Full text of "Œuvres complètes d'Augustin Cauchy"

See other formats

He 
a 
RE 72 
care, 

à 


























PRE EN ci L Ni 

NAT i TR 
PRE Pie, CHENE 
HART RSR 


Rae so 








ta 
EEE 
He 1 4 
FrVh: 
foires 
: k 





LAPS 
se: 












































toute Fi 
RD OMR TION BORNE à 
RE Et OPEN de 
4 RRAEN EU 
CHRre at 














ER 
ns 


ï 
HT 
ë 








“ 
se 


LAN 
* 


MAUR 
HUB E 
FRE 


A RATES 
ÉEN AT EE 
HÉNMEZE 


k 





= dt 
ie 


4 


E te 













































































































































































































































































pe Sn ve 


Cf # # À 
d à é Po Ne) 
mt 
wef 




















STAT. 
LIBRABY 











ŒUVRES 


COMPLÈTES 


AUGUSTIN CAUC 


PUBLIÉES SOUS LA DIRECTION SCIENTIFIQUE 


DE L’'ACADÉMIE DES SCIENCES 


DE M. LE MINISTRE DE L’INSTRUCTION PUBLIQUE. 





II SÉRIE. — TOME 1. 





PARIS, 
GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE 


DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L ÉCOLE*POLYTECHNIQUE, 


Quai des Augustins, 59. 


MCMWV. 





ŒUVRES 


D'AUGENSTEN CAU CIN 





PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS. 


Sas Quai des Augustins. 55. 





ŒUVRES 


COMPLÈTES 


D'AUGUSTE 


PUBLIÉES SOUS LA DIRECTION SCIENTIFIQUE 





LCI 


DE. L'ACADÉMIE DES SCIENCES 





ET SOUS LES AUSPICES 


DE M. LE MINISTRE DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE. 


DÉS CHU 






RAR 
/4 crane De ON 
UNIVERSITY | 


OF L 
CALIFORNIE 


PARIS, 


GAUTHIER-VIELARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE 


DU BUREAU DES LONGITUDES,.DE L'ÉCOLE ROLVNDECHNIQUE, 


Quai des Augusiins, 55. L 


MCMV. 


REPL. QA30 
(3 
MATH 


In compliance with current copyright law, 
U.C. Librarv Bindery produced this replacement volume on 
paper that meets the ANSI Standard Z39.48-1984 to replace 
the irreparablr deteriorated original. 


22 











SECONDE SÉRIE. 





[L. -— MÉMOIRES PUBLIÉS DANS DIVERS RECUEILS 


AUTRES QUE CEUX DE L'ACADÉMIE. 
1 OUVRAGES CESSSIOQUES. 
III. —— MÉMOIRES PUBLIÉS EN CORPS D'OUVRAGE. 


IV. — MÉMOIRES PUBLIÉS SÉPARÉMENT. 


OEuvres de C. — S. H,t.f. 





- . 
L 





MEMOIRE 
PUBLIÉS DANS 


DIVERS RECUEILS AUTRES QUE CEUX DE L'ACADEMIE. 




















MÉMOIRES 


EXTRAITS DU 


JOURNAL DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE. 






































RECHERCHES 
SUR LES POLYÉDRES. 


PREMIER MÉMOIRE ©. nt 


Journal de l'École Polytechnique, XVE Cahier, Tome IX, p. 68: 1813. 


. Le Mémoire que j'ai l'honneur de soumettre à la Classe contient 
diverses recherches sur la Géométrie des solides. La première Partie 
offre la solution de la question proposée par M. Poinsot, sur le nombre 
des polyèdres réguliers que l'on peut construire; la seconde Partie 
renferme la démonstration d’un théorème nouveau sur les polvèdres en 


4 / 


général. 


« 


PREMIÈRE PARTIE. 


M. Poinsot, dans son Wemoure sur les poly gones et les polyedres, après 
avoir donné la description de quatre polyèdres d'une espèce supérieure 
à celle que l’on a coutume de considérer, pose la question suivante : 
« Est-il impossible qu'il existe des polvèdres réguliers dont le nombre 
de faces ne serait pas un de ceux-c1, 4, 6, 8, 12, 20? Voilà, ajoute-t-il, 
une question qui mériterait d'être approfondie, et qu'il ne paraît pas 


facile de résoudre en toute rigueur. » 


(1) Lu à la première Classe de FTastitut, en février 1811, par A.-L. Caucuy, Ingénieur 


des Ponts et Chaussées. 


8 RECHERCHES SUR LES POLYÉDRES. 

[est vrai que la diversité des méthodes dont M. Poinsot s'est servi 
pour faire dériver les trois nouveaux dodécaëdres, et le nouvel 1co- 
saèdre du dodécaëdre et de licosaèdre ordinaire, laisse en doute la 
possibilité de résoudre la question précédente; mais, en généralisant 
quelques principes renfermés dans le Mémoire même de M. Poinsot, on 
parvient à faire dériver les polyèdres réguliers d'espèces supérieures de 
ceux de première espèce, par une méthode simple et analytique qui 
conduit immédiatement à la solution de la question proposée. 

Il est facile de voir, et M. Poinsot en a fait l'observation, n° 15 de 
son Mémoire, qu'on peut former tous les polygones réguliers d'espèces 
supérieures, en prolongeant les côtés des polygones réguliers de pre- 
mière espece. 

Les polyèdres réguliers d'espèces supérieures dérivent d'une manière 
analogue des polvèdres réguliers de première espèce, et lon peut 
former tous les nouveaux polyèdres réguliers en prolongeant les arêtes 
ou les faces des polyèdres réguliers déjà connus. 

Ainsi, par exemple, en prolongeant dans le dodécaëdre ordinaire les 
arêtes qui forment les côtés des douze pentagones, on obtient le dodé- 
caëdre étoilé de seconde espèce. 

Si, dans le dodécaèdre ordinaire, on prolonge le plan qui contient 
chaque face jusqu'à la simple rencontre des plans des cinq faces qui 
entourent la face opposée, on obtiendra le dodécaëdre de troisième 
espèce, compris comme le dodécaèdre ordinaire sous des pentagones 
de premiére espèce. 

Enfin, si l'on prolonge les arêtes qui, dans le dodécaëdre de la troi- 
sième espèce, forment les côtés des douze pentagones, on obtiendra 
le dodécaëdre de quatrième espèce. 

On obtiendra l’icosaèdre de septième espèce en prolongeant chaque 
face de licosaèdre ordinaire jusqu'à la rencontre des plans des trois 
triangles qui entourent la face opposée à celle que l’on considère. 

Ce que nous venons d'observer relativement aux quatre polyèdres 
d'espèces supérieures a lieu en général, c’est-à-dire qu'on ne pourra 


construire des polyèdres réguliers d'espèces supérieures qu'autant 


RECHERCHES SUR LES POLYÉDRES. | ) 


qu'ils résulteront du prolongement des faces ou des arêtes de polvèdres 
réguliers de même ordre et de première espèce. 

En effet, supposons que l'on soit parvenu d'une manière quelconque 
à construire un polyèdre régulier d'espèce supérieure. Transportons- 
nous par la pensée au centre de la sphère inscrite. Les plans qui com- 
prennent les différentes faces du polyèdre présenteront à l'œil de l'ob- 
servateur placé à ce centre la forme d’un polyèdre convexe de première 
espèce, qui servira comme de noyau au polyèdre donné d'espèce supé- 
ricure. Je dis, de plus, que la régularité du polyèdre d'espèce supé- 
rieure entraine nécessairement la régularité du polvèdre de premicre 
espèce qui lui sert de novau. 

Pour le prouver, revenons à la définition des polyèdres réguliers. Un 
polvèdre NA d'une espèce quelconque est celui qui est formé par 
des polygones égaux et réguliers, également inelinés l'an sur l'autre, 
et assemblés en même nombre autour de chaque sommet. I suit de 
cette définition que, si l’on construit un second polyédre  . ésal 
au premier, et que l’on désigne par des numéros r, 2, 3, 4, ... les 
faces correspondantes des deux polyèdres, on pourra faire coincider le 
second polyèdre avec le premier, en placant l'une quelconque des faces 
du second sur une face déterminée, par exemple sur la face n° 1 du pre- 
mier, et en commençant par faire coincider dans ces deux faces deux 
quelconques de leurs arêtes. Réciproquement, si deux polvèdres égaux 
satisfont à la condition précédente, on pourra en conclure avec sûreté 
qu'ils sont réguliers : car, puisqu'on pourra faire alors coincider cha- 
cune des faces du second avec une face déterminée du premier, en com- 
mençant par faire coincider deux arêtes quelconques de ces deux faces, 
il s’ensuivra que les différentes faces sont des polygones égaux et régu- 
liers; et puisque, en faisant coincider deux faces quelconques prises à 
volonté, on fait coincider toutes les autres, on en conelura que les dif- 
férents angles dièdres sont égaux, ou, ce qui revient au même, que les 
faces sont également inclinées l’une sur l'autre, et assemblées en même 
nombre autour de chaque sommet. 

Cela posé, considérons un polyèdre régulier d'espèce supérieure, 


OEuvres de C. — S. I, t. I. 2 


10 RECHERCHES SUR LES POLYÉDRES. 

avant pour noyau un polyèdre de première espèce et de même ordre, 
dont la régularité n’est pas encore démontrée. Construisez un second 
polvèdre d'espèce supérieure égal au premier; vous construirez en 
même temps un second polvèdre de première espèce égal à celui qui 
formait Le noyau du polyèdre régulier donné; désignez maintenant par 
des numéros 1,2, 3, ... les différentes faces correspondantes des deux 
polvèdres d'espèce supérieure, et par les mêmes numéros 1, 2, 3, ... 
les faces des polyvèdres de première espèce qui sont renfermées dans Îles 
mêmes plans que les faces affectées de ces numéros dans les polyèdres 
d'espèce supérieure. De quelque manière que vous fassiez coïncider les 
deux polvèdres d'espèce supérieure, les deux polvèdres de première 
espèce, compris sous les mêmes faces, coincideront aussi; et comme 
l’on peut faire coincider les deux polyèdres réguliers d’espèce supé- 
rieure, en plaçant une face quelconque du second sur une face déter- 
minée du premier, 1} s'ensuit qu'on peut faire coincider de la même 
maniere les deux polyèdres de première espèce. Par suite, les diffé- 
rentes faces des deux polyèdres de première espèce sont toutes égales 
entre elles, également inclinées l’une sur l'autre, et assemblées en 
même nombre autour de chaque sommet. 

