Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles ...

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NOUVELLES ANNALES

MATHÉMATIQUES.

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On sonsont aussi

A ANGOULÊME. . chez Pebez-Lbcleb.
BORDEAUX. . . — Cbaomas.

BOURGES — Vermeil.

BREST — M"' V" LErocftiiiE*.

LILLE — VAit*CKi«E.

LOHIENT — LBiODs-CiSSA»T.

— Pe BISSE frères.
-BB«>.etCi<.

MARSEILLE. . . — M-" V" Camoih.

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MONTPELLIER. — S*wao,e.

NANCY — G. Gbihbu>t ei C".

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ORLÉANS — Gatifeau.

RENNES — Vbbdibb.

( — M"* Flkiirt.
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t — rBODST-BBABDAT.

ROUEN — Lbbbomemt.

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— M— Levb*wi.t.

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TOULON — MoMGï.

— H"" Gaixoh soeurs.

— Pbivat.

leipsig — m1chbi.s8m.

— Baillièbe.

— DuLAu et C", Soho-Square.

MADRID l „

[ MONIBB.

TURIN — Bocc*.

VIENNE — RoBKHAiiN

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NOUVELLES ANMI

MATHÉMATIQVËS.

JOUMÂl m CMDIDffi

AWrX. ÉCOLES r01.VTBiDKMI«llB ET NOKHA&Et

OOciar d« rUalntHIt. DKtnr t> teinta . ProlciMir (m iro\n Nilloulei d'ArllIMria;

TOME DIXIÈME.

PARIS,

BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE

nv KDM'KAD ras LOMamiDis , db l'Acolb polttechuiqur , f.tc.,

Quai des Augiistîns, n' 55.

1851.

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NOUVELLES AlALES

DE'

MATHÉMATIQUES.

MSGOIRS

PrMMcé iui U liuu i'mttttn d« Ch» k Cakd im PnbiUlilti ,

1 UFmlU 4a Scierai, le 23 ttitmïn I85«-,

Pak m. lamé,

Msmbre do l'initttnt.

Avant de commencer le cours dont je suis cbargé, j'ai
besoin d'entrer dans quelques détails préliminaires, poui*
expliquer le r61e qui me parait destiné au calcul des pro-
babilités, dans renseignement fait à la Faculté des

Le faisceau des sciences exactes, des mathématiques
en général , comprend des parties plus voisines des appli-
cations, qui forment, pour ainsi dire, leur laboratoire
d'essais. C'est là que les théories naissent, se complètent
et se perfectionnent; que les procèdes, les instnunenis
dont le géomètre dispose, sont façonnés, tt en quelque
sorte aigoisés, pour les rendre propres à résoodre des
questions qui intéressent les sciences d'observation, la
pratique industrielle, et la société en général.

Voilà ce qu'ont de commun les deux sciences auxquelles
on a donné les noms de physique mathèmatùfue , et de

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(«)

calcul des probabililés. La première s'occupe spéciale-
ineDt des applications qui noocement la nature inorga-
nique, et dont le caractère principal est la coatiuuité;
ce qui réduit le plus souvent son travail à redierchnr
ccriai nés fonctions oontinueB, qui vérifisKt doeonditions
donflée» par d«« équations diltéreniielleB ; c'esi-à-dire à
résoudre des problèmes de pur caictil Intégra).

La seconde science, appelée calcul des probabilités,
ne se borne pas aux faits physiques : elle étudie et com-
pare les nombres donnés par l'expérience, par l'obserïa-
tion , accumulés par toutes les statistiques. Elle déduit de
cette étude , et de celte comparaison , non l'explication ,
ou la succession nécessaiie et indéfinie des phénomènes,
mais seulement les limites entre lesquelles se trouveront,
le plus probablemeut , les phénomènes k venir. Ses don-
nées cl ses i-ésultats sont presque toujours discontiuus-, et
ce n'est que par approximation qu'ils peuvent revêtir la
forme des fonctions continues. Ses conditions sont plus
souvent exprimées par des inégalités que par des équa-
tions. Le calcul infinitésimal ne lui est pas précisément
applicable ; c'est plutdt le calcul direct et inverse des dif-
férences finies. F.n réalité, son arme naturelle est U
théorie des combinaisons , mais beaucoup plus étendue ,
plus générale, que dans l'algèbre ordinaire.

Les grandes découvertes les plus récentes des sciences
exactes , les progrès réels qu'elles ont faits dans ce siècle ,
se rapportent presque exclusivement à la physique ma-
thématique, et au calcul des probabilités. (Car la théorie
des transcencRntes elliptiques, elle-même, peut être con-
sidérée comme un appendice au calcul intégral, que ré-
clamaient la mécanique rationnelle, et les autres appli-
cations de l'analyse i la physique. ) Sur ces deux sciences
sont ventis se concentrer les ellbrts de nos plus illustres
' géomètres, (^'est surioni en les étudiant, qu'une personne,

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(7)
atliréc vers les mathématiques, perfectionnera ses fai:ulté9
spéciales, et parviendra a les utiliser.

Sons ce point de vui?, les deux sciences dont il s'agît
ont des qualités diûërentes : la physique mathématique,
plus diSicilc peut-être, donne plus immédiatement des
applications nouvelles, quand ou est parvenu à la faire
avancer sur quelque point. Mais le calcul des probabilités
c\erce plus efficacement l'esprit de rccherclies , par la va-
riété des questions qu'il se propose, et celle des solutions
qu'il trouve, par l'absence même d'une méthode géné-
rale, qui puisse s'adapter à tous les sujets. Cette variété
et cette lacune tiennent constamment en haleine l'atten-
liou, la perspicacité du géomètre, le forcent à passer en
revue toutes tes ressources, à essayer tous ses moyens
d'action; lutte incessante, qui le familiarise avec les dif-
ticultés de l'analyse, et le rend plus capable que tout
autre de les surmonter.

i.es caractères que je viens de signaler justiâent pleine-
ment r introduction d'un cours de calcul des probabi-
litt^ dans l'enseignement de nos Facultés. Rien ne fait
mieux comprendre l'esprit, le but, la liaison des difl'é-
rentes parties des ma tlié ma tiques , que d'étudier une
science où tous leurs procédés sont successivement rais eu
jeu, pour obtenir les solutions d'une ULultitude de pro-
blèmes nouveaux, très-variés, qu'il sérail difficile de
ramener i un petit nombre de types.

Les autres cours de mathématiques, par leur régula-
rité, leur permanence, par les méthodes générales qui les
constituent, montrent eu quoi consistent Jes anciennes
applications de l'analyse, et comment les géomètres sont
parvenus à vaincre les difficultés qu'elles présentaient.
Mais , à moins de se transformer, et de se lancer dans la
physique mathématique, ces cours classiques , réunissons
la singulière dénomination de mathématiques pures, ne

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(« )

donnent tout an plus que des indications vagues , sur la
marche qu'il faudrait suivre pour aborder de nouvelles
applications. Ils constatent, énumèrent, perfeotionnent
les travaux du passé ; ib ne s'occupent pas des travaux à
venir.

Les savants qui les ont exclusivement étudiés, et qui
sont animés du goût des recherclLes , ou ne trouvent plus
qu'à glaner sur ce terrain des anciennes découvertes, ou
bien consument leurs efibru à s'ouvrir tme route dans
une direction stérile, en quête de quelque théorie, qui
n'a en vue aucune application , et qui ne sera peut-être
jamais d'aucune uulité. Au contraire , qu'ils étudient , en
outre, les deux sciences que j'ai définies, encore incom-
plètes, où il y a tant à faire, dans lesquelles les explorations
commencées signalent tantd'activité, d'originalité, de vues
nouvelles ; ils seront là sur un terrain presque neuf, où la
place ne leur manquera pas, où les applications se pré-
sentent d'elles-mêmes , d'où parfois peu de travail lait
surgir une découverte uûle. Et s'ils retournent aux an-
ciennes théories , pour les étendre et les perfectionner,
Us sauront dans quelle direction il convient d'a^r, quels
genres de progrès réclament les nouvelles applications.

Malgré tant d'avantages incoatesubles , l'existence de
ces cours nouveaux, imparfaitement définis, est souvent
remise en question. Mais , supposons que l'un supprime,
dans l'enseignement des Facultés, tout cours de mathé-
matique qui n'est pas classique, qui s'occuped'une science
inachevée; qu'on le remplace par un cours appelé ^ro-
tiqae, sur un getu% d'application dont les limites res-
treintes sont atteintes depuis longtemps , tel que serait,
par exemple, un cours de géométrie descriptive ; qu'on «e
borne à enseigner comment l'analyse et la géométrie se
sont tirées d'allaire dans Ions les problèmes depuis long-
temps résolus, pour toutes les applications usuelles ^ on

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(9)
satisfera sans doute à l'an des besoius de la pratique, .
mais d'une manière permanente , sUtïonnaire, rétrc^radc
peut-être.

Car, si one nouvelle application surgit, si quelque
pr(d>lème imprévu se présente dans une ancienne appli-
cation, rien dans l'enseignement ne- répondra à ce nouvel
appel fait à la science ; nos praticiens classiques , qui sa-
vaient si bien se servir des instrumenU qu'on leur a mis
en main, les trouveront mueu, inutiles, enconibrants
même dans cette occurrence nouvelle ^ ils seront incapables
de s'en foi^r d'autres. El , si la difficulté est vaincue, ce
sera par quelque voyageur étranger qui , ayant quitté les
routes battues pour séjourner quelque temps sur le ter-
rain des sciences d'exploration, y aura appris comment
les obstacles se surmontent.

D'ailleurs les cours qui embrassent quelque grande ap-
plication, qui s'y renferment scrupuleusement pour la
compléter ou la simplifier, ont une place naturelle autre
part qu'à la Faculté des Sciences : destinés à perpétuer
certaines découvertes scientifiques, ils sont enseignés, avec
Ions les développements qu'ils peuvent comporter , dans
les amphitbéàtres du Conservatoire des Aru et Métiers.
Mais vouloir les substituer k des cours qui , souvent , in-
diquent comment les découvertes se sont faites , se font
et se pourront faire , quelles ressources a la science quand
elle aborde des questions nouvelles , quels instruments il
faut créer ou perfectionner pour parvenir à des solutions;
c'est fermer la porte à tout progrès scientifique; c'est, en
quelque sorte , emprisonner l'industrie humaine , la con-
traindre à se contenter des recolles faites, et l'empêcher
de semer pour en obtenir de nouvelles.

Si l'on coosidère les cours de la Faculté comme plus
spécialement destinés à fortifier, à rompléicr les éludes

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(■■>)

faites par les personnes qui se vouent à l'enseiguemenl ,
il est allé de recoanaitre, dans ce but, l'utilité du cours
qui nous occupe.

Il est un principe évident, quoique souvent méconnu,
c'est que , pour enseigner avec fruit une science exacte , il
faut au moins savoir la science voisine. Ainsi, uul ne
sera bon prafesseur d'arithmétique s'il ne sait au moins
l'algèbre , de géométrie s'il ne connaît l'analyse appliquée,
di; statique s'il ne sait la dynamique, d'algèbi-e s'il n'a
pas étudié le calcul infiaitésimal. Et, dans ces sciences
particulières, se trouvent des chapitres importants et
étendus qui ne peuvent être bien compris , et conséquem-
ment bien enseignés, que par des personnes qui conoais-
si'ut certaines sciences , en général peu cultivées.

Ainsi , la divisibilité, les théories des facteurs, des car-
lés, des cubes, en arithmétique; l'analyse indéterminée
l't les fractions continues, en algèbre, et même l'iuscrip-
lion des polygones, en géométiie , sont bien mieux saisies
par ceux qui savent la théorie des nombres. Ainsi , dans
le calcul înlînttésimal, le choix et l'utiliié des transcen-
dantes et des intégrales définies , les méthodes et les pro-
cédés du calcul aux diiTéreuccs partielles, ne peuvent
i'.lvc complètement enseignés que par une personne qui
eonnait la physique mathématique. F.nfin, la théorie des
combinaisons, celle des factoHelles, le développement
des puissances des polynàmes , les propriétés des produite
d'un nombre indéfini de facteurs, les théories des ap-
pi-oxi mations, des limites d'erreur, et même des séries, le
calcul aux dillérences finies, tant direct qu'inverse, sont
présentés d'nne manière plus complète par un professeur
<jui connaît le calcul des probabilités.

Il est un dernier point de vue sous lequel on doit euvi-
sagiT l'utilité que le professorat peut tirer de l'élude des

3,q,l,ZDdbvG00gIe

. ( " '

sciences d'exploration. Pour le bien définir, Je vais abor-
der, en passant, une question dont on comprendra faci-
lement toute l'actualité.

Depuis longtemps , les personnes qui s'occupent ez-
clnsivemeat de la pratique, font, à celtes qui se vouent à
l'enseignement des sciences, le reproche de développer
trop de thëones; celles-ci répondent que l'on méconnaî-
trait le but élev^ de l'enseignement, en le réduisant anz
règles et aux formules actuellement utilisables. Sujet de
discussion qui menace d'être éternel , entre gens que leurs
intérêts, leurs connaissances exclusives et restreintes,
mettent en opposition constante.

J'ai des amis des deux parts; j'ai vécu et servi dan» les
deux campa ; souvent renié par l'un et par l'autre , lorsque
j'essayais de combattre des reproches immérités , ou au
moins exagérés , et d'opérer une fusion peut-être impos-
sible. Je pense donc être en mesure d'éclairer cette ques-
tion , ei de la réduire à sa juste valeur.

Ou ne saurait trop le répéter, l'étude des sciences
exactes a pour utilité principale et première, de faire
uaiire, d'exercer, de perfectionner le. raisonnement ; d'as-
surer eu quelque sorte son infaillibilité, en l'appliquant
constamment, et pendant de longues années , à des sujets
cpii sont à l'abri de toute controverse. Une personne, bien
f t longtemps nourrie par cette étude , pourra oublier suc-
cessivement les premiers instruments de cette gymnas-
tique prolongée (comme nous avons tous oublié nos pre-
miers sujets de lecture) , mais elle conservera toujours la
facilité de raisonner juste, c'est-à-dire de déduire vite et
sûrement les conséquences d'an principe posé. Quant à
l'art de bien choisir les principes qui servent de base au
raisonnement, les sciences exactes ne l'esei'cent pas; il
faut avoir recours à d'autres études, à celles jles sciences

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( ")

physiques, par exemple, qui complèicnt ce qu'on peut
appeler l'^ucatiou de la logique.

C'est cette utilité principale de l'étude des sciences
exactes qui forine le but le plus élevé et le plus général de
leur enseignement. L'utilité spéciale de chacune de ces
sciences, son application directe, sa pratique enfin, ne
peuvent venir qu'en seconde ligne, car elles exigent im-
périeusement que la condition première soit pleinement
satisfaite.

Ainsi , d'abord des écoles générales , où l'enseignement
des sciences évitera de s'étendre sur les applications, afin
de conserver, de diriger tous ses efforts vers le but prin-
cipal que je viens de définir , plus difficile â atteindre
qu'on ne le suppose généralement. Puis des écoles d'ap*
plication spéciales , où les sciences exactes seront consi-
dérées sous le point de vue de la pratique. Sans cette sé-
paration bien nettement établie, on n'obtiendra jamais
que des résultats incomplets. Les deux systèmes existent
actuellement; qu'on les examine, qu'on en compare les
produits, sans prévention aucune, avec une complète im-
partialité, et je ne doute pas que l'on ne reconnaisse la
supériorité des doubles écoles.

Mais s'il convient que , dans les écoles générales , l'en-
seignement s'occupe principalement des théories scienti-
fiques, il importe aussi, unt pour bien faire saisir toute
la portée de ces théories elles-mêmes, que pour prépa-
rer aux cours des écoles spéciales, d'indiquer les appli-
cations, de les esquisser en quelque sorte , d'établir sur-
tout les principes généraux qui leur servent de base;
principes qu'il serait difficile de saisir, de dégager, s'ils '
étaient, dès l'abord, accompagnés de détails trop minu-
tieux.

C'est pouf se mettre en état de traiter convenablement

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( i3 )
celte'parlie de leur travail , que les personnes vouées à
l'etueignement des matbématiques doivent étudier les
deux sciences d'exploration que j'ai citées. Là se trouvent
recneillîs et coordonnés les travaux des géomètres sur tous
les genres d'application que l'analyse a pu aborder. Ces
travaux sont saus doute incomplets ; beaucoup même ne
sont qu'amorcés; mais ils indiquent les points où la
science s'arrête aujourd'hui , et quels progrès elle doit
faire.

Il ne peut appartenir qu'aux professeurs des écoles spé-
ciales, praticiens distingués dans leur art, de suppléer
aux lacunes actuelles d'une analyse rigoureuse, par des
formules empiriques qu'ib reconnaissent comme suffi-
santes pour la pratique. Si , sous prétexte de rendre plus
complètes les études préliminaires des écoles générales par
rapport aux applications, on introduit ces formules em-
piriques dans les cours de théorie, on détruira d'un cdté
ce que l'on aura fait de l'autre, caria rigueur du raison-
nement en sera relâchée. L'élève verra beaucoup trop tAt
qu'en fait de sciences , on peut se contenter d'k peu près ;
il en conclura que, chercher mieux, serait se donner des
peines inutiles, et les progrès des sciences exactes oe tar-
deront pas à s'arrêter.

Pour éviter cette décadence imminente, il importe de
préserver au moins la Faculté des Sciences de l'envahisse-
ment, de la tendance exagérée et exclusive des cours ap-
pelés pratiques. Que les sciences exactes continuent à y
développer leurs théories , complétées par l'indication des
applications actuelles et futures , mais en s'arrêtent où
cesse la rigueur mathématique. Que les travaux des géo-
mètres sur les aouvelles applications y composent des
cours, nécessairement imparfaits, mais OÙ l'esprit de re-
cherches trouve aliment et excitation.

Je m'arrête à ce vœu,>et je conclus, des ditTérenU points

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( i4 )
t{ucj'ai imités, que le calcul des probabilités doit être en-
seigné ici , comme un comi^ément indispensable et utile
aux autres cours de matbématiqnes ^ comme présentant ,
par la nature et la variété de ses probUanes et de leurs
BolutioDS , une sorte de résumé de toutes les ressources
de l'aïuilyse; comme mettant sur la voie de plusieurs ap-
plications, constatant la nécessité de certaines théories ,
indiquant les progrès qu'elles doivent faire

fiXPOsmoN m u mèivom db n. CAUcnv

Pnr le cilcil,^r ippiiailini! siccessim cerUiies, drs mÎKs
titlhi dts ^islitns algjbriqies. — Conaent cette minit le rJJiil i
celle deNewtoB, quid la aétbode de KiewloB tsi ippliuble. — CaracKre
udjtiqie siifle el sir uqiel n reuaiitt <\it h ■^thode Je Nrvtn
esla^liublcj

Pas m. i'abhé HOIGNO,
Aumônier du Ijcèe Lnuic-le-Grand.

La l'ésolulioit dus équations algébriquc-s compi'end
quatre grands problèmes : i" démontrer que toute équa-
tion a une racine', a" déterminer le nombre des racines
comprises emre deux limites doniiées ; 3" séparer les ra-
cines ; 4" enfin calculer la valeur numérique de ces racines.
M. Cauchy a eu le bonheur et la gloire d'arriver le pre-
mier à des solutions vraiment élémentaires, simples et
praticables de ces quatre problèmes.
. On n'a rien ajouté è sa ^monstration du théorème , ^ue
toute équation algébrique a une racine; cette démonstra-
tion seulement n'a pas été préscniée encore sous la forme
extrêmement simple qu'on peut lui donner. Je le ferai
bientôt dans ce Journal.

M. Slurm a rendu plus facile, théoriquemcnl parlant,

3,q,l,ZDdbvG00gIe

( .5)
le calcul du DombVe des racines rfetli-s comprises entre
dei limites données. Ds ibod câlë,j'Bi publié, en partant
des principes établis par M. Canchy, la démonstration la
plus naturelle et la plus directe, non-seulement du théo-
rie de M. Sturm, mais des théorèmes analogues de Des-
canes, Rolle, Budan, Fourier, etc., et même du théorème
de M. Giucby relatif au nombre des racines imaginaires.
M. Terquem a bien voalu insérer, dans les NouifeUes
Annales, un abrégé de mon Mémoire (t. III, p 188);
je lui donanderai de revenir moi-même sur ce sujet, et
de rammer ma démonstration à des termes tellement
simples , qu'on soit désormais forcé de lui donner place
dans l'enseignement.

Il y a pins de trente ans que M. Caiu:hy nous a appris
à calculer immédiatement, sans qn 'il soit nécessaire de
recourir à l'éqtiation aux carrés des difTérences , une quan-
tité pins petite que la différence entre deux racines quel-
conques d'une équation algébrique, et, chose extraordi-
naire, incompréhensible, c'est h peine si le magnifique
Aéorème du plus grand mathématicien des temps mo-
dernes commence k pénétrer dans nos traita élémen-
taires; c'est à peine si on l'a bien compris. Je vois avec
la plus vive douleur que l'un de dos jetnMs professeurs
les plus distingués et les plus prt^ressifs, M. Joseph
Bertrand, dans son Traàé élémentaire d'Algèbre qui
vient de paraître, n'a pas même indiqué l'admiraUe mé-
thode de calcul des fonctions symétriqBes des racines
d'une équation , méthode sur laquelle repose la séparation
des racsnes.

Enfin voilà quatorze ans que les Comptes rendus des
séances de l'Académie des Sciences renferment la so-
lution, simple à l'excès et tout à fait élémentaire, du
quatrième problème abordé , sans assez de snccès , il faut
bien le dire , par les géomètres les plus éminents , l-a-

:,.;,l,ZDdbyG00gk'

( "M

grange, Poisson, l-'ourier, etc. Cette solution me Ait
adi^ssée de Prague par M. Cauchy, avec ce préambule :
n La mëthode/pie je vais exposer est tellement simple,
qu'il j a lieu de s'étonner qu'elle ne se soit pas présenter
plu» tôt à l'esprit des géomètres. D'un autre côté , elle est
tellement générale, qu'elle fournit immédiatement des
valeurs aussi approchées qu'on le désire de toutes les
racines réelles des équations algébriques , souvent même
des équations transcendantes. Enfin les approximations
successives sont DOD-«euIement ti-ès- faciles, mais encore
très-rapides^ aussi rapides, pour le moins, que dans la
méthode newlonienne , et il arrive bientàt un moment où
le nombre des chiffres décimaux est plus que doublé à
chaque opération nouvelle. » M. Caiichy ajoutait : n Les
avantages de la nouvelle méthode sont tellement sensibles,
qu'ime fois livrée au public , elle ne peut manquer , ce me
semble, d'être adoptée et mise en pratique par tous les
amis des sciences. »

Qu'est-ilariivé cependant; j'ai livré au public, en iS35,
ce procédé si élégant, si simple, si sAr, et les trop nom-
breux traités d'algèbre rédigés depuis cette époque lui
sont restés fermés, et il est à peine deux ou trois profes-
seurs ou amateurs qui le connaissent, tant est forte la
tendance de l'homme à ne prendre pour guide que l'habi-
tude, la routine et ses petites pensées.

Avant d'exposer la nouvelle solution avec tous les dé-
veloppements qu'elle doit et qu'elle peut recevoir , je crois
devoir la réduire à sa plus simple expression.

Voici d'abojd l'énoncé analytique et géométrique tour
à tour du problème proposé.

Énoncé analytique. On a trouvé une première valeur
approchée a de la plus petite a des racines réelles 'd'une
équation donnée/ (x) ^o, comprises entre a et A, et l'on
demande une seconde valeur plus approchée a, de cette

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( '7 )
niéoieraviDea. I.a pieoiière valeur approchée a peiit ëtro,
si l'on vtfut, la limite inférieure / des racines de Téqua*
tion proposée, limite que Ton calcule ïmmédiatemeut, et
l'o» pent prendre pour A la limite supérieure de ces
mêmes racines.

Le problème pourrait encore s'énoncer analytique ment
coomie il suit : Etant dunnée une première valeur appro-
chée ddela plus petite a des racines de réquation_/(x) = o;
former, en partant de a et àef[x) := o , une équation
du premier degré dont la racine unique a, soit une va-
leur plus approchée de a que a.

Enoncé géométrique. La courbe représentée parTéqua-
tionj- =/{x) passe par le point M[x= a,y = 6 =f[a)j ,
et l'on demande de mener une droite qui parte de ce même
point , dont l'ordonnée soit toujours plus petite en valeur
numérique que l'ordonnée de la courbe , et qui , par con-
séquent, rencontre l'axe des x plus tôt que la courbe
Y^f{x),oxxen unpoînt dont l'abscisse .r^ a, soit com-
prise entrex^a etx ^ a.

JDîsoDS-le franchement, ce problème, si simple dans
son énoncé analytique ou géométrique , a épuisé , jusqu'en
i836, les forces des mathématiciens les plus habiles, et
Fourier en a fait implicitement le sujet d'un gros vo-
lume sans le résoudre ! 11 est donc vrai que les diflicul-
téslesplusabordables en elles-mêmes, soûl souvent celles
dont on triomphe le plus tard, et que le génie seul peut
les surmonter. Les bras tomberont aux lecteurs de cet
article quand nous leur aurons révélé le mot de l'énigme;
iU n'en croiront pas à leurs yeux , ils penseront peut-être
que nous plaisantons.

Solution. Pour plus do simplicité, nous supposerons,
ce qui est toujours permis, que la racine « est positive,
et quey{o), ou l'ordonnée du point de départ, est elle-
même positive.

;li». de Malhémai.. t. X. (Jinvier iS^i ) '*■

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(i8)

F (x) sera, comme od sait, une fonction entière. Décom-
posons-la en deux parties, l'une if [x) formée de l'en-
semble des termes positifs, l'autre x {^) formée de l'en-
semble des termes n^atils; nous aurons

et cbacune des parties f(x), ^ (^)> prise séparément, croî-
tra indéJiniment avec x , ou quand x passera de la valeur
a i la valeur A. Dès lors, si l'on donne ix dans f (x) ou
dans la somme des termes positifs sa plus petite valeur a ,
dans -/^ (x) ou dans la somme des termes négatifs sa plus
grande valeur A , et que l'on prenne la différence

cette différence sera, dans l'inUTralle de a à A, toujours
inférieure aux valeurs de F (x) ; on aura donc

et, par suite, puisque, dans l'intervalle dont il s'agit,
X — a est positif ,

/(')>/(") + '".('-«).

La fonction donnée /'(x) et la fonction du premier de-
gré _/' {a) -t-m, (x — a) out ainsi entre elles les relations
suivantes: i°pourx=a, elles prennent la m6me valeur
posîtîvey(a); a" la fonction du premier degré , positive
au départ, a une valeur numérique toujours inférieure à
relit dey"(x); donc, quand/" (x) sera devenue zéro poui-

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( "9)
x = ae,]» qa«inilé/{«) + m, (x — a) sera devenue né-
gative, âprèss'étre évanouie pour une Tateuro, de x com-
prise entre a et «( , et donnée par l'équation

d'où l'on tire

a, est précisément la seconde valeur plus approchée de la
racine c En désignant par o, , Hi , d» , . . . des valeurs dé-
duites de a, , a, , a, comme a, l'a été de a , on obtiendra
une série de quantités

(w, ' ' ni, ' ' m, ' '

qui approclieront de plus en pins de la plus petite racine a\
on pourra donc calculer cette racine avec tel degré d'ap-
proximation qu'on voudra.

Géométriquement. La droite y =y (a) -f- m, (x — a)
partj comme la courbe y =f[x) du point a: =o,
Y ^f[a), et son ordonnée est constamment plus petite
que celle de la courbe; elle rencontrera donc l'axe des j-
plus tôt, et l'abscisse de ce point de rencontre est la valeur
pins approchée de la racine a.

Si l'on se rappelle que la corieciion donnée par la mé-
thode de Newton est, dans le cas que nous avons consi-
déré, — ??7^?>/' (J") élan! le polynôme dérivé de/(x) ,

nn verra que la nouvelle correction ne diOëre de l'an-
ciense que par la substitution à/'(a), de la dil^rence
o(a) — ;((Â) aussi facile k calculer. Mais la nouvelle
correcùon eai certaine, tandis que l'ancienne était a«u-
vent incertaine, et étonnait quelqueFets de la véritablr
i-acinp au lieu d'en rapprocher.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( >«)

Oti déinoatrûfacîletaei)t,et l'on irouve démon ti'ée dans
plusieurs Algèbres élëmenUires, la formule suivante :

6 {x — a) indiquant une fraction de {x — a), ou 6 un
nombre plus petit que l'unité. En comparant cette équa-
tion à celle qui définit F (x),

/(')=/(»)+('-■>)»(■■),

ou voit qu'entre a et A , la valeur de F {x) est toujours
une des valeurs que prend la dérivée/" (x) dans ce même
intervalle.

Si l'on décompose y (j:) comme on l'a fait de F{j:) en
deux parties , l'une X (x) formée de l'ensemble des termes
positifs, l'autre — (t (x) formée do l'eusembledcs termes
n^atîfs, on aura

/(') = !(») -!-(«). /•(«) = l'W- ,,'(:,).

Déplus, comme la différence X' {a) — ^' (A) sera, dans
l'intervalle de a â A , plus petite que toutes les valeurs de
la dérivée; cette même différence sera aussi toujours plus
petiteque F {x}, etl'on potu-ra la prendre à la place d<;
/M,, l.a correction devient alors

V(«)-,'(A)'
tandis <pie celle de Newlon est

-/»

la différence consiste doue dans la substitution de la lîmili-
supérieure A à la limite inférieure a dans la somme des
termes n^alifs; et cette substitution suffît pour que l'ap-
proximation, incertaine d'abord ou mètne illusoire, de-
vienne certaine ci rigoureuse.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(,, )

Et voilà le secrel qui , pcndaut iiois siècles, a érhaj^pf^ à
toutes les investigations des g^mètres !

Considérons le cas patlicnlier où le polynôme dérivé
f{x) est toujours croissant ou toujours décroissant entre
les limites a, A, c'est-à-dire le cas où le polynôme dérivé
de second ordrey" (x) est toujours positif ou toujours né-
gatif. La valeur de départ V (a) — fx' [a) dans le premier
cas , ou lorsque le polynôme dérivé est toujours positif; la
valeur d'arrivée A' (A) — f*' (A) dans le second cas, ou
lorsque le polynômedérJvéest toujours décixiissaat, seront
inférieures à toutes les valeurs de F (x) ; on pourra donc
faire

".=>■(")-(''('>) »"

»,, = l'(A)-p'(i),

et la correction sera

-/(») /(«) .

-/(") /(«)

'-(-l-l-'l-) /■(«)

l'(A)-/(Al /'(A)-

i:e sont précisément les corrections indiquées par Newton,
La nouvelle méthode , aussi simple en elle-même et d'une
efficacité absolue, comprend donc comme cas particulier
la méthode de Newton.

Mais existe-t-il un caractère analytique facile, auquel
OD puisse reconnaître sûrement que la dérivée seconde est
toujours positive ou toujours négative ? Ouï , et ce carac-
tère, si longtemps poursuiviparFourier, ressort sans peine
des considérations qui précèdent. On a

/•(.)=r(^)-f-(.)i

et si l'on fait tour à tour, dans la somme Jes termes posi-
tifs a: = a, x = A, dans ta somme des termes négatifs
-r'^ A , .r =: a, on obtiendra deux dilférences,

i"(<')-z"(A). l"(A)-z"('').
dont la première est évidemment inférieure, la seconde

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(")

évidemment supéricui-eà toutes les valeurs de /"(j:) — fx" [x]
ou dey^" {x) , dana l'intervalle de o à A : doue si ces deux
diiTéreiices, l'une inférieure, l'autre supérieure à toutes tes
valeurs de la dérivée seconde, sont toutes deux de méoie
signe, la dérivée seconde elle-même conservera constam-
ment le même sipie ; et , par conséquent , pour être sûr que
cette dérivée seconde est toujours positive ou toujours né-
gative, il suffit de voir si te rapport

!"'(.)-,.'(*)
i-st positil'; le caractt-i'e uhercKé est donc

Je ne saclie pas qu'il y ait dans Thistoire des malliéma-
liques un exemple plus frappant d'abord d'uue somme
énorme de force vive dépensée presque en vain pour éta-
blir le plus facile des théorèmes, pour résoudre le plus ac-
cessible des problèmes ; puis, d'tme inspiration plus heu-
reuse, d'un bonheur plus inouï. On avait construit un
levier immense pour soulever un atome qu'une paille suf-
fisait à jeter au vent! Je me trompe, la théorie des fonc-
tions symétriques, que je rappelais au commencement de
cet article, est un fait de ce genre plus étonnant Cncorej
car , cette fois , le problème était en lui-même très-ardu.
Ces inspirations , ces bonheurs arrivent surtout à M. Cau-
ehy, et, qu'on daigne le croire, elles sont le caractère el
l'apanage du génie.

C'est une boflue leçon de philosophie des sciences que
de faire remarquer les petits artifices de calcul, de décom-
position ou de raisonnement qui amènent ces grands
triomphes, ces succès inespérés. La théorie et le calcul
(Içs fonctions symétriques découlent de cotte lemarqu»

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(»■■> )

liis-ridicule en apparence : Si l'on divise un polynAmc
entier F (a) par un autre polyn6ttic entier/ (a) nul en
valeur numérise, ou tel que l'on ait/(a) = o, le reste de
la division sera ^al à F (a).

Geqni a rendu possible et excessivement simple le cal-
cul d'une valeur certainement plus approchée de la racine,
ce qui a permis d'établir le caractère auquel on reconnaît
que la méthode de Newton est applicable , c'est la décom-
poMtion, au premier aspect sans portée, de F (x) en deux
parties , l'uue f [x ) formée de la scnnme des termes posi-
tifs, l'autre X (^) formée de la somme des termes néga-
tifs.

Voilà tout le secret, ou la clef qui a permis d'ouvrir
ces trésors si longtemps cachés.

n BOUS reste, et cela ne sera pas inutile, à donner une
rédaction pins déuillée, plus complète, plus savante
rie cette excellente méthode que tous doivent connaître,
admirer ei pratiquer.

NMntitss pkKiiRRs Riunrs

Pao.BJ.EiiE. Trouver combien il y a de nombres pre-
miers avec tm nombre N et moindres que N.

Lemme I. Sît y a K noiubres premiers avec un nom-
bre A et moindres tpie A , il y a mK nombres premiers
avec A et moindres que m. A.

F.n eMbt, A' étant un nombre quelconque moindre
que A , pour que /i A -H- A' soit premier avec A , il faur

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( M)

m il suffit que A' soit premier avec A. Par suite, entm
deux multiples consécutifs de A , » A et [ n + i ) A , il y a
K nombres premiers avec A, Or, par hypothèse, de
o H A il y a K nombres premiers avec A ; de o à a A il y en
a donc aK , do u à 3A il v en a [ÎK ,..., de q à m A il y
.■n a m K.

Leinine 11. A éiaui un nombre quelconque, et p un
nombre premier absolu qui ue divise pas A, s'il y a K
nombres premiers avec A et moindres que A, il y a
K.(/) — i) nombres premiers avec A./* et moindres
que A^.

En dlet , d'après le lemme 1 , il y a K/^ nombres
premiers avec A et moindres que kp; parmi ces K^
nombres, il nous faut supprimer les multiples de p
premiers avec A et moindres que Axp. Or, pour qu'un
multiple nxp de />,soit premier avec A et moindre
que A, il faut et il suffit que n soit premier avec A et
moindre que A. 11 nous sulîGt donc, pour obtenir les
multiples en question, de multiplier successivement p par
les K nombres qui sont premiers avec A et moindres
que A. Si parmi les K^ nombres, ci-dessus indiqués,
premiers avec A et moindres que Ax.p, on supprime
ces K, multiples de p, il reste Kp — K = K (/» — i)
nombres premiers avec A xp et moindres que Ax;»-

iVous allons maintenant résoudre le problème proposé.

Décomposons N en ses facteurs premiers, et soit
y ^a-bPcf

Tout nombre pi-eniier avec JS" est premier avec aie, et
réciproquement i de sorte qu'il nous suAil de chercher
combien il y a de nombres premiers avec al>c et moindres
que N ^abcXa''~'b''-'c-'~'....

Supposons qu'il y ait K nombres premiers avec tihc et
moindres que ahc: il v aura Kti"~' h''"' c''~' nombres

:,.;,l,ZDdbyG00gle

("5)
premiers avec abv et moindres que N (lemme 1) ^ il nous
faut trouver K.

Il y a a — i nombres premiers avec a et moindres
<|uc(i, savoir i, a, 3,..., a — i. II y a donc(ii — i) [b — i)
nombrespremiersaveco^ et moindres que a& (lemme U);
il y a (a — i) {b — i) (c — i) nombres premiers avec
abc et moindres que abc.

K^{« — i) (fi — i) (c — i), et, par suite, le nombre
demandé relatif à N est donc

("— )(»-')(«-')""»^'"--

■ Note. Voir Gauss , Distjuùitiones, § 38. Nous donne-
rons prochainement une formule, consignée dans Crelle,
pour trouver la somme d'une fonction symétrique des
nombres premiers â A et moindres que A. O. T.

SOLUTION BE LA OVKSTIM Si
Pu M. Akmuid hue,

ProfïSMur d'bjdroffraphie a Itajonne.

La question doit £tre rectifiée de la manière suivante :
a, fi, c étant les trois côtés d'un triangle sphérique, et
e l'excès spbérique , on a

i + cos3fl+ co>x6 + coiac + Sa cos' - cos' - cos' - sin' -

2 3 3 2

=:oos{(i+* + c)-|-cos(a-f- b — c) + cos((H-c — i)
-hcm(b +c — a).

Oéntonstration. On a d'abord , comme on sait ,
r = A + B + C— (8o°,

:,.;,l,ZDdbyG00gIe

( ^6)

(Coà

. e A+B + C

un - = — CM ■

3 3

IMveloppant oos i l'aide des formules con-

uues ( Delambre) ,

. A + B C""^ A+B . C ""^

' ' »5

3

a

il vient

. C C

a-b

rt + J

-- .| (■

9

s

d'où l'on lire

sin-C08-=:

sin^sin^sin

C

et, par suite,

Exprimons sin'C en fonction des c6t«s du triangle ;
noue aurons

. ,„ _ (oose — cona cm by

«n'C=l — TOS'C= I — ! : : j '-

_ [i — cos'fl) (i — cos'é) — cos'c — cos'acns'/' + ïœsavoilia»r

tin' a an' b
1 -t- 2C0»a cosb coic — cos'a ^ cos' b — cos'c

_• 4t:osacos&coic — ros ia — cos3 6 — cosa-c — i

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( »J)

Porianl cette valeur dans l'équatioD (i), et réduiiant,

on obtient

,« b c . ,e

i+co8afl-4-co8îo + cosat-i-3acos'-cos'-co8'- sin'-

2 3 2 3

^ ^aoiac<Mbco%e^iii:oi[a -f- 6] coac + acoa(ii — b)coie
= coa(<) + i -+ c) -(- cou (a -I- 6 — c) + c(«(a+ c — b)
+ cos(i-f-c — a).

>g lea ttoHFaiiei Ann

ReCHEKCUES SUR LZS DROITS SUCCESSIFS DES ENF&STS HA-

TURELs; par M. Louis Gros, docteur eu droit, avocat
à la Cour d'Appel de Ljon. Paris, i85o^ in-8° de
1 44 pages.

La question qui fait l'objet de ces Recherches a déjà
ététraitéedaoalesiVou^e//ej^Rna/ej, tomelV, page -j53^
L'auteur, à la fois jurisconsulte et mathématicien, cliose
rare ( * ) , discute avec beaucoup de sagacité les opinion^
de ses devanciers , et appuie les siennes propres par d'ex-

{*) Rare en France, msU pie eo Europe. Aiiiii, en Angleterre, le cé-
lèbre lord Broncham, ancien avocat, culUra les hautes mathématiques
et la haute phTaique. Il y a encore d'autres personnages considérables en
oc pajrs qai se livrent aui Eciences. L'Allemagne possède l'illuatro baron
Aleiandre de Humboldt, et vient de perdre le célèbre sèlénoBraphe Gull-
lanme Béer , frâre de l'illustre compositeur; il était banquier. Dans l'an-
denne Trance, le maître des requêtes Viète, le président su Parlement
Fermât, le gentilhomme Deacartes, le marquis de llldpital, le Hnancier
Pascal père, le rentier Pascal flls, le rentier Desargaes, le minime Mer-
•enne , l'oratorien Hallebranche, élndiaient les mathématiques pour rlUi-
mAsti. Aujourd'hui, nousnelesétudionsque pour répondre i deseiamens
cl nnos onvnr une carrière. Nos hommes de loisirs s'appliquent aai spé-
'Mlatiens de l'ambillon et de la fortune , et ne s'Intéressent qu'ani sciene»

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(,8)
ccHeiites raisons. Le système qu'il propose nous parait
renfermer l'intcrpréiation la plus raisonnable possible
d'un texte dont le législateur lui-même ne semble pas
avoir bien calculé toute la portée.

D'après l'article757duCodecivîl,«le droit de l'enfant
naturel sur les biens de ses père et mère décédés est ré-
glé ainsi qu'il suit ; si le père ou ta mère a laissé des
descendants légitimes, ce liroà est d'un tiers de la por-
tion héréditaire que l'enfant nalwel aurait cite s'il eût
été légitime , etc. »

Quand il n'y a qu'un enfant naturel, l'application de
cet article ne soulève aucune difficulté. Après avoirdonné
une règle pratique Irès-stmple pour opérer, dans ce cas;
le partage de la succession, M. Gros fuit remarquer .que
le rapport entre la part de l'enfant naturel et celle d'an
enfant légitime varie avec le nombre des enfants In-
times : égal à j quand il n'y en a qu'un de cette dernière
classe, il augmente, quand il y en a plusieurs, Jusqu'à ^,
sa valeur limite.

M. Gros voit là, avec raison, une inconséquence du
législateur. « Lorsqu'on a reconnu , dit-il , que le respect
de la famille et les principes de moralité les plus essen-
tiels exigent que l'enfant naturel ait des droits moins

aiitti à eca spéealitioUB. Haliliime dans let clnMea instruites et le COK-
niuBismt dans les clatw* IgnaranleB, sonldeni manïfeslations de la même
doctrine : le maiérialitme. Il est singulier que cette doctrine dégradante,
qui place l'homme aa-dfiioui de l'animal, car celui-ci n'est pas «unrepliblc
de coTTupUon, il mt >ln(!ulicr que cette doctrine te soit répnniliin no-
nobslanlque nosphilosophei arborent et Tnrit parader partout le drapeau
4u ipiriiualitme, Tontefoit, noire pays ofTre une bonurablc eiccption
dans la personne d'un éminont foncllonnalre qui a consacré un bean
talent au culte d'UranJe; nous espérons un jour entretenir nos lecteurs
d'une Aatronomie où la dynamique des cieui est poétiquement et fidèle-
ment racontée en vers de l'uncienne France, par le célèbre traducteur
d'Horace , par le comte Uaru , es grand adminislrilenr auquel s'appliquenl
ni bien ces paroles de Velleius ; Vit; uti rat vi/pliam exigrrfi, tanecxsamms,
provijeni miue «fiai leiriu ( Il , LXiiviii , 2 ). O. 1k«01Kii.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( "K)
éteudiu que renfant légîdme, il faut, pour f'trc logi((ue,
les comparer l'un à l'autre , établir une ibis pour toutes ,
par uo chiffre (ou coefficient) , le d^rë de défaveur qui
s'attache i l'enfant naturel , puis conserver soigneusement
ce rapport, quel que soit le nombre des enfants de l'une
ou l'autre classe. On ne peut, en effet, trouver aucune
raison pour le faire varier d'après le nombre des en-
fants (•)...

(*} L> société n'a pu pour objet 11 perpétuité des iadlvUui comme chei
In aninuni, mai* l> perpétuité d'eipriti indéBalmenl perfectioDDilileii
par la cullura morale et intellectuelle : double culture qui ne peut ^ne-
nlemeut s'obtenir que dans la Tamille. Aiant toute chose , la société a
donc en nie la constitution et li perpétuité des familles qu'elle réunit et
protège par des lois. La plus fondamentale de oes lois eat celte qui aseure
aux euCaiita la treiumisaiondu travail patrimonial, des biens qu'il a créés;
n^mporte la forme , mobile ou immobile. L'bomme ajanl seul , sur notre
globe, le sentiment de TsTenir et de u fin personnelle prochaine , la Pro-
ridence l'a doué en loéme temps d'un désir irréaistible de IrsTailler pour
un aranir qn'it ne Terra pas , et de préparer k ses enfants un bien-atre
auquel il n'aura aucune part Le bien-Mre diminuant avec le nombre des
partageants , la lai s'opposa arec justice k llntroductiOD des étraneers et np
•e nontre indulgente qae pour les enfanta naturels reconnus. Le p4re qui
ioliDduit des enfants naturels fait tort à ses enfants légitimes, et le tort
Mt d'autant plus grand que le nombre de ces derniers ei.t pins grand , car
rien qnece nombre suffit déjkpouraflaiblirleur part. Pour diminner ce tort,
il bal que la part delà snccasiiOD détournée vers une source étrangère soit
«n raison inverse, et du nombre des enfants légitimes, ol du nombre des en-
bnt* naturels. Il semble que telle a été la pensée du législateur. Il ne
parle que d'nn seul enfant naturel . est-ce k dire qn'il ne oonnaissail pns
le cas où il ]r aurait plusieurs enfants naturels? Sup|iositian Inadmis-
«ible. Au fait, le lôgîslalour ne concide qu'un seul enfant naturel , sauf,
qnind il y en a plusieurs , il se partager entre eux cette part d'un enfant
unique. Soient ■ , J, les nombres des enfiulanucurili et Iqp'iimct. D'après le

Code, 1» p»H d'un seul enfant naturel est j-r—yy*''"" '* *•* actuel, la

paît de chaque enfant naturel est j— r jr i et la part de diaque enbnt

que la part de l'enfant légilime est indé-

penJiiile du nombre des enfants nés hom mariage. Telli
■erpriTtalinn lu pin* nlturellr de la pensée du Ivgislateu

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 3o)

Le Code d'Haïti est , en ce point , beaucoup pliu ration-
nel que le nôtre : il donne, dans tous le* cas, à l'enfant
naturel, le tiers de la part d'un enfant légitime; il pousM
même la complaisance jusqu'à indiquer lui-même la r^e
k suivre pour opérer le partage.

Dans le cas de plusieurs enfants nature, la législation
française donne lieu à de graves diificuLléa. Pour les
résoudre, plusieurs systèmes ont été proposés, dont le
plus défectueux, nous devons le dire, est celui qui est
aâ«pté dans la pratique (tome IV , page a55 , note).

Voici maintenant ce que propose l'auteur.

Du texte de la loi et des discussions qui ont en tieu k
ce sujet auCouseil d'Etat, M. Gros conclut que le légis-
lateur n'a pas prévu le cas où plusieurs enfants natu-
rels viendraient réclamer la succession de leurs père et
mère C). Ceci admis, que faut-il faire? Evidemment con-
server CTitre les deux sortes de paru le rapport établi par
le législateur dans le cas qu'il a incontestablement prévu .

Pour obtenir ce résultat>M.Gros ne considère d'abord
qu'un enfant naturel alun enfant légitime, et, aprèa avoir
fait k partage dans cette hypotbèsc , il attribue aux autres
enianis naturels ono pari égale à celle prélevée par le pre-
mier. Mats comme, alors, la somme des parts sarpasse-
rait la totalité de la succrssion , il les réduit proportion-
ndlemeot, comme s'il s'agissait de répartir entre dcit
créanciers un actif inférienr k la somme de leurs créances.
C'est ce que M. Gros nomme le ^stème de répartUion.

L'auteur examine ensuite lee autres systèmes. Tous
font varier le ra{^rt entre les deux sortes de paru , ncm-
seulement d'après le nombre des enfants légitimes , ce qui

') Nom ne somuMa pu coiapéUnt poar yiifm celle UMrtioD, qui
i« pinlt la partie contralable du u-ivail de M. Oros. FJnu* n'appi^lont
? le" fonwqiiencps. Puivwvt.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(3. )
t-st inévitable , mais encore d'après le nombre d*ts enfants
naturels , ce qui est arbitraire, puisque la loi ne fournit
anciuiem^t les bases de cette secoade gradiution. Cette
seule remarque suffirait pour les réfuter; mais M. Gros
va plus loin : il s'&ttaqae k leur principe, en démontre
le vice, et fait voir qu'en les recti&itnt, on retombe toa-
joon sur le systim» de r^tanition.

L'ouvrage dont nous ventma de donner une rapide ana-
ijae aurait gagné à un plus fréquent emploi des symboles
algébriques; mais il fallait être entendu des juriscon-
sulies, et ces sortes de lecteurs s'effrayent plus volontiers
de deux pages de calcul que de vingt volumes de commen-
taires. Force a donc été de recourir le plus souvent à des
exemples numériques, et de traduire en longues péri-
phrases quelques formules simples et élégantes. C'est une
imperfection , mais elle n'est pas imputable à l\i(. Gros,
et, comme l'on dit au Palais, la responaabitité en doit
être renvoyée à qui de droit (* ) E. Pkovbet.

( * ) Duu ane boU qsi tomiDo wi premier tnn«U mw le nème aujet
[Raw de droit franfaii et étranger. Ume I"), H. Gcoa laittil 4m ré-
OnioD» Ibrt jadideuseï aur l'utilité des luathématiquet dans l'élude du
droiL Noos regrettons qu'il n'ait paa reprodalt e« paaiac^e, qui e*l encorp
*l qiaiB«r« loniiMue plein d'à propoe.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(3. )

6É0iïlTRIE HSCRIPmB. fiXKfilTI»N DES fiPVRES;

Pab m. BARDIN,
Ancien élève .de l'École Poljuchaîque.

' UomiDADl ArLHr l« déroftu iLUcbét ■ de pnmlsrj hhIi,
« ibAtriltei d* nombre et dYrendve? Ltt kIaddu phiiiqnM cï

Mon CHER COHPRÈKE,

Le dessin des projections, moyeu à la fois expressif et
oonveiitionne] de représenter lescombiuaisons sans nom-
bre de l'étendue figurée , est d'une utilité générale ; nul
ne le conteste, et pourtant son enseignement n'a pas en-
core de règles. Cette écriture, universelle par sa nature
même, n'a pas encore d'alphabet, ou plutôt elle n'a quun
alphabet incomplet et mal déûni.

Dans le dessin d'imitation, qu'on nomme aussi dessin
académique, l'artiste ne s'attache à rendre que ce qu'il
voit, que ce qui est en deçà du contour apparent de l'objet
en ronde bosse qui pose devant lui. Le dessinateur
géomètre, qui se propose un autre but que V effet, qui ne
s'arrête pas à l'apparence des corps, figure dans ses pro-
jections non-seulement ce qu'il verrait de l'objet en relief
que sa pensée a conçu, mais encore ce qu'il ne verrait pas,
si cet objet était réellement sous ses yeux. Et cela , sans
la moindre confusion, à l'aide d'une convention aussi
simple qu'ingénieuse. Pour lui, les plans de. projectitm
et les surfaces qn'il consîdéic sont des étendues infiniment

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(33)
I et transpareDtes , lés corps solides eux-mêmes
sont transparent-, de sorte que les traces, les arêtes , les
contours, les rencontres des surfaces entre elles, en nn
mot, tout ce qui concourt à définir les grandeurs dans
l'espace et leurs positions relatives, est tu directement ou
par transparence, et écrit en cotuéquence sur les feuilles
de desMU. Dans les deux projections , images distinctes
d'un même objet, ce qui se trouve au-dessus du plan
horizontal , ou en avant du plan vertical , on en deçà du
contour des surfaces , est figuré par un trait noir et con-
tinu, ou trak plein, en langage de dessinateur. Tandis
que les parties vues par transparence, et que par conven-
tion on appelle parties cachées, parce qu'elles sont sous
l'un des plans de projection ou derrière l'autre , ou parce
qu'elles sont derrière les contours des surfaces , sont figu-
rées par des lignes discontinues , à points ronds , égaux et
paiement espacés, qui constituent le ponctué dans le
dessin des projections (•).

On parvient ainsi , par le ponctué seul , à donner aux
épures de la géométrie descriptive toute la généralité des
concepdons de l'esprit ; car les lignes , les plans , les sur-
faces courbes, indéfiniment prolongés dans tous les sens,
vont se contourner, se couper, se toucher, sur le papier
comme dans l'espace. Une question est-elle susceptible de
plnsienrs résultats, son épure les donne tous; et s'il en est
qui s'échappent de son cadre restreint, certains artifices
graphifpies savent les y ramener.

Cette convention, caractère essentiel, spécifique, du
dessin des projections, est généralement n^ligée. Aussi

( * ) Dana le dodu rapide , dios les calqnea , je remplaça le plus sou-
Tent le patielué de» partiM cachdo, qui eM inai long h faire, par
■n tnit contîna h 1*811070 de la Chine Iréaptle , d« Diuitre k Ogorer un»
ligne éteinte par l'efTet de la tranaparoDce.

Ânn. <b ymiMmal., I. X. (JaDTÏer iSSl.) ^

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(34 )
voit-on les plus grosses fautes commises par les élèves i
ce sujet. En voici une preuve : parmi les trois' cent dix-
tiuit compositions mathématiques qui ont été corrigées et
jugées pour le concours d'admission de iSSo à l'École
Polytechnique, une seule épure était à peu pris irrépro-
chable en ce qui regarde la distinction des parties vues et
des parties cachées, du vu et du caché {*); une seule!
quoique les programmes du concours eussent signalé ce
point à Tattention des candidats , et en entsent fait mâme
l'objet d'une prescription. Il est donc permis de conclure
de ce fait bien constaté que les élèves lisent mal dans l'es-
pace, ou c/ans ici trois dimensions, selon l'expression
de Monge, et qu'ils s'inquiètent peu de tracer des épures
illisibles. On sait, en outre, qu'à l'Ecole Polytechnique ,
les élèves de première année ont beaucoup de peine à se
conformer à ce qu'on exige d'eux à cet égard.

Si j'insiste autant sur cet article, c'est que j'ai entendu
d'anciens élèves faire cette question : A quoi sert la dis-
tinction des parties vues et des parties cachées dans les
épures? — Et d*autres dire : Mais , de notre temps , cela
ne nous embarrassait guère. — Par une bonne raison, mes-
sieurs , c'est que vous n'avez pas été mis aux prises avec
la difficulté. Bappeles-vous que, depuis l'origine de
l'Ecole, candidats et élèves ont reproduit, lineaiim. et
punctatim, les épures des premières promotions, de
nos antiques, d'une collection qui fut belle , originale et
utile eu son temps , mais qui, après avoir défrayé pendant
plus de cinquante ans les planches d'un grand nombre de
Traités de Oéométrie, est devenue banale et insuffisante.
Ces épures gravées étaient distribuées aux élèves, qui , en
les reproduisant, se trouvaient aflVanchis de tout travail
de recherche quant au choix et à la bonne disposition des

(■) Comme on dit It nu en peinture (it«n dsMÎn.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(35 )
données (*), et de toute attention quant k la distinction
da Tu'et du caché.

On ne voit plus aujourdliui, à l'École Polytechniquei
1ns promolîoDS se succûdi^r et s'engager dans la mf^me
ornière. On ne voit plus, cliaqui; aniit^e, cent vingt élèves
intelligents, la plupart adroits de i'œil et de la' main,
résondre les mêmes questions , aux mêmes jours et aux
mêmes heures, sur les mêmes données, pour arriver aux
mêmes résnltats; produire les mêmes épures, des épures
superposables, ne dîiTérant que par la !.ignature de l'au-
teur, on par nn peu plus ou un peu moins de mérite iians
la ligne. Ou ne voit plus cela à l'École Polytechnique,
mais on voit encore les candidats de toutes les institu-
tions se livrer à un travail de cette nature -, fïcheux état
de choses qu'il est désirable de faire cesser !

Qu'on demande aux élèves de la promodon de iSig,
qui ont vu disparaître sans regret cet enseignement ,
a]\\ n'a pas été grand le résultot utile qu'ils ont tiré de
leurs épures rédigées d'après des pnçrammes particu-
liers 1 où tout était à trouver et à exprimer par leur tra-
vail propre, le seul qui porte fruit et qui soit réellement
appréciable dans les classements. C'est que comprendre

(*) Lkcroii dit, dki» an eicallent petit Iitto trop oublié : i J'ai tou-

> jonn «lia do proposer ani élèTOi des question! où Iob donaëea, eipri-

• mecs par des mesures connites on résultant d'opérations déterminées,

> sont isolées les ânes des autres. II Tant d'abord qu'ils replacent ces

• donnée* dans leum situations respectivei; ce qu'ils ne peuvent Taire

> qouid il» n'entendeol pas les questiont; ensuite qu'ils conçoivent le
. plan Je la solution , et qu'ils l'eiécutent en eipliquant par eux-mâmes

• <e qu'ils ont entendu i la le^n. J'ai toujours vu que, psr cette marcbe,

• lia sa fortiOeut bien plus que lorsqu'on leur met sous lesyenx Vépurt,

• c'Mb^-dire la construction détaillée du problème. La sjmétrie des

• lignée dispense les paresseux, qui partout forment le plus grand nom-

> bre, de la peine de réfléchir sur les préceptes qu'ils ont re{us; el ils

• copient lenr épure sans l'entendre. » {Compltment it$ Êlémenli d.-
GAmniine.)

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(3(i)
el sa*uii- sont deux cliosus trèt-dUVérenlea. bu géométrie
descriptive, par exemple, c'est le travail graphique qui
donne le «avoir, c'est-à-dire, le pouvoir de faire usage dans
la pratique de ce que l'on a appris. Les épures moins
nombreuses, mais plus générales et mieux étudiées,
plus laborieusentent exécutées par la promotion de 1849,
ont mieux appris aux élèves h lire dans l'espace, faculté
précieuse qui a une grande iufiuencc dans les autres
parties de l'enseignement polytechnique. Ainsi ,—eaphf
sique, le dessinateur trouve des instruments de précision
d'un grand intérêt, et de nombreux sujets empruntés aux
lois et aux eflets de la réflexion et de la réfraction de la lu-
mière, et d'antres questions où le< fluides impondérables
vibrent, ondulent, se meuvent, et vont produire les effets
par lesquels ils manifestent leur m;rstériense existence. —
Dans la mécanique et dans les machines se présentent les
compositions et les décompositions de mouvement et de
force dans l'espace, les transformations de mouvement
qui appartiennent autant à la géométrie qu'à la méca-
nique, des questions de situation où certaines pièces mo-
biles dans des espaces limités ont des formes et des dimen-
sions obligées ; on y rencontre ta vis, l'un des principaux
oi^anes des machines, l'une des variétés les plus Intéres-
santes des fcM'mes hélicoïdales, et les engi'enages, dont les
combinaisons si variées sont entièrement du ressort de la
géométrie. — L'arcfiitecture a ses grandes voûtes et leuis
ouvertures, ci leur division en caissons; ses escalieii, si
variée, si élégants, véritables vis en pierre ou en bois, qui
constituent une des applications les plus intéressantes du
dessin des projections , tant pour leur représentation <pie
pour leur exécution stéréotomique ; ses colonnes torses;
aes Jbrmes r(un/>an/«j, dans les frontons, lesbalustres, les
cages d'escalier. — L'astronomie, dans ses difBciles spécu-
lations , pourrait {à elle seule défrayer en épures tout un

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(3?)
cours de géométiie descriptive. — La géoifcsie,
l'utroDomû, a ses înstnimeots d'observatJoD, dontrintcl-
ligÉnce par des dessins exige une grande habitude des pro-
jecUons , dont l'établissement par le constructeur et les
moyens de vérification et de correction par l'observateur
<]ui s'en sert, reposent sur des considérations très-délicates
de physique et dv. géométrie; la gnomoiiique et le tracé
des coordonnées géographiques des cnnes en dépendent.
— En chimie, les lois géométriques qui régissent la for-
nution des cristaux sont singulièrement facilitées à ceux
qui sont familiarisés avec les projections. — Uanafyse,
cUe-mème, se lie à la géométrie descriptive, qui donne les
moyens de représenter graphiquement la loi mathénut-
tique renfermée dans une fonction à trois variables, ou
bien des lois naturelles, observées et consignées dans des
tables numériques. — Enfin, il y a les questions physico-
mathématiques, oit-Xe calcul et le trait peuvent se com-
biner utilement, et avec élégance. -

En résumé, l'enseignement graphique est revenu aux
programmes de Monge, si admirables d'ordre, de simpli-'
cité et de variété , oà rien ne fait pressentir, où rien ne
justifie l'enseignement stéréotypé de ses successeurs. Qu'on
en juge par cette citation des développements sw l'ensei-
gnement adopté pour l'Ecole centrale dex Travaux pu-
blics de l'an ni.(*) : n On le dit une fois pour toutes,
<• les règles générales étant enseignées, il ne faut jamais
s que, dans la même salle, deux élèves en fassent les
» mêmes applications-, car la construction des dessins et
H la correction qu'ils exigent, emploient un certain temps
H qui permet è chaque élève de savoir non-seulement ce

!■) ■

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(38)
• qu'il a fait, mais encon; eu qu'oot fait tous set cama-
u rades de la même salle , .et en variant les exemples dans
H une même salle publique, od produit le mémeefretque
H si l'on décuplait le temps dans une école particulière. »
Et plus loin , à propos du dessin ti^s principales machines
employées dans les travaux publies : « On distribuera les
» objets de manière que , dans la même salle , deux élèves
» n'aient pas la même macbiue k dessiner, afin que, dans
M celle salle, on ait la connaissance d'un plus grand
» nombre de macbines. » — Pensée qui se reproduit eu
plus d'un autre endroit.

Les élèves entrent aujourd'bui dans les salles d'étude
de l'Fxole Poly tecbnique , non plus pour y entasser les
unes sur les autres des épures faciles, iosignifiauies
même, pour tirer la ligne, mais pour y apprendre à tra-
vailler comme on travaille dans les services publics, dans
la vie pratique, et pour s'y enrichir léciproquement de
l'expérience acquise des uns et des autres.

Permettez-moi maintenant, moucher confrère, d'ap-
peler votre attention sur quelques autres points , afin que
je puisse porter dans votre esprit une conviction qni vous
engage à m' ouvrir les pages de vos annales. Qu'on ne
prétende pas que ce sont là de petites choses. Y a-t-il
d'ailleurs rien de petit en vue d'un but qui a sou impor-
tance et sonutilîté bien reconnues ?

Dans chaque projection, avons-nous dit, les données
el les résultats qui existent réellement sont figurés en
noir, en plein ou en ponctué, selon que ces grandeurs
sont vues on cachées. Mais il existe dans les épures une
autre espèce de lignes très-nombreuses, qui constituent les
quatre cinquièmes du travail graphique, et qui, soua le
nom de lignes auxilinires ou de construction, servent à
réaliser les opérations par lesquelles on passe des données
d'une question aux réstiltais.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(39)
Kevenes, par la pensée, aux épures d'il y a ([uetquos
années , et Toycz-les tellement chargées de lignes de con-
struction, qu'on les comparait à des toiles d'araignée (■].
Rappel ez- vous que ces conslruclions , entassées comme s
plaisir, étaient en pointillé, c'est-à-dire à poinlsjongs ,
égaux et ^^alement espacés, ou a points longs, séparés
par un ou plusieurs points fonds, ce qui produisait un
travail dont on ne peut bien apprécier la longueur et la
fatigue qu'après y avoir été condamné. Ce pointillé,
simple ou mixte, emprunt malheureux fait à la gravure,
rendait rebutant nn travail tout manuel qu'on ne saurait,
an contraire, rendre trop facile. II a disparu des dessins
manuscrits de l'École Poly techuifjue , et la vue des élèves,
■lui dessînenldansdes salles les pins mal éclairées peui-élri'
de toutes tes écoles du Gouvernement, s'en trouve bien.
I.eslignes de cx>nstruction, véritables lignes idéales, puis-
<|n'on pourrait les enlever après avoir obtenu le résultai ,
sont d'une autre couleur que les données et les résultats ;
ellessout entrait rouge de carmin, continuel léger. Il im-
porte maintenant de faire disparaître le pointillé des exer-
«ices graphiques des candidats , de substituer aux planches
en noir du graveur les épures à deux couleurs (noir et
rouge) , et mt^me les épures à trois couleurs (noir, rouge
et bleu), qui se prêtent à d'intéressantes combinaisons.
Telles sont tes épures, véritables résumés, où les cas
principaux d'une mêçie question générale, par exemple
(' intersection de deux cylindres , sont réunis sans con-
fusion et sans grand travail : pénétration avec courbe
d'entrée et courbe de sortie distinctes, pénétration avec

{') Lacruii , dana la préface du Complément de$ Élémmude Géomicrir,
dit ! h Dâft figures chni^écB àe loules les lignes de ronslrurtïnn «ont airi
• pltMlm d'un Traité de Géométrie ce <iae de* TnÎDuteï de cnlcnl *on<
' aat eiemplei d'un Traité d'Arithmétique. ■

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(4o)

pcHUt mulliple , arracbemeot. — L'épure des section»
planes du cône en présente un autre exemple.

Résumons : Dans le dessin des projections, toute ligne
noire représente une trace, on contour, une arête, une
grand|,ur qui existe réellement, nécessairemeut, parce
qu'elle tient k la fome ou à la ùtualion, aux données ou
aux résultats. Cette ligne est pleine ou ponctuée, seJou
qu'die est vue ou cachée dans telle ou telle projection.
Toute ligne rouge représente une ligne auxiliaire,' a^
partenant au système des constructions, système dont
les détails peuvent et doivent être supprimés en partie.
— Tels sont les signes, bien peu nombreux et pourtant
suffisants du dessin des projections. Je voudrais qu'on y
ajoutât celte convention, qui n'aurait, je crois, que des
avantages ; Tout résultat sera d'un trait un peu plus fort
que les données. Enfin, je compléterais notre alphabet
en y introduisant le pointillé , mais seulement dans quel-
ques cas, comme pour garder la trace ou le souvenir de
lignes montrant certain état de continuité ou de liaison,
certaines extensions nécessaires, certaines particularités
dont le détail ue saurait trouver place ici. Cela éUnt , le
dessin des projections pourrait aborder et i-endre, de la
manière la plus satisfaisante, la solution de toutes les
questions de géométrie, abstraite on appliquée.

Récemment on a introduit à l'École Polytechnique ,
dans la mise à l'encre des épures au crayon, une amé-
lioration non moins réelle que la précédente. Ou a réduit
ce travail manuel à sa plus simple expression, en posant
en principe qu'une épure est complète, achevée, lors-
qu'elle renferme tout ce qui est nécessaire pour l'intelli-
gence et l'explication delà solution de la qutistion propo-
sée ; rien de plus , rien de moins. On ne voit plus de ces
épures où les mêmes conBiruciions étaient répétées jus-
qu'à satiété, de ces redites comparables au verbiage d'un

i.vGoogIc

(4' )

ptHeor à vide, qui avaieai le grave inconv^nicQt de
nuire à U clarté, sans laquelle une épure est difficile, p^
nible à lire, quand elle n'est pas illisible.

Par là on a gagné un temps précieux que l'on con-
sacre à ta partie géométrique, c'est-i-dire à discuter les
questions, k bien disposer les données, à construire des
épures claires , originales et instructives. — « La géomé -
n trie nouvelle, dit M. Charles Dupin , par ses consîdé- -
» rations intellectuelles et par ses opérations graphiques,
» est éminemment propre à fortifier la raison et k per-
B fectîonnerlessens (*). u — L'imprévu, dans la solution
graphique des différents cas d'une même question géné-
rale, où le dessinateur géomètre iance à son gré les
formes dans l'espace, conduit souvent les élèves et, par
suite, te professeur à d'intéressantes discussions. U est
bien constaté qu'on lui doit plus d'une heureuse ren-
. contre, que rien ne faisait soupçonner? Monge et, après
lui, Hachette, et bien d'autres encore, ont trouvé dans les
^uresd'fmibres, de perspective et de stéréotomie plus
d^une difficulté géométrique à résoudre. « C'est aux re-
n cherches que les accidents caricuz des ombres ont pro>
» voqnées, dit Eisemnann (*'*), que nous devons une
» grande partie des progrès de la science, et particulière-
» ment des surfaces développables. »

J'arrive aux épures' nuiettes, au sujet desquelles il
existe un préjugé fôcheux. Les élèves disent jonmeDe-
ment : Les écritures gâtent les épures. — Cela est vrai des
écritures mal faites. Le dessin le plus soigné perd, en
efiet, tout son mérite d'exécution graphique &ous l'in-
fluence de l'écrilure cursi ve de la très-grande majori té des

(') Xtiaiidilari^ue Ur Ui lenricei et lei trei/atai icinu^fi^mei dr G. Monge.
(**) \* Cabier du lourmaliU l' École Polrtttfini^u* , p«(«6li.'

by Google

{4")

«lèves à qui les tlevoin des humanités ont enlevé tout la-
lent calligraphique. Mais les ëcritures bien faites, en
lettres linéaires et desaînées , genre facile à acquérir par
tous, n'ont jamais ^(ife une épure; elles la relèvent même
quand aa mise à l'encre laisse quelque chose à désirer ; bien
plus, elles la complètent par des indications nécessaires,
indispensables, sans lesquelles elle pourrait être comparée
à un rébus difficile à deviner par tous les lecteurs, même
par l'auteur appelé à la lire après un certain laps de temps.

D'où vient cette opinion erronée , qu'une épure n'a pas
besoin d'indications écrites, pas même d'un titre, qu'elle
se lit d'elle-même , seulement avec plus ou moins de faci-
lité, selon que le lecteur est plus ou moins exercé? Cette
erreur vient du loqg règne de l'ancienne collection de
l'Ecole , de ces épures types , sacramentelles en quelque
sorte, qu'on exécutait religieusement de Bayonue à Metz,
(le Rennes à Strasboui^, qu'on savait par coeur, qu'on
lisait à première vue, couramment, et qui, par consé-
quent , n'avaient besoin d'aucun secours , pas môme d'un
titre. Mais que l'on aorte de ce recueil, cfue l'on prenne
seulement l'épure de l'intersection de deux surfaces co-
niques, considérée dans toute sa généralité, pouvant don-
ner lieu i quatre branches hyperboliques, ou à deux
branches hyperboliques et à une branche parabolique...,
et qu'on dise si une telle épure peut se passer d'indica-
tions écrites, si elle peut être muette.

J'aurais déjà du vous parler de la solution au crayon;
j'ai dit plus haut de l'épure au cra^'on. C'est qu'en eflèt,
faute de temps ou par d'autres motifs , on peut être obli-
gé d'arrêter là son travail , qui souvent suffit à cet état.
Mais cela suppose qu'on a eu le soin de ne pas tracer une
foule de ligues inutiles, qui 6ienl au dessin la clarté,
qualité encore plus difficile à obtenir au crayon qu'à
l'encre. Ce soin, jelr recommande expressément, afin

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(43)
que tout élève , même le moius habile , puisse urminer
complétemeni ses épures au crayon. Je vais plus loin, je
pose comme règle absolue qu'on ne doîtjamais mettre une
épure à l'encre que lorsque la solution an crayon est en-
tièrement termiuée, le résultat bien ^/mr^, levuetle
caché arrêtés dans chaque projection , de manière qu'elle
puisse, au besoin, être mise à l'encre par un autre des-
sinateur, ou rester au crayon. C'est alors que la mise n
l'encre devient ce qu'elle doit être , un simple travail ma-
nuel, uue reproducùon, servile si l'on veut, d'un pre-
mier travail, mais assurée contre les grattages et contre
des mécomptes qui conduisent, sans profit et avec dégoàt,
il recommencer une œuvre que tout semblait annoncer
terminée.

Puis-je ne pas vous soumettre quelques observations
sur le mode même de l'enseignement oral, auquel je
trouve plus d'un défaut? Le premier, c'est qu'où y ex-
plique des épures , rien que des épures , et non une doc-
trine, celledeMonge.il résulte de là que tes élèves n'ont
apprisà résoudre qn' un certain nombre dequestions, et non
l'art de résoudre les questions, et que, pour eux, toute
la géométrie descriptive est dans leur cahier d'épurés. Le
second, c'est qu'on leçonne trop, qu'on me pardonne ce
barbarisme , et que l'explication de ces épures est telle-
ment détaillée , minutieuse , que tout y est prévu , noté }
c'est que ces épures , déjà disséquées aux leçons , sont re-
prises au tableau dans les salles d'étude, puis reportées
sur le papier en présence des modèles gravés, et enfin
dessinées de nouveau aux interrogations. De sorte que,
chose presque incroyable , l'enseignement par la mémoire
à pénétré jusque dans la science de l'étendue, dans une
partie on l'invasion paraissait impossible. Que peut
produire un tel eut de choses? Des dessinateurs routi-
niers, craintifs, qu'un rien arrête, parce qu'ils sont sans

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(44)

ÎQilialive et sans expérience des difficultés; trop souvent
aussi des élèves prévenus contre un art discrédité par son
enseignement, contre une partie doBt l'utilité, je le ré-
pète avec tous mes anciens camarades, est de tous les
iostauts. De U un défaut originel que les candidats appor-
tent avec eux en entrant à l'Ecole Polytechnique, où il
n'était pas combattu et qu'ils conservaient dans les écoles
d'application , et jusque dans les services publics.

Les épreuves d'autrefois , qu'on appelait des concours,
dans lesquelles les élèves, jusqu'alors tenus en lisière^
étaient abandonnés à leurs propres forces, ont toujours
produit des résultats qui prouvaient d'une manière irré-
cusable la faiblesse des élèves et la mauvaise direction de
l'enseignement de la géométrie descriptive.

II me reste à dire, k propos de l'enseignement oral,
que Monge s'appliquait avec soin k faire des rapproche-
ments entre l'analyse des trois dimensions et la méthode
des projections , et que cela n'a plus lieu. « Monge, pro-
» fesseur an Louvre, montrait quelles relations admira-
u blés unissent les opérations de l'analyse et de la géomé-
» trie (*). »

On néglige aussi l'emploi des projections auxi-
liaires (**} , qui sont k la fois un moyen de simptiiîer la
soluUon de beaucoup de questions dans lesquelli^s les
données sont quelconques, et un exercice graphique très-
utile. Les programmes de la composition mathématique
pour le coneoui's d'admission de cette année , en ont pré-
sente plusieurs exemples. II serait r^rettable que cet
avertissement passât inaperçu. Dans la détermination des

(*) EuaiUilariiueturlenervIcrielleitraïaaxtcieiiliJiiaeideO. MoDg*
(pije M ]; par M. Charles Dupln.

("} Ce unt Im ehangfmmli âe plan it projfclion de U géoméirîa àt
M. Thiodors 01i*iOT.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(45)
oinbres linéaires sur la surface des corps , dans les épures
de charpenterie surtout , on a le plus souvent recours
à une troisième projection, quelquefois même h une
quatrième.

Enfin , on néglige l'étude des /ormes pofyédrales pour
s'aitacher presque exclusivement aux formes continues:
cedonton s'aperçoit à l'Ecole Polytechnique, où l'ensei-
gnement de la charpenterie, qui traite de formes disconti-
nues , a toujours présenté plus de difficulté que celui de la
coupe des pierres. Il serait bon , après les généralités sur
la ligne droite et le plan, d'étudier un peu les poljèdres,
BU lien de s'arrêter n la perpendiculaire au plan et k la
plus courte distance entre deux droites , comme on le fait
géuéralement.

Je dirai seulement, quant à la rédaction des textes
lie la géométrie descriptive, que c'est un travail qui me
paraît laisser beaucoup à désirer. Les compositions de
celte année en ont fourni une preuve convaincante. Je
crois qu'il pourrait y avoir là quelques règles à donner.

Enfin, je voudrais, si je n'étais déjà trop long, vous
parler de certaines parties de l'enseignement, parties
très-secondaires , dont on est surpris de trouver le pre-
mier apprentissage à- l'Ecole Polytechnique. -^ Je voits le
demande : est-il convenable de n'apprendre qu'à dix-ueuf
ans (âge nu^en des candidats à leurentrée À l'École), l'art
si facile de dessiner des lettres linéaires {'*) , genre d'écri-
ture qui convient aux épures, au dessin architectural,
&u dessin des maclunes, en un mot, à tous les genres,
à la seule exception du dessin topographique, qui ne
comporte que les lettres moulées, bien autrement diffi-
ciles à faire que les lettres simplement dessinées par

{*) LcUrm MU pl«ini ni délUa, qu'on nomtn» , en tjpograpUa , leiirei

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(46)
un trait présentant lear forme générale 1' — Pourquoi lu
dessin en croquis, le dessin cursift est-il complètement
oublié dansl'enseigncmpnt préparatoire, malgré son utilité
non moins grande que celle du dessin à la règle et au com-
pas, pour préparer aux croquis de l'architecture et des ma-
chines, pour suivre facilement les professeurs aux leçons ,
et, surtout, pour discuter rapidement le choix et les dispo-
sitions des données des épures, étude préliminaire sans la-
quelle les élèves perdent beaucoup de temps dans leurs
essais à la règle et au compas , qui ne sont pas des instru-
ments de tâtonnement? Je ne parle pas du découragement
que ces essais infructueux leur causent trop souvent. —
Pourquoi ne trouve-t-on pas, avant l'école, des exercices
sur le maniement de la plume? Je ne pense pas qu'on
regarde comnie une préparation suEBsante les quelques
courbes que les candidats ont à tracer sur leurs épures.
D'ajUeurs elles sont presque toutes mises à l'encre avec
le guidm-courbe, vulgairenient appelé pistolet. Âuasî avec
quel soin les élèves comptent les courbes et les évitent! Je
ne proscris pas d'une manière absolue le pistolet, qui a
son utilité et ses applications propres; maisje ne l'admets
qu'à c6té d'exercices spéciaux sur le maniement de la
plume, etc.

Qui ne sait qu'il y a de ces choses qu'on ne doit pas
commencer trop tard , sous peine de les croire au-dessous
de soi, on tout au moins de ne les faire qu'avec une
certaine répugnance? Il est aussi de ces détails qui ne
peuvent êu-e abordés dans un amphithéâtre , Uut ils
sont simples et minutieux , qui appartiennent k ce que
l'on pourrait appeler l'enseignement familier.

Je ne vous parierai pas du dessin d'imitation, bien
qu'il se rattache de près au dcssiu des projections ; c'est
un sujet iioporunt qui ne saurait ctre traité incidemment.
11 faudrait considérer cette imitation libre des coips non

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(47)
susceptibles de définition exacte (*) , comme art d'agré-
ment, avaot l'Ecole Polytechnique, etàl'École, comme
art mixte, si je puis m'exprimer ainsi. De clucua de ces
points de vue, son enseignement me parait incomplet et
mal dirigé. A l'Ecole Polytechnique, par exemple, où le
mérite des maîtres offre certainement toutes les garantie»
de saccès, on s'étonne de Toîr un résultat utile si peu en
rapport avec le temps qui consacré au dessin d'imitation,
et avec la dépense qu'entraînent ses leçons de nuit. Et puis,
n'est-il pas r^rettable de n'y trouver aucune liaison
entre les ombres linéaires et la perspective linéaire des
exercices graphiques, et les études de perspective, d'ombre
et de couleur de la salle de dessin ? de n'y pas trouver non
pins le dessin d'ornement que Monge, savant et artiste,
avait mis avec tant de raison dans ses programmes? etc.
— Ceqne je prendais surtout à partie, si je pouvais m'oc-
cupcr de ce sujet, ce serait son enseignement par copie
qui règne partout , et dont le ficheux effet s'étend plus
loin qu'on ne pense.

Que si ces observations, ces critiques , vous paraissent
fondées, mon cber confrère, prenez-en votre part de
responsabilité en leur donnant place dans vos Annales.
En même temps, vous m'autoriserez à vous offrir quel-
ques conseils sur la partie graphique de l'enseignement
de la géométrie descriptive.

!i»ie, Nagpâre, crctrani k 1r pudear, je ne sraj'aii pu qne l'on oserait,
duu le haut eoseignement , remplacer la mécanique dea Logninge pai-
Ic lertiiage indualriel de no* machinlalet; je commettais une doubl*
errenr. ADjoardlmi > il «t qiieition de remplacer bd Sorhomu le calcul
dei probabilités par un ooon à l'usage dcb charpentiers. Maintenant, ic
crois toul. Les pubticaiai régnent dans ie temple. O. TBKQDUr.

'■) teumbl éf lÈcoL; PoljifclinUfiie . i*' Cahier.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(48)

Sv lu tiiAUls ie la nbstHi^n 4'uc siile le uabres é^iiéîsUili
4us ue roiclin tiiin ftu »■!< tiriible. — AppiiutiH i 11
sépantiti lu riuin fue ^ulioi âi tniiièu degré. — FoniUi
d'iikrptlaliii (*);

PiK H. Juu» VIEILLE.

1. Soit y ^y(x) UDe fonction quelconque de la va-
riable X; si l'on y remplacer par x-hh, la.diiTérence

se nomme différence première de la fonction y, et on la
représente par ^j. Cette ditTérence est elle-même une
fonction de x (en général) ; et si l'on donne à la variable
un nouvel accroissement égal à A , la différence première
de ^y, ou

/(.+:.*)-/(» + *)-[/(x + «)-/WJ,

se nomme d^érence deuxième de la fonction^; on la
représente par ùfy.

De même la différence première de A*^ est dite diffé-
rence troisième dey ou A'y\ et ainsi de suite.

Il résulte de cette définition que la différence m'*" de
la différence rt""' d'une fonction est la différence (m-j-n)'*"'
de cette fonction

4".i"7 — A»"j.

2. Théokèmb. La différence m'*""' d'une fonction en~

(*) Eu rédigeant cette Nota, noas n'aTon» en d'autre but que de tei
pUr une Ucone dea Traités élémenUires d'A^bn, et de toarnir
solulioD de plniieun qaeationa rentermérl dinB le iiouTeau Programi
d'admiarioD h l'École Poljiecboique.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(49)
tièi-e du degi-é m,

y =AJr- + Bj-"-' -H ... +Kr + L,
est-constante , et égale à i . a .3. . .m A A".
Oq a
ùj-=A[(j; + A)--*-l + B[(:r-»-A)-'-x— ]+ ....

Sans développer toutes ces puissances , il suffit de remar-
quer que ^jr wra un polynôme du degré m — i ayant
pour premier terme m A j:""' A, lequel se déduit du pre-
mier terme de y, en multipliant A par l'exposant de x
dans ce terme, diminuant l'exposant de x d'une unité,
et augmentant celui de h d'une unité. Il en résulte cjne
à}j est un polynôme du degré m — a , ayant pour pre-
mier terme

• m(m — i)A*^A';
A*j' est du degré m — 3 et a pour premier terme

A"~*_j' sera du premier degré en x , et son premier terme
sera

w(m- i)...3.3A*.A--';

enfin A" y sera égal Jl une constante

A"^= i.2...niAA-. C. Q. F. D.

Corollaire i . Si A = i , k = i. La différence de
l'ordre m se réduit à

1.2. 3. ..m.

Par exemple, si dans les fonctions dn troisième d^ré

on substitue des nombres entiers consécutifs, on aura
constamment

A',V:;= 1.2.3 = 6.
Jan. i- Uaihiimal., l. X. (F*Tri»r iSSi.; 4

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(5o)
Corof/aii'c i. SoîeDt jg,^i ,/»,_)),... les dilliéreutes
valeurs que reçoit unefonctioti entière de a~, du degré/»,
quand on y remplace x par les nombres équidîsUnts
»,, X, + /( , j^o + 2 A , jr, 4- 3 A ;

si l'on retranche chaque terme du suivant, on aura une
suite de différences premières , généralement inhales,

Si l'on retranche ensuite chacune de ces dilTéreuces de la
suivante, on aura la suite des diirérenccs deuxièmes

A'r« = Ar> — *r-. a'ji = 4r> — */. —

En continuant ainsi Jusqu'à l'ordre m , on aura des dilTé-
rences m"""' toutes égales entre elles et à la constante

1.3.3. . fljAA".

j4pplicatio fts .

4. Formation des ptùssances r/es nombres entiers
consécutifs.

Supposons qu'il s'agisse de calculer la suite des cubes
des nombres entiers. Ici la fonction j' = jr* ; on calcu-
lera directement trois valeurs de j', c'est-à-dire ti-ois cubes
consécutifs seulement, et l'on choisira de préférence ceux
des nombres o, i, 2; on conclut de ces trois cubes
(o, 1 , 8), les deux différences premières

4{o'>=', A('') = 7.
puis de ces deux différences , la différence deuxième

i'(o=) = 6;
quant à la différence troisième, elle est coustante et égale
a 1.3.3^6. Cela posé, on formera, par additions succes-
sives de ce dernier nombre, la suite des difFérences
deuxièmes, puis de rellcs-ci on passera, toujours par voie

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(5. )
d'additiou, à ]a suite des ditrérences premières; enfin de
ces dernières à la suiie des cubes demandés.
Voici la disposition des calculs.

BirrÉHE^cr»

■..rrÉw^c..

Itéra.

dc«>iémc.

1

r.

5?
Si

6i

'S
3o
30

G

3i:i

,fiO

4H

8

5l3

■"7

■11
6o

Cette méthode est applicable avec avantage au calcul
des puissances de tous les degrés des nombres entiers
consécutifs ; pour les puissances cinquièmes par exemple,
on devrait d'abord former direciemcrt cinç puissances
consécutives. On pourra choisir celles des nombres — i ,
I, o, 1, 3,

5. Etant donnéeune fonction entière du m*'"" degré , il
suffira de calculer directement les résuluts de la substi-
tution de m nombres entiers consécutifs j pour en dé-
duire, au moyen des dilîérences, ceux de tous les autres
nombres entiers, positifs ou négatifs.

Soit, par exemple, la fonction du ti-oisième degré

j-=^ J' + Il jr'— 102X + l8l j

on partira des nombres — 1,0, + !.

x:= — I dofioe ^_, = -(-ag3,
j^ o donne j-, =r •+- 181,

j:= -h i <)i>nîie y, := + 31 ;

i.vGoogIc

(5»)

A(r-,) = -"

pui.

on a d'ailleurs

4(7.) = -9»

4-(j-_,) = 6.
Cela posé , poar avoir les résultats de la substilution des
nombres entiers et positifs s , 3 , 4 > ^ • • • ■ i <"> procédera ,
comme ci^essus, par additions successives, en remon-
tant des dîfTérences troisièmes aux diiTérences deuxièmes,
de celles-ci aux différences premières , enfin de ces der-
nières aux valeurs cherchées de la fonction.
Tableau des calculs.

'=

,=

A

A- . .

+ 193

- „■>

-4- 11

+ i8i

- 90

-t-iS

-t- 1

+ 9'

- 6i

+ 34

-t- t

■+■ *9

- ,8

-^4»

-> 46

-+- 4

+ lî

-^ 58

+ Si

4- 5

+ V

+ lie

-i- 58

-f. 6

■+■ iKl

+ ,68

+ 64

A partir do x = 3 , il est évident, par ce tableau , que
les résultats des substitutions seront constamment posi-
tifs et croissants; on aura tes résultats de la substitution
des nombres négatifs — a, — 3, — 4i — 5,.. .,' en pro-
cédant par soustractions successives au lieu d'additions.
En effet , on voit que, pour remonter d'une ligne horicon-
tale du tableau ci-deSsus à la ligne supérieure, par
exemple de la ligne qui . i-épond à x= ^ à celle qui ré-
pond à T ^^ ^, il faut fclranclier 6 de Sï , ce qui donne

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( 53 )
46, puis /i6 àe 5S, ce qui donne 12, puis 13 de i3, ce
qui donne i . En suivant cette loi , on passera des nombres
relatifs à — là ceux relatifs à — 2 , puis de ces derniers
À ceux relatifs à — 3, el ainsi de suite. On trouve ainsi
pour la fonction des valeurs positives, tant quex est su-
périeur à — 18. x=^ — 17 donne _y^ = iSijetx^ — 18
donne/ = — îSi ; à partir de — 18, si ;c continue à dé-
croître , les résultats de la substitution seront couslaoï-
ment négatifs.

^application à In séparation des racines d'une équation
du troisième degré.

6. Les calculs précédents n'ont manifesté qu'un seul
changement de signe pour la fonction y~ et ce changement
a lieu lorsque la variable x passe de — 178 — 18. Il en
résulte que l'équation

(i) .!'-+- Il J'— io2j:+ 181 =o(')

a une racine négative comprise entre
ne peut d'ailleursavoir qu'une seule f.
que la transformée en { — .r) n'offre<<

[Ou auraitpu, sans passer par ton
précédentes , déterminer plus simplement les deux nom-
bres entiers entre lesquels est comprise la racine n^a-
tive,en remarquant que le premier membre de l'équation
peut s'écrire.

el cette forme manifeste le changement de signe unique
qui a lieu de:r=: — 17a x = — 18] .

Outre la racine réelle négative que nous venons de sé-

(■) Cette équtti

on e

t cello h laqiiel

e M. Stiirm a appliqué »<>

mod

8 de FHicub.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(34)

parer, l'cquatioii (i) peut adoieltie dvux racines réelles
positives. Mais nos calculs ne nous fournissent aucune
conclusiou sur l'exislence de ces racines. INous pouvons
seulemeiil dire que, w elles existent, elles sont com-
prises toutes deux entre deux nombres entiers consécutifs;
et comme la substitution de jc = 3 a donné pour résul-
tat I, nombre beaucoup plus petit que ceux fournis par
les substitutions qui prccèdent et qui suivent, on serait
conduit à chercher les deux racines entre 2 et 3 ou entre
3 et 4-

Il ne Jautirail pas dire que 3 est une limite supérieure
lies racines positives, en se fondant sur ce que, à partir
de x = Z, le tableau des différences Jàit voir que les ré-
sultats lies substitutions seront toujours positifs et crois-
sants.

En eflet , de ce que les nonibivs entiers 3,4) 5 , . . . ,
font prendre à la fonction (j:'-H i ix' — 1020.'-+- 181}
des valeurs croissantes, il n'en résulte pas que la fouction
ne puisK! décroître et passer par zéro pour des valeurs
de X comprises enli'e deux d'entre eux. La représenta lion
graphique des valeurs de la fonction ne laisse aucun doute
sur la fausseté de cette conclusion. La courbe dont ces
valeurs sont les ordonnées , peut couper l'axe des x en
deux points dont les abscisses sont comprises entre deux
nombres entiers consécutifs, et l'on remarquera qu'entre
ces abscisses tombe celle d'un point de ia-courbe dont
l'ordonnée, abstraction faite du signe, est un maximum.
L'abscisse de ce point saiisfaità l'équaiioii

f'{x) désignant la dérivée de la fonction proposée,
c'est-à-dire que les ileux racines positives de l'équa-
tion {1) , si elles existent , .lonl sépai-ées ptir une racine de
l'équation qu'on nhticnl eu égalant h zéro la dérivée

:,.;,l,ZDdbyG00gle

de son premier membre [cas particulier du théorème de
Rolle(*)].

7. Le plus souvent, dans les applications où l'on est
conduit à résoudre une équation numérique du troisième
degré, ou sait d^avance si l'équation comporte une ou
trots racines réelles. La considération de Yéquation dé-
rivée suffît alors pour séparer rigoureusement les racines
de l'équatioD. Elle supplée avec avantage (pour le troi-
sième degré) à la méthode de M. Slurm; sans elle, et en
se bornant à la substitution de nombi'cs éqn î distants , on
s'expose à faire des tàlonucmenls inutiles.

Dans le cas qui nous occupe, Téqualion dérivée est

Donc, si l'on admet que l'équation (■) ait deux racines
positives, l'une sera plus grande que 3,3, et l'autre plus
petite que 3,3; et comme on sait déjà qu'elles sont com-
prises 6011*6 deux nombres entiers consécutifs , c'est entre
3 et 4 qu'il faut les chercher.

8. Pour les séparer, nous allons substituer dans la

fonction jr des nombres équidislanu de — entre 3 et 4-
En procédant ainsi, nous aurons l'avantage d'obtenir la
valeur approchée d<! chaque racine A moins de — ■

Il convient de continuer la méthode de calcul par difTé-
rences, qui est plus expéditive et plus s&re que toute

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(56)
autre. A cet effet, uous emprunterons au ubieau du n" (I
les nombres et différences relatives à j: := 3,

j, = 1, A = 12, A' = 46, i'=6,
e| il s'agit de déduire de ces trois diflëreuces relatives à-
l'accroissement constant i, les trois différences du même
nombre yx , relatives au nouvel accroissement con-

sunt — Or , si l'on désigne en général par d, d', d' les

différences première, deuxième, troisième d'une valeur
quelconque de la fonction j* relatives i un accroïssemeat
consUnt h, et par A, A', A* les trois différences de la
même valeur de y relatives à l'accroissement i , on a les
formules

= A*aS

= A'[i'+(A-i)4'].

elles seront démontrées plus loin , afin de ne pas inter-
rompre le calcul. Nous nous bornerotis à remarquer que
la première est une conséquence évidente de la formule
générale

i-'y= i 2.3...m.A-.

En faisant h = — dans les fa>rmules précédentes, on a

1 ton looo

(*= A_9£+!7i_£*.
\ 10 xoo 6ooo

Fl remplaçant A pan a , A* par 46 , A' par 6 , on ^

iî' = o,oo6, i' = + o,4o6, J = — 0,699.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(57)
Actuellement , la disposition des calculs s'explique d'elle*
même ; ils sont consignés dans le tableau suivant.

Substitution de nombres cquittistants de -

■eîet^.

'=

^-

t

S' 3

■

^ ,

- «,699

+ 0,406 0,006

-1- a,3oi

-c^gï

+

4»

-t- O.Doâ

-*- o,ir9

+

4i8

■*■ 0,H7

+ 0,537

+

h/i

+ 0,66.1

+ 0,96.

+

43o

-1- 1,655

+ .,39'

-i-

43G

+ 3,ûi6

-k- 1,857

f

44ï

+ ^,843

+ ï,rf9

+

448

+ 7,1 '•'

+ î,;i7

-1-

454

î.t»

-1- S M}

+ 3, ,7,

460

-t-i3,ooo

-+- 3,63i

+

466.

Comme vérîGcation ,

retrouve pour x =

ou 4 T le résultat i3déjà connu. Si nous n'avions pas tenu
à donner un exemple complet de ce genre de calculs , et à
user du moyen de contrôle qui vient d'être indiqué , nous
surions pu nous dispenser , dans la question présente , de
pousser les substitutions aussi loin : la séparation dès ra-
ânes n'exige pas qu'on aille au deU de 3, a; eneilet,
jusqu'à cette valeur de x, on n'a trouvé pour j que des
valeurs positives ; et comme la dilTérence i est devenue
positive, on voit que la substitution de 3, 3 devra donner
également un résultat positif. Or on sait, par la considé-'
ration de la dérivée , que l'une des racines cherchées est
plus petite que 3,3, et l'autre plus grande que 3, 3^ donc
il est certain qu'elles sont toutes deux comprises entre 3, a
et3,3.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 58 )
II faul, pour poursuivre leur séparation, subslituer
des Hombres équidisunts de — entre 3 , ao et 3 , 3o. A cei
effet , remarquons que les formules ( 2 ) établissent des i-e-
latioDS générales entre deux systèmes de différences
(i, â*, iî'),(A, A', A*) correspondantes à des accrois-
sements dont le rapport est A; et comme le rapport

de — à — est égal à celui de ^ à i , on comprend que

les mêmes formules (3) fourniront les valeurs des nou-
velles différences à, d', $' relatives à l'accroissement

consUnt ) en y remplaçant A, A*, A* par leurs valeurs

porrespondantes à l 'accroissement — •

Comme on doit partir de 3 , ao , on fera , dans les for-
mules (3) , ■

A^o,ii9, 4'^o,4ili, i'=:o,oo6,
et l'on aura

3^ — 0,006739, 3' = o,oo4i26, 3^ = 0,000006.

