pi
p
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HAE
ns,
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pe
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ne
de
ra
D'AUGUSTIN CAUCHY
ŒUVRES
COMPLÈTES
D'AUGUSTIN CAUCHN
PUBLIÉES SOUS LA DIRECTION SCIENTIFIQUE
DE L’ACADÉMIE DES SCIENCES
ET SOUS LES AUSPICES
DE M. LE MINISTRE DE L’INSTRUCTION PUBLIQUE.
I" SÉRIE. — TOME III.
PARIS,
GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE
DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,
Quai des Grands-Augustins, 55.
MCMXI
ee
re 5
Fr
RSR &
ras
PREMIÈRE SÉRIE.
MÉMOIRES, NOTES ET ARTICLES
EXTRAITS DES
RECUEILS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES
DE L'INSTITUT DE FRANCE.
OŒuvres de C. — S.I,t. HI. l
243634
ns
ALAN
FE à
LT.
MÉMOIRES
EXTRAITS DES
MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES
DE L'INSTITUT DE FRANCE.
ARR
Ge
NS Pc
AM
+
ne
d'or À
MÉMOIRE
SUR
LA THÉORIE DES NOMBRES ‘.
Mémoires de l’Académie des Sciences, t. XVIT, p. 249; 1840.
AVERTISSEMENT DE L'AUTEUR.
Le Mémoire qu’on va lire est l’un des deux que j'ai présentés à
l’Académie des Sciences le 31 mai 1830. Il renferme le développement
des principes que j'avais établis dans les £xercices de Mathématiques
et surtout dans le Bulletin des Sciences de M. de Férussac, pour l’année
1829 (?). Mon absence, qui s’est prolongée pendant 8 années, ayant
retardé l’impression de ce Mémoire, je le publie aujourd’hui tel que je
le retrouve dans le manuserit présnté , le 31 mai 1830, à l’Académie
des Sciences, et paraphé à cette époque par le Secrétaire perpétuel
M. Georges Cuvier. Toutefois, pour ne pas fatiguer l'attention du
lecteur, je supprimerai une grande partie des numéros placés devant
les formules et, pour éclaircir quelques passages, je joindrai au texte
plusieurs notes placées, les unes au bas des pages, les autres à la suite
du dernier paragraphe. Comme quelques notes de la première espèce
existaient déjà dans le manuscrit, afin qu'on puisse facilement les
distinguer des notes nouvelles, je marquerai celles-ci, quand elles
seront placées au bas des pages, pe un astérisque.
{!}) Présenté à l’Académie des Sciences le 31 mai 1830.
(2?) Voir le Tome XII de ce Bulletin, p. 205 et suiv. (OEuvres de Cauchy, ATH)
2 D
Cdt
CE CE
6 | MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
S I.
Soient
P=ns +I
un nombre premier;
ñ un diviseur de p — 1;
0 une racine primitive de
(1) æP— 1];
7 une racine primitive de
(2) arr
tune racine primitive de
(3) æP =] (mod.p).
Alors
p tn
sera une racine primitive de
(4) Di
et
une racine primitive de
(5) æ'=1 (mod.p).
On aura
LAC
(6) Ti ——1,
ny
(7) ti =1 (mod.p)
et de plus, si 2 est pair,
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 7
De plus, # étant un nombre entier quelconque, nous désignerons par
m —=1Â(#)
le nombre #2 propre à vérifier la formule
k= (" (mod. p),
en sorte qu’on aura
kT = pnm = pm — rit&),
et nous poserons
(2) = 70 — Fu I(k) — plis,
P/. |
Par suite, comme on aura, en vertu de l'équation (7),
nv
I(— Le Ré Ts
on en conclura
és nm
— sr et =(—1)9
CF)
On aura d’ailleurs évidemmen
SE)
Soient maintenant
G)=G)
(8) @,—0+ pr0t+ pn00 +... + pp-D AQU
et
(9) ; 0,0,—=R, x O4.
R,, sera une fonction de o de la forme
Ri,n = 49 + AP + Ap?+...+ an 1p"Tt;
et, si l’on pose
= mh (mod.r),
wc La ’ 12
on aura, en supposant » différent de zéro et de Le
4
Rama = do + ap} + d2 ph + + l'A strate
8 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et.
k »\k
(10) Riu (ns () (:) ’
le signe à s'étendant à toutes les valeurs entières de #, e comprises
entre les limites 1, p — 1, et qui vérifieront l’équivalence
1+u+v=.0 (mod.p).
On aura d’ailleurs, en supposant 2 différent de zéro,
(11) 0,0_;—(—1)""p, Ra =—(—1)5/p,
et, en supposant À, # ainsi que 2 + # non divisibles par »,
(12) RakR px = pe
On trouvera, au contraire,
(13) Haas he — 1,
Enfin l’on aura
(14) A0+ A+As+... Han 1 —=p —2
et, en supposant z pair,
4.
(15) A0 — A+ Ao— 3H... — A» —=—(—1)?,
Par suite, si l’on suppose
(16) Bi P(P}
on trouvera ?
(17) F(pr) = Re | et Pi") (p "nm pe
si le nombre x est tel:qu’aucune des équations
(18) SD pr, p'HPERICE
ne soit vérifiée. On aura, au contraire,
(19) : F(p"”) = — (— 1)7#Ax0mk
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 9
si une seule des équations (18) est satisfaite, et
(20) F(p")=p— 2
si les trois équations (18) subsistent simultanément.
Soient encore 2, #, l trois nombres entiers propres à vérifier la
condition
(21) h+k+l=o (mod.n).
On aura, en supposant ces nombres tous trois différents de zéro,
Ph Dur 02 0:
0,0,0,—(— 1) — (— = (— 1)54 —_—
etat ) 0,4 , 07 ï 1)
et, par conséquent,
(22) (+ DR (— ER EE (— tt PTT
Soit maintenant s une racine primitive de
(23) ai = 1 (mod.n),
le nombre étant supposé premier, et faisons
(24) 9, OO... = É(p) (73:
on aura
(25) 0, 9: O;:. à On — F (ps)
et, de plus, |
Pi la = dpt ee Sp),
(5) = F (ps) = # (°°) — — Ÿ( a+)
Donc (bp) sera de la forme
(26) F(p}= co+ cp + pH pt +. + p5" 7) ce (pt + pt +. pt)
# É
.(1) Nora. — s étant une racine primilive de la formule (23), on a
LL
S-A1—i= 0
sr-rE y mod.n
Fe sg SI SHS +... += 0 ( »
et c'est ce qui permet d'établir la formule (24).
OEuvres de C. — S. I, t. HI. 2
10 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
ou
2 Co — Ci — Co Ci, —
Ca s «3 s3 sms sr
; à cr CE SE OR AE |
Sp} =
et, comme on aura
n—1
2
S ? =—1 (mod. »#),
p + + pH. + pp — 1,
n—1
(p— pS+p—p+... + pp Pi) ? on
on trouvera
Se) (= (PRÈS) Dr n(s—a),
ou, ce qui revient au mêmé,
(27) &fo)Sp) = Que ee (1) ra a),
ou bien encore
(28) (6) É(os) = (co— A} + (Co-— C2) (C1 — C2) + are ten
Lorsque n est de la forme 4x + 3, l'équation (27) ou (28) se réduit à
(29) &#(p) É(pS) = (200— C4 — Ca) + RC -- C2)
ou bien à
(30) F(p) É(p°) = (Co — C1) + (Co — C4 )( C1 — Ca) + —— (Ci — C1)?
a
2
Au contraire, lorsque z est de la forme 4x + 1, alors, étant pair,
la formule (24) donne simplement
TO ETES
et » disparait de l'équation (26), qui se trouve réduite à la forme
F(P) = Co
Revenons au cas où 7 est de la forme 4x +3. Comme on aura
n—1
$(b)É(p)=p *,
e
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 11
l'équation (29) donnera
n—1
4p ? =(20o—Cc;— CC) + n(c— cs}.
. Donc on résoudra l'équation
(31) Lp% 5e Ari RE
en prenant
X = 2 Co — y — Ces Y—=c— ca.
Mais ces valeurs de X et de Y seront généralement divisibles par p. Il
reste à trouver la plus haute puissance de p qui les divise simulta-
nément. :
Soit vu un nombre tel qu’on ait simultanément
n—1 n—1
vu ? æ1 et (i+u)s =! (môd. 7 ).
On trouvera
0, 0: O1. , Os LT ®, us. ° Os RE 0,., Oiiiu)s. . O(i+v)sr-: 7 f(p)
et, par suite,
O, 0, 0: Os: O,n-: Os:
6,., Okiv)s Oiu)sr-s
(33) F(p°) =Rw Ress. ce Ron gone
(52) $(p) Rs — R,v0Rs vs. ; Ron-s yon,
Si » est de la forme 8x +7, on pourra prendre u —1, puisqu'on
LÉ
aura 2 * —=1, et les formules (32), (33) donneront
/ É(o) es R;;: Rs à: ‘ Risrs s,
(34)
\ ( F(p°) =RasRs ns... Rions nm.
D'autre part, comme on aura
F(p) = Co+ Cp Hp + Hp) + Ca (pp + Hp),
F(P°) = co+ C1 (p°+ pe + PT) cp + pe + pi),
KT
12 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
on en conclura
| X=20—0—0=53(p)+$(p"),
F(p)— (ps)
(35) | die de +. Lo
ni — 2
0
i
n—1
= (— 1) ? A(p — pf+...— ps" *)[# (bp) — (p°)].
Soit maintenant
1.2.3...[(A+4k)5]
(1,2:8... A)(i.2,3. 0
(36) LL PU
et supposons chacun des nombres k, # renfermé entre les limites 0, n.
On aura
(37) Il, ,= 0 (mod.p)
si la somme À + # est renfermée entre les limites » et 2n; et, au
contraire, Il, ne sera point divisible par p, lorsque À + #Æ sera
compris entre les limites o, 2. D’un autre côté, en supposant
h+k<n et n—h—=k=1,
en sorte que la condition (271) soit vérifiée, on aura
1.2.3...(N—1)=[1.2.3...(h+ k)o][(—1)(—2)...(—/w)]
={1.2.3...(h+k)ml(—:1)6(1.2.3.../D)=—:1,
I
da L SRE
1.2.3...(hk + K)æo —(—1)5+ tte
et, par conséquent,
(— 1)/5+1
(38) DRE FREE DCE 0 | IPF OMNIeTR
Enfin, si l’on pose comme ci-dessus
Rai F (p »
on trouvera ;
( 39) F(r) = — | à FREE Re
Cela posé, soit p' la plus haute puissance de p qui puisse diviser simul-
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 13
tanément X et Y. On aura, en vertu des formules (35),
X :4(p) L Cp)
mi Pi Pr
Ds ftp) #(p°)
ER F s? 07 sr—2 p 3 p° :
ee n(p—p+p mes rt NL FES 7 P*
et, comme les seconds membres des formules (40) seront des fonc-
tions symétriques de p, 2°, ..., p"-t, ils devront rester équivalents,
: FE A EL
suivant le module p, à — et à —; quand on y remplacera p par r. Donc,
P P° ;
alors, l’un et l’autre seront entiers, et l’un d’eux au moins sera non
divisible par p. D'ailleurs, si, dans les seconds membres des for-
P
Ra.22
mules (34), on remplace R;, par » toutes les fois que l'indice À
4 nn
:
est équivalent suivant le module x à l’un des nombres 1, 2,3, ..., —
on en conclura
#(e) =p"œ(p),
(41) : n—1_,,
l J(p°)=p * x(e)=?P"x(P)
v' étant le nombre de ceux des indices
D RS rt
‘ qui sont équivalents suivant le module 2 à l’un des suivants
LE Vire A À
(42) ARS CARE DORE ‘
2
et v” étant déterminé par la formule
tandis que o(r), y(r) ne seront équivalents ni à zéro ni à - suivant le
module p. Donc, si l’on prend pour À le plus petit des nombres v’et y”,
les seconds membres des formules (40), quand on y remplacera 9
par r, ne deviendront point équivalents à l'infini suivant le module p,
14 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et l’un d'eux au plus sera équivalent à zéro. Donc À sera l’exposant de
la plus haute puissance de p qui divise simultanément X et Y. D’ail-
leurs, si l’on fait
: X=p>, Éeply,
la formule (31) donnera
à
(43) 4pT =st+ny!
et comme on trouvera, en posant À = v’, -
n—1 :
et, en posant À —
nc} Ve (inf
en te
il est clair que la formule (43) pourra être réduite à
(44) kpb= 2 + ny},
la valeur de u étant
5) (ee)
2 ? =—1I] (mod.p),
Bus... Ouon-s — O5 Os... On: — F(p5),
0! 0; ins __ [F(0)F
2
R Re Se. n—3 Un LE psaass D
1,1 ; R; £ 0, O, 2 O, ,n— F(p°)
R;; Rss. . Ron, s"—3 — Las )]
F(p)
[Sp 7
F(p°) = p* o(p);
ÉTOILE “ dé = =v
FPE à Xx(P)=Pp (0);
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 15
puis on en conclurait
(46) | CFO =p + Le(p)l x (0),
[Ces = pt" p(p) [x(e)l.
Donc alors on devra prendre pour À le plus petit des deux nombres
en sorte qu’on aura
Donc alors on vérifiera l'équation
(47) &p#= a+ ny
en nombres entiers si l’on pose
4v'— (n—1)
F À
(48) Wocr
: à : SR is LT
Dans les formules (45) et (48), w est toujours inférieur à A, et
v' représente le nombre de ceux des indices (42) qui sont racines de
l’équivalence
Ja,
æ ? =1 (mod.n).
Les autres étant nécessairement racines de l’équivalence
n—1t
æ ? =—1 (mod.n),
on en conclut
[ s n—1
nd. re CR à PU UE
RPC ( )
(49) + , (mod.n).
| SAÉTNE Em ES PE DRE 1)
ve 2 Le: 2
On a d’ailleurs
n+1 1 —. n
nt. a er —1 —53y—1 -3v-1
Phi eur) AU Une NE RS
1— e:v-1 221 5391
e ? — €?
16 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et, par suite,
sin —
ace à 1
I COSZ = C08923 5... COS sn I — ;
sin —z
(50).
- n 3 ñn
COS — 3 COS = COS 5
. . PERS I 3 2 I d. 2
SIN 3 + SIN23 +-...—+ sin He RCD mr | = — -
2 2 2 re 2 da 0e
SID-- SIN —
| 2 2
. ; . . nr . Li Roeet | . x
Si, 2 — 1 étant impair, on différentie —— fois par rapport à z la pre-
2
mière des équations (50), on en tirera
n—1
us — oem fm nm —1
-(—1) * [sinz +2 * sin2z+3 singe +... | L ) sin M
n-1 see à
I "6 2 me.
RTE 2 #n—1 I ?
gs ? Sin — z
d 2
tandis que la seconde donnera
n —1
n —3 n—1 Er
Sean è RUE CS 5 En LE
(— 1) COS 3 + 2 COS23+..,+ S cos rs
n —1 s COS — 3
d cot— — -
sin =
RÉ p 2
RÉ nt
dz.?
On conclura de cette dernière, en posant : — 0, après les différen-
tiations,
ñn=1 S É
ni + line 07
n—3 ni ” d (coi — — coséc = )
; e SA A = : mod.)
(51) (—:1) 1492 +... + L = ni ( SE à
ds;
D'autre part, si l’on désigne par 4, le nombre de Bernoulli qui cor-
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
respond à l'indice 2, en sorte qu'on ait
J
4 — ho + 3 — 42°
on trouvera
3 5
RM De AN à
ang 2 [à (2 PP US at M tisse
et l’équation (51) pourra être réduite à
6 n—t1 n—1 — n+1 dd? {lang —
PNUUON SES nr". re 7 A
142? +3? +...+ = (— 1) ———
2
On aura donc par suite, en supposant impair, ou = de
forme 4x + 3,
n—1 n +1
n—1 R—1 RE USE n+i1i =
Vo" VE LD |
bhat 137 + + ( entr
€ PEN OS VER
(52) : n +1
net (UT :
=(—1) : Er dis
2 ? :
Enfin, comme on trouvera : 1° en supposant 2 de la forme 8x + 7,
n—1
2 ? =] (mod. » );
2° en supposant z de la forme 8x + 3,
2 ? =—1 (mod.n),
l'équation (52) donnera, dans le premier cas,
ni nt tu nai
1+2°? +3? ++ ( ) = (—1) * 24,1:
1 2 4
et, dans le second cas, s
n—1
ni APRES NoniN nr
1+2 ? +3 °? ++ ( : ) =—(—1) * 6%,,:.
OEuvres de C. — S. 1, t. IL. 3
17
la
RE: MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
On aura donc : 1° en supposant » de la forme 8x + 7,
_— eo me ES (—1) Ÿ 2441 (mod.n);
EH
Il
2° en supposant z de la forme 8x + 3,
v—(n—1 Lara
eee
H
Par conséquent on aura, dans tous les cas,
(53) — +de
4
On pourra done vérifier l'équation (47) en prenant pour y le plus
petit nombre entier équivalent à
ms db ste
4
Exemples. — Soit nr — 7. On trouvera
a Ne I (mod.7),
H =I
On vérifiera donc alors en nombres entiers l'équation
PRIT
et, par conséquent, l'équation
P=+7Y.
Soit encoré n — 11. On trouvera
. 42 21
- " : A , .
et, par conséquent, on pourra vérifier en nombres entiers l’équation
&p°=x? +117?
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 19
Soit 2 — 163; 2 sera une racine primitive de l’équation
aW=rt,
en sorte qu’on pourra supposer
ST 2:
D'ailleurs, les puissances successives de 2, divisées par 163, donne-
ront pour restes :
1; 2 4, 8, 16, 39 64, —35, —70, 23, 46,
92, 21, 42, 779; LÀ 10, 20, ANT 6:53;
— 6, —12, —24, —48, 67, —29, —58, —47, —69, 25,
50, —63, a 74, —15, —30, —60o, 43, 86, 9,
6, IT, 22, 44, 88,
3, —17, —34, —68, —27,
18, 36, 72, —19, —38, —7
ra, 26, 52, —59, 45, Ÿ:
—54, 59,602. 57, —49, 65, —33, —66, EL, 62,
— 39, —78, HÉTOtA, 28, 56, —51, Gr, —41, 81.
“1 bc . 163
“Les restes positifs et inférieurs à —= — 81,5 étant au nombre de 48,
on aura
Re + (2, 2) = 3 (06 — 81 25, Ms
On pourra donc satisfaire, par des valeurs entières de æ, y, à l’équation
p°= x? +163 y°.
Revenons aux formules (10) et (16) desquelles on tire
a mr (5) (5er DE) (SE)
Si l’on y remplace » par r, on trouvera
F(7r:) == — D ne. rs em)ok
= (—1)04. A DT do
ie [1.2.3...(n — h)m|[1.2...(h+k — n)x] ane
(55) (mod.p);
a
20 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et, comme on à
F3.3..(n Ke
= (—1)/4#+00#11.2,3...(an7 —h—k)w
nD=—I, _1.2.3...k0 =
I
1.2.3...(A+k—n)s
on conclura de la formule (55)
1.2.3...(2n—h—k)w
(6 EU ere [r.2.3...(n— h)w]{1.2.3...(n —k)w] = une;
ce qui s'accorde avec la formule (39).
Si, dans l'équation (39) ou (56), on remet pour I[,_;,-x sa valeur
tirée de l'équation (38), savoir
D A
[1.2.3...(n—h)w][1.2.3...(n—kK)w][1.2.3...(n —l)w]
=(1.2.3...hm)(1.2.3...k4m)(1.2.3..,/o)(—:1) 7H,
I, n-x = RUE
on trouvera
É F(r)=(—:1)6(1.2.3...ho)(1.2.3...4o)(1.2.8.. 10)
(57) (mod.p).
= (—1)%+00(1,2.3...hw)(1.2.3...km)[1.2.3...(n—h—k)5]
Il est facile de trouver des nombres équivalents, suivant le module p,
aux valeurs de æ, y qui vérifient la formule (44) ou (43). En effet,
soit toujours p? la plus haute puissance de p qui divise simultanément
X et Y; on aura
(58) dns pe _ ps: ææ “ + pe (mod.p},
| + fs (p°
pen rpg pe) [TR - 0
(59) eee : ; (mod.p)
= (4) L'an ai “ei FO je sé
P P
D'ailleurs, on déduira sans peine des formules (32) et (33) les valeurs
des rapports LP Es
tr): Fr)
FR
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 21
ou plutôt la valeur de celui qui n’est pas divisible par p. En effet, on
y parviendra facilement en remplaçant chaque facteur de la forme
R k,k
P
KR » toutes les fois que k + #Æ sera renfermé entre les
n—h,n—k#%
par
limites 0°, », et remplaçant ensuite p par r.
S Il. — Applications nouvelles des formules établies
dans le premier paragraphe.
Supposons maintenant que Z soit un nombre composé et prenons
n = &Y,
y désignant un facteur premier de ». Soit encore
UD — d.
On aura
pP—i=nS = vY.
De plus, si l’on désigne par $ une racine primitive de
&"=1
et par x une racine primitive de
e D nimes 0
on pourra prendre
== a:
Cela posé, soient s une racine primitive de l’équivalence
a'=1 , (mod.p)
et u une racine primitive de l’équivalence
æ-1=1 (mod.»).
22 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Les nombres entiers
IS DUR CS RSS, OR — I
seront équivalents, suivant le module », aux divers termes de la suite
És TNT RS ITS ee MR Met,
(o—i1)væ+1, (o—i)v+u, ..., (o—1)v + uv;
et l’on aura
Oy—0+pr0t+ pag, + pin QU
— 0 + ançh Qt + ah DE EE œtP-D hp RQ Ÿ,
Supposons d’ailleurs les nombres y, w premiers entre eux, et faisons
| Et
I
(mod.w);
on trouvera
QuHPV (Lun) — œ, GR TRENCITART ee 7
Oum+uvci-u") = 0 + ace” gt + Aer” ; Let VS +aP—sç(p—t)u” ge”
et, si l’on pose
r Æ
(1 ) 0, Own) os... On) = ( XL, S) Ov
2
on aura encore
m Ex L'eyectt AtP 72
(2) Oymiovn-u”) One k-u") —=.0 + tas H+...+atr VA Rd ,
(3) (a, 4) — F(«, “us — (a, PP * = F4, last À
et, en supposant À impair,
/ : RE 3
(4 ) Oiovch—1) O,wvtn-u) …. Os onu) = (æ”, s ) v. RE
2
(5) f(œ/; $) LA F(æh, ce") (0, 7) — * BR-arars (ah, Cafe D
(6) PS 0 O_u_vn-ut) dé Op hu) — F( — 7) O. sr
‘Le 2
{ F(a/, 71) = (ah, 6)
(7) | — f(x he) = à f(a-* gr) — ga #5)
sys 'y ne , — 6 k
F(a*, s) (ah, ç71)
(8) Se O,ovch-1) 6, 0 .… Os otn-u-s) Ov onu) k
Pole dt 1,
r
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 23
Le second membre de la formule (8) se réduit toujours, soit à
soit à
Exemple. — Supposons, pour fixer les idées, w = 4. Si v est'impair
et de la forme 4x + 1, on pourra prendre
PT.
Par suite, la formule (8) donnera
nu 9, }.e Our-sivih ns) Os nu)
(93 #(a%,c)Flart,st) =
V —
FR à RE ù : : SEE L
D'ailleurs, si l’on suppose 2 impair, ainsi que ——; on trouvera
a
O,,n—1) O_;_,n-1) — (— PP Ne (es 1)7p;,
Ounivh-ut) Ov n-u) — (— PTE as (— 1)7p;,
(10)
Donc la formule (9) donnera, pour des valeurs impaires de 2,
v—3
(11) É(at,s) (at, 1) — p 5e
On trouvera, en particulier,
4 £ V—3
(12) ineNta ce jp.
D'autre part, « devant être une racine primitive de
DER
on pourra prendre
24 . MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Ajoutons que l’on tirera de l’équation (4)
0, Ov u) O,svi-nt) .. Ou)
CMIPENTE
2
(13). : Se6)=
Supposons maintenant
YVES ou Has 00.
Les formules (12) et (13) donneront
(14) É(a,s) (a, 1) =p,
O, 0,501 u?)
2
(15) as
10
u étant une racine primitive de
z*=1 (mod.5);
et, par conséquent [à cause de u?=1 (mod.5)],
0,0, 0,0,
6 ( ne a mes
(1 )) É(æ, s) CM CM |: te
(17) (act, RUE Fe | OP dns | TR
Donc
Rio Rio, = p:.
De plus, l'équation (4) donnera
0,:0,
0,0
(18) F (a, she let, S}= Rime; né À
Donc la formule (14) pourra être réduite à
p=f(a,s)$(at,e) = F(V—1,6) É(— V5, 6).
On trouvera de même, en remplaçant & par $* et & par «= a°!,
p=$(a, ç*) (at, ch
et l’on tirera des formules (16), (17), (18)
(a, dia ER. ses
an, F(œrt, ')= Rs,33 — Ris = f(x, s°),
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
©
[S 14
en sorte qu’on aura encore
Rs, Ris,13 = P.
On trouvera donc, définitive.
= Rio Ris X Moi £(æ, ç) f(æ, s') X (at, s)#(x!, ce}:
et comme, en posant
28 (a, 5) = XV + pr + QUE pr) — + 6 — 6),
on en‘conclura
2f(a,8) = V4 pr (M p'VTT)(s— 1 6 E 6),
2(ant,s) = —pV—i+ QU pV—r)(s— 6 + 65),
FE EN ;
2$(a 1,6) = Up QU — BV) (s— ss — + çt),
on trouvera encore
hp=4ñ(a,s)#(at,c) 4, 65) (at, 64)
a CL Ce ot Mae DO aa Ft 2 A ait tom EE
IN iemere he) LE Mfer dl + ç+)7
et, par conséquent,
(19) kp=X?+u?+5(%?2+ pu"), AA——p'p".
D'autre part, si l’on nomme s et a les racines primitives des équiva-
lences
(20)
8,
Il
$
Il
(mod.p),
on aura, pour déterminer À, &, À’, &’, les formules
V+p'a+(l+p'a)(s—s— s+st)=uf(a,s) =—o2ll,,,=0
V+ pla —(W+p'a)(s —s— s5+ st) =2f(a,s) —=—I[,,
V—p'a+(W+u'a)(s —s—s+ st) =oÿ(a t,s) =—oIlL,, Ste
N— pa —{(N+ p'a)(s — 8 — 584 55) = 9of(a-t,s)=—oIl,,,,=0
Œuvres de C.— S. 1, t. IN. n
26 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et, par suite,
I >
ss +rr
l V—p'a=z— nm, A — ua au IL, ÿ
TS ee Some 8 5°
| \'+u'a=—1IT, ;, d'+ p'a—=
tai (mod.p),
les valeurs de IT, ,, IL,, étant
10G(10® —1)...(70 +1)
149,4. 028 è
IL, ; =
(22)
10G(10® —1)...(9® +1)
ES — -
re 1:23, 0:.:9
Appliquons maintenant à un cas particulier les formules que nous
venons de trouver et supposons
Fra |
pE Ur, RES 20, ss, nr Li ÉmemR E
On vérifiera les formules (20) en prenant
et l’on trouvera
Hi, 20.19
= 10.19=—0.3=— 15,
LAON AOAS IT ICO TTS
À à PR cn = m6 18,108 10
” 1:2:3.4.5.6 7:19 6
l+ua=—:15 À —u'a=15 À'= 0 ROLE
Î ras 1), BH 4=19, pr Vu FH = 9 ais ’
L :
: FE Pis 77 4 es
20 3 p N 7. EME ir du
s—s—s+s 2 2 7 7
l'+p'a= 22.19 = 2, l'—p'a=22.15 = 02,
Donc l'équation (19) donnera
Gp= +
nc AR
ki=6+5.12= 36 + 5. :
ou
Effectivement
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 27
Soit encore
P—I101.
On trouvera
ms,
90.49.48.47.46 2
À à FN Pier —10.49.2.47.46 =— 18,
FA 45.44.43.42.41.40.39.38.37.36 3.47:38.41.43 |
one) 6.7:8:q110.11.12.13.14,15 ne 7 Lo
Par suite, on trouvera
ru 0, u'— 0,
À! 2 e H\e
ue 00)
2. 2
On aura d’ailleurs :
MIE 10
et
\'= LEE = IL, , = — 18, : =— 9.
Effectivement
101 — 81 + 5.4 — 9? + 5.2?,
En général, lorsque, v étant impair et de la forme 4x + 1, on sup-
pose :
oO 4,
on peut prendre
fl (se VEN
et l’on tire de l'équation (4) : 1° en supposant k — 1,
(23). Ou ed Ou. Out urs) = (VTT, DLIPENTE
_ 2° en supposant À — — 1,
(24) 6,_, Ou vitut) Ou virut) .… Ou _viru) — f(— V—i1, DCENTENS
On a d’ailleurs, dans cette hypothèse,
Et — F(V— 1, 5")
ne =. = (5,6),
(25) . ee
| DO
= (= Ven) = CVS, 60).
28 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
On trouvera de même
; È
Ov) Ov) .. Ov) — F4 an ")O,v—13
; 2
… Ou-viru) Ou-virur) s Bu vu?) = f(— V—1, ç“) ® y(v—1)
et | 2
{HV e) = (V5, 6°!)
| = #(V—1, ç) ei À = #(V— 1, ç“T),
(27)
RS
| f(— V—1, cu) = É(— 5, s)
= V5, 6) =. = (rs 9).
Dans ces diverses équations, u désigne une racine primitive de léqui-
valence
æVTi= 1 (mod. »),
en sorte qu'on aura
fa "est
u ? =—1 ou 1+u ? =0 (mod. »).
Cela posé, on trouvera
pe TE LE te, 2e AE à SP Gi vu y — O_ym_y(1-u")
D Pa Dr Oum+vçi-u”) O_ym_y(1-u")
— — + mb ee | = — 172
y—1
Oymsyi-ut) O,m+ nn
et l’on tirera : 1° des équations (23), (24),
DV(V—1) V—1 v—1
: ; :
0e : re ae (— 1) P ee P :
(28) S(V—:1,5) ( V— 1,6) O,(v—1 O viv—1) O,(v-10 @ viv—1)
2 2 2 2
2° des équations (26) et (27),
V1
gt
(29) ÿ( 1,6) VE = AR
2 50 2
On aura done, par suite : 1° en supposant v de la forme 8æ + 5,
v—1
Bu Te v—3
2
rs 0
ST ,s) Vs) 22
TOR ee PE
30
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 29
2° en supposant p de la forme 8x + 1 et, par conséquent,
8,1 —= = — 1,
F(Y— 1x, s) f(— V— 1,5) =pT,
n—1
F(V— 1, sv) FC V5, sv) = p ?
D'autre part, en posant À = 2, w — 4, £— — 1 dans la formule (2),
(51)
on trouvera
(3 ) O,.,, Ov2-u) |: ROPATEIRERT .. Ou-ivça- uv) — 0, Ds)
2
| re O,_: Or o+u) Ou vçarut) pre Ou _yçatu—),
®(<) désignant une fonction de £ et de ÿ— 1 à coefficients entiers; et,
comme on aura
vi — L
O ,m+1 Fe PROD 1 = Oymsyçorur)
on tirera de la formule (32)
V—1
p * —8,®(s)
ou
vy—1
D(s)——p *
On trouvera de la même manière
; v—1
AU ee LE
On aura donc
v—1
(33) | O,., Ov ut) Os va ut) .. Ov nv) — P :
\ — O2) G,ssvça-u) Ousivo-us) .. O2 0);
et, comme 2 sera nécessairement de l’une des formes
u?m, um,
on aura encore
0, Oaurrevi-u?) Oaussavrie-ut) .. Oau-avti 0") — P ,
v—1
Ds 4
\ Ouu+avi-0) Ous+avc1 0) Ouus+evci—u5) .. « ruv-+avr1—0—2) — P e
30 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Si maintenant on combine l'équation (23) avec la première des for-
mules (34), puis la première des équations (26) avec la seconde des
formules (34), on trouvera
. V—1
Fe 2 AE
(35) [$ (y Es s)] Free Ris Run), n2+v(1—u?) - : Royan), 34 (1 us) EE —
V(Y—1)
2
et
| v—1
æ 2 4
(36) [f (V ms ç")| — Ropvitsn), mevti si TE, Roi n2) n—3+v(1 ut) _
2
YIv—4!
2
On aura, au contraire,
Vi 1
| k — \p p *
(37) [5 (— V— l, s)] — Rav, 10 Ruï-v(i+u?) u°—v(1-+u?) .…. Ro vieu) nv (itu) D
VV —1)
et
Ve t
+
(38) [3 Lee V— 1, y | — Ru-vearn), u—V(i+tu).e: Ru vu), u—?Vy(1+ un?) CE
v(vV—1)
2
D'autre part, on aura : 1° en supposant » de la forme 8x +7,
O1, — 0 viv-1 = 00 = —1
2 2
et, en supposant v de la forme 8x + 5,
TDV(V—1)
Ov = 8 vin = (—1) Re Et À
2
Donc les formules (35), (36), (33), (38) donneront, si v est de la
forme 8x +1, |
—1
+
4 2 FH vu
[5 (V RE s)| — P à Ris Ravçu), 240 (102) ….. Rain) vint)
v—1
ÿ 2 FER 12 A AE
( 30) É (ÿ— 1, çu)| —p Réunions maN(tn) .. Roy uv), u'TEEN (LT)
v : . VA
LÉ Er DER .
an — P 1—2V,1—2V Muy(1+u) ,u—v(ituet) eo (qu) ut +u)s
Let ÿ
tes À Re,
Pb 4
\ [F(— V— [, ç")| — P RÉ +u),u—V(i+u)..: Run) m3 vin
de,
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 31
et, siv est de la forme 8x + 5,
— à
L r> 2: Ds
| [y TS s)| — P : Ru Russvtiut) n4v(1-u?) ..… Ron) n-3+vç us)
l
V—i
PT ag : © |
/ F( Mrs s")| — P R u+-V(1—u),u+V(1—u)" ee Ron) nv)
(40) FR
Ares 2 BE
[#(— ÿ— F, s)| = P : Ri-2v,1-ev Revu) w°-v(1-Eu7) .….. Rs v+u) nv (i+u),
V—5
Æ 2 sy *
[5 (= TE ç")| — P : Ru-vçi+u),u—vti+u) re Ron) uv vint)
Observons encore qu’en vertu des formules (25) on aura
| F(Y— 1,6) = bo+ Co V—1 # (bi + CAT SE) TOR PERRET (b» + Co A Ce MORE Ldhes
(41) | __206—bi— b,+(20c0—0ci— 02) V—1 bi bat (oies) Vi u
“ 2 ë
à — çu+ M —...—ç4")
et, par conséquent,
| Et = fo + go V— 1 + (fi gi V— (se — çM + on, Gus Ge),
(42) 2$( 1,6") = fo + Lo Vi (hits: V—1)(s— + M, qu qu),
4 { Me ere au RE
| 2 —V— 1,6) =fo— go V1 + (fi 8 VR EME OL — port cu)
ai, = fo — go Vi — (fi gi V— is — + 68. eu ça),
os Los Ji &, désignant des nombres entiers. De plus, on aura
v—1
“4 : CHEN GR CN 1 Qu ré À
(43) |
(S— su qu, Gus — ENTREE 1) ? y ni
En combinant les formules (42) avec les équations (30) ou (31), on
trouvera : 1° en supposant y de la forme 8x +7,
v—1
(44) hp =fo+vfi+gi+vgt, folit+So81=0:
2° en supposant y de la forme 8x + 5,
V—3
2
(45) 4p* =fi+vfi+si+vst fit ggi—0.
D'ailleurs on vérifie la seconde des formules (44) ou (45) en supposant
» (46) de 0; Lo—= 6E,. fi Ye, gi= yd.
32 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
On aura donc, si v est de la forme 8x +1,
VA
. (47) Gp = (6) (0e)
et, si vest de la forme 8x + 5,
<
[
CA
(48) &p ? (+ vp)(+e).
Enfin les formules (42) donneront
2F(V— 1,5) (8 +ey—1)8+y(s— 68... 6) VTT],
Pret = (84e V—1)f6— yes — et Et,
| NON ete CE ED
af v—1,e)e (0: V—=1)I8+yts—<+: . LE PONT
(49
Il est bon de remarquer encore que, les valeurs de /,, go, fr, &, étant
fo = 205 — bi — b:, = di Ds
So — 200 — Ca — Cos S1— Ci — Cas
f, sera toujours pair ou impair, en même temps que /,, et g, pair ou
impair en même temps que g,. Cela posé, si des deux nombres 6, y
l'un était pair, l’autre impair, il faudrait, en vertu des formules (46),
que à, e fussent tous deux pairs. On aurait donc alors, en supposant y
de la forme 8x +1,
v—1
æ een) ()]
/
et, en supposant » de la forme 8x + 5,
des deux nombres à, € l’un était pair, l’autre impair, 6 et y seraient
nécessairement pairs, et l’on trouverait : 1° en supposant y de la forme
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 33
8T+I,
AR. /8\2 /y\2
a pale) les
2° en supposant y de la forme 8x + 5,
der. /8\2 y\°
(53) p? =|(<) +(1) Ju+e),
2 2
S #2 : : ; ; : ; ae ge
5°: étant deux nombres entiers, l’un pair, l’autre impair. D'ailleurs
on ne peut supposer les nombres 6, y, à, e pairs tous les quatre,
puisque le second membre de la formule (43) serait -alors divisible
par 16, tandis que le premier est seulement divisible par 4.
Si 6, y, 9, e étaient supposés impairs, l'équation (47) se décompo-
serait en deux autres de la forme
Cet 2ph=6+vyt, : ap 4e
Or, p étant de la forme 4x + 1 et 6?, ÿ* de la forme 8æ +1, la pre-
mière des équations (54) aurait un premier membre de la forme
8æ—+2 et un second membre de la forme 8æ +6, si v était de la
forme 8x + 5, ce qui serait absurde.
Donc, lorsque v est de la forme 8x + 5, les deux nombres 6 et y, ou
les deux nombres ©, e, sont pairs et l'équation (43) se réduit à l’une
des équations (51), (53).
Au reste, lorsque y est de la forme 8x + 5, alors, en écrivant 26
et 2y au lieu de # et y, ou 28 et 2e au lieu de à et de e, on réduit la
formule (51) ou (53) à |
V—3
(55) | PT =(E+vy)(8+ et),
tandis que les formules (49) deviennent
F(V—1,6) =(è+ey—i1)[8+ y — +... — ee) VTT,
F(V— 1,6) (Hey 1)8—y(s— +... se) V5],
F—V— 1,6) =(2—ey—5)[8— y(s— +... — ee) V5],
FC V5, 6) = (8 — eV 1)[8 + y(6— +... — eu) VS].
OEuvres de C. — S, 1, t. I. 9
(56)
3" MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Ajoutons que, dans ces dernières formules, on peut toujours sup-
poser à, € premiers entre eux, attendu que, si à, e avaient pour facteur
commun une certaine puissance de p, on pourrait évidemment faire
passer ce facteur dans les quantités #, y. Cela posé, si l’on nomme @
et s les racines primitives des deux équivalences
(57) L'=1 (mod.p),
(58) x'=1 (mod.p)
et p* la plus haute puissance de p, qui divise à la fois 4 et y, À devra
être tel que des quatre rapports
F(a,s). S(a,s"). É(—a,s) F(—a,s")
»
2 , :
p} P} no. Ws
(59)
l’un au moins soit équivalent, suivant le module p, à un nombre fini
. , , ÿ ; . \ I
différent de zéro, aucun d'eux n'étant équivalent à = De plus, en
posant
__v—3
(60) : P= — — 2À, 8 = plz, Y=PAY,
on tirera de l'équation (55
(ba): ph=(+e)(x?+vy).
Si u se réduit à l'unité, alors æ?+vy? étant > 1 ('), il faudra que
l’on ait
(62) He —1, a+ vy}= pt
et, par suite,
oo, Rate ou Di, Rs
Quant à la valeur de À, on la déduira sans peine des formules (40).
Soit, en effet, y’ le nombre de ceux des indices.
63 1, dy ut), ut +v(i— dt), +, UV + v(1— u3)
,
(1) Voir la Note II à la fin du Mémoire: :
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 39
qui sont équivalents, suivant le module 2, à l’un des suivants :
TES
Es 3, ….., 5 )
et y’ le nombre de ceux des indices
(64) u+v(i—u), u+v(i—ut), ..., uS+y(r— uv):
qui remplissent la même condition,
hr ree 5)
Mi
FA
sera évidemment le plus petit des quatre nombres
< I 1 /v—1 É,. T/v=1
(65) —vl, —v')], —v", —- — y" |,
E+ 2 2 2 2 2
Application. — Soit
On pourra prendre
#2, = 4, uÿ= 3
et les formules (23), (24), (26) donneront
0,6,
Far ne 0,,0
F(V— 1, s) == CS — R,9, F(V—1, ç) De a. — Ri3,15
(66)
2 + 6,,0 PAS 0. ©.
f(— V1) = = Ru (= V5, s°) = D. — Mon
De plus, si l’on pose
Ri,9— 20 + &p + AP +... Has pl — a0+ A6 W— 1 — 25 — 236 W—1+...,
alors, en ayant égard aux formules
FV—1,s) =, 65), F(V—1,s) = (V5, si),
f(— V—1, s) es f(— 'ÉREER à. st), f(— V—1, ç?) + f(—- V—1, s),
on trouvera
A3 — A9 — — (Ag — As), dé As = — (4e — Aie),
A1 — A1 — Ag — Aygo A3 — 13 — A7 — A7
36 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et, par suite,
R,9— A9 — 10 — (A2 — A2)(s+ st) +(a;—a)(s + st)
+ [as — ai5— (a3— a13) (8° + $°) + a a)(s+s')]V—1.
On tirera d’ailleurs, de la formule (19) du paragraphe 1,
É(—1,s)—=—1, (1,5) =—1,
et, par suite,
A0 — As Toul; das io FT ls
A1 — A6 + Ay1 — A6 — 0; A+ A6 + Au + dy — 0;
A3 — A7 + A2 — y — 0, A2 + A+ A2 + As = 0,
A3 — Ag + A3 — A8 — 0, A3 + 8 + A13 + A8 = 0;
A4 — A9 + A1s — Ayo — 0; A, + A9 + A4 + jo — 0;
puis on en conclura
A0—— 1 — dos A11— — À» A2 — — d2y A3 — — À3s A1, — — À
A5 — — À» 16 — — 6» A17 — — d7s A18 — — Ag A9 — — A9;
Rio9=1+ 200+ A9 — A — (a+ a, )(s — °° — + ç')
L[aas+as— a+ (a—a)(s—s—s+s)]V—r.
Enfin la formule (55) donnera
(67) p=(8+57)(à+ et)
et, comme 6? + 5 y? surpassera l'unité (‘), on en tirerä nécessairement
der, p=6 +57.
(1) 62+ 54? pourrait se réduire à l'unité si l’on supposait
62=1, yi= 0.
Mais alors la formule (67) deviendrait
Bt e2 — P
et l'on tirerait des équations (69) F
4p = 4(0+e) = I,olls,7,
ce qui est absurde, puisque ni I, ni I3,; ne sont divisibles par p. Donc la supposition
que 62+ 57? se réduit à l’unité doit être rejetée.
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 37
Donc, tout nombre premier de la forme 20x + 1 est en même temps
de la forme 6*+ 5+?, en sorte qu’on peut satisfaire, par des valeurs
entières de æ, y, à l'équation
(68) | p=2+5y.
Quant aux valeurs de æ—6, y = Y, elles pourront être déterminées
à l’aide des formules
Runo=(—V—i,s)=(0—ey—1)[8—y(s—<— +6) — if,
Ris F(V—1,e) =(+ey—1)[8—y(s—e +) Vi],
Ris = (11,5) =(d+ey—1)8+y(s—s— +6) —i],
Ris = rs)=(8— ei) +y(s— 5684 6) V1],
desquelles on tire
Rio Ris 2(0 + eV —1)6,
(69) ,
R;,7 + Ris,1o = 2(0— € érear 1)8
et, par suite,
(Ri,9+ Ris) (Ras + Rio) = 4(9+e)8—46?,
puis, en remplaçant o par r,
46 = IT, ,1L,; = 4x?,
(70) | = PALINL LES |
Comme on aura d’ailleurs
dE 0, SE ou EH Lt, Ed
on tirera des formules (69), en y remplaçant p par r,
(71) + IL, = IE, :.
Exemples. — Si l’on prend p = 41, on trouvera
IL,;=—1L,=1:5 (mod.4i),
38. MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Effectivement
Liz 00 4.552645. 12,
Si l’on prend p = 101, on aura
Effectivement
101 = 81 + 20 —9°+ 5.2?
Si l’on prend p — 61, on aura
=,
30.20.28
= I = — 27 = 34,
ne 27.26.25.24.23.22 ,,
Br or 4.5.6.7.8.9 et
a=— 17 = — 289 = 16 = — 45.
Effectivement
61=16+45=4t+ 5.3,
Soit encore p — 181. On trouvera
D — 0,
Rs 90.89.88.87.86.85.81.83.82 11.3.5 70: 1T-19314-27 7 :
des 1.2.3.4.5.6.7.8.9 RU 102,0: 0,0,9:8109 0 en
l je,
* #=-5pet(i)eti=r 180
Effectivement
181—=1+180 —1?+ 5.6?
Seconde application. — Supposons
VE TS
u sera racine de
u=1 (mod.13),
et l’on pourra prendre
FE 2,
u=1, u =, = 4, u3= — 5, ut = 3, uÿ = 6,
u$=—1, uT= — 9, u8= — 4, u= 5, u0= — 3, ut1=— 6
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 39
Cela posé, les termes de la série (63) seront équivalents, suivant le
module 4.13 = 52, aux quantités
rs k—39=17, 3 — 26 = 29, — 1+ 26 = 25,
—4 +65 = 9, —3+52= 49,
dont quatre sont renfermées entre les limites o et 26, tandis que les
termes de la série (64) seront équivalents, suivant le même module,
aux quantités
2 —13 = 41, — 5 +78 = 21, 6 — 65 = 45, — 2 + 39 = 37,
I 1 /y—1 j 1 /V—1
— y! — 2, _ — = 1, ne fs _- — v"]—2
2 a 2 CRUE
et, par suite,
1 Y—5 | poil
pers de frere lt À 1 im —3À=D— 4 —=i,
Donc on pourra résoudre en nombres entiers l’équation
(72) p=(#+e)(z+137?),
et comme æ°+15y* surpassera l’unité (‘), attendu qu’on ne peut
supposer ÿ — 0, y — 0 (‘), on aura nécessairement
(73) 2?+13y?= p,
02 + Et
= D re eg ou À tan so PA ta
(1) Si y s'évanouissait, les formules (56) donneraient
FV— 1, €) = É(V— 1, «2)
40 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
On tirera d’ailleurs des formules (23) et (26)
Je 0, 0,- 0, 0,; 0, 0
F(V—1, s) = à" _—* = pRi;,s5 Ro ,17 Roa9,59
(74)
= 0, 9,, 0,; 0,, 6.60
f(V re ç") = 8, 77 a = PR Rois Rasss
et, par suite,
Û f f(a,s)
Il
. d.p) (a),
= (mod.p) (4)
ce qu'on ne saurait admettre, eu égard aux équations (74), en vertu desquelles on a
f(a,s)
É(a, su)
=0 (mod.p).
(«) Il est bon d'observer qu'on doit entendre ici par
ce que devient le rapport
quand on y substitue a au lieu de ÿ—1 et ç au lieu de s, après l'avoir transformé à l’aide de la
formule (12) du paragraphe I, de manière que ces substitutions ne rendent pas le numérateur et le
dénominateur simultanément divisibles par p. Sous cette condition, la remarque qu’on vient de faire
est exacte et pourrait être exprimée dans les termes suivants :
L'équation 4 É
F(ÿ— 1, ç) = F(v— 1, ç” ),
jointe aux formules (68), donnerait
R; 25 Rs Ro 49 = Ras 1 Rai s R33,45 ;
puis, en ayant égard à la condition
P p
Rx me k D
—h;—k : h,n—k
qui subsiste quand aucun des nombres k, 4, h + k n’est divisible par n = 4v = 4.13 = 52, on en
conclurait
2 Re R9,49 ne Rs R3,25 Rss Rss,45-
Enfin, en remplaçant dans la dernière formule ÿ—1 par a, « par s, et généralement R,, par
— I # On trouverait
n—h,n—
PT,5 3,3 = M 25 lo 15 Dis 11 io (mod. p).
ce qui est absurde, puisque aucun des nombres
I 25 DER LLPERTE 5,1
ne sera divisible par p. Le rapport entre le premier et le deuxième nombre de la dernière formule est
T(a,s)
ES Ver
précisément ce qu'on doit entendre par l'expression
J(a,s*)
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. A
puis, des équations (24) et (26),
Le \ RE 5) = PR;:,27 R;3,35 Los,
(79) s:
; f(— V Lan Ro Riu
D'autre part, 0? + €? étant réduit à l’unité, les formules (55), (56)
donneront
p°=é+13}?,
h62— [F(V— 1, 5) + É(V— 1, s")] [(— V—1, 5) + f(— V—1, s“)],
0
ou, parce que 6 — pæ*, on trouvera
apte (HV, 5) + V5, (= V5, <) + SC V5, 6)
— P'Ri,25RourRa9,0 + Ra, Rois R33,s5) RssorRusas Ras + Ris Rats Ruo,7)
ou, Ce qui revient au même,
9 1 /Rio5 Ro 17 R,5 ) ( R3,23 Ris Rour
MNT NE nette obs 2 : re - :
A Ross PRiasRion) N° Raashour Roans )
ou bien encore
So R9,40 Rss Ross Ro5,51 Ross . Rai
Mar À di + pe — |:
4 27,51 R35,45 Rai R9,49 Ras Ras
Si, dans cette dernière formule, on remplace 9 par r, on tirera
IL, 511; 0 If, ,; IL ;:
I
D : Sp 5 (mod. p).
Comme on aura, d’ailleurs,
F(V— 1, s)=+s(— re la ç"), (—V—1, )=+ES(V—:, s“),
on en conclura
4 ÿ IL, 5 [TER PAR IL, 511 >
ET Les IL; 2;
et, par suite,
+ [2 Mesllus|*
(77) #æx (: ES
Œuvres de C. — S. I, t. II. 6
2 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES
On aura de plus
NOMBRES.
26&(26® —1)...(25æ +1)
?
SRG ERA
| EL, 5 —
( 8) { IE 5 —
SI
PSE RET
26&(26® —1)...(23æ +1)
y
26&(26m —1)...(17© +1)
IL, ;: —
\ , f:9.9 00
Exemples. — Supposons
VE pv.
On aura
D —=1,
Il 26=— -
RARE AN PMR
26.25.24 L'1,4:9
IL, 3 — =—z; ——5 =,
1:2,3 pi
[l : 26.99.24.23.29:231.20. 19.18. 3 7.9.11.
MAN 1,2:8.4:9.6.700 “tot 4.010,
I sois 3
OR 2
D pe
Effectivement
33 —1+I2—=1+13.9?.
Supposons encore
P =197
On trouvera
mes,
Il NT TO IT E AUS 5
RTE GE nn ATEN Genie
IL, ;; 1 19.21.23.29.27.209.31.33.35.37.39.41.43.45.47.49.51.53
ss 21° 10.11.12.13.14:19.16.17.18.19.20.21.22.53.24.25.96.99 :
___ a 29.3r.33.35.37.39.41.43.45.47.40.51.53 à
TT a 10/11,19.19114.29010:17.18.20.22.24,96 à
4 RUN M à. es Lis
2 IL; 64 me
r'=t(22) =+t13 = 144
Effectivement
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
S IL. — Suite du méme sujet.
Reprenons les formules (4) et (5) du paragraphe IT. On en tire
£ ar 29 “e V2
| PIN I CE I A EN) SUR an Em (ah, ch!)
(1) Fr noté Minis Gite ut : .. Ou-siovth-uv) :
À: (0) V(Y—1) .
w ——— k
et l’on trouve de la même manière
| (an, s) ta”, c#°) — f(a#, ce) =, = #(a#, ee)
(2) 4 Je Oio(h-n) O,sov(n-n) Os hu) ses Oisovçnn—)
| $ O viv—n
2
k
-
On aura d’ailleurs, en vertu de la formule (2) du paragraphe I,
Oum pvtn-u") — Girsnths ton)
Enfin, comme, en supposant y premier, on aura
u ? =—1] (mod.v),
on trouvera, si v est de la forme 4x + 1,
(3) #(an, 1) = fan, 87) = g (a, +)
et, si y est de la forme 4x + 3,
(4) * (an, hp Cu en) = (a, çv).
k3
Supposons mainténant que & soit un nombre premier et nommons @
une racine primitive de
(5) ; NTI = 0 (mod.w).
Si l’on prend
(6) Fa, s) F(a%, ç)... (a, ç)— o(a, s),
We MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
on aura
(7) pa cn a eh... = pas" ",c),
(8) (as, ç) (as, ç)... (a, ç) — pas, ç),
(a) pie OT ele moi”, ç)
On trouvera de plus
a ? =—:1 (mod.w).
Cela posé, si w et v ne sont pas tous deux de la forme 4x +1, on aura
p(a,s)= a +b(a+as+...+aT) He (at+ a+... + a)
+[a + b'(a+oat+.. + QT) HE c(at+ a+... Ha )](s + +... + GMT)
+ [a'+ bo + a+... + at) LE c'(at + a+, + a) T( SU + +... + GT),
ou, ce qui revient au même,
2q(a,s)— 2a —b —c+(b —c)(a— a+ at... + a a)
+[aa —b—c+(b—c'\(a— + a —.. + a Qt )](S HG... + cu)
it [2a"—- D'— c'+(b"— c')(x RNA L'an eE As à + QT a) ] (su + gu+. < Le),
ou enfin
4o(æ,s)—2(2a—b—c)—(2a — b'— c') — (2a"— b"— c")
+ [(@a— b— c)—(20"— b"— c")](S — + GE GT GUN)
+ [2(b — ©) — (b'— 01) —(b"— ce) ](o — Qt + D. HD ae)
+[(b'— c')—(b"— cs — + — GT) (ou — na +, — aa),
Si l’on fait, pour abréger,
A—o(2a—b—c)—(2a —b—0c) — (2a"— b'— c"),
B—2(b—c)—(b'—c)—(b"— c"), .
C—2a—b—c@—(2a"—b"—c"),
D—(b"—c')—(b"— c"),
les quatre nombres A, B, C, D seront tous pairs, ou tous impairs, et
l’on aura
hko(a,s)—=A+B(a—at+...— 017) + C(s—ct+...— 67)
(10)
+ Da Me ee MR) ( ges Et Re get),
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 1)
Si y et w étaient tous deux de la forme 4æ + 1, alors l'expression
ACOETICET ES)
se réduirait à une puissance entière de p, et l’équatjon (10) prendrait
la forme
(11) | hp(a,s) = À,
en sorte qu'on aurait
50, Lise, te À
Lorsque w et y ne sont pas.tous deux de la forme 4x + 1, le produit
p(æ, S)o(aTt, 7)
se réduit à une puissance entière de p. On a d’ailleurs généralement
PA (a—at+...— x") —=(— 1) ? w,
v—1
(S—çt+.. — Gt) —(— 1) ? y.
De plus, on tirera de l'équation (10), en y remplaçant successivement
x par œ*et $ par 6“,
hqla,s") —=A+B(a— a+... — a") —C(s=ç+...— 6")
—D(a—at+.. — a )(s— qu... — GT),
4p(at,s) —=A—B(a—at+...— a) + C(s— +... — 67)
Ct9Y À … 6
—D(a—at+,,.— at J(S—çt+...— 6 ),
Gp(ar, A B(a—- a+... — 0") 66H... — 6")
+D(a— a+... — 2 )(c— cut... — cu);
et l’on trouvera : 1° en supposant w et v de la forme 4x +1,
pass) =p(at, s)—p(a, st) = p(ar!, 7°);
2° en supposant v de la forme 4x + 1 et w de la forme 4x + 3,
p(as)=p(as"), par, s)=p(a, 7);
3° en supposant y de la forme 4x + 3 et & de la forme 4æ+1,
glasc) réa eh éE) =ptet !);
kG MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
4° en supposant v et w de la forme 4x + 3,
o(aa, cu) = part, st).
Done, si l’on fait généralement
(14) pa, s)p(art, 71) = pi,
on aura : 1° en supposant y de la forme 4x +1 et w de la forme 4x +3,
(15) p'=g(a;s)o(at,s)—o(a, s") (a, s*);
2° en supposant y de la forme 4x +3 eo de la forme 4x +1,
(16) p'—o(a,s)p(a st) —a(at, s)p(af, s*);
3 en supposant v et w de la forme 4x + 3,
(17) ph= gas) p(at, st) = o(a, s") pa, s).
Si maintenant on substitue dans les formules (15), (16), (17) les
valeurs de
Q(a,;,s), Q(ar,s), Q(a,c"), Q(a, ç")
tirées des équations (10), (13), on trouvera, en ayant égard aux for-
mules (12) : 1° en supposant v de la forme 4x +1 et w de la forme
4x + 3,
(18) 16p#= A?+ wB?+%C!+wvD!, AC + © BD — 0;
2° en supposant v de la forme 4x +3 etw de la forme UE rs 1°
(gr: 16p#= A?+ wB?+ vC1+ wyD?, AB + »CD = 0;
3° en supposant w et v de la forme 4x +5, |
(20) … 16p#= A+ ©B°+ vC?+ wyD, AD=/8GE 0
On vérifie les équations (18) en prenant
Ace e bts € Ce 0e 0200
et, par suite,
(21) 16p#— (9+ we?) (62 + vwy?),
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
ou bien
et, par suite,
(22)
À = w80,
On vérifie les équations (19) en prenant
et, par suite,
(23)
ou bien
et, par suite,
(24)
A — 60,
Enfin, on vérifie les équations (20) en prenant
et, par suite,
(25)
À == 60:
B 6e, C=— Ye, D — y
Fe 3 agree Gr + E)(@62+ vy?).
B — y, C—— 6e, D = yo
16pl= (824 ve°)(82+ my),
Bay, rnb D — yd
16p* = (vd + e?)(v82+ wy?).
Dre, C= y0, D = ye
16p*—=(d + we)(87+ vy?).
Applications. — Supposons, pour fixer les idées,
L'ehe NX di 3; QV = 15;
on aura
I I
= -=-—— 1 mod.3);
a ( );
F Pere À a = 9; ES rer (A uw = 4,
u+ py(h— um) —=um—5(h— um) —Gu"—5h,
Sa, 5) = A(ah, gt) =
5 0
f(a!, s) = F(æ#, si) — 12+5/
O:_;; O,,-:n
==
aa Or O,_; h
)
0102
O_,64.
O,5_5» RS O,:_57 O,_;, k
30-102
0. 10/2
7
(mod.5);
(29)
(30)
#8
on trouvera par suite
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
6,0 0,0,
x — x, rs nm LR à
o(x s) (œ s) 8_, 0; 1,4
0_,9_
(a, s) = 4 (a, = à Re Run
(26) l | ke
2 2 0:0.;
(a, s?) = fac") — FETE. = R; 13,
5
pas) f(a,)= M ER, =R,
—5
Cela posé, on aura
ph=p(a,s)qla?,s) =p(a, s!) plat, 6?) = Ris = RrnsRas=P
KR = 1!
et la formule (21) ou (22) donnera
(27) 16p —(d9+3e)(6 +157°)
ou
(28) 16p —=(E+30)(362+ 57?)
Revenons aux formules (10) et (13) et supposons v de la forme
Aæ +1eto de la forme 4x + 3. On trouvera :
1° en prenant
A = 66,
ko(a, s) — [0 + e(x — x% +
| 4p(æ, s") — [d + (a — a+
4
| ho(at,s) —[d—e(a— a+
ho(at, st) — [d — E (a — à +
\
B = 6e, C—— we, D — yo,
Lou Q09)][8 + y (6 — +... — G) (a — at +.
Lou a) ILE — y(s— gi... — 50) (a — a+.
..— aa +)][6 — y(s — +... çut)(a — a+.
oo 2) ][6 + y(s— +... — (a — a+.
Si l’on prend, au contraire,
A = w60,
on aura
| 4o(x, ç)
kp(as 6") —[E — (a — œ4 +
= [e — d(a — at +
hou, s) —TE + Ê(x — x +
ko(at, st) = T[e + d(a — at +
Bebe, C—— y, D — ,
02 7)][ 6(a—at+.. — Qu) — y — +... —
— AN] (a — a+... — 007) + y(s — +.
me A T)]L— 6 (a — a+ — D) — y (6 — "+.
00) ][— 6 (a — a+ — Da) y (T — su +.
..— a *)],
.— at)],
me)
.— aa%7)],
“pdt à ©
AGE CR 5 À
— 5),
es RE
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 49
Dans les équations (29), (30) on peut toujours supposer €, à premiers
entre eux et faire passer les facteurs communs qu'ils pourraient avoir
dans 6 et y. De plus, si les quatre nombres A, B, C, D sont impairs,
6, y, à, e devront l’être aussi, et l'équation (21) se partagera en deux
autres de la forme
(31) 4p" = à? + we?, 4p*"= 6? + vwy?,
ou l’équation (22) en deux autres de la forme
(32) 4p"'= E + w0?, 4 p#" = w6? + vy?.
Si, au contraire, À, B, C, D sont pairs, 6, y seront impairs et Îles
équations (21), (22) se partageront, ou comme on vient de le dire
lorsque à, € seront impairs, ou dans le cas contraire, ainsi qu'il suit :
+ ee ere /8\? y 2
(33) P* = 0" -+ we", 4p" = (2) + (2) )
» : à 6\2 l'y 2
(34) Ddion pt =w(:) +(2)
Ajoutons que l’on déterminera facilement p*” en cherchant la plus
‘haute puissance de p qui divise simultanément les deux produits
pass)p{ta,s*), pa, s) (a, s*),
qui se réduiront, si l’on admet les formules (29), à
Ll
alè+e(a—at+...—x1%)] (6:+ vwy?),
I
-GL° —e(a—at+...— a 7)[(6+ vwy?),
et, dans le cas contraire, à
he Be ee etat y)
— Le o(a— A+... .— aa) 1 (082 + vy?).
Supposons, comme ci-dessus,
OEuvres de C. — S. I, t. II. 7
50 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
on aura
R;:5
,
Ris
R::,
p(ar,s)o(axt, s") — Riou Rs =? ac
013,7
"pa, s)o(a, st) —=R;, Ris =p
Donc alors £’— 1, et comme on a trouvé Æ — 1, on aura nécessaire-
ment £ — o. Par suite, la somme
0° + we? ou E° + w0?
se réduira nécessairement ou à l’unité, ou à
&=i+o=ir+3
et les nombres 6, y vérifieront l’une des formules
D'ailleurs, les seconds membres de ces dernières formules seraient
divisibles par 8 si 6 et y ou Set L étaient impairs, tandis que les pre-
LS ER 2
miers membres sont divisibles seulement par 4. Donc 6 et y ou = et ’
doivent être pairs et l’on peut résoudre en nombres entiers l’une des
équations
pP=2+15y}, p—=3x+5y.
Or, comme on a généralement
z?= +1 (mod.5),
on en conclut
32? +57 =+t 2 (mod. 5).
Donc p étant de la forme 15æ +1 ne pourra être en même temps de
la forme 34° + 5y?, et tout nombre premier de la forme 15æ + 1-véri-
fiera la formule
(35) p= x +195 7y.
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 51
Il reste à trouver la valeur de x. *
Or, d’après ce qui vient d’être dit, On aura : 1° si l’on suppose
+ WE? = 1,
16p—6+15y"—16(x? +157),
JR ne PAS s
== + we), = (0 + we);
20 si l'on suppose + we? = 4,
kp=6t+15ÿ —=4(x?+15y?),
De (RS st) 2 L(+ we?)
#0 SC TT: ;
D'ailleurs, on tire des formules (29) et (26)
p(a, s) p(at, s*) — (+ WE?)[6 +y(s—s"+...— se T)(a— a+... — a TPE R Re,
Li 4 Le] » an. uw —2 2
nano )= (to) y. 6 )Ca—attre— a Ras, Rousse
On aura donc, par suite,
I e LA
°! (Ris, Rois 7% Ris Rs)=2— OvY= æ'—19y",
puis on conclura, en remplaçant p par r,
L
æ'— 157 = = IL, (mod.p)
et, comme on aura de plus
Ld'H+1IdY= 0 (mod.p),
on trouvera définitivement
32 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Exemples. — Supposons p = 31. On aura
WE== 2,
L'on ens (AR E0,09 . ;
IL, — 1,2:3::00 RTE Ne
10m(10®—1)...(8m +1) 20.19.18.17
IL 5 = resR
f-9.8:.:20 RS JA = 5.19.3.17 =09,
Done
pP= 2 +197 —=16 +15 = 4 + 15.71.
Supposons encore p = 61. On trouvera
m4,
I, , = et = D.19.3.17=—0.7 =— 35 =— 2,
RS
x? = zu i= : ‘ = — Pæmis60
Effectivement
61=p=1+60—1 +15.
En général, v étant de la forme 4x +1, w de la forme 4x +3, et
N , ’ . \
0, € étant supposés premiers entre eux, on conclura des formules (31),
(32) ou (33), (34) qu’on peat satisfaire en nombres entiers à l’une
des deux équations
(36) : 4p*"= X?+ vo Y?, 4p*"= VX? + 6 Y?,
et comme les seconds membres de ces dernières seraient divisibles
par 8, si
V0 ou LT Vo
étant eux-mêmes divisibles par 8, les deux quantités X, Y étaient
impaires, tandis que les premiers membres sont seulement divisibles
par 4; on aura nécessairement, dans cette hypothèse,
ER D. VEN r
(37) pP'= XI EME ou pé—=vX"?2+ 0%".
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 53
Dans ces diverses formules p”” est la plus haute puissance de p qui
divise simultanément les deux produits
(38) pa s)p(a,s"), o(at,s)p(ax, ct).
Soit d’ailleurs p” la plus haute puissance de p qui divise simultané-
ment les quatre expressions
(39) pæs), pas"), p(a,s), p(a, st).
X, Y seront divisibles par p'; et, en posant
X=piz, Y=p\y,
= #k"— 02),
on tirera des formules (36)
(40) 4p#= x? + vo y? ou &ph= vx? + w y?.
D'ailleurs, p étant de la forme vwx + 1, la seconde des équations (40)
ne pourra être vérifiée qu'autant que l'on aura
vat= 4 (mod.w),
OY= 4 (mod.»)
et, par suite,
eo —1
v ? =1 (mod.w),
© ? =] (mod. 1)
ou, ce qui revient au même,
Es 6)
_— az es Se
G) y
Donc, si l’on a
QG)
(41)
y
on ne pourra satisfaire à la seconde des formules (40) et l’on aura
nécessairement
(42) 4p#= 2? + vw y?.
Application. — Soit w = 3. Alors, si v est de la forme 12x + 5, on
54 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
TT gun
et, par conséquent, on pourra vérifier, en nombres entiers, l’équa-
st,
tion (42). Mais, si y est de la forme 12æ + 1, on aura
et l’on pourra seulement assurer que l’une ses équations (40) est
résoluble en nombres entiers.
Exemple. — Soient
1” mme N VITE œv — 51.
On trouvera
Uu=x 8, a=2,
=, Le Eéansg: à U=—8, =—7, ui =—4, uÿ =5, LR
uw =— 3 u= 8 utt= : ul?= ut=— 5 utt= 9,
_ ei Le Lt (mod.3),
UM + py(h — ut) = um is (Ah — u") =i8u"— 13h;
0,5 17h 0,_ 17h 0, 17} O,5-15n O3 172 O,5_15n O,1-157 0; 172
Fun e) — .
3—17h O5 152 0, 39— 17 O,:_ 17h O,5-172 O5_15n O,,_7 0, 17
2
0.
$ ah, u\ —
ie CA
puis on en conclura
0, 0,, 0,3 0, 0, 8; 9, 8 CHANCE
or ns = Rite Rs .25 Rise Rose
7
(o] (œ, s) run
| O;; :
PA 3 Le
ir R,16 Rus,25 Ri3,4 Rio 10 95, DEME Re Ri5,5 R33 R,0,19P Ris,irs
0, 0,, 0. 0,, 0,, 0.6, 0,
St ° TRE ARS Roo,u6 Rosso 95,
ed —
Aie C
= R;s,s: Ro, R2,46 Rs,40P Ri: 17
p(æ,s) — R;0,25 Rs,26 Ross R,52 PR
pa, = R,:,20 Ru Rs Ros,11 P Ras
x
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
En d’autres termes, on aura
R,3.25 Rs0,19
»
R0,35 Rs,s7 Rau,se ;
Rss R.56 R2s.10
)
Rss Ks,ss
R0.35 Ras. Rss
os
R,3,25 R9,19
R, LL R L L
1,4 34,3
(x, s*) = p* k en R. :
37,31 129,46 128,40
p(ass) —p"
p(æ, st) —p°
(43)
o(æ,s) —p°
55
Or, la plus haute puissance de p, qui divise simultanément les expres-
sions (43), sera p*. On aura donc
A
De plus, les produits
(a, s)p(a,s"), o(a,s)op(x*,ç")
seront l’un et l’autre divisibles par p'. On aura donc
Vs
k'— 7,
p= K'— 2 =5—6—1:
et l’on pourra résoudre en nombres entiers l'équation
(44) Dons
On trouvera d’ailleurs, en raisonnant comme plus haut,
I ° PURES IL, 20 19,5 [3 11 IL 6113, 1L; 1:
a — 91°) = —
2 IL,; IL; ;> IL: ,26 IL ,32
ESS: IL, 20 9,5 5,11 16 ss
À 2 IL, 15,26 IL 2
et, par suite,
(45) a =—51y = LLORTALENTS LORTE LITRES LITE
IL, 11, 1,36
En général, lorsque w est de la forme 4x +3 et v de la forme
4x +1, on peut décomposer l'équation (21) en deux autres de la
56 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
forme
(46) 4kp == à + we?, kp#"= 6? + vowy?,
ou l'équation (22) en deux autres de la forme
(47) 4p*= wd? + e?, 4 p#"= w6? + vy?.