Il nous reste à prouver que les différentes faces de chaque polvèdre 
de première espèce sont des polvgones réguliers. Pour y parvenir 1l 
suffit d'observer que, si l'on fait coincider d'une manière quelconque 
une des faces du second polyèdre d'espèce supérieure avec une face 
déterminée du premier polyèdre de même espèce, les deux faces qui 
portent les mêmes numéros dans les polvèdres de première espèce 
coincideront aussi : or, supposons que le nombre des côtés de chaque 
face soit égal à 7 dans les deux polyèdres d'espèce supérieure. Il y 
aura 2 manières différentes d'opérer la coincidence de deux faces de 
ces polyèdres; et par suite, il y aura aussi 2 manières d'opérer la coin- 
cidence des faces correspondantes des deux polyèdres de première 
espèce. Or, on ne peut satisfaire à cette condition qu’en supposant les 
faces des polyèdres de première espèce égales ou à des polygones 
réguliers de l'ordre x, où à des polygones semi-réguliers d’un ordre au 


RECHERCHES SUR LES POLYÉDRES. il 
moins égal à 22; d’ailleurs, il est facile de voir que ce dernier cas ne 
peut exister : car, comme on ne peut supposer x = 2, il faudrait que 
l’on eût au moins 22 — G: et, dans ce cas, on aurait des polvèdres de 
première espèce, dont toutes les faces auraient au moins six cotés, ce 
qui est impossible. | | 

[est done prouvé maintenant que dans un ordre quelconque on ne 
peut construire de polyèdres réguliers d'une espèce supérieure, qu'au- 
tant qu'ils résultent du prolongement des arêtes ou des faces des 
polyèdres réguliers de même ordre et de première espece qui leur 
servent de novau; et que, dans chaque ordre, les faces des polyèdres 
d'espèces supérieures doivent avoir le même nombre de côtés que 
celles des polvèdres de première espèce. 

I suit d'abord, de ce qui précède, que, comme il n'y a que cinq 
ordres de polvèdres qui fournissent des polyèdres réguliers de première 
espèce, on ne peut chercher que dans ces cinq ordres des polyèdres 
réguliers d'espèce supérieure. Ainsi tous les polyèdres réguliers, de 
quelque espèce qu'ils soient, doivent être des tétraèdres, des hexaëèdres, 
des octaèdres, des dodécaëdres, ou des icosaèdres. De plus, tous les 
tétraèdres, octaèdres et icosatdres, de quelque espèce qu'ils soient, 
doivent avoir pour faces des triangles équilatéraux, les hexaèdres des 
carrés, les dodécaèdres des pentagones réguliers de première ou de 
seconde espèce. Voyons maintenant combien chaque ordre renferme 
d'espèces différentes. 

Afin de répandre plus de jour sur cette discussion, j’observerai : 

1° Qu'on ne peut, des polvèdres réguliers de première espèce, 
déduire des polvèdres réguliers d'espèces supérieures qu’en prolon- 
geant les arêtes des faces déjà existantes, ou en formant de nouvelles 
faces ; 

2° Que le dodécaëdre est le seul polyèdre régulier duquel on puisse 
obtenir des espèces différentes, en prolongeant les arêtes des faces, 
parce qu'il existe deux espèces de pentagones, tandis qu'il n'existe 
qu'une espèce de triangle et une espèce de carré; 


3° Que, dans le cas où l’on forme de nouvelles faces, on ne peut les 


12 RECHERCHES SUR LES POLYÉDRES. 


obtenir qu'en prolongeant chacune des faces du polvèdre de première 
espèce jusqu'à la rencontre de plans qui comprennent des faces non 
voisines de celle que l’on considère ; 
4% Que ces dernières doivent être en nombre égal à celui des faces 
voisines de celle que l'on considère, ct avoir toutes sur celle-ci et entre 
elles une égale inclinaison. 

Dans le tétraèdre, chacune des quatre faces est voisine des trois 
autres, d'où il suit qu'on ne peut obtenir de nouvelles faces en prolon- 
geant celles qui existent: il n'y a donc qu'un seul tétraèdre, celui de 
première espèce. 

Dans lhexaèdre, les faces qui ne sont pas voisines sont parallèles et, 
par conséquent, ne peuvent se rencontrer : 1E.n°y a donc ausst qu'un 
hexaèdre, celui de première espèce. 

L'octaèdre ordinaire peut être considéré comme formé par deux faces 
opposées et comprises dans des plans parallèles, dont chacune est 
avoisinée par {rois autres faces également inclinées sur elle et sur son 
opposée. Si done on peut espérer de former un nouvel octaèdre régulier, 
ce ne peut être qu'en prolongeant jusqu’à la rencontre de chacune des 
faces les plans qui contiennent les trois faces voisines de celle qui lui 
est opposée : or cette construction, au lieu de donner un octaèdre 
régulier d'espéce supérieure, donne un solide double formé par deux 
tétraèdres qui se traversent mutuellement. C'est ainsi qu'en prolongeant 
les côtés de l'hexagone ordinaire on obtient deux triangles équilaté- 
raux en croix lun sur l'autre, au lieu d’un hexagone de seconde espèce. 

Si, dans le dodécaèdre ordinaire, on prolonge les côtés des douze 
_pentagones, on aura, ainsi que M. Poinsot l’a observé, un dodécaèdre 
régulier de deuxième espèce. | 

Pour obtenir d'autres dodécaèdres, il faut trouver le moyen de pro- 
longer, jusqu'à la rencontre de chaque face du dodécaèdre ordinaire, 
cinq faces non voisines et également inclinées sur elle. Or, le dodécatdre 
ordinaire peut être considéré comme formé de deux faces opposées 
situées dans des plans parallèles, et dont chacune est avoisinée par cinq 
autres faces également inclinées sur elle et sur son opposée. Si donc on 


RECHERCHES SUR LES POLYÉDRES. 13 


peut construire d’autres dodécaëdres que ceux décrits ci-dessus, ce ne 
peut être qu’en prolongeant chaque face du dodécaèdre ordinaire jus- 
qu’à la rencontre-des plans qui contiennent les cinq voisines de la face 
opposée. Les intersections de ces cinq plans avec la face que l’on consi- 
dère forment deux pentagones réguliers, lun de première et l'autre de 
seconde espèce. Ces deux pentagones représentent les faces des dodé- 
caëdres réguliers de troisième et de quatrième espèce. 

Dans l’icosaèdre ordinaire, en choisissant pour base une des faces 
prise à volonté, on trouve, comme dans les trois ordres précédents, une 
autre face opposée et située dans un plan parallèle. Si lon classe Les 
triangles compris entre ces deux faces par séries, en renfermant dans 
une même série ceux qui sont également inclinés sur la base, ou, ce 
qui revient au même, sur la face opposée, on trouvera que les dix-huit 
triangles restant forment quatre séries, savoir : 

1° Une série de trois triangles voisins de la base ; 

2° Une série de trois triangles voisins de la face opposée: 

3° Une série de six triangles, dont chacun n'a qu'un sommet de 
commun avec la base; 

4° Une série de six triangles, dont chacun n'a qu'un sommet de 
commun avec la face opposée. 

Désignons les triangles de la troisième et de la quatrième série par 
des numéros 1, 2, 3, 4, 5,6; en sorte que deux numéros consécutifs 
indiquent deux triangles qui se touchent par une arêle où par un 
sommet. La base d’un nouvel icosaèdre régulier ne pourra être formée 
que par l'intersection de la base de l'icosaèdre donné avec trois triangles 
de la même série, également inclinés l’un sur l’autre. Cela posé, 1lest 
facile de voir qu'on ne peut espérer d'obtenir la base d'un nouvel 
icosaèdre que de cinq manières, savoir, en prolongeant, jusqu'à la 
rencontre du plan de la base donnée : 

1° Les plans qui contiennent les trois triangles de la deuxième 
série ; 

> Les plans qui contiennent les triangles 1, 5, 5 de la troisième 


SÉTIE ; 


1h RECHERCHES SUR LES POLYÈDRES. 

3° Les plans qui contiennent les triangles 2, 4, 6 de la troisième série: 

4° Les plans qui contiennent les triangles 1, 3, 5 de la quatrième 
SÉTLE ; 

5° Les plans qui contiennent les triangles 2, 4, 6 de la quatrième 
série. | 

Si l’on étend de proche en proche les cinq constructions précédentes 
aux différentes faces de l'icosaèdre ordinaire, on obtiendra les résultats 
suivants : 

1° En suivant la première construction, on passera sur toutes Îles 
faces, et l'on obtiendra l'icosaèdre de septième espèce, décrit par 
M. Poinsot; 

29 En suivant la deuxième ou la troisième construction, on ne 
passera que sur huit faces, et lon obtiendra simplement un octaèdre 
régulier de première espèce : 

3° En suivant la quatrième et la cinquième construction, on ne 
passera que sur quatre faces, et lon formera simplement un tétraëdre 
régulier. | 

Il suit, de ce qu'on vient de dire, qu'on ne peut former d’autres 
polvèdres réguliers d'espèces supérieures que Îles quatre décrits par 
M. Poinsot. 

La théorie précédente fournit encore le moyen de calculer l'angle 
compris entre deux faces quelconques d'un polyèdre régulier, lorsqu'on 
connait les angles formés par les faces adjacentes dans le tétraèdre, le 
dodécaèdre et licosaèdre de première espèce. 

En effet, soient &, 6, + ces trois angles; 

L'angle compris entre deux faces du tétraèdre sera toujours «. 

