pas  un  nom- 
bre entier  5  ceftpourquoy  il  faut  prendre 
une  autre  valeur  dV.  Or  la  valeur  à'x 
s=  181  vient  de  la  valeur  à^n  =:  9. 
toutes    les  valeurs  d'u   (ont 

;f  =:  9  qui  donne  1 9  »  -1-  1 0=  1 8  r  • 
n  c=3  37,  qui  donne  i^n  4-  10  î=3 

13  fi=  181  -+-  jjx  ==  i8i  H-  a.8 

pis  x^. 
n  =z  6^9  q^i  donne  i^  «f  .4-  10  ^^ 

1245  s:  181  H-    X  fois  53  !• 

n  s=  93».qui  donne  19»  h-  iot=* 

17^7=181  -4-  3foisj3z. 
jfl  ne  s'agit  donc  plus  que  de  refoudrc 

requaaon  i-^-y ^  =3  j^.   Car 

X  doit  être  tin  des  nombres  1813713, 
Ii4$  >  &c.  jc'eft  a  dire  que  x  doit  être 
Bsa  531  /  -fr-  181.  &  par  xonfequent 
X  —  7  =1  531  /  -4-  174.  J'ôte  de 
j  3  X  /  -4-  1 74  tous  les  multiples  de  i  y, 

il  reftc  2X — t  à  rendre  égal  à  un  nom- 
bre entier  ;  jopere  comme  cy-deiTus ,  en 
(uppofànt  15/  dont  jotc  7/-*-  9  qui 
14/ H-  18  9  ^a  14/  -I-  3  ,  il  relie 
L=Zl  «s  0-  donc/=s  3.  &  par  con^ 

fequent  y^xiT-»-  181  =:  1777  =*  ^ 
nombre  cberçhé.  La  prçqvç  en  cft  an 

Oo 


434  Nouveaux  Elément 

fée,  car  dirifànt  1777  par  i8, pariai 
par  1 5  ,  &  négligeant  les  quotients  les 
reftes  font  13,  i  o  >  &  7*  corîformemenc 
a  la  queftion.  La  chofe  (èroit  donc  arri- 
vée Tannée  1777  de  la  Période  JuUexi-* 
ne;  &  par  confcquent  il  y  a  4^33  ans. 
Pour  avoir  toutes  les  refolutions  a  Tin- 
fini  ,  c'eft  à  dire  toutes  les  valeurs  dV» 
il  n'y  a  iju'à  prendre  toutes  les  valeturs 

fc;j-*-3o=:3-*-x  tels  I  j,  &c.  oa 
bien  il  n  y  a  qu*a  ajouter  continuelle* 
ment  ï  1777  le  nombre  7980  =  i  J 
fois  5  3 1  =:  1 5  fois  1 9  fois  28»  &  on  au* 
ra  les  valeurs  dV  sss  1777  s=  9757 
«  17737,  &c. 

Il  n  y  a  proprement  que  la  première 
valeur  dV  ssa  1777  qui  fatisfaflfc  au 
Problème  de  la  Période  Julienne  •  &  ce 
Piobleme  èft  déterminé  chronologique^ 
ment  \  mais  il  eft  indéterminé  arithme* 
tiquemcnt. 

Ces  reftriélions  de  nombre  pofîtifs,  de 
nombres  rationnaux  »  &  de  nombres  en* 
t^crs.  tiennent  quelquefois  lieu  d'une  ou 
de  plufieurs  équations,  &  rendent  déter^ 
miné  &  fouvent  impoflible  un  Proble^ 
me  qui  de  fa*  nature  fe  oit  indéterminé. 
•  Ce  Problcitc  renferme  toute  la  diflS- 
eulcé  y  ic  toute  Télegance  des  Piroblcmes 


£  Arithmétique  &  d^Al£thre.     435 
iy^déterminez  du  pcesmer  degré,  la  me-' 
thodc  cft  nouvelle  &  peut  s'appliquer 
aux  Probkmcs  des  degrez  plus  élevez , 
comme  j'efpcre  le  fjiirc  voir  dans  le  re- 
ceûil  des  nouvelles  découvertes.  Remar- 
quez que  lorsqu'il  y  î^  plus  d'une  in- 
^  connue  dans  un  Problème  ,   il  faut  afin 
qu  il  Toit  du  premier  degré ,  que  chaque 
inconnue  ibit  au  premier  degré,  &  qu'une 
inconnue  ne  multijplie  point  l'autre.     ,  ^ 
'  On  pourra  s'exercer  fur  lès  Problè- 
mes fuivaOs.  i^.  Ayant  deux ,  trois ,  01^ 
plufieurs  chofes  de  difFerens  prix,  com- 
me de  Tor,  de  Targe^nt,  du  cuivre,  &c. 
«il  faite  im"  aloy  d'un  prix  moyen  donné. 
Ceft  ce  qu'on  appelle  la  Règle  4'al'^^g^» 
&  ce  ne  font  que  differcns  cas  àts  Pro- 
blèmes déterminez  ou  indéterminez  du 
premier  degré,  z*.  Ayant  différentes  eC- 
peccs ,  comme  des  Louis  d  or ,  des  écus 
&c.  en   faire  une  fomme  donnée  dans 
tbiftcs  lés  manières  poffiblps.    j®.   Sa- 
chant combien  de  perfonnes  en  tout  ont 
été'  dans  un  feftin ,  hommes ,  femmes  & 
enfahs  ,' les  difFerens  prix  qu  ont  paye 
pat  tcte- chaque  hômtfie,  chaque  femme 
&  chaque  cnfaiit ,  &  la  fomme  totale,. 
,  trôuvet  le  nombre  particulier  des  hon> 
mes  >  des  femmes  &  des  enfans» 


.  j 


Oo  ij 


43^  Nouveaux  Blemetn 


■«HMta 


Chap 1 t  r  e     il 

Dis  ProbUmis  du  ficûmd  degré. 
Akticib    L 

Vis  PribUmiS  détirminiz^. 

TOutcs  les  équations  du  fécond  de** 
gré  fe  peuvent  réduite  ï  Tune  de 
ces  fix  formules. 

x*».  XX  E=ç  ^.    ^^  XX  ^=s.  —  b. 

j«.   ;irAr«=S4X-|-^.      £^  XX^ss^h^^éiX. 

^».  ATJif  s=  4;!r  — •  ^«  6**.  ;rAr=  — 
«;r  —  h* 

La  formule  xxs=a  ax  n'eft  pas  du 
fécond  degré  ^  parcç  que  divifànt  tout  pat 
X  elle  fe  réduit  à  cette  équation  du  pre- 
mier degré  X  SES  4. 

Dans  la  première  formule  xx  'sst  h 
les  deux  racines  de  l'équation  >  c'eft  i 
dire  les  deux  v^eurs  d'jc  font  toutes 
deux  réelles  Tune  podtive  qui  eft  x  =a 
y  1^ ,  fc  Vautre  négative  qjii  cft  ;r  s=  •--<t 
y^^  Comme  û  xxs^s  ^.  une  des  valeurs 
dV  cft  -H  3.  ScTautre  cft — 3  ;  car  -»- 
3  par  -+-  3  produit  -f-  ^^  &  ^-.  3  par 
—  3  produit  encore  h-  9 ,  fuivant  la  Re- 


1^ 


iArithmtîqUi  &  iAlgîhri.  437 
;lc  générale  que  —  jar  •—  produit  •+•. 
bur  refoudre  cette  première  formule  il 
n'y  a  qu'à  tirer  la  racine  quarrée  de  ^» 
comme  fi  xx  =513  69.  donc  a:  =  37 
&  ;r  SΠ -^  37  ,  &  u  Ar;c  =:  7  donc 
x^yy  Se  x^^Vj. 

Dans  la  féconde  formule  xx=^  "^  6y 
les  deux  racines  (ont  femblabies  aux 
deux  racines  de  la  formule  précédente , 
mais  elles  (ont  toutes  deux  imaginaires. 
Tune  pofirivc  qui  c(t  x  s=  -♦-  Y  —  K 
êc  l'autre  négative  qui  eft  ;r  =  —  V  — ^ 
f.  comme  Rxx  ssq  — -  9.  on  aura  x  «=3 

H 3,&Ars=&~-  —  3.  Scfij(;;r=3 

•—  7  on  aura  ;t=;  ^y—.y,Sc  x^==^ 
—  y  —  7.  On  appelle  ces  racines  iméh 
giff  dires ,  parce  que  Ton  ne  s'en  peut  for- 
mer aucune  idée.  Les  racines  réelles  ne-r 
gatives  refbivent  le  Problème  dans  un 
lens  oppofé  ;  mais  les  racines  imaginai- 
res ne  le  refolvent  dans  aucun  fens ,  les. 
lâcines  réelles  négatives  donnent  fouvcnt 
dans  ta  Géométrie  des  refblutions  réelles, 
mais  au  lieu  de  retrancher  la  ligne  qui 
cflr  reprefentée  par  l'inconnue  ,  il  faut 
l's^ûter;  éc  au  lieu  de  l'ajouter  il  faut 
la  retratfchër ,  6cc.  Les  racines  imagi- 
naires marquent  feulement  que  le  Pro- 
blème eft  impo(fiblc  9  conmie  d'infcrire 
dans  un  cercle  une  ligne  plus  grande 

Oo  nj 


4l9  NûtfveMx  Elemini 

que  le  Diamètre  ,  elles  fervent  i  faire 
voir  en  quoy  confiftc  Timpcffibilitc  da 
Problème  \  &  à  confervcr  l'analogie  dans 
le  nombre  des  racines.  . 

Dans  la  troiiîéme  formulejr  j^  5=;  éix 
-f-  ^ ,  &  dans  la  quauicmc  qui  luy  cft 
oppofée  XX  =ih  ^^dx»i\  y  a  toujours 
deux  racines  réelles  ,  Tune  pofitive  & 
l'autre  négative  ;  &  celle  qui  cft  pofîdve 
dans  la  troifîémç  eft  négative  dans  la 
quatrième,  &  au  contraire.       • 

Ces  deux  racines  font  pour  latroiiîé- 
me  formule  x  =z\  g  ^  V-^k-*-^, 
&  Af  »  ^  àv-  yjiasTT.  Pour  laqua- 
triéme   fornmie  on  z  x  css  *— *  f  îi  -h 

y^Md^h8Cx:=;^La  —  y'r^XK 
Par  exemple  G  xx  ^=s  ioa*  -+-  144, 
on  aura  x  =:  ^  -i-  Vij  «♦-  144  =  5 
-H  J^itf^  s  5  H-  13  ==  i8.  &  Ara 

Î;  — .  1 5  =a  —  8.  les  deux  valeurs  d*x 
ont  H-  18  Sc^-^Sy  Se  Cl  XX  =5 144 
—  I  o  AT  les  deux  valeurs  d'A:  feront  x 

«  ^  S  t  >'TrT744  «  —  5  * 
I3=-*-  8  Se  x=i  —  18.  Si  xAf^s 
jo^  -f-  8.  les  deux  racines  feront  x:=^ 
^  -h  '^3  3  >  &  a:  ï=:  y  —-^33.  Enfin 
ù  XX  =  8  — -  I  ov  les  4CUX  racines  ft- 
ronf  A- 3=5  1^33  —  5,  &:jr;9rr-  V33 

—  5- 


Jt ArithmetljHi  ^  £Atgehre.     4i9 

Dans  la  cinquième  &  dai.s  la  fixiémc 

formule  xxt=zax^-lfy  &c  xx=i  — 

^^ t.  Il  y  a  deux  racines  ou  toutes 

.<deux  réelles ,  ou  toutes  deux  imaginai- 
res s  celles  qui  font  toutes  deux  pofiti- 
Ycs  dans  la  cinquième  formule  font  tou- 
tes deux  négatives,  dans  la  fixiémc. 

Ces  deux  racines  font  x  ^=^Ji  à  -#£ 
Vj^T^T,  iLx^=\  a  —  y^aa^h 
Par  exemple  fi  xx  g  iqat  *~  i6,  on 
aura  AT  =:  J  '^'^^f^  16=5-*- 

y  y  ss   5    -H    3S=:8,    Se  X  :=:=^  $  ^ 

a.  Les  deux  valeurs  d'^:  font  ?  &  2-  & 
fi  ATAT  :=*  —  10  AT  —  16.  les  deux  va- 
leurs feront  —  8  &  —•  !• 

Lorfquc  i  4  4  =  ^  les  deux  valeurs 
"font  égales ,  comme  fiA:A't=3iOA'*— 
X^  9  les  deux  racines  font  a*  2=2  5  -4-  o 
&  a:  =  5  —  O-  c'cft  à  dire  x  ==^5-  & 
pour  xxi==i  — ^  iqa:  —  2Ç,ona  Ar=  — 
5 .  LoHque  ^  a  a  eft  plus  grwid  que  '*, 
les  deux  racines  font  réelles  &  pofitives 
dans  la  cinquième  formule  ;  elles  font 
rcclics  &*egàtiyes  dans  la  fixiéme,  com- 
me dans  réquation  cy-deflus  ata:  isa  i  oat 
—f  1 6  5C  ArAr= -^  10 '—•  I^. 

Enfki  lorfquc  ^  aa  eft  plus  petit  que 
>,  les  deux  racines  font  imaginaires  & 

o  tnj 


'44^  NûêtveâUx  Hymens 
voCinyts  dans  la  cinquième  formule  ;  el- 
les font  imaginaires  &  négatives  dms  la 
fixiéme ,  comme  fi  xx  =s=:^x  —  zy, 
oû  aura  at  ==:  4  -h  --  3,  &Art=s4 — . 
*—  3  -,  &  fi  XX  :=iix^—  z^  on  aura  jr 

«5  —  4  -+.  —  3  &  ^4 3.  Si 

XX  :=s  10^  *— .  3«pF  on  aura  ;r  srr  j  -#- 

V—  i2,&  jr=:  j^y_ix,fijrjr 
=  I  OJr  —  60  on  aura  x  =  ç  -+•  V  — • 
3  j  &  ^  s=s  ^  •— V—  3  j,  (iette  dcr* 
nicre  racine  peut  padèr  pour  pofiiivc, 
quoique  V  3  5  foit  plus  grande  que  y  , 
parce  qu'on  n*a  égard  qu*aii  nombre 
réel  j  ,  qui  eft .  poutif. 

Si  XX  s=s  I  o;r  —  7  on  aura  x^=si  < 
-^  y  18  &^=  ç  ^  yi8.  Ccsfix 
formules  peuvent  être  réduites  à  ccllc- 
cy  feule  XX  =i  ^  MX  ±  t.  Dans  la- 
quelle on  peut  fuppofer  indiftinâiemenc 
M  on  t  i=i  Oy  les  deux  racines  qui  fin 
lisfont,  &  qui  fatisfont  feules  font  x  zz: 

•+•  y^ds^by  d'où  je  tire  cette  Règle 
générale. 

1^.  Prenez  la  moitié  de  Tabfolu  du 
fécond  terme.  1®.  Quarrez  cette  moitié 
&  l'ajoutez  i  Tabfolu  du  dernier  ter-' 
me  fans  changer  fon  figne.  3®.  Tirez 
la  racine  quarrée  de  la  fomme.  4*.  A^ 


Jt Arithmétique  &  i^Aîgehre.  441. 
foûtcz  &  ôtez  cette  racine  de  rabfo* 
lu  du  fécond  terme  fans  changer  (on  £h 

SQe>  la  (bmme  &  le  refte  donneront  les 
eux  racines  cherchées. 
Pour  éviter  les  fraâions  >  lors  que 
l'abfblu  du  fécond  terme  eft  un  nombre 
impair ,  on  peut  ajouter  le  quatre  de 
cet  ab(blu  au  quadruple  du  dernier  ter- 
me fans  changer  (on  fîgne  ;  &  tirer  la 
racine  quarrée  de  la  fomme.  3^.  Oter 
&  ajouter  cette  racine  à  labtblu  du  fé- 
cond terme  fans  changer  (on  ligne.  4^. 
La  moitié  de  la  fomme  &du  refte  don- 
neront les  deux  racines  cherchées. 

DemùHjhdtioH, 

Pour  démontrer  que  lorfque  xx  zn 
Hh  4;r  ^  ti  les  deux  valeurs  d*x  (ont 

y\dM±^b.  Je  quarre  chacune  de  ces 
valeurs  pour  avoir  la  valeur  d';^  x  9  pre^ 
mier  membre  de  l'équation.  ^  1  44  -h 

b  ^  a  yj;dd±b.  Je  multiplie  en- 
fuite  cette  valeur  d'^r  par  4  pour  avoir 
la  valeur  d'dXy  &  au  produit  j'ajoute  h 
&  je  trouve  pour  (ècond  membre  de  Té*- 

quation  ±:  \  sd±_  a  Y^aa  -i^  ±.  h 

3ui  eft  égal  ou  le  même  que  le  premier 
onc  &c. 


S|44  KûMViâMx  EUmeni 
d*un  c&té  &  des  X  &  des  nombres  dé 
lautre ,  ce  qui  donne  uite  équadon  do 
premier  degré*  Par  exemple  £1  ton  k  ces 
deux  équanons  xx  s=a  «i  ûxf  -^  1 44  >  & 
XX  =8  30*  —  Xî6  9  donc  10  -♦- 
144  c=5  jojr  —  il6  Scx  =:  i8v 

Lors  qu'on  n  eft  pas  afluré  par  la  n^ 
ture  de  la  queftion  que  le  Problème  plus 
que  déterminé  eft  poflible  »  it  faut  après 
avoir  trouvé  la  vafeur  de  l'inconnue ,  ta 
fubftttuer  dans  toutes  le^  équations  pour 
s'afTurer  fi  elle  fatisfait,  que  fi  tes  deux 
membres  d'une  équation  ne  fe  trouvent 

£as  égaux,  après  la  fiibftitudon  le  Pro- 
leme  eft  impoffible. 
Il  y  a  encore  une  manière  de  re(ba^ 
cke  les  Problèmes  plus  que  déterminez  , 
c'eft  de  tranlpofer  tous  les  termes  de  l'é^ 
quarion  d'un  côté  9  en  (brte  qu'un  dts 
membres  (bit  o  9  &  de  divifet  enfiiitc 
continuellement  une  équation  par  l'au- 
tre »  ou  la  plus  élevée  par  celle  qui  l'efl 
moins  ju(ques  i  ce  que  Ton  trouve  une 
commune  mefiire ,  ou  un  dernier  refte  9 
qui  fera  auifi'  égal  à  zéro  ;  &  qui  dorme-- 
ra  i'éouation  la  plus  fimple  pour  la  va- 
leur ce  l'inconnue  chercnée.  Ainfi  dans 
l'exemple  cy-deflus  ;ifx=s  lojr  -«•  144» 
6c  XX  t=  ^ox  —»  zitf.  Tay  par  trant 
poiîtion  XX  —  lor—  144  =  o>& 


Jt  Arithmétique  &  tC Algèbre.     44$ 
&  x;c  —  30X  H-  lltf  !==!  o.   Je  divi- 
fe  jw  —  IQX  -4-  Z16  par  ^Ap  —  lox 
-^-  1 44.  le  quotient  cft  1  •  que  je  ne^- 
oligeî  &  il  rcfte  —  xox  -h  360  qui 
doit   neccflairetnent   être  égal  i  zéro. 
J'ay  donc  • —  zox  -h  3  60  =  o  >  ou  oac 
tcanCponrion  360  zzziox  &  ;c  =:  10. 
'  La  raifon  de  cette  opération  eft  que 
zéro  divifé  par  zéro  donne,  zéro ,  &  que 
zéro  oté  de  zéro  il  refte  zéro* 

Akticlb    II  L 

Pes  Problèmes  inJUterminex»  Jm  fécond 

iegri. 

LEs  Problèmes  indéterminez  du  fe^ 
cônd  degré  font  plus  di£Sciles  que 
ceux  du  premier.  Il  fuffit  dans  ceux-  cy 
d'éviter  les  nombres  négatifs  au  lieu  que 
dans  ceux-U,  il  faut  encore  éviter  les 
irrationnau.x  ,  toute  l'adrefle  confifte  \ 
riduire  Téquation  du  fécond  degré  à  une 
équation  du  premier  >  &  il  y  a  deux  priai* 
cipales  manières  de  le  faire. 

i^  Formez  tellement,  l'équation  avec 
une  indéterminée  arbitraire  que  le  quar*^ 
ré  de  l'inconnue  fe  trouvant  le  même 
dans  les  deux  membres ,  il  ne  refte  plus 
qup  l'inconnue  4U  prcsnier  degré  d'un 


1 


44^  Nouveaux  Elemens 

c6té  s  &  des  nombres  de  l'autre. 

z*.  Lorfque  l'abfoltt  fc  trouve  un 
quarré  poficit,  on  forme  réquation  de 
manière  que  ce  quatre  fe  trouve  daiis 
les  deux  membres  ^  &iotant  de  part  & 
d'autre ,  il  ne  refte  que  l'inconnue  au  (e* 
cond  &  au  premier  degré  j  Se  divifânt 
tout  par  cette  même  inconnue,  il  ne  re- 
fte que  rinconnuë  au  premi^  degré  d'un 
cote,&  des  nombres  de  l'autre^les  exem-  . 
pies  édairciront  la  Règle. 

