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STAT.
UBRAIY
(EUVRES
COMPLETES
D AUGUSTIN CAUCHY
PURLIEES SOUS LA DIRECTION SCIENTIFIQUB
DE L ACADEMIE DES SCIENCES
ET SOUS LES AUSPICES
DE M. LE MINISTRE DE [. INSTRUCTION PUBLIQUE.
IF SERIE. TOME I.
PARIS,
GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE
Dl BUREAU DES LONGITUDES, DE L E C L E P L Y T E C H XI Q U E ,
(^uai des Augustins, 55.
MCMV.
(EIJYRES
COMPLETES
i;\n; in
PARIS. - IMPR1MEHIE GAUTH1ER-VILLARS.
a:i72 2 Qua! des Aiigiistins. 55.
(EUVRES
COMPLETES
D AUGUSTIN CAUCm
PUHUKES SOUS I,A niHKCTION 8C1ENTIFIQUK
I)E L A CAD EMI E DES SCIENCES
KT SOTS LKS AL SI ICl "S
M. LE MINISTRY DK L INSTRUCTION IMJHLIQUh
IP SERIE. TOME I.
OF THE
UNIVERSITY |
OF /
PARIS,
(JAUTHIER-VILLARS, IMPKIMEUH-KWUAJHE
D I 15 U U E A U I) E S LONGITUDES, D E L E C OLE 1 () L V T K C 11 N I O U E
Quai <Jcs Auguslins, 55. 4
MCMV.
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VJ
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1992
SECONDE SER1E.
I. MEMOIRES PTJBLIES DANS MYERS RECUE1LS
AUTKES QUE CECX. DE I/ACADEMIE.
II. OUVRAGES CLASSIOUES.
111. MEMOIRES PUBLIES EN CORPS D OUYHAUE.
IV. MEMOIRES PUBLIES SEPAREMENT.
i.
PUBLICS DANS
DIVERS HECUEILS AUTRES DUE CEUX DE L ACADEMIE.
MEMOIRES
KXTRAITS !U;
JOURNAL I)E L ECOLE POLYTECIINIOUE
RECHERCHES
SUR LES POLYEDRES.
UN
PREMIER MEMOIRE ( ). Vc
Journal (It- 1 Ecolc Po/ytccli/ii(jiic, X\T Caliier. Tome IX, p. 68:
Lc Memo Ire que j ai I honnenr de soumeltre a la Classe contienl
diverscs recherchcs sur la Geometric des sol ides. La premiere Parlie
of Ire la solution de la question proposee par M. Poinsot, sur le nomhre
des polyedres reguliers quc Ton pent construire; la seconde Parlie
renf erme la demonstration d un theoreme nouveau sur les polyedres en
general.
PREMIERE PARTIE.
M. Poinsot, dans son Memoire sur les polygones ct les polyedres, apres
avoir donne la description de qua t re polyedres d une espeee superieure
a celle que Ton a continue de considerer, pose la question suivante :
Kst-il impossible qu il existe des polyedres regu Hers don t le nomhre
de faces ne serait pas on dc ceux-ci, l\, 6, 8, i 2, 20? Voila, ajoutc-(-il,
uiK 1 ([uestion qin meriterait d etre approfondie, et qu il ne parait pas
facile dc resoudre en toute rigueur.
( ) Lu a la preinii M c Classc dc I laslilut, on fevrior 1811, par A. -I.. C.VI:CIIY, Ingcnicur
dcs Fonts ct Chaussces.
8 RECHERCHES SUH LES POLYEDRES.
II ost vrai quo la diversite des mctliodos clont M. Poinsot s est servi
j)our fairo deriver les trois nouvcaux dodecaedres, ct le nouvel ico-
saedre du dodecaedrc et do 1 icosaedre ordinaire, laisse on doutc la
possibility do resoudre la question preeedente; mais, en generalisant
quelques principes renfermes dans le Memoire memo do M. Poinsot, on
parvient a faire deriver les polyedres reguliers d especes superieures do
eenx do premiere ospeco, par une methode simple ot analytique qni
conduit iinmediatoment a la solution do la question proposee.
II est facile do voir, et M. Poinsot en a fait 1 observation, n 15 do
son Memoire, qu on pent former tons les polygoncs reguliers d especes
superieures, en prolongoant les cotes des polygones reguliers de pre
miere cspece.
Les polyedres reguliers d especes superieures deriventd unc maniere
analogue dos polyedres reguliers de premiere espece , et Ton pent
former tons los nouveaux polyedres reguliers en prolongeant les aretes
on los faces des polyedres reguliers deja connus.
Ainsi, par oxemplo, on prolongoant dans le dodecaedre ordinaire les
aretes qui torment les cotes des douze pontagonos, on obtient le dode
caedre etoile do secondc espece.
Si, dans lo dodecaedre ordinaire, on prolongo le plan qui contient
ohaque face jusqu a la simple rencontre des plans dos cinq faces qni
entourent la face opposee, on obtiendra le dodecaedre dc troisiemc
espece, compris commc le dodecaedre ordinaire sous des pontagones
de premiere cspece.
Eniin, si Ton prolongo les aretes qui, dans le dodecaedre de la troi-
sieme espece, forment los cotes des douze pentagones, on obtiendra
le dodecaedre do quatrieme espece.
On obtiendra 1 icosaedrc de soptiome espece en prolongeant chaque
j aco do 1 icosaedre ordinaire jusqu a la rencontre des plans des trois
triangles qui entourent la face opposoe a cello que Ton considere.
Co que nous venons d observer relativement aux quatre polyedres
d especes superieures a lieu en general, c est-a-dire qu on no pourra
construire des polyedres reguliers d especes superieures qu autant
RECHERCHES SUR LES POL\EI)RES. !)
qu ils resulterout du prolongement des facos on des aretes do polyedres
reguliers de memo ordre et do premiere especc.
En efifet, supposons quo Ton soil parvomi d uno inaniorc qneloonquc
a construire un polyedrc regulier d especo snperieure. Transporlons-
nous par la pensee au cenlro dc la sphere inscrite. Los plans qui oom-
prennont los differcntes facos clu polyedre presenteront ii I ojil do 1 ob-
scrvatcur place a cc centre la forme d un polyedrc convoxe do premiere
espece, qui sorvira commo do noyau an polyedre donne dVspoco supo-
rioure. Jo dis, do plus, quo la regularife dn polyedro d ospooo snpo-
rieure entraine nocossairomont la regularite dn polyedre do premiere
especc qui lui sort dc noyan.
Pour lo pro uvcr, rovonons a la doiinition dos polyedres reguliers. L n
polyedre rogulior d nno ospooo (juolooiKftio cst relui qui est forme par
dos polygones egaux ot roguliors, ogalcmont inclines 1 im snr 1 autro,
et assembles on memo nomhre autour de ehaque sommcl. II suit do
cette definition quo, si Ton oonsl.ruit mi second polveilre re^ulier ejjal
an premier, et quo Ton dosigno par des numeros i, 2, 3, /(, ... Ics
i aces correspondantes des deux polyedres, on pourra Cairo coincidor lo
second polyedre avec lo premier, en plaeanl. Tune ({iieleonque dos laces
du second sur uue face detorminoo, paroxomplo snr la face n" i dn pre
mier, et en commencant par fa ire coi ncider dans cos deux laces deux
quelconques do lours aretes. Reciproquement, si deux polyedres egaux
satisfont a la condition precedente, on pourra on conclureavec surete
qu ils sont reguliors : car, puisqu on pourra fa ire alors eoincider cha-
cune dcs faces du second avec line face determi nee du premier, on com
mencant par fairo coincidor deux aretes quelconques de cos deux faces,
il s ensuivra quo les differentes faces sont des polygoncs egaux et regu
liers; et puisque, en faisant eoincider deux i aces quelconques prises a
voloute, on fait eoincider toutes les autres, on on conclura (jiie los dif-
ferents angles diedres sont egaux, ou, ee qui revient an memo, quo los
faces sont egalement inclinees 1 une snr 1 aiitre, et assomldces en UHMUC
n ombre autour de ehaque sommet.
Cela pose, consiclerons un polyedre regulier d especo supei ienro,
OEuvres dc C. S. II. t. I. 2
10 RECHERCHES SUR LES POLYEDRES.
ayant pour novau un polyedre de premiere espece ot do meme ordre,
don( la regularite n est pas encore demontree. Construisez un second
polyedre d espece superieure egal aa premier; vous construirez en
meme temps un second polyedre de premiere espece egal a celui qtii
formait le noyau du polyedre regulier donne; designez main tenant par
des numeros i, 2, 3, ... les differentes faces correspondantes des deux
polyedres d espece superieure, ct par les memes numeros i, 2, 3, ...
les laces des polyedres de premiere espece qui sont renfermees dans les
memes plans quo les laces affectees de ces numeros dans les polyedres
d espece superieure. De quelque maniere que vous lassie/ coincider les
deux polyedres d espece superieure, les deux polyedres de premiere
espece, compris sous les memes laces, coincideront aussi; ct comme
Ton pent fa ire coincider les deux polyedres reguliers d espece supe
rieure, en placant une face quclconque du second sur une face deter-
minee du premier, il s eusuit qu on pent faire coincider de la meme
maniere les deux polyedros de premiere espece. Par suite, les diffe-
renles faces des deux polyedres de premiere espece sont toutes egales
(Mitre elles, cgalcment inclinecs Tune sur 1 autre, ct assemblies en
uHMiie nomhre autour de chaque sommet.
II nous reste a prouver que les dillerentes faces de chaque polyedre
de premiere espece sont des polygones reguliers. Pour y parvenir il
suftit d observer que, si Ton fait coincider d une maniere quelconque
uue des faces du second polyedre d espece superieure avec une face
determinee du premier polyedre de meme espece, les deux faces qui
portent les memes numeros dans les polyedres de premiere espece
coincideront aussi : or, supposons quo le nombre des cotes de chaque
face soit egal a n dans les deux polyedres d espece superieure. 11 y
aura n manieres differentes d operer la coincidence de deux faces de
ces polyedres; et par suite, il y aura aussi n manieres d operer la coin
cidence des faces correspondantes des deux polyedres de premiere
espece. Or, on no pent satisfaire a cettc condition qu en supposant les
faces des polyedres de premiere espece egales on a des polygones
reguliers de 1 ordrc n, ou a des polygones semi-regulicrs d un ordre an
KECIIERCHES SUH LES POLYEDRES. 11
moms egal a 2/*; d aillcurs, il est facile do voir quo ce dernier cas no
peut existcr : car, comme on ne pout supposor n == 2, il landrail quo
Ton out an moins -2/1 = 6; et, dans ce cas, on aurait des polyedres do
premiere espece, clont toutes Jos faces auraient an moins six cotes, ce
qui est impossible.
II est done prouve maintenant que dans un ordre queleonque on ne
peut construire de polyedres reguliers d unc espece superieurc, qu au-
tant. qu ils resultent du prolongement des aretes ou dos faces des
polyedres reguliers de memo ordre el do premiere espeeo qui lour
servont do noyau; et quo, dans chaque ordre, les faces des polyedres
d especes superieures doivent avoir le memo noinbre de cotes que
cellos des polyedres de premiere especo.
II suit d abord, do co qni precede, que, comme il n y a que cinq
ordres do polyedres qui fournissent, des polyedres reguliers de premiere
espece, on ne pout cherchcr que dans cos cinq ordres des polyedres
reguliers d espece superiouro. Ainsi tons les polyedres reguliers, de
quelque espece qu ils soient, doivent etro des tetraedres, des hexaedres,
dos octaedres, des dodeeaedres, ou des icosaedres. Do plus, tons les
tetraedres, octaedres et icosaedres, de quelque especo qu ils soient.
doivent avoir pour faces des triangles equilateraux, los hexaedres des
carres, les dodeeaedres des peiitagonos reguliers de premiere ou de
seconde espece. Voyons maintenant cornbien chaque ordre ronferme
d o s p e c e s d i ffe re n to s .
Alin de repandro plus do jour sur cetto discussion, j obsorverai :
j Ou on ne peut, des polyedres reguliers de premiere espece.
deduire des polyedres reguliers d especes superieures qu eii prolon-
geant les aretes dos faces doja existanlos, ou on f ormant do nouvelles
faces ;
2 Quo le dodecaodre est le soul polyedre regulier diKjuel on puisse
obtenir des especes differentes, en prolongeant les areles des faces,
parce qu il existe deux especes de pontagones, tandis qu il n oxiste
(ju une espece de triangle- ot uno especo do carre;
i" Quo, dans le cas oil Ton forme do nouvelles faces, on ne pent les
12 KECIIEHCHES SUR LES POLYEDRES,
obtenir qu en prolongcant chacune des faces du polvedre do premiere
espece jusqu a la rencontre de plans qui comprennent des faces non
voisines de celie que Ton considere;
/i" Qne ces dernicres doivent etre en nombrc cgal a cclui des faces
voisines de celie que Ton considere, et avoir toutes sur celle-ci et entre
elles une cgale inclinaison.
Dans le felraedre, diacune des quatre faces est voisine des trois
a litres, d on il suit qu on ne pent obtenir de nouvelles faces en prolon-
geant celles qui existent; il n y a done qu un scul tetraedre, celui de
premiere ospcce.
Dans I hexaedre, les faces qui ne sont pas voisines sent paralleles et,
par consequent, ne peuvent se rencontrer : il-n y a done aussi qu un
hexaedre, celui de premiere espece.
L octaedre ordinaire pent etre considere com me forme par deux faces
opposees et comprises dans des plans paralleles, dont chacune est
avoisinee par (rois autres faces egalement inclinees sur elle ct sur son
opposee. Si done on pent esperer de former un nouvel octaedre regulier,
ce ne pent etre qu en prolongeant jusqu a la rencontre de chacune des
faces les plans qui contiennent les trois faces voisines de celie qui lui
est opposee : or cette construction, au lieu de donner un octaedre
regulier d espece superieure, donne un solide double forme par deux
tetraedres qui se traversentmutuellement. C estainsi qu en prolongeant
les cotes de I hexagone ordinaire on obtient deux triangles equilate-
raux en croix Fun sur 1 autre, an lieu d un hcxagone de seconde espece.
Si, dans Je dodecaedre ordinaire, on prolongc les cotes des douze
pentagones, on aura, ainsi que M. Poinsot 1 a observe, un dodecaedre
regulier de deuxieme espece.
Pour obtenir d autres dodecaedrcs, il faut trouver le moyen de pro-
longer, jusqu a la rencontre de chaque face du dodecaedre ordinaire,
cinq faces non voisines et egalement inclinees surolle. Or, le dodecaedre
ordinaire pent etre considere comme forme de deux faces opposees
situees dans des plans paralleles, ct dont chacunc est avoisinee par cinq
autres faces egalement inclinees sur die et sur son opposee. Si done on
RECHERCHES SUR LES POLYKDRES. 13
pent construire d autres dodecaedres quo ceux decrits ci-dessus, cc ne
pout etrc qu cn prolongeant chaquc lace clu dodecaedre ordinaire jus-
qu a la rencontre des plans qui conticnnent les cinq voisines do la face,
opposee. Les intersections do ces cinq plans avec la face quo Ton cousi-
dere formen t deux pcntagoncs reguliers, Fun de premiere et Fautre de
sccondc espece. Ces deux pentagones representent les faces des dode
caedres reguliers dc troisieme et de quatriemc espece.
Dans Ficosaedre ordinaire, en choisissant pour base une des faces
prise a volonte, on trouve, comme dans les trois ordres precedents, vine
autrc face opposee et situee dans un plan parallele. Si Fon classe les
triangles compris cntre ces deux, faces par series, en renfermant dans
une meme serie ceux qui sont egalement inclines snr la base, ou, ce
qui revient au memo, snr la face opposee, on trouvera quo les dix-lniit
triangles restant forment quatre series, savoir :
i Une serie de trois triangles voisins de la base;
2 Une serie de trois triangles voisins de la face opposee;
3 Une serie de six triangles, dont chacmi n a qu un sommet de
commun avec la base;
4 Une serie de six triangles, dont ehacun n a qu un sonimet de
commun avec la face opposee.
Designons les triangles de la troisieme et de la quatrieme serie par
des uuineros i, 2, 3, 4, 5, 6; en sorte que deux numeros consecutifs
indiquent deux triangles qui se touchent par une arele on par nn
sommet. F.a base d un nouvel icosaedre regulicr ne pourra e(re IbrmtM
que par Fintcrsection de la base de Ficosaedre donne avec trois triangles
de la meme serie, egalement inclines Fun sur Fautre. Cela pose, il esl
facile de voir qu on ne pent esperer d oblenir la base d un nouvel
icosaedre que de cinq manieres, savoir, en prolongeant, jusqu a la
rencontre du plan de la base donnee :
1 Les plans qui contiennent les trois triangles de la deuxieme
serie;
2 Les plans qui contiennent les triangles i, 3, 5 de la troisieme
serie;
14. RECHERCHES SUK LES POLYEDRES.
3 Los plans qui contiennent los triangles 2, 4, G tie la troisieme serie;
4 Los plans qui contionnont los triangles i, 3, 5 tie la quatrieme
serie;
5 Los plans qui contiennent los triangles 2, 4, G do la quatriemo
serie.
Si Ton etend dc procho en proche los cinq constructions precedentes
aux diflerentes faces do 1 icosaedre ordinaire, on obtiendra les resultats
suivants :
i" En suivant la premiere construction, on passera sur toutos los
faces, et Ton obtiendra 1 icosaedrc do septieme espece, decrit par
.M. Poinsot;
2 Kn suivant la deuxieine ou la troisieme construction, on no
passera quo sur liuit faces, ot Ton obtiendra simplonient uri oetaedre
regulicr do premiere espece;
3" En suivant la quatriemo ot la cinquieme construction, on no
passera <juo sur qualro faces, el Ton form era simplemont un tetraedro
rogulier.
II suit, do co qu on viont do dire, (jii on no pout former d autres
polyedrcs reguliors d ospoces superiourcs quo los quatre decrits par
.M. Poinsot.
La thoorio procotlonlo lournit encore lo moyen do calculer Tangle
coinj>ris outre deux faces quelconques d un polyedre regulier, lorsqu on
connait los angles formes par les faces adjacentos dans le tetraedre, Ie
doclecaedro et 1 icosaedre do premiere espece.
En cfPct, soient a, ft, y cos trois angles;
L angle compris entre deux faces du tetraedre sera toujours a.
Dans riiexaedrc, deux faces adjacentes so coupent a angle droit, deux
faces non adjacentes sont paralleles.
Dans 1 octaodre, les faces sont paralleles deux a deux. L angle com
pris entre deux faces non paralleles est represente par
quand les deux faces sont adjacentes, et par a quand olios no le sont pas.
KE CHE RC TIES SUH LES POLYEDRES. lo
Dans lo dodecaedre, les faces sent paralloles deux a doux. L anclo
c
eompris cntro doux faces non paralleles est represente par } quand les
deux faces sont adjacentes, el par
7C-J3
quand ellcs no le sont pas.
Dans I icosaedre, les faces sont encore paralleles deux a deux. L angle
1 O
compris entre uno face et les faces voisines etant y, Tangle compris
eutre la memo face et cellos qui avoisinent la lace opposee sera
enfin, Tangle compris entre deux faces, dont Tune n est pas adjacentc
a I autre ni a la face opposee, sera represente ou par a ou [ar
SECONDE PAH TIE.
filler a determine le premier, dans les Memoires do Petersbourg,
annee 1708, la relation (jui existe ontre les dilferents elements qui
composent la surface d un polyedre; et M. Legendre, dans ses Elements
de Geojne trie, a demontre d une maniere beaucoup plus simple le thoo-
reme d Euler, par la consideration des polygones spheriques. Ayanf
ete conduit par quelques rccherches a une nouvelle demonstration de
cc theoreme, jo suis parvenu a un thoorenie plus general quo celui
d Kuler et dont voici Tenonce :
THEOR&ME. Si I on decompose an polyedre en tant d aulres que I on
voudra, en prenanl a volonlc dans 1 inte rieiir de nouvcaux sommets; que
/ on represente par P le nombre des nouveaux polyedres auisi formes,
par S le nombre total des sommets, y compris ccux da premier polyedre,
par F le nombre total des faces, et par A le nombre total des aretes, on
aura
(i) S-4-Fzzi A-+-P-M,
16 RECHERCHES SUR LES POLYEDRES.
cest-a-dirc f/ue la somme fails flu n ombre des sommets el de celui des
faces surpassera d line untie la somme faite du n ombre des are Ies el de
celui des polyedres.
\\ ost facile do voir quo lo theoreme d Eulcr est un eas particulier du
theorome precedent; car, si Ton suppose tons los polyedres reduits ii
u n soul, on aura
P = i,
ot 1 equation (i) so reduira a cellc-ci
S H- F --A 4- 2.
Ou deduil encore do 1 equation (r) un socond theoromo rclatif a la
Geomelrir piano ; car si Ton suppose quo, tons ies polyedres etant reduits
it un soul, on dotruise co dernier on pronant vine do sos faces pour base,
ot trausportanl stir cotte face tous Ies auLros sommols sans changer lour
no ml) re, on obliemlra nne figure plane composee de plusieurs poly-
gonos ren formes dans un contour donne.
Soionf :
F lo noiuhro. do cos polygones;
S lo nomhre de lours sommets;
A celui ill lours cotes;
on obtiendra la relation qui oxiste en Ire cos trois uombres en laisant,
dans la formulo genorale, P o, et Ton aura alors
( 3 ) S + F = A -f-i ;
d ou Ton couclut quo la somme faite du n ombre des polygones et do
celui des sommets surpasse d une unite lo nombre des droites qui
forment Ies contours de cos polygones. Co dernier theoreme est, dans
la Geometric plane, 1 equivalent du theoreme general dans la Geometric
dos polyedres.
Nous pourrions demontrer immediatement le theoreme general ren-
forme dans Pequation (i), et en deduire comme corollaires Ies deux
autrcs theoremes. Mais, a tin de fa ire inieux connaitre 1 osprit de cettc
RECHEKCHES SUR LES POLYEDRES. 17
demonstration, nous allons commencer par demon trcr d nnc maniere
analogue le dernier theorem e renfcrme dans I equation (3 ).
II est d abord facile de fairc, dans les divers eas particuliers, 1 appli-
cation de cc theoreme.
Supposons, par exemple, quo le contour donne soit le perimctre (Tun
triangle, que Ton prenne un point dans 1 interieur, et que de cc point
aux trois sommets on mene trois droites, on formera trois triangles
dans le contour donne. Ces trois triangles fourniront quatre sommets,
et le nombre des droites qui forment leurs cotes sera egal a 6 : or 6,
augmente de Tunite, donne la meme somme que 4 -+- 3, ce qui verifie le
theoreme.
Supposons, en second lieu, que le contour donne soit un quadri-
latere, que Ton prenne un point dans 1 interieur, et que dc ee point aux
quatre sommets on mene quatre droites, on formera quatre triangles
dans le contour donne. Ces quatre triangles fourniront. cinq sommets
et liuit cotes : or
8 H- I =: 4 -f- 5,
ce qui verifie le theoreme.
Supposons enfin que le contour donne soit un polygone de n cotes,
et que Ton prenne dans I intcricur un point que Ton joigne aux n som
mets clu polygone par n droites. Les n triangles que Ton formera par ce
moyen fourniront un nombre de sommets egal a n -+- 1, et un nombre
de cotes egal a 2.7?, : or 27;, augmente de 1 unite, est egal a la somme
faite dc n ct dc n H- i , ce qui verifie le theoreme.
Passons maintenant an cas general, ct supposons un nombre F de
polygones renfermcs dans un contour donne. Soient S le nombre des
sommets de ccs polygones, et A le nombre des droites qui formenl liMirs
cotes. Decomposons chacun des polygones en triangles, en meiianl
d un de ses sommets aux sommets non voisins des diagonales. Soit n Ir
nombre des diagonales tracees dans les differents polygones, F 4- n sera
le nombre des triangles resultants de la decomposition des polygones,
ot A -f- 71 sera le nombre des cotes de ces triangles. Le nombre dc leurs
sommets sera le meme que celui des sommets des polygones, on S.
OEuvres dc C. S. II, t. I.
18 RECHERCHES SUR LES POLYfiDRES.
Supposons maintenant quo 1 on enleve successivement les differents
triangles, do maniere a n on laisscr subsistcr a la fin qu un soul, on
common cant par coux qui avoisinent Ic contour exterieur, ot n enle-
vant dans la suite quo coux dont un ou deux cotes auror.t ete reduits,
par los suppressions anterieures, a fa ire parti e clu memo contour.
Solent It lo nombrc dos triangles qui out un cote compris dans lo
contour exterieur an moment ou on les enleve, et h" le nombre dos
triangles qui out alors deux cotes compris dans le memo contour. La
destruction do chaque triangle sera suivie, dans le premier cas, do la
destruction d un cote, ot, dans le second cas, do la destruction do doux
cotes ot d un somrnet. 11 suit do la qu au moment ou Ton aura detruit
tous los triangles, a 1 oxccption d un soul, le nombre des triangles
detruits etant
h + h",
celui dos cotes detruits sera
h +2 h",
ot celui dos sommets detruits
h*.
Le nombre- des triangles restants sera done alors
F+ n (A + h"}~ i,
celui dos cotes restants
A + rt (h +-2h"} 3,
ot celui dos sommets restants
S- A" 3.
Si 1 on a joule la premiere equation a la troisieme et qu on rotranche
la seconde, on aura
S H- F - A i ,
on
(3) S + F = A + I,
ce qu il fallait demontrer.
RE CHER CUES SUR LES POLYEDRES. 19
On pent encore arrivcr a la memo equation, sans employer la decom
position des polygones en triangles. En diet, supposons les divers
polygones reunis succcssivement an tour de 1 un d entre eux pris a
volonte.
Soient :
a. et s les nombros de cotes et de sommcts du premier polygone;
a et. s les nombres de cotes et de sommets du second polygone qui ne
lui sont pas communs avcc le premier;
a" cis" les nombres de cotes et de sommets du troisicme polygone qui
ne lui sont pas communs avcc les deux premiers, etc.;
vous aurez les equations suivantes :
a s,
Kn ajovilant toutes ces equations qui sont en n ombre egal a i ; , rt
observant que
a -+- + a" 4- . . . A , s -+- 5 4- s -4- . . . - S,
on aura [ equation
A = S-t-F i,
equivalentc a cclle qui a etc trouvee ci-dessus.
Corollaire. Si Ton represente par a et par s les cotes et sommrts
compris dans le contour exterieur, par a t et s t les cotes et sommets
renfermes dans I interieur du memo contour, on aura
.v 4-.?, S, a + a, A;
et comme Ton aura aussi s = a, Fequation (3) deviendra
s, -f- F a / -4- 1 ,
d ou il resulte que le nombre des sommets interieurs, augmeute du
20 RECHERCHES SUR LES POLYEDRES.
nombro des polygones, est egal au n ombre des coles interieurs aug-
menle de I mi ite.
Lo theoreme d EuIer esl, line consequence immediate du theoreme
rcnforme dans liquation
S + F = A + i .
Kn effet, supposons que F represento le nombre des faces qui com-
posent la surface convexe d un polyedrc et que S ct A soient Jes
nombres de sommets et d aretes renfermes dans cette memo surface.
Si, dans la surface du polyedre, on sn|)prime une des faces, les faces
restantes, dont le nombre sera F i , pourront etre considerees comme
formant une suite de polygones renfermes dans le contour de la face
supprimee; et, par suite, les nombres S, A et F i devront satisfaire
an theoreme demontre. En effet, soit que les polygones soient compris
dans iin seul et memo plan, on dans des plans differents, le theoreme
n en existe pas moins, puisqu il ne depend que du nombre des poly
gones el du nombre de lours elements. On aura done, en considerant
la surface d un polyedre,
S -f- ( F - r ) = A + i
Oil
(2) S + F=:A + 2,
ce qui renferme le theoreme d Euler.
Je rcviens maintenant au theoreme general dont les deux theoremes
precedents ue sont que des cas particuliers, et je vais commencer par
en fairc ( application a qnelques cas simples.
Supposons d abord que Ton prcnne uu point dans 1 interieur d une
pyrarnide triangulaire et que, de ce point aux quatre sommets, on mene
quatre droites, on separera la pyramide don nee en quatre nouvelles
pyramidcs triangulaires, qui fourniront cinq sommets, dix faces et dix
aretes. Dans ce cas, la somme faite du nombre des aretes et du nombre.
des polyedres est quator/e ; cello du nombre des sommets et du nombre
des faces, etant quinze, surpasse quatorze d une unite; cc qui verifie le
theoreme.
R ECU EH CUES S U H LES POLY El.) RES. 21
Supposons, en second lien, quo d un point pris dans I intericur d un
hexaedre on mono huit droites aux hnit somrncts; I hcxaedrc sera par-
tage en six pyramides quadrangulaires, qni fourniront neuf sommets,
dix-huit faces et vingl aretes. Dans ee cas, le nombro dcs aretes et
cclui des polyedres ferment nne somme egale a vingt-six; la somme
faite du n ombre, des faces et do celui des sommets etant vingt-sept,
surpasse la premiere d une unite, ce qui verifie le tlieoreme.
"Supposons enfin qne Ton prcnnc un polyedre quelconque, clont la
surface renferme un nombrc /"do faces, un nombre. a d aretes et un
noinbre s de sommets; et qne (run point pris dans I intericur du
polyedre on mono s droites aux ditfercnts sommets. On divisera le
polyedre en autant de pyramides qu il y avait de laces; et Ton form era
a 1 interieur autant de faces qu il y avait d aretes a 1 exterieur, el
autant, d aretes qu il y avait de sommets a rcxtcriour. On aura done
en tout / pyramides qui fourniront s + i sommets, f -\- a faces et
a -+- s aretes. Dans ce cas, le noinbre des pyramides et celui des aretes
torment line soinine egale a
/+(-)-*),
et le nombre des faces forme avec celui dcs sommets Line somme egale a
(/-+- a) -4- (.? + i). ,
Cette dernierc somme surpasse la premiere d une unite, ce qui verifio
le theorem c.
Considerons maintenant le (beoreine dont il s agit dans le cas le
plus general, ct supposons un nombre P de polyedres renfermes dans
un polyedre donne.
Soicnt :
S le nombrc des sommets de ccs divers polyedres;
F le nombre de lours faces;
A le noinbre do lours aretes.
Divisons toutes les faces en triangles par des diagonales, et soit // le
nombre de cos diai^onales, le noinbre total des triangles dans lesqucls
22 KECHEKCIIES S U II LES POLYEDRES.
les faces des differents polyedres scront divisees sera F -+- n. Supposons
maintonant quo Ton decompose chaque polyedre en pyramides triangu-
laires, en faisant passer par un des sominets et les cotes des triangles
non adjacents des faces triangulaires. Soient P-h/; Ic nombrc des
pyramides ainsi formecs dans les differents polyedres, a le noihbre des
nouvelles aretes qui en resultcnt. Le nombrc des nouveaux triangles
qni Torment les faces do ces pyramides sera p -\- a. Pour s cn con-
vaincre, il suffit d observcr que si, parmi ces differentes pyramides, on
construit d abord celles qui avoisinent la surface de cbaque polyedre,
on n aura jamais, pour former chaque pyramide, qu une on deux faces
nouvelles a construire; et qu il en resultera, dans Je premier cas, line
nouvelle pyramide seulement; dans le second cas, une nouvelle pyra
mide ct une nouvelle arete. II suit dc la que. apres la decomposition des
polyedres en pyramides triangulaires, le nornbre total des pyramides
etant
P + P
et celui des aretes etant
A -h n + a,
celui des faces sera
F -+- n -}- a 4- p.
Quant a celui des sommets, il sera to u jours egal a S.
Supj)osons maintenant que Ton enleve successivement du polyedre
total les diverses pyramides triangulaires qui le composent, de manierc
a n en laisser subsister a la fin qu une seule, en commen^ant par celles
qui out des triangles situes stir la surface exterieure du polyedre donne,
j i ^
et n enlcvant dans la suite que celles dont une on plusicurs uices auront
etc decouvertes par des suppressions anterieures. Chaque pyramide
que Ton enlevcra aura une, deux on trois faces decouvertes.
Soient :
// le nombre des pyramides qui out une face decouverte au moment
oil on les enleve;
p" le nombi e des pyramides qui out alors deux faces decouvertes;
//" le nombre des pyramides qui out alors trois faces decouvertes.
HE CHER CUES SUR LES POLYEIH .KS . 23
La destruction de ehaque pyramids sera suivio, dans le premier cas,
<le la destruction cl uno face; dans le deuxieme cas, de la destruction
do deux faces et dc I arete commune a ces deux faces; dans Ir troisieme
cas, de la destruction d un sommet, do trois faces et de trois aretes. II
suit de la quo, au moment oil 1 on aura cletru.it toutes les pyramides a
1 exception d une seule, le nombre des sommets detruits sera
/>*.
celui des pyramides detruites
pF+pf,
celui des triangles detruits
y/ + oy/ + 3y/"
et celui des aretes detruites
P +W.
Le nombre des sommets restants pourra done etrt 1 i-epresente par
S -/>=*,
celui des pyramides restantes par
celui des triangles rostants par
1" 4- n + a-i-p ( p 4- 2 p" + 3 /) " ) ::-: 4
et celui des aretes restantes par
A + II + Cl (p" 4- 3/y" ) ":: 6.
Si Ton aj on to la premiere des equations precedentes ii la troisieme,
on aura
S -+- F + n 4- 4- /J (/> 4- ay/ 4- 4 // ) = 8.
Si Ton ajoute la deuxieme a la quatrieme, on aura
A4-P4-/*4-a-h/> ( /> 4- - / " 4- 4 // ) = 7 .
24 RECHERCHES SUR LES POLYEDRES.
Si Ton retranche Tune clc 1 aulrc les deux equations que nous venons
de trouver, on aura
S H- F A P = i
on
S -+- F A -+- P -+- 1 . c. Q. F. p.
On pout encore arriver a 1 equation precedente sans avoir recours a
la decomposition des polyedres en pyramides triangulaires. En effet,
supposons les divers polyedres reunis successiveincnt autour de I mi
d eux pris a volonte.
Solent :
a, f, s les nomLres d aretcs, de faces et dc sommets de ce premier
polyedre ;
,/ , s les nombres ties aretes, laces et sommets du deuxieme polyedre
qui ue lui sont pas cominuns avec le premier;
a" ,f" , s" les nombres des areles, laces et sommets du troisieine polyedre
(jui ne lui sont pas cominuns avec les deux premiers.
Vous aurez, en vertu du (heoreme d Euler et du theoreme sur les
polyg ones (voir\? Corollaire, p. 19),
.v -4-/ :- a +2,
J + f = a +i,
s" + f":= a " 4- i,
En ajoutant ces equations, qui sont en nombre egal a P. et obser
vant que
on aura
( 3 ) S -h F A + P H- i .
Corollaire. Si Ton represenie par s, a et/les nombres de sommets,
aretes et faces compris dans la surface cxterieure du polyedre donne,
par s t , a t et/ les nombres de sommets, aretes et faces situes a Tinte-
HE CHER CITES S U H LES POLYEDRES. 25
ricur, on aura
S = .v -+- s. , A a 4- a, , F / + /, .
On aura d aillcurs, en vcrtu (In theoremo d Euler,
,v -(-/= a -+- 2.
Par suilo, I cqualion (3) deviendra
*,+/,= a, + P + T.
OXncres <lc C. S. II. t. I.
SUR
LES POLYGONES ET LES POLYEDRES.
SECO.ND MEMOI11E < >.
Journal dc L Ecolc Polf technique, X\T Cahicr, Tome IX, p. 87; i8i3.
Dans le Momoire quo j ous I honneur do presenter I anneo derniero
a la Classe, j avais reuni quolques recherclies sur les polygones et It s
poryodres regulicrs et irreguliers, et j avais generalise le theoreme
d Kulor sur le nombre des elements (jiii constituent un polyedrc quel-
eonque. MM. Legendre et Mains, dont le rapport a determine, on favour
de eo Meinoire, [ approbation do la Classe, m engagerent des lors a
ponrsuivre rnon travail et ; chercherla demonstration du theoremo ren-
ferme dans la detinition 9, placee a la tote du onzieme Livre des Elements
(I Encode, savoir quo deux polyedres eonvexes sont egaux lorsqu ils
sont oompris sous un nieine nombre de faces egalcs chacune a chacune.
J ai examine, en consequence, avec bcaucoup de soin, les demonstra
tions quo M. Legendre avail deja donnees de ce theoreme dans plu-
sicnrs cas particuliers; et, en developpant les principes dont il avait
fait usage, jo snis parvenu a demontrer, d une rnanierc generale, le
theoreme dont il s agit et quelques a litres qui s y rapportent. Cos
theoremcs sont de deux especes : les uns sont relatifs aux polygones
( ) Lu a la preiiiiero Classe de 1 Institut, dans la seance du 20 Janvier 1812, par
A.-L. CAUCHV, ingenieur des PonLs el Cliaussees.
SUR LES POLYGONES ET LES POLYEDRES. 27
convoxcs rectilignes et spheriques; les autrcs aux angles solides of.
aux polyedres convcxos. Jo vais les cxposcr successivement dans los
deux Parties de ce Memoire.
PREMIERE PARTIE.
Tlieordmes sar les pofygoncs convexes rectilignes el spheriques.
M. Logcndro a demontre, dans sos Elements de Geometric sur les
triangles rectilignes et spheriques, un theoreme (ju on pent enoncer do la
maniere suivantc :
THEOREME I. Si, dansun triangle rectiligneou spJie rique ABC (fig. i )
dont deux cotes A.B, AC sonl invariables, on fail c roil re OK diminuer
I angle A compris cntre ces cole s, le cote oppose BC croitra dans lc
premier cas et diminuera dans le second.
On pout generaliser ce theoremo de la maniere suivanto :
THEOREME II. - 5/, dans un poly gone convexe rectiligne on. sphe-
rique ARCDEFG (fig. 2), dont tons les cotes AH, BC, CD, ..., KG, a
I exception d un seul AG, sont supposes invariables, on fail croltre on
de crotlre simultanemenl les angles B, C, D, E, F, G compris entre ces
memes cole s, le cote variable AG croitra dans le premier cas el de croitra
dans le second.
Demonstration. Snpposons d abord que Ton fassc croitrc Tangle ABC
lout seul; alors, dans tout le polygone ABCDEFG, il n y aura quo lc
triangle ABC de variable; et. dans ce triangle iiiomc, il n y aura do
variable quo le cote AG et les angles : inais Tangle ABG devant croitro
W SUR LES POLYGONES ET LES PO LYE ORES.
par rhypothesc, le cote variable AG croitra necessairement. On fcrait
voir do in (MHO quo los angles C, D, E, ... venant a croitrc succcssivo-
inont, lo, cote AG ira toujours en croissant. L accroissement simultane
de ces monies angles devant procluiro le meme effet quo leur accrois-
sement snccessif, ne pourra qu augmcnter la droito on question.
On prouverait tie memo quo la diminution simnltaueo ties angles B,
(.1, 13, E, F entrainerait cello du cote variable AG.
TIIEORKME III. -- Si, dans an poly gone convcxe rectiligne on sp/ie-
rif/uc ABCDEFG (Jig- 3) donl les cotes sont. invariables, on fait varicr
tons les angles, ceux-ci ne pourront Ions vaner da/is ie merne sens, soil
en pins, soil, en moins.
Demonstration. -- En efFet, on vient de voir, dans le theorenic prece
dent, quo tons les angles n on atljaccnts a un meme cote ne pouvent va
ricr dans le meme sens sans quo le cote lui-meme augmente ou diminue.
THEOREME IV. Si, dans un poly gone convex?, rectiligne ou sphenque,
dont les cole s sojit invariable^, on fait varicr lous les angles el que,
SUU LES POLYGONES ET LES POLYEDRES. 29
passant ensuile en revue ce$ mernes angles, on les clause en differentes
series en placant dans line mcme seric Lous les angles qui, pris consccuti-
vement, varient dans le mcme sens, les series composers d angles qm
varieront en plus seronl toujours en mcme nomhre (JUG les series composees
d angles qui varieront en moins ct, par suite, le nombre tolal (les series
sera pair.
Demonstration. On vicnt do prouvcr quo tons les angles nc peuvcnt
varier clans le memo sens..Ccla pose, il est facile do voir que, si Ton fait
le tour du polygonc, on trouvera les differentes series alternativement
composees d angles qui varieront en plus ot d anglos qui varieront en
moins. Si, par cxcmplc, la premiere seric est composec d angles qui
varient en plus, la troisieme, la cinquif ino, la septiemc, ... series seront
aussi composees d angles qui varieronl en plus et, en general, toutes
les scries d ordre impair seront de memo nature que la premiere serie.
11 est done impossible que la dorn io.ro serie soit line serie do rang
impair; car, etant de memo nature quo la premiere, olio se confondrait
avec elle. La dcrnio.ro serie est done une seric do rang pair el, par suite,
le nombre total des series est pair.
THEOREME V. - - Les mernes choses etant, pose es que dans le the oreme
precedent, le nombre des series sera toujours au moins egal a l\.
Demonstration. -- Nous venons do prouver qu il est necessairemenl
Fig. 4.
A H
pair; il reste a faire voir qu il no pent etrecgal a -2. Et, IMI effet, si dans
le polygono ABCDEFGH (Jig. / i), dont les cotes soul invariables, tons
30 SUK LES POLY ("JONES ET LES PO LYE DUES.
les angles quo Ton suppose variables pouvaicnt etre classes on deux
series, savuir : uno serie d angles A, 13, C, I) variables e.n plus et one
serie d angles K, F, 0, II variables en inoins, la diagonalo AE, qui no
laisse (run cote quo des angles B, C, i) variables en plus et, do 1 autre,
quo des angles F, G, II variables on moins, devrait a la fois croitre et
decroitre, ce qui est absurde.
II y aura done toujours an inoins quatro series, savoir : deux series
d angles qui varieront en plus et deux series d angles qui varieront en
inoins.
THEOREME VI. Les memes chases etanl posees que dans les deux
lltcoremcs precedents, si I on passe en revue Lous les angles du poly gone
et fjiion Icy compare deux a deux dans I ordre oil Us se presentent relali-
vcmenl aux signes de leurs variations, on Irouvera, etifaisant le Lour du
polygone, an, moins quatre ehangemenls de signes.
Demonstration. Kn eilet, on vient de voir qu il y aura toujours an
inoins deux series d angles qui varieront (in plus et deux series d angles
qui varieront en moins. .La variation du dernier angle de cbaque serie
etant tonjours de signe contraire a cclui de la variation du premier
angle de la serie suivanto, les quatrc series dont il est question four-
niront evidemmcnt quatre cbangements de signes.
\ota. Les trois theoremes precedents n ont lieu quo pour dos
polygonos de plus de trois cotes et non pour des triangles dans les-
quels 1 invariabilite des angles entraino cello des cotes.
IHEOREME A II. Si, dans un polygone convexe rectiligne on spheriqiie.
de plus de qualre cotes, on suppose uon seulemenl les coles, mats aussi
plusieurs angles invariable^ et c/u on fasse vaner les angles restants,
puis (jue, passant en revue tous les angles variables du polygone, on les
classe en differences series, en placant dans ane metne serie tons ceux qui,
pns conse culivement. ou scpare s les uns des autres par les angles mva-
riables, oarient dans le menie sens, on trouvcra toujours au moins quaLre
series d angles variables : savoir, deux series d angles variables en plus
et deux series d angles variables en moins.
SUR LES POLYGONES ET LES POLYEDRES. 31
Demonstration. -- Avec Ics sommots qui correspondent anx angles
variables du polygono donne fonnoz un second polygone. II est facile
de voir quc les cotes de ce second polygone seront invariable* et qne
ses angles seront en memo nombrc et eprouveront les memes variations
que Jes angles variables du premier polygone.
Supposons, par cxcmplo, que, dans le polygone donne
(fig. 5),
A, B, C, D soicnt les seuls angles variables. Joignez AB, BC, CD .....
vous diviserez le polygone donne en phisieurs parties dont la princi-
pale sera le polygone infericur ABCD, compose d autant de cotes que
le polygone donne avait d anglcs variables. De plus, il est facile de voir
que co second polygone sera la sculc partic variable dans le polygon.-
donne. Et, en cffet. lcs angles a, /,, c, ..., d,e, ... etant invariables,
amsi que les cotes adjacents, les polygones exterieurs AabcK, ]3c/eC, ...
sont necessairement invariables. 11 suit de la :
i Que les cotes AB, BC, CD, ... qui font partie de ces polygones
exterieurs sont invariables;
2 Quc la difference de chacun des angles variables du polygone
donne avec Tangle du polygone interieur qui a memo sommet etant tou-
jours representee, ou par Tangle cl nn poJygono exterieur to I que CDg,
ou par la somme do deux angles de cctte especc tels quo DC/, BC<?,
cette difference est necessairement constante et, par suite, que les
32 SUH LI S POLYGOXES ET LES POLYEDKES.
angles du polygone ABCD variont do la memc quantitc quo Ics angles
variables du polygonc donne.
Cola pose, il osl evident quo les series d angles variables, soil en plus,
soit en moins, seront en meme nonibre de part et d atitrc. D ailleurs
(d apres !e thooromo V), les angles du polygone ABCD doivcnt former
an moins qualrc series : savoir, deux series d angles variables en plus
et deux series d angles variables en moins. II en sera done de memo
des angles variables du polygone donne.
A Y / rt . _. Le polygone ABCD no pouvant avoir moins do quatrc cotes,
puisque Ton suppose ses angles variables, le polygonc donne ne pout
avoir moins do oinq coles ni moins do quatre angles variables.
THKOKKMF, VIII. -- Les memes choses elani posecs quc. dans le llieoreme
precedent, si I on passe en revue tons les angles variables du polygone el
(iii on les compare deux a deux dans I ordre ou Us se presentent relali-
vemc.nl aux si gnes de leurs variations, on trouvera Ion/ours, en faisant le.
lour du polygone, an moins f/itatre changements de signes.
Demonstration. -- Kn elTet, on vient de voir qu il y aura toujours an
moins deux series d angles qui varieront en plus ct deux series d angles
qui varieront en moins. J.a variation du dernier angle de cbaque serie
etanl toujours de sii^no eontraire a eelui de la variation du premier
angle de la serie suivante, les quatre series dont il est question f ourni-
ront quatre changements de signes.
SECONDE PARTIE.
Theoremes sur les angles solides el les polyedres convexes.
On salt qu nn angle solide pent toujours etre represente par le poly
gone spherique qu on obtient en coupant cot angle solide par Line
sphere decrite de son sommct comme centre avec un rayon pris a
volonte. Les eoles du polygone spherique mesurent It s angles plans qui
composcnt 1 angle solide, et les angles du polygone mesurent les coins
SUll LES POLYGONES ET LES POLY ED RES. 33
compris entre lours plans on, si Ton vout, los inclinaisons sur les
diderentes aretes de Tangle solidc. Cola pose, il est facile de voir quo
si, dans les tlieoremes I, II, III, IV, V, VI, VII et .VIII, on substitne les
noms d angles solides, d angles plans ot d inclinaisons sur les aretes
a eeux do polygone spheriqne, do cotes et d angles, on obtiendra antant
de theoremes sur les angles solides. Nous nous contentcrons d enoncer
ici ccux qui correspondent aux tlieoremes VI et VIII demontres ci-
dessus.
THEOREME IX. -- Si, dans un angle soiide a plus de trois faces et donl
les angles plans sont invariables, on fail varier les inclinaisons sur loutes
les aretes et que, passant ensuite en revue ccs merncs inclinaisons, on les
compare deux a deux dans I ordre oil elles se pre scntenl relativement aux
signes de leurs variations, on trouvera loiijours, en faisant le tour de
t angle soiide, an moms quatre changements de signes.
THEOREME X. -- Si, dans iui angle soiide a plus de quatre faces, on
suppose iron settlement les angles plans, mais encore les inclinaisons sur
quelques aretes invariables et git on fasse- varier les inclinaisons sur les
aretes restanlcs, dont le nombre doit elre au moms e gal a 4, pins que,
passant en revue les aretes sur lesquelles les inclinaisons vancnl, on
compare ces inclinaisons deux a deux dans r ordrc oil elles se pre senle/it
relativernent aux signes de leurs variations, on trouvera loujours, en
faisant le lour de 1 angle soiide, au moins qaatrc changemenls de signes.
THEOREM E XL - Dans un polyedre quelconqiie, la somme failc du
nombre des faces et de celui des somtnets surpasse de deux unites le
nombre des aretes.
Ce theoreme a ete decouvert par Euler. On en peat voir une demons
tration ingenieuse dans les Elements de Geometric de M. Legendre.
Si Ton represents par S le nombre des sommets d un polyedre (jiu*!-
conque, par II le nombre de ses faces, par A le nombre de ses aretes,
le theoreme precedent fournira [ equation
S 4-H A-f-a,
OEwes <h C. - S. II. t. I.
34. SUR LES POLYGONES ET LES POLYEDRES.
ou
A-II=:S -2.
Corollaire. Solent :
a le noiribre des triangles;
l> Ie nombre des quadrilateres ;
r le nombre des pentagoncs;
r/ le nombre des hexagoncs;
e Ie n o in b re des lieptagoncs, etc.,
qui component la surface d un polyedrc, on aura
II 4- & 4- c 4- a? 4- 6+...,
2 A 3a4-464-5c4-6^4--t 4-...
et, par suite,
4(A H) = 24-4^-+-6c4-Sd4- ioe4-...;
d ailleurs, par ce qui precede,
A - H S - 2 ;
on aura done aussi
4 S S = 2a4-4&-i-6c4-8^4-ioe4-....
TIIEOREME XII. -- Si I o7i confoit la surface d un polyedre decomposee
en plusieurs portions , c/i ague portion da polyedre pouvajit etre, a volatile,
on line face scale, on le systems de plusieurs faces voismes conside re es
c.omme tie formant quun seal groupe, le the oreme d Eider aura lieu
enlre le nombre des portions dont il s agit, le Jiombre des aretes qui
servent de limites d ces memes portions et le nombre des sommels compris
entre ces aretes; c est-d-dire que la somme faite da nombre des portions
et de celiu des aretes qui les terminent surpassera de deux unite s le nombre
de ces memes aretes.
Demonstration. Le theoreme dont il s agit aurait evideinmont lieu,
si les droites qui terminent chaque portion du polyedre se trouvaiont
dans un ineme plan ; car alors on pourrait former un nouveau polyedre
SUU LES POLYGONES ET LES POLYEDRES. 35
en substituant a cbaquc portion une face plane tcrminee an meme
eon lour.
Cola pose, il est facile clc sentir quc le theoreme doit encore avoir
lieu dans 1 hypothesc contrairc a cclle que Ton vient de lain. 1 ; ear le
nombrc des portions, celui des aretes qui leur servent de contoiir et
celui des sommets compris entrc ces aretes rcstcnt les mcmes dans les
deux cas.
Si Ton rcprescnte par H le nombre des portions dont il s agit, par A
je nombre des aretes qui les icrmincnt, par S le nombre des sommets
compris entrc ccs aretes, on aura, commc precedemment,
S -hH = A + 2,
ou
A-H-S-2.
Corollaire. Soient :
a le nombrc des portions du polyedrc tcrminees par un contour de trois
aretes;
b le nombre des portions tcrminees par un contour de quatre aretes;
c, d, e, ... le nombre des portions tcrminees par un contour de cinq,
dc six, de sept, . . . aretes ;
on aura
H = a + b -+- c + (I + e -+- . . . ,
2 A = 3 a + 4 /; -+- 5 c + 6 d -+- 7 e
4 ( A H ) 2aH-4^ + 6c-f-8^H-ioc
et, par suite,
ioe
Les tbeoremes precedents vont nous clonncr les moyens de demontrer
le theoreme renferme dans la definition IX du onzieme Livi <? d Euclide.
Ce dernier pent etrc enonce de la rnaniere suivante :
THEOREME XIII. Dans un polyedre convexe dont Unites les faces son/
invariables, les coins compiis entre les faces ou, ce qiii revient an me me,
les inclinaisons sur les differ enles aretes sonl aussi invariables; en sorte
36 SUR LES POLYGONES ET LES POLYEDHES.
que, avec les inemes faces, on ne pent- conslruire qu un second polyedre
com exe symetrique da premier.
Demonstration, - En eff et, supposons, contre 1 enonce ci-dossus,
que Ton puisse la ire varier les inclinaisons des faces adjacentes sans
detruire le polyedre et, pour simplifier encore la question, supposons
d abord que Ton puissc faire varier toutes les inclinaisons a la fois.
Les inclinaisons sur certaines aretes varieront en plus; les inclinaisons
sur d autros aretes varieront en moins, et en comparant deux a deux,
relativemenl aux signes de leurs variations, les inclinaisons des aretes
qui, dans chaque face, aboutissent aux memcs sommcts, on trouvera,
en passant sucecssivement d une arete a 1 autrc, plusieurs changements
de signes. C cst le nombre de ces changements que nous allons cher-
cher a determiner.
Soient (com me ci-dessus, theoreme XI) :
S le nombre des angles solides du polyedre;
H le nombre de ses faces;
A le nombre de ses aretes;
on aura (par le Iheoreme XI)
4 S 8 2rt + 4/>-t-6c + 8c/-f-ioe + ....
Cela pose, il suit du theoreme IX que chaque angle solide doit
fburnir an moins quatre changements dc signes cntre les variations
d inclinaison sur les aretes qui le composent. La surface totale du
polyedre devra done fournir un nombre de changements dc signes au
moins egal a 4S; restc a savoir si ccla cst possible.
Or, si Ton compare suceessivement deux a deux les diflerent.es
aretes qui composent une memo face, on trouvera que chaque face
triangulaire contenant toujours au moins deux aretes sur lesquelles les
variations d inclinaison sont de memo signe, ne pourra fournir au plus
que deux changements dc signes. Les quadrilateres pourront fournir
chacun quatre changements de signes; mais les pcntagones sc trouvant
dans le inemc cas que les triangles n en fourniront chacun que quatre
SUR LKS POLYGONES ET LES POLYEDRES. 37
au plus, commc Ics quadrilateres. En continuant do memo, on feravoir
qac les hcxagoncs ct los heptagones no ponrraicnt fournir chacun plus
dc six changomonts do signes, quo los octogoncs ct Ics enneagones n en
ponrraicnt fonrnir chacun plus do huit ct ainsi do suite. 11 suit, do la
quc toutcs Ics faces du polyedre no pourront fournir ensemble [tins
dc changcments dc signcs qu il n y a d unites dans la sommo faite do
deux fois le nombrc dcs triangles, cle quatro fois colui des quadrila
teres, dc quatre fois colui dos pontagonos, do six fois oelni ties hexa
gon cs, etc., on dans
aa H- 4& + 4c -H 6rf 4- 6e 4- . . . .
iMais, si Ton compare co resullat a la valour do l\ S 8 tronveo phis
haul, il sera facile do voir qu il n.e pent jamais la surpasscr. 11 est done
impossible d obtenir cntrc les variations d inclinaison sur Ionics los
aretes un nombrc dc changements do signos an moms egal a 4&; on ll(
pent done changer a la fois los inclinaisons sur tonics les aretes.
Si Ton suppose, en second lien, quo dans le polyedre don no, non seu-
lementlcs faces, mais encore los inclinaisons surplusiours arelos restonl
invariable^ et quc cepcndant on puisse, sans detruirc le polyedre, faire
varior les inclinaisons sur les aretes restantos, alors, pour clemontrer
1 absurdite dc 1 hypotliese, il su(fira dc concevoir la surface du polyedre
decomposee en autant dc portions quo los aretes sur lesquelles los incli
naisons varient forment de contours differents, ot d appliquer aux por
tions, aux aretes qui les terminent et aux sommets compris enlre cos
aretes, les memes raisonncments qnc nous avoiis appliques dans I hypo-
theseprecedente aux faces, aux aretes ctaux sommets du polyedre. On
y parviendra en substituant, dans le cours de la demonstration, los
theoremes X et XII aux tbeoremes IX el XI snr lesqucls on s est appuye
dans le premier cas.
Corollaire I. - - 11 suit du theoremc precedent quo deux polycdrcs
convexes, cojnpris sous un meme nombre defaces e gales el semblablement
placees, sont on superposables on syme triques el, dans les deux cas, ils
38 SUll LES POLYGONES ET LES POLYEDRES.
sunt. necessairement egaux. C cst on quoi consisle le theoreme rcnfcrme
clans la definition IX clu onzieme Livre d Euclide.
Corollaire II. - 11 suit encore du theoreme precedent que, lorsquc
deux polyedres convexes sont compris sous un rnernc Jiumbre de, faces
semblablcs ct se?nblablctnenl placecs, lc, deuxiemc cst semblable au pre
mier on. a un troisieme polyedre symelrique du premier. C rst en quoi
consiste le theoreme ren ferine dans la definition X du Livrc deja cite.
RECHERCHES SUR LES NOMBRES.
Journal de L Ecolc Poly technique, XVI C Cahier, t. IX, p. g<) ; i8i3.
M. Lagrange a demontre, le premier, dans les Memoires de llerlin
(annee 1770), Ic theoreme suivant :
Etanl donnes un nombre premier p et deux autres nombrcs en tiers B
fit. C positifs OIL ndgatifs, jnais non divisibles par p, on pent toujours
trouver deux nombres I et u, ids que la formule
L- + B u"- + C
soil divisible par p.
Ce theoreme a quclquo analogic avcc un autro plus simple et don I
voici 1 enonce :
Etant donnes un nombre premier p et deux autres nombres entiers A
et B positifs ou negatifs, mais non divisibles par p, on pent toujours
trouver un nombre x lei que la formule
A^H-B
soil divisible par p.
Ce dernier theoreme ayant ete demontre tr( 4 s simplement par AI. Le-
gendre dans son Introduction a la tlieoric des nombres, 1 analocio m a
porte a croire qu il dcvait exister unc demonstration scmblablc du
40 UE CHER CUES SUR LES NO MB RES.
theoreme dc M. Lagrange. Le travail quo j avals entrepris dans lc v
dessoin do parvcnir a cottc demonstration m a conduit, on outre, a la
demonstration do quelques autros theoremes quo jo vais oxposor suc-
cessivement, ot dont plusiours mo paraissent nouvoaux.
Pour simplifior Jos enonces dos theoremes, j appcllcrai nombres de
meme forme, rolativomont a un diviseur donne, dos n ombres entiers
qui, etant divises par ce diviseur, donnoront dos restes entiers ot posi-
til s egaux. Par opposition, j appollorai nombres de forme differente des
nombres entiers qui, etant divises par le diviseur donne, donneront
dos restcs entiers et positil s diflerents.
Supposons quo
soiont nne serie do nombres entiers positil s on negatifs, composee do
a -+- 1 lormos differents; nous representerons par a x lo tcrmc general
do cetto serie ot nous dirons alors quo la formule a x pout prendre
successivement a +- 1 valours differentes. Si, do plus, los valours par
ti culieres
(7 , ,, (7 2 , . . . , Ox,
do la formule a x , sont toutos de formes differentes rolativemont a un
diviseur donne, nous dirons alors quo la formule a,, pout fournir a -h i
valours d o formes differentes.
Soiont dc memo
<^0, &1, ^2> " l->$\ CQ, Cj, C:,, ..., CvJ
dos series composees cbacuno de tormcs do formes differentes relative-
inenl i.\ un diviseur donne; nous representerons par b rt c t , ... les termes
generaux do cos series ot nous dirons quo los formulos b y ,c z , ... pouvont
fournir, Tune fJ -h i, 1 autro y 4- r valours dc formes diilerontes.
Cola pose, jo vais passer a la demonstration dos theoremes, on corn-
mcncant par coux qui sont deja connus.
TtiEOREME I. Soil, pris pour diviseur, un nombre entier quelconquen,
RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 41
premier ou non premier; soil
a. -f- i ^ n,
\
et supposons (/ue la formule a x puisse fournir a + i valeurs de formes
differentes relativement an diviscur n ; soil, de plus, k u/i nombre entier
guelcongue positif on jiegatif; je dis gue les formules
k + a x et k a x
fourniront chacune a -f- i valeurs de formes differentes relative me nl an
diviscur 71 .
Demonstration. -- Solent r et a s deux valeurs de la ibrmule a j: , les
deux valeurs correspondantes dc la double formule /: a* seront
d ailleurs, la diflerence des valeurs ,., a s de la premiere formule nc
pouvant etre ni inille ui divisible par /z, il en sera de meme dc la ilifle-
rencc des valeurs
k a r , k a s
de la double for mule ka. F , pnisque cette derniere difference est, an
signe pres, egale a la premiere. II resulte de la quc deux valeurs de la
formule
/.- 4- a x on k a x
sont necessairement de formes differentes relativement a n.
THEORME II. Soil, pris pour diviseur, an nombre premier p; son
et supposons gue la formule a r puisse fournir a -f- i valeurs de formes
differentes relativement dp; soil, de plus, A an nombre entier quelconque
positif on negatif, non divisible par p; je dis {/ue la formule Aa.,.four-
nira aussi a -h i valeurs de formes differentes.
OEuvres dc C. S. II, t. I. ^
-V2 HECNERCHES SUR LKS N OMB RES.
Demonstration. -- Soient a,. el <7, deux valours do la formulo a,.. Los
deux valrurs correspondantes do la I ormnlo. Ar/ j; soronl
Ac/,. cl Art,,.;
d aille.UTS, Irs deux quantifes A et a,. a f n etant point, par I hypo-
flteso, divisiblcs par/;, la difference
des deux valours Art,., Art, dc la formule Aa r no pourra etro non [tins
divisible par/;. II suit de la quo deux valours do la fonmilo Art,, soul
necossaircment do formes differentes rclativemcnl a //..
riii ; :oiu :.Mi-: 111. - - Lcs mcincs choses clcuit posces qne clans le tJicoreinc.
precedent et k eianl ///> iwnibre entier quelconque positif on Jiegalif, la
for mule
/.- H- A^/. r on /> Af/.,.
fournira a 4- r valcurs de formes differentes relativement a p.
De mojislralion. - VA\ ofl eU il suil. du Iheoronie I quo la ibrmuie
k -H \a x oil /, \i~ij.
lournira aulant do valcurs de formes differentes quo la formule Aa r , el
il suit du theoremo II quo eelle-ci fournira autant de valours do formes
differentes quo la valour a ,..
riiiiOREME I\ . - - Le.s memes cftoses cLanl posees quc dans lc theorems
precedent, si, de plus, le n ombre a -f- i des valeurs de la formule d x est
e gal a p, I line des valeurs de la formule
k -+- Art, c ou k A.GJ.
sera divisible par f).
Demonstration. -- l<]n cflet, dans le cas dont il s agit, la formulo
/. 4- A rtj. oil k Art, a;,
(Hani divisee par/?, doit donner/; restos diflerents, e est-a-diro tons Jos
RECHBRCFIES SHU LES NOMBHKS. M
restes possibles; olio doit (lone don nor anssi lo rest* 1 xero. La valour
do la formulo qui correspond a oe reste sera evidemmont divisible
par/;.
THEOREMK V. Soil, pris pour diviseur, nn n ombre premier p\ soil
el, supposons f/ue la formale a,, puisse fournir a -+- i raleurs de formes
di/ferenles relalivemenl a p\ soil, de plus, k tin nombre entier quelconque
positif on negatif; Je dis f/ue les deux fomiules
fourruronl ensemble an moins a -+- 2 raleurs fie formes diffe rentes rela-
livcmenl a p.
Demonstration..- Supposons, conLre I t-nonc i ci-dessus, (jue les
dtHix formules
dj.- e t c.r. -+- k
ne puisscnt iburnir ensemble plus de a -h i I ormcs differentcs. Dans
ee cas, toules les Valours de la seeonde ibnnule devronl etre de inoinos
tonnes quo eolles do la j)romioro. II suit do lii quo a r olanl une valour
quelconque de la premiere formulo ot, a,. -f- k la valour correspondanle
de la seeonde, rune des valours do la premiere formule sera necossai-
rement do la Ibrine ,.+-. l^n subslituant eetle valour a a r on pron-
vora, par 1111 raisonnemont semblable a colui qu on vionl do (aii e, que
la k formulo a x doit necessairement fournir une valour do la forme
(a,. -+-A ) + /f on a, -ha/,-,
ot, en continuant de memo, on iera voir, on general, quo la formule a...
dans 1 hypothese presonto, devra Iburnir des valours do toules les formes
suivantos :
a,., a,. 4- /, , a,. + :>- k, a,. + 3 /,-, . . , a r + ( j> i ) k,
ot comme les formes dont il s agit sont toutes dillerenles enlre olios el
44 RECHERCHES SUR LES NOMBRES.
en nonibro egal ;i />, la formule a x devrait fournir/? valours de formes
differentes; ee qin no pout etre, puisqu on suppose p plus grand quo
a -h 2, on tout uu plus egal a .a -h 2.
THEOKK.ME VI. -- SW. /;m /;owr diviseur, un nombre premier p; soil
flt-H 2</7,
e/ supposons que la formule a x puisse foarnir a -I- i valcurs de formes dif-
fe renles relalwement a p\ soient, de plus, b n , b { deux nombres entiers de
formes differentes relalivement au meme diviseur; je dis que les formules
a x -+-bo, a*+6|
fourniront ensemble au moins a -j- 2 raleurs de formes differentes.
Demonstration. - Pour doduiro oo thooromo du procodont il suffil
do suhstiluor la i onmilo a x -\- /; a la formule a x ot do fa ire ousuito
THEORE.ME MI. So it, pns pour dwiscur, U7i nombre premier p el soient
a el ft deux nombres entiers tels que I on ait
supposons que la formule a x puisse fournir a -h i raleurs de formes diffe
rentes et la formule /;,., [3 -+- i valeurs de formes differentes; jc dis que
la formule a x -h b } . four/lira au moms a + fl + i valeurs de forme*
differentes.
Demonstration. On pout toujours supposor quo la formulo a x soit
cello qui fournisso lo plus do valours. Cola pose, Ton aura |3<a. Do
plus, il pourra arriver, ou quo les valours do la formule a x ot cellos do
la formule b y soient toutos do formes differentes, ou que les formes dos
valours do la formule b Y soient toutos comprises paxrni los formes des
valeurs do la formule a x , ou quo los formes dos valours do la formule /;,.
soient en partio comprises et en partio non comprises panni celles
RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 45
dcs valours dc la formulc a x . Nous allons examiner chacun de ces trois
cas separement.
Premier cas. -- Et d abord, pour ramencr le premier cas a 1 un des
deux suivants, il suffit de substituer a la formule b y la formulc b y k,
en prenant pour k un nombrc entier positi-f ou ncgatif, tel quc 1 une
des valetirs de la formulc b Y k soil egale a 1 une des valeurs de la
formule a x . La formule a x -h b r devant fournir autant de valeurs diffe-
reutes que la formule
O-X + by A",
il suffira de demontrer le theoreme relativement aux formules
a x et
qui fourniront au moins deux valeurs de merne forme.
Deuxieme cas. -- Supposons que les formes des valeurs de b y soienl
toutes comprises panni les formes des valeurs de la formule a r . \\
pourra arriver, ou que la formule _,.-+ b y foui iiissc p valeurs de formes
differentes, c cst-a-dire des valeurs de toutes les formes possibles deter-
minees par les restes
o, i, 2, 3, ..., p i,
ou que le nombrc des valeurs de formes differentes fournies par la for
mule a x -{-b Y soit plus petit que/;. Dans la premiere bypothe.se, le
theorems se trouve verifie, puisque 1 ou suppose
a H- (3 + i
tout au plus egal a p. Soit, dans la seconde hypothese, i H- y le nombre
des formes qui ne sontpas comprises parmi eelles de la formule fl^H- l> yi
ct soit c z le terme general d une serie composcc de i H- y termes (jiii
presentent successivement ees mcmes formes. Les deux formules
ct x ->r by et c z
comprendront a clles deux toutes les formes possibles. Soienl, de plus.
Mi U ECU ER CUES SUB LES N OMBRES.
/>,, /> deux valours do la formule b r \ b m b n no pourra etre ni nulle
ni divisible par/; o(, par suite, los deux formulos
e- et
dovront ibuiMiir -+- 2 valours do formes differentes. La formule
devra done I ouruir lino valour (lout la forme no soit pas comprise
parmi cellos do la I ormulr r, et soit comprise parmi cellos do la for
mule a x -+-b } . Soiont c/., a,., />.. los valours do c., a,, b, qui roudent la
formule
c.-i- b m b n
do iiiiVmo foi DK^ (file la formule a x -r- b y . Substituez aux formulos a_ r
el /;,. los deux forrnulos
II rsl facile do voir (jue cos deux dernieres formulos eoutiendront an
moms deux tonnes do memo forme, savoir :
a,.+ />, el. !>,-{- c/, l> n .
Do plus, la formule
eontiendra au moins un lerme c k (lout la forme no sera point comprise
parmi cellos des valours do la formule a r -+- b,. Los deux formulos
(burn iron t done des valours do memo forme ot dos valours do formes
differentes; d aillours, il suflit do domontror le Ibeoreme relativemen<
a cos deux (lei-nieres formules, pour qu il soit domontre relativement
aux formules a x ot b v . La question pourra done etre toujours ramenee
au troisieme oas quo nous allous examiner.
Troisieme cas. -- Supposons (jiie les formes des valours.de la for-
RECHERCHES S U R LES NOHI 13RKS. 47
mule />_,. soient en partic comprises et on partie non r.omprisos parmi
cellos dcs valours do la formulo a r . Soil
(l) <7 , <7,, <7,, . . . , rt a
la seric des valours do la formulc a x au no in b re de a -+- i , et soil
la sorie dos valours do la formulo A, an nombro do B -f- 1.
Cornino il no s agit ici quo dos formes des valours quo Ton consider* 1 ,
c est-a-dire des restes qu on obliont en les divis;in( par />, on pnurra
supposor los tonnes des series (i) el (2) pins pelits quo p, parco (jue,
dans tons los oas, on peul les rondro lots en rolranohanl p de oliacun
d eux aulant do ibis quo possible. Alors, les Icrmes qui elaionl dc
intMno (bi-me dans les deux series drviendront o^aux do part o( d autn 1 .
Soil i -+- y le nombre do cos lernies et soient respectivement
u, a,, a,, ..., <7y, /;, />,, />,, ..., /;,,
h^s tcrmos egaux, on sorle quo Ton ail
soient, do plus,
, fly.,
los autros tormes dos series (V) et (2), qui seront tons de formes dilfo
rentes; los scries (r) et, (2) seront respectivement
u, a \,
Cola pose, je dis quo; pour demontror le tbeoreme relativement aux
series (1)01(2), il suffira de lo demontrer relativemenl aux dcu\ scries
(3)
48 KECHERCHES SUR LES NO MB RES.
qui no different des deux scries donnees quo parcc qn on a fait passer
dans la premiere tons los formes do la seconde qui n etaient pas com-
muns aux deux series. Pour prouver cette proposition il suffira do
fairc voir (jue toulos Jos so mines quo Ton pout olitenir, en ajoutant
successivemenl les termes do la serie (4) a eeux do la serio (3), sont
necessairement do la forme rt,.-f-6 v ; on sorto qu on pout los obtcnir
egalemont en ajoutant suceessivoment los tonnes do la serie (2) a ccux
do la serie (i). El, en elfet, los sommes dont il s agit sont do deux
ospeees. Les unes resultent de 1 addition dos termes a , a lt a.,, ..., r/ r
do la scric (4) aux tonnes
do la serio (3), ot sont evideimnont de la forme a x + b y . Los autres
rosullonl dc 1 addition des tonnes do la serie (4) avec les termes
do la scM ie ( 3); d ailleurs, les termes
> s 7
a, } , cti, a,, . . ., <7,
elanl do la forme a x , et les tonnes de la sorie (4) pouvant etro consi-
deres comme etant de la forme ,., parce qu ils sont communs aux
series (i) et (u), les sommes dont il s agit seront encore de la forme
<7. ; .-h /;,.. Ainsi, pour domontrer Ic tlieoreme rolativemenl aux series (i)
ot (2), il suflira de le domontrer rolativcment aux series (3) ot (4)
eomposees : rune do
i -+- a -h ,5 7
termes de formes differentes, Tautre de
. + y
termes dont les formes sont comprises parmi cellos des termes de la
serie (3).
Cola pose, on pourra, par le moyen des transformations employees
clans le deuxicme cas, augmenter los series (3 ) et (4) do quantitos
RE CUE RCII ES SUR LES NO MB RES. W
(dies quo les formes des tonnes do la serin (7j) soient en partio com
prises et en partie non comprises parmi les i onnes des termes dc la
serie (3). Soit o -+- i le nornbro des termes qui, apros cos transforma
tions, seront do memo forme dans les deux serif s; on pourra, en
opera nt comnie ci-dessns, substituer aux series (3) et (/i) deux nou-
velles series (5) ct (6) composers, Tune do
[ + a + |3 y4-(y <5) i + a + (3 <3
termes dc formes differentcs, 1 autre de
termes dont Ics formes so trouvoront comprises parmi cellos des termes
de la serie (5), el Ton prouvora, comme procedemmonl ., que, pour
demontrer le theorenie relativemenl aux series (3) et (4), il sufFira de
le dcmonlrer relativement an\ series (.5) et (6).
En continuant do memo, on 1 era voir, en general, quo Ton pout
substituer aux series donnees, dont les nombrcs de tonnes sont rospec-
livemont
a -HI, (3 + i,
plusiours autrcs systemes do series semblablos, dont los nombres do
termes soieut rcspectivemont
i + 4- (3 - y, i + y.
(3 5, i + o,
3 , I -4- ,
les nombres cntiors (3, y, o, formant une serie decroissantc, el qu il
suflit de demontrer le theoreme relativemont an dernier do ces systemes
pour qu il soit demontre relativemont a tons los autrcs. D aillcurs, les
nombres on.ticrs [3, y, o, , ... formant une serie docroissante et no
pouvant jamais etro nuls, la serie dont il s agit so lorminera necessai-
remont par 1 unite, et alors on obtiendra deux series dont les nombres
de termes seront respectivement
y. -+- > el, 2.
OEiu-rcs dc C. S. II. I. I.
50 RECEIERCHES S U El LES NOMBRES.
Mais, d aprcs lo tbeoremc VI, Ics additions faitcs des tcrmcs dc ccs
deux series doivent fournir un noinbrc dc sommes dc formes diffe-
rentes an moins egal a
a 4- (3 -h J
Le tbeoreme VII sc trouvant ainsi verifie par rapport li ces deux
dernicres series, sera egalement vrai relativement aux deux series
donnees.
Sc/iolie. - - II est facile dc voir quc Ic tbeoreme que nous vcnons de
demontrer n a lieu, en general, que relativement a un diviseur premier.
En effet, si, aju lieu de prendre pour diviseur un no in b re premier p, on
prenait pour diviseur le nombrc compose np, alors, en supposant
y. -+- I n
et faisant
a o, a i p, , 2 p, . . . , a lt _ , ( // i ) p ,
el, divisant la { or mule <7,. -h/> v par np, on ne pourrait obtenir pour
resles quc des nombres divisiblcs par p ct, par suite, le noinbrc de
ecs resles, ne pouvant surpasscr n on a -+- 1, scrait necessairement au-
dessous de a -f- /3 -H- i .
II existc pourtant un cas oil le theoreinc VII a lieu relativement a
un diviseur quelconque : c est cclui ou
comme nous le i crons voir ci-aprcs.
Coroilaire. -- Rien n empeche, dans cc qui precede, dc supposcr la
seric (2) egalc a la serie (i); alors on a a = ^> ct Ton pent enonccr le
theoreme dc la manic re suivantc :
TIIEOREMK VIII. -- Soit, pris pour diviseur, un nombre premier p\ soil
2 a -(- 1 1 p,
RECHERCHES SUK LES NOMBRES. 51
el supposons c/ue la for/mile a f puisse fournir a -f- j valeurs fie formes
flijfe.re.nles relatwement a p, les somrnes qui re sulteront de loules ics r.om-
binaisons possibles de ces valeurs, prises deux a deux, fourniront an
jnoins 2 a -f- i termes de formes differentes.
THEOREME IX. Soil, prispourdiviseur, un nornbre entierquelcojiguen,
premier on non premier ; soient a el ft deux autres nombres e7itiers lets f/uc
I on ait
a -4- (3 -h i -- n ;
supposons (jiic la forrnule a x puisse fournir a 4- i valeurs fie formes diffe-
rcnles el la forrnide b y , [3 4- i valeurs de formes dijferentes. la fornude
a,. + byfournira
a 4- P -+- i = n
valeurs de formes differentes, c esl-a-dire des valeurs de, loules les formes
possibles.
Co theoreme, qui est un cas particulier du theoreme VII, lorsqur
// est un nornbre premier, pent se demontrer en general de la maniere
suivante.
Demonstration. SoitX- un reste qnelconque plus petit qne n\ poui 1
prouver que la formule a x -\- b y donne an rnoins une valour de la forme k,
\\ suffira dc prouver que la formule a x -+- b y k fonrnira au moins une
valeur de la forme zero ou, ce qui revient au memo, quo les forrnules a x
et k b y fournissent an moins deux valeurs de memes formes. Et, en
otTot, la formule a u . dcvant fournir a H- T valeurs de formes differentes
et la formule />,, $ -h i valeurs dc formes differentes; si les deux for-
mules no pouvaient fournir deux valours de memo forme, on aurait en
tout
a + (3 H- 2 on n -+ i
valours dc formes diiTcrcntos, ee qui est absurde.
TxEME X. - Soil, pris pour diviseur, un nombre-quelconque n\
52 RECHERCHES SCR LKS NO MB RES.
soienl a cf. [3 deux nombres aiders tels c/ue I on ail
y. 4- ,3 -H i n ;
/ for nude a, .four nil a 4- i valeurs de formes differentes el laformule />,,
|3 4- i valeurs de formes differ enles, line dcs valeurs de laformule a x -+- l> }
sera de la forme zero, eesl-d-dire divisible par p.
En effet, d apres Ic theoremc precedent, la fbrmule a x + b y cloit
(ournir des valeurs de toutes les formes possibles.
THKOHKMI: XI. Soi/, pris pourdmseur, un nornb re premier p; soienl a,
^, y des nombres enliers (els cjue I on ait
a -t- (3 4- 1 1 /? ;
siipposous (/lie la formule a,, fournisse a -f- i valeurs de formes differentes,
la formule /;,, 3 -f- i valeurs de formes differentes el la formule c,, y -+- i
valeurs de formes differentes; a 4- (3 -f- y 4- J e //i^ suppose oil plus petit
(jiie p ou Lout au plus e gal a p, la formule a j: -*r- b y -i- c~ four/lira an
moms
a 4- (3 4- 7 4- i
valeurs de formes differentes.
Demonstration. - - En efl et, il suit du theoreme \\\ quo la formule
(t x+ by 1 oLirnira au moms a 4- p 4- i valeurs de formes differentes. La
formule c z fournissant, d aillcurs, y 4- i valeurs de formes differentes,
les deux tommies a x -{-b y et c. reunies devront fournir, d a]>res le
theoreme VII,
(a 4- (3) 4-74-1
valeurs de formes differentes.
Corollaire. Si Ton suppose que la formule<4 fournisse un nombre o
de valeurs de formes differentes et que Ton ail
HECHERCHES SUll LES N OMB RES. 53
on fora voir, par un raisonnoment semblable a ceux que Ton viont
d etablir, quc la formula
a x + by + c z + d, t
do.it fournir au moins
y. -+- [3 + y -f- o -+- i
valours dc formes differentes. En continuant do memo, on demontrera,
<3U general, le theoreme suivant :
THEOROIK XIJ . Soil, pns pour diviseur, tin nombre premier /;; soicnt
a, (3, y, o, , ... f/c.v nombres cnlicrs (els quc I on ail
supposons, de plus, (/lie le.s fortuities
a x , by, c z , d u , e v , ...
puissent fournir, la premiere, a -H i valeurs de formes differentes; la
deuxieme, ^ -f- i valeurs de formes differentes , la Lroisieme, y -f- i valeurs
de formes differentes, etc., laformule
a x -+ by + c z + d n + e v + . . .
fournira au moins
a-t-,3-i-y-Ho4-c4-... + i
ualeurs de formes differentes.
Corollaire. -- Si Ton suppose
Gc-f-(3-t-y + <5-H-f-...-f-i p,
alors la formulc
ff x -+- ^r + c- 4- f/, ( + e y + . . ,
fournira ^> valeurs dc formes differentes, c est-a-dire des valeurs de
toutes les formes possibles; elle fournira done aussi une valour de
la forme zero, c est-a-dire divisible par p, d ou resulte le theoreme
suivant :
54 IlECHERCHES SUR LES NOMBRES.
THEOREME XI If. - - Soil, pris pour dwiseur, un nombre premier quel-
ronque p: soient a, 5, 7, o, ...,,... des Jiombres entiers lets que I on ail
y. -)- (3 -\- y 4- d + s 4- . . . + 1 p ;
supposons que Ics formules
x, l> y , c-, d u , e v , . . .
puissent fournir, la premiere, a -f- i valeurs de formes differenles; la
deuxieme, p -f- i valeurs de formes differenles; la troisieme, y -f- r valeurs
de formes dij/ferentes ; la quatrieme, o + i valeurs de formes differences ;
la einquiemc, i -+- r valeurs de formes differentes, etc. ; line des valeurs de
la for mule
a* + <V +- c 3 H- C/H -I- ...
se.ra necessairement divisible par p.
Corollairc. -- f.o theoremc precedent aurait lieu, a for/ion, si Ton
avail
i + y- -f- 3 -f- y 4- o + 4- . . . > /j.
FHEOREME XIV. - - 5o?>, pi is pour diw scur, un iwmbre premier p > -2
et cojisiderons la fonnide x- comme representant le carrc d im. nombre
entier pris d volonle. Je dis que. la fonnide x~ pourra fournir J ~ raleurs
de formes differentes.
Demonstration. - - Substitue/ succcssivenicnl a la place de x les
differents ternies de la suite
p
o, r, y., 3, ...,
2
qui sont en nombre egal a } ~~ -- II est facile dc voir que ces substitu
tions donneront pour a; 2 autant de valeurs de formes dillerentcs. Kt, en
effct, soient r- et s- deux de ces valeurs. Pour que r 2 et s- fussent de
meme forme, il fa ud rait que leur difference
RECHERCHES SUR LES NOMBIIES. 55
fut divisible par p. Or, c cst cc qui ne pout etre, puisque lo plus grand
des factcurs do ccttc difference, savoir r-\-s, est tout an plus ogal a
P -3 p-i _.
- n
2 2 J
ct, par consequent, plus petit que /?.
CoroUaire I. - - II est facile do voir que, si, dans la formule x- , on
substitute successivement, a la place, de x, les tonnes dc la suite
on aura des valours de monies formes que cellos qu on avait deja obto-
nucs par la substitution des n ombres
o, i, 2, 3, ..., L
2
a la place de x\ seuloment, les monies formes so trouvcront reproduces
dans un ordrc inverse. En effet, la difference des carres
cst mp et, par consequent, divisible par/;.
CoroUaire II. La formule x* pouvant fournir - restes de formes
differentes, les formules
A^ 2 , Bj 2 ct B/ +C
pourront fournir chacune - rcstcs de formes differentes, pourvu
que A, B et C soieut des nombres cnticrs non divisibles par /). Par
suite, la formule
pourra fournir/; valours dc formes differentes, c est-a-dire des valours
de toutes les formes possibles; ellc fournira done aussi uno valour do
56 RECUERCHES SUR LES NOMBRES.
la forme zero, c est-a-dire divisible par /;, d oii resulte le theoreme
suivant :
THEOREMS X\ . - Soil.., pns pour diviseur, un nombre premier p, el
soient A, B, C des nombres entiers positifs on negatifs, mais noji c/ici-
sibles par p; on pourra toujours trouver, pour x e.t y, des vale.urs idles
que la for mule
\z>-+ Bj ! 4-C
soil- divisible par p.
Nota. --11 suit de la theorie precedente qu on pourra toujours satis-
faire a la question en prenant pour x et pour y des valeurs entieres
plus petites quo
EOREME XVI. - - Designons par x" L la sommc des x premiers termes
de la progression arithmetique
i , i -h m, i + 2 m, . . . , i 4- m ( x i ) ;
x" 1 sera le tenne general des nombres polygones de I ordre m 4- 2 el I On
aura
Siipposons d ahord m pair, ct soil p un nombre premier quelcongue ^> 2.
On pourra toujours supposer
p i m y. -+- n .,
l\ T
a etanl le (juotiejil de - et n elanl ou zero on un nombre entier plus
petit que m. Cela pose, je dis que la formule x n pourra fournir a 4- i
valeurs de formes differentes, si I on a n = o el a -+- 2 valeurs de formes
differentes dans le cas con.lraire.
Demonstration. -- Supposons d abord n = o ; on aura
p i ~ m y. ct /) = in a -+- i .
Substituez successivement, a la place de n, dans la for mule x ", les
RECHERCHES SUR LES NO MM RES. 57
formes do la suite.
o, i, 3, 3, ..., a,
qui sont en nombrc egal a a-h r. II est facile de voir quo cos substitu
tions donneront, pour a;" , autant do valours do formes differentes o(,
en eflet, soient / " et s 1 " deux do cos valours. Pour quo /" et s " t ussenl
de memo forme il faudrait quo lour difference
S ( S
JJ-)
2
fut divisible par /;; or, c est cc qui no pout etro, puisque le plus grand
lac tour do ccttc difference, savoir
est tout au plus egal a
( a -f- a i i ) 4- i ~- in ( y. i ) \
el, par consequent, plus petit quo my. 4- i on p.
Supposons, on second lieu, quo n no soit pas mil; alors on aura
/; = n> y. 4- 2 on /> > m a 4- 2.
Dans co cas, substitucz successivemont, a la place do x, dans la ibr-
inulc x " les tcrmes do la suite
o, i, 2, 3, . . ., a 4- i,
qui sont en nombrc egal a a 4- 2. 11 est facile do voir quo cos substi
tutions donneront, pour x m , autant do, valours do formes dillerentos.
Et, on ofl et, soient /" , s " deux do cos valours. Pour quo /" et s " fussont
de memo forme il faudrait quo lour difference
fut divisible par/?; or, c est ce qui no pout etre, puisque le [tins grand
OEucrcs de C. S. II, t. I. 8
38 RECHERCHES SUR LES NOMBRES.
facteurdc cotte difference, savolr
m
( r 4- S i ) 4- I ,
ost tout an plus egal a
m
( a 4- i -+- a i ) 4- i m a 4- i
et, par consequent, plus petit quo ma -h 2 on /?.
Corol/mre. - Soiont a? ", j" 1 , ?", ... differcnts nombrcs polygones
do I ordro />z 4-2,7/2 etant un nombro pair. Soit, dc plus, p un nombre
premier, ot soient a Jo quotient ct n lc restc dc la division dc /? r
par m. Soient encore A, B, C, D, ... des nombrcs cntiers positifs on
negatifs non divisible* par/?. 11 suit dc ce qu on vicnt dc dire :
i" One les Ibrrnules
fourniront neccssaircment a -f- i rcstcs do formes diOerentes relative-
men t a />, si // est cgal a zero, ct a -f- 2 restcs dc formes diflcrcntcs dans
lo cas contraire;
2 Quo la formulo
A ^4- Bj^ -h C
fournira au moins 2a-hi valeurs dc formes diffcrentcs relativcmcrit a />,
si // cst cgal a zero, ct 2 a -h 3 valeurs dc formes diflcrcntcs dans lc cas
contraire;
3 One la for mule
fournira au moins 3 a 4- i valeurs dc formes diffcrentcs, si n cst egal a
/cro, ct 3 a 4- /| valeurs dc formes diffcrentcs dans lc cas contraire, etc.
En continuant dc memc, on fora voir, en general, quo, si la formule
RECHERCUES SL T H LES IS OMBHES. 50
est coniposee d autant de (ermes variables qu il y a d uniles dans m,
cctto formule Iburnira my. -+- i valours de formes dilferentes, si n esl
cgal a zero on, ce qui revient au meme, si Ton a p -- my. -\- \ el
m(a-Hi)-h i valeurs de formes dilfereiites, s il esi possible, dans le
cas contraire; d ailleurs, //;(a + i) 4- i etant tonjours plus grand (jue
7>za-h/z ou /?, il est elair que la fornuile clont il s agit devra ibuniir
/; valeurs de formes differen(es, c est-a-dirc des valeurs de tonics les
formes possibles et, par suite, line de ses valeurs devra etre divisible
par/;, d ou resulte le tbeoreme suivanl :
THEORKME XVIf. -- Soie-nt m u/i nombre. pair el p un n ombre, premier
quelcongue ^> .>..
SoicnL de plus, A, H, ( , ..., F plusieurs nornbres enticrs posit ifs on
negatifs mais non divisibles par p. liepre.senlons par JL- " , ~Y", P 1 , ... des
nombres polygon es de I ordre m + >. el en nonibre egal a m. On pourra
toil/ours (rower, pour ,r, y, z, des raleurs telles (/ue la fornuile
\1-~"+ \\y n Cc " . . . + V
soil divisible par p.
j\ota. -- II suit de la (beorie prccedcnto qu on pourra toujours salis-
faire a la question en prenant pour x, v, z, ... dcs valeurs enlieres
plus pctites que j H
Corollaire I. - Si Ton suppose m = 2, la formule que Ton consi-
dere sc reduira a trois termes de la forme
et Ton sera ramene au tbeoreme XV, qui n est (jiTun eas pai fieulie
precedent.
Corollaire II. -- Si Ton suppose
A = B - C r = i ,
(K) KEG HER CUES SUH LES NOMBKES.
on trouvera quo la ibnnulc
composeo d autant do nombrcs polygones qu il y a d unitos dans /, esl
toujours divisible par un nonibrc premier donnc.
THEOREME XYJII. -- Designons par x* la suite des x premiers lermes de
la progression arithmelique
x* sera la for mule generate des nornbrcs triangulaires et I on aura
oc ( .r -f- 1 )
a-- 1 --
2
Soil, de phis, p un nonibrc premier qiielconque ^> 2 el soil
{) I riz 2 a.
Je chx f/i/e la formide x* four/lira necessairement a 4- i raleurs de
formes differenles.
Demonstration. -- Snltshtuoz succcssivcmont a la [tlace dc x, dans
la formulc x* , Ics lermcs dc la suite
cjiii sont en nonibrj; egal a a -+- i. II est i acilc de voir que ces subsli-
lutions donncront, pour x\ antanl de valours de formes differentes.
KL, on elf et, soient r 1 et .v 1 deux de ces valours. Pour qu elles fussent
de inerne forme, il laud rait que lour difference
Cut divisible par/;; or, c est ce qui no pent etrc, puisque le plus grand
facteur dc ceite dilference, savoir r-hj-hi, pent tout an plus dcvcnir
egal a
on u 2 a r= \ .
RECHERCHES SUR LES N OMB RES. (it
Corollaire. - II suit du theoremc precedcnl (fiio, si I on represent! 1
par A, I), C dos nombrcs euliers nou divisiblcs par/;, les formules
AuT 1 et BJ T -M;
(biiruirout cbaeuno a -h i valours do formes differentes. Par suite, la
formulc
Aar -hB/ +C
Iburnira 2a -t- i valours do formes differentes, c ost-a-dire des valours
do (oiitos los formes possibles. EIlo devra done fouruir uno valour divi
sible par/;, d oii I on eonch.it lo thooromo snivanl :
THKOUK.MK XIX. Soil p un nombre premier que Iconq lie ^> 2; soient A,
B, C dcs nombres etiliers posit if s on negatifs inais non dicisilnes par p:
on pourra loujours Irouver, pour x el y, dcs valeurs telles (jiie la formule
soil divisible, par p.
THKOKEME XX. -- Soienl m un nombre impair et p un nombre premier
quelconque ; soil y. le quotient de la division de p par 2 in, en sorte qii on ail
]> liny. -\- n,
ji elant un nombre enlier plus petit que zm . soil, de plus, x " la formule
ge nerale des nombres poly gones de I ordre m -f- 2 ; je dis que la formule x "
four/lira an moins a -f- 2 valeurs de formes differentes.
Demonstration. -- Snbstitucz successivemont, a la place de x, dans
la formule x" 1 , los termes do la suite
o, i , 2, 3, . . . , a, a -j- i,
qui sont on nombre egal a a -I- 2. Jo dis que cos substitutions fourui-
ront, pour x" , autaut do valours de formes differcntcs. Kt, en oll el,
soient r" 1 et s" 1 deux do cos valeurs; pour qu olles dissent de memo
G 4 2 RECHERCIIES SUR LES JNOMBRES.
forme, il landrail quo lour difference
- ( r .s ) [ m ( r -f- s i ) 4- 2 ]
flit divisible par /;. Or, c cst ce qui no pout etrc, puisque le plus grand
facteur de cettc difference, etant
-- ( r -+- s i ) 4- i
dans le cas oil r s ost impair ot
in ( r -f- ,v i ) 4- 2
dans le cas oil r s cst pair, sera tout an plus egal a
/?i(a4~i4-a i 1)4-2 ou a 2 in y. ( m . 2 )
ot, par consequent, plus petit quo/;.
Corollaire. - Soient # ", /", r- ", ... des nombres polygones de
1 ordre impair m -f- 2 ; soiont, de plus, /; un nombre premier ot a le
(juotient de la division - y ~; enfin, soient A, 13, C, ... des nombres
outiers non divisible* par/?; il suit dn theoreme precedent :
i Quo los for mules
fourniront necessairemont a + a valours de formes diflerentos relati
ve men t a />;
2 Quo la for mule
Iburnira 2a + 3 valours de formes differentos relativement a /;,
En continuant de memo, on fora voir, en general, quo, si la formule
A ^ - B y " -4- CF 4- ... 4- F
est coinposee d antant do tonnes variables qu il \ a d unites dans zm,
RE CHER CUES SUR LES NOMBKES. 0:J
eetle formule fournira, s il os(, possible,
2 /??. ( a -+- i ) -f- i
vali iirs do formes diffo routes. Mais
?. in ( a -i- 1 ) + i
otant plus grand quo/;, il ost clair quo la formulo donl il s a^it four
nira p valours do formes difleronlos, e ost-a-diro dos valours do (outos
los formes possibles ; olio fournira done uno valour divisible par/> <>(,
par suite, on aura le theorome suivant :
1 iii : :oni ; :.Mi-: XXI. Soicnl m nn nombrc impair el, p tin nombrc premier
<liie[con(pie; soient. dc plus, A, li, C, J), . . ., V plusicurs nombre.s cntie.rs
postlifs on negatifs non divisible* par p\ enfin, soient. .x " , y ", z " , . . . ties
nombres polygones de. I ordre m +- -2 el en nombre egal a ?m ; on ponrra
tou/oiirs I rower, pour x,y,z, des nombres I els que la for mule.
A^ "+ Hj 7 -t- Cs m + . . .4- F,
compose e dc im Icrmes variables el d un le.rme constant, soil divisible
par p.
THE
MEMOIRE
sen u-:
NOMBKE DKS VALEURS QITUNE FOKTION PEUT ACQllfiRIR,
LORSQU ON V PERMUTE DE TOUTES f.ES .MAXIERES POSSIBLES
LES QUANTITES QU ELLE RENFERME.
Journal dc I Ecolc Polylcchni^uc, XVII 1 C.ahicr, Tome X. p. i: i8i5.
MM. Lagrango et Vandermonde son I, jo crois, les premiers qni aient
eonsidere les functions de plusicurs variables rclativemcnt an noinbre
do valeurs ([u elles peuvent oblenir, lorsqu on substitue ces variabb^s
h la [dare les lines des aiUres. Us out donne plusieurs ibeorenies inte-
ressanfs relatil s a ce snjel dans deux Memoircs imprimes en 1771, I un
;t Jkudin, 1 antre a Paris. Depuisce teni[)s, queb{iies geometres ilaliens
se sont occnpes avec succes de eelte inatiere et, particulieremcnt,
31. Rufiini, qni a cunsigne le resultat de ses reeberebes dans le Tome XII
des Mcmoires de la Societc ilalienne et dans sa Tlieorie des equations
nwneriques. Une des consequences les [this rcmarquables des travanx
de ces divei s geometres est qne, avec un noinbre donne de lettres, on
no peat pas tonjonrs former line function qni ait nn nombre determine
de valours. Les caracteres par lesquels cette iinjtossibilite se manifesto
no sont pas (oujours faciles a saisir; nuns on pent, dn moins, ])our nn
n ombre donne de lettres, assignor des limites qne le nombre des
valeurs no pent depasser et determiner en outre un grand nombre de
eas d oxrlusion. ,le vais exposer dans ce Memoiro ce qn on avait deja
tronve de pins important sur cot objet et ce (jue im^s propres reeberebes
MEM01KE SUK LE N OMB RE DES VALEUKS, ETC. 05
in ont perrnis d y ajoutcr. J examinerai plus particuliercment lo eas on
lo nom bre dos valours (rune fonctiou est suppose plus petit quo lc
nombre, dos lettres, parco quo los fonclions do cotte nature son I colics
doiU la connaissance cst la plus utilc on Analyse.
Considerons uno fonctiori do plusieurs quant ites e( supposons (|iic
I ou echange enlro olios cos monies quantites unc on plusieurs t ois dc
suit* 1 . Si la fonctiou ost du. genre do cellos qu on appellc symetriques,
olio no changera pas dc valour par suite des transposilions operees
outre los quantites qu olle ronfcrnio; uiais si olio n est pas symctriqiio.
olio pouri-a obtonir, on verlu do ccs monies transpositions, phisiciirs
valours diflercntes Ics unos dos autros dont le noinhro. so trouvora
determine par la nature de la i onction dont il s a^it. Si Ton pai ln^i 1
Ics fonctions en divers ordros, suivant lo noinhre des quantites qu elles
renfcrmcnt, on sortc qu iino lonction du douxionio ordro soil cello qui
renfcrme deux (|uantilos, uno fouetion du troisienie ordro cello qui on
ronformo li-ois, etc., il sera facile dc rcconnaitrc qu il exisle une liaison
nocossairo enlre le nomine dos valours quo pout obtenir uno fonclion
non symolrique ot I ordro do cotto inoino I onction. Aiusi, par exoniple,
uno i onction du douxiiMiie ordro no pourra jamais obtenir quo donx
valours quo Ton deduira rune do 1 autro par la transposition des deux
quantites qui la coinposont. Do nieuie, uno fonclion du troisicmo ordrc
no pourra obtenir plus de six valours; vine fouetion du quatrioine ordrc,
plus de vingt-quatre valours, etc. En general, le maximum du nombre
dos valiHirs quo pent obtenir uno lonction do 1 ordro n sera evideniiuont
egal au produit
car ce produil represeulo le nombre des manieros diffV-rontes dont on
pent disposer, a la suite Ics unos dos autros, los quaiitites dont la fonc
lion so compose. On a done dcja, par ce moyeu, une liniite quc lc
nombre des valeurs cu ([uoslioii no pout clepasser: mais il s eu f aut dc
OF.uvres de C. S. II, t. I. 9
C M EM 01 RE SUK LE N OMBRE DES YALEUHS
boauooup quo dans cbaque ordro on puisso Connor dos Conetions (lent
lo nnmbre dos valcurs soil egal a run des nombres entiers situes
au-dcssous do cette limilo. Un pen de reflexion suffit pour lain 1 voir
qii aucun nombre au-dessous do la limite no pent remplir la condition
oxigeo, a nioins qn il ne soil diviseur de col to limite. On pout s en
assurer facilomont a 1 aido des considerations suivantes :
Soil K une ibnction quclconque do 1 ordre n et designons par ,,
a.,, ..., a n les (jiiantites qu cllo roni erme. Si Ton ecril a la suite les
lines des antres les qnantitcs dont il s agil on, ce qni revient an memo,
les indices qni les affectent, dans 1 ordro oil ils so presentent lorsqu on
les passe on revue on allant do gaucho a droite el on ayanl soin do
n ocrire qu uno seule fois cha/jne indico, on aura une permutation do
cos monies indices qni aura une relation necossaire avec la I onction K.
Par exemple, si la fbnction K elail du qnatrieme ordro et egale a
(*[ ." cos <7. v + G^ sin 3 ,
la permutation relative a K serait
Si, au-dessous do la permutation relative a K, on ecrit uno autro
permutation lor moo avec les indices i, 2,0, ..., n< el quo Ton rernplace
successiYoment dans la i onction K chacun des indices qni composont
la permutation suporieure par 1 indice corrospondant do la permutation
intorieure, on aura une nouvello valour do K qui sera on no sera pas
equivalente a la premiere et la permutation relative a cetti 1 nouvello
valour do K sera evidemment la permutation iniorieure dont on vionl
de parlor. On pourra obtonir, par ce moyen, les valours do K relatives
aux diverses permutations quo Ton pout Cornier avec les indices i, 2,
J, ..., 11 et, si Ton represente par
K, K , K", . . .
les valours dont il s agit, lour nombre sera egal an produit
1.2.3 ..... n,
QU UNE EONCTION 1>EUT ACQUERIU, ETC. 07
rt lour ensemble i onrnira lonlos los valours possibles do la fonction K.
Four dednire doux do ces valonrs Time do I autre, il sul tira do former
los permutations relatives a oes deux valonrs el do substituer aux
indices do la premiere permutation los indices correspondants pris
dans la seconde. Pour indiquer cello substitution, j ecrirai los doux
permutations entre parentheses on placant la premiere au-dessns do la
seconde; ainsi, par exomple, la substitution
indiqnera quo Ton doit substituer, dans K, I indico 2 \\ Timl ire i,
rindice 4 ;i I indico :>, I indiot* o ii I mdioe _\ ol I indicc i a I indioo >.
Si done on snpposail, coinino oi-dossns,
k if " ( osrt- 4- a. t sin/ /,,
on dosignanl par K la nouvollo valour do K obtemie j)ar la substitution
on aurait
K a, a" cos ft 3 4- :) si n , .
Afin (i al)i eger jo representerai, dans la suite, los permutations elles-
memes par dos leltres majuscules. Ainsi, si 1 on designe la permutation
1.2.4.3 par Aj
ot la perm nlation
2.4.3.1 par A.,,
la substitution
1.2.4.3
2.4.0.1
so tronvora indiqneo do la maniero suivante :
A < ).
A s /
Cola pose, K etanl line fonction qnelconque do Tordre /?. designons
f>8 MEM 01 RE SUK LE NO MB RE DES VALE IRS
[>ar X le prodnit r.2.3 n et par
A M A, A 3 , . . . , A N
los divors.es permutations on n ombre egal a N quo 1 on pent former
avoc les indices r, 2, 3, ..., n . ; N sera le nonibre total des valenrs de
la fonction K relatives a ces diverses permutations. Soient
K,, K 2 , K 3 , ..., KX
ces monies valenrs. Si elles sont tontes ditferentes les lines des autres,
X oxprimcra le nonibre des valenrs differentes de la fonction dounec;
mais, dans le eas eontraire, le nombre de ees valenrs, etant pins petit
(fne X, sera necessairement un diviseur de N, comme on va le i aire voir.
Supposons ([lie, partni les valenrs possibles
K,, K 2 , K 3 , ..., K N
de la fonction donnee, plnsieiirs deviennenf egales entre (dies, en sorle
qu on ait, par exemple,
K a = K K
Designons par .M le nombi e total des valenrs K a , K^, K Y , ... qne Ton
suppose iei egales entre elles. Les permutations relatives a ces valcni-s.
on A a , Ap, A y , ..., seront aussi en nombre egal a M. Pour deduire
tontes ces permutations d ime senle, [>ar exemple de A a , il snilira
d ecbanger entre enx, d nne certaine inaniere, les indices qni, dans
celte permutation, ocmpent certaines places, et Ton coneoit lac i le
nient qne si ces cbangements n alterent en rien la valenr correspon-
dante K a de la fonclion Iv, cela tient non pas a la valenr memo des
indices, mais a la place quo cbacun d eux occupe dans la permutation
do nl il s agit.
Cela pose, soil, K> nne nouvelle valour do K <|ui no soil pas egalo
a K a , et designons toujours [tar A), la permutation relative a K }i . Si Ton
fail subir simullanement, aux indices qui occnpent los monies places
dans les permutations A a ot A>, les cliaugements donl on vientdo parlor.
QU UNE FONCTION PEUT ACQUERIR, ETC. 69
la deuxieme permutation do A> so trouvora successivement changee on
plusieurs autros A^., A v , ..., pendant quo la premiere, A a , deviondra
successivement A^, A Y , ... ot, d apres lo principe ononee ci-dossus, il
ost evident quo los equations
entraineront oolles-ci
K ), K u. . K v : : . .
II ost aiso d on conclurc quo, parmi los valours do K relatives ;i toulos
los permutations possibles, savoir
K,, K 2 , KJ, . . . , K>,
lo nombre <lo ooilos qui soi ont equivalents ; K) sera lo nxMno quo le
noinhi e des valours equivalcntcs ;t K^. Par suite, si Ton represonle
par }\ lo nombro total dos valours ossontirllemont (liU erenles do la
1 onrtion K, M etant lo nombro dos valours equivalents a K a , 1{.M sera
le nombre total dos valours relatives aux divei-sos permutations. On
aura done
KM = N
ot, par suite,
H-^.