Car, chacun des binomes
0? Pet w0t+e, 6°+vwy, w6?+ vy?
sera nécessairement impair ou divisible par 4 et, si l’un d’eux était
impair, les deux termes de l’autre binome dans la formule (21)
où (22) seraient pairs et divisibles par le facteur 4, qu'on pourrait
évidemment faire passer dans le binome impair. Ajoutons que l’on
pourra toujours supposer à et € premiers entre eux ou n'ayant d'autre
commun diviseur que le nombre 2.
Cela posé, soit toujours p? la plus haute puissance de p qui divise
simultanément les expressions (39). p“” sera la plus haute puissance
de p qui divise simultanément les produits (38). Ou aura d’ailleurs
kK=k— #7,
et l’on pourra résoudre l'équation
(48) : Gp = a+ vo y},
ou
(49) A an — w &? + v y?.
De plus, on tirera des équations (29)
16[p(æ, s)p(at, 6) + p(a, ç") (a, s)] = 2(07+ we?) (6° — wvy*)
= 8 p#' + (r? — ovy?),
16[p(x,s)p(a, 5") +o(as, ç) p(at, çt)] = 2(0— we?)(6?+ wvy?)
= 8p""(0?— we?);
’
\
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 97
ou, ce qui revient au même,
p(a,s)o(at,st)+op(a,ct)m(axt, sc)
p#+?} À
RE Vo YEE a
(50)
S p(a,;s)p(ax, ss") + p(at,s)p(axt, ct)
d? — we? P
P”
En opérant de la même manière, on tirera des formules (30)
PPT RARE AC 1 lem A Ce RAS À
Go > Fe
E — nt à PRAIRIE RER DIEU).
Si, dans les équations (50), (51), on remplace 9 par r, on déduira
facilement des formules ainsi obtenues et des équations (46), (47),
(48), (49) les valeurs de æ, y, à, e.
Exemple. — Soient toujours
On aura
o(æ, S)=R;x p(ax, )=Riu:ss (x, MP Rs p(as, os EE à CR
| md PA Kia o, RE À 0d
et les formules (50) donneront
T° — 19? — 2 (Ris Rs + R:,13 Ras),
(22) Mid Reis Rs Ris
P
De plus, les formules (46) et (48) donneront
(53) d+ 3e — 4, +15 Y?— 4p.
Enfin, on aura
RisRisu—=p;, Rs Ris,7 = D;
OEuvres de C. — S. 1, t. U. *
58 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et, par suite, les formules (52) se réduiront à
/ 2
5 = 2 (Ronan Re h
14,11
R 5 R
R; R;:
d? PES 3 nn ( 1,13 + mnt),
< 2 Ris R;,:3
Si, dans ces dernières, on remplace p par r, on trouvera
a—10} =2Il IL,
LA : 5 (mod.p);
——
IL $ Te)
(54)
Ô? — 3e? =(
puis, en combinant les formules (54) avec les suivantes,
d + 3e — 4, +19} = 0 (mod.p),
on trouvera
at=—15ÿ =, ,IL, (mod.p).
Ajoutons que la première des équations (53) entraine l’une des sup-
positions
0—= 4, né
d'El; Sr,
en vertu desquelles
d2— 3e?
se réduit à 4 ou à — 2. Donc
IL, , Æ IL à
IL s IL;
=2 Où —1 (mod.p).
Quant aux valeurs de +, y, elles doivent être paires pour que la seconde
des équations (53) puisse être vérifiée.
Prenons, pour fixer les idées, p = 31. On aura
IL, IL, 4 FRE TM
M (mod. 31),
ot; Want,
2 2
+ = 15% —=16=—15 (mod.31)
31—=164#15 = 4t-H15:4,
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 59
Prenons encore p = 61. On trouvera
Il, ET 2, IL, => (mod.61),
IL, He 9 a |
RE ES
22 y?
— =—15==1=— 60,
n n
Gr1==1-E 601139:
Supposons maintenant que w soit de la forme 4æ +1 et y de la
forme 4x + 3. L'équation (23) sera divisible en deux autres de la
forme
(56) | kp*'= à + ve?, 4 p#"= 8? + wvy*, |
ou l'équation (24) en deux autres de la forme
(57) 4kp*' = vd? + &?, 4 p#"= V6? + wy,
à, e étant des nombres non divisibles par p. Si d’ailleurs p} désigne la
plus haute puissance de p qui divise simultanément 6 et y, alors, en
posant
6—px, y—=PY
on réduira la seconde des équations (56) ou (57) à
(58) 4p#' = 2° + vo y?
ou bien à
(59) | hp = vx? + © y?.
Enfin, au lieu des formules (29) ou (30), on trouvera
Rola,c) —[a—e(s—çr.. NTI +y(aat+... — a) — "+... — 67)],
(60) A PR me — Ge J(e— "+... — S. )h
&o(at, s) De [d — e(s — GU+H,.. — me à [6 — y (ot —HT+H,,,— tie À À mn Gi çuv—+)],
hp(as, ç) = [d + e(s — st... — 60 ")][6 + y(a— a+... — a) — +. — 687)
Lu 1 PA C ME
60 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
ou bien
| 4o(x, ç) = [e + d(s— GM+. — e)][— 6 — cm qu) ya ut. — ge),
(6) joe =[e—d(s— "+... — 6 )]T 6(e — +... — 607) + y(a— a+... Last),
hp(at,s) =[e+d(s— +... — MIT — 86 — +. — M) — (a — a+... — aav)],
ko(at, su) —[e—d(s— çsu+...— ç)]| G(s—st+..— GT) — y(a — a+... — x) ];
puis on en conclura, dans le premier cas,
p(a,s)p(at, st) + pat, s)o(x, 5")
p#'+?X s
| d'a GVY?}= 2
(62)
fau 2 A2(85)9a +) + pla st) ga, ct)
\ R° à
et, dans le second cas,
/ Co) Ce] [4 À uw a = 2212
Wy?— vx? — 2 p(a, s)o(at, ç ) + o(x > S)p(a,s ),
a 112 a [12
n --ugr amp ES Dp(at, st)
Exemple. — Supposons
&' TD, V4
On trouvera
unm+pv(h—u")=um—;4(h—u")—=1Su"—1hh
at Léa
O,s-1un O_;_ 7 O0 157
,
O_,n
On On Oo-15n
)
Or
(ah, F4
Fa, she
p° R;3,%0
y
R;,10 R,,18 R31,96
Rs,10 Ross R1.26
Ri3.29
p? R,,32 R:6.23 $
R33,13 LPPRE
Rs 3R
pat, = Rss Ris RosirRo yes = p° TT
pas). Ris Risir Rao Ri5,29 —
D(a, st) = Rare Ross Roçs1 Ross = pP )
p(at,s) = R;,20 R;,,5 Rss R26,23 =
R34,22 KR6,23
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 61
et
k = 6, RE LT, À = 1.
On aura, par suite,
R34,10 R, : a R31.26 R; ,32 R6,23 re
TL? — wvy? ou opt vat= 2( ne D
R3,20 R33,13 Rasoir . j
: R4.10 Ross R31.26 R3s,3 R: \
a es fe FT SRE" | MES 34,19 Dos,18 31,26 33,3 Do7,17 +pix.. ):
Ri3,59 R;:,92 Ro6,23
puis on en conclura
2 LEADER PE IL, 310 2
IL,6 IL, 2 [18
IT, ,610,, IL, IL, 3: [18
IL, IE, 31 12
x? — 35 y? ou Dy?—7x=
d— Je? ou E? — 70 = 02
On aura d’ailleurs, en vertu des formules (56),
d + Je ou E + 70 —4p,
æ?+ 35 y? ou 5Y?+ 7x = 4p.
D'autre part, p étant de la forme 15x + 1, on ne peut supposer
57° +7a=#4p,
puisqu'on en tirerait
/ 2 \? Ÿ
7r= 4, 7=(à) ) 7=I1 (mod.5),
tandis que
Donc, on aura simplement
(64) d?+.7e — 4p, a+ 35y? = 4p,
les valeurs de
MS hs 0e
pouvant être déterminées par les formules
IE, 61, IL LLPMELLPRE
?
IL, LE, 9 114,18
* PR LLPRTE LITRES IL 11,4
d = 7e
\ IL; IL, 311 12
a= 35y?=
(65)
62 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Si l’on eût pris, au contraire,
Lies, Pres fs
on aurait trouvé
ua, dus,
v=z=3 (mod.7),
uM+ Oy(h— ut) —=i5h—rqu",
F(œ, &) = Os7_15 Oisars
O0
; [o) (0)
F4 se 15h+7 152-717
F ( œ”: ee) — ;
6,02
Q, 6, 0, 0, 6,, O, L
à a = ie À RssR pe
p(æs s) 6,,0;:0;; RME Rave Roues.
6, 0, 0, 0, 0, 0,;, R 18
ot, Fi e - - = R 9 R. 9 R Ch, + LE ALL RTS AT
p ( ç") 0,, 0: 0; 22,8 L2,23 32,18 — P AUS pes
pie tr Ras,6 Rio,o6 Rossi
ee Rise Russe
@ ( aa D) —
| R3,18
ESS Mens EST ES
(66) kp= x +35y?, kp = d+e?,
/ II
dr de 3.17
2'= 35} = ni Lolo, -
22,8 2,23
Li
EL SI È
2, 2,23 :
Tu IL, 906,911,
|
on
m
[0
|
Il est important d'observer que les équations (65) peuvent être pré-
sentées sous les formes
= 35y°= —[o(x, 6") (at, 6) + o(a, 6) p(at,s")]
6e
HR 0, 0,, 0,, 0,,0,,0,, 0,, 0, 0;, 0, 0: 0;
Ste = | 0,, ®; 0,0, +.)
2 Suites 0, 0,, 0,, 0,,0,, 0,, 0,, 0,,0,,0,,0,,0, )
ar P° ( 0, 0; 0,, 0, Fo
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 63
On tirera, au contraire, des formules (67)
I :
Za Le (a, 6%) (at, 6) + pla 6) (ar, s")]
Pi ie 0; 0, 0,,0,; O6 O;; 0; 0, 0, O, 0, 0; He )
de 0; 0, 0, 0,0 0; 0; ; SR
»
AE
(69) {
d.= qe SAT AURAS MURALE s“)]
San (“+ 0,0 0,, 0, 0,, 0, 0,, 0,, 0; 0,; 0,:0,; +.. :
\ 0: 0: 0» 0;,0,, 0:
Or, la première des formules (68) coincide évidemment avec la pre-
mière des formules (69), attendu qu'on a
P Os 9: Ou 01, = p° = p?6; 0,0 020 030 O5 O5.
Quant à la seconde des formules (68), elle fournit des valeurs de à, &
distinctes de celles que fournit la seconde des équations (69), et si,
pour plus de commodité, on désigne ces dernières par
CEE
on aura
9? me Ci ns 0,:,0,0:,0,, p° NT | 29 R? Il
4 E* (95 010 020) (Ou PRiie 27007 00
Ainsi les équations
(70) à D +ve — 4p, d?+ 7e {4p?
seront vérifiées simultanément de manière qu’on ait
€ *
(71) <<, (mod.p).
Exemple. — Supposons p = 71. On aura
n=6+7=8+pt=(8+ V—i)(8—7 V5),
pu (8+ Vi) (8 — 75)"
met 4% in
= (57 + 16.7 V1) (57 — 16.7 V1) — 57° + 7.16?,
€
— = 8, ARE. Tr = 57; 8
64 MÉMOIRE. SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et l'équation (71) donnera
à :
(2) =16=II:,, (mod.71).
Effectivement |
7 = 8.16 (mod.71)
et, de plus,
= 15D©(15®© —1)...(10ù +1) _ 30.29.28.27.26.25.94.93.99.01
s,10 ET
1.2...00 1.2.3.4.5.0.7.8.9.10 se
Supposons enfin que w et y soient tous deux de la forme 4x + 3.
Alors, en posant
A — 60, B = 6e, C= yd, Dev
on tirera des formules (10), (13)
[hp(a,s) —=[d+e(a—at+...— a) +y(s—çs+...— 6#"7)],
à on =[d+e(æa—aut+..:— a") —y(s—çs"+:..—6#7)],
tn Dos —[d0—e(a—aut+...— a 7)][6 + y(s—st+... — 7),
hg(at,gn) = [D — (a — a+... — a0)]6 — y(é — cM+...— cu]
De plus, comme, dans la formule (25), 8? + we? ne peut être impair
sans que 6, y deviennent pairs l’un et l’autre, et qu’alors on peut faire
passer dans £? et e? le facteur 4 commun à 6? et y*, on pourra toujours
partager la formule (25) en deux autres de la forme
(73) 4 p* = d+ we*, 4p*=6? + vy°.
On pourra d’ailleurs supposer à, € non divisibles par p; et, si l’on
nomme p? la plus haute puissance de p qui divise 6 et y, alors, en
faisant
6—=pr, V=PY,
on trouvera
(74) api A = x?+ vy?,
D'autre part, il est clair que p*” sera la plus haute puissance de p qui
divise les deux produits
p(a,s)p(a, cs"), (at, cs) o(at, cs"),
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 65
et p* la plus haute puissance de x, qui divise simultanément les
expressions
p(a,s), p(aæ,cs"), p(at,s), pat, s*),
et l’on tirera des équations (72)
o(a,s)o(at,s)+op(a, st) pat, ç*)
pErraà 3
L— VY} = 2
(75)
pla, s)p(a, st) +op(at,s)p(ar, st)
P=
0? — DE? — 2
Exemple. — Prenons
On trouvera
ST, LES,
1
V=-=I (mod.w),
uM+ py(h—u")=u"+g(h—u") =7h—6u",
O, h—6 0; h—12 O;r118
)
œ k cé
f(ah,s) —
s) O,1r
0 [0] [0]
$ xx, cu _ 7h+6 V7h+19 V7Th—18
O,; s
6,0,.0
LS 20 0 SE = ph, =pR;16 ARS:
0,.0,0
o(æ, "= de ee = PRio,13— PRis,10 = P Rio:1os
21
0,0, 0
p(æ,s) = + —=pR;,s = PR —=PR:11,
0,, 0; 0;
gi cr = + di =phR,:s = PRs17 = PRaour.
Ainsi l’on aura
.
pas): = #£i…, o(æ, st) =pRiso,
R0,17
P°
FE
er. RE =8, KE pe |
OEuvres de C. — S.1,t. LI. 9
o(æ?,çs) = (a, ç4) = pRo6,115
66 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et, par suite,
(76) k=8+3e, - Gp=r +9}.
= — 79" = R;3,59Roo 7 = IL Il, ,,
(77) PO D UN er
R0,17 Ri3,19 IL, IL s
Supposons, pour fixer les idées, p = 43. On aura
Li Rem
Mie Nr > — de je
ER TEE M Ce Le
ZU—8#)=—7— =,
et, par suite,
Effectivement
43 = 36 + 7 —6+7.1?.
Il est bon d'observer qu’on aura encore, en vertu des principes
établis dans le paragraphe I,
(78) ne.
Donc
(79) I, = 11,1L ..
Effectivement, si l’on prend p — 43, on trouvera
gi dre de Rides
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 67
On aura d’ailleurs, en vertu de la premièré des formules (75),
"RSR DE P? 0, 0,0,, 6,0,0,;, 0,0, 0,; 06,,0,, 0;;
4 79 Et 2 ( O,, O;; ji O;, O;; }
PRE PT 0, 6, 0,, x 0, 0,0,, + p° »
tandis que les principes ci-dessus rappelés donneront
2 2 Es 2 Q? O2 P°
FINE (O8 + prb)
En général, on vérifie l’équivalence
(RE —
. (mod.w),
lorsque w est premier, en prenant
l'An sait
Donc la formule (1) peut être réduite à
(80 ) F( œ, ç) ss O,,,0-17-1) Oursvo—t (nn?) ….. Orion nv) :
(0)
1 Ÿ—1
l'UE |
et la formule (2) à
2 0 w—1 at [0] 3 w—1 SENS à .0 V2) VU—1 A es |
(81) d (x, ç“) ea u+V (h—u) Tu+v (A—u*) uT?+V (A—u ),
; (0)
yu—iY Zi}
2
Par suite, les divers facteurs que renfermera le numérateur de la frac-
tion équivalente à 9(x,<) seront de la forme
Orne gum _ jam) S
De même, les numérateurs des fractions équivalentes à 2(x, <“),
o(ax*,s), o(x*,<“) auront pour facteurs des expressions de la forme
Orm+, jo (qom _ yam+s) ,
2 pe ,
O 2m +Vv® "(ar +1 u?7t)s
, PA
Om _ yo 1, gum +12 +1 ) .
6$ MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Cela posé, il sera facile de déterminer les nombres ci-dessus désignés
par
si l’on parvient à trouver combien il y a de nombres entiers de chacune
des formes
u?" Le yw—I (arr Se: ue), u2n+i pie VO gr sur RS
u?" *as yw—1 (ares ue u2n), u?2+1 Le yw—1 Ÿ edit — uni )
Er n
entre les limites 0, —:
S IV. — Suite du même sujet.
Supposons, comme dans le paragraphe IT,
n = Ov (> étant un nombre premier),
p—i=n® =v, d = ww,
et soient
D, 0% 6
des racines primitives des équations
4 mme de PERTE Hélas D
Soient encore 0, + des racines primitives de
LOT E, mr
et 4, s, u des racines primitives des équivalences
æP-l=; (mod.p), æ'=1 (mod.p}), ges
Il
1 ‘(mod.»).
Soit enfin
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 69
On aura
” < “4 ue cu uv
1F(x#, s) JC, çu = Ha, çu ) —,,,—ÿ (@”: çu" )
A GO, ,(n-1) O1 v(h—u?) Ouuh-ut) . O-stovthn—)
c (0) v(Y—1)
CRRRASEEET <
2
2 3 2 Æ ve
É(a!, s") — ÿ (a, çu ) — ÿ ton: se) —,..—=f$ (æ#, çu” )
FE Oh Ouh u) Ouh) . O3 onu?) ;
da à PEN
PRES REA. 4 ue
2
Si w est un nombre premier, on pourra prendre
D VUE
Soit d’ailleurs a une racine de l’équivalence
x®—I= 1] (mod.w)
et faisons
PAT (d s)ar,s) (a, c). (a, s),
ACT é}— o(x, s) (a, ‘Sa8
On aura
X(Cæ, 6) = o(x, s) (xt, (4 AC ç"),
var, s)— pat, spa, s") —=y(a, ç").
Observons maintenant : 1° que a et u vérifient les formules
8
LL 7
Il
|
nl
Paume.
5
©
F2,
&
LL 2
Il
—1 (mod.»)
GO) — I V — | Fe . “ «
et que » seront pairs ou impairs, suivant que w, v seront de
+ 2 2 :
la forme 4x + 1 ou 4x + 3; 2° que, dans une expression de la forme
Oymivoiçam um) ue Olive )ymevuiqn,
on peut remplacer w”* par un nombre équivalent à w”*, suivant Île
module y, et a par un nombre équivalent à a” suivant le module w.
On en conclura sans peine : 1° que chacune des expressions
POLE TRE ur Me es
pia,s), p(at,s), p(a,s"), p(as,c'")
70 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
se réduit à une puissance de p lorsque y et w sont tous deux de la
forme 4x + 1; 2° que les expressions
pia;s) par,s')=y(a,s) = yes, cE),
p(ast,s)p(a,ct) yat sizyle, ct)
se réduisent à des puissances de p lorsque v et w sont tous deux de la
forme 4x + 3. Mais si des deux nombres w, y l’un est de la forme
4x +1, l'autre de la forme 4x + 3, ce sera seulement le produit
ACZ GS) Ya, s)
qui se réduira à une puissance entière de p. Alors, si l’on fait, pour
abréger,
G—GU H Gt —,, , HE GT — QUE — À,
A — AH M —,,, + ga — ga —© À},
on aura
À —1 k A+:
ES PE ET — SU. SA IPS QT Lee
a wW—3 A'—1 3 w—2 | A+ 1
DATE HS ERT ne QTH QE RH = —* tp
et 7(x,<) sera une fonction entière et linéaire des polynomes
C + çu* AS Eee er, ç“ ut ç LT CEE en,
AH QUE. HS, DL a, + aa
qui restera invariable, tandis que l’on remplacera simultanément «
par <“ et x par &* (!). Done 2y(x,<) sera une fonction entière et
(1) Il faudra que l’on ait
1, s)=f+gl (x + a+... Haas )(e He +,..+ cu)
Æ Carr APP e07)( 60 Ce ET
+ À (æ HA +... + aa )( cu EU, + qu)
+ (a+ a. + avi) (< + qu, +cu)]
RS : l
= f+ £ (aa +0 + = (1— A4"),
fgh étant entiers.
24 (a, yes 2 +g +h + (g— h)AA
ou
(a, c) = À + B AA’,
A, B étant de même espèce.
“Éa
e <
48
Le
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 71
linéaire de A et 4’, qui ne changera pas quand on remplacera simulta-
nément À par — A, A’ par — A’. On aura donc
(1) 24 (&,s) — A + BAA';
A, B désignent deux quantités entières. On trouvera, au contraire,
(2) 2yY(x%,ç) — À — BAA'
et, par suite,
44 (a s)x(x%, s) — A?— B?A?A'2— A: + VB?
ou, ce qui revient au même,
(3) 4p°*= A+ vwB? (!),
A, B étant deux nombres de même espèce, c’est-à-dire tous deux pairs
ou tous deux impairs.
Exemple. — Soient
On trouvera
4&p?= A?+15B?.
Cette dernière équation ne peut subsister, quand A et B sont impairs,
puisque alors A?+ 15B? est divisible par 8. Donc
A2 %X, D'EHSE
(4) pi= X2+15Y?.
D'ailleurs p?, divisé par 8, donne 1 pour reste. Donc X doit être impair
et y impair. Donc
Y'— 4x},
(2) p°— X?= 607? y?,
Enfin p—X, p+X devant être pairs et Par, Rex devant être
(1) La, c) et y(2%, c) sont des produits de plusieurs facteurs de la forme Rz,»: dont
le nombre est nécessairement pair ou de la forme 24.
72 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
premiers entre eux, puisque leur somme p est un nombre premier,
l'équation (5) ou
p—X p+X _.,
12 x° y?
2 2 Y
se décomposera en deux autres de la forme
PrRe PRE en
2 2
ou
PER TR nt . TT
: D “RU En D À
Mais, dans le dernier cas, on trouverait
p=3x +57}, 3x?=1 (mod.5),
I
==? (mod.5),
ce qui est impossible. Done, le premier cas est seul admissible et l'on
aura
(6) p=a +197, X = 2x —157?.
En général, l’équation (3) peut s’écrire comme il suit :
(7) (2p*— A)(2p*+ A) = vo B?.
Soit p? la plus haute puissance de p qui divise simultanément À et B;
on pourra faire
(8) A = piX, B—plY, ek—2À—2pu
et l'équation (7) deviendra
hp = 4 p= X2+ vo Y?
ou
(9) (2p#+ X)(2p#— X) = wv Y?.
Alors X et Y seront premiers à p et, comme tout diviseur commun des
facteurs
(10) Japt4 X, 2p#— X
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 73
divisera nécessairement leur somme 4p', ces facteurs ne pourront
avoir d'autre commun diviseur que 2 ou 4. Cela posé, si les fac-
teurs (10) sont premiers entre eux, on vérifiera la formule (9) en
prenant
(11) 2pP+ X=vx", 2pPh— X —=.0 y?
et, par suite,
(2) Epb=va+ op", ?
ou bien en prenant,
(13) MX, 2p#— X — vw y?
et, par suite,
(14) hph= a+ vo y?
Si les facteurs (10) sont pairs l’un et autre, X sera pair ainsi que Y_
et, en posant à
Aa, +297,
- on tirera de la formule (9)
(15) Cp#+ X°) (PE — X°) = wv Y"?
ou
pr= X'2+ vo Y'?.
Dans cette dernière formule, le premier membre, divisé par 4, donne 1
pour reste, IT doit en être de même du second membre, ce qui exige
que X’ soit impair et Y’ pair, puisque vw, divisé par 4, donne 3 pour
reste. Donc, on ne peut vérifier l'équation (15) qu’en supposant
ph+ X'=vz, ph—X'—=0yt
et, par suite,
2pPb= VX? + w y?,
ce qui est inadmissible, puisque 2p*, divisé par 4, donne 2 pour reste,
tandis que vx? + wy? ne peut être pair sans être divisible par 4; ou
OEuvres de C. — S. 1, t. I. 10
7h MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
bien en supposant
pé+ X'= x*, p—.X'= wvy?,
2 ph = L°+ wWYY},
ce qui est encore inadmissible pour la même raison, attendu que
x?+ wvy?, en devenant pair, sera toujours divisible par 4; ou en
adoptant l’une des hypothèses suivantes :
ph+ X'= 2vx?, p— X'=2w7y?,
(16) pPh= va +owy*;
ph+ X'= 2x, ph— X'—=2uvy?,
(17) ph= x? + wvy}.
/
Done, en définitive, on pourra toujours satisfaire par des valeurs
entières de æ, y à l’une des équations (12), (14), (16), (17).
Comme p est de la forme vwæ +1, les équations (12), (16) ne
peuvent subsister qu’autant que l’on à
væ'=3 ou À (mod.w),
ox?=1 Où 4 (mod.v)
et, par suite,
@ — 1 : sr LÀ
vi? = (mod. >) @ ? =1 (mod.v)
on ne peut admettre que la formule (14) ou (17). Si, de plus, 1 + vw
est divisible par 8, on ne peut admettre que la formule (17).
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 75
Observons encore que l’on tire des équations (1), (2) et (8)
; A=p'X=—y(a,s) +y(a,s).
Donc
x — Aa) + xt, s) _ pla, s) paf, ç)+ (as 6) pa, sn).
de p?} ee p}
D'ailleurs, on tire des formules (11)
2X—Yx? — wy°?
et des formules (13)
TXT — vo V?.
Dônc
p(a, s)o(at,s) + p(a,s")p(at, st)
vT? — w y? ou L'—VOY = 2 :
Pr
A l’aide de cette dernière équation et de la formule
kp#= vx? + w7y° ou zx? + vo ÿ?,
on pourra déterminer æ et y. On aura, en effet,
p(a,s)p(at,s)+o(a,çcs)o(at,çc")
VAL = = D Y° = a
(18) « ou (mod. ph).
= vw y — o(œ, s) o(ax, ç) + (a, s*) o(a, ç")
#”
Ces dernières formules offriront le moyen de déterminer æ et y
lorsqu'on aura w — 1. Alors, en effet, il suffira de remplacer dans ces
formules x et & par les racines primitives des équivalences
‘ æ®æ=r (mod,p), a'=1 (mod.p).
En vertu de cette substitution, l'expression
: —h—k & —h—k —27—h1—-k
LL eu =[——) +pr[ +] +. + po [EE ; /
h+k P ::1 P
=[] nl + pren EU,
P Pi F RES
76 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
dans laquelle on suppose
ee kK+h+l=o (mod. x),
deviendra:
(t+1)O+ rl +) Se. + re (T4 PS
— (1 7 [)/0 + c#S (x D t)YBS +. Une tP-9A0 (1 FA Us pere}
— (p— 1), pin x : (mod. p),
la valeur de IT, 4 étant
II RS RE Fo es (A+k)S
eve (ER RO... «5 )
Soit maintenant .
(19) Rx = 40 + &p RE. pas pes
On aura identiquement
A9 + AP + AP +... + an-1p!
14 l p-27l
— [| + 0! +] +... + pr = |
4 P P
A+ ATT+ATO +... +a, 7-00
ou
— 7/01(2) LL RhS A4) D + ttP—-2)ho OP),
Si, dans cette dernière formule, on remplace 7 par {, on aura
a+ a+ a UT +... + ant ts
(20) (mod. p).
= (1+1)S +40 (1+04)S +... + PDA (; + pe)
Soit maintenant T une racine primitive de l’équivalence
xPl= 1 (mod. pl).
Je dis qu’on aura
89 + a TOPÈT + a TOP LE, + an ete DG PET
mod. pb).
=(i+ L)BPE LE VAS PE (1 TyoP#— asp TD ASE (1 + Tryo ( P#)
(21)
En eflet, £ étant une racine primitive de l’équivalence
&P-l= 1] (mod. pp),
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 77
on pourra supposer
T=t (mod.p)
ou
T=t+pyr,
et l’on en conclura
Tr (+ py)PT = PET E pY
ou
Tr = 4PÉT (mod. pt) (1).
De même, si l’on a
: {i+t)'= tv (mod. p)
on en conclura
a+Ti)Y=(i+ti)=tui—=T/ (mod.p)
ou
(+ T) = T/ + pz,
et, par suite,
Ce FORT (TA 4 pa jet TPE pr Z
ou
(+ Tete T/Pe (mod. pé) (?).
(!) En effet, une équivalence de la forme
æ=y (mod.p'),
pouvant s’écrire comme il suit,
T=Y + p'z;,
entraine la formule ‘
xTP=ÿP+ pitiz +...
ou
xPæyP (mod.pi+t).
Donc l’équivalence
T=t (mod.p)
entraînera les suivantes :
Træir (mod.p?), Tæt# (mod.pi), ... et Tr“'=ætP#" (mod.ph).
(2) De ce que l’équivalence
({i+ti)= ti (mod.p)
entraîne les suivantes,
(1 + té JpBt = tip# = (mod. pt) et (a+ Tir = Tipkt (mod. ph),
résulte immédiatement que l’équivalence
ho (i + ti)s = 44m (mod. p)
78 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Au reste, l'équation (20) entraine encore la suivante :
à + à | batfés Tire + An—1 EUR
(22) (mod, pH).
| ie (1 ane J)/BPET LE thSpk(} e 1 dt si de. «Fe tb HP R0pE de PTE )IEPPT*
Il est bon d'observer que, pour obtenir le premier membre de la
formule (21), il suffit de remplacer, dans R,x, :
D''R ETT,
qui est, ainsi que T7, une racine primitive de l'équivalence
mai. (mod. ph). .
D'autre part, comme on aura
Tr-i= 1 (mod. ph)
et, par suite,
. Tree Très, . = T'=T (mod. ph),
la formule (21) pourra être réduite à
ont an POP... a ET
(mod. ph).
| — (1 ee 1)/Gpt" GE LE(S re FORT SE ER=AS ENT Frs yep"
(25)
Il est facile de trouver un nombre équivalent suivant le module p* au
second membre de la formule (23). En-eflet, on a
lo pt- RAT ls ptet (loplei— 1) THR ii
I : 1.2
(+ Ty 1 +
et, par suite,
D Te ARE aa FEAR
I À
A+ FRET Ep LR 1.2
ZSTAS (1 Tien — ST L lo pt STIASH) LE .,
. 1
entraine les suivantes :
th pat (I de t)S pr = {kw pat (mod. P#h ;
T'2S pr 1 (1+ Ti ya pit = [AD pi (mod. Ph).
Or, en vertu de ces dernières formules, l'équivalenec (20) entraîne à son lour les équi-
valences (22) et (21). Ù
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. 179
le signe Ë s'étendant à toutes les valeurs de 7, renfermées entre les
limites o, p — 2. D'ailleurs, on aura
21° = () (mod. pH)
lorsque # ne sera pas divisible par p —1— A5, et
Z2T—p—1i=nvs (mod. pt)
dans le cas contraire. Donc
(24) ZT (1+ Te yon = (p—1)(U ptit nn + Inn pttenon +. ..),
la valeur de Il, 4 étant
(29) Mir =
EP PONS CESSER DES AG)
Cela posé, on aura ;
Il #5 A REVERS (lp) j
a Lld si (n—h)w][1.2..... (pBi+hk—n)s]
(po) (lphtes — 1)... (ph nn) +1]
Fe. 4,442 (n—h)®, + vo
lpv—1
RE *
nl (pltas) (pts — 1)... (ph +h—on)s +1]
2n—h,1p# \+h-2n — :
‘ 1.2.3.....(22—h)w
(lpbtæ) (lp — p)
— . p#
DS (mod. pb),
= Cpéo) (pl? — 1)
ur 1.(2272—h)w
pô to) (ph tes — 1)... (pb + h—3n)z +1]
|: 75 LA == (PP
fans 1.2.3.....(3n —h)w
lpb=1 Iph—1æ — 1m — :
a va CPE ee PICBE we 2p) (noi ue);
p-2p.(3n—h)w
LL Cpétm) (pl — 1) (ph? — 2)
1.2.(3n — h)w
Il
PR RER RER RER Rs ed se bsleest nec eo mses te suc Er Sent Te ble de de sé 7e 6 6 6 oo se
80 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Généralement, on aura
Do ne mr 1)...(pBm—iti)
Un rpt—4 in = (—
1.2.3.....(2—1)(in —h)w
(26) (mod. pt).
ds U (leo —i)... (pm —i+i)
mi RTE É2,9,.-. (lt)
Lorsque y. surpasse 2, la formule (26) donne
H: h IDUL h oin = b—1 .
in—h,lp#Ti+hin P ÉPRNE
Lorsque à — 2, elle donne
l Cm —1)(m —2)...(m—it+i)
ion pen = (3) P LE re À RUES: SONT (i—1)
Pour montrer une application des formules qui précèdent, suppo-
sons 72 — 3. On trouvera, en prenant = 1,k#=—1,/=1,
É [HT 1+é I+e
Ri1= à0+ 8,2 + a2p?— j- + p : + 0? : +...,
fi Fe 2 L 2 t? 2
Ris = a5+ ap? + asp — | —| +# [=] + [= | Ms
(27) Ap=(2a—a—a)+8(a—a) —2x+3y},
CRI R2=(1+1)5 + (1+c) + ÉT(1+ 2) D S
M HP PL PPT CRE PPS
=(p—:1)ll,:.
D'autre part, en ayant égard aux formules (21), (24), et prenant
u = 2, on trouvera encore
- = XTOP (1 Tijor + STSr (1 + Tiyo
29
(p ts 1)(IL + + IL, 5 + IL, 5 +. #: NL IE, :,-; Fa IL, p— en AE : }4
Enfin, la formule (26) donnera
(G—1)(® —2)...(m—i+1)
JÉ—A 1:2,93...(t— 1)
(mod. p?}.
ni co ; 2P (25—1)(25—2)...(25 —i+1)
ir aptiui (1) 31— 2 142,9. :3(8— 41)":
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. sl
Donc, on tirera de la formule (29)
a=(o—n|- £ + L— Fa pente D sn
(30)
2 2D 2 — I 3 2m —1)(2® —2)
D Pme 2 ii
-ILest important d'observer qu’en prenant
hk—=n—1 et EE ——— =D +1,
on obtiendra une valeur de
TL p,rpo—+ in = M, pt p
déterminée, non plus par la formule (26), mais par la suivante :
(dpt )(lphtes — 1}... (lp lo — po +1)
CR UE PS.
ÎLE, pt) p =
de laquelle on tirera, en supposant 2 — 3, u —2,{— 2,
\
2p@(2P©—1)...(pPT +1) )
(31) PR ps. RE (mod. p?).
: Comme on a d’ailleurs
(Gi+ pæ)(2+pæx)...(p—1+px)
MER dc =D +pa)(r+ PE (ie LE + si )
3 RE I
= KP EE PAST (p —1) parti gt +
(mod. p?) (1),
(1) En effet, les divers termes de la progression arithmétique
; UN diese, D
seront équivalents, suivant le module p, si l'on fait abstraction de l'ordre dans lequel on
les range, aux divers termes de la progression géométrique
RÉ R ie der, PTS
d’où il résulte que les divers termes de la suite
Ts 9 9 +) ——
Œuvres de C.— S.1,t. I. II
82 . MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
on en conclut
(t+px)(2+px)...(p—i+px) ;
RS (p—1) cie ne à },
et la formule (31) peut être réduite à
Il __2p©(2p© —p)...(pw©+p)
PP = |
P.2pP...pTD
(32) (DOUTE
__2m(250—1)...(@+1) er
ci RER HN o] He
D'ailleurs, dans la formule (29), les quantités désignées à l’aide de
la lettre IT étant égales deux à deux, à l'exception de -
IL, = H,, (mod. p?),
on trouvera
æ=(p a lu de 2 (To + I, +.: RSR)
2 2
+ 20 251 + op +... + IL,_:,p+3) l
seront équivalents, abstraction faite de l’ordre suivant lequel ils sont rangés, aux divers
termes de la progression géométrique
I Û I
—) — CR]
ARS PU ne
Et | TEE à
tp—2
ou, ce qui revient au même, aux divers termes de la suivante :
DEN IDE PRE Us de
D'ailleurs, la somme de ces derniers termes, savoir
tP—t
t—i
HELP +: HP =
sera, ainsi. que la différence #?—1, équivalente à zéro, suivant le module p. On aura
donc aussi
she ie ln 0 (mod. p);
I
1+ - +
2 , P—1
puis on en conclura
et
14:93 ( [fi s(i+i ++ PQ. )|
RER PASON Ge P: à «SARA EE (mod. p?).
=1,.2.3.....(p—1)
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
83
ou, ce qui revient au même,
5) ep pee) (no)
m + 2
I I D—I 1 (G—1)(m —2) a I Pere) 2 )
DPI) PSS ar Ph 1.2 Fe 4 | (æ — 2
rip] ES FAR ( : )
2 20 — 1 2 (2®©—1)(2© — 2) ___.. 2: (2®0—1)...(D +1)
—ap(p=0 [2-7 1 on L.2 DRPAES Nr. de ne. = |
Ainsi, par exemple, on trouvera, en prenant p = 7, 5 — 2,
| sl D.)
= 6.6+16( 2422 )= 364162: ne.
en prenant p Sihts4,
2 = 12{1L,s + 2 (bu + M8 + Is + IL ,22 + IL; 19 + Tou)]
=12[70— 26/55 +27 : 6—7)|
(mod. 13?).
12 [70 + 26 (2 - ;) =12.70=(13—1)(13+1)) =—0
84 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
NOTE I.
PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DES FONCTIONS O,, @,
n étant un nombre entier quelconque et w, v deux quantités entières
positives ou négatives, nous disons que « est équivalent à v, suivant le
module n, lorsque la différence u — 6 ou 6 — u est divisible par >, et
nous indiquons cette équivalence, nommée congruence par M. Gauss, à
l’aide de la notation
u= (mod.n)
emplovée par ce géomètre. De plus, p étant un nombre premier, nous
disons, avec Euler d’une part et de l’autre avec M. Poinsot, que r est
racine primitive de l’équivalence
CAES (mod.p)
et o racine primitive de l’équation
Fr sde |
lorsque r” est la plus petite puissance de 7 qui soit équivalente à
l'unité suivant le module p, et 2” la plus petite puissance de 9 qui se
réduise à l’unité. Dans cette hypothèse, les diverses racines de l’équa-
tion
DES
sont les diverses puissances de o, et comme deux puissances, dont les
exposants restent équivalents suivant le module 7, sont égales entre
elles, il est clair que ces diverses racines peuvent être réduites à
. SR —1
Li OR es DU
De plus, » étant une quantité entière, on peut affirmer que la somme
nee Hèt
LH OT pm +. + DURE PT
NOTE I. 85
se réduira au nombre » ou à zéro, suivant que 7» sera divisible ou non
divisible par 2. Enfin, si x est un nombre pair, on aura
n
2
p ire Le
Pareillement, si l’équivalence
æMÆ=I (mod. p)
offre » racines distinctes, ce qui arrivera si z est diviseur de p — 1,
ces diverses racines seront les diverses puissances de 7, et comme
deux puissances, dont les exposants seraient équivalents entre eux
suivant le module », resteraient équivalentes entre elles suivant le
module p, il est clair que ces diverses racines pourront être réduites à
CHRRS PAPE 2 OM EP SRRE date À
De plus, » étant une quantité entière, on peut affirmer que la somme
NN
PTE pme, MoRgers rta—1)m — £
ro —
sera équivalente, suivant le module p, au nombre x ou à zéro, selon
que » sera divisible ou non divisible par 2. Enfin, si 2 est un nombre
pair, on aura
=—I (mod.p).
Ces principes étant admis, les propositions rappelées dans les pre-
mières pages de ce Mémoire et relatives aux propriétés fondamentales
des fonctions
0, Oz,
pourront être facilement établies de la manière suivante.
Nommons :
p un nombre premier impair;
0 une racine primitive de l’équation
* LP Re
86 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
+ une racine primitive de l'équation
de Reed
et 4 une racine primitive de l’équivalence
æPri= 1 ‘(mod,p).
Comme les diverses racines de cette équivalence peuvent être repré-
sentées par les divers termes de la progression arithmétique
Be MR os Der
ou, si l’on ne tient pas compte de l’ordre dans lequel elles sont rangées,
par les divers termes de la progression géométrique
NOR 7,
“
l'équation
1+0+04+...+0P-1= 0
pourra s’écrire comme il suit :
(1) 1H OL 4 0 0,
On aura, d'autre part,
Pa
et
ITA + rm +. + TP Om D— ]
ou bien
| RON CE AL AE rm D SRE te r(p—2)m — 0,
suivant que 2 sera divisible ou non divisible par p — 1. Soient d’ail-
leurs k, # des quantités entières et posons
O,—0+ TDt+ rh O0, + TP) AQU;
il est clair que @,, O, seront égaux lorsque h et Æ seront équivalents
entre eux suivant le module p — 1. De plus, l'équation (1) pourra être
présentée sous la forme
0, = -- 1.
NOTE 1. : 87
Enfin l’on aura évidemment, quels que soient A et #,
(2) | 0 ,, 9, — S(riA+ik Gi+t),
le signe S s’étendant à toutes les valeurs de # et de 7 comprises dans la
suite
©
w
—
]
2
©
v
=
D
Les valeurs de z et de j qui, dans l’équation (2), rendront, sous le
signe S, l’exposant 0 équivalent à zéro, suivant le module p, sont celles
qui vérifieront la formule
ti+lÎ=0o (mod.p),
de laquelle on tire
oo sta
tii=—j;=1t ? (mod.p)
et, par suite,
D —1
2
TRS TE
ou, ce qui revient au même,
DR qu
le signe supérieur ou inférieur devant être adopté, suivant que z est
es
2
inférieur ou supérieur à - Donc, dans l'équation (2), exposant
de 9, sous le signe $, deviendra équivalent à zéro, suivant le module p,
pour p — 1 systèmes de valeurs correspondantes de z et de 7, la valeur
de z pouvant être un quelconque des termes de la suite
Me NU 1... Pr 1!
et, dans la somme que représente le second membre de l'équation (2),
la partie correspondante à ces valeurs de £ et de 7 sera
HT
S(Tit+i#) — s(ctne 2 ) =
ou, ce qui revient au même,
(— 1)# S(Ti4+#)) — (— 1)#(1 Se Th+k D r2(h+k) RAA mp2) (+8),
88 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Donc, en vertu de ce qui a été dit plus haut, cette partie se réduira
simplement à
$ (—1#(p=n=(-:1)(p—r)
ou bien à zéro, suivant que À+# sera divisible ou non divisible
par p — 1.
Considérons à présent les systèmes de valeurs de z et de 7 qui, dans
l'équation (2), rendent, sous le signe $, l’exposant de 0 équivalent à
l'unité suivant le module p. Ces systèmes seront ceux pour lesquels
l’équivalence
; ti+tizr : (mod.p)
se trouvera vérifiée. Or, cette équivalence, présentée sous la forme
1 ti,
fournira une seule valeur de 7, comprise dans la suite
pour toute valeur de # qui, étant comprise dans la même suite, ne
rendra pas nulle la différence
ue. EL
et, comme la seule valeur : —.o fera évanouir cette différence, 1l en
résulte que l’équivalence dont il s’agit se vérifiera pour p — 2 systèmes
de valeurs correspondantes de z et de 7, chacune des valeurs de 7 étant
un terme de la suite
HR ns D 0.
Cela posé, concevons d’abord que la somme L + # ne soit pas divi-
sible par p — 1 et désignons alors par R,,4 la somme des termes qui,
dans le second membre de l'équation (2), seront proportionnels à la
première puissance de 0. La valeur de R,x, qui sera déterminée par la
formule |
(3) Rai DER),
NOTE I. 89
jointe à la condition
(4) EE (mod.p),
se composera seulement de p — 2 termes de la forme
h+jx
Tia 7 ! $
et, comme chacun de ces termes sera nécessairement égal à l’un des
termes de la progression géométrique
>
æ 2 >
RE TR tes LU
il est clair qu’on aura
(5) Re A0 + 417 + AT +... + ap 2 TPTE,
Ag» As -.., 4,2 désignant des nombres entiers dont plusieurs pourront
s’évanouir et dont la somme vérifiera la condition
(6) A+ A+ A+... + ap 9 D — 2.
Soit maintenant »2 l’un quelconque des nombres entiers compris dans
la suite
PC PO Re cree à
La somme des termes proportionnels à
dans le second membre de la formule (2), sera évidemment
gt” SÉrPrIE),
pourvu que l’on étende le signe S à toutes les valeurs de z et de 7 qui,
n'étant pas situées hors des limites o, p — 2, vérifient l’équivalence
i+ti= te (mod.p).
Or, cette équivalence pouvant être présentée sous la forme
CE 2 ES (mod. p),
si l’on étend le signe $S à toutes les valeurs de ? — m et de j — m qui
OEuvres de C. — S.I,t. II. 12
90 MEMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
la vérifient, on trouvera, en faisant usage de la notation ci-dessus
adoptée,
R, Ph S ( Ce Ur RE)
ou, ce qui revient au même,
R, 2 Tr n(a+k) S(ririk),
et, par suite,
S (réh+ik) a RTE),
Donc, dans le second membre de l'équation (2), la somme des termes
proportionnels à
[LA
sera généralement
R, A (A+X) ge”.
Donc, la somme des termes qui renfermeront des puissances positives
de 0 sera
R, k S (ro CrE) Ph
le signe S s'étendant à toutes les valeurs de » non situées hors des
limites o, p — 2. D'ailleurs, on aura évidemment, sous cette con- .
dition, PR
a rh La d
et, par suite,
di S (rca rE) sait À
Ainsi, dans l’hypothèse admise, c’est-à-dire lorsque À + # n’est pas
divisible par p — 1, la somme des termes qui, dans le second membre
de l'équation (2), renferment des puissances positives de 0 se réduit
simplement à
R,x02+x,
et comme alors, d’après ce qui a été dit ci-dessus, la somme des autres
termes se réduit à zéro, il en résulte qu’on a
(7) 0, 0; — Rx 0 ,,x;,
la valeur de R,4 étant déterminée par la formule (3) jointe à la for-
NOTE'T. 91
mule (4), ou, ce qui revient au même
(8) CRE OENtT IE),
pourvu que l’on étende le signe S à toutes les valeurs de r'et de 7 qui,
étant comprises dans la suite
vérifient la condition (4).
Passons au cas où la somme 2 + # est divisible par p — 1. Alors,
d’après ce qui a été dit ci-dessus, on devra remplacer l'équation (8)
par la suivante :
0, 8; — 08,4 S(T4E) + (—i)(p—n),
que l’on pourra réduire à
0,0_;—— ST) L(—i){(p —1),
attendu que l’équivalence
h+k=o ou K=— h (mod.p —1)
entrainera les formules
rt ot oi LT Oz+x > 6, ne
Donc, si l’on suppose la formule (5) étendue au cas où la somme 4 +4
est divisible par p — 1, c’est-à-dire si, en choisissant R;, de manière
à vérifier dans tous les cas cette formule, on pose
(9) O, D LE Ra, Oo
on aura
Rama S(T A) (ir) p — 1).
Dans le second membre de cette dernière formule, le signe S doit
toujours être étendu aux valeurs de # et de ; qui, étant comprises dans
la suite
OR 4 EN 0 ST eAUTES 3
“
92 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
vérifient la condition (4) ou, ce qui revient au même, à toutes les
valeurs de ë — j qui, étant comprises dans la même suite, vérifient la
formule
ii = tri) (mod.p — 1)
et, par conséquent, à toutes les valeurs de ? — 7 distinctes de la valeur
| LÉ TS
2
qui donnerait
ti — 1 (mod.p — 1).
Or, comme en admettant cette dernière valeur de # — 7 on aurait
généralement
S(r-22) — 0,
on trouvera au contraire, en l’excluant,
p1
S(r-Dh)— 77 A,
et, par suite, la valeur trouvée de R,_, deviendra
(10) R,-»=—(—1)"p,
pourvu que À ne soit pas divisible par p — 1. Alors aussi l’équation (9)
donnera
(11) 0,8_,—=(—:1)tp.
Si 2 devenait lui-même divisible par p — r, il serait pair et, comme
on aurait
(—1)}= 1, Th= 1,
la valeur trouvée de R,_, se réduirait à
P—2—(p—1)=—-1.
Au reste, on peut conclure immédiatement de la formule (7) : 1° que
la valeur de R, 4 ne varie pas lorsqu'on fait croître ou décroitre 2 ou #
d'un multiple de p — 1; 2° que R,4 se réduit à — 1 dès que l’une des
NOTE I. : 93
quantités À, & est divisible par p — 1. Ainsi, par exemple, si l’on sup-
pose # divisible par p — r, l’on aura
0,— nu En |
et, par suite, la formule (7) donnera
(12) Pas T1!
Si, dans la formule (7), on change les signes de À et de #, l'on
trouvera
ini |: PS
4
puis, de cette équation combinée par voie de multiplication avec la
formule (3), on tirera, en ayant égard à la formule (11),
(13) | HA ERLX + D.
L'équation (13) suppose évidemment k, # et À +# non divisibles
par p — 1.
Les équations (7), (10), (11), (12), (13) coincident avec les for-
mules (9), (11), (13) et (12) du paragraphe I de ce Mémoire lorsque
le diviseur de p — 1, représenté dans ce paragraphe par la lettre 5, se
réduit à l’unité. Dans le cas contraire, pour passer des unes aux autres,
il suffira de remplacer
k par w, k par wk#,
* puis d'écrire, pour abréger,
9, aulieu de 0; et R,4x aulieude Rox,wk-
Lorsque dans la formule (11) on pose
Ne Pre)
2
elle fournit un théorème, très remarquable, de M. Gauss et se réduit à
P=i
(14) 83: —(—1) * p
2
94 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
ou, ce qui revient au même, à
ee
(14) (E— GOLD DE, GO QU 1) Ep,
Cette dernière équation coincide avec diverses formules du Mémoire,
par exemple avec les formules (12) du paragraphe HT.
NOTE IT.
SUR DIVERSES FORMULES OBTENUES DANS LE DEUXIÈME PARAGRAPHE.
,
:
Il est facile de s'assurer que la formule (61) du paragraphe I
entraine les formules (62), non seulement, comme nous l'avons
avancé, dans le cas particulier où & se réduit à l’unité, mais généra-
lement et quelle que soit la valeur de &. C’est ce que nous allons
démontrer. |
Lorsque » sera de la forme 4x + 1, les termes des suites (63), (64)
étant eux-mêmes de cette forme, puisqu'on a généralement
UM y(i— ut) it (y —i)(1—u*) et Y—I1=0 (mod.4),
seront équivalents, suivant le module x = 4v, à certains termes de la
suite
1, 5, 9, ..., 4v—1r1, 4v—7, 4y—3.
D'ailleurs celle-ci renfermera : 1° un terme égal à v; 2° y — 1 termes
premiers, non seulement à v, mais encore à
n= 4 Y,
et qui, étant en même nombre que les termes des deux suites (63),
(64), devront être équivalents, les uns aux termes de la suite (63),
les autres aux termes de la suite (64). Parmi ces y — 1 termes, ceux
NOTE: IT. 93
qui se réduiront à l’un des suivants :
étant précisément
seront en nombre égal à
Vs)
les uns, dont le nombre sera y’, étant équivalents à certains termes de
la suite (63) et les autres, dont le nombre sera v”, étant équivalents
à certains termes de la suite (64). On aura, en conséquence,
er:
v'+ =
Observons maintenant qu’en vertu des formules
v—1
uw? +1Z=0o (mod.»), Y—1=0 (mod.4),
on trouvera, quel que soit le nombre entier 7n,
V1 V—1\ 7
ee e—
[unr+y(i—un)] + Fa 2 + se HS )| = 2y (mod.n = 4y).
Donc, chacune des suites (63), (64) se composera de termes qui, pris
deux à deux, pourront être représentés par des nombres de la forme
h, 2»—h,
auxquels 1ls seront équivalents, suivant le module x — 4v. D'ailleurs,
si l'indice k se trouve compris dans la suite
15,095. D y -2V0, .2V-—H,: av,
on pourra en dire autant de l'indice 2v — 2 qui sera distinct de 2 si
h diffère de v. Donc, chacun des nombres désignés par v', y’ sera pair
et.
96 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
seront entiers. Enfin, comme on aura
v' + v' V—I
er ,
2 4
on peut affirmer que, si v est non seulement de la forme 4x + 1, mais
aussi de la forme 8x + 5, les deux entiers
sera impaire elle-même et ne pourra se réduire à zéro.
A l’aide des observations qui précèdent, on peut ramener à une
forme très simple les valeurs de
F(V— 1, cs), É(V—1, c")
fournies par les équations (23), (26); et d’abord, puisque les diffé-
rents termes de chacune des séries (63), (64), pris deux à deux,
peuvent être censés de la forme
h, 2%—h,
les équations (23), (26), combinées avec la formule
0, 0:,_, — R ,av-n O;,,
donneront
A V1
cd 6, 4
Æ se DRE de V
f(4 ri € 4) ÆE Kit Ru (vtu « AS R,_, 5 RÉ APES O er Q=
Û V(Y—1)
2
n
À y—1
0, ;
2 i 2v
F(V— 1, su) — Are R _ Se.
, V—V—L' ua, V4 (Vu ce —— —
y V—(V—1})u ? ,V+(V—1)u ? |: FAP
2
v— 5 e
— sera un nombre pair
4
Si d’ailleurs v est de la forme 8x + 5, alors
N
NOTE II. 97
et l’on aura, non seulement
8,,=0., . 0,90, —0i,—=(—:1)"5Sp—p,
mais encore
b L
Le ÉÉRREE rn, : PP CR RE PE :
La ; ;
2
ce qui réduira les formules précédentes à
— 5
y
f(y FES s) + Pl Riov—1 Rv- (nu v+ (tu + :-R — EL
V—(V—1 ré ? ,V+(V—1)u
V— 5
s( Free s“) EE € : Ro u +01 ARS = es
y
V—(V—1)u ? ,V+(V—1)u ?
Ces dernières équations et les équations analogues, qui fourniraient
lès valeurs de
LCR Var ne E F(—y—=x,<"),
coincident, comme on devait s’y attendre, avec les formules (66)
- lorsqu'on prend y = 5 et avec les formules (74), (35) lorsqu'on
prend y — 13.
. : . VV — I + .
Si y était de la forme 8x + 1, alors, —— étant un nombre pair, on
$ +
aurait
L
8,5 = 0% = 0 =—1, SSP ;
2
ce qui réduirait les formules précédemment obtenues à
Y—1
f (y ES s) = — P < Rev 1 Rytpu ve (vu ce:
»
v—1
F(y 20. ç") ep” RE 00 ve LA : + —.
V— 3
V—(V—1)u ? ,V+(V—1)u À
nt] Lo PA
V—(V—1)u % ,V4+(V—1j)u 3
Dans tous les cas, en divisant la valeur de f(ÿ— 1,4) par celle
de #(ÿ— 1,6“), on trouvera
e > Y—s y
(4 ere ç) FER Kay Ron a v+o-ne se Ré ie o-dieT
d HE # ; Y—Aa vs
f(V — 1,-ç* Ro u,ve (su . SE TU PEU ne
OEuvres de C. — S. 1, t. I. 13
98 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Si, dans cette dernière formule, on remplace
Rx par Fe Le
SPC
toutes les fois que L et Æ sont équivalents, suivant le module r = 4v,
à des nombres compris entre les limites
0, 2,
on en tirera
É(V— 1.) _ p? ftp)
É (Test MR 7
#(\ UE, p? f(p)
fe) et (eo) désignant des produits de la forme
Rz,2v- 1 Rav ..
composés de facteurs |
Ron R,2v-x
dont aucun ne deviendra divisible par p lorsqu'on y substituera r à p;
. ' > , VA
puis, en ayant égard aux formules (49) ou (56) et représentant par . *
| RE RE : * “
la valeur du rapport à réduit à sa plus simple expression, l’on trouvera
successivement
6+y(s— +... —cw"")V= x -p'f(p)
B—y(s—çé+...— cut) V1 -
p? {(e)
et
BH eme) Vi p°}p).
D—y(s—ç+...—ç*)V/— 1 p?f(p)
On aura d’ailleurs, en vertu de la seconde des formules (43),
Le + yes. — 0) Vlr y +..— 7) Vi] = xt + y]
et, par suite, on trouvera encore
æyts— +...) V—ilfte) =p + (a +0y)J{p),
Vu y"
—y(s—s"+...—) Vif jte) =p 7 (+ vyt)f(p).
NOTE 11. : 99
Si, dans ces derniéiés équations, on remplace © par r, on dévra y rem-
placer en même temps $ par s, ÿ— 1 par a et le signe = par =, le
module étant le nombre p. On trouvera ainsi
one
[x+(s—s"+...—s""#)ayFf(r) =p ? (a+ y?) f(r)
(mod.p).
« vu y!
[æ—(s—st+...—s")ayPf(r)=p ? (x +vy?)f(r)
Observons à présent que æ et y, n'ayant pas de facteurs communs,
ne peuvent être simultanément divisibles par p. Par suite, on pourra
en dire autant des expressions
æ+(s—s"+...—s"")ay, æ—(s—s"+...—s"")ay,
qui ne peuvent devenir simultanément divisibles par p qu'avec leur
somme
2X
et leur différence
2(5—5#+...—5s")ay,
par conséquent avec x et y, attendu que les quantités
S—st+..,.—s"" et. a
sont racines des équivalences
æ'=y (mod.p), æ'=1 (mod.p).
Cela posé, comme f(r) et /(r) ne seront pas non plus divisibles par p,
il est clair que, des deux produits
[tg+(s—s"+...—s#"")aylPf(r), [x —(s—s"+...— SM )aylf(r),
lun au moins sera équivalent, suivant le module p, à un terme de la
suite
CURE PES PR PROS D
Donc, en vertu des formules obtenues, on pourra en dire autant de
l’un des produits
V'— vr VU y!
———— Keane
DEC ENER PCT EE VPT.
100 MEMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
D'ailleurs le binome
a? + vy?,
étant diviseur de
62 + vy?,
devra, en vertu de la formule (47) ou (48), diviser l’un des produits
v—1 v—3
et par conséquent 1l sera, ou de la forme
P+
si l’un des deux nombres +, y est pair, l’autre impair, ou de la forme
2 pl
L]
si æ, y sont tous deux impairs, attendu qu’alors æ? + vy?, divisé
par 4, donnera 2 pour reste et ne pourra devenir égal à 4p#. Or,
comme les produits
V'— v" V'— v'
P 2 (z?+vy?), P 2 (x? + vy?)
se réduiront, dans le premier cas, à
V'— y" Et
devra être égal à zéro. Par conséquent, st, en prenant pour u. la valeur
EN À
r UT v!
numerique de la différence 5 — ,? 0h pose
NOTE II. 101
on pourra satisfaire, par des nombres x, y entiers et premiers entre eux,
à l'une des formules
Ph= 2? + vy?,
2pb= x?+ vy*,
savoir, à la première, par deux nombres entiers, l’un pair, l'autre
tmpair, ou à la seconde par deux nombres entiers impairs. Mais la
seconde formule ne peut subsister lorsque y est de la forme 8x + 5,
puisque alors, pour des valeurs impaires de æ, y, æ?+ vy? est de la
forme 8x + 6, tandis que
2p—= 2(4v5 + 1)4
est de la forme 8x + 2. Donc, st v est de la forme 8x + 5, des nombres
æ, Y, entiers et premiers entre eux, vérifieront la formule
PE +vy",
pourvu que l’on y suppose u égal à la valeur numérique de la diffe-
I I s 0
rence —Y — -y", par conséquent
2 2
ÿ! — y!
res
rs 2
D'ailleurs, la valeur précédente de x est précisément celle que fournit
la première des équations (60). En effet, les expressions (65) se
réduisant, en vertu de la formule
Y — 1
VE =
y
aux deux suivantes,
; ; È RTS PR
si l’on égale l’une ou l’autre à la différence À — dre on aura
Ve e5
2À — e
ou y
et la première des formules (60) donnera
pa + -n)= + (5 -n)=£— à
4 4 2
PASS DANS
102 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. :
Pour établir les propositions ci-dessus énoncées, nous avons eu
recours à la formule qui fournit la valeur du rapport des expressions
imaginaires
FV— 1,6), (V1, 6
et nous avons transformé la fraction qui représente cette valeur, de
manière à mettre en évidence tous les facteurs égaux à p, soit dans le
numérateur, soit dans le dénominateur. On pourrait faire subir une
semblable transformation aux valeurs mêmes des deux expressions
imaginaires
Frs) V1, 6)
ou bien encore les deux suivantes :
HV), SV, €).
Concevons en particulier que, dans les valeurs précédemment trouvées
de f(V— 1,6) et de f(V— +, <“), l'on remplace
P
Rs par Rss sr
toutes les fois que 2 et # sont équivalents, suivant le module r = 4v,
à des nombres compris entre les limites
(ORNE à À
On trouvera, si y est de la forme 8x + 5,
vV—5 v'
8
(=, <)=p + *To(p), A —1,")=p + Ty(p),
en désignant par
Cp) x(p)
deux fractions qui auront pour numérateurs et pour dénominateurs
des produits de la forme
Rinr Renx: .,
composés de facteurs dont aucun ne deviendra divisible par p lorsqu'on
w 4 PA
Ébe
ÈS
Te
f
- NOTE Ii. 103
substituera 7 à p; puis, en ayant égard aux équations (30) du para-
graphe IT et à la formule
on trouvera encore
V—S v'
NC Ep TER SCT) pe
Si y, au lieu d’être de la forme 8æ + 5, était de la forme 8x + r, les
valeurs de
Frs) Vis), SV), CV, 51)
seraient semblables à celles que nous venons de trouver, à cela près
que, dans les exposants de p, la première partie
se trouverait remplacée par
verte:
Dans l’un et l’autre cas, on aura
F6) F5, €") VS) _ CNE),
p?o(e) P° 1(e) rs) poor
puis on türera de cette dernière formule, combinée avec les équa-
tions (49),
D Mn. 40 ..
BEN St JV re) f(— Vanp is
et, par suite,
(O+ey—1) —(d+e) a
GENRE Ie
Si, dans ces dernières formules, on remplace & par r, on devra rem-
10% MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
placer en même temps ÿ— 1 par a et le signe — par le signe =, le
module étant le nombre p. On trouvera ainsi
(Ô+ea)=(+e)g(r)x(r)
(mod.p).
(O— sa} = (d+ Aer
. , + ms 2 Re | :
Donc, puisque &(r), 4(r) ne sont équivalents ni à zéro ni à =; suivant
le module p, la somme
9? + €?
ne pourra devenir divisible par p qu'avec les deux binomes
0+ea, Ô—Eea,
par conséquent, avec les deux nombres
AN
RER
D'ailleurs,.il est permis de supposer que les nombres à, € sont pre-
miers entre eux, attendu qu’on n’altère pas les équations (49) en
transportant dans & et dans y les facteurs qui seraient communs à à
et ae. Donc, cette hypothèse étant admise, $?+ £? sera premier à p;
. . #4 . :
et, si l’on nomme comme ci-dessus L la forme la plus simple de la
: 6 s : £ ;
fraction “ l’équation (47) ou (48) entrainera, ou les deux suivantes :
OhEtt, t+vy?= pl
si des nombres æ, y l’un est pair et l’autre impair, ou les deux sui-
vantes :
+ e?— 0, æ+vy?= 2pl#
si les nombres æ, y sont tous deux impairs. Dans le premier cas, on
aura
ou
par conséquent
(d téa)Ÿ = Hit (mod.p)
NOTE II. 105
et
o(r)x(r) =+i
Footer: (mod.p).
Dans le second cas, qui ne se présente jamais lorsque y est de la forme
8x + à, on aurait
ie ur Ÿ STE
Ce HE à
par conséquent
(dtsa) = tag (mod.p)
et
(mod.p).
Pour déduire de ce qui a été dit plus haut la valeur du produit
pCr)xCr),
il suffirait d'observer que les deux expressions
y'
p'o(p), p?4(e)
renferment tous les facteurs de la forme
Rav — Ry,n+2v-h Ras,
h désignant un nombre distinct de y et compris parmi les termes de la
suite |
1, D, 9 ..…, 4v—i1, 4v—7, 4v—3,
Comme d’ailleurs, pour mettre en évidence les facteurs égaux à p, il
suffit de remplacer
E Le 26
Ron 4V—h,2v+
R,,2v-n par
lorsque 2 est renfermé entre les limites o, 2v, on trouvera
Rav, sv—s Rav sv 7 RES, 3V—2,3V+2
p(p)x(ep) —
Rois: Rov+s vs …. Rav_s,sv+s
Il y a plus : comme on aura généralement, ainsi qu'il est facile de le
OEuvres de C. — S.I,t. I. 1{
106 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
prouver,
2 sx
R2v- ed LA l R 2V—R,2V—/h5
-on trouvera encore
Rov+sov+s Rois, 2V+-7 -
LUE
Le(e)x(e)P—
Si maintenant on remplace 9
devra remplacer généralement
R h,k
par
g : RATES
et l’on aura, par suite,
1 RE) à ES Se
o(r)x (Tr) LA ri mr EN pee
IL, . I,
Rosv+1, 2v+1 Rovss, 2V+5 +
_eÎ8,,, +. ne
Ris
arret le signe = par le signe =, on
P
(mod.p).
IL,_3 0-3
LLC TT
HE —+,V— RP Le
. | + SE ,2V—1
En joignant cette dernière formule à celles que nous avons précédem-
ment obtenues, on arrivera immédiatement aux conclusions renfer-
mées dans le théorème suivant :
TaéorÈmE. — v et p étant deux nombres premiers, l’un de la forme
4kx+1 et l'autre de la forme 4vx +1, supposons que la suite des nombres
1, D, 9, ..., 2V—09, 2v—5, 2y—1
offre y’ racines de l'équivalence
Ms
æ ? =1 (mod.v)
et y’ racines de l’équivalence
vV—1
z ? =—1 (mod.v)
on aura
; Y— 1
D —- V2
et, st l’on nomme
É
la valeur numérique de
y! cr A y!
NOTE II. , | 107
on pourra salisfaire, par des nombres x, y entiers et premiers entre eux,
a l'équation
+ vy° = ph,
non seulement lorsque y sera de la forme 8x +5, mais aussi lorsque,
y étant de la forme 8x + 1, le rapport
I,
IL 2,3 1 2, Re : 2,v+2
sera une des racines de l’équivalence
2
T
= 1 (mod.p).
Si le même rapport cessait d’être équivalent, suivant le module p,
à + 1 ou à — 1, il suit de ce qu'on a dit qu'il deviendrait racine de
l’équivalence
= — 1] (mod.p),
etalors on pourrait satisfaire, Le des nombres +, y entiers et premiers
entre eux, à l'équation
a? + vy} = 2ph.
Au reste, nous n'avons pas encore trouvé d'exemple dans lequel le
rapport dont il s'agit ne fût équivalent, suivant le module p, à +1;
et, si l’on démontrait qu'il en est toujours ainsi, on en conclurait
immédiatement qu'on peut satisfaire, par des nombres æ, y entiers et
premiers entre eux, à l'équation
2 + vy}= ph,
non seulement lorsque v est de la forme 8x + 5, mais encore lorsque
v est de la forme 8x +1.
Il nous reste à montrer comment on peut déterminer directement la
valeur du nombre
Parmi les termes de la suite
Hd QU Li V0 AV D, ‘20 1,
108 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
plusieurs, en nombre égal à y’, vérifient l’équivalence
æ?æI (mod.»);
d’autres, en nombre égal à v”, vérifient l’équivalence
æ? =--1 (mod.v),
et un seul, savoir le terme y, satisfait à la condition
æ?=0o (mod.»).
Cela posé, il est clair qu’on aura non seulement
ve 1
vl+ v'— ;
mais encore
aus ren vrA
y! — y! — 2 + 5 2 + 9 2 se
V=1 + +5. RER
+ (2V— 9) ? +(2v—5) ? +(ay—7r) ?
par conséquent
v—1
Fa
y! — y! — —; (e + He +,,, + el2v-9)3 LE (2V—5)3 eCvENs) (mod. v),
dz ?
pourvu que l’on suppose 3 — o après les différentiations effectuées.
On aura d’ailleurs
k ï é e(2Y+3)2 __ 63 et nl
CHE He NE (eV — 5)
ee — 1! e?z — eT?z ez + eT=
et comme le facteur
e?Yz —
ainsi que ses dérivées relatives à z, devient, pour une valeur nulle de 3,
équivalent à zéro suivant le module y, on trouvera, en définitive,
Ro M: 1
V—VE= ——(— =) (mod.»);
bic:
NOTE II. 109
par conséquent
v—1
ae Er 2 z* 1
Gi mor +) (mod.»)
et
v—1
t AT z? zt —1
md pris) (mod.»),
z devant être réduit à zéro après les différentiations; puis on en
conclura
| Y— 1
EU de Cor
2 serrer 1.2.3.....( f + g +...) ( I ŸY)"-) lv)
4 M HO e AT NT
le signe S devant s'étendre à toutes les valeurs entières, nulles ou
positives, de /, g, ... qui vérifient la formule
Pos
f+2g+3h+...—
4
et chacun des produits 1.2..... PAR ETS g, ... devant être remplacé
par l'unité lorsque le dernier facteur /, ou g, ... se réduit à zéro. La
valeur de l’exposant 4 se trouvera ainsi complètement déterminée,
puisque d’ailleurs cet exposant doit être positif et inférieur à
ST ES STLé VS
Ni . »
Si l’on prend successivement pour y les différents termes de la suite
do te ED A" ty 53 01, ...,
on trouvera successivement, pour y — 5,
pour v = 13,
Il
be er € + )=+s, B=—1;
4 2 F:2:9,4 1L9:314: 250
110 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
pour = 17,
B— 2,
NOTE II.