Subtlilulio.

s équidistants de entre 3,20 et 3,3o,

-

r

. ê

S'

i"

3,10
3,11
3,îi
3,i3

-1-0,008
+ 0,001161
— o,ooi3Si

+ 0,000.6,

fjf.

1 1 +

o,M.4.a6
o.oa^iïi

a,oaojo6

On trouve deux changements de signes, l'un de 3, ai
n 3,33, l'autre de 3,23 n 3,23. Les deux racines posi-
tives de l'équation {1) sont donc séparées, et leurs valeurs

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(=9)
approchées à moîn» de sont

3,21 el 3,2a.
Ou -pourra mainteiiaDt en approcher davantage par la
méthode de Newton.
Quant à la racine nëgadve comprise entre — 1 7 et — 18,

on la calculera à moins de — > en substituant des nombres

10

équidistauts de — ; puis on poursuivra l'approximation

par la méthode de Newton.

9. Au reste, si l'on conUnue l'approximation par le
calcul des difTércnces en substituant successivement des

nombres équidistants de 1 de 1 de -■ ~ ' " ■ ' "n

^ 1 00 1 000 1 0000

voit par les formules {3} que la valeur numérique de la
dillerence premièi-e 3 tendra à se réduire à —^ les autres

termes ^ et ^ ^! ^' n'avant bientôt qu'une in0uence né-

aoo 0000 -'
gligeable sur celte valeur. Quand le calcul aura été con-
duit jusqu'à ce degré où 5 est sensiblement égale à — > on
pourra achever l'approximation de la racine par une
simple proportion, comme on le fait dans le calcul du
nombre correspondant à un logarithme. En effet, soient
f{x) le premier membre de l'équation, a et **-•-—„
deux nombres entre lesquels tombe la racine cherchée \
f{a)elf{ a +— ,) sont de signes contraires. Soit, pour
fixer les idées, /(«) <o, A la différence

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(6«)
â la dilTércnct!

on a d = — à peu près.

Puisque, l'accroissement de la variable étant réduit au
dixième, l'accroissement coixespondaut de la fonctioti est
pareillement réduit au dixième , ou peut poser cette règle
de trois :

Pour un accroissement A dej'{n) , il a fallu ajouter à

a, lu unités (de l'ordre — ^,); combien, pour obtenir

un accroissement — X{^) (cjui réduirais fonction à zéro),
faudra- t'il ajouter d'unités, du même ordre?

à:— /(a);: io;z, doù 8 = H - ' Y " ■

a H ~ sera une valeur très-approchée de la racine

cherchée. Si les nombres A et — J^(o) qu'il faut suppo-
ser réduits en unités du dernier ordre , sont exacts cha-
cun à moins d'une demi-unité , l'erreur du quotient qui

fournit z aura pour limite supérieure -7 — r-.

(f.)

10. Démonstration des formules (a) du n" 8.

Ces formules sont comprises dans le problème général
de l'interpolation , qui sera résolu plus loin. Mais on peut
en donner une démonstration directe et assez simple dans
te cas d'une fonction du troisième degré.

Soit_^o la valeur que prend une fonction du troisième
degré pour une valeur a'd de j;; la fonction sera de la
forme

jr = y, + a(j:-a:,) + b{x-x.y + r{x. — jr.y,

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(6. )
OU mieux , si ]'on pose .r = x, + X ,

Cette sobstitutioi) de la variable X à x revient, eu
géométrie aDalytique, où l'on regarde j comme Tordon-
née d'une courbe , à transporter l'origine au point de l'axe
des X qui a pour abscisse Xo-

D'après cela , au lieu d'attribuer à x les valeurs
*.. -f. + A, a^,-f-7A, *o+3A,,.,

il sera équivalent et plus simple d'attribuer à X les
valeurs

o, A, 2 A, 3 A.

Soient â , d*, S* les différences première , deuxième et
troisième dey,; on aura, en opérant les substitutions et
soustractions indiquées ,

S=zah-i~ bk' + eh',

Soient A, A', A' les valeurs que prennent les trois
difféiences dey* , pour un accroissement constant i donné
à la variable; on fera /t = i dans les expressions précé-
dentes, et l'on aura

S^a + b+e,
i' = 2 6-»-6c,

Pour avoir les relations cherchées entre les d et A , il
uc reste plus qu'à éliminer a, h, c entre ces six équations;
on tire des trois dernières

= r '==

=('-i"-^T)'

et, en substituant dans les trois premières, on a les for-
mules (2).

I.a même marche est applii^able à une fonclion d'un

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(fi= )

degré supérieui- au troisième, mais les calculs d'élimi-
nation se compliqueraient de plus en plus.

11. Si l'on substitue les valeurs trouvées pour les coef-
ficienU a, b,c, dans l'équation (i), on aura

Ainsi une fonction du troisième degré est complètement
déterminée , quand on connaît une valeur y„ de la fonc-
tion correspondante à une valeur donnée de x, ainsi que
les trois dilférences â, A', A* de y^ relatives à l'accroisse-
ment constant i donné à la variable : cette proposition
sera généralisée (n° 1(>).

Des dtffërences enviiagées sous un point de vue plus
général. Expression de la différence n'*™ (A";^,) au
moyen des n -\-i valeurs y„, y,, ^t,. . .jj'».

12. Si l'on considère une suite de valeurs ^,,^1, y,,
ji^yi,. . ., que prend une fonction quelconque de X,
quand la variable reçoit une suite de valeurs x«, x,, t,,
x», . - . (équidistantes ou non), et qu'on retranche cba-

cune de la su

vant

^on

dj-.=r.-

r«.

Aj-i =

=r^—r-

i7

= y>

—X',

on en tire

4V.=

4r.

-AJ-

= {x^~

rO-

(j-i-

-x.y.

et réduisant

de même

yy.=

/' — aj

+.r..

i'j-, —

r» — ar

-+-/■.

et , par suite

4>/.= i'j-,-

i'y

^(r

-'/.+r.)-

~(x,-

-ar.

et réduisant

A-.)-

~r

-3^-,+

3r,-

X"

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(6.1)
L'obsetTatioii des dtlîérences des trois premiers ordres
(le ja conduit à cette loi : les indices décroissent successi-
vement d'une unité depuis l'ordre de la différence jusqu'à
zéro ; les coefficients sont ceuit de la puissance du même
ordre du binôme (y — i).

Si l'on suppose cette loi vraie pour la dilTérence «**"",
on fera voir aisément qu'elle est encore vraie pour la dif-
férence (nH-i)'*"'i on trouvera, en cilét, que chaque
coefficient de A""**' est égal au coefficient du terme de
même rang dans A", ajouté au coefficient du terme pré-
cédent. Or c'est précisément ainsi que l'on passe de
{y — ")" à (y — i)"^'- On a donc, quelque soit n,

(4 ) 4"r. = r- - «j--. -+- "^"~'^ -^""' - ■ ■ • ^y-

Expression de y„ au moyen de y» et de ses n différences
Ay,, A>„...,A"j,.

13. Cette question est la réciproque de la précédente.
On a successivement

= y,-\- ^X,+ i/, -t-4'j-.,
car il est visible que la difTérence d'une somme de quan-
tités est égale à la somme des différences de ces quautités ;
on a donc en réduisant

7j = /= + 4 j-î = ( r. + 2 Ajr» + û'r» ) + 4 ( >"t -•- 2 4j-. + 4'j. J »

et réduisant

On voit que les indices des différences vont en croissant
d'une unité depuis zéro jusqu'à l'indice de la valeur dey,
et les coefficients sont ceux de la puissance du même degré
du binôme [y -i- i).

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(64)

On iera voir, en suppusaiit la loi vraie pour )'„, ul
en passant de j „ à y^^^ , comme on est passé de y* ^ f n
que cette loi est ginérale.

On a donc , quel que soit n ,

(5) y, = y, + «AJ-. + "'^"^ '^ A'j-.+ ... + dv.-

Formules d'interpoïalton.

M, Une grandetir est dite fonction d'ime autre lors-
que, en faisant varier la seconde, il en résulte une va-
riation déterminée pour la première. Ainsi, la surface
d'un cercle est une /oncl/on du rayon, l'espace parcoum
par un corps qui tombe est une ybncd'on du temps écoulé
depuis le commencement de la chute, la tangente trîgo-
nométrique d'un arc est ime fonction de l'arc , la tension
maximum de la vapeur d'eau est nne fonction de la tem-
pérature, etc. Il arrive souvent que la relation qui existe
entre une fonction et la variable dont elle dépend n'est
pas de nature à pouvoir Être exprimée par une équation
exacte, algébrique ou transcendante, ou bien (et cela
revient au même dans la pratique) cette équation est trop
compliquée pour qu'on puisse en déduire commodément
toutes les valeurs de la fonction.

Alors si l'on connaît (par l'observation ou de toUle
autre manière) un certain nombre de valeurs de la fonc-
tion correspondaute à des valeurs données de la variable,
on p6ut se proposer de déterminer, avec une approxi-
mation suffisante , celles qui correspondent à des valeurs
intermédiaires de la variable : tel est le but de YinterpO'-

Interpoler, c'est déterminer, entre certaines limites de
la variable X, une fonction de x d'après la connaissance
d'un certain nombre de valeurs particulières de cette
fonction comprises entre ces limites.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(05)
Quand on n'a d'avance aucune donnée sur l'expression
analytique de la fonction, le problème est évidemment
indéterminé; car la fonction peut être considërëe comme
l'ordonnëe d'une courbe dont x serait l'abscisse, et
l'interpolation revient à déterminer la courbe d'après
un certain nombre de points par lesquels elle doit pas-
ser. Or il existe une infinité de courbes ayant n points
communs.

On conçoit cependant que si une étude préalable de la
fonctioD dont il s'agit a fait voir qu'elle ne varie pas trop
brusquement dans l'intervalle des valeurs de x que l'on
considère, et si ces valenrs ne sont pas trop distentes les
unes des autres , il sera possible d'estimer, avec une assez
grande approximation, la figure de la courbe dans la
partie correspondante de son cours.

15. L'indétermination du problème cesse complète-
ment si, à la connaissance de n-|- i valenrs particulières
de la fonction, on ajoute cette condition, que la fonction
soit entière et du degré n. En effet, s'il était possible
que deux fonctions du même degré n

a + bx + cx^-h- ■ ■ + *^"' H- Ix",
a'+-è'x-^cx'+... ■+ Ir'x'-'-i- l'.r',

non identiques, eussent n-h i valeurs égales pour les
mitmes valeurs de :r.

l'éqoaiion qu'on formerait en galant à séro la différence
de ces fonctions, c'est-à-dire

{l—l'j.f-f-(£~i')x""-i- .. -t-[b — b'}x
aurait n -h t racines

. X- (f*iri« iS'ir.

3,q,l,ZDabvG00gIe

(66)
ce qni Mt abaurde, celle équation ^tant d'un d^ré au
pins égal à ri.

Ainsi , quelque procédé qu'on emploie pour le calcul
des coefficîenu a. A, c,...,l d'nne fonction entière de
degré n remplissant les conditions données, on devra
toujours parvenir aux mêmes résultats.

16. Nous nous Lomerons à exposer la formule de
Nevrton , qui rt'pond au cas le plus ordinaire, celui oà
les n + I valeurs de x sont supposées équi distantes. On
peut, comme on l'a vu n" 10, partir de zëro comme
première valeur de X, puisque cela revient ik disposer
de l'origine des :t qui i>st arbitraire; soient donc

o, A, 2/i,. .., nà,
les n + 1 valeurs de * , et

les valeurs correspondantes de la fonction j.

On sait {n" 13) exprimer y,, yt,-..yy„, en fonction
de^t et de ses différences successives. Si on les désigne,
pour abréger, par â, â*, <?'>■■-) ^' i «^ " l'o" désigne
par I un nombre entier qui peut recevoir toutes les valeurs
de o à R inclusivement, je dis qu'on aura

En eâet , pour f = n , cette équa tioti coïncide avec la for-
mule (5), et si t est pins petit que n, te second membre

se termine de tui-mème au terme ^ ~1 ,. iL ' I l — ~ ! J' •

i.a,../
les coefficients des termes suivants étant nuls à cause du
facteur {l — /) qu'ils renferment.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(67)
Ce]a posé, si l'on change dans ce second membre ( eil

r) il deviendra un polynôme entier en x du degré /i,

T.+-J-

4(1-) (i-

qui se réduira évidemment à ^, pour x = th, et, par
conséquent , ce polynôme prendra successivement les va-
leurs

/., /., rM-. ,7-,
quand ou y donnera ji j; les valeurs

o, h, 2A,..., «A,

ce qu'il est , du reste , facile de vérifier. Ce polynôme n'est
donc autre que la fonction y qu'il s'agissait d'obtenir^
(d" 15), et l'on a déûoitivëment

Cette formule a l'inconvénient (qui lui est commun, dit
reste, avec les antres formules d'interpolation), de n'être
pas ordonnée par rapport aux puissances de x , en sorte
que pour avoir les coefficients a, £, c,.,., /de ces diverses
puissances, il faudra développer les produiu indiqués.

Application au troitième degré. — L'équation (7),
ordonnée par rapport à x, se réduit i

Si l'on suppose A= i, et qu'on désigne par A, ù.', û')

6.

:,.;,l,ZDdbyC00gle

( 68 )
les diffëreuces de y», relaii^es à l'accroisseineiit con-
staQt I, l'équation précédenie devient

/ i' û»\ A> —

c'est le développement de Xt déjà donné au n" 1 1 .

Puisque les seconds membres de ces deux équati<His
sont les développements d'une même fonctîoD entière
de X, ils doivent être identiques. En égalant les coeffi-
cients des mêmes puissances de :r, on retrouve les for-
mules (a) du n^S.Cette marche conduira immédiatement
auv formules analogues pour une fonction d'un degré
supérieur au troisième.

17. L'équation (y) permettra de remplacer par ime
équation algébrique une équation transcendante X = o,
lorsqu'on connaîtra (n + i) valeurs de la fonction X, cor-
respondantes à des valeurs de x, équîdistantes et assez
voisines pour que les différences n'*"" des résultats de
leur substitution puissent être considérées comme con-
stantes. Aupoint de vue de fa géométrie analytique, cette
interpolation a pour effet de remplacer la courbe trans-
cendante j- = X , par la courbe parabolique

T /j- \ i'

qui se confondra sensiblement avec la première, dans
toute la partie de son cours, comprise entre les abscisses
extrêmes o emh.

L'emploi des parties proportionnelles dans les Tables
de logarithmes est une véritable interpolation.

Comme les différences premières entre les termes con-
sécuUfs des Tables, varient très-lentement, ou peut les
regarder comme constantes dans un certain intervalle,
c'est-à-dire regarder comme nulles les différences secon-
des, troisièmes, nç. Par exemple, si l'on ouvre tes Tables

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( 6!) )
irigoQométrîqnes au logarithme do lang (34"'!' lo")»
on trouve que la diÛërence entre ce logarithme et celui
de tang (34" 1 1' 30^) est 4^3 dix-miI]iouiètues,etron voit
que cette diflférence se maintient la même pour les accrois-
sements successifs de lo^en lo", jusqu'au dixième terme
34" I a' 5o", où elle devient 45 a ; puis elle reprend sa pre-
mière valeur 453 pour les trois termes suivants, et elle
oscille ainsi longtemps entre 453ct 45a dix-millionièmes.
La même constance s'observe lorsqu'on remonte dans
la Table jusqu'au trentième terme au-dessus de l'arc
34"ii'io"- On peut donc regarder la fonction logtangj:,
comme se confondant sensiblement pour les valeurs
de X, comprises entre ces limites avec une fonction en-
tière dont la différence première â serait ^ale au nombre
' constant 453 dix-millionièmes , c'est-i-<lire avec la fonc-
tion

qu'on déduit de l'équation (7} en faisant

3' = o, i' = o...;
on en lire

c'est-à-dire les accroissements des l(^a ri thmes- tangentes
proportionnels aux accroissements de l'arc, comme le sup-
pose la règle usuelle.
Soient donc

r. = log Ung(34° 1 1' io"J= 9,83ao264,
A =10",

i = ^53 dix-millionièmes,
«1 soit proposé de ii-onver le logarithtne de
iant.(34»it'i7",8H

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(7")
nn fera , dans l'équatioi) (8),

'■=7'.8.
et l'on aura pour la dilTérence du logarithme cherché au
logarithme de iang(34'' ii'io"), différence évaluée en
dix -millionièmes ,

,-,,= 453^8^353 3

Réciproquement, quand on se propose de trouver l'arc
correspondant à un logarithme-tangente ^y est donné, et
l'inconnue est x. On tire de l'équation (8 )

On fera A ^ i o, et le second membre indiquera le nom-
bre X de secondes, qu'il faut ajouter à l'arc correspon-
dant àys ; c'est le résulut que donne la règle des parties
proportionnelles .

Comme les deux termes de ta division (y — y^ ) et S
ne sont connus qu'à - unité près , et qu'on doit multi-
plier par lo, le quotient sera approché à moins de ~ f f\

près. Par exemple, avec les nombres employés plus haut,

on a J^ 453; l'erreur sera moindre que -rc» abstraction
45

faite de l'erreur (beaucoup plus faible) apportée par la
formule d'interpolation.

Comme les différences à des tangentes sont les sommes
des différences correspondantes des sinus et cosinus, il
résulte de la limite d'erreur indiquée ci-dessus, que les
formules qui donnent les angles par le moyen de la tan-
gente , fournissent une approximation plus grande que
(es formules où l'angle est défini par son sinus ou son (<>■

:,.;,l,ZDdbyGaOgle

Il' )

sinus. C'est pourquoi les premières doivent toujours être
préférées .

Noi». L'excellant iriicle qui précède est très-nlile ■ renteignemanl.
C'Mt hb point d^cbë dn calcul boi diCréieDoaa. Il Mrait aTanUgaui,
facile, d'ippTSDdn aox élèrea les priDdpes de ce calcul; conséquencei
iminédiilea du binCnie de Howton, et h l'side desquelles on passe si na-
Mrellemant su calcul différentiel, comme Euler le fait voir. Car les
duirea doivent toujours retentir de ces métbodei géuërales taDl rscom-
wandéea dans les lefons à la première École Normale et proreuÉes
par les grands maltrea, et que l'École Normale octuelle oonaene et coti-
•erren (uti'ium.') religieiuement. Cas mélhodea sont diamétralement op-
poaée* h l'esprit de petitesse qu'on veut inoculer à certain enseignement
en taui lin.

SUR LS CALCUL DIS LOeARlTHMIS;

Psa M. Abel TRANSON.

Les nouveaux programmes pour l'admission à l'École
Polytechnique dem ai] dent le a calcul des logarithmes au
« moyen de la série qui donne le logarithme de n + i,
n quand ou connaît celui de n. n

n s'agit de la formule

(,} L(/H-i}-Ln

J-L-

L2« +

'^3(2«+0'^5(2«+.)>-^

dans laquelle L n est le logarithme népérien de it.

Euler, dans Vlntroduc.in j4nal. Iiifinit. , donne les
résultats de l'application de cette formule aux logarithmes
hyperboliques des premiers nombres jusqu'à lo^ mais,
pour le calcul de L 7, il indique une modification remar-
quable qui consiste à calculer

o — •'49=^-[;

.99 3(9!))'

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 7")
La série qui forme le second membre étant ^ale à
La + 2 L5 — 2L;j,

il s'ensuit la détermination du logaritlune de 7 en foDC-
tion des logarithmes de 3 et 5, et d'une série beaucoup
plus convergente que celle qui résulterait de la simple ap-
plicatioa de la formule (1).

Thomas Lavernède, dans les Annales de M. Ger-
gonne , tome I , a recherché les moyens les plus avanta-
geux de construire une Tahle de logarithmes. Parmi les
formules très-curieuses que renferme son Mémoire, on
peut distinguer la suivante, qui se démontre séparément
et avec beauconpde facilité.

Soit p un nombre premier. Au lieu d'appliquer immé-,
diatemeot au calcul de hp la formule (i), on l'applique
au calcul du logarithme de p* , et il en résulte cette nou-
velle formule :

{3) aL/.-L(;>'-i) = »r-

[=/>■-. 3(2/>--.? ■ J
Or il faut observer que, p étant un nombre premier,
tous les facteurs premiers de p* — 1 sont inférieuis k p;
de sorte que le logarithme de ;i se trouve exprimé à l'aide
de logarithmes antérieurement calculés et d'une série
bien plus convergente que celle de la formale(i).

La formule employée par Euler pour calculer L 7 re-.
vient à

qui, à la vérité, est plus avantageuse que la formule (a),
mais qui n'est pas toujours applicable, parce que les facT
leurs premiers de />' + 1 peuvent i^tre supérieurs à p.

Noif. Lob noiivetiux programmes ordonnfnl de vÊriner l'cmcliludr dn
fablsH loeatithmiqucs. ■ l'mldc des pariin proportiometlrt. PlttEÎenr!,

i.vGoogIc

(73)

penonne» m'ool diuninde ce que cala loulail dire. Je n'en ■■!« rien.
Voici me* conjectures. Il s'agil probiblement de calculer lea logirithmes
>u moyen de la Table des dilTénncM. On trouTe an exemple de ce gaan
de lalcal* du* le teite qui précède les TdiI<'jiFCa(/<!(, tome t, p. 35.

On m'a BDCore demandé ponrqaoi ( * ) on laisse subsister la diseuasion
de cas donleus dans la trigonométrie recUligue, et pourquoi on la sup-
prime dans la trigonométrie apbériqne. Je n'en Bail rien. Voici mes eon-
jectorea. La trigonométrie rectilipie est employée par les «rpentenn, et
il n'y aTaM pas d'irpeDlenra de proreHion dans la Commission d'organi-
sation; la trigonométrie sphériqus <at employée surtout par les astrono-
mei, et il T avait un astronome de cabinet dans la Commiision d'organisa-
tion. En général, ceux qui dominentanjonrdliai l'enseignement par ordon-
nance militaire, lea Leibnitx de par le droit du plus fort, droit loujonrs le
rodllnir, auraient dd sJi^iBer leurs Tolonlés d'one manière pins claire.
Par exempta, j'ai mis plus de dix minutes h deviner le sens du conseil
quIlsTenlenl bien donner aux professeurs de l'UniTersité de France, pour
lAta taire la dîvtiiaH en arithmétique. Le conseil étant comprii, lalvAreve-
rmlia, je le trouve asses mauvais. Il consiMe , pour rérifler nn chiffre do
qdbtianl, k mnttiplîer tout le dirisenr par ce chlSt«, el i comparer le
produit avec le dividende partiel; c'est l'ancienne méthode. Anjonrd'hni,
lea élèves des lycées de Paris, pour opérer cette vériBcation, divisent le
dividende partiel par le chiffre du quotient, et comparent le résultat
avec le diviseur, ce qui est beaucoup plus eipèdilif. Étant sur le chapitre
desconaeils, on voudra bien me permettre d'en donner un seul qnl me
puait tiè» oppoTtoD. Dana la composition des futures Commissions ipro^
fr«nse«, on devrait admettre quelques élèves. Je m'assure que les derniers
programmes auraient beaucoup gagné h cette admission.

ntoUK BES SYSTÈMES DE ttUlU, POINTS HiUlMONIQIJES
Pab m. g.-j. dostor,

Docteur es sdencea mathématiques.

I. Définitions, DésigDoas par A, B, A', B', quatre
poinu en ligne droite, qui forment uo système harmO'
oifjue, et par a , ^ les milieux des ÎDierralles des points
conjugués A et A', B et B'.

Nous donnerons aux s^menls AA', BB' le nom de

(*) Nous publierons incessamment une série de poarguoif

i.vGoogIc

(74)
segments conjugués, à AB, A'B' celui de segments ex-
trêmes, et en6n à AB' et A'B les noms de grand et de
moyen segment.

Nous représenterons, en outre, par -^ = a, 'ï: = ^
les rapporta dans lesquels les distances entre les points
conjugués A , A', B' et B se trouvent divisées par les deux

, AB WK' ,

autres points, de sorte que-,^ = a, -^-77= o.

n. Propriétés des segments conjugués. Si l'on exprime
les quatre segmenta AB, A'B', AB', A'B en valeur des
distances de leurs extrémités au point a , et qu'on substi-
tue les valeurs obtenues

AB = Aa-|-Ba, A'B'=8'a — A'a,
A'B = A'a — Ba, AB'= Aa -H B'«

dans l'égalité

(i) AB.A'B' = Afi'.A'B

que donne la proportion harmonique AB; A' B ;; AB': A'B',

on obtient la relation

(3) A« = Ba.B'!<.

De même

(3) B^"=Ap.A'p.

La multiplication des identités AA' = AB + A'B,
BB' = A'B' -»- A' B donne ensuite

(4) AA'.BB':=2AB.A'B' = aAB'.A'B;

puis on obtient, en faisant le produit des égalités
AA'=AB-|-A'B, AA'= AB'— A'B',

(5) Ar''=AB.AB'— A'B. A'B'.
De même

(6) BB''=B'A.B'A'— BA.BA'.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(75)
Si l'on ajoute les formules (5) et (6), on trauve, après
réduc^ona,

(7) ÂA'V 818'*= (AB + A'B'V^iAr— A'B)',
d'où l'on tire

(8) ÂÂ''-l- 8?'= (AB+ A'B') (AB' — A'B).
Divisant successivement les équations (5) et (6) par

les valeurs (4), on a ensuite

AA'_Ar A'B'__ AB A'B
'9' *'BB'~A'B' AB'^A'B ab'

. ^_ ^ _ 5^ _ B'A' BA'

''*'* ^'aA'" BA 8'A~BA' WV'

Si nous combinons , par addition et par soustraction ,
l'idendlé AB.AB' = AB.AB' avec la formule (i), noiu
obti«idrons

AB(AB' + A'B')=: AB'(AB + A'B),
AB{AB' — A'B') = AB'(AB— A'B),
ou

AB(AB' + A'B')= AB'.AA', AB. AA' = AB'(AB — A'B);
d'où nous tirons , en divisant convenablement par les V4-
leurs (4),

'"' J^'*'J^~VW' BB* ~Â^~ÂB*
On trouverait, d'une manière analogue,

*'*' bâ"'"Fâ~ÂF' Xâ:~bâ'~Wa''

La comparaison des formules (i i) et (is) donne
(13) _±_~''

i'4:

AA' BB' A'B AB'
a 2 _ r I

AA'~Br ~ âb'^TW

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

• (76)
On trouve eoiuite facilement

A'B AB' ■

rB'~ÂB'^'

(.5)
(.6)

En galant les valeurs (la) , de-rr?' o" ^ enfin la re-
lation

''^' rB~AB"^rB'"*"Âff '

qui est Tune des formules les plus remarquables des sys-
tèmes harmoniques. Ou peut encore appeler l'attention
sur la formule

(ao) ira + Bf = ap ,

qui se déduit de B^*=: A^.A'^, en y remplaçant A^ el
A'p par«P-»-«A et«P — «A'.

lO. Propriétés des segments non conjugués. En
élevant au carré les deux membres de l'ideoiitë
AB = AP — Bp, et en observant que (3) Bp=Ap.A%

B = Ap(Ap — aBp + A'p

Ap-3Bp + A'p = (Ap-Bp)-{Bp-A'P)
= AB— A'B = Aa + Ba — A'a-(-Ba = 3Bai

donc

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( w )

Nous obtiendrions de même

(aa) Â^'= aA'p.B'a,

(33) jB''=iA.^.Va,

(a4} A^'=aA'p.Ba,

Combinant ces formules entre elles , nous trouvons

(35) ÂB':i7B= Ap:A'p, BÂ'':FÂ'=Ba:B'«;

(36) AB.A'B= 3B« Bp, BA'.B'A' = 3A'p.A'«î

(37) AB:A'B= Ap:Bp, BA':B'A' = Ba:A'ft;

(38) AB.A'B:AB'.A'B'::Bti:B'a,

(39) AB.AB' : A'B.A'B :; Ap : A'p.

IV. Propriétés des rapports de divisioH des segments
conjugués. Les deux proportions

AB: A'B :: 0:0', ab':A'b' :: a -.a'
donnent

ab + a'b ou aa': a'b:; <n-«':fl',
AB'— A'B' ou AA': A'B':: o— <i':o,

d'où l'on lire

A' B' __ a -h a' _

Â^~<i — <i''
donc

^ ' a — a h a — i 1> — '

On trouve ensuite facilement

AB =

. AA':

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(7»)
La combinaison de ces valeui-sdoiiiie encoi-u
{33) ab:a'B':: [^••^)-* ::<i(a-a'): ='(« + «'),

(34)AB':A'B:: (j-y) :. ■.■.a{a + a'):a'(a-a'),

(35)AA':BB' ;:^+i:j+i;:a'— o'-:3on':;a»':4''— *'.

V. Relations entre les distances d'un point P de la
droite ABÂ'B' aux points hartnonitptes. En exprimant
les fi^:meabi AB, A'B', AB', A'B en fonction des dis-
tances du point P aux points A , B , A', B', et en substi-
tuant les valeurs dans la relation (i), on obtient la formule

(36) (PA-)-PA')(PB4-PB'}£=a(PA — PA'4-PB.PB').

A l'aide de ce qui précède, on trouve aussi facilement
que

(37) pb.pb'.aa' = pÂ''ap-pâ'.a'p(*).

NOTR SUR LBS SOMMES BB PlISSANCES SGMBUBLBS;

Pàk U. MOURGUES,

Professeur il Marteillc.

Soit P„ la somme des combinaisons' n â n de m quan-
tités a,b,c...h; soit A„ la partie de ces combinaisons qui
ne contient pas a, 6„ celle qui ne contient pas b,,..

Ou sait d'abord que
(0 P. = A. + rtA^,.

Je dis en second lieu que
(2) A.-|-B. + C...-|-H, = (/ii — «)P.i

(*) On tbrége beaucoup en faiunt AB = m, RA' = ii, A'B' = ;i, H

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(79)
car ane combinaison quelconque abc... e n'entre pas
danslesn parties A„, B„,. ..,£„, et entre une seule fois
dans chaoune des m — n autres.

Cela posé , de la formule (i) on d^uît
/ P.= A. + aA._,,

(3) ;

Multipliant les membres de la première équation par
( — a) , de la deuxième par (-l-ii*], delà troisième par
( — a'), etc., et sommant, il vient

(4) P.-<iP^, + a'P._,... ±û— P,=Ffl'=A,.
De même

P. — 6P*-i + 6'Pm... . ±6*"'P, :pt» = B,;
d'où, par addition,

mP.— S,P^, + S,P^,...±:S^, P,:+:S. = A.H-B....+H„
et, par suite, en vertu de l'équation (a),

(5) « P, — S, P,^, 4- S, P,_, . . . :^ S,_, P, ± S, = o.

C'est la formula qui donne , en fonction des combinai-
sons , les sommes de puissances semblables d'indices in-
férieurs k m.

En second lieu , pour n = m , la première des relations
(3) se réduit à P„=3aA„_,, et, par suite, l'égalité (4)
devient

P. — aP»., -t-ffl'P— .... :^n*-'P,:^fl" = o;
d'où, en muIUpliant les deux membres par a*^,
ii'P.— af+'P^, -+-«'+' P«_,.. . ±a'^*—'P, :pa-^'' = o.

Remplaçant a successivement par />, c , . . ., et soiiimani ,

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(8o)
on a

(6) S, P. — S^, P«_, , . . ± S,^^, P, q: S»^ = a.

C'est la formule relative aux sommes d'indices non in-
férieurs à m.

sdurrioN aîmjM m la ouestion îss

11 s'agitde satisfaire, par des nombres rationnels, ans
deux équations

X' + jr'— I =*', i' — _y'— I =u'.

On a donné une solution de'ce problème , tome IX,
page ii6; mais, comme l'a remarqué M. Terquem, elle
n'est que particulière. En effet., dans cette solution, on
ta\tj-^pç, cequîdonne

(«-H«)(i-«) = ap'î=,
et l'on conclut de là

t + U = lq', X — u =3/>',

conclusion qui n'est pas nécessaire, tant qu'on ne sup-
pose pas qu'il s'agît seulement de nombres entiers; on
peut remarquer aussi que la supposition p = q* n'est
point la seule manière de rendre 4 -H 4 fl' -t-p' U" carré,
comme on l'admet dans le même article. Je pense donc
qu'il est à propos de montrer comment on parvient  la
solution complète, car la question n'est pas exempte de
quelques difficultés qui pourraient arrêter les com-
mençants.

En retranchant, de la prctmicre des équations pro-

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(8i )
posées , la seconde, on obtîeut

eiy, 2, u doivent être trois nombres rationnels qti'oil
pourra toujours réduire à trois fractions ayant même

dénominateur. Soient -rt -jt j ces fractions, et g le plus

grand diviseur commun aux trois numérateurs h, k, i:
faisons h = gh'^k^ gk", 1 = gi'. II viendra

2h"=A" — i'',

et A', A', i', n'ayant pas de facteur commuii i tous les
trois, seront ainsi, deux à deux, premiers entre eux;
car si deux de ces nombres avaient un facteur commun,
ce facteur,, en vertu de la même équation, diviserait
aussi le troisième. De plus. A" — j" ou le produit
(f -f-f') (V — j') sera un nombre pair; les nootbres
k' ■+■ i', k' — J ' sont donc en même temps pairs ou im-
pairs, etcommeleur somme est a A'etleurdiiTérence 21',
ils ne peuvent avoir de diviseur commun que 3, puisque k'
et I ' sont premiers entre eux; on fera donc
i' -t-î'^ïm, *'— i"= an,
m et R étant premiers entre eux , et l'on aura
A"=3/nn,

de sorte que amn, étant pair et carré, sera divisible par 4,
et, par suite, l'un des facteurs m , nsera divisible par a.
Soit 71 ^ a rt'; donc

et le produit mn' sera un carré : par conséquent, ses fac-.
teurs/n, n', étant premiers entre eux, seront aussi des
carrés, et l'on fera

m=/7', n'=7',
Am. deUtOiém*!., 1. X.'(Hm i85i.) <S

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 8'^ )
J'où

h' = "i-pq, h':= m + n = /j' + a y".
Si l'on posait m ^ a m', on aurait

m' et » seraient deux carrés, (;t, en faisant n=p*,
m' = f ', il viendrait également

h' ^ 2pq , X-' =/>'-<- a ^',
Il en résulte

^ l 1 ' l / '

valeur» qui, «unt substituées dana l'équation

donnent

Donc lenotnbre entier g' (/'*-+- 49')-^-'' sera un rarré.
Soit / 4- r sa racine; on aura

§■'(/'' + 4?')= '■'+2''-,
d'où

2r a- '

et il faudra que r soit un diviseur de g* {p^-^ 4?*) ^t
pair si g* (;»' + A^*) est pair. Par cette valeur de /, nous
avons enfin les formules

_ ISP± __ 4f/'y

__i-\-r_g'[p'+^r)-\

' e'ip^^W)-'-'

qui fourniront toutes les solutions possibles de la ques-
tion proposée , pourvu qu'on assigne des valeurs entières
À g, p, tf, r, qu'on prenne p et 9 premiers entre eux

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(83)
(comme m et n) , ç impair (car des deux nombres m et n
l'un est pair, l'autre impair, et ç* est égal au deroier),
et que f soit un diviseur de g' (p* -1-4^9*), pair ou impair

Mais j'ajoute qu'on aura toujours des soliflions du pro-
blème, en donnant aux mêmes lettres des valeurs i-a-
tionnelles quelconijues , et qu'ainsi on pourra , sans dimi-
nuer la généralité des formules précédentes , mettre gr à
la place de r, ce qui donnera

P'+4f ' — '■'' ;)' + 4^'_f''

Car

(;>'+4î' +»-')'- (P*+49'-'-)*=4'-'(/''H-4î').
ei , par suite, de ces dernières formules , il résultera
T'-fcr'_ 4^'(A'' + 4 ?'±4p'?') _ 4'-'(P'=t=^?'V

qui est toujours un carré , comme le veut l'énoncé du
problèBoe.

n est clair, en même temps , qu'on aura

Le problème est ainsi complètement résolu. Si l'on sup-
pose r= a 9' , il vient

d'où l'on tire ta solution duLilavati pour les nombres en-
tiers, en prenant p^ t. Les résultats sont , en substance,
les mêmes, si l'on suppose r=p*.

Mais en faisant r^ipij, on obtient cette solnUon en
6.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(84)

nombres fractiounaires

-l;-^:)'

- "{'^

:)■

puisque, alors,

ipgr = Sp'q' = i

■p^+i^'Y-lp-^iç

')■■

EnfiQ

, si l'on fait r=.p

* — a ç*, on trouve

P'-t-ir-r' = ^p'^',

ei, en

p'-^r

P9

, , , l;-'- >»■)■.

41 OU , en prenant p = > on lire

Bolntion du Lilavati pour les nombres fractionnaires [c'est
par erreur que, dans les Nouvelles jinnales, tome IX,

. , /8o'— 1\' ,, , (80'— on

page 117, on a imprimé I ■ l. - , 1 au heu de ■- \ , -- I ■

On peut abr^ier cette solution comme il suit. Ayant
l'équation

faisons z = u + f ; nous aurons

aj-' = aiB+c',
d'où

et, par cette valeur, l'équation

deviendra ~ "

(ïj..-,.). ^, + ,

'+4'-

4.' ■'■^ " 4

/'

:,.;,1,ZDdbyG00gk'

(85)
On ne voit pas d'abord comment on peut, en général,
rendre 4^*+ (* -f- 4*' U" carréi mais si l'on fait t = -i
il viendra

4flV ' i'

en posant / = ^np, q^ ny, de sorte qu'on devra rendre
/>*M- 4^* + i* un carré, et en appelant / -f- /■ sa racine ,
on aura

d'où

f^ /^ + 4?'- ^'

imi SU LE PLIS GUND COMUN BIVISKIIR;

Pm m. E. LIONNET,

ProteMCur au lycée Looii-le-Grand.

TflÉORÈME. Le nombre de divisions à faire pour trou-
fer le plus grand commun diviseur de deux nombres
entiers A et B ne peut excéder trois Jois le nombre des
chiffres du plus petit B des deux nombres proposés.

Pour démontrer ce théorème, nous avons fait voir (*J
qu'on pouvait supposer A et B premiers entre eux , et ,
en désirant par

B.. . D,, D,, D,, Dj, D,, I
les nombres qui ont servi successivement de diviseur,

(*) NourtUet AjhuUhU Maihânatiiaei, tome IV, pige 617.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(86)
nous avons prouvé qu'entre trois diviseurs coosécuiifs
quelconques, D,, D,, D, par c-xemple, on avait la re-
lation

Di= ou >2D. + Dj,
que nous allons démontrer d'une manière plus simple.
Le diviseur Dj , étant le reste de la division de D« par D| ,
est moindre ({ue la moitié de D,, et, par suite, contenu
au moins deux fois dans D, ; donc , si D, est le reste de la
division ordinaire de D, par D, , on aura
(i) Di=: ou >2D. +D,.

Dans le cas où D| est le l'esté correspondant au quotieut ,
pris par excès , de la division du Dj par Dt , si l'on
nomme R le reste de la division ordinaire de D[ par D,,
on aura, comme précédemment,
{2} Di= ou >2D. -+-R;

mais D, étant moindre que la moitié de D( , R est plus
grand que cette moitié , donc D^ <^ R , et , si L'on rem-
place R par D, dans la relation (a), on aura à plus forte
raison la relation (■), qui est ainsi démontrée, quel que
soit le mode de division qui a conduit au reste Dj.

SUR U RACINE CIBIQUE;

Pab m. G.-H. MlEVENGLOSKl.

Loisqu'on a trouvé la partie a de la racine cubique ,
on est quelquefois obligé de faire des essais pour déter-
miner le chiffre suivant j cela arrive notamment quand
on cherche le second chiffre, car alors l'excès du quo-
tient de la division par 3n*, sur ce chiffre, peut aller
jusqu'à 14.

>;,l,ZDdbyG00gle

(«7)
Pour abréger les essais inlVuduuux, l'auteur d'utiTrauë
d'Arithmétique, qui a paru l'an passé (*), démontre que si
le chiilre trouvé a u'e&t pas inféiieur à 3, cd divisant par
3a* + 3a au lieu de diviser par 3a*, on obtient le chilIre
cherché ou un chiffre trop faible. Et, plus loin, il ajoute
expressément, si la partie trouvée a contient plus d'un
chiffre, la division par 3a* -t- 3a « donnera certainement
un chiffre égal ou inférieur au chiffre cherché. »

Cette double assertion me parait inexacte. En effet , la
dilKrSnce de deux cubes consécutifs est 3a* -t- 3a -I- i ;
donc, en retranchant le cube de la partie trouvée a, le
reste peut bien être 3 a* + 3 a , et , par consécpent , quels
que soient les chiffres de la tranche abaissée, la division
par 3a* 4- 3a peut donner le quotient lo, qui n'est
certainement m le chiffre cherché, ni inférieur au chiilre
cherché.

L'esemple V > ^4999999 peut servir de vérification.

D'après ce qui précède , il est aisé de voir que si l'on
divise , non pas par 3 a' -\-Za, mais par 3 a' + 3 n + t ,
on obtiendra incontestablement le chiffre cherché ou un
chiffre inférieur ; car

A>.o,
donc
34i'ftXioo + 3flèMo + fr'<(3*i'-(-3<. + i)Xiaox*, eic

Le lecteur voudra observer que la règle que je pro-
pose ne dépend point de ta valeur do la partie trouvée a \
par conséquent, elle servira très -utile ment pour détermi-
ner le second chiffre de la racine, lequel chiffre expo.sc
souvent A plusieurs essais infructueux.

Qu'il me soit permis, en terminant, d'exprimer mon

>;,l,ZDdbyG00gle

( 88)
r^retde ne pas voir, daas les Traités d'Arithmétique qui
ont paru i-écemment , la méthode abrégée de l'extraction
de la racine cubique. N'est-il pas rebutant de faire le cube
de toute la partie trouvée de la racine, chaque fois que
l'on veut déterminer un chiffre? etc....

LUUTB

le rcrrew dm li sikslilitlM de U Rojeue diiïéreititUc dt dcn^Mkti

1 Icir KDjnit prtpwliiiuellc ;

Pm h. g.-i. dostor,

[kicleuT è> science* mathématiques.

Soient a et & deux nombres inégaux, d leur difléience j
on a identiquement '

>/^<\/Jp^]

donc la moyenne proportionnelle entre deux nombres
inégaux aetb est moindre que leur mojrenne differen-
tidle.

Pour trouver une limite de leur différence , posons

d'où

f 4- \la{a-^d) =a + -d,
«t, en élevant au carré, puis en réduisant,

>;,l,ZDdbyG00gIC

e- + 2ev'a(« + d) =

(89)
on d^uit de là

d' d' __d' _ [b-ay

'^8v'«"T^Trfï<8v^~8«- Sa '

donc l'erreur e est moindre que le carré de la différence
entre les nombres divisé par l'octuple du plus petit de
ces nombres.

SOLKTIOK DE L'BXKRCICR NIIMÉRIOUE PROPOSK

Cdr I.II,p.>t»)C)i

PAt. M. E. PROUBET.

Il s'agit de démontrer que les équations suivantes :
1" 5-j^x' 4- 495i *■ -+- SSgaar- + 2876* +■ 694a = o ;
2- 3447*'+ i456oj'+ 2a43o:r' + 25857*» + ^ig^-»'
+ 115961 + 5602 = 0,

n'ont aucune racine réelle.

1 . On a , pour toute valeur réelle de x ,
jj— j^-ï-x' — a: + i>o.
11 en résulte , à fortiori,

^, 4951^, 589»^. =^876^ ^ ^^^a
5797 5797 5797 5797

Donc la transformée en — xde la première équation, et,
par snite, cette équation n'a que des racines imaginaires.
3. f{x) étant le premier membre de la seconde équa-
tion, /( — x) peut être mise sous l'une de ces deux

(*) Dw» la Covuiitdnee dei Tttu/n ponr 18^9, page 174 , Mtte solution
■al donné* i l'aide du théordnie d« M. Sturm ; ce qui eiige de pénibi» ei
long! calcnU.

>;,l,ZDdbyG00gle

(9»)
rormvs :

( a:'(3447x'— t456oj--+ 153^6)
(i) ' +x-(7o54*'— 25857x+a3696)

' T- (5497 -i' — ii59l>JH-56oa) =r o,

!(56o3 — I iSgGx + Gooi^r')
+ (23192— 25857^ -F 7208 *')jr-
+ (l5222— 14560* -H 3447 J')** =0.

Dans l'équation (i), les racines des deux premiers Iri-
udmes sont imaginaires ; celles du troisième sont réelles
et moindres que 1 ,5 : on en conclut que /( — Jc) est po-
sitive pour toute valeur de x supérieure à i ,5,

Dans l'équation {2), les racines des deux premiers tri-
nômes sont imaginaires; celles du troisième sont réelles
et plus grandes que 1 ,5 : il on résulte que J"^ — x) est
positive pour toute valeur de x inférieure à 1 ,5.

Ain8Îy( — x) conserve le même signe pour toute va-
leur réelle de x; donc ce polynôme n'a que des racines
imaginaires , et il en est de même di;/(x). C. Q. F- 0.

JUSTIFICATION DBS CALCULS IHmQUÉS.

Première forme de_/"( — x).
Premier trinôme: 344? J^' — i456ox-1- iSSjG.
(!i^y=(„8<,r = 5a99S4oo

3447- 15376= 53001072

Deiixiisnie irinome: yoS^x^^- aSSSj 4- a36y(î.
25857' = 668584449
4 . 7054 . 28696 = 66S6o6336

Troisième trinôme: 5497 x' — i iSyfix 4- 56o'j.
Ce irinàme a une seule racine entre 1 et -f- co ; 1 ,5
substitué donne un résnllai ^o.

>;,l,ZDdbyG00gIC

(9- )
Sevonile forme de_/'( — x) :
Premier tiinôme : fiooi.r' — ii596a.'+ 56oa.
^liMy = 5,98.= 336.68o4

5602.6001 = 33617603

deuxième trinôme : a3i93 — a5857xH- yaoSx'.
15855' = 668584449
4. aSiga. 7108 = 66867 '744
Troisième trinôme : 344?^* — t^^6ox-\- iSaaa.
La somme des deux racines est plus grande que 4 '■> ces
sont donc plus grandes que i .
3447 -.5 = 5170,5
5170,5— i456o=— 9389,5
-+- 9389,5 X 1,5= .4o84,55< 15222 (•)

SUR LR NMIRR IKS PeWTS HlILTIPLES DANS UNE COURBE
AlfifiBRKHlK,

Par m. Abbc TRAnSON.

I . Si loutu droite, menée par le point A d'uue courbe,
a eu ce point deux ou plusieurs rencontres avec la courbe,
c'est un point multiple.

Le nombre de ces rencontres marque le d^ré de multii
plicité du point.

Cette singularité est généralement due à la circonstance
de deux ou plusieurs branches de courbe passant par le
point dont il s'agit. Si l'augle sous lequel deux de ces

('} Le côlèbra cakoli leur astronome > bil un emploi utile du Ihéorému
île Stumi; un icadémicien do méuie Dom a retranché de l'ciiHigncmcnl
ce Ihéorèine comme appartenant à la haute Ihcorie, cboac inuliU ; un re-
prnentani de m#nir nom, dan« la diiwnisîon sur le» conducleurs-ïojere,
a déiclaré la haute théorie chiise inilitipentahlr. Cps imin nom« désignenl-
■It \i mèmv personne;' O. TsaurEU.

>;,l,ZDdbyG00gle

(9>)
braoches se coupent vient à s'aunuler, alors // peut y
avoir rebroussement, mais cela n'a pas lieu nécessaire-
ment. Ainsi la circonstance que deux des tangentes en un
point multiple viennent k se confondre, est un des caractè-
res du rebroussement, mais non pas un caractère exclusif.

Le point multiple peut aussi £tre isolé, on l'appelle
alors point conjugué ; et, ici, il faut remarquer que, ré-
ciproquement, dans une courbe algébrique, tout point
isolé est nécessairement multiple.

2. Le caractère commun de tous les points multiples ,
quel que soit leur degré de multiplicité , qu'ils présentent
ou non un rebroussement, qu'ils soient ou non isolés;
c'est d'être à la fois sur les trois courbes représentées par

(■) F = <,,

/ ^ "f

OÙ F = o, équation du degré n, représente la courbe
donnée. De là ce premier résultat , que leur nombre , ne
pouvant dépasser celui des intersections de deux courbes
du degré » — i, a pour limite supérieure (n — i)' (•).

L'objet de cette Note est de trouver une limite beau-
coup moins élevée que (n — i)' pour le nombre total des
points multiples en général ; et ensuite de donner des li-
mites spéciales pour les points multiples des différent*
degrés de multiplicité.

D'abord on peut s'assurer que les solutions communes

auit deux courbes -- = o , et — -= o, ne sont pas louies

( *) ("'wr pRr inadverUnfe que j'ai mis

>;,l,ZDdbyG00gle

(93 )
sur la courbe F = o , à moins ((ue celle-ci ne présente uu
faisceau de n droites. Cela est évident pour le second
degré, puisque l'ensemble des deux équations (a) et (3)
y représente le centre de la courbe , et je le démontre en
général comme il suit.

La courbe donnée par l'équation
d¥ d¥

contient manifestement tous les points communs à (3)
et (3); or, mettons l'équation (i) de la courbe donnée
sous la forme

F. + K-i + F^,+,. . =0,
où les différents termes sont des fonctions homogènes;
alors l'équation (4) deviendra

dp. dT, rfF^ rfF^,

dx i(x dx dy '

c'est-à-dire

/iF, + («-i)F^, -(-(n — a}F._,+...=o:
donc tous les points communs aux équations (1), (2)
et (3) satisfont à l'équation suivante, qui est du d^ré

(5) F^, + aF.-, + 3F^, — . . . = o;

et réciproquement tous les points communs aux équations

(3) , (3) et (5) sont sur la courbe proposée.

La question est réduite à savoir si toutes les solutions
communes aux équations (3) et (3) peuvent appartenir
à l'éqnation (5). Or, toute équation de degré (n — i),
et qui est satisfaite par toutes les solutions communes aux
équations (3) et (3), est de la forme
dF dF

sauf à déterminer convenablement la constante «. De

>;,l,ZDdbyG00gle

(94)
sorie (|i>'<'<> ''^vraii pouvoir dispose) de a de telle aortf
que l'équation suivante fût une identité ,

g + ,^=F.:, + .F._.+ 3F._.+...

Mais en développant cette condition on arrive à connaiire
que l'équation primitive devrait se réduire à la suivante,
F„ (a;-(- i,_j'-f-a) =o, et par conséquent représenter
n droites passant par un point unique, desquelles droites
plusieius peuvent être imaginaires. Je suis donc déjà en
droit de dire que le nombre des points multiples est tou>
jours inférieur à (n — i)'.

Je vais faire voir maintenant qu'il est inférieur tou-
jours au nombre de points qui déterminent une courbe du

(rt — 2)"'"'ordre, lequel est, comme on sait, — ■

Supposons en effet qu'il soit supérieur ou simplement
égal à ce nombre.

de la courbe F=îO, faire passer au moins \*\ une courbe
du degré J* — 2. Or, chacun de ces points vaudrait au
moins deux rencontres de la courbe auxiliaire avec la
proposée. Ainsi le nombre total des rencontres serait
au moins {n — 2) (n + i), au lien qu'il est seulement
( n — 3 ) n ; doDC, etc. : mais on peut avoir une limite en-
core moindre en raisonnant comme il suit.

Soit X te nombre des points multiples, et soit pris
sur la courbe le nombre de points nécessaires pour j
faire passer une courbe du degré n — a; c'est-à-dire

; Je dw ail iHoini. parce que la tliB|iosilion de r«e poini

reu^llp i^u'il V passlit non p» nnr wul

>;,l,ZDdbyG00gle

(95)

tamnieiit lous

les poinU multiples. Si ces poinu étaient simples, il en ré-
sulterait rencontres co/iRue.ï,9anspréjudice

des autres rencontres cnnombre»(» — a) — ' ^ ' '-.

Mais puisque parmi les points choisis il j en a x mul-
tiples, c'est-à-dire tjui sont au moins doubles, le
nombre total des rencontres connues est d'au moins

hx. On voit que dans ce raisonnement

chaque point multiple est compta pour un seulement
parmi les points déterminants de la courbe auxiliaire : et
il est compté au moins pour doux parmi les rencontres.

Après cela , le nombre total des i-encootres est tout au
plus égal à (n — a)"; ce qui donne la condition

(—.)(/.+ .

u.=..

a

d'oui

l'ou tire

= («

-.)[«-2)

'<

2

Si les inégalités que nous avons supposées avaient Heu
en sens contraire , c'est que l'équation F = o représente-
rait la réunion de deux courbes au moins de d^ré infé-
rieur. Pour ce cas-là et pour tons ceux où F^ o se dé-
composerait en facteurs rationnels, il est clair que les
raisonnements ne vaudraient plus; mais aussi on n'aurait
pas véritablement une courbe du degré n. Par cette ré-
flexion , j'échappe à la difGcullé qu'aurait présentée le
nombre des points doubles d'un système de n droites,

lequel est — 1 et ainsi surpasse la limite ci-dessus.

La limite qu'on vient de trouver est celle du noovbro

>;,l,ZDdbyG00gle

(»«)

toial des points multiples ; c'est , en particulier , celle des
points doubles qui, manifestement, comprennent tous
les autres. On pourrait chercher aussi la limite des points
triples parmi lesquels figureraient tous ceux dont le degré
de multiplicité est supérieur à trois. Mais, pour abréger,
je me borne à dire que le Dombre des points dont la mul-
tiplicité est fx ou supérieure à ^, ne peut pas surpasser le
nombre donné par la formule

f'(f-0

En effet, le nombre des points du degré de multipli-
cité i». ne saurait atteindre celui des poinU qui déter-
minent une courbe du degré — — a I si cette formule

— a donne un nombre fractionnaire, entendez alors

f

que le oonibre des points en question ne peut pas at-
teindre celui des points déterminant la courbe dont le

degré surpasse immédiatement a j ; cela résulte de

la relation

"i(

■(t-^)"

où le premier membre représente le nombre des ren-
contres nécessaires que la proposée aurait avec une

courbe de degré a passant par des points de multi-
plicité (ii, en nombre

0(t^

Un est donr assuré de pouvoir placer tous les points i

>;,l,ZDdbyG00gk'

(97 )

question aui- uti« coui-be de degré 2 . Chacun dt- cos

poinU entrera pour une simple uaité dans le nombre des
points déterminants de la courbe auxiliaire, mais il dë-
lerminera fi rencontres; de sorte qu'en appelant y le
nombre des points multiples de degn; u, on a la rela-
' tion 4

(7-)(7 -

- +(!"-■)/

</i

(7-0-

d'où l'on tir«ra pour^ ta formule ci-dessus indiquÀ!,

3. On peut se proposer une autre recherche : celle du
nombre des points multiples de degré {i , pour lesquels les
fi branches de courbe se touchent , c'est-à-dire ont une
tangente an ique sans qu'il y ait d'ailleurs rebroussement.
Cela exige un nouvel artifice. Je prends en chacun de ces
points la tangente commune pour tangente de la courbe
auxiliaire; de «orte que chaque tel point en vaudra deux
par rapport à la détermination de la courbe auxiliaire, et
en vaudra afi pour les rencontres.

Avec celte construction , on prouvera aisément que U
nombre des points en question ne peut pas atteindre
celui des points nécessaires à la détermination d'une

cotirbe du de^é 2 , c'est-à-Jirie n'atteint pas à

'){î

autrement, il serait possible de construire une courbe de
ce degré 2, ayant, avec la proposée, un nombre de

Aill>.JeM<,lhFnu,l..i.X.{Mnti9il ) 7

>;,l,ZDdbyG00gle

(»)

rencontres égal h

i- 'est-à-dire égal ai al (n+J*)» ce qui est absurde.

Parlant de là et appelant z le nombre des |M)ints dont '
îl s'agit, on aura aisément l'inégalité

d'où

, = (^-2f.)[«(af.-.)-^]
< 4p'(f-')

4. En (iemier lieu, on peut demander te nombre maxi-
mum des points dont le degré de multiplicité est jx, cl
où fi' brancbcs ont une môme tangente. Je supprime le
calcul , mais il sera aisé au lecteur de trouver que si v est
le nombre de ces points , on a

Si l'on suppose 11,'=^ fj., on retombe sur la formule (K).
comme cela doit être. Mais cette formule (C) ne donne
pas la formule (A) parla substitution de p'^ o; elle est
alors en défaut , et cela s'explique parce qu'elle esl con-
struite comme la formule (B) en imaginantque la courbe
auxiliaire touche dans ses points déterminants les branches
qui ont la même tangente ; ce qui n'a plus de sens si l'on
suppose ensuite qu'aucunes branches ne se touchen t.

5. Cramer, dans son Introduction à l'analyse tics
lignes courbes algébriques { 1750) , a traité la question
du nombre des points multiples qu'une courbe d 'un ordre
i/iflcontjue peut afoir. L'auiour. après aïoir observé

>;,l,ZDdbyG00gle

/,

( 99 ) -- - ■

qu'une courbe de l'ordre m iic peut avoir un point mul-
tiple de ce même ordre saus se réduire à ce point unique,
ou à un faisceau de m droites , établit, par la simple pro-
priété du nombre des rencontres de la proposée avec une
ligne droite, puis avec une courbe du deuxième ordre ou
do troisième ordi'e, etc., qu'une courbe de l'ordre m ne
peut pas avoir :

Deux points dont les degrés de midtiplicité comptés
eniemblc fassent plus de m;

Cùuj points dont les degrés de multiplicité comptés en-
semble fassent plus de 2 m\

iVeu/^poinls dont les degrés de multiplicité romptés en-
semble fassent plus de 3 /n ;

Etc....

D'après cela, l'auteur forme pour les huit premiers
ordres le tableau complet des diverses sortes de points
multiples qui peuvent coexister sur une même courbe,
toutefois sans avoir égard à la circonstance que deux ou
plusieurs branches peuvent se toucher au point mul-
tiple. On pourrait réduire sa théorie en un algorithme
très-simple où les nombres de points multiples de chaque
sorte coexistant dans une même courbe, entreraient
comme des indéterminées dans une équation du premier
degré, dont il suffirait de chercher les solutions en
nombres entiers et posi tifs ; et alors les formules que nous
avons données se présenteraient comme répondant aux
cas très-particuliers où il n'j aurait ^ la fois qu'une sorte
unique de points multiples.

Houi donDerOD* bienUt la démoniLralion (jtic lient de publier l'Illustre
M. Jacobi, que tonte ligne plane de degi* 11 t in(n — i) (n* — tj! iim-'
génie* donbW. (Creli.c, Cnme XL. page j'iji iXf^n.)

0. TiagrEH.

>;,l,ZDdbyC00gle

( "<"■)

GÉOlfinin 8EGM8KTAIRB. SUR LES POLYGONES.

1. Soit une courbe Fjouissant deces deux propriétés :
I** deux de ces courbes, en se coupant, forment quatre
angles; les angles opposés au sommet sont égaux, et les
angles adjacents sont supplémentaires; et étant l'un de
resangles, supposonsque l'on ait

f désignant une fonction qui a la propriété énoncée par
l'équation-, il existe une infinité de ces fonctions; la plus
connue est

3" dans un triangle ABC formé par trois de ci-s courbes F,
supposons que l'on ait toujours

t(A) t(B) î(Ci'

A , B, C désignent les angles ; a, b, c ies longueurs des
cAtéa opposés, et <f une fonciion douée de la propriété
écrite dans l'équation. Four de toiles courbes, on a le
théorème suivant.

THtonticE. Un pofygone formé par des courbes F étant
coupé par une transversale F, le produit desfonctions ^
des segments d'indices pairs est égal au produit des
fonctions^ des segments d'indices impaiis.

Les cas les plus simples sont ceux où l'on a
f(a) = sin<. el f(o) = a, '
ou bien

>;,l,ZDdbyG00gle

( •<>■ )

et dont nous avons donné la dëmutistialioii la plus simple
possible (tome VU, page 459), et ce même moyen de
démons ira lion s'applique mot à mot au cas général , qui
fxiste peut-être pour des lignes géodésiques autres que la
droite et le cercle.

2. Le théorème segmentaire de la transversale sub-
siste aussi pour des polygones plans non convexes et pour
les polygones étoiles; de même pour les polygones sphé-
riques: observation essentielle qu'il ne faut pas omettre,

3. Théokème. Un polygone gauche étant coupé par
un plan f le produit des segments d'indices pairs est égal
n« produit des segments d'indices Impairs.

Démonstration. Menons un pian perpendiculaire au
plan transversal , et projetons le polygone gauche sur ce
plan. L'intersection des deux plans est une transversale
dans le polygone en projection ; les segments en projection
étant proportionnels aux segments projetés , on peut sub-
stituer les uns aux autres, et l'on obtient la pi-opriété
énoncée {*).

4. Théokèke ne M. Pomcelet. Si , par un point pris
à volonté dans le plan d'un polygone quelconifue d'un
nombre impair de côtés , on mène « chaque sommet une
droite prolongée jusqu'au côté opposé, le produit de tous
les segments d 'indices pairs est égal au produit des seg-
ments d'indices impairs.

Solution . Soient in-t- i\e nombre de càtés ; les droites
menées aux angles forment un faisceau plan de 3/1+ t
rayons; et en prolongeant chacun de ces raj'oni jusqu'aux
côtés respectivement opposés , on partage le polygone en
4 »+ 3 triangles; aux segments, on peut substituer les
aires des triangles, et à celles-ci les J/>t(u des angles formés

( • ( Voyoi Thèm-ÙHKS ri Vrfhlèmca d.- Géomrlxe êlimemairc . pur l.if«t-

>;,l,ZDdbyG00gIC

(.0.)
par deux rayous adjacente, et te» mêmes sinus se trou-
vant dans deux produits segmentaircs , ces produits sont
égaux.

Observation. Le théorème subsiste pour les polygones
non convexes ou étoiles , et aussi pour les polygonei sphé-
riques, en substituant aux st<gmenis les sinus des seg-
ments.

Lorsque le nombre des côtés est pair, on mène par un
sommet quelconque une droite qu'on suppose être la di-
rection d'un côté devenu nul en ce point, et te théorème
s'applique aussi pour ce cas.

Observation. Ce tliéorème a été énoncé la première
fois, en i332, pour les polygones, dans le Traité des
figures projectiles, page ^5. C'est Jean BcrnouUi qui, le
premier, adonné cette proposition pour le triangle; voici
sou énoncé :

Siper ijuoduis puHctuinin triangido quavts recii/ineo
eX singulis angulis ducanlur reutee adlatera opposita;
eruni solida ex tribus lateruni segmentis , non contiguis,
fada inter se œqualia. [Op. oinnia, tome IV, n" 145,
page 33; 174a.)

Le théorème de M. Poncelet est une belle généralisation
du théorème de Bernoullî.

5. Théouèmb. Etant donné un polygone gauche d'un
nombre impair Je côtés, si, par une droite fixe et par
chaque sommet du pofygonf, on mène un plan qui coupe
le côté respectivement opposé en deux segments, lepro'
doit des segments d'intlice pair est égal au produit des
segments d 'indice impair.

Démonstration. En projclaul le polygone sur un plan
perpendiculaire à la droite fixe, on est ramené au théo-
rème de M. Poncelet, car les projcctious des segmenis
d*un même cdté sont proportionnelles à ces segments.
Ohsen-nlion . On compte les iscgmenis en panant d'un

>;,l,ZDdbyG00gle

( ■03)
sommel quelcooque , t;t parcouranl le péi'iiaèiro «iaita le
même sens , les segments ayantdes indices de même paiilé
ii'oDt jamais de points en commun.

6. Un faisceau planétaal coupé par une transversale,
si l'ou forme un rapport projecttf hvec ces segments, on
peut substituer aux segments les sinus des angles formés
par les rayons du faisceau i considérant le sommet du fais-
ceau comme le ceutre d'une sphère, la transversale se
projette sur la sphère suivant un arc de grand cercle, et
les rayons du faisceau divisent cet arc en segments circu-
laires dont les sinus fournissent le même rapport pi^jec-
tif que celui qui existe entre les segments rectilignes. C'est
un moyen général de transporter aux polygones sphé-
riques lea propriétés pi-ojeciives s^mentaires des poly-
gones rectilignes.

7. Le théorème de M. Bouart (-uo/riomelX, page4uo)
subsiste aussi pour les jKtIygoiies sphériqucs circonscrits à
un même petit cercle. Imaginons un cùne couccutrique à
la sphèru ayant pour base les deux polygones. Coupant ce
cdoe par un plan , on obtient deux polygonei rectilignes
circonscrits à un cercle; appliquant à ces polygones le
théorème de M. Rouart, on peut remplacer chaque sè-
ment par le sinus de l'angle que forment les deux rayons
qui vout aux extrémités du segment. Ce même théorème
subsiste-t-il pour des polygoues spbériques quelconques ?

yârmw cbkzv.

Tous nos ouvrages classiques , tous les proEesseurs , en-
seignent aujourd'hui à discuter les courbes du second de-
Sré, en résolvnnt I éijnalioii par rapjMirl .i une di's cooi-

>;,l,ZDdbyG00gle

( i»4)
données; la quantité qui est hors du radical déiermitie
un diamètre, el le coefficient du carré de la seconde coor-
donnée qui se trouve sous le radical caractérise l'espèce de
la courbe; mais aucun ouvrage, à ce que je sache, ne
notu apprend que cette méthode ne remonte qu'à 1791,
et qu'on la doit à un homme de grand mérite, moral
et intellectuel, nommé Chezy, sur lequel on trouvera
plus loin quelques détails. La méthode a été développée
et publiée par le célèbre Prony (*), élève de Chezy,
dans un Mémoire épuisé depuis longtemps, et dont voici
le titre : Exposition d'une méihode pour construire les
équations indéterminées qui se rapportent aux sections
coniques, à l'usage de l'Ecole des Ponts et Chaussées;
par M. de Prony , ingénieur des Ponts et Chaïusées. A
Paris, de l'imprimerie de Pierre Didot l'aîné ; MDCCXa.
In-4° de a6 pages , n. planches.

L'auteur commence par montrer comment on peut
ranger, sous une forme de triangle, tous les termes d'une
équation complète k deux inconnues de degré n : c'est le
parallélogramme de Newton, réduit en triangle par de
Gua-, comme, dans le reste du Mémoire, on ne fait aucun
usage de ce triangle, on ne voit pas bien le but de cette
disposition . On donne à l'équation hexanôme la forme
j.» 4. ax^ + bxx -4- e/ -^fx -\rg = a.

La discussion est estrèmementdétaîUée, très-claire, et
roule sur l'expression y b* — a qu'on appelle ici la diffé-
rence caractéristique} c'est le B* — 4 AC^ m des temps
actuels. On peut reprocher à cette discussion, 1 " de n'avoir
pasdonnédecocfTicient à^'; 3" de s'attacher uniquement
à la di^érencc caractérùliqae qui n'est que le détcrmi-

(') Mon le ig juillel 183.); >on élosc , comme Mcnibre de rAcuiicmic ,

i.vGoogIc

( -oS)
nant des trois premiers termes el d'avoir négligé le déler~
ininant L des six termes, et dont l'imporUnce est plus
grande que celle de m ; 3" de n'avoir pas cherché les lignes
limites des coniques, lorsque cinq coefficients restant
constants , le sixième varie de — eo à + oo : c'est le seul
moyen , dans la discussion générale , de trouver le cas on
l'ellipse se réduit à une droite finie et l'hyperbole à une
droite infinie, mais ayant une solution decoutinmté dans
son cours. Du reste , soixante années se sont écoulées, et
les deux derniers reproches peuvent encore s'adresser à
nos meilleurs Traités de Géométrie analytique. En toute
chose, le bien \iem pede claudo.

Jfote biographique.
Chezv (Antoine) estnéà Chàlons-snr-Marne en 1718;
il fit ses études au séminaire, et entra dans la savante
congr^ation de l'Oratoire. Ses goûls ayant pris une autre
direction , il quitta celte compagnie et fut admis , en 1 748,
à rÉcoledesPonts et Chaussées, alors sous la direction du
célèbre Perronel. II fut nommé ingénieur en 1 761 , et ingé-
nieur en chef en 1763. En cette qualité, il a dirigé les tra-
vauxdu pont de NeuiUy et du pont de Mantes. Il a composé
un Mémoire sur les instruments propres à nii^ler nommes
niveaux, qui est inséré dans le tome V des Savants étran-
gers, pagea54, 1768,613 inventé le clisimètre,niveaudc
pente qui porte encore son nom ; on en trouve une bonne
description au livre \' de l'ouvrage de M. Breton (de
Champ) {wo/r tome IX, page 393). Misàlarctraiteetpayé
en papier-monnaie, déprécié, il fut réduit à un tel état de
détresse, qu'en 1796, il fut obligé, pour subsister, de
vendre le crin de ses matelas. Son élève, Prony, le fit
entrer dans ses bureaux, et obtint pour lui la place de
directeur de l'École des Pouls cl Chaussées qu'il ne remplit
qu'une année. H esi mon le 4 ociobie 1798, sans laisser

>;,l,ZDdbyG00gle

( -s )

aucune fortune. Sou liU, le <;élèbrc oiicuulislc et sans-
crîtiste Chmy ( Anloîne) , le traducteur de Saconta/a, du
Hamayana, etc., eut à lutter pour faire subsister sa
mère; et une injustice criante du ministre de l'Instruction
publique Corbières a hàtë la Un de l'illustre collègue des
de Sacy, Rémusat, etc. Funeste résultat des passions po-
litiques. Que n'essaye-l-on, en toute chose, d'être sincère
et juste? c'est peut-être la meilleure politique. Celle qui
est en usage réussit si peu, même aux plus habiles, qu'on
ne risque pas beaucoup en en choisissaut une autre.

SOLITION D'UN PROBLENB APPARTENANT A LA GÊOMfiTRIE
BB SITIATION, PAR BILER;

Pntfessenr lu ooll^e i

Le i)roblèinc dont je hasarde ici la traduction est
inséiv dans les Conmientaircs de l'Académie des Sciences
de Saint-Pétersbourg, tome VIII, page 128, an'uéc ly'SG.
M. Poinsot (*), dans son célèbre Mémoire de 1810 sur
les Polygones et les Poljèdi-es étoiles, et LhuHlier, de
Genève , dans son algèbre , l'ont mentionné tous deux.
Ce problème intéressant, d'une solutionjort ingénieuse,
n'a été traduit, que je sache, dans aucun recueil fran-
çais, et se troui'e enfoui maintenant dans une volumi-
neuse collection à la portée seulement des personnes qui
habitent la capitale. J'ai pensé qu'on lirait, au moins
avec curiosité, ce problème; c'est ce qui m'a décidé (i
publier cette tratlui^tion que j'ai faite, il j a quelquvs
années, à Paris.

>;,l,ZDdbyG00gle

( <«7 )

1. Oulru cette partie de la géométrie qui tiaiiu des
graadeurs et qui a été de tout temps cultivée avec beau-
coup de zèle , il en est une autre , jusqu'à nos jours com-
plètement inconnue, dont Leibnilz a fait le premier
mention et qu'il appela géométrie de position. D'après
lui , celte partie de la géométrie s'occupe de déterminer
seulement la position et de chercher les propriétés qui
résultent de cette position; dans ce travail, il n'est be-
soin, ni d'avoir égard aux grandeurs elles-mêmes, ni de
les calculer; mais il n'est pas encore assez bien établi
quels sont les problèmes de ce genre appartenant à la
géométrie de position, et quelle méthode il faut employer
pour les résoudre; c'est pourquoi lorsque récemment il
fut question d'un problème qui semblait, à la vérité, se
ratUcher à la géométrie ordinaire, mais dont cependant
la solution ne dépendait , ni de la détermination de gran-
deurs, ni du calcul de quantités, je n'ai point balancé a le
rapporter à la géométrie de position , d'autant plus que les
considérations de position entrent seules dans la solution ,
tandis que le calcul n'y est pour rien. J'ai donc cru
utile d'c}(poscr ici , comme uu exemple de géométrie de
position , la méthode que j'ai trouvée pour résoudre les
problèmes de ce gcure.

2. Or ce problème, qu'on me disait être assez connu,
était le suivant:

A Koenigsberg, eu Prusse, il y a une ile A appelée
le Kneiphof, entourée d'un fleuve qui se partage en
a bras, conuuc ou peut le voir sur la ligure ■ , mais les
bras de ce fleuve sont garnis de 7 ponts o, i, c, el,e,J\g^
et l'on proposait cette question sur ces ponts : Une per-
sonne peut-elle s'arranger de manière à passer une fois
sur chaque poni, mais une fois seulement? Les uns affir-
maient que cela était possible; d'autres niaient ; d'autres
va doutaient; mais pirsonne ne pouvait prouver. Quant

>;,l,ZDdbyG00gIC

( ■•■» )

à ntoi, j'ai fait de ci; problème lu suivant beaucoup -plus
général :

Quelle que soit la figure du tleuve et sa distribution
en bras , et quel que soit aussi le nombre des ponts ,
trouver si une personne peut traverser le Heuve en pas-
sant une seule fois sur chaque pont.

3. Pour ce qui regarde les y ponts de Koenigsberg, on
pourrait résoudre le problème en faisant l'énumération
complète de toutes les manières de passer qui peuvent
avoir lieu, car on verrait par là quelle est celle qui satis-
fait, oubiei] ou rcconnaitrait qu'il n'y en a aucune. Mais
ce mode de solution, à cause du si grand nombre de com-
binaisons, serait trop difficile et trop laborieux, et ne
pourrait même plus s'appliquer dans les antres questions
où il y aurait beaucoup pins de ponts. Au reste, si par
ce moyen l'opération était conduite jusqu'au bout, on
trouverait beaucoup de manières de passer qui ne satis-
font pas à la question , et c'est en cela sans doate que
consiste la cause d'uue si grande difficulté. Ayant donc
laissé de côté cette méthode, j'en ai cherché une autre
qui me donne non pas toutes les manières de passer,
mais me montre seulcmcut celle qui satisfait â la ques-
tion; et je regarde une pareille méthode comme de beau-
coup plus simple que la précédente.

4. Toute ma méthode se fonde sur une manière parti-
culière de représGutcr chaque passage de pont, dans la-
quelle j'emploie les lettres majuscules A, B, C, D, qui
sont écrites à chaque région que sépare le fleuve. Ainsi, si
tpielqu'un va de la légion A à la région 13 , en passant sur
le pont a ou sur le pont b, je désigne ce passage par les
lettr<^ AB. La première marque \r région d'où sort le
voyageur; la seconde, larégion dans laquelle il est parvenu
après avoir passé le pout. Si ensuite le voyageur s'en va
dans la région D par le pont /j ce passage sera représenté

>;,l,ZDdbyG00gle

( '«9 )
par les lettres BD , vt je i-epiésente ces 2 passages succes-
sifs AB ei BD seulement par 3 lettres ABD, celle du
milieu B représentant, tant la région où il est parvenu
par un pi-emier passage que celle d'où il t:st sorti pour un
second passage.

5. Par un moyen semblable, si le voyageur s'avance de
la région D dans la région C par le pont g, je représen-
terai ces 3 passages faits succès si vem.cn t par 4 let-
tres âBDC , car on comprendra par ces 4 lettres ABDC ,
que le voyageur étant d'abord dans la région A, a passé
dans la région B , de là s'est avancé dans la région D . et
enfîn, delà a passé dans la région C; et puisque ces ré-
gions sont séparées mutuellement par l'eau les unes des
autres, il est nécessaire que le voyageur ait passé sui-

3 ponts. De même , les passages faits successivement sur

4 ponts seront représentés par 5 lettres , et si le voyageur
continue sa marche autant qu'il y a de ponts , son voyage
sera représenté par un nombre de lettres supérieur d'une
uoîlé au nombre de ponts. C'est pourquoi il faut 8 lettres
pour représenter les passages sur 7 ponts.

tt. Dans ce mode de notation , je ne considère point par
quels ponts le passage se fait; mais si le même passage
d'une r^ion à une autre peut se faire par plusieurs
ponts, peu importe par quel pont on passe d'abord poui-
arriver dans la r^on désignée. On comprend , d'après
cela, que si le voyageur peut continuer sa course sur les
7 ponts de la figure i , de manière à passer une fois sur
chacun d'eux, et jamais deux fois sur aucun, cette course
pourra se représenter par 8 lettres, et ces lettres devront
être disposées de telle sorte que la succession immédiate des
lettres A et B se présente deux fois puisqu'il y a a ponts n
et b qui joignent ces régions A, B : de même, la succes-
sion des lettres A et C devra aussi se trouver deux fois
dans cette série de 8 letii'cs et pour la même raison, en-

>;,l,ZDdbyG00gle

( ll„)

suite la suoocssion des Iciires A ci U dovra s'y trouver am-
seule fois, et, eiitiu, il faudra semblablement que la suc-
cession des leltres 11 et U , et celle des lettres C et D s'v
trouvent chacune une fois.

B

7. La question est donc ramenée à former avec 4 let-
tres À , B, C, D, une série de 8 lettres dans laquelle
toutes ces successions se présentent autant de fois qu'il
vient d'être trouvé. Mais avant de chercher une telle dis-
position, il convientde faire voir si ces lettres peuvent ou
non être disposées d'une telle manière. Car si l'on pou-
vait démontrer qu'une telle disposition des 4 lettres A ,
B, C, D est tout à fait impossible, tout travail qni aurait
pour but de la chercher, serait évidemment inutile. C'est
pourquoi j'ai inventé une règle par le secours de la-
quelle, tant pour cotte question que pour toutes celles du
même genre, il est facile de discerner si un tel arrangement
des lettres peut ou non avoir lieu.

8. Pour trouver cette règle, je considère une r^on
unique A (yîg- ^} à laquelle conduisent autant de ponts
qu'on veut, a, b, c , f^, ... : je prends d'abord un seul de
ces ponts qui conduisent » la région A , par exemple ti.
Si maintenant le voyageur passe sur ce pont, ou bien il
devra èlre avant le passage dans ta région A, ou bien il
paii icndra après le passage dan» celte région A ; c'est pour-

i.vGooglc

( ■■■ )

quoi , dans la uianièit' ulabliu ci-dessus de repnîseiitei' It;6
passages , il faut que la Ictti'e A se trouve une fois. Si vou»
supposez 3 pools a, h, c conduisant dans la région A, <^t
que le voyageur ai L traversé ces 3 ponts , alors dans la re-
présentation de ce voyage la lettre A se trouvera deux
fois, soil que ce voyage ait commencé en partant de A,
soit qu'il ail commencé en y allaiît. De même, si 5 ponts
conduisent en A , dans la représenta tîoD du passage sur
tous ces ponts, la lettre A devra se trouver trois fois^ et,
en généra) , si le nombre des ponts est un nombre impair
quelconque , en augmentant ce nombre de i , et prenant
la moitié, on aura le nombre de fois que la lettre A doit
se trouver dans la représentation du passage.

9. Dans ce cas donc des ponts de Koenigsberg {Jlg- i),
puisque 5 ponts a, b, c, d, e conduisent dans l'ile A , il
est nécessaire que dans la représent.ition du passage sur
ces ponts la lettre A se trouve trois fois. Ensuite la let-
tre B, puisque 3 ponts conduisent dans la r^on B,
devra se trouver deux fois; de môme la lettre D ainsi que
la lettre C, devra se trouver deux fois et pour la même
raison. Donc, dans la série des 8 lettres représentant le
passage sur les 7 ponts, la lettre A devrait se trouver trois
fois, et les lettres B, C, D, chacune deux fois, ce qui,
dans une série de 8 lettres , enl complètement impossible.
Il suit clairement de là que sur les 7 ponts de Koenigsberg,
le passage demandé est impossible.

10. Par un procédé semblable , on peut dans tout autre
cas , pourvu toutefois que le nombre de ponts qui condui-
sent dans chaque région soît impair, on peut reconnaître
si le passage une seule fois sur chaque pont est possible.
Car s'il arrive que la somme de toutes les fois qne chaque
lettre doit se trouver, aoit égale au nombre de tous les
ponts augmenté de t , alors le passage demandé sera pos-
sible. Mais si , an contraire, il arrive, comme dans noir*;

>;,l,ZDdbyG00gle

( „c )
exemple , qne cette somme soit plus grande tjue le nombre
total des ponts augmenté de i , alors le passage demandé
ne pourra s'elTectacr d'aucune manière. Mais la règle qur
j'ai donnée pour déduire duuombre de ponts conduisant
dans la région A le nombre de fois que la lettre A doit
' s'écrire, s'applique également, soit que tous les ponts
conduisent d'une seule région B comme le représente la
figure 3, en A , soit qu'ils conduisent de plusieurs, car je
considère seulement la région A et je rechercbe combien
de fois la lettre A doit se trouver.

11. Mais si le nombre des ponts qui conduisent dans la
région A est pair, alors il faudra distinguer, pour le passage
sur chaque pont, si le voyageur a commencé ou non sa
course eu partant de la région A. Eu effet, si 3 ponts con-
duisent en A et que le voyageur aitcommencé sa course en
partant de A, alors la lettre A devra se trouver deux fois;
nne fuis elle représentera la sortie de A par l'un des ponts
et encore une fois , pour représenter le retour en A par
l'antre point. Mais si, au contraire, le voyageur avait
commencé sa course en partant de l'amre'régioD, alors la
lettre A ne se présentera plos qu'une fois; car écrite une
fois, elle représentera, d'après ma manière de représenter
ces courses, tant l'arrivée en A que la sortie de cette même
région.

13. Que 4 ponts conduisent dans la région A et que le
voyageur commence sa course en partant de A ; alors,
dans la représentation de sa marche complète, la lettre A
devra se trouver trois fois, pourvu toutefois qu'il n'ait

>;,l,ZDdbyG00gle

( "i 1

piué qu'uue seule fois sur chaque pont. Mais s'il a coiii-
meacé à marcher en partant de Tautre région , la lettre A
te trouvera seulement deux fois. S'il y a 6 ponts qui con-
duisent dans la région A , alors la lettre A se trouvera
quatre fois, si le voyageur a commencé par partir de A,
ÙDon elle ne se trouvera qne trois fois, et généralemcat
li le nombre des ponts est pair, ta moitié donne le nom-
bre de fois qoe la lettre A doit se trouver si l'on n'a pas
commencé à partir de A; et cette moitié, augmentée de
I, sera le nombre de fois que A devra s'écrire, en com-
mençant la course de la région A elle-même.

13. Voici de quelle manière je déduis du nombre de
ponts qui conduisent à une région, le nombre de fois que
CAtte région, présentée par une lettre, devra s'écrire dans
la course désirée. Je prends la moitié du nombre <IeS
ponts augmenté de i, si ce nombre de ponts est impair,
et la moitié de ce même nombre s'il est pair. Ensuite, si
le nombre de fois que toutes les lettres doivent s'écrire est
égal an nombre des ponts augmenté de i , alors le passage
désiré a lieu, mais on doit commencer à marcher d'une
région à laquelle conduisent un nombre impair de ponts ;
mais si ce nombre de fois est inférieur de i au nombre
des ponts augmenté de i , alors le passage a lieu en com-
mençant par une région à laquelle conduise un nombre
pair de ponts, parce que par ce moyen le nombre des fois
qu'on doit écnre les lettres est augmenté de i .

14. Étant donc proposée une rivière quelconque, gar-
nie de ponts comme ou voudra, pour trouver si une
personne peut passer sur chaque pont une fois seule-
ment, j'établis l'opération de la manière suivante : i" je
représente chacune des régions séparées mutuellemeut
les unes des autres par l'eau, respectivement par A, B,
f', D,...; a° je prends le nombre total des ponts que
j'augmente de i, et je note cv. nombre pour l'opération

>;,l,ZDdbyC00g[e

( "< )

sui\Hut«-; '.i" à cùté de cbacuue des lettres A, B, C,....
écrites l'une au-dessous de l'autre, j'écris le nombre de
ponts conduisant à la région marquée par la lettre que J£
considère j 4° j^ mai-que d'un astérisque les lettres qui
ont un uombre pair écrit à côté d'elles; 5° j'écris lei
moitiés de tous ces nombres pairs et les moitiés des uoiu-
bres impairs, augmentés de i, dans une même cdonne,
chacune de ces moitiés dans la même ligne horizontale
que la lettre d'où elle dépend j 6" je fais la sonune des nom-
bres écrits en dernier lieu. Si cette somjue est inférieurr
(le I , ou égale au nombre trouvé dans le a", qui eai le
nombre total des ponts augmenté de i, j'en conclurai qur
le passage cherché est possible. Mais pour que cela soit
possible , quand la somme trouvée est inférieure de i au
nombre écrit en haut de sa feuille, on doit partir d'une
région marquée d'un astérisque; mais, au contraire, ou
devra partir d'une région non astérisquécquandlaiomme
sera égale au uombre précité. Aiusi , par exemple, pour
le cas des ponts de Kœuigsberg, j'établis l'opération
comme il suit :

Nombre des ponis 7 ; j'ai doue 8,

A 5 { 3

I '.)

V.L comme la somme 9 di; la seconde colonne est ^ 8, If
passage demandé est impossible.

15. Soient 2 îles A et R entourées d'eau, avec lesquelle^
communiquent 4 fleuves, comme le représente la li-
gure S ; 1 5 ponts sont jetés sur ces fleuves, et l'on demaixit'
»i une personne peut s'arranger de manière à passer un''

>;,l,ZDdbyG00gIC

(.,5)
fois Ht une seule fois sur chacuu de ces pouts. Je désigiii'
d'abord ■" toutes les r^^pons réparées mutuellement par
l'eau, par les lettres Â, B, C, D, E, F: j'ai donc de la
sorte 6 riions; eusaîte a° j'augmente de i le nctmbre
total des ponts, et j'écris le nombre i6.

A, 8 4

B, 4 ^a

C, 4 *2

3* j'écris les lettres A, B, C,..., tes un«s au-dessous des
autres , et à cAié de chaque lettre le nombre de ponts con-
datsant k la r^on que marqne la lettre. Ainsi 8 ptmts
condaisant à Â , 4 ^ B, etc. ; 4° j^ marqne d'un astérisque
les lettres i c6té desquelles se trouve un nombre pair;
5° j'fcris dans une troisième colonne verticale les moitiés
des nombres pairs, j'augmente de i les nombres impairs,
et j'écris de* même les moitiés de ces nombres impairs
ainsi augmenta de i ; 6° j'addititmiie les nombres de
cette troisième colonne, et j'ai une somme i6 égale au
nombre i6 écrit on haut : il en résulte que le passage poM
éftrv fait de la manière voulue, en partant soit de la région
O, soit de ta région E , car ces lettres ne sont pas marqua
d'une éimle; la conrse pourra se faire de la manière sui-
vante :

E<iF6BeFrfA«F/C«AACiD*AwE/(A;.BoE/I>,

Dotalinn dans laqrulle j'ai placé entre les lettres m^u» -
«oie* les pMils snr lesquels le passage a lieu.

>;,l,ZDdbyG00gle

( 'le)

16. Il sera donc très-facile par ce prc»cédé de rcctii-
naitre dans chaque cas proposé, si le passage anique sur
tous les ponts peut ou non s'efTectuer. Cependant je don-
nerai encore un moyen beaucoup plus facile de recon-
naître cela, lequel se déduira sans dilHictilté de ce qui
précède , après que j'aurai esposé quelques obserrations
que Toici. Je remarque d'abord que la somme des nom-
bres de ponuécriu àc6téde cliaque lettre A, B, C, D,...,
fist double du nombre total des ponts ; la raison en est que
dans le calcol qui donne tous les ponts conduisant i une
région donnée, un pont quelconque est compté deux fois,
c'est-è-dire|que cbaque pont est rapporté à l'une et l'auli-e
des deux régions qu'il joint.

17. n sait de cette observation que le uombre total
des ponts qui conduisent dans chaque région est toujours
un nombre pair, puisque la moitié de cette somme est
égale au nombre des ponts. Il ne peut donc pas se faire
que parmi les nombres de ponts conduisant à une région
quelconque, il n'y en ail qu'un seul d'impair, ou trois, ou
cinq, elc. C'est pourquoi , si des nombres de ponts adjoints
aux lettres A, B,C,..., sont impairs, il est nécessaire que
le nombre de ces nombres impairs soit pair. Ainsi, dans
l'exemple de Kwnigsberg, lt;s nombres impairs adjoints

>;,l,ZDdbyG00gle

( ■■-)

AUX lettres des riions A, B, C, D,..., étaient au nombre
lie quatre [voyez n° 1 i), et daus l'exemple précédent du
II" 15, il y a seulemcut deux nombres impairs, adjoinis
aux lettres D et E.

18. Puisque la somme de tous les nombres adjoints aux
lettres A, B, C,..., égale le double du nombre des ponts,
il est manifeste qu'en augmentant cette somme de a et en
en prenant la moitié , on aura le nombre établi au com-
mencement de l'opération. Si doue tous les nombres ad-
joints aux lettres A, B, C,..., sont pairs, et qu'on prenne
la moitié de chacun d'eux pour former les nombres de lu
troisième colonne, la somme de ces nombres sera infé-
rieure de 1 au nombre que nous savons. C'est pourquoi,
dans ces cas, le passage sur tous les ponts pourra loujour.t
s'effectuer \ car, en quelque r^on que la course comr
menée, on sera conduit en celte région par un nombre
pairde ponts, ainsi qu'il est requis. Par exemple, dans
le problème de Kœuigsbei^, on peut s'airanger de ma-
nière à passer deux fois sur tous les ponts, car ce serait
comme si chaque pont eût été divisé en deux, et alors le
nombre des ponts conduisant dans une région quelconque
sera pair.

19. Maintenant, si l'on suppose qu'il y a seulemeut
deux nombres impairs adjoints aux lettres A, B, C,...
(on sait qu'il ne peutpasy enavoir un seul), et que tout
le reste soit pair, alors la course demandée est possible,
pourvu que l'on pane d'une des régions à laquelle con-
duit un nombre impair de ponts. Car, si, selon la règle,
on prend la moitié des nombres pairs, et la moitié des
nombres impairs augmentés de i, la somme de toutes ce»
moitiés sera supérieure de i au nombre de ponts, et par
conséquent ^ale au nombre précité lui-même, et l'on voit
parla que s'il y a ou quatre, ou six, ou huit,..., nombres
imp.iirs dans la deuxième rolonnr, niois la ï^omme di-s

>;,l,ZDdbyG00gle

(,i8)
nombres de la ti-oîsième aéra plus grande que le uombre
précité, et le surpassera ou de i, ou de a, ou de 3,...,
unités, et que, par conséquent, le passage demandé
sera impossible.

30. Quel que soit donc le cas proposé , on pourra très-
facilement reconnaître sur-le-cbamp , au moyen de ta
règle suivante , si le passage une seule fois sur tons les
ponts est ou non possible.

S'il y a plus de deux régions auxquelles conduisent un
nombre impair de ponts , vous pouvez afHrmer avec eer-
fitude qu'un tel passage est impossible. Mais si l'on est
seulement conduit à deux régions par un nombre impair
de ponts , le passage est possible , mais en commençant sa
course par l'une ou l'autre de ces deux régions. Enfin,
s'il n'y a aucune région à laquelle on soit conduit par tm
nombre impair de ponts , alors le passage pourra avoir
lieu, comme on le désire, et en commençant sa marche
par telle région qu'on voudra. Celte règle satisfait donc
pleinement au problème proposé.

2t. Mais, quand on aura reconnu que la question est
possible, il restera encore à trouvci- comment la inarcbe
doit être dirigée. Je me sers poui- cela de la règle suivante :
qu'on néglige par la pensée , autant de fois qu'on peut le
faire , a ponts conduisant d'une région à une autre : par
cette abstraction, le nombre des ponu se trouvera géné-
ralement de beaucoup réduit; qu'on cherche alors, ce
qui sera facile , la course demandée pour les ponts qui
restent, et cela trouvé, les ponts enlevés parla pensée ne
troubleront pas beaucoup le résultat obtenu, comme il
psi aisé de le voir avec un peu de réflexion; et je crois
inutile d'insister davantage pour trouver la marche qu'on
(leyra suivre pour répondre à la question proposée.

3,q,l,ZDdbvG00gIe

(■■•))

N'oie du tradueteur. Une application intérnasante du
problème d'Euler peut être faîte à Paris, sur les ponts
nombreux qui garnissent la Seine, depuis le pont d'iéna
jusqu'au pontd'Austerlitz, et joignent les îles de la Cit^ et
Saint-Louis En jetant les regards sur un plan de Paris, en
appelant D la rive droite, G la rive gaucbe, A et Blés lies
de la Cité el Saint-Louis, on reconnaît que ii ponts
conduisent en A , S en B , 1 4 en G , ■ 5 en I) ; donc le pro-
blèoie est possible, d'après la règle du u" 20, pourvu
qu'on parte de la Cité ou de la rive druite , et il est très-
facile de trouver effectivement la niarcbe à suivre. 11 est
clair qne dans ce problème , le pont I^'eitf et celui de la
Réforme doivent compter chacun pour deux ; car l'un
mèue d« D eu A et de A en G , et l'autre mène de I) en H
ctdeB en A.

Un autre problème célèbre de situatiou l'st celui du
cavalier aux échecs, donné aussi par Euler, poui' la
première fois [Mémoires de Berlin, 1759} et dontVan-
dermonde donna depuis une solution plus simple, dans
les Alémoires de l'académie des Sciences, pour 1771,
page 566. M. VolpicclH s'est occupé récemment de
re problème. (Comptes rendus, i85o, tome XXXI ,
page 3<4-)

w ■. KTBiiniiit, SUD m im, KKnmmmK,

%XHS LES SlRFiCES BU SCCONI 9UHi
Pa» m. F. HÉMENT,

Pr<>rr<M-ur aii lyrvp .If Str.lHbonn;.

1. Le théorème de M. Steiner sur les axes rectangu-
laires dans les coniques peut èti'4> démontré ainsi :

>;,l,ZDdbyG00gle

( i:,o)
Preuantpour axes les deux droites recuiiguJaires , l'é-
tjuatioD de la conique est

En faisant successtvemeDl j- = o , )■ ^ o , on obtient

C.x'+ EJ--4- F— o,

«kjuations qui donnent les segments des droites a et b; on
a donc

Les racines étant de signes contraiies , ou a

"' ^' _ E- — 4CF + D'— 4AF

quantité constante; car, commç les deux axes rectangu-
laires sontquelconques, on peut généraliser en changeant
{eur direction. On a alors

D'' = (Dsin« + Ecosa)',

E'' = (Dcosa — Esina)',

D'-+E"=:D'H-E',

A'= Asiu'a + BsiDacosa-(-Ccos'a,

C'= Acos'a — Bsiaacosa + Csiii*a|

A' + C = A-t-C,

>;,l,ZDdbyG00gle

( ,„ )

F eit le même ; donc

D».j- E' — 4 F (A + C) _ D" + E"— 4 g (A' + C'j

2. Quant au théorème général , en prenant pour axes
les trois droites rectangulaires, on a pour équation de la
surface

As' + B^' -h Car" -4- Dxy ■+■ Ej-ï + Fa» + G» + A/^x + K* + L = o
En faisant successivement

(* = o,

r =

= o), {^- =

,z = o).

{* = o,.=

:«)-

on obtient

As' + Bï

+ l = o.

