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Full text of "Obras sobre mathematica do dr. F. Gomes Teixeira ... Publicadas por ordem do governo português"

OBRA.S 



MATHEMATICA 



OBRAS 



MATHEMATICA 



.ov 



Ç.OC 



Dr. F. Gomes Teixeira 

DIRECTOR DA ACADEMIA POLYTECHNICA DO PORTO, 
ANTIGO PROFESSOR NA UNIVERSIDADE DE COIMBRA, ETC. 



PUBLICA. DAS 



POR ORDEM DO GOVERNO PORTUGUÊS 



VOLUME PRIMKIRO 



-M 

-^m- 



COIMBRA 

Imprensa da Universiclticie 

1904 



4á' 



LXí 



G 



PREFACIO 



Em 8 de fev^ereiro de 1902 foi assignada por Sua Ex.* o Sr. Presidente do 
Conselho de Ministros e Ministro dos Negócios do Reino, Conselheiro Ernesto 
Rodolpho Hintze Ribeiro, uma portaria em que se diz o seguinte: 

«Sua Majestade El-Rei, a quem foi presente a proposta do Director Geral 
de Instrucção Publica para serem reunidos em volumes os trabalhos sobre Ma- 
thematica do Dr. Francisco Gomes Teixeira, lente cathedratico e director da 
Academia Polytechnica do Porto, que se acham dis^iersos em revistas nacionaes 
e estrangeiras: ha por bem determinar que se proceda a essa publicação.» 

Tendo pois de se proceder á publicação dos nossos trabalhos scientificos, 
por conta do Estado e debaixo da nossa direcção, em conformidade com o que 
determina esta portaria, julgámos conveniente fazer-lhes uma revisão, para cor- 
rigir erros que encontrássemos, esclarecer alguma passagem obscura e annotai- 
outras. 

Na disposição dos trabalhos não seguimos nem a ordem por que foram pela 
pi-imeira vez impressos, nem a ordem lógica dos assumptos a que se referem, 



porque isso demoraria a sua publicação, visto os mais antigos necessitarem de 
revisão mais cuidadosa. 

E-nos extremamente agradável exprimir neste logar o nosso reconheci- 
mento ao nobre Ministro (pie assignou a portaria, e ao illustre Director Geral 
de Instrucção Publica, Sr. Consellieiro Abel de Andrade, que lhe apresentou a 
respectiva proposta, pela alta honra que nos fizeram 



Porto, dezembro de 1903. 



F. Gomes Teixeira. 



SOBE O DESEIVOLl/liNTO OIS FONCCOtS EM SÉl 

Memoria premiada e publicada pela Real Academia de sciencias exactas, physicas e naturaes 

de Madrid 



(Memoi-ias de la Real Academia de ciências exactas, físicas e uaturales 
de Madrid, 1897, tomo XVm, parte I) 



INTRODUGÇAO 



Versa esta Memoi-ia sobre o assumpto do thema seguinte, proposto pela Academia Real 
das Sciencias de Madrid: 

uExposiciíín razonmhi y metódica de los desarrollos en serie de las funciones matemáticas. 
2\oría general de los mismos. Significación de Ias llamadas series diverr/entes. Investi rjación de 
una serie típica, de la citai, d ser posihle, se deriven como casos jjarticii lares las series de inayor 
importância y uso en análisis, como las de Taylor, Laf/range y cunlquieru otra análoga n. 

O desenvolvimento das funcções em série tem sido empregado pelos geómetras umas 
vezes com o fim de calcular os valores numéricos que tomam estas funcções para valores 
determinados das variáveis, outras vezes para estudar as propriedades das mesmas funcções. 
Quer se empreguem para um, quer para outro fim, é conveniente variar quanto possível a 
forma d'estes desenvolvimentos, já para obter séries mais rapidamente convergentes, quando 
se destinam ao primeiro fim, já porque lia propriedades que se manifestam nus desenvolvi- 
mentos de uma forma e ficam ocultas nos desenvolvimentos de outra forma. 

O problema geral do desenvolvimento das funcções em série consiste em procurar, dadas 
as funcções /(aj), 6i («), 02(a"l,..., as condições para que seja 

f{x) = Al 01 {x) -L A-2 6-2 (x) + . . . -1- A„ e „ (ir) + . . . , 

A), A-2... representando quantidades constantes, e determinar estas constantes. Na impos- 
sibilidade de resolver este problema com toda a generalidade, têem os geómetras considerado 
os casos particulares que, ou por sua simplicidade ou por sua importância nas applicações da 
Analyse á Geometria, á Mechanica e á Physica, têem merecido preferencia. Assim foi con- 
siderado o caso de ôi (op), Qí(x). . . representarem potencias inteiras de uma funcção, o caso 
de estas funcções serem os senos ou os cosenos de múltiplos successivos do arco rt-, o caso 
de estas funcções representarem potencias inteiras, positivas ou negativas, de muitos binómios 
da forma x — a, x — h. . ., etc. Cada uma destas questões exige bastante espaço para ser 
tratada de uma maneira completa; porisso aqui limitar-nos-hemos a tratar da primeira, isto é, 
do desenvolvimento das funcções em série ordenada segundo as potencias inteiras de uma 
funcçào dada. 

Princijiiando pelo caso mais simples, consideraremos primeiramente os desenvolvimentos 
ordenados segundo as potencias inteiras e positivas de uma variável independente, tanto no 



caso d'esta variável ser real como no caso de ser imaginaria, expondo os difterentes metliodos 
empregados pelos geómetras para resolver esta questão. Assim estudaremos primeiramente o 
metliodo, apresentado por J. Bernoulli e Taylor e completado por Lagrange e Cauchy, para 
o desenvolvimento das funcções de variáveis reaes; depois a extensão d'este methodo, esbo- 
çada por Cauchy e completada por Darboux, ao caso das funcções de variáveis imaginarias. 
Em seguida, continuando o estudo do desenvolvimento das funcções de variáveis imaginarias 
e considerando a questão n'um ponto de vista menos elementar, exporemos o methodo de 
Cauchy, fundado na theoria dos integraes curvilíneos, o methodo de Riemann, fundado na 
theoria das funcções harmónicas, e finalmente o methodo de Weierstrass, fundado na theoria 
das séries inteiras. Cada um d'estes methodos é o objecto principal de um dos primeiros 
cinco cajíitulos. 

O desenvolvimento das funcções em série ordenada segundo as potencias inteiras, positi- 
vas e negativas, é também considerado. A formula dada, para achar estes desenvolvimentos, 
por Laurent é demonstrada no capitulo terceiro pelo methodo de Cauchy e no capitulo quinto 
pelo methodo de AVeierstrass e Mittag-LefHer. A bella demonstração que jMittag-Leffler deu 
d'esta formula nas Acta Mathematka, foi apresentada pelo eminente geometra de uma ma- 
neira bastante resumida; aqui apresentamo-la com todos os desenvolvimentos necessários para 
ser facilmente comprehendida, modificando mesmo algumas passagens com o fim de a tornar 
mais elementar. 

No capitulo sexto demonstraremos a formula de Biirmann, que dá c desenvolvimento das 
funcções em série ordenada segundo as potencias inteiras e positivas de uma fuucção dada, 
e d'ella tiraremos a de Lagrange, que só differe d'aquella na notação. Em seguida faremos, 
nos números 61 e 62, uma applicaçào, que julgamos nova, da mesma formula ao desenvolvi- 
mento das funcções em série ordenada segundo as potencias de sen x e ;i demonstração de 
duas formulas devidas a Euler. Finalmente, para responder á ultima parte do programma 
proposto, daremos uma formula, que dá o desenvolvimento das funcções em série ordenada 
segundo as potencias inteiras, positivas e negativas, de uma funcção dada. Esta formula, que 
julgamos nova e que estudamos nos números 64 e 6õ, comprehende a de Biirmann, e por 
tanto a de Taylor e Lagrange, e ainda a de Laurent. 

Terminando estas considerações preleminares, devemos dizer que, na exposição dos as- 
sumptos, suppomos somente conhecidas do leitor a theoria algébrica das quantidades comple- 
xas, os principies geraes mais elementares da theoria das séries e os primeiros princípios do 
calculo differencial e do calculo integral. Porisso, antes de entrar em cada questão, apresen- 
tamos alguns estudos preleminares que certainente serão conhecidos ])or muitos dos leitores. 
Devemos ainda dizer que fazemos acompanhar cada assiun})to pelas indicações bibliographicas 
e históricas que nos pareceram convenientes. 



CAPITULO 1 



I^íísliitlo cia séi^io (le Tayloi* iio ca^so das riiiieoõos 
tle variáveis reacs 



1. As séries de forma mais simples que se podem empregar, para desenvolver as fun- 
cçòes, são as séries da forma 

Ao + A I (a; — a) + . • . + A,aa? — a)" -p . . . , 

onde a, Ao, Ai . . . representam quantidades constantes e x uma quantidade variável. Consi- 
deremos, pois, em primeiro logar estas séries, determinando as condições para que qualquer 
funcção dada f(x) seja susceptível de um tal desenvolvimento e procurando os meios para 
calcular os coefficientes Ao, Ai . . . Supporemos em primeiro lugar que a funcção /(a') é real, 
assim como as quantidades x e a. 

2. Gregory, nus sua. Exercifationes geometricae, publicadas em 1668, e Mercator, na sua 
Logarithmotechnia , publicada no mesmo anno, apresentaram os primeiros desenvolvimentos 
de funcções em série ordenada segundo as potencias da variável, dando o primeiro o desen- 
volvimento de arctang a, e o segundo o desenvolvimento de log (1 -\-x). Alguns annos depois 
Newton apresentou, nas suas cartas a Leibnitz de 13 e 24 de outubro de 1676, os desenvol- 
vimentos em série do binómio, do seno, do coseno e da exponencial. 

O primeiro geometra que deu, porém, uma formula assaz geral jiara o desenvolvimento 
das funcções em série, foi João Bernoulli, que publicou em 1694, nas Acta eruditorum, um 
artigo em que apresentou a formula seguinte (Veja-se Opera omnia, t. i, p. 125): 

f F {x) dx = xY{x) — ^x^ F' (íc) -I- ^ ^ ., «•■' F" (a;) - . . . , 



de que tez algumas applicai,'nes a funcções particulares, a qual elle tirou da identidade evi- 
dente 

F (o:) Jx = [F (a-) ^- a-F' {x)] dx - ^ [2.t F' {x) -f x^ F" {x)] dx 



-'\.2...{n- 



1.3 
1 



~ [3x2 Y" (X) + x-' F'" {X)] dx - . 



— [(H- l)£i-" -2 F '"-'^'(íc) M-u;»- ' F ("- ') (,x-)] dx 



-r — F <" - " U \ dx. 



integi-ando ambos os memhros, pondo v = rj:^ e determinando a constante arbitraria, intro- 
duzida pela integração, pela condição de ser nullo o integral /'F (a;) (/.i-, quando x = 0. 

Analysando esta demonstração, vê-se que a conclusão tirada pelo celebre geometra é de- 
masiadamente lata, e que o que se pode affirmar é que este desenvolvimento tem logar todas 
as vezes que a quantidade 



-J-^ — / x" - ' F (" - 1) (x) , 

1.2...[n-l)J ^^ 



tende para zero, quando n tende paia o infinito. Assim modificada, é esta demonstração ainda 
lioje empregada. 

3. A série de Bernoulli, que vimos de considerar, não está ordenada segundo as potencias 
da variável. O primeiro geometra que apresentou uma formula, que dá immediatamente o 
desenvolvimento das funcçnes em série ordenada segundo as potencias da variável, foi Taylor, 
que, no seu Methudus incrementoruni, publicado em 1715, deu para este fim a formula 

/(aH- /') =/(.^) + hf (x) + . . . + ^--^— /(») (;,.) + . . . , 

sem todavia fazer conliet^er as condições para que este desenvolvimento seja conver- 
gente. 

O methodo empregado ])or Taylor, jiara chegar a esta formula, c fundado na theoria das 
differenças finitas. Esboçado pelo seu auctor na obra t'itaila. foi depois desenvolvidamente 
exposto por iMder nas su,'is Instilntiaucs cfiJai/i dlfferentialis. Eis resumidamente em que con- 
siste. 

Sejam A^, A*//, A''/y . . . as ilillerenças da funcção y=f{x), correspondentes á diflerença 



conâtaiitõ \x da variável independente x. Teremos, como se vc por inducçào facil de com- 
pletar, 

f(x+ ^x)=f{x) + \f{x) = y~\y, 

f{x - 2 A^.') =f{x - A*) - Af{.r + Ax) = ^ -i- o Ay ^ A"^^, 



/{x^k\x) = y^kAi/^-^-^~^—A-i/~ rr>~.li~ — ^^^-••.. 

onde k representa um numero inteiro positivo, e onde o numero de termos que entram no 
segundo membro é igual a ^+1; e, pondo kAx = h^ 

/.N j- ,7, , 7 Ay /i(A— Aíc) A^y , 

Fazendo tender Ax para zero, ou k para o infinito, e atteiidendo ás egualdades 

,. Ay ,. f(x~Ax)—f{x) dy 

hm -T^ = hm •'— ^ — *' = --^, 

Ax- Ax dx ' 

lim^ = Iim W-±A^WM1 = H, AfM^I^, 
Ax' Ax- Ax dx^ 

"""A-v-s-'™ A.r3 ~'™ ~Ax^ ~ dx^' 



vem a formula pedida 



/(.+., =/(„+*f.4*.^ 



Esta demonstração é evidentemente viciosa. Tem, entre outros inconvenientes, o de se 
fundar em que o limite para que tende uma somma de parcellas é igual á somma dos limites 
para que tendem ^s parcellas, theorema que é verdadeiro quando as parcellas sfio em numero 
finito, mas que nem sempre tem logar quando, como no caso actual, o numero k -\ das 
parcellas tende para o infinito. 

A formula de Taylor nào diíFere essencialmente da formula de BernouUi, da qual resulta 
por uma mudança de notação. Mudando, com efteito, na formula de BernouUi primeiramente 
F(a;) em /'(A — a;), e depois x em li e h em x-rh, vem a formula de Taylor. Porisso Ber- 
nouUi, depois da publicação da obra de Taylor, reclamou para si a prioridade da descoberta 
da formula precedente. {Ojjera omnia, t. ii, p. 584). 



4. Maclauiin, iio seu Treatke of Fhixions, publicado em 1742, apresentou outra de- 
monstração da formula de Taylor. Admittindo que toda a funcçâo que tem derivadas de todas 
as ordens é susceptível de ser desenvolvida em série ordenada segundo as potencias de x: 

f{x) = Ao + Aix + A-2a;2 + . . . , 

determinou os coetficientes Ao, Aj, A-2. • . por meio das egualdades seguintes: 

/ (x) = Al + 2 Aaa: -^ 3 Asa;* + • ■ • , 
f"(x) = 2Ai + 2.3A3X + ..., 



que duo 



Ao=/(0), A,=/'(0), A2 = 4-/"(0),--- 



Achou assim a formula 

f{x) ^ /(O) + xf (0) + ^ a-V" (0) + . . . 

ainda hoje conhecida pelo nome de formula de Madaurin. 

Da formula de Taylor passa-se para esta pondo primeiramente a3 = e depois mudando 
h em X. D'esta passa-se para a de Taylor mudando primeiramente /(x) em/(a; + A) e depois 
trocando /; por a". 

A demonstração que precede tem, entre outros inconvenientes, o de nella se suppôr esta- 
belecida antecipadamente a possibilidade de a funcção ser desenvolvida em série ordenada 
segundo as potencias inteiras e positivas da variável. 

5. O inconveniente que vimos de notar na demonstração de Maclaurin tem-o também a 
demonstração que Lagrange deu da formula de Taylor n"uma memoria apresentada em 1772 
á Academia de Sciencias de Berlin (Omvres, t. iii, p. 441). Parte, com efteito, da igualdade 

f{x + h) =/(,,■) + M + B/í2 + Cli^ + . . . , 

A, B, C,. . . representando funcçòes de x (jue pretende determinar; e, para isso, muda neste 
desenvolvimento a; em a,- + Z e li em h~l, o que o leva a dois desenvolvimentos, que devem 
ser idênticos, e que dão, pelo methodo dos coefficientes indeterminados, as quantidades B, C, . . . 

Acha (1'este modo que, pondo por definição A=f'{x), vem B = -^ /"(»■), C = jj—^/'" (./■), fto. 

Foi })oréni este grande geometra o primeiro que reconheceu o papel fundamental da for- 
nnila de Taylor na analyse, e o (jue deu os ]u-imeiros passos para o estudo das condições 



para o desenvolvimento das funeçues pela série de Taylor, apresentando na sua Théorie des 
fonctions analytiques, publicada em 1797, a formula seguinte: 

(1) /(»,■+ h) =f{x) -^hf(x) + ... + ___^1~ !__/(» - O (^) -f R,., 

onde é 

(2) ^'■=t:Í::„-^'"'^^+^'')' 

G representando uma íuncção desfonhecida de «, cujo valor está comprehendido entre O e 1. 
Quando R„ tende para O, para ?i = co, a formula de Taylor tem logar; no caso contrario nào 
tem logar. 

6. Para demonstrar a formula anterior apresentou Lagrange dois methodos, dos quaes 
vamos dar uma ideia suceinta, empregando, para simplificar a exposição do primeiro, as no- 
tações do calculo integral. 

O primeiro methodo foi publicado na Théorie des fonctions analytiques {Oeuvres, t. ix, 
p. 69). 

Pondo 



y (a; + h) =f(x J- h - hz) + hzf (a- + A - hz) 

•(«-ir 



+ ^/" (x + k-hz) + ...+ 1 ^ ^X-D -^'" - " («^ + 'i - ^2) + Ã-P, 



esta igualdade determina uma funcção P de x e z, que é nulla quando z = 0. 
Derivando os seus dois membros relativamente a z, vem 



A"z'' - ' 
Ãn—1) 

o que dá 



^=-iT277:i.--rr^-+^-^^'+^"i^'' 



P=^-^-^-^^z"-./'"'í--A-Az)cZz. 

Pondo agora 2=1, obtem-se a formula (1) com a seguinte expressão do resto R„: 

R„ = Fh" = - ^, ^" / z" - •/(") (.« + h-hz) dz. 

Temos assim uma expressão do resto da série de Taylor por meio de um integral definido. 
B 



10 



Para d'esta expressão de R„ tirar a formula (2), demonstrou Lagrange um tlieorema que 
coinc-ide no fundo com um caso particular do theorema hoje conhecido pelo nome de primeiro 
theorema dos valores médios dos integraes definidos. Applicando-o ao integral que entra na 
expressão de K„, suppondo para isso que a funcção /!"' (a; -p A — hz) é continua no intervallo 
de z = a z = 1 , vem 



■ '/"" (a- -r /í — /«.) dz = — /(") (x + h — Q'h), 



6' representando unia quantidade comprehendida entre O e 1. Pondo agora 1—6=6, temos 
finalmente 

se a funcçâo /'"> («) fôr continua no intervallo (x^x-^Ji). 

7. A segunda demonstração dada por Lagrange das formulas (1) e (2) foi publicada nas 
suas Leçons sur le calcul des fonctions (Oeuvres, t. X, p. 85). Esta demonstração, mais sim- 
ples e directa do que a anterior, é fundada no theorema de Calculo differencial, segundo o 
qual as funcções crescem com as variáveis, quando as suas derivadas de primeira ordem são 
positivas, e decrescem, quando estas derivadas são negativas. 

Consideremos a série de expressões 

/(")(,,H-A')-L, 

/(" - 2) (x J- h') -/<" - 2) (x) -/!« - » (x) ''' - L Z*-^' 



/(. -i- A') -/(.)-/(.•)/.'-...-/'"-(.. ^^^';^^-L^^-- 



Todas estas expressões são nullas quando é /;' = O (exceptuando a primeira, que é egual a 
zero ou differente de zero, segundo o valor que se dá a L), e cada uma d'ellas é a derivada 
da seguinte relativamente a /*'; applicando, pois, o tlieorema que vimos de recordar, vê-se 
que, se a primeira tiver um signal constante quando /*' varia desde O até A, todas as outras 
têm este mesmo signal, quando /; é positivo, e o signal contrario, quando h ó negativo. 
Representando, pois, j)or iM e N o maior e o menor dos valores que toma /'"' (cc + /í') quando 



11 



li! varia desde O até h, e dando a L os valores M e N, temos as desigualdades 

/(-+^)-/(-'-V'(-)-----i:2:^^iy/'''-''w<ir'„' 
/,.^A) -/(.)- .f(.)-. . -o:^9^/'"-"(-)>y|^, 

quando h é positivo, e as desigualdades contrarias, quando h é negativo. 
Em ambos os casos, tira-se d'estas desigualdades a igualdade seguinte: 

K representando uma quantidade nem superior a M, nem inferior a N. 

Suppondo agora que a funcçFio /'"' fa') é continua no intervallo de ./■ a x-^Ii, deve existir 
um numero Xi, comprehendido entre ./■ e x-\-h, tal que esta funcçào tome o valor K quando 
x = xi (*). Como a este numero se pode dar a forma ir^-(jh, 9 representando uma quantidade 
comprehendida entre O e 1, temos 

K=/(")(a-^e/0. 
Substituindo este valor de K na formula anterior vêem as formulas (1) e (2). 

8. Cauchy no tomo I, pagina 29, dos seus Exerciceu de Mathématiques, publicados em 
1826 (Oeuvrfs, t. vi da 2.^ série), deu uma nova demonstração das formulas (1) e (2), e par- 
tindo de um caso particular d'estas formulas, apresentou em seguida uma nova expressão do 
resto R„, mais própria para o estudo do desenvolvimento em série de algumas funcções. 

Applicando, com effeito, á funcçào de z 

1 W -/(« + *) - /(2) - (» + 4 - z)f (2) 

- i (. + '. - 'T-r w - • - S^^/" - w 

a formula 

9 (x + Ã) = 9 (x) -f hri,' (x + 6/i), 



( ') Este principio, considenido por Lagi-ange como evidente, foi mais tarde demonstrado por Cancliy no 
Bcu Cours ã'Analyse. 



12 



(lue resulta das formulas (1) e (2) pomlo nellas ii=l, e attendenclo á igualdade 






obtém a formula de Taylor 



(1) f{x + h) =/H H- /'/' k) + . ■ . + i.2/!\«-l/ '" " " (*-^ ' ^"' 

com a expressão do resto 



\n-l 



* •' " 1 . 2 . . . (?i — J ) -^ ^ ^ 

9. A expressão do resto, que vimos de achar, foi objecto de uma observação interes- 
sante de Pringslieim {Mathematiache Annalen, t. XLiv). Mostrou, com effeito, este geometra 
(jue, apesar de 6 ser funcção de n, é condição necessária para que a série que resulta de (1) 
pondo n=ca convirja para a funcção /(.r), que esta expressão de R„, considerada como 
funcção de duas variáveis independentes 6 e n, tenda para O, quando n tende para o infinito 
e 6 varia entre O e 1. (Jonclue-se d'aqui que o conhecimento da funcção 6 nada adiantaria a 
resolução do problema que tem por fim desenvolver /(>) em série. A demonstração d'este 
theorema, que não será dada aqui, pode ver-se no trabalho de Pringslieim já citado e n'uma 
nota de E. Pascal, publicada na Rivista di Matemática (Roma, 1895). 

10. As expressões do resto da séiúe de Taylor devidas a Lagrange e Cauchy são casos 
particulares de uma expressão muito geral, dada por Schlijmilch primeiramente no seu Hand- 
huch der Differentialrechnun(j, publicado em 1847-1848, e em seguida n'um artigo publicado 
no Journal de LlouviUe (2.* série, t. iii), que obteve por meio da igualdade, devida a Cauchy, 

ijí' (x) representando uma funcção que não seja nuUa no intervallo de ■<■ a rr-i-h. 
Applicando, com erteito, esta igualdade á funcção, considerada no n." 8, 

9 {>', =f{x ~ h ) -f{z] - {X + h - z)f iz) 



13 



vem o resultado 

(1) /(.r + h) =f(x) ^ hf (a.) +...+ - ^ ^ ^"~'^_ ^^ /(- - O (a-) + R„ , 

(2") K - ^r'^'~'^7' • -^-^^7^/"" (- - e/O. 



Pondo 



vem para R,i a expressão 



']^{z) = [x^h — z)i', 



a qual, sem ter tido outros usos que não tenham as formulas de Lagrange e Cauchy, tem 
todavia a vantagem de as conter a ambas, correspondendo uma a. ]) = n e a outra a p = 1 . 

A formula (2'") foi também obtida por Roehe, partindo da expressão de R„ por meio de 
um integral definido, anteriormente achada (n.° G), [Journal de Liouville, 2.^ série, t. lii). 

Applicando, com efFeito, a este integral o primeiro theorema dos valores médios dos inte- 
fjraes definidos, vem 

onde 6' representa uma quantidade comprehendida entre O e 1. Pondo agora 6=1 — 6, 
obtem-se a formula (2'"). 

11. Nas demonstrações das formulas (1) e (2), dadas por Lagrange, suppoz-se que a 
funcção /'"'(j') é continua no intervallo de x a x^h. A mesma liypothese se é obrigado a 
fazer na demonstração das formulas (1) e (2'"), dada no numero anterior, quando se adopta, 
para estabelecer a igualdade (;)), a demonstração que deu Cauchy desta formula, pois que 
nella o illustre geometra suppõe que 9' (z) e i' (z) são funcções continuas ile z no intervallo 
de X a x--h. O. Bonnet porém, dando uma nova demonstração da igualdade (o), que vamos 
expor, a qual si) exige que as funcções '!>' (z) e '}' (2) sejam ^íMiVas e diderminadas no intervallo 
considerado, permittiu que se estendessem as formulas (1) e (2'") ao caso de/"'>(z) ser des- 
continua, se todavia fôr Jinita e determinada no intervallo (j-, x ■h). 

Seja Fiz) uma funcção (pie admitte uma derivada F'(z) finita e determinada, no inter- 
vallo de z = a a z = a ; //, e (pie ó nulla nos extremos d'este intervallo. Quando z varia 
desde a até a- h, a funcção Kizi deve principiar por crescer (em valor absoluto), para de- 



14 



poib dfCTescer; porisso e por ser continua, deve, no intervallo considerado, passar por um 
máximo uu por um mínimo negativo ('). Deve, pois, existir um numero a-i tal qual seja 
F(z) = 0, quando z = xi, e a este numero, que deve estar compreliendido entre x e x-j h, 
pode dar-se a forma ai = x~ 6h (onde O < 6 < 1). 

O theorenia que vimos de demonstrar é conhecido pelo nome de theorcma de Rolle, por 
ter sido dado por este geometra para o caso particular das funcções inteiras. Para tirar d'elle 
a formula (í)) basta pôr 

F(.. = ,(.)-?(.)-[^(.)-^(e)]j|fJ|i^. 
A funcyào F(2) é nulla nos pontos z = .r e z — x — 1r^ logo temos a igualdade 

da qual se tira a formula (3), quando '!^' (z) é difterente de O no intervallo « = »■ a z^x — li. 

12. Mu-se nos dois números anteriores que a formula de Taylor, com a expressão do 
resto dada por SchlomilcL, pode ser deduzida do theorema de llolle por intermédio da for- 
mula (3). Homersham Cox, n'um artigo publicado no t. VI do Cambridge and Dublin Mathe- 
matical Journ(d, tirou-a directamente d'este theorema, applicando-o á funcçào 

F {^) = -f{x + h) ^f{Z) + (x + h - z)f {z) 
que é nulla quando z = x e quando z = a'-;^. Temos, com etleito, a equação 



/(a.. + ^)-/(x)- . . .---^^^l^^/("- ')(a-)], 



da qual se tiram, pondo a-j =a,'-}- 6/?, as formulas (1) e (2"'). 



(') A existência d'este iim.xiiiio ou iiiiiiimo negativo, que O. Bonnct considerava evidente, foi rigorosa- 
mente denioiistnida por W(úer8trass. (Voja-se, por exemplo, o t. i do nosso Cursa <lc Anahjse). 



15 



É conveniente observar que a express<ão de Fizi, de que se partiu, é a que resulta de 
substituir na expressão de F(z), dada no numero anterior, ^(z) pela expressão dada no nu- 
mero 10 e 'li{z) por (x-{'h — r)P. Logo o methodo que vimos de expor coincide no fundo com 
o methodo dado nos números 10 e 11. 

13. Fundados nos mesmos principies podemos dar uma formula muito geral, que contém 
a formula de Tajlor (')• 

Para isso appliquemos a igualdade 

9 (a; + h) = -j (.c) -L 7,3' (.y -^ e^) 
á funeção 

- [ F (o.) + hF' (.,') + . . . + ^ ^' ^ Fi') (,r) 

_F(z)-(. + A-.)F'(z)-...-|';jA^^F.«-.)(., 



F{x + h)-F H - hF' (a-) - ... - -^^-^—-f. F"') (,i-) 
Teremos, suppondo n^l-\-l em^^/c+l e eflfeetuando alguns cálculos simples, a igualdade 

f{x + h) -f(x) - hf {,■) - ... - -j^^f" (■^•) 



F(x + h}-F (x) - AF' (.«) - • • • - ^- ^^'y^- F") (a-) 

i.2...(;+i) ■' y'')-^----^ 1.2. ..(„-i) -^ __'_ _ 

1.2...(^+1) ^ '^ ^ l.->...{m-\) l'^i ■ '^^"' 



(') Gomes Teixeira: iSiir wie formule d' Aii.alijsf. {yoni:elles Aiinatos rle Mit/lirmafiijaes. '.i.' série, t. v). 



16 



onde 



''-ífeS-/'-''-»"- 



(n-l) 
1 . 2 . . . (ni — 1 ) 

se o denominador do segundo membro d'esta igualdade se conservar differente do zero quando 
6 varia entre O e 1. 
Pondo nesta formula 

F(.r) = /i'", k.^vi — 1, Í=M — 1, 
F'"' '{x)=1.2...m, Fi '") {X -L ô/i) = 1 . 2 . . . m, 

oLtem-se a formula de Taylor com uma expressão do resto que coincide com a que resulta 
da formula de Schlõmilch (2'") dando aj> um valor inteiro positivo qualquer. 

14. Se a funcçào /'"' («) fôr continua no ponto ,r, temos 

e representando uma quantidade que tende para O quando h tende para 0. Podemos porisso, 
substituindo este valor de /'"'(»; + 0ã) na expressão do resto dada por Lagrange, escrever a 
formula de Taylor do modo seguinte: 

f{x + h) =f{,-) 4- hf {x)+...+ j;^*^ /<"' (■r) + ^J'' ^ '.. 

Esta formula tem mesmo logar, como mostrou Peano, n'um artigo publicado no t. ix do 
MathesiSf quando _f' ") (2;) não é continua no ponto a', se todavia é n'este ponto finita e determi- 
nada. Esta extensão da formula anterior pode ser tirada muito simplesmente da formula de- 
monstrada no numero 13, como vamos ver. 

Mudemos para isso na referida formula ?)í e n em n — 1, e ponha-se depois :í' = 0, 
l = n — 2, k = n — 2. Teremos 

/.A)-/(o)-¥(O)---^ .,;^;;;_,^ .f--'(0) ^ ^^^^^^ 

F {h) - F (0) - hW (0) -. . . , /"~^ ^^ F'" - 2' (0) ^'" ~ '' ^^^^ 

1 . 2 . . . ( /i — 2) 



17 



Appliquemos agora esta igualdade ás fiinecões 

/(/') = ? (•'• + h) - ', (..) - /r/ (._■) - ... - -y;^^ ?"" (■>-\ 



1.2. ..n 



Como é 



/iO) = 0, /'(0) = 0, ..., /"--^)(0) = 0, 

/'« - í) ih) = o'« - i> {X -h)- cp'" - 1) (>■) - /ís'"i (*), 

FiO) = 0, F'(0) = 0, ..., F'"--^|(0) = 0, F"-''(70 = ^, 






1.2...n [ 6Ã 

Jlas, em virtude da definição de derivada, temos 

çf -»' (a- -L6Ã)-a>"' -■>(«) , ,, , , 

^^ ÕT^ = 'í'"' í-^-) ^ - 

onde £ representa uma quantidade intinitamente pequena com h. 
Logo temos a igualdade 

cp (o; - A) - ? («) - h'^ (x) -. . ■- ^ .2... n ^"" ^'"'^ ^ ItÍt;. n ' 

da qual se tira a formula pedida mudando ç em /'. 

15. Temos até aqui considerado o desenvolvimento de/(,í' — /íJ segumlii as potencias de 
li. Para achar agora o desenvolvimento de /(r/) segundo as potencias de .r — íí, basta des- 
envolver /(a -■- /i) segundo as potencias de h e substituir depois li por.'— a. I)'este modo 
tiram-se das formulas (1) e (2"'j as seguintes: 

das quaes se tira o desenvolvimento de /'(■'') •5'" **"^''"^ ordenada segundo as potencias de 
a-— a, quando, >? tendendo para x. 1\„ tende para O. 
C 



18 



IO- Teriuinareiíios o (jue temos a dizer sobre a série de Taylor, no caso das variáveis 
reaes, expondo uma observação importante, devida a Caiichy. Fez notar este grande geo- 
metra, nas suas Leçons de Calcul différentiel, que, sendo uma funcção desenvolvida pela for- 
mula de Taylor, pode obter-se um resultado convergente e todavia este desenvolvimento nâo 
representar a funcção que lhe deu origem. Para dar um exemplo d'este facto apresenta a 

1 
fuucçào e -r e "^ qiit'; sendo-lhe applicada aquella formula, dá o resultado convergente 



1.2.3 



I 

que todavia tende para e e nào para e ' - e, ' . Só quando o resto de uma série, 

obtida pela formula de Taylor, tender para O, quando n tender para cc, é que podemos aflir- 
mar que a série tem para somma a funcção que lhe deu origem. 

Os geómetras que primeiro empregaram a série de Taylor não faziam esta discussão do 
resto, nem mesmo attendiam, na maior parte das vezes, á questão da convergência das séries 
que empregavam. Muitos resultados verdadeiros foram mesmo obtidos pela série de Taylor 
em circumstancias em que esta série era divergente. Não nos occuparemos aqui dos motivos 
d'esta coincidência e só notaremos que, em muitos casos, o emprego que faziam da série de 
Taylor equivalia ao emprego da formula 

y'(,, + /,) =y(,^) + /,// (.,) +. . .+ __^^^_y(«) (,,) + _ _^A"^^_ , 

em questões em que não era necessário conhecer t. 

1". Por meio da f irmula de Taylor, com as expressijes do resto dadas por Lagrange e 
(,'auchy, tem-se achado o desenvolvimento em série de algumas funcções importantes. A 
difficuldado que se encontra porém geralmente em verificar se o resto lí„ tende ou não para 
", (piando n tende para o intinito, limitaria consideravelmente o uso da série de Taylor, se 
Cauchy, fundando-se em inethodos de natureza mais elevada, não tivesse dado o meio de 
evitar esta discussão, tirando a possibilidade do desenvolvimento da considei'ação inimediata 
da funcção. Vamos deduzir o theorema celebre que deu jiara este Hm, empregando para isso 
primeiramente o methodo por elle seguido, depois o metliodo proposto por Riemann, e final- 
mente o methodo empregado por Weierstrass. Porém, antes d'isso, vamos, conservando-nos 
ainda no ponto de vista elementar, estender ao caso das funcções de variáveis complexas o 
theorema de Taylor e as expressões do resto obtidas neste capitulo. 



CAPITULO II 



ICstiulo (111 foi-iiiiiUi <l<3 'l'a>-loi- lio «-a^io «la?< íiiiieoõos 
<lo vax"iaveis eoniploxas». AIotlio<lo oloiiioiilar 



IS. A extensão da formula de Taylor ao caso das funcções de variáveis complexas foi 
feita peia primeira vez por Cauchy, já por um processo elementar, que aqui vamos expor, 
já por um processo de natureza superior, que será exposto no capitulo seguinte. O processo 
elementar, a que vimos de nos referir, foi publicado pelo celebre geometra nas suas Leçons 
dtí Cnlcul difftrenikl, publicadas em 1829. 

Seja 

F(a;) = F(fe""i = 9(p)-fí4;(f) 

uma funcção da variável complexa 

x = c (cos 6) —- i sen m) = :e'"', 

e supponhamos que x, quando varia, percorre uma recta que passa peia origem das coorde- 
nadas e faz um angulo m com o eixo das abscissas e que F(a') admitte as derivadas F' (*■),. . ., 
F'"'(a'), finitas e determinadas. Teremos, derivando Y{x)n vezes relativamente a p, 

e""" F<") {x) = 0)"') (p) -- ;•!>(") ip). 

.Supponhamos agora que -^ (p), '^ íp) e as derivadas d'estas funcçòes até ;1 ordem n — 1 são 
nnllas quando p = <'. As formulas (1) e (2') do numero 1<> mostram (jue é, nVste caso, 



? ^P) = /iy^ -^^T -"- ?"" (6í ?)' *'^ < ôK 1 ) 

^ ^ 1.2.. .{n — \}p ' ^ »" 



20 



Vem portanto 

F (x) = - , ~ Ç ,-— r(l _ 6, )" - 1' 9'") (6, p) -i- / (1 - 6, )» - '' ■}'") (0-, ç )]. 

Applicamlú agora esta formula ;i fiine-yào 

F (X) =f(x) - [/( O . -L a/' (0) 4- ... + Y.r/^'^^f" ~ " ^^ 'J' 

que é nuUa assim como as suas derivadas até á ordem 'ii — 1, quando ; = <•. vem a formula 
pedida: 

(1) /(,,., ^/,o) 4- ..f (0) + . . --^ i.orf.^J^i:, /'" " *' (*J^ ^ ^'"' 

(2) K,7= ^rn — r n^ 'd - ôiV -/'(p<") (ój p) + i (1 -0-,)" -^-^c" (6-, p)]. 

1 .2. . .(« 1)J5 " > ^ 

Caucliy punha jj=l, mas, como se vê, o seu metliodo é applicavel qualquer que seja j>. 

19. A expressão de R„, que vimos de achar, pode dar-se uma forma mais própria para 
a sua applicação ao desenvolvimento das funcções em série. Para isso, hasta notar que, por 

ser F'"' (íf) =/<"' (íf ), temos, representando por ,í'i e £r-> os valores de ;»• cujos módulos são 
6i p e 62 p, 

a-'/(") (xi) = p" e'"'" Fl") (.Cl) =p" [9"') (61 p) 4- i'Y"' (0, p)], 
»■"/") (xi) = p" e""" F("> (*-2) =^p" [?"" (0-2 p) -f í 'l'»' (02 p)]. 

Podemos, pois, escrever a expressão de li„ da maneira seguinte: 

j 

re]iresentan(lo por li ] x"f'"H:ri i J a ]iarte real de .r" f^"' (,c|| e por J J .r" fi'>' {.n) [ o coefHrieiíte ' 

de / na partf imaginaria de ;f"_/'"" (./'-i). 



21 

Como porém a'i e oc-i representam pontos da recta que passa pela origL-m das coorde- 
nadas e faz o angulo o c-oni o eixo das aLscissas, temos 

,T1 = 6| p e'"' = 61 .'■, a'i = 6i p c'"' = O2 j;. 
Logo podemos dar á expressão de R„ a forma 

(2') ' V . u 

Esta formula foi empregada por ilansion, n'uma memoria publicada nos Annaki de la 
isociété scientijiqiic de Bru-relíes (t. ix, 1885), para achar o desenvolvimento em série das 
funcções elementares e^, (l-l-a-)'", log(l -píi")) ^^'^■ 

20. Mudando /(A') em /(ic-j-//), e trocando /; por a-, pode dar-se ás formulas (li e (2') 
a forma 

/(.. + h) =/(a-) 4- hf (x)^...+ i.2.^.'7«- Tr-^'"' " " ^"'^ ~' ^^"' 



R„ = ; Ul- 6, )« -i'R\ h"f"i {X ^ e, h) I 

1.^. . .{n—\)n 



:(i _e.,"-fj ; h"f^»Ux+%iii) \ \. 



21. ís'uma memoria importante, publicada em ISTO no Journal de Limii-ille (t. Ii da 
3.* série), apresentou Darboux uma expressão do resto da série de Taylor, no caso das fun- 
cções de variáveis complexas, mais simples do que a precedente e que é a verdadeira ex- 
tensão das formulas dadas 110 capitulo anterior. 

Para achar esta expressão fundou-se o eminente geometra no seguinte lemma geomé- 
trico: 

Se um ponto IVf descreve unia recta A]>, variando sempre no mesmo sentido, e se um 
ponto m está ligado com j\l de mudo que, quando JI descreve esta recta, o ponto m descreve 

a curva «c6, existe pelo menos uma posição dVstes pontos onde a rasão - - da diftereniMal 

do compriniiMilo dos arcos da curva para a ditíerencial do conqjrimento dos segmentos da 

recta é igual uii maior do que -, ,t-- 



22 



Se tosse, ooni efteito, para todas as posições dos pontos considerados 

ãs ah 

teriamos, representando por cri e <Jí os valores que toma cr nos pontos A e B, 



{"■^cls ^ ah 



r<T-2 



e portanto 

are ach < ah, 
o que é absurdo. 

22. Posto isto, Sejam 

'^{z) = X + iY, 6(z) = X>.^iYi 

duas funoçnes de uma variável complexa z, continuas em todos os pontos de uma recta que 
une o ponto correspondente a u- ao ponto correspondente a x-^-7i, e supponhanu>s que, quando 
2 percorre esta recta, Xj-j-A'] percorre também a recta AB, variando sempre no mesmo 
sentido, e X -7 lY percorre o arco de curva ach. 

Por serem «, h^ A, B, os pontos correspondentes aos números complexos çúJ"), ç(a; + /í), 
(J; (x), ij' (íc -f h), temos 

ah I s(.f+/i)-c(a') 1 



AB I ^(x + h)-'!^{x) 



Temos também 



Logo, applicando o lemma precedente, vc-se que existe um numero a'i, correspondente a 
um valor de ■!^(z) representado por um ponto da recta AB, e portanto comprehendido entre 
X e X -'- li. tal (jue ('• 

I ^'(af.) 1 = 1 •^{x + h)-'!^ixj\' 



tj portanto 



23 



9 (a; + h) — 9 (a;) _ . o' (x i ) 



/ representiimlo um numero complexo e-ujo modulo iiào poile ser íiiiperiur ;i uuidaile. 

A esta igualdade podemos auida dar outra fornia. Seja KL i'i a ivcta dfsrri[)ta pelo 
ponto z, K, N e L os pontos correspondentes aos imaginários .r, .fi e ■»:-,- h, m o angulo d'estii 
recta com o eixo das abscissas, p', p", R, b as distancias OK, OL, (!)N e CO. Teremos 

.T ^ Zi -|- p' e''", iC -■- /i = 6 -f p' e'"', a'i ^ ò -;- Re'"', 
e portanto 

/i = (p" — p' ) e'"', a'i — 3; = (K — p' ) C" : 

mas 

R — p' < p" — p' ; 
logo 

R-p' = e(p"-p'), 

6 representando uma quantidade real eomprehendida entre " e 1; e por consequência 

£Ci — íc = (p" — p') e'"' = Qh. 

Temos pois a igualdade 

9 (,-r -f h) — '? (x) , 9' (x -f- dh) 
^■^' "í(.r-f /i) — 'l;(í)" "" '' f (£C -^ ÔÃ) ■ 

A formula que vimos de achar diíferc só ])e!o factor /. da formula correspondente do nu- 
mero 10. 

23. Pondo 

■|(2) = (st;-[-/í — z)'', 

e notando que, se representarmos por p o modulo de z, temos 

z = i + p t'"', 



(1) K fiicil tia(,-:ir » ti;;iiia. li.ista tilar ilii.is l•ecta^^ perpcmliculai-es C.c e C'^ c, por um jioiito O de t'.c, 
tirar depois a recta <»K\I,. 



24 



vc-se que e 

Xi + iYi = '} (z) = (p" — p)'' e'i''" = (p" — p)'' (cosp (.) -f i senp m), 

f [jortanto 

X| = (p" — p)" cos|íf.i, Yi = tp" — p)i' sen ])(,), 

e 

Y) = Xi tang^; w. 

Logo, quando s descreve a recta KL, ■]> (s) descreve unia recta AB. 

Podemo.s, pois, applicar a formula (3) á funcçâo precedente, o que dá 

? (X + 70 - 9 (^O = Ah --^-— -, .. 

Applicando esta formula á funcçâo considerada no numero 10, 

çp (z) ^fix 'rh)- f{z) - (X + h - z)f (z) 
1 • , 7 -.i^ví/N (x + h—z)"-^ j. , 

--^x+h-zr-r{z)-...-^-^~^^^^-^P'-^Hz\ 

vem a forrmila de Darbonx 

fix + h) =fix) ^ hf {X) + ...+ ^_.j^'~'^ ^f" - *' (*) ^ R", 

1.2. ..{n— 1)2) • 
<jue c a exteiisài) ao caso das variáveis complexas das formulas (1) e (2'") do numero K). 

24. Mansion, na memoria já citada, deu uma demonstração puramente analytica do tlieo- 
rema de Darboux. Mais tarde, no seu LVnumc du Cinn-s d' Jnahjsc, publicado em ISST, deu 
á expressão de R,, uma outra forma (pie serve para os mesmos fins que a anterior, da qual 
não differe essencialmente, mas cuja demonstração analytica é mais simples e directa. 

Parte ])ai'a isso da expressão de ]{„ dada no numero 20, onde põe 

1.2.. .{n- \)p ■''••■ ' 



25 



o que dá 

E„ = BC cos [b ~ c) - BDi sen (b - d) = H«''« , 

representando por H a quantidade 

H = ;B* C^ cos^ , b - Cl ^ B* D^ sen2 (b - d)] * . 

Suppondo agora C>D, temos H^^2B^C* e portanto H = /iBC|2, onde /,i representa um 
factor positivo igual ou inferior á unidade. 
Logo 

R„ = /, ( 2 e- '" - ^ - ■ ' h" (l-9iV'-^' ■(„, _ Q^ 
' 1.2. . .{n—l)p-' ^ ' 

ou 

onde |/j<;l. E esta formula que pretendíamos achar. 

Se fôr D > C, demonstra-se o tlieorema do mesmo modo, pondo H = /i BD 12 . 

2.5. Por meio de qualquer das formulas, que vimos de achar, pode-se obter o desenvol- 
vimento em série das funcçSes elementares é^, (1 + xf, log (1 +«),..., procedendo como no 
caso das funcções de variáveis reaes. Aqui vamos considerar somente a funcção (1 -|-íc)'', de 
cujo desenvolvimento temos de usar adiante. 

Temos n'este caso 

(1 -../= 1 -"^r M^ii:_:(^^il±^."^ll„, 

«= 1 1 .^. . . a 

^■'-^- 1.2...(n-l) ^ií^l^j (l+S-/-- 

1) He. o modulo p de x é menor do que a unidade, a quantidade 

k(k—l)...( k — n-l) 
^ 1.2...(n~^ P" 

tende, como ò sabido, para O quando n tende para o intinito. Além d'isso é 

1-0 1-e -.1-9 

I 1-^ex i~|i-^0»p2+2epcosw"^ i-9p ■ 



26 



Logo R,| tende para O quando n tende para co, e o binómio considerado pode ser des- 
envolvido em sórie ordenada segundo as potencias de x pela formula 

,1 = 1 1 . 2 . . .a 

2) Se o modulo p é maior do que a unidade, a série precedente c divergente. 

O estudo do caso em que p é igual á unidade não será aqui feito. A respeito d'elle pode 
consultar-se a memoria de Abel sobre o binómio {Oeuvres, t. í) ou ainda os trabalhos de 
Mansion anteriormente citados. 

Deve-se observar que, no caso de k ser um numero fraceionario ou um numero irracional, 
a funcção (1+a;/ tem muitos ramos. A série anterior dá o desenvolvimento do ramo que se 
reduz á unidade quando a; = 0. Para achar o desenvolvimento dos outros ramos basta atten- 
der a que estão todos comprehendidos na expressão 1'' (1 +a;)'', onde se deve substituir 1'" 
pelos seus diversos valores e (l-p ./•)'' pelo desenvolvimento que vimos de achar. 



CAPITULO III 



Ooiit iiiuação cio ostixtlo cia «oi^i© cie Taylor*. 

no caso cias fuiicocíoís de variáveis coiixplexas. 

>I©tlroclo de Oaxicliy 



26. O methodo para o estudo da série de Taylor, que vamos agora considerar, é devido 
a Cauchy e é fundado n'uma theoria importante, devida a este grande geometra, da qual elle 
fez muitas e notáveis applicações. Esta theoria, que vamos expor succintamente, foi publicada 
em 1825 na sua bella e importante Mémoire sur les intêgrales définies jirises entre ães limites 
■imac/inaires. 

Consideremos uma curva composta de muitos arcos AB, BC, CD,. . . taes que, em cada 
um, a cada valor de x corresponda um único valor da ordenada, sejam a, b, c, d,. . . as 
abscissas dos pontos A, B, C,. . . e 7/1, y-z, ys,- ■ • funcções de x, que representam os valores 
que toma y respectivamente nos arcos AB, BC, CD, . . . Chama-se integral curvilineo de 
f(.i\ y) dx tomado ao longo da curva ABCD . . . , que designaremos por S, e i-epresenta-se 

pela notação / f{x,y)ãx a somma : 

/ /(■'-, .yi) c?* + / /(»'; ?Ji) dx+í f(x, 7/3) dx ^ . . . 

D'esta deiiniçào' resulta inimediatamente que, se a curva S fôr descripta no sentido 
DCBA, contrario ao precedente, o integral ao longo d'esta curva conserva o mesmo valur 
aljsoiuto e muda de signal. 

(^>uando a curva S é fechada, o integral pode ser tomado em sentido tal que a área, que 
ella limita, fique á esquerda de um observador que percorra aquella curva movendo-se no 
mesmo sentido, ou á direita d'e3te observador. O primeiro sentido diz-se directo^ o segiuido 
retrogrado. 



28 



Posto isto, vamos demonstrar o tlieorema fundamental, devido a Cauchy: 

do d'h 
Se na área limitada por uma curva fechada as f micções '^ix,y), '^^ (x,7/), -^ , -z— forem 

continuas e tiver lagar a condição 7^^ = "3^) o integral de a> (a-, _?/) cZ.r- + '!( a-, ?/) c7?/, tomado ao 

longo da cui'va considerada em sentido determinado, é nullo. 

A demonstração que Cauchy deu d'este theorema é fundada nos princípios do calculo das 
variações. Mais tarde Rieraann deu outra demonstração do mesmo theorema fundada em um 
theorema importante de G. Green, que adiante será estabelecido. Aqui vamos apresentar uma 
demonstração mais directa e que é fundada nos princípios mais elementares do calculo integral- 

Consideremos primeiramente uma área ABCD, limitada por uma recta AD, parallela ao 
eixo das ordenadas, por duas rectas AB e DC, parallelas ao eixo das abscissas, e por uma 
linha recta ou curva BC, e sejam 

a:=ft{s),!/=fi(s) 

as equações da linha ABC (/j e/2 representando uma funeção ao longo de AB e outra funccào 
ao longo de BC, e s representando o comprimento dos arcos d'esta linha, contados a partir 
do ponto A) e si o valor que toma s no ponto C. 

Integral" a expressão rf(x,y)dx-r<^(a;,7/)dy ao longo de AISC entre os pontos A e C, 
cujas coordenadas são (a*o, ?/o) e («1,2/1)) é procurar o valor que toma no ponto C, onde s = s^, 
a funeção das variáveis x e y, dependentes de s, que satisfaz á condição 

^ í*^* + ^ % = 9 (í») y) d'^' + 4^ (*') !/) ^^^ 

e que é nuUa quando .s = 0. 

Para determinar «, podemos empregar as equações 

du du 



que dão primeiramente 



e depois 



?<=/ '!){x,y)dx-\-B{y), 

ou, notando que, ^(a;, ?/) e -—^ sendo, para cada valor de y comprehendido entre yo e ?/i, 
funoções continuas de .'■ e y no intervallo de xo a a-, o theorema de Leibnitz relativa á diffe- 



29 



renciaçào dos integraes é applicavel ao integral que entra n'esta igualdade, 



e portanto 



Temos pois 






Çx fx 

!( = í z (x, y) Jx -^ I -íi (xd, y) dy. 

O valor que toma u no ponto (•''!,. 'yi) é pois igual á quantidade 

•1» (íco, y) dy-\-l o{x,y{) dx. 



!/» 

Analysando esta expressão, vè-se que a primeira parcella coincide com o resultado que 
se obtém integrando '^(x,y)dx^'\i{x,y)dy ao longo de AD, e que a segunda parcella coin- 
cide com o resultado que se obtém integrando a mesma expressão ao longo de DC. Logo 
temos, representando por (ABC), (ADC), etc. os integraes da expressão considerada, toma- 
dos respectivamente ao longo de ABC, ADC, etc, 

(ABC) = (ADC) = - (CD A), 
e portanto 

CABCDA) = 0. 

Consideremos agora uma área limitada por um contorno qualquer S. Decorapondo-a, ])nr 
meio de rectas auxiliares, parallelas aos eixos coordenados, em áreas pareiaes limitadas ]jor 
contornos 81,82,. -•'^S/., que estejam nas condições que vimos de considerar, temos 

/ ['^{x,y)dx-i-'<^(x,y)dy''== 2 / [?{x,I/)'Jx-T'l'(a-,y)dy], 

estes contornos sendo todos percorridos no mesmo sentido relativamente ás áreas que li- 
mitam. 



30 



Com effeito, no segundo membro d'esta igualdade entram os integraes relativos a todos 
os lados das iiguras em que se decompoz a área dada. Os integraes que correspondem ás 
rectas auxiliares sào dois a dois eguaes e de signal contrario, por ser cada recta descripta duas 
vezes, cada uma em seu sentido, quando (x, y) descreve os contornos de duas figuras adja- 
centes, reunidas pela recta considerada; e os integraes correspondentes ás linhas que fazem 
parte do contorno S, dão uma somma igual ao primeiro membro d'esta igualdade, por ser S 
a somma d'estas linhas. 

Basta agora attender a que os integraes que entram no segundo membro sao todos nuUos, 
para concluir que é 



/ , [9 (^^ y) ^^- + 4' (a?, y) dy] = 0. 



(_) tlieorema que vimos de demonstrar tem applicações importantes em Analyse e em Pliy- 
sica mathematica. Aqui vamos immediatamente applical-o á demonstração de um tlieorema 
relativo ás funcções de variáveis complexas, por meio da qual Cauchy deduziu a formula de 
Taylor. 

2". Consideremos uma fuuccão da variável complexa z = x-\ iy 

fiz) = u + iv, 

onde ít e v representam funcções de x e y, e supponhamos que esta funcçào admitte deri- 
vada. Sabe-se que n'este caso ti e v satisfazem ás equações 

. du dv du dv 

dy dx' dx dy' 

. n ^ du du dv dv „ ,, 

e que, reciprocamente, se u e v satisfazem a estas equações e -^, -^, -r— , -;— sao luncçoes 

ilx dy dx dy 

continuas de •<■ e //, m+íl" admitte derivada. Sabe-se também que esta derivada é dada pela 

formula 

/' M = -ii 4- • ^ 
■ dx dx' 

As funcçõfs que admitteni derivada sào as únicas que ha interesse em estudar, e dá-se-lhes 
o nume de funcções monogeneas ou analyticas. 

A funcção /(a) pode ter um só valor para cada valor de .- ou muitos. No primeiro d'estes 
(rasos a funcçào diz-se uniforme ou monodroma. No segundo caso, se considerarmos, para 
determinar completamente a funcçào, uni dos valores que f\z) toma em um ponto B como 



31 



valor inicial, o valor que a funcçno toma n'um ponto qualquer D da área A, limitada por um 
contorno S, quando z descreve uma curva que ligue D a B, deve ser determinado pela con- 
dição de /(z) variar de uma maneira continua quando z descreve esta curva. Se este valor 
é sempre o mesmo, qualquer que seja a linha descripta pelo ponto z, quando vae de B a D 
sem sahir da área A, a funcção diz-se ainda uniforme ou monoãroma na área considerada. 
No caso contrario diz-se multiforme ou jjoli/droma. 

Se a funcçào f{z) fòr monogenea, uniforme e continua em todos os pontos de uma área A 
e, além d'isso, as derivadas parciaes de u e v relativamente a, x e i/ forem funcções continuas 
destas variáveis, diremos, com Caucliy, que a funcção f(z) é syne.ctica na área A. 

28. Posto isto, temos por definiçào. representando por S o contorno da lirea A, 

/ fiz) ãz= I (w + iv) (dx -7- idy) = / (iiãx — vdy) — * / {vdx -p udy). 

Se a funcçào f{z) é synectica na área A, temos também, em virtude do tlieorema de- 
monstrado no numero 26 e das formulas (A), 

/ {vdy — j<(?íc) = 0, / (ií(í^ + vrfíc) = 0; 
e portanto 

^ f{z)dz = 0. 



L 



Podemos pois ennunciar o theorema seguinte: 

«Se a funcção f(z) for synectica na área A, limitada por uma curva fechada, o integral 
de f{z)dz, tomado no longo do contorno da área, é nullo. 

Este theorema, publicado por Cauchy em 1825 na sua Memoria celebre sobre os integraes 
tomados entre limites imaginários, atraz citada, foi a base dos trabalhos d'e8te eminente geo- 
metra sobre a theoria das funcções de variáveis complexas. Entre os coroUarios que d'elle se 
deduzem notaremos os seguintes, de que teremos de fazer uso: 

1." Se a funcção fiz) for synectica na área limitada jjor uma curva e.i-terior íS e pelas 
curvas interiores cj, ea,. . ., temos 



í fiz)dz=í f{z)dz^í fiz)dz~ 

.1 S .' f, .' r. 



OS contornos S, ci, a,- ■■ sendo descripios todos no mesmo sentido relativamente ás áreas in- 
feriores. 



32 



Com effeito, o contorno fechado EDGKDEBAIIABFE limita uma área na qual a funcçcào 

é synectica; logo o theorema precedente é applicavel, e temos, representando por (ED), 
(DGKD), etc, os integraes àef{z)dz tomados ao longo de ED, DGKD, etc, 

(ED; 4- (DGKD) 4- (DE) + (EB) -i- (BA) + (AHLA) -J- (AB) + (BFE) = 0. 

Mas 

(ED) = -(DE), (BA) = -(AB). 

Logo temos 

(DGKD) 4- (EB) -r (AHLA) - (BFE) = O, 



(EFBE) = (DGKD) -}- (AHLA), 

o que demonstra o theorema enunciado. 

2." tSe f(z) fôr synectica na área limitada por um único contorno S e se a representar 
um ponto (lo interior doesta área, será 




(B) 



•^ ^ ^ 2iv.Js z — a 



t> sendo descripto no sentido directo. 

Temos, com effeito, representando por c uma circumferencia de raio p, cujo centro seja 
o ponto representado por « e que esteja coUocada no interior da curva S, 

;■ fiz)dz ^í f(z)dz ^ 
J s s — « J c 2 — a 

Mas, pondo z — « = pe'"', vera 

í f{z)dz .['"'■,- , :,„ , 

Logo, pondo £=/( a + pe"") —/'(")) temos 



./s 2 — « .h z — « L/o Jn 



Xotando agora que, por ser a funcçào/is) continua no ponto a, le| pode tornar-se menor 
do que qualquer luimero positivo 'j, por mais pequeno que stja, dando a p valores sufíicien- 



33 

temente pequenos, e que é 

i /"'" I /■*" 
/ íd',\ < / I c ] f?M < 2 òu, 

\J o I ./o 

obtém-se a formula procurada 

/* f(z)<h /■*" 

. s - " .'o 

3." Se a funcção f(z) fôr synectica na área A, limitada jjor um contorno exterior S e por 
um contorno interior tí', e se a representar um ponto do interior d'esta área, é 

•^^"' 2í77Js z-« 2/rjs. z-a ■ 

E o que resulta dos dois corollarios precedentes, que dào 

/■ fiz) dz _ I' f{z)dz _^ ;■ fiz) dz 
.'s ^~" ./s' 2 — « ./- z — a ' 

Deve observar-se que, no tlieorema que vimos de demonstrar, S deve ser descripto no 
sentido directo e S' no sentido retrogrado relativamente á área A, que limitam. 

20. Se a funcção f(z) é synectica na área limitada pela curva S' , temos, n'um ponto 
qualquer a do interior d' esta área, a igualdade 

\.2. . .n f f(z)dz 



,,r», = i:--/ 



(z — a)"^ ' ' 



que dá as derivadas de f(a). 

Temos, com effeito, por definição 



J'{a) = hm -'-4 — j- \dz- 






z — a — h z — a {z — af' (z — af {z — a — //) ' 



34 



logo 



Jsiz — a)- í, = o.'s (3 — a)-(z — «■ 



Basta attender agora a que temos, representando por M o maior valor que toma 

zi-T^ ;— quando z descreve a curva S e notando que é \ dz\ = \dx~ridii 

I (z — a)- {z — a — h)\^ i , i i 

^ydx--\-di/- = ds [s representa o eomiirimento do arco que une o ponto (;r, ?/) ao ponto tíxo 

que se toma para origem dos arcosj, 

ir /(^vfe un .n-)dz i ^^g 

[/s (z — ^')*(2 — « — 'o I ,'s| tz — a)'^(z — a — k) \ ' 

para concluir que a segunda das parcellas que entram na expressão de /' (a) tende para O 
quando h tende para O, e que portanto temos 

1 f f(:)dz 



r^-^^à^U 



■af 
Do mesmo modo se adiam as derivadas seguintes. 

:íO. Habilitados cora os tlieoreraas que vimos de demonstrar, podemos agora estender, 
seguindo Cauchy, a formula de Taylor ao caso das funcções de variáveis complexas. 

Seja/(.r) uma funcção synéctica da variável complexa x na área limitada por um con- 
torno S, sejam a e -x dois números representados por dois pontos do interior da mesma área 
e seja c um numero representado por um ponto do contorno. 

A identidade 

1 1 , íc , a-- , I ''^" ~ ' I *"'" 



2" (3 -a;) 
dá, sidjstituindo .}_■ por .<• — a e ; jior ; — «, 

1 1 , «■ — a , (x — a)" — ' {x — a)" 



z — x Z — a (z — a]- '' {Z — a)" (z — a)" (z — x) ' 

e depois, multiplicando ambos os membros por/(:KZ; e integrando ao longo do contorno S, 

f{2)ãz ^. ,ff(z)dz 



_/s z — x Js z — a \ls{z — ay- 

' "■ ^ y.s(:;-a)" ' Js {z-n)»{z — x) 



35 

Temos porém (números 28 e 29) 



Logo é 

■l"-l) 



/[■'■) =f(<') + < ^»- - «)/' («) + ■•• ^- i'2...1"-'i) /'" " '' ^«) -^ ^"' 



onde 



2í- _/s {z — afiz — x) 

Temos assim a formuhi de Taylor eom uma expressão do resto da (jual Caucliy deduziu, 
na sua importante Mémoire sur le Calcul des rúsidus et le Calcul des limites (*j, apresentada 
em 1831 á Academia de Turin, o seguinte theorema, que constitue uma das suas mais bellas 
descobertas: 

Se a funcção f(z) é synectica na área limitada por uma circumferencia, cujo centro é o 
2>onto correspondente a a^ e se x representa um ponto qualquer do interior d'esta área, tem 
logav (I desenvolvimento em série 

f(x) =f{a) -f ix-a)f (a) +. . •+ ^S^-^'"" '''^ +' " ' 

Sup23onhauios, com efteito, que 8 representa uma circumterencia cujo centro é o jionto 
correspondente a a. Para todos os pontos c do contorno e para todos os pontos ,'• do interi<ir 
tem n'este caso logar a desigualdade 

.r — «2 j < I 3 — M I . 

Por outra parte, da drr<igualiladi' seguinte, <ju(.' resulta immediatamente da mn^ão de in- 
tegral definido, 

1 n^-'-'!"! f[z)\ ,^/ , 






deduz-se, notando (pie é \dz\ = vdx\ -\' (hj^ ^= ds (pondo ;==.V|-f <yi) e representando por A[ 



(') Kxtrciceu ã' Analyse. et de Physiquo. mathnnatiqne. t. ii, pag. 50. 



36 



o maior valor que toma V'"" ' quando z descreve a eircumferencia S, 



I [ SM I x-a j" 

Basta attender agora a que é \x — a\<\z — a\ para concluir que \ R„ | tende para O 
quando n tende para o infinito, e portanto que /(,k) pode ser desenvolvida pela série de 
Taylor. 

31. Não nos occuparemos aqui a deduzir as consequências importantes que se tiram 
deste theorema nem a mostrar o papel fundamental que elle representa na theoria geral das 
funcções ('). Faremos somente excepção para a proposição seguinte, porque teremos de fazer 
d'ella uso adiante. 

Seja/(.T) uma funcção synectiea na área A, limitada por um contorno 8, e procuremos o 
numero de raizes que a equação /(.'■) = O tem no interior d'este contorno. 

Sejam a,b,c,... estas raizes e w, n,... os seus graus de multiplicidade, e represen- 
tem-se por S', S", etc. circumferencias cujos centros sejam os pontos correspondentes a 
a, 6, . .. e cujos raios sejam tão pequenos que ellas não cortem o contorno S e cada uma 
contenha no interior só uma raiz. 

Teremos (numero 28 — 1.°) 

f(z)fh f f(z)dz , /• f'{z)>h _ 



./s /(-^) ./ 



e, era virtude do theorema anterior, > 

fix) = (x — a}'" P| (x — a), 
f(x) = ix-bf'¥,{x-^a), 



F{(x — a), P2(£c — «),... representando séries ordenadas respectivamente segundo as po- 
tencias de x—a, x — b,. .., e a primeira igualdade tendo logar na área limitada pelo con- 
torno S', a segunda na área limitada pelo contorno S", etc. 



(') Para um estudo desenvolvido du theoria geral das funcções monogeneas pode consultar-se, entr< 
outras obras, a seguinte : A. R. Forsytli, Tlienry of Functions of a eomplex variable, London, 1893. 



37 



Das igualdades anteriores tira-se 



f (x) m , Pj (a; — a) 

f{x) X — a Pi(a' — a")' 

/ (a?) . n P, (y-ò) 

f{x) x — b " W{x — b)' 



e portanto (numero 28) 



1 r .f (2V7- n r fiz 



22rjs' /(.;) ~2i-Js''~z- 
Temos pois 



= 11, 



1 r fizuiz 



Esta formula dá o numero de raizes da equação f{x) = O, contidas no interior do con- 
torno S, expresso por meio de um integral curvilíneo tomado ao longo do contorno. 

32. Passando agora a considerar os desenvolvimentos ordenados segundo as potencias 
inteiras, positivas e negativas, da variável, seja f{z) uma funcção synectica na área annular 
limitada por duas circumferencias concêntricas de raio R e R', e sejam .'• uui |ionto (pialquer 
do interior d'esta área e a o centro das circumferencias. 

Temos n'este caso (numero 28 — 3.") 

■^ ^ ■' 2i-Js z — x 2í-,/s' z — x' 

representando por S e S' as circumferencias de raio R e R' consideradas. 

Applicando ao primeiro integral a analyse desenvolvida no numero .30, vem 

js : — x Js z — a '^ 7s(3 — «j- ./s(2— "I" 

Para achar o segundo integral partiremos da igualdade 

1 I 1 , 2 — a , , (; — a)"-' , {z — a)" 



Z — x [x — a ' (x — a)- ' ■■■ (as — a)" ' {x — a)"(x—z)\'' 



38 



que dá 

Js' z — x ./■— a/s' (*'~«JVS' 



onde 






a\«/(c)r/; 



Por ser, ao longo de S', [^ — a[<|£e — a\ , vê-se, procedendo como se fez no numero 30 
a respeito de E„, que [ R'„ | tende para O quando n tende para o infinito. 
Logo temos a formula 

fUr)= 1 A„(:x-^ar^r I — -" ,-, 
,1 = II ,1 =1 (X — a)" 

onde é (numero 28 — 1.") 

P'.= Tj^/ (z-aY-^f{z)dz. 

A formula que vimos de achar c conhecida pelo nome de foriaulu de Laiirent e tem uma 
imi)ortancia considerável na theoria das funcções. Foi apresentada por este geometra á Aca- 
demia das Sciencias de Paris em 1843 e foi objecto de um parecer de Cauchy, onde se in- 
dicam diversos modos de a obter (Comptes rendiis, t. xvi). 

Pondo z — (i = ll'e'"\ pode-se ainda exprimir A,, e B„ por meio dos integraes definidos: 



1 /■»' 

- ~ ./ o 



CAPITULO IV 



Oontiniiação cio estvido da sór-io de Taj-lor 

no caso das fmioçõos de variáveis coiiiploxa.» 

^Motliodo de Flieiíiaim 



33. Seja f{z\ = u-^iv uma funinjàu inonogenea da variável complexa z — x — ii). Já 
dissemos que as funeçòes u e v devem satisfazer .-is equações 

du (Iv dv du 

^ ' dy cZ./'' dy dx^ 

e portanto ás equações seguintes, que resultam das anteriores: 

d-u d-u d-v . d-v 

dx- dy- ' dx- dy- 

As propriedades das funcções monogeneas podem, pois, ser tiradas das propriedades das 
funcções que satisfazem á equação ás derivadas parciaes de segunda ordem 

r/2Z , d-^'Á , 

ás quaes se dá o luime de funcqÒKS harmuniras. 

Para ver como por este methodo, proposto por Kiemann ( '), se ohtem a formula de Tavlor 



(') Gniiidlageii fur eine aUgemeinf Theorie der Fintctinneu einer varãvderlicke» complexeii Grosse, 1851. 



40 



e o theorema de Cauchy demonstrado no numero 30, vamos estudar algumas propriedades 
das funcçòes harmónicas das quaes teremos de fazer uso ('). 

34. Para estudar as propriedades das funcçòes que satisfazem á equação (2) fundou-se 
Riemann n'um theorema importante, pubUcado em 1828 por G-. Green, que vamos primeira- 
mente demonstrar. 

Consideremos o integral duplo seguinte, referido a uma área A limitada por uma curva 
que não possa ser cortada em mais de dois pontos pelas rectas parallelas aos eixos das coor- 
denadas e na qual a funcção /(.t, y) seja continua: 



\ I /<•'■, .'/) f'''^' <'/ = / ''.'/ / "/'(*■> .'/) '^a-"5 



onde .'■| = 6iiy), .T2 = 6í(:'/) são as equações (-) dos arcos MQP e MNP da curva, que limita 
A, e a, ò são as ordenadas dos pontos M e P, onde as ordenadas são minima e máxima; 
e seja 



jf(x,rj).lx = F(x,y)^C, 



C representando uma constante arbitraria. 
Teremos 



f(.r,f/)Jx<ly=l F{xi,y)dy-I F(>i,y)%. 



Por outra parte, representando por S a curva que limita A e attendendo á definição de 
integral curvilíneo dada no numero 20, temos também 



/ F (.>-,?/ )'///-=/ V\Xi,//)iJi/-\- V{x,, !/)(!>/ 



o integral sendo tomado ao longo d'esta cui'va n'um sentido tal que A fique á esquerda de 
um observador que percorra o seu contorno (sentido a que se dá, como já dissemos, o nome 
de directo). 



(') Para um estudo mais completo das funcçòes harmónicas veja-se : Picard, Traité d'Analyse, t. ii, 1892. 

(-) É fácil descrever a figura. Basta traçar doi^^ ci.xos coordenados Ox e Oy e uma curva fechada que 
não possa ser cortada pelas i-ectas parallelas aos eixos em mais de dois pontos, e representar depois respe- 
ctivamente por M e P os pontos de ordenada minima e máxima e por Q e N os pontos de abscissa minima 
e máxima. 



41 

D'estas igualdades resulta a formula 



(a) jjj(x, y) dx ãy = j j^ ^ ^> dx dy = jj (,,. y) dy 



Do mesmo modo se demonstra a formula 



Q>) 



J/{^', y) d^ ^u = \\^^^^^ '^■^ ^^ = ~ /s ^' '''' ^^ ''"'' 



suppondo que o contorno 8 é ainda descripto no sentido directo. 

As formulas precedentes podem ser extendidas ao caso de A ter uma forma differente da 
que vimos de considerar. Decompondo A em outras figuras Ai, A2, A3,. . . cujos contornos 
não sejam cortados pelas rectas parallelas aos eixos coordenados em mais de dois pontos, estes 
contornos são formados por porções do contorno A, as quaes representaremos por Si, S-2,. .. 
e pelas linhas auxiliares empregadas para fazer a decomposição de A nas figuras A| , A-2, . . . , 
as quaes representaremos por si, s^,. . . Logo temos, suppondo que os contornos A|, A»,. . . 
são descriptos no sentido directo, 

jJ/(^-, y) àx<íy = -jfji''^ y^ '^'' '^u ^ -/s ^ ^■'■' ^^ '^'^ + - // '■'■' ^^ ' •'^- 

E fácil porém de ver que cada linha sj, s-2,... é descripta duas vezes, uma em cada 
sentido, quando são descriptos os contornos de duas áreas separadas por esta hnha; portanto, 

a cada parcella da somma H / ftx,y)dy corresponde outra igual e de signal contrario, esta 

somnia é nulla e temos 

]]/(•'■, y) ''^ dy = ^j^F U; y) dy = j^ F (.r, y) dy. 

35. As formulas (a) e (b) são as formulas de Green, que pretendíamos achar. Antes de 
as ajjplicar ao estudo das funcçòes harmónicas, observaremos que Riemann tirou d'ellas o 

theorema de Cauchy demonstrado no numero 26, applicando-as ás funcções ■—- e -p. Vem, 

com effeito, 



42 



e portanto 

' <]'\> do 



X-í-^y-''^'j-j,^-^'''--y^''-'^^-'^y^'^y'^- 



Basta attender agora a que as funeçues o e ']) consideradas no numero 26 satisfazem, por hy- 
potuese, a condição -^ — -=-*-, para se obter a igualdade 



/ [? (a-j y) ^^ + ') (a-, y) rhj] = O, 



que pretendiamos demonstrar. 

36. Passando agora ao estudo das funocòes harmónicas, vamos primeiramente achar, 
fundados nas formulas de Green, uma expressão d'estas funcções por meio de um integral 
curvilíneo. 

Sejam U e V duas fimcções de x & y continuas, assim como as suas derivadas parciaes 

de primeira ordem, na área A, limitada jior um contorno S, e seja também continua na 

,/áv ã^W . 

mesma área a somma — r-g~ 4 — ^-^ . Applicaudo o theorema de (ireen á funcçào 

'd^~do^ 'Hfdjf ' \ dx^ "^ djf r 



que é igual a 



dx \ dx I dji \ dji 



e portanto, se V representar uma funcçào harmónica, 

//. ( S ír -i- -^ ;^}) '^- du = 1^ U (^ dy - '')^^ d.). 

Do mesmo modo se acha, U representamlo uma funcçào harmónica, 
JJ.\\dx dx dij dy I ^ Js \dx ^ dy 



43 



D"esta igualdade e da anterior resulta a seguinte: 

que dá, pondo U=l, visto que 1 é uma solução da equação (2), 

.Se a área A for limitada por um contoruo exterior C e por um contorno interior c, tere- 
mos, applieando a formula (3) ao contorno unieo EFBEDKGDE, e representando por (EFBE), 
I ED), etc. os integraes da funcçào que entra era (o), tomados respectivamente ao longo de 
EFBE, ED, etc, 

(EFBE) ^ (ED) -f ( DKGD) + ( DE) = Õ 

ou, i3or ser (ED) = — (DE), 

(EFBE) + (DKGD) = O 
ou 

(EFBE) = (DGKD). 