:M
Ainsi R, ou lo nombro dos valours differentcs do la f oneliou K, no
pout etre qu un divisour do N, c est-a-dire du produit 1.2. 3 ..... /?. (lo
theoremc, qui so presonl.o des les premiers pas quo Ton vout faire dans
la theoric dos combinaisons, otait deja ooiinu ; inais il otait nooossaii o
do lo rappoloi 1 ioi pour [ intelligence do ee qui va suivre. Afin d abre-
gor, j appollorai dosoi inais indice de la fonction K le nombro R <jui
indique combien cette fonction pout obtenir do valours essonliolle-
mont differentes ot j appellerai diviseur mdicatif le nombro .M ])ar
bujiiel on doit divisor N, ou It 1 produit. dos indices i, 2, 3, ..., n ron-
formes dans la fonction, pour obtenir 1 indicedc la fonction elle-memc.
On vi(Mit do voir quo lo nombro des valours differentes d uno fonction
70 MEMOIHE S Lf 11 LE NO MB RE DES VALEURS
de 1 ordrc n cs(, necessairement an diviseur du produil
N - I . 2 . 3 ..... IJ .
Le [)lus petit diviseur dc co produit est toujours egal a 2 et il cst facile
de s assuror que, dans tin ordre quelconque, on pent former des fone-
lions (jiii n aient que deux valeurs diflerentes. Vandermonde a donne
les moyens de composer des fonctious de cette espece. En general,
pour former avcc les quantitcs
une Ibnction de I ordre n dont Tindice soit egal a 2, il suffira de consi-
derer la partie positive on la partie negative du produit
(|iii a jiour facteurs les differences des quantites a { ,a. 2 ..... a n prises
deux ii diMix.
l{n ell el, supposons que, apres avoir dcveloppe ce produit, on repre-
senle jai P la soniine des lei ines positifs et par la somnic des termes
negatii s, le produil dont il s agit sera represente par
1> - Q,
el commc ce produit ne pent jamais clianger de valeur mais seulement
de signe, en vertu de substitutions quelconques operees enlre les indices
des quantites qu il renferme, les substitutions dont il s agit pourront
seulement transformer P en Q P, c est-ii-dire changer P en Q, et
reciproquernent..P et Q serontdonc les deux valeurs d une fonction qui
ne pourra en oblenir d autres. En supposant n --. 3, on tronve
P ~ a\ a, -+- a\a.i -+- a\ a t ,
Q = i a I -+- 2 a l + "3 a \
On serait encore arrive a dc semblables conclusions si Ton cut mul-
tiplie le prod nit
QU UNE FONCTION PEUT ACQUERIK, ETC. 71
par unc fonction symetrique quelconque dos quantites
Co qu on viont do remarquer relativement au divisonr -2 du produil
i.2.3 ..... 71 u estpas vrai, on general, rclativement al un quelconquc
dos diviseurs do co produit, ot il n est pas (.oujours possible do formor
unc fonction do I ordre n don I. les valours difierentes soiont on nombrc
egal a Tun do oos divisonrs pris a volonto. Supposons, par oxoinplo,
qu il s agisso do formor uno i onotion K qui ait seulement trois valours
differentes. Si n ost egal a 3, on trouvora uno infinite do fonotions cfiii
rempliront la condition oxigoo, tollos quo
On pourra encore former dos fouctions do cetto ospoco si n ost oga
\\ f \ ; par oxomplo,
Mais si n est egal a 5 on surpasse 5, on n on pourra plus former do
semblablcs; on no pout pas UK MIIO, dans co cas, former do fond ions
qni n aient quo quatre valours, ("os deux propositions out oto d(Mnon-
trees par M. Paolo Ruffini dans les Memoires dc la Societe ilalieiuic.
Tome XII, et dans sa Thcorie des equations. Ayant ete conduit, par des
recherchos sur los nombres, a m occuper do la theorie dos combinai-
sons, jo suis arrive a la demonstration d nn theoromc plus general qui
re n ferine les deux precedents ot qui determine uno limilo au-dessous
de laquollo kr nombro des valours d uue fonction non symetrique dc
1 ordre // no pout jamais s abaisser sans dovonir egal a 2. (.]<> tbeoromc
pout s enoncor ainsi qu il suit :
Le nombre des raleitrs differentes d unc fonction non symetrique dc
72 MEMOIRE SUR LE NOMBRE DES VALEURS
n quantites ne peut s abaisser au-dessous du plus grand nombre premier p
conic mi dans u sans dcvcnir egal a 2.
PUEMIERE PARTIE I)E LA DEMONSTRATION.
On fait votr quc, -si I on suppose R </?, chaque valei/r de K
ne pourra etre changce par aiiciinc substitution du degre p.
Coinme pour demontror le theomne precedent il est necessaire do
J)icn coiinailn? la nature do [ operation quo j ai designee sous lo imm
do substitution, jo commcncerai par douuor sur cot objot do nouvoaux
dcvcloppemcnts.
SoitK la fouction donuoo do Fordro n\ soil R son indico ou lo nombro
dos valours esscntiellemcnt differentes qu ollo pout rocovoir par dos
substitutions oporoos ontro los quantitos dont olio so compose. Enfin
designonspar N loproduil 1.2. 3 n; R sera necessairementun divi-
seur do N quo jo pourrai roprosontoi 1 par
N
M
M i taiit ainsi lo divisour indicatifde la (bnction K. Cola pose, soient A,,
A. A N los permutations on nombro egal a X quo Ton pout former
avoc los indices ronlbrmos dans K, et designons par
K,, K 2 , ..., K N
los valours correspondantcs do cette memo fonction ; pour deduire 1 une
do I autre deux d o cos valours on, co qui revientau memo, Jos permu
tations qui lour correspondent, par exemplc A, et A.,, il suffira do
romplacer respoctivemont los indices compris dans la permutation A,
par los indices corrospondants compris dans la permutation A... (lotto
operation, quo j appolle substitution, sera, d apres los cohventions ota-
blies, indiquoo do la manioro suivanto :
A,
\
QU UNE FO NCI I ON PEUT ACQUEIUR, ETC. 7:5
Lcs deux permutations A, ol. A, soront appeloos respectivement/w*e7tt*er
ct second lerme do colto substitution. On pout, dans le premier terme A,
do cettc substitution, intervertir, do fplle maniere quo Ton vouclra,
I ordre dos indicos i, 2, "3, ..., />, pourvu quo Ton inlervertisse do la
memo maniere 1 ordre dos indices eorrespondants compris dans lo
second tormo A 2 . On pourra, on consequence, donnor successivemont
pour premier tonne a la substitution proposee chacune dos permuta
tions A,, A,, A 3 , . . ., A N , ot la niellre ainsi sous un nombro egal a N do
formes difierontes qui seront tonics equivalentes ontro olios.
.]e dirai qu uno substitution ost lo produil do plusieurs autres, lors-
qu elle donnora lo memo rosultat quo cos dornioros oporoos succossi-
voinout. Par oxemple, si on appliquant succossivomont a la permuta
tion A, los deux sul)stilutions ( ** j ot / + ) on obtiont pour rosultal
la permutation A n , la substitution ( ) sera equivalonto au prodmi
\ A 6 /
des deux autres, et j indiquorai celte equivalence commo il suil :
./ ./
Unc substitution identit/ne est colic dont los deux tonnes son I egaux
entrc eux. Les substitutions
/ A, \ / A, \ / A N \
u,> uj 1 uj
sont toutos identiques.
Jc dirai quo deux substitutions sont continues lorsquo lo second
terme do la premiere sera egal au premier terme do la seconde. Les
/ A, \ / A, \
deux substitutions contigues ) ( )> operecs successivement,
\ Aj / \ A 3 /
/ A, \
donncnt Ic memo rosultat quc la substitution unique ( ); on a done
A, A, A.
OF.m-res tie C. S. II, t. I. IO
-MEMO IRE SIK LI-: NO. MR HE J)ES VALE 1) US
On a de mdne, en eneral,
Knn n, jc dirai qu une substitution est derivee d une autre, on est tine
/uawa/zce d unc aulro, si die csl, cquivaloiitc a cotfe aulro ivpetoc plu-
sicurs f ois de suilo. J inditiucrai la piiissanco rdc la substitution [ )
\, ,
dc la nianierc suivanto :
Lorsquc Ics substitutions coutigues
V:
es equivalents enlre dies, on a
:;:Hi)(t)(n-rrH;;;>
- * /
Supposons (jue Ton appli(]ue plusieurs lois de suite a la permu-
1:1(1011 A I I;i subslilution ( " ), en sorte que ectle substitution ctanl
appliquec a la permutation A, domic pour resullat la permulalion A.,;
qu daiit appliqnee a la permulation A,, die donne pour resullat la
permutation A.,, etc. La serie des permutations
A,, A,, A 3 , ...
sera necessairement composee d un nombre fini de tcrrnes, et si Ton
represcnle par m ce mcme nombre ct par A,,, la deriiiere des permuta
tions obtenucs, la substitution ( ) appliquec a cette dernicrc per
mutation reproduira de nouveau le tcrmc A,. Ccla pose, si 1 ou range
en ccrcle on plulot en polygone regulier les permutations
A,, A,, A,, ..., .A /w . A /H
QU UNE FUNCTION PKUT ACQUERIR, ETC.
dc la manierc suiyante :
A,
A,,, A,
A,,,-, A,.
toutes les substitutions que Ton ponrra former aver deux permutations
prises a la suite rune de I aulre, el d orienf en oecidenl dans le poly-
gone dontil s agit, serontequivalentcs cntre (dies el l\ / ), et louies
colles <|ue Ton ponrra former aver deux permutations separees I une
de I aulre par mi nombre / de rotes dans re nieme polvgone sei onl
equivalents a la puissance /-de la substitution ( ) On aui a, de
eette manic re,
A,
A, ,
A,
A,
V A; } A,
/ A, Y _
( A \ = ( A \ - ( A " "l
( A, /
( A, J -( A, .. - M A /; J
(t")""=i
/A, \ /A, v , A,,, \
l , A, / \ A 3 / \ A, /
II suit de ees considerations : i" que la puissance tn de la substiln-
tion ( j esl equivaleule ;i la substilnlion idenliijue ( ); n ^jue
/ A< N "*
x etant un nombre cntier quclconque, ( ) sera encore une subsli-
lution identique; 3" (|IK>, dans la nieme hvpolliese, Ics sid)slilutions
/ A \ mx^-i- / \ \ ,. . i
/ V< \ r / ** \ I / / Ax V
( . J ) soul equivalentes; i" <]ue la notation
, \t . V/
7(i MEMO I ME S UR LE NO MB RE DES VALEURS
indique une substitution identique; 5 quo, panni les substitutions
doriveos do ( h los soulos qui soiont, differentos ontro olios sont
\ Af /
los puissances dout I cxposant est plus petit quo m ou, ce qui roviont
au memo, los substitutions equivalents a cos puissances, savoir :
A, \ / A, \ / A, X / A
> I) !>>
A, / \ A, / V A, / V A
Lo nombrc do cos substitutions est, commc celui des permutations A,,
A.,, A.,, . . ., A,,,, egal a in. Co nombre sei a appelc le degre de la substi-
fulion ( ) Si Ton applique plusieurs fois do suite la substitution
\ A< /
/ -
) a la permutation A,, on eonnnoneera par obtcnir la suite des
A* /
permutations A,, A,, A., ..... A /w el, lorsqu on sera parvenu a ce point,
Ics monies permutations so reproduiront dans h 1 mome ordro d uno
inanioro periodique. (Tost pourquoije dirai (JLIO los permutations pro-
odentes form out inu 1 poriodo (ini correspond a la substitution f )
V v /
\ J * i /
(Ida pose, le degre d une substitution ( j indique a la fois la plus
\ A/ /
polite de sos puissances positives qui soil equivalente ;i une substitu
tion identique ot le nombre dos permutations comprises dans laperiode
qui rosulle de 1 application do la substitution tlonneo a une permutation
determinee.
La maniore la plus simple do represeuter une periode est dc ranger
on cercl(\ on plulot en polygone regulier, les permutations qui la com-
posont, ainsi qu on 1 a dejii fait j)lus bant.
Jo dirai quo le cercle suivant
A,
A /;I A s
A,,,-, A,.
forme comine on vionl de le dire, esl un des corcles do permutations
QU CNE FO NOTION PEUT ACQUERIR, ETC. 77
(|iii correspondent a la substitution / ) Toute substitution qui a
pour tonnes deux permutations comprises dans ce eerele est une des
/ A,
puissances de la substitution
Etant donne lc cercic on polygone precedent qui correspond a la
/AN
substitution ( ) pour en deduire un polygono qui corresponde a
\ A t /
V \
la substitution ( ) , il sufiit de joindre de / en r, en allant d orient
en Occident, les sommets du polygono donne et d ecriro les permuta
tions quo Ton y rencontre dans 1 ordre oil olios so prosontent. Lorsquo
rot//? soul premiers outre eux, on passe do cede maniero sur tons los
sommets du premier polygono et le second polygono ronf enno toulos
los permutations comprises dans le premier; par suite, la substitu
tion / j est du degre //?, ainsi quo la substitution donnee [ ]>
et cotto soeonde substitution pout alors elre consideroe comme uno
puissance do 1 autro. Cotte circonstanco a toujours lieu lorsque in osl
un nombre premier, quollo quo soit d aillours la valour de / .
Si Ton applique successivement la substitution ( ) aux difle-
rentes valours de la fonction K on, ce qui rovionl an memo, aux per
mutations
A t , A 2 , A 3 , . . . , Aj)
N
qui lour correspondent, on obtiendra en tout un nombre egal a de
polygones on cercles differents les uns des autros qui seront composes
c h a c u n d v, m p e r i n u t a t i o n s d i i le r e n to s .
Cola pose, designons sous le nom &e permutations equivalentes cellos
qui correspondent a des valours equivalentes de la 1 onction K; les per
mutations equivalentes a A, etant, j)ar bypotboso, en nombre egal ;t M
il est visible quo, si Ton a M ^> > on pourra, parmi los cercles quo Ton
vieut dc former, en (rouver an moins un qui renCerme deux des per-
78 MEMOIKE SUR LE NOMBRE DES VALEUKS
mutations equivalentos dont il s agit. Solent A. r , A y cos deux permuta
tions; la substitution ( j sera uno des puissances do la substifu-
\ J \r /
t t ii ( ) ot si, en outre, m est un norribrc premier, ( ) sera
f x \ A, /
encore uno puissance de la substitution ( V D aillours, les deux
\ Ay /
permutations A. r> A, etant equivalcntos entre olios ot a la permuta
tion A,, la substitution I x j no cbangera pas la valour K, de la
\ \>- /
tbnction K. Par suite, cette memo valour no sera pas changec par la sub-
/ A, \
stitution ) plusieurs fois ropetee; olio ne sera done pas chanceo
\ A/ /
I / A * \
[>ar la substitution I j si m est un noinbre premier. Si Ton repre-
\ A i /
sente par/; le plus grand des nombres premiers compris dans n, on
pourra supposer, dans ce (jui precede,
Xous somines done conduits, par les considerations preccdentes, it
ce resultat rcmarquablo quo, relativerncnt a la fonction K, on ne pent
supposer M > - on, ce qui revient au memo, R</?, a moins de sup-
poser en meine temps quo la valour K, de cette fonction ne pent etre
cbangee par aucune des substitutions du degre/>. II nous reste a iaire
voir que, pour satisiaire a cette dornioro condition, on est oblige de
rendre la fonction symetrique on de supposer
= 2.
DEUXIOIE I AKTIK DE LA DEJIONSTRATION.
On foil roir qne. si une valeur de K ne. pent etre changee par aitcunc substi
tution du dc^-re p, die ne pourra etre change par aucune des substitutions
eireulaires du troisieine degre.
Avant d allor plus loin, il est necessaire d examiner avcc quelque
attention la nature des substitutions du degre /; que Ton pent former
avec les indices i, 2, 3, . . ., //.
QU UNE FONCTION P E LIT A CO UK Kill, ETC. 70
Xous obscrverons d aborcl que, si dans la substitution ( I fonmV
V A, ,
par deux permutations prises a volonte dans la suite
A,, A,, A,, ..., A N ,
les deux termes A v , A t rcnferment des indices corrcspondants qui snieni
respcctivcmcnt egaux, on pourra, sans inconvenient, supprimer les
memes indices pour ne conserver que ceux des indices eorrespniidants
(|iii soul, rcspectivemcnt inegaux. Ainsi, par exeinple, si Ton fait // 5,
les deux substitutions
soront equivalents enlre elles. Jc dirai (ju unc substitulion aura etc
reduite a sa plus simple expression lorsqu on aura sii[)prime. dans les
deux termes, tons les indices correspondants egaux.
Soicnt main tenant a, ft, y ^t "1 plusieurs ds indices i, 2,3 //
en nombre egal a/;, et supposons que la substitution ( ) rcduiti 1 a
sa plus simple expression prenne la forme
/ a ,3 7 - C -n \
V (3 y 8 -n a )
en sorte que, pour deduire le second terme du premier, il siiflise de
ranger en cercle, ou plutot en polygone regulier, les indices a, 3, y,
o, . .., (, r, de la maniere suivante :
el de rcmplacer ensuite eliaque indicc par eelui qui, le premier, vienl
prendre sa place lorsqu on fait tourner d orient en Occident le polygone
80 MEM 01 HE SUH LE N OMB HE I)ES VALE CHS
tlont il s agit. Jl cst aise do voir quo, pour obtonir la puissance r do la
subsl.il ution donnoo. il suffirade rcmplaccr chaque indico du polygone
par celui qui, le premier, vient prendre sa place apros avoir passe sur
tin Mombro do cotes egal a r, lorsqu on fait (ournor le polygono d oricnt
en Occident. Si Ton vent obtenir do cette maniere uno substitution
identiquo, il faudra snj)posor / egal a/; on a un multiple do/;; car
cbaquo indico no pout revenir a sa place primitive qu apres avoir fait
nne on plusicurs fois lo tour du polygone. II suit do la quo le clcgre do
la substitution donnee cst egal a p. J appollorai polygone indicatif Q\\
cercle indicatif lo polygone on cercle forme par les indices compris
dans redo substitution ot jo la designorai olio-memo sous lo noin-do
snhstinunm circnlaire. Pour qu une substitution soit circulaire, il suffit
quo, apros 1 avoir roduite a sa plus simple expression, on puissc passer
en revue tons los indices qifello comprond, en eomparant deux a deux
les indices qui so correspondent dans los deux termes. Lo degro d une
siibslilution circulaire ost (oujours egal au nombrc (los indices qu olle
roncnnc.
Soil
une substitution cireulaire du degre/;;
(3 y o i ... r, y.
y a [3 o . . . C *l
sera encore une substitution circulaire du degrey;, et, commc ello est
eontigue a la premiere, cos deux substitutions opereos successivement
scron t equivalentes a la substitution unique
/ a ^ -/ o ... C "i \ / y- (3 y \
v y (3 6 r m / \ y (3 /
Si done los deux premieres substitutions no cliangent pas la valour K,
do la function K, cette valour ne sera pas non plus cbangee par la sub-
OU UNE FONT/NGN PEUT A CQ UK HI II, ETC. 81
stitution circulaire du troisiome dogre
/ P y \
V y (3 y
II suit dc la quo. si la valour K, n ost change par anemic des substi
tutions circulaires du degre /;, olio no pourra otre changec par auouno
dcs substitutions circulaires du troisiorno dogre; il no rosto plus qu a
developper los consequences do cotlo derniero condition.
TliOISIEME PAUTIR 1)K I.A l)KMONSTrATI()N.
On fait roir <]ite, si line raleur dc K n cst change par emetine des substitutions
circulaires da troisicnic degrc, ceLI.cfonct.ion se.ra svinrLrif/iic on n aiira //d<-
deux valeurs.
Si Ton dosigno sous lo nom do transposition uno substitution circu-
lairc du dcuxiomo do;ro, (olio qu(> ( ) on, oo qui I oviont an
V p a
inoine, roperation (|iii oonsisto a oohangor Tun ooutro I aulro deux
indices a ot [3, ot quo nous indiquorons ooninK 1 il suil (a, p) : cliaque
substitution circulairo du troisioine dogro sera equivalent a deux
transpositions successivement operecs. Aiusi, par oxoinple, la substi
tution
sera cquivalento au produit dos deux substitutions oontiguos
({lie Ton pout representor anssi par
Si done la valour K, n est pas changee par la substitution eircu-
laire ( ), la memo valour no sera pas changer- par les transpo-
OF.wres de C. S. II. t. I.
82 MEM 01 RE SUR LE N OMB RE DES VALEURS
sitions (a, |3), (|3, Y) operees successivement et, par suite, la transpo
sition (a, (3) ne pourra changer K, en Iv, sans quo la transposition
(fj, Y) change reciproquemcnt K., en K, ot, par consequent aussi, K,
(Mi K.,; ainsi les deux transpositions (a, f>), ((3, Y), qui out un indico
cominun ,3, etant appliquees a K,, donnoront lo memo resultat K.,. On
fora voir do memo quo, si la valour K, n est pas changee par la sub
stitution ci re, ula ire du troisieme degre
? i 7 )
los transpositions (3, Y) ot (Y, o), qui out tin indiee commuii Y, chan
geront Louies deuxK, en K 2 . Par suite, les transpositions
(jui u onl pas d indiees eommnns, eonduiront encore an meme resultat.
II suit de ce qu on vient de dire quo, si la valour K, do la fonction K
n est changee par aucune des substitutions eirculaires du troisieme
degre operees enlre les indices i, 2, 3, ..., n et quo Ton represcnte
par K 2 la valour deduite, de K, par la transposition (\ , 2), toutes les
autres transpositions changeront encore K, en K^ et, par consequent,
K., (MI K,. Par suite, deux transpositions successives ne changeront
pas la valour K ( . Ainsi, dans le cas quo Ton eonsidero, le n ombre des
valours clifferentes de la fonction K, valours quo Ton pout toujours
deduiro do K, par des transpositions operees cntro les indices i, 2,
:>, ..., n, sera tout au plus ogal a 2; d ailleurs, il no pourrait so reduire
;i runite quo dans lo cas oil cette fonction doviondrait symetriquo. II
est done prouve par ce qui precede quo, si la fonction K n est pas syme-
tnquo, le n ombre de ses valours ne pourra etro inioricur a p sans
devenir egal a 2.
Ainsi, par exomple, en excluant les (bnctions syinetriques ot cellos
qui out deux valours seulement, on trouvera qu une fonction du cin-
(jiiieme on dn sixiome ordro ne pout obtenir moins de cinq valours;
uno fonction du .septieino, du huitieme, du neuvioinc on du dixieme
OU UNE FO NOTION PEUT ACQUERIR, ETC. 83
orcl iv, innins elc sept valours; unc ibnclion dn on/.ieme on du donzieine
ordre, moins do ouzo valeurs, etc. An resto, com me. en supposaot n~3
on // = /i, on trouve p 3, on voit quo le theoremc precedent, dans
le troisieme ot le quatrieme ordre, n exelut pas les fonclions de trois
valeurs.
Lorsqnc 1 ordre de la f onction est lui-meme nn nombro premier, on
a/; /?; ainsi, toute fonction dont 1 ordre est un nombre premier ne
penl obtenir moins de valeurs qu elle ne rcnferme de quanlites, pourvii
que Ton suppose toujours exclues les fonctions qni n onl pas pins de
deux valeurs.
An reste, il n cstpas toujours possible d abaisser 1 indiee, c est-a-dire
le nonibre des valeurs d nne I onction jusqu a la limite quo nous venous
d assigner, et, si Ton en excepto les fonctions dn quatrieme ordiv qni
peuvent obtenir trois valeurs, je ne connais pas de fonctions non syme-
triqnes dont 1 indice soit inferieur ii 1 ordre, sans etre egal ii -2. l,e
theoreme ci-dessus demontre prouve du moins qn il n en exisfe pas
de semblables qnand 1 ordre n de la ibnclion est nn nombre premier,
pnisqne alors la limite trouvee se confond avec ce nombi e. On pent
encore demonhvr cette assertion, lorsque n. estegal ;i G, en faisanl voir
qu unc fonction de six lettres ne pent obtenir moins de six valenrs
q u and elle en a plus de deux. On y parvient a 1 aide des considerations
suivantes.
Soit K une fonction dn sixieme ordre, et designons toujours [ar
i, 2, 3, 4 ; Ji G les indices qui afiectent les six quantites qu elle ren-
ferme; le nombre total des valeurs possibles de la fonction K sera egal
au prod nit
i . 2.3.4-5.6 rr: 720.
Soient maintenant a, [3, y trois des six indices pris a volonte el K, mu 1
des valeurs de K. Lc nombre des permutations que Ton pent former
avec les trois indices a, j3, y etant egal an produit
r.2.3 6,
on ponrra toujours deduire de la valeur K, cinq antres valeurs de la
84- MEM 01 RE SUK LE NO MB RE DES VALEURS
ibiiction K an moyon tic transpositions ou do substitutions circulaires
dii troisieme degre operees entre les indices a, [3, y. Soicnt
K 2 , K.;,, K;, K 3 , K c
los nouvcllcs valours dont il s agit; los six valours
K i , K , , K 3 , K , , K 5 , K 6
soront loutos diflercntes los unos ties a litres ou bion olios seront egalcs
doiix a tloux. trois a trois, ou toutes egales ontro olios. Dans la premiere
bypotbese, lo noinbro dos valours differentes do la fonction donnee sora
an moins ogal a 6. Dans les trois autros hypotheses, uno au moins dos
valours
K 2 , K;,, K t , K 5 , K 6
soi a egale a K, ; et, par suite, on pourra, sans alterer la valour K,,
rcbangor ontro oux dans eotlo valour deux ou trois dos indices a, $, y,
soitau moyon d uno simple transposition, soit au inovon d nno substi-
Inlioii circnlaire du troisieme dogre.
Supposons niaintonant quo Ton partagc on plusieurs groupes les six
indices r, 2, 3, f\, 5, (5, do maniorc a rcnfonnor dans un inonio groupo
deux indicia qui sont a la Ibis compris, soit dans line transposition,
soil dans nne substitution circulaire du troisieme degre qui no cbango
pas la valour K,. D apres co qui prek odc, pour quo la fonction donnoe
puisse obtonir moins do six valours, il cst necessaire quo, sur trois-
indices a, [3, r pris a volonto, deux au moins so trouvont compris dans
un memo groupo et, dans ce cas, on no pourra evidemment former quo
deux groupes difFerents, 1 un do cos deux groupes pouvant etre com
pose (I ll n soul indico. Il rosto a savoir combien la fonction K pout
obtonir do valours differentes quand lo nombre dos groupes ainsi forme
ost ogal a 2 ot (juand co memo nombre so reduit a I unito; 1 ordro
otabli enti-c trois indices pris a volonte pouvant etre intervorti d uno
cortaino manioro sans quo la valour K, soit altereo.
Supposons d abord quo les indices so partagcnt on deux groupes.
QU UNE FONCTION PEG! ACQUER1R, ETC. 85
Soiont a et [3 deux indices pris dans Fun des groupes et y im indice
pris dans 1 autrc groupe. Puisqu on pent echanger entre eux deux de
ces trois indices sans alterer la valeur K, et quo I indice. 7 ne pent etre
echange avec Tun des deux autres, il est clair quo la valour K, no sera
pas alteree par la transposition (a, (3). Par suite, cette valeur ne pourra
etrc changee par aucune substitution operee entre les indices d un
memo groupe, ma is olio sera necessairement alteree par les transpo
sitions on substitutions qui i ei ont passer dans un des gronpes une
partie des indices de Fautre; on pent memo assurer quo deux valours
do K, pour lesquelles la composition des deux groupes sera differente,
seront necessairement inegales; car, si cola n avaitpas lien, les valours
do K relatives aux divorsos manieres dont on pent composer les deux
groupes dont il s agit seraient ogales deux a deux, trois a Irois, etc., on
toutos ogales entre elles. L une d olles serail done egale ;i la valeur K,
do la function K et, relativement a cette mojne valeur, il y aurait plu-
sicurs manioros de composer les deux groupes, ce qui est absurdo.
Ainsi, j)our olttenii 1 les valours diflerentes, il suflira de faire passoi 1
succossivomont tons les indices d un groupo dans 1 autre ou d echanger
les do.ux groupes entre eux. Cola pose, on obtiondra les resultats
suivants.
Si Tun des groupes est compose de cinq indices ot 1 autre d un sen I,
comme on pourra fa ire passer succossivomont dans ce dernier groupe
chacun des indices i, 2, 3, 4, 5, 6, on obtiondra en tout six valours
di Here rites de la function K.
Si Tun des groupes est compose do quatrc indices et Fautre de deux,
com me on pourra faire passer successivement clans ce dernier groupe
toutos les combinaisons des six indices pris deux a deux, on obtiendra
on tout quinze valours diflerentes de la function.
Enfm, si les deux groupes sont formes chacun de trois indices et
qu on ne puisse echanger cos deux groupes, en faisant passer succos-
sivemont clans Fun d eux toutcs les combinaisons des indices pris trois
a trois, on obtiendra en tout vingt valours dillerentes de la function
donnee. Le nombre do ces valours deviendrait moitie moindre et so
80 MEMOIRE SUR LE NOMBRE DES VALEURS
reduirait a clix si Ton pouvait echanger cntrc eux les cloux groupes,
c est-a-dire substituer en memo temps tons les indices du premier
groupe a ceux du deuxicme ct reciproquement.
Ainsi, lorsque les indices peuvent etrc partages en deux groupes,
de lelle manierc quo la transposition de deux indices renfermes dans
un meme groupe ne change pas la valeur K,, le nombre des valeurs
differentes quc la fbnction K pent recevoir est necessairement un de
ceux-ci
6, i5, 20, io.
Pour offrir des excmples de ces differents cas, il suffit de citer les
qtiatrc fonctions suivantes :
<7 t a. 2 a :i a,, a- a -+- rt fi ,
a i a., <7
Dans chacune de ces fonctions, les indices se partagent en deux
groupes lorsqu on rasscmble dans un meme groupe ceux qui sont a
la fois conipris dans des transpositions on substitutions circulates du
troisieme dogre qui ne changent pas la valeur de la fbnction. Voyons
maintcnant ce qui arriverait si tons les indices sc trouvaient alors
renfermes dans un seal groupe.
Dans cette derniere hypothese, etant donnee unc substitution circu-
laire du deuxieme on du troisieme dcgre qui nc change pas la valeur K,
de la fbnction K, on pourra toujours trouver une a litre substitution de
meme cspecc qui ue change pas cette valeur ct qui ait un ou deux
indices communs avee la premiere. Cela pose, il est facile de voir que
toutes les transpositions operees sur K ( , cntrc deux indices pris a
volonte dans les deux substitutions dont il s agit, conduiront a une
meme valeur de la fbnction K. Kt, eu cfl et, si les deux substitutions
dont il s agit out deux indices communs a et ft, il pourra arriver, on
que 1 une d elles soit du deuxieme dcgre ct 1 autre du troisieme, ou
qu elles soient toutes deux du troisieme dcgre. Dans le premier cas,
QU UNE FONCTION PEUT ACQUERIR, ETC. 87
olios ])ourront etre represcntecs par
P
Y (Ha nt un troisieme indice et, puisque la deuxieme ne change pas la
valour K,, on prouvera, par un raisonnement semblable a ceux qu on
a deja faits en parcille circonstance, quc les trois substitutions ou
transpositions
(a, [3), (a, y), ((3, y)
donncnt la meme valour de K. Dans le deuxieme cas, les deux substi
tutions donnees pourront etre rcpresenteos par
/ p y \ / a (3 a \
U 7 / U o ,,
Y et o etant deux nouvcaux indices. En vertn de la premiere, les trois
transpositions
(a, [3), (a, 7), ((3, y)
donneront la meme valour de K. En vertn de la deuxiome, les trois
transpositions
(a, (3), (a, a), ((3,5)
donneront aussi la meme valour dc K et, comme la transposition (a, [})
ne pent donner qu une scule valour de K, il en resiilte quo les cinq
transpositions
(a, (3), (a, 7), ([3, 7 ), (a, <5), ([3,o)
conduiront au meme rcsultat.
Supposons maintenant quc les denx substitutions donnees aient un
soul indice commun. 11 pourra arriver, ou quo cos deux substitutions
soicnt du deuxieme degre, ou quo rune soit du deuxieme degre et
I autrc du troisieme, ou quc toutes deux soicnt du troisiemc degre.
Pour donner un exemple du premier cas, soient
(3
|3 a /
\ / a 7 \
/ \.y a ;
88 MEMOIRE SUR LE N OMBRE DES VALEURS
deux substitutions qui no cbangent pas la valour K, ; cos deux substi
tutions equivalent aux deux transpositions (a, f>) (a, y) et, comme
(MI vertn do la premiere on pout fairc passer 1 indice [3 a .la place do
rindico a sans deplacer 1 indice y, il est clair quo los indices |3 et y
jouiront respectivemont dos monies proprietes quo les indices a et y,
(MI soi to quo la transposition
ne cbangera pas la valour K,.
Soieut, dans le deiixieme cas,
y 3 a
les deux substitutions donnoos; on pourra, en operant une on deux
t ois do suite la douxieine substitution,, fairo passer successivement
I indiee y et I imlico Z a la place do rindico a sans deplacer Tindice fl.
Par suite, los trois transpositions
(a, 3), ((3, y), (P,)
no rlumgeront pas la valenr K,, et Ton on conclura, commo dans lo
cas precedent , quo los transpositions
(y., y), (a, 3), (y, 3)
no la cbangeront pas non plus.
Knfin. soient, dans le troisiemc cas,
3 y a /
les deux substitutions donnecs; on pourra, en operant une on deux
Ibis tie suite la deiixieme substitution, fa ire passer successivement les
indices o et a la place do 1 indice a sans deplacer les indices (3 et y,
et Ton en conclura quo les substitutions
3 y \ / 3 (3 y \ / 3 y ^
3 y a / \ y / 3 y
Qlj UNE FONCTION PKUT ACQUERIH, ETC. 8!)
no changent pas la valour K,; par suite. les transpositions operees
outre deux quelconques dcs indices a, ft, y, %> douneront uno memo
valour do Ja lone I ion K.
Si Ton etend do proclio on proclie los raisonncments (fiio Ton vionl
do I aire aux indices compris dans los divorscs substitutions <jni, par
hypothese, no changent pas la valour K,, on en eonclura quo los
transpositions effoctuees sin- K ( outre los six indices i, 2, 3, f\, 5, G,
consideres deux a deux, conduisent toutes a une memo valeur do la
i onction K, quo je designorai par K, ; par suite, K, conservora la memo
valeur apros un noinhre pair do transpositions succossivos ol sera
change on K, apros un noinbro impair do transpositions. J.a i onction
aura done deux valours si K, ol K,, soul diU cronls I un de 1 aulre; olio
n on aura qu uno soulo, c est-a-tlire (ju ello dovioudra syinelriquf, si
Ton a
K,-_ K,.
En resumant co qui a oto (lit ci-dossus, on voit qu uno (bnotion dn
sixiome ordro no j)ou! avoir moins do six valours. ;i nioins quo lo
nombre do cos valours no devienne ogal a ?. on a I linifo.
Tons les theoremes (Mionces dans lo present iVIeinoiro subsistoraioiit
encore si quelqucs-uncs des quantites ronfei-nieos dans les fonclions
quo Ton considere s y trouvaient inultiplioos par zero; inais aloi s cos
dernieros quantites vonant ;i disparaitro, il landrail, ]>our dolorniinor
I ordre do cliaquo I onction, avoir egard, non pas an nombre des quan
tites qu olle renferme, mais an nombro do cos quaiititos augniouto dn
nombre do cellos qu on pout substituor a lour place. Ainsi, par ( xemplo,
si Ton designe parrt,, .,, a 3 , a,, les quatre racines d une equation du
quatrieme degre, la quantite
-f-
consideree comme uno I onction do cos racines, sera du quatriome
ordre, et cctte i onction sera susceptible do six valours qui seront i os-
pccti vein out
<7 !+.,, a l -\-a 3 ,
OEuvrcs tie C. S. II, t. I.
90 _M KM 01 HE SUH LE NO VI HUE I)ES VALEl KS, ETC.
II MO sera pout-olro pas inutile d indiqnor ici los conditions aux-
quelles uno 1 onction doit salisfairc pour quo lo nombre do ses valours
so reduise it 2. Soil K uno, i onction do eelto naluro el designons par
K,, K, los doux valours donl il s agit. Lo nombro do cos valours (Han I
egal ii 2. ot, par consequent, mferiour ii G, si I on parlago on plusieurs
groupos los indices conlenus dans la fonolion, do manioro a renfermer
dans un memc groupe doux indices qui sont ii la f ois compris, soit dans
uno transposition, soit dans uno substitution circulaire du troisiome
dogro qui no change pas la valour K,; on i era voir, com mo ci-dossus,
<|uo, sur trois indices |>ris it volonte, doux au moins seront compris
dans u n memo groupe, d oii il suit qu on no poni-ra former plus do
deux groupes diH ereuts. D ailleurs. en appliquant ici los raisonnoments
donl nous avons dejii fait usage, on prouvora quo lo nombrc des gronpos
no saurait olre egal ii 2. it moins quo los diverses valours do la fonction,
ridalives ;mx diU orentes iiianieres donl on pout composer cos deux
gronpes en i aisanl passci 1 les indices do Tun dans I autro, no soienl
tonics incgalcs ot, dans eo cas, lo nombre des valours do la fonction
serail necessairement suporiour it 2, ce qui osl conti e I hypotliese. Par
suite, pour quo colic hypolhe.se subsiste, il osl micessairo (jin 1 Ions les
indices soionl renfermes dans un soul gronpe; d oii I on pout conclurc.
an moyon do la theorie precedemmcnt exposoo, quo K, doit eonscrvor
lo menu 1 signo apres un nombrc pair do transpositions d indiccs else
changer on K., apres un nombre impair do transpositions. Ainsi, par
exemple, toute lonclion (|ni, com mo la snivanto,
no pout, oblenir quo deux valours egales ot do signes contraires, c<rti-
servora toujours lo memo signo apres un nombro pair do transpositions
d indices el ohangcra lonjours do signo apres un nombro impair do
transpositions; d oii il suit quo chacun do sos tornies, soumis anx
transpositions quo Ton considero, recovra altorualivoment le signo -f-
cl lo signo
MEMOIRE
FONCTJONS QUI NE PEL" VENT OBTEiNIR QUE DEUX YALEUKS
EGAI.ES ET I)E S1GNES CONTUAIRES PAR SUIT!- DKS TRANSPOSITIONS
OPEREKS ENTRIi I.KS VARIABLES OU KLLKS RENFI-:it.MENT ( ).
Journal dc l /:co/c / nli/rr/i/t/f/i/c, NVII 1 C.aliier, Tome N, p. ><); i.Sil.
CONSIDERATIONS GKNKHA1.KS STll I.KS FONCT10NS SYMKTniorKS ALTK HNKKS.
I* 1 . Api os Ics fonctions qu on appollo ordinaircment symetriqties
d qui iM i changcnt ni do valcur ni do si^nc, par suilr drs transpositions
opereos ontro Irs variables (jiiYlles renferment, Ics plus romarqualdcs
sont colics qui pouvont changer do sii^no, inais non pas do valour, on
vertu des memos transpositions. Lorsqu on developpc cos dcrnieres,
on los (rouvo composecs do plusicurs tonnos altcrnativcmcnl [xisilils
d negatifs ot, pour los transformer on fonctions symetriques ordi-
naircs, il suflirail do rhan^oi 1 lo signo dos (OITIIOS nogatil s. Kn 1 avour
do cotto analogic, jo comprendrai sous la denomination ooinuiuno do
C_J tt
fonctions symetriques tonics los fonctions qui no olian^ont pas do valour,
inais tout an plus do signo on vorlu do transpositions opcroos ontro los
( ) Lu a I lnstitut. lo !!o novc-mbro iSi-.->.
!>2 .MEM 01 HE SL : i{ LES FONCTIONS
variables qu elles ronfcrment, el, pour distingucr los functions donl Ics
dinerents termcs.conservent Ic memo signo apreschaque transposition
do colics donl Ics formes dovicnnont alternativcment posilifs of. nega-
tits, j appcllerai los premieres functions symetriques permanenles of, los
soeondos functions sv/nctrif/i/es alterne r.s. II suit dti precedent .Memoirc
(|iio ccs deux ospoeos do foiictions sont Ics soiilos dont la valour absolno
no change pas. Jo partagerai oncoi-o ici Ics fonctions on plusionrs ordros,
suivant lo nonihrc dcs qiiaiililcs qu ollos rcnformont, ot jo dosignorai
foiijonrs |iar dos lottrcs aflcctocs d indicos, folios (ftio
Ics n variables quo ronferme uno. function symotriqnc do 1 ordro n.
( (da [)oso, (.-oneevons Ics divorscs suites do qnantites
tollcment liocs onlro dies <jue la transposition do deux, indices pris
dans I nno dos suites nccossite la memo transposition dans tontos Ics
an (res; alors Ics <]u
pourront etrc consid6re.es commo dos fonctions somblablos do
o t , a,, :j , . . .
el, par suifo, los fonclions do
t. b c \> ; j, l>i, c t , ...; a n , h,,, c n , ...,
qui no ehangeront pas do valour, mais (out au plus do signc, on vortu
do transpositions oporeos onfre les indices i, 2, 3, //, dovronl ctrc
rangees parnii los fonctions symetriques tic a ( , a.,, ..., a n ou, cc (|iii
QUI NE L EUVENT OBTEMH OUE DEUX VALEUKS, ETC. 03
revicnl au memo, dos indices i, 2, ;], . .., n. Ainsi
a * ~\- a] -i- 4<?i 2,
i ^i 4- <7-> /A> 4- r/ 3 /> 3 -f- }. c-i c, f;,,
<7, &, -+- , A 3 -f- 3 /;, - r <7 o />, -f- ,7, A 3 ,7, b,,
COS(rt, rto) C0?(r/! f/ 3 ) COS((7. 2 3 ) .
scronl. dcs functions symetriques |)crinanc)Hcs, la [>rcmicrc du dcuxicnK 1
ordi c ci, Ics aulrcs du Lroisicnic cl, au conlrairr,
7, b., -t- <7, b 3 -h <7 3 /;, , />, a, ^ :{ a x b,,
sin(c7 1 a. 2 ) sin (, rt 3 ) sin(c/, r/.,)
scront dcs fbnc(,ions symetriques altcrnccs du trnisicmc ordrc.
Lorsqu une i ouctiou n cst pas syniclriquc. cllc pent oblcnir nn
nombrc determine do valours din crcntcs los uncs dcs aulros, lorsquc
Ton echange cnfro olios IPS quanlifos qui la oomposonl : niais aloi-s la
soniinc do cos valours ost uno i onclion synioli iffin 1 pcrniancnlc, ol si on
ajoutanl cos incincs valiMirs on lour donno alloriiativoiuoiU Ic signo -+-
ot li 1 sigiic , suivaut uno loi quo nous determincrons ci-apros, on
obtiendra pour I ordinaire unc Ibnctiou syiucti-iquc altcrncc.
On pout generalise.? ccltc definition dcs foncfions symetriques on
supposant quo non scnlcincnt on ooliango onlrc (dies Ics quantitcs qui
coniposcnt la ibnction non symctriquo dout il s agit, inais qu on los
echange encore avco d autres (fuantitcs qui nc soient pas coinpi-ises
.dans ccttc inemc fonction. Cola pose, on pourra considerer, on goiu^ral,
unc Ibnction symctriquc commc fonncc do plusieurs tcrmos quo Ton
deduit Ics uns dcs autrcs par dos transpositions opcrces cntre Ics quan-
tites qu ellc renlermo on, co qui rcvicut an inemc, entre Ics indices (jui
affectent cos quantites, ct Ton concoit quo, pour dotcrminor nnc ibnc
tion symclrique pcnnancntc on altcrncc, il sutlira do connaitrc, avco
1 nn dc scs tcrmes, Ic nombro d indices qu elle doit ronfornicr, c csf-
a-dirc 1 ordro dc la Ibnction don nee.
II suit dc co qui precede quo la theorie dcs tbnctions symetriques
doit embrasser deux cspcccs d op(?rations dilTcrcntes.
0(5 MEM 01 HE SUll LES FUNCTIONS
Des deux, (bnclions synietriques alterneos S(dt K), S"(: K), la pre
miere osl dc I ordre /// el, la seconde de I ordro //. Cos deux fonctions
deviendraieiU egales cntro olios si Ton avail m n\ niais, dans le eas
eonlraire. la premiere no sera qu une parlio do la sooonde. Quant anx
deux notations S(q= K), S"(q=K), on les deduit evidemment des deux
precedonlos en y changeant le signe de K ; d ou il suit <jue les (jiiatre
notations relatives aux functions symetriques altornoes se reduisenf
e Heel iveuie nt a 2.
Si dans ce qui preeede on suppose, pour abrcgor,
K a -f- Kp-hKy-4-. . .= E,
K/.+ KU.+ K v + . . . F,
ehaeune des fonctions E, F no pourra ohtenir quo deux valours par
suite des transpositions opore.es (Mitre les indices a, |3,y. ... eonqn-is
dans la innction K. et Ton aura
S(K)~-E + F, S(=K)- -S(qiK)=E F.
De nieni( ; . si Ton sii[)|)oso
\\* 4- K ri -t- KO -+- ... <;,
K p +K <r +K T +...= If,
ehaeune des I onelions G, 11 no pourra obtcnir ({lie deux valours par
suite des transpositions opereos ontro les indices r, 2, i, ..., n, et Ton
aura
S n (K) G + H, S"(^=K)- -S*(q:K) = G H.
Pour comprendre dans un soul exomplo los qualro notations pi-ece-
dentes, supposons
K ^Z Y?! l>. 2
et Ton trouvora, dans cc cas,
S (fijj-i
OUI NE PEUVENT OBTENIK (HIE DEUX VALEUHS, ETC. 07
Pour ropresenter, au moyon dos notations precedentes, nno fonction
syniotriqno permanenle on altornco, on n ost oblige d ecrire qu un soul
do ses lormos. Jo designcrai celni-ci sous lo noin do lernic indicatif,
parce qu il sutfit pour indiquor la valour do la fonction tout entiero.
Dans I exomple precedent, a,, ost lo tonne indicatif des quat.ro lone-
lions symetriques
Au resto, on pout choisir pour tonne indicatif un quelconque do coux
dontla fonction so compose. Seuloment, lorsqu il s agit d uno fonction
syinetrique allernee, on doit placer le signo dovant ce tonne s il so
Irouvo afT octedu signo -f- dans le devoloppoinonl do la fonction donnoo
el le signo q= dans lo cas contrairo. On trouvora. do cello manioro,
S :! ( , b, } = S 3 ( a, b, } = S :1 ( , /;, )=...,
S 3 (~ a, b z ) S 5 ( , fj t ) S 3 (. a i b* ) -
II. Touto fonction K qui n est j)as symetriquo pout devonir lo
tonne indicatif d uno fonction symetrique permanonto S(K) on S"(K).
Si la fonction K ost elle-meme symetriquo ot permanente rolativoinenl
aux indices qu olle ronfermo, on aura
ot si olio ost symetriquo ot pormanonto pclativcment anx indioos i, 2,
3, . . ., on aura
S"(K) K.
l,a inoino romarquo no pout pas s otondro aux fonctions syinetriquos
altornoos, ot pour qu iino fonction, (fiii n ost j)as syniotriqno, pnissr
dovonir lo lormo indicatif d uno fonction svmctrique alternee, il osl
necessairo (jn ollo satisfasso a cortainos conditions (|n( i nous allons
determiner tout a riiourc.
OEnvrcs (tr C. S. 11. t. I. !>
98 .> 1 E M 1 R K S L K L E S F N T IONS
Soil tonjonrs K nno function quelconque non symetrique. Soionl
y-, , /, o, .... , n
los indices qn ello ronlormo. Designons par m le nornbre de cos indices
ct par O Ic produil
On a fait voir, dans le precedent Alemoirc, comment Ics diverses
valours ([lie Ton pent dcduiro do la function K, par dos transpositions
oporeos entre los indices a, 3, y, o L, Y], correspondaiont anx
diverses permutations quo Ton pent former avec ces memes indices el
don I le nombre est egal a 0. Soient
A,, A,, A,, .-., A g
los permutations dont il s agit ot designons par
K[\ \\ \\
1 3 > )
la serio dos valours K qni lour correspondent. La soinino dos valours
inegalos comprises dans cetto serio sera oquivalento a la fonction
symetrique permanonte S(K). Mais, pour oblonir s il y a lion, an
inoyen des ternies do la serio, la fonction symetrique allerneo S( K ),
il sera necessaire d otaltlir line distinction enlre los tonnes qni devronl
otro consideres comme positifs et conx qni devront etre consideres
coniino nogatifs. Par suite, on devra fa ire un partago outre los tonnes
dont il s agil on, ce qni revionl an memo, outre les permutations
A,, A,, A 3 , -.., Ay
(jiii lour correspondent. On pent effectuer ce partage a 1 aido dos consi
derations snivantos :
Soit A ( . une quelconque des permutations formees avec les indices
a, ft, y, c, ..., , r p et designons comme a I ordinairo par
A,
A,
QIH NE PKUV ENT OB TEN IK OUE DEUX VALE [JUS. ETC. 99
la substitution qui sort a deduiro la permutation A v do la permuta
tion A,. Si ectte substitution ost du genre do relies quo j ai nominees
substitutions circulaires , on pourra passer on revue tons Irs indices
qu elle renfcrme on coniparant deux a deux les indices qui so corres
pondent dans sos doux tonnes ot, dans co cas. Ton pourra ranger en
cerclo tons les- indices donnes a, (3,y, ..., do uianiero quo doux indices
pris dans lo corclo a la suite Tun do I aulre, ot d orient on Occident,
soiont toujours ccux qui sont situes 1 un au-dessus do 1 autre dans la
substitution donneo, savoir : le premier dans lo (ormo superieur el lo
second dans lo tonne inferieur do cetto substitution. Dans lo cas con-
trairc, si Ton compare deux a deux les indices corrospondauls en
partant d un indico determine pris dans lo tonne superieur, on so
trouvera ramene a eel indico avant d avoii passe Ions les aulres en
revue, ot Ton sera ainsi conduit a ranger les indices donnes en plu-
siours cercles el a former dos cercles d un soul iudice toulos les fois
<|u on trouvera dans les doux tonnes de la substitution dos indices
corrcspondants ogaux enlre oux. Alors .la substitution ( ) sera
oquivalento an produit dos substitutions circulaires correspondanl a
cos diHerents corclos. Ainsi, par exomple, si Ton suppose a, fi, y, ...
rospoctivoinont ogaux a i, 2, 3, f\, 5, G, 7 et quo Ton suppose on outre
, A, \ _ / I.2.3.4.5.G.- \
\ A, / "" 3.2.6.5.4.1.7
on sera conduit, par la comparaison dos indices corrospondants |>ris
dans los deux termos do la substitution precedonte, a i oi inei- les
quatro corclos
.- -. . i
6 3 ,
. . " 5
dont los deux dorniers no comprennont qii tin soul indico. Par suite, la
substitution donneo sera oquivalento au produit des quatro subslitu-
100 MEM 01 RE SHU LES FO NOTIONS
tions circulaires
5.4
doiit les deux dernieres sent identiques, et Ton aunt
i.3.6
I - ( II I ( II
3f* ~ /
.2.0.5.4.1.7
ce dont il est facile de s assurer immediatement.
Si Ton supposait A,. ---A,, la substitution ( ) devicndrail iden-
v, A,j /
(i(}iie ot. par suite, serait decomposable en autant de substitutions
circulates identiques qu elle re n ferine d indices. La comparaison des
indices correspondants conduirait done alors a former un nombre egal
a in de cercles differents composes chacun d un seul indice.
Si Ton sup|)ose les deux permutations A,, A, didei entes Tune de
Tautre. le nombre des cercles obtenus par la melhode precedente sera
inferieur a m. Designons par g ce meme nombre. Stipposons, de plus.
i|iie la transposition de deux indices pris a volonte dans la pennula-
lion Aj change celle-ci en A t , et soit k le nombre des cercles que Ton
obtient par la comparaison des indices correspondants de la substi
tution
( Al V
\ A, r
il est facile de prouvcr que Ton aura toujours
I i = g : i .
En efTet, la transposition (a, ^) qui, par hypothese, change la permu
tation A, en A,, changera aussi la substitution ( ) en celle-ci / ):
\ A..V / At
d ailleurs. cette transposition n ayant evideinment aucune influence
sur les cercles qui ne renferment ni Tindice a ni I indice ,3, il sulfira
de considerer les cercles qui renferment les deux indices en question.
Oi:i YE PEUVENT OKTEN1H QUE DEUX V A LEI; US, ETC. 101
Cola pose, il pout arriver, ou quo IPS indices a pt ^ soienl Ions deux
compris dans mi dps cerclcs rplatif s a la substitution ( )> on qu ils
soicnl compris dans deux eercles differcnts. Nous allons examiner
ehaeun do cos deux cas separement.
Supposons d abord (|iie les indices a el [3 soionl compris dans mi
seul des cercles quo fburnit la decomposition de ( ) en substitu
tions circulaires, et soit
y.
7
/ A,
k> corcle donl il s agit ; alors ( j sera equivalente an produil d<-
plusiours substitutions circulaires donl rune sera
En vprtu de la transposition (a; (3) cffectuee sur le second forme de
la substitution ( )> la substitution circulairo donl il s agit so cban-
gora dans la substitution suivante
o a C (3
qui ost olio-memo decomposable on deux substitutions eireulaires,
savoir
( * 7 *\ ( ^ )
<. y ...day C (3 y
Ainsi, dans IP cas quo Ton considerp, la transposition (a, (3) decom
pose le cerclo qui ronfbrmo los indices a p{ ft en deux corcles distincts.
La valour de g so trouvo done par eo moyen augmentee d uuo unite el,
102 MEMO IRE SUN LES FONCTIONS
par suite, on a
Supposons, en second lieu, quo les indices a of ft soient compris
dans deux eereles differonts, el soit
le eercle qni ronf ormo I indire a et
le eercle qui reu ferine 1 indice 3; alors, parmi les diverses substitutions
eirculaires dont le produil equivaut a ( b so trouveront comprises*
les -deux suivantes :
mais celles-ci, en vertu do la transposition (a, $) edecluee sur le
second termo de la substitution | ), so reuniront en uno seule
substitution circulaire ([iii sera
Ainsi, dans le second eas, le nornhrc des eereles relatil s a la substi-
/ A, x
tiition ( j sera mferieur d une unite an nombre des eereles relatifs
a la substitution ( \, et Ton aura
h p -- [ .
La demonstration precedents subsiste dans le cas me me oil chacun
QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DELX VAL EURS, ETC. 103
des indices a, (3 formcrait a lui seul un cercle. Kn diet, la substitu
tion ( \ renfermerait alors les deux substitutions identiqnes ( ),
* V y.
( 3 ) f ( L] i> (>l) vcrtu dc la transposition (a, ) opere.e snr A,, se trouve-
raienl converties en une sonic substitution eireulaire, savoir
/ 3 \
( 3 . >
on aura done toujours, on A = g -+- i , on A = i .
Par suite de la proposition qu on vient dYlabiir, h sera noeessaire-
ment un nonibre pair si g est un nonibre impair, el rcriproquoment.
Ola pose, partageons en deux classes toules les substitutions qui out
pour tonnes deux permutations prises dans la suite
A,, A 2 , A 3 , . . . , A, 9 ,
de maniere H renfermer dans I une des classes tonics les substitutions
(fii i correspondent a un nonibre pair de cercles el, dans 1 autro elasse,
toutes les substitutions qui correspondent a un nonibre impair de
cercles. Knfin, supposons quo la premiere des deux classes soil cello
(fui renfermo les substitutions identiques
, A 2 ,
La substitution ( ) sera de premiere classe si m e( g soul deux
nombres pairs ou deux nombrcs impairs on, ce qui reviontau memo, si
m gc*( un noiribre pair; la memo substitution sera do seconde classe
dans lo cas contraire. II suit dc cette definition el du ibeoreme demontre
ci-dossus quo, si Ton offoctue sur le second terme d nne substitution
do premiere classe plusieurs transpositions successives, les nouvellos
substitutions ob ten tics par co moycn soront alternativoment de seconde
otde premiere classe; de sorte qu on obtiendra (oujours une substilu-
lOV MEMO IRE SUK LES FONGTIONS
lion do premiere classc apros un nombre pair do transpositions ot une
substitution do soconde classe apros un nombro impair do transposi
tions. Supposons, par exomplo, quo Ton ait deduit la substitution
( ) do la substitution identique ( ) au moven do plusiours
\ A, / \ A, /
transpositions operees sur le second terme de cette derniere; le nombre
do cos transpositions sora neeessairemonl pair si la substitution ( j
est do premiere classo; il sera neeossairement impair dans le cas con-
Irairo. Ainsi, deux permutations A f , A, no peuvent etre deduitos I uno
do 1 autro par un nombro pair do transpositions quo dans lo cas on
la substitution qui les a pour tormos ost do premiere classc; olios no
pouvoiif etre deduites I uno de I autre par un nombre impair de trans
positions quo dans lo cas on cotto substitution ost do soconde classe.
11 ost au resto indifferent do proudro pour premier terme de la substi
tution rune on Pantre dos permutations dont il s agit. En vertu do la
remar(jiie qu on vienl do Cairo, los permutations
A,, A, ; A,, ..., A ( ,
so partageront naturollomont on deux classes dont la premiere com-
prondra, par exemple, la permutation A, avoc toutos cellos quo Ton
pout on doduiro par un nombro pair do transpositions, ot dont la
socondo renfcrinera toutos los autros. Le parlage etant ainsi fait, on
sera toujours oblige d effectuer un nombro pair do transpositions pour
deduire deux permutations 1 une do 1 autro si cos permutations soul
comprises dans la memo classe, et un nombrc impair de transpositions
si cos permutations soul rospoctiveinont comprises dans les deux classes
quo Ton considere. Do plus, on reconuaitra facilement si deux permu
tations donneos A,, A s soul do memo classe on do classes opposoos a
I aide do la regie suivaulo :
Soit^ le nombre dos cercles resultant de la oomparaison dos indices
qui so correspondent dans los deux tormos do la substitution ( )
QUI NE PEUVENT OUT EM R OUE DEUX VA LEU IIS, ETC. 105
Les deux permutations A,, A t seront do memo classo si m g ost un
nombro pair et do classes opposees dans fo cas cont.raire.
Ainsi, par exemple, si los indices a, j3, y, ... sont respectivemenl
<3gaux a i, 2, 3, f\, ;">, 6, 7, la substitution
1.2.3.4.5.6.7 N
3.2.6.5.4-1.
etant equivalente an produit do (fuatre substitutions circulaires, on
aura
m 7, g-h m g3
ot, par suite, les deux permutations
seront do classes opposeos.
Design ons ton jours par
K,, K,, ..., Kg
la serie des valours do, K qui correspondent aux diversos permutations
dos indices donnes et supposoi>s K, = K. Les termes do la soi-io prece
de ntc se partagerout en deux classes disLincles ainsi quo les permu
tations qui lour correspondent. La premiere classe ronforniora lo
termc K et tons ceux ([lie Ton pent en deduiro par un nombro pair do
transpositions; la seconde renfermora tons los termes quo Ton pout
deduire de K par un nornbre impair de transpositions. Soienl i-ospeo-
tivenient
KCO KfJ, Ky,
les termes inegaux compris dans la premiere classe ot
KX, K.JJL, K v , . . .
les termes inegaux coinpris dans la seconde classe. Si les deux
suites precedentes n ont [)as de termes qui lour soient com muns, on
OEui-res tic C. S. II, t. 1. I |
JOG MEMOIHE SUK LES FONCTIONS
aura
K a + K p H- K y + . . . - K >. - K ^ - K v - . . . S ( K ) .
Mais si deux tonnes, pris 1 un dans la premiere suite, 1 autrc dans la
soconde, par oxomple K a et K), sont egaux entre eux, alors chacun des
lei ines de la premiere suite devienclra egal a Fun des tcrmes de la
seconde. En effet, Kp etant un tenne quelconque de la premiere suite
di Heron t de K a , si Ton ofFectue simultanement sur les indices corres-
pondants do cos deux tormes un nombrc impair de transpositions, an
in oven desquelles K a soit change en K x , Kp so trouvera do cottc maniere
change en un lermo K^. do la soconde suite, et I equation K) =r K a
ontraincra celle-ei : K^. K^. On demontrc aisement cette proposition
a I aide des principes otahlis dans lo precedent Memoirc. Cola pose,
1 expression S(K), qui designait on general unc fonction syme-
trique alternee, so trouvera, dans 1 hypothose quo Ton considore,
roduite a xero. Dans tout autro cas, cette expression aura line valour
algebrique determinee. Ainsi, la soule condition necessaire pour (jiie
la ioncliou K })uisse devenir lo termo indicatif d une 1 onction syme-
Irique altorneo de la forme
S(K)
ost (jue deux valours do cotto fonction" obtonues Tiine par un nombro
pair ot I autre par un nombre impair do transpositions dos indices ren-
formes dans K, soiont toujours dilferontos 1 uno do 1 autro. Si los indices
a, [3, y, . . . renfermes dans K devionnent rospoctivoment egaux a
i , 2, 3, . . . , n
ot si Ton suppose, en outre, quo los quantites affectecs de quelqu un
do cos indices puissont avoir xero pour coefficient dans la fonction K,
1 expression S( K) so trouvera transformoc on colle-ci
S(K)
ot, par consequent, la soulo condition necessaire pour qu iino fonction
mm symetrique puissc devenir le terme indicatif d une fonction syme-
QU1 NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 107
triquc altcrnee clc la forme S"( K) cst quo deux valours do la fonc-
tion, obtenues 1 unc par un noinbrc pair dc transpositions des indices
i, 2, 3, ..., n, 1 autrc par un nombrc impair do transpositions dos
memes indices, soienttoujours ditlerentes Tune de 1 autro. Cello condi
tion cxigc que le nombrc des indices renformes ostcnsiblemcnt dans
la fonction K soil egal a n ou ii n -- \. Si done on represenfe ii I ordi-
nairc par m le nombrc de ces indices, on aura nocessairomeiit
ou
Dans ce dernier cas, les deux expressions S(K), S"fK) dovioiinont
equivalentes. Au reste, on pourra ton jours roconnaitre si deux formes
pris a volonte dans uue function symetrique altcrut e y sout ad eetes dc
memo signe ou de signes contraires, an nioyen de la regie (|iii sert h
distinguer entre clles les permutations dc premiere el dc secoudc
classc. Ainsi, 1 on pourra obtenir immediatcment le signe dc rliaeun
des term cs en le corn pa ran I an terrne indicalit .
^ III. D apres la definition que nous avous donnee dcs loud ions
symetriques permanentes on alternccs, il est aisc dc voir <jiic le pro-
duit ou le quotient de deux fonctions symotriques altcrnces de I ordn 4 //
est Line fonction symetrique permanent* 1 de memo ordre que les deux
premieres. Reciproquement, le produit ou le quotient de deux fonc
tions symetriques, 1 une permancnte et 1 autrc alternee, du memo ordre
est une fonction symetrique alternee de memo ordre qu cllcs.
Lorsque, dans une fonction symetrique alternee, on transpose deux
indices a, (3 pris a volonte, la fonction changeant alors de signe, il
est necessaire quo tons les termes positifs deviennent respcctiveiuent
egaux a ceux qui etaient negatifs et reciproquement. (]ela pose, conce-
vons que Ton devcloppe cette fonction suivaut les puissances et. les
produits des quantites qu elle renferme. II suit de la remarque prece-
dente : i quo les termes positifs du devcloppement serout en noinbrc
egal a celui des termes negatifs; 2 que tons les termes qui no cbangenl
pas de valour par la transposition de deux indices pris a volonte dis-
I OS MEM01RE SUR LES FONCTIONS
paraitront necessairoment ; 3 quo si Ton romplace dans tons les terinos
I indioc a par 1 indico (3, sans romplacer on memo temps 1 indicc p par
rindice a, la fonction symetrique alternee so trouvcra reduite a zero.
Kn ofTot, do cotto maniere, on rondra equivalents ontre onx los termes
quo Ton doduisait los uns dos antros par la transposition (a, p), c ost-
ii-diiT los tormos positifs ot los tonnes nogatifs. Ainsi, par exemple, si,
dans [ expression
on roMiplaoo 2 par i, cotto expression doviondra
On pent encore doduiro, dos considerations precedentes, lo theoreme
snivanl :
Soil S(=bK") ////^ fonction symetriijue aliernec quelconque.
/>/ a, 3, y, les indices (/a die renj erme et par
c a , cs, c r>
les (juunl lie s qui, dam ceMe fonction, se trouvcnl affeclees des indices a,
p, Y ..... Si / o/? remplace
.v functions semblables des quanlites r/ a , p, <7 y , ..., la fonction
symetrique alterne e deviendra divisible par cliacune. des quantites
QUI NE PEUVENT OBTEN1K QUE DEUX VALEUKS, ETC. 10<>
En effet, soient a el j3 deux indices pris ii volonte. En verlu de ce qui
precede, la fonction deviendra iiulle si Ton suppose
Elle sera done divisible par
II suit de ce theoreme quc toute fonction symetrique altcrneo, qui
ne renfcrme qu une seule espece de quantites to lies que.
*, rto, y , . ..,
est divisible par IPS differences respective* des quantity s donl il s agit.
Elle est done aussi divisible par le produit do cos differences. Ainsi.
par exemple, si Ton designe par/>, q, r, ... des nombros entiers pris
a volonte, la i onction syniolriquo alternee
sera toujours divisible par le produit
Cette meme fonction deviendrail nullo si deux des nonibres/^, q, r, ...
etaient egaux entre eux.
DC meme, p, q, r, .... ,9. / designant des nrnnbres enliers <|uel
conques inegaux,
sera une fonction symetrique alternee divisible par le produit
A ( a, a, ) ( <7 :! a, ).-( i ) ( 3 > ) . . .. ( n n a, ) . . . ( r/,, a,,_ , ).
Si Ton suppose
/> z=: o, q = i, r - 2, . . . , .9 - ?., t n j ,
la somme des exposants des lettres ,, ., ..... , dans cliaque tenue
110 MEMOIHE SUR LES FONCTIONS
do la f onction symetrique alternee
sera
n(n
o + i -+- 2 + . . . -I- ( // 2 ) + ( n i ) - -
Mais les facie urs du produit A etant aussi on nombre egal a - ^-
la sommc dos oxposants dcs lottros ,, n,, ..., a n , dans chaque tcrmo
dn dovoloppement do co produit, sora encore egale a co nombre; par
suilo, le quotient qu on obtieiulra, en divisant la (bnction symetrique
nltornee par le produit, sera line quantite constante. Soil c la quantite
dont il s agit, on aura
Pour determiner c on observera quo le terme
a pour coefficient I unite dans la f onction donncc et dans le produit A
on doit done avoir c i et, par suite, a\ etant e.gal a i,
Ainsi, par exemple, si Ton suppose n ~ 3. on trouvera
(jOtle derniere equation a ete donnee par Vandermonde dans son Me-
nioire sur la resolution des equations.
Nous avons fait voir ci-dessus quo la fonetion symetrique alternee
etait toujours divisible par le produit A. Kile sera done aussi divisible
par la f onction symetrique alternee
QUJ X.E PEL VENT OBTENIH QUE DEUX YALEURS, ETC. Ill
50 it P le quotient; P sera necessairement une function symetrique per-
manente des quantites ,, 2 a n et Ton aura, on general,
S"(-t- n 1 n 1 a 1 n s n l \
( 9 \ " 1 "i " 3 a n-\ a n ) n
S(a,a;...a- 1 )
51 dans I equation precedente on suppose
yj> o, 17 =r i , / ?., . . . , <? n 2, t ~ n,
la fonction P sera necessairement du premier degre par rapport aux
quantites ,, a.,, ..., <? ot, couiine elle doit etre syinotrifjiio et perma-
nente par rapport a ces quantites, on sera oblige do supposer P egale a
octant uno constanto (jui no pout differcr ici de I linite; on aura done,
on general,
(3) S(tJai...Sl?S) = S(a I )S(a,a;a!...a;;:>r 1 ).
Ainsi, par exemple, si Ton suppose n i, on aura
Si dans 1 equation (2) on suppose
yj i, </ 2, / 3,
ou aura evidemment
P = a,rt 2 (73
On a done, on general,
a,)-
112 MEMOIHE SUH LES FONCTIONS
Ainsi, par example, en supposant n=-3, on trouvera
Lorsqinm suppose/; = o, TZ = 2 et que Ton remplace les quantitesa,
, par des lettrcs dilferentes a? et r, 1 equation ( se reduit a
- y _ p .
-- * 5
x y
d oii il suit que x 1 \ q est, en general, divisible par x y.
De meme. si Ton suppose p = o, n--- 3, on trouvera que
xiy r + yi Z T + z l x r x r yi y r zi - : x i
est toujours divisible par le produit
Klc., etc.
Pour etre certain que deux foncfions symetriques alternees sont
e^-ales eutre elles, il sudit de s assurer : i" quo tons les tcrmes ren-
lermes dans la premiere sont anssi renfermes dans la seconde; 2 qne
ees tcrmes out les meines coefficients numeriques dans I line et dans
I 1 an I re; 3 qu un des- termes de la premiere a le meme signe que le
ferine correspondanl pris dans la seconde.
Je vais maintenanl examiner particulierernent une certaine espece
de fonctions symetriques alternees qui s offrent d elles-memes dans nn
grand nombre de recberches analytiques. C est au moyen de ces fonc
tions qu on exprirne les valeiirs generales des inconnues que ren-
t erment pltisienrs equations du premier degre. Elles se represented
loutes les ibis qu on a des equations de condition a former, ainsi que
dans la thoorie generale de 1 elimination. MM. Laplace et Yandermonde
les out considerees sous ce rapport dans les Memoires de t Academic
des Sciences (annee 1772) ct M. Bezout les a encore examinees depuis
sous le inrine point de vue dans sa Theorie des t : (/u alums. M. Gauss s en
est servi avec a vantage dans ses Recherches anaiytiques pour decouvrir
OUI NE PEUVENT OUT EN IK QUE DEUX VA LEU IIS, ETC. 11U
les proprietes generates dcs formes du second degre, c est-a-dire des
nolvnomes du second de^re a deux ou a plusieurs variables, el il a
i -
designe ces memes fonctions sous le uoin de determinants. Je conser-
verai celte denomination qui fournit un rnoyen facile d enoncer Ics
resultats; j observerai seulemr.nl qu on donne aussi quelquefois aux
I ondions doiU il s agit 1<> noin de resiillcuites \\ deux on \\ plusieurs
letlres. Ainsi les deux expressions suivantes, determinant el resuhante,
devrout etre regardees coinme svnonvnies.
DEUX IK. ME PART IE.
DKS FONCTIONS SYMKTIUQUKS ALTKIINKKS DF.SIliNKKS SOI S I,F. NOM
I ) E DE TERM IN A :V TS .
PREMIERE SECTION.
DCS determinants en general ci dan sys/e/>trs symetriques.
I er . Soienta,,a 2 ..... a n plusieurs quantitesdifferentes on noinhre
egal a n. On a fait voir ci-clessus quo, en multipliant le produit de ces
quantites on
a { a,ft :t . . .a n
par le produit de leurs dillerences i-especlives. ou par
(a, a,) (a 3 a, ). . .( ,) ( 3 a,}. . .(a,, r/,). . .(a,, - a lt ,),
on obtenait pour resiiltat la (bnction symietrique alternee
(-a^a\a\. . .a",}
(jui, par consequent, se trouve (oujours egale an produil
Supposons maintenant quo Ton developpe ce dernier produit el <jiie,
dans chaque terme du developpement, on remplace I exposanl de
OEuvrcs tic C. S. II. t. I. l: >
112 MEMOIKE SUK LES FONCTIONS
Ainsi, par cxemplc, en supposant n -- 3, on trouvcra
(i^ttlol + a z a\ a\ -4- a. A (f\ a\ r/ t a^ (^a\a\ a*
Lorsqu nn suppose /) = o, /? = 2 o( quo Ton remplace los quantitesa,,
, par (Ic-s Icttrcs diiTerentos a? ct r, I equation (2) sc retluit a
d ou il suit quo xfl y q ost, en general, divisible par a? j.
Do menu 1 , si Ton suppose .p = o, n=-- 3, on trouvcra quo
x <lyl + y l - _!_ - /^ x -yij _ yr z q _ -/ ^V
est toujoui s divisible par le produit
(# r)(^ -)(/-- -)
Klc., etc.
Pour etre certain quo deux fonctions symetriqnes alternees sont
egales ontro olios, il suffit do s assnrer : i" quo tons les termes ren-
i ermes dans la proinioro sontaussi rcnfermes dans la seconde; 2 quo
cos tonnes out les monies coefficients numeriqnos dans I lino ot dans
I aulro; 3 iju iin des termos do la premiere a le memo signo quo le
forme correspondant pris dans la seconde.
Jo vais maintonanl examiner particulieremont Line certaine espece
dc fonctions synietriques alternees qui s offront d elles-memos dans un
grand nombre do rocberchos analytiques. C est an moyen de cos fonc-
tions qu on exprimo los valours generates dos inconnues quo ren-
t ermont plusieurs equations du premier dogre. Elles so representent
toutes les Ibis qu on a dos equations do condition a former, ainsi quo
dans la tbrorie generate do 1 elimination. MM. Laplace et Vandormonde
los out considerees sous co rapport dans les Memoires de i Academic,
des Sciences (annoo [772) ct M. Be/out les a encore examinees depuis
sous le mrmo point do vue dans sa Theorie des equations. M. Gauss s on
est servi avec avantago dans ses lieche.rches analytiques pour decouvrir
QUI NE PEUVENT OUTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. lilt
les proprietes generates des formes du second degre, c est-a-dire des
polynomes du second dcgre a deux ou a plusieurs variables, et il a
designe ces inemes fonctions sous le noin de determinants. Je conser
ve, rai celte denomination qui fournit un moyen facile d enoncer les
resulfats; j observerai senlcmenl qu on donne aussi quelquefois aux
Ibnctions donl il s agit le noin de result anles \\ deux ou \\ plusieurs
lettres. Ainsi les deux expressions suivantes, determinant el resultante,
devront etre rei> ar(lees coin me svnonvmes.
DEUXIEME PARTIE.
DKS FONCTIONS SY.MKTIUOUKS AI/I KHMCKS OKSKi.NKKS SOTS 1,F. NO.M
DE DETERUINJM S.
PREMIE RK SECTION.
DCS determinants en general et, dcx systemes synietriques.
J er . Solent <7 t , a.,, ...,<:/ plusieurs quantit.es dillei enlcs en nomhre
egal a n. On a fait voir ci-dessns quo, en multiplianl le produit de ces
quantites on
a, 2 3 . . .a n
par le produit de leurs dillcrcnces respectives, ou |>ar
(a,- - ,) (a 3 ,). . .(a,, a t ) (a 3 a,}. . .(a n ~ r/ 2 ). . .(a,, - ft,, ,),
on obtenait pour resultat la fonction symetrique alternee
S(+a v ala*...a ti
qui, pai consequent, se trouve toujours egale an produil
Supposons maintenant quo Ton developpe ce dernier produil el que,
dans chaqne torme du developpement, on remplace I exposanl de
Ol .uvrcs t/e C. S. II, t. I. l: "
II * MEMO I HE Si: 11 LKS FUNCTIONS
ohaquo lolfro par tin second indico ejval a IVxposant dont il s ai>it:
en eorivant, [>ar exomplo, a,. ., an lien do a s r of. a sr an lion do a , on
obticndra pour rosullal une nouvollo ibnetion syrnetriquo altcrnee
<|ui, an lieu d etre reprosentoo par
sora represcntec par
lo siguo S elant rolalii aux proiniors indices do chaqiio lottro. Tollo osf
la forme la plus generate dos ibnclions quo je designerai dans la suite
sons lo noin do determinants. Si Ton suppose snceossivement
r los determinants du doiixionio, du troisiomo ordro, etc. Los (jiian-
lilos all octoos d indioos difforonts dcvant otro generaloment oonsidoroos
oinnio ino^alos, on voit quo lo dolonninanl du douxioino ordro ron-
fcrmera quatro quanfitos diileronlos, savoii- :
(juo lo determinant du troisiomo ordro on i-onformora nout , savoir
, ,i> ,-
Ktr., otr.
Jv.i general, lo detcrminanl du /i innr ordro on
OUI NE PEUVENT OBTEMK O C E DEUX VALECHS, ETC. 115
renfermera un nombre egal a /r do quanl.ilos dillY-renles <|iii soronl
respectivcmcnt
(0
Supposons cos memes q nannies disposeos on earre, oomino on virnl
do Jo voir, sur un nombrc egal h // do li^nos hori/ontalcs ol sur antanl
do colonnes vorticalos, do manioro quo, dos deux indices qui alloclonl
chaque quantite, lo premier varie soul dans chaquo colonne voilioalo
ot quo lo second varie. soul dans chaque ligno hori/onlale, l ens inl)lo
dos quantites dont il s agitformera un systoiuo quo j appellerai aval en H-
syrnetri(/uc do I ordre n. Los quantites a t ,,, (>2 , ..., .> , a nn soront
los differents toruios du systemo of, la lottre , de.pouillee d accents, on
sera la caractecistique. Knfin, los quantites comprises dans uno ineme
liguo, soil horizontale, soil, vortioalo, seronl on nombro egal ii n el
lonnoront uno suite quo j appellerai, dans lo premier cas, suite /tori-
zontale ot, dans lo second, suite rerticale. L indice do chaquo suite sera
celui qui rostc invariable dans tons los tcrmos do la suite. Ainsi, par
exemple, los indices dcs suites hori/onlales el ceux dos suites verli-
calcs du systemc (r) sont respectivement egaiix a
J appellerai termes cojijugue s ceux quo Ton pent deduire 1 un do
1 autro par unc transposition oporoe ontro lo premier ot lo second
indice; ainsi <7 2i3 ot rt 3i2 sont deux tonnes conjugues. II existo des
termes qui sont enx-momes leurs conjugues. Co sont les termes dans
lesquels les deux indices sont egaux (Mitre eux, savoir :
jo los appellerai termes principaux; ils sont tons situcs, dans le sys
temo (i), sur uno diagonalo du carro forme par lo systemo.
116 MEMO! RE S II R LES FO NOTIONS
Pour indiquor la relation <|iii oxisto outre lo systeme (i) ( I le delcr-
minanl
S(iir: r/,,, flj %J . . .",).
j* 1 dirai (juc ce dernier apparticnt an systome en question on, oc (jni
rovionl an memo, quo la fonction symetrique altornoe
S(=b ai,,aj,s- ,)
est lo determinant do co systeme.
Pour ohtcnir le determinant du systeme (i) il suffit, com in o on I a
dil e/i-dessus, do romplacor les exposauls des leltros par dos indices
dans le developpement du prodnit
On pen I. anssi Conner directement le determinant don( il s agit a I aide
des considerations suivantes :
(^ihaqne tonne dn determinant
est le produit do A^ quantites differentes. Les seconds indices qui
aft ectent cos quantites sont respectivement egaux aux nombros
i, 2, 3, ..., n
(|ut v Ton pout considerer cornmo etant, dans tons les tonnes, disposes
suivant 1 ordrc naturol. Quant aux pretniers indices, ils sont encore
eganx a cos memos nombros; mats 1 ordre dans lequel ils so suivent
varie d nn tormo a 1 autre ot presonto, dans les ditlorents tonnes, toutes
los permutations possibles des nombros
i , 2, 3, . . . , n.
II suit do cos considerations quo, pour former cbacun dos tonnes
dont il s agit, il suffira do multiplier entre ellos // quantites differentes
prises respectivement dans los differentes colonnes verticales du sys
tem o (i) ot situeos on memo temps dans les diversos tignes borizon-
OU1 NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALE IKS, ETC. 117
tales tie ce systome. Los produits quo Ton pourra former do eette
maniore seronl on nombre egal a colui dos permutations possibles ties
indices i, 2, 3, ..., n, e ost-a-dire on nombre egal an produit
1.2.3
jo los appellorai j)rodiiits symetriques . Lo produit do tons ios tonnes
principaux du systemo (i), savoir :
ost evidemment un produit symetrique; il sera dosigno sous lo noni
tie produit principal et employe tie preference conimo tonne indicatit
dans le determinant du systeme. D apros la definition quo nous avons
donnee dos notations S(K), S(=pK), li 1 tonne indicatif
sera affecte du signe -4- dans le determinant
et du signe - - dans le memo determinant pris en signo contrairo,
c est-a-dire dans la tbnction
Ktant donne un ])roduit symetrique quelconque, pour obtenir lo
signe clont il ost affecte dans le determinant
S( fi lt ia, tt . . .,),
il suffira d appliquer la regie qui sort a determiner le signo d un termc
pris a volonte dans uno fonction symetrique alternee. Soil
le produit symetrique dont il s agit ct designons par g le nombro ties
substitutions cireulaires equivalences a la substitution
1.2.3 n
(3 y ... C
118 MEM01UK SUR LES FONCIIONS
Co produit devra el re alfecte du signe -h si /* g osl un noinbrc pair,
d du signo dans lo cas contra ire.
II esl aise do voir ({uo la regie precedente subsisterait dans lo cas
memo oil Ton aurait intorvcrli 1 ordj o dos facteurs
on, co qui revionl an memo, I ordre dos indices compris dans les deux
tonnes do la substitution
( 3 "),
, a (3 y . . . ?
pourvu quo dans cotte substitution on place loujours 1 un au-dossus do
raulro los deux indices qui, dans le produit symetrique donne, affectent
la memo quaulite.
Supposous, par oxomplo, n= ~ ot olierebons quol signo doit avoir,
dans lo determinant
lo produit symetrique
La substitution quo Ton obtiont, par la comparaison dos indices qui
aflectont on premiere el on soconde iigno cJiaoun dos laoteurs du pro
duit, est
/ 1.3.6.4.5.2.7 \
3.6.1.5 4.2.7
ot cotte substitution equivaut aux quatro substitutions circulairos
o /->
, 1.0.6
3.6.1 /
el, |)ar suite,
Oil ME PEUVENT OBTENIR Q [J E DEUX V A LEU IIS, ETC. II!)
Co dernier nombre etant impair, le produil. svinefriquo domic devra
otre alleoto dn siguo dans IP determinant du soptiemo ordro.
La regie preeedento suppose quo lo produil principal d ttl a,,,. . .a njl
est a flee to du siguo -f-; dans Jo cas eontrairo, il landrail changer los
signes do tons los termcs. On pout encore determiner Jo signo quo doit
avoir, dans lo determinant
un produit symetrique pris a volonto ;i Taido d une regie donnee par
(lal)riol (j-ainor dans un Appondico a Y Analyse, f/es lilies coitrbes cl <JMC
Ton pout ononcer do la inanioro snivanto :
Soit lonjours t( y , a^ ,,. . .a^ n Jo produil syinolri(jiio donno ol
la permutation formecavec Jos premiers indices dos diHoronls laole
enlin, soiont
los differences rospootives do cos monies indices cnnsideres deux it
deux do tonics los manioros possibles ot supposons quo, on pronanl la
difference do deux indices, on donne toujours le sigrie a celui (|in
so presente lo premier dans la permutation
i,e produit symetrique donne aura le memo siguo (jue | ( > produit de
toutes los differences, savoir :
On demontre facilemont cette regie par co qui precede, attondu
120 MEM 01 RE SCR LES FONCTIONS
transposition operee entre deux indices change toujours, com mo on I a
fait voir, le signe du produit
et, par consequent, celui dn produit
$ fl. Si dans chacun des tonnes du systeme (i) on remplace le
premier indiee par le second, ct reciproquement, on aura un nouvean
syslenie relativement auquel le premier indiee restera invariable dans
ehaque suite verticale ct le second indiee dans chaque suite horizon-
tale. Le svsteme ainsi forme sera
.le dirai qne les systemes (i) et (2) sont respeclivement conjugues I mi
ii 1 autre. Pour abregcr, je dcsignerai dorenavant chaeun de ees deux
systemes par le dernier terme de la premiere suite hori/ontale renfenne
enlre deux parentheses; ainsi le svsteme (i) sera designe par (,,) et
le systeine (2) par (,,).
Les produits symetriques des systemes (,,) et .(,,) sont evidcm-
menl egaux entre eux. Le produit principal <7 (J a.,^ . . .a llM est aussi
le nietne dans ees deux systemes. Par suite, le determinant du svs
teme i<v,) est egal a celui du systeme (,,) on a
S(d= ,,,,,-,. . .,),
le signe S etant toujours relatif aux premiers indices. Mais le deter
minant du systeme ( _,) pent aussi etre represente par
S( <7 K1 ZiJ . . .a ni/1 ),
QUI NE PEUVENT OBTENIH QUE DEUX VALEUKS, ETC. 121
le signe S etant relatif aux seconds indices; car on pent deduire le
systeme (.,) du systeme. (,,) et, par suite, le second determinant
du premier, en ecrivant les premiers indices a la place des seconds el
reciproquement. En consequence, dans 1 expression
S(, )t 2t ,. . .,),
on pent supposer indifferemment, on que le signe S se rapporte aux
premiers indices, ou qu il se rapporte aux seconds, ce qui leve toute
incertitude sur la valour de 1 expression dont il s ai> it.
Si Ton echange entre elles deux suites borizontales ou deux suites
verticales du systeme (rt,,,,), de maniere it 1 aire passer dans urn- des
suites tons le.s termes de 1 autre et reciproquement. on obtiendra tin
nouveau systeme symetrique dont le determinant sera evidemmrnl
egal mais de, signe contraire a celui du systeme (,,). Si Ton repete
la meme operation plusicurs f ois de suite, on obtiendra divers sys-
temes symetriqucs dont les determinants seront egaux entre eux, mais
alternativement positifs et negatifs. On pent la ire la meme remarqur
a 1 egard du systemo (,,).
Si, an lieu de i aire varier d une colonne verticale a Tautre les seconds
indices qui affectent les termes du systrme (i), on rcpresentait par
des lettres differentcs, <7, />, c, ..., e, /, les termes de ce systeme situes
dans les diverses colonnes verticales, en ne conservant de variable
que le premier indice, le systeme (i) se trouverait transforms dans le
suivant :
(3)
/
\ a m b n , c n , . . ., e in J n
et son determinant deviendrait egal a
on, ce qui revient au meme, an produit
ale. . . cf( b a)(c a)... (f -a)(c-b)...(f~b)... (f- e),
OEui i-cs dc C. S. II. t. I. lG
\-l-l AJ EM 01 RE SDK LES FO NOTIONS
dans le devcloppement duquol on doit toujours remplaccr Ics exposants
des lettrcs par des indices.
HI. Designons maintenant par D /t lo determinant de 1 ordre ?i on
eelui des deux syslemes (#,,), ( ^,,), en sorte qu on ait
]),,=- S(: rt|,,s, s . .,i-i, /.-iff,,,/!),
el supposons, pour iixer Jes idees, quo le signc S soit re 1 fit it aux
premiers indices. Le determinant de I ordre n i on D,,_! sera donne
par 1 cq nation
Drt-! S( rt M .,j. .a,,.., ,_i).
Si 1 on multiplie ce dernier par a n>n , on aura la somme algebrique
des produits symetriques qui, dans le determinant D,,, out pour t ac-
teur . ees produits etant pris alternativemcnt avec le signe H- et
ave< le sii^ne -- dans la somme dont il s agit. De phis, il est aise de
voir que ees memes produits sont afiectes des memes signes dans le
deterrninanl !.) et dans le determinant D,,_, multiplie par a,,^,. En effet,
le produil principal
se trouve de part et d autre affecte du signe -f- et le signe de 1 im
qucleonque des autres produits est determine, dans les deux cas, par
le nombre des transpositions qu on est oblige d efl ectuer sur les pre
miers indices T, 2, 3, . .., n- i pour le deduire du produit principal-
Ccla pose, 1 expression
. S( K1 f/,. 2 . . .._,,._,),
considerec comme Junction des premiers indices i, 2, 3, .... /?., ne
sera plus, en general, une Jbnction symetrique alternee. Mais si, dans
cette meme lonction, on transpose de toutes les maniercs possibles les
indices dont il s agil, elle obtiendra une seric de valeurs dont plusieurs
seront diiferent(!s entre elles, et si, de la somme des valeurs differentes
obtenues par un nombre pair <le transpositions, on retrancbe la somme
des valeurs differentes obtenues par un nombre impair de transpo-
OUI NE PEUVENT OHTEMR QUE DEUX VALEUIlS, ETC. 1-23
sitions, on aura uno fonction symetriquc allerneo quo Ton pourra
designer par
le nouveau signo S etant toujours rclatif aux promiors indices. Pour
obtenir Ics diverses valours du produit
il snfFira evidemmenf do changer successivoment lo premier indioe n
du faeteur a ll<n contro les indices r, 2, 3, ...,/? i qui afi oclent en
premiere ligne Ics quantites ronfermees dans le second i aclour
^ / -
(^ela pose, lo premier f aotour deviondra successivemcnl egal ii cha-
cune des quanlites
- //.;M ( l n- 1 , /( ? ^n--2.ni > ^./i- (l \.n*
<>t, si Ton represento respectivement par
les valours correspondantes du second i acleur. on aura
On aura d aillours, par ce qui [(recede,
(4)
le signo S, dans toules cos equations, pouvant otro considoro commo
relatif, soit aux premiers, soit aux seconds indices.
Do cc qu on vient do diro il est aise do conclure quo, si Ton deve-
lo[)pe la fonction symetriquc altorneo
S !. , S( ,. jrt,.,. . -a,,.!.,, .,)],
124 MEMOIRE SUR LES FONCTIONS
tons les ternios du developpement seront des produits symetriques de
1 ordrc n qui auront 1 unite pour coefficient. Ces tcrmcs seront done
respectivemcnt egaux a ceux qu on obtiont en developpant le deter
minant
I),, Sfit r/ M r/ 2 . 2 . . -a,,,,,).
et com me le produit principal a^ { a. 1 ^. . .a njl est positif dc part et
d autre, on aura necessairement
I),, S[ , S( i,iaj, s . . .a w _i ift _ t )]
En general, si Ton designe par u, 1 un des indices i, 2, 3, ..., /z, on
trouvera de la meme maniere
Soit v un autre indice dillerent de u.. Uepresentons par b^ t[L le coef
ficient du facteur a^, dans le terme indicatif de la fonction symetriqne
alternee
S[: ,j.,u.S(:ii a,,,rtj,,. . . a^-,,^-, a^,,^, . . ,,,)]
et par -- 6 Vt!J . ce quo devient h^, lorsqu on v remplace le premier
indice v par u,. Si Ton suppose successivement
^(j..u. deviendra
^|.U. ^i.lJ.) > ~ ^LI.-1,|J.> a+l.U. > "~ ^/t.lA
et la valeur de D w sera donnee par I equation
D~ r/ KU. <Vu.+ 2,!J- ^2IJ.-t- -+- #11, H. ^U.[X+- + <Vy- ^",(A-
Si, dans cette equation, on donnc successivement a u. toutcs les valeurs
J, 2, 3,
QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 125
on obticnclra les equations suivantcs :
/ D,, ,,, &,,, -+-,, j,i + . . . -4- a Bil &,
" ^ - - -
dans lesquelles on doit supposcr, on general,
Les quantites &, i0 /> 1>1 ,, ... sont, dans les equations precedentes, en
noinbre egal a eelui des (juanlites ,_,, a, .,, ... qu idles multiplient,
e est-a-dire en nombre egal a /r. Elles peuvcnt done etre disposees en
carre, dc nianiere a former deux nouveaux systenies de 1 ordre n (jui
soient respectivement conjugues I un a 1 autre. L un de ees syslemes
sera le suivant :
(7)
que je designerai par (/>,,) d apres les conventions etablies; en rem-
plaeant dans celui-ci les premiers indices par les seconds et, recipro-
quement, on obtiendra 1 autre system e qui sera represente par (/>,,).
Apres avoir design e sous le nom de forme tern air e un polynome
homogene du second degre a trois variables, M. Gauss a nomme forme
adjomte un second polynome dont. les coefficients out avec ceux du
premier les relations qu on vient de remarquer entre les tcrmes du
systeme (^, t ) et ccux du systeme (,,) Je suivrai cette denomination
et, lorsque j aurai a comparer entre elles les quantites
jc dirai que les secondes sont adjointes aux premieres; de sorte que,
en general, la quantite adjoin tc a a^ i[L sera b^ et la quantite adjointe
120 MEMOIUE SUH LES FONCTIONS
a a^ sera // [A)V . Par la memo raison, le syslemc (/;,,) sera (lit adjoint
an syslcme (#,,) et le systomc (/> , ) adjoint au systeme (<7 /M ). Le sys
teme (/;,,) sera n memo temps adjoint et conjugue au systomc (,,).
La quanlilo />,, irt adjointe a a lltll est toujours egale au determinant do
I ordre n i on a
(7.,
Pour deduiro tie cette expression la valour dc /^ i[A , il sul tira de rein-
placer dans ce determinant on, ce qui roviont an memo, dans tons los
tonnes du systeme tie I ordre n i, le premier indiee egal a u par un
autre indiee egal a n et le second indiee egal a [j. par un autre indiee
egal a n. Eniin, pour transformer b v ^ on b, ii[L , il suffira de remplacer
encore le premier indiee egal a v par un autre indiee egal a u. el de
changer lo signo du resultat. II suit de ces considerations quo, pour
obtenir au signo pros la quanlilo /y v adjointe a a^ t il suffit do convertir
lo systeme (#(.) do I ordre n on un systeme do I ordro n i par la
suppression tie tons los tcrmes situes dans la memo ligne horizontale
ou dans la memo Jigno verlicale quo a^, el tie former le determinant
du nonveau systeme. dont il s agit. Ce determinant serait do memo
valoui et do memo signo quo b^ si Ton snpposail v -= p..
Dans [ equation
\) n S(: a,,,a 2i ,- .,H)
on pent indiU eremment considerer le signe S comme rehitif, soit anx
premiers, soit aux seconds indices; d ailleurs on a fait voir, dans la
premiere Partie de ce Memoire, quo toute fonetion symetrique alterneo
devienl nullo lorsqu on y remplace un indiee par un autre indiee; D rt so
retluira done a zero si, dans 1 expression de ce determinant, on rem
place nn des indices qui occupent la seconde place par un autre indiee,
par cxcmplo si Ton remplace les termcs
fi \ U.5 (( l.\l.1 fl II. [I.
par
,. v , f/j. v , . . ., a,, )V ,
v etant different do u,. D ailleurs, la valour de D,,, exprimec au moyen
otj] NE PEL: VENT OB TEN IK QUE DEUX VALEUKS, ETC. 1-27
dos tonnes , i|X , a.-,^, ..., a,, iV _, cst, par ce qui precede,
<m aura done generalcment
(9) o = fl|, v i,|i+ aj,v ^i,|/.-t-- + ,v Afl l|4 .
(lotto derniere equation sera salisfaite toutcs les i ois (juo v ef u. seront
deux noinbres different* 1 un do I aulrc.
Si i on donne successivement a u. et a v, dans les equations (<S)
et (9), toutes les valours ontiercs, depuis i jusqu a n, on aura h 1 svs-
leme d equations suivant :
Co)
o ~
Si Ton designe, en general,
+ H.JJL
par
ef
par
le signe S etanl, dans Jes deux cas, relatif aux indiees r qui oeeujient
la premiere place, on pourra mcttrc los equations (TO) sous la iVirnie
128 MEMOIRE S U K LES FONCTIONS
suivante :
I),, ----S"(rt,., &,,,), o :=S"(a 1(1 ,,,), ...,
o =S"(a til &,,,), D s =S-(a li ,6 JiS ), ,
o = S(i,*i,i), o S"(rt,, /t //,.,), , D-S(i, &!,,,):
et I c-s formules generales (8) et (9) deviendront
i 1),, S"(aj.u. &1.U.),
(12 )
( o S(i,v&i,|i)-
La seconde cles equations (6), on
O-^jj . r~ S(lp !,! 2.2- -(A-l,(l-l [!+!, (J.+ 1 . V -l,v-l ij..v rtv-j-].v-t I ^n.n),
ayan t lieu toutcs los fois quo u. ot v sont differcnts 1 un do 1 autro, olio
subsistcra encore si Ton y change p. en v et v en u. ; on aura done
Si Ton ooinparo nitre olios les deux valours procedontes do /A,,,,
ot do /y v , on lrouv(M\ t quo, pour (l(kluiro 1 une do 1 antre, il MI f tit
d echanger out re oux les indices qui occupent la premiere ot la seconde
place dans los tonnes du sysfeme (,,). II en rosulle quo los relations
rlahlios par los equations (8) et (9) entre los tormes du systemo (,.)
el les tonnes du systome adjoint (/>,,.) subsisteront encore si Ton
echange outre olios, dans cos deux equations, les deux ospeces d in-
dicos; on aura done aussi
los indices u. ot v elant censes inegaux.
On pout encore inottrc cos deux dernioros equations sous la forme
suivanto :
( D w = S(a^ il 6 |lil ) f
I ; <
( o =S"(a Vjl bp.i),
IP siii no S etant relatif aux indices i qui occupent la seconde place.
OLJI NE PEC VENT OBTENIH QUE DEUX VALE (IRS, ETC. 120
Kn donnanl a u. et a v, dans les equations (i3) ot (i/i), toutos les
valours outioros dopuis i jusqu a //, on obticndrail un syslomo d cqiia-
tions semblable an systome (10). On pout deduire immediatemenl < p
second systouio d equations dn premier, en remplacaiit dans celui-ci
les tenncs clcs systeincs symetriqucs (,,), (b\,n) P^ 1 ^ s lernics cor-
respondants des sysleines conjugues (a, nt ), (b n ^ ). On pourrait cncoro
donncr an nonvean systeme d equations dont il s agit la ibnne (T \] cl
il suffirait pour cola d cmployer les equations ( ^) JUi lien des equa
tions (i3) et (i-l).
Si dans le sysleme dp quantit.es ( 1>w ) on supprimcla derniero suite
h.orizoulale el la dei niere suite verticale, on aura le svsleine snivanl :
6)
que je designcrai ii 1 ordinaire par (,,-/,).
Soit luaintenanl (c^ n . ,) le systeme adjoinl an precedent. Si dans
( equation (i3) on change l> en e et n en // i , on aura, en general,
Pour deduire de cede dorniere equation la valour do h^ n il suflira. en
vertu des regies etablies, dp changer (AV en a n v dans [ expression pre-
cedente dc h n n el de clianger en outre le signe du second membre; on
aura done generalemenl
Si dans cetle equation on donne successivement a a tonics les valours
entiores dppnis r jnsqu a n T et que Ton sultstitue les valours qni
on rpsulteronl pour />, , /;.,,, ..., b n (i// dans I equation
!) !, ^|,,,+ rt 2 ,n ^->.-i-- + . b.n,
OJ .uvrcs df f . - S. II, t. I. ] 7
J30 ME .MO IRE SUH LES FONCTIONS
on obtiondra la ibrmulo suivante :
4- "i. /,(/;. i(-t. 2 4- /i, 8 e l , 3 + . .4- H ,n-l^i,n-l
4- rt.(,ie, <) -4- a, ( . : , c 2 . 3 4-. . .-+- a w , n _,e, f ,,_,
4- .....
4- n-i,w(iM.^i-i,i 4- . 2 _,., + .. .4- ,
Cello equation pout etre misc sous la forme
(9) R=/i,*I>,i-S"- 1 S- I (a v ,, l a rt , (A e v ^),
les deux sigues S etant relalii s, le premier a I inclico u el le second a
I indice v. M. Gauss a employe avee avautage, dans ses necherches
cu ithmetiques, tine forinule qni n est qu un cas partieulier de celle-ci.
^ IV. Les principaux theoremcs compris dans le paragrapho pre-
cedenl out (He demonlrcs pour la premiere ibis. (Tune manio.ro gone-
rale, par .M. Laplace, dans les Mcnioircs de V Academic, des Sciences de
Tannee 1772 (secondo Partie). II a fait voir comment on pouvait les
appliquor ii la recherche des valours dos iiiconnuos quo renformeut
plusieurs equations du premier degre. Soiont
les inconnues donl il s agit en uomhro egal a /?. Supposous <{uo Ton
ail (Mitre idles aulaut d equations du premier degre el quo les coeffi
cients des inconnues y soioul represeutos rospoctivomout par les difl e-
rents lermes du systeme (,,). Los equations dont il s agit soront de
la forme
-
> .i ^i 4- ,,.. 2 #j-t-. . .4- .
Cola pose, les relations etablies par les equations (10) entre les tonnes
du systeme (,,) et ceux du systeme adjoint (b {JI ) fouruissent un
moyeu facile d ohteuir la valeur d une inconnue prise a volonte. Ainsi.
QUJ NE PEUVENT OB TEN 111 OUE DEUX VALEUKS, ETC. 131
par exemple, si Ton multiplie la premiere dos equations (20) par/;, ,,
la d en xi erne par /A,,,, ..., enfin la derniere par />,, el qii on les ajoulo
entre elles en ayant egard aux equations (10), on aura, pour deter
miner la valour do a?,, I equation suivante :
En general, si Ton multiplie la premiere des equations (20) par A,
la deuxieme par b.^, ..., enfin la derniere par h,,^ ot quVnsuile on
les ajoutc cntrc elles, on auj a, en vcrtu des ( ([nations (in),
( 2 ) I > /i ^JA = m i >> i . u. -f- m J> , ^ 4- . . . 4- m n b n . H ..
Par suifc, la valour genei ale de I nne quoloonquo des inconnnes sera
!>
Cctte valour se presente done sous la lorinc d nne IVadion <jiii a
pour denominateur le determinanl
I),, S( ,., .
el pour numerateur ce que devienl, ce determinant quand on y rem-
place les coefficients de 1 inconnue pris dans les equations (20) par les
seconds m ombres de cos m ernes equations.
Si les coefficients des diverses inconnues dans les equations (20),
an lieu d etre representes par une seule lettre atTectee de deux indices,
etaiont representes par diverses lettres , b, c ..... e , / aU ectees de
1 indicc i dans la premiere equation, de 1 indice 2 dans la deuxieme .....
les equations donnecs etant alors
/ , a?, -f- b l x, 4- c, a- 3 4- . . 4- ei x n _\ 4- /, x n m,,
( A j ) rt ^ r + b - x -i + c 4 J? 3 + . . . 4- e,^-, 4- /.a?,, = w,,
la valeur d une inconnue aurait pour denominatour la fonclion syme
triquo alternec
13-2 MEM 01 RE SUR LES FO.NCT1ONS
el pour niimeraleur ee que devient celle fonetion lorsqu on y snbstitue
la lellre 7>i a celle (jui designe les coefficients de 1 inconnue. Ainsi,
par excmple, la valeur de ,r, serait donnee par [ equation
_ S(/V; 3 cy.. g ,,_,/V)
~~ "sT rtTZ^r: .*_,/)
Tel esl le resultat auquel .M. Laplace est parvenu. II a fail voir aussi
<jue deux (ermes deduits 1 un de I autrc par un no nib re impair de
transpositions elaienl toujours dc signes contraires eta demontre par
ce moyen la regie de (Cramer qut 1 nous avons rapj)ortee ci-dessus. l^nlin
il a prouve qu une transposition oper( e entre deux des lettres , l>, <:, ...
ehangeail le signe de la fonction
e( a donne les tnoyens de la decomposer en d autres t onctions seni-
hlaliles d uu ordre inferieiir. Xous reviendrons plus tard sur ee dernier
ohjet.
On jieul encore, en vertu du paragraphe II. nieltre la valeur de x t
sons la forme suivante :
_ ... m) (__ m ^ (_f__iit } (c b}.^ -(J^Jb ) . . .(J_- - v]
a be. . f ef(b-a) (c- a). ..(f- a )(c - b}.. .(/- b)...(f-e)
pourvu <|ue, apres avoir developpe separement le numerateur et le
denominateur de la fraction precedente, on remplace les exposants
des lettres par des indices.
Si Ton suppose n = -2, les equations (A) se redniront a
el Ton aura, en vertu de ce qui precede,
m b(b in } in { b^ in.J>\
ab(b a ) <7 1 b t - a., b {
am ( in a } a , in ., <?., ni ,
OUI \E PEUVENT OBTENIR Q U K DEUX VALE UBS, ETC. 13:3
Si Ton suppose n ---- 3, les equations (A) so rtkluiront a
et Irs valours des inconnuos seront respectivement
/ he (b in) (c in) ( c b )
et ainsi de suite.
On arrivcrait aux memcs resnltats en partant de 1 equation (B) el,
dans ce eas, on pent determiner immediatement le signe d un tenne
[)ris a volonte, soit dans le numerateur, soit dans le denominateur de
la fraction qui represente la valcur d une inconnue, au moven de la
regie etablie dans le paragraphe II de la premiere Partie de ce
Memo ire.
Si les equations donnecs elaient de la forme
IciXi + bx,
t a-Xt 4- b-x<>
>
a l a.- t 4- b n x*_ 4- c" x^ 4- . 4- e n x ll ^ l 4- /". = /"",
1 equation (C) deviendrait cxacte sans qu il fut bcsoin de developper
le numerateur et le denominateur de la fraction qui forme le second
134 MEM 01 BE SUR LES FONCTIONS
membre et Ton pourrait sans aucun inconvenient supprimcr les fae-
teurs communs aux deux tonnes de cotte fraction. Ainsi la valeur
ile a; 1 ,, tiree des equations (D), se reduit a
in (b m )( c m )...(/ in ) _ m ( m J> ) ( m c ) . . . ( m f )
a(b a)(c a)...(f ~^)~ a (a b] (a c)7~(~u~^-~f)~
Les valeurs des autres inconnues, tireos des equations (I) ), peuvenl
etre presentees sous une forme semblable a eelle-ei.