C*'+K«+L = o,

By + Sx+L^o,

équations

qui

donnent les segments des droites a ,

,i,c;

on a donc

a'

G' -4 AL
A' '

x"x"'

,_L'

~ A''

b'

K' — 4CL

/'/"'

_L'

e*

H'— 4BL
B' '

s"."'

L'
~B-'

d'où

a' b' c'

G' + K'-t-H' — 4AL— 4CL — 4BL _ ^^

Si l'on prend, en efTet, d'autres axes rectangulaires , on
obtient

A' + B' -H C = A + B + C,
G''+K" + H"=G'+H'+K',

jK,-zi;i:,G00gIC

( >" )

ea faisant atteniioD aux relations contniei qui existent
entre les cosinus des angles que les nouveaux axes font
avec les anciens : d'ailleurs L ne cliange pas ; donc

D" + E" + F' — 4 L ( A' + B' + C)
L'
_ D' + E' + F' — 4 L (A 4- B + C)
~ f

C. Q F. D.

>;,l,ZDdbyG00gle

{ '^iS )
JACOBI.

Le tlambeau le plus brillant du siècle est éteint. Jacobi
n'est plus. Il commeace sa cairière d'invisible immoru-
lité; perte douloureuse, lacune iaimeose, irréparable.
Toutefois , nous conservons un précieux héritage : ses
oeurres , où apparaissent inattendues tant de découvertes,
oùdisparaîsseutsoudaînes tant de difficultés, au souffle de
son génie. Sans orgueil , et en toute vérité , il aurai t pu
iuscrireau frontispice de ses Fundamenta\A devise d'Ho-
race : Exegi monumentum cere perennius. En méditant
ces pages , brillantes d'incessantes créations , on reste con-
vaincu que les mathématiques ne sont pas une science,
mais une révélation permanente, un rellet de cette intel-
ligence divine que Jacobi contemple maintenant dans son
ioeflable pureté. Il nous a aussi légué nue pléiade d'illus-
tres disciples qui continuent la gloire du maitre ; étendent,
perfectionnent ses travauic ; resserrent d'un lien toujours
plus étroit le nombre, l'espace, le temps; le continu et le
discontinu; le réel et l'imaginaire, le Sni et l'infini; sublime
synthèse, tendance unitaire de notre époque: là est notre
espoir. Puisse le ciel accorder de longs jours au géomètre
liors rang, à l'auteur des fùçEuVft/onej; a notre illustre
compatriote, l'auteur des Exercices : là est uotre conso-
lation. Ce siècle a vu disparaître successivement Lagraoge,
Laplacr, Monge , Legcudre, Poisson , Abel, Jacobi. Ces
nomsvivro tdans lamémoiredes hommes , tantque sub-
sistera cher, eux le culte de Vidée; le seul qui donne de
la grandeur à la pensée , de la noblesse aux sentiments ,
de l'élévalion au caractère; ils vivront encore entourés
d'une auréole toujours renouvelée , lorsque les noms de
leurs envieux contempteurs seront, depuis longtemps,
ensevelis dans les ténèbres de l'oubli.

O. TesQurM.

>;,l,ZDdbyC00gIe

( '^4 )

MOTS sut LBS B^ERMINAIHTS.

i. dotation, u étant une fonction de n variables x,.
Xt, ■ ■ •• Xa, nou8 désignons par h^ la dérivée de cette fonc-
tion prise par rapport à la variable X^, par u^ la dérivée
Up par rapport à la variable x^, par u^^ la dérivée de u„
par rapport à la variable X^, et ainsi de suite. p,q,r,,,.,
sont des nombres quelconques de la suite naturelle i, 2,
3,..., n. Ces dérivées portent aussi le nom de coej^-
cients différentiels partiels, du premier, deuxième, troi-
Bième, etc., ordre. Nous empruntons cette notation tom-
mode à M, Hesse, célèbre professeur à Kœnigsberg.

Obsei'vation. On sait que u,^ , reste le même, dans
quelque ordre qu'on exécute les dérivations.

2. Lemme, u étant une fonction de n variables, le
nombre des coefficients dîlTérentiels partiels d'ordre p est

(f + i)(f + a) ■■■(/. + >. -!) _ «(/. +.)... (/. + «-.)
i.a.3. .n— i ~ I 2 3.../J

Démonstration. Développons (u, -t- h, -H . . . -f- w,}'', où
M], Ui, etc., désignent les dérivées premières de u, prise
par rapporta Xi,x,,. . ., conformément à la notation. Le
premier terme est u^; remplaçons-le par «,,i... '<:
nombre des indices 1 étant /^, nous obtenons un coefficient
différentiel d'oi-dre p ; le second terme est ««1'" ' 11, , rem-
plaçons-le par »,,,,,, le nombre des indices 1 étant ^—i,

>;,l,ZDdbyG00gle

( .>5 )
uous aurons uu aecoiii] coefficient dîû'éieuliel d'ordre p ;
opéraDt de même sur tous les termes , on obUent loua les
coefficients d'ordre p ; on aura autant de ces coefficients
qu'il y a de termes dans le développement. Le nombre
de ces termes est celui qui est énoncé dans le lemme
(voir tome 1, page 89).

3. Soit u une fonction de deux variables xr, , X| j cette
fonction a trois coefficients dilférentiels du second ordre,
savoir :

Représentons la fonction 1/,, j-i -H «,, j-, par P,, et I«
fonction u,, x, + »,, jt, par P, ; de sorte que nous pou-
vons écrire

Hl, X, + «„ «,= ?,'

Considérons Xi, X| comme deux inconnues de deux équa-
tions du premier degré-, le déterminant de ces inconnues
est u,,U|| — u',, car Uit^Un : c'est cette expression
"iiUtt — u', que nous appelons le premier déterminant
de la fonction u.

4. Théorème. Soient u une fonction à deux variables
X,, X,, et D le premier déiei-minant de cette fonction.
Remplaçons X| par le binôme linéaire «i^t -f-«(i /tiCtXt
par lebindme linéaire j3, ^,+ 13, j-, ; la fonction « se cban- ■
sera en une fonction des deux variables^,, y^. Soit A le
premier déterminant de celte fonction v, on aura

4=(.,?,-«,p,VD.

Pémonflrnlion. On a

>;,l,ZDdbyG00gIC

.XI)

d

où

= f..

È=^-

dadx
~dx,dy

= «.tt,4-p.i»..

*

dudx,
~dx,dr.

^1 ^.

=«,»

+-Pi"i.

—a ;«„

+.=.,.,.

+ȕ

".„

.=p>..

+ >p,p,«,

+PÎ

0»r

,+ {., p,+ p. ".

",, + •,11,

d

où

<■„ <-» —

.-p, .,)

(«„ u

,-«„),

ou bien

A={„p,-p,.,)'D.

C. Q. F. D.

Observation. En considéraul , dans le« Aiuations (a),
y, et r. comme des inconnues, il est évident que le dé-
terminant esta, pi — otiiSi-
5. Exemple. Soit

u = axj 4- l>x, X, -t- erj + lir, + «r, ■+■/';
il vient

a, = 2ax,+ **'-Hrf, u, = ix, + 2«,-t-r,

ainsi

Ainsi ce qu'on di-signe par m dans la théorie, de» co-
niques , est le premier déterminant de la fonction hew-
nAme, laquelle, élanl égalée n *éro, donne Véqutlicm àt

>;,l,ZDdbyG00gIC

( ">7 )
U conique. En remplaçant , dans réquadon, Xi et x, , res-
pectivement para, ^,+ a, ^, et0i/i +|3t^i, ou obtient
une seconde conique qui est U transformée homologique
de la première conique, et l'on a

par conséquent, la seconde conique est toujours de même
espèce que la pi-emiëre ; mais on peut transformer une
ellipse en cercle et une hyperbole en /eypercie (*).

Les changemeuts de coordonnées sont des cas parti-
culiers des transformations homologiques ; en passant des
coordonnées rectangulaires à d'autres coordonnées rec-
tangulaires, on a

(.,^- «.?,)■=.!

ainsi le déterminant ne change pas de valeur.

tl. Soit u une fonction de trois variables jr, , a,, Xt;
retie fonction a six coefficients diflérentiels du second
ordre, savoir : Un, Un, u,s; u,, , u„, u^i. Posons

lu„x,-t-tt„x,+ a„Xj = P,,

(3 . î u„ j:. +«,, :r,-f- u„ x,= P„

I u„ X, ■+■ «1, X, H- Uj, «j = P, ;

considérant x,, x^, Xt comme trois inconnues de trois
équations du premier degré, et résolvant ces équations ,
le dénominateur des inconnues est ce qu'on nomme le dé-
lerminant de la fonction u; désignant ce dénominateur
par D, l'on a, comme on sait,

7. Tb£ohème. Soit u une fonction de trots variables

(•) Byp«i*nle*qnil»l4re(w>irt. V, p. bl5).

>;,l,ZDdbyG00gle

( "» )

Xt, Xt, Xt ; posons

*.= p,j',H-p,j-, + p,j-,,

Ji = 7ir. + 7. jj + ïi/i,

fa/onction u se changeen unefonction v à trois variables
fuyijy»- Soit A le déterminant lie cette fonction v,- on
aura

m ji={"ip>ï>— «.p.T.— ".piTi+o.?!?.

Démonstration.

^ dudx, du dxj du dx,

"• ~ dr.~ di.dr.'^dJ^,-^,^!^,^,- ''"•-*■ P''^ + T""
!■,,= «;«„ + ?>„ + 7; «„+ a a, p,K„

+ 2a,7, tt„-f-ap.7i«„,
<'„=:«.a,ll„ + p,p,B„+7,7,«„ + [«,p,+ p, «,]„„ + [„, y,
+ 7i«.]«i. + [p,7'+7iP.]«"»

<■„=«,«,«„+ p, p. „„^.,,,,„„^.„„[;«,p,^.p,<^]

' +w.it«i7.+-7,«,]+K»[P,7i + T.Pi]-
On trouve de même c,, i»,,, (^,,, c,,; substitiunt dans
le déterminant A les valeurs de v en fonction de u, on
trouve l'àjuatioo (5) qu'on peut écrire de cette manière

K". «■'] = [«. p. 7.P[«, «.«.].
le» crochets désignant des déterminants.
8. Exemple. Soient

« = ax', ■+- bx, X, + cx\ ■+■ dx, x, ■+- ex, j, -h/x', ,
"1 = 2 ax, + bx, ■+■ dx, ,

by Google

( "»)

«Il = a c , «„ = e, n,j — a/.

Ainsi, dAusnoa relations d'identité, ce que nous avons
appelé m est /e premier déterminant de la fonction hexa^
nàme du second degré à deux variables , et ce que nous
avons nommé L est la moitié du second déterminant de
la même fonction rendue homog^e et ternaire.

En transformaut une conique homologiquement , -
De change donc pas.
Soient encore

+ 2C*, + aC"«,-HaC"x,4-E;
u,=^k'x, + 7.Vx,-\- aB"a, + 2C,

tt,t=ak', ll„^2B', ll|]=2B",

Ua^^aA", Un=3B', «u^aA";
d'où

D = 8 [ A' A' A" + a B' S'A*— A' B" — A" B"'— A'B"'].

C'est le premier déterminant relatif aux équations des
surfaces du second degré, et le second déterminant des
équations des lignes du second. D, pris négativement,
jouît des propriétés analogues k m : ainsi , lorsque D est
nu) , le centre, est à l'inlini ; lorsque D est positif, la sur-
face est toujours inGnie.

9. Théorème généhal. Soit u une fonction de n va-
riablet j-, , a:, , . . . , x„\ posons

«, = B, /,-*-«, j-.H-. ..+ a. j-,.

jtHK. it M'thAniit., t. X, (Avril 18S[.)

3,q,l,ZDdbvG00gIe

( >3»)
la Jonction se change en une/onction v an variables j, ,
j-,,...,y„. Désignant par l^uii Utt— u^ri^ , [v,, »»„... c,,],
[a, a*... «„] les déterminants de u, f, et des coefficients
«1», P,,.-)Tu ona

Démonstration. La même que ci-dessuj pour trois va-
riables. ■

10. Exemple.

+ aB"x, *, + 2C«, x.+ aCx.i, -HaC'x,*..

Calcul fait, on trouve pour le détenninant de quatre
vainables,

D = «„ «„ M„ »„ — P 4- Q — R + S,

p = «,i «,, «; ,+ »„/(<, «; ,-j- (£„ ujj 1*; , + «„ «.. «j ,

a = 2(u„u„Hj,M,. + «„ n„ii,j«i]4-u,i«„«« «„],
S = 2[u„UuO„n„+M„«,ja„Kj,+ u„u„a„(i„ + H„M„u„i(,J;

u, =2Ax,+ 2B'TjH-2B"*,-H2C*,,

U, = 2 A'*, 4- aBxj+aB"*, -H aCj:>,,

r». = 3 A" «,+ 3 B «, + 2 B' 47, -H 2 C *, ,

Ml = 2 Ex, -1-2 Cx,+ aC'x, -f-2C"j>3,

i(.,= 2A, u„=2B", tt„=aB', H,.= 2C, H„ = 2A',

u„=2B, u„=2C', u,j=2A", u„=;2C", «..= aF.,

«„«,,«»»..= i6âA'A''E;
P = i6[AA'C"' + AA"C" + AKB'+ A'A"C'-|-A'EB"+A"EB"'],
Q= i6[B'e'-f-B"C'-f-B'"C'''],
R = 32 [BB'CC" + BB'CC + B'B'C C"],
S = 32[ABC'C"4- A'B'CC"-4- A"B"CC'-J- EBB'B"];

>;,l,ZDdbyG00gle

( .3, )
c'est le détermÎDant de la fouction décanôme à trois va -
riablcâ rendue homogène ci quaternaire. Ce second dé-
terminautTi \o\nt des mêmes propriétés pour les surfaces
du second degré que ce que nous avons nommé L pour les
lignes d» second degré. C'est ce que nous verrons dans
nos relations d'identité, appliquées aux surfaces du se-
cond degré. La plupart de ces relations ont été énoncées
pour les formes quadratiques à deux variables par l'il-
loslre M. Gauss ( Disquisitiones, § 267 ) ; si je n'en ai pas
averti plus tôt, c'est que, par inadvertance, je ne m'en
sois aperçu que récemment, à cause de la diiférence de
QOUlion. Lorsque U fonction u dépasse le second degré,
nous verrons que le déterminant est toujours le résulut
d'une élimination entre des équations de degrés de plus
en plus élevés.

Dans les lignes du second degré, il suffit de connaître
les deux déterminants pour avoir le produit des axes
principaux et par conséquent l'aire de l'ellipse \ de même
dans les surfaces du second degré, les deux déterminants
donnent le produit des trois axes principaux et le volume
de l'ellipsoïde. Les détermioants (fonctions cramériennes)
dominent aujourd'hui toute la science mathématique.
C'est donc avec raison qu'on les a ôiés du nouvel ensei-
gnement. On les a fructueusement remplacés par le plan
auxiliaire, le loganthnte, le travail élémentaire; triade
adorable, sans oublier la réglette de sain t Gunther que tout
géomètre est tenu d'avoir iocessammeat dans ses poches
ou dans ses mains. Nous verrons renaître l'ère des Archi-
raèdes et des Apollonius :

Magnas ah inli^gro spctoruni nasctlui' ordo-

>;,l,ZDdbyG00gle

( i3»)

fiftOMfiTRIE DESCRIPTIVE. CONCOURS D'ABHSSIOlf, KN 1851.

Noua croyons être agréables k nos lecteurs en réunis-
sant ici les énoncés des questions qui ont été traitées dans
la composition mathématicpie du concours d'admission
pour l'École Polytechnique, en i85o, à Paris et dans les
antres villes d'examen.

Il était proscrit, dans chaque programme, de tenir
compte des parties vues et des parties cachées (arêtes,
traces, contours, etc.) dans les pi-ojcotions des corps
représentés.

Deux mois environ avant le concours , la direction des
études de.l'École avait envoyé dans les départements, par
l'intermédiaire des préfets , une Note qui avait pour titre :
Composition mathématique, indications à suivre dans la
partie graphique.

1. Données. Le plan dont l'inclinaison sur le plan
horizontal est de 6 u degrés, et dont la trace horizontale ofr
fait un angle de 45 degrés avec la ligne de terre; le pen-
tagone P donne par ses côtés et ses diagonales exprimés
en millimètres; la droite (D, D') quelconque.

On demande : t° de construire les projections du po-
lygone P posé sur le plan donné, et de prendre ce poly-
gone pour base d'un pHsme parallèle à la droite (D, D'),
et dont la hauteur serait de 8o millimètres au moins-, a" de
développer la surface de ce prisme, et de construire l'angle
qui mesure l'inclinaison d'une face sur l'une des bases.

2. Données. Une ellipse £ tracée sur le plan hori-
zontal, avec des axes de 5o millimètres et de 35 millir
mètres ; le plan dont l'inclinaison sur le plan horizontal
est de 6o degrés, et dont la trace verticale ah fait un

>;,l,ZDdbyG00gle

( '33)
■ angle de 45 degrés avec la ligne de terre ; la droile (D, D'),

On demande : i° de construire les projections du cy-
lindre qui aurait pour baic l'ellipse E, qui serait paral-
lèle à la droite (D, D') , et qui aurait 80 luilUmètrcs de
banteur; a" de couper ce cylindre par le plan donné, le
cylindre étant supposé convenablement tourné pour cela ;
3" de construire le développement de la surface cylin-
drique sur le plan Ungent suivant une des génératrices du
contour horizontal, et d'y tracer la traDsfomiée de la
section plane.

Le développement sera fait à l'aide d'un prisme inscrit
dans le cylindre.

3. Données. La verticale [a, a' a'), et l'inclinée
{pm, p'm'), distante de 10 à i5 millimètres de cette ver-
ticale-, le plan horizontal HH, plus rapproché de la per-
pendiculaire commune à ces deux droites que ne l'est le
plan horizontal de projection.

Od demande : i°dc construireles projections de la sur-
face lien de tontes les positions de la droite {pw, p'm'):
on construira au moins douze positions de la génératrice
mobile, dont (pm, p'm')sera la position initiale; on li-
mitera la surface, d'une part , au plan horizontal de pro-
jection , de l'autre, au plan HH ; a" de couper cette sur-
face par un plan parallèle à la génératrice (/>m, p' m'] et
à la cinquième à partir de celle-ci ; 3° de mener des tan-
gentes aux points à l'infini de la section plane.

4. Données. Le plan P, dont la ligne de plus grande
iaclinaison sur le plan hori&ontal est la droite (ptn, p'm') .

On demande: 1° de construire les projections d'une
pyramide penlagonale dont la base serait placée sur le
ptsu P, et dont le sommet serait pris h volonté; 3" de
mesurer la hauteur de cette pyramide, de construire sa
l>asc en vraie grandeur, et de calculer son volume en mîl-

>;,l,ZDdbyG00gle

( .34 )
limètres cube»; 3" de faire une troisième projection it
cette pyramide sur un plan perpendiculaire k l'un des
plans de projection.

5. Données. Un prisme pentagonal et un prisme qna-
drangulaire, ni parallèles , ni perpendiculaires aux plans
de projection, dont les projections croisées paissent
donner lieu k une rencontre.

On demaude : i" de construire la partie commune à
r«s deux prismes ; 3° de développer la surface de l'un d'en,
et de tracer sur le résultat la transformée de la ûgure de
rencontre des deux surfaces.

On fera attention que difTérents cas peuvent se pré-
senter, selon que les deux prismes ont ou n'ont pas de
plan rasant commun; un plan rasant éUnt celui qui
passepar une arête, et non par une face. On ne traitera
graphiquement qu'un de ces cas, mais on discutera les
autres dans le texte.

Des questions analogues à la précédente ont été propo-
sées pour une {lyramide p^iUgonale et un prisme qua-
drangulaire , ni perpendiculaire, ni parallèle à l'un des
plans de projection ; pour une pyramide pentagonale et
une pyramide quadrangulaire , etc.

tî. Données. Deux surfaces de révolution dont les axes
se rencontrent sous un angle de 4^ d^rés , dans un plan
vertical non parallèle au plan vertical de projection; une
sphère k axe vertical ( a , a' a' ) , et d'un rayon de 5 cen-
timètres au moins ; un cylindre incliné, de 3 à 4 centi-
mètres de rayon, et dont l'axe ne passe pas par le centre
de la sphère.

On demande : i " de construire la courbe d'intersection
lies deux surfaces ; a" de mener une tangente en un point
de cette courbe.

7. Données. Le plan P, dont la ligne de plus grande

i.vGooglc

iadÎDaiaon aur le plan vertical est la droite {pni, p'"*')-

On demande: i" de construire les projections d'an
cône oblique dont la base , posée sur le plan P, serait un
cercle de 35 millimètres au moias de rayon, et dont le
sommet serait pris n volont^^ 2** de mesurer la hauleur
de ce cône, et d'en calculer le volume en millimètres
cubes i 3° de faire une troisième projection de ce cône
sur uu plan perpendiculaire aux horizontales du plan
donné P.

-8. Données. Le plan P dont la trace horizontale et la
trace verticale fout respectivement avec la ligne de terre
des angles de 45 et de 6o degrés ; l'ellipse £ dont les axes
sont de 45 et de 35 millimètres ; la droite (D, D'); le
point (/n, m').

On demande : i"^ de construire les projections de l'et-
lipse E posée sur le plan P, de manière que le grand axe
fasse un angle de 3o d^rés avec le plan horizontal ; a" de
prendre cette ellipse pour base d'un cylindre parallèle i
la droite (D, D'), et ayant go millimètres de longueur;
i" de mener à ce cylindre deux plans tangents passant par
le point (m, m'].

On supposera , lors de la mise à l'encre de l'épure, que
les deux plans tangents existent réellement, et l'on tiendra
c(«npte de cette supposition dans la distinction des parties
vues et des parties cachées, . ■

9. Données. L'ellipse E' tracée sur le plan vertical,
avec des axes de Soetde 35 millimètres j unpoÎDt (S, S')
quelconque.

On demande : 1" de construire les projecticms du cône
qui aurait pour base l'ellipse E', et pour sommet le
point (S, S'); 11° de couper ce cône par un plan qui roi-
contre toutes les génératrices entre la base et le sommet;
3" de constraire sur la surface la courbe lieu de tous les
points distants du sommet de ao millitnèlres -, 4° ^^ <^~

>;,l,ZDdbyG00gle

{ "36)
velopper la surface à l'aide de cette courbe, et de tracer
sur le développement la transformée de la base ou celle
de la section plane.

10. Données. Le cylindre droit et vertical {Â, A'), de
S centimètres de rayon; le cylindre (6, B'), incliné, à
base circtilaire de 4 centimètres de rayon, et dirigé de
manière à avoir un plan tangent commun avec le précé-
dent; un troisième cylindre (C, C), parallèle à (B, B'),
à base circulaire de 3 centimètres de rayon et concen-
trique à la base du cylindre (B, B'). Les cylindres (B,B')
et (C, C), parallèles entre eux, ne devront pas être pa-
rallèles au plan vertical.

On demande: i° la courbe d'intersection des cylin-
dres (A, A') et (B, B'); a" la courbe d'intersection du
cylindre (A, A') avec le cylindre (C, C) qui est enve-
loppé et caché par le cylindre (B, B') ; S** le développe-
ment du cylindre vertical , et, sur ce développement , la
transformée de l'une des courbes d'intersection.

On pourra , si l'on veut , tracer à l'encre ronge le cy-
lindre {C, C) et ses courbes d'iotersecUon , et arrêter
les parties vues et les parties cacbées comme s'il n'était
pas enveloppé par le cylindre (B, B').

Des questions analogues ont été proposées sur un cy-
lindre droit et sur deux cônes de même sommet, à bases
circulaires et concentriques (le sommet commun n'étant
pas siu' l'axe du cylindre), ou sur deux cAnes à bases cir-
culaires et concentriques, mais de sommeu différents,
l'un situé dans le cylindre, l'autre sur le cylindre , etc.

i i . Données. Deux surfaces de révolution dont les axes
se rencontrent dans un plan vertical non parallèle au plan
vertical de projection : i" un bypeiiwloïde à une nappe,
dont l'axe est vertical, et dont le cercle de goi^e est de
3o millimètres ; limité, d'une part, au plan horizontal de
projection, de l'autre, à un plan horizontal HH quidonm-

>;,l,ZDdbyG00gle

( -37 )
un cercle plus petit que celui de la bascî a° une sphère
de 4o à 5o millimètres de rayon , et dont le centre ne
se trouve pas sur l'axe de l'hjperboloïde.

On denunile : i" de construire la courbe d'iotar section
de ces deux surfaces ^ 3° de mener ane tangente en un
point de cette courbe.

On est libre de considérer rh3rperboloïde comme une
surface infiniment mince ou comme un solide, Tun et
l'autre étant limités par deux plans horizontaux; mais
on devra tenir compte de la différence qui résulte de telle
ou telle supposition dans la distinction des parties Tuvs
et des parties cachées de la projection horizontale.

12. Données. La verticale (a, t'a'), et l'inclinée
(pm, p'm') parallèle au plan vertical; la droite (r, r' r')
perpendiculaire au plan vertical ; le plan horizontal HH
plus rapproché de la perpendiculaire commune aux deux
droites (a, a' a') et {pm, p'm'), que ne l'est le plan
horizontal.

On demande : 1° de construire les projections de douze
positions au moins de la droite (pm, p'm') tournant
autour de la verticale (a, n'a'), à partir de [pm^p'm')
comme position initiale: cesdroites seront limitées, d'une
part, au plan horizontal de projection, et, de l'autre, au
plan HH ; a" de couper la surface , lieu de toutes les po-
sitions de la droite mobile (pm, p'm'), par trois plans
passant par la droite (r, /■'/■'), et rencontrant, l'un, toutes
les génératrices, l'autre, toutes les génératrices moins
une, le troisième, toutes moins deux ; 3° de mener une
tangente en un point situé à l'infini sur celle des trois
sections planes qui présente de tels points.

13. Données. Un plan P, dont on connaît im point
(p, p') et les deux droites principales qui passent par
ce point : la parallèle (ph, p'h') au plan borizonul, et
la parallèle {pu,p' v') au plan vorticai; le cercle C d'un

>;,l,ZDdbyG00gle

( .38)
rayon de 25 milliiiièU'efi ; une droile (D, D') inclinée
k Î5 degrés sur la ligne de terre.

On demande : i" de conBtruire les projections du cy-
lindre parallèle à la droite {D, D') , dont le cercle C se-
rait la base posée itir le plan P, et dont la longueur serait
triple du rayon de cette base j a" de mesurer la hani«ur
de ce cylindre , pour en dédnire le volume en millimè-
tres cubes ; 3° de consimire la projection de ce cylindre
sur UQ plan perpendicolaire i la trace verticale du plan P.

i i. Données. Deux surfaces de révolution dont les ases
se rencontrent sous un angle de 3o d^rés, dans un plan
vertical non parallèle au plan vertical de projection:
l'uue, i axe vertical {a, a' a'), est engendrée par une
ellipse tnéridienne de 8o millimètres de diamètre hori-
zontal et de So millimètres de diamètre vertical ; l'autre
est un c6ne dont l'angle au sommet est de 6o degrés, et
dont le sommet pourra être placé à volonté dans l'el-
lipsoïde, mais non au centre, sur l'ellipsoïde, ou en
dehors.

On demande : i° de construire la courbe d'intersection
de l'ellipsoïde et du cène ; a" de mener une tangente en
un point de cette courbe.

On fera remarquer dans le texte qu'il -peut y avoir
pénétration ou arrachement.

Note. Nddi crojons deTuir rappeler un projet d'Iaiiructien tur la Ira-
vaux graphiquei, ilaus lequel on IrouTera d'nliles reuaùgnements. (Voir
HtmtlXri Aiatalei, tome V, page ii.)

>;,l,ZDdbyG00gIC

( "39)

D'ABilSSMN k L'fiCALE SPteULR MILITAIRE,

EN 18St {*).

>'oas avons en diverses occasions exprimé l'opinioD
qne le mode d'examen pour l'Ecole de Saini-Cyr «uit
très-raliounel, et de beaucoup préférable à celui qui
était CD nsage pour l'École Polytechnique; toutefois,
on a encore trouvé moyen d'empirer ce dernier mode
d'examen , ce qui paraissait trèsnlifficile. Par compen-
sation, on a joint maintenant à ce mode d'entrée, un
mode de sortie tout à fait inqualifiable; les dispositions
eu sont tellement draconiennes, que les esprits les plus
illibéraux n'auraient pas osé les proposer dans les jours
les plus mauvais de la monarchie, tant impériale que
royale. Mais parlons des programmes : celui de l'Ecole
de SaÎDt-^yr, que nous avons sous les yeux, est une
excellente esquisse faite d'après un très-mauvais modèle.
Les énoncés sont clairs, précis, allant droit au but,
nommant les choses par leur nom, sans ambages, sans
emphase. On dit tout simplement ce qu'il faut apprendre
dansTarithmélique, la géométrie,. l'algèbre, sans ajouter
des phrases oiseuses et prétentieuses , telles que celles-ci :
Y arithmétique sera exposée avec simplicité, la géomé-
trie sera pratiquée avec dextérité, les équations seront
résolues avec fidélité, on passera légèrement sur tel
théorème, on démontrera rapidement -telle tliéotie, on
insitterasurles mouvements naturels, etc.; et autres amé-
nités de ce genre qui semblent échappées d'une plume en
veine de gaieté. Au contraire, le stylu du prc^ranune du

(*) Extrait do nnslmetion pour l'Edmissiiin i FÉboIb BpérUle miljl«irr
<lii II tévTÎer itii ; 7 pagn in-folio. Imprimerie naUonalc

>;,l,ZDdbyG00gIC

( 140 )

Saint-Cyr est partout convenable et adapié au sujets les
matières y sont arrangées avec métliode , mises à la portée
des candidats et appropriées aux besoins de l'enseigne-
ment. Toutefois , il est à r^retter que, forcé dHmtter un
mauvais modèle, on n'ait pas admis les fractions continues
dans l'arithmétique ; d'autant plus que ces fractions ren-
trent dans la théorie du plus grand commun divisenr
qu'on a laissé subsister en arithmétique; leur usage,
d'ailleurs, est d'une utilité constante, puisqu'à chaque
instant on a besoin de remplacer de grandes fractions
irréductibles par des fractions plus simples et approchées.
Comment, sans les fractions continues, ramener n

355
au rapport d'Archimède, ou à — =? Comment, sans ces

fractions, expliquer l'intercalation gr^orienne , etc.

Il est fâcheux aussi , toujours en suivant un détestable
guide , d'avoir retranché de la géométrie , la théorie des
polyèdres symétriques ; formes que l'on trouve dans tout
le système des êtres organisés , et qui , d'après des décou-
vertes récentes , jouent un si grand rôle dans les phéno-
mènes de la cristallisation. Lorsque nous voyons le
Créateur accorder une si large part aux corps symétri-
ques dans sa géométrie , est-ce le moment de les exclure
de la nôtre? II faut convenir qu'un célèbre rapporteur,
homme du ciel , a montré en celle occasion peu de défé-
rence pour le maître de son domaine.

11 est à regretter aussi qu'on n'ait pas ajouté à la géomé-
trie, à la suite des plans, les principaux théorèmes des
projections coniques et cylindriques 5 c'est là leur véri-
table place, et non dans la géométrie descriptive, dont
les procédés ne sont que des applications de ces théorèmes,
qui ont d'ailleurs des applications d'une extrême fécondité,
indépendamment de leur utilité graphique.

Les arlirles de la géométrie descriptive ne se succèdent

>;,l,ZDdbyG00gle

( >i> )
peut-être pas dans uu ordr« bien naturel. Les rabatte-
ments et les plans auxiliaires sont aujourd'hui à l'ordre
du jour et figurent partout. Un moyen certain de rendre
ridicules les meilleurs procédés, est d'en prâner sans
cesse et d'en prodiguer l'emploi outre mesure. Disons
un mot du programme relatif à l'allemand : il y est dit
qu'où erpliqnera à livre ouvert un auteur d'un texte
/acile; tout pn^ramme de ce genre devrait se réduire à
ce peu de mots : celui qu'on a adopté pour l'École Poly-
technique semble avoir été rédigé k Dresde pour des
officiers saTons, dont les tiois quarts peut-être n'y
répondraient pas. Mais b Saint-Cyr comme à l'Ecole Po-
lytechnique, ou a grand tort d'attacher à celte langue
une importance ridiculement exagérée. Aujourd'liui, Na-
poléon , qui n'avait aucune aptitude pour les langues , ne
serait admis ai à l'une ni i l'autre kcole. On rapporte,
même à ce sujet une anecdote d'une incontestable authen-
ticité. Junker, professeur d'allemand à l'ancienne École
militaire, a donné au jeune Bonaparte cette note remar-
quable : sujet incapable et sans moyens. Pourquoi? pro-
bablement qu'il ne savait pas conjuguer le verbe ssyn.
Quel Junker a donc rédigé le factum ultra- te utoni que
à l'usage de la seconde École militaire qu'on vient de fon-
der à Paris {•}? Revenons à celle de Saint-Cyr.

Pourquoi exiger la connaissance des origines de l'iiis-
toire de France et l'histoire de la géographie? Qu'un can-
didat à l'Académie des Inscriptions fasse preuve de ces
coimaissances, soit; maison peut être un excellent officier

;*) Tonte institution où le «bre prédomine eit uniquement mlll-
tiin, qnclquc nom qu'elle ae donne, ddl-elle l'appeler liminaire. Si
l'on j loUre )«■ lerTieet dvUi, tant pia pour ceei-ci; k nioina qo'ila ne
inmicBi aiuitageBi de l'eiercer i rbumUité diréllenne. Ce* aorricea d«-
TTaieol déaormaia u recruter k l'feeole Normale, teetion d<e acleiicMi It
Mra l'École PolTteetaniqne; lillenn de nem. On pourrai! alors réunir
prat-ttre In deux Seules militaire). Nous reiiendront là-deHus.

i.vGoogIc

( .40
français et très-instruit, sans jamais avoir entendu parier
des recherches de Montfaucon , du père Daniel , de Bou-
lainvillera , de Gosaelin , de RiiLer, de Mannert , etc. On
ne saurait ausai blâmer trop s^Tèremeni ]a prétention de
vouloir rendre tout paiement obligatoire, et de n'admettre
aucune compensation : une telle prétention ne s'accorde
ni avec la justice, ni avec le bon sens. Certes, un candidat
qui écrira très-bien la langue nationale , qui montrera une
liante intelligence scientifique et des connaissances pas-
sables en histoire et en géographie , dût-il même ignorer
complètement l'allemaud, sera ceruinement préférable
à un concurrent médiocre sur tous ces points (*).

Ces critiques ne portent que sur des détails, sur des
défauts empruntés, et, pour ainsi dire, imposés ; l'ensemble
du programme mérite des éloges, et procure une véritable
consolation dans un temps où l'on en a tant besoin.

GÉOMÉTRIE SPHÉRIQliE;

•Pia M. GnsTAVB MARQFOY,

t\i\e (le rÉcale Polvlech nique.

Déduire des deux relations

(I) sin'e = sm(a - S)sm (p-fl) sin(7- 6),

la suivante ,

col 9 = col a + col p 4- col 7 (voir lome IX , page 363 j .

Si l'on développe le produit indiqué dans le second'
membre de (i),on trouve, en ordonnant par rapport aux
puissances décroissantes de Kin 9,

(*) Noua n'otncrvon» de mesare en rlan ; panwnt inmédiRUniant d'un
mtrènie k l'eitrècne oppoté, Aotreroii, noui peraielHons ai>« ieormrp
profonde on hiMoIre el «ur les langim; airjonrd'hiii. nnus aoninin im-
vnilljs d'une ti^re hislnrfqiip ol linr^MiMIqnr,

>;,l,ZDdbyG00gle

( '43)

i s i
I I I

+ +
+ t

l ! ^

î i i

î î î

i i ! i 2

>;,l,ZDdbyG00gle

( -44 )
Eiidéveloppanl ces deux expressious , on reconnaît que
les coefCcienU de sia'S et cos'9 s'annulent. L'équation
précédente devient, en remplaçant le coeiBcient de cosB
par sa valeur sin a sinfB siny déduite de (3), et en suppri-
mant les facteurs communs

cote = cota +cotp4-cot7,
fonmile à laquelle on devait arriver.

SOLUTMII DE U «UESTION 89 (P80VBET)

inilrl.lll.ii.97BK

P*K M. i.'uBÉ JULUEN,

ProresBcur au Culinaire de Vil*.

Soient F (x) une fonction entière en x; a, èdeuxnom-

Fla] ¥(b) — f(a)

bres positifs, etô>n; si j^>o et ^ Ffni < «i

il y aura au moins deux racines de F' (x) = o comprises
entre a et b.

Lorsque , dans une fonction entière F (x) , on fait
croître la variable d'une manière continue, l'accroisse-
ment de la fonction F (x 4- A) — Fx correspondant à la
valeur x = a est toujours de même signe que la dérivée
F'{x). Donc', si F'(j:) necbangepasdesigne, lorsqu'on
y fait varier x d'une manière continue depuis a jusqu'à
h, la valeur de F(x) ne cesse d'augmenter ou de dimi-
nuer, selon que F' (a) est positif ou négatif, et la relation
F(fr) — Ffa) ^
' P- T) <~.one peut subsister.

Cette dernière in^alité ayant lieu , P'x change de
signe entre a et è, il existe donc au moins une racine de

>;,l,ZDdbyG00gle

( 145)
F' (x) =: o comprise eutrc a ei b, et puisque nous avons
en même temps - y— - 1>- o , il en existe un nombre pair

dont deux au moins sont inhales.

L'interprétation géométrique de l'énoncé du théorème
montre qu'il existe entre les ordonnées F (a) et F (&) ou
un maximum et un minimum de F (x) , ou un point d'in-
flexion de la courbe représentée par j)'!=F{a;). Ce der-
nier cas ne peut avoir lieu quand la fonction proposée
est entière , car la tangente trigonométrique de l'angle que
fait la tangente à la courbe avec l'axe des x, doit néces-
sairement passer par l'infini.

SOLUnON DE LA %W>Vm l»3

P*mM. L'ABBiJULUEN,
Profeweur au ténilnaira de Val*.

Problèmb. /„ travaûleurs, dont la force indiyùiuelle
est représentée par J'ai exécutent m„ mètres d'ouvrage
en i„ jours, dans un terrain dont la dureté est représen-
tée par d,\ l'indice n prend les n valeurs i, 2, 3,...,n:
combien de jours mettront tous ces travailleurs, au
nombre de fi + f» -t- ïj -f-... -I- ï„ , travaillant ensemble,
à exécuter M mètres d'ouvrage, dans un terrain de du-
reté ïi?

Solution. Si t„ travailleurs exécutent m„ mètres d'ou-
vrage en i„ jours dans un terrain de dureté 1/, , ils exécu-
teront en un jour, employant la même force, dans un
terrain de dureté D,

mètres d'ouvrage.

Am. it MaAimai., t. X. [AtHI ■8'ii.) lO

>;,l,ZDdbyC00gle

{ '^i'i )

l'ai' conséquent, I, -h r, + I. + ... +t„ lia\ ailleurs
exécuteront ensemble en un jour, dans le même terrain,
nn nombre de mètit^s d'ouvrage marqué par

le symbole sommaioire V s'étendaot à toutes les valeur?
i(Uù prend la fraction -^t lorsqu'on y fait successive-
ment n = 1 , 3 , 3 , . . . , n ■

Le nombre de jours qu'emploieront tous ces travail-
leurs pour exécuter M mètres d'ouvrage est donc

AVIS AUX PltOFBSSBIlRS, SIB HS EXERCICES IB CALCUL.

Dans la Coii/iaùsatice des Temps pour l'année iU49i
on trouve, dans te Mémoire de M. I^ Verrier sur la pla-
nète Herschel (dite Uranus), un grand nombre de sys-
tèmes d'équations numériques linéaires à quatre incon-
nues ; exercices à l'ordre du jour, pris à bonne source. A
la page 169, on fait usage des formules cramérienncs.
C'est ce qu'on devrait se garder d'imiter. Car, l'on a ôté
ces formules de renseignement ; mais comment l'illustre
calculateur les aurait-il employées si on ne les lui avait
pas enseignéfs?

(•) C'fflt â rviaminaleur Ri^vBiiil qu'on dnil l'rmploi (le I'hiiiI^ ilaii^

>;,l,ZDdbyG00gIC

( ^7)

soLvnoN m la question s? (pbovhet)

iToin. III, p.m):

Pa« m. j. DEms,

Régenl su collège de Cberbouj^.

Soient p un aombre premier avec lo , & le nombre des
entiers inférieurs et premiers ;'i p ; on sait que la division
de lo* par/7 ne peut Jamais sefaireexactement, et qu'elle
donne pour reste l'unité. Cela pos^ :

Théobême. Soient r,, r», rf,..., ;'i ^ i les valeurs
absolues des restes obtenus en divisant par p les puis-
sances successives de lOy depuis la première jusqu'à celle
de l'ordre A; si l'on multiplie le quotient Q = — H~

successivement par chacun des restes ri, '■j_,,.,., r, ,
en commençant par celui dont le rang est k et remon-
tant Jusqu'au premier, les produits obtenus seront tous
composés des mêmes chiffres, et dans un ordre tel, que
chaque produit pouira se dèduiie du précédent en trans-
portant à sa gauche le premier chiffre qui est à sa
droite.

Démonstration. Je suppose pour plus de simplicité que
les restes r, , r,, r, ,..., ri,c[ui sont nécessairement pé-
riodiques, ne forment qu'une période; s'il en était autres
ment, on se bornerait à considérer les restes contenus
dans une seule période , et les quotients correspoodaDts,
comme on va le voir dans ce qui suit.

J'appelle ^,, ^,, q%,--.,çi: les chiffres obtenus au
quotient, et correspondant respectivement aux restes
''!>'■», '■»)■■■) '■«; quelques-uns de ces chilTres peuvent
(■Ire des zéros, inËme les premiers; mais les restes sont

>;,l,ZDdbyC00gIe

( .48)
des nombres d'un ou de plusieurs chiffres chacun , et ne
sont jamais QuU.

D'après la déâipùon de la divisïim, on a en même
temps les deux identités suivantes :
io'= Q^ + n,

IO*=(Q — î»)^-4-r,., X lO,

d'où l'on déduit

ri_.X IO=:rt + 5i./.

ce qu'il est d'ailleurs facile de Toir h

priori.

Mais,

en

vertu de la

-^^

donc

Qj-i_,x io==Q/-i + î,(io'

-n).

ou bien

Qr(_, X tO=:Q4-?i{io'

— ),

Or, ou peut admettre que Q a toujours k chiffres, les
premiers chiffres k gauche pouvant Être des zéros ^ alors
le produit Qri_, x lo ou Q — ^j + Çi-io' pourra s'ob-
tenir en remplaçant par un zéro le chiffre ^ i qui est i la
droite du nombre Q , et écrivant k rangs plus loin le
même chiffre qt qui représentera alors ^ X lo' ; puis, si
l'on supprime le zéro mis à la place de çi, on obtiendra
le produit

Q.._, = 8:^*+„..o.-.,

lequel se déduit du premier produit Q X i > d'après ta loi
énoncée plus haut.

GénéralemPHt, soit le produit Qr„ déduit des précé-

>;,l,ZDdbyG00gIC

(■49)

ô-l

ê's

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a § a i

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1 X

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s .a g A ^

1: s. * i ï

= J io-l
>- »• -S, - i

<S 3 ils

>;,l,ZDdbyG00gle

( 'So)
rczéro, on oblicndra le produit

_ Qf-n — ?» ,_,

déduit du précédent, d'après la loi énoacéc.

Si donc un dès produits est ainsi formé avec celui qui
le précède, il eu sera de même de celui qui le suit ; mais
noua avons prouvé cette loi de formation, pour le second :
doue, etc.

Corollaires. t°. Si le diviseur /? est inférieur à lo, le
qaotient partiel ç, sera au moins égal à i , en sorte que Q
contiendra k cliîffres dont le premier ne sera pas zéro;
d'autre part, les rcstesri, rt, Tj,..., n seront tous des
nombres d'un cUlTre chacun, et comme ils représentent
respectivementdes unités de l'ordre A, ft — i ,A — a,..., i,
il suffira de les écrire de gaucte à droite, les uns à la
suite des autres , dans l'ordre où ils ont été obtenus , pour
former un nombre de ftchilTres, tel que si l'on mttltiplie
le quotient total Q par ce nombre, tous les chères
d'une même colonne verticale soient égaux, suivaut la
remarque faite par M. Prouhet [Nouvelles jinnalet,
tome m, page 376) sur les produits
142857x326451.

Soit p -= 'jfOn trouve pour quotients partiels
I, 4, 2, 8, 5, 7,
et pour restes correspondants

3, 2, 6, 4, 5, 1;

le multiplicande est 142837, lemultîplicateur est 32643 1,
et les produits partiels suivent la toi indiquéedans l'énoncé
du théorème précédent.

2°. Si le diviseur p est supérienr à 10, le premier
ou les premiers quotients partiels (/, , ç» , . . . , seront
nuls, et les restes pourront êlrc des nombres de plusieurs

>;,l,ZDdbyG00gle

( 'î- )

cliillres chaciiu; mais la propositiou démuiitréo n'en csi
pas moins vraie , puisqu'il n'a été fait aucune suppositiou
sur la grandeur des restes, ei que les quotients partiels
q, , ?■)■■■, i/i n'ont pas été supposés noo plus avoir des
valeurs particulières. Toutefois , pour que les produits
Qr,, Qo_i,..., Qr, présentent ta même régularité, il
faudra remplacer par un zéro cliacun des quotients
?i) ?<)■■■) qui sera nul, et effectuer les multiplications
par les restes r, , i\_, ,..,,;■,, comme si c'étaient des nom-
bres d'un seul chiAre cbacun.

Par exemple, soit /) ^ ai ; on trouve pour quotients
partiels

o, 4, 7. ti, ., 9,
qui forment une période complète , et pour restes coires-
pondatits les nombres

lo, i6, i3, 4, M», I,
ce qui doiMic les produits rassemblés dans le petit tableau
suivant :

047619 X I = 047619

047619 X "9 — 90476'

047619 X 4= '90476

047619 X i3 = 619047
047619 X 16= 76i((o4
047619 X 10 = 476190
Si dirux ou plusieurs restes consécutifs sont des nom-
bres d'un seul chilfre chacun, on peut former, comme
nous l'avons fait plus haut, un multiplicateur de plusieurH
chilTrcs jouissant de la propriété demandée (question 87).
Il suffit de faire la somme des valeurs relatives de ces
restes , mais en excluant ceux qui précèdent et ceux qui
suivent.

Exemple. Soit p-= l'î; on ti-ouM-, pour quotients
partiels ,

". 7. 6, !,. 7., 3.

3,q,l,ZDdbvG00gIe

(.5.)
qui forment une période complète , et pour restes corres-
pondants

10, 9, 12, 3, 4, 1;

et en multipliant 076933 par le nombre 34 1 que forment
les trois derniers restes, on trouve les trois produits par-
tiels

076923
307693
230769
qui jouissent de la propriété demandée.

3°. 11 est éTident que tout ce qui vient d'être exposé
serait encore vrai , si au lieu de ïo* on prenait pour divi-
dende la puissance a' d'un nombre quelconque a , pourva
que le diviseur p fût premier avec a^ que k fût le nombre
des entiers inférieurs et premiers à /> , et qu'on écrivît les
nombres en prenant a pour base du système de numé-
ration.

Exemple. Soient p = 5, a = 8 ; si l'on effectue la di-
vision eu écrivant les nombres avec les buit caractères
I, a, 3, 4t 5, 6, 7, o, on trouve pour quotients par-
tiels

I, 4, 6, 3,
qui forment une période complète, et pour restes cor-
respondants

3, 4, ». '•

La multiplication du nombre 1463 par i^ii^ effeciuét!
dans le système de numération dont la base est huit,
donne les quatre produits partiels
■463
3i46
63i4
463 1
où l'on retrouve la m<ïmc régularité que dans les exemples
précédents.

>;,l,ZDdbyG00gle

( 153 )

dBDB les flouvellei Aaïutlft Je JfalAttatau'faej
Bicanju , libraire , quai dea AugUïtlas , n** 55.

NoTioKS DE Mécanique exigées pour l'admissîoD à l'Ecole
Poly teclinique ; ouvrage rédigé d'après le programme
officiel, parM. Il, Sonnet, docteur es sciences, inspec-
teur de l'Académie départementale de la Seine, pro-
fesseur adjoint de Mécanique à l'École centrale des
Arts et Manufactures. Paris, i85i ; in-8°de 199 pages,
4 planches gravées par M. E. Wormser,

C'est le développement complet, ponctuel et fidèle des
matières énoncées dans le programme officiel ; travail qui
répond à un besoin urgent et qui sera promptement
recherché par professeurs et élèves; ouvrage exécuté
d'après nn plan utile à la technologie , nuisible à l'ensei-
gnement classique. Car, ce plan est fondé sur deux idées
qui sont complètement fausses. La première, c'est de
croire que la Mécanique est comprise dans la science des
machines; c'est le contraii-e qui est vrai. La théorie des
machines n'est qu'une applicaUon particulière de la Méca-
nique. Les lois de la Dynamique régissent la nature en-
ùére, tandis que les machines n'etfectuent que le travail
très-restreiut de l'homme. On s'imagine, et c'est la se-
conde erreur, qu'on a simplifié l'enseignement et qu'on
l'a rendu plus facile. Il est facile de s'apercevoir que les
auteurs déprogrammes n'ont jamais enseigné dans les col-
lées, et ne connaissent pas la jeunesse. Les fils de famille,
ayant reçu une éducation littéraire, base de toute éduca-
tion libérale, ne sont pas familiarisés avec les oulib, les

>;,l,ZDdbyG00gle

( |54 )
instrumcnls, ci leurs divers agencemcuis, qu'on reucotilrx-
dans les usines et dans les ateliers: détails lôrt obscurs
pour des jeunes gens étrangers aux métiers. L'intelligence
juvénile, bien cultivée, est de préférence accessible aux
idées grandes, abstraites, philosophiques. C'est mécon-
naître cette intelligence, l'amoindrir, qne de vouloir la
rendre de prime abord pratique, ouvrière. L'Ecole Poly-
technique et les Écoles industrielles n'ont pas le même au-
ditoire, et par conséquent ne peuvent, ne doivent pasavoir
le même enseignement, ni pour le fond, ni pour la forme.
L'oubli de cette distinction est l'origine des malheureux
programmes, fléau pédagogique de notre époque, qui, s'il
durait, abaisserait les éludes et les ouvrages classiques.
Dans cet ouvrage de Mécanique, Lagrange, Laplace,
Poisson ne sont pas une seule fois nommés; ni les couples,
ni leur illustre auteur ne sont mentionnés ; on ne ren-
contre que deux noms de professeurs machinistes. Une
méthode d'enseignement qui amène un tel résultat est
jugée. La responsabilité porte sur les ordonnateurs de la
méthode et non sur l'auteur d'un ouvrage utile f*).

Appendice. i85i ; in-8°, pages 4oS'^33.
M. Joseph Bertrand, maître de conférences à l'Ecole nor-
male supérieure, «'publié, en 1 85o, un Traité élémentaire
d'jétgèbre (tome IX, page 439); sous le titre A'yippen-
dice, le savant auteur joint un complément, faisant suite
au Traité tant pour les chapitres que pour la pagination :
on y parle des séries, des suites, du théorème de Descartes,
delà résolution des équations numériques, de la méthode
des substitutions équidistantes , de la théorie des dérivées

{ ' ) M. Callon , inccniourdcï mitio^ , <
m^nK- KCiire; il m HM-n rrndn rompir.

>;,l,ZDdbyG00gle

( -55)
appliquée aux foQctions transcendante»; ea d'autres ter-
mes, on donne les principes du calcul aux différences ei
du calcul aux diflérentielles , eans nommer cea calculs.
Pourquoi ne pas mettre ces deux admirables iostrumeats
ouvertement entre les mains des élèves? La réponse est
facile. Celte marche étant indi<]uéc par le bon sens , il y a
là une bonne raison pour qu'on ne la suive que le plu»
Urd possible. Comme nous prenons un grand intérêt aux
succès du jeune professeur, nous croyons devoir l'avenir
que l'esprit de l'ancienne École Polytechnique perce trop
dans ses ouvrages ; ainsi il démontre le beau théorème de

BemouUi li-f- — j =e. Soiti mais à quoi cela est-il
utile? Comment déduire d'un tel théorème l'épaisseur
d'un tnyau de conduite (*) , ne fût-ce que pour des eaux
ménagères ? L'auteur veut encore que les élèves s'exercent
sur celle belle proposition de Gauss : Si dans f{x) ^ o,
où f{x) est une fonction entière algébrique , on remplace
X par X -H (y, on obtient

si l'on pose ensuite

?(*. r) - o; -^[x, y) =o,
les deux courbes représentées par ces équations se coupent
orthogonalemcnt. Soit, mais à quoi cela sert-il P Quelle
machine ce théorème met-il en mouvement? De tels pro-
blèmes occasionnent évidemment des pertes de forces vives
intellectuelles .

Au résuioé, cet excellent opuscule contient les beaux
travaux des grands maîtres, quel'on a soin, comme dejuste,
de ne jamais nommer; par inadvertance, on a laissé sub-
sister deux noms : celui de l'auteur et celui de Descaries ;

(•) Raison donnée par les pmBriimmes,

>;,l,ZDdbyG00gle

( .56 )
il» disparaîtront sans doute dans une nouvelle édition , qui
ne se fera pas attendre. Puisse le maître des conférences
n'avoir pas irrité le Dieu régnant du jour! le poëte an
vers solitaire a dit :

Le tridcDt de Sepiunt est le Kceptrc du monde.
L'Ecole Polytechnique fait partie du monde.

Mémoires sua i.k Mécanique; par M. le chevalier Du
Buat, capitaine au corps royal du génie; tome I.
Paris, i8ai ; in-4'' de 3o3 pages, i planche.

La belle expénence de M. Foucault sur le pendule
donne une certaine importance à cet ouvrage, peu ré-
pandu. Le tome I seul a paru et ne renferme que trois
Mémoires, mais il y est fait mention d'un dixième
Mémoire; l'auteur, âls du célèbre faydraulicien , étant
mort, il n'y a pas d'apparence que le reste de l'ouvrage
soit publié. Dans le troisième Mémoire, page 84, on
trouve cette question :

Il Un point matériel ou un corps m, attaché par une
u verge d'uue longueur donnée à un centre C , et sollicité
M par une force accélératrice constamment dirigée ver»
Il un centre C, forme ce qu'on appelle un pendule sim-
j) pie ; nous supposons ici non-seulement que le centre C
» se meut autour de C, mais encore que le centre C'se
o meut autour d'un troisième centre C, et que le centre
» C se meut autour d'un quatrième centre fixe C ; au
» lieu de trois centres mobiles, onpourrait en admettre
H un nombre quelconque. Nous supposons , de plus , que
» les mouvements uniformes et circulaires de tous ces
» centres s'exécutent dans le même plan et dans le même

>;,l,ZDdbyG00gIC

( >57 )
Notations :

mC~r; CC = R; CC = R'; C''C" = R",
u = angle C C C 1 >. „ . . .

„'= angle t^CC- à l'ongine du

»*^ aagledeCC avec unedroitefixeC"w\
I = Titeue angalaire de C autour de C,
i' = viieue angulaire de C autour de C",
(" = viiesM angulaire de C" autour de C" ,
r ^ le temps,
(f = angle m CC ,
g =: force attractive coiutante.

L*auteiir parvient k cette àjnaiion différentielle

= — ff-^ + B.''*in<p
rin[ç + «4-«' + (i — .')(]

K = (R> + H— aRrcos?)'.

(page 87),

Equation qui n'est intégrable qu'en supposant très-petits
9, y+(i — j')t, f-t-{i — 1") ï, de sorte que ces arcs se
confondent avec leurs sinus, et leurs cosinus avec l'unilë}
dans ces suppositions, on obtient

A, = ACsinffl/* + flj

+ /[ll'i"{i — i') cos» + R'r'(( — (") ros{o.'+ w)]
-H R''" sin »• + R"i'' tâa[i^ + u) j

A = + ^- Ri>—R'i"cos».— R"i"' «»(-' + »).

C et 9 sont deux coosuntes à déterminer par les va-
leurs initiales deft,{-^] i 1^ durée d'une oscillation est

i.vGoogIc

"V/^

( ,58)

de là l'auteur déduit : i" que la vitesse angulaire

-j- du pendule autour de C est périodique ; a" que l'augle ip
n'esl pas périodique ; ainsi le rayon CC ne partage en deux
parles égales ni l'amplitude , ni la duréed'une oscillation;
3° que la durée d'une oscillation dépend non-seulement
des vitesses angulaires i, i^, i", mais encore des angles
0), u' à l'origine du mouvement; 4° que le pendule ne
peut rester en repos dans la verticale, à moins que l'on
n'ait i" =(■'== i^oouseulement i"=:i'=o, c'cst^-dirc
que le pendule ne soit à centres Ëxes ou à un « seul centre
» mobile ; donc un pendule à deux centres ou à plusieurs
» centres mobiles, abandonné à lui>mème, commence à
» se mouvoir, et l'on peut demander quelle est la direc-
11 tion de son mouvement et quelle est l'amplitude de sa
Il première oscillation. »

Pour résoudre cette question , l'auteur suppose i"^o-,
<:c qui est le cas de la nature ; et nommant f , l'amplitude
de la première oscillation , on trouve

rçi = B I- j R'("(< — i') cosw,

et 1 étant plus grand que i', la direction est déterminée par
le signe de cos <ù : ce résultat s'applique aux pendules qui
oscillent à la surface de la terre dans le plan de l'équa-
teur; on a alors

. îJt ., air

'~8^^ *' ' ~365,25.864oo'

la seconde étant prise pour unité de temps; i étant le
mouvement diurne et i" la projection de la vitesse an-
nuelle sur l'équateur qu'on peut supposer constante pen-
dant un petit nombre de secondes : on suppose aussi
constant le rayon vecteur de l'orbite terrestre projeté sur

>;,l,ZDdbyG00gle

l'ûquaieur et ùgal à a3578R el Il = 63ti6i95 mètres;
l'aDgle u est évidcminciit l'angle horaire du lieu où est
situé le pendule , le temps étant compté depuis minuit.
La durée d'une oscillalion est

\g — i>,o34 — o ,006 COS M /

quantité variable, dont le maximum correspond à minait
et le minimum à mîdî pour un pcudule de i mètre de
longueur; et supposant g = 9>7798, le maximum est
1", 00645 et le minimum i",oo523.

ic Les mêmes données étant substituées dans l'expres-
sion de r<f, du déplacement sponUné du pendtde, on
trouve cet arc égal à o"',ooo4353 cosci>ouào™,5436cosu,
in donnant au pendule une longueur de aaS mètres. Or,
i]uoique le signe de l'angle <f' soit négatif, quand l'angle
horaire est plus grand qu'un angle droit, il est facile de
voir que le déplacement du pendule a toujours lieu vers
l'est, etc. » (page gS).

L'auteur finit ainsi : « Dans le Mémoire sur la limite
» des durées des oscillations d'un système, après avoir
» donné les formules du mouvement des pendules h une
» latitude quelconque, nous eu conclurons que la durée

> des oscillations est indépendante de la position du plan
» vertical, dans lequel le pendule oscille; que la gravité
u des corps terrestres est modifiée par le mouvement an-
]> nue), ainsi que par le mouvement diurne, et qu'un
>i pendule abandonné à lui-même dans la verticale, et
u dans un lieu quelconque de la terre, se meut spoutaué-
» ment. Si ce dernier résultat était vérifié et rendu sen-
n sibleparrexQéneDce,ou auraitune nouvelle preuve du
u mouvement de la terre autour du soleil. Cette preuve

> pourrait résulter aussi de l'observation de ta marche
■• d'une horloge astronomique pendant les dilférentes

>;,l,ZDdbyG00gle

( >6» )
H heure» du jour et de U nuit. Il est facile en effet de
N conclure de ce qu'on a vu plus haut , que le mouvement
» d'une horloge, r^lée par un pendule de i mètre de lon-
» gueur, est plus rapide à midi qu'à minuit, dans le rap-
» port de 1,00645 à i,oo583 ou dans le rapport de
M 7204,44 À 7300; en sorte que si l'horloge a marqué
» •j^Qcl' pendant un certain temps , pris au milieu de la
» nuit, elle marquera 7304'' pendant le même temps,
» pris au milieu du jour. Kn comparant donc l'horioge a
M un garde-temps très-exact, pendant les intervalles de
M onse heures du matin à une heure du soir, et de onze
» heures du soir à une heure du matin , elle avancera de
» quatre secondes environ , dans le premier de ces inter-
M valles ; nous supposons l'expérience faite à l'équateur,
H car à une latitude un peu élevée /, les variations dans
H la marche d'tme horloge, calculées d'après la formule

\g — o",o34 c«'<p — 'o^jOûô cos/cosu/
11 qui est celle de la durée d'une oscillation du pendule,
n dont la longueur est r, sont tout à fait insensibles, à
a moins que la longueur r ne soit très-grande, u

Mous voyons, d'après ce qui précède , que Du Buat a
traité U question générale et qu'il a trouve nécessaire-
ment que l'aze du pendule décrit une surface apparente
gauche dirigée vers l'estj résulut confirmé par l'ingé-
nieuse observation de M. Foucault; mais pour démontrer
le mouvement de la terre , Du Buat emploie la durée des
oscillations, ce qui exige à nos latitudes un pendule Irès-
l<Hig, parce que r entre au numérateur. Au résumé, le
pendule offre trois moyens de prouver le mouvement de
la terre : 1° la durée des oscillations; 1° l'amplitude des
oscillations; 3** le déplacement du plan d'oscillation.
Du Buat a indiqué le premier moyen , il a dû nécessaire-

>;,l,ZDdbyG00gIC

1 'C' )
ment conu^tre le troisième moyen que M. Foucault a
réalisa si heureusement. Ces expériences réussiraient
beaucoup mieux dans les hautes latitudes, telles que
Stockholm , Tomea , etc. La durée des oscillations variant
avec l'heure du jour, cela ne nécessite-t-il pas, à une
époque d'extrême précision , quelques nouvelles correc-
tions à faire dans les observations du pendule?

Depuis que ceci est écrit, M. Binet adonné une théorie
analytique rentrant dans celle de DuBuat; M. Foucault a
fourni une ingénieuse explica lion géométrique , de même
que M. Poinsot. Ces considérations, purement géométri-
ques, ne sont pas encore d'une parfaite clarté. (Voir les
Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'jicadé-
mie des Sciences, tome XXXII, pages iSy, 197 et ao6.)

Nous venons de recevoir les deux ouvrages suivants,
auxquels nous ferons de nombreux emprunts.
1. Mathbmatische ABninDLDHGBN. Mémoires de Mathé-
matiques ; par le docteur Oshar SchtomUch, professeur
de hautes mathématiques à l'École royale technique de
Dresde en Saxe. lu-S" de i5o pages.
Voici le contenu :

1°. Mémoire sur la série de Mac-Laurin. On donne
une discussion très-claire , très-dé taillée sur le caractère
de convergence , la variable ayant pour valeur un nombre
complexe; ce critérium dîflPère de celui que M. Cauchy a
donné, qui est quelquefois erroné. Nous parlerons bien-
tôt de ce sujet important qui présente un intérêt de cir-
constance. Tout se déduit de considérations sur la discon-
tinuité des fonctions. L'auteur trouve que la série

>;,l,ZDdbyG00gle

(.6.)
(l'est ronYet|;enie que pour ane valear complexe dont li'
modnle est moindre <}ue l'unité ; lorsque la valeur est
r^lle, il faut qu'elle soit comprise entre + t et — i.

a". Sur la série de funnann. L'auteur d^uit decetti;
série remarquable, presque inconnue en France, la série
de Lagrangect encore d'antres, ainsi que plusieurs apfJi-
oalions au retour des suites, au calcul intégral.

3°. Sur les approximations des quadratures. U s'agit
de la méthode de Laplace pour les évalnatioss numériques

des intégrales déGnies de la forme i f{ z) dz ( Théorie
analytique des Probabilités, livre I, a" partie, cha-
pitre III ) : cette méthode est complétée et généralisa.
4". Sur une intégrale double avec deux fonctions ar~

AiVrairej, C'est l'int^ale j dx j f\x, y) dy, avec

des applications géométriques.

5°. Sur l'évalutUion de la masse pour des densitésva-
riahles. Applications aux surfaces c^rlindriquec et sphé-

2. MlTTHElL11HGE> DER NitTURFORSCtlKNDEN CBSELLSCHtFT

IN Bbkn. CoDimuoica lions de la Société des investiga-
teurs de la nature, de Borne (1848, 1849, i85o).
Celte collection renferme des documents précieux poui-
l'histoire des sciences, en Suisse, patrie de tant d'illustres
géomètres, naturalistes et physiciens. On j trouve des
Lettres inédites de Haller, de Bonnet (Ch.) , de de Saus-
sure, de Bernoulli, de Lambert, etc., etc. Une lettre de de
Saussure, datée de Paris, le a4 avril 1768, faîtun grand
éloge de la bonhomie de Jussieu et de BuSbn. 11 aime
mieux les- savants de Paris que les beaux-esprits qui sont
d'un orgueil insupportable, h Les uns et les autres donnent
» très-peu de temps aucabiiici, cl sont par coiiséqueui

>;,l,ZDdbyG00gIC

( "63 )
V peu profonds; les pUUirs, le« femmes, et surtout ia
■ passion de voir les grands et de I«nr faire la cour,
H absorbent la meillcun; partie de leur temps <i (n*" llâ
et 1 13 de 1848, page 33). Les choses sont bien changées.
Aojourd'hui nos savants ne quittent pas leurs cabinets et
deviennent très- profonds. INous ayons un spécimen de
celte profondeur dans les célèbres programmes qui ter-
minent si glorieusement la moitié du xix* siècle (*). Nous
ioséivrons en entier dans nos Annalet une Notice auto-
biographique de Bernoulli (Jean 1). Tout ce qui se rap-
porte à cette famille prodigieuse, unique dans les fastes du
monde, mérite une hante attention. On lit aussi dans ce
recueil des descriptions de livres rares , entre autres des
Tables logarithmiques de Burgi, retrouvées récemment
à la bibliothèque de Munich , et qui ont été composées
peut-être avant celles de Néper, quoique publiées posté-
rieurement. Nous devons ces richesses littéraires à M. R.
Wolf, seciétairedela Société depuis iS4>,^''i^n''<cl>ïtlc
recueil d'intéressanis travaux scientifiques, parmi lesquels
nous avons déjà fait comiaitre d'ék'ganies propriétés balis-
tiques. Directeur de l'observatoire de Berne ^ M. Wolf
publie les résultats journaliers de ses observations. Nous
répéterons ici ce qui est toujours pour nous un sujet
d'élonnement . Lorsque notre Observatoire national pos-
sède tant d'astronomes pleins de jeunesse, de talent,
d'tulelligence, guidés par un chef si diversement célèbre,
pourquoi la France est-elle aujourd'hui le seul grand

( ' ) Certes , ce' ne «onl pu dea eapriU tïivoleB qui onl découvert que
l'inalyM Indéterininëe , l'élimination , lei litui |;éoinétriqnes , etc. , bodI
inainè* aoi Mè*ei. GtAcb à >;«■ découverte*, le» quettiona dn grand con-
conr* MTonl détorDuis puieéce dans l'arithniétiqne de Barânio; c'ccl 11
bonne.on j parle decapilani , d'intérËta, deauliirea, etc.; applicalions
alilei, comme s'eipriment noa intéreuanU pri^nmineB. Quelle magni-
fli]iie gêntratlon d'Épnmfiwndas, de I.i'nmdB», nnin pntmet un fi noble
syil^nip d'Hiinitlnn!

II.

>;,l,ZDdbyG00gle

( ,64 )
pays civilisé où l'astronomie n'ait pas un journal spécial i'
Est-ce le temps qui manque? Personne n'osera dire cela.
Que manque-t-îl doacP Serait-ce le zèle, que rien ne
remplace et qui remplace tout?

Instkdction fodb le pbople. Cent Traités sur les connais-
sances les plus indispensables, etc. a vol. in-8°; 1847-
Le peuple, c'est vous, c'est moi, c'est loat le monde;
je ne connais psn d'autre peuple. Cette dénomination
comprend des hommes instruits et d'autres qui, n'étant
pas instmiu, ont le désir de s'instruire. C'est cette poi^
tion du peuple que les cent traités ont en vue; ces genres
d'ouvrages sont aussi de bonnes actions, et dès lors ou
n'est pas surpris de voir figurer parmi les collaborateurs
le nom d'un ingénienr distingué. L'arithmétique et l'al-
gèbre , la mécanique , la théorie et l'histoire des machims
à vapeur forment trois traités, qu'on doit i, la plume
exercée de M. Léon Lalanne, l'auteur si connu de
ÏAhaqtte { lome V, page 5 1 1} ; genre de lectures toujours
attrayantes lorsque l'intelligence s'enrichit sans fatigue,
indispensables au& professeurs d'instruction primaire, et
qui ne seront pas infructueusement consultées parles pro-
fesseurs d'enseignement spécial (*).
CouKs ËLËKEKTAïKE DE DESSIN appliqué à l'architeciure,
à la sculpture, à la peinture, ainsi qu'à tous les arts
industriels , etc. ; par Antoine Étex, statuaire, archi-
tecte et peintre. 1 vol. grand in-4" oblortg \ prix, 3o fr.
et 5o fr. sur papier de Chine.
Le prospectus se termine ainsi :

« Il iyouvi-age) s'adresse à tous ceux qui veulent con-
« naître l'art sous ses trois fai;es : peinture , sculpture et

(■) L'auteur Titnl de publior une seconde édition rerondue de M<n

>;,l,ZDdbyG00gIC

( ,65)
n arcKiteciure ; aux élèves qui éiudient les maihéma-
u 'tiques, comme à ceux qui se destinent à n'importe
<» quelle carrière! En même temps, c'eat un charmant
u album, très-intéressant pour les gens du monde et les

RfiSOLUTMHI NlMlRIQIJE DES ^OVATIONS TBINONES,
D'apbés h. GAUSS.

1 , Le Mémoire de l'illustre analyste porte pour titre :
Beiirage zur théorie der algebraischen gleichungeri;
■von Cari Friedric Gauss ; Supplément à la Théorie des
équations algébriques. Gottingue, 1849, i vol. in- 4° de
34 pages. Extrait du tome IV des Mémoires de l'aca-
démie royale des Sciences de Gottingue.

Ce travail est divisé en deux parties : la première con-
tient la démonstration du principe fondamental de ta
théorie des équations, que l'auteur a donnée eu 1799, et
qu'il reproduit sous une nouvelle forme, avec des addi-
tions considérables. Cette démonstration est connue en
France sous le nom de Théorème de M. Caitcky, qui a
donné en effet une grande extension à la théorie de
M. Gauss. C'est le sujet d'une belle thèse de M. Prouhet
(voir Nouvelles annales, tomel, page 43S).

2. La seconde partie , la seule qui va nous occuper, est
consacrée à la résolution des équations numériques de
cette forme

*-+"±car-±/=o.

m, n, e, y sont des nombres positifs donnés; mi et n
peuvent être quelconques : mais , sans nuire à la généra^
lité, on admet que m et n sont des entiers, premiers
i-nlre eux. Cetteforme renferme quatre cas; m.

>;,l,ZDdbyG00gIC

( -66)
Qil peut >fl borner à la recherche des racincc positifs,
on peut supprimer le cas où tous les aiguci sont positifs-

Prerru

ère forme :

x*^--h

,^-/-o.

Introduisons
drant. A cet

un angle Ô,
effet posons

le

premier qua-

d'où

-^_sm

., i^ = e».

s,

x'+- =

/«n'e, *"

/cos't ^

=

.ting'8.

Éliminant x

, on obliMit

équation qui sert à dëtenniiier la valeur de 9. En faisant
croître $ depuis o jusqu'à 90 degrés , on voit que le second
membre de la dernière équation croit depuis o jusqu'à 00 ;
il existe donc une valeur et une valeur seulement, qui
satisfait à l'équation: après qu'on aura trouvé 9, aneqael'
conque des équations ( 1 ) donnera les valeurs de x .

Lorsque 6 =:= 4^ degrés, on a)t=a"; donc, lorsque! est
moindre que 1", il faut chercher 6 dans le premier octant ,
et pour 1 1> a", il faut chercher B dans le second octant;
on trouve U valeur de 6 par la méthode indirecte connue.

Deuxième forme :

Posons
d'où

/p""~' = sÎD'e, (r.r "x^cos'9;

>;,l,ZDdbyG00gIC

( '67 )
i't,éliininanl j',

9 a luic valeur réelle et n'en a qu'une seule.

Pour X <[ 3", il faut chercher 6 dans le pi-cmicr octant,
L't pour X |> a", dans le second octant.

Troisième forme :

Posons
d'où

(,) ..-"

=yung'e, *-=— i-^, j:" = e»in'8

«delà

X = cos"S8in»9.
Le second membre s'annule en faisant d = o cl eu faisant
$ = go" ; il existe donc un maximum entre o et 90 degrés.
Le logarithme de cette fonction est

2nlogcosO+ ^f logsinS;
ia (^érentielle est

(am cot9 — 3R Ung^jd»;
donc le maximum correspond à une valeur $1 (elle, (Jue
l'on ait

Ainsi, pendant qoe B croit de o à d| (moindre qne 90 de-
grés), la fonction croît et atteint pour 6 = B,, la plus

grande valeur ^ r— -» et décroît de 6, à 00 d^rés ou

cUe devient nulles lorsque 9 = 45", la fonction est %alc à

: donc on a toujours

i.vGoogIc

( '«8)
que l'on ait m:=H; dans ce cas, la valeur
devient ëgale à —^^ ^ —^•
On conclut de là , lorsque

qu'aucune valeur de $ ne peut satisfaire à l' équation

et , par conséquent , l'équation

a*+-— e«--f-/=o
n'a aucune racine (positive); et s!

cette équation a deux racines. Dans le cas spécial où

les deux racines de l'équation deviennent égales, et, pour
les trouver, on peut employer à volonté l'une quelconque -
des trois équations

Cas de deux racines. Si
À ^ ~i^ et m <^ /i , les deux valeurs de 9 sont dans le pre-
mier octant ;
1^ ~ii; et "' ]> "i les deux vnleurs de 8 sont dans le

deuxième octant;
1 <[ -^^.' ""« valeur de 6 est dans le premier octant et une

dans le deuxième octant;
X = -^^ r une valeur de est 45 degrés, et l'auti-e est dans le
même octant que 0,.

., ,z,;i.,G00gIC

( ■69)

On conclut facilement de l'analyse prëcédenle des trois
formes, que l'équation trinAme ne peut avoir plus de
trois racines réelles, lorsque m et n n'ont pas de commun
diviseur ; ce qu'on sait aussi d'après d'autres principes.

3. Pour résoudre l'équation qui donne la valeurde $,,
on peut se servir des Tables de logarithmes trigonomë-
triqnes; mais M. Gauss emploie des Tables auxiliaires
extrêmement commodes, qu'il a inventées en 1810, et
qui, très-répandues aujourd'hui en Allemagne et en An-
gleterre , sont encore inconnues en France , même de nos
calculateurs de profession. Nous en parlerons très-inces-
sammenl; nous ne serions pas compris si nous rappor-
tions anjourdliui les calculs de M. Gauss , qu'il applique
à la résolu^on de l'équation de la première forme

i'-(- 28*' — 480 = 0,

1 =
On a
On trouve

1<8; donc e<45-.
^=,,9«884.;

c'est la seule valeur positive.

Racines négatives.

Faisant x =

= — /, il vient

r' — 28^ + 480 = 0.

équation de la

troisième forme

on a

\~

8j3543 T
'- li,5o ' r?

8.3543 .
~ 6912 ^i

i>.. «

™>,.

Ainsi l'on a le troisième cas, et il existe deux racines ;

>;i1izDdbyG00gle

( >T' )
iFOUVt;

r = 3, ^58089», ^- = 2,5770036.

Racines imaginaires.

i. Poar plus de généralité, od suppose que les coeffi-
cients sont des noinbres complexes, et l'éqnation trin6mp
prend cette forme

(X) ir**" + e(«isi + I siQt)j:"-H/(c0Sf H- i sillf) = 0.

Ou admet encore que 1» et n sont premiers entre eus ;
cet y sont des nombres positifs. Si le coefficient de x" est
réel , alors on a

t=i o, on 4 ^ 180°;
de même, si la quantité toute connue est réelle , on a

f := o , ou T ^ 1 80" ;
nous donnons aux racines la forme connue
r(cosp ■+■ i sinp\

Ordinaireqicnt on suppose que r est positif; mais pour
notre but, il est plus avantageux de ne pas admettre cette
supposition , mais d'admettre que p est compris entre o et
180 degrés. Lorsque les coefficients de l'équation p^)sQDt
réels , le nombre de valeurs de p se réduit à moitié, car
une des valeurs étant comprise entre o et 90 degrés, il
faut prendre une autre racine t8o° — p, et remplacer
*■ par — /■ ; à chaque racine ( +■ tu correspond une autre
i-aciue ( — tu.
5. Divisant l'équation (X) par af*", on obtient
i + e(cosi -i- i Bini)jr-"-(-y(cos« + irinf )«-"-■== o;
remplaçant j: par sa valeur r(cosp ■+- (siujc), on a

-t-/,-- ■jcos((/«+«)p_,l_/sinK« + «)f-TJ!=o.

>;,l,ZDdbyG00gIC

( '7' )
galant â z^ro, la partie tmagiaairi;, ou déduit une va-
leur de /■" on fonction de p.

Si l'ou divise l'équation (X) successivement par son
denTième et son troisième terme en opérant comme ci-
dessm, en égalant à zéro la partie imaginairejet réunissant
lea résultats, on obtient

.^ /Sin[(^ + ,,)p-y] ^
eain(«p — .p)

/«n(mp + .-^)

sin{«p-.) •
._ gsill(mp+< — y).

siii[(m-+-«)p^=^'

chacune de ces équations est d'ailleurs une conséquence
des deus autres.

Éliminant r entre deux quelconques d'entre elles ,
on a

ou

ainsi X est essentiellement positif.

Cette équation détermine les diverses valeurs de fS; la
valeur de r, qui correspond à chaque valeur de p, se trouve
au moyen d'une des équations (i), de préférence de la
deuxième équation, eu égard à la valeur absolue; toute-
fois, au cas où m 4- n est pair, il faudra encore avoir re-
cours à l'une des deux autres équations pour décider si /'
est positif ou négatif.

6. La solution de l'équation (2} s'obtient facilement
par voie indirecte ; à quoi peuvent coutribucr les considé-
rations suivanlee :

1". I^STaleinK de p sont entre " et 1 Ho degrés, ei, an

,D,.;,l,ZDdbyG00gle

( 'T)

cas où les coefficients soal réels, il suffit de coercher la
moitié des vateurs, celles <]iii sont comprises eutre o et
90 degrés.

3°. Dans l'un et dans l'autre cas, il faut sous-dîviser
l'intervalle de o à 90 ou à 1 80 degrés, au moyen des chan-
gements de signe qu'on observe dans les valeurs du second
membre de l'équation (a), lorsque p parcourt toutes ses
valeurs de o à 1 80 degrés ; cbangements qui s'opèrent évi-
demment lorsque l'un des angles mp-^-t — y, np — <,
[m-\-n) p — y devient divisible par 180 degrés, et alors
cette fonction devient nulle ou infinie. On n'a pas besoin
d'avoir égard aux valeurs négatives, puisque X est essen-
tiellement positif.

7. Cherchons les racines imaginaires de l'éqaation de
(^i -dessus ,

*'-Ha8:E' — 480 = 0;
on a

/H = 4, n = 3, c=28, /=48o

I>;s équations (i) deviennent

48osin7p
• ~ aSsinSp'
48osin4p
sinSp '

sin7p
l'tVjualiun [1) donne

I _ 823543 __ sin'7(i
i ~~ 6760 sin'3psin'4p
L'équation a trois racines réelles et, par conséquent,
quatre raciucs imaginaires. 11 faut donc chercher deux
valeurs de p comprises entre o et 90 d^rés.

On forme facilement le tableau suivant de$ diverses

>;,l,ZDdbyG00gle

( "73 )
valeurs de l« fonction en |0, qui «^lablîssenl des change-
ments de signe,

823543 7'

p=^ " +-6^=3r4^'

25''-r +0,

45".' -aa.

77°î - o,

90° + 00 i

ainsi les deux valeurs de p sont comprises entre 5i ^ et
60, et entre 77-^ et 98. L'auteur trouve pour première
valeur,

p = 57°4i'4i",366,
et, d'après la seconde équation (r'), on trouve

logMn4i> = 9,88914351 (La leltre n désigne que le
<mnpl. logsinSp = 0,9193523 nombre est négatif.)

I(^(— 48o) = 2,68'i24i2«
7 lo6r= 3,4897360
logi-= 0,4985337.

r = +1 ,6843159 -t- 2,6637914 .,
et aussi

x = -«- 1,6843159 - a, 6637914/,

et la seconde valeur de p = 86" 19' i3'',342

logsin4p = 9,404954011

compl. \og sin 3p ^ 0,0081 loS n

log(— 480) = 2,6812412™

7 logr= 2,0943060»

logr= 0,2991866/1

Si l'oD veut que rsoit positif, il suffit d'augmenter f, de
180 df^rés, et de prendre p = 266''i9'i3'', 342-

>;,l,ZDdbyG00gle

( '74)
8. Ainsi les sept racines de l'équatioti
j.M-aSx'- 480 =

- 3,5778036

+ i,6843i59± 2,6637914/

— 0,1 2781 1 3 dz i ,9874234 i

La somme des racines est + o, ooooooS ; *e qui s'accorde
avec la vraie valeur (zéro) autant qu'on peut l'espérer, en
faisant usage des Tables avec sept décimales ; clirrchaiK
le logarithme du produit de ces racines , on trouve

2, '681241 f,
qui s'approche suffisamment du logarithme de iSo.

MfiTBOIES POUR TROUVER ISS VILBURS APPROClfiBS NS
RACINES RBELLSS DES ÉOlliTIONS iUiÉllllÇllES.

Nota. L'une do ces mélhodei se rapparie >ui équations trinitniec n
l'autre nui oquationi ^énéTaiei; elles nous ont élé indiquée» par M. Pio-
berl , Brcc une applicalion ■ l'équation de M. GauH Imitée dans l'articlr
préccdeiil ; il a bien voulu en permeure U publication.

Première méthode.
1 . Soit l'équation

*■+? H- f jr^ — / = o .
Supposons m;>n; faisant m — n^p, l'équation peut se
mettre sous la forme

>;,l,ZDdbyG00gk'

( '75 )
Kt m — ;; ^= n; on a donc

x"'\-ex'—/x-p = o.

Résolvant comme une équation du second degré, ou oli-
lieut

-r^Vi"

Occupons-nous des racines positives. Si a est une li-
mite supérieure de x, on a évidentment

'>(-r+v'r'*^°"')'

limite inférieure^ en la substituant dans la valeur de x",
on obtient une limite supérieure, et ainsi de suite.
2. Éçualion de Gaïus. Soit

x'+a8i' — 48o=o.
Il est évident qu'on doit avoir

aSi* < 480 ; d'où .r < 2 ,o348 ;
et mèmtï x<[a. L'équation donnée peut prendre la forme

^ + .8^ = ^,
d'où

v;^^)'=

:/{')■

Substituant dans/(;r) la limite supérieure 2, on a pour
limite inférieure

i,902<Cic,
et de U

i,9289>i, i,92i5<j:.

Ces substitutions successives donneraient des valeurs df

., ,z,;i.,G00gIC

( '76)
plus en plus approchées; mais I'od peut accélérer l'opéra-
tion à l'aide de cette observation : pour des points situés sur
une droite, les variations des onloonées sont constamment
proportionnelles aux variations correspondantes des abs-
cisses; il en est de même pobr de très-petits arcs de
courbe. En d'autres ternies, les variations de x et dey (x),
pour des limites très-resserrées , sont sensiblement pro-
portionnelles. Or, nous voyons que x croissant de i ,903 à
1 19287, augmentant ainsi de 0,0267, yiar décroît de f ,9287
à 1,9213, ou de 0,0074- Si donc x devient 1,9287 — 3,

alor8y(j:) devient i ,92i3-l--^d= i ,92134-0,277^;

or l'on doit avoir x=^f[x)^ ou

1 ,9287 — i^.i ,9213 + 0,277 J;

d'où l'on tire

*=^:£22< = o,oo58,
1,377

pt

X = 1 ,9287 — o,oo58 = 1 ,9329.

Cette valeur donne, pour une plus grande approximation,

/(') = ' ,9»28798.
Or

i ,9339 — 1 ,9338798^0,0000203.

Divisant par 1 ,277, on trouve

J^o, 00001582,
et

x= 1,9229—0,00001582 = 1,92288418.

Et, continuant à procéder de la même manière, on arrive
à la valeur

^=i,922884i3o55o3,
beaucoup plus approchée que celle de M. Gauss.

i.vGoogIc

■ ( '11 )

3. Racines négatives. Faisant x ^ — /. il vient

d'où

r=(.4+v/'s<i-f;)"=/(r).

on doil avoii'

,96>Ç; d'où j'>2,44897-

1^ cube de cette quantité étant 14,68775, le radical doit
être plus grand que

0,68775, ou ,96- 45e > 0,473, r> 2,4549.

n*un autre côté, on doit avoir

r<28j-*, on r'<V'28, j'<3,o368;
substituanty =^ 3, f{y') se réduit â \/2o; d'où

)<\1'^; ou j'<2, 71442.
Oo trouve de même avec cette limite supérieure que

< a, 64 , et ensuite on parvient à j' <; 2, 61 . Ainsi les
racines sont comprises entre 2,4^49 et 2,61 ; ces deux
limites se rapprochant peu l'une de l'autre, et toutes deux
rcndanty (jX y, il convient d'essayer une valeur inter-
médiaire, telle que a, 5 qui donne f{y)'^y : donc 2,5 est
compris eotre deux racines. En eHet, ces racines sont

3,4580891 142 et 3,5778034287.
Ainsi les dernières décimales données par M. Gauss sont
Irop fortes.

■i. Par celte méthode, les premières approximations
peuvent s'obtenir d'une manière très-expéditire, en em-

A*ii.deMtlkém*t..x.X.(}A».\\i5t) 13

>;,l,ZDdbyG00gle

( '78)
ployant la Règle à calcul; les dernières seules exigent
l'emploi des Tables de logarithmes.

5.' Ce procédé s'applique avec succès à beaucoup d<-
cas ; par exemple à l'équation suivante, qu'on renconlre
dans les Eléments d'Algèbre,

gx^ — ï^x^ -h l6x ~ 0,00 1 =:o :
les trois valeurs sont réelles,, et deux difTèroiit ii-ès-peu.
La plus petite racine est donnée rapidement par les ap-
proximations suivantes ;

= o,oooo6a5;

"4 »■_„„„

■0625585937 ;

Appliquant ensuite la méthode, on met la proposée S4
la forme ,

9

w°^-

On obtient ainsi sans difficulté les deux racines voisines

■ ,3434 et ■ (3343.

Seconde méthode.
6. Dans cette seconde métbode, on fait usage delà propo-
sée non résolue, et l'on emploie les logaritbmes et leurs dif-
férences, de manière à pousser très-loin les approxima
tionsparuneseulesubstitution; mais pour cela ïl fautopé-
rcr avec plus de précision qu'on ne le fait ordinaîremeui-
Kn cfFet, dans les logarithmes donnés par les Tables, le
septième cliiH're n'étant exact qu'à une demi-unité pi-ès de
cet ordre, le logarithme de la puissance «"'"' d'un nombi*

>;,l,ZDdbyG00gIC

( '79 )
peut n'être exact qu'à -uiiilés du septième ordre décimal.
ce qui est insuffisant.

De même la différence de deux logarithmes tabulaires,
consécutifs, peut être en erreur de près d'une unité. Pour
obvier à cet inconvéuient , il faut, s'il est trop long de la
calculer par les méthodes connues, prendre la di0ërence
de deux It^arithmes comprenant entre eux celui qu'on
considère, puis la diviser par le nombre de rangs cpji les
sépare, et qui, pour plus d'exactitude, doit être égal au
nombre de termes de la série, après lesquels les différences
tabulaires irrégulières reparaissent.

7. Cela posé, prenons l'exemple traité ci-dessus; on a
trouvé pour valeur approchée de l'inconnue, 1,9329 = a*,
substituant cette valeur dans la proposée, die se réduit
à -t- 0,01832. Les différences des logarithmes, prises
comme il a été indiqué, sont, pour les unités du qua-
irième ordre décimal,

225,84 pour a,
< ,1345 pour 38 a',
4,465 pour a\

Si a -h 3 est substitué dans la proposée à la place de j;,
i exprimant aussi des unités du quatrième ordre déci-
mal , cela revient ê écrire :

225, 84/ . 225, 84J o

'■X?^-^'î- 777375+'^''= = *'^

d'où

» 182,2 __^

i= = Zâ = ~ o,i585

1 i5o,o4o

x^ 1 ,9229 — o,ooooi585 = I

Pour pousser l'approximation plus loin , on substitue

dans la proposée te nombre 1,9228841. Mais il faut avoir

sou logarithme, avec au moins 6 décimales-, on le déduit

de celui de 19229::= 7.41 .67, que l'on peut obtenir à 20

3,q,l,ZDdbvG00gIe

et même à 6rd^imalcs au moyeu des Tables auxiliaires
placées à la suite des Tables de Callet ; la proposée devient
égale à

— o,oooo34Qt et S^ — ^—î^Ts ^o,ooo3o35;
' ^^ I i5o,o48

d'où

.X -^ 1 ,ga2884)3o35 rannc positive.
8, Première racine négative. Le résultat de la substiln-
tion de 2.46, dans l'équation en y, donne — 0,2348,
et l'on en déduit j'^ 2,458089. Pour approcher da-
vantage, il est nécessaire d'avoir le logarithme de cour
valeur avec une grande exactitude; ou le déduit di'
944S0S ^16.27. 569 , et la substitution donne

+ o,oooot36;
par suite,

= 2,458089114.

9. Deuxième racine négative. D'après M. Gauss, celle
racine est 2,5778036; pour pousser plus loin l'approxi-
mation, le logaritbme de ce nombre se déduit de celui à«
25775 = 35 . io3i ; la substitution donne

-(-0,0000234,
et l'on a

h 0,234 = 0;
7 = 2,5778034287.

SUR LBS RACINES RBBLIES DES BQUATIOIIS

1 . Théorème. Soit l'équation {algébriçue à coejkieni'
réels) ordonnée suivant les puissances décroissantes de

>;,l,ZDdbyC00gk'

( '8' )

AxJ'+ A, *» + A,x' + . . . =0;
le dernier terme n'est pas nul.

On suppose de plus que p — r et q — /■ sont premiers
entre eux j cette équation ne peut avoir plus der-\-'^ ra-
cines réelles.

Démonstration. PreDona les dérivéessuccessivesdu pre-
mier membre jusqu'à la dérivée de l'ordre r, et égalons
ces dérivées à léro ; l'équation dérivée de l'ordre r est de
la forme

axP-' -H bxf-' + c = o.

Cette équBtioii n'a pas plus de trois racines réelles ; donc,
d'après le théorème de Ttolle, la dérivée qui la précède n'a
pas plus de quatre racines réelles, et, remontant jusqu'à
l'équation donnée, ou trouve qu'elle n'admet pas plus de
/■ -H 3 racines réelles.

Observation. Si retp sont de même parité, il est évi-
dent que r^uation ne peut avoir plus de /' + a laclnes
réelles.

% Soient

B,**" -|-B,jrî' -t-Bj
les trois derniers termes de l'équation ; les trois premiers
termes de l'équation aux racines inverses seront

h,x'' ■i-B,j-P-i'.-f-B,xP-i'' ■+■... =0.
Si donc // et ^ sont premiers entre eux, cette équation no
peut avoir plus de^ — p'+ 3 racines réelles^ cette limite
.-ippartient évidemment aussi à l'équation donnée.

«IBSTIONS.

230. Deux polygoues quelconques de 2 n côtés sont
équivalents quand leurs calés ont les mêmes milieux.

(PROI'HET.)

>;,l,ZDdbyG00gle

( .8.)

S31 . La surface d'uu polygone de a n cdtés ne change
pas lorsque tous les sommets de rang pair ou tous les
sommets de rang impair décrivent des droites égales et
parallèles. (Pkodbbt.)

333. P, étant l'aire d'un polygone convese de n cAtés;
Pi l'aire d'un polygone ayant pour sommets les milieux
des cAtés du premier polygone; P» l'aire d'un pol^oue
ayant pour sommets les milieux des c6tés du second po-
lygone , et ainsi de suite ; on a

p ^"±z^f („.-..)(,._4.)

' 2.3 ''* ÎX43 '■

( "■-'') (-■'-4')("'-6') „

a. 3. 4. 5. 6. 7 "■■

1 1.3 4

I... 3. ..(..-,) -==; ^

(Prouhet.)
333. T étant l'aire d'un triangle rectiligne; /* et R les
rayons des cercles inscrit et circonscrit ; a , A, c , les trois
c6tés : ceux-ci sont racines de l'équation

ïj _ iî,. + ^î _,.4Rr+ ,^\ »_ 4RT = o.

Les quantités a-^h — c, a-f-c — 6, b-^c — a, sont
racines de l'équation

.■-iî.'+4r(41> + ')"-8.T = o.

Si l'on applique à ces équations le théorème de Sturm, il

faut , pour la réalité des racines, que l'on ait : 1" R ^ a r\

3^,i,zDdbyGoogle

( ,83)
i" que T ne tombe pas hors des limites

Lorsque R )> a r et que T est égal à une de ces limites, le
triaDgle est isocèle ; ai R = ar, les deux limites se con-
fondeot, T devient égal à cette limite, et le triangle
c-st équilat^ral. (C. Ramvs, de l'Unit', de Copenhague.)
334. Soitl'équalion

h usl un nombre positif; m un nombre entier positif; lus
an — t différence a, — St, a^ — fli, Oj — <!(,-•-, <iia~i — «i»
sont positives ; les n racines de l'équation sont réelles et
comprises entre a, et a,, a^ et n*,..., a» et a^....

(RiCHBLOT.)

235. Résoudre en nombres rationnels l'équation

X'=^jr'. ( GOLDBÀCH . )

236. Si x' + 3 ay* est un carré, x* -I- ay' est la somme
de deux carrés.

237. Soit

5,= i-^*--\.l-\rj-^ . . . + *-; ■
où n ! désigne le produit i . a . 3 . . - n.

S.— fl,S^, + /.,S._, — ... + [— i)"-'

(Arhdt. )

C«RltBSPONDANCK.

1. H. Neorouzian,élèveducollégeSainte-Itarbe, annonce
•'t démontre ce théorème : ABC étant un triangle circon-

>;,l,ZDdbyG00gle

( "84)
scrit à un cvrvle, A', K', C éum les points de contact, on
a r inégalité

4 aire. A' B'C< aire ABC.

2. M. le professeur Nievengloski nous a adressé une
solmîon de la clëmonstration du (héorèmede M. Steiner;
elle ne diiT&re pas essentiellemcDt de celle de M. Hément
{page 119).