Porisso, suppondo que os contornos C e c são descriptos no sentido indicado pelas flechas, 
podemos escrever a igualdade 




/c["(í 



7V dX 

y 



„,</U -. r/u , 



=/;['=e"^-f"')-v(§*-^^- 



É fácil verificar que a funcçào 



U-logz, 



oiule 



z = j'(x — a)--t-f7/— 6)«, 
satisfaz á equação (2), e portanto que a fiincção logz é harmónica. A formula anterior dá 



44 

porisso, suppondo que o ponto (cr, b) está no interior da curva c, 

í n, i'iy , <'y , \ .rjàiogz r/ioR^ 



: [ log z (^ ./// - :^ </a; ) - V ( — ;-^ ,J>, - ^^^ cLv 



37. Tomemos agora para contorno interior c uma circumferencia de raio o e centro («, 6), 
e supponhamos que a funcção V e suas derivadas parciaes de primeira ordem são funcções 
continuas de x e y em toda a área limitada por C. Teremos, pondo 

a; = a 4" p cos t, y = i-\-[j sen í, 
e attendendo á formula (4), 

(^) ./;'«-(^*-f«'"-)='»^''/(í"."-f-)=»- 

Tornando explicitas as variáveis x e y que entram em V, podemos substituir ^ por 
V (x, y) e temos, applicando o primeiro theorema dos médios valores dos integraes definidos, 

/ Ydt = / V (a -|- p cos í, & + p sen t)(Jt = 2-V (a + p cos fj, ò -f p sen t\) iJt, 
.'o .'n 

íi representando um numero comprehendido entre O e '2~. A igualdade anterior dá portanto 

_/,. \ ilx dy 

e, fazendo tender p para zero, 

./>-(^'--"'-''-!r''") =-""■•''■ 

D'esta igualdade e das igualdades (f)) e (6) tira-se finalmente a formula seguinte: 



45 



que dá os valores da fimeçào harmónica V expressos por meio de um integral definido e que 
representa no methodo de Riemann o mesmo papel que a igualdade (B) du numero 28 repre- 
senta no methodo de Cauchy. 

38. Para dar um segundo passo para a resolução da questão que estamos considerando, 
vamos tirar d'esta formula outra que dê os valores de V expressos por um integral definido 
ordinário. Para isso vamos porém primeiramente demonstrar um lemma de que teremos de 
fazer uso. 

Consideremos um circulo de centro O e raio lÀ, e seja A um ponto collocado no interior 
d'este circulo, cujas coordenadas são a e b. 

Vejamos se existe um ponto B, exterior ao circulo, tal que seja constante, para todos os 

pontos M da circiimfereneia, a razão Yi^t- 

Representando por a e [il as coordenadas do ponto B, por x e ?/ as do ponto M e por c' 
uma constante, teremos 

ÃM^ _ z^ _ i^^ « )'^ + (y— *)" _ -> 
BM"^ "" ? ~ '^-^-^{y-^í- ~ '^ ' 

e portanto, sendo O a origem das coordenadas, 

R- — 2 «a; - 2 6?/ + a- -f b- = c- (R- — 2 oa- — 2 j^y -f «- -f- ,3^), 
ou, pondo a = p cos 'i, J = (i sen '^, a = pi cos 5|, p = pi sen '^i, 

R- — 2 px cos -^ — 2 'jy sen '^ + p- = c- [R- — 2 pia; cos 91 — - pi?/ sen tii -f pf ]. 
Satisfaz-se a esta igualdade pondo 

R- P 

como é fácil verificar, e vê-se que é pi R. 

D'estas igualdades conclue-se o lemma seguinte: 

Dado um circulo de raio R e um ponto A no interior, existe outro ponto B, exterior ao 
mesmo circulo e situado sobre a recta que une o primeiro ponto ao centro do circulo, tal que a 
razão geométrica das distancias AM e B5Í é constante, ijnalqiter que seja M. A distancia do 
ponto Fi ao centro do circulo í dada pela jjriíneira das formulas (8) e o valor da constante é 
d ai lo pela secunda . 



46 

39. Posto isto, tomemos para contorno da integração na igualdade (7) a circumferencia 

a que vimos de nos referir, e notemos que a igualdade (3) dá, pondo U = -^ log [(« — «)- 

-\-{y — |3)-] = log;i e attendendo a que log;i e V são funcções continuas de a; e ?/ no interior 
da área A, 

e a que a igualdade (4), dá, por ser ~— constante, 

Sommando membro a membro estas igualdades e a igualdade (7), vem 
ou 

1 /' TT I •« « 1 V 1^ 7 X a 7 . V ^ 7 1 

V («,, h) = - ^^,_ 1^ V -^— ^'J - -^^- f''r ^- dy ^ ^— dxl 



ou, por ser c = -^ 



V (a, ^) = — Y~\-~?\ "lí? *"^' ~ '""^ ^^^ ^ 'vT^y— P * ^^•'' — ''*•■ ~ "■) '^y " <^ ~ ^ ' '^"'^ 
1 r V 



ou, attendendo ás igualdades 



fypl = K-, — = -^- — — 
" a 6 



P p- 



V («, ^) = - ^ (. ^Í-R A (2/^-^' - ^^^^)- 



47 

Pondo nesta formula 

a' = R cos -j;, ^ = R sen i 
e attendeudo á igualdade 

2- = (íc — áf ~r{y — hf = (R cos ò — o cos -f )- -p (R sen -^ — p sen -f i- = R- — f>- — 2 Ro cos (-^ — 'i), 

vem a formula 

,^ I 1 /'-" V (R cos ò, R sen ■!>) (R- — o-) cZò 

^''' ^ ^ J^Jo R-^-2Rpc^ò--fj^pi ' ' 

que determina, por meio de um integral definido, os valores que a funci;àii harmónica Y (a,b) 
toma no interior do contorno C. 

40. Partindo d'este integral, vamos exprimir os valores da funccào harmónica por meio 
de um desenvolvimento em série. 
E facil de ver que é 

^--"'- ___i_L ^ ^ 



R2-2Rpcos('j;-'f)-f p- R_peM'í'-?) ' R_pe-M;i-?) ' 



R_pe^'(v-?) „^i R"' ■ R" • R_pe3i(i-?) 

onde s= + 1, e portanto 

■^' — P' 1 I o V P"' / t \ 

R^ — 2Rpcos(ò — '-p) + p- „, = iR"' ^' '^ 

p" 2 [Rp cos (n-f- 1 )('-!' — T') — p^ cos «(■({) — -f)] 
"^ R^' ' R- — 2Rpcos'(ò — 'f)-Lp2 ^' 



Logo 



V (a, b)= il p'" ( Vr,,, cos ni-i -f- b,„ sen wis) 

1 p» + ' /■- " V I R cos {n — 1) ('-l» — --p) — p cos n (■} — -f)] 
T R»"jy ~'' R^-2Rpcos(-^-9) + p2 '^' 



48 



onde 

«o = -in^" / V (R cos tj>, R sen -j^) (/'}, 
J o 

1 /■-" 
a„, = — f~— / V I R cos '}, R sen '{>) cos wi '\>d'!^, 

.' II 
ò„, = — p^ / V (R cos cjj, R sen ■}) sen m ■}(?•}, 

e 7n = 1, 2, 3, ... 

Fazendo tender n para o infinito e attendendo a que, por ser ;^ < R, o ultimo termo da 
expressão anterior de V (a, b) tende para zero, esta formula dá o desenvolvimento em série 
da funcção harmónica: 

(9) V rt, b)— '^ p'" («,„ cos m-^ -j- ^m sen mcp). 

m = O 

•11. Consideremos agora as séries 
(o) F = Í2 a„, p"' cos wi'f , Fi = ÍI b,„ p"' sen m-^, 

que entram na formula que vimos de achar, e notemos que por meio das desigualdades 

I a,„ cos W2'f I f/" = — {-k-} I cos wi'^ ! ! / V (R cos '{;, R sen ■]>) cos w} rf-^ 
- VR/ ',j„ • I 

<^(-^)"T''!V<Rcos-},Rsen'»icZ'>< (^)"'m, 
I b„, sen m-f | p"' = — (47) 1 sen w'^ [ ; V ( R cos ò, R sen '\i) sen 7?í'{j d'\i 

" ' "^ ' L/o I 



<y( 0'" / ""l V(Rcos'},Rsen'» I ch^ < (^)"'m, 
./o ' 



onde M representa o maior valor que toma a funcção |2^' (Rcos '|*, K seno) ] quando -ji varia 
desde O até 2-, se vê que estas séries são convergentes quando p < R, isto é, quando p e -f 
representam as coordenadas polares de um ponto do interior do circulo de raio R. 

Consideremos tamhem as séries que resultam de derivar as precedentes relativamente a 
P e a 'f . 



49 



.Seja iV um numero positivo inferior a K. A primeira das desigualdades anteriores dá, 
pondo o = R' 6 -i = O, 



[a„,|R'"'< (^J"m<M, 



e portanto 



;«'"ipr<M(f/ 



Esta desigualdade mostra que os termos da série 
são menores do que os termos correspondentes da série 






a qual é convergente quando pi < li'; logo aquella série é também convergente para os 
mesmos valores de (>|. 

Seja agora R„ o resto da série (&), isto é, seja 



R,, = — ml a,,, I p'" - ' . 



Por ser convergente a série considerada, a cada valor de í, por mais pequeno que seja, 
corresponde um numero ?ii tal que é | R„ j < í, quando n>ni. 
ilas os termos da série 



(c) — «)«,„ p " ~ * cos íw-^, 

que é formada pelas derivadas relativamente a p dos termos da primeira das séries (a), não 
podem exceder, em valor absoluto, os termos correspondentes da série (7i), quando é p<pi, 



50 

qualquer que seja cp. Logo temos a desigualdade 

] S a„, 7nrj"' — ' cos m-^ j < ã, 



para n > «i, a qual mostra que a série (c) é uniformemente convergente para todos os valores 
de -{/ e p correspondentes aos pontos da área do circulo de raio pi. 

iJasta agora applicar ura theorema hem conhecido, relativo á derivação das séries, para 
ver que tem logar a igualdade 



^j— = _ a„,mo"' 'coswf. 
«p „, = 1 



Do mesmo modo se demonstra a igualdade 



— ;— = — L a,„ mrj'" sen wf . 

(VSi „, — ) 



A segunda das séries (<») pode ser cansiderada do mesmo modo e obteem-se resultados 
análogos. 

42. Posto isto, vamos agora ver como a formula (U) conduz com a maior facilidade á 

resolução da (juestào que se pretende resolver. 
Seja 

f(z) = u-\- iv 



a fiuirçào [iroposta, que supporaos syneetica no circulo de raio Iv, e seja {x, y) um ponto 
[até agora representado por (a, 6)] do interior d'este circulo. 

As funcçòes u e c satisfazem, por hypotliese, á equação (2), e temos por.tanto, em virtude 
da formula (0), 

íí = 11 p'" (</„, cos ?ncp -| - h,„ sen »i-f ), 

m =11 

V— ^l. p'" (a„, cos »ici j- p,„ sen wj'i). 



51 



Jlas, por ser a; = peos'f, ^=pseii-^, temos 





dx 


sen-f 


do 


áp 
---i:- = seu -f , 


<7t6 cos '^ 




% P ' 


e portanto 













^ ííiCi" 



cos (m— l)'i, 



(10) 



d (p"' cos TOS.) ^^^ _ I 

dx 

d(p'"senOT'^) 
^ = TOp"'-'sen(»n-l)'^, 

d (p™ cos TO'i) , 

= — TOp"' — ' sen {m — 1 ) -i, 



= TOp'" ^ ' cos (wi — l)'f. 



I d (p"' sen TO'^) 

Substituindo agora na igualdade 

du dv 
dx dy 

os desenvolvimentos de m e v anteriormente escriptos, e attendendo ás igualdades preceden- 
tes, vem 

S Hip" - ' [ a,n cos (m — 1) (s — b„, sen (to — 1) &] 
= £ TOO'" — • [— c(„, sen (m — 1) -^ -f ^m cos (to — 1) ç.]. 

Pondo n'esta equação 'f = 0, vem a seguinte: 

1 TOa,„p"'-'= i: TO,^„, p'"-', 

m = ) ,„ = I 

que, devendo ter logar jjara todos os valores de p, na vesinhança de p = 0, mostra que é 

a,n=%,„ (TO>0). 



52 

A mesma equação dá depois a seguinte: 

il Z»„, OTO'" -* sen (í«— l)'f = — 1 a„, /ííry-^senlTO— 1)'^, 
m = 1 „. = 1 

que, depois de dar a '^ um valor determinado qualquer, devendo ainda ter logar para todos 
os valores de p, na vesinlianea de p = O, mostra que é 

i„ = — C/,„, (íH>0). 

Temos pois a igualdade 



/(z) = ?( + iv = ao + icío + S pm [«», cos ríi'^ + b,n sen w^p — /J,,, eos mcp + iV/,,, sen m-^] , 
1)1'= 1 



/(2) = rto + iao-r — p"' ('■'/« — *'''i<.) (cos nri"|- í sen j/)'i, 
ou finalmente 

/ (3) = 00 + icto + II (a,,, — ih,,,) z"' . 

Temos pois o tlieorema de Cauchy, já deuiunstrado no numero 3U: 

A funcção f(z) (' susceptível de ser desenvolvida em série ordenada segundo as 2>otencias 

inteiras e positivas de z, quando z representa um ponto quahpter do interior do eirado de 

raio R, no qual é synectica. 

43. Para completar esta questào, resta ainda determinar, seguindo o mesmo metliodo, 
«s cíjeíficientes do desenvolvimento precedente. Para isso, vamos considerar as séries d;i 
forma 

/i (z) = ?() + lui = 11 a,i, p'" (cos «?/f -| i sen wi), 

/a (:) = 11-2 1 ivi = — i — ?',„ p"' (cos nr^ -\- i sen to-í), 

que estão nas condições das séries que entram na formula anterior, e (pie são (numero 41) 



53 



convergentes para todos os valores de -i e p que s<ào coordenadas polares dos pontos de 
um circulo de raio E. 

Temos, attendendo ás formulas (10) do numero anterior, 

dm * , , 

-^ — = _ ma ,„ rj'" — ' cos (m — l)'i, 
dx ,„ ^ 1 

^^^■' V ,„ 1 1 

— ; — = _ ??!a,„ f/" — ' seniOT — 1 1 -i, 
ilx „, = 1 

(hii v°? , , , 

— j — = — _ 7n<i,„ o"' — ' sen (m — 1 ) 'i, 
'/.'/ m = 1 

— ; — = 1 ma,„ &" — ' cos (m — 1 ) -i. 
dy ,„ = i 

Yê-se pois que as igualdades (1) são satisfeitas pela funcçào ui~ivi, e portanto que esta 
funcçào é monogenea. A sua derivada relativamente a s é pois dada (n." 27 i pela formula 

f.' (z) = — , i-í—^ — = — nia,„ o'" ~ ' I cos (?/! — 1 ) is + 1 sen (7)i — l)csl= ^ ma„,z"' ~^\ 

ffe rfa: ,„ = 1 ' ^ ' ' ^ ^ ' ^ ,„ = I 

o que mostra que se obtém esta derivada derivando cada termo da série 

m = t 

Como a derivada de j\ (z) está também ordenada segundo as potencias inteiras e positivas 
de 2, conclue-se do mesmo modo que é monogenea e que admitte uma derivada 

/i" (z) = - ^ "* ("* — 1 ) «m 2'" ~ ■> 

dada por uma série cujos termos se formam derivando os termos do desenvolvimento de 
Continuando do mesmo modo temos a formula geral 

y ' ") (;) = il m {m — 1 ) . . .(m — n-~ 1) «„, z"' ~ ", 

que, pondo í = O, dá 

a„ = — . 

1.2. . .n 



54 
Considerando do mesmo modo a funcçào f-i (;), vê-se que é 

Temos pois linalmente 

//"'(0)^/;""(0) /(")(0) 



, - ih„ 



1.2. ..n 1.2. ..n 

o que dií a formula de Maelaurin 

Pondo /(z) = F(z-j-a), deduz-se d'esta formula a de Taylor 

X F'"'('í) 
„ ^_ 1 \ .2 . ■ .n 

ou, mudando ; em ; — «, 

F(.) = F(«)+ ^ «A ,,_„,)-., 

que tem logar quando é \z — a j < R. 



CAPITULO V 



Oontiniiaoão do ostiido clajs séxMes d.e Taylor- e cie Lanr-eiit 

no oaso tias iiiiicr-õos de var'iavels coi»njlexas. 

Alotiiodo do AVciei^strass o JWil taií-I^olllei' 



44. Se, pana os valores de -x visinbos de ura valor a, tiver legar o desenvolvimento 

(1 ) f{x) = «o + «( (a; — a)-\-a-2{x — af-\-. . . 

a funcçào /(x) diz-se regular ou holomorplia na vesinliança do ponto a. Se esta propriedade 
tiver logar para todos os valores de a representados pelos pontos de uma área A, a funcção 
f{x) diz-se regular ou holomorjíha na área A. 

Viu-se no capitulo III que as funcções analytieas sào regulares nas áreas em que s.ão sy- 
nectieas. A theoria d"estas funcyries coincide portanto com a theoria das tuncyões regulares 
n'uma certa área, e pode porisso ser feita, sem a intervenção da tlieoi"ia dos integraes cur- 
vilíneos, por meio das propriedades das séries da forma (1). Este modo de expor a theoria 
considerada, cuja primeira ideia remonta a Lagrange, tem sido empregado principalmente 
por Weierstrass e MittagLeffler nos seus bellos e importantes trabalhos sobre as funcyões 
analyticas. O presente capitulo é destinado a estudar por este iiiethodo os theoremas de 
Taylor e de Laurent. Para isso principiaremos por recordar algumas proj)riedades das séries 
da forma (1), de que teremos de fazi-r uso. 

45. A área que rejneaenta os valores de x para os quaes <■ convergente a í-érie (1) <' limi- 
tada 2>or uma circttmferencia, cujo centro é o ponfo que rejiresenta «, e esta série é absoluta- 
mente convergente no interior da circumferencia considerada. 

Com effeito, seja Xi um valor de .'■ para o qual a série seja convergente. Os módulos 



56 



devem ser tudos inferiores a um numero B, visto que \a„\ |a;i — «]" tende para zero quando 
n tende jiara c/:>; e portanto temos, qualquer (jue sej;i n, 

\a„\ \xi — a I" < B, 
o que dá 

I c(„ I la; — a j" <B 



X — a 
xi — a 



Suppondo que os valores que se dão a x satisfazem á eondiyão 

I a; — a\ < | «i — a\, 
vê-se que os termos da série 



:l: \a„\ \x — a\ 

71=0 



sào inferiores aos termos correspondentes da progressão convergente 



S B 



II = o \ ^i — "1 

logo, para os valores de x considerados, a primeira série é convergente, e a série (1) é por- 
tanto absolutamente convergente. 

Como os valores de x que satisfazem á condição \x — a\ <\xi — a\ são representados 
pelos pontos do interior de um circulo de raio igual a |a,'i — rt| com o centi'o no ponto cor- 
respondente a íí, vê-se que, se a série (1) for convergente no ponto a'i, é absolutamente con- 
vergente em todos os jiontos do interior da circumfereneia que passa por este ponto. 

Fazendo agora variar xi obtem-se uma série de circunifcrencias cujos raios ou crescem 
indeíinidamente ou têcm um limito superior. No primeiro caso a série é convergente em todo 
o planOj o que se exj>rime ainda dizendo (pie ella é convergente n'um circulo de raio infinito, 
íío segundo caso o limite considerado é o raio de uma circumfereneia tal que a série (1) é 
convergente quando ,/_■ representa um ponto do interior do circulo que esta circumfereneia 
limita e é divergente quando a' representa um punto exterior. Ao circulo que vimos de con- 
siderar deu Caucliy o nome de cii-rtdo de convergcnciu da série (1). A série (1) pode ser con- 
vergente somente no ponto a'=o; n'este caso o raio do circulo de convergência é nullo. 

40. (Joiísiiicivmns agora a série 

f/o -; 'Hix — a) -f- a-2 (a; — «)" -p- • ■-\-a_t(x — a) ~ ' + «—í2 (•''-' — «)"" + ■ • • 



57 



A série inteira que forma a primeira parte d'esta expressão é convergente quando 
|a;— a <R, R representando o raio do seu circulo de convergência. 

A série que forma a segunda parte da mesma expressão é convergente para todos os va- 
lores de X que satisfazem a condição j — ^ \ < E', R' representando o raio do circulo de 

convergência da série 

«-i^ + a-iy--ra-3yM----, 

,1 

e portanto quando e x — a>-^. 

Logo a série considerada só é convergente quando é 11 > ^rjr e, n'este caso, a área que 
representa os valores de a-, para os quaes ella é convergente, é limitada por duas circumfe- 

R^ 



renoias de raio R e -^^ com o centro no ponto correspondente a a 



47. Se uma série 

Ml + U2+M3-f • • •, 

cujos termos sào funcções de uma variável «, é convergente para todos os valores de ./;• re- 
presentados pelos pontos de uma área A, o valor que em cada ponto toma o resto 

Rn = !',. + ! — M«+á + - • • 

tende para zero quando n tende para o intinito. A cada valor que se dê á quantidade positiva 
5 corresponde pois um numero m tal que é jR,i|<í, quando n'>n\. Se este numero é o 
mesmo para todos os valores de x considerados, a série diz-se uniformemente convergente na 
lirea A. 

Posto isto, temos o theorema seguinte: 

«Se a série 

ao-f-aiu-r «2 !i- + ■ . . -{- «« «"+..., 

onde u representa uma funcção de x, for convergente r£uando | w | < R, esta série é uniforme- 
mente convergente na área A que rej/i-esenta os valores de x que toi-nam | m | !^ p, f» representando 
quahjuer numero positivo inferior a R. 

Com effeito, por ser a série proposta absolutamente convergente quando x | = p (numero 

H 



58 
45), a eada valor da quantidade positiva S corresponde um numero «i tal que é 

quando n > )i|. 

Temos porém, para todos os vaIor8^; de x representados pelos pontos da área A, 

I Ri) i = • I a»l 4- 1 W" "•" ' + «11 + -2 M " "*"" + • • • 1 

<|a„ + i| iít|" + i + |a„+2| jwj" + 2 4-... 
<|a„+i|p"+H-|«n+"2Íp"+- + ..- 

Logo, pai'a todos os pontos da área A, temos ' R,, [ < ?, quando n > nj ; o que mostra que 
a série proposta é uniformemente convei'gente na área A. 

48. iSe a .lérie 

F(«)= "s'' a„x'' 

fôr coiivergente num minei circular dado e se, em todos os pontos do interior d'este atinei que 
têem o mesmo modulo o, o modulo de F (x) fòr menor do que uma quantidade positiva L, o 
modulo de cada termo da série será também menor do que L. 
Com efifeito, multiplicando a série proposta por *"-"', vem 

n = m — l n = t» 

X — '" F {x)= — a„ x" — '" -f «M + — a» x" — '" 

n = w — 1 n = /. 

-= ^ </„ x" ^ '" + "^111 -^ ^ a„ x" ~ '" + R, 



R representando uma quantidade que tende para zero quando k tende para o infinito. 
Mas, como por liypotliese é 

|a;-'"F(£c)i <Lp-'", 

e como, por mais pequeno que seja o valor que se attribiia a uma quantidade positiva í, 
existe sempre um valor ki tal que c [ R j < o, quando k>ki, temos 

|.'r-"'F(a,') — R| <Lp-'" + 3, 



59 



Dando agora nesta desigualdade a x os valores 

e a. k um valor maior do que os differentes valores de Ai correspondentes a estes valores de 
X, temos as desigualdades 

S a„ p» -"'-)- a,,,-!- I a„p''-"M<Lo-"' — 3, 
I a„ p" - "• e'" - ""'9 + a,„ + " I a„ p" - •" e" - '"''6 j < Lo - "' ~ ô, 



que dào, sommando-as e attendendo a que u modulo de uma somnia de quantidades não pode 
exceder a somma dos módulos das parcellas, 

I "~í: a„ p''-'" (1 +e"'-'"He +. . . + e(-<-ii («-"mO) 

I H = — 00 

+ "l a„ p"-'" (1 +e<"-""'9 + •••-«'"-" '"-""'■«) -fa«„.|<«(Lp-"'- 3), 



ou, pondo 



1 pa(n — m)iQ 

1 _i_e(n-m),9_L_ .-i-ei»-!) («-'»)íe= j": — * = A 



e dando á quantidade f) um valor que não seja raiz da equação 

1— e"'-"')'fl = 0, 
isto ó um valor tal que A seja finito, 



I! «„ Ap"-"' + aa„, -f- il a„ Ap"-™! <afLp-"' +S), 

ii = — X ' tt = m + l I 



60 



I , B i , 

«mH < Lp - "' + Cl, 



representando por B a parte do primeiro membro da desigualdade precedente independente 
de a,„ . D'esta desigualdade tira-se 

(«) |a„, i<Lp-"' + 3, 

porque se fosse 

I a,„ |> Lp-"'+5, 

podia dar-se a a um valor tão grande que fosse 

\a,„ \ — - — ^ >Lp-"' + cl, 
ou á fortiori 

I , ^M T I vX 

((,„ I > -Lip "" I '■j, 

i "1 

visto ser 



- — '- + a,„ -1 > a„, . 

Da desigualdade (a) tira-se o theorema enunciado; porque, se fosse | a„, | > Lp^"', podia 
dar-se a í um valor tão pequeno que fosse 

I a„, I > Lp~"'4-3. 

O theorema qui' vimos de demonstrar ó devido a Cauchy. Aqui serve como lemma para 
a demonstração do theorema seguinte. 

•Jt>. Se uma funccão f(x) fòr suscej)livel de ner desenvolvida na série vniformemenfe con- 
verfjente dentro de um aunei, comprehendido entre duas circumferencias de raio R e R' com o 
centro na origem das coordenadas : 

(1) /H =/o {x) +/, {x) + . . . +/„ {x)-\-..., 



61 



e se as fiincções fo(x), fi{x),. .. forem susceptíveis th .-er desenvolvidas em séries ordenadas 
segundo as potencias inteiras de x, convergentes dentro do mesmo annel: 

1 /„ {x) = A<"' - A;"> X - A'"' «2 + . . . + A"" s" - . . . 
(2) " ' 

( +A^',a:-'-A-a3-^^...+ A:;__a--"'^..., 

a funcção /(x), será também suscejítivel de ser desenvolvida em série ordenada segundo as po- 
tencias de x: 



(3) 



ii) 



[f(x) = Ao-^Atx — Á-2X- — . . . + A,„a;"' + . . . 

( -f A_j£c-* + A_2aí-- + . . .+ A_,„ «-"'—. . . 



^ A^ = A;;" + A;_;'+-..+A;;'-f.., 

) A_ =A™' -A<" +-..-^A'"' -f 



Este theorema representa um papel importante na theoria das funcçues analytioas. É de- 
vido a Weierstrass, assim como a demonsfraçào que vamos dar d^elle ('). 

Seja p uma quantidade positiva tal que R'<&<R; por ser uniformemente (.•ouvergente 
a série (1) na circumferencia de raio p, a cada valor da quantidade positiva í, por mais pe- 
queno que seja, corresponderá um numero «i tal que as desigualdades 

\fn + i(x)+fn^,(x)+...\<l-^, 



serão satisfeitas por todos os valores de n superiores a ?i| e par todos os valores de x que 
têem o modulo o, qualquer que seja^; logo a desigualdade 

\f,^iix)-^f„^c,(x)-^. ..+/„ + , (x)\<^ 

será satisfeita pelos mesmos valores de n e x. 



(') Monatubcrwht der KHn. Akademie der Wissenschaflen :u Berlin (1880). 



62 

]\[as temos, sommando os desenvolvimentos de _/'„ + i ia-),. . ., /„ t-,, (a;), 

/„ + , (a;) + . . . +/,. + ,, (X) = ^^^ Í_ ^ (A-+>' + . . . + A-+'":i .r-'" . 
Logo, em virtude do tlieorema demonstrado no numero precedente, tenu s a desigualdade 

I K'^'^ "^ ^1""^" ^ • • ■ ^- A;;;'+'" | < í^^"", (« > «i ) 

da qual se eonclue a convergência das series (4), applicando para isso o critério fundamental 
de convergência e divergência que se deve a Cauchy. 

Considerando agora outro numero positivo f>i tal que seja R> oi > R', podemos dar a «i 
um valor tal que seja também 

! K^" " A;;+-' --... + a<;^+" ; < ^;"', 

quando ?í > nt, por maior que seja p; e portanto 

] lim ( A;^'+" + A^'+-* + . . . + a;^;+'" | < Sp-™. 

Pondo para brevidade 

a;; + a^'+...+a;^" = a;^, 

I lim (^A;;+'> + A;^'+'' -f • • • + a;;'+'") = a;; , 
I' = ^ 

o que dá 

A = A' -^ A" , ! A" I ^ òo~"' 

vem, para os valores de ;'• cujo modulo o é inferior a pi, a desigualdade 

1 a;; I — I a,' x 1 4- . . . — I a_'^ «"■ I + . . . 

i pi \pi/ J pi — p 

da qual se couclue que a série 

A" + Aí' a; -f . . . — A^ íc" + . . . 
é absolutamente convergente. 



63 



Considerando outro numero 02 tal que seja p > po > R', vê-se do mesmo modo que temos 
a desigualdade 

P 



i A" £c-' I + I A" £c-- 1 -f. . .-f- 1 A" a?-" j +. . . < 5 

p-p-2 

da qual se eonclue que a série 

A_, 03-' 4- A_j a--- + ....+ A_,,„ a,'-" H- . . . 

é também nlisolutamente convergente. 
Temos depois 



^n A„, X"' = ' i* (a;„ j- a;;,) cc" = "i V™ (*■) + "' -" a„; x"- , 



<ronde se tira 



5: /,„(«)- I A,„a;'«= 1 /;„(íc)— I A"*"', 

I = U m = — oc IH = 11 + 1 ^ W! = — X "' 



i 



e portanto 

I "' í °% (x) - '" í " A,„ £c'" I < í - 5 — í^^ 'r 3 — ^ . 

i «1 = o m = - 00 I pi — p p — p2 

Como a o se pode dar um valor tão pequeno quanto se queira, tira-.se d'esta desigualdade 

m =0 m = — X 

isto ó a igualdade (3), que se queria demonstrar, e vê-se que esta igualdade tem logar para 
todos os valores de .<■ cujo modulo está oonipreliendido entre pi e p-j. Como pi e p.j sfio tào 
próximos de K e 1!' quanto se queira, vê-se que a igualdade anterior tem logar para todos 
os valores de .'/• representados pelos pontos do amiel limitado pelas circumferenc-ias de raio 
R e R' e com o centro na origem das coordenadas. 

No que precede pode ser R' = 0, e então o annel circular, que vimos de considerar, re- 
duz-se a um circulo de raio igual a R. N'este caso os desenvolvimentos (2) e (3) nào contéem 
])otencias negativas de *. 



64 



õO. Antes de entrar no assumpto que forma o objecto principal dVste capitulo, de- 
monstraremos finalmente as proposições seguintes: 

1 ." ^ somvia e n proãucto de fiincções regulares, na vesinhinca <lo povio a . hw regulares 
na vesmhanra do mesmo ponto. 

Com efteito, se as funeções /(ai) e F (a?) sào regulares na vesinlian^'a do ponto «, temos, 
para valores suficientemente pequenos de \x — a\, 

f(x) = OQ-^ ai{x — a) — «2 (íi' — «)" + • ■ ■ , 
F (x) = b(,~hi {X — a) + J-2 {x — a)- + . . . : 

e dVstas igualdades tiram-se, em virtude de tlieoremas bem conhecidos relativo? ás operações 
sobre séries, as igualdades seguintes: 

f[x) — F («) = ao -r ío — (a I + ii) (a; — a) + («-2 + b-i) {x — af -f • . • , 
f(x) F (,?-■) = ao Ju + (a» h{ -p ai h)) (x — a)^ (au h-i -p aj èi + «-2 h\) {x — a)- — . . . , 

que têem lugar para us mesmos valores de \x — a\. 

2." A funcçào [f{x)]'' é também regular na vesinhança do pcnto a, qualquer que neja o 
valor de f(a), no caso de k ser inteiro e positivo, e quando f (a) é differeníe de zero, nos outros 
casos. 

O caso de k representar um numero inteiro positivo já foi considerado, visto que n'este 
caso [f{x}f representa um producto de factores. 

Nos outros casos temos, suj)pondo on =./'(«) differente de zero, 

l/w]* = «"[ H--~u--"H-~(^-«J- + - • .r' = 'ío[i"P(.-'--"i7, 

representando por P(.t — a) o desenvolvimento 

P (x — a) = (x — ai\ p — (X — a) 4- . 

I (H> ao 

Uando a [ ./■ — a\ valores tão pequenos que seja 

|P(..— a)|<l, 

podemos desenvolver [/(*•)]'' em série ordenada segundo as potencias .<• — n por meio da for- 



65 



mula <le Newton (numero 25), e teremos 

[/(a.)]í = «o [ 1 -W. P (x- «) ^- ^^í^^l P (X- a)--^ ^ . . . j. 

Esta série é uniformemente convergente na vesinhança do ponto a (numero 47), assim 
como os desenvolvimentos de P (*■ — «), [P (o; — a)]-, . . . ; logo a funcção [/(J")]'' é susceptivel 
de ser desenvolvida (numero 49) em série ordenada segundo as potencias de ./• — a, na vesi- 
nhança do ponto a. 

Y{x) 
3.° O quociente . é regular na vesinham^a do ponto a, se fia) fôr diferente de zero 

Este principio é uma consequência dos dois anteriores, visto que podemos escrever a ex- 
pressão considerada debaixo da forma Y {x) [f {xj]~^ . 

4." Se F (y) fôr regular na vesinhança do ponto i/ = b e se y=f(r'} jÔr regular na vesi- 
nhança do ponto a, a que corresjiondc y^h, F[/'(a;] é regular na vesinhança do ponto a. 

Temos, por hypothese, 

F(,j) = b,--rbi(y-b) + h,{y-hr^-^..., 
y — b = a\{x—a)~^ai{x — a)- + • • • 

Substituindo na primeira série y — b pelo seu desenvolvimento e ordenando o resultado 
segundo as potencias de {x — a) vem (numero 49) um resultado da forma 

A(i + Al (ic — «) + A-2 (íc — a)- -j- . . . , 

o que demonstra o theorenia enunciado. 

51. Postas estas proposições relativas ;ls séries inteiras, vamos agora deduzir a série de 
Taylor e demonstrar o theorema de (Jauchy relativo ao raio de convergência d'esta série. 
»Se a série 

(1) /■(«) = ao + ni (a- — c/)-ra-2(a.'— a)-+. . . + a„ (« — «)" + . . . 

fôr convergente no interior de uma circumferencia de centro a e raio R, isto é quando 
\x — a j < R, e se Jo represeniar um ponto do interior d'esta circumferencia, a Jmicçào f (x) 
admitte uma derivada finita no ponto X{) e esta derivada é dada pela série 

f'('J\\)= E na„(./V) — a)"- ', 

n = I 

cxtjos termos se formam derivando os termos da série proposta. 
I 



66 

Em segundo logar temos 

f{x) =f{xo) + (X- - a-o)/' (xo) + ...+ Y^^f" (^o) + . . . , 

e este detenvohmnento tem Jogar para todos os valores de x que satisfazem á condição 

j íe» — a I + j £c — «o I < R, 

isto é para todos os valores de x reptresentados pelos pontos da área de um circulo de centro 
oco, contido no interior da cir cu inferência de raio K e tangente intenormente a esta cirmmfe- 
rencia. 

Com eíFeito, pondo na série proposta x = 3co-\-h, temos 

f(xo + h)= S a„ («o -r ^ — «)" ■ 

n =0 

Esta série, (.onsiderada como fiincção de h, é uniformemente convergente quando 
1 050 + /i — a I < R, ou áfortiori quando é | íco — a | + | /í | < R. Desenvolvendo pois os binómios 
que n'ella entram e ordenando o resultado segundo a8 potencias de h, temos (numero 49) 



onde é 



/(.ro + h) =f(xo) + hfi (a.o) + h'-fi (.to) + . . . , 



J\ (.ro) = S na,i (a-d — «)" , 



f-2 (xo) = 1 ?i ()i — 1 ) a„ (a?o — a)" ~ *, 

n = l 



1'ondo ag(jra h = x — x^\, vem 

/(•^) =/(*'o) + (x- Xi))fi (a-„) + ^(x- xaY-fi (xo) +... 

com a con(lic;ão de ser | .nt — a | -p | a? — a'o [ < R- 

Para destas formulas tirar o theorema enunciado, basta notar que a ultima dá, passando 
f{xi)) para o primeiro membro, dividindo depois os dois membros por x — xo e fazendo tinal- 



/ t:M 



67 



mente tender x — a-o para zero, fi{xo)=f' (xo). Basta em seguida notar que cada uma das 
foncções 

fi (a^-o),/3 (a-o), . . ■ 
se deduz da anterior como /' (a-n) se deduz de /(a\i), para ver que é 

fi {xo) =/" (xo), fz {xo) =/'" (xo), • • • 

52. Se a fimcção f(x) for regular no interior de uma circumferencia de centro a, o 
desen voJvimen to 

/(a--) =/(«) - (x - «)/' (a) -^ Y (^ - «)■/" («)-••• 

tem logar para todos os valores de x representados pelos pontos do inferior d'esta circumfe- 
rencia. 

Esta proposição coincide com o tlieorema de Cauchy, considerado no numero 30, e pode 
ser demonstrada do modo seguinte. 

Notemos primeiramente que, se uma funcçào /(«) fôr regular em uma área A, o contorno 
sendo incluido, os valores do raio de convergência da série 

f(x) =/( a) + ix - «)/' («) - y (a; - ay-f" («) + ..., 

correspondentes aos valores de a representados pelos pontos d'esta área, têem um limite in- 
ferior X, e mostremos que este limite é differente de zero. 

Circumscrevendo, com efFeito, á área A um rectângulo, cujos lados sejam parallelos aos 
eixos das coordenadas e dividindo depois esta área em quatro novas áreas por meio de 
duas rectas parallelas aos lados do rectângulo e que o dividam ao meio, os valores do raio 
de convergência da série precedente, correspordentes aos valores que toma u em uma, pelo 
menos, d'ellas, deve ter evidentemente t;iml)em para limite inferior o numero '/,. Represen- 
temos esta ultima área por Ai. 

Dividindo do mesmo modo Ai em quatro novas áreas, os valores do raio de convergência 
da série considerada, correspondentes aos valores de a representados pelos pontos de uma, 
pelo menos, d'estas ultimas áreas deve ter "/. para limite inferior. Kepresentamol-a por Aj. 

Dividindo Aa em quatro novas áreas e continuando do mesmo modo, obtem-se uma série 
de áreas Ai, A^, A3,. . . , cada uma das quaes tem no interior a seguinte, que decrescem e 
tendem a reduzir-se a um ponto, collocado no interior de todas ellas; e vê-se portanto que 
podemos traçar uma circumferencia com o centro no referido ponto e de raio r, tão pequeno 
quanto se queira, tal que o limite inferior dos valores que toma o raio de convergência da 



B8 



série considerada, eorresjjondentes aos valores de a representados pelos pontos da área limi- 
tada por esta circumferencia, seja egual a X. 

Seja agora ,3 o numero representado pelo ponto a que vimos de nos referir, e ri o valor 
do raio de convergência da série considerada, correspondente a «=[5. Por meio do theoreraa 
demonstrado no numero anterior vê-se que é X>ri— r, suppondo que é ri>r; e portanto 
'/i = r(, visto que )• se ]ioile tornar tão pequeno quanto se queira. 

Notemos, em segundo logar, que o limite superior M dos valores que toma \f(x) \ na 
área A â finito. Vê-se com eíFeito primeiramente, por meio de um raciocínio análogo ao que 
vem de ser empregado para mostrar que A é differente de zero, que existe uma circumfe- 
rencia de centro gíi e raio tão pequeno quanto se queira, tal que, na ái'ea limitada por esta 
circumferencia, o limite superior de i/(a;) | é egual a M; e, por ser continua esta funcção jio 
ponto Cd, vê-se também que os valores que toma na vesinhança d"este ponto devem diíFerir 
pouco de i,/'(ai)l, e que não podem porisso ter um limite superior infinito. 

Posto estes dois lemmas, seja (c) a circumferencia mencionaila no enunciado do theorema 
que pretendemos demonstrar e R o seu raio. 

Por ser regular a funcção f{x) na vesinhança do ponto a (ao qual corresponde o centro 
da circumferencia) existe nma circumferencia (ci), de raio [ji, e com o mesmo centro, tal que 
é, em toda a área que ella limita, 

(1) /(„,,=/(„) + (.«_«)/ (a) + i_(a,_a)2/"(«) + . . ., 

e basta demonstrar que é pi =R. 

Supponhamos que era [ji<^R. Por ser também regular a mesma funcção na vesinhança 
do valor b de íc, correspondente a um ponto B interior a (ci), existe uma circumferencia (c^), 
de centro B e raio fi-2, tal que é, em toda a área que ella limita, x' representando um ponto 
qualquer d'esta área, 

f{x') =fib) + (x' - h)f (b) + j {x' - bff (6) -I- . . . 

líepresentando porém por L o máximo valor de \f\x')\ na circumferencia de raio igual 
a \x' — b\ e centro b, temos, applicando o theorema demonstrado no numero 48, 



1 



1.2. 



/("')(?>)! !«'- 5 j'"<L; 



e portanto, representando por l um numero que satisfaça ás condições 0</<X e (>i-t-Z<R 
e por M o maior valor que toma |/(a;)| no circulo de raio egual a pj -}->., 



1.2.. .m 



l" < M. 



69 



Notando agora que é 



/w(è)= 1 YTJTr,^ (ò-a)"-'«/""(«1, 



e applicando outra vez o tlieorenia do numero 48 á funcçào de b 

^ ?í (?? — 1 ) . . . (n — m+1) _ 

2. — -— jr -— T (6 — a)" '" l"'t >"' ia), 

„ = ,„ 1.2. . .?ix 1.2. . .TO ^ ^ •' ^ '' 

cujo modulo é inferior a L, vem 

1 .2. . .n X 1 .2. . .m ' ' '•' ' ' 



— -^5 ~-- \b — a\"\ — i / ("I (a) < L 

1.2. . .n X 1 .2. . .?íi ' \ pi / -^ ^ ■' 1 I p, 

e portanto, sommando todas as desigualdades correspondentes aos valores 

TO = 0,1,2,3,...,«, 

|/^>(a)M^-»l"/l^M"<,L"'v"|Í^r 
1.2. . .« \ pi/ ,„=,u| pi I 



|/W(«)|i5-ai" / ^ n- P. 

1.2. ..« l' ' pj ^-^ p,_|è-a|' 



l/'"'W! i^^-al" ^i;^ pi 



1.2...n p,_|è_t,| „,/i , ^ 



\ Pi 



Esta desigualdade mostra que a série (Ij é tunvergente quando é 

i 



X — a , <\b — a, 1 

' ' \ pi 

e basta attender a que \h — a\ differe de pi tâo pouco quanto se queira, para concluir d'ella 
que aquella série é convergente n(j interior da circumfercncia de raio igual a pj-t-í. 



70 



Demonstrado assim que o segundo membro de (1) é convergente no interior da circiim- 
fereneia de raio pi+í, resta demonstrar que coineide comf(x) em toda esta área. 

Para isso, representemos por 'f (x) e a série que entra no segundo membro de (1), e no- 
temos em primeiro logar que é, por hypothese, o (x) = O no circulo (ci ). 

Tomando uni ponto b n'este circulo, tão próximo quanto se queira da sua circumferencia, 
temos a igualdade (n." ÕO — 1 .") 

.^(x) = -^(b) + {x-b)'^'{L) + ^(:x-bf'^"{b)+...; 

mas, por ò pertencer ao circulo (a), é tp (6) = O, s-' (ô) = O, . . . ; logo temos a (»•) = O em todos 
os pontos da área d'este segundo circulo, que é em parte distincta da anterior. 

Continuando do mesmo modo até considerar toda a área do circulo de raio pi + Z vê-se 
que 'i(jj é nulla em toda esta área, e portanto que a igualdade (1) tem logar para todos os 
valores de x representados pelos pontos d'esta área. 

Basta agora notar que tinliamos partido das liypotheses de que pi era o raio de circulo 
no qual tinha logar a igualdade (1) e que era pi < R, para concluir que esta ultima desigual- 
dade é absurda, e que deve porisso ser pi = R. 

53. A demonstração da formula de Laurcnt por meio das propriedades das séries in- 
teiras foi dada por Mittag-Leffler nas Memorias da Sociedade das Sciencias de Liege {2.^ série, 
t. Xi) e no t. IV das Acta mathematica. Para expor esta demonstração são necessárias algumas 
notas preliminares que vamos apresentar. 

Sejam X & y duas variáveis complexas ligadas pela relação 

, , \\í xY . m 



ondn 11 rejiresenta um numero inteiro positivo e R um numero jiositivo. E em primeiro logar 
necessário procurar qual é a área iiue, no piano de representação dos y, corresponde a uma 

área A, limitada pelas circumierencias de raio R(l -p p) e -- — — , com os centros na origem 

das courdenadas, onde são representados os valores de x. Suppomos que a quantidade p é 
positiva. 

Para resolver esta questão procuremos primeiramente qual é a curva descripta pelo ponto 
correspondente a y quando o ponto correspondente a x descreve uma circumferencia de raio 
igual a R(l +0), com o centro na origem das coordenadas, í representando uma quantidade 
positiva não superior a p. Para isso basta pôr em (1) 

2/ = X -f lY, a' = R (1 -p í) (cos -f + i sen 'f ), 



71 



o que dá as equações 



(2) 






que determinam os pontos (X, Yj da curva pedida, fazendo variar -i desde O até 2t., e que 

mostram que esta curva é uma eliipse. 

A curva, cujas equações vimos de achar, gosa das propridades seguintes: 

1." O seu centro coincide com a origem das coordenadas. Os seus eixos coincidem com 

os eixos das coordenadas e são Í£ruaes a 



(1+ôj"- 



(1 



1 n . -^« 1 



A distancia dos focos ao centro é igual á unidade. 

2." A distancia de cada ponto da curva á origem das coordenadas é dada peia foruiuia 

(3) X2 + Y^ = ^ [(1 + òf" + Tj-^y^ + 2 (cos2 n-^ - sen* irA 

Como a derivada de X- + Y- relativamente a 5 é positiva, vê-se que X- -r Y- cresce 
quando 3 cresce. Esta circumstancia faz ver que as curvas correspondentes aos diversos va- 
lores de í não se podem cortar e que as curvas que correspondem a menores valores de í 
estào no interior das que correspondem a maiores valores de ?. 

Pondo em (2) 3 = 0, vêem as equações 

X = cosji-f, Y = 0; 

logo, quando x descreve uma circuraferencia de raio R com o centro na origem das coorde- 
nadas, y descreve uma recta que une os pontos f— 1,0) e (1,0), e esta recta est;'i pois no 
interior de todas as curvas correspondentes aos diversos valores de í. 

Do que precede conclue-se que, quando ò varia desde O até p, a eliipse descripta por y, 
correspondente á circumferencia de raio R(l— í), descripta por x, varia desde o segmento 
de recta pq^ que une os pontos (— 1, *>) e ( 1 , 0), até uma eliipse determinada í E), afastando-se 
sempre da origem das coordenadas em todas as direcções. 

'à." Quando x descreve o circulo de raio — ^, ?/ descreve ainda a curva representada 

l-t-ô ' -^ ' 

pelas equações (2). 



Pondo, com efteito, em (1) 



R 

V = X + i Y, X = - , , ^ - (cos cí + i sen ■í<) 



vêem as equações 



Notando que a curva representada jior estas equações não se altera quando se muda -f 
em — -f, vê-se que ella coincide com a curva representada pelas equações (2). 

4.° Por cada ponto do plano de representação dos y passa uma das curvas dadas pelas 
equações (2). 

Com eífeito, a equação (1) dá para a-, quando y é dado, 2»i valores: 



^=R\/y±v/y--i- 



Seja a-' um d'estes valores. Quando x descreve uma circumferencia de raio |ic'| com o 
centro na origem das coordenadas, y descreve uma das curvas representadas pelas equações 
(2), que passa pelo ponto correspondente ao valor dado a y. Os outros valores de x devem 
ter todos módulos iguaes a |a;'i, visto que por cada ponto não pode passar mais do que uma 
das curvas representadas pelas equações (2). 

5.° A maior e a menor distancia dos pontos da curva representada pelas equações (2) á 
origem das coordenadas podem ser obtidas procurando os valores de cf que tornam a expressão 
de X- -!- Y-, dada pela formula (3), máxima ou minima; o que dá para valor da distancia 
máxima 

1 [-. , 'ss , 1 



e }iara valor da distancia minima 



(1-5)"- 



1 



Reflectindo um pouco sobre as propriedades que vimos de indicar, podemos concluir que 
ao annel circular A, collocado no plano de representação dos x, com2)rehemUdo entre as cir- 



i 



73 



cumferencias de raio R (1 + p) e - — , e com o centro na origem das coordenadas^ corresponde 

no plano de rej^resentaçào dos y uma superjicie B limitada 2'or uma curva fechada composta 
de um só ramo e tendo no interior os pontos y = Oey~+l. 

34. A demonstraçào, dada por Mittag-Leffler, do theorema de Laurent funda-se ainda 
n'uni lemma demonstrado por Weierstrass na sua bella e importante memoria sobre a theoria 
das funcções inteiras ('j, que vamos estabelecer. 

Seja f{x) uma funcção de x monogenea, uniforme e regular na área A, limitada pelas 

■R 

fircumfereneias de raio R(l— o) e — , com o centro na origem das coordenadas. 

1 -rp 

Pondo ainda 

--^«=i[(fr-(-^)-i- 

a cada valor de ij correspondem 2» valores (a;i,a'-2,.. -jX^n) para x, e entre estes valores só 
existem alguns iguaes quandu t' .'/= + 1- Por meio d'estes valores podemos furmar 2n fun- 
cções Fo, Fi, . . . , F-2„ _ I de ?/ taes que a igualdade 

(O) '^y~'F,.x^'^f(x) 



seja satisfeita quando a x se dão os valores a'i, a:-),- . ., x-)„. Para isso basta notar que, em 
virtude da formula de interpolação de Lagrange, temos, quando as raizes ,ri,.r2,. . . iXi,, s.ào 
todas differentes, isto é, quando ij é difFerente de — 1 e — 1. 

f[x)= — -ÍY, . , (X = a."i, . . . , a,--2„) 

•' ' „ = , ir (aí,,; x — x,. ' ^ ' ' ' 

onde 

II (x) = {x — Xi). . .{x — ajá,,) = aj-" — 2 ?/R" a;" -r R^", 

6 que temos também 

II (a;) a;-" — a-v'" 



- 2 ?/R" - — = a;2« - * + íc„ a;^" - 2 -f- . . . -l ar„2" - i _ 2^R« x„" - «. 



(') Ahhandhiníjtn diT KUnigl. Akadeiiiie der Wisseiischafltn zu Berlin. 1876. Uma tradiuçào tranceza 
desta meinorÍH foi publicada ii08 Annales de l'Ecníe Xurmale Supérieure de Paris (2.' série, t. viiii. 
.J 



74 



Logo, para ser satisfeita a igualdade (5) pelos valores xi,Xi,. . .jXi,, que correspondem 
a valores de y diíFerentes de + 1, basta pôr 

*-"-* „r, ir (A.)' 

F, a = " V'" '^"• ^ ''"-'"^ 

..=1 ir(«,.) ^ .=1 ir(*v) 

onde .Ti,:!"^-,- • m^^^h sào os valores de x dados pela igualdade 

e onde é 

II' (.r,) = 2 wo;,/' - * (av" — »/R") . 

Posto isto, v;imos agora mostrar que as funcyòes de y representadas por Fu, F| , . . . , Fá,, _ i 
são todas regulares na área B. 

Seja ò um dos valores dados a t/, representado por um dos pontos da área B, e sup- 
ponhamos em primeiro logar que b é difíerente de +1. 

Escrevendo a relaçíio entre x % y debaixo da forma 



X = K \hy — h)-\-h+ \/{y — b)-~'Ib{y — b)-'- b- — 1 
ap[iliranclo os tlieoremas demonstrados nu numero 50, vê-se em primeiro logar que o radical 



^(y — b)- -'■- ■2b(y~b)^b-—l 

é regular na vesinhança do ponto b, e em seguida que as quantidades x,. são regulares na 
vesinhança do mesmo ponto. 

A funcyão f(x,.) é também regular fnumero 50 — 4.°) na vesinhança do ponto consi- 
derado. 

Basta agora attender a que as expressões de Fo, Fi,. . ., Fi„_i são compostas de som- 
mas, productos e quocientes de funcções regulares na vesinhança do ponto b e que II' («„) só 
é nulla quando ^ = + ^ ) par* concluir que estas funcções são regulares (numero 50) na ve- 
sinhança do ponto b considerado. 



75 



Siipponhainos agora que é 6=1. As expressões de Fo, Fi,. . .,F2„_i sào compostas de 
pareellas da forma 






2n(x„"—yW) ' 

Temos primeiramente, na vesinhança do ponto ^=1, 

1 j i_ 

*/y--l = (^-l)-[H-2-(Z/-l)-...] = (Z/-l)-I'(>-l), 

V{y—l) representando um desenvolvimento ordenado segmido as potencias inteiras e posi- 
tivas de y — 1. 

Temos depois, na vesinhança do mesmo ponto, 

e, pondo [y — 1)- = t e representando por A„, o coeiticiente do termo de ordem m -\- 1 no 
desenvolvimento d'este binómio, 



segundo membro d'esta igualdade pode ser desenvolvido segundo as potencias de t 
(numero 49), e temos portanto um resultado da forma 



n =0 m = (I 

Em virtude d'esta igualdade e dos tbeoremas demonsti-ados no numero 50, vê-se que 
^ (x„) é da forma 

m = O m := O 



tíi = 00 " m = oo 



Basta agora attender a que cada um dos signaes que affectam a segunda das séries, que 



76 



entram nesta formula, corresponde a uma raiz da equação -^(x)— ,y = 0, para concluir que os 
termos dependentes de (//— 1)" devem desapparecer na soninia ÍI '■;(«,,) e que deve ser 

V = 1 m = O 

Vê-se pois que as expressões de Fo, F(,. . .,Fi„_i sào ainda regulares na vesinlianga do 

ponto 3/ = 1 • 

Do mesmo modo se mostra que estas expressões sào regulares na vesinliança do ponto 

^ = -1. 

As funecões Fo, Fi , . . . , F-i„ _ i foram determinadas de modo que, para cada valor dado 
a y, os valores correspondentes de x, dados pela equação (1), satisf:tçam á equação (õ). Pondo 
pois y = 'f{x) n'esta equaçíio, temos o theoreraa seguinte: 

A igualdaih 

!■ = 2 » — I 

/ (.,•;== í: F„ [cp (a-)] *" 

e satisfeita 2>or todof: os vaioreí< àe rr reprefenfxdos jmlos pontos da área A. As funecões de y 
representadas 2)or Fo, Fi,. . ., qve entram nesta igualdade, são regulares na área B. 

Heve observar-se que, para estabelecer esta igualdade, excluiram-se os valores de .'• cor- 
respondentes a?/=lea^ = — 1. Basta porém attender a que os seus dois primeiros mem- 
bros admittem (numero 51) derivadas finitas nVstes pontos, e a que portanto sao continuas, 
para concluir que ella ainda tem logar para estes valores de .r. 

55. Fundado nas proposições que vimos de demonstrar nos dois números anteriores, 
obteve Mittag-Leffler o tlieorema de Laurent do modo seguinte. 

Supponhamos que /(.c) representa uma funcção monogenea, uniforme e regular na área 
limitada por duas circumferencias de raio R' e E" e seja R um numero compreliendido entre 
R' e R". 

Representando por /; uma quantidade positiva arbitraria, jjodemos dar a p um valor tão 
pequeno e depois a n um valor tào grande que seja 

R(l+p)<R", -r^>R', 

Viu-se no numero anterior que as fimcções F,, (?/), Fi (?/),. . ., Fs,, _ i iy) são regulares na 
área B, correspondente aos valores de »■ representados pelos pontos do annel comprehendido 



77 



entre as ciroumferencias de raio R(] ~ [j) e - — ; , com os centros na origem das coorde- 
nadas. Como porém o primeiro membro da ultima desigualdade representa o minimo valor 
da distancia dos pontos da curva, que limita B, á origem das coordenadas, vê-se que esta 
área contém no interior o circulo de raio l-pÃ, Logo temos, para os valores de y represen- 
tados pelos pontos d'este circulo (numero 52), 

Por outra parte, dando a s um valor positivo sufficientemente pequeno para que seja 

e notando que o primeiro membro d'esta desigualdade representa o máximo valor da distancia 
da origem das coordenadas aos pontos da curva que limita a área Bi, correspondente ao 

R 

annel Ai. limitado pelas circumferencias de raio Ri^l — s) e -p— ;-, com o centro na origem 

das coordenadas, vê-se que os módulos das quantidades representadas pelos pontos da área 
Bi são menores do que \-h. 
A série 



i-^rAiríí^r^ffiT 



é portanto (numero 47) uniformemente convergente na área Ai, e temos, para os valores de 
X representados pelos pontos d'esta área (numero 49), 

Sommando agora todos os desenvolvimentos d'esta forma, que correspondem aos diversos 
termos da somma 

/(a,-) = "^v~'F.(3,)a-, 
obtem-se um resultado da forma 
(6) f(x)= "'^" A,„.r-, 



que tem logar para todos os valores de x representados pelos pontos da área Ai. Basta agora 
fazer variar E desde R' até R'' para concluir que a formula (6j tem lo^ar para todos os va- 
lores de X representados pelos pontos da área limitada pelas circumferencias de raio R' e R", 
com o centro na origem das coordenadas. 

A formula ((5) é a formtãa de Laurent, que pretendíamos obter. 

Applicando a formula (6) á funcção /(»■ + «) e mudando no resultado .r em x—a, 
obtem-se o desenvolvimento 

«1 =»: 

/(■'■)=^^f_^A„(a;-a)"', 

que tem logar para todos os valores de x representados pelos pontos do annel eomprehendido 
entre as circumferencias de raio E' e R'', com o centro no ponto correspondente a «. 

56. O methodo que vimos de dar não é próprio para o calculo dos coefficientes do 
desenvolvimento. Estabelecida porém a possibilidade do desenvolvimento, é fácil obter a ex- 
pressão dos coefficientes por meio de integraes definidos. 

Jlultiplicando, com efFeito, os dois membros da igualdade anterior por {x—a)-", obtem-se 
um resultado da forma 

(.,. _ a)- -f(x) = A„ -f í: A,„ {x - ar, 

onde m é difierente de «. Pondo agora x — a=J{e'^, R representando mii;i (piantidade qual- 
quer compreliendida entre R' e R'', e integrando os dois membros da igualdade entre os 
limites (• e 2-, Vem a formula 



já obtida no numero 32. 



CAPITULO VI 



Sór-ie tio liiirmaiiH. í^sói^ie d.e Ijagr-ange 
O-enerallzacSo cia sér-ie cie Biirmanix 



5". Passemos agora a tratar do desenvolvimento de f{x) em série ordenada segundo 
as potencias inteiras e positivas de uma funcção dada 6>(«), isto é, em série da forma 

A,i ' - Al e \^e) -f A-2 d- (X] -r - • • -r A„ 6" {x) — . . . , 

procurando as condiyòes para ijue este desenvolvimento tenha logar e o valor dus coetficien- 
tes Ao, Al, A2, . . . 

Supponhamos que as funcções/(3) e 6(z) sao synecticas na área A limitada jior um único 
contorno fechado S, que 6 iz) admitte um único zero no interior deste contorno e que, de- 
signando por X um valor representado por um ponto do interior da área A e por a o valor 
que torna nulla esta funcçào e pondo d{z) = {z — u)f) (z), a desigualdade 

\6(x)\<\6(z)\ 



\x — a\ \B(x)\<' z — a\ \B(z)\ 

é satisfeita por todos os valores de z que correspondem aos pontos do contorno S. 
N'este caso a equação 

6 (2) — d (x> = O 
tem uma única raiz z = x no interior do contorno S. Com efteitu, o numero d'esta3 raizes é 



80 

(lado pelo integral (numero 31) 

_J_r 6' (z:) eh 
" 2ÍTjse(z) — 6{x)' 

ou, desenvolvendo-0 em série, 

1 r /' d'(z)dz , ^ , , /■ d' (z) dz . 

mas o primeiro termo d'esta série é igual ;i unidade, visto representar as raizes da equayão 
6 (2) = O eomprehendidas na área A, e os outros s5o nuUos, por ser, pondo z = [je'"', 



í ^'_(M^^\ 1 r^o- 

js 6"{z) L(n-ljÔ"-'(z)J„ 



logo é ie= 1. 

Posto isto, consideremos o integral 

1 f f(z)6'{ z)dz 
2;tJsH:)-6{x)- 

(Jomo o denominador da funuçâo integrada é nulio quando z^.r e esti' zero é o unieo 
que este denominador tem na área A, temos (numero 2S — 1.°), representando por C uma 
eireumftrencia eujo centro seja o ponto x e cujo raio seja igual ao raio do circulo de con- 
vci'gencia da série 

6 (2) - e (x) = (2 - X) b' (;/■) J- -^ (2 - T) 6" (x) + ..., 



^1. 



f{z)b'(z)dz 
T 



c (z - a) [&• {:,■) + ^{Z- X) Ô" ix) + ...] 
mas (numero 28 — 2.") 

f(z)6'{z)dz 






^c(z-a:)[6'(,T)-irl-{z-x)6"ix) + ...] 
logo 

'^•"^ 2;-./s 6{z)~e{x)' 



/(•T): 



Se attendermos agora a que, por ser | 6(a") | < | 6(z) [, tem logar o desenvolvimento em 
série 

1 1 , ôíx) , , e"ix) , 



d{z) — e (X) diz) ' 6-{z) ' ' ■ ■ ' 6" + * (2j ' ■ ■ ■ ' 
vê-se que é 

j^""' ^ir.ijs 6(z) ' "^-"ys f>H^) +---'"w/^ ô..+í(2) '•••]• 

Para determinar os integraes que entram n'este desenvolvimento, notemos que a integra- 
ção }Kir partes dá, quando « > O, 

rf(z] 6' (z) fiz _ _ fiz) _^ ^ /• /•' (z) dz _ 
]'~^+C^~- nf)"^:) ■ nj'e"{z, ' 

e portanto temos (numero 29) 

/• fiz)f)'(z)dz ^ J_ /• /Vs) ^ _ J_ /■ f(z)dz ^ 2;- _ d" - ' j / (ay\ 

Logo temos a formula 

•' ^ ■' •' ^ ■' ' ^ ^ B(a) 1.2...JI í/rt"-* I H" (a) J 

devida a Biirmann, que a apresentou em 17D() á Academia das Sciencias de Paris. 

58. Pondo na formula precedente 

e(.r) = í, 

t representando um numero dado tal que seja j<|<|Ô(2)i, quandti :: descreve o cont')rno >S, 
esta formula dá n desenvolvimento em série, ordenada segundo as potencias de í, da funcçSo 
f(x) da única rai» d'esta cipiaçào que, como vimos no principio do numero f)", oxiste no in- 
terior de S. 

5». A formula de Biirmann contem como caso particular a formula de Taylor. Pondo, 
com efieito, n"ella d(z) — z — a e tomando par;i o contorno S da integrarão uma circumfe- 



82 



rencia de raio R e centro a, limitando uma área na qual a fimeção /(j) seja synectica, temos, 
para todos os pontos x do interior da área e todos os pontos z da eircumierencia que a limita, 
\x — a\<\z—a\; a formula de Biirmann é pois applicavel e dá 

/(.r) =/(«) + {X - a)f (a) + y (^- - «) V" («) + ••• 

60. Pondo na formula de Biirmann 

z—a 

6 z) = , 

? (2) 



'^(z) representando uma funcção synectica na área A e tal que seja, para todos os pontos z 
do contorno d'esta área, ^ 



X — a 


< 


z — a 


?(^) 


.(z) ' 



vem a formula de Lagrange 






+ ...+ 



1 (a;-«)" (Z" - 1 [/' (a) cp« («■)] 



1.2...ri 't'"{x) da"-^ 

Pondo n'esta formula 



X — a 



vem a sesrumte: 



"^■•' ' 1.2...n 'rfrt"~* ' ■■■' 



que determina a funcção fíx) da raiz x da equaeào 

x = a-\-t:^{x), 



83 



que existe no interior do contorno S, quando para todos os pontos s do contorno tem logar 
a desigualdade 



\t\<\ 



?(2) 



No que precede tirou-se a formula de Lagrange da formula de liiiiinann. Esta ultima 
formula não é todavia mais geral do que a primeira. Pondo, com effeito, 



?(2) = 



e{z) 



na fdrmula de Lagrange vem immediatamente a de Biirmann. 

A formula de Lagrange foi pela primeira vez puhlicada pelo grande geometra n*imia me- 
moria apresentada á Academia das Scieneias de Berlin (A^oiii-dle métJioJe pour réfoiídre Jes 
équationx litérfães j^nr Je moijen des srriefi, 1770: Ociívres, t. iii) a qual fui pouco tempo de- 
pois seguida de outra sobre a applicaçào d"esta formula á resolui^Fio de algumas equações que 
apparecem em Meclianica celeste. A demonstração de Lagrange é fimdada em considerações 
algébricas e nos desenvolvimentos em série de algumas funcções elementares. Laplace na sua 
Mechanica celeste obteve esta formula de uma maneira mais simples, deduzindo-a directamente 
da série de Maclaurin. Nenhum d'estes geómetras deu todavia as condições para que a série 
seja applicavel. O primeiro geometra que estudou a questão da convergência da série de La- 
grange foi Cauchy, que applicou a esta série os metliodos que tão bom resultado lhe tinham 
dado quando applicados á série de Taylor. Os resultados a que chegou dFio logar a diíRcul- 
dades; abriram todavia a Rouché o caminho para a resolução definitiva d'esta questão {Jour- 
nal r/e VEcole Polyfechnique de Paris, cad. 39), o qual coincide, á parte as notações, com o 
que foi empregado no numero 57 para deduzir a série de Biirmann. 

Cl. Para terminar o que temos a dizer sol)re a formula de Biirmann, vamos fazer 
applicaçào d'esta formula ao desenvulviíueiito das funcções em série ordenada segundo as 
potencias de sen x. 

Temos de ]iôr n'este caso 6 (.i') = sen.T e de procurar um contorno tal que seja, para 
todos os valores de x representados por pontos do interior d'este contorno, 

I sen a" | < j senzj, 

z representando um ponto (piahiihT do conliu'no. 

Para resolver esta (piestào, vamos estudar as curvas delinidas pela equação 

I sen z\—c. 



84 



c representando uma constante, ou, pondo z = Xi-rií/i, 



(1) + ^ sen^ Ji cos- iyi — cos'* xi sen- ii/i = c, 

onde sen-iyi e uo&^ii/i sào quantidades reaes dadas pelas formulas 

sen- i?/i = — I ^ 1 , cos- ii/i ■■ 

Como o valor do primeiro membro d'esta equação não muda quando se muda j-| em 
xi-^-, vô-se que yi é uma funcção periódica de xi, cujo período é igual a ■::; basta por- 
tanto considerar o ramo da curva que corresponde aos valores de x^ comprehendidos entre 

Vê-se também que a curva é symetrica relativamente aos eixos das coordenadadas; pode- 
mos portanto considerar scjmente, para a discusscào da curva, os valores de Xi e t/i que são 
positivos. 

Posto isto, supponliamos jirimeiramente c^l. 

Vê-se immediatamente, pondo na equação xi = O, que o ramo considerado da curva 
corta o eixo das ordenadas no ponto cuja ordenada é igual a log(c -p V^ c~' + !)• Vê-se tam- 
bém, pondo j/i=0, que a curva corta o eixo das abscissas no ponto cuja abscissa é igual a 



are sen c. 



Resolvendo a equação (1) relativamente a cos- iyi, vem 
cos^ ii/i =- c- -\- cos- xi , 



6 portanto 



e-y^ + ey /-— 5 

^ = H- vc^-1-cos-a.'i, 



e-í" -4- /c^ -f cos* xi «y 4- ] = 0. 



Esta equação d;: 



e portanto 



e!/> = + Vc^ -;- cos- a'i + V c^ — sen* xj, 
yi = log[+ v/c--fcos-a'i +; VC- — sen-aji]. 



85 



Esta igualdade faz ver, em primeiro logar, que m é imaginário quando a,-i > are sen c. 
Para cada valor de a;i, inferior a are sen c, a mesma igualdade dá para y\ dois valores reaes 
e dois valores imaginários. Dos dois valores reaes deve-se aproveitar aquelle que, para 
íci = O, dá 



y, = log(c+^/c2 + l), 

isto é o valor 



(2) yi = log [v c- + cos- a,'i -^Vc- — sen"^ x\\ ; 

o outro corresponde á equação 



— Ksen^ x\ cos- iyi — eos^ a.'i sen- iyi = c. 

Obtêem-se por meio da igualdade (2) todos os pontos da curva comprehendidos entre os 
pontos cujas abscissas são O e are sen c, e vê-se que yi cresce desde O até log (c -}- V^c- -(- 1) 
quando xi diminue desde are sen c até 0. 

A equação 

, sen 2x{ 

y ^= j 

' i Sen 2 iyi 

dá as tangentes á curva e faz ver que as tangentes nas extremidades dos eixos são perpen- 
diculares a estes eixos. Para tirar esta conclusão devc-se observar q>ie a ([uantidade ísen2iyi 
é real. 

A eliminação de 3/1 entre a equação 

cos 2í?/i = 2c- 4- fos 2a.'i, 

que resulta de (1), e a equação 

sen- 2.i'i cos 2 iy\ = cos 23-»i sen- 2 iy\ , 

que resulta de formar ?/, e pôr depois ?/, = O, leva á equação 



cos 2£Cl = — cr jh; i^c'' — 1 , 

a qual mostra que não existem pontos de inflexão quando c<; 1. 

Vê-se pois que cada uma das curvas representadas j)ela equação [ sen a [ = c ó composta, 
quando c^^l, de um numero iiillnito de ovaes iguaes, cujos centros correspondem ;ís raizes 



86 



da equação sen a," = <_) e cujos eixos sâo iguaes a 2 are sen c e 2 log(c + \/c- + 1), o primeiro 
«ixo coincidindo com o eixo das abscissas e o segundo sendo paralielo ao eixo das ordenadas. 

Vê-se facilmente que, se for c>l, as curvas representadas pela equação |senz| = c não 
cortam o eixo das abscissas e nao podem porisso dar iogar a contornos fechados contendo no 
interior os pontos que correspondem ás raizes da equação sena; = 0. 

Quando c varia desde 1 até Ó, as ovaes representadas pela equação j senz j = c variam de 
tal modo que aquella que corresponde a menor valor de c é interior áquella que corresponde 
a maior valor de c, e diminuem continuamente até se reduzirem a um ponto. Estas curvas 
resolvem a questão proposta, isto c, cada uma d'ellas limita uma área tal que 

I sena;| < | senzj, 

z representando um punto qualquer do contorno e íc um ponto qualquer do interior. 

Seja pois f(z} uma. funcçào synectica na área A, limitada por uma oval cuja equação seja 
]senzl = c. A formula de Btirmann é n'este caso applicavel e temos 

f(x) =/( 0) + Al sen jj -f A^ sen- a; + . . . , 

onde Aj, Aí,. . . são quantidades constantes, que podem ser determinadas por meio dos inte- 
í^raes 



ou por meio da expressão 



1 d" - ' 1 X" f (X) 



1.2. . .11 dx" 



onde, depois de effectuadas as derivações indicadas, se deve substituir x por aquella, «, das 
raizes da equação sen a; = O que corresponde ao centro da oval considerada. 

<t2. Consideremos, por exemplo, a funcção 

_/\a,') = sen fcx-, 

k representando um numero qualquer, real ou imaginário, e ponha-se « = 0. 
Teremos 



k f cos kzdz , ,,, 

zniz I s sen" z 



87 
Mas 



/" cos Jczdz í cos kzdz f cos kz cos- zdz 
J seu" z J sen" + - :; J sen" + - :; 

e, integrando por partes o ultimo termo do segundo membro, 

/' cos kzdz /"cos kzdz f cos kz cos 3 
J sen" 2 Jsen""^-; j ^n + l)sen""^' 

k í sen ^3 cos zdz 1^ 1 T 
n-\-í J sen" + ' 3 « + 1 J 



,„ , „v, , ^^^ ^..^^ , ^ , (ioskz sen zd: 



ou, integrando por partes o penúltimo termo do segundo membro, 
"cos kzdz f cos kzdz cos kz cos z 



sen" + - 3 ' (ji + 1) sen" "*- • 3 

A; senÂ;3 ^ A;- fcoa kzdz 1 í cos kzdz 

n-j-1 ' n sen" 3 ' n ( n -j- 1) J sen" z íi -f 1 j seu" 3 



Portanto 



r cosA;3r2; T cos/v-3d3 /i;- /" cos kzdz j_ 1 T cos/c3fÍ3 

Js sen" 3 _/ssen" + -3 ?n?i-rljjà sen" 3 ' 7í + 1Js sen" z ' 



cos kzdz n- — k^ C cos kzdz 

/s sen" + -3 n(ii-\-l)Js sen" 3 

Temos pois a igualdade 

(«) A„ + 2 = —r^ -r- A„. 

A analyse que precede não tem logar (piando 6 ?í = 0. Vamos porém mostrar que a for- 
mula a que chegámos ainda tem logar n'o9te caso. 
Por ser 



2i- Is 



1 /' sen Ar cos 3^/3 



88 



f sen kz cos zdz cos kz cos z 1 T < 

/ sen 2 /í sen ; k J 



temos, com efifeito, 



B portanto 



1 r coskzdz 2 . 

Ao = --7^- s" = -TvAi, 

2ki~ /s sen-;: /c- 



A, = -|1Ac,. 



Posto isto, da igualdade (a) tira-se, quando n é par, notando que Ao é igual a zero, 

A„ = 0. 
Por ser (numero 2S — 2.°) 



k í cos kzdz k Ç 
~ 2 ir. Is, sen 2 L^"~j,s 



k i" cos kzdz k C : cos kzdz , 
sen 2 2i~ hi •■ sen z 



a mesma igualdade dá, quando n é impar, 

(n-. _ A.2) [„i _ 2)2 _ 7.:í] . . . (1 _ A-2 ) , 
^■"-' = 1.2. ..(n + 2) ''• 

Loge, se a; representar um ponto da oval cujo centro é a origem das coordenadas e cuja 

equayào c | sen r ! = 1 , temos 

sen kx = k \ sen x — ^^ sen'* x -} T^.y^-J^J > — ^*^''' ^ "■ • 

Do mesmo modo se aclia, no caso da fimcçEo cos /.'»■, 

/,-^ „ A-2(/.^-22) , 

cos Aj- =1 sen- x -^ , ,, .. . sen* .r — . . . 

2 1 . 2 . ií . 4 

Estas ibrmulas são duvidas a Eiãer. 



89 



63. Os coefficientes do desenvolvimento d;i funcçiio f(x) em série ordenada segundo as 
potencias de uma funcção 6 (x) podem ser expressos ainda por meio de determinantes, como 
fez ver Wronski. 

Seja 

f{x) =f{a) + Ai(l íx) ^ Ai 62 (x) + ... + An 6" {x) + ... 

e d(x) = {x — a) 9 (a;). Teremos, derivando esta série, pondo depois x = a e notando que as 
derivadas de ordem n das potencias de d{x), superiores a n, s.ão nullas cpiando x = a, 



/'(«) = Ai 



dd(a)_ 
da 



,„^ , , ,m(a) , . d^d^a) 



í/a* 

, d^(a] , . dWa) , dWUa) 

f ,«) = Al — ,-,- -r A, ——3 - - A3 -^f^^. 



da 

da' 



/"'H")=--Ai — ^— --I-A-. 



da" 



da'' 



d"6" (a) 
da" ■ 



Estas formulas dào Ai, A-2, A3,. . ., expressos por meio de determinantes que nos dispen- 
samos de escrever. 