SUR LA MULTIPLICATION DES FONCTIONS 9», Oz,
Les principales formules auxquelles nous sommes parvenus dans le
précédent Mémoire y sont déduites de la considération des produits de
la forme
6,,86,0;....
Lorsque, p étant un nombre premier impair, on désigne par
: FRET
des racines primitives des équations
TPE, Éd ee
et par { une racine primitive de l’équivalence
XPI= 1 (mod.p),
alors la valeur de @;, déterminée par la formule
0,—=0+Th0t+ rh. Lorna gUT
ne varie pas quand on fait croitre ou diminuer 4 d’un multiple de p— 1;
et l’on a : 1° en supposant À divisible par p — 1,
6,=0,=—17;
2° en supposant 2 non divisible par p — r,
06,0_,=(— 1)" pe
Si, au contraire, en nommant 2 un diviseur de P — 1, on pose |
— }
se LÉDX p= TT
LA
NOTE III. 111
et, de plus,
(1) 0,—=0+ph0t+ phO LE... + ptp-nA gt,
LA
alors @, sera une fonction des racines primitives
0, p
des deux équations
DT, PA TP
qui ne variera pas quand on fera croître ou diminuer 2 d’un multiple
de »; et l’on aura : 1° en supposant 2 divisible par »,
(2) == —-:1;
2° en supposant À non divisible par »,
(3) k- Si (— 79 p — 0, 6,. he
Ajoutons qu’en vertu des principes établis dans la première Note, si
l’on multiplie @, par O4, on trouvera
Car 0,0; = Rx 0x,
R;,x désignant une fonction qui ne renfermera plus 0, mais seulement
la racine primitive 9 = 7° et ses puissances entières. On aura d’ailleurs,
lorsque À + # ne sera pas divisible par ,
(5) Rx S(pfn+ik),
le signe S s'étendant à toutes les valeurs de z et de 7 qui, étant com-
prises dans la suite
MR Re us DA)
vérifient la formule
(6) | CES (mod.p).
Soient maintenant
112 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
des nombres entiers divers. On trouvera successivement
0, MS R,,x Or,
0,90; 0, —R;,,:0»:x 0, = RyrxRyrxt Ont
Donc, si l'on pose généralement
(7) LPS LPS. PRE Ris Qurbits.
Rx, Sera encore une fonction de p déterminée par une équation de
la forme
Mani, My shit us:
Il est bon d'observer que, si
R+k+l+...,
n’est pas divisible par x, on aura
(8) Pair: S(PFERRCERS
le signe S s'étendant à toutes les valeurs de £, &’, &”, … qui, étant
comprises dans la suite
vérifient la condition
(9) CHU HUE, = (mod.p).
Ajoutons qu’en vertu de la formule (3), l'expression
0,9;:0,...
Retro "Di
h+k+l+.….
sera, comme le produit
0,0,0,...
et comme l'expression
Onsrr+... = 0 + plpkp!...0+ DrhOtk Del QE + pie) p(p=2)Ek jbl, Or ?,
une fonction entière et symétrique de
!
107% p*, p!, ss
NOTE III. 113
par conséquent une fonction linéaire des sommes
o! + p# + p! +...,
pt + p(r— NE ptit ER, ss
dans lesquelles les coefficients seront des nombres entiers.
Les équations (2), (3) et (7) entrainent les diverses formules que
nous avons données dans le Mémoire, et particulièrement celles qui
changent le quadruple d’un nombre premier p, ou d’une puissance
entière de p, et quelquefois ce nombre lui-même en expressions de la
forme
: x? + ny?,
ñ étant un diviseur de p — 1.
) — ] F
Le » la racine
D'abord, si l’on suppose 2 = 2, et par suite 5 —
c
primitive o de l’équivalence
sera simplement
et, en posant À — 1, on tirera de la formule (3)
p—1
ou, ce qui revient au même,
PES
(10) D PR Mt) pi
On se trouvera ainsi ramené à la formule (14) de la première Note.
Concevons maintenant que z soit un nombre premier impair. Alors
les diverses racines primitives de l'équation
(11) æ'=1
seront
P; p?, pÿ, tue Ds pre, er she ;
et si l’on prend successivement pour À les divers exposants de 9 dans
>
OEuvres de C.— S. I, t. II. 19
11% MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
ces racines primitives, c’est-à-dire les divers termes de la progression
arithmétique
PS9 es AR h Rra,, Met
on obtiendra pour valeurs correspondantes de O; les expressions
O;, 0, O;, ex |: PRE FER |: FORTE
lesquelles, eu égard à l’équation (3), vérifieront la formule
6,6, ,—-0,8,:—=...— 2 FAUPS PR Ee d
par conséquent la suivante :
n—1
(12 ) pi — 0, 6, 6... . à. rs 6, |. FES
D'ailleurs, les divers termes de la progression arithmétique
PUS 8 56 0 0 A 4 D RER OR RS
‘peuvent être censés représenter les diverses racines de l’équivalence
(13) æTi= 1 (mod.n).
I y a plus : si l’on nomme s une racine primitive de cette équivalence,
les termes dont il s’agit, abstraction faite de l’ordre dans lequel ils
sont rangés, seront équivalents, suivant le module x, aux divers
termes de la progression géométrique
—?
et, par suite, la formule (12) donnera
n —1
(14) p? = 6, 0, 0 à. É .O;"-: O,n-2.
Observons à présent que l’équivalence (13) se décompose en deux
autres dont la première,
æ ? =1 (mod. ),
NOTE III. 115
a pour racines les puissances paires de s, savoir
ARE POS CAP ENS védlel”
tandis que la seconde,
x . æ? =—i (mod.n),
a pour racines les puissances impaires de s. Donc le produit qui
constitue le second membre de l'équation (14) peut être décomposé
en deux autres produits de la forme
0, 0: 0: .…. On — Ri,6,s,.., sn Oiissss.. +on,
0, 0: O;: ….. On — Rss. ons Osssyss... +523
et comme on aura
sr—1 I
FH St SE 5 Rs — pe ra — 0
(mod.n),
S PA ns RUES
SH + SE, D pu es A ape uerg a =D
FLE
par conséquent
Os, 4 — 0,— SRE
|: PPIPONE PRE en = 0, = —:1 ,
il est clair que les deux produits
B,0:0n...Osns, 0,010... On
se réduiront, le premier, avec R, 2,4
..,%
symétrique de
4 À sn—3
D M Ne
le second, avec R;,s,5,..,,"+, à une fonction semblable de
p°, ds p”, sn sup
les coefficients étant des nombres entiers. D'ailleurs, une fonction
entière et symétrique de
ç4 sn—3
Pr Pr Pr vs P
sera simplement une fonction linéaire des sommes de la forme
sn—3
pr + ps? ps, Lau à a” :
116. MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
m désignant un entier inférieur à 2: et une semblable somme se
réduit toujours à
sn—3
p+p°+ p+...+p
ou bien à
sn—?
RH PHP +... Hp,
selon que #7 est équivalent, suivant le module 7, à une puissance
paire ou à une puissance impaire de s. On aura donc, en désignant
par cs, Ci, ©, des quantités entières,
0,00... = c+ co +0" +... Hp) + (os + p +... + ps”),
puis on en conclura, en remplaçant o par p°,
8,0 Os... Bin = Co + Cp + p +. + PT) + Ca(p HP +. Hp).
D'autre part, les expressions
s ga?
D» 2° RER p ,
fre
. . \ , Al S
qui coincident, à l’ordre près, avec les suivantes :
I, P; p?, “4 Ag
représentent les diverses racines de l'équation
PET
et offrent une somme nulle; en sorte qu'on a
DH pH pH Hp = —r,
Ce n’est pas tout; si l’on pose
p—ps+p—...—ps""— A,
on tirera de l’équation (10), en y remplaçant p par 2, 0 pars et £ pars,
(15) PP ee
NOTE III. “LIT
Cela posé, on trouvera
p +pŸ+... + ps" —= —
PS+pŸ+...+p _— —
et, par suite,
8,8, 0...0,—— (A+ BA),
0,0: Bs... On: — = (A— BA),
ou, ce qui revient au même,
20, 0,0... sn: — À + BA,
(16)
| 26,0,:9;:...0,- — À — BA,
les valeurs de A, B étant
(17) A—92Co—Ci— C3, B—c;—c;;
puis on tirera des équations (16), combinées avec les formules (14)
et(15),
4p ? —A?— BA?
ou, ce qui revient au même,
n—1 n—1
(18) AD As ps apr
les valeurs numériques de A, B étant deux entiers qui, en vertu des
formules (17), seront de même espèce, c'est-à-dire tous deux pairs ou
tous deux impairs.
Observons encore qu’en vertu de la formule
S? =—1: (mod.n),
l'équation
O0, Gi p
pourra s’écrire comme il suit :
(19) @:@ ,.n-1=p (mod.n).
118 . MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
D'ailleurs, si l’exposant » est un terme de la suite
rt D does Mes
n — 1 , : œ #
soit lui-même un terme de cette suite,
Dour que l’exposant m +
Ï
il suffira de réduire le double signe + au signe + ou au signe —,
ASTRA Re :
. Enfin, dans la for-
selon que #7 sera inférieur ou supérieur à
mule (19), les exposants
JDE
m, mm
2
seront évidemment de même espèce, c’est-à-dire tous deux pairs ou
tous deux impairs si z est de la forme 4x +1; tandis qu'ils seront
d'espèces différentes si x est de la forme 4x + 3. Donc, si » est de la
forme 4x +1, chacune des expressions
B,0:O...Bn—, 0,0, 0. .Osn-:
se composera de facteurs qui, multipliés deux à deux l’un par l’autre,
fourniront des produits égaux à p. Donc alors, les formules (16)
devront se réduire à
n —1
0, O0: O:. . ROME =pP 4 *
n—1
6, 0: O;. ñ O2 — P %
et l’on aura, en conséquence,
. . , C1 Eerendé Ve .
Si, au contraire, » est de la forme 4x + 3, alors étant pair,
l'équation (18) donnera
n—1
(20) hp ? =A!'+nB:
et si, en nommant p? la plus haute puissance de p qui divise simulta-
NOTE III. 119
_nément À et B, on pose
be — eg 2 À,
on verra la formule (20) se réduire à
(21) hpt=a+ ny?
Si, pour abréger, on désignait par la notation
5
le produit
0,0: 0,:...0;"-:
composé des facteurs de la forme @, qui correspondent aux valeurs
de À propres à vérifier la formule
et par la notation
le produit
0, 0,5 0:5...0 7
composé des facteurs de la forme @; qui correspondent aux valeurs
de À propres à vérifier la formule
n—1
x? =—1 (mod.n),
les équations (14), (16) se présenteraient sous les formes
pr =Hll-1},
2[1] = À + BA, 2[—1]—=A—BA
et les deux dernières se réduiraient, lorsque x serait de la forme
4x + 1, aux deux équations |
120 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Concevons maintenant que rx soit un nombre composé, en sorte
qu’on ait
nn — VO
et supposons d’abord les facteurs
v, ©
premiers entre eux. L'un d'eux, v par exemple, sera nécessairement
impair. Si d’ailleurs on nomme ç une racine primitive de l'équation
Fees |
. . dre ? “
et &« une racine primitive de l’équation
0) —
DRET,
on pourra prendre
puis, en supposant qu'un nombre entier donné À soit équivalent à x
suivant le module y, et 7 suivant le module w, on trouvera
ph— ciai.
Par suite, l’équation (1) donnera
(22) 0, = 0 + ça 0t+ ia Qt, + Qi gtp-2)i QU,
Pour abréger, nous désignerons par
O; ;
la valeur de @, que fournit l'équation (22). Cela posé, on reconnaitra
sans peine : 1° que la valeur de l'expression
6; ;,
complètement déterminée pour chaque système de valeurs de z et de 7,
ne varie pas quand on fait croitre £ d’un multiple de y ou 7 d’un mul-
tiple de w; 2° que l'équation ;
;
0, — 0, ;
RS M CPR
NOTE III. 121
entraine la suivante :
O_,—0 ;.;;
3° que les nombres À et : seront de même espèce, c'est-à-dire tous
deux pairs ou tous deux impairs si
Vu)
est un nombre impair, puisque, v étant impair et p —1 pair, 5 ne
pourra devenir impair que pour des valeurs paires de w. De plus, on
tirera des formules (2) et (3) : 1° en supposant à la fois z divisible
par vet 7 par w,
(23) @;,;, = G,0——1;
2° dans la supposition contraire,
(24) 6; ; Qi) ee (— 1)7/p — O; ; D ru
Si w est impair ainsi que y, alors & étant nécessairement pair, la for-
mule (24) donnera simplement
(25) LPS: AP REG ont À
Pour montrer une application de ces nouvelles formules, consi-
dérons d’abord le cas où ;
Gr: e60"v
seraient deux nombres premiers impairs. Soient, dans ce cas, & une
racine primitive de l’équivalence
(26) x'l= 1 (mod. v)
et a une racine primitive de l’équivalence
(27) CEE | (mod.w).
Les diverses racines de l’équivalence (26), en nombre égal à v — 7,
pourront être représentées indifféremment, soit par les divers termes
OEuvres de C. — S. 1, t. HI. 16
122 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
de la progression arithmétique
UE PORT: PRE EC PR LE À
soit par les divers termes de la progression géométrique
OR SNS MOT NS res. Sue
et pareillement les diverses racines de l’équivalence (17), en nombre
égal à © — 1, pourront être représentées indifféremment, soit par les
divers termes de la progression arithmétique
PO PU NE D MOES RE D
soit par les divers termes de la progression géométrique |
M RSS PR ee
Or, parmi Les valeurs de
0, — 0; ;
que fournira l'équation (22), celles qu’on obtiendra, en supposant À
premier à », ne différeront pas de celles qu’on peut obtenir en prenant
pour z une racine quelconque de la formule (26) et pour j une racine
quelconque de la formule (27). Donc elles coincideront avec l’une
quelconque de celles que présente le Tableau suivant :
0, ;, 6,,.;; Or, sec O,-2:,,
@,., LL | FO ve de O1 0
(28) O4, O4’, Cire, APR O2 0,
.. …...s ss 59 se +. à ,
Oiaur, Ouavr, Ourau—r, ..., Our aus,
et leur nombre N, déterminé par la formule
N—=(v—1)(0 —:1),
ne sera autre chose que le nombre des termes de la suite
PRE COURS CORRE T TRS De
NOTE III. 123
inférieurs à
n = 6),
mais premiers à 2. D'ailleurs, l'équation (7), combinée avec la formule
Oprrin.. = 1
et réduite ainsi à la forme
Dame. = Ris.
fournira pour valeur du produit
0,0,0,...
une fonction entière et symétrique de
Ron Ar Ps
par conséquent une fonction entière et symétrique, non seulement de
TO ARCS
mais encore de
ah, ak, a!,
si la somme
HER CRS,
est divisible par
n = Y,
c’est-à-dire, en d’autres termes, si cette somme est divisible à la fois
par v et par w. Or cette condition sera évidemment remplie si l’on fait
coincider
0, O;, O,,
avec celles des expressions de la forme
O;,
qui, dans le Tableau (28), offrent pour premier indice une puissance
paire de w et pour second indice une puissance paire de a, puisqu'alors
la somme
h+k+l+...
12% MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
sera équivalente, suivant le module v, au produit
6) — 1 à er GW —1 li — 1
(+ ui+... + US) — = = 0
2 2 TE
et, suivant le module w, au produit
V— I ; VTT
(1+a+...+ as) — = = 0.
2 2 LEA
D'autre part, en supposant
2 6;
et, par conséquent,
i=hk (mod.v), J=h (mod.w),
on en conclura
SE c: a! — ai,
Donc, en vertu des remarques précédentes, le produit
(O; : OO: nr Os :)(O, 0: O,:,#1. . Our: 4). . .(O, 40: Our av-s. .. Os aus)
sera en même temps fonction symétrique de
LR ET RE Lee
et de
CPR NS ME NON UE à aie :
Concevons maintenant que, pour abréger, on désigne par la notation
Lr, 1]
le produit dont nous venons de parler, c’est-à-dire, en d’autres termes,
le produit des valeurs de @;, correspondant aux valeurs de À, qui,
étant premières à 2, vérifient les deux équivalences
(29) æ?=1 (mod.v), æ ? =1 (mod.w)
Désignons de même par
[r, —1]
le produit des valeurs de @;,, correspondant aux valeurs de À, qui
NOTE III. 125
vérifient les deux équivalences
(30) æ ? =1 (mod.v), æ Y æ—1 (mod.o):
par
E 1; 1]
le produit des valeurs de @,, correspondant aux valeurs de À, qui
vérifient les deux équivalences
V— 1. o—i
(31) #: æ7 41" (00%), æ ? =1 (mod.w);
enfin par
Er]
le produit des valeurs de @,, correspondant aux valeurs de 2, qui
vérifient les équivalences
niet. save
(32) æ ? =—1 (mod.v), æ ? =—1 (mod.w);
on aura
(33) Es 1] pereum (6: : On: s.. Os : }(@,, «2 0, +. . Ou-,4). . (Ou Our aus. . Ou: av),
(34) [r, RE 1] — (ei: + FC . Or: à) ( O1 Le PORC .. O4) CAR ( O, à: Os: a: fret O1 a )
(35) [— 1, 1| — (6, : 0, : un 0»; ) (0,0: LL FORCE . Os): .. (Ou,av-s Ou av. .. O2 0-3 )
(36) Lu Fe 1] es (Ou,a Ou .e O1 à) (Ou,a! Ou,’ A, LPS) CC (Ou,av-2 Où:,av- ve Ou: av),
et, d’après ce qu’on a dit ci-dessus, le produit
(,1]
sera une fonction symétrique, non seulement de
; S ri “né one as
: mais encore de
Ÿ ‘
"POS A PURE US: Lord
Pareillement, on reconnaitra que le produit
Lr, 3]
126 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
est fonction symétrique, non seulement de
Ss e#” “28 3919
mais encore de
que le produit
4,21
est fonction symétrique, non seulement de
ca: nt ct, RES “su pie
mais encore de
ds MU ie ete
enfin que le produit
tt
est fonction symétrique, non seulement de
uY—2
ce, rit SNS ç
mais encore de
aw—2
.
a a3
APS NT à es 7%
u ? =—1 (mod.v), x ? =—1 (mod.w),
l'équation (25) pourra s’écrire comme il suit :
1
(37 ) Ov a” O,**. Put nn — P»
et il est clair que, dans cette équation, les exposants
V— I
m, ME -
2
seront de même espèce, c’est-à-dire tous deux pairs ou tous deux
impairs, si y est de la forme 4x-+1, mais d'espèces différentes si
. *
vest de la forme 4x + 3. Pareillement, les exposants
; FR D
2
NOTE III. 127
seront de même espèce si w est de la forme 4x + 1 et d'espèces diffé-
rentes si w est de la forme 4x + 3. Cela posé, si les nombres
V, w
sont tous deux de la forme 4x + 1, chacun des produits
OR Biek til: {1,1
l LAN FR
composé de facteurs de la forme @,,;, en nombre égal à +, se réduira
A |
évidemment, en vertu de l’équation (33), à
x
2:
On aura donc alors les formules
N
N ? X
[1,1]=p?, Et) ps [—-1,1—=p!, Css nn à Er
œ[z
qui entraineront l'équation
w|'Z
(38) P'={rs1]l1,—1][—-11]{-:1, —i1],
analogue à la formule (14).
Si les nombres y, w sont tous deux de la forme 4x + 3, alors on
tirera des formules (33) et (36) ou (34) et (35), jointes à la for-
mule (37),
’
l
N N
(39) [i,1][—1,—1]=p", [r,—1][—-1,1]=p",
et l’on déduira encore de ces dernières l'équation (38).
Enfin, si des nombres y, w, un seul, y par exemple, est de la forme
4x +1, l’autre, w, étant de la forme 4x + 3, alors on tirera des for-
mules (33) et (34) ou (35) et (36), jointes à la formule (35),
N
Se :
(40) [r,1]{r, —1]=p", [—1,1][—1,—1]=p",
et l’on déduira encore de ces dernières l'équation (38).
L'équation (38), analogue à (14), conduit aussi à des conclusions
128 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
du même genre lorsque les nombres
y, (A)
ne sont pas tous deux de la forme 4x + 1; et d'abord, supposons qu'ils
soient tous deux de la forme 4x + 3. Alors, dans le second membre
de l'équation (38), le produit
Lr,1][1, —1]
représentera une fonction symétrique, non seulement de
u? =UY—3
Ss S » gen ee s ,
mais encore de
CAS US RARES URS ad OUT ie
par conséquent, une fonction linéaire, non seulement des sommes
EE ee OT ee De ne M
mais encore de la somme
RH UE He QUE DE LS de DE
Or, comme cette dernière somme, qui comprend toutes les racines de
l'équation
QD
Fier R à
à l'exception de la racine 1, se réduira simplement à — 1, 1l est clair
qu'en supposant v et w tous deux de la forme 4x +3 et désignant
par c,, €,, ©, des quantités entières, on trouvera |
[r,1]f[r, —i1]=c+c(s ++. + GT) Host gun 4 UT),
puis, en remplaçant & par 6“,
[—r, 11, —1] = co+ (gt gi + ut) LE es(s + gt +... + 67),
On pourra d’ailleurs présenter les deux équations qui précèdent sous
une forme analogue à celle des équations (16) et alors, en les multi-
pliant l’une par l’autre, où obtiendra, au lieu de la formule (20), la
NOTE Ill. | 129
suivante :
(41) 4p?= A?+%B?,
les valeurs entières de A, B étant toujours déterminées par les for-
mules (17). Enfin si, en nommant p? la plus haute puissance de p qui
divise simultanément A et B, on pose
A=plx, B=pty,
nn : = 2},
on verra la formule (41) se réduire à
(42) kpb= a+ V y.
On pourrait encore, dans l'hypothèse admise, c’est-à-dire lorsque
y, w sont tous deux de la forme 4x +3, décomposer le second membre
de la formule (38) en deux facteurs égaux, non plus aux deux produits
if —i} [oil 1),
mais aux deux produits
AO à Pont PAU OO EP à À nent st à À
et alors on se trouverait conduit, non plus à la formule (42), mais à
une équation de la forme
(43) 4kph= x? + © y?.
Considérons maintenant le cas où y serait de la forme 4x +71, © étant
de la forme 4x + 5. Alors la formule (41) se trouverait remplacée par
les formules (40), en sorte qu'on aurait simplement
N
A = op}, B 0:
et, en conséquence, la formule (42) cesserait de fournir la transfor-
mation d’une puissance entière de p, multipliée par 4, en un binome
OEuvres de C. — S.I, t. HI. 17
130
de la forme
L+Vy".
Mais la formule (43) continuerait de subsister
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et l’on pourrait au reste
déduire une nouvelle formule de la décomposition du second membre
de l'équation (38) en deux facteurs de la forme
[r,1][—1,—1], [r,—1][-—5,1].
Alors, en effet, le produit
[r,1][—1,—1]
serait une fonction entière et symétrique, non
PRE RE RE “is.
et de
É Uye
PR de oorit on
mais encore de
CRÈRS RP RT ENE VE
et de à
CES OS Ne da
seulement de
qui ne serait point altérée quand on y remplacerait simultanément
PAT:
x par «”?,
les coefficients numériques des différents termes étant d’ailleurs des”
nombres entiers. Par suite, le produit
[r, {6 1]
se réduirait à une fonction linéaire, non seulement des sommes
(HS +... + GT) L'(cu LG +,
(a+ a+... + at) H(at+ at +..
mais encore des sommes
(a +a+.
+(at+ at +.
(at+ a+.
Ha +aÿ+.. + 2) (gt qi +
+ a) (s Hs +..
«+ a) (su + SU +,
+ a" )(s ++.
…. Li a ee},
É + aa? }
; + “Re
NE me à
HE")
ME mn We r
NOTE IIT. 131
Or, des quatre sommes qui précèdent, les deux premières se rédui-
ront à — 1, puisqu'on aura généralement
CHE HER. HR QU RE QU —— 7,
2 —3 W—2 __
AH AH QT HE. HR QU HE AT — I,
et, quant aux deux dernières, comme, en posant pour abréger
G— He. + çu — QU — À,
€ — A+ QE —, + QE — 4% — À,
on trouve
2 PT RER vie TVA ENG À uw ui Re 2e TT: er dus PEAR +A
S + +...+s = * GE HG D, + SG cs ce
! !
a? QU 1— A a as CORP 1+A
A+HAT+,...+ a pas rt ATIHAT +... + x ans Te
elles pourront être représentées par les expressions
RE. CE DE FH AT Tr A 1 A4’
Es Ee
LS jm }
2 2 2 2 2
FA 1 À 14 À 1. AÛ
a vu ses .
2 2 2 2 2
Donc, dans l'hypothèse admise, le produit
[1,1][—1, —:1]
se réduira simplement à une fonction entière et linéaire des rapports
tr AA pr AA’
ELA CR QUE LR FETE à
2 2
les coefficients étant des nombres entiers; en sorte qu'on aura
Fr, 103, == dote PE + ee
Co Ci» CA désignant des quantités entières. Si l’on pose maintenant
A —92Co+ Ci + Css B=—c;-—0c,
132 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
la formule précédente donnera
(44) 2[1,1][—1,—1]=A+BAA,
les valeurs numériques de A, B étant deux entiers de même espèce,
c’est-à-dire tous deux pairs ou tous deux impairs. D'autre part, si,
dans la formule (44), on remplace & par é*, sans remplacer en même
temps + par x*, alors, au lieu de cette formule, on obtiendra la sui-
vante :
(45) a[1,—1][—1,1]—=A—BAA,
puis on tirera des formules (44), (45), combinées avec l’équation (38),
WI 22
(46) hp? = A? — B?A?A°,
De plus on aura, en vertu de l'équation (10),
V=?
(s — ç* ae çu° + tue cure SR 'Scbér La — — 1) 2 y,
o—2
(a — a+ me, + QT — ga = (—1) ? ©
ou, ce qui revient au même,
4
®@ —1
4
A A'—=(—1) ? w.
A—(—:)
Donc, lorsque y sera, comme on le suppose, de la forme 4x +1,
w étant de la forme 4x + 3, on trouvera
AT, A=— vw
et la formule (46) donnera
N
(47) 4 p? = A°+ vo B*.
Enfin, si l’on nomme p? la plus haute puissance de p qui divise simul-
tanément A et B, alors, en posant
A = piæ, B=—p}y,
#1
H=——2à,
NOTE III. 133
on verra la formule (47) se réduire à
(48) &pt= 2° + vo y*
ou, ce qui revient au même, à l'équation
(49) 4p#= 2 + ny},
la valeur de 2 étant
Il est bon d'observer que, le nombre y étant supposé de la forme
4x + 1 et le nombre w de la forme 4x + 3, le nombre x sera de la
forme 4x +3, dans l'équation (49) aussi bien que dans l'équation (21).
On peut ajouter que 2, étant le produit de deux facteurs premiers
impairs, y, &, ne pourra être de la forme 4x + 3 que dans le cas où
un seul des facteurs sera de cette forme. Effectivement, si y et w étaient
tous deux de la forme 4x + 3 ou tous deux de la forme 4x + 1, leur
produit
= VO)
serait évidemment de la forme 4x + 1.
Les diverses formules qui précèdent s'accordent avec celles que
nous avons établies dans le premier et les deux derniers paragraphes
du Mémoire. Elles peuvent d’ailleurs être facilement étendues au cas
où 2 serait le produit de plusieurs nombres premiers impairs
Ainsi, en particulier, supposons
R=VYV,
v, v’, Ÿ désignant trois nombres premiers impairs, et représentons par
[1,1,1]
le produit des diverses valeurs de @, correspondant aux valeurs de À
134 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
qui, étant premières à », vérifient les équivalences
(50) æ ? =1 (mod.v) æ ? =1 (mod.v'), x ? =1 (mod.v’).
Soit encore
[—1,—1,—1]
le produit des diverses valeurs de @, correspondant aux valeurs de x
qui, étant premières à z, vérifient les équivalences
v—1 v'—1 v—1
(51) æ ? =—1 (mod.y), æ°?=—1 (mod.»)}, x ? =—1 (mod.r),
et concevons que l’on emploie, dans un sens analogue, chacune des
huit expressions comprises dans la formule
ERREUR EEE
de sorte qu'à un changement de signe opéré dans le dernier membre
de la première, ou de la seconde, ou de la troisième des formules (50),
doive toujours correspondre un changement du signe qui affecte la
première, la seconde ou la troisième unité dans la notation
LEE
Soient d’ailleurs respectivement
des racines primitives des trois équivalences
a'-1=1 (mod.v), æ"'-1æ1 (mod.v'), a*"=1æ=t (mod.v’)
et
des racines primitives des trois équations
À ea AN À, Has À Le
Enfin posons
(52) g— + + Gun çu = À
NOTE 111. 135
et nommons 4’, 4” ce que devient A quand on remplace v par v' ou y.
Chacune des huit expressions
( Fest, 1} fi,—3,-1h [=ti, il [ir],
Ti AT SUR à [—1,1,1], [1,—1,1], [1,1, —1]
ou
sera une fonction entière et symétrique, non seulement de
(53)
TS PCT ro
ou de
| çu ge” : RL RteUe
mais encore de
à ee ç'u® , uv
ou de
c'e (à u'3 s € u'—2
et aussi de
d Sa FC SE
ou de
ce”, eur, ne ENT ”.
les coefficients numériques étant des nombres entiers. Par suite, on
pourra en dire autant des produits qu'on obtient en multipliant l’une
par l’autre deux ou plusieurs des expressions (53), et chacun de ces
produits, ainsi que chacune de ces expressions, sera non seulement
une fonction linéaire des deux sommes
Ho REG. , qe Le
2 2
2
CHU +. + = —
par conséquent des deux rapports
É-- AÀ 1 + À
D 2
?
mais encore une fonction linéaire des deux rapports
1 — 1 + A'
dr 2
et aussi une fonction linéaire des deux rapports
in A? LE A’
| L
2 +2
136 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Done chacune des expressions (53), ou chacun de leurs produits,
multiplié par 2°=— 8, deviendra non seulement une fonction linéaire
de
1— À, 1+A,
par conséquent de A, mais encore une fonction linéaire de
1—A', 1+ 4,
par conséquent de A’, et aussi une fonction linéaire de
Rx 4", ia: à
par conséquent de 4”, de manière à offrir généralement huit termes
dont l’un sera constant, les sept autres termes étant respectivement
proportionnels à
A, À!, A”, AA, AA’, A' A", AA'A"
et les coefficients numériques étant toujours des nombres entiers.
Ajoutons que de la première des expressions (53) on peut déduire
successivement les sept autres en y remplaçant séparément ou simul-
tanément ?
À par —A, A' par — A, A" par — A”,
c’est-à-dire en changeant le signe de A, ou de 4’, ou de 4”, au moment
où, dans la notation
LE I, 1],
on change le signe qui affecte la première, la deuxième ou la troisième
unité. Cela posé, si l’on considère en particulier les deux produits
rs, 1][1, —7, —1][—i,1, —1][-1, —5,1],
(54)
(fre, Sie Aer 1][1,1, —1],
il est elair que chacun d’eux restera invariable, tandis que, des trois
différences représentées par
À, A À:
NOTE III. 137
deux seulement changeront de signe et que, pour déduire le second
produit du premier, il suffira de changer à la fois le signe de A, celui
de A'et celui de 4”. Il suit de cette remarque, et de ce qui a été dit
plus haut, que les produits (54), multipliés par le nombre 2°— 8, ne
devront renfermer aucun terme proportionnel à une seule des diffé-
rences
TRE VPN à
ou à l’un des produits partiels
AA’, AA", A'A’
et devront se réduire à deux binomes de la forme
a + bAA'A",
a — bAA'A",
a, b désignant deux quantités entières. On aura donc
AO Ft hell till 1,1, 11-00 6AA
( S[—1, —1,—1][—1,5,1][1, —1,1]{[1,1, —1]—a— bAA'A.
D'autre part, chacun des produits (54), pouvant être considéré comme
une fonction entière des rapports |
IA 1+A 1—A 1+A 15—A" 1+A
» ) , ? ) )
2 2 2 2 2 2
dans laquelle les coefficients numériques sont entiers, se réduira,
au signe près, à un nombre entier si l’on y remplace chacune des
différences
A, "A7
par un nombre impair; par exemple, par l’unité. Donc un tel rempla-
cement doit rendre le premier membre et, par suite, le second membre
de chacune des équations (55), divisible par 8. Donc les deux binomes
a+b, a—b
seront divisibles par 8; d’où il suit que leur demi-somme a et leur
OEuvres de C.— S.1,t. II. 18
138 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
demi-différence b seront divisibles par 4 ou de la forme
HA, tb,
A, B étant des quantités entières. Donc les formules (55) donneront
2{1,1,1][1, —1,—1][—1,1, —1][—1, —1,1]= A +BAA'A,
(56)
oof—1,—r,1][—a,1,1]{[1,—1,1][1,1,—1] —A—HBAA'A,
les valeurs numériques de A, B étant des nombres entiers.
Observons à présent que — 1 sera une racine de l’équivalence
(57) z? =1 (mod.v)
Mrs
;— estun nombre pair et
si, v étant de la forme 4x +1, le rapport
sera, au contraire, une racine de l’équivalence
(58) x? =—1 (mod.v)
gras |
si, y étant de la forme 4x + 3, le rapport est un nombre impair.
Donc, par suite, des deux quantités
h, —h,
l’une sera racine de l’équivalence (57) et l’autre racine de l’équiva-
lence (58) si v est de la forme 4x + 1; mais toutes deux seront racines
d’une seule de ces équivalences si v est de la forme 4x + 3. Pareille-
ment, les deux quantités + A, — À seront racines, l’une de l’équi-
valence
(59) æ? æit (mod.v'),
l’autre de l’équivalence
(60) æ?=—1 (mod. v')
si v'est de la forme 4x +1; et toutes deux, au contraire, seront racines
NOTE III. 139
d’une seule de ces équivalences si v est de La forme 4x + 3. Enfin,
les deux quantités + k, — À seront racines, l’une de l’équivalence
v'—1
(61) æ (mod. v”),
l’autre de l’équivalence
0 v'—1
(62) Et = 1 (mod. y")
si v’est de la forme 4x + 1; et toutes deux, au contraire, seront racines
d’une seule de ces équivalences si ’est de la forme 4x + 3. Cela posé,
il est clair que les deux monômes
oO, , 9_ h
appartiendront, comme facteurs, à une seule des expressions (53) si
les nombres
sont tous trois de la forme 4x + 1; et, comme le nombre des facteurs
compris dans chacune de ces expressions est égal au huitième du
produit |
N=—(v—1)(#—1)(v"—0),
qui représente le nombre des termes premiers à x —vyy’ dans la suite
UC COR PNA P HER
on aura évidemment, dans le cas dont il s’agit, eu égard à la formule (3),
N X N
LF, 511 pie, Li, —1, —1]= pt, er -r]= pt, [—1,—1,1]
N
(63) x
[—s, —1,—1]=p", [—1,1,1] = pl, [r, — 1,1] Ce Ur [1,1,—1]
Si des nombres
deux seulement, par exemple v, v', sont de la forme 4x + 1, le troi-
sième, v’, étant de la forme 4x + 3, alors les monômes
O,, O_ 0)
140 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
appartiendront comme facteurs, non plus à une seule, mais à deux
des expressions (53) qui ne diffèrent entre elles que par le signe de la
troisième unité, et l’on trouvera, par suite,
: £
[r,1,1][1,1,—1] — p#, [—1, —1,—1][—1, —1,1]=p"!,
(64) ; :
H=nuil, -5-=1=2#, [LEUR -=pt
Pareillement, si des nombres
un seul, v par exemple, est de la forme 4x + 1, les deux autres, v’, v”,
étant de la forme 4x + 3, les monômes
O,, O_,
appartiendront, comme facteurs, à deux des expressions (53) qui ne
différeront entre elles que par les signes de la deuxième et de la
troisième unité. On aura donc, par suite,
N N
en Jet -det Gus dcr
z
Six
Hé rilu net [—i,1,1][—1, —1, —1] =p
Enfin, si les trois nombres
sont tous trois de la forme 4x + 3, les monômes
0, O_,
appartiendront, comme facteurs, à deux des expressions (53) qui
différeront entre elles par les signes des trois unités, et l’on aura, par
suite,
j N
LEE [—1,—1, —1]=pt, [r, —1, —1] [— 1,1, ne F
N
lt =allr, 1,1] =5p", [—1, —1,1]fr1, —1]=p
œ12
(66)
x
(67)
P
w12
NOTE III. 141
Il est d’ailleurs évident que, dans tous les cas, les formules (63),
ou (64), ou (65), ou (66), entraînent la suivante :
—[1,4,1]{1,—1,—1] 1,1, 1], 81], —i, if, 1,10, —ia]fri, ai].
Comme, dans le premier et le troisième cas, on tire des formules (63)
.ou (64)
N
fat, alfr, —2,—a){—1,1,—1]{—1, 1, 1 =p",
[—i,—1,—1][—1,1,1][1, —5, ler pr:
(68)
il est clair qu’alors on doit avoir, dans les formules (56),
.
ND", B — 0.
Au contraire, dans le deuxième et le quatrième cas, on tire de
l'équation (67), jointe aux formules (56),
N
(69) 4p?= A'— B'4A2A/2A"1,
On trouve d’ailleurs, dans le deuxième cas,
AY, A—Y, A—-_),
et, dans le quatrième,
Av, AY, A'i—— y).
On aura donc, dans l’un et l’autre cas,
AAA y = n;:
et, en conséquence, la formule (69) donnera
(70) 4p?= A+ nB°.
D'ailleurs, parmi les trois facteurs premiers de », ceux qui sont de la
forme 4x + 3 seront en nombre impair dans le deuxième et le qua-
142 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
trième cas, et en nombre pair dans le premier et le troisième cas.
Donc le deuxième et le quatrième cas, auxquels se rapporte l’équa-
tion (70), seront précisément ceux où le nombre » est de la forme
AXx + 3.
Au reste, des raisonnements, semblables à ceux qui précèdent,
s’appliqueraient aux cas où le nombre entier n serait le produit de
quatre, cinq, ... facteurs premiers impairs
et alors, en désignant par N le nombre des termes premiers à ? qui
seront compris dans la suite
Éd cu tee,
c’est-à-dire en posant
N—(v—1)(V—1)(#—1)(v"—1)...,
on se trouvera de nouveau conduit à la formule (70), A, B étant deux
quantités entières dont la seconde sera nulle, si ? est de la forme
Aæ +1, mais cessera de s’évanouir, si » est de la forme 4x + 3.
Si maintenant on désigne par p* la plus haute puissance de p qui
divise simultanément A et B, alors, en posant
Apr, B=ply,
on tirera de la formule (50)
(91) &pV= zx?+ ny?
Dans ce qui précède, nous avons supposé le nombre r composé de
facteurs premiers impairs. Supposons maintenant le nombre z pair et
composé de facteurs dont l’un soit 2 ou une puissance de 2, les autres
étant des facteurs premiers impairs. Si l’on suppose d’abord ceux-ci
réduits à un seul facteur premier y, 2 sera de l’une des formes
2v, 4v,: 8,
‘
NOTE 111. 143
Or, en supposant 2 divisible une seule fois par 2 ou de la forme 2, on
retrouvera des formules analogues à celles qu’on obtient quand on
pose simplement n = v. Mais, si l’on suppose
n = 4,
v étant un nombre premier impair, on obtiendra des résultats dignes
de remarque. Soient, dans cette hypothèse,
Æ, Ss P
des racines primitives des trois équations
Fr Mt, DAS
on pourra prendre
pr A:
Si d’ailleurs l'indice À de @, est équivalent à #, suivant le module v, et
à 7 suivant le module 4, on aura |
peu,
ce qui suffira pour réduire l'équation (1) à l'équation (22); et, si l’on
désigne par
0; ;
la valeur générale de O, que fournit l'équation (22), les valeurs parti-
culières de @;, qui correspondront à des valeurs de À premières à »,
seront celles que présente le Tableau suivant :
0, :, ER ES 6,»., PA 11,
\ 6, ;, 0,3, 6, CRE" O,s-1,3,
u étant une racine primitive de l’équivalence
2YTl= 1 (mod. »).
Concevons maintenant que, dans la formule (7), on fasse coincider
0, O,, O,,
144 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
avec celles des expressions de la forme 6; ; qui, dans le Tableau (72),
offrent pour premier indice une puissance paire de w et, pour second
indice, l'unité. Il est clair qu’alors la somme
h+k+l+..:
sera équivalente, suivant le module 4, à
Ver:
)
2
et, suivant le module y, au produit
Vi }
Es u? +. Re a NE Rois ME 0,
U” "1
Donc, cette somme sera divisible par
RS
ou seulement par
I
-hR = 2Y,
2
ou enfin par
I
re Ent
4 4 Ù
suivant que y — 1 sera divisible par 8 ou par 4, ou seulement par 2,
c’est-à-dire suivant que v sera de la forme
8x+1, ou 8x+5, ou 4x +3.
On aura donc, dans le premier cas,
Or. Sri,
(73) 6,0:6,...—— Rs,
dans le deuxième cas,
Or; — @,, = 0»,
2
(74) 0,040, =Ri kr. 08
et, dans le troisième cas,
|: A PI — 6, — O,,
(7) 0,0:0,...—=R;,;;
NOTE Hi. | 145
pourvu que
0, Ox, 0;
remplissent les conditions ci-dessus énoncées, c’est-à-dire, en d’autres
termes, pourvu qu'on fasse coincider les indices
avec ceux qui vérifient simultanément les deux équivalences
v—1
(76) æ ? =1 (mod.»), æ=1 (mod.i)
. On prouvera d’ailleurs facilement : 1° que, sir est de la forme 8x +1
ou 8æ + 5, l'équation (33) ou (74) s’étendra au cas même où l'on
ferait coincider les indices
(77) M er (Nod.v), æ=3=r;;(mod;4),
ou les deux équivalences
(78) x ? =—1 (mod.v), 2 =, (mod.4},
ou bien encore les deux équivalences
v—1
(79) æ ? =—1 (mod.v), æ=—1 (mod.4);
2° que si y est de la forme 4x +3, l'équation (75) s'étendra au cas
même où l’on ferait coincider les indices
avec ceux qui vérifient simultanément les équivalences (76) ou (78),
mais devra être remplacée par l'équation suivante :
(80) 0, 6:0,.::— R,4,1,... 0,
‘OEuvres de C. — S. I, t. HT. 19
146 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
si l’on fait coincider les indices
avec ceux qui vérifient les équations (77) ou (79). Done, si l’on désigne
respectivement par les quatre notations
Cr,al Li, —1], [—1,1l, [—i,—-1]
_les quatre produits formés par la multiplication des valeurs de
0, 6;, O,,
correspondantes aux valeurs de
qui vérifient les formules
(76), ou (77), ou (78), ou (79),
on pourra, dans l’équation (73), lorsque v sera de la forme 8x + 1, et
dans l'équation (74), lorsque y sera de la forme 8x + 5, remplacer
successivement le produit
6,0,9,...
par chacune des quatre expressions
[r,11: 26, 6:08... 0,6,
(81) Cr Ex 1] me O:, Ou; O3. : Ou,
| br 1; 1] — 0, 1 0: O,; : A Ou 1,
Êe As 1] Fa. ®, 3 O3 O,; 3. . 0, 1,3.
Mais, lorsque y sera de la forme 4x + 3, alors on pourra remplacer le
produit
6,09,:09,...,
dans l'équation (75), par chacune des expressions
[1,1], [r,—1]
ou, dans l'équation (80), par chacune des expressions
[i,—1], [—:, —a].
NOTE TITI. 147
Observons à présent que — 1 sera une des racines de l’équiva-
lence (57),'si v est de la forme 4x +71, et de l’équivalence (58), si
v est de la forme 4x + 3. Donc, par suite, les deux quantités
hi, —k
satisferont, l’une aux formules (76), l’autre aux formules (75), ou
l’une aux formules (78), l’autre aux formules (79), si v est de la
forme 4x +1; et, au contraire, ces deux quantités satisferont, l’une
aux formules (76), l’autre aux formules (79), ou l’une aux for-
mules (75) et l’autre aux formules (58), si v est de la forme 4x + 3.
Donc, en vertu de la formule (3), on aura : 1° si v est de la forme
8x +1 ou 8% + 5,
v—1 —1
(82) PA SEAT, [—1,1][—1,—1]=p*?;
2° si v est de la forme 4x + 3,
1
vy—1 —
(33) Es iil=m al p tr, [r,—1][—-1,1]=p °?.
Dans l’un et l'autre cas, les formules (82) ou (83) donneront
(84) pVi=[r,1fr, —1]{— 1, 1][—1, —31].
D'ailleurs, comme, dans chacune des formules (73), (74), (35), (80),
l'expression
EN EN
représentera une fonction entière et symétrique de
Ps PF Ps
par conséquent une fonction entière et symétrique, non seulement de
Ch Ur Sais
mais encore de 4
h
HET d'A SOEUR
les coefficients numériques étant des nombres entiers, il est clair
148 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
que, si v est de la forme 8x + 1, le produit
[z,1]{:, — 1]
sera, en vertu de la formule (73), une fonction entière et symétrique,
non seulement de
mais encore de
' #,
par conséquent une fonction linéaire, non seulement des deux sommes
uY—2
Gi + GT GE Gt GT,
mais encore de la somme
a + œi.
Or, cette dernière somme étant nulle, en vertu de l’équation
2
A —— 1,
à laquelle doit satisfaire la racine primitive «à = ÿ—roua=— "#1
de l’équation
À came ES
il en résulte qu’en supposant v de la forme 8x +1, on aura
[1,1][1, —1]=co+a(s+ +... + ST) Host + Gé +. + Gt),
Co C1, C2 désignant des quantités entières. Si, dans l’équation précé-
dente, on remplace $ par £“, on trouvera
[—1,1][—1, —1] = c+ Ci ("+ SH. HT) Eos +++ M);
puis en posant, pour abréger,
u ue? uY—3 aUV—2
G— +. HT A,
A—=92Cy—C;— C2, B—c,— c>,
on réduira les deux équations que nous venons d'obtenir à la forme
PINOT es qu BA,
(85
d | 2[—1,1][—1, —1]= A + BA.
NOTE: TL. 149
Si le nombre y était de la forme 8x +5, alors on devrait à l’équa-
tion (73) substituer l'équation (74) et, par suite, en ayant égard à la
formule
on obtiendrait, au lieu des équations (85), les deux suivantes :
21,111, —1] —(A+BA)p,
(86)
2[—1,1][—1,—-1]=(A—BA)p.
Enfin, si y était de la forme 4x + 3, on devrait à l'équation (73) sub-
stituer l'équation (75) ou (80) et, par suite, en ayant égard à la formule
0, 8_,—— p,
on se trouverait de nouveau conduit à deux équations de la même
forme que les équations (86). Observons d’ailleurs que les équa-
tions (86) peuvent être censées comprises elles-mêmes dans les for-
mules (85), desquelles on les déduit en remplaçant les deux quantités
entières À, B par deux autres quantités entières pA, pB.
Les résultats que fournissent les équations (82), (84), (85), (86)
sont analogues à ceux que nous avons obtenus en prenant x — y; et
d'abord, si v est de la forme 8x +1, on tirera des formules (82)
et (85)
Si, au contraire, v est de la forme 8x +5, on tirera des formules (82)
et (86)
; VC | ÿ
A a0 t, Bo:
Enfin, si v est de la forme 4x + 3, alors des formules (84) et (86),
jointes à l'équation :
A = — y,
on {irera
(87) Gp SE A?+ vR?:
puis, en nommant p? la plus haute puissance de p, qui divise simul-
150 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
tanément À, B, et posant
A = plz, B =phy,
= Y— 3 — 2À,
on trouvera
(88) Gph= a+ vy4,
Considérons maintenant les deux produits
[r,1][—1,—1], [1,—1][-—:1,1]
que l’on déduit l’un de l’autre, en remplaçant par &“, ou « par au — xt,
Chacun de ces produits sera une fonction entière de x et, de plus, une
fonction entière et symétrique, non seulement de
Gr Sr Oo.
mais encore de
u3
At ç ;
les coefficients étant des nombres entiers. Comme d’ailleurs chacun
de ces produits ne sera point altéré, lorsqu'on y remplacera simulta-
nément
6 Dar 2 et nt D à,
il devra se réduire, non seulement à une fonction linéaire de
ES
et, en même temps, à une fonction linéaire des deux sommes
on ie D re MSN ve Gun (an XV 0
mais encore, évidemment, à une fonction linéaire des sommes
o (+ +. + GT) (SU EG. HE Gt),
(SH +... + ST) + & (+ st +... + +
Or, en vertu de la formule
A — 1,
on a
ai — — à,
“EE
NOTE III. 151
et, par suite, chacune des deux dernières sommes se réduit, au signe
près, à
a(s—çt+ç—...+ç"7"— 67) — ad.
Donc les deux produits
{rs clfæi, it, Dal]
se réduiront à deux fonctions linéaires du monôme
a À
qu’on déduira l’une de l’autre, en remplaçant & par à — — « ou, ce
qui revient au même, en remplaçant
aAÂ par — «A.
D'ailleurs, chacun de ces produits aura pour facteur
0, = p
si vest de la forme 8æ +1, et
06,9 ,——p
si v est de la forme 4x + 3. On aura donc généralement
[1,1][—1,—1]=A+Baa,
8
de | [1,—1][-—-1,1]=A —Baa,
A, B désignant deux quantités entières qui seront divisibles par p si
y est de l’une des formes 8æ + 5, 4x + 3. Ces principes étant admis,
si l'on suppose y de l’une des formes
8r+1, 8x +5,
alors des équations (84), (89), jointes aux deux formules
A —— 1, FR |
on tirera
(90) pe RS + vp?.
ra
Si, au contraire, v est de la forme 4x +3, on tirera des équations (83)
159 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et (89)
L’équation (90), dans laquelle A, B sont divisibles par p, lorsque
v est de la forme 8x + 5, mérite d’être remarquée. Si l’on désigne
par p} la plus haute puissance de p qui, dans cette équation, divise
simultanément A et B, alors, en posant
À =pr, B=— p}y,
m=v—1—2à,
on trouvera
(91) PPT LES
Il est bon d’observer que, dans le cas où l’on suppose
! 4 Pire 4,
le nombre N des termes premiers à » et compris dans la suite
HORS URLS VE
est précisément
2(v—1).
Donc, alors, l’exposant de p se réduit à È dans les formules (84) et (90),
aussi bien que dans les formules (38) et (47), (67) et (70).
Dans le cas particulier où, y se réduisant à l’unité, on a simplement
on à aussi
x désignant toujours une racine primitive ÿ— 1 où — ÿ— 1 de l’équa-
tion
Eee
Alors on tire de l’équation (3)
0; — p, 6, 6, — (— D
et de l'équation (4)
8: —R;:6;, Où —R;,3 0,
NOTE I. | 153
puis de ces dernières combinées avec les deux précédentes
(92) P=Ri:R3,3
Dans cette mème hypothèse, R,,, se réduisant à une fonction entière
de «, sera de la forme
R;: HeRs À + B Ts
A, B étant des quantités entières, et l’on aura encore
Ris A + Ba
ou, puisque a? = — 1,
R;3:—=A—Ba.
Par suite, la formule (92) donnera
p=(A+Ba)(A—Bax)=— A?— Ba
ou, ce qui revient au même,
Gi BAUER.
Donc, alors, la multiplication de @* par Of, ou plutôt de R,,, par R,;,
fournira la décomposition du nombre p en deux carrés, c'est-à-dire,
en d’autres termes, la résolution de l'équation indéterminée
(94) p=x+ y,
dans laquelle p désigne un nombre premier de la forme 4x +1.
Si, au lieu de supposer 2 — /4y, on supposait
HN,
v, v', … étant des nombres premiers impairs, on se trouverait conduit,
en raisonnant toujours de la même manière, à une formule analogue à
l'équation (90). Supposons, pour fixer les idées, que, le nombre des
facteurs premiers impairs étant réduit à 2, l'on ait
n = 4u'.
Alors, en nommant toujours N le nombre des termes qui, dans la suite
5 2 se AR,
OEuvres de C. — S. 1, t. HI. 20
#
15% MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
sont premiers à 2 — /{4yv', on trouvera
N=—2(v—1)(v—:1).
Cela posé, en étendant l'usage des notations (53) au cas où, dans le
produit
= w'v;
on remplace le facteur impair v” par le facteur 4, par conséquent, au
cas où l’on remplace les équivalences
v"— 1 v"—1
æ ? =1 (mod.v), æ ? =—1 (mod.vy
par les équivalences
æ=1 (mod.4), æ==—1 (mod:4)
et les sommes
FES. VA | 1 + À"
" VATUES LA TS p apr PRE Hu” Hu"s Hu 3 — La
Fes AE DRE à TAC lon ob = a SAS OS ion T0 “
par
ct et Ai— — à,
on obtiendra, pour représenter les produits (54), non plus des fonc-
tions linéaires de
1— À’ 4 A"
a ’ 2
)
mais des fonctions linéaires de
a, —a,
lesquelles, d'ailleurs, ne cesseront pas d’être en même temps fonc-
tions linéaires de
Fo iA TE
a : 2
et fonctions linéaires de
1 — À’ 1 + À’
2 à 2 ;
Donc, alors, au lieu des équations (55), on en obtiendra d’autres de la
NOTE III. 155
forme
hfr,1,1]{r—1,—1][—1,1,—1][-—1,—-1,1]=a+ baA,
ee) &[—1,—1,—1] [—1, 1, 1][1, —1, FR: I, —1]=a—baaA,
a, b désignant des quantités entières qui, comme les produits (54),
seront divisibles par p?, c’est-à-dire par le carré de
6? oude 6, 6, ,
2" 5"
si le nombre
n’est pas divisible par 4. Comme, d’ailleurs, dans chacune des équa-
tions (95), le premier membre, ou le quadruple de l’un des pro-
duits (54), devra se réduire au quadruple d’un nombre entier, si l’on
remplace A, A’ par des nombres impairs tels que l’unité et x par un
nombre pair ou par un nombre impair, par exemple par o ou par 1, il
est clair que
a et a+b
devront être. des multiples de 4. Donc a, b seront divisibles par 4 ou
de la forme
A 4À, “b= LB
et les formules (95) donneront
: ROMEO mr Een ill, 1,5] = A+BaAA,
(96) | [—1,—1,—1]{[—1,1,1]f1,—1,—1]{1,1, —-1]=A—-BaxAA,
les valeurs numériques de A, B étant des nombres entiers qui seront
certainement divisibles par p? si le nombre
N ES De DS
8 2 2
n'est pas divisible par 4. D’autre part, on reconnaitra sans peine que
les formules (64) sont applicables au cas où, dans le produit
n = 4’,
156 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
les facteurs impairs y, v sont tous deux de la forme 4x +1; les for-
mules (65), au cas où un seul de ces facteurs impairs, v par exemple,
est de la forme 4x +1; enfin les formules (66), au cas où les fac-
teurs y, v sont de la forme 4x +3. Dans les trois cas, les for-
mules (64), (65) ou (66) entraineront la formule (63) et, dans le
second cas en particulier, les formules (65) ou (68), jointes aux
équations (96), donneront
N
A =p?, Bo,
Mais, dans le premier et le troisième cas, on tirera de l’équation (67),
jointe aux formules (96),
Là
(97) p?= A?— B'a?A?A'— A?+ B’A2A":
et, comme on aura, dans le premier cas,
A? y, MEN,
dans le troisième cas,
A= — y, - A — y,
il en résulte que, dans le premier et le troisième cas, on trouvera
AA y
par conséquent
(98) p? = A? + vy'B?.
On peut remarquer, d’ailleurs, que les deux cas dont il s’agit sont
précisément ceux où le produit
W=—= —
est de la forme 4x+71. Ajoutons que les quantités entières A, B seront
divisibles par p?, si les deux nombres v, v’ sont de la forme 4x +3.
Généralement, si x est de la forme
A = uv ..,
v, v', v”, ... désignant des facteurs premiers impairs, alors, en nom-
NOTE III. 157
mant toujours N le nombre des termes premiers à nr et compris dans
la suite
c’est-à-dire en posant
N—2(v—1)(V—1)(v"—1)...,
on trouvera
ou, ce qui revient au même,
(99) p°= A+ 7,
A, B désignant des quantités entières, dont la seconde sera nulle
lorsque le produit
n
RAP
4
sera de la forme 4x +3 et cessera de s’évanouir lorsque le même
produit sera de la forme 4x +1. Ajoutons que les quantités A, B
seront divisibles par la puissance de p, dont le degré est le nombre des
facteurs impairs
si le produit
V— ir —i Y—i1
2 2 2
n’est pas divisible par 4.
Si maintenant on désigne par p” la plus haute puissance de p qui
divise simultanément A et B, alors, en posant
A=phx, B—py,
p= a,
on tirera de la formule (99)
(100) ph=at+ Ty
Supposons encore 2 — 8. Alors, si l’on nomme « une racine primi-
158 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
tive de l’équation
FRS
les quatre racines primitives de cette même équation seront
NS JUS MR à
et l’on aura . 4
Ferme 0 Ù
Alors aussi la formule (3) donnera
Où — p, 0,0;— 6, o— Su en
et l’on tirera de la formule (4)
0,0,—=R,:,6, 6,0.—R,
puis, de ces dernières équations combinées avec les deux précédentes,
(101) P=Ri:Rsr.
D'ailleurs
R; 3
sera une fonction entière et symétrique de
a; : 4”,
par conséquent, une fonction linéaire des sommes de la forme
3
ant + 4 Le
le coefficient numérique de chaque somme étant un nombre entier; et,
d’autre part, la somme
ant + ain
se réduit, pour »m = 1 ou 3, à
a + a a+ à,
pour m = 2 ou 6, à
a?-+ ai = af + xl8— 0,
pour nr = 4, à
at + œl2— — 0,
NOTE III. 159
enfin, pour »2 — 5 ou 7, à
a+ at a+ a a+ al—— (a + x),
L
Donc R,; se réduira simplement à une fonction linéaire de la somme
a + oi;
et, comme on déduira R;,,, de R,, en remplaçant
a et œ!
par :
ai — — x et aT= — ai,
on aura nécessairement
( Ris: — A + B(a + œ),
| R,:= A — B(a + æ),
:
(102)
A, B désignant des quantités entières.
Si maintenant on combine les formules (101) avec les équa-
tions (102), on en conclura
Pp = A— B°'(a + «°)?,
et, comme on aura
(a+ a) = ot + o$ + 2 at — 2 œt — — 9,
on trouvera définitivement
(103) p = À? + 2B*°.
Donc, p étant un nombre premier de la forme 8x +1, on pourra tou-
jours satisfaire, par des valeurs entières de x, y, à l'équation indé-
terminée
(104) | PET +17
On pourrait encore facilement étendre les principes que nous venons
d'exposer au cas où le nombre n serait de la forme
1
NA
160 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. *
ou même de la forme
RENE.
v, v', v’, .… étant des facteurs premiers impairs. Alors les résultats
seraient analogues à ceux que nous avons obtenus en supposant
AIN N:.,
Seulement, en passant d’une hypothèse à l’autre, il faudrait substituer
aux racines primitives
œ et ai——
de l’équation
À RE |
les sommes
a + a et aÿ+at——(ax+ a)
ou
a + a’ et a+ ai—— (x + ax),
formées par l’addition de deux des racines primitives
CA. LAURE - PO
de l'équation
Er,
Cela posé, en nommant N le nombre de ceux des termes de la suite
RURE OT SRE Ut
qui sont premiers à
c’est-à-dire en posant
N—4(v—1)(v'—1)(%"—1)...,
et désignant par À, B deux quantités entières, on trouverait : 1° dans
le cas où le quotient
TR
serait de la forme 4x +1,
N
p?=A?—B'(œ+ a)? A'?A/"2,..;
4
NOTE III. 161
2° dans le cas où le même quotient serait de la forme 4x +3,
N
p?= A?— B?(x+ a) A?A'TA"...,
les valeurs de A?, A’?, A’?, ... étant dans l’un et l’autre cas
ie +. as do
A=(—1) ! », At nn 2-v, A"—=(— 1) ? v', PA
et, comme on aurait évidemment dans le premier cas
(a+ ai) — a+ a$— 2 —— 0,
Ÿ— ] Y'—1 Ÿ —I 4
#4 + +...=0 (mod.2),
AtA'A", ,.—wlv"...,
puis, dans le second cas,
(a+a} = ax + af + 2 —a,
V— 1 v— 1 v— 1
+ + +...ÆI (mod.2),
2 2 2
AAA, ,— + 1 vvlv",
il est clair que, dans l’une et l’autre hypothèse, on se trouvera conduit
à la formule
N
p?= A+ avw'v"...B?,
qu'on peut encore écrire comme il suit :
N
(105) p= at+a(s)Be
Ajoutons que, dans le premier cas, les quantités A, B seront divisibles
par la puissance de p qui a pour degré le nombre des facteurs impairs
si tous ces facteurs sont de la forme 4x + 3, attendu qu’alors Île
produit
Y— Y—r w—:
2 2 2
(1+3)
OEuvres de C.— S.I, t. WI. 21
162 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
sera divisible, non par 8, mais seulement par 4, et qu’on aura d’ailleurs
Os — ï, = P:
Dans tous les cas, si l’on désigne par p? la plus haute puissance
de p, qui divise simultanément A et B, alors, en posant
pe, Bey
= — — 2}
ÉD One
on tirera de la formule (105)
(106) pi at+a(s)ye.
Nous remarquerons en finissant que, si le nombre premier p, étant
de la forme 4x +3, se réduit précisément au nombre 3, les for-
mules (16) deviendront inexactes. Mais alors, pour retrouver l’équa-
tion (20), il suffira d'observer qu’on tire de la formule (3)
0,0, —p,
et de la formule (4)
8? =R,;:0;, 6; =R..6,
puis de ces dernières, combinées avec la précédente,
(107) P parmi Ri,1 Rose
Dans cette même hypothèse, si, en nommant o une des deux racines
primitives de l'équation
“ mnt À
l’on pose
p—p=A,
on aura, non seulement
(108) A=—3,
mais encore, eu égard à la formule 9 + p?= — 1,
1 — À 1 + À
NOTE IV. ; æ 163
Comme on aura, d’autre part,
Ri1= Co + C1P + C2p°, Res = Co + C1P?+ Cp,
Cys ©, désignant des quantités entières, on en conclura
(109) 2R,;—A+BA, 2R:;—A— BA,
les valeurs de A, B étant
A —920Co— Ci —C, Due
puis on conclura des formules (107) et (109)
. 4p—A!— B?A!,
ou, ce qui revient au même, eu égard à la formulé (108),
(110) 4kp = A+ 3B*.
L’équation (110) est évidemment de la forme de celle qu’on obtien-
drait en posant r» — 3 dans la formule (20).
NOTE I.
SUR LES RÉSIDUS QUADRATIQUES.
p étant un nombre entier quelconque, on a, comme on sait,
(1) TR ire et ar h)..
le signe S s'étendant à toutes les valeurs entières, nulles ou positives,
de
fs Li RS
qui vérifient la condition
f+g+h+...=p.
164 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Si p est un nombre premier, le coefficient numérique
se réduira toujours évidemment à un multiple de p, à moins que l'on
ne suppose un seul des exposants /, g, k, ... égal à p, tous les autres
étant nuls. Donc alors la formule (1) donnera
(2) (T+yY+3+...)=axr+yP+sP+...+ pl,
P désignant une fonction entière de æ, y, 3, ... dans laquelle les
coefficients numériques seront des nombres entiers. Done, si l’on
attribue à æ, y, z, ... des valeurs entières, on aura
(3) (T+Y+3+...)=xP+yP+ +... (mod.p).
Si maintenant on pose
alors, en nommant # le nombre des quantités æ, y, 3, ..., on verra
la formule (3) se réduire à
(4) kP=k (mod.p).
L'équivalence (4) comprend le théorème énoncé par Fermat et suivant
lequel la différence
e
XP — x
est, pour des valeurs entières de æ, toujours divisible par p. lorsque
p est un nombre premier. Comme d’autre part l’équivalence
AP Le Q (mod.p)
ou
æ(xP-l—1)=o (mod.p)
entraine la suivante
(0Y, xP-l—1=0o (mod.p)
lorsque æ n’est pas divisible par p, il en résulte que tout nombre
premier à p est racine de l’équivalence (5), qu’on peut encore écrire
NOTE IV. 165
comme il suit :
(6) æPTi= 1 (mod.p).
Si d’ailleurs on nomme 4 une racine primitive de l’équivalence (6), les
diverses racines de cette équivalence pourront être représentées éga-
lement, ou par les divers termes de la progression arithmétique
RS dy DE:
ou par les divers termes de la progression géométrique
PROEX AS ON TOR Me
et, par suite, tout nombre entier, premier à p, sera équivalent, suivant
le module p, à une puissance entière de #. Ajoutons qu’en vertu de la
formule
tPrl= 1 (mod.p)
on aura généralement
th= t#
si l’on suppose
kh=k (mod.p — 1).
Donc une racine
Le
de l’équivalence (6) ne devra -point être censée altérée lorsqu'on y
fera croître ou diminuer l’exposant À d’un multiple de p — 1. Enfin,
comme, en supposant p impair, On aura
p—1 p—1
Le A À ute : M
l’équivalence (5) ou (6) se décomposera, dans cette hypothèse, en
deux autres dont la première
ou
(7) x ? =1 (mod.p)
aura évidemment pour racines les puissances paires de #, savoir
2 k —3
BR OT TS,
166 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
tandis que la seconde
ou
Pr=1
(8) æ ? =—1 (mod.p)
aura nécessairement pour racines les puissances impaires de #, savoir
La
RS UE RO T pér-
LM Re ect pres :
représentant les restes ou résidus qui peuvent provenir de la division
Q # “ — I , + °
d’un entier par p, les uns, en nombre égal à Ê—, seront équivalents,
suivant le module p, à des puissances paires de z, par conséquent à
des carrés parfaits. Ces termes, dont chacun est le reste ou résidu de
la division d’un carré par p, se nomment, pour cette raison, résidus
quadratiques, aussi bien que les nombres équivalents aux mêmes
termes suivant le module p; et comme, dans le cas où l’on prend p
pour module, tout nombre premier à p équivaut à une puissance
entière de 4, le carré d’un tel nombre équivaudra nécessairement à
une puissance paire de 4, c’est-à-dire à une racine de la formule (7);
d’où il résulte que tout résidu quadratique, différent de zéro, sera une
semblable racine. Donc, les racines de l’équivalence (8) qui sont
distinctes des racines de l’équivalence (7), mais, comme elles, en
4 « — ] A > . . .
nombre égal à 2, ne pourront être des résidus quadratiques sui-
vant le module p. C’est ce que l’on exprime en disant que chacune des
racines de l’équivalence (8) est non-résidu quadratique suivant le
même module.
Pour abréger, nous désignerons, avec M. Legendre, par la notation
NOTE IV. Le 167
p—1
le reste de la division de Æ# 7 par le nombre premier p. Cela qe on
Fe
si £ est divisible par p, et, dans le cas contraire,
He = [f--
suivant que # sera résidu ou non-résidu quadratique. Comme d’ailleurs 4,
aura généralement
étant une racine primitive de l'équation (6), ne pere vérifier la for-
mule (7), on aura nécessairement ee
p—1
(9) t?=—: (mod.p),
pr
et comme £ ? sera évidemment une puissance paire ou impaire de £,
suivant que p sera, de la forme 4x + 1 ou 4x +3, on peut affirmer
que — 1 sera résidu quadratique dans le premier cas et non-résidu
quadratique dans le second. Enfin, comme, d’après ce qui a été dit
plus haut, la progression arithmétique
49, Liu pri
renferme autant de résidus que de non-résidus, on aura nécessaire-
ment
eo (BB
Généralement, si, une suite de nombres entiers
RE Gus t
étant composée de x termes différents premiers à p, on suppose que,
dans cette suite, les résidus quadratiques sont en nombre égal à 7’ et
les non-résidus en nombre égal à 2”, on aura, non seulement
(11) n'+n'=n,
168 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
mais encore
a b c l
(12) nw=|£$|+[5l+fél+.+ ft]
F À d 5 F
et, par conséquent,
pi PA pri tx!
(13) n—n=at+bt +et+...+Ùt (mod.p).
On peut d’ailleurs écrire l’équivalence (13) comme il suit :
pt
d ? (e2= + el: + PACA ER RT es)
Pi
dz'3
(mod.p),
(14) n'—n'=
la variable z devant être réduite à zéro après les différentiations effec-
tuées.
La formule (14) offre un moyen facile de déterminer la différence
n'— n",et par suite, eu égard à la formule (11), chacun des nombres »’,
n" lorsque, le nombre n étant inférieur à p, la suite
ES Dis st
se réduit à une progression arithmétique
h, h+k, h+ok, ..., h+(n—1k.
Alors, en effet, la somme
etz + ebz LH ecz + ,,, + elz
devient
enks
1 Fe 7
eh2(1 + el + ethz D, RE LD à En à on er ,
ê—T
et, par suite, la formule (14) se réduit à
Ë d ? etkz =}
(15) n'— n"— e"z —— .
Concevons, pour fixer les idées, qu’on demande le nombre n' des
résidus quadratiques et le nombre »” des non-résidus inférieurs à £,
NOTE IV. 169
c’est-à-dire compris dans la progression arithmétique
Alors on aura
et, par suite,
| PR.
d ? e ? re
HIS D £
(16) n nr — | ee —] )
D'autre part, la différence entre le rapport
‘
et celui dans lequel il se transforme, quand on y remplace p par zéro,
est
PRIS ue Pre. EE
5) e ? —e: et — ef 7 4
J — 28
7 et — 7] et — 1] e? — 1;
et sa dérivée de l’ordre
nee . * .
Ê —> relative à x, se composera d’une suite de
termes dont chacun sera proportionnel au facteur
ou à l’une des dérivées de ce facteur. Or, comme ces dérivées s’éva-
nouissent avec le facteur lui-même quand on y remplace 3 et p par
zéro, comme d’ailleurs on trouvera
OEuvres de C.— S.H,t. II. 22
170 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
il suit de la formule (17) qu’on aura, pour une valeur nulle de z,
pra PH =
HT Tee ne _—.
se . Propre FR (mod.p}),
ETC A €
par conséquent
p—1 D pa se / pra Ka É,
d ? e ? —e: d ? Le? —e: 14% e* —e *
: _ ‘ = — ; = (mod.p)
ARRET E= et—1 FRS dE. Que es
ds? da ? ds ‘e +8”
Donc la formule (16) donnera, dans l'hypothèse admise,
Ro
A > Are e
RS AE BEN 1
dz * et +e *
(18) n—n'"=— (mod.p).