Premier  Problème* 

Divifer  un  nombre  quatre  en  deux,  ou 
plufieurs  nombres  quarrez. 
.   Il  faut  divifer  xf  en  deux  nombres 

3uartez9  foit  l'un  ;^Af  &  l'autre  jjr,  j'ay 
onc  .t;c  -*-  jjr  m  iç  ^  cette  équation 
cft  inutile  ;  cat  (î  je  prens  ^rbitrairerbent 
xziz  li  j'auray^jf  =:  14  &;;=:>^24i 
qui  eft  un  nombre  irrationcl,  &  on  veut 
un  '  nombre  rationel  -,  fi  je  fuppofe  x  rrf 
z ,  j'auray  yy  zn  11  &  ^  lîr:  V  x ,  qui 
cft  encore  un  nombre  irrationcl.  C*ett 
poutqaoy.  je  fuppofe.  pour-  côté  du  pre- 
mieiî  quarto  le  noiiibre  xy  ôc  pour  côté 
du  fécond  le  nombre  ^ixr  — ^  ç  ,  la  (ovû^ 
me  des  quarrez. fera  xx  ^  adxx  ^ 
xôsx  :^  i^  =:  z>5 }  &/  par  tranipofitioil 


JC Arithmétique  &  £AIgehre.  44^ 
XX  -♦-  aaxx  c=  1 04A' ,  &  divifant  tout 
par  X  y  j'ay  at-h  44X=:  io4i  &  enfin 

X  =  -—r-rs  donc  ^at  —  ?  =:  ^''^  ^ 
&  le  Problème  eft  refolu  indéfini- 
ment.   Car  le  quarte  de    -'  ^  ^ —     eft 

-T— :^ —  le  quarre  de  -^ ^   eft 

a^  -+-  tas  -4-1         *  ^  ^  -#-  I      ^*'' 

JîTJTl^jip'T —  »  **  iomme  de  cesquar- 

rcz  eft  -;         .,--1  zz:  IK  cônfor- 

«lémenr  au  Problème  ;    mais    afin  que 
j;^^  ,     foît  un  nombre  pofitif ,  il  faut 

que  ^44  foit  plus  grand  que  ^ ,  ou  que  à^ 
foit  plus  grand  que  I .  Ainfi  prenant  à  rr: 

1  je  trouve  ;v  = 


I  o«  lO 


&j=  I£lrii=.  11=,,. Les  deux. 

nombres  cherchez  font  donc  4  &  3, 
dont  les  quarrez  1 6  &  9  font  x  ç  ,  & 
c'eft  la  feule  refolution  poffible  en  en^ 
tiers.  Si  J  on  prend  4  =  3  ,  on  rrou- 
vera  la  même  refolution, en  ordre  .con- 
traire ,  c'eft  à  dire  a:  «=  3  &  j^  ==5  4.  Si' 
Ton  prend  4  :=  4  on  trouvera  x  ==3 

&  r?p^  aont  b'fohme  1^ 


44S  KbmfidMic  Elimems 

Se   ainfi   de  ftiice   i   Tinfini. 
Soit  en  général  le  nombre  quarré  don- 

né=  bb  on  trouvera  x  sss  — —--    &   y 

Pour  divifer  le  même  nombre  quar« 
ré,  par  exemple  2  5  en  trois  quarrc2 ,  il 
n'y  a  qu  à  divifcr  encore   l'un  des  deux 

Suartex  1 6  ou  9  en  deux  quarrcz ,  pour 
ivifer  i<  en  quatre  quarrez  ,  il  n*y  a 
qui  divi(cr  ï6  ic   9  chacun  en  deux 

2 narrez  -,  pour  le  divifcr  en  5  quanez  il 
lut  d'abord  le  divifcr  en  j  ,  &  enfuitc 
deux  de  ces  trois  quarrcz  chacun  en 
deux,  &  ainfi  de  fuite. 
.  Ce  Problème  fert  de  fondement  à  tous 
les  Problèmes  fur  les  triangles  reftan- 
glcs.  Euclide  a  démontré  Livre  u  pag.  47. 
que  dans  tout  triangle  reâangle ,  conune 
ABC,  le  quarré  du 
côté  oppofé  à  l'an- 
gle droit  eft  égal  au 
quarté  des  deux  au- 
tres ,  les  Alffcbriftes 
ont  formé  là  deflus 
une  infinité  de  que- 
ftîons,  en  fuppofant 
trois  nombres  tds  que  la  lommc  ac$ 
quatre*  des  deux  pctit$  (bit  égale  au 
^  quane 


£jrithmetique  &  d*Algehe.  449 
quatre  du  plus  grand  \  &  qui  ayenc  ou- 
tre cela  d'autres  proprietez. 

Si  l'on  prend  deux  nombres  inégaux 
quelconques  4  Ôcky  comme  générateurs» 
je  dis  que  les  trois  nombres  dd  -^  bb^ 
é^S'—bb  Se  %4b  formerom  un  triangle 
rectangle.  Car  le  quané  de  44  •+-  bb  eft 
A^  H-  x^aaib  -f-  ^4  s=s3  4*—  xaabb  -♦- 
^4  Hh  j^adbb.  Sôit  4  =  a  &  ^  =  i« 
on  trouvera^  »  3  &  4*  Soit  4s=»  3  &  b 
8BS  z  on  trouvera  13  >  5  &  ia>&c. 

Second  PrMcme- 

r 

*        «     *  • 

Divifer  la  {bmme  de  deux  quarrez 
en  deux  autres  quafrèî* 

Soit  13  c=s  9  *i-  4  s  il  faut  divifcr 
,  13  en  deux  autres  quarrez.  J'ay  xx  -^ 
yy=i  33.  je  fuppofc  jc  e=:  a:,  *—  3  Sc 
jf  =  4  x,  —  i  ,  il  eft  évident  que  cette 
fuppofition  convient  à  tous  les  nombres 
pombtes ,  Se  c'cft  â  quoy  il  faut  toujours 
avoir  égard ,  donc  xx.  8=  Xrx,  — •  éx»  h- 

5  Se  jy  :=z  :^4  4  -*-  44;&  -4-   4.   doUC 

XX  -^yj  s=!  i,z,  -+-  44.Z1Z.  —  6x,  —  44  X» 
H-  1 3  £=  I  3 .  ôtant  1 3  de  part  &c  d'au- 
tre &  tranlpofant  je  trouve  x,  z.  •+•  4  4  2:.  z» 
=  442:,  "H  6z.  divifant  tout  par*,.  J'ay 
2,-H443:,  =  44  -4-  6>  &  enfin  divi- 
fcnt    tout  par  4^    -*-    I  >   j'ay  *    e=: 


45d  NoHvedMX  EUmenf 

ll±i  ,  &  le  Problème  cft  rcfolu.    Car 

en  fabftituant  cette  valeur  dans  les  deux 
équations  a:  t=  x»  —  3  & jr  ==  4:5,  • —  x^ 
ï'auray  deux  valeurs  indéterminées  x  ==? 
4i»-»- }  —  ?^^  &  «  s=  ^  ^^  "^  ^^  —  ^ 

Il  faut  que  44  -♦-  j  (bit  plus  grand  que 
344  9  je  les  lîippofe  égaux  »  &  je  trouve 

donc  prendre  4  plus  petit  que  — — '— Li 
Je  fuppofc  4  =3  i  &  je  trouve  ^  =? 
H  &  y  =:  I  >  la  (bmme  des  quarcez  eft 

»/    "*"  if  .*J  .  .  / 

Soit  la  fomme  des  quairez  donnez  4  4 

-H  ^  ^  >  on  trouvera  at  =  z,  —  4  &  jr 
=  r*-.*&*-:;=.^:^  Il  faut 

^  .         I  *  H-  K^^  H-  ilil 

que  c  foit  plus  petit  que j — 

on  auroit  pu  auffi  fuppofcr  x  zz.x,  -¥- 
3  &^rz4x.—  z>0UAr=:3  —  * 
&jr=s  4;&  -H  Z* 


tC Arithmétique  &  JtAlgthre.    4ji 

AnTicti     IV. 

Méthode  nouvelle  fêur  U  refolution  des 

douhles  &  dis  trifles  Equations 

du  fécond  de^r/. 

ON  appelle  double  8c  triple  Equa-^ 
cion  au  fécond  degré  toute  doU'^ 
ble  ou  triple  équation  indéterminée  y 
dans  laquelle  il  n^  a  d'un  côté  qu'une 
même  inconnue  au  premier  ou  ail  fécond 
degré ,  &  de  l'autre  côté  une  inconnu!^ 
indéterminée  du  fécond  degré.  Par  exem- 
ple on  demande  un  nombre  tel  quç  ^^ 
-♦-  6  ==*  j/»  &  9;r  H-  1 3  =  A&.  S'il 
n'y  avoit  qu'une  feule  équation ,  comme 
4a:  -4-  é  s=f^jf,  je  n'auroîs  qu'à  prendre 
pour  j  tout  nombre  quarté  plus  granH 
que  6  >  comme  par  exemple  3  ^.  &  j'aU' 

xois  4*  -H  6  ï=sr  36  ou  4;r  ±e:  3o«& 
X  ^=;  j^.  Mais  en  fubftituant  cette  va- 
leur d';^  dans  la  féconde  équation  9^ 
•4-  13  =  «.  j'autois  807  =j  &X,  >  ce 
qui  ne  fatisfait  pas  à  la  queftion ,  parce 
que  So-^n'ej^  pas  un  nombre  quatre^ 
.  c'eft  pourquoy  je  cherche  a  réduire  cet- 
te double  équation  i  une  feule ,  &  voi- 
cy  comment  je  raifbnne.  Puifque  j^x  -f* 
6  'sssij]  fi  l'on  fait  4.  ^  :  4^^  -♦-  6^.  ^x 

Ppij 


4S^  NoMveâHx  Eltmins 

-*-  13  f  Et  comme  4.  5  :  yy.  ^jy^  a 
eft  évident  que  9^-*-i2l=^«y, 
mais  par  I  hypothcle  pjr  -4-  1 3  =  ;^  ;&• 
donc  oiant  ^x  -*-  13  de  ^x  -1-  13  f^> 
&  X.X,  de  J  jjf ,  les  reftes  feront  égaux; 
c'cft  à  dire  que  f  j^  — .  i  =  *«,,   & 
multipliant  tout  par  4  pour  ôtet  les  fra- 
yions, j'auray  ^jy  —  2  î=:  4a«.;  & 
c*cft  l'équation  umple   qui  me  rcftc  i 
rc  foudre  ,  car  yy  cft  quarrc  par  hypo- 
thefe ,  il  fuffit  donc  de  faire  en   forte 
^^c  9JJ  —  X  foit  égal  à  un  nombre 
quarré.  Je  fuppofe  que  fon  côté  cft  ^y 

— -  a'y  donc  ^yy  *-«  2  ;p:;  ^yy 6  ay 

~^-^-;;;^ =:  4^  +   ^,   donc  44  ^ 


=5  — —    'i^^H-4^  Le  Problème  eft  rc- 

5  oif4 

folu  indefinîmcm  ;  il  faut  prendre  pour 
4  un  nombre  tel  que  4*  • —  zi  idd  -f-  4 
foit  un  nombre  pofitif    Je  fuppofe  44 

c=a  AIZ44  ~4^>   &  je    troUVC    4    =r 

y:io6  ±_  ViiXTiy  le  nombre  entier 
qui  approche  le  plus  par  exccz  eft  i  j. 

JeCubftituc  I  j  dans  l'équation -lî-— i- 
5=5/,  &  je  trouve  y  s=  ^^  i  &  par 


d^ Arithmétique  &  J^Alg(shr$^.     4J3 

^conrcqucnt  jj  =3  Illi^  =  4^  h-  tf. 

Je  multiplie  tout  par  8 1 OO  >  j'ay  J 1  Ç  i^ 


3  2400^:  -4^  48  6ôO  &  AT 


*9l^ 


32.400 

nombre  cherché.  Enfin  fabftituant  cette 
valeur  dans  Téquation  ^at  -h  1 3  ^=i^Xét0y 

je  trouve  *  =3  iii. 
-  60 

Toutes  les  doubles  équations  du  prc- 
mict  degré,  dans lerquelles  les  nombres 
de  l'inconnue  font  affeûcz  du  même  fi- 
gnc  -4-  ou  —  fc  réduiront  â  une  équa- 
tion fimplc   du  fécond  degré.   Ainfi 

Se  transformera  en  cette  équation  fim- 
ple  acyy  -^  atc±-  aai  =  mu.  Par 
exemple  fbit  la  double  équation. 

a;  • —  7  ^==  «»*• 
Je  fais  3.8:1  ^•^ù*  donc  8:^  -+-  40 

7^  i  or  8Ar  —  7  îi=  *z,  donc  |-  y  y 

—  47  =  ;ç,a:,  ,  donc  multipliant  tout 
par  9  quarré  dii  dénominateur  3  ,  j*au- 
xay  réquation  fimplc  à  refondre  Z4t;^— 
423  sït  ^tiz,  î=ï  »«.  La  double  équa- 
tion      3  00  • —  lOX  £=5=  y  y 

375  • —  IJ^  ==x»*>  fc  tranf^ 
formera  en  cclk-cy  lyy  -h  tf  00  =  /^  nr. 


I: 


454  Nouvidnx  Elemens 

Lorfque  les  fignes  de  l'inconnue  (ont 
difFerens  9  comme  fi  1  on  avoit 

iù6  —  ^x  =  fcft. 
On  aura  par  ttanfpofidon  ^ 


1^ 


3 

•î — HHfi  =:  jtf ,  &  pat  confequent  mul- 
tipliant tout  par  3  &  par  { ,  j'auray  ^jy 
^  130  =  558  —  3*x»  9   ou  x,z»  ï= 

— — m^  j  je  multiplie  tout  par  9 ,  & 

j'ay  enfin  Téquation  fimple  à  re(budrc 
1 184  -^  I  ç  j^  =5  $x,x,  =3  If  ir. 

Toutes  les  équations  indétermisices 
doubles,  triples,  quadruples,  &c.  à  quel- 
que  degré  que  monte  Tinconnuë  princi- 
pale ac,  &  les  inconnues  du  fécond  mem- 
Dre  y ,  r,.  Sec.  Pourront  par  cette  métho- 
de fe  réduire  â  une  feule  équation  ',  mais 
cette  équation  fera  d'autant  plus  élevée 
&  plus'compofée  qu'il  y  aura  un  plus 
grand  nombre  d'équations  particulières  r 
&  que  les  inconnues  feront  élevées  à  un 
plus  haut  degré.  Ainfi  pour  re{budre  gé- 
néralement toutes  lés  queftions  indéter- 
minées ,  il  fuffiroit  d'avoir  une  méthode 
pour  réfoudre  toute  équation  fimple  in- 
déterminée. Mais  bien  loin  d'avoir  cette 
méthode  génér4e  >  pour  tous  les  deg|:e:^ 


it Arithmétique  ét^CAlgehre.  4JJ 
on  n  a  pas  feule  naent  de  méthode  gé- 
nérale pour  le  fécond  degré  ;  &  il  ne 
fuiEt  pas  de  :  donner  une  refolution  ,  il 
faut  les  donner  toutes  en  entiers  &  en 
fra£fcion.  Je  donneray  ce  que  j'ay  trouver 
là  deflus  dans  le  receiiil  de  raes  .nouvel- 
les découvertes. 


Chapitre     II  L 

Des  ProhUmes  dn  troifiimi  &  4h  (jud^ 

triéme  degrés 

LEs  Problèmes  déterminez  du  troifié- 
me  degré  fe  peuvent  tous  réduire  ï 
i8  formules* 


x^  r=si  ax  —  h 

;c'  =  j»  — •    éX 

AT'  e=  —  ax  —  h 


x^  =  axx  -H  b 
x^  =  axx  ' —  b 

X^   =s  b  *^   4XX 

Ar3  =  —   4XX  —  ^ 


^^^îv 


4î< 


NouVidBx  Elément. 

jr'  = 

=  4jtri:  •+- 

bx  -h  it 

x^  = 

::a  4;ifAr  -4- 

bx  —  ç 

y^  = 

=  4jiirx  — 

bx  -¥^  c 

*'  = 

=  dXX  ' — 

*Af  — •  r 

;r'  = 

=  —  dXX 

'4^bX'¥^  a 

Af*  tt 

*:•-*•  éXX 

-4-  bx^^c 

jeî  = 

=  •-^  4ArAf 

—  bx-^  c 

Ar'  = 

=2  — •4x;c 

—  bx €• 

Ces  iS  formules  Ce  penvenc  réduire 
fil  14  >  en  retranchant  les  quatre  parC'* 
ment  négatives  »  ou  i  celle- cy  feule  x^ 
=s  -H  dxx  rt.  bx  ^c.  On  trouvera  par 
la  même  méthode  qu'il  y  a  ^a  fbrmu^ 
les  dans  le  quatrième  degré,  aont  il  y 
en  a  8  purement  négatives  s  qu'il  y  a 
l6i  formules  dans  le  cinquième  degré  ; 
48  e  dans  la  fixiéme»  &  ainfi  de  fuite. 
Dans  le  premier  degré  a:  =  -1-  4  >  tcx 
ss  — .  4.  Il  y  a  deux  formules  une  poC- 
tive ,  &  une  négative  :  dans  le  fécond  il  y 
a  6  formules  4  pofitives ,  &  deux  néga- 
tives -,  d  où  je  tire  ce  Théorème  gênerai 
fur  le  nombre  des  formules. 

Soient  les  deux  progreOions  Geornc** 
triques. 

1.  6.  i8.     54*   i6%*  48é.&c« 
I*  !•     4.     •  8*     i^^*     3z«&c. 
différences  1.4.  14. 4^.  14^.  4  54.&C 

La 


it  JrithmetiifHi  &  d'Algèbre.  4J7 
la  première  progreffion  2.  ^-  1%.  54, 
&c.  marque  le  nombre  des  formules, 
tant  pofuivcs  que  négatives  de  chaque 
^egre.  Ainfi  pour  avoir  le  nombre  des 
formules  du  fepticmc  degré,  je  prcns  le 
double  de  la  fixiénae  puifTancc  d^  2  qui 
«ft7Zp&  1458  cft  le  nombre  des  for- 
«îules. 

La  féconde  progreffion  Géométrique 
^•2.  4.  8.  &c.  marque  le  nombre  des 
formules  négatives  de  chaque  degré* 
Ainfi  pour  avoir  le  nombre  des  formu- 
les du  feptiémc  degré,  je  prens  la  fixié- 
inc  puiflance  de  x  qui  cft  ^4.  &  c'eft 
le  nombre  des  formules  purement  neea- 
tivèsr  ^ 

.  Enfin  la  fuite  des  différences  de  ces 
^eux  prpgreffions  i.  4,  14.45.  ,4^, 
&c.  marque  le  nombre  des  formules  po- 
fitives  de  chaque  degré,  &  il  n'y  a  pro- 
prement que  celles-cy  dont  on  ait  be- 
foin. 

Toutes  les  équations  du  troifiéme  de- 
gré ont  trois  racines:  toutes  celles  du 
quatrième  en  onr  quatre  :  celles  du  cin- 
quième en  ont  5  :  &  ainfi  ât  fuite.  Ces 
racines  font  réelles  ou  imaginaires ,  po- 
fitivcs.  ou  négatives  ,  rationelles  ou  ir* 
fationelles^ 

Chaque  formule  a  fa  méthode  partie 


4fS  NêMviéux  EUm€nt 

çttUere,  qui  eft  certainement  &  démon* 
ftrativement  la  plus  courte.  Ainfi  toutes 
les  autres  méthodes  doivent  être  rejet- 
cées  \  c*cft  ce  que  j'efpere  de  faire  voir 
ilons  mon  Traité  pu  Calcul  du  Cai^ 
euL.  Ces  méthodes  particulières  ne  ibnc 

Iras  I  fi  ai  fées  i  enfeienct  ni  i  retenir  que 
es  méthodes  ginérdes  »  mais  cHes  (ont 
incomparablement  fias  utiles  ic  plus 
commodes  dans  la  pratique*  Il  ny  a 
perfbnne  qui  naime  mieux  arriver  par 
un  fentieç  d'un  quart  de  lieu<5  que  par 
un  grand  chemin  de  plufieurs  lieues,  (ur 
tout  lors  que  Ton  court  beaucoup  plus 
de  rifque  de  s'égarer  dans  celui-cy. 