AVronski considerou mesmo a questão do desenvolvimento das funcções em série da forma 

"i 61 (,/■) ; a-i fl-i {x) ^'~ «3 h {x) -L . . . 

<h{x),f)i(x). . . sendo funcções dadas. O resultado a que, a este respeito, chegou foi moder- 
namente demonstrado por Ch. Lagrange, astrónomo do Observatório de Bruxellas, de um 
modo muito simples [Comptes-rendus de VÂcadtmic des Sciences de Paris, 1884). 

Sejam /(;), di (z), 62 (z), ■ . . funcções synecticas na área limitada por um contorno S e a; 
e a dois pontos do interior doesta área. O determinante 



F(x) = 



/ (x) Ôi (x) 

f («) 61 (/') 



. K (x) 



/(«-li (a) e';-')(a) ... ô;;— 'l(a) 



é nullo, assim como as suas n—í primeiras derivadas relativamente a x, cpiando ./■ = a ; 



90 



logo, applicando á fimoção F (x) a formula de Taylor e o theorema de Caucliy (numero 30), 
temos 

1 /■ (.r-ay'F(z)ãz 



F^ , 1 / (■'■-c'YV(z)dz 



■Js U--«)"(^ 

Esta igualdade dá, desenvulvendu o determinante F (a;) segundo os termos da primeira 
linha, 

Ao/(,T) = A, e. f.) - A, e, (.) ^. . . ± A„ ô„ H -;- ^2^j^^^„-(^-.r^. 

onde Ao,Ai,A2,... representam os determinantes menores que se obtêem supprimindo no 
anterior a primeira linha e successivamente a 1/, 2.'', 3.*, . ■ . columna. 

]SÍ'esta formula, que conduz á série a que Wronski deu o nome de lei siip-ema, entram 
os determinantes Ao, A), A^,. . . e F(i), que são compostos de um numero de columnas que 
tende para o infinito quando n tende para o infinito; porisso é de uma applicação tão difiicil 
que (fora do caso já considerado de bi{x), 6-2 (x),. . . representarem potencias de uma mesma 
funcção) nào tem servido nem parece poder servir para desenvolver funcção alguma em 
série. 

6-1. Terminaremos o que temos a dizer sobre o desenvolvimento das funcções em série 
apresentando uma formula que dá o desenvolvimento de f{x) em série ordenada segundo as 
p-otencias inteiras, positivas e negativas, de uma funcção 6 («), quando f{x) é synectica so- 
mente n'ura annel limitado por duas curvas S e s e o; representa um ponto do interior d'este 
annel. 

Seja S o contorno exterior e s o contorno interior do annel, seja a um numero complexo 
representado por um ponto do interior da área limitada por s e supponhamos que, para todos 
os pontos do contorno S, é 

ie(a-)|<|n-^)l 

e que, para todos os pontos do contorno s, é 

\f]{x)\>\b{z)\. 

A equação 6(2) — 6(.t) = tem (numero 57) uma só raiz : = x no interior do contorno S, 
e o theorema de Cauchy demonstrado no numero 28 — 1." dá 

r f{z)fí'(z),iz _ /• f[z)f)'{ z-)dz r fiz^^d' (z]ãz^ 

j^^6(z)-6(x) j, 6[z)-d{x) '^J, d{z)-6{x) ' 



91 

c representando uma eircumftíreucia descripta do ponto x como centro com um raio sufficien- 
temente pequeno para ficar no interior do annel 
Temos porém (numero 28 — 2.°) 

1 f f(z)6'iz )dz 1 r f(z)6'(z)ãz 

Logo 

O primeiro integral já fui considerado nu numero 57 e d;l 

1 f /(--) e' ( z ) dz ^ j_ r /• f(z^z)dz_ ^ r f( z) o' (z) dz 

2i-zJ^ 6(:)-e{x) •J,r.[js"' d>z) ' '''{Is Ô-(3) 

Para desenvolver o segundo integral em série, notemos que, por ser, cm todos os pontos 
:; da curva .s, o modulo de O (z) menor que o molulo de (i(x), temos 

I \^^o(z) , , euz) 



6 (z) — 6 (x) d {X) [ 6 1 «) ' 6" (j:; 

e portanto 

j, e(z)-d{x) 6(x,Js-'^'' '^-'^ " 

Logo temos a formula 

/(íc) = Ao -L A, O (o,') + Aa Ô^ (a;) + . . . + A„ e» (íc) + . . . 



ô(íc) ' d-^x) ' e«(x-) 



92 



onde 



A 1 r .f(z)6'{z )rh 

B,> = ^j'f(:)6"-^(z)d'(z)dz 



Esta formula contém a formula de Blirmann, que corresponde ao caso de a funecão f(z) 
ser synectica na área limitada por s. K'este caso, com effeito, o integral que entra na ex- 
pressão de B,j é (numero 28) nullo. 

Pondo 

e (:) = ; — a 

e tomando para contornos Ses duas circumfereneias de raios R e r e de centro a, é 
\z — a\<\x — a\ para todos os pontos ; da circumferencia interior, e | c — a | > | a- — a j para 
todos os pontos ; da circumferencia exterior. A formula anterior é pois applicavel e dá a 
seguinte: 

f(x) = A„ -L A,, (a-- a) -L. . . + A„ (a-- a)« +. . . 
, B, ^ ^- , 1 . . . ' ^'' ' 



onde 



x—a (íc — a)- ' [x — a" 



fiz) ãz 



isto é, a formula de Laiirent já considerada nos números 32 e 55. 

65. Os integraes que entram na formula geral, que vimos de apresentar, podem ser 
expressos por meio dos coefficientes do desenvolvimento obtido pela formula de Laurent, no 
caso de a funcção f{x) admittir, na área limitada pelo contorno interior s, somente um nu- 
mero limitado de pontos singulares era que deixe de ser synectica. 

Sejam com eífeito, Jj, Í/j, . . ., ò„„. . ., 6;, estes pontos, Ci, c-2,. . .^ Ci, c circumfereneias 
cujos centros sejam os pontos representados por bi^h, . . . ,bi„a e cujos raios sejam assaz 
pequenos para que a ;irea limitada por cada uma delias não contenha outro d"estes pontos, 
alem do centro. 



93 

Temos, em virtude do theorema de Cauchy demonstrado no numero 28 — 1.°, 



V 1 f f(z)dz 1 rf(z), 

^Zl 2nizJ,,,_ 6" (2) "^ 27U-J, e''(3; 



z)ãz^ 



Mas, representando por a um qualquer dos pontos hi, b-2,. . ., 5/;, tem logar, na vesinhança 
do ponto a, o desenvolvimento (em virtude do theorema de Laurent) 

(A) /(-) =Mo+Mi (z-a)^M.2 (z-af^. . .^ ^ + _i^ J- ^^^, +. . ., 

Z — a (Z—a)'- (z — a)'* 

e portanto o desenvolvimento 



/'(2) = M,-^2M,(--«:^...— -^--,-^ 



(C — «)- (- — cí)-' (.: — «)* 

Substituindo esta série em logar de/'(:) na expressà.o de A„, vê-se que as k primeiras par- 
cellas d'esta expressão podem ser decompostas n'uma sonnua de pareellas da forma 

_L /■ ^^ 

2nÍT.J,^^ 6"{z){Z — b„X'i ' 
que são nullas (numero 28) quando |J<0, e que são iguaes a (numero 29) 









quando jj > 0. 

Por ser 6(x) = (x — a)9(a;), vê-se que a ultima das pareellas que entra na expressão de 
A„ é igual a (numero 29) 

1 [ d-i l f'(x) \] 

1.2. . :{n-\)n [ ãx"-* \e» (x) /J^^a' 

quando a é differente de h\,hi,. ..,li.. 



94 



A analyse que precede não é applicavel quando 71 = 0. Para calcular Ao pode-se porém 
recorrer á formula 

^ 1 f f(z)e'(z)ãz _ 1 r i f f(z)e'(z)ãz r fiz)e'{z)dz ] 

2ir.Js' 6(z) 2i-[„.Zj.;„ Hz) ^j. 6(2) J' 

Substituindo nas h primeiras parcellas do segando membro /(:) pelo seu desenvolvimento, 
dado pela formula (A), faz-se depender cada uma d'ellas de outras da forma 

1 /• b'{z)fiz 



U 



e(z){z-b. 



que são nullas quando P < O e que são eguaes a 

1 r ri?-' (6'(x) 



quando [5 > 0. E, por ser 6 í;) = ('r — a) (^), vê-se que a ultima é dada pela formula 

• f f{z)6'i :.)d:. r f(=)6'( z)rh , f f(:.)dz 

jc 6iz) -j. e(.) 'j. z-a -"^'^/W' 

quando a é differente de 61, èj,. ..,64^ 

A analyse que precede deve também ser modificada quando a coincide com um ponto 
singular, hi, por exemplo, de/(:). Temos então 

,„=,! 2m-j,^^^ 6Uz) 2in-l, 6" {z) ' "^ -^ ■> 



1 T' V ' /■ ./■''-"> ^' (-■''' ^' , /" f'^') O' (z) dz 



. i '■-" / ti:)0'iz]dz , / 



diz) 



N"este caso o ultimo termo da expressão A„ pode ser decomposto em parcellas da forma 

1 r dz 

2nir.J^ e"(-)(;-a)P 



95 



cujo valor é 

1 r fZ?-i / 1 



quando ,3>0 e que são nuUas quando P<0; e o ultimo termo da expressão de Ao pode ser 
decomposto em parcellas da forma 



2 

cujos valores são eguaes a 



]_ r Q' (z) dz 1 r dz 



1 f d^ ' /e'fe)\l 1 -/<P-*'(a), 



l.2..A^-V)[dJ-' \^U^)ll = : 1.2...{p-l) 



quando ,3 > O, e que são nulios quando |'!i<0. 
Para os coefficientes B„ temos do mesmo modr 



J s J s J ^m 

e os integraes que entram no segundo membro reduzem-se, como no caso anterior, a inte- 
graes da forma 

1 /• 6" (;) dz 



quando a não é ponto singular de /(:;), e a integraes d'esta forma e a outros da forma 

1 r ^^{z) dz 

quando a é um ponto singular de /(.-). Estes integraes são nullos quando P<0 e são iguaes a 
d^"^0"(x)] 1 |c/?-'e"(a,-) 



'l.2...(p-l)n[ dx^--' Ic^t,,: 1.2... (?-!)«[ rf^p-* 
quando } > 0. 



96 



Para determinar os coefficientes do desenvolvimento (A) (ou, o que é o mesmo, os inte- 
graes de que elles dependem segundo a formula de Laurent), quando o numero de parcellas 
fraccionarias que n'elle entram é infinito, não existe regra geral. No caso (o mais importante 
nas applicações) de o numero d'estas parcellas ser finito, isto é, no caso de ser 

/(a<) = Mo + M,(a;-«) + M2(ít— a/^ + ... + — ^ h , ^'' „ +..■ + - ^'' 



x — a {x — af {x—afi 

podem caleular-se estes coeffieientes desenvolvendo em série 

(x—a)nf{x) 

por meio da formula de Taylor. 

Reconliece-se que a funcção está n'estas cinumstancias procurando se existe um numero 
r, tal que o producto (*■ — a]'''j'{,)-) tendi para um limite finito e determinado quando x tende 
para a. 

Para fazer uma apj^licaç.âo d'estes principies, consideremos a fimcçào 



Por ser 



f(x) = L_ 

•' ^ ' sen(a; — &) 



= 1, 



sen [x — h) 



e portanto 



f(x) = ^ -f JIo + l^h{x-b)- 



f{^)-'--^~^rj + ^U^-2^U(x-h) + ... 



(X — h 
Podemos pois determinar A„ por meio da formula 



1 [f{z)dz^ 1 rfi^dz 



que 



dá 



97 



2ni-}:, O" {z) {z - bf ^ 2m- J, 6" {:■) 

1 iM-^ix)] , 1 r f?»-* ( f{x) 



n L dx J:c = í, ' 1.2. ..n [cZx-"-' \0"(a')/Jx = a 
Ô'(J) 1 r cZ»-' / co9 (a; — 6) \1 

^ e" + * (6) ~ 172777^ [rfic»-'" \ sen2 (a; - è) 8" {x) }\^ = „' 

e Ao por meio da formula 

. _ W f(z)0'{::) , 1 f f{z)6'(z) ._0'(b)^ 1__ 

^''-'2i=J„'^T(z) ^^2i-J, Ô(;) Ô(6) ' sen(a-5)- 

Para calcular B„ temos a formula 

que dá 

Temos pois o desenvolvimento 



sen(£c — è) „==i 6" (te) 6{b) sen (a — 6) 

, ^ \_J:ÍS) l_f rZ"-' / cos (o. -6) \1 1) 

„Zi'l 6" + ^(b) 1.2...JÍ [(/a;"-i \ sen- (x — 6) 0" (_a;j /L;= „ ^ '^'^ ''* 



NOTAS 

1. Estudaram-se no trabalho anterior as principaes demonstrações conhecidas da formula 
de Taylor. Muitas outras, quasi todas ligadas com as anteriores por alguns dos conceitos em 
que se fundam, têem sido apresentadas por vários auctores. Vamos indicar algumas d'ellas. 

I. Principiando por indicar uma demonstração cuja ideia primordial pertence a iVAlem- 
hert, consideremos o integral múltiplo de ordem n, 

R„ = / ■' dx I ' dx ... 1 '/'"' (x) ãx. 
J o J u J o 

Teremos, effectuando successivamente uma, duas, . . . integrações, 

R„ = /' dx I ' dx. . . /' [/("-•> (x) -/(«-" (0) 1 ; 

=j^^' dxj'^ dx ...j''^ [/("-2) {X) -/c-^) (0) - xfin-i^ (0) ] 

= ÍN/x r dx... r [/l«-3) (a,-) -/(«-3) (0) - a;/ <«-2> (0) - -^/<"-" (0) 



y,n-l 



=f(x)-f(0)-xf[0)-^f(0)-. . .—^-^— ^—^ /(»-') (0). 
Temos pois a formula de Maclaurin 

/H=/(0)+^/'(0)+. . •+- i.2.!".^I_i) /"""(0) + R« 

e uma expressão do resto por meio de lun integral múltiplo de ordem v. 



99 



Do resultado, que vimos de obter, pode-se tirar f;iei)mente a expressão do resto devida a 
Lagrange. Com eíFeito, suppondo que os valores que toma /("' (a;), quando x varia desde O 

até X, estào comprehendidos entre m e M, o integral I /'"* (x) dx está comprehendido entre 

r.v rx • " ' 2 2 

via: e Ma". O integral / dx j /'"' (x) dx está portanto comprehendido entre ^ m é — — — M. 
J o J o 1 . L 1 . - 

Continuando do mesmo modo vê-se finalmente que E„ está comprehendido entre -; — m 

' 1 . 2 . . . ?i 

e -1. — ;, M. Temos pois 

1.2. . .n '^ 

K representando um numero comprehendido entre m e M. Procedendo depois como no nu- 
mero 7 do texto obtem-se a formula pedida. 

II. Occupou-se também da formula de Taylor Laplace na sua TJiéorie analyfique des 
prohabilités, publicada em 1812 {Oeuvres, t. vii, p. 179), que a obteve por meio de applica- 
ções suceessivas do methodo de integração por partes. 

Temos, com effeito. 



í. 



V' {X - z) dz = zf {X -z)+ r Zf" {X - z) dz 

= zf{x-z) + ^f"{x-z)^^jyf"{x-z)dz 



= zf{x-z) + -^f"{x-z)-\-...+ ^^~^f-^-^^fr.-^){x-z) 

z"~^f>ix-z)dz, 



1.2...[n-l)J, 



Jo 



'{x-z)dz^f{x)-f{x-z). 
D'estas formulas tira-se a seguinte: 



Til— 1 






100 



ou, pondo z = h e mudando x em x-{-h, 



f{x + h) =f{x) + hf (a-) +. . •+ l.2.^".(l-i y-^"'^" (^) + ^"' 



onde 



ou, pondo z = th, 

R„ = - ,, ^'" — - r <"-'/"') (x + A - í/í) ãt. 

1.2...(«-1} jo 

Temos assim a fomnula de Taylor e a expressão do seu resto por meio de um integral 
definido, obtida já no numero 6 do texto. Laplace deduziu d'este resultado a expressão do 
i-esto devida a Lagrange, empregando, sem todavia o demonstrar, o primeiro tlieorema dos 
valores médios dos integraes definidos. 

III. Na demonstração dada por Lagrange da formula de Taylor, apresentada no numero 
7, tiguram as mesmas proposições que entram em uma das demonstrações conhecidas do 
theorema de Rolle ('). É pois natural procurar obter-se a formula de Taylor modificando a 
analyse de Lagrange de modo a fazer intervir este theorema. E o que fez Hatzidakis, pro- 
fessor na Universidade de Athenas, em um artigo publicado no Enseignement maihématique 
(t. II, p. 448), ao qual é devida a demonstração seguinte d'aquella formula. 

Considerem-se as funcções de li' que entram na demonstração de Lagrange: 

{A) /l")(íc + /í')-K, 

(B) /i"-'i (a; + W) —/'"-" (x) - K/i' 



(N) ./■ (x + /.') -./• (a.) - h'f (x) - ... - i.2.^f. T>i-l T-^"'"" ^""^ ~ TTW^h^ ^' 



(') Se a {imc<;ío f(x) tiver uma derivada ./'' (-r), coutínua no iiitervallo (a, a-|-/í), e se aunullar nOg 
pontos a e a-j-A, aquella funcção cresce na vesiuhança de um d'estos pontos c decresce na vcsinhança do 
outro. Logo a sua derivada /' {x) passa de positiva para negativa, e, como ó contínua, passa por O cm um 
ponto do intervallo considerado. 



101 

cada uma das quaes é a derivada da seguinte, e seja K uma quantidade definida pela equaçào 

1-1 



/(x + A)-/(a-)-/^'(a.)-...-— ^^^— 3y/"-"(a.)= ^ J^' _^^ K, 



h sendo uma quantidade dada. 

A funcção (N) annulia-se quando h' = e quando h' = h; logo existe um numero si, com- 
prehendido entre O e h, que annuUa a funcçào (M). E, como a funcção (M) se annulla quando 
h' =0 e quando h' = zí, existe também um numero £2, comprelieudido entre O e sj, que annulla 
a funcção anterior. Continuando do mesmo modo vê- se que existe um numero í, comprehen- 
dido entre O e si, s^,. . . , e portanto entre O e A, que annulla a funcção (A); e temos portanto 

K =/(«! {x + s) =/(") (x + 6h). 

IV. Outras demonstrações da formula de Taylor, fundadas nas propriedades elementares 
da theoria das séries, foram dadas por Koenig nos Nouvelles Annales (1874) e por Amigues 
no volume correspondente a ] 880 da mesma publicação. Estas demonstrações são applicaveis 
tanto no caso das variáveis reaes como das variáveis imaginarias, mas exigem que os valores 
absolutos da funcçào f{x) e das suas derivadas admittam um limite superior, e não são porisso 
tão geraes como as anteriores. 

2. Deram-se no texto duas demonstrações da formula de Laurent, uma fundada na 
theoria dos integraes curvilíneos e outra na theoria das séries. Outras demonstrações da 
mesma formula foram dadas por Scheeífer no tomo iv das Acta mathematica e por Pringsheim 
nos Sifzungsb. der Alcademie zu MUnchen (t. XXV e xxvi, 1895 e 1896). Esta ultima é fun- 
dada na noção de valor médio de uma funcção, que o auctor define do modo seguinte. 

Consideremos uma funcção f{Z) e uma circumferencia de raio o cora o centro na origem 
das coordenadas. Devida-se esta circumferencia, a partir do eixo das abscissas, em 2" partes 
eguaes. Os pontos assim obtidos serão representados pelas quantidades complexas 

'iir. Ur. j(in— l)i- 

P, P« '" 5 P« "' V • ) pe '" ) 

onde m = '2". Posto isto, cliama-se valor médio da funcção /(;) e representa-se por jM/(p) o 
limite para que tende a somma 



1 M-l 

- - /Ipe 



quando n tende par; 



102 



Entre o valor médio e o integral curvilineo de /'(;), tomado ao longo da circumferenciíi 
considerada, existe uma relação muito simples. Temos, com efteito, por ser z=pe''', 

l f{z]dz=iJ' /(pe*)e'«r/6= lim 2ir. ^ -.f[^.e "' je '" = 2í::M [p/(p)]. 

A theoria dos valores médios corresponde pois á theoria dos integraes curvilíneos tomados 
ao longo de circumferencias, e as suas propriedades são caso particular das propriedades dos 
integraes curvilin.eos geraes; podem porém estabelecer-se por processos especiaes mais simples 
e elementares do que os que intervêem na demonstração das propriedades dos últimos. Estas 
demonstrações íoram dadas por Pringsheim, e, partindo dos tlieoremas assim obtidos, achou 
a formula de Laurent por um methodo análogo ao que foi empregado no texto para a obter 
por meio da theoria dos integraes curvilíneos. Aqui não apresentaremos esta demonstração, 
que se pode ver nos trabalhos citados ou na obra de Vivanti intitulada Teoria ãelle funzioni 
analitiche (Milano, lUOl). 



II 



m LE 

SUIVINÍ LES 



(Journal far die reine und angewandte Mathematik, 
gegi-undet von Crelle-BerUu 1896. Band 116) 



INTRODUCTÍON 



L'étude du développement des lonctions en série ordonnée suivant les puissances du sinus 
et du cosinus de la variable mène à Tétude préliminaire des eourbes définies par Téquation 
|sinz| = c, c représentant une constante réelle positive et z une variable complexe £ci + i?/i. 
Ces eourbes sont étudiées dans les premiers n°^ du présent mémoire. Nous y verrons que, 
si est c'Pl, cette équation represente une infinité d'ovale9 et que, si est c> 1, elle represente 
une eourbe composée de deux branches placées symí-triquement par rapport à Taxe des 
abscisses et qui s'étendent jusqu'ii Tinfini dans le sens des abscisses positives et dans le sens 
des abscisses négatives, en faisant une série d'ondulations d'amplitude égale. 

Quand est cPl, si la fonction f{x) eet liolomorphe dans Taire limitée par un des ovules 
representes par Féquation j sins j = c, cette fonction peut être développée en série de la forme 

Ao + Al sin Cf -7- A-2 sin- x -\- A3 sin^ « + ..., 

laquelle a lieu pour toutes les valeurs de x représentées par les })oints de lintérieur de Tovale 
considere. On pourrait faire la détermination des coefficients Ao, Ai, A-2,. . . au moyen de la 
série de Biirmann; mais nous donnons ici une manière plus simple de les obtenir [formule 
(13.)] et nous en faisons application à la fonction íc^, ce qui nous mòne aux formules (14.) 
et (15.). 

Quand est c> 1, si la fonction f(x) est holomorphe dans Faire infinie comprise entre les 
deux branches de la eourbe | sin z | = c et si elle admet la période 2", la fonction est, comme 
on va le voir, susceptible du développement suivant: 

f(x) = Ao + Al sina'-t- A2sin-a' + . . .-f cosaí [Bi -j-Bi siníc + Ba sin-íc-}-. . .], 

et nous donnerons des formules pour le calcul des coefficients Ao, Ai,. . ., Bi,B-j. . . On con- 
sidere ensuite le cas ou la fonction f{x) admet la période 2co, réelle ou imaginaire, et on fait 
application des resultais trouvés à la fonction elliptique sn*. 



iiir- los tlóvoloi>i>eiiioiils <lo /(') «siiivaiit los piiissaiices cie siu 
<iiii onl lioxx tlaiis mie air-e lliiiitóe. 



1. Soit f{z) une fbnction holomoriíhe dans une aire A, ;r. Taffixe cFun point quelconque 
de rintérieur de cette aire et supposons que Téquation sin s = O n'a qu'une seule racine dans 
Taii-e eonsidérée et que a' est assez peu différent de cette racine pour qu'il soit, le long du 
contour A, 

(1.) I sina;| < I sinz |. 

Dans ce cas l'équation 

(2.) sin 3 — sin a- = O 

a aussi une seule racine dans Taire A. 
Ceia pose, je considere Fintégrale 

f(z) cos zdz 
sins — sina- ' 

oíx s represente le contour de l'aire A. Comine l'équation (2.) a une seule racine à 1'intérieur 
de s, nous avons 

1 /' f(z) cos zdz 



. , 1_ / .fjz) c os zdz 

■^ ^''~ 2ir. j sin z — sin a' ' 



et, en dóveloppant Fintégrale, qui entre dans cette formule, suivant les puissances de sina-, 

(3.) ./'(,*■' = Ali + A 1 sin .1' 4- . . H- A„ sin"a' + . . . 



1U7 



^'^■> ^"~ 2i~ sin" + '2 ' 



ou encore 

^ ' lni~ \ ^ sin" z 

2. La question precedente nous conduit à chercher une aire telle que, pour tout point 
X à l'intérieur et pour tout point 2 du contour, on ait 

I sinx I < I sinz |. 

Pour résoudre cette question on doit étudier les courbes définies par Téquation 

I sin z I = c, 
ou, en posant z = a;) + /^i, 



(6.) + \J sin- xn cos- iy\ — cos- x\ sin- iy\ = c, 

c représentant une constante réelle quelconque. 

On voit imniédiatement que ?/i est une fonction périodique de x\ dont la période est égale 
à -\ il suffit donc d'étudier ia partie de chaque courbe qui corresponde aux valeurs de x\_ 

comprises entre ^ ®^ ~S"- *^'^ ^'"^'^ aussi que la courbe est syniétrique par rapport aux 

axes des coordonées; il suffit donc d'étudier la partie correspondant aux valeurs positives de 
x\ et ?/i . 

Cela pose, nous allons considérer séparément le cas oii est c <^ 1 et le cas oii est c > 1 _ 

1/f cas. Supposon8 premièrement qu'est 

En posant premièrement «)=() et ensuite ?/i=0, on voit que la partie considérée de la 
courbe coupe Taxe des y\ au point dont Tordonnée est égale à log (c + 1/ c- -[- 1) et Taxe des 
x'i au point dont Tabscisse est égale à are sin c. 

En posant dans Téquation (H.) 1 — cos- í'_yi au lieu de úxv- vj\ et en la résolvant ensuite, 
il vient 

cos- íij\ = c- ~ cos- x\ , 



108 



et par cons<!'quent 

f-'Ji — e?" 



= ^- \/ c- -{- cos- xi. 



Cfttte équation doniie la suivante 



l/l = lõg [+ / c^ + cos- a-j + l/ c- — sin- a-j]. 

Cette égalité fait voir, eu premier lieu, que i/t est imaginaire quand xi > are sin c. Pour cliaque 
valeur de xt, inférieiír à are sin c, elle donne pour yi deux valeurs réelles et deux vaieuvs 
imaginaires. Des deux valeurs réelles on ne doit clioisir que celle qui, pour .ti = O, donne 
pour yi la valeur log(e + \/c- + 1), c'est-à-dire la valeur 



(7 .) l/i = log [v/ c- -f t'OS- a;i + \/ c- — sin- X[]. 

On obtient au moyen de cette équation teus les points de la courbe considérée correspon- 
dants aux valeurs de a-i comprises entre O et are sin c, et Ton voit que yi croít depuis ' • 
jusqu'à log (c -{- [/ c- -ir 1), quand j"i décroít depuis arcsin c jusqu'à U. 

L'équatiou 

sin 23"! 
"' í sin 2*3/1 

donne les tangentes à la courbe et fait voir que les tangentes dans les extrémités des axes 
sont perpendiculaires à Taxe correspondant. 

Les points d'inflexion de la courbe sont donnés par i'élimination de yi entre Téquation 

sin- 2j'i cos 2/yi = cos 2.fi sin- 2ii/i 
et Téquation 

cos 2iyi = 2c- -|- cos 2xi 

qui resulte de (6.). On trouve de cette manière Téquation 



cos 2a-i = — c- + V^c^ — 1 , 

laquelle fait voir (pie la courbe n'a pas de points d'inílexion quand c^l. De cette discussion 
on conchie quo la courbe représentée par Téquation I sin z j = c est, quand c<l, composée 
d'un nombre infini d'oval<;s égaux, dont les centres sont les points (0^ O), ((), j^ "K '*') itl -"'• • • 



109 



et dont les axes sont ógaux ;i 2 are sin c et 2 log (c + / c- + 1 ), le preinier ;ixe eoincidant avec 
Taxe des abseisses et le second étant parallèle à Taxe des ordonées. 

2.""^ cas. Considérons maintenaiit le cas oii est e>l. Au moyen d'iine discussioii sem- 
blable, on voit qu'alors Ia courbe [sin3| = c a seulement deux branches, symétriques par 
rapport à Taxe des abseisses, et qiii s étendeiit jus(iu':i Tintini dans le sens des abseisses po- 
sitives et dans celiii des abseisses négatives, en faisant une série dondulations (('amplitude 
égale à r.. L'ordonnée prend une valeur maximum égale à log(c+ v' c- + l) dans les puints 
x'i = (), + ~, +2~, ..., et une valeur minimura égale h log(c-|-v^c- — 1) dans les puints 

a; = + — + — r 



Les eourbes que nous venons d'étudier résolvent la question que nous nous proposions 
de résoudre. 8i est c^l, ou a 

1 sin íc I < j sin s \ 

pour tout point .v de Tintérieur de cliaque ovale represente par Téquation |sins! = c et pour 
tout point ; du contour. Si est c> 1, la mêine inégalité a lieu pour tous les points x de la 
hande injinie eomprise entre les deux branehes de ia eourbe | sin s [ = c et pour tous les points 
.- de cette eourbe. 

3. De ce qu'on vient de démontrer dans les n°*. préeédents on eonelue que, si la fon- 
ction/(a;) est holomorphe dans Faire A, limitée par un des ovales representes par Téquation 
|sinz| = c (ou c-^1), qu'on vient d'étudier, on a, pour tous les points x de Tintérieur de 
Tovale considere 

(3.) f(x) = Ao~|- Al sina; + . . .+ A„ sin" a,'-f . . ., 

Ao, Al, A-i, . . . . étant donnés par les intégrales (4.) ou (5.), qu'on peut déterminer, corame 
on sait, au moyen de !a théorie des résidus. Mais nous allous donner, pour la détermination 
de ces coeffieients, une méthode plus simple. 

Considérons premièrement Tovale dont le eentre est Torigine des eoordonnées. II est faeile 
de voir que Fégalité (3.) et les égalités qu'on obtient en la dérivant par rapport à x donnent, 
en y posant x = O, 

/(<>) =Aó, 

/'(<») =A., 

/"(<)) =2A,, 

/"'(U) = -Ai + 6A3, 

//>'(()) = - 8A.2 + 24A4, 

/'■ (0) = Al — 6OA3 + 12OA5, 

/" ((.)) = 32A-2 — 48( >Ai + 72()A6, 



110 



et par conséquaiit 

Ao= /(O), 
Ai= /'(Oj, 
A2= •- /"(<)), 
A3= i [/"'(0)+/(0)], 
-. ■ A4=-^,-[/"-(0) + 4/"(6)], 

A5 = -fi^ [/'■ ^0) + lOr (0) + Í1/' (0)], 
Ag = ^ [/••' (O) + 20/í"- (0) + 64/" (0)], 

En gónéral, noiís pouvuiis écrire 

|A,„ =K[/<-^">(()) +A/P"-2)(0) + ...4-L/'2)(0)], 
\a,„. , = K' [/i2"-i o (0) + A'f'"'- " (0) + . . .+ L'f (0)], 

oíi K, K', A, A', . . . , L, L' reprúsentent des quantités constantes que líous allons déterminer. 
Considérons dans ce but la fonction sin/iic, oíi k est un nonibre entier inipair, dont le dé- 
veloppement suivant est donnc dans les éléments de trigonométrie: 

smkx=ksmx—k^~,-^sin^x + . . . + (— li"/c^ V~í — -. , --■ sin-"+' x — . . . 

l.ii.o 1.2... (Zw-f-J ) 

En appliquant la seconde des formules (A.) à cette fonctiun, on trnuve 

A..„4 1 = (- 1 )" K' 17^2"+) _ A' /^--i''-' + . . . + L' A-]. 

En conipyrant ee résultat au suivant 

' A - ^_ 1 V^ /■ í/>^--l-)f/^--3^)...(&^-(2n-l )-^) 
-"+' ^ ' 1.2...C2n+l) 

et en représentant par .v';''* ^ la soniuie des eombinaisons des nomhres 

l^ :5^ ^,^ ..., i2n-\r 

pris m íi m, on a don<- . 

K' = A' = s'V . B' — «'-' T ' — «'"> 



Ill 

On peiít donc éurire en general 

,-"■ , /'-"+" (0)+4i;^,/*-'>(0)+...+.i:^,/'(0) 

<^-^ ^-""' = 1.2...(2»+1) • 

Cette formule peut étre encore éerite symholiquemKnt de l;i manière suivante 

, , /(O) [P (0) + r-] [p (0) + 3-^] ■ . ■ [f (0) + (2» - 1)^] 

^•^■> ^*''+* - 1.2...(2»+1) ' 

oii Ton Joit, aprrs les multiplications, reraplacer les puissances de /(,'*) par des dérivées 
d'ordre égal à Texposant de la puissance. 

Pour determinar les coeíBcients K, A, B, . . ., L de la première des foi'niules (A.), jious 
pouvons considérer la fonction cosA^a', ou k est un nombre entier pair. La trigononiétrie 
donne en effet alors la formule suivante: 

. ^2 . , , kW-2-^) . . , , ,,k^k-'-2'-). . .(k'--C2n-2r-) . , ^ 

cosA;£c= 1 — -sm-.r-| — - — t-^ sm*x'— . . .-r(— 1)" ; — , ' , sm-" x+ . . .: 

2 2 . o . 4 2 . o . . . 2?i — 

et, en comparant la valeur du uoefficient de sin^"x' dans cette formule avec la valeur donnúe 
par la formule 

A..„ = (- 1)« K [k-'-" - A/c2í»-') -f . . . + Lk-^] 
et en représentant par Sj"' la somme des combinaisons des nombres 

2S 4^ GS ..., (2«-2)2 
pris m k vi, on a. 

(2?i)!' ^~^-»i " — *i") ■••■> -L" — *i'/i 
Nous pouvons donc écrlre la formule générale suivante: 

.f^"wo)+si^;/'^-^'(0)-i-. ■ .+sr "/'^'(0) 

^^^■> ^-" - n2.3...2u ' 

ou sijmholiquemtnt 

P (0) [f (0) 4- 2-^] [f (O) + 4-^] ■ . ■ [f- (0) + (2n - 2) ^] 
^"•^ ^'"- 1.2.3. ..2« • 



112 



De tout te qui précèdu il resulte le théorème suivant: 

Si la fonction f(x) esi holumorphe dans raive limifce par VovaU dunt ri'quation est 
|sin2| = c [ou c^l) et dont le centre ent Voriíjine des voordonnées, on a, poiír tons les })oi'iifs 
X de Vintérieur de cette aire, 

m=m+ V /'-"MO) + s^/'-"--'(0)+---+sr".p)(0) ^.^,„^ 

y(-2.+ii(0) + <> /<2"-<)(0)+...+<V./'íO) . 
„ = (i 1.2. . .(2m1-1) 

ou sijmholiqnement 

[ ' ,~u 1.2...(2h + 1) '" ' 

o« Toii c/oií reviplacer, apr'c>i les multiplications, Ics puiítsances de f (0) par des dérivées d'oTdre 
ifjul à lexposant de la piiissaiice. 

4. Pour faire une piviiiiLTe applicatiou de la formule precedente rous allons développer 
la lonc-tion 

f{x) = x'', 

oíi A: represente uii nonibre entier positif. 

l.'-' cas. Supposoiis preniiérement (pie k est un nuinbre pair éyal à 27n. On a 

y '-"' ( "j -1- S.*,'/'-"^-' (< >) -f . • ■ -r Sar"/'-' (<-') = (I 
quando est h < ?n, et par fonséquent 

Ao = U, Aa = O, A4 = U, . . . , A.i,„^2 = 0. 



On a ensuite 



A, _/'"'<<»)_, 

( 'Jni) ! ' 



i-im+i -■ 






L'«i + 4 j ! CJm + 1) ( 2í)i + 2) {-Jm + ;-5) ( 2«i + 4)' 



113 



Comme est 

/(2„+i) (0; + .^'^V./c^-n (0) + . . . + s^^i/' (0) = O, 
on a aussi 

Nous avons donc la formule 



g(l) ^ g(2) , 

' (2íK+l)(2m+2) (_2m+l). ..(2ín+4) 



(14.) 



+ 7< 



(27n+l)...(2TO+6) 



2"'""'. cas. Supposons inaintenant que k est un nombre impair égal à 2m --- 1 . Au moyen 
d'une analyse semblable, on trouve alors la formule 



x^-m^i = sm-'»+*x\l + 



(2m-\-2){2m-i-'à) ' (2«í + 2). . .(2to-í-ô) ' 

(lõ.) ' 

1 s'" , 

/ 4-^ ?^ ^sin6a; + .. 

I ^27)í+2)...(2to+7j 

La furiiiule (14.) en y posant m=í et en remarquant qu'est 

Si" = 22, S^' = 2^42, S^' = 2^.4^6S ... 

donne la formule connue 

2 1 . 2.4 1 

X- = sin- x~\-—-.-=- sin* cc — „ - . -;^ sin* aj + . . . 

d 2 3.0 à 

De la même manière, en posant dans la formule (lõ.) ni = et en remarquant qu'est 

síp = l, sf = 32, s'-'> = dKò\ sà'* = 32.02.72, ..., 
on trouve la formule eonnue 

a; = sm £C — ,. .. sui'' x -j- _ , . sm* a; -f . . . 
2.á 2.4.0 



114 



5. Pour faire une seconde application des formules (12.) et (13.) considérons les fon- 
ctions sinta; et cosfec, oíi k represente un nombre quelconqne, réel ou imaginaire. Ces for- 
mules donnent immédiatement les formules connues 

, r . k^-l- ■ , , {/c2-l-)(A:--3-) . 5 
sm kx = k\ sin x — -7—,,-^ sm^ x 4 1 9 S 4 ò ^'" ^ " ' 

_ k-^ . ., , /.•2(fc2-22) . , 
C0SA%f= 1 — Sm-lC-i — =r"T5~"7~ SlIl^X — . . ., 

2 1. J .0 .i 

lesqiielles ont lieu pour toutes les valeurs de x représentées par les points de Tintérieur 
de celui des ovales donués par Téquation ] sin 2 ] = 1 qui a pour centre Torigine des c-oor- 
données. 

On doit remarquer que nous avons déjà employé ces formules pour trouver les formules 
(12.) et (13.), mais en supposant k uu nombre entier positif impair, dans le cas de la pre- 
mière formule, et un nombre entier positif pair, dans le cas de la seconde. 

6. Considérons encore la fonctiou 

f{x) = a'cot JL\ 

On a alors, Bi, B3, . . . représentant les nombres de BernonUi, 

/tO) = l, /"(0) = -22B,, ..., /(-2«)(0) = _í>2"B,„_i, 
/'(0)=/"'(0) = ... = 0. 

Donc la formule (12.) donne 

, -, ,? 2'" B. ^,_, + S;:,' 2^'"-'> B,„_3 + • • • + Sr " 2^ B , . ,„ 

a; cot a; = 1 — 1 — — r -r snr" x. 

„=( 1 .2. . .2W 

On peut éerire cette formule symhoUquement de la manière suivante: 

^ . - 22B[22B2 + 22][2^B2 + 42J...[2-^B'^ + (2n-2)-^] . . 

a; cot £C = 1 — 2I != ^ — r-7í ^T — ^ -^ sin-" x, 

„=i l.2...2n 

oíi Ton doit remplacer, après les multiplications, les exposants des puissances de B par des 
Índices. 

7. Nous avons considero jusqu'ici seulement des ovales representes par Téquation 
|3Íii2j = c dont le centre coincide avec Torigine des coordonnées. En appliquant la formule 



115 



(12.) à la fonction /(x + m-j et eu changeant ensuite x en x — m~, on trouve la formule qui 
a lieu quand x represente un point de Tovale, represente par la même équation, dont le 
centre est le point {mr., 0). On trouve ainsi, quand f(x) est holomorphe dans Taire limitée 
par cet ovale, 

^/(x) =/(»..) ^J^ j-^— 2^^ sm-o. 

I ' ,~o^ ^ 1.2...(^n+lj "'"^ ""• 

On peut écrire cette formule sytuholiquement de la manière suivant: 



(17.) 



^/t.)^/(..)+£/:^í--^^^^'-^+^j3;;^^f-)"'^»-^>%in-. 

í , ._n. V /(«t^) [f-^ (m::) + 1'] [f (mT) + 3^-] . ■ ■ [P (m^ ^ (2n- 1)^] 

' ^ '^ n=o 1.2...(2n+l) 



8. De la comparaison de la formule (16.) avec les formules (3.), (4.) et (5.) on conclue 
les résultats suivants, dont nous ferons encore usage: 

1n T ■ -1 li/- • f(z)cOSZ ., , , , ^ 

1 '. Le. residu de la tonction . ., , , — par rapport au polé vir. est donne par la formule 

sm-"+' z ^ " ^ ^ 

f'"^ {mz) + S.^1' f'"-'^ (m~) ^ . . .+ Sr" f" (mz) 



R„ 



1.2. ..2« 



ín T . • 1 1 1 r- • / (^) COSZ , , 

2 . Le residu de la tonctmn — . , -; — par rapport au meme pole est donné par la formule 

Sm-"+-Z i rr r i 



"•"' ^ 1.2...(2«+1) 



/' (2) 

3°. Le résidu de la fonction ~—^ — par rapport à m- est donné par la formule 
sm-" z ' ' ' '^ 



^r. _ /''"' (mz) + Sa/'^-°' (mx) +. ■ ■+ Sr"/'^' (mz) ' 
1.2.3...(2n-l) 



116 



4°. Le résldu de la fonction . ^ r, — par rapport à mr. est 

^">-^-^> 1.2. ..271 • 

En changeant dans les formules precedentes /' (c) en f(z), on voit encore que le résidu de 
—^-^- par rapport h mr. est donné par Ia formule 

j,,/n _ f "-" {m z) + S.l^> /'^"-^' jmz) + . . ■ + Sr" f (»»^j 
1.2.3...(2w-l) 

f{z) 
et que le résidu de . .^^ jfj — par rapport au même pôle est donné par Tégalité 

^,r) _ (_ 1 ^». /<^"' (mz) + 4- V,/'"-^' (mx) + • ■ • + 4:1' +, /'(w^) 
"' ^ • 1.2...2n 



11. 



íSur les développenients do f{x) siiivant les puissances cie siii x 
qiil oiit lleix tlans une t>antle inflnie. 



9. Considórons maintenant l'mtégrale 

f(z] sin {z^x)dz 



2k/,- 



sinz — sma; 



prise le long d'un contoiír forme par les droites AB et CD, parallèles à Taxe des ordonnées, 
C ^ _3 qui passent par les points dont les abseisses sont — ~-rr, 

et :: -f ■/; I ou y; < -^1 et par les deux branches de la courbe 

-A représentée par Téquation jsinz| = c (oíi c>l), et soit 
f{z) une fonction holomorphe dans cette aire et pério- 
dique, la période étant égale à 2-. 
La fonction 

/(z) sin(z-i-a;) f{z)ÁVí\{z-^x) 




sin z — sina; 



sin \{z — x) 



a un seul pGle, z = a;, à rintérieiír du contour S et le résidu de cette fonction par rapport à 
ce pôle est égal à 2/ (a;) sina;; par conséquent iious avons 



sin z — sm a; 



1 /■ /(z)sin(z-f a,)(íz 

:tion /(z) il résultf 

C /(z)8in(z + a;)da; ^ C 
Jab sin z- sin a- /^^ 



Mais de la périodicité de la fonction f[z) il resulto 

/(z)8Ín(z + a;)da; Ç /(z)sin(z + a?)da; 



smz — sina; 



118 



Donc nous avons, en représentant par S' et S" les courlies BC et DA: 

^, , ir f(z)s'm(z + x)ch , 1 f f(z)s'm(z + x)dz 
2 sin a?/ («) = ~r^ ' ^ _L / • 



2í'"/g, sinz — sina; ' 2í~ /g„ sinz — sina; 
Si l'on remarque maintenant que le développement 



sina; , sin''»; 



sinz — sina; sinz sin- z sin^z 



a lieu pour toutes les valeurs de z représentées par les points de S' et S" et pour toutes les 
valeurs de x représentées par les points de Tintérieur de Taire considérée (parce qu'on a 
pour tous ces points | sina?! < | sinz| ), on peut éerire le développement 

sin xf{x) = sin x [Ao + A j sin a; -f • • • + A„ sin" a; -f • • ■ ] 
+ cosa;[Bo + Bi sina; + - • • + B„ sin" a; + . . .], 



A ^ í r .f(z) cos zJz f f(z) cos zãz 



AiT. [j s' sin" + * z J s'/ sin" + * z |' 
„ 1 ( r f(z)âz , /• /(z)t7z 



4i:i [J s' sin" z J s'/ sin" z 

En posant dans ce développement a; = 0, il vient Bo = 0; nous pouvons donc encore éerire 

/(a;) = Ao-r Al sina?-}- . . . + A„ sin"a;+. . .4-cosa;[Bi + B2 sina; ~1- . . . H-B„ sin"-*a; + . . .]. 

On peut encore donner aux coefRcients A„ et B„ de ce développement une autre forme. En 
effet, on a 

f(z) cos z dz r f(z) cos z dz 



í f(z) cos z dz r 
Jau Bin"+"íl~"jj 



DC «Í°"+'^ 
f(z)dz r f(z)dz 



et par conséquent 



(18.) 



sin" 2 / nr- sin' 



A = — /" /(^)^"S^^" 
' " ái~ L sin" + 'z ' 






f(z)dz 
sin" z 



119 



Au moyen de rintégration par pai-ties on voit qu'on peut encore écrire 

1 /■ f(z)dz 
(18'.) A„ = ^P^/ ^^— . 

De tout ce qui precede on peut tirer le théorème suivant: 

Si la fonction f(z) est holomorphe dans la bande infinie coviprise entre les deux hranches 
de la courbe | sin 3 | = c (oà c> 1) et admet la période 2^:, on peut développer f{x) en série de 
la forme suivanfe: 

(19.) /(a;) = Ao+Aisinx+. . .+A„sin"a3+. . . + coser [Bi +B2sina3+. . .+B„sin"-'£C+. . .], 

les coeficientes A„ et B„ étant donnts par les formules (18). 

IO. II faut maintenant calculer les intégrales qui entrant dans les expressions de A„ et 
B„, ce qu'on peut faire avx moyen du théorème de Caucliy, qui donne, en employant les no- 
tations du n.* 8, les résultats suivants: 

^■2n =i[Ro +R.], 

A2„+, = i[R„ +r;], 

B,„ =i[Rr' + Rr'], 
B2„M=4[R,?'' +Rr']. 

Ces formules donnent (n." 8) 

, ._ 1 f""' (0) - S^!;/"-" (0) ^. . ■ + sry (0) 

■^2" ~2- 1.2...2n 

' 2 ■ 1.2. ..2n ' 

ou, en posant /|x-)+/(« + ~) = Fi (x): 

1 F'r"> (0) + s.i',' f;^'-^> (0) -i-. ■ .+ sr" Fj-" ( 0) 

(20.) A2„ =y. l.->...2n • 



On a aussi 



, _1 /'^"^"(0)+<V,/'^-"(Q)+. ■ .+g.i;i,/o) 

^""^* 2 ■ 1.2... (271 + 1) 

_1 /'^+" (z) + .<^;. /'•^"-" (-)+■•• + «q./ (-) 
2 ■ 1.2...(2n+l) 



120 

ou, en posant f(x) — f(x-\-z) = F{x): 

.„, , A _ 1 F'-^^" (0) + .i',V, F"-" (0) + ■ ■ ■ + s'i!^, F' (0) 

^^'•'' A2„ + ,_y. 1.2...(2n+0 ■ 

De la même manière on trouve les formules 

1 f;"-" (0) + s.^' Ff "-^' (0) + . . . + s.r"F;(0) 



2 ■ 1.2...(2íi-l) 

1 F<-^' (0) -f s;:,V, F'^"-^' fO) + . . . + 4:V. F (0) 



(22.) B,,, = 

Les formules (20.), (21.), (22.) et (23.) peuvent encore être écrites symhoUquement de la 
manière suivante: 

/ . ] F? (0) [F? (0) + 2n [Ff (0) -t- 4-^]...[F;(0) + (2«-2)^] 
A2„ =y. 1.2. ..2n ' 

. 1 F ( O) [F--' (0) + r] [F= (0) + 3' I . . . [F^ (0) -f (2n - 1 )'] 
jA2„+i = ^. 1.2...(2« + 1) ' 

^^"^■^ 'U _1 F, (0) [Fi (0) + 2^] [F? (0) + 4-^] • • • [F? (0) + (2n - 2)^] 

I -" 2' 1.2...(2n-lj ' 

1 F°(0,[F'(0) + l'][F'(0) + 3-^]...[F--'fO) + (2n-l)^] 
\ ^^«+ • = Y • 1727:72;^ • 

Les formules antérieures ne déterminent pas les coefficients Ao et B). On les obtient au 
moyen de la formule (19.) en y posant x = et x = r., ce qui donne 

/(0) = Ao + Bi, /(-) = Ao-Bi 

et par conséquent 

Ao = i[/(0)+/(x)] = |F,(0), 
Bi =i [/(O) -/(::)] = ÍF(0). 

II. Supposons maintenant que la fonction f{x) admet Ia période réelle ou imaginaire 2co. 
Alors la fonction /(—^l de la variable X admet la période 2- et, si elle est holomorplie 
dans Taire infinie limitée par les deux branches de la courbe lsinXI = c (oíi c> 1), nous avons 

/(-^j = Ao + A,sinX + A2SÍn2X + ... + cosX[Bi LB2sinX + B3SÍn«X + ...]. 



Si Fon pose maintenant 

(A.) 

on trouve 



121 



oX 



f{x) = Ao + Al sin ~ 1- A2 sin- p ... -f cos - — Bi + B-2 sin - 

lU CO to [ 



Les coeíEcients A„ et B„ sont donnés par les formules (20.), (21.), ^22.) et (23.) en y 
posant 

En posant en (A.) 

to = p (cos 6 -- í sin 6), X = R (cos 6' -^ i sin 6), x = r (cos ~^i sin -) 



.=»+.'. ^ 



On voit donc que Taire qui, dans le plan de représentation de x, correspoud à laire limitée 
par ies deux branches de la courbe | sin X | = c est limitée par une courbe qu'on obtient en 
transformant premièrement la courbe |sinX| = c de manière qu'entre les rayons vecteurs R 
des points de cette courbe et les rayons vecteurs correspondants r de la transformée existe 

le rapport r = ^R, et ensuite en faisant tourner Taire limitée par la courbe ainsi obtenue 

autour de Torigine des coordonnées d'ua angle égal à largument de Ia période 2(o. 

12. En appliquant la doetrine antérieure à la fonction /(X --a), on obtient le dévelop- 
pement 

/(X-f«) = Ao-f Aisin-^^ j- Aásin- '^ [-. . .-f cos — — Bi ^-Basin^^ I-B3 sin-—--—. . . , 

to to O) [ to 10 J 

qui, en posant 



122 



donne 



/tó = Ao-f Aisra--(íc — a) + A2sm- — (x — «)+. ..+ cos — (r— a) Bi + B^ sin — (x — u) 

O) (U O) [ CO 

+ B3SÍn2-^(r-a) + ...l. 

Ce développement a lieu dans Taire qu'on obtient en donnant à l'aire considérée dans le 
numero antérieur un mouvement de translation qui transporte le point qui coincide avec Fori- 
gine des coordonnées, au point dont Taffixe est a. 

Les coefficients Ao, Ai, . . ., Bi, B*, . • . de cette formule sont donnés par les formules 
(20.), (21.), (22.) et (23.) en y posant 



F<H=/('^-^«)+/(^^^^ + 4 



En posant dans les formules antérieures a = ;- , on trouve 

/(.?') = Au -j- Al eos^^4- Aa cos--^ — (-. . . — sin-^ Bi +B2Cos-^ — I-B3 cos'-'-' \-. . . \. 

O) (O to [ (O (U J 

Les coefficients sont donnés par les formules (20.), (21.), (22.) et (23.) en y posant 



F.(.)=/(^-|)+/(^;^-f). 



13. Pour faire une application de cette formule considérons la fonction elliptique 

/(a-) = sn-^, 
qui admet les périodes 2z et -^-j— et les pôles 



xiVc' , , TÍk' 
-^ + nr. + m-^ 



123 



(n et m étant des nombres entiers) et supposons, pour simplifier, que k et k' sont des quan- 
titées réelles. 

II est facile de voir, en ayant égard à ce que les ordonnées maximums de la courbe 
I sin 2 i = c (ou c > 1) sont égales à log (c + v/c^ + 1)) que la fonction considérée est holomorplie 
dans la bande infinie limitée par les deux branches de la courbe 

, . , \ . -ik' l 
sm z = sin 



2k !' 



quand k et k' vérifient la condition 

^>log(l + \/2). 
Dans ce cas on a 

2kx 

sn = Ao -f Al sin £c + Ao sin- £c -f • • • -r cos x [B; + B2 sin a; -|- B3 sin' x-\-. ■ ■]. 

Ti 

Mais, en remarquant qu' est 

2kx\ Í2kx 



on volt qu' est 

et, en remarquant qu' est 

on voit ensuite qu'on a 
On a donc 

et par conséquent 



Ao = A2 = A4 = Ae = . . . = O, 
B|=B3 = B3 = B7=...=0; 



2k(x-^r:) 2kx 
sn ^ = — sn 



B2 = B4=B6=... = 0. 



= A) sin a; + As sin^xH- A5 sin^a; + ' 



sn X = Al sin -^^ + A3 sm-* -^ + • ■ • • 
J/c Jk 



124 



Les coefficients qui entrent dans cette formule doivent étre determines par la formule (21.) 
en y posant 

„, , 2kx 2h{x + T:) „ 2^2- 
F (oc) = sn sn ^ = 2 sn . 

^ ' T. T. r. 

Le développement qu'on vient de trouver a lieu dans Taire infinie limitée par la courbe qu'on 
obtient en transformant la courbe dont Téquation est 

I . -ik' I 
j sin z j = I sin [ 

comme on a dit dans le n." 11. En particulier elle a lieu pour toutes les valeurs réelles 
de X. 

14. Nous pouvons déterminer un développement de sna; qui est applicable pour toutes 
les valeurs de k et A;' et pour toutes les valeurs réelles de x, comme on va voir. 
Considérons la fonction 

qui admet les périodes 2:: et — z — et les pôles 

•;: ràk' rdk' 

T + -2F + "" + '"^^' 

11 et m étant des nombres entiers, et sujiposons encore que k et k' sont des nombres 
réels. 

Comme les pôles de la fonction considérée ont les mêmes abscisses que les points de la 
courbe | sin z | = c ou Fordonnée est minimum, on voit qu'il existe une valeur de c, supérieure 
à Tunité, telle que la fonction /(a-) est holomorphe dans Taire limitée par les deux branehes 
de cette courbe. Cette valeur est donnóe par léquation 

, Tàk' \ Tuk' 



ÍSous avons donc, dans l'aire considérée, 

' Vr"" y)"''^" l'^'3'"^ + -'^2sin-á: + .. . + cos (T [Bi + Bá sin o- + Ba sin- ;r + . . .]. 



125 

Cette égalité donne premièrement 

'"T' Tíy 7Í3C 1 ~úC 'TÍX 1 

sn o- = Ao + Al cos ^ — A-2 (.-os- Ót" + • • •— ^''^ "ÕF P' + ^- *^°^ "^ ^ ^^ ^°^' ^ "^ ' ' ' ' 

et, à cause des égalités 

sn (— x) = — sn X, 
sn (x + 2A;) = — sn x, 

elle donne ensuite 

sn a; = — sin -^ Ltsi — Us cos- -^ + 03 cos^ -^ t • 

Les coefficients Bi, B.i, B3, . . . doivent être calcules au moyen de la formule (23.) en y 
posant 

^, . (2kx A (2kix-^z) \ Clkx \ 
F (.t) = sn 1^^ A- j — sn I ^^^ — A- 1 = 2 sn I -_; A; I. 

Le développement que nous venons de trouver a lieu pour toutes les valeurs de x repré- 
sentées par les points de Taire qu"on obtient en transformant Taire limitée par les deux 
branches de la courbe 

. , rJk' 

I sinz = cos „, , 

comme on Ta dit dans les n."' 11 et 12. En particulier il a lieu pour toutes les valeurs 
réelles de x. 



III 



SOR L[S SEIS ORDOiN[[S SiANÍ LES PUISSAICES DIE EONCIi DDNNÉE 



(Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 
gegriindet von Crelle-Berlin, 1896. Band 116) 



INTRODUGTION 



Les formules de Lagrange et de Bilrmann et celle de Lcmrent sont des cas particuliers 
d'une formule qui donne le développeinent des fouctions en série ordonnée suivant les pnissan- 
ces positives et négatives d'iine autre fonction. Cette formule, qu'on obtient en généralisant 
la méthode au moyen de laquelle on trouve ces formules-là, est donnée dans les premiers 
n''^ de ce travail. Mais cette généralisation facile n"est pas le seul but que nous avons en 
vue; notre but principal est de présenter quelques conséquences de la formule considérée, 
qui nous paraissent offrir quelque intérêt. 

La première applieation concerne les développements ordonnés suivant les puissances de 



7-. Nous démontrons premièrement que, étant donnée une fonction holomorphe dans la 

couronne limitée par deux circonférences dont les centres ne coíncident pas, on peut déter- 
miner a et 6 de manière qu'elle soit dóveloppable en série ordonnée suivant les puissances de 



j- convergente dans la couronne considérée. Ensuite nous faisons voir quon peut déve- 

lopper, au moyen de séries de cette forme, les fonctions holomorphes dans une aire limitée 
par des droites, ou par des droites et par des ares de circonférence, et nous arrivons à un 
théorème qui contient comme cas particulier un théorème donné par M. Ai^pell dans les Acta 
mathematica (t. i, p. 111). Nous donnons enfin une méthode pour former des fonctions holo- 
morphes dans une aire limitée par des droites, qui ne peuvent pas être continuées à Texté- 
rieur du contour de Taire. 

La deuxième applieation concerne les développements ordonnés suivant les puissances de 
sinx. Nous avons considere déjà ces développements dans un mémoire publié dans le tome 
116 de ce Journal, et nous allons faire voir maintenant que la méthode pour déterminer les 
coeíficients du développement y donnée est applicable aux fonctions qui admettent des pôles. 

La dernicre applieation concerne les développements ordonnés suivant les puissances de 
i-.v 

e . A cet égard je donne une démonstration, que je crois nouvelle, de la formule de Fou- 
rier pour le cas des fonctions de variables complexes périodiques, et encore une extension 
de cette formule, applicable dans le cas oíi la fonction considérée n'est pas périodique. 



Sixr lo dóveloppemont de /{x) oii sórie orcloixnó© 
suivaiit les i>ulssauc©s i>ositivos ot nógatives de {x) 



1. Supposons: 1°. que /(s) soit une fonction holumorphe dans une couronne A, limitée 
extérieurement par une courbe S et intérieurement par une courbe s; 2°. que Q {z) soit une 
fonction holomorplie dans laire limitée par S, possédant à Tintérieur de ce contour un seul 
zero a; 3°. que a; soit Taffixe d'un point de Tintérieur de la couronne considcrée; 4". qu'on 
ait, pour tous les points z du contour S, 

|0(a;)|<|e(z)|, 

et, pour tous les points du contour s, 

|0(a;)|>|G(z)|. 
L'équation 

0(3) — e(a;) = 

a, dans ce cas, une seule racine z = x k Tintérieur de S, comme on le voit au moyen de 
Tégalité 

dont le premier et le dernier membres représentent respectivement le nombre des racines de 
réquation oonsidórée et celui des racines de Tóquation G (::) = O qui existeut à Tintérieur de 



131 

S; et le théorème de Cauchy donne 

Les intégrales, qui entrent dans cette formule, peuvent être développées suivant les 
puissances de G (a-) au moyen des formules 

r f(z)0'(z )dz _ - f f(=)e'(z)dz 



On a donc ia formule 



/(.) = J^A„o«H + J^^, 



^"-^ís 



f(z)0'(z)dz 



0"+* {z) ' 

^n-^Jmo-^(^)o'(-^)dz, 

laquelle donne le développement de f(x) suivant les puissances positives et négatives de O (x). 

'£. Si la fonction /(;) a un nombre fini de points singuliers dans 1'aire limitée par la 
courbe s et ces points sont des pôles, les intégrales qui entrent dans la formule precedente 
peuvent être obtenues de la manitTe suivante. 

Hoient èi, h->, . . ., b;. ces points et soient ci, c-2, . . ., q, c des circonférences dont les 
centres sont les points d'affixes hi, b^, . . ., bi„ a et dont les rayons sont assez petits pour 
qu'ils n"existent pas deux à Tintérieur d'une même circonférence. On a 

A 1 f f{ z)&(z)dz ^ 1 f f'(z)dz _ !^ J_f /V^^ , 1 ff(^)dz 

«» = Í//(-') «"-' ^^^ ^' (^) ''-^ = - Í/3-^' ^^^ °" í-"^ ^^^ = - S i X-^' ^^'^ '^^^ 



132 



et par conséquent, a étant le ilegré de multiplicité du pôle bm, 



A = V 1 r à' ( f(cc)(x-b,„f+i \'] , 1 r d"-^ ífjx) 

m = !«!»[ dx'' \ O" (x) /J,= 6^ "^ n\ [ dx"-i \ O" {X) 

B„=- i: J-[-i^(/(a;)0"(a;)(a;-J,„f+*)l 



oíi (5 («) ^ ^ '^ 



a,' — a 

II peut arriver que a soit aussi un pôle de /(»■)- H est faeile de voir qu' alors on doit 
calouler A„ au moyen de la formule 



(, 1 r d'' í f'{x)ix-b,„r+^ \] 1 r c?H« í f{x){x-a]^+'' 

"- „ - , "cd^ [~^ \ e« (x) J I, = j^ + (n + [:ij!« [ dx?+n \ e» (a;) 



p représentant le degré de multiplicité du pôle a, et que la formule qui donne B„ doit ctre 
remplacée par la suivante: 



B„=- E -^\—(f'(x)e"(x)(x-b„;f+^] - -L^\^l^[(f(a;)e»(x){x-a)^+^-^)] , 



quand n <; [5. 

Les formules antérieures ne donnent pas les valeurs de Ao, mais on peut les trouver au 
moyen de la formule 



{, 1 f f(z)0'(z)dz , 1 rf{z)0'{z)dz 



f f(z)(y(z)dz 1 ff(z)0' 

Ic 0{Z) ~^ '2ÍT.J, (:)( 



qui donne 



A V 1 \_d^{f(x)&^x)^-b,„r ., 



133 

quand a est un point ordinaire de f(x), et 

4, 1 1" d''-^ ff(x)&(x){x-b„,)^\] , 1 r í^^ /'f(x)Q'(x)(x-a)? 



[dJ \ 



quand a est un pôle de /(«). 

3o Considéi'ons Téquation 

Q (x) = (x — a) 6 {x) == t, 

ou í represente un nombre donné tel qu'il soit, le long de S, | (z) | > | í | et, le long de s, 
I G (z) I < I í I . L'équation O (x') = t a alors une seule racine dans la couronne limitée par les 
courbes S et s; on voit, en efFet, au moyen des égalitós 






que Téquation considérée a une racine à rintérieur de S et qu'elle n'a aucune à Tintérieur 
de s. 

Cela pose, si la fonction f{x) est holomorphe dans la couronne limitée par S et s, la 
formule 

f{x)= £ Á,t"+ £ ^, 

11=0 n = l í 

OU A„ et B„ représentent des coefficients qui sont donnés par les formules trouvéfs anté- 
rieurement, donne le développement de la fonction /(.?') de la racine considérée suivant les 
puissances de t. 

Considérons, par exemple, l'équation de Kepler 



a; = a + e sin a;. 



et soit f(x) = . 

•' ^ ' x — a 



On a 



134 



Ao = -- 



A,r 



1 á"+* (sin» a) 

(n + 1) ! íT ■ dã^'^ ' 



(n>0) 



Done 



B, =-. , B2 = B3 = ... = 0. 

sm a 



1 cos a ^ e" cZ"+* (sin" «) 1 

03 — a sina ,,^1 (n+l)!n' cZa"+* esina' 



11. 



Sixr les séries orclonnées siiivant les pxilssaiices cie -. 

■X — o 



4. Pour faire une première application de la doctrine antérieure, considérons les déve- 

loppements ordonnés suivant les puissances de 7-, a et i étant deux nombres donnés. 

Pouj- étudier ces développements, il faut chercher deux courbes S et s telles que, pour 
tout point z de S et pour tout point x a Tintérieur de la couronne qu'elles limitent, on ait 



X — a 2 — a 

< 



I a; — 6 I \ z — ô I ' 
et, pour tout point z de s et pour les mêmes valeurs de a-, ou ait 



X — a i z — a 

> 



\ X — b \ I 2 — b I ' 
On est ainsi conduit à considérer les courbes données par Téquation 

j = C, 
C étant une constante, ou, en posant z = X-}-iY, a = a-ríp, b = a'-\-i^', 



(l-) (X — xi)-Tr(Y— yi)- = n—Q^f 



2 — a 



136 



(2.) =«' = -1370^' ^' = ^r-^2- 

Cette équation represente des circonférences dont les centres (.ri, yi) sont placés sur Ia 
droite qui passe par les points dont les affixes sont a et b. 

Aux valeurs que prend C-, quand il varie depuis U jusqu'à 1, il correspond un ensemble 
de circonférences dont les rayons varient depois Õ jusqifà Tinlini et dont les centres varient 
depuis le point (a, "fii, qui represente a et qui correspond à C = U, jusqu';\ 1 infini, en restant 
toujours du naême côté du point (cx, ,3). Chaque circonférence de cet ensemble contient à 
rintérieiír celles qui correspondent a des valeurs inférieurs de C-, et le point dont Taffixe est 
a, est à rintérieur de toutes ces circonférences. 

Aux valeurs de C- comprises entre cc et 1 correspond un autre ensemble de circonfé- 
rences dont les rayons sont compris entre O et oo et dont les centres sont compris entre le 
point dont Taffixe est b, qui correspond à C-= co, et Tintini, en restant tous du côté opposé, 
par rapport à (a, [3), de ceux des circonférences du premier ensemble. Chaque circonférence 
de cet ensemble contient à Tintérieur celles qui correspondent :i des valeurs supérieures de 
C-, et le point dont Taffixe est b est à Tintérieur de toutes ces circonférences. 

En chercbant les points d'intersection de la droit dont lequation est 

Y-B X-cí 



2/1-1 



laquelle passe par les points a et b, avec les circonférences représentées par Téquation (] .), 
on trouve pour les valeurs des abscisses x' et x' de ces points 

, a- Ca' „ a + Ca' 



1-C • l^C ' 

et on voit qu'elles tendent la première vers Tintini et la seconde vers — ^ — , quand C- tend 

viTs Tunité. Donc les deux enseniljles de circonférences représentées par Téquation (1.) sont 
separes par une droit K, perpendiculaire à la droite des centres, qui coupe cette droite dans 
un point équidistant de (a, [i) et (a', p'), et les circonférences des deux ensembles tendent 
vers la droite K quand C- tend vers Tunitc. On peut même voir que la droit K est le lieu 

1 • . I -í — ('' \ 1 
des pomts ou I p \~ ^• 



I -■ 



■b 



5. De ce qu'on vient de démontrer dans les n°^ précédents, on conclut que, si la fon- 
ctiun f(x) est liolomorplie dans une couiimnc limitée par deux des circonférences représentées 



137 



par les points de rintérieur de cetfe couronne 



(30 /(-)= ^M^-?rí+ ^-M^-''" 



A„ et B„ étant des constantes qu'on determine par la méthode donnée dans les n.°' 1 et 2. 
Dans le cas particulier oii la fonction f(x) est holomorphe dans celle des moitiés, dans 
lesquelles la droite K divise le plan, qui contient le point a, on a 



f^'>-àM^i)'- 



C"est ce qu'il arrive dans le cas de Ia fonction logíc, dont le développement suivant les puis- 
X — a 

x-\-a' 



sances de — -— — , qui est bien connu, peut être obtenu de la manicre suivante 



On a 



•2ni-J z{z — a)" nl [dz"-^ ^ ^ ' ' 



Mais on trouve au moyen de la formule de Leihnitz 



d" , , , ,, nl b" 

—, — (x-' (x — b)") = j-, 

dx" ^ ^ ' ' £t«+» ' 



et par conséquent 



~^s^-\x-br)=^^^{x-\x-br-\x-b))J^^}'-^^^^^^ 



Done 



£i,.-.(.-*)-)=(.-».^[(irV(|)'->...+.]=£^''(..-n 



dx 

On a dono 



, V 1 a"-6" IX — ay^ 
logx = Iog«+_l^-.-^^(— -^j. 



138 

En posant h = — a il vient la formule conmie 

1 /x — a\^'" + ' 



loe íc = loa; a + 2 S! 7;; — ^^\ 



laquelle a lieu pour toutes les valeurs de x représentées par les points de celle des deiix 
moitiés, dans lesqueiles la perpendiculaire à la droite qui passe par les points d'affixe8 a et 
— a divise le plan, qui contient le point a. 

6. Voifi une question qui se presente maintenant. Etant données deux circonférences 
dans le plan de représentation des £c, Tune placée à Fintérieur de Tautre, et une fonction f{x) 
holomorplie dans la couronne limitée par ces circonférences, est-il toujours possible de former 
une série de la forme (3.) qui la represente dans la couronne considérée? 

Supposons premièrement que le centre de la circonférence extérieure coincide avec Fori- 
gine des coordonnées, et soient Ri et R^ les rayons des circonférences extérieure et intérieure, 
x' et y les coordonnées du centre de celle-ci. 

Pour résoudre la question considérée il faut voir si les deux circonférences données sont 
comprises entre celles que represente Téquation (1.), et, par conséquent, s'il existe un systcme 
de valeurs réelles de Cf, CiJ, a. ]ii, a', jil', telles qu'il soit 



(4.) 



a = a' C?, p = P' Cf, 
a-a'Ci = (l-Ci)«', ?-p'Ci = (l-C^)y, 



Rr = 



Cr[(«-«')^ + (p-pT] 

(l-Cí)' 
(5-) \ 

Or les quatre preinicres équations dunuent 



Cf- Cl''' ' cT^^' 



et les deux deniicres doiinont ensuite 



C?(l-C|/ C|(l-Cff , ,., , ,,, 



139 



■p 

et par conséquent, en posant Ri— R-2 = A-, =5— = ?n, V a;'"^ + ?/'^= p, 



, 1 + C,C, C,(l-C^ 

^=-'-0 I n P' '» = 



c, + c, í^' '"- C,(l-C?)- 

En éliminant C? et C^ entre ces équations, on troiive premièrement 

n. 7. 
(6.) Oi = - 



et ensuite 

k[j {Q\ - 1 ) -f [m (p' - i^) - k' - r/] C, (Cl - 1 ) = O, 
ou 

ip {01 + 1) + C, [m {[} - k'-) -k'- p^] = 0. 

Cette équation donne poiír C-2 deux valeurs, qui sont réelles quand on a 

(p2 - k^-) [f+2 („j _ ij2 — k^.(rn+ If] > 0. 

Or, comme la circonférenee dont le rayon est R^ est placée à Tintérieur de celle dont le 
rayon est Ri et comme p represente la distance das centres, on a 

p < Ri — R-2, p < Ri ~r R2, 
et par conséquent 

{j<k, p(m— 1) <Z;(?n-f- !)■ 

Les deux valeurs consideres sont donc réelles. 

On peiít encore remarquer que ces deux racines sont reciproques; soient donc représen- 

tées par t et — -. En substituant ces valeurs dans Téquation (<].) il vient, pour détcrminer Ci, 

p — fk tn — k 1 

A; — íp tk— p V 

et on voit que les deux valeurs de Ci sont aussi reciproques Tunf de Tautre. 



140 



En substituant enfin les valeurs qu'on vient de trouver pour Ci et C-2 dans les équations 
(4.) ou obtient les valeurs de a, ,3, a', ,3'. On trouve ainsi, en posant Ci=v, C-2 = í, 

v-{l — t') . ,^ t)-(l— <-) , 



-t, en posant Ci = — , Cj = — , 



v-{t-—\) , r, v-[C-—\\ . 
a = — 5 -5— a- , ,:i = — 5 ^— y ■ 



Si Ton permute dans le premier système de formules a et a', ,3 et ji', on obtient le second. 
Ces formules ne détermiiient donr que deux points {a, ,3), (a'. ,3'), et ces points représeutent 
les nombres a et b. 

De tout ce qui precede on conclut que les circontérences données sont comprises entre 
les eiroonférenees réelles représentées par les équations (1.) et (2.), et qu'il existe, par con- 
séquent, une súrie de la forme (3.) qui represente, dans la couronne limitée par ces circon- 
férences, \sl fonction dunnée fix). Les valeurs des nombres a et h, qui entret dans cette 
série, sont données par les formules qu'on vient d'ol'tenir, les valeurs des coefficients sont 
données par les formules obtenues dans les n'^ 1 et 2. 

Nous avons supposé jusqu'ici que le centre de la circonférence extérieure coincidait avec 
Torigint; des coordonnées. Si le centre de cette circonférence est le point d'affiíce K, on peut 

poser x = x'-\-'k, développer la fonction /(.r'-!-'/.) suivant les puissances 

placer dans le résultat x' par ;(■ — X. 

II convient encore de n/marquer que, dans le cas limite oi!i le cercle intérieur se réduit 
k un point {x',y'), c'est-à-dire, dans le cas oíi la fonction /(a-) est holomorphe dans un cercle 
donné, le point {x',y') de son intérieur excepté, on a, en premier lieu, « = «', ^ = y', 0^ = 0, 
et ensuite 

Les constantes a et ?<, qui entrent dans le dévelo[)pemtnt de /(a'), sont alors données par les 



141 



formules 



TJ2 

: x' + iy\ b = ,^.\-., («' + ir/)) ; 



le point h est donc Tinverse de a par rapport au centre du eercle donnó. 

7. Pour faire une première application de la doctrine antérieure considérons une aire A 
limitée intérieurement par des ares de circonférence si, «2, ..., «t, limitée extórieurement, 
dans une direction, par une droite K, qui ne coupe pas ces ares, et infinie dans les autres 
directions; et supposons que les circonférences auxquelles appartiennent les ares consideres 
ne coupent pas Faire A et que/(a;) soit une fonction holomorphe dans eette aire. Prenons à 
rintérieur de A un point d'affixe a et sur Ia droite perpendieulaire à K, tirée par ce point, 
un autre point d"affixe b tel que les distances des deux points à K soient égales. Tirons en- 

suite une des circonférences représentées par Féquation 7- =con8t., dont le rayon soit 

assez grand et le centre assez éloigné de la droite K pour contenir à Tintérieur les ares 

Si, 5-2, .... 

Cela poso, nous avons, C représentant cette circonférence et x 1'affixe d'un point de Tin- 
térieur de Taire limitée par C et par si, s-2, . . . , 



^^'> 2Í7:[]^Q{z)-Qix) 


l f f{z)e'(z)dz- 
^>=ijs„ Q{z)-e{x) 


ou 8(2)- ^~l. 





Mais 



e'(2) _ 1 1 



e (2) — e (x) z — a z — b' 
■ f(z)e'(z)dz ^ £ ^ (x-a 



J^O(z)-Q{x) „=o "U-b, 
f(z)0'(z)dz r fiz)dz f f(z)dz r f(z)dz f f(z)dz 



e(z)-e{x) I z-x I z-b I . ,r. 2-c,„i /^ z-b 



(•■«-c„)[l- 



ou c{, a, ... reprósentent les affixes des centres de sj, sa,. . .. 