Enfin, z devant être réduit à zéro après les différentiations, on pourra,
sans inconvénient, remplacer z par 3 Ÿ— 1 dans la formule (18), qui
se trouvera ainsi réduite à
1 ÿ
(19) n—n'=(—1) * -———— (mod.p).
&
Ajoutons qu'en vertu de formules connues, la valeur de tang > sera
généralement fournie par l’équation
Br" s AS DES GS FE 2— 7 3°
ur =a(à 2 1.2 30 23 1.2.3.4
(20)
| 1:98 7 Lu
re 2. 1.9.3 40 se }.
que nous désignerons généralement par
:, eos 3, “..,
sont ce qu'on appelle les nombres de Bernoull.
NOTE IV. 171
Pour appliquer la formule (19), 11 convient de distinguer deux cas
re |
2
suivant que est pair ou impair, c’est-à-dire, en d’autres termes,
suivant que p est de la forme 4x + 1 ou 4x + 3. Dans le premier cas
on à, pour une valeur nulle de z,
Pr
d ? lang
EIN
p=i — O0,
dz ©?
et, par suite, la formule (19) étant réduite à
n'—n'=0 (mod.p),
on tire de cette formule, jointe à l'équation
DE
nel,
(mod.p),
par conséquent,
(21) Mn
Au contraire, lorsque 2 est impair et p de la forme 4x + 3, alors,
2 .
en ayant égard à l’équivalence
2P-1= 1 (mod.p),
on tire de la formule (20), pour une valeur nulle de 3,
0
p—1
FR. % A
d ? ns EE AE ‘ ( p—1
— put==A\2 0 +) À I
ne [a re o p+1i—= 4 2 2 ). pH (mot «P);
F PU p+r . — ÉSE
ds” 2 ? : ’
et, par suite, la formule (19) donne
p+i Dix
(22) n'—n'=(—:) * Hs . les (mod.p).
4
D'ailleurs, lorsque p est de la forme 4x + 3, il est nécessairement de
172 : MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
l’une des formes 8x + 3, 8x + 7 et, comme on le verra tout à l'heure,
on a : 1° en supposant p de la forme 8x + 3.
p—i
2 ? =—1 (mod.p);
2° en supposant p de la forme 8x + 7,
DUR SN €
Done, la formule (22) donnera, lorsque p sera de la forme 8x +3,
Ù n'— n"
(23) n'—n'=—6À;.:, a = — 3AÀ)+:,
p
%
et, lorsque p sera de la forme 8x + 7,
! 4
n'—n
(24) n'— n'=924p+1,
4 4 k
== bp his
Ainsi, lorsque p est premier et de la forme 4x + 3, la demi-différence
entre le nombre des résidus et le nombre des non-résidus inférieurs
“ane | y . . é “ .
à -p est équivalente, suivant le module p, à un nombre de Bernoulli
ou au triple de ce nombre pris en signe contraire. Cette proposition
remarquable a été, pour la première fois, énoncée et démontrée,
en 1830, dans le précédent Mémoire dont un extrait a été publié dans
le Bulletin de M. de Férussac sous la date de mars 1831.
En joignant aux équivalences (23) ou (24) la formule (11), ou
D —
Re La due (mod.p);
— 3Lp+1, nm
:
2° lorsque p est de la forme 8x + 7,
D 1
(26) nr / ’ + Aop+1, PE
A
NOTE IV. | | 173
Au reste, les formules (11) et (15) fourniraient, avec la même
facilité, le nombre des résidus et le nombre des non-résidus quadra-
tiques compris dans une progression arithmétique dont les termes
seraient positifs et inférieurs à
IS
> ou à 5 ou à
Concevons maintenant que, p étant un nombre premier impair, on
demande la valeur de
ou, ce qui revient au même, le reste de la division de 277! par p. Pour
y parvenir, il suffira, comme on sait, d'élever à la puissance du degré p
l’un quelconque des facteurs imaginaires dans lesquels peut se décom-
poser le nombre 2. Or on a évidemment
EC Ver (Ve 1)
ou, Ce qui revient au même, ;
2—=(1+a)(1— «),
« désignant une des deux racines primitives Ÿ — 1, — V— 1 de l’équa-
tion
a — Tu
D'ailleurs, on tirera de la formule (2)
(27) (t+a\r=r+ a+ pl,
P désignant une fonction entière de x dans laquelle les coefficients
numériques seront des nombres entiers, et comme on aura, d'autre
part,
A——1, (1+ a) — 2x, .
par conséquent,
p=LpEt
(LRO = at a
« et
lpres. ŒAS eva
(FRET Fa)
17% MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
la formule (25) donnera
Fr D Le
2? x ? (1+a)=1+æ+pP
ou, ce qui revient au même,
PA »
pie) 1+ xp E
4 — nee a +
(28) 2 TRES sd F p—1
&æ ? (1+ax) ax * (1+ ax)
Enfin, comme on aura : 1° en supposant p de la forme 4x +1,
IH API + a,
2° en supposant p de la forme 4x +53,
1+a—=a(i1+ ot) —a(i1+ a),
pi p+1 pP=—tp+A
dr Met mme
on en conclura, dans tous les cas,
(p—1)(p+1)
1 + œP ER Er A RAE 6
=(—1) ; Ne
ps
aæ ? (1+ a)
ce qui permettra de réduire l'équation (28) à la suivante :
Pari PEL PA C
2 es Connt LEDEs nee .
(29) (1) a+)
En vertu de cette dernière équation, le produit
P P(i— ar)
P PET
1 + ap »
sera égal, au signe près, à l’un des nombres entiers
? Lee : pi
ST PO NOR en
NOTE IV. 175
£t comme l'expression
P(1— œP)
sera nécessairement une fonction entière de « dans laquelle les coefi-
cients seront entiers, cette expression, en devenant indépendante de «
ne pourra se réduire qu’à une quantité entière. Donc le produit
PP» ae)
et sa moitié
P(r1— œP)
2
_ seront deux multiples du nombre premier p, et la formule (29) donnera
p=-1 PSP +1
(30) 22 =(—1) 2 + (mod.p)
ou, ce qui revient au même,
2 12-tp +
(31) LE ]=1x .
On tirera, en particulier, de la formule (31) : 1° en supposant p de la
forme 8x + 1, c’est-à-dire de l’une des formes 8x +1, 8x + 7,
lee
‘2° en supposant p de la forme 8x + 3, c’est-à-dire de l’une des formes
Bl-ev--
Ainsi le nombre 2 sera résidu quadratique pour les modules premiers
de la forme 8x +1, 8x + 7 et non-résidu pour les modules de la
SELS, 8215,
forme 8x +3, 8x +5.
Observons encore qu’on tirera de la formule (31) : 1° en supposant
Be
p de la forme 4x +1,
(32) 2
Rd a = PEN, ppp)
176 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
2° en supposant p de la forme 4x +3,
Ces deux dernières formules sont précisément celles que, dans les
deux cas dont il s’agit, on déduirait immédiatement de la formule (28).
Il résulte de la seconde que, le nombre premier p étant de la forme
pr
4x + 3,2 ? sera équivalent, suivant le module p, à + 1 si ce module
est, en outre, de la forme 8x + 7 et à — 1 si le même module est de
la forme 8x +3.
Comme la démonstration de la formule (30) ou (31) repose entiè-
rement sur le développement de la puissance p du binome
1 + @,
« étant une racine de l’équation &æ? = — 1, on arriverait encore à la
même formule en développant immédiatement, à l’aide du théorème
de Newton, l'expression
Te ANT ANT ue
et ayant égard à la formule
4) = EE ou (te ÿ 1) = at
Effectivement, on trouverait alors : 1° en supposant p de la forme :
4X +1,
‘ Le ANS PEL
— a _ptp=n_ pp=n(p=s). PP Due )
2 — ( _— 2
mA 1) ae 4 1.2 1.2.3
2° en supposant p de la forme 4x + 3,
1.2.3.....(2—
NL
2 12,9 8
NOTE IV. ; 17
Eu
Ainsi, en particulier, en prenant
Rd DS, Dh DeTE:
on trouvera successivement
2 ——(1—5),
22—— (1+ 0 —10),
28—1—7—21+ 3,
2—— (1 — 11 — 05 +16 + 330 — 462),
Une méthode semblable à celle que nous venons de rappeler et par
laquelle on obtient la valeur de
peut servir à trouver généralement la relation qui existe entre les deux
(|
ou, ce qui revient au même, entre les restes de la division de 297!
«
expressions
1 AC | PAC R : “+ : u
par p et de 277! par g, p et q désignant deux nombres premiers impairs.
Effectivement, pour obtenir une transformation de l'expression
É = p4—1
[£]=?
il suffit d'élever à la puissance p l’une des racines carrées imaginaires
de + p. Or, d’après ce qui a été dit dans la Note 1, si l’on désigne par 0
une racine primitive de l’équation
(34) “ æP—1,
alors, en posant
(35) BRL, D OT A
on aura
| pi
(36) A—(—1)? p.
OEuvres de C.— S. 1H, t. IH. 23
178 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
D'autre part, g étant un nombre premier impair, il résulte de la for-
mule (2) que l'équation (35) entraînera la suivante :
37 AT — Qu — Gui QE Ga Ga 40,
q
4
gQ étant une fonction entière de 0 dans laquelle les coefficients numé-
riques seront non seulement des entiers, mais encore des multiples
de g; et comme, £ étant une racine primitive de l'équation (6), on aura
évidemment
à
O9 — Ont + Qu. QU Qu H (D D OM, , + QU QU) + À,
le double signe devant être réduit au signe + ou au signe — selon
que le nombre g sera équivalent, suivant le module p, à une puissance
paire ou impaire de #, c’est-à-dire suivant que l’on aura
[2] =: ou [E] =,
UE P. .
l'est clair que l'équation (35) pourra être réduite à
(38) ar—|1|a+ 0.
Enfin, comme
A7—(9— 04 9%—,,.+ gg )1
sera évidemment une fonction entière et symétrique, non seulement de
2 4 dE
DE RS
mais encore de
ST de
par conséquent une fonction entière et linéaire des deux sommes
p—3
0 40/4 07 DLL 06
Qt OP MER SE OT
et même une fonction qui changera de signe lorsqu'on remplacera 0
-par 9°, par conséquent lorsqu'on remplacera la première somme par la
seconde, on peut affirmer que A’ sera proportionnel à la différence de
NOTE IV. 179
ces deux sommes, c’est-à-dire à A, le coefficient numérique de A étant
un nombre entier. Donc, puisque, dans le second membre de l’équa-
tion (38), le premier terme se réduit à + A, le second terme
qQ
sera encore proportionnel à A, le coefficient numérique de A étant un
nombre entier multiple de g. Cela posé, l'équation (38), divisée par A,
donnera
(39) ee [2] (mod.g).
De cette dernière équation, combinée avec la formule (36), on tire
pig 1
[1|= (0 pr (mod.q),
par conséquent :
É (=
Telle est la loi de réciprocité qu'a trouvée M. Legendre et qui sert de
base à la théorie des résidus quadratiques. La démonstration (‘) que
je viens d’en donner, et que j'avais déjà exposée dans le Zulleuin de
M. de Férussac de septembre 1829, est plus rigoureuse que celle
qu'avait obtenue M. Legendre et plus courte que celles auxquelles
M. Gauss était d’abord parvenu.
Si le nombre # est le produit de plusieurs facteurs a, b, c, ...,
l'équation
Fsabc...
entrainera évidemment la suivante :
RAI
(1) Dans la troisième édition de la Théorie des nombres, qui a paru en 1830, M. Le-
gendre présente cette démonstration comme étant la plus simple de toutes et l’attribue à
M. Jacobi, sans indiquer aucun Ouvrage où ce géomètre l’ait publiée, et dont la date soit
antérieure au mois de septembre 1829.
180 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
En d’autres termes, on aura généralement
II
CSM E ARR RE
On trouvera de même
M IEGT
RASE
On peut voir, dans le Bulletin de M. de Férussac déjà cité, comment
les mêmes principes peuvent être appliqués à la théorie des résidus
cubiques, biquadratiques, etc.
NOTE V.
DÉTERMINATION DES FONCTIONS Rx, ... ET DES COEFFICIENTS
QU'ELLES RENFERMENT.
Si, en désignant par p un nombre premier impair, par 0, 7 des
racines primitives des équations
RP ae
par 4 une racine primitive de l’équivalence
æP = 1 (mod.p),
enfin par 2, # des quantités entières, on pose
(4) O,—0+ TD RQ, rip EU,
il est clair que la condition
>
Il
D
(mod.p — 1)
entrainera les formules
NOTE V. 181
en vertu desquelles on pourra toujours, si l’on veut, réduire lexpo-
sant À d’une puissance entière soit positive, soit négative de 7, ou
l'indice À d’une expression de la forme O,, à l’un des nombres
DE ROME Li, -Dema:
La
D'ailleurs, ainsi qu’on l’a prouvé, on trouvera : 1° en supposant 4
divisible par p — 1,
(2) O,—= 0 ——1;
2° en supposant À non divisible par p — +,
(3) 0,0_;—(—1)"p.
Donc, si l’on pose généralement
0,0; =Ry+x 0244
ou, ce qui revient au même,
(4) NE &
on aura : 1° en supposant 2 ou # divisible par p — +,
(3) Ris;
2° en supposant À non divisible par p — +,
(6) Rs,-s——(—1)"p;
et, comme on trouvera encore
04 0_,0 ;
APPLE “ Lo
x + ER OL
on en conclura, eu égard à la formule (3) et en supposant 4, #, ainsi
que À + #, non divisibles par p — 7,
(7) Ra,kR xp.
Ajoutons que, si 4 + # n’est pas divisible par p — 1, on aura [vorr la
182 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
formule (3) de la page 88]
(8) Ru,xz S(T'A4 76),
le signe S s'étendant à toutes les valeurs de : comprises dans la suite
CN PRET MINES PR"
et les valeurs correspondantes de #, 7 étant choisies de manière à véri-
fier la condition
(9) + =: (mod.p).
Concevons maintenant que, dans le second membre de la for-
mule (8), on réduise l’exposant de chaque puissance de 7 à l’un des
nombres
OT 2 0: nos DENAURE
Ce second membre deviendra une fonction entière de 7 du degré p — 2
et l’on aura identiquement
(10) STE) —a + aT+aT +...+a) 2:77 ?,
As js As +, 4» désignant des nombres entiers dont plusieurs
pourront s’évanouir et dont la somme, égale au nombre des valeurs
de #, vérifiera la formule
(11) do + A++... + np 2 pP— 2.
Cela posé, l'équation (10) donnera
(12) Rx = 40 + AT + ATH... + ap 2 TP,
D'ailleurs Si, dans l’équation (10), on remplace = par 7”, on trouvera
(13) S(TÉRLIRE) = a QT Tr +... HA) etre,
Done, si le produit
m(h + k)= mh + mk
n'est pas divisible par p — 1, l’équation (12) entrainera la suivante :
(14) Ram 004 7 + QT... Ha, 2r(p-2m,
NOTE V. 183
Sip — 1 divisait le produit
m(h + Kk),
alors on trouverait : 1° en supposant 724, mk non divisibles par p — 1,
(15) DOTMRRME) — y,
par conséquent
(16) do + AT + ave Put I 47 pt LE 1 ;
2° en supposant 2h et ##?#£ séparément divisibles par p — 7,
(17) D'ÉTHRARME) —=p — 2,
par conséquent
(18) Do A1 TH Ne, HA TPM D — 2,
[est bon d'observer que, dans le premier membre de l'équation (18),
les seules puissances de 7, qui se trouveront multipliées par des coef-
ficients positifs et distincts de zéro, seront les puissances qui offriront
des exposants divisibles par p — 1 ou, ce qui revient au même, celles
qui se réduiront à l'unité. Donc le premier membre de la formule (18)
se réduira identiquement au premier membre de la formule (11). -
Un moyen fort simple d'obtenir, pour des valeurs données de 4,
et #, les coefficients
40: js A2, at à p—2
est de résoudre l'équation (9) par rapport à 7 et d'en tirer, pour
chaque valeur de #, la valeur correspondante de 7. Concevons, par
exemple, qu'on prenne p = 5. Alors 7 sera une racine primitive
V—r où —Yÿ—1
de l'équation
Pare 1,
tandis que { désignera une racine primitive de l’équivalence
L'=1 (mod.5).
184 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
On pourra done prendre
et en effet, aux valeurs
de l’exposant # correspondront des valeurs essentiellement distinctes
et non équivalentes
ad 8 = 3 (mod.5)
de la puissance ot, D'ailleurs, si l’on attribue successivement à & les
valeurs
les valeurs correspondantes de
1—9= 9/ (mod.4)
seront
1—2= 4, 1— 4 = 2, 1—8=1—3=3 (mod.,5)
et, par suite, on trouvera, pour valeurs correspondantes de y,
MERS DE À
Cela posé, on aura
S(Tih+f#) — Th+2k LD T2h+ hi T(A+#)
et’ de cette dernière formule, jointe aux équations (8) et (10), on
tirera :
Pour A=1,#—=1,hA+4— 2,
Mimet ar: d9 = 0, A0, MES, Mes 7:
Pourh=1,k#—=2,h+#k—=3,
Ris T+T+T=I+ 27, do — 1; A1 — 2; 42 — 0, 43 — 0;
Pour A=3, 4=53,h+k—6—=2(mod. #4),
Rss=27 +Ti=T+or, = 0, A: 9; Qué, A3 = 0,
I serait facile d'exprimer les valeurs des constantes positives
do; ds à; “tr A p—2)
NOTE V. 185
comprises dans les formules (ro) et (15), en fonction des sommes de
la forme
S(zir+if) ou SÉRIE),
En effet, si, dans la formule (13), on prend successivement pour »2
chacun des termes de la suite
DES dd us Dir
on en tirera
[ Ao + Ai + de Me PEd D ue — Ho
A+AT +aT too sobre Mb TP = SRI
(19) { A+AT +aT* HE aa tie DES CPUROMNEE
| do—+ ATP + QT PU LE... Ha, ar) — S(rip—D RHIN)...
Or, comme, en désignant par 2 une quantité entière positive ou néga-
tive, on aura généralement, si 2 est non divisible par p — 1,
(20) 1+ Th rh... + ro
et, si 2 est divisible par p — 1,
(21) DH Th rh TD p — 5,
on conclura des formules (19), respectivement multipliées par les
facteurs
—m 2m æ—(p—2
RU D Aus DR,
puis combinées entre elles par voie d’addition,
\ (p Hs DE Pet SV em S(ritriF)
a)
TE Tr?" S(r2tA+/2)) SUP ER r—(p—2)m S(TtP—2)(ih+jR))
ou, Ce qui revient au même,
3 (p—2)an—=p—2--TP-2m 6 (rii+iK)
2
( ) + rÜP—3)m 6 (r2téh+ik)) ch 5 NAT S(rP-AGh+Sh)),
Ce n’est pas tout. Si, en attribuant à z et j deux valeurs correspon-
Œuvres de C. — S. 1, t. WI. 24
=
186 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
dantes, propres à vérifier la formule (9), on a
h+jk=l (mod.p — 1),
l désignant l’un des nombres
8
ΠLL TE SU Des
on en conclura, non seulement
Tih+ik — t!,
mais aussi
tih+ik—= yl (mod.p).
Donc la formule (10) entrainera la suivante :
(24) SH) = a +at+altt+... + ap all (mod.p)
et la formule (13) donnera pareillement
(25) S(cimhtimk) = a, + a na lnt., Ha, tpm (mod.p).
Si, dans cette dernière, on prend successivement pour »# chacun des
termes de la suite,
0,6, 0 Se es COTE
on en tirera
A+ . + +... + dp = p — 2
dot Ait —+asl +. +ap-a = S(ciA+IE)
(26) A+ 4,6 +at +... ape) = SU A+JN) (mod.p).
EE
| A+ A PH a ÉUPO E,, + RS À dr = S(4(P—2 R+GR))
Or, comme, en désignant par À une quantité entière positive ou néga-
tive, on aura généralement, si 2 est non divisible par p — 1,
(27) it ph+.. +4P%h=0o (mod.p)
et, si 2 est divisible par p — 7,
(28) 14H UE, HUP hp (mod.p),
NOTE V. 187
on conclura des formules (26), respectivement multipliées par les
facteurs
+: En, he Le HP
puis combinées entre elles par voie d’addition,
| (p SR 1)a»= pP Les ele LU S (tia+J#) Re tn Seau +/6) RSR
(29) | ce t-(p—-2)m SCPI ER) (mod.p)
ou, ce qui revient au même,
An = 2 — t(p—2)m Saints) — ptp—s)m SEAT )— Dire
(30) | (mod.p).
Pre S ( ttp—2)(ih+jk) )
La quantité positive a,, devant être, en vertu de la formule (11),
inférieure à p — 2 pourra être aisément déterminée à l’aide de la for-
mule (30), si l’on parvient à trouver des quantités équivalentes, suivant
le module p, à des sommes de la forme
S(4A+IE) ou S(UNREIMRT,
Or concevons que, dans la somme
BUCPREIRT,
h et Æse réduisent, comme on peut toujours le supposer, à deux termes
de la suite
DUR RE Ve is Pr,
Alors, si l’on a
(31) 1 h+k—=o,
ce qui suppose À — 0, # — o, on trouvera évidemment
(32) S(r##7#) = p — 2,
par conséquent,
(33) S(eiRHIE) = — 9 (mod.p)
et, si l'on suppose
(34) h+k=p—1,
188 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
on trouvera
S(rihr/6)—S(rd-) = rpm... + ep
ou, ce qui revient au même,
(35) S(TP#/E) = — 1,
par conséquent,
S(EMtIE) = SUN) = GE PR... + Pt (mod.p)
ou, ce qui revient au même,
(36) S(éAHIk) = 1 (mod.p).
Si À + £est renfermé entre les limites 0, p —1,en sorte qu’on ait
(37) P—i>hk+K%>Oo,
on trouvera, en vertu de la formule (9),
(38) S(4h+Ik) = S[Ha(1— #)#] (mod.p)
et puisque, pour { — 0, on aura
1— li 0,
ilest clair que, dans le second membre de la formule (38), on pourra
étendre la sommation, indiquée par le signe S, ou comme dans le
premier-membre, aux seules valeurs de : comprises dans la suite
1} hrs sony DA
ou bien encore à toutes les valeurs de z comprises dans la suite
LPS Pa FRS. PARA SAT
D'ailleurs, dans cette dernière hypothèse, on aura, en vertu des for-
mules (27) et (337),
SIN) 0, See), me S(LitA+E)) = 0 (mod.p);
et, par suite, après le développement de
G— 4)
NOTE V. 189
suivant les puissances ascendantes de t, le second membre de la for-
mule (38) se composera d’une suite de termes dont chacun sera équi-
valent à zéro suivant le module p. Donc la condition (37) entraînera
l’'équivalence
(39) S(éir+i#) = 0 (mod.p).
Supposons enfin
(40) h+k>p—1x.
Alors, À + k étant renfermé entre les limites p — 1, 2(p —1),s1 lon
pose
(41) h—(p—1) —, k—=(p—1) —k,
la somme
h+k—2(p—1)—(h+k)
sera renfermée entre les limites o, p —1, de manière à vérifier la
condition
(42) pis h+k So.
Alors aussi on aura |
S(uh+ik) = S(E-i-/x) (mod.p);
puis, en posant
(43) J—izt (mod.p)
ou, ce qui revient au même,
J=Ei+t,
on trouvera
S(LA+Ik) = SEK p-ih+k) ) (mod.p).
D'ailleurs, comme, en vertu de l’équivalence (43), la formule (9) se
réduit à
(44) Ei=i+ tt (mod.p})
190 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
on trouvera encore
(45) S(cih+ik) = S[ek(r + et)h+k] (mod.p).
Dans le second membre de la formule (45), la sommation indiquée
par le signe $ doit s'étendre aux diverses valeurs de {‘ qui permettent
de vérifier la condition (44), par conséquent aux diverses valeurs de t
comprises dans la suite
BTS TN DRE Ra Mr,
mais distinctes de la valeur
pour laquelle il ne serait plus possible de vérifier la condition (44),
réduite à la forme inadmissible
tÂ=,
I /
et comme, pour !: = » On aura l‘—=—1, par conséquent
P —
2
i+it= 0 (mod.p),
il en résulte que, dans le second membre de la formule (45), la som-
mation indiquée par le signe S pourra être étendue sans inconvénient
à toutes les valeurs
PA PE PR RE
de l’exposant t. Or, dans cette dernière hypothèse, en développant
(1 + £yh+k
suivant les puissances ascendantes de #‘, puis ayant égard aux for-
mules (25), (28) et (42), on tirera de l'équation (45)
EDR PRES (hb+k)
(1.2... hi, k) (mod.p)
S(##+t)= (p—1)
ou, ce qui revient au même,
(46) S(tA+ik) = II, (mod.p),
NOTE V. 191
la valeur de IL, étant
(47) Il, , =
Ilest bon d'observer que la formule (46), dans laquelle 2,4 et h,k
sont liés entre eux par les équations (41), s’étend au cas même où la
somme
h+k
redeviendrait inférieure à p — 1 et se trouverait comprise entre les
limites
0, pP—I.
Alors, en effet, comme on aurait
(48) h+k>p—:
et, par suite,
I, CT: PM (b+k)=o (mod.p}),
l'équivalence (43) donnerait évidemment
(49) I: = Oo
et, en conséquence, la formule (46) se trouverait réduite à la for-
mule (39).
Observons encore que de la formule (46), jointe aux équations (41),
on tire immédiatement
(50) SUAHIE) = TE, pp 1x (mod.p).
Dans les formules qui précèdent, chacune des lettres 2, # repré-
sente l’un des nombres
Qi: V4 ee, Pa
et, par suite, chacune des lettres h, k représente l’un des nombre
Le Gui pee,
Pour rendre les notations facilement applicables au cas où
J ARUNC peus : OR |
192 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
représenteraient des quantités entières quelconques, soit positives,
soit négatives, nous désignerons généralement par
EL, x
ce que devient le rapport
quand on y remplace les quantités entières
| RES. in
par les deux termes qui, dans la suite
CRE MORE. CIRE VON EPL PS
sont équivalentes à ces quantités, suivant le module p — 1. Cela posé,
la formule (50), étendue à des valeurs entières quelconques de 2 et
de #, donnera généralement, si À + # n’est pas divisible par p — 1,
(51) S(cin+ik) = 2 IE, 4 (mod.p).
Ajoutons que, si À + # devient divisible par p — 1, la formule (51)
devra être remplacée, ou par la formule (33), ou par la formule (36);
savoir : par la formule (33) lorsque p — 1 divisera séparément 2 et #
et par la formule (36) dans le cas contraire.
Concevons maintenant que, dans les formules (33), (36) et (57),
on remplace
h par mh et k par mk,
m étant un terme de la suite
ds 14 2:06 SN pores
Alors on trouvera : 1° en supposant #4 et mk séparément divisibles
par p — 1,
(52) S(emtih+Jk,) = — 9 (mod.p)
2° en supposant que p — 1 divise la somme
m(h+k)=mh+mk
NOTE V. 193
sans diviser ses deux parties nh, mk,
(53) S(EMGh+IN) =— 1 (mod.p);
3° en supposant le produit #2 (4 + #) non divisible par p — 7,
(54) S(emR+IN) = TL 5 mx (mod. p).
En vertu de ces dernières équivalences, la formule (50) donnera
| Am—=2 + Hs tR-UR
(55) (mod. p)
| + one PE M D 0), —(p—9)4 lt
ou, ce qui revient au même,
(56) a,=2+ 1, 6 + pop + HE on (po) Pt (mod.p),
pourvu que, : désignant l’un quelconque des nombres entiers
NE ous Dr
on ait soin de remplacer généralement le coefficient £”", savoir
IL; ©
1° par l’unité, quand p — 1 divisera la somme des produits 1h, 1#
sans diviser chacun d’eux ; 2° par le nombre 2 quand p — 1 divisera
séparément chacun de ces produits.
Lorsque, à l’aide de la formule (56), on aura calculé les valeurs de
do dj; À; MRER A p—25
correspondant à une valeur donnée de £ et à des valeurs de 2, # pour
lesquelles la somme 2 + # n’est pas divisible par p —1, alors, pour
obtenir la valeur de
Rs
il suffira de recourir à l'équation (12).
Pour montrer une application de la formule (56), considérons en
particulier le cas où l’on aurait
pr.
Alors, si l’on suppose, comme on peut le faire, { — 2, la formule (56)
ŒEuvres de C. — S.N,t. HI. 25
19% MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
donnera
Am= 2 + [42% + IL 422 + Ip 3x2% 7 (mod.5).
Si d’ailleurs on prend
: ne FE
on trouvera
Am = 2 + IL, ,2"+ IL, ,, 22° + IL, , 25” (mod.5)
ou plutôt |
am=2 +, ,2%+ ot" TITI, ,oim (mod.5)
en remplaçant, comme on doit le faire,
IL,
par l'unité, attendu que p — 1 — 4 divise la somme
2-2
des indices placés ici au bas de la lettre IL sans diviser séparément
chacun d'eux. Comme on aura d'ailleurs, en vertu de la formule (47),
et, en vertu de la formule (49),
Il,,; = 0,
on trouvera définitivement, dans l'hypothèse admise,
An = 2 + 2%+1 LE 92m (mod.5),
ou, ce qui revient au même,
Am=2+(—1)"+ anrt (mod.5),
puis on conclura: 1° pour des valeurs paires de 7»,
An=—2—+ 27#1;
2° pour des valeurs impaires de m,
AS et NM 2n+1
et, par suite,
l
©
il
Il
©
1
[ep]
l
I
Il
A
8
NOTE V.: 195
Donc, puisque chacun des coefficients
dos As A2, À3
doit être nul ou positif et ne peut surpasser p — 2 = 3, on aura néces-
sairement
RÉTEOS Ai — 0; As — 1, As.
Cela posé, la formule (12) donnera
Hijetihar,
On se trouve donc ainsi ramené à l’une des formules que nous avions
déduites directement de la formule (8).
_ On pourrait remarquer que l'unité, par laquelle nous avons rem-
placé le coefficient
LA Fa DE ET ANS
IL: (1.2)(1.2) 4
est équivalente à ce coefficient suivant le module 5. Mais on se trom-
perait si l’on supposait que, dans le cas où p — 1 divise h + k sans
diviser h et k, on a toujours
IL, = I (mod.p).
Effectivement, en prenant comme ci-dessus p = 5, on trouvera
1.2.3.4
nus 1.(1.2.3)
—h4=—1 (mod.5).
En général, si p — 1 divise h + k sans diviser hetk, alors hetk,
étant réduits chacun à l’un des nombres
2 D — à
fourniront une somme précisément égale à p — 1, en sorte qu’on aura
h+k=p—1i=—: (mod.p),
=— h—: (mod.p),
et, par suite,
(k+1)(k+2)...(k+h)=(—i)r.2.3..... h.
196 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Or, on tire de cette dernière formule
Go DONNE Sas CPR PAS (k+h)
par conséquent
(57) I,;=(—:1)" (mod.p);
et 1l résulte évidemment de l’équivalence (57) que, dans la for-
mule (56), on peut laisser à £*”*, pour coefficient, l'expression
Lux,
lors même que p — 1 divise la somme 1h +1k, sans diviser «h et k,
pourvu que th et1k offrent des valeurs paires.
Une conséquence importante à laquelle on se trouve immédiatement
conduit par la seule inspection des formules (8) et (51), c’est que,
dans le cas où la somme h +k n’est pas divisible par p — 1, l’ex-
pression
IL, x
équivaut, au signe près, à ce que devient la fonction entière de =
représentée par
R,,e,
quand on y remplace une racine primitive 7 de l'équation
APE
par une racine primitive { de l’équivalence
æPrl= 7} (mod.p).
Cette dernière racine { doit d’ailleurs coïncider avec celle que renferme
la formule (9).
Lorsqu'on veut appliquer à des cas particuliers les formules ci-
dessus établies, toute la difficulté se réduit à trouver, pour des valeurs
de h et de k positives, mais inférieures au module p, des quantités
équivalentes aux expressions de la forme
NOTE V. 197
c’est-à-dire aux coefficients numériques que renferme le développe-
ment de la puissance
du binome 1 +4. Le calcul direct de ces coefficients devient assez
pénible lorsque le nombre £ acquiert une valeur considérable. Mais
alors même des quantités équivalentes à ces coefficients, suivant le
module p, peuvent être assez facilement obtenues par lune des mé-
thodes que nous allons indiquer.
D'abord, si, en désignant par £ une racine primitive de l'équivalence
tP—l=1 (mod.p),
on nomme éndices des nombres entiers
I, 2, S;, 4,
les diverses valeurs de l’exposant #, pour lesquelles la puissance 1°
deviendra successivement équivalente à ces nombres entiers suivant
le module p, il est clair, d’une part, que deux nombres seront équiva-
lents, suivant le module p, quand leurs indices seront, ou égaux, ou
équivalents suivant le module p— 1, d'autre part que l'indice d’un
produit sera équivalent à la somme des indices de ses facteurs et
l'indice d’un rapport à la différence des indices de ses deux termes.
Cela posé, si, en se bornant à considérer des nombres entiers et des
indices plus petits que la limite p, on construit deux Tables qui
offrent le nombre correspondant à chaque indice et l'indice corres-
pondant à chaque nombre, l’addition successive des indices placés à
la suite les uns des autres dans la seconde Table fournira les indices
des produits
ECS RES RES.
et dès lors il deviendra facile de calculer l'indice du rapport
par conséquent une quantité qui soit équivalente à ce rapport suivant
198. MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
le module p. M. Jacobi ayant effectivement construit les Tables dont
nous venons de parler pour toute valeur de p inférieure à 1000, il en
résulte que, pour une semblable valeur, on obtiendra sans peine un
nombre équivalent à IL, suivant le module p.
= Ilest bon d'observer qu'au lieu de réduire chaque indice à l’un des
nombres
FL PRES PUR AIR. Se RUE
on pourrait le réduire à l’une des quantités
PRÉ RL PR DOC: MR ARE Are ;
Supposons, pour fixer les idées,
PS7.
Alors en prenant, comme on peut le faire, £ — 10, on reconnaitra
qu'aux nombres
OP ES PS PEL PE à RE r PL e DORE rc MES © OA à ME À M | M9 Ro
correspondent les indices
0; 6, 29, 4, 7; 5, a Jan be 29 6, 1; —5, TES — à, 3, 2, 8.
Or les sommes formées par l'addition successive de ces indices seront
équivalentes, suivant le module 16, aux quantités
” »
O0, —-6, 5, —7, 0, 5, —2, —4, 9, 3, o, —1, —5, —2, 0, 8.
Donc ces dernières quantités représenteront les indices des produits
de la forme |
RARE PI PAR PR EE) CRE» PORC: CAE: RUES LRU à HER) TRÈS L'eUR ss qi TA
NOTE V. 199
Ainsi, en particulier, quatre de ces produits correspondront à l'indice o
et seront, en conséquence, équivalents à l’unité suivant le module 17;
tandis qu'un seul produit, ayant 8 pour indice, sera équivalent à 16 ou
à — 1, suivant ce même module. Les quatre produits équivalents à + 1
seront ceux qu'on obtiendra en prenant pour h un des nombres
et se réduiront à
ORNE
1.2.3.4.5.6.7.8.0.10.11, 1.2.3.4.5.6:7.8.9.10.11. 12.13.14. 15,
tandis que le seul produit, équivalent à — 1, sera, conformément à un
théorème connu, le produit de tous les nombres entiers positifs infé-
rieurs au module 17, savoir :
1.2.3.4.5.6.97.8.9.10.11.12.13.14.15.16.
Il sera maintenant facile de calculer les valeurs de
IE,,x
correspondant à la valeur 17 du module p et à des valeurs données
de h, k. Ainsi, par exemple, en posant
| Em kiss h+k—s8,
on trouvera pour indice des produits
1.2,9:4,:1.2,3.4.5.6.7.8
les quantités
773 — 4.
Donc l'indice du rapport
1.2.3.4.5.6.7.8
(E2:3.4)(.3:3:4)
sera
—4+9+7=10=—6 (mod. 16),
et, en conséquence, ce rapport sera équivalent, suivant le module 17,
au nombre 2. Pareillement, si l’on prend
Hin d A0; h+k=S,
200 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
on trouvera pour indices des produits
1.4 Se 6 “eh: 1.2.9.4.9,0.7.8
les quantités
Donc l'indice du rapport
sera
et, en conséquence, ce rapport sera équivalent, suivant le module 17,
au nombre 11 ou, ce qui revient au même, à la quantité négative — 6.
Au reste, sans recourir aux Tables qui fournissent, pour chaque
module, l'indice correspondant à un nombre ou le nombre correspon-
‘ dant à un indice donné, on pourrait, à l’aide de simples additions et
soustractions, obtenir facilement des quantités équivalentes aux di-
verses valeurs de If,,, c'est-à-dire aux nombres figurés des divers
ordres. En effet, d’après les propriétés bien connues de ces nombres,
on peut les déduire par addition les uns dés autres en formant ce
qu’on appelle le tr'angle arithmétique de Pascal. Il suffira done, pour
arriver au but qu’on se propose, de calculer quelques-uns des termes
que doit renfermer le triangle arithmétique en réduisant chacun d’eux
à un nombre inférieur au module donné ou à une quantité dont la
valeur numérique ne surpasse pas la moitié de ce module. Entrons à
ce sujet dans quelques détails.
Supposons les deux nombres h, k inférieurs au module p ou même
à p — 1. I suit évidemment de la formule (47) que les valeurs de
IL,,4, PES IL, x 1
seront respectivement égales aux produits du rapport
VE PE PMR (h+k—1)
LENS PS (h—1)][(1.2..... (k—:1)}
par les trois nombres
h+k I d
DK ES
NOTE V. 201
Or, comme le premier de ces trois nombres est précisément la somme
des deux autres, nous devons en conclure qu'on aura
(58) Lx = Mix + xs
De plus, il est clair qu'on aura, en vertu de la formule (47), non seu-
lement
(29) Hess In
mais encore
(60) EE, = h +1, IL, = Kk +1.
Cela posé, imaginons une Table, analogue à la Table de Pythagore,
dans laquelle la première ligne verticale et la première ligne horizon-
tale renferment les valeurs de h, k positives et inférieures à p ou même
à p — 1, c'est-à-dire les nombres
‘ /
RS be ous Dr R
et concevons que, dans la case correspondant à des valeurs données
de h, k, on place une quantité, non seulement équivalente à I,,, sui-
vant le module p, mais, de plus, renfermée entre les limites — £, + £.
Il résulte des formules (Go) que, dans la Table dont 1} s’agit, chaque
terme de la seconde ligne horizontale ou verticale sera équivalent au
terme correspondant de la première ligne augmenté de l’unité, et de la
formule (58) que, dans chacune des autres lignes horizontales et ver-
ticales, un terme quelconque sera équivalent à la somme des deux
termes antérieur et supérieur, c’est-à-dire des deux termes qui le pré-
cèdent immédiatement, lun dans la même ligne horizontale, l’autre
dans la même ligne verticale. Or, ces remarques fournissent un moyen
très simple de construire la Table que nous venons d'imaginer et qui,
dans le cas où l’on suppose p — 17, se réduit à la suivante :
OEuvres de C. — S. I, t. NL. 26
202 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Quantités équivalentes aux nombres figurés suivant le module p = 17.
I 2 3 4 5 6 7 8 Le D A 2e 20 MESSAGER à Pa D es PA ET à
——_—— ne te ne ee ee ue eee ennemie mens ms ns Te cesse
I 2 3 4 6 ÿ 8 |—8 |—7 | —6 |—5 |—4 |—3 |—2 |-1 0
2 3 6 |—5 |—2 j | —6 2 | —6 4 |—2 | —5 6 3 I o
L Las À ? A — PR + —— ASTM, Lo ee — ——
3 4 |—5 3 I 5 0 I 5 L 3 7 4 l 0
4 5 | —2 I D = 6 gi 2 I |—2 5 1 0
5 6 4 5 7 |—3 3 |—7 |—5 | -4 |—6 | —1 0
6 7 |—6 | —1 6 3 6 |—1 | —6 Fi I 0
FOROSS PAM APR BORNE 'EPNRRS es
8 2 [ 5 |—5 |—i | —2 | —8 |—1 0
—7 4 |—1 1 |—4 7 |—1 o
1O —6 |—2 |—3 | —2 | —6 il to
(6 SU Ronde D P: Del o
12 | —/ 6 |—/ I (o
14 1—2 I oO
19: 1 0
16 (e)
Dans la Table précédente, on s’est dispensé d'écrire les quantités
auxquelles IE,, devient équivalent, lorsque la somme h + k est ren-
fermée entre les limites p, 2(p — 1); attendu que ces quantités, en
vertu de Ja formule (49), se réduisent toutes à zéro, comme celles qui
correspondent au cas où l’on a
h+k = p.
Quant à celles qui répondent au cas où l'on a
h+k—=p—1,
NOTE V. 203
elles se réduisent alternativement, en vertu de la formule (57), à +1
ou à — 1, selon que h est pair ou impair, et occupent les cases situées
sur l’une des diagonales de la Table. Les cases situées sur l'autre dia-
gonale renferment les quantités
qui représentent les valeurs de
IL,
correspondant aux valeurs
du nombre h; et, dans les cases symétriquement placées à l'égard de
cette autre diagonale, on trouve des quantités deux à deux égales entre
elles, conformément à l'équation (59). Ajoutons que les quantités
écrites dans la partie du Tableau comprise entre la première ligne
horizontale, la première ligne verticale et la première diagonale, sont
encore, dans chaque ligne horizontale ou verticale, égales deux à
deux, au signe près, à distances égales des extrémités de chaque ligne.
Or, c'est ce qu'il était facile de prévoir. Car si l’on nomme
URSS
trois quantités entières, non divisibles par p — 1 et choisies de ma-
nière à vérifier la formule
(61) h+k+l=p—1
ou même, plus oralement, de manière à vérifier l’'équivalence
(62) h+k+1=0 (mod. p—1);
on aura, en vertu de l'équation (3),
1:00 = (— 1P
h+k 1=(—1) o,
el, par suite,
0,
x ra 1)
R, k — 1 8,0,6: 6, 6°
P
Or, cette dernière équation devant subsister, ainsi que la for-
204 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
mule (61) ou (62), lorsqu'on échange entre eux les nombres
on en conclura
0, 0, 0, LB
63
(63) ;
(— 1) Rx (— 1YRin= (— 1) Rixe
On aura donc, dans l'hypothèse admise,
(61) Re (I) Rin= (— Rx;
et, en remplaçant 7 par /, on trouvera
(63) 1 iz(— 1" hyz(— 1x (mod.p).
On tirera d’ailleurs de la formule (65 )
Hi=(—1) x (—1)" x (mod.p)
ou, ce qui revient au même,
(66) 1, 10 x= (1) (mod. p).
Il serait au reste facile de déduire directement la formule (66)
de l'équation (43), par un calcul semblable à celui qui nous à con-
duits à la formule (57).
Les formules (49), (57), (58), (59), (6o), (66) offrent le moyen
de simplifier la recherche des quantités équivalentes à IL,,, et la con-
struction de la Table qui les renferme ; et d’abord il résulte des for-
mules (49), (57) qu'on pourra se borner à calculer, dans cette Table,
les termes correspondant à des valeurs de h, k, pour lesquelles on
aura
(67) h£ikS pr:
De plus, eu égard à la formule (59), on pourra supposer que h est
le plus petit des deux nombres h, k, lorsque ces deux nombres de-
viennent inégaux; et, en admettant cette supposition, on tirera de la
formule (63)
Dr
(68) h <
NOTE V. 205
Ce n’est pas tout : en vertu de la formule (66), on pourra se borner
à calculer celles des quantités équivalentes à IL, pour lesquelles on a
kK£p—1—h—Kk,
par conséquent,
DM ER GE
(69) k © E—;
et, de la condition
h<k
combinée avec la formule (69), on tirera
he.
(70)
On pourra donc, dans la Table ci-dessus mentionnée, conserver
seulement la première ligne horizontale et la première ligne verticale,
avec les cases correspondant aux valeurs de h, comprises entre les
limites ù
RTE, h==
et aux valeurs de k, renfermées entre les limites
Lopoi—h pe P — 2 kK
77 2 2
en à fe k
Ainsi, en particulier, si l’on suppose p — 17, la Table dont il s’agit
pourra être réduite à la suivante :
Quantités équivalentes aux nombres figurés suivant le module 17.
I ee  à 6 F,
I a 3 4 Gr" 6 7 8
2 6 |—7 |—2 4 |--6 2
> 3 I 5 |—1
4 2 7 6
5 —3
206 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Pour construire cette dernière Table, il suffit de placer dans la pre-
mière ligne verticale les valeurs de h inférieures à
savoir
savoir
puis de remplir, pour chaque valeur de h, les cases correspondant
aux valeurs de k comprises entre les limites
AN,
pi Mr Lo
en opérant comme il suit :
Pour obtenir les termes
qui devront composer la deuxième ligne horizontale, on ajoutera
l'unité aux termes correspondants de la première ligne. De plus,
comme des formules (58) et (59) on tire
(7 1) + A 211, _;»,
il est clair que, dans chacune des lignes horizontales qui suivront la
deuxième, le premier terme conservé devra être équivalent, suivant le
module 17, au double du terme immédiatement supérieur, et chacun
des autres termes conservés à la somme faite des deux termes placés
en avant et au-dessus de celui que l’on considère.
En opérant de cette manière, on trouvera pour termes de la troisième
ligne horizontale, les quantités
6— 2.5, — 9 = 6 +4, —2—=— 7 +), k—=—2+6,
—6=4 +7, =—6+8;
NOTE V. 207
pour termes de la quatrième ligne, les quantités
a+, Ge 13
enfin, pour terme unique de la sixième ligne horizontale, la quantité
— 3=2.7 (mod. 17).
A la seule inspection de la Table construite comme on vient de le
dire, on obtiendra immédiatement les quantités équivalentes à IT,,,
pour des valeurs de h et de k non situées hors des limites
(72) his; h= À; k—h, : Ke ASIE
IL, ,= 2, IL, ,= — 6 (mod. 17).
Si les valeurs de h, k, n'étant plus situées entre les limites (52
étaient néanmoins des valeurs positives propres à vérifier encore la
condition (67), on devrait joindre à la Table construite les for-
mules (59) et (66). On trouverait ainsi, par exemple, |
(mod. 17).
Enfin, si les quantités h, k acquéraient des valeurs quelconques
positives ou négatives, mais non divisibles par p 1, on devrait d’abord
les réduire, par l’addition ou la soustraction de p — 1 ou de ses mul-
tiples, à des quantités positives, mais inférieures à p — 1, puis, après
cette réduction, on aurait recours soit à la formule (49), soit à la
formule (57), soit à la Table construite et aux formules (59), (66),
208 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
suivant que la somme h + k serait supérieure, égale ou inférieure au
nombre p — 1.
Il est inutile de s'occuper du cas où l’une des quantités h, k et, par
suite, l’une des quantités 2, # deviendrait divisible par p, attendu que,
dans cette hypothèse, on n’a plus besoin de recourir à la formule (56)
pour déterminer la valeur de R;4 qui, en vertu de l'équation (5), se
réduit à — 1.
Un moyen fort simple de prévenir et de reconnaitre les erreurs qui
pourraient se glisser dans la construction de la Table ci-dessus men-
tionnée, consiste à introduire dans chaque ligne horizontale un terme
de plus. Effectivement, en vertu de la formule (66), si l’on fait entrer
un nouveau terme dans une ligne horizontale correspondant à une
valeur donnée de k, ce nouveau terme devra être égal au terme précé-
dent, pris en signe contraire, ou à l’avant-dernier terme de la même
ligne, suivant que la valeur de 2 sera un nombre impair ou un nombre
pair. Donc si, au moment où l’on parvient à l'extrémité d'une ligne
horizontale, il arrivait que la condition dont nous venons de parler ne
fût pas remplie, on devrait recommencer le calcul des termes compris
dans cette ligne. En opérant comme on vient de le dire, et supposant
par exemple 2 — 17, on obtiendra, au lieu de la Table trouvée plus
haut, celle que nous allons transcrire :
Quantités équivalentes aux nombres figurés suivant le module 15.
LT ANT 2) dy
ere RERO REUTE RS COMPMNTS CMMMEUNS CORNE MCE SAME LUN
I » 3 ni ) 6 2 8 |—8
SOUS DS ÉARPENE | LAN rte
2 | 6 |—7 |—2 4 | —6 3.16
5 se hs es
3 3 1 5 |—1 Il
BUS Ds
f 2 g 6 ki
) —3 5
Si l’on supposait au contraire p — 19 ou p — 29, on obtiendrait les
Tableaux suivants :
NOTE V. 209
Quantités équivalentes aux nombres figurés suivant le module 19.
L 2 3 4 5 6 7 8 9
hi iile sale
ca 6 sa 2 9 | —2 7 ia
DR Doi ihtlalels
4 7 Pa rt halx
. Les 5 6 |—6 4e
a an
Quantités équivalentes aux nombres figurés suivant le module 29
1 : < 6 7 8 OF SIOR ET 12 ESS T4
| me | me | me | me | | | | | ns | mme =
[ 2 3 A JS O0 7 8 GI: HOP-ETE-VEST 19 14|—14
2 ire 10 |—14|—8 |—1 ns à NE, 4
D hahaha.
nt ne 12| 10 7 a ao t 2|---7 Hs
5 We 9 II Fl—13/—11| nr
6 ot riens 4l— 9|. 4
7 .. 10 |— 3 ie
$ 4 sus
. Es ie
Lorsque, dans la formule (56), on substitue les quantités équiva-
lentes à
Il,» IL »,x; dE He) Atra)4
déterminées par l’une des méthodes que nous venons d’exposer, on
obtient une valeur de a,, qui dépend évidemment de la valeur attribuée
OEuvres de C. —S. I, t. HI. 27
210 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
à 4. Or, « désignant une des racines primitives de l'équation
xPi=t :(mod.p}),
si l’on pose
de à PA
:étant un nombre premier à p — 1, {sera une autre racine primitive de
la même équivalence; et comme, dans @,, le coefficient de
gt" gr gt”
sera
Tite,
ilest clair que, remplacer dans O,, £ par #’, revient à y remplacer +
par +”. Donc, substituer à la racine primitive 4 la racine primitive
d={, c'est, en d’autres termes, transformer @, en @,;, par conséquent
O, en O», et
R, 5 0, 0,
: 0,4
en
R Rec 0,,0,4
th tk — à “
((h+k)
Ainsi, par exemple, comme, en prenant p = 5 et
=>),
on trouve
Ri1i=T +2, Rss T° +27,
si l’on prend, au contraire,
t—3= 2 (mod. 5),
on trouvera
Rii=T+or—=T+ar, Rss T+tor=r +.
Donc, substituer à la racine primitive 2 la racine primitive
= (mod. 5 ),
ce sera transformer
R;:: en R,;
et réciproquement
R;,3 en Ron R; 1.
NOTE V.: 211
Les diverses formules obtenues dans cette Note se rapportent au cas
où la valeur de @, est donnée par l'équation (7). Si, en désignant par 2
‘un diviseur de p — 1, et posant
(75) P—Ii—=nS,
on nommait
Br
des racines primitives des formules
NE et <= 1 (mod.p),
on pourrait prendre
pr, r= IS (mod. p).
Alors, en remplaçant
h par ©, k par ©æ4,
puis écrivant, pour abréger,
O0, au lieu de 0,»,
Rx » Roc
Il, x » ETATS
on obtiendrait, à la place des formules trouvées dans cette Note, des
formules analogues obtenues dans le Mémoire. Ainsi, en particulier,
la valeur de @, serait généralement fournie, non plus par léquation (1),
mais par la suivante
(74) 0,=0+phôot+pth6f+t.. + png,
et l’on aurait : 1° en supposant k divisible par »,
(75) 0 0 ——1;
2° en supposant À non divisible par 2,
(76) 9,0 _y—(—1)74p.
212 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
De plus, en posant toujours
0,0:= Rhrôns
ou, ce qui revient au même,
0, 0;
Or
2
(77) Rss
on trouverait : 1° pour des valeurs de 2 ou de # divisibles par 2,
(78) Ras —1;
cd pour des valeurs de À non divisibles par ñ,
(79) | Raa=—(—1)9#p;
3° pour des valeurs de X, de #et de À + Æ, non divisibles par 7,
(80) Roi sen
Ajoutons que, si + # n’est pas divisible par 2, l’on aura
(81) Rx S(pl#4/#),
le signe S s'étendant à toutes les valeurs de z comprises dans la suite
1: LA di es Dre
et les valeurs correspondantes de #, 7 étant choisies de manière à véri-
fier la condition (9), c’est-à-dire la formule
+ ti=: (mod. p).
Concevons maintenant que, dans le second membre de la for-
mule (81), on réduise l’exposant de chaque puissance de 9 à l’un des
nombres
5 RS POSE VOS. UN GE C4
Ce second membre deviendra une fonction entière de 9, du degré
n —1;et l’on aura identiquement
(82) Split) — a, + AP + Ap?+e.. + apr,
NOTE V. 213
os As A9 ce. An désignant des nombres entiers, dont plusieurs
pourront s’évanouir, et dont la somme, égale au nombre des valeurs
de &, vérifiera la formule
(83) do+ di + A2t+... + An = P — 2.
Cela posé, l'équation (81) donnera
(84) Ra d0+ &p +ap+...+an1p"T!.
Concevons d’ailleurs que, pour se conformer aux conventions €i-
dessus adoptées, l’on remplace
h par oh et kK par wk,
dans le second membre de la formule (43). Cette formule, réduite à
1.2.3...[w(h+k)]
(1.2...üh)(1.2...50k)
( 85 ) IL, x —
fournira la valeur de IL,,, dans le cas où les quantités h, k se réduiront
à deux termes de la suite
UE PO PE IPN
et, dans le cas contraire, IL,, représentera ce que devient le rapport
à 1.2,3...[&w(h+k)]
(6,2.3.:40h)(1.2.3...0K)
quand on y remplace les quantités entières h, k par les deux termes
de la suite
FÉERIES
qui sont équivalents à ces mêmes quantités, suivant le module ».
D'autre part, à l’aide de raisonnements semblables à ceux par lesquels
nous avons établi les formules (19) et (26), on prouvera que les
valeurs de
CPE d1» 2, ses A n—19
renfermées dans les équations (82) et (84), vérifient non seulement
21% MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
les formules
ce Mnr, 7 2 Hess An = p — 2,
do ap + ap? +... +anuptt =S(pihrik),
(86) ! A0+ A0? + a,0* Hs Ans pt) — S(otik+in,
Ag + ap" + apr, Ha, pr S (pteouR+7m),
mais encore les suivantes :
Ao+ à: + de +...+ A» = p — 2 (mod. p),
A+ ar +asr”? Hs eh 8, PTE ie SPAS,
(8;) “ da r? + de r* hi ib ass r2(r—1) =: SE ie ihs À
Mr ee res» sum 'e N'e,se ee taie ee SU sas iv ae eds Dole Lie Vo oi DRE
do + A: rai re ar (RT7A +. + A» rtai-1)? — SÉRIE),
et de ces dernières, respectivement multipliées par les facteurs
mm — 21m n—(7—1) 12
T, / , r , 7 c ) »
°,
puis, combinées entre elles par voie d’addition, l’on conclura
na = p— 2 as rmS(rihriF) shine: 2 mien La ES LE
(38) be (mod. p).
ses r—(r—1)mS ( in ER)
De plus, si l’on remplace À par &4 et Æ par &# dans les premiers
membres des formules (52), (33), (4), on tirera de ces formules :
1° en supposant 724 et n£ séparément divisibles par z,
(89) S(rAURTIN) = — à (mod. p);
2° en supposant que « divise la somme
m(h+k)=mh+mk,
sans diviser ses deux parties m4, mk,
(90) S(r#CR+Ik)) = 2 1 (mod. p);
3° en supposant le produit »(A + Æ) non divisible par z
(91) S(rmh+Sk)) = HLéris (mod.p),
NOTE V. 215
attendu que l’on devra, en vertu des conditions admises, écrire sim-
plement Il,,,x au lieu de Hgsmor. Donc la formule (88) donnera
—RAm=2 + : SERRE JM + IL, or "+ AA
(92) ; De a (mod.p),
( ax | | PAT ARRET 7e a
ou, ce qui revient au même,
(93) —nam—=2+ 0, 47 "HT on RE nn) 0e (mod.p),
pourvu que, : désignant l’un quelconque des nombres entiers,
PU COR. RODLOPPSS : RP
l’on ait soin de remplacer généralement le coefficient de r‘”, savoir :
Leu
1° par l'unité, quand x divisera la somme des produits 12, 1Æ sans
diviser chacun d'eux ; 2° par le nombre 2 quand » divisera séparément
chacun de ces produits. Enfin, comme on tire de l'équation (73)
ND =— 1 (mod.p),
il est clair qu'en multipliant par & les deux membres de la for-
mule (93), on la réduira immédiatement à celle-ci
(94) An=\( 2 à ds LUPRTARE LS EVE URL EPRREES | PARU PT SELS L 0) (mod.p).
Pour appliquer à des cas particuliers la formule (94), on devra
d'abord rechercher des quantités équivalentes, suivant le module p,
aux nombres figurés qui représenteront les diverses valeurs de IE,..
On y parviendra sans peine à l’aide des méthodes précédemment
exposées, en commençant par réduire chacune des quantités h, k à un
terme de la suite
ES PURE. CORRESP E
Après cette réduction, si lon a
h+k=> 2,
216 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
ou
h+k—n,
on en conclura, dans le premier cas,
(95) IL,x= 0 (mod. p),
et, dans le second cas,
(96) I,,=(—1)9" (mod. p).
Si l’on à, au contraire,
h+k< An,
on pourra, eu égard aux deux formules
(97) Un = 1 x
et
(98) IL, ;_x_n = (— 8 dei | (mod. p),
ramener la recherche d’une quantité qui soit équivalente à IF,, suivant
le module p, au cas particulier dans lequel h, k représenteraient deux
nombres non situés hors des limites
(99) Dons, h= >; k—h, =
D'ailleurs, h,k étant deux nombres de cette espèce, le terme équivalent
à IL,,, dans la Table que nous avons appris à construire, sera celui que
renfermeront la ligne horizontale, dont le premier terme est sh, et la
ligne verticale, dont le premier terme est 5k.
Concevons, pour fixer les idées, que l’on prenne
DIET. EN
On aura
P —1 16
D = — = — =
: T +
et par suite le terme équivalent à IL,,, dans la Table de la page 208,
sera celui que renferment les lignes horizontale et verticale, dont les
NOTE V. 217
premiers termes se réduisent au nombre & — 4. On aura donc
IL, = 2 (mod. 17).
Si, en supposant toujours p — 17, on prenait
on trouverait
et, par suite, le terme équivalent à IT,, dans la Table dont 1l s’agit,
serait celui que renferment les lignes horizontale et verticale dont les
premiers termes se réduisent aux nombres
On aurait donc alors
Soit encore
On trouvera
et le second Tableau de la page 209, joint à la formule (98), donnera
He, Iu=-6, M,,=1l,,=—7 (mod.a9)
On aura d’ailleurs
I
es 0, IL ; 2 O, IL. =:0,
Enfin, si, en nommant : une racine primitive de Péquation
Feng D
l’on pose
His A0 + a,0 aie a P° La ie a3 0° + a, 0 + a 2° + aç0°,
la formule (94), jointe à celles que nous venons d'obtenir, donnera
Am=4(2+12r7"— 6r"— 773") (mod. p),
r étant une racine primitive de l’équivalence
71
[l
æ'=1 (mod. 29).
(o
Œuvres de C. — S. 1, t. II. 2
218 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
D'autre part,
l'E TO
étant une racine primitive de l’équivalence
a æl (mod. 29),
on pourra prendre
r—=b—b=— 5 (mod. 29),
ce qui réduira la valeur trouvée de a,, à
Am=4[2+12(—5)"— 6.5" 3(— 5)3»] (mod. p).
Si, dans cette dernière formule, on attribue successivement à m les
valeurs
on trouvera
d=A,=A;= 4, A= 0, &=A:= 6, CPE (mod. 29) ;
et, par suite, puisque chacun des coefficients
do Air des Ass À À5, À6
doit être nul ou positif, mais. inférieur au module 29, on aura
A A, — à; — 4, ai — 0; a — à3— 6, a — 3
Riu 30° + 4(1+ pt + p5) + 6(p? + p3).
Si maintenant on substitue à » l’une des puissances
Ps Pr Pt Ps Pr
on trouvera immédiatement
Rs 3p5+4(1+p +95) +6(p°+pf),
Rs 30 + 4(1+p5+p) + 6(p5+p?),
Ru 399 + 4(1+ p?+ 96) + 6(p + pÿ),
Rs 5p°+ 4(1+ + pt) + 6(p?+p),
Ri6—3p +4(1+p°+p?) +6(p5+ pt).
48
NOTE V.
Si, en prenant toujours
P — 29; n = 7,
on supposait
Ris = 20 + 412 + &0°+ a3p°+ ap" + a:05 + api,
alors de la formule (94), combinée avec les suivantes :
L,=32, IL = IL , = 2, À IL, 4 = Il, , = IL, , = 2,
IL ,6= 0, IL; 10 = IL; ;= 0, IL; 2 = IL:,: = 0,
on tirerait
an = 8(1+ "+ rm rm) (mod. 29),
do =8.4 = 32 = 3 (mod, 29)
dé 8:
puis, en prenant r = — 5, on trouverait
panne Pépamrd à PA nr he Pret | PR de
et l’on aurait par suite
Ris = 3 + 6(p + p°+ pt) + 2(p8+ p5+ pi).
Comme on aura d’ailleurs
PHP Hp + pH p+p=— 1,
si l’on pose, pour abréger,
pHp+p=p—p—p=A,
on trouvera encore
ina nine
2
PRES
2 2
et par suite la valeur de R,, deviendra
R;: RS D 2A.
En remplaçant successivement dans cette dernière formule 9 par cha-
cune des puissances
x: p?, op, n°, pÿ, of,
. 220 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
on en tirera
Ro =R=R,s=—1—+ 24, Ra,6— R5,10 = Rs,12 = — 1 — 24,
0
ou, ce qui revient au même,
|: Roi Rii=— 1 + 2A, R3,6 — | Rs, — —".! — 2A.
Nous remarquerons, en terminant cette Note, que, dans le cas où
l’on suppose la valeur de @, déterminée, non par l'équation (1), mais
par l'équation (34), la formule (63) doit être, eu égard aux notations
adoptées dans la seconde hypothèse, remplacée par cette autre formule
ee = (PR (— 1) Rin= (— 1) Rx
qui, pour des valeurs paires du nombre 5, se réduit simplement à
0,0,0
ie = Ri1— Rin — Rx
P
On doit d’ailleurs, dans ces deux dernières formules, prendre pour
LAS AS
trois quantités entières, non divisibles par », et choisies de manière
à vérifier non plus la condition (62), mais la suivante :
h+k+l1=o (mod. n).
Si, pour fixer les idées, on suppose 2 — 7, on pourra prendre
ren 3 | oem D À Lo
ou bien
hs, Hd: red à
attendu qu'on aura, dans le premier cas
h+k+1—7,
et dans le second
b+k+1=14— 2.7.
NOTE V. 221
D'ailleurs, le nombre r — 7 étant impair, le nombre
BU LR) as
n 7
devra être pair ainsi que p —1. Donc, en supposant 2 — 7, on
trouvera
O, 0, 0, 0, 0; 0;
— Hi Mi R;,1 — LA PR R;,3 — Ro,s;
ce qui s'accorde avec les formules déjà obtenues. Comme on aura
d’ailleurs, dans la même supposition, non seulement
0° [OX
; RG ? | PP 5’
“, 2 ,
mais éncore
0° (SE
ur = S
er
on en conclura
Ris Re R,,: — 0,0,0,—pR;.
Or, il sera facile de vérifier cette dernière formule, en prenant p = 29.
Alors, en effet, en vertu de la formule
REPEREP TP EDR
on pourra réduire les valeurs précédemment calculées de R,,, R;2,
R,,, à celles qui suivent
Rii=2(p+ pt) —(p°+ 4p), Ris 2(pt+p°)—(p5+ 4p°),
Riz 2(p +p5) —(p°+ 4p*);
et l’on aura par suite
RiRR,i=— 25 + 62(p + p?+ pt)—54(p5 + p5 + p°) —— 29 + 58A — 29R;.
292 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
PE à
NOTE VI.
SUR LA SOMME DES RACINES PRIMITIVES D'UNE ÉQUATION BINOME,
ET SUR LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES DE CES RACINES.
m et x désignant deux quantités entières, et © leur plus grand
commun diviseur numérique, on peut toujours, comme l’on sait, trou-
ver deux autres quantités entières 4, #, propres à vérifier la formule
mu — NV = G.
Donc toute racine commune des deux équations binomes
LICE, Fées D
et par conséquent des suivantes .
ER fs LV — F,
vérifiera encore l’équation binome
1 Apr
puisqu’en supposant
mu — NV — 0),
on en conclura
xnu
— mu—nv
To — VA RP AO
wA
Si d’ailleurs, z étant positif, on a pris pour æ une racine primitive de
l'équation
Tiets
ou, en d’autres termes, si +” est la plus petite puissance positive de æ
qui se réduise à l'unité, © ne pourra différer de 2; et par conséquent
m sera divisible par z, en sorte qu’on aura
m= 0 (mod. »).
Cela posé, 2 étant un nombre entier quelconque, nommons p une
NOTE VI. 223
racine primitive de l'équation binome
(1) Li TE ard P
et
les entiers inférieurs à »2, mais premiers à x. D'après ce qu'on vient
de dire, 2 ne pourra représenter une valeur de +, propre à vérifier une
\
équation de la forme
amh — t
que dans le cas où mA, et par conséquent m», sera divisible par ». Or,
la plus petite valeur positive de »# qui remplisse cette condition
est nm — n. Donc
on?
sera la plus petite puissance de 2* qui se réduise à l'unité. Donc
pi, pf, a
seront autant de racines primitives de l'équation (1). Ces racines seront
d’ailleurs distinctes les unes des autres. Car si l’on avait
= px,
on en conclurait
pit, et Ah 0 (mod. n),
ou, ce qui revient au même,
kK=h (mod. x),
et par conséquent
ro,
h, k devant être tous deux positifs et inférieurs à ». Ajoutons que les
seules racines primitives de l'équation (1) seront les puissances
entières de 2, dont les exposants, premiers à x, pourront être réduits,
par l'addition ou la soustraction de ?z ou d'un multiple de x, à l’un
des nombres
224 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
En effet, si »m représente, au signe près, un entier qui ne soit pas
premier à », alors, © étant le plus commun diviseur de » et de n, le
produit
sera le plus petit multiple de », qui devienne divisible par 7; et, par
suite, -
mn
0 œ
sera la plus petite puissance positive de £”* qui se réduise à l'unité.
Done, alors 2” représentera une racine primitive, non plus de léqua-
tion (1), mais de la suivante :
a
(2) trees ©
Si m devient premier à ?, on pourra en dire autant des produits
MA, ME: MES
Donc alors
pe, pes, pe,
seront encore des racines primitives de l’équation (1). D'ailleurs ces
racines seront encore distinctes les unes des autres. Car on ne pourrait
supposer
ph — omk,
Î Î
sans en conclure
per} m(k—h)=0 (mod.n),
par conséquent
k—h=0o, k—=h (mod.n»)
et
REA,
h et # devant être tous deux inférieurs à 2. Done, si » devient premier
à 2, les diverses racines primitives de l’équation (1) pourront êére re-
présentées, soit par les termes de la suite
NOTE VI. 225
soit par les termes de la suite
one, on, pré ee
qui coincideront avec les termes de la première, rangés dans un ordre
diflérent.
Si, au contraire, » et z n'étant pas premiers entre eux, w désigne
leur plus grand commun diviseur, alors ceux des termes de la suite
Fe Mk pré: on, sais
qui resteront distincts les uns des autres, représenteront les diverses
racines primitives de l'équation (2).
Supposons à présent que le nombre x soit décomposé en deux
facteurs
D, 7%»
premiers entre eux, et nommons
des racines primitives des deux équations
(3) æ?—1,
(4) CT Eur à
Les puissances
ee, ni",
et, par suite, leur produit
à sir (enr
se réduiront évidemment à l’unité, si » est divisible simultanément
par © et par y, ou, ce qui revient au même, par le produit
DY 27 Fes
Donc on vérifiera l'équation (1) en posant
À be
OEuvres de C. — S. 1, t. LU. 29
26 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
LÉ
I y a plus : si» est choisi de manière à vérifier la condition
(Et
on en conclura
(Enter, 11? — .
par conséquent
mo =0 (mod.y), m=o (mod.y),
et
CENIPLST, hd Sem À
par conséquent
my=o (mod.o), m—o (mod.o).
Donc, pour que la puissance »° du produit £n se réduise à l’unité,
il sera nécessaire que »2 soit divisible à la fois par y et par ©, ou, en
d’autres termes, que 7x2 soit un multiple de 2; et, comme m» = 2 sera la
plus petite valeur positive de 77 pour laquelle cette condition soit
remplie, nous devons conclure que le produit £n de deux racines pri-
mitives, propres à vérifier les équations (3) et (4), sera une racine
primitive de l’équation (x).
Enfin, chaque racine primitive p de l’équation (1) ne pourra être
formée que d’une seule manière par la multiplication de deux racines
primitives propres à vérifier les équations (3) et (4). En effet, conce-
vons que
Ë,s fn,
désignent encore deux racines primitives de ces équations. Si l’on à
Fa
ns: QUE
on en conclura
(Enfers
par conséquent
et, comme on aura d'autre part
nLsnrest.
par conséquent
NOTE VI. 297
è ; 1 jé « k
il est clair que le rapport æ devra être une racine commune des équa-
À
tions (2) et (3). Or, 2, 4 étant par hypothèse premiers entre eux, leur
plus grand commun diviseur w sera l'unité. Donc la racine commune
dont il s’agit sera la racine unique de l’équation
et l’on aura
Ë,—&;, 1,= A:
En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante.