Si les equations donnees etaient de la forme
.x l +- a-x* 4- . . . -+- a".i /f -= a ",
x i + b- or s -+-...+ b 1 x n = b " ,
f* i + / 2 .r, + . . . -f- /" Xn /" ,
la valeur dc ,r f/ serait douuee par I lMjuation
_ S( ab 2 c*. . .ft"- 1 /" ) __ S( be 1 . . .c"-- f" 1 -
" """
S
Otic valeur deviendrait nulle si Ton supposait / <^. lillc se reduit it
I mule lorsquc m n. Enfin, lorsque m surpasse /?,, le nuuierateur de
la Traction precedente est divisible par le deuominateur, ainsi qu on I a
prouve dans le dernier paragraphc de la premiere Partie de ce Memoire,
el x,, devicnl uue fonction symetrique permanente des quantites
On pent faire des remarques analogues relativement aux valeurs des
autres inconnues.
Revenons maintenant a requation (21). Si Ton y fail suecessivemcnt
H -~ I , 2 , 3 , . . . , /i,
on aura, pour determiner les valeurs des inconnues
OU1 NE PEUVENT OBTENIR Q Ij E DEUX VALEUKS, ETC. 135
Ins equations suivanlos quo nous allons comparer aux equations (20),
22)
Les equations (20) renferment : i deux suites do quantitos, savoir :
2 tons les lernies du sysleme (,,,) (fui sorvoiit do coefficients aux
tonnes do la premiere suilo. Les tonnes do la seeonde suite etant les
souls qui so prosontont isolemont dans les equations donl il s agit.jo
dirai quo los quantitos
in,,
s y trouvont degagees et quo, au contraire, les quanlitos
s y trouvont ongagees. Jo designerai, do plus, la suite des equations (20)
sous le noin do suite d equations symetriques .
Los equations (22) sont do la memo forme quo les equations (20), a
octte difference pros quo la suite ongagee dans les equations (y.o) so
trouvo dogagee dans les equations (22) et quo les tonnes do eetto memo
suite y sont tons multiplies par ]). Pour doduiro les equations (22)
dos equations (20) il sulfit : 1 d echanger outre olios les deux lettros m
(>l.x, e est-a-diro do dogagor la suite ongagee ot d engagor eello qui etait
dogageo; 2 do multiplier les tonnes do la suite degagee par le deter
minant I),, du systeme dont les dilTerents termos servaient d(^ coeffi
cients a la suite engagee; 3 do romplacor les termos du systeme
symetrique (,,) par los tonnes correspondants du systeme adjoint
ot conjugue (/>.,). Jo dirai, pour cette raison, quo les equations (22)
sont adjointes aux equations (20).
136 MEM 01 BE S C K LES FONCTIOJNS
Les equations (20) so trouvnnl tonics comprises dans la rbrmnle
eneralc
dans laqnclle Ic signe S est suppose relatif a Findicc i, jc designerai
( ensemble dc ccs monies equations par Ic symbolc
Ic signe 1 indiqnant ici non pas line so in me dc quantites mais nnc
suite d eqnations semblables a colic quo renforment les tlcnx crochets.
Je designerai dc nuMnc I ensemble dcs equations (22) par Ic symbolc
(2/1) StS ^m,)-!)^]-
( cs deux symbolcs sc dcdniscnt I un dc Faiitre par les mcmcs regies
qui scrvenl a dcduirc 1 nnc do rantrc Ics dcnx suites d cqnations qu ils
ropresontenl .
l)esii;i)ons par ( c,.,,) Ic systemc dc qnantitcs adjoint a (/>,,.). Jo dirai
<|iie (c,,,/) ( ( st adjoint dn second oi drc au systemc (,,). f>c memo
systemc (c { ) sera adjoint ct conjiignc an systemc (/>,, V Soit encore
B ;/ le determinant du systemc (/;,,). Si dans los equalions (12) et (iS)
on c bange a en b, on dcvra ch anger anssi b en r ct [) re on B,, ct, par
suite, on aura
l ,,
(26)
I O :=-S*(&v,iC|i.,i).
Si niaintcnant on degagc des equations (22) les termes de la suite m t ,
rn.>, ..., m n , en suivant les mcmcs regies qui on! servi a degager dcs
equations (20) les termes de la suite x t , & 2 , ..., sc n , on obticndra les
equations snivantes :
-f-
( 2 7)
QUI NE PEUVENT OBTENIH OUE DEUX VALEUHS, ETC. H7
qui pourront etro representees par le symbole
Les equations (27) peuvent encore etre mises sous la forme sui-
vante :
-i,i^*i+c,,,^a:,+ ...-
- /; n.
et eomme celles-ci doivent avoir lieu en memo temps que les equa
tions (20), sans quo Ton suppose d ailleurs outre les tonnes do la
suite .z-,, x 2 , ..., x n et ceux du sysleme (, n ) aucuno relation parlicti-
culiere, il i audra necossairemont quo Ton ait, (finds que soiont u. <M v.
I),,
-^ V H;
Oil
(3o)
Celte equation etablit un rapport constant entre les ternies du sys-
teme (,,) ct les ternies du systerne adjoint du second ordre (<-,,).
Les equations ( 27) etant adjointes aux etjuations (22) et celles-ei
aux equations (20), je dirai que les equations (27) sont adjointes du
second ordre aux equations (20) dont elles ne different que par un
facteur corn mun 11 tons lours twmes.
OEwrcs dt: C. S .11, t I
18
138
MEMO IRE SUK LES FO NOTIONS
DEUX I E.ME SECTION.
DCS systemes d equations synietriques et clc leurs determinants.
\. Considerons inaintenant un systeme d equations do la forme
(3.)
y -n.\ fl -lA "I- a /(.2"2.2 +
y -\A "".1 + a I.2"/(
~t~ ^./j "l,;j
+ l,2,/l =
(io sys(t i nii i d equations renfcrme trois systemes de quantites syme-
tri(fues, savoir : (a,,,,), (a,.,,) cl(//z lin ).
Do plus, il ost facile de voir ({ur, parmi les equations ( ii), relics
<|ui se (rouvent dans un ineme groupe i orment line suite d equations
symetriqucs, dans lesquelles les quantites engagees de la forme a v _ ,,
a^.,, ..., a v . out pour coefficients les termes du systeme (a, w ). DC
memc, si Ton imagine que les equations de chaque groupe soient dis-
tribuees sur une menu 1 ligne horizontale, colics des equations (3i) qui
se Irtuiveront comprises dans une ineme colonne verticalc formeront
unesuitcd equations symetriques dans lesquelles les quantites engagees
y-u., ,, a^a y -\i.,n auront pour coefficients les termes du systeme (,.).
J appellerai suite horizontale ou suite vertical? une suite d equations
comprises dans une ineme ligne, soit hori/ontale, soit verticale, du
Oil NE PEUVENT OBTENIU OUE I)KL\ YALEUKS, ETC. i:il)
Tabloau ainsi forme ot j appellerai 1 ensemble des equations (.3i) un
systems d equations symetriques. Chacfiic equation do ce systeme pnu-
vant etro mi so sous la formo
(32)
oil le signe S csL rolatif aux indices i qui occupont la socondo (dace
dans a v , ct a^ t , jo designerai le systeme cnticr dos equations donl il
s agit par le symbole
J appellerai systemes engages les deux syslemos do quantites (i,,,),
(a, ) dont les termes so trouvent engages dans les equations donl il
s agit el systeme degage le systeme do quantites (tn^ n ) donl les termes
soul isoles dans les seconds mombres. Jo designerai aussi les deux
systemes engages sous le nom do systenies composanls et le sysleme
degage sous le nom do systeme resultant. Enfin, jo dirai quo, dans les
equations (3i), representees par le symbole (33), le systeme resul
tant (/??,,) so troiive determine symetriquement an moyen des deux
systemes composants ( ( ,) ot (,,)
Designons respectivement par
I),,, o ;i , M ;J
les determinants des trois sstemes
I) /( =r S( a^i
o n = S( i,i
Dans chacune des trois equations precedentes, le sigue S [ion! eli e
consiclere comme relalif, soit .aux indices qui occupenl la premiere
place, soit a ceux qui occupent la seconde. Ainsi.
S( ?i,i / 2 ,2- ->n.n)
HO MEM 01 HE S I! K LES FONCT10NS
ost unc fonction symetrique alternee a 1 egard dos deux especes d in-
diccs qui afTcctont les lermes du systeme (m, ). D ailleurs, les equa
tions (33) etanl tonics comprises dans la forrnule generale
Ics deux indices, qui dans ebacune de ces equations afl eclentla letlro w,
soul respectivement egaux aux premiers indices qui, dans ces memcs
equations, affeclont les deux lettres a eta, c est-a-dire les tcrmes des
deux systomes (,,) ct (a, -H ). II suit de celle remarque quo, si, dans
le second membre de 1 equation
M 7I S(: /!,, / 2<i . - ./,,,),
on substitue aux (eruies du systeme (//?,_) leurs valours on a ct, on a
tiroes des equations ( 3i), on obtiendra pour resultat nno fonction des
lermos des systeinos (,,,/) et (a, _) (jui sera symetrique alternee par
rapport aux indices qui occu[)onl la premiere place dans a et par rap
port a ceux qui occupent la premiere place dans a. D ailleurs, cbacune
des (juanliles m otant du premier dogre par rappo rt aux quantites a et
par rapport aux quantites a, cbaque tonne du dovoloppoinont do
S( m^
sera ovidommont do la forme
(lomnio co developpement doit otro uiu 1 fonction symetrique alternee
par rapport aux indices qui occupont la premiere place dans a ot par
rapport a ceux qui occupont la premiere place dans a, il no pourra
ronfcrmor le tonne qu on vionl do consideror sans rcn former en memo
temps le produit
S(it y-i.^cx-y^. . . a /li7l ) S( /^.(j/a^v. . .a n ^},
il sera done equivalent a un on a plusiours produits do cette ospoco.
Si dans le produit precedent on suppose los indices u, v, . . ., r. tons
0111 NE PEl VENT OBTENIll (HIE DEUX VALEUKS, ETC. I V
d if Fere nis les uns des autrcs, on aura
Do meme, si Ton y suppose les indices [j/, v , ..., r: tons differents
les uns des autres, on aura
D ailleurs, on ne pent supposer deux des indices u., v ..... ~ e^aux
entrc cux sans avoir
S(r a li(j . a,. v . . .a w , w ) o,
ni deux dcs indices a , v , ...," egaux cnlre en\ sans avoir
S(I !,,;. 2 ,V- -/ix) ~ O.
Lc dcveloppeincnl dc >l w se rcduira done ii nn on it plusiciirs produils
de la forme
l>o, t ;
on a done
M=cD a a,
c etant une quantite constante. Pour determiner la constant^, il snltit
d obscrvcr que requation precedonte etant idcntique dcvra encore avoir
lieu si Ton suppose generalement
y. v .. (i=i, jj., (A i , a [j.,v o, //u.,-/ = ;
inais alors on a par les equations (3i)
|X,(1~ "?U.,V~,
et, par suite,
M ;| - i, I3--i, o /t i;
on doit done avoir aussi
c = i ,
et, par suite, on aura, en general,
(35) U H =\) H 8 n .
Cette equation reni erme un theoreme tres remarquable qn on pent
enoncer de la maniere suivante :
H-2 MEMO I RE SUK LES FO NOT JONS
Lorsgu un syste?ne de quantites est determine symetriquement an may en
(h deux an t res SYS femes, IK determinant du. systeme resultant est toujoiws
e gal an produit des determinants des deux sysf ernes composants.
Si dans les equations (3i) on remplace les systemes de quantites f, il? )
et (a,,,,) par les systemes (,,) et (A,,,,) et quo Ton suppose genera-
lement
m^^ I),,, wijjL.v o,
.on obtiendra Jos equations (10). Dans le memo cas, on aura
M,, = /?i 1%1 wo..,. . ./,= I);;, 0,, = S(: /> K1 ^ 2 .j. . ./>.) = B 71 ,
et, par suite, 1 equal ion (35) deviendra
DS-B.D.;
d oii Ton eonclul
(36) B /l =Dr l .
On voil par cette derniere equation que le determinant du sysleme (^,,,,)
adjoin! au systerne (, , ? ) est e gal a la (n \ ) it ine puissance, du determi
nant de cc dernier syste?ne.
En vei tu de [ equation (36), L equation (3a) devienl
Ainsi, e//// donne un terme quelconque a^, du systcme (,),
obtenir le terme correspondant du systeme adjoint du second ordre (c, ),
il suffira de multiplier le terme donne par la (n o) 1 11 " puissance du
determinant du premier systeme.
On a vu que le determinant d un systeme quelconque est toujours
egal a celui du systeme conjugue. II suit de la que 1 equation (3.5)
subsistera encore si dans les equations (3i) on rernplace 1 un des
systemes composanls (,,), (,,), on tons les deux ensemble, par les
systemes qui leur sont conjugues, savoir (a wj ), (a Mtl ). L equation (35)
convient done egalement aux. quatre systemes d equations symetriques
QU1 NE FEU VENT OB TEN I R QUE DEUX VALEUKS, ETC.
desitjnes par les qnatre syrnbolcs suivants :
2[S(av,ia,i,i)=m,i,v],
2[S*( 1 , v a,i t i) = "[i. ]
(38)
lo signc S etant relatif dans tons los cas aux indices do a et do a qui
so nt eganx a I unite.
Dans les quatro systemes d equations quo representont los quatro
symboles precedents, lo premier indico do la lettre m est toujours ogal
a I indice do a qui restc constant dans chaquo equation et lo second
indice do m est toujours egal a I indico do a qui rcste constanl dans
cotto memo equation. Le contraire aurait lieu si dans les equations (38)
on remplac,ait lo systeme (/,,) par son conjugue (m wj ); cos equations
devienclraiout alors
Pour suivre los denominations jusqu a present adoptees, jo dirai
quo. dans chacun des systemes d equations represented par les sym
boles (38) et (3c)), lo systemo (m, itl ) resulte do la composition des
deux systemes (,,) et (a, ). J appellerai premier syslejne composanl
eel u i dont I indice constant dans chaquc equation determine le premier
indice do m et second svstcme composant celui dont I indico. constant
determine le second indice do m. Ainsi, le systeme (,,) est premier
composant dans cliacune des equations (38) et le systeme (a, ) esl
premier composant dans chacune des equations (3r>). Knfin je dirai
quo la composition estdirecte par rapport a Fun des systemes compo-
sants si les indices, qui sont constamment egaux dans le systemo
composant et dans le systeme resultant (rn (n ), occupent tons deux la
premiere place ou tons deux la seconde, et je dirai quo la composition
1U MEMOIRE SUK LES FONCTIONS
est indirecte si de ces deux indices 1 iin occupe hi premiere place et
1 autre la seconde.
Cela pose, si Ton examine successivement les quatre systemes
d equations symetriques representes par les symboles (38), on recon-
naitra sans peine :
1 Que, dans le premier systeme d equations, la composition est
directe par rapport an systeme (,,) et indirecte par rapport au sys
teme (a, >n );
2 Quo, dans le deuxieme systeme d equations, la composition est
directe par rapport aux deux systemes (a,, n ), (a llW )5
3 Que, dans le troisieme systeme d equations, la composition est
indirecte par rapport aux deux systemes (,,), (^-i./z);
4 Que, dans le quatrieme systeme d equations, la composition est
indirecte par rapport au systeme (,,) et directe par rapport an sys
teme (a,, B ).
En examinant Irs systemes d equations representes par les sym
boles (3c)), on trouverait des resultats contraires aux precedents. Ainsi,
par exemple, dans le deuxieme des symboles (3g), la composition est
indirecte par rapport aux deux systemes de quantites (,,) et (a, >ra ),
tandis qu elle etait directe dans le deuxieme des symboles (38).
L equation (35) n a pas seulement lieu relativement aux systemes
d equations representes par les symboles (38) et (3g); mais la valeur
de M M determinee par cette equation restera encore la mcmc au signe
pres si, dans un des systemes de quantites (,,), ( a i,) u dans tous
les deux a la fois, on substitue rune a 1 autre deux suites horizontales
ou deux suites verticales et meme si Ton repete cette operation plusieurs
fbis dc suite. En cffet. une ou plusieurs substitutions de cette espece
ne changent point la valeur mais tout au plus le signe des determi
nants D /; et .
YI. Si dans 1 equation (32) on suppose 1 indice v invariable et que
Ton donne successivement a u. toutes les valeurs entieres depuis i
jusqu a 7i, on obtiendra une des suites verticales d equations comprises
OUI NE PEUVENT OBTENIK QUE DEUX VALE Li HS, ETC. 145
sous lo nuinero (3i), laquellc pourra etre rep rose n too pai lo symbole
pourvu quo Ton y considerc I indice v com me invariable.
Cola pose, en suivant la mcthode qui a sorvi a passer dos e<| na
tions (23) aux equations (2/1), on obtiendra uno nouvelle suite d equa-
tions adjointes a cellos quo Ton viont do considered et qui soront
representees par lo sy ID hole
pourvu quo Ton y suppose toujours I indice v invariable.
Si dans ce dernier sy in hole on donne suceessivoinent a v toutes les
valours ontieros depuis i jusqu a /?, on obtiendra plusiours suites
d equations dont I enscmble lormora un uouveau systeme d equations
symetriques quo Ton. pourra ropresenter par le morne symbole
(4o) 2[S(6 1 ^w 1|V ) = I) JI v ^],
dans loquel on supposera clesormais les deux indices t/. et v variahles
lorsqu on passe d une equation a une a litre.
Lc symbole (4) represonte, ainsi quo le symbole (33), un nomhre
d equations egal a n~. Los deux systemcs d equations symetriques
representes par cos deux symboles etaut respectivement composes do
plusieurs suites d equations tellement liees entro elles quo les suites dn
systeme (4) S( Jnt respectivement adjointes a cellos du systeme (33);
je dirai que le systeme des equations (4) est adjoint an systeme des
equations (33). En comparant cos deux systemes d equations 1 un \\
1 autre, on trouve q-ue le systeme do quantites (a, ;i ), qui etait engage
dans les equations (33), sc trouve degage dans les equations (4o), tandis
que le systeme do quantites //?,,, qui etait degage dans les premieres,
sc trouve engage dans les secondes. Ainsi, le passage des equations (33)
aux equations (4o) sort a degager le systeme composant (a, iW ). La
comparaison des symboles (33) et (4) suffit pour etablir a co sujet la
regie suivante :
OEuvres dc C. S. II. t. I. I <)
1V6 MEM01KE SUH LRS FONCTIONS
l.orsqu un systeme do quantites (#?,.) results do la composition de
deux autrcs systemes (,,) ct (a, ), pour degager Tun des systemes
composants (a li/t ) il faut :
i" Echanger entrc cux lo systeme composant quc l on vent. degager
(a, ) et le systemc resultant (m,,,,), en ay ant soin de laisscr respecti-
venient a leurs places les indices qui etaient communs aux lettres a
et /;?;
2 Multiplier tons les tcrmcs du systemc composant que Ton degage
par le determinant du systemc composant qu on laisse engage;
3 Remplacer ce dernier systemc ( ,,) par le systemc adjoint et
conjugue (b ait ).
Si dans Fequation
^"(aV.l^Ll.,1) ~ /"[JL,V
on suppose I indicc u, invariable et que Ton donne successivement a v
loules les valeurs entieres depuis i jusqu a //, on obtiendra une des
suites horizontalcs d equations comprises sous It 1 numero (3i), laquelle
pourra etre representee par le symbole
pourvu que 1 on y considere I indicc u. comme invariable.
Soil maintenant(j3 ra>l ) le systemc adjoint et conjugue a (a l>w ), o n etant
le determinant de ce dernier systemc; la suite des equations adjointes
a eel les que Ton vicnt de considerer sera representee par le symbole
u. etant suppose invariable relativement a une memc suite d equations.
Si maintenant on donne successivement a u., dans ce memc symbole,
tonics les valeurs entieres depuis i jusqu a //, on aura un nouveau
systemc d equations que Ton pourra repre.senter par le memc symbole
(40 2[S"( "n.ii.v) =3 n a^ v ],
en y supposant desormais variables les deux indices u. el v. Ce dernier
QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALE IKS, ETC. 1 47
systeine d equations est, ainsi quo le systeme (/i<>), adjoin! au systeme
d equations (33). Les deux system cs d equations (/jo) et (40 scronl
appcles tons deux adjointsdu premier O7 d?*eau systeme d equatjons(33).
On a vu qu il suffisait, pour obtenir le premier, de degager dn systeme
d equations (33) le systeme composant (a l>w ). II suftit de.meine, pour
obtenir le second, de degager I autre sysleme composant (,.); d ail-
leurs", pour degager ce dernier systeme cqmposanl des equations
2[S"(a v ,|}i,|) = 171,1,,],
il taut, en suivant la regie etablio ci-dessus :
i Remplaeer //z [1>v par r^ v et a^ ( par w^, ;
2 Multiplier a^ par o tl :
3 Remplaeer a v- , par [j, v .
On obtientdonc immediatementparcette regie le systrmo d eijiiations
(40 2[S(m^ 1 p 1|V )=d Jl a^ v ].
On a vu dans la section precedente que, si apres avoir degage
d une suite d equations symetriques la suite des quantites engagees
an moyen des equations adjointes du j)remier ordre on degageail dc
nouveau la suite quo la premiere operation avail engagee, les equa
tions adjointes du second ordre ob ten lies par cette seconde operation
ne difleraient des equations primitives que par un f acteur commun a
tons leui s termes. De memo si, apres avoir degage du systeme d ecjiia-
tions (33) les systemes de quantites (a, ) et (, )W ) an rnoyen des equa
tions (4o) et (40> ()n voulait de nouveau degager des equations (/jo)
on des equations (/\i) le systeme de quantites (m ttll ), les equations
adjointes du second ordre obtenues par ce moyen ne differeraient d(>s
equations (33) que par un facteur commun a tons leurs termes. Mais,
si Ton degage des equations (4o) le systeme de quantites (/;,,) et des
equations (40 le systeme de quantites (fi t , H ), on obtiendra deux nou-
veaux systemes d equations symetriques qui seront adjoints du second
ordre AI\ systeme des equations (33) ct qui seront diflerents des trois
systemes d equations (33), (4o) et (4i).
H8 MEMOIRE SUR LES FOiNCTIONS
/% i,) 1 systemo do quantites adjoint an systomo (/,,). M w etanl
toujours Ic determinant du systome (/w iiW ), on aura, on vortn do I oqua-
lion (35),
AJ,,= 1>,,<3 ;| .
Ccla pose, pour degager dos equations
lo systomo do quantites (&,,), il faudra, d apros la roglo olablio c-i-
dossus :
1 Romplaeor 1),^,.^ par /^^ ot /> )>{1 par I^a,^;
2 .Multiplior h, t ^ par ^J, ; ;
3 Romplacor />z l)V par r v ,.
On obtiendra do ootto manioro lo systomo d oquations ropi osonto par
Ic symbolo
S[S(D B a 1 , |t r v , I ) = M tt &v,^].
Si dans oo systomo on diviso los doux niombros do cluujno oquation
par !), on observant quo ^ = o n , lo symbolo precedent doviondra
Lo systomo d oqualions roprosonto par o<; dernier symbolo cs( un dos
doux systomos adjoints du socond ordro aux equations (33). Pour
obtonir 1 autro systomo adjoint, il suffira do degager lo systomo do
quantites (j^,.,) dos oq nations
Pour y parvonir il taut, on vortu do la roglo citoo :
i Romplacor * n a^ par 3^, ot ,,,, par o, t rt l>v ;
2 Multiplier ^ )V par M /t ;
3 Romplacor m li<{ par r,^.
Lo symbolo qui roprosonto lo systomo d oquations oliorcbo sora done
OUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. U9
Si 1 on divise Ics deux membrcs do cbaeune des equations comprises
dans co systeme par o r> , on observant quo -^ - 0,,, lo symbolo pre-
o
cedent deviendra
(43) 2[S(r 1 , li a 1 ,v)=D w p |iiV ].
Ainsi, le systemc des equations (33) a pour system PS adjoints du
second ordre ceux qui sont roprescntes par les symbolos (4 2 ) ( t (43).
Si maintenant on voulait degager des equations (42) lo systomo do
quantites (a t>;t ) ou des equations (43) le systomo do quantites (a,.,,).
on retrouverait les equations (/jo) et (4i) imillipliees par un I actour
commun a tons leurs termcs; mais, si Ton degage des equations ( / |2)
on des equations (43) le systeme do ({iiantilos ( ,,), on obliondra un
nouveau systemc d equations symetriques <]ue, j appellerai adjoin! du
troisieme ordre au systeme des equations (33). Pom- obtenir e( i nouveau
systeme il f aut, dans los equations
i Remplacor o n h, t ^ par /\ iV . el / v> , par O M /> VI| ;
:A U Multiplier r v>[1 par o w ;
3 Remplacer a, ^ par p^,.
On obtient dc cetto maniere le symbolp
I [ S " ( ,3,.,., , o,, ^ v- , ) ~ 0,1 /./.. ] .
En divisant chacune des equations (jui s y trouvont comprises par o,,,
on aura le symbole suivant :
(44) 2[S"(u,,/A M )^/ v ^]
qui represente le systeme des equations adjointos du troisiemo ordre
aux equations (33). 11 est a remarquer quo, pour deduire los ( ({na
tions (/(o) des equations (33), il suffit do romplacor dans cos dorniores
los trois systemes do quantites
150 MEM01KE SUU LES FONCTIONS
par les systemes adjoints du premier orclre
Ainsi, les relations etablies par les equations (33) enlre les trois pre
miers systemes do quantites subsistent encore entre les trois autres.
VII. Avant de passer a dp nouvelles recherches, il no sera pas
inutile de reunir en un seul tableau les principaux resultats quo fourni!
I analyse precedente relativement u trois systemes de quantites lies
entre eux par un systeme d equatious symetriques.
Solent respectivement
les trois systemes de quantites dont il s agit. Designons par
les systemes adjoints du premier ordre aux trois systemes donnes et
par
les trois systemes adjoints du deuxieme ordre.
Enfin representons. comme ci-dessus, par
le systeme d equations symetriques par leque l les trois systemes donnes
se trouvent lies entre eux et designons respectivement les determinants
(les sstemes
par
o w , C, 9,,, I),,, B,,, C /lf M, Jt H ;l , T,,;
on aura entre les terines et Jes determinants des svstemes dont il s agil
OUI NE PEUVENT OBTENIK OUE DEUX VALEURS, ETC
les equations suivantes :
151
(45) (
(46)
M B =D B d B1
R M =n,c.,
c ; , i);;"-",
T fl = C,A;
o =S( 1 , |ti 3 I , v ), o
:J , I /
(48)
C,, =S n (
o =S(
o =S
o = S W (/ M /-,,
o =S(w,^/- 1 .
T rt -~ S"(/ v . t v,
T,, S M/ Ka^.a
o =S(/>,^ V , 1 )
o =S/-f
Z[S(r li|t a llV ) -
Lorsque dans cos deux equations on suppose successivenieut
n = 2 ol 3,
on obtient diverses formulos qui out etc donnees par AL (iauss et appli-
(fuees par ce geometre a la theorie des formes binaires et ternaires du
deuxieme degre.
J.es systemes d equations (48) sont les memes que les systemes (33),
(4o), (/, i), (^2), (43) et (44). Les cinq derniers sont adjoints du pre
mier, du deuxieme et du troisieme ordre au systeme (33). Pour |,> s
obteuir tons les cinq il suffit de degager successivement des equa
tions (33) :
15-2 MEM 01 HE SUR LES FO NOTIONS
i" Lcs deux systemes do quantites (<y-\, n ) ct (),);
2 Les deux systemes adjoints aux precedents, savoir (P <>n ) et (/;,,)
3 Le systemo do quantites (/,.) adjoint au systeme (/>?,,)
Si I on voulait des equations (44) degager 1 un dos systemes (jS,, w ),
i 6, ), en ayant egard aux relations etablies par les equations (46). on
retrouvcrait les equations (42) et (43). Ainsi, d un systeme d equa-
tions symetriques do Fordro n, on pout toujours dcduirc cinq autres
systemes semblables, savoir : deux systemes adjoints du premier ordrc,
deux systemes adjoints du deuxioine ordre, un soul systeme adjoint du
troisieme ordrc; mais on n cn saurait deduire un plus grand nombrc.
^ VJI1. Je reviens maintonant aux equations (3i) qui so trouvcnt
representees par le symbolo (33). Lorsqu on les ajoute cntre dies, on
a 1 equation suivanto :
On pout motlre cotto equation sous la forme suivante :
= S" ( m^i ) 4- S" ( /Wji,, ) 4- - - - 4- S" ( m^ H ),
le signc S etant relatii aux indices u. qui occupent la premiere place
dans les tonnes des sstemes
On pout encore mettrc la memo equation sous la forme
(5o) S"[S"(a fJL . v )S"(u..v)]^--S"S"(m pl ,v),
le premier signe S dans chaque mombre etant relatif a 1 indice v et les
autres a I indicc u..
Si an lieu d ajoutcr cntre olios los equations (33) on ajoute les equa-
QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 153
tions (44)^ on obtiondra uno equation semblable a ( equation (5o), el
qui pourra ct.ro inise sous la forme
(5i) S"[S"(^.,v) s "(V )l^ s " s "( V.,v),
pourvu quo Ics operations indiquees par lo signc S dans
S((3 M ),. S(V )> S(/V,v)
soient relatives aux indices t u qui occupcnt la premiere place el que
les deux autres signcs S employes dans ( equation (5i) soient relatifs
aux indices v qui occupent la seconde place.
On obtiendrait de la memo maniere, par 1 addition des equations (i<>),
(.41), (42), (43), les valours de
fi.it Q.II f ,y \ C h C n / n \ C n C n ( 1. \ C /; C n t Q N
O O V a v,jJ.ji ~ V<<[J.,VJ) O o (Uv,\).), O O (fJij.^).
TUOISI/2ME SECTION.
Des systemes dc qnantitcs derivccs ct de leurs determinants.
IX. Soit (rt t) ) u n systeme quelconque do 1 ordre n. Les indices
qui a flee tent les different:* tcrmes de cc systeme etant respectivement
egaux aux nombrcs r i, 2, 3, ..., n; supposons qu on les assemble /; ;i p
dc toutes les manieres possibles; le nombrc des combinaisons que Ton
pourra former par ce in oven sera egal a la fraction
1.2.3 p
que je designcrai par P.
Supposons main tenant quo, apres avoir ecrit cos combinaisons h la
suite les uries des autres en commencant par cellos oil lo produit dos
indices est le plus petit possible et h nissant par cellos ou le produit
des indices est le plus grand possible, on lour fasso corresponds les
numeros(i), (2), (3), ..., (P i), (P). Lo numero (i) corresponds
a la combinaison
1.2.3 }>
OF.ui res ile C. S. II, t. I. ?<->
154- MEMOIHE SUH LES FONCTIONS
el le numero (P) a la combinaison
n /) + i . n p -+- 2 n i . n ,
dans laquelle le prod nit des indices est. evidemment plus grand que
dans tons les autres.
Soient main tenant (pi) et (v) deux des numeros affectes aux com-
binaisons dont il s agit. Si dans le systeme donne (,,) on supprime
tons les termes a Texception de ceux qni out leur premier indice
compris dans la combinaison (p-)et leur second indice compris dans
la combinaison (v), les termes restants formeront un systeme de quan-
tite.s symetriques de I ordre p. Ainsi, par exemple, si p. v = i , les
combinaisons (p.) et (v) se reduiront a une seule combinaison formee
des indices
I, 2, 3, ..., />
el, dans ce cas, les termes conserves tin systeme (<v,, w ) formeront le
systeme (//,,/,) de I ordre p, savoir
> n i>.i
dont le determinant sera \) jr
Si Ton n a pas p. i , v i ; alors, au lieu tin systeme (32), on aura
nn autre systeme de I ordre (/?) dans lequel les indices des suites
horizontales seront egaux a ceux que renferme la combinaison (p.) et
les indices des suites verticales egaux a ceux que renferme la combi
naison (v). Je designerai le determinant de ce dernier systeme par a\fj.
Sa valeur absolue depend uniquement ties indices compris dans les
combinaisons (p,) et (v); mais son signe reste arbitraire, a moins que
Ton n introduise de nouvelles conditions dans le calcul.
Si dans a! f on donne successivement a p. et a v toutes les valeurs
possibles depuis r jusqu a P, on aura en tout nn nombre de determi
nants egal a P-. Ces determinants, ranges en carre tie la maniere
OUl NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALKUHS, ETC. 155
suivantc
(53)
tbrmeront un systeme symetrique dc 1 ordro P dont le premier tonne a \
sera egal a D,, ot dont les autres tonnes pourront elre deduils du pre
mier a 1 aide do substitutions operees cntrc les indices qui afToctonl
les term os du systeme (,,). Pour suivre la notation precedemmenl
adoptee, je designerai le systeme (53) par
Si Ton donne successivement a p toutes les valours
i , ?,, 3, . . . , /i. - 3, /> 2, n i ,
P prendra los valours suivantcs :
n ( n i ) n ( n i ) ( n 2 ) n(n i ).(// 2 ) n(n i )
n , 5 T. > ) ~ > - 5 n .
\ .?. I ; 2.6 1.2.3 J . 2
-
ot Ton obtiendra par suite un nombro egal a // i do systemos syine-
triquos difl eronts les uns des autres donl le premier sera le svstomo
donne (c/,,,,). Cos differents systemos soront designes rospootivomenl
par
.(H-3; \ /(-) x
[ n ( n - II ( n 1 ) \ > I . H i - 1 1 \ >
je les appellerai systemes derives do (<?,). Parmi cos systemes, ceux
(|iii correspondent a dcs valours do /; dont la sornmo est egalo ;i n soul
toujours.de memo ordro; jo los appellerai systemes derives c.omplenie/i-
taires. Ainsi, on general,
( / ,!) el ( iV)
sont deux systemes derives complementaires 1 un do I auti o donl Pordro
150 MEMO IKE 8 U K LES FONCTIONS
ost egal ii
Les differents tonnes do systome (53) representant autant do deter
minants do 1 ordro /;, on pout snpposor a volonte chacnn do ces tcrnics
positif ou negatif. Do plus, los numeros correspondant aux divcrscs
combinaisons des indices i, 2, 3, . . ., n no sont pas entierement deter
mines par cette soulo condition quo Ton donno de moindrcs numeros
aux combinaisous dans losquollos los produits dos indices sont plus
potits. Ouoi qu il on soit, on pourra, sans detruire los propositions
quo nous allons demontrer, reglcr a volonte co qu il y a d arbitraire
dans la determination dos signos et dos numeros dont il s agit, pourvu
qu apres avoir fixe d une certaine maniere les signcs et les numeros
rela til s aux tormos du systomo derive (a\), on fixe de la maniere
suivante los signos ot los numoros rolatifs aux tormos du systemo
derive complemcntaire (a ( " r p] ) :
i Soit ([/.) lo numero correspondant a 1 une dos combinaisons
j ormees avoc un nombre egal l\ p d indices pris-dans la suite
i, 2, 3, ..., /i ;
on designera par (P a H- i) lo numero qui correspond a la combi-
naison 1 ormee avec eeux dos indices i , 2, 3, . . ., n qui sont exclus de la
combinaison a en nombre egal a (n p\ Par suite, si Ton compare
ontro oux los deux tormes
/,(/ ) n oi-in
a (A,7l> "I 1 (JW-i.P 1V+1>
dont I lin ost pris dans lo systomo (ct\ p \.) et 1 autro dans lo systemo
complemontaire (a["^ ! ! ) ot quo Ton examine les indices qui, dans ces
deux determinants, afTootent les termos du systeme ( l>w ), on trouvera
quo los indices compris dans lo determinant a 1 ^ sont exclus du deter
minant a ( i"l ^ ltV ., n+l ct reciproquement. Jc designorai les deux quantites
QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. J57
sous le nom de termes complementaires des deux systemes
Le premier terrne du systeme (53) etant
le terme complementaire pris dans le systeme (rti V /;> ) sera
2 Le produit des deux termes precedents on
est, abstraction faitc du sigue, evidemment egal a la soimne de plu-
sieurs produits symetriques affectes des memes signes cjiie dans Ic
determinant D,,, c est-a-dire a une portion de ce determinant. Kn
general, il est facile de voir que le produit de deux termes comple
mentaires pris a volontc est toujours, au signe pres, une ])ortion de
ce in erne determinant. Cela pose, etant donne le signe de 1 un de ces
deux termes, on detcrminera celui de I autre par la condition que leur
produit soit affccte du memo sigue que la portion correspondante du
determinant D H .
Si Ton suppose /; = r , on aura P n ct la quantite a\^ deviendra
generalement egalc a
(X,7f
Dans Ic memc cas, la quantite complementaire tfi !~pf+ 1;1 > ...^, deviendra
egale a
X. On a fait voir dans le paragraphe III que la fonction symetrique
alternee
etait equivalentc a celle-ci
S[ S(I |,12, 2 - -!, n-l)" ,]
158 ME MOIRE SUR LES FUNCTIONS
On fera voir do memo, qu ello cst encore equivalente a
S[S(=b ,,,,,,. . ,a / ,, / ,)S(a p4 .,, p+ ,.. ._!,,,_!,)],
los operations indiquecs par lo signe S pouvant etrc considerees coin me
relatives soil aiix premiers, soil aux seconds indices. On a d ailleurs
par ce qui precede
Unfin les signes des quantites de la former 1 / }, a|, H p / ) doivcnt etre tels
que les produits scmblables a rt / J a[y } soient, dans le determinanl !).
affectes du signe -+-. Cela pose, il resulte de 1 equation
(|ue D /? est la somme de plusieurs produits de la forme
Scion que pour obtenir ces differonts produits on cchangera entre eux
les premiers ou les seconds indices du systeme (,,), on trouvera on
1 equation
i> = a tf i/;i7 j > -+- <, dp- ft -H . . . + flj/;{ rtiv
on celle-ci
!) = rti V ai/ p" -4- orif, ffl/ p^! -+-.-.+ a ft i/T" ; -
On aura de meme, en general, les deux equations
Os deux equations sont comprises dans la suivante :
qui a lieu egalement, soil quo Ton considere le signe S comme relatif
a rindice u, soit qu on le considere comme relatif a I indico -.
O U I N E P E U V E N T B T E N I K O I j E I ) E L 1 X V A L E U K S , E T C . 159
Si dans 1 equation (5/j) on suppose p= i, olio deviendra
Suivant quc Ton suppose dans celte derniere lo signe S relatif a Tin-
dice - ou a 1 indicc JJL, on obtient I nne on 1 aulrc des deux equations
D w S(X,I&M),
qui on I deja etc trouvecs dans le paragraphic 111.
D w etanl une function symetrique alternee des indices du system e (a liW )
doit se reduire l\ zero lorsqu on y rcmplace un de ces indices par un
autre. Si Ton opere de semblables rein placemen Is a 1 egard des indices
qui occnpenl la premiere place dans le systeme u<,,,,) el (jiii entrenl
dans la combinaison (u), cette nieme cumhinaisun se trouvera (rans-
formee en une autre que je clesignerai par ( v v) et a^, sera rliange
on a :fn- D aillcurs, en supposanl le signe S relatif a TC, on a
on aura done par suite
On anraitde memo, en snpposant le signe S relalif ii 1 indice [j. et en
designant par (T) nne nouvclle combinaison dilTerente de (-),
(56) o = S p (a{Ci4 w -Ap-^i).
Si dans les equations (55) et (56) on suppose p = i, on retrouvera
les equations
que nous avons deja obtenues dans le paragraphe III.
Si dans les equations (54) et (5(>) on suppose le signe S relatif a
1 indice p. et que Ton donne successivement a T: et a T toutes les
valeurs entieres depuis i jusqu a 1\ on obtiendra le systeme d equa-
160
MEMOIRE SUR LRS FONCTIONS
tions suivant dont 1 ordre cst egal a P :
/ ]) = flippy -+- $ !--$
o := a ,; a\! l
id iV /J)
5-)
\ o =
Ce systi mc d tiquations pout ctrc represente par le symbole
2[S p (a^aKl-A,p-ir-Hi) = D,T],
pourvu quo Ton suppose generalement
DTT.T^O
lorsquc - ct T sent inegaux ot
V^=D^=to n
dans lo cas conlrairc.
Cola pose, designons generalement par
D{/"
lo determinant dii systeme (IS);
sera lo determinant du systeme complementaire (ay). D ailleurs
dans les equations (37) le determinant du systeme degage doit etre
egal au produit des determinants des deux systemes engages et comme
QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE J)EUX VALEURS, ETC, JG1
le systcmc degage a pour determinant
on aura -
Lorsqu on suppose p = i , les equations (67) se confondent avec les
equations (10) obtenues dans le paragrapho III, et 1 equalion (58) se
change en la suivante :
D = D n B,,
qui etait deja connue.
Si /? est un nombre pair et quo Ton suppose y; = 1, O n aura
P etant egal ii
n(
1.2.3 .....
L equation (58) devicndra done alors
on
Kile fera ainsi connaitre la valeur du determinant DJ; 2 .
QUATRIEME SECTION.
l)es systemes d equations derivces et de lenrs determinants.
XI. Les trois systemes de quantites (a, >n ), (a tjll ), (/w, ) elf
supposes lies entrc eux par les equations
(33)
OEuvres dv C. S. II, t. 1.
162 MEMOIKK SUR LES FONCT10NS
IPS systemes de meme ordre derives des trois premiers, par exemple
(*,!;), WP), (<W),
scront lies enlre eux par ties equations semblables, ainsi qu on va le
fa ire voir.
Soient ~, p, . .., - plusieurs indices pris a volonte panni eeux qui
oceupent la premiere plaee dans le systeme (<?,_). Soil p le nombre
de ees monies indices, e( dosignons par
(fO
la combinaison qui les renf erme tons. Soient dc memo u , p , ....t des
indices en nombre egal a p pris parmi ccux qui oceupent la premiere
plaee dans le sysleme (a, ,,\ el designons par
(v)
la combinaison qui reni enne ees derniers. On aura en general
in ^-=^: S(: i r< - //< p , P . . ."^.r)-
Si Ton developpe le second membre de Tequation precedente, apres
y avoir substitue pour
". ?.?; , WT.T-
Icurs valeurs donnees par les equations
on (rouvera que le developpement ainsi forme renferme avec le produit
i tons les produits que Ton |)eut deduire de celui-ci par des trans
positions operees entre les indices
77, p.
QUJ NE PEUVE NT OH TEN III Q U E DEUX VA LEU IIS, ETC. KM
qui occupcnt la premiere place dans a et par des transpositions operees
entre les indices
7i , p , , T
qui occupcnt la premiere place dans a; 2 tons les prod nils quc Ton
pcut en deduirc par dcs transpositions operees entre les indices
I, 2, 3, . . ., p, . ., n i, //
qui occupent la seconde place dans les deux systemes (,,) el (?-),/,)
Cola pose, le devcloppemcnt de
S( m r ^ T: nir, ,, . . .I/I-C.T)
devant elre une fonction symetrique al(crm e relativcment aux indices
r., p, ...,T qui occupent la premiere place dans a, et rehilivcment anx
indices T. , p , . . ., T qui occupent la premiere jdace dans a, nc poiu-ra
renfermer le produit
sans renfermer en rneme ternps le produit
S(27tMp ,2- -*T>) S( 7til p i j. . .T./J,
qui d apres les conventions etablies doit etre designe par
-f- ~ (/// / -
zc Vjl (i ; i,
puisque les trois comhinaisons
Tr .p ..... T , 77. p ..... T, 1.2.3 ..... /J
correspondent aux trois numeros
(v), (a), (i).
Le memo developpemcnt, devant etre une fonction symetrique perma-
nentc relativement aux indices toujours egaux qui affectent en seconde
ligne a et a dans chacune des equations (Or), ne pourra renfermer Ic
produit
1GV MEMOIRE SUR LES FONCTIONS
sans rcnl ermer la so mine de tons ccux que 1 on peat decluirc du pre
cedent pur dcs transpositions operees en Ire les seconds indices des
deux systemes (,.) ct (a i>n ); et commc pour operer ccs diverses
transpositions il suffit de rcmpJaccr successivement la combinaison (i)
par les suivantes (2), (3), ..., (P) on, cc qui revient au meme, le pro-
el u it. a!/ J , V/^l par les prod nits
$$, $$, ."., #[/;)>,
le developpement clierche sera neccssairement de la forme
c(<Ja|/;i + s$ $ + ...+ $> <}) =: cS p (*$aj/;})
et par suite on aura
le signe S etant relatif a 1 indicc i et c designant unc constante arbi-
traire quo Ton determinera de fa manierc suivante. Si 1 on developpe
le produit
on trouvera pour premier tonne Ic prodnit suivant
D ailleui s 1 inspcction des equation s (61) sufllt pour faire voir que
ee dernier produit doit etre compris une seule ibis dans le develop
pement dc
m^), = S( /n^K /Kp^ . . ./n TiT -).
On a done neccssairement c = i . Le choix que i on doit faire ici
entre les deux signes 4- et - - depend de la. manierc dont on aura
determine les signes respectifs des trois quantites
,</ ) n W (!>"
"(i.VJ M {i,lJ a V,l
on, ee qui rcvicnt au meme, les signes dcs trots suivantes :
QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 165
II cst facile do voir que Ton aura c-=i si Ton suppose que le signe
du produit
dans a[) soit egal au produit du signe do
dans ajfj par le signe do
dans oc^. Si Ton adrnct ccttc hypothese, I equation rapportoo plus
haut dcviondra
( 62 ) M j/ v = S [> ( GCv/i \ )
Si dans ccttc equation on domic successivcment a u et a v toutes los
valours entieres dopuis i jusqu a P, on aura un systeme d equations
symetriques do 1 ordre P, quo Ton pourra roprosoiHor par lo symbole
(63 ) i [ S p ( a$ [/;{ ) = m |/;; ] ,
P otant toujours egal a
n(n i ) . . . ( /i /j -H i )
1.2.3 p
Pour deduire des equations (33) les equations (03), il suftit evidoin-
ment de remplacer les trois systemes do quantites
par les systemes derives do meme prdre
Je dirai pour ccttc raison quo le second system o d equations osf derive
du premier.
Si dans lo symbole precedent on suppose p = i, on retrouvera les
equations (33). Si dans le meme symbole on change
jut. en P - p. -h i , v en P v + i , i en P
166 MEMOIRS SUR LES FONCTIONS
ot quc Ton fassc ensuite p = n i, on aura
P=:, ai. / --v+i.P=|3 Vil , ffp -iw-l.l V il> / -V-M,P-v
ot par suite le symbolc (63) so changcra dans lo suivant
auquel on etait deja parvenu clirectement.
Si dans les equations (63) on change p en n p, on aura
(64) i[^(^" : r"^lL .T !>) ) = /4V ]-
Desic;nons par
3i/", W\ M /
les determinants des trois sstemes
on aura, en vertu des equations (63),
(65) Mi/ - = Di/ J) o{/".
On aura de me me
MX - } =fi i! -- > ?-">.
Si Ton inultiplie ces deux equations 1 une par 1 autre, on aura on vertu
de Tequation (58)
M p D p o p
it i n u n <j n
et par suite
M,, D,,o,,.
On obtient aussi ee dernier resultat en supposant, dans 1 equation (65),
p = i.
Si Ton ajoutc entre elles les equations (63), on aura la snivante :
le premier signc S, e est-a-dire le signe exterieur, etant relatif a I in-
QUI NE PEUVENT OB TEN IK OUE DEUX VALEURS, ETC. 107
dice v ot les autres, c- cst-a-dirc les signcs interieurs, etant rela tit s a
1 ind ice pi..
XII. En reunissant cc quc la theorie precedentc ofTre de plus
remarquable relativement aux systemcs d equations derivecs, on f or-
mcra le Tableau suivant :
Solent toujours (a 1>w ), (#,,), (/??,,) trois systemcs dc quantises lies
entre eux par les equations symetriqucs
(33) 2[S(v ll a vt , 1 ) = m pliV ].
Faisons a 1 ordinaire
n ( n _)_ -
" 7r
1.2.0
et designons par
les systemcs de 1 ordre P, derives des trois systemes donnes, e( qui
deux a deux sont complementaires 1 un de 1 an Ire. Entin, soient ros-
pectivement
d{! \ W- *, 1)^, Dj,"- 5 , Mi/", M,/ ^ ;)
les determinants de cos differents systemcs; on aura les equations
suivantcs :
(67)
MI; -
(68)
o =
(69)
(70)
168 MEMOIRE SUK LES FONCTIONS-
Si Ton suppose n pair el/? == ^ alors on aura
in
n(n i)... - 4-i
1,2.3
ot, par suite, les equations (67) clonncront pour
J oT, D[/ \ M^
les valours suivantes :
{" \ p ^ \ 1! f - } -
*V7, _ IV 2 / m TVTV2/ AI2
(71) 0,,- -0,,, Up 1J ;( , JMp IW,,.
On vicnt dc voir combicn do transformations analytiqucs differ
rentes peuvent sc (leduirc dc la consideration dcs systemes d equa-
tions symetriques. On doit surtout remarquer le theoreme renfcrme
dans 1 eq nation
M K =:I) ;| <3 ;I ,
en vertu duquel le produit de deux determinants est encore un deter
minant et dont les recherchcs faites par M. Gauss sur les polynomes
du deuxieme dcgrc ii deux et ii trois variables offrent dc nombreuscs
applications. J avais rencontre 1 ete dernier, a Cherbourg, ou j etais
fixe par les travaux de mon etat, ce theoreme et quelques autrcs du
meme genre, en cherchant a generaliser les formules de M. Gauss.
M. Binet, dont jc me felicite d etre 1 ami, avail etc conduit aux memes
resultats par des rccherches dirTerentes. De rctour a Paris, j etais
occupe de poursuivre mon travail, lorsque j allai le voir. II me montra
son theoreme qui etait semblable an mien. Sculement il designait sons
le nom do resultanie ce quo j avais appele determinant. II me dit en
outre qu il avail generalise le theoreme dont il s agit en substituant an
produit de deux resultantes des sommes de produits de incmc espece.
J avais dos lors deja demontre le theoreme suivant :
D UJI systcme quelconque d equatiojis symdlricjues on pent (Udwre cinq
QUI NE PEUVENT OBTENIH QUE DEUX YALEURS, ETC. Hi!)
aulres syst ernes du rneme ordre; rnais on n en sanrail deduire tin i>lus
grand nornbre.
J ai demontre depiiis, \\ Taide des methodes precedentcs, cet autre
til eo re me. :
n nn syst erne (/((e/conque d equations symetriques de V ordre n on neut
loujours deduire deujc syst ernes d^ equations symetriques de I ordre
deux systemes d equations symetriques de I ordre
\\\\ ajoutant entrc dies les equations symetriques comprises dans
un nieme sysl.eine, on obtient, corn me on Fa vn, les formules (")<>).
(;5i) el (70) qui me paraissenl devoir elre semldables a eelles donl
M. Bine! m a parle.
6 . S. II. t. I.
MEMOIRE
sun L.V
DETERMINATION DU NOMBRE DES RACINES REELLES
DANS LES EQUATIONS ALGEBRIQUES ( ).
Journal dc I Kcole Poly-technique, XVII* Cahior, Tome X, p. 45" ;
PREMIERE SECTION.
FAPOSITIOM GFAF.RALF. OF LA TIIFOKIF.
I. Les goo me tres so sont bcaucoup occupes do la question qui
tail robjet de co Meiuoiro of qui pout otre onvisagec sous deux points
do vuo difloronts, solon (ju il s agit des equations litterales ou quo
Ton considrro uno equation dont tons los coefficients sont donnos on
nombros. Dans lo, second cas, on rosout completement le probleme on
lormant par les regies connues une equation auxiliaire dont les racines
sont les earres des differences entre colles de la proposee; ce qui
i ournit le nioyen d assigner une quantite nioindre <jue la plus petite
do cos differences et, par suite, de fixer avec lo nombre des racines
n -ollos des 1 unites entre lesquelles chacune des racines est comprise.
Mais, relativenient aux equations litterales, la question consiste a
Irouver des fonctions rationnclles de lours coefficients dont les signes
determinent dans cbaque cas particulier le nombre ct 1 espece do
lours racines roellcs. Or ce n etait, jusqu a present, quo pour un petit
nombre d equations d une forme determinee quo Ton avait renssi a
( ) Exlrait de plusicurs Memoires lus a 1 Institui dans le courant de I annec 1810.
MEM 01 HE SLIH LA DETERMINATION I) U NO MB RE, ETC. 171
former do semblables fbncl.ions. Co qu il y avait do plus general sur
cettc matiere avait etc donne par do Gua dans los Mernoires de. I Aca
demic des Sciences, annec 17/11. Mais, quoiqu il cut etabli la plnparl
dos principcs qui dovaiont conduiro a la solution clu problome. il
paraissait desesperor quo Ton put jamais y parvenir, ct los geomotros
desiraiont encore uno methode generate applicable aux equations littc-
ralcs do tons los degres. M. Poisson ayant bion voulu m iudiquer oo
sujot de rocborches, jo mo suis propose do cornpleter, s il etait pos
sible, cotto partio do I Algobre ot, apres divorsos tonlativos, jo suis
onfiu parvenu a la methode qui fait 1 objet du present Memoiro. Aim
do rendre cette mothodo plus sensible, jo commenoorai ])ar I exposer
d uuo manioro geometrique ot, pour plus do simplicile, jo supposerai
d abord quo ni ( equation proposoo ni auouno dos 6(fualions auxiliairos
qu on sera oblige do oonsiib M-or n ontdo racines ogalos entre elles on
egalos a zero.
Si Ton designo par x la variable de I equation don nee ot par X sou
premier membre, X etaut un polynoine on x du degre //, oo polyiioiuo
pourra etro considere oommo roprosontant I ordonnee d une eourbo
paraboliquo dont los j)oiuts d intersection avoc I axo dos x auront pour
abscisses les racines reollcs de ( equation proposoo. La parabolo doul
il s agit sera uno eourbo continue a uno seule brancbo composoo on
general : i de plusiours portions finies torminoos par lours deux oxtre-
mites a I axo dcs abscisses; 2 do deux portions indofinios qui lotiles
deux s eleveront au-dessus do I axo dcs x, si I oquatiou proposoo ost do
degre pair, ot dont Tune s abaissera au-dcssous du cote dos abscisses
negatives dans lo cas contrairo. Toutos cos portions so reduiraient \\
uno soule si I equation donneo n avait quo dos racines imaginaires ot,
dans cc cas, la courbe s otondrait indefinimont au-dossus do 1 axo dos
abscisses. Dans tout a litre cas, le noinbro dos portions finies do la
parabole, augmeute de I unite, sera ton jours egal au nombrc dos points
d intersection de la courbe avec 1 axe des x, c est-a-dirc au nonibre des
racinos reelles do la proposoo.
Apros les points ou la parabole coupe I axo dos .T, los plus remar-
17-2 MEMOIRE SUR LA DETERMINATION
quables sont coux oil la tangente clevient horizontale et quo je desi-
gnerai sous le nom fa sommets. Ces monies points sont aussi ccux oil
1 ordonnee do la eourbe devient un maximum ou un minimum. J appel-
lorai sojnmets de premiere espece ccux oil la courbe tourne sa concavite
vers 1 axc des abscisses et oil 1 ordonnec, abstraction i aitc da signe,
devicnt un maximum. J appellerai sommets de seconde espece ccux oil la
courbe tourne sa convex! to vers lc memo axe ct oil 1 ordonnee, abstrac
tion faito du signe, dcvient un minimum. Si Ton parcourt line partic do
la parabole situee tout entiore d un memo cote do 1 axe dcs abscisses,
les divers sommets quo Ton rcncontrcra seront alternativement de
rune et de I aulre espece et, si 1 unc des extremites est un point d in-
tersection de la courbe avec 1 axe, le sommet lo plus voisin de cette
oxtreinite sera un sommet de premiere espece. 11 on resulte quo, dans
chaque portion finie de courbe, comprise cntrc deux points d inter-
section consecutil s, le n ombre des sommets de premiere espece sur-
passe toujours d une unite le nombre des sommets de seconde espece.
De phis, ces deux especes de sommets sont toujours en memo nombre
dans chacune des deux portions indefinics.
II suit de cette remarque quo lc nombre total des sommets do pre
miere espece surpasse lo nombre total dos sommets de seconde espece
d autant d unites qu il y a de portions finies dans la courbe quo Ton
considere. Par suite, la difference do ces deux nombros, augmentee
de 1 unite, sera toujours egale au nombre des points d interscction de la
courbe avec 1 axe. En general, si I on cojisidere une. parlie quelconque de
(a courbe, comprise entre deux points fixes, le nombre des points d inter
section et ceux des sommets de premiere el de seconde espece compns dans
cette meme parlie auront entre eux une relation quit est, facile de deter
miner. Le premier de ces trois nombres sera egal a la difference des deux
autres si, en s approchant de ses deux exlremites, la parlie en question
s approche d un cote et, s eloigne de I autre de I axe des abscisses. 11 sur
pass era la meme difference d une unite, si vers ses deux extrejnites la
meinc parlie s eloigne de I axe des x. En/in it en sera surpasse d une
unite dans le cas conlraire.
J)U NO MB RE DES UACINES REELLES, ETC. 17M
Pour f airc one application dc cc theoreme, supposons que Ton con-
siderc la moitie dc la parabolc situce a droitc de 1 axc dcs ordonnees
on clu cote des abscisses positives. Si, en s approchant de 1 axe des
ordonnees, cettc. moitie de parabole s approehe egalcment de 1 axe
des x, alors do cote dcs abscisses positives la difference entre les
nombrcs de sommets dc premiere et de seconde cspecc sera egale an
nombre des points d intersection de la coin-be avec 1 axe. Si, dans le
memc cas, on considerc 1 autrc moitie de parabole situcc du cote des
abscisses negatives, on trouvcra qu en s approchant de 1 axe des ordon
nees cette moitie s eloignc de 1 axc des a? ct, par consequent, du cote
dcs abscisses negatives le nombre des points d intersection de la courbe
avcc 1 axe surpasscra d une unite la difference entre les nombrcs de
sommets dc premiere ct dc seconde espece. On obtiendrait des resultals
inverses si, en s approchant de 1 axe des ordonnees, la moitie de para
bolc qui correspond aux abscisses positives s eloignait de 1 axe des x.
Par suite de ce qu on vient dc dire, si I on forme, les differences qui existent
entre les nombres des sommets de premiere el dc seconde espece : i du cole
des abscisses positives, 2 du cote des abscisses negatives, la. somme de ces
deux differences, aiigmentee de I unite, sera toil/ours egale an nojnbre tola I
des points d intersection de la courbe avec I axe, cc quc Ton savait deja,
et, dc plus, I cxces de la premiere difference sur la seconde sera siipeneur
on inferieur d Line unite a la difference qui existe entre le Jiombre des
points d intersection correspondant aux abscisses positives el le nojnbre des
points d intersection correspondant aux abscisses negatives, seloji qu en
s approchant de I axe des ordonnees du cote des abscisses positives la
parabole s" 1 approchefa on s e loignera de I axe des x. Ces tbeoremes etant
line fois ctablis en Geometric, voyons comment on pent les trad u ire
en Analyse.
11. Soit toujours X le premier membrc de 1 equation proposee et
designons par X et X" ses fonctions deriv 7 ces du premier ct du second
orcl re. X sera 1 ordonnee de la parabole que nous avons consideree
ci-dessus. Les points d intersection de cette parabole avec 1 axe des x
17V MEM 01 HE SCR LA DETERMINATION
auront pour abscisses los raeines reelles do 1 equation X = o, et cos
memes points seront situes du cote dos abscisses positives on du cote
des abscisses negatives, snivanl quo les racines correspondantes seront
elles-nietnes positives on negatives. Quant aux sommets, c est-a-dire
aux points do la courbe oil rordonnee devient un maximum on un
minimum, ils auront evidemment pour abscisses les racines reelles de
1 equation derivee
On sail de plus quo la f onclinii X no pout devenir un maximum absolu,
c est-a-dire abstraction faite du signe, qu autant quo X et X" sont de
signcs differents et no pout devenir un jtiijihnum absolu quo dans le
cas oil X et X" sont de memo signe. Par suite, lo produif XX" sera
toujours negalif relativement aux sommets de premiere especc et po-
silif relativement aux sommets de seconde espece. Enfin, pour decider
si, en s approchant de I axe des ordonneos du cote des abscisses posi
tives, la parabole s approrhr ou s eloigne de I axe des abscisses, il
suflira evidemment de voir si, quand Fabscisse devient nulle, I or-
donnee el sa derivee sont do memo signe ou de signes contraires,
c est-a-dire si le produit des deux derniers lermcs de 1 equation donnec
est posilif ou negatif.
11 suil de cos considerations quo, si Ton savait resoudre 1 equation
X =-o, il serait facile d obtenir non seulement 1 exces du nombre total
des sommets de premiere espece sur le nombre total des sommets de
seconde espece, mais encore Texces de la difference entre les nombres
tie sommets de premiere et de seconde espece situes du cote des
abscisses positives sur la difference enlrc les nombres de sommets do
premiere et de seconde espece situes du cote des abscisses negatives.
En effet, pour obtenir la sommc de cos deux dernieres differences ou
ie premier cxces, il suflirait de substituer successivement toutes les
racines reelles de 1 eqiialion X = o dans le produit XX", puis de
retrancher le nombre des valours positives de ce produit du nombre
do ses valours u-egalives et, pour obtenir 1 exces de la premiere difle-
rence sur la seconde. il suftirait de changer prealablement les signes
OU NOMBRE DES RACINES HEEL LES, ETC. 175
do toutes les valours clu produit XX" qui correspondent a dps abscisses
negatives, cc qui revient a remplaccr le produit XX" par le suivanta:XX".
Supposons maintenant que.au lieu de resoudre 1 equation X o, on
forme deux equations auxiliaires qui aient respcctivcment pour racines
les diverses valours dos deux produits XX", a;XX", prises aver, des
signes eontraires ct correspondant a toutes los racines replies ou
imaginaires de I equation derivee X ==o. Si, comme nous le suppo-
scrons d abord, cos deux equations auxiliaires n ont pas de racines
egales, cellos de lours racines qui correspondent a dos racines ima
ginaires dc I equation derivee soront elles-mcmes imaginaires ct, par
suite, si Ton forme successivemont pour chacuno d ellos 1 cxcr-s du
nombre des racines positives sur le nombre dos racines negatives, on
aura precisement les deux execs on quantitos chorohees. Au resle,
il sera facile d obtenir par relirnination les deux equations auxiliaires
dont il s agit; ear, si Ton represente par y 1 inconnue do la premiere,
par z 1 inconnue de la sccomle et par
Y o, Z o
les equations elles-memes, il sufTira, pour obtenir la premiere auxi-
liaire Y= o, d eliminer x entre les deux equations
X o, / + XX /; = ,
et, pour obtenir la secondo auxiliaire Z . o, d eliminer x entre los
deux equations
X =o, *H-arXX*=o.
Ola pose, les deux tbeoremes de Geometrie quo, nous avons enonces
n-dessus, page 173, so reduisent anx deux suivanls :
TIIEOREME 1. - Le nombre des racines reelles de la proposer. X = o
surpasse toujours d une unite la difference (/ui exist e entre les nojnbres
de racines positives et negatives de la premiere auxiliaire Y o.
TH^OREME II. -- La difference qui existe dans la proposee X == o entre
les nombres de racines positives et negatives est superieure ou infeneure
176 MEMO I HE S U [\ LA DETERMINATION
d une unite a la meme difference dans la seconde equation auxiliaire
Z = o. suivant (jue le produit des deux derniers coefficients de V equation
proposce pris en signes contraires est positif OIL negatif.
Si liquation proposee X o est du degre /*, I equation derivee
X == o ct, par suite, les deux equations auxiliaires V o, Z = o seronl
toutes trois du dogre n i inferieur d une unite a celui de la pro-,
posee. II esL maintenant facile de voir comment les deux iheoremes
precedents pouvent conduire a la solution du probleme qui fail 1 objct
de ce Memo ire. En effet, ce que Ton cherche est le nombrc ct 1 espece
des racincs reelles on, si Ton veut, le nombrc des racines positives ct
le nombre des racines negatives de I equation X = o. Pour y parvenir,
il sutfit evidemment de resoudre separement chacune des deux ques
tions suivantes :
i" Determiner le nombre total des racines reelles de I equation
X = o ;
2 Determiner la difference entre les nombres de racines positives
or negatives de cello memo equation.
D ailleurs, en verlu des theoremes ci-dessus enonces, on pourra
resoudre relalivement a 1 equalion donnee du degre n les deux ques
tions precedentes si Ton sail resoudre la seconde relalivemenl a une
equation quelconque du degre n i. Pareillement, on pourra reduire
la detorminatiou do la difference entre les nombres de racincs positives,
et negatives dans une equation du degre n i a la determination de
la memo difference dans une equation du degre n 2 et abaisser ainsi
conlmuellemcnl la difficulle jusqu a ce que Ton parvienne a une equa
tion du premier degre. Cette derniere n ayant qu une seule racinc ton-
jours reelle, la difference entre les nombres de racines positives et
negatives y sera evidemment egalc a -hi ou a -- i, suivant que le
produit des deux coefficients de I equation pris en signe contraire sera
positif ou negatif. Toutes les difficultes etant ainsi levees, les deux
questions ci-dessus enoncees so trouveront completement resolues.
En resumant cc qui vient d etre dit, on aura, pour determiner la
I)U NO MB RE DBS RACINES REELEES, ETC. 177
difference qui existe ontrc lo nonibro des racincs positives et le nombro
des racines negatives de la proposee, la regie suivante :
Soie/it X = o I equation proposee du degre /?, X et \" les deux pre
mieres de nve es de X. Eliminez la variable x entre les deux equations
o
et soient Z = o I equation auxiliaire en z qui en resultera. Cette equation
sera du degre 71 i. Soient Z et Z" les deux premieres de rive es de Z.
Eliminez de Jiouveau la variable z entre les deux equations
et soit \ = o I equal ion auxiliaire en v qui en re sultera. Celtc equation
sera da degre n 2, .... Continuez de meme jusqu a ce que vous am\ iez
a une equation auxiliaire du premier degre. Votts aurez en lout n equa
tions, y cojnpj is la proposee. s avoir :
Si dans chacune d elles vous multiplies I un par / aufre les coefficients des
deux derniers termes, vous obtiendrez n produifs different s, et la vuleur
negative on positive de chaque produit f era connaitre si la difference
ontre les nornbrcs de racincs positives et negatives de I equation a
laquclle il se rapporte est snperienre on inferieure d une unite a la
meme difference dans I equation suivante. Par suite, si I on change les
signes de tous ces prodmls et qu apres ce cfiangement on remplace les
produits qui obtiendront une valeur positive par -h i et cenx qui oblien-
dront ujie valeur negative par i, la somme algebriqne des resultats sera
pre cise ment e gale a la difference entre le nombre des racines positives
et le nombre des racines negatives de I equation proposee.
On aura ensuitc, pour determiner le nombre total des racines reelles
de I equation don nee, cctte autre regie :
Soit loajours X o I equation proposee du degre Ji\ X et X" les deux
f~) 17 ,...*]* /^ C 1 I * 1 <-is
OEiwrcs de C. S. II, t. 1.
178 MEM 01 RE S U II LA DETERMINATION
premieres derivees de p. Eluninez x entre les deux equations
X =0, V-
el soil Y o I equation auxiliaire en y fjui en resultera. Cette equation
sera du degre /? \ , et si Von determine, par la regie precedence, la
difference entre les nombres de ses racines positives et negatives, celte
difference, auginenlee d une unite, sera precisement e gale an nombre des
racines reelles de la proposee.
Le nombre des produits quo Ton forme en suivant la premiere regie
plant egal a n, le nombre de ceux que Ton formera en suivant la
seconde sera egal a n i et, par suite, les signes de 271 i fonctions
ditferenles des eoeftieients de I equalion donnee suffiront pour deter
miner le nombre et 1 espece de ses racines reelles.
III. La metliode precedcnte suppose evidemmenl que ni I equa-
tion proposee ni aucune des equations auxiliaires n aient de racines
egales enlre elles on egalcs a zero; et d abord, si 1 equation proposee
avail des racines reelles egales entre elles, la courbe dont I ordonnee
represenle le premier inembre de cette equation devenanl tangente en
nn on plusieurs points a 1 axe des abscisses, chaque point de tangence
devrait etre considere comme forme par la reunion d autant d(, 1 points
d intersection de la courbe avec 1 axe et d autant de sommets moins
nn qu il y aurail, pour ce memo point, de. racines egales dans la -pro
posee. De plus, les points de tangence dont il s agit etant situes sur
1 axe des abscisses, les valeurs correspondanles de I ordonnee X et du
produit XX" s evanouiraient et ce produit cesserait d avoir un signe
determine. Eniin, si la proposee avail une ou plusieurs racines nulles,
cette equation n ayant plus de dernier lermc, le produit des deux der-
niers cocfficienls s evanouirait et ne pourrait plus etre considere comme
posilif ou comme negatif.
Les racines egales des equations auxiliaires du degre n t pcuvent
provonir de deux causes, savoir : i de racines egales dans 1 equation
derivee X o ; 2 d un ou plusieurs couples de racines imaginaires
1)U NOMBKE DES IMAGINES KEELLES, ETC. 17!)
dans 1 equation derivec qui, par suite do relations particulieres on Ire,
les coefficients do cetto equation, fournissent des racincs reellos aux
equations auxiliaires. Ainsi, par exemple, si a -h (3v -~ J designe une
racine imaginaire do X == o ot quo la substitution do a -+- (3 \/ i dans
le produit XX" domic pour resultat, la quantite reelle A, la substitution
do a [3 \/ i dans le memo produit donnera encore lo memo resullat;
of com me los racinos imaginaires
appartiennent toutos deux a 1 equation deriveo, la premiere equation
auxiliaire aura deux racincs egales a A. Toutes les Ibis quo 1 equa-
lion deriveo aura des racinos egales, les racinos qui en proviendronl
dans los equations auxiliaires seront non soulement egales outre olios.
mais encore egales a /ero; car, dans co eas, la I onclion X"etant nulle
aussi bion quo la fonction X , le produit XX" s evanouira necessaire-
nient. Par suite, on no pourra plus determiner quel < i sl lo signe do ec
produit, ni decider par ce moyen si, pour le soiumet (jue Ton considere,
I ordonnee do la courbe deviont un maximum ou un minimum absolu.
11 pourra memo arriver qu elle no soil ni Tun ni raulre. Pour savoir
dans quo! cas ccla aura lieu, designons par
"V \ JI \ " \" IV Y v
A , .V , .V , A. , A , ...
les derivees des divers ordres do I ordonnee X, et supposons quo dans
toutes ces fonctions x designe 1 abscisso du sommet quo Ton considere.
Si Ton fait croitro ou diminuer cettc abscisso d une quantite indotor-
minee A, rordonnet 1 X-dovicndra
/i- /I 3 A 1 /1 3
XAX +- -X"- X"+ ^X 1 ^- -X v -..
1-2 I . 2 . J I . 2 . ,1 . 4 1.2.3.4.6
ou, parce quo X == o,
h 2 // 3 // AS
- 7 - ^ .
1-2 i 2 . 3 i . a . 3 . 4 1.2.3.4.5
Par consequent, la difference entre l ordonn(3e eorrospondant a
ISO MEMOIRE SUR LA DETERMINATION
I abscissc xh et 1 ordonnee correspondant a 1 abscisse x, ou, pour
abreger, la difference do 1 ordonnee sera
V"-f- \ " i " V v -4- ... V v -t-
- f\ * * O / * O / C ...
i . a 1.2.3 1.2.3.4 1.2.3.4-5
Pour do tres potites valours do A, cotte difference sc reduira au pre
mier do sos tonnes qui no s evanouira pas. Elle so reduira done a
X"
1.2
si X" n ost pas mil ou si, pour le sommet quo Ton considere, I equation
deriveo n a pas dc racincs egalos; a
= 77273 X///
si Ton a X" o, X" <^ ou ^> o, c est-a-dire si, pour lo soinmot quo Ton
considere, I equation derivee a deux racinos egales; a
1.2.3.4
si Ton a X"^= o, X ":= o, X 1V <; ou >> o, c est-a-dire si, pour lo soinrnel
(|iio Ton considere, I equation deriveo a trois racines egales; a
i .2.3.4.5
si Ton a X"=o, X ";=o, X IV =o, X v ^> ou <C o, c est-a-dire si, pour
lo sommot quo Ton considere, 1 equation derivee a quatre racinos
egalos; etc., etc.
En general, on voit quo la difference do 1 ordonnee conscrvora lo
memo signo, quol quo soil d ailleurs celui do A, si, pour lo point quo
Ton considere, la derivee a un nombro pair do racinos egalos. Ello
changera do signo avoc h dans lo cas conlraire. Dans co dernier cas,
1 ordonnee nc pourra etre ni un niaxiniuin ni un minimum. Mais, si la
deriveo a un nombro pair do racinos egales, 1 ordonnee correspondant
a I abscisse x h sera represented, pour dc Ires potites valours do /?,
1)1 NO.MBRE DES RACINES REELLES, ETC. 181
par un dcs binomcs
X-
** i^
ot, par suilo, I ordonnee X correspondant a 1 abscissc x sera un mini
mum ou un maximum absolu, suivant quc Ic second tormc de cc binome
aura un signc egal ou oppose a eelni du premier terme, c est-a-dire
suivant que le premier des prod nits
XV X\ IV \V VI
-V^V , AA , A A , ...
qui ne s evanouira pas sera posifif on negatif.
On vienf devoir qne les equations anxiliaires peuvent acquerir des
racines nullcs dans deux cas different, savoir : i qnaiul la proposee
a des racines egales; 2 qnand 1 eqnation derivee a des racines cgales;
ct, en cft et, Ja fonclion X dans ie premier cas, la fonction X" dans le
second ct, par suite, les produits XX", o;XX"dans les deux cas, s eva-
nouisscnt. II cs( encore un troisieme cas ou la seconde equation auxi-
liaire seulement pent avoir dcs racines nulles. C est celui on il exisle
deja dc telles racines dans la derivee; car le produit x\\" s evanouit
alors avcc son premier factcuro?. Dans (onles ces liypotheses, le dernier
termc d nne equation auxiliaire etant nul, le produit des deux derniers
termes de cettc equation se reduit a zero et, par suite, on ne pent pins
decider si ce produit est positif ou negatif.
De meme que des racines cgales dans IViquafion proposee du degre n
prodnisent des racines nulles dans les equations anxiliaires du degre
n i; de memo, les racines egales qui pourraient se trouver dans ces
derniercs produiront des racines nulles dans les equations anxiliaires
du degre n - 2. En general, si, dans nne des suites d eqnations auxi-
liaircs qu on cst oblige dc former, qiielqne i-quation a des racines
egales, la suivanle aura des racines nulles et le prod nil de ses deux
derniers coefficients se tronvera reduit a zero.
Ainsi, toutes les liypotheses possibles, dans lesquelles la metliode
182 MEMOIRE SUR LA DETERMINATION
generalc se trouvc en defaut, coincident avec cettc circonstance remar-
quable que,.snr les produits dont les signcs devaient determiner le
nombre ct 1 cspece dcs racines reellcs dc la proposee, un on plusieurs
s evanouissent et no peuvent plus par cela meme servir a la determi
nation dont il s agit. On voit en meme temps que cela n aura jamais
lieu a moins quc la proposee cm les equations auxiliaires n aient des
racines egalcs enlre elles on egales a zero. Pour faire disparaitre les
inconvenients qui resultentde cetle egalite, on pent employer diverses
metliodes quc je vais indiquer en pen de mots.
IV. La premiere metbode et celle qui se presente d abord a 1 esprit
consiste a passer en revue tons les cas particuliers que pent offrir
j equation donnee et a fournir les moyens de lever les difficultes propres
a chacun des cas dont il s agit. Ainsi, par exemple, si la proposee a
des racines nulles, il sera facile d en constatcr le nombre et de s en
debarrasser ensuite. On pent c-viler de meme la consideration des
racines egales, en supposant 1 equation preparec d avance, de maniere
que toules ses racines soient inegales entrc clles. Apres cela, il fautlra
examiner si la derivee a des racines egales entrc elles on a zero et
remedier aux inconvenients qui pourraicnt naitre dc cettc egalite. On
y parviendra comme il suit.
Lorsque plusieurs racines de la derivee deviennent egales entre elles,
les differents sommets dont ces racines etaient les abscisses se reu-
nisscnt, et de cettc reunion resulte un nouveau sommet qui sera
double, triple, quadruple, etc., suivant le nombre des racines qui
viendront a coincider. L ordonnec de cc sommet sera un maximum on
un minimum absolu si les racines qui deviennent egales sont en nombre
impair et, pour determiner 1 espece du sommet dans cette hypothese,
il suffira de consulter le signe du produit XX" s il s agit d un sommet
simple, du produit XX V s il s agit d un sommet triple, etc. Quant aux
sommets doubles, quadruples, etc., on devra cesser d en tenir compte,
attendu que les ordonnees de ces sommets no doivent point etrc rangees
parini les ordonnees maxima et minima. Cela pose, si la derivee n a
DU NOMBKE DES RACINES UEELLES, ETC. 183
point de racincs nullcs, les theoremcs do Geometric etablis ci-dcssus
(p. 1 73) subsisteront toujours et, pour determiner le nombre et Fcspece
des racincs reclles dc la proposec, il suffira de calculer : i la somrne
des differences qui existent du cote dcs abscisses positives et du cote
des abscisses negatives entre les sommets de premiere ct dc seconde
espece; -2 I exces de la premiere difference sur la seconde. On y par-
viendra facilement en determinant ainsi (fii il suit les diverses parties
de la somme ct de I exces en question qui correspondent aux racincs
simples, triples, quintuples, etc. Soil toujours X I equation clerivee;
soient de plus X , le produit dc scs facleurs simples, X., celui de ses
facteurs doubles, X!, celui des factcurs triples, etc., eleves chacun a la
premiere puissance, en sorte qu on ait
La tnethode dcs racincs egales lera connailrc chacun des polynomesX , ,
X ,, X ,, ... et, pour obtenir la difference totale entre les nombres dc
sommets de premiere espece, il suffira d elimincr x :
i Enlre les equations X , = o, }- + \\"o;
2 X 7 , = o, j+XX IV =o;
3 X ^o vl rr
On aura par ce in oven plusieurs equations auxiliaires en y au lieu d une
seule et la somme des differences qui auronf lieu pour ces diverses
equations entre les nombres de racines positives et negatives sera egale
a la difference chercbee ou a la somme des differences qui existent
tant du cote des abscisses positives que du cote des abscisses negatives
entre les nombres de sommets dc premiere et de seconde espece. On
obtiendra de meme I exces de la premiere difference sur la seconde en
substituant aux equations
les suivantes
5 -ho? XX" =o,
18V MEMOittE SUR LA DETERMINATION
ot cet cxces, angmente on diminue (rune unite, fora connaitre la dif
ference qui existc ontre les nombres de racines positives et negatives
de la proposee. Cette dcrniere difference et 1 exces dont il s agit devien-
draient egaux entre eux si un sommet de premiere on de seconde
espece etait situe sur 1 axe des abscisses on, ee qui revient an meme,
si la derivee avait un nombrc impair de racines nuJles; mais si la derivee
n a point de racines nulles on si ces racines sont en nombre pair, il
f audra, pour obtenirlameme difference, augmenter on diminner 1 exces
en question d une unite, snivant qu en s approchant de 1 axe des ordon-
nees du cote des abscisses positives la .courbc s eloignera ou s appro-
chera de 1 axe des x, c est-a-dire suivant quo le prodnit du dernier
terme de 1 equation proposee par celui des termes precedents qui ren-
ierniera la puissance La moins elevee de x sera negatif on positif.
La tbeorie precedente suppose evidemment que les equations auxi-
liaires en r et^, (jui correspondent aux facteurs simples, triples, qnin-
tnples, etc. de 1 equation derivee, n onl pas de racines egales. S il en
etait autrement, ces racines pourraient a la f ois etre reelles et provenir
de quelques couples de racines imaginaires des equations
On evitera cot inconvenient si Ton multiplie cliacun des prod nils
XX", XX IV , XX VI ,
.rXX", ,rXX lv , irXX VT ,
par une fonction de a; qui reste positive pour toutes les valeurs reelles
de la variable x et qui empecbe ces memes produits de dcvenir reels
pour les valeurs imaginaires de x qui satisfont a 1 equation derivee.
Telle est la fonction
U + A-) 2 ,
dans laquelle la constants arbitraire k pent recevoir une infinite de
valeurs qui remplissent la condition exigee.
Kn snivant la methode precedente on finil toujours par obtenir la
solution complete de la question proposee; mais s il s agit d une equa-
IHJ NOMBRE DES RACINES REELLES, ETC. 185
lion li Iterate, cctte metliode cntrainc, commc on le voit, I examen
d autant clc cas particulicrs quo Ton pent fa ire d hypotheses diflerontos
stir lo nombrc dcs racincs egalos, non soulemcnt do la proposee, mais
encore dcs -diverscs equations auxiliaircs. C est pourquoi olio no pout
etro employee avcc avantago quo dans certainos occasions oil, on raison
do. la forme clc 1 equation donnec, cllc doviont facilemcnt applicable.
V. Unc aulre metbodo consiste a etablir la distinction des diverses
especes do sommots sur la consideration immediate du signe du pro-
duit qu on obtient on muHiplianl I ordonneo X par la sorio
- - __
i a 1.2.3 1.2.3.4 "1.3.3.4.0
laquclle ropresento, pour un quolconquo des soinmels, raccroissement
do 1 ordonnee correspondant a raccroissoniont Ires petit =b // do la
variable x.
Si Ton fait, pour plus do commodite,
X =/(*)
et, par suite.
\" = f"(.T),
la serie precedente sera toujours do memo si^ne (jue
/"(.^/0,
d ou il suit quo le produit de cctte serie par X ponrra cl.ro roinplaco
par le produit
X/ ff (^/0-
Supposons qu apres avoir substitue pour^r dans ce dornior produil
unc des racines reelles de la derivee, on donno successivement a I inde-
terminee h les signes 4- et ; les deux valours obtonnes par ce moyen
seront do signes contraircs si la racine reelle dont il s agit representc
1 abscisse d un sommct double, quadruple, sextuple, etc. Kilos seront
do memo signe si cctte racine correspond a un sommct simple, triple,
quintuple, etc. et, dans cctte dcrnierc bypotbese, les deux valours du
produit seront on negatives ou positives, suivanl quo le sommet en
OEuvrcs (le C. S. II, t. I. 2.j
186 MEM01RE S U K LA DETERMINATION
question sera de premiere on tic secomle espece. De plus, la quan-
tilc h restanl indeterminee, il est aise dc voir que la substitution des
racines imaginaires do la derivee dans chacun des produits
X/V + O, X/"(-r-/0
tburnira en general des resultats imaginaires. Cola pose, on obtiendra
evidemment la difference tolale entre les nombrcs de sommets de pre
miere e( de seconde espeee si, apres avoir elimine x entre les deux
e(|iiations
X = 0f r-f-X/"(*/l) = 0,
oil determine, pour I equation auxiliaire en y ainsi formec et pour de
tres pelites valeurs de /?, la difference entre les nombrcs dc racines ine-
gales positives et negatives : i dans le cas oil Ton admeL pour h. le
signe supcrieur; 2 dans le cas oil Ton admet pour h le signe inierieur
d (jii on prennc ensuile la nioyenne entre les deux resultats. C est cc
resultal rnoven que je designei ai ici sous le noin de difference moyenne.
enli c le nombre des racines inegales positives et le nombre des racines
inegales negalives de I equation auxiliaire enj .
Dc ineinc, [>our obtenir Texccs de la difference entre les nombres dc
sommets de premiere et dc seconde espeee situes du cote des abscisses
positives sur la difference cnlre les nombres dc soinmets de premiere
et de seconde espeee situe,s du cote des abscisses negatives, il suffira
d eliminer x entre les deux equations
el de chcrclicr en suite la difference nioyenne entre les nombres dc
racines inegales positives et negatives de I equation auxiliaire en q
resultant de cctte elimination.
Lorsque la derivee a des racines nullcs, un des sommets de la courbe
eta nt situe sur 1 axe des ordonnees ne pent plus etre cornpte ni parmi
ceiix qui repondent aux abscisses positives ni parmi ceux qui repondent
aux abscisses negatives; mais, alors aussi, le produit
DO NOMBRE DES RACINES REEL LES, ETC. 187
venant a s evanouir avec son premier factenr x, la racine corrcspon-
dante de [ equation auxiliaire en z ne fait pins partie ni des racines
positives ni des racines negatives de cette meme equation.
Les resnltats precedents subsistenf dans le cas meme on la proposee
a des racines egales. Dans cette bypotbese, la parabole qne Ton consi-
dere devient tangentc en plusieurs points a 1 axe des abscisses, et ces
points sont evidcmment des sommets de la courbe, pnisque lenrs
abscisses satisfont a [ equation derivec. Mais, quoiqne ces sommets
puissent etre simples, on triples, on quintuples, etc., ils ne penvent
dans auciin cas etre consideres comme sommets de premiere ou de
seconde espece, attendn qne 1 ordonnee de ebacnn d enx etant nnlle
n a plus de signe determine et qu on ne pent decider par suite si cette
ordonnee devient nn maximum on un minimum absoln. On ne doit dom-
tcnir aucnn compte des racines des equations auxiliaires en y et - qni
correspondent a de semblables sommets; mais ces racines disparaissent
d ellcs-memes a cause du facteur X qni, etant egal a zero, fait evanonir
les deux produits
Ainsi, dans tons les cas possibles, la difference moyenne entre les
nombres de racines inegalcs j)ositives el negatives des equations anxi-
liaires ci-dessus mentionnees determine immediatement : 1 la somme
faitede la differerrce entre les nombres de sommets dc premiere et de
seconde espece situes du cote des abscisses positives et de la difference
semblable forrnee du cote des abscisses negatives; 2 1 exces de la pre
miere difference sur la seconde. D ailleurs, si Ton vent etendre les
tbeoremes precedemment demontres an cas on [ equation donnee a des
racines egales entre elles, on reconnaitra sans peine qne la somme des
deux differences en question cst toujours infe ricure d une unite an
nombre total des points d intersection ou de tangence de la courbe avec
I axe des x. De plus, 1 exces de la premiere difference sur la seconde
sera supeneur d une unite, egal ou inf (incur d une unite a 1 exces du
nombre des points d intersection ou dc tangence silue s du cote des
abscisses positives sur le nombre de ceux fjui sero7it situes du cole des
188 MEMO IRE SUR LA DETERMINATION
abscisses negatives, selon (ju en s approchant de I axe des ordonne es du
cole des abscisses positives et s eloignant cjisuite de ce rncme axe da cote
des abscisses negatives, la courbe s approchera conslamment de I axe
des x, ou (ju en j)assant par V axe des ordonnees, elle cesscra de s appro-
cher de I axe des abscisses pow s en eloigner, ou de sen eloigner pour
s cn rapprocher, ou qu elle s e loigncra constamment de I axe des x. Le
premier ou le troisieme cas aura lieu si, la proposee n ayant pas de
racines nulles, la derivee n en a pas non plus, ou si ces racines y sont
en nombre pair, c est-a-dire si, la proposee ayanl, un terme constant, le
dernier lerme tie [ equation derivee renferme une puissance paire de x.
Le second cas aura lieu si la proposee a des racines nulles ou si la
derivee a des racines nulles en nombre impair, c est-a-dire si 1 equation
donnee n a pas de terme constant ou si le dernier terme dc 1 equation
derivee renferme une puissance impaire de x. Knfin, pour distinguer le
premier cas du troisieme, il sui fira d cxaminer si le produit du dernier
ferine de 1 equation donnee par le dernier lerme de la derivee est positif
ou negatif. Soient p le lerme constant de la proposee, qui pent etre
egal a /ero, et qx r le dernier terme de 1 equation derivee, ou celui <|ui
ren ferine la plus petite puissance de x. Si dans le produit
on donne successivement a x deux valcurs egales -et de signes con-
Iraires et qu on prenne ensuite la valeur moyenne entre les deux
resultats, on reconnaitra facilement que cette valeur moyenne sera
positive dans le premier cas, nulle dans le dcuxieme, negative dans le
troisieme. Ainsi, en ayant egard au produit du terme constant de la
proposee par le dernier terme de la derivee, on pourra toujours deter
miner le nombre et 1 espece des racines inegales de 1 equation donnee
a I aide de la difference moyenne cntre le nombre des racines inegales
positives et le nombre des racines inegales negatives dans chacune des
equations auxiliaires en y et z. Pour obtenir cette difference moyenne
relative-men t a 1 une d elles, par exemple relativement a 1 equation
auxiliaire en .7, il semble d abord qu on serait oblige de determiner la
])U NOMBRE DES RACINES REELLES, ETC. 189
difference entre les n ombres dc racincs inegalcs positives ct negatives :
i dans le cas oil rindeterminec h a dc tres petites valours positives;
2 dans le cas oil h a dc tres pctites valeurs negatives. Mais on arrivcra
au memo -but si, apres avoir forme les fonctions des coefficients de
I equation auxiliairc en y qui determinent la difference dont il s agit,
en laissant le signe et la valeur de k entitlement arbitrages, on sub-
stitue a ces fonctions les valeurs qu ellcs obliennent lorsque, ayant.
developpe chacune d elles suivant les puissances ascendantes de h et
reduit le developpement a son premier terme vis-a-vis duquel tons les
autres doivcnt etre negliges, on donne successive-incut a h deux valeurs
egales et de signcs contraires et qu on prend la tnoyenne entre les deux
resultats. Par suite, chacune des fonctions que 1 on considere devra
etre rcmplacec par zero si le premier terme de son developpement ren-
ferme une puissance impaire de h. Dans le cas coutraire, il faudra la
considerer comme positive ou coirimc negative suivant que le coef li-
cient de ce premier terme sera lui-memc positif ou negatif.
Nous venous d indiquer comment 1 emploi de i indelerminec h pent
servir a lever les difficultes que faisaient naitre les racines egales des
equations en jeU, c cst-a-dire des equations auxiliaires du degre n \.
L introduction dc plusieurs autres indelerminees h 1 , h" , . . . servirait de
memo a lever les difficultes qui peuvcnt resullcr de I egalite de (juelques
racines dans les equations auxiliaires des degres
n 2, 3, ...,
et, a 1 aide dc cet artifice, on finirait par determiner dans tons les cas
possibles le nombre et 1 espece des racincs de I equation donnee. II est
bon toutcfois d observer que, si plusieurs de ces racines sont egales
entre cllcs, on obtiendra seulement de cctte manierc le nombre des
racincs inegales positives et le nombre des racines inegales negatives,
c est-a-dire le nombre des quantites reellcs essentiellement differehtes
de valeur ou de signc qui satisfont a la proposee.
La methode precedente se reduit, comme on le voit, a reinplacer
dans les deux produits
XX", x XX",
190 MEM01RE SUR LA DETERMINATION
le dernier i actcur \"-.= f"(x) P ar
c est-a-dire a subslitucr dans /"(>). a 1 abscisse du sommet quc Ton
eonsidere, 1 abscisse x h d un point de la parabole (res rapprocbe de
ce memc sornmet. Cettc nouvelle metbode, sans exiger commc la pre
miere un examen prealable de tons les cas particuliers, a neanmoins
le desavantage de compliquer extremement les calculs par 1 admission
de quantites arbitraires dans les equations auxiliaircs-des divers clegres.
On evite cet inconvenient en suivant une troisieme metliode dont jevais
rend re compte.
5* VI. Dans cetle troisieme methode, commc dans la premiere, je
supposerai 1 equation donnee preparee de maniere qu cllc n ait pas de
racines egales entre elles on a zero. Cette preparation iaite, on levera
racilement tons les obstacles a 1 aide des considerations suivantes :
Si les equations auxiliaires n avaient pas de racines egales entre elles
on h /.( TO, elles serviraient immediatement, commc on 1 a deja i ait voir,
h determiner le nombre et 1 especc des racines reelles de la proposee;
mais si le contraire a lieu, pour ramcner ce second cas an premier, il
I audra detruire 1 egalite dont il s agit en substituant aux sommets de
la courbe d autres points tres rapprocbes de ces memes sommets. II
existe deux manieres differentes d operer cette substitution. La pre
miere consiste a remplacer un quclconque des sommets par un autre
point Ires voisin de ce sommet et pris sur la courbe quc Ton considere.
La seconde consiste a remplacer la courbe elle-meme par une autre
courbe tres voisine et a substituer les sommets de cette dcrnierc a
ceux de la courbe donnee. Pour cfTectuer la premiere substitution il
sut tit d augnienter les abscisses des sommets de quantites indetermi-
nees supposees tres pclitcs. Pour effectuer la seconde, il fautaugmcnter
de quantites tres petites les coefficients de 1 equalion proposee donl
les valeurs respectivcs determinent la nature de la courbe. Le premier
inoyen coincide avec la seconde des deux methodes precedent.es et rend
DU NOMBRE DES RACINES REtfLLES, ETC. 191
tres penible, commc on Fa remarqtie, la formation des equations auxi-
liairos. Le second n a pas cet inconvenient et il conduit facilemwU a
la solution du probleme propose dans tons les cas possibles.
En effct, lorsqu on augmcntc dc quantites Ires petites inais arbi-
traires les coefficients dc { equation donnee, on detruit les relations
qui existaient entre ces coefficients et en vertu desquelles les racines
des diverscs equations auxiliaires pouvaicnt devcnir nulles on egales
entre elles. Par suite, les fonctions des coefficients qui etaient destinees
en general a determiner le nombre des racines de chaque cspecc cessent
d etre nulles et redevienncnt pro])res a la determination dont il s agit.
Cela pose, pour obtenir le nombre des racines positives et le nombre
des racines negatives d une equation du degre ft, dans le cas oil cettc
equation n a pas de racines egales entre clles on a zero, il suHlra dc
former, par la methode indiquee dans le deuxieme paragraplie, 2/1 1
fonctions differentes des coefficients de cette equation. On substituera
ensuitc dans chaque cas particulier, a la place des coefficients dont il
s agit, leurs valeurs prises dans I equation donnee. Si cette substitution
ne fait disparaitre aucunc des fonctions que Ton considere, leurs signes
detcrmineront immediatement le nombre des racines de chaque espece.
Mais si quelques-unes de ces fonctions s evanouissent, on angmentera
chacun des coefficients de I equation donnee d unc quantite tres petite,
mais arbitraire, que Ton pent supposcr a volonte positive ou negative.
De plus, on assignera a ces inemes variations un ordrc de grandeur
determine, de telle maniere qu on puisse toujours negliger Ics lines par
rapport aux autres. Les fonctions qui s evanouissaient, etant develop-
pees suivant les variations dont il s agit, pourront toujours etre reduites
a un seul termc et toutes les difficultes seront ainsi levees. On pourra
memc sc dispenser dc fairc varicr a la fois tons les coefficients; il s u I
ll ra d cn fairc varier un ou plusieurs 1 un apres 1 autre et Ton devra
toujours s arretcr an moment ou chacune des fonctions que Ton consi
dere cessera de s evanouir.
A II. Quo I que soit le degre n de 1 equation donnee, il est possible
192 MEM 01 HE SUR LA DETERMINATION
do former, commo on lo vorra tout a I heure, plusieurs systemes d equa-
tions auxiliairos qui jouisscnt dos memes proprietes. II convicnt do
choisir lo systeme pour lequel les fonctions qui determincnt le nombro
ot 1 espece des racinos reelles sont les plus simples possibles. Ce cboix
etant fait, il faut encore examiner si les fonctions dont il s agit sont
decomposable* en facteurs et si quelqucs-uns de cos facteurs pcuvcnl
etre supprimes sans inconvenient. Nous ferons a cet egard les remarques
suivantes :
Les deux equations auxiliaires du degre n - i , quo nous avons appris
a former dans le deuxiemc paragraphc, out respectivoment pour racinos
dos fonctions rationnellcs et entieres dos racincs do la derivec;- mais
on pent, sans mil inconvenient, multiplier ou divisor los fonctions dont
il s aait par d autres fonctions qui soient toujours positives quand los
racines do la derivee sont reelles. Pour facilitor autant quo possible le
calcul de relimination, il faut representer rinconnue dc cliaque equa
tion anxiliairo par uno fraction dont los deux tonnes soiont des poly-
novnes entiers en a?*choisis do tolle maniere quo la plus haute puissance
do la variable renfermee dans cos deux polynomes soit la plus petite
possible. L oxperience m a fait voir quo, dans co cas, on arrivait encore
a des resnltats plus simples. On satisfora a cos conditions si Ton divise
par X 2 les deux produits
\ Y" _ <r\X"
A. A , J-- _v A. ,
qui represcntaient, dans le paragraphe II, les valours respectives do y
et z, ee qui reviont a prendre pour inconnue do la premiere equation
auxiliaire la fraction
-X"
X
et pour inconnue de la seconde equation auxiliairo la fraction
X
Dans cette hypothese, on pout simplifier do beaucoup la recherche des
fonctions propros a determiner le nornbre dos racinos de chaque ospece
a 1 aidi 1 des theoremes suivants :
J)U NOMBRE DBS RACINES REELLES, ETC. 193
i Ktant donnee une equation quelconque, si I on substilue successive-
merit Louies ses racines clans le premier membre de I equation derive el
quon fasse le produil des resultats, ce produil sera egal, a un coefficient
numeric/He pres, au dernier terme de V equation qui aurait pour racines
les carres des differences entre celles de la proposee. Ce meme produit sera
encore egal a celui quon aurait trouve si I on cut substilue successivement
toutes les racines de la derivee dans le premier membre de V equa
tion donnee et quon cut multiplie I un ar I aulre les resultats ain si
obtenus.
2 Etant donnee une equation quelconque, si I on divise par le premier
membre de I equation derivee une fonction entiere de la variable et si
I on ajoute les diverses valeurs qu obtient cc quotient lorsqu on y substilue
successivement pour x les diverse* racines de T equation donnee, la sojnme
de ces valeurs sera toujours une fonction ralionnclle et entiere des coef
ficients de la proposee.
3 Si I on divise I e premier membre de V equation donnee par le pre
mier membre de V equation derwee du second ordre et que Von substitue
successivement pour x dans ce quotient toutes les racines de la derivee, la
somme des valeurs obtenues, prise en signe contraire, sera egale, a un
coefficient numerique pres, a la somme des carres des differences entre les
racines de la proposee.
4 Ktant donnees deux equations tellement liees entre dies que les
racines de la scconde soient des fonclions rationnelles quelconques des
racines de la premiere, si I on forme respectivement les derniers termes
des equations aux carres des differences entre ces racines et quon divise
les deux termes obtenus I un par I aulre, le quotient sera toujours un
carre par fait.
II suit du troisiemc tlieoreme quo 1 unc des fonclions qui detor-
minent le nombre des racines reelles est egalc, quel que soit lo de<re
de 1 equation donnee, a la somme des carres des differences entre !os
racines de cctte equation. On pcut encore, en appliquant a la methode
precedente un artifice d analyse indique par Kulcr, determiner pour
OEuvres dc C. S. II, t. I. 2 5
194- MEMOIRK SUR LA DETERMINATION
tons les degres unc autre tic ces fonctions. Enfin, on prouvc facilcment
que le produit de Unites ces fonctions doit toujours avoir Ic memo signe
quo lc produit dcs carres dcs differences entre les racincs. Par suite,
sur ) es n _ j fonctions qui deterinincnt le nombre des racines reelles,
le nombre de cellcs qu on sera oblige de former separement pour un
dcgre donne sc trouvcra reduit a n 4; on n aura done besom d cn
calculcr aucunccn particulierpour les equations du deuxieme, du trot-
sieme et du quatrieme degre; il suffira de calculer unc nouvelle fonc-
tion pour le cinquieme dcgre, deux pour lc sixiemc, etc.
Quant aux fonctions do la sccondc espece, c est-a-dire a celles qui
determinent la difference entre lc nombre des racines positives et
negatives de la proposee, on pent en determiner une pour tons les
degres possibles en ayant egard an deuxieme tbeoreme et, dc plus, on
prouvc facilcment quo lc produit de toutes ces fonctions doit toujours
etrc affocte du memc signe que lc produit dcs carres dcs differences
ciitrc les racines inulliplie par lc produit dcs racincs clles-memcs. Ces
dernieres fonctions sont les sculcs qu on soil oblige de considerer,
lorsqu on vent savoir combicn I equation donnec a dc racincs reelles
comprises entre deux limites a ct ^, car le nombre de ces racines
reelles est cgal a la quantite dont le nombre des fonctions positives
diminue on dont lc nombre dcs fonctions negatives augmcntc lorsqu on
passe dc la transformer en x a a la transformee en x >. Par suite,
les fonctions de la sccondc espece suffisent pour determiner le nombre
des racines reelles comprises, soit entre o et 20, soit entre o et -f-cc,
c est-a-dire .le nombre total des racincs positives ou negatives, en sorte
qu on pent toujours sc passer, si Ton vent, des fonctions dc la premiere
espece ou bicn les deduire des autres.
Je joins ici la demonstration des tbeoremes ci-dcssus enonces et
plusieurs developpements relatifs aux methodes exposees dans les
paragrapbes IV, V ct VI dc la presente section. Pour plus dc clarte,
j appliqucrai ces methodes a divers cxemples et particulierement a la
determination du nombre des racincs reelles dans les equations gene-
rales des cinq premiers degres.
I)U NOMBRE DES RACINES REELLES, ETC. 195
DEUXIEME SECTION.
DEYELOPl EMENTS ATs A LYTIQUES.
THEOREME I. - Soicnt 9(2?) = o, f(x) = o deux equations diffe-
rentes, la premiere da degre m, la secon.de da degre n. Supposons (/nc
I on subslitue successivemcnl dans le polynome f(x) toutes le.s racines dc
I equation o(#) = o et gu on fosse le produii des resultats; quensuite
I on substilue dans le polynome o(a?) Louies les racines de I equation
/(a 1 ) = o et gu on fosse encore le produit des resultats. Les deux produits
ainsi oblenus seronl cgaux el de jncnie sigjie si I un des deux nombres tn
et 71 esl pair; Us seronl cgaux et de signes contraires si les deux nombres
m el n sonl tons deux impairs.
Deinonsiraiion. - En efTet, soient respectivement a, p, y ... les
racines dc I equation ^(x~) o et a, b, c, ... eelles de I equation
y(.7;) = o. Supposons de plus, ii [ ordinaire, (jne la plus haufe puissance
de la variable dans chacune des fonctions f(x) et z>(x) soit positive
et ait 1 unite pour coefficient; on aura
et, par suite, les deux produits
seront respectivement egaux, le premier a
(a ._ a ) (a - b] (a - c) . . .((3 - a) ((3 - b] . . .(y - a) ...
et le second a
( a - a) (a - (3 ) ( a y ) . . . (b - a) ( b - (3) . . . (c - a } , . . .
Sous cette forme le second produit a ses facteurs egaux et de signes
196 MEM01RE SUR LA DETERMINATION
contraircs a ceux du premier, et comme le nombre dc ccs memes
tacteurs est ran, on aura
ce qui verifie le theoreme enonce.
Corolla-ire I. -- Si 1 on eliminc x : i entrc les equations
o(a?) = o, j + /(^)=ro;
2 entrc les equations
o,
les deux equations en j resultant de cette double elimination auront,
an signe pres, le meme terme constant.
Corollaire, II. -- Designons, en general, par f n (x) le polynome
x" iidiX 1 -* + - a,^ l ~ 2 -|-. . . 4- na n _iX -f- a,, ;
i . 2
/,,_i(#) designera le polynome
a; 1 - 1 4- (/z i)a|3r*-"4- - a,^- 3 H-. .
et cominc on aura, dans ce cas,
f n(x)= n fn-\(x\?
1 equation
(O /(^) = o
aura pour derivee la suivante
(3) f n -t(x) = 0.
Si maintenant on designe par
V V V V
- v l) - X 2> > ^rt 1> ^ v
I)U NOMBKE DES RACINES REELLES, ETC. 197
les racines dc 1 equation (T) et par
celles do 1 equation (2); 1 un des nombrcs n, n i etant nccessairc-
ment pair, on aura, en vertu du theoreme precedent,
ce qui verifie la sccondc partic du premier theoreme enonce dans ie
paragraphe VII dc la section precedente.
THEOREMS II. Conservons la merne notation que dans Ie second
corollaire du iheoreme precedent; soicnl, en consequence,
I* equation propose e et, par suite,
sa derive e. Cojicevons, de phis, nue I on forme une nouvelle equation qui
ait pour racines les carre s des differences cntre celles de la propose e. Le
dernier terrne de cetle noiwelle equation sera e gal, a un coefficient nume-
rique ,pres, a chacun des prodnits
Demonstration. - - Le dernier termc de 1 equation aux carres des
differences entre les racines de la proposee sera
Ce meme termc pourra etrc considere comme forme par la multipli
cation de n produits differents qui scront respectivement
(X 1 -X,)(X J -X 3 )....(X,-X H ),
198 MEMOIRE SUR LA DETERMINATION
d ailleurs, Ic premier dc ces produits est egal a
le deuxieme a
le dernier a
Le dernier terme de 1 equation aux carres des differences entre les
racines de la proposee pourra done etre represente par
Ce dernier lerme sera done cgal a chacun des produits
multiplie par le coefficient numerique /?", cc qui verifie en totalite le
premier theoreme enonce dans le paragraphe VII de la precedente
section.