En remarquant maintenant qu'on a \z — Cm [ < | x — c,„ |, le long de s„,, on voit que la pre- 
mière des intégrales, qui nitrent dans le dernier meuiljre de cette égalité, peut être deve- 



142 



loppée en série ordonnée suivant les puissances de —, et qu'on a par conséquent 

J_ f f(z)0'(z)dz ^ ( 1 \ 

2hJ^ e(z)-e(x) \x-C,nP 

Gj 1 reprósentant, suivant l'usage, une sárie ordonnée suivant les puissances entières 

et positives de . 

X — c,„ 

Nous avons donc la formule 



•' ^ ' „ = n \x — bl ,„ = j \íc-c„, 

qui a lieu pour toutes les valeurs de x représentées par les points de laire limitóe par C et 
par les ares si, «2, «3, . . .. 

Les valeurs de A„ sont données par Ia formule 

J_ r f{z)0'{z)dz _ a-b f f(z)(z-b)n-iãz 

laquelle fait voir que ees valeurs ne changent pas quand on remplace la oirconférence C par 

1 i ■ r' . ■ 1., ■ 1 íc — « I 

les autres pirconterences representt^es iiar 1 equation i ^ =cons^., nui la contiennent à 

\ X — 6 I ^ 

Tintérieur; et, comme ces circonférenees tendent vers la droite K, on peut énoncer le théo- 
rème suivant: 

Toute funcHon holomorjihe dans raive limitée intt:rieurement par des ares de cercle et exté- 
rieurement par une droite peut être dévehppée en série de la forme suivante: 



/(.)=v A„fi^-jy+^ G,„M-l 



qui a Ueu pour toutes les valeurs de x représentées piar les points de cetfe aire. 

II est facile de voir que cette formule a encore lieu lorsque les circonférenees antórieures 
se reduisent à leurs centres. 

8. Une autre question qui mune à des séries de la forme considérée est celle du déve- 
loppement des fonctions liolomorphes dans une aire limitée par des droites. 

Soient Kl, K», K3, ... des droites qui limitent une aire A donnée, mais ne le coupent 
pas, X un point de son intérieur et f(x) la funetion considérée. Par le point b de Fintérieur 



143 



de A tirons des droites perpeiuliculaires à Ki, K.>, K3, ... et soient ai, ai, 03, ... des points 
de ces perpendiculaires tels que leurs distances à Ki, K-i, . . . soient respectivement égales 
aux distances de h aux mêmes droites. 

On a, en vertu du théorème de Cmichy, 



z — a 

ou 0(2)= J-. 

z — o 
Mais, comme on a 



J{x) JW-^-^^2ítL, e(z)-e(a;)' 



e'(z) 



e(z) — e(x) z—x z—b' 

on voit que la fonction J- / 7sv~7 ^s* indépendante de a, et qu'on peut par conséquent 
0(2) — O (x) 

écrire, en rendant explicite la constante a qui entre dans la fonction © (a;) 

/(r)-/(í)= i ^f n^)^'^^^--)^^ . 



En remarquant maintenant qu'on a 



x—b I I z — 6 

< 



pour tous les points x de Tintérieur de laire A et pour tous les points ^ de la droite K„,, on 
conclut que Fintégrale 

f(z)e'(z,a„,)ãz 



e (3, a„.j — o (x, a,„) 

x — b 



peut être développée en série ordonnée suivant les puissances entières et positives d 
On peut dono énoncer le théorème suivant: 

Toute fonction f{x) holomorphe dans une aire limitée par des droites, qui ne la coupent 
pas, est développahle en série de la forme 



-bY 
m = iii = l ' \x — a„ 



f{x)-f{b)^ i V a;:)(- 

m = ^ n — i \ 

quand x est Vaffixe d'un poiíif de Vintérieur de cette aire 



144 



9. On peut démontrer, au moyen de considérations analogues à celles qu'on vient d'em- 
ployer pour démontrer les tliéorèmes antérieurs, le thóorème suivant: 

Toute fonction holomorphe dans Vaire limíiée extvrieurement par des droites et par des ares 
de circonférence et intérieurement par des ares de circonférence est développable en série de la 
forme 

m -m = l^ l Al- {-^) r ^2F,.. (X - c;„) + VG,„ (^_) 

(cl, cá, ... représentant les centres des ares extérieurs, ci, cj, . . . ceiíx des ares intérieurs 
et X \m point de Tintérieur de Taire), si ni les droites ni les circonférences considérées ne cou- 
pent pas Vaire. 

Ce théorème eontient un théorème démontré par M. Appell dans les Acta mathematica 
(t. I, p. 111). 

10. Nous avons supposé jusqu'ici que h était Taffixe d'un point de Taire A. On peut 
trouver, au moyen de la mêrae móthode, une formule applicable lorsque b est TaíSxe d'im 
point de Textérieur de Faire considérée. Si Fon represente par «',„ les valeurs de a„, qui sont 
les aíBxes de points du plan placés du même côtó que Taire A, par rapport aux droites K,„, 
et par a),', les autres valeurs de a„,, on a alors 

f{x)= 1: s Ar "^ + :: s Br r^-í^ +s:p,„(a'-c;„) + iG,„ — ^ 

H. Une conséquence qu'on tire des tliéorèmes qu'on vient d'énoneer, laquelle nous fe- 
rons ici remarquer, c'est que les fonctions elliptiques peuvent être développées, d'une infinita 
de manières différentes, en des séries simples, dont les termes sont des fonctions rationnelles 
de X, lesquelles sont convergentes dans un parallélogramme des périodes. 

Ainsi, par exemple, dans le cas de la fonction j> (x), nous avons, en considérant le paral- 
lélogramme des périodes dont le centre coincide avec 1'origine des coordonnées, en posant 
è = et en représentant par c une circonférence infiniment petite avec le centre dans Torigine, 

„í^^_ 1 V f P(z)&(z,a,„)dz 1 fp{z)dz , 1 fp{z)dz 



2ÍTl ,„ = ! 



r p(z)&{z,a,„) dz l^rp{z)dz . l f £} 



oh G (z, «,„) = — ; mais ai = — 03, a-j = — a;, eí 



l>i^) = rs + ^>^'='- + - 



145 



donc 






_^,„^ «I /■ i3(2)(s — ai)«-'íZz 



.,.,, aa f p (z) (z — ai)» -^ eh 

A,4,_ «-2 /' ]} ( z) (:■ + a i)" -' dz 



Mais, en posant z = — :', il vient 



7 K3 - 

jp (z) (z — a-2)"-' , _ __ r p {z') (z' + ffa) 



et par conséquent A,','' = Af' , A,';' = A,','" 
Donc 



. ^ 1 , V J a;," , Al'* ^ Af ^ Af 



X- „ = ( [(x — ai)" (íc + «i)" (a; — a-2)" (x-\-ai)"\' 
On peiít encore écrire cette fornuile de la nianière suivante: 

i' (^) = ^ + J, ( - ir'-' J^^ ^ [A;." log (^x^ - a!) + A-' log (x^ - a^j]. 

12. La fonetion /(j"), considérée dans le n". 9, peut encore être représentée, dans Taire 
A, ])ar un autre développement que nous allons trouver. 

Reinarquons, en premier lieii, qiron voit, au moyen des égalités (1.) et (2.) dii n". 4, que, 
.si i'on donne un point d'affixe ò = a'-|-?,3' et une circonférence dont le centre soit le point 
d'afíixe c,n = oc/ ~riy' et dont le rayon soit R^, on peut trouver un nombre a„ = a + í|3 tel que 
s 



146 



cette circonférenctí appartienne à Tensemble de circonférenc-es représentées par Téquation 



cette valeur de «„, est donné par Féquation 



_RUa;+ í7) _^[{^- «')' + ry - P')- - R^.] (^ + iyi 



Cela pose, prenons, cornme antérieurement, un point h à rintóricur de l'aire considérée 
et faisons correspondre à chaque droite du contour et à ehaque oirconférence un point, qu'on 
determine par le moyen indique dans le n". 8, dans le cas des droites, et par le moyen qu'on 
vieiít d'indiquer, dans le cas des circonférenees; soient «i, aj, aa, . . ., «/. les affixes de oes 
points. On a, représentant par si, sj, •••, sj. les ares de circonférence ou les segments de 
droite, qui fornient le contour de Taire, et par £,„ une quantitó égale à + 1, lorsque «,„ fait 
partie du contour extérieur, et égale à — 1, iorsqu'il fait partie du contour intérieur, 



f(x)-f{b)= V s, 



• f(zO'{z)ã2 



ou, conune dans le n". 8, 

f(x)-f[b)^ v 



f(z) O' (;, «,„) Jz 



1 /,, Oi^z,a,„)-0[x,a„y 



ou O {z, «„,) = ^ -j^. Mais on a, le long de s„ 



Donc rintcfrrale 



x-b I I z—b 
■i' — «ui K^ — a„, 



f(z)&(,,a„:)dz 



Q (z, a,„) — e (a-, a„ 

[niis: 
par conséquent le dcveloppeincnt 



peut être développée suivaut lus puissances enticres et positives de ; et nous avons 



m = 1 ;í = 1 V a' — a„ 

convci-geiít à rintúrli-ur de Tairc cousidcróe. 



147 



Si b represente un point de rextérieur de l'aire A, cette formule Joit être remplacée par 
la suivaute: 

x — hY, ^' ^ l x—a ,„ 
,1 ,,=0 V x — h 



oíi d,a represente les valeurs que prend a,„ lorsque «,„ et x sont tous deux à Tintérieur ou 
tous deux à Textérieur de la eireonférence à laqiielle appartient Tare s,„, et d',n represente 
les autres valeurs de a,,,. 

13. Xous terminerons ce que nous avons à dire à Tégard des séries ordonnées suivant 

les puissances de j- en faisant voir qu'on peut former, au moyen de ees séries, des 

fonctions holomorphes dans une aire limitée par des droites ou par des droites et des ares 
de circonférence, lesquelles ne peuvent pas être continuées à Textérieur de cette aire. 
Soit 

(7.) Ao + A, X + A2X2 + A3X3 + ... 

une série convergente à Fintérieur d'un cercle de rayon égal à Tunité, laquelle represente 
une fonetion qui ne peut pas être continuée à Textérieur de ce cercle (on connait un grand 
nombre de séries qui sont dans ce cas); et soit K une droite qui passe par le milieu du se- 
gment de droite determine par deux points dont les affixes sont a et b et y soit perpendi- 

culaire à ce segment. La série qu'on obtient en posant X = r-, c'est-à-dire, ia série 

(8.) Ao + A, (-^— -^j+A, 

est convergente dans celle des régions du plan de représentation des x, dans lesquelles le 
divise la droite K, qui contient le point d'affixe a. EUe represente donc, dans cette aire, une 
fonetion holomorphe, et nous allons démontrer que cette fonetion ne peut pas être continuée 
à Textérieur de Taire considérée. 

Soit, en effet, u Taffixe d'un point de cette aire, voisin de K. II existe une quantité po- 
sitive o et une série 

(9.) ho-\-h{x~u)-\-h.2{x-uf- + b3{x-uf + ..., 

convergente dans le cercle de rayon p et de centre w, telle que la fonetion définie par cette 
série et la fonetion définie par la série (8.) coíncident dans la partie commune des aires de 
convergence des deux séries. 



Mais, en posant 



148 



,, (T — a . u — a 



la série antérieure se rédiíit à la suivante 

(10.) V 5/«-S\"/X-A\" 



" \A-iy vx-i / ' 



laquelle est donc convergente, lorsque 

X-A I I A-1 [_ p 

c'est-à-(iire, dans un eercie, qui existe dans le plan de représentation des X, lequel contient 
à Tintérieur le point A. Or, ce cerele doit être toiít à Tintérieur du cercle de convergence 
de la série (7.), paree que la fonetion définie par le série (10.) doit coincider, dans le voisi- 
nage du point A, avec la fonetion définie par (7.) et cette fonetion ne peut pas être continuée 
à Textérieur de ce cercle. Le cercle de convergence de la série (9.) doit donc être aussi tout 
à rintérieur de Taire de convergence de (8.). Comme cette circonstance se donne, quelque 
petite que soit la distance du point d'affixe u à la droite K, on líonclut que la fonetion définie 
pav ia série (8.) ne petit pas ètre continuée aii dehl de la droite K. 

Cela pose, soieut: 1". Ki, Kj, K3, ... des droites qui limitent une aire A, mais ne la 
coupent pas; 2". a laffixe d'un point de Tintérieur de cette aire; 3°. Ji, h-i, 63, ... les affixes 
des points placés respectivement sur les perpendiculaires à Ki, K-j, K3, ..., tirées par le 
point d'affixe a, dont les distances à ces droites-ei sont respectivement égales aux distances 
du point correspondant à a aux mêmes droites. 

Les séries 



■hi. 



sont respectivement convergentes, dans la moitié du plan déterminée par Ki et a, par K-j et 
a, etc, et les fonctions 4u'elles représentent ne peuvent par être continuées au dela de ces 
droites. 

Oonsidérons niaind-uant la somme des séries precedentes: 



S= V A„ -—f + V A„ -^i:^) +. 



Cette somme represente une fondion liolomnrpl,,. dans Taire A, et nous allons démontrer que 
cette fonetion ne peut pas être continuée :i lextérieur de cette aire. 



149 



En eflet, si cette fonction peut être continuée au dela de la droite Ki, par exemple, il 
existe uii point daffixe u et uue série de la forme 

^Ó + ^1 (íC — W) + ii (x — ")"^ + • ■ ■ , 

convergente dans un cercle de rayon p et de centre d'afíixe w, lequel coupe la droite, tels 
que les valeurs de la série coincident avec les valeurs de S dans la partie commune des ré- 
gions de convergence des deux développements. En approcliant le point d'affixe u de la droite 
K;, on peut tirer un autre cercle Ci de rayon égal à pi et de centre d'affixe hi, qui coupe 
encore Ki, qui soit à Fintérieur du premier et qui ne coupe pas les droites K-2, K3, . . . ; et 
il existe encore une série de la forme 

6u + h"i {x — Ml) + b'i(x — Ui)- + . . ., 

convergente dans ce cercle, dont les valeurs coincident avec les valeurs de S dans la partie 
commune des régions de convergence des deux développements. 

Comme le cercle Ci est à Tintérieur des aires dans lesquelles les séries 

„ = o \£c— 6-2/ „=o \a; — 63/ 
sont convergentes, on a aussi, dans ce cercle 

£ A„ (^^^) " = CO + Cl (X - Ml) + C2 (X - Ml)2 + . . . , 

=* / X a \ " 

S A„ j- =c^ + ci{x — ui) + c-2 (.r — Ml)- + • • • , 



On a done aussi, dans le cercle considere, 

Ao+6i'(^-"i)-f...-| í A„ f-^^)"+ S A„ (^^^)'+..]=(U-^di{x-u,)+ch{x-Uif+.... 
U=o V» — 0-2/ „=o \x — h' ) 

(_)r le premier membre de cette égalité coincide avec i! A„ ( ;~| dans la i)artie du 

«=0 \x — bil 

cercle Ci qui est à Tintérieur de Taire A. Donc la fonction dófinie par cette série peut être 

continuée au dela de Ki, ce qui est absurde. On conclut donc que la fonction dófinie par la 

série S ne peut pas être continuée à Textcrieur de Taire A. 



150 



14. On peut aussi former par ce moyen des fonctions liolomorphes dans une aire donnée 
A, limitóe extérieurement par des droites et par des ares de circonférence et intérieurement 
par des ares de circonférence, qui ne peuvent pas être continuées à rextérieur de A. 

Soient Cl, d, C3, ... les circonférences auxquelles appartiennent les ares qui forment 
le contoiír de A et Ki, K-i, K3, ... les droites donnces, et supposons que ces droites et ces 
circonférences ne coupent pas I'aire A. 

A cliaqiie circonférence et à chaque droit il correspond deux nombres a,„ et c„, (c„,, étant 
égal à l'unité dans le cas des droites) tels qu'eile peut être représeutée par l'équation 



(11.) 



Cela pose, on voit comme antérieurement que, si la série (7.) represente une fonction qui 
ne peut pas être continuée à Texterieur d"un eercle de raj^on égal à Tunité, la série 

^ A„ í x~b 



11=0 C V-i'- 



représente une fonction holomorphe dans une aire, qui contient Taire A, laquelle ne peut pas 
être continuée au dela de la droite 011 de la circonférence représeutée par Féquation (11.). 



La somme 






represente donc la fonction qu'ou voulait forraer. 

L"aire A peut, en particulier, être limitce seulement à Fexterieur ou seulement à Tinté- 
rieur. Dans les cas ofi elle est limitée intérieurement, les fonctions qu'on obtient au moyen 
(le la métliode precedente ont des hicnncs liniitées par des ares de circonférence. 



III. 



iixi» 1© tlóveloppeiiiont des fonotioiís eii s»!'r*ie oi»<lonnó© 
suivant les piaissances d.© siii x 



15. Considérons maiutenant les développements ordonnés suivant les puissauces de sin x. 
Nous avons déjà vu, dans un mémoire publié dans ce journal (t. cxvi, p. 14), que Téquation 
|sina;| = c represente des courbes fermées, lorsque c^l, et nous y avons trouvé le dévelop- 
pement des fonctions holoniorplies dans Taire limitée par une de ces courbes. Si la fonction 
f{x) est holomorphe seulement dans la couronne limitée par deux des courbes considérées, 
on peut trouver son développement suivant les puissances positives et négatives de sina; au 
moyen des formules données dans le n". 1. Alors, si la fonction n'a, à Fintérieur du contour 
s, qu'an nombre limito de points singuliers, les coefficients du développement sont donnós 
par les formules 

A„ = a;, + a;;, 



a; = 



1 r f(z) cos zdz _ 1 rf{z)dz 



2i~ I sin"~' z 2ni~ 1 sin" . 



A;; = _L. V f f(z)coszdz ^ 1 £ r f(z)d z 
2iz ,„^| / sin"+* :; 2nÍT. m = ij^ sin":; ' 



B. = -^ffiz)sin"zdz. 



Znir. 



A Tégard de Ail et B„ nous n'avons riea à ajouter à ce qui resulte iinmédiateraent de Ia 
théorie générale. Mais la métliode qui resulte de cette théorie pour le calcul de A„ peut étre 
remplacé, comme dans le cas considere dans le mémoire rapporté, par une autre plus simple, 



152 



qui resulte des égalités 

2 (2vj + 1) rá j ^ 8in2vi+l 2 (2-^ + 1) ! 



f(z)dz 



/2,) ^o) + si^/2^-^) (0) +. . . + Sg-^)/" (O) 



lesquelles sont une conséquence de Tanalyse y donnée et ont lieu, lorsque la íoncúon f (x) est 
holomorphe dans le voisinage du point d'affixe 0. Nous rappelons qu'on represente par s^"|'2_, 
la somme des combinaiaons des nombres 

p, 3^5^ ...,(2v;+i)- 

pris m km, et par SK Ia somme des comljinaisons des nombres 

22, 4^6^ ...,(2^-2)2 

pris aussi m à m. 

Si le point d'affixe O est un pHle de /(,<■), dont le dégrú de niultiplicité est égal à ,8, on a, 
en posant F {x)=f(x)smi^ x, 



A„ = 



J__ í fiz) cos zsmK _ J_ /" F (^) cos zdz _ 1 /' F' (z) dz 



et, eomme Ia fonction F (x) est holomorphe dans le voisinage du point d'affixe O, jes égalités 
qu'on vient d'éc-rire sont applicables à Tintégrale qui entre dans cette formule. 

I«. Pdur faire une preraiòre application des formules precedentes considérons la fon- 
ction — . On a alors 



os zdz 



. _ 1 r cos z dz _ 1 r sinzc 

2i-jczsin"+'z 2izjc zsin^+^z 

JMais, en posant —^ — = F(z), il vient 



153 



Donc 



1 .• F(:)cos;<^j 1_ f F ' (:) ãz 






1 r Ff;)cos2íZ; 1 /" F'{z)d:. 



1 / í[Z)COfiZaz 1 ; r i^^j »- 



Bi = J-í-^f^-- = l, B„ = (n>l). 



On a aussi 



Donc nous avons la formule 



^ L V V -^^ '"'"r'< I ^- 

íc sina; "^.."u (2r, + 2)! L2-/; + 3 2-/i + l '•••- 3 

Cette formule a lieu pour toutes les valeurs de x qui sont représentées par les points de 
Taire limitée par celui des ovales | sin x [ = 1 dont le centre coincide avec Torigine des coor- 
données. 

17. Corame seconde application cH)nsidérons la fonction 

,. . cos X 



On a 

1 f cos- 2 ás 1 ;' SÍn2 3C0S2á2 



ir cos- 2 ás 1 /' 

" ^ UzJ ^ 7im^+*7 ^ TEj ^ 



sin 2 3 



ou, en posant F (;) = — ^— — , 

A = i__^fr(z)d^ 

" -Ji-iJi + l) 1^ sin"+'2 ■ 



154 

Mais, ou a 



F(2l)(0) = (-l/.-;,:í^, F(2^-^')(()) = 0. 



Donc 



1 r F'(z)clz (-1Y<+Í mr,+i) M) 22-^. , _^^,.,) 22] 

^2^,^-1 = 2¥^:r2)| Tí;;2;h=^ = 72^T2yr ["2^^ 

A-2r, = 0. 
On a aussi Bi = 1, B„ =0 (n > 1); et par conséquent nous avons !a formule 



cc sin: 



IV. 



íSxn^ la Sfc^rie de Fon. 



18. L'intégrale considéi'ée dans le n". 1 oontient fomme cas partieiílier rintégrale 
f(z) e dz 



l-Z IT.X 



, au moyeu de laquelle on peiít obtenir la série de Foiírier, 



Supposons que la fonction /(*) admette la période 2o), représentée géometriquemeiít par 
la droite DA, qui fait un angle égal à Targuraent de 2w avee laxe des abscisses et supposons 
que cette fonction soit liolomorplie dans la bande comprise entre les deux droites parallèles 
DA et CB. On trouve au moyen du tliéoréme de Cauchy, en représentant par S le parallélo- 
gramme ABCD et par x Taflise dun point de Tintérieur de ce parallélogramme, 






ou, en remarquant que les parties de cette intégrale relatives aux droites AB et CD sont 
égales, 



f(^) = ~ 




~i,,> 6 6 



Cela pose, nous allons déuiontrer que, le long de la droite DA, est e '" 



i-x 
> I e ' I et que, 



156 



le long de la droite CB, est \e"' \<\e"' j. Considérons pour cela lea lignes représentées par 
réquation 

") I 

e | = c, 

c étant une constante positive quelconque, laquelle, en posant 

:: = £c, -|- 1^1, (I) = p (cos 9 + í sin B), 
peut ("tre réduite à la forme suivante 

(Hi cos H — a-, sin H) 

a '' = r. 



yi = xi tang 9 - 



il0£< 



On voit au moyen de cette équation que les points du plan de représentation de la va- 

I —I 
riable z dans lesquels j e '" | prend une rnSme valeur sont placés sur une même droite parallèle 
à DA. Pour trouver cette valeur, quand la droite est donnée, on doit chercher la valeur 

que prend | e '" I dans le point ou la droite coupe Taxe des ordonnées. En posant pour cela 



e '" j prend 



íCi = O et en représentant par y[ Tordonnée de ce point, on voit que la valeur que 

dans la droite, parallèle à DA, qui coupe Taxe des ordonnées dans le point y\, est égale «à 

z y\ cos H 
fí '' ; et par conséquent que (Tangia 9 étant compris entre í^ et ~j cette quantité 

décroit, lorsque la droite considórée se déplace dans le sens des ordonnées positives. Nous 
avons donc, pour tous les points :: de la droite DA et pour tous les points x de Tintérieur 
Taire ABCD, 

I e '" I > 
et, pour tous les points de la droite CB et pour les niènies valeurs de a-, 



<\e 



157 



On a donc, le long de DA, 



et, le long de GB, 



l-.X 2i-X 



/-: izx /㣠^ ti-z ' :U-z^' 

O) (I) <i) (t) (t) 

e —e e e e 



l-Z l~.E 

e — e "-e e 



i-x ti-x 3<-.c ' 



et par conséquent 



f{x) = í: A„ e '" , 



A„ = -— -/ e '" f(^)dz, 



1 í ~i^ 1 /' "i^T 

A_„ = ^r— / c f{z)dz = --—\ e f{z)(lz. 



On a donc, en reprúsentant par l le segtnent DA (ou un segment égal pris sur une droite 
parallòle à DA eomprise entre DA et BC) la formule de Fourier: 



f{x) = ^\\f{z)dz^2 l ff(z),os'^^^^l^dz 
i(0 [_/, „^tj^ cu 



1». La formule de Fourier est encore susceptible, dans le cas des variahles complexes, 
d'une extension que nous allons indiquer. Supposons, en eíFet, niaintenant: 1". que la fon- 
ction f{z) ne soit pas périodique, mais qu'elle soit holoniorphe dans le voisinage du segment 
de droit AB, c'est-à-dire dans Taire limitée par un parallclogranirae PPi<t'iQ dont deux 
cotes PPi et QQi sont parallèles et égaux à AB; 2". que ce segment soit represente par le 
nombre complexe 2(o et que a soit Taffixe du point A. On a, conime antcrieuremont, en iv- 



158 



présentant par S le contou r tlii parallélograiume, 



, 1 j /(z) e '" dz 



MJ f í^ Ef 

(I) tu 

e — e 



Soient maintenant ti l"affixe cVan point de AP, v l'aftixe cl'un point de AQ et x 1 'affixe 
d'iin point de AB. On peut éerire 



U+im 



/\^")=õ 



«+2.. 



ff(^)e"' dz , j f(z)e'" dz J .mjB;^'_dz 

i-Z ir.x ' I (-; /-,;; I hz ir.x 

— ' e'" — e '" *-- c '" — e '" '-■: r. e'" — e '" 

a u )(+2(ii 

í' ;_. r+2,., 



)iA~%> 



flz)e"' dz l fís)e"' dz l f(z)e"' dz 



i-.z i-x I /-: Kx 



et par conséquent 



•^(^■)=^ 



w+2m ._. r+2<. 

lim -^'^^^ Jg-Hm -Í:'-^!^--!^ 

,,=„ I '"- '"-f ,.-„ F I" i~x 



■- *- c — e 



e — e -■ 



ou, en supposant, comme antérieurement, que rarj^unient de 2m est compris entre — ;^ et -^ 
et en ayant égard à rincgalité 



e > 



qui a lieu le long de la droite qui passe par les ])oints d'affixes ?í et w + 2o), et à Tinégalité 



159 



qui a lieu \p long de la droite qui passe par los points daffixes v et v-!-2o), 

ni-.T ni-.z ni-t nr-z 

/(x) = ^ lirn í: e " f{z)e dz-Vun 1 e f(z)e d: 

Considérons maintenant la série 

ni-.c nizz 

- e f[z.)e cl:, 

et remarquons que, corame on a 

)i/-: nizz ni-z nizz 

jf{z)e dz^^f{z)e +1^1^/ W« ~^^^^j-^^')^ ^-'' 

on peut Técrire de la manière sulvante: 

n/- (it — x) nir. {ii — x) 

?i/-.c nir.z 

(O- =° 1 ~;;r í"+%n — z- 

- « = i n- Ju 

Or la série 

?i/- In — x) 

^ 1 ^> 

- —e , 

n=l « 

ou, puisque les arguinents de x — a et de m sont égaux, 

»)/z \n — ^,t| 

n = l »i 



j^^ ir »?•;: 1 íc — a I , . . )i- \x — a\ 
1 — cos — I \-ism — ■ ■ 



est convergente, siiivant iin tliéoreine connu (Picard, Traitc d' Anal ij se, t. I, p. 231); et on 



160 



voit par conséqiient, aii nioyen crun thúorème doimé par Ahel pour le eas des séries de ter- 
mes réels et dont M. Picara a fait Texteiision au cas des séries de termes complexes (I. c, 
t. II, p. 73), qu'est 



;//- (r — u) 



■ni- (x — fl) 



lim — — e 



= 1. — c 
.,= 1 n 



On trouve de la même manière 



ni- (.T — ") 



lini J- — 3" e 






ni- (,r — ff) 



Comme on a 



'«+2(1 



niz <z — x) 



f"{z)e 



dz\<M I 2« 



ni- (z — ar) 



oíi M represente la plus grande valeur que prend !/''(;) e 
granime PPi Qi Q, on voit que les valeurs des termes de la série 



dans le parallélo- 



1 I r«+2<" ,.„ 



ni- (z — x) 



1 / H-j-Zm 



d: 



■ rt ■ 1 1 1 1 1 . • M M i 2(1) 

sont mterieures aux valeurs des termes correspondants de la serie 1- — — ; — -. quelle que 

soit la valeur de k, et par conséquent que la série considérée est uniformement convergente 
dans le voisinage du point A; nous avons par conséquent 



" 1 rn-\-'i<n 
lira S — ,-/ ^ f"{z\e 



ni- Iz — X) 



'^ 1 ru-\--2v, 
'1 = 1 " J a 



ni- (z — x) 



d:. 



De tout ce qui precede on tire Tógalité 



lim _ e 



(í-f2o, 






f(z)c '" rfz= i: e '" " /(:)e, '" dz ; 



161 



et de la même manière on trouve la suivaiite: 



nirjo ni-z tu-x ni-z 

lim 1 e " f{z)e"' d:.= ''l e " \ ^ f{-)e 

■ = ...1 = ./,- 11 = Ja 



II vient donc la formule 



ni-x ni-z ni-x ni-z 

f(x) = ^\ I e "W ^ /uie rfr-r 1 e W ^ f(z)e dz\, 

ou 

laquelle a iieu pour toutes les valeurs de x représentées par les points de AB. 



IV 

[XTRIIT OlE LETTÍIE mm í II. MWn 

(Bulletin des sciences matíiématiques - Paris. 1890, 2.' série t. XIV> 



EXTRAIT D'UNE LETTRE ADRESSÉE A M, HERMITE 



Permettez, Monsieur, que je prenne la liberte de vous présenter quelques conséquences 
relatives aux développements des fonctions en série ordonnée suivant les piiissances de 
sin(£c — d) et cos (a; — a) que je viens de déduire de la considération de Tintégrale ourviligne 

f(z) sin™ {x — a) dz 



sin (z — x) sin'" (2 — a) 



Je prendrai pour contour de rintégration le rectangie, dont le centre est le point qui a 
pour affixe a, et dont les côtés sont deux droites parallèles à Taxe des abscisses, égales à 2k 
(oíi 2A;^~), et deux droites parallèles à l'axe des ordonnées, égales à 21; et je supposerai 
que la fonction /(s) est holomorphe dans Taire limitée par ce contour, et que x est Faífixe 
d'un point de l'iutérieur de cette aire. 

1. Cela pose, j'applique à Tintógrale J le théorèrae de Cauchy qui donne Texpression 
de Tintégrale des fonctions uniformes, prise le long d'un contour fermé, et je trouve 

J = 2k(A-f B), 

en représentant par A et B les résidus de la fonction 

/(z) sin™ (a; — a) 



¥ÍZ): 



sin [z — x) sin'" (z — a) ' 



par rapport à a; et à a, qui sont les racines de sin (3 — x) = et sin (0 — a) = qui sont re- 
prósentées par des points de Tintérieur de Taire considérée. 



16G 



Le résidu de F (;), par rapport à a;, est le coeíficieut de -^ dans le développement de 

^ ' sinftsin"'(a; — a-\-ii) 

ea série ordonnée suivant les puissances de /; ; et nous avons, par conséquent, 

A =/(»;). 
Le résidu B de F (:), par rapport à o, est le coeffieient de -.- dans le développement de 



F (a + h) = 



li 

f{a^h)s\n"'(x — a) f(a + h)s\n"'(x — a) 

sm(a — x^h}sm"'h ,,, ■ , > , , sin'" A 

^ h'" sin {a — x-r n) 



en série ordonnée suivant les puissances de h. Mais nous avons, en développant les trois fon- 
ctions 

f{a + h), sin- ' (rt - a; 4- h), ^r—^ 

en série ordonnée suivant les puissances de /;, 

1 ^ A" , , ^ h' \d"sm-^(a — x + h)] h'" \ ã" {h coséc k)" 



Donc on a 
B 



^ sin'" (x — rt) [ ri" sin- * {a—x + h\^ \ á"' (h cosé c hY" 1 



oii la somrae représentée par ^ se rapporte à toutes les solutions entières positives ou nulles 
de réquation 

M -J- f -|- ao = TO — 1 . 
En formant niaintenant les dérivées successives de sin-' (a; — a), je trouve 

7. ■ _í/ N Bo + B)SÍn2(a; — «)-(-. . . + B, sin"(a3 — «) 

d''sm-^ (a — x + h)\ cZ' sin" * (a; — a) _ Y" 



dh" \q dx" sin''+' (a;— a) 



167 



si V est un nombre pair, et 

- ,„ . ,, , ,sT cos(a; — a)rBu-f Blsia-(ír— a)+. . .4-B', sin''-' (o- — ali 

cl" sm-* (a — £c + ft) _ L 4 ("-!) J 



dh" \g sin"-*-* [X — a) ' 

si V est un nombre impair. 

Done Texpression du résldu B a la forme suivante 

B = — [Kl sin ir —aj — Ks sin^ (x — a) + . . . -r K„,_i sin"'~* {x — a)] 
— [Lo + La sin- (x — a) + . . . + L,„_2 sin'"~- (x — «)] cos (x — a), 

si m est un nombre pair, et la forme suivante 

B = — [Ki + K; sin- (íc — o.) -i- ... 4- k;„_i sin"'-' {x — a)] 

— [L'i sin {x — a) + Lá sin^ (j; — a)~{-. . . -}- L|„_2 sin"'~- (a; — aj] cos [x — a), 

si m est un nombre impair. 

Nous avons donc les formules suivantes 

ly (as) = S; K-i„^i sin-"+' (x — a) + cos (x — «) 52 L-^,, sin-" {x — a) 
(1) 

J I 1 f f(^)sm"'(x — a)dz 

\ 2iz.Js sin (z — as) sin'* (3 — a) ' 

si m est pair; 

/ Ic-D _ v'"'-31 

\f{x)= S K!i„ sin-" (a; — a) -{- cos (a; — rt) S L-i^^.) sin-"+' (a; — n) 
(2) "=o - 

\ + JL /" f(:)sm'Ux — a)dz 

\ 2i-JsSÍn{z — X) sin"' (2 — a) ' 

si m est impair. 

2. Détermiiiation des coefficicnts qui entrent dans les formuluíí (1) et (2). — La méthode 
que nous venons d'employer pour obtenir les formules (1) et (2) ne donne pas facilement les 
eoefficients K et L, et ne fait pas voir que ces coefficients sont indépendants de m. Nous 
allons donc les obtenir d'iine autre manière qui fait voir cette circonstance importante. 



168 



Dans ce but, je remarque que la fonetion s\n'" (x - a) et ses dérivées, par rapport à x, 
jusqu'à Tordre m — 1, sannulent pour x = u et, par conséquent, que les fonctions 



I (íc) = ' ^ K2„+i siii-"+* {x - a) + cos {x - a) i: La,, sin-" (a; - a) 



I im-d) i í"'-3) 

e.i(a;)= S Ki;„sin2«(íc-rt) + cos(íc-ff) 11 Lí,,^, sin2"+» (x- 



doivent satisfaire aux conditions suivantes: 

e («)=/(a), 0' («)=/(«), ..., 0""-*> (a) =/•'«-') («), 

e, (a) =/(«), 91 («)=/(«), ..., er-'i(«; =/('"-'»(«)• 

On peut obtenir, au inoyen de ces équations, les coefficients K et L, et Ton trouve ainsi 
dans le cas de la première formule: 

/ U=f(a), 
ÍK,=/'(a), 
(3) {U = if(a) + if"(a), 

K3 = -H/' (a) +/'"(«)], 



et dans le cas de la seconde: 

/ Ko =/('a), 
L\ =/' (a)., 

(4) 'k;=í/"(«), 



L. = i[/"'(«) + 4/(a)], 



3. Séries (jui ri'snllenl de (1) eí (2). — Les formules (1) et (2) donnent deux dévelop- 
pements de /(x) en série ordonnée suivant les puissances de sin(a! — a), si Tintégrale curvi- 
ligne 

/('z)sin"'(x — a)dz 
sin (2 — x) sin'" {« — «) 



169 



tend vers zero quaucl m tend vers Tintini. Or on trouve, en empluyant un théoròme de M. 
Darboux, 

f ÍZ) sin'" {x — a) 



j = eo 



sin {Z — x) sin™ {Z — «), ' 



oíi '1. represente Taffixe d'un point du contour de 1 intégration, a le périmètre de ce eontour 
et 6 un facteur dont le module ne peut pas dépasser Tunité. Donc, si Ton a 

(A) |sin(j.' — a) K I sin(z — a) I, 

en tous les points du contour de 1 'intégration, Tintégrale J tend vers zero quand m tend vers 
Tintiui et les formules (1) et (2) mèneiit à deux développements de /(ío) en série ordonnée 
suivant les puissances de sin (a: — a). 

Nous allons étudier la condition (Al. Si Ton pose 

nous avons 

sin i (y^ ~ |3) 



in (z — a) = sin {xi — a) cos i iyi — ,3) + i cos {xi — a) - 



sm 



et par conséquent, en représentant par M le module de sin(z — a), 

M- = sin- [xi — a) cos- i {yi — ,3) — cos- {xi — a) sin- i (j/i — 13). 

Nous allons, maintenant, chercher la plus petite valeur que peut prendre M- quand z 
décrit le rectangle qui constitue le contour de Tintégration, c'est-à-dire le rectangle forme 
prar les droites dont les équations sont 

XI =a — ^•, £Ci =a -\-k, ?/i = ,3 — /, ?/i = |3 4- í. 

Pour trouver le minimum des valeurs que prend M-, quand z décrit la droite xi = <x — k^ 
nous devons chercher la valeur de yi qui rend minimum Fexpression dans laquelle se trans- 
forme M^ quand on y pose xi^a — k, c'est-à-dire 1'expression 

sin''' k cos'^ i (yi — ,3) — cos- k sin'^ i (yi — (5). 

On trouve, de cette manière, en représentant par m? ce minimum, 

nr, = sin'^ k, 

et qu'il correspond à yi = ,3, c'est-à-dire à un point du rectangle considere. 

V 



170 



On trouve, de la inéme manière, que le minimiira des valeurs que prend M-, quand z dé- 
crit la droite a^i = a-f^) êst encore égal à sin- fc et correspond à y\ = p. 

Pour trouver le minimum de M-, quand z décrit la droite y\ =,8 — Z, on doit transformei- 
Texpression de M- en y posant ^i = P — ^, ce qui donne 

M- = 8Ín* (a-| — a) ( 1 _-f eos^ («i — et) 



et, ensuite, chercher le minimum de cette expression. On trouve, de eette manière, que ce 
minimum correspond à x\=^a et qu'il est, en le représentant par w)|, 



K-^n- 



On trouve, de la niéme nianicre, que le minimum des valeurs que prend M- quand z dé- 
crit la droite ?/i = |j -p ? correspond à x\ = a et est égal à nà. 

De tout ce que je viens de démontrer il resulte que le minimum des valeurs que prend 
M'^, quand z décrit le contour de Tintégration, est égal à la plus petite des quantités 



sin- A:, 



Or on voit facilement que 



si ? -> log (sin A: + \/úvr A: + 1) et que 



> sin A:, 



— 5 < sin A, 



si ^ < log (sin A: + v/sin-A;+l). 

Donc nous avons le théorème suivant: 

Si Z ^ log (sin A' -f- t/sin-A:^ 1), finfrgrale J tend vers zero, quand m fend ver.i Vinfini, si x 
xatinfait à la condition 

|sin (a;— a) | < sin k. 
aS'i Z < log(sin A; I- Vsin-A; + 1), rintéijrale .1 tend vers zi'ro, quand m tend vers Vinfini, si x 



171 

satisfait à la condition 

|sin(a- — a)l< — ^ • 

Dans ces ãeux cas, on peut dévdopper f{x) en série convergente cm moyen des fonmães 
suivantes: 

(õ) /(«)= ^ Ki„^i sin-"+^ {x — a) + cos (x — a) S L2,, sin"-" (a; - a), 

n = U « = O 

(6) /(íc)= S K;,, sin^" (a- — a) + cos (a; — a) ^ ^,,+1 8m2"+< (o; — a). 

(1 = « = o 

4. Application. — Pour faire une applieation de ce résultat, je vais eonsidérer la fonetion 
/(a;) = cosAíc, k représentant un nombre quelconque. 
Les formules (3) donnent 

Lo=l, K, = 0, L. = -^-, K.2 = 0, ..., 
et, par conséquent, la formule (5) donne Ia formule d'Euler 

cos kx = cos ic 1 sm- x -\ ^ ,^ „ 7- sm* a; — . 

et Ton voit que cette formule a lieu toutes les fois que 



|sina;|<l, ^<x<~^ 



En appliquant les formules (4) à la même fonetion, on trouve 



k;, = i, li = o, k; = -4^, L3 = o, ..., 



et, par conséquent, la formule (6; donne la formule connue 

cos Aa? = 1 — sin- x -j — sm* x - 



... F. li 

quand | sm x j < 1 , ^ <x<^ 



172 



()n trouve de la mêrne manière les dóveloppements suivants: 



sm kx = A; sin x )—r^,— sin^ x H ,.,..,.. sin» x - 

1 .'J . ó l.^.o.-i.O 

,, . k{k^--2^-) . 3 , 1 
sm kx = cos a- 1 A: siti x ,^ ., sin'' a; + . . . , 



quand I sin a!|<l, — :y<^^<- ~77- 

La méthode que nous venons d"employer pour obtenir les coefficients qui entrent dans 
les développements de cos kx et sin kx donne ces coeffieients de proche en proche, mais n'en 
donne pas la loi. Mais cette loi est toujours la mêrne quel que soit â;, et, dans le cas de k 
entier positif, oii Tobtient par des moyeus tout à íait élémentaires. 

5. Je vais maintenant considérer Tintégrale 

_ r /(;) sin (X — «) sin (a: — p) . ■ ■ ia; — A) ^^ 

js sin(: — a')sin(j — a)sin(2 — pj. . .sin(a — X) 

qui va me permettre d'étudier les conditions de convergenee de votre formule {Cours cVAna- 
b/se de V Kcole Poli/techniqiie, p. ool): 

sin (x — p) sin (x—f)... sin (x — \) „ 
•'^^^~ sin(a— |"i)sin(a— Y).. .sin (a — /.) -^^^^ 

sin(a-— c()sin(.r— y). ..s\n[x — 'K) 

sm (fi — a) sm (í^ — y) . . . sin (P — X) "^ ^' '^ 

sin fa; — a) sin fa:' — pí.-.sinfa- — '^^ _f , •, 
siu (Y — «j sin (y — P ) . • . sin (y — >^^ ' ' 



+ • 



(piand le nombre des quantités a, p, y, • • • tend vers Tintini. Je suppose la partie réelle de 

./• comprise entre ^ et + tt ^^ je prenne pour eontour de Tintégration le rectangle dont 

le centre coincide avee Torigine des coordonées, et dont les côtés sont deux droites parallMes 
à Taxe des abscisses, égales ;i ■;:, et deux droites parallèles h Taxe des ordonnces, égales 
h 21. 

En suppusant que les puints d'affixe x, a, [5, Y ■ • • sont placés à lintérieur du eontour s, 
on trouve 

M = 2/7:(A + B + C+...), 



173 

oh A, B, C, ... représentent les résidus de la fonction 

/(2)sin(a;— a)sin (£C— p). . .sin(.-r— /.) 
'^ sin (z — X) siii (z — a) sin {z — })... sin (z — K) 

par rapport k x, a, [i, . . ■ . 

Or le résidu de cette fonction par rapport à x est égal au coeffieient de -j- dans le déve- 
loppement de 

f(x-rfi)sm (x—a) sin (.r — |B). . . 



Le résidu B de la même fonction est égal au eoefficient de — dans le développement de 



sin k sin [x-{-h — a) sin (x + /« — jj ) . ■ . 

en série ordonnée suivant les puissances de h, c'est-à-dire à f(x). 

T 

f{a-\-h) sin {x — a) sin {x — ,3) . . . 
sin {o.-\-h — X) sin à sin (a + ^ — P) ■ • • 

en série ordonnée suivant les puissances de h, et, par conséquent, 

B— sin(a;— [ J )sin(T — y'i.. .(j— /.) 
"~ sin (a — pj sin (a — -f) ... (a — X) •'^'' 

On trouve de la niême manière les autres résidus. 
Nous avons dono la formule 

_ sin (x — P) sin (a; — 7) . . . sin (x — K) 
■' ^^' ~ sin (a — Pj sin (a — f ) • • . sin (a — K) ^ ^ " 

sin (a; — a~) sin (x — f) . . . sin (t — X) 
sin ( p — «) sin (3 — 7) . . . sin (p — X) "^ ' ' ' 
_i_ 

/(' 3) sin (.T — a) sin (x — '^\... sin te — A.) 
s sin(z— íTj sin (3 — a) sin (z — 15). . . sin (3 — Xj 

Or on voit, au moyen du théorème de M. Darboux déjà employé dans le cas antérieur, 
que rintégrale qui entre dans cette formule tend vers zero, quand le nombre des quantités 

«, p, Y, • ■ • tend vers rintíni, si Ton a, en tous les points du contour de Tintégration, 

I sin(a; — a)| < |sin(3 — «)!, | sin (x — ,3) | < | sin (3 — ,3) |, ..., 



174 



tloiR', qiiand les conditions precedentes sont satisfaites, rexpression 

sin(a;— i"J)sm(a;--Y). . ■ sin (a; — «) sin (a?— y)- • • f/^\i _ 

sin(a — [ij8in(a — Y). • • "sin {{i — a) sin (p — y) • • • 

represente /(j) avee d'autant pias d'approximation que le nombre des quantités a, p, Yj • • • 
est plus grand. 

Pour étudier les conditions qu'on vient d'écrire on peut recorrir à la méthode qu'on a 
déjà employée dans le n." 3 pour le même but. En supposant quest a = u~{-iv, on trouve 
de cette manière que la première condition a lieu quand 

I sin {x — a) I < cosjí, 



l -> log (cos u + V^cos- w -f 1) + I w I, 

et quand 

e/-|.|_c-/+|.| 
|sin(a3— a)|< ^ , 



l < log (cos u -\- v cos'^ M + 1) + I V I, 

et que les autres conditions mènent u des resultats analogues. 

Je termine ici les considérations relatives aux intégrales M et J que je me proposais de 
soumettre à votre considération. Je serai bien heureux si elles méritent votre haute appro- 
batioo. 



NOTES. 



Après la publication de cette lettre nous avons fait des nouvelles rec-lierc-hes sur le même 
sujet, qui ont été insérées dans le travai! quon trouve dans le page 105 de ce volume. Au 
moyen des résultats y publiés on peut completer en quelques points r'étude des questions que 
nous venons de considérer, comme on va le voir. 

1. Les conditions pour Texistence des développements (ò) et (6), que nous avons obte- 
nues précédemment, en prenaut pour contour de Tintégration un certain rectangle, sont suffi- 
santes et de facile application, mais ne sont pas toutes nécessaires. Pour obtenir les conditions 
générales pour Texistence de ces développements il faut prendre pour contour s de Tintégra- 
tion une courbe fermée telle qu'i-1 soit, pour tous les points z de s et pour tous les points x 
de rintérieur, 

I sin (x — rt) I < I sin (z — a)\. 

Cette courbe a pour équation | sin (z — a)\ = c, c étant une constante, et sa forme ne differe 
pas de celle de la courbe ] sin 3 j = c, qui a été étudiée dans la page 107, oíi Ton a vú que cette 
équation represente une suite d'ovales quand c^l, et une courbe ouverte quandc>l. 

Nous avons donc le théorème suivant: 

iSi la fonction f(x) est holomorphe dans Vaire limitéc par un deu ovales definis par Véqua- 
tion j sin (:; — a)|=c (ou. c^l), on peut développer f (x) en séries de la forme 

/(x)= il K-2„_^{ sin^"* ' (03 — aj + cos (a; — a) 1 Ljn sin*" (x — a), 

n=0 n=0 

et 

/(x)= I! Kj,, sin-" (J7 — a) + cos (03 — a) S Li„^i sin'"+' (a? — «), 

n = fi = ll 

X érant 1'ajfixe d'un point quelconqne placé à linférieur de la courhe considévée. 



176 



Ce théorème est plus general que eelui que nuas avons énoncé dans le n." 3, parceque 
laire dans laquelle il faut que la fonctiou /(*■) soit iioluraorplie pour qu'il soit applicable est 
à rintérieur du rectangle considere dans le n." 8, mais il est de nioins facile application. 

2. Nous avons donné autérieurement des nictliudes pour le ealcul des coefficients qui 
entrent dans les développements precedentes. Ou peiít les obtenir encore au moyen des for- 
mules générales que nous allons trouver. 

Nous allons considérer dans ce but une fonctiou pa/re 'i(a,H-«) et une foiíction impairc 
•|>(a3 + a), auxquelles nous ferons application de la formule (12) de la page 112. 

Nous aurons 

■^(x + a) = '^{a)+ ^ -^ ^— '—y^^ :j;^^ ^— ^ — sm-»a-, 

Hx + a)-^^^ 1.2...(2n+l) ' 

et, en dérivant les deux membres de ces égalités par rapport à x et en changeant ensuite 
dans les résultats <^'{x-\-a) et '\i'(x-\-a) en t})i(x-(-a) et (f\{x-\-a), 

i-i (« + «) = cos x 1 ^ :^^ -j- í sm2« i(a;), 

91 (a; + a) = cos íc 1 —^ í— 4 -^- ^ sm-" a. 

„=u 1.2...2ji 

Ceia pose, si Ton délinit 'o^ix-^a) et '^(.r + a) au moyen des égalités 
<pi (a; + aj = cos x il L.i„ sin'^" x, 
tj> (x -f a) = il Ka.i+i sin-"'*"' x, 



il vient 



Donc on a 



/ {X + a) = cf, (a; + a) + 'f i (T + a), 

/(") = ?,(«), /"(«) = ?;'(«), •••• 

T _ /'"' (a) + 41'../ ' "-^' (g) + ■ ■ • + ■<'+./(«) 
'" 1.2. ..2n ' 

'^"^"+' - ~ 1.2...(2;n+l) 



177 

On trouve de la même manière 



Lán+l = ■ 



K2,.= 



1.2...(2n + l) 

/'•^"' (g) + S-íl'/""-^' (g) + • ■ • + Sr'7" (a) 
1.2. ..2n 



3. Nous ferons encore remarquer que la tbnction f(x) a uii nombre infini de dévelop- 
pements de la forme 

f{x) = '^ Á„ sin (x — g) + cos (a; — a) "^ B„ sin" {x — g), 

applicables dans Tovale dont Féquation est | sin (z — g) | = c (ou c^l), vii qu'on peut la re- 
présenter, d'une infinité de manières différentes, par des expressions de la forme 

f(x) = cp (x) + cos (x — a) 'l> (íc), 

'^(x) et '\) (x) étant holomorphes dans Taire limitée par Tovale considere. Les développements 
antérieurement obtenus sont caractérisés par la circonstance suivante: une des fonctions 
•f (x -f a) et '|i {x -f- g) est paire et lautre impaire. 

II convient encore rappeller ici que le développement de la même forme que nous avons 
donné dans la page 119, pour le cas des fonctions périodiques, est dans des circonstances 
différentes de celles que nous considérons ici, par ce qu'il est applicable dans la zône infinie 
comprise entre les deux branches de la courbe |sin(2 — a)\ = c (ou c> 1). 



'V 



LES íWm PíRílLELES i LILLIPSE 



(Mémoires couronnés et autres Mémoires publiés par TAcaclémie Royale de Belgique 
— Bruxelles, 1898, t. LVUI) 



SDR LES COORBES PARALLÉLES A L'ELLIPSE 



1. Les eourbes parallèles à Fellipse sont, comme on le sait, les coiirbes qui ont la mêine 
développée que l'ellipse. Elles sont donc le lieu des points qu'on obtient en prenant sur les 
normales à Tellipse, à partir de cette courbe, du cutó extérieur ou du côté intérieur, une lon- 
gueur constante k. Les mêmes eourbes sont aussi Tenveloppe d'une circonférence de rayon 
constant A:, dont le centre décrit Tellipse considérée. Comme on peut aussi les regarder comme 
la projection du contour apparent d'un tore sur un plan quelconque, on les a appelées 
toroides. 

On trouve facilement la forme de ces eourbes en partant de la relation 

R = p + A:, 

ou p et R représentent les rayona de courbure de Tellipse et de la courbe parallèle. Les to- 
roides ont deux branches, Tune eorrespond à R = p + /c, Tautre à R=p — A;; elles n'ont pas 
de point dindexion; elles ont des points de rebroussement quand on a R = p — A-, k étant 

compris entre la plus grande valeur -j- et la plus petite valeur — de p. On voit encore faci- 

lement, en considérant la développée, que la première branche a la forme d'un ovale et que 

la seconde a aussi la forme d'un ovale quand k > -,- ou < — et que dans le cns contraire 

o a 

elle a quatre points de rebroussement, lesquels sont formes par quatre ares de la courbe qui 

ou ne se coupent pas ou se coupent en deux points placés sur un des axes de Fellipse. 

La forme des eourbes parallèles à Fellipse a été frouvée par Breton de Champ (') au moyen 

de leur développée, comme on vient de Findiquer. Les bases de la théorie analytique de ces 



(') Koui-iiles Atinalen, 1814, t. iii. 



182 



<_-oui'bes ont été posées par Caucliy ('); eii clieix'haiit Tenveloppe de la circ-cnférence 
dont le centre décrit Tellipse 

«- , 3- 



6-^-^' 



et en faisant 



(1) . a^l^^^b-^JL-zl^e, 

ce géomètre a trouvé les équations 

^ ^ (6 + a^f ^ (H + b-^f '' (b-r- «-)■-' ^ (6 + h-'f 

L'équatiun des toroides, qui resulte de rélimination de f) entre les équatioua (2), est du 
liuitième degré; elle a été doiinée par Oatalan (-). jMais Tétude de ces courbes peut être faite 
directement au iiioyen des équations de Caueliy, ainsi que nous allons le montrer. 

2. En résolvant les équations (2) par rapport à .r et y, on obtient les valeurs 



(3) , ■ . , ; • 

qui donnent les eoordonnées d'un point de la courbe en fonetion du paramétre arbitraire 6. Les 
points réeles de la eourbe earrespondent aux valeurs réelles de 6 comprises entre bk et ak, et 
entre — bk et — ak. Pour ehaque valeur de /.-, ces équations déterminent une courbe algébrique 
avec deux branches réelles, dont lune se rapporte á 11= o ^k et Tautre à R=o — k. 
Des formules (2) on déduit 



^ f/y d^ + a^b^k^ 



cid §2 v/a^-^s v/a-^/.'^ - r^' 



^ ' ãx V 'ct^^^^^- y{() + a- 



-í-b^-) 

y 



(!) Comptes-reiídvs, 1841, p. KHia. 

(-J Nonvclles Atinales, lb-1-1, t. iii, p. 553. 



183 



(Jn peut déduire des équations (3) et (4) la forme des toroides. Mais cette détermination, 
<5ui resulte si facilement de la considération de leur développóe, n'est pas le but que nous 
avoíis en vue dans oe travail; nous allons seulement, à cet égard, cliert-lier leurs poiíits mul- 
tiples, réels ou imaginaires, puis étudier leurs podaires, leurs transforinées par rayons ve- 
cteurs reciproques, les transformées de ces podaires, eutin signaler quelques propriótés rela- 
tives aux iiorniales à Fellipse. Ces recherches nous conduisent aussi à quelques propriétés 
de eertaines classes de spiriques et, en particulier, des elUpses de Cassini. 

3. Pour trouver les points múltiplos des courbes parallèles à Fellipse, nous examinerons 
Jes cas suivants : 



1." Soit k ^ a. Si Too fait S = — i-, il vient 



Comrae on a k^a>b, les points de la courbe determines par les équations (5) sont ima- 
ginaires. Si Ton remarque maintenant que y' a deux valeurs différentes en chacun de ces 
points, on voit qu'ils sont doubles. 

Ainsi, la courbe a deux points doubles imaginaires sur Taxe des abscisses. 

En posant 6 = — a-, on trouve 



(6) 



y = + -T ; 



las formules (G) déterminent deux points de la courbe sur Taxe 0^, en chacun desquels ?/' a 

deux valeurs i'éelles quand k < -y-, deux valeurs imaginaires quand k> j-, Dans le premier 

cas, la courbe a deux points doubles réels sur Taxe des ordonnées (qui coíncident quand 
k = a); dans le second cas, elle a deux points isoles. 

2." Soit maintenant a>k>b. La courbe a quatre points doubles, qui sont tous imagi- 
naires. Les coordonnées de ces points résultent des équations (5) et (6). 

3." Si l'on a />;<6, la courbe possède deux points doubles réels (qui coincident quand 
k — b)^ dont les coordonnées sont déterminées par les formules (.õ), et elle a deux points dou- 
bles imaginaires, dont les coordonnées résultent des formules (C). Les deux points réels sont 

, , '>' 
istolc» quand k<C — . 



184 



De cette discussion, il resulte le théorcrae suivant: 

Chacune des cuurhes algéhriques rejyrésentées par Its tquations (3) «., à distance finie, quatn- 
jjoints douhles. Deux de ces jwints sont tovjours imuijinaires; les dtux autres sont aussi imagi- 

naires qiiand k est covijiris entre h et a, et ih sont m/x dans le cas contraire. òi k>-j- oxt 

k < — . ces derniers poinis sont isoles. 
a 

■1. Les valeurs que prend 6 aux puinls de rebroussemeiít doivent satisfaire aux équa- 

tions -^ = 0, -^r=0: elles sont. par conséquent, doimées par Téquation 
da do 

d'^ + a-b-k'^^0. 

On en conclut qu'il t-xiste qiiatre rehroussements récls quand la racine réelle de cette équa- 

tion est comprise entre — Ik et — «A-, c'est-à-dire quand k satisfait aux conditions "^ <^' < ~f~y 

comme d'ailleurs iious Tavions déjà vú; la courbe a en outre huit points de rebroussement 
imaginaires. Quand ces conditions ne sont pas satisfaites, la courbe a douze points de rebrous- 
sement imaginaires. 

Les points de rebroussement peuvent encore étre oljtenus d'une au*-re manière. lis doi- 
vent, en effet, satisfaire à Téquation p- = A;'-, p représentant, comme ci-dessus, le rayon de 
courbure de Tellipse au point (a, p) correspondant; la relation p- = A;2 donne 

-Ai* 
(7) a*íl- + èV^ = A;"^i-*rt^. 

L'équation (7) represente trois ellipses, une réelle et deux ima<íinaires, lesquelles déter- 
niinent, au moyen de leurs intersecticns avec lellipse proposée, douze points, dont quatre 

sont réels quand k est compris entre — et -y. Les centres de courbure en ces points de 
^ '■ao 

Tellipse proposée sont les points de rebroussement demandes. 

A Tégard des ellipses (7), nous remarquerons que, si 2ai et 2òi représentent leurs axes^ 

on a 



3/A:a* , V^-^'' 



d'ou la relation 



«I a- 
J7 '^ 7-2" 



185 



5. Dans Tétude precedente, on na pas considere le cas de ^ = -^, ni celui de k= — . 
Si k = — les points de rebroussement réels et les points doubles réels qui existent sur 

Taxe des ordonnées quand a<fc<-y-, forment, en se réunissant en les extrémités dii grand 

axe de la développée de l'ellipse, detix points triples, oíi la tangente est parallèle à Taxe des 
abscisses. La courbe a alors la forme d'un ovale. 

Si Â; = — , les points de rebroussement réels et les points doubles réels, situóes sur Taxe 

des abscisses quand ò > A; > — , forment, en se réunissant en les extrémités du petit axe de 

la développée de Tellipse, deux points triples, ou la tangente est parallèle à Taxe des ordon- 
nées. La courbe a encore la forme d'un ovale. 

6. Pour compléter l'étude des points singuliers, il f;iut encore étudier les points situes 

1 y 

à linfini. En remplaçant dans les équations (2j x par — et y par --, on trouve 



_ b / a^ — h'^ 

_ 6 + b^ /g^F — r^ 



La courbe représentée par ces équations coupe Taxe des ordonnées en quatre points dont 

les ordonnées sont égales à +i, — i, — i, 1, et Fon peiít voir, en procédant comme pour 

les points doubles de la courbe (3), que ces points sont doubles. La toroide a donc quatre 
points doubles à 1'injini. 

7. On peut aussi étudier les points à Tinfini de la toroide en cherchant les asymptotes. 

On conclut des équations (3) que, quand O tend vers O, x tend vers * od, et y vers oo; 

et si Ton prend les valeurs de .r et y qui ont le raême signe, — tend vers -^ i. De même, 

y o 

quand 6 tend vers oo, x tend vers cc et — tend vers i. 

X 

On a ensuite, dans le premier cas, 



lim [x — iy]= -\- — lini ' ibk 1 

= 0^ b ^1 - /a-í- 0^8 = 0/ ' 







V 



186 



Donc la courbe a deux asymptotes dont les équations sont 



ik ,,,-^ 



b ^ — h 



v = ix+ — Vn'^ — b-, 

^ a — a 

ft aussi deux asymptotes représentées par les équations 

b 



V- 



'-\- - Va^ — b-. 



Pour )t = 0, ces équations donnent les asymptotes de Tellipse. 
Dans le second cas, 

^li„í,-,»^±^.^limj,-.(l+^)(l-li^ + . 

-■'('+T)('-fT+--)r±'''^- 

Donc la courbe a encore quatre asymptotes imaginaires, dont les équations sont 



y = ix-T^i\ a- — O', 
y = — ix+i Va- — 6'^. 

A chacun de ces couples d" asymptotes correspond un point double à Tinfini. 

8. On vient de voir que la toroide a douze points de rebroussement et huit nceuds ; ou 

deux points triples, six nceuds et huit de rebroussement, quand k = -j- ou k = — . On en 

concluí que ces courbes sont ãu genre un, ce qui resulte d'ailleurs immédiatement de la forme 
des équations (3). On en déduit aussi, en s'appuyant sur Tune des formules de Pliicker, que 
la classe de ces courbes est égale à quatre. 

L'équation tangentielle de la toroide est bien connue. On la trouve facilement au moyen 
<lfes équations (?>). En effet, Téquation de la tangente est 



S/a%^ - «2 Y , Vr-~b Vc^ ^ _ ^ 



[b-^rk^) \'á^ — b- (O + k^) \^n^- — b'^ 



187 

En Ia comparant à Féquation 

wY+tX=l, 



on trouve 



v = - 



(e + ^-^) \/ar- — b^' [d+k') Va- — h^ 

d'oii, en élimlnant b, on tire 1 oquation cherchée 

[(a^ - /,■-) «- + (i- — k-) u- — \f = ik- (m- + «-). 

On en dóduit que Ia courbe a deux foyers réeis, qui coincident avec les foyers de 
IVllipse. 

On en conclut aussi que la courbe n'a pas de tangente double à distance finie. 

9. Une courbe parallèle à Tellipse est le lieu d'un point tel que sa distance au pied 
d'une normale issue du point soit égale à une constante donnée k. Par les points doubles de 
la courbe on peut tirer deux normales différentes, qui satisfont à cette condition; par les 
points de rebroussement, deux normales coincidentes, et par les points triples, trois normales 
coincidentes. Comme les points de rebroussement des différentes courbes parallèles à Tallipse 
coincident avec les points de sa développée, celle-ci est le lieu des points par lesquels passent 
deux normales à Tellipse coincidentes; elle separe la région du plan qui contient les points 
par lesquels on peut tirer à Tellipse quatre normales réelles, de la région du plan qui con- 
tient les points par lesquels on ne peut tirer que deux normales. Ces résultats sont bien 
coiinus. 

10. De ce qui precede il resulte que par chaque point (a;, y) du plan d'une ellipse pas- 
sent quatre courbes parallèles àlellipse; deux d'entre elles sont coincidentes, quand le point 
(x, y) est sur la développée ou sur les axes; trois, quand le point est un point de rebrous- 
sement de la développée. Si le point appartient à Taire extérieure à la développée, deux de 
ces courbes sont imaginaires. 

Cela pose, si Ton ordonne la première des équations (2) par rapport à 6, on obtient 

O'' + 2 (a^ -f i-j 63 + (i'* + a* + -ia-h- — a-x- — bhf) 6- 
+ 2 (a*i^ + a-i' — a-b'-x- — a-b-y-) 6 + aV/ — a-i^cc- — b-a\i/- = 0. 

Cette équation doniie les valeurs que preiíd O au point considere; cbacune de ces valeui's 
caractórise une toroide passant par le point (x, y). 



188 

1." En représentant par 6i, di, 63, 6', les quatre racines de cette équation, on a 

(8) e I + Ô2 + Ô3 + 64 = - 2 (a^ + 6-') . 

Donc la somme des quatre valeurs (jve pTcnã 6 en im point {x, y), et qtii correspondent aux 
quatre toroides qui y pansent, est constante. 
2." On a au3si (*) 

(9) 1:616. = a* + ò* + 4 a-b- — a^^x- — b-y^. 

Donc, la somme des pjroduits, deux a deux, des nombres 61, Oi, 63 et 64 est constante pour 
tons les points placés sur Vdlipise dont 1'équation est 

3." L'égalité 

(10) ^diCidi = — 2 {b-a- 4- a-b'^ — aWx- — a-b-y-) 

fait voir que la somme des produits, trois à trais, des nombres 6i, 62, 63 et 64 est constante pour 
tous les points de la circonférence dont Véquation est 

x^ + ^" = m-. 
4." Comme on a 

(11) H\0>h^'> = a-b^- (a-b- — b-x- — a-y'^), 

le j^roduit des nombres 61, 62, 63 et 64 est constant pour tous les points de Vellipse dont Véqua- 
tion est 

a-y- + b-x- = Jíi*. 

11. Des relations qu'on vient crobtenir, on tire un grand nombre de propositions relati- 
ves aux normales à Tellipse. 

1." Les relations (8) et (1) donnent 



(12) 



, ic — «1 ^ 9 a - + b- V y — 1^1 ^ t) «- + ^- 



(') Daiis ce qui suit, le signe soimnatoiri' .s'i''tciiii iiiix liiuitic iiuliccs 1. 2, o, i. 



189 



(cti, fli), (aj, P-2), (03, Pa), (aj, ^4) dósignant les coordonnées des pieds des normales ;'i Tellipse 
tirées par le point (as, ?/). 

Représentons par Ni, N2, N3, N4 les aegments des normales considérées, compris entre 
leurs pieds et le grand axe de Tellipse; par NJ, N2, N3, Ni les seginents des mêmes normales 
compris entre leurs pieds et le petit axe de Tellipse; enfin par k^, A-2, A'3, A4 les distances du 
point (x, y) aux poiíits («i, [Bi), («->, p.)), (03, p3), (aj, P;). On aura les relations 

y-Pi _ fel 

■' " pi 'N,'--- 

les seconds membres ayant le signe + ou le signe — , suivant que le point (.r, y) est exté- 
rieur ou intérieur à Feilipse. 
II vient donc 

(13) v|l=_2^!+^, v|l=_2^!+^. 

Donc : <b't jiar «n ^^o!'»^ intérieur à la développée d'une ellipse on tire les normales à cetfe 
courhe, la somme des quotients qu'on obtient en divisant les distances dii point aux pieds des 
normales par les segments des mêmes normales compris entre ces pieds et Vun des axes, est 
constante. 

On tire de la même manière, de la relation (9), que le lieu des points teis que la somme 
des produits, deux à deux, des quotients qu'on vient de considérer, reste constante, est une 
ellipse dont les axes, diriges suivant ceux de Tellipse proposée, sont inversement proportion- 
nels à ces derniers. 

On voit aussi que le lieu des points teIs que la somme des produits, trois à trois, des 
mêmes quotients reste constante, est une circonférence concentrique à Fellipse donnée. 

Enfin, le lieu des points pour lesquels le produit des quotients consideres est constant, 
est une ellipse semblable à Tellipe donnée et de même centre. 

De la seconde des formules (13) on tire une relation entre les rayons de courbure 
Ri, IÍj, K3, Ki de Tellipse aux pieds des quatre normales abaissées du point {x, y) sur cette 
courbe, à savoir 



2." Les óquations (12) donnent aussi 

(14) x^-± = ííl', yi:^=^. 

^ ' Ou a- pi b^ 



190 



Donc: La somrm des rapports de Vabsdsse (ordonnée) d'un point quelconque, ãans le plan 
d'une ellipse, à Vahscisse (ordonnée) du pied de l'une des normales a cette ellipse, tirées par le 
point considere, esf constante. 

On a aussi 



ilõi 

«4 'J-i 



^, X — ai x—a-i ^ x^ ov -^ I (;_ ^'^ + a'' + 4 a'^6- — aV^ — ò y- 
" «t " a-2 " Ç(ia-2 ^1 "•' 

Donc on a 1'égalité 

,„ 1 c^ — a^x- — h-y- 

(16) x^i: — = -^ — ^, 

iaquelle fait voir que le lieii des points tels que la somme des ^jroduits, deiix à deux, des raj)- 

ports — — •, — — est constante, est une ellipse. Si X est la valeur de cette constante, 

•' cíi c(-2 aií a/, 



Téquation 


de ce lieu est 


















arx'-^ + b'^y- = 


c*-a 


''X. 


On 


tn 


ouve, de la même 


raanière, les égalités 






(17) 








«la^aa 


2c^ 




(18) 








X- 






«la-iasai 




:•}." 


L 


'équation (18) donne 


















a«x-^ 












iia-idscíi = — 


c' 


) 



.•n la combinant avec les relations (17), (IG) et (14), on obtient 



-Ja-x 



a- (a-x- + h-y- — c'' ) 
1 aia-2 = ^ , 



2a'' X 



191 



De ces égalités('), on tire les propositions suivantes: 

La somme des abscisses des pieãs des quafre normales à 1'ellipse, tirées par un point donnt, 
reste constante quand ce point varie sur une droite parallele à son petit axe. 

La somme des produits, deux à deux, des mSmes abscisses reste constante quand h. point 
considere décrít Tellip)se dont 1'équation est 

a'-x- + b-y- = wi'*, 

m représentant une constante quelconque. 

La somme des produits, trois à trois, des mêmes abscisses reste constante quand h jjoinf 
décrit une droite parallele au petit axe de Vellipse. 

Le produit aictaasaí est constant pour tous les points (x, y) de deux droites paralleles au 
petit axe de Vellipse et placées à des distances égales de cet axe. 

4." Pour les ordonnées ^j, [5-2, ^j, et ^j des pieds des normales à Tellipse tirées par le 
point (a;, y), il existe des relations analogues à celles qu'on vient de trouver pour les abs- 
cisses. 

Ainsi, on a 



V y _ 


2c--' 
b^ ' 






V y' 


c'* — d 


■X- — 


-bY 


~ hh 




b'* 


í 


V y 


2c^ 






~ ^ih% 




^h = - 


c' ' 






"■' 3i3^ — 


6- [a-x- 


' + ¥ 


Y—c'^] 






é 




^ Khh ■■ 


2b'7/ 


1 





c* 
II est facile de les interprétcr géoniétriqueraent. 



(') Pour démontrer les nouvellcs égalités. on peut eliminei- p entre les équafions 
y — 3 ^ -jj- {x — '/.), d-'}- -\- b-a- = a^ò^, ett. 



192 

õ." Des égalités precedentes on conclut: 

' ^ ' ' c'* 

Donc, «/^ p'/)- íNi ^;oí>i< qmlconque cVune hijperbole., 'lont Véquation est 

fir.r- — b-l/- = + /(/', 

on tire les noriiiales à Vellipse donnée, la soinme des currés des abscisses et celle des airrés des 
ordonnées des pieds des qiuitre nor males, sont constantes. La somme des carrés des distances des 
pieds des mémes normales au centre de Vellipse est aussi constante. 
6." A moyen de Tégalité 

dl ' bi ' ds dil" "^* a-b- — a-y- — b-x^ 



on trouve la sui vante: 



De 






V iii _ _ 2h- «'' + ^^" — ('""' + ?/-) 
"' kl a-b- — a'-'?/'^ — 5%^ 

Donc, .9?'^ par iin point quelconqiie de la circoiiférence dont rêquation est 

*■" -r y- = «' + b'\ 

on tire des normales ã Vellipse coiisidéri'e. Ia soiiniie des quotients oòtenus en divisant, par les 
distances de ce jmint atix pieds des normales, les segments des mêmes normtdes, coinpris entre 
ces pieds et un quelconque des axes, est nidle. 
7." L'6galité 

I /4 = i: [(X - «o- + (y- Pi)-] = 2 [ (- 2 '^ x^ + (2 + —^ y' + a^ + lA 

iDOntre que la somitw. des carrés des distances du p>oint (x, ?/) aiix 2)ieds des normales à Vellipse 



193 



tirées par ce point fsí constante j)otir tons Ics points d'une cuniqiie représentée par Véqnution 



Ce résultat est compris dans un autre pliis general que nous allons trouver. 
Soient ôi, Sá, ^3, ^4 les distances du point (í, r^) aux pieds des normales à Tellipse tirées 
par le point («, y). On a 

V 5^ = Jl_ I rtV^ _ liyi - 2 ahx + 2 h\y + 2 (s- + r^-) c- + c- («- + b-) | . 

Donc, st le j)OÍnt (s, •/;) est Jlxe, le lieu des point s jMur lesquels la soiiuiie ò; -p 5^ -p ^3 + ^^ 
est égale à une constante donnée, est une hyperbole dont le centre est le j>oint (s, -q) et dont les 
axes sont parallèles aux axes de VelUpse considérée et inversement j^roportionnels à ceitx de 
cette ellipse. 

Si Ton a z = ^x, '(^=-^ y-, l'équation prtécédente devient 



Donc, si le point (x, y) parcourt une circonférence conccntrique avec una ellipse, la so 



mme 



des carrés des distances d u point i-^x, -^r y] aux pieds des normales à rellipse tirtes par le 

point (x, y) reste constante. 

8." La longueur de la normale à Tellipse est donnée par la fornuile 



Donc, en représentant par Ni, Ná, N3 et N4 les valeurs que prend N aux points («i, |iii), 
(«á, P2)) (tí3, ps), («4, iii), on trouve, eu égard aux égalités (19), 

Donc, la somme des carrés des normales tst constante pour tous les points (j?, y) d'une hy- 
perbole représentée par une équation de la forme 

h-y- — a-.í-* = + m'*. 



194 

De même, la somme 

est constante, R|, Rj, R3 et Rj roprcsentant les rayons de courbure de Tellipse aux points 

('il, PO, («-2, h\ («^, P3), («4, ,3'.). 

12. Si, par un point donné (cc, y), on tire les nonnales à une de3 courbes représentées 
par les équations (3), on a, poiír déterminer les valeurs de 6 aux pieds de ces normales, 
réquation 

[(7/2 + a;2 - c2) e» + P (aV- + b^-c- — oT-x- — b-y-) O- — a-b'V-k'']- = 4 cYd- («"^t- — 6^) (f- — b^k^-f. 

Elle donne pour (*- quatre valeurs b], f)\, 63. (I\ auxquelles correspondent quatre valeurs 
positives de O, qui donnent les points placés sur une branche de la courbe, et quatre valeurs 

négatives, qui donnent les points plaeés sur Tautre branche. 
On a 

«61= "^^'''^ 



' {x- + ?/- — c-f 4- 4 c'2^- ' 

donc le produit fíidiO.fií reste constant lorsqae 

(«■^ + ^/- — c-)2 4- 4 f V" = »),'*, 
ou 

{x- + 7/f -\-2c- (1/ — a;2) + c^ — m'' = O, 

c'est-à-dire quand le point (x, y) décrit nn ovale de Cassini dont les fbyers coincident avec 
les foyers de Tellipse donnée. 