Taéorème I. — Si le nombre entier n est le produit de deux facteurs 2,7
premiers entre eux, on obtiendra les diverses racines primilives de
l'équation
1 salée 6
et on les obtiendra chacune d'une seule manière, en multipliant succes-
sivement les diverses racines primitives de l'équation
AVI
par chacune des racines primitives de l'équation
ÆKk = 1,
Le théorème que nous venons d’énoncer entraîne évidemment ceux
qui suivent.
Taéorème Il. — Le nombre entier n étant le produit de deux fac-
Leurs ®, , premiers entre eux, désignons par
Ps P,s Ps
228 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
les diverses racines primitives de l'équation
5 41 Le mm à TN
puis nommons
Ë, F, En F2 et f; LE MN,»
les diverses racines primitives des équalions
Po furet et 7 Pur
on aura
(9) (PHptpite.)=(G+E+E +...) +n Ham...)
TaéorÈme IT. — Le nombre entier n étant le produit de deux fac-
leurs ©, y premiers entre eux, si l'on désigne par
N'@6,: x
le nombre des racines primitives successivement calculé par chacune des
trois équations
ŒREEUNS AVS, KES
on aura
(6) N — ®X.
Comme ces trois théorèmes sont évidemment applicables non
seulement au nombre », mais encore aux nombres 2,7, facteurs de 7,
ou même aux facteurs de 9, lorsqu'il en existe, etc., et ainsi de suite,
il est clair qu'on pourra énoncer encore les théorèmes suivants :
THÉORÈME IV. — Si le nombre entier n est le produit de plusieurs
facteurs
Re Ÿ,
premiers entre eux, on obtiendra les diverses racines primitives de
l ‘equation
(1) M Hé D LES
el on les obtiendra chacune d'une seule manière, en cherchant d'abord
NOTE VI. 229
les diverses racines primitives des équations auxiliaires
(7) AT, AÂTEN, Fr CP ous
et formant tous les produits, qui ont chacun pour facteurs : 1° l’une des
racines primitives de l'équation x? = 1; 2° l’une des racines primitives de
l'équation x! —1 ; 3° l'une des racines primitives de l'équation aŸ—1, etc.
Tuéorème V. — Le nombre entier n étant le produit de plusieurs
facteurs
Ps X
premiers entre eux, désignons par
Ps Ps Pus
les diverses racines primitives de l'équation binome
x" ER É
el soient respectivement
k, ta ee, (4 . 1"; n,s UPE #4 +5 (s Ge 28
les diverses racines primitives des équations binomes
D 5 er DA DRE fe aŸS= +, is
la somme des racines primutives de la première équation sera le produit
des sommes séparément formées avec les racines primitives de chacune
des autres; en sorte qu'on aura
(8) p + p, + Pate (E +Ë,+E,+...)(n F n, + Nye)(S 2e LE Gyoco)se.s
et, par suite, si l’on nomme 8 la somme des racines primitives de l’équa-
tion (1), l’on aura
(9) S—(E+E, HE, +...)(n+n bte.) (EH ++.)
Tuéorème VE — Le nombre entier n étant le produit de plusieurs
facteurs
230 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
premiers entre eux, désignons par
LES Fe Qi) à
le nombre des racines primitives successivement calculé pour chacune des
équations
MEET, à gt à LE Du 2 xŸ=1 .
on aura
(10) Ne Qu
Soient maintenant
les facteurs premiers de n, dont l’un pourra se réduire à 2. Le nombre n
sera de la forme
(11) | Ut NE Lt
a, b,c,... désignant des expôsants entiers, et, si l’on veut décomposer n
en facteurs premiers entre eux, on pourra prendre pour ces facteurs les
quantilés
dont chacune est une puissance entière d'un nombre premier.
Cela posé, les théorèmes que nous venons d'établir fourniront le
moyen d'obtenir facilement, dans tous les cas, la somme
O2
des racines primitives de l'équation (x) et le nombre
N
de ces racines primitives. C’est ce que nous allons faire voir.
Si d’abord on suppose le nombre 2 égal à 2, l'équation (1), réduite
à la forme
RE
NOTE VI. 231
offrira une seule racine primitive
: P—=—1I;
et par suite on aura
S—=— 1, |. Mer
Si x est un nombre premier impair, les racines primitives de
l'équation
LEA
seront les puissances entières de 2 correspondant à des exposants
positifs, mais inférieurs à 7, savoir
CA p°, p, Li] ge
On aura donc
Arr A 1 —
—p+p+...+pri— À se É,
ou, ce qui revient au même,
S——1,
et de plus
N=—= nu —1:1.
Si x est une puissance de 2, les racines primitives de l'équation
BP TI
seront les puissances entières de 9 correspondant à des exposants
impairs et inférieurs à 7, savoir
P; pi, p5, ue gr,
On aura donc
S—=p+p + HET = —_——— ;
ou, ce qui revient au même,
et de plus
On peut encore observer que dans ce cas on a
de RE
Ts Te :
D 0 =—pl;
232 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
d’où 1l résulte que les diverses racines primitives seront, deux à deux,
égales au signe près, mais affectées de signes contraires. Leur somme
sera donc nulle, comme on l’a trouvé.
Supposons à présent que z soit une puissance d’un nombre premier
impair y; en sorte qu’on ait
(RE Le
Alors, pour obtenir les racines primitives de l'équation
E sgrmrnte 1
il faudra, entre toutes les racines représentées par les termes de la
suite
Ps Pr Ps: ace PT
choisir celles dans lesquelles l’exposant de 5 est premier à 2, et non
divisible par y, en laissant de côté celles où l’exposant est multiple
de y, savoir
a°, 0", DS ah a AE
ou, ce qui revient au même, en laissant de côté les racines non pri-
mitives
… n :
Or, ces dernières, dont le nombre est 5 n'étant autre chose que les
diverses racines de l'équation
leur somme totale sera nulle, aussi bien que la somme des racines de
l’équation (1). Donc la différence de ces deux sommes, ou la somme s
des racines primitives, s’évanouira elle-même; et l’on aura d’une
part
(me 1 #
d'autre part
ñn
NERE 5
V
z C FANOTE ME. Fi LS 233
ou, ce qui revient au même,
N=n(i—;) = "(à re 2)
V Y
En résumé, si x est, ou un nombre premier v, pair ou impair, ou
une puissance v“ d’un tel nombre, on trouvera toujours
(12) N=n(i-i),
et l’on aura de plus
(13) S——1,
ou
(Vo)
(4)
= 0,
suivant qu’il s’agira de la première puissance ou d’une puissance
supérieure à la première; ce que l’on pourra démontrer dans tous les
cas à l’aide des raisonnements dont nous avons fait usage, lorsque x
était une puissance d’un nombre premier impair.
Passons maintenant au cas où, » étant un nombre quelconque, sa
valeur est donnée par la formule (11). Alors le nombre N des racines
primitives de l'équation (1) et la somme s de ces racines se déduiront
immédiatement des formules (10) et (12), ou des formules (9),
(13) et (14). En effet, pour décomposer x, dans ce cas, en facteurs
g, X
premiers entre eux, il suffira de prendre
gr) s'ÉR A rs
Cela posé, on aura, dans la formule (10),
di), X=vo(i— à); wave à)
\ y y v
OEuvres de C.— S. 1, t. Ill. 30
234 MEMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et par suite cette formule donnera
| N— verve. . Se pre à).
(15) y y! y! à
= yat yb—tyle1, (y —i)(v— 1) (0 —1)...,
ou, ce qui revient au même,
(16) N=n(i—i)(5)()
De plus, en vertu de la formule (9), la valeur de 8, correspondant à
l'équation (1), sera le produit des valeurs de 8, correspondant aux
équations
Va NL PEUR HR
Rae 4 Ne Pi À him (es RE
et dont chacune se réduira simplement à — 1 ou à o, suivant que le
nombre a ou b ou c, ... sera égal ou supérieur à l'unité. Par suite,
si x est un nombre composé, pair ou impair, qui renferme deux ou
plusieurs facteurs égaux entre eux, on aura toujours
(17) $ — 0.
»
Mais, si 2 est un nombre premier, ou un nombre composé dont les
facteurs premiers y, y’, v’, ... soient inégaux, en sorte qu'on ait ,
. (18) Le Rreres » À HV À
alors on trouvera
(19) SCT,
savoir
(20) S——1,
quand les facteurs premiers v, v’, v’, ... seront en nombre impair, et
(21) Le
quand ces facteurs premiers seront en nombre pair.
Ainsi, en particulier, la somme des racines primitives sera —1
NOTE VI. 235
pour chacune des équations
MISE, AE ms, MSI, æMia, Pret,
zéro pour chacune des équations
À rer 24 nt À MT, LE, at, MST,
et + 1 pour chacune des équations
=! PET. ide À À Lio À D hgfere hi À dut Food
Soit maintenant
f(p)
une fonction entière d’une racine primitive o de l'équation (1). On
pourra toujours, dans cette fonction, réduire l’exposant de chaque
puissance de o. à un nombre entier plus petit que », et poser en con-
séquence
(22) L(P) = ao + 810 + à0°+...+ an _1p""t,
As Ayo dos se. A, désignant des coefficients indépendants de p.
Supposons d’ailleurs que, dans la fonction f(0), les différents termes
se transforment les uns dans les autres, quand on y remplace la racine
primitive o par une autre racine primitive p”. Alors f(p) sera ce qu'on
peut nommer une fonction symétrique des racines primitives de l’équa-
tion (1), ou, ce qui revient au même, une fonction symétrique des
puissances
PP Pr Ps
h, k&, [, .. étant les entiers inférieurs à » et premiers à 2. Or, en écri-
vant successivement à la place de 9 chacune des racines primitives
pr, pf, pl -..,
on reconnaitra que, dans f(p), ceux des termes de chacune des suites
a a p!, 35
a p°#, D" Fes
ps, | a p3!,
936 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
qui sont distincts les uns des autres, doivent avoir les mêmes coefli-
cients. Mais ces mêmes termes se réduisent toujours, ou aux diverses
racines primitives de l’équation (1), ou du moins aux diverses racines
primitives d’une équation de la forme
%
(23): 1: MT,
w étant un diviseur du nombre », qui peut devenir égal à ce même
nombre. Par conséquent, dans une fonction symétrique des racines pri-
mitives de l'équation (1), les racines primitives de l'équation (28) devront
toujours offrir les mêmes coefficients; et une telle fonction se réduira
toujours à une fonction linéaire des diverses valeurs que peut acquérir
la somme des racines primitives de l’équation (23), quand on prend
successivement pour w chacun des diviseurs du nombre », y compris
ce nombre lui-même. Si, par exemple, 7 est un nombre premier,
alors, les entiers
inférieurs à », et premiers à 2, se réduisant aux divers termes de la
progression arithmétique
et les racines primitives
0, p#, p!,
de l'équation (1) aux divers termes de la progression géométrique
'ÉRRE ON DISC NUS ur
on aura
| A1 — A2 —...— An!
et
(24) F(P)= a+ a(p+p+...+ pt).
Donc alors une fonction symétrique des racines primitives de l'équa-
lion (1) sera en même temps une fonction linéaire de la somme de ces
racines.
NOTE VI. È | 937
Comme nous l’avons déjà remarqué, si l’on désigne par 9 une racine
primitive de l’équation (1), et par
les entiers inférieurs à 2, mais premiers à z, les diverses racines pri-
mitives de la même équation pourront être représentées, non seule-
ment par les termes de la suite
pl, p', pl
mais encore par les termes de la suite
pe, pe, ce, Tsiue
pourvu que 77 soit lui-même premier à ». Il est essentiel d'observer
que, pour passer de la première suite à la seconde, il suffit de multi-
plier par m les divers exposants
qui se transforment alors en ceux-ci
mh, mk, mil,
Si l’on multiplie de nouveau ces derniers par », une ou plusieurs
fois, on obtiendra encore d’autres suites qui seront propres elles-
mêmes à représenter les diverses racines primitives, savoir :
pu”, pres a"
pur, | Me Be",
RNA Te
Concevons, maintenant, qu'avec les termes correspondants, par
exemple, avec les premiers termes de ces différentes suites on forme
une suite nouvelle
2, pes, l'as pa, RER
Cette nouvelle suite, dans laquelle les exposants de o forment une
238 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
progression géométrique
PONS TMS Li VO. dd, one
offrira autant de racines primitives distinctes qu’il y aura d'unités dans
l'exposant : de la plus petite puissance de 77 propre à vérifier l’équi-
valence
(25) m'=1 (mod. n).
En effet, la valeur de : étant choisie comme on vient de le dire, et la
progression géométrique étant réduite aux seuls termes
4 2 —1
h, mkh; n°h, 5, m4,
la différence entre deux termes de cette progression ne sera Jamais
divisible par 2; et, en conséquence, les deux puissances de p, qui
auront ces deux termes pour exposants, ne seront jamais égales entre
elles. Donc, alors les divers termes de la suite
(26) p*. pré, on, cu on
seront tous distincts les uns des autres.
Si x est un nombre premier impair y, ou une puissance d’un tel
nombre, tous les entiers premiers à x vérifieront l’équivalence
(27) "Et,
la valeur de N étant donnée par la formule (12), ou
N=n(1— :)
y
Alors, si l’on prend pour »2 une racine primitives de la formule (27),
on trouvera
“Res à À
et la suite (26) deviendra
(28) pi pe pr Æ ‘he
Cette suite se réduira même à
(29) CAGE AE NE CP RS AU
NOTE VII. 239
si l’on pose, comme on peut le faire, À = 1. D'ailleurs, N étant préci-
sément le nombre des entiers
inférieurs à 2 et premiers à 2, ilen résulte que chacune des suites (28),
(29) comprendra.toutes les racines primitives de l’équation (r).
Si » se réduit à un nombre premier, alors, la valeur de N étant
N=n—:1,
les suites (28), (29) deviendront
(30) p#, pee, p'®, PNR ni
sn -3
(31) ANT AE NES l'on HDI
et ces deux suites, dans lesquelles les exposants de p croissent en
progression géométrique, offriront chacune, à l’ordre près, les mêmes
termes que la suite
Pre Pre Pas PTS
dans laquelle les exposants de 9 croissent en progression arith-
métique.
NOTE VIT.
SUR LES SOMMES ALTERNÉES DES RACINES PRIMITIVES DES ÉQUATIONS BINOMES,
ET SUR LES FONCTIONS ALTERNÉES DE CES RACINES.
Soient toujours p une racine primitive de l'équation binome
(1) met)
et
les entiers inférieurs à » mais premiers à », dont l’un se réduira sim-
240 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
plement à l'unité. Les diverses racines primitives de l’équation (1)
pourront être représentées, soit par les termes de la suite
Ps Ps ps ete
soit par les termes de la suite
pu, gt pm,
«
m étant un nombre quelconque premier à n. Or, on pourra généra-
lement, comme on le verra ci-après, partager les entiers
en deux groupes
Ron s RE TE et AE A CPE
et par suite les racines primitives
pr, pf#, p!
en deux groupes correspondants
,
A pl à pl à LA et pl, ns p', Le
de telle sorte qu'après la substitution de #” à », les deux derniers
groupes se trouvent encore composés chacun des mêmes racines, ou
transformés l’un dans l’autre. Ainsi, par exemple, si l’on suppose
ñn — 5, les quatre racines primitives de l’équation (1), ou
S
L'LET,
* formeront les deux groupes
| Pr Ps RL Pr
qui deviendront respectivement, après la substitution de £? à p,
PC Pis CS
après la substitution de p* à p,
RS RAR PPT Te
NOTE VII. 241
enfin, après la substitution de p* à p,
DR et FRE
Or, ilest clair que, dans le premier et dans le dernier cas, les deux
groupes resteront composés chacun des mêmes racines, tandis que
dans les deux cas précédents les racines du premier groupe se trans-
formeront en celles qui composaient le second, et réciproquement.
Les racines primitives de l'équation (1) étant partagées en deux
groupes, comme on vient de le dire, de telle sorte, qu'après la substi-
tution de £” à o, les deux groupes restent, pour certaines valeurs
de m», composés chacun des mêmes racines, et se trouvent, pour
d’autres valeurs de », échangés entre eux; il est clair que le nombre
des racines *
p*, 7; M
du premier groupe devra être égal au nombre des racines
Mrs 07
du second groupe. Done, si l’on représente par N, comme nous l'avons
fait dans la note précédente, le nombre total des racines primitives ou
des entiers
inférieurs à 2, mais premiers à 2, on verra le nombre des entiers
HN He:
. »
ou de racines comprises dans le premier groupe, et le nombre des
entiers
ou des racines comprises dans le second groupe, se réduire sépa-
rément à; i suppose N pai
rément à —; ce qui suppose N pair.
Cela posé, concevons que l’on ajoute les unes aux autres les diverses
racines primitives de l’équation (1), prises avec le signe + ou avec le
signe —, suivant qu’elles font partie de l’un ou de l'autre groupe. On
OEuvres de C. — S. I, t. NI. 31
242 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
obtiendra ainsi une somme algébrique dans laquelle on pourra faire
succéder à chaque terme précédé du signe + un terme correspondant
précédé du signe —. Cette somme algébrique pouvant être considérée
en conséquence comme composée de termes alternativement positifs
et négatifs, nous la désignerons sous le nom de somme alternée. Donc,
si l’on pose
(2) D=ph+ ph +ph +... — of pr ph —..….,
® sera une somme alternée des racines primitives de léquation (1).
Lorsque, dans une semblable somme, on remplacera la racine primi-
tive 2 par une autre racine primitive 2”, les différents termes se trans-
formeront, au signe près, les uns dans les autres, et deux termes, qui
se déduiront ainsi l'un de l’autre, se trouveront toujours affectés du
même signe pour certaines valeurs de 77, mais affectés de signes con-
traires pour d'autres valeurs de 2; par conséquent, la substitution de 2”
à 9 laissera invariable la valeur de la somme, ou la fera seulement
changer de signe. Supposons, pour fixer les idées, que des deux
groupes
AS AT CRE DS UE DE An
le premier renferme l’exposant 1. Alors la substitution de 2” à p
n'altérera point la valeur de la somme alternée @, si l’on a pris pour
un des nombres
et la fera seulement changer de signe, si l'on a pris pour »# un des
nombres
k, k, k,
Si, par exemple, on suppose 2 — 5, la somme alternée
PE Au A Eee
changera de signe, quand on y remplacera 5 par 5? ou par £*, mais elle
ne sera nullement altérée quand on y remplacera 9 par 0".
Il est important d'observer que, dans le cas où la substitution de 9
mn
NOTE VII. 243
à o laisse invartable la somme alternée ®, les termes
op! et pee
par conséquent les termes
pal et LR ARTE
doivent se trouver affectés du même signe dans cette somme, / pouvant
désigner ici l’un quelconque des nombres
RS NE M 2: Hu ki
c'est-à-dire l’un quelconque des nombres premiers à ». Done, dans le
cas dont il s’agit, le même signe doit affecter tous les termes de la
suite
(3) pis ps, D node rs
: étant l’exposant de la plus petite puissance de #72 propre à vérifier
l'équivalence
(4) m'=1 (mod. »).
Mais, si la substitution de 92” à 9 fait varier le signe de la somme
alternée ®, alors les termes
o! et pe
devront y être affectés de signes contraires, et l’on pourra en dire
autant des termes
pers et De
ou
te et pes
Donc alors chacun des termes de la suite (3) sera, dans la somme
alternée ®, précédé du même signe que 9° ou d’un signe contraire,
suivant que l’exposant de 2 contiendra comme facteur une puissance
paire ou une puissance impaire de »#. Dans tous les cas,
£s ét: -Un
244 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
étant deux nombres premiers à »,
pr
- : FE » T
sera précédé du même signe que p/. Done, si l’on a pris l'unité pour
l’un des nombres
VUE | RO, KES PO
p”* sera précédé du signe +, ainsi que p; et, par conséquent, le groupe
J
A, HT
renfermera tous ceux des nombres
qui sont équivalents à des carrés
LED NE
suivant le module , c'est-à-dire tous les résidus quadratiques relatifs
à ce module. |
Supposons maintenant que x soit un nombre premier impair, ou
une puissance d’un tel nombre. Alors les entiers
ARE Dr Ke ee
inférieurs à x et premiers à 2, vérifieront l'équivalence
(5). æ\=1 (mod.n),
RE Se , : .
les uns, dont le nombre sera 3” étant résidus quadratiques suivant le
module », et racines de l’équivalence
N
2
(6) ME 1 (mod. » ),
T
N / 4 e
les autres, dont le nombre sera encore > étant non-résidus quadra-
tiques, et racines de l’équivalence
, N
2
(7) at =} (mod. »).
à
7
|
#2
4
À
î
NOTE VIT. 245
19
D'ailleurs, si, dans la somme alternée ®, le terme » est précédé du
signe +, on pourra en dire autant de toutes les puissances de p, qui
offriront pour exposants des résidus quadratiques; et, comme le
nombre de ces puissances sera précisément =; les autres puissances,
qui auront pour exposants des non-résidus quadratiques, devront
toutes être affectées du signe —. Donc alors
RO. JUS
devra représenter la suite des résidus quadratiques, et
ROUTE nt,
la suite des non-résidus. D'ailleurs, si l’on prend pour m» une racine
primitive s de l’équivalence (5), les diverses racines primitives de
l'équation (1) pourront être représentées par les divers termes de la
suite
res, Pare ts
et, parmi les exposants de 9 dans cette suite, ceux qui représenteront
des résidus quadratiques, relatifs au module », seront les exposants
carrés
s\—2,
Done, si le terme 5 se trouve précédé du signe + dans la somme
alternée ®, la valeur de cette somme, dans l'hypothèse admise, ne
pourra être que la suivante :
SNA
(8) D np ppt ps
s
Il est au reste facile de s'assurer que, dans le cas où » se réduit à un
nombre premier impair ou à une puissance d’un tel nombre, le second
membre de la formule (8) représente effectivement une somme
alternée des racines primitives
s\— 1
25
i
pr, pr +. P
de l'équation (r). Car, si, dans ce second membre, on remplace p
246 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
pars‘, chaque terme se trouvera remplacé par le suivant, pris en signe
contraire, le dernier terme étant remplacé par — 9. Or, de cette seule
observation, il résulte que le second membre de l'équation (8) restera
composé des mêmes termes, tous ces termes étant pris avec des signes
contraires à ceux dont ils étaient d’abord affectés, ou tous étant pris
avec ces mêmes signes, si l’on y remplace la racine primitive 9 par
l’une des racines primitives
sv-1
2
PR Pr pen is
ce qui revient à remplacer une ou plusieurs fois de suite p par p°.
Dans le cas particulier où z se réduit à un nombre premier, on à
N=—=n—:1,
et la formule (8) donne simplement
(9) D = p— PS + ps — pH... — ps *,
s étant une racine primitive de l’équivalence :
(10) an 1= 1] (mod. n).
Alors, aussi, en vertu de la formule (14) de la Note I, on aura
n—1
(11) (pp hp pp) = (ir) 2,
par conséquent
(12) Bet U CA,
Donc, x étant un nombre premier impair, on aura
(13) D?— n, D —+Vn,
si ce nombre premier z est de la forme 4x +1, et l'on trouvera, au
contraire,
L
(14) Di=— n, D=+En?V—1,
si » est de la forme 4x + 3.
NOTE VII. 247
Si l’on suppose, par exemple, » — 3, on trouvera
D=p— p,
Ps 0 représentant les deux racines primitives de l’équation
x? — 1=0,
ou, ce qui revient au même, les deux racines de l'équation
L+L+I—=O.
Or, ces deux racines étant
il est clair qu'en supposant » — 53, on trouvera
1 ho
D V—r où E—=—3 V—:1,
suivant que l’on prendra pour 9 la première ou la seconde racine.
Lorsque, 2 étant une puissance entière d’un nombre premier 1m-
pair v, On aura
NEUVE,
Ÿ Al . , , . . ;
eta > 1, alors, d'après ce qui a été dit ci-dessus, deux monomes de la
forme
QC
seront, dans la somme alternée @, affectés du même signe, st les
nombres /, l', premiers à x, vérifient la condition
l'= m°l (mod. n»),
m? étant un carré premier à z, ou, ce qui revientau même, si le rapport
ne
l
}
étant équivalent suivant le module z à un carré, vérifie par suite la
248 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
formule
=I (mod. 2).
Or, c'est évidemment ce qui arrivera, si l’on a
(15) l
l (mod. »).
Car, en élevant plusieurs fois de suite à la puissance y les deux
membres de la formule (15), on en tirera successivement
PV pv (mod. »),
pemæ (mod.»)
PNE TT m OT (mod. v4),
par conséquent,
l' vai
(3) =I1 (mod. »);
puis, en élevant les deux membres de cette dernière formule à la puis-
5 Ÿ—I F # .
sance entière ——; et ayant égard aux équations
pa D re SIT nn EU
on trouvera définitivement
L
(5) =] (mod. x).
Donc, lorsque À représente le carré, le cube, ou une puissance plus
élevée d’un nombre premier impair v, le même signe doit affecter,
dans la somme alternée ®, toutes les puissances de 9 dont les exposants
sont équivalents, suivant le module y, à un même nombre /; par con-
séquent, le même signe doit affecter, dans la somme alternée ®, tous
les termes de la suite
4 \
" REC — Fe
l+-n—Vv
2 LA
Or, la somme de ces derniers termes, savoir,
- =" p"
p'+ PV PNR, pr rares à
NOTE VII. 249
étant nulle avec la différence 1 — 5“, il est clair que, dans le cas dont
il s’agit, la somme alternée © se composera de diverses parties séparé-
ment égales à zéro. Donc, la somme © s’évanouira elle-même; et,
lorsque x sera le carré, le cube ou une puissance plus élevée d’un
nombre premier impair, on aura toujours
(16) (5 POS À
Si 2 se réduisait au nombre 2, l'équation binome
pre!
n'offrirait qu'une seule racine primitive
O——1,
avec laquelle on ne pourrait composer une somme alternée. C'est au
reste le seul cas où la formation d’une somme alternée des racines
primitives devienne impossible, et où le nombre N cesse d'être pair,
en se réduisant à l’unité.
I n’en sera plus de même si l’on prend pour r une puissance de 2.
Concevons qu’alors on réduise toujours l’un des nombres
k, h', h",
à l’unité. Si, pour fixer les idées, on suppose r = 4, on trouvera
et
(17) D —p — p°
sera une somme alternée des racines primitives de l'équation
M e Es
Cette même somme, égale à
Te Vs,
vérifiera d’ailleurs la formule
(18) Pr=— 4
OEuvres de C. — S. 1, t. II. 32
250 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Si l’on suppose » = 8, on pourra prendre
Mt, MS, dt re
ou bien
h=1, h=5,, k=3 k=y,
ou bien
RE: Nes, + Me Le S
et obtenir ainsi trois sommes alternées des racines primitives de
l'équation
Lsbt À
De ces trois sommes la première, savoir
(19) CD=p+p—p—p
vérifiera la formule
(20) D?=—— 8;
la seconde, savoir
(21) DEPLREETPS
se réduira simplement à
(22) Dire:
et la troisième, savoir
(25) DR pe FT
vérifiera la formule
(24) D? — 8.
Enfin, si 2 est une puissance de 2, supérieure à la troisième, alors
en posant
(29) l—l+—,
2
et choisissant le nombre entier d de manière à vérifier la formule
ld = 1 ou -=d (mod. n),
NOTE VII. 251
on trouvera
E n n
n
EH si =d (mod. »),
ou, ce qui revient au même,
ñ::,\
7=(1+74) (mod. n),
l 4
attendu que, z étant divisible par 16,
n 3 n
ES — 2
(ra) = sd
sera divisible par 2. Donc alors la valeur de /’, déterminée par l’équa-
tion (25), sera équivalente, suivant le module », à un produit de la
forme
(+4)! ou ml,
m étant premier à », c'est-à-dire, impair; et les termes
n
+ —
Ne
seront généralement affectés de signes contraires dans une somme
alternée © des racines primitives de l'équation (1). D'autre part,
puisque, pour des valeurs paires de z, l'équation (1) se décompose en
deux autres, savoir
(26) M LI,
(27) æ
et qu'une racine primitive 9 de l’équation (1) ne peut vérifier l’équa-
tion (26), on aura nécessairement
n
2
p?——1 et pl = p!,
ou, ce qui revient au même,
p+p'=0.
Donc, si r est une puissance de 2 supérieure à la troisième, une
232 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
somme alternée @ des racines primitives de l'équation (1) sera com-
posée de telle manière, que les termes affectés du même signe se
détruiront deux à deux, en fournissant.des sommes partielles égales à
zéro. Donc alors, la somme &@ sera nulle elle-même, et l’on aura
DE 6.
En résumé, si z est un nombre premier ou une puissance d’un tel
nombre, la somme alternée © sera nulle, à moins que » ne se réduise
à / ou à 8, ou à un nombre premier impair.
D'ailleurs, lorsque © ne sera pas nul, on aura toujours
Pat
savoir
(28) RSA;
si 2 est de la forme 4x + 1;
(29) D?—=— n,
si 2 est égal à 4, ou de la forme 4x + 3; enfin, si » est égal à 8,
(30) Di= An ou D'—— n,
suivant qu'on placera dans le même groupe les deux nombres 1 et 3,
ou r et 7.
Concevons maintenant que, » étant un nombre entier quelconque,
on pose
(31) TRE ut RE UE
v, v', v’, .. étant les facteurs premiers de », dont l’un pourra se
réduire à 2. Alors, comme on l’a vu dans la Note précédente, une
racine primitive
P
de l'équation (1) sera le prôduit de racines primitives
Ë, 1; GS Te |
propres à vérifier respectivement les diverses équations
(32) EU Er ENS 1S AV,
NOTE VII. 253
Alors aussi on obtiendra les diverses valeurs de » et on les obtiendra
chacune d’une seule manière, si dans le second membre de la formule
(33) p—
fx
GR
on substitue successivement les divers systèmes de valeurs de
ë, M 6
combinées entre elles de toutes les manières possibles. D'ailleurs,
£ étant une des racines primitives de l’équation
is
chacune des autres racines primitives de la même équation sera de la
forme ;
Et
L
L'étant un nombre entier premier à v. Pareillement, 1 étant une racine
primitive de l'équation
chacune des autres racines primitives de la même équation sera de la
forme
LL
l' étant un nombre entier, premier à y’, ete. Done, si l’on désigne,
comme ci-dessus, par
certaines racines primitives, propres à vérifier respectivement Îles
équations
a
Pers D Me 7 RES ts dé
les diverses racines primitives de l’équation (1) se trouveront repré-
sentées par des produits de la forme
EtnlE"..…,
l'étant premier à v, là v', là v’, .... Cela posé, considérons une
somme alternée © des racines primitives de l’équation (1). Comme les
différents termes de la somme ® se réduiront à de semblables produits,
254 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
pris, les uns avec le signe +, les autres avec le signe —, cette somme
sera évidemment une fonction entière de chacune des racines primi-
tives
ee MR
On arriverait, au reste, à la même conclusion, en partant de la for-
mule (33). En effet, la valeur de », que détermine cette formule, étant
une racine primitive de l’équation (1), la somme alternée @ sera néces-
sairement une fonction entière de p, et par suite une fonction entière
de £, de n, de €, ... Or, concevons que, dans cette fonction, on écrive
à la place de £, une autre racine primitive de la première des équa-
tions (32). La somme alternée ® devra rester composée des mêmes
termes, tous étant pris avec les signes qui les affectaient d’abord, ou
tous étant.pris avec des signes contraires. Donc, chaque somme par-
tielle de termes qui ne différeront les uns des autres que par la valeur
de 5, et par suite la somme & elle-même, seront proportionnelles à la
somme de toutes les valeurs de £, ou à une somme alternée de ces
valeurs. On prouvera pareillement que ® est proportionnel à la somme
des valeurs de 1, ou à une somme alternée de ces valeurs, à la somme
des valeurs de £, ou à une somme alternée de ces valeurs, ete. Donc la
somme alternée © renfermera, comme facteur, ou la somme ou une
somme alternée des racines primitives de chacune des équations (32);
et sera proportionnelle au produit de divers facteurs de cette nature,
correspondant à ces diverses équations. D'ailleurs, si l’on développe
le produit dont il est ici question, le développement offrira, au signe
près, chacun des termes que renferme la somme alternée @, et deux
termes devront encore être affectés du même signe ou de signes con-
traires dans le produit, suivant qu'ils seront affectés du même signe
ou de signes contraires dans la somme @. Donc la somme alternée @
sera égale au produit obtenu, comme on vient de le dire, ou à ce pro-
duit pris en signe contraire.
Réciproquement, si l’on forme un produit dont les divers facteurs,
correspondant aux diverses équations (32), représentent chacun la
somme des racines primitives de l’une de ces équations, ou une somme
NOTE VIH. 255
alternée de ces racines, il est clair que ce produit développé sera com-
posé de termes égaux, au signe près, aux diverses racines primitives
de l'équation (1), et pourra être considéré comme une fonction entière,
non seulement d’une racine primitive p de l'équation (1), mais encore
de certaines racines primitives
£, UE a PIS EEY
propres à vérifier respectivement les équations (32). D'ailleurs, dans
ce produit, on verra évidemment reparaître les mêmes termes, tous
pris avec des signes contraires à ceux dont ils étaient d’abord affectés,
ou tous pris avec les mêmes signes, quand on y remplacera la racine 4
par une autre racine primitive de l'équation
ou la racine primitive 1 par une autre racine primitive de l'équation
a""= 1, ET
par conséquent aussi quand on effectuera simultanément plusieurs
remplacements de ce genre, ce qui revient à remplacer la racine pri-
mitive
de l'équation (1) par une autre racine primitive de la même équation.
Donc le produit, formé comme nous l’avons dit, ne pourra être qu’une
fonction alternée des racines primitives de l'équation (1), dans Île
cas où il ne se réduirait pas à une fonction symétrique de ces racines.
Il est bon d'observer que la somme des racines primitives de
l'équation
dont,
étant égale à — 1, a pour carré l'unité, et que la somme alternée de ces
racines primitives, quand elle ne s’évanouit pas, offre pour carré Æ v*.
Une pareille observation pouvant être appliquée à chacune des équa-
tions (32), le produit de plusieurs facteurs, dont chacun sera, ou la
somme, ou une somme alternée des racines primitives de l’une de ces
256 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
équations, devra toujours, quand il ne s’évanouira pas, offrir un carré
qui soit égal, abstraction faite du signe, au produit des nombres
1b "
4 0 Le
VF NM ER ARR E
ou de plusieurs d’entre eux, par conséquent à 2, ou à un diviseur de 7.
D'ailleurs, comme nous l'avons prouvé, le premier de ces deux pro-
duits peut représenter une somme alternée quelconque ® des racines
primitives de l’équation (1). Donc, si une semblable somme ne s’éva-
nouit pas, elle offrira pour carré + x, ou un diviseur de + n.
Observons encore qu'on aura toujours, ou
(34) DES
ou
(35) D E+ n;
si chacun des facteurs du produit qui représente ® est une somme
alternée. Au contraire, si l’un de ces facteurs est la somme des racines
primitives de l’une des équations (32), ®?, en cessant d’être nul, sera
généralement de la forme
(36) Br,
w étant un diviseur de 2. Alors aussi, ®, considéré comme fonction
des racines primitives des équations (32), sera, pour une ou pour plu-
sieurs des équations dont il s’agit, fonction symétrique de ces racines.
Pour qu’on trouve en particulier
Mis A,
il sera nécessaire que, dans le produit propre à représenter ©, chaque
facteur se réduise à une somme alternée différente de zéro. C’est ce
qui arrivera lorsque, dans le nombre composé », les facteurs premiers
impairs seront inégaux, le facteur pair, s'il existe, étant précisément
/ ou 8.
Soit maintenant
f(p)
NOTE VII. 257
une fonction entière de la racine primitive 2 de l'équation (1). On
pourra, dans cette fonction, réduire l’exposant de chaque puissance
de p à un nombre entier plus petit que », et poser en conséquence
(37) f(p)= a+ ap +ap+...+ a, pt,
A6 Ays dos +, An, désignant des coefficients indépendants de 5. Sup-
posons d’ailleurs que, dans le cas où l’on remplace la racine primitive p
de l’équation (1) par une autre racine primitive +” de la même équa-
tion, les différents termes contenus dans f(9) se transforment, au signe
près, les uns dans les autres, et que deux termes, qui se déduisent
ainsi l’un de l’autre, se trouvent toujours affectés du même signe pour
certaines valeurs
du nombre », mais affectés de signes contraires pour d’autres valeurs
k, k, kr,
du même nombre; en sorte que, sous ce point de vue, les entiers
AT NES CARPE P
inférieurs à » et premiers à 2, se partagent en deux groupes
D AO SSL. el FRÈRES SE ae
Alors, dans f(e), les coefficients a, s’évanouiront nécessairement,
et f(2) sera une fonction linéaire de chacune des sommes algébriques
| ph pAT SE pt pl ph D
2/ { 2A" 2 2x" 4
(38) PR Pre MR ne
| P9h EE ph DORE DRE DE QUE,
chacune d'elles étant censée ne renfermer que des termes distincts les
uns des autres. Sous cette condition, les sommes algébriques dont il
s'agit se réduiront toujours, ou, comme la première, à une somme
alternée des racines primitives de l’équation (1), ou du moins à des
OEuvres de C. — S. 1, t. I. 33
238 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
sommes alternées des racines primitives d'équations de la forme
(39) EPS,
les exposants ou les valeurs de w étant des diviseurs de ». Cela posé,
dans la fonction f(2), aussi bien que dans chaque somme alternée, les
termes précédés du signe + seront évidemment en même nombre que
les termes précédés du signe —; et, si à un terme que précède le
signe + on fait succéder un terme correspondant que précède le
signe —, on pourra obtenir, pour représenter la fonction, une suite
de termes alternativement positifs et négatifs. Pour cette raison, nous
désignerons sous le nom de fonction alternée la fonction f(2), formée
comme il a été dit ci-dessus. Il est clair qu’une semblable fonction
pourra seulement acquérir deux formes distinctes, et deux valeurs
égales au signe près, mais affectées de signes contraires, si l’on y
remplace une racine primitive 2 de l'équation (1) par une autre racine
primitive 2” de la même équation. Ajoutons qu’en vertu des relations
établies par la formule (33) entre les racines primitives de léqua-
tion (1) et celles des équations (32), toute fonction alternée des racines
primitives de l'équation (1) sera en même temps, ou une fonction
alternée, ou une fonction symétrique des racines primitives de chacune
des équations (32). Il sera maintenant facile de trouver la forme la
plus simple à laquelle se réduise, pour une valeur donnée de », une
fonction alternée f(2) des racines primitives de l'équation (1); surtout
lorsque 72 représentera un nombre premier ou une puissance d'un tel
nombre. Entrons à ce sujet dans quelques détails.
Supposons d’abord que le nombre x se réduise à un nombre pre-
mier impair v, où à une puissance de ce nombre premier, en sorte
qu'on ait
À nant) a
.
l’exposant & pouvant se réduire à l'unité. Les divers diviseurs du
nombre 2, y compris ce nombre lui-même, ou les diverses valeurs
que pourra prendre l'exposant w dans la formule (39), seront respec-
tivement
Vi ENST OS CN RERO
NOTE VII. 259
et les sommes alternées des racines primitives de l’équation (38), qui
correspondront à ces diverses valeurs de w, seront toutes nulles, à
l'exception d’une seule, que nous désignerons par A, et à laquelle la
fonction f(p) deviendra proportionnelle; en sorte qu'on aura
(40) f(p)—aa,
a étant indépendant de p. La somme A dont il s’agit sera d’ailleurs la
somme alternée des racines primitives de l'équation
ANSE Le
qu'on obtient en posant, dans l'équation (39), w — ».
Supposons en second lieu que le nombre 72 se réduise à une puis-
sance
24
du nombre 2. Alors, pour qu’on puisse former avec les racines de
l'équation (1) une fonction alternée, il sera nécessaire que cette équa-
tion offre plus d’une racine primitive et qu’on ait en conséquence
a >I.
Cela posé, x pourra être l’un quelconque des termes de la progression
géométrique
OUR
et, les valeurs de w, dans l'équation (39), devant aussi se réduire à
des termes de cette progression, la somme des racines primitives de
l'équation (39) ne pourra cesser de s’évanouir que lorsqu'on prendra
dE ou (Bras » À
Donc alors une fonction alternée (2) des racines primitives de l’équa-
tion (1) renfermera tout au plus deux termes qui ne s’évanouiront
pas, ces deux termes étant proportionnels, le premier à une fonction
alternée des racines primitives de l'équation
(41) æ'—1,
le second à une fonction alternée des racines primitives de l'équation
(42) Laden mt À
260 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Or, évidemment de ces deux termes le premier subsistera seul, si l’on
a n —/, et alors la fonction alternée f(2) sera encore de la forme
indiquée par l'équation (40), la valeur de A étant
A—p—p=+taÿ—:.
Si x devient égal à 8, on aura trois cas à considérer, suivant que le
second terme deviendra proportionnel à l’une ou à l’autre des trois
sommes alternées
(43), 4p+p—ps—p, p+p—p—p=o, p+p—p—p\.
Or, quand on fait successivement coïncider avec chacune de ces trois
sommes la première des expressions (38), savoir
ph + p'+. .— pE— ph —. ee
on trouve que les valeurs correspondantes de la seconde expression
ph. .—p#—...,
réduite à ne contenir que des puissances de 9 non équivalentes entre
elles, deviennent respectivement
(44) 0, pt—pt=tay-1r, 0
Donc, » étant égal à 8, le second des termes dont nous avons parlé
disparait lorsque le premier subsiste, et réciproquement; en sorte que,
dans ce cas encore, la fonction {(2) est de la forme indiquée par
l'équation (40), À désignant une somme alternée des racines primi-
tives ou de l'équation (41) ou de l'équation (42).
Au reste, ces conclusions doivent être étendues au cas même où 7,
étant une puissance de 2, deviendrait supérieur à 8, puisqu'alors la
fonction f(9), dans laquelle tous les termes disparaitraient, à l’excep-
tion des deux termes ci-dessus mentionnés, pourrait encore être con-
sidérée comme une fonction alternée des racines primitives de l’équa-
tion (42).
Revenons à des valeurs quelconques de 7, et posons de nouveau
NE MY,
NOTE VII. 261
v, v’, v’, .…. désignant les facteurs premiers de 2, dont l’un pourra se
réduire à 2. Comme nous l’avons déjà dit, une fonction alternée f(o)
des racines primitives de l’équation (1) sera en même temps ou une
fonction symétrique, ou une fonction alternée des racines primitives
de chacune des équations (32). Occupons-nous d’ailleurs spécialement
du cas où f(2), considéré comme fonction des racines primitives de
l’une quelconque des équations (32), est toujours une fonction
alternée, jamais une fonction symétrique de ces racines; ce qui sup-
pose » impair ou divisible plusieurs fois par le facteur 2. Dans ce cas
spécial, d’après ce qu’on a vu tout à l'heure, ou la fonction f(p)
s'évanouira, ou elle deviendra simultanément proportionnelle à divers
facteurs
FRS. AS PRES
qui représenteront des sommes alternées, respectivement formées
avec les racines primitives des équations
ft) E pds 1 F berdt d MUST
’
si les facteurs premiers
sont tous des nombres impairs. Donc alors f(2) sera proportionnel au
produit
ne à .::,
qui représentera une somme alternée des racines primitives de l’équa-
tion
(46) PARTS |
ou
(47) æ®—1,
la valeur de w étant
(48) à de a
et l'on aura en conséquence
(49) f(p)—aAA'A".…..,
262 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
a désignant dans f(2) le coefficient d’une racine primitive de l’équa-
tion (46). Si, parmi les facteurs
le premier v se réduisait à 2, on devrait remplacer la première des
équations (45) par l'équation (41) ou (42); et par suite on devrait,
dans la formule (49), prendre pour A une somme alternée des racines
primitives de l’une des équations
(50) Ph de à MSA,
Alors le produit
VE UNE
serait une somme alternée des racines primitives de l'équation (47),
la valeur de w étant donnée non plus par la formule (48), mais par
l’une des deux suivantes :
(51) DES DNA. GI SVT
D'ailleurs, en supposant x impair avec chacun des facteurs
on trouvera
V—1 vV'—1 v"—1
2
CE EC) 1%, DRE) SNS A"2—(— 1) 1 vw,
et, par suite, :
Vi . V'=1 v'—1
5 a ee me ee 04 à
(53) A?A'A"?, ..—(—1:1) ? 2 4 VW LA
ou, Ce qui revient au même,
o 1
(54) AAA", ,.—(—1) © w—=+0,
la valeur de w étant donnée par la formule (48). Si au contraire on
suppose y = 2, x étant divisible par 4 ou par 8, la première des for-
mules (52) se trouvera remplacée par l’une des équations
(55) A——4, A—+8,
et la formule (53) par l’une des équations
(56) UE CS At of D Je MAFAT. SET:
NOTE VII. 263
par conséquent on aura encore
(57) AAA"... —+ 0,
la valeur de w étant donnée, non plus par la formule (48), mais par
l’une des formules (51). Dans l’une et l’autre hypothèses, on tirera de
la formule (49)
(58) Cp) = wat.
L’équation (58) se réduira simplement à
(59) HoiP = a,
si l’on a
(60) HR.
Or, pour que le nombre w, déterminé par la formule (48), ou par l’une
des formules (5 r), devienne précisément égal à À, il est nécessaire que
les facteurs premiers et impairs de x soient inégaux, le facteur pair,
s’il existe, étant 4 ou 8.
L’équation (59) se réduira en particulier à
(61) [Kp}PÆ na?
si, les facteurs premiers et impairs du nombre 2 étant inégaux, ce
nombre est de l’une des formes
kx+1, 4(4x +3),
ou bien encore de l’une des formes
8(4x +1), 8(4x +3),
pourvu toutefois que, dans ce dernier cas, on place dans le même
groupe ceux des entiers
inférieurs à x, mais premiers à 2, qui, divisés par 8, donnent pour
ñn à . . . A
restes 1 et 7, quand + est de la forme 4x +71, et ceux qui, divisés
par 8, donnent pour restes 1 et 3, quand S est de la forme 4x + 5.
264 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Enfin l'équation (59) se trouvera réduite à
(62) [f(p)P=— nat,
si, les facteurs premiers et impairs du nombre » étant inégaux, ce
nombre est de l’une des formes
kæ+3, 4(4x+i),
ou bien encore de l’une des formes
S(4x +1), 8(4x +3),
pourvu toutefois que, dans ce dernier cas, on place dans le même
groupe ceux des entiers
inférieurs à 2, mais premiers à 2, qui, divisés par 8, donnent pour
I » « .
restes 1 et 3, quand + est de la forme 4x + 1, et ceux qui donnent pour
restes I et 7, quand à est de la forme 4x +5.
Nous observerons en finissant que, dans le cas où l’on à z =, et
où la formule (58) se réduit à la formule (59), le produit
AA...
renfermé dans le second membre de la formule (49), se réduit à une
somme alternée © des racines primitives de l'équation (1). Done alors
la formule (49) pourra s’écrire comme il suit :
(63) f(p)—a®.
Or, en élevant au carré chaque membre de cette dernière formule, et
ayant égard à l'équation (535), on retrouvera, comme on devait s’y
attendre, l'équation (59).
EL RE Te A CARE AT Do, AC To OEUFS éd Ta ND ST, * 7 VS RS GR des
; a. ÉRTER re Si ES H * #4 a
NOTE VIII. 265
NOTE VIII.
PROPRIÉTÉS DES NOMBRES QUI, DANS UNE SOMME ALTERNÉE DES RACINES PRIMITIVES
D'UNE ÉQUATION BINOME, SERVENT D'EXPOSANTS AUX DIVERSES PUISSANCES DE L'UNE
DE CES RACINES.
Soient, comme dans la Note précédente :
a un nombre entier quelconque ; :
h, k, l, ... les entiers inférieurs à », et premiers à n ;
N le nombre des entiers , #, L, ...:
o une racine primitive de l'équation
én 3;
et
(2) D = ph + ph + ph pl — 0 DE...
une somme alternée des racines primitives de cette équation, les
entiers
étant partagés en deux groupes
US M IR PC. CRT AN DES de
de telle manière qu’un changement opéré dans la valeur de la racine
primitive p puisse produire un changement de signe dans la somme ®,
sans avoir jamais d'autre effet sur cette même somme. Enfin, supposons,
pour plus de commodité, que le nombre 1 fasse partie du groupe
y RE ED
Si le nombre » est premier, il sera en même temps impair, et l’on aura
N=—= n—1.
Alors aussi, d’après ce qui a été dit dans la Note précédente, les
nombres
Oluvres de C: — Si I, + I 34
!
266 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
seront résidus quadratiques suivant le module », et racines de l’équa-
tion |
(3) LT =! (mod. »),
en sorte que chacun d’eux vérifiera la condition
(4)
Au contratre les nombres
seront non-résidus quadratiques suivant le module », et racines de
l’'équivalence
(5) x? =—1 (mod. n),
en sorte que chacun d’eux vérifiera la condition
(6) r] ee
D'ailleurs, pour chacune des équations
n—1 n—1
À ee 25 D LA, Sms
ne
la somme des racines se réduira toujours à zéro, lorsque sera un
nombre entier supérieur à l'unité; et, par conséquent, pour chacune
des formules (3), (5), la somme des racines sera équivalente à zéro,
suivant le module x, lorsqu'on aura
PE IS De À
Donc, » étant un nombre premier supérieur à 3, on aura toujours
(7) hihR+ RE RSR PA ie
La formule (7) comprend évidemment un théorème qu'on peut
énoncer comme il suit : e
THÉORÈME Î. — n étant un nombre premier supérieur à 3, st, parmi les
NOTE VIII. 267
entiers inférieurs à n, mais premiers à n, on distingue les résidus quadra-
tiques
MOT PRES,
el les non-résidus quadratiques
k, k', k",
..
la somme h + h + h"+... des résidus et la somme k+k+k" +...
des non-résidus seront l’une et l’autre divisibles par n.
Ainsi, en particulier, on trouvera, pour x — 5,
=, nr À h-Sh=5—=0 (mod. 5).
FE k+4#—=5=0 (mod. 5),
pour A — 7,
ASE, k = 2, =, h+h+k= 73=0 (mod. 7),
+, FN LES. k+KkK£LF=ÿk=0 (mod. 7),
ete. Mais, si l’on prend
1 Pme À
on aura
nes à ee à
et la condition (7), qui cessera d’être vérifiée, se trouvera remplacée
par la suivante :
h=— k=:1 (mod. 3).
On pourrait démontrer encore le premier théorème comme il suit.
n étant un nombre premier impair, nommons s une racine primitive
de l’équivalence
aNTI= 1 (mod. 7).
Les entiers inférieurs à 2, mais premiers à n, seront équivalents aux
diverses puissances de s d’un degré plus petit que z — 1, savoir, les
résidus quadratiques aux puissances paires
PORT nt HE NU be
et les non-résidus aux puissances impaires
3 5 2
SR de Si or bien en
268 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
On trouvera, par suite,
SEL ST
h+h+h+...=s+s+s +... .+sT= ET mme = 0 (mod. »),
sd CT
kK+kK'+k +... =s+s+s+.,,,+st?= —— =0o (mod. nr),
excepté dans le cas où, x étant égal à 3, on aurait non seulement
s"—1=1 (mod. »),
mais encore n — 1 — 2, et par conséquent
S'=1 (mod. n).
Supposons maintenant que » devienne une puissance d’un nombre
premier impair y, en sorte qu'on ait
NT VE
Alors on trouvera
N=w-ty—)=n(i— 2)
Alors aussi
k MMS
seront résidus quadratiques suivant le module », et racines de l’équi-
valence
N
(8) æ?=1 (mod. x),
tandis que
k, k"°
seront non-résidus suivant le module », et racines de l’équivalence
N
(9) : t'=—1 (mod. »).
Donc, si, en nommant / un nombre entier premier à n, on désigne par
(x |
ee]
le reste + 1 où — 1, qu'on obtient en divisant par » la puissance
w|2
ê,
0
NOTE VIII. 269
chacun des nombres , k', k”, ... vérifiera encore la condition (4), et
chacun des nombres #, #', #", ... la condition (6). D'autre part,
chacun des groupes |
pouvant être décomposé (p. 248-249) en plusieurs suites de termes
de la forme
U, tv, l+ov, ..., ln —v»,
et la somme de ces derniers termes étant égale à
n HV
ré (e Se ) ?
y 2
j M yes A4 > # . k . , :
par conséquent divisible par = =; il'est clair que, dans l'hypo
thèse admise, la formule (7) pourra être remplacée par la suivante :
(10) h+h+h"+...=k+k'+<kK"+...=0 (mod.w=?).
Ainsi, en particulier, on trouvera pour r = 9 — 3},
Ari, = hi, h+h'+k=12= 0 (mod. 3),
Het, 9, A ESS kK+Rk'+kK—=15= 0 (mod. 3).
La formule (11) renferme un théorème qu’on peut énoncer comme
il suit : |
TaéorÈME Il. — y étant un nombre premier impair, et n — v* une pus-
sance de y dont le degré surpasse l’unité, si parmu les entiers inférieurs
a n, mais premiers à n, on disungue les résidus quadratiques
CRR R Ce
et les non-résidus
la somme h+h +h'+... des résidus et la somme k+k+k" +...
des non-résidus seront, l’une et l'autre, divisibles par v*—' ou, ce qui
: [1
revient au méme, par ne
270 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Au reste, on pourrait encore établir le théorème IT de la manière
suivante : |
Si, en supposant
REV et N=v2-1(y—:1),
on nomme s une racine primitive de l’équivalence
xt (mod. »),
on trouvera, par des raisonnements semblables à ceux dont nous avons
précédemment fait usage,
S\—
R+h+h+.. =i+s+s+... + sv? De. (mod. n),
$ SN\— 1: |
kK+k+k" +... =s+S LS... + ses PER (mod. 7),
el, par suite,
(S—1) Ch +R +R += ser So (mod.n),
(St —a)(k+k+k +... )=s(S—1:1)=0o (mod. » ).
Donc chacun des produits
CS) CA ARR RS ON AR DR ER RTE 9)
sera divisible par 2 — v*; et, dans chacun d’eux, le second facteur
h+h+ht+..s ou k+k+k"+...
sera nécessairement divisible par =", si le premier facteur
S°— 1
ne peut être qu'une seule fois divisible par v. Or, c’est précisément ce
qui arrivera. Car, si le facteur s°? — 1 était seulement divisible par v?,
on en conclurait
S'—1= 1 (mod. w),
et, par suite (vorr la note placée au bas de la page 81),
sY(v-1)
Il
I (mod. »),
VEN), = (mod. v*),
NOTE VEIT. 271
Donc s vérifierait la formule
CRE (mod. v*),
ou, ce qui revient au même, la formule
N
s'=1 (mod, »),
et ne pourrait représenter, comme nous le supposons, une racine pri-
mitive de l’équivalence
2 = 1 (mod. n).
Lorsque y est de la forme 4x +1, et n de la forme y*, l’exposant a
étant supérieur à l'unité, alors
. . Rare : . . “4
est, ainsi que ——;> un nombre pair; donc, par suite, la quantité — 1
vérifie l'équation
et représente un résidu quadratique suivant le module ». D'ailleurs,
let m étant premiers à 2, les deux nombres
b: mil
sont toujours en même temps ou résidus ou non-résidus. Donc, dans
le cas que nous considérons ici,
Let —7 ou n—1I
seront en même temps résidus ou non-résidus, et la somme des résidus
RÉ RS N,
se composera, ainsi que la somme des non-résidus, de termes qui,
ajoutés deux à deux, donneront des sommes partielles égales à ». En
conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :
272 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Tuéorèue IT. — y étant un nombre premier de la forme 4x +1, et
F4 Eibmssran
une puissance de y, dont le degré a surpasse l'unité, st, parnu les entiers
inférieurs à n, mais premiers à n, on distingue les résidus quadratiques
LACS ER 7
et les non-résidus
LRU
la somme h + h + h" +... des residus et la somme k+k+k"+...
des non-résidus seront, l’une et l'autre, divisibles par n.
Ainsi, en particulier, on trouvera, pour x = 25 — 5?,
R+h+R+.. —=i+H4 +6 +9 +rr +14 +16 +19 +21 +24
=I+4+G6+g+ir—-11— 9— 6— 4— 1=0
(mod. 25),
K+Rk+Kk +... =2+3 +7 +8 +12 +13 +17 +18 + 22 + 23
=92+3+7+8+12—12— 8— 7 — 3— 2=0
(mod. 25).
Aux théorèmes I, I, HT on peut évidemment joindre le suivant :
TuéorÈme IV. — 7x représentant un nombre entier supérieur à 2, la
somme des entiers inférieurs à n, mais premiers à n, sera divisible par n,
de sorte qu'en désignant ces entiers par
RES RE À
on aura
(11) h+k+l+...Z=0 (mod. n).
Effectivement, les entiers inférieurs à z et premiers à 7, étant deux
à deux de la forme
ln — 1,
fourniront des sommes partielles toutes égales à ». On doit seulement
excepter le cas où les nombres
ln —l
NOTE VIII.
D
=!"
QS
pourraient devenir égaux, en restant premiers à 2. Or, l'équation
l=n—t!t
donne
1
Pen
2 ,
j . + . + N . .
et pour que —n soit entier, mais premier à 2, il faut qu'on ait n = 2.
2
Avant d'aller plus loin, nous présenterons une observation impor-
tante. La somme alternée @ étant déterminée par la formule (2), et le
groupe des exposants
ni: MER
étant supposé, dans cette somme, renfermer lexposant 1, enfin, le
nombre / étant inférieur, ou même supérieur à 72, mais premier à 2;
si, dans la somme alternée ©, on remplace 9 par 0°, alors, suivant que /
sera équivalent à l’un des nombres |
ou à l’un des nombres
cette même somme se trouvera multipliée par +1 où par —7, c'est-
à-dire que les termes précédés du signe + s’y trouveront échangés ou
non contre les termes précédés du signe —, cette espèce de multipli-
cation ou d'échange ayant lieu dans le cas même où » renfermerait des
facteurs égaux, et où, par suite, en vertu des propriétés de la racine p,
la somme alternée @ s’évanouirait. D'ailleurs, si» est un nombre pre-
mier où une puissance d’un tel nombre, on aura, dans le premier cas,
]=
GT
Done, alors, changer, dans la somme alternée ®, p en £° revient à mul-
dans le second cas
S ? à : £;
tiplier cette somme, ou plutôt ses divers termes, par |
OEuvres de C. — S. 1, t. HI. 39
97h MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Concevons à présent que x représente un nombre impair quel-
conque. Il sera le produit de facteurs premiers impairs
élevés à diverses puissances; et, si l’on désigne les exposants de ces
puissances par
4, b, C, ,
on aura
(12) EE où ÉS ANSE ES
(13) N=—vya-tlylé-1"e1,, (y —r)(v'—1)(w—71)..
£ 1 1 I
=a(i—; Le ER | A
Soient d’ailleurs
Ÿ £: T1; a
des racines primitives qui appartiennent respectivement aux diverses
équations
(14) OST, PRÉ D + mere ES et
On pourra prendre
(15) Pr.
Soient, de plus,
A, A’, À?
des sommes alternées, respectivement formées avec les racines pri-
mitives de la première, ou de la seconde; ou de la troisième, etc. des
équations (14), et de manière que la racine |
AA | LS ee DE
représente l’un des termes affectés du signe +. D’après ce qui a été dit
dans la Note précédente, si la somme alternée ® est en même temps
une fonction alternée des racines primitives de chacune des équa-
tions (14), non seulement cette somme @ vérifiera l’une des condi-
{ions
(16) D
(17) Be CA,
NOTE VIII. 275
mais en outre le produit
LT. vs
sera égal, au signe près, à la somme @; et comme, dans ce produit,
aussi bien que dans la somme ®, le terme
Ent...
sera évidemment affecté du signe +, on aura nécessairement
(18) ® — AA'A"....
Il y a plus : les divers termes compris dans la somme @ serontles pro-
duits partiels qu’on peut former en multipliant les divers termes de
la somme A par les divers termes de la somme 4’, puis par les divers
termes de la somme 4”, et ainsi de suite. Cela posé, on pourra facile-
ment décider si un entier /, inférieur à x et premier à 2, fait partie du
groupe
ou du groupe
k, K!, ,
En effet, pour y parvenir, il suffira de savoir si, dans la somme ®, les
termes précédés du signe + se trouvent échangés ou non contre les
termes précédés du signe —, quand on remplace
Dent par parer
ou, ce qui revient au même, quand on substitue simultanément
- CPE Cet Pa CAE,
Or, de ces diverses substitutions, la première équivaut à la multipli-
cation des divers termes de la somme A par
É
rt 2
CR
la seconde à la multiplication des divers termes de A’ par
276 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
la troisième à la multiplication des divers termes de A” par
a
v'e |?
etc. Donc, en vertu de ces substitutions réunies, les divers termes
du produit AA'A”...ou de la somme © pourront être censés multipliés
ll
Donc, en définitive, / fera partie du groupe
ar
RS ER, «7e
ou du groupe
suivant que le produit
Mr L:- .
sera égal à + rouà — 1.
Si, en supposant toujours
RENARD LES LS
on se sert de la notation
pour représenter le produit
DIS
on déduira immédiatement des principes que nous venons d'établir la
proposition suivante :
Tuéorème V. — Soient n un nombre unpair; v,V,V',... Ses facteurs
premiers; a, b, c, ... les exposants de ces facteurs dans le nombre n;
l'un des entiers inférieurs à n mais premiers à n; et s une des racines
primitives de l'équation (1). St une somme alternée ® de ces racines est
en méme lemps une fonclion aliernée des racines primitives de chacune
NOTE VII. 277
des équations (14), les deux termes
l
Psp
seront, dans la somme alternée ®, affectés du même signe ou de signes
contraires suivant qu'on aura
[-
(19) | A ou |; me
Ilen résulte encore que, dans le cas où, comme nous l'avons supposé,
:
le groupe des nombres
hi,
renferme l'unité, L fait parle ou non de ce même groupe suivant que la
première ou la seconde des formules ( 19) se vérifie.
Supposons maintenant que, x étant déterminé par la formule (12),
et / désignant l’un des nombres entiers inférieurs à », on nomme
Ask À
les restes positifs qu’on obtient quand on divise successivement l'par
chacun des nombres |
y, v'é, re à
L'équation
DS ENS
donnera non seulement
p'— Etnt£l..
mais AUSSI
(20) pl= An. ….;
et pareillement la formule
j:
n.
entrainera la suivante :
Éra | = {4
278 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
D'ailleurs les diverses racines primitives de l'équation
PA
seront les diverses valeurs qu'on obtient pour
TA
s ?
en prenant successivement pour À tous les entiers inférieurs à v‘
et premiers à v*. De même les diverses racines primitives de l’équa-
tion
seront les diverses valeurs qu’on obtient pour
4 A
en prenant successivement pour À’ tous les entiers inférieurs à v° et
premiers à v?; etc. Donc, en vertu du théorème IV de la Note VE,
les diverses racines primitives de l'équation (1) seront représentées
par les diverses valeurs du produit
Ame,
correspondant aux divers systèmes de valeurs que peuvent acquérir
les exposants
PR ue Ve
quand on prend pour À un entier inférieur à y‘, mais premier à y,
pour À’ un entier inférieur à v?, mais premier à v?, pour À” un entier
inférieur à v’*, mais premier à v“, etc. Donc, puisque les diverses ra-
cines primitives de l’équation (1) peuvent encore être représentées par
les diverses valeurs qu’on obtient pour
. p!,
en prenant successivement pour / tous les entiers inférieurs à 72, mais
premiers à ?, on peut affirmer non seulement qu’à chaque valeur de /
correspondra, comme il était facile de Le prévoir, un seul système des
valeurs de
NOTE VIII. 279
mais, réciproquement, qu’à chaque système de valeurs de À, X, À”,
correspondra une valeur de...
Il est bon d'observer encore que, le nombre r étant impair, la
somme alternée ©, déterminée par l'équation (2), ne pourra, en vertu
des principes établis dans la Note précédente, vérifier la formule (17),
ou
= A,
que dans deux cas particuliers, savoir : 1° lorsque x sera un nombre
premier; 2° lorsque, » étant le produit de facteurs premiers inégaux
F D Un rie,
® sera une fonction alternée des racines primitives de chacune des
équations
(22) PT num D AV, mire
Ajoutons que, dans l’un et l’autre cas, on aura
dr à
si z est de la forme 4x + 1, et
si 2 est de la forme 4x + 3.
Jusqu'à présent nous avons supposé que dans l’équation (r) l'expo-
sant 7 était un nombre impair. Concevons maintenant qu’il devienne
un nombre pair, et supposons d’abord qu'il se réduise à une puissance
de 2.
Pour qu'on puisse former avec les racines primitives de l’équa-
tion (1) une somme alternée
D = ph + ph pl — ph ph PET.
il sera nécessaire que la puissance de 2, représentée par », soit une
puissance supérieure à la première, par conséquent un terme de la pro-
gression géométrique |
280 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Alors, on pourra supposer, si 2 est égal à 4,
® — p —"p#;
et si x est égal à 6,
D=pHrpi— pipe
ou bien |
D=p+ pi pi pi
ou bien encore
D=p+p—p—p",
etc. Alors aussi la formule (15) ne pourra être vérifiée que dans trois
cas spéciaux, savoir : 1° lorsque, » étant égal à 4, on aura
D = p — p*, ®D?—— /;
2° lorsque, z étant égal à 8, on aura
D=p+p—p—p, M'=—8;
"3° lorsque, n étant égal à 8, on aura
D=p+p—p—p, D'=S.
Or, de ces trois cas le dernier est le seul dans lequel les sommes
h+hk+..., k+k!'+...
deviennent divisibles par 2. En effet, on aura dans le premier cas
par conséquent
dans le second cas
h+h=1+3—=4, k+k=5+7—=1,
par conséquent
h+h=k+ki=-n (mod. n);
D | =
et dans le troisième cas
h+h=1+17—=8, k+k'=3+5—=8,
par conséquent
h+h=k+k = n.
L 15 sit
NOTE VIII. 281
Concevons maintenant que », étant un nombre pair, ne se réduise
[4
plus à une puissance de 2. Si l’on nomme v, v', y’, ... les facteurs pre-
miers de ?, dont l’un, v par exemple, se réduira simplement au
nombre 2, on pourra supposer encore la valeur de » déterminée par
l'équation (12), et la valeur de 2 par l'équation (15),
& M, À
diésgnant des racines primitives qui appartiennent respectivement à la
première, à la seconde, à la troisième, etc. des formules (14). Il y a
plus : si l’on nomme
CE Re.
des sommes alternées respectivement formées avec les racines primi-
tives de la première, de la seconde, de la troisième, etc. des équa-
tions (14), et de manière que la racine
É'oeon où ©
représente l’un des termes affectés du signe +; si d'autre part on
nomme
AN: À
les restes qu’on obtient quand on divise successivement par chacun
{
des facteurs
va, y't
h NU
L y ,
un entier / inférieur à x, mais premier à 2, on se trouvera de nouveau
conduit aux formules (18) et (20) : et l’on conclura toujours de la
formule (20) qu’à chaque système de valeurs de
PAS CUS
correspond une seule valeur de Z. D'ailleurs la formule (18) fournira
encore le moyen de décider si un entier /, inférieur à 7, mais premier
à n, fait partie du groupe
! "
M AR",
qui par hypothèse renferme l'unité, ou du groupe
Œuvres de C.— S. I, t. I. 36
282 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
En effet, pour y parvenir, il suffira de savoir st, dans la somme @, les
termes du signe + se trouvent échangés ou non contre les termes pré-
cédés du signe —, quand on remplace
RENE. DAT Dm es
ou, ce qui revient au même, quand on substitue simultanément
ARR. DIN SEE
Or, de ces diverses substitutions, la seconde, la troisième, ..., simul-
tanément effectuées, changeront ou ne changeront pas les termes pré-
cédés d’un signe en ceux que précède le signe contraire, par exemple,
les termes affectés du signe + en ceux qu'affecte le signe —, suivant
Mr ke l
sera égale à + 1 ou à — 1. Cela posé, en passant du cas où la lettre n
que l'expression
désigne un nombre impair au cas où cette lettre représente un
nombre pair, on obtiendra, au lieu du théorème V, la proposition sui-
vante :
LE
TaéorÈme VI. — Sotent n un nombre pair,
ses facteurs premiers,
les exposants de ces facteurs dans le nombre n, l'un des entiers infé-
rieurs à n el premiers à n, el p une des racines primitives de l’équa-
lion (1). St une somme alternée © de ces racines est en même temps une
Jonction alternée des racines primitives de chacune des équations (11),
el a, en conséquence, pour facteur une somme alternée À des racines
4
primitives %, €, ... de l’équaiion
(23) dre à
NOTE VIII. 283
les deux termes
4
Pr» pP
seront, dans la somme alternée ©, affectés du même signe : 1° lorsque les
termes
LE
étant affectés du méme signe dans la somme alternée À, on aura
l
Vide | —
ou, ce qu revient au même,
L
(24) is
— n
“ 27
2° lorsque les termes
E El
CCS
étant affectées de signes contraires dans la somme alternée À, on aura
a l
| ati MY FR
Ou, Ce qui revient au même,
(25) : = — 1.
mat À
24
Considérons en particulier le cas où, n étant pair, la somme @ vérifie
la condition (17), savoir :
(Her ten,
Dans ce cas, en vertu des principes établis dans la Note précédente,
@® sera nécessairement une fonction alternée des racines primitives de
chacune des équations (14), et, de plus, on aura, d’une part,
sn =,
ou
: ÉD ati:
d'autre part,
PEER PUS Sn 1,1
Ds BEST + S HI v:.
284 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Or, supposons d’abord
24 — h.