Dans  la  première  formule  ^s  «=  ^^  il 
tij  a  qu'une  racine  réelle  &  pofitive  x 
szs  y^i.  Si  x'  .i;??  8  on  aura  jt  «=s  2  ; 
fi  jT'  &=s3  1 000  on  aiura  jc  ^=3  i  o  î  les 
deux  autres  racines  (ont  imaginaires ,  Sc 
voicy  comment  on  les  trouve  ,  puifquc 
lorfque  9^  :=:  XOOO  on  a  ;)r  cr=  lo*  Il 
eft  évident  par  tranfpofition  que  x^  «— 
1000  ssBi:  o>  ^x  -  10  «=  o>  ordi- 
vifant  o  )  par  o  >  le  quotient  eft  O9  donc 
divifant  x^  -^  1 000  par  a:  — -  i  o  >  le 
quotient  doit  être  égal  à  zéro.  Ce  quo- 
tient c&  XX  H-  io;r  H-  100.  donc  xx 
•+-  lox  -H  100  =  o>  &par  tranfpo- 
fition  A- ;i;  t=  *—  lOJf  *—  lOO»  c'eft  I4 


i^ ArithmttiûHe  &  iCjllgehre.  459 
^quatrième  fotmulc  du  fécond  degré, 
^nt  les  racines  font  x  s=;  <  h-  V 

~  7S  >  «^  ^  =  —  î  ~  >"— 75.  Ain. 
fi  les  trois  racines  de  Téquation  x^  s» 
1000  font  10,—  5  H-V^^yt  &  — 

$  —  '^ —  7S*  Le*  ^fois  racines  de  x^ 
«=  8  font  1,,—.  i^y^j  &— -r 

— y —  3.  &  univcrfellement  foit  ;r5=3 

8^J ,  les  trois  racines  feijont  2  i,. b  ^ 

r—  3W  &  ^h^V^^bb,  il  nVaquc 
la  première  de  ces  trois  racines  qui  foit 
4'ufage. 

Dans  la  féconde  formule  x^  i=s^  ^  b 
il  y  a  ane  racine  réelle  négative  x  tsL 
—  V^i»  comme  û  x^zzz  —  8  on  aura 
*^  =  ' —  î.  5  car  • —  z  par  ^ —  z  fnroduic 
H-  4 ,  &  H.  4  par  —  2  produit  _  8*  Les 
deux  antres  racines  font  imaginaires  ic 
fcmblaWcs  â  celles  de  la  formule  prc- 
iccdente.  Soit  unîverfellcmcnt  a:^  :;^  -— 
8*J^  les  trois  racines  feront— 2  b^H-b-^ 
y^lhb  Sc^b^y^^hb. 

Dans  la  troifiémc  formule  x^  :zz  4» 
V  i ,  il  n'y  a  qu  une^racine  réelle  &  po-^ 

fitive^jz::  V^^^-h   y^Ibb l^i  ^ 

y^tf^  yibb^^s^\  ce  qui  s'ex- 
prime  de  cette  manière. 

1^  Prenez  la  moitié  de  labfolu  & 
fc  quanez  c'eft  ^ib* 


4^0  NoHvtMux  EUmeHf 

z^.   Prenez  le  tiers  <lu  nombre    des 
racines  &  le  cubez  ,  c  eft.-^  #•'. 

1®.  Otez  ce  cube  de  ce  quarré  >  $c  tirez 

la  racine  ijuarréc  du  tefte,c  efty^fr* — -^^^^ 

'  jÇ^.  Ajoutez  &  ôtcz  cette  racine  de  la 

moitié  de  rabfolu^'efti t +V^^*  —  -^  éi^^ 

r^.  Tirez  la  racine  cubique  de  cette 
fomme  ic  àc  ce  rcftc ,  la  fommc  de  cc^ 
deux  racines  donnera  U  racine  cher- 
chée. ^ 

Pour  éviter  les  fraftions  il  faut  taire 
en  forte  que  t  foit  pair  ou  divifible  par 
2,&  que  4  foit  divifiblc  par  j. 

On  voit  facilement  fi  *  eft  pair  par 
Ion  dernier  chifrequi  doit  être  v>Zy^f 

^  ou  8. 

On  voit  auflî  facilement  fi  4  cft  divi- 
(îble  par  3  en  ajoutant  fes  chifrcs,  com- 
me dans  la  preuve  de  ^iô<  retranchant 
3  déroutes  Wfommes^  comme  on  re- 
tranche 9.  il  faut  qu'il  ne  reftc  rien. 

Il  y  a  trois  cas  de  préparation,  i®.  Si 
t  étant  impair ,  a  eft  divifible  par  1. 1^ 
Si  a  n'étant  pas  divifiblc  par  3,^  eft  pair. 
«•.Si  *  eft  impair  &  que  4  ne  foit  pas 
divifible  par  3.  . 

Dans  le  premier  cas  il  tant  multiplier 
j  par  4 ,  &  ^  par  8-   &  opérer  cnfuitc 


JtAritlmètiquè  &  d'Algehri.  \6t 
covùvcit  cy-dcffijs.  La  moitié  de  la  raci- 
ne fera  la  racine  cherchée.  Par  exemple 
foit  réqqation  x^  ziz  l%x  -f-  35.  Je 
fuppofcjJ  =  72;-»-  180 >  ;e  trouve jf 
:rr  iOj  donc  jr  rz  5- 

Dains  le  fécond  cas  il  fant  multiplier 
H  par  9  ,  &  ^  par  %y.  ou  ce  qiii  eft  plus 
commode  par  30  '—  3*  On  opère  çn- 
fiiite  fuivant  la  formule  ,  &  le  tiers  de 
la  racine  eft  la  racine  cherchée. 
'■  Par  cxcmplç  foit  l'équation  at'  îao 
S  ;t   H-    168   ou    1^8. 

72.         117^        5040 
33^         ^504- 

■M  n  m    iitri      r  •     m 


4555        453^v 

Je  fuppoféy  ==  7 V  •jl..4ii£l 

,  Jctrouvcjs=i5y^Ax68  -H  y'y 1 300QO 
'-H  1^5iz68 "^^^^730000,  «cparunc 
Segle.que  je  4oi;i9eEay  4^ns  la  fuite  ,  je 
trouve  yrrr  18  >  donc  ;r  rz:  ^  nombre 
cherché:     / 

Dans  le  tïpifiérac  cas  il  faut  multi- 
plier 4  par  3^,  &;^;par  1 1 6,  &  opérer 
fuivant  la  formule.  [Lz  ûxiémc  partie  dQ 
la  racine  fera  la  racine  cherchée., 

Par  exemple  ioit  l'éqaaticHi  x^  =:  ^m 

'  y^  •  •  • 


1 


4^%  N0MW40X  Etemens 
•4-  8^«  je  muldplie  8  par  3^,  &  ST^ 
pat  216.  &  je  fuppofe  y^  =:  iSSjF  -t- 
1 8  j  tf  O^  je  tfouve  j  rr  J  o  5  &  par  con- 
séquent X  :==:  €.  Dans  ces  decn  derniers 
cas  la  valeur  dy  quoique  rationetle  vient 
loûjouts  (bus  une  forme  irrationelle 

Si  l'on  ne  veut  pas  s*embara(&r  des 
tfois  cas ,  la  pteparation  du  dernier  fu^ 
fit  pour  tous ,  mais  on  n'aura  pas  les  plus 
petits  nombres  pôffibles. 

Pour  démontrer  cette  préparation  »  if 
n*y  a  qu'à  fuppofcr  dans  le  premier  cas 
X  nz^fî  dans  le  fécond  x  l^rjj ^  dans 
Iç  troiuéme  jf  sr  ^  /.  Car  en  fubftt- 
tuant  ces  valems  dans  les  équations  dVi 
on  trouvera  les  équations  transfionnées 
&  préparées  par  j^ 

Tnmief  Exemfh* 

Soit  réquation  propofie  ;r'  z=  yix 
^  280. 

i^  Je  prens  la  moitié  de  280*  c*eft 
X40  >  que  je  quatre ,  c'eft  i  p^o* 

2*.  Je  prens  le  tiers  de  72  c'cft  24» 
que  je  aibe;  c*eft  1^824* 

3*.  J'ôte  14824  ae  19^003  il  reftc 
577^.  dont  jtf  tire  la  racine  quartéct 
c'cft  7^-. 

4^  J'î^oôte  y6  i  140.  cîcft  xi6,ic 


JtAritimitiqHe  é^  lAtjfirt.    45f 
fètc  j6  de  140  ,  il  reftc  64. 

ç^  Je  tire  la  racine  cubique  de  %i& 
&  de  64.  c'cft  6  &  4.  La  fatranc  f  -h 
^  :^  xo  cft  la  racine  cherchée. 

Preuve  1000  =^720  -*-  x8o 

z8o 

lOOO* 

SiConi  ExemfU* 

Soit  réquation  ;r»  =  l  xat  -•-  l  ô. 

i^  La  moitié  de  16  eft  8,  dont  le 
quarré  eft  64- 

2^  Le  tiers  de  iz  eft  4,  dont  le  cu- 
be eft  64. 

y.  L*excc2  de  ce  quarré  fur  ce  cube 
eft  o  >  dont  la  racine  eft  o* 

4*.  Ainfi  la  racine  cherchée  eft  V*  g 
H- aV^8—  o.  c*eft  à  dire  ;f  :=  i-*-  2  =  4 
&  généralement  dans  tous  les  cas  fembla- 
bles  où  i  W  =:  -^4»,  :ir  =  2V^4  & 

Troiji/mi  Exemple. 

Sôit  réquation  propoféc  x^  z:z  iZx 
^  jo«  on  trouvera  x  rr  V^  18  -♦-  V>  1 2- 


%  ••• 


(iqm) 


4^4  Nouveaux  Ëlemein 

Quatrième  ExempU* 

'   Soit  réquation  propofée  x^  — ^  éj^^ 
1 6*  on  trouvera  a:  n:  Vf  8  -f-  >^  5  6  -+;: 

CinquUmc  Eximfte. 

Soit  l'équation  propofëc   at'  riir   ^o^ 
H-  400.  on  trouvera  a*  =:  )^?  200   -*- 


^51000  -♦- V'ioo*— •V'3i:ooo.  Ce- 
pendant la  racine  cherchée  cft  ï  6  ?  C3X 
fî  on  fiibftkuc  I  o  à  la  place  d'^r ,  on  au- 
ra 1000  =r  6^00  H-  400.  Il  fcmble 
que  la  formule  foit  trompeufe  s  mais  el- 
le ne  Tcft  point.  GturV^XQO  -1-  V;  xoqq 

==  î  -*-'^î>  &y^200— VjîÔÔo  î=3 

5>-y;.  Or  5-^  V5>f.  5^^5  =  10. 

parce  que  les  deux  parties  inationelles 
-^  V  j  &  —  y  5  fe  déttuifent. 
.  La  difficulté  eft  de  trouver  cette  ra- 
cine rationelle  ,  que  la  formule  donne 
deguifée  (bus  la  forme  d  un  binôme  cu- 
bique irrationeL  Ce  qui  n'arrive  pas  dans 
les  formules  du  fécond  degré  ou  les  ra- 
cines rationelles  vietuient  toujours  fous 
une  forme  rationelle.  Cet  inconvénient 
dans  les  formules  du  troiâéme  degré  ^  eft 


et  j4rtfbmttiqué  &  JtAîgelre^  j^6(^ 
cTautànt  plus  grand  que  les  racines  vicn- 
neiït  bien  plu5  fouvcnt  fous  une  forme 
rrrationellc ,  que  fous  une  forme  ratio- 
nelle.  lo  jpar  exemple  peut  être  la  raci- 
ne de  ^f  equatiens     x^  zziix  -^  P90 

x^zzz  ^x  -i-  980 

&c.        &c. 
A:':r:99Ar-4-  lo» 
De  ct%  99  cquarions  il  n'y  en  a  que 
5  qui  viennent  fous  une  ferme  rationeUe^ 
x^  :=:  zyx  •+-  7  jo 
x^  rr  48^:  -f.  yio 
x^  m  6^x  -H  370 
xi  zz:  yxx  -f-  z%o 

X^    m  75A?    H-    2ÇO 


*■«.■. 


Qui  viennent  fous  cette  fofmc,: 

AT     S=5.  9     -H     î 

AT    5=     8     H-     Z 

AT    =    7    -H      J 

AT   =    y    -f.     j/ 

Et  le  nombre  7  qui  peut  être  ïa  raci- 
ne de  48  équations,  ne  peut  venir  que 
fous  trois  formes  rationelles, 
AT   =:  tf   -f.    I 

^   =:  î    -H    2. 
AT  r:  4   H-    3. 
En  forte  que  généralement  les  formu- 
les ne  doûncut  dc^  valeur*  fous  une  for- 


NêMVidux  Elemmr 
me  rationelle ,  qu'autant  que  la  moitié 
de  la  racine  a  d'unitez  en  entiers.  Voi- 
cy  une  Règle  nouvelle  êc  générale  poat 
trouYct  ces  valeurs  rationelles  degaifêe» 
fous  une  forme  irrationelte  ;  &  pour 
trouver  le  nombre  entier  qui  en  appro* 
che  le  plus»  los(que  la  racine  eft  irratio» 
iielle.^ 

XfgU  n9$iVitte  ^  gfnfmlê  four  la  refi»» 
hutiên  des  mimes  EquétUns* 

i^.  Tîrcz  la  racine  quarrée  approcBée 
de  la  partie  irrationelle  du  binôme. 

1^.  Ajoutez  cette  racine  à  la  partie 
rationelle ,  &  otez  en  cette  mîme  racine 
augmentée  de  l'unité. 

^^.  Tirez  la  racine  cubique  de  Ta  fbnK 
me  &  de  la  différence ,  la  (bmme  de  ces: 
deux  racines  augmentée  de  Funitc  ftra 
toujours  la  véritable  racine  fi  elle  eft  ra^ 
tioncUe ,  ou  la  racine  approchée  fi  elle 
efl  irrationelle. 

Ainfi  dans  l'exemple  cy-deflus  x^  zz. 
€ox  -^  400  >  la  racine  vient  fous  ccttfe 

forme  x   rr  V^  zoo  -+-  y  31000  -^ 

y^ioo  —  V3  zooo.  Poiw  Tavoit  '  fous 
une  forme  rationelle  9  |e  prens  le  tiers 
de  ^0^  qui  eft  xo,  que  je  oibe».  ccft 


3 


JtJritimrttqlti&Jtjttgeire:    '4*7 
9ooo*  Se  la  moitié  de  4009  qui  xft  loa 
lue  je  quarrc;  c'cft  40000*  J'ôte  800a 
le  40000»  il  rcftc  jiooo»  dont  je  tire 
la  racine  approchée  en  deflbus,  cm  lyS 

3ae  j'ajoute  i  200-  c'cft  378.  J'ôtc  17^ 
c  xoo.  il  rcftc  XI. 
La  racine  cubique  approchée  de  ^78- 
eft  y.  celle  de  21  efl;  x ,  dont  la  Tomme 
y-^xzzi^  étant  augmentée  dfone  uni- 
té donne  10  racine  cnerchéc» 

Hemonftrâtion. 


la  véritable  racine  efty^iooH-Vj^iooo 

H-  V^^oo^->^3  2000.  Or  par  la'conftni- 

ftion  yzoo4-V3xooo  »,  eft  plus  gran- 
de que  y^lji  &  plus  petite  qucy^379» 

&  par  la  même  conftruAion  V^ioo  — 

y' 3  xooo  eft  plus  grande  que  Vx  i  »  & 

i)lus  petite  que  V'X2«  donc  en  prenant 
a  racine  cubique  ;^rochée  de  3  781  qui 
eft  7.   Il  eft  évident  que  la  vàeur  de 

T^^xoo  -f-  Yx  2000.  eft  entre  7  &  8.  & 
en  prenant  fa  racine  cubique  approchée 
de  XI  > <^i  eft  2.  Il  eft  évident  que  la 

racine  cubique  de  xoo  ^-  r  3  2000 
eft  entre  2  &  3 .  donc  la  véritable  va- 
leur de  la  racine  cherchée  fera  entre  & 
-♦-}=  ii>&7^x=j«  donc  cet- 


1 


4<î!^      *  NiuvêâMx  Elemenf 

te  valeur  eft  io>  où  il  n'y  a  point  dà 

valeur  rarionellc.  Car  s'il  n'y  en  a  point 

en  nombres  entiers ,  il  n'y  en  a  points  cil 

fraâions. 

Pour  s'aflTurer  G  lo  eft  la  racine  cheF- 
chée ,    il  faut  fubftimtr  i  o  à  la  place 
à*x  >  &  fi  les  deux  membres  de  l'équa- 
tion font  égaux  9  i  o  eft  la  racine  cher- 
chée y  autrement  c'eft  une  valeur  appro- 
chéc  -,  &  il  eft  aifé  d'approcher  i  l'infini 
ou  en  ajoutant  des  tranches  de  deux  zé- 
ro au  fécond  terme,  &  des  tranches  de 
trois  zéro  au  troifiéme  terme ,  ou  en  fo 
(crvant  des  formules  d'approximation,&c. 
On  pourra  même   s'épargner  en    plu-, 
ficurs  cas  la  fubftitution  >  &  ttre  afluré 
que  ia  racine  eft  irrationcUe  par  cette 
Règle. 

Laracinc  cherchée  doit  être  un  nom- 
bre -pair,  lorfque  les  deux  abfolus  #  & 
^  (ont  tous  deux  pairs^  Car  fi  a  eft  pair 
il  eft  évident  que  4  a?  fera  pair  ,  &  par 
confcqucnt  âx  -¥-  b^=x^  le  cub?  at'  fera 
pair.  Or  p^r  la  préparation  b  eft  toujours 
pair  'y  ainfi  la  racine  devant  être  un  nom- 
bre pair  ,  fi  l'on  trouve  pour  valeur  aa 
nombre  impair ,  on  eft  allure  que  la  ra- 
cine  eft  irrationelle  >  &  que  la  valeur  a  e& 
qasipprochée*^ 


Sixième  Exemfle. 

Sait  réquatiom  x^  =z=  ^ox  -+•  loo. 

1^  Le  tiers  de  ^o  cft  jo>  dont  ie  eu» 
'fcc  cft  27000. 

2^.  La  moitié  de  loo  cft  yo^  dont 
le  quarré  cft  zçoo- 

3°.  Jote  270ôo<le  2j00.il  refte-^ 
245  OGu  dont  la  racine  quarrée  cft  ima- 
ginaire, favoir  >"  ^—24^00. 

4?.  rajoute  &  jote  cette  racine  ima^^ 
ginaire  de  ço.j*ay  ^0-+-)^  — 24500, 
&  ço — V — 24500.  La  racine  cher- 
chée vient  (bus  cette  forme  irrarionelle 
ce  imaginaire  V^^p^V  —  24500  H-» 

■j/i  jo  — 1^—^24500.  Cependant  {a  va- 
leur cft  10.  Ce  cas.  où  le  cube  du  tiers 
d  4  eft  plus  grand  que  le  quart  du  quar- 
Te  de  h  s'appelle  le  cas  ifrcdudtible,  à 
caufe  de  ces  racines  imaginaires.  Tous 
4es  Algcbriftes  depuis  cent  cinquante  ans 
ont  travaille  inutiletinent  à  le  refoudre, 
&  cette  queftion  n^eft  pas  moins  célèbre 
parmi  eux  que  la  quadrature  du  Cercle 
1  eft  parmi  les  Géomètres. 

De  même  que  dans  l'exemple  précè- 
dent ,  la  valeur  qui  vient  fous  une  forme 
irrationelle ,  ne  laiflc  pas  d'être  la  veri- 
table-racine  rationelle  >  parce  qu'il  y  a 


47^  7T9Hve4tfx  Etêmem 

deux  nombres  irracionaux  égaux  avec 
«des  fignes  contraires  ;  &  qui  fe  dctruû 
fcnt  ç^yç   -4-  5— yç=  10. 

De  même  auflî  dans  Texemple  donc  il 
s*agit,  &  dans  tous  les  cas  lemblables» 
il  y  a  deux  nombres  imaginaires  égaux 
avec  deux  fignes  contraires  9  joints  à  des 
jiombres  réels.  Ainfi  dans  la  fbmxne  les 

imaginâmes  fc  détruifent.  Car  Vîço  -h 

1^—14500=  5  -h V— .  5,  &y5jo  — 

y— 24500  =  5^*^^5-  Or  5H-y — 5 

H-  5— V— -5n:io*  Ce  nombre  ima- 
^naire  peut  être  un  quarré  parfait»  com- 
me fi  l'équation  étoit  x^  :^  l'^x  -^  4» 
«n  trouveroit  x  ziz,  V^z-»- V —  lai  -f- 
V32~y-^in  =  VÎ2-I-— iT  -^ 
J/12,  ..^—«11.  La  racine  cubique  de  % 
•^  —  licfti-*-— •!,  &  celle  de  % 
*--,.—  ncftj,*-^.—  j.^  par  confequcxit 
la  radne   cherchée  eft    x  h-  —  i     ^.^ 


a 1  «4 


par  i  H I 

iproiâuit  4  Hf.  « —  z 

5-4-  — ^4  quarté 
par  2  H-  *—  I 


tf  +  -.  8 


A  -«H  •»  II  cube. 