Reprúsentons maintenant par lui, wj, o):j, co; les angles des normales considérées avec Taxe 
des ordonnées; on peut écrire 

A — ; â y~^ ' _ AS ^ ^^^ "^' ft _ , j A; cos (1)2 



d'ou 



cos 0)1 cos (02 COS (1)3 COS (Ot OlOiO-i^t, ' 

Mais si Ton designe, conime ci-dessus, par Ni, N2, Na, N4 les longueurs des normales à 



195 



l'ellipse aiix points (aj, 'fii), («», ,3-2), («3, ^h\ {'M, ?/,)■, terminées au graml axe, on a aiiss 

cos 0)1 cos 0)-2 



NiNsNaNj = 



616-26304 ■ 

Par conséquent, si, p«j' un jwint quelconque d'iin ovale de Ctissiui, un mhie h's normalea 
à une ellipse ayant les mêmes foyers, le j^roduit des segments de ces normahs cumpris eidre h 
grand axe de Vellipse et des pieds des normahs est constant. 

Pareillement, en représentant par Mj, N-i, N3, Ni les segments des mêmes normal-^s eom- 
pris entre le petit axe de Teilipse et les pieds des iiorraales, ou a 



616^6364 ' 

Dono ee produit est constant pour le même ovale. 

13. Menons maintenant par le point [j:, y) les quatre tangentes à une des courbes repré- 
sentées par les équations (3). On a 

y \Ui-k^—J^ -J aM b--bV? = {6 -! - /c2) v/a^-t^, 

et par conséquent 

[(«2 + y*- c^f + ic-y^-] d'' — ikV- (x^ - 1/ — c-) 6^ 

+ 2A2 [(£fí - 2/* - c' ) (a-y - L-\i-^ - fU-2) ^ 2k'^c^ - 2 c\vY] *■ 
— 4k''c^-{a-i/--b^x^-c-k-)6 
' -í- k^ [(aY + ^^^-}^ + <^''/^"' - ^c-A-- ( a-i/ - bh-'-)] = 0. 

Cette équation determine les valeurs de d aux points de contact des tangentes considérées. 
Si 6', 6", d'", 6" sont ces valeurs, on a 

Í20^ s'6- 4/cVfc-^-y^-c2) 

et Ton voit que la somnic 6' -{- d'' -{- 6'" -\- 6" est constante jiour tons les points de ruvale de 



196 

Çasshii (loiít réqiiatioii est 

{x^ + 7/-f — 2c^-{l+ m) a.'2 + 2c2 (1 + m)7/^ + c* (1 + 2m) = 0. 

Désignons par o/, (o", o)'', o)'" les angles de l'axe des x avec les normales à Tellipse me- 
nées par les points de contact des tangentes considóróes, par a', u", «'", a" les abscisses des 
points correspondants de Tellipse, par Nj, Ná, N3, Nj les segments des normales à Tellipse 
coinpris entre ces points et Taxe des y, segments qui sont positifs ou négatifs suivant que les 
points de la toroíde consideres appartiennent à la branehe extérieure ou intérieure; on aura 

O = a- k -. — = -., , p == -., . etc. 

a' Nj ' N2 ' 

Donc, si, par les j^oints ãe Vovale de Cassini considere, on tire les tangentes à une courbe 
inirallde à Vellipse et si, par les points de contact de ces tangentes, on tire les normales ã la 
mime ellipse, les segments de ces normales cotnjiris entre leurs pti^ds et le petit axe de VelUpse 
satisfont á Véquation 

(21) ±_ + i^ + l^ + i^ = eonstante. 

La même relation s'applique aux segments des normales compris entre la courbe et le 
grand axe. 

De régalité (20) on déduit que les rayons de courbure de Tellipse aux pieds des normales 
considérées vórifient Tégalité 

1,1,1,1 

— P i j- H j — I p = constante. 

R] Vil Rií R^ 

On voit aussi, ;iu moyen de la formule (20J, que si, par les points de Vhyperhole dont 
1'équatiiin est 

x^ — .y^= c^5 

on tire les tangentes à une courbe parallèle à VelUpse donnée, et si par les points de contact 
on mune les normales à VelUpse, les segments des normales compris entre leurs pieds et un quel- 
conqite des axes de VelUpse satisfont à Véquation 

N, ^ Na ^ Ns ^ Ni 



197 



11. Étudions maintenant les podaires des toroides par rapport au centre. 

Soient X, Y les coordonnées du point de la podaire considéróe qui oorrespond au point 
{x, y) d'une courbe parallèle à Teliipse. Les équations de la tangente à cette courbe au point 
(«, y) et la perpendiculaire à cette droite tirée par le centre de Tellipse donnent 



et par conséquent les coordonnées d'un point de la podaire sont 

r "i^v «--6- ' 

(22) 



V + k\ / a^k^-h^ 
k^ V a^-i'' ' 



6 joue ici le role de paramètre variable. 

Chacune des podaires considérées est composée de deux branches réelles fermées, dont 
Tune correspond à la branche extérieure et Tautre à la brancbe intérieure de la courbe pa- 
rallèle à Tellipse. On obtient les points de la première branche en faisant varier O entre bk 
et ak; et ceux de la seconde correspondent aux valeurs de 6 compris enti'e — bk et — ak. 

On trouve facilement, au moyen des équations (22) et de 



^ > dX 26'- + k^ - b%^ V «-A- 



¥-r- 



la forme de la courbe. Chaque branche est symétrique par rapport aux axes des coordonnées, 
et ses axes sont égaux à ceux de la toroide correspondante; la courbe a deux ou six points 
(deux étant en tons les cas placós sur Taxe des ordonnées) ou la tangente est parallèle à Taxe 
des abscisses, et deux ou six points (deux étant sur Taxe des abscisses) ou la tangente est 
parallèle à Taxe des ordonnées. Si A > a ou < è, Torigine des coordonnées est un point qua- 
druple isole; si b <.k <. a, Torigine est un nceud quadruple. Deux seulement des tangentes 
à la courbe au point quadruple sont distinctes; leurs coefficients angulaires sont égaux à 

^"2 ^2" ^i^fi"» ■'*' ' •^" ^ k = a ou k = b, la courbe a encore un point quadruple à Tori- 

gine des coordonnées et ia branche intérieure est composée de deux ovales tangents en ce 
point à Taxe des abscisses quand k=a, ou à l'axe des ordonnées quand k = b. 



±\/\ 



198 



15. On tire facilement des formules (22) l'équation eartésienne cies podaires de toroide. 
Ces équations donnent, en efFet, 

tiraut de là la valeur de d'~ pour la substituer dans Tune des équations (22), on trouve 
Téquation demandée: 

(24) [(«2 + í/2)2 _ (n^-x^ + bY) — ^'^ (a-''^ + y-)f = ^k^ (^V" + «-í»"') (a?" + y')- 

On en eonclut, en premier lieu, que les puints circulaires à Vinfini sont des points qua- 
druples de la courbe. Les équations des asymptotes sont 

. , 1 . • 4- 1 • 

y = ia; + — Cl, y =-- — *íc t ^ '^* 'i 

cbacune de ces droites est double. Enfin, les points dont les coordonnées sont (+ ;yc, 0) 

sont des foyers des podaires de toutes les courbes parallèles à Tellipse donnée ; ces foyers ne 
varient pas quand on remplace Tellipse par une autre ellipse homofocale quelconque. 

16. L'óquation (24) peut encore être écrite ainsi: 

(24') [(a;2 -f y^-f — (aV + b^) -\- ¥■ [x^ -\-y^)f = 4Â;- (x^ + tj-f, 

ou, en posant x= o cos S, y — [j sin 6, 

(p ± kf = «2 cos2 ô + 62 sin2 e^ 
de sorte que Téquation polaire des courbes considérées est 



(25) [' = k± v/a2 cos2 e + Ò2 gin-2 g. 

De Tóquation (25) il resulte immédiatement que les podaires des courbes parallèles à 
l'ellipse sont des conchoides de la courbe ayant pour équation 



p = i/a2 cos* e + 62 sin2 6 

(«2 -)- y2)2 =^ ^,2^52 _|_ J2y2 . 



199 



celle-ci est la podaire de Tellipse par rapport au centre. Ce résultat est d'ailleurs évident et 
s'applique à deux courbes parallèles queleonques. 

17. Avaut de continuer, il convient de rappeler que la podaire centrale de Tellipse et 
celle de Thyperbole coineident avec les courbes qu'on trouve en coupant un tore fermé ou 
un tore oiivert par un plan parallèle à Taxe et tangent intérieurement. Booth, en son Treatise 
on some neic geometrical mefhods (Londres, 1873), a donné aux podaires de Tellipse le nom 
de lemniscates elliptiques, et aux podaires de Fhyperbole le nom de lemniscates hyperboliques. 
Les premières sont des courbes fermées unicursales, avec un point isole, qui coincide avec 
le centre de Fellipse, et deux points doubles à Finfini. Les autres sont aussi des courbes uni- 
cursales et ont un ncEud au centre de Fhyperbole et deux points doubles à Finfini. Les unes 

et les autres ont deux foyers réels dont les eoordonuóes sont ( + ir- c, O ) . La classe des 

lemniscates hyperboliques contient la lemniscate de Bernoulli, qui correspond à a-=^h'-. 

18. Les podaires de toroide appartiennent à une classe três générale de courbes, dont 
Féquation est {x^-\-y'^)"' = o{x,y), -^(a;, ^) représentant une fonction entière d'un degré infó- 
rieur à 2m. Ces lignes ont été étudiées par M. Petersen, qui leur a donné le nom de courbes 
de puissance constante; par M. Humbert, qui les a nommées courbes cycliques; par M. d'Ocagne, 
qui les a appelées courbes isoiropiques, etc. Les podaires de toroide ont donc les propriétés 
générales de cette classe de courbes, que nous n'avons pas besoin de rappeler ici, et encore 
quelques propriétés spéciales que nous allons signaler. 

19. Si Fon elimine d entre Féquation d'une podaire centrale de toroide 

(P - W = a- (l - -^^-^2 — sin- 6 

et Féquation 

p sin Ô = Ao cos 6 -|- yo, 

qui represente une droite passant par le point (O, ?yo) il vient 

^^+^'^' rp« d/V) I 2 ^+^' / (3A-^-«^)(l+A ^) ^^A . , , ._o 
-(p-^a^- 'P *'^P >^'^ b^-a'- \ b^-a^ A j p +. . . + ,y„-U. 

Cette éqiiation determine les valeurs de 6 aux points oíi Ia droite coupe la courbe. En 
nant par pi, pj, . . ., pg ces valeurs, on a 



pi + pi -f P3 + pt + Po — ps + p7 + p8 = 4Â;. 



200 



Donc, la somme (hs cUstances du centre aiix jwints oh une droite qitelconque coupe la courbe 
est égale à Ak. 
On a aussi 

Ò2 — «2 

K représentant une quantité indépendant de yo; par conséquent 

Donc, la somvie des carrês des distances du centre aux points oh une droite coupe la courbe, 
reste constante quand la droite se déplace parallHement à elle nwme. 
On a encore 

pipaps . . . p8 = M I A'^)2 = y« (''' ~ «")■ ^"08* O), 

(O représentant Tangle de la droite donnée avec Taxe des abscisses; si A est la distance de 
la droite au centre de la courbe, cette relation prend la forme 

pip2p3 . . . ps = A* (a- — b-)-. 

Donc, le produit des distances du centre arix points ou une droite coupe la courbe considérée, 
est constant ptoiír toutes les droites qui soni à la même distance de ce centre. 

Remarquons aussi que ce produit ne change pas quand on remplace la podaire d'une 
courbe parallòle à Tellipse donnée par la podaire d'une autre courbe parallcle à la même 
ellipse ou parallèle à une ellipse honiofocale, pourvu que la distance des droites au centre 
de la courbe ne varie pas. 

20. De même, la circonférence dont Téquation est 

p'^ — 2 ap cos e — 2 |3p sin Ô + a- + [f- = R'-, 

coupe la podaire de chaque courbe parallèle à Telliiise donnée en huit points; les valeurs que 
prend p en ces points, satisfont aux conditions 



pip2- •■['»■- 



pi + p2+- • .+ p8 = K, 
(J*-a2)2(o2+p2)4 



[4 (a* + p2) - (62 _ a'-)f + 16 ,^-^ {a^ - ò"^) 
K représentant une quantité indépendante de R. 



201 



Donc, la somme des dintanceíi du centre aux points ou une circonférence quelconque coiipe 
la podaire d'une courbe parallele à Vellipse est indépendante de R. 

Le produit des mimes distances ne varie pas qiiand on remplace la podaire considérde par 
la podaire d'une autre courbe parallílle à la même ellipse ou à une ellipse homofocale. 

21. Soit (*, ?/) un point donnó quelconque. Par ce polnt passent les podaires de deux 
courbes parallèles à Fellipse proposée; elles correspondent aux valeurs de A;- données par 
róqualion (24). En représentant ces valeurs par Jc[ et k\, ou a 

^ + 1^ = 13-^' + y'y +j^x^±3j1 



Cette égalité montre que la somme lA^-kl est constante et égale à 2rtv pour les points 
de la courbe dont Téquation est 

(26) {x- + }ff = (»*' - a') x' + (m' - V) / ; 

qiiand í?i'>a'', cette courbe est une lemniscate elliptique, podaire de Tellipse 



m — o 



quand b'^<rn^<a^, c'est une lemniscate hi/perbolique, podaire de Tliyperbole 

// í!^ = l 

m^ — ly a^ — m" 

Si '27n' = a^ -{- b^ , la lemniscate liyperbolique se réduit à une lemniscate de BernoidU. 
De là nous allons tirer de nouvelles propriétés des normales à Tellipse. 

22. Soit A le point dont les coordonnées sont (cc, ?/), et tirons la droite qui passe par 
ce point et par le centre O de Tellipse; menons en A une perpendiculaire AiA-2 à AO. II 
existe deux courbes parallèles à l'ellipse, dont les podaires passent par A; elles sont tan- 
gentes à la droite A1A-2 en des points que nous désignons par Ai et A2. 

Soient AiM et AjN deux droites perpendiculaires à A1A2; elles sont normales à Tellipse 
en deux points que nous représentons par M et N. 

Cela pose, à toute ellipse 

^ + 11=1 



202 



corivsi)oncl une lemniscate elliptique ou liyperbolique telle, que Ia sorame des carrés des dis- 
tanees AiM et A-^N reste constante et égale à 2»r quand A décrit cette lemniscate. On sait 
aussi que les íbyers de cette lemniscate (n.° 17) ne varient pas quand on substitue à Tellipse 
considérée une autre ellipse homofocale. 

Si Fon remarque maintenant que les tangentes menées à Tellipse proposée aiix points 
M et K sont perpendiculaires à AO, on peut énoncer le résultat précédent de la manière 
suivaiite: 

Si tin jioint se déplace de manihre que la soiiime ães carrés de ses dístances aux deux tan- 
gentes à une ellipse, perpendiculaires à la droite qui Vunit au centre, reste égale à 2nf, il décrit 
une lemniscate elliptique, quand m>a; une lemniscate hyperhoUque, quand b <^m <a; une 

Ifmuiscate de Beriioulli, quand w"'' = — - (a^ -|- 6"j. 

Pi to'" = «^, Téquation (2G) se réduit à 

(2G') ■->^'+>r=±cy, 

et represente deux circonférences de rayon égal à -jr- c et ayant pour centres les points 



(".±lc). 



On a donc ce tliéorème: íSí Von joiut un point quelcunque A des circojiférences (26') au 
centre O de Vellipse et si Von nihie les tangentes à Vellipse perpendiculaires à OA, la somme 
des carrés des distances du jioint A aux deux tangentes est constante et égale à 2a^. 

23. On déduit encore de Téquation (24j 

k[hCt j— 5 ; 

X- -f ?/ 

par consé(pient, le produit kik-i reste constant quand le point (.f, _y) décrit la eourbe ayant 
pour équatiou 

(27) («^ -I- ff = (a' + ni-) x^ -\ {¥ ± m') ;f. 

Doni', le lieu décrit par un point A qui se déplace de manière que le produit de ses dis- 
lanccs aux deux tangentes à une ellipse, perpendind aires à la droite OA, reste constant et égcd 
à + m\ est une lemniscíde elliptique quand la constante est positive un négative, mais inférieure, 
en valeur absolue, à V; le lieu est wne lemniscate hi/perholique quand la constante est comprise 
entre — a" et — ò\ 



203 



Si la constante qiron vient de considérer est négative et égale à — b-, réquation (27) se 
réduit à 

(27') a;- + ?/- = ^; ca; ; 

elle represente deux circonférences de rayon égal à — - c et ayant pour centres les points 

±|c,0). 

Donc, si Vonjoint un point quelconque A ães circonférences (27') au centre O de Vellipse 
et que Ton mene ensidte les tangentes à Vellipse perpendiculaires à OA, le produit des distances 
du point A aux deux tangentes est constant et égal à — h-. 



24. On reconnait, au nioyen de Téquation (24), qu'une podaire de toroíde est Tenve- 
loppe des courbes représentées par Téquation 

{x^ +f-f í2 + 2 [{x'- -,ff - {a^x^- -f ÒY) + ^-(0= ^'+y')] t + 4^2 (a,.-^ + f-) = O, 

t étant le paramètre arbitraire. 

En écrivant cette équation ainsi: 

(28) fa. 1 ^.). 2{a?-l<^)t-Al^ 2iJ>^-h^)t-Al^ 
(^») {x^y)- 2^_^^, x+ 27017^ y^ 

on voit que les courbes (28) sont des lemniscates elliptiques et hyperboliques. 

A chacune de ces lignes correspond une circonférence, de même centre que la lemniscate 
et passant par ses foyers; elle coupe cette courbe en quatre points dont les coordonnées sont 
données par Téquation de la lemniscate considérée et par Téquation 



«'+i/' = -r- 



4" 2< + <* 2(í + 2)' 

En éliininant í entre ces deux équations, on obtient Téquation du lieu décrit par les quatre 
points consideres quand t varie: 

(íc2 + ?/2)[(16a2-4c«)a;2+(lGJ2_4c2)/2]-f-c2(4Â;^ + c«)(«2_|_^2)_4c2(„2^á^5y^ = 0_ 
Ce lieu est donc une quartique ayant un j)oint double à Torigine. 



204 



En partant de Téquation (24'), on voit encore que \es podaires de toroíde sont les enve- 
loppes des lemniscates représentées par réquation 

Mais, en cherchant le lieu des intersections de chaque lemniscate avec la circonférence 
foncentrique qui passe par ses foyers, on obtient la même courbe que ci-dessus. Ce moyen 
de génération des podaires n'est donc pas distinc-t de celui qu'on vient de donner. 

25. En posant, dans Téquation (24'), 



on obtient I'équation des transformées par rayons vecteurs reciproques des podaires eentrales 
des toroídes, le pôle de ia transformation étant le centre des courbes, à savoir: 

[m' - (cr - A-') X- — (b^ — k^) y;f = 4 k?m'' (íp? + y]). 

On voit que ces courbes appartiennent à la ciasse des qitartiqiies binodales dont les nceuds 
sont à l'infini, et qu"elles sont les enveloppes des coniques représentées par Téquation 

lâ {x\ + ?/;) + 2< [m'' — (a- -f /,•-) x- - (Jr + P) 7/;] ^ 4 mH' = O, 

t étant le paraniètre arbitraire. 

2G. En faisant la transformation (29) sur les équations (22j, on obtient les formules 

,„„ m- /aVc- — 6- m- /d^ — b-k'^ 

lesquelles déterniinent les coordonnées des points des courbes considérées, en fonction du 
paramètre variable 0. 

A Fégard de ces courbes, nous ferons remarquer, en premier lieu, qu'elles sont du genre 
an et qu'en vertu d'un tliéorème general connu, elles coincident avec les polaires reciproques 
des courbes parallèles à Tellipse par rapport au cercle concentrique avec Tellipse et dont le 
rayon cst égal u m. 



205 



En seeond lieu, on a 



,,1, ^ ^±^ JO^-^ 

En comparant les formules (3) et (31), on trouve 

y ^y^ ; 1-0- 

X ' dx\ ' ' 

par conséqiient, le vecteur d'nn point quelconque d'une courhé parallele à une ellipse et la tan- 
gente au point correspondant de Vinverse de sa podaire centrale sont perpendiculaires , le pôle 
d'inversion étant le centre de Fellijise. 

Cette propriété s'applique, on le sait, à une courbe quelconque et à sa podaire reciproque 
par rapport à un cercle. 

On interprete de Ia même façon la relation 

^^^1 = 0. 
xi dx 

27. On peut encore étudier les courbes parallèles à Tellipse par une autre méthode. 
En eftet, représentons par a et ,3 les coordonnées des points de Fellipse; on peut poser 

a = « sin 'f , P = è cos cp, 

et alors on a, pour déterminer les courbes parallèles à Fellipse, les équations 

(íc — a sin 'f )- -\-(i/ — b cos -i)- = k-, 
a(x — a sin cp) b(?/ — b cos 'y) 



qui donnent 



(32) 



kb sin o 

X — a sin CS + ■ 



I "V^ — ^^^'""^ 

{ 

1 , , k cos '5 

i y = 6 cos 'f + 



y/l ^sm^-p 

On pourrait établir, au moyen de ces formules, les propriétés qu'on a obtenues en se ser- 
vant des équations (3). Mais nous ne ferons pas ici cette étude, et nous allons seulemeiít noas 



206 



en servir pour déterminer la longueur des ares et les valeiírs des aires des courbes consi- 
dérées. 

Les équations (32) donnent 



dx , kb cos Cp 

-=- = a cos 'f H 5 — j^ ^^, 

^ a 1 ;, — sm- 'f 2 

V a- V 

dl/ , . kb'^ sin 'f 

-j^ = — osmtp — 



«« 1- 



Mais, en représentant par si la longueur d'un are de l'eHipse, on a 
dsi \- „/ a- — b- . \ 



Donc 



(33) 



1--- = acosc?+A-6a^coscs(-r^) , 
«'f ' \ dsi I 

-^ = — 6 sin ci — A:ò^rt sin cí ( -p^ | ; 



par conséquent, si s est la longueur dun are de toroíde, on peut ócrire 

Cette équation donne, en intégrant, 
s = si -\-kah 



'"Y — Si-"""') 



s = Si — Â; are tang ( -=- cot-^j -f- const. 



En prenant pour origine des ares si et s les points de I'ellipse et de la eourbe parallcle 
qui eorrespondent à 'f = O, on a 



(34) s = si-\-k-^ — ^arc tangi -^ cot 'f). 



207 



Mais des formules (33j il resulte 



dx 



■ — tang '■? ; 



d'oú, eii représentant par oj Tangle forme par Taxe des x avec la normale à la toroide au 
point qui correspond à la valeur considérée de 'f : 

a 
taiiÊTii) = -^ cot 'i. 

o ' 

L'équation (34) prend ainsi la forme 

Ce résultat coincide avec celui qui a été trouvé par Breton de Cliamp (loc. cit.). 

28. L'aire balayée par le vecteur d'un point d'une courbe parallèle à Tellipse quand -^ 
varie depuis zero jusqu':'i '^, se determine par la formule 






qui donne 



S = - 



ai'f + 



+ ■ 



— I 5 — Tõ h «a I \ / 1 3 — sin- '^ cí'^ 

J 1 ^-8m2'í V 

o «- 



Mais on a 



; (1 — ^^«'"-?j-^ L« 



«^ — ò^ sin ç cos 'f 



y/l ^r-«'n-'fj 



et 



208 



' ~ '— — arctanj 



a- 



62 . , i L 2 



:(t-^)J- 



Done 

11" , ,., ' ,9 , (^ - , \ ;. «" — ^' SÍn'^COS'^ 



S = -j- ab'^-{-k--^ Â;2 are tangi -y- cot'f| — A; 



y/l ^j-sm-í 



2Â;a r '\/l - —-T^ sin2 -^ (/cpj . 



On conclut, de cette égalité, que Faire balayée par le vecteur d'nn point de la coiirbe, 
quand ç- varie depuis <) jusqu'à -^, est donnée par la formule 



S, = — abr. + k-T. + 4ka 1 \/ 1 — " — , — sin"^ -v rh , 

o 

k étant positif dans le cas des branches extérieures des courbes considérées et iiégatit' dans 
le cas des branches intérieures. 

L^aire comprise entre deux branches d'une courbe représentée par les équations (32) est 
donnée par la formule 



b-2 = bka I \ / 1 5 — sin- 'í d'^, 

trouvée par Cauchy [loc. cit.). 



VI 



SUfi LES OÍRIVÍES DIDBE ÍOELCONQUE 



(Giornale di Matematiche — Napoli, 1880, t. XV3II) 



SUR LES DÉRIVÉES D'ORDRE QUELCONQUE 



Nous allons nous occuper dans cette Note(*j de la recherche de IVxpression aiialytique 
de la dérivée de Fordi-e n de la fonction /(a;). 

1. Déruée de u=f['^(a;)]. La dérivation successive de la toiíetioii ti=f[y), étant 
y='^ (x), donne : 

' du I 



dx 

d-u 



^o,'i ■„'i <,,'■,," 



(1) dhi 



-— = u"'y'^ + 'àu"y'y" + u'y"' 

d^u 

-^ = u"''>y"' + 6m"'2/' V + Su"y"' + 4:u"y'y"' + u'y"' 



On voit, par analugie, que 



(2) ^ = S A«(-) (yT (y'f {y"'f . . . {tH\ 



(') No tomo I do Mathesis (Gand, 1881, p. 23) foi publicada pelo illustre geometra belga P. Maiísiun 
uma noticia a respeito do presente trabalho, que contém algumas indicações bibliographicas a respeito d«> 
assumpto que nelle é considerado. 



212 

ou 'j.. [l, . . . , X reprósentent les racines entiúres positives ou nulles de réquation 

a + 2p + 3Y+... + nX = «, 
et oíi est 

;=a + p + -H-... + A. 

Poui' démontrer cette formule, cherchons la dérivée d'ordre « + 1 de m: 

^'"'^ = s A I «(í+o (,jn^ (yf (ff + . . . + «"■' (a (y,)'''-'(y')^+* (ff ■ ■ ■ 



dx 



On voit que les exposants de ?/', ?/", ?/'", etc. satisfont en cliaque terme aux équatiuiis 

c(' + 2,3'-f 3y' + . . . = « + 1, a' + ,3' + Y'+.. .= 1+1 ou =i; 

et que cette formide contient des termes correspOTidants à toutes les sohitions de la première 
de ces équations. Donc la formule (2) est vi-aie. 
Pour déterminer le coefficient A, nous poserons 

ti = ?/'', 1/ = X -\- x^ -r x'^ -\- • . + x", 

k étant entier et positif. Nous auroiis 

" = ^" + "" + "+---J^-^ l.^.../,,xl.2.../..xl.2...;,3X — / 
.ou 

k==hi + h + h^.... 

En dúrivant cette équatiou n fois et en faisant ensuite x = 0, pour rendre nuls tous les 
termes de la dúvivée qui ont des puissanees de x différentes de íí, on obtient: 

^ ' \ í/x- A=o "" ^ 1 . 2 . . . /), X 1 . 2...yi2x...' 

étant 

hl + 2h.2 + 3/í3 + . . . + nh„ = n, hi-\-S + h+. . . + h„ = k. 



213 



Mais la formule [2) donne 



ou, en reinarquant que tous les termes oíi k — i est diíFérent de zero sont nuls, 

(^] =IA(1.2i?(1.2.3)^..(1.2.3...n)"^xl.2...A;, 
Xax" / 1=0 

étant 

« + 2,8 + 3-,- --... = n. 

Le terme general de la somme precedente doit être égal au terme general de la somme 
(3)^ parceque ici on donne à a, p, y, etc. les mêmes valeurs qu'on donne en (3) à Ãi, h^, ^3, 
etf. ; donc 

1.2.. .71 

~ 1.2.3...axl.2...;5x...x(1.2)?(1.2.3/'...(1.2.3...?i)'-' 
et 

(4, *:!i_v i.2...w'(3/f(yoP...(y"')^ 

(b" ^ 1.2...axl.2...px...xl.2...Xx(1.2)?(1.2.3)^..(1.2...n)'^' 

oii la somme i. se rapporte à toutes les solutions entières positives et nuUes de lequation 

« + 2p + 37+...+ Ji"/. = n, 
et ou est 

,-=a + P + f +. ..+ X. 

On trouvu cette formule dans le Calcul dijjérentiel de M/ Bertrand, ou est démontrée 
d'une manic're différente. 

2. Dérivées de fonclions smjjh.s. Nous allons appliquer cette formule à la reclierche des 
dérivées des fonctions simples. 



214 



1." La dérivée d'orclre n de y = ['f (a?)]'" est : 



^S 



1 . 2 . . . n X ín (m — 1 ) . . . («i — t + 1 ) {'^'xy- Cf "a-)^ . . . (tf '"'se)"'- 

1.2...ax].2...px...xl.2...Ix(1.2j?(1.2.3y'...(1.2.3...H)'' 

i=a + P + T + -- • + ^) a + 2i3 + 3>. + . . . + «>. = «. 



.(-fíC)" 



Nous ferons bientôt ua usage iuiportant de eette formule. 
2.° La dérivée d'ordre n de y = e^, étaiit z = 'f («), est: 



/") = S 



1.2...íie^(z'f (a")^-- -(z ) 



1.2...axl.2...px...xl.2.. A(1.2)?(1.2.3yf . . . (1.2. . .m)^' 

« + 2,3 + 3y+. . . + nl = n, e = a + j^-p y+. • . + X. 



3 . La fonetion y = sen z domie : 



,/,. 



1 . 2 . . . n sen ( 2 + ^ ) {z'f [z")'? . . . (z"")^ 



1.2...axl.2...px...xl.2...>.(1.2)?íl.2.3)'. ..(1.2...n)^ 

()n trouve de la même manière les dérivées des autres fonctions simples. 

3. Question inverse de celle du n." 1. Les formules (1) donneut »'"', exprimée au moyen 

d un determmant, les dérivées --^, -r-^-, etc, y, y , y \ etc. etant données. 

En effet, en re[ircsentant par T,,,,- le coefflcient de m'" dans la formule (4), les formules 
(1) donnent: 



(5) m" 



Ti,i.T2 2..T„„ 



T,,i O O ... O 
Ta,, T2.2 O ... O 
^3,) T3 2 T:j 3 ... O 



T„,i T„.2 T„,3 . . . T,r,„_ 



du I 
dx 

d^u 

dx- 

dhi 
~d^ 



d''u 
dx" 



215 



Cette formule sert pour faire le changement de la variable indépendante, parce qu' elle 
domie les dérivées de u par rapport à y, quand u=f{x), y = 'f(x), sans faire rélimination 
de X. 

4. Dérivées des fonctions inverses. La formule (5) sert encore pour trouver les dérivées 
de X par rapport à 7/ quand on connaít les dérivées de y par rapport à x. Aiors on doit faire 
u = .r, et il vient: 

Ti,i O . . . O 1 

T.3.1 T2.2 ••• O O 



dy" T,,,T.,,2...T„,„ 



T„, T„2 ... T„„_, O 



(7) 



d"a 



(- l)"- 



T2,, T2,2 O 

Ts.l T3^2 T3_3 



dy" TuT2,2...T„,,. 

T,,,, T„,2 T„,3 
Par exemple, la dérivée par rapport ;i y de 

X = are sen y 
será donnée par la formule precedente, étant 



T„,._, 



T ='S 



1.2. . .m sin''' ( a; ~ -;t- ) siní^ía;-!- 2-^ j . . .sin'M x + ni — 



'■^ ' 1.2...axl.2...IBx...xl.2...7i(1.2)P(1.2.3)^..(1.2...wy-' 

oii —I se rapporte aux raeines entières positives ou nulles des équations 

a + 2'i— ... + wiX = OT, a + I3+... + >.=J. 

3. Dérivée d'une fonclion de plusieurs fondions de x. Nous allons chercher la dérivée 
d'ordre n de ?/, étant 



(8) 



y =f\U\, 7(2, . . . íí/), m = -^1 (x), ?í-2 = 'f2 (x), • . . "7 = 'íl («). 



216 



II siiffit de fíiire quelques dérivations pour trouver que ?/'"' a la forme: 

(^) ^'"' = 2^7^^^^— ^"'^^•(«'^^•••><(''^)^'^«^)^'--^ 

et nous allons détermiuer a, b, c, . . ., a, [i, ■(, . . ., «', p', y') • • •• 

Pour faire ça nous allons particularisei-, comme on fait en beancoup de questions, la fon- 
ction donnée (8), en faisant 

y = (u1.l1a.U3. . .uif, 
k étant une quantité quelconque plus grande que n, et l'on obtiendra ainsi: 

?/(") = EA-(A:-l)...(/v-a+l)> A:(A:-l)...(A:-ò-f l)x X 

X iir" . uf ... X (iitf . {u';)^ ... X (u'^'' (i4')^' . . . X . . . 

Les quantités A, a, P, . . ., a', p', . . ., a, b, c, . . ., qui entrent dans cette formule, sont 
les mêmes qui entrent en (9), et par conséquent, pour avoir leurs valeurs dans le cas gene- 
ral, il suffit de les déterminer dans ce cas particulier. 

Pour faire cette détermination, clierclions y<"' par un autre moyen. 

L'expression ronnue de la dérivée d'un produit de des fonrtions donne, lorsqu'on l^appli- 
que à ít{.M.i. . .u'i,: 

(,ú "Sr 1.2. . .n . (h,) , f/íj) 

1 .2. . .Iiixi .2. . ./i^x. . . ' 

ou Ton doit donner a /íi, ^2, ^3, etc. les valeurs entières et positives qui satisfont à Téquation: 

^d H" /!2 + ^3 + • • .-\-bi = n. 

En substituant ici les dérivées des puissances par leurs valeurs données dans le n.° 2, 
!.'='■ oas, on obtient: 



yn) = 2 



1. 2...?ixA-(A-l)...(;; — a+l)x&(/c-l)...('A-&+l)x... 

1.2...«xl.2...px...xl.2...a'xl.2...|5'x...xl.2...G(''xl.2...p"x...x.. 

{lí^f-.{ú[f. . .X («2^.(^2)^'. . .x. . -x 4~".4~'. . • 

^ (i.2)^-'p'+r+--(i.2.3yf+^'+''"+--- 



217 



« = a-L,3 + Y-r- ■•, í' = «' + ,3'-^Y'-f ..., c = u" +'^'' ^f 4- . . . , etc, 

a, ,3, Y, . . . , a', P', -,-', . . . étant les valeiírs entières et positives qui satisfont aux équatiuns 

«-;- 2,3 — S-,—- ■ • = /'!, a— 2,3' + 37'-r- • •=^->, etc. 

La eomparaisuii iles deiix valeurs de ?/'"' doiiiie maintenant le c-uetTieient A, qui, substitiié 
en (9), doiine la dérivée de la functíon (S) (' : 

1 . 2 . . . « , „ ,tí(. i«i)' • («i)^ ■ • • X («á)'-'' • («2,)^' . . ■ X . . . 

■' ~^1.2...axl.2...3x...xl.2...a'xl.2...,Tx...xa.2j?^?'^-(1.2.3)'^'''''""--...' 



étant 

j» = a4-6-{-c — . . ., íí = «+ |í-í- ■,' — .. ., 6 = a' + P'-i-Y'+. . ., etc, 
et a, ,3, Y, • • • , <«') íl', 'í', • ■ • étant les raeines entières et positives ou nuUes des équations 

ct + 2|3-f3Y-;-- •■=''!, cí'-í-2,3' + 3y' + . ■• = /'.', etc, 
et ^1, /íá, ^3, ... celles de l'équation 

hi-^h-i^h-i-r . . . + Jti = n. 
«. Dirivée d'une ('qiiuiioií. La formule préeeilente doiine la dérivée de Téquation 

par rapport à jl', /y étant la foiíction implicite qu'elle determine. 
YjXX etiet, dans ce t-as on a 

Zlf ^, y^ ííj=_?y'lj ^i"^^ ij[^ ...; Ha = a', ?í2=1, ?(-2 = í/j = . . . = ••, 

m = a4-i!», íí = a4 ,3-rT-r- • •> íi = 'ji', « + 2,3 + 3y -f- . •= /'i, 'jí' = Ii-2, I'i \!ií = >i; 



(') No tomo XII (1894, pag. 110) ào Jornal tie sciencias mat/iemalicnii <; <iiitro7i<iiiiu:<iíi fui (hnl:i pdi .) 15 
Arcz outra deinonstrinão cresta fórmulii, fundada na fórmula de Taylor. 
CC 



218 



ft par consóqufiit 

^ V1.2; Vl.2.3; Vl.2...n; dx- df ^-- ^ ^ ^ 

■^ 1.2...axl.2...,3x...xl.2...Xxl.2...cí' ' 

ou l'on doit doiiner à d toiítes les valeurs entières, depuis zóro Jusqn à n, et à oc, ,3, "C, • • • 
les valeurs entières et positives ou nuiles qui satisfout à réquation 

a -|- 2|5 -L OY + • • -^nk^^n — cí' . 

On voit au moyeii de cette équation que /. ne peut pas être supérieur à Tunité, et par 
conséquent que réquation precedente est du premier dégré en ;y'"'. 



VII 



m lí mmmm des fonctions lupucins en m 



(Journal de mathématiques purés et appliquées, fondé par Liouville 
— Paris, 1881, 3.'' série, t. VII) 



SDR LE DÉYELOPPEMENT DES FONCTIONS IMPLICITES EN SÉRIE 



On connait la formule de Lagrange qui sert à dévtlopper en une série ordonnée suivant 
les puissances de x une fonction h déiinie par les équations 

Nous allons dans cette Note présenter une formule plus générale que celle de Lagrange, 
qui sert à développer en série ordonnée suivant les puissances de x une fonction ?í, quand 
est 



(1) 



I « =fiy\ 

I 2/ = í + x'f 1 r?/) + as2 -^2 (_y) + . . . + a;" !f„ (y). 
Dérivant la deuxième des équations (1), on trouve 

•^ = 'f I (y) + 2x'í2 {y)+.-. + «a;"-' '^„ (y) -f- [x':.\ (y) + a-^ '^, {y)+... + x- -f „ (y)] ^ , 
-^ = 1 + lx-^\ iy) + a;2 -^, (y) + ... + x- o, (yj\ ^, 

d'oíi Ton dédiíit 



(2) 44 = i|'?[,^-,,,„)] 



Mais, étant 



nous avons 



222 



dt( (iu dy du du dy 
dx ~~ dy dx ' dt dy dt ' 



du du '—" r , , , ST 



du . du 

ou Ton pose 

(5) 0= '^" [te'-' ?,(?/)]. 



Dérivant réquation (4j et ayant égard à réquation (2|, il vient 



d-u d-u du / dd dO dy 

dx- dxdt ■ dt \ dx dy dt 

d'^u dhi du. dO dy 

dxdt dt- ' dt dy dt ' 



donc 



dhi d-u ^, , du rdf) , „^ dd d,/\ 

= ?r U" H + -O '— 

dx^ dt- dt \(lx dy dt / 



d-u \ dt I du df) 



^^^ dx- dt ' dt dx 

En dérivant (Gl, on obtient de la niême nianière 



\ dt ) \ dt dx 

dx^ ~ dt'- dt ' dt ^Ix"-^ 

et après 



dhi \ dt / , .^ \, dt dx I du d-i) 



d*M _ \dt / , (. \dt dxj [df \dx' \ . \ dt dx- ' du d'^6 

'M ~ dt^' "^ ' dJt^ *" dt '" dt. "^ W 1^ 



du , d-6 



^'(t"), 'Kt«'5)..,-'1-*(*)1 .'HÍ« 



223 



(_)n obtieiít les dérivées siiivantes de la même manière. Nous allons en ehercer la loi. 
En general, représentant par d', 6", 6"', ... les dérivées partielles de 6 par rapport à x, 
qui résultent de (5) en y supposant i/ constante, on a 



(8) 

et par conséquent 






, ,r du / dd' dO' dl/ ,, ,, ,,, , ,,,, 

_j_ [ c/í \dx dy dt ] ' ^ 

, , r t/ií / dd'' dd" du , , ,, ,,, ,,,„ , ,,,„, 

"^ í/t—' 



(9) 



dx' ^1 t/<« 



-f-ik 



+ ni 



\ +P 



dí5=i 



rfa-l [^ ô* ^g'-)m-i ^g'/-)p+í (gw-),, _ 1 



+. 



Comparant cette formule à la formule (8), on voit que cliaque terme de (8) donne une 
somme de termes qu'on forme de celui-là on ôtant une unité à Texposant de chaque facteur 
1, 6, 6', 6", ... et en i'additionnant à eelui du suivant, et donnant pour coefficient au ternie 
l'exposant qui a été diminué. 



224 



L'or(lre de la dérivée par ra|)port à t qiii entre eii i'lia(iiie terme est égal à !a soiiiiiie 
des exposants de &, 6', Ô", . . ., daiis le terme, moiíis une uiiité. En effet, cela est vrai pour 

la dérivée -p;-, , et par la formule (U) on voit que Tordre de eliaque dérivée augraente d'une 

unite dans le passage de -^—~^r a ^^) anisi que la somnie des exposants de o, O , O ... 

11_ resulte de ce qui préeède une methode pour caleuler de proc-he en proelie les dérivées 
successives de u par rapport à x. ]\Iais on peut ménie trouver une formule générale pour ee 
calcui, comme nous allons faire voir. 

Nous avons, en eíFet, en remarquant que les dérivées de f) d'ordre plus graud que n — 1 
sont nulles, la formule suivante, 

oíi h est donné par la formule 

II ne nous reste qu';i déterminer le coeffieieiít A et les exposants a, ,3, y, . . . , k. Pour 
cela nous feroiis 



et nous aurons 



'f 1 (y) = ?-2 (;/)=... = 'f „ {y) = 1 , 



dx' ^ ' dl/- \ dx ) \dx^ ' ■ ■ ■ ' dx" I ■ 



Mais un trouve dans le Cukid dij/treiíltel de j\l. Bertraiid une formule ('i qui donne la 
dérivée d'ordre i de u par rapport à x, étant íí =/( y), ,,/) = ■]; (a-), laquelle, étant appliquée 
aux fonetions , 



donnt 



«=/(.'/), i/ = t + x-rx- + . . .^x", 



'^'"_V ., -^ \^J__ \/^a) V _U«"/ 

7^"^ ... .1 ^^ '~\.2...a'{i.2)n.2../^ '" {1.2. ~.nf\. 2. 7.V 



(') Vcjasi' n:i pag. 211 lio presente volume iiiu.i (Iciiidiistiaví^u d'i,'sta fórmula. 



225 

ou cí, ,^, . . ., ■/. reijréseiiteiit les vacines entières, positives ou milles, ile Téquation 

et oii est 

La comparaison des deux formules precedentes mène ;i la valeur de A, qui, suljstituée 
dans la formule générale, donne la suivante 



,/»-! I ^ r- {6')^ (d")' . . . {6'"-ir)A 



d'li sr^ "^ 



r^ 



dx' ^ 1.2...«> 1.2...fix...xl.2..."/.(1.2)?(1.2.3/...(1.2...ny-' 

et fait voir qu'un doit donner à a, ,3, y, . . ., '/.. toutes les valeurs entières, positives ou nuUeS;. 
qui satisfunt à Téquation 

a-i-2f; + 3-f + ... + «"A. = t. 

Nous avons ainsi Texpression générale de la dérivée de u par rappoi't à .<• 'Ve la fon- 
■ •tion (1). 

Pour obtenir maintenant le développement de ii en série ordonnée suivant les puissances 
de íc, nous emploierons la formule de Maclaurin: 



, ,■ du\ , 1 /d'h(\ ., , 1 /d'^u 

■" = "" + '^;/+Yte;,;'-+2:ãte 

et les coefficients seront donnés par la formule precedente, en y faisant x = 0. 
En faisant donc x = 0, nous aurons premièreraent 

Ensuite les formules 

6' = 2-^i (ij) -t- 3 . 2aí'^3 (//) + . . . + n (n - 1 ) x"-'^ ■^„ (//), 
6" = 3 . 2'j>3 (i/) -4 . . . -t- n (m - 1 ) (í) - 2) x" -■' 'i,„ (y) , 



d"'-» = n{n — -[). . .2.1'i„(.y), 
6") =0 



226 



<loiineroiit 



f) = ■^^(t), 6' = 2-^.2{t), 6i' = 3 . 2-Í3 (O, ••- 6"'-') = « (« - 1 ). . .2. l-f„ (C), 

e(«) = e(»+i) = e(«+2)_. ..=o. 



Noiís aurons donc 

dl 
Ih 

d'h,.\ _ d]f(t).[-^i{t)fl 



,7,. / =/' (O •?'("' 



,dx- 1 „ dt 



+ 2f(t)'^.2{t), 



dlu \ _ d^ I / (t) ['í , fOl^J ^ ^ cZ [/ (O cfi «)->■ (<)] ^ ^.^, ^^^ ,_^^ ^^^_ 



En general 

/^\ _ ^ j. ^^. {(^^-■;/«).[cpi(i)]»[9 2(f)].\..[,^„ffl]>-[ 

\áa;''o ^ 1.2...c(xl.2...px...xl.2...XfZi'''-' ' 

oíi Toii doit donner ;'i a, |ii, -f, . . ., '/, toiítes les valeurs entiÍTes et positives ou iiulles qiii sa- 
tisfunt à Téquation 

a-}-21i + 3Y +. . .+ nX = i 
et oíi h est donné par la formule 

ft = a+[5-i-Y+. .. + X. 
Noiís avons done ia formule 

qui, en posant n=l, donne celle de Lagraiige. 



VIII 



m LE DÍV[LOPPEliT DES FONCTIONS If LICITES 



(Journal de mathématiques purés et appliquées, fondé par Liouville 
— Paris, 1889, 4.' série, t. V) 



SDR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS IMPLICITES 



Dans une Note Sur le ãéveloppement de.i fonctions imjMcites, publiée dans le Journal de 
mathématiques purés et appUquées, 3.^ série, t. vn, 1881, nous avons presente une formule 
pour développer en série, ordonnée snivant les puissances croissantes de x, une fonction u 
définie par les équations 

( 3 = / -f x-^i (,r I + X- -f i (s) + . • • + ?*■ '-pA- (2), 



«) „=/(,^^-(o..(o+...+.-s '"''■""!!;-,?r'^.'a^:,-^^'"'^'' +■■■■ 

oíi la somme ^ se rapporte ;'i toutes les solutiuns entières, positives ou nulles, de Féquation 

a + 2fl + 3Y+... + A:A = «, 
et oíi 

De cette question se sont ensuite oecupés M. Vj. (Jesàro dans les Noxivelles Annaleg de 
Muthémaliques, 3." série, t. iv, 1885, et M. David dans le Joiírtial de VEcole Polytechniqíie, 
Lvii." Cahier, 1887. 

Nous revenons aujourd'liui sur c-e sujet pour déterniiner quelle vaieur de u doit être con- 
sidérée comme représentée par Ia série (2), et pour étudier les condition de convergence de 
cette série. 



230 



TnKORÈME. — Soietit 

f(z)i 'i^ (z), 'fá (2), •••, 'fA' (~) ''''* foiíctions Jiolomoj-jjhes ilans liiitérieur cliin ron- 
tonr K; 

t uii 'point intérieur á ce contour; 

y; i(ne quantité positive assíer. petíte ponr <pie. la condition 1 | A I représentant le mo- 
dule de A) 

/Q\ I -^ "pi (^) I , I 'n^ y-^ (^) I , I I VjM") I ^ 1 



soit satisfaite le íonr/ du contour K. xi chaqiie valeur de x, qid satisfait à la condi- 
tion I íc I < Vj^ correspond une racine loriqKe ri de Véquation que determine z, exisUmt 
a 1'intérieur du contour K, et f{zi) est susceptible d'être développée en série ordonnée 
suivant les puissances crois.iantes de x au moyen de la formule (2). 

En efFet, de la conditioii (í?) et de Ia condition |.r|<"'i on tire 



et, par conséquent, 



: — í 



X (pi (s) + a:-- '^i (a ) + ■ ■ . -f a;'' 'f ^ ( z) j 



DoiK-, on peut appliquer la série de Lagrauge aux équations 

z = t-\-xY{z), 



F (.-) = 'f 1 {£) + x'^, {z) + . . . + a-'-< 9, (z) ; 
ce qui donne (*) 



(') Voir notre Cumo de Analyse iiifiiiilCHhnal {Calculo hitcijrnl, 2:' parte, p. 284j. 



231 



R™ = 



1 /^ x'"+i [F (z)]'«+íf(z) [1 _ a; c?; (s) - . . . - a^- -f ^ (s )] dz 



-J 



i-f-hsi 



On sait que, pour les valeurs de x considérées, la série qui resulte de (4) en y posant 
( = cc est convergente; nous allons faire voir qu'elle est uniformément convergente. 
L'expression de R„, donne 



R,„;< 



1 /^ I /(2) 1 1 a; F (z) r+' { 1 + i a' ?i (2) I+---+I»* ?í- (z) | { ds 






1- 



a;F(z) 



et 



donc 



a;F(z) 
z — t 


z — < z — t 






z — t ' z — t "^■' 


' ■ ' 1 Z — t 



1- 



a;F(z) 



j _ I a;F(z) j -^ j _ < I a;'fi(z ) j _^ i a;^'-p2(z) k . . .4. | '^' '^k (2) 1 ( 



z — t \ / I z — t 

>1 



^<'-?í(z) I_|_|2Lli(f) 



/ z — t 



z — t I ) 

z-t h' 



,R„,i<l r /(^)hiv^i(-) 



-j 



V^z) I /"'+• ! 1 + I r, ■^\ (z) I +. . .^ ! r,*'fÁ(z) : 



z — í ; / I 2 — t 



Soient maintenant: 
M le inaximum de 



Ml le niaximum de 



Ma le inaximum de 



/ 2 — í I z — t \\ 



I /(g) 1. 

I 2-< I' 

i + lvfÁ-(2)l+---+|-i*'-?;-(«)i; 
I ^r-pi (g) I I _ _ I I >i* ?* (g) I 

2 — í '* z — < 



232 



1»' litiig dii contour K. Nous jivuns 

^ , 1 /^MM,M:í+' , 

'k 
et, par conséquent, s reprósent;int hi lungueiir ilii contour K, 

MM, M :j'+' s 
I "''"^ 2-(l-M2) 

pour tuuttí.s les valeurs de ■'•, dont le module est infórieur à Tj. 

Comme M2<1, on voit doiu^ que Ton peut, quelque petite que soit la quantité c, déter- 
miner m de manière que Ton ait | R,„ |<£ pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la 
condi tion \x\<r^. 

Donc la série considérée est uniformémenf converijentc daus le cercle de rayon r^. 

Cela pose, si daiis cette série on pose 

F (O = '^,{t)+x '>2 {t )-■.■-- ^/'-' '^k (<), 

on voit facilemeut qu'on peut développer chaque terme suivant les puissances de x, et qu'on 
obtient des polynOmes respectivenient des degrés ( t, k, 2Â;, .... 

Donc, en vertu d'un tliéorème bien connu <1.' la théorie des séries ('), la. tbnetion f{zi) 
est susceptible d'être développée en série ordnuuée suivant les puissances croissantes de x, 
et convergente dans le cercle de r;iyon r,. 

Le théorème énuncé est donc déniontré. 

La méthode precedente donnc niênie la série truuvéo dans nion article antérieur. 

En effet, le tenne general de Ia série (4) est 

a^ (P-^ ]['^i(t) + ... + x'-^'^i,(t)]\f'(t)[ 
b ! dtt--^ 



,u_, N^ b ! [-Í, (t) f ['^.2 {t)f. ■ . [9/.- (t)ff' (t) ft+2T+. ■ .+ (fc- o: 



b ! dí'-* 



(') U. Weiersti-ass, Monalshr.rií^hlt: der K<'Jn. Akademíc. d<:v WisscnschafUn ~ai IScrliii, 1880; líulUtin des 
Scienccg mathématiijues, 1881, p l(jO. 



233 

oíi la somme ^ se rapporte à toutes les soIutions eutières positives df réquation 

OU 

^ cP-i 1 [>^. it)f [^, (t)f. . . [cp, (0]V jt) 1 .p^. . .^,-, 

^ ot!i';i!..."/.:áí''-» 

Donc le coefficient du terme du degré n dans le développemeiít de f{zi) en série ordonnée 
suivant les puissances croissantes de x será 

^ a!li!...X!áí''-i ' 

on la somme ^ se rapporte A toutes les solutions entières et positives de Téquation 

a + 2,í + 3T-f... + /tX = « 



et oii 



6 = a+i^ + T + -- -H-^- 



NOTA 



1. A questão que vimos de considerar ifeste trabalho e no anterior tendo merecido a 
attençào de alguns geómetras illustres, que a respeito d'ella têem escripto artigos em que se 
referem á fórmula que n'elles foi demonstrada, julgamos conveniente dar aqui uma indicação 
succinta dos resultados de maior interesse, por elles obtidos, que estão ligados aos apresen- 
tados nos referidos trabalhos. 

Mencionaremos, em primeiro logar, uni artigo intitulado — Géiiêralisation de la formule 
de Laçirançie, publicado por E. Cesàro nos Nouvellen Annales des Mathématiques (Paris, 3.* 
série, t. IV), no qual este sábio geometra reduziu os coefficientes do desenvolvimento de/(z) 
a uma forma differente da nossa, exprimindo-os por meio de um <di'/or{thmo, a que deu o nome 
de isobárico e de que por varias vezes se tinha anteriormente occupado, o qual designa a 
somma dos productos que se formam dando, em 

a. z\, Zi, . . . , Zj todos os valores inteiros e positivos que satisfazem á equação 

/'(z) sendo uma funcção dada e vj um numero inteiro dado. 

Representando este algorithino pela notação S[/(z)], mostrou que a firmula (2) pode ser 
escripta do modo seguinte: 

/(z)=/(0 + J^x"^v^^V^,/'(.)8[,„(0]!. 

2. Ao desenvolvimento em serie ordenada segundo as potencias de x da funcção ?(, de- 
finida pelas egualdades (1), deu Hassani, professor na Escola Naval de Livorno, outra forma, 



235 



em um artigo intitulado — Generalizzazione delia formola de La;/ran;/e, o qual foi publicado 
nas Atti dei R. Istituto veneto di scienze (série 6.", t. v). O resultado a que chegou pode ser 
deduzido da fórmula (4), que dá 

e, portanto, pondo 

[tp, (í) + X'Si (<) + 032^3 (O + •••]* = '■fí.O {t) + •-?*,( (') X + tpí,3 it)x^ + ..., 

^ n I flh-l 

f{z)=f{t)^ S xn V [<p,,„_,(í)/'(<)]. 

Para calcular as quantidades 'Jif.n—b (O apresentou Bassani, no referido trabalho, uma fór- 
mula devida a Eisenstein. 

3. Occupou-se também do desenvolvimento em série das funcções definidas pelas equa- 
ções (1) David, tenente coronel de artilheria no exercito francez, em uma memoria importante 
publicada no caderno LVII do Journal de VEcole Polytechnique de Pdris, na qual demonstrou 
que da solução d'esta questão depende a do problema geral que tem por fim desenvolver em 
série as funcções algébricas implícitas. 

Consideremos, com eíFeito, a funcçào definida pela equação algébrica F(a,', ^) = 0, ou, mu- 
dando X em xi-]rx — xi e y em yi-ry — l/i, 

fl{x — x,, y — yi) = 0, 

e supponhamos que {xi, yi) é um ponto ordinário da funeção. N'este caso uma, pelo menos, 

dF dF 
das derivadas parciaes -t—-, -j— deve ser diíferente de zero no ponto considerado, e porisso 

esta equação pôde ser reduzida primeiramente a uma das fcírmas 

?/ = ^i-f Aí^ — ,yi)--|-.. .-^(a: — a;i)e[a; — asi, y—yi\ 
ou 

x = Xi~-k{x — XK)--\-.. .-)-(> — ^i)e[a; — £C|, y — yi\ 

onde H representa uma funeção inteira de x — x^ e y — yi., e depois a uma das formas 

y — yi=-{x — xi)'i^[x — xi, y-yi], 
ou 

x-xi = (y-yi)'\i[x — xi,y-yi]. 



236 



onde ò representa uma funcção racional de a; — an e y — _yi, cujo denominador, no caso da 
primeira equação, só contém .y — ,'/i e não é nullo quando i/ = yi, e, no caso do segundo, só 
contém x — «i e não é nullo quando x = x\. 

Basta agora pôr na primeira equação x — a;i = X, ou na segunda y — y\ = Y, para as re- 
duzir á forma que tem a segunda das equações (1). 

Posto isto, para desenvolver em série a funcção <(, definida pela equação (1), indicou o 
auctor da memoria a que nos estamos referindo dois methodos. No primeiro fez uso da fór- 
mula de Lagrange, de que deu uma nova demonstração e de que fez um estudo profundo. 
No segundo fez uso da fórmula (2), da qual deu também uma nova demonstração, fundada na 
doutrina das derivações de Arbogast. 

4. Terminaremos esta nota mencionando ainda, a respeito da questão considerada, um 
trabalho de Stolz, professor na Universidade de Innsbruck, publicado no t. xcv dos Sitzungx- 
herichte der Keiserlichen Akademie der Wissenschaften zii Wien, no qual, referindo-se a um 
trabalho do Dr. Weiss, intitulado Entu-kkhimien zum Lai/ranf/e'.icken Eeversions theorem, fez 
notar que uma formula por este idtimo considerada está contida na fórmula (2), por nós an- 
teriormente dada; e um trabalho, em lingua russa, publicado recentemente por Bougaiev, 
professor na Universidade de Woscow, no t. xxn de Bidlethn da Sociedade mathematica de 
MoKcow, no qual é apresentada uma nova demonstração da fórmula (4) e se indica a relação 
dVsta fórmula com a fórmula (2). 



ix: 



D[V[LOPP[iNÍ m FDNCÍiS miíM ftãUM OE Mil [SPtt 



(Journal fur cUe reine vuid angewandte Mathematik, 
gegrundet von Crelle-Berlin 1903. Band CXXV) 



/ 



SDR LE DÉYELOPPEMENT DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQDES DE SECONDE ESPÈCE 
EB SÉRIE TRIGONOMÉTRIQDE 



1. On peut faire dépendre Tétude dea fonetions donblement périodiques de secunde es- 
pèce, dont les multiplieateui's sont c et c', de Tétiide d'autres dont Tun des multiplicateurs 
est égal à Tunité. En considérant donc ce dernier cas, soit f{x) une fonction donnée qui sa- 
tisfasse aux eonditions 

f{x + 2co) =f{x), f{x + 2(«') = cf{x). 

On sait développer cette fonction en série trigonométrique, valable dans tout le plan de 
représentation de la variable x, et aussi en série valable dans la zone comprise entre deux 
droites dont rinclinaison sur Taxe est égale à Targument de lo. Bviot et Bouquet, dans leur 
ouvrage sur ia Théorie des fonetions elliptiques, ont employé, pour obtenir ces développements 
dans le cas particulier oii c — — 1, la théorie des résidus de (Aiuchy. Nous alloiis démontrer 
qu'on peut traiter cette question dans le cas general, oíi c est un nombre quelconque, au 
moyen de la même théorie. Nous partirons, dans ce but, de Tintégrale 




qui nous a servi déjà pour obtenir la formule de Fonrier, dans un artiele publié dans le 
tome cxii, p. 97, de ce Journal (•); et nous obtiendrons de cette manière non seulement les 



(') Veja-se a pag. 157 do piesi^iitc volume. 



240 



resultais connus, mais encore quelques développements, valables dans un demi-plan, qui, à 
(.•e que nous eroyons, n'ont pas encore été remarques. Nous supposerons que la fonction f{x) 
ait uu seul pôle dans chaque parallélogramme des póriodes, et que ce pôle soit simple. Ou 
pourrait traiter au moyen de la même analyse le eas general ou dans chaque parallélogramme 
il existe un nombre quelconque de pôles, avec un degré quelconque de multiplicité; mais on 
n'en a pas besoin, parce qu'on peut réduire ce cas à l'antérieur au moyen de la formule de 
décomposition de Hermite. 

S. Considérons dans le plan de représentation de x un parallélogramme ABCD dont le 
oôté DA represente géométriquement, en grandeur et en direction, la quantité 2w, et lont le 
côtó AB represente Ia quantité 2 (a + jil + 1 ) o/, « et [i étant deux nombres entiers positifs 
quelconques. 

Dans ce parallélogramme la fonction /(«) a a + fl + 1 pôles, qu'oji peut représenter par 



a — 2a(i)', a — 2 (a — l)(i)', ..., a, rt+2(o', «4-4o)', ..., « + 2Pu)'; 



et, si Ton represente par k le résidu de la fonction par rapport au pôle a, ces résidus par 
rapport aux pôles que contient le parallélogramme considere, sont respectivement 

c-^k, c-i^-^-OA-, ..., k,ck, ..., eh. 

Cela pose, considérons Tintégrale U prise le long du contour S du parallélogi'amme ABCD 
considere; et soit x Taffixe d'un point de Tintérieur de ce parallélogramme. 

On trouve, au moyen du théorème fondamental de la tliéorie des résidus, en remarquant 
que les résidus de la fonction 

i-z i-.r' 



par rapport ;i ses pôles as et a + 2»i(»', sont 



(a-j-áwíiij') 






— («.+2»!»)') — 

e'" -e'" 



241 



la formule suivante : 



/» = õ 



1 j f{z)e'"dz i^ '\T^ 



(a+2TOo.') 



22 to I '"^ '-^ <0 

t/ e '" — e '" 



i: Â:c" 



m = — a — (a+2?/i"i') 



— c'" 



qui, à cause de régalité 



— (a+âm..)') 



— («+2ffi(./) 



7=i = T + T*^°^Í7^*-"--"""'^' 



donne 



ir.z i-3 " "^ 



/' (aj) = TT— I '^■^--^ ?— — -7^ ^ C"' I 1 + í cot -jr^ (x — a — 2nM)') 

•' ^ ' 2(0 I í-z i-a: 2co ... I %n ' 



Si Ton remarque maintenant que les parties de Tintégrale, qui entre dans cette formule, 
qui correspondent aux droites AB et DC sont égales, on voit qu'on peut écrire 



f{^)- 



f{z)e"^ dz j f{z)e"' dz 

i-.Z i-X I Í~Z ir^ 



— ^— S c'" 1 1 + 1 cot -^ (x — a — 2wi(»') 



2.0 



Supposons maintenant, pour tixer les idées, que Fargument de (o suit compris enti"e 

1^ ^i -^- Nous avons déjà déniontré dans ee Journal (tome cxii, p. llil) (') qu'on a alors, 

pour tous les points z de la droite DA, 



KX tl-X 

' 9;-- ' -íiVr 



híz i-x i-z 2i-z ' 3í- 
e"> —e'" e '" e "' e 



(') Veja-se na pag. 197 do picsente volume. 



242 



et, pour tous Ics points s de la di'oite C']}, 





P izz iizz 


1 

i-z i-x 


1 ^e- e'" 
i-x ' tir.x 'Mr.x 


e '" — e "' 


_e"' e '" e '" 



Doiie nous avons 



n = — cc 



'^ .^^ ,« = ? r ^ T 

/■(a;)= H A„e"' — -^ il r'" 1 + ("cot ^^fa?— « — 2»ío/) , 



A„ = -;^ Çf{z)e '" dz, 



3. Nous allons maintenant cliercher les valeurs des intégrales qui entrent dans les ex- 
pressiona de A„ et de A_,i. 

Supposons, pour fixei" les idées, que la partie imaginaire de o/ soit positive, et considérons 
le parallélogramme DAA'D' dont les côtés DA et AA' sont égaux à 2o) et 2(o' et qui con- 
tient à Fintérieur le pôle a — 2cí(h'. On trouve, en appiiquant le théorème fondamental de la 
théorie des residus, 



j'f{s)e '" dz + ff{z)e '" dz+ff(z)c '" dz + ffiz)e "' dz 

DA Â.V Ali IID 

II ir. , „ , ■"'-" 



2izc-"ke 



= 2Í-C-" kq^»" e 



€n posant j = e '" ; mais 



//( 



m-z 

z) e '" dz= I f{z) I 



dz. 



-^:(.+2,„') 



f f(z)e '•• dz = J'f(.z-\-2in)e "' " "'" dz = q--»cff{z)e •" dz; 



243 



donc 



et par conséquent 



niT.z 



f(z)e "> dz = -^^''-^—% 



. ÍtJc q 



Ina ^—a — 



10 1 _ c^--'* 

On trouve de la même manière, en considérant le parai lélogramme CBBC, dont les côtés 
C'B' et B'B sont égals à 2o) et 2(o' et qui contient à rintérieur le pôle rt + 2|ilo)', 



et par uonséquBHt 



CB ^ '-a 



A_„ = . V— ( 

O) 1 _ cjâíi 



Nous avons donc la formule suivante 



/H = — 



ÍTk\c—^ í q^\" '^ o2(n-l;cí -^ (x—a 



í=l l-cq-'^" 



(l) / 9 ft, , f ^2(«-l)(l + ?) 






S c'" 1 + í" tot — ^'- ('.r — a — 2/íí(i)') , 
= — '/ L -'" I 



iaquelle a lieu pour toutes les valeurs de x repré.sentées par les points d'ane zone iiifinie eom- 
l)rise entre les droites DA et CB. 

■I. Nous allons considérer les conséquenoes de cette formule. Mais, avant de le faire, 
nous introduirons, pour abréger le langage, les notations suivantes. Nous re|)résentero:is par 
K„, la droite qui passe par le pôle « -•- 2)/i(i/ et qui fait un angle égal à Targunient de o) avec 
Taxe des abscisses; et nous représenterons par (K„,, z) celui des deniiplans qu'on obtient 



244 



quand on eoiipe le plan de représentation de la víiriable x par la droite K,,,, qui eontient le 
point £. 

Cela pose, la premiÍTe conséquence qu'on tire de la formule (1.) est la formule suivante, 
qu'on obtient en y posant <x = () et |3 = 0: 

ni- ni- 

— (x—n) „ .x—d) 

■ 7 r 00 III ' 05 '5») (11 1*71 1 

(2.) f(x) = 1 5--r 1 ^ — ^r— 1-rícot-r— (íc— a) , 

laquelle a lieu daiis ia zone eomprise entre les droites K_( et K|. 

De cette formule on tire une autre formule importante, en ayant égard au développeraent 
suivant: 

k . 2/r , , 'ii- , 

ir - 1 1 — ^x—a) — (x—a) — (x—a) 

-5- l+icot-^-(a;— aj = = 1 + c '" + e '" +e"' +••., 

2 L 2io J ±^ (^_^j 

í — e'" 

lequel a lieu dans le demi-plan (Ko, a + 2o)'), si Ton continue à supposer que Targument de 
(O soit compris entre 5" ^^ "^- Cette autre formule est la suivante : 



nir. , ^ niz , 
irl- r "^ r — {3:— 11) ** ra-» (x — a) 

valable dans la zone comprise entre les droites Ko et Kj. 
i-r 
En ponsant c = e '" et en ayant égard aux relations 



1 _ cn--^" z ' 

2 1 sin ^j— [V + 2nin) 



~ (2n../— r) 

ç2nc e^-'" 



1 _ CO-" r. ' 

2 1 sin =— (v — 2n nV) 



{x—a) 



1 + i cot -^ (íf — a) = t - 



sin -^{x — a) 



245 



on peut encore écrire les formules q«'on vient d'obtenir de la manière suivante: 



/w=ê 



:. e- 

>i = 



i-v — (a;— a 4-1./) 



kv (x-a—m') — -- (x-a) 



+ S e 



2^ ^ 



■ + • 



sin^^(i; + 2;i(o') " ' sin ■-^- fv — 2jí(i)') sin^'— (a; — «) 

2(1) 2w ' Zkí _ 



(4.) 



/(-) = -^ 



(x-<i+'W) 



ix—a) 



'tm ^ 



°° sin -^ Cv + 2nm') sin —^ (x — a) 

oii c = + 1, quand n est nu! ou positif, et í = — 1, quand n est négatif; et 



" '^ sin -^-~ { V + 2nm') 

On tire de cette dernière formule, en y considérant v comme variable et en posant 
/) (x, v) = k-^f(x, v), 



les égalités 



■'■ (x—n) 

fi{x,v + 2t<^)=fi(x,v), /i («, V + 2(o'j = e "' fi(x,v). 



Donc fi (x, v) est aussi une fonction doublement périodique de v, de seconde espèce, dont 

- — {x-a) 
les raultiplicateurs sont 1 et e '" , dont les périodes sont encore 2o) et 2(o', et dont les 

pôles sont les noiubres 2í!(i)'. La formule (5.) fait aussi voir que le résidu de /i {x,v) par rap- 

porf au pôle O est égal h Tunité. Kous avons donc encore la formule 



(5'.) 



f(^ = í^ 



{X—(l) 



e '" 



(v—w') 



' sin -7^ (x — a + 2h(i)') 



valable pour toutes les valeurs de x et pour les valeurs de v représentées par les points de 
la zone comprise entre deux droites qui passent par les points d'affixe O e 2(i)' et dont l'incli- 



246 



iiaison sur Taxe des abscisses est égale à rargiiment de K; et la formule 



(4'.) 



r.k 



/^^=2., 



t-v -1 
2m 



in — (« — a + 2»ii)') sin— -V 
2o) ^(o _ 



valable aussi puiir toiítes les valeurs de x et poiír les valeurs de v représentées par les points 
de la zone comprise entre deux parallèles aux droites antérieures, menées par les points 
d'affixe - iV et 2m'. 

Les formules qu'on vient d'obtenir sont equivalentes à des formules connues; nous ne 
nous y arrêterons donc plus, et nous passons à considérer celles qui résultent de (1.) en y 
posant a = co, ou ít>=cc. 

5. Soit 6 Targument de cq^". Un a alors 



1 _ cq^« I = [ 1 — I cj^» 1 (cos e + i" sin 6) I = ^/ 1 - 2 I c 1 1 g p" cos 6 +\c\^\q\ 



>Vl-2\c\\q\^"+\cf\q\^", 



et par oouséquent 



l-c22"jí>[l-|c||5p-'f 



1 _ cq^n I > I 1 



I q |.« 



Mais, \q\ étant < 1, nous pouvons donner à n; une valeur assez grande pour qu'on ait 
,c\\q'"\<\, quand h ^Tni ; et alors on a 



(A.) 



í-cq^"\yl-]c\\q'-^">l-\c\\qf''> 



qtiaud II > n\. 

(J>'la pose, oonsidórons la série 



C __ V 7 (I) ' 

«=1 l~cq-'* ' 



247 



qui entre dans la formule (1.), laquelle peut être décomposée dans les soiiunes 



ân c 



1 — cq 



-ix—a) 

La première somme tend vers — ; 5 — quand 3 tend vers rintiui. 

' \—cq- 

Au moyen de Finégalité (A.) on voit que les valeurs des modules des termes de la deu- 

xième somme sont inférieures aux valeurs des termes correspondantes de la progression 

géométrique 

/>(n-l )(!+?) I I -'}}^{;x-a)\ 
1 e '" 



dont la raison est égale à 



1 - 1 c I a 1-'" 



'91 k 1 ^^11 I (x—a) 

j2(l-rii) I I g ... 



et, comme on peut donner à ,3' une valeur assez grande pour qu'on ait 

I a/J 1 o\ I 1 -{x—a)\ 

|ç2(1+h)| |e '" |<1 

quand j5 > fl', on voit aussi que la somme de cette progression est alors égale à 



«1'- , _ J 



[l_|c||,^|2«,][i_ij;2(l + '?)[, o,(^ "> 



€t qu'elle tend vers zero quand ^í tend vers Tinfini. 
Kous avons donc 



--{x-a)\ 
lim IS| = |^ ^i. 



248 



!Si Tun remarque inaiiiteiiant que \c(/-i'^'^^ tend vers zéru quand jil tend vers l'infini, lors 
qu'on a |c2-!<l, on tire de la formule (1.), en y posant cí = et ,3 = co, le développement 
suivant: 



(6.) 



/(^) = - 



r "^1 
L-oi- 






i-k "^ 

^ ÍI c"' I 1 4-tcot -^- (íc — a — '2nan') 

2(1) ,„ = o I ^'" 



valable daus le demi-plan (K_(, cc) et applicabie quand [ c | < j j j "^. 

En posant c=e '" , on peut éerire eette formule de la manière suivante: 



(7-) /(-) = Í' 



■ + e 



-2^^-^-"' 



sin ^^ {v + 2íio/) 



sin -^r— (cc — a — Zho) ) 
2to 



6. Pour déterminer les valeurs qu'on peut donner à v dans cette formule, on doit re- 
marquer que rinégalité \cq^\ < 1 peut être ócrite de la manière suivante: 



-{V-%n') 



<1, 



ou, en représentant par 6, 6' et t les argiiments de o, m et v, 

I V { sin ( ■: — 6) < 2 j co' \ sin (6' — 9). 



Donc la distance du point d'affixe v k la droite qui passe par Torigine et fait un angie 
égal à 6 avec Taxe des abscisses, doit être plus petite que la distance du point d'affixe 2o/ 
:i la même droite. En représentant done par L„ la droite qui passe par le point d'affixe 2?ío)' 
et qiii fait Fangle 6 avec Taxe des abseisses, on peut dire que la formule antérieure est vala- 
ble dans le demi-plan (L|, — x). On suppose toujours 6 eompris entre zr ^^ '^• 

Dans le cas parlimilier oii (t s'évaiiouit, le développement précédent est applicabie dans 
la région du jilan sitiiée aii-dessus de K^i, ])our ce qui concerne x, et dans la région du plan 
située au-dessoiis de Li, pour ce (pii concerne r. 

7. On a vu déjà (n." 4i que /j-'/i,r) est une fonction doublement périodique de i', dont 

les périodes sont 2m et 2(..', les miiltiplicateurs 1 et r. '" , et les pôles les nombres '2mn' . 

On a vu aussi que le résidu de cette fonction par rajiport au pHle U est égal à 1. Si Ton pose 



249 



tlonc dans la formule antérieure « = et on eliaiií^e ensuite x en d et r en x— a, on obtient 
la formule 



(8-) /(»^) = -£ 



(«— (i) 



sm -j^ (a; — a-\- Inm 



■MT. , - 

Kr . {x—a—«} ) 

%^, V __1__J! 

" ^ sin -^— (f — 2«o)') 



valable dans le demi-iilan (L^i, cc), pour ce qni c-oncerne v, et dans le demi-plan (Ki, — x'i, 
pour ce qui concerne x. 

8. Considérons le cas particiilier ou Ton a [c|<l. Alors la formule (6.) peut encore 
être écrite de la manière suivante 



izk 1 

L2ã 



(X-íl) 



'^ -^ <•> L2(l-c) ' „ = il-cí-^» 2 ,„==c 



= , 1 

' cot -T — (x — a — 'JiiHD ) I , 



ou encore, en posant c = e '" 



(mm^^y- 



1 



{x-a+u,') 



+ -pr— il e '" t-ot^— (x—a—2n(i)'j. 



2 sin ^ " sin ^:^ (v + 2n(o') 

-SC) 2o) 

Cette dernière formule est applicable dans le demi-plan (Lo, — oc). 

O. Nous allons maintenant clierclier les formules qui résultent de (1.) en y posant a= a. 
Considérons, pour cela, la série 

« „2{n-l)c< ~{x~,i) 



On vo't, en premier lieu, comme dans le cas de la série 8, considérée antérieurement, 
qu'on a 

|l_cy-2«|>||c||y|-í"_l|. 

Mais, comme ] yl < 1, on peut donner à »■> une valeur qui fasse 

\c\\q j-*" > 1 



250 

quand w5>"-> ®' alors nous avons 

|l_cg-2''|>|c||2]-2"2_l, 

quand tt^ "2. 

Cela pose, dccomposons la série s dans les sommes 

nj-l „2(>í— l)C( —(.;;_(() 
V _^ p "> 

n-=l 1— C^ -" 

et 

,3{n-i)'j- —IX -a) 



V ? 



« = «. l-cj--" 

— te— a) 
La première somme tend vers la limite ^^, quand a teiid vers i'infini. 

Les valeurs des modules des termes de la deuxième somme sont inférieures aux valeurs 
des termes correspondants de la progressioii géométrique 



V Al 

III \"2n; 1 
n=ii3 \c\\q I" - — 1 



2(71-1)0-, I '^(x-a) 
e "' 



doiit la raison est 

. I —ix—u)\ 

ki 1^ |. 