Alors on trouvera
ne EL RPM A—p—pi=pt—pT,
et le théorème VI entraînera le suivant :
Taéorème VIT. — Sorent n un nombre pair divisible par 4,
. An , . . op .
les facteurs premiers Fes SuUpposes 1mpaurs et INESAUX , l'un des entiers
inférieurs à n, mais premiers à n, et à l’une des racines primitives de
l'équation
DEEE
St une somme alternée © de ces racines vérifie la condition
D ts,
non seulement ® sera une fonction alternée des racines primitives de
chacune des équations
(26) a = 1, L'EE, Lg tres PA D Le
mais de plus les deux termes
P» p°
seront, dans la somme alternée ®, affectés du même signe quand on
aura simulianement
f FEU RE
l=1 (mod. 4), RES as
: Lx 4
(27) ; / ou vien
=
l=—:1 (mod. 4), ot
ee
NOTE VIII. 285
et affectés de signes contraires, quand on aura
fe / Chan EL
ER | (mod. 4), 7 —— ll,
+ n
FA)
(28) Ç ou bien
: - =
l[=—1 (mod. 4), ee Le
| jé 7h
4 D
Supposons, en second lieu,
248,
Alors on aura
ras d'
et, si l’on veut que la fonction alternée © vérifie la condition
(PE A,
on devra supposer
A=p+pt— pi— p5, lorsque x sera de la forme 4x +1,
et
A=p+pi—p5— p1, lorsque » sera de la forme 4x + 3.
Au contraire, si l’on veut que la somme alternée @ vérifie la condition
q
D—=— n,
on devra supposer
A—=p + p—p5— p1, lorsque » sera de la forme 4æ +1,
et
A=p+pl—pi— pi, lorsque x sera de la forme 4x +1.
Cela posé, le théorème VI entrainera évidemment les propositions
suivantes : s
TuéorÈme VITE. — Sotent n un nombre pair divisible par 8; |
PR RATS ge.
les facteurs premiers ‘de 4 supposés tmpairs el inégaux; l'un des entiers
inférieurs à n, mais premiers à n ; el o une racine primitive de l'équation
tree Le
286 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Enfin, supposons qu'une somme alternée ® de ces racines vérifie la con-
dition
Din.
Non seulement cette somme sera une fonction alternée des racines primi-
tives de chacune des équations :
(29) Ts, À Ada 4 Ds,
mais de plus les termes
P» p°
seront, dans la somme ®, affectés du même signe : 1° st, & étant de la
forme 4x +1, ona
l=1 ou 7, Ë se ES di
cs
(30) ! ou bien
Fe
l=3 ou + A = — 1;
é
PE 1 RE
2° 48, g “ant de la forme 4x + 3, on a
[= 1: ou 3: se re Fe
l
2.
(31) ou bien
l=3 ou 7, Fe = — 1.
AUS
THéorÈME IX. — Soient n un nombre pair divisible par 8,
+ n PA : Un ;
les facteurs premiers de g supposés impars et inégaux, l'un des entiers
inférieurs n, mais premiers à n, et o une racine primitive de l'équation
F5 He at 8
Enfin, supposons qu'une somme alternée ® de ces racines vérifie la con-
NOTE VIII.
dition
Hey
287
Non seulement cette somme sera une fonction alternée des racines prt-
muitives de chacune des équations
(32) ape À Éns
mais de plus les termes
seront, dans la somme alternée ®, affectés du même signe : 1° st,
de la forme 4x +1, on a
(33) } ou bien
An
29 $ë, 3 étant de la forme 4x +3, on a
[= 1: ou 7, se oc j
&!
(34) | 0u bien FRS
Re ds
1= 3 ou à s = —I
4e
Revenons maintenant à la formule (3), où les nombres
Pie JSUAE | PAUL ou RS UN ai
représentent les exposants des termes affectés du signe +
7! étant
8
ou du
signe — dans la somme alternée ©. Il suit des théorèmes F et IT que
cette formule se vérifie :
1° quand z est un nombre premier impair,
supérieur à 3; 2° quand » est une puissance quelconque d’un nombre
premier de la forme 4x + 1. J'ajoute qu’elle se vérifiera encore, si n est
un nombre composé qui renferme plusieurs facteurs premiers, l’un de
288 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
ces facteurs pouvant être le nombre 2 élevé à une puissance. dont le
degré surpasse l'unité, et si, d’ailleurs, la valeur de » étant donnée par
la formule (12), la somme alternée @ est une fonction alternée des ra-
cines primitives de chacune des équations (14). En effet, supposons
d'abord x impair. Alors, en vertu du cinquième théorème joint à la
formule (21), les valeurs de / qui appartiendront au groupe
RER ST
seront celles qui vérifieront la condition
(35) ÊE:
ou
és IEEE
par conséquent, celles qui vérifieront ou les conditions
5" L VE 1’
sr ORDER
ou les conditions
À À À”
om Be BB
Or, le nombre des valeurs de / qui vérifieront la condition (35), ou, ce
qui revient au même, le nombre des systèmes de valeurs de À, W!,
À’, ... qui vérifieront la condition (36), sera
I I :
=N= RME Es Ë .(v — 1) (v' _— 1)(Y— 1). .
aussi bien que le nombre des valeurs de / qui vérifieront la condition
ou
NOTE VIII. ; 289
Pareillement, on reconnaitra que le produit
Lyb-iyrent, .(v'— 1) (7°
2
sx:
exprime le nombre des systèmes de valeurs de
54 À"
Mer en
qui sont propres à vérifier, soit la seconde des formules (33), soit la
seconde des formules (38). Donc ce dernier produit, que nous repré-
]J Là
sentons par —%, en posant, pour abréger,
(39) JC = v'é—1yle 1, (y —r) (y — 1)...
,
exprimera le nombre des valeurs de /, qui, étant comprises dans le
groupe
seront équivalentes, suivant le module v*, à une même valeur de à, par
laquelle la première des formules (33) ou (38) se trouve vérifiée.
Donc la somme des valeurs de /, comprises dans le groupe
k, h', h',
, \ see ,
c’est-à-dire, en d’autres termes, la somme
PR RUE pi en
sera équivalente, suivant le module ÿ*, au produit du nombre
«
2
par la somme des valeurs de À, qui vérifieront l’une des formules
Or, comme chaque valeur de À satisfera nécessairement à l’une
des équations (40), il est clair que la dernière somme comprendra
toutes les valeurs de À, et sera, par suite, en vertu du théorème IV,
OEuvres de C.— S. 1, t. WI. 37
290 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
divisible par v*. Donc aussi la première somme
R+h+h+...
sera divisible par v*; et, comme elle devra être, pour les mêmes rai-
sons, divisible par v?, par v, ..., ilest clair que, dans l'hypothèse
admise, elle sera divisible par le produit
n —=vyvayéye,
On pourra encore en dire autant de la somme
PAUSE Que EN
puisque, en vertu du théorème IV, la somme totale
RAR RAR RER ARE NOEL
devra encore être divisible par ». Donc si, 2 étant impair, la somme
alternée ® est en même temps une fonction alternée des racines primi-
tives de chacune des équations (14), les deux sommes
h+h+h +... kKEREÆR +...
vérifieront la formule (7).
Supposons maintenant que, dans l’équation (12), l’un des fac-
teurs
se réduise au nombre 2, mais se trouve élevé à une puissance dont le
degré surpasse l'unité. On prouvera encore, non plus à l’aide d’une
seule formule (21), mais à l’aide des formules (18) et (28), que la
moitié du produit %, déterminé par l'équation (38), exprime le nombre
des valeurs de / qui, étant comprises dans le groupe
RARE ERS ETS
sont équivalentes, suivant le module y*, à une même valeur de À.
D'ailleurs, parmi les termes affectés du signe + dans la somme ® que
détermine la formule (18), on en trouvera qui auront pour facteur un
terme donné quelconque, affecté du signe + ou du signe — dans la
NOTE VIII. « 291
somme À. Donc la somme
RTE EEE A
sera encore, dans l'hypothèse admise, équivalente, suivant le module y“,
. I
au produit de =, par la somme totale des valeurs de À. Done, cette
dernière somme devant être, en vertu du théorème IV, divisible
par v*, on pourra en dire autant de la première, qui devra être divi-
sible par chacun des nombres
! "
va; y ë: y Æ
et se réduire, en conséquence, à un multiple de ». La somme totale
ER LR D LE EE ABS
devant être elle-même, en vertu du théorème IV, un multiple de n,
il suit de ce qu'on vient de dire que les deux sommes
h+h'+h"+..., k+k'+k "+...
devront encore vérifier la formule (3).
En résumé, on pourra énoncer la proposition suivante :
THÉORÈME X. — 7 étant un nombre composé qui renferme divers fac-
teurs premiers v, v', V', ... el ne puisse devenir pair, sans être divisible
par 4, si l’on suppose que, la valeur de n étant fournie par l’équa-
tion (12), la somme alternée ®, déterminée par la formule (2), soit en
méme temps une fonction alternée des racines primitives de chacune des
équations (4), on aura
h+h+h'+...=k+<k'+<k"+...=0 (mod. n).
ILest bon d'observer que, dans le théorème précédent, les exposants
de tous les facteurs impairs pourraient se réduire à l'unité.
En vertu des principes établis dans la Note précédente, pour que la
somme alternée vérifie la condition
DE A,
292 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
n étant un nombre premier ou composé, pair ou impair, déterminé
par la formule (12), il est nécessaire que les facteurs premiers impairs
de » soient inégaux, le facteur pair, s’il existe, étant 4 ou 8, et qu’en
outre ® soit une fonction alternée des racines primitives de chacune
des équations (14). Cela posé, les théorèmes I et IT entrainent évidem-
ment la proposition suivante :
Tuéorème XI. — Lorsque la somme alternée ®, déterminée par la
formule (2), vérifie l'équation (17), savoir
Hi Russe:
les deux groupes d’exposants
PRESS PRE à :
k, L'an #";
vérifient la condition (7), savoir
h+h+h'+...=k+<Kk +R +...=0 (mod. x),
à moins loulefois que le module n ne se réduise à l’un des trois nombres
On peut d’ailleurs observer que la condition dont il s’agit est véri-
fiée, pour le cas même où l’on suppose 7 = 8, lorsque ®, étant réduit
à la somme alternée
PAPE P SE
vérifie l'équation
, Di=8 a;
mais cesse de l’être lorsque ®, étant réduit à
EPP #0
vérifie l'équation
®D=—8—— n.
NOTE IX. 293
NOTE IX.
THÉORÈMES DIVERS RELATIFS AUX SOMMES ALTERNÉES DES RACINES PRIMITIVES
DES ÉQUATIONS BINOMES.
Soient :
ñn un nombre entier supérieur à 2 ;
h, k, 1, ... les entiers inférieurs à 72, mais premiers à 7;
N le nombre des entiers 2; #4, L, ...;
o une racine primitive de l'équation
(1) MAS:
enfin, supposons les entiers
partagés en deux groupes
.. PAS: LT OPEL et RÉERS: RSS Dai
de telle manière que l'expression
(2) D = pl+ pH pl, — ph DE DE —.,
représente une somme alternée des racines primitives de l'équation
(1), et que l’unité fasse partie du premier groupe
Hi: h":
Alors, la quantité m étant équivalente, suivant le module 7, à l’un
des entiers
j: PRESS RS PRÉC R
les produits
mh;, mh;:mh;
seront équivalents, à l'ordre près, soit aux termes du premier groupe
k, ke: kr, sans
soit aux termes du second groupe
! [/4
Le LOS VER
294 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
selon que 72 fera partie du premier ou du second groupe; et, au con-
traire, les produits
mk, mk', mk,
seront équivalents, dans le premier cas, aux nombres
Rs Rs Rss te
dans le second cas, aux nombres
EURE | VOB | A
Donc, l'étant l’un quelconque des entiers inférieurs à 7, mais pre-
miers à », le nombre / et le produit #2/, ou plutôt le reste de la division
de rl par 2, appartiendront ou non au même groupe, selon que la
quantité »# deviendra équivalente à un terme du premier ou du second
groupe. Ainsi, par exemple,
let —1, ou plutôt n — l,
appartiendront ou non au même groupe, suivant que la quantité
0
— 1, ou plutôt n —1,
fera partie du premier ou du second groupe. Pareillement, si le
nombre z est impair,
Let: 501
appartiendront ou non au même groupe, et par suite les produits
VE SET
seront équivalents, à l'ordre près, aux nombres
LP RE,
ou aux nombres
RS be HITS
suivant que le nombre t fera partie du premier groupe ou du second.
Des principes que nous venons de rappeler il résulte encore que, si
l’on remplace
p par 7
NOTE IX. 295
les deux groupes des racines primitives
o!#, p#!, ph”, al et pt, p#, p#”,
resteront composés chacun des mêmes racines, où se transformeront
lun dans l'autre, suivant que 2 sera équivalent, suivant le module n,
à l’un des nombres
ou à l’un des nombres
Done, si l’on nomme
LE Éd 0
une fonction symétrique des racines
Fr s a, où, Ac
et
RM NT UE ES
ce que devient la fonction I, quand on y remplace
i
p#, pl « n/e ;
par
la somme
I+J
ne changera jamais ni de valeur ni de signe, et la différence
I—J
pourra seulement changer de signe, en conservant toujours, au signe
près, la même valeur, lorsqu'on remplacera la racine primitive 5 par
une autre racine primitive 9”. Donc alors la somme 1 + J sera une
fonction symétrique, et la différence 1 — J une fonction alternée des
racines primitives de l'équation (1).
Si le nombre n est tel que l’on ait
(3) RH,
alors, en vertu des principes établis dans la Note précédente, ce
296 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
nombre sera de l’une des formes
PE à
EX 4 Lo
VIDE Ne CUS T SN SES TES
v, v', v’, .… désignant des facteurs impairs et premiers, inégaux entre
eux: et, si d’ailleurs z ne se réduit pas à l’un des trois nombres
on aura
(4) h+k +h'+...=k+K+k"+...=o (mod. x).
Ajoutons que l'équation (3) pourra se réduire à
(5) En |
dans le cas seulement où, les facteurs impairs de x étant inégaux,
n sera de l’une des formes
hæx+i, 4(4æ +3), 8(2x +1),
et qu’alors chacun des nombres
RS LOU Se
vérifiera : 1° si n est de la forme 4x +1, la condition
dé ne
. . Mine
»° si = estentier et de la forme 4æ + 8, les conditions
4
(7) —|=: h=1 (mod. 4),
7An
Là
ou
(8) — ED h=—1 (mod. 4);
ae
30 si est entier et de la forme 4x + 3, les conditions
8
h_
(9) [| rent S h=1 ou 7 (mod. 8),
NOTE IX. 297
ou
(10) —— | = — 1, k = 3 ou o (mod. 7);
PAS : : . « ER
4° si g (stentier et de la forme 4x + 3, les conditions
4
(11) — SF h=1 ou 3 (mod.8),
ou
Fra à
(12) scie h=5 ou 7 (mod. 8).
Far
Au contraire, l'équation (3) pourra se réduire à
(13) ; D?—=— n,
dans le cas seulement où, les facteurs impairs de z étant inégaux,
n sera de l’une des formes
kæ+3, 4(4kx+i), 8(2xæ +1);
et alors chacun des nombres
MR, LE,
vérifiera : 1° si n est de la forme 4x +3, la condition (6); 2° si 4
est entier et de la forme 4x +1, les conditions (7) ou (8); 3° si
. est entier et de la forme 4æ + 3, les conditions (9) ou (10); 4° si
g est entier et de la forme 4x + 1, les conditions (11) ou (12).
Si l’on désigne par
les facteurs premiers de n, et par
a, b, C,
les exposants des puissances auxquelles ces mêmes facteurs sont
élevés, l'équation
(14) n =vyby"e,
OEuvres de C. — S.Ï, t. II. 38
298 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
entrainera généralement la suivante :
(15) N—va-1y01ye1 (y 7) (ur) (v/— 1)...
Si l’on suppose en particulier x impair, et composé de facteurs impairs
inégaux
alors l'équation
(16) me DS AE
entrainera les suivantes :
(17) N—(v—1)(v"—1)(%"—1)...,
so EAST
ss E-HBEI
D'ailleurs, v étant un nombre premier impair, l'expression
E-c
se réduira simplement à + 1 où à — 1, suivant que y sera de la forme
4æ +1 où 4æ — 1. Donc, en vertu de la formule (18), l'expression
pat à
Fr
sera égale à + 1 ou à — 1, suivant que les facteurs premiers de >, de
la forme 4x — 1, seront en nombre pair ou en nombre impair; et,
comme le nombre » sera, dans le premier cas, de la forme 4x +1,
dans le second cas, de la forme 4æ — r, il est clair que l'équation (18)
pourra être réduite à
- n—1
— ] 5
(20) | (D *:
De plus, y étant un nombre premier impair, l'expression
NOTE IX. 299:
se réduira simplement à + 1 ou à — 1, suivant que v? sera de la forme
16æ +1 où 16æ +09. Donc, en vertu de la formule (19), l’expres-
I
sera égale à + 1 où à — 1, suivant que, parmi les carrés
sion
19
RS LRO SALUE
ceux qui se présenteront sous la forme
16æ +9
seront en nombre pair ou en nombre impair. D'ailleurs, le produit
de deux facteurs de la forme 16% +0 étant lui-même de la forme
16æ +1,ilest clair que le carré
n?= v'y2y"2,..
sera dans le premier cas de la forme 16æ +1, dans le second cas de la
forme 16xæ + 9. Donc, par suite x sera, dans le premier cas, de la
forme 8x + 1, ou, ce qui revient'au même, de l’une des formes
8tT +1 ou 8x +7;
dans le second cas, de la forme 8x + 3, ou, ce qui revient au même,
de l’une des formes
8x +3 ou 8x +5;
et l'équation (19) pourra être réduite à
(21) É = (er)
Supposons maintenant que, les facteurs impairs de » étant inégaux
et représentés par
Ci
v'v", sou
a renferme, en outre, un facteur pair représenté par 4 ou par 8 ; alors,
eu égard à la formule (20), il est clair que l'équation
(22) RE BN VTT e
300 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
entrainera la suivante :
(23) — |=(—1) À,
ou que l'équation
(24) n—SVY
entrainera {a suivante :
(25) (0
7e
8
Des formules (20), (23), (25) jointes aux conditions (6), (7), (8),
(9), (to), (11), (12), on déduit immédiatement les propositions que
nous allons énoncer.
Tuéorème 1. — Soit à l’une des racines primitives de l'équation (a) ei
Supposons les exposants des puissances diverses de o partages en deux
groupes
PET RS RRQ ENST aan
chaque exposant étant censé appartenir au premier ou au second groupe,
suivant que la puissance correspondante se trouve affectée du signe + ou
du signe — dans une somme alternée ® de ces racines primitives. Les
deux exposants
1 -BLT ET ou n —I
appartiendront au même groupe, si la somme ® vérifie la condition
DEN
et à des groupes différents, si la somme © vérifie la condition
Par suite, {étant premier à », les exposants
Ü et —71 ou n — t
appartiendront au même groupe, si l’on à ® = n, ce qui suppose que
D)
NOTE IX. 301
n soit de l’une des formes
kr +1, 4(4x+3), 8(2x +1),
et à des groupes différents, si l’on a = — nr, ce qui suppose que »
soit de l’une des formes
hkx+3, 4(4x+i), 8(2x +1).
On peut aussi, de l'équation (21), jointe à ce qui a été dit plus haut,
déduire le théorème dont voiei l'énoncé :
Tuéorème Il. — Le nombre n étant impair, soit p l’une des racines
primitives de l'équation (1), et supposons les exposants des puissances
diverses de : partagées en deux groupes, chaque exposant étant censé ap-
partenir au premier ou au second groupe, suivant que la puissance cor-
respondante se trouve affectée du signe + ou du signe — dans une somme
alternée ® de ces racines, qui offre pour carré + n. Les deux exposants
ou plus généralement
appartiendront au même groupe, ou à des groupes différents, suivant que
le module n sera de l’une des formes
8t+I, 8t+7
ou de l’une des formes
8x +3, 8x +5.
Le deuxième théorème entraîne immédiatement la proposition sui-
vante :
Tuéorème IT. — 7 étant un nombre impair, et : une des racines pri-
mitives de l'équation (1), sotent
RÈN QUE RSR et l'PÈRS CPCRE P
les deux groupes d ‘exposants de 0 dans une somme alternee ® de ces
racines, qui offre pour carré + n. St n est de la forme
8æ+I1 ou 8x +7,
302 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
le groupe des exposants
HS RE,
pourra être remplacé, dans la somme alternée ©, par le groupe des expo-
sanis
GR RS TAN:
qui seront, à l'ordre près, équivalents aux premiers suivant le module n,
el le groupe des exposants
par le groupe des exposants
ak, ak, ak 1.4
Si, au contraire, n est de l’une des formes
8xæ+3, 8x+5,
le STOupE des exposants
URSS M 1e
pourra être remplacé par le groupe des exposants
AR OR T AR
et le groupe des exposants
Re 9
par le groupe des exposants
2h, 2h, A,
Supposons maintenant que, l'équation
= n
étant vérifiée, n représente, non plus un nombre impair, mais un
nombre pair. Alors x sera de l’une des formes
PES, CN a
[4
v', v’, ... étant des facteurs impairs inégaux. Or, si l’on
suppose
ç <ké
NIFTE TEE. 303
d’abord
et à 4e TIR
un nombre / inférieur à 2, mais premier à 7, fera partie du premier
groupe
ne Fr ee
A MT
si ce nombre /, pris pour À, vérifie les conditions (7) ou (8), et n’en
fera pas partie dans le cas contraire. Par suite, deux nombres impairs
ÉST,
inférieurs à 72, mais premiers à », appartiendront l’un au premier
groupe, l’autre au second groupe, si ces nombres vérifient la condition
(26) es Fr ,
sans vérifier la suivante :
en sorte que l’on ait, non pas
l—[=0o (mod. 4),
mais, au contraire,
(27) l'—[l=2 (mod.4).
Or, les conditions (26), (27) seront évidemment vérifiées si, / étant in-
PES s. 7
férieur à —; on pose
2
(28) rats,
2
puisque alors on aura
li = = av", =: (mod. 4),
Supposons maintenant
HE BV TS
f'
V,v”,... étant toujours des facteurs impairs inégaux, et la valeur de
304 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
©? étant + n. En vertu des conditions (9) ou (ro), (11) ou (12), deux
nombres impairs
EE
inférieurs à x, mais premiers à 2, appartiendront nécessairement, l’un
au premier groupe, l’autre au second groupe, si ces nombres vérifient
les deux conditions
is l
(29) PR DR fruits À
e” “de:
(30) l'—1=, (mod. 8).
ROUE . . . ; . > 2 , A
Or, c’est précisément ce qui arrivera, si, /'étant inférieur à 5° On sup-
pose la valeur de /’ déterminée par l'équation (28), puisque alors on
aura
LA
|
—
|
|
Il
es
L 4
+
Il
pas
(mod. 8).
Observons maintenant que la formule (28) entraine immédiatement
la suivante :
(31) 2l'= ol (mod. 7).
Donc, lorsque, n étant pair, le carré de © sera + x, on pourra, aux
termes du premier groupe
de manière que l’on ait, par exemple,
2h=2k, 2h'= 2k", 2h"=2k", Eva (mod. n).
En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :
Tuéorème IV. — à étant un nombre pair, et o une des racines primi-
tives de l'équation (1), sotent
MONTH PR De PRET «
-
TR TER
NOTE: IX. 305
les deux groupes d'exposants de 5, dans une somme alternée ® de ces
racines, qui offrent pour carré + n. Les nombres
2%, 23h, 2h
e
seront équivalents, à l'ordre prés, suivant le module n, aux nombres
TRES MÉCE 1 ot RRT
Le nombre total des entiers
inférieurs à 2, mais premiers à 2, étant représenté par N, et la somme
alternée © renfermant toujours autant de termes positifs que de termes
négatifs, il est clair que dans chacun des groupes
MR KL Ph
is A / \ N Ÿ # dy # , ’
le nombre des termes doit être égal à à - Cela posé, l’unité étant censée
faire partie du premier groupe
! 4
MS REIN",
he,
nommons £ le nombre des termes qui, dans ce groupe, sont inférieurs
s A
. . n
à—, et le nombre de ceux qui surpassent —: On aura
:
(32) +J=—
2
’ . . je , A + . È
D'autre part, Z étant un entier inférieur à =; mais premier à /,
ne 1
£ re LS RRTR Fi x : à
sera un autre entier supérieur à 6 mais inférieur à n, et premier à 7.
Done, les entiers inférieurs à 2, mais premiers à », se correspondront
x nm
deux à deux, au-dessus et au-dessous de => le nombre des uns et des
N : :
autres étant encore —+ Donc, ceux qui feront partie du second groupe
4
ñ , S
seront, au-dessous de —; en nombre égal à
{=
2 J
Œuvres de C. — S.1,t.II. 39
306 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et au-dessus de _ en nombre égal à
— — —=i
2
I y a plus : deux termes correspondants, c’est-à-dire de la forme
4, n—1l,
seront, en vertu du théorème 1, deux termes qui feront partie d’un
même groupe, si la somme alternée © vérifie la condition
D?— n.
Done, alors, à l'équation (32) on pourra joindre celle-ci
(33) ΗJ;
et l’on aura, par suite,
(34) RE Re
On peut donc énoncer la proposition suivante :
Tuéorème V. — Le nombre n étant tel que la somme alternée ®, de-
terminée par l'équation (2), vérifie la condition
Din;
chacun des groupes d'exposants
Ms AS et KR PRS M
. : . + FE s. 1
offrira autant de termes inférieurs à — que de termes supérieurs à —; le
2 2
SAS HE N
nombre des termes de chaque groupe, inférieurs à -; étant =:
5 s: À
En terminant cette Note, nous joindrons ici quelques observations
qui ne sont pas sans intérêt.
Si, dans le cas où n représente une puissance d’un nombre premier
impair, et / un entier premier à », on désigne par £
NOTE IX. 307
comme nous l'avons fait dans la Note précédente, le reste + 1 où — 1,
qu'on obtient en divisant par 2 le nombre entier
N
é,
alors on devra, dans les formules (20) et (21), supposer, ainsi que
nous l'avons admis, le nombre » non seulement impair, mais composé
de facteurs inégaux. Car, si l’on supposait, par exemple,
Age,
on trouverait
de
2
et les expressions
cesseralent d’être égales aux quantités
TG NE 1, PAL es
Toutefois les formules (20), (21) continueraient d’être vérifiées, si,
dans le cas où 2 représente une puissance v* d’un nombre y premier et
impair, on désignait, avec M. Jacobi, par la notation
non plus le reste +1 ou —:1,qu'on obtient en divisant par » le
nombre
mais l'expression
Alors aussi l’on pourrait étendre à des nombres impairs quelconques
la loi de réciprocité qui existe entre deux nombres premiers impairs ;
en sorte qu'on aurait généralement, pour des valeurs impaires des
LD A ne TA : F f 5 le NC D ET ET re Le + TV Te SHC EUR
ï à ; *- £ de 2 MS et S FN
- pe
308 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
nombres entiers mn et n,
NOTE X.
SUR LES FONCTIONS RÉCIPROQUES ET SUR LES MOYENS QU'ELLES FOURNISSENT
, L] ,
D'ÉVALUER LES SOMMES ALTERNÉES DES RACINES PRIMITIVES D UNE ÉQUATION BINOME.
f(æ) étant une fonction donnée de la variable +, on a générale-
ment, pour une valeur de æ, renfermée entre les limites æ,, X (vor le
IXe Cahier du Journal de l’École Polytechnique, et le Tome II des Exer-
cices de Mathématiques, p. 118),
SAR
f(x) — = f [ ertæ-uW1((u) du dr,
ou, ce qui revient au même,
LTÉE
(1) Ka) =E f f cosr(æ— u)f(u) du dr;
| 0 es É "
et pour une valeur de æ, située hors des limites æ,, X,
e nÀ
o=— f feu ru) du dr,
PE EN Es
oœ% xol
ou, ce qui revient au même,
æ X
(2) or | à cosr(æ—u)f(u) du dr.
Ainsi, en particulier, si l’on suppose
Mo; LES)
NOTE X.
la formule (1) donnera, pour des valeurs positives de æ,
(3) f(x) = = f F cosr(æ—u)f(u) du dr;
Le 0 re
mais on conclura de la formule (2), en y remplaçant x par — x,
(4) 0 = — L | cosr(æ—u)f(u)du dr.
To +0
Comme on aura, d’ailleurs,
COST (x + u) = CosrxCosru —sinræxsinru,
COST (x — u) — Cosrx COsru + sinræsinru,
on tirera des équations (3) et (4)
(5). = f f cosr æ cosru f(u) du dr,
À ÿ Le 0 Ce
(6) (z)= [ F sin rx sin ru f(u) du dr.
FA 0
309
De ces dernières formules, données pour la première fois par M. Fou-
rier, 1l résulte que, si l’on suppose
g(æ) = (2) fra teyan
on aura réciproquement
(8) f(æ) = (2) fleosrz gran
et que, si l’on suppose
(9) Y(x)= (EP sinreraar
on aura réciproquement
(10) : FHÉRESE CE Lire d(r)dr.
On voit donc ici se manifester une loi de réciprocité : 1° entre les
fonctions f et +; 2° entre les fonctions f et 4, de telle sorte, que
chacune des équations (7), (9) subsiste, pour des valeurs positives
310 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
de æ, quand on échange entre elles les fonctions f et #, ou f et 4.
C’est pour cette raison que, dans le Bulletin de la Société philomatique
d'août 1817, j'ai désigné les fonctions
f(æ), o(æ)
1
sous le nom de fonctions réciproques de prenuèére espèce, et les fonc-
tions
f(æ), (x)
sous le nom de fonctions réciproques de seconde espèce. Ces deux espèces
de fonctions peuvent être, ainsi que les formules citées de M. Fourier,
employées avec avantage dans la solution d’un grand nombre de pro-
blèmes, et jouissent de propriétés importantes, dont je rappellerai
quelques-unes en peu de mots.
D'abord, puisqu'on a généralement, pour des valeurs positives
de w,
Le cosr x dr = —*— fer sinræ dr = —©
0
WE 2?” 5 À w?+ x?°
il en résulte que la fonction
(LERRCE NT
a pour réciproque de première espèce
1
3h" :@
Z)=(-) ————
?(æ) (2) w1+ x?”
et pour réciproque de seconde espèce
De
X
tee
On a donc, par suite,
æ L2
() T r À T
(11) ns COST L dr = ee, —— sinræ dr = -e"",
PRET je CA de 2 OT 2 d
On se trouve ainsi ramené à deux formules données par M. Laplace.
a
“hi
NOTE X. 311
Lorsque, dans là dernière de ces formules, on pose & — 0, on retrouve
la formule connue
(12)
ÉSSRLET
l F
T
AP =)
2
LE
0
qui subsiste seulement pour des valeurs positives de la variable x.
Il résulte encore de la formule connue
a o? x?
_— T — ——!
(13) JL e *cosrædr——e LE
0
que la fonction
se confond avec sa réciproque de première espèce.
Soient maintenant z une variable, dont le module reste inférieur à
l'unité, et a une quantité positive. Si la série ,
f(o), sf(a), 3*f(2a),
est convergente, on tirera des formules (8) et (10)
(14) fo) + za) + stftaa) += (2) [7 ri ie o(r) dr
1—% 3 COSar' + 5°
et
»
2 æœ z ç1 .
(15) af(a)+ 3 f(2a)+...— (2) . a (r dr.
j ;
Fr 2 COSA FES"
Si, d’ailleurs, on fait converger 3 vers la limite 1, le rapport
1— 3 COSar
1— 2ZCOSar + 3°?
s’approchera indéfiniment de la limite . à moins que l’on attribue à r
des valeurs peu différentes de celles qui vérifient l'équation |
COSAr == T,
Or, les racines positives de cette équation seront de la forme
r= #40;
312 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
ñn étant un nombre entier, et b une constante positive liée à la con-
stante a par la formule ;
(16) ab=ax.
Cela posé, on reconnaitra sans peine [voir le 2° Volume des Exer-
cices de Mathématiques, p. 148 etsuivantes (*)] que, si s s'approche in-
définiment de la limite 1, l'intégrale renfermée dans le second membre
de la formule (14) aura pour limite, non pas l'expression
EU 2(2) f(o),
comme on pourrait le croire au premier abord, mais cette expression
augmentée de certaines intégrales singulières dont la somme sera
T
«a
Loto) +8 (0) +etab) +... |
En conséquence, on trouvera
LA
2H
(13) = f(o) + f(a) + f(2a) +...— (Æ) ÉFOPOETCE |
a
ou, ce qui revient au même,
1Ë 1
(18) a [2rc) +f(a)+f(2a)+.. = b? ÉOEU + p(2b) +.. je
Ainsi, lorsque la série
f(o), f(a), f(2a),
est convergente, l’équation (18) subsiste entre les fonctions réci-
proques de première espèce désignées par les lettres f et +, pourvu
que les nombres a, b vérifient la condition (16).
Il importe d'observer que la série
o(o), 9(b), w(2b),
peut quelquefois se réduire à un nombre fini de termes, et qu’alors
(1) Œuvres de Cauchy, S. I, t. VI.
NOTE XX. 313
l'équation (17) fournit immédiatement la somme de la série
f(o), f(a), f(2a),
C’est ce que nous allons montrer par un exemple.
Comme on a généralement
sinr(o+æ)-+sinr(o—x)
2
2
Sin @ 7" COST X —
}
on en conclura, eu égard à la formule (12),
*siner T
(19) Cosr x dr = —
- 6 r 2
ou
Re
sin@7r
(20) f cosrrdr = 0,
suivant que + sera inférieur ou supérieur à w. Donc, si l’on pose
as hier
on aura
à 1
2 2
k o(x) — (£) ou o(x)=0,
suivant que la valeur de æ sera inférieure ou supérieure à la constante
positive w ; et alors, pour réduire l'équation (15) à la formule
1
r\* (0)
— f(o f f(2 Rs De
LC) + (a) + fa) +... (5) 2502,
par conséquent à la formule
no ; sin24w Sin3au T
(21) 5 49 +Sinao + : + 3 nn une
il suffira de choisir la constante a, de manièfe à vérifier la condition
o << b
ou
AOL AT.
La formule (21) était déjà connue. Lorsqu'on y pose a — +, elle donne,
Œuvres de C. — S. I, t. HI. 4o
314 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
pour des valeurs de w, renfermées entre les limites 0,27,
I S Sin 2 6 Sin 34 T
(22) — & + SINO + cu +... —:
2 2 3 2
St, dans la formule (18), on pose
ta) ze
elle donnera
(23) #(L+e 2+e Je (te ?+e LL
% = _
les nombres a, b étant toujours assujettis à la condition
db= 37:
Si, dans l'équation (23), on remplace a? par 2a4?, et b? par 24°, on en
conclura
%
è 1
EU RE
(24) a° e + er + etai 'er E., \ om: \g (: + el'+ et ce,
\
les nombres a, b étant maintenant assujettis à vérifier la condition
(25) ab =".
J'ai signalé les formules (18) et (24), avec la méthode par laquelle je
viens de les reproduire, dans le Bulletin de la Société philomatique
de 1817 (‘), et j'ai développé cette méthode dans les leçons données
la même année au Collège de France. La relation établie par la for-
mule (24) entre les termes des deux séries
(26) LR RENE en TR VE
é =b3 LebES AR 2
(27) I, ex nt es
parut digne d'attention à l’auteur de la Mécanique céleste, qui me dit
lavoir vérifiée dans le cas où l’un des nombres à, b devient très petit.
Effectivement la formule (24), que l’on peut écrire comme il suit,
1 T° Lidl
L : 3 rt. * cor ÿ
(28) aires rer...) =ri( +e +'e +. ),
D | =
(1) Œuvres de Cauchy, S. W, t. II.
NOTE X. 315
donnera sensiblement, si a se réduit à un très petit nombre x,
1 x ‘
«(= + ee ++...) rl A {EN
2 2
et, pour vérifier cette dernière équation, il suffit d’observer que, d’après ,
la définition des intégrales définies, le produit
Q(i1+ + et, ..)
a pour limite
L 2 +
(29) f dr = 2.
0
La formule (18), avec la démonstration que nous en avons donnée,
peut être étendue, ainsi que la formule (24), à des valeurs imaginaires
de a, renfermées entre certaines limites. Ainsi, en particulier, la for-
mule (24) continue de subsister, comme l’a dit M. Poisson, quand on
y remplace a? par a ÿ— 1. Elle subsiste même généralement, quand
on prend pour a? une expression imaginaire, pourvu que les parties
réelles de & et de b soient nulles ou positives ; et l’on peut retrouver
aussi une autre formule, déduite par M. Poisson de l'équation (18),
dans un Mémoire sur le calcul numérique des intégrales définies.
J'ajouterai que, pour arriver au cas où la partie réelle de a s’évanouit,
il convient d'examiner d’abord celui où la même partie réelle est infi-
niment petite, mais positive ; et qu’en opérant de cette manière, on peut,
de la formule (24), déduire la somme de certaines puissances d’une
racine de l’équation binome
(30) NES,
ñn étant un nombre entier quelconque; savoir : la somme des puis-
sances qui ont pour exposants les carrés des nombres entiers infé-
rieurs à #. C'est ce que nous allons expliquer plus en détail.
Nommons $ une racine primitive de l'équation (30). On pourra sup-
poser |
(31) D envi,
316 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
la valeur de w étant
(32) 11. à ter pres ,
et alors les diverses racines de l’équation (30) pourront être représen-
tées par celles des puissances de 9, qui offriront des valeurs distinctes;
par exemple, par les termes de la progression géométrique
(33) L — ps", p!, p?, pi, M per.
Si, dans cette même progression, l’on remplace les exposants
D, em: ee 0 +1
par leurs carrés
DER QU: (n —1},
on obtiendra une nouvelle suite ; savoir :
(34) J, p; d; p, CRT RE CURE,
et, si l’on nomme Q la somme des termes de cette nouvelle suite, on
aura
(35) Q—1+p+pt+p9 ++ pin,
ou, ce qui revient au même,
(36) Di ele etwyT LE, ,, + etn-1oTt,
Cela posé, Q sera évidemment ce que devient la somme des » premiers
termes de la série (26), quand on y remplace a? par — © ÿ—r, c'est-
à-dire, lorsqu'on prend
(37) RENTE PM
Or, dans ce cas, la formule (25), ou
donnera
(38) it
2
y
É.
;
14
Eu”
#
ñ
NOTE X. RE
et, en adoptant cette valeur de b?, on verra les termes distincts de la
série (27) se réduire aux deux premiers, c’est-à-dire, aux deux termes
du binome
On doit donc s'attendre à voir l'équation (24) fournir une relation
entre la somme représentée par Q@ et le binome dont il s’agit. Or,
effectivement, pour obtenir cette relation, il suffira de supposer, dans”
l'équation (24), |
(39) +.
1
x? désignant un nombre infiniment petit. Dans cette supposition,
* \ ARMES PTT x y:
a? différant très peu de — 4-1, 6? devra très peu différer de
HRSESST .
es ÿ— 1. Done, si l'on pose
nt
(4o) b— 6? + Ver
6? s'évanouira en même temps que æ&?; et, comme la condition (25)
donnera
FE ARR HEVA ——
a262+(—-ax— 6 }rÿ—1=0o
Me k
ou, ce qui revient au même,
n?o?
on en conclura sensiblement
(41) = 1; — = I.
Concevons maintenant que l’on multiplie par n« et par 26 les sommes
des séries (26) et (27), en ayant égard aux formules (39), (40), et
318 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
supposant #,6 infiniment petits. Comme chacun des produits
I !
na(= Here pe LE,
n a [er + PR ons ot PRES +
na fete RE a PR
] £ £
28(7 Herbe L.. .
2
26[e-+e-+,,.]
se réduira sensiblement à l'intégrale définie
[ cdi -7,
2
0
on trouvera, sans erreur sensible, non seulement
[1 2 La? L 3 MT, 2 Rs à
A He He +... | = as (i ReOVTE er) &y1),
à
ou, ce qui revient au même,
I Sn
na(= TT péter 0 ) ire
mais encore
Pau
1 1 > JT
LE Leger...) = (rte . j
‘ 2
uis, on conclura, eu égard à la seconde des formules (4r },
Le]
+ e—Ÿ + ete + e À + AE
D | =
Le)
I ; S
à + et? —+ et? —+ ee Pare 1 +
D'ailleurs, en vertu de la formule (24) ou (28), le premier membre de
l'équation (42) sera équivalent au rapport
à | ape
Donc, en supposant que les valeurs de a?, b? déterminées par les for-
mules (35), (38), c'est-à-dire, en faisant évanouir & et 6, dans les
NOTE K,: 2
formules (39), (40), on trouvera
S 3
Q FROM
HET a ;
1+e *?
ou, ce qui revient au même,
| ; ne —
T° un
(43) ge : ).
Mais alors de l'équation (37) présentée sous la forme
Donc la formule (43) donnera
L n TT"
4) a Gen tre sr)
En conséquence, l’on aura: 1° si z est de la forme 4x,
(45) + SPA
2° si x est de la forme 4x +1,
(46) Q=—n?;
3° si 2 est de la forme 4x + 2,
(47) : = 0:
4sin est de la forme 4x + 3,
(48) Vue,
319
Ainsi les formules (44), (45), (46), (47), (48) que M. Gauss a éta-
blies dans l’un de ses plus beaux Mémoires, et dont M. Dirichlet a
(1) OEuvres de Cauchy, S. 1, t. I.
320 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
donné une démonstration nouvelle en 1835, se trouvent comprises,
comme €as particuliers, dans l'équation (24) de laquelle on déduit
immédiatement la formule (44), en attribuant à l'exposant — a* une
" s ; k £ ; 27 ;—
valeur infiniment rapprochée de la valeur imaginaire —4V— 1, ou, ce
qui revient au même, en réduisant l’exponentielle 6 * à une racine
primitive 2 de l'équation (30).
Il est important d'observer que, dans les équations précédentes, la
valeur de Q, déterminée par la formule (35), peut encore s’écrire
comme il suit
n—1\?:
(49) BE a A à EE
puisque, / étant un entier quelconque inférieur à ; 7; On aura généra-
lement
(n—l}=® (mod. ).
Nous avons supposé, dans ce qui précède, la valeur de 9 déterminée
; \
par la formule (31). Pour savoir ce qui arriverait dans la supposition
contraire, il convient d'examiner d’abord séparément le cas où » est un
nombre premier impair. Dans ce cas, si l’on nomme
RENE
les résidus, et
NS AN RO
les non-résidus, inférieurs à », les termes de la série
ph, ae pes
se confondront, à l’ordre près, avec les termes de la série
(=)
, 9 2 ;
D, D', P , PR 0 H
i
et, par suite, on aura non seulement
1+ ph + ph + ph +. + pi pl pi = + p+p+.. + pl 0,
ou, ce qui revient au même,
1+ph+ ot + ph — pp — pt —,..,
i
NOTE X. . 321
mais encore
n—1\
Du À 3 Ro
Cela posé, la valeur de Q, donnée par la formule (49), deviendra
(50) Q—i+a(pt+pt+pl +...)
ou même
(51) Q—=ph+ ph+ ph +... — pl pl — DE —
D'ailleurs, le second membre de la formule (51) est une fonction
alternée des racines primitives de l'équation (30), et si, dans cette
fonction, l’on remplace o par p”*, m étant premier à », elle changera ou
ne changera pas de signe, en conservant, au signe près, la même
valeur, suivant que 72 sera ou ne sera pas résidu quadratique (p. 232).
Done, si » est un nombre premier impair, la valeur de Q déterminée
par la formule (35) ou (49) ne sera autre chose qu'une fonction
alternée des racines primitives de l’équation (30); et la substitu-
tion de £”* à p, dans cette fonction, n'aura d’autre effet que de faire
: , [mn .
varier la valeur de Q dans le rapport de 7 à ee]. Donc, puisqu’en sup-
posant
rt
pe" 2
on a, en vertu de la formule (46) ou (48),
/
n—1\?
(52) EN (rie,
si l’on suppose au contraire
(53) peer,
m étant premier à x, on trouvera
. o= [#47
n
Si m cessait d’être premier à 2, c'est-à-dire, s'il était divisible par z,
alors la férmule (35) donnerait immédiatement
(55) GA,
OEuvres de C. — S. 1, t. HI. 41
322 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Supposons maintenant que » soit le carré d’un nombre premier y,
en sorte qu'on ait
nd
alors ces deux entiers
1, 2, 3, NET AUT A Re
qui seront divisibles ‘par v, et dont le nombre sera y, offriront des
carrés divisibles par y? ou 2. Donc, dans le second membre de la for-
mule (35), y puissances de o, qui offriront ces carrés pour exposants,
se réduiront chacune à l'unité. Si d’ailleurs on continue de nommer
! [14
hr ah", ke",
4
les résidus quadratiques inférieurs à 2, on obtiendra, au lieu de la for-
mule (50), la suivante :
(56) Q=v+a(ph+ pt + pl...)
Enfin, si o désigne une racine primitive de l'équation (30), et si,
O
parmi les résidus quadratiques
RS S'en
relatifs au module
on considère ceux qui sont équivalents à un même nombre, représen-
tant un résidu quadratique relatif au module v, ces résidus correspon-
dront à des puissances de 2, dont la somme sera nulle (p. 248-249). Il
y a plus, pour que cette somme s’évanouisse, il ne sera pas nécessaire
que p désigne une racine primitive de l'équation (30), mais seulement
une racine distincte de l'unité. Donc par suite si, À étant le carré d’un
nombre premier impair y, 2 diffère de l’unité, la somme totale des
diverses puissances de p, qui offriront pour exposants les divers rési-
dus quadratiques, s’évanouira, en sorte que l’on aura
PP RES, 0:
et l'équation (56) donnera simplement
(57) M
1640 0
L
NOTE xX. 323
Si 9 se réduisait à l'unité, la même équation donnerait
un: À
et l’on se retrouverait ainsi ramené à l'équation (55). Au reste il est
facile de reconnaitre que l'équation (57) se trouve elle-même comprise,
comme cas particulier, dans la formule (54), lorsqu'on attribue géné-
ralement à la notation Es le sens que lui donne M. Jacobi, et que l’on
pose en conséquence
Supposons enfin que » soit une puissance entière d’un nombre pre-
mier et impair y, en sorte qu’on ait
HV
Alors, par des raisonnements semblables à ceux qui précèdent, l'on
prouvera encore que l'équation (54) subsiste, pour des valeurs de 7x
premières à 7, pourvu que l’on pose généralement avec M. Jacobi
m| _|m Li
Ye ER V
Effectivement, m étant premier à , posons
vya—ti
p ES
s sera une racine primitive de l’équation
MES
et l’on reconnaitra sans peine : 1° que, dans le développement de Q, la
somme des puissances de p dont l’exposant est divisible par une puis-
sance de v d’un degré inférieur à a — 1 s'évanouit ; 2° que la somme
des autres termes se réduit, pour des valeurs paires de &, au nombre
1
tt (
et pour des valeurs impaires de &, au produit
a—1
EE En 0 ei Me nt See EUR
324 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Or, comme on aura pour 9 = e° 7!
2K —
AS AE
ç—e" ,
et pour p = e”*""7"
2mT fa
ç—E€ + ,
il en résulte que la somme
1+s+gt+...+ Gi
se réduira pour
v—1 js
es
1 à y? Vaux DE
et pour
— )
PCI à É | I0=n\ER,
Donc, par suite, pour des valeurs impaires de a, le produit
a —1
LR PS
se réduira, tant que »*7 et » seront premiers entre eux, à l'expression
(GE),
qui ne différera pas de la suivante,
(a Non Ne.
en sorte que la formule (54) se trouvera encore vérifiée. Par des rai-
sonnements semblables, on déterminera généralement la valeur que ”
prend Q, lorsque, la valeur de z étant
PEN"
m cesse d'être premier à » ; et l’on reconnaitra que, dans ce cas, Q est
le produit d'une certaine puissance de y par la valeur de Q qu'on aurait
obtenue, si l’on eût substitué au module n le dénominateur de la frac-
, Moi re ; : SA ; S
tion — réduite à sa plus simple expression. Si l’on supposait »# = y",
n
LR TÉl ee 2 Sa! re mr + " TG ve *z 1 age L
LA : : : 2 ;
M Es % et M & £ 7 LA
NOTE X. 325
on trouverait
pet,
et la valeur de Q serait précisément celle que fournit l'équation (55).
Il est facile de vérifier sur des exemples particuliers les principes
généraux que nous venons d'établir. Ainsi l’on trouvera, pour n — 5,
Qi+p+p=:+ ap.
Donc alors, en supposant
Dent, D ——)
ou, ce qui revient au même,
2T .f—.. 27 I —
: pos +V—rsin se —— > + V1,
on aura
1
Q—3V—1,
tandis qu’en posant successivement
p = eV — —
D | =
et
nest,
on trouvera, dans le premier cas,
Li ai: 0
= Vi | 5 |# vx,
et dans le second cas
Q — 3.
On trouvera de même, pour z = 5,
Q—i+p+pt+pt+ pr +a2p+apt.
Donc alors, en supposant
AS A RE E EL — , 2T
p—=e = COS + V— 1 sin)
326 MEMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
on aura
Dir
! À ER
Q—1i+4cos — — à?,
5)
tandis qu’en posant successivement
= am Les pers, ptet, bP=I,
on trouvera, dans le premier et le second cas,
LT : 67 Fr
p=i+hcos —1+ 4 cos — —=— 5},
ou, ce qui revient au même,
dans le troisième cas,
1
ST 2T
p—i+4cos— —1+ 4 cos — 5,
ou, ce qui revient au même,
et dans le dernier cas,
De même on trouvera, pour æ = 9 = 3?,
as
Q—=i+p+p+p+...+pfi—3+a(o + pr+ p7) :=3 + 28 — 3;
pe
et, par suite,
1
Sr — 9,
à moins que o ne se réduise à l'unité, et la valeur de Q à celle que donne
la formule
Q= 9.
n
Si au contraire l’on prend æ= 27 = 3°, on trouvera
Q—i+p+pt+... + p— 3 + Gp+a2p(i+p+ ...+ pt);
et, par suite, en supposant
27H —
—1
= DO YU 5 27.
PRET Re *
NOTE X. 327
on aura
Q—3(1+ 2p°),
ou, ce qui revient au même,
2. DA te oo.
FR JF Verte ms
tandis que, si l’on pose ’
p — emwy—T,
m étant premier à 3, l’on trouvera
1 1
Q = 8 (14 2 cos “= V1) _ LE Jr 1,
+
ou, ce qui revient au même,
RARE
Lo ee] 27 — 1
Si 2 cessait d’être premier à 27, alors on trouverait : 1° en supposant
divisible une seule fois par 3,
GQ— 3 + 69° . 9;
2° en supposant » divisible par 3? = 9,
G—3+6+2.9— 27.
Passons Mint au cas où le module se réduit à 2 ou à une puis-
sance de 2.
Lorsqu'on a précisément » = 2, l'équation
de
offre pour racines |
| —1, +1;
et par suite la valeur de
G—1i+p
se réduit à zéro où à 2, suivant que l’on prend pour p la racine positive
ou la racine négative. Dans le premier cas, on retrouve la formule (55).
Lorsqu'on suppose æ = 2°? — 4, l'équation
PERS
328 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
a, pour racines primitives,
et
Alors les valeurs de Q que fournit l'équation
Q—i+p+pt+p—=2(1+p})
quand on y pose successivement
p=V—r p=—V—i,
sont
Q—2(1+V—:1),
Q — 2(1—V—1).
La première de ces valeurs est, comme on devait s'y attendre, celle
que fournirait l’équation (45). Si l’on prenait pour p, non plus une
racine primitive de l’équation
done Be
mais l’une des deux autres racines — 1, 1, la formule
Q—2(1+0p)
donnerait, pour p= — 1,
et, pour p= 1,
Lorsqu'on suppose x = 2° — 8, l'équation
Ca
a pour racines primitives les expressions imaginaires
e® vrT, e°® + e5® V1, e7® +.
’ ’ 2T T . + à . : .
arc w étant $ “jou, ce qui revient au même, les expressions Ima-
de
NOTE xX. 329
ginaires
et, si l’on prend alors pour » l’une de ces expressions, la valeur de Q,
généralement déterminée par la formule
Bitp+p+p+ pt pit pi + pi a(i+ap+pt),
se réduira simplement à
1
bp ix 1).
Lorsque, dans ce dernier produit, on réduit chaque double signe au
signe +, on retrouve, comme on devait s’y attendre, la valeur de Q
fournie par l'équation (45). Si l’on prenait pour 9 une racine non pri-
mitive de l'équation
NE,
c’est-à-dire l’une des racines
V—1, — V—1, mes T,
qui vérifient l’équation de degré moindre
#
MT,
la valeur de Q, réduite à
40 +Pp),
serait évidemment double de celle qu’on aurait trouvée en supposant,
non plus 2 = 8, mais » — 4.
On obtiendrait avec la même facilité les valeurs de Q correspondant
2-2 = 10h 1 #02, ec,
Concevons maintenant que », cessant de représenter un nombre
premier ou une puissance d’un tel nombre, désigne le produit de plu-
sieurs facteurs premiers
élevés à des puissances entières, dont les degrés soient respective-
OEuvres de C. — S. 1, t. WI. 42
330 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
ment
a, b, C, ,
en sorte que l'on ait
(58) n == veu'byre
Alors, en vertu du théorème IV de la Note VI, si l’on représente par 5
une racine primitive de l'équation (1), p sera de la forme
(59) Ce: OR
chacun des facteurs £, n,%, ... désignant une racine primitive de la
première, ou de la seconde, ou de la troisième, ete. des équations
\ v'b ’
(60) MS FM à at, RSS
et les x racines de l'équation (1) seront les x valeurs qu'on obtient
pour 2’, en prenant successivement pour / tous lés entiers
0, a EUR lune Di
les restes qu'on obtient en divisant successivement l’exposant / par les
divers facteurs
" ve, v'é, v'e,
de l’exposant 2. Comme les valeurs de À seront en nombre égal à v*,
les valeurs de À’ en nombre égal à y”, les valeurs de À” en nombre égal
à v’*,..., les systèmes de valeurs de À, X’, À”, ... seront en nombre égal
au produit
véy'ogté en;
c’est-à-dire, en même nombre que les valeurs de £. Donc à chaque
valeur de / correspondra un seul système de valeurs de à, \’, À”, ..., et
réciproquement. Ce n’est pas tout. Comme les formules |
[= À (mod. v7), l=N (mod.v'?), [= (mod.v"<),
NOTE X. : sh
entraineront évidemment les suivantes,
= (mod.w), =)". (mod.v*), = "1 (mod.v/'*), nb
quel que soit l’entier désigné par :, on peut affirmer que l'équation (59)
entrainera non seulement la formule
(61) plus Enr OM
mais encore la suivante,
(62) . pl EX men",
Donc, en posant, pour abréger,
En ÉRRR ir FRS" gs -à \PATESS RE À
on aura non seulement
(63) DER PRET mp
=(IHEHELHE LR. HER) (14 on +++... +ntt)...,
mais encore
IHp+pt + +... +pu—i)
(6%) di CS ICRPE Map | LUE)
| De CR n Ent. LE ne):
Ainsi, en particulier, en prenant : = 2, on trouvera
DS D QUE D A 2 hpieril
(65) = (HÉÈ+HE HER EU)
l X(1+n+n+n+...+nan)....
De cette dernière formule, que M. Gauss a établie comme nous venons
de le faire, il résulte évidemment qu’une valeur de Q, correspondant
à une valeur donnée du degré # de l'équation (30), est le produit de
divers facteurs dont chacun représente une valeur de Q@ correspon-
dant, non plus au degré donné » et à l'équation (30), mais à l’un
des degrés v®, v°, ve, ... et à l’une des équations (Go). Done, puisque
nous avons appris à trouver la valeur de Q correspondant au cas où
332 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
est une puissance d’un nombre premier, la formule (65) offrira le
moyen d'obtenir la valeur de Q dans tous les cas possibles.
Considérons en particulier le cas où x est un nombre impair com-
posé de facteurs impairs inégaux
Ve No NUIT TR
en sorte qu'on ait simplement
ei ...— 1,
Alors les équations (60) deviendront
(66) PES Lens Pa L'an 6e ie
par conséquent, la formule (65) sera réduite à
| 140 + pt + p +4 of
{= (HE HE HE +...+E0-10)
OX G(+n+n+n+...+n0-0r...,
(67)
et l'on conclura de cette formule que la valeur de Q, correspondant à
l'équation (30), est le produit de facteurs dont chacun représente une
valeur de Q correspondant à l’une des équations (66). D'ailleurs, d’après
ce qui a été dit plus haut, le premier, le second, le troisième, etc.
de ces facteurs représenteront des sommes alternées des racines pri-
mitives de la première, de la seconde, de la troisième, ete. des équa-
tions (66). Done, le produit de ces mêmes facteurs, ou la valeur de Q
correspondant à l'équation (30), représentera une somme alternée
des racines primitives de cette équation ; et, en raisonnant comme à
la page 276, on reconnaitra facilement que la formule (52) entraine
encore, dans le cas dont il s’agit, la formule (54).
Pour montrer une application de la formule (63), supposons en
particulier
ER À Des Dee M
Alors on trouvera
Q—i+p+pt+p+...+ pt
=1+40+4o0t+ 2p5+ 209 + 2p10— (1 + ap) (1 + 206+ 20°);
à NOTE X. 333
et, par suite, si l’on pose
Le #4, D pf,
on aura
QG—(i+2Ë)(1+on+ant),
ou, ce qui revient au même,
Q—(1+é+é)(i+n+n+n+nts),
attendu que, p étant racine de l'équation
E — p'° sera racine de l’équation
MT;
et n = p° racine de l'équation
Faro st À
Si, pour fixer les idées, on suppose
pa = 08 — + ÿ— 1 sin
on trouvera
= = =
Esce à v=<e" ;
s £
1+2È—=— 31, 1+2n+an —— 5!
et par suite on aura, conformément à l'équation (52),
” à
A mn FE me
334 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
NOTE XI.
MÉTHODE SIMPLE ET NOUVELLE POUR LA DÉTERMINATION COMPLÈTE DES SOMMES
ALTERNÉES, FORMÉES AVEC LES RACINES PRIMITIVES DES ÉQUATIONS BINOMES.
Soit
une racine primitive de l'équation
(1) ARE,
#
et supposons d’abord que z soit un nombre premier impair. Les di-
verses racines primitives de l’équation (1) pourront être représentées
par ,
D, 0°, 2, RS TE
ou par
Dr, Et ps FER DUT,
m étant premier à ». Soit d’ailleurs ® une somme alternée de ces racines
primitives. Cette somme sera de la forme
(2) D = ph+ ph + ph +. — ph DK — pE—,..,
les exposants
étant ainsi partagés en deux groupes
M RS NS 06: et RS RTE
dont le premier pourra être censé renfermer les résidus quadratiques
D 6
et le second les non-résidus suivant le module ». Si l'on suppose en
particulier 7 — 3, on aura simplement
Op pp",
en sorte qu'une somme alternée ® pourra être représentée, au signe
NOTE XI. 339
près, par le binome ds
o! SA: | A
ou plus généralement par le binome
pt — pue,
m étant non divisible par 3. Si x devient égal à 5, les binomes de la
forme 2” — 5" se réduiront, au signe près, à l’un des suivants,
p—pi=pt— pt, pr pi—p— pt,
ét le produit de ces deux derniers binomes, savoir
(p!—p*) (p?°— p*) pt Pi —p el pt,
représentera encore, au signe près, la somme alternée
BR per pi pt
qui pourra s’écrire comme il suit :
RE PR Re
J'ajoute qu'il en sera généralement de même, et que, pour une valeur
quelconque du nombre premier x, la somme alternée @ pourra être
réduite au produit ® déterminé par la formule
(3) L—(pt—prt)(p—p3)...(p7-— p—tn—2)),
Effectivement, ce produit, égal, au signe près, au suivant,
fn 01 de LE (ae pri
changera tout au plus de signe, quand on y remplacera p par 2”, attendu
qu'alors les termes de la suite
0; Ce pi, RE ue
se trouveront remplacés par les termes de la suite
pr, pr, per, die DPF Um
336 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
qui sont les mêmes, à l’ordre pfès, et chaque binome de la forme
pl — pT+
par un binome de la même forme
ml _ h—mli
P Fos
Donc le produit ® ne pourra représenter qu’une fonction symétrique
ou une fonction alternée des racines primitives de l'équation (1). Done
il sera de l’une des formes
a, a,
a désignant une quantité entière positive ou négative, et son carré @?
sera de l’une des formes
Comme on tirera d’ailleurs de l'équation (3), non seulement
P— pi+3+5+..+(n—2) (r op?) (= p=$). UE + prtin-2)),
ou, ce qui revient au même,
‘n—1
g= NT) (i— pr?) (1— pr—6)...(1 — pt),
mais encore
nas, =)
E(—i tp 2 /(1—pt)(1—p6)...(1— pt),
et par suite
PB (1) TE (1 PP} PC UE PE PE
(a) (—p)(i— pt} (Et pet)
=(—1) *? n,
il est clair que @&?, n'étant pas de la forme a?, devra être de la forme
a°®?. On aura donc
n—1
(4) (1) Tan = at®!, Peas,
Or, ®* ne pouvant être qu'une fonction symétrique de p, p?, ..., p"71,
NOTE XI. 337
et par conséquent un nombre entier, la seule manière de vérifier la
première des équations (4) sera de poser
n—1
AVE, Diz=(1) 2.2.
On aura donc
par conséquent
(5) É—+Q:
et toute la difficulté se réduit à déterminer le signe qui doit affecter le
second membre de la formule (5). Or, si, dans la somme alternée
D = ph + où + ph+...— pi — pf — ps
ol par I
' It
cette somme sera remplacée elle-même par la suivante,
el+fsl+.- ]-[+ —,..=R—IZ=—-I (mod.A),
ni ; ñn EL LU
tandis que la somme alternée ® se changera en
on remplace généralement
—(n—1)=1 (mod.n).
Donc, pour décider si, dans la formule (5), on doit réduire le double
signe au signe + ou au signe — , il suffira de chercher la quantité en
laquelle se transforme le développement de ®, quand on y remplace
l : s Ta
chaque terme de la forme 2° par Ê et de voir si cette quantité,
/è
divisée par », donne pour reste — 1 ou + 1. Or, comme le développe-
ment de ® se composera de termes de la forme
+ pHiti+iE...
Les ,
le signe qui précède 2 étant le produit des signes qui, dans l’exposant
de 5, précèdent les nombres 1, 3, 5,..., la quantité dont il s’agit sera
OEuvres de C. — S. 1, t. IN. 43
338 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
la somme des expressions de la forme
+Hi+3+5+
% um er En D MN à Me
n
le signe placé en dehors des parenthèses étant le produit des signes
placés au dedans. Elle sera donc équivalente, suivant le module », à la
somme des expressions de la forme
n—1
(6) ÆTÉRLLIEIS Elsa.
Ainsi, en particulier, elle sera équivalente, pour 7 = 3, à
—(—1)}—=2=—1 (mod.3);
pour ñ — 5, à
(+3) +(—i1—3—(—1+3)—(1—3) =4=—-i: (mod. 5).
D'ailleurs, si l’on suppose le nombre dés lettres a, b, c, égal à m,
la somme des expressions de la forme
(7) tab EE, 5
développées suivant les puissances ascendantes de a, b, c, ..., ne
pourra renfermer aucun terme dans lequel l'exposant de a, ou de b,ou
de c, s’évanouisse. En effet, comme, dans cette somme, deux expres-
sions qui ne différeront l’une de l’autre que par le signe placé devant
la lettre a, présenteront, en dehors des parenthèses, des signes con-
traires, elles fourniront deux développements, dont les divers termes
se détruiront mutuellement, à l'exception de ceux qui renfermeront
des puissances impaires de a. Done, chacun des termes qui resteront
dans la somme dont il s’agit sera proportionnel à une puissance
impaire de a; et, comme il devra être, par la même raison, propor-
tionnel à une puissance impaire de ec, ..., il est clair que, dans un
terme conservé, ces diverses puissances, dont les exposants auront
pour somme le nombre », devront toutes se réduire à la première
puissance, et chaque exposant à l'unité. Done, les seuls termes qui ne
se détruiront pas les uns les autres, seront les termes proportionnels
NOTE XI. 339
au produit . |
abc..:
de toutes les lettres @, b, ce, ...; et, puisque chacune des valeurs de
l'expression (3) offre dans son développement un semblable terme,
précisément égal au produit
2. Do LA D HE
il suffira, pour obtenir la somme de ces valeurs, de multiplier leur
nombre 2” par ce même produit. Donc la somme des valeurs de l’ex-
pression (7) sera
AI. m)abc:,
Si maintenant on remplace
par les nombres
Pi Di ni rs TM —
le produit
amie. 8.-3M)4abE..,
deviendra
AE ES MT 5: l(am 1) 1.043861 2m.
nn —1
Donc, en écrivant au lieu de »#, on reconnaitra que la somme
des expressions (6) a pour valeur le produit
1.2.93...(R7—1)=—1 (mod.n).
Donc @ se transformera en une somme équivalente à — 1, si l’on y
pe! par re :
ñn
d'où il suit que l'équation (5) devra être réduite à
remplace généralement
(8) PB — D.
En d’autres termes, on aura
(p'— p71) (p8— p-3).. (pr? p-tn-2))
= op! + ph + ph'+. $ — pé— ph Dur, +
(9)
310 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
h, k', h",... étant les résidus quadratiques, et À, k’, K”, ... les non-
résidus quadratiques inférieurs au module 7. On se trouve ainsi ramené
à la belle formule que M. Gauss à donnée le premier dans le Mémoire
intitulé : Summatio serierum quarumdam singularium, et qui convertit
la somme alternée
D = ph + pl + ph +. — ph + ph Hp"...
dont le carré @? vérifie l'équation
(10) D (—1) ? n,
en un produit de la forme
(PE RP PT Re
Or, cette conversion une fois opérée, il devient facile, comme l’on sait,
d’assigner, dans tous les cas, la valeur exacte de la somme alternée ®.
On y parvient, en effet, comme il suit.
Observons d’abord qu’en vertu des formules
prier — (p?— Hé ? pt — Hale- tn — — (p°— ph TA
le premier membre de l'équation (9), ou la valeur de la somme &®, se
réduira : 1° si 2 est de la forme 4x + 1, à
(11) = (1) 7 (pp) (p— pr). (e —p à )
2° si » est de la forme 4x + 3, à
Lo DL) © ep RD T_),
. . . Er RE
attendu que le nombre des entiers pairs, et inférieurs à -n, sera
2
A1 ne 1 " he si ot
_— ue i st pair
27.9 No . jade
et
A A MR Are L n TI ; :
_ —1]=——; si est impair.
2 2 4 2
D'autre part, si l’on pose
(13) sue? ë
NOTE XI. 341
on en conclura généralement
pat Mn TT:
(14) p—p"'= 2 sin — VENT
. . . PA \: + .
etilest clair que, pour toute valeur de / inférieure à = », le coefficient
de ÿ — 1, dans le second membre de l'équation (14), sera une quantité
positive. Enfin, l’on tirera de l'équation (14) : 1° en supposant > de la
forme 4x +1,
| Fr Se res — +)
(13) { n—1
A 2T Ar 3 œ
| DÉCOR d ain sin sin;
/ n n
2° en supposant z de la forme 4x +3,
( Meter te) -
À te pt)(p— 2). (o 0 r)
; L » I — 1
(16) { na de ne Po
—=(—1) * 2 ? sin — sin—... sin————1.
| ) n n n V
Donc, si l’on attribue à p la valeur que détermine l'équation (13), on
2
tirera des formules (11) et (12): 1° en supposant de la forme 4% +1,
M 1}
2, 07. Ar F
D— ? sin—sin—-..sin L
(17) n n e
2° en supposant » de la forme 4x +53,
HR"
_. 2% . ÔT — ,
4 . ire . . PPT
(18) WE 2: sin — sin". sin V—1
Or, en substituant l’une de ces dernières valeurs de la somme alternée
@ dans la formule (ro), on en conclura que le produit
1 pme |
AT | AT 2
2 ? sin —sin —:--sin
LL) 12 n
n—1
a pour carré le nombre n. Donc ce produit, qui ne renferme que des
342 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
1
facteurs positifs, sera lui-même positif, et égal à n°. On aura donc, quel
que soit le nombre premier x, pourvu qu'il surpasse 2,
n—1
n—1 / T 1
RAR 2 ST à 2 3
(19) 2 *. SIN — Sin"... SIR——— = #,
A /è nn
et, par conséquent, les équations (17), (18) se réduiront, la première
à
(20) D = A;
CARS
la seconde à
AREAS
(21) D=n/—:1;
en sorte que l’une et l’autre seront comprises dans la formule
(22) DEMO EDS S.
Si maintenant on veut obtenir la valeur de ® correspondant à la
valeur de 2 que détermine, non plus la formule (15), mais la suivante,
Ld 2mT
(23) p=er 7,
m étant un entier quelconque non divisible par », il suffira évidem-
ment de remplacer, dans la valeur de © que fournit l'équation (22),
o par p”, ou, ce qui revient au même, il suffira de multiplier cette
valeur par
|
k ed
n
Donc, lorsque la valeur 5 sera donnée par l'équation (23), mt étant
premier à 2, la valeur de la somme alternée © deviendra
(24) D — + | OT ji
Les formules (21), (24) s'accordent avec les formules (52), (54) de
la Note précédente ; et cela devait être, puisqu’en vertu de la formule
NOTE XI. 343
(51) de la même Note les sommes désignées par Q et par @ sont tou-
jours égales, quand, » étant un nombre premier impair, désigne une
racine primitive de l'équation (1).
Il n’en serait plus de même si, dans les sommes Q et ®, on rempla-
çait » par la racine non primitive de l'équation (1), c’est-à-dire, par
l'unité, puisqu'alors évidemment la somme Q se réduirait au nombre
n, et le second membre de l'équation (2) à zéro.
Les formules (22), (24) une fois établies pour le cas où n désigne
un nombre premier supérieur à 2, il est facile de les étendre au cas où
n désigne un nombre impair composé de facteurs premiers inégaux.