H  cft  àifc  de  voir  par  cet  exemple 
•comment  on  opère  fiir  les  imaginaires 
«ntre  eux ,  &  fur  les  imaginaires  mêlez 
avec  des  nombres  réels  ou  des  nombres 
mixtes.  Si  l'on  multiplie  nombre  réel  par 
oowibre  imaginaire ,  le  produit  eft  ima- 
ginaire; &  fe  figne  extérieur  fuit  la  Rc- 
^le  ordinaire.  Mais  lors  qu'on  multiplie 
imaginaire  par  imaginaire  du  premier  ott 
du  fécond  degré. 

H-  —  par  H produit  —  réel. 

—  — .  par  —  *-^  produit  —  réeL 

.•^  —  par  ^  ^  produit  h-  réel. 


47^  Nifuveâux  EUmem 

Il  y  a  prccifémcnt  le  quart  en  entiers 
^es  équations  de  cette  formule  qui  ren- 
ferment des  imaginaires.  Comme  fi  la 
racine  eft  lo*  des  ^^  équations  x^  = 

IX    -f-    990  y   X^  :-       XX  -H    ^8o  9   X^  HZ 

3*  -t-  970»  ^^*  ^'  ^^  99^  -H  I  o  >  il  y 
en  a  cinq  qui  viennent  Coms  une  forme 
rationelle  ,  70  fous  une  forme  irratio- 
nelle  réelle  »  &  24  fous  une  forme  irra- 
tioneile  imaginaire  ,•  favpir  ^  rz:  y6x 

Hh  240  ,  X^  ZZ  yyx  -H  230.  &C.  JfT  =: 

99  X  -^  10.  &  u  la  racine  efi  7.  des 
48  équations  a:' =:  l  at  •+•  3  3  ^  >  at'  riz 
XX  -¥-  329  >  &c.  A-*  =48:^  -i-  7.  Il  y 
en  a  trois  qui  viennent  fous  une  forme 
rationelle,  ^3  fous  une  forme  irratio- 
tielle  &  réelle  >  &  1 2  fous  une  forme 
irrationelle  imaginaire  j  favoir  x^  rr  37^: 
-4-  84»  at'  =:  3 8;if  -4-  77,  &c.  x^  zzz 
j^%x  -+-  7.  Or  24  cft  le  quart  en  entiers 
de  99  ;  &  1 2  eft  le  quart  de  48- 

Si  Ion  avoit  une  méthode  pour  trou- 
ver en  nombres  entiers  la  valeur  exaâe 
ou  approchée  de  ces  dernières  formules» 
il  ne  nous  manqueroit  rien  pour  la  refb^ 
lution  parfaite  de  ces  équations  x^  'zz,  ' 
ax  -4-  b*  La  formule  x\'zz:ax  —  b  dé- 
pend toute  entière  du  cas  irredudible. 
De  même  que  la  trifleâiion  de  l'angle, 
la  conftruâiion  de  Theptagone  te  de  l'en* 
.  neagonc 


tocagône  régulier ,  &  une  grande  partie 
des-  équations  du  quatrième  degré.  Vol-» 
cy  ce  que  j'ay  trouvé  là  deflus. 

Méthode  muvelU  pcar  1$  css  im* 

duShbl*. 

S  Oit  re'quation  a?'  r:  4  jt  Hh  * ,  & 
~  a}  plus  grande  que  \bb.  Dans 
ce  cas  c'eft  le  nombre  4  qtii  prédomine, 
«cfur  lequel  il  faut  fc  régler,  parce  qu'il 
peut  être  indéfiniment  grand>&  qu  il  a  un 
terme  fixe  de  pctiteflc  ,  au  lieu  que  U 
peut  être  indéfiniment  petit,  &  il  a  un 
terme  fixe  de  grandeur  ;  c'cft  pourquoy 
négligeant  d'abord  le  terme  b.  Tay  ;r» 
czzax  Scx  :=!?  Va.  Mais  cette  valciu  cft 
trop  petite ,  car  x^  n'eft  pas  feulement 
égal  à  4. AT,  mais  i  ax  -^  b.Jt  fuppofc 
donc  X  ==z  Va  -+•  ^ ,  ou  pour  une  pi  us 
grande  facilité  du  calcul',  je  fuppofe  a?* 
z=zaax-h'  i,&  A;=4-f-y,  donc;tf*  =  4ï 
H-  iaaj  H-  }4jyr  ^  ji  =:  4^  -h  aat^  i, 
&  ^Ajfy  -f-  laajf^^  j>  =z  b.  négligeant 
f ,  je  refous  l'équation  du  fécond  de- 
gré ^ayj  -H  iaai^z=i  h,,  &  je  trouve  y 

« i, 

~  —  I  4  -»-  y^éd  '¥'  ~  i   &  pat 

confcqucnt  A;a=5f  a-^V^aa  ^  ~ 


474  NqnvtâHx  Elemefti 

&  c'eft  une  racine  approchée  de  Tcqua- 
tion  propofce  •,  elle  cft  un  peu  trop  gran- 
de y  parce  que  ce  n'eft  pas  feulement 
3  djy  -+•  X44y ,  qui  cft  égal  à  k ,  mais  3  ajy 
Vi*t47-+-y.  La  racine  cxafte  cft  jc  == 

yi^^^±=:lL  ,    &  fi  Ton 


J  ^  -^  '   ç—     •        3« 


fubftitue  d  la  place  d  j^  la  valeur  j=: — . 
i  4  -I-  y^sa-i y  on  aura  une  fé- 
conde racine  approchée  un  peu  trop  pe- 
tite ,  mais  beaucoup  plus  approchée  que 
la  première  j  &  on  pouna  continuer  fur 
la  même  formule  i  Tinfini.  La  première 
racine  cft  allez  lîmple ,  &  Terreur  eft  tou- 
jours moindre  que  l'unité,  lors  que  Je 
nombre  b  cft  plus  petit  que  36843^5- 
ce  qui  fuffit  pour  la  pratique» 

Soit  l'équation  x^  =  7<^9  x  -f- 
240903.  4iî  =  7Ç^9>4=87&^  = 

2.40903-  donc  AT  =s  74  -H  y^MA-hj^ 

-=:;  ^8  -♦-  y  17^4  =^  100.  100  eft  la 
racine  approchée  a  moins  d'une  unité 
prés.  Par  ta  féconde  formule  je  trouve 

che  encore  beaucoup  plus  près ,  &c. 

Il  n'y  a  point  d*cquation  dans  le  cas 
irreduâtible,  dont  on  ne  trouve  la  racine 
par  cette  méthode  auffi  cxaûcmcnt  qu'il 
cft  poiSbIe. 


Jtjnthmefî^uré  JtAlgeln.     47  f 

Soit  encore  Tequation  dans  le  fas  ir- 

fcduftible  x^  m  ^sax  -^  lè^  Je  fup- 

pofe  a:  zr  X»  •+-  *-*  y  -+■  «r y  :ï:r  jia^, 

le  oibe  du  nombre  imaginaire  mixte  «, 

H jr ,  qui  cft  z}  —  Jjyz,  -f-  —  3J«.* 

«^  .-,-.  jî  cft  égal  au  binôme  imaginaire 

mixte  b^  -+-  V  --.  ^^ — b^  ,  &  égalant 
le  réel  au  réel ,  &  Timaginaire  à  Vima- 
ginairc.  J'ay  les  deux  équations*^  j-— 

ijfjfz.  =:  è^  &  3  Jtayr — f  t==:ya^  —  b"^  ts=s 

c^  Ôc  z,x0  s=    £i±lL-,  donc  fi  je  puis 

cônnoStre  Timaginaire  y.  Je  cônnoîcra^r  X0 

&  Ar=5  £*.  ==y  ^'r^  "'"  V^  ,  ic  fubftituc 

celte  valeur  dans  Téquafian  je'  5ï=  ^44x 
-I-  2^5 ,  &dans  Péquation  aj  —  3j'jfXr 
a=sj>5,  je  ttôûvc  deux  équations  pourjr 
qui  rendent  le  Problème  plus  que  déter- 
miné; &^dîvifant  Tune  par  Tautrc,  j*cïi 
trouve  une  ttoifiéme  plus  fïmple  ,  6cc^ 
Mais  comme  te  calcul  eft  immenfe  &  re« 
buttant  je  me  contente  de  Tindiquer» 

Toutes  les  fois  que  Tcquation  ^  ^ss» 
^y  — 'b  >  a  une  racine  rarioneflc,  l'cqua* 
tion  Ar'=s4Ar-4-  ^a  une  racine  rationellc 
ou  irrationelle  du  fécond  degré.  Pat  cxcm^ 
foit  réquation  x^  szt^jx-*-  6.  parce  que 
l'équation  jfî  =  7jr  —  6,  a  pour  raci- 
ne I,  Si  Ion  diviiê  l'équation  x^**^  y!^ 

Kl  1} 


47<ï       '    Nouveaux  Elemens 
•—  éftsss  o  par  iV  H-  I  s=a  o»  Le  quo^ 
rient  XX  —  IX  —  6  =0  ovL  XX  =;=  6^ 
•^  IX  donne  ;r==  3  racine  cherchée. 

Soit  encore  l'équation  x^  s=;  40:^  h- 
24.  parce  que  l'éqùacion  t^  z=.  407  — 
24*  a  pour  racine  le  nombre  6.  Si  l'on 
divife  at'  •—  40Ar  —  14  par  x -¥■  6.  le 
quotient  xx^ — (î;i:— 4  =  0  ou  xx  £=: 
6a:  -t«  4  donne  ;r  =  3  -i-  1^  1 3  racine 
cherchée* 

Il  y  a  donc  huit  efpeces  de  racines 
pofiâves  &  réelles  dans  la  formule  ^ 

i=z  ax  -^  b* 

•    i**.  RâtioncUc  x^  :=:  zjx  -¥-  y$OX- 

;iEs  9  -♦-  I  r=:  10- 

X®.  Rationelle  en  effet,  mais  irratio- 
nellc  réelle  en  apparence ,  comme  x^  s=s-^ 

3*^  ■^_975^-£j=2;!Ml^î  -*"  '^  2,3  5 2Ï4 

^  ^  ^-^ V  24  =:  10* 

a®,  Rationelle  cU' effet ,  mais  irratio- 
nclle  imaginaire  du  premier  degré  en 
apparence ,  comme  x^ z=iy%x  -f-  210**^;? 

=:  VTIToH 74  ■+•  >^^i  lo  — --74 

c—  ç  ^  — I  -H  5; 1=  10. 

40.  Rationelle  en  effet ,  mais  irratio^ 
nelle  imaginaire  du  fécond  degré  en  ap-^ 
parencc ,  comme  x^  =  8ia?  -h  190» 

xssV^TsHî^y— 106^8  -h  y^$s^ 


y--lo678"s=5  -i-y~z  -♦-1— >^ 

-^Z=   lO. 

5^.  Irrationclle  du  fccotid  d«gtc,coiTH 
me  x^  î=:  40Ar  -i-  £4..^:  ==  3  -f-  V  1 3 . 

é^  Irrationclle  fimplc  du  troifiémc  de- 
gré a:î  t==  i8;c  -H  30. -A?  =»V^  18  -*• 

7^.  Irrationelle  complexe  du  troifiémc 
degré  5  comme  x^  ^=^  6x  -h  \o-^x  =5' 
V^  ç  ^  y  17  ^  V  5  ~V  17. 

8°.  Irrationelle  complexe  du  troifiémc 
degré,  mais  imaginaire  irrcduélible  en- 
apparence,  comme  a:^  =  6a:  -4-  %*^x^=s 

yîfliry  —  7  ^  yJJZIyZir^ 

Le  calcul  fcul  démontre  que  dans  la 
formule  x^  t=:  ^a:  -h  tyA  n'y  a  qu'une 
feule  racine  réelle  &c  pofitivc  y   qui  eft 

y\bb ;^w»3.  Les  deux  autres  raci- 
nes font  négatives  &  réelles  dans  le  cas^ 
irreduftiblc;  elles  font  négatives  &  ima- 
ginaires dans  les  autres  cas.  Par  exem- 
ple dans  l'équation  a:^£=:  i4Af  -h  8  »  la 
racine  pofitiv.e  eft  4.  on  trouvera  les  deux' 
racines  négatives  en  divifant  x^  —  i  /^x- 
*—  8  =  o  par  ;^  —  4  s=a  O  >  le  quo- 
tient XX  -^  4»  H-  2  =  0  ou  A;Ar^=  — 
4Ar  —  2  donne  les  deux  racines  negati— 
lies  —•  2r  -h  î^  2  &  —  2  —  V  2-   Mais; 


47t  tféuveaux  Élhmens 

dans  fcquatioB  x^  t=z  lox  -¥-  14.  oà 
fa  racine  réelle  &  pofitive  eft  encore  4^ 
les  (kux  racines  font  négatives  &  ima-- 
ginmres  —  x-#-y  — 1& —  x^-^V—  2». 

n  ne  me^refte  plus  qu'à  montrer  com- 
ment on  a  pu  trouver  la  â^rmule  de  la 
ftcine.' 

Soit  réauation  :(?  s==:  adx  -1-  t^  Pour 
te(budre  réquation  du  fécond  degré  xx^=Sr 
0x  -^  b^  y  il  n'y  a  qu'à  fuppofer  ;ca=jr  -f- 

-^  >  d  oà  je  conclus  par  analogie  que 

dans  l'équation  du  troifiéme  d^gré  ^  je 

dois  fuppofcr  ;r  tt=  jr  *♦-  — .  ta  fubfti* 

fution  me  donne  f  «4-  aâj  -f-  -^ V' 

—  ^^aj^   -Jfr    ■*-  P    OU/   H. 
fl|  «»  *»  i  &  £7/  -..   ««  a«  17/^, 

3'  ui  eft  unie  équation  detirée  du  fécond 
cgrc ,  &  fuppofanc  f  ass*.  J^ay  47»» 

^^  ï  *'—- Tî  *'»  &  «  asVJi  P  &e.  ce  qu'U 
falloit  trouver. 

Ou  bien  je  fuppofe  ;r  sss  «,  ^  ^,  lar 
fobftitution  donne  z,î  •*- J  y*»*»  -♦-  337*  -+- 
^  =a  44«  -è-  44jr  -*-  ^^  Gonmic  j  ay  deux 


Jt AriAmétiqne  &  iAlgtlre.  iff9 
inconnues  &  une  feule  équation  ,  i*e» 
puis  former  deux  arbitrairement.  Je  iup- 
pofe  ![}  '^  yi  sss  k^  Se  ^jj  %,  H-  3/&«» 
2=  aaj  -I-  44«r  ,  divifant  cette  dernière 
équation  par  a:,-f- jp,  je  trouve  3jr:ç 


4  4  >  &  par  confequent  x,  =s  —  &  xr 

t=jp  Hk   —  ,   comme  cy-deffus,  &Cr* 

C'efl:  Tartâlea  &  non  pas  Cardan  qm  av 
trouvé  le  premier  cette  formule  pour  la; 
racine  des  équations  du  troisième  degsé.^ 

Metbêde  noMVeffe  foHr  Id  nfoUêti^n  ifir 
la  formule  x^  =i  âx  —  ^. 


c 


Ettè  formule  a  trois  racines  »  detor 
pofitîves  &  une  négative.  Les  dcuir 
racines  pofitîves  font  réelles ,  lorfque  ^ 
hb  eft  plus  petit  que  -^  a^.  Ces  deux 
racines  font  égales  entre  elles  ,  lorfque  ' 
.^  ^^  s=£^  -^  4^  \  enfin  ces  deux  racines^ 
font  imaginaires  9  lorfque  ^  bb  eft  plus 
grand  que  -^  4'  >  fa  racine  négative  eft 
toujours  réelfe  &  égafe  d  fa  fomme  des 
deux  racines  pofitives.  Ces  trois  racines 
font  femblabies  d  celles  de  la  formule 
précédente  x^  =  ax  -¥-  b\  mais  les  deu3B^ 
racines  négatives  de  celle -cy  (ont  les 
dieux  racines  pofitives  de  celle-là  >  &  a0 


o  Nouveaux  Elemini 

contraire  la  racine  poficive  de  x^  := 
-4-  i  eft  la  racine  négative  de  x^  =s  ax^ 
*—  h»  Pour  reibudre  l'équation  x^  ==  ax 
*-•  ^  9  voicy  ma  méthode. 

I^.  Je  tire  la  racine  quarr^e  d'^^donc 
je  prens  les  deux  tiers. 

i**.  Je  divife  i  par  541  &  j'ajoute  le 
quotient  à  ^  4. 

3®.  Je  tire  la  racine  quarrée  de  cette 
fbmme ,  que  j'ajoute  aux  deux  tiers  de* 
la  racine  d'^.  La  {bmme  donne  la  racine 
approchée  &  négative  de  l'équation  pro- 
poféc  ,  que  fi  l'on  veut  avoir  une  fécon- 
de racine  négative  plus  approchée,  on 
otera  V  4  de  cette  même  racine ,  foit  le 
rcftejf,  au  lieu  de  divifer^  par  34,  on 
divifera  i'  —  jfJ  par  }4j  &  on  trouvera 
de  même  des  troifiémes»  des  quatrièmes^ 
&c.  racines  approchées  à  l'infini. 

La  racine  négative  trouvée  foit  ap^ 
pellée  X,.  Les  deux  racines  pofidves  cher- 
chées  de  l'équation  x^  =  ax  ^-^  b  fc- 
cont  ^  «.  -H  y  A-^{ZZ- 

Exemples 

Soit  l'équation  propofée  ;c'  î=  7  5  6^»' 
•—  Z40903. 

1°.  Je  tire  la  racine  quarrée  de  75  6 9. 
c'eft  87.  dont  je  prcns  les  deux  tiers»j 
c'efl:  5^8.  zMc: 


d' Arithmétique  &  JC Algèbre.      4S1 

^^  Je  divife  240^03  par  261,  tri- 
ple de  87.  le  quotient  cA  92j,que  j*a- 
joûtc  à  la  neuvième  partie  az  y^é^x 
c*eft  à  dire  à  841* 

3°.  Je  tire  la  racine  quarréede  841 
•f-  923  =  1764  c'eft42.que  j'ajoute 
à  58,  la  fomme  —  100  cft  la  pre- 
mière racine  pegative  &  approchée  par 
excez. 

Pour  avoir  la  fccoride ,  j  ote  87  de. 
X  00.  il  refte  1 3 ,  dont  le  cube  eft  2 1 57. 
au  lieu  de  divifer  240503  par  2^1 ,  je 
divife  feulement  240903  ' —  2197,  ou 
ce  qui  cft  plus  commode,  je  divife  %  1 07 
par  2^1  i  &  j'ôtc  le  quotient  8  ^°^  de 
1764,  le  refte  eft  1755  ^.  La  fe'cott- 
de  racinc^iegative  approchée  par  défaut 
cft  58  -i-  V  1755  ^,  qui  cft  plus 
grande  que  99  -^^  Ainfî  la  racine  né- 
gative de  l'équation  x^  :=  y^69x  -*- 
240903  eft  plus  grande^que  99~'i&c 
plus  petite  que  loc 

Pour  avoir  les  deux  racines  po£tives 
de  la  même  équation. 