(Ju peut doiif doiiiier ;\ a une valeur assez grande pour qu'on ait 

. „ I —{x-a)\ 
\q\^'' \e"' |<1 

<juand (í^a'; et ahirs lo module de la somme considcrée será intericur :i 

,„|2{«,-l)«L,o '* "'1 



I -(.-a)']' 



et tend, par eonséquent, vers zero ([uand a tend vers Tinfiui. 



251 



{x-a) 



Done la somme x tend vers la limite 3-, quand <í terd vers rinfini. 

1 — ca - 



10. Nous pouvons mainteiiant voir ce qui arrivera lorsqu'on pose en (1.) íi = O, 

= X. 

\." cas. Soit lc|> 1. On a alors aussi |cl>J5'|-; et la formule (1.) donne la suivante: 



(11. 



f(x) = 1 , ,., e — 



-^ ^ c~"' \\ ^ i cot -^ (3; — a -r 2w)(i)') , 



valable dans le demi-plan (Ki, — cc). 

On peut ócrire encore cette formule de la manière suivante: 



(12.) m=^ 



■2o7 V 
11=1 



+ c 



ãií; (''-") s'^ 



sin ^í^lf — 2m>i') 
2(0 



sin -^ (a; — a "T '2mm' ) 



Cette formule est valable dans le demi-plan (Lo, cc', pour ce qui concerne v\ et dans le 
demi-plan (K|, — co), pour ce qui concerne x. 

On peut enfin écrire la formule (11.) de la manière suivante: 



/(^) = -9^« ' 



2sin^ 



-^ il e '" Q.oi-^(x — a-f2íí<i)'). 
Zío — ii 2í\\ 



2.''"« cas. Si I c I < 1 et aussi c > ' q '-, la formule (1.) donne, en y posant a = cc, 3 = 0, 
et en ayant égard à Tégalité 



1— C ^ m=-!Z ^ 



i-(c-« + c-('-'-') + ...+ l) + C + c2 + ... 



= l(c-'-< + c-('^-«) + ... + l) + ^, 



2õ2 



tonimle suivantt 



f(x) = í: í--^^,-e — -õ— - c " icot-jr- (X — a+2«(o 



>-lh 



valable dans le demi-plan (Ki, — oo). 

()n peut encore écrire cette formule de la manirre suivante: 






{x~a-o,') 



11=0 



%:'^-''^"^ 



(t'+(./) 



sin -r^ (« — 2íi(i)') 



sin -^ {x — a+ JiH») 



ou i' represente laffixe d'un point quelconque de la zone eoniprise entre les droites Ln et L_i. 
Oette formule coincide avec (8.); elle est donc applicable dans une aire plus large, pour ce qui 
concerne v, que celle que donne la méthode au moyen de laquelle on vient de la trouver. 

11. ^upposons maintenant qu'on ait 

\q\-^>\c\>\q\K 

La formule (1.) donne alors 



i-k 



f(x) = — ^ H c'" 1 H- í' cot -—- (X — a — 27íi(i)' ) , 



jiirsque I c I > 1 ; et 



f(x) = — Ti — i^ c'" i cot -,-- (x — a — 2»i(»' ) — 1 



iorsque j c| < 1. 

Ces développements sont valaMes dans toiít le plan de représentaticm de la variable x et 
peuvent encore étre écrits de la inanicre suivante: 






f ' '\ 



âiii -~ (x — a — 2noi') 



253 



et 



f^"'^=2^' 



tJc ,2;;,(* — «) 



-jr— (x — a — 2no)') 



Dans la première formule on doit donner à v les valeurs représentées par les points de 
la zone comprise entre les droites Lo et Li, et dans la deuxième les valeurs représentées par 
les points de la zone comprise entre les droites Lo et L_i. 

La première de ees formules coincide avec (5'.). La deuxième ne diíFère pas essentiel- 
lement de la première, puisqu'on passe de la deuxième à la première au moyen de la formule 

)'- , ' 

(x—a) 

/(x, r) = e '" f(x, V — 2ci)'}. 

12. Considérons maintenant le cas oii |cj = 1. La formule fl.) donne alors, en y posant 
et = oc et ,3 ^ GO, 

/(a;) = — lim |_Íll._J_ 1 c'» (l+ii:ot^(x — a — 2mm'))l. 

"> c=oo Ll-C 2 m = --., V 2o, VJ 

Dans le cas partieulier oíi c = — 1 , on a, en supposant que a soit un nombre entier paír, 
égal à 2t, 

f(x) = ^ 1 — liin 1 (— 1 )"' il-i cot ^— (x — a~ 2nn»')) , 

iíOJ L í=xm = — 2í \ ^W ' yJ 

et, en supposant a=2í-^l, 

i~k \ " ' ~ \ I 

f(x) = -l^\—l — lim 1 (—1)"' íl+iQot^íx—a — 2»ío)') ) . 

^Ci) L l = »m=_(2(-l) . -í") / I 

Ces deux formules donnent, en réunissant, dans cliaeune, les termes consécutifs, deux à 
deux, 

<u' 

•_^ -7. » 31^ '^ — 

d.-}.) f(x)+ = + — - 



sin — — (x — a — 2»j(i)') sin -^r— (x—a — 2(m-\-l) m) 
A» 2o) 



oii m est un nombre poir dans lo cas du signe supérieur et impair dans le cas du signe in- 
férieur. 



254 



La preinière des formules considérées donne encore, en réunissant les termes consécutifs, 
deux à deux, excepté oeiíii qui correspond à ot = 0, 



\f(^) 



-k[ X , , Z 

= -r— cot ^r— (a; — a) + 1^ 

-I') I- "■ÍM ,1^1 



siu -^ \x — a — 2(2n — 1) o/] sin —r— \x—a — 4)ho'] 



(14.) 



sin—^^a; — a-r2(2M — l)(»'l sin-r— [a; — a + 4wo)'l 



13. On ])eut encore déduire de (1.) un autre développement de /(íc), applicable auss 
lorsque c = — 1. í^n effet, si Ton y pose « = [5, il vient 



i^kw . 2,^ '/^'«-*>^ "Ifc^-") 2(.+i)C^ r("-'^(*+^' -Tr(--«) 



/(a;) = r-lf — -+^2. V 



» = i l + g2- 



1 (— 1 j»' + -- í: (—1 )"' cot ^r- {X ~a — •2mn'), 



2(u «, J'. 



et, en posant ensiiite « = 'X, 



::Â; 



/{*■') = 7í— li™ ^ (— 1 )'" t'ot ^ (a; — a — •Jnuo'). 



c/ = (X iu=^ — C( 



M. On peut clianger les roles des périodes 2m et 2(i)' dans la formule (1.) et dans celles 
qui en découlent, ce qui conduit à un nouveau groupe de formules, comme on va voir. 
Considérons Ia fonction 



F(x) = /-(a-)c 2...'^ 



ou ti. = losr c. 



<)n a, en posant ci=e"' , 

««) 

F (x + 2(o') = F (x), F (a; - 2io) = e^, ' F (x) = c^ V (x). 



255 

Si Ton applique maintenant la formule (1.) à la fonction F(íc) et Ton remarque que son 

ua 
résidu par rapport au pôle a est égal à ke -'" , on trouve la formule suivante: 



1 '^='^ r . - n 

-— r cl" 1 + 1 cot -jr— (a; — a -f 2»uo) 

2 m=-rj. L Jiu J 



íi=l 1 — c?, 



Dans cette formule on a çi = e '" , et par conséquent j Ji | < 1. 

On tire de cette formule des conséquences analogues à celles qu'on tire de la formule (l.) 

Considérons, en particulier, le cas oíi c = — 1, et par conséquent u = i~. 

Alors I Cl 1 1 2i I = 1 ; on aura donc 

I íi |~- > I Cl j > Ij-i 1'-, |ci]>l. 

Nous pouvons donc appliquer la formule (B.), qui donne 

irJx—a) ^ 
f{x) = — n^ e "'" — c™ 1 "i- i cot ^r^ (a; — a-\-2mm)\ 



(16.) /(«') = Ã ^- 



2oj ,„=_3, ... , o \ 

sm — -y [x — a + 2mm) 

On trouve cette formule dans Touvrage de Briot et liouquet fp. 287). 

15. Nous ne terminerons pas ce que nous avons ici à dire sur le développement des fon- 
ctions doublement périodiques de seconde espèce en série trigonométrique sans remarquer que 
de 1'égalité (1 ) et de ce qu'on a dit dans les n.'* 5 et !• on conclut que la formule 



/(»0 = — 



V J, g "> + il i 5 e '" 

-In 



n = Ol— cj"™ n=l l — cq^ 

-•k K r, , . - , „ , I 

r — _ c"' l-rtcotT; — (x — rt — 2»í<i) j , 

5") „,__„' I. 2to 



256 



oíi ííi, na, ít', y sont des nombres qu'on determine d'après ce qu'on a dit dans les n/'* men- 
tionnés, represente fiai) avec un dégré d'approximation pliis grand que le iionibre donné par 
Texpression 

ri_jci|í|2«.][i_!í|2(i+?')]|r^^"""'! ii-ic|i5i2«^i[i-ií:^'']|.^''~"1 

16. Poiír faire une applieation des formules precedentes, coiisidérons la fonction, étudiée 
par Jacohi et Hermite 

^'((y)%{x + v) 

qui satisfait aux nonditions 

/(a; + 2K)=/(a;), 
izv 

et admet le pôle — íK' dans un parallélogramme des périodes, auquel correspond le résidu 



k = e 
En posant alors dans la formule (5.) 






rit = K, (»' = íK', c = e "^ , 5 = e "^ , <i = — íK', 

on obtient la formule 



'^>)=2kJ 



HIZX 



'sm~{v + 2niK') 



valable dans tout le plan, pour ce qui concerne v, et dans la zone eomprise entre les droites 
Ko et Kl, qui passent par les pôles — iK' et iK' et dont Tinclinaison sur l'axe des abscisses 
est égale à Targuraent de K, pour ce qui concerne x. 

La formule qu'on vient dobtenir fut donnóe par Hermite dans son beau et important Mé- 
moire — Sur rjitelqurs appKciHons deu fonctions ellijiiiqws (1880, p. U^). 



257 



Appliquons la formule (7.; ;i la même fonction; si Toii considere maintenant le parallélo- 
gramtne des périodes qiii oontient le pôle íK', et que Fon pose, par conséquent 



il vient 



fi^) = 



2K 



k = e 



2K 



ni-x 



" " sin -j^ (v -r 2niK') 



■ + e 



a = íK', 



2lv V 

« = 



(2»4-l)?- 



(v-iK') 



sm-^[x-(2n + l)iK'] 



Cette formule est applieable aux valeurs de .'• représentées par les points clu demi-plan 
situe au-dessus de la droite K_i (Targument de K étant compris entre — et -^-j . Les va- 
leurs qii'on peut attribuer à v dans la mcme formule sont représeiitées par les points du 
demi-plan situe au-dessous de Ia droite Li, qui passe par le pôle 2iK' et fait un angle égal à 
Targument de K avec Taxe des abscisses. 

Si Ton applique à la même fonction la formule (õ'.) on trouve, en posant a = — iK', 



f(^)- 



i-x 
W 



(2».+ l)/- 



v-iK') 



2K 



'sin^[it; + (2n-{-l)zK'] 



valable pour toutes les valeurs de a-, et pour les valeurs de i' représentées par les points de 
la zone coraprise entre la droite Li et la parallèle Lo, qui passe par le point d'affixe 0. 
La formule (8.) donne enfin, en posant « = — íK', 



f{^) = 



2K 



,2K N' 



(â«+i)/- 



2K 



^ ir+iií') 



ni-x 



-:^[oo + (2« -f 1) ÍK'] " -° sin -^{v- 2,hK') 



2K 



valable dans le demi-plan (L_i, x), pour cu qui concerne v, et dans le demi-plan (Ki, — x), 
pour ce qui concerne x. 



x 



IPOmiENIOS SIOGfiíPlOS SOBfiE OíiIEL ÍUGUSTO Oí SILI/Í 



(Boletim da Direcção Gei-al de Instrucção Publica 
— Lisboa, 1902, t. I) 



APONTAMENTOS BIOGRAPHICOS SOBRE DANIEL AUGUSTO DA SILVA 



Fica bem a este Boletii», publicado por uma alta Repartição do Estado, commemorar nas 
suas paginas os homens illustres do paiz que, com trabalhos de alto valor, honraram alguns 
dos estabelecimentos que d'ella dependem. E n'este caso está o sábio eminente, cujo nome 
vimos de escrever, o qual illustrou, com trabalhos cheios de originalidade e profundeza de 
vistas, as collecções scientiíicas da Academia Real das Sciencias de Lisboa, os quaes lhe dão 
direito ao primeiro logar entre os geómetras que Portugal teve no seu tempo, e que, apesar 
d'isso, parece ir caindo em um lamentável e injusto esquecimento. E a mim, que tive por 
elle a veneraçiio e o respeito que o seu alto mérito e as suas grandes virtudes impunham a 
quem se aproximava d'elle, e que considero como a maior das honras da minha vida a con- 
sideração e estima que me consagrou no principio da minha modesta carreira scientifica, é-me 
agradável concorrer para esta commemorayão, sentindo todavia que se não encarregue d'esta 
missão pessoa de mais engenho, que possa estudar com mais profundeza e descrever com 
maior brilho a sua importante obra scientifica. 



Daniel Augusto da Silva nasceu em Lisboa, na freguesia dos Martyres, em 16 de maio 
de 1814, e era filho de Roberto José da Silva e de D. Maria do Patrocinio e Silva, e irmão 
do Conselheiro Carlos Bento da Silva, que foi por varias vezes Ministro dos Negócios da Fa- 
zenda em situações politicas presididas pelo Duque de Ávila e Bolama. 

Em 1829 assentou praça na companhia dos guardas-marinhas, corpo que, para o serviço 
da Armada, Jlartinho de Mello, seguindo uma ideia anterior do grande Marquez de Pombal, 
creara e organizara militarmente em 1782. 



262 



Existiam nessa occasião em Lisboa tluas escolas, de cujos programmas fazia parte a náu- 
tica: uma, denominada Academia Real de Marinha, fora creada em O de agosto de 1779, e 
a outra, denominada Academia Real dos Guardas-Marinhas, fOra creada era 1 de abril de 
1796 ('). Na primeira, que mais tarde foi transformada na actual Escola Polytechnica, e que 
preparava não só para a carreira naval mas ainda para diversas carreiras militares e civis, 
ensinavam-se, em um curso de três annos, as mathematicas puras e applicadas e a arte de 
navegar; na segunda, que foi a antecessora da actual Escola Naval, ensinavam-se, em curso 
também de três annos, as sciencias náuticas e militares de que carecem os officiaes da Ar- 
mada e a parte indispensável das sciencias auxiliares do estudo das anteriores. 

Daniel da Silva frequentou estas Academias, terminando o curso da primeira em 1832 e 
o da segunda em 183Õ, e obtendo na primeira prémios no primeiro e segundo anno e dis- 
tincção no terceiro. Entretanto, foi promovido a guarda-marinlia em 25 de agosto de J833, 
esteve embarcado na corveta Elka desde 25 de janeiro até 5 de novembro de 1834 e foi 
empregado na commissão de observação das marés desde 17 de maio até 18 de julho de 
1835. 

O cm'so de Daniel da Silva na Academia de Maiúnha foi, como já vimos, dos mais dis- 
tinctos, revelando-se nelle pela primeira vez a notável aptidão do joven estudante para as 
mathematicas, que desde essa occasiào ficaram sendo as sciencias da sua predilecção. Dese- 
jando por isso ampliar os seus conhecimentos sobre estas sciencias, resolveu ir frequentar a 
faculdade de niathematica da Universidade de Coimbra, onde ainda estavam vivas as tradi- 
ções de Monteiro da Rocha, José Anastácio da Cunha, Manuel Pedro de Mello e outros, que 
tanta honra dei'am a esta veneranda instituição. 

Obtida para esse fim a necessária auctorizaçào do Governo, que lhe foi concedida por 
portaria de 4 de setembro de 1835, fez n'este anno os exames preparatórios que a lei vigente 
exigia e matriculou-se em outubro de 1836 no primeiro anuo da referida faculdade. 

Fazia-se n'esse tempo a formatura em mathematica em quatro annos. Estudava-se no 
primeiro anno a arithmetica, a geometria elementar e a trigonometria, no segundo a álgebra, 
o calculo infinitesimal e a geometria analytica, no terceiro a mecânica e no quarto a astro- 
nomia, a hydraulica e a mecânica celeste; e simultaneamente, na faculdade de philosophia, 
a chimica, a physica, a botânica e a zoologia. No fim do quarto anno do curso tomava-se o 
grau de bacharel e, no mesmo anno, fazia-se depois acto de formatura, que vei'sava sobre 
todas as doutrinas matliematicas do curso. 

Daniel da Silva seguiu com regularidade os seus estudos, e fez acto de formatura em 16 
de julho de 1839, tendo por professores os sábios doutores Rodrigo Ribeiro de Sousa Pinto, 
que d'elle me falou algumas vezes com grande elogio, Francisco de Castro Fi'eire, que se 



(') Veja-se a intcresâante Nota sobre os estabelecimentos de instrucção naval eiii Poriuyal, publicada em 
18112 por Vicente M. M. C. Almeida d'Kça. 



263 



referiu a elle cora justo louvor na sua Memoria histórica da faculdade de mathematica (Coim- 
bra, 1872, p. 116), Thomás de Aquino, Agostinho José Pinto de Almeida, etc. 

No seu curso da Universidade de Coimbra continuou o esperançoso estudante a revelar 
os dotes de espirito que tinham já tornado notável o seu curso na Academia Real de Marinha. 
Obteve partidos de 50)5000 réis no primeiro e segundo íinno do curso e, nas informações 
iinaes, que nesse tempo eram reguladas pela carta regia de 3 de junho de 1782, foi qualifi- 
cado, em conselho da faculdade de mathematica de 29 de julho de 1839, Muito bom por três 
votos e Bom t^ov dois. No terceiro anno do curso não obteve classificação alguma, porque 
foi comprehendido na graça de perdão de acto concedido por carta de lei de 9 de abril de 
1838. 

Terminada com tão felizes auspicies a sua formatura em mathematica, voltou para Lisboa 
a retomar o seu logar na companhia dos giiardas-marinhas, sendo depois promovido a segundo 
tenente da armada em 26 de novembro de 1840. 

A vida socegada do professor tinha porém para elle mais attractivos e estava mais em 
harmonia com a sua débil constituição physica do que a vida encantadora, mas mais agitada, 
do marinheiro; e, a ver novos continentes e novos mares, outros povos e outras raças, pre- 
feriu elle conhecer novos capítulos e novos ramos das sciencias da sua predilecção. Por isso, 
quando, pelo decreto de 19 de maio de 1845, foi transformada a Academia dos Guardas- 
Marinhas na actual Escola Naval, Daniel da Silva acceitou a nomeação para lente substituto 
da cadeira de elementos de mecânica, astronomia espherica e náutica, e da cadeira de prin- 
cípios de óptica, construcção e uso dos instrumentos de reflexão, prática das observações as- 
tronómicas e dos cálculos mais úteis na navegação, etc. 

Poucos annos depois, em 31 de agosto de 1848, foi promovido a lente proprietário da 
cadeira de artilharia theorica e prática, princípios de fortificação provisional, geographia e 
hydrographia; e n'esta cadeira se conservou até á sua jubilação, que teve logar em 20 de 
outubro de 1865. Entretanto, foi tendo difFerentes promoções como official da armada, sendo 
nomeado primeiro tenente em 6 de novembro de 1851, capitão-tenente em 13 de julho de 
1859, e sendo reformado no posto de capitão de fragata em 31 de dezembro de 1868. 



Daniel da Silva foi jiroposto para sócio correspondente da Academia Real d;is Sciencias 
de Lisboa, por Franzini, em sessão de 15 de maio de 1850, e em seguida eleito para este 
logar em 19 de junho do mesmo anno. Não tinha ainda nesse tempo publicado trabalho algum 
original; havia apenas publicado uma traducção do allemâo, com annotações, de uma obra do 
príncipe Lichnowsky, intitulada Portugal — Recordações do anno de 1842 (Lisboa, 1844). 
Tinha porém apresentado já a esta Academia, em sessão de 27 de fevereiro de 1850, um 
trabalho notável, intitulado Memoria soòre a rotação dns forçou em torno dos pontos de appli- 



264 



cação, o qual foi depois publicado no volume correspondente a 1851 da sua collecçào de 
Memorias f). 

Neste bello e importante trabalho, em que o auctor se revelou pela primeira vez como geo- 
metra de grande valor, procura elle mostrar como variam os eííeitos das forças applicadas a um 
corpo, quando estas forças giram á roda dos seus pontos de applicaçào, conservandose porem 
constantes os ângulos que umas fazem com as outras, e as diversas circumstancias notáveis 
que acompanham esta mudança de orientação das mesmas. O estudo geral da questão é pre- 
cedido do estudo do caso simples em que as forças estão todas sobre um plano e giram sobre 
elle, e, tanto a respeito d'este caso como do caso geral, sâo apresentados numerosos resul- 
tados cheios de interesse, de que não é possível dar aqui noticia sem entrar em longos de- 
talhes. Todos estes resultados são obtidos por metliodos elegantes, claros e expressivos, em 
que o auctor, sem perder de vista o systema de forças que considera, caminha directamente 
para o fim que tem em vista, empregando principalmente considerações geométricas, e recor- 
rendo á analyse só quando esta é naturalmente chamada ;i intervir. 

A theoria importante a que é consagrada a memoria a que nos estamos referindo, foi es- 
tudada pela primeira vez pelo celebre geometra allemão Mí.bius, em 1837, na sua Statica, e 
pouco tempo depois por Minding, que a enriqueceu com um theorema notável, no tomo XV 
do Jornal de Cr elle. 

Daniel da Silva não conhecia estes trabalhos, quando se occupou do mesmo assumpto 
cerca de treze annos depois. Só mais tarde os conheceu por meio das Leçons de Mécanique 
anahjtique de Moigno, publicadas em 1868, onde se encontra um capitulo consagrado a esta 
doutrina, então desconhecida em França, e que elle traduziu de um tratado de macanica 
publicado em Christiania por Broch. Encontram-se por isso no trabalho de Daniel alguns 
resultados que já tinham sido obtidos por Mõbius. Os methodos empregados por estes dois 
sábios para os obter são porém diíFerentes e, além d'isso, na memoria portuguesa é o assumpto 
mais ampla e profundamente estudado e são obtidos muitos resultados interessantes, que não 
se encontram na obra do eminente geometra allemão. 

Uma questão da theoria a que nos estamos referindo, que tanto Móbius como Daniel da 
Silva foram naturalmente levados a estudar é a que tem por objecto determinar as orienta- 
ções das forças a que corresponde o seu equilíbrio. Mõbius julgava que todo o systema de 
forças que está em equilíbrio em quatro orientações differentes deve estar em equilíbrio com 
todas as outras orientações. Daniel chegou porém a um resultado differente, mostrando que 
ha, em geral, quatro posições de equiUbrio e somente quatro. Este ultimo resultado, que deve 
substituir o de Mobius, foi confirmado pelas indagações posteriores. 

Vinte e cinco annos depois da publicação da Memoria de Daniel da Silva, occupou-se 
também do mesmo assumpto Darboux em uma communicação feita á Academia das Sciencias 
<ie Paris, em 27 de dezembro de 1870 {('ompteít-rendus, tomo Lxxxili, p. 1284), onde deu 



(') Historia t Memorias da Academia Real das Sciencias de Lisboa, 2.' série, t. iii. 



265 



conta dos resultados que a este respeito obteve, e depois em um trabalho mais extenso, pu- 
blicado nas Memorias da Sociedade de sciencias physicas e nuturaes de Bordeaux (1877, 
2.^ serie, tomo ii), onde demonstrou e desenvolveu aquelles resultados. Nestes trabalhos Dar- 
boux, que não conhecia a memoria portuguesa, rectificou o erro de Mõbius, a que anterior- 
mente nos referimos, e chegou a varias proposições relativas á mesma theoria que se encon- 
tram já naquella memoria. 

Daniel da Silva teve noticia dos theoremas de Darboux por meio do extracto que Lux 
Mondes de Moigno publicaram da sessixo da Academia das Sciencias de Paris em que foram 
communicados, e foi nessa occasião que teve também noticia dos trabalhos de Mobius. A im- 
pressão que produziu no seu espirito esta coincidência de se encontrar na invenção de uma 
theoria importante com dois geómetras eminentes, um dos quaes tinha já desapparecido, dei- 
xando um brilhante rasto na historia da sciencia allemã, e o outro principiava a brilhar na 
sciencia francesa como astro de primeira grandeza, exprimiu-a elle nos termos seguintes em 
uma carta que me fez a honra de me dirigir, em 23 de fevereiro de 18T7: 

•«Quer saber o que me aconteceu ha bem poucas dias. 

Vejo annunciada no jornal Les Mondes de Moigno uma Memoria apresentada á Academia 
das Sciencias de Paris por M. Darboux, era que elle diz accrescentar muitas cousas novas á 
importante theoria iniciada na AUemanha por Mobius e Minding. 

Quasi todas as proposições novas de Darboux estão publicadas ha vinte e cinco annos nas 
Memorias da nossa Academia, no meu trabalho sobre a rotação das forças era torno dos seus 
pontos de applicação! 

Foi por essa occasião que tive ensejo de saber que em 1868 dizia Moigno que a theoria 
de Mõbius (1837), a mesmíssima que eu tratei, ignorando a existência do meu predecessor, 
muitíssimo curiosa e importante, era totalmente desconhecida em França, e que elle só muito 
tarde a veiu a aprender em um livro que um amigo lhe mandou da Noruega! 

A minha Memoria, que tem muitíssimas cousas, além do que lembrou a Mobius, inclusi- 
vamente a correcção de um erro d'elle cora cuja rectificação muito se gloria Darboux, jaz 
ignorada, ha quasi vinte e seis annos, nas biblíothecas de quasi todas as academias do mundo. 
O que aproveita escrever em portuguez! 

Tive bastante desgosto de só agora saber que, sem suspeitar sequer da existência de 
Mobius, um dos mais distinctos geómetras da sua época, como lhe chama o Diccionario de 
Brockaus (1846), eu coincidira com elle na invenção de uma theoria, hoje declarada muito 
importante, e que cheguei no seu desenvolvimento muito mais longe do que chegara o illustre 
sábio allemão». 

Daniel da Silva fez, como era natural, a sua reclamação de prioridade a respeito das 
proposições reinventadas por Darboux, mas dotado de modéstia, talvez excessiva, recorreu 
para isso a um jornal de simples vulgarização scíentifica, em logar de recorrer á Academia 
das Sciencias de Paris, que de certo a publicaria nos Comjjtes-rcndiis das suas sessões, onde 
tinham sido anteriormente publicados os theoremas de Darboux sobre a theoria considerada. 
Appareceu, com efFeito, esta reclamação no jornal Les Mondes, de Moigno, em carta dirigida 
a este homem illustre, a qual foi publicada no numero correspondente a 20 de março de 1877, 
II 



266 



e dei)ois transcripta no Jornal de scieitcias vuithemati<:at<, iihynicas c nntvraes, da Academia 
das Sciencias de Lisboa, e no Jornal di; sciencias mathematkas e astronómicas (Coimbra, 
tomo I, pag. 38). 

A Memoria de Daniel da Silva contém ainda muitos theoremas que se não encontram nem 
no trabalho de Mòbius nem no de Darboux. A Academia das Sciencias de Lisboa, a que aqueile 
sábio mathematico deu tanta honra, faria grande serviço á sciencia e ao paiz, se, a exemplo 
do que fez a Academia das Sciencias de Copenhague em um caso análogo, concorresse para 
tirar do injusto esquecimento em que cahiu, aqueile importante trabalho, publicando uma tra- 
ducçâo francesa d'elle, precedida de uma introducção histórica sobre o assumpto considerado e 
acompanhada de notas onde, a propósito de cada proposição ou resultado obtido, se indicasse 
o seu primeiro inventor. 



No mesmo volume da Historia e Memorias da Academia Real das Sciencias de Lisboa 
em que foi publicada a Memoria, a que vimos de nos referir, foi publicado ainda outro tra- 
balho do mesmo geometra, intitulado Da transformação e reducção dos hinários^ o qual, se- 
gundo o testemunho de F. TIorta (Annaes de SrienciaSj, tomo II, Lisboa, 1858, p. 194), tinha 
sido composto pelo seu auctor antes d'aquelle que primeiro mencionamos e que primeiro foi 
impresso. Esta segunda Memoria de Daniel da Silva não tem a importância nem a originali- 
dade d'aquella a que primeiro nos referimos; é todavia ainda um trabalho excellente, onde se 
apresentam meios para simplificar a exposição de uma theoria importante de mecânica. 

É bem sabido que Poinsot, na sua admirável Statica, substituiu os momentos das forças, 
empregados pelos antigos geómetras como meios subsidiários para deduzir as condições de 
equilíbrio dos corpos, por forças de rotação, a que Daniel da Silva deu o nome de binários 
(traducção feliz da palavra conple, empregada pelo eminente geometra fracez), e que d'este 
nwdo conseguiu simplificar e esclarecer a maior parte das theorias da Mecânica. E á theoria 
dos binários que é consagrada a memoria a que nos estamos referindo, a qual o nosso geo- 
metra simplifica em muitos pontos, e, em especial, na parte relativa á decomposição dos bi- 
nários em outros collocados em planos coordenados oblíquos, por meio de uma representação 
geométrica nova destes grupos de forças. 



Em 24 de março de 1852 apresentou Daniel da Silva á Academia das Sciencias de Lis- 
boa um terceiro trabalho, que tem por titulo Propriedades geraes e resolução directa das con- 



267 



tjriiencias binomias, o qual foi publicado em 18Õ4 no volume i da Xoca serie das suas Me- 
morias. Era nessa occasião já sócio eíFectivo da Academia, tendo sido elevado a sócio livre 
em 19 de fevereiro de 1851 e depois a sócio eflectivo, na sessào de sciencias exactas, em 7 
de janeiro de 1852. 

Nesta nova Memoria, consagrada a um assumpto importante de arithmetica superior, nào 
brilha menos o engenho do nosso mathematico no menejo dos methodos algébricos do que 
brilhara, nos trabalhos anteriores, no menejo dos methodos geométricos. Effectivamente en- 
cerra ella fórmulas e methodos directos, mais ou menos originaes, para a resolução das con- 
gruências lineares e das congruências binomias, e ainda vários resultados novos, cheios de 
interesse, e varias demoustrações novas de resultados conhecidos. 

A este respeito mencionaremos, em primeiro logar, uma formula symbolica nova e muito 
útil, que vem no capitulo i, da qual deduziu, com extrema facilidade, primeiramente o theo- 
rema notável dado por Euler no tomo viii dos Novos Commeniarios da Academia das Scien- 
cias de S. Petershurgo, que se refere ao numero de números primos com outro numero dado 
que são inferiores a este; depois ainda uma expressão nova da somma d'aquel!es números; 
e mais adeante, no capitulo iii, o theorema importante relativo ao numero de raizes primiti- 
vas das congruências binomias, publicado por Lambert, em 1769, nas Acta erialitoriun, de 
Leipzig. D'esta fórmula symbolica deu mais tarde nova e interessante demonstração F. Horta 
nos Annaes de Sciencias (1857, 1." anno, p. 705). 

Mencionaremos, era segundo logar, um theorema muito digno de notar-se, que se encontra 
ainda no capitulo I, o qual contém como caso muito particular a generalização bem conhecida 
de um theorema celebre de Fermat, dada por Euler, no tomo viil, p. 75, das Nova Acta 
Petropolitana. 

Mencionaremos finalmente a extensão de uma fórmula dada pur Poinsot nas suas Réjle- 
xions sur les príncipes fundamentaux de la théorie des nomhres (p. 48) para determinar o 
numero de números primos com um numero dado, inferiores a elle, a qual se encontra ainda 
no capitulo ii; a demonstração directa de uma fórmula dada por Gauss no n.* 86 das suas 
admiráveis Desquisitiones arithmeticae, á, qual este grande geometra chegou por um caminho 
indirecto e que julgava difficil obter por meios directos (capitulo iri); varias consequências 
novas d'esta fórmula, dadas também no capitulo lii; e interessantes investigações sobre as 
propriedades e o calculo das raizes modulares, que se encontram no capitulo ix. 



Os três trabalhos importantes a que vimos de nos referir, dois dos quaes são bastante 
extensos (o primeiro e o terceiro), foram elaborados pelo seu auctor em curto espaço de 
tempo. O grande espirito porém que os concebeu estava encerrado em corpo débil que não 
poude resistir ao grande esforço que aquelle teve de empregar para os produzir. Atacado 



268 



por doença grave que veio cortar-lhe os voos com que seguia rapidamente a tomar logar 
entre os primeiros geómetras do seu tempo, Daniel da Silva teve de abandoíiar o trabalho e 
nem mesmo poude rever as provas da ultima ]\íemoria que vimos de analysar, nem terminar 
a redacção do seu ultimo capitulo, que era destinado a varias applicações, entre as quaes 
figuravam as fracções continuas. 

A Academia das Sciencias de Lisboa premiou tanto valor e tão grande esforço elevando 
Daniel da Silva, na sua sessão de 20 de janeiro de 1859, a sócio de mérito de 1.* classe, a 
maior das honras que ella pôde conceder e á qual corresponde uma pensão annual de 
20();>('0r» réis. O parecer da conimissão que propoz que se concedesse esta distincção ao emi- 
nente geometra foi elaborado por F. Horta, mathematieo de grande mérito e que, pelas re- 
lações de amigo e collega no professorado e na Academia que com elle tinha, melhor estava 
que qualquer outro em condições de o conhecer e apreciar. N'este documento, que dá honra 
a quem o escreveu, e que foi publicado nos Annaes (h sciencias (1858, tomo ii, p. I93j, des- 
creve-se em traços largos mas expressivos e aprecia-se em phrases cheias de verdade e jus- 
tiça a obra scientifica de Daniel. 



No inttrvallo que vae desde 1854 a 1866 não appareceu nas eollecções da Academia Real 
das Sciencias de Lisboa trabalho algum de Daniel da Silva. A doença grave a que nos refe- 
rimos anteriormente, obstou de um modo fatal a todo o esforço inteilectual da sua parte du- 
rante este periodo. Felizmente, com o repouso e extremosos cuidados, voltou pouco a pouco 
a saúde perdida, e, se não poude jamais produzir trabalhos da importância e extensão 
daquelles a que vimos de nos referir, poude ainda illustrar as eollecções da Academia com 
uma memoria e algumas notas sobre assumptos de menor difficuldade, nas quaes continuou a 
manifestar a originalidade do seu bello espirito. 

A primeira d'estas notas foi publicada em 18(56 no volume I do Jornal de, sciencias ma- 
tkeinaticns, physicas e naUiraes, e tem por titulo Nota sobre alguns thcoremas novos de statica. 
N'ella apresentou o seu auctor duas expressões notáveis, independentes dos eixos coordenados, 
do producto da resultante de um systema de forças pelo binário resultante minimo. 

No mesmo volume do Jornal, de sciencias niatheniaticas, plnjsicas e natiiraes, foi publicada 
ainda em 1867 outra nota de Daniel da Silva, intitulada Amortização annual medianos 2}rin- 
cipaes monte-pios de subrevivencia porhujHezes, na qual elle introduziu a consideração, no es- 
tudo das condições económicas dos monte-pios, de um certo numero a que chamou taxa media, 
ensinou o modo de o calcular e fez notar a sua importância para o calculo das quotas e pen- 
sões. As questões relativas a monte-pios interessaram nuiito o nosso geometra que, juntando 
a um grande espirito um coração clieio de bondade, rei^eava as calamidades que da sua má 
organização provêem para as famílias que lhes conliam os seus haveres. Por isso se occupou 



269 



d'elles em artigos publicados nos n."' 4004, 4006, 4010, 4012, 4018 e 401U do Jornal do 
Commercio, de Lisboa, onde fez a critica do projecto para a creação do Monte-pio Official 
apresentado ás Cortes em 1807, e em um opúsculo intitulado O presente e o futuro do Monte- 
pio Geral, publicado em 1868, onde se occupou das condições em que então se encontrava 
este ultimo monte-pio. Todos estes trabalhos de Daniel da Silva sobre monte-pios merecem 
ser meditados pelos que tiverem de occupar-se das questões de installaçào ou administração 
d'esta3 utilissimas instituições. 

N'estas questões relativas a monte-pios e n'outras questões sociaes importantes representam 
um papel essencial certos valores médios relativos ao movimento da população, que no tempo 
de Daniel da Silva se iam buscar ás estatísticas dos paizes estrangeiros, apesar de os resul- 
tados que estas fornecem não serem applicaveis a Portugal, onde as condições de vida são 
dififerentes das que se dão nos paizes a cujas estatísticas se recorria. E todavia existiam já 
n'esse tempo no nosso paiz alguns elementos estatísticos para calcular os valores médios que 
lhe são applicaveis. Este calculo fel-o o nosso sábio mathematico, empregando para esse fim 
os mappas de baptismos, casamentos e óbitos de 1860, 1861 e 1862, publicados pelo Minis- 
tério da Justiça em 1864, 1867 e 1869, o censo da população, referido ao ultimo dia de 1863, 
feito pelo Ministério das Obras Publicas, e alguns mappas de óbitos por elle colligidos no 
Jlonte-pio Geral e no da Marinha. Os resultados a que chegou, acompanhados de notas inte- 
ressantes, relativas á comparação dos números que obteve com os que fornecem as estatísticas 
de outros paizes, foram publicados em 1869 no volume il do Jornal de sciencias niatheniaticas, 
physicas e naturaes, em um artigo intitulado Contribuições para o movimento comparativo da 
popnlaqão em Portugal. 

Ao trabalho a que vimos de nos referir seguiu-se outro em 1872, o qual foi publicado nas 
Memorias da Academia Real das Sciencias de Lisboa, e que tem por titulo De varias fór- 
mulas novas de geometria analytica relativas aos eixos coordenados obliquos. 

Ií'este trabalho interessante e util generalizou o seu auctor para o caso de eixos das 
coordenadas com direcção qualquer algumas fórmulas, correspondentes aos eixos orthogonaes, 
que se encontravam nos livros consagrados ao ensino da geometria analytica, taes como as 
qne servem para determinar os cosenos dos ângulos que faz com os eixos a recta perpendi- 
cular a duas rectas dadas, as que dão o seno e coseno do angulo de duas rectas dadas, a que 
relaciona as áreas planas com as das suas projecções sobre os planos coordenados, etc. ; e 
fez applicação de algumas d'estas fórmulas a uma questão de Mecânica por elle já anterior- 
mente considerada na sua memoria, Da redacção e transformação dos binários, atrás men- 
cionada. Para obter aquellas fórmulas empregou Daniel methodos claros e simples, acompa- 
nhados de uma analyse cheia de elegância e symetria. 

O ultimo trabalho que Daniel da Silva escreveu é de uma indole differente de todos os 
anteriores, pois refere-se a uma questão de physica, e revela a variedade de aptidões do seu 
bello espirito. O assumpto considerado n'elle é a theoria da chamma; foi publicado no Jornal 
de sciencias mathematicas, phi/sicas e naturaes (1873, tomo iv, p. 113) e tem ))0r titulo Con- 
siderações e eívperiencias acerca da chamma. 

Encerra este trabalho primeiramente algumas indicações interessantes e instructivas sobre 



270 



o que se passa no plienomeiío da cliamma; em seguida os meios engenhosos imaginados pelo 
auctor para medir a velocidade com que, nos bicos em forma de leque, o gaz de illuminação 
atravessa a fenda do bico, e aquella com que sae da zona azulada; e finalmente os resultados 
das experiências para este fim realizadas. 

O sr. Benevides, que se occupou com successo do estudo da cliamma em excellentes ar- 
tigos publicados em 1872 e 1873 nos Annales de CMmie et Physiqiie, de Paris, e no Jornal 
de sciencias mathematicas , physicas e naturaes, referiu-se com louvor ao trabalho de Daniel 
em um artigo publicado no tomo vi d'este ultimo jornal. E também ao mesmo trabalho se 
referiu com elogio, em uma carta dirigida a este sábio mathematico, que o sr. Benevides fez 
conhecer no citado artigo, o Dr. Heumann, de Zurich, que estudou também a chamma em 
artigos publicados em 1S76 nos Annalen der Clàmie, de Leipzig. 



Descripta a obra scientifica de Daniel da Silva seja-me permittido, evocando gratas recor- 
dações de tempos distantes, referir-me ás relações que tive com o eminente geometra. Creio 
que me desculpará que o faça quem attender a que estas relações me dei-am os meios de 
conhecer e apreciar, sem ter de recorrer a informações de extranhos, o seu bel lo caracter, 
ao qual não devo deixar de me referir aqui. 

Ouvi pela primeira vez falar de Daniel da Silva em Coimbra, quando frequentava o ter- 
ceiro anno da faculdade de mathematica, ao professor da cadeira de Mecânica racional, 
Dr. Teixeira de Queiroz, que, quando explicou a bella theoria de Poinsot sobre os binários 
de força, se referiu com elogio aos importantes trabalhos do geometra portiiguez a respeito 
d'aquelle assumpto. 

Vinha eu de publicar ha pouco tempo um pequeno opúsculo sobre o desenvolvimento das 
funcções em fracção continua, e, depois de algumas hesitações naturaes, resolvi reir.etter-lhe 
um exemplar d'este trabalho. 

Passado algum tempo recebi, com surpresa e prazer, uma carta, datada de 6 de janeiro 
de 1872, na qual elle, depois de me apresentar os seus agradecimentos pela minha insignifi- 
cante offerta, dizia, referindo-se a si próprio, as palavras seguintes: 

«A paixão pelo estudo das sciencias mathematicas, que foi em mim assaz desordenada, pelo 
excesso, desde muitos annos se tem reduzido ás proporções modestas de amor platónico. 

A diurna e gravíssima enfermidade que padeci, pelo excesso de applicação, deixou após 
si o deshabito da contensào do espirito e mesmo talvez a impossibilitação para as aturadas 
investigações. 

llestou-me |)orém das ruinas do meu passado scientifico a afiVição admirativa, o vivo in- 
teresse de sympathia que me ligam sempre áquelles que se distinguiram de um modo notável 
na sciencia objecto das minhas predilecções. 



271 



Dizer pois que estimo desde já cordialmente o auctor da Memoria que recebi, é muito 
mais que ura cumprimento epistolar: é o simples enunciado de uma condição inevitável da 
minha organização». 

Transcrevemos aqui esta passagem da carta de Daniel da Silva, porque elia descreve 
singela e eloquentemente o homem que sacrificou á scieneia todo o seu tempo, a sua saúde 
e que esteve prestes a sacrificar-lhe a própria vida, e que, modesto e bom, acolheu com ca- 
rinho o humilde ensaio de um obscuro estudante. 

A esta carta seguiram-se muitas outras, cheias de conselhos affectuosos, que eu conservo, 
com a mesma veneração que um crente tem pelas reliquias de um santo, como recordação do 
sábio fc do amigo. 

Em uma destas cartas refere elle um facto interessante relativo a Laplace, que me parece 
ser hoje desconhecido. E que o celebre auctor da Mécanique celeste foi convidado por Mar- 
tinho de Mello, Secretario dos Negócios da Marinha e Ultramar, no intervallo de 1770 a 
1796, e restaurador da instrucçao naval em Portugal, a vir estabelecer-se em Lisboa. Mui- 
tíssimo agradecido, respondeu-lhe o sábio, mas falta-me ahi o meu theatro. Não tem razão, 
replicou o estadista portuguez, ha aqui o excellente theatro de S. Carlos. Laplace não acceitou 
porém este honi'oso convite; porque o theatro que lhe faltava em Lisboa era o Observatório 
de Paris. 

Só duas vezes fallei com Daniel da Silva: uma em Lisboa, quatro annos depois de prin- 
cipiarem as nossas relações, outra em Coimbra, em uma occasião em que elle veio visitar 
esta cidade em companhia do seu imico lilho, um rapaz intelligente que infelizmente falleceu 
no verdor dos annos quando, terminado o seu curso na Escola Polytechnica, se preparava, 
cheio de esperanças, para concorrer a um logar de professor neste estabelecimento de in- 
strucçao. 

Quando, depois de repetidas instancias suas, acceitei um logar de astrónomo no Obser- 
vatório de Lisboa, e parti em agosto de 1878 para esta cidade a tomar posse d'aquelle logar, 
tinha elle sabido para fora da capital, onde não voltou mais em vida. 

Durante a sua ausência de Lisboa foi atacado por uma pneumonia, e, em 6 de outubro 
de 1878, deixou de bater o seu coração cheio de affectos e desappareceu d'este mundo a 
sua alma, rica de ideias, que tantas vezes já lactara contra a morte para viver para a 
scieneia. 

Daniel da Silva viveu sempre modestamente, todo entregue aos seus deveres de professor 
e aos seus trabalhos scientificos, sem aspirar nem a honras nem a empregos, que, pela sua 
posição social e alta collocaçâo de seu irmão, fácil lhe seria obter. Viveu para a farailia e 
para a scieneia, a qual serviu tão desinteressadamente que nem sequer tratou da propaganda 
dos seus trabalhos nos meios scientificos extrangeiros. O seu amor á scieneia reflectia-se sobre 
08 que se occupavam d'ella, e sobre a Academia das Sciencias de Lisboa, á qual consagrava 
uma viva affeição e á qual confiou a publicação de todos o seus trabalhos scientificos. 



272 



Nào terminaremos estes singelos apontamentos para a historia das mathematicas em Por- 
tugal, sem cliaraar a attenção das nossas escolas de instrucção superior para a conveniência 
que haveria em se consagrarem algumas lições á historia das sciencias n'ellas professadas. 
Não fica bem a quem terminou um curso de sciencias exactas desconhecer a historia d'estas 
sciencias, nem a quem terminou um curso de philosophia natural ignorar a historia da phy- 
sica, da chimica, da botânica, etc. 

É certo que muitos professores indicam, a respeito de cada tacto, proposição ou tlieoria 
que ensinam, o nome do seu inventor; mas estas indicações desconnexas são insufficientes 
para darem ideia do modo como se fez a evolução de cada sciencia. O que se torna neces- 
sário é que se descreva resumidamente e a traços largos a sua marcha progressiva desde os 
seus principies até aos tempos modernos e que se indique o papel que nesta evolução desem- 
penhou cada um dos seus mais eminentes cultores. Se esta ideia tiver seguimento, a historia 
da sciencia portugueza ha de ser de certo também considerada e o nome de Daniel da Silva 
mencionado, perpetuando-se assim na memoria das successivas gerações académicas. 

Porto, outubro de 1902. 



XI 



(Bulletin de la Société mathématique de France 
— Paris, 1881, t. XVII) 



NOTE SUR LINTÉGRATION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉE8 PARTIELLES 
DU SECONDE ORDRE 



1. .Te vais considérer Téquation aiix dérivées jíartielles dii seconde ordre 

(1) Ur ^2 Ks - L< -L M + N (rt - s-^) = O, 

oíi II, K, L, M, N représentent des fonctions de cr, ?/, z,^, q, et oii Ton pose, suivant Tiisage, 

dz dz d-z d-z d-z 

díc ' " dy^ da;- ' rlxdy ' di/' ' 

M. Imschenetsky a fait voir, dans son Elude sitr les méthodes d'intégration des équatiotvs 
aux dérivées partielles du seconde ordre (pages 130 et 131 de la tradtiction par JI. J. Hoiielj, 
que cette équation peut étre transformée dans une équation linéaire, quand on connait une 
iutégrale primitive particulière avec trois constantes arbitraires. 

Ensuite, en se basaut sur les importants recherches sur ia tliéorie des iiitégraies des équa- 
tions aux dérivées partielles, publiées par Ampere dans les cahiers xvii et xviii du Journal 
de VEcole Pob/teclinique, il a fait voir que cette équation se simplifie considérablement quand 
cette intégrale satisfait à un ou aux deux systèmes d'équations de la rartirferisfiqKe^ auxquels 
Monge et Ampere ramènent le problème de Tintégration de (1). 

Comme la tliéorie de Ampere, qui ne se prête pas aisément à une exposition succinte, ne 
se trouve pas dans les Traités systématiques de Calcul integral, je crois qu'il ne será pas 
inutile de voir comme on obtient les raêmes résultats par des considérations directes. C"est 
le but que nous iious proposons dans cette Note. 



276 

2. Soit 
(2) z = i»(x, y, a, Fl, r,) 

une iiitégraly particitlière de (1) avec- trois constantes arbitraires a, [j, r,. Nous avons Tidentité 



. dm dm 

oii Hl, Ki, Li, M), N| représentent des fonctions de m, ,r, //, --.— , -y-. 

M. Imsclienetsky considere easuite a, [3, ■/] comrae variables et introduit en (1), au lieii 
de la vai-iable dépendante z, la variable -q déterminée par (2) et, au lieu des variables indé- 
pendantes x et ?/, les variables a et [ii détenninées par les équations 

I fZw . (?o) dr^ 

J dm _|_ ato ar, _ 

( dp" ' d^ 7!p"^ • 

Pour obtenir réquation dans laquelle se transforme de cette nianière Téquation proposée, 
on tire de (2) 



dm dm 



d.L- ' \ cZa cZyj da 



da I dp , dp dr^ \ d'fi 
dx ' \ d?i ' dr, dS / dx ' 



d-m , / dj) dp d-q \ da / dp dp dr^ \ d\i 
dxdy \ da dr^ da I dy ' \d'^ dr^ d^ / dy ' 

'^ Ti^;^"' Ida ^^7?/;" ^y ~d^^ \1^ ' dr, 77^/ dy' 

ensiiiti- un substituc dans les expressions precedentes de r, .s, f les valeiírs de ^— , -,— , -=— , -V- 

dx dx dy dy 

que Ton tire des équations du preraier dégré qui résultent de la différentiation des deux équa- 
tions (4) par rapport à .*• et à y\ et enfin on substitue les valeurs qui résultent pour r, s, t 
dans róquatiiin (1). On trouve de cette manière, ayant égard à (;|), Téquation suivante: 



O') Kf^l■2si!).-^T$-l-u=o, 

' da- dadA d?,- ' 



277 



oii R, S, T, U sont des fonctions de a, jii, r, -~, -j~ données par les formules suivantes: 

^ _\- xf/^i _i_ ^j" ^O) /t^gi , c^gi t^-zj \ ^ /dpi_ , dpi_ dg \ í dqi dqi d^\ 
, (Ki-xNis,)^\ ^^^ , ^^^ ^^^ ; ^ ^r^ -h ^.^^ ^^^ j , ^ ^^^ -r ^.^^ ^^^ ^ V da + ári da / 

' \ da dr, da 



íív; ^ L \ cZa ' dr^ da ) \ (i,3 dr^ d^ / \ (Z,3 ' dr^ (íji / \ áa dr^ da / \ 

L da^ " dadr, da dr^^ \ da / J 

^ r d^dj d-o) dv, I d-co dr, , d*o) dr, dr, 1 

Ldad,^ dadr, d,3 dr,d,3 dc( dr,- da djil | 

, „ rd-oj d'(o dr, , d-(o / dr^ \- 1 

~ ' L^d^ ^ " dp^ "díi" ~ d^ ^ d,V/ r 

ou je pose, pour abreger, 

d(i) d(i) d^(i) d-(i) d-o) 

d« ' d// ' dx- ' ' dxdy ' d?/- ' 

S. Cela pose, j'entre dans le sujet de cette Note, t''est-à-dire, je vais considérer le eas 
ou Ton obtient Tintégrale (2) au moyen d'uiie ou de deux intégrales iiitermédiaires particu- 
lières de (1(, avee une constante arbitraire ehacune. 

Soit 

(6) /(*)i')-)i') í' = " 



278 



une intégrale iutermédiaire de (1) avec une constante arbitraire «. On sait que la fonction 
f{x,y,z,p,q) satisfait aux équations qui résultent de Télimination de deux des quantités 
r, s, t entre (1) et les équations suivantes: 



(7) 



et que ces équations sont 



dx <lz dj) dq 

dy ' dz djJ dq ' 



dy dz J dq dp \dx dz 

--(f--Í)|H-M(f)'-N(| + ,f)=0. 

\dq ) " dp dq ^ \ dp ) 

Soit maintenant Téquation (2) une intégrale particulií-re de ((j), que Tun peut obtenir, 
eoinme on sait, par la méthode de Lagrange et Cliarpit. La valeur qu'il donne pour e satis- 
fait aux équations precedentes, et par conséquent satisfait aussi à Téquation suivante: 



qui resulte de rélimination de 



dx dz dy ^ dz 



dans la aeconde au moyen des équations (7). 

Mais, en diíférentiant (6) par rapport à |il et considcrant .-, p, q uonime des fonctious de fi 
iléterminées par (2), on trouve 

df /dio (Jm^ rfr^\ df^ ídpi djM '^í \ , 4/ / ^^ , ^íi ^i \ _ () 
"íTm" V d'ii '^' 1^ d^J '^ ^ \ t/p dn W) dq^ \ d{-i "^ ~d^ d^-i) ~ ' 



279 



ou, en vertu des équations (4), 



dpi \ dli ' dr, d[i '^ dqi \ d,S ^ dr^ d,3 ' 



En substituant mainteuant dans l'expression de R la quantité 



dp\ dp\ dr^ 
d^fi dr^ d^ 



par sa valeur, donnée par cette équation, on trouve 



- 2 (Kl - isv, ) -^ -^ + (L, + N,r, ) ('-^yr. 

opi dqi \dpi ' I 

Donc, en vertu de la formule f8). nous avons R = 0, et Téquatioa (5) prend la forme 
simpllfiée suivante: 

d^r d-r 

2S^ + T^.A + u = 0. 
(/«cep rtp- 



4. Soient maintenant 



(9) 



/('x, //, 3, 2h ?• = «) 



deux intégrales interraédiaires de (1) avec deux constantes arbitraires a et ,3. 8i cliacune 
d'elles satisfait à un des deux systèmes d'équati()ns ditférentielles ordinaires, auxqueis la me- 
tliode de Monge ramène le problema de Fintégratinn de Téquation (Ij, ou à un des deux 
systèmes d'équations aux dérivées partielles du pi^einier ordre, auxqueis la methode de Boole 
ramène le niême problème, on sait que les valeiírs i!e /> i^t </ données par les équations (!•) 
rendent 

dz = pdx ''-- qdy 
iiitégrable. De cette intégration resulte léíiuaticm (2). 



280 



Dans ce cas, on voit, eomme daiis le cas antérietir, que R = 0. Ensuite, en éleminant 
(laiis rexpression de T la qiiantité 

dpi ^ dpi dr^_ 
da ' d-q da 

au moyen de réquation 

JF Idpi , ãiH dq \ , dF ídqi ^ dq\ </r, 
dpi \ da d-q da) ' dq\\da ' d-q da 

et ayaut égard à réquation qui resulte d» ehangement dans (8) de/ en F, on voit aussi que 
T = O. 

L"équation (5) prend donc la forme suivante: 

<laa;j 
5. Soit maintenant 

K-2_HL + MN = 0, 

oe qui arrive quand les deux systèmes d'équations de la caractérisfiqiie eoíncident, et soit 
encore 

/(a-, y, =, ]}, q) = c, 

une intégrale partieulière de (\) avec une constante arbitraire a. 

En différentiant cette équation par rapport à a et à [i, considérant ~, p^ q comme des 
funetions de a et |il déterniinées par (2), et en ayant égard à (4), on trouve 

dpi \ á|'i ' dq d'^1'^ dq\ \ (7fí dr^ d} 

df_ 1^ j__ <k^ ^\ , _Ç(/ (dq\_ ^ dqi^ _rfyi \ ^ ^ 
dpi \ da dq da 1 dqiX da ' dq da ) 

En substituant ensuite dans Texpression de S les valeurs que ces équations donnent ])Our 

^1 , dpi^ dr^ 
dp" dq d} ' 

dpi _^ dj)\ dg 
da ' d'q 'la ' 



on trouve 



281 






_9 



Ad^'^ d-q d ^)\ .jr,^,.df df] 



et par conséquent, en vertu de (8), 
I dqi dqi àq 



^ \ rf,3 dr, d^ / r ,„ , ^, , df , ^^ ^^ ^ df 



Mais Téquatiou (8) doniie 






_ny' ^ K - N.S + y/ (K - Na-)-' - (H + no ( L + Nr) Jf 
áy' H + Nt 'l/p 

_ K — N* + V/K--Í-HL + MN df _ K-Ng df 
~ H-f Ni "rfp ~ H + Ní "^^ 

Donc nous avons S=0, et réquation (5) prend la forme 

t4I^ + u = o. 



XII 



DIVERSOS HfiTIGOS SOBRE GEOlTRIâ ÍMEÍTICÍ PUNH 



SUR LA COURBE ÉQUIPOTENTIELLE 



(Archiv der Mathematik und Physik — Leipzig, 1902. Reihe m, Band III) 



1. Le nom de courhe équipotentidle a été donné par Cayley, dans un important article 
publié dans le Philosophical Magazine (t. Xiv, 18Õ7), à la courbe représentée par réquation, 
en coordonnées bi-polaires, 

(1) ^+-";^=^ 



oíi TO, m' et k repi"ésentent des quantités constantes données, et [i et [>' les distances des points 
de ia courbe à deux foyers dont la distance est égale à a. Dans ee travail Téminent géomètre 
determine la forme générale des ovales qui constituent la courbe, et leiír disposition par rap- 
port aux foyers, pour les diverses valeurs de /.■, par des considérations presque intuitives, 
sans entrer en détails anaiytiques. lei nous allons donner queiques indications sur une ma- 
nière de faire la tliéorie analytique de la courbe, et en déduire quelques-unes de ses pro- 
])riétés qui ne se trouvent pas dans le travail de Cayley. 

2. P]n prenant puur origine des coordonnées un foyer et poin- axe des abscisses la droite 
qui passe par Tautre, on a 

p- -= «- + y-, 'P = {x — af + rf ; 



286 

et, par conséquent, en t-liminant x, y et p' entre ces équations et (1), 
(«* ~ (>*) (A;p — amf — arn}!'-^- 



(2) 



2 a (^p — amf 



'■^^ ^ 2a(A:p-am)2 ' 

ou o!i, aj, . . ., ag reiírésentent les racines des équations 



(4) 



(p — fí) (A-p — ai/í) — aj)i'p = O, 
I (p — «) t/ip — am) -j- aí/í'p = O, 
I (p + ") ( A:p — «wij — ani'p = O, 

(p + «) (^"p — am) + awi'p = 0. 



A régard de ees racines il convient de remarquer que celles de la première et des deux 
dernières équations sont réelles et inógales. Celles de la deuxième sont réelles quand on a 

(A; + í)i — to')- — 4 At» 5Z O 



\k - ( \'m ^ V'''to'j2] [A — ( \/m — VW)^] > O, 

et iinaginaires dans le cas contraire; et par conséquent elles sont réelles et inégales quaná 
A' > ( S' m -\- /wi')^, et quand k < ( \' tn — v to')'^, imaginaires quand k est conipris entre ces deux 
valeurs, et égales quand k=[y m-\-\/ 7/1')-, et quand k = (^\ m — V wi')-. 

:t. Cela pose, supposons que les racines «i, 00, . ., ag sont toutes réelles et inégales et 
que '/K > «7 > . . . > «1. Dans ce cas ij est réelie quand p est coniprise entre og et «7, ou entre 
«c et as, ou entre «v et «3, ou entre (j.± et «i, et iuiaginaire dans les autres cas. La courbe 
est donc coinposée de quatre ovalea, syniétriques par rapport à Taxe des abscisses et qui cou- 
pent cet axe. 

Y-.n déterniinaut au nioyen de Féquation (2) les valeurs de x qui correspondent aux va- 
leurs 'i\, rxi, . . ., ocg, données à p, on pourrait trouver, en cliaque cas particulier, la disposi- 
tion des ovales par rapport aux íbyers; mais 011 n'en a pas besoin, |iarceque cela resulte 
iniiuédiateinent de l'analyse de Cayley. 

Nous allons détennincr le» points des ovales oíi la tangente est pa]-allclc ou perpeiulicu- 



287 



laire à l'axe. Pour cela, employons la formule 



dy _ í;2[F'(p)(A-p-a»i) — 4fcF(p)] 
dx 4 p [(Â:p — amY + a^rn'"^] V^(p) 



F (p) = — (p — <^i) (p — «-2) ••■(? — «8) ; 

afin de détei-ininer les valeurs que p prend dans les points ou ia tangente est parallèle à Taxe 
de la courbe, on en tire réquation 

F' (p) (Ãp - am) — 4kF (p) = O, 

qui est du huitième degré par rapport à p. A l'égard du nonibre de ces points nous remar- 
querons que, la fonction F' (p) étant négative pour p = a8, ag, í<4, •••, «á, et positive pour 
p = «í7, (^.>, •••, «3, «1, le premier membre de cette équation change septe fois de signe, 
quand on donne à p les valeurs ag, a;, og, ...,«(. Donc chaque ovale a seulement un point, 
de chaque côté de Taxe, ou la tangente est parallèle à cet axe, à Texception d'un qui peut 
en avoir un ou trois. 

La tangente est perpendiculaire à Taxe dans les points qui correspondent aux valeurs de 
p données par Téquation 

[ko — am)'' -p n^mm'^ = U ou p = . 

A ces valeurs de p correspondent deux points, placés symétriquement par rapport à laxe de 
la courbe, et qui sont réels quand p est compris dans un des intervalles {rx%, «7), (cig, cts), ■ • •, 
(«2, «il- 

4. On étudie de la même manière le cas oíi deux des racines «i, «2, . . ., og sont ima- 
ginaires. Alors la courbe est composée seulement de trois ovales. 

Si deux des racines «i, «í, . . ., o» sont égales, la courbe est composée de quatre ovales, 
mais deux d'entre eux ont un point commun placé sur l'axe. Dans ce point on a 

ay m 

V m -\- V m 



3i ^ = (/ni+ /"/)», et 

31 /.■ = (/,)}_ /Wf. 



aV m 



288 

a. Les points qu'oii determine en coupant la courbe par ime transversale queleonque, 
jouissent de quelques propriétés qui, à ce que je crois, )i'ont pas encore été remarquées. 
Soit 

A^ + B^-f C = 

l'é(luation de la transversale considérée. Elle coupe la courbe en huit points ou p prend les 
valeurs données par Téquation suivante, qui resulte de rélimination de x et de i/ entre Féqua- 
tion de la transversale et les équations (2) et (3): 

A [(a- + p-) (Ã-p — am)- — a^m'-^/-] + Bk- V F ( p) -l- 2aC (A-p — amf = O, 
uu 

B-k^V (p) — I (A-p — aw)* [2aC + A (a- + p*)] — a-m'-rj- j- = O, 
ou 

k'* (A--; + B-) p« — 4 «////.:•' (A-^ + B-) p' ~L. . . " ahn'' [B-a* + {2aC + Aa-)-] = 0. 

Cette équation fait voir que la sunime des distances pi, m, . . ., ps des points oíi la droite 
coupe la courbe au foyer qu'on a pris pour origine des coordonnées, satisfait ;i la condition 

pi + p2 + . • • + í^8 = 4 -^. 

On voit aussi que la soiunie des distances pí, pj, ... des mênies points à Tautre foyer satis- 
fait à la condition 

, , , am' 

pi + p2+- • .+ p8 = — 4--y^. 

<_)n en conclut que la aoiume des (listanres i-ntre lex points nh une transversale quelconque coape 
la ciiurhe et un foi/er est constante. 

< )n voit, au uioyen de la niême éípiaticn, qu'on a 

«"'"'' I .) , , C(C + Aa)-| 

En posant C = O, on voit que le pi-oduit des distances :i Torigine des points oii les transver- 
sales qui passent par ce poiut t'OU[ieut la courbe, satisfait h la condition 

(6) p,p2...ps=-^^. 



289 



De la luême luanière on trouve, pour les transversales qui passent par Tautre foyer, 

, , , a*7w'* 

pi p2 • • • ps = 



On en conelut que le produit dts distances à ini foyer des j)OÍnts níi une transversale qiielconquCj, 
passant par ce foyer j coitpe la courbe, est constant. 

Mais ce n'est pas ce corollaire de Téquation (5) qii'il y a intérêt à considérer ici, parce 
qu'il est un cas particulier d'un théorème general connu, applicable à toutes les courbes cy- 
oliques. Ce qu'il nous convient de considérer resulte de (õ) en posant daus cette équation 

C-f Aa = 0. 

L'équation de la droite considérée prend alors la forme 

k{x — a) + B^ = O, 

et on voit qu'elle passe par le foyer (a, 0). Et, ayant égard à Téquation (9), on conelut que 
le produit des distances à un foyer des pjoints oh les transversales, qui passent par Vautre, cou- 
pent la courhe, est constant. 



11 



SOBRE UNA CURVA NOTABLE 



(El Progreso Matemático — Zaragoza, 1899, série 2.\ t. I) 



Consideremos dos reetas tijas que fonnen un ângulo ilado m y una recta movil tal, que 
el segmento eomprendido entre las rectas fijas tenga una longitud constante l. La envol- 
vente de la recta móvil es una curva cuya ecuación fué obtenida por Merlieux y Joachimsthal 
«n los tomos i y vi de los NuuveUes annaUs des mufhéniatiqucs. Respecto de esta curva, pro- 
puso M. Barisien, en 1'Intermédiai.re des mathémutickns, una cuesti<')n que tiene por objeto 
determinar el área limitada por ella. 

Varias respuestas se presentaron, entre las cuales una nuestra, fundada en la propiedad 
que tiene esta curva de ser paralela ;í un astroide (Lifermédialre. t. V, p. 100-163). 

Ahora vamos ;í demostrar, por un uíétodo directo y puramente analítico, el resultado ex- 
puesto en el lugar mencionado. 

Tomemos por ejes de coordenadas las rectas íijas, y sea 

* j_ ^ _ 1 



la ecuación de la recta movil. Esta recta corta á las rectas fijas en dos pontos, cuya distan- 
cia / está dada por la ecuación 

l- = a^ -{- ò- — 2 ah cos o. 

La envolvente de la recta móvil se obtiene eliminando o, f> y , - entre las ecuaciones que 

•' c/a ^ 



291 

precedeu y las siguientes 

X y db 



a- o- da 

a — b cos cu -{- [b — a cos tu) — ;— = 0. 
da 



Para hacer esta eliniinacióii, notemos eri piinier lugar que las dos úliinias ecuaciones 
dan 

X ^ y b fOS cu — a 

a- ' b- b — a cos tu ' 

y que esta ecuaci(3n combinada con la ecuat-ión de la recta m(')vil da 

l- x= a- (a — b cos tu), l- y = b- (b — a cos tu), 

(5, eliminando 6, 



/- X = a- [a sen- to -|- cos tu t l- — a- sen- tuj, 



l- y = + L'^ cos (u + \ l- — a- sen- to]- \ ' l- — a- sen- tu . 

Para obteuer la ecuaci('in de la envolvente pedida taltaba eliminar '( entre estas dos ecua- 
ciones. Pêro puede estudiarse la curva sin hacer esta eliminación y, en particular, determinar 
el área, que limita, como vamos á ver. 

Sea S un área limitada por un arco de curva y por los vectores de los extremos de este 
arco. 

Tenemos 



^«=i(^è-4) 



Luego el área limitatla por la curva y por los vectores de los puntos en que a = O y 
a = ai, está dada por la fórmula 



sen tu \ 3 , ., .05 o T"' *'*'^" 

b = ^ — a; cos (u sen tu — a\ l cos tu + o sen tu cos 2 tu I ~ rr . — 



21* I 2 



+ l- {o sen- (u — 2 cos- tu) I ^ ( 



292 



donde se debe emplear el signo superior, cuando se considera un arco de curva en el que y 
es positivo, y el signo inferior, para el caso contrario. 
Pêro tenemos 



r 



V' \ a?sen^<u./r; z — -~ 3 «i sen 



yV — a, sen^ oj — ^ ^ l/r — a; sen^ cu 



/í2_a2gen-2„, sen^oj | 4Z* ' 8 P 

, 3 a\ sen cu 1 

+ _arcsen— ^— J, 



J^"" iC-ãa l* I lai sen w /t^ ^ 

O i/í;- — a-sen-0) sen- cu L Z l- 

, 1 ai sen co i 
+ -^ are sen . 

Luego 



,, sen (O i o , a , „ 3 ., ^^ . ni « r 

o = . ., -^ aj cos (1) sen- m — a\ l cos to .\- -p «í cos z (o v í — «i sen^ 



-H -=; 5 — (cos- O) + 3 sen- m) ^^P — (â sen' w 

— o sen- O) 

Z* ., , «4 sen CO 
+ -7; :j— (cos- O) + 3 sen- co) are sen , 

— b sen'' CO í 



Esta fórmula da el valor dei área pedida. 

Haciendo «i = , resulta para el valor dei área limitada por los vectores de los puntos 

sen (O 

(*N ') y (~ ) *M y po'" la curva 



^ l- \ cos CO cos- O) + 3 sen- co j 
4 / sen CO 8 sen-co y 

y para el valor dei área limitada por los vectores de loa puntos (O, —l)y í , O) y por 

la curva 

(^ l^ ( cos CO , cos^ O) + 3 sen^ co i 

02 = -j- ( 1 ^ s ^ • 

4 sen (O 8 sen- co \ 



293 

En área limitada por ia curva tiene pues por expresión 

l' cos- O) + 3 sen- 1» l- 1+2 sen- < 



8 sen- (u 



La dase de curvas de que hemos tratado tiene como caso particular una curva á que se 
da ei nombre de astroide, que corresponde á m = -]^-. A las curvas consideradas se ha dado, 
como dice el sr. Brocard, el nombre de tetracúspides; talvez sea preferible darle el nombre 
de astroiães llamándose la que corresponde á to = ^ la^froide de cuatro ejes y á las otras as- 
troides de dos ejes. 



III 

SOBRE LOS FOCOS DE LAS ESPÍRICAS DE PERSEO 

(El Progreso Matemático — Zai-agoza, 1900, série 2.% t. 11) 



Se da, fomo se sabe, el nouiljre de cqniicas de Pcrseo á las curvas de euarto ordeii que 
se obtienen cortando el toro por planos paralelos ai eje. Se sabe tanibién que la ecuiación de 
estas curvas puede escribirse dei modo siguiente 



(1) ?/= v/R2_(_^_^^/a;á4:c2)2, 

representando R el radio dei circulo generador dei toro, / la distancia de su centro ai eje de 
la superfície y c la distancia dei plano secante ai centro de la superfície. 

Esto sentado, el objeto de esta Nota es dar un método elemental para determinar los 
focos de la curva ('onsiderada, llamando, como Pliicker, focos á los puntos dei plano de la 
curva por los que se pueden trazar dos tangentes á la curva, cuyos coefícientes angulares 
seau iguales á -]- 1 y —i (siendo i = V' — 1). 

Para resolver esta cuesti(')n, notemos en prinier lugar, que la ecuación (1) da 

(2 1 y = — 



y (pie, por consiguiente, las abscisas de los puntos de la curva considerada, en los cuales los 



295 



coeticientes angulares de la tangente son iguales à ~i ô á —i, deben satisfacer la condición 



(Z + V^x- -r C-) X . 



í/rí _ (í + v/a;^ + c*)2 v/sc^+c^ 



ó {1 + Vx^- + c^-r- a=2 = - [R2 _ (Z + v',;2 + c'-y-] («2 + c^), 

ó (R- - c^f (£c- + c'-f - 2 Z^c2 (R2 + c2) (x2 + c») + Z^c* = O, 



Z^c^ 



^'+<''=j^£^, « v/:^^^=±R+ 



Esta ecuaoión se deconipone en Ias seguientes: 



Ic 



(3) v/^;h^ = __, v^M^ = -j^_p^, 

Zc 



(4) v/^rx^ = ___, ^/^ 

Esto sentado, consideremos diversos casos: 
/." caso. Sea Z- <] (R — c)-. 

f]n este caso, la primera de Ias ecuaciones (3), Ia eeuación (1) y la ecuación (2) dan para 
a; é ?/ los valores 



x= + ^ 4/Z*-(R-cr'= + -^ V/(R_C)2-Z^ 

- K — c — K — c 

y para ;/ el valor (— ij, cuando x é i/ tienen el mismo signo, y el valor (+r) cuando tienen 
signo contrario. 

La segunda eeuación |3) y las ecuaciones (1) y (2) dan para x é y los valores 



R 



^{H + c)- -1% í/ = ± ^r- i/(R + c)- - ^^ 



■^~- R + c " ' ' ' ^ - R + c 

y para ?/ el valor {-\-i), cuando x é y tienen el mismo signo, y el valor ( — i) cuando tienen 
signo contrario. 

Las ecuaciones (4) no dan para ;/ ningún valor (+0, ningún valor (— /)• 



296 



Luego representando por a, h, a\, hi las cantklades 



^^çS.-cf^^, h =^--V(R^f-l\ 



R — c 



R 



.v/(R+^)2_r^ è,=-=-— /(R+c)■^-/^ 



"'-R + c'^" ' ^ ' ' R + c 
los puntos de la curva eii que el coeficiente angular de la tangente es (+i) son 

{ai,—b), {—ai,b), (aii, bi), (—aii,—bi), 
j los puntos en que el coeficiente angular de la tangente es (— i) son 
(ai, b), {—ai, —b), {—ai, b{), íati — bi). 
Las tangentes á la curva en los primeros puntos son 

Y + h = { {X— ai), Y-b ={{X+ ai), 

Y — bi = i{X — mi), Y + 61 = i (X + aii), 

y las tangentes á la curva cuyo coeficiente angular es igual ;'i (— i) son 

Y — ò = — i(X— ai), Y -{-b = — i (X -'- ai ) 

Y — bi= — i(X + aii), Y + bi= — i{X — aii). 

Las euuaciones de las rectas dei primer grupo pueden, pues, escribirse dei modo siguiente: 



1 



Y + l/(R-c)2-;2 = íX, Y ±\/(R+cy^-l-^ = iX; 
y las dei segundo grupo 



Y + ^/(R - c)^ -r- = -iX, Y ± V/(R + c)2 - /^ = - iX. 

Las rectas dei primer grupo cortan ;í las dei segundo en 16 puntos, que son los focos 
ordinários de la curva. A cada rei'ta dei primer grupo, que hemos considerado, corresponde 
una recta dei segundo grupo conjugada á la primera. Las rectas conjugadas determinan por 
sus intersecciones cuatro puntos reales, que son los cuatro focos ordinários reales de la curva. 



297 



Las coordenadas de estos focos sou 



[O, +V/(R-c/-Z-^], [O, ±V{R + cf-l^]. 

2.* caso. Sea en segundo logar í>R + c. 

Por un análisis semejante se ve que en este caso los focos se obtienen jjor las intersec- 
ciones de las rectas 

Y + li = — i {X — a ), Y — hi = — i (X + a ), 

Y — iií' = — í (X — «i). Y + &jt = — í(X -fííi) 



con las rectas 



de donde 



Y" — li = i(X— a ), Y' - h! = í (X + a ), 
Y — Lii = i (X "- u\), Y -\- /j li = i (X — Ml), 



R 



R — c R — (• 

K /,.r 



«1 = -ry-j~ i/'- - (H + c)^ ii = - - —VI' - (R -;- c)'^. 
K + c R -j- c ' 

Las ecuaciones de las rectas dei jirinier i;rapo jmeden piies escribirse coiun si.i;'Ut 



Y = - i (X + Vr' - (R - cf 1, Y = - i I X ± \n^- ( R - cf), 
y las dei segundo gru])u dei modo segniente: 



\ = i(X± \/P - ( R - cf-), Y = i (X + \U-^ — (R ^- c)^-). 
Los focos reali-s sun, j)ues, eii este casii 



[± ^i- - (R - c)-, 0], f + \/r^ - (R + c)-^, 0]. 