Ainsi, en particulier, soit
RAT
Him
et supposons que, 5, n étant des racines primitives des deux équations
(25) MI, MT
l'on pose
(26) prete 1 0
e sera une racine primitive de l'équation (1); et, si l’on nomme
1 NE: SON:
trois sommes alternées, formées avec les racines primitives des trois
équations
an es l'hmel PA AT ES,
de telle manière que, parmi les termes affectés du signe +, on trouve
dans la somme alternée @ le terme °, dans la somme A le terme Ë, dans
la somme 4’ le terme », on aura, en vertu des principes établis dans la
Note VIT,
(27) D AA’.
Soit d’ailleurs »2 un nombre entier, premier à y et à v’, par conséquent
premier à 2 ; et supposons que, dans les sommes alternées
®, À, A’,
344 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
on remplace
Ps En
par
op". Eee n".
Les valeurs de
D, 4 0
ne cesseront pas de vérifier la condition (27) ; et, comme, en vertu
des principes établis dans la Note VITE, les valeurs de
À, :4
se trouveront multipliées par les quantités
m m
"ARS ? ie & ,
2: Fe y
dont chacune se réduit, au signe près, à l'unité, la valeur de ® se trou-
vera multipliée par le produit
FÉES ET
Donc, la substitution de 2" et 5 changera ou ne changera pas le signe
de la somme alternée ®, suivant que le nombre »2 vérifiera la première
ou la seconde des conditions
ee (=
Concevons, à présent, que l’on pose
l'équation (26) donnera
AA oc
feat
et, comme on aura, en vertu de la formule (22),
v—112
En MR ee
on conclura de l'équation (27)
V—1\ :/Y—1)\?
RL D
(28) D — rê (VE)
NOTE XI. 345
ou, ce qui revient au même,
V—1 V'—1 1 v—v'\?
a 0
(29) D—(—1) 2 7 ni(ÿ—1)
attendu que l’on a identiquement
DEN RANCE VAT RS AE
—+- cui ras .
2 2 2 2 at
Il y a plus : comme les nombres
v — v! VV — 1
A
2 3 »
dont la somme
(vy—1)(v'— 71)
2
est divisible par 2, seront tous deux pairs ou tous deux impairs, on
aura
n—1\?
V5 D É
Donc la formule (29) pourra être réduite à
Ve VV'—1
2
NE de
pe Qi mers DE APRER PRE À (==)
(30) Ste) 1 ne (ÿ—1)\ HT
Cette dernière équation suppose que, dans la somme alternée ©, l’un
des termes précédés du signe + est
9 \ NL
bte t OU n
p—e
Si à la valeur de ®, fournie par l'équation (50), on veut comparer celle
qu'on obtiendrait en prenant pour l’un des termes précédés du signe +
la valeur de 5 déterminée par la formule
on conclura des observations précédemment faites que chacune de ces
deux valeurs de est le produit de l’autre par l'expression
VTT [u+v] [ou y! I
n Me vy! pa PL v. ne à et
OEuvres de C. — S.1,t. WI. 44
346 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Donc, puisque la première valeur est donnée par la formule (30),
la seconde sera fournie simplement par l’équation
Cr.
(31) (EX
et si, au lieu de poser
à 2% j—
— ÿ—1
p=e" ;,
on pose plus généralement
2mT
DES CT _
on devra multiplier par | le second membre de la formule (31),
qui deviendra
(32) o=|#]|" mr) EE
Les formules (31) et (32)ne sont autre chose que les formules (22) et
(24), étendues au cas où » est le produit de deux facteurs impairs et
premiers y, v’. Il ya plus: les raisonnements dont nous avons fait usage
suffisent pour étendre les formules (22), (24) au cas où 2 est le pro-
duit de deux facteurs impairs quelconques, pourvu que ces facteurs
soient premiers entre eux, quand on suppose ces mêmes formules
séparément vérifiées pour des valeurs de x représentées par chacun de
ces facteurs. Donc, puisque,
étant des nombres premiers impairs, les formules (22), (24) se véri-
fient quand on prend
M V: Hs NV LS
elles se vérifieront quand on prendra pour x le produit vy’ de y par y’,
ou le produit vv'v" de vy' par v”, ..., et par conséquent lorsqu'on pren-
dra pour 2 le produit de tous les facteurs premiers v, v', v", ....
En résumé, si, 2 étant un nombre impair, et le produit de facteurs
premiers inégaux, ® représente une somme alternée, formée avec les
NOTE XI. 37
racines primitives de l'équation (1), de telle manière que l’un des
termes précédés du signe + soit la valeur de » déterminée par la for-
mule
per
et si d'ailleurs la somme @ est une fonction alternée des racines primi-
tives, non seulement de l'équation (1), mais encore de chacune des
équations que l'on pourrait obtenir en remplaçant successivement
l’exposant 7 par chacun de ses facteurs premiers, on aura :.1° en sup-
posant 2 de la forme 4x + 1,
(35) D — n°;
2° en supposant z de la forme 4x + 3,
1
(34) RSR.
Mais si, dans la somme alternée ©, l’un des termes positifs est celui
que détermine la formule
2m + jun
Sr a
pr ;
on aura : 1° en supposant z de la forme 4x +1,
1
(35) ® — 1e rE ;
mn
2° en supposant z de la forme 4x + 3,
MTS ue
(36) [ré
I sera maintenant facile dgdéterminer complètement, dans tous les
cas possibles, la valeur d’une somme alternée ©, formée avec les
racines primitives de l'équation (1). Considérons particulièrement le
cas où la somme @ est une fonction alternée des racines primitives, non
seulement de l'équation (1), mais encore de chacune des équations
qu'on peut obtenir, lorsqu’après avoir décomposé l’'exposant » en fac-
teurs premiers entre eux, on remplace successivement par chacun
348 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
de ces facteurs. Alors, d’après ce qui a été dit dans les Notes VIT, VIT,
IX, pour que la somme @ ne soit pas nulle, il faudra que, les facteurs
impairs et premiers de z étant inégaux entre eux, le facteur pair, s'il
existe, se réduise à l’un des nombres
4, 8;
et l’on aura, ou
(37) D=n, D—=+kn,
ou bien
(38) D?=— n, DR EUCT
les formules (37) devant se vérifier, par exemple, quand » est de lune
des formes
hkx +17, k(4x +3),
et les formules (38), quand z est de l’une des formes
4x +3, 4(4x+i).
Nous avons d’ailleurs donné (p. 296, 297) les conditions auxquelles
doivent satisfaire les exposants
ARCS ER
dans la formule
D = pl + pl + pl. — ph pl DE,
lorsqu'on en déduit les formules (37) ou les formules (38), et que le
groupe des exposants
renferme l'unité. Or, de ces conditions on déduira sans peine, à l’aide
de raisonnements semblables à ceux dont nous venons de faire usage,
les conclusions suivantes :
D'abord, si l’on suppose 2 impair, et
la seconde des formules (37) se réduira simplement à la formule (33),
NOTE Xi. 349
et la seconde des formules (38) à la formule (34). Alors aussi, en pre-
nant, non plus
mais
et supposant » premier à 2, on obtiendra, comme on l’a dit, non plus
l'équation (33) ou (34), mais l'équation (35) ou (36).
Supposons à présent que, le facteur pair de » étant le nombre 4, on
désigne par v le nombre premier ou non premier +; par
y Ss P—AS
des racines primitives des trois équations
enfin par
des simmes alternées, formées respectivement avec ces racines, de
manière que, parmi les termes précédés du signe +, on trouve dans la
somme À la racine «, dans la somme A’ la racine ç, dans la somme © la
racine 9. Si l’on pose
° v=i = v—1
” tt à : Ce ;
on aura, non seulement
2F
— (V+4) Y=T
p—e" ,
mais encore
ue 4 — (>)
A=a-@—ayr, A'— vu (V— 1) 3
et par conséquent
1
(39) A
Pour savoir si cette dernière formule fournit ou non la valeur de ®@,
U
DES
a He
relative au cas où l’un des termes affectés du signe + se réduirait à
2r
Pre ’
330 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
il suffira d'examiner si l’exposant v + 4 doit être censé ou non faire
partie du même groupe que l'unité. Or, comme l'expression
ru +4
I RS U
— à
se réduit évidemment à
il suffira d’examiner si v + 4, divisé par 4, donne pour reste 1 ou — 1.
‘ . n
Le premier cas a lieu lorsque v = > est de la forme 4x + 1 ; le second
+
cas, lorsque 2 est de la forme 4x + 3 ; et par suite, en supposant, dans
la somme ®, l’un des termes positifs réduit à
on obtiendra pour cette somme, dans le premier cas, la valeur qui
détermine la formule (39), savoir
1 U—1\2 1
D = n° LEE farm, — 1 v— 1,
et dans le second cas, une valeur qui différera seulement par le signe
de celle que donne la formule (39), savoir, la valeur
Done, si le facteur pair de » se réduit à 4, la supposition
2 —
pre
. à c n
reproduira encore, où la formule (33) lorsque + sera de la forme
un
x +1, ou la formule (34) lorsque cs sera de la forme 4x + 3. Quant
û
à la supposition
elle reproduira, pour la somme ®, soit la valeur que détermine la for-
NOTE XI. 391
mule (33) ou (34), soit cette valeur prise en signe contraire, suivant
que l’exposant 72 fera ou non partie du groupe À, k', k”, ..., qui est
censé renfermer l’exposant 1.
Supposons enfin que, le facteur pair de z étant le nombre 8, on
PAU . . 7è
désigne par v le nombre premier ou non premier +» par
Œ, Sy P—A
des racines primitives des trois équations
Ep D mL, Éd À
et par
HA, ©
des sommes alternées, formées respectivement avec ces racines, de
manière que, parmi les termes affectés du signe +, on trouve dans la
somme À la racine &, dans la somme A la racine 6, dans la somme @ la
racine 9. Si l’on pose
ST ,— IN —
PSS Cu den
on aura non seulement
— (V+8) ÿ—1
5 Êee ;
mais encore
MO TE (2 -
a À (0
Alors aussi, quand la somme alternée A différera de zéro, elle sera, ou
de la forme
1%
Me A—a+at—a—ai—a(a+a)=4 cos; +8
4
?
ou de la forme
L:
(41) Aa+a—a—aa(at+a) = sinr 18 V5,
et l’on aura, dans le premier cas,
(42) i ® TN men
dans le second cas,
(43) D = A4 MOE D UE
352 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Pour savoir si les formules (42) et (43) fournissent ou non les
valeurs de @, qui sont relatives au cas où l’un des termes affectés du
signe + se réduirait à
DT
Es Ver d
Dee” Ve :
et qui d’ailleurs diffèrent de zéro, 1l suffira de voir si, dans chacune des
valeurs de ©, les termes 5, 2°** sont affectés du même signe, ou, ce qui
revient au même, si l'exposant 0 + 4 fait partie du même groupe que
l'unité. Or, d’une part, l'expression
v+87 [u+s
I jus es"
2"
se réduit évidemment à
H-ET-[1-c
et, d'autre part, u + 8, divisé par 8, donnera le même reste que v,
savoir : un reste représenté ou non par l’un des nombres 1, 5, suivant
que l'expression
(V—1)(V—7) (Vi—1)
Core ee
aura pour valeur + 1 ou — 1 ; ou bien encore un reste représenté ou
non par l’un des nombres 1, 3, suivant que l'expression
(= iV--8)
(rubis
aura pour valeur + 1 ou — 1. Done, puisque l’on a
V?—1
CPRNENR ru
ram,
et
V2—1 (U—1)(9 —3)
BUT RD)D TT a
(vi
2
U—1
Rte
,
les termes
e) et Pr
seront toujours affectés du même signe dans la valeur de la somme @,
NOTE XI. 393
que détermine l'équation (42); mais, dans la valeur de la mêmê
somme, déterminée par l'équation (43), ils seront affectés du même
Les
2
signe ou de signes contraires, Suivant que sera pair où impair.
Donc, si, en supposant
on affecte du signe +, dans la somme alternée ®, toute puissance de p
dont l’exposant 4 vérifie la condition (9) ou (10) des pages 296, 297,
n
on aura, en vertu de la formule (42) : 1° quand v = % sera de la
forme 4x +1,
et si, en supposant toujours
on affecte du signe +, dans la somme alternée ®, toute puissance de 9
, AR. .
dont l’exposant 2 vérifie les conditions (11) ou (12) de la page 297,
ER nt
on aura encore : 1° en vertu de la formule (43), quand v — + sera de la
forme 4x + 1,
1
DA" V— 13
n
ç Sera de la forme 4x +3,
2° quand vu =
Des ne
Si, dans la somme @, formée comme on vient de le dire, on remplaçait
la racine primitive
par la racine primitive
OEuvres de C. — S.H,t. HT. 45
394 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
m étant premier à», cette somme conserverait le même signe avec la
même valeur, ou bien elle changerait de signe, suivant que 2 serait ou
ne serait pas un des exposants À compris dans le groupe qui renfer-
mait l'unité.
Il importe d'observer que les conclusions diverses auxquelles nous
venons de parvenir, en supposant successivement le nombre 2 impair,
puis divisible par 4, puis divisible par 8, se trouvent toutes renfermées
dans un théorème général, qu’on peut énoncer simplement comme il
suit :
THÉORÈME. — Soit © une fonction alternée, formée avec les racines
primitives de l'équation (1), et de manière à vérifier la formule
DEN:
St l’on suppose que, dans la somme alternée ®, l’un des termes précédés
du signe + soil la racine primitive
on aura simultanément : ou
Win et D = n°,
ou
1
®Q=—n et Q ny 1;
en sorte que la valeur de ® sera toujours fournie par l’une des équa-
uons (20), (21) ou (33),(34).
Exemples. — En prenant
noi
RSS pe" :
on trouvera
ll
SUOMI jee r NE rune
D=p—pi=asinV—iZ V1.
En prenant
on trouvera
1
D—p—prasins V—1= y.
NOTE XL. ; 399
En prenant
2T LT: y
EVE vi
Li Et e À PR LA cr ;
on trouvera :
1
‘ TK 5
Dpt preper pre 42 =
ou
“ CRU :
GS RARE ERe ND TUE NN
En prenant
mer 2e
on trouvera : ou
O = p + p5 + pT+ pti pt DIT — DIS — L28
= (08— 916) (08 + p21 — 09 — 15)
\ / DS | 1
RE MS pre T 5 o2 FES an
= (a sin REV) (ace) = HS ar,
: 1
ou
D = 9 + 05 + pi9 + pg— 07 — ptit — pt8— DiT
—— (p° — p'$) (p!5+ p*t— p—p?)
EN | 1
RE Le . TT y— 2. :
= (asin V5) (— ain Es) = 8 = agi
un
Nota. — Si, dans la somme alternée ©, formée comme on vient de le
dire, on supposait précédé du signe + le terme représenté, non par la
racine primitive
mais par la suivante
m étant premier à 2; alors la somme alternée @ offrirait ou la valeur
que fournit le théorème énoncé, ou cette même valeur prise en signe
contraire, suivant que le nombre »2 ferait ou non partie du groupe des
nombres ci-dessus représentés par
Ai RSA
(voir, pour la détermination de ces mêmes nombres, les pages 296
et 297).
t
356 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Nous terminons cette Note par une observation qui n’est pas sans
importance.
Supposons que, dans le cas où l’on prend
q P
==
, p — € ?
la somme alternée
(44) D = ph + ph + ph php ph,
vérifie l'équation
Met a:
la même équation sera encore vérifiée quand on prendra
2mT F pan
pe",
si mn est premier à #. Mais, si m cesse d’être premier à n, alors en
prenant
2mT +
ec ai ’
on trouvera toujours
(45) re,
comme on va le faire voir.
Pour que la somme @ vérifie l'équation
Rs TA,
il est nécessaire, comme on l’a dit, que les facteurs impairs et premiers
de 7 étant inégaux, le facteur pair, s’il existe, se réduise à l’un des
nombres
4, 8.
D'autre part, lorsque dans la formule
2nT —
| Roy
p=e” ,
m cessera d'être premier à x, o deviendra une des racines non primi-
tives de l'équation
æn runs À
NOTE XI. 357
Donc alors, si » désigne un nombre premier impair, ou le nombre 4,
ou le nombre 8, se réduira, dans le premier cas, à l’unité; dans le
second cas, à l’une des racines
de l'équation
dans le troisième cas, à l’une des racines
RD OT ETES Vel
de l'équation
DUT.
Or, dans ces trois cas, la formule (2), que l’on doit, en supposant le
terme 9 précédé du signe +, réduire, pour ?2 = 4, à
Mrs
et pour z — 8 à l’une des suivantes
BP br 0 DRE
donnera évidemment
@=-"0i
Si maintenant on suppose
HN...
v,v',v’,... étant des facteurs dont chacun se réduise à un nombre
* æe:° Q , \ , /. 5 ï . . .
impâir et premier, soit à l’un des nombres 4, 8; alors la racine primi-
tive
ER
AR
p—e
pourra être présentée sous la forme
£, n, &,.. désignant des racines primitives propres à vérifier respecti-
vement les équations
Y — V — NA
PET, 2; giron F4 anne 1° ere
358 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et la somme ®, formée avec les puissances de la racine primitive o,
sera le produit des sommes alternées
FT ONE tou
respectivement formées avec les puissances des racines primitives
ANR PR UT
Or, remplacer, dans la somme alternée
D—AA'A"...,
la racine primitive
2% —
eg
Ps
par la racine non primitive
2m j—
v—1
pre ,
revient à substituer, dans la somme @, le produit
pre Em né TA
au produit
pi.
par conséquent à substituer, dans les sommes À, 4’, A”, ...,
ce à Ë, n'" à 1, gm à e os
Or, en vertu de ces dernières substitutions, une ou plusieurs des
sommes ,
d 4,4:
s’évanouiront, suivant que le nombre x cessera d’être premier à un ou
à plusieurs des facteurs
donc aussi la somme
@© = AA'A"..,
s’évanouira elle-même, et l’on pourra énoncer généralement la propo-
sition suivante :
NOTE XII. 399
TuéorÈME Il. — Sorent p une des racines primitives de l'équation
ŒUSST
el
(46) D = ph + ph + pl DE — pi ph
$ 0 . w fes PA)
une somme alternée de ces racines qui vérifie la condition
(OS En ms 1
[2
St, dans cette somme alternée, on substitue à la racine primuive © une
racine non primilive, en prenant par exemple
2mT 5 ea
pe” ,
et supposant que le nombre m cesse d’être premier à n, la valeur de la
somme ®, que déterminera la formule (11), sera
D== 0.
NOTE XII.
FORMULES DIVERSES QUI SE DÉDUISENT DES PRINCIPES ÉTABLIS
DANS LA NOTE PRÉCÉDENTE,
Soient toujours :
ñn un nombre entier quelconque ;
h,k,l,...1es entiers inférieurs à 2 et premiers à 7 ;
e l’une des racines primitives de l’équation
(1) re
et
(2) D = ph+ pl ph php DE,
une somme alternée formée avec ces racines primitives, les entiers
y AS à
360 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
étant partagés en deux groupes
ND RCE Rss et AUS PER We
de telle manière qu’un changement opéré dans la valeur de la racine
primitive 9 puisse produire un changement de signe dans la somme ®,
sans avoir jamais d'autre effet sur cette somme, et que l'unité fassè
partie du groupe
hs 7
,
Enfin, considérons spécialement le cas où la somme © vérifie la con-
dition
(3) QE An:
ce qui suppose les facteurs impairs de 7 inégaux, le facteur pair, s'il
existe, étant l’un des nombres 4, 8. Si l’on pose
(4) pas
on aura, en vertu du premier théorème de la Note précédente : ou
(5) == A et D n*,
ou
1
(6) D—=— n et D = V— 1,
les équations (5) étant relatives au cas où n» est de l’une des formes
4z+1, 4(4æx+3), 8(4x+1),
et les équations (6), au cas où 2 est de l’une des formes
4x +3, 4(4kx+i1), 8(4x +3).
D'ailleurs, en vertu des formules (3), (4), la seconde des équations (5)
donnera
1
2hT ?T 2KkT 24'T ‘
cos + COS —- — COS — cr à V2
112 PL) ñn
(7) ;
. 2AT à ; kT 2k'T
sin + Sin ———© +,..— sin — — de, 127 08
NOTE XII.
et la seconde des formules (6) donnera
2hT 2h T 2kT 2k'T
COS —— + COS +...— COS — — COS —,..—0,
n n n n
I SRE 2h'T RE Li ES: 2
SIN — + sin +...— sin —— —sin EE een : A
n n n
I ya plus: si, » étant un nombre impair premier à 7, on pose
2mT Pnau
(9) “ame” à
alors, en désignant par t,, un coefficient qui se réduise à
+: ou à — 1,
suivant que le nombre 2 fait partie du groupe
Re. &",
ou du groupe
OS RS PE D
on aura, en vertu des principes établis dans la Note précédente
k
(10) Der Ar
et, par suite,
2mhT omhT 2mKkT 2mk!r
cos + COS ——— +,,,— COS — COS —— — ,,,
n
(11)
. 2MmAT . 2mhT . 2MmKT . 2mk'r
sin + SID —— +,,,— sin — Sin ———— —
n n n n
ou
: ASF
(12) D=tmnt V1,
et, par suite,
2MAT 2mhT 2mkT 2omk'Tr
cos + COS —— +, ,,— cos — a
/t
(13)
omhT . 9mh'r . omKkT omk!'T
+ SIN © +,,,— Sin ——— — —— — ,.,
n n n
OEuvres de C. — S. 1, t. HI.
361
OÙ”
362 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
On aura d’ailleurs : 1° si x est impair,
7 fe
2° sin est divisible par 4, mais non par 8,
(15) Un == L) £ HEC 4
3° si x est divisible par 8, et de la forme 8(4x + 1 }, la valeur ® étant
fournie par l'équation (ro), ou de la forme 8(4x + 3), la valeur de ®
étant fournie par l'équation (12),
m2—1
(16) Me te) 2 ES
4° enfin, si z est divisible par 8 et de la forme 8(4x + 3), la valeur
de @ étant fournie par l'équation (10), ou de la forme 8(4æ+ 1), la
valeur de @ étant fournie par l'équation (12),
(m—1)(7—3)
pes met D
(17) Un =(—1) "a
a
8
M. Gauss est parvenu le premier aux formules (11) et (13), qu'il a
données en 1801, dans ses Recherches arithmétiques |S 356], pour le
cas où À est un nombre premier, mais sans déterminer le signe du
coefficient 1, dont la valeur numérique se réduit à l'unité. C’est dans
le Mémoire intitulé Summatio serierum quarumdam singularium que le
même géomètre, en reproduisant les formules (11) et (13), les a dé-
duites d’une méthode qui lui a permis de fixer le signe de 1.
Si, dans la valeur de », que fournit l'équation (9), le nombre
cessait d’être premier à », alors, en vertu du théorème II de la Note
précédente, la somme alternée ®, que détermine la formule (2), se
réduirait à
©
(18)
= Oi
NOTE XII. 363
et, par suite, on aurait simultanément
2mAT omhT 2mkT omk'T
S + COS — +,,,— co F0 OS eee Tu 20
I
(9) . 2MmAT . omhrT . 2mkT DR TE
sin + SIN ——— +..,— sin RM eme + + Et Qe
Donc, si l’on veut étendre les formules (11) et (13) au cas où les
nombres 7» et x cessent d’être premiers entre eux, il suffira d’ad-
mettre que, dans ce cas, la valeur du coefficient représenté par +, est
nulle et vérifie l'équation
(20) t3T Q
Avant d'aller plus loin, nous rappellerons ici qu'en vertu des con-
ditions énoncées à la page 296 et à la page 297, les deux nombres
1, RA—I—=—I (mod.n)
et, par suite, les deux nombres
lL, n—l=—1!l (mod.n),
l'étant inférieur à x, mais premier à », appartiendront à un seul des
deux groupes
D DNS te ER he
ou l’un au premier de ces groupes, l’autre au second, suivant que la
somme alternée ® sera déterminée par la formule (10) ou par la for-
mule (12). Done, si l’on représente par
ND : (PI | ES ou par CRU LES se
1
s je Fe :
les seules valeurs de À ou de # inférieures à 52, alors, dans la somme
alternée © que détermine la formule (ro), le système entier des valeurs
de À pourra être représenté par
RS RS oh, RAR n = Rh,
et le système entier des valeurs de # par
AS RS NS ae Monk Re OR
364 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
mais, au contraire, dans la somme alternée ® que détermine la for-
mule (12), le système entier des valeurs de 2 pourra être représenté
par
h,_hl, 7, Si R-K Reki Des
et le système entier des valeurs de Æ par
HR OR D hr Mol Remi.
Comme on aura d’ailleurs généralement
put pl,
il est clair qu’à la place de la formule (2) on obtiendra, dans le premier
cas, l'équation
(21) D = ph + ph + ph pp pp pr,
et, dans le second cas, l’équation
(22) ® — ph — oh + ph'— ph +. TRE pÉ + pk — pk + pr —, tés
Par suite, on pourra facilement constater l'exactitude de la seconde
des formules (11) qui se trouvera remplacée par une équation iden-
tique, comme la première des formules (13), tandis que la première
des formules (11) se trouvera réduite à |
omhT omh'T 2mkT omk'r I :
+ COS — +,,,— COS COS sd tm ll
23) Cos
( ) ñ "2 ñ
et la seconde des formules (13) à
CTES
AT : amMmAT . 2mkT . 2mk'T I
+ Sin ———— 1 ———
AC
(24) sin ii cl OEM.
2
Des observations que nous venons de faire on déduit encore une
conclusion qui peut être aisément vérifiée à l’aide des formules (14),
(15), (16), (17); savoir, que l’on a généralement
(25) Lit Cm — ms
quand la somme alternée @ satisfait à l'équation (10), et
(26) ti —— Lis lm—— tm)
NOTE XII. 365
quand la somme alternée @ satisfait à l'équation (12). On peut aussi,
à l’aide des formules (14), (15), (16), (17), s'assurer facilement que,
si l’entier m» est décomposable en deux facteurs premiers ou non pre-
miers &, &', l’équation
(27) mp
entraînera la suivante
(28) ; bn = lyture
Pareillement une équation de la forme
(29) m— pp"...
entrainerait la suivante
(30) : tm = tutu'lu"....
Soit maintenant N le nombre des entiers
inférieurs à 7, mais premiers à 2. Ceux d’entre eux qui ne surpasse-
I Là « N Le .
ront pas = # seront en nombre égal à —; et, parmi ces derniers, les uns,
dont nous désignerons le nombre par £, seront ceux que représentent,
dans les formules (23), (24), les lettres L, '..., tandis que les autres,
dont nous désignerons le nombre par 7, seront ceux que représentent,
dans les mêmes formules, les lettres k, k', .... Cela posé, on aura néces-
sairement
31 LH] = —:
(51) RS
D'autre part, dans la somme alternée ®, le nombre des termes affectés
du signe + est égal au nombre des termes affectés du signe —, par
conséquent à la moitié du nombre total des termes ou à — N. Or, comme
l
2
la somme alternée ©, lorsqu'elle vérifiera la formule (10), offrira une
valeur déterminée par l'équation (21), on aura nécessairement dans
366 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
cette hypothèse
AN SON
nr 7.
et, par suite,
N
3 nl Dm EE
(32) re
Des formules (11) et(13), ou (23) et (24), combinées avec les équa-
tions connues qui servent à développer les fonctions en séries ordon-
nées suivant les sinus ou les cosinus des multiples d’un are, on déduit
aisément divers résultats dignes de remarque, et en particulier ceux
que M. Dirichlet a obtenus, à l’aide de semblables combinaisons, dans
plusieurs Mémoires qui ont attiré l’attention des géomètres. Concevons,
par exemple, que l’on combine les formules (11) et (13), ou, ce qui
revient au même, les formules (10) et (12), avec l'équation
| nt(e)= f f(u) du + a f cos EU) f(u) du
(33) { 0 0 :
| jen
\ ft. |
que l’on déduit de la formule (37) de la page 357 (‘) du deuxième
Volume des Exercices de Mathématiques, en v remplaçant
a par A, Æo par 0, X par a,
et qui subsiste, pour des valeurs de a inférieures à n, entre les limites
æ—0,æ—a de la variable +, dans le cas où la fonction f(x) reste
continue entre ces limites. Comme, en prenant
(34) w = 7,
ñn
on aura généralement
ie 2MT(X—U)
n
= COSMO(X —u) =COSMOXCOSMOU + SiINnMwXSINMoOU,
(1) OEuvres de Cauchy, S. W, T. VIE p. 410.
NOTE XTJTI. 367
si l’on suppose la quantité a positive et supérieure à » — 1, mais infé-
rieure à ?, on tirera de la formule (33) jointe à la formule (10) ou (12):
1° en admettant que la somme alternée @ soit déterminée par la for-
mule (10), et que l’on ait en conséquence 1, = 1»,
{ I 1
= LLC) 2 CRT) + PCA) — PCA) —...]
(35) { ue coswu f(u)du +u f cos2ouf(u)du
0 0
a
+4 f cos3ou f(u) du +... ;
0
2° en admettant que la somme alternée © soit déterminée par la for-
mule (12), et que l’on ait par suite 1, — — 1,
CR RE TUE) RU
7%
(36) if
Le
sin a Fu) du + ta f sin 204 f(u) du
0
+ u f sinsouf(u)du+....
0
Les formules (35) et (36) supposent, comme les formules (11) et(13),
que À, k', h",... représentent les diverses valeurs de A, et #, #4, #",
les diverses valeurs de k, renfermées entre les limites 0, ». D'ailleurs,
en vertu de l'équation (20), on doit, dans les seconds membres des
formules (35) et (36), remplacer par zéro le terme général :,, de la
suite
Lis Las Las Éoos
toutes les fois que le nombre entier »# cesse d’être premier à ».
On peut remarquer encore que l’on a, pour des valeurs quelconques
de w,
«a . a
sin Ma 4 I— COSMGA
(37) cosmoudu = ———, sin mou du — — È
: ma 6) k mo
Or, de ces dernières équations, différentiées / fois par rapport à ©, on
368 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
conclut : 1° pour des valeurs paires de /,
ET sinmoa
L de ur ÿ D!,
m! nm 6)
(38)
l
1— COSMWA
| f° a! sin mou du = — T pe, ;
0
\
mt 6)
2° pour des valeurs impaires de /,
1 [— COS
«a ; ;
rie)
+ ul! cosmou du — — Do
m
0
mu
(39) +1
a ETS .
: —1)° sin M 6€
+ u! sin mou du — ) D, »
À m Im 6)
la notation D, indiquant / différentiations relatives à w. Cela posé, on
pourra aisément faire disparaitre les signes d'intégration contenus dans
les seconds membres des formules (35), (36), toutes les fois que f(x)
représentera une fonction entière de æ, composée d'un nombre fini ou
même infini de termes. Si cette fonction entière est de plus une fonc-
tion paire de æ, on tirera de la formule (35), jointe à la première des
formules (58),
1
n°?
LÉCA) + LCA) +. — CH) — LCA) —...]
na
(40) { = (DE) ES + Hu Lo) race
+ sin3wa
do A ne
ou de la formule (36), jointe à la seconde des formules (38),
+ L3
\
= né [I(A) D CT DE PS 1 SU UE DU CRE
(41) en. LT DD) + es —
26)
+4 Da) Re +
3 0)
NOTE XII. 369
Si au contraire f(x) est une fonction impaire de x, on tirera de la for-
mule (35), jointe à la première des formules (39),
|
ni ES SLT D PSS LT DRE dr 2 EU
RE ei nee La r(tno) PRIE
20)
PDA ns F9 in
3 3
‘
ou de la formule (36), jointe à la seconde des formules (39),
us 2 VTT (4) Hf(h)+...—f(k)— LCA) —..1
: Fe — sin © & Tex sin26a
(43) Meet re LE s)srane
Lu f(V—: sin30 a
3 (E ») e Me ne
Au reste, les formules (40), (41), (42), (43) sont comprises comme
cas particuliers dans celles que nous allons établir.
Si, dans le second membre de l'équation (35), on transforme les
cosinus en exponentielles imaginaires, on tirera de cette équation, en
prenant pour f(æ) une fonction entière de x
r[f(A) + AE AO)
= uf(° V— De) f onTau+ut( no) f e-tou TT qu +.
0 0
2
+uf(—V= De) f mFdu+ut(— ne) f e vu du +...
0 0
et, par suite,
r[É(H) ip LCR LS PTE) 2:
__ p—way-1 } are 1— e—2way—1
mu f 1 Do): ( Fr ue ve
(44) ui É( ÿ—1 ie ae PR ur + taf s Do tes _
waÿ—1 __ Line, 2Oaÿ—T __
du US Vas rDo) ete $ : +af( 21 pu) 8 Sr +...
SOUL T: 2 2G V/—1
OEuvres de C. — S. I, t. IN. pr
370 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
On tirera au contraire de l'équation (36)
1
— n[f(h) + CR) +... — (4) — CH) —...]
nee |
= uf( V1 Do) f go du + a ( mr eou-1 du +..
0 0
2
PTE | ques V1 Do) f cou du — | — ns) f eut qu —...
0 0
et, par suite,
1
RÉ [ÉCA) + PCR) +. PCA) —(#) —...]
(45) en e FC SÉRPÉ CS PP ne) =
LT CNE Dal De — Fam eatf-
On ne doit pas oublier que les formules (40), (42), (44) correspon-
dent à l'équation (ro), et les formules (41), (43), (45) à l'équa-
tion (12). Dans ces diverses formules, la quantité «a doit être non seu-
lement positive, mais supérieure à 2 — 1 et inférieure à 72. On peut
même supposer qu'elle atteint la limite », et, dans cette hypothèse,
après avoir effectué les différentiations relatives à w, on verra le pro-
duit wa se réduire à 27, et les exponentielles de la forme .
e—mway—1 ou emway—i
à l’unité. |
Pour montrer une application des formules qui précèdent, concevons
que, 27 étant un nombre entier quelconque, l’on pose
f(x) —— ET,
et faisons, pour abréger,
(46) Au=hm+ mL... — km — kim —
On tirera des formules (40) ou (41), pour des valeurs paires de 2 :
1° en supposant D? = 7,
m 1
Gin) nf pra D8 (a
Sin & 4 & Sin20a 3 Sin3wa
CURE" 3m 3 ne À
*
NOTE XII. 371
2° en supposant ®? = — 2,
m 1
(48) Ct Eran =D (4 RE + hou n'as SE MAN
1— COSOA ly 1— COS204 t3 1—COS30a
om 2 6) 31 3 0) rise
On tirera au contraire des formules (42) et (43), pour des valeurs im-
paires de 77 : 1° en supposant ® =,
m—1 1
PETT I— COSWG lo 1— COS20 4 l3 1—COS30€
a) 7 LA D (RE ES SE +. À,
2 2 2 6) 3 36) ;
2° en supposant ®° = — 7,
2: /_sinoa U Sin2oa y Sin3wa
2 UAH + z = 3.7 x
(OU ET) + A, = Dé Cu Re À ANS RL )
D'ailleurs, Q désignant une fonction quelconque de w, on aura géné-
ralement
m(m —1)
m ;
DS(u71@) = QD 0 + = DOQDE wi + DSQDE ot +...,
et, par suite,
1.2.3...
or+1
- ALL 4
D (w-1Q) —(— 31)" (e-$n,0+ Dis 080).
I 9 MODS. IR
Donc, en désignant par / un nombre entier quelconque, et posant,
après les différentiations,
ah, D— —) ARE 21
on trouvera, pour des valeurs paires de m,
3 re
D” sin lo a Le si 2.3...Mm, 4.5...m M dom ns
w mn m1 rer \2
x (27) (27) (27)
m1—coslwa DOTÉ TE: 78 à AR AE He ES
—— — nn — +... + —
w U) (ar)! (2T)"—3 27 ,
et, pour des valeurs impaires de 7,
. /
D” sin/{oa D si8i. im Na ARLON DFE DES Et Ph
wo 6) (2T)" ET LS vob a NA ÉENEES 2T ?
+4 / ù
D” cos/wa en jt ;__ 9.6...m D RE ui
[Q se m—1 m—3 HORE 4 2 :
6) (27) (27) (2T)
372 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Done, si l’on pose, pour abréger,
L: L L {
Hu + He. But State. vie
et généralement
ne Hi La La L, LE
(91) Pa UT Den 9m À Am am dire
on tirera des formules (47) et (49), en supposant @? = 7 : 1° pour des
valeurs paires de 7»,
1
5 Ji Sade à m (m—92)(m—1)m D A CPR :
(52) An=2n (27): , ta (2T)* LR se ee es er LE He
2° pour des valeurs impaires de
é J
;
___ m+4i[ m (m—2)(m—1)m CAE Re |
(53) à,=9n EPS RTS ES Ve nt m-2|;
mais, en supposant D?=— 7», on tirera des formules (48) et (50) :
1° pour des valeurs paires de »,
m+sQ (m—1)m SH: :
(54) An=—2n Ho. Do etait m1 |;
2° pour des valeurs impaires de »2,
1
de m+>l (m—1)m 2.3.4...m
5p) Ap—=—on À — 5, +.. + ——————— :
LR (5 ART Ce à
Ainsi, en supposant ®°=— 7, on trouvera successivement
- 33:
(56) = 0, 70; bn, A3= - — n°, à
. ÿ ; sad 4 :
tandis qu’en supposant @? = — », on trouvera
3 5
M r Mis
NOTE XII. 373
Comme on a d’ailleurs
0—= AH ROR,. — KO KO...
A=h+h+...—k —k —...,
b=hRte SE. Hs ka...
A3=h+RS+.. —k— kB ,..,
il est clair que les équations (56) ou (57) feront connaître les diffé-
rences qu'on obtient, quand du nombre des valeurs diverses de À, ou
de la somme de ces valeurs, ou de la somme de leurs carrés, de leurs
cubes, etc., on retranche le nombre des valeurs de #, ou la somme de
ces valeurs, ou la somme de leurs carrés, de leurs cubes, etc. On
conclura en particulier de la première des équations (56) ou (57),
c'est-à-dire de la formule
D == 0,
que le nombre des valeurs de 2 est toujours, comme nous le savions
d'avance, égal au nombre des valeurs de #. On conclura en outre de la
seconde des équations (56) que, dans le cas où ® vérifiera la condition
tn,
la somme des diverses valeurs de 2 équivaut à la somme des diverses
valeurs de k. C’est au reste ce qu'il était facile de prévoir, puisque
alors les valeurs de 2 étant deux à deux de la forme
l, n—1l,
la somme de ces valeurs doit se réduire, en même temps que la somme
des valeurs de #, au produit
Ainsi, par exemple, si l’on prend x = 5, on aura N — 4,
DRM PETER ES
h+h'=:1+ 4, kKk+k'= +3,
h+h=k+k!—
374 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Pareillement, si l’on prend r = 21 = 3.5, on aura N = 2.6 — 12,
7
D =p+pt+ PS + pis + pt p20— p2— pô — pl pi — D — Do,
h+h+...=1+4 + 5 +16 +17 + 20,
k+k!'+...=2+8 +10+11 +13 +10,
12.21
h+bhE,. kB Su as
Il importe d'observer que, parmi les valeurs de 5,,, les seules quan-
tités ,
Vas dy d6,
entrent dans les seconds membres des formules (56), et les seules
quantités
ds 3 d5
dans les seconds membres des formules (57). Il en résulte que les
diverses valeurs de A, c’est-à-dire les divers termes de la suite
A;, À», A;, A,, HS PA
sont liés entre eux par des équations de condition que l’on obtiendra
sans peine en éliminant
entre les formules (56), ou
di, Ja
entre les formules (55). Ainsi, en particulier, si l’on suppose ®° = 2,
on trouvera, en vertu des formules (56),
Fe 3
(58) LP 5/4;
ou, ce qui revient au même,
BE Re Sn (RE RE RER).
On trouvera, par exemple, pour # = 5,
D=p+p—p—p?,
NOTE XII. 375
pour ? = 8,
- D = p-E pr pp
A—1+7— 3 5— 16, = po 3 5 192 — 3.8 D;
DOUT A = 12,
D=p+pli— p5— p1,
Ait 5— 748, B=it+i—5— 7 864 —3.12—;
pour r = 13,
GER tr EE PRE PR EDR ne pin pe
A =i+ + + +10 + 122 — 22 — 52 65 — 72 S— 11 — 5),
si + 8 49 rot pat 98 58 67 D 10 1Ë = 3.13 À;
pour nr = 17,
@® =p+p}+p"+p+p+ pti PIS + PE — pi — p5— 06 — 0710 DU DIR Die,
2—=1+2%+ 44 8+ 0H 13 +524 16—3—52— 6572 102—11—122— 142 = 136,
A3=1+25+ 4548041358 168335563535 108 — 11 — 123 — 14 3468 — 3.17 ne
pour n — 21,
D =p+ p* + p5 + 016 + pl + p°9 — p? — p8 — p10 — Dit LI — DIS,
A=i+ + 5 16% + 172 + 207 — 22 — 8 — 102 — 11 — 132 — 19° — 168,
168
A3—1+ 4 + + 168 + 179 + 208 — 28 — 8 — 108 — 118 — 135 — 199 — 5292 — 3.21 —
2
etc.
Si l’on suppose, au contraire, ®*— — nr, on aura, en vertu des for-
mules (57),
(59) h=n A,
ou, ce qui revient au même,
PRE SU UE UE) PO LOl RN
On trouvera, par exemple, pour r = 3,
Lens 0
—AÀ,—=2—1—71, — À —=2?—1—3.r;
pour 7 = 4,
App
—A,—=3—1—2, — A,=3—1—8—4.2:
136
)
376 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
pour 2 —7,
DE pr petpies pmpie pis
— ÀA=3 +5 +6 — 1 —2 — 4 —7,
— A + HG — 1 — 22 4 49 — 7.7;
pour nr — 8,
St re er « Aie
— A,—5+7—1—3—8, — A=5+7—1—3—64—8.8;
pour n = 11,
D = p + pt + pt + p5 + p9 — p2— p6 — 97 — p8 — pi0,
—A=2 +6 +9 +8 +10 —1—3 —4 —5 —9 —=xr,
— A — 2 +6 +74 8+ 10— 3 — 32 — 42 52 Q—i21— 11.11;
L
D=p+p+ pt +08 pr pli pi bis,
A7 tir Hi ik 102 4 —8. — 30,
— A7 + +8 4 5 — à — 42 — 8? — 450 — 15.30;
pour 2 = 19,
D = p +pi+o5+ 05 + po + P° + pi + pt8 + pi 208 08 DO DIS Dé DS DS,
—AÀ,=2 +3 +8 +10 +192 +13 +14 +15 +18 — 1 —4 —5 —6 —7 —9 —11 —16 —17 —19,
—A,=2+3 +8 + 10 +124 13 +42 152 1 82 — I —14?—5?—6!? —7 —9° ne | 12—10—17— 361—19;
pour 2 — 20,
D= p + ps + pt + ps — pli pis DIT pis,
— Ai=11 +183 +17 +19 — 1 — 3 — 7 — 9 —4o,
— A,—=i11+18 +17 +19 — 1 — 32 — 7? — 9? — 800 — 20.40;
etc.
Il est bon d'observer encore que la valeur de 5,, est positive’, et même
ordinairement renfermée entre des limites qu'il est facile d'obtenir. En
effet, cette valeur qui, en vertu de la formule
(60) a ES
peut être réduite à
L L
(61) nt + de pe
NOTE XII. 377
sera évidemment comprise entre les limites
I I I
LR has FE et l—— ——— —...,
qm
ou, ce qui revient au même, entre les limites
Li I I I
PSM AN ue 2 (it tm)
Or, comme, en prenant » = 2, on a, en vertu des formules connues,
2
i.
J L 4 I I 13: Hg De
DR AR AR A Po TRE Tu nu,
il en résulte que 5, et, à plus forte raison, 3,, 3,,... sont positifs et
renfermés entre les limites
1,0449... et 2 —1,6449:..—=0,3551....
Comme, d'ailleurs, les nombres de Bernoulli
I I I
2: La
vérifient les équations :
SARL. ne 1 27°
. 3 6 1.2?
mi æ Ars Sr : au
I Dr ne
+ 3* 30 1.2.3.4
LR I o I RAS I À je:
CRUE AORE 42 1.2.3.4.5.6
il en résulte que les quantités
ee à
#9
de
sont respectivement supérieures aux produits
LE 6 I 1%
25
6 1.2 30 1.2.3:4° 42 1.2.3.4.5.6
OEuvres de C. — SA, t. WI. 48
,
378 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et inférieures aux différences
1 27° I L Ve 2 I CE
din D — —— D — — - …...
6 1.27 30 1.2.3.4 42 1.2.3.4.5.6
Quant à la quantité
L L L,
62 rt Eee
( ) 1 2 3 4 ,
on peut seulement affirmer qu’elle sera nulle ou positive. C'est ce qu’on
démontrera sans peine, comme l’a fait M. Dirichlet pour le cas où z est
impair, à l’aide d’une méthode de transformation qu'Euler a exposée
dans le Chapitre XV de l’Zntroduction à l'analyse des infinis, et que nous
allons rappeler.
Puisque la formule (29) entraine généralement la formule (50), 1l
est clair que, si l’on nomme
%, ©, Ÿ»
ceux des nombres premiers qui ne divisent pas le module », on aura
Lo L: L Ly2 te Lea
| = (++ +.) (++ te)
HPNUE ie \”* PA RC
RS “, TES LUE Ra
\ œ \ 4
Or, cette dernière formule, subsistant toujours, tant que la série com-
prise dans le premier membre est convergente, ou, ce qui revient au
même, tant que » surpasse l'unité, quelque petite que soit la différence
m — 1, pourra être étendue au cas même où l’on a mr — 1. On aura
done, pour toutes les valeurs entières de », et même pour m = 1,
ba g \! ty \T!
6 de =) Le PA: EE
( 4) m (: ds (: .) (: 23 ; ?
u, 6, y, ... désignant les facteurs premiers qui ne divisent pas #2. Or,
comme les facteurs, que renferme en nombre infini le second membre
de la formule (64), sont tous positifs, il en résulte que la valeur de 5,,
AT ue
donnée par cette formule ne sera jamais négative. Elle ne pourra donc
NOTE XI. 379
être que positive ou nulle. On a vu d’ailleurs que les valeurs de 5,,
étaient toujours positives pour des valeurs de »2 supérieures à l'unité.
Lorsqu'on a obtenu des limites entre lesquelles se trouvent com-
prises les quantités
Dai Mes der os
on peut en déduire d’autres limites entre lesquelles se trouvent ren-
fermées ou les différences
A, A;, A,, ns
ou des fonctions linéaires de ces différences. Ainsi, en particulier,
dans le cas où l’on a ®@ == 2, on peut affirmer non seulement que la
valeur de 5, est renfermée entre les limites ,
e et D R
6 6°
que la valeur de la différence
A ht. ki Ep...
est renfermée entre les limites
RE — à, _
cs Va et 0,035...n? Vn.
à ras |
Donc alors la valeur de A est toujours inférieure à à 7? Va.
Ainsi, par exemple, on a, pour n — 5,
1 EE ex
R=h<e go v5.
Les formules qui précèdent sont, pour la plupart, déduites de l’équa-
tion (33) qu'on peut encore écrire comme il suit :
a $ «a a
2TX 27 U 4Tx 3TU
nf(e)= f F(u) du +2 008 EE [| COS — fu) du + 2 cos V2 [| COS — f(u) du +...
/è
0 0 “C0
x 4 a
. 2TX , 2TuU . ATX . Tu
: +2Sin — sin —— f(u) du + 2sin sin Caen f(d) DSC
nm ; Lee / à nm 0 nm
380 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et en vertu de laquelle la fonction f(æ) ou 2 f(æ) se trouve développée
suivant les cosinus et les sinus des multiples de l'arc
2T TL
[1
Or, on peut démontrer que, dans le cas où la quantité a ne surpasse
. . nm . ; .
pas la limite =, les deux parties du développement, savoir : la somme
des termes qui renferment les cosinus des arcs
et la somme des termes que renferment les sinus, sont égales entre
elles, par conséquent égales à la moitié du produit = f(x). On a donc,
. PRIS , FE |
pour des valeurs de a inférieures ou tout au plus égales à =», et pour
des valeurs de x renfermées entre les limites o, @,
a a [14 /
Uee 2TX 2TU TZ 4ru,
(65) Lnt(e)= f (Cu) du +2 cos 2€ f cos LT ((u) due + 2 008 LEE cos —f(u) du +...
} u
, 0 0
«a a
1 STE . QTu URE SR
(66) CRT) 2 sin 7 sin LEE ru) du + a sin EE f sin = {(«) du M à
2 / 112 7
0 0
et, en effet, pour obtenir les formules (65), (66), ilsuffira de remplacer
dans les formules (109), (110), de la page 364 du deuxième volume
des Exercices de Mathématiques (*),
Jè
a par — L.: Dar: ;0; X par a.
Or, de la formule (65) jointe à l'équation (23), ou de la formule (66)
jointe à l'équation (24), on tirera : 1° en supposant ®? = 7,
PEU
He
(6) / ul. cosw'u f(u) du + t3 | cos 2 6 u f(u) du
£ 0 0
| +8 f cos3œu f(u) du +...;
0
(1) Œuvres de Cauchy, S. IH, T. VIF, p. 418.
NOTE XI1. 381
2° en supposant @°— — 7,
né LÉCA) + SE TN Ne en
(68) ; =u f sin a f(x) due + ta f sin2ouf(u) du
; à 0 0
7 «
+4 | sin2ouf(u)du +...,
0
pourvu que la valeur de w soit toujours
2T
D = —)
[22
et qu'en tenant seulement compte des valeurs de 2 ou de # inférieures
| . . n . . Je
à; a, On place a entre la limite = et le nombre entier immédiatement
inférieur à cette limite. Les équations (67), (68) ne sont évidemment
autre chose que les formules (35), (36) étendues au cas où l’on sup-
pose les quantités
jé IQ PAS D ON A
\
. RES . x . 12 Cr
inférieures, non plus au nombre », mais à la limite e. la dernière @
pouvant atteindre cette limite. Or, de ces formules, par des raisonne-
ments semblables à ceux dont nous avons fait usage, on déduira encore,
dans le cas dont il s’agit, les équations (40), (41), (42), (43), (44),
(45) ; et par suite, si l’on pose dans le même cas
(69) Om = RM M, pm fm,
c'est-à-dire si lon représente par à,, la partie de A,, qui renferme des
. KL %
valeurs de 2 et de # inférieures à = », on trouvera, pour des valeurs
paires de » : 1° en supposant ®? = n,
m à : : 2e
un) (ten) EG Ns 2 Sin20a a Done.)
2 \ 6) 1730 Pr se ;
382 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
2° en supposant ®° = — 7,
Pare 1— COSOA to 1— COS204 l, 1— COS
e Re dE Ua DL ä + RP AL € te Ex DUT re
(71) (—:1) SA du == D me nn ne: - ï +.….).
On trouvera au contraire, pour des valeurs impaires de.» : 1° en sup-
posant ®° — 7,
m—1
1 /
me I1— COSW a lo 1— COS204 l3 1— COS30AQ
72 —1) ? no =D ——— mn ere Pre: Brie ire arers mhe » « 7] $
CRE na FAX 6) TZ 2) 3m 30) j
2° en supposant D? — — 2,
1 sin © 4 lt Sin20a l ind \
pa SLR - Sin FN 5 PA 2 sS
(73) ( 1) “a Pts il (a om Rare Ton PAR So ….)
On ne doit pas oublier que, dans ces dernières formules, tout comme
dans les équations (67), (68), la quantité a doit être renfermée entre
EE À
ns . te nm . .
la limite supérieure a qu'elle peut atteindre, et le nombre entier
n . HRRT . ne 5 . .
ou — — 1 immédiatement inférieur à cette limite.
4
Concevons en particulier que l’on prenne
en substituant cette valeur de a dans les expressions de la forme
D” sinoa pr Cosioa
[o) 4 u)
G) 6)
après avoir préalablement effectué les différentiations relatives àw, l'on
trouvera, pour des valeurs paires de »2,
Fe
sin/wa n\mri as; OGM m
D See (y (2) ( Ho. pH),
6) Tr! T m—2
LA
nd m+1 2 /
p’ 1— Cos/oa à: # 1.2.3... en. 1:59.3,..m ie 3.4...m N. 1 pm
6) 2 ; T'i+i Tr'+i ri! T :
NOTE XII. | 383
et, pour des valeurs impaires de 7,
"
n m+1 ?- J
pannes) ñn 2.3...m, 4.5...m SAN Les
e A) roi TT"! Tr"! RCI CT ra ,
2 —?
pr 1 cosloa _ ONE ie RE __ 3.4...m p+.. sim) |.
G) > r'#+i $ Tri T1 Tr?
Donc, si l’on pose, pour abréger,
h=u—2+3— é L=u—++s— ; :
et généralement
(74) lu 2 + oE — . ;
on tirera des formules (70o)et (72), en supposant ®? = n:1° pour des
valeurs paires de 72,
sl FER Hire Ë E I, PE Le
(75) du—=—(—) ME (m—a)(m—t)magEs Es. me :
2° pour des valeurs impaires de 7»,
1
n\” >: L 1, Lm+1 + 9
(76) = (2 im —(m—2)(m—i)m—+.,.Æ1.02.8.,.m rt
2 T° T* r't+1
mais en supposant D? — 72, on tirera des formules (71) et(73) : 1° pour
des valeurs paires de 7»,
1 23
ENT 2 in I; Env S n+1
(77) = (2) J [mom Her 3.. meme |
T
2° pour les valeurs impaires de 2,
(78) - à = (2) Le om Es E
# m— / à pur ET A eg à m2 |.
3 5
2 2 2 9
SU var VE n°, gt vs a. n”, .…
I
7 0,0 d—=— —
(79) 0 ’ L 2 T° a 7?
384 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
tandis qu'en supposant ®? — », on trouvera
AS Il à) È é L ÿ
(80) d= An, dir, Dis ee) n?
(him 25e î
Comme on aura d’ailleurs, en tenant compte seulement des valeurs de
. L . « I
k et de Æ inférieures à A,
do = A+ RO. KO HO, —i— ÿ,
RER MR HER ES,
= A+ RE TR pe :
il est clair que les équations (59), (80) feront connaitre la différence
1 — 7, et celles qu'on obtient quand de la somme des valeurs de L infé-
* À ,
rieures à > Ou de la somme de leurs carrés, etc., on retranche la somme
. PRE s “5
des valeurs de # inférieures à 5
,
» où la somme de leurs carrés, etc. La
première des équations (79), c'est-à-dire la formule
à, à ou Ηj —=0,
s'accorde, comme on devait s’y attendre, avec l'équation (31).
Avant d'aller plus loin, observons que les quantités
k, L, | FAN AOR
ou les diverses valeurs de [,,, sont liées aux quantités
dy V2 V3 TT
c'est-à-dire aux diverses valeurs de 5, par des équations qu'il est
facile d'obtenir. En effet, comme on aura généralement
à Lam — Valms
et par suite
2 « te É
om M jm EL qi | Gr Ter
on en conclura
| t
(81) 1, = (#5) dm
dr
Ée
NOTE XII. . 385
On aura donc
(82) h—(1—1%)5, PR (i—2)s. h=(1-%) V3
2
Ajoutons que, !,, se réduisant toujours à l’une des trois quantités
— 1, 0, +i,
les valeurs de
seront, en vertu des formules (82), des quantités positives, tout comme
les valeurs de
9, d39 ,
Quant à la quantité I,, liée à 5, par la formule
L—(1—71,:)9;,
elle sera ou positive ou nulle, ainsi que 5,, et pourra même s’évanouir,
sans que 5, s'évanouisse, avec le facteur 1 —1,, lorsqu'on aura
n
DTT,
1)
ce qui suppose 7? impair et de la forme 8x + 1 ou 8x + 7. Supposons
en particulier » de la forme 8æ+ 7, et composé de facteurs impairs
inégaux. On aura
D?—=— n,
et comme alors I, s’évanouira, ainsi que 1 —1,, la seconde des for-
mules (80) donnera
= a 5
On trouvera, par exemple, pour nr — 5,
O2
i=1+2—3—0,
pour n — 15,
d—=I+2+4—7—0,
Revenons maintenant aux formules (79) et (80). Si, dans ces for-
mules, on substitue les valeurs de [,, E,, EL, ... fournies par les équa-
OEuvres de C. — S.1,t. WI. 49
CE SORT à LS 1:87" Le ro nee er e c: us Ares
386 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
tions (82), on trouvera, en supposant P? — n,
3 5
(83) 0.0, = (1-7) A=— (1-2) se
(84) &=(a—u) Arf, d—
2
etc.
Lorsqu'à la première des équations (79) ou (83) on joint la pre-
mière des équations (79) ou (84), on arrive à cette conclusion remar-
quable que la différence
d ou Ê— 7
est toujours nulle ou positive. On peut donc énoncer la proposition
suivante :
TuéorèmEe. — Supposons que, p étant une des racines primitives de
l'équation
Het BR
la somme alternée
[EA) ——— ph + ph +. rs pi — br,
vérifie la condition
®O=xEn
el que le groupe d’exposants
Ru RS MT,
renferme l'unité. Si les entiers inférieurs à n, mais premiers à n, sont en
nombre égal à i dans le groupe h, h', h", ..., et en nombre égal à j
dans le groupe k, k', k", ..., la différence
LS
sera toujours nulle ou positive, et ne cessera d’être nulle que lorsqu'on
aura
(Dr he
Les quantités
sont évidemment liées non seulement entre elles, mais encore avec les
NOTE XIl. 387
quantités
A;, A», À; A;, RU R É -
par des équations de condition qu'on obtiendra sans peine en élimi-
nant
do, dy
entre les formules (56), (83), ou en éliminant
d1, d3, per fe
entre les formules (57) et (84). Ainsi, en particulier, on tirera des for-
mules (56), (83), en supposant ®? — n,
(85) M _— s ns
48
ou, Ce qui revient au même,
(86) à, 7 — nd, AS ——ù A, = 2 nA;
et des formules (57), (84), en supposant @? = —n,
(87) = + _—_ ns UGS R
ou, ce qui revient au même,
ee So RO
Ni jh A, =—A : > A, n1-7J .
2 — le 2 F roms La Br Le
Dans l'application de chacune des formules (83) et (88), on doit
distinguer trois cas correspondant aux trois valeurs
—1, O, 1
que peut acquérir la quantité :,. Ainsi, en prenant pour x un nombre
impair, on tirera de ces formules : 1° lorsque x sera de la forme
8 + 1,
/
(89) di 7 nd A=— Snô, ÀA,=— 92n0;,;
388 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
2° lorsque 2 sera de la forme 8x +3,
Mise ribe es,
(90) = An 1 A=—n +, A=— n° 1;
3° lorsque z sera de la forme 8x + 5,
; 3 6
(91) dr LUE A=— à, As=— nd;
4° lorsque n sera de la forme 8x + 7,
(92) do, - A,=—n(i—7;), A, —— n(i— 7).
Au contraire, en prenant pour » un nombre pair, divisible par 4 ou
par 8, on tirera des formules (87) et (88) : 1° lorsqu'on aura D? = n,
3
(93) d= dr A, —— nd, he LUE
2° lorsqu'on aura ®? = — n, :
en A
(94) : = A es A, —=—n 4, A, —— n? —
On vérifiera aisément ces diverses formules dans les cas particuliers,
et l’on trouvera, par exemple : pour x = 17,
À —— 6, d=— 84 = 7 du 136 À 3,
A, = 3468 ——2n°0;;
pour #2 — 11,
nn à LE, l—j = 5, Ed =i,
i — AR "HE,
== nr, A, —=—11=n +, A—=—121—=— n°? ':
pour nr — 5,
3 L
Ts RER et M | db —=4=—>n0,,
3—= 30 — — a Ô,;
NOTE XII. 389
pour n — 7,
: ER a)
dj —=6, A=—5——n(iÎi—};), A3=—49——n4(Η 7).
On trouvera pareillement : pour x = 13,
di —=— 5, re NÉ OR
D J
6
3= 1014 =— z 01;
pour nr — 1 — 8,
DONC n CS h 7,
| /,
nd, A—168—— + n0,,
d—=— 10, 0 = — 126 — 5
OÙ ©
A, = 5292 — — D ntà.
Si l’on attribue à x, non plus des valeurs impaires, mais des valeurs
paires, on trouvera : pour 7 = 4, ©? = — 4, ® —=p —p*,
er à FE 0 l—j —=1,
bin A=—-2——n- "1, A—=—8——n 7,
pour 2 =8, D? =8,®—=p+p"—pΗ 0",
: di —=— 2, dD=—8— "0, A,=16—— nd,
A3—=192—— -n°0;;
pour n= 8, D= —8,D=p+p? —p° — p",
re = 0 l — 2 RE
==2, J — 9; J = 2; : ST,
390 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
pour n — 12,
À —=— 4, D —=—24 = 01 A;=48=— nd,
à 3
A, = 864 = — —-n°0,;
pour 72 — 20,
Ê— i—
Te J — 0; En ee ds æ — 2; =
d=20=n 7, RS PR HE 1e FRA RE" Lin
4 2 2
Les diverses formules établies dans cette Note comprennent les for-
mules du même genre trouvées par M. Dirichlet. J’ajouterai que les
équations de condition par lesquelles se trouvent liés les uns aux autres
les termes des deux suites
peuvent être démontrées directement, et d’une manière très simple,
comme je l’ai remarqué dans un Mémoire que renferment les Comptes
rendus des séances de l'Acadèmuie des Sciences, pour l'année 1840 (1°" se-
mestre, page 444) ().
NOTE XIIT.
SUR LES FORMES QUADRATIQUES DE CERTAINES PUISSANCES DES NOMBRES PREMIERS,
OU DU QUADRUPLE DE CES PUISSANCES.
Soient :
p un nombre premier impair;
n un diviseur de p — 1;
h,k,1,...1es entiers inférieurs à », mais premiers à n;
N le nombre des entiers k, #, L, ...:
(1) Œuvres de Cauchy, S. 1, T. V, p. 142.
NOTE XIIL 391
eo une racine primitive de l'équation
(1) MPCR I
et supposons les entiers
partagés en deux groupes
RÉ RE ic et SES PRE.
de telle manière que la somme alternée
(2) ET EE ARNO
vérifie la condition
(3) À mm vod { À
Soient encore :
0 une racine primitive de l’équation
(4) : TP 1;
£ une racine primitive de l’équivalence
(5) xPl= 1 (mod. p),
et de plus
0, 0, O,,
des expressions imaginaires déterminées par des équations de la forme
(6) = 9 + p'0+ pu. pr Qu,
Aux deux groupes
ANS NE. Ho yo
correspondront deux groupes
0, Or, 9, RS et 9,, O;, Or,
392 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
entre lesquels se partageront les expressions imaginaires
+ 0, 9, O;, Sen
et, si l’on pose
(9) 1—0,0,0,"..., J —=0;:0;0,...,
alors, en vertu des principes établis dans la Note précédente, les deux
binomes
+3, E— J,
considérés comme fonctions des racines primitives de l’équation (1),
seront, le premier, une fonction symétrique, le second, une fonction
alternée de ces racines. Il y a plus, comme la condition (3) suppose
que les facteurs premiers et impairs de x sont inégaux, le facteur pair,
s’il existe, étant 4 ou 8, la fonction
La
I—7J
sera, dans l'hypothèse admise, de la forme indiquée par la formule (63)
de la Note VIT; et l’on aura en conséquence
(8) 1+J—A, I—J—BA,
A, B désignant ou des quantités entières, ou des fonctions qui renfer-
meront seulement les racines
0,: 01,07,
de l'équation (4) respectivement multipliées par des coefficients
entiers.
Observons maintenant qu’en vertu de la formule (3) de la Note I,
on aura
| 0,0,0,r...— R,,r,n". On+n+n"+….
(9) | et
0: 0, Or. = Ryx x. Ours,
Rx et Ry,x,x… désignant deux fonctions entières de la seule
variable 5. D'autre part, si la condition (3) se vérifie sans que 7 se.
NOTE XIII. 393
réduise à l’un des trois nombres
AE Pi
on aura (voër la Note précédente)
(10) hR+h+h+.. =k+<K ER +...=0 (mod. n),
et, par suite, eu égard à la formule (2) de la Note IH,
(11) Ohinans.. = Grrrsra.. = 00 = —1.
Donc alors les équations (5), (9) donneront simplement
(12) ER. J——R;,,x..;
et comme, en vertu des formules (12), les fonctions I, J deviendront
indépendantes des racines de l'équation (4), ces racines n’entreront
pas non plus dans les coefficients
AR
qui se réduiront nécessairement à des quantités entières.
Si l’on pose pour abréger
(12) m1? ,
LL
alors, en désignant par / un quelconque des entiers inférieurs à n,
mais premiers à ?, on aura, en vertu de la formule (3) de la Note II,
(14) 0,9_,— (— À ait à pans, 0,0,,-;.
Si le nombre & est pair, la formule (14) donnera simplement
(15) Dir S ph
Si, au contraire, & est impair, » devra être pair, ainsi que p — 1 = no
et, par suite, le nombre /, premier à », étant impair, la formule (14)
donnera
(16) 8,0,-1=— p.
Cela posé, on tirera évidemment des formules (7), dans le premier
OËuvres de C, — S. I, t. IN. do
394 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Cas,
N
(17) Hp"
et dans le second cas,
N ON
(18) 1J —(—1}° p?.
Mais, comme dans le second cas, x étant pair et de l’une des formes
RE RME CS
N ‘ SES *
— ne pourrait devenir impair que pour la seule valeur
2
n— 4,
dont nous faisons ici abstraction, il est clair que la formule (18) se
réduira elle-même à l’équation (17).
D'autre part, comme on tire des équations (8)
(19) 21—A-+BA, 2J— A — BA,
par conséquent
413 — A? — B'4*,
il est clair qu’en ayant égard à l'équation (3) et à la formule (3), on
trouvera
(20) &p? = A! B'A— A+ nB?.
Pour que la condition (3) se réduise à
(21) D'— 7»,
il est nécessaire que les facteurs premiers et impairs du nombre n
étant inégaux entre eux, ce nombre soit de l’une des formes
"4x+1, 4(4X +3), 8(2Xx +1).
Mais alors, en vertu du théorème 1 de la Note IX, / désignant un
quelconque des entiers renfermés dans les deux groupes
hs NS oct LR ce
NOTE XIIL 395
les deux termes
dE 2T COS SET À
appartiendront au même groupe. Donc alors, en vertu des équa-
tions (7), jointes à la formule (15) ou (16), on aura
N
(22) ER Eu Qi
savoir
(23) ind,
Fe N £ ;
si l’un des deux nombres &, 7 est pair, et
N
(24) Emi pt,
N AT ;
si les nombres & et — sont tous deux impairs, ce qui suppose n = 4v,
un
v étant un nombre premier de la forme 4x + 3. Alors aussi l’on tirera
des formules (8) et (22)
N
(25) AH ap, BR 0:
Ces dernières valeurs de A,B satisfont effectivement à la formule (20).
Pour que la condition (3) se réduise à
(26) D = — n,
il est nécessaire que, les facteurs premiers et impairs du nombre n
étant inégaux, ce nombre soit de l’une des formes
4xX+3, 4(4x +1), 8(2x +1).
Nommons alors p? la plus haute puissance de p qui divise simulta-
nément À et B. On aura
(27) APe By
æ, y désignant deux quantités entières non divisibles par p ; et, en
posant
(28) = © = à,
396 . MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
on verra la formule (20) se réduire à la suivante
(29) 4p#=x?+ ny?
Il s’agit maintenant d'obtenir les valeurs des exposants À, &. On peut
© i
y parvenir à l’aide des considérations suivantes :
Comme nous l'avons observé page 112, on a généralement
Risr- = Rn Rae
en sorte que les formules (12) donneront
(30 ) I = — R,,» Rain,» Rasn+n",n". 5»
= — Reg Resee Res kr
Or, dans chacun des facteurs qui composent les seconds membres de
ces dernières, on peut immédiatement réduire les deux indices placés
au bas de la lettre R à des nombres
10, SE Mr le
On pourra même, en vertu des formules (10) et (12) de la Note I,
remplacer le facteur
par + p, lorsque la somme des indices /, ! sera le nombre n, et
par — 1, lorsque l'un des indices s’évanouira. Ce n’est pas tout, lorsque
hk, }', étant positifs l’un et l’autre, offriront pour somme un nombre
différent de », on aura généralement, en vertu de la formule (13) de la
Note I,
ReR 7 — P;
ou, ce qui revient au même,
(31) RirRh is r—=P;
NOTE XIIL 397
et, comme des deux sommes
L+l, (n—l)+(n—l)=on—(l+ 0),
renfermées entre les limites o, 27, il y en aura toujours une comprise
entre les limites o, », l’autre étant comprise entre les limites 2, 2n, il
résulte des équations (14) et (15), jointes à l’équation (17), qu’on
aura toujours
(32) I=p Jp
‘Ou, ce qui revient au même,
(33) [G—pfF, JF — p8G,
f, g désignant deux nombres entiers propres à vérifier la condition
et F, G des produits composés avec des facteurs de la forme
R;,r
dans chacun desquels on pourra supposer les indices 4, / tous deux
inférieurs à », et leur somme / + / renfermée entre les limites », 2n.
Si d’ailleurs on substitue dans les formules (33) les valeurs de I, J
fournies par les équations (19), on aura identiquement
(34) (A+B®)G—2pfF, (A—B@)F— pr,
ou, ce qui revient au même, eu égard aux formules (23),
(35) Pr+y®)G=2pfr, pl(x—y®D)F —2prG.
On aura donc par suite
(36) pi-"(x+y®)G—=2p/-"F, pin (x — yO)E — pe",
m, m' étant deux entiers que l’on pourra réduire, le premier au plus
petit des nombres
TON É
398 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
le second au plus petit des nombres
à, g,
afin que chacun des exposants
À—m, f—m, 1—m, g—m
soit nul ou positif.