1®.  Je  prensla  moitié  de  100  c'eft 
yo.  que  je  quatre  <'eft  ^5,00,  Se  que 
jç  triple  c'eft  7500- 

2*-  Jote  7500  de  ^jtf^  ,  il.  refte 
tf 9.  dont  la  racine  quartéc  eft  V  69  ou 
3  ^  ^  pcia  prés, 

Sf 


j^tz,         Nêmtiâux  EUmeni 

l^.  L«  deux  cadnes  poficives  appro^ 
chécs  font  50  -*-  V  C$y  ic  JO-—  V  ^^ 

SiCênd  Eximfle» 

* 

Soit  l'équation  ;r*  =  84^  —  i  £o* 
Je  tire  la  racine  qaatrée  de  S4,  c'eft 

5  -^  à  peu  prés  ,  dont  les  deux  tiers 

font  tfjf-,  ou  6|. 

le  divife  1 60  par  3  fois  9  -^  ,  c'cfl; 

i  dice  par  27  7  >  ou  multipliant  tout  par 


U«      ^W      V^   ,       w    ^*- ^     ^    ,     *-     «W«A««4^ 

eft  1 5  -^  >  dont  la  racine  approchée  eft 
4  que  j'ajoute  à  tf  |.  la  (bmn^  en  en*" 
tiers  I  o  eft  la  racine  négative  cherchée. 
Car  en  fubftituant  —10  dans  l'équa- 
i^on  propofèe  je  trouve  — iooo=:-- 
840 —  i6o*  Pour  éviter  les  frayions 
lorfque  l'abfblu  du  fécond  terme  n'eft 
paS'  un  quatre  parfait ,  on  peut  ajouter 
deux  zéro  au  fécond  terme  ôc  trois  au 
dernier.  Ainfi  fuppofant  x^  s=»  8400;^ 
*-^  1 60000.  Je  tire  la  racine  appro- 
chée par  excez  de  8 400  c'eft  92.  dant 
les  deux  tiers  par  excez  font  6t* 
.  Je  divife  1 6000Q  par  3  fois  91 ,  ou 
par  Z73,  le  quotient  appro<il^é  par  ex^es 


d'Arithmetii}$$€  &  iMgeire.  4^ j 
*ft  J87.  que  j'ajoute  à  la  ncuviértie  par- 
tie en  entiers  &  par  excez  de  81100, 
c  eft  à  dire  i  ^34,  la  racine  quarrce  de 
la  fomme  ijn  cft  35.  que  j'ajoute  ï 
6z.  &  de  la  fomme  loi  retranchant 
la'  dcrnwe  figure,  je  dis  que  10  eft  la 
racine  négative  exaûe  pu  approchée  ;  & 
je  reconno'k  par  la  fubftitution  qu'elle 
eft  exafte.  Et  fuivant  la  formule  -  «,  -h 
V^— |x,x,,  je  trouve  les  deux  racines 
pofitiv^s  y^  y^4_7j  ^y  ^y^ 

On  peut  refoudre  cette  formule  par 
lés  Tables  des  Sinus.  Prenez   i^.yi^ 

pour  finus  total,  x".  fj  pour  Sinus,  i». 
Faites  une  Règle  de  trois ,  dont  le  pre- 
mier terme  foit  le  fmus  total  des  Tables, 
&  le  fécond  &  le  troificme  fdicnt  VIm 

^  IT*  4''-  Apres  avoir  cherché  lequa^ 
tricmc  terme  proportionnel  c  dans  les 
Tables  des  Sipus  &  l'Arc  qui  luy  repond 
prenez  le  double  du  Sinus  de^l'Arc  fonfl 
ttiplc  di  &  faites  encore  une  Règle  de 
wois,  dont  le  premier  terme  cft  le  Sinus 
lotal  des  Tables,  le  fécond  terme  Se  le 
troifiéme  font  d.ScV^  4  le  quatrième 
terme  eft  là  petite  valeur  dW. 

S**  Prenez  le  Sinus  e  du  complément 

S{  if 


484  Nouveaux  Elemens 

de  Tare  du  Sinus  d  à  l'Arc  de  éo  dcgrez; 

6**.  Faites  comme  le  Sinus  total  cft  au 
Sinus  e.  Ainfi  V  j-  4  à  un  quatrième  ,  ce 
quatrième  nombre  fera  la  grande  va- 
leur d'Af. 

y^.  La  fomme  des  deux  valeurs  doti* 

oera  la  valeur  négative. 

Exemple* 

Soit  l'équation  ;c5  =300^ —  lOOO- 
V^4  «10  i^  =  y. 


j  la 


10.  S  •  ipooo»  5  0000  Sinus  de 
30  dcgtez. 

.  Le  Sinus  de  10  dcgrez  eft  I73tfs'> 
dontU  double  eft  34730.  Or  looooo. 
34730  ;  10.  i^  pewe  valeur  dV 
approchée. 

J  otç  IX)  degrex  de  ^p.  il  reftc  ^od 
fon  Sinus  eft  76604.  dont  le  deuble  eft 
153108.  Or  1 00000.  153208:  10. 
IS  ^h^  grande  valeur  ax. 

cVtte  mediode  cft  fondée  fur  ce  que 
le  Sinus  total  étant  4 ,  la  <:orde  d'un  arc 
quelconque  étant  fr ,  &  la  corde  de  l'arc 
fouftriple  étant  x  >  on  trouve  que  x^  =« 
^asx  •^  a'alf.         .    ^      ^      \    /T 

Cette  méthode  paroît  d'abord  aflcz 
ûîgcnicufe  i  mais  outre  qu  elle  eft  ws 


longue  ,  que  c  efk  toûjouK  un  défaut  de 
ie  fétvir  des  Table* ,  lors  qu'on  s'en  peut 
païrcr,&  qu'il  eft  contre  l'ordre  de  fuppo- 
ler  de^  Théorème  s  de  Géométrie  pour  la 
reiolution  des  Problèmes  d'Algèbre  ,  il  y 
a  vifiblemcnt  une  pétition  de  principe 
dans  le  raifonnement.  Car  pour  refondre 
une  cquatioiv  on  fuppofe  des  Tables  qui 
ji'ont  pu  être  conftruites  qu'en  reiblvanc 
Ja  même  équation. 

On  ppurroit  refoudre  toutes  fortes 
d'équations  par  des  Tables  ,  mais  afin 
qu'elle  fulfent  commodes  >  il  faudroit 
qu'il  n'y  eut  qu'une  Règle  de  trois  a 
faire  >  éc  point  d'extraction  de  racines. 
Pour  cela  il  faudroit  rendre  les  équa- 
tions complètes  ,  &  prendre  pour  pre- 
mier terme  fixe  ,  &  qui  répondroit  au 
i^nus  total  ,  le  quotient  du  fécond  ter- 
me divifé  par  l'expofant  de  la  puiflan- 
ce,  &c. 

Dans  la  formule  jc^  =  ^  —  ax^  il 
n'^y  a  qu'une  racine  réelle  Se  poficive ,  qui 
ne  vient  jamais  (bus  une  forme   imagi^ 

naire  ,    fa  valeur    eft  ;«►  =  y^\  b  -h 

yiyy  -*-  -^  4^  —  yTTyZZy^bb^  -^  4^ 

Soit  l'équation  propofée  ;tf's=5  ^8  — 

I®.  Je  prens  la  moitié  de  08 ,   c'cft 

s  1  iij 


ttouveMx  Elemem 
49.  dont  le  quaric  eft   z4oi« 

x°.  Je  prcns  ic  tiers  de  4c  ,  c*eft  i  5." 
que  je  cube,  ^cft3j7r. 

2*.  Tajoûte  1401  a  3275,  &|c  tî- 
te  la  racine  quarrée  de  la  tomme  %'^yé9 
c  eft  7^. 

4**.  l'ajouce  49.  ïy6  ^ic )'6te  49  de 
7^  9  la  tomme  eft  i  iç  ,  le  reftc  eft  2.7» 
les  racines  cubiques  de  cette  fbmme  êc 
de  ce  refte  (ont  5  &  3  »  dont  la  diflferen- 
ce  X  >  eft  la  racine  cherchée. 

On  trouvera  les  deux  racines  jiega  ri- 
ves pat  cette  formule  \  (bit  la  racine  poix- 
tive  X  =3  ;& ,  les  deux  racines  négatives 

feront  7  ==  —  ^a:»  -»-  V  ^^^^^^T^l 


4** 


2>r  /4  refûlution  des  smres  formules  d0 
^  troifiéme  diffr^* 

FAites  évanouir  le  fécond  terme,  & 
vous  réduirez  l'équation  a  une  des 
formules  précédentes. 

Exemfte. 

Soit  réqiaation  x^s^yxx  -¥  300- 
Suppofcz  X  «=  -i^  ,  la    fubftiiation 
donne  y  ass  ^oooo  «-«  XIOO^  >  &  Is^ 


J^AtiémtiqHe  &  d*Algehri.     4^7 
formule  précédente  donne  ^  =  3  o  >  & 


500 


par  confcquent  x  = s=  i  o- 

Second  Exemple. 
Soit  l'équation  x^   ==  ^oxx  -f-  zox 

Suppofez  ;if  s=  jf  -H  I  o  en  prenant  i  p 
ISS  tiers  de  30*  nombre  des  xx.  La  fub- 
ftitution  donne  jfî  =  3x07  -+-  x$^j^i* 
Je  trouve  par  les  formules  précédentes 
7  sss  a, I  »  &  (^ar  confequent  at  s=s  3 1. 

RemaréjHi. 

Les  Problèmes  plus  que  déterminez 
du  troifiéme  degré  (e  refblvent  de  même 
que  ceux  du  {econd,  &  cela  cft  général 
pour  tous  les  dcgrez. 

Il  n'y  a  point  de  règle  générale  pour 
xefbudre  les  ProUemes  indéterminez  du 
troi(iéme  degré.  L'adreile  confifte  à  for- 
mer tellement  le  fécond  membre  arbi^ 
traire  de  réquation  qu'il  ne  refte  que  des 
x^  &  des  XX  >  ou  des  x  x  Se  des  x  >  ou 
enfin  des  x  &  des  nombres ,  afin  que  le 
Problème  fe  réduife  au  premier  degré,  & 
qu';i;  foit  rationelle. 

Sfiiii 


4SS  Nouveaux  EUménî 

Exemple. 

Trouver  de$ix  cubes  ,  dont  U  fomfnejoit 

igéle  k  la  différence  de  deux  autres* 

Soient  les  deux  cubes  donnez  8  &  i." 
leur  différence  cft  7.   on  demande 
deux  cubes  dont  la  {bmme  foit  7. 

Je  fuppofc  8=  4^  &  I  =  b^  foit  Tan 
des  cotez  des  cubes  cherchez  a  —  x  ySz 
l'autre  cx^-^'b.  Lafommedcs  cubes  cft 
4'  —  3  aax  -+-  3  4xx  —  x^  -f-  c^  ;r'  — - 
3r<r^ArAr  h-  3W^a:  —  ^^  =  4*  —  b^  yôc 
cette  équation  étant  préparée ,  je  trouve 
r' x'  -+.  ^4x  X    ■+•  ibbcx 

—  lx'« — ^cbbxx' —  3  44,r=o>& 
divifant  tout  par  x  »  j'ay 

r';c;(f  -«-    ^ax-^zbbcx 

—  i;r;c  • —  ^c  cbx  ' —  344  =!3  0> 

&  parce  que  c  eft  indéterminé  ,  je  (up- 
pofe  ^bbc  ^:=iiaa  9  afin  que  le  dernier 
terme  -f-  j^^c  s'évanoUiflant. 

—  344 
il  ne  refte  que  des  xx  Se  des  x,  donc  c  =s 

.  Et  fubftîtuant  cette  valeur  je  trou- 
ve a:  =  ^*  ^  "^/^ —  ==  -T-  Les  deux 
cotez  des  cubes  cherchez  font  {  &  1» 


£  Arithmétique  &  d' Algehrèl      489 
dont  la  fomme  de  cubes  ell  ^  =  7. 


Chapitri    IV. 
De  FroHemes  du  éjuatri/me  dejrf. 

IL  y  a  54  formules,  ;r*  =ï4S;e'*=ss 
44  ,    j^  c=3  4Ar  -H    i^,  AT^  =  4A-   — 

h ,  &c.  de  ces  54  fonnules  il  7  en  a  8 
purement  négatives  x^  s=î  —  éi^y  oc^ 

—  4a:  •—  ^  ,  a:*  =«  • —  Axx  —  ^>  >H' 

-^-  éXX  -—  ^A:  ' —  Cy  X^'=,  —  4Af^  — •  ^^fAT 

—  c^  x^  s=  —  4Af' —  iAT*—  er,  a:*  =3 
• —  ax^  ^ —  ^ATAT  • —  ^a:  —  d*  Qui  ne 
différent  en  rien  pour  l'expreiEon  des  for- 
mules pofitives  oppofces ,  fi  ce  n'eftdans 
les  fignes  h-  &  — .  Il  y  a  outre  cela  trois 
formules  x^  s=:  4ArAr  h-J»,  x^  z=s4XK 

—  ^  ,  x^  =sb  —  ^ATAT  qui  font  du  fé- 
cond degré ,  &  l'équation  fimple  x^  s=3 
4^,  qui  n'eft  que  l'expraélion  iimple  & 
numérique  de  la  racine  quatrième  ^  de 
forte  qu'il  n'y  a  proprement  que  42^ 
formules  où  l'on  ait  befoin  de  méthode 
nouvelle  pour  les  refoudre.  Elles  fe  peu- 
vent toutes  réduire  i  l'une  de  ces  deux 
formules  du  troifiéme  degré  x^  s=s  ax 
H-^s  ;c^=3^^— .4A^  Par  la  Règle  fut^ 
vante  qui  eft  de  Moniieur  Defcartes. 


4*0  Nêuviâux  EUmens 

^oit  Tequation  quelconque  x^  f*  ^ 
4X^  HH.  bx^  ^cx  ±^  d.  Je  fuppofc  jc  = 

jr  i:  -—  *  &  en  fubftituant  cette  valeur 

je  trouve  une  nouvelle  équation  du  qua- 
trième degré  où  U  fécond  terme  eft  é- 
vanoiii.  t4  ^  ^j,.  ^  £7  db  A  =  o,  i 
la  place  de  laquelle  j'écris  «,*  ^  xfx,^ 

-^ff^^^  4A&*.  — ^^s=:  o.  Cette 
dernière  équation  eft  du  troifiéme  degré, 
laquelle  étant  refi>UKf  par  les  Règles  du 
Chapitre  précèdent ,  il  faut  écrire  de 
nouveau  ces  deux  équations. 

Ces  deux  éqcations  du  fécond  dçgté 
étant  refoluës  donneront  les  quatre  va- 
leurs d*7 ,  &  par  coofcquent  les  quatre  rjh 
leurs  ax* 

Exemple. 

^    Soit  Téqaation  propofée  jr^  ...  l-^.^ 

•—  lojr  -♦-  ^  c=B  o.  Je  iiippofe  pour  ab- 
breger  le  fécond  terme  évanoiii. 

Donc  I7=a/,  20  =3=:^  j  ^œsjj.donc 
fui  van  t  la  fonnulc  «,*  hk  xfxMcc.  On 
Aurax,^^ — 34«'^^  S'S*^*'  —  400  =:o» 
Je  a:ouve«r«.aa  16  & «rœ  4S.&  fub* 


êC Arithmétique  &  d'Algehre.  4^1 
ilituanc  cette  valent  dans  les  deux  équa- 
tions du  fécond  degré  yy  > —  «'J  "*"  » 
xAj&c.  Je  trouve  jfj  — 4J"-*  3  =9» 
Se  yj  ^  4^  -+■  ^  =  O  >  qui  me  don- 
nent pat  les  règles  du  Chapitre  fecond> 
CCS  quatre  racines  x  -+■  V  7 ,  2  —  Vy^ 

— -1  -^y  ly — X — y  1* 

On  peut  démontrer  ccttej  Règle  de 
deux  manières,  i^.  Par  les  effets  à  po^ 
fierieriy  en  fubftituant  les  formules  uni*- 
verfelles  des  racines  dans  la  formule  Uk 
niverfelle  de  l'équation  ;  car  les  deux 
membres  étant  égaux ,  il  eft  évident  que 
les  racines  font  juftes  j  on  prouvera  qu  il 
y  en  a  quatre  &  pas  davantage.  Cette 
manière  eft  prefque  impraticable  dans  le 

3uatriéme  degré ,  i  caufe  de  la  longueur 
es   formules.    La  féconde   nlàniere  de 
démontrer  eft  beaucoup  plus  (impie  ôc 

{>lus  élégante  -,  &  elle  eft  particulière  i 
'Algèbre.  On  démontre  par  les  caufes 
à  priori  pour  parler  dans  les  termes  dç 
l*Ecole. 

Soit  réquation  du  quatrième  de^ré 
x^  —  dxx  ' —  fcr  —  c  ss;  o  9  qu'il  faille 
réduire  au  fécond  &  au  uoiûéme  degré. 
Je  fuppofe  quVlle  eft  formée  par  la  mul- 
tiplication de  ces  deux-cy. 

XX  — yx  ' —  X,  =0 

XX  -^  yx  -^  t  jsst  a 


4^1  NôUi>e4M)â  Ekmeûf 

Le  produit  cft  x^  ^^jjxx  —  ty^  ^^-  r£ 

—  ZiXX  —  jby^c  ==  o 

-H  txx 
d'où  je  tire  ces  trois  équations  tr  -f^  s,  -^ 
^£=7  4;  ty  -^  x,jfs=:t-ytz,=i  Ci  donc  r=: 

—  y   &  fubfti tuant  cette  valeur   dé    t\ 
dans  la  féconde  équation  ,  j'ay  ^ 


by  ou  X.Z.  ==  -^ — 2  ,  &  en  /a 
fubftituant  dans  ïa  première  j'ay  jy  ^^  x* 


•  :=:=:  4  ou  2,2»  =719  4Z,   -f-  C  *—  yjz» 

-~ — ^  1   &  par  confequent   zp   = 
^%^h  —  M  ^   fubftituant  cette  valeur  de 

xr  dans  Téquation  r  =3i  —  &  dans  1  c- 

quâtion  r j  h-  z.y  rs=i  b  y  je  trouve  ^<^-^ 
a^jf*    -♦-  44jjr  — .  ib  =i  o.   conformc- 

imcnt  i  la  Règle ,  ce  qull  falloit  démon- 
trer^ 

RiftArque. 

Sôit  la  formule  univerfelle  du  trdiîc- 
tne  degré  x^  =:  ^-  éxx  ^  bcx  ^  dtf 
Ei=o.  une  des  valeurs  d'^r  eft  x:=iy'^: 


£ Arithmefttjue  é"  d'Mgehre.     49  j 

aaibccy  &c.  £t  les  de^x  autres  fe 
trouveront  par  une  équation  du  fécond 
degré.  Par  exemple  foit  x^  ^=  ^xx  -+-[ 
6x -i-  lo.  donc  3  =  4,  6  =  ^<r&20 
i=:zdef.  Je  trouve  par  ma  formule  j=a 

f  o o  -^  8  «^^  3  >&c.  as  I  -^  y 3 1  ^ H-  Vléy 
==  I  ■+•  Vî  Z7s=54,  &«,=y5i4-..i3 
e=  I.  doncAT  =  ç.  Jedivifc  x^  ^^  3Ar;tf 
• —  6x  * —  20=  o.  par  jc --f.  j  ,  le  quo- 
tient eft  une  équation  du  fécond  degré 
qui  renferme  les  deux  autres  valeurs  djf . 
J*ay  trouve  de  même  une  formule  u- 
•niverlellc  pour  les  quatrcs  racines  des 
équations  du  quatrième  degré,  &  parce 

3ue  Ton  peut  fuppofer  arbitrairement 
ans  l'équation  un  ou  plufieurs  termes 
rz  o.  Si  Ion  fuppofe  aufli  dans  les  ra- 
cines tous  les  termes  où  ces  lettres  éga- 
les à  zéro  fe  rencontrent  ,  fi  dis-je  oix 
les  fuppofe  évanoiiis ,  on  aura  la  formu* 
le  la  plus  fimple  pour  chaque  cas,  non 
feulement  du  quatrième  degré  \  mais  en- 
core du  ttoifieme ,  du  fécond  &  du  pre« 
mier.  Car  chaque  formule  des  degrés 
inférieurs  dk  enfermée  dans  les  formu" 


494  NouvedHx  Elem$HS 

les  univerfelles   des   degcez  fiiperiears. 
Ainfi  la  feule    formule  univerielle     du 
troifiéme  degré  enferme  les  deux  du   pre- 
mier ,  les  6  du  fécond  »  &  les  i  8  par* 
ticulieres  du  troiGéme,   &  la  (èule  fbf* 
mule  univerfelle  du  quatrième  degré  en* 
ferme  les  8o  formules  particulières  do 
premier ,  fécond ,  troifiéme  &  quatrième 
degrez. 