3. M. Achille Deahons, sorti d'une école primaire ru-
rale, maintenant élève de M. Haillecourt au lycée de
Nîmes, et n'ayant que quinze mois d'étude, nous a
adressé deux bonnes solutions d'une question du grand
concours d'élémentaires de i845 et d'une des questions du
grand concours d'élémentaires de i85o.

i. M. Haillecourt rappelle ce moyen mnémonique
donné par Mauduît, pour la résolution des triangles
spliérîques rectangles : Tracez un pentagone et écrivez
successivement sur les câtés, en allant dans Icm^mesens,
les cinq quantités a, B, 90" — c, 90" — 4,Ci on appli-
que ensuite à chaque côté (considéré comme arc) ce double
principe :

1° ros (uD côté) = produit cl<n sinus des côtés opposés,
a" cos (uD côté) = produit dvs rotang, des côtés adjacents.

Du reste, Mauduit distribue les cinq éléments autour d'uu
tiiangte, en faisant abstraction de l'angle droit A, dans
cet ordre C, a, B, 90° — c, 90" — £ ; C et B sont placés
aux angles (voir j^stronomiedeDolaoïbre, l. I, p. 904).
C'est à l'obligeance de M. CaîUet, examinateur d'hydro-
graphie, que je dois ce renseignement, (/^otr FBAncceiiB,
Mathématiques pures; 4*^ édition, tome II , page ayS.)

5. La Biographie universelle (Michaud) mentionne
l'ouvrage suivant de Ceva (Jean) : De re numtnaria gnoad
fieri pottiit, gcometricè tractata. Alantua, 1711, în-4"-
On désire connaître le contenu de cet ouvrage qui ne

>;,l,ZDdbyG00gIC

( -85 )
se trouve pas daiis les bibliothèques publiques de Paris.

6. M. J. Murent, de Clermont-Fcrraud, uous fait ob-
server que trois des théorèmes énoncés t. IX, p. a8i, ont
déjà été démontrés par M. Page (t. I, p. 65); etM. Mu-
rent en donne de nouvelles démonstrations directes.

7. M. Edouard Dewulf, élève du lycée de Douai,

classe de M. David, donne le développement de ^ sin a„

'2,'

,2>..=.'^"'-='"'.'

remplaçant ensuite e"', «'"* par les séries connues,

on trouve les formules connues (voir 1. 1, p. 34^); c'est
la marcbe suivie par Bemoulli ( J. ), auteur de ces formules.
Le même élève nous a adressé une solution de la ques-
tion proposée au concours d'admission à l'École Normale,
en 1849; il fait observer que le théorème de M. Steîner
{t. IX, p. i3)donne une solution simple de ce problème de
trigonométrie , proposé par MM. Brîot et Bouquet : On a
une circonférence dont le centre est 1 ; on mène le dia-
mètre AIBj sur ce diamètre, on prend un point C par le-
quel on mène la corde quelconque OC.O'; on a

lang ^ CIO

CangjCIO' "

Le même élève trouve que le lieu d'un point sur la
sphère, duquel menant des arcs tangents à deux petits
cercles donnés, le rapport des cosinus de ces arcs étant
donné, est un petit -cercle {tome IX, page .^64)- Dans ce
genre de problème , il est avantageux d'employer les coor-
données sphériqucs de M. Borgnet {voir t. \II, p. liy)-

>;,l,ZDdbyG00gle

( »86 j

SUR \m FORMUIB SEIATIVE iV CALCUL MVBRSR MIS
DIFPeRENCES;

P*m M. E. PROUHET.

1. Soii y'(^) une foDcûon algébrique et entière^
supposons que l'on substitue à la variable n valeurs
eo progression arithmétique, depuis x ^ a jusqu'à
.T = a+(w — i)A : la somme des réstiltats sera une
fonction de n que je désignerai par f{n). Nous aurons
donc
(.) ,(«)=/(„)+/{« + *) + ... 4-/(a + ^^, A).

Posons de même

(a) +(„)=/'(„)+/'(« + *)+,. .+/'(„+7^rTA),
H en résultera

(4) >î.(« + i)-^(«) =/'(-,+ «A).

Mais (f (m) est, comme l'on sait, une fonction algébrique
et entière de » : de sorte que l'égalité (3), qui alteuponr
une infinité de valeurs de n , puisqu'elle est vraie touies
les fois que n est entier, doit être identique. Nous pour-
ions donc ta dilTércntier par rapport à n , ce qui nous
donnera

(5) ^-(z. + .)-,'(«-)=/,/' (> + «*),

L

:,.;,l,ZDdbyG00gk'

( -s?)

et, en comparaot avec (4) ,

(6) ,'(«+.)-/{/.) = A+(« + .)-A + {«).

Si mainlenant nous changeons successivement, dans
celte égalité , nen n+i,m-a, ..., n-(-A,et que
nous ajoutions ]es résultats, nous aurons

OU bien

{■}) ?'(«)-* + («) = ?'(« + *)-/'+('■ + *)■
Le premier membre de cette égalité est indépendant do A ;
il doit donc en être de même du second, mais ce der-
aier est une fonction symétrique de n et de h, et ne peut
être indépendant de k sans l'être de n. II se réduit donc
à une constante, et l'on a simplement

,f'(a] — h^(n) = c,
ou, suivant tes notations usitées,

C'est la formule que nous voulions établir.

2. On tire de (F) , en intégrant,

{I) l/(x}=&^f2/'(x).dn-i-cn, _

et il n'y a pas d'autre constante à ajouter, puisque le pre-
mier membre doit s'annuler pour n = o.

On voit, par Ià,c[ueS/(x} se ramèneà S/'(j;);dc
même £/' {x) se ramène à 2/" (x) , et ainsi de suite.

3, Supposons que /(x) soitdud^rém; alors/"' (x)
sera une constante A, et l'on aura tout d'abord

S/("l(j:) = An,

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( >a» }

d'où l'on tire successivementjCQappliquanl la formule (1),

•-/■^

(')

=*^ +

B,n

--f-

(')

AA'n'

-1.2.3''"

B,A/>* B,Ji
i.a "*" I '

I/-

(')

-..0.4

B,A'/i> B,Art'

+ ,...3+ ,..

4.5lî

î/e

~

AA-.-.

B,4^'/i- B,».^

fl^'

m] (m —

')!

B, , B| , . . . , B„ , désignent des constantes dont on dé-
terminera successivement la valeur, à chaque int%ratîon,
en faisant m = i .

4. Proposons-nous mainienaat de trouver la somme $_
des m'^" puissances de n nombres en prc^ression arith-
métique. On sait que le procédé ordinaire consiste à ex-
primer S„ en fonctions de S„_,, S„_i,etc. ; mais on n'ar-
rive ainsi au but qu'à l'aide de substitutions pénibles, et
la complication du calcul croit rapidement avec m. Les
formules (F) et (!) vont, au contraire, nous fournir uo
procédé d'une extrême simplicité.

• Dans le cas particulier dont il s'agit, on aJ'(x) ^ x~,
/' (x) = mx"-', et les formules (F) et {I) deviennent
(r) s;, = mA S^, + B« ,

(I') " s. = mhfS^_, dn + n B„.

Comme on connait Sg ^ » , on aura , d'après (1') ,

en déterminant la constante B| par la condition que le
second membre se réduise à a pour n ^ ■ . On passera
avec la m6me facilité à St , S» , etc.

Par exemple . si l'on veut avoir les sommes des puis-

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 'Sd)

sances semblables des termes du la suite naturelle, on
fera a = i, A = i, et l'on obtiendra sans peine les résul-
tats suivants :

S-=5 +

S. = | +
S,,= J +

*r

6

=4

5n
5»'

i;tc.

5. La formule démontrée au commeucement de eel
artiele n'est pas nouvelle : elleeoïneidc avec la suivante,
citée par Lacroix (*),

du

(■) Traili iti itj/frn

'I dri tériri, pa^JC 9^.

:,;,l,ZDdbyG00gle

( '9" )

lorsqu'un y fait Ax := i , ;i = .r et que l'un comprend la
constante dans le symbole \ ; mais la cons^uence immé-
diate à laquelle elle conduit, lorsqu'il s'agit d'une fonc-
tion algébrique et entière, ne paraît pas avoir été re-
marquée.

Au reste, l'utilité de cette formule n'est pas bornée aux
seules fonctions algébriques j elle permet encore de rame-
ner à un problème de calcul intégral ordinaire la somma-
tion d'une classe très-étendue de fonctions transcendantes.
C'est ce que nous allons montrer en commençant par
quelques cas particuliers.

i". Soient

r — 'i.ite", j-,= iu'f"i

la formule donne immédiatement

équation dilTérentielle du premier ordre qui ramène
Hue"' à Si/e"'. Si donc u est une fonction algébrique cl
entière de x. alors y dépendra, en dernière analyse, d'une
équation de la forme

qui s'intègre immédiatement,
a". Soient

X ^ 2a sin6:r, z = la cos&j-,
j-, ^ï«'sini:c, 2,= lu'co&ùx;

on aura , en dilTérentiant deux fois de siiile ,

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( '9' )
Cl, «Il posaiil \ = Oz, -i-j', ■+- c, ,

Équation du second ordre qui ramène ^usinhxh
Sj/sin ixet2//cosix. On pourra donc trouver £((sini:c,
par une suite de réductions, quand u sera une fouclîoii
algébrique et entière de x.
ii". Soient

X = lii E" iiabx, » = £K(r"cos6a:,

±=r. + i' + v + r,
ë---'<.. + *r + .. + .) + «|-

Lt'li mi nation de z entre ces deux équations donnera
une équation du second ordre et fera dépendre y de y.
Cl de Zi . 11 sera doue possible d'obtenir les intégrales de-
mandées , si u est une fonction algébrique el entière de x.

Eu résuma, te rapprochement des trois résultats qui
précèdent montre qu'on pourra trouver
l.f{x, iiabx, ca%bx, t"),
lorsque la fonction /'sera algébrique et entière.

Toutes ces applications de la formule —j— = 2 rf"
ont peut-être été déjà faites; mais comme elles ne se
trouvent pas même indiquées dans le grand Traité de
l-acroin, et à plus forte raison dans les Traités élémen-
laires, j'ai pensé qu'il n'était pas inutile d'en dire ici
quelqurii mots.

:,.;,l,ZDdbyC00gIC

( '9" )

Toaa les ouTragea a
M tiDUVcnl chez t

Éléments de méCjUkique à l'usage des candidats à l'École
Polytechnique, rédigés d'après le dernier programme
d'admission à cette Ecole; par M. Callon, ingénieur
ordinaire des Mines, pi-ofesseur suppléant du cours
d'exploitation et de mécanique à l'Ecole nationale des
Mines de Paris; avec deux planches. Paris, i85i;
in-8" de 199 pages.

À aucune époque de notre histoire, la lenteur n'a été
une vertu éminemmenl française; mais depuis l'établis-
sement des chemins de fer, cette passion de la vitesse
semble avoir alimenté et se manifeste en des occasions
oii l'on ne s'y attendait guère. Ainsi, dans les fameux
programmes, on lit en toutes leitres, qu'il faut déroou-
trer certains théorèmes , exposer certaines théories m^i-
dement. Cet adverbe est un peu vague. On peut atteindre
à plus de précision , à plus d'exactitude. Voici comment.
On sait qu'aujourd'hui les successeurs de Lagrange, de
Monge, de Fourier, etc , sont placés sous la surveillance
de certains capitaines. C'est la position que des enfants
de l'École Polytechnique ont faite à leur mère. Inspiré
parun si bon exemple, désirant aussi me montrer bon fils,
élève reconnaissant envers mes anciens maitres, je veux
contribuer pour ma part à discipliner leurs remplaçants. A
cet effet, je propose de placer dans toutes les classes de
l'Ecole des espèces de chronomètres. Chaque théorème,
chaque tliéoric, chaque question, aura son coefficientchro-
■lométrîque, comme on en voit aux morceaux de musique,

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( 193)
réglés sur l'inst rumen t <le Melzcl ', le capilanie surveillaut,
le regard fixé sur le coefficient élu jour, pourra commaDdcr
au professeur de ralentir ou de hâter sa démonstration,
pour que la leçon s'exécute avec la ponctualité militaire.
Nous recommandons cette idée , encore imparfaite, à nos
professeurs machinistes \ nous pensons, comme eux, qu'il
faut réduire scicuce, professeurs, examinateurs, élèves, ;\
l'étal de machines ; alors nous touctierons à la perfection
vers laquelle d'ailleurs nous maichons rapiffement.

Il paraît que ces dispositions chronométrîques com-
mencent à se répandre. Ainsi M. Callou a soin de nous
appicudre qu'il a mis trente-cinq jours à composer cette
Mécanique, et cela malgré de nombreuses occupations
professionnelles. L'auteur s'excuse d'avoir mis un temps si
courte n'est-i] pas trop long? Désormais, rien ne se fera
plus vite, plus facilumeni qu'un traité élémentaire. On
prend le programme article par article ; on ampliiie , on
développe, on souille dedans , et l'on obtient un volume.
Tout ouvrage classique ne sera qu'un programme souf-
flé et analogue à certaine composition culinaire de même
nom. Nous posséderons bientôt une algèbre souillée , des
arithmétiques soufllécs, des géométrïes soufHécs ; enfin
toute ime mathématique soufflée; il suffira d'en faire sortir
l'air, pour qu'elle s'aplatisse en programme. Quel im-
mense avantage! comme cela facilite la besogne de la
critique! L'auteur a satisfait aux conditions du pro-
gramme, phrase stéréotypée , d'une application omnibus.
Ces conditioDS sont-elles bonnes? Hélas, non. Vouloir
confisquer toute la mécanique au bénéfice des machines
est une entreprise funeste, sous le point de vue philoso-
phique et pédagogique. La mécanique rationnelle n'admet
(^hcXbl vitesse, notion que la nature donneàtout le monde;
taudis que la mécanique-machine admet \a force, la vi-
tesse, le travail élémentaire, trois itres sui generis, dont
Am. dellilliémat.,l. X. (Mai iSSi.) '^

:,.;,l,ZDdbyC00gle

( "94)
chacun a son théorème de composition à part. Le trafaii
élémentaire n'est pas une idée simple , comme le pré-
tendent nos machinistes ; c'est au contraire unie idée com-
plexe , dérivée , une conception scicnlilique cpie la nature
ii'inspii'e pas d'instinct. Nous possédons maintenant deux
ouvrages de mécanique, composés d'après le nouveau
plan, par MM. Sonnet et Callon, deux hommes de mé-
rite , accoutumés au professorat. Ces ouvrages sont plus
difficiles, moins compréhensibles pour les élèves, que les
Éléments de M. Poinsot. Cela lient non au mode d'exé-
cution , mais aux vices du plan , qu'on ne peut reprocher
aux auteurs, puisque ce plan est militairement com-
mandé. L'Université mathématique est entrée dans les
attributions du ministère de la Guerre.

L'ouvrage de M. Callon, exécuté d'urgence, très à la
hâte, n'est qu'un travail provisoire qui a besoin d'une
sévère révision pour la rédaction , l'exposition et la dispo-
sition des matières, révision que le savant auteur est,
mieux que personne , en étal de réaliser.

Si l'on faisait entrer dans le teste de la Statique citée
quelques notions de physique moléculaire et les théo-
rèmes de rotation que l'illustre auteur a consignés dans
des Mémoires isolés, en j joignant les procédés dynamo-
métriques qui donnent la quantité de travail de Coriolis,
on aurait le meilleur traité élémentaire de mécanique
qu'on puisse offrir à la Jeunesse libéralement studieuse de
nos lycées. Une étude est libérale lorsqu'elle a pour but
la recherche du vrai, l'utilité intellectuelle; tandis qu'uue
étude qui ne s'applique qu'à la recherche de l'utilité direc-
tement matérielle est une étude servUe. Il est fort singulier
qu'on ait attendu que nous fussions en république, pour
nous soumettre à uu enseignement servile! Il y a taui
d'autres singularités de ce genre!

i.vGoogIc

( 'Hî)

Afplicition de l'analyse a la Géométrie ; par
G. Monge. Cinquième édition, revue, corrigée et
annotée par M. J. lÀouville, Membre de llnstitut
(Académie des Sciences) et du Bureau des Longitudes.
Volume in-4° (638^age$), imprimé sur carré superfin
des Vosges, avec le portrait de Monce et 5 plan-
ches: 1849. Paris, Bachelier, imprimeur-libraire.
(36 francs.)

Les livres se multiplient avec une stérile abondance ; les
ouvrages deviennent d'une excessive rareté. Heureux lors-
qu'on fait revivre d'anciens ouvrages; c'est une nouvelle
obligation que le public géomètre devra au célèbre acadé-
micien. Le volume qu'il édite renferme deux chefs-d'œuvre
sur les surfaces, l'un de Mongc, chef-d'œuvre depuis long-
temps épuisé etqu'on ne pouvaitconsuller que très-diffici-
lement; l'autre est un Mémoire latin de M. Gauss, très-
récent, pen connu en France, et qu'on ne saurait trop
répandre (* ) : lo tout est enrîclii de sept Notes (en 70 pages)
très-précieuses. La première renferme un beau travail
inédit de M.Serret,5Urlescoiu'bcs à double courbure, et
divers théorèmes que nous devons à MM. Bertrand , Bon-
net, Puiseux. Les lignes géodésiqucs, les tracés diu géo~
graphiques et la construction des cordes vibrantes sont
traités avec cette lucidité qui caractérise le beau talent
du savant éditeur. Nous doïinerons un extrait étendu de
cette importante production, véritable exposition de la

(" 1 On prépare unp Iradudiun qui puraltrn dsi» Im Soui'ellei Aaaalei.

îiqilizDdbyCoOgle

( '96)
haute industrit; géoiiiL-ti'iquv , oii uhaquu inaihémaiicien,
digne de ce nom, voudra faire des acquisitions.

Nous n'apprendrons rien de nouveau à nos lecteurs en
faisant ressortir les soins, la correction, réiégance typo-
grapliiquc et graphique (*) ; mais on regrette qu'on n'ait
pas conûc aux mèmfs prasses le monument national élevé
à la gloire de Laptacc. Puissc-i-on y avoir recours pour
Fermât, dont la réimpression, ordonnée législativement
en 1843, n'est pas encore commencée en i85i.

On dit qu'on publiera les iVo/ei sur Dîopkante sans le
texte ; c'est une mesquinerie. La grande nation doit tout
faire grandement; ainsi l'entendait Louis te Grand, que
je suis toujours tenté de saluer en passant sur la place des
Victoires, ne fût-ce que pour avoir doté mon pays d'un
observatoire el, mieux encore, d'un Cassiui.

(O. Terqtjem.)

RBCTiriC&TION AU SUJET DU THËORÉMB THUN6IILAIRB BE
FONTAIKB;

Par m. I.ABBÉ LECOINTE,

Le théorème triangulaire de Fontaine, tel qu'il se
trouve énoncé daas ces Nouvelles annales (tomeV,
page i54, et tome VI, page 71)) m'a semblé inexact;
aussi j'ai cru devoir en rectifier l'énoncé de la manière
suivante :

Un point O, situé dans le plan d'un quadrilatère

(') M. Bailleul, prote de l'impriraerie de M. Btehelier, a obtenu la
Médaille d' Argent k l'Expoiitlon de iSjg; tous Ipb uéoméiros oppliudiront

ï rrtlp lionoraLle distinction, si bien mérîlPC

:,.;,l,ZDdbyC00g[c

( '97)
ABCD , «lant considéré comnie le sommet commun de six
triangles ayant pour bases les côtés et les diagonales du
quadrilatère, le produit des aires des triangles qui ont
pour bases les diagonales est égal au produit des tiiangles
qui ont pour bases deux c6tés opposes, plus le produit
des triangles qui ont pour bases les deux autres côtés , si
le point O est situé hors du quadrilatère , et si , en même
temps, aucun des sommets du quadrilatère n'est situé
dans l'intérieur du triangle formé par ce point O et les
deux extrémités de l'une quelconque des diagonales , ou
bien moins ce m£iue produit dans tous les autres cas.

Du reste, l'inexactitude de l'énoncé de ce théorème,
tel qu'il se trouve donné aux endroits déjà cités de ces
Nouvelles Annales, peut facilement être mise en évi-
dence en supposant le point O situé hors du quadrilatère
et sur le prolongement de l'une des diagonales ; car, dans
ce cas, on devrait avoir

OAB X OCD -¥ OBC X OAD = OAC X OBD ,
et comme l'un des triangles OAC, OBD est nul, on aurait

OAB X OCD + OBC X OAD =: o;
ce qui ne peut être. Donc , etc.

THfiORKNE SUR U SURFACE D'ÉLASTICITÉ;
Par M. STREBOR.

Kunt donné un ellipsoïde (A) ayant pour équation

t't une surface d'élasticité (B) ayant pour équation
{;r' + J-' -)- a')' =: frftç' 4- arj' + aiî',

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( '98 )
la partie de la surface (A) qui est déterminée par aubjpcr-
boloide homofocal quiconque (H) (ou Taire d'une lïgoe
decourbure), sera équivalente àla partie de la surface (B)
déterminée par le càneasymptoiiquede l'hyperboloïde (H)

CALCUL DB TT AVBC 2«8 DfiCIHALES.

Dans les Transactions philosophiques (/ei84i}M. Ru-
tlierford a donné la valeur de n avec ao8 décimales ^ les
i5a premières décimales sont les mêmes que celles qnî
ont été calculées par M. Dahse {voir tome IX, page 13),
mais les 56 dernières décimales diffèrent. Voici ces 56 dé-
cimales , d'après M. Rutherford r

48473 78139 20386 33830 21574 73996 ooftiS gSiaS
91294 01833 8o65i 744.

Le premier groupe 4^473 correspond au gixiupe 481 1 1
deM. Dalise; ainsi l'exactitude des iSapremières déci-
males est contrôlée.

Observation. — Nous devons ce renseignement à l'o-
bligeance de M. Prouhet.

SOLUTION BE U QUBSTfON I9«
Pas m. E. PROUHET.

L'énoDcé doit être rectifié et complété comme il suit :
S^ désignant la somme des puissances m''"" des ter-
mes de la suite des nombres naturels de o à n , on aura ,
si m est impair et plus grand que 1 ,

S, = ;,'(«+, )',[„(« + ,)] = «',{«),

3,q,l,ZDdb;G00gIe

( '99 )
en posant n (« + i) = u, ol ip désignant nne fonction
cDlière. (Jacobi.)

A quoi j'ajouterai que si m est impair, on aura

S. = , (» + ,)(:.»+. ),[»(« + ■)] = «(»'>+ i)j(»)-

Démonstration. Le théorème de M. Jacobi se vérifie
directement pour m ^ 3 , 5 , 7 : il suffira donc de faire
voir que , s'il est vrai jusqu'à un certain nombre impair,
il le sera encore pour le nombre impair suivant.

Mais il nom faut auparavant établir une relation entre
les sommes dont l'indice est de même parité.

On sait que pour une progression quelconque, dont
a et / sont les termes extrêmes et h la raison , on a la
formule

(P) C7ÀS«_, + C^A'S»_, + ...-(-C;;_, A—'S, -f- /iA-= {/+/()" -

Si l'on change a^l,h respectivement en /, a, — A, ce
qui revient à prendre les termes de la progression dans un
autre ordre, S|, S,, etc., conserveront la mèmevaleur, et
l'on aura

-c;as^>+c; A's»-, -(-... ±c;^,A— 'S, :t: «*■={«— *)"-'

d'où, en ajoutant cette formule à (P)et divisant par 3,

ce qui est la relation cherchée.

Si maintenant onsuppose fA impair, a =
/= n, cette relation devient

cs^,+c,&._,+.. -f-(C-,Si = ^""^'^~

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 300 )

cnrenvoyantausecon<linembrelciermeC™_,Si^ —

et posant, pour abréger,

K=(/>+,)-- ,-«--„„(;,+ ,).

On voit que K s'annule pourn = o et pour n= — i,
et qu'il en est de même de sa dérivée

donc K est divisible par n* et par (n + i)'.
Maintenant de u= « (n+ i) on lire

et , comme m a été supposé impair, on voit que tes radi-
caux disparattront et que K se réduira à une fonction ra-
tionnelle et entière de u.

L'égalité (N) pourra donc se mettre sous la fonnc

c^s,^,-)-c;'s._, +.- +c;;_^s._,=u'f(b),

d'où l'on tirera évidemment, pour S„_,, une valeur de la
forme u'f {u), si 53,85..., &„,_i sont de cette forme.

Le théorème relatif au cas de m pair peut se démontrer
djune manière analogue, ou mieux encore au moyen de la
relation

conséquence de la formule (F'), donnée plus haut,
page 1 88 , et du théorème précédent, d'après lequel S',,, + .
ne peut cvidcmmeni roufcrmcr de terme indépendant
de n.

i.vGoogIc

( -0' )

CONCOURS D'AGRÉGATION AUX LYCÉ8S, m&i 18SI ;

P*B M. DIEU,

Agrégé, doclaar es «ciencea.

COMPOSITION D AHILTSE.

Déterminer la courbe dont un arc de longueur l ayant
ses extrémités sur deux droites données, parallèles à
l'axe des x, soit tel, tjue le trapèze limité par cet arc,
les ordonnées de ses extrémités et l'axe des x, engendre
un volume maximum en tournant autour de cet axe.
Démontrer que cette courbe peut être décrite par le
centre d'une hyperbole équilatère qui roulerait sans
glisser sur l 'axe des x.

Nous désignerons par M, M' les droites données, et
par A , B les extrémités de l'arc cherché.

Soient, en outre,
X, , X, les abscisses inconnues de A , B ;
y, , y, les ordonnées connues de ces poiots ;

s la longueur de l'arc de la courbe pris à partir

d'un point situé au delà de A par rapport à

B, et s'étendant dans le sens de A vers B

jusqu'au poiut [x,j-).

X, peut être prise arbitrairement, et nous supposerons

■^»>j=.)j'i>ri

Le volume dont il s'agit est représenté, d'après cela,
par

T7 I j'tlX,

it l'on doit avoir

i:^-

:,.;,l,ZDdbyG00gIe

( aoa )
ainsi (règle d'Euler) la question revieut à la délermi-
natioD de la courbe qui satisfait aux conditions nJaùves
aux points A , B, et pour laquelle l'intégrale

(I) f '(j-V^-lrf^)

est un maximum , X étant une constante qui dépend de
l'équation (i).
Ona

dx dr

Sds = —.dSx -4- -~.diy,

car dxx , àj'i et dj^ sont nuls; donc la variation de l'in-
tégrale (I) est représentée par

Pour que cette variation soit nulle , ce qui est la coodî-
tîon commune aux maxima et minima de l'iatégralu { I ) ,
il faut que

(*} La mode ilc calcul employé ici aravaiitigc dcloUscr le cboU entre
ilmi ôquilions, donl l'une est immédifltemonl inlécrable.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(»3)
et cela sufSt, car l'équa lion (3), qui est immédiatement
intégrable, ne difl%re pas essentiellement de celle qu'on
formerait en égalant aussi à zéro le coefficient de dy.
L'int^ale de l'équation (3) est

mais il faut faire C = o , afin que cette intégrale soit ,
d'après l'équation (a) , vérifiée par les valeurs àey et de

— , relatives au point B; on a donc seulement

A "^ ,

(4) '--4=»-

Eu remplaçant dans cette équation -r- par

v/-(l)'

puis résolvant par rapport à — t on trouve

Les courbes qui satisfont à l'équation (5) sont de l'es-
pèce de celles qu'on nomme courbes élastiques ou lin-
téaires (*).

Il est facile d'en reconnalue la forme générale qui ne
dépend pas de la valeur de X, car on aurait évidemment
des courbes semblables entre elles si l'on donnait dilTé-
rentet valeurs à cette constante, que l'on peut d'ailleurs
regarder comme positive.

On voit d'abord que , pour ne pas créer de solution de
continuité, on doit alternativement prendre -I- et — au
second membre de l'équation ( 5 ) , en changeant de signe

C) ThAirie det /oaeliont, etc., par H. Coumol, liTr« V, page \^\\
ijomri d'analyit, par M. Dnhamcl, i' plrlic, pue 'SH.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( >"4)
X alUni CD croîssBDt, si l'on prend premièrement le

signe -J-, y doit croître depuis zéro jusqu'à yï, car-^«i

positive ; la courbe a donc un arc tel que CD , louché en
C par une perpendiculaire , en D par une parallèle à l'axe

des X , et concave vers cet axe , car -j- est oo pour y = o ,

nulle poury ^ y'X, et diminue constamment de l'un à
l'autre. Le point D est un point maximum, car on doit

prendre le signe — au delà , et -j- change ainsi de signe.

Avec le signe — ..y à.o\\. décroître de ^kk zéro, et l'on a
l'arc DC, , qui est symétrique de DC par rapport à l'or-
donnée DP, puisque ^ a des valeurs égales et de signes
contraires , sur ces deux arcs, pour la même valeur de ^.
En continuant de prendre — jusqu'à ce qucj' = — v'^,
puis en prenant + jusqu'à j' = o, on a au-dessous de
l'axe des x, l'arc C, D, C, = CDC, .

Enfin , la courbe se compose d'une infinité de parties
telles que CDC, D, C, , se raccordant avec celle-là et entre
elles , conmie DC, se raccorde au point Ci avec C,D, .

Si l'on changeait de si^nc dans l'équation (5), non-

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( ao5 )
seulement quand j passu par une des valeurs + v''' ou
— y'^, mais encore quand _j' passe par zéro, la courbe
qu'on aurait différerait de celle que nous venons de dé-
crire, en ce que les parties placées comme C, D, Ci se
trouveraient du côté des j positives ; elle présenterait donc
des rebroussements, au lieu d'inflexions, en C, C,, etc.,
ei olTrirait de l'analogie avec la cycloïde au lieu d'en
offrir avec ta sinusoïde ('").

Les points d'inflexion C, C,, etc., de la courbe
CDC,D, ,... sont des centres de cette courbe.

On peut remarquer encore que te rayon de courbure
est ÏDveraement proportionnel à l'ordonnée. En cflet,
l'équation (5) donne

'■\-^J +^,/iT

-r*

ar conséquent,

djc' dx "' \dx)

al

ds 1

, comme -j- = — ,) on a

dx j'

Il faut chercber maintenant à déterminer-A. Cette con-

C) Tontes les fois que l'on connaît la taogente Irigonométrique du
l'aneleqDclataDgeDle k une courbe Fait avec un des niei, en foncUon de
Il coordonnée qni te compte sur cet aie ou raéme d'une autre Tariable, la
diica&gion de ta courbe ne présenle pas de dïfficidlâ réelle. La discuseinn
dn couriiea du second degré suggère nui commençants l'idée qu'il tuât
ivoirien ronction de z puar pouvoir reconnaître la plupart des pro-
priétés d'une courbe, et celle idée se maintient longtemps ; si l'on disait,
dîna les cours, quelque chose des courbes du troisième degré, il n'en

(■•) Voir lo Note I.

i.vGoogIc

( 20â )

sunlê pouvant être regardée comme positive, nous ferons
1 = ex'.
En élevant au carré les deux membres de l'équation ( 4 ) ,
i-emplaçanl > par a', f ^-J par i — (-5-) >etrésolyaul
par rapport à ds, on obtient

I on ramené a

n posant

y = au.
D'après cela, l'éjuation (i) devient

le signe supérieur devant la seconde intégrale se rappor-
tant aux cas dans lesquels l'arc ÂB coupe M' entre  et B,
et le signe inférieur aux autres.

On voit immédiatement , quand on prend le signe +
devant la seconde intégrale, que l'on ne peut avoir plus
d'une valeur de a \ car les deux intégrales croissent avec a.
Il n'est pas aussi facile de constater le m&mc fait , quand
on prend le signe — ; cependant si l'équation fournissait,
avec ce signe, plusieurs valeurs de a plus grandes que yt,
on devrait avoir pour toutes ces valeurs

['-(j-.-J-.)i--;^(7;-/'(;)'

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( ^7)
par le d^vcloppemeni des iniégrales en séries conver-
gentes. Or cela est impossible; car on tombe sur une

é(piatîon algébrique en (~j i^ une seule racine positive,

quel que soit le rang du tenue auquel on s'arrête. Donc
l'ëquation (6) ne donnera pas, en prenant — devant la
seconde intégrale, plus d'une valeur de o. supérieure
à j-,.

On peut supposer que le point B varie sur M' eutn;
deux positions extrêmes, telles que, pour chaque position
intermédiaire, il y ait une courbe de longueur /, dont
l'écpiatioD se déduirait de l'équation (5) par le change-
ment de j-' en y' — C, et pour laquelle le volume engen-
dré par le trapèze serait un maximum. Or, on demande
le maximum de ces maxinia, qu'il est permis de con-
sidérer comme les valeurs successives d'une fonction-
de Xf

Le calcul ne doit pas conduire plutôt à un maximum
qu'à on minimum. Mais la fonction de Xj dont il s'agit
est évidemment tràs-pelite lorsque r^ diOere très-peu
de Xi, ce qui est possible; et, par conséquent, elle doit
commeucerpar croître. Donc, si l'équation (6) ne fournit
qu'une valeur de « plusgrandeque^i, celle du volume qui
V répondraseraunmaximum. Et si cette équation fournit
deux valeurs de a qui satisfassent à la condition et > y, ,
l'une donnera un maximum, et l'autre uu minimum.

Soit u le volume; on a, d'après l'équation (5),

\l. ^^^-=7 J,. •fr-r?)

le même signe devant être pris devant la seconde i
grali! quodans l'équalion (6).

i.vGoogIc

( 2o8 }

Oa trouve facilemeni que

J v'a' — j' 3 i J yj^' — y>

et en posant

OD a

qi, et (fi désignant les plus petits ai-cs positifs qui aienl -
et ~ pour cosinus.

Enfin cette équation prend la foiine

par la notation des fonctions elliptiques (*).

Lorsque a aura deux valeurs, la plus grande valeur de f
sera le maximum, et l'autre sera le minimum (**).

Afin de démontrer le théorème qui forme la seconiic
partie de la question , nous clierclierons l'équation de «

(M On trouvera dans le Traité de H.|CourDOl, au chapilrc drjàcilt, 1"
PtpnssiuDs de z pi dp j en foriFlian de 9.

('*) Un msiimum d'une foroliijn peut Ctre iiirèriciir à un minimni' ;
mail cela n'nrrire que s'il y a entre eui un minimum et un maiimni"'

:,.;,l,ZDdbyG00gle

{ 209 )
(»ari>ed^rite par le centre d'une hyperbole équilatèrc
roulant sur l'axe des x.

Soient:

an la longueur de ses axes ;

FjF'etU ses foyers et son centre, lorsqu'elle touche
OxenM-,

y,y't^\ ) les ordonnées de F, F', U; et

MF = r et UMO = p.
Ona

(') y +ï'~ 2^1,

puisque U est le milieu de FF' ;

par une propriété connue de l'Hyperbole-,

(3)

/"

par les triangles semblables PFM et P'F'M ;

Ann. 4U MMiMm.1., ». X. (Jaio i85i.)

., ,z,;i.,C00gIC

( ■"")

et le triangle FMF' founiit, il' après le théorème sur
les médianes,

d'où l'oD tire

(4) '''-""' = ;^'

en obserram que UF^ 1V2, et que le triangle MUP
donne

En multipliant membre à membre les équations (3)
et (3), on obtient

et l'élimination de y' entre les équations (i) et (3) con-

En remplaçant j par cette valeur dans l'équaUon pré-
cédente, on trouve

(5) r(r_,.) = ii

et les équations (4) et (5) donnent

r\ ^'^
sin'p j-;'
de laquelle on tire

suppression faite de l'indice de y.

Lorsqu'une courbe est décrite de la manière indiquée,
la droite qui joint une position quelconque du point géné-

:,.;,l,ZDdbyG00glc

rateur à celui où la courbe roulante touche la ligne &%t
est toujours normale à la première courbe (*) ; donc, si
l'on représGDtt; par x l'abscisse du point U, dont l'ordon-
née est maintenant dësignée par j', et par * l'arc du lieu
géométrique du centre de l'hyperbole compris entre un
point quelconque de ce lieu géométrique et le point

Cette équation et la précédente donnent enfin pour la
courbe décrite par le centre de l'hyperbole, l'équation

qui ne diffère de l'équation ( 4 ) de la première partie que
par le changement de ^ en ±a*; et cela démontre suffi-
samment le théorème en question.

L'hyperbole équîlatère pour laquelle a = DP {Jig- i),
ayant son centre en C sur Ox, et étant placée de manière
que l'asymptote de la branche SH coïncide avec cet ase ; k
mesure que , par le mouvement de cette courbe , le point
de conuct se rapprochera de P, le centre U s'élèvera au-
dessus de Ox, et il en sera A la distance maxima DP,
lorsque l'hyperbole touchera Ox en P par Bon sommet S
(ainsi CP est la diOéren ce entre l'asymptote CX et SH);
le mouvement continuant dans le même sens, l'hyperbole
touchera successivement Ox ou son prolongement par
tous les points de la branche SK., et le centre U aura
décrit l'arc DC , lorsque l'asymptote de SK sera venue se
placer sur Ox. Le sens du monvement changeant alors,
la partie R'S' H' de l'hyperbole touchera successivement

:,.;,l,ZDdbyG00gle

Ox par tous ses points de K' vers H', et le centn> U dé-
crira au-dessous de l'axe des ^r l'arc C,D,C|, etc., etc.

Note I. On trouve l'équation différentielle des courbes
élastiques, en cherchant la courbe dont le rayon de cour-
bure est inversement proportionnel à l'ordonnée; ainsi,
cette propriété est caractéiistique.

En effet , on peut prendre

Min

pour l'équaiion de»ce problème, -= étant une ligne don-
née au carré de laquelle le rectangle du rayon et de l'oi--
donnéc doit être constamment équivalent.

Si l'on pose — = a/, cette équation devient
__dj^____.^ydy

et l'on a, en intégrant de part et d'autre,

j3 étant une arbitraire.

Enfin, en réaolvant cette dernière équation par rtip-
portaa:'=^, ona

V-^-{r'-p)'

Note II. Soient AA' une courbe tracée dans un plan ,
iB' une courbe donnée qui roule sans glisser dans ce plan

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(>.3)
sur AA', et M un point tjui suive le mouvement <îe BB' de
manière que ses distances à deux points détermines de
cette courbe ne varient pas.

Supposons qu'on ait marqué sur AÂ' des points
a,, lit,. . ., a„, et sur BB' les points h,,, £,,..., h„ qui
viendront successivement coïncider avec ceux-là; puis,
cpie des points (a) comme centres, avec des rayons égaux
à A, M, £, M,. . ., d„M, on ait décrit des circonférences.
Ces circonférences formeront un polygone curviligne,
dont le contour sera nécessairement coupé en des points
m, , m, , . . . , m„ par le lieu géométrique de M. Si l'on
prend sur AA' de nouveaux points entre a, et a» , a, et
a,, etc., en conservant ceux-ci, on aura de même un
second polygone avec des points intermédiaires entre les
points (m) , et ainsi de suite.

Or la limite de ces polygones est évidemment un arc
m, m, de la courbe décrite par le point M, et les lignes
telles que aitn,, a,m,, etc., sont toutes normales aux
cAtés correspondants de ces polygones^ donc ces lignes
sont aussi normales à l 'arc m, m,.

QUESTION ANALOGUE A CELLE nO CONCOURS.

« Déterminer la courbe passant par deux points
n donnés, dont l'arc compris entre ces points engendre
» une surface minimum en tournant autour de l'axe
i> des X, tandis qite le trapèze curviligne limité par cet
» arc, les ordonnées de ses extrémités, et l 'axe des x,
engendre un volume donné.

» Démontrer que cette courbe peut être engendrée par
' ^c foyer d'une ellipse ou d'une Hyperbole qui roule-
" rait sans glisser sur l'axe des x. »

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( "-i)

PriHicé Ion U h rcprùc di Cmh de Gikil du Pnhikililéi,
1 It Puiltj d« Scieicn , le 26 mil 1851;

P» M. LAMÉ,

McmbT« de^ llulitoL

Messieurs, à l'ouverturu de chacune des parties de ce
cours, j'ai pris l'habitude de traiter quelque question
relative aux sciences exactes, à leur euscignement, ou à
leurs applications. D'abord , comme les savants cpii ont
créé le calcul des probabilités, comme les auteurs qui en
ont traité} j'ai dû, dans un discours préliminaire, dire
ce qu'était cette science, ce qu'elle pouvait, jusqn'où s'é-
tendait son domaine; alin de justifier son droit de cité,
et pour combattre une sorte de défaveur, tenant princi-
palemrait aux difficultés de son analyse , mais aussi à ses
hardiesses, et k ses solutions prématurées.

Depuis, je crois être parvenue simplifier l'étude des
probabilités, de manière a la rendre facilement abordable,
sur tous les points, dans toutes les questions relatives à
d'imporunles applications. En outre, j'ai le bonheur de
compter parmi mes amis, un savant (M. Bienaymé) qui
aujourd'hui représente presque seul , en France , parmi
les géomètres , la théorie des probabilités , qu'il a cultivée
avec une sorte de passion, dont il a successivement attaqué
et détruit les erreurs ; je dois à ses conseils d'avoir tuen
compris la véritable portée de la science que j'enseigne,
et quelles limites elle ne peut franchir sans s'égarer.

Maintenant que la défaveur n'a plus aucune raisou

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(„5)
(1 ezîsler, sa disparitioo complète n'est plus que t'aOaire
du temps. Mou discours prâiminaire n'y aiderait que
fort peu; je pourrais donc m'en dispenser, et, comme on
dit, entrer de suite en matière. Mais, à cette défaveur
particulière, parait s'en joindre une autre, plus mena-
çante, beaucoup plus étendue, et qui embrasserait toutes
les mathématiques. Aujourd'hui, sous le prétexte de quel-
ques réformes, peut-être nécessaires, dans l'enseigne-
ment des sciences exactes, on s'attaque aux théories et
aux savants j on les déprécie, on les repousse, on restreint
de plus en plus l'espace qu'ils occupent, pour faire une
plus large place aux applications et aux praticiens. Si cet
envahissement systématiquecontinue, la véritable science,
et ceux qui s'en occupent exclusivement, ne tarderont pas
à disparaître. Une telle révolution dans l'enseignement
sera-t-clle un progrès, ou une décadence? Je n'ai pu ré-
sister au désir d'aborder encore une fois cette question ,
de l'envisager aujourd'hui sur toutes ses faces, de jcler
enfin une sorte de cri , dans l'espoir de conjurer un dan-
gereux orage. Tel est le sujet que je me propose de traiter
dans ce discours préliminaire. Que ue puis-je lui donner
une force capaUe d'arrêter la destruction !

D'abord, il me sera facile, sans entrer dans trop de
deuils historiques , de faire ressortir cette vérité , que les
mathématiques doivent les immenses progrès qu'elles ont
faits, depuis deux siècles, k l'idée de les appliquer ; c'est-
à-dire que leur utilité, plus ou moins immédiate, a tou-
jours dicté ces prt^rès. Remontez à leurs découvertes
principales, elles n'apparaissent d'abord que comme des
spéculations philosophiques; mais elles sont suivies, de
très-près, par des applications importantes qui viennent
doubler leur valeur. Et l'on ue saurait trop admirer
cette logique cachée, et en qnelque sorte instinctive, de
l'esprit humain, qui, d'abord découvre et perfectionne

:,.;,l,ZDdbyG00gk'

l'instrumeut , puis entreprend hardiment, et à coup sûr,
le travail utile pour lequel cet instrument était indis-
pensable.

A peine Descartes et Pascal , Fermât et Leibnitz, ont-
ils jeté les fondements de l'analyse appliquée, et du calcal
intinitésimal , que Newton découvre le principe de la
pesanteur universelle, et explique les lois qui régisseat
les mouvements des astres. Pour déduire toutes les con-
séquences de cette découverte, il a fallu un siècle de pré-
paration : l'infatigable Euler, les Bemontli , d'Alembert,
dévoilent successivement toutes les ressources de l'analyse
mathématique, et créent la mécanique rationnelle. La-
grange vient compléter, coordouner, simplifier toutes ces
acquisitions de la âcience, et les réduire à un peut nombre
de pi-incipes. Enfin ses travaux, ceux de Laplace surtout,
de Legendre, Poisson, Ivory, de MM. Gauss, Prànsot,
Bînet, etc., achèvent cette première application des
sciences exactes, et ne laissent plus qu'à glaner dans le
champ de la mécanique céleste.

Mais une autre application, plus importante peut-
être, plus dilGcile certainement, se prépare depuis long-
temps; c'est celle qui concerne l'explication de tons les
phénomènes physiques , spontanés sur la terre , ou que
MOUS pouvons y faire naître. De ce eôté, la science marche
vers de nouveaux principes, analc^iies à celui découvert
parP^cwtOii ; et tandis que de nombreux expérimentateurs
recueillent, sur tous les pliénomènes physiques, des lois
semblables aux lois de Kepler, mais infiniment plus nom-
breuses et plus compliquées , les géomètres modifient et
perfectionnent l'analyse mathématique, afin qu'elle puisse
aboixler ces lois , pour les calculer, les mesurer, les pré-
voir, les réduire à un moindre nombre ; et , s'il est pos-
sible , à une loi unique , qui servira de base à une vaste
théorie, à une sorte de Mécanique leiresfrcy dont la Mé-

i.vGoogIc

(»■;)

canique «élestc elle-même ne sera qu'ua chapitre parti-
culier. Cette œuvre immense est à peine commencée;
mais la réalité incontestable de ses premiers progrès ne.
permet pas de douter qu'elle ne s'accomplisse un jour, si
des réformes exagérées, et intempestives, ne viennent pas
éteindre le zèle des travailleurs, et anéantir jusqu'au
soavenir de leurs découvertes.

Il me suffira de résumer succinctement ce que les géo-
mètres ont fait depuis cinquante ans, pour justifier plei-
nement cette assertion. Mais d'abord , rappelons les éton-
nants pn^rès des sciences physiques, pendant la même
période de temps. La chimie, dégagée de ses langes par
la découverte de Lavoisier, est rapidement élevée au rang
des sciences les plus fécondes, par les travaux de Ber-
tholet, Chaptal, Gay-Luasac surtout, Dawy, Berzelius,
Dulong, Ampère , de MM. Thenard , Chevreul , Dumas,
Pelouze, Regnauli, Balard , et tant d'autres. La physique
proprement dite, dont l'origine, comme science, remonte
à peine au delà de ?Jewton , n'avait fait que des pas lents
et clair-semés; à l'époque de la découverte de Volta, qui
date de 1800, elle prend son essor, et ses découvertes se
multiplient rapidement. Malus, Wollaslon, Fresnel,
MM. Arago , Biot, Brewsier, Babiuet , découvrent sur la
lumière de nouveaux faits, et des lois nouvelles. Gay-
Lussac, Saussure, Dalton, Dulong et Petit, plus tard
MM. Melloni, Pouillet, Despretz, M. K^;nanlt et son
école, font te même travail sur la théorie physique de la
chaleur. La découverte d'OErstedt, sa liaison avec celle
du magnétisme en mouvement, les travaux antérieurs de
Dawy, ceux plus récents d'Ampère, de MM. Becquerel,
de la Rive, Faraday, Pouillet, etc. , font marcher à pas
de géant la théorie physique de l'électricité. A cette
science si nouvelle, et d'une fécondité sans exemple, se
rattachent, par mille liens, les auti-es parties de la phy-

3,q,l,ZDdbvG00gIe

(..8)
iiique, la chimie, ei même les phénomèoes de la vie or-
ganique, qu'elle semble convier à venir lui demander leur
cause , leur raison d'être.

La minéralogie, qui ne consistait d'abord que dans une
simple clasEÎfîcation factice, devient, api-ès la découverte
d'Haùy, une aorte de science rationnelle, fondée sur les
propriétés géométriques, pliysiques et chimiques des
substances minérales , cristallisées ou amorphes. Par ses
lois naturelles, elle exerce une puissante réaction sur la
chimie, et sur toutes les parties de la physique, comme
le témoiguent les travaux de Beudant, de MM. Mitscher-
lich, Dufrénoy, Senarmont, Ëbelmen, Delafosse, Pas-
teur, etc. La géologie, qui se bornait à classer les rocbes,
et à recueillir les indices que lesdiQ'érents terrains peuvent
offrir, pour signaler la présence des minéraux utiles, de-
vient une science de premier ordre, par les travaux de
M. Ëlie de Beaumont sur l'âge relatif des révolutions du
globe, par cenx de Brochant, Broogniart, de MM. de
Buch, Cordier, Dufrénoy, Constant Prévost, etc. Enfin
tous ces divers chapitres de l'histoire physique de notre
globe, joints à la météorologie, et aux faits du magnétisme
terrestre, sont coordonnés par les travaux de MM. de
Humboldt, Ârago, Duperrcy, Kaémtz, etc.

En présence de cette abondante moisson de faits nou<
veaux, les géomètres ne pouvaient rester inactifs. Habi-
tués à déduire rapidement les conséquences d'un principe
ou d'une loi posée, ils aident d'abord puïssammenl anx
travaux des expérimentateurs, les excitent, et les pré-
voient : plus d'une découverte physique n'a été que la vé-
rification d'une de leurs prévisions. Puis ils cherchent i
poser les fondements d'une théorie mathématique des
nouveaux phénomènes. Ainsi font Malus, Ampère, ou
les inventeurs eux-mêmes; et surtout Fresnel, qui, par
sa tliénrio de la double réfraction et 'mus sei^ autres ira-

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( "9)
vauTt, doit èire r^ardé comme le vériuble foudateur de
la j^ysique mathématique.

I^aplace étudie et explique les phënomèoes capillBires.
A son exemple, d'autres géomètres, se bornant à l'étude
d'une classe très-particulière de phénomènes, parviennent
è en donner la théorie mathématique, et élèvent ainsi quel-
ques jalons d'une analyse rigoureuse sur le vaste domaine
de la physique. Ainsi fout Savary, M. Liouville , pour
l'électrodynaraique ; Poisson, M!M. Cauchy, Duhamel,
pour l'acoustique ; M. Bravais , pour les phénomènes op-
tiques de l'atmosphère; et encore M. Cauchy, qui parait
être BUT la voie d'une théorie mathématique complète de
' la lumière , si bien préparée par les travaux de Fresnel ,
Hamilton , Mac-Culagh , IVevnnann , et d'autres savants.
Mais arrivons aux travaux qui constituent plus particu-
Uèrement la science générale, et toute moderne, appelée
physique nutthéma tique.

Fourier, et encore Laplace, puis Poisson, et d'autres,
géomètres , créent la théorie a&aly tique de la chaleur, qui.
peut être regardée comme formant le premier livre de la
Mécanique terrestre^ ta simplicité des phénomènes dont
cette théorie assigne les lois, permettant d'essayer sur
elle, et d'y façonner en quelque sorte les procédés de-
l'analyse, avant de les étendre à des théories plu» com-
plexei, et plus immédiatement applicables. Les travaux
des mêmes géomètres , sur les lois qui ressent les tem-
pératures du globe terrestre, prouvent d'ailleurs l'utilité
directe de cette première théorie générale.

Enfin, Navier, puis Poisson, M. Cauchy et d'autres
savanu , créent la théorie mathématique de l'élasticité
des solides. Hs font voir que l'explication complète des
phénomènes qui en dépendent n'est maintenant arrêtée
que par des diificultéa d'înt^ralion. Comme exemples,.
Us vérifient la plupart des découvertes de Savart sur les.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 330 )

vibrations des corps sonores, et donnent plusieurs for-
mules de correction indispensables. Je dirai plus tard
tout ce que cette seconde théorie générale recèle dam son
sein.

De ces deux premières théories, et d'autres encore,
résulte, pour toutes, une marche uniforme, que l'on
peut résumer ainsi : la théorie mathématique d'une classe
de phénomènes a pour base, un ou deux principes, un ou
deux faits empruntés à l'expérience , et que l'on cousidère
conune des axiomes j par eux, et à l'aide du calcul infi-
nitésimal, on parvient i représenter l'ensemble de ces
phénomènes par des équations différentielles, ou plutôt
aux différences partielles; l'étude de ces équations donne
déjà une grande partie des lois que l'on cherche; enfin
leur intégration, plus ou moins avancée, faite d'après
des circonstances données, peut seule embrasser toutes
ces lois. Cette marche était indiquée par le chapitre de
l'attraction des sphéroïdes, lequel n'est au fond que la
théorie mathématique d'une certaine classe de phéno-
mènes, la première qui ait atteint une perfection relative.
Ce premier résultat important sur l'ordre des travaux
à entreprendre , pour atteindre le but désiré, prouve que
les progrès de la physique mathématiqne sont suboiv
donnés è ceux du calcul intégral, et particulièrement Ji
ceux de l'intégration des équations aux différentielles
partielles. L'état dans lequel la Mécanique céleste a laissé
ces instruments d'analyse, exigeait de nouveaux perfec-
tionnements. Il fallait surtout étudier de plus près les pro-
priétés des surfaces en général , considérées comme li-
mites des intégrations, ou comme celles des corps sur
lesquels ou se propose d'étudier les phénomèues physi-
ques. A cet appel de la science répondent une multitude
de travaux sur l'analyse appliquée à la géométrie, depuis
ceux de Monge et Hachette , jusqu'à ceux do MM. (ïauss,

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

("« )

Ob. Dui»o, Poncelei, Brianchon, Chasles, Jacobi,
LiouTiUe, et antres.

En outre, les fonctions exponentielles et cïrcnlaires
éuient insuffisantes; il fallait étendre la méthode des
quadratures, reorichir de nouvelles fonctions, en étu-
diant avec soin leurs propriétés. Tel a été le but des tra-
▼anx de L^endre, et des admirables découvertes d'Abel et
de Jacobi, sur les transcendantes , elliptiques ou autres;
découvertes dout l'extrême importance est successivement
dévoilée par de nombreux commentateurs, et qui font
plus que doubler la puissance de l'analyse mathématique,
• Ce n'est pas Lout. La mécanique rationnelle n'avait été
inventée et façonnée que pour résoudre les questions de
la mécanique céleste; il fallait appliquer ses principes
généraux , surtout celui des vitesses virtuelles et celui des
forces vives, aux mouvements qui ont lieu à là surface
de la terre; en déduire la théorie des machines , celle d««
moteurs, les perfectionnements qu'exige l'emploi de ces
instruments , et de ces agents industriels. Les travaux des
deuxCamot, de Prony, Poisson, Ampère, ]Vavîer, Co-
riolis, de MM-Poinsot, Ch. Dupin, Poncelet, Reech,
ont successivement levé les principales difficultés de cette
application nouvelle.

Ce résumé, si rapide et si plein , de tout ce que les
géomètres modernes ont entrepris , pour hiter les progrès
des sciences d'application , est encore fort incomplet. Je
u'ai pas cité d'importants travaux, sur la théorie des
nombres, parLagraoge, MM.Gaus5,Poinsoi, Dirichlet,
Lebesgue; sur l'analyse pure, par MM. Caucliy, Jacobi,
Sttinn , Liouville , Binet , Blauchet ; sur le calcul des pro-
babilités, par Laplace, Poisson, M. Bienaymé; travaux
dont l'utilité serait facilement constatée, soit par les ap-
plications directes qu'elles ont fait naître , soit par leur
iufluencG, parleur réaction sur les autres branches des

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 332 )

matbânatiquea. £d outre, je n'ai pas aonimé tous les sa-
vants, ni les plus jeuues et les plus actifs , lesquels ont
pris une lai^e pan à cetu oeuvre si étendue, et dont les
recherches s' enchevëtreat, se croisent, naissent les unes
des autres. J'ai cru pouvoir les passer sous silence, et
m'efTacer moi-même, dans cette description sommaire.

N'est-il pas de la dernière évidence que, dorant le demi-
siècle qui vient de s'écouler, les sciences exactes ont réel ■
lemeutlait, en vue même des applications , beaucoup jjus
de progrès que dans tous les siècles précédents ? Si l'on tAt-
jectaitque les savants de nos jours, à qui U gloire en re-
vient, ne paraissent pas cependant, étant vus de près,
pouvoir être comparés aux illustres géomètres qui les ont
précédé*, nous répondrions que la plus grande importance
des résultats obtenus s'explique tout naturellement, et par
le plus grand nomlM« des travailleurs moderuea, et par
les ressources qu'ils ont puisées dans l'héritage même du
siècle dernier.

Tout indique que cette ardeur scientifique, loin de se
ralentir, va au contraire en a'accélérant; les annales de
U scioice inscrivent fréqnenunent les noms de nouveaux
géomètres que signalent la France , l'Allemagne , et même
l'Angleterre , où les mathématiques étaient peu cultiva
depuis l'époque newtooienne, et qui se réveille enfin d'un
long assoupissement. Et c'est lorsque le travail est ai lûen
préparé, lorsque tant d'ellbria s'y concentient, c'est ce too-
ment que l'on semble choisir pour arrêter le mouvemem
scienUfique en France, par des réformes, au moins inop- '
portunes.

Mais à c6té, et parallèlement è la phalange des géo-
mètres théorici^u , qui parait destinée è poursuivre le
grand œuvre de la Mécanique terrestre, s'en meut use
autre, plus nombreuse, plus impatiente, moins disci-
[dtnée , celle des géomètres praticiens. En tète , se trouvent

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( "3 ) .
les MvaDtft qui appliquent le* formules trouv^x à l'utro-
nomie, coDstruiscnt les Tables des mouvements plané-
taires, déduisent, de longs calculs numériques, le retour
des comètes, l'însUntde leur passage au p^bélie, l'exis-
tence et les éléments de nouvelles planètes perturbatrices,
et qui, uomme Ctairaut, Delambre, Bessel, Savary et
M. Le Verrier, vérifient les dernières conséquences du
principe de la pesanteur universelle. Puis viennent les sa-
vantsqui utilisent lesTablesde sutistique, pouren déduire,
à l'aide des formules fournies par le calcul des probabi-
lités, le mouvement de la population, le Uuz des rentes
TÎag&res, celui des assurances de toute espèce. Enfin se
présentent les ingénieurs, qui appliquent la mécanique
rationnée à l'étude de leur artj qui s'efforcent de dé-
duire, du principe des forces vives, le calcul complet de
l'eSet des machines, du travail des moteurs, de la résis-
tance des matériaux , et qui , ne trouvant pas les sciences
théoriques assez avancées pour résoudre complètement
toutes ces questions , comblent les lacunes par des pro-
cédés approximatifs, pouvant suffire actuellement: tel est,
enefièt, le but d'une multitude de travaux de MM. Pon-
cdet, Piobert, Morin, Combes, et de presque tous nos
ii^éoieurs.

Ce partage des géomètres , en théoriciens et pradciens ,
n'établit aucun parallèle défavorable à l'une ou â l'autre
des deux classes. Les fonctions sont seules essentiellement
différentes. Ces fonctions sont éminemment utiles, cha-
cime de son côté , pas plus l'une que l'autre ; et dans celle
division du travail général , il importe que la concorde
règne dans les deux camps , afin que letir puissance d'ac-
tion ait tout son eOêt. Il arrive souvent d'ailleurs qn'un
même savant cumitle les deux fonctions, an grand avan-
tage de la théorie et de l'af^cation. Je citerai c<»Dme
px«nples: M. Delaunay, théoricien par ses recherchesd'a-

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( "4 )

nalyse, de géométrie et de mécBDique , praticien par ses
travaux sur les Tables lunaires et sur les marées -, M. Bien-
aymé , théoricien par ses recherches sur le calcnl des pro-
babilités, et praticien par ses travaux sur les Tables de
mortalité et sur d'autres applications; enfin M. Poncelet,
ihétHÎcien par aes belles recherches sur la géométrie et la
mécanique rationnelle , praticien par ses calculs sur les
machines et tes moteurs.

Mais , en dépit de tant de liens et malgré toutes tes ap-
parences d'une entente parfaite , c'est dans le camp des
géomètres praticiens pur» que s'est propagée une fauue
appréciation de l'utilité des sciences exactes. Erreur,
illusion dangereuse; car si elle parvient h diriger l'ensà-
gnement, ta décadence est imminente. Les ingénieurs,
habitués à de pénibles travaux d'application , voyant clai-
rement les imperfections de la théorie, ne pouvant y re-
médier à l'aide d'une analyse rigoureuse , ont essayé d'y
suppléer par d'autres recherches -, ils ont créé une sorte de
physique mathématique factice , s'appuyant sur des for-
mules empiriques, c'est-à-dire déduites de l'expérience,
et qui peuvent être employées, sans de graves erreurs,
entre certaines limites.

Reconnaissons-le, ce travail préliminaire était ntile,
indispensable. L'industrie humaine ne peut r^ler son
pas sur la marche mesurée et prudente de la science. Son
impatience l'en éloigne ; elle se contente d'à peu près. Si
elle a besoin de certains nombres , il faut les lui calculer,
exacts on approchés, rigoureux ou erronés, peu lui im-
porte. Elle court à de nouvelles conquêtes, sans s'embar-
rasser de ce qu'elle laisse d'imparfait derrière elle. La vé~
ritable science arrivera là, plus tard, pour corriger,
consolider, perfectionner. Mais, ne l'oublions pas , il faut
que la science suive, et d'assez près pour être entendue,
pour avertir quand on fait fausse route. Si vous étonffei

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

sa voix, si vous méprisez ses travaux, voiis marclicz h
l'aveuture; vous vous perdrez infailtiblemcnl.

Souvent, l'homme absorbé par uu travail long et fati-
gant, auquel il a consacré sa vie active ou iuteUecttîelle,
finit par mal juger tout ce qui ne rentre pas dans le cercle
reslreint de ses idées ordinaires; il est insensiblement
conduit à refuser une valeur réelle à tout autre mode
d'activité de l'esprit, à mépriser même ceux qui s'en oc-
cupent. Ainsi font beaucoup de praticiens : la science
empirique qu'ils ont édifiée , leur a suffi , a présidé à tous
leurs travaux , leur a permis de les exécuter tant bien que
mal; alors ils ne voient plus qu'elle; ils la regardent
comme la seule utile, comme la seule qui doive être en-
seignée à leurs successeurs. Ils oublient que s'ils ont pu
créer cette science d'attente, c'est parce qu'ils avaient été
préalablement nourris des saines doctrines, parce qu'ils
avaient pu prendre leur point de départ sur un terrain
solide, dans la véritable science. Mais ils la méprisent au-
jourd'hui , ils. la méconnaissent au point de nier les nom-
breux emprunts qu'ils lui ont faits. Et leur ceuvre, en-
core ù imparfaite, ils veulent la livrer à de nouveaux
praticiens qu'ils auront formés dans l'ignorance de la
vraie théorie! Mais si cette nouvelle génération d'ingé-
nieuTS veut aussi réfonner, que sera cette seconde puis-
sance de l'à-peu-près ! !

On voit ainsi se produire dans la science , et parmi les
savants, les mêmes égarements que dans un tout autre
monde. Une question difficile se présente, maïs elle n'est
pas assez bien définie dans toutes ses parties pour qu'on
puisse la résoudre d'une manière complète et rigoureuse ;
si cependant une solution telle quelle est indispensable ,
alors on a recours à quelque procédé transitoire qui donne
le temps d'attendre, et qui n'engage pas l'avenir. Mais
lf>s impatients, ceux qui se sentent ou qui se c

Ana. dr Uulhémal., I. ?£. ( JuJD l85l .;

:,.;,l,ZDdbyC00gle

( aa6 )
pables d'aborder des questions de cette nature , qui mèmt
OQt fait leurs preuves sur des sujets moins épineux, nc
peuvent se rdsigner à l'inaction. De la les fausses théories,
les utopies de toute espèce que leurs inventeurs essayent
de propager par tous les moyens, dussent-ils rendre im-
possible l'avènement de la véritable solution.

C'est ainsi que d'habiles géomètres, tant théoriciens
que praticiens, ont quelquefois sacri&é.leur talent à de
fausses idolos. Et la preuve n'est pas loin : feuilletez l'im-
mense recueil des travaux mathématiques de notre époque,
vous y distinguercE facilement deux genres d'analyse ap-
pliquée. L'une prudente, rigoureuse, ne s' appuyant que
sur des principes incontestables, riche de déductions, fé-
conde par ses conséquences, à laquelle les amateurs don-
nent à bon droit l'épithète d'élégante- L'autre, plus har-
die d'abord, mais s'appuyant sur des hypothèses hasardées,
qui la conduisent péniblement à des résultats Dumériqoes
'inceruins, noyés dans des calculs lourds, inextricables,
résultats isolés et sans avenir.

11 existe un caractère infaillible auquel tout géomètre
pourra reconnaître, lui-même, si son travail appartient
au premier ou au second genre. S'il est dans le vrai , s'il
a abordé une question bien pos^ et que l'aualyse mathé-
matique puisse résoudre, à chaque difficulté qu'il ren-
contre, qu'il parvient à surmontera force de persévérance,
et quelquefois par une véritable découverte analytique ,
il voit ensuite la question marcher en quelque sorte tonte
seule, les conséquences se multiplier d' elle s-mi^mcs, jus-
qu'à ce qu'un nouvel obstacle exige une nouvelle conecn>
tration d'elTorts, dont le succès ramène la même fécon-
dité; alors il travaille dans le premier genre. Mais s'il a
entrepris de résoudre un problème mal défini à l'aide de
principes douteux , il est obligé de tourner les obstacles
plutdt que de les franchir; la question est, en quelque

:,.;,l,ZDdbyC00g[c

( 137 }

sorte, récalcitrante, elle ne marche que quand on la
pousse; le géomètre travaille alors dans le second genre;
el si son oeuvre pénible n'est pas indispensable , il ferait
bien de ne pas la publier. Malheureusement, nous n'ai-
mons pas à perdrecomplétement DOS peines, el, par ce mo-
tif , bien des oeuvres indigestes ont vu le jour. D'illustres
géomètres ont péché parla : comparez le beau Mf^moire de
Poisson, sur l'équilibre de l'électricité statique à la surface
des corps conducteurs, avec son pénible travail sur lu
magnétisme, même en mouvement, qu'il veut expliquer
par l'existence de deux fluides magnétiques , et vous com-
prendrez la distinction que j'établis.

Mais quittons cette pierre de touche des bons travaux,
et revenons aux praticiens. Les circonstances ont surtout
favorisé la propagation de l'erreur ou de l'illusion que je
déplore , et dont je crains les résultats ; un excès dans la
division du travail a trop éloigné les ingénieurs des sujets
de leurs premières études, et du conmierce des théoriciens.
Deux exemples anecdotiques feront mieux comprendre
toute ma pensée. J'emprunte l'un d'eux à ma propre bio-
graphie ; mais le r6le que j'y ai joué , dû en grande partie
aux circonstances, tout autre eût pu le remplir à ma place.
n y a plus de trente ans, en 1820, M. Clapcyron et
moi ikous quittions le corps des mines, en France, pour
aller à Saint-Pétersbourg relever une école d'ingénieurs,
qui menaçait ruine faute de professeurs. Là , nous avons
dû enseigner, successivement et simnltanëmcnt , toutes
les mathématiques , depuis les éléments jusqu'au calcul
infinitésimal, la mécaniqye rationnelle, la théorie des
niachines, et le cours de construction dans toutes ses par-
ties. Dans celte école, le temps consacré aux études scien-
tifiques était plus limité qu'il ne l'est en France; par
exemple , il fallait parcourir toute la mécanique ration-
nelle en trente lefons; c'était bien peu. Pour utiliser le
i5.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 1.8)
mieux possible te temps assigné, nous avons à peu près
réduit le cours à la connaissance approfondie du principe
des vitesses virtuelles , et de celui des forces vives , en mul-
tipliant leurs applications sur des sujets nombreux. Le
cours de macbineset celui de construction, que nous pro-
fessions aussi, nous venaient en aide par les exemples
qu'ils fournissent. Et ces trois cours, réunis dans les
mêmes mains , formaient un tout Homogène , où dominait
la rigueut- matbématique , et d'où l'empirisme était scm-
pulcusemeut banni.

Toutefois, pour rester dans ces conditions dont nous
ne voulions nous départir à aucun prix, nous avons dû
nous condamner à de rudes travaux de préparation. C'est
ainsi que nous avons introduit, peut-^tre les premiers,
dans les cours d'application , le chapitre relatif aux en-
grenages, à leur génération , au calcul de leurs frottementSi
celui de la poussée des voûtes et du tracé de leurs joints de
rupture; chapitres qui forment, dans les cours dont ils
font partie , comme deux oasis de théorie rigoureuse. Ce-
p^jndant nous n'étions pas satisfaits , nous cbercbious â
jeter les bases de la théorie mathématique de l'élasticité, et
notre travail sur l'équilibre intérieur des corps solides
indique tous les efforts que nous avons faits, pour éviter
l'empirisme et ses funestes conséquences.

En France , à la même époque , IN'avier se trouvait k la
fois professeur d'aualysc et do mécanique rationnelle à
l'Ecole Polytechnique , et chargé d'un cours de machines
et de construction aux Ponts et Chaussées. Sans doute do-
miné comme nous par cetic passion pour la rigueur ma-
thématique, que les sciences exactes înspii-eut à tous ceux
qui les professent, il chercha longtemps aussi à restreindre
l'espace occupé par l'empirisme' dans les cours d'applica-
tion. Les mêmes circonstances le conduisirent au même
but; et il venait de présenter son travail sur les corps

:,.;,l,ZDdbyG00gk'

( "9 )
élastiques , quand le nôtre , presque identique au sien , et
enfanté à 800 lieues de Paris , arrivait à son examen. Les
recherches de Poisson et de M. Cauchy sur le même sujet
sont postérieures aux siennes.

Ainsi , placez des ingénieurs dans des circoDstances
telles , qu'ils doivent s'occuper à la fois de cours de théo-
rie et de cours d'application, ils travailleronl pour ne
jamais abandonner la rigueur mathématique; et leur con-
cours accélérera les progrès de la véritable science. Isolez-
les, an contraire, chargez-les uniquement de cours d'ap-
plication , ils resteront géomètres praticiens ; et de plus en
plus ideniifiés avec leur science d'attente, ils essayeront
de la faire régner seule et sans partage.

Et voilà ce qui explique ce fait singulier, que les plus
grands détracteurs d'une célèbre institution, que ceux qui
veulent la détruire, s'ils ne la réforment d'après leurs
idées anti-scientifiques , ont cependant passé par celte in-
stitution même. Résultat déplorable , qui conduit à penser
qu'au lieu de restreindre, dans les écoles générales, l'en-
seignement théorique, pour tailler une plus large place
aux cours dits pratiques, ce serait précisément le con-
traire qu'il faudrait faire; c'est-à-dire introduire, dans
les écoles d'application , des cours de haute théorie, semer
le bon grain à côté de l'ivraie, afin que les élèves ne per-
dent pas de vue les saines doctrines , que , constamment
placés entre la rigueur mathématique et l'empirisme , leur
choix ne soit pas douteux, et, qu'une uoble passion ai-
dant, ils fassent aussi tous leurs efforts pourhàter l'époque
où l'on pourra se passer de l'à-peu-près. Si celte sage me-
sure avait été prise lors de l'organisation des corps savants,
nous compterions aujourd'hui plus d'un Prony, plus d'un
Brisson , plusd'unNavier, plus d'un Coriolis , qui auraient
cultivé la science, au lieu de la proscrire.

Ne croyez pas qu'en proposant de développer, dans le

:,.;,l,ZDd-byG00gle

( .30 )
camp même des géomètres praUciens, le drapeau qu'ils
repoussent, je ne fasse qu'opposer une exagération à une
autre. Non : cette mesure se présente d'elle-même à l'cs-
prit, lorsqu'on se rend bien compte de l'état actuel delà
science, et qu'on cherche ce qu'il serait convenable de
faire pour accélérer ses progrès. Il me sera facile de mettre
cette vérité hors de doute, en utilisant le tableau que je
viens d'exquisser.

On est généralement convenu d'attribuer à Bacon, toute
une théorie sur la marche que l'esprit humain doit suivre
pour arriver à la connaissance et Ji l'explication positive
des phénomènes naturels. J'avoue humblement que j'ai
en vain cherché, dans son Novum organum, des traces bien
certaines de tout ce qu'on lui a prêté j et j'aime mieux at-
tribuer l'honneur de cette découverte , s'il y a découverte,
à l'esprit humain lui-même, dont la logique instinctive
s'est si souvent manifestée. Quoi qu'il en soit , la marche
dont il s'agit a été admirablement tracée par la série des
travaux qui out élevé l'astronomie au degré de perfection
que nous lui connaissons : premièrement, observations
multipliées et recueillies avec soin ; secondement, travail
de Kepler pour résumer les résultats de ces observations
par un petit nombre de lois; troisièmement, application
de l'analyse , faite par Newton , pour ramener ces lois à
une seule, c'est-à-dire au principe de la pesanteur uni-
verselle; quatrièmement, enfin, travail inverse des com-
mentateurs , pour expliquer par ce principe tous les phé-
nomènes célestes, et encrasser à la fois les états passés,
présents et futurs.

Dans l'œuvre semblable, mais beaucoup plus com-
plexe, que la science poursuit aujourd'hui, lamême marche
se reproduit, etl'on y reconnaît facilement les quatre genres
de travaux. Les découvertes, les faits ont été accumulés
outre mesure; c'est le premier travail, le recueil des ob-

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(,3. )
servaiioDs. Des milliers d'expériences ont été eotreprises
pour étudier successivement toutes les classes de phéno-
mènes , pour les coordonner, les résumer par un certain
nombre de lois; c'est le travail képlérien. Les géomètres
ont réussi à ramener à une seule toutes les lois de cer-
taines classes particulières de phénomènes-, voilà l'époque
newtonienne ébauchée. Enfin quelques savants ont été
assez heureux pour déduire , de théories mathématiques
partielles, Texistence de phénomènes non soupçonnés par
les physiciens, et que l'expérience a vérifiés : tels que les
cristaux à deux axes, la double réfraction conique, la
double réfraction cylindrique, les franges lumineuses
dans l'ombre d'un disque, etc., conséquences nécessaires
des théories de Fresne), et encore certains faits déduits de
l'électrodynamiqae. On reconnaît là des indices certains
de cet immense travail en retour, qui consistera à expli-
quer et à prévoir les phénomènes , quand leurs principes
seront découverts.

On voit que l'activité n'a pas fait défaut dans les quatre
ateliers. Les deux premiers , surtout, ont à peu près achevé
leur tâche. Mais le troisième, celui des géomètres théo-
riciens, est évidemment en retard; les difficultés qui s'y
rencontrent suspendent les pr(^rès du travail général ;
c'est là qu'il conviendrait d'accumuler, de concentrer de
nouvelles forces, de multiplier les travailleurs. Sinon, si
cet état se prolonge, les autres ateliers abandonneront la
partie, et on ne les retrouvera plus, quand il s'agira d'ap-
pliquer la théorie , et de vérifier ses résultats pai l'expé-
rience. Déjà, dans leur impatience, ils emploient leurs
forcesà des travaux étrangers, utiles sansdou te sousd'autres
rapports , mais qui ne concourent plus au but commun ,
qui même peuvent en retarder l'avènement.

C'est ce que fait le quatrième , celui des géomètres pra-
ticiens , des ingénieurs , lequel devait couronner l'œuvre,

:,.;,l,ZDdbyC00gk'

( "3t.)
qui étaitcoustiiué, (te longue main, pour commeater les
principes trouvés , pour traduire en nombres toutes leurs
conséquences.Lepremier, celui des pionniers de la science,
des chercheurs de faits nouveaux, a, depuis plusieurs
années, abandonné la voie commune; il s'est jeté dans
des applications étrangères : la photographie , la galvano-
plastie, la télégraphie électrique et d'autres inventions,
prouvent toute sa fécondité; mais, tout en admirant ces
découvertes, on doit reconnaître qu'elles n'avancent pas
celle des principes.

Enfin le second atelier, celui des expérimentateurs,
s'est attaqué aux lois trouvées : il a perfectionné ses pro-
cédés au point de rendre sensibles tes plus petites inexac-
titudes de ces lois. Et rien ne fait mieux sentir le retard
des géomètres dans l'ceuvre commune : car, supposez que,
immédiatement après les travaux de Kepler, les procédés
employés par les astronomes observateurs, se fussent assez
perfectionnés pour permettre d'apercevoir les inexac-
titudes des lois trouvées, la connaissance de ces inexacti-
tudes pouvait ajourner le travail de Newton. Heureuse-
ment , elles n'ont été bien constatées qu'après la décou-
verte du principe , et s'expliquant merveilleusement par
tes perturbations dues aux actions mutuelles des planètes,
elles sont venues confirmer ie principe plut6t que de l'in-

N'est-il pas clair, maintenant, que si l'on veut aider
aux progrès de la science , si l'on veut bâter l'œuvre de
notre siècle , ce qu'il faudrait faire aujourd'hui , ce serait
d'encourager, d'exciter les géomètres théoriciens , d'aug-
menter leur nombre par tous les moyens possibles, de di-
riger l'enseignement des sciences exactes, de telle sorte
que les élèves connaissent bien tous les instruments de
l'analyse, ceux-là même qu'il faut perfectionner pour
atteindre le but désiré. El l'on voit que cette conulusiou

:,.;,l,ZDdbyG00glc

(=33)
toute naturelle est diamétralement opposée à celle de nos
réformateurs.

Mais, nous dira-t-on, la nouvelle époque newtonieune
dont vous annoncez la venue, est un rêve de votre imagina-
tion ; l'humanité courra élernelleinent après les principes,
sans jamais tes atteindre ; et ce serait folie d'organiser quoi
que ce soit en vue de ce but chimérique. Notre réponse est
prête : quelle que puisse être notre croyance a cet ^ard,
nous ne demandons rieu d'aussi sublime^ notre but est
infiniment plus accessible, nous le touchons presque, et
(pardon de la chute)' il s'agît, tout bonnement, d'intégrer,
d'une manière convenable , les équations aux différences
partielles qui représentent l'équilibre intérieur des corps
solides élastiques j et voilà tout.

Lorsque cette intégration sera faite, étudiée, commen-
tée , il n'y aura plus rien d'indéterminé dans vos construc-
tions; vous pourrez calculer exactement la forme précise
des solides d'égale résistance dans toutes les circonstances,
diminuer considérablement les poids de vos machines,
réaliser des applications importantes , que l'exagération
de ces poids rend actuellement impossibles. Et il vous se-
rait difGcilc de dire où s'arrêteront, pour les arts indus-
triels, les conséquences de celte intégration, que nous
poursuivons.

Voilà pouix^uoi nous voudrions que le plus de mem-
bres possible des corps savants , qui peuvent si bien com-
prendre toute l'importance de la découverte dont il s'agit,
connussent à fond l'analyse mathématique , afin d'aider à
l'achèvement d'un travail commencé par des ingénieurs-
géomètres. Or, pour obtenir ce résultat, il faut se garder
de restreindre l'enseignement des sciences exactes dans les
écoles générales, et, en outre, introduire des cours de
lliéorîe pure dans les écoles d'application. Voilà coque je
voulais établir.

i.vGoogIc

( .34)

Mais, nous dira-t-on encore, voua parlez d'augmenter
le nombre des géomètres- théoriciens, comme si cela était
possible , comme si les vocations s'imposaient , et , pour un
ou deux sujets énùnents, capables de remplir vos vues, et
qui, de loin en loin, pourraient passer par nos écoles,
vous voulez encombrer l'enseignement de cours inutiles i
la totalité des élèves. L'objection est spécieuse; la réponse
ne sera pas moins catégorique.

D'abord, entendons-nous sur le mot inutUe. Comme je
l'ai dit et répété dans mes premiers discours : k L'utilité
» principale et première de l'étude des sciences exactes
» est de faire naître, d'exercer, de perfectionner la fa-
H culte du raisonnement , de la rendre en quelque sorte
Il infaillible, eu l'appliquant constamment , et pendant
» de longues années, à des sujets qui soient à l'abri de
» toute controverse;... l'utilité immédiate, ou pratique,
» de celle étude ne vient qu'en seconde ligne — h Or,
l'utilité principale profitera à tous les élèves, et dans
l'école générale, et dans les écoles spéciales, où il est très-
important que la saine théorie ne les abandonne pas en
présence de l'empirisme et de l'à-peu-près, si propres à
faire dévier l'esprit, même le plus solide.

Ensuite n'oublions pas que tous doivent entrer dans les
corps savants, pour y remplir la fonction de géomètres-
praticiens, pour y commenter les résultats théoriques à
mesure que la science les découvre, pour exprimer nu-
mériquement leurs dernières conséquences; et si vous
leur laissez ignorer les procédés analytiques qui ont pré-
sidé à la découverte de ces résultats, comment voulez-vous
qu'ils les appliquent, qu'ils remplissent leur mission?
C'est comme si vous exigiez qu'ils obéissent à un ordre
écrit dans une langue qui leur serait inconnue. Vous le
voyez, les cours de théorie aiutint cette utilité pratique
que vous admettez seule, et ces cours profiteront à tous

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(>35 )^
les élèves iDdistinctement; ils ne seront inutiles pour
aucun.

Parlons maintenant de \& ■vocation. On dît, et l'on
croit assez généralement, que chaque génération apporte
on contingent trè«-limité, et à peu près constant, d'hom-
mes supérieurs, dans telle on telle faculté , pour tel ou tel
mode d'activité de l'esprit. Je ne sais : mais à moins d'éta-
blir des analogies singulières entre les différents genres
de célébrité, ou à moins d'attribuer une élasticité fort
grande à cette limitation naturelle, il me parait difficile
d'expliquer, dans ce système, pourquoi tel siècle abonde
en littérateurs distingués , celui-là en artistes du premier
ordre, celui-ci en savants illustres. Il me semble plus ra-
tionnel d'admettre qu'à toute époque, la société renferme
leséiéments nécessaires pour répondis à tous les besoins;
forces nombreuses et variées, qui restent latentes si elles
ne sont pas actuellement utiles , et qui se manifestent avec
abondance quand les circonstances sont favorables.

Quoi qu'il en soit, une longue pratique dans l'enseigne-
ment des sciences , des observations suivies sur la marche
et les variétés de l'intelligence, m'ont conduit à une
formule qui parait exprimer assez bien la force produc-
tive qu'il nous importe de connaitre. Parmi les élèves qui
suivent les cours de mathématiques de nos collèges, un
tiers apporte toute l'attention nécessaire pour profiter de
ce genre d'études , et pour comprendre tout ce qu'on leur
enseigne. Ce premier contingent , qui peuple seul les di-
verses écoles générales, s'y fractionne encore une fois,
sous le point de vue de l'aptitude mathématique; là, le
quart des élèves étudient les sciences exactes avec goût, et
peuvent, sï l'enseignement est complet et bien dirigé, de-
venir des géomètres-théoriciens. Enfin, le plus ouïe moins
de succès des études concomit tantes, et leur influence
sur le classement définitif, répartit uniformément ce

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( a36)
noyau d'analystes dans tous les services publics; eu sorte
que, dans chaque école d'application, le quart de toute
promotion pourrait tirer, du cours de théorie pare, l'uti-
lité particulière que nous avons en vue. M'est-ce pas
assez pour justifier la mise à exécution de la mesure que
nous proposons? Surtout si l'on considère qu'il ne s'agit
pas ici de ces êtres privilégiés et exceptionnels, qui, de
loin en loin, viennent étonner le monde savant par la
précocité et la puissance de leur iutelligence ; ils sont
trop rares pour qu'on doive compter sur eux.

En résumé, si l'on veut absolument modifier l'ensei-
gnement des mathématiques , deux systèmes opposés se
présentent pour diriger les réformes. L'un d'eux propose
de restreindre de plus en plus les cours de théorie, et de
faire prédominer les cours d'application , les idées de pra-
tique immédiate, en s'élayant sur des lois empiriques.
L'autre demande, au contraire, que les cours de théorie
sojent complétés , qu'ils s'étendent jusqu'aux dernières
découvertes des géomètres, dans le but de restreindre , de
plus en plus, l'espace occupé par l'empirisme dans les
cours d'application. Le premier, ne ci-oyant pas aux pro-
grès futurs de la théorie, et satisfait de son état actuel ,
veut la fixer à tout jamais dans cet état. Le second, con-
sidérant que la science s'éteint et se perd quand on l'em-
pêche d'avancer, et croyant fermement à ses progrès,
veut les préparer et les exciter.

On comprend toute la gravité du choix que l'on va
faire. Ou le mouvement scientifique continuera à s'accé-
lérer en France, jusqu'à l'achèvement de l'œuvre que j'ai
définie j ou bien l'honneur d'y mettre la dernière main
appartiendra à une autre nation , et probablement à une
autre époque. D'un côté la gloire , de l'autre !a décadence.
Tout à espérer ou tout à craindre. Cruelle incertitude
que je voudrais en vain dissiper, et que de nouvelles ex-

:,.;,l,ZDdbyG00gle

plorations sur celte question brûlante ne serviraient qu'à
augmenter.

On pourra trouver que j'attribue trop d'influence à cer-
tains actes , m'accuser même de douter de la science, qui
marche et atteint son but, malgré les efforts contraires
de cens qui la dédaignent. Ou pensera que si , par suite
des réformes dont J'ai signalé le danger, telle institution
ne produit plus de bons géomètres, alors ceux-ci se for-
meront ailleurs; dans une école voisine, par exemple;
école d'où sont déjà sortis tant d'excellents professeurs, et
des jeunes savants dont les noms retentissent dans nos
académies.

Tout cela ue me rassure pas : il est un élément essentiel
que ces réformes suppriment , et qui , seul , pouvait accé-
lérer l'œuvre séculaire. Dans les sciences exactes, plusieurs
routes différentes s'oQrent aux géomètres. La tbéorie des
nombres, l'analyse pure, la géométrie, la mécanique ra-
tionnelle, la physique mathématique, la théorie des pro-
babilités, réclament toutes des travailleurs. Mais, pour
réussir dans telle de ces carrières, il faut un apprentissage
spécial , sans lequel l'analyste le plus éminent ne produira
le plus souvent que des oeuvres éphémères.

Aujourd'hui, le géomètre qui voudra sérieusement
faire avancer la mécanique rationnelle ou la physique
mathématique, devra réunir des connaissances étendues,
. sur les machines, sur les moteurs , sur les matériaux de
toute espèce employés dans les arts , ou connaître à fond
la physique, la chimie, tous les modes d'aciion des forces
naturelles. Sans ces études préliminaires, il ne pourra
travailler fructueusement que sur les nombres, tur l'ana-
lyse pure, sur la géométrie, sur les probabilités. Ces
quatre branches des malhétn a tiques pourront encore faire
des progrès en France, quand nos géomètres sortiront
tous d'une école où l'on ne s'occupe pas d'applications;

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( >38 )
mais les deux autres branches , la mécanique rationnelle
et la physique mathématique, resteront probablement
stationaaires, ou passeront à l'état de sciences empiriques.
Voilà ce qu'on éviterait en modiCant , dans le sens que
j'ai indiqué, le programme des études dans J'école géné-
rale et dans les écoles spéciales de nos corps savants. Un
géomètre sorti de cette institution, ainsi perfectionnée,
mais après l'avoir parcourue dans toutes ses phases, serait
plus utile aux progrès de l'analyse appliquée que tous
ceux qui auraient suivi l'autre route. . . .

Sro L'APPROXIMATION IRS CALGIILS MiMÊlIIOlIES PAR Lfê
BSGIMALES;

Pjlr m. amiot.

Prorcsscur an ljc6e Siinl-Loaii.

1 . Dans l'évaluation des quantités en décimales , il de-
vient souvent inutile de considérer beaucoup de chiffres
décimaux. Âiusi, dans les valeurs monétaires, on ne tient
ordinairement compte que des centièmes ; dans les me-
sures linéaires, que des millièmes, etc. , parce qu'il n'existe
pas de monnaie au-dessous du centime, ni de division du
mètre inférieure au millimètre. Mais , quand il s'agit de.
déterminer, soit par le calcul, soit par l'expérience, des
nombres qui doivent être soumis à des opérations, comme
multiplication, division , etc., il importe de conserver an
assez grand nombre de chiffres décimaux, pour peu que l'on
tienne A quelque exactitude dansles résultats. Par exemple,
quand on emploie le poids spéci6que des corps pour dé-
terminer leur volume connaissant leur poids , on bien
leur poids connaissant leur volume, on peut commettre.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( »39)
sur le résultat, une erreur assez considérable, si l'on ne
prend qu'on petit nombre de chiffres décimaux , et quel-
quefois même si l'on eu prend le plus possible.

Un des principaux objets que nous nous proposons
(Uns cette Note, c'est de montrer, à l'aide de simples con-
sidérations aritbmétiques , l'iililité de conserver le plus
- possible de chill'rcs décimaux dans les résultats, toutes tes
fois que ceux-ci , soit qu'on les obtienne par le calcul ou
l'observation, sont destinés à être soumis à des opéra-
tions d'arithmétique ; et de tracer en même temps , sans
qu'on soit obligé de recourir aux procédés algébriques,
une marche certaine pour déterminer, dans chaque cir-
constance, ce qu'il y a de réellement exact dans les résul-
tats des calculs auxquels on soumet ces notnbres.

2. Nous commencerons par rappeler en peu de mots
les procédés d'abréviation que l'on suit ordinairement
dans chacune des opérations d'arithmétique , lorsque , les
nombres proposés renfermant beaucoup de chiffres déci-
maux, on veut se contenter d'un résultat approché k moins
d'une unité d'erreur d'un certain ordre décimal. Ensuite
nous verrons comment les mêmes procédés peuvent con-
duire à déterminer quelle est la partie du résultat sur
l'exactitude de laquelle on peut compter lorsque les nom-
bres proposés ne sont eux-mêmes approximatifs qu'à une
unité ou une demi-unité d'un certain ordi-e décimal.

3. On sait, et il est aisé de se convaincre, que pour ob-
tenir la somme de plusieurs nombres décimaux à moins
d'une demi-unité d'erreur d'un certain ordre décimal, on
prend d'abord des valeurs approchées de ces nombres à
moins d'une demi-unité de l'ordre immédiatement infé-
rieur; puis on additionne tous ces nombres , et l'on efface
le dernier chiffre à droite de la somme, en ayant soin,
toutefois , d'augmenter d'une unité le dernier chiffre res-
tant, lorsque celui qu'on efface égale nu surpasse 5.

:,.;,l,ZDdbyC00gle

( "4o)

^. D'après cela , si un ou plusieurs des nombres donnés
étaienl approxîmatiis à moins d'une demi-unité d'un cer-
tain ordre décimal , il n'y aurait qu'à prendre de tons les
nombres, des valeurs approchées au même degré que
celui qui l'est le moins, et l'on serait ramené à opérer
comme dans le cas précédent. Donc , règle générale :

Pour additionner plusieurs nombres approximaiift
api^ avoir écrit le premier, je suppose, celui qui conti^tt
la moins de chiffres décimaux, conservez-en le tnême
nombre dans tous les autres, et effectuez l'opération
d'après la règle connue, puis effacez le dentier ch^^re
du résultat. De sorte quu vous aurez autant de chîffi«s
décimaux exacts luoius up , qu'il y en a daos celai des
nombres proposés qui en contient le moins.

Il est à remarquer, toutefois, que cette r^le n'est
applicable qu'au cas où l'on additionne moins d'une
vinguine de nombres. Autrement il faudrait effacer sur
la droite du résultat un cbiOre de plus pour chaque
vingtaine de nombres additionnés.

5. Nous ne citerons la soustraction que pour mémoire,
parce qu'il est évident que, si l'on soustrait deux nombres
approchés à moins d'une demi-uuité d'erreur d'un ceruin
ordre quelconque , le résultat sera lui-même approché à
moins d'une demi-unité du même ordre.

6. Quant à la multiplication, on trouve, dans la plu-
plartdes Traités d'arithmétique ( voy«w j^rithmétiçuo de
M. Bourdon, i5' édition : JVote sur les approximations
numériques), une démonstration de la règle suivante :

Pour multiplier deux nombres l'un par l'autre à moins
d'une demi-unité d'erreur d'un certain ordre décimal
donné, écrivez le multiplicateur au-dessous du multipli-
cande, en renversant l'ordre des cbilTrcs du mtdtiplicateur,
et plaçant celui des unités sous le chiUrc du multiplica-
teur de l'ordre ïmmcdiaiemcni inférieur au degré d'ap-

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( M- )

pi^iximation douué; multipliez ensuite successivemeut
par chaqae ordre d'unités du multiplicateur toute la par-
tie du multiplicande placée à sa gauche, en commençant
par le chilTre qui lui correspond , et ajoutez, au produit du
premier cltilTre, la retenue qui aurait été fournie par la
mulliplicauon du chiffre précédent; enfiii, écrivez tous
les produits partiels de telle façon que, le premier chiffre
de chacun étant dans uoe même colonne verticale , tous
les autres chiffres se correspondent ; puis additiouoez et
effacez le premier chiffre à la droite du produit, en ayant
soin d'augmenter d'une unité le premier chiffre restant,
si celui qu'on efface égale ou surpasse 5. Il ne restera
phis qu'à placer la virgule , ce qui est aisé d'après le degré
d'approximation donné ou bien d'après l'ordre du dernier
chiffre décimal qui est toujours facile à déterminer dans
chaque cas.

Si les nombres proposés renfermaient un grand nombre
de chiffres décimaux, ou même éuient illimités, comme
une fraction périodique par exemple, ou négligerait évi-
demment, dans l'opération , tous les chiffres de chaque
l'acteur auxquels il n'y en a point de correspondant dans
l'autre.

7. Supposons actuellement les deux facteurs approchés
chacun à moins d'une demi-unité d'un certain ordre dé-
cimal. Il est évident qu'en multipliant tout le multipli-
cande par l'ordre d'uoités le plus élevé du multiplicateur,
le produit partiel que l'on obtiendra ne sera approché
qu'à moins de quelques unités décimales d'un ordre qu'il
sera aisé de déterminer dans chaque cas. On prendra
donc , suivant la règle qu'on vient de tracer, des valeurs
de tous les autres produits partiels approchées à moins
d'ime demi-u,nilé du même ordre (4): puis on effectuera
l'addition et on placera convenablement la virgule.

Am. Jt Mxthémal , l. X. (Juillet i8Si.) l6

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( M> )

Suîciit pour exemples les deux nombres 54)^S cl

75,346 supposés approximatifs chacun à moins d'an

(lemi-milliènie. J' écrisd' abord ces nombres conformémeol

54865 à ce qu'on vient de dire, et j' effectue l'opéra-

64357 tion comme on le\oit ci-contre. Pour placer

384o55 la vii^e j'observe que les millièmes du mul-

9743a tiplicande 5 , multipliés par les dizaines du

1646 multiplicateur 7, donnent des centièmes; de

219 sorte qnc le cbiflTre cBac^ 4 ^taat des cen-

33 tièmes, le chiffre suivant 8 est des dixièmes,

4i338^ et partant le produit 4i33,8 est approché ■

moins d'un dixième d'erreur.

Lorsque les nombres proposés ne renferment pas le
même nombre de chiffres, taut décimaux que non déci-
maux, c'est toujours celui qui en contient le moins que
l'on prend pour multiplicande, afin de faire porter les
errenrs d'approximation sur le premier chiffre de chaque
produit partiel , que l'on supprime ensuite , et non stutc
nombre de ces produits. Donc , règle générale :

Pour multiplier l'un par l'autre deux nombres ap-
proximatifs, prenez pour multiplicande celui qià con-
tient le moins de chiffres; puis, écrivez le multiplicateur
au-dessous, en renversant l'ordre de ses chiffres, el pla-
çant celui de l'ordre le plus élevé sous le premier, à
droite du multiplicande ; ejffecliiez ensuite l'opération
d'après la règle du n" G, et placez enfin la virgiJe
d 'après l 'ordre que doit représenter le premier chiffre, À
droite du produit.

8. Appliquons cette règle à quelques exemples :
1". Quel est le poids d'une ccruine quantité d'acide
sulfurique, dont le volume a été trouvé ^al à 25"',54i
à moins d'un demi-centîlitrc d'erreur?