Dans l’hexaëdre, deux faces adjacentes se coupent à angle droit, deux 
faces non adjacentes sont parallèles. 

Dans l’octaëdre, les faces sont parallèles deux à deux. L'angle com- 


pris entre deux faces non parallèles est représenté par 
T — © 


quand les deux faces sont adjacentes, et par & quand elles ne le sont pas. 


RECHERCHES SUR LES POLYÉDRES. 415 


Dans le dodécaëdre, les faces sont parallèles deux à deux. L'angle 
compris entre deux faces non parallèles est représenté par $ quand les 
deux faces sont adjacentes, et par 


quand elles ne le sont pas. 
Dans l’icosaèdre, les faces sont encore parallèles deux à deux. L'angle 
compris entre une face et les faces voisines étant y, l'angle compris 


entre la même face et celles qui avoisinent la face opposée sera 


_R— y; 


enfin, l'angle compris entre deux faces, dont l'une n’est pas adjacente 


à l’autre ni à la face opposée, sera représenté où par & où par 


TC 


et (0.20 


SECONDE PARTIE. 


suler a déterminé le premier, dans les Mémoires de Pétersbourg, 
année 1758, la relation qui existe entre les différents éléments qui 
composent la surface d'un polvèdre; et M. Legendre, dans ses Éléments 
de Géométrie, à démontré d'une manière beaucoup plus simple le théo- 
rème d'Euler, par la considération des polygones sphériques. Ayant 
été conduit par quelques recherches à une nouvelle démonstration de 
ce théorème, Je suis parvenu à un théorème plus général que celui 


d'Euler et dont voici l'énoncé : 


TaéorèmME. — St l’on décompose un polyédre en tant d'autres que l’on 
voudra, en prenant à volonté dans l'intérieur de nouveaux sommets ; que 
l’on représente par P le nombre des nouveaux polyèdres ainsi formes, 
par S le nombre total des sommets, y compris ceux du premuer polyedre, 
par F le nombre total des faces, et par À le nombre total des arêtes, on 


aura 


(1) Seed Pier 


16 RECHERCHES SUR LES POLYÉDRES. 
c'est-a-dire que la somme faue du nombre des sommets et de celui des 
faces surpassera d'une unité la somme faite du nombre des arêtes et de 


celui des pol ycdres. 


Iest facile de voir que le théorème d'Euler est un cas particulier du 
théorème précédent; car, si lon suppose tous les polyèdres réduits à 
un seul, on aura 

FE — 1, 


et l'équation (1) se réduira à celle-ci 


(2) S+F— A+. 


« 


On déduit encore de l'équation (1) un second théorème relatif à la 
Géométrie plane: car si lon suppose que, tous les polyèdres étant réduits 
à un seul, on détruise ce dernier en prenant une de ses faces pour base, 
et transportant sur cette face tous les autres sommets sans changer leur 
nombre, on obtiendra une figure plane composée de plusieurs polv- 
sones repfermés dans un contour donné. 

Soient : 

F le nombre de ces polvgones; 
S le nombre de leurs sommets; 


A celui de leurs côtés : 


on obtiendra la relation qui existe entre ces trois nombres en faisant, 


dans la formule générale, P = o, et l’on aura alors 


SRE A 


(ai) 
sr 


d'où l’on conclut que la somme faite du nombre des polygones et de 
celui des sommets surpasse d’une unité le nombre des droites qui 
forment les contours de ces polygones. Ce dernier théorème est, dans 
la Géométrie plane, Péquivalent du théorème général dans la Géométrie 
des polyèdres. 

Nous pourrions démontrer immédiatement le théorème général ren- 
fermé dans l'équation (1), et en déduire comme corollaires les deux 


autres théorèmes. Mais, afin de faire mieux connaitre l'esprit de cette 


RECHERCHES SUR LES POLYÉDRES. 17 


démonstration, nous allons commencer par démontrer d’une manière 
analogue le dernier théorème renfermé dans l'équation (3). 

Il est d'abord facile de faire, dans les divers cas particuliers, l'appli- 
cation de ce théorème. | 

Supposons, par exemple, que le contour donné soit le périmètre d'un 
triangle, que l'on prenne un point dans l'intérieur, et que de ce point 
aux trois sommets on mène trois droites, on formera trois triangles 
dans le contour donné. Ces trois triangles fourniront quatre sommets, 
et le nombre des droites qui forment leurs côtés sera égal à 6 : or 6, 
augmenté de l'unité, donne la même somme que 4 + 3, ce qui vérifie le 
théorème. 

Supposons, en second lieu, que le contour donné soit un quadri- 
latère, que l’on prenne un point dans l’intérieur, et que de ce point aux 
quatre sommets on mène quatre droites, on formera quatre triangles 
dans le contour donné. Ces quatre triangles fourniront cinq sommets 


et huit côtés : or 


ce qui vérifie le théorème. 

Supposons enfin que le contour donné soit un polygone de 7 côtés, 
et que l'on prenne dans l’intérieur un point que l’on joigne aux x som- 
mets du polygone par 2 droites. Les x triangles que l'on formera par ce 
moyen fourniront un nombre de sommets égal à 2 +1, et un nombre 
de côtés égal à 22 : or 27, augmenté de l'unité, est égal à la somme 
faite de x et de 2 + 1, ce qui vérifie le théorème. 

Passons maintenant au cas général, et supposons un nombre F de 
polygones renfermés dans un contour donné. Soient S le nombre des 
sommets de ces polygones, et À le nombre des droites qui forment leurs 
côtés. Décomposons chacun des polygones en triangles, en menant 
d'un de ses sommets aux sommets non voisins des diagonales. Soit » le 
nombre des diagonales tracées dans les différents polygones, F + 7 sera 
le nombre des triangles résultants de la décomposition des polygones, 
et À + z sera le nombre des côtés de ces triangles. Le nombre de leurs 
sommets sera le mème que celui des sommets des polygones, ou S. 


OEuvres de C. — S.H,t.[I. d 


18 RECHERCHES SUR LES POLYÉDRES. 


Supposons maintenant que l’on enlève successivement les différents 
triangles, de manière à n’en laisser subsister à la fin qu'un seul, en 
commençant par ceux qui avoisinent le contour extérieur, et n’enle- 
vant dans la suite que ceux dont un ou deux côtés auront été réduits, 
par les suppressions antérieures, à faire partie du même contour. 
Soient 2’ le nombre des triangles qui ont un côté compris dans Île 
contour extérieur au moment où on les enlève, et 2’ le nombre des 
triangles qui ont alors deux côtés compris dans le même contour. La 
destruction de chaque triangle sera suivie, dans le premier cas, de la 
destruction d'un côté, et, dans le second cas, de la destruction de deux 
côtés et d’un sommet. I suit de à qu’au moment où l'on aura détruit 
tous les triangles, à l'exception d’un seul, le nombre des triangles 
détruits étant 

NW +R", 
celui des côtés détruits sera 

h'+o2h", 


et celui des sommets détruits 
Joue 


Le nombre des triangles restants sera donc alors 
F+n—(h+ h")=x, 
celui des côtés restants 


‘ 


A+n—{(h'+2h") = 3, 


et celui des sommets restants 
Te mmt 


Si l’on ajoute la première équation à la troisième et qu'on retranche 
Ja seconde, on aura 
S+F—A—:1, 
ou 
(3) S+F=A +1, 


ce qu'il fallait démontrer. 


RECHERCHES SUR LES POLYÉDRES. 19 


On peut encore arriver à la même équation, sans employer la décom- 
position des polygones en triangles. En effet, supposons les divers 
polygones réunis successivement autour de lun d’entre eux pris à 
volonté. 

Soient : 


a ets les nombres de côtés et de sommets du premier polygone; 

_a'ets’ les nombres de côtés et de sommets du second polygone qui ne 
lui sont pas communs avec le premier; 

a” ets” les nombres de côtés et de sommets du troisième polygone qui 


ne lui sont pas communs avec les deux premiers, etc. ; 


vous aurez les équations suivantes : 


(AE ASS 
ds +41, 
A Sie 1U 


En ajoutant toutes ces équations qui sont en nombre égal à F, et 
observant que 


Éd iQ +, +, s+s +s"+...Z=S, 


on aura l'équation | 
À ar S —- F male 


équivalente à celle qui a été trouvée ci-dessus. 


Corollaire. — Si l'on représente par @ et par s les côtés et sommets 
compris dans le contour extérieur, par a, ets, les côtés et sommets 


renfermés dans l’intérieur du même contour, on aura 
s+s,$, a+a—À; 
et comme l'on aura aussi s — a, l'équation (3) deviendra 
s,+F—a,+1, 


d'où il résulte que le nombre des sommets intérieurs, augmenté du 


20 RECHERCHES SUR LES POLYÉDRES. 
nombre des polygones, est égal au nombre des côtés intérieurs aug- 
menté de l'unité. 

Le théorème d'Euler est une conséquence immédiate du théorème 
renfermé dans l'équation 


Nr 2 +1. 


En effet, supposons que F représente le nombre des faces qui com- 
posent la surface convexe d’un polyèdre et que S et A soient les 
nombres de sommets et d’arêtes renfermés dans’ cette même surface. 
Si, dans la surface du polvèdre, on supprime une des faces, les faces 
restantes, dont le nombre sera F — 1, pourront être considérées comme 
formant une suite de polygones renfermés dans le contour de la face 
supprimée; et, par suite, les nombres $, A et F — 1 devront satisfaire 
au théorème démontré. En effet, soit que les polygones soient compris 
dans un seulet même plan, ou dans des plans différents, le théorème 
n'en existe pas moins, puisqu'il ne dépend que du nombre des polv- 
gones et du nombre de leurs éléments. On aura donc, en considérant 
la surface d’un polyèdre, 
S+(F—-1)=A+: 
ou 


(2) S+F— À + 2, 


ce qui renferme le théorème d'Euler. 

Je reviens maintenant au théorème général dont les deux théorèmes 
précédents ne sont que des cas particuliers, et'je vais commencer par 
en faire l'application à quelques cas simples. 