Il  n'y  a  rien  de  nouveau  i  remarquer 
fur  les  Problèmes   plus  que  déterminez 
du  Quatrième  degré.   La  Règle  jgénérale 
eft  d'égaler  tout  i  zéro  >  &  de  mvifer  la 
plus  haute  équatipn  par  la  moins  élevéej 
ou  régalement  élevée  l'une  par  Tautre» 
continuellement  jufques  à  ce  que  Ton 
trouve  le  refte  ou  le  divifeur  le  plus  fim- 
pie.    Ce  quf  donnera  la  valeur  la  plus 
umple  de  la  racine  fi  le  Problème   eft 
poifible.  Cette  méthode  eft  d'un  grand 
nfage  dans  l'application  qu'on  peut  faire 
de  TAIgebre   à  la  Géométrie.    Elle  eft 
fi>ndée  fur  ce  principe  Metaphyfique,que 
rien  étant  été  oh  divifé  par  rien ,  U  r^- 
fiâ  c^  U  quQtient  font  égaux  a  rien* 

Exemple* 

Soit  la  double  équation  x^  *—  ixx^ 
•^  43XA:—  jor  -H  yo=  o,  &  jtfî  — ' 
jxx  -tr  8:»:  —  I  o  5»  o  j  je  divifc  laprcr 


4^ Arithmétique  ç^  eC Algèbre.     495 
micre  pat  la  féconde ,  le  quorient  cft  x 
^■^  y  =  o  >  d'où  je  conclus  qu'une  des 
valeurs  à'x  cft  ç. 
.  Soit  encore  la  double  équation  x^  *-^ 
jy^xx  — xox  —  100=3  o,  &  AT^  — 
y XX  -H  Sa;  -H  I  o  ==  o.  Je  divife  la  pre- 
mière par  la  Cbconde  le  quotient  eft  Xp 
&il  relie  7Arî  -^z^xx—^^ox^  loo 
=  o.  que  je  divife  par  x^  —  yxx  -f- 
Sat  H-  10,  le  quotient  cft  7  &  il  refte 
X4XX  ~  S6x  ^  170  =:  o,  je  mul- 
tiplie x^  —  yxx  -H  Sat  -H  10  =  o  par 
24 ,  afin  de  pouvoir  divifcr  iàns   éa- 
aion  par24;rjc— -8^;^—  170.  &j'ay 
Z4a:^~  168  AT  a-  h-  i^ix  H-  240  i 
divifer  par  i4ArAf  —  86a-  —  170  =  o, 
le  quotient  eft  y  ,  &  il  refte  ^  %zxx 

-^   X6lX    -+-    240=    o    OU4l;e'Aî'^^ 

iSiAT  ~  120  =B  o.  J'ay  les  deux  c- 
quations  du  fécond  degré  "24^:^: 8tfr 

—   170  =  o,  &  41  ^AT  — .  i8iAr  — 

120  ==:  o   par  la  première    xx    =s 

l'i ■--•  — n —  >  ^  P*f  ** 

feconde.;^  :=.     ^^^/donc 

4j«-«-8r  rSijf-i-iio    _ 

— n =  —^j -•  Et  cette  é- 

cjuation  du  premier  degré  étant  refoluc 
par  les  Règles  du  Chap.  i.  je  trouve  x 
==  5 .  mais  parce  que  la  première  divi- 


49<^  NûHveMHX  EUmens 

fion  qui  a  donné  x  pour  quotient  ne 
s'^ft  pas  faite  fans  refte  »  je  ne  fuis  pas 
affure  que  ç  (bit  une  valeur  à\  ;  c'eft 
pourquoy  je  fubftitue  f  à  la  place  ^xy 
&  je  trouve  qu'il  (àtisfait. 

Des  Frobicmes  indéter$nmex»  dm  quatriè- 
me degré. 

IL  faut  former  le  fécond  membre  ar- 
bitraire de  manière  qu'il  ne  refte  que 
des  x^ %  &  des  x^^  ondes  x^  Se  des  jcx 
ou  des  XX  &  des  Xy  ou.  enfin  des  x  Se 
dts  nombres  >  afin  que  la  valeur  d*x  £bit 
rationcUe. 

Exempte» 

Soit  l'équation  x^  -^  î  ox^  -♦-  z  6xx 
^^  yx  -^  9  ^=^jy  >  je  fuppofe  y  .s=  xx 
•—  ç;c  -4-  3.  je  prens  —  jat,  parce  que 
la  moitié  dii  lecond  terme  —  ioat^  efl: 
—  çatS  &  je  prens  -h  3  à  caufe  du  der- 
nier terme  ■+•  9.  La  fubftitution  me  don- 
ne x^  —  lOAfî  -*-  z6xx  —  7-*  -+•  5 

C^PSAT*  lOx'   -f-    ^IXX  —   ^OX    Hh  5, 

donc  j;c=8  23&;if=4y  nombre  cher- 
ché. 

Ayant  cette  première  refolution  j'en 
trouveray  de  nouvelles  en  fuppofant  x 
s^  «-h4  j,en  forte  même  que  quand  la 

première 


d'Arithmétique  &  iAlgehre.  4^ 
première  valeur  feroit  négative ,  on  pour- 
voie par  cette  fubftitution  en  trouver 
d'autres  oofitivcs  ,  fuivant  la  remarque 
ie  Monbeur  de  Fermât.  Au  lieu  de  fup- 
pofer  js==  XX  —  5*^-4-  3.  j'aurois  pu 
fuppofer  j=!i  XX  —  tx  -4-i»î& j'aurois 
trouvé  par  la  fubftitution  en  comparant 
tes  termes  homogènes  t^ss  ^  &c  h  s=sj. 
Il  n'y  a  point  de  refolutions  par  formu- 
les au  de  là  du  quatrième  degré  ,  dn 
moins  on  ne  les  a  pas  trouvées. 


Chapitre      V. 

JHethode  gin/rdle  de  M^nfieur  DefcAf^ 

fes  y  pour  la  refolution  des  Eqndtion^s 

^m  ont  des  résines  rationelles* 

1*.  T  'Equation  étant^rcparce ,  c'eft  i 
1  /  dire  délivrée  de  fraâions  &  d'iii- 
commenfurables  »  &  Vabfblu  de  la  haute 
puiiTance  réduit  à  l'imité  \  faites  par  la 
tranfpofition  que  tout  foit  égal  à  zéro. 

2^  Prenez  touis  les  divifears  de  l'ab- 
{olu,  &  tentez  la  divifion  par  ji:  h-  ou 
•—chacun  de  ces  divifeurs. 

3^.  Si  la  diviiîen  fe  fait  fans  reftepar 
X  —  quelque  divifeur  y  ce  divifeur  cft 
une  racine  poiitive»^ 

Tt 


45)?  JNoffVtamx  Elemems 

Si  la  divifîon  fe  fait  fans  rcfte  par  x 
-4-  quelque  divifeùr»  ce  divifcur  eftune 
racine  ncgacire. 

4^.  Coocinuez  de  divifer  les  quotients. 
Ut  vous  aiprez  touttç  les  racines  rationel- 
tes  pofitives  &  négatives. 

Que  fi  la  divifîon  ne  fe  peut  point 
faire  fans  refte  »  l'équation  propofée  ns 
aucune  racine  rationelle. 

Et  (k  elle  ne  fe  peut  pas  faire  (ans  re- 
fte autant  de  fois  que  lexpofant  de  la 
haute  puifTance  a  d'unitex ,  c  eft  une  preu;* 
ve  qu'une  partie  de  fes  racines  eft  ratio- 
nelle ,  &  l'autre  inationelle  dans  un  de* 
gré  inférieur. 

Enfin  fi  la  dîvifion  fe  peut  faire  Czùs 
refte  autant  de  fois  que  Texpofant  de  fa 
haute  puiiïance  a  d'uni tez ,  toutes  {es  rar 
cines  font  rationelles. 

Fremïer  Exemple. 

Soit  relation  propofée. 
x^  —  jtx  —  i8o  zir  o. 

Les  diviicurs  primitifs  de  z8o  fbnr 
I.  2.  !•  z.  Ç-  7*  nombre  premier» 
d'où   on  forme  les  ^rifeurs  linéaires.. 

I.      2.     Ç.     7* 

Les  divifeurs  plans       4.  lo*  14*  Jf» 
Les  divifeurs  folides      8*  20«  28*70- 
Les  divif.  de  4  dimenf  40*  ^  ^.  140» 
â  {  dimenfioo^    zto* 


ê  Arithmu'ifue  &'JtArge$ri:    459 
En  tentant  U  diviiion  par  x  — -  i  ©. 
elle  reiîflît 

:v  —  10 

-  i. 

*+•   I  O^TAT  •—  yzx 
AT      — •      10 

X  —  io 

-*-    281JC' —  280 

Boit  je  concte  que  une  des  ralenir* 
dV  cft  -+-  I  o.  &  que  les  deux  autres 
racmes  font  neg«iW8 ,  &  comprifes  dans 
l'éqaatign  du  portent  xx  ^  lox  -i^ 
l^8  =  o>  qui  fom  x^mÊk — r  j  ^y^Z^TÇ^ 

Second  Exrmfk^ 

Soit  l'c'quation  ;^î  ^  i^t  •+•  jos=a. 

Elle  eft  dans  fc  cas  nrredaftibtc; 

I^  Je  prcns  les  divifeurs  de  jo.  qui 
font  I*  %.  y.  ç,  ^.  eScc*  le  tente  la  dk 
Yiiîoû  par  a?  ~  2^  &  «tic  reiiflît. 

Ttij 


500  NêUvedHX  Elemens 

x^-'i^X'^'  lo  I  XX  -¥  %x  —  15 

X  —  % 
x^  —  ixx 

-♦-  zxx  —  19X 
X    —    X 

•4-  zxx  —  J^X 


D'où  je  conclus  qu'une  des  valeurs 
d';r  eft  -h  z. 

Je  continue  à  chcrchct  Tes  deux  au- 
tres racines  dans  réquation  xx  -^  zx 

^  15  =5  0. 

Et  je  tente  la  divifion  par  x  •—  3  •^ 

x^  -+•  zx  — •  i  J    I   X  •+  j  s=i  o^ 

*  —  j 

XX  —  3* 

-4-    5*    —    15 

*  —  5 


o  o. 

D'où  je  coiiclas  que  les  trois  valeoss 
dV  font  -♦•  a.  -»-  3.  &—  î» 


Jl^ Arithmetiqi^e  &  XAlgthrt.      je* 
Remarque. 

Lors  qu'il  y  a  un  fort  grand  nombre 
ikç,  divifeurs  ^  l'opcration  cft  longue  & 
ennuyeufe  ,  fur  tout  lors  qu'après  un 
grand  nombre  de  divifions  on  ne  trouve 
point  de  divifeur  exaâ:;  c*eft  poùrquoy 
Qn  a  cherché  des  Règles  pour  rejetter 
les  divifears  inutiles ,  &  elle»  fe  réduis 
fènt  j>  deux. 

I®.  A  trouver  les  Hmites  des  racines^ 
G^eft  à  dire  â  trouver  deux  nombres  pat 
règle  générale,  entre  lefquels  la  valeuf 
de  la  racine  doive  fe  trouver  neceflairc- 
ment.  Ainfi  tous  les  divifeurs  qui  ne  font 
pas  entre  ces  limites  font  inutiles.  J'en 
ay  donné  des  exemples  cy^deilus  Cha^ 
pitre  5. 

2*.  En  augmentant  ou  en  diminuant 
l'inconnue  d  une  unité ,  ou  de  tel  autre 
nombre' qu'on  voudra;  &fubftituaiit  on 
trouve  un  nouvel  abfolu  qui  n*a  qu'un 
certain  nombre  de  divifeurs.  Or  ces  di- 
vifeurs étant  diminuez  ou  augmentez 
d'une  unité  ou  de  tel  autre  nombre  qu'on 
voudra,  félon  que  l'inconnue  a  été  di* 
Hiinuée  ou  augmentée  d'une  unité  our 
d*un  autre  nombre,  il  n'y  a  que  les  di- 
vifeurs communs  qui  puiiTent  êtxe  utiless 


501  N^uvumx  Ehmens  I 

&  (buvenc  il  nj  en  a  point  du  tout,  ce' 
qui  marque  que  la  racine  efl:  irrationel-'i 
le  »  &  fuppofe  qu'il  y  ait  des  diviseurs  i 
commun»,  le  nombre  en  eft  ordinaire- 
ment  beaucoup  moindre  ;  ce  qui   épar- 
gne plufieurs  ae  divifions. 

3^*  Quoique  la  racine  (bit  irrationel- 
le,  elle  peut  être  irrationelle  d'un  ou  de 
plufieurs  degrex  moindres  que  ne  le  mar- 
que Texpolant  de  la  haute  puiflance.  Ain* 
fi  dans  les  équations  du  quatriénie  de* 
gré  ,  les  quatre  racines  peutent  être  ir- 
rationeUes  du  fecond  degré  *,  6c  il  faut 
tenter  la  divifion  pst  xx  ±:  éy  &par  xx 
±éiX  ^  ^  =  O  »  8cc. 

4".  Lors  qu'il  j  a  plufieurs  racines  é** 
gales  dans  une  équation,  il  y  a  des  re* 
gles  particulières  &  abbregées  pour  les 
xefbudre. 

ExemfU* 

Soit  réqnation  propose  cy-deffus  x^ 
•^  yix  —  280  =  G.  Les  divifcurs^ 
de  iSo*  (ont  i*  2-  4.  5.  y.  8«  lo*^ 
14.  20.  28.  3J.  4o«  56.  70.  14O' 
280*  Se  c'eft  en  tout  1 6  divifeurs.  Je 
fuppofe  jr  =J  j  ■+►  r.  8c  en  fubftituant 
je  troure  f  ^  ^j^  ^  ^y  ^   j — 

jzy  —  72  —  280  =  0.  ou  jf5  -^ 


J^  Arithmétique  @r  Jtjiîgehre*     50^ 

Je  prcns  les  divifeurs  de  3515  qui 
font  I.  5.  9.  13.  27.    39.  117.  3  51» 

Ces  divifcitrs  augmentez  de  runité 
dotiKient  pour  divifeurs  communs  de  la 
première  équation. 

-  2.  4-  lo-  14.   28.  40. 

Ainiî  de  1 6  divifeurs  il  n'en  refte  i 
examiner  que  6* 

Remarquez  que  la  fubftitutîon  eft  inu- 
tile pour  augmenter  de  1  unité,  careom- 
me  il  ne  s  agit  que  de  trouver  rabfoltr 
3  5  r  •  Je  le  trouve  en  ajoutant  72  a  200-' 
éc  retranchant  i.  de  la  fbmme  352* 

Et  généralement  il  n'y  a  qu'à  ajouter 
i.  l'abfolu  les  abfblus  qui  ont  même  fi* 
gne ,  ic  retrancher  les  abfblus  qui  ont 
un  figne  contraire. 

En  fiippofant  x^=^j  —  i .  on  trou- 
ve en  fubftituant  j^  —  ^jj  -+-  3J  —  1 
•—  72;i  -•-  72  —  80  t=;  o 
ou  y^  —  ^jy  —  69y  —  209  =î  o.    - 

Les  divifeuis  de 209  font  !•  1 1. 19^ 
209.  Lefqaels  étant  diminuez  dune  u- 
nité>  il  refte  poux  divifeurs  communs» 
10.  18.  208. 

Or  il  n'y  a  que  lo*  qui  (c  trouve  par- 
mi les  divifeurs  de  280.  donc  ou  la 
«ft  la  racine  cherchée  ,  ou  il  n'y  en  z 
point  de  rationellc. 

Oa  peut  s'épargner  k   fiibftitatip]»  , 


jro4  NcMveasé»  ElemMs 

pat  —  I .  Car  on  ne  cherche  que  Tab- 
lolu  2  09»  &  pour  cela  il  faut  (buftrai-* 
fe  die  Tabfolu  2.80.  tous  les  abfblus  des 
Jegrez  impairs  de  même  ligne  ;  &c  tous 
les  abfolus  des  dcgrez  pairs  de  difFerens 
fignes,  &  ajouter  les  a&folus  des  degccz 
pairs  de  même  figae ,  &  les  abfolus  des 
dcgrez  impairs  de  différent  fignc. 

Ainfi  dans  Texemple  propofc. 
ix^  — *  71  ;r  H-  280- 

J'écris  280  H-  I — 7Z=7,o^. 

De  U  formathn  des  Equations  fmvan$ 

€ttn  methodcr 

Si  Ion  fuppofc  X  -^  4  =3  o 

X  -^  t  :=z  O 

X  *— '  c  5=3  o*  Se  c^=s 
4  •♦-  i,  &  qu'on  multiplie  continuel- 
lement ces  trois  équations  Tune  par  TaU'- 
tre  s-  on  trouvera 

^*  *  -4-  dbx  —  abc  Œ  o*^ 
-—  a  ex 
^^  bex* 
Et  parce  que  c  =z  a  -^  h. 
donc  4C  -k-  bc=s  da  -f-^  lab  h-  ie: 
donc  -f.  4*  ^^c  —  yc=i  —44  —  4^ 
—  i^.  Donc  la  formule  a:'—  dx —  k 
î=s  0  eft  formée  de  trois  racines  ,  deux 
négatives  &  uûe  pofitivè  >  dont  les^  deux 

négatives 


et  Arithmétique  &  d^Algehre.     joj 
négatives  jointes  cnfemblc  font  égales 
4  u  poiitive. 
*r  -H  et 


^bx 

X  '^  c 

x^  H-  dxx  -+■  4ibx  —  abc  =:  o» 
-»-  bxx  —  acx 
—  r^AC  • —  cbx 

En  formant  de  même  les  autres  équa- 
tions on  prouve  ces  grandes  maximes 
de  l'Algèbre. 

1  ®.  Que  toute  équation  a  autant  rfe 
racines  que  Texpofant  de  la  haute  puifl 
fance  a  d'uni tez. 

z^.  Qu[il  y  a  autant  de  racines  pofi- 
tives  qu'il  y  a  de  fois  de  changemens 
des  fignes  +&*—,&:  autant  de  raci- 
nes fauflcs  qu'il  y  a  de  foi«  le  même  fi- 
gne  deux  fois  de  fuite. 

Cccy  ne  doit  s'entendre  que  ^ts  é- 
quations ,  dont  toutes  les  racines  font 
réelles  &non  pas  des  équations  où  il  y  a 
des  racines  imaginaires. 

3«.  Qu'en  changeant  les  fignes  des 
degrez  impairs ,  toutes  les  racines  pofi- 
tivcs   deviennent  négatives  ;  &  toutes 

Vv 


^o6  Npuveânx  EUmenî 

les  négatives  dcriennent  poficives. 

4®-  Qiî/n  augmentant  ou  en  dimi- 
nuant les  racines  d'une  équation  fans  les 
connoître  »  pat  la  fubftitution  d'une  nou- 
velle inconnue»  fi  l'on  augmente  d'une 
quantité  égale  i  une  racine  négative  >  & 
fa  Ton  diminue  d'une  quantité  égale  à 
une  racine  poficive,  l  on  diminue  le  norxi^ 
bre  des  racines ,  &  par  confequent  on 
abbaifle  l'équation  d  un  degré  par  l'cva- 
noSilTcment  du  dernier  terme. 

Et  s'il  y  a  plufîeurs  racines  égales  on 
abbaifle  d'autant  de  degrez  qu'il  y  a  de  ces 
racines  égales. 

ç*.  L'abfolu  du  fécond  terme  eft  égal 
à  la  Comme  des  racines  >  &  fi  ce  terme 
eft  nul>  c'eft  que  la  fommc  des  racines 
pofitives  eft  égale  à  la  fommc  des  raci- 
nes négatives. 

é®.  L'abCblu  du  troifiéme  terme  eft  c- 
gal  à  la  fomme  des  plans ,  contenus  fous 
chaque  deux  racines. 

y^.  L'abfolu  du  quatrième  terme  eft 
égal  à  la  (bmme  des  folidès,  compris 
fous  chaque  trois  racines  -,  &  ainfi  des 

autres. 

8*.  Le  dernier  terme  ou  l'abfolu  eft 
toujours  égal  au  produit  g;>àtinucl  de 
toutes  les  racines» 


Chapitab     VI. 
De  U  mctbade  dt  Mediéuitn. 

LA  Methcxlc  à^MidUtion  ,  confîfte 
à  prendre  pour  racine  de  l'équa- 
rion   propoféc  un  nombre  plus   grand 
&  un  nombre  plus  pcttt  que   l'une  de» 
racines  pofitives ,  ce  qui  eft  fort  aifé  ;  en 
prenant  d'abord  i.  &  10.  oii  i.  &  100. 
ou  I.  &  1000.  on  fûbftitu'c  l'un  de  ces 
nombres  à  la  place  de  Tinconnuc  dan* 
1  équation  préparée  où  le  premier  terme 
cft  ^- ,  &  tous  les  termes  font  égaux  k 
zero.&s'ilnctefte  tien,  le  nombre qu'oa 
a^  pris  eft  une  racine  cfact chée ,  s'il  rcfte 
quelque  chofe,  o^  ce  rdbc  eft  poficifoa 
il  eft  négatif. 

S'il  eft  pofitif  le  nombre  qu'on  a  pri» 
eft  trop  grand,  fi  ce  reftc  eft  négatif,  Jc 
nombre  qu  on  a  pris  eft  trop  périt. 

%\  ce  nombre  eft  trop  grand  ,  fl  faut 
en  prendre  la  moitié  &  fubftitucr  de 
nouveau  cette  moitié  en  entiers  j  &  U 
moitié  de  cette  moitié  i  l'infini  iofques 
»  ce  qu'on  trouve  un  refte  négatif. 

Si  le  refte  eft  négatif,  iî  en  faut 
pïcndrç  le  double  ,  &  Je  double  da 

Vvi; 


5^8  NoHvéMX  Eiemens 

double  à  l'infini  ;   &  le   fubftîtucr   ju^ 

Sues   i  ce  qu  on  uouve  un  refte    p*o- 
cif. 