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(»43)
a5,54 Multiplions ce nombre par 1,8409, poids
90481 spëcifiqoe de l'acide sulfurique; j'ai 470, et,
a554 conune le (o) exprime des dixièmes, j'ai
2043 47>° kilogrammes, à moins âe too grammes
10a d'erreur. Mais on peut se tromper de plusieurs
3 dizaines de grammes. Pour obtenir un plus
470* haut degré d'exactitude, il aurait fallu mesu-
rer le volume avec plus de précision. Toutefois, cette pré-
cision deviendrait elle-même illusoire, dès que le volume
contiendrait plus de cbiâVes que le poids spécifique , ce
qu'on peut voir dans l'exemple suivant :

t". Quel est le poids d'un lingot d'argent pur, dont le
volume a été trouvé égal à 1567", 843, à moins d'un
demi-millième d'erreur?

Le poids spécifique de l'aident étant io,4743 > je mul-

10,4743 tiplie ce nombre par le volume donné, ei

3.487601 j'observe que le cbiQre 3 des millièmes du

104743 multiplicateur, ne cocrespondant à aucun

53371 cbifTredu multiplicande, devient, ainsi que

6384 tous ceux qu'on aurait pu mettre à la droite,

733 complètement inutile dans la multîplica-

83 tion (6). Pour placer la vii^ulc, je re-

4 marque que le premier cbiiTre 8 du produit

164318 réstiltant de dix-millièmes multipliés par
des mille, exprime des dixièmes, et, comme on l'efTace,
ou a i64a3 grammes ou i6"',433 pour le poids de-
mandé approximatif seulement à moins d'un gramme
d'erreur. Et, chose remarquable, c'est qu'une fois le vo-
lume mesuré avec autant de chiffres qu'il y en a dans le
poids spécifique, toute approximation plus grande dans
la détermination du volume ne peut rien ajouter à celle
du poids.

3°, Quelle est la quantité d'argent pur contenue dans

:,.;,l,ZDdbyG00gle

I »44)
uuc aiicieiiDe pièce de 6 livres, dite aux trois couronnes?
Je trouve, dans \ Annuaire du Bureau des Longi-
tudes, que cette pièce, au titre de 0,917, pèse 3o>',5g4'
Je multiplie l'un par l'autre ces deux nombres, qui ne
917 peuvent être qu'approximatifs, à moins d'une
495o3 demi-UDité de leur dernier ordre décimal. Je
a^Si trouve pour produit aSi, et, plaçant la vir-
46 gule, j'ai enfin a8*',i, à moins d'un dixième
8 de gramme d'erreur. Toutefois, on peut se
a8o5 tromper de plusieurs centièmes de grammes,
ce qui peut avoir une certaine importance, surtout lors-
que cette erreur peut se répéter un certain nombre de
fois pour plusieurs pièces.

9. Passons à la division , et , comme ce sera encore dn
procédé par lequel on abrège ordinairement l'opération
que nons déduirons nos r^Ies d'approximation, et que
d'ailleurs les Traités, de nous connus au moins, donnait
plutôt de ce procédé une simple explication qu'tme dé-
monstration rigoureuse, nous commencerons par en ex-
poser complètement une théorie noarelle , basée sur le
principe suivant :

Étant donnée une fraction proprement dite 4jad'
conque, si l'on augmente ou si l'on diminue le dénomi-
nateur d'un certain nombre, sans altérer le numéra-
teur, la fraction subit elle-même une diminution ou une
augmentation, laquelle est plus petite que le quotient du
tiombre dont on a augmenté ou diminué le dénomina-
teur divisé par le dénominateur de la nouvelle fraction.

En effet, soit la fraction ~i dont j'augmente le déno-
minateur de a, par exemple: i'aurai — - — , fraction

^ r J j 12 + a

plus petite que la proposée. Pour obtenir la dilTérencc

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( .45 )

entre ces deux fraclioDS , je les réduis au même déuomma-

teur, et, en indiquant simplement les calculs, je trouvc

^-~ ~ pour la première, et — 4 ï Pour la

lafia + a) «^ *^ 13(12 + 3) *^

seconde. Le numérateur de la première contient évidem-
ment 7 X 2 de plus que celui de l'autre , et par consé-
quent la première surpasse la seconde de

ia(ia

itx-

Or, le premier faclenr de ce produit — est la fracliou
proposée, qui est par hypothèse <^ i ; si donc on divise la
différence par ce facteur, le quoUcnt — — — sera plus
grand que cette différence. Donc, enfin, l'augmenlation de
la fracUon proposée sera plus petite que — — — Ce qu'il
fallait démontrer.

En général , soïl y une fraction proprement dile , et d
la quantité dont on augmente on dont on diminue le dé-
nominateur, suivant qoe d est positif ou négatif,

sera la nouvelle fraction , et si l'on appelle x la différence
entre ces deux fractions, on a

a a a (i + rf) — «fr ad a d

'~"ï ~T+d~ b{b + d) ~ b(b + d)~J^b-hd

Elcomme T<^i (évidemment en valeur absolue x<|r^j^i
que d soit positif ou u^alif. Donc, etc.

10. Pour appliquer ce principe, soient d'abord pro-
I»sés les deux nombres 758275 el5634 , dont on demaudi;

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( «46 )
6 le quotient, h moins d'une unité

75833E 56^4 d'erreur. Le dividende peut être dé-
^583oo i346 coniposéea7583o(>-35,et nouspou-
ig49 vons ne coasidérer que la première

aSo partie , en négligeant la fraction

36 _JL

o 5634^

quotient se trouve augmenté.

La question étant ainsi ramenée à diviser 75S3oo par
S634, j'effectue, suivant la règle ordinaire, la division
de 7583 centaines par 5634 ; je trouve pour qooùent i et

la fraction ^î? de centaine. En diminuant le dénomina-
teur de cette fraction de 4} j'&urai^^> avec une aug-
mentation <'~-7) et à fortiori <; de centaine, ou

^5634 ^1000 '

<... H d'unité.

En consentant à cette erreur, je n'aurai qu'à diviser
19490 par 563o , ou , ce qui revient au même , 1949 P^''
563, pour avoir les dizaines du quotient. J'aurai ainsi 3

et la fraction ^^ de dizaine. En diminuant ledënomina-

. , ., .a6o -, 3

icurdei, j aurais^, avec une augmentation "Cëjjt' ou

à fortiori <" de dizaine, ou bien <■.- H d'unité-

Pour avoir les unités, je divise a6oo par 56o, ou 360

par 56, et je trouve 4 et la fraction ^ d'unité. Cette fois

36
j'augmente le dénominateur de 4 1 ec qui me donnCrT-

avec une diminution <i^^ et, ù fortiori, <"... — d'uninî-
60 ' ' ^ 10

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( '47)
Alors enliii ^e divise 36u par 6u , ou 36 par fi , ei j'ob-
tiens ua chilTre de dixièmes. On aura donc 134,6, ou
plaiAt t35 unités pour le quotient cherché à moins d'une
unité d'erreur, puisque la somme de toutes les erreurs com-
mises I p)us petites respectivemeut que H , H *

H — — 1 consiilue à peine un ou deux dixièmes. On

10 lOj *^

déduira aisément de ce raisonnement la r^lc générale

suivaute :

Pour obtenir le quotient de deux nombres entiers, à
moins d'une unité simple d'erreur, effacer d'abord, sur
la droite du difidende, autant de choies moins deux
qudy en a dans le diviseur f divisez ensuite, d'après la
règle ordinaire, la partie conservée du dividende, puis
continuez l'opération en effaçant, à cltaque division
partielle, un chiffre sur la droite du diviseur, f^ous au-
rez ainsi un chiffre de trop au qitotietit, que vous efface-
rez en ayant Soin d'augmenter d'une unité le chiffre
précédent, si celui qu'on efface égale ou surpasse 5. On
aura toujours le même soiu d'augmenter d'une unité le
dernier chiffre restant à la droite , soit du dividende, soit
du diviseur, lorsque !e chilTre suivant, qu'on suppose
efiacé, Calera ou surpassera 5.

11, En appliquant cette règle à un exemple quel-
conque, on verra, par le raisonnement qui précède, que,
même dans les cas les plus défavorables, ceux où les pre-
miers chiUres du diviseur sont très-petits, jamais aucune
des fractions dont on altère successivement le quotient ne
peut surpasser une assez petite fraction de l'unité du pre-
mier ordre. D'ailleurs, en général, une partie de ces
erreurs augmente le quotient, tandis que les autres le di-
minuent, de sorte qu'en définitive, l'altération totale
restera au-dessous d'une unité simple. Cependant, si les

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( .48 )
nombres proposés renfei-maient un grariS itoiubre de
diIiTres, il pourrait arriver que la méthode abrégée donnât
réellement une ou même plusîears unités d'erreur an
quotient. Ainsi , dans la division de 568987658964785637
par I3'i3a4343â, on trouve, en appliquant directement la
méthode abrégée, 45766ifa858, ou plutôt 457664286,
tandis que le quotient n'est réellement que 437664283 et
une fraction. Mais de pareils cas sont fort rares, et, d'ail-
leurs, il suffirait alors de chercher le quotient avec deux
chiffres de trop, en en conservant un de plus au premier
dividende partiel , pour être bien sûr de ne pas commettre
une unité d'erreur sur le premier ordre.

là. Passons maintenant au cas où l'on demande le qno-
Uent de deux nombres entiers ou décimaux, àmoinsd'ime
unité d'erreur, d'un ordre décimal donné. On commence
alors par eQacer la virgule du diviseur, et par reculer celle
du dividende d'autant de rangs sur la droite qu'il y a de
chiffres décimaux au diviseur, ce qui n'altère en rien le
quotient; puis on réduit le dividende en unités décimales
de l'ordre correspondant au degré d'approximation donné,
et la question se trouve ramenée à déterminer le quo-
tient de deux nombres entiers à moins d'une unité du
premier ordre d'erreur. Soit proposé pour exemple de
diviser 856,784 par 6,3785, à moins d'im millième d'er-
reur. Effaçant la virgule du diviseur et reculant celle do
Ï89 dividende de 4 rangs, j'ai
$567840*^ 6*;86 8567840a diviserpar6a785}
228934 i36463i je réduis le dividende en mil-

405790 lièmcs, en mettant 3 (o) àl>

39080 droite, et j'effectue enfin la

3964 division de 8567840000 par

196 62785 , ce qui me donne

7 1 36463 1 pour quotient; effa-

i çant le dernier chiffre, et

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( M9)
séparant trois lliifires décimaux pour avnîr des millièmes ,
j'ai enfin i36,463 pour le quotient demandé.

13. Appliquons la même r^Ie à trouver le quotient de
38,56^4 ) par 4^,565 à moins de o,oi d'erreur. On ramè-
nera d'abord la question à diviser 385674o par 48565
à moins d'une uni té d'erreur. Ce diviseur ayant SchllFres,
j'en efface 3 sur la droite du dividende ; mais alors la par-
tie restante 3856 ne contenant plus le diviseur, j'efface,
sur la droite de celui-ci , assez de chiffres pour qu'une
première division partielle soit possible, de sorte qu'en
définitive je divise SSSy par 486, et j'ai pour quotient
792 , ou plutôt 0,79, en supprimant le dernier cbiffre ,
et plaçant la vii^e. On doit remarquer que chaque di-
vision partielle donnant un chiffre , tout se réduit en dé-
finitive à conserver au diviseur autant de chiffres plus
un, que l'on veut en avoir au quotient et au dividende
assez pour contenîivce diviseur par plus de neuf fois. Or
il est aisé, dans chaque cas, de déterminer combien le
quotient doit contenir de chiffres : d'abord , le degré
d'approximation donné indique le nombre de chifires
décimaux, et il n'y a qu'à multiplier le diviseur par
0,01 — 0,1 — I — 10 — 100... pour trouver celui d'uoi-
tés entières. Donc , règle générale :

Pour trouver le quotient à moins d 'une unité d 'erreur
d'un ordre décimal donné, de deux nombres décimaux,
composés de beaucoup de cldffres ou même Ulimités,
commencez par déterminer le nombre des chiffres du
quotient, puis conservez-en un de plus sur la gauclie du
diviseur, et effacez sur la droite du dividende tous ceux
qui ne font pas partie du premier dividende pattiel; il
ne reste plus alors qu'à effectuer l'opération d'après la
méthode connue (là). Soit, par exemple, proposé de di-
viser 756,85463485463... par 37,5648736487... à moins
de 0,001 d'erreur. Le diviseur, multiplié par 10, donne

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 35u )

UD résdiat plus petit que le dividende , undis que, mul-
tiplié par loo, il en donne nn plus grand. Le quotient
aura donc 2 chiffres d'unités entières. On en veut 3 de
décimalea, c'est en tout 5. Je prends donc pour diviser
les 6 premiers sur la gauche du diviseur proposé, et je
divise 756855 par 275649* J'obtiens letpioiient 274570,
je supprime le dernier chifTre et j'en sépare 3 décimaux ,
ce qui me donne 27,4^7 pour le quotient cherché.

14. Passons, cn6n, au cas où les nombres proposés
sont eux-mêmes approximatifs chacun, i moins d'une
demi -uni té de son dernier ordre. Alors, on pourra les
considérer comme étant chacun la partie qu'on aurait
conservée de nombres décimaux illimités. Mais, pour plus
de clarté, oous distinguerons deux cas :

i". Si le dividende, abstraction faite des virgules, est
plus grand que le diviseur, comme il résulte de la théorie
de la division abrégée, qu'une erreur.de quelques unités
sur le dernier chiffre du diviseur ne peut avoir d'influence
que sur le chiffre du quotient qu'on efface, on commen-
cera par mettre nn (o] à la droite du diviseur, puis on eflà-
cera, sur la droite du dividende, tous les chiffres qui ne
feront pas partie du premier dividende partiel. On effec-
tuera ensuite la division d'après la règle du n" li, et l'on
placera la virgule, en déterminant, comme on l'a dit an
numéro précédent , combien le quotient doit avoir de
chiffres d'unités entières.

Toutefois, on observera que, si le diviseur commen-
çait par un chiffre au-dessous de 5 , et que le quotient
contint nn assez grand nombre de chiffres, on devrait,
pour être tout à fait sur de l'exactitude des chiffres con-
servés, en ellacer 2 sur la droite du quotient (t i) j

2". Si , au contraire , le dividende est plus petit que te
diviseur, toujours abstraction faite des vii^ulcs , on com-
mencera par mettre un (o) à la droite du dividende, puis

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( »5' )
on efTacera sur ]a droite du diviseur, assez de chiffres
pour rendre possible la première division partielle, et
l'on sera ainsi ramené au cas précédent.

Soit, par exemple, À diviser 336,37694 par 3,47986,
ces nombres étant supposés approximatifs chacun à une
unité de son dernier ordre. Je mets (o) i la droite du di-
viseur, puis je néglige le dernier chiffre du dividende, et
je divise 3563769 par a47936o. J'obtiens 14373, et
comme le diviseur, multiplié par 100, donne un résultat
pins petit que le dividende, tandis qu'il en donne un plus
grand si on le multiplie par 1000, le quotient cherché
sera i33,73 à moins d'un centième d'errcnr.

Pareillement, pour diviser les deux nombres approxi-
matifs 3,5678 par 4)1356843, je commence par mettre
uo (o) à la droite du dividende , puis je supprime les deux
derniers chilTres à la droite du diviseur, et je divise
3567860 par 4ia568. Le quotient 86479S étant évidem-
ment compris entre 1 et 0,1, sera o, 86479) ^ moins d'un
cent-millième d'erreur.

f 5. Dans le cas où un seul des deux nombres sexaît
approximatif et l'autre exact, on opérerait exactement
de la même manière en mettant toutefois à la droite du
nombre exact assez de (o) pour rendre possible une pre-
mière division partielle.

Soit, par exempte, le nombre exact 54? à diviser par
le nombre approximatif 8769. Je mets d'abord un (o) à la
droite du divisenr, puis trois (o)à la droite du dividende,
et je divise 547000 par 87690, ce qui me donne 62378,
ou plutôt 6a38; et, comme le quotient ne doit contenir ni
unités ni dixièmes, on a 0,0633.

16. IVons terminerons par observer que, si l'un des
nombres étant approximatif, l'autre éuît illimité, ou
bien devait £irc déterminé soit par un calcul, soù par
une expérience , il serait inutile de chercher un nombre

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(»5. )
(le chiffres plus cousidérable qac ceux qui sont néces-
saires pour satisfaire à la r^le du numéro précédent,
tous les autres ne pouvant avoir d'influence sur l'cKacti-
tudc dn résultat.

17. Faisons-en l'application à quelques questions nu-
mériques :

i". Quel est le volume d'un tonneau rempli d'eau de
mer, dont le poids a été obtenu égal à i524^",37?

Le poids spécifique de l'eau de mer étant i,oa63, >
moins d'un demi-dix-millième , je divise le nombre donné
par celui-ci, ou plutâi, suivant la règle du n.° 14, je di-
vise iSa437par ioa63o, ce qui me donne i4S5ai. h
dois efi'acer le dernier, ou même ici les deux derniers
cbilTres (11), et comme d'ailleurs le quotient est compris
entre looo et loooo, j'ai enfin i485 litres. On ne peut
compter sur l'exactitude que des unités de litres, sans y
pouvoir rien ajoulerpar une plus grande précision dans le
poids donné.

a°. Quel est le volume de 846*',34 d'alcool pur?

La densité de ce liquide éunt supposée 0,79a, à
moins d'un demi-millième d'erreur, je divise le premier
de ces nombres par le deuxième, ou plutôt 8563 par
7930, et j'ai 108. Comme il faudrait séparer 4 chiflres
non décimaux , et que, pour réduire en litres , il faut di-
viser par 1000, j'ai enfin i''',o8. Le dernier chiffre du
poids a été inutile.

3°. Quel est le volume d'un ballon rempli d'un poids
d'hydrogène ^al à 5a5 grammes, dont le poids spé-
cifique est 0,0688, ces deux nombres étant supposés
approximatifs, à moins dune demi-unité de leur dernier
ordre?

Je divise 5a5o par 68S,elj'ai 76a pour quotient; sup-
primant le dernier chiffre, et plaçant la vîi^ule, j'ai 7,6.
Pour trouver le volume «n litres, jp multiplir ce nombre

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(.53)
par yyo , et j'ai un produit compris entre 58oo et S900 ;
aÎDsi, l'erreur peut bien être de près d'une centaine de
litres.

Il est mutile de multiplier davantage les exemples pour
■montrer de quelle importance il peut être , dans certains
cas, de trouver dans lea Tables de poids spécifique , ou
autres, les résultats écriu avec un grand nombre de
chiffres décimaux.

18. On peut appliquer les mêmes principes A la déter-
mination des racines carrées et cubiques des nombres
approximatifs. Commençons par les racines carrées , et
rappelons d'abord ce principe démontré dans tous les
Traités d'Algèbre : Quand on a obtenu la moitié plus im
Jes chères d'une racine carrée, par la méthode géné-
rale, on obtiendra tous les autres en divisant le reste par
le double de la partie trouvée de la racine. En combi-
nant ce principe avec celui de la division abrégée, on dé-
terminera aisément , dans tous les cas , la partie exacte de
la racine d'un nombre approximatif. Mais, pour plus de
facilité , distinguons deux cas ;

1". Si le nombre approximattf proposé contient un
nombre pair de chiffres décimaux, extrayez la racine,
comme si le nombre était exact; puis mettez un (o) à la
droite du dernier reste, et effectuez la division abrégée
de ce nombre par le double de la racine, fous placerez
la partie exacte de ce /quotient à la droite de la racine
déjà obtenue, et vous aurez la racine, à moins d'une
unité d'erreur de son dernier ordre décimal. Soit pour
exemple le nombre approximatif 3,4^6783. Je trouve
d'abord, par la méthode ordinaire, iSSg avec le reste
903. Je mets un (o) à la droite de ce nombre, et je divise
go3o par 3718, double de la racine, ce qui me donne
3435 ou 343, et, partant, j'ai, pour la racine cbercbée,
1,859343.

i.vGoogIc

( »54)

a". Si le nombre proposé contient un nombre impair
lie cilles décimaux, commencez par mettre un (o)à/a
droite, etvous serez ramené aucas précédent. Seulement,
il ne sera plus permis de mettre un nouveau {o)àla droite
du dernier reste, et, pour rendre la première division-
partielle possible, vous devrez commencer par effacer le
premier chiffre à la droite du divbew. Soit pour exem-
ple le nombre approximatif 54a6,356; j'extrais la racine
de 54a6356o, et j'ai ySSSavec le reste 56o4. Je le divise
par 14733, ou plutôt par 14^3 , et j'ai 38i, de sorte que
la raciae cherchée ^ale 73,638i, à moin» d'un cent-
millième d'erreur.

19. Quantaux racines cubiques, on démontre pareille-
ment que , si l'on a obtenu par la méthode générale plus
de la moitié plus deux, des c/t^res d'une racine cubique
quelconque , on peut obtenir tous les autres en divisant
le reste par trois fois le catré de la partie connue de la
racine. De ce principe, combiné avec celui de la division
abrégée, on a déduit la règle suivante, pour extraire la
racine cubique d'un nombre approximatif:

1°. Si le nombre proposé confient unnombre de cht0res
décimaux multiple de 3, on en extraira la racine cu-
bique comme s'il était exact, puis oh divisera le dernier
reste par trois fois le carré, de la racine trouvée, en ne
cherchant de ce quotient qu'autant de clùffres moins trois
qu'on en a déjà obtenu à la racine.

a°. Si le nombre proposé ne contient pas un nombre de
chères décimaux multiple deZ, on commencera par ra-
menerce cas au précédent, en plaçant un ou bien deux (o)
à la droite du nombre. Parce qu'en effet les deux derniers
chitTres du nombre n'influent en rien ni sur la partie de
la racine qu'on cherche par la méthode générale , ni sur
celle qu'on obtient par la division abr^éc, le quotient
«ontcnani toujours beaucoup plus de chilTres que l'on ne

i.vGoogIc

( .55)
doit en conserver. Appliquons cette règle à un exemple j
mais auparavant exposons, sur le procéda général de l'cx-
tractioD des racines cubiques , une remarque qui n'a point
encore été faite , du moins nous le pensons , et qui abr^e
considérablement les calculs de cette opération, surtout
quand le nombre proposé contient beaucoup de cbiûres.
30. Onsaîtqu'à l'exception du premier, tous les cbilTres
d'une racine cubique s'obtiennent en divisant par trois fois
le carré de la racine déjà obtenue , le reste correspondant
suivi du premier chiffre de la tranche suivante. Pour véri-
fier ce chîlTre , que l'on peut toujours considérer comme
désunîtes, les autres étant des dizaines, et obtenir le nou-
veau reste, on peut former le'cube de toute la racine , et le
soustraire de toute la partie du nombre sur laquelle on a
opéré; mais on peut aussi former directement les trois
parties 3 a' & -H3ai*H- A' (a désignant les dizaines, et b
les unités) contenues dans le reste, et les en retrancher.
Pour cela , on écrit, l'un au-dessous de l'autre , les trois
nombres 3a*, 3 ai, b* (en les réduisant, au moyen de
deux (o) pour le premier, et de un (o) pour le deuxième,
en unités du premier ordre) , puis on additionne ces trois
nombres, et l'on multiplie la somme par b.

Le premier procédé est beaucoup plus long , et , cepen-
dant , on le préfôre ordinairement parce que , dit-on , en
formant le cube de la racine on a le carré , et , partant , on
obtient aisément trois fois ce même carré qui sert à trou-
ver le chiffre suivant. Mais, dans la deuxième manière, on
peut aussi obtenir très-aisément trois fois ce carré (et c'est
en cela que consiste notre remarque) , en observant que
3(a-Hi}*=3fl*-h i.iiab + 3h'=ia' + 3.3ab + 3.b'.

Or, les trois nombres qu'on a additionnés dans l'opé-
ration précédente, étant 3a', 3a6ct &', il siiffit de mul-
ii'pfier respecth-cmeiU ces trois nombres par t , par a

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( 2^6 )

et par'i^ et tt'ajoulcr les trois résultais pour afoir iroisjbis
le carré de la racine. II en résulte une méthode d'opérer
qui nous a para remar^able, tant pour la symétrie des
calculs et pour la facilité avec laquelle elle se démontre,
que ponr la simplification qu'elle introduit dans l'extrac-
tion des racines cubiques.

Pour en donner an exemple , ainsi que de la règle d'ap-
proximation , soit proposé d'extraire la racine cubique du
nombreapproximatif57524)8S67a36.Jemetsd'aborddeax
(o) , et j'extrais la racine cubique de 5y524856j2Z6oo.

3oX3x8= 9ûX8

38o X 3 X 6 = ij4o X 6

386oo X 3 X a = ii58oo X »

57524856723600 / 386o3

3o5a4 \ 2700 I 2700

2653856 ( 720 2 i44o

12400723600 1 64 3 iga

346050039a \ 3484 ^33200 I

4469880000
463200

4469880000 I ^ 4470343312

23t6oo 3

43

4470111604

3460 j_44j_

33. pîjî~
,6 (
Radae = 38,60277.

Pour eflcciuer celle opération , j'ai d'abord pris la ra-
cine cubique du plus graud cube contenu dans 5y, ce

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( "57)
qui m'adoQué 3 avec le reste 3a; à côté de ce reste, j'ai
abaissé les trois chiffres suivautsj j'ai séparé les deux der-
niers et j'ai divisé la partie de gauche 3o5 par 27, égal
à trois fois le carré de la racine trouvée 3.

Le (juotieni étant supposé 8 , pour le vérifier, je mets
deux (o) à la droite de 27 ; j'écris au-dessous le produit
3o X 3 X 8 et encore le carré de 8 ; j'additionne ces trois ■
nombres ; je multiplie la somme 3484 par 8 , et je sous-
trais le produit de 3o534 • à la suite du reste a652, j'a-
baisse les trois cliiflres suivants du nombre, je sépare les
deuxdemiers, et je divise la partie de gauche 265^8 par
trois fois le carré de 38. Pour obtenirce diviseur, je place
I, 3 et 3 respectivement adroite des nombres 2700, 720
et 64) <iue je multiplie les uns par les autres; J'addi-
tionne les produits, et la somme 4^3? est le diviseur
cherché; la division de 26628 par 4^23 me donne le
quotient 6 avec le reste 12400, à la droite duquel j'a-
baisse les trois chitTres suivants. .. . En continuant d'opérer
toujours exactement de la même manièi'e , j'obtiens les
ciuq chiffres 386o2 avec le reste 346o5oo39a.

Après avoir obtenu cinq chiffres , on en peut avoir deux
en divisant le reste par trois fois le carré de la racine
=:^^yoi4^3i2. Comme on n'a besoin, au quotient, que
de deux cbilTres, je divise simplement 34^0 p^if 4^7 ^(
j'ai 77. Mettant le quolient 77 à la droite de la racine déjà
obtenue, j'ai, enfin, 38,60277 pour la racine cherchée, à
moins d'un cent-millième d'eircur.

Aur. <&MAtA^nM(., t. X, (Juillet i85i.]

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(a58)
SDBIN CBBTAW SYSTEM »'É«liATiONS Wl PWtm Mfiti;

■ D'apbés m. JACOBI (*).
(Joumïl de M. Crelle, t. X3CX, p. Si-gS; 1846.)

i. Soil le système suivant de n équations linéaires
entre les n inconnues a, P, •/vi " ■

ta', a + «*,?+ .- +<« = 'P.

(')

a + aC-)B+ +ol|'))r = r!

On suppose qu'on a la relation

M et y étant des nombres de la suite i, 2, 3,..., m.

On a ra équations entre les n—i rapports -, -vi -■
éliminant ces rapports, on obtient, comme od sait, une
équation en ( , de degré n .

Soient I,, r,,..., ï„, les n racines de cette équation.
Substituant successivement ces racines dans n — i qnd-
conques des équations du système (i), on aura n sjs-
tèmes de valeurs, pour les n — i rapports. Si l'on pose,
de plus,
(3) a= + p'+...+n'=l,

-î- sera une quantité connue; donc « sera conna, de
même P, etc. Ainsi, k l'aide de l'équation (3), les n

(*) ODlitl'eitniit d'unbcau MèmoiredeM.Stunn, snr le mîiM >»j'' >
dans le Bnlletin de Férummc {Maihémaiiiiuei, t, XII. p. 3i6: 1859).

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

systèmes de valeurs des incommes seront complètement
déterminas.

2. Désignons par «W, j3"J,..., rW, les valeurs des
mcoimues qui correspondent à la racine t^; {p) désigne
un nombre d'accents.

Les équations (i) doiment donc

'»'i«' +«iP' +■■.->-< ir* =/,a'.

Si l'on additionne ces éqnations après avoir multiplié
la première par a", la Seconde pari3",..., la dernière par
■n", le coefficieiit de a', dans le membre à gauche, sera
a',«''+a'^''-H...<i^"'n''i et, d'après la relation (a),
cette expression est la même que

a', a" + a', p" + a\y"+ 1- a'^ „" ;

mais c'est ce que devient le membre à gauche de la pre-
mière des équations (i) , pour la racine r, : donc le coef-
ficient de «' est !,«". On prouve de même que le coeffi-
cient de p' devient U |3", et ainsi des autres ; donc on a

'' ("'"" + ?'?" + ï'r" + . . . -H «'n")

= ^(«'a 4-p'p''+...,r',r'').
Et lorsque r, n'est pas ^al à (,, on a
(4) «'a''4.p'p"+ ... + ^ff"==o.

Celte relation montre, selon l'observation de M. Cau-
chy (*), que toutes les racines de l'équation en t sont
réelles.

En effet, soient t, , (,, deux racines imaginaires conju-

(*) C« mode de drimonuntion a déjï été «inployé pir Uer.nM

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( a6o )
guées, les rapports ^ el ^,t —,^ —„^ etc., qui sont des
fonctions ratîonni'Iles de t, auront aussi des valeors ima-
ginaires conjuguées. Ainsi les produits ^7^» ^^' seront
chacun la somme de deux carres , ce <pii rendrait im-
possible la relation ( 4 ) ; donc , etc.

3. Considérons les n équations linéaires suiranles :

IPi^a'i],-\-a" q,-^ ... + 'iS*^q„,
p, = p'î, -H p-^r, + . . . + pW^.,
:

a\ a", etc., ayant la même signification que ci-dessus.

Si l'on additionne les carrés de ces expressions, et
que l'on ait égard aux relations (3) et (4) > on obtient

(6) p\~\-p\^ ■■ ■ -+-;»■ =?; +9;-»-?; -t- ... -^î^

Additionnant ces équations, après avoir multiplié la
première para', ta deuxième par |3',..., et là dernière par
■k', on trouve

j q,s=p,o!-¥p,^--\- ... -H;».»/,

\ et , de même ,

Substituant ces valeurs dans la première des éqni
tiens (5), on trouve

[«'p'-(-,"p" -(-...+»""?'"']/.„

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(,6, )
Cl, à cause de l'indépendance ie p,, p,,..., p„^ on a

(8) (.'). + (..").+ .., + („,.>).= ,,

i9)

. -i-«(")pC) = o,
. +a<")-^l"'=:o,

On trouve des équations analogues pour|3', y', etc.
4. La première «les équations (i) donne

(,«' := a, «' -f a', p' -H ... -ha' n',

Si l'on additionne ces rt équations, après avoir miillî-
plîéla prcmièrepar a', la deuxième par a", etc., en ayant
^ard aux équations (8) et (9) , on obtient

/,«"+(, a*'-»- ...+/,«(") ' = .7',,
et, de même,

t\ a'p'+t,a:'^"-i +t,aC>f> = a',;

et encore n — 2 relations semblables pour y, â, , , ., n.
Faisant usage de ces n relations, on déduit des équa-
tions (7),

= a, p\ + ii^,p,p, -h la", p, p, -f- ...
"'.Pi -t- ^"'pipt
+■ a'pl

La loi est évidente. On forme le carré de
p,+P,-t-...-f-p,;
à chaque terme p, /», on donne pour coefficient aa^'-,
et an terme {p.Y le coefScient aK.

DiqilizDdbyGoOgle

( î60
Formules générales de correction pour les valeurs

des inconnues -
5. Supposons que les coefficients a, , a', , etc., des in-
coonnes varient de quantités finies, mais assez petites pour
qu'on puisse n^^ger les puissances des variations supé-
rieures k la première puissance. II s'agit de déterminer
les variations correspondantes des inconnues.

Soient j^a'^' la variation du coeffi(àenta'r',etAC| ,&>'
les variations correspondantes de t, etx'. Leséquations(i)
donnent :

«'Ati— («'Ad', -Hp'Ao' +-]'àa" + ...)
= [("'1 — ti)ia' + a\Ap'+a',i-)'+ . . .];
(il) p'Ar, — [a'A(fl')4-p'4a', 4- 7'a«', + .. .]

a" 4a' -+-(«", — /,)ip'H-o', 47'+ ...
etc.

Ajoutant ces équations , multipliées la première par a',
la deuxième par ^, la troisième par y', etc., on obtient,
d'après les relations données ci-dessus,

!il, = a''4a', + aa'p'ia', + 2a'7'4fl',-H2«'J'i(l', +...
y'Aa'-H 27^40^4-...
etc.
La loi est évidente. Ou a donc Ali en fonction des
augmentations des coefficients. Ajoatant aux deux mem-
bres des équations (11) (fi — r,) A»' à la première,
(il — tt) A^' k la seconde, (t, — tt) A 7' à la troisième,
et ainsi de suite , et puis additionnant ces équations, après
avoir multiplié la première par x", la deuxième par ^',
et la troisième par y", etc. , on obtient

(/j — r,)(a"4a'+p"4p'-H7''47'-t- ...)
= «V4fl', +(a"p'H-a'P"}4<ï', -t-fi"p'àt/,-i- ...}

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(»63 I
Cl , de même ,

(r,-(,)(a*4«'+p-ip'+T-iï'+...)

On a ainsi n — i équaiions entre les n variations ^a',
A^',eic.; ik quoi il faut ajouter la n''"" équation dàluite
de l'équation (3),

a'Aa'-t-p'iP'+7'A7'+ . . . = o.
Multipliant les n — i équations respectivement, la pre-
mière par — ' , la deuxième par , etc., et la n'*"'

équation par a', et les ajoutant, les grandeurs A|3',
Ay, etc., seront, en vertu des relations (9), simultané-
ment éliminées, et l'on obtient

*"'=*' [riIT '^7~T~^ ...Ml',

Les équations (19) et (i3) donnent doue les coeffi-
cients difiërentiels exacts,

da, '^ \t, — t, I, — fj
da' p' da' a,' do.'
tta\ «' da\ p' rfii* '

rfa' __ y ^ ^ </»'
da, p,' d<i\ ^' 1*7^ ■

'c,.;,l,ZDdbyG00gle

( »64)
Par des mutations convenaliles , ces él^antea formules
donnent les premiers coefEcients dilTërentlels de toutes
les inconnnes des n systèmes pris par rapport aux coeffi-
cients du système donné (i). On voit que les pretnien
coefficients diOerentiels des n racines t, , ti, ..■,!, sont
donnés immédiatement par les valeurs des inconnues, et
que les coefficients différentiels des inconnues a''', ^">,
pris d'après les coefficients du système (t), penvcot se
calculer aisément, seulement à l'aide des coefficients difie-
renliels pris d'après a, , a\ , a" , el] entre lesquels existe

même la relation «' j-» ^=i^' j- ' ^" prwniers coeffi-
cients dilfêrentiels de a', j3', etc., donnent les sec(»i<ls
coefficients différentiels des racines 'i , r, , etc. Si les in*
créments ^i/, et An' ne sont pas égaux, alors il faut rem-
placer dans l'équation (la) Aa', par - (Aa, + Aa' ), et,

dans l'équatîon (i3), il faut dans ce qui multiplie An',,
multiplier la première patrie par An', et la seconde pir
Aa%

jipplication astronomique.
6. Le but du présent Mémoire n'est pas purement
analytique^ mais l'illustre auteur s'est proposé de fournir
un procédé simple de résoudre nuniériquement les équa-
tions qui se présentent dans la théorie des perturbations
s&ulaires (Laplace, Alécanique céleste, liv. II, § 55). On
lit en cet endroit du Mémoire de Jacobi sept équations dif-
férentielles du premier degré, relatives aux sept orbites de
Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter, Saturne et
Uranus. L'intégration fournit sept équations du premier
degré, à liuït inconnues, ayant lafonncdes équations dn
8ystème(i). A l'aide d'ingénieuses transformations, on ob-
tient des équations dont les coefficients satisfont à la re-
lation (a); les données numériques sont empninlécs au

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(a65 )
beau travail de M. Le Verrier sur le même sujet {Addi-
tions à la Connaissance des Temps pour l'année i843)-
Les calculs, très-nombreux, ont été exécutés par M. Louis
Seîdel, de Munich, élève de Jacobi. Les résultats com-
parés montrent que le procédé de Jacobi est beaucoup
plus exact que celui dont M. Le Verrier a fait usage
[vojrez pages go, 91 et gt du Mémoire allemand).
Dans l'absence ai regrettable d'un journal d' Astronomie ,
M. Liouville, Membre du Bureau des Longitudes, sup-
pléerait, autant que faire se peut, à une lacune si hon-
teuse pour le pays , en insérant in extenso le Mémoire
de l'illustre Prussien, et d'autres travaux analogues,
dans son précieux Recueil destiné aussi aux mathéma-
tiques appliquées (•),

SUR US SURFACES ORTHOGONALES;
Pak h. LEBESGUE.

Définition. Si deux surfaces, ayant pour équations
u = o, v=±o, se coupent suivant certaines lignes c,
c', etc.; et lorsque, pour tous les points d'une de ces
courbes, c par exemple , les plans tangents aux surfaces

('] Pourquoi la nalion ne fiiUello pas conitruire dini le» enTJrons
de Pkrii an obiervatoire-modile , k l'inaUr de celui de Pulkora? L'arcenl
Qanoiufsil pas défaut pour atleiodrele nÎTeaautronomiquedela Ruaie.
Car nous coasacroni bien de* ceotaînei de mille fraacs k publier des
' TijpielieB, des desiins de ci ta combe* > etc. Lcg lilea ne manquent pas
noa plut. Od pourrait approprier k cette deilination le diAleau de Meu~
doD, ou bien la tour dite âei Anglaiijiièa ClamarL L'eiaclitude modorno
eiiee que lea mun du bâtiment soient abrités contre les commotions do
la illle; et mtae te* habitants, les observateurs. Uranle e>t une déesse
jaloase , imposant k ses ndèlea un culte assidu , cicluair, une adoration
perpétuelle.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( 266 )
soDt perpendiculaires entre eux, les surfaces elles-ntèmes
sont dites orikogontûes.

Remarque. 11 peut se faire qtie l'orthogonalttë ait lieu
pour une courbe et non pour l'autre. Ainsi , il est aisé de
former des équations dé courbes qui se coupent perpendi-
culairement en un point, obliquement en un autre; telles
seraient , par exemple , les courbes d'équations^* = a/ïx,
x*=3^, toujours perpendiculaires à l'origine, et jamais
ausecond point derencontre.Simaintenamonles fait tour-
ner autour d'une droite de leur plan , on aura deux surfaces
de révolution, qui se couperont perpendiculairement sur le
parallèle décrit par l'origine , et obliquement sur le paral-
lèle décrit par le deuxième point d'intersection.

Tbéobèhe 1. Pour que les surfaces u^=o,v:=osoieHt
orthogoneUes , U faut que les valeurs réelles x = ^z^
y = ^x, tirées de ces deux équations, rendent iden-
tiques l'équation

. , du dv dtt dv da rfc

^"''^ ~ ^ ■ ^ "^ ^ ' ^ "•" Â ' Â ~ °'

Démonstration. Si l'équation (uc) =: o se réduisait Ji
ô(^) = o, la perpendicularité aurait lieu aux poinU seuls
de l'intersection déterminés par l'équation B (z) ^ o; il
faut donc que z disparaisse pour que la perpcndicularîté
ait lieu sans discontinuité.

Exemples. Pour les surfaces

a b c ' a' V c' '

l'équation [uv) = o ne deviendra identique que moyen-
nant les conditions a — a' ^ b — 1/= c — c', qui expri-
ment que les sections principales ont les mêmes foyers.
Pour les surfaces

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(»67l
l'équatîoQ (uc) =i o ne devient idenliqne que par les con-
ditions a — (J= h — h'^ c', qui expriment encore que
les sections principales ont les mêmes foyers.

Théobème II. Si les surfaces u ^ o , c = o sont onho-
gonales, l'égiuttion (uc):=:o entraîne cette autre d{ui')^o,
qui doit aussi détenir identique par l 'élimination de x, y,
au moyen des équations u = o , c = o.

Démonstration. Cela résulte de ce que l'equaUon
(w) ^ o doit être ausû satisfaite par x + dx^ y + dy,
x-^dz, en supposant les rapports de dx, dy, dz déter-
minés par les équations

du , du , du , dp , d» , dv ,

dx dy ^ dt dx dy ds

mais, comme cela doit avoir lieu, quel que soit z, zdoit
disparaître du résultat.

Remarque. Si les équations u=o, c:=o, (u^)=o,
d(uv) = o s'accordaient sans que les deux dernières de-
vinssent identiques par l'élimination de 2 , il faudrait CD
conclure seulement que la perpendicularité des plans
tangents aurait lieu pour deux points consécutifs de l'in-
tersection.

Théobèhb m. 5/ les deux surfaces u = o , v^o sont
orthogonales, et que la condition d{^uv)=o se partage
en ces deux autres ,

dp _,/du\ dp JditX dp ,/du\

du ^ld9\ da _,/dp\

qui, ainsi que [uv) =0, deviennent identiques par l'éli-
mination de x,y, les deux surfaces se couperont smvant
une ligne qui sera, pour chaque surface, une ligne de
courbure.

Démonstration. J'ignore si ce théorème rcmarquablv

:,.;,l,ZDdbyG00gle

— d

(»68)
a déjà été donné, mais il se démontre en quelques mots: on
a les équations

dx dx dy dy dt dz '

dv ,/du\ d- ^ {du\ d„ /du\

. d-J\di)-^T/[-^)^^\di)=^-
L'élimination de -j-, -j-, -r donne immédiatement

-(r;)(ï--s-)

qui n'est autre que l'équation des lignes de courbure sons
la fonne que lui a donnée M. Joachimsthal.

Remarque. Pour les surfaces orthogonales du second
d<^ré données plus haut , on reconnaît de suite que l'équa-
tion de condition H (uv) ^ o se partage comme il est in-
diqué plus haut j ainsi ces surfaces se coupent suivantHcs
lignes de courbure. Je reviendrai plus loin sur cette re-
marque.

Th£obèhe IV. Si deux surfaces orthogonales m = o ,
i- := o , je cotipent suivant une ligne de courbure de la
surface u = o, l'intersection sera aussi une ligne de
courbure de la surface v = o.

Démonstration. On a ici l'équation (A) du théorème
précédent j puis les équations

da d» du dv du dv
dx dx dy dy dt dt ~

i.vGoogIc

(^69)

dy dz de dx dx ■' dy

ce qui réduit l'équation (A) à

* ,(du\ dp ^ldu\ d» j(du\

par suite, on aura

du ,/dv\ du . fdv\ du , f d«\

De sorte que le théorème m mentionne que l'intersec-
tion est une ligne de courbure pour chaque surface.

TaÉoBÈME V. Si trois surfaces, u = o, f^o, w=o,
sont orthogonales deuxà deux, les équations d{ui')=o,
(/(ttv) ^o, d(wu) =:Q se partagent, comme il est dit
plus haut, et les trois courbes d'intersection passant par
le point m sont tangentes aux lignes de courbure re-
latives à ce point.

Démonstration. La comparaison des équations

E'^-^^

*+*

dt =

o,

S'^ +

dj

à celles-ci

du
di

div

du

dm

-£

d^

7S

=

dv div dp dio d» dw

dt dx dy dy dz di '

montre que les dx-, dy, dz relatifs à l'interscclion des
. ■ I , div dw

surfaces ii = o, y=i> sont proportionnels <* ^) ~j~)

De m£me, pour l'intersection des surfaces c =o, w= o,

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( »7" )

, da da dit
dx djr di^
pour l'intersection des surfiaces w^o, u^o,Ies dx, ify, dt

seront proportionnels à -j-? -r-> -r— Cela posé, dans U

dëveloppement des équations

d(uv) = o, rf(c«') = o, d[ivu)=o,
ou bien dans les équations -

ErffV ./di" \ df ,/dv\ dw ,/dB\~\ „,

[rfw ,fdtt\ dw ,/du\ dfv ,lda,\~\

trfu , fda>\ du ,{daf\ du , /rfwX H „, -■

on reconnaît de suite que l'on a

P = P', Q=Q', R = R';

par suite

P + Q-|-R = o,

d'où

R = o, P=:o, Q = o

On trouve, en efiet, pourP,

rfc d'udw d'à dv div d'u dvdw

dx flSr' dx dy dy dy dz' dz dz
d'u Idv dtv dp da'\ d'à I dv div dp ^\

"*" dxdy \dilfy '^d^'S) "^ dxdz \dx'dë "^ dïdx)

d'tt Idv d» dvdivX

dydt \dy dz dx dy ) '

3,q,l,ZDdbvG00gIC

(»7' )
quant à P*, H ne diflère de P qae par le changemeDt de
c en w, et réciproquement, d'où il résulte que P = P'.
Puisque le partage des équations

d{up)= O, d{i'w) = o, <i{wtt) = 0,

a lien au point m, on en cODclura, parle théorème III,
qu'en ce point les intersections sont tangentes aux lignes
de courbure. U n'est pas m£me nécessaire que les trois
surfaces soient complètement orthogonales, il suffit que
leséquaUons {uv) = o, tHuv) = o, etc., aient lieu pour
deux points consécutifs.

Théokèmi Vl. Sii'on a trois séries continues de sur-
faces Si, Si, S(, qui soient orthogonales deux à deux,
les intersections d'une surface déterminée Si, du premier
groupe, par deux surfaces déterminées St, St, des deux
autres groupes, seront précisément les lignes de cour-
bure de S| .

Démonstration. C'est une conséquence immédiate du
théorème précédent ; car, si l'on nomme m, m', m",...,
les points de rencontre des surfaces St avec l'intersection
de St, St, on reconnaîtra que les points m, m', m",...,
appartiennent Jk une ligne de courbure des surfaces J| > j| (*) .

Ce théorème est de M. Dupin (Dec. de Géom., t. I,
p. 3^9)' Pour l'appliquer à la détermination des lignes
de courbure, il faudrait, en prenant une série continue S,,
contenant une surface donnée St , déterminer les deux sé-
ries continues Si , S* , orthogonales à S, , et , de plus ,
orthogonales entre elles. C'est une question difficile sur
laquelle l'auteur se proposaitde revenir (Dév. deGéom.,
t.I,p. 33o).n me semble que le théorème m doit être

(*) Dam aneNote du (omeVIll.p. 38ida cM<4inul«),J'il mal énoncé
el mal démnnlrécettepmpMUtoni leithéorèmeBT et VI serriront de reett'
Dcadon.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 27^ )

d'une application plus facile. M. Dupia a donné, pour
les surfaces du second d^i-ë, les trois séries continues
Si, S], Si; on lui doit aussi un théorème particulier
pour déterminer les lignes de courbure des surfaces du
second degré : L'intersection Je deux surfaces du second
degré, trajectoires réciproques orthogonales, est précisé-
ment, pour l'une et pour Vautre, une des lignes de leur
courbure. [Dèv. de Géom., t. I, p. 3o3.)

Or ce théorème est un cas particulier du théorème IQ.

Si l'on prend les deux systèmes

^-f + T, 4- -T— I =0.

on reconnaît de suite cpte les équations

,/da dv du dp du df\

\dj: dx dy dy ' dt dt) ~ '

^■ir

^(J)-S-(î)=«

Jdu\ du

\dx} dt \ds} '

sont les mêmes en supprimant un facteur numérique
constant. La même chose aurait encore lieu si , dans les
équations, l'exposant a était remplacé par l'exposant m;
mais il est probable qu'alors les conditions qui servent à
rendre {uv)^o identique, par l'élimination de x,j,
seraient généralement trop nombreuses pour s'accorder.
Voici les équations au moyen desquelles il sera facile
de discuter les lignes de courbure des surfaces du second
degré , en supposant que ces lignes doivent passer par un
point («,P, 7).

Pour la surface h ^ 4- - = i , et , par conséquent ,

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( "73 )
, on prendra la surface orthogonale

^ I , il en résultera

qui revient à (uv) = o ; de là,

e(, par suite, en posant

3 p = a + fc + c — a' — P' — 7%
on aura

«' - ap« + *<:- + fo Ç + aft ï^ = o,
' abc

d'où

« = P±V'Sî

mais, comme on a

on reconnaîtra que R n'est jamais négatif; et si l'on
représente par R, ^ Bi =: Rj , les trois dernières formes
de R, on aura

« — « = (i — pip ^R, ,

6 — K = i— p:^^r7j

An«. dr Haihémai.. u \. (Jaillel i85i.) ' 8

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( »7'()

J'omets le l'CsLe de la discussion ■■, il sera boti de consi-
dérer à part chaque espèce de surface. Comme les deuï
surfaces orthogonales k la surface donnée sont ortlw-
gonales entre elles , on voit que les lignes de courbure se
coupent à angle droit.

Pour la surface 22 = hV et iy = H ti en pre-
nant la surface orthogonale

„(„_„) J.(S_„)^

et posant

»?=" + ' + «•/.

on aura

„.-,.. + .t + i^ + ,t

delà

» = f + ï«.

puis

R = ,.-(»4 + 4^+«^

= (»-p;' + (o-4)^'

= (»-p)'-*-('-")Ç

uu

R = R, = R,,

t'i , par suite ,

Dans la discussion, qui ne présente pas de difficullé, ''
sera bon de considérer à part chaque espèce depaw'"''
loïde.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(.75)

N«TB stR mt cmtmï équation noiériqiie du sixiinE

DSGRÉ;

A la page 89 du tome X (mars i83i) des Nouvelles
AnnaleSi M. Prouhet démontre la noo-réalitë des racines
de deux équations empruntées au Mémoire d'un illustre
aBLronome.

Je vais appliquer au second des deux exemples (celui
du sixième degré) la méiliode Budan-Fourier, telle qu'elle
a été modiiiée dans le Journal de M. Liouvîlle et dans les
MémoiresdelaSocîétédesSciences, etc., deLille.{ L'exem-
ple du quatrième degrS est trop facile pour nous arrêter.)

Toute la démonstration résulte de l'inspection du ta-
bleau suivant, dont je vais expliquer la formation et les
conséquences.

A

B

C

D

E

F

G

+8659

— .596

+ C85I

+S9193
-7693

-13797

+ii43o
+ i335

-.4560

+3447
+3447

+3447

_.4!.6o

+a34îo

-3585,

-.-Ï9.93

— .596

-I-560I

-4-

-t- 6l3î

+ i3î5

-|»;97

-7fi93

-»- 68ii

+86S9

ha ligne première contient les coefiicients de l'équation
proposée pi'ls à rebours, et cbangés de signe de deux en

:,.;,l,ZDdbyG00gle

deux, pai-ce qu'il n'y a lieu d« chercher que des racines
n(?gatives.

La ligue deuxième esl formée par t'algorithme suivant.

Si l'on nomme A, B, C, D, etc., les nombres delapre-
Diièi'e ligue , et A', B', C, etc. , ceux de la seconde, on a

41Î+ 5F +

60

6E + ior +

i5G

4E+ior +

xoG

E+ ,5F +

i5G

r +

6G

tous calculs de la plus grande simplicité, de la dernière
facilité, d'une absolue généralité.

Les nombres de la troisième ligne, sous-entendus parce
que l'on n'a besoin que de leurs signes, et que ces signes
sont tous des -(-, seraient formés des nombres de la
deuxième ligne, par le même algorithme qui a servi à
tirer ceux-ci des nombres de la première ligne.

Cette première partie du calcul achevée, j'en conclus
que les racines cherchées, supposées réelles, sont néces-
sairement comprises, quatre au plus entre o et — i, et
lieux au plus eniie — i et — 1, autant que de variations
perdues en passant de chaque ligne à la suivante.

Je passe à la seconde partie du calcul. La quatrième
ligne se compose des nombres de la première ligne prisa
rebours. (Ce sont donc les coefficients de l'équation.)

La cinquièmelignc se tireraitde la quatrième au moyen
de l'algorithme; mais un coup d'œil suffit pour reconnaitre
qu'il n'y aurait que des signes +.

Donc, 1° les quatre racines supposées entre o et — i ,
sont toutes les quatre imaginaires.

La sixième ligne se compose des nombres delà deuxième

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( ^77 )
ligne pris à rebours; la septièmi: se tirerait de la sixième
par l'algorithme ; maison aperçoit aur-le-cliampque l'on
n'aurait que des +.

Donc, 3° les deux racines supposées entre — i et — 3,
sont imaginaires.

Donc, enfin, le» six racines sont imaginaires.

iN 'est-il pas surprenant qu'une méthode de séparation
des racines aussi simple, aussi facile, aussi générale, n'ait
pas obtenu la moindre mention des savants auteurs qui
se sont occupés , dans ces derniers temps , de la théorie
des équations (*).

KXUtCKBS NUNfiRriHJES SUR U VIS A FILET CARRÉ,
AVBC rROTTBNENT.

i , Notation :

P = puissance,

Q = travail résistant = 6ooo^,

,/■ =: coelficient du frottement,

R = bras du levierù rextrémitéduque) agit la force P = i*,5,

r := rayon du filet moyen de la vis := o'*,o4 ,

h ^ pas delà vis = o,oi6,

» = 3,i4i6,

T.^ travail moteur développé par la force P ,

T/^ travail consommé parlefrotlemenl=T» — Q:=T«— 6ooo.

('] On profite d« l'occiuion pour prier le lecteur de bifTer une Note
qni se troDie dans le Journal de H. LioDvllla , tome 111, page i3g, et
MimolrtidtUSocUUieLHUivani» iB38, 3* partie , page g.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(-78)

2. Formules :

R^2»r — A/

T-p î:::. -

/'bw'SoKHET, Notions de mécanique, page 191. Dans
la formule F =1 - P t lang (i + ?) , il faut remplacer F,

P, by tang i, tang 9 par P, aQ, R, ._/", eil'on trouve

la formule donuée ci-dessus.

3. Tableau des valeurs de P et T^ correspondant à
desvaieun données de/ :

P ifik.eiasSMi iB,ïl396.i8 11,^8161176 33,io3557:6

T,. . . . 979^,80335 I 10746,60746 I i»G53,74iï9; | i36i3.î6

P 16,3536648 39,61311184 Ss.S^SqSis 34,5iS49i>4

T..... i5533,63Gi5 | 17443,01448 ] ig3(>7,33443 | 9o33i,349Gi

RBPR&SEMTATION DBS ANGLES POLVÂBRES {").

Keprésenter :

i*". Un angle dièdre convexe par rapport au plau hori-
zontal et compris entre deux faces triangulaires ;

{ *) Cm questions «ont tirées de l'excellent ouirago inliluld : iViXn <■
Cro^ âe GAmélrie Oeicrlplitv, pnr M. Bardin, ancien élèvo de l'École
Polïtechnique, praresseur à l'École d'artillerie de Mets ; 1' édition, 1837.
Noos parlerolu plus amplemcDl de colle production, vadc-niecam dn
profeMeiirg de B^om'lrie 6''"phi"liie.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( ■'19 )

a". Un angle dièdre coocave par rapport au iilati Uoii-
zootal et compris entre une face triangulaii-c et une faci;
quadrangiilaîre ;

y. Un angle trièdre droit ;

4''. Un angle trièdre, ayant un angle dièdre droit.

5°. Un angle trièdre, ayant un anglcdièdrebirectangle;

6°. Unangle trièdre, ayant un angledièdreCrii'ectangle;

7". Développer un angle trièdre et mesurer l'inclinai-
son des faces ;

8". Un tétraèdre ; construire les intersections des arèies
avec les plans de projection ;

cf. Construire une pyramide, connaissant : i" sa hau-
teur; a" sa base {n, b, c, d) ; V le plan de cette base;
4" la projection du sommet sur ce plan ;

lo". Ud prisme hexagonal, la base étant située sur le
plan vertical.

SOUmONS DES OtBSTIOKS iU KT tU

Pu H. A. THIOLLIËR,
Éleva du lycée Chnrlem^jne ; clnsso de H. Orcel.

Question 236.

Si X* -t- a ay* est un carré, x' •+- ay* est la somme de
deux carrés.

En «flct, soitx'-l- ^ay' = z',

f)i-oi» peut toujours supposer z + x^ 2iir/j,/nélanl(juel-

i.vGooglc

(a8o)
conque', alors on a

y'^ nam' — nmx,
par suite , ^

ou

*> + flr' = (« — a/«)'-»-{am)'.

Donc X* ~i-ay* est la somme de deux carrés. C. Q. F. D.
Question 234.
Soit l'équation

■+■ i-(r — fl,){i — o,)(x — <j,)... (i — fl„) = o,
h est un nombre positif; m est un nombre entier positifi
les an — 1 dilTérences

sont positives; les n racines de l'équation seront rédlei
et comprises entre a, et a,, a, et ti», a^ et a«,....,(i,,_i
etaiA- (RicsELOT.)

D'après la condition

si l'on donne à x les valeois

la première partie de l'équation sera nulle, et si nom
supposons que n soà pair, la fonction prendra d'abord le
signe •+■ pour ar = a, , puis le signe — pour j; = Oj , ci
ainsi de suite alternativement. La fonction prendra les
signes

correspondant à

L

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(.31 )
il n'y a donc qu'une seule racine comprise entre cliacan
de ces n nombres.

Si , maintenant , on donne à x les valeurs a, , a, , a, ,
<ia ) - ■ • ) <iin > ce sera , au contraire , la seconde partie de
l'éqoation qui deviendra nulle, et le premier terme sera
négatif pour ic^a^, positif pour x= a^, et ainsi de
suite alternativement. La fonction prendra les signes

correspondant à

on peut donc écrire ainsi le tableau des variations de la
fonction

x^a,y a„ Ui, a,, a,, a,, a,, a,,..., a».,, a„,
f{x) -H,-, -, +, -I-,-, -,+,..., -, +.
La fonction cbange n — i fois de signe ; par suite, puisqu'il
doit j avoir au moins une racine entre deux nombres
donnant des résultats de signes contraires lorsqu'on les
substitue dans la fonction, il y aura une racine et une
seule entre Hi etii, n, et a», a, et tr,,... , a,„_, et(i,„.
C'est ce qu'il fallait démontrer.

Si l'on supposait n impair, on tomberait identique-
ment sur le même résultat ; le raisonnement est absolu-
ment le même : il suffit d'observer que si , pour x^a^
{p éunt compris entre i et an) , la fonction prend le
signe + dans le premier cas , elle prendra le signe — dans
le deuxième, et réciproquement.

Le même élève énonce et démontre ces deux tbéorèmes
de géométrie, dont le second est un corollaire du premier :

Soient une première sphère donnée etune secon de sphère
passant par le centre de la première sphère; la zone de
cette seconde sphère, interceptée parla première, a une
nire constante, qneltfite soit lerayon de la seconde tphèiv.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

• (=8a)
Soient deux sphères données de même centre, et luie
troisième sphère passant par ce centre; la zone à deux
bases, interceptée sur cette troisième sphère par les deux
premières , a une aire indépendante du rayon de la troi-
sième sphère.

Sou, H. Ed. Terré, élève de la même cluaBs, sdrouo le lieu gooine-
triquB d'une Ungente commune à deux cercles dont les centre» tout Bxea,
et dont les rayona sont \\6a par une i^qualion linéaire. Le lieu est un s)t-

BlBLIOGRiPUIE.

Complément d'Algèbre, contenant les matières exîgccs,
suivant le programme officiel, pour l'admission à
l'Ecole Polytechnique , et qui ne se trouvent pas dans
la cinquième édition du Traité élémentaire d'jélgèhre,
de MM. Choquet et Mayer; par M. Choquet, docteur
es sciences, professeur de malhématiqucs. ln-8", de
5o pages, Paris, i85i. Bachelier, libraire, i fr. Soc.
Nous avons un budget ordinaire, extraordinaire, sup-
plcmentaùe, complémentaire; et le Ministre des Finan-
ces Dous a dit récemment que les quatre adjectifs se
réduisent à un seul impératif : Pajez. Cette règle de
grammaire est d'un usage asscs fréquent, même liors fi-
nance. Ainsi, nousjouissons d'une certaine géométrie des-
criptive, ordinaire, extraordinaire (*), iupplùntentaitv,
complémentaire, et les quaire adjectifs équivalent à un
seul impératif : Achetez, Nous pouvons même espérer,

tmiiit-iur/acei , dos poinli-val
Anfiré; des théoritDcs quasi i

ri^iiiirAMiiicnl dcmonlri'!) ; un

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( .83)
si le i-ègne du programme dure (et quel règue peui se
flatter de durer), de voir toutes les sciences sujettes à
examen revêtir les quatre formes réductibles à une spule.
Dans cette prévision, nous croyons uli^ (mot sacramen-
tel) d'établir d'avance la distinction entre le supplément
et le complément. Lorsqu'à un ouvrage achevé on ajoute
de noui^lles théories, non conteDues dans l'ouvrage, et
pourtant nécessaires , on fait un supplément. Si l'on se
borne à développer, à mieux expliquer des théories déjà
exposées dans l'ouvrage, on fait un complément.

Cette distinction admise, nous croyons que le Complé-
ment actuel est un ju^^/émen/, car on y trouve les princi-
pes du calcul aux différences, une méthode de résolution
des équations transcendantes, uneméthode d'interpola-
tion, etc.; théories qui ne se trouvent pas dans le Traité
élémentaire. Peu importe le titre, l'essentiel est que l'au-
teur, vétéran dans l'enseignement examinatoire, montre
ici les qualités que voua savez: clarté, méthode, rédaction,
objections prévues et résolues, exercices numériques bien
choisis, nettement calculés et bien discutés. Pour résoudre
les équations, on a recours à la méthode Budan, qu'un
travail remarquable de M. Vincent a rendue rigoureuse.
Sans ce travail, la méthode est incomplète. 11 est vrai
qu'aujourd'hui la rigueur est décriée ; on soumet les ma-
thématiques à l'empire des à peu près. Excellente lo-
gique ! Voici d'ailleurs une de ces équations :

r* —o.ooooqSoi-wî^-r' — 0,0826^ * — 0,0022a t^- = o,
' ^^ H H H

L ^ longueur d'une condiiile rectiligne de diamètre uniforme
= ^59-,

Q = volume d'eau qui s'écoule en ime seconde = o"",o8ç),

H = banleur de colonne d'eau équivalente à la pression a l'o-
rifice = i",

f = le diami-tre il

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( a84)

Subslitaant ces valeurs , l'équation devient

x* — 0,006464 j;' — 0,000654* — 0,01 33 1 = o.

L'auteur emploie une méthode d'approximation qui
serait très-abrégée ea faisant emploi dea logarithmes de
Gauss; on trouve finalement o,43o6> x>o,43o5.

Comment, avec tous ces expédients, calculer les ra-
cines imaginaires, qui occupent de plus en plus une place
réelle dans la science? Ils n'en savent rien et ne s'en
inquiètent pas. Les équations du cinquième degré sont
spécialement signalées par le programme , parce qu'elles
servent à supputer le diamètre d'une conduite. Applica-
tion utile! ce mot décide tout, ferme la bouche à tout :
c'est le sans dot de M. Harpagon.

Le programme donne l'excellent conseil de s'occuper
de la résolution numérique des équations transcendantes;
ce sont, en effet, les équations qu'on rencontre le plus
fréquemment. Ces racines ne peuvent généralement s'ob-
tenir que par le théorème de Fourier; aussi ce théorème
sert de base au Mémoire couronné de M. Stem, sur la
résolution utimérique de ce genre d'équations : Mémoire
dont nous présenterons l'analyse à nos lecteurs. Ce théo-
rème n'étant pas mentionné dans le programme , M. Cho-
quet a recours à des procédés, à des espcdienu : il choi-
sit j pour exemple , le problème dit de Kepler, renfermé
dans l'équation
u — e ûa u ^ H,
» ^ anomalie vraie, iaconnue,

e ^ excentricité :=: o , 5 ; ce qui se rapporte â une comète.
î ^anomalie moyenne =: SS'ii']' 18", 7.

Encore une application utile, recommandée.

Dans un Averlissement , l'auteur préconise les procédés
rapides, et considère les règles générales comme une
gène pour le calculateur; considération très-désiolé-

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( a85 )
ress^e, car elle rend superflu et très-gènam le Traité été-
nientaire d'^lgèbiv, de l'autear, presque entièrement
consacré aux règles générales ; que , pour celte raison ,
j'ai toujours considéré et considère encore comme un de
nos meilleurs ouvrages en ce genre. H est le premier qui
nous ait fait connaître le théorème de Sturm et la véri-
table règle de Descartes , avec toutes ses importantes con-
séquences , qui n'ont pas échappé à l'ostracisme de i85o.
On sait avec quel enthousiasme, tenant de l'époque,
le moyen âge a accueilli l'apparition de l'algèhre, de Ja
scieuce cosstque, du divin afgorùme. Les écrivains n'en
parlent qu'avec les transports de la plus vive admiration.
Pourtant, dans un mémorandum o&cif\ , qui occupe cent
quioEe colonnes du Moniteur, ou exprime le regret de ne
pouvoir faire disparaître l'algèbre de l'enseignement (*}.
En plein dix-neuvième siècle! où allons-nous?

ji Table of anti'fogarilkms ; containing to seven places
of décimais , natural nomhers, auswering to ail loga-
rithmsfrom .ooooi to .99999, and animproved Table
ofGauss\ilogarithms, by wicft may bejbundtke loga-
rithms to tlie sum or différence oftwo quantities whose

[') • L'algèbre n'est ps>, comme rarithmétjqne et la géométrie, indli-

• penuble k loui lea hommes. Ce n'esl qa'aTcc une grande réserve qu'on
■ doit l'introduire dans l'en soigne mCnt général de Im jeunesse , et Dou*
I l'en Terrions mSme disparaître sans regret, les li^ariikmei eiceplés, d

• cette simpliQcatioD derait profiter à l'étude de l'arithmétique et de la

• géométrie. ■ {Voniteur, iï janyier i85i; supplément C, page il, pre-
mière colonne, S IV.)

C'est BU contraire l'algèbre qui simplifle tout, tellement qu'il y aurait
■TantBce d'en introduire t'écriiure dans 1«* inatîtutiona dea demoiselles;
rien n'est Tacile comme l'algèbre, disail Lagrange. On n'excepte que les
iB^rilhmes. Décidémenl , parmi les maladies en ile, telles que la gastrite ,
la cardile, la bronchite, etc., il faut aussi élaaser la lagan'lhmUe. Ellr
est etidémique dans la <vntrée des programmes.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( =86)
logarUhtns are given ; precetied hy an JnlfodacUon,
contaiiiïng also the /lùtorj of logarithms, their con-
struction, and the various ùnpi-oveinents maltetkereon
since their invention. Table d' anti-logarithmes ; conte-
nant les nombres naturels avec sept cbifTres, correspon-
dantà tousleslf^rithmes, depuis, ooooijusqu'à .99999,
et une Table perfectionnée des logarithmes de Gauss, au
moyen desquelles onpeat trouver les logarithmes de la
somme ou de la différence de deux (piantités dont les lo-
garithmes son tdonnés; précédéed'anetntrodaction con-
tenant l'histoiredcs logarithmes, leur construction et les
divers perfectioniiementE, dejjuia leur inveatiou; par
M. HerscheU E. Filipowshi. Londres, 18499 in-S",
de xvi-aao pages.

Le but final de tout calcul par logarithmes n'est pas de
trouver des logarithmes de nombres , mais des nombres
mêmes. S'il est donc imporUnt d'avoir les l(^arithmes
des nombres , il est non moins important et même davan-
tage d'avoir avec exactitude les nombres correspondant
aux logarithmes. Les Tables ordinaires ne satisfont qu'im-
parfaitement et laborieusemcot à ce besoin à l'aide des
parties proportionnelles. I.e célèbre Wallîs (J.) écrivait
déjà en i685 : Cui ut obvietur incommoda, desiderandus
videtur Canon anli-logarithmiciLS ■ in tjtio, positis lo-
gan'thmis continua ordinc sequentibus, ab o ad 10000^
adsciibantur numeri naturales his respondentes. Eojine
ut fjuafacilitate ex canonc quem habcmus pro dato nu-
meiv habetur hgarithmus ; eadem ex canoiie sic conden-
doy pro dato logaiithmo habeatur nunierus [^Aîgebra,
page 63). Il ajoute qu'il ignore si Thomas llarriot a com-
mencé une telle Table, mais que les papiers de Harriot
ont été remis à Waltcr Wainer qui a commencé on
achevé le travail, aidé par le tvli-bri! J. Pel] , de i6ai

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

à i63o; celui-ci annonça à Wallis que le travail éuit
entre tes mains de Richard Busbey , docteur en théolc^c
etdirecteurde l'Ecole de Westminster, etcedemier promit
à Wallis de publier, à condition que Wallis s'enga^àt à
remplacer Pell en cas de mort. Wallis accepu, et Pell étant
mon en i68S, l'édition n'étant pas même commencée,
tout en resta là. Un spécimen de Table anti-Iogarithmique
a été inséré par Long dans les Transactions phdoso-
phiques, année 1714- Cette petite Table ne contient que
soixante-douze logarithmes. C'est James E>odson (*) qui, le
premier, a publié, en iy4^, eu un volume in-folio, une
Table de logarithmes se succédant suivantrordrc naturel,
avec cinq figures décimales, depuis .00001 jusqu'à .99999
ctcnr<^ardtesnombrescorrespondaDts avec onze chiQres.
Ces Tables très-rares sont incommodes à manier et rem-
plies de beaucoup de fautes dont une partie a été indiquée
par l'auteur mi^mc. M. Filipowski , jeune Polonais rési-
liant à Londres, a eu l'heureuse idée de donner une nou-
velle édition de ces Tables , corrigée et sous un format
portatif in-S°j les logarithmes sont avec cinq chiffres et
les nombres correspondants arec sept chiffres , et les loga-
rithmes vont de .00001 à .99999. Une Table de différences
qui procède par centièmes permet de trouver les nombres
correspondant à des logarithmes ayant sept chiffres, ce qui
est suffisant pour la pratique. Chaque page contient cinq
cents résultats distribués en dix colonnes, chacune de cin-
quante lignes. De sorte que les cinquante premiers nom-
bres de chaque centaine sont sur la page h, et les cinquante
derniers sur la page en r^ard n ; l'argument contient

( *) Lo même a publié lie Calculator, in-j", 17/17 , pour abréger Im
calcah d'ariaiJBétiquc;eX h Malhematiciilliepoiitorr; en 1766 il a donné,
iIhds de* lei^in* publiques, U pr^mi^rv idée d'une Sopiélé d'iiHiuraneeM
iMiur In ilf et lu survi<- ; retlc Surîéli' a été établie rers 1 76S.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( ,.88)
quatre chiffres, et le cinquième est en télc de la colonne;
quelquefois , le septième et dernier chifFre à droite d'un
nombre est remplacé par la lettre italique t^; cela indique
que ce chiGTre est 5 , mais douteux, parce qu'il n'est de-
venu 5 qu'à raison de ce que le huitième chi0re est 5 ou
supérieur à 5. On évite ainsi le point que AI. Babbage
place sur les chiffres /orcés.

On comprend que les Tables peuvent aussi servir, mais
moins commodément que les Table» ordinaires , à trouver
le logarithme d'un nombre donné. Les calculateurs font
donc bien de se munir des deux Tables.

Logarithmes de Gauss. L'Algèbre de M. Finck (*)
est, a ma connaissance, le seul ouvrage français où l'on
explique ces logarithmes, qui commencent à se répandre
en Allemagne et en Angleterre. On peut s'en sei-vïr non-
seulement pour abréger les calculs trigonométriques,
mais même pour chercher les racines numériques des
équations par de rapides approximations. Au moyen de
celte Table, connaissant les logarithmes de deux nombres,
on pent trouver immédiatement, soit le logarithme de la
somme des deux nombres , soit le logarithme de leur dif-
férence, sans avoir besoin de connaître ces nombres eux-
mêmes. C'est en i8ia, dans la Correspondance de Zach
(part. XXVI) que l'illustre astronome a publié cette Table
pour la première fois avec cinq décimales ; il dît : n L'ob-
» jet de cette Table est de faciliter les procédés de calcul
» qu'on rencontre fréquemment en astroDomie. Car au
» lieu d'une triple , ou , au moins, d'iuie double entrée
» dans les Tables ordinaires de logarithmes, le mèmeré-
» sultat peut être obtenu au moyen de notre Table ou par

{') ÊUrnenU d'Alain, 3* édilion, i8f6, page âiS; c'est le Trti(« le
plua complot nir cette mUitrc.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

H une seule înspcctioD. Autant que je sache, cette idâ:
» appartient à Leonelli ; son dessein était de calculer une
■» telle Table avec quatorze décimales , ce qui me parait
B inapplicable. Il est à désirer qu'on construise une telle
Il Table d'une étendue dix fois ou cent fois plus grande ,
H et avec sept décimales ; ce serait un supplément im-
portant à joindre aux Tables ordinaires. » Cette Table
consiste en trois colonnes désignées respectivement par
A , B , C . La Table A va de 0,0 à a,o avec trois décimales ,
de a,o À 3,4 &vec deux décimales, et de 3,4 à 5 avec
tme décimale. Soit a tm nombre de cette colonne A,
logaritbnte de a'. Alors le nombre correspondant dans la

colonne B est log {i-\ — ; U et le nombre de la colonne C

est log (i -+- a'), de sorte qu'on a toujours C = A -(- B ;
supposons maintenant qu'on ait les deux logarithmes
log m, log n, sans connaître ni m ni n, et qu'on veuille
trouver log (m-Hn) au moyen delà Table. On cherche,
dans la colonne A , le nombre a égal à Ic^ ni — \og n , donc

a'^ —1 la seconde colonne B donne log liH 1; ajou-
tant ce nombre à log m, on obtient log (m-t- n), ou bien
encore ^ prenant le nombre correspondant dans la colonne
C, on a log ( I H ] ; ajoutant ce nombre à log n, on

bbtieot encore log [m ■+■ n). On voit comment il fau-
drait procéder pour obtenir log (m — n), ce qui fournit

quatre solutions. Si log — surpasse o,3oio3o, il faut le

chercherdanslacolonneCisilog-estmoindrequeo,3oio3,

il faut chercher dans la colonne B. On a joint aux Tables
ce qui est nécessaire pour les interpolations.

En 1817, M. F. -A. Matthiesena publié, à Altona, une

Ann. <Ii;ir«'AAni'., t. X.{Aoaii85l.) 19

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( ago )
semblable Table avec sept décimales ; une autre a été pu-
bliéeà Londres, en 1849, par Peter Gray avec six déci-
males. Dans uoe nouvelle édition des Tables de Véga, on*
inséré les Tables de Matihiesen , mais encore perfection-
nées. En6n M. Filipowski a donné à ces Tables une nou-
velle fonne qui donne aux deux opérations log (a + b) et
log [a — b) plus d'uniformité et plus de facilita. Il nous
serait difficile de faire comprendre la disposition îmagittéc
par Tingénieux auteur sans qu'on eût ses Tables sons l«
yeux.

L'ouvrage est terminé par uo Appendice puHié en i85o,
i^t contenant une Table d'annuités à 3 pour loo pour
tToîs têtes, avec toutes les combinaisons d'âge de cinq s
cent années, d'après les Tables de mortalité de Carlisk.
M. de Morgan, célèbre professeur à l'Université de Lon-
dres, a donné son approbation à l'ouvrage de M. Fili-
powski. Une telle autorité dispense de tout autre éloge.
Le mérite essentiel de Tables consiste dans l'exactitude;
qualité que le long usage, par beaucoup de calculaienn,
peut seul constater. L'habileté de M. Filipowski permet
dVspércr que son œuvre si utile soutiendra cette épreuve.

TmiTÉ DE TntGONOMÉTitiE; par M. J.-j4. Serrel,

examinateur pour l'admission à l'École Polytechnique.

Paris, i85i-, in-8" de 3i5 pages et deux planches:

Bacfieh'er, libraire- Prix 1 3 fr. 5o c.

Celle Trigonométrie est destinée à trois classes de lec-
teurs : 1° aux candidats pour l'École Navale et l'Ecole
du Saint-Cyr; a" aux candidats pour l'École Poly-
technique; 3° à ceux qui veulent apprendre les Mathé*
maliqucs. C'est surtout à celte dernière catégorie qw
nous recommandons l'ouvrage , comme le meilleur qu'ils
puissent étudier sur cette matière. Le célèbre géomètre a

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( »9' )
mù dans l'exaineit des fonctions circulaires, le même
esprit de sagacité qu'il a porte naguère dans ses travaux
sur les fonctions elliptit^ues. Ainsi le livre I" (i-a8)
traite des fonctions de lignes qui se rattachcRt au mouve-
ment d'un point sur une circonférence, dans un sens et
dans le sens opposé. L'auteur fait ressortir avec soin
VatnpUtade et la pé/iodiciié de ces fonctions , propriétés
qui occupent aujourd'hui une place si importante dans
les traoscendautes d'un ordre intégral plus élevé ; car
on sait que toutes les transcendantes ont pour origine
des intégrales possibles, mais non algéhriquement pos-
sibles. Rattacher les sinus, cosinus, etc., à un mouvement
de va-et-vient est une idée newtonicnnc. Le grand homme
est le premier qui ait indiqué la vraie naissance de la
quantité, en la considérant comme le résultat S\xajlux
continuel avec des vitesses variées, variation de concep-
tion innée et qui contient la véritable métaphysique du
catcnl infinitésimal auquel Leibnitz a assigné son vrai
algorithme. Le point initial des espaces est d'un choix
arbitraire; mais le choix étant fixé, les signes donnent
aux quantités une valeur de position forcée et non pas
conventionnelle, comme on le dit quelquefois. Dans
l'échelle génétique de la quantité, la place du zéro est
arbitraire; mais les quantités en deçà et au delà sont
nécessaireinent àe signes opposés. D'ailleurs, la méthode
cartésienne consiste essentiellement dans l'application
des théories équationnelles aux affections géométriques;
dans une équation, les grandeurs relatives des racines ne
changent pas en remplaçant l'inconnue par une autre
inconnue quelconque augmentée d'un nombre quelcon-
que; de même la position respective des points ne change
pas par un déplacement d'origine, et c'est ce qui fait de
l'interprétation des signes une proposition apodîctîque.

i.vGoogIc

( ^93 )

indépciiJaiilc de notre volonté, nullement cou\cnlioti-
nolle.

Le livre II (29-68) renferme l'addition, lamulU[Jica-
lion et ta division des fonctions circulaires. La discusnon
des racines , leur raison ^élre est faite avec beaucoup de
soin et avec une extrême clarté; bonne préparation pour
des études semblables sur IcS fonctions elliptiques. On dis-
tingue le rapport de l'arc à la circonférence et le rapport
de l'arc au rayon , distinction utile pour établir l'homo-
généité des fonxiulcs. II est à regretter que l'on ait omis
le calcul et l'algorithme des différences et des différen-
tielles des fonctions circulaires; ce calcul appartient aux
éléments , il est même tacitement employé dans le livre
suivant, où les coefficients différentiels (quotients diSeren-
tiets des Allemands) porieut pour masque le mot limàe.
Le livre III {G^-tj^) est consacré à la construction des
Tables des lignes trigonométriques etde leurs logarithmes.
Les applications numériques et bien choisies familia*
risent promptement avec l'usage des Tables dites de
Callet. La Trigonométrie rectîligae est enseignée , théorie
et pratique , dans le livre IV (gy-iSS). Nous signalenu
la question suivante (page i3i) assez intéressante: Que'
doU être le rayon d'un cercle pour <]ue la différence
entre un arc de 10 mètres et sa corde soit plus petiie que
I millimètréP Le rayon doit être égal on supérieur t
25q mètres ou -^ de lieue. La propriété s^mentairc
anharmoniqne est le sujet d'un problème.

Le livré V (139-176) contient la Trigonométrie splé-
rique : on démontre la généralité des trois formules fon-
damentales. Nous préférons la démonstration si simple
qu'on doit â M. Poiurant, aujourd'hui élève à l'Ecolo
Polytechnique (tome VDI, page 58). Le théorème de
Legendre, relatifs la réduction du triangle sphérique au

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

("93)
triangle i-ectilignc, est clairement développé, mais pas
avec la rigueur que lui a' donnée Gauss. Une application
numérignc de ce beau, théorème est ici à désirer.

Le livre VI et dernier (i77-ai5) est intitulé: Complé-
ment de la Théorie des fonctions eirculaires. On y lit
une belle exposition des théorèmes de Cotes et deMoivre,
fondée sur les propriétés des expressions complexes
a + ^'i <pie MM. Gauss et Cauchy ont rendu d'un em-
ploi si universel. Peut-être qu'on aurait dû donner la
résolution trigonométrique de l'équation x'^ — i ^ o, et
indiquer quelques propriétés qui lient les fonctions cir-
culaires à l'arithmologie ; liaison qu'on rencontre aussi
dans les fonctions elliptiques, et qui existe probablement
aussi pour les fonctions abéliennes.

Les séries principales relatÎTes aux fonctions circu-
laires terminent cet ouvrage, digue de l'auteur de Vj41-
gèire supérieure (*) , qui occupe im rang si haut daos l'en-
seignement. Le plus bel éloge que nous puissions en faire
est de dire que la marche suivie par M. Serret est au
niveau de l'état actuel et aux antipodes de la marche
prescrite par certain document officiel que nous ne vou-
lons pas Donimer.

La science est un édifice à plusieurs étages. Chacun
doit présenter des degrés pour monter à l'étage supérieur \
conditions que doit remplir tout ouvrage Intimement
classique. C'est une qualité qui distingue éminemment
cette Trigonométrie ou plus exactement cette Théorie
élémentaire des fonctions circulaires.

(*) Prit: 7 (t. 5o c. Bachelier, libraire.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( =94)

MtTHODE nOUVELLE POUK CALCULER RAPIDEHEHT LES LOCl-
RITHXES DES KOMBKES ET ro'us TKOCVE& LES MOmKBS

cOKDESFOHDiUrr aux LOoiUTUifEs ', précédée d'un Rap-
port fait à l'Académie des Sciences, au nom d'onc
Commissioa composée de MM. Lîouville, Bioet,
Caucby rapporteur. Par M. Philippe Koralek, ancien
élève de l'École Polytechnique de Vienne en Autriche.
Paris, t85i •■, in-S" de Sp pages. Bachelier, împriaienp-
libraîre. Prix: a francs.

Dans cet opuscule, on apprend & calculer avec sept
chiffres décimaux exacu le logarithme d'un nombre entier
compris entre un et dix millions, et i faire l'opération in-
verse, en moins de minutes qu'on ne met ordinairement
de quarts d'heure. C'est une sorle de locomotive attachée
k la construction des Tables. Est-ce au moyeu d'une nou-
velle théorie? Non. L'auteur a-t-il découvert quelmie
nouvelle formule? Non. Fait-il emploi de quelque for-
mule connue, mais peu répandue? Non. Il se sert de la
formule la plus vulgaire, savoir :

log(,+-) = M(.-f+'4--^+...).

n fait sur cette formule une observation tellement simple,
que chacun peut se croire légitimement capable de faire
cette observation. Et cette observation si simple vous
permet pourtant, à l'aide de ces cinq valeurs : log a, log 3,
^0S7> log II, log i3, de calculer en moins de six minutes
le logarithme d'un nombre quelconque pris dans l'inter-
valle ci-dessus indiqué. Quelle est cette observaUon? Je
vous engage k la lire dans l'ouvrage même. Les profes-
seurs y trouveront une méthode qu'ils voudront enseigner
à leurs élèves; et ceux-ci y trouveront des exemples de
calcul logarithmique.

Le pr(^ramme exige le calcul de vingt logarithmes.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

{ agâ )
D'xpràsU méttiode usitée, il faut cinq heures de travail;
deiu heures suffisent d'après la nouvelle méthode. Mais
l'utilité de la seconde partie de l'ouvrage nous semble en-
core plus grande : une Table, plac^ à la fin, permet de
irourer les logarithmes avec vingt-sept chiffres décimaux ;
ce qui esl d'un immense avantage en beaucoup d'occa-
sions. Car on sait que nos Tables à sept ligures décimales
sont loin de satisfaire à tous les besoins du calculateur.

Il est 1 espérer que la méthode de M. Koralek se répau-
dra promptement. La modicité du prix et la simplicité des
raisonnements mettent l'ouvrage à la portée intellectuelle
et financière de tout le monde.

Puisse l'auteur nous gratifier bientôt de sa méthode
expëditive pour calculer les logarithmes des lignes trigo-
nométriques.

Les Tables de Callet sont toujours stéréotypées f mais
la science ne se prèle pas à un trop long stéréotypage.
Voici des améliorations très -désirables.

1°. Indiquer, par uu signe de convention, si les loga-
rithmes sont par excès ou par défaut, à l'instar des Tables
de Babbage.

3°. Mettre les lignes trigonomélriques naturelles sur
le verso et les logarithmes correspondants sur le recto
de la page suivante , comme dans les Tables de Hutton.

3". Ajouter les sinns-verses , lignes (ju'on rencontre si
souvent dans les machines dynamométriques.

4°. Ajouter les logarithmes deGauss, d'um application
si commode dans la résolution des équations numériques.
On les trouve dans les Tables stéréotypées de Vega,
éditées en 1849, par M. le D' Hulse, à Leipzig (*).

5°. Ajouter les renseignements nombreux qu'on trouve

( ■) CmTabln no coAlenI que i i TranCT. L'nc rfc'e » f"''"' """ / '"">'•-

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( "96 )
dans ces dernières Tables , sur tes nombres premiers, sur
les puissances des nombres , etc.

6°. Ajouter au texte le procédé Koralek et l'instmc-
àon sur la règle à calculer, d'après M. Lalanne, dont
nous parlerons prochainement. IVous aurions ainsi le
Manuel du calculateur.

A cette occasion, nous recommandons des Tables d'nn
autre genre qui viennent de paraître Jk Berlin. M. le
D' Minding a publié une collection de toutes les intégrales
indéfinies et définies connues, y compris les fonctions
elliptiques (*). L'ouvrage a été publié sous les auspices
du Mulâtre du Commerce et des Travaux pablies i
l'usage des Écoles industrielles (gewerbschtile) ! Qu'en
disent ceux qui regrettent de ne pouvoir faucher sur notre
sol la simple algèbre?

COBRESPOUBANCII.

i. M. Dupuy (Léon) adresse une seconde et bonne
solution détaillée et discutée de la question 66. { fayez
tome IX, page i88; Marqfoy.)

S. M. Mannheim, sous-lieutenant élève d'artillerie
^voyez tome IX, page 4^9) i apoblié àMctz, en janvier
i85i, une Note Itlhographiée sur la théorie des polaires
réciproques (Mémoire in-4° de i3 pages). L'auteur fait
usage de cette méthode pour transformer une propriété
géométrique donnée en d'autres propriétés. A cet effet, il
transforme une propriété, par le principe de liualàé et à
l'aide d'un cercle directeur, dans la propriété polaire cor-

(') Le prii eîl de ^ rranca. Une rcjle à calcul çoùle 7 frano.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( »97 )
respondaDte , et ensuite il transforme cette seconde pro-
priété en une troisième à J'aide d'un second cercle direc-
teur, etc. î c'est un moyen euristitjue assez fécond. L'auteur,
s'adressaot aux géomètres, s'exprime avec tme extrême
concision , peut-être aux dépens de la clarté.

3. M.E. de Sécillon , élève au lycée de Nantes, adresse
ce théorème : TTn octogone étant inscrit dans une co-
nitjue, on peut considérer les côtés pairs comme côtés
d'un quadrilatère et de même les côtés impairs; or, deux
quadrilatères se coupent en seize points; huit de ces
points sont évidemment sur la conique donnée et les huà
autres points sont sur une seconde conique. Le moyen de
démonstration est celui que M, Gcrgonne a donné le pre-
mier pour démontrer l'hexagramme de Pascal, moyen qui
peut se généraliser ainsi : Étant données deux courbes
planes de degré n cliacune , elles se coupent en »* points j
si np de ces points sont sur une ligne de d^ré /> <^ n ,
les n (» — p) points restants sont sur une ligne de degré
n—p. Dans le théorème énoncé ci-des8U8,n^4ï/' = 2.
Lorsque le polygone inscrit est d'un nombre impair de
c6tés, on remplace le cdté manquant par une tangente (*).

4. M. Joseph-Edmond Wagner, aujourd'hui élève à
l'Ecole Polytechnique, dans un Mémoire accompagné
d'épores très-bien exécutées, s'occupe de la division des
angles au moyen de ce lieu géométrique ; sur une corde
donnée de position et de longueur, on fait passer des arcs
de cercles que l'on divise chacun dans le même rapport
donné de i ; n. Les points de division forment une ligue
dont il est facile de trouver Téqualion ; cette ligne étant
construite, elle peut servir à diviser un arc et aussi un
angle donné. On sait que pour la trisection on obtient
une hyperbole; l'auteur trace cette hyperbole ainsi que

(*) Ndu> dunncrani une Noir hiMniclivi: de M. Abel TranaDD sur rc

3,q,l,ZDdbvG00gIe

( =■9»)
la combe relative à ta quînti section. Le Mémoire est ter-
miné par la construction et la disco&aîon du Jblium sui-
vant qui peut servir à diviser un angle dans un rapport
donné m : n. Soient AFC un triangle domié rectangle
un F, et AFM un triangle dont le sommet est mobile.
Soit H le point d'intersection de la droite mobile AM
avec la droite fixe FC^ supposons qu'on ait la relation ,

angle = ~ i de là on déduit l'équadon polaire

du lieu du point M. Ce travail remonte au temps où l'au-
teur était encore éUve au collège de Saveme et annonce
de l'application etderiniclligence.

5. M. Bugnat, élève de Mathématiques supérieure*
au lycée de Versailles (classe de M. Vannson) , énonce
et démontre ce théorème :

Dans une conique, si l'on mène la normale en un
point quelconque P et par le foyer f une droite fK
parallèle à cette normale, rencontrant la directrice
voisine en K^ la droite PK est un diamèti-e de la co-
nique.

A l'aide de ce théorème, M. Bugnat résout le problème
suivant :

Connaissant les sommets et les foyers d'une conique,
trouver le point de contact d'une tangente donnée de
direction, sans que la conique soit tracée.

La démonstration sjuthétique est facile.

6. M. Borîes (Alphonse) , élève au Ijcée de Montpel-
lier, énonce et démontre les théorèmes suivants :

i". Soient le triangle rectiligne ABC; abc une trans-
versale coupant respectivement BC , AC , AB en a^ b,c;
menons les droites Aa, Bi, Ce. Soient Ot, h,, c,, les
intersections respectives des droites ^b et Ce, Aa et Ce,
\a e(Bi; les droites Cci, Bfr, , An, convergent versïc
même point.

Démonstration ytav les piopiiélés segmonlaire». Le

:,.;,l,ZDdbyC00gle

(-99)
thÀ>réiiie est évident lorsqu'on suppose la transTeraaIe
parallèle à un des côtés du triangle, et de cette position
particulière, on passe par la perspective à la position
générale et aussi au triangle spbériqne.

a". Mêmes données et mêmes constructions; en outre,
circonscrivons une circonférence au triangle ABC-, sup-
posOTts que cette circonférence coupe Aaenet,Bb en^,
Ce en y, tes trois droites aa, , ^ &i , fc, se coupent en un
même point.

Les propriétés des sécantes donnent
f c,p.c,B=:c,7.c,C,

' £,ii,6,A=: b,p.b,B;
d'où
c,^.a,7.A,a c.B.a,C.b,k = c,y a,».b,p.e,C.it,A.b,B.

D'après le théorie précédent, les droites c,C, i|B,
a, A passent par le même point. Donc, par une propriété
segmentaire, on a

c,C.n.A.i,B = c.B.fl,C.i,A,
puis,

ï,p.a,7.6,a = c,7.fl,a.i,pj

donc les trois droites c,y, Oia, bip convergent vers le
même point. C. Q. F. D.

Cette solution ne diacre que très-peu de celle qui a été
donnée tome VI, pages 3^6 et 377.

3". Étant donnés un cercle et un triangle circonscrit
ABC; prenant respeciivement les points a, 4, c, surles
côtés BC, AC, AB, tels que les droites ka^ B£, Cr,
convergent vers le même point.

Soient et le point d'intersection de la seconde tangente
menée par a avec le côté bcj |3 le point d'intersection de
la langenle menée par h avec le côté ac, et de mémo y

:,.;,l,ZDdbyG00gle

{3oo )
sur le côté abj les trois points a,^,y sont en ligne droite.

Eaeiret, désignons para,, ^ti pitiés points de conuct
des côtés BC , AC , AB avec le cercle , et par M» le point
de contact delà seconde tangente menée paré; ilstiffitde
démontrer que les trois polaires de «, ^, y sont conver-
gentes, et rappelons que la polaire d'un point s'obtient en
joignantpar une droite les pôlesde deux droites passant par
ce point; que le pôle d'une droite s'obtient par l'intersec-
tion des polaires de deux points pris sur cette droite. Le
pôle de B & est un point p, de la droite », fit polaire de b ;
le pôle de Aa est unpointecideladroite|3iV,,etlepô]ede
C c est un point y* de ta droite a, ^i ; mais les trois dioiles
Aa, Bi, Ce éunt convergentes, leurs pôles a,, /3,,v,
sont en ligne droite transversale par rapport au triangle
"^1 01 7i • Cherchons le pôle de ac ; «i a, est évidemment la
polaire de a, y, y^ la polaire de c; donc le pôle de ac est
Il intersection des droites a, a, , ^i ^i ; .M, I, est donc la
polaire de y, et les trois points 0,, M, , p^-sont en ligne
droite, car |3,M/3, est la polaire du point fi; donc la
circonférence coupe la droite [3, p» menée du point |3i à la
transversale fXt j3, ^, au point Mi. Si nous désignons par
M,, M, les points où tes droites «!«■, yift sont coupées
par la circonférence, et par I, , I) les poinU analoguesà Ii,
on voit, d'après le théorème II, que les droites I|M|,
Il Ml , I, M, sont convet^ntes et sont les trois polaires
de a, p, y.

Corollaire. Par les points a , fi , c on peut faire passer
une conique touchant le triangle en ces pointe. Projetant
coniquement la figure sUr un plan, on obtient une pro-
priété de coUinéation entre deux coniques inscrites au
même triangle, et projetant la figure sur une surface
quelconque , on parvient à une propriété entre certaines
cou rbcs^t racées sur ces surfaces.

Observation. C'est une généralisation d'un théorème

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(3».)
(le M. Chaslcs, questioQ du grand coacouEs de 1847
(tonte VII, pages 394 et 3oi).

Nous félicitons M. Bories de manier si bien les pro-
priétés segmenUires et polaires ; qu'il persévère et se rap-
pelle ce vers du fabuliste :

ÉLfiXENTS B'ARITHISTI«tB, EXPOSÉS SANS LE SECOURS

DE L'ALGÈBRE,

Par m. E.-A. TAILRIER, docteur es sciences

L'AritbmétiquedeM.Tarnierasaplace marquée dans
les bons livres élémentaires qui ont paru depuis quelques
années. L'auteur a sa, même après la publication des
excellenls traités de MM. Rcynaud, Cirodde, Guilmin,
Bertrand, Briot, faire un ouvrage utile, et utile snrtont
à un grand nombre de lecteurs.