Corollaire I. - - Soil toujours / w (^)~ equation proposee. Pour
oblenir le dernier terme de 1 equation aux carres des differences entre
les racines de celle-ci, il sufTira d eliminer x entre les deux equations
et de multiplier ensuite le dernier terme dc 1 equation resultante
On obtiendrait encore, mais a un coefficient numerique pres, le terme
dont il s agit si Ton cberchait la condition necessaire pour que les
deux equations
puissent etre en meme temps satisfaitcs.
PROBLEMS I. - - Etanl donnee une equation quelconque da degre n,
iroaver le dernier terme de 1 equation qui aurait pour racines les carres
des differences entre celles de la proposee.
DU NOMBRE.DES RAC1NES KEELLES, ETC. 199
Solution. -- Soit toujours
on
x
I equation proposee. On comincnccra par elimincr x cntre los deux
equations
/,,(X} = 0, f n _ i (x) = Q
et Ton obtiendra par ce moycn unc fonction dcs coefficients
qui sera nulle tonics les fois quo los deux equations precedentes scront
en memo temps satisfuites. Designons par V> n la i onction dont il s agit
et par A /4 le dernier lenne eherche. l.es deux quantites A w , B /{ seronl
egales a nn coefficient numerique pros; et si Ton designe par A ce
coefficient, on -aura
A=XB B .
Gette dernierc equation devant etre satisfaitc, quels que soient les
coefficients a { , a.,, ..., a n de ( equation donnee, aura encore lieu, si
Ton suppose
Supposons .que, dans ce cas, B rt se change en p. Dans la inenie
hypothese, on aura evidemment
\ n"
-* n *
Kn effet, les deux equations
/ w _i(a?) = o, y-f-y;,(^)=:o
-devenant alors
a;" - = o, j>- -t- x n 4- i = o,
[ equation on j, resultant de [ elimination de x outre les deux preco-
dentes, sera
( / + ] )"- 1 =zO,
et, le dernier terme dc cette equation etant egal a -hi,, on le multi-
200 MEMOIRE SUR LA DETERMINATION
pliant par n n on aura
Par suite, on trouvera
el Ton aura, en general,
p etant cc que devient B rt quanci on y suppose a la fois
,=:O, 2 =:O, ..., _!=: O, =r I .
Corollaire L -- An lieu d eliminer x entre les deux equations
/,,(a?) = o, /_i(a;) = o,
on pent 1 eliminer cntrc les deux suivantes
-t il est clair que, dans les deux cas, on doit arriver a la meme equa
tion de condition. D ailleurs, si Ton fait, en general,
/( i) = ^
on aura
De plus, comme on a
b\~ f\( i)= -a l -+-a l = o, b =i,
les deux dernieres equations se reduiront a
fn l ~ l ( a \ ) = > fn l} ( a \ ) l 2 3 1
1)U NOMBRE DES RACINES REELLES, ETC. 20 L
Cela pose, on aura, par le theoreme do Taylor,
J . 2
: ( n i ) ( n 2
~^73~
- b 3 x ll -* + . . .+ b n .
1.2.3
el, par suite.
f I fi> f , \ -r / t r n \
Jn\ u f l/ * / lV a/ Ll l )
n 2
I 2
Si Ton fait, pour abreger,
/ / ~. . f. \ ~ / i ,-.
J n\J- a l ) "~ ^ J n-i \ u
et
on trouvera
Enfin il est aise de voir quc I elimination do la variable x entre les
deux equations
doit conduire an memo resultat quc celle do la memo variable (Mitre les
deux equations
/ ( * a i ) = o, /_, ( x t ) o.
On oblicndra done 1 equation de condition cherchee si Ton el i mine .r
OEiwrcs de C. S. II, t. 1. 26
202 MEM 01 HE S U II LA DETERMINATION
en ire les deux suivantes
1.2
a
n 2 ) ( n 3 )
--- ^c,.r"- v -t-.. .
1.2
n 2
Si Ton designe par \\ n =-- o cctto equation do condition ot par fj cc
(|tio devicnt B. ( loi scju on suppose
a, o,
/?" represeniera le dernier terme do 1 equation anx carres des difle-
r
renees entre les raeines de la pi oposce.
Premier exemple. Supposons [ equation donnee du dcuxieme clegre
et soit/.,(,r) = o on ,r- +- 2.a t x + a. 2 = o cetle inenic equation. Si Ton
tail coin me ci-clessus
/,.( ,) b r (/ i)c,._,,
on aura
Ci = /i( i) j-- ?
De plus, les equations (3) et (4) se reduiront a
(3)
(4)
La derniere de ces deux equations, etant indepcndantc de x, sera ollc-
rneine { equation de condition cherchec. On pourra done supposer
et, par suite, le dernier terme dc I equation aux carres des differences
outre les raeines de la proposec sera
I)U NOMBRE DBS RAC1NES REELLES, ETC. 203
Deuxicme exemple. - - Supposons [ equation don nee du troisiemo
degre et soit f s (&) = o ou ,2- 3 + 3 a\ x- -+- 3a.,x + a y o cot to memo
equation ; on aura
2 6 , /,( ! ) = (7 3 3(7, (7,4- 2 : J.
De plus, les equations (3) et (4) se reduiront a
(3) x- -\- c, -= o,
(4) t^x -hc. 2 =~o.
Si Ton elimine x entrc cos deux dernioros equations, on ohliendra
I equation do condition suivanle
c:, + cj = o.
On pourra done supposer
D ailleurs, si Ton iait
, o, a o,
on aura
i
C, r= o, C 2
Par suite,
ot le dernier terme do I equation aux carres des differences ontro los
racines do la proposoo sera
Troisieme exemple. - - Supposons I equation don nee du quatrioine
gre et soil f^(x] = o on
cette memo equation; on aura
degre et soil f^(x] = o on x ft +- 4,^ ;! -f-
! 2 + a a^,
201 MEMOIRE SUR LA DETERMINATION
DC plus, les equations (3) ct (4) deviendront respectivement
Si Ton designe para;,, x.,, x. A les trois racines de 1 equation (3) et
par B :! = o 1 cquation de condition cberehee, on aura
J> :) ( C, X\ -+- 2 C. J- i -i- C 3 ) ( G i ,27;; -+- 2 6% ,r, + C 3 ) ( C, ,27 :j -f- 2 C, ,r :i -f- C 3 ) .
D ailleurs si Ton fait, pour abreger,
C; CjC 3 =:/,
on aura
1 f - }( >}
c.
Par suite, la valeur precedente de B 3 sera egalc au produit des six fac-
teurs
divise par <rj. Le produit des trois premiers t acleurs est, en vertu de
I equation (3), egal a
De meine, le produit de.s trois autres facteurs sera
On aura done
on, si 1 on fait
I)U NOMBRE DES RACINES REELLES, ETC. 205
Si Ton rcstituc a la place des quantites / ct g lours valours
- C C Gl C~ f- C
on trouvera
f
^^ - c\ -4- c 3 , ," + 3 / 4 c^ 3 c, c 3 + c
et, par suite,
Si Ton suppose dans cette dcrniere equation
,:"O, a. 2 -~O, :3 r_::O, r/ 4 =r J ,
on aura
el, par consequent,
Par suite, le dernier terme do 1 equation aux carres des dillerences
entrc les racines do la proposee sera
Coroliaire II. Designons, en general, par K, ( le prod nil des diverses
valeurs quo rcgoit la i onction i / / ,_ 2 (a?) lorsqu on y substitue suecessi-
vemcnt pour x les diverses racines de 1 equation
/_,(# a,) o
et par y. ce quo devient K n quand on y fait
a, o, a i =. o, a 3 = o, . . . , _ , = o, =: i .
On ponrra, dans 1 equation
A n H
A,, "--
P
supposer
B = K ;i , |3 = x.
D aillcurs, si Ton fait
, = O, rt, = O, rt s --: O, . . . , , = O, rt H = I ,
200 MEMOIRE SUR LA DETERMINATION
on aura evidemment
//i- l U l ) = fn-l (* ) = a?"" 1 ! | -s (J?) = C_, =
et, |>ar suite,
On aura done aussi
On pent verifier cctte derniere equation sur ehacun des exemples
rapportes ei-dessus. Si Ton fait succcssivement
n 2, /? rrr 3, II =1 4, rr; 5, . . . ,
oil trouvera
A->:~ 1 l r> 2 K 2 , K 2 rr: Cj,
A ;i ^r 2-3 3 JV ; , K 3 -=C*-|-CT,
A v =34*K t , K, ( c * + c 3 ) 3 -(4c2 3c iC , + c*)-,
A 5 =r 4 ; 5 5 K 5 , K 5 m c l 4 5 c, c, c l
........... , + 6c^ (iScjCj -t- i Joe* c* - 45^] c ( + 45 c o c :j -f- oOc j 1 )
-4- 4 c ; ( 3 1 5 c\ c 2 Cj -4- i Go c] cl
A,, A,,, A,,, A 5 designent ici les dernicrs termes des equations aux
carres des differences entre les racincs des equations suivantes
,r 2 + 2 a l x -i- c/. 2 L o,
^c 3 4- 3 a i ,r- -t- 3 j ^ + a 3 =z o,
x 1 * -f- 4 i^ J -f- 6<7 2 o: 2 -t- 4^3 F -4-^4 = 0,
:c 5 -h 5 , .r f -}- i o a. 2 cT 3 + i o <7 3 .r 2 -f- 5 a k x -\- a r> rz o ,
I)U NOMBHE DES RACINES REELLES, ETC. 207
et Ton a do plus
C, ~ ., Cl\,
2<% a 3 - 3a 1 ff 2 4- 2rtj,
Si les equations donneos n avaient pas de second ternic ou si Ton
supposait a, = o, on trouverait simplemcnt
c, = a,, c,.- a 3 , c 3 = 77 >, , c 4 = 7 3 , ----
4
THEOR&ME III. -- Supposons gue I on garde la memc notation f/ue dans
(e theoreme 11. Soil toujours
f n (j: }---()
I equation donnee. Soient X,, X.,, ..., X w ses different es racines el
/ equation derivee. Enfin de signons parv^x) line nouvelle fonction ration-
nelle et entiere de la variable x. La somnw suivanle
9(^i) 9(X 2 ) ? (X H )
/Y/ necessairement une fonction ralionnelle el entiere des coefficients de
la proposee.
Demonstration. -- Supposons, a [ ordinaire,
i / ;i _ I ~j
f,,.(x) = ^-" 4- ,.2;" 4- - - a,,^"" 2 4- . . . 4- na,^^ 4- #
et soit, do plus,.
9(0. ) = a 4- (3a; 4- y.r 2 4-. . . 4- C^"~ 2 4- ).J7"~ 4- p..r" 4- v.r" + l 4- ....
Knfin, designons par N la sommc chcrchec. Si Ton reduit an memo
208 MEMOIRE SUR LA DETERMINATION
denominateur Unites les fractions dont ccttc sommc sc compose, le
denominateur commun, multiplie par/? 1 , sera, en vertu clu tbeoremc II,
egal l\
(-0 " n (X 1 -X 2 ) 2 (X I -X 3 ) a .-.(X w _ 1 -X n ) 2 .
DC plus, si Ton fait usage de la notation adoptee dans 1 un des pre
cedents Memo ires (yoir p. 9)), on aura
(\ \ W\ \ (\ -\ "1 C /-f- V--i v- 2 \n\
^yVj AoM-M A. 3 ;. . . ^ A.,1-! - A. n ) O (.J- ,\ 1 ^. 2 A.,, J
et, par suite, le denominateur commun de toutes les fractions sera
represente par
Quant an niimerateur de la premiere fraction, il dcviendra egal a
D ailleui s, le produit/,_,(X 2 )/ w _,(X 3 ). . . < / l _,(X w ), inultiplie par /i*~ ,
se trouvera forjne des rnemes facteurs que le denominateur commun.
Sen lenient, chacun des facteurs
V _ V \ _ V \ \
^ v l jV 2; 7V 1 ^ v ;i? ) ^ v l - v ,v
n y sera eleve qu a la premiere puissance. Ccla pose, on reconnaitra
facilement que ce memo produit cst decomposable en deux autres, dont
I un, ayan t pour facteurs toutes les differences qu on obtient en dispo-
sant les racines de 1 equation donnec suivant 1 ordre (le grandeur de
leurs indices et re tran chant successivement de chacune d elles toutes
celles qui la precedent, pent etre represente par
(X 2 -X 1 )(X 3 X^.-XX,, X,)(X 3 X 2 )...(X W X,,^)
el dont 1 autre, ayant pour facteurs les memes differences prises en
signe contraire, a I exception toutefois dc celles qui renferment la
1)U NOMBRE DES RACINES REELLES, ETC. 209
racine X,, pourra etre designe par
Par suite, le numerateur do la premiere fraction so trouvera represent
par
et la somme des numeratours do toutes les fractions semblables par
""-" ,
Kn divisant cette somme par le denominatctir coinmun, on aura
pour la somme do toutes les fractions
II sera maintenant facile d obtenir la valour do N. En olTot, si Ten
remet pour o(X,) sa valour
a. + pX 1 4-yX 2 4-...+ CXr 2 + ?.Xr 1 + /jiX? + vXr +...,
on trouvera
S[9(X 1 )S(Xr s X- 8 ...X)]
= S[ ( + px t + yX +. . . + CX?- -f- XX /- 1 + fjiX , 1 + vXy +1 H- - - )
xS(x;- x;- ...x)]
a s (: x xr 2 X , - 3 . . . x;; ) + [3 s ( x j x^ 2 xr 3 . x )
4-
+ c S( X /^x. -^x^ 3 . . .x,,) -H A si^X . - xr^x; - 3 . . .xj; >
- 1 - U SC^ \ i X"" 2 X"~ 3 X^ -4- V SC-r- \" +1 Y"-2 \-3 VO v
i p- >. - -V j ^\ 2 ^"V 3 . . .A.,, ) - A. ( .V 2 Y\., ... .V,, j
Los premiers termes do la serie precedente, jusqu a celui qui a C pour
coefficient, sont evidomment mils; car si Ton dcsigno par / tin qiiol-
conquc dos indices F, 2, 3, . .., n 2, on aura toujours
Sr 4 - X X"~ 2 X"~ 3 X 1 ")
V. *" 1 -""-S yx 3 v ;; / u
OEuvrcs <le C. S. II, t. I. 27
210 MEMO IRE SUM LA DETERMINATION
Do plus, si Ton designe par r un noinhro ontior superieur a n 2,
1 expression
S(-<- \ ; Y"-2\" 3 \M
"3 \ --- v i - v > yX i - v /( I
.sera, en vortu des theoremes etablis dans le Memoirc deja cite (voir
p. i 10), divisible par
S(X /- X l 2 | - i X 3 l : ...X;l);
et, si Von representc par N,. le quotient, on trouvera
?*_.,= i, .
N,, = X 1 -hX ! -+-... + X=S (X 1 )r: -na,,
(lela pose, la valeur do N precedemment trouvee deviendra
r. i \ i
N /i(XN w _,-+-fxN /1 + vN,n.i+...) = A wajfx+nl waj ---- - a,)vH-... .
C.ctle valeur sera done une lonction rationnelle et entiere des coct fi-
eienls de la proposee, ee qui veritie le second theoreme du para-
graphe V T JI de la premiere section.
Corollaire I. -- Si la lonction o(x) est, par rapport a x, d un degre
int erieur a n i , ou si Ton a siinplement
la sonnne N sera nulle, ({uelles quo soient d aillours los valours de a,
(4, 7, ..., (, et Ton aura par suite
?(*) __ o
--^ r O.
Corollaire 11. -- Si t on suppose en memo temps
et
1)U NO MB HE DES RACINES RKELLES, ETC. 211
il suffira, pour determiner la valour do N, d avoir egard aux tonnes
de 9(2?) qui renferment dos puissances dc x superienres ii n 2, et
Ton aura par suite
. _
" "
l\ / /I-I \ 1
A /ir/! /JL -+- I //<r/j - r/ 2 jv ...
L \ _ 2 / -I
Corollaire III. Soient toujours f,,(x} ~ o rcquation proposoo,
/),_,(#) = o sa deriveo et a?,, ^r,,, . . ., .x 1 ,,^., les racines do oette derniero
equation. Si 1 ou fait
f ..).
Kn offet, ])our deduire la valour de N do cello de N, il suffira evi-
demment do changer n en n i o(, do remplacer A par (, a par A,
v par u, etc., c ost-a-dire le coefficient d une puissance quelconque
do x dans 9(2-) par lo coefficient de la puissance immediatement infe-
r io ure.
Corollaire IV. -- Si dans le corollairo precedent on suppose,
on aura
et, par suite,
n(n-^i)
2 , /. ^= na { , p. -~
// V" / ,]! /.
n%\3 \) y/(--2V t/; 2J Jn\
On a d ail lours
21-2 MEM 01 HE SUH LA DETERMINATION
et. par suite,
_(n-^i)-( fft _a) = ^S^X, X,) ,
cc (|iii verilie le theoreme III do la section precedcnte (paragraphc VII).
TiiKor.BiF, IV. -- Sou tou/ours f n (x^) = o I equation propose e. Soil, de
plus, | (^) u-ne fonction rationnelle (jueleonfjue de x el supposons f/uc
I elimination da x eiilre le,s deux equations
don ne pour result at- / equation
o() = o.
S/ I on designe par A rt le dernier lerme de / equation aux carres des
differences enlre les racincs de la proposee et par a le dernier lerme de
I ( (/nation aux carres des differences enlre les racines de o(() = o : le
(juotient y sera toujours un car re par fail .
n
Demonstration. -- Kn of lot, soiont X,, X.,, ..., X w les rai ines de la
proposee; on aura
= (-0
et, par suite,
A Xi-X, X,-X 3
D ailleurs, le produit
est evidemment une foriction symetrique des i-acinesde la proposee;
])U NOMBRE DES RACINES REELLES, ETC. 213
car il no change pas dc valour lorsqu on echangc ontro olios cos m ernes
racincs. 11 pout done etre remplace par uno fonction rationnelle dos
coefficients do liquation donnee ot, par suite, -.- sera lo cam; do
AH
colte me me fonction.
Co7 ollaire. -- Qnel quo so it, lo degre do [ equation donnee, lo pro-
el LI it des carres dos differences outre los racines do cliacune dos equa
tions anxiliairos en y ot z aura toujours lo memo signo que lo produit
dos carres des differences ontro los racines do 1 equation derivee.
PKOBLKMK II. Determiner le n ombre el I espece de racines re el/es
d une equation du degre n.
Solution. -- Pour plus do commodite, supposons ici quo ni 1 equa
tion donuoe ui aucune dos equations anxiliairos quo Ton osl oblige
do former n aieut dc racines egales cntre olios on a zero. Soient tou
jours /(#) = o 1 equation donnee ot /,(#) o sa deriveo du pre
mier ordre.
La fonction derivee du second ordre do /(#), savoir /J(x), sera
de memo signe quc/ M _ 2 (a?) et, par suite de la methodo expo-see dans
lo paragraphs II de la premiere section, il suffira, [)our ohtenir lo
nomhre des racines reellcs do la proposeo, d eliininer x outre les deux
equations
y + / ( x ) /. 2 ( .r ) = o, /_, (x) = o
et d ajouter Line unite a la difference ontre los nomhres do racinos
positives et negatives de 1 equation en y resultant do cotte elimination.
D ailleurs, en vertu de la rcmarque taite plus loin, paragraphe VII,
on pout romplaccr le produit
/(^)/-s(^)
par la fraction
Par suite, le nomhre des racines reel les do la proposeo surpassora
214 MEM 01 Li. E SUH LA DETERMINATION
d u no unite la difference outre les nornbrcs do raoinos positives ot
negatives do ( equation enj qu on obtient par [ elimination do x ontro
los deux snivantos :
ou, co qni reviont an memo, ontro los deux snivantes :
y fn (* l ^ ^ /- 2 O i) = O, /_,(# rt, ) = Q.
Do pins, si Ton fail usage do la notation adoptee ci-dcssns (voir le
problemc 1, corollairc IX on aura
et. par consequent, si Ton suppose /_, (x a ( ) -- o, on aura sim-
plemcnt
f n (x ,) ( i)f jl _,(a:).
On pnurra done, on f aisant abstraction du factonr num(M i(jiio n i,
remplaccr la fonction/ n (a? rz,) par ^-^(.r); d oii il suit quo, pour
obtenir I equation auxiliairo on y, on pourra so contentor d eliminer x
en I re los deux snivantes :
y f,,_ 2 (.r) -f- /,,_j(d; r, ) = o, f n -\(x ff, ) = o.
Do memo, pour obtenir I equation auxiliairo en 5, il suffira d eliminer x
ontro les deux qui suivent :
- ffi-s(ar) + (-^ i > f n -i(x fir, ) ~ o, f n -i(x ~a { } = O.
Les deux equations auxiliairos en y ot z etant ainsi formecs, si
Ton determine pour chacnne d olles la difference cntre le nombrc dos
racinos positives ot lo nombrc des racines negatives, la premiere dos
deux differences obtenues sera inferieure d uno unite au nombre des
racinos reelles do la proposee ct la seconde sera inferieuro on supo-
ricurc d une unite ii I excos du nombre dos racines" positives sur lo
nombre des racines negatives, snivant quo le produit a H _ t a a sera
nogatif ou positif.
I)U NO MB RE DES RACINES KEELLES, ETC. 215
En appliquaht aux equations auxiliaires les memes raisonnements
qu a la proposee elle-meme, on finira par obtcnir Ics fonctions ties
coefficients
i, a -i, s, , a n -D a,,
qui determinant le nombre et 1 espece ties racincs reellcs tie 1 equation
don nee.
Premier exernple . -- Supposons 1 equation donnec tin second degre
et soit
x 1 -4- 2 , x -4- a. 2 = o
cettc meme equation. Si Ton fait comme ci-dessus (probleme I)
on aura
/..,( J7 ai) = x, f n -t(x a t )i, | ? H _ 2 (^) = c,.
Ainsi, pour obtcnir les equations en jet z, \\ suffira d eliminer x :
i e ntrc les deux equations
Ci f -+- i = o, x o;
2 cntrc les deux equations
6 1 ! ^ + ^7 , O, X O.
Les equations auxiliaires en j et s seront done respectivement
Par suite, la difference cntre les nombrcs tie raciues positives et nega
tives sera, pour 1 equation en r, +- 1 si ou c { est negatif et -- F dans
c i
1(3 cas contraire. La memo difference, pour 1 equation en z, sera -h r
si on a t c t est positif et -- i dans le eas contraire. De plus, si Ton
vent passer de 1 equation en z a la proposee, il faudra augmenter on
diminuer la dernierc difference d unc unite, suivant quo le produit
21C MEMOIRE SUll LA DETERMINATION
#,#o sera negatif ou posit if. Cola pose, si Ton convicnt clc romplacer
eonstamment par -+- i les.fonctions ties coefficients tie la proposec, qui
obtiennent ties valours positives, et par i celles qui obtionncnt ties
valours negatives, on aura, pour determiner le nombre et 1 espece ties
racines recllos do 1 equation
I es quatre foil ct ions
i, t j, a l cii, (f i c i>
la somme des deux premieres fonctious devant toujours etro, apres le
remplacement tlont il s agil, egale au nombre des racines reelles do
1 equation donnee et la somme des deux dcrnieres a I exces du nombre
des racines positives sur le nombre des racines negatives.
Le nombre des racines reelles etant determine par les deux func
tions i et c t = a~ t a 2 dont la premiere est toujours positive, il y
aura deux racines reelles si a] a., est aussi positive; il n y en aura
point dans le eas contraire. Dans eette dernierc bypotbese, a., sera
necessairement positif et, par suite, les deux fonctions a { a. 2 , H-<7,r;,
seront tie signes opposes; mais, dans le premier cas, c t etant negatif,
les deux fonctions a t a. 2 , -r-a t c t et, par suite, les deux racines reelles
de [ equation donnee seronl do memo signe on do signes contraires,
suivant que a., sera positif ou negatif. l^nfin ces racines, supposees tie
memo signe, seront toutes deux positives si a ( est negatif et negatives
dans le cas contraire.
Second example.. Supposons I equation donnee du troisiemc degre
et so it
x* -+- 3 a, x- -+- 3 a^x -+- a 3 o
cette memo equation; on aura, dans le cas present, n 3, et si Ton
fait, comme dans le probleme I,
on trouvera
I)U N OMBRE DES RACIN T ES REEL LES, ETC. 217
Par suitp, pour obtenir les equations auxiliaires en y ol ^, il suffira
d p.liminer x : r entre IPS doux equations
y ( c l .v -t- c, ) + x o, ;r- + c, = o ;
2 outre IPS doux equations
On tiro dc la premiere
DP plus, si dans I eqnation
c ( c j x -\- c, ) -+- a^-
on re m place a? 2 par c,, on en deduira
Si Ton subslilue succcssivement IPS deux valeurs precedenles de .>.
dans 1 equation
,r;-+ G!= O,
on aura les deux equations suivantes en.v e( z
( cl + c*)y- -i- 2 c\ r -i~ c } o,
(c* + cj)c- ac^aiCjH- c,)s -+- c\(a\ + < \] u.
11 no restp pkks qu a determinpr pour chacuiie d pllps la difference
entre IPS nombrps do racines positives et negatives. Or on a dejii lail
voir quo, relativoment a [ equation
x- H- 2 a ( x -+- a.} :i= o,
la memo difference otait determinee par IPS dpux Fonetions
r/,^2, - , (a i 2 ).
D aillpurs, pour passer dc cette derniero equation aux ( ({nations auxi-
OEtn-rc.s de ( . S. H. t. I. -^
218 MEM 01 RE SUR LA DETERMINATION
liaires en y et s, il suffira evidemmcnt tic rcmplacer les deux quan-
lites a et <2o
2C7 C l
par -5 . -, el
"
Ci(* + c.)
2" l)cll --- 5 - ; -- (il - o - - -, -
Quant a la quantUe
<7.^ a.,
qni, rclativement a 1 equation
X- + 2 (7j ^ -f- , = O,
representait le quart du carre de la difference entre les deux racines.
die clevra el re remplacee par la memc ibnction des racines des equa
tions auxiliaires en y et z; et, par suite, en vertu du theoreme IV, on
pourra lui substituer immediatement le quart du carre de la difference
enlre les racines de 1 equation
x- -\- Cj = o,
c est-ii-dire la quantite c,. Cela pose, si Ton fait abstraction des
t acfeurs carres qui n olit aucune influence sur les signes et que Ton
change les diviseurs en mulliplicateurs, les deux fonctions
se trouvcront remplacees, pour 1 equation auxiliaire en y, par
-Co c,(c^4-cj)
et, pour 1 equation auxiliaire en z, par
rt 2 (rt,c,+ c,), ~ (t c i H- c,) (c\ H- c : J).
II est aise d en conclurc quo le nornbre et 1 espece des racines ree
de I equation
jc -+- 3 c/! cr 2 -f- 3 <r/ 2 -^ H- s = o
DU N OMBRE DES RACINES HEELLES. ETC. -219
seront determines par les six fonctions
i, - GI, c,(c^ + c : |), -a*a.i, M^, -f- c 2 ), - (fl,c t -h c,) (c* -4- c*).
Lorsquo dans chaquc cas particulier on aura remplace eel les des
fonctions precedentes qui soront positives par -+- T et cellos qui soront
negatives par T, la somme des trois premieres donnera le n ombre
des racines roelles do la proposee et la somme des (rois dornieros la
difference entrc les nombrcs do racincs positives et negatives.
11 est bon do remarquer qu ii la ibnction <:/,<?, -\-c., on pout substiluer
en sorte quo les trois fonefions qni determinent la difference ontre le
nombre des racines positives ot le nombro dos racines negatives pouvonl
otrc presentees sous la forme suivante :
DOS trois fonctions
(fui determinent le nombre des racines reelles, la premiere, i , es( tou-
jours essentiellement positive. Do plus, les deux aulros no pen vent
etre a la fois negatives; car, si la deuxieme est negative, la troisiome
sera evidemment positive. Knfin, le produit des deux dernieros fonc
tions otant egal a c; (c^ + 6 >: t ), co produit sera negatif ot los deux
fonctions do signes contraires si c~ t -\- c] est jxtsitif; lo memo produit
sera positif ct, par suite, les deux fonelions soront positives si er -f-c 1 , ost
negatif. Dans lo premier cas, [ equation donnee n aura qu une racine
reelle; dans le second, olio en aura (rois.
La quantite c~ t -\-c^ qui suffit en general pour determiner le nombro
des racines reelles, ropresento, comme on Fa fait voir ci-dessus, le
dernier tonne de 1 equation aux carres des differences entrc les racines
do la proposee divise par le carre do 2 et le cube do 3.
Corollaire I. -- On voit, par les exemples precedents, comment le
220 MEMO IRE SUU LA I) ET Eli Ml NATION
nombre etl especcdes racines reellesd une equation donnee dudegre/i
so trouvent determines a I aido do plusieurs fonctions dos coofficients
do co I to equation.
Los premieres fonctions, on cellos qui determinent lo nombre dos
raeines reolles, sent on nombre egal a /?. Los antres, qui determinent
la difference cntro lo nombre des racines positives el lo nombi-e des
racines negatives, sont encore en nombre egal a n. Lo nombre t otal
des fonctions quo Ton eonsidere ost done egal a 2/2. Mais, comine la
premiere do cos Conctions est toujours ogalo a I unite, lo nombre do
cellos (jui varient avoc les coofficients est souloinent egal a.2/i i, co
(jui s accorde avcc le douxieme paragraphe do la premiere section.
Corollaire II. A pros Fumfe, la premiere des fonctions qui doter-
mincnl lo nombre dos racinos reelles a ote trouvee, pour le douxiemo
el lo troisiemc (logre, ogalo a ~ c ( . Co tie function rosto la memo, qnel
(jiie soil li 1 dogre do I equation proposee. l^n effot, olio est ogalo el; di 1
signe eonlrairo au produit dos deux dormers tonnes do I eqnation on y;
mais lo produil do cos deux tonnes pent etre remplace par lour quotient
on par
el, en vertu du theoreme 111, ce memo quotient, pris en signc contrairo,
est, a nn coefficient numerique pros, egal a
on encore a la somme dos carres des differences entre les racines do la
proposee.
Corollaire 11L -- Dans les exemples quo nous venous do parconrir,
le produit ties fonctions qui determinent le nombre des racines reelles
a toujours lo memo signe quo le produit des carres des differences
enlre los racines do I equation donneo. Cello proposition roste vraie,
qnel quo soit lo dogre do I equalion quo Ton considere. En effet,
1)U NOMJ5RE DES RACINfcS REELLES, ETC. 221
chacune des fonctions negatives indiquant un couple de racines imu-
ginaires, Ic nombre des [unctions negatives sera pair ou impair el,
par suite, Je prodnit de toutcs les fonctions chercliees sera positit
ou negalif, suivant quo Jes couples de racines imaginaires seroul en
noin])re pair ou en nombre impair, et 1 on sait d aiileurs (jue, pour
lever to Lite incertitude a cot egard, il sui til d examiner si le produit
des carres des differences entre les racines de la proposee est positif
OLI negatif.
Corollaire IV. -- Si Ton considere a la (bis les diverses foncLions en
nombre egal a in qui dcterminent, non seulement le nombre mais
encore 1 espece des racines reelles, on determincra facilement, par
[ inspection de Icurs signes, le nombre des racines positives. \*A\ ell el,
ce dernier nombre est egal a la moilie de la somme faile du nombre
des racines reelles et de 1 exces (lit nombre des racines positives sur le
nombre des racines negatives, Par suite, toutes les racines de [ equa
tion donnee seront positives si toutes les fonctions quc 1 on considere
le sont aussi; mais cba<jne lonction qni deviendra negalive diminucra
Ic nombre cherche d une unite, ("ela pose, il sera facile de reconnailre,
par Ic signe du jtroduit de toutcs I( 4 s fonctions, si le nombre des
racines positives est pair ou impair. On voit, en eH et, quo ce nombre
sera dc memo especc que le degre de I equation donnee si les fonctions
negatives sont en nombre pair ou, ce qui revientau meme, si le pro
duit de toutes les fonctions est positif et qu il sera d espece different^
dans le cas contraire. D aiileurs, on peut lever immediatement toute
incertitude a eel egard en examinant si le |)roduit des racines de liqua
tion don ink; est positif ou negatif. Ainsi, le produit des diverses fonc
tions qui determinent le nombre et 1 espece des racines reelles doit
toujours avoir le meme signe que le produit des racines de la proposee;
maki onaprouve ci-dessus que le produit des fonctions qui determinent
seulement le nombre des racines reelles avail toujours meme signe que
le produit des carres des differences entre les racines. Par suite, le
produit des fonctions qui determinent la difference entre le nombre
222 MEMOIRS SUR LA DETERMINATION
des racines positives et Je nombre des racines negatives aura memo
signe quo le produit des racines par los carres des differences entre
les racines. Ainsi, par cxemple, si Ton considere liquation generale
du troisieme degre
le produit dos racinos etant alors egal a 3 ot le produit dos carres
dos differences entre los racinos a
le produit des fo net ions qui detcrmincnt la difference entre los nombres
do racines positives et negatives doit avoir memo signe quo le suivant :
co qui s accordc avoc los resultats trouves ci-dossus.
Corollaire } . - En suivant la methode procodento, on determine le
nombre dos racinos reollos d une equation du clegre /? au moyen do la
difference qui oxisto outre los nombres do, racincs positives et nega
tives dans line equation auxiliairo du clegre n r; mais, a 1 aide d un
artifice indiquc par Kulor (^ partie du Calcul different id, Chap. XII),
on pout abaisser d une unite le clegre do cetto equation auxiliaire,
aiusi qu on va le la ire voir.
PROBLEME III. - - Reduire la recherche du nombre des racines reelles
dans line equation dotmec du degre n a la, determination de la difference
(jw existe entre les nombres de racines positives el negatives dans Line
equation du degre n 2.
Solution. - Conservons la memo notation quo dans le problomc pre
cedent, et soit toujours /(#) = o Fequation proposee. Ses racines
reelles seront en meme nombre quo les racines reelles de 1 ecj nation
I)U N OMB RE J)ES KAC1NES REEL LES, ETC. 223
ou
I . 2
- -
Si dans ccttc derniere on change x on -> lo nombre des raeines reelles
,c
rcstera encore le memo. On pourra done, a [ equation ])ropos(M , sub-
stituer la suivante :
I (n i)c /t _,.r"+ -(/i 2)c /i _,,r"- 1
/ "^ \
Pour deduire celle-ci de 1 equation donncc, il sui fira d y romplaccr
(71 I)C,,_,
Ci
n- s par
l)C ;l ._,
en fin
a,, -i par o
et
i
a " 1)ar u iuT
On pourra done se contenter de cherchcr les fbnctions de
a i, a,, ..., a tt _.,, a n
qui determinent le nombre dcs raeines reelles de requation
n ( n i ) n ( n i )
(o ) x n -\- net x n ~ i v ft x n " \ \ - n JL \ ci o
1.2 1.2
pourvu qu ensuitc 1 on elFectue les substitutions que nous venous
d indiquer.
224 MEMO IRE SUR LA DETERMINATION
Pour obfenir I equation (6) il soffit do fa ire ._, = <> dans J equa-
(ion generale du doi>Te //, savoir f /t (x) = o. Par suite, pour obtcnir
1 equation auxiliaire en y qui doit servir a determiner le noinbre dos
racinos reellos do [ equation (6), il suffit do supposer a n .. { =-o dans
los deux fonctions ci-dessus designees par
//.(), //i l(^)
el d eliminer x outre los deux equations
y fn ( x ) + / - 2 ( j? ) o, /_, ( a? ) ~ o.
Designons ;i I ordinaire par a:,, a:-.,, ..., a; w _, los racinos (h 4 1 cqua-
liou _/;,._,(#) o. Comino on a dans IP. cas prosont
(iii pourra supposer
el alors ,r,,, r._,, ..., .r w _, seront les racinos do 1 equation
(7) .r"- 2 -f- ( ;/ i)rt,jr"- 3 + . . .4- (n i)a B _,= o.
Do plus, ooniine, dans la supposition ou x = o, I equation
don no
1 uno dos racinos do I equation on y sera - > ot puisquo, dans la
^ n
recherche qui nous oocupc, cetto racino doit etrc com p tee pour -+- i si
olio ost positive ot pour -- i si olio est nogativo, on pourra la ranger
immediatement parmi los fonotions qui determinent lo nonibro dos
racinos roollos do I equation ( 6) ot so contontor do calculor la diffe
rence ontro les nombros do racines positives et negatives do I ecfiiation
en }- (ju on obtient par I elimination do la variable x outre les deux
J)U NO MB RE DES RACINES REELLES, ETC.
suivantcs :
i yfn(v)+fn-*(x) = 0,
(S)
( x n ~~ -4- (n \)aiX l - 3 -+- . . . 4- (n i)a rt _ s rz: o.
Cette nouvelle equation en y pourra etrc representee par
(9) l>/,,(*i) + //.-(*!)] [>
Dans cettc dernierc equation, les coefficients du premier et du der
nier terme peuvent etre facilement determines a 1 aide du theoreme If ;
car ces menics coefficients sont respectiveinent egaux aux deux pro-
duits
fn ( xi ) / ( tf s ) / ( ar_, ) / ( a?_, )
et
fn -s ( ^i ) /
divises, le premier par f n (x n -\) = (l n, ct le second par /_.,(_,) w _ 2 .
On pent encore determiner [>ar le theoreme III le nipport des coeffi
cients des deux dcrniers termes dans [ equation (y). En elfel, ce rap
port est egal a
t Ton a dc plus, en vertu du theoreme III (corollairc IV),
D ailleurs, le produit des deux derniers coefficients dc Fequation en r.
pris en signe contrairc, est une des fonctions qui determinenl le
nombre des racines reel les de la proposee et, commc le produit et le
quotient dc deux quantites sont tonjours aflectes dn memo signe, le
rapport des deux derniers coefficients de 1 equation en y, pris negati-
vement, on
OEuvrcsde C. S. II, t. I.
226 MEMOlRE SUR LA DETERMINATION
sera encore une dcs fonctions cherchees. On connaitra done, dans
tons les cas possibles, deux des fonctions qui determinent le nombre
des racines reclles de 1 equation
n(n O
*
et ces deux fonctions scront
Si, dans ces inemes fonctions, on remplaee
par
(n 2)c,,_,
( n \\c~~
par
par
(-)c*_ J
(_ ,)<,_/
nnr
I
et qu apres avoir change les diviseurs en multiplicatcurs on neglige
les facteurs earres, on obtiendra les deux suivantes
Ces deux dernieres fonctions feront done toujours partio de cellos qui
determinent Je nombre des racines replies de I equation donnee
= o.
De plus, le produit de toutes les fonctions dont il s agit doit tou
jours etrc de. ineme signe que le produit des earres des differences
entre les racines de la proposee. Si Ton designe, comme nous I avons
deja fait, par
I)U NOMBRE DES RACINES REELLES, ETC. 227
lo dernier tcrmc tic 1 equation aux carres ties differences,
sera le produit des carres des differences entre les racines; et, si Ton
suppose deja connucs, a I exception d une seule, les diverscs functions
qui determinent le n ombre des racines reelles, en designant par I le
produit de ces fonctions, on pourra represcntcr la foncfion qui reste
inconnue par
n \ n I)
(-0 * K,,l>.
Ainsi, a Faide des considerations precedentes, on determinera, pour
tons les degres possibles, trois des fonctions cberchees, sans cnnij)tor
la premiere de toutes qui est to uj ours Tunite. L une de ces trois fonc
tions, representee par c t , est egale a
c est-a-dire, a un coefficient nunieri([iie pres, ii la soinme des carres
des differences entre les raciries de la proposee, ce qui s accorde avec
le corollaire II dii probleme precedent.
Premier exemple. -- Si Ton suppose n = 2, les deux fonctions
suffiront pour determiner Je nombro des racines reelles.
Deuxieme exemple. - Soit n = 3. 11 faudra, pour delerrniner le
nombre des racines reelles, avoir egard, non sculement aux deux
fonctions i, c,, mais encore a la fonction
qui, dans le cas present, se reduit a
228 MEMO IRE SUIl LA DETERMINATION
Par suite, on aura, pour determiner le nonibrc des racincs reelles, les
fro is fonctions
I, -Cj, Ci(c\ + Cl).
Le produit (le ces trois fonctions, lorsqu on neglige le factcur carre cj,
devient egal a
-(c|-hc>) = (-i) 3iI K 8 ,
co qui s accorde avec la theorie precedents.
Troisicme exemple. - - So it /? = f\. La fo notion
c, jc,[(/i a) 1 ^ (/i i)(n 3)c ;l _ 1 c /t _ 3 ] + ci_,
deviendra
c,[(4 cj 3c 1 c :j )c 1 + c*].
Do plus, si Ton neglige le (acteur carre cj, le produit des trois pre
mieres i oiu tions iiHiltiplie par
Par suite, on aura, pour determiner le nombre des racines reelles, les
< | u at re fo net ions
i, -c,, c,[4c,c* c :j (3cj c-j,)], - [4ciC* c 3 (3c^ c- 3 )]K v .
Quatiiema exemple. - - Soit /i = 5. Trois des fonctions clicrchees
seroiH immediatement connuos par ce qui precede et ces trois fonc
tions seront
i, -c,, CjO^gc* 8c,c t ) + c*].
Do plus, le produit des deux dernieres fonctions devra etre afl ecte du
ineme signe quo le produit des trois premieres par le dernier terme
do 1 equation aux carres des differences; mais, comme cette condition
no suftit pas pour determiner entierement les deux fonctions qui
rostont inconuues, il faudra necessairement avoir recours \\ I equation
auxiliaire qui resulte do relimination dojentre les equations (8). Si
1)U NOMBRE DES RAC1NES REELLES, ETC. 229
dans ces deux dernieres equations on fait n = 5 et que Ton remplaco
immecliatemcnt
3c.j
i par ~->
2 c,
a, par - -,
c t
3 par j-- >
8 par
elles deviendront respectivement
(ro)
On pent d aillenrs, a chacun des polynomes en x renfermes dans la
premiere equation, substituer le reste de la division de IT polynome
par le premier membre de la deuxieme. Si Ton suppose, pour plus de
commodite,
p - - 2 7 c\ 4-3 c t .( 1 1 c 2 c- 3 2 c, f 4 ) ,
/ r: - 9 Cj c* 4- f, ( 8 G! C, <.-. ) ,
les deux polynomes dont il s agit donneront pour restes
-j ( p x*- 4- 7 A- 4- / ) > 3 ( C 3 x*~ 4- 2 C 2 ,r -+- f, ) ;
et, commc les multiplicateurs _ et 3 sont essentiellement positifs, on
pourra, sans mil inconvenient, se dispenser d en tcnir compte. Ola
pose, les equations (10) se reduiront a
- qx 4- r)y 4- c 3 ^7 2
Si Ton fait, pour abreger,
230 MEM01RE SUR LA DETERMINATION
elles deviendront
[/elimination do a; ontrc cos deux dernieres conduit a la suivanle :
Si dans cello-ci on remet pour y t , y 2 , y 3 lours valours respcctivos,
on aura
3r :j v, 3e,y 3 = 3c,c 3 3c 4 /j j ,
3 c .-t Ji c i J s = 2 <[ c 3 3 c, r/ ^y,
? , ^ , r etant determines par los trois equations
ft, [>ar suite, 1 equation auxiliaira en y sera
c\(ry + 00 + C 4 |[(<774- acs) 4 - 2 (/jy + c- 3 ) (rj + c, )] ( c, c, - 3 c, r y )
~ ( <jy -4- 2 Cj ) (// H- C, ) ( 2 c, c, 3 c, r/ j) I
+ (/ J 7 + c 3 ) t(2c,c 3 3c, y /) 2 (^fj 3c v r j) (3c,c, - 3c, //j)J = o.
Represento us par
y. v 3 H- 3|3 y 2 -t- 3 y y -h <5 ;= o
cette me me equation, on aura
c *+ 3 ff r - -/
//- 4- a //,
3 p = 3 c-J [c, ( / 2 + 2 />r + 77 ) 2 c 2 ( 2 r/r q r) 4- C 8 ( 3r/ 2 3y/r
4- c, [c-,c,(7 2 -- 2 />r -{- 3 /;/? ) C 1 c 3 ( 2 y/- 4- 127*7 )
3 y -= 3 t [c= / 4- 2 c, c 2 ry + 2 ( c, C 3 - 2 cf ) / ]
1)U NOMRRE DBS RAC1NES REELLES, ETC. 231
Si maintenant on rcstituc los valours do/;, <y, /% //, r/, / , quo Ton
restituc a K 5 la memo valour quo ci-dcssus (p. 206) ct qu on f assc
pour abreger
-t-33c?c!j + i^c,c|c :!
-t- 9 c* ( 1 2 c, c* 9 c\ c\ ioc\ c\ -+ 35 c\ c\ c 3 1 5 c, c* ) ,
on trouvcra
D ailleurs, [ equation on y, quo nous avons rcprosentoo par
y.Y* 4- 3 ( 5/ 2 ~ 3yy -+- o r- o,
etant du troisieme degre, on obticnt facilomont, par lo probloino If,
los trois fouctions qui determinent pour oetto equation la difference
cntre les nombrcs do raoinos positives ot negatives. Los doux pre
mieres do cos fonctions sont respectivement ogalcs a
y. a. y. \ a a a
ot pcuvcnt etre ovidommont romplacecs par les doux suivantos :
yd, y.y(o .S-
Do plus, si Ton dosigno par A lo produit dcs carres dos differences
e ntre los raoinos do I equation en y, lo produit dos trois fonctions
cherchees sera do ineinc signc quo le suivant : f> ?u
d ou il resulte quo la troisieme fonction pout etro representeo par
232 MEMOIRE SUR LA DETERMINATION
Knfin, en vcrtu du theoremc IV (corollaire I), on ponrra remplacer A
par lo produit des carrcs dcs differences entrc les racinos de 1 equation
t 4 j?M- 3c 3 .r 2 -h 3c.,a~ -f- c, o,
on. si Ton vent, de 1 equation reciproque
c, t -+- 3 c 3 ,r -f- 3 c 2 .r 2 -+- c, x* = o.
Soil D le produit des carres dcs differences cntre les racincs do cette
dor more equation, on aura
D=:-,,3f.
c\
V
I) s evanouit done avec N 3 , ce qu il elait facile de prevoir; car
N,= o
cxprime la condition necessaire pour que les deux equations
f 4 x* + 3 c :t x* -f- 3 c, ,r -1- c , =r o, c 3 ,r 3 ~ y. c, x + c , o,
on, ce qui revienl an memo, les deux suivantes
c. -T- 3 c 3 a- -f- 3 c, a.-- -F- c, ^? 3 =i o, C 3 -f- 2 c s .r + c, .r 2 o,
puissent etre en meme temps satisfaitcs; et, comrac la seconde de cos
dernicros equations est la premiere derivee de I antrc, la meme condi
tion pent encore etre exprimee par
I) = o.
Si dans la valeur de D on fait abstraction du facteur numerique 27
ct du diviseur carre c\, on trouvera, pour la troisieme des fonctions
cherchees,
-(ao- [3y)N 5 .
Ainsi, les trois fonctions qui determinent la difference entrc lo nombre
des racincs positives et le nombre des racines negatives dc 1 equation
en y sont respectivement
- yd, ay ( Q (3y ), ( ao [3y ) N 5 .
DU NOMBRE DES RAC1NES REELLES, ETC. 233
Si dans ccs trois fonctions on substitue les valcurs de a, (3, y, o dorinees
ci-dessus, on trouvcra, en negligent les factcurs car-res,
c,L s , L 5 K 5 (M 3 L S - c r c*K 5 ), - (M 5 L 3 - c,c* K 5 ).
Ccla pose, les fonctions qui rclativcmcnt a 1 equation generate du cin-
quieme dcgre doivcnt determiner le nombre dcs racines reelles seront
i, c lt c,L 5 , - UK 3 (c lC |K 5 -L 5 M 5 ), c,c*K 3 -L s M 3>
K 3 , L 3 , M 5 ayant les valours quc nous leur avons assignees plus haul.
Le produit dc tonics ces fonctions a evidcmment le meme signc quc
le produit des carres des differences cntre les racines do 1 equation
generalc du cinquieme dcgrc, ce qui confirme Fexactitude de nos
calculs.
Corollaire L -- Dcsignons a 1 ordinaire par
l ( n _ ~i . .
- --
1 equation generate du degre n. Soit toujours
\ H =/t H (n 0"~ K,,
le dernier termc dc 1 equation aux carres des differences entrc les
racines dc la proposee. Enfin supposons que Ton donnc a
Ci, C 2 , j c /t-H c n
les memcs valcurs que ci-dessus (problemc I, corollaire II) et soit
L 4-, + c,[( - 2) 2 c;U ( - ( * - 3)c,,_ 1 c-,,_ 3 ].
Si Ton fait successivemcnt /i = 3, n =-- 4, // == 5, on trouvera
L s =c* +cf = K 3 ,
L 4 =c| + c,(4c| 3c,c 3 ),
L 5 c*H-c,(9c* 8c,c 4 );
ct, en vertu de la theoric qu on vient de dcvelopper, les fond ions donl
f)
OF.uvres dc C. S. II, t. I.
23 * MEMOIRE SUll LA DETERMINATION
les signes determineront le nombre des racines reelles de la proposes
seront respectivement :
Pour 1 equation generalc du dcuxieme degre,
i, -c,;
pour 1 equation generate du troisiemc degre,
i , c,, c, L 3 ;
pour 1 equation generalc du quatrieme degre,
i, c,, c\ L 4 , L V K V ;
L 5 M 5 ,
enfin, pour 1 equation generalc du cinquicmc dcgre,
i, - <? c ( L 5 , - L 3 K 3 (c 1 c*K 5 L,M S ), c,c*K 5
M 5 ayan t toujours la valour quc nous lui avons precedemment assignee.
.Iiisqu ici, nous avons sii[>pose quo 1 equation proposee ct les equa
tions auxiliaires des divers ordrcs n avaient pas de racines egales entre
ellcs on egales a zero. S il en elait aulreinent, parini les functions dont
Ics signes cloivent determiner le nombre et 1 especc des racines reellcs,
quelques-unes dcviendraicnt nulles et, par suite, nc pourraient plus
servir a la determination dont il s agit. II laudrait alors avoir recours a
I unc des methodes exposees dans les paragrapbes IV, V et VI dc la
premiere section. Pour f airc inicux sentir 1 esprit dc ces methodes, je
vais les appliquer a quelques exemples.
PROBLE.ME IV. -- Determiner le nombre et I espece des racines re elles de.
[ equation Irinome
x n + a = o,
a dtaut un nombre entier quelconque positif on negatif.
Prer7iiere solution. -- L equation proposee etant
x 1 -+- a = o,
1 equation derivee, savoir
1)U NOMBRE DES RAONES REELLES, ETC. 235
aura Unites ses racincs egales entre elles et a zero. Cela pose, si Ton
veut fa ire usage clc la methode indiquee clans le paragraphe IV (pre
miere section), il faudra distinguer deux cas, suivant quo n sera pair
on impair.
Supposons d abord n pair. Co mine 1 equation derivee n a qn une
seulc cspecc de racines egales, on n obtiendra qn une seule equation
auxiliaire en y et unc seule equation auxiliaire en z. Pour former ces
equations auxiliaires il suffira, con form ement . au paragraphe IV (pre
miere section), d eliminer x : 1 entre les deux equations
y -+ XX (/l) o, JT-O;
2 outre les deux equations
o.
On a d ailleurs, dans le cas present, X =x n -t-a, et, X 1 " etant unc quan-
tite constante ct positive, on pent, sans inconvenient, remplacer X (w) par
1 unite. Cela pose, les equations auxiliaires cherchees seront respec
tive merit
y 4- a o, 5 0.
La premiere ayant une racine positive lorsque a est negatif el une
racinc negative dans le cas contrairc, 1 equation proposee aura deux
racines reellcs dans le premier cas et n en aura pas dans le second. I)c
plus, 1 eqiialion en z ayant une seule racine reelle egale a zero et les
racines de 1 equation derivee elant en nombre impair, la difference
entrc les nombrcs dc racincs positives et negatives sera nulle dans la
proposee et, par suite, si a est negatif, les deux racines reelles de
1 equation
JC" -+- a =: Q
seront de signes conlraires.
Supposons maintenant n impair. Toutes les racines de 1 equation
derivee etant egales entre elles et en nombre pair, on n aura plus
d equations auxiliaires a former et, par suite, la proposee n aura
qu une racine reelle. Pour savoir si cede racine est positive ou nega-
236 MEMOIRE SUR LA DETERMINATION
live, il sulfira d examincr si Ic produit ties deux termcs dc 1 equation
donnee cst negatif on posilif. La racinc reelle dont il s agit sera done
positive si a est negatif et negative dans le eas contraire.
Ces resultats elaient deja bien connus; inais on voit comme ils se
deduisent naturellement de la methode exposec dans le paragraphe IV
(premiere section). On peut encore les obtenir, ainsi qu il suit, par la
methode du paragraphe V.
Seconde solution. -- Si Ton veut appliquer a 1 equation
a o
la methode exposee dans le paragraphe V (premiere section), il faudra
fairc
X = /(J7) = .r"-4- a, X /V) = no*-*, / (+ /*) = n (n - i)(a?+ A)- J .
On pout, dans la valour de f"(x + h), negliger Ic iacteur numerique
/f(n [) et, par suite, pour obtenir, conformement a la methode dont
il s agit, les equations anxiliaircs en y et s, il suffira d eliminer x :
i entre les deux equations
y -f-(,27"-+- a) (x-\- A)"- 2 o, x l ~ { = o\
2 entre les deux equations
z + x(x n -h a) (x + A)"-*= o, ^"- rr: o.
Ccla pose, les equations auxiliaires cherchees seront respcctivement
et, com me on no doit tenir compte que des racines inegales de ces
memes equations, on pourra les supposcr reduites a
y -+- ah l ~*-=: o, ^ = o.
La difference moycnne entre les nombres de racines positives et
negatives de 1 equation en y se trouve ici determinec par la valeur
DIJ NOMBRE DES RAGINES REELLES, ETC. 237
moyenne clu produit
- ah 1 -*,
valeur qu on ol)ticnt en supposant alternativement dans co produit
I indeterminee h positive ct negative et prenant cnsuite la moyenne
e ntre les deux resultats. La valeur moyenne dont il s agit sera done
egale a
c est-a-dirc nulle si n est un nombre impair; mais, si n cst un nomhre
pair, elle sera positive on negative, suivant que a sera negatif ou po-
sitif. Sons cette condition, le nombre des racines reelles de 1 equation
x n -f- a o
se tronvera determine par les deux fonctions
La derniere de ees fonctions devant ctre remplacee par zero lorsque
n cst impair, 1 equation donnee aura, dans cctte bypothese, line seule
racine reelle. Dans le cas contraire, elle en aura deux si a cst negatif,
aucune si a est posit if.
L equation auxiliairc en z n ayant qn nne scnlc racine reelle egale ;i
zero et le produit du terrne constant de 1 equation j)roposee par fe
terme unique dc 1 equation derivec etant egal a
la valeur moyenne qu obtient ce derni(;r produit, lorsqn on y donne
successivcment a x deux valeurs egales et de signes contraires, suffira
pour determiner la difference entre le nombre des racines positives et
le nombre des racines negatives de 1 equation donnee. Si n est un
nombre pair, cette valeur moyenne etant nulle, 1 equation donnee aura,
dans cette liypotbesc, autantde racines positives que de negatives; mais
si n est nn nombre impair, auqnel cas la proposee a toujours une seule
racine reelle, cette racine sera positive on negative suivant que le pro-
238 MEMOIRE SUU LA DETERMINATION
duit ax"~* sera negatif ou positif, (J est-a-dire suivantque la quantite a
sera elle-meme negative on positive.
II serait facile d appliquer les methodes precedences aux equations
trinomes de la forme
x 1 -+- ax n ~ 1 H- b o.
En effet, une semblable equation a pour premiere derivee
et Ton voit au premier aborcl que celle-ci a toutes ses racines reelles
et nulles, a 1 exception d une seule qui est egale a
JMais nous no nous arrelerons pas plus longtemps sur cet objet et nous
nous contenterons d ajouter ici quelques developpements relatifs a la
methode exposec dans le paragraphe VI clc la premiere section.
PROBLEMS V. - - Determiner le nombre des racines reelles dans les equa
tions generates des cinq premiers degre s.
Solution. -- L equation du premier degre ne presente aucune clifti-
c-ulte puisqu ellc a toujours une seule racine reellc. De plus, nous
avons donne ci-dessus (probleme III, corollaire I) les fonctions dont
les signcs detcrmincnt ordinairemcnt le nombre des racines reelles
dans les equations generales des deuxieme, troisieme, quatrieme et
cinquieme degres; mais lorsque ces fonctions, ou du moins quclques-
unes d entre elles, vicnnent a s evanouir, on nc sait plus si elles doivent
etre considerees comme positives ou comme negatives. II nous reste
maintenant a faire voir comment la methode du paragraphe VI (pre
miere section) pent servir a lever cette difficulte. Je supposerai, comme
dans le paragraphe dont il s agit, que 1 equalion donnee n a pas de
racines egales. Si le contraire avail lieu il serait facile dc Ten debar-
rasser par les methodes connues.
DU NOMBRE DES RACINES REELLES, ETC. 239
Cela pose, designons toujours par
, , t __i n(n t ) ^_ 2 n(n i) 2
1.2 1.2
I equation donnee, n pouvant elre un queleonque des nombres 2, 3, L\
ou 5. Faisons de plus, a I ordinaire,
2Cj^=<7 3 3!<7 2 -f- 2rt,,
4 c 4 ff 3 5 <7j i -+- 1 o a \ a 3 i o a \ , + f\ a \ .
Comme par hypothese I equation donnee n a pas do racines egales, Ic
dernier tcrmc de I equation aux carres des differences, represente par
A=/( /* !)-* K B ,
aura necessairement une valciir positive ou negative difTerente de zero.
Supposons maintenant que parmi les fonctions trouvees ei-dessus (pro-
bleme III) quelques-unes s evanouissent ; alors, pour suivre la melhode
du paragraphe VI (premiere section), il suffira d atlribuer a ehaeune
des quant ites
> 3> i 5
ou, ce qui revient au rneme, a ehacune des quantites suivantcs
un accroisserncnt tres petit mais arbitraire, positif on negatif, et d eta-
blir entre les accroissements de ecs memcs quantites un ordrc de
grandeur determine, en sorte qu on puisse toujours negliger les uns
par rapport aux autres. Designons par A,, />.,, A :1 , A 4 les accroissements
de c lt c.,, c 3 , c, t . Si Ton fait varier ccs quantites de Icurs accroissements
respectifs dans les fonctions qui sc Irouvaient reduites a zero, ees
fonctions cesseront de s evanouir et Icurs signes determineront, a
I ordinaire, le nombre des racines reel les de la proposee. II suffira
meme, dans beaucoup de cas, dc fa ire varier seulement une ou deux
2iO MEMOIRE SUR LA DETERMINATION
des quantites que Ton considere. Appliquons ces principes aux equa
tions generalcs du deuxieme, du troisieme, du quatrieme ct du cin-
quieme degre.
Premier exemple. - - Considerons 1 equation generale du dcuxiemc
degre
x 1 -f- 2 a , x -h a. 2 o.
Les fonctions dont les signes determincnt ordinairement le nombre de
ses racincs reclles sent, comme on 1 a deja fait voir,
I, C,.
lei la fonction <?, est la seule qui puisse devenir nulle; mais cette fonc-
lioii, memo etant egale a Ko, ne s evanouira jamais tant que les racines
de laproposee seront inegales entre elles, ainsi que nous 1 avons admis
ci-dessus.
Deuxieme exemple. -- Considerons 1 equation generale du troisieme
dere
= o.
Le noinhre de ses racines reelles est ordinairement determine par les
signes des trois fonctions
Commc la fonction K :t n est pas nulle par hypothese, il en sera de
meme de la fonction L 3 qui lui est egale; mais il peut arrivcr que
c, s evanouisse. Dans ce cas, on devra remplacer c t par A,; d aillcurs,
pnisque Ton peut supposer a volonte A, positif ou negatif et que ces
deux hypotheses doivent conduire an ineme resultat, il sera necessairc
que les deux fonctions
/*,, A, L 3
soient de signes contraires; car s il en etait autrement, si par exemple
ces deux fonctions etaient positives dans le cas ou Ton suppose A, ne
gatif, elles deviendraienl toutes deux negatives lorsque A, serait positif;
1)11 NOMIJKK DES HACINES RlittLLES, ETC. 2U
e(, par suite, on arriverait a des conclusions ditferenles, suivanl qne
Ton admettrait Tune on I aulre dps deux bypotbeses donl i! s agil. II
suit encore do la remarque prccedente quo, dans le cas oil c, devient
mil, la quantite L, doit ctrc positive; c est ce dont il est facile de
s assurer directement, car L 3 se reduit alors a c.;. Dans le meme cas,
les deux fonctions
hi, /i,L 3
etant de signes contraires, on petit en fa ire abstraction ct il en resulle
qiie le noinbro des racines reelles de la proposce es( siinplemenl e^al a
I unite.
Kn general, lorsque c t est posilif on mil, L :j est positil et les deux
(one (ions
<- , , c, L 3
doivent etre considerees coninic alfectees de signes contraires. On pent
done alors les re in placer par les deux suivanles
., -L,.
D ailleurs, lorsque c { es( negalif, on peu( remplacer encore
On pourra done, dans tons les cas possibles, substiluer aux (rois func
tions donnees les suivantes
Ainsi I equation pro[)osee aura I rois racines reelles si le dernier terine
de [ equation aux carres des differences est negatif; elle n en aura
(ju une si ce terine est positif.
Troisieme exetnple. Considerons 1 equalion du quatrienie degre
.r 4 -t- 4i ^ -+- 6a,.v- -+ 4 a-iX 4- a^ o.
Le noinbre de ses racines reelles est ordinairement determine par les
OEwrcs (le C. S. II, t. 1. 3 I
2V2 Ml : MO IKE SDIi LA DETERMINATION
sixties des qnatro fonctions
i, -e,, c,L 4 , -L,k t .
La qnanlite K, n osl pas nullc par hypothesc; inais les quantites 6-, et
L,, peuvont elro ensemble on separemcnt egalos a /ero.
Snpposons d abord quo c> scale s evanouisse ; L, se reduisant alors
i rj; sera iieccssaireinont positif ot, d ailkuirs, en raisonnant connne
dans lo dcuxirnio oxomplo, on icra voir qne les fonctions
doivenl oti c considerees coniine affectees de signes contraires. On
pourra done en faire altslraetion ct, dans ee eas, le noinbre des racines
rrelles sera uni(|iienieiU determine par les signes des diMix fonctions
i, -L ; k,
on, ee qni revienl an nieme, des deux snivantes
1 1 "i<;-
Snpposons, en second lien, quo L., seule s evanonisse. Si Ton fail
varier c.> de li.,, la variation de L, sera
On pourra done, en negligeant les f actenrs numeriqucs el les facteurs
earres, snbstituer anx denx fonctions
les denx snivantes
c,A 2 , (-ifoKi/v,;
ct, eonime le signc de It., cst lout a fait ai bitraire, ees denx fonctions
devront ol.ro de signes contraires, a moins toutefois que <:., no soil mil.
Si ce dernier cas avait lieu, cllcs so reduiraient a zero; mais alors, en
faisant varier c, de //.,, on tronverait, pour la variation de L.,,
1)1; NOMHKE DES HACINKS UEELLES, ETC. :>W
ct Ton l erail voir encore que les i onclions
c,U, -LJv.
doivenl etrc considerees cominc all eclees de si^nes contraircs, ii inoins
(]iie c 3 ne soil mil. D ailleurs, commc on ne pent snpposer <MI nn ine
temps
sans avoir aussi
fj=r: O, C : , TTT O
K 4 --o,
on voit que, en oxcluant eelte derniere liypothese, on |)onn a loujour:
laire abstraction dcs deux tbnctions
dans le cas oil I M s evanouirait.
II es( facile d arriver directement \\ la HKMHC ronclnsion en pronvan
qnc, dans le eas oil Ton suppose
L 4 -o,
les deux qnantites c,, K,, sont neeessaireinent de nienie si-ne; el, ei
efl et, on a, dans celle hypothese,
K .
Ainsi, dans le cas que I on considerc, les i onrtions (|ni doivenl deter
miner le nombre des racines reelles se reduisent ii
on, ce qui revienl an meme, ii
Supposons en fin que Ton ail en nienie letnp>
f,--o, L-.-o;
il sera facile de la ire varier a la Ibisr,, c, el c, de nianiere ijiir, l i
2H MEM 01 RE SUR LA DETERMINATION
des quantites c,, L, reslaut nulle, J autre cesse do s evanouir. On ren-
trera par ce moyon dans rune dos deux hypotheses prccedentes. Ainsi,
|iar oxomple, si Ton augmenle c a do // 3 sans fairo varier c,, L. obtiondra
line valour differonlo de zero et Ton rentrera dans lo premier des deux
eas que nous avons consideres ci-dessus. II suit do cello remarquc quo,
dans la derniere hypolheso eomme dans los deux a litres, le nombre
dos rarines reelles sera determine par los signes des deux fonctious
, ft r
Do plus, eomme on supposaut c { o, L 4 = o, on a
t ; , O et K;= (4-t- 2 , ) 2 ,
la fonction -- K-, sera positive et, par consequent, la proposeo. aura
deux racinos roelles.
Qiialricme exemple. Considerons Fequalion generale du eiiHjuiome
d ogre
Les fonetions dont les signes determinent ordinairemout Ic nombre
do ses racinos reelles soul, eomme on 1 a fait voir,
i, c,, r, L 3 , -L 5 K 5 (c l c^K 5 L S 1VI S ), c,^K 5 L 3 M : ,.
( ommc on suppose les racines do Fequation donnee inegales outre
( i ll(>s, K ; a uecessaircinent une valour differente de, zero; mais les trois
quantites
pouvenl s evanouir ensemble ou separement et, par suite, les fonetions
donnees peuvent dcvonir nulles dans quatre hypotheses differentes quo
nous allons examiner sueeessivomenl.
i Supposons (fue, des trois quantites que Fon considere, la pre
miere seulc ou c, s evanouisso. On fora voir, eomme dans le deuxiemo
exemple, qu on pout no tonir aueun eoinpte dos deux fonetions
I)U NOMIiKE DES KAC1NES REELLES, ETC. 2i5
DC plus, L- etant alors necessairement positive, on pourra, dans les
ibnctious ou cette quantite e litre com inn factcur, la rcmplaccr par
1 unite ct, par consequent, il suffira, pour determiner Ic tiombrc des
racines reelles de la proposee, d avoir egard aux signes des trois
lone lions
i, K 5 M 5 , -M,.
Les deux dcrnieres seront de signes eonlraires si K ;; est positif : la
proposee n aura done alors qu une raeine reelle; mais si K 5 est negatil ,
les deux ibnctions donL il s agit seront de meme signe et, comme Ic
nombre des fonctions negatives ne pent eviclemment surpasser Ic
nomhre des positives, les deux Ibnctions que Ton considerc seront
necessairement positives, d od il suit, que ( equation donnee aura trois
racines reelles. On eonclut aisemcnt de ces remarques que, dans Jc
cas od c t o, le nombre des racines reelles pent toujours etre deter
mine par les signes des trois fonctions
2 Supposons (juc des trois quantites
c lt L 8 , c.ctKgLsjVJg
la deuxieme seule on \j,- s evanouisse. On ne jjoun-a suppose) 1 dans L-
9 c a $c.,c, t -^: o;
car on aurait alors necessairement
C, t rz: O, C 3 =: O, K 3 ^~ O.
(-lela pose, en faisant varier c t de //, dans la valeur generale de L 5 ,
on prouvera lacilcment qu on pent ne tenir aucun comptc des deux
fonctions
t-,L 5 , -LgKsCcjfiKj L 3 M 5 )
et que les deux quantites
c,, K^c.c-JKs L g M s ),
-2\(i MEM 01 UK Sill I, A DETERMINATION
on bien encore Jos deux suivanles
soul iiecessairemcnt affocte.es do memo signe. Par suilo, pom- deter
miner lo nombro dos racinos reollos do la proposer, il snflira d avoir
egard aux siguos dos trois fonctions
ou, co qui reviont au niomo, dos trois suivantos
L equation d 0111100 aura done 11110 soulo raouio roollo si K ;; ost positif;
olio on aura trois dans lo oas contraire.
3" Snpposons (|tio, chacunc dos quantites c,, L. ; ayaut uno valour
difloronto do /oro, la quantite
c,cJK s L S M S
soil nnllo. Dans oo oas, los coefficients do requation anxiliairo on y qnc
nous avons considerec ci-dossus (probleme III, quatrieme oxomplo) ot
([iio nous avons representee par
y.Y* -+- 3,3^---+- sy r -4- o = o
satistoront a la condition suivauto
y.o (3y = o.
Alors, dos trois ibnctions qui determinent la difference entro lo nombro
dos racinos positives ot lo nombro dos racinos negatives do cello equa
tion, deux so roduiront a zero. Mais, on faisant varier los coefficients a,
[3, y, Z do quantites Ires petilos et do signe arbitraire, on prouvera
facilement (ju on jtont i airo abstraction des deux functions clout il s agil
ot determiner uniquemenl la difference cborcheo par lo signo do la
ton of ion
70.
Dl NO MM HE DKS HACJNES RE EL LES, ETC. 2V7
On doit toutefois excepter le eas oil 1 equation en y aurait dos raeines
egales ot CCLIX oil quelqu un des coefficients a, (3, y, o devimdrait mil.
Dans (out autrc cas, lo produit ay el la qnanlite designer par A soronl
necessairement de signcs conlraires ct, par suite, les quantites K :; , L ;
seront de ineme signe. !)e pins, comme on pout., en negligeanl les
facteurs carres, i-emplaeer la fond ion
-yd
par la suivante
on poorra eneore, en vertu do la remarque preeedenle, Ini snhstiUicr
celle-ci
et Ton aura onfin, pour determiner le nomhj-e dos raeines i ( elles dc
[ equation du cinquieine dogre proposoo, les (rois Ibnetions suivanlcs
quo Ton pout aussi i-oiuplacor par cos trois dornieros
11 J eslo a savoiree qui arriverait si, dans I hypothese preeedonte, (jiiol-
qu une dcs quantites a, f}, y, o so reduisait a zero on si [ equation
auxiliaire en y avait des raeinos e gales.
II suit evidemment de I equalion
cto 5 = o
qu une des quatro quantites a, fl, y, o no pout devonir mi lie sans
qu une des quantites a, o le soil aussi; d ailleurs, c t <>t K 3 n etanl pas
nulles par hypotheso, on no pout avoir
a ~ O Oil rrr O
sans avoir aussi
Oil
c est-a-dire sans quo [ equation auxiliaire en y aequiere deux raeines
2 . 8 MEMOIHE SUK LA DETERMINATION
egales n lilies on infinios. II suflira done d exanriner lo cas oil, I uquu-
tion en y ayant des racincs egales ontro -olios, c ( <^K :; .L 5 M 3 , ct par
suite y.o (3y, s evanouit.
II ost done aise de voir quo, pour satisfaire aux denx conditions
preeedontos, on ost oblige de supposer a la fois
y. o, c, c\ K 5 L 3 M 5 ~ o,
o - o, c,c^K s L 5 M 5 ^=o,
|3 2 y.y --- o, c 1 ! cr K - L 3 M 3 ~- o.
Supposons d abord
a =z o, Cj c; K 5 LS M 5 = o.
1\. et L, ; n etant pas mils par hypothese, on aura necessairemenl
c 4 = o, M 5 - o.
De plus, lors(|ii( i c, t s evanonit, on ji
M;;-- 9c^(4C,c 3 3c-:0 (Sc.] ocfc 3 -H ^c^^) = 9N 5 (3c^ 5cjc :1 + 5r,c\j);
et, puisqu on no pout supposer a la fois
c 4 o, c- 3 ~o,
si hc t c 3 3ci; n ost pas mil, 1 equation M ;i = o so trouvera roduito a
3 C:| 5 c j C :i 4- "5 f, C:; = o.
Dans lo memo cas, si Ton i ait varicr c^ do A,, c a do A 2 , ^ :i do A.,, la
variation do M ;3 sera on general
9 [ 5 ( c.; 2 c, c ;} ) // ! + i o c-j c 2 A 2 4- ( 6 c 3 5 c\ ) A 3 ] N 5 ;
et, co mine on no pout avoir on memo temps
C\ 2CiC :t ^=:o, C,t 2 =:O, 6c 3 5c^: O
sans avoir aussi
DU NOMBRE DES RACINES REELLES, ETC. 249
on pourra toujours, en negligeant deux dos accroissements /?,, A 2 , /* 3
vis-a-vis du troisieme, reduire la variation dont il s agit a 1 une dos
trois suivantes
45(c| 2c 1 c 3 )N 5 A 1 , 9oc,c 2 N 5 //j, g(6c 3 5c^)N,// 3 .
Cela pose, la variation
c,c*K 3 L S M 3
sera proportionnelle a 1 un des accroissements A,, A,, // 3 . Le signe de
chacun d eux etant tout a fait arbitrairc, il en resulte quo les deux
fonctions
-L 3 K 3 (c lC ^K 3 -L 3 M 5 ), c,c^K 3 -L 5 M 5
devront etre considerees comme aflcctcos do. signes contrairos et quo
les deux quantites L s , K 5 soront necessairement de memo signc. II ost
aise d en conclure quo le nombre des racincs reelles de la proposoo
sera encore determine par les signes des trois fonctions
Si; pour satisfaire 1 equation M 5 = o, on supposait iN 5 o, la sccondo
des equations (10), savoir
t ^. 3- / " O 3 CC ~~\~ O C/2 v ~ ~ C j O
ayant alors des racincs egales, la proposee aurait necessairement des
racines imaginaires. On pourrait done assurer qu elle a trois racincs
reelles si K 5 cst negatif, une seulc si K s cst positif; ce qui revient a
determiner le nombre des racines reelles par les signes des trois
fonctions
i, i, -K 5 .
Supposons" main tenant
(5 = 0, C,C^K 5 L 3 M 3 :=0.
c s n etant pas nul par bypothese, 1 equation o cntrainera la
suivante
N 3 =o;
et, par suite, il suffira toujours, pour determiner le nombre des racines
OEuvres etc C. S. II, t. I. 32
250 ME MOIRE S U 11 LA DETERMINATION
reelles, d avoir egard anx signos des trois fonctions
i, >, -K 5 .
Supposons en fin
|3 2 oty = o, CtcfK-i L 5 M 3 z= o.
La derniere do ces deux equations pouvant etre niise sous la forme
on aura en memo temps
p s
* a
Cela pose, 1 equation auxiliaire en v deviendra
( ay -f- 3) 3 o
ou, ce qui revient au me me,
(c;K 5 y M 5 ) 2 o.
Cette derniere equation aura ses trois racines reelles egales et pos-itives
si M, n etant pas mil K 5 et M 5 sont de me me signe et, dans ce cas
seulement, la proposee pourra avoir toutes ses racines reelles. Pour.
qu elles le soient en diet, il sera de plus necessaire que c, soit negatif
et que la seconde des equations (ro) ait ses trois racines reelles et
inegales, ce qui entraine la condition
N 5 <o.
Ainsi, toutes les racines de la proposee seront reelles si Ton a en
memo temps
c,<o, a<5 (3y o, ^y.y = o, K 5 M 5 >o, N 5 <o
ou, cc qui revient an meine, si Ton a
c,<o, Cl c;K 5 L 5 M s -o, K 5 L 5 N 5 M^r=o, K 5 M 3 >o, N 5 <o.
Dans cette liypothese, K 5 et M 5 etant de memc signe, il faudra, pour
DU NOMBKE DES UAC1NES KEELLES, ETC. 1251
quo 1 equation c,c JK 3 L 5 M 5 = o puisso avoir lieu, quo L- soil nega-
tif. Do plus, comme N 5 est aussi nogatif, 1 equation K 5 L 5 N 5 M: = o
en train era la condition K 5 > o ot, par snito, on aura encore M 5 > o. Si
les conditions precedentes ne sont pas satisfaites et que la quantite
vienne a s evanouir, lc nombrc des racines reellos <le 1 equation donnee,
nepouvant etre egal a 5, sera necessairement determine par les signes
des trois fonctions
i, i, -K s .
4 Jusqu ici nous avons suppose (jue des trois quantites
Ci, ES, C^ KB L 3 M 3
line seule devenait nulle. Mais il pent arriver que deux de ces quantites
on tontcs trois a la fois se reduisent a zero. Au reste, il cst facile de
prouvcr que, dans cette hypothese, on aura necessairement
C, O.
Car, si c t n etant pas nul les deux quantites L 5 , 6-,c;K 5 L S M S venaient
a s evanouir, on aurait en meme temps les deux equations
auxquelles il cst impossible de satisfaire taut que Ton attribue a K 5
une valour diflerente de zero. D ailleurs, en faisant varier c,, c, et c, de
quantites tres petites mais arbitraircs, on ramene facilement I hypo-
thcse precedente a celle oil, des trois quantites
c,, L 5 , cjcJKs E 5 M 5 ,
la premiere toute seule s evanouit. On pent done assurer que, dans
cette memc hypothese, lc nomhrc des racines ivelles est uniquement
determine par les signes des trois fonctions
K,.
252 MEMOIRE SUR LA DETERMINATION
Corollaire I. -- En resumant tout ce qui a etc (lit ci-dessus, on arrive
aux conclusions suivantcs :
Lorsqu une equation clu deuxiemc on du troisiemc degre a toutes
ses racincs inegales entre clles, le nombre dcs racincs reclles se trouve
determine, si I equation est du dcuxieme degre, par les signcs des
deux fonctions
j, -K 2 ,
et, s*i 1 equation estdu troisieme degre, paries signesdes trois fonctions
Lorsqu une equation du quatrieme ou du cinquieme degre a toutes
ses racincs inegales entre ellos, le nombre des racincs reclles de cctte
meme equation est determine par les fonctions donnees ci-dessus (pro-
bleme III, corollaire I), pourvu toutcfois qu aucune de ccs fonctions
ne s evanouissc; mais si quelques-unes d entre elles se reduisent a
zero, alors les fonctions, dont les signcs determiucnt le nombre des
racines reclles, son I, pour liquation generale du quatrieme degre,
et, pour I equation generale du cinquieme degre,
f, i, -K 5 .
On doit sen lenient, exccpter, rclativement a I equation generalc du
cinquieme degre, le cas oil la quantite c,c;K 5 -L 3 M 3 etant nulle on
a ura it de plus
CI<G, N 5 <o, K 5 M 3 >o, K 5 L,\ 5 M2 o,
auquel cas les cinq racines seraient toutes reellcs.
Corollaire If. -- On pent facilement comparer, jusqu au quatrieme
degre, les resultats que nous venous d obtenir avcc les conditions a
I aide desquelles on fixe ordinairement le nombre des racines reellcs;
et, d abord, il suit de la theorie precedente que, dans les equations du
DU NOMBRE DES RAC1NES REELLES, ETC. 258
deuxiemc et du troisieinc degre, le nombrc dc ecs racincs est toujours
determine par lc signe du dernier tcrme dc liquation aux earres des
differences, cc que Ton savaifc dejii.
Je passe a 1 equation du quatrieine degre. La mcthodc par laquclle
on determine ordinairemen-t le nombre dc scs racines reelles se reduit
a ee qui suit. On commence par examiner si lc dernier tcrme de Fequa-
tion aux earres dcs diflercnces cst positif on negatif. Lorsqu il cst
negatif, on en conclut quo la proposee a deux racines imaginaires.
Lorsqu il est positif, toutes les racines sont a la ibis reelles ou imagi
naires; clles sont reelles si Ton a en memc temps
elles sont imaginaires si 1 une on 1 autre dcs deux conditions prece-
dentes vient a manqucr.
On pcut arriver aux mcmes conclusions par la consideration des
quatre fonctions trouvecs ci-dessus, savoir
j, -c,, c,L 4 , -L t K 4 ;
et, d abord, si K., est negatif, lc produit dc ccs quatre fonctions etant
aussi negatif, les fonctions negatives scront en nombre impair. D ail-
leurs, le nombre de ccs dcrniercs ne pouvant surpasser le nombre dc
celles qui seront positives, on aura necessaircmcnt, dans I liypothese
dont il s agit, unc fonction negative, trois positives, et, par suite, deux
racines reelles. Cc resultat subsistc dans lc cas meme oil quelques-unes
des fonctions donnecs s evanouisscnt; car les deux fonctions
qui detcrminent alors lc nombrc des racincs reelles, etant toutes deux
positives, indiqucnt deux racines de cette especc dans [ equation pro
posee.
Supposons maintcnant K., positif. Les quatre fonctions donnees
scront positives si les quantites c,,L, sont toutes deux negatives; et,
dans cc cas, la proposee aura ses quatre racines rcelles. i\lais si Tune
254 MEMOIRE SUR LA DETERMINATION
des quantites c t , L, est positive ou si ccs quantites le sont toutes deux
en meme temps, le nombre des fonctions positives sera egal a celui des
negatives; et, par suite, 1 equation donneen aurapas dc racines reelles.
II en serait encore de meme si quelques-uncs des fonctions que Ton
considere venaient a s evanouir; car il fail d rait alors, pour fixer le
nombre des racines reelles, avoir rccours aux deux fonctions
i, -K t
qui, pour une valour positive de K 4 , sont evidemment de s4gnes cou-
(raires. Les conditions necessaires, mais suffisantcs, pour que les
racines soient toutes reelles sont done les trois suivantes
K 4 \> o, c, < o, L ; <o.
II nous resle a fa ire voir qu elles sont equivalences a celles que tbur-
nissent les methodes connues, savoir
K.>o, CI<Q, c 3 3cf<o.
On pent aisement demontrer cette assertion ainsi qu il suit.
II est d abord facile de prouver que, si Ton a en meme temps
K. v >0, Cj<0, L;<0,
on aura aussi
c :i 3c\ < o;
et, en cffet, la condition K^>o entraine la suivante
qu on pent aussi mettre sous la forme
Cela pose, si c. A est negatif ou si c a etant positif reste inferieur a c\,
c 3 3c; sera evidemment negatif. Mais si c 3 est positif et superieur a c;,
alors, les deux quantites c\ c] et L, etant positives, on aura
I) Li NO MURE J)ES RACINES UEELLES, ETC. 255
Or on a deja trouve
(^ + c^>^(cl-c\~L,Y.
c i
0]i aura done par suite
( ? + c) J >;!i(e2 c*).
c t
Si Ton multiplie les deux menibres do cctte dernierc inegalite par
on (rouvera (ju elle so reduit a
c?( c ? + c 3 )>(c 3 c?) 2 ,
on bion cncor.o a
c 3 (c s 3c])< o;
ct commo, par Jiypothcsc, c. A ost positif, il faudra ncccssaircmcnl qur
c 3 3c; soit negatif; ainsi, dans tons los cas possibles, les trois
conditions
K t > o, c, < o, L 4 < o
entrainont la suivanto
c, 3 - 3cj < o.
Reciproquement, si Ton a en memo temps
K 4 >o, c, < o, c 3 3cf<o,
on dcvra aussi avoir neccssaircmcnt
L 4 <C o ;
ct, en effet, les deux quantites c\ ct c., 3c^ etant negatives par hypo-
thesc, si c 3 est positif la valcur de J,., clonneo par I equation
L 4 = 4 c\ c, -t- c 3 ( c 3 3 c* )
sera evidemraent negative. De phis, K, nc pouvant etre positif a moins
250 MEMOIRE SU11 LA DET ERMINATlOiN
quo Ton n ait
c\ + c :J > o, (c* 4- c 3 ) 3 > (cf c\ L 4 ) 2 ;
c i
si 1 on suppose <? 3 negatif on aura
Mais, c 3 etant negaUf, on a aussi
c(c+ c,) <^ r (c c*) 8 .
On aura done, par suite,
(c^ c}) 2 >(c^ cj L 4 ) 2 .
Pour satisfaire a cette derniere inegalile on est oblige do supposer que
c^ c\ ct L 4
sont de memc signe; d ailleurs c\ c], etant ie produil des deux
facteurs
C 3 ~i~ fj? C;j - CJ
dont le premier est positif et le second negatif, a necessairemcnt une
valeur negative. II en sera done de rneme de L.,. On no ponrra done
avoir en memo temps
K.>o, Cj < o, c 3 3c^<o
sans avoir aussi
U<o,
ce qui acheve de prouver I identite des conditions que fournissenl,
relativement a 1 equation generale du quatriemc degre, les methodes
connues et colic que nous avons prccedemment cxposee.
Quant a 1 equation generale du cinquiemc degre, les conditions que
nous avons trouvees pour determiner le uombre de ses racines reelles,
lorsqne cos racines sont inegales, so reduisent a ce qui suit :
Les cinq racines seront reelles si les quatrc quantites
-c, -L 5 , K 5 , c,c*K 5 L 5 M 5
I)U NO MB RE DES II AC INKS REELLES, ETC. 257
sont toutes positives on si , la dorniero do cos quanl i(es etant nullo. on a
Ci<0, N 5 <0, k 5 M 5 >0, K S L 5 N ;; Al ::::::: O.
Dans t.oulc autcc hypothesc, la propose* 1 aura unc seulc racinc recllc
ou bicn olio on aura trois, snivanl quo la condition i\.>-o sera on no
sera pas satisfaite. Los conditions qu on viont d ononcor pouvonl rem-
placor cellos (jne Jburnit [ equation aux cai i os dos diHV ronc< s el lenr
soul nocossaireinenl e(|nivalenlos : niais il srrail penl-ed c diHieilo do
los on doduiro dirooloinonl .
Ol-lut-res tic C. S. II. t. !.
SUR
LES RACINE8 IMAGLN AIRES DES EQUATIONS.
./oiiriifil tii- I. l .colc Polytcchnujnc, XV1I1 (ialiicr, Tome XI, |). _j i i; 1830.
Ou il soil loujours possible do decomposer 1111 polynome CD f acteurs
reels (!u premier el du deuxiemo degro on, en d autrcs termes, (juc
(onto equation donl Ic premier mcmbre esl nne I oiiclion rationnelle of
ciilit j c dc la variable x [tuissc loujours tMrc vtM itiee par dos valcurs
reelJes on imaginaires de ccKe variable : e esl uue proposition ffiie i on
a deja pronvjM 1 d* 1 plnsiiuirs manieres. MM. La^ran^e, Laplace (M; Gauss
onl (Mnploye divei ses inclbodes pour I etaljlir el j en ai inoi-ni(Mue donne
unc demonstration (oudec sur des considerations analogues a cellos
donl .M. Gauss a la it usage. .Mais, dans chacune des inethodes quo jc
viens do cilor, on (ait une attention speciale an dog re do I oquation
donne.e, ot quelquefois ineine on remonto do cetto dorniero a d autros
equations d nn degre superiour. Cos considerations jjaraissont etran-
goros a la question ol .M. Legendre est parvenu a s on passer (Thcorie
f/es nornbres, \ " Partio, ^ XH j on faisant usage du developpement on
sorie. Jo suis arrive, on suivanl la memo idee, a une demonstration
(fni seuiblo aussi directo ot aussi siin|)lo (ju on puisso lo desirer. Jo
vais, ici, Toxposor on ])ou do mots.
Soit f(x] mi polynome quelconque on x. Si Ton y substitue pour a;
uno valour imaginaire // -+-v\! i, on aura
(0 /(H- \/-0 = i* + Qv
SUK LttS KACINES IMAGINAIRES. DKS EQUATIONS. 459
l ) el Q elanl deux fonctions reelles do u. el. r. Do plus, si Ton (ail
( a ) P 4- /-i = 1 1 ( cos T -4- v/ i sin T ) ,
H sera ee qu oii appelle le module dc, 1 expression iinciginaire.
[> + Q ^/- i ,
ft sa valour sera donneo par re.qiialion
(3) R s =P -f-Q2.
Gela pose, lo theoremc \\ demontrer c ost quo Ton pourra lotijours
satisfairo j)ar dos valours roollos do //. o( do c aii\ doux equations
ou, co qui rovient an nionio, a reqnalioii uni(|ii
II importe done do savoir quidlos sont los divorsos valours quo pout
recevoii- la function H ot coniniont ootto fouolion vario avcc u. ot r. On
y parviendra comnio il suit.
Supposons quo los quantites // ot i 1 obticnncnt a la Ibis los acci oisso-
mcnts h ot k, ot soient AP, AO, Al^ los aocroissoments correspondants
do P, Q, K. Los o([uatioiis (3) ot (i) dcviendront rcspectivemenl
(4) (R + AR) S =
i P + Al> -f- ( +- AO ) v c: ^ = ./ ( it -I- c v 7 - "i + / + /. \ /:::
( 5 ) - /( u + v \/- i J + ( A + k \ 7 ^7) /, ( -+- c \ ^- i )
/,,/ ._,, ... designanl do nouvollcs f onctions. Pour deduire do rotfiia-
tion (5) los valours do P -i- AP cl do Q -h AQ, il sul tit do rainonor lo
second membre a la lbrine/j -+- (./ \/ i. C est co <juo Ton fora on suhsti-
tuant a f(u -+- c\ -- i) sa valour I{(cosT-h \ l sinT) ot posant, (>n
200 SUH LES RACIXES IM AGIN AIRES DKS EQUATIONS.
outre,
li -+- k v i p(cosO -+- v sin 5),
J\(." + r \ f ~ R/cosT] -+- v - J sinTj ),
/,( -i- c v i) R^(cosT s + v sinT 2 ),
Apres les reductions efl ectueos, I equalion (: >) devicndra
P+AP+ (Q-
R cosT-f- \\iQ cos(Ti -t- 0) -+- R 2 p 2 cos(T 2 --f- 20) -h. . .
/
-4- [R siuT -+- ]<,psiLi(T, H- 5) -t- R,p 2 sin(T 2 -4- 1 0) 4-. . .] \/ i,
el Ton en conclura
^ I* -r- AP rr: R COsT-H l ,0 COS(T, -h ) -+- R 2 p 2 COS(T, + 20) 4-. . .,
O + AO R si n T -f- R , p si n ( T, + ) -t- R 2 p 2 si n ( T 2 -t- a 5 )+...;
; (R-t- AR) 2 r [RcosT-hRipcosCr.H-O) -t- R,p* cos(T,-i- 2$) -t--..] 2
i +[RinT+tt,osin(T -+- 0) + R, 2 sin(T 2 -t- 2^) + I*
Supposons inaintenant (|iie, pour certaines valours attribuees aux va-
riaMos n et r, Tequation
R -i o
ne soil pas satist aite. Si, dans cette hypothese, R, n est pas mil, le
second ineinbre de requation (8), ordonne suivant h. s puissances
ascendantes de c, devicndra
el, par suite, la quantite
(R-h-AU) 1 R s ,
ou Paccroissement de R 2 ordonne suivant les puissances ascendantes
de c, aura pour premier tor me
2RR,pcos(T, T-H- 6).
Si, dans la memo hypothese, R, elait mil sans <jue H 2 le tut, 1 accrois-
SUR LES RACINES IM AGIN A I RES DES EQUATIONS. 20 1
sement do R 2 aurait pour premier tonne
2RR s p*cos(T 2 T+ 20),
etc., etc. Enlin ce premier termo deviendrait
2 UK,, p" cos (T,, T+ 7t0)
si, pour los valours donnees do u et v, tontes les quantites R,, R,, . . .
s evanouissaicut jusqu a R,,_, inclusivcmont. D ailleurs, si Ton altribm 1
a p dos valours positives tros potitos ot a des valours quelconques, on,
co qni reviont au memo, si 1 ou attribue aux quautites li ot X dos valours
numeriques tros potitos, I accroisscment do R 2 , savoir
(R + AR) 2 -R-,
sera do memo signe quo son premier torme represonto generalement
par le produil
( 9 ) 2 R R ,, p" cos ( T,,. T H- n ) ;
el comme on pout disposer do la valour arbilrairo do do manic-re a
rendre cos(T rt T-h /vO), c ost-a-diro le dernier factcur dn produil (9)
rt, par suite, lo produit lui-mome, on positif ou negalif, il en resullc
(fiio, dans le cas ou des valours particiilieros attribuees aux variables //
ot v no veritiout pas 1 equation R~ o, la valour correspondante do R-
no pout otro ni un maximum ni un minimum. Done, si Ton pen I
s assurer, a priori, quo R- admot line valour minimum, on dovra l ii
conclure quo ootto valour ost nulle et qu il ost possible dc satisfaire a
1 equation R = o.
Or, R- admottra ovidomment uu minimum correspondanl a des
valours finies do // et do v si, pour do tres grandes valours numeriques
do cos monies variables, R- finit par dovonii 1 superieur ;i loute (jiianlite
don nee. D ailleurs, si Ton fait
// -h c v ~ < = / (cos- -t- \ J sin;),
a do tres grandes valours numeriques do u ot r correspondent do (res
262 SUH EES RACINES IMAG IN Al UES DES EQUATIONS.
Brandos valours do r ct reciproquement. Done, pour quo Ton puisse
satisfairo a liquation R = o par dos valours roellos el iinios des va
riables u el o, il ost neccssaire ct il suffit quo la quantito R- dolorminoo
par los equations
! P + V " = /[/ (cos* + v - i sins)]
tinissc par dovonir oonstamment, pour do tres grandos valours do /,
snpcricurc a tout nombre don no.
La conclusion prccedonle subsisto egalement, quo la fonction f(x}
soil cntiere ou non. Kilo oxigo seulemenl quo P ct soiont dos f onc-
tions continues dos variables u ct r ct quo los quantites R,, R 2 , ... no
dovionnent jainais infinies pour dos valours finios do cos memos va
riables.
Supposons, on particulier, que la fonction f(&} soil entioro ol f ai-
sons ou consequence
f(oc ) ~ f( () x" -+- , x"~ { -)-... + a,,- i.x -i- ft,,.
Los equations (TO) donncront
P -1- O \/~ - i /( / cos; -I- / sin z \ i)
-r [/ " sin/? ; -f- c/i r"~ sin(/t j ); -+- . . . -f- _!/ sin ;] \ i ,
r/, cos(// T)C ff/i-i cos; rt ;i
P :- a t )l " COS/J-3 -t-
O = /" sin /i;
Or, il cst clair quo, pour do tres grandcs valours do /, la valour prccc-
dente do R 2 iinira par surpasscr touto quanlilo donnoc. Done, on vortu
do cc qui a etc dit plus baut, on pourra satisfaire par dos valours reellos
do u ct do 9 a 1 equal ion
SUH LE8 KAOINES IMAdlNAlHES J)ES EQUATIONS. 263
on, co (jiii rovicnl an momo, mix deux suivantos
1 = o, O = o.
An rosto, la methocle ci-dossus cxposoo n osl, pas uniquemont appli
cable an cas oil la fonot.ion f(,r) ost ontioro; ot, lors moino quo code
fonction cesso do I olro, los raisonnements do;) I nous avons fait usago
|)ouv<Mil sorvir a diVidor s il. osl j)ossihlc do salisf airo a rocjuati
/(j?)..-o
par dos valours ro.ollos on inia^inaii os do la variahlo cr.
MEM01IIE
STIl I NK ESPECE PARTHHJLIERE
DE MOl VEMENT DES ELUIDES.
Journal dc I Ecole I olytcclmiquc, XIX. Caliicr, t. XII, p. 9.0/1; i8->.3.
Lorsqu uu fluide so meut dans mi vase dc figure quelconque, la
vilesse cl. la [>rcssion en ehaquc point varient d nn instant a Fautre,
cl, par consequent, (dies dependent, en i> eneral, dc quatre variables,
savoir, le temps et les coordonnees du point quc Ton cohsidere. Ces
quatre variables se reduiront n deux si le mouvomonl a lieu dc tellc
inanierc quc deux molecules uc puisscut occupcr successivcment la
inciiie [>lace sans dccrire la meme courbe. Nous aliens nous occupcr,
en particulier, de ccttc cspece dc inouvcment d une masse fluide qu on
pent appclcr jnouwnejil par filels. Pour le determiner plus facilemcnt,
nous commcnccrons par etablir un thcorcme qui se rapporte aux
fluidcs en equilibrc ct don I voici 1 enonce :
c.
IIHOHKMK. -- Concevons gue. darts un fluide en ecfiiilibre, on (race
onrbc a volonle. Commons s I arc de cede courbe compte apartird un
point fixe et soie7)l. d I exlremite de cet arc, p la pression, p la densite,
I J la force acceleralrice. En/in, designons par a. I angle cojnpns enlre la
direction de la force P ei celle de la courbe d I extremite de. I arc s. On
aura, en supposant toutes Jes variables exprimees en. function de s,
(}} ~ pP cos a.
<Js
MEMOIRE SUU UNE ESPECE PARTICULIERE, ETC. 265
Demonstration. En effet, si Ton rapporte tons les points de 1 espace
a trois axes rectangulaires ct que Ton designe par X, Y, Z les compo-
santcs algebriques dc la force P parallelement a ces memes axes, on
aura, en supposant d abord toutcs les variables cxprimees en fonction
de x, y, z,
d P ^v
d^ pX
dy
dl> _
D ailleurs, pour la courbc que Ton considere, x, y, z deviennent fonc-
tions de s et si Ton substitue leurs valeurs en s dans la valeur generale
de/?, il en resultera une nouvelle fonction de s qui verifiera la formule
dp __ dp dx Op dy dp dz _ / d.r dy , dz\
\ " / ~r i ~r ~>" ~j ~~ i j " ~ P \ - v ~r~ "^ *- ~T~ ~T~ " ~3~ I
as ox as o\ as as ds \ ds as as I
D autre part, les cosinus des angles que forment avec les axes la direc
tion de la force P ct cclle de la courbe proposee a 1 extremite de 1 arc s
etant respectivement
X Y Z
P P P
dx dy dz
ds ds ds
on en conclura, pour I expression du cosinus de Tangle compris cntre
les deux directions,
X dx Y dy Z dz
(4) COSOC = -rr ,-T -- h TT -~- --n~T
P ds 1 J ds , P ds
En vertu de cette dcrnierc formule, 1 equation (3) se trouvera reduite a
(i) = p
ce qu il fallait demontrer.
On pent remarquer en passant que la pression sera constante dans
OEuvres de C. S. II, t. I. 34
266 MEMOIRE SUR UNE ESPECE PARTI CU LIE HE
toutc Tetendnc dc la courbc donnee si 1 on a cosa o, c cst-a-dirc si
cette courbc cst perpendiculaire en tons ses points a la direction dc la
force acceleratrice, cc qui s accordc avcc la propricte bicn connuc des
surfaces de niveau.
On pent encore remarqucr quo Pcosa represente, au signe pres, la
projection dc la force P sur la tangente a la courbe quo Ton considere.
Concevons a present que le fluiclc sc nieuvc ct sc partagc en un
nombre iniini de filets, de telle sorte quc la courbe decrite par
une molecule, a partir d un point donne, soit constamment suivie par
cclles qui lui succedent an memc point. Nommons s Tare d unc sem-
blable courbc, compte a partir d une origine fixe dans le sens du mou-
vonicnl, et t le temps mesure a partir d une epoque fixe. Soient de
plus, an bout du temps t ct a Textremite de Tare s,
p la densite,
j) la pression,
v la vilessc,
P la force acceleratrice appliqueo au tluide,
a 1 angle compris entn; la direction dc cette force acceleratrice et la
direction de la vilessc,
Q la force acceleratrice qui serait capable de produire le mouvement
observe,
3 Tangle compris entre la direction de cette force et ccllc de la vitesse.
Enfin, imaginons quc, la force P etant decomposer en deux autres,
dont rune soil la force Q elle-rneme, la direction de la secondc compo-
sanle representee par R fasse, avec la direction de la vitesse c, Tangle y.
Les quantites p, p, v, P, Q, R, a , |3, y seront autant de fonctions des
deux variables independantes ,v, t ct, en vertu du principe general de
Dynamique, la pression p sera precisemcnt ccllc qui aurait lieu dans
Tetat d equilibre du fluide uniquemcnt soumis a la force accelera
trice R. Par consequent, le tbeoremc ci-dcssus demontre fournira
Tequatiion
-y- := pR COSy.
DE MOUVEMENT DES FLUIDES. 267
D ailleurs, Q ctH etant les composantes do la force P, si Ton projette
ccs trois forces sur la direction de la vitcsse, on trouvcra
(6) P cos a Q cos (3 -h R cosy.
Done, par suite,
(7) -p(
Observons maintcnant que, si Ton appelle &,y, z les coordonnees rec-
tangulaires dc la molecule situee a 1 extremite de 1 arc s et X, Y, Z les
projections algebriques sur les axes de la force acceleratrice P, la
valeur de cos a verifiera 1 equation (4), et qu on aura, en conse
quence,
v d.x , T dy r . dz
8) P cosa X-y- -+ Y-f- -4-Z-T--
as as as
DC plus, la courbe que suit cette molecule pouvant etre censee decrite
en vertu de la seule force acceleratrice Q, la variation de la vitesse v,
pendant un instant tres court At compte a partir d<; la fin du temps I,
pourra etre consideree, sans errcur sensible, comme uniquement clue
a la force Q decomposec suivant la courbe clont i.l s agit, c est-a-dire
ii la force acceleratrice representee par la valeur numerique du pro-
duit QcosjB. II est aise d en conclurc que cc produit sera equivalent, ;i
tres peu pres, a la variation de la vitesse divisec par A/. Or, 1 espace
parcouru pendant 1 instant A/ etant sensiblement egal a v At ct la
vitesse etant fonction des deux variables s ct/, si, pour fixer les idees,
on suppose
> = /(*, 0,
en designant par un nombre tres petit, on trouvcra, pour la variation
dc la vitesse pendant 1 instant At, une expression de la forme
f[s + (c-he) At, t + At] f(s, t).
En divisant cctte variation par A/, puis faisant converger At vers la
268 MEMO I RE SUR UNE ESPECE PARTICULIERE
limite zero, on obtiendra la valour suivante cle Qcosj3 :
<) f(s, t] df(x, t)
O cos 3 = v ~-~ -- 1 -- ^-V- -
ds dt
ou, ce qui rcvient au memo,
di> dv
(9) 0008(3 = ^ + ^.
Si dans [ equation (7) on rcmct, pour Pcosa ct Qcos[3, Icurs valeurs
tirees des equations (8) et (9), on trouvera definitivement
dp /X dx -+-\ T dy -f- Z dz
I 1 f\ \ _* _ - \
~
Tello est la formule differentielle qui cxprime la relation existant entre
la pression et la vitesse dans le mouvemcntpar filets d une masse fluide.
Ajoutons qne, dans ce ineme mouvement, la vitesse v pent etre decom-
posec en deux iacteurs dont I un depende uniquement de la variables
et 1 autrc de la variable /. Pour le demontrer, imaginons la masse fluide
divisee en filets dont les sections transversales soient tres pctitcs et
varient d un bout a J autrc d un filet donne, de maniere que les memes
molecules passent successivement par chacune d elles. La quantite de
fluide qui passera, pendant un instant tres court, par une section plane
f aitc dans cc filet perpendiculairement a sa longueur, sera proportion-
nelle, d une part, a 1 airc de la section, de 1 autre, a la vitesse des
molecules qu elle renfermc a 1 instant dont il s agit; et, comme cette
quantite de fluide dcvra roster la ineme pour toutes les positions pos
sibles du plan coupant, il cst clair que, a chaque instant, les vitesses
de deux molecules comprises dans deux sections diflerentes seront en
raison inverse des aires de ces sections. Par suite, si v designe toujours
la vitesse, au bout du temps t, de la molecule fluide situee dans un
certain filet a Textremite de 1 arc s et si, de plus, on represente par v n
la vitesse a la memc epoquc d une autre molecule situee dans le meme
illeta 1 extremite de 1 arc s , s a elant une valeur particulierc ct constante
de la variable s, le rapport - dependra uniquement dc cette variable.
DE MO U YEMENI DES FLUIDES. 269
On pourra done supposer
V
Oil
(i v = vV->
u, etant une fonction de la seulc variable s et v une fonction de la seule
variable f, ce qu il fallait demontrer. II nous reste a faire quelques
applications des forinulcs (10) et (u).
Supposons d abord quo le mouvcmcnt du fluide soit ce qu on appelle
un mouvement permanent, c est-a-dire quc la vitessc de cliaque molecule
et la direction de cette vitcsse dependent uniqucment do la position
absoluc de la molecule que Ton considere. Alors, la valour dc c no
variant plus avcc le temps, on aura
cc qui reduira la formule (10) a
X dx + Y dy + / dz c dv
Conccvons quc, dans cette bypothesc, la densite p ait line valeur cons
tante ct que 1 expression
puissc etre ramenee, comme il arrive dans beaucoup de cas, a la
forme r/X, X representant unc certaine fonction dcs coordonnees a?,
y, 5. II deviendra facile d intcgrcr 1 eqiiation (i3) on, en d autres
tcrines, la suivante
dp id\ < dv
~~~
En cffcctuant ics integrations par rapport a la variable indepcndante *
a partir de la valour particuliere s = ^ ct dcsignant par p , X , v Irs
270 MEMO IRE SUR UNE ESPECE PARTICULIERE
valours particulieres correspondantes des variables p, X, <>, on trouvera
( 5) pp
Par suite, si la pressiou a Textrem-ite dc Tare s cst la meme qu a 1 extre-
mite de 1 arc s , on aura simplement
ft Ton en conclura
( 16 ) r 2 <>
II resultc de cette derniere formule que, flans le mouvement permanent,
une molecule fluide , en parcourant une courbe mix extremites de laquelle
les pressions sont e gales, gagne on perd la meme quantite de force vive
(jue gagnerait on f/ue pcrdrail dans le vide une molecule solide douee
dc la mctne masse et de la meme vitcsse initiale, assujettie a decrire la
ineme courlie et soumisc (tux inem.es forces acceleratrices.