Lors  qu'on  a  une  hypothefe  qui  don- 
ne un  refte  pofitif ,  &  une  hypothèse  qui 
donne  un  refte  négatif.    La  première  eft 
tsop  grande,  &  la  féconde  trop  péri  te; 
il  faut  prendre  pour  rK>uveUe  hypothcfe 
la  moitié  de  leur  fomme  ,  6c  continuer 
de  même  jufques  à  ce  qu'on  trouve  une 
hypothefe  fans  refte  qui  fatisfait,  ou  deux 
hypothefes  qui   ne  différent  que  d'une 
unité  y  dont  l'une  eft  q:op  grande  ^  Yûxu' 
tr<e  trop  petif  e^ 

Exemple* 

Soit  réquarion  x^  —•  ^yox  «^  xy^ 
S3B  o-  Cette  équation  ne  peut  être  ré- 
solue par  aucune  formule  ;  car  on  n'ea 
a  point  trouvé  pour  les  équations  au  de- 
là du  quatrième  degré. 

Je  fuppofe  AT  ç=  I.  &  il  eft  évident 
que  cette  racine  eft  trop  petite,  car  en 
fubfti tuant  on  trouve  . —  84^1  sss  o.  Je 
fuppofe  X  =  I  o*  &  en  âioftituant  je 
tcouve. 

X  00000  —  Î700  ~  17 j  ==  o* 


€)UI 00000  —  5975  OU 


Jt  Arithmétiqfii  &  d^At^hrel     i(Oc> 

D  où  Je  conclus  que  i  p  cft  trop  grand 

^  I  trop  petit.  Je  les  ajoute  cnfcmblèi 

cefi  1 1*  dont  la  moitié  en  entiers  eft  5. 

j€  fubftituc  y  &  je  trouve 

3125  — 2850  —  275  fi==  o 

ou        o   =^  O* 

D*où  je  conclus  que  y  eft  la  véritable 
facine  de  l'équation  propofée. 

Second  Exemple* 

Sort  réquation  x^  ^  l  J  7  Jr  — . 
^48357  s=  o- 

Je  iuppore  AT  sss^  I  b*  &  je  trouve  en 
fubfiituant. 

i 00000 -h-  2370  —  ^483^7  ==^o. 

ou  102370  -*-  648357=  o 

ou    ' —  545987  c=:  o- 

D'où  je  conclus  que  10  eft  trop  petit. 
Je  fuppofe  X  =  20.  &  je  trouve  en 
fubftituant. 

j2doooo-*r474o-*6483  yT^o-^ 

3104740. 
—  648357 


rir  ^556383  ï=  O*  Doù  je  conoliM 
que  20 {eft  trop  grand.  J'ajoute  10  fc 
^o»  9c  ie  ptens  la  moitié  de  la  fomme> 

y  Y  iij 


fié  N^itviâMx  Eltmens 

c  cft  I  ^  •  qoe  je  fiibftitue  à  la  place  d V> 

te  fe  trouve 

Il  refte  -4-  d  ou  je  conclus  ^«e  i  5  cS 
trop  gtAodi  mais  10  étok  trop  petit» 
c  eft  fonrquoy  j'ajoute  î  o  &  15»  c*cft 
%^.  dont  je  prens  la  moitié  c'eft  ijl.  qae 
je  rid»ftituc  >  &  je  tconve 

14873X  -f-  184^-^^483  57  c=s  o. 
cpi  me  donne  ^—  d'où  je  conclus  que 
j  X  eft  trop  petit  &  1 5  trop  grand  ,  j'a^ 
joute  I X  &  I  <  ,  &  la  fommc  27.  je 
^eos  4a  ii>oit»c  13.  ^qiK  je  iubfticuc  & 
|e  trouve. 

3701.93  -*-  3051^-^^483^7  =  o. 
qui  me  donne  encor  —  d'oà  je  conclus 
que  13  cft  trou  petit;  mais  i(  étoic 
trop  grand»  il  faut  donc  que  14  (bit  la 
Terit^2!ç  racine  ou  il  n'y  eo  a  point  de 
rationeÏÏe.  Je  fufaftiiuë  1 4.  &  je  trouve 

5378x4  H.  3318  — -648557  =  0. 
qui  me  donne  encor  *—  d  ou  je  conclus 
que  4a  taciae  cherchée  eft  entre    14 

&  15. 

Cette  méthode  eft  uo  peu  Ismmty 
mais  on  eft  alTuré  de  trouver  1  la  m  la 
racine  cherchée ,  ou  le  nomhre  qiti  en 
«pfHfoche  le  t^s  Vil  ti'y  :a  point  de  ta* 
ciae  esafte. 

lAfflés  awiriONMi^  «necacioe  (bitf^^ 


fitivc,  foit  négative  (  car  on  peut  fi  I  on 
veut  fuppofer  un  nombre  négatif*,  &  (ub- 
ftituer  conformément  à  cette  hypothefe  ) 
il  faut  divifer  Téquation  par  .j^  -*-  la  ra- 
cine négative  ou  par  x  —  cette  raci- 
ne pofîtive  *,  &  on  abbaifTera  l'équation 
pour  le  moins  d'un  degré ,  te  on  opére- 
ra de  même  (ur  l'équation  abbaiifèe  pour 
trouver  les  autres  racines. 

Remarquez  qu'il  n^^ft  pas  toujours  ne' 
celTaire  de  faire  la  fubftitution  entière , 
parce  qu'il  ne  s'agit  que  de  voir  (i  le 
nombre  qu'on  a  pris  cft  trop  grand  ou 
trop  petit.  Or  on  le  peut  jtiger  d'abord 
&  tres-(buvent  par  le  premier  terme. 

La  difficulté  eft  de  former  d'abord 
des  hypothe{ès  ,  <]iii  approchent  à  peu 
prés  de  la  valeur  kt^  racines  cherchées; 
ic  pour  cela  il  faut  fe  fèrvir  àt%  limita- 
tions propres  à  chaque  équation ,  ou  de 
la  méthode  que  Monfieur  Rollc  appelle 


y  V  iilj 


yii  N$0veéMx  Etemens 

Chapitkb     VII. 

Méthode  des  CdfcdJes. 
Ulcipliez  chaque  terme  de  Vé- 


'M 


quation  par  Ton  propre  expo* 
(ànc,&(livi(<!Z  le  prodaic  par  l'inconnue. 

x^.  Multipliez  tous  les  termes  de  cei* 
te  nouvelle  équation  ,  chacun  par  ion 
czpo(ânt  ;  &  le  produit  par  le  double  de 
iTinconnuë* 

}.^.  Multipliez  de  m&me  tous  les  termes 
de  cette  nouvelle  équation  ,  chacun  par 
fon  expofant.  Et  divifcz  le  produit  par 
le  triple  de  l'inconnue)  Se  ainfi  de  fiiite 
lufques  i  ce  que  vous  n'ayez  qu'une  é- 
quation  du  premier  degré ,  chacime  dç 
ces  équations  s'appelle  Cdfcdde. 

La  petite  hypothefe  fera  toujours  ze-^ 
ro  »  &  la  grande  (èra  le  quotient  duplus 

Eand  ab(oIu  négatif,  divifé  par  raoib- 
du  premier  terme  ;  &  fi  la  diviGon  eft 
exaâe  il  faut  augmenter  le  quotient  d'u- 
ne unité ,  û  elle  n'eft  pas  exaûe  il  faut 
prendre  le  nombre  entier  prochaine- 
ment plus  grand».        . 

Dans  toute  équation  égalée  à,  zéro» 
il  y  a  toujours  quelque  terme  négatif» 
fi  il  y  a  au  moins  une  racine  poétive» 


J^ Arithmétique  &  JtjUfelrél  ^  fij 
mais  s'il  n'y  en  a  point  il  cît  aifé  d'y  en 
introduire  ,  en  changeant  les  lignes  de» 
termes  impairs.  Et  remarquez  que  l'ab- 
(blu  ou  le  dernier  terme  dont  l  expofant 
eft  zéro,  eft  cenfé  avoir  un  expofant  paiQ 
&  c(ue  les  racines  négatives  deviennent 
pofitives  par  ce  changement  de  fignes. 

La  premieie  cafcade  donne  deux  hypo^ 
the{ès>  favoir  o*  &  le  quotient  cy-deaus* 

La  féconde  cafcade  aura  trois  hypo^ 
thefes  )  o  »  ce  quotient ,  &  (on  quotienc 
propre. 

Par  ces  trois  hypothcfes  cxtrcmts  on 
trouvera  fes  deuic  racines ,  car  la  fecon^^ 
de  cafcade  eft  toujours  du  iècond  de- 
gré j  &  entre  chaque  deux  hypothefes» 
dont  Tune  eft  certainement  trop  grande, 
&  l'autre  certainement  trop  petite  ,  on 
trouvera  les  véritables  racines  par  la  me<« 
thode  cy-deflus  de  Médiation  ,  ou  d' 
proximation  par  (ubftitution. 

Les  racines  de  la  féconde  cafcade  fet-^ 
viront  d'hypothefes  moyennes  ï,  la  troi- 
.ficme  cafcade  t  &  celle  de  la .  troifiéme  4 
la  quatrième  \  &  ainfi  de  fuite  jufques  2 
la  dernière  qui  eft  l'équation  propofée» 
dont  les  racines  doQ&econt  les  racines 
cherchées.  .^  » 


jfi4  NûMedMx  EUmnê 

Eximfk. 

Soit  l'éqaadon  propofée. 

/  ~a,7^^  ^.  93<^7 -•  3780  -cs=  o, 
ce  c  cft  la  troiueme  cafcade. 

Je  la  multiplie  par    3.     x.      j.       ^. 
&  jcdivifc  le  produit  par  jf,  le  quociem 

^^377  ~  "47-^  9i6  =0.  fccoa- 
oe  cafcade. 

Je  la  mulriplie  par  %.  i.  o.  &  je  divi- 

fc  le  produit  par  ijf,  le  quotient  cft  3^  — 

57=^  o-  î^y  ^onc  pour  première  caicadc. 

37 —  J7=  o-  Ses  hypothefes  font  o 

&  19-  =   7     '*  féconde  cafcade   cft 

^J7  —  1 14;  -*-  93^  at=  o.    Sc«  trois 
nypothefcs  fi>Qt  o.   15.  &  39  es  ^^^ 

r»-  I. 

^  Par  o*  &  1 9*  je  trouve  qu'use  des  r*- 

•ctnes  de  4Ctttt  (èconde  caicade  cft  1 1.  & 

par  I  ^  &  2  9.  je  trouve  que  l'autre  cft 

•  Sr^.  enfin  dans  la  troifiéme  caicade  les 

hypothdfcs  extrêmes  ibnt  o«  &  ?7Sl 


£t  jr  joignant  les  racime^^de  la  cafca- 
de précédente  i%  ic  %6*  Je  trouve  les 
^quatre  Jiypothrfcs   o.   12.  %6.  3781. 
entre  o.  &  1  z.  je  trouve  6  :  entre  i  %, 
fci6.  je  trouve  2i:entreztf*&378i. 
;e  trouve  3  o.  Ainfi  les  trois  racines  cher- 


rchécs  de  l'équatioa  propoféc. 

y  —  5777  -^n^j^  3780  =  o. 
Sont  ۥ  XI*  ic  30* 


Cbapiths     VIII. 

Meth^t  de  PUte* 

LA  metliode  de  Viete  conlifte  à  ré-^ 
foudre  les  équations  qu'il  appelle 
fffeEtéis ,  c'eft  i  dite  où  il  y  a  des  ter- 
mes moyens  »  i  peu  prés  de  même  qu*on 
^efbut  les  éqaations  funs  »  où  il  n  y 
a  que  deux  ternies  \  favoir  l'inconnue 
^un  côté  Se  rabfoki  de  l'autre. 

La  méthode  oirdinaire  pour  le  fécond 
•degré  eft  la  pius  fimple  de  toutes. 

CeHe  de  Viete  commence  à  être  d'i^ 
jâge  dans  le  troifiétne  degré  ,  fur  tout 

r»ur  le  oas  irreduââtJe ,  &:  elle  s'étend 
tous  les  degrez  à  ri^fini.  On  fuppofb 
féquatîon  préparée ,  c'eft  si  dire  delivréiî 
de  fra£kions  &  d-incommenfùrables  y  de 
labdEoIu  de  la  hatute  pailTance  réduit  i 
i  unité.  On  ùxp^Çt  rineoimu^  de  plus 
d'uB  chifce ,  pasce  que  lors  qu  elle  n'eft 
Sjpit  d'un  ohth?e,<Be  ^  (i  aiféel  trou*- 
ror  ^'il  ne  faut  point  pour  cela.de  me^ 


5Yff  NûUffediix  Itemns 

thodC)  de  même  que  dans  l'extraâîoiî 
de  la  racine  quarrée  &  de  la  racine  cu- 
bique 9  on  fuppofe  qu'on  fâche  par  ccsur 
les  neuf  premiers  quarrez ,  &  les  neaf 
premiers  cubes. 

Il  eft  au  moins  toujours  aifé  de  trou- 
ver ctxtt,  racine  exprimée  psu:  an  fêut 
chifire  par  la'  méthode  de  Médiation  >  ex- 
pliquée dans  le  Chapitre  6. 

On  divife  Tabfblu  de  droite  â  gau- 
che ,  de  deux  en  deux ,  Ci  ic'eft  une  équa- 
tion du  (econd  degré  ou  de  trois  en 
trois  >  G  c  eft  une  équation  du  troifiéme 
degré ,  &  ainfi  de  fuite.  On  divife  les 
autres  abfolus  i  proportion  de  leur  di- 
menHons  >  &  on  fe  règle  par  le  plus  grand 
dans  fon  genre.  On  fuppofe  l'inconnue 
égale  â  un  binôme  a-^  by  dont  a  mar- 
que le  premier  chifre  connu,  icb  tnai> 
^que  le  fécond  chifre  de  gauche  à  droi- 
te, &  qui  eft  inconnu.  On  fubftitue  fui» 
vant  cette  fuppoiition  ,  &  on  égale  ce 
qui  refulte  au  nombre  donné*,  afin  dé 
crouvf^r  un  divifeur  ,  mais  on  néglige 
la  puiflance  pure  de  h. 

Le  quotient  étant  pris  pour  ^>  on  ô- 
te  le  produit  &  on  regarde  enfaite  a 
M-  bi  comme  un  feul  nombre  4\  &on 
fuppofe  de  nouveaux  x  ^s=^  4  -i-  ^  »  ou 
b  marque  le  trpifiçmç  chifre  ^  ic  ainfi  de 


d' jiri^metiqHe  &  dAlgehrel  517 
fuite  jiifques  à  ce  qu'on  ait  trouvé  la  ra« 
orne  ou  le  nombre  qui  en  approche  d'à-* 
vantagc. 

Premier  Exemple» 

Soit  i'cquation  x^  =  5:834;^  -h 
19^00.  ou  x^  —  5834^  =  19500» 
qui  eft  dans  le  cas  irreduâiibte.  ' 

X*.  Je  divifc  19Ç00.  en  deux  tran* 
dies.  19  I  joG.  de  trois  en  trois ,  par- 
ce que  c'cft  un  folide. 

i^.  Je  divife  Tabfolu  Ç834.  dçdeu^ 
en  deux ,  parce  que  c'eft  un  plan. 
•  3®,rexamine  quel  eft  la  plus  grande, 
ou  de  la  racine  cubique  de  1 9,  ou  de  la 
racine  quarrée  de  58.  &  trouvant  que 
c'cft  la  racine  quarrée  de  ç8.  dont  la  ra* 
cifte  approchée  eft  «7.  Je  prens  7  pour 
premier  chifrc  de  ma  racine  qui  doit 
avoir  deux  chifrcs  à  caufe  des  deux  tran-»- 
ches ,  ainfî  7  font  des  dixaincs. 

Je  fuppole  Ar.s=5  4  -+-  ^  =  70  -4-  ^. 

Et  fubftîmam  cette  valeur  dans  l*cgaîité 

X^  —  5834^=   I9JOQ. 

Je  trouve  342000  -♦-  14700Î  -i-iiotb 
-+.  *  5  s=^  x\   Se 

—  498380—  5^834^  =  ^  5834;^; 


5iS  ÏToHvedMx  Elemenf 

ou  %%66h  -f-  ziobb  -f.  i)  «  84S 80. 

Je  prens  pour  divifcur  8866  -i-  xio 
en  négligeant  i»^  »  &  comme  s*il  n^  avoit 
que  88^6^'    -4-    210 ^^   &  je   dis    en 
84880-  combien  de  fois  90J69   ôc  je 
prens  pour  le  quotient  t  un  nombre  plus 
petit  ,  parce  qu'il  faut  que  non  (êule- 
ment  88 66* -H    iio*  puiflc  être   ôté 
fliîe  8a88o*  mais  il  faut  quon  puilTe    d- 
ccr  8866*  -h  ziotb  -+-*^  Ainfi  je  ne 
prens  que  8  =5  *  que  je  fubftituë  ,  &  je 
trouve  84880  =  84880. 
,  D*où  je  conclus  que  la  racine  cfaer« 
chéecft78« 

Second  ExemfU. 

m 
/ 

Soit    Tcquation    x^    -+-    3004?=* 
384C638,  je  divifc  3845638  en  deux 
tranches  38I4.5638.&  parce  qucTab- 
folu  3  00  cft  ac  quatre  dirocnfions  5   Se 
qu  il  n*a  qu  une    tranche  ,  n'ayant  que 
trois  chifres,  je  me  règle  par  ribfolu 
38  I  45638.  &  je  prens  pour  prcmic- 
i;c  figure  de  la  racine  cherchée  la  jjaci- 
ne   cinquième  enfenncc  dans  38  :  c'cft 
X.  &  ce  font  des  dixaincs. 

Je  fuppofc  donc  ^  s=  20  n-  ** 

Et  en  fubftituant  je  trouve 


d' Arithmétique  &  d'Algehri.      $19 

3200000  -H  800000^  -H  80000^^ 
-f-  4000^*  H-  100^*  H-  ^J  -+.  6000 
•f-  2  00^*  OU 
3206000-+-  800500^-+-  80000^^' 

-*-  ^oQob^  -*-  1 00^*  -i-  ^^  =:  3  845  63  8 
il  iefte8ô0300^  -4-80000^-4-4000^?, 

-4-  lOOi*  -1-4^=5  639638. 

Je  prcns  pour  divifcur  884400* 

800300 

-4-  80000 

•4-  40QO 

-4-  100 


884400  ce  qui  me  doiW 
ne  moins  d'i  pour  quotients  d'où  )e  coiw 
dus  <^e  la  racine  cherchée  eft  entre  20 

&  21. 

Cccy  peut  fuflSte  pour  donner  une 
idée  de  cette  méthode»  qui  a  été  ex- 
pliquée fort  au  long  dans  tous  Tes  cas' 
jufques  au  quatrième  degré  inclufive* 
ment  par  Thomas  Harriot  Anglois,  qui 
a  faitjà  deffus  un  gros  Volume  in  fo* 
lio.  (9l  doit  en  coi  matières  fe  con-* 
tenter  de  prendre  tout  Tefprit  &  toute 
la  fleur  de  ces  (brtes  d'inventions  ,  Sc 
laifTer  la  peine  du  détail  avis:  Calcula 
teurs  de  pi gftifioiii 


V 


51C  Nouveaux  Elément 

jldditUns  &  écUirctffemens  fur  qH^l^ues 

.  tndrMs* 

CHap.  I.  pag.  I.  il  y  a  des  unitez  r/^/« 
les ,  comme  lors  qu'on  defîgne  un 
tel  ècre  oa  une  telle  manière  d'ètxt  ;  un 
homme  y  nnfony  &cc.  &  désunirez  arti^ 
trdires  >  comme  lors  qu'on  die  nne  Kor 
tion  )  une  armée ,  &ç  ce  fenc  des  tous 
Moraux  compofez  de  panies  réellement 
feparées  ;  &  qui  ne  u>nt  pas  de  même 
nom  que  leur  tour>  mais  que  Tefprit  unit 
fous  diâfer ens  rapports.  Nous  n'avons  les 
premières  idées  àt^  nombres  au'à  ^l'oc- 
cafion  de  plufîeurs  fenfacions  cfifFerentes 
ou  diftinâes  de  même  genre*,  &  qui  con- 
yiennent  au  moins  ibus  l'idée  générale 
derètre. 