La plupart des Traités qui ont paru dans cesdemiers
temps s'adressent principalement à des élèves qui ont
déjà certaines notions élémentaires sur l'arithmétique,
ou qui se sont familiarisés avec les méthodes de calcul-,
M. Tamier a voulu que son livre pût être mis entre les
mains du commençant, et qu'il pât lui suffire pour con-
tinuer ses études jusqu'aux parties les plus élevées de
l 'arithmétique.

Ce livre se divise en deux parties : dans la première ,
que l'auteur appelle Varilhmètique proprement dite, il
expose , en adoptant la méthode appelée synthétique, les
premiers éléments, comprenant l'exigé du baccalauréat

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(3oi)
ès leltres et es sciences pliysiques , l<;s quatre premières
opérations sar les nombres entiers, les fractions ordi-
naires et décimales , les caractères de divisibilité les plus
simples, le si^stème de numération décimale, le plm
grand commun diviseur à deus nombres, l'extraction de
la racine carrée, les proportions , et l'exposé du système
métrique ; enfin un très-grand nombre de c[uestioas sur
les intérêts, les paruges proportionnels, les fonds pu-
blics, les alliages, etc. ; complément indispensable pour
faire connaître à l'tlève toutes les ressources <jue les mé-
thodes purement arithmétiques peuvent apporter à la ré-
solution des problèmes. Nous approuvons fort l'impor-
tance que M. Taroier a donnée à cette partie de sou livre,
et sa préoccupation d'y éviter l'emploi de la résolution
d'équations et de notations algébriques-, bien convaincu
que, malgré la simplicité qu'introduisent dans la résolu-
tion de ces mêmes questions les notations et le calcul
algébrique , on ne peut pas offrir aux jeunes intelligences
d'exercice plus utile et plus propre à leur développement ^
mais c'est surtout, nous le répétons, en évitant tout
moyen de solution qui ne serait qu'une traduction de la
mise en équation du problème , que ces exercices acquiè-
rent toute leur importance.

Dans la seconde partie se trouvent les propriétés géné-
rales des nombres, l'extraction de la raciue cubique, la
théorie des progressions et des logarithmes, le complé-
ment de la théorie des fractions décimales périodiques , et
quelques notes sur les approximations décimales. Cette
partie est traitée d'une manière assez complète pour que
ce livre puisse, comme nous le disions en coininençanl,
conduire l'élève jusqu'à la fin de ses études arithmé-
tiques.

Les détails abondent assez, dans ce Traité et y sont choi-
sis avec assez do variété pour que le lecteur ne soit pas

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

{3o3 )
oblige d'aller clicrchei' ailleurs des applications et des
exercices; les démonstratioDsysonlexposéesaTecuettetéet
rigueur; dous ajouterons cependant que la méthode syn-
thétique ou plutôt dogmatique que M. Tarnier a employée
dans son livre, ne doit pas, à notre avis, être exclusive-
ment adoptée : si cette méthode est utile pour éviter aux
commençants des tâtonnements trop nombreux, nous
croyons, d'autre part, que l'état intellectuel de l'individu
passe par les mêmes phases que celui de l'espèce, et il n'est
peut-être pas saus utilité, pour bien faire counatti'e une
science, de l'exposer dans son ordre naturel , qui est le
plus souvent l'ordre historique; il faut que l'élève abor-
dant une nouvelle opération, le procédé spontané lui
soit d'abord indiqué , puis successivement toutes les sim-
plifications introduites pour arriver à l'état final.

Quant au plan de tout l'ouvrage , en tant qu'exposition
d'un système complet d'arithmétique , nous ne saurions y
donner notre approbation, et nous sommes certaiu «pie
l'auteur lui-même est de cet avis; car, d'après le but
qu'il se proposait , i! a été obligé , pour tracer le plan de
son arithmétique et pour en délimiter les parUes, de
s'assujettir à l'ordre arbitraire et irratiounel du programme
du baccalauréat, où la racine carrée se trouve dans une
partieet la racine cubique dans l'autre, etc.

Enfin , l'ouvrage de M. Tamier a pour caractère prin-
cipal de se mettre , comme nous le disions , à la portée des
élèves les moins avancés, et de pouvoir servir aux intel-
ligences les plus rebelles; tout en restant suffisant pour
les élèves qui ont à faire des études complètes ; l'auteur a
voulu consciencieusement faire un livre utile, et il a
réussi.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

{3o4 )

MTÏ SUR US SECTIONS CIRCUUIRES DANS LES SIJBFACBS

DU SECOND BBGRÊ;

Pak h. TILLOL, professeur à Castres.

Cette Note a pour but de rendre 1» recherche des sec-
tions circulaires iadépendante delà transformation d'àxes
dans le plan de la section.

Soient F ^ o l'ëquation de la surface ;/= o, /, = o
les équations de deux plans qui la coupent. L'équation
F + l// = o

représente upe surface passant par les points d'intersec-
tion de la surface F = o avec chacun des plans y= o ,
y, = o ; dès lors , si l'équation

peut devenir celle d'une sphère, il sera établi que ta sur-
face admet des sections circulaires, et les équations
J'= o , _/î = o en détermineront la direction.
Soient

F = P«» 4- P" j' -H P" 2' + Q X -4- Q*/ + Q* s + E = o^

l'équation de la surface dans laquelle P, P', P", Q,.--
peuvent admettre des valeurs numériques et des signes
quelconques , et

f=ax + bjr+cz+d=:o, /, = a'x+b'x-hc'i + d' = o,
les équations des deux plans; l'équation de la surfaix
auxiliaire sera

P*' -t- P'j-' ■+■ P"ï' -1- Q« -I- Q> + Q"* + E
+ l(flj:+ by-i- n + d) [a'x-i- b'y + c'z-i- ii')=: f,,

:,.;,l,ZDdbyG00gk'

{ 3o5 )
ou, en développaut,

{P + i<i<i') ar» + (P'+ UA')^' -h (P" -I- X«') a'
+ i[(a6'+ ba'] xy +(ac'+ cfl')ia + ( 6c' + eh')yi\
-h [Q + \{ad' + rfa')] « + [Q' + i(Arf' + rfô')] j'

4-[Q" + iM' + ''c')]<-l-E + lrfrf'=o.

Pour que cette ëquation représente une sphère, en suppo-
sant les axes rectangulaires, il suËTît de poser

P + \aa' = P' + liA' = P" + Icc',
ii6' + ia' = o, ai/ + ca' ■=f>, Ac' + eft'=:o.

Ce dernier système peut être vérifié de pli
nières. Posons d'abord

les équations de condition deviendront, dans cette hypo-
thèse,

P = P* + 1 bh'= P" + Icc", Je" 4- cA' = o;

W = T--

rpJ*

et

à cause de ^ ^ — t?'

c' ce'

P"-
p—

p
p-

d'o

ù enfin

c ,/P--P C
6 Vp-P'' V

= -

V

p-

-p

p'

Ijî!

équations
a™. A M-rtrn»(., t. X. (Aoâi i35

'■)

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 3o6 )
iIcTiondront, dans ce cas,

1 . /P- — P t'

('-■\/p=P'+f = "

<le même, les conditions h ^ V^ a^ c =

Il résulte de ces six équations que les surfaces du secooii
degré admettent, dans six directions différentes, des sec-
tions circulaires (réelles ou imaginaires) et parallèles à
l'un des axes principaux de la surface; de là aussi lui
lliéorèmc remarquable de Hachette, savoir que âcuX
cercles quelconques appartenant à des séries différentei
sont toujours situés sur une même sphère.
. Si l'on part àe l'équation plus simple

dans laquelle ou a les relations

H>o, ei P>P'>P",

un voit que dans le cas de l'ellipsoïde- , le système (3 ) *'^'
seul réel, ce qui indique que les sections circulaires sont
parallèles à Taxe moyen.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

Dans riiyperboloïde à une iiappo , P" ■< o , le ays-
tème {3} est seul réel, et les seclions sont parallèles au
plus grand des axes réels.

Dans le cas de l'hypcrboloïde à deux nappes, P' et P"
sont négatifs, le système (3) est seul réel, et les sections
sont parallèles au plus grand des axes ioiagiDaires.

Les équations de condition étant indépendantes des
coefficients Q, Q', Q",.--i Ej les plans qui déterminent
les sections circulaires dans tes liyperboloïdes les déter-
minent aussi dans le cône asymptote. Une section d'une
série peut ëlre regardée comme la base du cône, l'autre
comme une section anti-parallèle.

Dans le cas des paraboloïdcs , l'équation en coordon-
nées rectangles peut toujours prendre la forme

P'/'-f-P"s' — Qx = o,

P' et P" étant de mêmes signes dans le paraboloïde ellip-
tique, et de signe contraire dans le paraboloïde hyper-
bolique. Dans le premier cas, on peut avoir

F > P", o» P' < P",
d'où

^+r

/ P'—P" d_^ ^_ / P'— P" ^ rf'_^
/ p' d ' . /^f- rf'

dans ce cas il y aura deux séries de plans perpendiculaires
à celui des ^rj'ct des xz. Si P' = P", il n'y aura plus qu'une
série de plans perpendiculaires à Taxe du paraboloïde.
Dans le paraboloïde hyperbolique, on a
P'>o et P"<o;

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 3o8)
It-s «[uations des plana dcvieuncnl alois

'\/v-^î=''- ^-■Vf-'

elles paraissent indiquer deux séries de sections circu-
laires. Mais l'élimination successive de ^ et de z entre ces
^uatioDS et l'^uation

P'j-'— P"z' — Qj: — o,
conduisant à deux équations du premier degré , il s'en-
suit cpie les projections de l'intersection sur les plans des
.Tz et des yz sont du premier degré , et que par suite les
intersections sont des lignes droites.

(Extrait d'un ouvrage inédit .)

DR u svrrs wi»vm et des suites comsTAims qui

TEintBNT A SE FORMER BANS LES SUITES DUTOMIQtIBS

Par m. dk POLIGNAC,
Élèïe do l"É«i1c Polytechnique.

A cause de U symétrie des suites diatomiqnes , si, au
lieu de partir de zéro pour former une période d'nne

suite diatomique, on part-de ^— ^> on formera la moitié
d'une période en allant jusqu'à fiV„. Désignons par a le
nombre CJ—î, «t considérons la suite des nombres na-
turels
...a-e, fl-5, fl_4, «_3, a -2, rt-i, «
a + t, fl + a, fl-t-3, (i-(-4, a + S, 0+6,....

11 est riair d'abord que tous les termes de la forroi'

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(3»9)
a di 3/1 + I seront effacés cotuuie nombres pairs, puis-
que a est impair; maimenant si j'efTace (enpartautde a],
de 3 en 3, de 3 en 5, de 7 en 7,.-i de P„ en P„, il est
ciair qu'eu prenant n assez grand, on effacera tous les
termes de la suite pi'écédente (jusqu'à un terme choisi
arbitrairement), excepté les puissances de 2 diminuées
d'une unité. On voit donc cju'îl tend à se former, au milieu
des suites diatoraiques, une suite constante que j'appellerai
suite médiane et qui n'est autre que les puissances succes-
sives de a diminuées d'une unité. On voit de plus que la
suite médiane s'étend au delà de toute limite. Les termes
milieux des suites diatomùjues tendent donc vers un état
définitif, les puissances siiccessiivs de a. Ils présentent le
tableau suivant :

...i55, H7, G3, 3i, i5, 7, 3, i, 3, i, 3, 7, i5, 3i, 63, 137. a55

En particulier, on remarquera que le terme milieu est 3,
résultat déjà énoncé précédemment.

Onpeut se proposer, étant donnée une suite diatomique,
de déterminer le nombre des termes de la suite médiane
qui appartiennent à cette suite diatomique. Je n'ai pu
jusqu'à présent l'ésoudre cette question^ toutefois ïl est
facile d'avoir une limite inférieure du nombre cbercbé.
En effet , ce nombre sera au moins égal à deux fois le
nombre des puissances de 1 inférieures à P„ augmenté
d'une unité.

Si maintenant, au lieu de *— ^ on prend le nombre!—^ s

on trouve qu'à partir de ce terme il se forme à droite et
à gauche une suite qui n'est pas symétrique et dont le

terme milieu est 5 ; désignons ^— ^ par ft, et prenons la

suite des nombres naturels :

.. t— 3, ft — 2, /'— I, b, i+i, * + 2, A + 3,...,

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(3,o)
10U9 les nombres de la forme 6 + 2m -j- i seront effact^s
comme nombres pairs. MaÏDtenant ily a deux bypothéses
à faire :

i", b — r=so(mod. 3).

Dans ce cas, en etfaçant de 3 en 3 à partir de & — i, puis
de 5 en 5, de 7 en 7,,.., de P„ en P, à partir de fi, ou
voit que dans la portion de droite tous les nombres seront
effacés, excepta ceux de la forme A •+■ a^" ou de la forme
h + 3^.3'^, et dans la portion de gauclic il n'y aura de
conservés que les nombres de la forme l> — a»"-*-' ou
b — a". 3^. En sorte que les termes de la suite considérée
sont, pour la partie droite,

s'-S»^— a*'.3^'— 1, ou2».3^— 2»"— I, ou 2^"— 2«.3^-i,
et , pour la partie gaucbe ,

a*.3^— 2«'.3'''— I, 2".3'' — 2""^' — I,
ou

2'"+'-2'' a/*-!.

On peut réunir ces différentes formes dans une seule for-
mule, sauf à la discuter dans les deux cas où l'on pren-
drait la portion de droite ou la portion de gauche de U
série; celte formule est

2«.3'''{Ht2"— ■.3'5-^'q=0'-
Si l'on se donne a et p , a* et |B' sont déterminés. Suppo-
sons d'abord que p ne soit pas nul; alors, si la valeur de
P' n'est pas nulle non plus , le terme trouvé pour la por-
tion de droite se trouvera aussi dans la portion de gauche
de la série. Admettons encore que |S ^o; alors, si p'^o,
U formule pour représenter un terme de droite devra
i^ti-c telle que y :^ 2 A , et pour un terme de gaucbr
a' î= 2A' + I . Knfin , si (5 ^ o , pour un terme de droite
on aura a= aA, et pour un terme de gauche « ^ 2 A +1.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(3i,)
^ et ^' ne peu>eiil èlre uuh à la fois; quant aux <^)ipo-
sants a. et a', aucun d'eux ne peut être nul.

2". (i + i) =irt (rood. î).

Il c&t aisé de voir dans ce cas que la partie gauche devient
la partie droite, et vice versd; c'est là le seul change-
ment qui ait lieu.

La suite qui se forme autour de ^—^ ne change pas în-
déûnimcnt avec P„ ; comme la suite médiane , elle tend
vers un étal constant, seulement clic peut changer de
sens , c'est-à-dire que les termes qui se trouvaient à gau-

che de '-—^ peuvent se trouver à droite de

jiP»'

versd. Ainsi la suite est constante , par rapport à la va-
leur des termes, et elle n'admet que deux états en consi-
dérant leur disposition. Dans tous les cas, l'inspection

seule de la forme ^—= > par rapport à 3 , suffira pour mar-
quer si l'on a un de ces états ou l'autre.

On peut observer que si l'on écrit les deux états de
la suite l'un au-dessous de l'autre, de manière que
les deux termes milieux 5 se trouvent sur une même co-
lonne verticale, et ai l'on additionne terme à terme, on
obtiendra évidemment une suite symétrique.

Généralisons ces considérations. Dans toute suite dia-

tomique il se forme, autour de ^— g-, une suite

de termes dont les valeurs ne dépendent pas de la gran-
deur de P„ (on suppose que P* reste constant, et qu'on
fasse croître P„), mais de la forme de f(P„, par rapport
à Pj, Pi^i ,■■■ , 5, 3. Ou voit donc que le nombre des

séries fixes qui se forment autour de — ~ ■ ' — =r est li-
T 2 . 3 , . . . , P„

mile; de plu^ on voit qu'a (.haquc série il en correspond

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(3")
Une autre lelle , qu'en les ajoutant terme à terme , ou a
uuesërie symétrique. Par conséquent, la somnie de toutes
les séries sera aussi symétrique.

Je me propose, dans un autre article, de parler des
propriétés de ces suites constantes qui, on le voit, ten-
dent à se former dans les suites diatomïques, et nous per-
mettent de découvrir de loin en loin , dans ces suites , des
groupes de termes connus, sans qu'il soit besoin de for-
mer les suites diatomiques elles-mêmes.

THÉORilE DE GfiOH^IE;

Pm m. a. NÉTROUZIAN (Arménien),
Élève, en spéciales, dn Ijcée Lonis-Ie^ïraiid , ioMitulion Sainle-Borbc.

Vn triangle ABC étant inscrit dans un cercle, si, par
deux points H, K de la circonférence, on fait passer
trois cercles tangents, respectivement, aux trots côtés
du triangle, de manière que les points de contact des
deux premiers soient sur les eûtes AB , AC , et le point
de contact du troisième, sur le prolongement du troi-
sième côté BC ; les trois points de contact D, E , F seront
en ligne droite.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(3i3)
Démonstration. Appelons m, n, p les points où la
corde HK rencontre les trois c6tés du triangle ABC.
On a , à l'égard du point D ,

d'où je tire

hA — hD _ bD — fiB
«A ~ «D '
c'est-â-dire

ÛA BD DA nk

On a de même, sur le c6té AC,

EC _ _pC
ÊÂ~ /.a'
et, sur le côté CB,

Multipliant ces trois équations membre à membre, ou a
DA.EC.FB _ nA pE mF
DB.EA.FC~ BD'/jAmC'

Il faut prouver que te second membre est égal à + ■■
Or

«0*= nA.nb; pE=pX.pC; mF = mB.mC;

/^_/>C m F _»iB,

«D'/)A '™c~

- 1 /lA ^ ^
' V nB /jA mC

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(3.4)
Of, le produit sous le radical est égal à + i, parce «juc
les trois poims m, n , p sont en ligue droite; il v'koi
doue

nA pZ ^__t,

wD pK mC ■

L'inspection de la ligure montre que le signe du

second membre doit être — , parce que les deux rap-

/lA oE ... , . ., mF , .,

ports -jT) ^-r sont positifs, et le troisième — — nogadl.

Il CD résulte l'équation

DA EC FB_

DB ■ EA ■ FC ~ "*" ' '

ce qui prouve que, les points E, D, F sont eu ligne
droite. C. Q. F. D.

SOLUTION BB U OIJESTION 198

Par m. a. VACHETTE,
Licencie es sciencei phjaiques cl licencié ta scimea nuitliémiliquM.

PnoBLÈHE. Des hyperboles équilatércs concentriques
sont coupées orthogonalcmenl par une même droite:
quelle est leur courbe enveloppe? (Streboh.)

Solution. Prenons pour origine le ccuLre commun des
hyperboles équilatércs , et pour axe ries y une parallèle
à la droite qui les coupe ortbogoualement. L'équation
générale des hyperboles cquilatères sera de la forme
(i) j' + A.i-j — .f^-+-B = o.

La droite oi-ihogonalc aura jiour équation

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(3.5)
et si 6 est l'ordonnée qui répond sur la courbe à l'ab-
scisse ti, la tangente à l'une des courbes au point dont les
coordonnées sont a etb aiira pour équation

qu'il faut identifier avec l'équation de la tangeiilc à la
courbe (i),

tX H bx ■+■ - ay — f>;e + B = o.

Cette idenlification donne les relations

A»-.» = o, « = - '° ,-,

' Afl + ai'

d'où l'on déduit

A=^, B = (.'H-i.),

Cl, en substituant dans l'équation (i), elle devient

(a) r' + X '-^ ~ "^ ~ f "' + *') = *»'

où i est le seul paramètre variable. 11 faut donc élimi-
ner b entre l'équation (a) et la dérivée prise par rapport
à b , c'est-à-dire entre les deux équations

h ( j' — x' — rt") — 6' + 2 axy == o ,
y-i — j-i — a' — 3 A' = o ;

requi donne enfin, pour la courbe caveloppe,
(3) j^.-,.-'-«--.-3(«xr}"' = o.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(3.6)

miTION DES OVBSTIONS 230 ET 231

P*K M. i.'àBBi JULLIEN ,
Du aéminiire do VaU.

QueftioH 230. Deux polygones quelconques de 2n côtés
soDl équivalents quaud leurs côtés ont les mêmes miltcuï.
(Prouhbt.)
Solution. Soient P et P' deux polygones de a n côtés doDt
les côtés ont tes mêmes milieux. Joignons par des droites
les sommets de P aux sommets correspondants de P'; ces
droites sont <^ales et parallèles, car elles forment avec
les demi-côtés des polygones 4 n triangles , ayant denx i
deux un angle opposé au sommet compris entre côlés
égaux. Prolongeons ces lignes de jonction jusqu'à la reu-
coDtre d'une droite A menéearbttrairement dansleplsu;
la droite A, les lignes de jonction et les côtés des poly-
gones forment des trapèzes, et chaque trapèze tenniaé
au polygone P est équivalent au trapèze terminé an cAïc
correspondant du polygone P'.

Les surfaces de P et de P' s'exprimant par celles des
trapèzes corrcspondaiiU, il en résulte que les polygones
sont équivalents.

Question 231. La surface d'un polygone de an côtés
ne change pas lorsque tous les sommets de rang pair ou
tous les sommets de rang impair décrivent (dans la même
direction) des di-oites égales cl parallèles,

(PnowHET.)
Solution. Soit if la longueur des droites parcourues
I)ar les sommets de rang pair, ou par ceux de rang impair.

3,q,l,ZDdbvG00gIe

(3'7)
Dans le mouvemeiii des sommets, les milieux des côl^s
ont avancé de - dans la même direction. Conservant au
polygone sa seconde forme , nous pouvons , par un mou-
vement de direction contraire, ramener les milieux des
càtéa en leurs premières positions; dès lors l'équivalence
des polygones est établie [question 230).

Remarque. On reconnaît très-facilement les deux
propriétés précédentes en considérant la formule qui
donne l'aire du polygone en fonction des coordonnées des
sommets (vo»' tome IX, page 65).

SOLUTION DE LA QUESTION 209

Pab m. jubé,

Profesacur b Siint-Omer.

On peut réduire un système de forces à trois forces
dont deux forment un couple agissant dans un plan per-
pendiculaire à la troisième force; on peut aussi réduire
le système à deux forces. La plus courte distance de ces
deux forces rencontre â angle droit la troisième force de
la première réduction. (Ojasles. )

La question peut être présentée de cette manière en la
renversant :

Étant données deux forces non situées dans un même
plan, on peut les réduire à un système de trois forces
dont deux forment un couple agissant dans un plan per-
pendiculaire à la troisième. Cette troisième force est per-
pendiculaire à la plus courte distance des deux forces
données.

Soient Q et R les deux foires données, AH leur plus

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 3.8)
courte tiisUncc. En iransporiant au poiut I) la force Q
parallèlement à clle-nu^mc , on obtient un couple
(Q , — Q ) et une force S résulunte de Q et R , et per-
pendiculaire à DA-

L'axe du couple (Q, — Q) est aussi dans le plan de R
ei S, perpendiculaire à BA. De sorte qu'en transportant
la force 5 parallèlement à clle-mime en un point quel-
conque C de BA , on formera un nouveau couple dont
l'ase sera aussi dans ce même plan perpendiculaire à BA,
Cl le point C pourra être choisi de tellesortc que )c couple
résultant de (Q, — Q) cl de {S, — S) ait son axe dirigé
suivant BS ou son prolongement. Il suffit ponr cela que

BC = |cosQBSXBA.

Le plan de ce couple résultant sera bien alors perpendi-
culaire à la troisième force S appliquée en C , et celle-ci
d'ailleurs sera perpendiculaire à BA.

fiRAKB COXCOUtS K 1851

QUESTIONS PROPOSÉES.

Mathématiques supérieures.
Etant donnée une droite L, on mène de rhacun de ses
points M deux droites à deux points fixes P, P'. Deux
autres points fixes O, C sont les sommets de deux an-
gles AOB, A'O'iy, de grandeurs données et constants,
que l'on fait tourner autour de leurs sommets respectifs,
de manière que leurs côtés OA, C'A' soient respective-
ment perpendiculaires aux deux di-nites MP, M'P'.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

On dciiiaiiilc <jucllo est la courbe tléciilt; par le point
^'intersection N des deux droites OA, O' A', et la courtM;
qui est décrite par le point d'intcrsectioa N' des deux
autres côtés 06, O' R', quand le point M glisse sur la
droite 6xc L.

Mathématiques élémentaires.

Etant donnés deux cercles O et O', qui ne se touchent
pas, mais qui peuvent se couper ou ne pas se couper în-
di<réremmcut, de chaque point M, de l'un O on mène
deux droites aux centres de stmilitadc S et S' des deux
cercles; ces droites rencontrent l'autre cercle C'en quatre
]X>int3 ni, n, m', n'.

On demande de prouver que deux de ces points sont
sur un diamètre du cercle O' ta les deux autres sur une
droite qui passe par un point fixe, quel que soit le
point M pris sur le cercle O. *

Note. Très-bonnos questions. Par le temps qui court, elles tout honneur
B l'I'ntTpnlIé. Puisso-Ucllepcrséïérer!

SOLVTrON fiÉNÊRALB U U QUESTION U

Par m. p. TARDY,

Pri'foHseur de HithémBliques à Géups.

Soit

A. = n, 4- fli + fli + . ■ ■ + «™,
cl désignons par

2;»;['. », 3, . , ml

la somme des quantités quon diVluii de A ^ en changes

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(■)

(3îo)

les signes à un nombre m des Ictlres Hi, a, ,...,a„, et en

faisant toutes les combinaisons possibles : le nombre deces

. , , ,, , 1 . nln~i]...{ft — m + i]
quantités sera évidemment égal a — ^ ■ ->

que nous représenterons, pour abréger, par le sym-
bole ("]■
Posons

=a-.-2a:[i]+2a".[". =*i-'--

ii est clair qu'en développant, suivant tes puissances de
a„, ^A° [i, 2,..., m], nous aurons pour terme général

w " (+(-.)"-'■ 2*;l,['.- ("-oij

excepté le cas de m^ n, dans lequel nous obtieudrons
seulement

(;>r"(-')-"2<L,[., ',...(»-.)].

Cela posé, le terme général, dans le développement de
S„ , sera

lequel deviendra évidemment égal à z«ro toutes les fois
que » — p, est un nombre pair, et si n ^p, est impair,

<-'•[-'-'"'■]

:,.;,l,ZDdbyG00gle

il se réduira à

<;y

Conùdérant la série entre parenthèses, nous aurons de
même, pour terme général de son développement,

, ^ ■ i <'-.-2<'-.I'] + - )

\i"' (+(-)"-*2a;l.i.,» (.-»)])

ou zéro., selon que pi — pt est impair ou pair.

Si nous continuons ainsi, et dans l'hypothèse cjue
71 — Pti Pi — /',,...,p, — p_ soient tousdes nombres
impairs, il est clair que nous parviendrons à un terme
général

( + (-.)""'2<-,('. ' (--c)!)

dans lequel on aura D = i .
Maintenant la quantité

iA._,-2*.-,l'l + --
.+ (■-) '2*--/.i'' ' ("-(■)].

ser^ nulle, excepté dans le seul cas où A^ _ ^ ^ a, , c'est-
à-dire fi ^ n I — I . En effet, prenons une quelconque des
lettres qui entrent dans A„ _ ; elle se trouvera dans

Ar*. ^MirtUmal., t- X. (Seplembre i&5i.) 31

:,.;,l,ZDdbyC00gle

(3")
avec le sigiit; positif un nombre de fois égal à celai des
combinaisons qu'on peut faire avec n — ft — i objets
pris m im, ei avec le signe négatif nn nombre de (bis
égal au nombre des combinaisons qu'on peut faire avec
n — fi — I objets pris m — i à m — i, c'est-à-dire qn'dle

sera multipliée par ( ** | — ( ^ j» et, par
conséquent, dans l'expression (a), elle aura pourcoeffi-
cienlla série

Mais si (1^= n — i, la valeur de l'expression (a) de-
vient ^Oi. Or, pour arriver jusqu'à la quantité (a) avec
a. = n — 1 , sans qu'aucun des termes généraux des déve-
loppements précédents se soit évanoui , il faut que touirs
les dilîércnces

soient égales à l'unité, c'est-i-dire'qu'onail/^,'=H — i-
De là nous pouvons conclure que dans le développement
du second membre de l'équation (i), tous les termes qui
contiennent des puissances de a„ supérieures à la prc-
miértt se détruisent, et il restera

S, = a«.o..S._,.
Par la mime raison

S^,= 2{«-. ).«._,. S^,,
S^,= 2(n — 2),n,_,.S,-,,

S, = 2.2a,.S,, '

S, = 7.11,.

Eu multipliant ces équations niembn^ à membre, H

:,.;,l,ZDdbyG00gle

^]i.

( 3"3 )
àtani le facleur commun $„^i.S._t... S|.Si, il viendra

S,= 2". 1.2.3. . . n.<i,.d,.a,. . . «,;
pnisqu'eD général on a

2a:[i, »,..., ".i=(—r2*".[''» (»-")!•

l'équation (i,^ pourra s'écrire ainsi i
pour n impair, et

1 , C^-^-.'t "—211 '- ^J

(+{-■) s-^-L''» -T-Ji

pour n pair.

La quantité y. A" | i, 2,.. ', -1 contient un nombre
pair de lennes, lesquels sont dcux-à deuit égawa, et si
nous indiquons par ^A'I i , 3,..., - I la somme de ces

termes où parmi les - lettres a prises négativement se
Lroave a, , nous aurons . '

2<['.^ j]="2<['. ».■•■=]■

fit , par conséquent , on obtiendra les formules (*) '

'24- ~]

(' ] M. Caucby ■ indiqué une dëmonslralion de nette formule, Cempui
retuba, iSjo, i" sémeitre, pige 56g, et d'âne mauUre plus déreloppée
dimle tome II de* ExercUci, p«ge i^i-

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(3=4)
si n est impair, et

si n est pair.

Ainsi pour n^^'i,oB a

*-l , pour n ^ 4 ) -

if)i.a,a,a,a,^(a,+a, + a, + a,f — {«i 4-ai + a,— a,)'
~la, + a, + a, — a,y — (a. + a, + o. — «,)*
~(fl. + ff.+ rf.— a.}' + K + fli — a. — «,)'
+ { a, + a, — «, — «7i )' — («1 + a, — fl, — ffl, )'.

SOLUTION »'1IK PROBLlIE SUR U SOMiATION nilli SNOB

RK'Pi]ISSANCBS(*)^

D'apbès h. a. THACREIt.

(Journal de M. Grelle, lom<- XL,,p*ge Sg; i85o.)

1. Problème. Soient m et n deux nombres enti&'s po-
sitifs, troufer la somine des puissances d'exposant /i, de
tous les nombres premiers à m et plm'petits que m.

Solution. Soil m ^ a" b^ c''..,\ a, b, c,... ^unt des

(') M. Binel Tient de traiter le mtlne injcl, {Compte rendu, t. XXXfl.

:,.;,l,ZDdbyC00g[c

( :f»5 )

nombres premîei's; posons

f {p) = i''+2"-t-3" + .,. +/>", pétint un nombre entier.

Les nombres compris entre i et m et divisibles par n
sctnt

par coiuëquent, d'après l'énoncé du problème, il faut
rejeter la somme

l-(î«)-

Posons

K3«)- + .- +(=.)■ = ".

n des no
:saus, il fi

Dans R rejetons les puissances n des nombres divisibles
par b ; raisonnant comme ci-desaus, il faudra rejeter de
f m la somme

ft"fl-T-|) et dans

il faut rejeter

«>[i--f-(2ft)--H-(3i)»4-... + (£)*]' = «" ft>(j),

il faut donc rejeter

Représentant le reste par B', on obtient

■''=''("')--'(?)-'-'(î)+-'-'(5)'

cdaçant dans chacun des quatre termes ceux qui se rap-
portent au diviseur c, el désignant ce qui reste par R",

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(3i6)
on a

(') +«■*'' (5) +""'"'(£)+'''"'(î)

et ainsi de suite.

Pour fixer les idées, supposons qu'il n'y ait que trois
facteurs a, b, c:, alors R" sera la somme cherchëe. Dési-
gnons cette somme par S,. On sait que l'on a

+ i..B.™ — ....

oà n,, n,, Kg,... sont des coefficients bïnomiaux, et
Bi , B, , Bj sont les nombres Bemoulliens.

Si nous remplaçons dans l'équation (i) <f(iti), <p-l— jv

par leurs développements, si nous ordonnons par rapport
i m, nous <J)tiendrons

-^(-=)(-0(-i) .

+ j„B.™-(.-a)C-*)(.-»)
-^„,B,«"(,-.;)(,-S.)(,_^)

Si II csl pair, le dernier terme est

:,q,l,ZDdbyG00gIC

et le nombre des termes est

si n est impair, le dernier terme est

'-'I j:^«.-,B„™'(, -a— )(,-»-) (,-^-),

et le nombre des termes est

. 2. applications, i". n^o;ona

formitle connue, trouva par Eulcr, et qui indique com-
bien il ^ a de nombres inférieurs et premiers à nt (tome IV,
page 75).

""s!:i..(,-i)H)(,-i).

3". n ^ 2 ;

s,= i^(,_i) (,-;)(,- -:)■

ou

-^"(-=)(-0(-^)("-^")•

attendu que .

:,.;,l,ZDdbyC00g[c

(3>8)
4°. n = 3;

Soit m = 60 = 3* . 3 . 5 ; od a
8,= 16, S, = 48oj 81=19120, S,=

NOTE SUR U SOLVTWII PR^iBBim;
Pa* m. E. PRO0HET.

Ainsi, en résumé, si l'on suppose <f('n) développé
suivant les puissances descendanies de m, il suffira, pour
obtenir S„, de multiplier respectivemeat tous les tennei
de ^(m) par P_t, P», Pi, P|, etc., eu posant, pour
abi-éger,

P, = (.-»')(,-S').. .(!-;');
mais on peut parvenir k ce résultat d'une antre manière,
qui nous fera connaître en même temps une rdalion
entre S„ et S,_,.

Posons

+ (/>)= i + a*-' +3--'+... -t-/^',
on aura

s^,=+(»)-2-^'t(^)+2«-s-+(S)--.
s.=,w-2.-,(2)+2^»-,(5)-...,

où les signes sommatoires se rapportent aux nombres pre-
miers qui enircul dan& m.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( 3»9 )
Si l'on prend la dérivée de S„ par rapport à /n , en trai-
tant a,b, etc . , comme des constantes , on aura

S=''(")-2-K=)+2-'->'(S)— ■•

Mais on a (page 188)
donc

ou, ce qui revient au même,

Ji' = »s.., + B„,p._,i

d'où

(a) S. = /z r"s._,</m + B,_,P^,M,,

et il n'y a pas de constante à ajouter, puisque la for-
mule (i) montre que S„ ne doit pas avoir de terme indé-
pendant de fn.

Mais, d'un autre côté, enposant j„=f (m), on a

(3) *. = " f »,^, rfm -H B,_, m ;

par où l'on voit que si l'on se sert de l'équation (a) pour
calculer Su, S,, S,, etc., ou de Féquation (3) pour cal-
culer ^S) 'm gU:., le premier résultat ne différera du
second que par le changement de 60 en 60 Pg, de B, en
B, P,, etc. ^ ce qui s'accorde avec la r^le énoncée plus
haut.

Nous avoosdoDoé, dans un autre article, les valeurs de
.(, , 5, ,..., .f„ (p. [89] ; on pourra donc en déduire, sans

:,.;,l,ZDdbyG00gle

{ 33o )
nouveau calcul, les valeurs de S,, S, ,...,S„: ou aura ainsi

s, = p.,::l+ p,::l_p ™ +p.

CONCMIRS B'AfiRteATION AUX LYCtBS, AIWfiB I84l;

Pu H. DIEU,

Agrégé, doclsur es sciences.

COHPOSITIOII DE MÉCiMQUE.

Déterminer le mouvement d'un point matériel repoussé
par an centre Jîxbj en raison inverse du carré de la tUs-
tance.

F étant le point d'où émane la force répulsive, M U

iiiizDdbyCoogle

(33. )
position du mobile, et MV la direction de sa vitesse à
l'époque à partir de laquelle oa compte le temps, il est
évident qu'il ne sortira pas du plan FMV.

Noua prendrons F pour pôle , FM pour axe polaire, et
noua désignerons par ù), p ei vies coordonnées et la vi-
tesse du mobile à la fin du temps t, par p, et f«les valeurs
initiales de p et l'y par a l'angle FMV, compris entre
o et 7T, enûn par fx la force répulsive rapportée aux uni-
lés de massé et de distance.

Le principe des forces vives donne

(■)

rfp' + p' <f 6>' _

en posant cî H — -^a pour abréger, et celui des aires ,

(a) pM» = crf(,

c étant déterminée en fonction des données pu-, f^ et a pai'
l'équation

L'élimination de dt, entre les équations (i) et (a),
conduit k

■&}'h-

en résolvant cette équation par rapport à dut, puis en
intégrant, on trouve

a — B ^ ± arc . cos

3 étant la constante amenée par cette dernière opéra-

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 33= )
tion ; et l'on tire de U

\/?^

[.C(M(u — P) I

Afin que (0 = donne ,0 = />« , il faut qu'on ait

et nous prendrons pour |3 le plus petit arc positif qui
satisfasse k cette équation.

L'équation (3) rep réscnte une hyperbole dont le [wint F
est un des foyers ; te mouvement s'effectue sur la brandie
opposée à ce foyer, puisque p a initialement la valeur
positive p« qui répond à un point de cette brançbe; et
l'on voit facilement que la droite qui va du foyer F ■
l'autre fait avec FM, dans le sens de &>, an angle ^1

à an — |3ouà |3, suivant que a> -ou <-■

A et B désignant les demi-ases de cette hyperbole,

a . ^/2

et l'on pourrait la. construire d'après ces formules; niais
il est préférable d'employer le théorème de Newton, pai'
lequel on a N = Rcos*^, Néuntla normale, Tt. le rayon
de courbure, et y l'angle compris entre la' normale el le
rayon vecteur. Pour cela , on décompose la force répul-
sive -j ) qui répond à la position initiale M du mobile, et
qui est dirigée suivant le prolongement de FM , en deux

:,.;,l,ZDdbyC00g[c

{ 333 )
aatres forces dirigées l'une suivant MV ou son prolon-
gement MV, et l'autre suivant la perpendiculaire KK' &
VV ; cette dernière composante, qui est représentée par

4- sina, est ^alc à la force centripète correspondant à
la pontion initiale, de sorte qu'on a

Fisina

R désignant maintenant le rayon de courbure relatif au
point M; on prend, d'après celte équation, MC = R

snr la parUe'deKK' oà tombe la composante -4- sin«,

on mène CD perpendiculaire à FG, DN perpendiculaire
k KK', ce qui donne, en vertu du théorème précité, le
pied N de la normale au point M; enfin FN est consé-
quemment la direction de l'axe focal, et la construction
de l'hyperbole s'achève par des procédés qu'il est inutile
de rappeler.

On tire des équations (i) et (a)

+^^ f'f —

et, en intégrant cette équation

;4)

±f = - V'«p'— 2;*p— C"

yja \\la ay/a " )

C étant une constante.
Si ■«>■-) p augmente continnellement avec t\ on doit

3,q,l,ZDdbvG00gIe

( 334 )
donc prendre + devant dt et t, et faire

C = -v^

(y)

a6n que p = p<, donne t^o.

Si a <^ -) p diminue d'abord, puis ensuite augmente
avec t, et son minimum, qui répond à u = |3, est -

Vl

on doit donc prendre premièrement le signe — devant dt
et t , ainsi que la valeur précédente de C ^ puis , lorsque p
atteint p, et dépasse ce minimum , ce qui arrive quand

«v» Vv'

prendre ■+- devant f/t et (, oi faire

[/) C=-f^.lo6(A_._t \_^,

afin que p^ pt donne t = t'.

TjCS équations (3) et (4) fournissent directement l'é-
poque du passage du mobile en un point de l*hyperbole
donné seulement par la valeur correspondante de ta. S
l'on voulait sa position à un instant donné, il faudrait
résoudre l'éqtiation (4) par rapport k p, mettre la valeur
obtenue dans l'équation (3), puis la résoudre par rap-
port à u.

I,a vitesse est toujours dirigée tansentiellement h l'hy-

:,.;,l,ZDdbyC00g[c

( 335 )
pcrbole, et sa grandeur est donnée par l'équation (i) dr
laquelle ou déduit

Si a ^ -1 elle augmente continuellement, tandis que si

« < - ) elle diminue d'abord jusqu'à l/ u ^i et ai^- ,

meute ensuite; dans les deux cas elle tend à devenir uni-
forme et égale à \fâ. Ou peut remarquer que v ne dépend
pas de a , de sorte que la vitesse aura la même grandeur
à des distances égales de F, quel que soit cet angle. Il
n'en. est pas ainsi de t dont l'expression contient c qui
dépend de a ; c a bien la même valeur pour des angles («)
supplémentaires l'un de l'autre, mais la constante C doit
recevoir la valeur {y) pour un de ces angles, et la valeur
{7') pot"" l'outre quand on considère des rayons vecteurs
égaux.

Si l'on suppose que le mouvement a commencé avant
l'instant à partir duquel on compte le temps, on peut
demander de le déterminer à une époque quelconque
antérieure à celle-là. Il suffit pour cela déconsidérer des
valeurs négatives de ( et de w , si a > - 7 on prendra -+■

devant dt eit, avec la valeur (y) de C, jusqu'à p = p,,
qui répond à u = — P, et ( = — (', puis antérieurement
on prendra — devant dt et (, avec la valeur (/) de C ; et
si a<[-) on prendra toujours — avec la valeur (y'). On

■ peut remarquer que des arcs de même longueur et symé-
triques par rapport à l'axe focal de l'hyperbole seront
décrits par le mobile dans des temps égaux.

Enfin, si l'on avait « = n ou ix ^ o, la trajectoire se-
rait évidemment la droilel^M. Dans ces deux cas parti-

:,.;,l,ZDdbyC00gle

{ 336 )
culiei's , on a

m-

d'où

V«f — ïfP
donc la formule,(4) s'y applique eu faisant c = o, eila
discussion en serait semblable à celle qui précède.
Questions:

1. Déterminer le mouvement iT un point matériel re-
poussé par un centre fixe, en raison inverse du cube de
la distance.

n. Déterminer le mouvement de deux points maté-
riels quise repoussent ou qui s'attirent, en raison directe
de leurs masses et en raison inverse des carrés des dis-
tances; ces deux points ayant des vitesses initiales in-
versement proportionnelles à leurs masses, et dirigées
en sens contraires, suivant deux droites parallèles entre
elles.

BB U COURBE BALISTIQliB, PAR JACOBi (*);

TlLAUniT DU UTIR, PiK H. A.,
Ancien «lève de l'Écoln Pol;l«chnii|ne.

Le grand géomètre Jean Bemoulti, dans les Actes de
heipsick pour l'année 1719, ramena aux quadratures le
mouvement d'un point pesant dans un milieu résisLaDt
uniformément, chaque fois que la résistance est propor-
Uonnelle à une puissance quelconque de la vitesse. Pro-
voqué à déterminer le mouvement pour une résistance

îiqilizDdby'CoOglc

( 337 )
proportionnelle au carré de la vitesse, il résolut aussitôt
la question plus générale. L'illustre Legendre apprît à
ramener le problème balîsdque aux quadratures , quand
la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse
plus une constante. Comme aucune de ces deux questions
ne se trouve dans les Traités de Mécanique, j'examinerai
en peu de mots le cas où la résistance du milieu est pro-
portionnelle Jk unepuissance quelconque de la vitesse plus
une constante. Cette supposition embrasse l'une et Tautre
question.

Soit a + bt^ la résistance, a eib désignant des con-
stantes , les équations d jnajniqoes deviennent
d'x lU^ ' -, . ^1/

dt' dt . ^ ' „ "

Il suit de là

■ [a+b^)(x'dy'-~ydx-) = g^d^,
d'où, çu posant

l'T^PCosn, y' ==•<• tia-D ,
on tire

c{o+ bv')dis =; gdx' ^ g{cof,Jtdo — VMDndii),
ou ■

^.COS» ir'i**''>da — [a -i- g nan)v~'dri^ bdii.
Supposons que la partie à gauche de l'équation qui pré-
cède, multipliée par un facteur convenable, devienne
^ale à la différentielle d. Mv~", on aura
JH _ «(g + gsinnjrfw

Am. it Uathé-aal., l. X. (Stplembfe i85i.)

:,.;,l,ZDdbyC00gle

( 338 )
ei l<< multiplicateur devient

wM
~gcmn
Delà, l'intégrale

(!elte formule €ODlinue à avoir lieu, si b est une fonc-
tion quelconque de n ^ -elle aura encore lieu en supposant
a fonction de n, pourvu- que dans l'expression (1)00
change le second facteur M.

Posons

/■=tanBU5"4-^>ij>

(3)
d'où

(4) ,.M^. = _^J^

Cette formule devient finie toutes Jes fois que n est un
nombre entier positif. L'expression de f en r déviait sur-
tout trèvsimple si l'on suppose

car alors ou a, par la formtile qui précède,
« désignant une constante arliûraiit.'.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( 339.)
Ayant détenniné f un fonction de r, It» formules gé-
nérales donneront les expressions de x, y,l en fonction
de la même quantité, au moyen des seules quadratures;
car, w désignant la résistance, on a les équations

^(x'rf/-/^) = y.d<

ou

(5)

^wd,^=gdx\

n suit de ce

s formules,

dt =

vdx' «dn «dr
a/w gvoiyt gr''

(6) dx =

..=

"'"e-''" •'{'•-

i)dr

Ed substituant dans ces formules générales l'expression
de la vitesse v en n ou en r, et intégrant, on obtient les
valeurs de t, x^j. Si dans les formules (3) et (4) on
pose' a = c = o, n =a , on a les formules qu'on donne
ordinairement.

La réduction aux quadratures réussit aussi lorsque la
résistance est exprimée par la formule a-\-b\o^v. Je ne
poursuis pas plus loin cette hypothèse, parce qu'elle n'a
pas lieu dans la nature et qu'elle est comprise dans les for-
nlules précédentes , en écrivant a et - au lieu de a et

b, et posant ensuite n ^ o.

Pour obtenir des approximations. Newton et les au-

i.vCoogIc

( 34o )

leurs venus après lui nieltaient, au lit.'U' Je la coustante h,
des fondions de n tic variant pas beaucoup el donnant
pour V, x,y, t des quadratures faciles. On en voit divers
exemples dans le Mémoire de l'illustre Legendre; mais
les méthodes d'approximation de ce genre paraissent trop
vagues.

KNVELOPPB mm TANGENTE t MtUX C8RCLES VARIABLES;

PA> M. Eo. TERRlt,
Élêïe de M. Orcel, lyçà* Cbarlrm*enp.

Problème. On rioniu: deux cercles dont les centres sont
fixes, et dont les rayons U et\ doivent satisfaire à la
relation

m, n,p représentant des lignes.

On demande t'enveloppe des tangentes communes h
ces deux cercles.

Solution . Soient ces deux rercles L et V dans une posi-
tion particulière (*). Soient 'l'I", //' les tangentes com-
munes à ces deux cercles. Soit 3^ la distance des centres.
Je prends pour axe des or la ligne des centres, et pour axe
des j-une perpendiculaire à cette droite élevée par le point
O , milieu de la distance des centres.

L'équation de la droite TT', dans une position parti-
culière , est

(*] On PAI prlr Je ftilrc la flipjn.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(34. )

La relation

va me servira déterminer b en fonction de a.

L'équation de la tangente IT' peut se mettre sous la
foi-me

r = T* + ?(«)■

Si, alors, on fait croitrê a d'une manicre insensible, on
aura les équations successives des dilTéreutes tangentes
qui, par leurs intersections, donneront le lieu cliercbé.
. La méthode générale consisterait à prendre, la dérivée par
rapport i a de l'équation

et ensuite Ji éliminer a entre ces deux équations. Mais si
l'on essaye le calcul , ou verra facilement que l'équation
finale serait du huitième degré. 11 faut donc, pour arriver
à un résultat simple, avoir recours à quelques artiBces.
Je vais, k cet effet, déterminer d* abord l'enveloppe
des tangentes extérieures 'IT'. Je reprends l'équation

en y supposant a positif.

Les valeurs de U et de V seront , dans ce cas ,
„ ad — b „ — ad — è

ou bien

La relation

donne pour h, si l'on prend
etdeV,

es premières valeurs de U

m + n V (m + »)'

:,q,l,ZDdbyG00gIC

( 34»)
les secondes valeurs de l; et de V donnent

m — B y [m + ny

l'équation de la tangente devient

(« + ")'

Si l'on cherche l'équation de la tangente iolérîeure (/', en
supposant toujours a positif, on trouve

^"^:-^v/t^^

si l'on suppose a négatif, les équations de ces laagenles
sont

Les équations générales des tang^tes communes aux deui
cercles sont donc

m— n //>' ( a

Je dis maintenant que si l'on cherche l'enveloppe de l'une
de ces droites , ou aura une courbe du second degré.

La manière dont s'engendre le lieu fait voir évidem-
ment que l'axe des x est un axe de symétrie.

Par conséquent, si cette enveloppe est une courbe du
second degré, elle sera de la forme

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(343 )
ron saii que l'étjualiondc la uageole à cette courbe est

v^

-FC)+E'C — C'F

(') J- = «^

On voit, a l'inspection (Je cette équation, qu^on peut l'i-
dentifier avec une quelconque des droites précédemment
trouvées. Donclelieusecomposed'un système de courbes
du second ordre.

L'équation (i) conduit au radical afTecté du double
signe +; ce qui indique que le lieu se composera de
quatre courbes du second ordre.

Je vais démontrer mainteuant que ces courbes du se-
cond degré sont des cercles. Je eompare à cet elTet l'équa-
tion (i) avec une des équations précédentes, avec l'éqûa-
lion suivante par exemple,

ou aura les équations de condition,

où

E'— FC _ E ' — fC

cï~~ ^ c ■

I enfin C ^ i .

On obtient donc un cercle.

On a immédiatement

E — il; ¥ =

L'équation du cercle est donc

I calcul analogue , on trouvera pour équation des

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( :i44 )

autres cercles :

^-('-■^)=,

-■-(— ^:)'=

p'

7-+

Ces quatre cercles sont donc renfermés dans les dvux équa-
tions suivantes :

on trouve donc en général quatre cercles placés symétri-
quement par rapport à l'origine, et égaux deux à deux-
Ce problème est susceptible de discussions.
Kote. L'*uteurdaDitece*di»curaioDsintéreiuniei,mi!iuiudifficiill«

NtTB SUR LB PROBLfiHE PHBCfiDENT;

P*i E. C. .

Si l'on partage la distance des centres en deux parties
inversement proportionnelles à m,n-, puisque, du point
ainsi obtenu, on abaisse une perpendiculaire iJsur la tan-
gente commune, on aura , par un théorème connu,

donc

' = m + V

La distance S étant constante , il s'ensuit que le lieu
cherché est une circonférence.

:,.;,l,ZDdbyC00gIe

( 345 }

G&NÉRATWN iODlILAIRB BT OMBIUCALE DBS SURFACES DU
SBCOIVD BEGRB.

i. Étant donués : i" un point 6xe {foyer); a" une
droite fixe {directrice); 3" un plan fixe ou seulement
donné de direction ; 4" un point de l'espace déterminé de
■telle sorte que la distancj; de ce point au foyer, divisée par
la distance du même point à la directrice, distauce mesu-
rée parallèlement au plan, soit égale h un nombre donné.
Le lieu de ce point peut devenir une surface quelconque
du second degré, excepté les surfaces eugendrées parla
révolution d'une conique autour d'un axe focal.

C'est ce que les Anglais nomment la génération modit-
/aîre;}e nombre donné s'appelle module.

2. H est évident que le plan passant par le foyer, per-
pendiculairement à la directrice, est un plan piineipal.

3. Si l'on prend, par rapport à' ce- plan principal, un
plan symétrique ^u plan fixe, en prenant le plan symé-
trique pour plan directeur, ou obtient la même surface.

4. Un plan parallèle au plan directeur coupe la sur-
face suivant un eercle ou suivant une droite.

En e0et, soient F le foyer, 1 le point où le plan paral-
lèle rencontre la directrice ; M éiant un poïnl de la surface,

le rapport -rr^- est donné : le lieu du point M est donc

ou sur une sphère, si ce rapport n'est pas égal à l'untté,
ou sur un plan, si ce rapport est égal à l'unité;
donc, etc.

%. Conservant le même module et le même plan di-
recteur, la même. surface peut être engeodrée par une
infinité de foyers et de directrices; tous cos foyers sont

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 346)
sur uite conique (la conique focale de M. Chasies) située
dans le plan principal perpendiculaire à la directrice, et
toutes les directrices sont sur un cylindre droit. Chaque
directrice a pour polaire réciproque, par rapport à la
surface, une tangente à la focale conique, et le point de
contact est le foyer cori-es pondant. La base du cylindre a
été nommée conique dii-eclrice modulaire.

6. Dans Iliypei'boloïde à une nappe et dans le parabo-
loïde hyperbolique, les deux coniques focales réelles (3)
sont modidaîres, pouvant servir à engendrer la surface;,
maisdans l'ellipsoïde, dans leparaboloïde elliptique ecdans
l'hyperbole à deux nappes, il n'y a qu'une des deux focales
coniques qui soit modulaire: c'est celle qui ne rencontre
pas. L'autre n'est pas mOf/H/ai/ie, elle rencontre la surface
aux ombilics j on la nomme conique focale ombilicaire.

7. Lorsque la même surface peut être engendrée par
deux coniques focales , les modules ne sont pas les mômes,
ni les plans directeurs.

Soient m et n les deux modules, ^ et ^ tes angles cor-
respondants que font les plans directeurs avec les plans
principaux respectifs ; on a la relation
cos'f cos'f'

8. Soit m le modtJe, et faisons varier nt' de eo à" o :
i". nt^v> à m= i; la surface est un hyperboloïde à

une nappe, et ie foyer est sur une ellipse focale ;

a". m= I ; la surface est un paraboloide hyperbolique
et l'on a une parabole focale;

3". De fn ^ t à ni =: cos f ; jusqu'à une certaine va-
leur intermédiaire entre /n= i et m = co3f, la sur-
face est un hyperboloïde à une nappe, mais ayant une
posi tio» di llërent« de celle qu'il a pour de m == oo à m = i ;
les axes directifs réels et imaginaires échangent leurs
positions respectives, et la parabole focale devient une

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(347)
hyperbole. Lorsque m atteint celte valeur intermédiaire ,
la «urface devient un cône , cl l'hyperbole focale se change
en deux droites^ depuis cette valeur intermédiaire jusqu' A
m^cosf , on a un hyperboloïde k deux nappes et la
focale devient une hyperbole, mais dans UDe position
' conjuguée k la première; pour m = cosf , la siu-face de-
vient un parabolo!de elliptique et la focale une parabole,
etde/n.=:cosf à m ^= o, la surface devient et reste un
ellipsoïde et la focale une ellipse.

Génération ombilicale.
9. On donne i" un point fixe (foyer); 3° deux plans
fixes ; 3° un nombre fixe. On cherche un point dans l'es-
pace tel, que le carré de sa distance an foyer, divisé par le
produit de ses deux distances aux plans fixes , soit égal
au nombre fixe; le lieu de ce point est une surface du
second ordre.

BIBLIOGRAPHIE.

Tou» Ira ouTragra annoncés daag leg Hoveellet Annale! de Malhémali^iiei
M trouvent chei M. Bachïliib, libraire, quai des Augaatina, no S5.

LbçOHS sua LES APPLICATIONS PJIATIQDE9 DE LA QËOUÉTRIE

BT DE LA TaïQOHOHÉiniE ; par MM. J.-A. Serret et
Ch. Bourgeois; ouvrage servant de complément au
TraitédeTtîgonométriedeM. J.-A. iSe/rsf, examina-
teur pour l'admission à l'École Polytechnique, et ren-
fermant les matières exigées pour l'admission à cette
Ec(Je , d'après le Prf^amme arrêté par la Commission
nommée en exécution de la loi du 5 juin 1 85o , et ap-
prouvé par M. le Ministre de la Guerre. Paris, iS5i;
în-8"de Sapages^ avec planches. Prix, a francs: chc7.
Bachelier, libraire.
Toute pratique renferme tivis parties : i" la descrîp-

:,.;,l,ZDdbyC00gIe

(S4» )
tton des instruments; a" l'emploi de ces insirumcnts ; 3° la
théorie des procédés. Lors même que la construction de»
iustruments est détaillée avec beaucoup de clarté, texte
et dessin, et c'est le cas du présent ouvrage, il y aura
toujours des difficultés de compréhension pour ceux qui
manqueul d'habitude. Prenons pour exemple réquemi
•{'ar/7ente»r, instrument très-simple etbien décrit (p. 1 4)'
Les élèves eu auront-ils tme idée. bien nette? C'«st dou-
teux. Il n'y a pas ménLe lieu au doute pour des descrip -
lions plus compliquées, celles dû cercle répétiteur, de la
stadia, etc. Il semble qu'on aurait même pu se dispenser,
dans un ouvrage si élémentaire, d'insister tant sur les
rè^/eJ de Clerc (pagea^). Nous engageons donc les élèves
d'abord à voir et à manier les instruments; ensuite ils
liront ces six Leçons non-seulement avec une extrême fa-
cilité , mais encore avec plaisir. Du reste , comme c'est le
premier ouvrage de ce genre publié à l'approche des exa-
mens, il y a nécessairement quelques légères traces de
hâte dans l'exécution. Les développements ne sont peut-
être pas convenablement gradués sous le point de vue pé-
dagogique. Il y aurait mème'à examiner s'il ne serait pas
avantageux de mêler la pratique avec la théorie à l'instar
deBezout, qui restetoujours un modèle, non encore égalé,
de bon sens, de clarté et de rédactioâ. N'oublions pas
que nos élèves doivent sortir des collèges munis d'un grand
fonds de théorie avec quelques notions de pi-atique, ei
ensuite sortir des écoles d'application avec beaucoup de
pratique et quelques notions de théorie ; dis'tinction que
le Programme a constamment oubliée. 11 esta regretter
aussi que ce Programme n'ait pas admis la théorie dei
transversales, si utile dans la géométrie pratique, comme
l'ont fait voir deux géomètres éminenis , Servois que nou»
avons perdu, et M. Hrianchon que nous avons le bonheiir
de posséder encore.

:,.;,l,ZDdbyC00g[c

( 349 )
INous avons en France un savant qui s'est illustré par
les progrès qu'il a fait faire k la noiife//e géométrie; un
autre savant est parvenu subitementà une haute réputation
presque populaire, en réduisant en nombre, en temps
opportun, avec un bonheur inouï, des formules de la
Mécanique rationnelle. Ces deux savauU ayant à rëgle-
■nenter l'enseignement mathématique en ont retranché,
quoi ? la nouvelle géométrie et la mécanique rationnelle.
Ces étranges anomalies me rappellent un ouvrage de mo-
rale intitulé BechinotOlam (*), et cet ouvrage débute
ainsi : « On ne peut sonder ni les abîmes de la mer, ni
M la profoifdeur des cieujr ; plus impénétrables sont en-
II coie les replis du cœur humain, n

Ubsebvatioas avK. la résolution des équations du troi-
sième DEcnÉ ptn LESPOKMULES DE Taktalea, sur le cas
irréductible , sur le problème de la trisection de l'angli-
et de la duplicaition du cube; par un mathématicien.
Quimper, i85o; in-8"de i6pages.

L'auteur montre, par des exemples, que si l'équation
du troisième degré a une racine de la forme a -i- </b , a
et b étant des nombres commensurables , les quantités
contenues sous le radical, dans les formules ordinaires,
deviennent des carn's parfaits ; il montre, mais ne dé-
montre pas que cela doit être ainsi. Courtois, professeur
au collège Stanislas, dont la perte récente est si regret-
table , s'est occupé de cette question qu'il a probablement
résolue (•*). Parlant de la trisection de l'angle, \e mathé-
maticien croît qu'on peut faire cette opération par la géo-

(*) ApprétiBtion du monde, traduite d« l'hébreu en rranc«i>, pnr
Michel Ber'-, '
l*') \ lAr tioiM^lltiA-ùtalri, t. Il, p. 30 ; Conrtois put mort en 18^9,

i.vCoogIc

( 35o )
luéirieélémc nuire. WaDiEel en a dëmoiitré l'impossibi-
lité. M. Sturm a rendaceue démonstration plus rigoureuse
et ploB simple, à ce qu'on dit'.

Études sus la tkigonométuespbériqub, suivies de nou-
velles Tables trigonométriques, donnant la valeur des
angles horaires du cadran solaire dans toutes les posi-
tions, la série des heures du lever et du coucher du
soleil pour toutes les latitudes , et la solution abr^ée
de beaucoup d'autres problèmes d'astronomie, de géo-
graphieetdenaTigation^parM.^^/pAonfe/fee^ema/i/t,
membre de la Société nationale des sciences, de l'agri-
culture et des arts de Lille. LiUe, i85i; in~8° de
192 pages, une planche. (Extrûii àea Méntoires rie cette
Société^ année tS49-)

Ces Études sont terminées par denvTàbles A et B , ei
c'est par là que nous commençons, car tout l'ouvrage est
dans cette fin. La Table  est à double entrée et repré-
sente l'équation indëterminér* h trois variables

l'arc X qu'on suppose plus grand quey est à l'entrée su-
périeure ou horizontale, les arcs se succèdent de 3o' en 3o',
depuis 0° 3o' jusqu'à 90° ; et l'arc le moins élevé occupe
l'échelle latérale ou verticale, et ces arcs se succèdent
aussi de 3o' en 3o'. Supposons, par exemple, x = 69°,
Y=^ 25°3o'; prenant dans la colonne horizontale 69°,
et dans la colonne verticale 24" 3o', on lit dans l'intérieur
de la Table sa" 466 à l'endroit où les deux lignes, partant
de ces deux points trouvés, se croisent; ainsi l'on a

s = 251'' 46' 36".
Le degré étant supposé diviséen si X cents partiesou dixièmes

:,.;,l,ZDdbyG00gIe

(35. )
de miuute , il faul multiplier le troisîiEae chîA're dëcintal 6'
par 6 pour avoir les secondes. Cette même Table, qui
donne les produits des deux sinus, donne aussi ^idem-
ment les quotients , et , par consÀjuent aussi , les produits
d'un nombre quelcontpie de sinus divisés par un produit
semblable i le tout h vue et sans l'ecourîr aux Tables de
logarithmes; mais dans ce cas la méthode perd son avan-
tage-

La Table B représente Téquation indéterminée
sin X tang j* = tang z.

Sa construction est aQalog:ue à celle de la Table A ; il
est presque inutile de dire que les Tables s'appliquent
aussi h des cosinus, et à*des cotangentes. Les nombres in-
termédiaires s'obtiennent à l'aide d'une méthode d'inter-
polation fondée sur le théorème de Taylor appliqué à une
fonction à deux variables : ce qui nécessite deux ordres de
difierences, inconvénient assez majeur, les unes prises
dans les lignes horizontales et les autres dans les colonnes
verticales. Ces ditréreDces se rapportent à iS'dc diffé-
rence; une Table spéciale donne les parties proportion-
nelles. Ces Tables occupent soixante-quatre pages. Les
deux équations fondamentales résolvent directement le*
dix-huit problèmes qu'on peut proposer sur le triangle
sphérique rectangle, avec un suffisant degré d'exactitude
qui dépend aussi de l'exactitude des Tables qui , à ce que
je sache,' n'est pas encore constatée. Les triangles obli-
quangles se décomposant en deux triangles rectangles,
on peut encore avoir recours aux Tables. L'auteur tes a
calculées en grande partie jusqu'aux secondes de degré.
Des vues d'économie et des difficultés typographiques ont
fait renoncer à la publication de ces grandes Tables;
projet dont l'exécution serait assez utile. Un grand nom-
bre de problèmes de trigonométrie, d'astronomie, dena-

J,.;,-z.d=,C00gk'

(35.)
vigatioii , de. gnunionique, se résoudraient puur ainsi diri'
à vue, sans calculs, sans logarithmes. Telles qu'elles sont,
les Tables sont suffisantes pour les marins dans les calculs
des levers, des amplitudes, etc., et, en général, dans tous
les calculs approchés à 'moins d'une minute de temps
près. L'ouvrage contient un grand nombre d'applica-
dons à l'aslronomie nauiic[ue, etc. j l'auteur approprieà tes
Tables les formules pour calculer les parallaxes, la réfrac-
tion , etc. C'est ce qui recommande principalement cet
ouvrage aux professeurs d'hydrographie. On aurait peut-
être pu ae dispenser d'établir de nouveau les formules des
deux trigonométrîes; elles nous semblaient sudisam-
raent connues et bien établies.

Gr*HD/.1:GE DBR ALfiEBRltSCHEM ANALVSIS, CtC. PriK-

ciPES DE l'analyse ALGÉBRIQUE; par 4e D'' J. Dte/tger,
professeur de mathéraaticpies à l'Ecole Polytechnique de
Carisrnshe. — Carlsrushe, i85i; i-8, xtv-3i6.

Le savant auteur, connu par des travaux de haute ana-
lyse, a rédigé cet ouvrage élémentaire pour la seconde
classe de l'Ecole Polytechnique badoïsc. L'ouvrage con-
tient deitx divisions. La première est consacrée iux fonc-
tions, aux séries et au calcul aux différences. La huitième
section, consacrée à la série binomialc, donne la somme

de la série infinie i-f- m a; H -^ x' -f- ... pour x

réel ou imaginaire; dans la quatomème section, on dé-
montre, d'après M. Caucliy, que /"(a'-f-i) — Jx et —
atteignent la même limite pour j: croissant indéfiniment;
-^.^^'■et/(x)'. La

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(353)
deuxième division traite des ëqiutioDs; résolution des
t-qnationsdntroîsièmeetquatrièraedegrë, d'après Euler; -
existence des racines , d'après M. Cauchy ; communs divi-
seurs de deux polynômes; théorème complet de Sturm;
méthode de Lagrange (fractions continues); recherches
des racines réelles, d'après Horncr (*)-, jnéihode de
Newton. Un appendice contient les formules sin {a + bi)i
cos (a + hi) , etc. ; sommation de la série
I X* i-Sx»

X éunt imaginaire; démonstration des formules de Cra~
mer; méthode d'approximation de Fourier. .

Les élèvetf sortant delà classeélémentaircdeM. Dienger
auront une instruction mathématique plus complète, plus
solide quelesélèves sortant de notre Ecole Polytechnique,
telle qu'on l'a faite, ou mieux, telle qu'on l'a défaite.

SOLimON BE U QUESTION 233

(Toir i-tX,».ml^

. PAB M. ROUCHÉ ,

Ëlère CD apécUle* du Ijcëe de Hoolpelliar.

T étant l'aire d'un triangle rectiligne, rct Ries rayons
des cercles inscrit et circonscrit, a, h, c les trois côtés,
on a les équations

a + b-\-c = 2p, pr=T,

p(p -a)lp~ t) {p~c) = T>, abc = 4RT.

Rn combinant les denx premières , et développant la troï-

(■) La méthode dil« de Hornsrekt dam lei Tfamacliinu pkiloiophi^utt,
rSig. >0D> n« Tojon» pas en quoi elle diffère de la méthode Fourier-

Aim. Je Maihémal. , t. X. [S^lenbra iSSt.} ^3

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(354)
stèiiie, un obtk'iit le s^ystème

nui, par le changement de a, />, c, en a(/) — a).
,i^p — A), 2{p — c), donne àsoD tour

I^s cftiés a,, b, c sont donc racines de l'équation

et les quantités a + A — c, « + <:■ — ft, ft + r — «.
sont racines de celle-ci :

(a) «'-3lK'-t-4;|4;i-i-7-l« — SrT^o

En appliquant le théorème de M. Sturm à l'équation
générale

x'— Ax'-fBx— C^o,

on trouve, pour la réalité des racines, la relation uniqu*'
— 4a>C-J- A'B--H i8aBC — 4B^ — 27C'>o;*!.

Cette condition , relativement aux équations parùcu-
Hères (i) et (a), fournit le même résultat

T'— 2r>(2R'-|-ioRr — r')T'4-r'{4R-+-/-}><0.

Le premier membre est un trinôme du second dfçré
en T' ; pour qu'il soit n^atif, il faut qiie l'équation obte-
nue en l'^alant à zéro ait ses rainnes réelles, et que T'
soit compris entre les deuii racines.

(•) I¥ou-rHfiAiiMi«.i. m, p. ,6.1 NolP de M. T.rmfr,

i.vGoogIc

( 355 )
Ce* deux racines ont pour expression

^■'[2R'+ loRr— /■•±2s/R(R — 2/-)'],

et comme elles sont positives eu même temps que réelles,
les conditions précédentes deviennent . .
R>^r,

/■V/2R'+ loRr — r'+ 2v'R(R— 2r)' > T,

T>rV2R'-f- loR/— /■>-;- 2 v'R(R — 2r^

Lorsque B._!> 2f' et que T est égal à une de ces limites,
l'équation (i) a deux racines égales, et le triangle est
isocèle.

Si R ^ ar, les deux limites se confondent, T devient
égal à cette limite 3 r' v3 ; l'équation (i) p^nd la forme

,^ _ 6 sflrt- + 36/-* — 24 v^^ = o ;

elle a ses trois racines égales, elle triangle est éqnt la-
téral. •

On parviendrait aux- mêmes conditions de réalité en
faisant évanouir les seconds 'termes des équations (1) et
(a), et appliquant ensuite le caractère 4/^*+ 379'<C°-

TI^BMBS 811 US EQUATIONS ALGÉBRIQUES.

1 . Soit une équation algébrique entière de degré n
P = A j- + A,x— ' H -t- A. = O =/(j:).

i.vGooglc

( 356 )
a étant une t/uantité tjuelconque ; on aura les identités

P =P, (x-.) + /(a).
P, =P, (:r- «)+/'(«),
P. =P, {.-.)+>lll^

= P. (^-«)+-^

")-^^^-

P,^, =zP, (l — b)
P.

P, , P,, P»,... sont les parties entières des tjuotients

P P, P, , ,,,

, , , etc. (• .

Coi-ollaire. .

P = /(a) + (:r -«)/'(«>+ i^^/".

+ ll21fl*/''(-) +-. -H (* - «r'^^ + (* - ar A

=/la + {:i- a]] =/(*);
résulut évident d'après le théorème de Tayior.

2. Soient y(x, j'} = o, i(;(a;, _j')=o, ^ux éfua-
tions algébriques eniières;sile déterminant
df Ji|i df d'^
dx dy dy dx

est identiquement nul, les deux équation sont ou in-
compatibles ou rentrent l'une dans l'autre.

(') On ii'insérErs pas de Uéinonstntion dr ce Ihéorème.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(357 )

OmSTMNS.

- ^£38. Quand uae suite d'ellipsoïdes est inscrite daiis un
cône de révolution suivant la même courbe de contact,
an a, entre leurs demi-axes , a,b,c, la relation suivante:

■ y = constante.

(MlCHÀBL RoBERTS.)

339. Démontrer la formule

(Sthebor.)

240. La position d'équilibre d'un corps. surnageant
n'a lieu que lorsque la disUnce du centre de gravité du
liquide déplacé au centre de gravité du corps est un
maximum ou un minimiup, ou bien encore lorsque le
centre commun de gravité du corps et du fluide déplacé
esta sa plus hauleouplushasse position. [Clapseh (Th.),
astronome de l'observatoire d'Altoua. ]

241. Soit

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 358 )

équation caractéristique d'une série récurrente; on a

t;+., — a T„ T„+. + fc T„'

— ^~. — I 1= constante.

(EuLKR.)

242. Soi!

T,„ = îT,*, + T„
éqoation d'une série récurrente. Les deux premiers termet
étant I et 3, aucun terme n'est un catré, à l'exception de i.

Î43. Soit l'équation

(^-a,){:>:~a.){^-a,){^~a.]{^-a,)...{k-a..)
+ *-(x-o,)(^~''.){^-''')(^-«')- ■■■('-«— .) = 0J-
les indices augmentent successivement d'une'unité et de
trois unités ; les différences a, — Aj , o, — a, , . . . , at„_i — Oi.
sont positives; b est un nombre positif; m un nombre
entier positif; les an racines sont réelles et comprises
entre o, eia^, a, etai, . . ., u^,^i et at„. (Richblot.)

244. Dans un prqduit de n fac.teurs monômes, on ne
peut changer que a''~' — i fois les signes des facteurs, soit
en totalité, soit en partie, sans changer lesigne du produit.

245. Soit

supposons que x, , x, , . . . , x, puissent prendre respecti-
vement m,, m,, . . ., m„ valeiu's différentes; alors z aura
au plus m| mttnt . . . m„ valeurs différentes; mais il peut
en avoir moins. Dans c^el cas?

246. Résoudre l'équation

u' — 6ji' + (Ki* -+-9n'— 3a« +/^=o.

247. Résoudre l'équation

248. 4""* — '" — 'ne peut jamais être un carré, soît
entier, soit fractionnaire. (Golobach.)

I ' } Lm équaliona de tvlir formr ont toiijoim deux racines réelle*.

:,.;,l,ZDdbyG00glc

(359)

IXBRGICR MIMERIDIIE SUR LES ÉQUATIONS DE PRKINini
DEGRfi; LOGARITHMES DE GAUSS.

Soient-les quatre équations :
4944,66 = o,o382025a — o,oo655533 p — 0,07 1 83347 ■+■ o,o5657o3 3,
52agi,ai =; o, 0465752» — o,oo4o785ofl — 0,09158667 -f-o,o362a59iî,
t)8846,94 = o,o5i7aiia + o,ooo5472op — 0,10333467 — 0,00490631},
O5498,oo = o,o3a3338a+o,oo3o5495p — 0,06346867 — 0,0171300 J;
d'où
3a7o589.<=« — 0,171694? — 1,8803347+ 1,480800*,
326981a = « — 0,087568? — 1 ,9664677 -1- 0,777743 J.
3î64566 = a + o,oio58o p — 1 ,995987 7 — 0,094861 a,
3362771 = a + 0,094481 p— 1,9629107 — 0,839084*;
777 = — o,o84oa6p + 0,0861337 + 0,703007 4,
6oa3 = - o, 182174? + o, 1 156537 -f- 1 ,575661 *,
78018 = — 0,066075? -t- 0,0818767 + 2,319884 Ji
9347,1 = — p + i,oa27i7 7 + 8, 36654 lî,
33o6i,8 = — ?H- 0,6346497 + 8,64924*,
39362,7 = — ? + o,3io3497 + 8,71905*;
238i4,7 = — 0,3878687 + 0,28270*,
3679,1 = +'o,3a45oi7 — 0,06984*;

61399 = -7 + 0,728856*,

ii338 = + 7-o,ai5i3i*;

72737 =: + o,5i37a5*;

*= i4i587,4', 7 = 41798, ?= 1216098, a = 3346538.

(Extrait de l'ouvrage ; Base du système métrique

décimal, etc.; tomclll, pagepS. 1810.)

:,.;,l,ZDdbyG00gk'

{ 36o }
C'est surtout ce genre de calcul que les logarithmes de
Gauss abrègent considérablement.

Prenons pour exemple les deux équations

on en tire successivetncnt

b c

x-\ — r = -i
b' e

Employant les logarithmes , il faut chercher les six It^a-
rithmes loga, log^, loge, loga', logÂ', loge'; de là on
déduit

log-, log-, loe^' ^^?'

ensuite revenir de ces quatre logarithmes aux nombres:
substituer ces nombres dausla valeur de r, et prendre de
nouveau le It^arithme du numérateur et celui du déno-
minateur : c'est la marche ordinaire; Undis que parles
Tables de Gauss, il n'est pas nécessaire de revenir des
logarithmes aux nombres, et de connaître les valeurs effec-
tives de - et de — ,> car, comme on connaît leur s logarithmes,

ces Tables donnent le logarithme de la dilTérence ;t

et de même le logarithme de ;• Voici le procédé gé-

:,.;,l,ZDdbyG00gk'

( 36. ) ■
néral : prenous U'oïs équatioDS à trois inconnues j on rem-
place chaqi^e coefUcient par son logarithme, et l'on écrit
ces équations de cette manière :

^lOgO -i-prhieb +s\ogc =iogd,
■ xloga' +/lc^ft' +zlogc' = li^J',
• x\o%a" -\-%\fy%b" + z\o^c" = logrf".

Il est presque inutile d'avertir que ces équations et les
suivantes n'existent pas entre les logarithmes, mais entre
les nombres correspondants.
De U , on tire

■^■4-/%B +8l<^C =logD,
j;+jlogB' +il(^C' =logD',
H-j-togB" + alogC^togD",
où-

■ logB^kigA — logfl, logG=:logc — loga,...;

ite,

par soustraction ,

/logP + :

■■io%^

= logJ,

J-l»gP'+^

.106/

= loeJ',

logp=log(B-B'). log7 = log(C-C'),...,

et l'on trouve log^, 'og7i ^^^-i p^i'lss Tables de Gauss;
n'ayant plus que deux équations à deux inconnues , on
continue à opérer comme ci-dessus. Toute l'opération se
réduit donc à prendre les logarithmes des coefficients et à
faire ensuite tui certain nombre de soustractions.

Cette méthode serait particulièrement utile aux
élèves (*) assujettis à chercher quarante Ic^arithmes et
autant de nombres correspondants; el à calculer vingt
logarithmes.

( ■ ) Mallère Killable t\ rorvcnble H merri.

i.vGoogIc

(360

niTteuTHM mm iguiTwii iirptiuiiTiiLU

Pak h. Tb. rXAUSEN.
[nonvell«sB*tr»noiniqu» de Schumacher, n'^.^i; l. XIX. p- 178; i84i.)

= v(r'-t

dï

(/•■

3*' 2 >-' — aj' + 4 v'j^— I

'' _ 3 J-' ■»■ ^

1-9 2J-'+8,y_,'

H9 aj-+j,5iirr'

-3.' •■+9 .'+9 (^ + 8)v'j'-i)

-t•-5a^ctallg^s'^

' r 3r(r — i) 1

., ,z,:i:,C00g[c

( 363 )

Observation. L^endre troave cette intégrale par un

moyen très-compliqué et la vérifie par une méthode plus

courte. {Traité des Fonctions elliptiques, chapitre XXVI,

n" i38.)

OURSTIONS DE TRIGMON^TRU;

D'APBis H. GAUSS [*).

<.

BnQ=«nP,

A=r

acOB

P

• COSQ/T^

^sm'p'

K =

u„g"(45- + ip)
l.ng(45'+jQ) ^'*'

mP\;".
n»P.)

faisant

sinç
tangS
laag,

sioS

= u.g,co..p
= .irl;nngP,
= «fflnP,

i ■] UnurmchHHgen uber pgriutaiide der hohrm ffcoieiic : Recherches sur
<tcs ctiieti de U géodéaie •apirieure. Gottiogue , i&^j ; in-f* de l^f> p«eci.
{ BiHnil du second tome des Mémoires de lAcûdémic de Goitingue. ) L'U-
lualre auteur promet une luite de Momuim sur le mËmc «ujeli un aecond
Hémnire n paru en iS4;.

:,.;,1,ZDdbyG00gle

{ 364 }

cosÇ
sinQ ^= cosÇsinP,

COtq COSQ= 001 P,

' sin n = tang ï taog Q ,

,angi{P— Q) = tBOg^i;taiig^

siiï(2i; — ii) = <r cosaQ,

C09S = cottcoan cos£

- ^ sin'P

tang"

(45°+ H ^)

tang(45-+-Qj tsng"' (45-+ ^«)

Calcul numérique,
It^o =6,5148235337}

loge = 8,9122052097 I logarithmes hyperboliques;
\ Q = 52-40' o' J

d'où

,= 4'4i' 9",9»262,

P ^ 52° 4*' 2",53a5 1 ,

1:= i''43'.a6",8o4o2,

t,= 2''i5'42",34o83,
log a = o , 000 1 g66553 ,

e = 3"43'34",34669,
l<^A :=6,5t530747o3,

log— ;=o,ooi67o88o4<

Observation. ,%^° ^d est environ la latitude du paxat-
lèie moyen qui traverse le royaume de Hanovre , dont la
carte a été levée par l'illuslre directeur de l'observaloirr
de Gottiugue.

i.vCoogIc

( 365 )

KXBRCKES StIB LES fiQUATtOKS KUMERIQIIES.

I. 3? — l8*'+2* — ^ = 0, ar=: i^,giO"l5
S. a:'4-g«'+3i*'-h48j; — 32 = 0, 1 = 1,48906686.
3. jr* — 4^+^ + 4 = 0) '^ 1,33773905.

*. x'-t-8a^+ 143!" — 8^+ 1 = 0, j: = o,a36 ( il y a deux racines
différaot peu de o , 23 ) .

5. jf'+'gj^' — 61 + 5=10, * = o,3574oi2o8±o,65633i94gv'^.

6. i*' — 9*" — 9* -h 1000 = 0, x = 7,0295488i5±i,55545i499v^ — i.

7. j:* — 4,ijr'+i4,2x' — 30,1 j; + a6=o, :c=:o,7i83±i,9288v'^.

8. a- — 4*>+i4i'— 201+ 12 = 0, x=\ ± 2,7878 v'^.

». x'+a: ■+ 1 =0 , X est compris entre — o,7±o,o3v'— 1 et
— 0,8 + 0,3 v^-

1°. Équations & deux inconnues.'

i.r' + 4.0--aj"-io = o, *=2, :r = 5,43637043,
"ja:> + 3**r + 3ir> — 98 = 0, r = 3, /=— o,f

^^i*'—2«' + 4;rr— /•=*>, x = o, 773571776,

*(jf'+j''x — ^'=10, _j-^ 1,625681024.
(*• -l- j- = 3oo, x=2,43238.7,
"■jx'4-j^ = 8o, j = 4,o368598.

3". Équations transcendantes.

IS. **= 10. *=a, 506184.

14. 4'+ 5*;= 10, a: = 1,0697432.

IB. e' = ax + 5, j;^a,25i63, x= 2,'892 + ^,2iov^—

3". j4 deux inconnues.

!j;/=5-, x= 3,5416,
^=4, r= t., 7253.

!.,■ Google

( 366 )

4°- Racinei exprimées en prodaùs infinis.

i7. x" — iB*"-!- tx — 7^=0, x=:i7.i,o5.i ,oo3.i ,ooo3, ..,
«8. x>-+g*> — 6j; + 5 = o, x = {o, 35 + 0, es'v'^-i,»
x(i, 0O2 — o, 004^^1)
X (1 ,000a ~ 0,0007 ^ — ')•
,„ (*'+r' = 3oo(

[,008.1,001-.., / = 4.",oo9--

Ces exemples sont tirés de l'ouvrage ■ jillgemeine auf
losang der zahlen^gleichungen mit einer oder mehre-
ren unbekarmtc-n : Solution géuératc des équations niimë-
riques à une inconnue et à plusieurs inconnues; par
Simon Spitzer, professeur suppléant à l'Institut polj-
techoîque de Vienne. Vienne; i85i ; in-folio de 7) piges.

L'auteur donne à chaqne raciue ]a fornM générale

■■)^:

Og et b, sont des nombres entiers quelconques , zéro com-
pris; <j, , <ii,..., 6, , £1,... sont des nombres entiers qui
ne peuvent dépasser 9; les quantités h sont nulles poui

réelles. Après avoir trouvé a, H -, on di

nue toutes les racines de cette quantité, par le procédé
Kudan; la nouvelle équation a une raciue moindre que

— ( et, par approximation, on trouve — '— On diminne

alors toutes les racines de la dernière équation de — — , on

obtient une équation qui a ime racine, moindre qu'un
centième , et, par approximation , on trouve a^ ; et ainsi
de stiite. La même marche, mais plus compliquée^ pour
les racines imaginairns et pour les équations à plusieurs

t,.;,l,ZDdbyC00gIC

(36,)
ÎHeouuu<.'9. On nu peut connaitre le degré (l'exactitude,
point essentiel dans les méthodes approximatÏTes-, du
reste, dans la pratique, la substitution directe fournit
toujours un moyen de vérilïcation. Nous reviendrons sur
cet ouvrage.

KXMKN D'AIMISSION A LliCOU FORRSTIÉBE. PiltlS, 18SI.
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES.

Trigonométrie. — Usagedes Tables, Ancienne division.

Deuxiènf question (plus difficile). Les lignes a, b, c
sont des côtés dit périmèire d^une coupe de bois que l'on
vient d^asseoir. En calculant la surf ace de cette coupe ,
on la trouve trop grande rfc*i''"'','75. On veut opérer
le retranchement de cet excellant au moyen d'une pa-
rallèle au côté a.

Déterminer sur le côté b la distance AC à laquelle
doit éire menée cette parallèle.

Dans la figure jointe au texte, lecAté^ (ligne CA) fait
avec le côté a (AI3) un angle de 63" 37', et le côtéa(AB)
fait avec le côté suivant c un angle de 79° 17'- On pe
donne pas la valeur nnmérîqut! de a. Comment alors faire
usage des Tables? Si l'on ne voulait qu'une solution géo-
métrique, d'ailleurs nullement difficile, à quoi bon les
données numériques i'

On ne saurait donner trop d'attention aux questions
qui décident, de la carrière et souvent dn sort des jeunes
gens. En tonte justice, cette composition doit être consi-
dérét? comme non avenue, et le résultat être annulé.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

{ 368 )

lOeARITHNBS AVEC 27 DECIMALKS DU MMILE}
Pa« m. p«. koralek,

On a souvent besoin de connaître, avecune grande exac-
titude , le logarithme du module.

Désignant ce nombre par M , on a , Comme on sait ,

M = o,43429448i9o325i Sa^jÔS 1 1289 189166;

appliquant à ce nombre ma méthode de calcul , je Ipoutc

logttbulairedeM = 0,63778 4311300536789122955917 — 1,

log népérien de M = o, 16596 75547 52o44 2001 96760285 — 1 .

On ne sache pas qu'on ait calcplé ces logarithmes avec
plus de todéciniales.

BIlHOGRAimB.

ImSTRUCTION sur les règles a CA1.CTI1., ET PARTICULIER t-
MEKT SUR LA MOUTELLE RÈGLE A ENVELOPPE DE VERRE;

par M. Léon Lalanne, ancien élève de l'École Poly-
technique, ingénieur en chef des Ponts et Chaussées.
Paris, i85i*, in-12; vni-i36 pages.
La méthode des cotes, la seule presquequiaoit en usage
dans les services publics, a été introduite depuis quelques
années dans l'enseignement graphique de l'Ecole Poly-
technique. Il serait à désirer que ce prf>cédé fût admis
aussi dans les lycées, et qu'il précédât même la méthode
des épures à deux plans de projections. On sait qu'avec

i.vCoogIc

(369)
les cotes, on n'a besoÏD que d'un seul plan , au moyen du-
quel on peut représenter des points dans l'espace et exé-
cuter diverses opérations sur ces points. Ce plan unique,
plus facile à comprendre, peut servir de transition aux
deux plans. Les cotes peuvent aussi être employées pour
représenter une courbe plane au moyend'une seule droite.
A cet effet, prenons un point O pour origine, et menons
les droites OX, OTj axes. Soit A, le point où l'axe OX
rencontre la coiu-be , de sorte qu'en Ai on a y ^ o ; fat-
sons OA, = I ; portons sur l'axe des x, et toujours dans
le même sens, OA, = 2, OA, = 3,OA4^4) etc., et
menons les coordonnées correspODdantes A, M, , Ag M* ,
At M( , elc. ; inscrivons à l'axtrémitë d'une droite le
nombre i ; â partir de i portons sur la droite l'ordonnée
A|Mt, et inscrivons au bout le nombre 2; et, toujours à
partir de i, portons A| M» et inscrivons 3. et ainsi de
suite. Il est évident qu*au moyen de cette droite, si l'on
a pris l'unité OA suffisamment petite, on pourra recon-
struire la courbe, et, sans recourir à cette construction,
on peut trouver approximativement l'aircde U courbe, les
coefficients angulaires des tangentes , faire des interpola-
tions, etc. Choisissons la logarithmique ^^logX',alorssur
la droite représentatii'e le nombre 1 indique le logarithme
de I ou zéro, le nombre 2 indique que l'intervalle 12 est
le logarithme de 2 -, le nombre 3 marque que l'inter-
valle i3 est le logarithme de 3, et ainsi de suite. Sup-
posons maintenant deux de ces droites ainsi préparées et
juxtaposées , i étant vis-à-vis de 1 , 2 vis-à-vis de a, etc. ;
rendons Use une de ces droites, et appelons-la règle, et
rendons mobile la seconde droite, te long d'une rainure
pratiquée dans ta règle. Appelons cette seconde droite
réglette. Faisant glisser la réglette jusqu'à ce que son
nombre 1 soit vis. à-vis le nombre quelconque m de la
règle, alors le nombre quelconque n de la r^lette sera

inn. Je Uathimat., I. X. (Oclobro i8S] .) M

:,.;,l,ZDdbyC00gle

( -170 )
vis-n-vis uit nombre x de la règle , et U dîsiance i x sur
la t-i'glc sera égale à la somme des distances im et in.
Or ces distances représentent les logarithmes; donc,
d'après la propriété connue x = mn, on connaît Je
produit des deux nombres m et n; l'addition des li^-
rilbines qu'on exécute avec les Tables et avec la plume
s'opère par la règle glissante (slide rule)y sans Tables et
sans plumes, à l'aide d'un simple déplacement. On voi^
comment, par un mouvement inverse, on peut opérer la
soustraction des distances, et par conséquent la ttifûion,
et aussi l'extraction des racines. 11 est évident que s'il
fallait inscrire tous les logarithmes, l'instrument serait
inexécutable; mais on peut se contenter, pour les usages
ordinaires, d'un petit nombre de logarithmes. En effet,
admettons qu'on ait inscrit seulement les nombres de i
à 9; I est le commencement de la règle et représente «éro
ou le logarithme de 1 . Supposons que la règle soit pro-
longée seulement dans le sens de 31, alors le zéro de l'é-
chelle tombe en dehors; le i représentera le logarithme
de 10; le 12 le logarithme de 30; le i3 le Ic^ariihme de
3o. et ainsi de suite; de même 11 peut présenter le loga-
rithme de 1200 et 1 3 le logarithme de 3oo , etc. ; les nom-
bres intermédiaires s'obtiennent par interpolation. Du
reste, Vinstrtiction est tellement détaillée, les manières
d'opérer sont si nettement indiquées , les figures sont si
parlantes, que tout le mécanisme devient d'iuie facilité
extrême. M. Lalannc s'est rendu accessible aux moindres
intelligences , et nous ajouterons aux plus modestes
fortunes. Sa règle à enveloppe de verre ne coûte que
3 francs; celle qui est en bois coûte 7 francs (*), L'in-

(*} Les dlviiioDE dolTcnt être parTiitement édiles, les tnila miiicet et
pourtant Tisibtes, et bien se correapondre sut la réylc el la régletU;
conditions dont l'ciéeulioii «xigc benucoup do soin et rendent l'iiutni-

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(37' )
strutnenl de M. Lalanne suffit parfaitement aux élèves
qui doivent sctdement connaître la règle et la manière de
s'en servir, sans avoir besoin d'acquérir une habileté
qu'ils acquerront promptement lorsqu'ils seront devenus
praticiens ; habileté d'ailleurs qu'on ne conserve qu'en pra-
tiquant constamment. Nous recommandons donc la règle
économique, surtout pour le nouvel enseignement, bien
plus dispendieux que l'ancien. Il est vrai que le nou-
veau ofTre plusieurs compensations ; il est plus pénible ,
plus long, de qualité très-inférieure, et les chances des
élèves sont plus embrouillées. Ainsi dans le nouveau mode
d'examen (*), les élèves seront classés d'après douze
moyennes prises sur des objets difTérenis, ayant chacun
un coefficient particulier, même fractionnaire [Aloniteur,
S juillet i85i ; page 1899, i''" colonne, article 43). Les
«lèves sont assimilés à des orbites planétaires , dont on
détermine les dimensions d'après douze observalionâ ,
ayant chacune son poids spécial. L'enseignement est évi-
demment sous une ïnQuenca astronomique. Je crois
même qu'il est sous la domination du Caucer.

mcDt aura cher. L'action de la tempémtiire el l'atae* fom tntme dispa-
rRltre cea condîtiona auei vile. Les élèves n'ajani bcioin qne de connaître
l'instrument, le moitii dispendieux est le meilleur pour les classes.

(*) On a adopte l'excellent systêiae iu<*i paur l'École de Salal-Cjr,
mais en le gïlaat. Le Priâdent doit être un protecteur donné aux cao-
didala, et tous en faites un troiaième examinateur. 11 y n hypertrophie
d'eiamena. D'ailleurs, on ne devient pas mathématicien, physicien . chi-
miste, etc., |>ar ordonnance ministérielle. En multipliant oulre mesure
les iHiV«'Rei diverses , vous avei accumulé les chances d'erreurs. A travers
les larges trous de vos cribles , les médiocrilca passent aussi et même plus
Tsâlemenl que les supériorités. Au milieu de cette macédoine d'épreures,
le contrôle de vos jugements derieikt liu/muiifei et, par conséquent, les
injustices sont pauiblei. En ce e^nre , le poiiibU finit toujours par

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(370

DES SYSTEMES DE CHIFFRES
El isage cbei difTirtib ^iplcs, et it l'origiie de la Tilev de pnitiii

■.'aLLEWARD , PAB H. F. WOEPCKB.