Le principe <ju\m vient d enoncer suffit quclquefois pour iaire de-
couvrir parnii les circonstances du mouvenient cellos qu il importe le
])lus de connailre. Admettons, par cxomplc, qu un fluide pesant et
homogene s ecoule d un vase entretenu constamment plein par un ori
fice (res petit. Alors, au bout d un temps plus ou moins considerable,
le mouvement devient sensiblcment permanent et, par consequent, la
vitesse du fluide a la sortie du vase devient a tres pen pros constante.
Or il sera facile, a 1 aide du pi incipe etabli, dc calculer cctte vitesse.
En edict, la pression atmospberique etant, a tres pen pres, la memo su r
la surface superieure de la masse fluide contcnuc dans le vase et sur
la surface laterale de la veine qui s en ecbappc, la force vive acquise
pai- une molecule, dans le passage de la premiere surface a la seconde,
devraetre, en vertude ce principe, le produitdcla masse dc la molecule
par le carre de la vitesse qn acquerrait dans le vide un corps pesant
descendant de la meme hauteur. Done, si Ton nomine h cettc hauteur/
r la vitesse do la molecule a son entree dans le vase et v sa vitesse an
moment do la sortie, on trouvera, en divisant la variation de la force
DE MO U YEMENI DES FLUIDES. 271
vivc par la masse,
(17) v*v\ = *gh.
On aura d aillcurs, en vcrtu dc la formule (n),
(x designant le rapport tics seclions faites, dans un filet fluide qui ren-
ferme la molecule et aux extremites de ce memo filet, par des plans
perpendiculaires a sa longueur. Cela pose, on tirera dc 1 cqualion (17)
(18)
La valcur de jj. dcvant etre Ires considerable lorsquc I orificc est (res
petit, on pent, dans une premiere approximation, negliger le ternie 2 >
ce qui reduit la formule (18) a
( 1 9 ) v \/(2g7ij.
Lcs equations (18) ct (19) sont colics quo Ton deduit ordinairement
des calculs fondes sur 1 liypothese du parallelisme des tranches. Lors-
qu on vent f airc usage de 1 equation (18), on prend pour valour de a le
rapport enfrc la surface superieure du fluide qui, en general, est sensi-
blement plane ot la section minimum de la veine qui sort par I orificc,
ce qui serait exact si toutes les molecules fluides, memo colics qui
decrivent des courbes differentes, arrivaient dans le vase et dans la
section minimum de la veine avec des vitesscs communes.
Supposons maintenant quo le mouvement da fluide cesse d etre per
manent. Alors, en substituant dans liquation (in) la valour de v tireo
de la formule (n), on trouvera
(20) dp_
~
ds l) "7/T -
Si Ton admet toujours quo la densite p soit constantc et quo I exprcs-
272 MEMOIRE SUR UNE ESPECE PARTICULIERE
sion X dx -t- Yc/j -i- Z nfe se reduise a f/X, X etant une fonction des coor-
donnees a?, r, s, on pourra integrer, par rapport a s, i equation (20)
ou, ce qui revient au meme, la suivantc
et, en designant par .9 , /;, X , c des valcurs particuliercs correspon-
dantes des variables s, p, X, v, on obticndra la forinule
r~ / /"* ~1
(-22) /> - p= p I A - A - 1 ^(^ - I) - ^ J fX* I
dans laquelle 1 inlegralc relative a s est prise a partir do 1 origine ^ .
Enfin, si Ton suppose quo la pression soil la meme anx extremites des
arcs s et s, on aura simplement
el, par suite,
Le coefficient differcniicl ^ etant toujours positif quand la vitessc v
croit avcc le temps et le binome X X representant une quantite finie
independante de la variable /, il resulte evidemment de I equation (28)
qne, dans le cas oil les differences [t,- i, s s sont de meme signe,
c cst-a-dire lorsque les filets vont en se retrecissant dans le sens du
mouvement, la vitesse t^ ne saurait recevoir un accroissement indefmi.
Done alors, si cette vitesse a commence par croitre, elle ne s elevera
pas au dcla d un certain maximum ou, du moins, ne depassera pas une
certaine limite. Lorsqu elle aura sensiblement atteint cc maximum ou
cette limite, on aura, a tres peu pres,
et, par suite,
DE MOD VE ME NT J)ES FLU IDES. 273
ou, en d autros tonnes,
(25) ,,!_ = a (X_> ),
commo dans lo cas (In inouvoinont perinanent.
Si Ton vent appliquer los formulcs precedentes a nn fluide posanl,
alors, en supposant que Ton j)renne pour axe des x une droite. verlicale
et quo Ton comple les x positives dans le sens de la pesantenr, on
trouvera
X = #, Y o, Z = o,
d\ X dx -f- \dy -+- / dz . dx \
on en conclura
\ \ g(x a? ).
Cela pose, les equations (22), (23) et (2.3 j deviendronl respective-
men t
dt
(27 ) r* ( p? i)-l-2 -^ j ij. ds 2#( .r ,r ),
(28) i> 2 rj 2- (.r ;/;).
La dorniere de celles-ci s accorde avec [ equation (17), puisque x x ( ,
represente precisemcnt la hanleui 1 vorticale dr laquelle descend une
molecule flnide, en passant du point dont I abscisse est x (} an point
dont I abscisse est x.
En terminant ce Memoire snr Ic mouvemenl par lilels d une masse
flnide, nous I erons remarqner (|iie 1 ospeee de mouvemenl designee,
sous ce nom a necessairement lieu lorsque la masse entiere so reduit a
un filet fluide conlenu. dans nn tube infinimeiil etroit. Par consequent,
la formule (26) est applicable aux oscillations de 1 eau dans un lub(>
recourbe (voirla Mecanigue de M. Poisson, Liv. V). Si dans cede meme
formule on attribne successivement aux variables />, /r, u., s Jos deux
systemes de valours parliculieres (ju elles acquierent aux deux ex t re-
mites du filet fluide a la (in du temps t el (|ue Ton desi^ne cos valeurs
Ol- .nvrcs de C S. II, t. I. 35
-27 i MEM 01 RE SUll ONE ESPECE PARTI CD LIE RE, ETC.
particulieres par //, ,r , u. , .? ; // , a-", a", ,v", on trouvera
( integration relative a s dcvant (Hre tailc, dans la premiere equation,
enlre les limites .?, s , et, dans la seconde, (Mi(r(> les liniitos .?, .9".
|{n retranchant rune de I auh o les deux equations <fui precedent, on
obtiendra la suivanle
dans iaquelle [ integrate relative a s est prise entre les limites .v , s" . Si
Ton suppose, d ailleurs que la pression /.> ait la ineme valeur aux deux
exlremiles du diet thiide, la formule (3i) deviendra
dv
Cede derniere, dans laquelle ( designc la vitesse an bout du temps /
en un point fini du tube, coincide aver [ equation ( >. ) de la Mecf
de M. Poisson (\A\. V, ^ II).
MEMO IRE
SU II
I/INTEGRATION DES EQUATIONS LINEAIRES
AUX
DIFFEKENTIELUiS 1 A.HTIIiLLLES GT A COEFFICIENTS CONSTANTS ().
L objcl (ju<. 1 jo me propose dans co .Moimuiv cs( dr resoudrc l;i <|ucs-
(ion suivante :
Elan l don/ice, enire la variable principale z> el les variables ijidcpen-
dantcs a\ v, -, ...,/, line ef/aation line aire aux differences parhelia; et a
coefficients constants awe uri dernier tcrme fonction des variables inde-
pend antes, i/ite grer cctte equation de manierc que les
se redtiisenl a des functions cotviues de x, y, 5, ... pour t = o.
( ) Ce .Memoirc, presenlc a 1 Acadcmie royalc des Sciences le 16 septenibrc iS-2-. ., esl
le devcloppciuenl de celui quo M. Cauchy avail donne, sous le memo litre, le 8 oc-
tobrc i8-_>. i. Mais il on diflere quanl a la maiiiero d envisagcr la quesliou principale et
renferme en oatre des additions imnorlantes. Pltisicurs de ces additions etaient deja
indiquccs [>ar les Notes inserees, soit dans le Bulletin dc la Societe philomathique pour
1 annee 18^1, soit dans I Analyse des travaux dc i Academie des Sciences pendant la ineme
annce. D autros, savoir celles (jui font le snjet du quatrieine paragraphc de la premiere
Partie. out on |)our base un iheorcme dont 1 auteur avail signalc. il y a longlcmps, les
nombreuses applications, dans unc lecture faite a la nuMne Academic, et a 1 aide duquel il
etait parvenu- a cxprimcr par des intcgrales doubles les racines rcellcs d une equation
quelconque algcbrique on transccndonte.
11(] MEM 01 HE SUN L IN TEG HAT ION
La solution generale do code question ]>eut so deduire d uno formule
(|iii, employee d abord par M. Fourier dans le Momoiro sur la ehaleur,
a ele depuis appliqueo a d autrcs problemes el, en partieulior, par
M. Poisson el nioi a la tbeorio des ondes. DC plus, les resultats fournis
par la methodo generale sont, dans beaucoup de ea$; susceptil)les
d etre simplifies a 1 aide de quelques autres formules qu il importo tie
eounaitre. Nous reunirons ees diverses formules dans la premiere
Partic de uotre Aleinoire el, dans la seeoude, nous resoudrons la ques
tion proposeo.
PRKMIKRU PART IE.
>; I. La fornuile de M. Fouriei 1 , etendue a un nombre n de variables
,r, v, -.,... serl. a remplacer une i onelion quelconque de ees variables
par unc inlegrale imilliple dans laqucllc x,y, z, ... ne se (rouvenl plus
que sous les si^nes sin el cos. Kile pent s eerire coinme il suit :
X / ( /j., v, w, . . . ) da. d\j. r/3 ch dy dw . . . ,
les integrations relatives a a, {i, y, . . . iHanl effectuees eutre les limites
.cc, -+- cc el crlles qui se rapporteut a u, v, ts, ... entrc des limites
quclconqucs, nourvu que ees limites comprennenl les valours attri-
buecs h-a;, r, s, ---- Pour rendre plus iaciles les applications de eette
memo Commie, il eonvient de la modifier un pen en subslituant aux
cosinus des exponentielles imagiuaires el d ecrire simplemeut
\\ est essentiel d observer que les Ibuctions renl ermees sous les
signcsjyj ..., dans les inlegrales multiples qui Ibrmenl les seconds
membres des equations (i) oL(ii), passent du positit au negatif par la
seule variation des quantites a, p, y II ,- n resulte que ees integrates
DES EQUATIONS LINK A IKES, ETC. 277
multiples pourront devenir indeterminecs mais jamais infinios. Tou(os
les f ois qu elles deviendront effectivemenf indeterminees, il suffira,
pour fa ire resser I indeterinination, do rnull.iplier dans cliacune d olles
la fonclion sous les signes / / / ... par un faeteur auxiliaire do la forme
I, r - )
l|/(0, 0,0,...)
la lettre fy indiquanl une fonclion convenablemeni choisio ( ) o( k, /c ,
k" , . . . designant des quantites posilivcs infijiiinonl prliles (ju on dcvra
reduire a zero aprrs les integrations efreclnees. Kn supposanl, pour
plus de commodite,
on I eduira le facteni 1 auxiliaire a
Par suite, on pourra, dans un grand nombre de cas, prrndro pour
memo faeteur 1 une des expressions
( 5 )
Nous ajouterons que IVniploi du facleur auxiliaire suffit pour e.tablir
les formules (i) et (2) (-). C est ce quo nous allons prouvcr en nous
( ) Est-il possible, dans tons les cas, de choisir la fonction ^ de manierc a fairo ccsser
I indotennination? Si cettc question etait resolue negativcmcnt, il est clair qu on devrait
restreindre les applications des formules (i) et ( >-) anx seuls cas pour lesquels la condi
tion qu on vient d enonccr serai t satisfaite. Mais rien jusqu a present no nous porte a croire
que Ton so trouve jamais dans 1 impossibilite de la remplir.
( 2 ) Lorsqu on vent choisir le factcur dc telle maniere que, la forniule (i) etant ctablie,
on en deduise immcdiatement la formule (. on doit avoir soin de prendre pour
une fonction des variables a, [3, y, . . . qui ait la propricte, comme les expressions (5).
( ( >)> (7), de consorver la memo valeur, tatidis quo loutes ces variables ou quehpies-unes
d entre elles chanGrenl de sisnos.
-27S MEMO IRE SUH L IN TEG H AT I ON
arrelanl. pour simplificr les calculs, a la formnle (i) el nous bornanl
an eas on les variables >r, v, ^, ... so (rouvout rcmplacees par la senlc
variable x. Dans ce cas, la (brmiile (i) se reduil a
rinleitraiion relative a a elanl effectuee enlre les liuiites -- oc, -f- oc el
rintegration relalive a u entre (les limiles u. , u" qui compronnciif la
valeur allribuee a la variable ,r. Pour empecher <jiie le second membre
de la f oi iniile (8) ne devienne indefermine, on devra ecrire i^enera-
lenienl
k desii;-iianl une qnanlitr- positivi 1 infiniment petite ( t ^ une fonction
convenablemeni rlmisie. I! resle ;i i aire voir que la formule (9) snbsisle
(outcs ies (bis (jiic son second nicinbre coiiverge, ]>onr des valours de-
croissanles de / . vcrs uue liniite fixe. Or, en ell et, si Ton pose
on en conclura, en reniplacanl dans le second inembrc a par, ^ < t , u -
par a.- -j- / a,
(ii) \=l I ^cosa^/(^
, ./ ,>-- u/ -^ (O }
~li
puis, en faisant k o, on trouvera ( )
( ) 11 cst essenlic-1 de so rappolcT quo la valeur de .c e?t par hypothcsc superieure a ,u
el iiiferieure a >j.". ci oii il resultc qiic - j-^~ , - j-^- soul deux quantites positives. Pour
bicMi voir clans celte hypothcsc comment 1 cqnation (1-2) se dcduit ne la formule (ri), il
eoiivieiit d employer un artifice do calcul somhlablc a celui ilont nous avons I ait usapre
dans le Bulletin de In Societc philomat/iique de decembre 1818 et de parlagcr 1 intearale
DES EQUATIONS UNEAJKES, ETC.
la valour do A olanl fournfc par liquation
279
La valour precedent do A otanl independante do / (.r), il suffira pour
I oblomr d attribuer \\ f(x ) uno valour parficulioro. Si, pour fixer los
id cos, on supposo.
ol, do plus,
on lirora dos f ornmlos (10) ot (12), compares I uno \\ I auirc.
J_ ^ J ^ "^ oT" c {J } dy - f/{J ~
, ,. r r- u ,
(i ) ) -lie V-- cos a ( x u. ) fly. (/<j.
r r
- lie ~V- cosa/j. cos y..r dy. (/u..
(lornnic on a d aillours generalemcnl
( 5 )
definie (|iu_ rcnferme la formule (11) en trois anlres inlegrale.-. savoir
i
f C ^ ^(l) r,
I I T~~~~\ cos a ! Jl J ( f/; "+" " K ) "-I a,u,
A
1
+ -_
/" " C v /{ 6 ( a )
/ / Cos 2UL /( .r -f- /. IJL ) f/a </y..
./ . / i 0(0)
r 30 r
II
../ . ./
Lorsque dans cos trois dcrniercs oi> fait converger /. vers la liniilo xero, la douxieine sc
rccluit an produil A f (.>;), la premiere ct la Iroisieme s evanouissent.
Si la valour altribuee a .r ccssait d etre renfernice ontro les liinites ;/ ct \j." . alors, en
280 MEMOIRE SUU ^INTEGRATION
el, par suilo.
_,,--
(,G) / e-* 5 cos&atfa (~ ) e ; ",
J _ x \ " /
le dernier membrc do liquation (i/j.) so reduira simplement ii
i /- _.
7: 1 / e + cosa.r r/a =7. o -t^"
ol Ton coiiclura do cottc equation
(,- , A~ 2 77.
On scrait ari-ivo a la mome conclusion on prcnant
on hion encore
clc.. OtC.
Cola poso, la valour generalo do X doviondra
(18) X 37r/(07).
Kn subsliUianl cello valour do X dans I oquation (10) ol divisanl Ics
dou\ nioinbi os par 2-, on relrouvera precisement 1 equation (9) qu il
s aii issait d ofablir. On parviondrait avoc la memo facilite a demontrer
la iornmle
J/( o, 0,0, . . . )
x cos a ( a; ( u ) cos 3 ( y v ) cos y(z &)>..
X /( ( a, v, ccr, . . . ) c/a t/p. f/3 r/v c/y dm . . . ,
dans laquelle >( dosigne une quanlitc infiniment potile.
t aisant A- = o, on trouverail
X = -- f(x} I I <\t(a)cosx{j.(( J.(/[J-
i r * r
X- - f(x) I I 6(a) cosaa c/a
( K) J-*J-*
par suite on aurait, dans tons les cas,
X = o.
DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. ->S1
J]. Avant d appliquer les formiilcs precedentes, nous aliens en
faire connaitre quelques autres qui conduisont a dos resullals dignes
do remarqne.
Considerons d abord 1 inteffralc definie
(20)
la lettre / indiquant uno fbnction reelle on imaginaire. Jo dis t.\m\ la
valour do cotto integrate olant supposoo connuo, on on dednira sans
poino los valours dos integrates snivantes
(21)
(22)
f \a c/?- i cr b 1 -\ ^
dans lesquelles a ot b dosignonl dos constants posilivcs. l^tl ocfivo
mont, si Ton ofablif ontro los (rois variables a, jj,y les relations
on (rouvcra
(28)
et
f
J-
D ailleurs, los deux integrates quo ronferino lo second menibre do
[ equation (2 / J ) so ehangcant I lino dans I auLro lorsqu on y reinj)laee
6*
a par -T sont necessairement esales entre olios.
"q" ^
a* a
cs tic C. S. II, t. I.
36
282 MEM 01 RE SUR L INTEGRATION
On aura done encore
I / /(y )rfy-2a*f /(a -2aV+AW
* t- TC "
- - - h
a 2 I /( a a- 2 a & 2 H ; 1 da.
Celu post-, si tlans les premiers membres ties equations (23) et (2.5)
on substilue la leltre a aux deux letlres ft et y, ()n tirera de ces
equations
i 4 /A r*
( 27 ) / /( r/ a 2 2 a 8 b~ 4- I da - / J(y:-)c/y..
^ /-/" =
Ajoulons ijiie, les integralcs
!- r* 4 /A v r :c / > v ^ \ ^^
rr / / aa 2 -2a-6 2 -h )rf, 6 2 / /( a ! - aa 2 6 2 +
/ - x / - ,: N
etant equivalences 1 nne, a I autre, la formulc (27) entrainera la sui-
vante
(28) / /(a s -2a 2 6*-h- )- -"T ( f(**)da.
hi J ~ ~
Supposons maintenant
/(a 2 ) e~ a .
Comme on a
/- K j.
(29) / e~ a rf 7T 2 ,
t/ y.,
on eonelura des formules (26), (2-) et (28)
(30) /"
(3 1) / e l Vrfa =( ~ ) e-*-" 1 ^,
(02,
DES EQUATIONS LINE AIRES, ETC. 283
Si Ton i ait a = i dans los ( ([nations (3o) et (3i). puis quo Ton rein-
place dans la premiere b par ib ou par -zb \j ft dans la secondc
/; par - > on trouvora
->-
33)
(
r
Lr
" cos 2 A y. ch.
on, co qui revient an memo,
(34)
\ i a>-26
7T.) J_ C
1 \ T r x
I e" 3 - COS 2
^/ J_.
^
aa.
Cos drrnirrrs Aquations, dont la srcondc coincide avrc 1 equation (i.~j),
etaient clejii connnrs. i^llos fournissrnf Ir nioyrn dr snhslidirr it drs
exponentielles de la forme c. J , e b d autrrs exponenticlles dont Irs
rxposants sont proportionncls anx carrrs on aux racinrs carrrrs drs
rxposants drs prrmirrrs.
Si Ton designe par /? un noinbrr rntirr quelconque rt <|iir Ton diilr-
rrntie n fois do suite par rapport a b chacnnr des equations (3o) rt (3i),
on obtirndra los valours drs integrates
(35)
et
(36)
28* MEMOIRE SLIH [/INTEGRATION
Cos valours seront dormers par les fbrmules
X
X I
4y/o6 I - a
Si dans la dcrnicre on pose /z = i, on refrouvcra la ibrmule
Supposons encore
(38, f(x^)=e^^.
("online on a
/ -> x / , . C 1 71 \
, J 9) / cosa-aa / sin 2< 2 ay. ~ - ,
A, J_* \zj
< t, par suite,
,/ v /* r x , r x /ir\" a /
(:fO) / e- a v-- f /2 = / cosa-aa : v/ i / sin a 2 cly. - ( i :
^- ^-. - ; _ K \ 2 /
on conclura des ibrmules (26) et (27)
(40
(32).
e -h(a +6a) v -. dy , := ( JL ) (, + ,/__ ,) e
\2a/
/ Oc-*"* * / 17 .
Si Ton clesigne par n un nonibrc cnticr et que Ton difFerentie n fois
dc suite par rapport a b chacunc des equations (4 1) et (42), on obtiendra
DES EQUATIONS LINEAJRES, ETC.
los valours dos integrales
285
(43)
ot
(44)
/>-
/".*("*-
Cos valours soront donnoos par los ibrmules
(45)
/ TT y 14- y i d ll e "
(v/ :
<[
-n/=l -L
/ j
(46) j
III. A I aide des principes etablis dans los paragraphcs precedonts
286 MEM 01 RE SUR [/INTEGRATION
il sera facile de transformer I integrale multiple
,tX. tX /.*
( /,7 ) / / / ... /( a- + 3- 4- y 2 + . . . j cos a y. cos b 3 cos c y . . . c/a r/3 rfy . . .
en tine integrate double, quelquefois inemc en une integrate simple.
Pour y parvenir, j obsefve d abord quo, si dans Pequation (8) on sup
pose x positii , on pourra prendre pour li mites de [ integration relative
\\ a
p O, p. = oc;
ce ([ni donnera
-
2 "
I / / "
/ / C S 3< ( JC U- ) I \
r- ,/ ,
Si mainlenant on reiuplace a par O 2 el p. par ^ 2 , on trouvera
/( x} - I I cos 6 2 ( x - r- ) /( r- } ( ide~d-,
T. , / ,
puts, en ecrivanl a 2 H- [i 2 -h ", 2 -f- . . - an lieu de x,
(48) /( -+- (3 2 +y 2 +...)-^ / / cos0 s ( l +(3 s -Hy ! -H-.-T s )/(T s )0^T^T.
(.lela pose, I integrale (47 ) prendra la forme
iirrr-ff
(49)
x. cos ax cos/>3 coscy. . . /(-r 2 ) r/at/3 t/y. . .9c/9r r/r,
et, par suite, elle ne sera autre chose que la partie reelle F de [ expres
sion imaginaire F -f- G\/ i detcrminee par [ equation
( OO )
. /
_ _
( x cos r/ a cos b 3 cos cy . . . /( r 2 ) dy. r/3 dy . . .9 dOr d~.
DBS EQUATIONS LINEA1RES, ETC. -287
D ailleurs, en ayant egard a la premiere des formules (V|i), on trouve
( 5 1 ) e { * v /; " -1 cos a a da I c { 6 * + " < /- d<x=-
7_.
On aura dc meme
e^V" cos
/ >X> flv /I /
/ e j TV- coscy rfv -_
/ \
-
Done, si Ton designe par n le nombre des variables a, p, 7, .... on
tirera de i equation (5o)
- 7T
T.
Comine on a d autre part
71 - . T.
- cos 7 4- y i sin -
V 4 -i
on en conclura
et, par suite,
( 53) F + Gv/ :
En egalant entre elles les parlies reelles des deux mombres de eette
dernierc equation, puis ecrivant a la place de la lettre F I integrale
qu elle represente, on tronvera
/- /^ 6=T^ " +^+ +.. \ r
U
(54:
f/ / . . . /( a- -t- S 2 4- y 2 4- . . . ) cos a a. cos b Q cos c y . . . dot. f/S> dy . . .
. .
lir - & aH-c-.. ., . o
COS ~~
238 MEMO IRE SUM L INTEGRATION
II csl done demontre quo [ expression (47) pent etre generaloment
transformed on nno integrale double. J ajoute qu il est possible do la
reduire a unc integrale simple, lorsque // designe un nombre impair.
En effel, dans cette derniere hypothesc, n i etant neeossairement un
nombre pair, on deduira de la socondo des tommies (46) la valour de
I integrale
el en faisant, pour abreger,
( 55 ) a- H- b- -+- c- -+- . . . p 2 ,
on trouvera
Cela pose, 1 equalion (5-j) donnera
f F + G \ -^
(56)
P
XI
DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. 289
o t Ton aura en consequence, pour des valours impaires do n,
(5 7 )
*=.../<
jS coscy.
1
X COS
X
/I 1)71
. (n
S 1 1 J
4 . 8 . 1 2
Si, an lieu d introduire dans le calcul la quantite p determinee par
1 equation (55), on avait suppose
( 58 ) a- + //- -+- c- -r- . . . = .? ;
alors on aurait trouve
/* _(6, T , + 2!^t!^) v /Zl ( /0 , /" --(0-^^jvCTi ^5
/ p \ i J- . _ / /> \ +U-/
-]
V /2
et, par suite, on aurait conclu do la formule (5i>),
(69)
(60)
F~ ( I) 2 2"7T ="
II suffit de developper cette derniere valeur do F, et do remplacer dans
le developpement obtenu s par p 2 , pour revcnir a la formulc (07).
Si clans I equation (60) on substituc a la quantite F I integrale mul-
OEuvrcs dc C. - S. II, t. I.
290 MEMOIRE SUI1 L INTEGRATION
tiple quo cello quanlile represeiitc, ct a 1 expression
ds
[ expression equivalents
i ti * r-
2 ~dF?^--
on aura definitivement, pour des valours impaires de /z,
/ <x /" r*
/ / j -./( +- ^ -+- 7 -r-...)< RC( >cy.
]*--*-- / -.
i
I /; 1 . t ^
-(-I) * a - 1 - 2 ^ |
.v desiijnanl toujours la sonnno a- -f- //- -+- c 2 -+- A 1 aido do la ibrmule
precedente, revaluation de I integrale multiple
dy. r/3
dans le cas oil les variables a, [3,y, ... sonton nornbre impair, se reduit
ii la determination d une inlegrale simple de memo espece, e est-a-dire
de la forme
/ ./*( y "~ )
cos a
Si I on fail n= i, [ equation (61) deviendra identique. Si Ton pose
n = 3, elle donnera
/" / " /"
/ / / J (y- - r ,3 2 -i- Y 1 ) cosaa cos^jS coscy s
( 62
-
a/( 2 ) siii(a 2 H- & 2 -t- c 2 ) 2 a c/a.
DES EQUATIONS LJNEAIRES, ETC. 291
Les integrations indiquees clans 1 equation (62) (levant s effectucr entre
les limites -co, H-CC do chaque variable, on pent, sans allerer cette
equation, y substituer aux cosinus des oxponentielles imaginaires. On
trouvera ainsi
(63)
ae (
Si maintenant on remplace les variables a, (3, y considerees comine
representant des coordonnees rectangulaires par trois coordonnees
polaires /?, c/, r, en sorte qu on ait
(64) y. --/-cos/?, (3 / sin/jcos^, y rsin/.?sin<7,
la Ibrmule (63) deviendra
(65)
On en conchira, en posant b = o, c = o,
,-T: x, ao /
(66) 277 / / r -f(j A )e " *P^S\i\pdpdr= -
i/ i/o /
On aura par suite
27T
292 MEMOIRE SLR L INTEGRATION
d oii il resulto quo 1 equation (67) pourra etre presentee sous la
forme
Celte dernierc equation se simplifies lorsqu on fait, pour abreger,
( 68 ) I r V ( r- ) c" v^ 1 dr = F (a),
et se reduit a
I / / F( cos/; 4- /> sin/? cosr/ H- c sin/; siiu/) sin/> f//> f/r/
(69) 1 " "
= 2 ~ / F I ( 2 4- & 2 C 2
/
Kile se tronvc ainsi ramenee a la formule generate etablie par M. Pois-
son, a 1 aide de considerationB pnreinent geometriques, dans un Me-
moire lu a 1 lnstilut le 19 juillet 1819.
On pourrait encore deduire de la formule (63) plusieurs conse
quences dignes de remarque. Jc me contentcrai d en offrir line nouvelle.
Concevons que, dans la formule dont il s agit, on remplacc a, [3, y par
4 - -,- - a b c
A- a, B J p, C-y, eta, b, c par -p > r ; A, B, C designant trois nombres
quelconqucs. On trouvera
i L i r x i ix / f * x
i A 2 B 2 C- / / / /(Aa 2 -t-B3 2 -4-Cy 2 )e( a ^
\ J J_J_,
i
(70)
Kn operant sur cctte derniere equation comme sur la formule (63)
DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. 293
clle-meme, puis ayant egard a I equalion (68), on obtiendra la
suivante
r" C v?\ a cos/? + b sin/; cos^ -+- c sin/? sine/
A /o L(Acos 2 /? -t- B sin 2 /? cos 2 7 + C sin 2 y> sin 2 y) T
X
<://> rfy
j)
(A cos 2 /; + B sin 2 /; cosV/ -f- C sin 2 /> sin 2 */) 2
Si Ton suppose en parliculier quo la fonction indiquee par la carae
teristique F se reduise a runite, on aura simplement la i ormule
C C~ sin/? dp dq /; TT
(A cos-p 4- B sin 2 /* cos 2 ^/ + C sin 2 /; sin 2 r/) 2 (ABC) 2
qu il est facile de verifier directerncnt.
Les formules (07) et (61) cessant d etre applicable*, lorsqu on proud
pour n un nonibrc impair, il ne paraif pas possible de reduire dans e,e
eas 1 cxpression (47) ^ unc integrale simple. Mais on pent alors la
changer par le moycn de 1 equation (54) en line integrale double qui
renl erme, a la place des quantites a, b, c, ..., la somme de leurs carres,
savoir,
a"- H- b z -+- c 2 -H ____
Quand on suppose n 2, 1 equation (54) dcvient
(73)
(3 2 ) cosaa
Si Ton fait en outre
294
on trouvcra
MEMOIRE SUR [/INTEGRATION
cos cox
-r-
sin f v H --- ? p. } f( p.v ) dp rfv.
Ajoutons que le second membre de 1 equation (74) est la somme des
deux expressions
sinv cos
a- -\-
CJT-,
L <
/ / c o s v s i n ,- p. /( j^.v ) c/jU. c/v ,
donl cliacune equivaut a la suivant
/- /- .(+&
/ / sin
cos
,
fix
II en resulle que 1 equation (74) pout etre presentee sous la forme
/ / f(y---\-fi*)cQsa<xcosbfid<zdfi
if (in) dp. civ.
(75)
2 / / sinv cos
o ,/o -*
IV. L integrale multiple que renferme le second membre do
[ equation (i) ( 1) est comprise, comme cas particulior, dans une
a ul re integralo quo nous aliens faire connaitre, et qui jouit dc pro-
[trietes remarquablcs. Supposons que, le nombre n des variables a, (3,
v, ... riant ton jours egal a celui des variables u., v, cr, ..., on designe par
M, N, P, ...
n fonctions differentes do ccs dernieres. Conccvons on outre que,
parmi les divers systemes do valeurs des variables p., v, n, . . . qui se
composent de valeurs do p. renfermees outre les limites u , [/.", do
valeurs do v renfermees entre les limites v , v", de valeurs de nj ren
fermees entre les limites GJ , ti", etc., on recherche tous ccux qui satis-
DES EQUATIONS LINEA1RES, ETC. -295
font aux equations simultanees
(76) M=0, N^O, P-o,
Soient respectivement
CJ - OF,,, . . .,
W d 1( . . . ,
les systernes dont il s agit, en nombre egal a m; et construisons 1 inte-
grale multiple
- x /> JJ-" /> /i V
(78) / / / / -..cosaMcosSNcosyP.../^, v,ro, ..^dy.
-- _JC t.- (J. L- _oo J V
en ayan t soin, toutcs les fois qu elle devient indeterminee, dt 1 multi
plier la fonction sous les signes // j ... par un facteur auxiliaire de
la forme
^
, o, o, ...)
dans lequel ^ designc une nouvellc fonction convcnablement clioisie,
ct k une quantite positive infiniment }>ctite. Je dis quo Pintegrale (78),
ou cclle qui prendra sa place, savpir,
,...
cosaM cosSN cosyP. . .
(79) -.p -v < )
X /( p., v, 75i, . . . ) dot. dp. dfi dv dy d& . . .,
aura une valeur en termes finis qu il sera facile de calculcr. Pour le
demontrer, supposons d abord que la limitc u." de la variable LJ. soil
tres peu differentc de la limite u. , que v"difTere aussi tres pen de v ,
CT" de CT , etc., et que, parmi les valours de jj., v, CT, . . . renfermees
ontre ces limites respectivcs, les seules qui puissent a la fois satis-
296 MEMO IRE SUR L INTEGRATION
t airo aux equations (76) soicnt Ics suivantes
(80) (J. IJ.Q, V V , W G7 , ....
a 3 v
Alors, si Ton remplace a, (3, y, ... par T T> T> t si Ton fait do plus
( 8 1 ) tj. = /J- -4- /,7/, v =: v + AT, m = CJ -4- A-a 1 ,
rintegrale (79) prondra la formo
x cos5(a + i c H- c ir -f-... s ) cosy(a" 4- />> V 4- cV 4-... e )..
, t , E", ... desii^nant des variables qui s evanouissent avcc la quan-
lite A-, el
, ^, " c, ..., a 1 , b , c, ..., a", b 1 , c !! ,
les valours quo rcooivont los fo notions
<m rJM c/M (A 6>N <?N dP dP OP
5 * * * J 3 ^ 5 ~T 5 * * * ? ~~: 5 ; ) ~T 1 * * *
Ofj. <) j OTZ (J fj. av OTZ op (h ars
quand on attribuo los valours particulieres [x n , v , GT O , ... aux variables
p., v, cj, Si Ton pose maintenant ^ = o, 1 integralc (82) deviondra
(83)
x cos (3 (a 4- Z> c 4- c w-+-. . . ) cos y ( a" 4- &" r 4-c" w 4- ...)..
X <:/a rf r/f3 c/c <r/y dw . .
Toutofois il ost essentiol d observer que oetto derniere expression
equivaut it 1 integrale (79), dans le cas sculement oil la quantito u
so trouvo renformeo outre Ics limites a , u,", la quantito v c ontro les
limites v , v", la quantite CT O entre Ics limites cr , CT X/ , etc. Si nne seule do
cos conditions n etait pas romplie, par exomple, si JJL,, otait situee hors
I)I<:S EQUATIONS LINEAIRES, ETC.
des limites y/, y.", les cloux quanlites
etant alors do memo sii^nc, so reduiraient I unc ci Tandy a -hoc, on
rune el I aulre a cc; ot par consequent, les deux limitcs de // vcnant
a se confondre pourdes valours inPiniment pctitos do /, Pintoo-rale (82)
a n rail une valour luillo.
II rcslc a oxpriiner en tonnes iinis la valour do rinlei;Talo
, 0,0
-i )
I x cos j3 ( a + /> c + c w -+- . . . ) cos / 1 ^ ^/. H- // c + c" a- -j- . . . j . . .
X f/a r/ r/3 <:A t/y f/d- . . . .
Otto valour [)onl o(ro Cacilornonl calonloo dans lo cas parlirnlier on
Ton suppose
a :::: I, 1) o, C =: O.
O, // :~ J, c ~ ( )
hji od et, si dans la formnlo (rr)) on romplaco la ionclion- /i .r;, y, -., ...
par I linite, les variables a, ft, y, ... par , T T> t los variables u.
A A A
v, ci par ^ 4- Xvy, j + A% , z -+- kw, . . ., on tirora (l<^ colic i or mnlo
. .* -,x ^x ^^^ ^ _^
1 / / / -r cos a a cos pc cosy <r. ..
(So.) < J_J_ X J__ X &(o, 0,0, . . .j
X r/a r/// c/3 r/c c/y d\r . . . ( 2 ::)".
On aura, par i^xornplo, dans lo oas do // == i,
cos y. 11 dy. du ir.\
_
dans lo oas do n = 2,
lc., etc.
OF.uvres dc C. S. II. t. I. 38
298 ME MOIRE SUR L INTEGRATION
Do plus, si dans 1 integrale (84) on fait successivement n i
/? 2, . . ., on obtiendra los suivantos
, Q<n f* r*<\>(y. } ,
/ / CQ say. u cly. nu.
. / _ or - X T ( )
(89) / / / / cosot(au-\-bv)cQS&(a u-+b v)d<xdudfidv.
J_ J_ J_ j_ -i (t)) o)
liltc., etc.
Poui- fixer la valour do 1 integrale (88), on posera
an u. on a =
(7
co qui reduira cetto integralo a la formo
i /- r- x 6(<x)
- / / COSrxu. ( /a du, =
a J t /_ I/ 1 o )
2 r.
a
los sillies superionrs on inferieurs dovant otro adoptes, solon (jiio la
(juanUto a sora positive ou negative. On aura par suite
7~ cos a
V/a 2 clesignant la valour numerique d( <7. Pour fixer la valour do I inlo-
gralo (89), on posora successivement
pus
u
au + bv = \j., ou u
, u 6c av a u.
a- --{-b v = v, ou i> = - -^-;
ab ab
et Ton roconnaitra airisi quo 1 integrale (89) est equivalente aux deux
expressions
, i r /u. v . , a ,
cosawcosS - - + b v ] dot dp aQ av,
, (3) . . ... ,
cosaucospvaaaaap av,
J)ES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. 299
dont la derniere sc reduit ii
le-signe superieur on inlerieur devant etre adopte, scion quo la diU c-
rencc ab a b ost positive ou negative. Done, si, pour eviler le double
signe, on snbstitue a la difference dont il s agil sa valour nume.riquc,
c est-a-dire la quantite positive
on aura defmitiveinont
_../
(90
On prouverait do la ineme maniere (file. Tintegralc ( x 8j) sc rcduit, pou
^ =: 3 , Jl
(9.T.Y
et generalcment, pour une valour quelconque do //, a
(arc)"
(92) W"
D etan I lo denominateur cornmun dos fractious propros \\ ropresonlor
los valours particulieres qu on obtiont pour //, c, cr, ... on i-csolvanl
los equations linoaires
an -+- /;c -+- 6 iv -+- . . . i ,
a u -+- // ( -h c w + . . . = I ,
(? ; u 4- ft* c 4- c" w -+- . . . I ,
II ost ossontiel d observer quo si Ton designo par I, lo denominateur
300 ME MO IRE SUI1 L I NT EG RATION
eommun des fractions qni representent los valours do //, e, w, ...
tiroes dos equations
()M OM. ()M
(94)
Y)N
ol par L u co <juo doviont \j quand on y poso
p. . fj. , V V , TO =r: C7
])"-= Ln.
Par suito. I oxpn^ssioM (9-^) doviondra
l Tou troiivera pour la valour on tonnes finis do [ expression (83)
(271:)
C.otlo valour ost egalement colic do Pintegrale (79) dans 1 hypothese
adiuiso, c ost-a-diro dans Ic cas oil, los deux limitos do chacuno dos
variables a, v, cj, . . . otant (res rapprocheos I lino do 1 autro, los
quantites
/ J -o v o> ^o>
sontlcs scules valeurs do ces variables qui remplissont la double condi
tion do roster comprises ontre les limitos doniiees, ( t do verifier los
equations (76). Dans I liypothese contrairo, cotte double condition pon-
vant otro reinplie par plusiours systerncs do valours dos variables u, v,
CT, ...; par exemple, par tons conx quo renferme le Tableau (77), on
DES EQUATIONS LINE A HIES, ETC. 301
divisera I intervalle (Mitre los deux limitos do chaque variable CD ele
ments tres potits et Lnferieurs aux differences entro los valours do eotto
variable qui so trouvent dans lo Tableau; puis, on partagora 1 into-
grale (79) en plusieurs antros do memo f ormo, on substituant aux
intervalles ontro los limites dos diverses integrales, c est-a-dire aux
quantites
/J-" p. , "
lours elements respectifs combines n a n do toutos los inanioros pos
sibles. Parmi los integrales partielles ainsi obtonnos, collo. (jui roni-
plira los conditions precedemment ononooos a 1 ogard dos valours
do a, v, CT, . . . clesignees par
sera equivalentc a [ expression (9"))- Cello t|iii remplira los monies
conditions a 1 egard d autros valours toujours comprises dans nni 1 dos
lignes horizontales du Tableau (77) sera represented par I une dos
expressions
L,, L.,, ..., L m _, dosignant co (jue devient la fonction L pour les valtMii s
dont il s agit. Enlin, los a litres integrales partielles so rednisant a /ero
on vortu d nno observation precedemmenl Caito, nous dovons conclure
que la somme totalc dos integrales partielles, on ( integrate (79). aura
pour valour, dans la nonvello hypo these,
(96) (27:)" [/l^L^l^d + /OiiL^l^ + ... ^ /^-..MV,,,-.,,M,, t -....,...n _
v/J^ V/LI y/L?-,
302 MEM 01 HE SUR L IN TEG RATION
Ainsi, Ton trouvcra generalement
I / / / / -f OSaM cos(3N cosy I*. . /(,", v, rn, . . .) dy. d^d^
- - *- LL I -!/ V 1
.ydrs.
/(f*i-li V,,,.,,^,,, |, .,
la fonction sous les signes II... dovaiit ctro, dans certains cas, inul
lipliec par lc factcur 4, comino il a ete dit plus haul.
Si dans I equation (97) on pose
( 98 ) /(p, V, GJ, . . . ) rr V/TJ F ( JUI, V, OJ, . . . ),
t ctle equation prendra la forme
v"
...cosaMcos(3Ncosy P... v/L* F(/JI, v, 57, ...)rfrf/jif/(3f/vrfy
,
= (27T)"[F(fX , V ,BT . ...)+ . + F(fJL IB _,, V,,^.,,^,,, . . .)],
les li mites des diverses integrations etant toujours les meines anssi
bien qne la fone.tion L. On aura en consequence, pour // = i,
MOO)
la valeur de L etant
, dM
(101) L
r/p.
*
M represehtant une lonction quelconque de la variable u, et
r 1 !)) J -i j [J-/II--1
designant les diverses racines reelles de I equation
(lO -O Mrzr o
comprises entre les deux limites a , a". On trouvera (Misuite
DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. 303
pour n = 2,
/i r. ,, \>" -. :c .1 V"
/ / / / COSaM COSfiN V/L 1 F ( u, v ) dy. r/a r/S </v
(io3) < J-J W J- m Jv
- 47T 2 [F(fV. (1 , Vj -+- F(p.,, V,) +. . .+ F(fX w _,, V, H _,)],
M, N designant dos fonctions des variables u ct v, la valcur dc L etant
determinee par la lor mule
(10/4) L -
\ dp ch (h dp-
ct los quantites
etant les soulcs valours dc a et do v, qui, sans cosscr d etre comprises
cntre les limites des integrations relatives a ees variables, verifloni los
deux equations sinmltanees
(io5) M D, N o.
Kn continuant do la memo inaniere, on deduirait suecessivoment do
1 equation (^99) les fbrmules parliculieres qui so rap[)ortent an eas on
Ton suppose // =: 3, n ~- f\, ....
II no sera pas inutile d observer quo les equations (99), (100),
(io3), etc. subsistent, non seulement lorsque les fonctions
sont reelles, ipais aussi lorsque cos fonctions devionnent imaginaires.
Concevons maintenant quo, f(oc} designant uno fonction reelle do
la variable x, les quantites M et N do la formule (m j) soient des
fonctions reelles do a et do v, determinees par Fecjiiati
( 1 06 ) /( JJL + v v/ 7) M + N v /::: ~i ,
on, ce qui reviont au memo, par la suivanto
( 1 07 ) /(,u vv x 1) = M N v^T.
30/i ME MO IKK SUR L INTEGRATION
Com mo on aura dans colic hypothese
_--__ ._
on en cone I ura
d\l <?N e>N ^M
(108) --,
C/v OfJ. Oil 0[J-
t, par suite,
JN
Imaginons de plus qu a la function quclconque F(p., v) on substitue
la fonelion imaginaire F(p. -f-v\/ i), ct designonspar
les di verses racines do 1 equation
(no) /(a?)=o,
dans lesquolles les parties reelles demeuront comprises entre les
limites [/. , u/ , el les coefficients de y * entre les limiles v , v". La
i o r m u 1 e ( i o 3 ) d o n n e r a e v i d e m m e n t
I I I I cosaMcos(3N
^ x f p. <-^ oo ^v
Si Ton veut quo la suite
DBS EQUATIONS LINEUKES, ETC. 305
comprennc toutcs les racincs recllcs on imaginaires do 1 equa-
tion (no), il suffira do supposcr dans la Ibrmulo (in)
Alors on tircra do ccttc formule
( I I 2
Si, an conlrairc, on attribuo a a , p.", v , v" des valeurs finies ehoisies
dc tclle manicre quo, pour uno sonlo raeine ,r , la partio reello de-
meurc comprise ontro les limilos u. , u", ot le coefficient do y i
onlro les limitos v , v", la ibnmile (in) donnora
cosMcos3N
3)
ot, en faisant
on en conclura
r ~ r r r * /-.v
I ^T O - / / / / cosaMcosSN
X/ (f* -f- v\/ 0/AF V V 7 X i v - + vy/ i) <:
( ) II suffira memo de supposcr
p designaat nn nombre dont le carrc surpasse non seulement les carrcs de loutes les
racines rcelles, mais encore les prod nils reels et positifs qu on obtient en mullipliant
deux a deux les racines imaginaires. On evilcra ainsi 1 indeterminalion quo presente. dans
certains cas, le second niembre de la formule (ti2). An rcste, on pourrait remedier
directement a 1 indelcrmination dont il s agit, ?n faisant usage, coinme dans le Para-
graphc 1 C1 , d un facteur auxiliairc qui renfcrmerait. avec une constante infiniment petite /,,
les variables a ct 8, ou bien les variables \i el v.
OEiift-cs fie C. S. II, t. I. ^9
30G MEMOIRE SUR L lNTEGRATION
Cede dernioro ibrmulc pout scrvir a determiner Tune queleonque
des racines reelles ou imaginaires d une equation algebriquc, ou
memo transcendante ( ). Si Ton se propose, en particulicr, de deter
miner nne raeine reellc, on pourra prendre pour v et v" deux quan-
tites, Tune positive, 1 autre negative, et tres pen differentes de zero.
Alors, la valour numerique dc la variable v do van t rester tres petite
entre les limites de 1 integration, on aura a tres pen pros entre cos
I i mites
et. par suite, la valour dc x sc trouvera rednite a
,
(l 5 ) *=^
w tx
On aura d aillours, entre les limites (3 = , -: -t-cc, v = v , v = v",
/* x /I ^ 35 V"
/ / cos <3v / ( p. ) rf{3 rfy = = C C cos 3v ,/5 ch
\ - J-
ch =
Done la raeine a? , supposee reelle, sera donnee sirnplement par
[ equation
La memo equation se dednit do Ja formulo (100), lorsqu on pose
m = i dans cette formule, ct quo Ton y remplaee u par .x , F(u.)
par u, ct M par /(fx). Nous no nous arreterons pas davantage aux
( )On irouvera, dans les additions placees a la suite du Memoire. d auires formules
plus simples qui conduisent au rneme but.
DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. 307
consequences remarquables quo presentcnt les di verses formules ci-
dessus etablies, ot nous allons passer a la seeonde Partic de notre
Memoire, dans laquelle nous appliquerons ccs mcmes fornmles a
1 integration des equations lineaires aux differences partieJles ct a
coefficients constants.
SECONDE PARTIE.
l er . Soit don nee une equation Jineaire aux differences partielles
et ii coefficients constants cntre la variable principale o et les va
riables independantes x, v, z, . . . , i dont nous designerons le noml)re
par /?. 4-1. Si, pour plus de simplicite, Ton conimence par adinettre
que cette equation ne renfenne pas de tenne independanl de G. idle
sera dc la forme
(0
Vo designant une fonction lineaire des quantites
()(,-
c est-a-dire, de la variable principale o et dc ses derivees des divers
ordres, prises par rapport aux variables independantes. Supposons
d ailleurs que, parmi les derivees relatives a / <jui entrenl dans la
()"* CD
composition de Vo, celle de 1 ordre le plus eleve soit - -^- On aura
identiquement
_ do d-w - d m o
( 2) ^v.V+v,^ 4-v, J+... + v w J,
308 MEM 01 HE SUR I/INTEGRATION
les caracteristiques V , V,, V 2 , ..., V w indiquant dcs operations rela
tives aux seulos variables x,y, s, . . . ; et Ton pourra integrer liqua
tion^) do manierc que les quantites
? 777
()t dt 1 Of
se reduisent, pour / = o, a des fonetions connues de x, r, z, . . . ; par
exemple, aux suivanles
On v parviendra, en etFet, par la methode que jc vais indiquer.
Lorsqu on vent uniquement satisfaire a cette condition, quo les
quantites
se reduisent aux fonetions
pour / = o, il sut tit (roz r la f ie partie, 1) de prcndre pour "^ une
expression de la forme
X / ( y-, v, rrr, . . . ) c/a dp. dfi d*
X /] ( p., v, ra, . . . ) dy. dp. dfi dv dy drs
X fm - 1 ( , u ) v > ^i ) d^ d\i dfi dv dy dm . . . ,
les Jimitcs dcs integrations etant les memes que dans la formule (i)
DES EQUATIONS UNEA1RES, ETC. 309
(I re partio), et d assujcttir les quantites
rp rp rp rji
J 0> * 1> l 2) i A in I
supposees fonctions do / ct dcs variables auxiliaires a, p, y, ..., a
verifier, pour ime valeur nullc de i, les equations de condition
(6)
l-l V
1 o
, - - o *
. I ~" ^
1 , O, I , O, . . . , _i,,,,_i O ,
Or, concevons qu en designant par u une nouvelle variable, on pose
( 7 ) S = To -i- T t -i- T 2 u- -i- . . . + IV -i - ;
il est clair quo les conditions (6) seront remplies, si la quantite S, consi-
deree comme fonction de u et de t, verifie, pour / = o, les equations
(8) S = i , ~ . u, *~ u-,
Soient d ailleurs
(9) A O, A,, A 2 , ...,
ce quo deviennent les expressions
(10) V o, VtO, V S 9, ..., V m -iO, V w ,9
quand on y rernplace o par i , -^ par a\J i , par p y i , -^ par
Y y/ i , . . . , et generalement
par
310 MEMOIKE SUM LMNTEGR AT10N
Pour quo la valour do o don nee par la formule (5) satisfasse a 1 equa
tion (i), il suffira quo les quantites
T T T T
1 0> 1 I 2> > * / 1 j
considerees commc fonctions do /, salisfasscnt a dos equations difte-
rontielles do la forme
on, cc qui rcvicnt au memo, quo la fonction S verifio, quel quo soil ti,
( equation d i fie r c n t i o 1 1 o
as ^s d-s
- A1 ^ H - A -^ + --- +A " d^^-
(let te derniere equation, rounio aux conditions (8) qui doivont etro
rempltes ]>our i = o, determine completement la valour do S. Pour
obtenir cotto momo valour, on obsorvora qu on salisfait a la-ibr-
mule (T i) on posant
S - e ,
ol prcnant pour uno dos rarincs do 1 equation algebriquo
A -H A, 9 -f- A, 6- + . . . + A /M O" 1 -- o.
Par suite, si Ton fail
ot si Ton appollo
^ l3 ) 9o, 9,, 0,, .... O w _ 1 ,
los m racinos do 1 equation
( J 4) F(0) = o,
los formules
S^ e f V, Sz=eV, S =
DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. 311
seront des integrales particulieres dc 1 equation differentiellc en S, et
son integralc generale, assujettie aux conditions (8), pourra etre pre
sentee sous Tune on 1 aul.rc dc ces deux formes
:*5)
(.0) 8=F(a)
(u -
Si 1 on developpe cette integralc generale snivant les puissances ascen-
dantes el entieres de //,, les coefficients des diverscs puissances seront
precisement les valenrs de
T r r T
-I 07 - 1 1 ) ) l //!-}
Cela pose, commc on aura
F( ) ::- A -f- A, -+- A, M*-t- . . . 4- A w , U ",
J ^0
on en conclura
J o --"- ~~ AO
T,= -A,
An
i"Q/ Q / ft / "~1
j 2 / V 2 I "f. TV/ 7 r" "7 TV/ 7 ~> i "7 ^77 7 I
^ + 6 ^ ^ 4. ... 4. f_^ll
A,
-A,
j 3 V ( r i
m-l - 1 \ J m-
312
of
M E M IRE S U R L I N T E fi R A TI N
Ji.t
eV ei
~~ " ~ - d* k v i h i + A -i F
puis, en f aisant pour plus do commodite
~
on trouvcra
6)" t " 1 R
lo
18) <)"<-< R
1, ~A n - +A,
OR
L
A
i-2
-
Si maintenant on pose
(iq) Q
on aura evidemment
v.o =(
... A 1 Ke a f*-l 1 H / :iT e?^- v ^erY(=- o)^. . .dtxd^dy .. .,
/ I \" / 1=0 / * /
cliffy. - .,
DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. :)13
el en consequence, la valeur de o deduitc des equations (5) et (18)
deviendra
(9.0)
g v
6^"< - J J
/ Wolp, v w
^y
+ V
d- //
y.-.Q/.c^v,^
. . . ) C//JL <Yy <Yra . . .
<Jt "~\! J
d "- 1 c r
/.
+ *i
-4-. .
/ /
-Q/l(f*> V, 5T,
. . . ) dp d"j dm . . .
^" - J.;
v,
Ot
. . . O f m ._ , ( ]u, y, 5T, . . . )
Q fm-\ ( P-, v, M, . . . ) dp. dv <r/5J . . .
Q //;,- i ( P-, V, 55, . . . ) rf/J- rfv f/CT ....
II est important d observer quo la quantite O donnee par la I ormule ( rf))
.est one Conclion dcs variables ,x, y,s t ...,t, qui satisi ait a I eqiiation
aux di (Terences partielles
(21) VQ o.
Quant a la valeur do o donnee par la forrnulo (20), elle n est le plus
sou\ent qu une integrale particuliere de 1 equation propose^ 1
( i ) V
Si Ton represente par U cette integrale particuliere, 1 integrale ii ene-
rale sera de la forme
(22)
? = U 4- V,
V designant une i onction x,y, -, ..., / assujettie a la double condition
de verifier [ equation
(23)
VV
et de s evanouir pour i = o, avec ses derivecs relatives a /, depuis la
OEuvres dt: C. S. II, t. I. ^O
3li MEMOIRE SUR L JNTEGRATION
derivee du premier ordre jusqu a cclle de l ordre//z i inclusivement.
Quelquefois il esl impossible dc remplir cos deux conditions autrcment
qn en supposant
(24) V = o.
Alors la I ornnilo (20) devient elle-meme 1 integrale generale do 1 equa-
(ion ( i). II seinble, an premier abord, qu il doit toujours on etre ainsi,
q u and los diflerents terrnes du developpement on serie do la fone-
tion V s evanouissent, co qni a lieu, par exemj)le, dans lo cas ou los
expressions
() " o _ d "V
m dt> " l ~^
so roduisent aux coefficients dilTerentiels
() m <? d" L V
OL" 1 (Jt tn
multiplies par une (jiiantite constante. Neanmoins, dans 1 otat actuel-
do 1 Analyso, il est perm is do concevoir a ce sujol des dontes logitimes
tbndes snr la roniarqno quo nous avons f aite dans un autro .Memoire,
savoir. quo les differents terrnes d un developpement penvont s eva-
nouir, sans quo la fbnction doveloppee s ovanonisse elle-mcnie.
/
II. AdmeUons maintenant que 1 equation aux differences partielles
dont on cherche 1 integrale renfermc un tonne indepondant do 9, ot
fonction des seules variables
Si Ton fait passer co torme dans le second membre, Fequation don nee
prendra 1ft forme
(25) ^9 = /(^7,*, -..,0,
et, pour ramener son integration a cclle do lVM|uation (i), il suffira,
comme Ton sait, de connaitre une valeur particulierc de 9, pour la-
DES EQUATIONS LINE A IR ES, ETC. 315
quollc Vo dovicnno egale a /(#, r, z /). Or, on nhtiendra evidom-
inont une serablable valour si Ton pose
les integrations dcvant etre efi ectuees eoniine flans la 1 ormule (i)
(I ie Partie), et la lettre A ropresentant ee quo dovionf ( expression Vo
( J O ( )^ :\,
(fuand on v remplace 9 par i , -.- par a \/ i , -;- l>ar B \/ if ... -r par
c/^ x cj) l dt
v i , . . . et generalement
J/-+Y+r+...+.v
|>ar
III. Parmi les equations lineaires qui s into^ront a I aidc des
methodes precedentes, on doit distinguer celles dans lescjiiollcs si-
change Fequation (i), lorsqu on proud pour Vo une expression de la
forme
la caracteristique V,, indiquant des operalions relatives aux senlcs
variables x, y, z, Alors la fonetion ^ obtient une valour Ires simple
qu il cst bon do connaitre. Supposons, en ofl ot, (ju il s agisse d in-
tegror 1 equation aux diflerences partielles
d" l o
V cc - - o,
" 1
(n, ee qui revient an memo, la suivante
Dans cette hypothese, en adoptant los notations du paragrajiJie I, on
316
trouvora
et, [jai suite,
(29)
MEMOIKE SCR L IN TEG RATION
F(0) = A, 0",
\\
0,,, 0,, . . . , 0, w .., designant Ics m racines do 1 equation
(3o) 0=A OI
dont lc second m ombre ropruscnte Ja fonction do a, ^, y, ... qui
so tiro do i oxprossion V,,o, quand on y roniplaco o par i, y- [>ar
ay i, . . ., ot generalement
Cola pose, la valour do otant toujours determinee par la forrmih
/ ] \ " / x ; * ; "" _ , fl _ \ / -
* " \~-2rJ J_ x J_ a J_ x
la valour do o devicndra
fjm-i r r r
O V -j^-- / / /...() / ( n -i CJ. . . . ) dlJ. CIV C/M . . .
J J J
O /, ( f/, v, or, . . . ) rf ( a <iv ^fo . . .
Vn-r
o / / / Q/wi-i (P, V, GT, . . .) rff/ rf>.
Observons d ailleurs quo, dans lo cas present, on tirora do requa
(21)
(32)
DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC.
317
et, par suite,
t
m
_ e a(x-u.) v /-i e $ty- v) v - i e Y(--rr)v - i... f / a C//3 c/y.
Kn consequence, si Ton fait
(33)
et
(34) P :
on aura
(35)
r^" 1 - 1 O
U _ _J - I^
V n 7" - 1 *
" 1 - 1
t la valour generale tic o jircndra la forme
36)
P / ( ,a, v, GT, . . . ) <3?,u ^/v dm .
^
,;
,(*)
/ | P /
3 (p., v, UJ, . .
/,l /re i ; ,, ^ ^.
rf^ -^ M / V / w _ t ( ,U, V, BJ, . . . ) r/u. rfv f/5J, ,
les integrations relatives a t etant effectuees a partir de / = o. On
s assurera facilement quo la fonclioh P comprise dans le seeontl
meinbre de L equation precedente a la propriete d( x verifier [ equation
aux differences partielles
(37)
318 MEMOIRE SUM L iNTEGR ATION
i; IV. Lcs formules elablies dans les paragraphcs precedents ra-
menent [ integration des equations lineairos (j), (25) et (28) a la re
solution dos equations algebriqnes (i/i) et (3o) dont les racines
O u , QI, 6,, .... #,_,
se trouvont comprises dans les valours generales des fbnetions \\ et T.
Mais cette resolution n est pas necessaire, et Ton pent y suppleer en
determinant ( ) immediatement les valeurs do R et, do T \\ I aide do la
formnle ( 1 1 1) (I re Partio).
V. Pour montror nne application dos principos etablis dans ce
Memoire, supposons qiril s agisso d intogrer 1 equation lineairo aux
differences partiellos quo Ton deduit do la formule symbolique
d- c)- c) "o
iorsqne, apres avoir devoloppe le premier membre do cette formule,
dans loquol a designe nne qnantite constante, on remplace
par
par
d o
par ,,
t/a; 2 dr
( ) (letlc determination prcscnte quelqucs difficultes dont 1 examen dolaillc nous en-
traincrait au dcla des bornes prescrites a ce Memoire. Nous avons snpprimc pour cette
raison les developpements qui se irouvaient ici dans lo manuscrit, et qui formaient la fin
du p aragraphe IV. D aiileurs ce qivil y a de inicux a faire pour oblenir la valeur de o,
s-ans etro oblige de resoudre aucune equation, c est d exprimer les valeurs deT , T,, . . .,
] ,_,, T, par des intcgrales definies simples a I aide des formules que renferment les
cidditions placees a la suite du paragraphe Yl.
DES EQUATIONS LINE AIRES, ETC. 319
ct ainsi de suite. Dans cette hypothese, 1 equation (i/\) prendra la
forme
(3o) - Ac =5"*,
la valour do A n etant
(89) A a( a 8 (3 s y- .. .)
!
Hin consequence
So, O,, 0,, .-., 0,_,
seront les racines de 1 equation binome
(4o) e m = ( ( a 2 + p-+ y* + ...)
Or, on verificra generalemcnt cotte derniere, en supposanl
9 = !(**+ *+?* + ...) ",
eLprenant pour X une des racines de 1 equation
(40 X ( -
Par suite, si Ton appelle
v o> v ij "S> ) "/n- t
les //z racines de 1 equation (40 ot Sl ^ on a t P our abreger,
on tirera des formulas (33) et (34)
(43) T =
(44)
x
v -T _ d<x d$ fly . . .
x cos a ( a? ( a ) cos (3 ( / v ) cos y ( - 57 ). . . da. dfi dy .
320 MEMO IRE SUR L IN TEG RATION
Soil maintenanl
(45) (x F-) 2 + y v+ * m
et designons a I ordinaire par/? le nmnbre des variables x, .7, s, . ..,
e est-a-dire, des variables independantes autres quo la variable /. La
valeur de P donnee par liquation (44) admettra evidemment des re
ductions semblables a cellos qui sont indiquees par les formules (54)
et (C.iHle la premiere Partie. Effectivcmenl, si Ton a ei^ard a la t or-
nmle ((h). on ti-ouvera, pour des valours impaifes de /i.
is, en reuiellanl poiir/\ a "v sa valcur deduilo de [ equation (4^)
/!_--_! 7i-l --.x ^ it Jt
p_ - n J / f!! lf!l^cosjrfa.
-i-l 71-1 / /; A
7;
De menu-, en ayanl egard a la i ormule (,)4) do, la premiere Partie
on trouvera. pour les valours paires de /?,
^ x ^. =c -jl a_/ 2J
^ x " K, -+- e 3 -" 1 > -4- . . . -+- e* m } -" -
P = -
-2" -TJ 1
La valeur de P etant dclcrminee par rune des equations (44). (4<>
bu (47), il uc rcstera plus qu a substituer cette valcur dans la f oi
,nlM/"-U^\ ii i> /^Vtfonip I i n looTd lr> n-pnoralo f 1 p. I emiaiion (38).
on (47), 1 1 uc rcstera plus qu a suDstituer
mule (36), pour obtenir Tintegralc generalc de 1 equation (38).
( ) Dans les equations (/,G) et (/,;), et dans celles qui s cn dcduiscnl, la notation a
est ccnsco rcpresenter la valeur rcelle et positive de 1 expression
DES EQUATIONS LINE A I RES, ETC. 321
Dans Ic cas particulier ou Ton suppose n o, 1 equation (38) so
reduit a
/ d- d- V 0" o
(48) a U- -j- <p =
Dans cette hypothese, la valour do P donnoo par la I ormulo (44)
devient
On pent fairo servir a la [-eduction do cotlo valour la I onnulo (7.")) do
la premiero Partio, et 1 on (rouvo aloi s
too) P-
2 7i~.
la valour do, s etant donneo par r6([uation
Dans lo cas particulier ou Ton a u 3, los (Mjuations (38)
deviennent
o-
02 )
el
,-O\ T l
(o3 P:
los valours do ,v 6 taut
( 54 ) A- ( x p. ) - -+- ( V v ) 2 + ( :. GJ ) -.
II ost csscntiol dc so rappeler quo dans los ibrmules (49), ( .x>) ot (53)
A , /. t , . . . , /,_ i
Of.uvres tie C. S. II, t. I. 4
322 MEMOIRS SUK L IN TEC. HAT I ON
designent Ics menu s de 1 equation binome
Plusieurs questions (Ir Physique et dc Mecanique, et enlre autres
Ics proldemcs du son, dc la clialeur, des ondes, des cordes vibranlcs,
dcs plaques elasliques , etc.. conduisent a dcs equations aux differences
particlles qui sc trouvcnl comprises, . comme cas particulicrs, dans Ics
I onmilcs ( 18) (1 (12). ("cs equations ponrront clone cti-c integrees a
I aidc ties fbrmules (5o) et ( )3)reuniesa [ equation (36). C estceque
nous allons faire voir j)ar quelques cxemples dans Icsqncls nous nous
I fouvcrons nal urcllciiicn t raincncs ;t dcs resultats dciii connns.
T.a loi, snivanl laquelle la chaleur se flistribuc dans nn corps solide
ct homogene, depend dc [ equation
dans laquelle a designe line (juantitc positive. Pour deduire celte e(fua
lioirde la t oniinle ( ">:>. ), il stij iil de jxtscr
Alors I equation ( 1i ) dcvient
par suite, on tire dc la 1 onmile ( \V3 )
p / _ a ;,,, .. T I
277- (J
puis, en ayant egard a Tequation ( iG ) de la premiere Partic
- ) c * "-
P= _L _J
" 2 7T S (/V "
DES EQUATIONS LINE A IRES, ETC. 3-
on, co qui rovioiU au memo,
3 (|l. ,i- )i -K y y ) + ( PT _ - )
(56) P- ~t*e~ ~^~
Kn adoplant cello valour do P, on trouvorapour rinfeiralo general
do { equation ( 55 )
Los petites vibrations dos plaquos sonoros, honiogonos rl iri
epaisseur constante, sc rapportont a I ^quation
JJ
f (Jjo- Oy 1 - dv*
dans laquelle /; (losignc unc conslanto positive, cl ^ mic onlonmV dr
surface ronrhc. Pour deduiro cello equation do la i ormulo (7,8). il
suffil do prendro
L~~ 2, in ~ 2 cl, a ~ - b-.
Alors [ equation ( f\i] dovionl
r 2 = is,
ot I on on lire
\= + b\J-i, I,- -6v/-i.
Ola pose, la i ormulo (5o) donnora
on. co (jui rovionl an memo,
P=
324- MEM 01 RE SUR [/INTEGRATION
D aillonrs, 7^ elanl uno quantito. positive comprise ontre los limitos
3 = 0, ! = , on conclul de la tbrmulo (8) d re Parlie), on y rem-
placanl u. par p el ,r par
Quant ii I integralo
il ost clair qu ollo sera nullo. Kn consequence, la valour do P deviondra
p_ _L_ s in-
on, si Ton ocril (IL *)--+- (v j) a an lien do .v,
, ( .j,_ . r )2 + Cv Y)-
Kn adoplant eelte dornioro valour do P, on lirora do la formnlo (3G)
I inteL -rale ^eiu rale do I oqualion (58_), ot Ton tronvera
(Go) 9 = f /"Vf u (p, J) dp dv+fdtffVfi (fx, v) </p rfv,
les fonctions/,(^, y),f,(x,Y) designantles valours particulieresde 9
ot g pour * - o.
Le mouvcinont dos Ikiides elastiquos esl delerniine par nne oqua-
ti-on lineairo do la forme
l> designant unc constanto reelle- (jne Ton |)oul considerer coninx 1
DES EQUATION S LINEAIRES, ETC. 325
positive. On dcduit cette equation do la f ormulc (.32) on supposant
/ i , m = 2, a h-.
On aura done encore dans le cas present
Cola pose, laformulo (53) donnera
T d i x l-
P 1= - / cosy.l> t coss 2 y. dy.,
27T- dsj_ x
on, si Ton fait pour abreger s~ = / , et par consequent .v = r- ,
P - 7 2 / cosy.btc.osry. da.
Pour determiner la valeur de I integrale (jue renfernje rotjuation
precedente, il faut recourir a rarlifiee de ealcul indique dans la pre
miere Partie de ee Memoire ( l er ), et multiplier la fonetion sous le
siinio / par un lac tour auxiliaire do la forme -^ ^-,k dosimianl une
J y(o)
quantite positive infiniment petite, et^ une fonetion convenablemenl
ehoisio. On pout preudre pour ee facteur auxiliaire Fuue des expres
sions
Concevons, pour fixer les idees, quo Ton s arrete ii la premiere. L inte
gralo comprise dans la valeur do P deviendra
/ _ / *
I ( , -/ /a- ( -()sa6^ cos/ a da -~ 2 / e /ia cosxbt eosra da.
t 30 t ()
= / e-* a [cosa(r 6i)-i-cosa(r-
326
MEM 01 HE SUll (. INTEGRATION
IVailleurs, la variable / .r, etant lice aux variables u, v, rz par
[ equation
i
(6s) r ~- [(ij. ,r)--f- (v _y)2-f- ( ro x;)-] 2 ,
n admettra (jiie des valenrs positives com[>rises entre les limites o, x;
el comme, des deux binomes r /;/, r-r-bl, celni dont le second lerme
esl negatif sera le seul (jui s evanouisse entre ces limites, il esl clair
<|ue. si Ton atti ibne ii / des valenrs positives dillerenfes de zero, la
/, /,
. f ^i 7-^ - restera inlini-
K- -+-(/ otr A- -H i / -t- <^< i-
eromle des deux fractions -
-
ineiil petite, landis (jnc la premiere eesscra de I efre pour des valenrs
de / tres voisincs de bt . On ponrra don<^ ne^liger dans le ealenl la
i raction - -, et snbslituer a I inle^i ale comprise dans la
/, - -+-(/ -!- lit }- -I
- On tronvcra ainsi
on. ee ipn revient an merne,
(63
di
Ku adoptant eette derniere valcur de P, on firera de la fonuulc
( ft 4.i -^/77 lVo^. v v)clp.chdw+ felt /P/^^VjBiJrffirf
les functions / (.r,v, -),/,(,c, /, 5; desi^nant les valenrs partienlieres
d 9 et de -^ pour / = o. En remettant pour P sa valour, on aura defi
nitive me nt
(65
f) CCC L /i
1 oi J J j W^- FTTT^T^ / ( / J " v
DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. 327
los limitcs des variables u, v, GT etant cboisies do maniere a comprcndre
les valours attributes a x, y, z, et k designant toujours une quantite
positive infiniment petite qu on devra reduirc a zero apres les integra
tions elTectueos. Si Ton vout quo les valours particulieres do o ot do -%-,
correspondant a t = o, coincident avec les Fonctions / (>, v, =),
J\(x,y, z\ quellos quo soicnt les quantites cc, y, 3, il faudra, dans
1 equation (65), prendre pour limitcs do chacune des variables u., v. GT,
les deux quantites cc, -f- cc.
Supposons maintonant quo Ton eonsidere les trois variables u,, v, cj
commc representan teles coordonnees rectangulaires, et qu apres avoir
transport^ 1 origine au point pour lequel on a u, = x, v -= v, CT = s,
on substitue aux coordonnees rectangulaires p, v, GJ. des coordonnees
polaircs/;, 7, /, relatives a la nouvolle origino, et delerininocs par les
lor mules
(66) p = x + / cos/>, vrz/ + /-sin/>cos7, GT = z + / sin/;;
La valour do r sera precisement cello quo fournit 1 equation (T>2); e(
coninie, a la ])laco du produit </u,dv ct&, on devra ecriro le suivant
r* sinpdpdgdr, la 1 ormule (65) donnera
k
\rC-bJ J J k*+-(r-bt)*
X /i (* -+- /% cos/;, / H- / si n/j cos g, z -+- r si n /j si n r/) / si n/j ^ dq dr
/.
+
4 7T 2 b dt J J J k* -+- ( r bt )-
x /o (a?H- r GOS/J, 7 + / sin/; cos 7, s+r sin/) sin 7) / sin/j> ^ t/ry dr.
De plus, si dans le second membre do la ibrmule (6.5) cliaque integra
tion esteffectuee entrc les Jimites -co, -+- cc, les integrales multiples
quo ronferme 1 equation (67) devront etre prises outre les limites
p = o, p = r. ; q = o, q -zr. ; r o, r = co. D autro part, la f rac-
t on A- -!_(/_ ^ n n <iyant do valour sensible (jue dans le cas oil Ton
attribue a / uno valour tres pen different^ do bt, et 1 expression
J\(x -\- r cos/7, j -+- r sin/? cos /, z -+- / siii/; sin^) / sin/j
328 M KM 01 RE SUK L INTEGRATION
devenanl alors sensiblement egalc a
/! ( ,c -+- be cos/;, r + <^ sin/; cosr/, z -+- /W sin/ siny)/^ sin/;,
on pourra evidenmient remplacer 1 integrale
/ fi(x -f- / cos/ , / -+- / sin/; cosv, - + A 1 S NI/J sin</)/- sin/^ <
/ A ~}~ (^ / utj
par lc produit
/ >=c kdr
/, (a; + ^^ cos/>, ;, 4- /^ sin/^ cosr/, 5 + 6sin/? sinr/)^^ snip j /T-_ ( r ...
=i r/j/ sin/?/!^ -r btcusp, y -h t/sin/>cosy, c +- ^// siii/> siiv/ j.
Par la me me raison, it 1 integrale
/ _ f : x _i_ / cos/>, v -+- / sin/ COSY, c -+- / sin/ sin 7) / siny
/ /.- ( / Ut )-
on pourra substitucr le produit
-it sin/^/ () (u,- + />/ cos/J, Y -+- bt sin/ cos 7, - -+- /^ sin/ siiu/ ).
Ola pose, la valeur de 9 determinee par [ equation (67) devicmlra
Cette derniere i ormule coincide avec celle que M. Poisson a donnee
clans an 3Jemoire hi a I Academie le 19 juillet 1819.
VI (<). Si, a la place de 1 equation (38), on considerail la sLiivante
(69)
(Jt
( 1 1 Ce qui suil a ele ajoute au Me mo ire depuis sa presealation a I Academie.
DES EQUATIONS LINE AIRES, ETC
alors on tirerail, des formulos (33), (34) ct (36)
, r x r /v _L_ e o,i , _i_A,,_,
(70) P= / e <*-fW-i
27T ./_x "
et
(70 9 =p/oo*i ^ + ^
, 0,, ..., 0, H _, designant Ics racincs do [ equation
(72) = a(v/-i) .
J3ans In cas parliculier oil Ton suppose I = m = 2, a= - i, lYqu
lion ((H)) doviont
ct Ton trouvc
D _ i / e a: + e-
I -
(75)
cos a ( .z; p. ) / ( /JL ) dy. dp.
La valour precedentc do o est indeterminee. Mais I indetermination
cesscra pour rordinaire, si, dans eha(]iie infogralo relative a la va
riable a, on multiplie la ionclion sous le signe / par e~ h *\ X* designant
mi nombre infiniment petit. Alors, en effectuant les integrations rela
tives a eelte variable, ( ; t posant [j. = x -\- 2/e 2 u, on obtiendra la formule
r
/i\^ - r f"f (
i o ; ( - j c" I e~" ! cos ( 7 ) fo\- x -+- 2/> 2 ") du
- r
4- f-V fe^flt r"e-" i cos/ ^\/iU+2^)^,
V 71 / J i/_. \ y/2 /
OEui i-cs ii<; C. S. II. t. I.
330 MEM 01 RE SOU L INTEGRATION
dans laquolle !e nombro h no dovra etro annule qu apres I integration
relative h u. On pourrait an roste (ainsi quo jo 1 ai fait voir dans lo
Ihdkiin dc la Societe philomathique dc 1821) introduire Ics imaginaires
dans !o second rnombre do I oquation (/5), do maniere a obtenir la
formulc
Mais, (jiioKjuo cot(o derniere valour do o, substitute dans 1 oqna-
fion (~3), paraisse la verifier dans tons los cas, neanmoins on no
saurait !a c.msiderer coinnie goneralo, tant quo Ton n aura pas donno
dc [ expression imaginairo f(.x-h t\j i) uno definition indepondanto
do la i nrme do la ionetion f(x) supposoo reollo. A la verite, ootto
oxjirossion imaginaire so tronvorait suffisamment definie. si Ton ron-
vcnaif do ropres<Mi(.or par la notation f(x-*t-t\j\} uno Ionetion o
do ,r ft do /, qui. etant eontinue par rapport a ees deux variables, f ut
prupre it roinplir la double condition do so i f ediiir* a f(oc} pour / o,
ft do verifier [ equation
Mais i! est facile do voir (jue. dans ce cas, la i onclion ^ sorait eello qui
vorifie [ equation (73) [tour toutes les valours possibles do /, et les
equations do condition o -=/(o?), ^ _- o, pour la valour parliculiere
t Q. Ainsi, la rechercbo do la function f(x-\-t\/i} so trouverait
raineneo a [ integration do la formule (78) et Ton ne pourrait plus
donner pour integrale de cetlo formule [ equation (77), sans tombor
dans un corcle vicicux.
Lorsqu on suppose in -=2, I = i et a ---. b 2 , [ equation (69) dovient
DES EQUATIONS LINEA1RES, ETC.
331
et I on trouvc
Dans cc cas, la valour do o sc presonte encore sous line for inc. indeter-
minec. Mais on fcra ordinairement cesser Findetermination, en multi-
pliant, dans chaqne integrale relative a la variable a, la function sous
le signe / par e /a \ k designant un noinbro inflnimcnt petit. De plus,
on pourra fairc subir a la fonction P une transformation qu il est bon
de connaitre, et que je vais etablir en pen de mots.
Si, en designant par k une constanie positive, et par a, p deux quan-
tites variables, on pose
j,
/ i (a / i t"
puis, que Ton integre deux fois diaque membre de ! (M|uation identique
savoir, une fois par rapport a la variable a, entre les iimites o et a, et
line fois par rapport a la variable (3 entre les Iimites - - cc, -+- co, on
obtiendra une nouvelle equation dont le second me nib re sera nul,
attendu que <? A! -^ s evanonit pour p=: :oo, et de laquelle il resullera
que I integrale
rV ^rfp
j. ^
conserve la meme valeur, quel <]iie soit c<. D ailleui s, celte integrale se
332 MEMO IKE S U l\ L INTEGRATION
rodnif, poni 1 a = <>> a la suivanto
(82) - / eMV-
et il esf faeile de pronver (jue eelle-ci a ponr valeur ~~ ( ). On aura
done
, (\/=7)*
i _^
Si dans la i onmile (83) on romplace (a\/ i)" par (a\/ i)", on
en ohliondra nnc sccondo qui, ajonftM 1 ii la premiere, donnera
(84)
Si maintcnaut <MI rcmplacc a par a//-/.-, on rcconnaitra (jne la valeur
de 1 , t onrnie jiai I etjualion (Ho), pent of re prt-senlee sons la forme
r /."-/-^
/ / a . H
CC e A+tS=i e I
(A + Sv-,)*
Lorsqu on sultstitue eelte valeur de P dans [ equation (Hf), apres avoir
( ) La valeur de 1 integralc (<>->) sc deduit facilcmenl de 1 equation (86). En etl ct, si
dans cette equation on prend rinleurale relative a u. cntre les limitcs ;j. = o, JJL = x, et
que Ton pose/ ((j.)= u."--^ c- ^-, on trouvcra
C
= / ULa-
J
mis. en faisant d abord ./ = i , et ensuite a = - >
/ (?3CV-1 f / a
J (/ l + av /H7) r
/- ^v-T,,/ a .^-^
DES EQUATIONS LINE A I RES, ETC. 333
mnltiplie la fonction renfermee sous les signes / / / par e~ k * (/fcdesi-
gnant toujours une quantite positive infiniment petite), on obtienl
I integrale de I equation (79). Si Ton voulait, dans cette integrale,
introdniro les imaginaires sous les fonclions/,, et/,, il suffirait d avoir
egard a I equation (8) (I e partie) quo Ton prescnterait sous la forme
(86) /(,:)= / r e(*-l*>
2ir t _,e.V
et de laquelle on conclurait par analogic
(87) /U + T
On aurait par suite
gh+pj-l dQ
(88
T I
Cette derniere formule est precisement cello quo Ton deduirail du
developpemenl de I integrale en seric, ct (jiie ^1. Poisson a eilee dans
le Bulletin de la Societe philomathigue de septembrc 182 2. Mais elle fait
naitre les memcs clifficultes quo 1 eqnation (77), et Ton pent en dire
autant de toutes les tommies dans lesquelles des expressions imagi
naires so trouvent renlermees sous des fonctions arbitraires.
OBSERVATIONS GENERALES ET ADDITIONS.
Dans le Mcmoire qu on vicnt dc lire, nous considerons chaquo inte
grale definie, prise entre deux limites donnees, coinnie n etant autre
chose quo la so mine des valours infiniment petites de 1 oxprossion
different! elle placee sous le signe /, qui correspondent aux diverses
334 MEM01KE SUR [/INTEGRATION
valeurs de la variable renfermees cntre les liinites dont il s agit. Lors-
qu on adoptc cette manic-re d envisager les integrates definies, on
demontre aisement qu nne somblablc integrate a une valour unique
et finie, ton to s los fois quo, los doux limites do la variable etant des
quantites finies, la fonction sous lo signe / domeure elle-meme finie
et continue dans tout Pintervalle compris entre ces liinites. Supposons
quo, ces derniercs conditions etant complies pour 1 integrale I f(x\dx
*J
prise cntre les limites x ----- x , x x \ on represente par a 1 ,,, x tt . . . ,
x m ._i des valeurs do x intermediaires cntre les valeurs extremes x , x" ,
et. par
doux fonctions do k, x , x." , qui convergent respectivement vcrs les
deux limites x , x" , tandis quo Ton fait converger k vcrs la limito
zero. Si Ton designe, avec M. Fourier, 1 integrale proposee par la
notation I f(x}dx, on etablira facilemont los deux equations
.1-
lim
r ri . /" "
" -TO -I m-,
II su(fit d etendre, par analogic, ces deux equations an cas memo on
los conditions ci-dessus cnoneees ne sont pins satisfaitcs, pour et.re on
etat do fixer, dans toutos les suppositions possibles, le sens quo Ton
doit attacher a la notation / f(x)dx, ou, en d autros tormes, la
valour de 1 integrale delinie qu elle expriine. | Voir, pour pins de detail,
le resume des lecons quo j ai donnees a 1 licole royal e polytechnique, sur
le (^alcul infinitesimal ( ).] II fant seulement observer que cette valour
sera, dans beaucoup de cas. infinie ou indeterminee. Or, il importe,
non seulement de reconnaitrc los cas de cetto cspece, inais encore do
fixer le nornbro et la nature des quantites arbitraircs que comportc une
( ) OEuvres etc Cauchj, S. II. T. IV.
DES EQUATIONS LINE A IKES, ETC. 335
integrate definie indeterminee. On parvient a cc double rcsultat par la
consideration des integrales definics singulieres, donl, j ai fait usage
pour la premiere ibis dans un Mcmoire ( ) presente a 1 Fnstitut le
22 aout 181/1, ct dont j ai developpe la theoric dans line Note quo ren-
ferrne le Bulletin, dc la Sociele. philomathique de novembre 1822 (-). An
reste, 1 indetermination qui afYectc une integrale definic simple on mul
tiple cesse, pour 1 ordinaire, lorsquc cette integrale est censee repre-
senter la limite vers laquelle converge une a litre integralc definie, on
la sommc dc plusieurs integrales de cette espece, tandis que certaines
constantes renfermees sous les signes d integration s evanouissent.
Ainsi, par excmple, quoique, pour des valeurs entieres de m supe-
rieures a 1 unite, el pour des valeurs positives de b, les ([mitre integrales
/
I
/ " 7 > X
I - n ~ -, / a-" 1 - 1 cosbxd.v,
x - - 1
o - o
/ x /= e /,y. ^ ,,-1,-j.
jc" ~ l zinbcc dx, I I cosau dy.du.
/ / 2
o o
soient effectivement indeterminees, neanmoins si, /; designant un
nombre infmiment petit, elles entrent dans un calcul comme limites
( , M Co Mcmoire, qui sera publid dans le Cahicr prochain, a etc approuve pyr I lnsliUit,
sur un rapport dc M. Lcgcndro, dale du 7 novembre 1814, el donl les conclusions sc
trouvcnl imprimccs dans 1 Analyse >les travaux de I lnsliUil |)endant la me me annee. De
|)his, M. Poisson a donne un cxlrail de ce AJemoire dans le Jhillctin dc In Sod etc />//i!o-
matliique de decembre 1814.
(- ) J nppello integralc definie singulicrc une integrate prise rolativcinenl a une on a
plusieurs variables entrc des limites infmiment rapj)rochces de cortaines valeurs atlri-
buecs a ces meines variables, savoir, de valeurs infiniment grandes, on de valours pour
lesquelles la fonction sous le signc / devienl. infinie on indelerminec. (les sortes d inte-
grales no sonl pas necessairernent nulles el pcuvent obtenir des valeurs finies on memo
infmies (ju il csl ordinairement facile dc calcuier. Ainsi, par excmple. /. dcsignanl un
nombre infiniment petit, ct ;x, v deux constantes positives, on fixcra sans peine ics valeurs
des dcnx integrales definics sinL r ulieres
/"
336 MEMO IKE S LI H [/INTEGRATION
des suivantes
dx
/ * " 1 x_ ^ / x ,n-\ e
J *-*-(*-!) J
cosatiaaaa,
ellos rep rend runt des valours fixes, et so reduiront a
i 2.3.. . .(m i ) m T. 1.2.3 ..... ( m r ) . m r.
II est remarqual.de quo, dans la deruie.ro do cos (juatro integrales, on
doit attendre, pour annuler le nombro k, quo la soconde integration
soit effectuce. La memo remarque s etend a unc grando parlie des for-
inules quo nous avons donne.es dans le present Memoire.
Concevons encore quo, dans Fintogralo dofmio / f(x)dx, la ibnc-
tion sous le signe j , savoir, /(*) doviounc infinie pour des valours
do x comprises outre los limites x , ,r", et representees par x , x { ,
..-.,, ..., #,_,. Colto integrab 1 sera lo plus ordinairement indeterminee.
Mais, si olio outre dans lo calcul conimo limito do la somme
.^,,-A- /*!-* />>"
I f(x ) dx + I f( x ) dx -+- . . . -+- \ j ( :c ) dx,
olio reprendra on general une valour fixe a laquello nous avons donne
le nom do raleur principale. (Voir lo resume des leoons donnoos a
1 Ecolo royale polytechnique.)
Los considerations precedentes conduisent a phisieurs forinulos (juo
Ton pout employer avoc avantage, soit dans revaluation des integrales
definies, soit dans la resolution des equations algebriques on memo
transcendantes, ot quo nous allons faire connaitro.
Soiont U, Y deux ibnctions roelles dos variables M, v\ et dosignous
par ,T O , x { , x, n __ t cellos des racines do 1 equation
( 1 ) /( .T ] CC
DES EQUATIONS LINE A I RES, ETC. 387
qui, substitutes dans la formule
(2) a? = U -H V v/^TT,
determinent dcs valours do u renfermees cntro Ics limitos // , u", ot dcs
valours do v renfermees on (.IT Jos limites c , v">. Posons, d ailleurs,
(3)
,
i|/(a, p)=/(U-t-V
; ------- N <) ( U 4- V v i )
\ y/ 0- -.
6/
\ d(. U -+- \ i/ i
Enfin, represontons par /, /,, ..-.,-/_, los voritablos valours dos
prod nils /(.*? +-/-), X-/(,r, + /;, ..., kf(x m ^ + k) corrospondaiil
i X- o ( ). Si Ton intogro par rapport h // ol ii v los doux inonibros
do Fequation idontiquo
f dy (//, r)
\ -4 /
entre los limites u u , u u": v = v , v v", ot quo Ton romplaco
dans chaquo m ombre I inlogralo roJativo a u par sa valour principals,
on trouvora
(5)
chaque termo do la somme / /,.. . / 7M _, dovant o(ro aflbcU 1
du si^no -h on du signo , suivanl (|uo los valours do u ol do roorros-
pondant a co tonne determinent uno valour positive ou negative do
, rJU d\ r 0V dV
Ja lonction reelle -: Ajoutons quo cnacun do o< j s monies
ait av Oc du
( ) Si 1* equation (i; avail plusieurs racines cgalos a ./;. ]> clanl lo noinbrc do cos
cines, il faudrait, pour obtcnir la valour do / , substilucr au prod nit kf(.t:-+-k) la
ni
racines
fonction
i. 2.3 (jj i) uki -L
OEuvres tic C. S. II, 1. 1. 43
(7)
338 M.EMOIRE SOU L IN TEG RATION
tcrmes dcvra etre red nit a inoitie, si la valour corrcspondante dp u
coincide avoc uno dos limif.es // , u", on la valour eorrespondante do c
avoc 1 uno dos limitos v , v" . La forinulc (.">) resulle dos calculs devo-
loppes dans lo Me mo ire do i8r / | deja cite. Si Ton proud successivemenl
U + V \l - i u + c \l i , U -+- V v/ - f = it (cos c -)- \l i sin c ),
ot quo dans lo second cas on suppose la quantile // loujours positive,
on obtiendra los equa
Lorsquo la -fonction f-ji-r-v\ ij no vario jamais d uno maniere
brusque onlre los limilos u - - cc, u. ~ cc ; v = - cc, r ^r: o, ct qii clle
s ovanouit, 1 pour u- -co, (juel quo soit (% 2 pour v - - cc, quol
quo soil u, alors, on posanf. u - - oo, u" -x., v ~ cc, c"--o, et
remplapaul u par <r, on tiro do la t ormulo (6)
Lorsquo la fonction f(ue v ^) ne-varie point d uno maniore brusque
entrc los limitos u = o, u = i; v= -~, ^=:H-TC, on pronant cos
memcs limites pour valours respcctives do u , u", r , P", on tiro d<> la
formule (7)
( 9) / * ^ /(e ^) ^ = 27r(/ + /, + ...-(- /,_,).
t/_7t
II irnportc do romarquor quo los quantites /,/,, ..., / w _, corres
pondent. dans la formule (8), aux racinos de liquation (i) pour les-
DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. 339
quellrs lo coclficicnt de v/ cst mil ou negatit , et, dans la formulo (9),
aux racincs reelles ou imaginaires dont la valeur nurneriquc ou le
module est inferieur a 1 unite. Ajoutons quo Ton dcvra toujotirs reduire
a inoitie cclles des quantites /,/,-, ...,/,_, ([ui corrcspondraient,
dans la formulc (<S), l\ des racinos reelles do ( equation (i ), ou, dans la
formulo (9), a dos racinos dont la valour numeriquo ou lo modulo
sorait I unilo. Alors cos equations no fourniraient plus quo los valours
principales dos integrates comprises dans les premiers inombros, ot
non lours valours generates qui cleviendraient indeterminees. Obser-
vons, an restc, qu il sera to u jours facile de convertir cos valours prin
cipals on integrates determinees ( ).
La formulo (8) s accorde avoc cellos (juo j ai presentees dans lo
Memoiro de 1814, et dans dos Jeeons donnoes on 1817, an College royal
de France (-). Kile fourniL une grando parlio dos integrates definies
( ) 11 cst also de convertir en inlogralcs determinees. non sculemenl los valours prin
cipales des inlcgrales dcfinics indeterminees, inais encore Unites leurs autres valeur.s, el
meme les intcgrales definies singuliercs. (>es transformations conduisent souvent a des
resultats digues de remarqne. Ainsi, par exemplc, lorsqne la fonction f(.r) demeure finio
et continue cntre les limites .r = o, x = oo, 1 equation (a) (p. 333) entraine la suivanlc
(0 jf L T^-/ -f^-( ^ --<<* =
laquelle comprend, comme cas particulicr, la formule eonnue / dz = l( }
Jo z W
De memo, si Ton suppose que f(.r) demeurc finie et continue depuis .v ~ o jiisqu u ,/. = i,
et si Ton designe j)ar //- !, y(s) deux fonclions qui, croissant et decroissant avee la
variable z d une maniere cuiHinue, convergent en meme temps que celte variable vers
les limitcs o cl i. on tircra sans peine de la formulc (h)
(-) Dans 1 unc de ccs legons j avais deduit, d une forrnule generale qui s accorde avec
1 equalion (8), les valeurs des qualre integrales
J
r/ \
/ designant une constaiHe positive et : - - une fraction rationnelle.
3-VO MEM 01 RE SUR L IN TEG RATION
simples dont los valours avaient ete fixers par d mitres methods, o(
hoaiioonp d integrales nouvelles. D abord, il est aise do voir quo Ton
ramene immediatement 1 equation (9) a 1 equation (8) en posanl
r
lane;- x,
2
afin do convertir 1 integrale / e l ^ ~~ t f(c l \ / ~ < } dv on une antre do la
J-T.
forme / $(x)da;. Do plus, il ost clair (jiio los equations (8) of (9)
fonriiiront los valours on tonnes finis dos deux integralcs qu ellos ron-
fermcnt, toutos los Ibis quo los racinos do 1 equation (i), on, du moins,
cellos dont los modules restoront iuierieurs a I unite, seront en nombro
iini. Dans le cas conlraire, los seconds membres des formnlos (8) et (9)
so changeraient en series dont les soinmos seraient equivaldntes a cos
memos iutogralos. Jo me contenterai, pour lo moment, d appliquer eos
ibrmules a quelques oxomplos.
Si Ton designe par a, b, r trois quantitos positives, on tirora do la
tbrmule (8), en snpposant a inferieur on tout an plus egal a 2,
j/"(-v-rv -^
I X.
dO
(/ ^ , i / o~ , \ dx / cm:
= a/ o:"-- 1 sin - -bx\- -r.r a --co=, (- - br
J V 2 ) r*-x* \ 2
[/equation (10) eomprend, comme. cas partiouliors, les formules
C" x a ^ dx r. rrcQsb& , f t7 ,rs \nba: . T.
/ - , / - dx / - dx -- - e~ hr
,/ \ + x- . aT. J r- + x- ] r 2 -^x- 2
9. <sin . - ^o
2 sin
donnoos par Eulor ot M. do Laplace. La formnlo (r i) fburnit soulomcnl
la valeur principale do I inlegralc qu ollo ronfermo. Mais, si Ton (rans-
Jbrme cotte valour principale on une intogralo detcrminoe, ct quo Ton
DES EQUATIONS LINE A I RES, ETC.
fasse, pour abreger, br c, on trouvera
r I ax r. ar.
- cos
Cette.derniere oqualion comprcnd plusieurs fonmiles connucs, ontre
autros la suivante
I
IvJ dx
I
2 tang
Si Ton pose a ----- o, les ibrmulos (ro), (IT; e( (12) oesseront d otre
oxacios; mais, on opcrant toujours do la memo manioro, on trouvrra
, f* sin b.x dx
X / "- -+- X " 2 /-
"" sin bx dx
x . i r\ r . x
sin c - - sin c
r \ x / x \ r rl.
On tire encore do la formnlo (8), en supposant a positif, mais infe-
rieur, on tout an plus egal ; 1 unite,
(ID)
dx
/an ,
cos - bx
\ 2
a ~ , \
2 sin I bx ) arc
H- ^7-)J 4 -l- (arc
/( i
el, en supposant a o,
/- e-^/-
/( I4 _^ v / __-,) /-+**
K cos bx l(i + x-} --- 2 sin bx arc tangle
[{/(,! + ^r 2 )] 2 -)- (arc U:
3.42 MEMOIRE SUR [/INTEGRATION
Si Ton (ail, dans cos derniercs formules, b o, r== i, x tang-, el
do plus = i dans I equation (r5), on obtiendra les integrales
?(,-
t / o 3 a 4-(/COSS) 2 ~ 2/(2) J,, 5 S -H(/COS3) 2 " " 2 \ x l(*)J
citees par M. Poisson dans le Bulletin fie la Societe philomathique do
septembre 1822.
On dcterminorait avec la memo facilite los valours dos integrales
definies imainnaires
/ 3C / f "* t/ftn\
( (i.r) _ b ,j l i / U^)
/ F(aTj *~ J FO)
ot par snih 1 collos dos integrales recllos
. c)
/siiifi ,/_. F(^) [i/(i -t- o.--)f+ (arc taag. c) 5
arc I a nu. x
TT- dosiunant une fraction rationnollo. />, r dos constantcs positives
1" (x)
ot LIU arc conipris outre los limitos o, ~. Nous no nous arrotorons
pas davantage aux diverses applications do la formule (8) quo Ton
pourrail multiplier a 1 infini.
Si Ton fait, dans la formule (9), f(x)- -.> la ibnction {(x)
;v r ( x )
etant eboisie do telle manioro quo i expression f(ue"\*) reste finie ot
determinee ontro los limitos u o, u-~\; v~ -n, v=--\- x, on en
conclura
=~- CIV 2 7T
DES EQUATIONS LINEA1RES, ETC. :J.W
.-c , .7;,, ... designant les racinos reelles ou irnaginairos do liquation
F(a?) = o, qui auront pour valour numerique on pour modulo mi
nombre inferiour a I unito. Ainsi, par excmple, on posanl
F(.a?) j ax,
on Irouvera :
Pour a- < i,
7 ==rfc = anf(o),
dv 2 TI f(o) f
(18)
ot, pour a- >> i
(9)
Cos formules s accordcnt encore avoc deux autrcs quo M. Poissou a
citeos dans lo Bulletin qu on vionl do rappolor.
(^oncevons maintonanl, (juo Ton pronno
(20)
O ( ,T } F (x} W ( ,V ] F ( X
F(a?), 9(,x-) ot nr(a?) designant dos feme-lions arbitrairos, inais (dies.
cependant, quo los racinos a? , .-r,, ..., #,_, apparticiuuMil tonics a
I equation
On conclura dos formulos (5), (6), (7),
(ai)
(28)
i
27:
ol
3U MEMOIRS SOU ^INTEGRATION
et
!)]..,
(24)
Les racines do 1 equation (21) qui entrcnt dans cos dornioros formulcs,
savoir, .r (} , x, , ..., o? m _ |f so n -duiront a line seulo, si Ton choisit convo-
nabloinont los limites , //", v , v" . On pout done obtenir par oe moyen
la valour do o(^ n ), puis, on posant 9(^7) = -^, la valour do # , c ost-
a-diro, d uno (juoloonquo dos racinos oxprimoo a 1 aido d integrales
dofinios simples. On doit moino romarqucr quo cos integrates ronibr-
meront dos conslanlos arbitrairos , //.", v , v" , avoc une fonction arbi-
trairo cj(r) assujottio soulomont a cortainos conditions.
Lorsquo la i onclion f(u+v\J i) s ovanouit pour v- too, quol
quo soil //, alors, on supposant v - - cc, {/ =-oc, on reduil la ibr-
inulo (23) a
Lorsquc dans la formulo (24) on suppose o - -- T:, c"= - -I- K, w ~- o,
u."=r (/ otant une quantito positive), on trouvo
(26)
Si Ton vent quo a; , x { ..... ,r /M _, represenlent toutes les racincs do
I equatiou (21), il suffira do concevoir quo dans la formulo (25) los
doux quanlitos u , u" deviennent, la premiere inferiouro, la seconde
supericure aux parties reelles de toutes ces racines, ct quo dans la
formulo (26) la quantito r surpasse a la fois les valours numeriques
dos racinos roolles et los modules des racines imaginaires.
Los formules (28) et (26) compronnont, comme cas particuliors,
DES EQUATIONS UN EA I RES, ETC. M5
cellos quo j ai donnees dans vm Memoire sur la resolution dos equa
tions par les integrates defmies, presente a I Academie dos Sciences
le 22 novombre 1819.
Dans tons les cas ou Ton pent reduire a zero la fbnction arbi-
traire CJ(^T), la forrnule (20) donne simplement
*.)=*$?.
Alors, on faisant, pour abreger, o(,x)F (x) = f(^), on lire dos equa
tions (26) ot (26)
(27)
L equation (27) suppose : i quo la fbnction - ^^L- s evanouil
F( u -\- v\J i )
pour v = -jz co, quel quo soit,7/; 2 qu elle no varic jamais d une inaniere
brusque entre les limites v~ - =c, p = -+-oc; u. = u , (/=u"; 3 (jii enli c
cos liinitcs la fbnction f(w + ev/~ nf> devient jamais infinie. Dans
1 equation (28), les deux dernieres conditions subsistenf pour les
tbnctions J-, t(ue v ^~ { }, mais seulenient entre les liniitesc -it,
E(ue v S- 1 )
v = it, u = o, u = r. AjoLitons quo x (} , cc t , ..., x m .. { representeiit. dans
la fbrmule (27), cellos des racings do 1 equation ( 2:1) donl les parlies
reelles demeurent comprises entre les limites u = , u = u" ; et. dans
la ibrmulo (28), celles do cos raoines dont les valours nume.riques on
les modules sont inferieurs a r.
^ I t I l> i- 1 / f(4-< V/ j) 7 ,, -,
Dans le cas particulier ou 1 integrale / -dv s evanouit
pour u= -co, alors, en prenant M = -co, //"--: U, on reduil la ibr-
OF.ttvres ilv C. S. II. t. I. -\ \
3W> MEMO IKK SUR L INTEGRATION
niu If (27) a
f(.:r,,,_,) i " f( H -4-
.,, .
O I _ _ _ _ I _
" K" / r- ^ Iff /
1 l^o) l \ J -i
_ __
If I -r \
\ x mi)
Le pivMiirr mcinbrc dc collc-ci ronicnnera ton to s los racinos do 1 equa-
tion (21), si la quanlite U sarpasso los parlies reollos do toutos cos
racincs.
Lorsquo la fraction -.- -r doviont rationnelle ou do la fornio
F(a?)
(if, -J- (7, .r -J- . . . -f- <7,,,r/
A + A , x- 4- . . . 4- A,,, a 1 " 1
cl qiic le iHiiiibrc /; es( ini e.riour a /;? J, alors, en pronant cc,
n" - - cc, on rediiit a zero les integ-rales quo ronfonno le second membre
<le I equation (27), el Ton trouvo
Si, an eonlrairo, Ton suppose p = in j, alors, on faisanl u. = - U,
K"--= U, el attribnanl a t : dos valours inliniinenl grand es, on reduira le
second inombre do la f orniule (27) a
W-" "-
. i ;
A,,,
cl par suite cette forinule donnera
(3]N f(-y n ) I C.r,) _ ffa7 y<> _,) __ a,,,..! _
F.es equations (3o) ot (3i) s accordent avoc nn tbeoremo quo j ai
demontre dans lo XV]] 1 Cahier do ce Journal, page 207.
Les diverse* Tommies quo nous venous d etablir Iburnissont le
ino} : on d exprimer, par dos integralos definies, jion seulement les
racines d une equation algebrique ou transcendantc, mais encore les
soinrnes do fonctions seniblables do cos monies racines, ou do quelques-
DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. :ii7
unes d enfre olios; et par suite les integrales generates des equations
lineaires aux differences finies ou infmiment peliles a ooeffieients
constants, et souvcnt memo a coefficients variables. C ost cc quo nous
aliens la ire voir, en pen de mots, pour les equations diffcrontielles el
aux differences partielles.
Snpposons d abord que, A,,, A,, . . . , A, H , W desi<;-nanl (les quanlites
constantes, et -J* line fonction inconnue do I, on veuille integrer I eqiia-
tion differentielle
avee la condition c\\\c
I 2 \
(oc5)
so reduisont respectivement a
(34) IP, If , ? i|..-,,,-.i
pour / o. Alors, on posant
( 35 ) F( ) = AC + AI 4- . . . + A,,, & ",
ot nornmant 0,,, ( , ..., O w _, les racines do I equatioii
(36) F(fl)=o,
on trouvora
i
Or, si Ton designe par uno liinilo superieure aux parties roelles dc
toutos los racines do 1 equation (36), la valour preeedonlo do ]/ pourra
3i8 MEMO IKE SUU L INTEGRATION
etre, en vertu do I oquation (29), presentee sous la forme tres simple
(To)
- .