Supposons d’abord que l’on prenne un point dans l’intérieur d’une 
pyramide triangulaire et que, de ce point aux quatre sommets, on mène 
quatre droites, on séparera la pyramide donnée én quatre nouvelles 
pyramides triangulaires, qui fourniront cinq sommets, dix faces et dix 
arêtes. Dans ce cas, la somme faite du nombre des arêtes et du nombre 
des polyèdres est quatorze: celle du nombre des sommets et du nombre 
des faces, étant quinze, surpasse quatorze d'une unité; ce qui vérifie le 


théorème. 


RECHERCHES SUR LES POLYÈDRES. 21 


Supposons, en second Heu, que d’un point pris dans l’intérieur d’un 
hexaëdre on mène huit droites aux huit sommets; l’hexaèdre sera par- 
tagé en six pyramides quadrangulaires, qui fourniront neuf sommets, 
dix-huit faces et vingt arêtes. Dans ce cas, le nombre des arêtes et 
celui des polyèdres forment une somme égale à vingt-six; la somme 
faite du nombre des faces et de celui des sommets étant vingt-sept, 
surpasse la première d’une unité, ce qui vérifie le théorème. 

“Supposons enfin que lon prenne un polvèdre quelconque, dont la 
surface renferme un nombre f de faces, un nombre & d’arêtes et un 
nombre s de sommets; et que d’un point pris dans Pintériceur du 
polvèdre on mène s droites aux différents sommets. On divisera le 
polyèdre en autant de pyramides qu'il y avait de faces; et l'on formera 
à l’intérieur autant de faces qu'il y avait d'arêtes à l'extérieur, et 
autant d’arêtes qu'il y avait de sommets à l'extérieur. On aura donc 
en tout f/ pyramides qui fourniront sr sommets, / + a faces et 
a + s arêtes. Dans ce cas, le nombre des pyramides et celui des arêtes 
forment une somme égale à 


f+(a+s), 
et le nombre des faces forme avec celui des sommets une somme égale à 
(f+a)+(s+r} 


Cette dernière somme surpasse la première d'une unité, ce qui vérifie 
le théorème. 

Considérons maintenant le théorème dont il s'agit dans le cas Île 
plus général, et supposons un nombre P de polyèdres renfermés dans 
un polyèdre donné. 

Soient : 

S le nombre des sommets de ces divers polyèdres; 
F le nombre de leurs faces ; 


A le nombre de leurs arêtes. 


Divisons toutes les faces en triangles par des diagonales, et soit » le 


nombre de ces diagonales, le nombre total des triangles dans lesquels 


22 RECHERCHES SUR LES POLYEDRES. 

les faces des différents polyèdres seront divisées sera F + n. Supposons 
maintenant que l’on décompose chaque polyèdre en pyramides triangu- 
laires, en faisant passer par un des sommets et les côtés des triangles 
non adjacents des faces triangulaires. Soient P + p le nombre des 
pyramides ainsi formées dans les différents polvèdres, a le norhbre des 
nouvelles arêtes qui en résultent. Le nombre des nouveaux triangles 
qui forment les faces de ces pyramides sera p + a. Pour s'en con- 
vaincre, il suffit d'observer que si, parmi ces différentes pyramides, on 
construit d'abord celles qui avoisinent la surface de chaque polyèdre, 
on n'aura jamais, pour former chaque pyramide, qu'une ou deux faces 
nouvelles à construire; et qu'il en résultera, dans le premier Cas, une 
nouvelle pyramide seulement; dans le second cas, une nouvelle pyra- 
mide et une nouvelle arête. I suit de Ta que, après la décomposition des 
polvèdres en pyramides triangulaires, le nombre total des pyramides 


étant 
P + p 


et celui des arêtes étant 
ÂAt+tn+a, 
celui des faces sera 
F+n+at+ p. 


Quant à celui des sommets, il sera toujours égal à S. 

Supposons maintenant que l’on enlève successivement du polyèdre 
total les diverses pyramides triangulaires qui le composent, de manière 
à n'en laisser subsister à la fin qu'une seule, en commençant par celles 
qui ont des triangles situés sur la surface extérieure du polyèdre donné, 
et n'enlevant dans la suite que celles dont une ou plusieurs faces auront 
été découvertes par des suppressions antérieures. Chaque pyramide 
que l’on enlèvera aura une, deux ou trois faces découvertes. 

Soient : | 
p' le nombre des pyramides qui ont une face découverte au moment 

où on les enlève: | 
p’ le nombre des pyramides qui ont alors deux faces découvertes; 


p" le nombre des pyramides qui ont alors trois faces découvertes. 


RECHERCHES SUR LES POLYÈDRES. 23 


La destruction de chaque pyramide sera suivie, dans le premier cas, 
de la destruction d’une face; dans le deuxième cas, de la destruction 
de deux faces et de l’arête commune à ces deux faces; dans le troisième 
cas, de la destruction d'un sommet, de trois faces et de trois arêtes. I 
suit de là que, au moment où l’on aura détruit toutes les pyramides à 


l'exception d’une seule, le nombre des sommets détruits sera 
P" 
celui des pyramides détruites 
p'+p"+ p", 
celui des triangles détruits 


D 2 p'+ . 


et celui des arêtes détruites 
P'+ cri 
Le nombre des sommets restants pourra donc être représenté par 
S — pl 4, 
celui des pyramides restantes par 
P+p—(p'+p"+p")=1, 
celui des triangles restants par 
F+n+a+p—(p'+2p"+3p") =1{ 
et celui des arêtes restantes par 
A+an+a—(p"+3p") — 6. 
Si l’on ajoute la première des équations précédentes à la troisième, 
on aura 
S+F+n+a+p—(p'+2p"+4p") =Ss. 
Si l'on ajoute la deuxième à la quatrième, on aura 


A+P+n+a+p—(p+op"+ hp") = 7. 


/ 4 


24 RECHERCHES SUR LES POLYÈDRES. 


Si lon retranche l’une de l’autre les deux équations que nous venons 


de (rouver, on aura 
S+F—A—P—1:1 
ou 
S+F—=A+P+r. C. Q.F. D. 


On peut encore arriver à l'équation précédente sans avoir recours à 
la décomposition des polyèdres en pyramides triangulaires. En effet, 
supposons les divers polyèdres réunis successivement autour de Fun 
d'eux pris à volonté. 

Soient : 

a, f, s les nombres d'arêtes, de faces et de sommets de ce premier 
polyédre :; 

a’, f",s" les nombres des arêtes, faces et sommets du deuxième polyèdre 
qui ne lui Sont pas communs avec le premier; 

a", f",s"les nombres des arêtes, faces et sommets du troisième polvèdre 
qui ne lui sont pas communs avec les deux premiers. 

Vous aurez, en vertu du théorème d'Euler ct du théorème sur les 
polvgones (vorr le Corollaire, p. 19), 

S+f —a +2, 
s'+f = a +1, 


s'+ f'=a"+ 1, 


sa jee + ss sole see ee 


En ajoutant ces équations, qui sont en nombre égal à P, et obser- 
vant que 


s+s'+s"+...—S, J+f+f"+...—=EF, a+a'+a+...—AÀ, 
on aura 
ci S+F—=A+P +1. 


Corollaire. — Si l’on représente par s, a et/ les nombres de sommets, 
arêtes ct faces compris dans la surface extérieure du polyèdre donné, 


ar s,, a et f. les nombres de sommets, arêtes et faces situés à l’inté- 
! 4 1 


RECHERCHES SUR LES POLYÉDRES. 


rieur, on aura 


S—=s+s,, A=a+a,, EF = ns 
On aura d’ailleurs, en vertu du théorème d'Euler, 
s+f—=a+o. 


Par suite, l'équation (3) deviendra 


OPurresdeC = SH LT 


Ds 


19 
OT 








SUR 


LES POLYGONES ET LES POLYEDRES. 


SECOND MÉMOIRE ( 


Journal de l’École Polytechnique, XVF Cabicr, Tome EX, p. 87; 1813. 


Dans le Mémoire que j'eus Fhonneur de présenter l'année dernière 
à la Classe, j'avais réuni quelques recherches sur les polygones et les 
polvèdres réguliers et irréguliers, et J'avais généralisé le théorème 
d'Euler sur le nombre des éléments qui constituent un polvèdre quel- 
conque. MM. Legendre et Malus, dont le rapport a déterminé, en faveur 
de ce Mémoire, l'approbation de la Classe, m'engagèrent dès lors à 
poursuivre mon travail et à chercher la démonstration du théorème ren- 
fermé dans la définition 9, placée à la tête du onzième Livre des Elements 
d'Euclide, savoir que deux polyèdres convexes sont égaux lorsqu'ils 
sont compris sous un même nombre de faces égales chacune à chacune. 

J'ai examiné, en conséquence, avec beaucoup de soin, les démonstra- 
tions que M. Legendre avait déjà données de ce théorème dans plu- 
sieurs cas particuliers; et, en développant les principes dont 1l avait 
fait usage, je suis parvenu à démontrer, d’une manière générale, le 
théorème dont il s'agit et quelques autres qui s’y rapportent. Ces 
théorèmes sont de deux espèces : les uns sont relatifs aux polygones 


(1) Lu à la première Classe de l'Institut, dans la séance du 20 janvier 1812, par 
A.-L. Caucuy, ingénieur des Ponts et Chaussées. 


SUR LES POLYGONES ET LES POLYÉDRES. 27 
convexes rectilignes et sphériques; les autres aux angles solides et 
aux polyèdres convexes. Je vais les exposer successivement dans Îles 


deux Parties de ce Mémoire. 


PREMIERE PARTIE. 
Théorèmes sur les polygones convexes rectilignes el sphériques. 


M. Legendre a démontré, dans ses Éléments de Géométrie sur les 
triangles rectilignes et sphériques, un théorème qu’on peut énoncer de la 
manière suivante : 

THéoRÈME [. — Se, dans un triangle rectiligne ou sphérique ABC ( fig. 1) 
dont deux côtes AB, AC sont invariables, on fait croître où diminuer 
l'angle À compris entre ces CÔles, le côté opposé BC croîtra dans le 
premier cas el diminuera dans le second. 