Jusqu'à présent, dans les recherches sur les signes de
la numération (les seuls hiéroglyphes qui , chez les peu-
ples de l'ancieD continent, se soient conservés à c6té de
l'écriture littérale, anatomie phonétique de la parole), on
s'est occupé plutôt de la forme individuelle des signes, que
de l'esprit des méthodes h l'aide desquelles le génie humain
a réussi k exprimer des quantités avec plu^ ou moins de
simplicité. Le point de vue sous lequel on a envisagé cet
ohjct, a été presque aussi horné que celui qui , pendant
longtemps, a fait comparer les langues plutôt relativement
à la fréquence de certains sons et de certaines terminaisons,
ou relativement à la forme des racines , que par rapport
à la structure organique de leurs grammaires. Depuis plu-
sieurs années , je me suis efforcé , continuellement et avec
une prédilection particulière , de mettre sous un point de
vue général les systèmes de chiffres en usage chez diffé-
rents peuples anciens et modernes. La connaissance de
certains chiffres chez les jéztelies (Mexicains) et chei
les Mityscas [") (hahiunls du plateau de Ciintiinainared]

C,.;,l,ZDdbyG00glc

(373)
que j'ai remportés de mon voyage; la découverte, faite
par Thomas Young, du cbîlTre ^yptieu , dont les signes
(comme nous le savons à présent) n'expriment pas tous
par juxtaposition !e multiple des groupes; le chîâre
gobar (de poussière) des Arabes, trop peu remarqué
encore, découvert par SHvestre dû Sucy, dans un ma-
nuscrit de la Bibliothèque royale de Paris; les comparai-
sons que j'ai établies entre ces derniers signes de numé-
ration et les cbîlTres mexicains et cbînois; la certitude
acquise par un grand nombre de grammaires publiées
dans y Inde, que les chiifres et les lettres employées
comme signes de numération, en deçà et au delà du
Gange, sont non-seulement d'une forme tout à fait diffé-
rente, mais que les systèmes de cbillres eux-mêmes sont
essentiellement dilTérents, ayant ou n'ayant pas une va-
leur de position; enfin une mptfaode indienne entière-
ment inconnue, cpii se trouve dans une scolie du moine
grec Néophftos : voilà une suite de matériaux qui peu-
vent jeter quelque lumière sur notre système de numéra-
tion soi-disaui arabe. En 1819, dans un Mémoire lu à
Paris, dans une séance de l'Académie des Inscriptions
et Belles-Lettres , j'ai essayé de démontrer comment, chez
des peuples qui abr^ent la méthode de la simple juxtapo-
sition, en écrivant (à la manière des Mexicains dans
leurs ligatures de 4 foisi3 ou Sa années, des Chinois, des
Japonais et des Tamouis) des exposants ou des indica-
teurs au-dessus des signes de numération, comment, dis-je,
ces indicateurs , par la suppression des signes de groupes
arrangés eu série horizontale ou verticale, ont pu donner
naissance à l'admirable système indien de la valeur de poti-

Ngare luiiairc, qui M développe succCHivement avec les phaws succei-
sivei, voyai HiuiAotit, Vues àe» Cord. el HoDumenls des peuplM indi-
ennes de l'Amérique. (. n. p. i3:-i43i PI. XLIV.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(374)
tiou. La propagation de ce système a dû être favoriEée par-
l'usage antique des cordons dont on se servait poar aider
la mémoire et pour compter. Détaches, comme les quip-
pos des Tatares, des Chinois, des Égyptiens, des Péru-
viens {") et des Mexicains, ces cordons se changeaient
en chapelets chrétiens , pieuses machines à <;filculer (**) ;
tendus sur des cadres , ils forment le suanpan de toute
l'Asie centrale, l'aiflcaj des/fomaùuetdes Tusciens (***),
et les instruments de Tarithmétique palpahle des races
slaves l^****). Ces systèmes de cordons ou de fils de fer
du simple suanpan asiatique , représentent les groupes
plus ou moins élevés d'un système de numération, soit
dizaines, centaines et mille; soit, suivant la division
sexagésimale, degrés, minutes et secondes. L'esprit de la
méthode est le même. Les perles de chaque cordon sont
les indicateurs des groupes -, un cordon vide indicpie zéro ;
ainsi il indique le vide sunya (sanscr.) sifr, ou plutôt
proprement sij'ron sihron (arabe, suivant Meninshi:
prorsus vacuum). Je ne puis pas prouver historique-
ment que l'origine de la valeur de position donnée par les
Indiens aux neuf chiirres a été réellement celle que je
viens d'indiquer; mais je crois avoir montré le chemin
qui peut successivement conduire à celle découverte. En-
trevoir de semblables probabilités , voilà tout ce qu'on
peut attendre de la ténébreuse histoire du développement
des forces de l'esprit humain , histoire que son obscnrité
ne rend que plus attrayante.

(■) Voir sur l'emploi de» ijaippB) pour compter le» péchés au cont»-
«ionnal, i4cofM, HUt. natunl de lu Indias, lîl). G, cap. S; el IncaGar'
n/dio.lib. 6, cap. 9; Fréitl, Mém. iIcrAcad.. I. VI, p. 6ng.

('■; Klaproîh, Atiat. Mag-, Ch. li, s. 78.

( — )Ol/rinlJ#iiH«-. Etnisker, l.ll.p. Î18,

I ""] En rusdc, le chnpolcl s'appelle Uchoth; la table à ralruler MI
rordoii» (le suanpan dce Tarlareu), uchmii.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(375)
Un courl extrait (lu Mémoire lu devant l'Académie des
Inscriptions a été imprimé, et cela dans un endroit où
l'on ne le cherche guère [*). Le manuscrit même se
trouve entre les mains de M. (?Aam^o//ibn, qui se propose
de le publier avec d'autres découvertes beaucoup plus im-
portantes encore, faites par lui à TurUii et relatives aux
diflérentcE méthodes des chiffres égyptiens. Depuis lors ,
j'ai continué de compléter de temps en temps mon pre-
mier travail; mais comme je ne puis espérer de trouver
assez de loisir pour te publier dans toute sou étendue ,
j'essayerai d'en réunir ici les résultats principaux. En
présence du nouvel et heureux essor qu'a pris l'étude des
langues et des monuments, en présence du commerce
croissant avec les peuples de l'Asie méridionale et occi-
dentale, il n'est peut-être pas tout à fait inutile de discuter
des problèmes qui touchent de si près à la marehe que suit
l'esprit humain et même aux plus brillants progrès des
mathématiques. Un des plus grands géomètres de notre
temps et de tous les temps, l'illustre auteur de la Méca-
nique céleste, dit (**} : « C'est de l'Inde que nous vient
l'ingéuieuse méthode d'exprimer tous les nombres avec
dix caractères en leur donnant à la fois une valeur absolue
et une valeur de position; idée fine et importante qui
MOUS paraît maintenant si simple, que nous en sentons à
peine le mérite. Mais cette simplicité même, et l'extrême

(*] Gar-Luitac ol Arago, Annaica de Chimio el de Phjsiquo, t. XII,
|>. 93; dans les Comptes rendus mensuels de l'Institut; HumiolJl, Essais
pol. sur la Nouï.-EspBene(3*ËdilO, t' Ht, p. 111-134.

(") Laplace, Eipos. du système du monde, Utte V, chapitre 1. Arec ce
jugement, conIrDBle sinsulièroment l'opiaion émise par Dulambrc dans
sa puicmiqiic sur lu mérite de l'anriennc arïlhmulique indienne, telle
qu'Hic se trouve dans la Lilawaii de Bhaieara Acharra (HÎHt. de l'AsIro-
nomie ancien ne , l. I, p. 5/|3). Il n'ml guère probable que l> lai^C MQle
condnise h la luppreseion des si|>ni?s des groupes.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(376)
facilité qui en résulte pour tous les calculs , placent notre
système d'arîtliniétique au premier rang des inventions
ntilcsi et l'on appréciera la difiBcnlté d'y parvenir, si l'on
considère qu'il a échappé au génie d'ArchimMe et d'Apol-
lonius, deux des plus grands Kommes dont l'antiquité
s'honore. » Les observations suivantes démontreront, je
l'espère, que la méthode indienne pouvait dériver succes-
sivement de méthodes antérieures, en usage encore aujour-
d'hui dans l'Asie orientale.

La langue, généralement parlant , détermine Vécritmv,
et l'écriture, sous certaines conditions examinées par
Silvestre de Sacy et par mon frère, réagit sur la langue;
de même les manières de compter si différentes chez les
différents peuples, et les hiéroglyphes numératîfs exercent
les uns sur les autres une influence intime. Cette in-
fluence réciproque cependant n'est pas toujours d'une
rigoureuse conséquence. Les signes de namération ne
suivent pas toujours les mêmes groupes d'unités que la
langue; la langue n'oflre pas toujours les mêmes points
d'arrêt (les mêmes intervalles quinaires) que les signes de
numération. Mais en réunissant sous un seul coup d'oeil
toutes que la langue (noms de nombre) et la graphique
numérique présentent dans les zones les plus éloignées ,
tout ce qu'a produit l'intelligence humaine , dirigée sur
les relations quantitatives ; alors on retrouve dans l'ecn-
ture numérique d'une race les singularités isolées, en
apparence, de la langue d'une autre race. Il faut ajouter
même qu'une certaine maladresse dans les parties de la
langue et de l'écriture, relatives à la numération, n'offre
qu'une mesure trompeuse de ce qu'on se plait à nommer
Yétat de culture de l'/tumanité. On rencontre à cet égard,
chez les différents peuples , les mêmes complications, les
mêmes contrastes que ces peuples présentent sous d'au-

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(377 )
Ires rapports. A côté des degrés les plus variés de cul-
ture inlellectuelle et de coostitutions politiques, tantôt
ils ont l'écriture littérale, tantôt seulement des signes
idéographiques; tantôt une richesse abondante de formes
grammaticales, de flexions dérivées organiquement du
son radical, tantôt des langues presque destituées de
flexions et de formes, engourdies, pour ainsi dire, dès
leur naissance. Ainsi l'action réciproque du monde in-
térieur et du monde extérieur {action dont les pre-
mières causes déterminantes restent plongées dans les
ténèbres d'un temps mythique) pousse le genre humain
unique de nature dans les directions les plus divergentes ,
le plus souvent irrésistiblement; et cette divergence
se conserve, quand même de grandes révolutions cosmi-
ques rapprochent de nouveau géographiquement les fa-
milles de langues les plus hétérogènes. Mais certaines res-
semblances, certains accords qui, à d'immenses distances,
seretrouventdanslesformesgrammaticales, dans les essais
graphiques, pour exprimer de grands nombres, témoignent
de l'unité du genre humain , de la prépondérance de ce
qui prend sa source dans l'intelligence intérieure et dans
l'organisation commune de l'humanité.

Des voyageurs qui virent qu'en comptant on réunissait
des cailloux ou des grains'en tas de 5 ou de 20, préten-
dent que beaucoup de nations ne comptent pas au delà
de 5 ou de 3o(*). De cette manière on pourrait prétendre
aussi que les Européens ne comptent pas au delà de 10,
parce que dix-sept est composé de 10 et de 7 unités.
Chez les nations les plus civilisées de l'Occident, parexem-
ple chez les Grecs et les Romains, les langues , comme
on sait, rappellent encore cette habitude de former des

(') l>aiiw, Heehercbes philo, sur les AméricaiDS, t. U, p. 163, (Ifun-
toldt, MonumcnM ■méricainii , 1. Il, p. tit-iZ-}.)

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( 37» )
tas ou des groupe»^ de là les expressioDS psephizcin,
ponere calculum, calculum detrakere. Des groupes d'uni-
tés offrent, eu complaut, des points d'arrêt, et les peu-
plée les plus difTéreats , en Tertu d'une commuae organi-
sation corporelle (quatre extrémités, dont chacune divisée
en cinq parties), s'arrêtent : ou bien à une main , ou aux
deux mains, ou aux mains et aux pieds. Selon cette diffé-
rence des points d'arrêt , îl se forme des groupes de 5 , de
lo et de ao Toujours est-il remarquable que sur le nou-
veau continent , comme chez les Mandingas d'Afrique ,
chez les Basques et chez les races kymriqucs (galiqucs )
de l'ancien continent, on trouve, pour la plupart, des
groupes de 20 (*). Daus la langue ckihc/ia des Mayscas
[nation qui, semblahlement aux Japonais et aux Tibé-
tains, était gouvernée par un chef ecclésiastique et par
UD chef séculier, et dont j'ai fait connaître la méthode
d'intercaler un trente-septième mois, pareille à celle de
l'Inde septentrionale (**)j, n, 12, i3, s'appellent:
pied un {qidhieka ata), pied deux [quikieha bosa), pied
trois [quihieka mica), composés de tjuûaeha ou qhieha
[pied), et des trois premières unités ata, bozha on bosa
et nùca. Le numératif /Tic<i indique 10, parce qu'on
vient au pied après avoir parcouru en comptant les
deux mains, yingt, conséqu^unent , dans le système de
langues auquel appartient celle AeiMuyscas, s'appelle:
pied-dix ou maisonnette (giieta) , peut-être parce qu'en
comptantonemployaitdes grains de maïs au lieu de cail-
loux , et qu'une petite pile de maïs rappelait le magasin ,

(*) Dea olcmplea de pareils groupes de ^o unités sont fournit en Amé-
rique pur les J/itruni, leH Oionàies, Ips Aiickei, les Indieni-Cora, etc.

('■) Monum. omér., t. Il, p. a5o-]53. Les Mvscbi avnicnl des pierre»
touïorles dcchilTres, dont la «uile racîlilail ou" prùlr™ (xpquos) l'inter-
r.ilalion de l'anaéQ rilurilp ; lojer. .la roprceenlation d'nne lolk pierre
d'inlercnlalbn , loc. rii., lab. XLIV.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(379)
Ugrange à maïs. Du moimaison, gueta on vingt (les deux
pieds et les deux maina), se forment ensuite 3o, 4<>> So de
la manière suivante : vingt plus i o , deux fois vingt, quatre
fois vingt, tout à fait semblables aux expressions celtiques
qui ont passé dans les langues romanes : -quatre-vingt et
^uime-^ingt, et ces autres plus rares : six-vingt, sept-
vingt, huit'Vingt. Deux-vingt et trois-vingt ne sont pas en
usage en français , bien que dans le dialecte galîque ou cel-
tique de la 5re(og'nff occ/denYa/e, qucj'aî parcourue il y a
quelques années, de ugent, vingt, on forme : daou-tigent,
. deux-^ingt ou 4"> i tri-ugent, trois-vingt ou 60 , et même
deh ha nao ugent, 190 ou dix sur neuf-vingtaines (*).
Je pourrais donner encore d'autres exemples remai^
qnables de l'analogie qu'offre la langue avec l'hiérogly-
pbique numérative; j'en pourrais trouver dans la juxta-
position , dans la soustraction des unités qu'on place gra-
phiquement avant le signe de groupb, dans des d^rës in-
termédiaires de 5 à i5, chez des peuples qui comptent
par groupes de 10 ou de 20. Chez des tribus américaines
très-grossières encore, par exemple chez les Gueranis
et chez les Ltdos, 6, 7, 8 s'appellent quatre avec deux,
quatre avec trois, cinq avec trois. Chez les Muyscas, plus
civilisés que ceux-U, ou trouve vingt (ou maison) avec
dix pour 3o, de même que les Kjrmrcs du pays de Galles

(*) Doplei, Celllc Researchea, iSof, p. 3ii; Lrgodinec, Grammaire
ccllo-brclonne, p. 55. Dans I0 dialcclc cclliqae ou kymrique du pap de
Galles, 5 s'appelle purnp, 10 deg, 30 ugnin, 3o deg ar ugain (lo et lo),
^0 lUagain, 60 trigain. ( William Owen, Dicl. of Ihe Welsh lanBuege,
vol. I, p. li/f.) Suivant ce même tyatéme de Tin^taines, on (muie ou
basque 1 bi s, lau l\, amar lu, oipiai ?o, birroguai /io, lauroguai 80,
bcrroguclaniar 5a , c'isl-b-dirc, jo et(ata) Jii. Ljrraiaendi, Arte de la
leiij;ua baBconEado , r^jg, p. US, (Les numéraUrï basques cl Uïmiiquen
ne loni pas conrusémenl mùlés dans mes Monum-, t. If, p. 737, mais
placén Ensemble afin d'en racîlilcr ta coiaparaison ; seulemenl , par auile
d'une Taille d'impression, an y lit : In prrmieri an lieu de In iteui ou dp

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

{ 38o )
(lisent dig (dix) or urgain {avec vîugt), et que les Fran-
çais désignent 70 par soixante et dix. Partout , chez les
Étrusques, les Romains, les Mexicains et les Égyptietis,
on trouve des additions par juxtaposition; d'un autre
côté, les langues, offrent des formes soustractives ou mîno-
ratives (*) ; c'est ainsi que l'on trouve dans le sanscrit,
chez les Indiens : unavinsati, 19; unusata, 99; cheiles
Romains : undeviginti {unus de viginti), 19; undeoc-
toginta, 795 duo de quadraginta, 38; chez les Grecs:
cûcosi deonta henos, 19, et pentekonta dûoin déonloin,
48 , c'est-à-dire deux manquantde cinquante. Celte même .
forme minorative de la langne a passé dans la graphique
numérique lorsqu'on place des caractères à gauche des
si^es de groupes 5, 10, et même de leurs muluplea; par
exemple 5o ou 1 00 (IV ei lA , XL et XT pour désigner
4 et 4o chez les Romains et chez les Tusciens (•* }, quoi-
que chez ces derniers , suivant les nouvelles recherches
d'Otfried Muller, les chiffres probablement doivent leur
origine entièrement à l'alphabet). Dans ceruines rares
inscriptions romaines, /■ecueillies par Marim (***), on
trouve même quatre tmités avant 10, par exemple UllX
pour désigner 6, Nous verrons bientôt cjue chez des
races indiennes il existe des méthodes graphiques dans les-
quelles la valeur de position, selon la position ou la direc-
tion des signes, indique addition et multiplication; undis
-que chez les Tusciens et les Romains, la position est ad-
ditive ou soustractiue. Dans ces systèmes indiens (pour me
servir de chiffres romains) , UX indique vingt, et XII douze.
Dans un grand nombre de langues, les groupes normaux

( * } M. Bopp'àle même gS ou cenl diminué de eiiiq panîiehmiam laln
( contraclion de penlicha b el ona moini).

{") Olfried Mutltr. Elrusker, l. Il, p. ii'r'iin-

[ — ) Iscmioiii dalla vill* di Arb.ino , p. igJ. Hî/voi, Arilmclic» délie
iinzioiii, 17S6; p. ii-i(i.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(38. )
5, lo, Qosoiitappelésrenpcctivementunemain, deux mains,
main et pied (chez les Guaranis mbombiabe). Lorsipi'on
a parcouru en comptant les doigts des deux extrémités,
Yhomme entier est pris pour symbole de ao ; ainsi , dans la
langue des Yarkcnos (nation dont j'ai trouvé des villages
de mission très-peuplës sur les rives du fleuve Apace,
tribuuire de l'On'noco), 4o s'appelle deux hommes,
noenijemjie, denoemi deux et jemne Aomme. Fin persan,
comme on sait, ^enMc/ui signifie le ^o(>i^, etpendjcùtt},
dérivant du mot sanscritpanfJcAa. C'est ce dernier, sui-
vant l'observa lion ingénieuse de M. Bopp, qui a produit
le mot latin rfuinque, de même que de fje/iarur (sanscrit)
vient quatuor. Lepluriel de ischaïur (4) est tschalvaras,
■ q>ii s'approche beaucoup de la forme dorico-éoliennc
tettares. Car le ch indien, prononcé comme en anglais,
tscb , dans les formes grecques se change en t, donc
tschatvaras se change en tatvaras , et pantscha en penta
( en grec pente, dialecte éolien : pempe, d'où penpezein,
compter sur les cinq, c'est-à-dire sur les doigts). En latin,
c'est q qui correspond au tsch indien, conséquemment
tscliatw et pantscha se changent en quatuor et quinque.
Le mot pantscha, même dans le sanscrit, ne signifie
jamais main, mais désigne uniquement le nombre S.
Cependant pantschasatcha est une expression descrip-
tive poiu- désigner la main comme organe à cinq
branches (*).

De même que la parole (et avec une naïveté toute par-
ticulière les langues de l'Amérique méridionale) désigne
comme points d'arrêt les groupes de 5 , i o , 20, de même
nous reconnaissons ces mêmes groupes dans l'hiëro-

(*] M. Bopp, k Paris, en iSio, m'a communiqué un iDlëreuant Mc-
moire manuacril eur les numératifa de la langue sanscrite comparé* à
ceux d«8 liDguBs grecque, latine et gothique, qui élaît deatiné orifjinairO'
ment à tire publié dans mon ouTnge : Sur 1rs chiffret âei dû-en pruplri.

:,.;,l,ZDdbyC00gIe

(38a)
glyphîque numérative. Les Romains et les Tusciens ont
des chiiTres simples (*) pour désigner 5, 5o, 5oo. Le
système quinaire s'est conservé à côte du syst^e âénaire.
Dans la langue [mexicaine) de» j4ztekes, on trouve nonr
seulement des signes de groupes, par exemple, pour desi-
gner 30, un drapeauj pour désigner le carré de ao ou 400,
UDe plume remplie de grains d'or, qui , eu quelques pro-
vinces mexicaines , servait de monnaie ; pour désigner le
cube de ao ou {tooo, un sachet [xiquipilli) contenant
8000 fèves de cacao, servant également au commerce
d'échange; mais aussi (parce que le drapeau est divisé en
quatre champs et colorié à demi ou aux trois quarts) des
chiû'res pour désigner demi-vingt , ou i o, et ^ de vingt on
quinze, pour ainsi dire ; deux mains et un pied (*•).
Mais c'est Vlnde qui offre la plus remarquable de toutes
les preuves de l'influence réciproque qui existe entre
l'écriture et la langue. En sanscrit, la valeur de poù-
tioD des unités est entrée même dans le langage. C'est-
à-dire que les Indiens ont une certaine méthode figu-
ralive d'exprimer- des nombres par des objets dont on
connaît un nombre déterminé. Surga (soleil), par
exemple, signilie 13 parce que, dans les mythes indiens,
on suppose douze soleils suivant l'ordre des mois. Les
deux ^swinas (Castor et Pollux) qui se trouvent aussi
parmi les naktschatras et mansions lunaires expriment a \
manu signifie i5, conformément aux menus de la mytho-
logie. Ces indications feront comprendre comment surg-
manuj composé des symboles de 1 2 et 1 4 , peut exprimer
le millésime i a [4- Je dois la connaissance de ce fait à la
communication bienveillante du savant Cotehrooke. Pro-

(■) ReUlÎTemenl au signe tascien pour 5oo, vojn Oifried Mii/ler,
Abtb.,IV, ûg. 1.

(■■1 Rumholdi, Munum. anitir., 1, 1 , p. ioii.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( 383 ) '
bablemeut suivant lu même principe, nianusurga siguîGe
i4i3, et anvinimartu ai4> £q saDscrit, d'ailleurs, la
numération est tellement parfaite, qu'on trouve même un
simple mot, hoti, pour dix millions, de même que la
langue qqidsckna (péruvienne), qui ne compte pas sui-
vant des groupes de ao, possède un simple mot [hunu)
pour exprimer un million.

Si, comme le dit Ovide, nous ne comptons suivant
des dizaines h quia tôt digiti , per quos numerare so-
lemns, » l'honune avec des extrémités divisées six fois,
serait arrivé à une échelle duodénaire , à des groupes de
12 (*)j <]ui ofTrc le grand avantage de divisions sans
fractions par a, 3, 4 et 6, et dout les Chinois, depuis les
temps les plus reculés, se servent pour leurs mesures et
leurs poids.

De ces réQexîoussur la relation qui existe entre la langue
et y écriture, entre les numératifs et les signes numériques,
nous passons h ces derniers mêmes. Je répète que, dans
cet extrait de mon grand ouvrage non achevé , il ne sera
pas tant question de la formation hétérogène de tel ou
tel élément (chilVre), que de l'esprit lîes mèthoiles em-
ployées par les dîfl'érentes nations pour exprimer des
quantités numériques. Je ne parle ici de la 6gure et de la
forme des chiffres que lorsqu'elles peuvent influer sur des
raisonnements relatifs à l'identité ou l'hétérogénéité des
méthodes. Car les manières de procéder pour exprimer
les multiples purs ou mixtes des groupes dénaires fon-
damentaux (par exemple ^n, 4"'oi4" -f-7,4'**+ 6/i,
4n*-f-6n4-5) sont très-variées et se font tantôt par ortA-
nation (valeur de position) chez di^érents peuples ia-
diens; tan têt par simple 7'uj:fa/;a5i>/on,commechez les 7uf-
ciens, les Romains, les Mexicains, les Égyptiens ^ lan-

i.vGooglc

384 )
tôt par des coefficients placés à côté, chez les habitants
du midi de la péninsule indienne qui parlent la langue
Tamoul; tantôt par certains exposants ou indicateurs
placés au-dessus des signes de groupes, chez les Chinois,
les Japonais et dans les myriades des Grecs; tantôt, sui-
vant la méthode inverse, par un certain nombre de zéros
ou de points superposés à neuf chiflVes pour indiquer la
valeur relative ou de position de chaque chiffre; ce sont,
pour ainsi dire , des signes de groupes placés au-dessus
des unités, comme dans le chîlTre gobar des Arabes et
dans un système de chiâres indiens, expliqué par le moine
Néophytos. Les cinq méthodes qu'on vient d'énnmérer
sont tout à fait indépendantes de iajigurc des chères, et,
pour faire ressortir plus encore celte indépendance, je me
suis fait une loi de n'employer dans ce Mémoire d'autres
signes que ceux qui sont communément employés dans
l'arithmétique et l'algèbre. De cette manière, l'attemion
est plus fixée sur ce qui est essentiel, sur l'esprit de la
méthode. Déjà, à l'occasion d'un autre sujet très-hétéro-
gène à celui-ci, relativement à la suite régulière et souvent
périodique des courbes géognostiques [dans les additions i
l'Essai gèognosiique sw le gisement des rocfies (*)J,
j'ai essaye de montrer comment des notations pasigra-
phiques peuvent contribuer à la généralisation des idées.
On supprime les considérations secondaires, quoique très-
importantes en elles-mêmes, sur les formes et les fusions
individuelles pour mettre sous un jour d'autant plus clair
un phénomène qu'on désire examiner particulièrement,
avantage qui peut justifier à un certain degré la sécheresse
et la froideur de pareilles observations.

On est accoutumé à distinguer dans les méthodes gra-
phiques des peuples : i" des signes indépendanu des

(•) Kdit. do ifiîS, p. 3ftl-.l7,'V.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(385 )
lettres de l'alpliabet; s" des lettres qui , par un certain
arrangement, par certains traits ou points ajoutes, ou
(se rapportant à ta langue) comme initiales des num^-
ratifs (*) indiquent la valeur numérique. 11 est, comme
on sait, hors de doute gue les races helléniques, ainsi
que les races sémitiques ou aramaïques (parmi celles-ci
les arabes eux-mêmes, jusqu'au t' siècle (**} après
l'hégire, avant de recevoir les chilTres des Persans), à
l'époquedeleur culture développée, se servaientdes mêmes
signes comme lettres et comme chiffres. D'un autre côté,
nousi'encontroQsdanalenouveaucontinentdeuxnationsau
moins, les jiztefies elles Miryscas, qui avaient des chiffres
sans posséder une écriture littérale. Chez tes Égyptiens,
les hiéroglyphes les plus usités, pour les unités, les
dizaines, les centaines et les mille, ne semblent pas non
plus dépendre des hiéroglyphes phonétiques. De même le
chiffre pehlwi de la Perse ancienne, dans les neuf pre-
mières unités, est tout k fait indépendant de l'alphabet,
comme c'est le cas également chez les Tusciens, chez les
Givcs dans les temps les plus anciens, et chez les Ro-
mains. Antfuetil C'^) observe déjà que l'alphabet aen^,
dont les 43 éléments auraient pu faciliter l'expression des

['ILechiffredimnidet Arabes, «iDipoBd aniqaementdemonogmninea
oa abréviationa de naméretifs, offre l'eiemple le plus compliqué d'une
ià\e écriture d'initiale!. [| e«t plut douteux qu'on ne le croît ont in Rlrement
que teaC et les M dcaTuBciens et de* Romams soient dea initiales empnin'
(ces aui langues tuscienuo et romaine. (LesUe, Philos, oraritb., p. 7-9.
m ; Dehroiiei. t. I, p. 436) Hrrvas, p. 3i-3S; Ol/rieJ iHiller, Etnisker,
p. 3o.'i'3i8.) La croix grecque rectangulaire, tout à fait semblable au
li^e chinois pour 10, dans les inscriptions les plus anciennes, désigne
mille (Boerkk, Corp. inscript, gnec. , Tol. I, p. i3) et n'est autre chose
que la foroie la plus ancienne du chi (Noutcsu traité de dîplom., par deux
ReliBiBuideSainl-Maur.'tol. I, p. 678;.

(") Slueilrc àt Sacr, Gramm. arabe, 1810) t. [, p. -)l^\ noie 6.

{■■•) Mém. del'Acad. desBellas-Letlres, 1. XXXI, p. 357.

Aan. dellathéniat., t. X. (Oatobre iSSi.J a5

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 386 )
uombres, n'est pas employé comme chiffre, el que, dans les
livres Mods, les nombres sont toujours exprimé» à la fois
par le chiffre pehlwi et par les mots zeods. Si de» recher-
ches ultérieures corroboraient cette absence d'un chiflre
Mud, cela favoriserait l'opinioa,qne , vu l'affinité intinac
des langues lend et sanscrite , le peuple zend devait s'èlre '
séparé des Indiens dans un temps où la valeur de posi'tmn
rfejcA^J«ï ëlaiteacore inconnue àceux-ci. Dans le pehlwi,
à partir de 9 , les signes de groupes lO, 100 et 1000 sont
composés de lettres. Dal est 10, re joint au sa 100, re
joint an s/iaï'i looo. En considérant le peu que nous con-
naissons de U masse de chiffres dont ie genre humain fait
usage, on trouve que la division des chiffres en chiffres lit-
téraux et clûffres proprement diu , est aussi incertaine et
aussi stérile que la division des langues en langues dhmio-
syllabiques et polysyllabiques, abandonnée depuis long-
temps par les véri tables philologues . Qui peut décider avet.
certitude si le chiifretfl//iO«^ des Irtdes méridionales , qui
n'admet pas la valeur de position , et qui , le signe de a
excepté , est tout à fait diiTérent de celui employé dans les
manuscrits JanJcn'M; si, dis-je, ils ne font pas dériver ce
chiffrede l'alphabet fn/nou/ même, puisque, dans celni-
ci, on croit reconnaître, sinon le signe de groupe de 100,
pourtant celui de lO (la lettre ya) et le chiffre 2 (la
lettre u)? Le chiffre telougon (*), admettant ta valenr
de position également en usage dans la partie méridionale
de la péninsule, diÉffire singulièrement, pour les signes
de 1 , 8 et 9, de tous les chiffres indiens qui nous sont

(•) Campbell, Grammar of Ihe leloogoo lanEuaga (Madras, 1816),
p. 4-108. L« telougon e»i la langue que par erreur on namnaitgemioo, tl
est appelée par le» indiijènes irlUnga ou lelenga. Comparei )■ Table àt
chiHrea donnée par Campbell b d'anlr«« TariéWa de chiffres indieiu qui
'^etrouTenldansH'dM, Uiat. uniTersellcdeslanBueioricnuIcK, i78$,t*b.l.

i.vGoogIc

( 387 )
coaniis jusqu'à présent , lundis qu'il leur est conforme
pour les signes de a, 3, 4 ^ ۥ I^ besoin d'exprimer
graphiquement des nombre» a stns doute été éprouvé le
premier, et les signes niunériques font partie des plus
anciens de tous les signes graphiques. Les iostrumeDU de
raritluaétique palpable, que M. Leslie dans «on ouvrage
ingénieux : the Plàïosophy of Ariihuteiic (1817) met en
regard de l'arithmétiqueyî^urabVe ou graphique, sont : les
deux mains de l'homme, de petites piles de cailloux (cal-
culi, psephoi), des grains de semence , des cordons séparés
et à nœuds (cordons à calculer, quippos des Tartares et du
Pérou) , des suanpan encadiés et des Tables d'abacus ,
la machine à calculer des peuples slaves à boules ou grains
enfilés. Tous ces instruments oirraient à l'oeîl les pre-
mières manières de désigner graphùjuement des groupes
de diflerents ordres. Une main , ou un cordon à nœuds ou
à boules glissantes, désigne les unités jusqu'à 5 , ou jus-
qu'à 10 , ou jusqu'à ao. L'autre main indique combien de
fois, en comptant, on a passé sur les cinq doigts de la pre-
mière (pampezestheï) ; chaque doigt de la seconde main ,
c'est-à-dire chaque unité, exprimera donc alors un groupe
de 5 . C'est la même chose pour deux cordons à noeuds que
pour deux mains \ et si l'on passe aux groupes de a*, 3' et
4' ordre, la même relation de groupes supérieurs et infé-
rieurs a lieu dans les cordons à calculer tendus sur des
cadres et garnis de boules , le suanpan de l'Asie ancienne
qui, de bonne heure, a passé sous forme d'ahax ou de
tabula logislica aux peuples occidentaux (peut-être par
des Egyptiens aux temps de ta confédération pythagori-
cienne). Les houa's, qui sont plus anciens que l'écriture
chinoise actuelle , et même les lignes parallèles noueuses,
semblables à des notes de musique et souTent interrom-
pues des livres magiques (rami) AeY jisie intérieure et du
Mexique, ne semblent être que des projectïcms gra-
a5.

:,.;,l,ZDdbyC00g[e

( i88 )
phiques de ces cordous k calculer et mnémoniques (*).
Dans le suanpan asiaUque ou dans Xal>acus [dont ]es
Romaios, par suïle de leurs chifires incommodes, se ser-
vaient beaucoup jJus souvent que les Grecs (** ) chez qui la
graphique numérique avait fait dea progrès plus heureaxj,
à côté des séries dênaires qui se suivaient en progression
géométrique, il se conservait aussi des séries quinaires.
A cAté de chaqaecordondes groupes ou ordresn, n*, n*,
il se trouvait un cordon plus peiit, qui désignait cinq des
boules du grand cordon par une seule boule. Au moyen
de cet arrangement, le nombre des unités fut déterminé
en sorte que le cordon principal n'avait plus besoin que
dequatre boules, et le cordon secondaire d'une seule (***).
Les Chinois semblent, depuis les temps les plus reculés,
avoir considéré arbitrairement un quelconque de la suite
des cordons parallèles, comme le cordon r/es imités, de
manière qu'en descendant et en remontant, ils obtenaient
des fractions décimales , des nombres entiers et des puis-

(■) En Orient, □□ appelle l'arl négroiHRn tique ramt/ytrl iloMble. De
lignCB ciillèreu on brisées cl des pointa serrent d'élémenla pour QUÎder Ir
divinateur. {RichardionsLoi Wilkiai, Diction. Pcraîin and Anbic, 1806,
t. I, p. 481. ) Le nianuscril remarquable, biea léritablement meii-
rain, courerl comme de note» de musique, conieraé b Dmde etdoBij'ai
dnnné un dessin dans me* Monum. um«r., PI. 44, Tut roeonnn p*T on
iwrsan saianl, qui Tint me voir à Paris, à première yue comme un 1«1
raml oriental. Depuis ce temps, j'ai découvert de* toaa vérilablenical
américains et des dessins tiaéairei en Torme de notes do musique, bien
semblables à ceux dont je viens de parler, dans plusieurs manuscrits hiiv
rt^lïphiques d'origine Qtièke et don. les sculpture* de PaUajiu! dan. llt.i
de Guaiimala, Dans le cbiffrc chinois d'ancien style , le signe de grunpr
pour 10, une perle sur ud cordon, est évidemment pris du laippa [craninr
projection).

(**) NiromBfut dans Ajl, TboolocumeDa arilbm. , 1817, p. 96. Dansin
affaires finandèrea dn moyen Ige, la table & calculer [le comptoirK*^'
se changeail en tiehe^urr.

('") Ainsi c'est le cas dans Vabacus romain. Dans Vaiaeas rhinoi
employait 5 el 1 boules , puis on platail de cAlé les tmuln qui ne en

:,.;,l,ZDdbyC00g[c

(389)
•ancea de lo. Combien (*) la connaissance des frac-
tions décimales a été introduite Urd dans l'Occident (au
commencement du xvi* siècle), tandis qne l'arillimé-
tique palpaUcde l'Orient y était parvenue depuis long-
temps ! Chezles Grecs, 1 échelle ascendanten'était connue
an delà de l'unité que dans le système sexagésimal des
degrés, minutes et secondes; mais comme on n'avait pas
n — I, c'est-à-dire 5 g signes, lavaleurdeposidon n'était
observée que par rangées de deux nombres.

En examinant l'origine des nombres , nous trouvons
que, au moyen de piles de cailloux ou sur les cordons
des Tables à compter, chaînées de boules, on écrivait et
lisait transi toi rement des nombres avec une grande régu-
larité. Les impressions que laissaient ces opérations ont
partout influencé les commencements de la graphique
numéral! ve. Dans les hiéroglyphes historiques , rituels et
négroman tiques des Mexicains, que j'ai fait connaître,
les unités jusqu'à 19 (le premier simple signe de groupe
est ao) sont placées l'une près de l'autre en forme de
gros grains colorés, et, ce qui est particulièrement re-
marquable, le calcul va de droite à gauche, comme l'é-
criture sémitique. On remarque parfaitement cet ordre
dans la, i5, 17 où la première série contient 10, et la
seconde n'est pas tout à fait remplie. Dans les monu-
■ ments helléniques les plus anciens , dans les inscriptions
sépulcrales tuscicnnes, chez les Romains et chez les
Egyptiens ( ainsi qne Thomas Young, Jomard et Cham-
poUioH l'ont prouvé), les unités sont désignées par des
lignes perpendiculaires. Chez les Chinois et sur quelques
monnaies véritablement phéniciennes décrites par Echhel
(tome m, page 410), ces traits sont horizontaux jus-

(*) HolatiiemBDl aui |iremiera rasais do noUlian décimalo tait* par
Hielicl Stifrliui d'Ediagea, Slfla Je Brugri et IlombcUî àe Bolaipia .

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(39")
qu'à 4- Les Romains (en négligeant le signe de groupe
quinaire] joignaient ensemble, dana les inscriptions,
quelquefois jusqu'à 8 traits comme unités. Beaoconp
d'exemples en sont donnés par Marini dans l'écrit re-
marquable : Motiumenti dei fratelli Arvali (*). Les
tètes de clous servant jt r^ler rancienne année rotnaine
{^Annales antea in clafù Jaei-unt , ifuos ex legs vetusta
jigebat prceior maxànus, Fiin., VII, '^a) auraient pn
conduire aux points des unit^ qui se ttouvëtu chez les
Mexicains, et ces points se rencoDirent en effet (à cAté
des lignes horizontales, chinoises et phéniciennes) dans
les subdivisions des onces et des pieds (**)■ Les points el
traita, au nombre de neuf ou de dix-neuf, dans l'échelle
dénaire on vicésiniale (échelle des mains on des mains et
pieds) de l'ancien et du noureau continent, sont la pliu
grossière de toutes les notations du système de la juxtapo-
sition. On y compte plutàt les unités qu'on ne les Ul.
L'existence indépendante, rindividualité , ponr ainn
dire, de certains groupes d'unités, comme notations, ne
commence qne dans les numératifs alphabétiques des races
sémitiques et helléniques , on chez les Tibétains et les
peuples indiens, qtù expriment ( , s , 3,4 p^i* ^^ signes
particuliers et idéographiques. Dans le peklwi de la
Perse ancienne , il se présente une transition remarquable
de la jnxuposition grossière de signes d'unités k ï'fôs- '
tence isolée d'hiéroglyphes composés et idéographiques.
Ici l'origine des premiers neuf chiffres par le tionibt« des
incisions ou dents est évidente; cinq jusqu'à dix ne sont
même que des enlacements des signes s , 3 , 4 sans que le
signe t revienne. Dans les systèmes véritablement indiens
des chiffres devanagari, persan cl arabo- européen, on

(•) T. I,p. 3i; t.», p. 675, par ciemple d«i« Oe«ui.|.,y.
(*•) Marim, 1, I, p. aîS,

:,.;,l,ZDdbyG00gk'

( 39. )
ne saurait reconnaître tpie dans a et 3, d«a contrac-
tions (*) de 3 et 3 unités; certainement pas dans les
chiSVes pins élevés qui , dans la péninsule indienne , dif-
fèrent entre eux de la manière la plus régulière.

En parlant ici, et dans la suite de ce Mémoire, des
nombres indiens, il faut que je m'explique d'abord sur
cette dénomination et sur les ancisns préjugés qui consis-
tent à croire que l'Inde possède des cbifFres d'une forme
unique avec exclusion des numératifs alphabétiques; que
dans toute l'Inde on trouve la connaissance de la valeur
de position et non pas l'usage de signes de groupes parti-
culiers pour n, rt', n',.... De même que, conune l'a dit
souvent mon frère, Guillanme de Humboldt, le sanscrit
n est désigné que très-în convenablement par les noms de
langue indienne, ancienne langue indienne, vu qu'il
existe dans la péninsule indienne plusieurs langues très-
anciennes et ne dérîvantpasdu tout du sanscrit-, de même
l'expression chiffre indien, ancien cluffre indien est, en
général, très-vague, tant pour la forme des cbiffres que
pour le génie des méthodes , employant tantât la juxtapo-
sition , tantôt des coefficients , tantôt la simple valeur de
position des groupes principaux n , m', n' et de leurs
multiples an, 3n — Même l'existence d'un signe pour
zéro n'est pas encore, dans les chiffres indiens, une con-
dition nécessaire de la valeur de position, ainsi que le
prouve la scolie de Néophylos. Dans ta partie méridio-
nale de la péninsule, les langues tamoul et telougon sont
les plus répandues. Les Indiens qui parlent tamoul ont
des chiffres différents de leur alphabet , parmi lesquels a
et 8 ont une ressemblance éloignée avec les chiffres [deva-

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(39^
nagari) indiens a et 5 {•), Les chiffres cingalais (**)
diÛërent plus encore des chiffres indiens. Ni ceux-ci, ni
les chiffres tamouls n'ont de valeur deposltiou ni de signe
pour zéro; les groupes n , n',n*,... y sont représentés par
des hiéroglyphes particuliers. Les Cingalais opèrent par
juxtapositioD , les Tamouls à l'aide de coefficients. Au
delà du Gange, dans L'empire Burman, on trouve la va-
leur de position et un s^ne pour zéro, mais des figures
des chiffres endèrement différentes des chiffres arabes,
persans et devanagari-indiens {*'**). Tous tes neuf chiffres
persans employés par les Arabes dillîrent entièrement
des chiffres devauagari {"*'"')•■, 7 est formé comme une S
romaine, 8 comme une S tuscienne. Parmi ceux qn'aujoui^
dltui nous nommons chiffres arabes, uniquement i, a, 3
ressemblent aux chiffres devanagari correspondants, le de-
vanagari 4 est notre 8 ; notre 9 est un 7 devanagari ; notre
7 est un 6 persan. En Bengali, 5 a la figure d'un crois-
sant, et 3 , 5, 6, 8, 9 diffèrent entièi^ment des chiffres
devanagari (•****J, Les chiffres de Guzerat/i ne sont que
des chiffres devanagari-indiens mal formés f******!.

Des réflexions sur l'influence des chiffres primitifs sur
l'alphabet, sur des déformations des lettres faites à dessein,
alîn de distinguer les lettres des chiffres , sur les différente

(*) Robert Anderion, Rudiments o[ taoul grammar, iSii, p. iSî.

(") Jomfj CA^r, Granmar ortheciiiealeMlaD([ut^e; Colombo, iSiJ,
p. .35.

("') Cdr«r. Grammar o( llie rurman Ungu*^, iSif, p. 196. Uniqae-
ment les chifTreB rurniaiiB î, 4 et 7 rowemblent quelque peu k a, 5 et 7.

(•■") Voyci/oftn Shaletpear, Grammar of Ihe hiDduslani lingnaee-
it<i3,p. g5e(Pl. I. Wil/idm/onfj. Grammar orthepenianluisuagei'^
p. g3. Silteilre de Sacr, Grammaire arabe , PI. VIII.

(*•*"*) Gravet CHamnrr Haillon, Rud. or bengali grammar, i8)r,
p. .33.

("*~*) Koieri Drmimond, Ulustrationi of thfl grammal. par» of Ikr
Guterath and Mahraii language, iSoS, p- ii.

C,.;,l,ZDdbyG00glc

( 393 )
arrangements des lettres numératives , qui, chez le inëme
peuple, ne correspondent pas toujours à l'ordre usuel de
l'alphabet (ainsi que c'.est le cas pour l'aboudjed des peu-
ples sëmi tiques de]'^.^jeetdet'^yn'çufi(*), sont étrangères
à ce Mémoire et ont donné naissance à bien de Vagues hy-
pothèses dans le domaine des alphabets et des hiéro-
glyphes comparés. Moi-même j'ai émis autrefois la con-
jecture que les chilTres indiens, nonobstant les formes
de 3 et de 3, sont des lettres d'un ancieni alphabet dont
on. retrouve des reflets dans les caractères phéniciens,
samaritains, palmyriens et égyptiens (sur les momies) et
même sur les anciens monuments persans de Nahschi-
J^ujfan (**). Combien de lettres de ces alphabets ne reasem-
blent-cUespasauxchilTres nommés exclusivement indiens?
D'autres savants (***) ont avancé déjà que ces chiffres soi-
disant indiens sont d'origine phénicienne, et l'ingénieux
Echhel a déjà fait observer que les lettres phéniciennes
ressemblent à des chiffres d'une manière tellement frap-
pante, qu'on désigne le mot abdera par 19990 et par
i555o (****J, Mais cette origine des chiffres et des lettres
est enveloppée de ténèbres qui , vu l'état actuel des maté-
Haux dont on peut disposer, rendent impossibles des re-
cherches philosophiques sérieuses , si Ton ne veut pas se
borner à des résuluts négatifs.

Les mêmes peuples comptent souvent en même temps
avec des lettres numératives et avec des signes de nom-
bres idéographiques ou choisis arbitrairement; de même

(*) Sihvilre deSacr, Granmiiirs arabe, 1. 1, p. ro.

(■*) Siheiire de Sucj; An équités de la Perse, PI. I , n. i. Comparez l«
inscriplioDs numérique, du Sinai , et Deuript. de rÉgypie, t. V, PI. LVII.

(*"} Gtirotie U Manie, Hém. de TréTQui, 1^36, p. 36o; 174», mara,
p. 36o./iiin, Bibl. arehaeo1og.,B. I, p.471). Biii ner. Tables comparai., 1741,
St.3,p.i3. e/cMDrn,lnlrod. au Tieui Testament, B.), p. 197. WoAJ.Hiif.
Iill«r. de l'Orient, p. 601-SSo, Mines de l'Orient, B. III, p. fl7.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(394)

on trouve dans on même système numérique les mé-
thodea les pins diffërentes poor exprimer les multiples
du groupe fonda oieatal. Quelquefois ce qui n'est qu'in-
diqué dans un système se trouve complètement déreloppé
dans un autre. C'est ainsi que daus le domaine de ta pa-
role, certaines formes grammaticales qui ne fout pour
ainsi dire que préluder chex une nation , se trouvent dé-
veloppées chez une antre avec prédilection et avec louicl'é-
nei^e de ses forces intellectuelles. En décrivant un à uu
les systèmes numériques employés par chaque peuple ,-on
obscurcit les ressemblances des méthodes, on perd la trace
du chemin qui a conduit l'esprit humaiu au chef-d'œuvre
de l'arithmétique indienne , dans laquelle chaque signe a
uue valeur absolue et une valeur relative , suivant laquelle
ils croissent de droite à gauche en progression géométri-
que. Je quitte donc , dans ce qui suit, l'ordre ethnogra- ■
phique, et ne ferai qu'examiner les diiTéreuts moyens
employés pour exprimer graphiquement les mêmes grou-
pes d'unités (groupes mixtes ou simples).

Fhemièkb méthode. — Juxtaposition. Simplement ad-
ditive des lettres uumératives et les véritables chiflres.
Ainsi chez les Tusciens, les Romains, les Grecs, jusqu'à
la myriade; les races sémitiques, les Mexicains et dans la
plupart des chiffres pehlwi. Cette méthode rend le calcul
particulièrement incommode lorsque les multiples des
groupes (a/i, 3n, in*,...) n'ont pas de signes particu-
liers. Les Tusciens et les Romains répètent les signes lo
jusqu'à 5o. Les Mexicains, chez lesquels le premier signe
de groupe est 20 {un drapeau), répètent le même hiéro-
glyphe jusqu'à 400. Les Grecj, au contraire, ont, dans les
deux séries des dizaines et des centaines , commençant
respectivement avec iota et rho, des signes pour ao , 3o ,
4oo et 600. Trois épisèmes (lettres d'un alphabet antique)
hau, hoppa et sampi, expriment 6, 90 et 900; ces deuï

:,.;,l,ZDdbyC00gk'

(395)
derniers termineDl les série» des dizaines et des cenUînes ,
circonsUnce qui rend plus semblaUe la valeur numérique
des lettres grecques à celle de l'aboudjed sémitique (*).
M. £ocM,dans ses recKerches savantes sur le digamma,
a montré que bau est le waii des Sémites (des Latins) ;
koppa était le %o/>A sémitique (9), et^am^i le JcAi'n sémi-
tique (**). Lesérie des unités depuis a//)Aajusqu'à Ykgta
forme , chez les Grecs, les nombres fondamentaux (puth'
rnenes) avec lesquels, à l'aide d'artiâces découverts par
jipoUonius ( ***) , on opérait en calculant de manière qu'en
dernier résultat on les réduisait aux nombres correspon-
dants des séries deuxième et troisième (des analogues).

Secomos m ÉTHons. — Midliplicaiion ou diminution de
la valeur par des signes placés au-dessus et au-dessous.
Dans la quatrième série de la notation grecque, les puth-
mènes, comme on sait, reviennent par analogie, multi-
pliés par mille an moyen de l'appoaition d'un petit trait
mis au bais de la lettre. Ainsi l'on arrivait jusqu'à la my-
riade; on écrivait jusqu'à 9999- Si l'on avait appliqué
cette notation par accents à tous les groupes en supprimant
tons les signes après le thêta (9), on aurait, en donnant à
un ^ deux ou trois accents, des expressions pour ao, aoo
et aouo ; de cette manière on se serait rapproché du chiSre
arabe gobar, et, par cela , de la valeur de position ; mais
malheureusement on passait les groupes des dizaines et
des centaines pour ne commencer la notation par accents
qu'avec les mille, et sans même l'essayer pour les grou-
pes supérieurs.

Tandis qu'un trait mis en bas multipliait le nombre

(') Uavai, Arithm. dells naiioDi , p. 78. Relitivemenl à l'anrifn ordre
dea al|>hnbeU Kinitiqtiei > vnyei Deicript. it l'Êgypic maderw, t. Il,
PI. ll,p. ■•oH,

[ •• ) ÊcoMmte natiooalo dti ^iMnrcni, H. U , p. 3S5.

',"') Dtlnmbrr, Uiiluirc de l'AsIr. ancienne, t. Il . p. m.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(396)
par mille, un trait vertical place en haut désigne, cbez
les Grecs, une fraction ayant pour numérateur l'unité et
pour dénominateur le nombre placé sous l'accent. Ainsi,

ctez Diophante, y' est ^i è" ^ -;\ mais lorsque le nu-
mérateur est plus grand (jue l'unité,, il est désigné par le
nombre inférieur, et alors le dénominateur de la fraction
lui est ajouté en guise d'exposant, de sorte que, par

exemple, y^ ^ -, (*). Dans des inscriptions romaines,

un trait horizontal ajouté en haut multiplie le nombre
par mille, ce qni peut être conEÏdéré comme un moyen
d'abréviation pour économiser l'espace.

La méthode A'EiUocius, pour exprimer les myriades, est
plus importante. Ici nous rencontrons, chez les Grecs,
ta première trace du système exponentiel ou plutôt d'indi-
cation, si important pour l'Orient. M", M'^, M ^désignent
loooo, aoooo, 3oooo. Ce qui ici est appliqué exclue ve-
ment aux myriades s'étend, chez les Chinois et chez les
Japonais, qui recevaient leur culture des Chinois aoo ans
avant notre ère, à tous les multiples des groupes. Trois
traits horizontaux sous le signe lo indiquent ih\ trois
traits horizontaux au-dessus signiûeut 3o. Suivant cette
méthode on écrivait le nombre 34^6 ainsi (en employant
les chiffres romains comme signes de groupes , les chilTres
indiens comme exposants) :

( ') Delambre, (. Il, p. II. L'accent oiouléaii haut do« lottrca, uniqus-
mtat pour indiquer qu'elles ont clé emplayéos comme nombres, ne diHl
j>a> Atreconrondu avec le ligiiv de Traclian. Aussi dans plusieurs a nctint'
manuscrit* maUicmnliqnrti , ii'ctt'il jamais propromeni pcrpciuliculairc.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( 397 )
Chex les Égyptiens on trouve les mèmesiiidices. Au-des-
sus d'un trait recourbé {*) qui signîGe looo, ou place
a ou 4 unités pour eicprimer aooo et 4ooo- Citez les
Axtehes ou Mexicains j'ai trouvé le signe de la ligature
avec six unités comme exposant, pour exprimer 3ia an-
nées (Sx^i^Sis); j'en ai donné la représentation
dans mon ouvrage sur les Monuments américains . Chez
les CAi/toM, les Aziekes et les Égyptiensle signe de groupe
est toujours le signe inférieur, comme si l'on écrivait X'
pour 5o; dans le chiffre arabe gobar, le signe de groupe
est placé au-dessus de l'indicateur. 11 faut savoir que dans
1c gobai" les signes de groupes sont des points, consé-
quemment des zéros ; car dans Y Inde, en Tibet et en
Perse, des zéros et des points sont identiques. Les signes
gohar, qui depuis l'année i8i8 ont fixé toute mon atten-
tion, ont été découverts parmon ami et maître M. Siîvestre
de Sacyj dans un manuscrit de l'ancienne abbaye Saint-
Germain-des-Prés, Ce grand orientaliste dit : n Lcgobar
a un grand rapport avec le chiffre indien , mais il n'a pas
(le zéro» (**). Je crois toutefois que le signe pour zéro
y existe, mais, comme dans la scolie de Néophytes, il
est placé au-dessus des unités, non pas à côté; ce sont
même exactement ces zéros ou points qui ont fait donner
à ces caractères le nom singulier de gobar ou écriture de
poussière. Au preii.ier coup d'œil on doute si l'on doit

mais horiionUI, en sorte qu'il ne peut jamais être confondu iTec le signa
lia rrncliou. ( Bail, De usu littenrum ad numeroa iudicandoB , el Gruforii,
Corlnlhiiliber de diaieclia linguat grEec», 1811, p, 8S0. )

(•) KDJi-garlm, de Hierogl. «ETP*' > P' ^- L'opinioo émise par Cnuerrr
d'âpre SiancMai (Décad. I, cap. 3, p. 3), Goguet {l. I, p. iiG] et Dt-
troaei ( 1. 1, p. ^3i), que des Êgjrpiieni daunsieut ia valeur de posilioii
aux g uniléa en direclion rerticalo, n'a été aacuncmeni corroborée par
des recherches modernes. Gaittrer, Hisloire uniiersellG jutqu'h C;ms,
p. 5S5-586.

;"^ Granataire arabe, p. -fi, ol la noie (joulre à la Pi- VIII.

i.vGoogIc

( 398 )
y recounaJtre un passage des tettres aux chiffres. Ou ne
distingue qu'avec peine les 3, 4i ^ et 9 indiens. Daletba
sont peut-être les chiâres indiens 6 et a mal posa. L'in-
dicadon au moyen des points est ta suivante :

3* pour 3o,
4 ' pour 4<^o,
6*"- pour 6000.

Ces points rappellent une noution grecque ancienne, mais
rare, qui ne commence qu'avec les myriades : a pour
loooo, p' pour aoo millions. Dans cesystèmedeprogres-
sïons géométriques il y a originairement un point, que
cependant on n'emploie pas, pour indiquer 100. Chez
Diop/tante-ei Pappiis, un point est placé entre les lettres
numératives, pour remplacer l'initiale Mu (myriade).
Alors un point multiplie par loooo ce qui est à gauche.
On serait porté à croire que des idées obscures sur des no-
talions au moyen de points et de léros, venues de l'Orient,
s'étaient répandues par des Alexandrins en Europe. Le
véritable signe de zéro pour indiquer quelque chose qui
manque, est employé par Ptolémèe dans l'échelle sexagé-
simale descendante, pour exprimer des degrés, minutes ou
secondes qui manquent. Deîambre veut aussi avoir trouvé
le signe de zéro dans des manuscrits du commentaire de
Théon sur la Syntaxe de Piolémée {**), L'usage de ce

( ■ ) Oucanft, Palxogr. , p. la.

{■*) Bitt. de l'Atlr«B. aïKlemite, 1. 1, p. 547; ^ "t P< io. On natrooTC
pas le pauage de Tbéon dani au onvTtgoi impriméi. DeUiaire pendic
(antfll ven une eiplicatioD dn ùgne Qrec pour làro conum abréTJation
ieoaden. lanUI il Toadrall la dbrlier d'une rclaiioD partieoliàn dn nn-
loératif omicran avec Im frsctioni seiaQÛimaln , loc. cit., t. il, p. if, et
Journal ées Surants, 1817, p. 53g. Il aX singulier que dani l'aDcieBBa
arithmétique indienne de la LlUwaii, léro plac^ prAi d'un nombre îmU-
que qu'il faut retrancher 1c nombre, DWnin&re, t. I , p. 5jo. Qu'eat-iM^ qno
dédigne te linglun T^ritablo i^), ërrlt dans W chiffre* <Ai^Dii «oui 13,

i.vCoogIc

signe en Occident «si donc antérieur de beaucoup à l'in-
vasion des Arabes. F'oir l'écrit de Planude sur les ArUh-
tnoi indihoi.

Troisiève méthode. — Multiplication de la volew
par des coefficients. Ce que chez les Cfiïnois nous arona
trouvé comme indicateurs dans l'écriture peipendica-
laise, la diiTérence entre X = la et X= ao, se trouve
répété en direction horizontale chez les Grecs, tes Armé-
' niens et les habitants parlant tamoul de la partie méridio-
nale de la péninsule indienne. Diophante et Pappm écri-
vent |3 Mu pour deux fois dix mille ou 20000 , tandis que
«Mu^ (lorsque {3 se trouve à droite de l'initiale de la my-
riade) signifie une fois dix mille plus deux ou 10003. La
même chose a lieu dans les chiffres tamoul, comme qui di-
rait 4X = 4oetX4 = i4- Dans le pehiwi de l'ancienne
Perse, suivant Anquetil, et dans l'arménien, suivant
Cerbied {*), on reconnaît des multiplicateurs placés à
gauche pour exprimer les multiples de 100. Il faut aussi
TB[^)Oi'ter à cette méthode le point de Diopliantc, men-
tionné ci-dessus , qui remplace Mu et multiplie eu 1000
ce qui précède (**)■

QuiTHiÊME KiriBODE. ~r Multiplication et diminution
ascendantes et descendantes , par division en rangées
de nombres dont la valeur diminue en progression
géométrùfue. Archimède dans les octades, Apollonius
dans les tétrades , n'ont employé cette notation que pour

i3, VI, ti»? Dam les inicTiptions Tomûnss, des zéri» sont des obolm
répéléM plu^enn fois {Uoelih, Écooomie iMtionsIc des Athéniens, B. 1 ,
p. Î79).

( ' j Granwnalre erméniaene , iBi3 , p. i5,

(**) De telles diTisiona aa nio;endepoials, qui, d'une manière d'ail-
leurs trjv-iaconiéqiieiite, indiquent une valeur de poaition, on iroDvc
aussi on tn>i* endroits de Plinr, souTeni discutés (I. VI, p, aii-33;
l. XXX, p. S).

i.vGoogIc

( 4oo )
des nombres audeU de (loooo)*, pour les luomiUioiuou
myriades de myriades (*). Ici il y a évidemment valeur de
position des mêmes signes, se suivant en rangées dîfle-
rentes ; il y a donc valeur absolue et relative, comme dans
l'échelle sexagésimale descendante des astronomes alexan-
drins, pour indiquer les degrés, les minutes et les se-
condes. Mais puisque , en ce dernier cas , faute de n --- 1
ou 59 signes, chaque rangée est composée de 2 chiQres,
la valeur de position ne peut pas ollVir l'avantage des'
nombres indiens. Lorsque les trois cent soixantièmes de
la circonférence sont considérés comme entiers, les
minutes sont des soixantièmes de cet entier, les secondes
des soixantièmes des minutes, etc. ; comme fractions, ils
reçurent de Ptolémée le signe dn fraction, l'accent ajouté
en haut, et pour indiquer ]a progression descendante, dans
laquelle chaque rangée de 2 chiil'res est 60 fois plus petite
que la précédente, les accents furent multipliés de rangée
en rangée. Decettemauïère, lesminutes reçurent le simple
accent des fractions grecques ordinaires (ayant l'unité
pour numérateur), les secondes reçurent deux accents,
les tierces trois, les degrés mêmes, comme entiers, pas
d'accent, peut-être comme rien (ouden) un zéro (•*).
Je dis peut-être, car dans Ptolémée et Tkcon, les zéros,
comme signes de degrés , manquent encore.

(•) Delambrf, Hîst, de l'aBtr. ancienne, 1. 1, p. loji l. II, p, 9,
(") Rdatiïemeiit à l'emploi du àgne léro, V. Ltilie, p. i3-i35; R»-
Ihea, Germinen ond Grîechen Hlst., Il, p. 1-33; Dacange, GIoubt.
mediiE gnedUilis, l. 11, p. b-ji; Uaumcrt, De numeroruni qnos uabicot
wocMiXorieine; Pylhaffir. , p. 17. Dam l'aritbméliquc (grecque, M« désigne
une unité, monai, de mAme qu'un délia avec un ioro [ proprement omi-
rron)iuperpo«é,BiBniflo[e(ariDj; Ban, Gregor., Cor,, p. E5i. Aioai thet
Diophaiitc, Wna est 31. Le aigne grammalical iudien auuivara *, en
rffel, la formo d'un léra indien {langa). Mais il n'indique qu'une modi-
ticnlion do la prononriation de la voyelle pincée à caio et eat entiéwmenl
étranger an uiKga.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

{ 4oi )

La simple énuméraiion des différentes méthodes em-
ployées par des peuples auxquels, l'arithmétique indienne
était inconnue, pour exprimer les multiples des groupes
fondamentaux , présente , je crois , l'explication du déve-
loppement successif du sptème indien. Eu écrivant 3558
perpendiculairement et horizontalement &u moyen d'in-
dicateurs M C A I, on reconnaît facilement qu'on peut
se passer des signes des groupes M , C . . . . Or, nos chiiTres
indiens ne sont autre chose que les multiplicateurs des
différents groupes. Cette notatiçn, au moyen de seules
unités (multiplicateurs), est rappelée d'ailleurs par les
cordons successifs du suanpan représcutant les mille, les
centaines, les dizaines et les unités. Ces cordons, dans
l'exemple donné , montraient 3 , 5 , 6 et* 8 houles. Là ob
ne voit point de signes de groupe. Les signes de groupes
sont les positions mêmes, et ces positions (cordons) sont
remplies par les unités (multiplicateurs).- Donc, parles
deux voies de l'a ri thmé tique yî^urafiVe et palpable, on est
conduit k ]& position indienne. Si le cordon eslvù^^que
la place en écrivant reste libre, qu'il manque un groupe
(un terme de la progression) , le vide est rempli gra-
phiquement par l'hiéroglyphe du vide, un cercle vide :
sunga, sifron, zûphra (*).

Que la notation numérative ne s'est perfectionnée dans
Y Inde que successivement, c'est ce qui est confirmé par
le chiiTre tamoul qui, au moyen de Q signes d'unités et
de signes de groupes pour lo, looet looo, exprime toutes
les valeurs à l'aide de multiplicateurs ajoutés à gauche;
cela est confirmé aussi par les étranges arithmoi indikoi

C) Ed RDgUU typfter s'est conierré' pour Indiquer zéro, tandis que
dans les langues occidentales qui emploient Miii> [M/ron, iinm) pour léro,
ehiffn n'Indique qu'un numératif en général. En sanscrit, suWaDi H7iii>R,
nombre ou quantité l'appelle sanAhara.

Atat. 'de MatMmat., t. X. (NoTembro iSSi.) ■ ^6

:,.;,l,ZDdbyC00gle

do la scolie du moine Ncophjlos conserve à la bibliothèque
de Paria {Coil. reg, fol..i5), et dont je dois la connais-
sance à la communication bienTetllante de M. le profes-
seur Brandis. Les 9 chiffres de Néopkytos, bonpis le 4,
sont tout à fait semblables anx cbîffres persans. Les
cbiffres i , a , ? et 9 se trouvent même dans des inscrip-
tions numériques ^pttenncs {*). Les 9 unilà sont
multipliés par 10, 100 ou 1000 par la superponUon de
un, deux ou trois zéros, corame'qui écrirait

2 = 30, 24 = 34, 4=: ^00 , 6 =: 6000.

En imagioant des points au lieu de zéros, on a le clullre
ardhe gobar. Voici une traduction latine textuelle de celte
scolic. Le moine noDune par erreur tzûphron un mot
indien.

« Tzypbra est eivocaturid, quod cuîvis lîtterx înde
Il a décade et insequentibus numeris quasi i/wf" insçri-
» bitur. Significat autembac indîca voce tali analogîam
» numcrorum. Ubi igitur scriptum est simile prïms lit-
» tera; ^a^ « , pro unîtate scriptic , atquc super impositnm
» babet vel punctum ve] quasi î^xf» , addita altéra Ggu-
II ra lîttcrx indicée, diffcrentiam ctaugmentum numero-
» mm déclarât. E. g. pro primo gneco numéro , > scrip-
» to, apud Indos | sive linea recta perpendicularis,
» quando non babet superimpositum punctum viii/tnfir,
M ipsumbocdcnotat unitatem; ubi vero superimpoNtum
I) sit punctum atque altéra littera adscripta sit, 6gura
.1 quidem similis priori, significat XI, propter addiu-
» mentum similis litterx atque superimpositum unom
» punctum. Similîter etiam.irt reliquis litteris, quemad-
II modum adspcctus docet. Si vero plura babet pnncla.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 4o3 )
» plura dcnout, Quod intelligas, leclor, et supputes
» imumquîdque. »

On ne coniiait ici pas plos de position que daos la mé-
thode gohar. On écrivit donc 3oo6 ainsi : 3 6; mais on
devait remarquer bienlôt que les mêmes chïSres reve-
naient avec d'autres valeurs, que (si tous les groupes

étaient remplis), dans 3 4 ^ 7i les pointe ou zéros, di-
minués ainsi régulièrement, devenaient superflus. Ces
zéros ne faisaient en quelque sorte que faciliter la pronon-
ciation des nombres. Si l'usage s'introduisait d'écrire les
zéros à côté au lieu d'an-dessus des chiOres, on avait la

notation indienne actuelle du groupe simple 3 = 3ooo.

Si l'on voulait ajouter 3 ou 3ooo à 4 ^ 4o on remplissait
celte place qui est assignée i 4^ P^r son exposant ou indi-
cateur dégroupe. Ainsi on obtenait 3o4o, et' des 3 zéros,
attribut caractéristique des mille, descendus kX^W^eAci
unités , il restait deux comme places vides. Suivant la
scolie àc Néophytos, les zéros sont donc (comme les
points du gohar) des indicateurs pour la notation des
groupes ascendants , et l'on conçoit , d'après les réflexions
(ju'on vient de développer, comment ces zéros, lorsque la
valeur de position des chiffres fut introduite, pouvaient
descendre dans la ligne et s'y maintenir.

En jeUnt encore un coup d'oeil rétrospectif sur le
grand nombre de méthodes de notation des peuples des
deux continents , trop peu connues , nous remarquons :

1°. Peu de signes de groupes et presque exclusivement
pour n', »', »*..., non pas pour 2«, 3 «et a«*, 3n*,.,,,
comme chez les Romains [*) cl les Tusciens X, C, M

(') Nous faisons abslractioii, dads lai uc d'abréger, des «igaes de croup«> .
du r,y*tl>me secondaire quinaire V, L, D.

a6.

îiqilizDdbyCoOglc

( 4o,i )

(dv soric que tous les digrôs intermédiaires , par excmplc
3 » ou 2 fi', sont exprimés par juxtaposilîoii XX, CCC ) ;

a". Beaucoup de signes de groupes, non-seulement
jMJurn, n* (iota cl r/todcs lettres numéradves grecques),-
mais aussi pour 'in ou in* (X et. v), as qui produit une
grande hétérogénéité des éléments de l'expression pom'
2 4- 3 ri + 3 n* (par exemple itkP pour 323);

3". Expression des midtiplesdu groupe fondamental ci
de ses puissances (2 n, 3n, 4'»*î 5n*), soit par l'appo-
sition (en bas ou au-dessus) d'indicateurs aux sï^es de
groupes (chinois: X, X, C, Cj îndien-tamoul : aX.,-
3X,4C, 5C), soit par une ponctuation ou accentuation
graduelle des 9 premiers signes d'unités, de sorte que,

a^IO, ^ = 20, a^lOO, a^IOOO, À=:4oUOO;

en gobar, dans la scolie de Néophytos et dans l'échelle
sexagésimale descendante des astronomes alexandrins,

pour=-' A—t ~— ,) en écrivant, par exemple,

.•3,'3,-3,-....

Nous avons vu, cuûn, comment les indicateurs (mul-
tiplicateurs) des peuples de l'Asie orientale , des Iiafailanls
de la partie méridionale de la péninsule indienne, ou,
s'il existait originairement des signes de groupes différents
pourn, n', «', comment l'accentuation des pulhmènes
du système gohar ou de la scolie de Néop!tylos; enfin,
comment les cordons du suanpan , dans lequel une va-
leur élevée à ime puissance n'est exprimée que par la
position relative du cordon , pouvaient conduire à la va-
leur déposition.

Si le simple système de position indien a été introduit
en Occident par suite du séjoiu* que le savant astronome

:,.;,l,ZDdbyC00g[t'

(4>.5 )

iiihiut Sîahomiiied ebn Ahmet Albiruni Gi dans
l'Inde (*) ou par des douaniers moresques de la côte sep-
tentrionale de l'Afrique cl le commerce qui s'établissait
entre ceux-ci et les marchands italiens, c'est ce que, ici,
nous laissons indécis. Malgré l'antiquité de la culture in-
dienne, il est tout aussi incertain si le système de posi-
tion qui a si puissamment influencé l'état des mathé-
matiques était connu déjà du temps' de l'eipéditîoit
macédoine au delà de l'Inde. Combien ^rcAimèiii?, Apol-
lonius de Perge et Diophante auraient transmis plus
perfecttonnées les sciences mathématiques à l'âge savant

. des Hachérmtes, si l'Occident avait reçu douze ou treize
siècles plus tôt, par l'expédition d'Alexandre, l'arithmé-
tique indienne de position ! Mais la partie de l'Inde aiiti-
rieure, qui fut traversée par les Grecs , le Pendjab jusque
vers Palibothra , était, suivant les savantes recherches
de M. Lasxen, habitée par -des peuples peu cultivés, Ils
furent même appelés Barbares par ceux qui habitaient
plus vers l'orient. Ce n'est que Seleucus Nicalor qui pé-
nétra au delà de la limite qui séparait la civilisation de la
barbarie, depuis le fleuve iSaraji-aïMC*) jusqu'au Ga/ig'e.

■ De l'ancien chïllre indien tamoul, qui exprime an,
3/1*,..- par des multiplicateurs apposés, etpareouséquent
a, outre les signes des neuf premières unités, des signes
particuliers pour n , «', h',... , nous concluons que dans
l'Inde, à côté du système à valeur de position nommé
presque exctusivemeut indien (ou arabe) , il existait aussi
d'autres systèmes de chiÛ'res sans valeur de position.
Peut-£lrc ni Alexandre ni ses successeurs bactHen.<!, en
pénétrant temporairement dans l'Inde, ne vcnaicut-ils eu

(■) C'ot l'opiniaDémnepar leBUTantorienUliBlcM.Sédt""* -"""-'--
scur (tpalcmcnt prorond de l'aslronomie grecque t\ de

(•■) haaen, Comulenl. geOBr. de Pcnlapot, p. jt<.

i.vGoogIc

contact avec des nations chez lesquelles la méthode de
position était exclusivement en usage.

Paissent les traces de tout ce qui reste encore à décou-
vrir être potirsuivies bienidt avec plus de zèle, soit par
des philologues ayant l'occasion d'examiaer des ma-
nuscrits grecs, persans on arabes' (*), soit par des
voyageurs séjournant dans la péninsule indienne même.
Bien que la pagination de vieux volumes manuscrits de
la littérftture sanscrite peut conduire it des observations
remarquables. Qui aoratt soupçonné, par exemple, que
parmi les Indiens, à côté de l'arithmétique décimale de
position, il existait lin système sédécimal sans position ;-
que certains peuples indiens comptaient de préférence
suivant des groupes de lé, comme les peuples américains,
les Kjmres et les Bosquet suivant des groupes de ao? Or
une telle numération singuhére û été découverte, il y a
plus de dix ans , dans on manuscrit de l'antàen poëme in-
dieu Mahabharafa (Co<i. Reg., Paris, page 178), par
M. le professeur Bopp qui , du temps où je présentai mon
premier Mémoire sur les chiffres Ses peuples à l'Académie
des Inscriptions et Belles-Lettres , a bien voulu me Jâ com-
muniquer pour que je la fasse connaître. Soixante-cinq'
pages de ce manuscrit sont paginées de lettres nnméra-
tives indiennes, cependant de manière que seulement les
consonnes de l'alphabet sanscrit (^pour i, JlApour a...)
soient employées , ce qui est en contradiction avec le pré-
jugé (**) bien généralement répandu jusqu'à présent.

(') Parmi lei muDuacTit* arabes, ja recommande aurloutceai qui mi-
tent de^ alTaires des nnanccs ou de l'irilhméliqne eu gênerai , par ciciB'
pie , Ahn José Alchindui. De arilhraelica indica i Aidei aemld heu vaiff
Ahalplurdi, De numerorum proprielalibus; Ahmad hcn Omar Altanhiù,
Uber de indica numerandi ratlnne ; l'Alc^bre Indionne de Kaila, Jfuiini-
med lien Lara, De niimcroruDi disciplina (Ctfjici. IWbl. orablro-hispana,
(, i, p. 353, \oh, l,ia, (Jifi. 433),

(••) Si l'arllhméliqud de posilion n'est pas originaire .de Undc. Me

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( 4o7 )
(]u'0Q trouve employés dans l'Inde exclus! vcmciu des-
chiffres et non pas des lettres en guise de cbiOres , comme
chez les peuplessémitiqueset chezies Grecs. A fa soixan-
tième page commence la remarquable notation sédëci maie.
Dam les premiers 1 5puthmènes, c'est à peine sî l'onrccon-
nait deux signes <^i sont des lettres sanscrites, f aspiré et
f/, et semblent correspondre à 3 et à 1 2 respectivement ; on
y retrouve aussi peu les signes nommés proprement indiens
(arabes). Il est remarquable que le chifire i avec un zéro
apposé signifie 4 1 et que le chiffre i redoublé (deux traits
perpendiculaires] avec un zéro apposé siguiSe 8 ; ce sont
pour ainsi dire des points d'arrêt, des degrés intermé-
diaires du système sédçcimal, potiron et-n; mais 71(12)

est satis zéro et a un propre hiéroglyphe , semblable au
4 arabe. Pour le groupe normal 16 et pour ses mul-
tiples an, 3 tt, .'■■■, on emploie les chifiresiengi/i' connus,
en sorte que 16 est exprimé par le i bengali précédé
d'un trait courbé; Sa par le 3 bengali j 48 par le 3 ben-
gali. Les multiples de n ne sont donc que comme des
uombresdc pretnîer, second, troisième... ordre; les nom-
bres 2rt-l-4ou3n-f-6 (c'est-à-dire, dans le système se-
décimal, 36 et ^4) ^°^^ désignés par un a bengali et un
chiffre mahabbarata (*) 4 placé à côté, ainsi que par un
chiffre bengali 3 et un chiffre mahabharata 6; méthode:
(le numération très-régulière, mais inconimode et com-
pliquée, et dont l'origine est d'autant plus énigmatiquc
qu'elle présuppose la connaissance des chiffres bengali.

doit an moins 7 avoir oiiMé de temps immémorial ; car on ne tronin chei
les liidi«ns lucone trace d'une notation alphabétique telle que la notaUou
des Hébrau\, des Grecs et des Arabes {Belamiie, Hial. de l'Aslr. an-
rt«»i»,>.l,p.H3).

(' ) Je mi; «ers ici de cette ei pression impropre nniquement pour dé-
signer par un terme ronnenihle le système dv chiffres que présonlo une
rnpie do ce poème.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 408 )

TAiMiBiiTBS cownnBs k m. cmm n km cocu.

Problème. Par deux points D, E, donnés sur une
ellipse HEDK , on fait passer une circonférence quel-
conque DEAB, puis on mène à ces deux cowies des
tangentes communes HAS, KBS : trouver le lieu géomé-
trique du point S de rencontie de ces tangentes.

(Chasles. )

Pour résoudre cette question, j'étaUirai le lemmc
suivant :

Soient HEDK , DEÂB , une ellipse et une circonfé-
rence tangentes aux deux droites SX , SY, et se coupant
en deux points D, E : »' l'on mène dans l'ellipse une
corde quelconque D' E' parallèle à DE, il sera toigoun
possible de faire passer par les deux points D', E'.
une circonférence qui soit tangente aux deux droiief
SX.SY.

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

{ 4o9)
Je prolonge les cordes parallèles DE, IVE', jusqu'à ce
qu'elles coupent les ungentes aux points C, G, C', G';
et je prends C'A' moyenne proportionnelle entre C'E',
CD', et de même G'B' moyenne proportionnelle entre
■ G'E', G'D'. Lft circonférence conduite par les trois
points D', E', Â' sera tangente à la droite SY en A'; de
même, la circonférence qui passe par D', E', B' touche
la droite SX en B'. Pour faire voir que ces deux circon-
férences coïncident , il suffit de démontrer qu'on a

ou , ce qui revient au même y

AA' = BB'.

Je nomme a, b, c, les diamètres de l'ellipse respecti-
vement parallèles aux droites DE, SX, SY: d'après le
théorème de Newton, on a , en désignant par K et H les
points où l'ellipse touche SX, SY,

'gd x:ge _ g' gb' _ g'

gk' "^'\ gk' *■'

ce qui donne

GB = GKX^i
demèmr

G'B' = G'KX~ï
d'où

GB + G'B'=GG'x|.
et , par suite ,

BB' = GG'(. + ^V

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(4.0)
On aura scmblablcment

d'où

GG' BB'

De plus

SK = SG + GK rz: SG + GB. - = SG + (SG — SB) ■

= SGYnrJ)— SB.^;
de même

SH = SCJi+-

h^)-SA.^-

Mais , d'après Je théorème de Newlon ,
SK._6
SH ~ e '

OU

SK. X c = SH X A.
Ce qui donne, en remplaçant SK et SU par leurs valeui

Ou, parce que SB ^ SA ,'

ba + bc ■_ c
' ac H- hc " ~

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(4" )

î"^' SG
* Remplaçant par ^ dans l'égalùé (i), il viendra

GG' _ BB/ SG
CC' ~AA'^ se'

Or, à cause des parallèles GC, G'C, on a
GG'_SG_
CC ~ se'

c'est ce que nous voulions démontrer.
. De là nous conclurons que le lieu géométrique reste le
même quelle que soit la grandeur ou la position de la
. corde DE, pourvu que sa direction ne change pas. Que si,
par exemple^ au lieu de faire passer les circonférences pat'
les extrémités de la corde DE, on les mène par les extré-
mnésde D'E', on trouvera absolument les mêmes points
de rencontre pour les tangenies communes. Celte conclu-
sion étant vraie quelque rapprochées que soient les extré-
mités D', E' de la corde, doit encore subsister lorsque
CCS deux points se confondent. Dans ce cas, la corde D' E'
devient la tangente RTR' à l'ellipse; les circonférences
sont elles-mêmes tangentes à l'ellipse au point T. On sait
Aé^k {^Nouvelles Annales, tome III, page 49^) qu'alors
le lieu géométrique est une hyperbole qui a les mêmes
foyers que l'ellipse (*).

G.

(') La «oluUuii puremcul analytiqua priiscnlo àet difficulté» de olcii
à eajise des ijualre lanjjcniea ri>mmiino5, ('elle solution sorail Iri-s-inslni
li\o(i'oir tomclH, pnge^îi;.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(4-^ )

NOTB SUR U rOMULE DK SIMPSOH CT SU UNB AUIU
rORHULB DE QUABRITURKS;'

Pi* E. CATALAN.

(Communiquée à la Société Piiilomatbiquc. )

Pour évaluer l'aire comprise entre uu arc de courbe,
l'axe des abscisses et deux ordonnées extrêmes, il faut,
après avoir îus^ré, cMre ces deux dernières droites, un
nombre impair d'ordonnées équidistautes , remplacer ta
courbe donnée par des arcs de paraboles tels, que chacun
d'eux passe par les extrémités de trois ordonnées consécu-*
tivcs, et faire la somme des s^ments paraboliques ainsi
obtenus.

Telle est la Méthode de Robert Simpson.

Il n'est pas difficile de voir que cette méthode doit, en
général , conduire k des résultats peu approchés. Eu effet,
les paraboles substituées à la courbe proposée, au lieu de
former une ligne continue, présentent, le plus souvent,
des jarrets à leurs points d'intersections; car chacune
d'elles est déterminée indépendamment de celle qui la
précède et de celle qui ta suit. En cherchant à corriger le
défaut inhérent à la formule de Simpson , j'en aï rencontré
une autre qui, si je ne me trompe, pourra presque tou-
jours être préférée à'Ia formule de Simpson et à celle de
M. Poncelet,

Pour arriver à cette formule, proposons -nous d'abord
de remplacer une couibr donnée, par une suite de para-
boles du second degré,

i.vGoogIc

(4.3)

AP éunt l'arc donné, menons les ordonnées cxtrëoics
Aa, Vp; (^Tisons l'intervalle ap. en un nombre çuel-
conque n de parlies égales; puis élevons les ordonnées
JB, cC,...,]Vn.

Gela étant , faisons passer, par les trois points consécti-
tifs A^B, C, une parabole dont l'axe soit parallèle à Ai,
et conservons seulement l'arc AB dû cette ligne. De
même, par les trois points B, C, D, faisons passer une
noavelle parabole, et ne conservons que la partie BC de
cette courbe, etc. En continuant ainsi, noua arriverons
aux trois derniers points M , N, P, que nous joindrons
par un arc parabolique , pris cette fois dans son entier.

Il est visible que les paraboles employées dans celte
construction se raccordent mieux que celles du tracé de
Simpson ; car deux arcs consécutifs, au lieu d'avoir seu-
lement un point de commun, en ont deux. Si donc on
fait la somme de tous les s^ments paraboliques An Bi ,
B&Cc,...,Mff P/i, on aura une aire A' qui différera assez
peu de l'aire cbcrcbée A.

U'est bon d'observer pourtant que, la construction étant
irrégulière dans la partie MNP de la courbe, la valeur de
A' ne sera pas symétrique. Mais si l'on refait, dans un
ordre inverse, cette même construction , et que l'on prenne

3,q,l,ZDdbvCbOg[C

(4.4 )
la raoyeiiue des deuv aires A', A" obtenues, ou aura, à
fort peu près, la valeur de A.

Développons les calculs qui viennent d'être indiqués, ,
Désignons par J'ai J'i , J'i i ■ ■ ■ i J'n-» ^ y a 'es ordonnées
des points A, B, C,..., N, P, et par i l'intervalle de
deux ordonnées consécutives. Menons la corde ARC ; pre-
nons BS=:BR, et menons AS; cette droite sera tangente
à l'arc Ali de la pan^le ABC. Or, le triangle parabo-
lique ABR est les deux tiers du triangle reciiligne ARS;
donc

ABR = î.iRS..J = ÎBR..S = |(r,-^'.)».
D'ailleurs ,

Donc, en ajoutant,

Un simple changement dVm^'cej donne ensuite

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(4'5-)

s éLaai la somme de loutes les ordoonëes.

Changeant y^ en y, , je, en y^_, , etc., nous aurons

d'où

[ ^S -Uj'.'+X.} -h Ux. + )■.-,)']
^ ' J.

-^(^.+r„) J

La formule cherchée est donc

, _,. 5,...

-.)]<(•)■

'. I,c plis tnif ckcRii J'bi ptifll î ■■ aitre, lar li sirTue J'ik spkère,
ni le pi» petit des ires di grud «rclc qij pisie par ces (Miits -,

pa> m. barbet,

CI|^d'lnMitntion.

Si l'on suppose entre À et B une ligue ADCEB autre
(jucTarc de grand cercle AB qui les joint , cette ligne ne

(*) Contniramflnt ï co que j'avaU cru d'abord, eetto fonnule n'ai
pas nouTOlle : elle n'est mémo qu'un cs> particulier da colle que fournit
te caloal dea dilTëranccs. (l-tcaoïi, tome III, page i83.)En puMiant cette
Note, je n'ai donc en qu'on but , celui d'être utile aux il^ve».

i.vGoogIc

(4.6)

sera pas le plus courl chemin entre A et B , car OD pourra
en trouver un plus court.

Pour le démontrer, on prend sur la ligne ADCEB un.
point C ; on le joint aux points A et B par les arcs de grand
cercle AC, BC, et l'on forme un triangle sphërîque ABC
dans lequel on a AB < AC + BC. Donc si l'on fait pivo-'
ter autour du point A, sur la surface de la sphère, la por-
tion de ligne ADC et l'arc de cercle AC jusqu'à ce que le .
point C vienne enC, et si l'on opère de m6me surlapor-"
tion de ligne BEC et l'arc de cercle BC, par rapport au
pointB, le point C tombe sur AB entre A etC' au point
C". Les deux parties du chemin deyienncnt ÂD'C, B^'C'
et se coupent en F, de telle sorte que le chemin AD'FE' B
est plus court que le chemin ADCEB de la ligne brisée
C'FC".

i" Remarque. Le succès de cette démonstration résulte
de ce que les deux arcs de cercle AC et BC ayant été ra-
battus sur l'arc AB, la portion BE'C du chemin ADCEB
coupe en F la portion AD'C. tl pourrait se faire que la
deuxième portion du chemin, au lieu d'avoir la position
CEB , eût la position CGB , de telle sorte qu'après le ra-

:,.;,l,ZDdbyG00glc

(4'7)
battement de l'arc BC sur BA cette portion CGB prit la
position C'G'B. Il n'y aurait pas alors de point de ren-
contre de cette portion C'G'B avec AD'C. Mais s'il y a
d'un c6ié d'un arc de grand cercle BC une ligne BGC, on
peut en concevoir une BEC symétritfuemcnt placée de
l'autre côté, et égale à la première Substituant celle-ci à
l'autre, on peut prendre au lieu du chemin ADGEB le
chemin égal ADCEB, auqud on applique la démonstra-
lion précédente.

2' Remarqae. Si la ligne qui va du point A au point B,
autre que l'arc de cercle AB , au lieu d'ètre.placée entière-
ment d'un même côté de l'arc AB , le coupait en plusieurs
points D, F, H, K, on établirait comme ci-dessus que
chaque segment tel que AD est plus petit que îa partie
correspondante ACD de la ligue , autre que l'arc de grand
cercle AB, qui va du point A au point B. Et eu ajoutant
membre à membre toutes ces inégalités on en conclurait
.arc AB<ACDEFGHIKB.

4hii. ie Malhénal., t. \«(Nor«nbra il

:,.;,l,ZDdbyG00gle

INTifiRATIOK W IBCX ÛHiATNNS DimRENTIKUKS ;

pAH M. J. DUPAIN,

Élève de l'École Normale.

On propose d'intégrer le syslèmc d'équations simnl-
tanëes suivant:

Nous prendrons de nouyellcs variables (, u liées aux
anciennes par les relations

Les premiers ■principes dn calcul différentiel nous
feront connaître les dérivées de t et de h.

dt djr , dt du dy

(3)

il'-^ siD. + 2»,.È - - r.in

(4)

d'u d'y . drttt

/du Y : rf'î

Ajoutons au second nombre de l'équation (4) le premier
membre de l'équation (i) multiplié par sin2, M retran-
chons-en le premier membre de l'équation (a) multiplié
par cos z \ il vient , réductions faites,

m ■ ^=-

:,.;,l,ZDdbyC00g[c

(419)
Une combinaison analogue des éqaalions (i), (a), (3)
conduit à

(«) £=-

les équations. (5), (6) fournissent immédiatement tes
int^rales

u= h A«-t-B, ( = Cx -i-D,

. A , B , C , D ét^nt des constantes arbitraires. On repasse
aisément aux variables y, z ,

les intégrales demandées sont donc
. s = arc tang — ; ; =

j- = - \f^ (C* + DJ' + (ox' + a Ax + aB)'.

SUR LE mnVBUNT »'I]N CORPS SOLIIE ADTeUR B ON
POINT riXB;

P*R M. STURM.

On doit à M, Poinsot une nouvelle théorie fort ingé-
. niense de la rotation des corps , aujourd'Kuï bien connue
et appréciée des géomètres. Toutefois l'ancieune méthode
analytique est encore en usage, précisément parce qu elle
exige moins de raisonnement. 11 peut donc être utile de
simplifier la panie essentielle de cette analyse, qui est la
formation des équations d'Euler, d'où l'on déduit ensuite

27.

îiqilizDdbyCoOglc

( ,i.o )
toutes les circonslances du mouvement et ui^nic les pi-o-
priétés nouveHcs découvertes par M. Poinsot.

Considérons d'abord en lui-mi>me, et indépendammcni
des forces qui le produisent, le mouvement d'un corps
solide autour d'un point fixe. En adoptant ]es notations
dv. la Mécanique de Poisson, soit O le point Use, soient
X, _r» z les coordonnées d'un point quelconque* m du
(;orps rappoi'lé à trois axes fixes rectangulaires passant
par le point O, et X,, y,, z, les coordonnées du mèmu
point m rapporté à un autre système d'axes rectanga--
laires liés an corps et tournant avec lui autour du point 0.
Ces derniers axes seront dans la suite les axes d'inertie
principaux du corps pour le point O. On a les formules
ix = ax,-^ by, + CI, ,

(i = «" j, + frV- + Ci,,-

les cosinus ti, h, c, etc., étant liés par les relations
connues

, „> + „'■ + rt" = I , • ni -t- «' h' + a h- = o,
fa) lÉ' + É" + i"'= I, nc + nV + o"c" =o.

/r^ +(/. j. r"' = I, 6c -h b'é ■+- h' e" = o*

qui en entraînent d'autres équivalentes
(3) n'+i' + c'=:, fla'+ W-j-«'=o, etc.

Les composantes de la vitesse i' du point m parallèles
aux axes fixes Ox, Oj, Oz , Q\i lès projections de cette
vitesse sur les axes sont

Idx da db de

:,.;,l,ZDdbyG0Ogle

( 4>, )

Comme les axes fixes soritai-bi traites, il nous t'si puimi.s
de supiioscr qm: leur position soit celle <]H'oecupc le sys-
tème mobile des axes Ox,, O^,, Os, au bout du temps r,
position dont ce deroier système s'écartera après le temps /.
, , dx dr dz , . ,

Alors -r> -ry -T deviennent les composantes w. , k, "■,
dt dt dt "^ M I) ;

de la vitesse v parallèles aux axes Ox,, Oy,, O:,, au
bout du temps /, pourvu qu'on prenne les valeurs de

-rf J-' etc., dans cette hypothèse. Or les relations (2)
donnent, ipiels que soient les axes fixes,
ada -\- a' da' -4- n" da" = o ,
bdù + b'db' + b"db" = o,
rdc ■+■ c' de" + e" dr" r= o ,
r,db ■+■ a' db' + a" db" + bda + b' da' + b" da = n ,
adc + a'de' + a" dtT + eda -+- c' da' -+- v" da" ^ o ,
bdc ■+■ b' lie -H V de" + tdh 4- c" rffc' + r" db" = 0.
Si l'on suppose que ces axes fixes coïncident avec O x, ,
i^y,, Oz,, au bout du temps /, oir a alors

^■-0. b"=o.

€"= ,

et les ô<[uatioiis qui précédant de

viennent

da ^ , -. dfi ■+

da' =0,

db'=0. dr +

da" ^ ,.

,/<■" = 0, ' de' + db"=^r>.

On aurait

les mêmes résultais ei

Li ditïdren

tions (3).
Posons

f/fc"

d,' <lc da"

dt.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

14" )
nous auron»
(5) a, = qt, — ry„ P, = rj,^pz,, <f,=pr

Ces quantités p, f, r détérmioeront le dép1a<
après le temps dt de» axes Ox,, Oy,, Oz,, liés au corps,
car leurs directions nouvelles apris le temps dt que nous
désignons par Ox', Oy', Oz', font avec celles qu'ils ont *
au bout du temps t, et qu'on vient de prendre pour axes
fixes, les angles qui eut pour cosinus a+(£i, b + db, etc.-,
en faisant

a=(, da=:o, b = o, ■db = —rdt, etc.,
c'eM-à-dire qu'on a

1C0SJ, Oj:'^a-4-Aj= i,
coax,Oy^=db^rdt,
cosx, Oz' ^de:= — qdt,
m»y,Oic' =:da'z=—rdt,
cosj,Oï' ^dd =. — /irfr,
cos z, j/ ^ rfa" ^ — ^rff,
cos z, bf = db" = — pdt,
cos s, O z" ^ 1 .
Si l'on reprend desaxes fixes quelconqties O jr,*Oy, O2,
les lignes Qx, et Oy' feront avec eux des angles ajant
pour cosinus a, u', a." et 4-|~fft', I/-hdb\ b''-h'df\
on aura

cosjr,oy ou rdt=a{b-+-db)+a''(b'+db')-i-a"{b''+db°),
ou

{7) rdt = adb + a' db' -i-a" dh",

et aussi

rrfr=: — cosj-,0*'= — b{a+da)—.b' {a' +da')—b" [a" -hda"),
ou
(7) rdt = ~ bda ~~ b' da' — b" dit" , ' ''

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( 4'3 )
On aura de même les expressions générales de pdt
etqdt pour des axes fixes quelconques; et l'on en déduira

les relations -j^tiq — bp,eU:.,pda-\-qdb-\-fdt:^Q,e\c.,

qui se tronvent dans la Hfécanique de Poisson, tome II,
page i35; seconde édition.

Les points du corps dont la vitesse est nulle à l'épo-
que f, se trouvent sur une droite 01 représentée par les
équations

?», — rr, = 0, rx,-~pz, = Q, pj;~qx, = o.

Cette droite passe par le point fixe et fait avec les
axes des angles.dont les cosinus sont

VÎ'*+-7' + r' yjp' -\-q'-\-r' i/p' -(. ç' + r'
Le corps tourne donc autour de cette droite pendant le
temps infiniment petit dt. Mais la position de cet axe
peut changer d'un instant à un autre; c'est pourquoi on
l'appelle Vaxe instantané tle rotation. Les lieux des axes
instantanés successifs dans le corps et dans l'espace sont
deux surfaces coniques ayant pour sommet le point fixe O;
elles se touchent à l'époque ( suivant la droite qui est
l'axe instantané actuel , et après le temps dc suivant une
autre droite infiniment voisine qni a décrit un angle infi-
niment petit ^uJecoRf^oj'f&v, pour devenir le nouvel axe
instantané. De sorte que le mouvement du corps n'csl
. autre que celui .du premier cône attaché au corps rou-
lant, sans glisser sur la surface de l'autre cône fixe dans
l'espace.

■La vitesse angulaire de rotation autour de l'axe instan-
tané est égale à i/p* -i-ff* -hr* que je désignerai par m.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(4M)

En dTel, la vitesse f d'uu point quelconque m est

= ^B'.Om'— [u.Ora'— <X»siOm)- = ».Om.WQlO/w=p6.,

p étant la perpendiculaire abaissée du point m sur l'axe
01^ ainsi u est la vitesse angulaire.

On peut aussi l'obtenir, en cbercbant la vitesse d'an
point particulier, etia divisant par la distance de ce pointa
l'axeinstantané. Sîl'oncboisitlepoint situésurraxeO^,,
à une distance de l'origine égale à l'unité, on a
j;, = o, ,_j-, ^o, E, = 1,

la distance de ce point à l'ase est
sic 10 î, ou v'î'

En divisant f par cette distance, on a bien la vitesse augo-
laire égale à \/p' -+- 1/* + r* ou w.

On vérifie que la direction de la vitesse c est perpendi-
culaire au plan wQI, en observant que les formules (5)
donnent les relations

X, a, +J','', -•- a, "■, ^o, pu, + 7*", -^ nv,^o.
Prenons les moments par rapport aux axes Ox,, Oj„-
Oz,, de la quantité de mouvementMcdupoiDtm, comme
si c'était une force (qu'on remplacerait, dans la théorie
des couples, par une force égale et parallèle appliquée à-
l'origine et un couple). .