2TC 7_ <0 *i- - (0 + 0v/- F(0 + tf
Si Ton voulait integrer 1 equation (32) do maniere quo les expres
sions (33) se trouvassent reduitcs par la supposition / = o, non phis
aux puissances successives d une meme quantite W , mais a des quan-
titcs differcntos
(3g) * P , l f,, ..-, V w _ ff
on pourrait toujours employer la for mule (38), pourvu qu apres avoir
devoloppe le siH ond membre suivant les puissances ascendantes de W,
on convini de rem|)lae(M ^F" par W H , W [ par" 1 !- 1 ,, ..., ip"~ par W m _ { .
Loj-sque les cjuanliles (3f)) sont ai bitraires, le developpement de la
,. i-vn F(JC) ,. ...
traction - 5 mouihe contormement aux conventions uoni il
M ,l-
s a^ il, se change en nne fonction entiere mais arbitraire do x, du
deii re m i. Done, en designant par a(:c) one fonction de cette
nature, on aura pour I integrale generalc de 1 equation (32)
Supposons, en second lieu, quo Ton veuille integrer 1 equation
avec la condition que les expressions (33) s evanouissent pour / = o.
On aura
(42)
DES EQUATIONS LINE A IRES, ETC.
-f(T)d6dr.
et, par suite,
(43) .
Si Ton voulait, au eontraire, quo los expressions (33) fussent re-
duites, par la supposition t = o, aux quantites (39), alors il faudrait
reunir les valours do ^ donnees par les formules (38) et (43); ot Ton
(rouvcrail, en ayant egard aux conventions ei-dessus enoncees,
(44)
Si a la ibrmule (29) on cut snbstitue la ibrmule (27), alors, en
desiii iiant par , 0" deux quanliles, 1 une interieure, 1 autre superieure
aux parties reelles d<> toutes les racines de 1 equation (3(>), on aurait
trouve
(45
FMF) FO-t
uyi) / ./(-) a-
F ~0"^-0 ~i I e (0 -+-V-iH
+
27T
On rcvient immediatement do la t ormule (45) a la ibrmule (4/j), en
posant = -oo, 0" 0. Ajoutons que la Ibrmule (4 >) pent etre ve-
rifiee direetement par la substitution de la valour do ^ qu elle donne,
dans 1 equation (40-
11 estesscntiel de remarquer quo, si dans la fbrmule (43) on proud
1 integralc relative a T, nori plus outre les limites T = o, T = , mais
outre deux limites T , T", 1 unc inforieuro, 1 autre superieure a t, la
valour do ]/ qui en rosultcra satisfera generalement a la formulc (4i),
puisqu en la substituant dans le premier membro on obticndra 1 equa
tion exacte
(-46)
350
M E M I R E S U K L I N T E (1 R A T J N
Concevons maintenant qu il s agisse d integrer 1 equation difleron-
tiellc
_
m dt>
avoo la condition quo los expressions (33) so reduisent respe.ctive-
inen! aux quantites
(join- / o. Aloi s, on supposant la fonction F(0) determinee, non plus
par la tbrmule (35), niais pai- la suivanio
( 49 ) F(0) = A -f- A, + A,6( - i ) -t- . . . 4- A w 6( 6 i ) . . . ( 6 - m + j ),
(-11 trouvcra, on vortu do 1 equation (^9),
^ J_ a (0 + 6^
i /" / /I + AO+V
~^rj I \i~ -
x x
ct, en vertu do 1 equation ( 27 ),
^ ^(^.--l^^+aV/-!)
: ^ i r~ t
Si Ton voulaitque los expressions (33) fussentreduites par la suppo
sition / o, non plus aux produits (48), mais aux quantites (39),
on pourrait encoro employer la fbrmule (5o) ou (5i), pou-rvu. quo
Ton convint do developper lo second niembro en line seric do tornios
proportionnels aux produits dont il s agit, ot do rtMnplacer eiisuito
DES EQUATIONS LINEA1RES, ETC. 351
dans le developpement cos mcmes prod nits par les quantites W H ,
w w
* I > * Wl- 1
Considerons a present une equation lineaire aux differences par-
tielles, par exemple, I equation (i) do la seconde Partie. Les valeurs
des quantites T n , T )v . . ., T w _, comprises dans i integrale generale do
cette equation dependront, comrno on 1 a vu, de la fonction S assu-
jettie a verifier la formule (u) (p. 3io), avec les conditions (8)
(p. 309). Or, en vcrtu de w. qui precede, la fonction S. determineo
do maniere a remplir les conditions prescrites, pourra etrc presentee
sous la forme
designant one limite supcricnre aux parties reelles de toutes les
racines de I equation F(0) = o. Si Ton developpe la valour qu on vicul
d obtenir pour S, suivant les puissances ascendantesdew, on Irouvcra
pour les coefficients respectifs de cos monies puissances
27r
(53) (
A ni
Cos dernieres valeurs de T , T,, ..., !,._, s accordent, en vcrtu do
la formule (29), avec cellos quo nous avons donnees dans la sooondo
Partie (p. 3n et 812).
Si Ton remplace I equation (i) du paragrapho I 1 1 (II 1 Partie) par
I equation (28) du paragraphe III, la valour do o sera donnoo par les
equations (34) et (36), dans lesquellos on aura
( 54 ) T = I!!^^J_LJLJ! - . _ / _A^j_^~r_Ll!L
\ i/ / / _
352 MEMO IKE SUR L INTEGRATION
Dans un an Ire Memoire, je reviendrai sur 1 application do ccs diverses
formnles, soil a la resolution des equations algebriques, soit a 1 inte-
gration dcs equations lineaires aux differences finies ou infiniment
petites a coefficients constants, on a coefficients variables, ctje les com-
parerai avec celles qni out ete presentees par MM. Parseval ct Brisson,
snr les memes sujcts. Je fmirai en observant quo, si dans la for-
inule (2) (l re Partie) on remplace la fonction /([/., v, GJ, ...) par le
produit e a ^-^e b(jr - v) e c(z - CT) .../((Ji,v,cj,...), a, b, c, ... designant des
eonstanles reelles mais arbitrages, on trouvera
, e"
(OCJ
II en resulte qne dans tons les calcnls de la seconde Partie, et dans
les fonctions A , A A, n _,, F(0), ... on pent ecrire a-hav i,
b + p v - i, . . . an lieu de a s/ i , ? s/^- i Par la memo raison, a
lafonnule (i>G)de la page 3i5, on pent snbstituer la suivante
1 _ / - _L V +1 r r r. . . e (aw~0(*-[i> e (b-Hp/=i)(r-v). . . e (0+o v /^)-r)
) Y \27r; .7 J J
(56)
a, b, ..., representant des constantcs arbitraires dont la derniere
ponrra meme etre remplacee par nne fonction quelconque de a, p, y, ...,
pai- exemple par nne qnantite snperieure aux parties reelles de tontes
les racines de I eqnatioii F(0)=o. Ajoutons que, pour obtenir la
vaienr de F(0 -+- y-^i) qui convient a la formnle (56), il suflira de
substitncr dans la valeur generalc de Vo un produit de la forme
( a + a v/ITi/(b + [3
a ehaque tcrme de la forme
DES EQUATIONS LINE AIRES, ETC. 353
Rcmarquons on fin quo, si dans la formule (56) on suppose 1 inte-
gration relative a c effectuee, non plus entre les li mites T == ~ , T = T",
mais entre Jes suivantes T = o, T = , la valour de 9 qu on obtiendra
sera precisernent I intcgrale de I equation (25)(ll e Partie), cede inte-
grale etant determinee de maniere que les expressions
9 ~6l
s evanouissent toutes pour / = o.
An reste, il suit evidemment de la fbrmule (55) que, si Ton donne
line equation lineaire aux differences particlles et de 1 ordre m par
rapport a /, dont le premier membre ne reni erme que des coefficients
constants cm fonctions de /, et dont le second membre se rediiise it mi
terme variable on de (a forme f(x, y, s, ...,/) on pourra facilemenl
integrer cette equation de maniere que les expressions ( 37 ) se re-
duisent respectivenient a
pour t o. En cffct, pour y parvenir, il suffira de posei-
(58) o-_-(-L\ n I j I j ...e(*+* - i h x -Ve ( *>+W- l hy-v >...
\ "/ *J x> \}. >J - %- V"
en assujettissant I inconnue -]>, consideree com me fonclion de /, ii une
equation differentielle de la forme
d*li d " iL
A + A, - + . . . -t- A, f =/(/*, v, BJ, . . ., 0,
dans laquelle A,,, A,, ..., A w representeront des fonctions connues de
a + a v i, J) -h (:> v i, ... et de la variable /. Alors il ne restera
plus qu a integrer cette equation differentielle de maniere que les
expressions
se reduisent respectivenient a
/ (f*, V, CJ, .. .), /i(fX, V,d, ...), , y/,i .|(f-, V, GT,
OEwres ,lc C. S. II, I. J.
m MEM 01 RE SUM L INTEGRATION
pour / = o. Co dernier probleme se resoudra tres simplement par les
inethodes precedentes, si les coefficients A , A,, ..., X m sent con
stants, c cst-a-dirc independants de la variable t, on reciproquement
proportionnels aux puissances ontieres ct descendantes d unc tone ti on
lineal re de cette variable.
/>.-$. On se trouve naturellement conduit par la tboorie des
quadratures a considercr ebaque integrale definie, prise entre deux
liniites reelles, comme n etanl autre chose quc la sonnne des valenrs
infin iment petilos de [ expression diflerentielle placee sons le signe / ,
(jin correspondent anx diverses valours reelles do la variable, ren-
fcrmees entre les liniites dont il s agit. Or, cctte maniere d envisager
unc inlegrale defmie nous parait devoir ctre adoptee de preference,
ainsi <|ue nous venons de le iaire, parce qu elle convient egalement a
tons les cas, inenie a cenx dans lesqnels on no sait point passer gene-
ralement dc la ionction placee sons le signc / a la fonction [>riinitive.
Kile a, de plus, Tavantage de loiirnir toujours des valours reelles pour
les integrales <jni correspondent a des fonctions reelles. Knfin, elle
permetdc separer t acileinent chaque equation iniaginairo on deux equa
tions reelles. Tout cola n aurait-plus lieu, si Ton considerait une inte
grale definie prise entre deux liniites reelles, connne necessaireinenl
equivalenfe a la difference des valours extremes d unc fonction pri
mitive memo discontinue, ou si Ton faisait passer la variable d unc.
liniitc a 1 autre par une seric de valours imaginaires. Dans cos deux
derniers cas, on obtiendrait souvent, pour los integrales elles-memes,
des valours imaginaires semblablcs a cello quo M. Poisson a donneo
pour la suivanto
/
.
~ n dx
a: 1 b 1
(voir le XYlIl e Cabier de ce Journal, p. 3-29). Si Ton applique a cette
integrale les methodes ci-dessus indiquoes, on trouvera pour sa valour
principale - sinab, tandis quo sa valour generalc, considered
DES EQUATIONS LINE A IRES, ETC
comme limitc do la sornme
sera determinee par la ibrmulo
in designant, pour abreger, line constants arbitraire cgale an rap
port Do cetteformule on tiro immediatement It s suivantos
a
cosa.r cos -
.x fix
dans losquollos les fonctions sous lo signe / cessenl do passer par
I infini entre los limites dos integrations.
Au res to., il pent ari ivor qn a une memo integrals correspondenl
plusieurs fonctions primitives, dont los nnos condnisont a dos valours
reollos do 1 integrale, los aulres ados valours imaginairos. Ainsi, par
oxornple, si 1 on considoro I integrale
r^ dx
dx _ i +1 x dx _ _ /
* J. ~^ J.
on pourra prondro pour function primitive on le lo^aritlimo noporion
do x, tantot reel, lantot imaginaire, on la fonction - : -\x- snpposeo ton-
joui s ro(dlo. La difference dos valours extremes, qui sera imaginairc
dans le premier cas, so roduira dans li^ second a la quantite roollo - I .],
on (2, laquollo ost precisement la valour prineipale do I integraie
[iroposee.
356 MEM 01 RE SUR [. INTEGRATION
II importo d observer quo, pour differcntier la valour principals
d uno integrale indeterminee par rapport a uuc quantite distincte do
la variable a laquelle 1 integration ost relative, il no suffitpas toujours
d effectuer la differentiation sous lo signo |. Mais toutos los questions
ot los difficultes quo Ton pourrait proposer a co sujet seront aisement
resolues, si 1 on a ou soin do remplacer 1 integrale indeterminee par
la somine dont sa valour principalo ost la limito. Concevons, par
oxomple, qu ou attribuant an nombre k uno valour infiniment petite,
ot supposaut la quantite a positive, mais inferieure a 1 unite, on
vouillo differentrer n 1 ois par rapport a la quantite a 1 equation qui
/ dx
rournit la valour principalc do I iutegralc indeterminee / On
J x a
presentera cette equation sous la forme
/ - + / -!- = if IZ^Y
J x a J a+k x a \ a )
cl, on la differential! t TZ fois, on trouvera
i a
Par suite, en reduisant chaque integrale indeterminee a sa valour
principalo, on aura, pour dcs valours paires do n,
da" da"
ot, pour dos valeurs impaires de n,
<. 2
n i ) . = oo,
i-n
ce qui cst exact.
1)ES EQUATIONS LINE A IRES, ETC. 357
iNous ajouterons, pour ne Jaisser am iine incertitude sur la valeur
clcs signos algebriques dont nous nous sommes servis, quo, dans ee
Memo ire, com me clans le Conrs ({ Analyse dc ( Ecole royaic poly-
techniquc, nous avons toujours employe la notation are tan^a?, pour
indiquer le plus jtetil arc (abstraction i aite du signe) dont la tan^ente
soit, egale a x, et les notations (u -+- v\j i^f, !(// -+- ( ; v /~"i) (u desi-
gnant nne quantite positive ou nulle), pour representer Jes expressions
imaginaires
!J ~ \
cos ( ( a arc lung - ) + \J~ i sin (,u arc tan;
u
\ i arc lang -
MEMOIKE ( )
SUR LE SYSTEME DE VALEURS
QU lL FAUT ATTHIBUER A DIVERS ELEMENTS DETERMINES
PAR UN GUANO NO.M13RK D OBSEIIVATIONS,
POUR QUE LA PLUS GRANDE DE TOUTES LES ERREURS,
ABSTRACTION FAITE I)U SIGNE. DEVIENNE UN MINIMUM.
he P. Boscowich a fait voii 1 comment on pouvail resoudre la question
precedente, dans le cas oil Ton n a (jn nn seul element a considerer.
."!. Laplace a examine une (jueshon semblable clans le troisieme Livrc
di la Mecanique celeste, (jni trailc dc la figure du spheroide lerreslre, d
a doniu 1 nnc methode iacilr pour determiner la figure elliptique, dans
laqnelle !e plus grand ecarl des degres do meridien, abstraction i aite
<!n signe. devienJ nn minimum. On a dans cc cas deux elements a con
siderer, an lieu d un seal. Mais la ibnclion des elements qni i-epreseute
les erreurs n est pas la ])lns generale possible. 11 restait, a etendre la
meme theorie an cas on cette fonction devient la phis generale de son
espece, et oil le nombre des elements est superieur a deux. 31. Laplace
ayant bien von hi m indiquer ce snjet de recbercbes, je me suis eilbrce
de repondre a son attente; et je suis parvenu a une methode generale
(jui renferme tontes les antres, et qni reste tonjours la meme, quel
qne soit ie nombre des elements que Ton considere. Tel est I objet du
Memoire qne j ai Tbonneui 1 de soumettre a la Classe. Voici d abord en
quoi consiste le probleme qu il s agit de resoudre.
I 1 ) Presenle a la premiere Classe de ITnstitut, le -.>.8 fevrier 1814.
MEM 01 RE SUR LE SYSTEME I)E VALEURS, ETC. 3ol)
Lorsque, pour determiner un element inconnn, par example une
longueur, un angle, etc., on a fait un grand nombrc d observations
ou sur ces elements cux-memcs, on. sur d aulrcs quantites qui en de
pendent, alors chaqnc observation prise a part determine nne valeur
particuliere de I element. Si Ton a dejii conclu, soil des observations
que I on eonsidere, soit d autres observations faites anterieurcrnent,
une valeur approcbee de I element, pour dednire de cette valeur la
veritable, il suffira d y ajouter une petite correction que Ton pent
designer par la variable a;. Cbaque observation, prise separcment el
consideree comme exaetc, determine une valeur particuliere de la cor
rection. Mais si, an lieu de considercr cette equation comme exacte,
on suppose qu elle soit en errcur sur le resullat vrai d une certaine
quantite, alors la correction a i aire, ou la variable 3- qui la repre-
sente, deviendra fonclion de cette erreur, ef reciproquemcnt. Par suite,
I crreur de cbaque observation pourra en general etre exprimee par
une serie ordonnee suivant les puissances de la variable, el. dans la-
quelle, vu la petitesse de, la correclion a faire, on jiourra s arj-eler a la
premiere puissance de celle-ci. Cclle erreur sera done repii -senlee par
u n binome, dont le premier terme sera constant, et dont le second
renfermera seulement la premiere puissance de la variable x. Si les
observations donnees doivent servir a delerminer plusieurs elements
au lieu d un seal, en designant les corrections respeclives de ceux-ci
par les variables x, y, z on parviendra de la meme man! ere a
representer cbaque erreur par un polynome du premier degre en &, y,
z, .... Gela pose, U s agit de trouver pour cex variable s LUI syslcme de
raleurs
x c y ~n, z -:- C, . . .,
tel que le plus grand des polynomes f/ue I on eonsidere, on, ce f/tii revient
an meme, la plus grande des erreur s f/ u Us represent en t, c/ecienne, abstrac
tion fait e du signe, un minimum.
Lc probleme se simplifie considerablement, lorsque les polynomes
qui represented les erreurs sont deux a deux egaux et de signes
contraircs. Alors, en eflet, pour des valeurs determinees des variables
360 MEMOIRE SUR LE SYSTEMS 1) E VALEURS
x, Y, s, ..., la plus grando des errcurs positives cst egale a la plus
gran do des erreurs negatives; et la question se reduit a determiner lo
systeme des valcurs de x, y, :, ..., pour lequcl la plus grandc des
erreurs positives devient mi minimum. Si les erreurs no sont pas deux
a deux egales et de signes contraires, on pourra ramcner cc cas au
precedent, en doublantpar la pcnsee le nombre des erreurs et joignant,
aux polynomes qui rcpresentent les erreurs donnees, d autres poly-
nomes egaux etde signes contraires, destines a representcr les erreurs
(ictives que Ton se propose de considerer. Si parmi les erreurs donnees
il s en trouvait deja plusieurs qui fussent egales et de signes contraires,
il serait inutile d en doubler le nombre. Au moyen de Partifice prece
dent, on ecarte les difficultes qui pouvaient naitre de la distinction
des signes, et Ton est alors autorise a considerer une quantite negative
plus grande cornmo plus petite qu une autre quantite negative moindre.
La question proposee se (rouve ainsi, conime on 1 a deja remarque,
ramenee a la suivante :
x, v, --,... diaiil les corrections des elements que I o7i considere, deter
miner pour ccs variables K/I svsletne de valeurs tel c/uc la plus grande des
erreurs positives devienne an minimum.
Je vais exposer en pen de mots la methode qui conduit a la solution
de ce nouveau probleme.
Soient x c, y = -q, z = (, ..., les valeurs des inconnues qui
resolvent la question. Chaeune de ces valeurs devra etre choisic parmi
une infinite d autres. 11 semble done au premier abord que, pour
arrivcr a la solution cherchee, il landrail fa ire varier separement cha-
cune des corrections x, y, z, ... et examiner quelle influence pent
avoir la variation de chacune d elles sur Taccroissement et la diminu
tion des erreurs que Ton considere. On pent neanmoins atteindre le
but qu on se propose, en se contentantde faire varier une scule correc
tion, z par cxemple, ainsi qu on va le faire voir.
Supposons un moment le probleme deja resolu pour un nombre
d elements inferieur d une unite a celui que Ton considere; concevons
QU JL FAU! ATTRIHUEH A DIVEKS ELEMENTS, KTC. 361
do plus quo Ton donno succcssivemont a z toutcs les valours possibles
depuis s= - ac jusqu a.s =: -f-oo, el, quo pour chaque valour do z on
determine les autrcs variables x, y, ..., par la condition quo la plus
grando errcur devienne un niininium. On obtiendra do cette mauiere
uno suite do systemes do valours do x, y, z, parmi los(]iiels so
trouvora necessairement lo systeme cherche; ot, pourobtenir oo der
nier, il suffira do ohoisir, ontro los minima des plus grandos erreurs
corrcspondant aux divorsos valours do z, colui ijui ost lui-moine |)lus
petit quo ttfus les autros. Co dernier correspond a la valour I do z\ el
par suite, si cotto valour etait counuo, il n y aurait plus do clioix a faire.
et la question so trouvorait ainsi ramonoo au oas ou Ton a mi element
do moins a considerer. Mais, commo on no pout esperer do dccouvrir
immediatement la valour ( do z qui satisfait a la question, il f audra
oornmonoor par donner a z uno valour arbilrairo, on supposant, par
oxomplo, 5 = 0, e( determiner los valours correspoudanlos d> .r, y
par la condition oi-dossus enoncec, savoir, que la plus grando erreur
devienne un minimum. Apros avoir ainsi oblonu lo minimum des plus
grandes orroui s pour la valour zero do z, il no rostora plus <jii a iaire
vai ior^do maniere :i fairo docroitro lo minimum doni il s agit, jus<|u ii
oe qu il aoquiero la plus potito valour possible. La niethodo qu il f aul
employe] 1 pour y parvenir ost i ondoo sur lo (hooreme suivanl, domontre
par M. Lap I a oo :
Quel que soil le Jiombre des elements renferme s dans les erreurs (j/ie I on
cormdere, si r on fait rarier, on. tons ces elements, ouseuleinenl qnelqnes-
uns d entre eux, et aae I on determine les valeurs des elements variables
gin rendent la plus grande erreur un minimum, pour les raleurs dont il
s agit, plusieurs erreurs deviendronl a la fois e gales eutre dies el les plus
grandes de tonics, ct le nombrc. de ces deniieres surpasscra lonjours ait
moms d ntie unite le nombre des elements variables.
Pour montror comment on pent fairo I appliration do oe tbeoreme a
la question proposee, supposons que Ton ait trois elements a consi
derer. Soiont x, y ot z los corrections do oos trois elements. Soil n le
OEut i-es tie C. S. II, I. I. /
36-2 ME MO I RE SUll LE SYSTEME I) E V A LEU US
noinbre des orrours, et designons ccllcs-ci par <,, e.,, . . . , (?. En vortu
df 1 ce (jui precede, on conimcncera par supposer, dans toutcs les
erreurs ; = o, el run determinera, dans celte hypothese, les valours
de.j- et de y qui reiident, la plus grande erreur un minimum. Soiont
a,
les valeurs dont il s agil. II suit du theoreme precedent quo, pour les
valeurs a, el o dos variables x, y, z, trois erreurs, par exemple
deviemlront egalos ontre elles el les plus grandes de toutes. DC plus, la
double equation
-3"^ (2 ~~~
sorvira a determiner les valours a el de x el do y qui correspondent
a r = o. Si, niaintenant, on fait varier z d une Ires petite quantite en
plus on en moms, les trois erreurs e p , e. q , e,. jouiront encore do la
meiiie propriete, c esl-a-dire (ju elles soront (oujours los plus grandes
do toules pour les valours do x et do y qui rendent la plus grande
erreur un minimum, et cos monies valours soront encore delorminoes
par Pequation double
e p =e q =e r .
Seulemcnt, pour i airo on sorto quo la valour commune do cos trois
orrours diminue, il pourra arriver quo Ton soil oblige ou do fa ire
croilre ou de fairo diminucr z. Supposons, pour fixer los idees, quo
cello valour diminue quand z augmonle. ^ continuant a croitre, los
errours e /t , c q , e,. diminueront simullanemont, on domeurant toujours
los plus grandes do toules, jusqu a ee qu unc nouvelle erreur e s par-
vienno a les egaler pour les surpasscr cnsuilo. Soil 7, la valour de r
])our laquelle les quatro erreurs e f> , e, r e,., e s devionnent egales ontre
elles; et designons par a, el , les valeurs correspondantes do x et
ilo v. Lo svsteme des valeurs
QUML FAUT ATTLUBUER A DIVEHS ELEMENTS, ETC. :}<}:*
sera determine par la triple equation
et, pour la valcur y, dc -, ce systemc sera eelui qui rend la plus grantle
erreur un minimum. D ailleurs, il suit d LI tbeoremc encmce ci-dessus
quo, pour les valeurs des incoiinues qui resolvent la question pro-
posee, quatre erreurs doivent etre egales en (re elles et les plus grandes
de tonics. Cette derniere condition ctant satisfaite, en ineme temps
que la precedente, pour les trois valeurs
X rr: a,, J = 6,, S = ?i,
il convientde rechereher si eelles-ci ne resondraient pas le problemc.
On y parvient de la manierc suivante :
Lorsqu on fail croitre z an dela de y1 les trois erreurs e /} , e r c,. cesseut
d etre conjointement les plus grandes de toules pour l(>s valeurs de x
(\ldey qui rendent la plus grnnde enrur uu minimum; et eette pro-
priete appartienl alors a deux d entre elles prises conjointement aver
la nouvelle erreur c s . On determine facilement quelles sont, parmi les
trois erreurs e f) , e v , e r , les deux qu il couvient de choisir pour cet objet.
Soient, par exemple, e q , c r ees deux erreurs; si Ton (ait croitre z an
dela de y ( , la valeur commune des trois erreurs e /r c r , e. s ira en croissant
ou en diminuant. Dans le premier cas, les valeurs a,, ,, y, de x-,y et z
satisfcront a la question proposee. Dans le second cas, les erreurs dout
il s agit continueront a decroitre, en restant toujours les plus grandes
de toutes pour les valeurs de x et de vqui rendent la plus grande crreur
un. minimum, jusqu a ce qu une nouvelle erreur parvicnne a les egaler
toutes trois pour les surpasser ensuite. Alors on obtiendra de nouveau
une equation triple entrc quatre erreurs. On poiirra jnger, comme pre-
cedemment, si le systeme des valeurs des incoiinues determine par eette
equation triple satisfait a la question proposee. Dans le cas conlraire,
en suivant toujours la meme marche, on finira par arriver a la solution
du probleme.
Les erreurs e p , e, r e r etant supposik s connues, pour decouvrir
I erreur e s , il sullit evidemment de chercher celle qui, egalee aux trois
36i MEM 01 RE SUU LE SYSTEME DE VALE (JUS
premieres, determine !a plus pelilc valour positive do la variable z.
Mais il pout arriver quo, pour cette valeur de z, plusicurs erreurs, par
exemple c s , e t , e u , .... cleviennent a la fois egales entre elles et anx
trois premieres. Desigmms toujours par y, la valeur donf il s agit. Si
Ton fail croilro z au dola de y,, trois des erreurs suivantes
devieiidronl conjointemcnt les plus grandes dc toutes pour les valours
de x e( do v qui rendont la plus grande erreur iin minimum; et, sur
ces trois erreurs, deux au plus devronl ( A> tre prises par mi les trois prc-
inieres e^ e, r e,.. Saul celte reslriction, la combinaison qui reufenne
les (rois nouvelles erreurs pourra e(re I line quelconque de cellos quo
Ton forme eu assemblant trois a trois les erreurs
< />, e<i, < ,-, eg, e t , e n .....
Pour juger quelle est parmi ees combinaisons eelle qui merite la pre-
lereuee. on supposera cjue la variable z croisse an dela de y, d une
quaiilile positive, mais indetcrmineo, representee par k, ct que les
valours correspondantes a, (M o, des deux autres variables x et y
reeoiveut (MI meme hMiips les accroissements positifs on negatifs ,,
et /?. Les accroissements des erreurs e p , e q , e r , e s , e t , e lt , ..., qui, par
bypotliese, etaient (oules egales (Mitre elles, se trouveront alors expri-
mes par des polyndmes homogenes du premier degre on g, li et k ; et
il suffira de determiner les valours rcspoctives de g et de h pour les-
quelles le plus grand de tons devient un minimum. X-etant line quan-
tite essentiellement positive, on pourra, sans mil inconvenient, divisor
par k chacun de ees polynomes. Los quotients ne renformeront plus
do variables que les rapports des accroissements de x et de y a colui
dc z, et il no rostora plus qu a determiner cos d(Mix rapports de tolle
maniere quo le plus grand des quotients quo Ton considere devionne
un minimum. Ainsi (oiUes les difficultos so trouvent reduites a la solu-
tion du probleme gcMioral, dans le cas oh Ton n a quo deux elements a
cornier.
On reduira de memo les difficultes quo presente cette derniere hypo-
QU lL FACT ATTRIBUER A DIVERS ELEMENTS, ETC. 865
those aux difficultes qui subsistent, dans lo cas oil Ton n a qu un soul
element a considerer. Knfin Ton rcduira ceJlcs-ci a la determination de
la plus grande erreiir pour une valour don nee do la variable, el alors la
question proposee so trouvera completement resoluc.
On pourra do memo, en general, quel quo soit le nombre des
variables, rarnener la question proposee an eas oil Ton a une variable
de moins a considerer, et abaisser ensuite continuellement la diffi-
culte, jusqu a ee qvi elle disparaisse entierement. Ainsi, par exemplo,
si 772 represents le nombre des variables, on commencera par donner a
1 unc d elles, que je designerai par z, une valour arbitrairo, en deter
minant les a litres de maniere que la plus grande erreur dovionne un
minimum. Alors on obtioudra un systomo do valours pour losquolles
m erreurs differentes dcviendront egales outre olios et les plus grandos
de toutes. On fora onsuile variei ; de maniere a la ire do.croiTre la valour
commune dos erreurs dont il s agit, jusqu a oo (lu uno nouvelle erreur
parvienno a los egalor loufes, pour los surpassor ensuite. Aloi s on
obticndra une equation outre in -+- i orrours differentes; et Ton jugora
facilement si les valours dos variables dotormineos par cello equation
satisfont a la ({uostion proposee. Dans lo cas contraire, si Ton continue
a faire varior z loujours dans lo memo sons, imo nouvollo combinaison
de m errours remplacera la premiere; ot, en suivant la memo mai clio, on
tinira necessairement par arrivor a la solulion du problome. Lo cas oil,
pour uno memo valour de z, le nombre des erreurs egales onlro idles el
les plus grandos do toutes vieiulrait a surpjissoi m-f-i, no prosonlo
aucune difficulto qu il no soit toujours aise de resondre, au movon do
1 artifice employe pour cot nbjrl dans 1 hypothese do li-ois variables.
Lorsqu on a un soul element a corrigor, la motliodo precedente so
recluit a cello qu a donnoo lo P. Boscowich, j)ourvu quo Ton suppose la
premiere valour d.o z, (]ue Ton pout cboisir arbitrairement, ogalo h
1 iniini negatif. On pout neanmoins, dans ce cas, simplitier la solution,
en prenant j)our premiere valour de z cello, qui rend egales outre olios
les deux erreurs oil eetfe variable a le plus grand coefficient posilif (^t
leplus grand coefficient negatif.
36G MEM 01 HE S U K LE SYSTEME I) li VALKL KS
Si Ton a phisieurs elements a considerer, les ealculs deviennenl
beaucoup plus simples, dans le cas oil quelqu un de ccs elements a
le memo eoefficient, an signe pres, dans loutes les errcurs donnees.
Ainsi, par exemple, si Ton considere deux elements, et quo Ic coeffi
cient de 1 iin d onlrc eux suit toujours egal a H- i on a i, on arrive a
uno mclbode semblable a eelle qu a donnee M. Laplace pour deter
miner, relafivement a la Torre, la figure elliptique dans laquelle le plus
grand ecart des degres du meridien dovient, abstraction f aitc du signe,
nn minimum (A).
Jo joins ici la demonstration dos theoremes quo suppose la methodo
prt cedenle, et los tommies relatives aux cas les plus simples.
Je finirai par observer quo, dans I liypothese do deux et do trois
variables, la question proposeo pout recevoir uno interpretation geo-
metricjuo assox singuliere. Kile so reduit alors a Tun des deux pro-
blemos suivants :
Puor.LKMi-: I. -- Etant donnees les equations des droites qui forment les
cole s d nn poly gone, determiner le sommet le plus has du poly gone.
PUOULKMI-: II. -- Etanl donnees les equations des plans qui compose/it
les faces d un polyedre, determiner le somtnel le plus bas de cc meme
polyedre.
On pout encore resoudre, par la memo analyse, le probleme suivant :
Etant donnees les equations des plans qui composent les faces d une
pyramicle, deterrniuer la plus bassc de ses aretes (B).
ADDITIONS.
(A). Nous avons remarque ci-dessus quo les valours des variables
qui resolvent la question proposee rondo nt toujours egales entro olios
autant d erreurs, plus line, qu il y a d elemonts a considerer. On pour-
rait done., a la rigueur, decouvrir le systeme do valours demande, on
chorchant, parmi coux qui salislbnt a la condition precedente, celui
QU IL FACT ATTHIIIUER A DIVERS ELEMENTS, ETC. 367
qui rend la plus graiulc errcur an minimum; mais cctlc methode scrait
longue ot penible, ct Ic nombrc des operations qu ellc exigerait pour
1111 nombre m d elements serait egal au nombrc des combinaisons des
erreurs prises m -+- i a TO -hi. II est aise dc voir quel avantag-e la
methode precedemment exposee a sur celte derniere. Car, an lieu
d em plover tons les systemes dc valenrs des variables pour lesquels
m -f- 1 erreurs deviennent egales cntre elles, nous avons considere
seulement une partie de ceux on les erreurs egales deviennent en
mcme temps les plus grandes de toutos. On pent apprecicr eet a vantage
avcc quclquc exactitude a 1 aide d un tbeoreme assez rcmarq liable, e(
dont voici I enonce :
Soil touj ours 7n le nombre des elements f/ue I on considere. Supposons
(/lie I on combine succcsswerncjit les erreurs donne es u/ie a une, deu.r d
deux, trois d Irois, etc., en fin m -+- i a m -t- i, et </ue I on ait seidemi nt
e gard aux combinaisons formees d erreurs qui puissent devenir simidta-
nernejit les plus grandes de touLes; le nombre, total des eombinaisons oil
les erreurs cntreront en nombre impair surpassera d une unite le nombrc
des combinaisons ou les erreurs entreront en nombre pair.
Ainsi, par exempJe, si Ton a un seul element a eonsiderer, le nombre
des erreurs qui pourront devenir successivement les plus grandes de
loutes surpassera d une unite le nombrc des combinaisons deux a
deux. Si Ton a trois elements a eonsiderer, le nombre des erreurs, plus
le nombre des combinaisons trois a trois, surpassera d une unite le
nombre des combinaisons deux a deux, et ainsi de suite D ailleurs,
il est facile dc prouver quc le rapport du nombre des combinaisons m
a m au nombre des combinaisons m -f- i a m -+- 1 surpasse tonjours la
moitie du nombre des elements augmcnte de 1 unitc. ("ette inegalite,
jointeau tbeoreme ci-dessus enonce, suffitpour fa ire voir que le nombre
des combinaisons m + i a m + i n est pas d un ordre plus elcve que le
nombre des combinaisons m \ a in i, lorsqu on a seulement egard
aux combinaisons formees d crreurs qui deviennent simultanement les
plus grandes de toutcs. On demontre, par ec moyen, quc, dans le cas
368 MEMO IRE SUR LE SYSTEM E DE VALEURS
do deux variables, le nombre des operations qu exigc la methode pro-
posee croit sculement comme le nombre des errcnrs; tandis quc, par
I autre methode, il croitrait com mo le cube de ce dernier nombre. Do
memo, dans le cas de trois variables, le nombre d operations qu exigc
la premiere methodc n cst pas d un ordre plus elcve qne le carrc du
nombre dos observations, tandis quo, par 1 autre methode, il seraitdu
memo ordre (pie la quatriome puissance. En general, I ordre dont il
s agit est toujours abaisse par la premiere methode an moins de deux
unites. On pout moine faire voir que, dans plusieurs cas particuliers, le
nombre dos operations qu elle exigc croit seulcment comme le nombre
des ol)servalions. (rest ce qni a lieu, par exemplo, toutes les fois quo,
dans les orronrs donnees, les diverscs variables, a 1 exception d une on
do deux, ont partout le memo coefficient numerique.
Dans le oas oil 1 on no considere que deux variables, le nombre des
operations no pent jamais surpasser le double du nombre dos errcurs.
.le suis parvenu a ce theoreme par trois voies differentcs; mais uno
seule in a conduit a la determination du nombre dos operations qu on
est oblige dc la ire lorsque le nombre des variables est superieur a deux.
(BJ. Enfin, le theoreme de la page 867 renferme, comme cas parli-
culiers, les trois suivants :
i l)ans un poly gone onvert par ses deux extremites, le nombre des
cotes surpasse d Line unite le nombre des sommets.
2 Dans un polyedre ouvert par sa partie superieuie, le nombre des
faces, augmenle du nombre des sommels, surpasse d une unite le nombre
des aretes.
3 & I on re unil, les uns autour des aulres, plusieurs polyedres, les
uns jerme s, les autres ouverts, de telle matiiere que chaque face soil
commune a deux polyedres differenls, le nombre des polyedres, augments
du nombre des aretes, surpassera d line unite le nombre des faces aug-
77iente du nombre des sommels.
II resullo du premier theoreme que, dans tout polygone, le nombre
des sommels esl egal a celui des cotes. On (led nil. du deuxieme la rela-
OU JL FACT ATTR1BUEU A IHVEKS ELEMENTS, ETC. M!)
tion qu Euler a decouverte ontro los divers elements d un poly.edre
convcxc. Lc troisieiiie theoremc coincide avec un tlieoreme msere dans
un Memoirc quo j ai eu I lionm-ur, il y a trois ans, dc presenlcr a la
Classe, ct qu clle a daigne aecueillir favorablement.
La Geometric no saurait aller pins loin, parce qu elle se borne a lain-
varicr les trois dimensions de 1 espace. Mais I Analysc, en ramenant
les propositions quc nous venous d enoneer a la tbeorie des coinhi-
naisons, i ournif. le inoyon dc les etendre a un nonibrc quelromjiie de
variables.
DEMONSTRATION DES TIIEOKE.MES QUE SUPPOSE L\ METHODE liXPOSKK
DANS CE MEiMOIRE.
TIIKOIIEMK I. -- Qucl que soil le nornhre de.s elements renferrnes dans les
errears que I on considerc, si I on fail rarier, on. lou.s ces elements, on
settlement quelques-uns d en ire cux, ei que I on del ermine les raleiu-s des
elements rariables aiti rendenl la plus grande errenr tut minimum, pour
les valews dont il s agit, pliisie.urs ejTcitrs deviendronl a la fois exiles
en Ire elles el les plus grandes de tontes, et le nombre de ees dernieres sm-
passera toiijours an moins d une unite le. nombre des clenicnls variables.
Nota. - - On trouve, dans le calcnl des probabilitos, une demonstra
tion du iheoreme precedent, Ibndcc snr ce principc, que les valeurs
&ex,y, ~, ... <]ui rcndent la plus grande erreur un mininidin, rcmlcnt
aussi un minimum la sommo des puissances infinies des orj-curs. Mais
on pent aussi demontrer dircctement ce theoreme a 1 aide des consi
derations suivantes. Comme je supjiose (pj on ne i ait pas abslraction
du signe des erreurs, je regarderai une quantite negative j)lus grande
comirie plus petite qu une autrc quantite negative moindre.
Demonstration. -- Soieut a-, y, =, . . . les corrections des elemenls
que J on suppose variables, et designons par (, YJ, C, ... les valeurs
des elements qui rendent la plus grande erreur positive 1 un minimum.
Enfin soicnt e t , e.,, ..., e n les erreurs donnees en nonibrc egal ii //, e!
OKnvrcs dc C. S. II. t. I. /j ~
370 MEM 01 RE S U It LE SYSTEME DE VALEURS
supposons generalement
e,.= ,.-+ b,.x -f- c,.y -4- d,.z 4- . . . ,
quellc que soil lavaleurde /. Si Ton fait croitre-r, y, z, ... do quantites
arbitrages g, h, k, .... 1 accroissement de I orrcur e r sera
b,.g + c,./j 4- f/,./t 4- . . . .
Supposons maintenant que eette erreur devienne la plus grand e de
toutes pour les valeurs c, r r C, ... des variables x, y, z. II est aise de
.prouver que, pour ees memes valours, plusieurs autres errcurs e s , e c , ...
lui seront egales : car, si eeUe egalite n avait pas lieu, 1 erreur e r res-
tcrait la plus graude de toutes pour les valeurs de x, y, z, ... tres
rapprochees de c, YJ, C ..... D ailleurs, si Ton fait croitre H, r^ (,... de
quantites tres petites niais arbitraircs g, h, k, ..., on pourra toujours
fixer les signes de ees quantites de maniere que Paccroissement
de c r ou
b,.if 4- c,. /t -+- (I,, k 4- . . .
devienne negatif, et se change en uue diminution. Par suite, 1 erreur e r
ponrrait encore diininuer en restant la plus grande de toutes, et ;, YJ,
C, ... ue seraient pas les valeurs de a.-, y, --, ..., qui rendent la plus
grande erreur mi minimum, ce qui est contre 1 hypothese.
11 reste a faire voir que le nombre des erreurs qui deviendront
egales pour les valeurs :, YJ-, (, des variables x, y, z, . . . , sera tou
jours supericur au moius d unc unite a celui de ces mcmes variables.
IMI elfct, designons par in. le nombre des variables que Ton consi-
derc, ct soient
6 ,., C s , C t , . . .
les erreurs qui deviennent a la f ois egales entre ellcs et Jes plus
grandcs dc toutes, lorsqu on suppose
Si le nombre de ces erreurs surpasse m d unc unite, 1 equation multiple
Q U I L FA U T AT T R 1 B U E R A I) I V E R S E L E M E N T S , E T C . 37 1
suffira en general pour determiner completement les valours , YJ,
u, . . . des variables x, y, z, Mais, dans le cas contraire, on pourra
donrier a ces memes variables des valours tres rapprochees do , YJ,
(, ... qui satisfassent toujours a 1 equation dont il s agit, et pour les-
quellcs les errcurs e r , e s , e t , .., soient toujours les plus grandes de
toutos. Pour obtenir ces nouvelles valours, on fora croitre c, YJ, (, ...
de quantites tres petites mais indeterminees g, //, k, .... Los accrois-
sements correspondants des erreurs e r , e s , e t , ... soront
b r g + e,.h + d,.k + . . .,
b s g + e s li +- d s /."-+-...,
b t g~ + a t h +- d t k + . . . ,
et par bypotliese ils devront tons etre egaux cntrc ciix. Cetto egalile
determinera quelques-unes des quantites g, h, k, ... en ibnction dos
autres; et, si Ton eliniine les premieres de Tun des accroissements
dont il s agit, cellos qui resteront apres [ elimination soront entiere-
ment arbitraires. Au reste, le resultat sera le memo, quoLque soil
eelui des accroissements quo Ton considere; et il est aise do voir q IK-
CO resultat no renfermera pas do terme constant. Par suite, on don-
nant des signcs corivenables a colics des quantites g, h, k, ... qui s y
trouvent comprises, on pourra toujours la ire en sorte qu il soil negatif,
c est-a-dire qu il ropresontt 1 vine diminution. Ainsi, dans ce cas, los
erreurs e r , e s , e t , ... po.urraient encore diminuer on restant los |)his
grandes de toutes; et ^, YJ, (, ... no seraiont pas los valours do x, y,
z, ... (jiii rendent la plus grande crrcur un minimum; co qui esl
con ire I bypothese.
La demonstration precedents aurait lieu pareillcment, si, les errours
e r , e s , e c , ... etant on nombre egal a m + i, Fequation multiple
no suffisait pas pour determiner los valours dos- variables representees
372 MEMO IKE SUR LE SYSTEME I)E VALEURS
par
I Y], ?, ....
TIIKOKK.MF. 11. -- Le probleme qui fait 1 objel du precedent Memoire nc,
pen! jdjuais admettre qu une solution, a moms que d en admettre un
nombrr injini.
Demonstration. - Concevons quc Ton donne successiveincnt a z
Ionics les valours possibles dopuis --=c jusqu a -h sc, ct que pour
rhaquo valour do ^ on determine los autres variables x, y, z, . . . par la
condition (jiio la plus grandc orrour devienne un minimum. On aura
do cello maniere los minima dcs plus grandes orreurs correspondant
anx di verses valours do s, et Ton pourra toujours, par la methode pre-
eedonio, oblenir un minimum plus petit que ceux qui lo precedent et
eeux <]ui le snivenf. Ola pose, il sera faeilc do prouver qu aueun autrc
minimum no pout jouir do la memo propriete. En efTet, soil ( la valcur
di^ ; correspondant a celui que Ton considore; et supposons que Ton
donne sncccssivement a z toutos les valours possibles depuis z C
jusqu a s oc; jo dis quo lo ininimuni des plus grandes crreurs ira
toujours on croissant. Car, s il on etait autrement, ee minimum cesse-
raii do croitre pour une certaine valour do z quo jo designerai par y.
Soienl maintenant e p , e, r e,., ... les orreurs qui sont egales outre elles
(*( les phis grandes do toules pour les valours do a-, v, . . . qui rcndent
la plus grande orreur un minimum, au moment oil z est sur le point
d atteindre la valour y. Cos erreurs seront en nombre egal a celui des
variables .r, y, z, ...; et, par suite, quelle que soil la valour do z,
I equation
determinera toujours les valours do x ct do y qui rendcnt un minimum
la plus grande des erreurs e p , e r e r , ---- En vertu do cettc meme equa
tion, l(>s valours do x, y, ... devenanl proportiounellcs a z, la valeur
commune des erreurs e.,, e r/ , e r , ... dcviendra aussi proportionuelle a z;
ot, puisque cofto valour augmente lorsque 5 cst sur le point d atteindre
la valour y, olio augmentera encore lorsqu on fora croitre z au dela
QU IL FAUT ATTRIHUEU A DIVERS ELEMENTS, ETC. 373
do y. Ainsi, lorsqu on so borno a considcrer Ics crrours e p , e, r e,., . . . ,
si pour la valour y do z lo minimum dcs plus grandes orreurs est
designe par M, pour uno valour do z superieurc a y, co minimum
deviendra superieur a M. Supposons maintcnant qu au lion do consi-
derer seuleinent los orrours e /)t e r e,., . . ., on ait a la fois egard a toutes
los orrours donnees. Lo minimum dos plus grandos crrours corrcspon-
dant a unc valour don nee do z no pourra qu augmonter lorsqu on
passera do la premiere hypolhe.se a la seeonde. Par suite, dans co
dernier cas, pour dos valours do s superiouros a y, lo minimum dos
plus grandos orrours sera toujours superieur a M. Co minimum no
pourra done ccsscr do eroitro pour uno ecrtaine valour y do c. 3fais
an contrairo il ira toujours on croissant dopuis s = % jusqu a z = x>.
On prouvorait do memo qu il croitra toujours dopuis z = ^ jusqu a
z -=c. Ainsi, parmi los minima eorrospondant aux divorsos valours
do s, un soul osi, plus petit quo ceux qui le precedent et ccux qui I* 1
suivont, et colui-la soul resout la question proposeo.
La demonstration precedents suppose quo, z vcnant l\ varior do part
et d autre do u, lo minimum dos plus grandes erreurs commence a
croitrc dos quo Ton donne a z uno valour plus grande ou plus polite
quo c. Mais il pourrait arriver qu avant do eroitro lo minimum donl il
s agit rostat quelque temps stationnairo. Alors on obtiondrait uno infi
nite do minima tons egaux outre eux, ot correspondant a une infinite
do valours do ^. Dans tons los cas, dos qu une fois lo minimum dos
plus grandes erreurs a commence a eroitro, il no pout plus s arreter.
Ainsi, lorsquc la question devient indeterminee, toules les valours
do z qui la resolvent so trouvont comprises outre deux limitos donnees,
ot le minimum dos plus grandos orrours conserve loujours la memo
valour entrc cos deux 1 unites.
THEORME 111. -- Si/.pposo/is gue I erreur c p devienne la plus grande de
Louies : j pour les valeurs a,, ,, y,, . . . de &, y, 5, . . . ; 2 pour les
valeurs a 2 , o 2 , y.,, ... dcs jn.em.es variables; si Von designe. par a une
valeur de x comprise e ntre. a, et a,, et par 6", y, ... les valeurs cojTc.spon-
37/i MEMOIRE S U R LE SYSTEME DE VALEURS
dantes qu on obtient pour y, z, ... en faisant x = a dans les equations
,r g i _ _z_^i }
c, 6j a 2 a,
3 7i _ ~ a
72 - 7!
I erreur e p sera encore la plus grande de tout es pour les valeurs a, 6, y, ..
r/tf.v variables x, r, r-
Demonstration. - - En cifet, supposons quc Ton donne successive
ineiit ii ^ tonics les valours possibles depuis x- -GO jusqu h :r = 4- oc
cl (f.ue pour chaquc valour do x on determine Ics valours de y, z-, ..
par los equations
on obtiondra nno infinite do systemes do valours de x, y, z, ... parmi
lesqiiels sc tronveront eompris les trois systemes
Do phis, quel quo soit le systeme quo Ton eonsidore, la difference
entre I erreur c. p et nno autre errour quelconque c q sera un polynome
du premier degre en x, y, --, . . . ; et, si Ton y substitue pour r, z, . . .
lours valeurs en x deduitos des equations (i), eotte difference doviendra
sirnplement un polynome on x du premier degre ou de la forme
A.& + B.
Maintenant, si ce polynome rcste positif pour les valeurs a, et a.,
de x, il est. clair qu il sera encore positif pour toule valour do x com
prise entre a, et a 2 . Si done I erreur^ est superieure a touto autre c t/
QU IL FAUT ATTRIBUER A DIVERS ELEMENTS, ETC. 375
pour les deux systemes
a,, 6,, yi, ...,
a,, 6 2 , y->, ...,
olio sera encore superieure a toutes les autrcs pour le system e
a, 6, y,
Corollaire I. Si deux, trois, ..., ou LIU plus grand n ombre
d erreurs e. p , e, r e r , ... sont egales entre elles et les plus grandes de
toutes : i pour les vale LI rs a,, 6,, y ( , ... des variables x, y, z, ...;
2 pour les valeurs a.,, ^, y a , ... <lcs monies variables, elles jouiront
encore de la memo propriete pour les valeurs a, 6, -y, ... de x, r, s,
pourvu toutefois que ces valeurs satisfassent aux equations (i), et quo a
soit comprise entre a, et a.,.
l{u efi et, ce qu on a clit ci-dessus de 1 crreur c p pent s appliqucr ega-
lenienl aux erreurs e q , e r , .... De plus, chacunc des differences
S> (>
p I >
devenant, en vertu des equations (i), un polynome en x du premier
degre, ne pent etre nullc pour les valeurs a, et a., de x sans etre egale-
mcnt nulle pour toute autre valour a de la memo variable. Par suite, les
erreurs c p , e, r e r , ... restent constamment egales entre elles pour tons
les systemes de valeurs de x, y, z, ... qui satisfont aux equations (i).
Corollaire II. --Si, pour la valour a, de la variable x, on peut deter
miner les autres variables v, z, ..., de maniere quo I erreur^devienne
la plus grande de toutes, el qu on parvienne a remplir la memo condi
tion en dormant a x la valour a.,; on pourra encore y parvenir en don-
nant a x une quelconque des valeurs comprises entre a, et a 2 .
Corollaire III. - Si, pour les valeurs a, et a 2 do la variable x, on
peut determiner les aulres variables j, z, ..., de maniere que les
376 MEMOIR E SUR LE SYSTEM E I) E VALEURS
erreurs e y ,, e q , e,., ... deviennent simultanement superieures a toutes
les a litres, on pourra encore rcmplir la memc condition en donnant
a x une quelconquc ties valeurs comprises entre y.^ et a*.
Corollaire IV. Si Ton considere une combinaison f ormee de
/ crreurs c p , e q , e r , ..., et que, pour deux systemes de valeurs diffe-
rents des variables x, y, z toutes les erreurs qui forment cctto
combinaison deviennent egales entre ellcs et les plus grandes de
toutes, on pourra, en passant de 1 un a 1 autrc systeme par degres
insensibles, obtenir une infinite de systemes differents tons compris
entre les deux premiers, et pour lesquels les erreurs e p , e q , e,., ...
restcront les plus grandes tie toutes. De plus, pour cbacun de ces
systemes, les valeurs de x, y, ^, ... satisforont toujours a [ equation
multiple
(]ette equation multiple detcrminera plusieurs des variables x, Y,
r, . . . en fonctions des auti es, et le nombre de celles qui seront ainsi
determinees sera, en general, inlerieur d une unite an nombre des
erreurs e j} , e g , c r c est-a-dire egal ii
.Mais ii pourra devenir rnoindre. Si Ton designe ce nombre par k i,
k sera ce que nous appellerons desormais Yordre de la combinaison
formee avec les erreurs c jt , e r e,., .... Get ordre indiquera done, en
general, le nombre des erreurs renfermees dans la combinaison que
Ton considere; mais il pent lui devenir inferieur, sans etre pourtant
jamais nnl. 11 se reduirait a Funite, si Ton avait /= i, c cst-a-dirc si
Ton se bornait a considercr une erreur isolee.
Dans ce qui suivra, nous ne nous occuperons plus que des erreurs
qui deviennent les plus grandes de toutes, ou des combinaisons f or-
mees d erreurs qui jouissent simultanement de cette propriete. Comme
pour un systeme quelconque de valeurs de x, y, z, ... il est necessaire
(ju iine, ou deux, ou irois. ... ou un plus grand nombre d erreurs
QU II, FAUT ATTRIBUER A DIVERS ELEMENTS, ETC. 377
deviennent superieures a toutes les autres, a cliaque syslemo do valours
repondra toujours uuo combinaison (J LHI certain ordrc. Cola pose, il
suit do cc qui precede quo los differents syslemcs qui corrcspondenl a
11110 memo combinaison sont toujours minis on un memo Croupe el,
par consequent, renfermes onlro ccrlaincs limites. La determination
do ces lirnitcs est 1 objet do la proposition suivante :
TIIEORKME IV. - - Les sy si ernes de valeurs de x, y, z, ... f/i/i corrcs
pondenl aux combinaisons de, I ordrc k out pour Unities respective^ les
systemes gui correspondent aux combinaisons de I ordrc k -f- i .
Demonstration. -- En effet, considerons d abord los erreurs simples,
(Mi ayan t soulomont egard a cellos qui peuvent dovonir, ehaeuno
separement, superieures a toutes les autros. Com me il ost nocossain 1
quo chaqnc systeme de valours corresponde au moins ii Tuno do cos
erreurs, tons les systemcs de valours possibles sc trouvoront reparlis
par groupes, si jo puis ainsi in exprimer, onlro los divorsos erreurs don!
il s agit. Dans quelques-uns de cos groupes, los valours dos variables
rcsteront toujours finies. Dans d aulros, olios pourront s otondi i 1 \\
1 infini. De plus, commc on no pourra sortir d un grotipe sans passer
dans un autro, cbaquo groupe sera nocossairemont en to lire do plu-
sieurs autres, qui lui seront voisins ou contigus. Cela pose, los sys-
temes qui sont com minis a deux groupes voisins ct qui correspondent
aux combinaisons du douxiemo ordre seront evidemment los limilos dos
erreurs qui correspondent aux erreurs simples ou aux combinaisons
du premier ordre. Si Ton designe sous lo nom fterreurs contigues cellos
qui correspondent a dos groupes voisins, on pourra dire encore quo
deux erreurs contigues out toujours pour limitc commune une combi
naison du deuxieme ordre.
Les differents systemes qui correspondent aux combinaisons du
deuxieme ordre, commo coux qui correspondent aux erreurs simples,
peuvcnt, dans certains cas, n admettre quo des valours finies dos
variables, et, dans d aulres cas, plusieurs de ces systemes pom-rout
s etendre a 1 inh ni. Si Ton designe sous le nom (V erreurs et conibi-
Of.ticr,-s </<: C. S. II. t. I. /1 8
378 M E M (.) I K E S U J { L E SYS T EM E J) E VA L E U K S
naisons de/inies cellos qui no pouvent corrospondre (fii h clos systomes
do valours finios dos variables, ot cellos qui sont dans Jo cas contrairc
sous Jo nom d erreurs ot cojnbinai so/is indefuiies, on roconnaitra sans
peino qu uno combinaison indefiuie du deuxiemo ordro no pout servir
do limile qu a deux orrours indefluics.
Considerons maintenant Jos divorsos combinaisons du douxiomo
ordro qui sorvonf, do limiles a uno memo orrour simple, ot supposons
<{iio 1 ou paroouro los differents systemes qui correspondent a cos com
binaisons d uno manioro continue, c cst-a-dire on faisant croitrc on
tliminuer los variables par degres insonsibles. Comme, dans co cas, on
no pourra quitter les systomos qui correspondent a uno combinaison
du deuxieme ordro sans roncontror coux (jui correspondent a unc autre
combinaison du deuxieme ordro, on (rouvora dans lo passage des uns
aux autres des systemes intermediaircs qui lour servirontdo limitos.
Cos systomes intermediaires soront ceux qui correspondent aux com
binaisons du troisieme ordre. Si Ton appello combinaiso7is contigues
<ln deuxieme ordre cellos qui correspondent a des systomes voisins,
on pourra dire quo deux combinaisons continues du deuxiome ordro
1 O
out toujours pour limilo commune uno combinaison du troisieme
ordre.
Jin continuant do memo, on iorait voir quo los systomes correspon-
dant a une combinaison do 1 ordre k out toujours pour limitos d autrcs
systemes correspondant a des combinaisons do I ordrc k -f- 1; ce qu on
peutaussi exprimer on disant qu une combinaison do I ordrc k a tou
jours pour limitos d autres combinaisons do I ordrc A-f-i. Do plus, ccs
limitos appartiennent a la Ibis a la combinaison donneo ot a d autros
combinaisons voisiuos ou contigues. Knfin, uno combiuaison indefinie
do 1 ordre k + i no pent servir do limite qu a des combinaisons inde-
finies de I ordrc k.
Si 1 on designo par m le nombre des variables donnecs, m-{-i k
sera le nombre des variables qui restent arbitrages dans les systemes
qui correspondent a uno combinaison do 1 ordre k. Par suite, il no
restcra qu une seule variable arbitrage dans les systomos corrcspon-
QU IL FAUT ATTRIHUER A DIVERS ELEMENTS, ETC. ;$7<)
dant aux combinaisons do 1 ordro m. Les divorses valours quo cotto
variable pourra rccovoir seront comprises outre deux limitos fixes,
dont 1 uno pourra s etendre a 1 infini; ot chacune do cos limitos, lors-
qu clle sera finic, determine, pour los variables x, y, , . . ., tin
systeme do valours correspondant a uue combinaison do 1 ordro m-\-\ .
Ainsi toute combinaison de 1 ordrc m a pour li mites deux combinaisons
do 1 ordrc m-+-i, a nioins qu ii 1 uno do cos limitos los valours dos
variables no dovionnont infinios; el, dans co oas, Tautro limito esl
toujours line combinaison de 1 ordre w-hi.
Si Ton considere maiutenant los combinaisons do co dernier ordre,
on trouvera quo, dans los systemos correspondants, il no rcste plus do
variables arbitraires, inais quo los variables y sont ontioremont deter-
minees. Cos combinaisons sont done do 1 ordro le plus eleve quo Ton
puisso admottre. He plus, on a fail voir quo c etait parmi los systemos
correspondant aux combinaisons do cot ordre qu on devait eborcliei-
colui qui resout la question proposce; et la inetliodo quo nous avons
indiquee pour la solution du problome so, reduil en ellbt a essayer
successivoment plusicurs des combinaisons dont il s a^it. Lo n ombre
do cos essais a done pour limito le nornbro dos combinaisons do
I ordre /?/-+- i, ot il no saurait croilre plus rapideinent quo ee dernier
nombre. Ainsi, pour avoir une limito. du noinbro d essais quo la
inotbode oxigc, il itnporte do savoir comment le nombre des combi
naisons de 1 ordro m -f- 1 croit avec le nombre des errours simples.
Nous donnorons, ii cot egard, los tbeoromes stiivants :
THKORKME V . Qiiel qu.e .soil le Jiombre des elements f/ue I on. considere,
le nombre des combinaisons d ordre impair snrpassera loujours d une
ujiite le nombre des combinaisons d ordre pair.
(On suppose toujours quo Ton ait seulemont egard aux combinai
sons rbrmoes d erreurs qui puissont dovonir simultanemenl los plus
gran des do toutos.)
Demonstration. -- II suit du tbeoreme precedent : i quo los errours
simples, comparees outre olios deux a deux, out pour limitos rospoc-
380 MEM 01 RE S U [I LE SYSTEME DE VALEURS
tivos les combinaisons flu deuxieme ordrc.; 2 quo les combinaisons
tin douxieme ordrc qui servcnt do limites a line ineme orreur, etant
eompareos deux a deux, out pour limitos rospectivos dos combinaisons
(lu troisiomo ordrc, etc. On trouvora dc meme quo los combinaisons
du troisieme ordrc qui servcnt dc limitcs a unc memo combinaison du
douxiemo ordrc, etant comparers cntrc olios deux a deux, out pour
limites respectives des combinaisons du quatriome orflre, etc.; et, si
Ton desiguc toujours par m le nombre dcs elements variables, on
vcrra encore (|iie les combinaisons do 1 ordre in qui serventde limitcs
a une memo combinaison dc 1 ordre m i out pour limites respec
tives des combinaisons do 1 ordre m -\- i . Enfin chaque combinaison
do 1 ordre m aura pour limites deux combinaisons dc 1 ordre m -+- i, a
moius quo Tune fie cos limites no s eloigne vcrs 1 infini. Si done on aug-
mcnte d une unite le nombre total des combinaisons do 1 ordre m +- T ,
pour tcnir lieu dcs limites qui divergent vers 1 infini, on so trouvcra
place dans des circonstances tout a fait scmblables a cellos qui auraicnt
lieu, si Ton n avait a considerer que des crreurs et des combinaisons
definies.
(lela pose, designons respectivoment par
.M, le nombre des erreurs simples on combinaisons du premier ordre,
.M., le uombre des combinaisons du deuxieme ordre,
5
M m le nombre des combinaisons du m iem( ordrc,
M.,+i le nombre des combinaisons du (m -i- i)" mo ordrc.
M, H+ , + i sera ce dernier nombre augmentc de I unite; et, pour
demontrer le theoreme ci-dessus enonce, il sutfira de fa ire voir que
Ton a
(0 M, + M, + . . . H- M /M - M,+ M 4 4- . . . + (M, w+1 + i),
si m est un uombre impair, ct
(2) M 1 H-M 3 + ...-h(M wl+1 + i) = M s -hM 4 -+-... + (M wt -+-2),
si in est un uombre pair.
QU lL FAUT ATTRIHUER A DIVERS ELEMENTS, ETC. 381
Ces deux equations sont comprises dans la suivantc
(3) M i -M i +M 3 -...M m ^M m+l = i,
dont il iaut prouver 1 exactitude.
J observe d abord quc, si Ic theoreme re n ferine dans cctte equation
est vrai, qucl que soit m, relativement an nombre total dcs errours
que Ton considere et do leurs combinaisons respective^, il subsisting
encore entre les combinaisons du dcuxieme ordrc on d un ordre plus
eleve, qni appartiennent a une memo erreur indefinie. Ainsi, par
exernplc, si 1 on designe par
P P P i> P
r 2> l 3 l 4> > */>M I in-t-l
les combinaisons des divers ordres dans lesquelles entre 1 erreur inde-
finic c p , on aura
(4) P,-P,H-P 4 --...q:P Jll P -1+1 = i.
On voit en efTet, par ce qui a etc dit plus haut, que les conditiojis
auxquclles doivent satisfaire les quantites P,, P,, ..., P ;n . P w+l sont
entierement semblables a colics anxquelles sont assnjetlies les quan
tites M Mo, ... , M /rt+1 . Si done cos conditions suffi sent pour etablir,
relativement a la derniere espece dc quantites, le theoreme propose,
ellcs suffiront aussi pour 1 etablir relativement a la premiere.
Si Ferreur e p , an lieu d etre unc erreur indefinie, etait une erreur
definie, il faudrait, en vertn do la remarque faite ci-dessus, diminuer
d une unite le nombre des combinaisons do 1 ordre le plus eleve el,
par suite, I equation (/j) deviendrait
(5) P 2 -P 8 +P 4 -...+ P /M (P WM -i)=i,
equation dans laquelle on doit admettre le signe superieur, si m est
un nombre impair, et le signe inferieur dans le cas contraire.
11 est encore bon de reinarquer que le theoreme renferme dans
I equation (3) n est qu un cas particulicr d un antre theoreme plus
general, dont voici 1 enonce :
Supposons que parmi les erreurs donnees on en choisisse plusieurs e p ,
;182 MEMO IRE SUK LE SYSTEMS DE VALKURS
c , e,., . . . , foiiles continues les unes aux autres, el. designons respective-
me/it par
NI, jV>, N :i , . .., N,,,, N,,,-M
les nombres de ces memes erreurs el des combinaisons f/ii.i les renferment,
en ay ant, soin toulefois d augmenter le nombre des combinaisons de
I ordre m -h i d une unite; si, par mi les erreurs e f> , e v , e n ... il s en
irowe (juelques-unes d inde Jinies, on aura (on/ours
( 6 ) N , \i -+- N ; , ... N,,, qi N,,,+., ~ i ;
le signe stiperieur decant el re admis /orsc/ue m sera un nombre impair,
el le signe inferieur lorsque in sera u/i nombre. pair,
Pour (leduii C roqnatioii (3) <!<> [ equation (6), il suflira do supposer
(|iK i la siM-io ties erreurs e /it e q , e, reulernu 1 tonics les erreurs defiuies
el indefinies, \\ rexeeption d une seule. On a en elfel, dans eelte hypo-
tliese,
\,~M, i, Nj=M 8 , N 3 M 3 , ..., N,, ( M /H , N wl+ i = M w +, + i;
el ees valours, substiluees dans rcquation (6), reproduisent I equa-
tion (3).
Si 1 equalion (6) etait nnc (bis demontree, en Ini appliquant Jes
raisonnements qui ont servi a (hnluire [ equation (4) do 1 equation (3),
on obtiendrait le theoremc suivant :
Soit e t> une errenr qiielconque. Soie/il e q , e r , e s , ... plusieurs autres
erreurs definies OIL indefinies, contigu.es entre elles et a I errenr e s , el
designons par
J>1> /^ ! / //i Pn> + \
les nombres de combinaisons des divers ordres ou enlrenl , avec I erreur e p ,
une ou. plnsieurs des erreurs e q , e r , e s , . . . , en ay ant soin toulefois d aug-
menler le dernier Jiomhre d une unite, si (/ne/ques-fines des combinaisons
(/ue l o/i considere sont indefinies; on aura
(7) I^. Jh-^/^ - -T PmPm
O U I L FA U T AT T R 1 R U E R A 1) I V E R S E L E M E N T S , E T . 383
le sigtie superieur devanl prevaloir si m esl an nombre impair, el le signe
inferieur dans le cas cojitraire.
11 est facile do reconnaitre quo colic derniere equation re n form o los
equations (4) ot (5), tout commo 1 equation (6) ron forme liqua
tion (3).
Le theoreme ren ferme dans 1 equation (4), et tons les autres theo-
remes rapportes ci-dessus, roposont uniquomont, comme on vionl do lo
voir, sur celui quo ronfcrme 1 equation (6). 11 suffira done do domoutror
co dernier pour etablir tons les autres.
Cela pose, concevons d abord quo lo theoreme ronforme dans 1 equa-
fion (6) ail etc demontre pour un nombre d elements inferieur d nm-
unite a colui quo 1 ou considero, ou egal a in i . Los equations (/j),
(5) 01(7) se-trouveront, par la memo, suffisammont ofablios; ot, par
suite, si Ton dosigno par e p nno orrour definie quelconque, et par
P P i> i>
3 * 8 L /in I ni-t- ],
los nombres do combinaisons dcs divers ordros qui ronfcrmont col to
memo orrour, on aura
Soit maintonant e q une autrc orreur definie, contiguo a 1 orrour e ,:
designons par
Q, Q 3 , 0, -, Q Q + ,
les nombres dc combinaisons dos divers ordres qui ronformonl
1 errour e q , ot par
Q 2 -Q;, Qa-Q;, ..., Q m -Q M , Q m+l -Q m+l
los nombres do cellos qui renfermont 1 orrour e v avec 1 orreur e ft \
Qi, o;, ..., Q; W , Q /H+1
seront los nombres do colics qui renfcrment Torrcur e v sans I orroiirr,.
On aura d ai Hours, en vertu do 1 equation (5),
38i MEMO! HE S U II LE SYSTEME J)E VALEURS
et, en vortu do 1 equation (7),
(Q ? Q;)-(Q 3 Q;)H-.--(Q;+i-Q , w+ i)^ .
Si Ton rotranelio cos deux equations rune do I autre, on trouvora
oncoro uno troisieme orreur definic e r cont.igue a 1 uno
dos doux premieres, ou a toutes los doux ensemble. Designons par
R 2 , R 3 , -.-, 1C, R,,,+t
los nombres do combinaisons dos divers ordres oil enlre I orrour e. r ,
o( par
K:, R ( ;, .... ic, ic.,
los nombres do combinaisons oil olio outre sans auouno dos errenrs e ]t ,
c., t \ on aura, on voi lu dos equations (5) et (7),
R l _H J 4-...qpR, ll :(R / ^ 1 i) = i,
( R ,_ u: ) - ( R S - R; > + . . . q= ( R W - ic ) i R+, - i-C. , ) = i ,
ct. |)ar suite,
ir; -H;;+U: --... = R;, iC +1 ^>.
I-]n continuant do memo, et considerant succe.ssivement plusieurs
orrours dciinios e p , e y , e,., e s , ..., on obtiendra uno suite d equations
somblablcs aux equations (8) et (9). D ailleurs, si Ton designo |>ar N
io nombro dos ernuirs e p , e q , e r , .... et par
N 2 , JV 3 , .... X /IM N //I4 .,
los nombres do combinaisons dos divers ordres qui renfermcnl cos
memes orrours, on aura evidemment
N, --: I 4-1 -hi -+-...,
P/
p /JJ+ ,
QU lL FACT ATTRIKUEK A DIVERS ELEMENTS, ETC. 385
Gcla pose, si Ton ajoute entre cllcs les equations (5), (8), (9), . . . on
P 2 - P 3 + P 4 -. -Hh P (P/-M -) = ,
on aura 1 equation (G), savoir
N,_- N 3 4-N t -. . .=j= N w (N,,,+, - i) = N,,
ou, ce ijui rovient an meme,
N, N 2 -4- N 3 . . . N;,, qp N //I+1 qr i .
Si, panni les erreurs <? ; ,, e (/ , e,. t ... quo nous avons supposees tonics
definies, quelques-unes devcnaient indefinies, il suffirait, pour avoir
egard a cetle circonstanco, d augmenter, dans 1 equation precedente,
la valcur dc N ,.,., d une unite.
II resulti 1 des ealculs precedents quo si [ equation ((>) est vraie pour
un nombre de variables egal a m i , elle sera encore vraie pour tin
nombre de variables egal a in. D ailleurs, si le nombre do variables si
red u it a Tunite, cbaque erreur aura pour liinites deux combinaisons
du deuxieine ordre; et ebaque combinaison du denxieine ordre sera
une limite commune a deux erreurs contigues. Alors, si Ton eonsi-
dere plusieurs erreurs definies et contigues en nombre egal a X,. et
quo X., soit le nombre des combinaisons du deuxieme ordre ou ellcs se
trouvcnt comprises, on aura evidemment
(^ar, toutes les erreurs dont il s agit se trouvant alors renfermees entre
deux liinites detenninees, si Ton fait croitre la variable unique de-
puis la premiere limite jusqu a la seconde, les diverses valeurs de
cette variable correspondront successivement : i a la combinaison du
deuxieme ordre qui forme la premiere limite; 2 a une des erreurs
quo Ton considere; 3 a line uouvelle combinaison du deuxieme
GEia-rcs de C. S. II. t. 1. 4<J
386 MEMO IKE SUK LE SYSTEM E I)E VALEURS
ordre; 4 a une autrc erreur, etc.; enfin, a la combinaison du deuxieme
ordro qui forme la derniero liniito. Mais comino, avant d arriver a cette
dorniere combinaison, on aura rencontre alternativcment des combi-
naisons ot des errours, il on resnlte quo Jo noinbre dos combinaisons
surpasscra d uno. unite eelui des erreurs quo Ton considere. On aura
done,
N 2 :=Ni-i-i ou N! N 2 i.
L equation ((>), titan I ainsi verifiec pour le eas d une variable, sera
vraio, en vertu do ee qui precede, pour le eas do deux variables et, par
suite, pour le eas do trois, do quatre, etc., ot, en general, d un nombre
quclconquc do variables.
L equation (6) etant vraio, I equation (3) lo sera egalement, puisque,
pour 1 obtenir, il suffira do supposcr dans 1 equation ((>) Je nombre
des erreurs e jn e <r e r , ... egal au nombre total dos erreurs definies et
indefinies diminue d une nnile.
Scholie. - Nous avons deja remarque ( interpretation geometrique
(jiio pouvait reccvoir lo theoreme (3) dans lo eas on Ton considere
une, deux, ou trois variables. On pout aussi presenter cc theoreme
sous une forme a la fois simple ct analytiquc, quel quo soit le nombre
des variables, en Fenonc,ant comme il suit.
Supposons qu ayant combine entre eux, do divcrses inanieres, un a
un, deux a deux, trois a (rois, ...,/?? a ni les indices
i, 2, 3, ..., M,,
on forme do cos combinaisons plusieurs series on nombre egal a m.
Soient respectivement
[I] i, a, 3, ..., M,, .
1-1 I> >, 3 , M,
cos memes series, quc nous indiquerons rospcctivemo.nl par les nu
meros fl|, [2], [3], ..., [m i], [m], et dont chaque terme repre
QU IL FAUT ATTKIBUER A J)JVEHS ELEMENTS, ETC. 387
scnte uno des combinaisons dont il s agit. Supposons, do plus, quc,
la premiere serie etant uniquement composee des indices eux-memes,
chaque tcrmc de la deuxieme soit forme par la reunion de deux indices,
et que les termes de 1 une quelconque des autres series comprennent
chacun les indices renf ermes dans deux ou plusieurs termes de la
serie precedence, de maniere qu on tinisse ton jours par epuiser los
termes d une serie, en ecrivaut successivcment a cote les uns des
autres ceux auxquels un ou plusieurs termes de la serie precedents
appartiennent en com num. Supposons ensuite que Ton supprime, dans
les series [2], |3], ..., \m\ : i (ous les termes qui ne renferment pas
1 indice a; 2 I indice a et tons ceux qui ne se (rouvent pas avee
1 indice a dans un des tej ines de la serie 2|; et qu apres les suppres
sions dont il s agit, les series [2], [3|. pi] | m \ remplissent les
memes conditions auxquelles satisfaisaient precedemment les series
[l|, [2|, [3], ..., \m \ \. Supposons encore que Ton supprime de
nouveau, dans les series |3], 1 1 | \ m \ [0 tons les termes qui ne
renferment pas I indice ; 2 I indice ( j et tons ceux qui ne se trouvent
pas avec I indice 6" dans un des lermes de la serie |3|; et qu apres cos
nouvelles suppressions, les series [3 j, \ \ \ 7n \ remplissent les con
ditions auxquelles satisfaisaient en premier lieu les series [ I ], [2j, ....
\rn 2]; enfin quo Ton ait opere, avec le memo succes, plusieurs
suppressions consecutives semblables aux precedentes, de maniere u
no conserver que les series \m -- I | et |/^J, reduites, la premiere, a
une serie d iudices isoles, et la deuxieme, a des combinaisons de cos
memes indices considered deux a deux; et concevons quo, dans cette
hypothese, chaque indice de la s( i rie \tn Ij reparaisse dans deux
termes differents de la serie [w]. Si les suppressions ci-dessus indi-
quees reussissent egalement quels (jiie soient les indices a, , ..., et
quo! que soit 1 ordre etabli outre cos memes indices, alors, en desi-
gnant par
M,, M,, M 3 , ..., M m _,, M w ,
los nombres des termes des series
[I], [2]. [3], [/w-1], [/!,
388 MEMOIRE SUB LE SYSTEME DE VALEURS
on aura
(.o) M, - M,-h M,-. . .- M w _, - ( M WI - = i,
le signt 1 superiour devant otro admis, si m cst pair, et le signc inf e-
I iour, si m cst un noinbro impair. Nous avons ici diminue M,, ? d nno
unite, parce quo le cas quo nous considerons rcpond a celui oil toutos
les erreurs seraienl definies.
Exemple. -- Considerons les trois series do combinaisons
I 1 ]
[2]
[3]
3, 4, 5, 6,
( ,2), (,3), (3,3), (4,5), (4,6), (5,6), (i,4), ( 2 ,5), (3,6),
(i,2,3), (4,5,6), (.,4,2,5), (2,5,3,6), (i,4,3,6).
11 cst i acile de voir que ces trois series satisfont aux conditions exi-
gees. Car : i Les termes de la deuxieme resultcnt des combinaisons
eux a deux des termes de la premiere, et chaqne terme de la troisiemo
rcnfermc les indices eompris dans deux termes dc la deuxieme. 2 Si,
lans les series [2] et [3], on supprime tons les termes qui ne ren-
fermcnt pas 1 indice i, et que, dans les autres termes, on conserve
seulement les indices -2, 3 ct 4 qui sont ren formes, avec 1 indice i,
dans le priMnier, le deuxieme et le septieine terme de la serie |"2J; les
series [2| et [3J deviendront
[-2]
[3]
? . ^, 4,
(2,3), ( 2 ,4), (3,4).
Par suite, la serie [2] ne sera plus formec quo d indices isoles; la
serie [3], quo des combinaisons deux a deux de ces memes indices; et,
de plus, chaque terme de la serie [2] sera eompris dans deux termes
differents de la serie [3]. 3 II est facile de s assurcr qu on obtiendra
des resultats semblables si, au lieu de supprimcr les lermcs qui ne
renferment pas 1 indice i, on supprime ceux qui ne renferment pas
I un quelconque des autres indices 2, 3, 4, .... /, Enfin, avant ou apres
les suppressions, on pent epuiser tons les termes de la serie (3), en
QU IL FAUT ATTRIBUEU A DIVERS ELEMENTS, ETC. 389
ecrivant a la suite les uns cles a litres ccnx auxqucls apparticnnent en
commun un on plusieurs tcrmcs do la serie [2]; ct les tonnes de la
deuxieme serie jouissent encore de la meme propriete relativemont a
ccux de la premiere. Cela pose, comrnc les nombrcs de termes des series
[1], [2], [3]
sont respective men t
6, 9, 5,
on doit avoir, en vertu de Feguation (10),
6 9 4- (5 i) i,
cc qui est exact.
TifkORKME VI. Si I on de signe par m le, nombre des elements variables,
c/iague etrcur definie. se trouvera comprise an mains dans ?n -+- i combi
naisons de I ordre in -f- i .
Demonstration. - i Si Ton no considere d abord qn un soul ele
ment, chaquc erreur definie aura pour limites deux combinaisons du
deuxieme ordre, ce qui verifie le theorerne enonce.
2 Supposons que Ton considere deux elements; et soit e p une
erreur definie quelconque. Soit (e p , e y ) une des combinaisons du
deuxieme ordre qui lui servent de limites. (lette combinaison du
deuxieme ordre aura elle-meme pour limites deux combinaisons du
troisieme ordre, que nous desi gnerons par
(e,,, e t/ , e r ), (e,,, e q , e s ).
Soient a,, % t ; a 2 , 6. 2 les valeurs des deux variables donnees x, y, qui
satisfont aux deux equations doubles
/> p p /) p
p c ( j c ; . ? Cp o q c s - ,
[ equation e f> c (/ sera equivalente a celle-ci
a., -a, to, o,
390 MEMOIRE SUK LE SYSTEME DE VALEURS
et, si Ton donne aux variables x et y des valeurs qui satisfassent a cette
equation, x etant compris entre a, et a 2 , les deux erreurs e p , e q devien-
dront simultanenienl les plus grandes de toutes. Maintenant, si, au
lieu de supposer e / ,-c <r on suppose
e p = e,, -+- d,
etant une quantite positive tres petite, et que Ton coneoivc toujours
les valeurs de x et de y comprises entre colics que determinent les
equations doubles
(if, = e,!-+-8 = e,., e,, e lf -+-3= e, ;
il est clair que I erreur e p restera superieure a toutes les autrcs, et
qu elle surpassera meme I erreur e ? conjointement avec 1 erreur e,., si
Ton suppose
e t , ^r e,j -f- o _ u r ,
et, conjoinlement avec Terreur e s , si Ton suppose
e,, e (/ -\-a = e s .
Si, niaintenant, on fait croitre o, en supposant toujours e p e q -t-o e r ,
les erreurs e j)t e r continueront a etre conjointement les plus grandes de
toutes, jusqu a ce qu uue nouvelle erreur e. t on bien I erreur e s qlle-
meme finisse par les egaler toutes deux pour un meme systeme dc
valeurs de x et de y; et c est ce qui arrivera toujours necessairement,
puisque, Terreiir e p etant supposee detinie, 5 ne pent croitre indefini-
mcnt sans que 1 erreur e f> cesse d etre la plus grande. On obtiendra
done, par ce moyen, une nouvelle combinaison du troisieme ordre,
savoir (e j} , c <r e c ], (e t pouvant etre egal a e f ), qui reuf ermera I erreur e t> ;
et, par suite, les trois combinaisons du troisieme ordre
( p p f> \ ( (> f> P \ ( P p * \
\ c /^> c (/ ^ r h \ c /" C V .^ / \**p9 c *7> ^t)
renfermeront I erreur definie e p , ce qui verifie le theoreme enonce.
3 Supposons que Ton considere trois elements. Soientc^ une e.rreur
OU IL FAUT ATTRIIHJER A DIVERS ELEMENTS, ETC. 391
definic quelconque el (e p , e g ] uno des combinaisons dn deuxieme ordre
qui renferment cette orreur. Com me 1 equation e p =-e (J ne laisse que
deux variables arbitraires, on prouvera, coin me dans le cas precedent,
que la combinaison du deuxieme ordre donl il s agit appartient a trois
combinaisons du quatrieme ordre. Soient respectivement
(e /: , e,,, e,., e s ], (e,,, e r/ , e s , e t ), (e p , e lf , e r , e t ]
ces trois dcrnieres combinaisons. Si Ton donne aux trois variables .r,
y, z- des valeurs qui satisfassent a Fequation
et qui soient comprises (Mitre les lirnites determinees par les trois
equations multiples
c cst-a-dire des valeurs pour lesquelles on ait
e,>~ ^<i> v r , e s , c t ;
les erreurs e in e f] deviendront simultanement les plus grandes de toutes.
Maintenant, si, au lieu de supposer e p = e, r <m suppose e p = e 7 -+- o,
o etant une quantite positive tres petite, et que Ton donne a x, v, z
des valeurs comprises entrc celles que determinent les trois equations
multiples
il est clair que 1 erreur e, p rcstera superieure aux autres, et qifelle sur-
passcra 1 erreur e, f con join lenient avec les erreui s e r , e s , si Ton suppose
Si maintenanl on fait croitre o, en supposaul toujours
les erreurs e p , e r , c s continueront a elre conjointemenl les plus ^ramies
392 MEM 01 RE SUR LE SYSTKME DE VALEURS
do toutes, jusqu a cc quc 1 crroiir e t ou uno nouvollc crrour e u par-
vienne ii Ics egalcr; cc qui finira necessairement par arrivcr, puisquc
1 errcur e p est supposee definio. Alors, on obtiendra unc qualm-mo
combinaison du quatrieme ordro, qui ronfcrmora 1 orrour e p , cc qui
verifiera lo tbeoreme enonce.
En raisonnant do la me me maniere, on finira par demontrer Ic thoo-
mne, quo! quo soit lo n ombre dos elements quo Ton considere.
Nous avons suppose, dans cc qui precede, quo los combinaisons
dn deuxionie ordre renfermaient sculeinent deux crreurs, celles du
troisioine ordro, trois crreurs, etc. Mais il est aise de voir quo les
monies conclusions subsisteraient, si lo nombre des orrours d uno
on plusieurs combinaisons devcnait superieur h lour ordrc.
TiiEOREMi- VII. -- Soient e p , e r e r , ... plusieurs erreurs, defmies ou
ijidefmies. comprises dans ime me.me combinaison de I ordre rti +- T ,
clmciuie d dies pouvani devenir separement la plus grande de toutes.
Soil, de plus, c. u line, crreur fictile (/ui soil ega/e aux erreurs e p , e. q , e,., . . .
lorsque celle.s-ci deviennenl e gales entre elk s, ccst-d-dire pour le systcme
de valeurs de x,v,z, ... qui correspond a la combinaison quc I on consi
dere. Si I erreur fictive e u devienl superieure a toutes les aulres pour des
svstemes de valeurs qui rendaienl pre cedetntnent I erreur e p la plus grande
de Louies, la difference e u e ]t sera necessairement. positive pour quelques-
uns des systemes de valeurs qui correspondent a celles des combinaisons
de I ordre 7n ou les erreurs e q , e r , ... entrent conjointernent avec I erreur e p .
Demonstration. En o/Fet, les systemes qui corrospondaient it
1 orreur e p , c cst-a-dtro ccux pour lesqucls 1 crreur c p devcnait supe
rieure a toutes los a litres, so trouveront main tenant separes en deux
groupes an plus. I^tur I lin de ccs groupes, on aura
e p > Cu
el. pour 1 autre,
(- ,>< e,i-
Cbacuu do ccs groupes aura pour limites des systemes corrcspondant
QUML FAUT ATTHIBUER A DIVERS ELEMENTS, ETC. :W
ii des combinaisons du douxieme ordrc, coux-ci des systemes corrcs-
pondant a des combinaisons du troisieme ordre, ct ainsi do suite
jusqu a ce qu enlin l on arrive ii des combinaisons de 1 ordre m, qui
auront ellcs-memcs pour limitcs la combinaison de 1 ordre m + i quo
Ton considere. La difference e u e p sera done positive pour quelques-
uns des systemes qui correspondent a celles des combinaisons de
1 ordre m oil sc trouvent comprises les erreurs e q , e r , ... avec 1 erreur e t> .
Si les deux groupos dont nous avons parle se reunissaiont on un
soul, on aurait, pour ce dernier groupc, e u ^> e p , et les conclusions
precedences aura ion t lieu a fortiori,
THEOREMS VIII. -- Soit e p une erreur qui devienne, pour certain?, sys
temes de valeurs, siipericure. a tonics les autres. Soil de plus
(e p , c< n c >"> c *> )
une des combinaisons de I ordre m +- T qui renferme t erreur e /: . On
pourra /on/ours conce.voir une erreur fictive e u qui devienne egale a cha-
eune des erreurs e p , e <r e n e s , ... pour Ic systeme de valeurs f/ui correspond
a la combinaison prvc.ede.nle, et, qui soil inferieure a e p pour tout (nitre
sysleme correspondent a eclte derniere erreur.
Demonstration. Ce theoreme parait vrai et general. Mais il suffira,
pour notre objet, de le demon trer dans le cas oil le nombre des combi
naisons de 1 ordre m, qui renlmnent 1 erreur e ft , et qui out pour limite
la combinaison don nee de 1 ordre m 4- i, no surpasse pas ?n.
Cela pose,, designons par a, ?, y, . . . le systeme de valours do x, j,
:-,... qui correspond a la combinaison do 1 ordre m + i
Soient do plus
c,, ,, -f- /> -4- c- /( r -h rfj,s + . . . ,
6 ,. a,. 4- b,.x -4- c,.y H- d,- s H- . . . ,
OKnvn-s de C. S. II. t. I.
:m MEMO I RE SUR LE SYSTEMS I) K VALEUHS
Faisons dc meme
c u = a,,-\- b tl x -+- c n y 4- d,,z 4- . . . ;
a,,, h u . c, M f/ t/ , ... (Hani des coefficients indetermines. Eniin desi^nons
par A la valeur commune des prreurs e,,, e q , e r , ... qui correspond fin
systeme dp valeurs a, 6 , y, .... Puisqu on suppose, dans ce cas.
Fcrrenr f, ( p.gaJp anx antrps, on aura
(.dip equation servira a determiner a u , lorsqu on c.onnaitra h, t . c, t .
d,/ ..... II rcslp li determiner ccs dprniprs coi 1 flic i (Mils dp maniprp (JIIP,
pour tout systeme correspondant a 1 prreur e lt et diffei pntdp a, 6, v .....
la difference e y , c^ soil positive.
Faisons, pour pins dp commodite,
On aura, dans ce cas,
e p =^ + b p x +c p y +d l ,z + ...,
e,. -. A 4- b r j; 4- c,. y 4- d,. z -~- . . . .
a, i A 4- b u x 4- c u y 4- f/ M - 4- . . . .
Si Ton egalp entre elles les valeurs precedentes de celles des errenrse (/ .
e r , c s , ... qui entrent avec e jt dans une meme combinaison de 1 ordre rn.
on aura une equation multiple, et cette equation multiple determine
les rapports
(fin eonviennent a tons les systemes correspondant a cette. combinaison.
boicnt/r, /, ... ces meines rapports. Si Ton suppose que les erreurs
comprises dans les conibinaisons dont il s agit deviennent superieuirs
a loules les auti-es pour des valeurs positives de x - x -- a, la valeur
OD IL FAUT ATTK1BUEK A DIVEIIS ELEMENTS, ETC. 395
commune de cos diverses errcurs, correspondant a une valour quel-
eonque do x , sera de la forme
A-f-B.r ,
pourvu quo Ton suppose
( I ) B =: bp -4- C p k -+- dpi + . . . .-:: b ,, + C<, k -f- (/ (/ I -\- . . . r- b,. + C r It -+- 0?,. /-+-... J
et, comme dans le cas conlrairo on doit avoir
<- < e p =A. -+ H./; ,
il f audra supposer
Si done I on designe par o une (fuanlile (.res polite, que Ton pourra
d ailleurs ehoisir ii volonte, et que I on i asse
on pourra supposer
( a ) b lt -t- c- A- + d u I -t- . . . IV.
(]ette premiere equation etablira enLre les inconnues />, c, t , fl tl , ... une
relation en vertu de laquelle la difFerenre e p c lt res (.era positive pour
les systemes de valours correspondant a I une des combinaisons de
1 ordre m qui renferment Terrenr e,,, et <|ui out pour liniile la eombi-
naison donnee d< 4 1 ordre in 4- i .
Supposons maintenant quo le uombri x des combinaisons de eetle
es[>eee no surpasse pas/;/; on pourra loruier autanl d equations j)areilles
a I equation (2)qu il y aura do seniblablcs combinaisons, et deferminer
b s valours des inconnues b u , c u ,d u , ... do maniero (jue toutes ees equa
tions soionl satisfaites. Alors on sera assure quo la dillerenee ( j . f} c a
reste positive pour tons los systemes de valours eorrespondant aux
combinaisons dont il s a^it. Par suite, eetto di Heron co sera posilive
pour Ions les systemes de valours qui correspondaient a I erreur e- /t .
(/<\r, si, pour quelqiies-uns d o.nlro eux. olio devenait negative, olio
396 MEMO I HE SUH LE SYSTEMS I)E VALEURS
lo serai t encore, en vertu du thcoreme VII, pour guelques-uns dos
systomes corrcspondant aux combinaisons de 1 ordre m quo Ton
considere.
Corollaire. I. - On pourra toujours determiner les coefficients de
I erreur fietive e u de inaniore quo colic crrcur soil inferieure a e jt pour
tons les systemes de valours qui reudent I erreur c p superieure aux
aulres, excople toulefois colui qui rend les orreurs < . t> , e r <?,. .. . egales
(Mitre elles, e( pour lecjuel on aura encore e u ~~ e p . De plus, puisijue.
pour des valours donneos des variables x>, v, z, . . . , la difference
dopendra do la ditfmMici 1 B B ==Bo ot do loutes les differences
semblables <]ui peuviMit dovenir chacune aussi petite qu on lo jugora
convenablo, o( quo les coefficients do e j} e lt , savoir
sont. ainsi qu on pout lo conclure des equations (r) el (2), du memo
ordre quo cos differences; on voit quo la difference
pourra ollo-moino devonir moindro quo touto quantite donnee.
Corollaire If. - Considerons un systeme de valours pour loquol
on ail
eq > e,, ;
on pourra toujours determiner los coefficients de e,, do mauiere quo la
difference
soit inferieure (abstraction faito du signe) a
et, par suite, do manioro quo e n soit inferieur a e (/ . Ainsi Ton pourra
QU JI, FACT ATTRIBUER A DIVERS ELEMENTS, ETC. 397
loujours iairc en sortc quo 1 crreur e u no devienne jamais la plus grande
do toutcs, si cc n est pour le systeme do valours qui correspond a la
combinaison do 1 ordrc m-\-i quo Ton considere, et pour lequel on
aura a la fois
e p =e v =e r =. . . = e lt .
Corollaire III. - - L crreur <? etant determinee eomino on vient do lo
dire, los differences
e,, e u , e,, c u , c r c n ,
soront toutes egalcs a zero pour le systeme do valours
y., 6, y, ...
qui correspond it la combinaison quo I on considere. Mais, pour tout
autre systeme, une on plusienrs de ces differences deviendront posi
tives, et si Ton augniente indefmimont la valour de x a, en laissant
toujours los inoines valours aux rapports
V 6 3 V
__ T. 1. _____ L
x a ,-r a
cello des differences
qui scronl positives, finiront par devenir plus Brandos quo toute quan-
tite do n nee.
Corollaire IV. -- L erreur e u etant toujours dotoi ininee do la memo
maniere, soil e v une seconde erreur iictive, et faisons
ctant une quantite tres petite, rnais arbitrage. Alors, pour le systomo
de valours a, , y, ... ct pour les systemes voisius, 1 erro.ur e^deviendra
superieure a loutcs les autres. De plus, cornme [tour des valours infinios
c ] x __ a> y _ g, 5 Y, . . . , quelqucs-unes des differences
398 MEM 01 RE S U R LE SYSTEMS DE VALKUUS
deviennent positives et inlinios, et qu au conlraire la difference 1 e t ,~ e lt
est toujours constante, on voit quo. pour do grandes valcurs x a.
y 6, s y, quelques-unes dcs diilcronces
deviendronl positives. Par suite-, los systemes de valours qui rendenl
I erreur e p superieure aux aulrcs nc peuvonl s ctendre h j infini. Cetto
erreur sera done unc crreur definic. Kntin il ost aise do voir quo los
combinaisons do I ordro k qni reniermeraient quelques-unes dos
orrours e y; . e tr e r , ... comprises dans la combinaison do I ordro in -f- i
(juo Ton considere, so trouvoront, par I addition do 1 orrour e v , trans-
ibrmoos on dos combinaisons do Tordro k -t- r.
I HE on EM F. IX. - Si t on designe par m lc nombre des elements ra-
nablcs, chaque combinaison dc V ordrc ni 4- i servira de limitc, an moms,
a m -+- i combuiaisons de ford re. /??.
Demonstration. - Soil
la combinaison do I ordro m -f- i quo Ton oonsidoro, el soit e /} unc dos
orrours comprises dans colto combinaison, orrourqui pourra dovonir
superieure a toutos Ics autros. Si Jo nombre dos combinaisons do
1 orelre in qui ronformcnt i erreeir e p ost suporionr ii m, lo theoremc so
trouvera verifie immediatement; mais, si co nombre n ost pas suporiour
a m, on pourra. en verlu do la proposition procodonto ( corollairo IV),
conccvoir line orrour fie live 1 e t , qui soil deiinie et qni surpasso toutos
los autros pour le systomo do valours
correspondant a la combinaison do Tordro //? 4- i quo Ton considoro.
Do plus, si i erreur fictivo t\, ost dotorminco par la melhode quo nous
avons indiquoo, alors cliacuno dos combinaisons do I ordrc k qui appar-
tonaiont a la combinaison donne.o "do 1 ordre m + i deviendra, par
U 1 L FA U T AT I 1 R 1 B U E R A I ) J V E R S E L E M E N T S , E T C . 399
I addition do I orrcnr e v , uno combinaison do l. ordrc X;H-I. Par suite,
lo nornbre des combinaisons do 1 ordre m-+- 1 qui renfermeront 1 orrour
deflnie e t , sera egal au noinbre dos combinaisons de 1 ordrc m qui
avaient pour limito commune !a combinaison donnee do l ordrem-f- r.
D ailleurs, on vcrtu du (beoremo VI, lo nombre dos combinaisons do
1 ordro m. H- i qui ronformont nno memo errour definio ost au moins
ogal a m-\-i. II on sera do memo du nombro dos combinaisons do
I ordre m qui out uno memo limito; co qui verifie lo tbeoromo enonco.
Lorsquo lo nombro dos orrours ronfbrmeos dans la combinaison do
I ordre m -+- 1 quo Ton considoro ost souleinent ogal a //? -+- T, on pout
encore demontrer facilement lo tbeorome IX do la mamo.ro suivanto :
Solent e p , e, r e,., ... los erroui s renfermees dans uno mfMiio combi
naison d(> I ordre in 4- i, on nombro egal ii in -+- i . Cos errours devion-
dront simultanement los plus grandos do toutos, si Con deteriniiK 1 los
variables x, y, z, . . . par [ equation
Mais, si Ton designe par o uno quanlite tres petite o( positive, et quo
Ton determine x, y, 5, ... par i equalion
I orreur e /t deviendra inlerieuro aux autres, et los orreurs e, r e,, e s . . . .
seront simultanement les jilus gi-andes do loutos. Dans lo memo eas,
la combinaison
sera de I ordre m. On obtiendra done line combinaison de I ordre m
f ormee d errours qui deviennent simultanement les plus grandes do
toutos, si dans la combinaison donnee
on supprime la premiere erreur^. On arrivorait encore aux monies con
clusions si, au lieu de supprimor I errour e. f> , on supprimait I orrour c,, r
400 MEM 01 RE SUR LE SYSTEME DE VALE U US
ou 1 oiTcur e r , . . . , on quelqu une dcs autres errours donnees. Cos der-
nieres etant, par bypotbese, en nornbrc egal a />?-hi, on obtiendra,
par ces divorsos suppressions, m -+- 1 combinaisons de 1 ordre m, qui
loutes se trouveront comprises dans la combinaison donnee.
Corollaire. - Soient M w+l le nombrc total des combinaisons de
1 ordre m -+- 1, ct M w le nombrc total des combinaisons de 1 ordrc m,
taut defmies qu indefmies. Puisque cliaque combinaison de 1 ordre
/n -\- i renferme au moins m -+- i combinaisons de 1 ordre m, et que
cliaque combinaison de 1 ordre m a pour limites deux combinaisons
de 1 ordrc m -f-i , si elle est definie, ct une seule, si etle est indetinie;
on aura
(m + i)M,,,_ M < aYI,,,, ou M,,,> --M/n+i-
Otte inegalite jointe a I equation (3) du theoreme V serf, a determiner
nne limito. du nombrc. d operations qu cxigc la methode exposee dans
ce Me mo ire.
THEOREME X. -- Le nombrc des operations qu exige. la melhode exposee
dans ce Memoire n est pas d un ordre plus eleve qnc le nombre des com
binaisons m i a m -- i des erreurs dojine es, m etant le nombre des
elements variables.
Demonstration. -- En efi et, supposons qu en ayant seulement egard
aux combinaisons formees d erreurs qui puissent devenir simultane-
ment les plus grandes de toutes, on designe par M, le nombre des
erreurs simples ou combinaisons du premier ordre, et par
M s , M 3 , ..., M,,,, M,,, +1 ,
les nombres de combinaisons du deuxieme, du froisieme, ..., enfin,
du w k me et du (m -+- 1^" 10 ordre. On aura, en verlu du tbeoreme V,
M,,, +1 -- M,,, + M /M -,
Q 1) I L F A U T AT T II 1 R U E R A I) I V E R S E L \i M E N T S , Iv T C . 40 1
et en voi tu (lu Ibeoreme IX,
Si Ton ajoute mombre a mcmbre I equation et I inegalite precedentes,
on aura
1 1 _ j
M WI _.,- M /w .., + . . . ,M 2 -: M,dz , > -_-M /; ,_ M ,
(Toil Ton conclnl
le sigiu! siipericur clovant etro adniis si m. ost nn nombrr ini|)air, <-l
le signr inferieur dans lo cas coulrairc. D aillcurs N, /l+i ropresonlc,
co mine on 1 a drja ro marque, la liniilc du nombrc dcs operations ;i
1 aire, c( N,,, , indique le nombre d(>s combinaisons de I ordre m i,
(jin est on ( i gal ou inferieur an nombre des combinaisons in i a
in i des erreurs donnees on d une parlie de ces errenrs. L inegalite
precedente verifie done le tbeoreme enonee.
Gorollaire L -- Si 1 on a deux elements variables, il (audra supposer
m = 2, et 1 inegalite precedente deviendra
M,<aM, a :
Par suite, le nombre des operations a fa ire ne pourra sui passer 2 M ,
on le double du nombre des erreurs.
Corollaire IJ. - - Si Ton suppose ?n ~- 3, on aura
Par suite, le nombre des operations a fa ire ne pourra el re d nn ordre
superienr an nombre des combinaisons deux a deux, e est-ii-dire an
earre du nombre des erreurs.
OEuvrcsde C. S. !!, t. I. "> I
40-2 MEMO I RE SUR LE SYSTEMS 1)E VALEURS, ETC.
Corollciirc 111. -- Si 1 on suppose m = 4. on aura
Par suite, le no nib re des operations a fa ire ne pourra etre cl iiii ore! re
superieur a M : , on an cube du noinbre <les errcurs, I lc.
MEMOIRS SUR L INTfiGRATION
D UNE CERTAINE CLASSE D EQUATIONS
AliX
DIFFERENCES PARTIELLKS,
I-:T sen u-:s
PIlfiNOMENES DONT OETTE INTEGRATION FAIT CONNAITFU- LI-S LOIS
DANS LES QUESTIONS DE PHYSIQUE MATIIEMATIQUE.
Journal dc I Ecolc Poljtccli/iujitc, XX Cahicr. Tonic XIII, p. I;K 287: i8 5i.
La solution d un grand nomb.ro do problemes do Physique matbo-
matiquo depend de I integration d equations aux differences parliollos
lineaires, ot a coefficients constants, dans lostfiiollos l( i s dorivoos do
la variable principalo sent toulos du inoino ordi o. Tollos sont, on par-
ticulier, los equations qui expriment los lois do la propagation dos
ondes ii la surface d un liquidc rcuferme dans un canal dont la profon-
dour ost (res potito, ot los lois do la propagation du son dans un gax,
dans un liquide, on dans un corps solido olastiquo. \\ otait importanl
d obtenir los integrates generales dos equations do co genre sous uno
forme (olio qu on put on deduire aisomont la connaissance dos pbrno-
menes quo ccs equations roprescntent. Tel ost 1 objet du Momoire qn on
va lire. Dans les premiers paragraphes, jo m occuperai do 1 integration
dos equations lineaires aux differences partiollos ot ; coefficients con
stants, du deuxieme ordro, on d un ordro pair suporiour an deuxieino,
- i()i M J ; : -M I K E S U R L I N T E G H AT 1 (.) N
niais dans lesquelles tonics Irs derivees son( do memo ordro. J appli-
<|tiorai onsuito los fonmilos (rouvees a divorsos questions do Physique
mathematique.
i; 1. Sitf [ integration d u/ie certaine classe d equaliojis
differences partielles da deuxicine on/re.
Solent, r, r, a, / (jiiatro variables indopendantos, of a une I onction do
cos (juatre variables, determinee par [ equation aux differences partielles
( I ) A -r ; 4- 11 T ; + C 4- :>, I) - -4- 2 1C 4- 2 F ,
Ot- ox 1 ay- <jz- oyoz ozd.v <)jc oy
dans lesquelles A, r,, c, D, K, F designcnt ties constantes choisios do
manicro quo le polynomo
( -0 A y.- -i- n c 2 4- c y- 4- 2 n By 4- 2 ic yy. 4- 2 F y.B
roslo positif pour Unites los valours possibles dos quantites y., , y; on,
co <]ui revient an memo, do maiiioro quo I equation
( 3 ) A .r 3 4- \\y"- 4- c :- 4- . . n r c 4- 2 ic -.r 4- . . F./ j = i
ropi osonlo un ollipsoide. Supposons d aillours quo Ton oonnaisse los
valours do a el ^ correspondant ii / = o, et quo cos valours soionl
rospoclivoment
La valour ^enerale tie a sera
( 5 ) ^ = ~ e**-^^ e^y - -Vv~ eY(=-v)v -^ U t/a </& c/y r/>.
e designant la base dos logarithmes neperiens, I integration relative a
cliacuno dos variables auxiliairos y., Z, y, A, a, v devaut elre efiectuee
onlre les limites --co, 4- oc, et la lettre U representant unc i onction
do a, , y, A, u., v, /, propre a verifier : 1 quel quo soit /, la formule
-J2 f T
( ^ ) ( -^ y - + c J 4- c y 2 4- ). D oy 4- 2 K y a 4- .?. F ac ) U -i - o ;
D UNE CERTAINE CLASSE D EQUATIONS, ETC. Ulo
^ Pour / = o, les deux conditions
(7) U oj(X ? fx, v), -j- t ri(X, p., v).