Fig. 1. 





A 


On peut généraliser ce théorème de la manière suivante : 


THÉORÈME Il. — Si, dans un polygone convexe rectuiligne ou sphe- 
rigue ABCDEFG (fig. 2), dont tous les côtes AB, BC, CD, ..., FG, 4 
l'exception d'un seul AG, sont supposés invariables, on fait crottre ou 
décrottre simultanément les angles B, G, D, E, F, G compris entre ces 
. mêmes côlés, le côté variable AG crottra dans le premier cas et décrottra 


dans le second. 


Démonstration. — Supposons d’abord que l’on fasse croître l'angle ABC 
tout seul; alors, dans tout le polygone ABCDEFG, il n’y aura que le 
triangle ABC de variable; et, dans ce triangle même, il n’y aura de 


variable que le côté AG et les angles : mais l'angle ABG devant croitre 


28 SUR LES POLYGONES ET LES POLYÉDRES. 
par l'hypothèse, le côté variable AG croîtra nécessairement. On ferait 
voir de même que les angles C, D, E, ... venant à croître successive- 


ment, le côté AG ira toujours en croissant. L'accroissement simultané 





de ces mêmes angles devant produire le même effet que leur accrois- 
sement successif, ne pourra qu'augmenter la droite en question. 
On prouverait de mème que la diminution simultanée des angles B, 


C, D,E, F'entrainerait celle du côté variable AG. 


TaéorÈue [E. — Si, dans un polygone convexe rectiligne où sphé- 
rique ABCDEFG (3. dont les côtés sont invariables, on fait varier 
tous les angles, ceux-ci ne pourront tous varier dans le même sens, sout 


en plus, soit en moins. 


Hire» 
A 
B 6 
F 
c 
E 
D 
Démonstration. — En effet, on vient de voir, dans le théorème précé- 


dent, que tous les angles non adjacents à un même côté ne peuvent va- 
rier dans le même sens sans que le côté lui-même augmente ou diminue. 
THÉORÈME IV. — Sr, dans un poly gone convexe rectiligne ou spherique, 


dont les côtes sont invariables, on fait varier tous les angles et que, 


SUR LES POLYGONES ET LES POLYÉDRES. DA) 


passant ensuite en revue ces mêmes angles, on les classe én différentes 
series en plaçant dans une même série lous les an gles qui, pris consécult- 
vement, varient dans le méme sens, les séries composées d'angles qui 
varieront en plus seront toujours en même nombre que les séries composées 
d’angles qui varieront en moins et, par suile, le nombre total des séries 


sera pair. 


Démonstration. — On vient de prouver que tous les angles ne peuvent 
varier dans le même sens. Cela posé, il est facile de voir que, si l'on fait 
le tour du polygone, on trouvera les différentes séries alternativement 
composées d’angles qui varieront en plus et d’angles qui varicront en 
moins. Si, par exemple, la première série est composée d'angles qui 
varient en plus, la troisième, la cinquième, la septième, .….. séries seront 
aussi composées d’angles qui varieront en plus et, en général, toutes 
les séries d'ordre impair seront de même nature que la première série. 
Il est done impossible que la dernière série soit une série de rang 
impair; car, étant de même nature que la première, elle se confondrait 
avec elle. La dernière série est donc une série de rang pair el, par suite, 


le nombre total des séries est pair. 


Tuéorème V. — Les mémes choses etant posées que dans le théorème 


précédent, le nombre des séries sera toujours au moins égal à 4. 


Démonstration. — Nous venons de prouver qu'il est nécessairement 





pair; il reste à faire voir qu'il ne peut être égal à 2. Et, en effet, st dans 
le polygone ABCDEFGH (Zg. 4), dont les côtés sont invartables, tous 


30 SUR LES POLYGONES ET LES POLYÉDRES. 

les angles que l’on suppose variables pouvaient être classés en deux 
séries, savoir : une série d’angles A, B, C, D variables en plus et une 
série d’angles E, F, G, H variables en moins, la diagonale AE, qui ne 
laisse d'un côté que des angles B, C, D variables en plus et, de l’autre, 
que des angles F, G, H variables en moins, devrait à la fois croître et 
décroitre, ce qui est absurde. 

[y aura donc toujours au moins quatre séries, savoir : deux séries 
d'angles qui varieront en plus et deux séries d’angles qui varieront en 
moins. 

TuéorÈME VE — Les mêmes choses étant posées que dans les deux 
thcorèmes précédents, si l’on passe en revue tous les angles du polygone 
et qu'on les compare deux à deux dans l’ordre où ils se présentent relati- 
ecrnent aux signes de leurs variations, on trouvera, en faisant le tour du 


polygone, au moins quatre changements de signes. 
vs 5 5 


Démonstration. — En ellet, on vient de voir qu'il y aura toujours au 
moins deux séries d'angles qui varieront en plus et deux séries d'angles 
qui varieront en moins. La variation du dernier angle de chaque série 
étant toujours de signe contraire à celui de la variation du premier 
angle de la série suivante, les quatre séries dont il est question four- 
niront évidemment quatre changements de signes. 


Nota. — Les trois théorèmes précédents n'ont lieu que pour des 
polygones de plus de trois côtés et non pour des triangles dans les- 


quels linvariabilité des angles entraine celle des côtés. 


THÉORÈME VIT, — Si, dans un polygone convexe rechligné ou sphérique 
de plus de quatre côtes, on suppose non seulement les côtés, mais aussi 
plusieurs angles invariables et qu'on fasse varier les angles restants, 
puis que, passant en revue tous les an gles variables du polygone, on les 
classe en différentes séries, en plaçant dans une même serie tous ceux qui, 
pris conséculivement où séparés les uns des autres par les angles inva- 
riables, varient dans le méme sens, on trouvera Loujours au moins quatre 
séries d’angles variables : savoir, deux séries d ‘angles variables en plus 


el deux séries d ‘angles variables en moins. 


SUR LES POLYGONES ET LES POLYÉÈDRES. 31 


Démonstration. — Avec les sommets qui correspondent aux angles 
variables du polygone donné formez un second polygone. Il est facile 
de voir que les côtés de ce second polygone seront invariables et que 
ses angles seront en même nombre et éprouveront les mêmes variations 
que les angles variables du premier polygone. 


Supposons, par exemple, que, dans le polygone donné 


AabcBdeCfgD (fig. 5), 


À, B, C, D soient les seuls angles variables. Joignez AB, BC, CD, ..… 


vous diviserez le polygone donné en plusieurs parties dont la princi- 


Hip 





pale sera le polygone intérieur ABCD, composé d'autant de côtés que 
le polygone donné avait d'angles variables. De plus, ilest facile de voir 
que ce second polygone sera la seule partie variable dans Je polygone 
donné. Et, en effet, les angles a, b,c,..., d,e, ... étant invariables. 
ainsi que les côtés adjacents, les polygones extérieurs AabcB, BdeC. … 
sont nécessairement invariables. Il suit de là : 
1° Que les côtés AB, BC, CD, ... qui font partie de ces polvgones 
extérieurs sont invariables ; 
2° Que la différence de chacun des angles variables du polygone 
donné avec l'angle du polygone intérieur qui a même sommet étant tou- 
jours représentée, ou par l'angle d’un polygone extérieur tel que CDg, 
ou par la somme de deux angles de cette espèce tels que DC/, BCe, 


cette différence est nécessairement constante ct, par suite, que les 


32 SUR LES POLYGONES ET LES POLYÉDRES. 
angles du polygone ABCD varient de la même quantité que les angles 
variables du polygone donné. 

Cela posé, ilest évident que les séries d’angles variables, soit en plus, 
soit en moins, seront en même nombre de part et d'autre. D'ailleurs 
(d’après le théorème V), les angles du polygone ABCD doivent former 
au moins quatre séries : savoir, deux séries d’angles variables en plus 
et deux séries d’angles variables en moins. Il en sera donc de même 


des angles variables du polygone donné. 


Nota. — Le polygone ABCD ne pouvant avoir moins de quatre côtés, 
puisque l’on suppose ses angles variables, le polygone donné ne peut 


avoir moins de cinq côtés ni moins de quatre angles variables. 


Tuéonèue VIIL -— Les mémes choses élant posées que dans le théorème 
précédent, si l'on passe en revue tous les angles variables du polygone et 
qu'on les compare deux à deux dans l’ordre où ils se présentent relatt- 
vement AUX signes de leurs variations, on trouvera LOUJOUTS, en faisant le 


iour du polygone, au moins quatre changements de signes. 


Démonstration. — En effet, on vient de voir qu'il y aura toujours au 
moins deux séries d'angles qui varieront en plus et deux séries d’angles 
qui varieront en moins. La vartation du dernier angle de chaque série 
étant toujours de signe contraire à celui de la variation du premier 
angle de la série suivante, les quatre séries dont il est question fourni- 


ront quatre changements de signes. 


SECONDE PARTIE. 
Théorèmes sur les angles solides et les polyèdres convexes. 


On sait qu'un angle solide peut toujours être représenté par le poly- 
gone sphérique qu'on obtient en coupant cet angle solide par une 
sphère décrite de son sommet comme centre avec un rayon pris à 
volonté. Les côtés du polygone sphérique mesurent les angles plans qui 


composent l'angle solide, et les angles du polygone mesurent les coins 


SUR LES POLYGONES ET LES POLYÉDRES. : 33 
compris entre leurs plans ou, si l’on veut, les inclinaisons sur les 
différentes arêtes de l'angle solide. Cela posé, il est facile de voir que 
si, dans les théorèmes [, I, HIT, IV, V, VI, VIT et VIIT, on substitue les 
noms d’angles solides, d'angles plans et d'inclinaisons sur les arêtes 
à ceux de polygone sphérique, de côtés et d'angles, on obtiendra autant 
de théorèmes sur les angles solides. Nous nous contenterons d'énoncer 
ici ceux qui correspondent aux théorèmes VI et VIIT démontrés ci- 


dessus. 