.3." coío. Si se tieiic que (R — c)- < /- < (R -j- c)^, se ve dei niisnio luddn qu.- Lis focos re- 
sultan de la interseccii'iii de las rectas 

Y = -Í(X + v//--(R-c)«j, Yj: v/(R^cj-''-r- = -íX 



298 



oon las reotas 



Y = i (X ± Vr- - (R -cr), Y + t/( R + cf - P = /X . 
Los focos reales sou pties 



[± VP - (R - c)-', 0], [O, + l/(R + c)2 - P]. 

4° caso. Sea ? = R — c. En este easo, la primera de las eeiiaeiunes (3) y la tíeuaci('in (1) 

O 



dan .r = (J, y = 0. ]ja ecuación (2) da li — -pr] pêro es f;'ifil ver que el verdadero valur de y' 



l~r> 



V- 

La segunda eeuaeión (8) y la ei-uación (1) dan 



x= + —-- V/Rc, y = + -,—- i/Rc, 
K -{- c ■ K -~ c 

y la eeuaei('in (2) da después J/' = *", cuandu x é // tinen el niisino signo, y' = — i, cuando lo 
tieuen contrario. 

Las rectas que determinan por médio de sus intersecciones los focos son: 

Y + 2 i/r7- = iX , Y + 2 l/Rc = - iX . 

Los focos reales son los puntos que tienen por coordenadas (<>, ■+ 2 v Re). 
õ." caso. 8i / = R4-c, se ve dei mismo modo que los focos resultan de las intersecciones 
de las rectas. 

Y = ~ í (X + 2 y/Rc!;, Y = i.{X± 2 V^Rc i. 
Los focos reales son, pues, los puntos cuyas coordenadas son (+ 2 v^Rc, 0). 



IV 



SOBRE UNA PROPIEDAD DE LOS FOCOS DE LOS OVALOS DE CASSINI 



(Revista ti-imestral de Mathemáticas — Zaragoza, 1901, t. I) 



El objeto de este articulo «s demostrar una propiedad de las distancias á los focos de los 
puntos en que una recta cualquiera corta ;i los ovalos de Cassini, la cual me parece que aun 
no ha sido senalada. 

.Se sabe que la ecuaci<>ii bipolar de estos óvalos es 

u<i = k, 

representando o y o' las distancias de uno cualquiera de sus puntos á dos puntos tíjos (focos 
de la curvaj, y k una constante dada. 

Tenemos, pues, tomando por origen de las coordenadas uno de los focos, y por eje de las 
abscisas la recta que pasa por el otro foco, y representando por a la distancia entre estos focos, 



y por lo tanto 



X- + f = o-, (x - af + y^ = f/- ; 

[j^ -\- d- — {>'- p- íf/ + a-) — k^ 
^ ^ Ta ^ 2af ' 

y~ 2ap2 



300 

ó, poniendo p- = ', 



x = 



2 aí 



y" 2at 



Estas ecuaciones determinan las coordenadas de los puntos de la curva en función dei 
parâmetro variable t. 

Esto sentado, consideremos la recta cuya ecuación es 

Ax + By+C = 0, 

y busquemos los valores que toma t en los puntos en que esta recta corta á la curva. Para 
eso, basta eliminar x è y entre esta ecuación y las dos anteriores, lo que da 

[A< (< + a^) - Ak-i + 2a CtJ = B^ [4 aH'^ -[«(< + «") - ^-j"], 

ó 

(A"- + B^) í* + [2 Aa (Aa + 2C) - 2«-^B-^] <» -U . . . + (A'^ + B'^) k} = O. 

Representando, pues, por íi, íi, (3 y ii las cuatro raices de esta ecuación, tenemos 

2am^-2Aa(Aa + 2€) 
U + h -h rs -r í4 = Ã* + B^ ' 

U h tj h ^ k''f 

y por lo tanto 

. , , , „ , , 2aíB^-2Aa(Aa + 2C) 

pi + pi + pi + p4 = Ã2 + B» ' 

pi Pi p:. P'- = ^-S 

representando o), p2) p:i y pj las distancias de los puntos en que la recta corta á la curva, ai 
foco que se tomo por origen de las coordenadas. 



301 



Tenemos, pues, los teoremas siguientes: 

1.° La suma de los cuadrados de las distancias á uno cualquiera de los focos de los 
puntos en que corta n la curvo, cualquiera recta para/ela ai eje que contiene los dos focos j es 
constante. 

Porque, en efecto, cuando A = O, tenemos 

2." El producto de las distancias á uno cualquiera de los focos de los puntos en que una 
recta cualquiera corta á la curva, es constante. 



V 



SDR LA TÉTRACUSPIDALE DE BELLAVITIS 



(Mathesis — Gand, 1901, tome XXI) 



1. On a beaucoup étiulié l'enveluppe crnne droite qui se rléplace de uianière que le 
segraent cumpris entre deux droites données soit constaiit; et ou sait que cette courbe est 
parallèle à une astroule. On a appelé cette eoiirbe tctracuspidale. et (ju a attribué à Bellavitis 
cette désignation. Mais la courbe qui a été étudiée par cet illustre géomètre daiis sa Sposi- 
zione dei método delle EquijMllenzf (') et à laquelle il a donné ce uoiu, est une ligue diíFérente 
qui a pour équation 

les axes des coordonnées étant ubliques. 

La tútracusjpidale parallhle à Vastroide et la tétracuspidah de Bellavitis ont Tiine et Tautre 
quatre points de rebroussement réels, mais les deux courbes ne coíncident pas, parce que les 
quatre tangentes à la première en ces points sont quatre droites distinctes; et, au contraire, 
dans la deuxiòme, les tangentes en ces points coíncident deux à deux. 



(') Voir Noiívellen Âmiales des MaUiématiijnes, (2), XIII, 229, ou nn trouve une traductioii, par M. Lai- 
sant, de ce mémoirc. 



303 



II est facile d'oljtenir aii moyen des métliodes ordinaires du calcul différentiel les propriétés 
que Bellavitis a établies par la métliode des équipoUences, comme on va le voir. 

2. L'équation de la tangente à la eourbe représentée par 1'équation (1) est 

par L-onséquent, cette dmite coupe les axes OY, OX en deux points P et Q, dont les coor- 
données sont 

(O, h^y^), (a^x^, 0). 

Si on tire ensuite par ces deus points deux droites parallèles aux axes, elles déterminent, 
par leiír interseetion, un point M, dont les coordonnées sont 



et si Ton porte les valeurs de x et y, données par ces équations, daus Téquation (1), on obtient 

cr b'' 

On en coiielut que, si, par Its points (Vxine ellipse, on tire cies droites ^jt<?-uífc?es à deux 
diamhtres conjui/uês, V enveloj>j>e des droites qui passenf par les jmints ou files covpent les dia- 
mèfres consideres est une tètracuspidale de Bellavitis. 

A (thaque systèine de diamètres conjugues de Tellipse considérée correspond une tètra- 
cuspidale. Aux axes correspond la développée de Tellipse. 

3. La tètracuspidale de Bellavitis est V envelojipe des ellipses représentées p)n^' réquation 



(2> 




<.< + p ~ ' 


dont les axes 


satisfout à la condilioii 




(3) 




a 



304 



En effet, si Ton dififcrentie ces équations par rapport aiix paramètres variaLles 'i et p, 
on trouve 



V^ „ , da , c/B ,, 
..í« + |,c/p = (., -^- + ^=0; 



d'oíi Ton dédiíit, >^ désignant une iiiconnue auxiliaire, 

x^ K y- _ K 



En écrivant 



^ = X — 11 = X -^ 



et en additionaut, ou obtient, eu égard aux équations {2) et (o), /v = 1 ; par couséquent, le 
point de contact de l'ellipse (2) avee Tenveloppe a pour coordonnées 






Tirons de là les valeurs de u, [:) pour les porter dans Téquation (í); il vient pour Téqua- 
tion de Tenveloppe 



4. Pour distinguer les deux i-uurbes auxquelles on donue le noni de tétnicdsjndale, nous 
venons d'appeler Tune tétracuspiduh ijurallde à 1'astróide et Tautre tétracusjJidale de Bellavi- 
tis. On pourrait aussi, comme nous Favons proposé dans El Frogreso matemático (Zaragoza, 
18!)0) appeler la première astroide à deux aoces; Tastroide ordinaire serait alors appelée as- 
iroide à quatre axes. 



VI 



SDR UNE PROPRIÉTÉ DES OVALES DE DESCARTES 

(Mathesis — Gand, 1902, tome XXH) 

On sait que r-équation bipolaire de oes eourbes est 

o -|- Arj' = fc, 

OU [j et p' sont les distances d'un point quelconque de la courhe ;i deux points fixes F, F', 
qui sont des foyers; h et k sont des constantes. 

Prenons pour axes de coordonnées la droite FF' et la perpendiculaire en F, et posons 
FF' = a ; nous aurons 



d'ou Fon dédiíit 



r=- 



Cela pose, considérons la droite 



x- + y- = ?-i («— «r + r = p = l^— ^-^) , 



_ (h-^ - 1 ) p- + 2k{j ■+ a-h- -k- 
2_ [-(Ã-^ — 1 ) p^ + 2/<:p + a^h^- - k^f — 4 a ^-hy 



4a-/i* 



(1) Aíc-fB^+C = 0. 

NN 



306 



Elle recontre la courhe en quatre points dont on obtient les distanees au point F en 
substituant les valeurs x et ?/ en p dans 1 équation (1). En rendant Téquation rationuelle et 
ordoniiant par rapport à p, on trouve 

Soient pi, p"2, p3, pi les quatre racines; on aura 

pi + pá + p3 -r p4 = — y^., _ ^ , 

f^' '^■' ^^^ '^' = 17.^-ÍF- + (F"^TF r "^ ^^ ~«^^J • 

La première de ces relations est eonnue. La seconde, si Ton y fait C = 0, donne un théo- 
rcme qui est un eas particulier d'une proposition eonnue, applicable à toutes les courbes cy- 
cliques; c'est pourquoi nous ne nous y arrêterons pas. 

On obtient une propriété nouvelle en supposant 

_, a-h- — k' 

a-h- ' 

cette liypothèse donne 



(2) pi pj P3 P4 



et réqiiation de la secante est maintenant 

(3. a(. ^_j+B.v^O. 

Toutes les droites représentées par Téquation (?>}, lorsque A et li varient, passent par le 
jHiiiit tixe y de FF' qui a pnur eoordonnées 



a-h- — k- 



ah-^ 



2 — , ^«=0. 



Ainsi, il exixfe sur Vuje FF' iin jmnt f tel que toiíle droile me7u'e par c- point covpe Vuvale 
en qiKftrc j)oints dont le jiroãuit í/c.s- 'liatances au foyer F est coiisfaiit. 



307 



Le foyer F' jouit évidemiiient d'une propriété analogue, mais par rapport à un autre point 
/' de la droite FF'. Si Toa écrit l'équation bipolaire sous la forme 

,, 1 k 

on voit qu'on passe de F à F' en (.-iKingeant dans les resultais précédents h en -r- et k en -j-. 
On a done pour Fabscisse de/': 

F'f= = « , doíi F/' = — , 

et pour les rayons vecteurs des points oíi une secante menée par/' uoupe l'ova!e 

, , , , (g^-A-y 

La courbe possède un troisième fo3'er F' situe sur Taxe FF', et dont l'abseisse FF" = ai 
a pour valeur 

_ aVi^ — k-^ 

et 1'équation bipolaire correspondant est 

ah „ a-h~ — à;- 

'' ' IT'' ^kW^iy 

Pour passer du couple FF' au couple FF'', il suffit de remplacer a, h, k par 



ali a-h- — k- 



«i> -rr 



/,• ' k(h^--l)' 

ces substitutions naltèrent pas les valeurs de xi et oi rj-2 pa ps, ce qui est évident. 
A F" correspond un point /" tel, que 

„ a(aVi'^- k^) {a^h?-k^f{k^- a*f 



Yll 



SUR LINVELOPPE D'DNE DROITE DE LONGUEDR DOPÉE S'APPUYANT SDR DEDX DROITES 



(Interniédiaire des Mathématiciens — Paris, 1898, t. V) 



Une droite de loiígueur constante s'appuie sur deux droites íixes faisant entre elles iin 
augle donné. L'enveloppe de la droite est une courbe analogue à rhypocycloide à quatre re- 
broussements. On désire avoir 1'expression de Taire de cette courbe, ainsi que son équation 
ou au nioins son degré ('i. 



Soint /. Tangle des dioites données et / la longueur du segiuent donné. 

11 resulte d'une passage du Traitê Je (/éoméírie analylique (conrhes lúanes) de M. Salmon 
(Paris. 1884, p. 148) qu'il existe deux droites d'angle L qui déterminent par leur intersection 
avec les tangentes :'i la courbe parallèle ;'i Tastioíde 

^^ + ^'^ = Unx)"' 
obtfnue en prenant sur les norniales à Tastroide une longueur égale à -—-cot/., un segment 



(') (iwstion proposée par M. IJiiiíslfii daiis Vlnteriunlinire ilrs matlicmaticieiís, t. v, p. 28-29. 



iHái 



309 



de grandeur constante, égal à l. Donc la courbe parallèle à Tastroíde qu'on vient de men- 
tionner, eoinfide avec la ooiirbe détinie à la qiiestion proposée. (Jr, des équatlons de Tastroide 

l ^ Z . , 

X = —. — — COS'' t, y = —. — -- sin' / 
sin /. sm K 

résultent celles de la courbe parallèle considérée 

l ., l . . 

X = —. — .- COS'* t =rCotK sin ^ 

sm /. 2 

/ . , l . 

y = — : — sin-' í r- cot k cos t. 

'' sm /. 2 

En chercliant Faire de oette courbe au moyen de la furuiule 

2 (* rf< ^ rfí. 



,,, 1 / dy dx\ , 



on trouve le résultat demande 



S= ^^-— (l+2sin*/-) 
<S sm- /. ^ 



VIII 



EVALDATION DIRECTE DE LlIRE DE LA DÉVELOPPÉE DE L'ELLIPSE 



(Intermédiaire des Mathématiciens — Paris, 1900, t. VTI) 



En désignant, suivant Tusage, par c^ la quaiitité a- — 6-, a et b étant les deux axes de 
Tellipse donnée, la rélation à démontrer est la suivante: 






Le quart de laire de 1 astroide eugendree par la droite de longueur -j— a pour 

V ao 
pression 






(') Képoiíae íi une question proposre par M. liarisieii dans le t. vi, p. 31, de l' Inter mcdiaire des Mathé- 
maticiens. 



311 



posons ax'=vabx et substituons, il vient, pour valeur du quart de l'aire de Tastroide con- 
sidérée 



i. I \/[(c2)3-(aa/)3j(fo; 



or, il est bien connu que le quart de Taire de Fastroide est égal (/. étant la longueur de sa 
droite génératrice) à ^ ::'/.*: le quart de Taire de la développce de Tellipse est donc 

32"WíÍ6J ~32^' 



IX 

SUR LE RECTIFICATION DES COURBES PARALLÈLES A UNE COURBE DONNÉE 

(Intemiédiaii-e des Mathématiciens — Paris, 1900, t. VH) 



Cauchy a démontré que Taire des courbes parallèles à une courbe donnée était fonction 
de Taire de cette courbe. Existe-il une relation analogue pour la longueur des uourbes paral- 
lèles? Autrement dit, est-il vrai que, si une courhe est quarrahle et rectijialile, ses courhes pa- 
rallèles le soient missi, comine cela a lieu pour riiypocycloide à quatre rebroussements? (*). 



Soieiít s et .si la loiígiíeur il un are de la courbe donnée et la longueur de Taro correspou- 
dant de la courl)e parallèle considérée. En représentant par 6 les angles des tangentes à la 
courbe donnée avec Taxe des abscisses, on peut représenter cette courbe par les équations 



Queation propósito par M. Haiisicii dans le t, vi, p. 220, di' VJntcrmídiaire des Mathimaticiens 



313 

et les courbes parallèles correspondantes par les équations 

xi = x ■+ k sin f), 1/1 — y ^ k cos 6, 

k étant une constante. 
On a donc 



Mais 



^ = -tJ- + ^= -tt + /-cose] -r -,Í + k sni 6 
dd- dd- <lf)' \dd — ) \db — ) 

= -,y7 + 2Â; -^ H- cos 6 + -fí- sin d -\- k-. 
dd- — de \ds ds I 



-^ cos e -L -^ sin 6 = cos2 e + sin- 0=1. 
ds ds 

Donc 

dsj _ ds 

et par conséquent 

si = s±k{d — eo), 

en snpposant que les origines des ares .s et si sont les points oíi 6 = 6u et que, dans ie cas da 
signe inférieur, le signe de s — /v(6 — ©o) ne vai-ie pas dans Tare considere. 



X 

SUR LES FOYERS DU LIMAÇON DE PASCAL 

(Iiiterinédiaire des Mathématiciens — Paris, 1900, t. VII) 



Oii .sait que le limaçon de Pascal est un ovale de Descartes. La diliiiition des foyers de 
Tellipse que les ravons vet-teiirs sont des fonetions rationnelles etc, est-elle ajjplicable au 
limaçon? ('j. 



L'équation du limaçon est 

(1) (a-- + 7/ — ax)"- = h- (x- + y-), 
et en coordonnéi-s bipolaires 

(2) 2Jp + 2ao' = />' — «^ 
p et [j' représentant les distances de (as, yi aux points 



(0,0), (íi-/,o^ 



(') Qiiestion proposóc par M. ISarisieii dans Io t. vi, p. 2u'l, de Vlnte.rinikliairc des inatlinnatiricns. 



315 



Les foyers sont, en adoptant la dejinition de Plikker, les points (') 



( voir Journal de BattinjUni; t. xxi). L'équation (1) fait voir que la distanee de (x, ij) au point 
(O, 0) est une fonction rationnelle de x et y. L'équation (2) fait voir ensuite que la inêrae 

circonstance a lieu pour le toyer í — , Oj. Le foyer f-^", O) ne jouit pas de cettt* 

prupriété. On le voit en représentant d'abord ce et ?/ par des fonetions rationnelles d'un para- 
luètre t (la courbe est, en eífet, unicursale) et en remarquant en.^^nite que ia distanee de (se, y) 
à ce foyer n'est pas une fonction rationnelle de í. 



(') Nous Bupposons ici que \^s fmjcrs d'uue courbe sont les poiuts oú se coupent les tangeutes à cettc 
courbe, menoes par les points circulaircs de linfini. Si lou suppose, comme quelques auteurs, que les foyers 
de la courbe sont les points oii se coupent Ics droites qui passent par les points circulai) es de linfini et qui 
coupent la courbe eu deux points coincidantes, le point double (O, 0) est aussi un foyer du limaçon. 



XIII 



SiJR LA COif[RG[iC[ m FORiltS fllERPOLIÍi DE LAGRANGE, GAUSS, [ÍC. 



(Journal fur die reine und angew^andte Mathematik, 
gegrúndet von Crelle. Berlin, 1903. Band CXXVT) 



.dÊ, 



SDR LA CONVERGENCE DES FORMULES D'INTERPOLATIOíi DE LAGRAHGE, GADSS, ETC. 



1. Si l'on connait les valeurs que prend une fouction f(x) quand on donne à x les va- 
leurs ai, «2, • • ., «„„ on peut former, au moyen de la formule d'interpolation de Lagrunfje, 
une fonction entière de x qui ait ces mêmes valeurs là dans les points aj, a-i, . . ., a,„. Nous 
allons nous occuper dans la première partie de ce travail de letude des conditions pour que 
cette fonction tende vers f{x), quand m tend vers Tinfini. 

Cette question a été considérée par Hermite dans un travail important, publié dans ce 
Journal (tome Lxxxiv, 1878), oíi l'éminent géomètre a presente une expression, au moyen 
d'une intégrale curviligne, du reste de la formule de Lagrange, qui Ta conduit à une suite 
d'inégalités qui sont des conditions suffisantes pour cette convergence. Mais ces conditions 
ne sont pas nécessaires pour que la fonction déterminée par celle formule là tende vers /(«), 
pour »n= x; et, par conséquent, Tétude directe du reste, quand il est possible, peut conduire 
à des resultais que les inégalités de Hermite ne donnent pas. Cest ce qu'il arrive quand 
ai, 0-2, «3, • • • représentent le système de valeurs 

- - , 3- . {2n-\)T 

ncos^T—, rtcos^r— , .... «cos^ — ^ — ' — , 
'Jn In 2n 

dont rimportance dans cette question resulte d'un tliéorème de Tchehicheff bien connu. En 
étudiant directement, dans ce cas, le reste de Ia formule rapportée, nous avons obtenu les 
théorèmes énoncés dans les n."* 6 et 7, qui contieniient comme cas três particulier celui qu'on 
a tire dans le n.° 5 des inégalités de Hermite. 

Un autre cas, plus general que le précedent, dans lequel Fétude de la convergence de la 
formule d'interpolation de Lagrange nous parait offrir quelque intérêt est quand ai, 02, 03, . . . 
représentent des nombres réels, deux à deux égaux et de signes contraíres. Nous le consi- 
dérons dans le n." lU. 



320 



Dans la seconde partie de ce travail nous étudiuns, en noiís plaçant dans le même point 
de vue, les formules d'interpolation trigonoinétriques, en considérant une formule donnée par 
Ganss dans son beau et important Mémoire sur Tinterpolation {lli eor ia interpolai ionis mcthodo 
nova tradata, Werke, t. III, p. 265), une formule analogue indiquée par Hermifc dans son 
Courx d'Analyse de VEcole Polytechnique, p. 331, etc. Après quelques remarques générales 
nous considérons, en particulier, les fonctions pcriodiques, en supposant preniièrement que 
«1, «í, «3, • • • sont des nombres réels arbitraires, et ensuite qu'iLs sont des racines de léqua- 
tion cos nx = O ou sin nx = 0. 

Dans ces études représentent un role fondamental les courbes définies par Téquation 
|sin(a; — o) | = c, que nous avons étudiées dans un mémoire publié dans ce Journal, t. cxvi, 
p. 14 ('), auquel le présent travail est lié par plus qu'un rapport. Et, par cela, nous profite- 
rons cette occasion pour joindre quelques formules à cellea y indiquées. 



(') Voir ce volume, p. 103. 



SSur la convergeiíco tio la for-iiiiile tl'liitei'polailoii 

de La y range. 



2. Soit /(z) une fonction holomorphe dans Faire limitée par un contour A et désignons 
par íc, ai, a-), . . ., a„i les aíExes de ni -\- 1 points à rintérieur de A. En appliquant à Tintégrale 

(1.) R(.) = -l r /(^)(^-«0-(x-a-.)^...(x-a,..)^ ^^ 

le tliéorème fondamental de Ia théorie des residas, Hermite a obtenu, dans un article publié 
dans ce Journal (tome Lxxxiv, 1878), la formule suivante: 

(2.) /(aj) = e(«)-fR(x), 

oíi 9(x) represente une fonction entière de x, qui satisfait aux conditions suivantes: 

e {ai) =f{ai), 6' (a,) =/ (a,), . . . , 9(^^-1) (ai) =/('^- 1) (ai), 
r. ^ ■ e (a.) =/(a2), 6' («-,) =/ (a,), . . . , 9'?" D (a^) =/'? " D (a,), 

' 9 (a.O =/(«„.), 9' (a„,) =/' (a,„), . . . , 9(>— » • (a.,,) =/("'- - ») (a„,). 
De cette formule et de i'inéo'alité 



R(a[;)|< — -^ !^ ^\df 



322 



il resulte que S (x) tend vers /(a-), quand tous ou quelqu'uns des nombres m, a, p, ...,). ten- 
dent vers Finfini, si la plns grande valeur que prend Texpression 

I (x~air(x-a2f...(x-a „,)'^ 1 
\(z-aif{z-a.2)^...[z-aj^\ 

lorsque s décrit le contour A, tend vers zero. Cette condition est satisfaite, comme Ta re- 
marque Téminent géomètre, quand on a, pour tout poínt s du contour, 



(4.) 



X — a\ 




x — a-i 




x—a3 





<s, 





<£, 




z — ai 




2 — «2 




3—03 



£ étant une quantité arbitraire, inférieure à Tunité. 

Si, étant donné le contour A, on veut clierclier Tensemble des valeurs qu'on doit donner 
à X pour que fl (a-) tende vers f(x), ou au moins une partie de cet ensemble, on a besoin d'em- 
ployer ordinairement les inégalités (4.), à cause de la difficulté de Tétude directe de la condi- 
tion générale; mais on doit reoourir à cette condition tous les fois que ce soit possible, par- 
cequ'elle peut mener à des conséquences qui ne resultent pas de ces inégalités. Nous allons 
étudier un cas important oíi cette circonstance a lieu. 

3. Dans Tétude que nous allons faire nous aurons besoin de considérer la courbe repré- 

sentée par Téquation |cos3| = c, ou sin í-^r 3Jj = c, c étant une constante donnée; or 

cette courbe ne diffère que par sa position dans le plan de celle dont Téquation est | sin s | = c, 
étudiée par nous même dans un travail publié dans le tome cxvi, p. 14, de ce journal ('), ou 
nous avons démontré que, si est c^l, cette équation represente une courbe composée d'un 
nombre infini d'ovnles égaux, dont les centres sont les points (O, 0), (+ ti, 0), (+ 2w, 0), ... 
et dont les axes sont égaux à 2 are sin c et 21og(c-f V c- + l); et que, si est c> 1, elle re- 
presente une courbe composée de deux branclies, symétriquement placées chaqu'une de son 
côté de Taxe de abscisses, qui s'étendent jusqu'à Tinfini dans le sens des abscisses positives 
et dans celui des negativos, en faisant xme série d'ondulations d'amplitude égale à r, et dans 
lesquelles 1'ordonnée prend une valeur absolue maximum, égale à log (c + V c--j- 1), dans les 
points oíx les valeurs de l'abscisse sont O, + -, + 2n, . . ., et une valeur absolue minimúm, 
égale ;i log(c + V c-— 1), dans les points oíi les valeurs de Tabscisse sont 



1 


3 


5 


+ -^■^■ 


, -1- — 7 


', "1" -tT-, 


— 2 


' — 2 


' — 2 



(') Voir CO volume, p 107 



323 



La uourbe représentée par réquatioii icos3J = c est donc aussi composée, lorsque c<;l, 
crun nombre infini d'ovales égaux, dont les centres sont les points 

±4,ol (±^,o), (±4f,o' 



- 2 ' 7 ' \- 2 ' 7 ' V- 2 ' 



et dont les axes sont égaux à 2ai-csmc et 21og(c + / c^+ 1); et, lorsque c>l, de deux 
Lranches symétriques par rapport à Taxe des abscisses, qui s'étendent jusqu'à linfini, en 
faisant une série d'onduIations damplitude égale à •::, et dans lesquelles Tordonnée prend une 
valeur absolue maximum, égale à ]og{c-\-vc--\-l), dans les points oii Tabscisse prend les 
valeurs 

±1, ±^, ... 



et une valeur absolue minimum, égale à log(c + /c- — 1), dans le points ou Fabscisse prend 
les valeurs O, + -, + 2-, . . . 

Nou3 aurons besoin de considérer aussi la eourbe définie par Téquation plus générale 
I sin (z — rt) I = c. Elle ne diffère pas des antérieures que par sa position dans le plan. Les 
centres des ovales, qu'elle a quand c^l, sont les points (a, 0), (a + r., 0), . . . ; et, quand 
c> 1, Tordonnée prend une valeur absolue maximum ou minimum dans les points oíi l'abscisse 
prend respectivement les valeus a, a + -, a+2r., ... ou les valeurs 

,1 ,3 ,5 

« ± Y "> « ± ^ '. « ± Y "; • • • , 

et ses deux branches sont placées symétriquement chaqu'un de son oôté de la parallèle à 
Taxe des abscisses menée par le point d'affixe a. 

4. Je vais encore, avant terminer ces remarques préliminaires, démontrer Tinégalité 
suivante : 



; «z I > 4- [(c + »/c2-l)" - (c + /c2 - l)-«]. 



ou 2 represente Taffixe d'un point quelconque de la eourbe représentée par lequation |cos2| = c, 
dans laquelle est c>l, quej'aurai besoin d'appliquer bientôt. 

Pour cela je déterminerai d'abord la plus petite valeur que prend | cos nz | quand z décrit 
la droite représentée par Téquation 



324 



qui passe par les points de la courbe | cos z\ = c oíi l'orclonnée prend une valeur minimum, 
et, pour résoudre cette question, je remarque qu'on a, eu posant z = x'-\-iy', u=\cosnz\, 



u- = cos- nx jr 1 + sin- nx 



et qu'on doit, par conséquent, appliquer la methode des máxima et mínima à la fonction de 
x' suivante: 



u, = cos nx 



, (e"' + e- 






2 / ' \ 2 

On trouve de cette manière, en ayant égard aux équations 



, , = — 71 ain 2 nx' 
dai 



et 



-^j-.iT — — 2 Ji' cos 2 nx', 
dx'- 



que u", prend une valeur minime quand est 



'^~- 2«' - 2«' - 2n' ••■ 
et que cette valeur est égale à 

Mais d'un autre côti^, comme la dérivóe partielle de u- par rapport .à y': 

ditr n , a , „ ,, 

dy' 2 "■ > 

est positive, quand _?/ > O, on voit que les valeurs que prend m'-, quand on donne a x une 
valeur dóterminée quelconque, croissent quand y augmente; et que, par conséquent, la va- 
leur que prend cette fonction dans uu jidint quelconque de la courbe |cosz| = c est plus 
grande que celle qu'elle prend dans lo poiut de la droite y=l qui correspond à la même 
abscisse. 



325 



On conclut de tout ce qui precede que, dans tout point z de la courbe | cos 3 | = c, oíi 
c> 1, on a rinégalité 



qui, en posant Z = log(c + vc'^ — 1), donne celle qu'on voulait démontrer. 

II convient de remarquer encore que le limite inférieur des valeurs de |eosn3], qu'on 
vient de déterminer, ne coincide pas avec la valeur minimum que cette fonction prend quand 
z décrit la courbe | cos z | = c. Les ordonnées des points de cette courbe oii | cos nz | dévient 
minimum doivent, en eÉFet, être calculées par Téquation 

(eS"!/' _ e-2"!;') sin 2a;' = (e^ — e-^.v) sin 2na;', 

qu'on obtient en appliquant la methode des máxima et minima à la fonction if-, en y élimi- 
nant d'abord a/ au moyen de Téquation 

{êi' + e-s')^ = 4 [c2 + sin2 a;'] 

de la courbe considérée (•). 

5. Cela pose, nous allons considérer la formule qui resulte de (1.) en y posant a= 1, 
P= 1, . . ., K= 1, c'est à dire la formule d'interpolation de Lagrange: 

(5.) /(x) = e(x) + R(a;), 

' o r.A - («'-f'-2)(a' — «3)...(a; — a„0 , 
*" ^-"^ - (a. - m) (a. - «3) . . . (ai - a^f ^"'^ 

{x — ai){x — az)...{x — ar„) ^. . 
(6 .) { {a% — ai) (aa — «3) . . . (a-2 — a„y ^""-' 



+ 

^ {x — aK){x — ai)...{x—a^^i) 
(a„, — ai) (a„, — aa) • • • (om — a„,_i)-' '"'' 



avec Texpression du reste donnée par Hermite 



'=iiX 



(7.) R»-,-5^ I /(')(;■■-<■■)■■■(»— - 1^,, 

i7,_ I (3_a;)(z — ai)...(3 — Om) 



(') Voir ce volume, p. 108. 



326 



et, eii supposant que le contour A de Taire daus laquelle la fonction f{z) est liolomorphe est 
une circonférence de rayon égal à <i, avec le centre dans Torigine des coordonnées, et que 
d, «2, . . . a,n reprósentent des nombres réels compris entre — h &t -\-h, nous allons chercher 
un ensemble de valeurs de x telles que 9 (a;) tende vers/(£c), quand m tende vers Tinfini. 

En employant premièrement pour ce but les inégalités (4.), nous reinarquerons d'abord 
que les circonférences de rayon égal à | o | + ^, ayant leur centre dans le point d'affixe a, 
qui correspondent aux valeurs que prend a entre les limites — /« et + h, sont placées dans 
Taire limitée par les circonférences C et C, de i-ayon respectivement égal à A et à p, ayant 
leur centre dans Torigine des coordonnées, si est p > 3^. On a donc, pour toutes les valeurs 
de X reprósentées par les points de Taire limitée par C et pour toutes les valeurs de s repré- 
sentées par les poiuts de la circonférence C, 

I a — rt I < I rt I + ft, I z — a I > p — I a I > p — A, 
et par conséquent 



X — a 
z — a 



2h 

< j-<l. 

p — « 



On a donc le tliéorème suivant: 

Si la fonction f(z) est holomorphe dans 1'aire limitée par la circonférence C , si x repre- 
sente 1'ajfixe d'un point de Vaire limitée par la circonférence Q, et si «j, «-j, . . . sont des nom- 
bres réels compris entre — li et h 9 (a) tend vers f(x) quand le nombre des quantités ai, a», . . . 
tend vers Vinfini. 

II convient de remarquer qu'on arrive à la même conclusion en supposant que le fonction 
f(z) est holomorphe seulement dans la partie de Taire du cercle C qui coincide avec les 
aires des cercles de rayon égal à 2h avec leur centre dans les points (/í,0) et ( — A, 0). 

6. Les nombres ai, í/j, az, ..., qui entrent dans la doctrine antérieure, peavent être 
choisis d'une manière arbitraire. II convient donc qu'on leur donne des valeurs telles que 
9 (a;) tende le plus rapidement possible pour f(x). Nous leur donnerons donc les valeurs 

z 5r: {2n—l)r. 

(8.) ncos-=r— , /ícos^r— , .... rtcoa^ =:-- - — , 

2n 2n 2n 

qui sont celles qui satisfond à cette cundition, comme Tchehichejf Ta fait voir. 
En posant alors 

x = h cos ífi, P (x) = (x — <i\). . . {x — a,,,), 

et en ayant égard aux identités 

(2ji-l)7t - (2íi-3)^ 3:: 

cos -r = — cos^,— , cos 1^ = — cos-^, ... 

Zn 2n 2n 2n 



327 



on trouve 



T,/ 1 / - \ / 3r\ / (2n-í)T.\ 
r{x) = n" Icos a'i — cos ^^1 Icos «i— cos — — l...lcos xi — cos ^ I 



cos- xi — cos- ^ — ... cos- XI — cos- ^ i 



= h" ( cos- XI — cos- --^ j ( cos- xi — cos- -^ ) • • ■ ( ^'*^^^ ^í — '^os" ^^ — õ 

= ^•' sin (^ - o.,) sin (1^ - o..) . . . sin {^^- - x^ 

^ ''° (i + "'') -''^ (ir + "^*) • • • ''^ {^-- +'"')' 

quand n est un nombre paiV^ et 

J:'(£CJ = A"I COS-Xi — COS"'-;^! I COS-ÍCi— C0S--j^ I ... IcOS-Xi — cos- ; I I COSÍt'! — cos-^— 



= A«sin(^-a-,)sin(|^-x.)...sin(^^)-^-x,) 

: + ''') '^° (Ir ^ "") • • • '^° i~i^ + ''') 



X 31° 1-^-=^'). 



quand n est un nombi-e impair. Et de ces formules et des suivantes, données par Eiãer dans 
son Introductio in Analysin iiifinitorum: 



■£C| 



i ,,„,./ r \ . / 3- \ . / (n - 1 

l cos nxi = J"~' sm ( ^r xi sm I -=: a-i . . . sm I -^ — — 

1 \ 2n I \'ln I \ 2n 

(A.) ' 



si Ji est un nombre pair, et 



^^"(l^-^')---^'"(^--^*) 
(B.) 1 X sin(^ + x,)sin(^ + x.)...sin(-^^-^ + x.) 



X sm I -j xi I , 



328 



si n est un nombre impair, il resulte 



En posant maintenant 



on trouve aussi 



P (a;) = -^^^:^ cos íííci. 



z = h cosz), 



P(z) = -— 3yC0S»lSl. 



L'expression dii reste R(a,-) prend donc ia forme 
(9.) R(x) = — - /-^ — ^ dz, 

et elle fait voir que la uondition géiiérale pour que R (a,-) tende vers zero, pour n = cc, est 
que la plus grande valeur que prend Texpression 



quand le pomt dont .-; est Taffixe décrit Ia circonférence A, tende vers zóro, pour «= co. 

Pour étudier cette condition il nous faut cheroher la courbe que décrit le point dont Taffixe 
est =1, quand le point dont Taffixe est s décrit la circonférence A. Or, comme Téquation de 
cette circonférence est \z\ = p, on voit que Téquation de la courbe demandée est 

|cos.,| = ^. 

Nous trouvons ainsi la courbe considérée dans le n." 3, oíi on a vu qu'elle est fermóe et 
coupe Taxe des abscisses, quand p^^, et qu'elle est ouverte et ne coupe pas cet axe, quand 
est (> > h. Dans le premier cas, Ics valeurs de zt qui correspondent aux poiuts oíi la courbe 
coupe Taxe des abscisses sont réelles, et dans ces points on a | cosnsi | < 1, quelque grand 
que Boit «; dans le second cas, la plus petite valeur que prend Jcosjízj j, quand zi décrit la 
courbe considérée, tend (n." 4) vers l"infini, pour n = cc. 

l)'un autre côté, si Ton suppose que x est une quantité réelle, iMiuiprise entre — h et h, 
XI est aussi une quantité réelle, coniprise entre •) et -, et on a | cosna,-) | < 1. 



329 



^ .,,,.,,, ,, ,, , cosnaji , 

Utí tout ce qui precede il resulte que la plus grande valeur que prend , quand 

z décrit le contour A, tend vers zero, pour n^cc, si a; est un nombre réel, compris entre 
— h et h; et que, par eonséquent, on a, pour ces valeurs de a;, 

lim R (x) = 0. 



Nous avons donc le théorème suivant: 

67 la fonction f{x) esl holomoiyhe dans 1'aire limitée par une circonférence de rayon égul 
à p ayant son centre dans ['origine des coordonnées et si x est une quantité réelle compnse entre 
— h et h, et \j>h, la valeur que pirend (a-)^ quand on donne à aj, a», cts, ... les ixãeurs (8.), 
tend vers f{x), quand n tend vers Vinjini. 

En comparaut ce résultat à celui qu'on a obfenu dans le n.° b et en considérant seule- 
inent les valeurs réelles de a;, on voit que, dans le théorème qu'on vient de démontrer, on fixe 

à ces valeurs les limites ( — p, p), moins étroits que ceux ( .j-p, ^p) qu'un avait été obligè 

à leiír fixer en faisant usage des inégalités (4). 

7. On peut généraliser facileiuent Ia doetrine qui precede en Tétendant aux valeurs com- 
plexes de x, comme on va voir. 

On a, en effet, en posant xi = a-ri7:l, 

cos na;i |- = cos-)ia I ^ 1 -1" sm- «a ( 



et (n.o 4) 



I cos nzi \ > -^- (e"' — e^"'). 



zi étant laffixe diin point quelconque de la courbe | cos Z| | = c; et, par eonséquent, 



cos nx{ 



efi^ + e-^^X^ , . „ /e«?-e-«f! 



<cos-?!a — -. ;- I +8m-'Ha, — ; j 

cos íizi \ ,,ni _ ^—nl I \ nl ^—nl 



QQ 



330 



Mais 



lorsque 1 j5 1 < ?. 

I (jos 7}3C\ 

Donc la plus grande valeur que prend ; , quand zi dócrit la courbe Icossi |=c, 

, ^ ' I cos «31 I 

tend vers zero, pour n= cr.. 

II resulte de ce qui precede qu'est 

/(«) = liin e (a;) 
quand 

Considérons, en particulier, les valeurs de x qui sont les affixes des points de Ia eircon- 
férence de rayon pi, ayant son centre daiis rorigine des coordonnées, et soit pi < p. Les va- 

leurs correspondantes de a'i sont représentées par les points de Ia courbe | cos*] | = -y- = ci, 

et, par conséquent, pour qu'on ait, por toutes ces valeurs de a;, lim 9 (a;) =f(x), il suflSt que 

cette courbe-ci soit à lintérieur de la bande limitée par les droites y = — l et y=l. Or, 
comme la plus grande valeur absolue des ordonnées de la courbe j cos xi | = ci est égale à 
logfci + V Ci + 1), la condition énoncée est satisfaite quand 



log (p) + i/p? + h') < log (p + i^p-^-/í-) 



ou, par conséquent, 



II resulte de cette inégalité la suivante: 

et nous avons donc le théorème suivant: 

Si la fonctíon f{x) est holomorphe à Vintêrieur de la cifconféreiíce de rayon égal à p, 
ayant le centre dans V origine des coordonnées, et si x est Vaffixe d'un poÍ7it de Vaire du cercle 
de rayon égal à pi ayant le centre dans le même point, et si est p' > p? + h^, la fonction 9 (x) 
tend vers f{x), qxiand n tend vers Vinfini. 



331 



Ce théorème contient coiume cas particulier celui qui resulte du tliéorème obtenu dans le 
n." 5 eii y donnant à ai, a-j, aw, ... les valeuis (8.), lequel correspond au cas oii fji = h et 
p > 'òh. 

8. Nous allons nous occuper maintenant de la détermination du dégré d'approximation 
avec laquelle le polynôrae 9 (x), correspondant à une valeur de n donnée, represente la fon- 
ction /(«), en continuant à supposer que/(íi') est liolomorphe dans Taire limitée par la cir- 
conférence de rayon p ayant son centre dans Torigine des coordonnées, que x est un nombre 
réel compris entre — h et h, et que ai, m, cii, . . . représentent les nombres (8.). 

Pour étudier cette question nous partirons de !a formule 

t./ \ ^ r f(z)cosnxi 

^ 2l~ j^ (S — £e)cOSH2!) 

qui donne 



H 



V / I \ M- I I 2 — X \ \ cos 7lZi 



et par conséquent, en représentant par ]\I un nombre égal ou supérieur à la plus grande va- 
leur que prend ;/(z) | quand z déciit la circonférenee A, et par 13 un nombre égal on inférieur 
à la plus petite valeur que prend j cos«3i |, quand z décrit la même circonférenee (et par con- 
séquent zi la courbe |coszi| = c), et en remarquant qu'est \z — «!>? — |a-'|) 

(10.) I^(")l<'mp^^r 

Or on a déjà vu qu'est 

I cos nzi I > ~ [(c -1- /c^^)" -{c + l/c^-l)— '], 
et on peut donc poser 

B = y [(c + t/c^-l)" - (c + l/c2-l)-«J. 

L'expression (10.) du limite de Terreur qui resulte de prendre pour valeur de/(x-) la 
valeur de B (a;), correspondant à un nombre n donné, depend de x. On en tire la suivante, 
independante de cette variable, applicable à tout Tintervalle ( — h, +/í): 



332 



On peut obtenir de une manière faeile la valeur qu'oii doit attribuer à n pour que j R (a;) | 
soit inférieur à uii nomltre donné d'avance o. 11 suffil, en tfftt, de satisfaire à 1 iuégalité 



i?-h)B 



pM 

qui (lonne, en posant *— j—^- = m. 



et, pai' conséquent, 



(c + l/c2 - 1)2» — 1 > 2« (c + \/c^ — 1)", 

[(C + /c^-l)" - llf - (l,2 + 1) > O 

(c + l/c23T).. > í, + /m-+1 , 



log(M + /?'-+!) 
Iog(c+t/c2 — 1)' 

On obtient <lone le nombre demande en cherchant le plus petit entier qui satisfait à cette 
inégalité. 

La doctrine qui precede est applicable à Févaluation approchée des intégrales définies. 
On a, en effet, en reprósentant par a et b deux nombres compris entre — ã et h, 

Xb nb fb 

f{x)dx= j e(a')á.iH- I R(«)c/a', 

et, en supposant b> a, 

I C' I pM(6-a) ,. „ 

R(x)dx\< \ ^ ,, p-; limB = a. 



Donc 



r^b nb 

f(x)<Jx= lim I B{x)dx. 



333 



L'erreur qui resulte de prendre le nombre | Q(x)dx, correspondant à une valeur de n 
f{x)dx, est inférieure à 

pM (b — a) 

Si Ton veut déterminer la valeur quon doit attribuer à n pour que cette erreur soit in- 
férieur à un nombre donné ô, ou peut recourir à Tinégalité 

pM(è-«) 






Iog(it,-!-v/uí + l) 

n > , , 

log(c +Vc' — l) 

ou 

pM (ò — a) 
«1 = ■ , =u(b — a). 

(p — A)5 ^ ^ 

Le plus petit entier qui lui satisfait est le nombre demande. 

9. La doctrine qui precede peut être étendue au eas ou la fonction f(z) est holomorphe 
dans l'aire limitée par une circonférence de rayon p ayant le centre dans le point (a, 0), et 
oíi X represente un nombre rée! compris entre a — h et a — k, et ai, a-2, a:;, . . . représentent 
les nombres 

a -f- n cos -r— , a-rhcos—r—, .... a-f-hco9~ — =r — - — . 

En posant, en eíFet, x = x'-\-a, on voit que f(x' ~a) est une fonction de x' holomorphe 
dans Taire limitée par la circonférence de rayon p ayant son centre dans Torigine des coor- 
données, et que prend les valeurs /(«i), /(«a), /(«u), • • -, quand on donne à x' les valeurs 

/.cos 2^, Aços 2^, ..., ÃC09 g-— . 



334 

On a done, quaud les ronditions indiquées aux n."'* G et 7 sont satisfaites, 

f{x' + a) = lim e (£c') 

et, par conséqiient, 

f(x')= lim 9(0; — rt). 

IO. Voici encore uii autre t-as daiis lequel la condition generala pour la convergence de 
la formule d'iuterpnlation de Laiji-ange, eonsidérée dans le n." 5, conduit à des résultats, qui 
nous paraissent oífrir quelque intérét, qu'on ne peut pas tirer des inégalités (4.). 

Supposons que les nombres ai, a-2, aa, . . . soient encore réels et, deux à deux, égaux et 
de signas contraíres, et qu'ils soient compris entra — h et k. Supposons aussi que la fonction 
fíx) soit, eomme dans le n." 6, liolomorphe dans Taire limitée par une circonférenee de rayon 
p ayant son centre dans Torigine des coordonnées. 

La condition pour que 9 (íc) tende vers /(a"), pour in = <x, est alors que la plus grande 
valeur que prend 

I (x- — a?) (.r' — rã) . . . (.r" — ai) I 

011 v = — -?)!, quand z décrit la circonférenee considérée, tenda vers zero, pour y= x; et sont 
des conditions suffisantes pour cette convergence qu'on ait 



x — a: 
<; £ í <; £ 



s étant une quantité positive arbitraire, inférieure à Tunité. Nous allons étudier ces condi- 
tions-ci. 

Soit a un nombre réel quelconqua, compris entre — h et h, et considérons la cassinique 
définie par Téquation 



' — a- =c-, 



c étant une constante, ou, eii posant s = a*' -f ly, 

[(x' — af + y2] [x' + af + y2] = c4^ 

laquelle, lorsíjuV)!! suppose c>a^ est composée d'un seul ovuh, lequel coupe Taxe des abscisses 
dans les points [+ V a- +c-, 0] et celui des ordonnées dans les points (O, l''c'^— a-]. 



335 



Quand a varie depuis O jusqu'à h, et c- varie aussi de manière qu'il soit toujours 
a^-\-c^= h\, /íf étant un nombre donné, que ne soit pas inférieur à 2Jr, les ovales résultants 
coupent tous Taxe des abscisses dans les raêmes points, ne se coupent pas en autres points 
réels, et varient de manière que eelui qui coiTespondent à une déterniinée valeur de a con- 
tient à Tintérieur ceux qui correspondent à les valeurs supérieures de a; et tous ces ovales 
sont placés à Tintérieur de la circonférence représentée par Téquation 

x'^ + !/' = fi*, 

qui est Tovale correspondant à a = 0. 

Cela pose, si x represente Taffixe d'un point de Tintérieur de Tovale suivant, qui cor- 
respond à a = h: 

(C.) \z^-h''\ = h\-h\ 

ce point est alors à Tintérieur de tous les ovales consideres, et on a dono 

\x'-a'\<h\-a'<h\. 
D'un autre côté, on trouve au moyen de l'expression 

I z- — a-\- = (x'- + y"'-f -\-2a? (a;'- + 1/'-) — 4a^ aJ'^ + a*, 
que la plus petite valeur que prend | .-- — ce- 1, quand z décrit la circonférence 

ou p>/m, coincide avec la plus petite valeur que prend 

p* + 2a-p'^ — Aa-x'- -j- d-, 

quand £c'* varie depuis O jusqu'à p-, et est, par conséquent, égale à p- — a-. 
Nous avons donc, pour tout point z de la circonférence considérée, 

I 2- — a- I > p- — a- > p- — Ã-, 
et par conséquent 

i '"^-"^ I Ã? 

I z^ — a* I p"^ — h- ' 



336 

En siibstituant maintenant a par les nombres oi, 02, 03, . . . , et ea supposant 

011 trouve les inégalités suivantes: 



03" — a 



1 I ^? 1 I *"^ — '^^ I ^'' 1 

I ^ — uf I p- — /r 1 z^ — «i I p — ft 

au moyen desquelles on voit qu'alors 011 a 

/(.X-) = lini B (x). 

Nous avons doiic le théorème suivant: 

Si la foiíctioii f{x) est holomorjyJic dans le cercle de rayon égal à p, ayant son centre dans 
V origine des coordonnóes; si ai, a->, «3, ... sont des nomhres réels, comjjris entre — h et h, 
deux à deii.r égnnx et de signe.i contrairei;; et si x representa Va^xe d'un point de V intérieur 
de V ovale de Cassini (C), 9 (.r) tend vcrs f{x), pour v = cc, quand est 

h,>hv'2, p>v/Ã-M^X-f. 

Si, en partieulier, x est iin nombre róel, compris entre — kv2 et 7iv2, et est p>/iv3, 
B (a-) tend vers/(;r), quand v tend vers Tinfini. 
De ce qui precede et des inégalités 



P , , ,= 1 r\ fiz) I \(x' -a',)...{x'- ar)\ , 



(z*-a'í)...(z'-a^)| 



]3_a;|>p-|a-|. 
on tire encore les inégalités suivantes, lorsque x est réel: 

' ^ ^' p — |íc| Vp' — /íV p — /í, (p' — /í'/ 

oii M represente un nombre égal ou supérieur à la plus grande valeur que prend |/(3)|, 
quand z décrit la cireonférence de rayon p ayant le centre à Torigine des coordonnées, qui 
ont les mômes usages que les inégalités analogues considérées dans le n." 8. 

11. Nous terininerons la première partie de ce travail en étendant la formule (2.), qui 
a été le point de départ des reclierclies precedentes, aux fonctions qui admetent des pôles ou 
des points singuliers essentiels, en nombre fini, à Tintérieur du contour A. 



337 



Soient bi, b-2, ■ . ., b^ ces points. On sait qu'il existe alors />; développements respectivement 

, , . , ., . . , 1 1 1 
ordonnés suivant les puissances entieres et positives de j—, j—, ■ . . , j--, que 

nous designerons, suivant lusage, par 

tels que la fonction F [w) définie par l'égalité 

F(.)=/f.)-;s;G.(^) 

est holomorphe dans Taire considérée. Donc on peut lui appliquer la formule (2.), et il vient 

^^-J.,iz~x){z-aif{z-m)K..{z-a,nf 
ou II (cc) represente une fonction entiòre de x, qni satisfait aux conditions 

II (a,) = F (ai), ir (a,) = F' (a,), . . . , IIÍ'--) (a.) = F(") (ai) 

II K) = F («,„), ir (a,,,) = F' (a,,,), . . . , H^^) (a,„) = F^-) (a„,), 

oíi F(ai), F(fl2), •••, F'(ai), F'(a2), ... sont des nombres qui dépendent des valeurs que 
prenent/(xj et ses dérivées dans les points ai, a-2, . . . 
Jlais on a, en posant F (x) = (x — a{f. . .(x — a,,,)'', 

ç F(z)'^ {x) n JJzyp ix)_ _ '=/ ( Mj36^(^ 

J,{z-x)P(z) "■ J, (0-a-j"P(2j - ,ric/, {z-x)Y{z) ''^' 



et, à cause de Tégalité 



A'" A''> A'' 



on a aussi 



i 



z — bj [z—bi) ' (z-èi)^ (z-6i)^ ' '"' 



G. f-^)P(x) » *«,!>/ ^ 

\z-bi/ "■ ' , _ V r A!"P(a!) 

A (2-it;)P(0) " ^ ,ri-JA(z-a')(2-6i)'P(z) "■ 



338 

Or dans cette formule il entre Tintégrale de la fraction rationnelle 

1 

(z -x)(z- b,y (3 - atf ...(z- a,„)'^' 

et il suffit qu'on remarque que le dégré de son nuraérateur est égal à O et que celui de son 
dénomiiiateur est supérieur à 2 pour conclure, en employant un théorème bien connu, suivant 
lequel la somme de ses résidus par rapport à ses pôles est égal à zero, qu'e8t 



JaI 



'^^ =0, 



f A (2 - x) (z - b,y (z - aif . . . (z - a,„f 
et par conséquent 



i 



Hrià:)^(-) 



^ ^ ^ dz = (). 

A (z-a;)P(z) 



Nous avons donc la formule suivante: 
qu'on voulait démontrer. 



II. 



fr»u.v la ooiivex-genoe tles forni viles tlUiitor-polation 
ti^ifíonoiíiótr^iqLU.es. 



12. Soit f{x) une fonction holomorphe dans Taire limitée par une courbe fermée A, et 
supposons que cette courbe soit enfermée dans la bande comprise entre les droites parallèles 

à Taxe des ordonnées dont les abscisses sont égales à — ^x et -h-~> et qu'elle contienne à 

rintérieur les points d'affixe £C, aj, «->, . . ., a„,. 
Alors la fonction 

f{z) sin (a; — ai) sin {x — ai). ■ ■ sin {x — a,„) 



sin (z — a") sin (z — ai) sin [z — cui)... sin (z — «,„) 
a, dans Taire considérée, les pôles *, «i, «2, ..., «„, ; et, en appliquant ;i Fintégrale 

(12.) R(x)= i^/^F(z)cfe 

le théorème fondamental de la théorie des residas, on trouve la formule 

(13.) f{x) = ^V{x) + ^{:x\ 



... , , sin {x - ■ aa) sin {x —az). . . sin (x — a,„) , . ^ 
sin (ai — ai) sm (ai — 03) . . . sin (ai — a;„)"^ ^ 

sin (£c — ai) sin (.x — az). . . sin (« — a„,) 
(14.) / sin (aa — ai) sin («2 — as) . . . sin (aí — a™) " 



+ 

sin {x — ai) sin (as — ««) . . . sin {x — 0^—1) j., 
sin (om — ai) sin (a^ — aa) ... sin (a„, — a„,_i)"^ ^ '" ' 



340 

et 011 voit que ^V (x) satisfait aux t-onditions 

(15.) 1'-(a,)=/(a,), 1'-(«2)=/(a2), ..., H" («,„)= /(a,„). 

Nous venons de trouver aiiisi une formule d'iiiterpolatioii dounée par Hermite dans son 
Cours d'Analyse de VEcole Polyfechmquc (1873, p. 332) et une expression de son reste au 
nioyen d'une intégrale curviligne, que nous avons déjà indiquée dans une note publiée dans 
le Bulletin des sciences mathématiqiies {2." série, t. Xiv), au moyen de laquelle nous étudierons 
sa convergence. Mais, avant de la faiie, nous indiquerons une autre forme qu'on peut donner 
à Texpression de ^' (x). 

13. Chnqu'un des terines qui entrent dans le seeond merabre de Tégalité (14.) est le 
produit de wi — 1 facteurs de la forme p cos x + q sin ,7' ; doiic H' (a-) est une fonction homogène 
de sina; et cosa; du dégré m — 1, et elle peut être réduite à la forme sulvante: 

M'' (x) — Li cos'"~' X -L L3 cos"*"' a; -j- . . . + [Ki eos"'~- x + K3 cos"'~' a; + . . . ] sin a'. 

En employant maintenant les formules eonnues: 

2''-* cos' X = cos sa; + í j cos (s — 2) ã' + ( .^ j cos {s — 4) x -{-...-{-—■ / * , 
si s est pair, 

2'-* cos' X = cos sa; + ( j cos (s — 2) a; + í ^ j cos (s — 4) a; + . . . + / \ cos a;, 

V2^^-'V 

si s est impair, et les suivantes, qui résultent de dériver par rapport à x les antérieures, 

2'""' s cos'~' X sin X = .■} sin sa- + ( -. ) (* — 2) sin (s — 2) a; + . . . + / 

2'~' s cos'"' X sin x = s sin sa; + ( ) (s — 2) sin (s — 2) a' + . . . + / 

\ 2(^-1) 



on trouve 



(16.) 



W (x) = A„i_i cos (m — 1) x + A„,_3 cos (m — o) x ~\- . . . -{- Ai cos x 
-\- B„,_j sin (m—l)x -\- B,„_3 sin (j?í — 3) a; + • • • + Bi sin x, 



341 

si m est un nombi'e pair, et 

l *I" (x) = A,„_i cos (m — 1) X + A„,_3 cos (?n — 3) o; + . . . + A2 cos 2a; + Ao 
f + B,„_i sin (íH — 1) « "T B„,_3 sin (wi — 3) íc + . . . + Bj sin 2a?, 

si m est un iiombre impai r. 

Au moyen de lanalyse que precede ou démontre non seulement la possibilite de réduire 
toujours H" (x) aux formes precedentes mais on peut déterminer, en chaque cas particulier, 
les coefficients Ao, Ai, A-2, . . ., Bi, B-2, .... On peut aussi, l;i possibilite de cette réduction 
étant établie, déterminer ces coefficients au moyen des équations 

r (ai) ^f{ai), >1- (a-i) =f{a^), . . . , 1" (,«„,) =/(a,„j, 

qui sont du premier dégré par rapport à ces quantités. 

14. En passant maintenant à étudier la convergence, pour m = ctj, de Ia formule d'inter- 
polation qu'on vient de considérer, que est le biit principal que nous avons en vue, nous re- 
marquerons que les formules (12.) et (13.) font voir que la condition générale pour que *l"(a;) 
tende vers /(a;), pour m = co, est que la plus grande valeur que prend 

j sin (x — ai) sin (x — a-i) ... sin (x — a„) 1 
I sin (z — ai) sin (z — «2) • ■ • sin (s — «,„) |' 

quand z décrit le contour A, tende vers zero; et que, par conséquent, sont des conditions 
suffisantes pour cette convergence qu'on ait, pour les mêmes valeurs de z, 

I sinfa— gQi j sin (a; — 02)1 

^ ^ I sm (z — ai) I I sm (z — 0-2) ] 

z étant une quantité arbitraire inférieure à Tunité. 

Les considérations qui prccèdent nous mènent à poser le problème suivant: le contour A 
et les points <ti, a^, «3, ... étant donnés, déterminer Tensemble des valeurs qu'ou doit donner 
à X pour que T (a;) converge vers f{x), quand le nombre de ces points tend vers Tinfini, ou, 
au moins, une partie de cet ensemble; ou, réciproquement, étant données ces valeurs, déter- 
miner A. 

On ne peut pas resoudre ce problème d'une manière générale, mais nous allons Tétudier 
en quelques cas qui nous paraissent offrir quelque intérêt. 

15. En considérant prémièrement un cas qui nous conduit à employer les inégalités (18.), 
soient ai, «2, 03, ... des nombres réels compris entre — /í et ã et j5 une quantité qui sa- 



342 



tiafasse aux conditions 3/í < |^ < -^ -, et considérons les ovalei representes par les équations 

I sin z j = sin [5, | sinz] = sin/í, | sins] = sino/;, 

dont les centres coincident avec Forigine des coordonnées, lesquels noiís désignerons par 
L, L', L'', et Tovale represente par Téquation 

I sin {z — «) I = sin (| « | + ^), 

dont le centre coincide avec le point d"affixe a, lequel nous désignerons par L„. Ces ovales 
coupent Taxe des abscisses respectivement aux points 

(O, ± P), (O, ± h\ (O, + 3/0, [O, a + (I « : + /í)], 

L'ovale L^ est tangent à Tovale L', et, en écrivant leurs équations sous la forme suivante, 
en posant pour cela z = x' -{- iy' : 

cos- h/ = sin- h -f cos- a/, 

cos- ii/ = sin^ ([ a I + Ã) + cos- (o;' — (/), 

on voit quils n"ont pas d'autres points communs. 

On voit de la même manière que Tovale La est tangent :i Tovale L" et que celui-là est à 
Tintérieur de celui-ci, quand le paramètre a est égal à & h. 

Quand a varie depuis — /í jusquà h, Tovale L„ varie, nlai^< il ne coupe Jamais L'', ni par 
conséqiient L, qui est extérieur à L'. II reste donc à Tintérieur de Taire iimitée par L 
et L'. 

Nous avons donc, en représentant par x Taffixe d'un point quelconque de Taire Iimitée 
par L', 

] sin {x — a) I <; sin (| a | + ^) < sin 2/;. 
D'un autre côté, lovale L et Fovale represente par Féquation 
I sin (z — «) I = sin ([5 — | a |) 
sont tangents et le deuxiòme est ;i Tintérieur du premier. Donc on a, pour tout point z de L, 

1 sin (z — n ) I > sin (|5 — I a I) > sin (p — h). 



343 



Nous avons donc 

I sin (x — a) i sin 2h 

—. — ^^ < —. < 1. 

I sin (z — a) I sin (p — h) 

Comme cette inégalité est satisfaite quand on donne à a les valeurs ai, «j, í(3, . . ., on 
peut énoncer le théorème suivant: 

Si la fonction f(z) est holomurphc dans Vaire limitée par 1'ovale L et cu, 0-2, «3, . . . sont 
des nombres compris entre —h et h, H' (x) tend vers f{x), puttr m = -jj, quand x est Vaffixe d'un 
p>oint qitelconque de raive limitée par 1'ovale L'. 

16. Cest dans le cas de fonctions périodiques que se présentent les plus interessantes 
applications de la doctrine du n." 12. Nous allons nous en occuper maintenant. 

Soit f{z) une fonction holomorphe dans la bande infinie comprise entre deux droites pa- 
rallèles à Taxe des abscisses, Y = 1 et Y = Z', et supposons que cette fonction soit pério dique 
et que sa période soit égale à ~. Supposons aussi que le nombre des quantités ai, kí, az, ... , a„, 
soit impair et que A represente un rectangle forme par les deux droites precedentes et par 

droites, par 
On a alors 



R(a;) = ^[ / F(^)^^+ / F{z)dz+ J F(z)dz+ f F{z)dz^, 



et aussi, à cause de la périodicité de Ia fonction F (z), 



C F(z)dz= Ç F{z)dz; 



v+'' 



ft par oonséquent 



r+i' 



^(■"^^^il / F(2)áz+ / F{z)dz\. 



r+'' - -^+il' 



344 



On voit aii moyeii de cette foDiuile que la ponditioii pour que 'r(.r) fende vers/(x'), quand 
m tend vers l'infini, est que la plus grande valeur que prend 

I sin (a; — ai) sin {x — «2) . . . sin {x — a,„) j 



1 sin (s — ai) sin (s — ao) . . . sin {z — a,„) |' 

quand z décrit les cGtés du rectangle A parallèles à Taxe des abscisses, tende vers zero, et 
que sont des couditions suffisantes pour cette convergence qu'on ait, pour les mêmes valeurs 
de z, 



|sin(a; — aj)| _ |sin(a; — 02) 
I sin (z — ai) I ^ "' I sin (z — a^) 



<s, 



£ étant, comme antérieurement, une quantité arbitraire, inférieure à Tunité. 

Comme dans ce cas »; est un nombre impair, T(a;) est déterminée par la formule (14.) 
ou (17.). 

17. Pour faire une première application de ces résultats, considérons la courbe dótinie 
par Téquation 

j sin (z — a) I = c, 

et supposons qu"est c> 1 et que a est un nombre réel compris entre — -^r et -;^. Cette courbe 

est alors composée de deux branelies symétriquement placúes par rapjiort à l'axe des abscisses 
et elle a un nombre infini de points ou rordonnée est niiniuuini, en valeui- absoiue, placés sur 
les droites dont Téquation est 



(20.) Y = ±log(c + l/c2-l). 

(_)n a donc, pour toute valeur de x represente par un point compris entre ces droites, 

I sin {x — a) I < c. 
Considérons aussi la courbe détinie par Fóquation 

|8in(2-a)| = [^, 
et soit 3 > c. Cette courbe est placée au-dessus de Tantérieure et elle a un nombre infini de 



345 



points ou la valeur absolue de Tordonnée est maximura, placés aur les droites dont Téquation est 



(21.) Y= + log(^ + v/p2+l). 

On a donc, pour toute valeur de z représentée par un point de ces droites, 

I sin (2 — «) I > p > c. 
II vient, par conséquent, 

I sin (x — a)\ c 
I sm (z — a)\ p 

et ensiiite, en représentant par «i, ao, ... des nombres réels, compris entre — h" ^^ "^) 

I sin (a? — fli) I c I sin (a; — a%)\ c 
I sin (z — ai) I p' I sin (2 — 02)1 |i ' 

Nous avons donc le théorème suivant: 

Si la fonction f(z) est holomorphe dans la bande comprise entre les droites (21.) et 

ai, «j, . . ., a„, sont des nombres réels, compris entre 0" ^' ~n'> 1*(a;) tend vers f(x), pour 

wi = CK, quand x represente Vaffixe d'un j)oint de la bande comjjrise entre les droites (20.). 

18. En fontinuant Tétude dii cas que nous venuns de considérer et en supposant main- 
tenant que x est réel, nous allons indiquer une propriété des coefficients qui entrent dans Ia 
formule (17. j, qu il convient reinarquer. 

Soit M la plus grande valeur que prend \f(z) \ quand z décrit les droites qui limiteut la 
bande oii cette fonction est holomorphe, et B la plus petite valeur que prend j sin (.1; — x)\ 

quand z décrit les mêmes droites et x varie depuis ^ jusqu'à -^ . On a, en remarquant 

que B est diíFérente de zero, 

i^("^i<-bIt) • 

De Tégalité 

f{x) = r[x) + R{x) 



346 



et de rinégalité precedente il resulte 

- I 

"2 T 

I f (x) cos kx dx ^ lim I W (x)coíikxdx 

"2 ~2 

ir I 

¥ "2 

= lim A,„_i I cos (m — 1) a' cos A«c7a; + . . .-|- Ao 1 cos kxdx 

""¥ ~2" 

T ¥ 

+ B„,_i I sin (to — l).i'cosA;£cc?a; + . . .+ Bí | sin 2a; cos /íx rfa; , 



oíi /í; represente uu quelconque des nombres pairs m — 1, to — 3, . .., 2, 0. 
Mais on a, en représentant par A' un quelconque de ces mêmes nombres, 



í cos foj cos A;'a! tZa" = O, | cos/ia'sin/.'a'<:/a" = O, | cos- kx dx =^ —r^ , j sm-kxdx^-^ 
~[2 ~j ~J ~Y 

Donc 



lim Ao = — I f{x) dx, 

lim Aa = — \ f{x) cos À:a; tfe, (Â; > 0). 



On trouve de la même manière, en partant de régalité 



I f{z) sin kx dx = lira j M' (a;) sin te (Za?, 



'égalité suivante: 



347 



2 c 
lim B/, = — j /(yj sinfccí/a;. 



10. II est facile de voir que tout ce que nous venons de dire à 1'égard du cas oíi la fon_ 
ction/'(r) a la periode r. a aussi lieu quand cette fonction satisfait à la condition/(3 -[--) = — /(s)- 
Mais alors il faut que le nombre m soit pair, pour que la fonction F(z) ait encore la période r.; 
et, par conséquent, la fonction T (x) est donnée par la formule (16.). 

20. Xous avons supposé, dans tout ce qui precede, qu'on choisissait d'une manirre ar- 
bitraire les uombres «i, «2, 03, ... Nous allons maintenant considérer quelques nombres par- 
ticuliers qui conduisent à des conséquences remarquables. 

Supposons premièrement que la fonction f{z) admette la période r, que Taxe des abscisses 
soit à Tintérieur de la bande infinie, limitée par deux droites qui lui sont parallèles, dans la- 
quelle elle est holomorphe, et que à «1, «2, ai, ... on donne les valeurs 



(22.) 



2)1 ' 


3- 

2«' 


5- 
27í' ■■ 


(«-2)- 
2n ' 


nr. 


:: 


3- 


5- 


in-2)r. 




2n' 


•>7í' 


2n' ■■ 


2ji ' 





n étant un nombre hnpair. 

On voit alors, au raoyen de la formule (B.) (n." 6) qu'est 

sin {x — ai) sin {x — a^) . . . sin (a; — a„,) cos nx 
sin (z — a))sin(3 — «2).- sin (z — a„) cos /iz' 

et, par conséquent, 

„ , , 1 r /(z) cos na: , 
^ ' 2ir. r sm (z — 03) cos nz 



II en resulte que la condition pour que T(a;) tende vers/(x), quand n tend vers Tinfini, 
que Ia plus grande valeur que 
bande considórée, tende vers zero. 



est que Ia plus grande valeur que prend , quand z décrit les droites qui limitent la 



348 



Or, eu posant z = x' ^iy\ on trouve l'identité 

-I +sin-na: 



cos ns r = cos- na; ' ' ' " ' 



V 2 / ' \ 2 

au moyen de laquelle on voit, en posant premièrement ?/ = + ^ et en appliquant ensuite la 
méthode des máxima et mínima, que ia pliis petite valeur que prend Icosjíz], quand s déci-it 
les droites y' = — l et y' = 1, est égale à 



et qu'elie tend, par conséquent, pour Tinfini, quand n= <x>. 

D'un autre côté, ea posant a; = a + i,3 et en ayant égard à l'identité 



cos 7ix - = cos- na I jr ) + sm- na 



i^-^J, 



s-nal — ; p- I +sm- 

\ e"' — e-'" / 






quand z represente un point quelconqne des droites y' = 1 ci y' = — l. 
Mais on a, quand 1 [íl 1 < Z, 



lim — ; ,- = o, lim — j ;- = 0. 

» = =c e"' — e-"' ' „ = „ e"' — «-"' 



I cos 73.7' 

On conclut donc que ia plus grande valeur que prend , quand z décrit les droites 

^ ' -1 r I çQg jjj. I 1 

y = — l et y' = l, tend vers zero, quand ri = cfí, si le point d'affixé x est à Fintérieur de la 
bande limitée par ces droites. 

Nous avons douc le tliéorème suivant: 

fSi la fonciion f{x) est holomorphe dans la bande cumprise entre deux droites, paralleles à 
Vaxe des ahscisses et equidistantes de cet axe, et est périodique, sa période étant égale à t., la 
fonciion ^' {x), quon obtient en donnant en (14.) ou (17.) à «<, «j, ... les valeurs (22.), tend 
vers f{x), quand n tend vers infini, si x represente un jMint quelconque de Vintérieur de la 
bande considérée. 



349 



21. La fonctlon T [x] preud, daas le cas qu'on vient de considerei-, deux formes simples 
qu'on pouvait déduire des formules (14.) et (17.), mais qu'on obtient d'une manière plus facile 
en partant direc-tement de Tintégrale (23.), en lui appliquant le théorème fondamental de la 
théorie des résidus. 

Ea eifet, en représentant par a uu quelconqiie des nombres (22.) et par R le résidu de 
la fonction 

F(2)_ /(s)cosn^_ 



sin (z — x) cos nz 

par rapport à son pôle a, on trouve 

hf (a ~\- h) cos 7ix f(a)cos)ix 

A =0 sin {a-^-h — x) cos ?i (a + A) n sin (a — jc) sin na ' 

et par conséquent 

' íí " sin na sin (a: — a)' 

ou 

(24.) H- (X) = - ^^^^ V 3i^ „„ -^i^)_-, 

^ ' ^ ' 71 sm (íc — a) 

oíi a represente les nombres 

2n . l^^.-^J' ^' •■•' 2 /' 2n 1^1 -^. ^' • • •' 2 J' 

Ayant obtenu ainsi Ia premiure expression de *l'*(,i') démandée, nous allons en déduire la 
seconde. 

Posons, pour cela, dans Fexpression --. '■ — , qui entre dans la formule qu"on vient de 

trouver, e'^ = < et c'" = I. On trouve 



-— - = l\ti-« Ç-"tl = i n í—l + 13 iu-3 + . . . + r-n~3 t3-n J. X*'-' <'-"l + iXí'"" '4 

;— a) t-—K^^ ^ t- 



>:-•• -L 1 



sin {x — a) t- — A.* '^ ■' t- — X- ' 

et, par conséquent, 



cos na; .lí^^[ín-t)x-ro]J^gi[(n--J)x-lr3a]M, . ._|_ e'[('-»'^+ '-"-3)»] + e' ['•-"l^+f^"-'» "^1, 



sin [x — «) 



350 



ou, à cause de l"i(lentité e-"'" = ei'-''"* "'" = — 1, 



''°^"^ = -2lsm((n-l)x+rt) + s!n((n-3)£c + 3a)+...+ sÍn(2a;4-(«-2)a) + ySÍnnaJ. 



sin {x — a) 

On a donc la formule 



M"(a') = — IsÍn?mrsin((M-l)£c+a)+sm((?),-3)a:'-(-3a)+...+sm(2£e+(íi-2)a)+?^ [/(«), 



(2b.) 



T (x) = A„_i cos (n — 1) a- + A„_3 cos {n — 3) a." + . . . -f A-j cos 2a3 + Ao 
+ B„_i sin (n — l)x^ B„_3 sin (^)i — oj x -f . . . + B^ sin 2a-, 



oíi 11 est impair, et 



Ao = ^S/(a), 



9 2 

At = — - H sin na fia) sin (n — A:) a = — -/(a) cos /c«, (fc > 0) 

2 2 

B/, = — 1 sin naf{a) cos (?? — k) a = — -/(a) sin A-a. 



Ces formules donnent immédiatement les propriétés suivantes des constantes A/, et B;, 



\ r- . 

lim Ao = — 1 / (a*) ftíc, 

2 /^ 

lim A;; = — I f(x)co9kxdx, 

2 /> 

lim Bí = — I f(x)únk.rdx, 

,1 = K ^ t^ 



351 



qui eoincident avei- celles qu'on a domiées dans le n." 18 pour le cas ou ai, «-2, «3, . . . repré- 
sentent des nombres arbitraires, eompris entre ^ et -^. 

22. Soit X une quantité réelle et Mi et M-^ les plus grandes valeurs que prend \f(z) |, 
quand z décrit les droites qui limitent la bande dans laquelle f{z) est holoniorphe. En remar- 
quant que les plus petites valeurs qu'aIors prenent ] sin (z — x) | et |cosnz| sont égales à 

gi — g— I g.ií — g— ní 



2 ' 2 

on trouve rinégalité 



|R(*)I<-J 



2(Mi + M2)|cosna;| 



(e' — e-')(e"' — e-"'j ' 

qui donne un limite supérieur de Terreur qui resulte de prendre la fonction T(x), correspon- 
dante à une valeur de n donnée, pour valeur approchée de Ia fonction /(«). 
De cette inégalité on tire encore la suivante: 



IR(»^)i<7^ 



2(M,+M2) 



(e' — e-'j(e"' — e-"') ' 



qui est indépendante de x, et qui peut être employée pour démontrer que, si a et ,3 repró- 
sentent deux nombres réels, on a 

1 f(x) dx = lim j l" (x) ãx, 
et que Terreur qui resulte de prendre i T (a-) cZa; pour valeur de I /(a')í7a; est inférieur à 



(e' — e-')(e"' — e-"'j 



Comme Tinégalité 



2(M, + M2)|i3-«| 
(e' — e-')(e"' — e-«') 



<5 



donne 



e-"' — 1 > 2 ve'", V = 



(e'-e-')S' 



352 

ou 

e"' > t; + [/v^+i 

on peut déterminer au moyen de Finégalité 



n> 



log (v + /i;2 _j_ j-) M, j_ M2 



l ' (e' — e-')í 



la plus petite valeur qu'on doit donner à n pour que Terreur qui resulte de prendre T (x) 
pour valeur de /(a?) soit inférieur à ?. 