Co.la pose, si Ton fail, pour abreger,
( 8 ) A x~ -+- K & 1 -+- c. y~ 4- 3 r> 67 4- -2 E ya -+- 3 i ac = 5 2 ,
on Irouvera
(9) U = rs( A, ,u, v) cos^ + Il(/., /a, v) ^ ,
on, ce qui revient au nienie,
/
(10) U cr(X, ,u, v) cos^f -H / II (X, p., v) C0s6/ //<!;
JQ
cl Ton aura j)ar suite
X CQ^Ot fir(A, p., v) dy. dc r/y c/A <7,a c/v
X COS II ( A, [J., v) (/; r/a r/c c/y C/A ^/ ( o. c/v.
Obscrvons maintenant quo 1 equalion (8) pent e(re presentee sous la
forme
Done, si Ton la it
(.3)
G = A,
F- AI! F 2
H rr B
A A
EF
V.- \ A
(i .
Ij .,
A F-
.1
ABC AD 2 BK e CF 2 -f- 3 DRK
AB
406 MEM 01 RE SUR L INTEGRATION
et de [ilus
, , v F r K AT) I-F
(,4) a + _ g + _ y a g + . y = g y _ y
A A AH F 2
on, re tjui revienl au memo,
, -N , F r , FI) HI- , AI> I-F ,
(ID) . a = a - r y , -y y ^ y
A AH F- AH F- l
on aura simplemcnt
Solent d aillcurs
(7) x^..r,
el
(18) //->.,
On (ri)uvera
(19) *(,r -/.)-
t l, [);ir suite,
F .
A
AT) I-F KI)
Alt F* AH
A I) 1-F FI) HI- ,
- ,U -f- - /.
Alt -- F- AH F-
x
., ,u, v) cly. clB 1 d { dl 1 dp. th
COS a ( x ). ) cos ( v ,a ) cos y ( / - v )
X cos & Z 57 ( )., /a, v ) r/a rfb d-/ dl 1 dp 1 dv ,
relative a ehacune des variables auxiliaires a , Z , y , ^
/, v devanl etre efl eetuee enlre Ics liuiilcs ~ x, -f- ^.
D UNE CEUTAINE CLASSE D EQUATlONS, ETC.
Soil encore
W)7
(21)
On aura, en vertu d une formule quc j ai donnco dans le XIX" Cahier
du Journal de I K cole Polyfechmque (voir p. 292),
f" p r"cos (x-V)cos6 (Y-^)cos/(z-V)
(22)
1 J L
(i -II -.)-/
a sin / a cosztdct
cos ra cos
\
Dans I equation (22), Tintegrale
pent elre remplacee par la suivante
/ e" KV *: cos/ - a cosa^ do.,
K desinnant unc quantite positive iniininumt petite; et, comme on K
ailleurs
est clair quo la formule (22) pourra etre reduite a
23)
2Ti
G-H^r /
V08 MEMO IRE SUli L INT EG RATION
Ola posr. Irs Ibrmulrs (i i ) ot ( -20) donnrroiU
I - f
::-(;- H-J- /
.,--<;
Conccvons a presenl (|iir Ton eonsidere les trois raj)|)orts
/. \ ,UL Y v z
-y- > , j ,
G- H- j-
romine representant drs coordonnees rcctangulaires, et quo 1 on trans-
forme res coordonnees rectangulaires en coordonnees polaires, donl
I une soil prrrisemont la variable /, a Taido des formnlos
A - \ ,* - Y V - I.
f / cos/ , / <\\\ /> cos f/, -: / sin/y sin </.
i; - 11 L> j -
On devra, dans la i ormule (:>-..\), ii la place du prodnil d\ du, c/v , eeriro
Ir suivant c,-\rrr* sinpdpdq dr, rt Ton (irrra dr eetle f orinulr
\ H " J: T7 / / / ^T
J , \/ "
+ 4^ 7;7 J J
Irs integrations devant.etrc rfrrcluees outre les limitos p o,/; =. -,
<7 = o, <y 2-, / = o, r = zc. Or, K etant un n ombre infinimen! prlil,
si Ton designe }iar /, //?, // cr quo deviennent los valours dr A, v., v,
tiroes des equations (18) et (20), lorsqu on y suppose r = t, on aura
C" K
J K- -i- ( / t )-
et par consequent la lormule (26) donnera
= ~ I i tsmj>Il(l, m,n)dpdg
(28)
J i /) / ^ /
, /;?, /i ) dp d</,
D UNE CERTAINE*CLASSE D EQUATIONS, ETC.
les valours do /, ;/?, n etanl
" F f \
m = v -+- it 2 1 sin/> cos<7 -i \x -+- G 2 cosp),
(29)
I n --=z -f- j - 1 si n p si a g +
ou, t co qui rcvient au memo,
/ = x -+- G- t cosp,
AD KF / \ E ( 1 \
- \x -J-H-^ sin/; cosq)-+- - VX-HG- t cos/?,/,
AB F J
(3o)
1|2 ^ S "/ J cosy H G 2 ^ cos/;
A
AT) FF 1 E
n z -i- j isinsm(7 -t-- n fsmpcos^-f -G
AU F 2 A
Concevons, pour iixor los idoos, quo I equation (i) so rapporto ii unc
question do Mecanique on do Phvsiquo, dans laquollo t ropj-osonto lo
temps, et.r, r, z dos coordonnees rccliliijnos; supposons d aillcurs qnc
dto
los valours initiales do v o, -r-, savoir : u(a;, y, 5) ot -T.x-. y, z), soiont
sensiblement nullos jjour tons los points situos a line distance sensible
do I origine. An Ixnit du temps /, los functions u(/, m,/i), -(/, ///,//)
ne cesseront d etro nullcs quo pour des valours do /, m, n, tres pen
differentes de colics qui vorifient les trois conditions
(31) l=o, in o, r^ o,
desquelles on tire, on los combinant avec,lcs formulas (29),
11 i
x H- G 2 tcosp = o, Y 4- n 2 ^ sin/) cosy = o, 7 -i- j 2 ^ sin/, sin// = o,
et, par consequent,
X s V 2 7 2
(32) - -) 1- --=/.
G II J
Si clans 1 equation (82) on reinet, pour les valours x, \, /, lours valours
OEuvres de C. S. II, t. I. 52
MEMO I RE SUR L IN TEG RAT ION
deduitcs des formules (17), die dovicndra
( ( IfC n- ) J"* + ( CA E- )} - -+- ( AB F 2 ) C 2
, o o x ( -H 2 ( KF AD ) } r -h ?, ( FD BE ) .37.3 -+- ?, ( nK CF ) xy )
ABC AD 2 BE- OF" -+- 2 DBF
Done, an bout du temps /, la variable a n aura de valour sensible quo
dans le voisinage do la surface du second degre, rcpresonlee par
I equation (33). II est d aillours facile do s assuror quo cctte surface
est mi ellipsoido. Kn diet, la valour do- O 2 fournie par I equation (8)
on (iG) devant etre positive, ([uelles quo soient les valours attribuecs
aux variables a, 6", y et, par consequent, aux variables a a 6 , y , les
quantites <;, u, j seront necessairement positives. Done, le premier
ineinbre de la fonnnle (3:z) on (33) restera posilif, quelles quo soient
les valours attributes aux variables x, v, z et, par consequent, aux
variables x, y, z.
Si, pour plus de simplicity, Ton pose
( 34 ) AUC AD- BE 2 CF- + 3 DI-F = K,
et
(35)
^equation (33) deviendra
( 36 ) a a? 2 -!- by 2 4- c z- -+- 2 dys -h 2 e so? -4- 2 f.a?y ;~ l 2 .
Si d ailleurs on nomine / lo rayon vccteur inene de 1 origine an
point (x t y, s) de rellipsoide represente par I equation (36), et a, , y
les angles formes par ce rayon vccteur avec les deux axes des x,y, =-,
supposes roctangulairos, on aura
y^r/ COsS, ^=r/-cosy,
tl
DC I) 2
CA H 2
An F 2
K
K
K
d -
KF AD
FD UK
DE CF
K
K
K.
D UNE CERTA1NE CLASSE JVEQUATIONS, ETC. 411
ct, par suite,
(38) r = >t,
la valeur cle D etant positive, ct determinee par la formule
\ 7 a cos- a -+- b cos 2 6 -+- c cos 2 y
(3 9 ) <l-
\ -\- 2tl cos 6 cosy + 20 cosy cos a -+- 2 f cos a cos 6.
Gcla pose, concevons que la quantite a depende de vibrations Ires
petitcs d un corps solide, ou d un fluiclc ponderable ou imponderable;
ct quc ces vibrations, d abord produites clans le voisinage de I origine
des coordonnees, sc propagent dans 1 espace et donnent ainsi nais-
sance a line onde sonore ou him incuse. La surface de 1 onde co incidera
evidemment, an bout du temps /, avec 1 ellipsoide represenle par
1 equation (36). Par suite, la vitessc du son on de la lumiere, mesnrer
suivant le rayon vecteur r, sera la quantite constante designec ci-
dessiis par Ii, et determinee par la formule (3c)).
Considerons maintenant un point dont les coordonnees x- , y , ~-
seront liees aux coordonnees x, y, z de rdlipsoide (33) ou (36) par
les formules
; H- BJ +1)5 = .r,
; + / + cz ~z.
On tirera dc ces formules
(40
,__ (BC \)-)x + (DE cv)y + (FD BE)-
ABC AD" 2 BE" CF- + 2 DEF
, ( DE CF ) X -4- ( CA E 2 ) y -4- ( EF. AD ) S
ABC AD- BE 2 CF 2 + 2 DEF
, (FD BE).T + (EF AD)/ + (AB F 2 )s _
ABC AD- BE 2 CF- + 2 DEF
puis, en combinant les equations (40 avec la formule (33), on trouvera
/ / \ / , / , / *9
(42) XX +V/+-S =^ 2 .
4J2 MEMOIRE SUR L INTEGRATION
En fin, Ton tirera des equations (4) ct (4 2 )
Done, IP point (x r , y , z ) se trouvera sur la surface d un second
ellipsoide, rcpresente par [ equation (13). De plus, si Ton nomme r
IP rayon vccteur rnene de I origine au point (x ,y r , : }, et o Tangle
pompris entre les rayons vccteurs r, r , on aura
, .r.r 4- yy -r- -:
(44) coso - --: -i
pn sortp quo I pquation (43) pourra etrc reduite a
(45) /
Done, IP produit qu on obtiendra, an bout du temps ^, en multipliant
IPS rayon* vecteurs correspondants /, r par le cosinus dp Tangle com-
pris pulrp enx on, cp qui revipiit au ineine, le premier de ees rayons
vefleurs par la projection du second sur le premier, sera constam-
nipnl egal a /-. Ajoutons qu elant donne nn point (x , y , - ) de 1 ellip-
soidc (-f3), on pourra facilement determiner IP point corrpspondant
(a;, y, :) de Tellipsoide (33). En eflet, pour y parvcnir, il suffira de
mener par IP point (x ,y , - ), trois plans paralleles a ceux que repre-
sentenl. les ecjuations
. Lr -\- vy + EZ =r o,
( 16) ]<\V +- KY 4- UZ = 0,
\ EX -r D/ -+- CZ = O.
Si Ton nomine x" , y" , :" les coordonuecs dcs points oil ces trois plans
rencontrent. le premier, 1 axe des x, le deuxieme, 1 axe dps y, IP
troisieme, 1 axe des "-, on aura evidemmcnt
c.z c
D UNE CERTA1NE CLASSE D EQU ATIONS , ETC. 413
ct, par suite,
(48) x \.v", y = ny", s = c* .
On rcmarqucra quc Ic point correspondant aux coordonnees a;",/",
r-"sera sitne sur la surface d nn troisieme ellipsoi de, dont la construc
tion pourra servir ii cello dc 1 cllipsoide (33), puisqu on passcra de
Tun a I aulre, en faisant croitre on decroitre 1 abscisse x du troisieme
ellipsoi de dans le rapport de i a A, ct I ordonnee r on z dans lo rapport
de i a n on de i a c.
Dans le cas particulier on Ics qnantites D, E, r s evanouissent, 1 eqna-
tion (T) se reduit a
Alors anssi Ton tire des formules (i3)
(50) G A, ii n, .1 c,
et dcs formules (20)
I i - j
(51) 1 = x -t- A 2 .cos/>, m = y + B 2 fsin/; cos^y, //. =n z -+- c- 1 siny; siny.
Done la valenr generate de , detcrminee par 1 equation (28), devienl
,it ^,2ir
=7 / / sin/?
bKJ J
( - I I \
7i V^c + A 2 1 cos/>, .74- n 2 1 sin/> cose/, z -+- c ^ sin/) sin y j r//^ f/^y
x
(52)
X
i i i.
A 2 f cos/>, y + B- ^ sin/> cos^, z -\- c,~ t sin/? si
Alors anssi les axes des deux ellipsoides representes par les equa
tions (33) (43) coincident en direction avec les axes des x, y, z, <?t
Yl i MEMO IRE SUR L INT EG RATION
les equations do cos deux ollipsoidos deviennent respectivement
(53) -+
A
(54) A.r 2 +
Ces deux equations resultcnt rune ct I autrc do la fbrmule. (4 2 ) com-
binee avcc Ics formules (4) qui, dans le cas present, so reduiscnl ii
(55) t,x ;r, ny = y, c c = -- .
Do plus, [ equation (3Q), qui determine la vitessejQ, donnc simplemenl
i cos 2 a cos- 6 cos- 7
( 06 ) = i- - - H f -
12- A n c
(lela pose, si Ton nomine Q ( , O,, (1, les valours quo prend la
vitosso 0, lorsqu on la mesure suivant 1 axe des x, on suivant 1 axe
des r, on suivant 1 axe dos z, on tronvera
et la for mule (56) do no era
i cos 2 2 cos 2 6 cos- y
( !Jo ) I L
v / i \-> ~~ t \ > / \ i f \ .i
Si, i), E, F etant mils, on suppose de plus
A =^ n c a-,
a designant une qnanlite positive, la fonnule (49), reduito a
sera colic qui determine la propagation du son dans un milieu dont
I elasticile reste la memo en tons sens. Alors la formulc (02) de-
D UNE CERTAJNE CLASSE D EQUATIONS, ETC. 415
v ion dra
x n(x -+- at cos/?, y -+- fit sinp cosg, z -+- at sin/; sin g) dp d(/
(60)
4- - f v- / / t sinp
X cr(.37 -f- ai cos/;, y -f- a siny; cosry, x; +- a/ sin/; siiu/) c//; c/r/.
ot IPS formulcs (53), (54), (56) dcvicndront
(61) =<,
(62) a 2 (,77 2 + / 2 +5 2 ) = r-,
(63) fl = .
Done 1 ondc sonorc sora uno ondo spherique, <^t la vitossu du son, tjiii
rostera la memo en tons sens, sera mesuree par la constant* 1 a. La
formulc (Go) coincide avec 1 integrale que M. Foisson a donnee do
Fequation (59).
CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS.
Journal de I Ecolc PolytecIniKjiie, XXV Cahicr, Tome XV, p. 176; 1807.
I. C osl dans lo Mi-moire presente a 1 Academic do Turin, le 17 no-
vetnbre i 83 i ( ( ), quo j ai fait eonnaitro un nouveau calcul qui peutetre
for I ntilomont cmployt 1 dans la resolution dcs equations do tons los
(k gres. Mais, dans lo Momoiro donl il s agif, los prinoipos do co calcul,
(|iio jo noiniiio \ecalculdes indices c/es functions, so trouvont doduits
do la consideration dos integrates definics. Jo ino j)ro poso ici do mon-
Iror commont on pout otablir diroctoinonL C( A S monies principes sans
rocourir ;i dos formules do oaloul integral.
Soil // une fonction roello de la variable roclle x, et lelle quo si Ton
fail oroilro cello variable par degres insensibles en I re deux limites
donnees,
X Z^ XQ , X - - A ,
// varie insonsibloment, et no change jamais do signo sans passer par
/,6ro on par 1 infini. Pour une valour a do x comprise entro les limiles
x x , x -= X, et propre a verifier 1 equalion
(i)
la fonction n passora, on dovonant infinie, du negatifau positif, ou
() OEuvres dc Cauchy, S. II, T. XV.
CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. U7
(hi positif an negatif, on bion die no cbangora pas do signe. La qnan-
tite + i dans lo premier cas, i dans lo second, zero dans lo troisieme
sora co quo jo nomnic Vindice de lafonction u pour la valour donnee x
do la variablo x\ et Vindice integral de u, pris ontro los limites
no sora autro chose quo la somme dos indices correspondant au\
divorsos racines do Toqualion (i) renfermees (Mitre Jos lirnitos donl il
s agit. Jo designerai col indico integral par la notation
c
1 usage des doubles parentheses etant ici lo memo quc dans lo calcul
des residus. Cola pose, on etablira sans peinc les propositions sin-
van to s :
TIIEOUK.MK I. -- Soiefi/, it une fonction reclle de xfjui, cut re les litniles
x = x (} , x = X, ne change jamais de signe sans passer par zero on par
L infini, et u () , L les- deux valeurs de n correspondant aux valeurs
reelles x (} , X de la variable x. La sornrne
sera equivalent e a zero si les deux (juajitUes //, I son I de inenie sigite;
d -}- i si. la premiere elant negative, la seeoude esl positive; a -- i si.
la premiere elant positive, la seconde est negative.
Demonstration. Si Ton fait croitro x par degros insensibles dopuis
la liinilo x^ jusqu a la liniito X, los seules valours do x auxquolles cor-
respondront dos indices do // ou do -? differents do zero, soront colics
pour lesquelles la fonction u ou - doviendra infinio on changeant de
signc, ot a une somblablo valour do x correspondra toujonrs un in-
dico do u ou do - 6i<al a -+- i si // passe du negatif an positif. ot un
u
OEuric* <lc C. - S. II, t. I. 53
U8 CALCUL DES INDICES DES FUNCTIONS.
imlire de // on do - egal a -- i si u passe du positif au negatif. Soiont
rnaintenant
<i, b, c, (I,
les valeurs sueeessives do x comprises en I re les limitesa- , X et pour
Icsquelles la fond ion // devient nulle on infinie en changeant de
signe, c est-a-dire, en d autres tennes, les racines des deux equations
u o,
renfermees tMiIre les liniiles .7-,,, X, ces racines dant rangees par orclre
de grandeur. Si // esl negatif, les indices de u on de - correspondant
aux valeurs
a, b, c, d,
<!< la variable .r seront respectivement
el, par suite, la somme de ces indices sera equ-ivalcnle a zero ou a
-hi, suivanl ({tie leur nonibrc sera pair ou impair, e est-ii-dire, en
d autres tennes. suivant que U sera negatif on positif. Au con Ira ire,
si // esl positif, les indices de // ou de i correspondant aux valeurs
de la variable a- seront respectivement
- i , -t- i , - i , + 1 ,
el, par suite, la somme de ces indices sera equivalente a zero ou a i ,
suivanl que leur noinbre sera pair ou impair, c est-a-dire, en d autres
tennes, suivant que U sera positif ou negatif. Done, en definitive, 1 ex-
pression (2) ou la somme des indices des fonctions
CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. ill)
correspondant aux valours
Cl, I), C, (I,
do la variable x sera equivalcnte a -+- i , a -- r, on a /ero, snivaul
quo la variables?, on passant brusquement do la valonr ,r () a la valour X,
I ora passer la function u dn negatif an positif on dn positif an negatif,
on cossora do produire dans cetto fonction nn changoinont do signe.
Iin supposant quo la fonction reelle // do x no change jamais do
signo, sans passor par /ero on par 1 infini, nous designorons [tar la
notation
la sornmo dos indices do // correspondant a tontos los racinos do
[ equation ([), on sorto quo Ton aura idenliquomonl
Si la fonction // so reduit a la formo - / otant nno quantito con
x
stanto, on (rouvora
7((-}} = C I k
<1\\x)) -(I ((*))-
on
snivant quo la qnantito / sora positive on negative. Cola pose, lo
theoromo 1 sera ovidemmont cornpris dans, la formnle
Si a la fonction /* on substitue le rapporl entro deux fond ions
donneos //, o, telloment choisies quo chacuno d ellos no change jamais
do signe entro los liinites x = x^, x = X, sans passer par zero on par
I infmi, alors en nonunant ;/, o (l ot U, V los valours do cos deux
fonctions pour x~-x n ot pour x X, on aura, on verlu do la for-
420 CALCUL DES INDICES DES KONCT10NS
mule (4)
on, <. c (jiii I cvicnl an HK MVKS
Lorsque w csl algebriquement divisible par c, 1 iiulicc integral
cst evidem.mcnl mil, el la formula (5) clonnc
7 X /!:\\ - 1 7 __ 7 _i^_
(I .r\\u)) - 2 [<7 V((.-r)) V/ d ((a:))
THKOIIKMK II. - Sz"//, c etcint deux fojictions cntiercs da x, ai le de.gre
de la premiere e gal on siiperieur an degre de la scco/ide, on nomine Q
le (jnotient el <P le restc f/u.e four/lit la division de u par c% on. aura
(7)
(juelles (/ne soiein les ralenrs parlieidieres de x representees par x n et \.
Demonstration. - - !<]n efl et, clans 1 hypothese adtnise on aura, (juel
<|ue soil x,
et, j)ar snile, les rapports
dont la difference Q rcstcra toujours finie en memo temps <jue la
variable x, deviendront simultanement inlinis pour certaines valeurs
reelles de x propres a verifier 1 equation
(8) i, = o.
CALCUL DES INDICES D ES FOiNCTIOiNS. &21
Soit a 1 une dc cos valours. Quand .2 differora tres pen dc a, les
deux rapports
offrant des valours numeriques tres considerables, superieures a colic
do Q, seront necessairement dos quantites do memo signe. Done, pour
x a, 1 indicc du rapport- sera equivalent a 1 indico du rapport ,
et cette equivalence, subsislant pour toutos los racinos do I equa-
tion (8), eritrainera la Ibrmulo (7).
Do la formule (7) jointe a la formulo (5) on tire
Ku vertu do cctte dcrniore equation, la determination di 1 1 indieo
integral d uue fraction rationnelle > (Mitre dos limites donnees, i)eut
a
etro reduite a la determination do 1 indioo interal d uno autre fraction
rationnelle- dont le numerateur et lo. denominateur soiont dos poly-
nomes dc degres uioindrcs. D aillours, uno reduction soniblahlo pourra
s appliquer non seulement a la nouvollo fraction ~> mais encore a
toutes les fractions quo Ton on deduira successivement, ot quo Ton
formera on divisant 1 un par Tautre deux rostes conseculifs obionus
dans la recherche du plus i>-raud cominun divisour ties deux poly-
nomes u ot v. Or, comme i avant-dernier rosto sera exaetomont divi
sible par le dernier, c ost-a-diro par le plus i>rand eommuii divisour, la
formule (G) fora connaitro 1 indice do la dornioro fraction, duquel so
deduiront immediatement los indices do toutes les autros. Aiusi Ton
pout, a 1 aido dos formules (G) ot (<)), determiner I indice do (onto
fraction rationnelle. On pout an rcste abregersouvonf lo ealcul a Paido
dos considerations suivantes :
Si, u etant uno fonction ontiere do la variable a-, on dosigno par 6
i accroissement do u correspondant a I accroissement a do la variable .r,
422 CALOUL DES INDICES DES FO NOTION 8.
la somme u -h % pourra etre representee par un polynome ordonno
suivant les puissances ascendantes do a of do la formo
y. " ofi
(l O^ M -+- If -h - M" + IT I " 4- . ,
1.2 1.2.0
ot dans ce polynomo los coefficients do
1.2 1.2.3
savoir,
, ", ",
soront do nouvollos fonctions do .r quo Ton no in me derivees de la fonc-
tion u, la dorivoo du [troinior ordre u n etant autrc chose que la limit(>
vors laqnollo converge lo rapport
u
y. 1.2 1.2.
tandis quo a s approcho indefiniment do /oro, ot la dorivee u (x] do
oja;
1 ordre a; etant lo coefficient do - - dans le polynome (10). Si
I . 9. . 6 ..... JC l
Ton suppose, pour fixer los idoos,
(12) u k^x" l + /.-^ "- H-. . .+ A",,,_ 2 ^ 2 + ^ //i-i^ + A /H,
/ , A-,, ..., / /w _o, ^ m .- M ^" w etant des quantites constantos, on trouvera
et, par suite,
M mk x" l - l -+- (m \}f< { x" l
Or il resulle des fbrmnles (i4) : i quo Ton obtiendra la derivee du
premier ordre u on multipliant chaque termed e la fonction u par I ex-
posant do x dans co torme, et diminuant co niomo exposant d uno
unite; 2 quo, pour obtenir les derivees do u dos divers ordros, il
CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 423
suffit de ibrmor succcssivcmcnt divcrses fbnctions donl chacune soil
la derivee dc la preeedente, la premiere etant la derivee de //.
Conccvons maintcnant quo le degre de la fonction ontiere u etant
egal on superieur a m, u s evanouisse pour une valeur donneo a de, la
variable x, et quo w " } aoit alors le premier des tonnes do la suite
qui no so reduise pas a zero; si Ton nomine
A/;j> Afn+\f A //( ^-2, . . .
les valours des fonctions
(,(l) ?/ (/H-t-l) ^
i . -. . m 1.2 in ( m -t- j ) 1.2 m.(ni -t- i ) ( ///, -f- 2 j
pour ,v a, la valour de u correspondanf a
( i (i ) x . a -\- a
sera
A /w a" -f- A, l< + 1 a" ^ 1 + A w ^, a" +:! + . . . ;
par consequent, I equation (iG) ontrainera la suivante
(17) u = k m <x m + A w+1 " + 4- A ,_,_ "+ + . . . ,
do sorte quo Ton aura identiquement
u = A m (x- a) " + A m+ ,(,v a)"^ 1 -f- A IK+I (JJ - fl)" l+3 -f- . . . ,
on, ce qui rovient an memo,
(18) u ~(.x ) "[ A /tt + A //f . M (,r a) + A wl+s (.-r ) 2 +- ]
Alors I equation
(19) a = o
j)ouvaut (Mre decomposee en deux autres, savoir
(x a )" ~ o, et A /w -H A /w +, (x a)->c A,,, M ( .r ) - -f . . . = o,
424 CALCIIL DES INDICES DES FONCTIONS.
dovra etre considereo comrne admettant m racines egales dont a sera la
valour commune. Ajoutons quo, pour des valours do x tres rapprochees
do a, lo rapport
(20)
sora, on voriu do la formule (iH), uno quantite fiuio, mais differente
do /( TO, a flee toe <lu memo signo quo A,,,, par consequent du memo
signo quo //,. Cola poso, on demontrera sans pel no. la proposition
snivanl o :
THKOUKMI; III. - - Soie/if u, c deux f auctions re cl/cs et cntieres de, x,
el supposons que les deux equations
(19) =o,
offreiil la premiere, m racines. la scconde 71 racines, egales et. rc el/es, dont,
a soil la raleur commune . L indice de la fraction
v
21 )
U
correspondant a x = a sera zero, si la difference, m n est paire. on
negative. Mais, si celte difference est impaire et. positive, le meme
indice sera -+- \ on i, suivant qae la valenr da rapport
(22)
.(Ill)
correspondant a x = a sera positive on negative.
Demonstration. -- Dans I hypolhese admiso, si Ton adribue a x uno
valour tres rapproehee do , los deux fractious
28)
(x a}" 1 (x a) n
acquorrout dos valours finios, mais differentes do xero, dont la pre-
CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. k25
micro sera unc quantite affectee du memo signo quo u ( " } , et la seconde
tine quantite affectee du memo signo quo v " ] . Par suite lo quotient
qu on obtient on divisant la seconde fraction par la premiere, savoir
- (x
sera, pour.des valours do a- infiniment rapprochees do a, vine quantite
* (iuie, inais dilferento do zero ot affectee du memo signo quo lo rapport
Done alors la valour do
sera infiniment petite, finio, ou infiniment grando, on memo temps quo
lo produit
(24)
Or, si la difference x a vient a changer do signo on passant par zero,
le produit (2/1) ne pourra changer do signo on passant par 1 infini
qu autant quo la difference in n sera impairo ot positive et, dans ce
cas, lo produit (24) passora du negatif an positif on du posilif an
negatif, suivant quo la valour du rapport
correspondent \\x-a sera positive ou negative. Done Tindice do la
fraction (21) s ovauouira si la difference m n cst pairo ou negative,
et cot indico deviendra -+- 1 ou -- i lorsque la difference in n sera
( . ( n )
impaire ot positive, suivant quo le rapport } deviendra positif ou
negatif pour x a.
Corollaire. - - Si a est une racine simple do 1 equation (19), sans
Ofiwrcs fie C. S. II, t. I. 54
.V-2G CALCUL DES INDICES DES FUNCTIONS.
otre racine do Inequation (8), riiulice de la fraction
correspondanl a .T = a, sera -+- i ou i, suivant quo le rapport
acquerra, pour^r a. une valour positive ou negative.
Lorsquo it, v designant dos { unctions reellcs et enliores do x, la
forme do la fonction // est telle qu ou puisse facilement determiner les
raeines do it = o renfermees ontro les li mites #, X, 1<? theorome III
foui-nit lo moyen do oaleuler immediatement I indice correspondant a
ehacune do cos raeines el, par suite, I indice integral
)
Dans lo eas contrairc >n pent, on -roooiirant ;i la formulo (9), rom-
placer la fraction - par une fraction ~ , et, continuer ainsi jusqu a co
tjiie Ton parvienne a nno nouvolle fraction dont I indice integral ontro
les I i mites jc , X. piiisse etro facilement, determine a 1 aide dn thoo-
reme III. On pout aussi poursnivre lo calcnl jusqu a la fraction qui a
pour ntimerateur lo plus grand commun divisour des deux polynomes
//, e, fraction dont riiulice sera immediatement determine par la for
mulo ((>), el alors on deduira sans peine do la formule (9) lo theoremo
suivant :
THKOREME IV. Soil
anc suite de fonclions cnlieres de x teltement choisies que, de trois terrnes
consecutifs de. la suite (2,5), le troisieme soil toujours e gal at/ rest? de la
division du nrcmier par le second, ce resie etanl pris en signe contrairc..
CALCUL D.ES INDICES DBS FUNCTIONS. 427
(;., = w sera le reste de La division de u par v, v r sera le plus grand
comrnun diviseur alge brique des poly nomes ., r, et, pour determiner I in-
dice de la fraction
entre les limites x = x , x = X, // suffira de comparer deux a deux, sous
le. rapporl des signes, les termes qui se suivront imme diatemenl dans la
suite (26 ), en supposanl que I on altnbue a la variable x : i " la valeur x {} ,
2 la raleur X, pats de cornpter les variations de signe el les permanences
de signe (jiie la suite. (2:)) offrira dans chacune de ces deux hypotheses,
Si l on nomme u. le n ombre des variations de signe (jui se changeront en
permanences, el v le nonibre des permanences c/ui se changeront en varia
tions dans le passage de la premiere hypolhese a la s.econde, I indice de
la fraction
pris entre les limites x = 37,,, x X sera equivalent a la difference entre
les deux nombres u. el. v, en sorle qne I on aura
77* ffv
(26) I {(-
(J x\\U .
Si a la fraction - on substituc la suivante
u
ot si Ton suppose toujours quo, a etant racinc dc [ equation
u =. o,
w" i} so it Jo pro mi or Lor mo do la suite
M, U , ll". ..., U ( " L} , ll(" l+l) , ...
qui no s ovanouisso pas avoc x a, los deux equations
(19) U=0,
(27) u =o
428 C ALGOL DES INDICES DES FONCT10NS.
admettront, la premiere in racines, la socondo m i racines egales
a <7, et, comme la derivee do I ordre in do u sera en memo temps la
derivee do I ordre in - i do u , on coneltira du tlieoremc 111 que Tin-
dice do so reduit a 1 unilc pour cbaqne valour reelle do . x propro a
verifier Toquation u = o. Par suite, si Ton nomine N le nombre des
racines reelles mais distinctes do u = o, renfermees entre les limites
x = ,r , x -- X, on aura
(a8) N,
Si Ton vent obtonir le nombre total des racines reelles do I equa
tion (19), il sufTira dc poser, dans la formule (28), x u = - cc, X = cc,
on memo simplemont
R designant tin nombi-p sujicricur atix modules do tontcs les raeines.
On pourra done, a I aidc do la lonnulc (28), determiner le n ombre des
racines reelles d unc equation, on plus generalemcnt le nonibrc do
cellos dc cos racines qui so trouvent comprises entre des limites don-
nees. Ajoutons quo, si plnsienrs racincs sont renfermees entre les deux
limites x tt , X, on pourra, entre ces deux limilcs, interposer une troi-
sieme valour do x equivalent! 1 a lenr movennc aritbmetiqne ^ -,
9.
ot determiner le nombre des racines comprises : i ontre x = x () et
X I - X^ ? ; V
x - ~^~> 2 (Mltr(1 X - - et a? = X; par consequent, entre
deux nonvelles limites donl la difference sera la moitie do la diffe
rence des deux premieres. Or, en continuant do la sorte a resserrer
los limites qui renferment les racines reelles, on finira par obtenir une
suite do valours de x croissant.es ot tellemont choisies quo deux termes
consecutifs no comprennent jamais entre eux plus d une valour reello
do x propre a verifier I equation donnee.
Si Ton voulait obtenir le nombre des racines positives dc liqua
tion (19), il suffirail de poser x n o ot X = x on X = R, dans la
CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 429
formule (28), qui sorait ainsi reduitc a
(29) Nr
on
-VK / / u \\
(30> N =J. (())
Si Ton nomine u t] , u n ot U, U los valours dos deux fonclions u, u
pour x - x n ot pour a? X, on tirora do la formulo (28) jointe a la
formule (9),
N--
-
Dans lo cas particiilier ofi j on supposo x n ~ o, X cc, lo rapport
U^
U
acquicrt vine valour infinio, inais positive, ot Ton a, par suite,
CY U
J UT(^T)
Alors aussi, , u n n ctant aulre chose quo lo tcrnio constant ot lo
coefficient do la premiere puissance do x dans la fonction n, I indico
sera equivalent a + i on a -- T suivant quo lo systome dos donx dor-
niors tcrmes do u offrira un<^ permanence on uno variation do signos.
luilin 1 expression
rodnite a
nc pourra surpassor lo nomhre des racines reollos do ( equation (27).
430 CALCUL DES INDICES DES FONCT10NS,
Cola pose, on deduira immediatement do la formuie (3 1) la proposition
suivanto :
TiiEORi .ME V. - - Le nombre des ratines positives de I equation a o
ne pourra surpasser que d une unite lc. nombre des racines positives de
I equation derivee u = o, el dcuis le cas settlement ou le svsleme des deux
derniers termes de la f auction u off rira line variation de signe.
Corollaire. -- On prouvora do menu 1 quo le nombre dos racines do
I oquation derivee du premier erdre u ~ o no pent surpasser quo d uno
unite le nombre dos. racines positives do 1 equation .derivee du second
ordre it" -~ o, et dans le cas seulement ou le systeme dos deux derniers
tonnes do it , par consequent lo systeme dos deux termes qui precedent
le dernier dans it, ofl re line variation do signe. Done le nombre des
racines positives do u = o snrpassera d uno ou de deux unites au plus
le nombrc dos racines positives do u" -= o, et dans le cas souloment ou
lo systeme dos trois derniers tonnes d( v u offrira line ou deux variations
do signe. Kn continuant ainsi. on finira par etablir la regie des signes
do Descartes comprise dans le theoremc dont void I enonce :
THEOREME VI. -- Le nombre des racines positives d une equation u = o,
dans laquellc u designe tine fo/iclio/i entiere de x, ne pent surpasser le
nombrc des variations de signe. c/u on obtient en comparant deux a deux
les termes qui se succedent irnme diatement dans la fonction u. Le nombre
des racines negatives ne pent surpasser le nombre des permane.Jices de
signe foitrnies par le m&me precede.
Nola. - - Apres avoir otabli, comme on 1 a oxpliquo ci-dessus, la
premiere partie du theoromo VI, il suHlra, pour deduire la scconde
partie de la premiere, dc remplacer x par x.
Observons encore que, si, dans la fonction u, les coefficients de
plusicurs puissances de la variable x se reduisent a zero, il suffira,
pour qu ils cossent do s evanouir, de remplacer x par xe, clesi-
gnant un nombre infmimenf petit. On s assure aisement de cette ma-
CALCUL DES INDICES DES FONCT10NS. 431
mere quo, dans ( application du theoreme do Descartes, *on pent no
tcnir ancun comptc des tonnes qui disparaissent.
Si, dans le theoreme III, on romplacc la fraction - par la suivanto :
et si Ton pose en memo -temps x tt ~ - co, X = oo, on trouvera
N designant le nombrc des racines reelles positives etM le nomhre des
racines reelles negatives, puis on eonclura des formules (9) et (3i)
(32) N-M =
La formule (3a) s accorde avee nn theoreme a I aide duqnel j ai
demontre le premier quo, pour line equation do degre quelconque, on
pent Irouvcr des fonctions rationnelles des coefficients dont l< 4 s signos
fassent connaitre le nombrc des racines reellos positives of le nombro
des racines reelles negatives.
Si 1 on combine la formule (28) avoc le theoreme IV, oh obliendra
le beau theoreme du a M. Charles Sturm.
THEOREME VII. Soil
(33) u, u , u 3 , M.,, ..., ,._!, it,.,
tine suite dc fonctions c.ntieres dc x lellement choisies que, de trois lermes
consecutifs de la suite (33) k troisicmc soil toujours egal, abstraction
faite des signes , an resle de la division algebrique, du premier par /e
deuxieme, mais affected un signe contraire ait signe de ce resle. //,. sera
le plus grand cOmmun diviscur alge brique des deux polynomes u, u , el
le nombrc des permanences de signes quoffrirout les lertnes de la suite (33),
pris comecutivemenl et compares deux a deux, ne pourra ffue r.roltre pour
des valeurs croissantes de x. Or I accroissemenl que recevra le nombrc
W2 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS.
donl it s agit dans le passage d line limite donnee x = x- a une limite
plus considerable x = X sera pre cise ment le Jiombre des racines c/is-
tinctes de it = o renfermees entre ces limites.
Xota. -- On pent sans inconvenient substituer aux restcs des divi
sions successivemcnt operees les produits de ces restes par desnombres
entiers quelconques, ce qui permottra de fa ire disparaitre les diviseurs
numeriques dans les polynomes u.,, u 3 , .. ., u r ,, u r lorsque les coeffi
cients des diverses puissances de x dans la fonction u seront des
nombres enliers.
En s appnvant sur h s principes ci-dessus exposes, on ponrrail
encore etendre le calcul des indices a la determination des racines
imaidnaires des equations, ainsi qu a la resolution des equations
simiiltanees, et demontrer en particulier la proposition suivante :
TuiiOREMF VIII. -- Soicnl f(x,y\ F(,r, t v) deux fonction s de x, y,
(/ui resle/i! continues, enlre les limites x = x^. x = X; y =Y , y = Y.
Xommons z(a\ r), ( I>f.r , y} les derive.es dc ces fond ions relatives a x,
et ~/^x, y\ X(\r, r) /curs derivees relatives a y. Enfin, soit N le nombre
des different* systernes de valcurs de x, y, propres a verifier les equations
sunidtanecs f(x, y) ~ o, F(o.\ y} = o, et comprises e/itre les limites ci-
dessus enoncees. On aura
en supposant
11. Kn i.833, presse par le temps, je n ai pu qu indiquer les appli
cations de la llieoric aux racines imaginaircs des equations a une seule
inconnue, et aux equations simiiltanees; je vais appliquer aujourd hui
le calcul des indices a ces memes objets en suivant la methode qui me
parait la plus directe.
CALCUL DES INDICES DES FO NOTIONS. i33
LEMME 1. Soicnt x, y deux variables c/ue nous considererons conwie
represenlant deux coordonnees rectangulaires, el
line foncLwn de ces variables qui reste finie el continue, pour ions les
pouns (x, j}-) si/ ue s clans I interieur da con/our ferme OS. Les raleurs
de u correspond ant a deux de ces points
P ei Q
seront des quantites de merne signe, si I on pent joindre ces deux points
[>aj- une nouvelle courbe PQ c/ui, renfermee dans t i/iterieur du con
tour OS, ne rencontre pas celle c/ue reprdsenle I equation
Demonstration. -- (^oinriH. 1 , dans I hypothesc adinisc, la lorn-lion u
variera par dogn s insensible*, (andis qnc Ton passera sur la nonvclli 1
courbc du point P au point O, il est clair quo ccttc tonclion, nc pou-
vant s evanouir, nc [xnirra non ]>lus changer de signe.
Corollaire I. - - II suit (In leinme [)reeedenl qne, dans riiypofhesc
admise, 1 aire terniinee par le contour OS sera divisee, par la courbc ou
par les divcrses brandies de courbe que represente reijuation ( ;.}. en
deux ou plusienrs [lartics, dans cliacune desquelles la fonrlion
conservera parlout le uierne signe.
LEJDIE 11. La fonclionuet ses de rivces du premier ord re -, etanl
i).r oy
supposees continues pour lous les points situe s dans I, interieur da con
tour OS, el I airc lerrninee par ce contour sc Irouvant divisee en deux on
plusicurs portions par la courbe ou les branches de courbe fjue represente
[ equation (2), si I on. passe d une de ces portions a une portion roisine
en traversanl la courbe dont il s agit ou I une de ses branches, la fonc-
OEuvrcs dc C. S. II, t. I. 55
434 CALCUL DES INDICES DES FUNCTIONS.
tio/i u changera necessairenient dc signc., a moins que Von n ait simulla-
nement en chaque point dc celte branche
.... <) On
(.->) 1=0, . - = o.
Ox ay
Demonstration. -- Kn efl ef, si Ton coupe la branche dont il s agit en
un point K par une droite qui forme Tangle rj avec le demi-axe des x
positives, la function //, nullr an point K, ne pourra ronserver le nieme
signe de part et d autre de ce point, sans devenir en ee memc point an
maximum on nn minimum, c est-a-dire sans (jue Ton ait
<)it <)it dv da dii
-; ~ -h tangcj= o,
dx dv dx da; dy
(jiiel qne soil d aillenrs Tangle n, et, par suite,
IJU
(3) =o,
LK.M.ME 111. -- Si un point (], clans le. roisiimge cluquel. la f auction
T-- / / / . / 7 <)tt <)n ,* .
u. - r (x, Y) et ses aenvees (In premier ordre -, ; - - restenl fames et con-
Ox Or
tinu.es, esl, dans la conrbc represenlee par { equation (2), un point isole,
ou un point d an-et, ou un point saillant (voir les Applications du Calcul
differentiel ) ( ), les coordonnees de ee point ve.rifie.ro nt les formules (3).
Demonstration. -- Kn eifet, dans ces trois hypotheses, on pourra,
par le point (1, fa ire passer une droite telle que, dans le voisinage de
ee point, on ne pnisse Irouver, d un cote de cette droite, on des deux
cotes a la Ibis, aucun point qui appartienne a la courhe dont il s agit.
Kn consequence, deux poinls silues sur la droife, de part et d autre dn
point C et h de ti-es pctitcs distances, pouvant etrc joints Pun a 1 autre
par une uouvelle courhe tros pen etendue et qui ne rencontre pas la
premiere, les valours de u corrcspondant a ces deux points seront
des quantites de meme signe (lemme 1). Done la valcur de u, variable
( ) OEwres <lc Caacliy, S. II. t. V.
CALCUL DES INDICES I)ES FONCTlChNS. 435
d un point a un autre sur la droile dont il s agit, deviondra encore au
point C un maximum on un minimum, et Ton en conclura, oomme
dans lo lemme H, quo los coordonnees du point C verifient les f or-
inules (3).
LEMME I\ . -- Si. la courbe repre senlee par [ equation (12) off re. un point
multiple C, c esl-a-dire un point flans Ittjuei se reunissent deux on plu-
sieurs branches de cclle courbe, les coordonnees de ce point ve rificront /es
for mules (3).
Demonstration. - En ollct, consid( :rons deux branches do. coin-lie
qui sc reunissent au point C, ot coupons cos deux branches dans le
voisinage du point C par une droite PO qui forme Tangle rc avec le
demi-axe des x positives. On pourra satisi aire a [ equation (->), non
seulement en prenanl pour ,x, v les coordonnees du point P oil la
droite PQ rencontrera la premiere branche de courbe, mais encore on
substituant aux coordonnees,^, y cellos du point silue sur la seconde
branclio, (jue jo supposorai designees par
x -\- A,f, y -r- AJ-,
la difference iinie Ar etanl de I a- Tonne
(4) A/ tangcr A.r.
Gela pose, en nomrnanl it -+- A// ce quo devient la Tonclion // quand on
\ fait croitre a de A^ et y de A/, on aura non seulemeni
// nr o,
mais encore
ot, par suite.
A//
(5) kit o et ~:o;
uk3u
puis, en supposant quo la droite PQ se rapproclie indeflnimonl du
point C, <;t (ju en consequence A.z- converge vers la limile /ero, on
436 CALCUL DES INDICES DES FUNCTIONS,
tirera des formules (4), (5)
dy ()// <)u dy
~ tangcj, - -+- - -/- o.
ax d,i- <)v da;
I)c cos dernieros on deduit immediatement 1 cquation
(6)
tan grey =: o,
(jiii, dcvant subsister pour divorsos valours do I anglc u, cntrainera los
Tommies (3).
Corollaire 1. -- En raisonnant (on jours do la memo maniere, ot sup-
posant retimes au point C non pins deux, mais trois branches do
courbo, alors, outre reqnation ((>), on ohliondrait la suivauto
<)-ti 0- n ()- u
tangGT H -- tang 2 ITT ^= o,
laqut lle, devanl subsistor indepcndamment do la valour attribuee a
I angle m, entraincrait los conditions
(8)
d -it )- u _
~d~x~d~y ~ dp*
Corollaire II. -- En general, la reunion do n brandies do courbe on
tin point multiple C entrainora los conditions
da
- u
dy
o,
d 1 u
= o.
o,
jiii devronl toulos so verifier pour les coordonnoes x, y du point dont
I s agit.
LEMME V. -- Les variables ,r, y representant des coordonnees rectangu-
CALCUL DES INDICES DES FONGTIONS. 437
laires, el les deux f auctions
u F(ar, y), v=f(x,y],
eta nt supposees continues dans le roisinage du pouit C, c/ui re pond a un
sy steme do tine, de raleurs de x, y, si les deux courses repre sente es par
V equation (3) el par la suivante
(/o) c = o ou f(x,y} = o
se touchent au point C, on aura en ce point
dv dit dv da
00 =o.
ox dy Oy ox
Demonstration. -- En cffci, si les deux courbes represenfees par les
equations (2) et (10) ont an point C une tan^ente commune, leurs
equations differentielles, savoir
()u , <)u , *)- . Jc .
dx -+- - dy = o, dx-+---dy~.Q,
<)x Oy J dx dy J
devront fburnir pour ce point la inerne valciir do ~ Or cette condi
tion entrainera immediatement laformule (n).
TUKORKMK I. -- Soil u = F(^) une fonction re elle de la variable x.
Si x = a represejile une racine simple de [ equation
(i) 11=10 ou F(.^ ) o,
I indice de -> correspondant a x = a, el represents par -la notation,
CY x a
(J u((a:a))
sera -f- i ou T , suivant gue la fonction de rivee u acquerra pour x = a
une valeur positive ou negative.
Demonstration. -- - Hn edet, I indice dont il s agit sera -\- \ ou i,
suivant (jue la fo notion u, on passant par zero, sera croissante ou de-
i38 CALCLIL DES INDICES DES FONCT10NS.
eroissanto j>our des valours croissantes do x. On sail d aillours qu uno
fbndion do x oroit on decroit pour dos valours croissantes do x, sui-
vant quo sa derivoe ost positive on negative. ( Voir lo Caicul differen-
ticl. )
Corollaire 1. - Los metnos choscs etant posoos quo dans lo thoo-
rouio 1, si v dosigno uno socoudo fonction do x qui nc deviennc point
nullr ni infinie pour x = a, 1 indico du rapport
i
UV
Correspondant ii x = a, offrira lo signo do la fbnction derivec
d(m-)
dx
= nv -+- it i ,
(jiii. on vortu do [ equation u = o, so reduira an produit u v, pourvu
(jut- c oonsorvo uno valour finio.
Corollaire II. Si, dans lo corollaire precedent, on romplaco c par ->
on en oonolura quo I indioo du rapport
corrosp.ondanl it JT = a, offre lo signo do la t onctiou
lorsquo c o( v obtiennent, pour x = a, dt^s valours iinios difforontos do
zero.
Cetlo conclusion s accordo avoc lo thooroino 111 du Memoiro do
i833( ).
THEOREME II. -- Soient, comrne an lemme /, x, y deux variables que
nous considererons conune representant deux coordonnces rectangidaires,
a F(.r, y)
I 1 ) QEuvrcs ilc Canc.hr, S. II. t. XV.
CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS.. fc39
unefonclion reelle de ces deux variables el
x a, y b
un des syslemes de valeurs de x, y propres a verifier V equation
(2) u o on F(^-, /)=ro.
Tracons d aillcurs autour da point C, dont les coordonnees soul a el b,
line courbe fermee OS dont la longueur totale soil designee par c, el nom-
rnons s I arc de cctle courbe comple positivement a partir d un point
fixe jusqu a un point mobile S qui ait autour da point C an jnouve-
ment de rotation direct. Pour chacun des points sillies sur la courbe OS,
,x, y, el par suite u, pourronl etre consideres comine four. lions de la
variable s. Cela pose, si la courbe fermee OS est traversee en divers points
par celle que. represent e V equation (2), I indice de la fo fiction -, corres-
pondant a chacun de ces points, offrira le meme signe que la fonction
, , , da
derwee -
ds
Demonstration. -- Lo theormnc II est line consequence immediate
tin theoremc I et. suppose qu cn chacun des points oil la cour])e OS es(
rencontree par cello que represcnte I equation (2) cette tlenuere
equation, exprimee a J aide tie la seule variable .v, n oflre point de
racines egalcs.
Corollaire I. - Les m ernes choses etant posees que dans le theo
remc II, si J on designe par v f(x, y) une scconde fonction de .x, y,
I indice du rapport correspondant a 1 un ties points de rencontre
de la courbe fcrm.ec OS et tie cellc que represente I equation (2),
offrira le meme signe que la fonction derivee
d(m>) dc du
x _ ^ i ^ .
(Is ds ds
Corollaire II. Si, dans le corollairc precedent, on remplace rpar ->
iiO CALCOL J)ES INDICES DES FONCTIOi\ 7 S.
on en conclura quo I indice <lu rapport - } correspondant a I un des
points do rencontre do la courbe OS el. de cclle quo represenle I equa-
lion ( }), oMVe le memo signe quo la fonction derivee
par consequent le memo signe quo la difference
(12)
THKORKMK 111. Les rnernes choses etant pose es que dans le theorerne //,
de signons par r == f(x, r) line scconde fonction de x, y. Admeltons
d ailleurs f/ne les deux fonclions u, v soient no/i seulcrnent finies, ?nais
continues el la seconde differenle de zero, pour tout point situe sur le
contour OS; alors, en supposatil u el, c exprimes sur le contour OS en
fonction de la seide variable s, on aura
Demonstration. -- La fonction r conservora le memo signe pour tons
les points dn contour OS, puisqu elle y roste lime ot continue sans
jamais s evanouir. Cola pose, coneevons quo I exlremite de 1 arc s, on
le point S, fasso lo tour do la courbe OS avec un mouvement do rota-
lion direct ; pendant ee inouvomont, lo rapport - dos deux functions
continues v et u no pourra changer de signe qn on passant par I infini,
ot passera evidemment aulant do ibis dn posilif an negatifqno du ne-
gatif an positif. Done, parmi los indices do ce rapport qni differeront
do zero, lo nombre do ceux qni so reduiront a ~ i sera egal au nombre
do ceux qui so reduiront a -+- i. Done la .somme de ces indices on
rindice integral do - sera mil ot verifiora la formule (3).
Corollaire I. -- tin prenant v i , on rednit le tJieoreme 111 a la pro
position s n i van to :
CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. Ul
Si la fonction u = Y(x, r) resle finie et continue pour tons les points
situe s snr le contour OS, alors, en consideranl u comme fonction de la
se.ule variable s, on aura
Corollaire II. -- Solent U = (.T,Y) ct v=f(x,y} deux: i oiict.inns
dont cliacunc rcstc non seulement fmic, mais continue sur le con
tour OS, et puisse d ailleurs s evanouir en quelques points de ce
contour. Alors, en considerant // et v eomme fonctions de la seule
variable s, on aura, d apres le corollaire I,
el, par consequent,
c i f --+- < -
=^ o.
uv
Comme on aura d autre part
u- -4- < - // c
. -J-, J
1 equation (i5) pourra s ecrire ainsi ( )
Corollaire III. Soient u, v, w trojs fonctions de x, v, dont
cliacune reste non seulement finie, mais continue sur le contour OS,
et puisse d ailleurs s evanouir en quelques points de ce contour ; alors,
en considerant u, c, w comme fonctions de la seule variable ,v, on
aura, d apres le corollaire I,
(!) La methode a I aide de laquellc on demontre ici la formulc (16) poarrail scrvir
pareillement a elablir la formule (5) du paragcai)he l ei .
OEuvre.s i/e C. S. II, t. I. 50
U2 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS
of, par consequent,
( 7)
U o V \
Comme on aura d autrepart
( equation (17) pourra s ecrirc ainsi
(I8)
Corollaire IV. -- Des formulcs analogues aux equations (16) ct (18)
pourraient etre facilement demontrees si le nombre dcs t onctions w,
c, r-% . . . devenait superieur a trois.
THEORKME IV. -- Le.s memes chases ctaiil posees qae dans le the oreme II,
designons par v =f( V,y) line seconde fonclion de x, y, el admettons
({lie les deux fonctions u, v reslent finies el continues, ainsi (jue leurs
dcrive es da premier ordre,
du ()u dv Oi
<)x Oy dx dy
pour tons les points re.nferm.es dans Vinlerieur du contour OS. Supposoiis
de plus ([lie, dans cet inlerieur, les deinc courbes represente.es par les
equations (2) et (10) se reduisent chacune a une settle branche GCH
ou ICJ (fid rencontre le contour OS en deux points G, 11 on I, J; que ces
deux courbes s y rencontrent elles-memes en un seul point C ; en/in que les
f one lions derive es
du Ou <)v {)<>
<)x dy Ox dy
y conservenl toujours dcs valeurs finies, mais ne veriftent pas au point C
fa condition (i i) ; alors, en. considerant, sur le contour OS, x, y et. par
suite u, v cormne fonctions de la seule variable s, on aura
I Cfc
9 -/
26/0
CALCUL J)ES INDICES DES FONCTIONS. U3
le double signe devanl elrc red nit an signe -h on an signe , suiva/it
(/tie, la vale.ur du biriome
____
dx dy dy <)x
correspondant au point C, sera positive ou negative.
Demonstration. - - Puisqu au point C, situe sur la courbc GC1I, la
condition (i i) n est pas verifiee, les conditions (3) no pourront I ctrc
dans 1 hypothese admise. Done, on vertu du lemine II, la courbc GCH,
representee par 1 equation (2), diviscra 1 airc terniinee par le con
tour OS, ct cc contour lui-memc on deux portions idles quo tons los
points de 1 une repondront a des valours positives et tons les points
do 1 autro a des valours negatives do la fonction it. Par la ineine raison,
la courbo ICJ, represenleo par FcMjuation (10), divisora 1 airo (orinineo
par le contour OS, et ce contour liii-meine en deux portions lelles quo
tons les points de 1 une repondront a dos valours [tositivos et tons les
points dc 1 autre a des valours negatives do la fonction r. Enfin,.en
vertu du lemine Y, les deux courbes G(]1I, ICJ no pourront so toucher
au point C ou olios so rcncontront sans quo la condition (i i) soit veri-
iieo. Elles s ycoupcront done, et il en resulto quo, sui- le contour OS,
chacun dos points I, J so trouvera situe onlro los deux points G et H.
Concevons, pour fixer les idoes, quo I extremite mobile de Fare ,v, ou
lo point S, en faisant le tour de la courbo. OS avec un mouvernent de
rotation direct, rencontre succcssivement les quatre points
( , 1, H, J,
cbacune des fonctions //, v conscrvora lo memo signo, tandis quo le
point S parcourra 1 un dos arcs
GI, IH, ll.I, JG.
Mais la fonction a cbangora do signo lorsque lo point S passera par
la position G ou H, ot la fond ion r lorsque le point S passera par la
position I ou J.
(JALCUL J)ES INDICES DES FONCT10NS
Par suite le rapport
changera de signc chaquc fois que le point S passcra par Tune des
positions successives
G, I, H, J;
d le changement do signc au point II s cflcctucra dans le meme sens
qu au point G, le changement do signc en sens oppose ayant lieu en
chacun des points I et J. Done les indices du rapport -, oorrespon-
dant aux deux points G, H, scront egaux cntre eux et a i; d oii il
rcsulte que la demi-somme de cos indices ou la moitie de Texpression
( \\u
>e reduira encore a i. D autre part, il suit du theorome II (corol-
laire 11) que I indice du rapport^, en chacun des points G, II, offrira
lo signe de la difference
ds ds
Done la valour de 1 cxprcssion
sera determinee par la formulc (19), le signe du second mcmbre
devant etre reduit au signc -4- ou au signe. , suivant que la valour
du binome
dt< dv
ds ds
correspondant a chacun des points G, H, sera positive on negative.
Goncevons maintenant que, , b etant les valeurs de cc,y relatives
au point G, Ton remplace les coordonnees rectangulaires x,y par des
coordonnees polaircs p, r relatives au point C pris pour origine, et
CALCOL DES INDICES DES FONCTLONS. Uo
liees a x,y par les formules
(20) x a =rr r cos/), / b rs\np,
Supposons, do plus, que Ton resserre indefiniment lo contour OS
autour du point C, en faisant decroitre ct rendant infmimont petite la
valour do r correspondant a cbaque point do co con lour. Lo point (1
qui repond a r= o etant celui dans loquol so coupont les deux eourbes
representees par les equations (2) ot(io), u ct v, eonsiderees comme
fonctions du rayon vecteur r, dcviqndront infmiment petitos avoc /,
ainsi quo la quantite (12) a laquello on pourra rendre une valeui 1
finie, sans alterer le signe dont olio est affectee, en la divisant pai 1 /,
c cst-a-dire on la reinplacant par la difference
9 da a dv
(21)
/ ,v / as
D aillcurs rien n empechera d admettre que, dans le contour OS
dovenu infiniment petit, toutes les valours de r soient egales enl.ro
olios. Alors ee contour so transformera en nne circonference de cercl(>:
ct si Ton place I origine de 1 arc s sur le demi-axe des a- positives,
cot arc, determine par la formulc
s = rp,
devra etre considere comnio fonction de la seule variable /;; on sorte
qu on aura
<iu i du dv i dv
ds r dp ) ds / dp
Cola pose, la difference (21) deviondra
c dn
I I O O 1
/ 2 dp
Cc n ost pas tout : lorsquc le contour OS so transforme en une cir
conference dc cerclc dont le rayon ost infiniment petit, chacun des
points dc cette circonference so confond sensiblement avoc le centre C;
et par suite les valours du binome (22), qui repondent aux deux
W6 CALCUL J)ES INDICES DES FONCTlOJs S.
points G, II, se confondent sensiblement avec la valour du memo
binome correspondant an point C ( ). Done cette derniere sera la
limite des deux autres et pourra lour etre substitute. Or, on aura
pour le point C, oil les trois quantites r, u, r s evanouissent simulta-
n em en I,
// du r dc
r dr / dr
Done, en ce point, la difference (22) sera equ.ivalen.tc au produit
i / di> du dc du
r \dr dp dp dr
D autre part on a generalement, en vertu des formules (20),
du du du \ du du du
T- = COS/; - 1- Sill/ -y- > - __ _ S1I1W-T h COSW^r- j
dr dx dr r dp dx dr
d^ r)c (}c i dc ()r ()(
cos/v -r -i- sm/>-r , - sin/;-, - 1 - cos
or dx dv r dp dx /)i
el. par suite,
, , i . dc du dc i)//\ dy du d\* du
r\dr dp dp dr ) dx dr dy l)x
Done le si^ne do 1 indice integral
se confondra non seulement avec le signe du binome (j 2) ou (21) en
ohacun des points G, 11, mais encore avec le signe do la difference
dv du ()v dn
dx dr oy dx
calculee pour le point C, c esl-ii-dire pour le point oil se coupent les
courbes represen tees par les equations (2) et (10).
( ) Ce qui rend cette conclusion legilime, c eslque, dans I hypotliese admise, lesvaleurs
, du du dc dv du i du di> i dv M v
TTr 7h- 7T- 7T- ct) I )ar Slllle celles de ,--,,--,-,- restent.
OX o\ 0.1. o\ Or r dp Or r dp r r
(Jans 1 intericur du contour OS, fonctions continues des variables .r, y ou r et p.
CALCUL DRS INDICES DES FONC/flONS. Hkl
A utre demonstration. -- On pourrait, dans la demonstration prece-
dentc, so dispenser do transformer les coordonnees rcctangalaires en
coordonnees polaires, et arriver tres simplement aux m ernes conclu
sions de la manierc suivante :
Supposons quo le contour OS, en se resserrant de plus en plus
autour clu point C, prenne la forme non d unc circonference de cercle,
mais d un rectangle terminc par quatrc droites paralleles aux axes
des x et dcs y\ le binome (12) acquerra des formes diverses pour les
points situes sur ces quatrc droites. On trouvcra, en particulier, pour
les points situes sur I tine dcs droites paralleles a 1 axe dcs y et du cote
des x positives, par rapport au point C,
(20) .9 := const. +/,
par consequent
da di On dc
(26) < -- - a c - - it ,
els ds <)y dv
et commc pourchacun de ces points x a sera positif, le hinome (26),
pour chacun d eux, olTrira le meme, signe (jue la difference
. c du a i)v
jc a~0y x a ()y
dont la lirnite, correspondant au point C, oil x a, u et < s eva-
nouissent, nc differera pas de la quantite w detcrminee par la formule
c)c du <)v du
(28) W =A r 1
Ox Oy or Ox
Au contraire, pour les points situes sur Tune des droites paralleles
a 1 axe dcs x, et du cote des y positives, relativement au point C, on
aura
(29) s = const. x,
par consequenl
du dv <)(> du
(do) v u = u- r v- r -,
ds as Ox Ox
U8 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS.
el comine pour chacun de ces points la difference y b sera positive,
le binome (3o), pour chacun d eux, ofl rira le iiu-ine signe qne la
difference
// ()c c dn
V " * / 7 i 7 ~l
y b Ox y b ox
dont la limite correspondant an point. C, oil y />, u ct c s eva-
nonissent, sera encore la quantite w. Si, an lien des droites siluees
par rapport an point C du cote des coordonnees positives, on consi-
d era it les droites sitnees par rapport an point C dn cote des coor
donnees negatives, il landrail remplacer dans les formules (27)
et (3i) y par --y, x par x, el subslilucr aux differences x a,
Y b, qui deviendraienl negatives, les differences u x, b y. Par
suite on ponrrait encore subslituer an binome (12) 1 expression (27)
on (3i), dont la limite correspondant an point C serait tonjonrs la
qu an tile w.
Ainsi, en resume, si le contour OS, en se resserrant autour du
point C, prend la forme d nn rectangle dont les cotes dcvienncnt infi-
uiment petits, la valeur du binome (12), pour chacun des points sillies
sur ce contour, offrira le meme signe qn unc quantite dont la limite
sera la valeur de w correspondant an point C. Done I indice integral
qni doit se reduire a -hi on a -- i, et off rir le memc signe que le
binome (11) en deux points G, II situes sur le contour du rectangle,
sera donne par la formule (19), le signe du second membre etant
determine comme il est (lit dans 1 enonce du theoreme IV.
Corollaire. - - Si les deux fonctions //, < , etant nulles au point (],
restent, dans le voisinage de ce point, finies et continues, ainsi que
leurs derivees du premier ordre
du On i)v Jr
dx Oy <Jx dy
CALCUL DES INDICES DES F01NCTIONS. 4 *9
sans que la valour de w relative an memo point s evanouisse, il sera
impossible d admettre que Ton ait simultanement
da
o,
ox
ou bien
dx dy
o, o.
ox dy
Done alors, en vertu des lemmcs III et IV, le point 0, considere
comme appartenant a Tune ou 1 autro des courbes representees par les
equations
( 02 ) It O, ( - O,
ne pourra etre ni nn point isole, ni un point d arret, ni un point
saillant, ni un j>oint multiple. II y a pins : en vertu des lemrnes IV et V,
les deux courbes, reduites chacune a une seule branche dans le voisi-
nagc du point C, ne seront point tangentes 1 une a I antre en ce point,
mais s y traverseront mutuellement. Cola pose, pour que les condi
tions enoncees dans le theoreme IV soient reinplies, il suf fira de
ehoisir arbitrairement sur ehacune des courbes GCH, ICJ, representees
par les equations (32), deux points G, H ou 1, .1 situes de part el
d autre du point C a des distances infiniment petiles, puis de joindre
les quatre points
G, I, II, J,
pris consecutivement, et deux a deux, par quatre arcs de courbe
GI, IH, HJ, JG,
traces de maniere qu aucun de ces arcs ne rencontre entre ses deux
extremites 1 une des deux courbes GCH, ICJ. Alors, en effet, le syslemo
des quatre arcs GI, III, II J, .1G form era un contour OS que chacune des
courbes GCH, ICJ rencontrera settlement en deux points G et H ou 1
et J. Done le Iheoremo IV entraine la proposition snivanle :
THEORE^IF, V. -- Si les deux fonctions
u
OEwres ,1,: C. S. II, t. I.
450 CALCUL DES INDICES DES FONCT10NS.
etant nuttes pour les valeurs de x, y qui correspondent a un point do fine C,
/extent, dans le voisinage de ce point, furies el continues, ainsi que lews
derivees dn premier ordre
<)u. dn dv <)r
<)jc dy dx f)y
sans (/lie la valeur de w relative an meme point et detenninee par la for-
rnide (27) s evanouisse, on ponrra tracer aulour dn point C, el dans son
voisinage, nn contour ferine OS, de telle inaniere que V on ait
.y designant I arc de la nouvelle conrbe OS comple positivemenl dans lc
sens dn jnoiwemenl de rotation direct, c, //, etant consideres dans I equa
tion (19) comme fonctions de la seule variable s, et c representant la lon
gueur lot ale. du contour ferme OS. Ajoutons que, dajis le second membre
de I equation (19), le double signe devra e.tre reduit an signe -f- on an
signe , suivant que la valeur de if relative an point C sera positive on
negatve.
THEOREME VI. - - Soiejit x, y deux variables que nous considererons
comnic representant deujc coordonnees rectangnlaires, el
une fonction de ces deux variables. Tracons d ailleurs dans le plan des
x, y une conrbe fermee OS, dont la longueur totale soil designee par c,
et JiommojLS s I arc de celte conrbe comple positivement dans le sens dn
mouvcmenl de rolalion direct, a partir d uti poinl fixe jusquau point
mobile S. ,SY / on partage le perimelre c de la courbe OS en plusieurs
parties
C] , C, . . . , C n ,
respectivernent comprises enlre les exlremites des arcs
C ALGOL DES INDICES DES FONCT10NS. Yal
en sorte qu on ail
C\ S i S(i, C-> i j .S ij > GII /; Sn \t
e, par suite,
alors u etant consider?, coinme function de la settle variable s, I indice
inte gra/
sera la somme des indices de metne forme (/ui correspondent mix dicerses
parties
C|, C. 2 , . . . , C n
du perirnetre r, en sorte fjitOn dura
Demonstration. Kn efl ot, dans [ equation (33), le premier membre
represente la somme totale des indices de la function - correspondanl
aux points du contour OS pour losquois celt) 1 fonction devient inlinio.
tandis quo cbaque lerme du second memlire represenle into somme
semblable, mais relative seulemeiit anx points si lues sur une parlic du
memo contour. Or il ost Hair qu en rennissanl les somnies parliolles
relatives aux di verses portions c,, c.,, c n du contour c, on obtiondra
la somme totale relative an contour enlier.
Corollaire 1. -- Si Ton nomine C I indice integral rolalif an
tbrme OS, et
co quo devienl cot indice quand on remplace succossivemenl le con
tour entier c par ses diverses parlies
on aura
(34) C = C I +C,+ ...4-C l ,.
452 CALCUL DES INDICES DBS FONCTIONS.
Corollaire II. -- Les raisonnements d
fisent evidemment pour etablir la formul
Corollaire II. -- Les raisonnements dont nous avons fait usage suf-
dans le cas memo oil Ton n aurait plus s o, .?= c, par consequent,
dans le cas oil I arc
s n S>
no sorait lui-meme qu uno partie du contour OS.
Si Ton suppose on particular n 2, la formule (35) donnera sim-
ploment
Corollaire HI. - Si Ton veut rondro la formulo (35) applicable au
cas memo oil la function - devient infinie pour rune des valours do ,v
represcnloos par
il sera necessaire d admettre (jiie, dans la somme (( indices representee
par une expression de la forme
on doit reduirc a moitie 1 indice correspondant a uno valour donnee
do .v toutes los fois quo cotto valeur coincide avec I line des liiniios s n ,s< .
Corollaire IV. - Dans ce qui precede, nous avons irnplicitomenl
admis que les quantites
forment une suilo croissanto. Si Ton veul quo les formules trouveos
s etendent an cas memo oil ceUe condition no serait pas rornplio. on
firera de la formule (36), en y posant s., = s n ,
CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 453
par consequent
Au reste, pour ob^enir immediatement la ibrmule (39), il suffit
d etendre la definition quc nous avons donnee de 1 indico integral d une
fonction, dans le paragraphe I, au cas memo ou la variable comprise
dans cettc fonction deeroit au lieu de croitre. En e(Fet, si une fonction
d une seule variable change de signe dans un certain sens, tandis quo
la variable croit en passant par une valour donnee, elle changera do
signe en sens oppose, tandis quo cette variable deeroit en passant par
la memo valour. Done I indice de la fonction correspondant a une va
lour donnee do la variable so reduira dans le premier et lo second cas
a deux quantites de signes contraires, et par suite 1 indico integral,
pris outre deux limites, reslera lo memo au siu ne pros, mais chanuora
G L o
do signe si Ton echange les deux limites outre olios.
La form u lo (3~) etant obtenue coin me on vient de lo dire, on en
conclura sans peine quo la Ibrmulo (35) subsiste, quo! quo so it 1 ordre
do grandeur dos (juantites
D ailleurs la Ibrmulo (37) comprend un tbeoremo quo Ton pout
en oncer com me il suit :
THEOREME Vll. - - Soient x, y deux variables qua nous considerero/is
commc. representant deux coordonnees /-ectangulaires ; u = F(,r, y) une
fonction reelle de ces deux variables (jui ne change jamais de signe satis
devenir nuilc ou infinie ; FO une ligne droile ou courbe tracee dans le
plan des x, y enlre deux points donne s P, Q et s une longueur comptee
stir cette ligne a parlir c/ un point Jixe 0. Alors u. e lan{ conside re eomme
fonction de la variable s, si I on nornme C, 1) les valeurs (ju acquierl I in-
dice integral de la fonction - , t/uand on passe, en suivant. la ligne PO :
1 du point P au point O; 2 du point au point P, on aura
C~ -I) on C-t-D o.
5V CALCUL DES INDICES DBS FONCTIONS.
Not a. - - 11 est aise do s assurer quo co theoreme s etend au cas memo
oil la fond ion - deviendrait infinic en Tun des points P, 0.
THKORKMK VIII. - Soicnl x, v^deux variables qui represented deux
coordonnees reclangulcdres ;
unc. fonclion de ces memes variables, el supposons traces dans le plan
des x, y deux contours PRO, QSP qui, offrant line partie commune PQ,
enveloppeni respectiveme.nl deux aires A, B, continues I une a I autre.
Le systems de leurs parlies non cojnrnunes formera un nouveau con
tour ROSPH (fid servira d enveloppe a I aire totale A 4- 13. Cela pose,
nommons A ou H I indice integral de la fonction - etendu a tons les
u
points c/ii contour PHQ ou QSP et calcule dans la supposition qiiun point
mobile parcourra chacun de ces contours avec un mouvement de rotation
direct, la somme
A + B
represenlera I indice integral de la me me fond ion - etendu a Lous les
u
points du contour HQSPR et calcide dans la supposition qiie ce dernier
contour soil, encore parcouru par un point mobile done d un moiivement
df rotation direct.
Demonstration. - - Soiont C la partie do I indico integral A et D la
partiodo I indice integral 13, relatives a 1 arc PQ, c est-a-dire a la partie
ommiino dos deux contours PRQ, QSP. Soient au contrairc R, S les
parties des indices A et 13 qui correspondent aux parties non communes
dos deux contours. On aura
el la somine R -+- S ropresontora- evideniment I indico integral de -
etondn a tons les points du contour RQSPR, dans lo cas on un point
mobile parcourt ce dernier contour avec un monveinont do rotation
CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. V55
direct. Or, pour s assurcr quo la sommo R +- S no differe pas de la
somrne A 4- B, il suffira do combiner entrc. olios par voio d addilion les
formules (39), on ayant egard a la condition (38) qui. dans I hypo-
these admise, so trouvera evidemment verifiee.
Corolla/re. En reunissant succossivomont los lines aux autres
plusieurs airos contiguous term! noes par divers contours qui oflrenl dos
parlies communes, on doduira sans poino du Iheoromo YJll celui ()iie
nous allons enoncer.
THEOREME IX. Soienl x, y deux variables qui represent en I des coor-
donne es rectangulaires ;
unc fo nctwn de ces variables, el. conside rons dans le plan des .r, y une
aire finie qui soil parlagee en autant d elements (jue I on roudra. L in-
dice integral, de la fonction -, elendu d lous les points du contour (jiii
ternunc cette aire, sous la condition, (jne ce contour soil, parcouru dans le
sens du mouvement de rotation direct, sera la so in me des indices sem-
blables calcules sous la. merne condition pour les divers contours f/ui t er
mine nt les divers elements.
Du theoreme IX, joint aux theoremes III e( V, on deduit immediale-
ment la proposition suivantc :
THEOREMS X. -- Les variables x, y representunt des coordonnees rec-
tangulaires, si, pour lous les points renfermes dans un certain con-
lour OS, les deux fonclions
restenl Jinies ct conti/mes aussi bien (/ue leurs denudes du premier ordre
du <)u [(){ <)\-
djo Oy dx <)y
456 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS.
si, fie plus, flans cct inte rieur, la fonction
dv du dv f)n
~ dx dy dy dx
offre une valeur differente de zero pour tons les points oil se rencontrent
les courbes represenlees par les equations
(82) u 3= o, c o,
alors en nommant M le jiojnbre des points de rencontre qui correspondent
a des valeurs negatives de w, N le nornbre de ceux qui correspondent a
des valeurs positives de w, c le perimetre du contour OS, enfin s un arc
comple posilwement sur ce contour dans le sens du mouvement de rotation
direct, et supposanl d ailleurs le rapport - exprime en fonction de la
seule variable s, on aura
(4o) -7 f(-l =N-M.
Demonstration. - - Dans I hypothese admise, et en verlu du tht o-
reme V. on pourra, autour de chacun des points de rencontre C, C , ...
des courhes representees par les equations (^2), tracer un contour ferine
dont les dimensions soient tres petites et dont la forme soit tellc que la
substitution de ce contour au contour OS fournisse, an lieu du premier
membre de I equation (4) une expression equivalente a I linite, abs
traction faite du signc, mais affectee du memc signe que la valeur dc w
relative au point C, on C , etc. II y a plus, les aires infmimcnt petites,
comprises dans les contours traces autour des points C, C , . . ., pour-
ront etre considerees comme autant d elements de 1 airc finie comprise
dans le contour OS, les a utros elements etant eux-memes infiniment
petits et traces de maniere que chacun d eux soit traverse -par une
seule des courbes (02) ou qu il n ait de points comrnuns avec aucune
d elles. Or cornme I indice integral relatif au contour qui termine Tun
dc ces derniers elements sera nul dans le premier cas, en vertu du
theoreme III, et s evanouira encore dans le second cas, oil la fonc
tion - ne deviendra infinie pour aticun des points de ce contour, il suit
CALCUL DKS INDICES DES KO NOT ION S. 457
(hi (beoromo IX (jiic [ expression
so red uira simplement ii la so in mo dos indices re la (it s aux elements
qni contiennent les j)oin(s C, C , .... D aulre part, cliacnn do cos
indices elanl lo double do -f- i on do -- i, suivant (jue la valour do <r
correspondant au point C on (] , etc. esf positive on negative, lour
soniino sera evidemmenl egalo an double do N M. Done la valour de
[ expression
T ((-}}
ii \ \ a / J
sera dotenninee par la t orninle (/|o).
Corollaire I. -- Lorsque // el c sonl des I onclions ontiores do a;, v,
cos fonctions sonl loujonrs linies et continues anssi bion (|tio lours
dei ivoes (In premier ordre
du On dc <)(,
Ox dy dx <)y
pour dos valours linies des variables x, y. Done alors la I onnule ( /jo )
subsislo sons la seule condition quo. w difloro do zero pour tons les
systoinos do valours do J , y propres i> verifier les equations siinnlla-
n oos //-o, r -~- o, et Ton obi ion I le t boo re me (ju ont enonce MM. Slur in
ot Liouville dans une Note <|ue renferme lo GoTnpterendu.de laseanc.edc
f
I Academic des Sciences <\.\\ i5 mai 1837.
Corollaire //. -- Lors(|iie // el o oes^ent d etre dos fonctions ontioros
do .r, Y, alors pour des valours do ..r, y propres a verifier lo syslomo
des equations simnltances
( 3a ) if o, c .: o,
il pout arrivoi 1 quo la valour et memo le signe do (f soiont indotorniines.
OJ-.in i-i-x ilc C. -- S. II. t. I. :*>S
458 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS.
Ainsi, par oxcmple, si Ton a
. 7V
v x,
X
les equations (32), reduites a la f onnr.
seront verifiees par drs valours nulles do x, y, et cos valours rendront
indeterminee la fonclion
Oc Oti dv OK _ 2 y
Ox Oy dy Ox x
(jur Ton ])ourra supposrr egale a uno quantite quelconque positive
on negative. Alors le signe me me de w restant indetermine, la for
um le ( ^o) cessera d etre applicable.
Mais si les ibnetions n, v, elant fraction nairps ou memo transeen-
dantes, reslent finies et eontiniies, aussi hie/) que lours derivees du
|.)remior ordro relatives a ^r, y pour tons les points renfermes dans le
contour donne, on n aura plus a craindre que la valour de n ; se pre-
sent.e dans 1 interieur de ce contour sou^ uno forme indeterminee, el
I equation (4) continuera de subsistcr sous la condition enonc.ee.
(1 est ce qui arrivora, par oxemplc, si Ton suppose
Coneovons quo, dans cette hypothese, le contour OS se reduise a un
carre dont le centre soit 1 originc des coordonnees et dont le cote soit
egal a 2, on trouvera
"Y L //(
7 ((l
(/ \\u
On Of Ou Oc
w - 2 -+ L(.v -}.
Or dx ox O
D autre part les equations simultanees
y ~ o, x L(.:r 2 ) = o
CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. &5<J
en Ire los variables .r, y serout verifiees : 1 par los valours
x -=. o , y o
pour lesquclles \v deviendra negatif; 2 par los valours
x i , J o,
ot
as -i, y o,
pour lesquelles (^ deviendra positif. On aura done M = i, N ~ -2, par
consequent
ol la formulo (/[) so trnuvora vorifioo.
Coroltaire III. -- Posons, pour abreger,
ol iionunons /(.v) co quo doviont -|>(^, y), quand on oxpnino, siir
o.ontour OS, los coordonnees .T, r on i onclion do Tare ,v. La l
inulo (/|o) donnera
Corollaire IV. - Si lo contour OS so reduit \\ la circon Fere nee d un
cercledecril do 1 origincconime contro avoe lo rayon H, ol si, on sup-
|)osant lo point situo sur lo donii-axo (los .2- posilivos, on nommo
/; i anglo polaire quo forme avcc co dorni-axo lo rayon voclour r mono
do 1 orig ino au point (x, y), on aura
(43) a- =. r cos/?, y rsin/>,
(44) s=Hj>,
(45) c = irA\,
ot la fbruiulo (4 2 ) doviondra
(46) - .7 " "((/(*))) = - ^((A^P))) = N - M.
460 CALCUL DES INDICES DES FONGTIONS.
Comine on aura d ailleurs pour tons Ics points situes sur lo con
tour OS
j? R cos/?, y = 11 sin/;, .? l\p,
la ibrmule
(47) f(*) = *(*,y)
donnera pour chacun do cos points
^(R cos/?, R sin/?).
Done la ibnnulr (4^) pourra etre reduite a
(48)
Ic simile 7 ctant i-clatiCa la variable/;.
Corollairc V. - Si lo contour OS so mluit an perimotro dn rec
tangle cornpris c 1 ntrc les quatre droites representees par les equations
y-:-y , y Y;
alors, en supposant
( 5 ) ^,)<X, r<Y,
ot la longueur x mesuree sur le peri metre du rectangle, a partir du
so m mot qui a pour coordonnees ^r , Y O , on obtiondra les 1 ormules
2 ( X .V ) + V y,, ry 2 ( X .r i + 2 ( Y
dans lesquellcs les cotes du rectangle sont representes par les diffe
rences
X x a , Y / .
D autre part, les valeurs do a?, ;> , expriinees en fonction de j pour
( ; A L C U L I) E S I N D I C E S 1) E S 1 N ( : T I (.) N S . 46 1
les points sillies sur le. premier, le deuxieme, le troisieme et le qua-
trieme cote dn rectangle, seront respectivement
[53)
-^ )- (Y- V )], .r = Y;
J = Y- [.? - 2 (X - ,r ) - ( Y
i 1 ! I on aura, par suite, eu egan.l \\ la formnle (4~).
Done, on tircrade 1 equation (02)
(^(.r, Jo)))
(54)
et la Cormule (^2) donnera, dans 1 hypothese admise,
DO )
^(, r , Y)))
N-M.
An resle, pour etablir direetenienl la 1 ormule (oi) el, par suite, la
formule (55), il suftit d observer cjue, dans le eas ou le eon lour OS
devient un rectangle, les quatre parties de I iiidiee integral
correspondant aux quatre cotes de ce rectangle sont evidemment
462 CALCUL DES IN DICKS DES FONCTIONS.
ot qu en vertu do la I ormulo (27) les deux dornieres so reduiscnt it
THKOUOIK XL e.y jnemes chases etant posees que dans ie thcorcme, X.
si la fonctioji ir reste positive pour tons les points renferrne s dans le con
tour OS, on dn moms pour ceux on se rcncontrenl, les courbes representees
par les equations ( $2}, on aura
Demonstration. - Alors, en otf et, M sera ovidemment mil et, par
suite, la difference N M se reduira simpleinent a N.
Carollaire I. -- Dans le eas dont il s ai^it. les formulas .(48) ct (55)
deviennent
Corollaire IL -- f(x) etant Line tbnction entiere de .2;, proparee de
m a n i e re q u e I e q u a t i o n
n offre pas de raeines egales, si Ton nomrne u, v deux fonetions
reel les de .x ^r determinees par la Ibrnmle
O
par consequent
dv du , - , - /(9c du i
r- V 7 I V/ - - H ---- V
v \ c)^ r^ x
Ou _ ()c dv
dv Ox dy
CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. MM
et
dv du dv (In _ /()it\- / ()c \-
~ oTr 77)" ~ ^ ITi- = (dl-J ~ \~d~c)
Or, cetto derniere valeur do w IIP pouvant s evanouir (juo dans IP pas
oil Ton aurait
ct, pa i suite,
da ,
- - v 7 - / (^ + y
sera entierement positive pour les valcurs de x, y propres a verifier les
equations (32) et, |)ar suite, la forrnule
(6:0 /
puisque IPS conditions
/ ( x + } V " ) = o, / ( x + y v i ) =
o
no peuvent subsister simultanement lorsque 1 equation ( 5()) n oifrp
point dp raeines egales. 11 en resulte que, dans I hypothese admisp, IP
nombre N dps valeurs de x, y propres a verifier I eqiiation (62) et
correspondant a des points situes dans 1 interieur du contour OS, sera
determine par la formule
(56) N=-
Si le contour OS se reduit a line circonference de cercle decrile dc
1 originp coinme centre avec le rayon R, on bien encore au perimi trp
du rectangle compris entre les droites que representent les equa
tions (4o) la formule (56) devra etre remplacee par la formule (^7)
on (58). Alors aussi les diverses valcurs de x -\- y \J i, correspon
dant aux points oil se rencontreront dans rinterieur du contour doune
les courbes representees par les equations (32), seront precisemenl
celles des raeines reelles on imaginaires de Fequation (5()) qui rem-
plisscnt certaines conditions, savoir : celles qui oH rent un module infe-
464 CALCUL DES INDICES DES FUNCTIONS.
rienr a ]\. on cellos qui off rent nno partio reolle comprise enlre les
limitcsa-o, X el un coefficient do \/ i compris outre les limiles v (l , V.
Si d aillcurs la fond ion /(#) est de forme reello, [ equation (Go)
ontrainera la suivanlo :
( 63 ) f(x y y i ) = v ti v i ;
en sorte qu on aura
(64)
el les formulcs (Sy), (58) coincideront avec les ibnnules (-I/4) ( [ 7 2 )
du .Meinoire lithographie a Turin, sous la date du 27 soptonihro i83i,
On dediiirait avoe la menie facilite de 1 equalion (56) les a ut res for-
inules contenues dans le Meinoire dont il s agit, et relatives a la deter
mination dn iiombre des racines reelles on imaginaires des equations
algebriquos ( ).
TIIEOREME XII. Les memes choses etant posees que da/is le theoretne X ,
si le, system? des ec/udlio/is
(65)
o,
ne se verifie pour uiicun des points sit lie s dans i inter ieiir du contour OS,
alors en noinmant A le nombre des points oil se. re.ncontrent, dans I inte-
neur de ce contour, les courbes represented par les equations (32). on
aura
(66)
Demonstration. -- Pour deduire le theoremc XII dn theoreme X, il
( ?.) .1 ai appris que des demonstrations elementaires de mes theoremes sur les racines
imaginaires on I etc donnees. pour la premiere fois, par MM. Sturm cl Liouvillc, dans un
Memoire quo jo ne connais pas encore. 1 oxemplairc qu ils ont bien voulu m adresser ne
m etanl pas encore parvenu.
CALCUL DES INDICES DES FONCTIO.NS. 4-65
suffit de remplaccr la fonclion v par le produit vw. Alors, en effet, les
equations (82) devrontetre rcmplacees par celles-ci :
(67) u o, (Mr o,
et la difference
dc dn ()c du
I j 2 ) . :
dx dy dy dx
par la suivante
/co . r) (c<r) du f)((Mf) du.
(68)
dx dy dy dx
D ailleurs, les formules (65) n etant pas simultanement verifiees
dans 1 interieur du contour OS, les equations (67) s y reduiront n
celles-ci :
(82) u o, c ^= o,
et, pour chacun des points determines par ces dernieres, la diffe
rence (68) dcviendra
/ dv dn dv du\ _
" \dx dy ~dy dx)
Done, cette difference etant constamment positive, 1 expression
sc confondra, en vertu du theoremc X, avec le n ombre total N des
systemes dc valours de x, y propros a verifier, dans I interienr du
contour OS, les equations (82).
On peut d ailleurs observer quo le nombre ici designe par N est la
somme des nombres representes dans le theoreme X par M et N, en
sorte qu on a
(69) yv=M + N.
Corollaire I. --Si Ton pose, pour abreger,
v / dv du riv rtt(\ (MI-
(70) di(ar,y)= ?
u \dx dy dy dx J a
OF.ucres de C. S. II, t. I. %
466 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS.
et si Ton nomine i\s) cc quo dcvient I expression \>(x, ,v), quand on
exprime les coordonnees rcctangulaircs x, y on fbnction de Fare s, la
for mule (66) donnera
(7.) - flr=
Corollaire II. -- Si Ic contour OS sc reduit a la circonference dVn
ccrclc decrit do I origine comme centre avoc le rayon R, on au peri-
metre du rectangle compris entre les qnatre droitcs quo represented!
les equations (49). on tirera des t ormules (48) et (55), dans le
premier cas,
et, dans Je second cas,
(73)
, Y))) -( b(x^ y}}}
La formule (/3) coincide avec celle qui tennine le Memoire du
i5 juin i833. Seulement, ;i 1 enonce du theoreme quo Ibnrnit cctte
meme formule, etqui est le theoreme A lll du paragraphe J er , il con-
vient.de joindre la condition ci-dessus indiquee, savoir, que le svsteme
des equations
Ll. =z O, IV O
ne se verific pour aucun des points renfermes dans Pinterieur du con
tour donne.
MEMOIRE SUR D1VERSES FORMULES
RELATIVES A l.A
THEORIE DES INTEGRALES DEFINES,
KT SUM I, A
CONVERSION DES DIFFERENCES FINIES DES PUISSANCES
EN INTEli RALES DK CETTE ESPECE ( ).
Journal de I Ecolc Polyteclmiqiie, XXVIII Cahier, t. XVII, p. i/\~: iS/j/1-
Co Memoire esl divise on trois Parties dont jo. vais donnor nno idee
on pen do mots.
La premiere Partie osl relative a la determination des integralos
definies par les integrations doubles. On sait, dopuis longtemps, quo
la methode des integrations suceessives pent servir a fixer la valeur
d un grand nombrc de transcendantes quo los proeedes directs de [ in
tegration no sauraient determiner. Toutefois, il oxiste deux maniores
d appliquer cctte methodo a la thoorie (jui nous oeeupe. La premiere
( ) Le Memoire qu on va lire, ju esente a 1 Academic des Sciences le 2 Janvier i8i5. a
regu quelques additions vers la meme opoque. Mais, qnoique cite plusieurs fois, particu-
lieremcnt dans le premier Volume clcs .rcrcices et dans le XIX e Cahier du Journal tic
I Ecole Poljrtec/migue, il n avait pas encore ete iinprime. Cepcndant, panni les resultats
qu il renferme, il en esl plusieurs qui paraisscnt pouvoir, memo aujourd hui, inleressor
les geometrcs: et c est cc qui nous decide a le publicr. (Note dc C
V08 MEM01RE SUR MYERSES FORMULES
eonsiste achercherdes integrales doubles quo Ton puissc decomposer
de deux fae.ons differentes en integrales simples; la scconde a trans
former une integrale simple donnec en une integrate double dont on
puisse obtenir facilement la valour. (Test sous le premier point de vue
que j ai considere la question dans le dernier Memoiro que j ai cu
1 honneur de soumettre a la Classe et qu elle a daigne bonorer de son
approbation. Envisage sous 1 autre point de vue, Ic probleme se
resoudra facilement dans plusicurs cas si Ton decompose la fonction
sous le signe/en deux faeteurs et si Ton rcmplace un de cos facteurs
par une integrale definie. Cette integrale a souvont pour diviseur une
des transcendantes que M. Lcgcndre a designees par la Ieti.ro. F. On
avait deja fait ces remarques; mais il m a semble qu on n en avait pas
encore tire tout le parti possible. En suivant ccs ideos, je suis parvenu
a quelques resultats nouveaux, ainsi qu a la demonstration dirccte de
plusieurs formulas que .31. Laplace a deduites du passage- du reel a
1 imaginaire, dans le troisieme Chapitre du Calcul des probability ( ),
et qu il vient de confirmer par des methodes rigoureuses dans quelques
additions faites a cet Ouvrage. L une de ces formules, fonclec en partie
sur la consideration des integrales singulieres, fournit une nouvello
preuve des avail tages que pent offrir en Analyse 1 emploi des integrales
dont il s agit.
La deuxieme Partie du Memoire a pour objet la demonstration d un
theoreme general assez remarquable, relatif aux integrales simples
prises entre les limites o et oo de, la variable. On deduit facilement de
<^e tlieoreme les valeurs de plusieurs integrales definies deja connues,
et de quelques autres qui ne 1 etaient pas.
La troisieme Partie se rapporte a la transformation des differences
finies des puissances en integrales definies. Lorsqu on suppose lava-,
riable positive, cette question se divise naturcllement en deux autres,
suivant que Texposant de cette variable estpositif ou negatif. Dans le
second cas la question etait depuis longtemps complement resolue
an moyen de la formule generale que M. Laplace a don nee pour la prc-
( ) OEuvres dc Laplace, t. VI.F, Liv. I, 2 e Partie. p. 128.
RELATIVES A LA THE OR IE DES IN TEG RALES, ETC. 469
miere fois dans los Memoires de V Academic des Sciences, annee 1782 ( ).
Mais on peut dc cettc premiere solution en deduire une infinite d autres,
par Fapplicalion des metbodcs exposees dans mon dernier Mernoire.
Dans le premier cas, c est-a-dire lorsque 1 exposant de la variable
cst posilif, la question n avait d abord etc resolue que pour des valours
de ces cxposants inferieures a Findice de la difference finie que Ton
considerc [voir les Memoires deja cites, et la premiere Parlie de la
Theorie aiialytique des probabilile s, n 41 (")]. Lorsquc 1 exposant
devient superieur ii Findice, la formulo insereo dans ces Memoires
cesse d etre applicable, parce que Fintegrale relative ii x qu elle ren-
ferme, ct qni doit etrc prise entre les limites x = o, x = cc, acquiert
une valour infinie. Mais je fais voir que, j)our rectifier alors la formule,
il suHira de dim-inner dans celte integrale le numerateurde la fonction
rcnfermee sous le signe j d une fonction rationnelle < 4 t entiere de .-r,
assnjettie a la seule condition de rendre a Fintegrale une valeur finie.
Si Fon concoit le numerateur que I on considere developpe suivanf It^s
puissances ascendantes de x, la fonction chcrchee sera toiijoiirs egale
a la sonime des tcrmes qni, dans cc developpement, rcnferment des
puissances de x inferieures a Fexposarit de la variable. Le uombre de
ces terrncs croilra done avec ce meme exposant; (Foil il est aise dc
conclure que, pour la facilite des calculs, on devra restreindre Femploi
de la formule a des valeurs dc ces exposants, qni surpassent an pins
de quelqiies unites Findice dc la difference finie.
M. Laplace, ayant repris dernierement la question, a donne dans la
scconde addition faitc an Calcul des probabilues (p. 4"3) ( 3 ) une nou-
velle formule egalcmcnt applicable a toiites les hypotheses possibles
sur la valeur positive que 1 exposant do la variable peut recevoir. Je
deduis des resultats exposes dans la premiere Partie de ce Memoir* 1
deux equations differentcs, dont chacune pent remplacer la formule
dont il s agit, et qni, ajoutees entre clles, reproduisent une troisieme
( ) OEuvrcs dc Laplace, t. X.
(2) Ibid., t. VII, p. iG5.
(3) Ibid., t. VII, p. 4-
V70 MEMOIRE SUH JHVERSES FOHMULES
equation equivalente a colic do M. Laplace. Ccttc troisierfie equation
transformc la difference finio donnee on uno integrale definie, qui
ronferme uno constants positive, mais indeterminee, dont on pout dis
poser a volonte. Seulement, lorsque 1 exposant do la variable surpasso
I indico do la difference, on doit evitor do donner a cettc constanto
dos valours tres potitos. On n est plus assujctti a la memo condition
dans lo cas on 1 oxposant doviont inferieur a 1 indice: el, dans cetto
dcrniere hypothese, on pout moniQ supposer la constanto tout a fait
nullo. On oblionl alors uno formule qui ronfcrmo dos sinus ot cosinus
sans oxponentielles, et qu on pout ainsi deduire do la formule inserec
dans los Memoires do 1782, on appliquant a cotto derniero la methode
1 ondeo sur lo passage du reel a 1 imaginairc.
Lorsquo la difference finio donnee se rapporto a une variable nega
tive, olio so divise on deux parties, 1 une reelle, Tauti-o imaginaire.
Mais on pout alors essayer do ropresontor separeinent chacuno d elles
par uno integrate definie. M. Laplace a resolu ce dernier probleme
dans lo cas oil Tindico do la difrercncc donnee surpasse 1 exposant do
la variable. Jo parvions a resoudre la memo question dans tons los cas
possibles, on supposant toutefois quo 1 exposant do la variable soit
positif.
II mo resie ii indiquer un corollaire assez remarquablo dos Ibrmulcs
dont jo vions do I endro compte. L une do ccs formulos in a conduit a
Toxprossion generale do la transcondante, que M. Legendre a designee
par T(), on inlegrale definie. On sait quo pour dos valours positives
do a cotte transcendantc pent etre representee par 1 integrale
( x a ~^e- x dx
prise ontro los limitos x = o, x = co. Mais, lorsque a doviont negatif,
la memo integrale, devenant indefinie quol quo soit a, no pent plus
sorvir a ropresenter la transcendante dont il s agit. Pour rendro gene-
rale Pexpression preccdonte, il suffit de diminucr rexponenticllc e~ x
d une fonction rationnollo ot ontiorc de x, assujettio a la soulc condi
tion do donner a 1 integrale, s il ost possible, une valour finio. Pour
RELATIVES A LA THEORIE DES INTEGRA LES, ETC. V7I
dcs valours negatives do a, ccttc fonction est toujours ogale a la somme
des tonnes qui, dans le developpement do e~ x , renfenncnt dos puis
sances dc cc infericures ii a. La memo fonction dcviout nulle toutes
les ibis quo a ost positif, et la formule generale rentre alors dans la
formule, connuo.
PREMIERE PARTIE.
SUR LA TRANSFORMATION DES INTEGRALES SIMPLES PAR LE MOYKN
DES INTEGRATIONS DOURLES.
I. - Exposition gene rale de la me. (.h ode.
Soit
uno integrale relative a x ct a laquelle les prooodes directs do I inte-
gration nc soieut pas applicablcs. Supposons do plus la fond inn X
composee dc deux facteurs P et Q, en sorte qu on ait
Si Ton dcsigne par z une nouvcllc variable, par R une fonction de x
ct de z, et par A une quantite constante, on pourra donner a R c( a A
line infinite de valeurs diflerentes, dc manicre a satisfaire a liquation
(i)
Cola pose, si Ton pent trouver pour R une valour telle quo la dille
rentiello
soit immediatemcnt integrablo, en laisant
(2) / PR da; = 7,
472 ME M 1 R E S U R D I VE R S E S F R M.U LE S
on aura
.- ,->!>
(3) / \dx = ki 7<dz.
J(\
r lr
Par suite, si la valour do I integrale / Zr/r ost conriue, on on deduira
<-
r"
immediatement la valour do I integrale / Hdx. Dans lo cas contraire,
"0
1 equation (3) donnora simplement unc transformation do I integrale
proposeo. Appliquons cos principes a qiiolquos oxemplcs.
II. - Premiere application.
Soit
\ A
~M"
M etant line nouvollo fonction do x; on aura
_
M/
On pourra done supposer, dans ie cas don I il s agit,
r^
J
et, par suite, si Ton fait
(5)
,
on trouvcra
Exemplc 1. - - Soit propose de trouper, entre les limilos x o,
RELATIVES A l\ TIIEOR1E DES INTEGRALES, ETC. 473
x a, ia valour do I lnterale
// etant < i; on aura
}> = e- x , M=.x,
et, par suite, IPS equations (5) ot ((>) deviendront
f" r __ *>--a(
(a) Z s"- / -*( +;) c/.r -r^"- 1 - __
., , I -7- -
i / x -- 1 ( r _ ^-"(l
,r -" e~* dx = ~^- / " " _ - e -_:
[ ^ - 3
Corollaire 1. -- Si dans 1 equation (/>) on suppose = oc, on aura
r 00
^ ,r "C - r r/.r :-- F(l ),
^o
et, par suite,
_
77
(c) r(n)r(i-n) =
,/ i-h-3 sin itr.
ee qno 1 on savait dejii.
Exemple II. Soit propose; de transformer I lntegrale
(d) I ^1:1^1^,
m, n et a etant trois consfantes arbitraires. On pourra supposcr
| P : x m l e^,
f M a. -+- .r.
Gela pose, les equations (5) et (6) deviendront
(1 -
OEuvres ilc C. S. II, t. I. Go
klk . MEM 01 HE SUH 1)1 VERSES FOUMULES
Corollairc I. -- Si dans I equation (g) on suppose a = o, le premier
m ombre deviendra simplemenl egal a
I x " - ~ " e;~ x dx F ( in n) .
et, par suite, on obtiendra la t ormule couuue
Corollairc. II. Com me clans les equations (g) les integrales rela-
lives a x et a z sont prises e litre, les inemes limites, on pent y rem-
place r : par x; on aura en consequence
/ (, + ,-) / (l+x yn a" / a? \ n
^0 -0 / , _)
.-/, " /
O,la pose, I equation (g) donuera ce resultat remarquable par sa
symetrie a 1 egard des deux constantes in et />.
ax
Exemplelll. -- Soit propose de determiner la valour do Pintegrale
(./ ) / ^"(^ -O-^ii
A
a etant <^ ^^, et m etant un nombre entier.
On aura dans le cas present
n = a + i, P e~ sx ( c ~ x i )" , M = x ;
et, par suite, [ equation (5) deviendra
( /,) Z z a j e -<* + v*(e~ x i ) " dx.
RELATIVES A LA THEORIE DES INTEGRALES, ETC. V75
On a d aillcurs
et, par suite,
- 3 -r- III )
Done
/ -
i)" 1 .! .2.3 ..... m _ a f i ) T ( m -4-
(s -+- ;.)(s -+- z -i- J )...(* +- z -+- /) " (.v -4- r.)(.v 4-3 -t- i ).T7^y
et, par consequent, I equation (()) tlevicndra
Soil maintenant A le plus grand nombrc enlior eompris dans a,
faisons
I integrale relative a 5, qui so trouve comprise dans le second mcmlm-
do I equation (/), pourra etrc mise sous la forme
On determinera facilement la valeur de cette derniei-e integraJe, si Ton
decompose en fractions simples la fraction
et, par suite, on deduira de I equation (/) la valeur de I integrale
proposee
dx
psx i px , w/i _
\ e I /i
,yCi T~ 1
476 MEMOIRE SUR 1)1 VERSES FORMULES
An reste on pout eviter la decomposition dont il s agil do la maniere
suivanto :
Si Ton suppose la caracteristiquc A des differences link s relative a
la quanfite s eonsideree commc variable, I equation (X-) donnera
* \ >--+--
Z z a A" | / <?-<*+=>* rf.r )=5 v A
on, ce tjui revient au meme,
On a d ailleurs
A " 5 0, A" l .? 2 =:0, ..., A "S A =:0.
Cela pose, la valour de Z se trouvera rediiite a
On trouvera par suite
DC plus, on a
a u.
TT ~-i .- z -1
. 1J. SI 11(77:
V
sm TT
Done en fin
sin 7r
En vertu de cette derniere fbrmule, I equation (6) se reduit a
(m) e-**(e-*iy n -- -. - A " (5).
x a+l T(aH-i) si n rt T:
RELATIVES A LA THEQRJE DBS IN TEG RALES, ETC. V77
Co resultat coincide avec la formule ([- ") du Calcid des probabi-
lite s, page i63 [voir aussi les Memoires de i Academic des Sciences,
an nee 1782 ( )].
Corollaire 1. Si dans 1 analysc precedente on suppose - = o,
a deviendra tin nombre entier, et Ton aura X = a. Dans le memo cas
on trouvera
s i) or.
da
Z <r/s ( j ) a + 1 A " ( ,v" logs).
e(, par suite.
Si dans cette equation on suppose a o, on obtiendra la derniere
i ormnle do I artiele H du premier Livre des I>ro1iabilites (p. rG. )) (-).
Si dans la formule (//) on fail e~ x t, m = r, el quo Ton rom-
placo T(a -+- T) par le produit r . 2. 3 ..... a, on trouvera
t*- [ (t i) 1 , i
{-dl- -A (.? a off.?).
a ^
La nouvelle inlogralo etant prise entre les limites i o, / i, on
pourra changer dans la formule precedente t en /", on aura ainsi
r 1 t." s - l { (" iY , n a
(o} I dt- -A r (.s <l oii .v).
J (logO" +1 i.a.3 .....
Si dans cot to derniere on fait a -+- i ~ r, en ayant do plus egard a
1 equation /?." A (/Mog^) = = A r [(ns) a log/^] qui ost toujours vraio lors-
( ) OEuvres tic Laplace, t. VII. p. iGO, et t. X, p. 287,
( 2 ) Ibid., t. VII, p. 168.
478 MEMOIRE S L 1 R DIVERSES FORMULES
qu oii suppose a<^r, on trouvera
/ ;. __ ,
lof
ce qni s accorde avec les formules donue.es parM. Legendre (troisieme
Par tie dos Kxei dces (hi Calcul integral, p. 372).