Avant d'aller plus loin, nous ferons une observation importante. Les
formules (33), comme toutes celles d'où elles sont déduites, et par
suite les formules (36), offrent chacune deux membres représentés,
par des fonctions entières de £ qui sont identiquement les mêmes,
quand on réduit l’exposant de chaque puissance de 5 à l’un des en-
tiers
ou qui du moins peuvent alors être transformés l’un dans l’autre à l’aide
de la seule équation
Qt D PA Pie PU de ed: = +
Donc, après les réductions dont il s’agit, la différence entre les deux
membres de chacune des formules (36) sera le produit d’un nombre
entier par le polynome
(39) Gt D 0 DA DIM, LES pe
D'ailleurs, réduire, dans une fonction entière de 2, l'exposant de chaque
puissance de 2 à l’un des nombres
0, ls D vie Me
ou, ce qui revient au même, remplacer
07, ne. pr ee par ER À
1 +4 1 3 1
ha * 0 n+ à _p n+ ; Évr par p;
n+2 2n+?2 37n+2 2
0 ET RUE MU T SN OPE Le par D”,
s SR PR Te OL RE ;
pr, Re Ces par ps
NOTE XITI. 399
c’est ajouter aux divers termes de la progression arithmétique
3 1 3 2
2" our, pere, TEA ps a, a it ti pen, p n+ : p n+ à
les différences
L pr, HS pat p? — pure, ERP
"HR ne, 0 Eire D p? — et À rs
3 3 2
pe px, p PES per, p°— are RAS
respectivement égales aux produits
ED, p(i— pt), pr p"}, .…..s
Ep, p(i1— p?#), p*(1— p°*), Aa
E—pr, pren"), nt er), ar
qui tous ont pour facteur le binome
I—p—(1—p)(i+p+pt+...+ pt),
et par conséquent le polynome (35). Done, en définitive, dans chacune
des formules (36), la différence entre les deux membres sera toujours
une fonction entière de 2, Qui, avant réduction, aura pour facteur le
polynome ;
Ma.
a D où le ve OU ve Mr FR
i
Donc, si dans ces formules on remplace la racine primitive pe de
l'équation
Pet
ar une racine primitive r de l’équivalence
P
a= I (mod p),
les deux membres de chacune d'elles offriront pour différence une
fonction entière de 7 qui aura pour facteur le polynome
rt:
LOS A A des En ma et — 0 (mod, p);
FA
et comme dans cette différence les coefficients des diverses puissances
de r seront des entiers, elle devra, ainsi que le polynome
LR UE Tr LP,
400 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
être équivalente à zéro, suivant le module p. Done, si l’on nomme
0, #, Ç
ce que deviennent
D, +05
quand on y remplace 2 par r, les formules (36) entraineront les sui-
vantes
(38) p-"(r+yd)G=2pf-"$, pi-m(x— yo)f = 2p£8—"G (mod.p),
dans lesquelles on devra, eu égard à l’équation (2), supposer
(39) d=rh+Hy RE, rh pe, (mod.p).
D'autre part, l'équation (26) pouvant s’écrire comme il suit
CPU + pl + — ph ph. —— n,
on tirera de cette équation, en y remplaçant o par r,
(rh, ré rh, J=—n (mod. p},
ou, ce qui revient au même,
(40) d=—n (mod. p).
Donc le nombre entier à sera premier à p; comme, dans l'équation (29),
les quantités x, y ne sont, ni l’une ni l’autre, divisibles par p, on
pourra en dire autant de la somme 2n et de la différence 2yè des
deux binomes
æ + yd, æ— yd.
Donc de ces deux binomes l’un au moins sera premier à p. Concevons,
pour fixer les idées, que ce soit lé second æ — yà qui remplisse cette
condition. Comme, en vertu des principes exposés dans la Note V
(p+ 196 et suiv.), les deux quantités f, G seront elles-mêmes pre-
mières à p, 1l est clair que, dans les deux membres de la seconde des
formules (38), les exposants de p, savoir
À—m, g—m'
ne pourront s'évanouir l’un sans l’autre. Or, c’est précisément ce qui
NOTE XIII. 401
arriverait si, les nombres À, g étant inégaux, on prenait le plus petit
pour valeur de #1. Donc, lorsque æ — yè est premier à p, la première
des formules (38) entraine la condition
DER
Mais alors, en posant, dans la première des formules (38),
Hire,
on en conclut
_f—g—=o ou : f—g>o,
suivant que le binome
æ + yÔ
est ou n’est pas supposé premier à p. Donc, si le binome
æ — yÙ
est premier à p, les formules (38) entraineront la condition
les.
Pareillement si le binome
> æ+ YyÔ
était premier à p, les formules (38) entraineraient la condition
RS SE
| 4
Ainsi, dans tous les cas, À devra se réduire au plus petit des deux
nombres
J 55
et comme, en vertu des formules (28), (34), on aura
(1) = [+ g— 21,
ilest clair que w devra se réduire à celle des deux différences
e Fêrr 8
qui sera positive, par conséquent à la valeur numérique de la différence
OEuvres de C. — S, 1, t. I. DI
402 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
f — g. Au reste, cette différence elle-même peut être, dans tous les cas,
facilement déterminée comme il suit :
Posons pour abréger
(42) PRasRer en. Cm Rs Rey
ou, ce qui revient au même,
0:06}... 0207...
3 pi à. DREAM
(43) A: TÉ TRES
On en conclura, eu égard aux formules (7) et(30),
P l 6,:0,,...
ae LS a DE
(44) D OR.
OU. *
(45) PQ — p*.
D'ailleurs, en vertu des théorèmes 3 et 4 de la Note IX, on trouvera :
1° en supposant z de la forme 8x + 7,
LE Pr PA ere # 0, 0:.:.—= 0:00, = 73;
2° en supposant x de la forme 8x + 3,
6,,0.:...—0;:0:.. 1 0,0, :—010 1:
3° en supposant À divisible par 4 ou par 8.
On Gin. = 0: Our...
Donc les formules (43) et (44) donneront : 1° si x est de la forme
EX + 7,
P |
/, | PTE P.#f — _e
(46) PE QE, He
2° si nest de la forme 8x + 3,
l J' P 15
pa Lure ue Spa
(47) ; k re J 6 L” ER |
3° si » est divisible par 4 ou par 8,
(48) | GK
D
NOTE XIITI. k03
Concevons maintenant que, parmi les entiers premiers à 7, mais infé-
rieurs à = ñ, on distingue ceux qui appartiennent au groupe
LAURE LS | APRES
et dont le nombre sera désigné par ?, les autres, dont le nombre sera
désigné par 7, formant une partie du groupe
k, k!, k',
On aura évidemment
site 1 NN
(49) PR Te
et, par des raisonnements semblables à ceux dont nous avons fait
usage pour établir les formules (32), on trouvera, eu égard à l’équa-
tion (45),
(50) . P—pitr Op
U, V, désignant des produits composés de facteurs de la forme
R;r,
dans chacun desquels on pourra supposer les indices /, l’ tous deux
inférieurs à », et leur somme /+/ renfermée entre les limites », 2n.
Or, les formules (32) et (5o) donneront
(51) ROIS RE EVA
| Fe À PV
D'autre part, si l’on désigne par
L25
comme dans la Note précédente, une quantité qui acquière la valeur
— 1] ou I ou 0,
suivant qu'on aura
2 3
É ——} ou =] er: ou n = 0 (mod.2),
n LL) :
40% MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
les formules (46), (47), (48) donneront |
RER
(52) Q a * EM
la valeur de € étant
(53) E — 2 — 12.
Cela posé, les formules (51) et (52) donneront
2€ 2
p° 8) Éa == LL 4
€
LE V: )
ou, ce qui revient au même,
(54) pEg-e) FEV? pi-i G?EU?;
et par suite ;
(55) p°{-e)-m 2e V2 — pi-j-m (2e U?,
m étant un nombre entier quelconque.
Imaginons maintenant qu’on remplace 5 par 7 dans les deux mem-
bres de la formule (55), et soient
>
ce que deviennent alors U, V. Les quantités ©, © seront non seulement
entières, mais premières à p aussi bien que #, G; et de même que les
équations (33) entraînent les formules (38), de même la formule (55)
entraînera la suivante :
(56) pef-e)-m fete pi-i-mGO! (mod.p).
Or, dans la formule (56), comme dans chacune des formules (38), les
deux exposants de p ne peuvent s’évanouir l’un sans l’autre ; et, puis-
qu'on peut réduire l'un d'eux à zéro, en prenant pour 7» le plus petit
des nombres
AE Mere. Ü— 7,
il faudra que ces deux nombres soient égaux et qu'on ait
(27) ne NO À À
FTP CN NE PS
NOTE XIII. 405
par conséquent
D'ailleurs e, toujours positif, se réduit à
1-4 ou 2,
suivant que z est de la forme
4x+3, 4x +1 ou 4x,
et, en vertu de ce qui a été dit dans la Note précédente, la différence
1—7, quand elle ne s'évanouit pas, est toujours positive. Donc, la dif-
férence f— g ne pourra jamais devenir négative, et l'équation (41)
donnera toujours
: ne
(59) ot pe 2;
_
En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :
Théorème. — Le degré » de l'équation binome
ed
dont p désigne une racine hote, et la somme alternée
D = p# + ph ph — pr pl pt,
étant supposés tels qu'on ait
D? = — n;
. . \ . . su FRE |
si les exposants de 2 premiers à », mais inférieurs à ; se trouvent en
nombre égal à z dans le groupe
et en nombre égal à ; dans le groupe
ER
on pourra satisfaire, par des valeurs entières de +, y, à l'équation
hp#= x?+ ny?,
406 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
pourvu qu'on prenne
es
quand » sera de la forme 8x + 7;
quand », sans être égal à 4, sera divisible par 4 ou par 8. Sin se rédui-
sait à l’un des nombres 35, 4, alors (en vertu de ce qui a été dit dans la
Note IV) on aurait simplement
B—1I. s
Pour vérifier l'exactitude du théorème qui précède, dans le cas par-
ticulier où l’on prend pour x un des nombres 5, 4, il suffit d'observer
que l'équation
kp=x +ny?,
réduite alors à la forme
&p=x +3},
ou à la forme
2
4p =2°+4y? ou p=(ze) + ÿ?,
coincidera, pour x —3, avec la formule (110) de la page 163, quand
on posera æ = A, y —B, et pour # — 4, avec la formule (93) de la
page 153, quand on posera æ —2A, y — B.
Si, dans le théorème qui précède, nous n'avons pas fait une mention
spéciale du cas où l’on aurait
| rem. À D?=—— 8, D = p + pÿ— p5— p7,
et où la condition (10) cesserait d’être vérifiée, c’est qu’en vertu des
principes établis dans la Note IT on peut encore, dans ce cas, résoudre
en nombres entiers l'équation (29), en prenant & — 1, et que cette
NOTE XIII. #07
dernière valeur de & est comprise dans la formule
En effet, dans le cas dont il s’agit, l'équation (29) réduite à
4p= ax? + 87},
ou, ce qui revient au même, à
PR (2)+ 2)
coincide avec la formule (103) de la page 159, quand on pose
Ne. d -2À, x= D:
et, comme alors aussi l’on trouve
on en conclut
Il nous reste à indiquer une méthode à l’aide de laquelle on peut
faciliter le calcul des valeurs de x, y qui sont propres à résoudre
l'équation (1).
L'exposant & étant supposé plus grand que zéro, ainsi que € — 7, la
différence / —g sera elle-même supérieure à zéro, et, en vertu des
équations
AS, . e(f—g)=i—J,
les formules (38), (56) pourront être réduites aux suivantes :
(
(60) T+yYÔ=0, æ—yè=21 (mod.p),
5)
4 G\2Æ _/Ÿ)\?
(61) (4) = (5) (mod. p).
Or, les formules (6o) donneront
(62) æ=—yÔ= (mod. p),
AIS
L08 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et ilest clair que cette dernière équation fournira immédiatement le
reste de la division de æ et de y par p, ce qui facilitera le caleul des
valeurs de x, y et suffira même à la détermination de ces valeurs, dans
tous les cas où elles devront être, abstraction faite des signes, infé-
. s s g . . d'A x
rieures à - p. Quant à la détermination des quantités #, G, ou ©, Ÿ, elle
s'effectuera sans difäculté. En effet, en vertu des principes établis dans
la Note V (p. 196 et suivantes), pour déduire # de F, et G de G, il suf-
fira de remplacer p par r, dans les divers facteurs de F et de G, ou, ce
qui revient au même, de remplacer chaque facteur de la forme
| R,,
par une quantité entière équivalente, au signe près, à
_ Uoyn-rs
la valeur de Il, ; étant donnée par la formule
(63) be 1.2.3...(1+ 5
1.2.3...10.1.2.3...0©
La formule (62) n’est pas applicable aux cas où » se réduit à lun
des nombres 3, 4, 8 et doit alors être remplacée par celles que nous
allons indiquer.
Les valeurs de P, Q, fournies par les équations (42), sont évidem-
ment, ainsi que [, J, des fonctions symétriques, d’une part, des racines
primitives
pe. De pers
et, d'autre part, des racines primitives
DPI ps Re
Donc la somme P+Q sera, comme [+ J, une fonction symétrique
des diverses racines primitives de l'équation (x), et la différence P — Q
sera, comme [ — J, une fonction alternée de ces mêmes racines; d’où
il résulte qu'on pourra aux équations (8) joindre encore celles-ci
(64) P+Q—A, P—Q—5#0,
L
NOTE XIII. 409
À, 3 désignant des quantités entières. Cela posé on tirera, des for-
mules (45) et (64),
2P—A+5®, 2Q—24—5#®,
4PQ = 24? — #:®?,
N
Ap?= A — #20;
et par suite, si la condition
est vérifiée, on trouvera
(65) : hp=#+ n8,
Or si l’on substitue l'équation (65) et les formules (50) à l'équation (20)
et aux formules (32), alors, par des raisonnements semblables à ceux
dont nous nous sommes servis pour établir le théorème énoncé plus
haut et la formule (62), on prouvera qu'on peut satisfaire à l'équation
en posant généralement
B=i—)
et prenant, pour æ, y, certains nombres entiers qui vérifieront la
condition
(66) Z=— y = (mod. p).
Considérons en particulier le cas où l’on à # — 3. On trouvera, dans
ce Cas,
à mt à l'És ee 2 eh CR emet EN
et par suite on pourra prendre
© = 0, V=—-H
OEuvres de C. — S. TI, t. II. 5)
ee)
k10 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Donc, p étant un nombre premier de la forme 3x + 1, on pourra tou-
jours satisfaire à l’équation
(67) kp=x+37y,
en prenant pour æ, y des nombres entiers qui vérifient la condition
æ=—yo=—I]..
Il'importe d'observer que, dans cette dernière formule, la valeur de
II, , sera
1.4:9..20- (GO #7...19
Li T —
RSA) 1,25 0
2
la valeur de & étant
et que d’ailleurs on aura
Ô=r—r?,
r étant une racine primitive de l’équivalence
Li= 1] (mod. p);
par conséquent
r ={9 (mod. p),
t'étant une racine primitive de l’équivalence
æPrl=1 (mod. p).
Cela posé, en ayant égard à la formule
d2= — 3,
de laquelle on tire
Fr 0
+
on trouvera
(68) = — Il, ;, 7=— 31,0 (mod. p).
D'autre part, comme on aura, en vertu de l’équation (67),
4p
PSP: 7 RE
les valeurs numériques de +, y seront respectivement inférieures aux
NOTE XIII. h11
nombres
. . Fe EE | £
dont le second au moins restera inférieur à = p, pour une valeur de p
égale ou supérieure à 7 ; le premier remplissant lui-même cette condi-
tion dès qu'on supposera p supérieur à 16, par conséquent à 7 et
à 13. Donc les formules (68), ou au moins la seconde d’entre elles,
fourniront immédiatement la résolution en nombres entiers de l’équa-
tion (67). On trouvera, par exemple, pour p = 7,
bete /.
P —1 | AR à
3 à 1,4
et comme 3 étant une racine primitive de l’équivalence
xi=1 (mod.7),
on pourra prendre
r=3— 0 (mod.7);
par conséquent
les formules (68) donneront
æ=—6—=1, p=k=—3 (mod.7).
On a effectivement
her ri 3.8,
Prenons encore p — 13. On trouvera
5.6.7.8
DE, RE ET = 70;
et comme 3 étant une racine primitive de l’équivalence
Lt=1 (mod. 13),
on pourra prendre
r=3t= 3, d=r—1r =3—9—=—6 (mod. 13),
les formules (68) donneront
LE — 70 = — D, Y =10 =— 3 (mod.13).
—
12 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
On a effectivement
4.7 = 5?+ 3.3.
La valeur numérique de x remplit déjà, comme on le voit, pour les
‘ “ui For . nr RE
valeurs 7 et 13 du nombre p, la condition d'êtreinférieure à =p. Donc,
d'après ce qui a été dit ci-dessus, cette condition sera toujours rem-
plie et, pour résoudre en nombres entiers l'équation (67), il suffira,
dans tous les cas, de recourir à la première des équations (68). On
trouvera, par exemple, pour p = 19,
3 8. 9.10.11.12
56. I, = 2 2 1.3.6 =7.11.12=12 (mod. 19),
TE=I2=—7 (mod. 19),
L—=—7
On a effectivement
Dans les exemples précédents, la valeur de y est constamment divi-
sible par 3. On peut démontrer qu'il en sera toujours ainsi (voir les
numéros des Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences, pour
l’année 1840).
Les formules (68), jointes à la remarque que nous venons de faire,
comprennent l’un des théorèmes énoncés par M. Jacobi en 1827, dans
un Mémoire qui a pour titre De residuis cubicis commentatio numerosa
(voir le Journal de M. Crelle, de 1827).
Au reste, après avoir résolu l'équation (67) à l’aide des formules (68),
on pourra toujours obtenir immédiatement deux autres solutions de la
même équation, en ayant recours à la formule
2 DANS
kp=zxt+3y= (=) +3(27)
On trouvera par exemple
NN 11 +39 EPS verre,
h19=9+3.8= 750 an os,
CR
NOTE XIII.
#43
Considérons maintenant le cas où l’on a 2 — 4. On trouvera dans ce
Cas
MR rap
fer mnt ÉTÉ, ÉAEO:
PR-RS Q=R;,:,
LR LS | PE
et, par suite, on pourra prendre
4 Enr R Ÿ—— II, ..
i—j=1,
Donc, p étant un nombre premier de la forme 4x + 1, on pourra tou-
jours satisfaire à l'équation
(69) kp=x+k4y.
en prenant pour +, y des nombres entiers qui vérifient la condition
æ=—y0=— Il, ..
Dans cette dernière formule, la valeur de IT, , sera
8:20: : (4 1)::.38
IL, ,— =
na. dr Éd.
la valeur de & étant
HR
D = ——— )
4
et l’on aura d’ailleurs
d—r— r3,
r étant une racine primitive de l’équation
&'=1 (mod. p),
en sorte qu'on pourra prendre
FE,
u
{étant ce qu'on nomme une racine primitive du nombre p, c'est-à-dire
une racine primitive de l'équation
æP-l= 1 (mod. p).
h1% MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Cela posé, en ayant égard à la formule
=—/ (mod. p),
de laquelle on tire
on trouvera
1
(70) æ=—II,;, Y=— 7h90 (mod. p).
D'ailleurs, pour que l'équation (69) soit vérifiée, il est nécessaire que
æ soit un nombre pair; et alors, en écrivant 2x au lieu de æ, dans cette
même équation, on obtient la suivante
(71) P=L +7,
à laquelle on devra satisfaire par des valeurs de +, y propres à vérifier
les formules
(72) =— IL, = ; IL, à.
D'autre part, comme, en vertu de l'équation (71), les quantités x, y
devront offrir des carrés inférieurs à p, et des valeurs numériques
|
inférieures à p, par conséquent à
1
attendu que p, au moins égal à 5, vérifiera la condition p° > 2; il est
clair qu’à l’aide des formules (72), ou seulement de la première de ces
formules, on pourra déterminer complètement les valeurs entières de
æ, y qui vérifieront la formule (11). On trouvera par exemple, pour
;
p=5,
On a en effet
NOTE XIII. 415
Prenons encore p — 13, on trouvera
Le
Der à + Pme te 3; — 20 (mod.13),
[— 2 —
LT=—I0 = (mod. 13),
Rs à
On a en effet
13 px RES 22,
Prenons encore p = 17; on trouvera
DR
Der à A Mu er op ee = 2 (mod. 17),
PR (mod. 17),
TE I,
On a en effet
179—=1+ 4°,
Prenons enfin p — 29. On trouvera
G.9: 104 11414,28 14
D — 7; | APE = à
à ES De
/
D'ailleurs, il ne sera pas nécessaire de calculer la valeur exacte de 1148
et l’on pourra se borner à déterminer, par l’une des méthodes exposées
dans la Note V, une quantité équivalente à IT, ,, suivant le module 29.
Cette quantité sera immédiatement fournie par le tableau de la
page 209, et se réduira au nombre 10, renfermé dans les deux colonnes
horizontale et verticale dont les premières cases offrent le nombre 7.
On aura donc
H,,=10 (mod.29),
,
= — ÿ (mod. 29),
LT ——5
On trouve en effet
29 = 9? + 22,
La première des formules (73) fournit précisément le beau théorème
énoncé par M. Gauss, et relatif à la résolution de l'équation (71) en
nombres entiers.
Il est bon d'observer que, dans le cas où l’on suppose, comme on
vient de le faire,
P=&4S +1,
#16 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
l'équation connue
donne
(1.2:9,..2w) = —1:;
A
Donc alors on vérifie la formule me
: d = — 4,
en prenant
0=3(1.2,3. 208
et la seconde des formules (72) peut être réduite à
Ainsi, par exemple, on trouvera, pour p — 5,
Y=—IL,=— 2 (mod.5),
par conséquent
= —2;
pour p — 13,
Y=—3.4.5...60,,=418 , = 80 = 2 (mod.13),
dr À
Considérons maintenant le cas où l’on a n — 8,
D = p + pi— ps — p7.
Dans ce cas, on ne peut plus se servir ni de la formule (61), ni de la
formule (66). Mais les équations (7) donnent
1=60,06,—= R, :9,, 3-0,06.7 R;,:0,,
et les coefficients de ©, dans ces formules, savoir :
R;,s R;,7,
représentent des fonctions symétriques des racines primitives
Par suite, la somme
NOTE XHIL WA7
et la différence
R, ; — KR;
seront de la forme
Ris + R;:,:— A, R3— R;,7— BE,
A, B désignant des quantités entières ; et, comme on aura d'autre part
on trouvera définitivement
kp = At— B?@®*;
puis, en ayant égard à la formule
on en conclura
kp= A?+8B*.
Dans cette dernière équation, À sera nécessairement pair, et en posant
And By,
on la verra se réduire à
(73) MR Sd
Ajoutons que, si l’on remplace 9 par r dans les deux formules
Ris + Rs 22, Ri: — R:,: = 7Y7®,
on devra y remplacer @ par 2; et comme alors R,,, se trouvera remplacé
par zéro, et R;,; par
on aura définitivement
de laquelle on tire
CEuvres de C.— S. 1, t. WI. d3
418 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
on trouvera
(74) =— Il, y=— 311,0 (mod. p),
la valeur de IT, , étant donnée par l’équation
,3 P
2,3: 4m __ (35 +1)...4w
(1.2..:0)(695 28) AR SE TE RU
Hs
et la valeur de & étant
Quant à la valeur de à, elle sera
d=r+ri—rs— y (mod. p)
r étant une racine primitive de l’équivalence
L' =! (inod. p)
en sorte qu'on pourra prendre
r=t9 (mod. p),
étant une racine primitive de l’équivalence
æPl= I] (mod. p).
Les formules (74) suffiront à la détermination complète des valeurs
de +, y qui vérifieront l'équation (73), attendu que ces valeurs devront
être, l’une et l’autre, inférieures, abstraction faite des signes, à p’, et à
# 4 I A k / 4
plus forte raison à - p. On pourra même se borner à déterminer la valeur
de æ, à l’aide de la première des formules (74). On trouvera, par
( 7
exemple, pour p = 17,
7.8
D =— 2, IL ,> 4— =,
[1.2
x =—14 = 3 (mod. 17),
dre À
On aura effectivement
NOTE XIII. 419
On trouvera pareïllement, pour p —41,
des LÀ Pen TR 15 17.819 = — 6 (mod.41),
x =—3 (mod. 41),
x = — 3.
On a effectivement |
ki 3° + 2.4,
CRC MON SN IR RTE Eu
La première des formules (74) fournit un théorème donné par
M. Jacobi, en 1838, dans les Comptes rendus des séances de l'Académie
de Berlin.
Revenons maintenant au cas général où x désigne un entier qui
vérifie la condition
®?=— n,
sans toutefois se réduire à l’un des trois nombres
Alors les valeurs entières de +, y, propres à résoudre l'équation
4p#= a+ n}?,
vérifieront la formule (62) ; et, comme on aura d’ailleurs
d—=—n (mod.p),
par conséquent
1 Ô
Fe (mod.p}),
on trouvera
< EF ne
(79) “air À ar | (mod. p).
Avant d'aller plus loin, il est bon d'observer que, dans la formule
&p#= x + ny?,
le second membre devra être pair tout comme le premier, et qu’en
conséquence les deux termes
420 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
seront tous deux pairs ou tous deux impairs. Donc, si » estimpair, les
deux carrés
FAR. ie
seront en même temps pairs ou impairs. D'ailleurs, si les carrés æ?, y?
sont tous deux impairs, chacun, divisé par 8, donnera 1 pour reste, et
par suite la formule
donnera
1+n=4ph=4 (mod.8),
ou, Ce qui revient au même,
(76) n = 3 (mod.8).
Donc, si 7, supposé impair, et de la forme 4x + 3 afin qu'on ait
®°— —n, ne vérifie pas la condition (76), c’est-à-dire, en d’autres
termes, si l’on a
(77) n=7 (mod.8),
L] *
æ?, y* seront pairs l’un et l’autre. Alors, en écrivant 2x au lieu de x, et
2y au lieu de y, on obtiendra, au lieu de l’équation (29), la suivante
(78) p= a+ ny,
à laquelle on satisfera par des valeurs entières de æ, y, qui vérifieront
les conditions
Ô
3, nes . (mod. p).
I
(79) ee"
Enfin, si z est un nombre pair, divisible par 4 ou par 8. il est clair
que, dans l'équation
hph= 2x + ny,
æ lui-même devra être pair. Alors, en écrivant 2+ au lieu de +, on verra
cette équation se réduire à la suivante
j ni
(80) pPP=r+ sy,
4
et l’on pourra satisfaire à cette dernière par des valeurs entières
NOTE XIII. 421
de +, y, qui vérifieront les conditions
(mod.p).
(81)
Pour montrer quelques applications des formules qui précèdent,
prenons d’abord pour » les nombres premiers qui, étant de la forme
4x +53, et supérieurs à 3, restent inférieurs à 100. Parmi ces nombres
premiers, les uns, savoir
43, 59, 67, 83,
IT, 19;
seront de la forme 8x + 3, les autres, savoir
AB 0 "T1, 70
seront de la forme 8x + 7; et pour chacun d'eux, on obtiendra facile-
ment les valeurs des résidus quadratiques
AT ARE M LÉSUE
n—1,
en cherchant, dans les Tables construites par M. Jacobi, ceux des
nombres
FOOT
qui offrent des indices pairs suivant le module 2. Ainsi, par exemple,
comme, pour 2 = 7, les indices des nombres
do rs 6
1,
sont dans ces mêmes Tables
Cr OSEE RME PET VRbRe HUE
on trouvera, pour x —7,
hat ha het
SÉPARER pop pe
En opérant de la même manière pour les diverses valeurs de 7, on
inférieures ou supérieures
reconnaitra que les quantités 2, k', k”,.
, nn - . op: . .
à = le nombre zou j des unes ou des autres, et la différence t — j sont
422 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
respectivement, pour
1, 2, 3, 4,6, 8,9
12,13, 16,18
É ,
1,2, 4, 5, / 8,9; 10, 14;
16, 18, 19, 20, 2), 28
1,4:6, 0/10, 10613, 14,19, 10,17,91,
\
(
n=13 L ;
23, 24, 25, 31, 35, 36, 38, 40, 41
|
| 24, 25, 27, 28, 32, 34, 36, 37, 42
|
|
|
|
1, 3 By 0570 12,19; 10,19
35, 36, 41, 45, 46, 48, to he 53, 57
36, 37, 38, 4o, 43, 45, 48, 49, 50, 54, 57,
1, 2, 4, 35 8, 0, 10, 13, 13, 16, 18, 19, 20,21, 23, 23, 29, 26, 31 , 32, 36, 38,
ne 42, 44, 45, 46, 49, 50, 51, 52, 55, 62 | 64, 65, 67, 72,74, 76
1,3,4, 70,10, 11,12, 16,17, 21, 23, 25, 26, 27, 28, 20, 30, 31, 33, 36, es ho, 41,
1; 2, 3, 4, 6, 7: 8 9, 12; 14, 16, 17) 18,21,
28, 60, 64
» 19, 20, 21, 22, 25, 26, pate 29,
1, 4, 6, 9, 10, 14, 15, 16, 17, 10, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29, 33,
35, 36, 37, 39, 40, 47, 49, 54, 55, 56, 59, 60, 62, 64, 65
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8,9, 10, 12, 15, 18, 19, 20, 24, 25, 26, 27, 29, 30, âa,
4, 48 49, 81, 59, 61, 63, 64, 65, 68, 69, 70, 75, 77; 78; 8:
Donc les valeurs de
Mi j;
Sais i—j=1,
J—=I
Ed À $
F1 i—] 3,
FEU LS
es i— 7-3,
As, 6x MT
à t I—]=S
i=4 | 70
iQ RS
PER l—] =9,
to FEES
=9 | i— 7 —=3,
14 DE
179
CRE De l Fe
Ferre ( FIST
i—18 = :
F1 | Je
ts l i— ji
Ve h |
rap 7] =,
A7
19) ; ie
Je 16 TIR
qui permettront toujours de résoudre en nombres entiers l’équation
seront respectivement :
Pour
et les valeurs de
pb= a+ ny,
DT EE À LA
RS PER. ?
FR
p= +,
qui permettront toujours de résoudre en nombres entiers l’équation
kpb= x?+ ny,
NOTE XII. 423
seront respectivement :
Pour MAIS OS NS 0 07, 93,
RARE RAT PURE MORE NO à
De plus, on aura, pour nr — 7,
ES __.,. 6.8; 0;0,
1—06,0,6, — 6, ’ J — 0,0;,0,—p O,, ?
ou, ce qui revient au même,
l=pRia= pp J=pRi,s,
6,5 Ê
—
f=2, & —1I; J—g—=i- TL =p.
et par suite, on pourra prendre
21, G—=—IL,
Donc, en vertu des formules (79), on pourra satisfaire à l'équation
(82) RATS,
par des valeurs en libres de æ, y, qui vérifieront les conditions
1 Ô
(83) æ=—-IL;, SET le (mod. p),
L4
la valeur de IT,,, étant donnée par la formule
h | LAS O0 J'en;
(ÉD) (LA... 20) CR PR
dans laquelle on aura
PE I
D —
?
a
et la valeur de © par la formule
à an D NES Tr? ris Fe PES À rs;
dans laquelle r sera une racine primitive de l'équation
= 1 (mod. p),
h24 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
en sorte qu'on pourra supposer
A je
Létant une racine de p, c’est-à-dire une racine primitive de l’équiva-
lence y
xPrl= 1 (mod. p).
On trouvera, par exemple, pour p = 29,
Ne PT FOR R Q.10.11.12
(3 pue Mu — - - mets - —0.9.11= 2 mod. 2
&, Ma (1:23. (1:2.3::.0) L, 35920 9 (00:29
T=—I (mod. 29),
L—=—I
On a en effet
Au reste, la quantité 2, qui, dans cet exemple, est équivalente à IF, .,
suivant le module 20, se trouve immédiatement fournie par le tableau
de la page 209, et se réduit, comme on devait s'y attendre, à celle que
renferment à la fois les deux colonnes horizontale et verticale dont les
premières cases contiennent les deux nombres
D #4 25 — 8.
M. Jacobi, dans son Mémoire de 1827, avait déjà indiqué Îles for-
mules (83) comme pouvant servir à la résolution de l'équation (82).
Pour arriver à ces formules et à d’autres semblables, 11 avait suivi une
marche analogue à celle par laquelle M. Gauss lui-même a établi la
première des formules (32), et il avait eu recours, nous a-t-il dit, à
des considérations qui ne diffèrent pas de celles que j'ai exposées dans
le Bulletin des Sciences de 1829, c'est-à-dire à la considération des
fonctions ci-dessus désignées par @,, @;, @,, ....
Si, au lieu de supposer » — 7, on prend successivement pour z les
nombres premiers
FEV. QT 07:
pour lesquels on à aussi u — 1, il suffira de recourir aux formules (75),
NOTE XII. h25
ou du moins à la seconde d’entre elles, pour déterminer complètement
les valeurs de +, y propres à vérifier l’équation
kp=x+ny?.
D'ai |
ailleurs, on trouvera, pour 7 = 11.
Le Rhiniss Se Es Ris, Risses,s Risssssse,
PP AR 5) > .
bus R0,8,7,6,2 = — R:0,8 Ro+s,7 R0+8+7,6 Rio+8+7+6,2 ;
par conséquent
hs:
1=pRis Rss = pe —,
PEU, “+ ti D RSR.
J=pR,s sR; Rs = pos Ris,
Fe Re
ARLES :
ES £& —2, f—g=i= Ep,
F= Rss GZ Rio,s R,7,
et l’on pourra prendre
æ j
S—— IL ;, ( = KI,
4,4
Donc, en vertu des formules (35), lorsque p divisé par 11 donnera
pour reste l'unité, on pourra satisfaire à l’équation
81) kp =x'+117y?
vx
par des valeurs de x, y propres à vérifier les conditions
A nm Nr Go,
—— a ———— , = s
En sas.
EL y TI IL 4
les valeurs de IT, ,, IE,,, IL, étant données par les formules
_ (35ü+:)...40 __(45& +1)...8® (6© +1)...8w
IL Re IL, — Éd on. BL Vos 20.
dans lesquelles on aura
OEuvres de C. — S. 1, t. WI.
Qt
=
o
426 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Si, par exemple, on suppose p — 23, on trouvera
“e __ 7.8 ‘19 0-1 MAS 16 60,10 LS 44519; 40
Der AE 1,23 00.0 Had 1:0.3.4
IL, , = 28 = 5, I,,=9.10.11.13 =—10, IL, = 13.14.10 = 3,
?
(mod.23).
x=—-=— "7? = — 9 (mod.23).
Le carré de x? devant d’ailleurs être inférieur à 4.23 = 92, on ne peut
supposer que
T0.
On pourrait opérer de la même manière pour les trois valeurs de »
représentées par
19/42: DT
Mais il est bon d'observer que chacune d'elles, divisée par 3, donne
1 pour reste. Or, quand cette condition est remplie, ou, ce qui revient
au même, quand, z étant premier, 2 — 1 est divisible par 3, on peut
ajouter, trois à trois, les nombres renfermés dans chacun des groupes
RH NE et TE WORE ARE Tee
de manière à obtenir des sommes divisibles par ». En effet, soit s une
acine primitive de l’équivalence
anTl= 1 (mod. »).
Les nombres renfermés dans le groupe
K #2
seront équivalents, suivant le module 2, aux divers termes de la pro-
gression géométrique
ESS OT TER
et les nombres renfermés dans le groupe
k, k!, k",
NOTE XIHHL. h27
aux divers termes de la progression géométrique
BONE his PT
Comme on trouvera d’ailleurs, en supposant x — 1 divisible par 3,
n—1 SNS
Ru a KT sed sut;
IHS Ÿ +s Ÿ = —0o (mod.n),
il est clair que, dans cette hypothèse, on aura
h+h+h'=0o (mod.n),
si l’on prend
n—i\
h = 5", NES 2 de "+ O :
m étant un nombre pair, et
k+k'+k!= 0 (mod. »),
si l’on prend
k=s", k'=s j k'=Ss \
m étant un nombre impair. Par suite, chacune des fonctions représen-
tées précédemment par I, J pourra être censée résulter de la multipli-
cation de divers produits de la forme |
0,6,0;,
dans chacun desquels on aura
l+l+l'=0o (mod. x).
Or, on trouvera sous cette condition
0,8,
6,9, 0, pyse 0,9,0,,;—p ae — /? R;,r,
+
[, l'pouvant être deux quelconques des trois nombres
SE RS dé
ar exemple les deux plus petits, lorsqu'on aura
P q
l+l+ ln,
123 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et les deux plus grands lorsqu'on aura
l+l+ rm — 2h.
Donc, dans l'hypothèse admise, chacune des fonctions
k:: 4
pourra être censée résulter de la multiplication de _ facteurs de la
forme
PR;
ce qui permettra de calculer facilement les valeurs de #, G.
Concevons, pour fixer les idées, qu'on ait 7? — 19. Alors, si l’on
prend s — 10, les nombres qui, étant inféricurs à 19, seront équiva-
lents, suivant le module 19, aux quantités
fs LE TRS 2NS HCASES de:
9 LA
0, 1; 2; 9) 4) »,
6, 50: SPOE SEE
AE D AS © PAS Le PRE À: A Pr
seront respectivement ceux qui se trouveront contenus dans les trois
premières lignes horizontales du tableau
POS D ME Po D PRES | À
de 1 19,7 Lang TE
Lee. RL et,
19,38; 98: :38,:210 79)
les trois nombres renfermés dans une même colonne verticale pouvant
être censés représenter trois valeurs correspondantes de £, /', l’, dont
la somme
lit |
toujours égale soit à z — 19, soit à 2n —38, se trouve placée au-dessous
NOTE XIII. k29
de ces trois nombres, dans la quatrième ligne horizontale. Donc,
n étant égal à 19, I pourra être censé résulter de la multiplication des
trois produits
0,6,,0; —pR;;, 0:0,:0,,— pR;sr, 0,0,0,—p Ri6;
et J de la multiplication des trois produits
0,005 0:13 — PRus,15 0,:0,5 053 = p Ri2,18, 0,0,,0;, — P Rs;
et l’on aura
Ri6,17 )
Rio,18 Ras,15
Rois Rins
Riçr
: l —
=, g = À; f—g—=1— =,
FE = Ris: G = Ris Ris,15;
D P° R;;: Ri6,17 R;,6 = p°
J = pPR;s,15 Rio,18 Ras = p*
en sorte qu’on pourra prendre
$—=—IL,,, G = 1; IE, 6.
Donc, en vertu des formules (75), lorsque p, divisé par 19, donnera
pour reste l’unité, on pourra satisfaire à l'équation
(87) &p= x +197";
par des valeurs entières de +, y, qui vérifieront les conditions
ie IL, IL, à E 0 IN, IL,
(88) fe Er PT 10 Ïl, (mod.p).
On peut remarquer qu'en vertu des formules (88) la quantité æ est
équivalente, au signe près, suivant le module p, au rapport
IT, Il,
LB
dont le numérateur et le dénominateur ont pour facteurs les trois
valeurs de
Il, ,
correspondant aux trois colonnes verticales du tableau (86) qui
k30 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
offrent des valeurs de £, /', L’ dont la somme est x — 19 ; chaque valeur
de
Il, ;,
devant être considérée comme facteur du numérateur ou du dénomi-
nateur, suivant qu'elle correspond à une colonne verticale de rang
impair, ou de rang pair. Or, il est facile de prouver que cela devait
arriver ainsi. En eflet, soient Z, /', l’trois nombres renfermés dans l’une
des colonnes verticales, au bas desquelles se trouve placée la somme
n — 19. Si la colonne dont il s'agit est de rang impair, ces trois nombres
correspondront à des indices pairs, et par suite
2
P
PR E——
|
sera l’un des facteurs de I. Si, au contraire, la colonne dont il s’agit est
de rang pair, une autre colonne de rang impair, mais au bas de laquelle
on lira la somme 2n — 38, renfermera les trois nombres
n—t, n—Ù0, n—7,
et par suite
PRai,n-r
sera l’un des facteurs de I. Donc, dans le premier cas, R,_/,_ sera un
facteur de G, et — Il, 7 un facteur de G, tandis que, dans le second cas,
R,_n-r Sera un facteur de F, et —Il,, un facteur de $. On peut ajouter
qu'à toute colonne de rang impair, terminée par la somme 2n — 38,
correspondra une colonne de rang pair, terminée par la somme n= 19.
Donc, pour obtenir tous les facteurs de $ et de G, il suffira de consi-
dérer les colonnes terminées par la somme 7 = 19; et chacune de ces
colonnes fournira un facteur de la forme
= Nyr
gi.
soit au numérateur, soit au dénominateur du rapport 2 suivant qu'elle
sera de rang impair ou de rang pair.
La remarque que nous venons de faire donne le moyen d'appliquer
facilement les formules (75) aux cas où x se réduit à l’un des
NOTE XII. 431
nombres 43, 67; et d’abord, si l’on suppose r — 43, s = 28, alors,
en vertu des tables construites par M. Jacobi, les nombres inférieurs
à ñ — 1 et équivalents aux quantités
RS Me iii D
c'est-à-dire les nombres correspondant aux indices
GE RE SE ER SE AO QT ME EE TX, 18,
os 10 10 UT 18,7 10-29 97 29 al '4% 29 A6: 27,
5 M MN 01. 10-84 ‘M b5. 36, JU AO, «tt;
seront ceux que renferment les trois premières lignes horizontales du
tableau
HO OPUS 14, 9. 01r, 7, ; 44, PT ADS 90 2h
DD 11, 2, dl 00, 29, 43. 19, 34 at, ao. 38, : 32,
PNR D 19 0.18, 51 8, 9, 2, 4 26, do à, 13, 20,
63, 86, 43, 43, 86, 43, 43, 86, 43, 86, 86, 43, 86,. 86,
les trois nombres renfermés dans une même colonne verticale pouvant
être censés représenter trois valeurs correspondantes de
L, r, l,
dont la somme x — 43, ou 2n -- 86 se trouve placée, dans la quatrième
ligne horizontale, au-dessous de ces trois nombres. Cela posé, les
»“
valeurs de
Il, 7,
correspondant à des colonnes terminées inférieurement par la
somme 43, seront
IL, ;, IL6,16; IL :s, IL; 4, IL 11, IL, 5, IL, 12
et parmi ces valeurs, quatre, savoir
IL 5, IL,6,16; IF, 11, I, ,:5,
correspondront à la première, à la troisième, à la septième, à la neu-
vième colonne verticale, c’est-à-dire à des colonnes verticales de rang
132 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
impair, tandis que les trois autres, savoir
LLERTE IL; s, I, 2,
correspondront à la quatrième, à la sixième, à la douzième colonne
verticale, c’est-à-dire à des colonnes verticales de rang pair. Donc, en
vertu de ce qui a été dit ci-dessus, si le nombre premier p, divisé
par 43, donne pour reste l’unité, on pourra satisfaire à l'équation
(90) &p=2 +43}
par des valeurs entières de æ, y qui vérifieront les conditions
UE, 610,16 9 11 OL, 15
TT = —
LL, ,° I, , IL ,.
! s ra mod.p).
(99 | M PU RP
à DES : AE M |
Supposons, en second lieu, nr — 67, s — n. Alors, au lieu du
tableau (89), on obtiendra le suivant
1, 19, 10, 53, 33, 61, 6a,::9.0105 408 :86,.804 20) Postes M0) LD : 41, 23, 8
| 20, 23, 22, :63, 19, 927, 96, 3, 2h, 00,130, 06,00, 07, 14, 08 0:09, 00, 50, 64, 54
(92) 1 37, 42, a 18, 1), 46, 16, 58, 26, 44, 59, 38, 54, 4, 4, 48, 40, 11, 65, 43, 47, 28,
Le 67, 67, 134, 67, 134, 134, 67, 67, 67, 134, 134, 134, 134, 67, 134, 67, 67, 134, 134, 134, 65.
Or, les valeurs de IT; correspondant aux colonnes verticales qui,
dans ce tableau, se trouvent terminées inférieurement par la somme
n— 067, sont respectivement, pour les colonnes de rang impair,
IL, o, IL,6,; IL;;,10, IL,;23, H,,,;, IL; 21,
et pour les colonnes de rang pair
[LFERFS IL, ;, IL; 0; IL; :;, IL 8.
Donc, si le nombre premier p, divisé par 67, donne pour reste l'unité,
on pourra satisfaire à l'équation
(93) kp=24+#+ 0679?
‘NOTE XII. 33
par des valeurs entières de #, y qui vérifieront les conditions
| ÎLE, 9 16,22 5,19 3, ÎLE, 14
) LUPENES LEE LERTS 1 PPTE L AET
| STE à ÎLE, 29 0,29 15,10 5.9, LL, 1, I 0:
Nr: 0 LUPERES LANCE I PETS L'ERTE I PRTS
(mod.p).
Si maintenant on prend pour x, non plus un nombre premier, mais
un nombre composé, pour lequel on ait
®? = — n,
on trouvera, au-dessous de la limite 100, trois nombres de la forme
8x +3, auxquels les formules (75) seront applicables, savoir les trois
nombres
39 — 3.7, DST, LÉ PS
et cinq nombres de la forme 8x + 7, auxquels les formules (39) seront
applicables, savoir
it 08:19), SH dE, 87 = 3,19, 99 = 9.19.
Si, pour fixer les idées, on suppose x — 15 —3.5, on trouvera
de p + p?+ pi + bp — pr pli pli — pts,
1— 0, 6, 0, 6, =—R;;: Rio, Rio = pRi» R::;
Er 0,,0,,0,,0; — Ke Ris,is Riga Risristi,r — PRiuis Rio,ni,
ou, ce qui revient au même,
I J—pR;,,13 Rio: ;
ep Los ;
Rss Riou
par conséquent
Éd Fat 125, g—=!; f—g=i—]j =),
Fit, Gz Ris,13 Rio;
. e À
Lens) F; (e = NH...
Done, si le nombre premier p, divisé par 15, donne 1 pour reste, on
OEuvres de C, — S. 1, t. HI. 59
h3 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
pourra satisfaire à l'équation
(99) p= x +19 y?
par des valeurs entières de æ, y, qui vérifieront les conditions
Ô
(96) x = 2 Les v=— IL, (mod.p).
\
Or, comme en vertu de l’équation (95) les valeurs numériques de +, y
seront inférieures à p, il est clair que les formules (96), ou au moins
la seconde de ces formules, fourniront le moyen de déterminer com-
plètement les valeurs de æ, y.
Supposons, par exemple, p = 31 : on aura
».6 9.10.11.12.13.14
5 —2 IL, — —— — 3.5 ne L mo UP UT,
À RAD LE ; __ 1.2:58350 7
et
d=r+me ph ps pt pit pis pie
r étant une racine primitive de l’équivalence
| æ'5=1 (mod. 31),
ou, ce qui revient au même,
D DT, PCR | À RPM, LINE | Gen: | er e?8,
L étant racine primitive de 31. Cela posé, les tables de M. Jacobi don-
neront
010 +7 +18 + 14 — 20 —19 —9—28 =—}4 (mod.31),
et l’on tirera des formules (96)
y=—20x=—S$8 (mod,31).
Donc, puisque la valeur numérique de y devra être inférieure à p et
même à —Z-, on aura
19
Ve rh
On trouvera effectivement
31?—1?+ 15.8?
NOTE XHLT. 435
Si 2 cesse d’être impair, alors pour vérifier la condition
®?—— n,
il devra être de l’une des formes
&(4xX +1), 8(2x +1),
les facteurs impairs étant inégaux. On pourra, par exemple, prendre
ñn
pour + un des nombres
A
No ARS 17, US 00 9, 27, hi,
n
ç un des nombres
ou pour
M O0 D ht, NN 19,19, rQ A1,
» à |
c'est-à-dire qu’on pourra prendre pour » un terme quelconque de
l’une des deux suites
M 07 O0 AL, #10. 198, TA RTE
04. 40,50. 608 ,:104: 190: 136 98 0
. à 15 à . UE
Si, pour fixer les idées, on attribue successivement à + les valeurs
4
représentées par les nombres premiers
M 4h 11). 210, On, ‘ét,
on pourra déterminer facilement les valeurs des nombres
PUS Va
par conséquent celles des trois quantités
Le À ul
à l’aide des principes établis à la page 300; et l’on trouvera successi-
ment, pour valeurs de z, les nombres
pour valeurs de 7, les nombres
Dog ON 10, a,
436 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et pour valeurs de &, les nombres
2, 2, 4, 6, 2, 8.
D'ailleurs, en vertu des formules (81), on aura :
ñn em
Pour - = 5, 2 = 20,
4
z=—"I,,1lL,=+ "1: AA (mod. p)
= on atmnat- Ga PE 2 *P);
Pour = = 13, 2 — 0,
4
Li LOS LEP ONE LIPRELLERT Re ler - Se Ô
COR ao PL
ete.
En terminant cette Note, nous ferons observer que si l’on veut obtenir
directement, dans tous les cas, non plus seulement des quantités équi-
valentes aux quantités entières +, y, qui vérifient l’équation
h pére a+ ny?,
mais les valeurs mêmes de x et de y, il suffira de recourir aux équa-
tions (35), desquelles on tirera, eu égard aux formules À = £,
D]
D?= — 7,
va | G
œ + SOS ANT Etes z—y®=3%
J 4
et par conséquent
(97) z=£ … fe
97 ES AE du
Ces dernières valeurs de y pourront toujours être calculées ainsi que
les facteurs de la forme
R,,r,
compris dans F et dans G, à l’aide des principes établis dans la Note V.
On pourra d'ailleurs, si l’on veut, déduire des formules (97) les valeurs
exactes de x, y, en remplaçant dans les seconds membres le signe —
par le signe =, et la racine primitive de l'équation
M ETT
NOTE XIV. 1237
par une racine primitive r de l’équivalence
T'=1 (mod. p”)
2 . . , ,.
m étant un nombre entier assez considérable pour qu'il ne reste aucune
incertitude sur la valeur de æ ou de y. Dans le cas particulier où l’on
a — 1 OU —2, on peut déterminer complètement y, en supposant
m1. D'ailleurs, cette dernière supposition réduit les équivalences,
qui doivent remplacer les équations (97), aux formules (75).
NOTE XIV.
OBSERVATIONS RELATIVES AUX FORMES QUADRATIQUES SOUS LESQUELLES
SE PRÉSENTENT CERTAINES PUISSANCES DES NOMBRES PREMIERS, ET
RÉDUCTION DES EXPOSANTS DE CES PUISSANCES.
Soient, comme dans la Note précédente :
p un nombre premier impair ;
ñn un diviseur de p — 1 ;
h, k, 1... les entiers inférieurs à à mais premiers à n :
N le nombre des entiers 2, #, {,...:
e l’une des racines primitives de l'équation
(1) DEL,
et ;
(2) D = ph + ph + ph + — ph DE D,
une somme alternée de ces racines, les entiers À, #, 4 ... étant ainsi
partagés en deux groupes
PM ARS MURS et RUN Me vit
dont le premier sera censé comprendre l'unité. Enfin supposons que,
parmi les entiers
k38 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
. . , . Et I à Là “ "
ceux qui sont inférieurs à ; Se trouvent, en nombre égal à z, dans le
groupe k, 4’, k",...et en nombre égal à 7, dans le groupe #, #, 4, ...
Pour que le module » vérifie la condition
q
(3) G=—n
il faudra que ce module soit de l’une des formes
4x +3, 4(4x+1), 8(2x +1)
et qu’en outre les facteurs impairs de » soient inégaux. Alors, en vertu
du théorème établi dans la Note précédente, on pourra toujours satis-
faire, par des valeurs entières de æ, y, à l'équation
(4) 4ph= a+ ny",
dans laquelle on devra poser généralement
m=i—) ou U=—*. ou Hs
suivant qu’on aura
n=7 (mod.8) ou n—=3 (mod.8) ou n—=o (mod.4).
On doit toutefois observer qu’il y a deux exceptions à faire à cette
règle, et qu'on aura : 1° pour nr = 5
B=I—}—=1 au lieu de u = —#*
2° pour ñn — 4
=i—] =: au lieu de FR Bu” à
Ajoutons qu'on pourra réduire l'équation (4), si À divisé par 8
donne 7 pour reste, à la formule
(5) ph= zx'+ ny,
et, sin est divisible par 4 ou par 8, à la formule
(6) ph a+ Ty
NOTE XIV. 139
En calculant, dans la Note précédente, les valeurs de l’exposant
correspondant à des valeurs données du module x, nous avons tou-
jours obtenu des valeurs impaires de &, quand z était un nombre pre-
mier, et des valeurs paires de &, quand x était un nombre composé,
supérieur à 4. On peut affirmer qu'il en sera toujours ainsi. En effet, si
nous prenons d’abord pour 7 un nombre impair, ce nombre sera de la
forme 4x +3, et l’exposant 4 représenté par la valeur numérique de la
différence Ro
E— fs
ou par le tiers de cette valeur numérique, sera pair ou impair avec elle,
suivant que la somme
er N
PAT
sera elle-même paire ou impaire. Comme on aura d’ailleurs, si r est
un nombre premier,
NN
et, si r est le produit de plusieurs nombres premiers impairs v, v',...,
N—(v—1)(v—1)...:
li Parts
il est clair que y sera impair avec » si 2 est un nombre premier
2
de la forme 4x + 3, et pair avec le rapport
(y —1)(v— 1)...
2
)
si » est un nombre composé de la même forme 4x + 3. Dans l’un et
l’autre cas, d’après ce qui a été dit dans la Note IX,
AS AS A"
seront ceux des entiers inférieurs à » et premiers à 2, qui vérifieront
la condition
u
— rh:
LA
Supposons maintenant qu'on prenne pour », non plus un nombre
AA) MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
impair de la forme 4x +3, mais un nombre pair divisible par 4. Ce
nombre devra être de la forme
VASTE ERERER
v, v, v’, .… étant des facteurs premier impairs, inégaux entre eux, et
9
dont le produit soit de la forme 4 x + 1. Alers aussi les nombres
MR 1:
seront ceux des entiers inférieurs à », et premiers à », qui vérifieront
ou les deux conditions
h
— | =s h=1 (mod.4),
Ce MEL À
ou les deux conditions
h
I
—n
n
On peut en conclure que, dans le groupe
LUN
L 3 L d, L “ n \ æ
les nombres entiers inférieurs à — seront deux à deux de la forme
h, rh
2
&
Donc, dans l'hypothèse admise, é sera pair, et, comme l'équation
N—2(v—1)(v—1)...
entrainera la suivante
+j= = (1)...
on peut affirmer encore : 1° que À + j sera pair et même divisible par 4;
2° que sera pair avec £ eti +7; 3° que la somme
sis,
L
_ +
2
NOTE XIV. 41
sera paire elle-même, et qu’on pourra en dire autant de la différence
;
2
Supposons enfin qu'on prenne pour z un nombre divisible par 8.
Ce nombre devra être de la forme
SYVN.. 4
v, v', v’.. étant des facteurs impairs inégaux; et les entiers
ROUET : AO |
PE à | . PSM
seront : 1° si + est de la forme 4x + 1, ceux qui vérifieront les deux
conditions
+, h=1 ou 3 (mod.1),
ou les deux conditions *
—. 1, h=5 ou 7 (mod.8);
M 2
8
2° si < est de la forme 4x + 3, ceux qui vérifieront les deux condi-
tions
k
— | =1 h=1: ou a (mod.8).
rh 3
ou les deux conditions
h
ï
=n
8
On en conclut encore que, dans le groupe
IÈN DE gén
4. ee. Ê
les nombres inférieurs à = seront, deux à deux, de la forme
n
h, ——h.
2
OEuvres de C. — S. 1, t. HI. 26
h42 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Donc x sera pair, et, comme on aura
N—4(v—1)(v—1)...,
‘ ‘ 2
FE TR
—2(v—1)(Y"—1)...,
la somme 7 + sera non seulement paire, mais divisible par 4. Donc,
par suite,
et
Ainsi, en résumé, l’exposant 4 sera, dans l'équation (4),(5) ou (6),
un nombre impair ou un nombre pair, suivant que le module x > 4
sera un nombre premier ou un nombre composé. D'ailleurs, dans
le dernier cas, on peut, à l’aide d'une méthode souvent emplovée par
les géomètres, réduire, comme on va le voir, la valeur numérique de
l'exposant u.
Prenons d’abord pour 7 un nombre composé de la forme 8x +5.
Alors l'équation (4) pourra être remplacée par la formule (5), dans
laquelle 4 sera un nombre pair ; et, comme par suite pŸ sera un carré
impair, c’est-à-dire de la forme 8x + 1, æ* devra être un carré de la
même forme, et y? un carré pair. Cela posé, les deux facteurs
F
u
p°—x,; P°+æx,
wIE
dont la somme sera 2p°, et le produit p* — x? = ny?, auront évidem-
ment pour plus grand commun diviseur le nombre 2; et, pour satis-
faire à l'équation (5), on devra supposer
ÿ —
1% (ss
p—x—aau?, p°+æz=26r?,
par conséquent
(7) p=au+ 6,
NOTE XIV. kh3
«, 6, u, e désignant des nombres entiers qui vérifieront les conditions
(8) = An,
(9) Sburer,
Il y a plus : comme le produit «6 — n» sera diviseur de p — 1, on aura
el |
et par suite la formule (7) entraînera les conditions
(= (e
auxquelles les facteurs «, 6 devront encore satisfaire. Enfin, comme
on l’a dit dans la Note IX, la loi de réciprocité comprise dans la for-
mule
(in) nn fecrT(e]
ra 6
est applicable au cas où l’on représente par «, 6, non pas seulement
deux nombres premiers supérieurs à 2, mais encore deux nombres
impairs quelconques ; et, comme, z étant de la forme 4x +3, l'un des
facteurs x, 6 devra être de la forme 4x + 1, il est clair que, dans l'hy-
pothèse admise, la première des conditions (10) entraînera la seconde,
et réciproquement. Donc : lorsque n sera un nombre composé de la forme
8x +7, l'équation (5) entraînera la formule (7), dans laquelle x, 6
devront vérifier les conditions
, 6
(12) = n, É ti
. Supposons, pour fixer les idées, 2 = 15 —3.5. On trouvera pour 2
h',...1les nombres
AA MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
et l'équation (5), réduite à
p=2x?+15y,
entrainera la formule
p=aut+ 6v?;
«, 6 étant des entiers assujettis à vérifier Les deux conditions
ax6 —15, Ë Fe
(e4
Or, de ces deux conditions, la première sera vérifiée si l’on prend pour
x, 6 les nombres tr et 15 ou 3 et 5. Mais comme on a
la seconde condition nous oblige à rejeter les nombres 3 et 5, en pre-
nant pour «, 6 les nombres 1 et 15. Donc, p étant un nombre premier
de Ja forme 15x + 1, ou, ce qui revient au même, de la forme 30x +1,
la considération des facteurs primitifs de p fournira la solution, en
nombres entiers, de l’équation
p=u +156.
Supposons, par exemple, p — 31. On trouvera d’abord (voir la Note
précédente) æ = — 1,
PISCINES. :
puis on en conclura
(31+1)(31—1) —=4.15u?v?,
le produit wv devant vérifier la condition
ue? = 4?;
et, comme des deux nombres : ,
31— x —=31+1— 32, | 31+æx—31—1:= 30,
c’est le second qui se trouve divisible par 15, on aura, dans le cas pré-
sent,
eh PR Gr,
31+1—=2u?, 31—1—=2.15p?.
NOTE XIV. k45
On vérifiera effectivement les deux dernières équations, en prenant
UV=x hs, ri:
et, par conséquent, il suffira d'attribuer à &, 6 les valeurs numériques
4 et 1 pour résoudre, en nombres entiers, l’équation
31= u°+ 15 p*.
Prenons maintenant pour 2 un nombre tomposé de la forme 9x +3.
Alors on pourra vérifier en nombres entiers l'équation (4). De plus,
les deux facteurs
u n
2pP?— x, 2pP?+ x,
: |
dont la somme sera 4p° et le produit 4p#—2x?=ny*, resteront pre-
miers entre eux, si æ?, y* sont des carrés impairs. Donc alors pour
satisfaire à l'équation (4), on devra supposer
p. u
2p?—x—au?, 2p? + x —=6v?,
et par suite |
s
(13) kp°= au? +6v?,
«, 6, u, v étant des nombres entiers qui vérifient les formules
GO — N, uv — y,
avec les conditions (10). Si, dans le cas que nous considérons, æ°, y?
étaient des carrés pairs, on pourrait, comme dans le cas précédent,
réduire l’équation (4) à l’équation (5), et l’on arriverait à la for-
mule (7), qui peut être censée comprise dans la formule (13), de
laquelle on la déduit, en remplaçant w par 2u et 6 par 26. On peut done
énoncer la proposition suivante :
Lorsque n est un nombre composé de la forme 8x + 3, l'équation (4)
entraîne la formule (13), dans laquelle u, & doivent vérifier les condi-
lions (12).
Prenons maintenant pour x un nombre composé, divisible par 4,
mais non par 8. Alors, on pourrasatisfaire en nombres entiers à l’équa-
kh6 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
tion (6), sir
blables à ceux dont nous venons de faire usage, on prouvera que l’équa-
tion (6) entraine l’une des deux formules
est de la forme 4x +1; et, par des raisonnements sem-
Le
(14) p'=au?+6v?,
La
(15) 2p? = au?+ 6v?,
«, 6 désignant des nombres impairs assujettis à vérifier la condition :
(16) no r
et u, e des quantités entières qui vérifieront l’une des conditions
aUV = y, up == 4%,
D'ailleurs, le produit
étant de la forme 4x +1,
seront tous deux de cette forme, ou tous deux de la forme 4x +3; et,
comme l'équation (14) entrainera les formules (ro), en vertu des-
quelles la formule (11) donnera
6—1
(17) Éns rer,
il est clair que, dans l’équation (14), x, 6 ne pourront être tous deux
de la forme 4x +3. Ils y seront donc l’un et l’autre de la forme 4x +1.
Quant aux valeurs de «, 6, renfermées dans l’équation (15), elles
devront vérifier les formules
6 2 a à:
(8) El es
desquelles on tirera, en les combinant avec les formules (ro) et (16),
Gt
(19) | 5, | =(—n 7 7;
Le
NOTE XIV. h4T
et, comme w?, #? devront être impairs dans l'équation (15), cette équa-.
tion donnera encore
(20) 2=4+6 (mod.8).
Or, en vertu des formules (19), (20), les entiers
as: 6
devront être tous deux de la forme 8x + r, ou tous deux de la forme
8x -+ 5, SI 7 est de la forme 8x + 1; et l’un de la forme 8 x + 3, l’autre
de la forme 8x + 7, si : est de la forme 8x +5. On peut donc énoncer
la proposition suivante :
Lorsque n est un nombre composé divisible par 4 et non par 8, l’équa-
uon (6) entraine ou les équations (14) et (16), ou les équations (15)
et (16); «, 6 étant deux nombres impairs qui devront étre tous deux de
A
n
8x+1, et l'un de la forme 8x +53, l'autre de la forme 8x + 7, sir est
la forme 8x + 1, ou tous deux de la forme 8x + 5, si — est de la forme
de la forme 8x +5. Ajoutons que x, 6 devront encore satisfaire, si l’équa-
on (14) se vérifie, à l'une des équations (10), et, st l'équation ( 15) se
vérifie, à l’une des équations (18).
En appliquant, au cas où » est divisible par 8, des raisonnements
semblables à ceux dont nous venons de faire usage, on obtiendra la
proposition suivante :
Lorsque n est un nombre composé, divisible par 8, l'équation (6) en-
traine la formule
#4
(21) pP=au+266?,
2, 6 étant deux nombres impairs assujettis à vérifier la condition
(22) ; : a = à È
k18 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
avec les deux suivantes
È El (-E
desquelles on tire, eu égard à la formule (11),
Ér Mana ÊES Ms ! I—I4{4+I
— —=- — — (mod.2);
2 2 2 2 2
ou, Ce qui revient au même,
(24) (a—1)(a—26+3)=0o (mod. 16).
En vertu des diverses propositions que nous venons d'établir, l’ex-
posant de la puissance de p renfermée dans l'équation (4), (5)
ou (6), peut être réduit, lorsque z est un nombre composé, à l’expo-
sant Ê. Ce dernier exposant, s’il est pair, pourra souvent lui-même être
réduit à P; et cette nouvelle réduction sera particulièrement applicable
aux formules (7), (13), (14), (21), si dans ces formules, « se réduit
à l’unité.
Pour vérifier cette dernière observation sur un exemple, supposons
n=68 = 4:17.
Alors, parmi les entiers inférieurs à 17, et premiers à 68, ceux qui
feront partie du premier groupe, savoir
1,1 045006 Os AE
seront au nombre de 6, et ceux qui feront partie du second groupe,
savoir
- SSEEE. À:
seront au nombre de deux. On aura donc par suite
6, L —, = Ga —4,
2 2
NOTE XIV. 149
et l’on pourra, en supposant que p, divisé par 68, donne l'unité pour
reste, résoudre en nombres entiers l’équation
p'=e +177
Or, celle-ci entrainera l’une des formules
p=u +17, 2p?— u?+ 17°,
dont la première à son tour entrainera l’une des suivantes
p=s +296, 2p—s? +17 /?,
s, t désignant encore des nombres entiers. Effectivement on sait que
tout nombre premier de la forme 68x + 1 peut être représenté par l'une
des formules
+273 +183 — (y +3) +173?
(27 +35) + 174
2Y° +25 +93 — 2
POST-SCRIPTUM.
La note placée au bas de la page 179, et relative à la loi de réciprocité aui
existe entre deux nombres premiers, se réduit à cette observation très simple,
que la démonstration empruntée par M. Legendre à M. Jacobi ne paraît pas
avoir été publiée par l’un ou l’autre de ces deux géomètres avant 1830. Je suis
loin de vouloir en conclure que cette démonstration n'ait pu être découverte
par M. Jacobi à une époque antérieure. Dans le Mémoire de 1827, intitulé :
De residuis cubicis commentatio numerosa, M. Jacobi, avant d’énoncer les
théorèmes relatifs à la résolution des équations indéterminées 4 p = x? + 27y?,
p=2" +7}, dit expressément : {x fontem uberrimum indici, e quo inter
alia et demanare sequentia theoremata vidi. La source féconde dont M. Jacobi
parle dans ce passage est, comme lui-même me l’a déclaré depuis (voir, dans
le Bulletin des Sciences de M. de Ferussac, le Mémoire de septembre 1829),
la considération des propriétés dont jouissent les racines de l’équation auxi-
liaire, qui sert à la résolution d'une équation binome, c’est-à-dire, en d’autres
termes, les fonctions ci-dessus désignées @,, @,, …. Quelques-unes de ces
OEuvres de C. — S. 1, t. Il. 97
450 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
propriétés avaient déjà conduit M. Gauss aux importants résultats que con-
tiennent les dernières pages de ses Disquisitiones arithmeticæ, et à son
théorème sur la résolution de l’équation p — x? + y*. Ainsi, les recherches de
M. Jacobi sur les formes quadratiques des nombres premiers, et l’on doit en
dire autant des miennes, peuvent être considérées comme offrant de nou-
veaux développements de la belle théorie exposée par M. Gauss. J’ajouterai
que, les propriétés des fonctions de la forme @, étant supposées connues, il
devient très facile d'obtenir la démonstratiou ci-dessus rappelée. Il est donc
tout naturel qu’à une époque renfermée entre 1827 et 1830, M. Jacobi ait
trouvé cette démonstration et l'ait communiquée verbalement ou par écrit à
M. Legendre, Mais quelle est la date précise de cette communication? C'est
un point sur lequel je n’ai aucun renseignement, et je m'en rapporterai au
témoignage de l’illustre géomètre de Kœænigsberg.
FIN DU TOME III DE LA PREMIÈRE SÉRIE.
TABLE DES MATIÈRES
DU TOME TROISIÈME..
PREMIÈRE SÉRIE.
MÉMOIRES EXTRAITS DES RECUEILS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES
DE L'INSTITUT DE FRANCE.
MÉMOIRES EXTRAITS DES « MÉMOIRES DE L’ACADÉMIE DES SCIENCES ».
MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Pages
RL DE L'ARARIANU nuue, .duc se ni van dde NAME SR Rs ed
Rd Venir no ms se à Vos TA M ta dou 0 à 6
S II. — Applications nouvelles des formules établies dans le premier para-
PAR DL T ANS RANSRESSRRAON EN RES EN ee TE AU UE PRE
CU mnt de ENS PT PEU 0e CPC 43
DU: — Suite OMR EUiel. ....:..:.......44..,.2he0aus DR idees: 68
NoTE I. — Propriétés fondamentales des fonctions 8, 8x.................... 84
Nore Il. — Sur diverses formules obtenues dans le deuxième paragraphe... ... 94
Note II — Sur la multiplication des fonctions, 84, 8x....................... 110
US NT ous quadratiques..;..:..441. 2 4... 163
Nore V. — Détermination des fonctions R;,#, ... et des coefficients qu’elles ren-
ne da aa ee CR nd onu su e 180
NoTE VI. — Sur la somme des racines primitives d’une équation binome, et sur les
fonctions sym triques de ces racines... .. SEAIE AT ERA 222
Note VII — Sur les sommes alternées des racines primitives des équations
binomes, et sur les fonctions alternées de ces racines........... 239
NoTe VII. — Propriétés des nombres qui, dans une somme alternée des racines
primitives d'une équation binome, servent d’exposants aux diverses
puissances de l'une de ces racinés…..:........................ 265
Note IX. — Théorèmes divers relatifs aux sommes alternées des racines primi-
VOR:008 CARE DINOMOS EL rat désert ss nan ee. dé 293
452 TABLE DES MATIÈRES.
Pages.
Nore X. — Sur les fonctions réciproques et sur les moyens qu’elles fournissent
d'évaluer les sommes alternées des racines primitives d’une équa-
don HMS: issue Na aise NRA A SAS ot 308
NoTe XI — Méthode simple et nouvelle pour la déterminalion complète des
sommes allernées formées avec les racines primitives des équa-
tion Phones. 5... 1 ess ii UE se LS Este 334
NoTE XII. — Formules diverses se se déduisent des principes établis dans la Note
précédente; RL TR UNE NE ns es Se de pe de 359
NorEe XII. — Sur les formes quadratiques de certaines puissances des nombres
premiers, ou du quadruple de_ces puissances. ................. 390
Nore XIV. — Observations relatives aux formes quadratiques sous lesquelles se
présentent certaines puissances des nombres premiers, et réduc-
tion des exposants de ces puisgances..........,..,,...,...:... 437
sn ns x de Se dE RER dire 149
FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES DU TOME III DE LA PREMIÈRE SÉRIE.
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