Cliap.  1.  pag,  4.  ligne  17,  ÏVnité  féiit 
une  effece  de  nombre  À  part  >  parce  qu'eJ-  . 
le  a  ptufieurs  proprictez^qui  ne  cQ|^ien- 
nentpas  aux  autres  «lombres  &  JPcon<- 
traire  »  c'eft  pourquoy  Moniteur  Barrou 
dans  fes  Commentaires  fur  le  7.  8  &  9 
Livtes  dts  Elemens  d'Euclide  diftineue 
dans  plufîeurs  propofitions  celles  où  la** 
nicé  eft  prife  pour  nombre  »  &  celles  où 
elle  n  eft  pas  prife  poiu;  poxobxc.  ^ 

.Chap«4« 


JtArithmetiéfue  &  d'AIffirf.      jsi 

Chap.  4*  page  19.  l'expreffion  dtsnonv- 

htcs  qui  eft  demonftrativement  U  plus: 

iimple  ôc  la  plus  naturelle  eft  celle  àe^ 

points  qn     , 

deux  : 
trois,  : 
quatre  |    &c. 

Ainfi  pottr  eYprinier  2341  9  j'écris 
rois  ;^  i.  :  •  niais  afin  que  cette  ex- 
preiCon  fût  commode  &  praticable  ,  il 
faudroit  que  la  progreflton  au  lieu  d'ê- 
tre de  dix^n  dix»  ne  fut  ^ue  de  j  en 
5  ,  &  qu'on  exprimât  les  zéro  »  ou  k» 
places  vuides  par  autant  de  points  ho- 
rizontaux d'un  rang  plus  élevée  Par 
exemple  pour  exprimer  5,  zj  »  ilf^ 
61^  >  &c.  i'écrirois  .•,.••,  .  •  •  •» 
•^  •  •  •  •  y  &c.  il  eft  évidem  qu'cin  ne 
fauroit  imaginer  d'expreflîon  plus  Cm- 
{4e  8c  plus  abbregée  que  «elle  des  points^ 
,êc  qu  il  y  a  ti!nr  rap^rt  naturel  entre  Vex- 
preifîon  &  la  chofe  exprimée  >  lors  qu'on 
exprime  un  par  un  point  y  deux  par  deux 
points,  8cc.  £c  de  même  une  dixaine  » 
deux  dixaines  y  &c.  une.  cent  aine ,  deuxr 
€entaines9&c«r  pat  un  poim; ,  deux  pointSr 
êcc.  avec  les  n^arques^  1  es  plus  hmples^ 
qu'il  foit  poffible  de  leur  va  leur  r 

Page  %o.  \iffxç^,^.fuw4fft  €em 

Af  X 


511  NoMVéSdHx  EltmeMS 

frcjji§m  GiométriqHt ,  c'cft  i  dire   qu'aa 

lieti  d-CAp&Hnet  aiufi  lt%  nombres. 

no  I* 

dix  I  o 

cent        J  oo 

mille      I  ooo 

mittii»^  'loooooo 

billion    I  ooo*  ooo*  ooo 

Cfiilîon    X  000*  ooo*  ooo*  OOO* &c« 

On  les  expânaeroit  de  cecce  manière, 

un  I 

^ix         X  o 

cent        loo 

mille      ico.oo* 

milKon  loooo*  oooo* 

billion    I  oooooooo*  oooooooo* 

trillxon   loooooooooooooooo. 

<ooooocoooooooooo*  &c. 

où  le  nombre  des  zcxo  va  toujours  en 

doublant. 

Page  if^.  pour  démontrer  par  exens* 
pie  que  2)  571  eft  divifible  par  9.  par* 
<eque2-^-3H-Ç"+-7"+-ie=i8,  & 
Cfue  I  -♦-  8  =  9  ;  voicy  comment  )c  rai- 
ibnne  23^71  eft  la  même  choi^  que 

20000  -f-  5000  -4-500  -♦-70    -♦-    !• 

Or  par  la  Table  cy-deflos  il  eft  évident 
<jae  20CCO  étant  divisé  par  9 ,  il  rcftc 
2  :  que  3000  étant  divisé  par  9  il  re- 
fte  3  :  que  5^00  étantdiivt^é  par  ^  il  ce^ 


i'Afitimefiijtiê  &  /jUgelri.  ^j 
fie  J,  &c.  donc  23  Ç71  étant  divisé  par 
^,  il  tcftcra  2-*-3-i-5-i-7-i-i.  donc 
fi  X  -♦-  3  -^  5  -H  7  H"  I  =;  1 8  cft  divi- 
fiblc  par  9.  Le  nombre  donné  23  571 
fera  aufli  diviiible  par  9.  &  fi  ce  refte 
n'eût  pas  été  divifible  par  9  ,  mais  qiî'ft 
y  eut  un  fécond  refte» le  nombre  donné 
ti'auroit  -pas  été  divifible  par  jp ,  &  il  y 
auroit  eu  le  même  refte.  C'eft  le  même 
raifonnement  pour  les  nombres  diviiibles 
par  j. 

Pages  241.  243.  &  244*  cette  mé- 
thode eft  d'Oughtred  j  &  en  voicy  lape- 
monftration. 

Dans  la  Regle^  de  trois  i  oooo<> 
80902:  3987J.  32260*  il  faudroit 
luivant  la  Keglegénérale  multiplier  8090I 
par  39875  >  &  divifer  le  produit 
^it^96yi<0  par  looooo.  ceft  adi- 
ré qu'il  faudroit  retrancher  de  ce  pro* 
duit  les  cinq  derniers  chifres  67250,8^ 
que  le  quatrième  nombre  cherché  (êrcit 
32259  ^jy^  ^^  ^  peu  prés  en  entiers 

J\zi6oy  mais  parce  qu'on  prévoit  que 
es  cinq  derniers  chifres  67250  font 
inutiles  »  puis  qu'ils  doivent  cjtre  retran- 
chez ,  on  peut  s'épargner  toutes  les  opé- 
rations qui  les  produifent;  &  pour  cela 
je  ne  multiplie  que  les  tioipfares  dont  îe 
fnx>duit  eft  égal  ou  piss  grand,. ou  ap^ 


5^4  NouDeâHX  ÉïemeHs 

prochant  de  looooo-  Or  8090  ir  cft 
la  même  chofe  que  80000  h-  900  -*- 
X.   Se  3987$   cft  la  même   chofè  que 

â 0000  -H  9000  H-  800 -H  70  -I-  5- 
c  commentant  par  30000  »  je  vois 
qu'en  le  multipliant  par  1 ,  il  ne  produit 
que  60000  >  mais  parce  que  éoooo  cft 
plus  grand  que  la  moitié  de  looooo* 
Je  retiens  i.  &  je  continue  de  mulcH 

ÎÙer  8090  par  j  ,  &  aii  produit  ^4x70. 
'ajoute  cet  i.&  j'écris  24271-,  qui  rc- 
prefente  24271  ooooo^ùu  plutôt 

1,427060000- 

Je  palTe  enfuite  au  fécond  chifre  du 
mulciplicateiir  qui  eft  9.    &  qui   vaut 
9000»  Bt  afin  que  fon  produit  (bit  égal 
ou  plus  grand  ou  approchant  de  i  ooocx^» 
il  faut  que  je  le  multiplie  par  un  nom^ 
bre  de  centaines  >  ou  du  moins  par  un 
nombre  de  dixaines  »  ainii  je  multiplie 
feulement  809  par  9»  &  j'écris  Icpro- 
duit728i»qui  rcprefcnte728iooooo 
produit  de  80900  par  9000*  ou  plutôt 
il  me  reprefente  728 1 1 8ooût   produit 
die  80902  par  9000.  &  ain£  du  tefte. 

Page  }oj.    RegU  ginérédê* 

Voicy  l'origine  de  ces  formules ,  (oit 
réquation  propofée  en  entiers  aP  =  4? 
Hh  ^  »  &  que  X»  ibit  plus  grand  ou  plus 

jpetir  que  A  de  rnoins  dTune  upité*^   Je 


Jt  ArithmHiijHe  &  itAtgehrel  jïj 
foppofe  z,  Tsst  ^  a  -%-  X.  donc  X  vaut 
.plus  que  -j  4  *—  I  ou  moins  que  ^a  -+- 
I .  j'élevc  ce  binonae  ^  iH-  a:  à  la  puif- 
iance  f  ;  &c  j'ay  dans  le  quarré  x,  2»  =: 
-|  4ii  -H  4x  -4-  Ar;c  =î  44  :!:  bv  Se  dang 
le  cube  j'ay  &'  5=»  |  ^^  -♦-  \asx  -^  ^ 
sxx  -*-  ;tfî  t=  4î  :*:  ^. 

s  Je  forme  de  la  puiflance  de  ce  bino*^ 
me  deux  fommcs  alternatives  en  pre- 
nant le  premier  ,  le  troifiémc  ,  le  cin- 
quième termes,  icc.  d'un  côté  •,  &  le  fé- 
cond, le  quatrième ,  le  ifîxiéme,  &c.  ter- 
mes d'un  autre  côte.  J'égale  chaque  fom- 

ttie  a       —     5  d'où  je  tire  les  valeurs 

diVf  &  pat  ronfequent  de  z*  racine  ap- 

f>rochéc«  Et  en  continuant  l'opération 
ur  les  mêmes  principes  &  les  mêmes 
formules ,  on  trouve  une  (iiite  indéfinie 
de  racines  qui  approchent  toujours  de 
plus  en  plus  à  Tiniini. 

La  raiton  pourquoy  la  puiflance  entiè- 
re du  binôme  étant  égale  à  4P  ^  ^ ,  j'éga- 
le chaque  fbmme  alternative  à  la  moitié 
de  4P  :+:  b.  C'eft  que  ces  deux  fonames  al- 
ternatives font  fcnfiblement  égales  &  à 
moins  d'une  imité  prés.  Car  ba  —  ^=a 
c,  &que  riEbit  une  fraâion;  toute  pui^ 
fance  d  4  — «  4  fera  auflî  une  firaélion.  Ot 
iâ  puiflance  d'4  r^  b  ^9t  femblable  à  là 


^x6  Nouveaux  EUment 

EiMTancc  homogène  d'à  ^  b^  8c  route 
i  différence  confifte  en  ce  que  tous  le& 
termes  de  celle- cy  font  pofitifs ,  &  ceux 
àc  l'autre  font  alternativement  pofitifs  & 
négatifs.  Le  cube  d'4  -h  ^  eft  4^  h-  3  aat 
-f-  ^skk  -f-  i'i  le  cube  d^  —  b  cft  é^ 
•—  ^aab  -♦-  ^dib  —  b^.  donc  fi  a  Cvuc» 
pafle  h  de  la  quantité  c  »  4'  h-  3  ^^^  fur- 

J»aflcra  3  m^  -*-  ^J  de  ci ,  c*eft  a  dire  que 
a  première  fomme  alternative  furpaflera 
la  féconde  de  moins  d'une  unité.  Or  par 
l'hypothcfe  dans  le  binôme  74-+-  jc  î  - 
4  furpaflc,  ou  eft  furpaffé  par  x  de  moins 
d'une  unité;  donc  dans  k  quatre  j  ma 
-^  MX  "i-  xxy  Se  dans  l'équation  ^  sa 
j-*-  MX  -î-  XX  :=s:  MA  -^^  b  ')c  puis  égalcT 

\  d4  -H  xxy  Se  MX  chacun  a    ^"^  ~t 

&  égalant  4*,  je  trouve  ;c  =  -^  4  :*: 

~  ,  &  par  confcqucnt  *  2=3  |  4  •+-  jir 

ssz  é  ^  — ,  &  dans  le  cube  j'ay  |  4* 

V  l4;r;f  =  -ii^  Sclasx-i-  x^ 

•==:  — ^= — .   Le  Problème  cft  plus  que 

déterminé,  puifquc  fay  deux  équations 
&  que  je  n  ay  qu'une  inconnue  ;  &  ope^ 
çant  fuivant  la  Règle  de  ces  Problèmes, 

je  trouve  ;r  ==  |  4  -+■      t^    l  >  &  P» 


JC Arithmétique  &  J^jilgehre.      517 

confequcnc  «,  =  4  -♦-  — ^ — r  >  &c, 

.  Page  45}.  ligne  14.  24;y  —  A23  s= 
^z,«»  =sii^Mr,  une  des  valeurs  at  dans 
cecce  équation  fimple  eft  6  >  car  24  fois 
3  6>  moins  423=5864^—423=441 
quarré  de  21  >  &  puifque  ^x  -^  1%^=^ 
3  6f  on  trouve  at  «=»  7  &  &  =  7.  Je  ne 
marque  pas  comment  on  peut  refondre 
ces  équations  fîmples  du  fécond  degré  :+; 
axyç  -^  y  r=:jj.  Ces  équations  font  tou- 
jours infolubles ,  lorfqu'elles  fe  réduifent 
i  divifêr  en  deux  quarrez  en  &aâions  > 
un  nombre  qui  n'eft  pas  compofé  de  deux 
quarrez  en  entiers  -,  ainfi  6  —  xx  *=  Hf 
cft  une  équation  infoluble.  Dans  les  au- 
tres cas ,  lorfque  m  ou  b  font  des  quarrev 
pofitifs,  il  fera  toujours  aisé  de  les  re- 
îbudre ,  comme  Téquation  cy-deflus  jjjr 
^^  z  v=:  Hu.  Mais  lorfque  ni  4  ni  ^  ne 
(ont  des  quarrez  poiîcifs  ,  on  pourra  (é 
fervir  des  Règles  particulières  que  je  don- 
iieray  dans  lellecciiil  ^ts  nouvelles  Dé- 
couvertes ;  &  qui  font  trop  longues  6c 
trop  difficiles  pour  trouver  place  dans 
<des  £lemens« 

FIN. 


é^t 


ERRATA. 

PAgc  14.  ligne  18.  vingt'HH ,  delc. 
Page  ij.  lig.  i.  ^imc'Un  >  lifez  visfte^ 
deux. 

Page  jj.  lig.  11.  4j#i,lifer  231^. 

Page  103.  lig,  \6.  U  faufirsOia^  doitt 
lifez  la  divifiùu  doit. 

Page  Ï07.  lig.  20.  différentes  à  prap&f^ 
tioH  »  lifez  en  frofortion  différente* 

Page  190.  lig.  li.  dhi  lifez  dF. 

Page  131.  lig.  15.  mefuré^jQ.  lifez  «y^ 
furé  far  10. 

Page  3}i.  lig.  i«  rjr4r/i^ii  / ,  lifez  rÀf^ 
tmn  k^ 


XrrRES  DÉ  MATIÏEMATI^E^ 

Imprimez»  9   û$$  qui  fi  trouvent  chex^r 
Jeak   JaMBERT,  frés  des  AugH*" 
,  Pins  >  4  l'Image  Nétr^Dame* 

TRaîcé  Machcmacique>  contenant  lc%  princî-^ 
pales  Définitions^  Problèmes  &  T heoremes 
'  .-d'£aclide>  r  Arithmétique  en  tontes  Tes  par «• 
tics  y  la  Trigonométrie,  la  longimetrie ,  U 
*  Planimetrie  &  la  Stéréométrie^  les  Fortifica- 
tions FrançoiLe  ,   Hollandoife ,  Italienne  ic 
Efpagnole ,  la  maaierc  d'attaquer  &  de  d«f- 
>  fendre  les  Places ,  la  Perfpeâilvc  Militait e>& 
la  Géographie  UniTerfcUe  par  T.  Luders  9  in 
fol. 
Les  dix  Livres  d*Arehîte^re  de  Vitruve  par  M^ 

Perrault,  fol. 
Les  Oeuvres  Mathématiques  de  5tcyin>  in  fol. 
Les  Oeuvres  d'Architeâure  d'Antoine  le  Paul- 

tre,  foL 
La  Dioptrique  Oculaire  du  P.  Chérubin  ,  fol. 
Traité  du  Jardinage  ,  eancfai  de  divers  deflein»- 

de  Parterres  >  par  Bojceau^  in  fel. 
Méthode  pour  bien  dreâer  toutes  fortes  deCom* 
ptes  à  parties  doublesj  par  le  fîeur  Irfon  ,  fol^ 
Les  Oeuvres  Mathématiques  de  Marolois  >  foL 
Tables  Agronomiques  de  Lanfberge  ,  fol. 
Fortifications  du  Chevalier  de  Viilt  >•  fol. 
Artillerie  de  Cafimir  ,  fol. 
Mctopofcopie  de  Cardan  ,  fol. 
Fortifications  de  Dogèn  >  fol.  • 

Les  Edifices  Antiques  de  Roihe  par  M«  des  Gb» 

detz,  in  fol. 
Afiâfié^  PhilofffphiéL  M^themstic^  Befini ,  fol.  Sr.  %■ 
l^fiorgii  Cof{Hf^  ,  fol. 
idc  mni  T(^ogr0{hiii  G/tlliê  y  4  vol.  folr 


"BucUies  Commâniini ,  fol. 

Z>f/i?>  &  Offeft^  dcOe  Fiaxxe,  di  Jkrium  ,  fbf. 

Liwes  di  KMfigétion. 

Le  petit  Flambeau  de  la  Mer ,  ou  le  Yciitàbjc 

Guide  des  Pilotes  >  4« 
Le  Tiefor  de  la  Navigation>par  filondel  »  4. 
L'Art  de  navigec  par  le  Quartier  de  reduâioD^ 

par  le  Compas  de  proportion,  par  filondel  y  4; 
Le  Pilote  Expert ,  par  Dacier ,  4. 
L*Arcbiteâure  Navale  qui  enfeigne  la  conilm- 

âiion  des  YaiQ'eaux,GailereSj&c.par  Dacier^» 
Le  Didionnaice  de  la  Marine  >    S. 
Traité  des  Pratiques  Journalières  des  Pilotes». 

pat  Cordier ,    S. 
journal  de  Navigation  ,  par  Cordier ,   8. 
Tables  Aftronomiquc»^  de  Pagan,   4» 
XJfagcs  àts  Globes ,  de  Blacu  «    4. 
Oeuvres  du  P.  J.  François. 
Projet  d'une  nouvelle  Mécanique^ par  Mofifieur 

Varignon  ,    4. 
Des  principes  de  i*Architcâare ,.  de  la  Sculpcs» 

re  >  de  la  Peinture  &  des  autres  Arts  qui  en- 

d^ependcntj^  par  Monfieur  Fclibien  «   4. 
Pratique  Générale  &  Méthodique  des  Changea 

étrangers  t  p^  Monfieur  Irloa. 
Archimedié  Opers  «  4-  "> 

A^oUonii  Pergâi  CûnicM,  ^  Bkrrfitêi 

Thêpdêfii  SfhtrUa.  J 

*«—  tjfifdem»  LeBioms  Oftiau  (^  Giêmitrké ,.  4^ 

ArgcliEpbemerides^  3   vqI*   4* 
Primum  mobile ,  %.  voU  j^ 
Ptolomàus  pdrvfés  ,  4, 
De  diebuâ  Criticit, 
fmndtfiwk  SthéLrkm ,  4. 


CA/afi  MechanicâfHm  ,  m  4. 

De  Menjleur  Ozanam» 

Cours  de  Mathématiques»  qui  comprend  toutet- 
les  parties  de  cette  Science  >  divifé  en  /.  voL 
in  8.  ou  font  les  Elemens  d*£uclide  »  l'A- 
lithmetique  4  la  Trigonométrie  >  les  Tabler 
dé  Sinus  >  la  Géométrie ,  Théorique  &  Pra* 
tique ,  la  Fortification ,  les  Mécaniques  >  Iz 
PerfpedHve,  la  Géographie  ,  la  Ghomoniquc 
ou  Sciences  des  Cadrans  :  tous  ces  Traitez 
ce  rendent  en  corps  ou  ftparement. 

Kccreations  Mathématiques  Se  Phyfiques  j  qui 
contiennent  plufieurs  Problèmes  d*Arithme-^ 
tique  ,  de  Géométrie  ,  d'Optique>  de  Gnome- 
nique,  de  Cofmojgraphie  »  de  Mécanique ,  de 
Pyrotccnie,  &  d?Phyfique,  avec  un  Traitfe 
nouveau  dts  Horloges  Elémentaires  ^  x.  y.  (^ 

Oeuvres  d'Henrion, 

Les  Tables  deMoncoyal  r  4* 

Les  quinze  Livres  dts  Elemens  Geometriquet 

d'Euclide,  4. 
Les  mêmes  en  deux  vol.   t. 
Les  Memoites  Mathématiques»  z.  vol.  S. 
L'Ufage  du  Compas  de  Proportion,  nouvelle  Er 

dition^/ 
Les  Triangles  Spherîques  de  Theodofe  ,  S , 
L'Utkge  du  Mccometre  &de  la  Bouffolc^  8v 
La  Gcomctric  d'Errard  ,   8.  i 

L'Arithmétique  de  Chauvcr»  par  du-  Lac  ,  t, 
Cofmoeraphie  Univerfcllc ,   8. 
Ufage  des  Globes,  par  Hiies  ,  8. 
Cofmologie  du  Monde  >   8*. 
ïogocanon  ou  Règle  proportionnelle  ,  f, 
Artillerie  de  Dàvèlourt  ,  ». 

Jif^iti  Aftl^logiquc  de  B.«uxtZ4tt ,  8^