CoroUaire II, -- Si 1 on compare entre elles les deux valours de Z
trouvees ci-dessus, savoir
( J ) " . 1 . 2 . 3 ..... Ill
(5 -t- .c ) ( s -+- : -r- i ) . . . ( s -+- z A- m )
on on eonelura
(-- i) ". i.2.3 ..... m ( \)" l T(m
(s-\- z)(s + z + i).:.(s-\- z -+- m) s
Si dans cetle derniero equation on fait s = o. on aura
A\ = (-,v"r(/ii + .)r(.o =
.v / r .v, -+- m -h i
(s, -+- m -f- i ) J ( i 4- x)*~+~
Exemple IV . -- Soit propose do transformer les integrates
dx
e" sx sin/ a: ->
/ e~ 5 - r cosr.r >
J fl X"
n, / ot ^ etant ties, constantes positives, et // etant <^i. On aura pour
la premiere integralo
et pour la seconde
R E I. A T I V E S A L A T H E R I E 1 ) E S INT E G P ALES. E T C . 479
On trouvcra done par suile
sn /*
~
(/>:
" va: cos r a
c)s"- - 1 rfz r* rsinar (.9 + s)cn!!flr
- --
Corollaire J. -- Si dans les equations (/;) on suppose, a = co, el
1 on y change n en i n et x en s, elles deviendronl
(V)
l(i n)J r +i-vH-*) 1
D ailleurs, si Ton fait - == tangO. on aura, en supposant n < r,
sin n f j
s 1 1 1 n T:
(,-*4-.s*;
et
7T
- =r(n)T(i- w).
SUi /t ~
Cela pose, on aura
cosrzdz
(r 2 4-s 2 )^
ee qui s accorde avec les fonnulcs tronvees par Knler.
Corol/aire II. Soit en general
(.y4-/Y-i)"
480 MEM01RE SUK DIVERSES FORMULES
on aura
cos n B ( x / \/ i )~" -i- (.v -+- r\j i) "
1 ~ ~"1T~
(/-+ s 4 ) 1
sin5 _ (5 /-\/ i) " (s -4
2
Cela pose, si Ton change .v en k et r en .77, les equations (/) prendront
la forme suivante
I^n (liflerentiant ccs dernieres une on plusiours fois do suite par rap
port a k, on prouvera facilement qn elles s etendent a toutes les valours
positives de la constante n.
Exemph V. Considerons encore les integrales
,,*
/ ( A" -r- ^r ) ~ " e~~ sx sin/ 1 .* dx,
( k -h x ) ~ " e~ gj: cos/ 1 x dx ,
k, .?, n etant des nombres positit s quelconques. En iaisant pour la
premiere integrale
P e~ sx s\nrjc, ^l k + x,
ct pour la seconde
P = e~ sx cos rx, M k + x,
on trouvera
(0
\ -.x ,-.
/ / (A" -t- x}- n e~ sx wsrxdx ~ / r~
\ J r(n)J r*4
RELATIVES A LA THEORIE DES INT EG KALES, ETC.
Exemple VI. Soil propose do trouvor la valour do I integrale
r-sin^
L *" +i
in otanl un noinbro ontior quolconquo, ol a un nombro poMlif plu:
petit quo m.
On ;mra dans Io cas present
et, par suite,
n -=- a 4- i , P sin " x, M -- .r :
Z=r z a I c- xz $u\" l xdx.
Jo
On trouvera d ailleurs, si m est un nonibi o impair,
/" * . 1.2.3 ni
(* ^ sin i/ (.too . - -
( i H-s 2 )(H-5 i ). - .(/"
F f m + i )
el, si /// est un nombre pair.
1.2.3 ///
T ( m H- i)
On aura done par suitt 1
si ni est un nombre impair
i(n) J Q -; ( 4 +- - j ( 1 6 H- c -)...( in -
tlans le cas contraire.
Soil inaintonant a = X H- ^, A etant le plus ^rand iiombro cnlier
compris dans a. Pour determiner la valour do I integrale relative a s..
OEuvrex flc C. S. II, t. I.
^8-2 .> I K M DIRE S U R 1)1 V ERSES F ( ) R M U L E S
quo ren ferine la premiere des equations (V), i! sufiira do decomposer
en fractions simples la fraction
( i -+- z-) ( g -i- :. 2 ) . . . ( /;? -f- :.- }
si A est un nombro pair, et la fraction
dans le cas contrairc. On determiners avec la memo i acilite la valour
de I integrate relative a :- quo ren forme la seconde des equations (//);
et, par suite, on obtiendra, dans tons les cas possibles, la valour do
rintegralo cborchee
f S " ; " r dx.
Jfi ^ u ^
Aii resle, on pout simplitier considerablement les calculs a 1 aido dos
prmvdes quo nous allons appliquor a I integrale
/ x s i n " x ,
j co s 2 .v x -^p dx ,
integrale qui so reduit a la procedento lorsqu on suppose s o.
Excmpte Vll. -- Soit propose de determiner la valour de I integrale
C x siiv.r ,
/ cos 2 .s x ^-p- dx,
J %"
m etant tin noinbrc entier, a et s deux constantes arbitrairos, ot
a etant <//?. On aura dans lo cas present
n ~ a + i , P =_- cos 2.?o; sin " x, M =: x ;
ot, par suite,
Z z a I e~ x ~ cos 2 sx si n " x dx.
D ailleurs, si I on suppose la caracteristiquo A dos differences tinies
RELATIVES A LA THEORIE DES INTEG RALES, ETC. 483
rolalive a la quantite .v considerec cornme variable, et quo Ton deve
lop])! 1 le produit cos 2^0? sin" a; on serie ordonnee snivanl les sinus on
cosinus dos arcs multiples do x; on reconnaitra sans poino quo. dans
le cas oil in ost nn nomhro pair,
in
COS2.9.T sin" a? - - A w rcos(2,v in K-rl;
2"
et quo, dans lo cas oil in ost nn nombro impair,
(1) -
i sin" d? - A " | sin(2.v
Cola pose, la valour do Z deviendra
( l)* /"
/ = ~7^r- s a I e~ xz A" [ cos ( -i s m ) ,
si in est uri nomhre pair
(<:
/ et
i _ j \ "~~2 /"> ^
/ = -z a I e~ xz A " |" s i n ( 2 .v / ) .r | ^ ,
2 /o
si / est un noinbre impair.
Pour achevcr lo calcnl, il ost necossairc do distingucr deux hypothosos
I fl" 7) / * ^ "
dinerentcs, suivant quo I on a ,9 > on .9 <^
2 "2
Premiere hypo these. So it
in
s> -
2
ot supposons d abord in pair. On aura
/ c~* z A" [ cos ( 2 .v in ) x I dx ~ A " / e~* z cos ( 2 .v /?/ ) ^r cl.r
= A
(2.V
Z
, \
A "
I" -a-4-1 n
"
L( 2<y "O 2 -!- - I
484- MEMO IRE SUR DI VERSES FORMULES
Soit mainlenaut a ~ X-f- a > X etanf le plus i>Tand nombre entier
v
compris dans <7 : on aura, a cause de A <"//?,
I s -f- c :
si A est tin nombre pair, et
^A+l "1
A " - =(-
. , Li 2 - s " "0"+ = I
= ( i) - A "
(is -m)*
si A est un nombre impair. Par suite, on trouvera :
dans l(> [)i-(MTiier cas
in + X -I- 2
ot, dan? le second,
(2.V
__
25 /) 1! + -
On a d ailleiirs
: v dz ~
IOC - - />/ p*
j -t- ~ ~ . P-K
2 SID
>. V
IJ.TI
1 n fi n
quand X est pair, et
. an ,- . y.7:
sin - ( i)- sini
. a TT
sin
dans le cas central re. Ccla pose, la valeur de rintegrale j r Ldz sera.
RELATIVES A LA THE OR IE DES I NT EC, RALES, ETC.
dans 1 un et 1 autro cas, determinee par I equation
. ar.
sin
2
Dans les calculs qu on vient do faire, on a ton jours suppose que
m etait un nombro pair. Si Ic contrairc avail lieu, it faudrait substituer
la secondo dcs equations (c) a la premiere, et Ton trouverait alors
/ 7.dz-
/ 2 "
cos-
lin vertu do co cjui precede, I equation (6) deviendra
/ cos 25,r sin" .r - ( i ) - - A " ( 2.v in ) \
I , r u -t- I f/.TT
4- i sin
si m esl un n ombre pair
CQ$2Sxs m" l x --( 2 A " (2. v -///) %
2" + 1 F(rt 1 ) COS-
2
si m cst un nombre impair.
Cos doux do.rnieros equations pcuvent etre comprises dans une seule
et memo formulo, savoir
(/ ) / cos 2 s.r si n " x -~r i - ~ ^" l ( ? * nt ) a -
-" 2 "- ( - i r(a + i) sin ~-
2
Seconde hypoth esc . S o i t m a i n te n a n t
et snpposons d abord m pair : les quantites 25- m, is m 2,
h 86 MEM 01 RE SUR D I VERSES FOHMULES
(leviendront negatives, et Ton aura
cos (2. 9 /).r 7 cos(/ 2.?)^r,
cos ( 2 s ni -4- 2 ) .r = cos ( / 2 .v 2 ) .r ,
A" COS ( 2 A in ) ,T - COS ( 111 + 2 5 ) X - COS ( / 4- 2.V 2 )# 4- . . .
/;>
4- COS( //Z 2.9)^ - COS( in 2$ 2)d? H-. . ..
On |ourra en consequence, dans toute la suite des ealeuls, rcniplacer
relies des quantites
2 .V - /// . 2 H - /// + 2 , 2 S - III -H 4 , . . . ,
qui seraient negatives, par les quantites positives eorrespondantes.
Ill 2.V, /// 25 2, III "2 S 4
et, par suito, pour eorri^er 1 equation (y), il suffira de remplaeer dans
le second membre d<> cetle equation la difference finie
A " ( 2 .v 111 ) a ( 2 .v -f- in } a \is-\- in 2 ) a 4- . . .
4- ( 2 5
par la soinme des deux series
25 --
dont chacune doit etre prolongee seulement jusqu au dernier des termes
qui renferment des puissances de quantiles positives.
Si done on fait, pour abreger,
c in
o a ( in 4- 2 s ) a - ( in -T- 2 s 2 ) a 4- . . . ,
-p in
1 a (m 2 s } a - ( m 2 s 2 ] a 4- . . . ,
RELATIVES A LA THEOIUE DBS JNTEGK ALES, ETC. 487
en cxcluant. do cliaque se.rie Jos puissances clc quantites negatives; on
aura, dans I hypothese (fiie Ton c.onsiderc,
in-
Supposons maintenanl m impair. Dans ce cas on devra substilnor
la seconde des equations (<) a Ja premiere, e.t reinplacor on conse
quence, dans 1 integrale relative a x,
A "[cos(2.j /).c] par A " [sin (25 m)jc].
D ailleurs, /// etant impair, le dernier forme do la (lilli-rence
A " [sin (2.9 - />?.). r], savoir sin(zs m)x, sera aflecte du siijne ,
et comme on a do pins
s i 1 1 ( 2 , s , } x - si n ( m - ->. s ) ./,
sin(^.9-- in -+ a).r - sin(/n zs 2).z-,
on frouvora
sin(m + 25)^- _ s in(m-f- 2.?
sin ( in
(^ela pose, il est facile do voir que clans ce cas, comme dans le prece
dent, il suffira, pour corriger requation (>), do roinplacer
Ainsi requation (z) sera egalement vraie et dans le cas on m es( nn
nomhre pair, et dans celui oil m est un nombre impair.
Corollaire L -- Si a est un nombre enl.ier, on aura
A" ( 2,9 /) o.
Si dans lo memo cas on suppose que a -h m soit un nomhre impair, on
i88 MEMOIRE SUK DIVERSES FORMULES
aura
. a -i- in
sin - ~ r ~- n i:
ri. par suite, Tequation (r) donnora
j
cos 2.? .3? sin" 1 ^ o.
--
Mais, si a -+- m est uu n ombre pair, ou, ee qui.revienl au memo, si
Irs deux nombres on tiers a el w sonl de nienie espece, on aura
. a -\- m
sin - o;
2
rl. par suile, le second membro do [ equation (y) se presentera sous
hi Tonne - Pour determiner sa valour dans eetlo hvpothese, il sui iira
o
dr dillerontier, par rapport ii a, lo numerateur et le denominateur do
la i raclion
. a -i- in
sin
2
(jin se Irouvera ainsi changee en cetle aulre
- a -f- ///
-cos-
Si dans cette derniere on suppose a -i- in en tier el pair, on aura
a -t- //?
COS T. -~ ( I )
[ equation ( y ) se rednira done alors a
cos 2 sa: sin
-r
2 " 1 ( 4- i )
RELATIVES A LA THEORIE DES INTEGRALES, ETC. 489
Corollaire II. - - Des remarques analogues a cellcs qu on vient do
i aire, relativcment a 1 equation (y), s appliquent ii 1 equation (^) : et,
en effct, soit toujours a un nombre entier, et supposons d abord que
a -+- m soit un nombre impair; on aura evidemment
S a T a = A" 1 (25 &z) o,
ti + m 1
. a 4- m
sin 7T = ( i) ;
et, par suite, 1 equation (z) deviendra
dx
sm "^; -=( i)
^.a+l v
Soit, en second lieu, a -\- m un nombre pair; on aura
S + T rt = A " ( 25 m } a = o,
. <7 -f- 7/1
sin TT o.
Dans cette hypothese le second membre de 1 equation (s) se presen-
tera sous la forme - Mais, pour obtenir sa vraie valeur, il suffira de
differentier, par rapport a a, la fraction
. a -+- m
sin r.
On trouvcra de cette manierc
dx
I coszsx sin" 1 a?
J n
(d>)
= (
A " [(2 s m)" log(2s
pourvu que dans le developpemcnt dc la difference iinie
A m [(25 m) a 10g(25 /)]
OEuvrcs dc C. S. II, t. I.
62
490 MEMOIRE SUU DIVERSES FOKMULES
on remplace les logarithmes des quantites negatives par ccux des
memes quantites prises en signe contraire.
Corollaire III. -- Si Ton donnc a s unc valcur nullc, on aura evi-
demment
On devra done alors employer 1 equation (z); ct, commc on aura dans
le memo cas
>n
1 equation (z) deviendra
,>, v*i*y
/ sin /rt a: ^
1 -A
( ) < = __ _* J" m a_^ (/w _ 2) + ^Lzl) (m _4 ) _
2 "<r(-i)sin^ r ^~ - a
Dans cette formule, la serin du second mcmbrc doit etre sculcmcnt
prolongee jusqu au dernier des termes oil la quantite renfermec entre
parentheses a une valeur positive, c est-a-diro jusqu au terme
/ / m
m(m i ) . . . f- 2
VjL__
. m 2
I .2.3. .
dans le cas oil m est un nombrc pair, ct jusqu au terme
1.2.3...
2
dans le cas contraire.
Corollaire IV. Si, a etant un nombrc cntier, a -t- m est un nombre
impair, 1 equation (e) fournira immediatcmcnt la valeur do 1 iritegrale
/ sin n x -r-r.
RELATIVES A LA TIIEORIE DES INTEGRALES, ETC. 491
Mais, si a-\-m cst un nombrc pair, 1 equation (Y) devra etrc remplacee
par la formule suivante
. Dans Ics calculs precedents nous avons toujours sup
pose a<^m. Cettc condition est necessaire pour quo Ics valeurs des
integrales
dx C x . dx
COS 2 SX Sin" X > / Sit) " ,3;
It* _!** V^ M
-hi .-y#H-l
ne deviennent pas infmies. En cflet, pour chacunc do ces integrales,
la partie comprise entre les limites x = o, x a (a etant une quantile
tres petite) est sensiblcment egale a
/ T i r /i \ "~~ " - r \ - "!
T m-a-\ f l, r _ _T -.,-- / n \m-rt 1^_ I _ I I _ I
>* "^ L a \ J I ~ ) ~ n
///. a in a \\v. ) \oj J
et cette partie ne pent rcster fmie qu autant que ?n a est une quantite
positive.
Exemple, VIII. Soit propose de determiner la valour do 1 integralo
r 00 . dx
/ sin 2,?^7 sin "^r 5
/ x a+i
"0
m etant un nombre cntier, a et .v deux constantcs arbitraires, et
a etant << m + i .
II serait facile d obtenir la valour de Pintegrale proposee par une
analyse semblable a cello dont nous avons fait usage dans 1 exemplo
precedent. Mais on arrive plus promptemcnt an memo but de la
maniere suivante.
Supposons d abord ^< Si Ton difterentie, par rapport a s, les
deux mcmbres de la forrnulc (/), on ayant egard a 1 equation
492 MEMOIRS SUR DIVERSES FORMULES
on trouvera
I si
I
x a . a -i- m
2 m+1 l (a) sin -it
Si dans cettc dcrniere equation on change a en a -h i , on aura
. a -+- m -4- i a + m,
Sill -7T COS r.,
2 2
et, par suite,
,,,. C x . . . fix r.
( /I ) Si n 2 3? Si II w . i\ ( 2 S ~ //i )
-r^ 1 , , a-\- m
2" 1+1 1 (a -f- 1) cos 71
2
Comine { equation (y) subsiste seulcment dans le cas oil I on a a < m,
et que pour obtenir { equation (A ) il a fallu changer a en +-!, il
semble, an premier abord, que cctte dcrniere equation exigerait la
condition suivante
a <C in i .
Neanmoins elle subsiste dans le cas ou a surpasse m i, et meme
dans cclui oil a surpasse m, pourvu toutefois que Ton ait
C est ce qu il cst facile dc verifier en cherchant directement la valeur
de 1 integralc
r* . dx
\ smas.r sin "^
/ ^a-Hl
^0
par 1-a methode que nous avons employee dans 1 exemple precedent.
En effet, cette methode est applicable toutes les fois que I integrale
proposec a une valeur finie; et, comme pour de tres grandes valours
de x, la quantite
sin 2 sx sin " L x
est sensiblement egale a zero; pour quo la condition qu on vicnt
RELATIVES A LA THEORIE DES INTEGRALES, ETC. W3
d enoncer soit rcmplie, il suffira quc 1 integrale don nee conserve une
valeur finie entre les li mites x = o, x a (a (Hani, nnc quanlite tres
petite). D ailleurs, comme entrc ccs dernieres limites on a, a tres
peu pres,
la condition dont il s agit se trouvera reduite \\ la snivante
a < m -f- i .
Supposons maintenant s < Si Ton differentie par rapport a s les
deux membres de la formule (z), en ayant cgard anx equations
a T dS a _ o dT,,
~ ; " :
ct que Ton change ensuitc a en a -+- i, on trouvera
ci oc rr
COS
2
Cette dcrniere equation pent ctrc demontree directement, ainsi que
la formule (A ); et, comme cette formule, cllc cxige sculement que
Ton ait
a < m H- i .
Corollaire I. - - L application dcs formules (/t f ) et (i ) no presente
aucune difficulte dans le cas on, a etant un nombre entier, a + m est
un nombre pair. Mais si dans la memo hypothese a^-m est un nombre
impair, les seconds membres des equations (A ) ct (Y) prennent la
forme indeterminee Dans ce dernier cas, it est facile de voir que
o
chacune des equations dont il s agit doit etre remplacee par la sui-
vante
f-f^. f l \ 2
sin 2 sx sin" x- -A" 1 [(25 /w) a log(as m)],
4 *- 1 - 1 " --
Mk MEMOIRE SUR DIVERSES FORMULEg
pourvu quc dans Ic devcloppement do
A "[(2 5 m) a log(2A- m)]
on substitue aux logarithmes qui pourraient affccter dcs quantites
negatives les logarithmes cles memes quantites prises en signe con-
traire.
Corollaire II. -- Si dans 1 equation (i f ) on suppose s = o, on aura
et, par suite, 1 integralc relative a a; s evanouira; cc qui d ailleurs est
evident, puisquo la supposition s = o faitevanouir le facteur sinzsx.
Corollaire III. --Si Ton suppose a = m, on aura
A "(2 A- m) a = 1.2.3 ..... a f(a -+- i),
a + m
cos
et, par suite, 1 equation (h 1 ) deviendra
Cette derniere equation suppose > Ainsi 1 integrale
sm2 so? sin" 1 a;
conserve la meme valeur, quelle que soit d ailleurs celle de la quan-
tite 5, pourvu que cette quantite reste comprise entre les limites
m
S > S CC.
2
Si Ton differcntic in a fois dc suite par rapport a s 1 equation (/ ),
RELATIVES A LA TIIEORIE DES INTEGRATES, ETC. 495
on trouvera
(TO )
r x d,v
j cos2sxsm m jc ^ = o, si a + m esl un nombre impair
et
v.37 sin ",r
o.
La premiere do cos formulcs coincide avec I equation (a ); la seconde
n est qu un cas parfieulier do I equation (A ).
III. - Deuxitine application.
Faisons successivement
X, et X 2 etant respectivement determines par I equation
de laquelle on tire
( k ,-r
Aq =^
2 \/ I
et 71 etant un nombre positif pris a volonte.
On aura, en vertu des equations (s) ( II),
(7)
1 a kz
e~ kz cos&z dz,
\.
r-1 Ijp ATZ Oil
Si done on suppose X = PX,, on aura
R = z ri ~ i c /cz cos xz\
496 MEMOIRE SUR DIVERSES FORMULES
et, si Ton suppose X = PX 2 ,
Par suite, si Ton fait
r"
/^ z"-^ e~ k ~~ \ Pcosxzdz,
**
. r"
<* " i /? "" ^ / T c i ii T* ** /Y "
2 *> t: / loJIl*>c^(c-<jj
(8)
on aura
(9)
Exemple I. -- Considerons a la fois les deux integrates
A/ X, e-*-*" cosrxdx,
Jo
r x
]} = I \<>e~ sx s mrxdx;
*/
X, et X 2 avant les rnemes valeurs que ci-dessus. On aura pour la pre
miere integrate
7 - z n-i e -kz C~ e-**cos~xcosrxdx
Jo
et pour la seconde
/
7,.,= z l - l e- kz / e"** sin^o: sin/ j; f/^r.
o
On trouvera par suite
L, r L,= z l ^e~ kz I e- sx co$(r + z)xdx =
et
I1ELAT1VES A LA TllEOKIE DES INTEGRATES, ETC. W7
Otto derniere equation se decompose on doux autres, savoir :
r .
- / ~r,- t
T(n)J s*-+-(r-+z)*
d ou Fon tiro
Ainsi les inte^ralos proposees qui rcnfermaient explicitemenl des
ima^inairos so trouvent ramonees a d autres integrates ijiii n ou ren-
rernionl plus.
Corolla/re I. Si Fon suppose r o, la premiere dos equations (/> )
doviondra
Quant ii la seconde, olio donnera B = o, ainsi ({ii on dovait s y attendre.
Coroliaire If. -- Si Fon suppose s o, Fintegrale
s ovariouira, et, par suite, la seconde des equations (// ) donnera
A B.
D aillcurs, si Fon suppose s tros petit, Fintegralo
Of.iivres dc C. S. II. t. I.
498 MEMO] RE S U H I) I VERSES FOR MULES
n aura do valour sensible qu ontro los lirnitos
z = r y., 3 = r-\-a,
a etant uno quantile tres polite. Par suite, si Ton designe par L unc
nouyello inconnuo qui puisso varior soulomont dopuis ( = - x jusqu a
( a, on pourra, dans lo oas dont il s agit, supposor
On aura a tros pcu pros, dans rotto hypotlioso,
ot, par suite. Tinted-rale
sera sensiidomonl e^ale a
On a do plus, outre Irs liniitos = -,= a .
,,,
.? C a
i TT, = 2 arc lane;-
-t-C s .v
Ainsi, dans le cas oil Ton suppose s tres petit, la premiere dos equa
tions (// ) deviont
A 4-B F A- /-- 1 e-* - arc tang--
1 ( /i ) .9
Si dans ootlo derniero on suppose s = o, on aura
i) y -
A=B, 2 arc tang- TT,
ot. par suite,
A B= -JLr^-ie-A^
RELATIVES A LA T1IEOHIL TH<;S 1 NTE(i H AL ES, ETC. 49!)
En romettant pour A el B, X., ct X a , lours valours respective*, on
trouvera
, I 77 .
cos/vr dx - .^ /" e
-> i ( / >
. l r.
sin rx dx = - ^ ---- /
Le succes do 1 analyso procedoiUo tiout, commo Ton voit, a cotlo
circonstance particuliere qu ontro los limitos s = o, z --- tros petit,
el; dans lo cas ou Ton suppose apres I intogration ,9^-0, i integTale
/ ^rr -^ z n -*e~* z dz obtiont nne valour finic oo-alo a - - r" e~ kr .
J s ( *) 2 1 (n)
L integrale doul il s agit ici est une do cellos quo nous avons desi-
gnoos dans lo precedent Memoirc sous lo noin ^integrates sinqidieres.
On a ainsi uno nouvolio prouvo des avantagos <jue j)out oU rir la oonsi-
deration do cotto ospeeo d intograles.
Si Ton suppose, dans les equations (^ ), k = n, r~ i, ot (ju on les
ajoute onsuite, on obliendra la (orniulo quo M. Laplace a dosignee par
la lettro (0) [p. i3| du Calcul des probability ( )|.
Corollaire IIL On poul dodiiire dos equations (>/ ) plusieurs conse
quences dignes do romarque; et d abord, si Ton suppose n entior, les
imaginaires disparaitront j)ar le developpemcnt dos puissances, et Ton
obtiendra, on faisanl succcssivement n = i, n 2, u 3 ..... plu
sieurs equations a I aido dosquollos il sera facile do determiner les
valeurs dcs integrales
,rsin/\r
Par excmple, si Ton suppose //, i, on trouvera
et ainsi do suite.
( ,) OEuvrcs dc Laplace, t. VII. p. i:i(J.
500 MEMOIRE SUR D1VERSES FORMULES
Supposons en second lieu n = 3 /y? etant un nombre entier quel-
conque pair cm impair; si Ton fait
, kr 25,
les limites relatives a la nouvelle variable z seront s==i, z cc. On
aura de plus
-xi_i^r -i rf L
H, par suite, les equations (</ ) deviendront
COS.9( :
Si dans celles-ci on devcloppe les puissances, les imaginaires dispa-
raitront.
Ainsi, par exemple, si Ton suppose m - i, on trouvera
z+i (z n v/ il" 1 + fs + n- (: - i) \/ I]" 1 __ - + i
| z -+- } -+- ( : v/ i
-
el, par suite, les equations (r ) donneront
i /" i /
(PH
I r* i /
i / <.{. i * /- \/ *
i /i
RELATIVES A LA THEO BIE DBS INTEGRALES, ETC. 501
dernieres peuvent aussi so rnotlre sons la for mo suivanto
sin 5 1 , / -
X
Cos resultats coincident avoc los I orinulos quo nous avons donnees
dans not.ro premier Mo mo ire sin 1 los inte^rales defiriies ( l e Parlie,
II, o\(MTipIo III).
Si dans los equations (> ) on suppose m-3, on obtiondra los
form u los
cos* ; -
(ju on pent aussi presenter sous la forme suivanto
- COS SI X
<J -f- tAi I . I \ 1 \ > 9 c
- s i n s ( x } a j- ( -A s TT ) - e~ 2 -\
) Y 2 \ -r /
ot ainsi do suite.
Hevonons maintonant anx equations (r/ V Si Ton designe par /// nn
noinbro ontior qiiolconquo inferieur a n, el quo Ton dill oronlio m i
i ois do suite par rapport a r los equations (q 1 ), on tronvora, pour Ic
/
502 MEMOIRE SUR Dl VERSES FORM U LES
cas oil in i sera pair,
Si m i etait un nombre impair, il faudrait dans les premiers membres
des equations precedentos changer les sinus en cosinus et recipro-
(jiiemenl.
Si Ton suppose r--o. m etaut inferieur a // par hypothesis les
seconds membres des equations (/) s evanouiront. On aura de plus
si n /*;==: o, COS/-.T i; et com mo, pour passer du cas oil m est un
nombre impair a celui oil west un nombre pair, il fa ut changer dans
les premiers membres de cos equations les sinus on cosinus, on faisant
successivement 1 uno et 1 aul.ro hypothese, on trouvora
I
J. ~~
( X I
si m est impair,
et
si m est paii 1 .
An reste, il est bon de remarquer quo /??</? est la condition
necessaire j)our quo les integrates (x 1 ) conservent uno valour finie.
Ainsi ccs integrales seront loujours nulles, lorsqu elles no seront, pas
infmies.
11 est facile do verifier cette conclusion par un simple cban-
gement do variable. En efl et, si dans los equations (x 1 ) on fair
x / tang, on aura
sin /w - 1 acos"- "- | Mcosnarf =o, si in est impair
RELATIVES A LA THEOHIE DES INTEGHALES, ETC. 503
et
sm^- MCOs"- - u slnnudu -- o, si /n est pair;
co qu il ost tres aise cle demontrer immediatement.
Si, au lieu do differentier par rapport a r les equations (q 1 ), on dille-
rentio plusieurs fois de suite, par rapport a s, les equations (V), ( 5 ),
(Y), (u ), (V), on deduira do ees derniores plusieurs f ormulos assez
remarquables. Mais nous no nous arreterons pas plus longtomps sur
cot objet.
Corollaire IV. Si Ton compare la seconde des equations (V) avec
la premiere des equations (t), on obliendra la t ormule suivnnle
r*
/ ( k + a?)-*c- f sin rj? rt .r
^-ra- C os.9.r ^r
-(/T + ..-V-TV" ,. r ,
e~ - r sm.v.r
Exemple II. -- Considerons a la fois les diMix integrales
I
X, ot X 2 ayant toujours les fnemos valours quo nous leuravons prece
demment assignees. On aura pour la premiere integrate
Z , z " ~ l e~ kz
z t
*-
sx c o s zx s i n / x dx ,
ot pour la seconde
r*
e *- / e~ SJC sins.r cos/ .r f/.r.
50i MEMO I RE SU-R DIVE USES FORMULES
On trouvera par suite
Z 1 Z l =i- e- fc jf C -8in(r^ a r^== 5r5 ^^ ?5 --e-*,
el
fit-ig-isrf-.
Cotte derniere equation se decompose en deux autres, savoir :
C-~D= -
-
T(n) s*
d oii Ton tire
Ainsi les deux integrales proposecs, qui renfennaicnt explicitement
des imaginaires, se trouvent ramenees a d autres integrales qui n en
renferment plus.
Corollqire I. Si Ton suppose r= o, la seconde des equations (a")
deviendra
" . i r* =
~^ p S V ff -~f* / ftl 1 o KZ s-j
Quant a la premiere, elle donnera C = o, ainsi qu on devait s y attendre.
Corottaire If. Si Ton suppose 5 = 0, les equations (a"} deviendronf
i f x r:- l ~ l
si n rx dx = =r / -: ; e ~ " z ^ z
RELATIVES A LA THE OKIE DES IN TEG RALES, ETC. 505
Corolla/re III . Si Ton compare la premiere ties equations (V) avec
la seconde des equations (/), on aura
. + ^V" T" .
e~ x sin.? ,2: ax
e~ rx COS.9J? dx.
2 \ I
IV. - Troisieme application.
So it
On aura
T-~-
On pourra done supposer dans le cas clout il s a^it
A -- > H :~ 6 ~ xs cos ). ,v r- ;
et, par suite, si Ton fait
on aura
(12)
/ * X 9 / * ^
/ l\r -e x dx- I /.(/;.
Exemple. -- Suit propose cle determiner les valours des deux inte
/* _i -j(r*i)
E= / .r ~e sinro^flte,
XO
gralo?
F =J
- o
es </c C . S. II, t. I.
50(> MEMOIRE SUH D1VERSES FORMULES
On aura pour la premiere
P = e~* x sin rx,
ot, par suilo,
Z COS2.SS / (.**+=*).* gj n f ^
On aura j)our la socondo
P _; c~ sx cos/\r,
ot, par suito,
sin 2^^.
(Ida j)us( , [ equation (12) f ournira les deux suivaiites
________
Poui- obti uir cu tcrmcs tinis lo< valours dc E of dc F, il uc i-cs(e plus
(ju a determiner Ics valours dos iutt-^ralos
/ COS2.f; / ^ 5 2 COS2.^
/ n" 2 / dz.
J n r-+ ( s-^z>)- J o r i + ^ +s i)
D aiileurs, si Ton fait
on aura
COS2.V,-
Fqirpi^
-- cos 2. 9; i c/- K
TTF+F)* ~ 4 "^^
Tout le probleme so reduit done a la rochoreho do I integrale designee
par K. On ohtiondra faoiloinont la valour do cctte integrale soil par los
methodes connuos, soil par cellos quo nous avons oxposeos dans Jo
RELATIVES A LA THEORIE DBS INTE^RALES, ETC. 507
precedent Memoirc; ot si Ton fait, pour abreger,
on trouv cra
IT
/-J ,
r* 3 COS 2 55 7T<?- 28 - ?
K / -a , ( c j , i! "- " I (osi
1/0 ar(r+**) T
Cela pose, les equations (e"j donneront
/ 2 +.v 4
1
H- ( S .v 2 a 3 3 ) sin 2 oc \ j .
Corollaire I. Si dans les equations (") on suppose / Ires petit, on
aura, en s arretant aux quantites du premier ordrc.
r* + s >)* = s *,
r
y. =
25
6 5, si n 2 a ,s = /, cos ?. a ,v i
et, par suite, les equations (g"~) deviendront
^ e
(]es dernieres equations s accordent avee les fonnules routines. On
pourrait les obtenir directement en supposant successiveinent dans
les equations (11) et (12)
P xe- * x ,
P ^ e-* 9 *.
508 MEM01RE SUR DIVERSES FORMULES
Corollairc II. On pcut deduire dcs equations (g") plusieurs conse
quences remarquables. Ainsi, par exemple, si I on differentie les deux
membrcs do chacunc d elles m ibis par rapport a /-, ot n i ois par rap
port a ,v-, on obtiemlra los valours des integrates defmies
- cosr.rrfa:.
Si dans la ilcrnirn 4 on suppose r= o, = o, on obtiendra [ integrate
donl la valour est cleja coiinue : voir les Exercices dc Calrul integral
( III 1 Partie. p. 3(>G).
A . - - Quatrieme application.
Soil
X P arc tang ,
on aura
m r x e~ xz sin me
ii3) . arciang rr / - -- dz:
a Jo
et, par suite, si Ton fait
on trouvera
I 1.5 ) / P arc lang dx\ Z <:/;.
/ x j
I O "0
Exemple. Si Ton fait P = sinrj;, on aura
/ * //^ . /"* rsin//i-s , "
(A-") / arc .lane sinrxdx; / -<tf- = (i e-" 11 ).
.z- / z(r*-\- ~- ) ?>
- "0
II ostaise de verifier cette derniere equation par les methodes connues.
RELATIVES A LA THEORIE DES IN TEG HALES, ETC. 309
Soil ( )
On aura
VI. - Cinquieme application.
X^Plog-
i fe
log-=J
o
dz.
DC plus, si Ton designe par c la constants dont Eulcr fait mention
a la page 444 do son Calcul differ entiel, et dont la valeur approchee
est 0,577216. . . , on aura
(Ida pose, si Ton ajoulr [ equation (17) a I equalion (iG), on tnnivera
(.8)
log c -+
et, par suite, si Ton fait
( 9)
on aura
(20}
IV.r ),
P log r/.r rr / ^ -+- c
f
P = ;
Exempli J. -- So it.
les equations (19) et (20) deviendront
(l \ / =
(m")
/ ^"- e
/
- I
( .) lei, cornine dans le paragraplic II, I abroviation log, on inonie la lottre initinlc J. csL
om[)loyee pour indiquer un logarillime neperien.
510 MEMO! RE SUR D1VERSES FOKMULES
D ailleurs, si l on fait i -4- z - -, on trotivora
On pourra done presenter 1 equation (m") sons la i onne snivante
-rfn.
Corol/aire I. -- F( n ] etant egal a / x n ~ [ e" fix, on a
/x" l e~ x log da; = -
x (tn
II esl aise d cn conclure quo [ equation (") equivaut a cette atilro
(o") _ c+ / Z.ZLf f//.
"" J i /
Cette derniero i orinule coincide avec cello qu a donnee M. I.egendre
[\\ t: Parlie des kxcrcices dt Cctlcul integral ( ), p. 45].
( ! i La fonnule (o" ) a elc. il est vrai, donnee-en 1814 par M. Legendrc; mais des 18
M. Gauss avail forme l e(iuation
el reconnu quo, pour n i. le second membre de cclte equation rcpresenle, au signe
pres. la conslante < d Eulor. Eflect.ivement, on deduil saris pcine do la formnlo( 17) 1 equa
tion connuc
qui. combinee avec la precedenle par voie d addilion, donne
r/lTO) /* ! <-
T-^ --- \-c-l dl.
dn J Q i-t
Ainsi la formule obtenue par M. Legendre rie differe pas dc celle de M-. Gauss, qui parait
avoir considere le premier, sous forme d intesrale dcfinic, la quanlilc -- Iiuler.
an
en s occiipani des monies integrales definies, n avaii pas observe qu elles fournissaient les
differentiellcs de la function Y(n) qu : il denolait quelquefois par [n i].
RELATIVES A LA TI1EOR1E DES INTEGRALS. ETC. oil
Corollaire 11. -- Si Ton fait
/3C 11 \ .J
AX (IX
on aura
et, par suite,
Si Ton diflerenlie suecessivement les deux membres de eette dernim-
equation par rapport a n ct par rapport a m, eu egard a la forrnule (o"),
on obfiendra les deux equations
t>i A _ r l t>n-*-i- t*-i
dn ~J o T^T~~ dt *
d 1 A
<)m.
qu on pent aussi rnettre sous la forme suivante
(!>" ,
On peut encore deduire de ces dernieres la formulc
---- lo:
CoroUaire. 111. -- Soit
on aura
512 MEM 01 HE S U \\ I) I VERSES FOHMULKS
d oii Ton eonclut
Si Ton differontio cette derniero equation par rapport a /;, on ayant
e^ard a la fonnulo ("), on frouvora facilement la suivanlo
Jo ( -<"
Otto derniere i ormulo ost I expression d un theoreme donne parEuler
(I. IV du Cdlcul integral, p. 166); ro//- aussi los Exerr.ices de Calcul
integral do M. Legondrc (H e Partio, p. 25g).
Remarque. -- La valour gonoralo do Z, donnoo par I oquation (19),
ost la difference dos deux quantitos
dont chacunc dovienl infinio du premier ordre lorsqu on suppose s =o.
Par suite I interalc
est cllc-meme la difference de deux integrales qui, elant loules deux
infinios, no peuvent etre calculees independamment Tune do 1 autre.
On levera cette difficulte si 1 ou fait
f* Pdx\
a etant une quantite tres petite. Dans cette dcrn iore hypothese on p^ourra
/ ** r
determiner separernent chacune des deux parties de 1 int.egralo / Ldz.
^0
Mais, apres les avoir retranchees 1 une do 1 autre, on dcvra supposer
dans le resultal a = o. Appliquons co procede a un exomple.
RELATIVES A LA THEOHIE DES UNTfiftK A LES, ETC. 513
Kxemple II. - Soil propose do determiner les valeurs des inte.rales
- l e-* x sin rx lo - akr.
Dans le cas present la valour dc Z, doduite do I equation (21), sera
pour la premiere integrale
-t- ^
On a d aillours
l)e plus, si Ton fait, pour abreger,
~ k~ n [cosnO
Cela pose, on trouvera
1 k
"" z*-i(/ : .
Si dans cctte derniere equation on suppose a tres petit, on aura a tres
OEuorcs dc. C. S. II. t. I. (S5
5U MEMO IRE SCH Dl VERSES F OH. MULES
pen pros
/ fr, : - 1" ( a ) := -5
i x = a - J dz /*" 3- cte _ / i t"-
I 77^rTy< """ "7+"^- " " / "7-^7
i/o n - o
of. par suite. I equahoi] (/" ) deviondni
On Irouvora do inonie pour la socondo integrate proposee
l^ntin on a, CM vertu dos equations (r) trouvoes ei-dossns (^
"- 1 e -t- cos r.
sill n. c J _,
- - smr.rrt.a7 = - I ().
Done, si dans 1 equation ( -io) on fait successivement
on obtiendra ios deux formulcs suivantos
o.t X- otant determines par Ios deux equations
i
( ")
Q = arc tang-.-
/ ,/ / <- "-
I rt i l /j- I ,
V Jo J ~" *
-H sn nJ .
cos/?. 6 1
RELATIVES A LA THE OH IE DES INTEGUALES, ETC. olo
CoroUaire I. -- Si dans la premiere dcs eqnat.ious (V) on la it / o,
el, par suite,
/" ji _ l _ tx i Y( n
Si dans eotte derniere on fait s \ , on retrouvora la formule (/*").
CoroUaire II. Si dans 1 equation ((f") on fait, pour abrcgor,
^ ^. N,
et si Ton y rem place N ~~ par N ^ x 1 ( e~ sx dx, on aura
Si Ton proud la difference linie w 11 "" de cliacun des iiieuibres de cede
deruiere equation relalivemcnt \\ ,v, on obtiendra la 1 ormule
( y" ) / x " - e~ x ( e -* - i ) " ( I o - - X ) dx T(n)^ " ( }
,/ \ - c \ > " /
II serait facile de prouver quo cette formule subsiste dans le cas 011
n devient negatifet egal \\ a. Dans le memo eas, on doit remplacer
V(n) i)ar -pr On a done generalement
I (a + I) SIllrtTT
etant LIU nombre poaitif cjuelconque inlei-ieui ;i
oJ6 MEMO! RE S U H D1VERSES FORMULES
DKUXJKME PARTIE.
SUK UNE FOKMIILE (1ENERALE RELATIVE A LA TRANSFORMATION
DF.S 1NTEGRALES SIMPLES
PRISES KNTRE l.ES I.l.MITES O ET CC ])E LA VARIABLE.
THEOREME. - Soil F(.r ) ime fonction quelconque de .v, telle (/n on
puisse obtenir en termes finis la raleur de I mtegralc.
(i)
pour tonle le.s raleurs enlieres et positives de la const ante n.
On pourra toujours en deduire la valeur de I integrate.
/ ,-./ V
(*) / .^"b .r- -
./,.
prise- entre les memes limit es. ainsi qu on va le Jaire voir.
Demonstration. Si Ton suppose I integrale
prise entre les liniites z = - cc, z = =o, on aura
(3)
Si dans cette dernierc equation on fait
X
eile dcviendra
la nouvelle integrale etant prise entre les limites x = o, x
cc.
RELATIVES A LA THEORIE DES INTEGR ALES, ETC.
II est d ailleurs i acilo do voir qu on a
et, par suite,
(5) I
o
En fin on a irenoralemenl
s u\ i -
1
S j n s
(6)
Si dans rcftc derniero fonnulo on fait
I . 2 . 3 . /
3V/ I
ot, par suite,
(7)
1
X
COS ft -
2
COS( 2/i -f- i) :=
Si maintcnant on multiplio los deux niembrcs do I oquation (7)
par Ffaj - -J , ot qu on intogro do part; ot d autro ontro Irs liiuifcs
.r = o, x oo, en ayant ogard aux equations (4) ot (5), on ofttiendra
la formule suivante
(8)
(/n-i), 4 ,(/t--a)(/i-M)/i(/i-.i)
^2n A -+ - Ao -+- - ; - A , 4- . .
1 2 I . 2 . O . i
I
2 ) ( 2 /i 3 )
518 MEMOIRE S U II IHVEUSES KOKMULES
Olio t ormulo determinera la valour do C 2W toutes les ibis quo colics
do A,,, A.,, A,, ..., A 2/ , soronl connucs. On pout remarquor quo lo
eoolliciont do A,, H y ost egal a
Example I. -- So it
On trouvora
I.. 2.3 (2/?f. J) I
1.2.3 ..... ( 2 in, i)
-
o(, par suite,
On aura do plus
r x -*( .-!) - 5 (-* J4 --V)
(/,) (],= I x^e x > dx~S s I x*"e
J Jo
(^ola pose, la ibnnulo (8) deviendra
U
Si dans cotlo dorntore t ormulo on change x on x~ . n on ^, ot ,s- on /?.,
on obtiondra prooisoniont cello qu a donnoe M. Logondro dans sos
Exercices de Calcut integral (JIl e Partio, p. 366), ot donl los equa
tions (? "), trouvoos ci-dessus (I rt Partio), n oflronl (fiio des cas par-
lieu I iors.
Exemple 11. --Si Ton fait successivoinont
F(.3") =: K~ sx Sill rx,
V ( x ) = cr ix cos r x ,
RELATIVES A LA THEORIE DES [N TEG RALES, ETC!. 519
on deduira do la formule. (8) los valours dos integrales
C* -* ( --) i V
/ .r-" e sin/ I x - -I dx,
J <v J
I x* n e cosr(ar- -Y^r;
^o \ * /
ot, par suite, cellos dos integrales
(rf)
Cos dornioros sont entierement sonihlahlos a cellos mio nous avon^
I
considerees dans lo prccodont Memoirc (l re Partio, ^ III, oxoinplc III ).
Si dans los inonios intogralos on fail n = o, s = o, r{ (jiic Ton change
j
ensuite r en s ot a- on x~, on obliondra relies qui 1 ornient los
premiers inombros dos equations (/ ), divisoos chacune par lo
nombre 2.
111. Si Ton fait
on doduira faciloment do l ;quation (8) la valour do I lntegrale
x - ll e r/ cos/ ( .r
ot, par suite, cello do Tin fog-rale
520 MEM 01 RE SUR DIVE USES FOR MULES
TROISIEME PARTIE.
SUK LA TRANSFORMATION DRS DIFFERENCES FINIES DF.S PUISSANCES
EN INTEGRALES DEFINIES.
I. -- Sur la transformation de la difference ft nit A "s~"
en integrate defuiie, s et a etant des nombres positifs pris a volo/ile,
Pour transformer la difference finie ^" l s~ fl en integrate definio, il
tan I commenccr par transformer de la memo maniere la quantite s~ a .
Soit en consequence
(0 s- a
A etant line eonstante, X une fonction inconnue de x el de s, et
/ \dx line integrale definie, quo nous supposerons, pour plus do
simplicite, prise outre les limites x = - o, x = oc. On aura outre los
mem os li mites
/
A ".v-" = A / A 7 "Xrfj?.
<-^o
II no resto plus maintenant qu a determiner X de maniere quo Ton
puisse obtenir facilomont la difference, linio A" X, ot quo Ton ait do
phis
/" JC
K- n A/ \dr.
"0
On satisfera a la premiere condition si Ton fait
P ot etant deux fonctions de a?. On satisfera a la socondo condilion
si Ton suppose
P = x< i -*, Q.X.
RELATIVES A LA THEORIE DES INTEGRALES, ETC. .521
On trouvera dans eette hypotliese
r x /" x r *
I \ dx = I x a -> e-" x dx s~ a / x a ~* e- r dx = s~ a 1 ( a ) .
" ^ * n
Cela pose, [ equation (i) deviendra
(3) .?-- / x a ^ e- t * dx\
1 ( i /
et com me I on a
[ equation (2) se trouvera reduite a
(4) A" (.v-)^ r ^^%--( C --,) . -dr.
Gette derniere for mule etait de.ja connue; elle i ournit une solution dn
probleme. Mais on pent de cctle premiere solution en deduire une
infinite d autres, comme on va le iaire voir.
Soit, pour abreger,
Q-SXI e -* j yi ~ t)
et supposons (fue la substitution de &a; + %x\/i, an lieu de x,
change
l> on P P ff v/
Si I on fait
= tang0,
v.
on aura, en vertu des fbrrnulcs demontrees dans le Memoire preeedenl
[Memoire sur les integrates defunes, lu a 1 Institut le 22 aout 1814,
l re Partie, III, tbeoreme IV C)],
( ) OEuvrcx (le Conchy, S. I, T. I, p. 35 >..
QEuvres Jr C. S. II. t. 1. (j()
522 MEM01RE SUR D1VERSES FORMULES
D ailleurs si Ton suppose
e -x.i si no a;
- tan!?* 1 ,
on aura .
\r __ e -snx( e -iax__ ze-x-r cos 6^7 4-0* cos (6. ? 4- me),
osa; 4-
On pourra dour a la for mule (4) subslituer une quclconque des deux
suivantes
_
cosoj" -+- \ cos(S.va; -4- zr) d.r.
L ".r~" = 7 / &"-* c~ s * x (e~ Z:tx 2e~ 3ta: cosS.r 4- i V~ sin (csx -4- nn
1 i a ) si nf/ 7 L /
Si clans ces dernieres formules on suppose a i et 6 fres pelit, on
aura a fres pen pres
" ! ^ , T
( y.- 4- 8"- ) - -- i , c =i -^ , cos 6 ,r i ,
cosc5^ -f- mv =: i, sn
(lola pose, les Tommies (5) devicndronl
A " x -7 - 1 - - / .r" - e- i;r ( e" J i ) " dx,
Os deux dernieres formules s accordent avec [ equation (4). De plus,
si on les compare enlre eiles, on obtiendra 1 equation do condition
(6) sk m s- a - }
Coj-ollaire I. -- Si dans I equation (4) on suppose - i , on aura
A" 1 - -/ e-* x (e- x \y n dx.
KEL/VTLVES A LA TFTEORIE DES INTEGRA LES, ETC. 5:23
On pout aussi obtcnir la valeur tie A "(- ) an movcn do I equaiioM one
\sj-
nous avons trouvee ci-dc-ssus (I re Par(io, 1, exemple III. corollaire 11)
A" - =
,v l(s + m + i) J (n-ij?) "-
GoroUaire 11. -- Les integrales definies dans lesquelles nous avons
transforme la valeur de k m s~" sont toutes prises entre les limites a? = o,
x = cc. Mais, comme lenrs elements decroissent tres rapideinent a
mesure que x augmente, on pent en obtenir des valeurs fort appro-
chees par la methode dcs quadratures. On pent aussi, pour rendre
1 application de cette mefhode pins facile, transformer pur la sub
stitution
on, eo qui revientau rncme,
les integrales proposees en d autres integrales relatives a z et qui
soient prises entre les limites s = o, z i .
t
>
II. Sur la transformatioji de La difference A" s" en integrate de/inie,
s et a etanl deux nojnbres positifs pris a volonie.
Pour transformer la difference flnie A "/ en integrale definie, il faut
coinmenccr par transformer de la incme maniere la quantite.y ". Pour
resoudre ce dernier prot>leme, et par suite la question proposee, on
pent suivre deux metbodes differentes, que nous allons develop[)er
success! vemen t.
Premiere methode. -- Si Ton suppose
<7 rrr }, -f- ,
V
A etant le plus grand nombre entier compris dans a, et si dans I equa-
524 MEM01HE SLK 1)1 VERSES FORMULES
lion ( 3) ( I) on remplaee a par i 71.00 frouvera
Pour obtenir inuintcnant la valcur do / , exprimee par une integralc
definie, il suflira d integrer A + i ibis de suite, par rapport a j, les
deux rnombrcs do I equation (7). On aura ainsi la formnlc
ralc relative a x etant toujours prise enlre les limites ,r - <>,
,r = cc. Dans eeUe derniere equation, X , X X>. designent les
X -f- i constantes introdui(e> par les integrations relatives a ,y, cons-
fantes qui jteuvent etre des fV.nctions queleonques de x.
Pour determiner ces constantes, on obscrvera que le premier niembre
de requation (8), divise par/ , s evanouit encore pour s^ o. Le second
ine mbre doit done satisfaire a la meme condition; ee qui exige que
I integrale *
r - -- dx
(9) / x v (e-X.-*X t -...-^Xx)-^
^0
et ses coefficients diflerentiels du premier, du deuxieme, etc., enfin
du A k " ic ordre, pris relativement a s, s evanouissent pour s= o. Cette
derniere condition sera remplie, si Ton determine
Xv v "V -
o, -V[, JV 2 , . . j -v>,,
de maniere que la function
et ses coefficients differcntiels dn premier, du deuxieme, etc., enfin
du X icme ordre, pris relativement a s, s evanouissent pour s==o; ce
RELATIVES A LA THEOR1E DES INTEGRALES, ETC. 525
<{iii rovient a faire
X.==l/ X,: --, X 2 = , ---, X=
[.2.3
ot d aillcurs il cst facile do s assurer quo les autres manieres do rem-
plir la condition cxigee conduiraiont toutcs a la memo valour do
1 inlegrale (9). On est done autorise a remplacer dans cette dorniere
integrate
1>ar , ).
] S -+- S~ . . . -t- ( 1 ) A .^
I 1.2 1.2
c est-a-dire par la partic clu developpement do er sx qui renferme dos
puissances do s ot do x infericures a X-hi. Si, pour abreger, Ton
design e cede parti o par
v(sx),
o(x) etant la partir du developpement do e~ x qui renfermo dos puis
sances do x inferieures a X-hi, 1 equation (8) deviendra
et comme on a d aillcurs
on trouvera enfin
( ) Si dans la formulc do) on fait .y i , ot si Ton a de plus egard & 1 equation
T ( a ) = r- ~-. ,
sinar: T(a -+- i)
526 MEMOIKE S U R Dl VERSES FORMULES
Si Ton prend la difference finic w lcim do chaeun des meinbres de
requalion precedente, on obtiendra la fbrmnle
siita- V(a + i) f* e-*-*(e-* i V" A " o(.v^) ,
( i ,\ A in *a I _ v , > .
r i x"^^
*
Dans Ics applications quo Ton pen I fairo dc la Ibnnnle precedente,
il ost lU cossaire de distinguerdeux cas difFerents, savoir : ccltii oil Ton
suppose
a < /)} ,
el celui oil Ton suppose
Premier cas. Supposons d abord
a <; /.
On aura, <i fortiori, \<^/n. Pjir suile,
r 1.2
on irouvera
On a par ce moyeii unc expression fort simple de la valeur que recoil la fonction T
lorsque a devient negatif. De plus, il est facile de voir que, ji 1 on designe par X
fonction rationnelle et entiere dc .r, le seul moyen do rendre finie I inlegrale
sera de supposer X = o(x). Enfin, lorsque a est positif, on a
On conclul aisement de ces diverses remarques que, pour toules les valeurs possibles soil
positives, soil negatives de la quantite a, on aura la formule generate
= I ,r - ( IT-* X ) cU .
X etanl unc fonction ralionnelle et entiere de X, assujettie a la seule condition de rendre
finie la valeur de "I integrale que Ton considere. Cette fonction est tonjours millc, lorsque
n est positif. Mais, lorsque a dcvienl negatif, elle est egale a la soaime des premiers lenncs
du developpement de c~- 1 .
KELATIVES A LA THEORJE DKS INTEf.lULES, ETC. 527
etant une fonction rationnello ot, cntiere do .y dans laquolle la phis
haute puissance do .y est inferieure a m, on aura
A " o(.s - .r) ~- o.
Ainsi, dans ce cas. la fonnulo (i i) so reduira siinpleniont a
(12)
Cotto dornioro forniulo coincide parfaitoinonl avoc ro(|iia(ion (m)
trouvoo ci-dossus (I e Partio, IT); co qui oontinne I exaclihide do
nos calculs.
[/equation (12) Ibnrnif. j)onr lo cas oil Ton suppose rt<jH, unc
solution du probleme (jue nous nous etions propose. Mais on prut do
cotle solution en deduire une infinite d autres, ainsi <]ii on va le tairr
voir.
Solent a et o deux constantos arbitrairos, ot
d = arc tang-
y.
Si Ton fait
e- sjr (e- K i) y,
et si I on desi^ne par
Q -HQY-i
co quo deviont q lors(jii on \ change x on y.x + %x\j^-~i\ on aura
* ()
On pourra done romplaeor, dans f equation (12), fintogralo definio
528 MEM01RE SUK DIVERSES FORMULES
par 11 n des deux produits
6*cosa0
Supposons, par exomple, a o, 6 = 2; on Iruuvcra
sin (7- #~ sir/-
, =2 Sin -
cos af -2
On aura do plus, si rn cst pair,
i) "
i) T 2 "cos(2.v
rt, si in est impair,
i) "
[cos (2 ,9 + m) x v
Cela pose, on pourra, si m est pair, substitucr a la formule (12) Ics
dc,ux equations
J 3 )
n/ \ a7T
, ll+ . 2 1 (a 4- i) sin ., x
\ -2 2 n+1
.
RELATIVES A LA THE OB IE DES IN TEG 11 ALES, ETC. 52!)
et, si m est impair, les deux suivantes
( 4)
. . fir.
i sin />at . , .
2 / sin(25 4- m)fK sm" .i
A" 1 ,?"=( I j 2 2" i+1
_ .
1 ( a + i ) cos
a
cos ( .v 4- /;?. ) .2; s i n "
2"7T
On pout reunir les equations (i3) ot (i/f) en un seul Croupe, en les
inettant sous la forme
. a -+- m
sin T:
A " .?
/" x cos ( 2 .v 4- m ) ,K sin " x
I ,i \ i ~
sn ?.,v 4- / Vr sn" ./
^ // y
I ( tX.
Si dans ces dernieres on change s en .v w, ot si Ton a e^ard \\
2
1 equation
A" (s - ~ ] l ~- -~ A" ( a ,v - /M ),
on obtiendra precisement les i onnules que nous avons designees dans
la premiere Pai tie de ce Memoire par les lettres (y ) el (/> )
Second cas. -- Supposons maintenanl
<t > in.
Alors o(i .r) sera line i onetion rationnelle e( entiere de ,r d nn de^re
egal ou superie.ur a m; el, par suite,
rTetant plus egal a zero, 1 equation (1:2) cessera d etre exacte; ce qm
d ailleurs est evident, puis(jue dans ce eas 1 integrale
J.
de C. S. II. 1. 1.
.MEM 01 RE SUR ])J VERSES FOR MULES
obtiondra une valour iiifmie. Dans le memo oas liquation (ij)sora
(oujours vraio; mais la valour do la difference finio
(jui outre sous le signe / dans le second m ombre do cede equation,
dependra de la quantite
on, ee qui revient an memo, dn plus t^raiid nombre (Miller compris
dans a ///, ainsi (ju on va le faire voir.
Kt d abord, si Ton suppose A = m, on aura
s.x .v-.r 2 s m 1 "
9 (sjc ) i - - 4- - ... -f- ( i )" -
* v * i o
I 1.2 1.2.3
A " o(.s\r) ( \} "x ";
et, par suite, la formule (F i) so trouvera reduile a
(,6) A .v = - IifL_il?ifl5 /"^Ifl! Zl^
77 . / a- aH - J
Cette derniere tbrmulo resoudra la question proposce pour tuutes les
valours do a comprises outre les limites m et m -f- i .
Supposons, en deuxieme lieu, A m -f- i, on aura.
SJK s -.v-
9 (.v.r) = i - - 4- - . . . + ( i )"
J 1.2 \ i . 2 m i . 2 . 3 . . . . m -+- 1
et, par suite,
Cclte nouvelle formule resoudra la question proposee pour toutes les
valours de a comprises entre m -\- \ et m -+- 2.
RELATIVES A LA THE OR IE DES I NTEG H A LES, ETC. 531
Supposons, en troisieme lieu, A = m -+- 2; on aura
+ (-!)*
2 .V -t- //i 6 .V( S
A" 1 o(s.r) := ( a.-) " i - x -\- -
et, par suite,
T(a -\- 1 )sinrt7t
Cet.te derniere formule pourra etre employee pour tonics les valours
de a comprises en Ire m + 2 el in + 3.
Kn continuanl de meme, on determinerait successivemcnt [)our les
divcrses valenrs de la quantite designer, par A les valeurs corrcspon-
danlcs de la fonetion A "o(.v,r). Mais on pout Irouver dans tons les eas
possibles la valenr de la meme fonetion d une maniere plus direcle.
VA\ elfet, o(sx) desigiuint toujours dans 1 Analyse |)recedente in partie
du developpeinenl de
qui renferme ties puissances de ,r inferieures a x^ . b! n z(sx ) desi-
gncra par suite la partie du developpcment de A "e~ J - r , on de
qui renferme dr telles puissances. On a d ailleurs en general
-*(-* 1)=( a? )( i
\ . >. J . 2 .
Done, si Ton fait
designera la partie du produit
1.2.3
qui contient des puissances de x inferieures a
53-2 ME MOIRE SUR. 1)1 VERSES FOR MULES
On aura done
d/(,r) o,
si Ton suppose A << m;
<|;(3?) = i,
si "A - /?? ;
2.9 -+- />?
2 s m 6 s (s-r- rn) +- m ( 3 /?* i )
,\ I rf. \ | r _L T.
1 1 JC ) I i< ^^ * >
2 12
si X = w -h 2, etc. ; ot ainsi do suile.
On pout romarquer quo. si Ton designe par X uno fonction ralion-
nidlo ot ontioro do x, lo soul moyon do rondro iinio la valour do
I integrate
r x e- $x (e- x ))" X .
.( .-
sera do supposor
X = A "o(.^r).
Ainsi, pour transform or on intogralo doilnio la difference finio A" .v", il
suffira do la ire on general
/* e- (e- J iV 11 X ,
(19) AJ-"==/ -^TT- -^
<--
X otant uno fonction rationnelle ot ontioro do x, assujettie ii la seule
condition do rend re, finio la valour do I integrale quo Ton considere.
La fonction X ou A "o(i i .r), ainsi qu on 1 a doja re marque, est nulle
quand on suppose a<^m. Mais lorsqu on suppose a^>m, lo nombre
des terines de cette memo, fonction croit indefiniment avec la difTe-
renco A rn. C ost pourcjuoi la formule (19) no pout etrc appliquee k
la determination de la di (Terence finie X n s a quo clans le cas ou a est </??.
ot dans celui oil a surpasso m d un petit nombre d unites. Lorsque la
difference a m est tros grande, les calculs qu exige cette formule
devicnnont impraticables. On pout obvier a cot inconvenient, en sui-
vant, poui 1 la transformation do la difference finie &" i s a on integrale
definie, uno a litre inothode que jo vais devcloppor en pen de mots, et
RELATIVES A LA THE OR IE DES INTEGRALES, ETC. 533
(jui s applique egalement a toutos les hypotheses quo Ton pent faire
sur lo.s valours relatives ties deux (juanlites a ct m.
Seconde methode. -- Si, dans les equations (</ ) (I ll<1 Partie), on fail
r s, n ---- a -+- i, on obtiendra les deux forniules
(20)
aT(fli
J 2V/ 1
Pour debarrasser ces ibrmules d imaginaires, il sufTira do faire
A p cos t, x -~- p sin t,
p et t elant <loux nouvelles fonclions de x. On aura alors
(21;
/j = ( A- 2 -t- ^ 2 ) - , /; arc la n g *-. : ;
et, par suite, les formules (20) deviendront
(22)
On a do plus
s ti 5^r
et, par suite,
2 1
534 MEM 01 RE SLIK DIVE USES FOR MULES
Si dans ees dernieros equations on change los exponcnlielles imagi-
naires on sinus et eosinus, et si Ton fait, pour abreger,
e k cos^r i t( cos r, e k sin.r a sin r,
on trouvera
i b. m (e ks cos-s J?) = e ks n" 1 cosf.v.r 4- nn>),
(23) A * : *
// ct i olant dettM uiines par les equations
sin,r
4-1)", c = arc tang r-
<!ola pose, si Ton proud la difference finie des deux membres do chacuno
dos ( (juations (22), on obtiendra les formules suivanles
2 c f T ( a -+- 1 )
5":
2 6 ^ * r ( a --H i ) / ( e u ?, e Xl cos.r -+- M- sin(/7 -4- i U sin (.?.* -i-
dans lesquolles les valours do / ot do v soul detoriuinees par les deux
equations
.r
I L -~ ;irc tang ,
K
(25)
simr
v arc
Si Ton ajouto out re olios les equations (24 ), on ohtiendra la suivante
a . A ,,. e A - s T(a-r-i ------ ,
(26) A" i f i- / - d.i-
Les equations (24) et (26) sont ifenerales o( subsistent quelles qu
HKLATIVES A LA THEOR1E I)ES. J iNTEG I! ALKS, ETC. 53o
soient les valours respective* des quantites rn et a.. On pout memo
remarquor quo les seconds mcmbrcs do cos equations renfermcnt une
conslauto designee par k, dont la valeur pent etre choisie arbitrairo-
inenl. Ainsi les trois equations dont il s agit donnent le inoyen de
resoudre, d uno infinite de maniercs, la question proposer .
Pour (jiie Ton pnisse determiner facilement par approximation les
valours des integrates deiinies comprises clans les seconds memitres
des equations (24) ct ( 2 6), il est necessairo d attrihuer ii k line valeur
positive qni diflV-rn sensiblernent de zero. En etf et. si Ton supposait
k tres petit, alors, pour de tres petites valours de x, la fonction ren-
ionnec sous le signe J , dans chacune des integralos dont il s agit.
nbtirmlrail grneralement une valeur tres considerable; of, quoi<|ii<>.
pour des valours constantes de x, cellos de la fonction devienncnl
alternativemenl positives ou negatives, neanmoins. comme cos dor-
meres no so dod-uisont ]>as mutuollement, on sera.il oblige de calculer
les premiers elements dc cbaque integrate avec une extreme precision.
On doit (outofms oxceptcr le cas ou Ton suppose
in < a ;
car dans cottc hypotbose la fonction
2 e cos jc
devient elle-meme forl petite, pour des valours do k et de x pen dilfo-
reut.es de zero.
On prat memo, lorsque a surpasse m, suppose.- dans los equa
tions (24) o( (26) k tout a fait nul. On a dans cetto dernioro hypotbose
"sin" -
530 MEM 01 RE SU.R 1)1 VERSES FOR MULES
et, par suite, les equations (2^) so reduisent a
/-*se /o e i /i j
Cl 1 1 / * / *^ ~
-i-,)
2 /
. 2 /
^, ^
. a-M ,1 /2SH-//4
m \
2 /
Co in me dans It s equations precedentes les integrates relatives a la
variable x sont prises entre les limites a; = o, a;==GC, on jieat, sans
nil I inconvenient, y changer icon 2.r. Do pins, / etant un nornbre
en tier, ebacnii dos produits
i 9.x -+- in in
sin - - T: sin - - .r -
2 2 .<
est necessaireinent eiial a 1 nn des denx suivanls
-4- /?j . 2 .v + m
cos - ~ sin
2 2
II est aise d on eonclnre quo les equations (27), obtenues par la
socondo melhodo, sont identiqnes avec les tbrinulos (i5) obtonuos
jjai 1 la premiere; ce qui confirnio 1 exactitude do nos calcnls.
Dans les otiuations (2/4) ot (26) on doit tonjonrs prendre pour / le
pins petit des arcs qui out pour tangente ^> on celni qui devient mil
quand on suppose x = o; ot en eff et [ equation
2 \/ 1
don no, dans cot to liypothese,
sin ( -t- i ) / o
qnel quo soil . ot par consequent / ~ <>. Quant, a 1 arc v, il pent etre
RELATIVES A LA THE OR IE DES IN TEG RALES, ETC. 537
ehoisi arbitrairement parmi tons eeiix qui on I pour tangonto
sin x
cos,-r c~ k)
car, in etant un numb re onticr, tons cos arcs donnent la memo valour
pour chacune dos quantites
cos(.?.r + rnv), sin (sx -\~ /m 1 ).
Corollaire J. -- Los integrates defmies, dans losquollos nous avons
transforme par los methodes precedentes la difference A"\v", sont (outes
prisos ontro los Jimitos x = o, x = cc. Mais, commo lours olomiMits
decroissent rapidement a mosuro quo x augmonto, on pout lour
appliquer la methodc dos quadratures. On pout aussi, pour rondro
cotto application plus faoilo, Irs traiisfbrmor d al)ord pai- la substi
tution
on do run i wiles intc^ralos qui soiont prisos ontro los limitos 5 = 0,
-*? ^m ]
Scolie. -- Dans les calculs precedents nous avons toujours suppose
quo s otait uno qaanlito posilivo; ot cctto condition otait nocossaii t 1 . du
moins on general, pour (juo la difference (inie A ".v" tut I eelle. Lorsque
.v doviont negative, la memo difference so compose d mir pavl io retdlo
et d uno partie imaginaire. Mais alors on pout essayor do representei
chacune <le cos parties par uno integralo delinie.Tel est I olqet du para-
grapho suivant.
i> 111. -- Sur la transformation de la difference finie A ".v" c.n in lc grabs
definies, a etant an nomhre positif, cl s nn //ombre jiegaiif-
pris d volonle.
Dans la question qui nous occupe, il est necessairo do dislinguor
deux cas differents, suivant quo m ost inlerieur on superiour an
nombre positif s quo nous designerons par s .
OEitvrrs ffe C S. II. t. I. (K
538 MEMO IKE SUR I) I VERSES FOUMULHS
Si d abord on suppose
ni < .* ,
on substituera sous la caracteristique des differences finies la quantite
j)ositiv( i s m a la quantite negative s par le nioyen de 1 equation
A ",> ( i ) n + n A" (s 1 in )",
oil le signe A se rapportc dans le premier membre a la variable s, et
dans le second a la variable s . On transformera ensnite, par les
methodes du paragraphe precedent, la difference iinie A "(Y //>?)" en
inlegralc definie.
Si Ton suppose an contraire
la difference linie A ".v" renfermera deux especes de terines". Dans les
mis la quantite elevee a la puissance a sera positive; dans les autres
(die sera negative. La somme des premiers sera
la serie etant continnee jusqu au dernier des ternies oil la quantite
affectee de 1 exposant c reste positive. La somme des autres termes
sera *
( _ I )a+mL/_^ (5 /_ l) + ^l^Zll_) ( . ? _ 2 ).._.. 1
[ I 1.2 J
la nouvelle serie etant assujettie a la ineme condition qne la prec e-
dente. Si done on represente la somme des premiers par
la somme des autres se trouvera naturellement representee par
(i)+ A,-;
et i on aura par suite
IIELAT1VES A LA THE OKIE J)ES IN TEG RALES, ETC. 5:39
Cola pose, pour obtonir on integrates deiinies la valeur do A" / , il su(-
iira evidemment do determiner par do semblables intcgrales la valour
do A m _ s et cello do A/. On y parvient do la ma nio.ro. suivanle.
Los equations (20), quo nous avons considerees ci-dossus ( II).
supposaient la quanlite s positive. Si dans cos merries equations on
change s en r, ot si Ton fait, pour abrei^er,
x v
V"
.I \/ J
on on conclura facilomont
(28)
r etant posit if.
An confrairo, si Ton suppose r negatif o( egal a r , on trouvora
r x / >x
/ X n e A; sin/\r c/^ -e 2/> / X 2 e* r sin r .rote r a e -Hcr-.
J J n I(a-t-i)
et Ton aura par suitt 1
(29) / (X 1 e* cosra;-t-X,ef* sinrj7)rfiF = o.
L ^n
Solent mainlenant m ot * deux nombres positifs dont lo plus potil
soit/; en faisant successivement, dans [ equation (28),
m s , r in s i ,
et, dans Pequation (29),
r =. s , r = s 4- i ,
5^0 MEMOIRE SUR DIVERSES FORMULES
on obtiendra Ics formulcs suivantcs
( >Hm-*-) C os(/ -- s )x + X 2 e*<" -* > sin(/>i s ).r] rf;c =
c* (w -* - |) cos(w .?
/ [\,e A ( 1 -* - 1 cos(i A- )a? + Xjc* 1 -- sin(i s ).:r]^r o,
/ (Xie~** coss o; X 2 e- A - r sins J?) ^ =r o.
Si Ton mulliplic respectivement los deux iniMnbres dc la premiere
equation par i, les deux membres do la deuxieme par - > ceux de
la troisiemc par - -> etc., et en general ceux de la ^ ie " K equation
par le coefficient de x 11 * dans le developpenient du binome (i x) " ;
on tronvera, en ajoutant toutes les equations (Mitre (dies, et remplaeant
s par s,
I [ X , A " ( * cos 5 ,r , + X, A " ( e k * si n sx }] dx
"
I ou Ton conclura
(3o) A, ;l _ s .= *Af-lz / [XlA (
Si daas le second membre de cette equation on substitue, au lien des
i onctions X,, X a , A "(e Aj cos.vj:), A "(e AJ sin,9^), lours valeurs donnees
par les equations (21) et (23), et si Ton remplace s par .v , on aura
^e cos.c
les valeurs de i et de c etant toujours determinees par les equations
RELATIVES A LA THE OKIE DES INTEGRA LES, ETC. oil
Si dans 1 equation (3i) on change s en m s . on tronvera
Les valours negatives dc A w _,- ct de A/etant detcrminees par les 1 or-
inulcs (3i) ct (82), on obtiendra la valeur cherehee do A ".v", pour le
cas ou s est negatif et egal a s , an moyon do 1 equation
A" .? = A,_, H- ( i ) A ,-.
Cornllaire I. - Les integralos detinies, qui I onl parlio d(>s seconds
inombres dcs equations (3 1) et (32), ronformont line constants posi
tive /i, dont. la valour esl tout a fait indeterminee. Xoaninoins, pour
(]ue 1 on puisse facilement obtenir des valeursapproche.es d( i cos inte-
grales, il est uecessaire, dans le cas on a surpasse m. d attribucr a
cotte constante une valeur sensible. Otto necessite est snllisaminenl
etablie par les raisons quo nous avons deja exposees ci-dessus ( II).
On n est plus assujetti a la memo condition dans le cas ou Ton suppose
et, dans cetlo derniere hypolhose, on pout don nor it k des valours tres
petitos, et memo, si Ton veut, i aire
On trouvc alors
, par suite, jes equations (3() et (32) so reduisent a
34)
/i fin 2.v a ni -j- i
Sin" - x cos - x - TT
JL_ ^ 2
r .a+\~~
- . . X
542 MEMO IRE SUK J) I VERSES FOR MULES
Corollaur, 11. - - Si, au lieu do supposor dans les equations (34)
s - - s, on y suppose x -. -in .9, ct si I ou fait en outre, eonfor-
inenient aux notations adoptees dans la premiere Partie do ee Me-
inoire ( II, exemples VII et VIII),
/ m jn (m i )
I S (in -h 25 Y- (in -f- 25 2) rt + (in -+- 2s 4)" - . . ,
(35) <
^ , nt nt ( in i)
f J a zz: ( m 2 S Y - (til 2 S 2 ) a -+- ( m 2 S 4 )" ~ . . . ,
en exctuant do chaque serie les tonnes qui renlerineraient des puis
sances do quantites negatives, on trouvera
(lela pose, si dans les seconds mombros dos equations (34) on change
.r on -2JC, cos meines equations prendronl la forme suivanle
/ sin" jc cos ?.sx (a m. -f- 1) -
I , ?. m i (a -f- i) / 2 J
"~ T- ;/ -^r-
(36
I , r/ / sin ".r cos : ..s
\ __ ?. " 1 (a + j j /
l i ,, I
si n " .r cos j 9. s.r -+- ( a - m -f- 1 ) -
dx,
dx.
Les valours precedentes do S /; ct do T rt coincident parfaitement avec
cellos quo Ton obtiendrait par la combinaison des formules (-) et (i )
(I 1 Partie, II). On pout dc cos momes valeurs deduirc immediale-
ment cello do la difference finie A m ( 2s m) a , au moyon do 1 equation
L analyse qui vient do nous conduire aux formules (34), (35) et (36),
fait voir on memo temps quo dans ces formules .9 est une qtiantito
positive assujettie a la soule condition
in
a <
2
RELATIVES A LA THEORIE DES INTEGRATES, ETC. 5W
Si dans la premiere des equations (36) on suppose m egal an plus
grand nombrc entier compris dans a -hi, on obtiendra la forrnulo que
M. Laplace a d6signee par la lettre (p) dans le premier Livrc du Calcid
des probability (n 42, p. 168) ( ).
Corollaire ILL -- Toutes les integrates defmics que nous avons con-
siderees dans ce paragraphe sont prises entre les limitcs x = o, x = yz.
On pent appliqner a ces integrates, comme a cellos que nous avons
considerees dans les paragraphes precedents, la inetbode des quadra
tures, etrendre cette application plus facile par la substitution pivli-
minaire
Considerations generates sur le.? integrates qui deviennent in/lnies
pour de Ires petites valeurs de la variable.
Soit P une fonction quelconque.de la variable x< qui no s evanoniss
pas avec x. Soit de plus a un nombre positif quelconquo. L intogral
prise entre les limites x o, x x t , aura necessairement une valour
infinie. Mais si Ton designe par X le plus grand nombre imtier compns
dans a, et par
I ^ \ V
les premiers terrnes du developpement de P suivant les puissances as-
cendantes dc x, 1 integrale
(3 > /"^-
^o
obtiendra en general une valour time; el, de plus, on reconnaitra f ari-
( ) OEuvrcs dc Laplace, t. VII, p. 171.
5i.V MEMOIHE SUK DIVEKSES FOHMULES
lenient quo le soul moyon do rcnclro tinio I integrale (3), on prenant
pour X line i onclion rationnello ot entiore do la variablo x, cst do sup-
poser X delermiuee par I efjunl.ion ( 2). La i onction rationnelle X ot,
par suite, rintograle (3) dependent done uniquement do la fonetiou
donnec - ^ Pour abreger, jo designerai eotto derniere integrale par
/ P i
lo signe / place devant lo produit ^^ dx\ on sorte qu on aura
1 , / t - A .
Ainsi, tandis quo I integrale f -^ ost infinie, 1 inte.grale j -^^
aura or, general uno valour iinie, determinee par la formule (4)- On
l>eul encore obtonir ootlo valour ei^ cherchant d abord I integrale
/ } _ p r i se outre los limiles ,r == a, x -- x { (a otant uno quantito tros
petite), ordouiiant cette inleijrale suivant los puissances ascendantes
dc a, ot supposant dans lo cleveloppement la quantito a nullo, apres
a\oir supjirime los tonnes afibet.es do puissances negatives do cette
memo quantito. Xous voici done conduits a considerer uuo nouvelle
rspece d intogralos dont on no s otait pas encore occupe d nno rnanioro
speciale. Jo dosignorai cos sortes d in(e.grales ot los operations qui s y
rapportcnt sous lo noin & extraordinaires . An resto, Ics integralcs dont
il s agit soul soumisos aux memos lois quo los integrates ordinaires.
Ainsi, par cxomple, si Ton a deux integrations successives a ofloctucr,
Tune ordinaire relative a la variablo x, Tautro extraordinaire relative a
la variablo z, on pourra commencer indifferemraent par 1 uno ou 1 autre
dos deux integrations dont il s agit; ct dans los deux cas on obtiendra
generalomont Ics monies rosultats. Do memo, on pout appliquer a la
determination dos into gralos definios extraordinairos los precedes quo
nous avons employes pour determiner los integralos ordinaires. Sou-
vent, ii 1 aido do cos procodos, on parvienl a transformer I lino dans
I autre los deux ospeces d integrales dont il s agit, et Ton deduit
RELATIVES A LA THEORIE DES INTEG RALES, ETC. 5i5
quelquefois dc ces transformations des resullats digues do romarque.
Kclaircissons tout eooi par quolquos exemples.
PROBLEMS 1. -- Determiner la valeur de I integrate extraordinaire
(5) A==r
Solution. -- Soit. X lo plus grand nombro onlior compris dans a. Si
Ton difleronfio X + i fois par rapport a X- I oqualion (.;), on aura
D ailleurs, !o plus grand nnnihrc ontior compris dans a X ( hint xoro.
,.1-r. j. ( .
si Ton determine I integrale extraordinaire / - dx \\ I aidc dr
,./ n .7?" A
I equation (4), on frouvora X ~o ot, par suite,
/ " *, = r ^ c, x = o^i> .
J J?- " J X" * A- l+X-
On aura done
(6) ^=(-.,)^.(li=lf)
d/t^ ~ 7TT>,-r;r-
Si 1 on intogro X -f- i Ibis ccttc dornioro equation ]>ar rapport a /(-, en
determinant convenablement los constantos arln traires, on tronvcra
V-
-
On a done on general
(7)
Corollaire I. -- Soit /t = i, on aura simplemont
(8)
OKut ri-s tic C. S. II, t. I.
5Wi -ME MO I HE SUR 1)1 VERSES FOR MULES
Si dans cctte dermere equation on change a en <-z, on relrouvera la
i ormule connne
/*
/ x~ l e- x dj- T(<7)-
Coro/tairc. II. Si dans 1 equation (7) on fait /i --- s. el qne I On
remnlace Pi ---r?) par T > on aura
1(0-4-1) sm(a-+-i)7r
F(o -+- n sin (a + i)~ C " e~ s *
tffl v I v-/ -yi
7T J * a -
Si I .in prcnd la difference iinie m" "" tie chacun des membres de cette
dei iiiei e e(jualion I elalivenKMU a A\ on trnuvera
Lorsqu on suppose d<^ni, I equahon pre.cetle.nle coincide avec la Ibr-
mulr (u"") de M. Laplace.
PROKLKMK II. - Determiner les valeurs des integrates ertraordinaires
\ H / r^f djc,
-
7?""*"
* u v
Solution. Si Ton dilfercntie A 4- i ibis par rapport a / cbacune des
equations (10), A etant le plus grand n ombre entier compris dans a,
on (rouvera
cos-.r ,
flQ
on, ct 1 qui revient an ineme,
/ ~\rt ), I /, / \a--X 1
li*J l .i _ r(
RELATIVES A LA THEOIUE J)ES INTEG RALES, ETC. 5V7
Hn integrant ces dernieres equations A -f- i ibis de suile par rapport
a /", et determinant convenablement les constantes arhilraires, on
Ironvera
B- -^- -^ -T(-a),
2 y i
Corollaire, -- Si dans [ equation (i i) on changes en z et z en x, on aura
1 - cos. ^c
7
-a-i-l
r v - Si I). re
"
D ailleurs, si 1 on fait
t -- at c tain
les premiers membrcs des equations (12) deviendront respeetivciiiciil
el. comine, en supposanl X- o, on trouve t= ~, les equalions (12)
se reduiront, dans eette livpotliese, a
( 1 3 )
~ i / cosa,-. ,
-j^ - / dz
2 1 / Z a+l
a Cl ~
X a SIM-
sin, re
Si dans ces dernirres on remplace T(~ a) par tillli(fLil5 , on
en deduira facilement les deux Tommies suivantes
ft
(4)
/OH- I
cos - TT 4- ,r;
548 MEM 01 HE S U II I) I VERSES FOR. MULES
PROBL&ME III. -- Determiner le rapport des deux integrates
.r" e^* cos I - 2/fjr ) dx.
} J* \ 2 /
(io) | a
(i
Solution. - - Pour resoudre le probleme propose, il sutlil do trans
former los deux integrales ordinaires i) ot K on integrales oxtraordi
nairos. On a d abord
I) / x" cos - cos 2 /r x dx + / x a sin - sin 2 /.\r rfj:.
^0 -.
Si dans ootte equation on substituo pour
el
2
lours valours donnoos par les { ornnilos (i3), on li ouvora
Z etant une fonction do z determinee par I equation
/- /" K -^ < ?.kx *d r --**
Jo Jo
C x -K* -(k^-*}*
I e~- 1 cos ( 2 k H- z ) x dx = e v 2 .
t / 2
On aura done par suite
i /->/* _x-i_- 2
Considerons, en second lieu, 1 integraleE. Si dans eetlo derniere on
substituo a
RELATIVES A LA THEOR1E DES INTEGRALES, ETC. o/ii)
sa valeur tiree de la premiere des equations (12), on (rouvera
F l ( L e~ k - dz
^ Y ( \ / 7a+l
Z etant une r onction de z determinee par 1 equation
r* > *
r /l I -rl / 1C ""i
/ C S OC ** Ct^jC (*
On aura done en fin
Si maintenant on compare entre cllcs les equations (16) et (17 ), on
obtiendra ce resultat remarquable
(18)
On a done en general
(19)
Corollaire. -- Si dans 1 equation (19) on suppose a = X, A etant nn
nombro entier, on aura
/ an \
cos( - -zkx ) ( i ) 2 cos 2 A- ^
\ 2 /
si X est un nombre pair, et
sin
dans le cas contraire. Si dans la memo bypothese on developpe le
second mcmbre de 1 equation (18), et si Ton y remplace generalemenl
afi r"dx par illmiiLni! ,
550 MEMOIRE SUR DIVERSES FORMULES
on obtiendra los formulos suivantes :
i Si A ost i.m nomlii o pair,
-. i
A(A I) i X(X i)(X a)(X 3)
co> ?. ,-,
1.2
(20)
9." Si /, cst mi nombre impair,
1.2
PRORLEME IV. - - Determiner la valeur de I integrate extraordinaire
i
i a -+- i
COS -~ -4- 2 A
Solution. -- Si dans 1 equation (21) on romplaco
* C* - w
e?~- par / e~~ coszj?; dz,
on trouvora
122}
Z etant uno 1 unction do z determinee par 1 equation
, ,/X
a + i .
77 4- 2 ( A Z)X
D ai Hours, on vortu dos equations (i4) on a quollo quo soil la valeur
do z, pourvn seulement quo cotto valour suit positive,
I a -4- 1
COS I 71 -+- 2 ( A" -H 5 ) X
2
O.
En vorlu dos momos equations on a, pour dos valours do z infe-
riouros a k,
dx o ;
RELATIVES A L\ THEORIE DES IN TEG HALES, ETC. 551
et, pour do,s valours do - superieures a /,
cos
J k *"- iV + .j
Par suite la Ponction de s roprosentee par Z sera toujours nnlle cntre
les limites s o, z ~ k\ mais, entre les limites z _= k, z ----- cc, <dle
sera representee par
-(25_ 2 /t).
Cela pose, 1 equation (22) deviendi a
/ 4/ / ^ ^~
/ cos \ --7 71 - /.*
( O S ^ f /V T ~ /
rf * z rclTTT)./, ( ^
Application de la iheoric precedent 6 a la determination de la difference
/hue A ",v"; .v etanl negalif el <//;, el. les nombre.s a el in elan! Ires
considerables, Dials pea dij} ere.nl s I un de, Vautre.
Dans lo cas dont il s ai^it, la difference finie A ",v" rcnleniKM-a deux
especes de (ormes. Dans Ifs uus les quantites elevees a la puissance a
seront positives; dans les aulres ces merries quantites soron! negatives.
Soit, pour j)lus do commodite, s = -- s , n sorle <jiu> s represent uno
(fiiantite positive; et faisons en outre
I , i\ , " l , n
A ,-, ( in - s )"--( ni s i ) -t- -
2
. , m i /" ( m i )
A,.- = x " - - ( s i " -h - -i ( s
i r . 2
en excluantdc eliaque serif les puissances df (juantites negatives. On
aura
Ainsi. pour ohtenir la valeur de A V, il suflini de determiner sepaiv-
552 MEM 01 RE SUR J) I VERSES FOR MULES
ment chacune des quantites A /w _.^, A/; el comme on pent deduire la
seconde de la premiere par Ie simple changement de .v en in .v , (onto
la difficulte so Irouvera reduite a la determination de la seric designeo
par A,,,../. On pent d abord transformer cette serie en integrate definie
de la ma mere suivante :
Si Ton suppose successivemenl dans la seconde des equations (i 4-)
x in ,v , x m .v i , . . . ,
et dans la premiere
et si Ton y remplaee ensuile la variable z par x, on Irouvera
/
cos
I ft H- I
/ cos|- --r (in s \}x
J*
1 ( a -+- 1
/ \" -+- / / -1 <**
I COS - -77+(* -l)J7 -ZY =0,
(i L J ^
I
y.U-4-l
Si Ton multiplie rcspectivement ces diverses equations par les
coefficients du binome (j x- )"\ si on les ajoute ensuite, et si Ton
remplaee dans les premiers membres s par -- s, on obtiendra la
formule
/""A* /"+-
/ A " cos - -T: 5^7 \ dx
. ,. V 2 /
ni in (in i) r.
s Y- -(m 5 I)H-- - (m s a)"... = ^~
j 1.2 r(a-i-i)
On a d ai Hears
.... / a 4- 1 i
A " cos . - - 77 507 = 2" sin". 1 - ^ cos
2 2
RELATIVES A LA THEOKIE DES 1NTEGRALES, ETC. 553
Cela pose, la formule obtenue donnera
-- . ,, -
(26) A /; ,..,= -J sin "-. r cos -
Si dans cette dcrnicre equation Ton suppose a<^m, 1 integrale extra
ordinaire qu elle renlerme se changera en integrale ordinaire, et Ton
retrouvera evidemmenl la premiere des equations (34) de la pai<e 241.
Jl nous reste maintenant h deduire de I e.quation (2(0 la valeur
approcheo de A, w _/, dans le cas oil a et, w sont de tres Brands nomhres
pen differcnts Tun de I autre. Nous svipposerons de plus dans rette
recherche (jue -2s m est de I ordre de \//n, et nous f erons en eon-
sequence
(iela pose, si, dans I equation (26). on elian^e x en -2C, eelle equation
deviendra
a*"-" rc + o r /x . / + 1
(28) A,,,_, - - / sin" a?cos( -
Jo
et com me on a d ailleurs
on trouvera encore
I \ dx
T. -f- I m - X
Si dans cette derniere formule on change x en j-a?, on ohtiendra la
/){-
suivante
i\ r ( ff -i- 1 ) ( * ^-x* , s /^zL ;/ in[ :i . \ r/a?
i " l . N ^- , , 2 3 r *y a -.-w.i
.-// ^ "
/" /K r- (a m
I e~ x cos -
Jo V 2
(3<x)
a m 3
Of.nvrrs dc C. S. II. I. I.
554 MEM 01 RE SUH 1)1 VERSES FOU.MULES
La si 1 rio. rcnf ermee dans IP second meinbre dp [ equation prece-
dpnlc, plant ordonnee suivant IPS puissances ascendantes dp sera
m
trps convcrgpntp, si in psl un (res grand nombre; pi, par snitp, il
sui iira, dans eo cas, pom 1 determiner la valour approcbee dp \ m - s , dp
calcuJpi un petit nornbre d integrales dp la forme
COS
/i plan! un noinlii-p jjosilif. Lorsque dans colic (Icrnin-p intcgralp on
adopte IP signp suporipur relativemcnt a /c, olio dpvipnt ordinaire d
SP rpduit it
e~ cos - - - 6 2 r.x
.
Lorsqu on adoplc IP signp inforipur, pile rpslp pxtraordinairc. Mais.
dans co cas, on pcnl, au inoyon du problcnip IV, la transl onripr en
integralc ordinaire, p( Ton trouvc alors
(k + i I \ dx rr* (" ( A \ k
( - -7T + 6-/\c -r- - -- - / V" 6VJ e--
V 2 /O, ^ 1 I /-4-Ij,/ ,
D ailleurs, en supposant 1 intcgralo relative a z prise entre IPS
li miles z =o, s ==(-| r, on a
2 /
i y ff i \A-
: 6- r) a - dz I \ix 6 2 r) e~** dx
i
2 \ ^
Par suilo, si Ton lait, pour pour plus do commodile, z =-- (-) //, on
\ 2 /
RELATIVES A LA THE OR IE DES I NT EG K A LES , ETC. 535
trouvera
(3a)
TT -+- 6 2 ra
Corollaire I. -- Com mo on a en general
2,v m - /-/
on trouvera par suite
A, rt _, -- I {m rm
in ( m i )
-f- - - m rnr--
Cela pose, si Ton fait, pour abre.gcr.
(33
e~* cos -
-5-
- rx - - M,
i /r -"
la formule (3o) deviendra
34
Dans cettc formule on suppose les puissances tie quantites negatives
exc.lues de la serit 1
i \ m(m i)/ ,\
/-m- ay -h I w r/n s ^ J
1.2
Corotlaire 11. -- Si Ton vent appliqunr la fnnntile (34) aux diverscs
hypotheses dans lesquelles a est nn nombre enlier. il sulTira de calculer
556 MEMOIRE SUH J)I VERSES FORMULES
les di verses valours do M a <jui correspondent ;i dos valours entieres
positives ou negatives do I iiulice a. On y parvionl aisemout au nioyen
dos foniHiles (3i) ot (3a). En faisaiit successive-men t dans cos tbr-
m tiles
I q= /,-= y. 5, -4, -3, -2, -I, o, I, 2, 3, /), 5,
on trouvera
M
- s I
M_,
A f
(35) (
M
i
2
M,
I -\ r
in
M, =- -
<* o o I / r*
-: * i -r-3/-- / 6
e 2 r H i -
i
s ; .,,
tf . - dr ,
e dr
n-6r-i-3r*
\ 2 / - - .
- / e - dr .
J
(36)
RELATIVES A LA .THE OR IE J)ES INTEGRALES, ETC
Exemple I. ~- Soit a = m 2. La formule (3/j) donncra
-(,! / _ .>)" l ~ 2
I ^"*
i . y, . 3 . . . ( m 2 ) . 2 "
27T
2O /
Exemple JL -- Soil a = ?n i . La formulo (3/j) donnera
/ V"- 1 in ( i V"
V / mi j \ in nn~ 2 )
. 9. . 3 . . . ( /n i ) . 2
1 V 5/ 4
//- x
(i- 6 r*- -+- 3 / ) +
Exemple 111 . Soil /;?.. La fbniuilc (34) donnora
i . 2 . 3 . . . ni . 2 "
(38)
_!,
e 3 r// 1
20 m
Exemple IV. -- Soit a = m -+- \ . -- La formule (34) donnera
i\/+i m / 1 yii+i
rm- ) \ m rnr ?,/ H- . . .
(39)
I .3.3. . .(/M -h l).2 /M
-_3_
60 /
558 MEM01RE SUR Dl VERSES FORMULES
Exemple V. -- Soil a = m -t- 2. La Ibnnuie (3/0 donnora
in rm 2 / 4- . . .
T m
-rHMs M_, + ..
b \ om
|
- I - - a e
2 T. / O
r 3/ ?
-I i -
1 2
i / 3 V
c fir ) - re
\om \ 27T /
VI. Soil CA A 4- 3. La ibrmulc (3/i) (lonncra
>, . o . . .(/n . -t-
<? 2 //
Exemple VII. - Soil a m 4- /(. -- La i onnulc (3/j) doinicra
/ iy"- ji //i / ;-
\/)i nn - ) V m rm 2
4- . . .
I . 2 . 3 . . . (^ ill -i- 4 ) 2"
2 )
;>/;?
1
2 7T
6 r 2 4- 3 /
c/r
I O//J
ft 2 /
T /
Tt ^O
Si dans les :qualions (36), (3;), (38) ct (3()) on change / en r,
on obtiendra lesformulesdes [). 170 c( 171 du Calcui des probabitites (^\
C 1 ) (JEwrc* de Laplace, t. VII. p. 170. 1/4.
RELATIVES A LA THEORIE DES INTEGRATES, ETC. 559
Remarcjue, On pent cleduire aisement dc 1 equation (3i ) la valeur
de M_x, toutcs les fois quo A est un numb-re entier positif. Dans le
memo cas, la valeur do M>. est donnee par la formula
I integralc etant prise (Mitre les limites z - - ( - j /, z = cc. On a d aillenrs
entre ces memcs limites
"2.Z 6" / ) e~ zi dz
el, par suite, si Ton fait
on aura en con;
_
N), = 2 ( A 2 ) NX-O - 6 1 / i\X_ , .
Celapose, les valeurs generales do M^x et dc MX (X etant un nonihre
eriticr positif) se trouveront determinees }>ar les deux formules
a-*
(X i)g-2)(A 3)(A-4) i ._2 g-Oa ?.)
I .2
i. 2. 3. A
I .2
3)a 4) / i N
VD ! r)
/6\ / --/-
I - / , C -
W ^(!) i ,-
\ 2 ./
560 MEM01RE SHU DIVEHSES FORMULES
Probleme. -- On demande la valour approohee do la serie
in >n (in i )
( i) ( in s 1 )" (m s 1 - i )"-+- - (m s 1 a) . . . = A /rt _,-,
t I 1.2
do laquollo on suppose exclues Jos puissances dcs quantites negatives;
a el m elan! do Ires grands nombrcs superieursa; , etmetantinfericur
Solution. Nous avons donne [ expression do la sorie (i) an mo yon
(Tune inleuTale delinie (jui I onl ermo uno constante arbitrairc k dont
on pen! disposer a volonte. L integrale donl il s aj^it es(
cus.r
cos [(a -+- i)l -h .v -r
/ et r etant detormines par los deux equations
(3)
= iirc tan
r^ arc tarn
II no resto plus inainlenant qn a delerininer, an moins pour line
valour particuliere do X , la valour approchee do cetlo integrale.
Faisons, pour abregor,
P =
c >. e cos x -f- i ) -
O - (a -Hi)f + .v j? /;?(;
[ integrale proposee devicndra
(5) ^ P cos O d.r.
< (i
Ici la fonction sous le signo / ost composee do deux lactours, donl
RELATIVES V LA THEORIE D ES I NT KG RALES, ETC. 501
I mi, designc par P, roste (oujours positif, el dont Fautro, dosigne
par cosO, ost, pour des valours croissantes do.r, alternativemenl po
sit if ot negatif.
La fonction P a plusieurs maxima of minima <]iii correspondent aux
divtM scs valours do ,r determinees [>ar [ equation
Lo premier maximum correspond a x o; ot. sa valour (juo nous
designerons par M ost
( C /._ I)WI
~~^T-
Pour ohaeun dos aulros maxima, la valour do P poul so mollro sous
la for mo suivaulo
(8) p== /me
I / \ a.
D aillcars, commo, pour uue valour dc x difloreulo do /oro, on a
toiijours, abstraction failo du siguo,
s n x
\\ on resulto quo ehacune dos valours do P dctormiuoos par l o(| na
tion (8) sera inforiouro li
(>t, par suite, a
En consequence, la valour do -^ sera toujours infericure ii
OEnvrc* dc. C. S. II. t. I.
502 ME MO IRE S U H 1)1 VERSES FOR MULES
D aillcurs on a, quolle quc soil la valour do /,
On aura done aussi
k /,-
k < c- e -.
P<M,
quolle quo soit la valour quo Ton donno a x-, poumi quo eelto valour-
no soit pas iiullo. En fin a; co donno P = o. Si done on fail varier x
entro les (unites x = o, j? =^ cc, la fonction P obticndra uno sorio do
valours qui soront coinpi isos ontro los limitos oxtromos P = M, P = o.
Par suito, si Ton fait
(9)
P - AL
la valour do ^ sora (oujours roollo ot comprise ontro Its limitos r = o.
Si Ton d< >sii;ne par u. uno quantito du niomo ordro (juo in ot a, ot si
Ton fait, pour ahrogor.
A,u,
on tirora do 1 equation (9), japres y avoir romis pour P sa valour,
d oii Ton conclura par lo rotour dos series
12)
dx-
A - /
3B
dz.
RELATIVES A LA THEOR1E J)ES J N TEG RALES, ETC. 563
Pour dos valours do z pen considerables, Ics series renfermees dans
los seconds moinbres dos equations (12) soront tros convergcnles, an
moms dans los premiers tonnes. D aillours, pour do grandes valours
de -, la valour do P determinec par [ equation (9) sera sonsiblonionf
nulle. On pourra done, sans nul inconvenient, snpposer, dans I inlo-
grale
r
cosO dx,
ol s arretor dans le second membre anx premiers torinos do la serio
HB; 2
i _ i_
-(.,..
II nous rosto a developper, s il ost possible, suivanl los puissances
ascendaulos do c, ot en uno serie qui soitconvergente pour dos valours
do z pou considerables, la fonction designec par
cosQ.
Pour (ju on puisse effectuer eo dovoloppement do maniere a romplii-
les conditions exigees, - conservant d aillours uno valour arbitraire,
il ost necessairo quo la i onction Q soit, pour dos valours do z pe.n con
siderables, une quantito fort petite. Or, si Ton fait, pour abreger,
(i4)
3A- 3 3(1 e->>y- \2 i e
la valour do Q, doveloppee suivant los puissance s aseendantes de -r,
56i MEMOIR E SCR I) 1 VERSES FORMULES
sera
of, par suite, IP premier forme du developpcment do O suivanl lo
puissances ascendantes do ^ sera
c i
T _i^
A 1
( e [ireniicr lei ine aura done, en general, une valeur tres eonside-
i
rable, el sera do Pordre do [Ji 2 , a inoins quo Ton no determine la con-
st.anto arbitrairc / do manioro (ju(> (] dcvicnnr une (fiianlite tres polite
d nn ordro suporieur a eelui do
Parmi les divorsos manieros do romplir ootlo condition, nous elioi
sirons la |.)lus simple, (|ni oonsisto a iaire
on. oo qui revienl an memo, a determiner/- par Inequation
/ r\ a-h i m
1 6) hs - = o.
/ i e~"
On a, dans ootto hypolhese,
A^ p.*
W
COS (J = I - ^ 5 G -f- . . . .
3 A 3 p
La derniere dos equations (17), jointe a I equation (i3), donno
- -
A 2 a 2
M / 5 -
(18) FcosQrfo; j r ( i -+- - - + . . .
- - \ o A * * j /
2 2 ^ ^
RELATIVES A LA THEOR1E DES INTEGRALES, ETC. 565
On a d ailleurs
On aura done, par suite,
/ *
(19) /
k-ifa r_
4 t
1 2 AH 1 5 l) s
,
9, A. j(JL
Si Ton substitue la valour precedonle de / 1^ eosQ dx dans Ja valour
"0
dc A,,,./ donnee par 1 equation (3i) tin M(Mnoiro, et si Ton remplaee
F(rt + i) / x a e~ x dx
J t\
par
nn trouvora
a 2 <;--"( 2 T:) 2 ( i -f-
(20)
Ma -<
- 14-
(2A }
raAB i5D s i
i-H - - 4- - -+...).
Corollaire 1. - Si dans Jo second inenibre do I equation (20) on
supposes negalif cl. ogal a .v, on aura
L equation (20) doviondra done alors
Dans lo memo eas, l e(| nation (r(J), qui detonnino la valour de /-
506 MEM 01 HE SUB 1)1 VERSES FOK MULES
deviendra
_ o.
Quant aux valours do A, B, 1), olios soronl toujours deterniinees par
los equations (10) ot (ij)-
On pourraitobtenir immediatement la formule (21) (.MI appliquant ;i
I equalion (-20) do la p. ,K>4 Ics monies raisonncments quo nous avons
employes pour deduiro la formulp ( 20) do [ equation (3i). Au reste,
on doit observer quo la formulc (21), telle qu on vient do la donnor,
coincide parfaitement avec 1 equation (u. ) de M. Laplace.
Coroliaire 11. - La fbrmule (20) suppose qu on puisse toujours
tirer do l equaliT)n (16) lino valour positive do L Cost ce dont il est
facile de s assurer. Hn e(f et, si dans 1 equalion (i(>) on snpposo k tres
petit, le premier memlire sera positif et egal !i
a -r- i - - tn
et, si Ton suppose /. infini, ce premier irnMnbre deviendra negatiC el
e.gal a
-(m tf).
11 y a done entre les li mites o et cc vine valour de k qui rend le pre
mier monibre de 1 equatinn (iG) egal a zero. II serait d ailleurs facile
do prouver que cette valour est unique.
Pour que la for mule (20) puisse etre employee, il est necessaire
que la quantite k, determinee par 1 equation (16), ait uno valour sen
sible, ce qui exige quo
a ~- i in
ne soitpas fort petit relativement a
RELATIVES A LA THEORIE DKS LNTEGRALES, ETC. 367
Si Ton suppose, par exemple,
m i /
H r\Jni.
2 2 v .
il f audra, pour quo Ton puissc i airo usage <le la fonnulc (20), que la
difference a in so it d un ordre ecjal on superieur a eelui do \/m.
OF THE
( UNIVERSITY
KIN DU TO.MK I DK LA SECONUE SfcltlE.
TABLE DES MATIERES
OU TOME PREMIER.
SECONDS SER1E.
MEMOIRES DIVERS ET OUVRAGES.
I. - MEMOIRES PUHLIES DANS DIVERS RKCLEILS
AUTRES CUE CEUX DE L ACADE.MIE.
MEMOIRES EXTRAITS DU JOURNAL DE L ECOLE POLYTECHNIQ1IE .
I ages
Rechcrches sur les polycdres (Premier Memoire)
Sur les polygones et les polyedrcs (Second Memoirc) .
Recherchcs sur les nombres. .
Memoirc sur lc nombre cles valeurs qu une fonclion pent acquerir lorsqu on y per
mute de toutes les manieres possibles les quanlites qu elle re n for me ..........
Memoire sur les fonctions qui ne pcuvont oblenir quo deux valeurs egales cl de
signes contraires par suite des transpositions operees entre les variables qu ellcs
renferment ............................................................ in
Memoire sur la determination du nombre des racines reelles dans les equations
algebriques ............................................................ 170
Sur les racines imaginaires des equations ...................................... 3 .5 8
M6moire sur une espece particuliero du mouvement des fluides .................. v>.64
Memoire sur 1 intcgration des equations lineaires aux difTerentiellcs parlielles et a
coefficients constants .................................................... \>-j
Mcmoire sur le systemc de valeurs qu il faut attribucr a divers elements determines
OF.uvres de C. S. II, t. I. 7 2
570 TAKLE DES MAT IE RES.
I as;cs
par un grand nombre d observalions, pour que la plus grande de toules les
erreurs, abstraction faile du signe, devienne un maximum 358
Memoirc sur I intcgration d unc corlaine classe d equationsaux differences partielles
et sur les phenomenes doni cettc integration fait connaitre les lois dans les
questions do Physique matheinatiffue .jo3
Calcul des indices des functions ,. i i(i
.Memoire sur diverscs formules relatives a la theoric des integrales definies et sur
la conversion des differences finies des puissances en integrales de ccttc
espece U>7
FIX 01: LA TVULK ui-;s MATIKKKS DU TO.MK i me LA SECONDS SI-:KIK.
3375^ Paris. Impriinerie GAUTHIER-VILLAUS, quai des Grand9-4ugustins, 5-5;
N/
FORM NO. DD 3, I 3m 6
/ 6 76
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