Taéorème IX. — Sr, dans un angle solide à plus de trois faces et dont 
les angles plans sont invartables, on faut varier les inclinaïsons sur toutes 
les arêtes et que, passant ensuite en revue ces mêmes inclinaisons, on les 
compare deux à deux dans l’ordre où elles se présentent relativement aux 
signes de leurs variations, on trouvera toujours, en faisant le tour de 


l'angle solide, au moins quatre changements de signes. 


Tuéonème X. — Si, dans un angle solide à plus de quatre faces, on 
suppose non seulement les angles plans, mais encore les inclinaisons sur 
quelques arêtes inoariables et qu'on fasse-varier les inclinaisons sur les 
arêtes restantes, dont le nombre doit étre au moins égal à A, puis que, 
passant en revue les arêles sur lesquelles les inclinaisons varient, on 
compare ces inclinaisons deux à deux dans l’ordre où elles se présentent 
relativement aux signes de leurs variations, on trouvera toujours, en 


faisant le tour de l'angle solde, au moins quatre changements de signes. 


TuéorÈme XI. — Dans un polyédre quelconque, la somme Jaite du 
nombre des faces et de celur des sommets surpasse de deux unites le 


nombre des arêtes. 


Ce théorème a été découvert par Euler. On en peut voir une démons- 
tration ingénieuse dans les Éléments de Géométrie de M. Legendre. 

Si l’on représente par S le nombre des sommets d’un polyèdre quel- 
conque, par H le nombre de ses faces, par À le nombre de ses arêtes, 
le théorème précédent fournira l'équation 


S + H = A +2, 


OEuvres de C. — SH, t. I FBRA ES 
uvres de PES RAR 
1 ë î À 


. RIVE RaI Tv 


34 : SUR LES POLYGONES ET LES POLYÉDRES. 


ou 
A—H—S —2, 


Corollaire. — Soient : 


a le nombre des triangles; 

b le nombre des quadrilatères ; 
c Ie nombre des pentagones; 
d'Ile nombre des hexagones ; 


e le nombre des heptagones, etc., 


qui composent la surface d’un polvèdre, on aura 


H—= a+ bE° CE d+ e+..,, 
24—=3a+h4b+5c+6d+3e+. 


el, par suite, 
B(A—H)=2a+4b+6c+8d+ioe +...; 
d'ailleurs, par ce qui précède, 


on aura donc aussi 


&S—8—2a+4b+6c+8d+ioe +... 


Tuéorëème AIT. — Si l’on conçoit la surface d’un polyédre décomposee 
en plusieurs portions, chaque portion du polyèdre pouvant être, à volonté, 
ou une face seule, ou le système de plusieurs faces voisines considérées 
comme ne formant qu'un seul groupe, le théorème d’Euler aura lieu 
entre le nombre des portions dont il s'agu, le nombre des arêtes qui 
servent de lumites à ces mêmes portions et le nombre des sommets compris 
entre ces arêles; c'est-à-dire que la somme faite du nombre des portions 
et de celux des arêtes qu les terminent surpassera de deux unités le nombre 


de ces mêmes arêtes. 


Démonstration. — Le théorème dont il s'agit aurait évidemment lieu, 
si les droites qui terminent chaque portion du polyèdre se trouvaient 
dans un même plan; car alors on pourrait former un nouveau polyèdre 


SUR LES POLYGONES ET LES POLYÉDRES. 35 


en substituant à: chaque portion une face plane terminée au même 
contour. 

Cela posé, il est facile de sentir que le théorème doit encore avoir 
lieu dans l'hypothèse contraire à celle que l’on vient de faire; car le 
nombre des portions, celui des arêtes qui leur servent de contour et 
celui des sommets compris entre ces arêtes restent les mêmes dans les 
deux cas. 

Si l’on représente par H Le nombre des portions dont il s'agit, par À 
le nombre des arêtes qui les terminent, par S le nombre des sommets 


compris entre ces arêtes, On aura, Comme précédemment, 


SH A +2, 
ou 
A —H—S — 2. 


Corollaire. — Soient : 


a le nombre des portions du polyèdre terminées par un contour de trois 
arêtes ; | 

ble nombre des portions terminées par un contour de quatre arêtes; 

ce, d,e, .. le nombre des portions terminées par un contour de cinq, 
de six, de sept, ... arêtes; 


on aura 
D AL D De de 


A | 


2A—=3a+hb+5c+Gd+ 7e+..., 
&(A—-H)=L2a+4b+6c+S8d+ioe +... 


et, par suite, 
AS—8—2a+hb+6c+8d+ioe +... 
Les théorèmes précédents vont nous donner les moyens de démontrer 


le théorème renfermé dans la définition IX du onzième Livre d'Euclide. 


Ce dernier peut être énoncé de la manière suivante : 


Taéorème XIII. — Dans un polyédre convexe dont toutes les faces sont 
invartiables, les coins compris entre les faces ou, ce qui revient au même, 


les inclinaisons sur les différentes arêtes sont aussi invartables ; en sorte 


30 SUR LES POLYGONES ET LES POLYÉDRES. 


que, avec les mêmes faces, on ne peut construre qu'un second polyèdre 


convexe symétrique du premier. 


Démonstration. — En effet, supposons, contre l'énoncé ci-dessus, 
que l’on puisse faire varier les inclinaisons des faces adjacentes sans 
détruire le polyèdre et, pour simplifier encore la question, supposons 
d'abord que l’on puisse faire varier toutes les inelinaisons à la fois. 
Les inclinaisons sur certaines arêtes varieront en plus; les inclinaisons 
sur d’autres arêtes varieront en moins, et en comparant deux à deux, 
relativement aux signes de leurs variations, les inclinaisons des arêtes 
qui, dans chaque face, aboutissent aux mêmes sommets, on trouvera, 
en passant successivement d'une arête à l’autre, plusieurs changements 
de signes. C’est le nombre de ces changements que nous allons cher- 
cher à déterminer. 

Soient (comme ci-dessus, théorème XD) : 

S le nombre des angles solides du polyèdre; 
H Le nombre de ses faces ; 


A le nombre de ses arêtes; 
on aura (par le théorème XF) 
&S— S—=2a+hb+6c+8d+ioe+...…. 


Cela posé, 11 suit du théorème IX que chaque angle solide doit 
fournir au moins quatre changements de signes entre les variations 
d'inchnaison sur les arêtes qui le composent. La surface totale du 
polvèdre devra donc fournir un nombre de changements de signes au 
moins égal à 4S; reste à savoir si cela est possible. 

Or, si l’on compare successivement deux à deux les différentes 
arêtes qui composent une même face, on trouvera que chaque face 
triangulaire contenant toujours au moins deux arêtes sur lesquelles les 
variations d'inclinaison sont de même signe, ne pourra fournir au plus 
que deux changements de signes. Les quadrilatères pourront fournir 
chacun quatre changements de signes; mais les pentagones se trouvant 
dans le même cas que les triangles n’en fourniront chacun que quatre 


SUR LES POLYGONES ET LES POLYÉDRES. 37 


au plus, comme les quadrilatères. En continuant de même, on fera voir 
que les hexagones et les heptagones ne pourraient fournir chacun plus 
de six changements de signes, que les octogones et les ennéagones n’en 
pourraient fournir chacun plus de huit et ainsi de suite. I suit de là 
que toutes les faces du polyèdre ne pourront fournir ensemble plus 
de changements de signes qu'il n’y a d'unités dans la somme faite de 
deux fois le nombre des triangles, de quatre fois celui des quadrila- 
tères, de quatre fois celui des pentagones, de six fois celui des hexa- 


gones, etC., ou dans 


2a+hb+hc+6d+6e+.... 


Mais, si l'on compare ce résultat à la valeur de 4S — 8 trouvée plus 
haut, il sera facile de voir qu'il ne peut jamais la surpasser. Iest donc 
impossible d'obtenir entre les variations d'inclinaison sur toutes les 
arêtes un nombre de changements de signes au moins égal à 4S; on ne 
peut donc changer à la fois les inclinaisons sur toutes les arêtes. 

Si l'on suppose, en second lieu, que dans le polyèdre donné, non seu- 
lement les faces, mais encore les inclinaisons sur plusieurs arètes restent 
invariables et que cependant on puisse, sans détruire le polyèdre, fure 
varier les inclinaisons sur les arêtes restantes, alors, pour démontrer 
l'absurdité de l'hypothèse, il suffira de concevoir la surface du polyèdre 
décomposée en autant de portions que les arêtes sur lesquelles les incli- 
naisons varient forment de contours différents, et d'appliquer aux por- 
tions, aux arêtes qui les terminent et aux sommets compris entre ces 
arêtes, les mêmes raisonnements que nous avons appliqués dans lhypo- 
thèse précédente aux faces, aux arêtes etaux sommets du polyèdre. On 
y parviendra en substituant, dans le cours de la démonstration, les 
‘théorèmes X et XIT aux théorèmes IX et XI sur lesquels on s'est appuyé 


dans le premier cas. 


Corollaire I. — Il suit du théorème précédent que deux polyédres 
convexes, compris sous un même nombre de faces égales et semblablement 


placées, sont ou superposables ou symetriques et, dans les deux cas, us 


38 SUR LES POLYGONES ET LES POLYÉDRES. 
sont nécessairement égaux. C'est en quoi consiste le théorème renfermé 


7 
"à 


dans la définition IX du onzième Livre d'Euclide. 


Corollaire 11. — 11 suit encore du théorème précédent que, lorsque 
deux polyèdres convexes sont compris sous un méme nombre de faces 
semblables et semblablement placées, le deuxième est semblable au pre- 
nuer où & un troisième polyédre symetrique du premier. C'est en quoi 


consiste le théorème renfermé dans la définition X du Livre déjà cité. 





RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 





Journal de L'École Polytechnique, XNI° Cahier, t. IX, D 09 doi 


—SS— 


M. Lagrange à démontré, le premier, dans les Memotres de Berlin 


(année 1970), le théorème suivant : 


Etant donnés un nombre premier p et deux autres nombres entiers B 
et C posuifs ou négatifs, mais non divisibles par p, On peul loujours 


trouver deux nombres t et u, tels que la formule 


ELEC 
soit divisible par p. 


Ce théorème à quelque analogie avec un autre plus simple et dont 


voici l'énoncé : 


Etant donnes un nombre premier p et deux autres nombres entiers À 
et B positifs ou négalfs, mais non divisibles par P, On peut toujours 


trouver un nombre x tel que la formule 


AT+R 
sou divisible par p. 


Ce dernier théorème ayant été démontré très simplement par M. Le- 
gendre dans son /ntroduction à la théorie des nombres, l'analogie m'a 


porté à croire qu'il devait exister une démonstration semblable du 


#0 RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 


théorème de M. Lagrange. Le travail que j'avais entrepris dans le 
dessein de parvenir à cette démonstration m'a conduit, en outre, à la 
démonstration de quelques autres théorèmes que je vais exposer suc- 
cessivement, et dont plusieurs me paraissent nouveaux. 

Pour simplifier les énoncés des théorèmes, j’appellerai ombres de 
méme forme, relativement à un diviseur donné, des nombres entiers 
qui, étant divisés par ce diviseur, donneront des restes entiers et posi- 
fs égaux. Par opposition, j'appellerai xombres de forme différente des 
nombres entiers qui, étant divisés par le diviseur donné, donneront 
des restes entiers et positifs différents. 

Supposons que 


Rd de. 


soient une série de nombres entiers positifs ou négatifs, composée de 
x + 1 termes différents; nous représenterons par @, le terme général 
de cette série et nous dirons alors que la formule 4, peut prendre 
successivement & +1 valeurs différentes. Si, de plus, les valeurs par- 
ticulières 


Dos ii Me Tia de 


de la formule &,, sont toutes de formes différentes relativement à un 
diviseur donné, nous dirons alors que la formule a, peut fournir & + 1 
valeurs de formes différentes. 


Soient de même 
Boss üns D 2, ba; Co ÉD 0e 0 


des séries composées chacune de termes de formes différentes relative- 
ment à un diviseur donné; nous représenterons par b,, c,, … les termes 
généraux de ces séries ct nous dirons que les formules 6,,c,, … peuvent 
fournir, l'une 6 + 1, l’autre y + 1 valeurs de formes différentes. 

Cela posé, je vais passer à la démonstration des théorèmes, en com- 


mençant par Ceux qui sont déjà connus. 


TuéorÈME [. — Sort, pris pour diviseur, un nombre entier quelconque n, 


RECHERCHES SUR LES NOMBRES. Li 


premier où non premier; soi 


t+I1<n, 
\ 


et supposons que la formule a, puisse fournir à +1 valeurs de formes 
differentes relativement au diviseur n; soit, de plus, k un nombre entier 


auelconaue positif ou négatif: je dis que les formules 
q 8 AJ 


fourniront chacune & + 1 valeurs de formes différentes relalivement au 


diviseur n. 


Démonstration. — Soient a, et a, deux valeurs de la formule @,, les 


deux valeurs correspondantes de Fa double formule £ + a, seront 


k næ rs kÆ ue ss 


d'ailleurs, la différence des valeurs @,, a, de la premiére formule ne 
pouvant être n1 nulle ni divisible par ?, il en sera de même de la diffe- 


rence des valeurs 
de 0 


de la double formule # + a,, puisque cette dernière différence est, au 
signe près, égale à la première. Il résulte de là que deux valeurs de la 


formule 
k+a>z ou Kk— a» 


sont nécessairement de formes différentes relativement à 7. 
Taéorème Il. — Soit, pris pour diviseur, un nombre premier p; soit 
aæ+1£p, 


et supposons que la formule a, puisse fournir à +1 valeurs de formes 
différentes relativement à p; soit, de plus, À un nombre entier quelconque 
positif ou négatif, non divisible par p; Je dis que la formule Aa, four- 
nira aussi & + 1 valeurs de formes différentes. 


OEuvres de C. — S. IL, t. 1. 6 


12 RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 


Démonstration. — Soient a, ct a, deux valeurs de la formule «,. Les 


deux valeurs correspondantes de la formule Aa, seront 
AU et A: 
d'ailleurs, les deux quantités A et a, — a, n'étant point, par Fhvpo- 
thèse, divisibles par p, la différence 
A(a,;— «,) 


des deux valeurs Aa,, Aa, de Ta formule Aa, ne pourra être non plus 
divisible par p. I suit de là que deux valeurs de la formule Aa, sont 


nécessairement de formes différentes relativement à ». 


ŒUÉORÈNE HF — Les mêmes choses étant posces que dans le théorème 
précédent et # étant un nombre entier quelconque positif ou neégalif, la 


formule 
KE + AG ou K— Aa; 


Jourrira 4 + 1 valeurs de formes différentes relativement à p. 
Démonstration. — En effet, il suit du théorème L'que la formule 


K + Aa. ou k— Aa; 


fournira autant de valeurs de formes différentes que la formule A@,, et 
il suit du théorème I] que celle-ci fournira autant de valeurs de formes 


diflérentes que la valeur «.. 


TuéorÈme IV, — Les mêmes choses etant posées que dans le théorème 
précédent, st, de plus, le nombre & + 1 des valeurs de la formule «, est 


égal à p, l'une des valeurs de la formule 


Fa on Éd. 
sera divisible par p. 


Démonstration. — En effet, dans le cas dont il s’agit, la formule 


KE + AG; ou K— Aa, 


étant divisée par p, doit donner p restes différents, c'est-à-dire tous les 


RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 13 
restes possibles; elle doit done donner aussi le reste zéro. La valeur 
de la formule qui correspond à ce reste sera évidemment divisible 
par p. 

Taéorème V. — Soi, pris pour diviseur, un nombre premier p; sou 


< 
a+22p, 


et supposons que la formule a, puisse fournir a +1 valeurs de formes 
différentes relativement à p; soit, de plus, Æ un nombre entier quelconque 


positif ou négatif; je dis que les deux formules 
4 et ax + À 


fourniront ensemble au moins 4 + 2 valeurs de formes différentes rela- 


Livement à D 


Démonstration. — Supposons, contre l'énoncé ci-dessus, que Les 


deux formules 


A el ar +K 


ne puissent fournir ensemble plus de & +1 formes différentes. Dans 
ce cas, toutes les valeurs de la seconde formule devront être de mêmes 
formes que celles de la première. I suit de là que a, étant une valeur 
“quelconque de la première formule et 4, + Æ la valeur correspondante 
de la seconde, l’une des valeurs de la première formule sera nécessar- 
rement de la forme a, + #. En substituant cette valeur à &, on prou- 
vera, par un raisonnement semblable à celui qu'on vient de faire, que 


la, formule a, doit nécessairement fournir une valeur de Ta forme 
(a; +k)+k ou a; + 2%, 


et, en continuant de même, on fera voir, en général, que la formule a, 
dans l'hypothèse présente, devra fournir des valeurs de toutes les formes 


suivantes : 
RS Pl M nn Ce RU ne PA 


et comme les formes dont il s’agit sont toutes différentes entre elles et 


[Pan RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 
en nombre égal à p, la formule à, devrait fournir p valeurs de formes 
différentes; ce qui ne peut être, puisqu'on suppose p plus grand que 


a + 2, où tout au plus égal à & + 2. 


FaéorÈne VE — Soit, pris pour diviseur, un nombre premier p; sou 
x +2 are 


et supposons que la formule a, puisse fournir à + 1 valeurs de formes dif- 
férentes relativement à p; sotent, de plus, b,, b, deux nombres entiers de 


formes différentes relativement au méme diviseur; je dis que les formules 
Ax + Vo, Ax+ bd: 


fourniront ensemble au moins x + 2 valeurs de formes differentes. 


Démonstration. — Pour déduire ce théorème du précédent il suffit 


de substituer la formule «, + b, à la formule @, et de faire ensuite 
b— b,—=k. 


TaéorënEe VIE. — Sort, pris pour diviseur, un nombre Premier p et soient 
z el 5 deux nombres entiers tels que l’on ait | 


a+B+ifp; 


supposons que la formule a, puisse fournir à + 1 valeurs de formes diffe- 
rentes et la formule b,, 5 +1 valeurs de formes différentes; je dis que 
la formule a, + b, fournira au moins 4 + $ +1 valeurs de formes 


différentes. 


Démonstration. — On peut toujours supposer que la formule à, soit 
celle qui fournisse le plus de valeurs. Cela posé, l'on aura 8£4. De 
plus, 1} pourra arriver, ou que les valeurs de la formule a, et celles de 
la formule b, sotent toutes de formes différentes, où que les formes des 
valeurs de la formule b, soient toutes comprises parmi les formes des 
valeurs de Fa formule 4,, où que les formes des valeurs de la formule b, 


soient en partie comprises et en partie non comprises parmi celles 


RECHERCHES SUR LES NOMBRES. : 15 


des valeurs de la formule &,. Nous allons examiner chacun de ces trois 
cas séparément. 


Premier cas. — Et d'abord, pour ramener le premier cas à l’un des 
deux suivants, il suffit de substituer à la formule b, la formule db, — #, 
en prenant pour # un nombre entier positif ou négatif, tel que lune 
des valeurs de la formule D, — # soit égale à l'une des valeurs de la 
formule &,. La formule a, + b, devant fournir autant de valeurs diffé- 
rentes que la formule 

az + b,—K, 


il suffira de démontrer le théorème relativement aux formules 
2 et b,—k 
qui fourniront au moins deux valeurs de même forme. 