:,.;,l,ZDdbyG00gk'

(4" )
Le moment de me, par rapport Ox,, est m (iv,j, — f,',),
ou ■ •

"y-, (/tr, — çf,) — "". {'■jr, ~pt,).
La somme des momeats de tous les points du corps par
rapport à l'axe Ox, est donc

Cette somme se réduit à Ap, en supposant que les axes
Ox,, Oy,, Oz, soient les axés d'inertie principaux du
corps pour le point O , et désignant par A la somme

Ainsi, en nommant A, B, Clés trois moments d'inertie
principaux du corps par le point O; Ap, B^, Cr sont les
sommes des moments des quantités de mouvement des
points du corps par rapport aux axes principaux Ox,, Oy„

Oz,. (Dans la théorie des couples, cesmomentssontcenx

de trois couples agissant dans les trois plans coordonnés
X,, OY,,.-'- 11)' donnent un couple résultant dont le mo-
ment G^ v'A*;^'-!- B'i;* -f-C/'*; la perpendiculaire à
son plan fait avec les axes 0.r,, O^,, O2, des angles qui

A/j Bo Cr „ _ .
' ont pour cosinus -rf I -r^> -rr- M. Poinsot a remarque

que ce plan est le plan diamétral conjugué au diamètre de
l'ellipsoïde central AX'-f-.BY' + CZ'= i^qui est dirigé
suivant l'axe instantané, pour lequel les cosinus sont

Si l'on prend des axes Gxes quelconques, on aura la
sommedes moments des quantités de mouvement par rap<
port à l'axe Ox d'après les lois connues de la composition
des moments ou des couples, en multipliant les r

J,.;,-z.d=,G00gk'

Ap, lîç, C'- relatifs aux axes Ox,, Ojr,-, Oz,, par les
cosinus a, 6, c ides angloe que OX fait avec ces' axes,
et ajoutant, c'est-à-dire que

(2™(4;-'l)=v.-B,*+c.,

Équations du mouvement. Supposons mainteuaut que
des forces motrices données agissent sur le corps solide.
Désignons par X, Y, Z les composantes paraltèlen à des
axes fixes de la force appliquée à la molécule m qui a pour
coordonnées Xij*, z. D'après le principe de d'Âlemben,

les forces perdues (X — "* j-;' «te. 1 doivent se faire

équilibre autour du point fixe O : il faut et il suffit pour
cela que la somme de leurs moments, par rapport à cltacun
des axes fixes, soit égale à zéro, ce qui donne les trois
équations

en désignant par L, M, N les sommes de moments des
forces motrices par rapport aux axes fixes,

2(z/-ï>), S'""-^')' ^(if'-xj-'-

La première équation pL-ut s'écrire ainsi :

:,.;,l,ZDdbyC00g[c

( 4»7 )
Maison a trouvé plus haut, équaliou (8),

2»' (4: -4) =*'«-»" -<="■■

Donc on a • _^

-. (A/w + Byé + Cre) = L,

ou

dp , dq ^ <lr da ■ db „ de ,

Aa -f^ + B è -ri + Ce — + Ad — + Bn — + Cr -^ = L.
dt dt dt "^ dt ' dt lit

Faisons cdïncider les axes fixes avec les axes principaux
du corps OXffOj',, O 2,, pris dans la position qu'ils occu-
pent au bout du temps f. Nous aurons aloi's.

da db de

a:=t, D^Q, <r = o, -;-^o, — -^ — r, — = 7.
' ' ' dt dl ' de ^

En même temps il faut remplacer L ou ^ ni {Z / — Y « )

par la somme des moments des forces données

^«,(Z,^,-Y,.,),

par rapport à l'axe Ox,, <jue nous désignerons par L,.
L'équation précédente devient .

(10) A^-H'(G-B}7r=L,.

Les deux autres équations (9) donnent , de même ,

B^-l-(A-C)fr=M,,

Ce sont les formules d'Eulcr^ L,, M,, N, désignant les rao- '
mcnts des forces motricps par rapport aux axes principaux
du corps à répo<]uc /.

i:,GoogIc

( 4'8 )

On tes obtîunl encore de la manière suivante :
D'après les lois de la composition des moments ou da
couples, analogue à celle des forces, la somme A/» des
moments des quantités de mouvement pai^ rapport à
Taxe j-, est égale à la somme des moments par rapport
aux axes fixes multipliés par les cosinus a , a', a", des an-
gles que Ox, fait avec ces axes fixes. Ainsi, l'on a

v=,2'«(4;-4)-"'2-(=^--5;)

el, endiiréreutiant, . .

lia' -K-y I ilx (fa\ du" ^t ,' ily ihe\

ou, d'après les équations (9),

"^ dt ZJ^Vdt ^iit) ^rârZ^"' y'di ~' a ''

Si l'on fait coïncider les axes fixes avec les axes Ox,, 0),,
O 2, , au bout du temps t , cette équation deviendra

dt

-.Bq — v-Ci-,

A^ + (C-B).vr = L,,
(Jar, dans cette coïncidence , on a

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

('i>

9)

L devient

h,

ei les

sommes des

tnomeius

2-

'7-

etc.,

deviennent celles qu

serapr

«lien

aux axes

Oz,, c'est-à-dire Ap, B^, Cr.

On arrive ainsi aux équation^ d'Euler sans avoir be-
soin de calculer les forces accélératrices d'un point quel-
conque parallèles à des axes tines, ou aux axes principaux
du corps, ni les forces centrifuges de M. Poinsot. Au
surplus, on peut encore trouver les expressions de ers
forces d'une manière assez simple.

Les projections de la vitesse v sur les axes Ox,, Oy,,
Oz, étant données par les forhiules (5), sa projection sm-
l'un des axes 6xes Ox, est

' ("' ^ = «(9*,-'r,)+*(™, — p-^.) + «(/'/,- ?',)-

De là résulte

I dp Hq\ , dn , , rf/,

Si l'on prend encore pour axes ("xes les axes Ox,, Oj,.

Oz, dans la positiou où ils se trouvent à l'époque t , — -

deviendra la composante p, de la force accélératrice du

point m parallèle à l'axe Ox,, et l'on aura (en faisant

lia db ' .de \

a = i,6 = o,c = o,- = o, - = r,^^=9j

dq tir

i.vGoogIc

( 4:).. )

OU

p<-^--^-y.jt-{i''+i'-^'')-^,+p[i^.-^qr,+ n,){*).

On connail donc les composaotes />,, ^,, r de la
force accélératrice da point m parallèles aax aïes Ox ,

Les forces perdues X, — m/',. Y, — ^9i\ Z, nw

doivent se faire équilibre autour du point fixe O; en
égalant leurs momeuts à zéro, on aura

2UZ,-""-,)j',-{ï-'«T,)=,] = o-, etc.

Substituant les valeurs de ^,, 9,, r, et réduisant, on re-
trouvera les équations dénier.

A ces équations, qui expriment comment varient la
vitesse de rotation et ta position de l'axe insiantanépar '
rapport aux axes principaux du corps, il faut joindre les
formules (3), ou plutôt trois relations équivalentes entre
p,^, r et les variations des angles désignés par if, 9, a
de la Mécanique de Poisson, angles qui déënisscot la
position des axes principaux du corps solide par rapport
à un système d'axes tixesOx, Oj-, O^. •

On obtient iinmédiatement les formules de la pïge i34,
pdt= sm^siA%dif ■+- coa^dO, etc..

(■j Si du point m on sbaiue rai perpendicuUire tnr L»c ■»
OD Toit qne la partie -(p;H-ï" + r')j-,+,(;,r, + ^__4_^,j r„j„„^„
la proJecUon «ut l'aie x, d'une force dirigée saiTaol c^Ue perpendi»-
lairenictquia pour valeur u>. mi. Car, en projeUat le triangle Oiaiinr
OT,,ona

m<c«i(n»(,0.,) = 0>COT(0.-, OxJ-Om(!Oi(0«,0*,)

■^.)~.{p' + 9'-

3,q,l,ZDdbvCnOOg[c

( 43. )
H l'aide du lliéorème sut )a compositioti des rotations iii-
tiiiimcnC petites, en vertu duquel, si l'ou prend sur l'axe
de chaque rotalion (dans un certain sens) une longueur
qui représente la grandeur de cette rotatjon , la somme
des projections sur une droite quelconque de plusieurs
rotations est égale à la projection de la rotation résul-
Unte. Il en résulte que la rotation w dt du corps autour
de l'axe instanlané équivaut aux trois rotations succes-
sives pdt^ gdl, rdt autour des axes Ox,, O/,, Oz, ei
aussi aux trois rotations successives du corps autour des
lignes Oz, ON et Oa, indiquées par les difTércnticlles d<^ ,
dB et rfif. En outre, p^ï, projection sur la ligne Ox, do
la rotation elTective oi dt, est égale à la somme*des projec-
tions sur Ox, des trois rotations correspondantes à r/ifi ,
dQ et //if , c'est-à-dire qu'on a

/> A =: rf^ cos a Oi, -I- rffl cos NO I, -H (/f cos s, J^, ,
ou

_ ''^ ■ a ■ '^^

~ en fonction de p

On trouve aussi les mêmes formules en différcntiant
simplement les équations

tang+ = — ^, cose = c", iang!p = l;;

puis, remplaçant i/c, de', etc., par les valeurs qui se
trouvent à la page i35, et qu'on obtient aussi en compa-

ranl les expressions (4) et (i i) de -r-i etc.

On peut abréger de la même manière les calculs par
lesquels M. Coriolis'a établi son théon^me sur le mouve-
ment relatif d'un point ou d'un système de points par

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 43» )
rapport à des axes qui ont un mouvement donné dans
l'espace [Calcul île l'effet des Machines, pages 4'^ ei
suivantes). Pour le cas d'un système, il faut prendre la
formule générale de dynamique

, , , , , iCx d'r ti'z > 1 .

substituer les valeurs de -;— , -r^, -— -, Ox, or, az
lit' dt' /It' ' ' '

qui résultent des formules

.V7=l-i-a3:, +by, + m,,
v"=i7 +a'j:, + b'y,-\-c'z,^

OÙ I , fl, i, f, X,, etc., sont variables avec t, et prendre
ensuite les axes fixes O.r, O^, Oz parallèles aux axes
mobiles Ox,, O/,, Oa, considérés dansla position qu'ils
occupent au bout du temps I , ce qui donne

n^i, b =o, . <- = o, etf, ;
da db .

Les liaisons du sysième étant exprimées par des équations

L= o, M = o, ac,
entre /, 3:,,y,, s,, etc., on arrive, par la méthode de I.a-
grange, à des équations telles que

d'x, ; dz, dy.\ dl. dU ^

X, étant la composante parallèle « Ox, de la force mo-
trice appliquée au point m , i-t X, cejle de sa force d'eu-
trainement.

:,.;,l,ZDdbyG00gk"'

(433 )

mnCK BiSTORIQVK SUR IB CALCUL IBS YARIATI6NS;

i M. STRAUCB (•).

' \. Quelques problèmes de Géométrie et de Mécanique
ont donné naissance au calcul des variations , branche la
plus élevée de l'Analyse. Nous rencontrons .encore ici
une marche particulière à l'esprit humain qui va du
difficile au facile, du compliqué au simple, tandis qu'on
devrait s'attendre à une marche opposée. Que de disser-
tations et de Mémoires ont dû Être composés avant de
débarrasser Vidée simple de ses accessoires , avant d'éta-
blir avec clarté le point ejjen£i'e/ du sujet !

•Le premier problème de ce genre a été résolu par
■Newton lorsqu'il détermina la forme de la surface de ré-
volution |qui éprouve la moindre résistance en se mou-
vant dans uu fluide, suivant la direction de son axe.

C'est en 1687 qu'il apublié le résultat fans faire con-
naître son procédé (Principia Philos, naturtdis mathe-
matica, sect. Il, prop. 35, scol. , édition de 1687 : c'est
la prop. 34 dans les édiûons postérieures).

Le second problème est celui de la brachistochrone.

péjà Galilée s'est proposé ce dernier problème et trouva
erronément que la courbe était le'cei'cle [Liber de moiu
et mecft., dial. Il, prop'. 3^, scol-, page 309).

(*) Extrait d'un Traité eempUi tur le calcul det variation!, publié, en
] TOlome* in-S*, k Zurich, en iB4g; un troidème Tolunie, conMcré lui
intéf^TRlei doubles, cet lous prSMe; ooTi^e important sur lequel noua
raiiendroni, pour iiioalrer_ qu'on * élé doublement injuMa enTin ce
ul^l , en en eugérant la diScalté et atténuint l'utilité.

Ana- Je MatMmat., I. X. (Novembre (8S1.) 38

:,.;,l,ZDdbyC00gIe

( 434)

Maisen 1693, Jean Bernoullîrésolnlexactemeni le pro-
blème de la brachistochrone, ei découvrit que c'était une
cycinïde, et, en 1696, il fit paraître, à ce sujet, une pro-
vocation adressée aux géomètres. Celte inritaUon porte :

Probîema novum ad cujus solution^m mathematici
invitantur.

« Datis in piano verticaU duobm punctis A et B, as-
H signnri mohili M viam AMB, per guam gravitate sufi
n descendons, et moveri incipiens a puncto A, brews-
» simo tempore perveniat ad alterum punctuin B. *'
[^cia Erudàonan Lipsiensia, 1696, page ^Qg.)

Leiboitz, Newton, Jacques Bernoutli, le marquis de
l'Hèpital foumireot des solutions. Newton donna encoru
ici le résultat sans le procédé {Philosophical Transac-
tions de 1697, n" 3^4) p^ge 384). De même, le marquis
de l'HApiul. Ces divers travaux furent réunis par Leib-
nitz qui les publia en 169^ i^Act. Erud. Ups., 1697,
mai). La solution de Jean Bernoulli parut aussi eu 16^7
(Act. Erud. Ups., 1697, mai, p. ao6).

Ce problème peut être considéré comme le commence-
ment de cette longue suite de travaux qui ont pour objet
les maximums et minimums des intégrales (*).

Ensuite on joignit à la coudition des valeurs extrêmes
encore cette autre condition, savoir, que la courbe cber-
chée ait utae longueur donnée.

Jacques Bernotilli est le premier qui proposa publique-
ment de tels probités. Jeau Bernoulli adressa un pa-
quet cacheté k l'Académie royale des Sciences , avec la
condition de n'ouvrir le paquet que lorsque son frère
Jacques aurait fait connaître sa solution {Journal des
Savants, février 1701)-

Jacquea publia sa solution la même année sous ce litre :

:,.;,l,ZDdbyC00gIe

( 435 )
jinafysis magni probîematis ùoperimelrici ; Baslè, 1 70 1 .

Cette' solution , fondée sur un principe rrai, est exacte.
Celle de, Jean ne fut insérée qu'en 1706 dans les Mé-
moirvs de l'Académie des Sciences. La solution est fau-
tive? c'est ce que l'autenr finit par reconnaître lui-même.
. Il donna une nouvelle solution dans les Mémoires de 17 1 8'
de la même Académie. Leprincipeest le mêmeque celui
de son frère, mais avjc des simplifications. Il en e-sl de
même de la solution que Taylor a dotinée dans son ou-
vrage : Methodiis incrementonun directa et inversa ■
Lond., i^iS..

L'égalité des périmètres fit donner à ce genre de ques-
tionsle nom de questions isopérimétri^ues, et la recherclie
d'une méthode pouf les résondre fut connue sous Je nom
de problème isopérimétrique.

Les questions où il s'agit de trouver des courbes satis-
faisant à certaines conditions de niaximum ou de mini-
mum s'étant maltipliées considérablement, il en résulta
qu'on prit ces deux dénominations dans un sens plus gé-
néral, plus étendu que ne comportent leurs significations
litérales. On comprit sous le nom de questions isopéri-
métriqiies toutes celles où il faut déterminer des courbes
jouissant de certaines propriétés de maximts et minimis,
n'importe le nombre et l'espèce des conditions acces-
soires.

Les solutions s'accoidaient bien dans les principes;
mais il n'y.avaitpas de niéthotle générale. Euler entre-
prit cette recherche, et la poursuivit sans relâche.

Un premier Mémoire sur ce sujet parut en 1739
' (Comm. Petrap., tomeVI, 1739: Probleniatis isoperi-
ntetrici in latissimo sensu accepti solutio generalis). Les
divers problèmes sont partagés en classes :
- Première classe. Trouver tontes les courbes où une
certaine propriété A acquière une valeur extrême.
a8.

i.vGoogIc

(436)

/><{UTfè/Hec/a4ïe.Parnii toutes les courbes de la premîèi-e
classe , trouver cellrâ qui jouissent de la propriété B.

Troisième classe. Parmi toutes tes courb^ de la
deuxième classe, trouver celles qui jouissent de la pro-
priété C; et ainsi de suite.

Ce Mémoire avait besoin de perfectionnements ei de
développements .

Le second Mémoire parut en 174^ {Conmt. Petrap..
lome VllI, 174* ■ Cwyarum maxùni mùiiitùve propric-
late gaudentiiun inventio nova et facilis). Il contenak
des parties défectueuses et peu claires.

En i744> il publia un ouvrage étendu sôus ce titre :

Methotius inveniendi li'neas curvas maxùni minimA'f
proprietate gaudentes, seu solulio problemàtis isoperùne-
trKt in lattssimo sensu accepti. Lausannie et Gcnpvip,
in-4'', 1744-

Tous les problèmes y sont partagés en deux classes. La
première renferme les recherches de maximums et de mi-
uimums absolus. Dans la seconde classe, il s'agit des
maximums et minimums relatifs. Aux problèmes connus,
Euler en ajoute une foule d'autres qui enrichissent son.
œuvre d'une manière brillante. Lcs règles énoncées sont
parfaites, en ce sens qu'elles- sont générales et conduisenl
toujours au résultat vrai. Une règle de grande valeur esl
surtout celle par laquelle les questions de la seconde
classe sont ramenées à colles de la premîèi^ classe ; mais
toutes ces règles sont fondées sur des considérations géo-
métriques, et l'on tie saurait trop adniirerla perspicacité et
l'adresse avec laquelle l'illustre géomètre surmonte toutes
les difficultés. Toutefois ta science pouvait prétendre à
une méthode plus parfaite. C'est ce qu'Euter non-seule-
ment sentait , mais ce qu'il a exprimé explicitement ainsi :
Une méthode débarrassée de toute considération géo-
mévique est encore à désirer, qui puisse expli<fuer pour-

3,q,l,ZDdbvG00gIe

( 4^7 )

quoi dans ee genre de qutistions il faut ivmplncer Pdp
par — pdP {Methodi/s inveniendi, etc. Au bas de U
page 56 on lit : Dcsideratur itaqué, etc.).

Cette méthode analytique si désirée fut découvei-U; par
Lagrange. II en 6t part dis 1765 à Euler qui avait si bien
mérité du sujet {Miscellanea Tawinensia, tome l^',
années 1766-69, a" partie, page t63).

Fi|ler apprécia de suite ]a haute importance de la nou-
velle invention, et le jugement qu'il en porta est consigné
dans une lettre en date du a octobre 1759, adressée à
Lagrange et où on lit : LasoUaion analytique duprobtème
isopèrùiiétiiffue ne laisse plus rien à désirer, et je me ré-
jouis que cet objet, dont je ms suis occupé si longtemps
presque seul, ait été porté par vous au plus haut degré
de perfection. L'iinpottancc du sujet m'a engagé, à
l'aide de vos éclaircissements, ije rédiger aussi une so-
lution analytique du problème ; mais je ne ferai rien
paraître jusqu'à ce que vous ayez fait imprimer vos re-
i:herches, afin de ne pas vous dérober la moindre par-
celle de la gloire qia vous appaitieni (*) {voir la même
page des Miscellanea Taurinensia citée ci-dessus).

La notivelle invention ne fut rendue publique qu'en
1761 (Miscellanea Taurinensta, tome II, 1760-1961,
'j". partie, page 173: Essai d'une nouvelle méthode
pour déterminer les niaxima et les minima des formules
intégrales indéfinies). Cette invention consiste en ceci :
Lagrange soumet une expression cçmposéc de variables
• et de' difTérentielles à une nouvelle différentiation qu'il
désigne non par ta lettre usitée d, mais par la lettre J^
et, quand celte lettre à se trouve avant le signe d
on y, il le place derrière ers signes. Ensuite , il opère au-

e morale, de probité seienlilîciuoi ei«nple peu

i.vGoogIc

( 438 )
taut d'Int^rationB fiarlielles jusqu'à ce qu^o ne ren-
contre pluf tous le signe y aucune variable affectée i la
fois des deux lettres li et â.

Les avBDtages.de ce procédé sont :

1°. D'être simple et général, c'est-i-dire qa'il peut,
s'étendre à un nombre quelconque de variables; de sorte
que la recherche des courbes à double courbure et des
surfaces devient aussi facile qu'auparavant, celle des
courbes planes.

a". On obtient non-seulement les équations princi- '
pales, mais les équations aux limites; ce n'est que d'alors
qu'il fut possible de poser des'éqoations de condition et
de les introduire dans le calcul.

Nont^stant ces avantages , on ne peut se dissimuler
que dans ce premier Mémoire de Lagrange le manque
d'un fondement scientifique se fait encore sentir, car il
est loisible de demander :

i". Quelle difféi-ence existe entre la nouvelle dïfféren-
tiaùon i et l'ancienne ^?

n". Est-on autorité on obligé d'écrire di, Jà an lien de

y, La valeur de la difliérentiation potu* S n'est pas
changée par les intégrations partielles tiltérieures , pour-
quoi faut-il pourtant faire ces intégrations?

Alors Euler se permit de publier aussi ses travaux
analytiques; il fit paraître deux Mémoires en 1766. Le
premier porte le titre : Elementa tialcuU variationum,
et le second : Anaiytiea explicatio methodi maximorum-
et mimmomm; les deux Mémoires se trouvent dans les
Novi Comm. Acad. Petrop., tome X; 1766. Ici, Euler
s'applique A établir des principes à l'aide desqueb on
puisse donner des fondements solides à la m'éÂode de
Lagrange , k laquelle il donne le nom de ca^lculdes varia-
tions, qui est resté. A la fin du second Mémoire, il donne

:,.;,l,ZDdbyC00gIe

( 439 ) ■
)M>ur la première fois l'^uaiion connue sous le nom à'é-.
ijuation de condition d'intégrabilité.

Quoique Euler recoauùt les droits de Lagrauge, l'il-
lustre inventeur eut pourtant des désagréables préteolions
à repousser. Dès 1734, Fontaine avait appliqué une mé-
thode nouvelle et qui lui est particulière pour résoudre le
liroblème de la ligne tautochroné {Mémoires de Vjica-
tlémie royale des Sciences, 1 7^4 ) ■ ^o ' 7^7 > il prétendit
que celte méthode s'appliquait è toutes les questions de
maximis et de minimisj mais qu'on a'eo avait pas fait
usage. A cet eû'et, il publia un Mémoire, pour soutenir
cette assertion [Mémoires de l'jicadémie, 1767). LA, il
accuse Lagrange de s'être égaré dans la nouvelle route
que ce dernier avait choisie, parce qu'il n'avait pas asses
• approfondi la théorie, etc. ; il propose en même tempe
deux méthodes qu'il donne pour nouvelles et oteilleures
que toutes celles que l'on a publiées sur cet objet. La-
grange répondit ainsi, en 1 770 : Paur ma justification, je
crois n' avoir rii:n de mieux à faire que d'engager les con-
naisseurs à lire le Mémoire de M. Fontaine. On verra
que l'une de ces méthodes est celle qu'Euler a publiée
dans son ouvrage de ly^^ï et que la seconde n'est autre,
pour le fond, que la mienne et n'en diffère que par une
exposition moins bonne (Miscell, Taurin , t. IV, an-
nées i^ÔÔ-i 769; 2° partie, p. 1 64; ce volume, malgré cette
date, renferme pourtant la justification de Lagrange,
écrite le 28 mai 1770, comme on peut voir â la page 187^
on y trouve même un Mémoire de 1771, p. aSo).

A cette occasion, nous devons mentionner une seconde
circonstance où Lagrange croyait qu'on voulait lui dis-
puter l'honneur de l'invention. Les deux géomètres Jac-
quier et Leseur avaient publié, à Parme, un Traité du
Calcul intégral; un chapitre entier du second volume est
consacré à ta nouvelle méthode, sans eir nommer l'au-

3,q,l,ZDdbvG00gIe

( 44o )

teur; Lagrange dît à cela : Je ne me serais pas plaint,
s'ils s'étaient contentés d'accepter ma méthode, sans en
nommer l'inventeur; c'est un procédé dont ils se sont
rendus coupables en d'autres endroits; mais comme ils
citent le Mémoire d Euler, il parattrmt qu'Us veulent lui
attribuer la méthode, tandis que j'en suis le premier
inventeur (Miscell. Taurin., t. IV, p. i65).

Le célèbre Borda écrivit aussi un ftfémoire dans lequel
il cherche h mootrer que les équations aux limites, obte-
nues par la méthode de Lagrange, n'ont pas une entÎCTC
certitude {^Académie nyy aie des Sciences, 1767 et 1768).
A ce t effet , il résout le problème de la brachistochroue dont
Lagrange s'est occnpé dans son premier Mémoire. Borda
parvient à un résultat exact et qui ne s'accorde pas avec
celui de Lagrange. Toutefois, ce fait 71c prouve rien contre '
les équations aux limite;. La raison en est que Lagrange
est parti d'une formule qui n'est pas assez générale; car

il pose la formule t= 1 ~ -^ (Miscell. Tau-

J 'J^

rin., t. If, p. 176)-, X sont les coordonnées parallèles à
la direction de la pesanteur. Cette formule ne s'adapte
qu'au cas où le mouvement commence avec jr:= o, et ne
convient pas aux cas où le mouvement commence à un
autre endroit. Depuis, Lagrange a amélioré sa formule
(Miscell. Taurin., t. IV, p. i83) et l'a arrangée de ma-
nière que le mouvement peut commencer à un point quel-
conque de la brachistochrone. Dès lors Lagrange pouvait
montrer que sous certains rapports ses premiers résultats
[Miscell. Taurin., t. II, p. 179 et 180) étaient exacts,
et sous d'autres rapports Borda avait aussi raison. La
certitude des équations aux limites fut ainsi établie d'uuc
manière brillante.

En 1770, Euler publia un nouveau Mémoire sur le

:,.;,l,ZDdbyG00gle

calcul des variations, et qu'il a ajouté au troisième vo-
lume de son Traifé de Calcul intégral (*) ; là , tout ce
qui.précède est surpassé. Jusqu'ici on n'avait mis le calcul
des variations eu relation qu'avec des questions //e rnoxi-
mi'a et tie mùiùnù. L'auteur se débarrasse de cette idée
étroite et annonce (§ ii5) que ce calcul pouvait être
rendu pliÈ général, «t que les problèmes se divisent
eu deux classes. Dans la première classe sont les pro-
blèmes où la relation entre^ et x est considérée comme
étant donnée, et l'on cbercbe la variation de l'intégrale
y V dx, en attribuant à x et à ^ des variations quelcon-
ques; daus la seconde classe, on cfaerche une relation
entre x el y telle qu'elle donne une certaine propriété à
l'intégrale yVrfx; par exemple que, devenant lui maxi-
mum ou un minimum, la première variaUon d f\ <ix
s'annule.

Euler s'appliqua désormais non-seulement à consolider
les principes du calcul des variations, mais aussi à rendre
plus intime la connexion de ce calcul avec les autres bran-
ches de l'Analyse. E^n 1773, parut un autre Mémoire:
Methodas nova et faciUs calculum van'ationum trac-
tandi [Novi Comm. Pelrop., t. XVI, 177a); jusqu'ici
on n'avait appliqué la méthode fju'à des expressions inté-
grales. Dans ce Mémoire, l'auteur se débarrasse de cette
restriction, et réunit en trois catégories tontes les expres-
sions qu'on peut soumettre à des variations ; h la première
appartiennent les expressions qui ne renferment que des

(*) Iiulilmtioiiet catculHKlrgraltt, 3 T,,Ptlrap.; 1768-70. Le prolefKOr
Saloraon ea t pablU ilne belle tndaction Bllemsnde en 4 tdIuidcs in-S";
Vienne, iSiS-îo; le quitrième volume contient de nauvonx Mëmoires
d'Euler qui ne aont pis dans l'original latin. Une traducUon françiise
■ urail encore aujourdlini d'une immense ulilité. C'eit an Ministre dp
rinstmction publique i faiee ouvrir cette riche mina d'enseienenienU.
Cela viendra l'sn ? j jo quand on s'occupera de« choees et non aniquement
dn personnes, quand la science sera «épalé« de la politique.

:,.;,l,ZDdbyG0bgle

( 44» )
furmea fonclioDiielles ; à la seconde, les expresEious où
l'OD rencontre aussi des di IFérenti elles ; et à la troisième,
les expressions où il y a aussi des intégrales.

Au § 4t il reproduit le principe sur lequel il avait-
i-tabti jusqu'ici le calcul des variatioas, et qui consiste à
distinguer deux sortes de changements dans y : l'un dé-
signé par dy provient de ce que x devient x + dx;
l'autre désigné par 3y est entièrement arbitraire et ne dé-
pend pas de X. Ainsi considéré , le calcul des variations
semblait constituer un genre particulier de calcul ; mais
en scrutant plus exactement l'essence de ce calcul, Euler
découvrit qu'on pouvait le ramener entièrement à la
théorie des dîQérentielles partielles. Au lieu de conserver
le changement appelé variation, il remplace l'éqnatïoa
y = <f[x), d'abord par celle-ci y+ù.y = <f (x) + t^{x)
où t est un infiniment petit; puis, .passant à une forme
plus générale, il considère y non plus comme une fonc-
tion de X seulement, mais comme une fonction de deux
variables xet t, t étant une variable nouvellement intro-
duite. C'est ce qu'il explique de cette manière : Soit
jr^if(x) l'équation d'une ligne; jr = tf{x, t) repré-
sentera toutes les lignes inûnimcnt voisines si f (x, t) est
telle , qu'en faisant t^=o, if{x, t) revient à <f (x), et la

formule ' — ■ dt remplace ce qui avait été désigné

par d/y.

Certes, l'introduction d'une nouvelle variable a donné
au calcul des variations sa base véritable. Toutefois, je
fais voir (§ 61} que ce moyeu n'est pas à l'abri de quel-
ques objections , et j'indique (§ 53) un autre procMé.

Dans aucun de ses Mémoires , Euler nç s'est occupé des

. variations du second ordre , nécessaires pour savoir s'il y -

a maximum ou minimum , ou si aucun des deux n'a lieu.

Les premières reclierches de ce genre ont été publiées par

:,.;,l,ztdbyC00g[c

{Mi)

Laplace, en 177a {Nova jicta eruditojvm, 1779) p. 193).
Ensuite Lcgendre s'est occupé du même objet, dans un
Mémoire de 1786 et dans un second Mémoire de 1787
(jécadémie des Sciences, 1786, p. 7, et 1787, p. 348);
mais dans ces trois Mémoires il n'est question que des cas
où y est fdbction de la seule variable x.

Lagrange s'efforça aussi de conspLider ei d'étendre sa
méthode. C'est cequ'îl fait dans sa Tftéorie des fonctions
analytiques dont la première Mition est de 1797, et la se-
conde de 18 13. On j trouve bien des recberche« sur les
variations du second ordre , mais aussi pour le* cas où l'on
ne cherche qu'une^eole fonction y d'une seule variable x
(seconde partie ,'chap. XII, n°' 64-70; a' édition) ; et la
méthode ne s'étend ni aÙK cas où _^ et z sont des fonctions
de X, où bien 7 fonction des deux variables x, y^ une
' seule question est pourtant traitée, où paraissent y et s,
fonctions de x (seconde partie, chap. Xll, n° 73 ; x* édi-
tion) ; mais cette question est spéciale, et l'on ne donne
pas dç règles pour le cas général. Dans cet ouvrage, on
trouve pour la première fois un problème où. il s'agit de
rendre maximum et minimum une expression qui ren-
* ferme des diSerentiellet, mais pas d'intégrales (seconde
partie, chap. XI, n"* Sg et 60; 3' édition) ; mais on ne
donne que de faibles indications sur la théorie nécessaire
pour résoudre de tels problèmes.

En 1806 , dans la 1' édition des Leçons sur le calcul
des fonctions j Lagrange a considérablement perfectionné
sa méthode, et l'a enrichie de beaucoup de problèmes inté-
ressants C).^ Imitant Enler, il remplace la fonction ç [x}
.par celle-ci, <f{x, t) , telle qu'en faisant t = o, <p (.x, t)
.revienne i <f (x) ; ensuite il développe tf {x, t) , par le

(') lA 1" Milion rormele 11* cahier dn iaamtt Je l' Ecole Polyttch-
Nlfue, iSo4' La 3* édition, quia parn chei Courcier en iSofi, eattellïmcnl
■ngnwnUe, qu'on ne peut pluaiUr la i'* Mitioh,

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 444 )
th^rème de Maclaurin, en celte série,

<f {x)-t-l^{x)-f- -^Xi-^} -*-■■■■
Cette marche, la même que celle d'Eulfîr, est sujette aux
mêmes objections. Ainsi tout le calcul des variations
étantfondë sur le théorème de Maclaurin, il pbssède tons
les avantages attachés ,b ce théorème.

Jetant un r^ard sur ce qui précède, nous voyons :

i". Qi^'Euler, par la méthode géomëpique, porta sï
loin le problème isopérimétrique , que la science devait
nécessairement découvrir une méthode analytique ;

3°. Que Lagrange fit cette découvyte ;

3°. Qu'Euler s'est efforcé de consolider et de développer
la méthode de Lagrange, et qu'il a considérablement per-
fectionné cette méthode, surtout en introduisant une nou-
velle variable;

4°- Que Lagrange a reconnu que cette idée était la
plos convenable au sujet et l'a adoptée comme base de sa
méthode. .

Ontre Laplace et Legeodre, aijxquels, comme nous
avons dit, le calcul des variations* doit de précieuses
acquisitions, d'autres géomètres ont cru devoir s'occuper
de ce calcul; la plupart, sans faire avancer la science, se
sont contentés de réunir, selon leurs propres vues, les
propositions connues. Il serait si^i^u de donner une
Notice détaillée de ces écrivains. II nous suffit de dire que
quelques-uns se sont tenus strictement à la forme géné-
rale qu'Ëuler a donnée pour base, savoir : de représenter
la variation immédtatii par une série infiniij.

Parmi ceux-ci, on remarque Lacroix, qui a recueilli
dans son ouvrage, et a exposé clairement et dans un bel'
ordre, tout ce qui a été fait [Traité du calcul Hijfférvntiel
cl intégral, a* édition, t. Il, i8i4;p. 724,744, 751).

D'autres ont adapté une forme qu'Etder a déjà déclarée

i.vCooglc

( M5 )
trop spéciale, savoir : la forme finie ip (j.) ■+- f if (^') (*);,
croyant ainsi donner au procédé de rélëgance et le rendre
simple, ils l'ont entache de grands défauts. En effet, poui'
qu'une fonction <f (x) puisse se changer dans la fonction
arbitraire ^(x, t), le développement de f(x, t) doit
être représenté par une série infinie, réellement ou au
moins idéalement existante. Si l'on.préteDd que la série
est finie', il faut que la fonction <f{x,t) jouisse de cer-
taines propriétés qui permeiient d'arrêter la série, et' alors
la fonction cesse d'être entièrement arbitraire. Eln outre,
ce procédé conduit à beaucoup de contradictions, commt;
nous verrons dans divers endroits de cet ouvrage.

Toutefois, M. le professeur Martin Ohm fit paraître
en iSaS, i83i, i833, iSig, quatre écrits qui méritent
, d'être pris en considération. Le calcul s'est enrichi et
■ a pris de l'extension , ainsi que nous allons le faire voir.

Donnons d'abord tes titres de ces ouvrages :

t". Lehre des grôsten and hleinsten. Théorie du
maxîmumetda minimum; Berlin, i8a5.

a". System der tnathematik. Système des mathémati-
ques, t. V; Berlin, i83i.
■ 3". Idem, t. VU;BerKn, i833.

4°- Lehrhuch der liohem matkematik, en a vol. , 1- II ;
. Berlin, 1839 («).

L'ouvrage de iSaS contient une théorie générale du
calcul des variations, très-complète et où plusieurs points

( ' ) Naoa n'en citeron* que troii :

1°. Gt,Kitymn,Aiaale,dtiMmt.. t. \llli iSlI.

!■>. DiauEN, Aiulxiitehe dmriteUii»gdervpriaiiaiiirechiiuiig{^xf<nition
analytique dn calcal des nriatioDi ] ; Berlin, i8i3.
• 1». PdiUOr, Mémoirai de CAcaJèmie dei Stieiu:n , t. XII j i833, p. 33i
et ti3.TraiUdeKi!eani,,ue. 1* èdiUon; iS33, 1. 1 , $ 199, 101.

(■*} On peat ■a») ciler !«• tnTani de Jaeobl (LiouTlHe, tome lll)j
de H. Canchj {Exerelcei dAitalyte, tome llli 1844); de H. Delaonav
' ( LiouYille, tome VI) , et le Mémoire couronna de H. Sarrus ( SdMxfi firaa-
geri, tome X; iSJS). Tn,

i.vGoogIc

( «0 )
difficiles sont mieux traita qu'à l'ordinaire. On y ironve
aussi une théorie très-déreloppëe du maximum et du mi-
nîmam. L'auteur, d'après Euler, ramène toutes les ques-
tions à trois cat^ories. tTies expressions purement foBC~
tionnelles. Les recherches sont assez complètes; toutefois,
il j manque plusieurs cas que j'ai indiqués dans mon ou-
vrage, 1. 1, § 169-179, et auxquels les questions 55-60
servent d^appli cations. 3° Les expressions où entrent aussi
des dilTérenii elles pour lesquelles Lagrange n'a donné que
de légères indications ; ici, ce cas est traité ponrla première
fois et avec une étendue suffisante. 3° Les expressions qui
renferment aussi des intégrales. Beaucoup de ces recher-
ches se distinguent par la plénitude., et quelques-unes sont
manquantes; ainsi: 1° on trouve ici pour la pr^nière
fois une recherche générale des Tariatîons da second
ordre, pour le cas d'une intégrale simple, à deax limites '
constantes et pour deux fonctions ^ et z indépendantes
l'une de l'autre, et chacune fonction de x; it.ais lorsque
j at z sont liées par une relation (par une équaUon algé-
hrique ou diflérentîelle) , la recherche est à peine indi-
quée, et, toutefois, une règle spéciale est nécessaire. De
même , ce qui concerne la variation du second ordre lors-
que les limites des intégrales sont variables est inexact.
2" Lors d'une intégrale double, on traite ici, pour la
première fois, le cas où la variable, suivant laquelle se
fait la première intégration est une fonction de la va-
riable suivant laquelle on fait la seconde inl^ration. Ou
montre comment il faut alors transformer la variation du
premier ordre ; mais cette transformation n'a rien de pra-
tique. Pourdcs înt^ralcs doubles, les équations auxlimites
présentent une infinité de cas à discuter, et nonobstant on '
ne mentionne que quelques cas particuliers ; ainsi sous
ce rapport il n'y a comme rien de fait. La variation du
second ordre manque en entier.

Dans les ouvrages de i83i et 1839, on donne uni!

i.vCoogIc

( 447 )
théorie du calcul des variations, et, ds plui, des sé-
ries élégautes, utiles, qui méritent de fixer l'attention.

Dans les deux ouvrages de i833 et 1839, on trouve
aussi une théorie générale du maximum et du minimum;
c'est un extrait de l'ouvrage de iSa5 , une sorte d'expo-
sition plus 'succincte.

Venons maintenant au point principal. Sur quelle base
l'auteur a-t-il fondé son calcul P Cette base oâre quelque
choae de très-particulier. L'auteur pose de suite pour la
variation immédiate, ■

TTâ^

n =y + i^i + —

ou bien

j-, = j- + JT a/ 4- — J'j- -H ^-^1 -^ "^ ■■■'
sans dire le moins du monde où il a pris cette série, ni
d'où elle a pu se déduire. En effet :

Dans l'ouvrage de i8a5, on lit : « Lorsqu'une expres-
sion y se développe par elle-même, indépendamment
d'une autre expression, en une série ascendante suivant
les puissances entières de tt , alors on dit que l'expression
Y est immédiatement variée selon it ; mais si une expres-
sion V ne peut se développer en une telle série que parce
qu'elle dépend d'une autre expression développée suivant
une telle série, on dit alors que V est variée médiafe-
ment selon n. Lorsque n est infiniment petit, y„ — y, ou
Vb — V sont les variations de y ou de V. »

ETn représentant les variations immédiates par des sé-
ries infinies, M. Ohm n'a fait que revêtir son calcul de
la vraie forme. Mais ou est en droit de demander : d'où
l'auteur déduit-il ces séries? Pourquoi n'a-t-il pas pris
une marche d'où ces séries ressorieiit nécessairement?
. Pourquoi, sans' dire le motif, a-t-il renoncé à la base
posée par Euler et adoptée par Lagrange , etc. ?

On a déjà dit que dans le Traité complet de i8a5, on

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(448 )
ti-ouve très^eu -de cliose sur lea intégrales doubles. C'est
ce qui a engagé Poisson a publier, eh i833, un Mémoire
spécial sur cet objet [Acadénùe des Sciences, t. XII;
le Mémoire a été lu le lo octobre t83t). Pour le cas où
les limites de l'intégrale double sont variables, l'illustre
analyste croit devoir introduire un nouveatf principe;
à la place des deu^ variables x, y, il met deux fonctions
de deux nouvelles variables u et v, etc., et ramène fina-
lement les deux variables x et y. Par ce procédé, la recber-
cbe, pas déjà très-simple, al£té rendue plus compliquée
et surchargée de dilticullés superflues.

C'est la raison qui a porté M. Ostrogradsky à traiter le
même sujet dans un Mémoire publié en i834 {-^cad. fte
Pétersb., 6"séi-ie, t. III; et Journal dcM. Creîle, t. XV,
4* cahier; i836). Il montre que l'introduction de deux
nouvelles variables n'est pas nécessaire et que Iq principe
fondamental du calcul des variations suffit pour réunir
toute généralité désirable et une extrême simplicité.

Toutefois, j'ai montré ^dans cet ouvrage (t. II, § 7!}^
et 73s), que les deux Mémoires, sous le rapport de la
théorie et de la pratique , ne répondent pas à ce que le
sujet exige. L'expression pour la variation du premier
ordre n'est pas pratique , et est même inachevée. La va -
riatioD du second ordre manque complètement dans les
deux dissertations. On n'y trouve pas un seul exemple
spécial propre à éclairer des recherches si difficiles dans
les deuils, etc.

Cette courte esquisse présente l'état où est actuellement
la branche la plus élevée de l'Analyse ; beaucoup a été fait
et il reste encore bien des, choses à faire. Nous avons vu
aussi que, sous le rapport pratique, les ouvrages d'Euler et,
de Lagrange sont ornés d'applications beUes et intéressan-
tes ; et cependant nous verrons plus loin que c'est précisé- *
ment pour les applications qu'il reste le plus A faire.

:,.;,l,ZDdbyG00g[c

( 44y )■

QUESTIONS DE GÉOnÉTRIE DESCRIPTIVE PROPOSÉES AU '
C«?iCOllRS D'ADMISSION A L'ÉCOLE POLYTECH!lilOVE,,EN I8SI .

Comme l'année dernière , nous avons recueilli les pro-
grammes des questions de géométrie descriptive qui ont
été proposées au concours d'admission à l'Ecole Poly-
technique, et nous les innUous sous les yeux de nos
lecteurs. Ainsi rapprochés, ils montrcnl la tendance de
l'Ecole à faire disparaître graduellement des travaux gra-
phiques des candidats la méthode qui consiste à repro-
duire les épures gravées des auteurs, pour lui voir sub-
stituer celle des programmes écrits dans lesquels chaque
élève trouve des donijécs numériques diilérentes.

Quinze programmes , relatifs à rinierscciion de deux
surfaces de révolution, ont été envoyés dans les villes
d'examen. Afin d'éviter des redites inutiles, nous les
grouperons de la manière suivante :

Sphère pleine et cône de réfolution dont l'axe est
inclinç, — Dans les cinq programmes , la sphère est
donnée par la position de son centre et par la grandeur
de son rayon j le cône est défini par la position de son
axe et de son sommet , et par le rayon de la section droite
faîte à une distance déterminée du sommet. Par exemple :
axe incliné de 45 degrés sur le plan horizontal , distant de
1 centimètre du centre de la sphère , et non parallèle au
plan vertical ; sommet situé à 8 centimètres au-dessus du
centre de la sphère; section droite de 7 centimètres de

Ann. dt Malhémat., I. X. (Décembre i8r>i.) 29

:,.;,l,ZDdbyG00gIe

(450)
rayon et distante de i5 ccDtimèlrcs du sommet du cdtie.

Ou bien : axe non parallèle au plan Vertical , incline
de 3o degrés sur chacim des plans de projection , et dis-
. tant de a centimètres du centre de la sphère; sommet si-
tué à la centimètres au-dessus du plan horizontal ou en
avant du pian vertical-, section droite, etc.

On demandait ; i" de définir grapliicjuement , d'après
les procédés ordinaires de la géométrie descriptive, les
formes, dimensions et positions des deux surfaces don-
nées, en adoptant pour le cône une position choisie à
volonté entre toutes celles qui satisfont aux conditions
prescrites ; a" de construire la courbe d'intersection de la
surface conique et de la surface sphériquc ; 3° de discu-
ter, dans un texte, les particularités que peuvent pré-
senter la question générale de l'intersection d'une sphère
et d'un cône, et ta recherche des points remarquables de
la courbe d'intersection.

Sphère creuse et cône droit. — Deux programmes.

Sphère donnée par la position dt son centre et par la
grandeur des rayons des surfaces intérieure et extérieure.
Cône ayant son axe perpendiculaire au plan horizontal
ou au plan vertical , et distant de 5 centimètres du centre
de la sphère; son sommet à i5 centimètres du plan hori-
zontal ou du plan vertical; sa trace, liorizontale ou ver-
ticale , de 5 centimètres de rayon et tangente à la ligne de
terre.

On demandait : i" de construire les courbes d'intersec-
tion des surfaces sphéricjues avec la surface conique ;
a" de projeter séparément, sur un plan vertical , le cône
après l'arrachement par la sphère ou la sphère après
l'arrachement par le cône; 3° de discuter dans on
texte, etc.

Sphère pleine et cyfinttie de réioIuTion dont Vaxf

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 45. )
est incliné. — Cinq programmes tout â fait analogues
aux cinq premiers.

Par exemple : axe du cylindre non parallèle au plan
vertical, incliné de 3o degrés sur cbacun des plans de
projection et distant de a centimètres du centre de la
sphère; rayon de 3 centimètres; limites : le plan vertical
d'une part, et, de l'autre, un autre plan vertical égale-
ment distant du centre de la sphère et du plan vertical
do projection.

Ou bien : cylindre dont l'axe, incliné de 4^ degrés sur
le plan horizontal , est distant de a centimètres du dia-
mètre vertical de la sphère et est placé, par rapport au
centre (O, O'), de telle manière que le pied de la droite
qui mesure la plus courte distance entre l'axe et le dia-
mètre vertical tombe sur ce diamètre à I centimètre au-
dessus du centre (O , O') ; dotit le rayon est de 3 centi-
mètres, dont les limites sont, etc.

On demandait : i" de construire la courbe d'intersec-
tion de la surface cylindrique et de la surface sphérique;
a" de développer la surface cylindrique sur un plan tan-
gent vertical , et de tracer sur ce développement la géné-
ratrice de contact et la transformée de la courbe cylindro*
sphérique; 3'^ de discuter dans un texte, etc.

Cylindre droit perpendiculaire à l'un des plans de
projection et cylindre de révolution dont l'axe est in-
cliné. — Trois programmes.

Le cylindre droit est donné par la position de son axe
et par la grandeur de son rayon. Le cylindre incliné est
défini comme dans la question de la sphère et du cône.

On demandait , cic. {'viyyez le programme précédent }.

Enfin , cylindre de révolution creux dont l'axe a pour
projections deux droites inclinées a 4S degrés chacune sur
la ligne de terre ; dont les rayons des surfaces extérieure et

29'

îiqilizDdbyCoOgle

( 45a )
iutérieurc sont respectivement de 4 et de 3 centimètres ;
et cylindj-e du révolution plein, dont l'axe, situé dass
un plan perpendiculaire à la ligne de terre, rencontre
cette ligne et l'ase du premier cylindre; dont le rayon est
de 2 centimètres.

On demandait : i" de construire les courbes d'intersec-
tion de la surface du cylindre plein avec les surfaces exté-
rieure et intérieure du cylindre creux ; %° de projeter sur
un plan perpendiculaire à la ligne de terre le cylindre
ereux et le trou qui le traverse, le cylindre plein ayant
d'abord été retiré de ce trou ; 3" de discuter dans un
texte,' etc.

Au premier abord, ces programmes paraissent plus dif-
férents par la difficulté qu'ils ne le sont réellement. Lors-
que la mise en projection du problème est difficile, la
partie purement grapliic]ué <'st diminuée. Toutefois, il
faut reconuaitre que le travail était trop considérable
relativement au temps accordé, quatre heures, tandis que
l'année dernière on avait accordé six heures.

Il faut aussi reconnaître que les programmes de Paris
étaient un peu plus chaînés et surtout d'une rédaction
moins explicite que ceux de la province, où l'on a eu l'at-
tention de faire ressortir la mise en projection des surfaces
données comme une question , au lieu de la laisser enve-
loppée dans l'énoncé. Ces petites inégalités , presque iné-
vitables, n'ont pas empêché les candidats de Paris de se
trouver en Irès-grande majorité sur la liste d'admission;
on en compte soisanle-hui t sur quatre-vingt-quinze, ce qui
fait deux fois et demie ce que la province a donné ; rapport
qui se trouve être le même que celui des compositions
écrites qui ont été corrigées.

Ce n'est pas ici le lieu , ce n'est peut-être pas non plus
U momeul dif rechercher les causes do cet envahissement

i.vGoogIc

{ 453 )
de Paris. Les nouveaux programmes des épreuves nous
placent dans une de ces époques de transformation peu
propre k un examen de cette nature. Il convient d'at-
tendre.

ENSKIGNEMB»! W LA GEOMETRIE DESCRIPTIVE.

!Vos lecteurs , géomètres-dessinateurs, nous sauroutgré
sans doute de porter à leur connaissance uue collection de
reliefs géométriques qu'ils cousulteraient avec profit. Le
prospectus porte, pour préambule, les observations sui-
vantes qui nous paraissent d'une grande justesse.

Collection de corps géomètiiqiies en plâtré, destinée à
l'enseignement de la géométrie descriptive et de ses
applications,

« Dessiner d'après le relief, c'est prendre sur les coi-ps
solides eux-mêmes (*) les données numériques qui fixent
leurs dimensions et leur situation dans l'espace, et c'est
se servir des mesures ainsi obtenues pour construire les
projections géométriques qui non-seulement représentent
cescorps,maisencoresufli5ent pour tes reproduire, comme

( • ] « Sous les noms de hautear, largeur, ipaiiieur. profondeur, diiteace,
rayon, diamitre, aliciisi:, ordonnée, côté, etc., on fait de nombreux m»-
suraues pour lesquels KuSit le kutsch, ou double dëcimèlre subdivise en
centimèlrea, millimètres, el dcroi-m il li mitres nu besoin. On peut même
arrirer k une approii million plus grande en lui udaplaat un curttur n

• Pour les perpendiculaires, très-nombreuses aussi , qu'on a besoin de
mener a un plan , on doit employer IVf ufrre à troU dinicntlosi, instm-
!-rtlii-/. C'est un

:,.;,l,ZDdbyG00gle

. ( 454 )
cela se pratique dans les arts de cpnitructioa, sur les pro-
jets des ingénieurs.

1) Cet exercice, en graduant les difficultés de l'en-
seignement du dessin des projections, prépare les élèves
aux épures d'après des programmes écrits ou d'après leurs
propres conceptions dans la géométrie des trois dimen-
fiioos. Les reliefs, en montrant d'avance au dessinateur
le résultat de ses recherches, en lui en donnant le senti-
ment, facilitent nécessairement son travail. Cet exercice,
dont l'utilité est évidente, est cependant presque inconnu.
Est-ce parce que les modèles manquent?

11 Observer sur la surface rigoureusement définie des
corps géométriques les effets de lumière, d'ombre, de
reflet qui s'y mauifestent , et les effets de contour appa-
rent de leurs vues perspectives; s'exercer à rendre rapi-
dement à l'es'tompc et au crayon ces accidents d'une va-
riété infinie et d'une précision saisissable par l'œil le
moins exercé', ces deux études constituent un enseigne-
ment gradué, rationnel,- et de nature à préparer à tous
les genres de dessin. Ainsi tous les effets de lumière et de
perspective que peuvent présenter les sujets ordinaires du
dessin d'imilation se trouvent nettement accusés got les
polyèdres, sur les cônes et les cylindres, sur les corps de
révolution, sur les formes torses des colonnes , deslimons

qu'on plie vne fenille de papier fori ou du carton mince, et I'od a one
rigle qui pout filre d'un bon usage; qu'on fasse un «econd pli eiactemenl
perpendiculaire au premier, qu'on l'ouvre plus ou moins , cl l'on a une
étjofrre A Iroli dimftiiions. Le second pli riant entièrement ouvert, un
arrive à Véqufrre à deux dimeatioas, c'eat-i-dirc à Vé^srrre plane de la
Ijéoraétrie élémentaire! e'eal aussi Yéijucrn! du relieur. Une feuille de
papier et un kutscb aulBsenldonc poureiécuterle tever de> corps gcomé-

■l'tf. '

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

( 455 )
d'escalier et des serpentins , en un mot, fcur toutes les sur-
faces de la géométrie, convenablement éclairéeB(*).

» Cet enseignement, d'une simplicité et d'une utilité
incontestables, n'est pas assez répandu; est-ce parce que
les modèles manquent?

n Si cette lacune existe réellement dans l'ensemble des
moyens propres à l'enseignement du dessin , notre collec-
tion aidera à la combler.

n La vue attentive des corps solides a l'avantage de
familiariser avec les formes et les appellations de la géo-
métrie; les combinaisons de ces formes entre elles, par
intersection et par contact, donnent la connaissance d'un
grand nombre de résultats que les élèves n'ont pas le temps
de chercher, qu'il n'est pas nécessaire de leur faire cher-
cher, qu'il suffit de leur montrer, et en grand nombre,
parce qu'il y a de l'instruction dans la variété; enfin, le
groupement de ces corps fournit une suite sans nombre
de modèles faciles et intéressants à reproduire par le
dessin.

n Si cette collection est bien accueillie, elle recevra un
développement qui en accroîtra beaucoup l'utilité (**). »

(*] • La tumiire d'une lanipt ou la lunaire solaire, dans laquelle les corpi
sont plongé! , produit Bur leur lurrace des ombres noires et IrHDcbées qui
sont d'un efTet peu agréable; auaal ne manque- I-od pas do les adoucir par
quelque* artifice», mais sans le» dénaturer. Les orairtM géoméirifuei , qui
leur sont tout k fait comparable», doivent être traitées comme elle», de
manière k produire dea réiultala qui se rapprochent de ceux du dénia
d'imitation proprement dit, où l'an suppose les objet» éclairé» parla lu-
mière ii_ffùie de l'atmoiphèrc,

• Quant à ce qui regarde la peripeetive, il nous laftlra de dire, pour Être
compii», qn'une glace interposée entre Voculaire, point où l'on suppose
l'œil du dessinateur, et l'objet s représenter, est de tous le» moyen» a em- -
ployer le pins simple et le plus clair pour faire »entir el comprendre les
effets de ce que l'on nomme avec raison ta pertprciivt linéaire, pour la
distinguer de la penpecUye aérienne, i

(*■) S'adressera N. Bardin, rue du Cherche-Midi, i3, k Paris. On est
prié d'affranchir les letlrcK.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 456 )

On doit dësirer que cette collection, que nous avons
visitée avec un véritable intérêt, se répande et soit ap-
prëciée. Elle est déjà très-élcndue , très-variée, et l'on y
trouve l'éalisées en relief toutes les questions d'intersec-
tion de surfaces qui ont été proposées cette année au
concours d'admission de l'Ecole Polytechnique. Il est
bon, quand les programmes des épreuves de concours de-
viennent de plus en plus difficiles, que, quelques per-
sonnes se préoccupent de venir en aide ans candidats et
à l'enseignement.

L'auteur ne parle pas, dans son prospectus, de la belle
suite de reliefs topographiques qui constitue, à vrai dire,
la partie principale et la plus importante de son musée
stéréotomique. Celle réserve semble indiquer qu'il veut
en faire l'objet d'un programme particulier.

KOTE SIR LA MÉTHODE DES MOINDRES CIRB&S;

Pas m. p. HOSSARD,

Clièf d^CAcadroii d'élal^major-

Afin de mieux iixer les idées, soit une fonction à deux
variables considérée comme l'ordonnée verticale d'une
surface. Supposons d'abord que les constantes à déter-
miner soient telles, que leur variation ne donne lieu qn'à
un dêplacemenl parallèle de la surface dans le sens des
verticales, et que, par expérience, on ait déterminé un
certain nombre de points devant lui appartenir. Si ces
points ne s'accordent pas parfaitement entre eux, c'est-
à-dire s'ils n'appartiennent pas exactement à une déter-
minaiion unique de la surface, il est évident que la posi-

i.vGooglc

(457)
tioi) à adopter serait celle qui établirait cette relation,
savoir : que la somme des diiTérencts positives entre les
verticales des points obtenus par expérience et les or-
données correspondantes de la surface , fussent égales aux
différences négatives ; c'est-à-dire que celte position serait
donnée par une moyenne arithmétique, comme dans le
cas de la détermination d'un point sur une verticale
unique. _

Généralement, la variation des constantes à déterminer
donnera lieu à une déformation et à un déplacement non
parallèle ans ordonnées ; il est clair alors que la surface à
adopter ne correspondra plus à une égalité entre les er-
reurs positives et négatives des observations , car l'ordon-
née de la surface, selon qu'elle correspondra à tel ou tel
point observé, éprouvera des variations dîlTérentes pour
une même variation des constantes-, mais il devient évi-
dent que le résultat de chaque observation devra avoir
une influence d'autant plus grande dans la détermination
de la surface à adopter, que cette observation corres-
pondra à un point dont le déplacement sera plus consi-
dérable pour une même varialion des constantes. Ainsi,
une observation correspondante à un point invariable de
la surface devrait rester sans influence, et être négligée,
quelle que fût d'ailleurs la dîtTérencc entre l'ordonnée
donnée par l'observation et l'ordonnée du point fixe. Il est
évident encore qu'un point obtenu par robservalion , là
où la surface éprouve les déplacements les plus considé-
rables pour une même variation des constantes, serait
des plus propres à fixer la valeur de ces constantes ; enfin
que si deux observations correspondent k deux poinis de
'la surface, dont l'un éprouve un déplacement double de
l'antre pour une même variation des constantes à déter-
miner, le premier point sera deux fois plus convenable
que lesecond pour fixer celte surface, et, par roiiséqucnt.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(458 )
devra eotrer avec uae inQuence double, relaiivemeot à
celui-ci , dans le choix à faire.

Pour arriver à la détermination la plus avantageuse de
la fonction cliercliée, nous devrons doue prendre une
moyenne arithmétique, comme dans le premier cas con-
sidéré , mais en faisant entrer chaque observation avec
l'inSuencG qui lui est propre.

Les idées de géométrie introduites ici ont ei^mur but
de rendre la démonstration plus tangible , pour aTnsi dire,
mais ne sont nullement nécessaires à son exactitude.

Il nous reste maintenant à montrer que ce procédé
n'est autre que la méthode des moindres carrés donnée
par L^endi-e, démontrée par Laplace et Poisson.

Soit une fonction de la forme

y, f, etc., étant des expressions sans coefficienU indéter-
minés et dont les valeurs numériques sont des données de
l'observation ; m, n, etc. ,étan tdes constantes àdétenniner,
indépendantes, d'ailleurs, les nues des autres.
Par d'autres observations, on aurait

»/■ + »,'...,

mr+n,:..,

Soient c, (^, c",..., les valeurs respectives de ces fonc-
tions, déduites de l'observation, et

les erreurs ou différences entre les résultats qui seraient
donnés par la fonction adoptée comme la plus probable,
et ceux donnés par l'observation. On aura

.'=„/■ + ,,■...-,■,

.- = „/•+ n,'...-,;

:,q,l,ZDdbyG00gIC

( 459 )

Or, si , dans la fonction , nous faisons varier successive-
ment chacun des coefficients m, n,p, etc., en laissant les
autres constants , nous remarquerons :

i". Que lorsque m variera , la fonction éprouvera une
variation proportionnelle à f pour l'erreur e , proportion-
nelle ày pour l'erreur e', proportionnelle kf pour l'er-
reur «", etc. -, ces (liiTérentes erreurs devront donc entrer
dans la formation de la moyenne avec des poids respectî-
. yement proportionnels à

/. /', /-.-...
et l'on aura la relation

A-i-/y-H/v... = o.

2". Que, pour n variable, on aura

fe-t- f'e' + f'e"... =0,

et ainsi de suite.

Ces équations, qui seront en nombre ^al aux con-i
stantes, serviront à les déterminer; on sait d'ailleurs
fju'eiles reviennent à la condition du minimum des cart-és
des erreurs.

Soit , en elTet ,

e* 4- c" -H e"' -t- . . . ,
la somme des carrés des erreurs. Différentiant, en faisant
varier successivement m, n, etc. , les conditions du mi-
nimum seront :

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 4.6a )

//n ' ' rfn ' '

On peut donc dire que la méthode des moindres carrés
revient en réalité au calcul élémentaire des moyennes
arithmèùques , en teuant compte, toutefois, du poids ■
relatif de chacune des observations.

DS M. HEEGHANN,
Membre de 1> Société niitioiiale de> Sciences et Arts de Lille.

(Extrait d'aae Lettre.)

En rendant compte de mon ouvrage de Trigonométrie,
vous dites (p. 35i) ne pas savoir si l'exactitude des Tables
a élé constatée. Or, j'ai fait, pour obtenir cette exacti-
tude, des dépenses considérables, dont il ne faut pas
juger par le profit que peut me donner le livre, qui n'a
d'ailleurs été tiré qu'à un très-petit nombre d'exem-
plaires. J'ai employé séparément plusieurs calculateurs,
de manière à contrûlci- une partie notable de leurs cal-
culs, les uns par tes autres. Un second contrôle, non
moins efficace, résultait de l'examen des différences,
opération qui a élé faite sur le manuscrit et répétée sur
les épreuves de rimprimerJc.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

SOLITION DE U QUESTION 247

P*B M. BUGKOT (J.),
tlève de l'École Polytechnique.

Résoudre l'^uation
(i) 3'=54*— 135.

Je remarque «jue 54^a-3*, et que i35:=5.3';
r^quatioQ est donr

3' = 2.3'* — 5.3'.
Je pose
■{a) x = 3-\-x;

et, divisant tout par 3', j'ai

3J' = a* — 5 = 2(3+^-) — 5 = 2j--+-i,
ou

. (l -1-2)'= 2J-+ l;

je développe le premier membre par la formule du bi-
nâmc, et il vient

-De ]a sorte, les deux racines ^ = o, _/ = i , sont mis
en évidence; et, se reportant à l'équation (a), on <
tire

x=3 et x=4,

racines qui vérifient l'équation (i).

Actuellement, ramenant l'équation (i) à U forme

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(46»)
je prends la dérivée

/'(;r)=3'log'3-54.
Pour que cette dérivée soit négative, il faut que Von ait

<]06'3'
in^alité qui sera vraie, à foniori, si l'on a
3' ^ — !■ ou 2T ;

log' 3= 1,0986122. . . <_ 2.
Or celle inégalité est évidemment satïiifaite par
,<3.
On voit de même que, pour x 4i on a>toujoars

/(») > »•

Donc la fonction est conslamment décroissante depuis
X ^ — eo jusqu'à x ^ 3 , et croissante depuis x^4
jusqu'à a:^-+-eo; et, conséquemment , l'équation n'a
pas de racines en dehors des limites 3 et 4-

En second lieu, il est évident que si une valeur de x
rend positif le binàme 3' log' 3 — 54 , toute valeur su-
périeure X -{- h \e rendra, à fortiori, positif. Donc,
quand la fonction y (x) , décroissante à partir de x = 3
et devenue négative, aura atteint son maximum, elle
croîtra constamment et d'une manière continue jusque
l'inBni. Donc elle ne pourra passer qu'une fois par zéro,
ce qui aura lieu pour x = 4, puisque f(4) =0. Ainsi
l'équation proposée admet les racines 3 et 4*61 n'en a pas
d'autres.

i.vGoogIc

(463)

TABLE DES MATIÈRES

PAB. ORDRE MÉTHODIQUE.

Auljse algjbrifu.

Kiporition de la méthode de M. Cauchx pour le calcul , par approii-
matioi» Buccessives certaines, des radnoa réelle* det éqiuUona
algébriques ; comment celte métfaode se réduit à celle de

Nenton, etc.; par M. l'abbe Moigno 14

Sur les résultàta de la substitution d'une suite de nombres équidis-
lants dans une fonction entière d'une seule variable; interpola-
tions, etc.; par M. JaUl Vieille (8

Sur le calcul des lo^rithmae ; par M. Aiel Tramon 71

Note sur lea tommes dai puissances semblables; par H. Mourgati.. 78
Démonstration que deni certaines équaliunt , l'une du quatrième et
l'autre du siûème degré , n'ont pas de racines réelles; par H. E,

Proahei 89

Résolution numérique des équations irindmea, d'après H. Gauêi;

par M. Terquem i65

Hétbodes pour trouver les valeurs' approehéos des raidnes réelles des

équation* algibriques ; par M. Fioberl 1 74

Sur les racines réelles des équations alGéhrjques; par H. TerfMn. . iBo
Sur un certain système d'équations du premier degré , d'après H. Ja-

coii (Crelle); par te nsâne 358

Sur nue certaine équation numérique du siiiâme degré; par

M. A.-1.-B, F. (méthode fiulan-Fiuu-ùr, modifiée) 37^

Exercices numérique* sur les équations du premier degré; loga-

rithmesdeM. Gausi 359

Exercices sur les équations niuiériquea. . .1 3Gâ

Logarithmes avec 37 décimales du module; par M. Koralek Î6^

Solution de la question 3^7 (équation exponentielle); par M. £■>-
g»ot 46l

JUiljse iilfleniife^ Arilkwit^e tl ArillBétifie.

Trouver combien il y a dénombres premiers k N, moindres qne N;

par M. A. GwTmm ïj

Solution de In question ao6; satisfaire par J« nombres rationnels

i.vGoogIc

( 464 }

aui équÉlions x'+f*— i =«', l'+j-' — i = u"; p«r M. Angelo

Cenocchi So

Noie sur 1d plus grand commun diviseur; par M. £. Lioitael ft5

Sur la racine cubique; par G.-ll. Nici>engtoi/.i 86

Limite de l'erreur danit la auhslitution de la moycDDe différeotiElle

de deux nombre! à leur luoïeanc proportiouiielle; par M. G.-J.

Dostor 88

Solution de la question i&l; sur des traiailleurB j par H. l'abbé

Jallien I^S ,

Solution de la qucslion 8^; produit de deux nombre où Ions les

cbiiTret, dans une colonne verticale, sont i-|;aux; par M. Ilenii. . , 1J7
Sur l 'approximation des calculs numériques par les décimales) par

M. Amiol a38

Solution de la question 33G; si z'-i- 3 tv' est un carré, x* + iv' e<t

la somme des doux rarrés; par M. A. Thiollicr 379

Solution de la question iV\ ; soit l'équaliun

b est un nombre positif; si les ir — 1 différences s, — d,, a, — <>,,

n, — a , a,^_, — 1,^ sont positives, lesn racines de l'équation

sontT«e1les,eto. {Ricbelol); par le me'mf 180

De la EDite médiane et des suites constantes qui tendent k se former

demies suites diatomîqiies; par M. dr Polïgnac 3nS

Théorèmes sur les équations algébriques 3&S

Des systèmes de chiffres en usage chez différents peuples , etc. ; par
M. le baron Alexandre ds Hamboldlj traduit de l'allemand , par
M. Waepclie 3-;i

Ciltot des prebabilitcs.

Note inr la méUiode des moindres carrés; par M. HoisardIP.) 45(î

DéterHiauls.

Note et applications géométriques ; par H. Teri/uem 1 14

Gisiétrie élcuiUire.

ABC étant un triangle circonscrit à un cercle; A', B', C' étant )ei
points de contact, on a l'inégalité A aire A' 11' C' < ABC; par

M. ffcorousian. lg}

Calcul de T aïM- 3oH di'cimal» 198

:,.;,l,ZDdbyG00gle

. ( 4«5 )

Soient une premiire sphère donnée et une seconde sphère pasunt
par le centre do la première sphère, U lane de cette secoade
iphère, inlerceplée par la première, a une aire constsale quel que
soit le rayon de la secODde sphère; par M. À. Thiollier jgi

Solution delà question a3o. Deux polygones qaelconqnes de an calés
sont équivalents qoaad leurs cètés ODt les mêmes milieiu (Prouhet) ;
parM.rabbë/BUieii 3,6

Solution de la qoealion a3 1 . La lurfaee d'un polygone de 3 a cdléa ne
change pas lorsque loua tes sommets de rang pair ou tous les som-
mets de rang impair décriient (dans la même direction) des
droites égales et parallèlài (Proubet); par U même Ihid.

Enteloppe d'une tangente commune à deux cercles Tsriablesj par
M. Ed. Terré-. 3^0

Notesijr le problème précédent; par E.C 344

Solution de la question 333. Relation entre l'aire , le rayon du cercle
inscrit, celui du cercle circonurilelles cdlés, etc.; parM. JtoacA^. 333

Géciétrie segieitain.

Théorie des systèmes de quatre points harmoniques; par H. l.~C-

Propriètéa des polygones ; par H, Terijutai loo

Théorème de Fontaine i par U. l'abbé LetoiMe igG

t". TUerème. Soit le triangle reotiligne ABC; abc une triniTCrsale
.coupant reapeetivemcnt BC , AC , AB en a,h, ti tneDoni les droites
As, B(, Ce. Soient a,, 6,, e, les intersections respectlYea des
droites Btel Ce, Ad et Ce, A a elB»; les droites Ce,, Bt,, As,
convergent renie même point, ■fi.Tkéarènte. Mêmes données et
mémos constructions; en outre, eirconscriTona une circonférence
«n triangle ABC; supposons que cette circonréreoce coupe Ad
en K, Bi en ;9, Ce en y; les trois droites sa,, /Si,, ye, eonrer-
gent lers le même point. 3°. Étant dounéa un cercle et un triangle
dnonscrit ABC ; prenant reupectiTemeut les points a , i , e sur les
côtés BC, AC, AB, tel) que les droites As, Bi, Ce conTs^ent
vert le même point. Soit s le point d'intersection de la seconde
tangente menée par a «Tac le cdté bc; /S le point dlntersection de
la seconde tangente menée par b ayec le cAté ne ; y, etc. ; les trois
points (t, ft, y sont en ligne droite; par H. Boriet {Atphonte). . . . jgi)

fthalUnt spWi^'

Relation entre les cdtés et l'eieèi d'un triai^le sphérique (solution

de la question Si); par H. AnnandBmt i%

Déduire des deux relations

Bin'fl = Bin(«-fl>in(^ — 6)iin(7 — 8), «+^-(-y = fl,
4>ii. d« MaAimai. , t. X. (Décembre iSSi .} 3o

:,.;,l,ZDdbyC00gle

( 4«6 1 ,

Pi€».
la «uivante ,

cal 6 =■ col a H- cot ,J -H cul / ;

par M. G«MW Marqfrox i^î

Bèele mnénioniqDe pour lei tTltngles iphêriqna rectangle* (OD U

doit h Néper ) i Rf

Le lien d'un point snr Ii sphère duquel meotot de» BTes langcnU à

deui petiu cercles donné!, le rapport des coiinns de cce are* éttot

donné, est un petit cercle; par M. Êitoari Devalf. )85

SurlalignogéodériqnesnrlBipliére; par H. Barbet, cheT d'ÎDïtit»'

lion ; <<5

Trigma^ et télrigoimétrie flues.

Déreloppement dei sommes ^^ «ia<i,, ^ ™*''a> P"' "'- ^''-

DtwulJ iSj

-Questions do trigonométrie, d'après M. Geasi 303

Gétiélrie demiptÎTi! et praljqic.

Eiéenlion des épure»; par M, Bardin îj

CoDconrs d'admission en i85o; questions i33

Représentation des angles polyèdres 17S

DiTision des angles bu moyeu d'un lieu géoméiriqne; par H. Joirpti-

Eimotâ Wagntr 497

Enseignement de la géonétrle detcrlptive 4^^

fiimétrit de l'ei^.

Théorème de H. Steiner sur te* aies rectangulaire* dans les sarfaœs
du second degré; par M. F, Hémeitt 119

Théorème sur la surface d'élasticité; par M. Sirebor 19;

SurlessnrraceeorlhogODalea; parM. £etr^^(<«lrune reetiflcation.
P*SEî7') ^

Note sur les section» circulaires dans les aurfaces du second defré;
par M. THW 3*4

Génération modulaire et ombilicale des aarTacea du second degré. . . H^

Ciliqin flancs.

Méthode Cbeiy ; discussion des conique* 1 a3

Cn octogone étant inscrit dans une conique, on peut considérer le*
cAtés pairs comme celés d'un quadrilatère, çl de même les ce lêi

:,.;,l,ZDdbyC00g[c

( 467 )

PagM.
impsirij or, ilent qutdrïlaUrta m eonp«lit en aeiu pointaj buil
il« G«i point* M>Dt anr la conique , loi bnitaulTM pointa hidI sur

nne féconde conique; par H. £. de SétUhn '. tyj

Tan^Dtei communes k nna ellipse flie et k un cercla Tariakla ; par
M. Gérono, rMactear 408

GJMcIrie 4a ligin ftues, ti gfiU.

Sar le nombre de points ranlUples dans une courba algdbriquej par
M. Ahel Tmibob 9,

Géonétrie de litiati».

Problème des ponli, pirEaler; traduit du laljn, par M. £■ Coa/ry.. . 106

Eiercicet numériques sur lu lii k Diet carré avec frottemenl 3^^

Solnlion de U queilion lOg. Th^arime, On peut réduire un Bjilème
de forces k trois forces, dnnt deux farmeat un conpie a^iunt
dans nu plan perpendieulaire k la troisième force; on peut aussi
réduire le système k deux forces ; la plus courle distance de cas
deux forces rencontre ■ Bagle droit la troisième force de la pre-
mière rédaction (Cbosles); par M. Jui^ 317

Détermiaer le mooTement d'un point matériel repoussé par un
centre fiie, en raison [nreree du carré de lu distaDce; par

H. Diiu (concours d'aerégalion , iS^i) 33o

De la courbe balistique; par Jacohi; traduit dn latin , par M. A... 336
Sur le inoutamBnt d'un corps solide autour d'un point Qie; par
M. Sarm, membre de l'Académie 4ig

Gilul au ditriiticcs; iwMtÏH.

Sur une formule ratalire an ealeal inverse des dirrérencea; par

H. E. Prouiet 186

Solution de la qoealion 196. Théorime tor la somme des puissances

des nombres natarel» (Jacobi); par M. E. Proukel igg

Solution générale de la question 78. Décompaaition d'un produit en

somme de pnlasance, etc. ; par M. Tar4r{P.) 3ig

SMution d'un problème sur U sommation d'une somme de pnls'

aancesid'aprtsH. J. T«*<r(Crelle) 3i4

T<ole sur la solution précédente; par H. E. Prouiet 3>S

3o.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

.Cilnl iiiiitériaal et f«Mti*iKl; siriu.

P'(

Déterminer la courbe dont un arc de longueur l ayant se* eitré-
mlléssur deai droites données, parallèln k l'aie de* x, «oit tel,
que le trapèze limité par cet arc, lea ordonnées de lea eitrénaïlà
et l'axe dea i, engendre aniolaine maximum en tournant autour
de cet aie ; par M. Dieu

Intégration de l'eipreuion diiTérenlielle

f^'

\-9)^y-

par M. n. Cfwumi

Intégration dea deui équationa dilTérentielles

'(£)■-

par M. /. DapaU, élève deTÉcolo normale jiX

QnstiHS.

QneaUons i3o k i37inclni iSi

Grand coneonn de 1 85i '. 3 iS

Concours d'agr^tion iSfi ISo

QueationaiSS h 14S inclus îbj

Qaeationa de géométrie deacripiiTe propoiéea au GODcoara d'admia-

aionk l'École Polytechnique, en 18S1 '. . 44g

QKStiiis réstlici.

Queallon 5a [Armiutd Hue) ji

Queation xo6 {Àngela Ginoeehl). .- '. 8a

Quation Î9 (l'abbé iullien ) 44

Question .83 (•) {l'abbé /«Hie«) ifS

Qneation 196 (E. Prouhel) 19S

QueaUoD a34 \a. TkioUitr) v^

Question a36 (A. Thiollier) I*ii

Qneatioil 198 (-4. Yachetit) Îi4

Question î3o (l'abbé /uI/i™) 3i6

(*) Ce problème est traité daoa VArilhmill^ae anivmfUe de Newton,
traduite parBeandeux, page 98 (1801).

:,.;,l,ZDdbyG00gle

( 469 }

Question i3i (l'abbé /ullini) 3i6

QuMtion 309 (luté) '. 317

Queition 78 {Tardr) % 3i9

■ Qaettion 333 (Boiafte) 353

QuMlion ^^ (/. Buffiet) , 461

Bibliigrifkie et Biignfhit.

Bceberclm lor le* droits «uccaHiradeseoEants niturels, par M. Louis

Cro», docteur en droit, «te. ; par M. E. Prauhel 37

Cheiï (Antoine) .' io5

JlCofai 133

Ni>lianidoniécuiique,elc., par M. H. Sonael'. t53

Mémoireii «ur la mécanique, par M. le cheralier Dabaal iX

Hémoirea de mathématiques, par M. OiAar Schlomilch iGi

Communications de Is Société dea InresUgafeun de la Nature Itid.

. Inatructioni pour le peuple ; cent traités liiit.

Cou«étémenUiradedea»[n; parM. ^. Etex Hid.

Dt re numfiuria ^Boad ^wi polaît, grometriee iraetaUj de Ceva

()■"■) • 84

Éléments de mécanique à l'usiBe dea candidata k l'Ecole Polytechni-
que, etc. ; par M. Catien, Ingénieur ordinaire des Minea. ...... 19^

Application de l'AnalTie ï la Géométrie, par Monge ; cinquième édit.,

renie, corrigée et annotée par M. Liouvitle, etc igS

Complément d'algèbre, etc., cinquième édition; par M. CAafuci. .. 181

ATaiUo/anli-losanihms.aU:., parmi. Uerjchelt et E. Filipowikl. 38G
Méthode nouielle pour calculer rapidement les logarithmea, etc.;

par M. Philippe KoraM jgjj

Note lithographiée sur la théorie des polairea réciproques; par

M. **ui*eim. ,. âge

Eléments d'arilbméllqae, oiposéa aansle aecoura da l'algèbre, etc.;

par M. Tanùtr; par M. Harant 3oi

Lefons sur le» applications praUquea de la géométrie et de la trigo-
nométrie; par MM. J.-i. Srrrer etCh. Bourgcaii, etc 347

Obserrations sur la résolution dea équaliona dn troisième degré, etc.,

par un mathématicien, Qoimpec' 3^9

Éludes sur la trigonométrie aphérique, etc.; par M. Hergmana 3So

CrandEvgeârr algeiraiiclien anaij'ii. etc- i par M. DicTiger 3^3

Instruction aur les règles à calcul, etc.; par M. Uon Lalaiinc, etc. . . 368
Notice historique sur le calcul des lariatioas; traduit del allemand

de M. Strauch 433

:,.;,l,ZDdbyC00gIe

(470)

DiKoan prononcé dans U ■éRoc«d'oitT«rtaTe da court de calcul Aet
probabilitéa. i la Faenlté des Science*, le 33 norembre iSSoj par
M. Loué. * I

Sur la programme d'idmistioD à l'École ipéeiale militaire, en iS5i. i39

Krù aux profeseeurs sur des exerctces de calcul i46

Discours proDoneé lors de la reprise du cours de calcul des proba-
bilités,» la Faculté deeSdene«t,lai6aïril iS5i) par M. Lmmé.
membre de l'instital 3i4

Examen d'admission li l'École forestière; Paris, iSSi 367

Note sur les noni<

Sur la mort de Jacobi..

Réclamation de M- Beigiiiaïai. .

:,.;,l,ZDdbyG00gIC

(47' )

TABLE DES NOMS

PAR ORDRE ALPHABÉTIQUE,
ns Jes Auleun d'arUcICB sont précédés d'uo aalcrîsquc. )

Pages.

ABADIE(J.-F.-C.-T.) 336

ABEL iiî

ACEURIA (BAtciw) 374

AMIOT -(Beujami!!) 138

AMPÈRE 317 M Mi

AHAGO, Hembre de l'Inditut 317

ARMDT i83

BABBAGE. , . a88

BABINET, Membre de llDiUtnt 317

BALARD, Membre de lliuUtat Ihid.

BARBET 4l5

'BARDIM, profesacurà r^lePoljiechalque 33, 378 et 45S

BEAUHONT (Élis di) t »i 7

BECQUEREL, Membre de l'ûutilut Ibid.

BEER (Michel) 349

BEER (GciLLAum) 37

BERNOULLI ( Jjcoiitt) 434

BEBNOULU (Je*») iOï, i85, 336, 434 et 435

BEHTHOLET , 117

BERTRAND (Joseph), mettre de conTéreaces à l'École Nonnde.

i5, .54 et ,gS

BERZEUUS 917

BESSEL-, m3

BEDDAKT 318

BIENAYMÉ 114, 331 et 134

BINET, Membre de llioUtat iGi , 116, 330 et 394

BIOT, Membre de l'inititul , 317

BLA>CHET 331

BONNET (Cbaujs) 317

BONNET (0»iii;<), profeewiir 19S

BORDA 440

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(47a)

IlORGSET, professeur i85

•BORIES(A.) ig8et 3oi

BOUQUET 1 85

BOULAINVILLERS 1(3

BOCRiWM 340

BOURGEOIS ( A. ) 347

BRAVAIS >i8

BRETON {M Cbà») loS

BWAKCHOH m at 3(5

BR10T, profeasear 87 a 180

BROCHAUT ii8

BRONGNIART lUd.

BROUGUAM ( Lord ) r]

BUAT (bh) i56 et 160

BUCH (d«) ii8

BUDAN i5 ol 383

BUFFON ite

•BUGWAL 3gS

BUGf(OT(J.} ^.... 46i

BURMANH 161

BUSBEY 187

CAILLET, eiamûtaUHi' d'hydrographie 184

CALET 395

GALLON, ingémeor des Mines 193, 193 et 194

CARNOT w

CASSinl 196

CATALAN ,- 344 et 4i3

CAUCHV, Membre de l'Institut, 14, i5, 16, 31, 161, i65, 319,

311,319, aSg.igî, »99, 333, 3M et 44S

CEVA (JiAN) iS4

CHAHPOLLION 37S

CHAPTAL 317

CUASLES, Membre de l'InsUtat 311, 317 et 406

CUEVREUL 317

CMEZy io3, 104, io5 et log

taJOQUET, profeueur 3»!

GIRODDE 3«i

CLAIRAUT 333

GLAPEIrItON 314

CLAUSBN (Thobas) 3S7 et 363

CLERC 34R

COMBES, Membre de i'IiBlilul 3i3

CORBIÈRE, le rainUtrc lUi.

CORDIER, Membre de l'ioatitut ... 3i8

CORIOLIS 194,13" et 43i

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(473)

COTES , . 99}

COCPy(E.), proreuenraiiCallJgedeUHiche 106

COCHNOT soS

COURTOIS 3 J9

DAHSE ig8

DALEMBERT 1116

DALTON ÏI7

DANIEL (la père) A ...■ iji

DAWY .' 317

DELAFOSSE 118

DELAMBRE i84 et mî

DELAUMAV, professeur 133 et 445

• DÊNlS ( J. ), réeent à Cherbonre ■. 1 47

DESARGUES 37

DESCARTES i5, i54, ai6 et »85

'DESHONS (Achille), élère iS4

DESPRETZ , Membre de nntUtut ï 1 7

*DEWULF(ÉDouj.u), edmia le dnqQ*nl«-deailème h l'Éoole P<x

Ijrlechnique i85

DIEMGER 35a et 353

*DIEU, profesnar 301 et 33a

DIOPHAHTE 196

DIRICHLET 310

DIRKSEM 445

DODSON(J*»ra) 3B7

*DOSTOR(G.-J.), professeur 73 et SB

DUFHEFJOY , Membre de ITnstitut a 1 8

DUHAMEL,. Membre de llnstitut. , aig

DUL0N6 117

DUMAS ai7

•DUPAlN(J,),éIè*e de l-Étolo Monnaie 4"8

DUPERREY ai8

DUPIN(CHÀU.m), Membre de nnstitat.... 41, 44, aao, 371 et 371

DUPUy (Lèow) sgG

EBELMEN ; , 318

EISEHMAWN-, 4l

ETEZ ( AnTOinE} l64

EULER 71, 106, lig, 316, 358, 419,437, 43s, 436, 437*1 436

FARADAY 317

FERMAT 37 et 3iS

FIHCK, profesMur 38S

FONTAIWE 439

FONTAINE ig6

FOUCAULT i56, 160 el i«i

FOUCAUT. .

^gtr

:,.;,l,ZDdbyG00gle

{474)

FOUHCÏ î;

FOURIQt i5, iS, 31 et 191

FRESNEL aiî el aij

GALIL^ 43Î

GjUICILASO M

GACSS... 35, 154, 165,169, '74, 175, 177. 180, 195, ai6,

170, m, 1S8, 393, 195, 3&9, 36i et 363

GAY-LUSSAC *. 117

GENOCCBI (Ai(oiLo),a>ocat ï Turin . 80

GEHGOMSE 397

GÉRONO , rédacl«uT 4"

GOLDBACH i83 et 358

GOSSELIN '1 ^3

GRAY . . 390

GROS(Locn), docteur eu droit 37, 38, 3o M 3i

GUA(de) .o4 et i3i

•GUlLMIN.profeMeur jS et îoi

GUNTHER iSi

HACHETTE 4i et 3»o

■HAILLECOURT , profetranT i84

HALLER 163

HAMILTON 119

HARRIOT (Tbomas) 386

HAUT 118

HEEGMANM 35o et 460

HÉMENT (FO,pn>fe»»ourkStr»sbouit[ ng et i8i

HERSCHEI.L(FiLii'Ows«i) 386 et 390

HESSE (Otto), professeur a Kranicsli»e ''4

HOPITAL ( marqnU de V ) 37

UORNER 353

*HOSSARI>, cher d'escadron d'éMt-m^or 45G

HUE (Au^hb), professeur d'hjdrosraphie ï ItajonDe «S

HULSE 39Î

HUMBOLDT (Aliiimre d«) 37, 3i8 et 373

IVORÏ. ■. iiG

JACOBI 99, 133, 19g, 331, 35e et 336

JACQUIER (Ig

JUBÉ 3.7

■JULLtEN( l'abbé) 1(4, ijfi al 3(6

JUSSIEU(de) .,..'. i63

KAEMPTZ. . . : 3iS

KEPLER 316 et 33o

KLAPROTH 37(

KORALEK(P,) =94, 3g5, agC ei 368

LACROrx , 35, 189. 4i5 et W

:,.;,l,ZDdbyC00gIe

( 475 )

Pages,

LAGBANGE i5, n3. iS^, 191. «6, aji, aSg, 43^ « 436

LALAMWE(LÉoii) 164 , 368 et 371

UHBBRT 16a

■LAME, Membre de VlDïtitut 1 et 3i4

LAPLACE 133, 154, 163, 196, 316, 3ig, 111, 964 et 45B

LAVERNÈDE ( Tdoku ) 13

■ LAVOISIER 117

•LEBESGDE 331 M »65

•LECOINTE{l'ibb*) 196

L&GEMDRE 133,336,339,311,444 et 4S8

LEIBKITZ 73, 107, 310, agi et 434

LISEUR 439

tE VERRIER , Membre de lllutitat 146, 3i3 et 365

LHUILLIER , de Geniie. . .'. 106

LIONNET ( E. ) 85

UOUTILLE, Membra de l'Institut ig5 , 119, 331 , 365 et 394

MACCULA6H.: 319

MAC-LAURIN 161 et 444

MALLEBRAMCHE 37

MALUS 31701 318

MANNEBT 143

■ MAHNHEIM 396

'MARQFOY (GroritvB), élive de l'École Polîiecbniqne i4i

M*THIESSEN"(F.-AO 389 et 390

MAUDUIT 1 84

■ MELLONl 317

MELZEL 193

MERSENNE 37

MICHAUD 184

MINDING 396

MITSCHERLICH 318

• MOIGHO ( l'ebW ) 14

MOIVRE 393

MONGE 34, 37, 4i, 43. 44. '33, iflï. igSet 330

MONTFAUCON , bénMictio 143

MORGAN ( OR ) ■. 39»

MORW, Membre de llnatltut 33Î

'HOURGUES,profeB«««r 78

MULLER (Otfbied) 374

■MIIREHT(J.) iB5

NAVIER 319, 331 e( 338

KEOPHYTAS 37Î

iVEUMAKN arg

•NEVROUZIAN 183 et 3i3

flEWTON. li, ig, jo, i3.?^.-,i, 10I, iifi. 117, aîo. -xîi. SJg el 431

i.vCoogIc

(476)

■N1EVENGL0SKI(G.-H.), JToreuenr 66, iSf M 434

OERSTEDT 117

OHM (Hibtim) 445 M H7

OLIVIER (TatofrOKi), profesMar 44

OSTROGRADSKY 448

PASCAL, père »7

PASCAL, Bla 17 et ^97

PASTEUR ai8

PAHW 3J7

PELL (J.) 086 M 187

PELOUZE, Membre do lluttilut )l^

PETIT IMA

*PIORERT (G.), Membre de l'IoBtiluI 174 et ii3

POINSOT 106, ig4, 3i6,Ui, 411, 419,430 el ^iS

POISSON ii3, 116, 119, 430, 4^3 43a et 4&8

■ P0L1GNAC (m) 3o8

PONCELET, Membre de rinsKtut 101, 101, 130, 3i3 et 3i4

POUILLET, Membre de rinalitut 317

PREVOST (C.) a 17

PRONY 104, io5 331

•PROUHET(e.), proteHcur. 31,89, '^> >Q3> '^'i iSi> >S<>, 198,

375, 3i6 et 338
PUISEUX, meltredeconférenceakl'ËcoIeDonnBle. igS, 410 et 433

RAMUS, de CopODhigue ■- 18Î

REECH 311

REGHAULT, Membre de llnstitut aiî "

RÉMUSAT, le BiuoloBUB 106

REVNAUD, eiaminateur i46 et 3oi

RICHELOT i83, 380 el 358

RITTER i4'

RI VE ( DE L*) 317

HOBERTS ( MiCBAEL ) ÎSî

ROLLE 1 5 et i8t

ROUART o3

ROLCHÉ sa

RCTHERFORD 19a

SACV (de], Membrederinslital 106 et «73

SA V ART 319

SAVABV 319 el »33

SAUSSURE (DK) i63 et 317

SCHLOMILCH (0»iA«) 61

SÉCILLOH { DB ) »9fi

SEIDeL-(L. ) 36.".

SEWARMOMT 318

SERRET, pTOfeMsur i9-'>. î»" «' ^^7

:,.;,l,ZDdbyC00gk'

{ 477 )

Page..

SIMPSON (Rohm) <n

SONNET (H.), lupeclenr d'Académla i53, 1^4 «t 978

SPiTZE» (Sibob) 366

STEINER '. 1 19, 184 Bt i85

STRAUCH 433

STREBOR [*) 197, 3i4 et 357

STURM, Membre de lluUlut. i4, i5, 53, 55, Sg, gi , iSi, ]58,

385, 35o, 354 et jiS

TARDYCP.) 319

TARNIEB 3ai , 3oi et îoî

TEHQUEM, rédacteur iS, 47, 73 et 8a

■TERRÉ (El.. ) 340

THACKER (A.) 3o4

THENARD, Membre d« Hnmtiliit 317

• THiOLLIER ( A. ) ^179

TitLOL îo4

*TRAHSOH (Ami.) 71,91 el 397

■VACHETTE 3i4

VANDERMONDE 119

TANN50N agg

VEGA 390 et igS

'VIEILLE (JcLW), maître de conrérencea k l'École Normale 48

VIÈTE..... 37

•VINCENT (A,-J,-B.), Membre de rinïUtnt 375 et 383

• VOLPICELLi iig

WAGNER ( J.-E. ) ï^

WAILIS 98e et 387

WANT2EL 35o

WARNER (W*L»«) :i86

• WOEPCKE, Z-jt

WOLASTOH ,,-j

WOLF, >eoToUire de la Société dei loTeatlgatenra de la Nature. ... t63

WORMSER(A.) i53

YOUNG { Tmhu) 373

ZACH 388

'/) Nom anagrainmarïqne.

:,.;,l,ZDdbyC00gIe

(478)

QUESTIONS NON RESOLUES
Dan» tes dixpremisravolwnet.

TOME i.

TOME Vli.

N".

47

133

39a
S.9

181
190
191

TOME II.

T98

6i

79

TOHE m.

48

199

TOME Tlll

Si

S4

TOME IX,

8?

TOHE IV.

Î76

138

9Î

>59

TOMEX.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

(479)

TOHE V. {Quatrième suppUmcnt.)
Pige 7, ligne 5 en dMcendant, atUeude 1,0079361, Usrt 1,0079368.
Page 7, ligae 6 en delcendalit , au liemde o,ooooaoi, llie* o,oooooo3i

Pie^ 7> lie»' ■< BD dMcendanl, au lieu <'' ( r ) 1 '''<■ (t)
' Page 7 , ligne 7 «n remoniant , a/ir^j méthode , ajoatri d'eitnoUon dm

TOMB VII. ( Troiiiême tuppUment.)

Page 177, ligne 10 en remonunl, an Veu ie j,liiet — ^^•
Page 17B, ligne 1 en deecendanl, 4« Jim de ~ii/, lUtt — ^hf,
Page 178 , ligne 3 en descendant , ers lieu de — /fh/, lltti — 1 b/.

TOHE IX. {Premier siqtpUmeM.)

Page 74 ■ ligne 1 ^ descendant , au lieu de par le produit , etc , liiei
par le quotient du plui simple mniliple ■ de ces dénoniinrteun par le
dënamlnateur eurreapondanl , on obtient, etc.

Page 110, dernière ligne, an lieu itc i ~ 3 , Utes '~3-

Page III, ligne 6 en descendant, au lieu dt (i" — 1 )"' " ', litet

Page I II, iTant-demière ligne, au lieu dt moyen , Uwi majeur-
Page iij, ligne 17 en deacendant, ou Utu de ta, lliet 3.
Page Ii4> ligne ig en descendant, oa lieu de Sa*^' , Uiet Sx*^'-

TOME X.

Page Si , ligne i5, au lieu de sont donc en mAqie temps pairs on im-
pair», liie* qui doivent tire en même tempe pain et impairi, «ont donc
Ions les deux pairs.
Page %i , ligne 7 en remonUnt, oa Ii>a de ftf', iitet 44'-
P*ge S3 , ligne* i et i , ou titu de f el f ', litet p et /?'.

:,.;,l,ZDdbyG00gle

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