23. Pour faire maintenant une application de la doctrine eonsidérée dans le n." lU, sup- 
posons que la fonction /(cc) satisfasse à la condition /(« + -) = — f(x) et que soit encore lio- 
lomorplie dans la bande eomprise entre les droites y = — l et ?/ = f, et supposons aussi qu'on 
donne à «i, a->, «3, ... les valeurs 

w ±<^^. .=0,1,.,,..,^, 

et que n soit pair. 

Au moyen de la fornuqe (A) du n.° 6 on volt qu'est encore 



r^«*=r^ 



, „ , f íz) cos nx 

R(x)= F(z)dz= ^T^^i dz, 

^ ' ' ^ -' ' sin (3 — x) cos nz ' 



et que F (s) est périodique, et que sa période est égale à z. On en oonciíit que le théorème 
démontré dans le n." 20 a encore lieu ainsi que la formule (24.). 
Mais on doit substituer k la formule (25.) la stiivante: 

>!'■ (a;) = A„. _i cos (n — 1 ) a; + A„_:i cos (n — 3) cc + . . . + Ai cos x 
+ B„_i sin (n~l)x-^ B„-:í sin (w — 3) a; + . . . + Bi sin x. 

Les coefficients A;, et B;, de cette formule sont donnés par les mêmes rélations que dans 
le cas antérieur en y substituant (( par les valeurs (2G.). 

24. Nous indiquerons encore un autre système de valeurs de «i, a^, «3, ... qui, quand 
la fonction f{x) admet la période -, mènent à des résultats convergents. Cest le suivant : 

« = ^, [■'i = 0, +1, ±2, ..., +1(„_1)|, 

11 étant un nombre impcnr. 



353 

En appliquant le théorème fondamental de la théorie des résidus à Tintégrale 

f{z) únnx 



X 



sin (z — x) sin nz 



dz 



et en ayant éffard à que le résidu de la fonction . — r-^: est donné par la formule 

sin (z — x) sm nz * 



R- lim hf{a + h)únnx ^ /(a) 



sm nx 



on trouve alors 



o sin (a -\-h — x) sin íi (a -f ^) n sin (a — £c) cos n« ' 

/(a;) = *I'-(ar) + R(x), 

/(z)sinna;(íz 



R(; 



-iX 



sin (z — a;) sin nz ' 



(26.) H- («■) = ^il^ V (- l)n _/L«L_. 

^ ^ ^ ^ n ^ -^ sm(£c — a)' 

et on voit au moyen de cette expression de R(a;) que *l^(a;) tend vers /(a?), pour n= cc, si 
la fonction /(x) est holomorphe dans la bande limitée par deux droites ijantllèles à Taxe des 
abscisses, equidistantes de cet axe, et x est Faffixe d'un point do son intérieur. 
Comme on a, en posant, comme au n." 21, e" = <, e"' = X, 

_J.nnx ^ .^^^ _„ J-^ ^ .^^,._, ^3 ^„_3 .^^,^_3 ^3_,_ ^„^___, ^, __^ <J« + 1 

sm (x — a) V— k^ ' í2 _ ^-2 ' 

et par conséquent 



sm íiuí? 

-^ = eí[(«-l)í+«] + ei[(n-3)x+3í.] _l_ _ I gí[(3-«)x+(2«-3)a] i i[{l-«)í:+(2„-()a] 

sm(,a; — a) ' ^ ' 

OH, à cause de Tidentitó X-'' = e-'i"' = e^"'~= 1, 

sm 7XX I 1 I 

únio^-:^ = ^ r°' ^^''~ ^^* + «]+'=o«[(«-3)»'+3«] + - • .+cos[2a,' +(„_2)a]+ ^ (- 1)', |, 

TT 



354 



011 peut réduire l'expression de ^' (x) k la forme suivante: 

ti I ' ^ \ 



1' (x) = A„_i cos (n — 1) a; + A„_3 cos (n — 3) íc + . . . + A^ cos 2x + Ao 
-r- B„_i sin (?i — 1) 33 -r B„_3 sin (n — 3) sj + . . . + B-2 sin 2x, 



Ao = ^ !/(«), 

Aa = — 1 (- l)^'/(a) cos (n - /.•) a = — !/(«) cos ka, {k > 0) 

B^. = — 1 (- 1 f f(a) sin (n - k) a = — I/(a) sin /.•«. 

25. Si la fonction f(x) satisfait à la condition f(x^-)= — /C^) ^^ on dunne à 
<Ji, '■'•2, "3, • • • les valeufs 

a = ^, r. = 0, ±1, ±2, ..., ± (l«-l), 1», 

oíi « est un nombre j^oii";! on trouve, comme dans le cas antérieur, que la fonction T (x), dé- 
finie par la formule (26.), tend vers /(£c\ quand n = cc, si la fonction f(x) est holomorphe 
dans la bande considérée dans le n." antérieur et x represente un point de son intérieur. 
L'expression de \' (x) peut être réduite alors à la forme 

M" {x)^~Z (- 1/' l cos [(n -l)x + a] + cos [(n - 3) x -}- 3rt] + . . .-!- cos [a.- + (»i - 1) o] |/(a), 



*F (x) = A„_j cos ()? — 1) a; + A„__:j cos (?i — 3) as +. . . + Ai cos x 
-{- B„_i sin (ji — 1 ) a; -f- B„_3 sin (n — 3) a; + . . . + Bj sin x, 



A,, = - I (- 1 y'f{u) cos (n - Z;) a = — I/(a) cos ka, 



Bt = — í: (- 1 j'V'(a) sin (?i — t) a = — !/(«) siu Atfí. 



355 



26. L'intégrale 

, r f{z)ún^{x-ai)...ÚTà-^{x-a,„) 

(27.) R.(-)=2Íf —V i 1 ^' 

J sin -^(z — x) sin — (z — ai)... sin -^ {z - a„,) 

concUiit à des resultais analogues à ceux qii'on a obtenu au moyen de l'intégrale considérée- 
daus le n." 12. 

On trouve, en premiei- lieu, en snpposant que A represente une courbe fermóe, placée 
;i rintérieur de la bande comprise entre les droites X = — x et X = ~, et que «i, «-j, 03, ■ ■ • 
soient les aíBxes de des points donnés, placés à Tintérieur de Taire qii'elle limite: 

/(a.) = T,(x) + i-R,(x), 



sni -^{x — a->) sm -^{x — «3) . . . sm -jr- [x — a,„) 

Ti (x) = -^ -^ -^ /(.,) 

sin -^ (fli — «2) sin -c- (ai — «3) • • • sin -r- (ai — a,„) 



sin — (íc — ai)sin— -(íc — «2) . . . sin — (a; — «m-i) 

+ — i —1 ^— T^ ^■^""'^' 

sin — (a„i — ai) sin ^ (a,„ — a-i) ... sin -^ (a,„ — a,„_i) 



ou, en procédant comme dans le n.° 13, 

Tl (x) = A„,_i eos-^(»i — l) X -\- A„,-3 cos -^ (m — 5) -\- . . . + Ai cos-^a; 
+ B„,_i sin -^ (m — 1) a; + B,„_3 sin — (>« — 3) 4" • • • -\' Bi sin -^ x, 

si m est un nombre j^ca'?'^ et 

*l'i (a;) = A,„_i cos --- (wi — 1) a; + A,„_3 cos -^ (ín — 3) + . . . + Ao 

+ B,„_i sin - (m — 1) a;+ B,„_s sin — (m — 3) 4---- i Bi sin a;', 



356 

si 77) est impair; et on voit que *í'i (x) satisfait aux eonditions 

T,(«0=/(«i), T,(«.)=/(«2), ..., 1-1 («,„)=/ W- 



Nous avons ainsi une formule d'interpolation considéróe par Gauss {Werhe, t. iii, p. 281) 
et une expression du reste au moyen d' une intégrale curviligne, laquelle fait voir qu'est con- 
dition pour que *í'i (a;) tende vers /(«), pour 7K=cc, que la plus grande valeur que prend 
l'expression 



(28.) 



sin -jj- (a; — a\) sin -^ (a; — «2) . . . sin -^ (a; — a^) 



sln — (z — «)) sin -j^ (s — a-i) . . . sin -^(z — a,„) 



quand z décrit le contour A, tende vers zero, et que sont des eonditions suffisantes pour cette 
convergence qu'on ait, pour les mêmes vaieurs de 2, 



(20.) 



sin -^{x— ai) 



sin-^ [s — «i) 



<h 



sin -:y (x — 02) 



3in ^ (2 — «2) 



<s, 



s étant une constante arbitraire, inférieure à Tunité. 

2". Supposons que la fonction f(x) soit périodique, sa période étant égale à 2z, et qu'elle 
soit holomorphe dans une bande infinie eomprise entre deux droites parallèles à Taxe des 
abscisses. On voit alors, comme dans le n." 16, que dans ce cas la condition pour que Ti (x) 
tende vers f{x), pour m=oo, est que la plus grande valeur que prend 1'expression (28.), 
quand z décrit ces droites, tende vers zero, et que sont des eonditions suffisantes pour cette 
convergence que les inégalités (29.) soient satisfaites par les vaieurs que alors prend z. 

Ou voit aussi, en procédant comme dans le n.° 17 et en remarquant que 1'équation 



sin —^{z — a)\ 
2 I 



represente, quand c>l, une courbe composée de deux branches infinies, symétriquement 
placées par rapport à Taxe des abscisses, ayant un nombre infini de points ou Tordonnée est 
niinimum, en valeur absolue, placés sur les droites représentées par Téquation 



(30.) 



Y=±21og(c+l/c2-l), 



357 

tít que la courbe analogue représentée par Téquation 

siay(z— a) =p, 

ou p>c>l, a uu nombre inlini de points ou 1'ordonnée est maximum, en valeur absolue, 
placés sur les droites dont Téquation est 

(31.) Y = ±21og(P+t/pH^), 

ie théorème suivant: 

Si la fonction f{x) est holomorphe dans la bande limitée par les droites (31.) et est pério- 
dique, la iJériode étant égale à 2~; et si aj, aa, az, ... sont des nombres réels, compris entre 
— ií et Tl, et X est Taffixe d'un point de Vintérieur de la bande limitée par les droites (30.), on a 

lim 'Fi (£c) =/(«), 
On démontre aussi, comme dans le n." 18, Tinégalitó 

ou M represente la plus grande valeur que prend \f{z) |, quand z décrit les droites qui limitent 
la bande oii la fonction est holomorphe, et Bj la plus petite valeur que prend sin-jr- (z — x) L 
quand s décrit les mêiues droites, et ensuite les formules 

7Ú T. 

l f(x) cos -^kxdx= lim j *Fi (x) cos — kx dx^ 

/f{x) sin -—kxdx= lim j *Fi {x) sin -^ kx dx. 
Au moyen de ces formules et des róiations 

I cos -^ a; cos -^ £C Ja; = í sin -^ íc sin — a; (Í£C = j úx\.-^xcos, -^xdx = 0, 

Ti Ti 

I co^—xdx= I sin^ — íD áa; = ir, 



358 



ou les entiers k et k' sont run et Tautre pairs ou Vnn et Tautre impairs, on voit que les coeffi- 
cients de *I*i (x) ont, dans le cas considere, les propriétés exprimées par les rélations suivantes: 



lim Ao=-n- ( f{^)dx^ 

í/í = CC -^^ ^ 

lim Ak = — j f{x) cos A'a; dx, [k > 0) 

lim B;, = - — I /(«) sin kx dx. 



28- Supposons maintenant qu'on donne à ai, a^, «3, ... les valeurs 

(32.) a = ^, (r, = ±1,±2,...,±(«-l),n), 

et que les équations des droites qui limitent la bande dans laquelle /(a-) est holomorphe sont 
On voit alors, au moyen de la formule 

que l'intégrale (27.) se réduit alors à la forme 



sin nx = 2-"-' II sin ^3- ( ^ — íc ) II sin -^ ( -^ + a; ) , 



í /(::) sin Jia:'sin -T- z 

R.(x)=^ — I -:^~'-^ 

1 sm —T-{z — X) sm -^ x sm ns 

«y A 2 2 

et, en appliquant directement h cette intégrale le théorème fondamental de la tliéorie des ré- 

sidus, en prenant pour contour A de Tintégration le rectangle forme par les droites Y = — l, 

Y — l, X = — z + S, X = 7: + ?, 3 étant une quantité positive assez petite pour que le point 

(n- — 1 ) ir . , . , . 
soit à son iutérieur, et en remarquant que le résidu de la fonction 

/(z) sin 9ia; sin -^ z 



. 1 , , . 1 . 

sm "õ" (s — X) sin — a- sin nz 



359 



par rapport à a est égal à 



f{a -p Ii) sin 7ix sin -^ (a + h) 
lim 

A = • J^ / , 7 \ ■ 1 • / 1 7^' 

Sin -^{a-r '> — x) sm -— a; sm n (a + n) 



/(a) sin ^ a 

. 1 , 7T~1 ' 

n sm — (a — x) sin — x cos íja 



/(íc) = >I-,(a;) + 4-Ri(a;), 



. 1 
sm -TT a 
, sin «a; 2 

VI- , (a;) = ___ V (_ ly^ _ ^(^^_ 

2n sin -r-x sin -— (« — a) 



Or, on voit, comme dans le n." 20, premièrement que la plus grande valeur que prend 
|sin«z| quand z décrit les côtés du rectangle considere, parallèles à Taxe des abscisses, est 

6^ \~ 6 * Sin 7Í0C 1 

égale á =r , et ensuite que ia plus grande valeur que prend —. , quand z décrit les 

^ I sin»i3 I ^ 

mêmes droites, tend vers zero, pour n=oo. Dono on peut énoncer le théorème suivant: 

Si la fonction f(x) admet la periode 2x et est holomorphe dans la bande infinie comprise 
entre deux droites parullides à Vaxe des ahscisses, equidistantes de cet axe, et si x est l'affixe 
d'un point de Vintérieur de cede bande, on a 

lim Tl (x) =/(íc), 

quand a represente les nombres (32.). 

29. On peut donner à Texpression de H*i (x) une autre forme, qu'il convient remar- 
quer. 



Considérons rexpression 



360 



sin nx 



sm -j- (a; — a) sin -^ x 



dans laquelle nous poserons e^ =í, e^ = /.. 
II vient 






9 (X) = 2a<2-2'' [<4"-4 + (1 + X2) <4"-e + (14- X2 + >.4^ fi^-S 

H-. . . + (1+124.. . , + X4''-6) í2+ 1 + X2 + X4 + . . . + Xl'.-4], 

et, par coiiséquent, 

Íi 4 1 "/ 6 1 '/ » 1 

X<2,„-., + X 1^ í2,„-2) + 7, ^____ <2,„ -3, 4. . . . + X ^^j_ - 

■í4.i— 4_1 ■/4ii-2_l "I 

+ . . - + X^^, r^ í-2(«-2, + X -^— j- <-2(„-l) . 

k" — 1 /*." — 1 _J 

Mais on trouve, en substituant \ par e- et en ayant égard à Fideutité e-""'= 1, 



.3 . n 

^■>ir^ = *'" — T-' ^12:^1=^' — 1-' •••' ^x^-i- = «- — T- ' 

sin -T- a sm -^ a sin -y- a 



X^-e-l _lia^'° 2 '^ , X^-^-l . sina ^íi^-^-l 

sin -^ a sin -^ a 



Donc 



'f (x) = 2i 



!["(«- <)a:+-|-a] SJn tt 



361 



. n — 1 . n 

sin — jr — a r- „_j -, sin -rr « j 

sin -^ a sin -^ « sin -^ a 



. n—l 

. 1 ^ 

sm -^ o 



iL°-^ e- [(«-2) .+«] _ e~' t'"-*' ■'■"" ^ "] 



et, par conséquent, 



3 



tp(aj) = -4 



+ . •• + 



(71 — l)a;+-— a H — sin[(n—2)x+a]-\ — sin (?i— 3)£c+ -^a 

sin -^ a 

L"'+^-«J+y— r 



sin— (n — 1) a 



On en conclut qu'on peut donner à l'expression de Wi (x) la forme suivante: 
Tl (íc) = — • — S ( — 1)'^ \ sin -^ a sin (íi — 1) £c + -— - a + sin a sin [(n — 2)x-\-a] 

+ sin-2-asin (n — 3)03 + ^0 +... + sin y(n—l) a sin hcH-^^-^— a H ^ (/(«), 



^1 (a;) = A„_i cos (n — 1) a? + A„_2 cos (n — 2) a; + . . . + Ai cos a; + Ao 
+ B„_ 1 sin (n — 1) íc + B,|_2 sin (n — 2) a; + • • • + Bi sin x, 



Ao = -^S(-l)V(«)9Ín^'??=ls'/(a), 



UD 



362 



—' représentant une somme qui se rapporte aux valeurs impaires de r^, et 

A, = - |- S (- 1)V(«) sin2 "^' a = - 1 S (- 1)V(«) + -^ S/(a) cos Â;a, 
Bt- = — — H (— iy'fia) sin (71 - k) rt = — S/(a) sin /vW. 



En se basant sur la notion d'intógrale définie comme limite d'une somme d'éléments 
infiniment petits, il est facile de démontrer les propriétés suivantes des constantes qu'on vient 
d'écrire: 



lim A/,= — ( f{x)cosA-x(Jx, {k>0) 

lim B/. = — j f(x)s'mkxí 



:cJx. 
:íO. Dans le cas particulier ou f(x) satisfait à la condition 

la formule antérieure se réduit ;i la suivante: 

*I'"i («) = B„_i sin (?t — 1) a; + B„_2 sin (« — 2) a; + . . . + B) sin x, 
et les valeurs des constantes sont données par la formule 

2 

B/, = — ^/(«) sin ka, 

en y posant 

a = ^, (-/j^lj-i, 3, . ..,íí-l). 

Ce résultat coincide avec celui qui a été obtenu par Lagrange, dans ses Recherches sur la 
itature et la propagation du son, au moyen de Tólimination des constantes Bi, Bi, B:i, . . . 



363 

entre les équations 

'*'Hf)=-^'(f)' (.-l,2,3....,n-l). 

31. Supposons maintenant qu'on donne à ai, a-2, 03, ... les valeurs 

«1=0, n=±^^^^Ã (■/i = 0,l,2, ...,«-l). 

et que la fonction f{x) soit encore périodique, sa période étant égale à 2-, et que soit holo- 
morphe dans Ia bande comprise entre deux droites parallèles à Taxe des abscisses, equidis- 
tantes de cet axe. Alors Tintégrale 

í f{z] cos 7ix sin -y X 

R.(.) = ^ ' ; d. 

/ sin -Tr{z — X) sm -^ z cos nz 

conduit à des résultafs analogues à ceux qu'on vient d'obtenir <lans les números préce- 
dents. 

Ainsi il vient premièrement 

f{x)^^,{x)-^\^,{x\ 



. /(a) cos «a; sin —íc 

t''i (x) =f{0) cos nx-{- — S sin na z — , 

n sin -5- (a — x) sin — a 

et on voit qu'est 

f{x)= lilll Yi(x), 

quand x represente Taffixe d'un point de Tintérieur de la bande dans Taquelle f(x) est ho- 
lomorphe. 

On peut voir ensuite, au moyen de Fógalité 

= 2< 8in|^^n — -^-ja;+ — a| + sin íw — -j-ja;-f ya +. . . -i- sin -|- + -^^ J , 



.1 

sin-~- (a — X) 



364 



qu'oii obtient par la même méthode qui fut einployée aii n." 21 pour démontrer une formule 
anaiogue, et au moyeii de Fidentité 



qu 011 a 

. 1 

cos nx sin -^ x . ai 9 1 

= cos (?i — 1)£C + -^ a +COS \{n — 2)x-\- -^ a +. . . + cos- 



sin -^{a — x) 

— cos na;-|--ç^ « +COS (n— l)a; + -^ o +. . . + cos £c4--^^ — a 

et que, par conséquent, Ti (a*) peut être réduite à la forme 

Tl (x) = A„ cos nx + A„_i cos (»» — 1) a; + . . . + Ai cos as + Ao 
+ B„ siinia; + B„_i sin (?i — l)a; + . . .+ Bi sin x, 



Ai = — S sin naf(a) sin (n — k) a = — S/(«) cos ka, (O <k< n) 

B/, = — S sin naf(a) cos (?i — A;) a = — S/(a) sin ka, {k < h) 

A„ -/(O) - 2^ 1 sin Ha/(a) cot y a, 
B„ = ^SsinJirt/(a). 

32. Les résultats donnés dans les n."^ 16 à 25 peuvent être étendus au cas ou la fon- 
ction/(a;) satisfait à une des conditions /(as + to) =/(x) ou /(a; + w) = — /(a;). On peut, pour 
cela, partir de Tintégrale 

f(z) sin — (a; — ai) . . . sin — (a; — a,„) 




sin — (2 — a.') sin — (z — ai) ... sin — (s — a,,,) 



365 



et appliquer les métliodes employées dans ces numeros-là, ou appliquer les théorèmes y 
obtenus à la fonction / ( j, qui satisfait alors à la condition 



/[S±^] = ±/(^), 



et poser ensuite x-=- — . Si Ton suit cette voie, il faut chercher le point du plan qui repre- 
sente a;, quand on donne celui qui represente X, et le contour Ai que décrit le point s, defini 

y 

par Tégalité = z, quand Z décrit le reetangle A. En posant, pour cela, 

CO = [j (COS -f i sin 6), X = li (cos9' + í sin6'), a' = r (cost + í sint), 
on trouve 

. = !^, 1 = 9 + 9', 

et on en conclut: 1." que, si les coordonnées polaires du point X sont égales à R et 9', celles 

qT> 

du point X sont égales à — — et 9 + 9'; 2." qu'aux points de Taxe des abscisses compris entre 

— it et x correspondent les points de la droite (que nous représenterons par D) qui passe par 
Torigine des coordonnée et fait un angle égal à Targument de cu avec Taxe des abscisses, 
compris entre — o) et cu; 3.° que les droites parallèles à Taxe des abscisses menées par les 
points (O, + l) se transforment dans les parallèles à D dont la distance à cette droite est 

m 
égale à — ; 4." que les droites parallèles à Taxe des ordonnées menées par les points 

(+ ::, 0) se transforment dans les perpendiculaires à D qui passent par les points d'affixes 

— O) et w. 

On trouve de cette manière les résultats suivants: 

1." Si la fonction /(a;) est liolomorphe dans la bande limitée par deux droites parallèles 
à D, et a; represente un point de son intérieur et *I'(a;) la fonction 

sm — (a; — (jm sin — (a; — ai). . . sm — (a; — a,„) 

(«') = ^ -^ -^ /(«') 

sin — (ai — aa) sin — (ai —ai). . . sin — (aj — a^) 

<U (U Cl) 

+ 



sin — (a; — aj)sin — (a; — a2)...sin — {x — «„_!) 

<U ' O) Cl) . 

sin — (a,„— ai)sin — (a,„ — a%). . .sin — («„ — a,„_)) 



366 



lim Y{x)=f(x), 



quand la plus grande valeiír que prend 



sin — (x — ai) . . . sin — (a' — a„,) 



sin — (z — ai) . . . sin — (s — a,„) 



dans les droites qui limitent la Ijande, tend vers zero, pour íh=cc. Nous supposons que 
«1, aa, «3, . . . sont representes par des points de Tintérieur du rectangle Ai, dans lequel se 
transforme A. 

L"expression de *I^(íc) peut être réduite à la forme 



*F(a;) = A„,_i eos(TO— 1)-^ h A,„_3 cos (m — 3)-^ 1-- . .+ Aicos — 



B,„_i sin (w — 1) h B,„_3 sin (m — 3) -^ H- • •+ Bi sin ^-, 



oii 7)1 est pair, si est /(a; + io) = — /(«); ou 



T (£c) = A„,_| cos (ni — 1) — + A„,_:i cos (m — 3) --+••■ + Ao 

10 (O 

+ B„,_i sin (to - 1) — + B,„_3 sin (m- 3) — +. . . + B-2 sin^^^, 



ou ííí est impair, si /(a; + tu) =/(«). 

2." Si, en particulier, f(x) est holomorphe dans la bande limitée par deux parallèles à D, 

dont la distance à cetto droite soit supérieure à — log(c + v/c*+ 1), c étant un nombre quel- 

conque plus grand que Tunité, et si x represente Taffixo d'un point de Tintérieur de la 
bande limitée par deux parallèles à D, dont la distance à la mênie droite soit égale à 

'- \og {c -\- ^ c- -r- 1), H'(a3) tend vers f{x), pour m=<x>. 

3." Si la fonction f{x) est holomorphe dans Ia bande comprise entre deux droites paral- 
lèles à D et equidistantes de cette droite, et si x represente TafSxe d'un point de Tintérieur 



367 



de la bande, la fonotion défiiiie par Tégalité 



cos . , 

. nr.a j (a) 



*l" (x) = S sin 

n uj . a 

sm — (x — a) 
to 

ou n est im nombre impair et 

(27; 4- 1) CO Q .-, n^ 

quand /(a; + co) =/(«), et oíi Ji est un nombre pair et 



^ ^2vi + l_)o3 ., n-2 



quand /(aj -p i») = — /(*)) tend vers f{x), pour m=cc. 
Dans le premier cas on peut encore écrire 

*t* (x) = A„_i cos (n —1)- 1- A„_.3 cos (n — 3) -^ \-. . . + Áo 

(O to 

+ B„_i sin (n — 1) 1- B„_3 sin (m — 3) — •+••• + Ba sin 2 — , 

<u to O) 

et dans le second 

4' (x) = A„_i cos (?i — 1) — + A„_3 cos {n — 'Ò)- 1- . . .+ Aj cos — 

tu to to 

-|- B„_i sin [n — 1) h. B„_3 sin {n — 3) -^ + . . . + Bi sin ■ — , 



Ao=^S/(a), 

Al = — 52 sin -^f(a) sin (n—k) -^ = — S/(a) cos k — , (A; > 0) 

n 10 •' ^ ■' ^ ^ to n •' ^ ■' to ^ 

„ 2 „ . 7i-a - . , , . T^a ^ ^^y r, . ■ 1 '''■(^ 

Bt = — 1 sin r (a) cos (n — k) — = — ~f{a) sin A; — . 

n (o to n to 



368 



4.° On transforme de la même manière les formules considérées dans le n." 24. 

33. La doctrine exposée dans les n."' 26 à 31 peut ctre étendue de la même maniòre 

Xco 
au cas oii Ia periode de la fonction /(«) est égale à m. On doit poser alors í« = ^ et consi- 

dérer la fonction / \-^) , qui admet la période 2t. Des résultats auxquels on arrive de cette 

manière noiís indiquerons seulement les suivants. 

1.° Si la fonction /(as) est holomorphe dans la bande comprise entre deux droites, paral- 
lèles à la droite antérieurement representes par D et equidistantes de cette droite, et si x 
est Taffixe d'un point de Tintérieur de cette bande, la fonction définie par Tégalité 

. 2wxa5 . Ta 

sm sm — 

w, (x) = — "^ s (- lyi ^ " /(«), 

2 sin — sin — [x — a) 



« = |^, -l^ll, ±2, •••, ± («-!), «, 



tend vers/(x), pour n = cc. 

On peut donner à la fonction Wi(x) la forme suivante: 



>I'*, (x) = A„_< cos (n — 1) + A„_3 cos (n — 3) 1- . . . + Ao 

(U (O 

+ B„_, sin (« - 1) ^^ + B„_3 sin (,,,_ 3) -—+... + B, sin , 



Ao = -^S'/(«), 



S' représentant une somme qui se rapporte aux valeurs impaires de T), et 



A 2 „ . i^r,^. s . a (n — k)i:a 
Bt = — i-/(a) sm . 



369 



2/ On trouve de la même manière que Ia fonction 1\ (x), définie par Téquation 



., . 2nzx . 7XC 

/(a) cos sin — 

„, , ,, „, Jvzx , 1 „ . znr.a i» lo 

U , (cc) =/ (OJ cos h ^ - sm 



n sin — (a — x) sin 



11- / N A 2n-a; 2(n— l)xx- , , . 

^ I (íc) = A„ cos h A„_) cos — ^ \-. . . + Ao 

(O cu 

. 2nzx . 2(n-í)T.x ^ , ^ . 27^ 
+ Bn sin 1" B„_i sin 1- . . . -j- Bi sin , 



2n "^ ^ (1) ' ^ ' 

Bi = jr- -/(a) sin Â; ^^^, fÂ; < ji) 

2n (1) ■ ' 

A„ =/(0) - ^ r sin ^^^/(fl) cot — , 

•^ ■ ^ 2?l (O *' ^ ^ (U ' 

« = ±-'l^'-^> (^- = 0,1,2,. ..,«-1), 

tend vers f(x), poiír 7i = cc. 

34. La formule (13.) peut être étendiie au cas ou la fonction /(a;) admet des pôles ou 
des points singuliers essentiels à Fintérieur de A, comme on va voir. 

Soient bi, b^, . . ., 6/t ces points. II resulte d'une théorie que nous avons considérée dans 
Ce Journal, tome cxxii, p. 116 ('), qu'il existent k développements 'f i (a), 'f2 (a;), . . ., 'fí(a;) 



(') Voir ce volume, p. 150. 
VV 



de !a forme 



370 



A <" A "1 



sin (x — bi) sin- (a; — 6;) sin'* (a — 6,) 
tels que la fonction F (a;} définie par réquation 



F(a;)=/(a')-'s^^,fa 



«st liolomorplie dans Taire limitée par A. 

On peut donc lui appliquer Ia formule (13.), et il vieiít 

1 r F{z)sm(x—ai)...s\n(x — aJ 
F (a;) = II (x) + --^ I ^ — ^ ; : dz, 

^ ' ' ãi% J ^ siii (a — a,') sm (s — ai ) . . . sin (z — «,„ ) 

oii II (»■) represente une fonction entière de sina^ et cosa-, qui satisfait aux conditions 

II (a,) =/(ai), II («-2) = F (ai), . .., II (a,„) = F {ci,„ ). 

Mais on a, en posant P(a') = sin (k — «O- • -sin (a; — o,,,), 

r F(z)P(a;) ^^_^ r fiz)P(x) ^^ ' = k Ç 9. (2) P fa,') c^z 
J^ sin(.i; — a;)P(z) '^■' J ^ sin (z — a;) P (s) ^ , = 1 J^ sin (z — cc; P'(z) ' 



et 



r ■^iiz)P(x 

j ^ sin (z — a;) P 



^= >= Af P (a;) f/z 



P(z) " s = i sin(z — a;)sin'(z — ^)P(z) ' 

dz 

sni (_z — a,-) sm' (z — o,)r{z) 



en représentant par R|, Ivj, ... les résidus de la fonction 

1 



sin (z — x) sin' i^z — òi) sin ^z — «ii. . .sm (z — «/,„) 
jiar rappoi-t u ses póles. 



371 



Or, en posant e'~ = f dans cette fonction, on obtient une fonction rationnelle de t, et oit 
voit que le dégró de son numérateur est inférieur de deux unités, au moins, à celui du dé- 
nominateur. En représentant donc par ri, rj, rs, ... ses residas par rapport à ses pôles et 
en ayant égard à uii tliéorème bien eonnu, on peut écrire 

'■i + ''i + n +• • • =0. 

Mais on a Hermite iCours cVAnalyse de 1'Ecole Polyteclinique^ p. .324) 

r) = 2Ri, r2 = 2R2, .... 
Donc 

dz 



í 



sin (z — x) sin^ (2 — bi) P (z) 

On a, par conséquent, la formule: 

/(o.) ^ II (.) + 't .. W + ^ r _.Ç(f)_lÍEÍg -«0---Bm(a.-a,„) 

i=i 2i- J ^ sin (2 — a;) sm (z — aj). . .sm(z — a,„j ' 

que nous voulions démontrer. 

35. Lintégrale qui a étté le puint de dcpart des recherehes contenues dans ce chapitre 
est un cas particulier de la suivante: 

R(.) = i f /(^)^in---(^-«O---sin^(^-«.0 ^,^ 



iX: 



. (2 — X) úvi^ (z — Ui)... sin'' (z — a„j) 



qu'on pouvait aussi étudier de la même manière, et étendre ainsi quelqu'uns des résulfats 
obtenus antérieurement. Mais nous ne eonsidérerons pas cette généralisation, et nous allons 
nous occuper seulement de Tintégrale 



2í~ J.\ sm 



(z — x) sin^ z 



qui se rapporte à la tliéorie du développement de /(«) suivant les puissances de sina;. 

En appliquant à cette intégrale le tliéorème fondamental de la théorie des residus, nous 
avons trouvé, dans un article publié dans le Bulletin des sciences mathématiques (2." série, 



372 



tome XIV I les formules suivantes: 



f(x)= S Kâ,,^! sin-"+ ' £c + cos j; 1 L-i,, sin-"£c + R (a;), 
ii = „ = o 



si a est pair; et 



f{x)= i2 Kí„ sin-" a? + COS « II Lj„^i sin-"+'a; + R(a;-), 



)i=0 



si a est impíiir, et nous avons donné une métliode pour calculer de proche en proche les coeffi- 
cients. II en resulte que, si la function /(«) est holomorphe dans Taire limitée par un ovale 
jsin2| = c (oii c^l), on a, pour tout point x de son intérieur, 



(A) f(x)= - K2„4-i sin^"+' x + cosa; li Lo„ sin-" a?, 



et 



(Bj f[x)= S KÁ,, sin-" a; + cos a' S Lj,,^) sin-"+' x. 

n = ll «=o 

Or nous allons dúduire ces résultats, et aussi des formules géiiérales pour le calcul des 
coeffieients, au moyen des tliéorènies démontrés dans un travail sur le développement des 
fonetions en série ordonnée suivant les puissances du sinus, que nous avons publié dans le 
tome cxvi de ce journal. 

Pour cela, nous remarquerons, en premier lieu, qu'on peut représenter d'une infinité de 
manières ditférentes f(x) par des expressions de la forme 

f{x) = 9 (x) -f •} (a;) cos a', 

oíi cp(j;) et 'j< ( a;) sont, comme /(x), liolomorphes dans Taire limitée par un ovale |sin;|=c 
(c <^ 1), et qu'on peut compléter la détermination de 9 (x) et 'ji (x) au moyen de la condition 
<l'ôtre paire une de ces fonetions et l'autre impuire. Ou en conclut, en appliquant un théo- 
rème démontré dans Tarticle rapporté, qu'ún peut développer -^{x) et ''^(x) en série ordonnée 
suivant les puissances de sina-, quand x est Taffixe d'un ])oint de Tintérieur de lovnle con- 
sidere, et que, par conséquent, f(x) peut étre représentée par les denx développeuients 
precedentes. 

Nous allons maiuteiiant dúteruiiner les coetiieients de ces dúveloppements. 



373 



Soit premièrement '^ [x) une tbnetion paire et 'ji (as) une fonction impaire. En appliquant 
à ces fonctions la formule (12.) de l'article rapporté on trouve 

/A^ , V -f"' íOj + Si;,' 'f'-" (0) -f- • • .+ Sir" 'í" (O) . „ 
? {x) = ? (0) + _ 1 ^ i.2.a...2n ^"^ ^■' 

, . , V -y'"+" (0) + ^iiv, f '"-" (0) +. . ■+.<:;. '^ (0) . ,„,, 

^ ^"-'^ = io 1.2...(2n + l) '"^ ^ '"' 

et ensuite, en dérivant les deux membres de ces égalités par rapport à x et en eliangeant 
dans les résultats 'f ' (a;) et ^' {x) en t}i| {x) et '^i {x), 

òi(aí) = COS£C 1 —^ —4 ; ; 3m''"~' X. 

„ = i 1.2. . .(2vi — 1) 

„=o 1.2...2n 

Mais, en posant 

'^1 (a;) = cos £c S L2„sm-"a?, '^{x)= S K2„_,.i sin^"+* x, 

T1=0 11 = 

la formule (A) donne 

/(a) = -}(*) + ?.(*), 
et, par conséquent, on a 

/(0)=']>'(0), /"'(0)='r(0), ■•• 

/(0) = ?.(0), /"(:o) = -y;(0), ... 

Donc 

r" (0) + siiv. /'■^"-^> (0) + . . . + 4?+. /(O.) 



L2„ = 



1.2...2íi ' 

/'•^"+" (0) + 4:V, /•■'"-" (0) + . . . + s.y:v,/' (0) 



1.2.. .(2n-i-lj 
< )ii truuve de la même nianière les formules suivantea: 

yr..+,) ,0) + s.i;i+„.r"-" (0)+. . .+ s.y;:+„/' (o 



U,, 



+í^ 



1.2...(2n+l) 



Z'-^"' (0) + s^L' /<^-'' (0) + . . . + sr "/" (0) 

'^*" - ~ 1.2. ..2n 



374 

Dans ces formules s'^,]_t represente la somme des combinaisons des nomhres 
r-í, 3"^ 5-', ..., (271 -íf 
pris III k »«; et íSi',';' la somme des combinaisons des nombres 

22, 42, 62, . . . , (2n - 2)2 

pris aussi m à m. 

Les formules precedentes peuvent être écrites symboliquement de Ia manière suivante : 

/0(0)[/^(0 ) + 12] [p (0) + 32] . . . [/2 (0) + (2« - 1)2] 



K-211+1 = 



1.^...2?i 

/ (0) [P (0) + 1 -] [f (0) -^ 32] ■ ■ ■ [/2 (0) + (2» - 1 )2] 
1.2...(2n-í-l) 



_ / (0) [r- (0) + 22] [/2 (0) + 42] ■ ■ ■ [/2 (0) + (2«)2] 
'"+' 1.2...(2« + 1) 

r /- (Q) [/- (0) + 22] [/2 (0) + 42] ■ ■ . [/2 (0) + (2» - 2^] 



k;„ = 



1.2...2n 



XIV 



DivEnsos mm sobre mmi infiiiiesiul 



I 

EXTENSION D'UN THÉORÈME DE JACOBI (') 

Extrait d'une lettre adressée à M. Lerch 
(Monatshefte fm- Mathematik und Physik — Wien, 1890, Band 1) 



Soient données les fonctions 



(1) 



]y2=fi(xi,x-2, ...,x„), 

I/n^fniXl,Xi, ...,Xn). 



Vous connaissez bien ce beau et important théorème de Jacobi: 

Si les fonctions yi, ?/2, • ■ •■,yn admettent des dérivées partielles, reiatives à Xi,x-2, . . .,a;„, 
qui soient fonctions continues de xi, Xi, . . ., x,„ est condition nécessaire et suffisanf pourque 
une soit fonction des autres que soit identiquement nul le déterminant: 



(2) 



dfi 

dxi 


dfi 
dxi 


dfi 
■ dx„ 


àh 


dfi 


dfi 


dx{ 


dx^ 


dx„ 


dfn 


dfn 


dfn 


dxi 


dxi 


dXn 



(') Uma traducção hespanliola d'e8te trabalho foi publicada por Galdeano em El Progreso matemático 
(Zaragoza, 1891. t. i, p 121). 
XX 



378 



Moa but est de faire voir qu'on peut énoncer ce théorème de la manière plus complete 
suivante: 

Soient ai, «2, • • ■ 1(1,1 im système de valeurs de xi,sc'2, . . .,a;„ et ^1,^2, • • -j^n 'es valeurs 
correspondantes de yi,y-i, • • -jí/n, et supposons que les fonctions y\,yi, ■ ■ -yy,, admettent des 
dérivées partielles par rapport à xi,xti ■ • • , íf», dans les environs du point (ai,a-2, . . .,«„), et 
que ees dérivées soient des fonctions continues de oci,x-2, . . .,«„: 

1." Si une des fonctions yi,?/-2, . . ., j»,! (yi par exemple) est fonction des autres (y-2,y3-i • ■ -jyn) 
et cette fonction admet des dérivées partielles relatives à y-i,y3, ■■ -lyni continues dans les 
environs du point (&i, J-2, . . ., ò„), le déterminant (2) est nul dans les environs du point 
(ai,ff2, ...,«„). 

2." Si le déterminant (2) est nul dans les environs du point (01,02, . . -,0,1), et si un des 
déterminants mineurs du premiér ordre n'est pas nul dans ce point, une des fonctions 
yi,yi,...,y„ (yi par exemple) est une fonction des autres, dans les environs du point 
(&i,Ò2, ...,b„), et cette fonction est continue et admet des dérivées partielles relatives à 
í/2, yz, ■ . ■ , y» dans le point (Ji, Jj, • . • , ^n)- 

3." Si le déterminant (2) et les déterminants mineurs du premier ordre sont nuls dans 
les environs du point («i,«2, ...,«„), et si un des déterminants mineurs du second ordre 
n'est pas nul dans ce point, deux des fonctions 2/1,3/2, ■ ■ -lyn sont fonctions des autres dans 
les environs du point (^1,^2, • • -j^n), et ces fonctions sont continues et admettent des déri- 
vées partielles dans ce point. 

A." En general, si le déterminant (2) et les déterminants mineurs dordre égale ou infé- 
rieure à i sont tous nuls dans les environs du point (ai, 02, • • •, «n), et si nn des déterminants 
mineurs d'ordre i + l n'est pas nul dans ce point, i des fonctions (yi,y2, ...,y,i) sont fon- 
ctions des autres dans les environs du point (òi, 62, •••,^11), et ces fonctions sont continues 
et admettent des dérivées partielles dans le point (bi^b-2, . . .,6„). 

Púur démontrer cette proposition je vais eonsidérer seulement les trois équations: 

iyi=f,{xi,oc.2,X2), 
(3j lyi=fiiXi,x.2,X3), 

\y3=fi[Xí,X-2,X3}. 

II est facile de voir que, dans le cas general, on démontre le théorème de la même 
manière. 

Vous savez bien que, pour établier la première partie du théorème énoncé ou pose 

yi = 'f (y>, y3), on derive par rapport à a'i,a'2,a':! cette équation et on olimme -= — ^^ ~j — 

C/7/2 o,y3 

entre les trois étpiations resultantes. Je passe donc aux autres parties du théorème. 



Supposons que le déterminant: 



379 



(4) 



dfi âU dfi 

dxi dxi dx3 

dh df.2 dfi 

dxi dx'i dx3 

dfs dfs dfz 

dxi dx-2 dx3 



est nul dans les environs du point («i, 03, «3), et que un des déterminants mineurs du premier 
ordre n'est pas nul dans le point («1,02,03), par exemple le déterminant 



(5) 



df2 df.2 

dxi dx3 

dfi dh 

dsc9 dx3 



En vertu d'un théorème bien connu (Jordan, Cours d'Analyse, t. iii, p. 585), la secoude 
et la troisième des équations (3) détenninent x-i et xz comrae fonctions de íci, 1/2 et yz dans 
les environs du point (ai, cu, 03, &o, Iz) et ces fonctions admettent dans ce point des dérivées 
partielles relatives à X(,x-2, 3:3 données par les équations 

dfi , df.2 dx-i , df.2 dxz ^^ 
dx{ dxi dxi ' dx3 dxi ' 



dxi dx2 dxi 



df-i dx3 
dx3 dx{ 



O, 



Si Fon substitue maintenant les valeurs de Xi et X3 dans la première des équations (3), 
on trouve le résultat 

yi = '^ixi,7/.2,y3), 

qui a lieu dans les environs du point (ai,hi,b.2,l3). 

En remarquant maintenant que le théorème relatif à la dérivation des fonctions composées 
est applicable à la première des équations (3), on voit que yi admet des dérivées partielles 
relatives à xi, y-2 et yz. 

La dérivée relative à x^ est donnée par Téquation 



átp _ dfi dfi dxt _j_ dfi dx3 
ãxi dx{ dxi dxi ' dxz dxi ' 



380 



qui, en substituaut —=-^ et ^ — par leurs valeurs tirées des équations antérieures, donne 
dxí dxi 

d-:^ _ D 



en représentant par D le déterminant (4) et par Dj le déterminant (5). 

Comme le second membre de cette équation est nul dans les environs du point (cf), «2, «a)} 
noiís avons 

dxi ' 

et par conséquent dans les environs du point (ai, a-2, m) la fonction 9 ne dépend pas de xi. 
Nous avons donc 

et la seconde partie du théorème est démontrée. 

Supposons maintenant que tons les déterminants mineurs du premier ordre sont nuls dans 
les environs du point («1,02, «3); et soit 

dx3 



iin des déterminants mineurs de troisième ordre qui n'est pas nul dans le point considere. 

En vertu du théorème déjà employé dans le cas antérieur, la troisième des équations (3) 
determine .X3 en fonction de a"), a?-:, ?/3, et les dérivées partielles de X3 relativement k xi et aJa 
sont données par les équations 

jfy_.dfz_ dxz ^Q 
dx\ dxz dx\ ' 

dfí , dfz dx3 ^Q 
dxí dx3 dx-2 

Si Ton substitue maintenant la valeur de «3 dans la première des équations (3), on trouve 
le résultat 

i/i=tp(a-i,a-2,?/3), 



381 



et nous avons, comine dans le cas antérieur, 



d'~f _ dfi dfi dxs 
dxi dxi dxz dxi 

dcf _ dfi dfi dx3 . 
(áxa dx-2 diz dx-2 ' 

dx'i dx'\ 
ou, éliminant -7 — et -^ — au moyeii des équations antérieures, 





dfi df 
dxi dx3 




dfz dfi 


dtp 


dxi di3 


dxi 


dfz 




dxz 




dfi dfi 

dX2 dX3 




dfi dfi 


d<f 


dxi dx3 


dx-2 


dfi 
dxz 



Comine les seconds membres de ces égalités sont nuls dans les eiivirons dii poiíit 
(01,02,03), la fonctioii (p ne contient paa Xi ni x<í, et nous avons 

yi='i {yz). 
La seconde des équations (3) donne de la même manière 

y-2 = <J> (2/3). 
Le théorème est donc dómontré. 



II 



SUR LA DÉTERMIMTION DE LA PARTIE ALGÉBRIQUE DE L'INTÉGRALE 
DES FONCTIONS RATIONELLES 

(Rendiconti delia Reale Accademia dei Lineei — Roma, 1885, série 4.", vol. 1.°) 



1. Dans le Cours d'Analyse de M. Hermite on trouve (page 263 et suivantes) deux sa- 
vantes méthodes pour la recherche de Ia partie algébriqne de Tintégrale des fonctions ration- 
nelles, dont Ia deuxième est indépendante de la connaissance des racines du dénominateur de 
la fonction donnée. Noiís allons voir qu'on peut aussi rendre la première méthode indépendante 
de cette connaissance en employant les théorèmes de la théorie des fonctions syraétriques 
rationnelles. 

En effet, soit 

Yi{x) Fijx) 

F^t) ~ M'^Nf'P^... 

la fonction propcsée, et 

M = (j: — ai) {x — aa) ... (a- — a„) = .t" + hi a,-"-' + h^ t"-^ + • ■ • , 
N = (3:— al)(ír — aá). . .(x — a^) = xP + h\ xP-^ + h', xP-^- + . . ., 
P = (.T — «'i') (x — a'i) ... (a- — «j') = a;í + A, xi-^ + K xi-^ + . . • , 



M, N, P, etc. étaiit obtenus au moyen de Ia théorie des racines égales. Nous avons 
F, ix) A 




x — ai x — a^ 






A 



383 



oii l'on represente par ^ , . la somiue des fractions simples dont le degré du dénominateur 

est supórieur à Tunité. 

Cela pose, M. Hermite fait voir que le numérateur f(x) de la partie algébrique de l'inté- 
grale de la fonction donnée peut être calcule au moyen de la formule suivante: 

/ {X) = -1 {X"'"^ +pi X"'-^ + ... +p,n-0 

1Í-2 (a;"'-2 +pi X"'~^+. . . + p„,_2) +• • • + -,«-! (x+pi) + Ttm, 

oíi i«, pi,pi, . . .,-|,-2, ... représentent des nombres determines par les ógalités 



M.N.P. 



■■x"^-\-pi x"'~*--\-p-2 a;"' 1-. . ■-\-p,„, 



et 



coi — S Aa'' 
T. = "*) 



toj, wi, W3) etc. étant obtenus au moyen du développement 

Fl (x) _ 0)1 102 I t"3 _|_ 

qui resulte de la division algébrique dri Fi (d") par F (x). 
Or, dans cette analyse, DAa* represente la somme 

1 Aa* = A«í + B4 + . . . + LaJ + A'a'f + B a'S + . . . + La'^ + . . . , 

et elle peut être calculée au moyen des théorèmes de la théorie des fonctions symétriques 
rationnelles, sans la connaissance des racines «i, a^, . . . , aj, aj) • • • • En effet, cette somme est 
une fonction symétrique rationnelle séparément de ai, «o, . . . ; de aj, oj, . . . ; etc, puisque 
on sait, par la théorie de la décomposition des fractions rationnelles, que A, B, C, ..., 
L, A', B', ... L', etc. sont des fonctions rationnelles de «i, a^, . . ., a„, a\, a^, . . ., a^, etc, et 
qu'on passe de A pour B, C, etc. échangeant «i par a-2, «3, etc. D'un autre côtó on sait tou- 
jours ramener le caleul des fonctions symétriques rationnelles des racines d'une équation à 
celui des sommes des puissanees semblables de ces racines, c'e8t-à-dire, dans notre cas, à 
oe-lui des sommes: 

aí+ aj + - ••+ < 

a'Í + «'s + -- - + 0» 



384 



qui sont ealculables au moyen du tliéorème de Newton eu fonction de h\ ,h-2, . . . ; de 
Al, h,,...; etc. (1). 

On peut donc calculer f(x), et ensuite Ia partie algébrique — j— — ^-— — ^— j de Tin- 

tégrale démandóe, sans la connaissance des racines a^, a^, . . . 

2. Pour trouver la partie transcendante de l'intégrale de la fonction rationnelle il faut 
connaítre les racines du dénominateur. Mais on peut obtenir le développement en série de 
cette intégrale au moyen des théorcmes de la théorie des fonctions symétriques sans la con- 
naissance de ces racines. 

En eíFet, développant en série les fractions simples dont le dénominateur est du premier 
degró et additionnant les résultats, nous trouvous un résaltat de la forme suivante: 

^ A _-A SAa SAa2 



dont Tintégrale est 

I!Aa SAa^ 

XIA log (x — «) = log x'ZÁ — — *" „ 



Donc il faut calculer les sommes SA, I1A«, SAa'^, etc, qui sont des fonctions symétriques 
de «1, (í-2, . . . a„; de aí, 02, • • • «^ ; etc-j et qu'on peut par conséquent obtenir au moyen des 
théorèmes counus, sans résoudre Téquation F(a;j = 0. 



(') Ch. Biehler, Siir le calcvl des fonctions symétriques des racines d'une équation (Nouvelles Annales de 
Miitli.Mnatiques, 188-1, 3.« série, tome iii). 



III 

SUR L'INTÉGRALE fe""^f(x)dx. 

(Bendiconti delia Reale Aecademla dei Lineei — Roma, 1885, série 4. ', vol. 1. ) 



On sait que, si f(x) represente une fouction rationnelle de x, Tintégrale J c"''^f(x)dx a 
la forme suivante: 



j c'"^ f{x) dx = e'"* e (x) + í:a í -^^ dx, 



oíi Ia première partie contient une fonction (x) rationnelle, et la deuxième partie contient 
une transcendante qui a la dénomination de logarithme integral. La méthode qu'on emploie 
pour obtenir cette intégrale exige la décomposition de f{x) en des fractions simples, et par 
conséquent la reclierche des racinês de son dénominateur. Nous allons faire voir que, si on 
veut seulement la première partie e"'^ O {x) de Tintégrale, il ne faut pas résoudre cette équa- 
tion. Nous emploierons dans ee but la même méthode que nous avons emploiée pour résoudre 
une question analogue, relative à Fintcgration des fonctions rationnelles, dans notre note in- 
séróe à page 187 de ce volume des Rendiconti (*), 
En effet, soit 

,, ^ . . Fi(a-) ^ .^ F,(:r) 

J(x)=--'^{x) + —^-^ = <f{x) + 



F(.r) ^ M«N^pf 



(') Voir ce volume, p. 382. 
YY 



386 



la foiíction proposée, et 



11 = {x — ai) (x — a-i) . . .(X — a„) = a-" + Aj rr"-' + /í.2 37"-^ + ■ • • , 
N = (aí — «1 ) {x — aV) . . . (íT — dj) = .r? + /íi xi'-^ + /i^ ír''-2 + . . . , 
P = (.T — ai) (x — ai) . . . (íc — cQ = x'! + h\ x'i-^ + lã x'i-- +.. ., 



M, N, P, etc. étant obtenus au moyen de la tliéorie des racines égales. Nous avons 



f{x) = o(x) + 






V 



AI- _^ BI. 



+ ; 



l;,. 



(íc— 0))'' ' (x — «a)*' ' (a; — Oy,) 



+ 



et par conséquent 



(I) 



< = iL J (« — «!)' J (aJ— «2/ J (a; — a„)'J 

, ^, r , r* e'"^ dx , jy' f e'"^ ãx i j' C ^""^ '^^ 



+• 



Comine '^(ícj est une fonction entière, on trouve facilement la première intégrale. 
Les autres inté^rales sont de la forme suivante: 



r e"'^(lx e'"^ o)_ r e"''^dx 

J {x — ay"~ (wi— l)(£c— a)'"-^' m—l J (x — a)'"-*' 



387 



et on a par conséquent 



(2) 



, = )L J [x — ai)' J {x — a-2)' J {x—a„y_\ 

_ I e-- r A. ^ B. ^__^ L; 1 

i = i?' — 1 L('''' — ^0'~' (x— as)'— ' (íc — «,i)'~'J 

i = ,, i-1 L J (a; -ai)-' J [x — a^,)'-^ J (.r-a,,)'-* 



On trouve A,, B,, . . . L,, au moyen des formules de décomposition des fractions ration- 
nelles; et comme ces numérateurs sont des fonctions rationnelles de ai, aa, . . ., a„ et sont 
des fonctions symétriques de a\, a-z, ■■■, Uj,, de aí, d-l, ..., aj,', etc, et on passe de A, 
pour B,, C,, . . . , L, échangeant cu par aa, 03, . . ., a,„ on eonelut que 

(x — ai )— ' {x — a^)—* (a; — a„)'~' 

est une fonction symétrique rationnelle séparément de «i, «2, • • •, «m de aí, «á, . . ., a^,, etc. 
On peut donc obtenir eette somme au moyen des théorèmes de la tliéorie des fonctions 
symétriques en fonction de hi, h^, hs, ..., h\, h^, A3, ..., etc. sans connaitre les racines 
aj, aj, etc. 

De la même manière, on trouve 

= _ V o^e"'-^ r A^ , B^ , ^ U ] 

i^', (i— l)(í-2) L(£c-«i)'--^"(íc — «i)'-'^"^""" ' (x — a„y-^j 

'-< ^,yi r /^ e"'^dx f e^"^dx C e'"-^ dx 1 

et on voit que la partie 

^ «e"'^^ 1" A^__^ ?i._^ I L. 

.-r, (i-Ij(í-2)| (.r-ai/-2 ' (x-aa)'-^ ' ' ' ''^ [x-aj-^ 

peut être calculée au moyen de la théorie des fonctions symétriques. 



388 



En continuant de la mêrae manicre, on arrive au résultat 



i = iL J (« — ai)' J [x — a-i)' J {x — a„yj 

, = 1 1.2. . .(í — 1) |_ J íc— cíi J x — a-i J £C— «„ 

oíi \' (x) represente la partie qu'on a calcule au moyen des théorèmes de la théorie des fon- 
ctions symétriques, et Fautre partie dépend du logarithme integral. 

On voit dono que la connaissance des racines du dénominatenr F(a;) est seulement néces- 
saire pour obtenir la partie de la valeur de Texpression considérée qui ne dépend pas de cette 
transcendante. 

Ce qu'on vient de dire de la partie de la formule (1) relative à «i, a-2, . . ., a„ s'applique à 
la partie relative à r/i, «á, • . ., a],,' h aí, a-2, . . ., a'i'i, etc. On conclut don:- le théorème énoncé. 



IV 



SUR LE DÉYELOPPEMENT DE r' EN SÉRIE ORDONNÉE SDIVANT LES PUISSAMCES 
DU SINUS DE Lâ VARIABLE 

(Nouvelles Aunales de Mathématiques — Paris, 1896, 3.« série, t. XV) 



Dans un article Siir le développemeni des fonctions en série ordonnée suivant les puissances 
du sinus et du cosinus de la variahle, publié dans le Journal de Crelle-Fuchs (t. CXVI, p. 14), 
nous avons donné, pour le développement des fonctions a;-™ et «^'"-^i suivant les puissances 
de sinx, les formules suivantes (*): 



Ía;'-'" = sin^'" £c 1 + 
+ 



Si! 



(2m+l)(2ín + 2) 

CC2) 
'^•■'■"-M , 

(2TO + l)...(2m + 4)' 

C(3) 



+ 7^^~- 



yãm+l = 8Ín2'"+< x\\-{- 

+ 



(2m + l)...(2m + 6) 
S'" 



(2w + 2)(2w + 3) 
(27n + 2j...(2m-h5)' 

^im+- 

(2"to + 2). . .(2m + 7) ' 



•]. 



(') Voir Cf volume, p. 112. 



390 



qui oiit litíu quand on a |sia£c|<l. Daiis ces formules, Síj represente la somme des combi- 
naisons des nombres 

2\ 4^ G^ ..., (2a -2)2, 
jjris h A h, et S^,'^, la somme des combinaisons des nombres 

r^ :r^ 52, C^a^lf, 

pris aussi b k b. 

Nous avons employé, pour obtenir ces formules, une méthode fondée sur la théorie des 
intégrales prises entre des limites imaginaires. lei nous allons voir comment on peut les vé- 
rifier au moyen d'une métliode élémentaire. 

Je remarque, en premier lieu, qu'on démontre, d'une manière três simple, la possibilite 
du développement de a;^'" et «-"'+' en série ordonnée suivant les puissances de sin x, en par- 
tant de régalité connue 



X = sm X -\- -T-^ sin'* x + -r-f-^ sm-' .í- + . . . , 



ou I sin a; I < 1 . 

On sait, en effet, par un théorème bien connu, relatit à la multiplication des séries, que 
le second membre de l'égalité 

x^ = I sm £c -|- — — - sm^ x -f- . s\n^ x-f-. . 

\ z.à 2.4.0 

peut être développé en série ordonnée suivant les puissances de sin x. 

Cela poso, je suppose que la formule (1) ait lieu quand l'exposant de x est égal à 2(to — 1) 
et je vais démontrer qu'elle a encore lieu quand Texposant est égal à 2»;. Dans ce but, je 
pose 

a--"' = Á2,„ sin-'" X + A-2i"4 2 sin^"'+- a; + . . . , 

relation ou Fon n'écrit pas les termes de degré impair, parce que la valeur de x-'" ne varie 
pas quand on change x en —x, et je derive deux fois les deux membres de cette égalité. 
II vient 

2ni ( 2m — 1 ) x-"'~- = — [2m A-j,,, sin-'" x ■{- (2in -i- 2) A2,„_|_2 sin-"'+ - x 
+ {2m + 4) A2„,+4 sin-^"'+* x + ...] 
+ (1 — sin^aj) [2m(27n— 1) Aj,» sin-'"— -a.- 
-h (2)» -r 2) (2»n + 1 ) Ao„,+2 sin^"' x + ...]. 



391 

Si Ton pose dans cette identité 

aj2m -2 ^ A^„,_2 sin-"'~- X -|- Af,„ sin-'" j; + . . . , 
on trouve les égalités 

2»i (2to — 1) A2„, = %n (2»i — 1) A2„,_2, 

— 2to A2,„ + (2ni + 2) (2ni + 1) Asm+a — 2m (2m — 1 ) Aa,,, = 2»í (2m — 1 ) Aj,,,, 

— (2))i + 2) A2,„+2 + (2m + 4) (2m + 3) A-,,,,--, - (2m + 2) (2m + 1) Aím+a = 2ot (2m - l) A2,„+2, 

qui donneiit 

A,,,, = A2,„_2, 

— (2w)2 Aa™ + (2»! + 2) {2m + 1) Aj,,,,^^ = 2ín (2m - 1) Aá,,,, 

— (2»i - 2)2 A2m+2 + (2m + 4) (2»i -f 3) A2m+4 = 2»i. (2m - 1) Aám+a, 

— (2m + 4)2 A2m+4 + (2»* + 6) (2m + 5) Aam+e = 2m (2m - 1 ) A2,„+i, 

(3) — (2?H + 2v)2 A2m+2v + (2m + 2v + 2) (2rn ^ 2v -(- 1) A2«,+2v+2 = 2w (2»i - 1) A2,„+2v, 

Mais, comme noiís supposons que la formule (1) a lieu quand Texposant de x ógal à 
2 (m — 1), nous avons 

A2„,_2=l, 



A2,„+2v^ 



■ (2ni — 1) 2m C^m + 1) . . .(2í/! + 2v)' 



et nous pouvons donc calculer A2„i> A2m+2, A2m-|-4, . . . au moyen des formules antérieures. 
Les valeurs qu'on obtient de cette manière pour les coeíficients A„„ Aam+a, A2111+4, . . . 
coíncident avec les valeurs des coefficients de la formule (1). Pour nous rendre eompte de 
cette circonstance dans toute sa généralité, supposons qu'elle ait lieu pour le coefficient 
A2m+2v, c'est-à-dire que l'on ait 

A2m42v^ 



(2m + l)(2w< + 2). ..(2?)í + 2vr 
La formule (3j donne alors 

^■^"'+^^+^ = (2»» + l).. .(2^ + 27+2] [silSv + (2- + 2v)2 s;:; J. 



392 
Mais si l'on a égard à la significatiou des symboles Sj,',^.]^ et S^JA^^ .j, oii voit cjut 



Done on a 

A-2m+-2v+-2 = 



^2m+av +2 

(2»^ + l^.•(2m + 2v + 2í)' 



et Ton voit que la valeur de A-2111 ^2v+2 coincide encore avec la valeur du coefficient de 
sin-"'+-''+-x dans la formule (1). 

Au moyen de Tanalyse qui precede, on voit que la formule (1) a lieu pour l'exposant '2m 
si elle a lieu pour Texposant 2 (wi — 1), et, par conséquent, si elle a lieu pour la fonction x-. 
Mais cette formule, en y posant ni =1 et en remarquant que 

Si" = 2-, S;;' = 2-.4-, S;;" = 2- . 4- . (J^ ..., 

donne la formule connue 

2 1 , 2.4 1 . 

X- = sin- íc -p -FT • — r sin '* a; + -;r — — . -r- sin^ cc + . . . 
à 2 á.o o 

La formule (1) est donc démontrée. De la même manière on vérifie la formule (2). 
On tire de Tégalité (1), en la dérivant par rapport à x, 

= sm-'«-'x 1 -1-- — - sui-a; + ^3 , ,, ,, — ^õt sin"a;-r. . • . 

cosa; 1_ 2Hi-ri (2m + l)...{2mTO) i 

De l'égalité (2) on tire aussi 

= sm-'« X 1--- — rT7Sin-£c + — — - — ^ — --r-sm^a; + . . . . 

cosx L 2í« + 2 (2?)i+ 2). . .(2írt + 4) J 



V 
DÉMONSTRATIOH D'DNE FORMULE DE WARIKG 

(Nouvelles Annales de Mathématiques — Paris, 1888, 3." série, t, VII) 



Dans un intéressant article intitule: Sur certaines fonctions symétriques; appUcation au 
calcul de la somme des puissances femblaòles des vacines d'ime équafion ('), M. M. cVOcagne 
calcule, au moyen de la théorie des fonctions symétriques, la fonction 

1 + '_+...+. ' 



{x — a;()" (x — íci)" ' (x — a";))"' 

ou X[, ,r-2, . . . représentent les raeines de Téquation 

U = Ao íC^ Al «''-* + . . . + A/,_ia; + Ap = 0; 

et ensuité déduit, du résidtat auquel il arrive, une formule pour !•■ eal<'ul de la sorame des 
piiissances semblables des raeines de cette équation, analogue à celie de Waring. II part de 
Tidentité 



D.iogu=i;— ^- 



qui, útant dérivée n — 1 fois par rapport à x, donne 



2-(^,j^ = {^^^"'°gu. 



(') Jornal de Sciencias mathe.maticas c. astronómicas (Coimbra, t. vii, p. 133). 
ZZ 



394 



Le but de cette Note est de faire voir qu'on peut, par la métliode de M. M. d'Ocagne, 
obteoir Ia formule de Waring, en faisant usage, pour le calcul de D;; log U, d'une formule dif- 
férente de celle qu'il a employée, à savoir (') 



a!|3!...X!(2!)f'(3!)''...(n!y^' 

ou 2 represente une somme qui se rapporte à toutes les solutions ontières positives de 
réquation 

et oíi 

i=a + ^+... + l. 

En eíFet, cette formule donne 

d: lo, u = s (- 1)-' jUíi^aju -'"'" "?---""" ■ 

a+2^+... + pK = n, 
i=a+^+...+ k, 
parce que 

\](p+i} = U'í^"^) = . . . = U^"» = 0. 

Nous avons donc 

^ {x-xj" -(-1) «-i(-l) „!p!...xi(2!)P...(j,!/ 
et, en posant a3 = 0, 

1 __^. ,^, ('í-l)!Uo-'U'«...U(í'>^ 



s— =«S(-i)' 



a!3!...X!(2!)P(3!y'...OI)^ 



(') Voir le Calcul dljjcreidid de M. J. Bertrand, p. 308, ou mou Curso de analyse infinitesimal, t, i, 3.= 
ed., p. 242. 



395 



■^xl ^^ ^ ^ÍFÍTTÃI 

En appliquant maintenant cette formule à l'équation 

A;, xf + Áj,_i ící-* 4- . . . + Al £c + Ao = O, 

dont les racines sont inverses des racines de Téquation proposóe, on trouve la formule de 
Waring 

^ " ^ a!p!...X! 

oíi a, [i, . . ., X sont les solufions entières positives de Téquatioii 

a + 2^ + ...+pl^n, 
et oíi 



VI 

SDR L'INTÉGRALE rcot{x-a)dx 

(Nouvelles Aniiales de Mathématiques — Paris, 1889, 3.<^ série, t. VIII) 



L'intégrale j ' cot (x — a) dx, qui a une grande importance dans la théorie de Tintégration 

des fonctions rationnelles de sin,« et cossc, a été obtenue par M. Herinite dans son savant 
Coiirs d'Analyse^ p. 344, au moyen d'ime construction géométrique, et ensuite dans Jornal 
de Sciencias math em atiças, t. n, p. 65, au moyen d'une métliode entièrement élémentaire. 
Je me propose ici de considérer la même intégrale, pour Tobtenir par une autre móthode, 
anssi ólémentaire, en la faisant dépendre de Tintégrale 



£ 



/' (x) du 
',55 \+U\x)f 

8ok a = rt + ih. On a. 



/.,^ •. /"cos (a; — a — ilj) n doaix — a) cos i& + sin (a; — a) sin i6 , 
coi(x — a — ib)dx= I -^— ^ ^= I -^ i- rr ) ~^-^dx, 
fJ sni ( ;c — a — ib) o sm (a; — a) cos lo — cos (a- — «) sin !o 

)u i'on duit renijilacer sin i7< et cos ib par leurs valeurs 




2» ' 



I 



À 



397 



ce qui donne 



/r(e-'> + e'')i^os(x—a)^i(e-'' — é)sin(x — a) 
^ ' J (e-^ + é)sm{x—d) + t(e-'' — e'>)(io9.íx — a) 



Ç 2sm2{x — a)dx . {e-^^ — e^'>) dx 

'' J 6-26 + «2* — 2 COS 2 (a; — a) * (e-* -f- éf úvfi (cc — a) + (e-" — e'')^ cos^ {x — a) 

[g-é _i_ g* "] 

^3^— ^tang(íB-a)J 



: -^ log [e-'^'> + e-'' — 2 cos (a; — a)] 



1 + 1^:^:1^ *^°&(^-«)j 



Mais, comme on a e"^* -|- e^'' > 2, la fonction 

log [e-2* + «2'' — 2 cos 2 (íc - «)] 
a une branclie réelle qui prend des valeurs égales dans les points a; = O et o; = ~. Donc 

Jd _^_ ^ tang (a? — a) 
— vl-^+l" T^* 
, l + [^^tang(._a)] 

L'intégrale, qui entre dans le second membre de cette égalité, a Ia forme 

J^ic f {x) dx 

et nous allons par conséquent lui appliquer le tliéorème de Cauchy: 

J^'" "1 + rTTÍií = ^^'^ tang/(-) - are tang/(0) + (« - m) -, 

ou n represente le nombre de fois que /(a,) passe par Tinfini en allant du positif au nógatif, 
et m le nombre de fois que f{x) passe par l'in(ini en allant du négatif au positif. 
En y posant donc 

g— * _|_ gb 



398 



et en remarquant qiíe, quand x varie depuis zero jusqu'à tí, tang(a; — a) passe une seule fois 
par 1'infini, en allant du positif au négatif, et que la fraction 



-*_e* 



est positive ou négative suivant que J<0 ou >0, on voit que /(«) passe une seule fois par 
rinfini, en allant du positif au négatif quand 6 < O, et du négatif au positif quand 6 > 0. 
Nous avons donc 



quand J > O, et 



quand J < 0. 



I cot {x — a) cZa; = ix 
•'O 

I cot (a; — a) dx = — ít 



FIM DO VOLUME PRIMEIRO 



índice 



Paginas 



Sobre o desenvolvimento das ftmcções em série. Memoria premiada e publicada pela Real 
Academia de seiencias exactas, physicas e naturaes de Madrid (Memorias de la Real Academia de 

Ciências exactas, físicas y naturales de Madrid, 1897, t. xvin, parte i) 1 

IntroducçIo 3 

Capitulo I — Estudo da série de Taylor no caso das funcções de variáveis reaes 5 

Capitulo II — Estudo da fórmula de Taylor no caso das funcções de variáveis complexas. 

Methodo elementar 19 

Capitulo III — Continuação do estudo da série de Taylor no caso das funcções de variáveis 

complexas. Methodo de Cauchy 27 

Capitdlo IV — Continuação do estudo da série de Taylor no caso das funcções de variáveis 

complexas. Methodo de Riemann 39 

Capitulo V — Continuação do estudo das séries de Taylor e de Laurent no caso das funcções 

de variáveis complexas. Methodo de Weierstrass e Mittag-Lefller 55 

Capitulo VI — Série de Biirmann. Série de Lagrange. Generalisação da série de Biirniann . . 79 
Notas 98 



II 

Sur le développement des fonotions en série ordonnée suivant les puissances du sinus 
et du cosinus de la variable (Journal fiir die reine und angewandto Mathematik, gcgriiudet 

von Crelle. Hcrliu, 1896, Band cxvi) 103 

Iktboduction 105 

I — Sur les développements de /(x) suivant les puissances de sin x qui ont lieu dana une aire 

liinitée 106 

II — Sur les développements de/(:c) suivant les puissances de sin x ((ui ont lieu dans une 

bande infinie • 117 



400 



Paginas 
III 

Sur les séries ordonnées suivant les puissances d'une fonction donnée (Journal ftii- die 

reine rmd angewandte Mathematik, gcgrtindet vou Cielle. Berlin, 1900, Band cxxii) 127 

Introduction 129 

I — Sur le développement de f(x) en série ordounie suivant les puissances positives et né- 

gatives de 6 (.r) 130 

II — ■ Sur les séries ordounées giiivant lea puissances de =- 135 

III — Sur le développement des foiiotions en série ordonnée suivant les puissances de sina; . . 151 

IV — Sur la série de Fourier -. 155 



IV 

Extrait d"une lettre adressée à M. Hermite {Bulletin des Sciences mathématíqucs. Paris, 

1890, 2.e série, t. xiv) Ití3 

Notes 175 



V 

Sur les courbes parallèles â Tellipse (Mémoií-es couronnés et autres INIémoires publiés par 

TAcadémie Royale de Belgique. Bruxelles, 1898, t. lviii) 179 



VI 

Sur les dérívées d"ordre quelconque (Gioniale di Matematiche. Napoli, 1880, t. xvm) 209 

VII 

Sur le développement des fonctions implicites en série (Journal de Mathéuiatiques purés 

et appliquéps, foiulr par Liouville. Paris, 188Í, 3.<= série, t. vii) 219 



vni 

Sur le développement des fonctions implicites (Journal de Mathématiques purés et appli- 

quées, fondé par Liouville. Paris, 1889, 4." série, t. v) 227 

Nota 234 



IX 

Sur le développement des fonctions doutlement périodiques de seconde espèce en série 
trigonométrique (Journal fíir die reine und angewandte Mathematik, gegríindet von Crelle. 
Berlin, 1903, Band cxxv) 237 



401 



Apontamentos biograpliicos sobre Daniel Augusto da Silva (Boletim da Direcção Geral de 

Instrucção Publica. Lisboa, 1902, t. i) 259 



XI 

Note sur Tintégration des équations aux dérivees partielles du second ordre (Bulletin de 

la Société Mathématique de Franca. Paris, 1881, t. .wii) 273 



XII 

Diversos artigos sobre Geometria analytica plana 283 

I — Sur la courbe équipotentielle (Archiv der Matliematik und Physik. Leipzig, 1902, 

Reihe iii, Band iii) 285 

II — Sobre una curva notable (El Progicso matemático. Zaragoza, 1889, série 2.», t. i) . . . 290 

III — Sobre los focos de las espiricas de Perseo (El Progreso matemático. Zaragoza, 1900, 

série 2.», t. ii) 294 

IV — Sobre una propiedad de los focos de los óvalos de Cassini (Revista trimestral de 

Mathemáticas. Zaragoza, 1901, t. i) 299 

V — Sur Ia tétrascupidale de Bellavitis iMathesis. Gaud, 1901, t. xxi) 302 

VI — Sur une propriété des ovales de Descartes (Mathesis Gand, 1902, t. xxii) 305 

VII — Sur Tenveloppe dune droite de longueur donnée s'appuyant sur denx droites iln- 

terniédiaire des Mathématicicns. Paris, 1898, t. v) . 308 

VIII — Évaluation directe de Paire de la développée de Pellipse (Intermédiaire des Mathé- 

maticiens. Paris, 1900, t. vii) 310 

IX — Sur la rectification des courbes paralléles à une courbe donnée (Intermédiaire des 

Mathématicicns. Paris, 1900, t. vii) 312 

X — Sur les foyers du limaçon de Pascal (Intermédiaire des Mathématiciens. Paris, 1900, 

t. VII) 314 



XIII 

Sur la convergence des formules de Lagrange, Gauss, ate. (Journal fiir die reine und ange- 

wandte Mathematik, gegriindet von Crelle. Berlin, 1903, Band cxxvi) 317 

Introduction 319 

I — Sur la convergence de la formule d'interpoIation de Lagrange 321 

II — Sur la convergence des formules d'iuterpolation trigonometriques 339 



XIV 

Diversos artigos sobre Analyse infinitesimal ... 375 

I — Extension d'un théorème de Jacobi (Monatshefte fiir Mathematik und Physik. Wien, 

1890, Band i) 377 

AAA 



402 



Paginas 



II — Sur la détermination de la partie algébrique de lintégrale des fonctions rationelles' 

(Rendiconti delia Reule Aocademia dei Lir.cci. Roma, 1885, série i.', vol. i) 382 

III — Sur rintégrale fe""'f(.i)dx. (Rendiconti delia Reale Accademia dei Lincei Roma, 

1885, série 4.», vol. i) 5S5 

IV — Sur le développemenl de J-' en série ordonnée suivant les puissances du sinus de la 

variable (Nouvelles Aunales de Mathéinatiqucs. Paris, 1896, 3s série, t. xv) 389 

V — Démonstration d'une formule de Waring (Nouvelles Annales de Mathcmatiques Paris, 

1888, 3.« série, t. vii) 3!'3 

VI — Sur rintégrale f~ cot (.r — y) dx. (Nouvclles Annales de Mathcmatiques Paris, 1889, 

3.f série, t viii) 39<j 



3A 

3 

G65 

1904. 

v.l 



Gomes Teixeira, Francisco 
Obras sobre matheraatica 



Apyiicd Sei. 



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