Deuxième cas. — Supposons que les formes des valeurs de à, soient 
toutes comprises parmi les formes des valeurs de la formule &,. Il 
pourra arriver, ou que la formule &a,+ db, fournisse p valeurs de formes 
différentes, c’est-à-dire des valeurs de toutes les formes possibles déter- 
minées par les restes 

D an 


ou que le nombre des valeurs de formes différentes fournies par la for- 
mule a, + b, soit plus petit que p. Dans la première hypothèse, le 


théorème se trouve vérifié, puisque lon suppose 
a+ +i 


tout au plus égal à p. Soit, dans la seconde hypothèse, 1 + y le nombre 
des formes qui ne sont pas comprises parmi celles de la formule a, + b,, 
et soit c, le terme général d’une série composée de 1 + y termes qui 
présentent successivement ces mêmes formes. Les deux formules 

Az + 0y et 6 


= 


comprendront à elles deux toutes les formes possibles. Soient, de plus, 


46 RECHERCHES SUR EI 


ES NOMBRES. 
bu 0, deux valeurs de la formule b,: b,, — b, ne pourra être nt nulle 


ni divisible par p et, par suite, les deux formules 
Ge el C + Le ne Ln 

devront fournir + + 2 valeurs de formes différentes. La formule 

C= "SES b, se by 
devra done fournir une valeur dont la forme ne soit pas comprise 
parmi celles de li formule e, et soit comprise parmi celles de Ta for- 
mule 4,+-b,. Soient ec, a, b, les valeurs de 6, a, b, qui rendent la 
formule 

Cz is b,, Er Un 
de même forme que la formule «,+ b,. Substituez aux formules @, 


et b, les deux formules 

au + 0 el b,+ ci Dr. 
[est facile de voir que ces deux dernières formules contiendront au 
moins deux termes de même forme, savoir : 

G,;, F0, et bn + Cr — Dy. 


De plus, la formule 


Pt 0, 


contiendra au moins un terme c; dont la forme ne sera point comprise 


sarmi celles des valeurs de la formule a, + b.. Les deux formules 
TL d 


Ax + b;, D; + Ck on 0 


fourniront donc des valeurs de même forme et des valeurs de formes 
différentes: d'ailleurs, il suffit de démontrer le théorème relativement 
à ces deux dernières formules, pour qu'il soit démontré relativement 
aux formules 4, et b,. La question pourra donc être toujours ramenée 


au troisième cas que nous allons examiner. 


Troisième cas. — Supposons que les formes des valeurs. de la for- 


RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 7 


mule à, soient en partie comprises ef en partie non comprises parmi 


celles des valeurs de la formule a. Soit 
(1) do) di, As DAMES dy 


la série des valeurs de la formule &, au nombre de & + 1, et soit 


Ps 
D 
— 


PDO te 


la série des valeurs de la formule b, au nombre de 8 + 5. 

Comme il ne s’agit ici que des formes des valeurs que lon considère, 
c’est-à-dire des restes qu'on obtient en les divisant par p, on pourra 
supposer les termes des séries (1) et (2) plus petits que p, parce que, 
dans tous les cas, on peut les rendre tels en retranchant p de chacun 
d'eux autant de fois que possible. Alors, les termes qui étaient de 
même forme dans les deux séries deviendront égaux de part et d'autre. 


Soit 1 + y le nombre de ces termes ct soient respectivement 


SC U0R les ot ae et Obe Ut Un us De 


les termes égaux, en sorte que l’on ait 
Ho D eh, un ay = by; 
soient, de plus, 
Gyris Myers cs ur Vyss yes, ..., be 


les autres termes des séries (1) et (2), qui seront tous de formes diffé- 


rentes; les séries (1) et (2) seront respectivement 


(1) Toni Cas ds rt lyeie Aya: de dde 


(2) Gps is as 1 y, 0,5, yss 5308. 


Cela posé, je dis que, pour démontrer le théorème relativement aux 


séries (1)et(2), il suffira de le démontrer relativement aux deux séries 


(+) 4 0, ces Œÿs Aÿ+is ÿ+os Aus bye by», .. Ds, 


ae os le A AN, 


L8 RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 

qui ne différent des deux séries données que parce qu'on a fait passer 
dans la première tous les termes de la seconde qui n'étaient pas com- 
muns aux deux séries. Pour prouver cette proposition il suffira de 
faire voir que toutes les sommes que l'on peut obtenir, en ajoutant 
successivement les termes de la série (4) à ceux de la série (3), sont 
nécessairement de la forme a,+ b,; en sorte qu'on peut les obtenir 
également en ajoutant successivement les termes de la série (2) à ceux 
de la série (1). Et, en effet, les sommes dont il s'agit sont de deux 
espèces. Les unes résultent de l'addition des termes @,, 1, di ia, 


de la série (4) aux termes 
by, dy Lys CRE) Le 


de la série (3), et sont évidemment de la forme &,+ b,. Les autres 


résultent de l'addition des termes de la série (4) avec les termes 


D A See in Ce DC à 
de la série (3); d'ailleurs, les termes 
CR 


os is As nee dy dy+1s . («7 


étant de la forme &,, et les termes de la série (4) pouvant être consi- 
dérés comme étant de la forme b,, parce qu'ils sont communs aux 
séries (1) et (2), les sommes dont il s'agit seront encore de la forme 
a, + b,. Ainsi, pour démontrer le théorème relativement aux séries (1) 
et (2), il suffira de le démontrer relativement aux séries (3) et (4) 
composées : l’une de 
Itar+b—y 
termes de formes différentes, l’autre de 


Doi) 


termes dont les formes sont comprises parmi celles des termes de la 
Sbrie (0). 
Cela posé, on pourra, par le moyen des transformations employées 


dans le deuxième cas, augmenter les séries (3) et (4) de quantités 


RECHERCHES SÛR LES NOMBRES. 49 
telles que les formes des termes de la série (4) sortent en partie com- 
prises et en partie non comprises parmi les formes des termes de la 
série (3). Soit +1 le nombre des termes qui, après ces transforma- 
tions, seront de même forme dans les deux séries; on pourra, en 
opérant comme ci-dessus, substituer aux séries (3) et (4) deux nou- 


velles séries (5) et (6) composées, Pune de 
Ita+B—y+(y—0)=1+a+p—0 
termes de formes différentes, l’autre de 
1 +0 


termes dont les formes se trouveront comprises parmi celles des termes 
de la série (5), et l'on prouvera, comme précédemment, que, pour 
démontrer le théorème relativement aux séries (3) et (4), il suffira de 
le démontrer relativement aux séries (5) ct (6). 

En continuant de même, on fera voir, en général, que lon peut 
substituer aux séries données, dont les nombres de termes sont respec- 
tivement 

a+1, 8+1, 
plusieurs autres systèmes de séries semblables, dont les nombres de 


termes soient respectivement 


les nombres entiers 8, y, à, e formant une série décroissante, et qu'il 
suffit de démontrer le théorème relativement au dernier de ces systèmes 
pour qu’il soit démontré relativement à tous les autres. D'ailleurs, les 
nombres entiers B, y, à, €, ... formant une série décroissante ct ne 
_ pouvant jamais être nuls, la série dont il s'agit se terminera nécessai- 
rement par l'unité, ct alors on obtiendra deux séries dont les nombres 


de termes seront respectivement 


OEuvres de C. — S. I, t. I. ÿ) 


50 RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 


Mais, d’après le théorème VI, les additions faites des termes de ces 
deux séries doivent fournir un nombre de sommes de formes diffé- 
rentes au moins égal à 

| a +8 +1. 


Le théorème VIT se trouvant ainsi vérifié par rapport à ces deux 
dernières séries, sera également vrai relativement aux deux séries 


données. 


Scholie. — 1 est facile de voir que le théorème que nous venons de 
démontrer n'a lieu, en général, que relativement à un diviseur premier. 
En effet, si, au lieu de prendre pour diviseur un nombre premier p, on 


prenait pour diviseur le nombre composé ap, alors, en supposant 


CAE re ee / 
et faisant 
&o — 0, LA YPE = 2P, on Cure (ne tip, 
bi, 0: et LE ne ba 6, 


et divisant la formule 4,40, par 2p, on ne pourrait obtentr pour 
restes que des nombres divisibles par p et, par suite, le nombre de 
ces res{es, ne pouvant surpasser 2 OÙ & + 1, serait nécessairement au- 
dessous de à + 5 4-1. 

Il existe pourtant un cas où le théorème VIT à lieu relativement à 


un diviseur quelconque : c’est celui où 
heu? 
comme nous le ferons voir ci-après. 


Corollaire. — Rien n'empêche, dans ce qui précède, de supposer la 





série (2) égale à la série (1); alors on a « — $ ct l’on peut énoncer le 


théorème de la manière suivante : 
Fuéorème VII. — Sox, pris pour diviseur, un nombre premier p; soùt 


24 +1, 


RECHERCHES SUR LES NOMBRES. oi 
el supposons que la formule a, puisse fournir & + 1 valeurs de formes 
différentes relativement à p, les sommes qui résulleront de toutes les com- 
binaisons possibles de ces valeurs, prises deux à deux, fourniront au 


moins 24 + 1 termes de formes différentes. 


TuéorÈème IX. — Soit, pris pour diviseur, un nombre entier quelconque n, 
premier ou non premier ; sotent & el 5 deux autres nombres entiers tels que 


l’on ait 
a+B+i—=n; 


supposons que la formule a, puisse fournir à + 1 valeurs de formes diffe- 
rentes et la formule b,, 8 + 1 valeurs de formes differentes, la formule 


a; + b, fournira 
a+B+i=n 


valeurs de formes differentes, c'est-à-dire des valeurs de toutes les formes 


poss bles. 


Ce théorème, qui est un cas particulier du théorème VIT, lorsque 
n est un nombre premier, peut se démontrer en général de Ja manière 


suivante. 


Démonstration. — Soit # un reste quelconque plus petit que 7; pour 
prouver que la formule a,+ b, donne au moins une valeur de la forme #, 
il suffira de prouver que la formule @, + b, — k fournira au moins üne 
valeur de la forme zéro ou, ce qui revient au même, que les formules «&, 
et # — b, fournissent au moins deux valeurs de mêmes formes. Et, en 
effet, la formule a, devant fournir & + 1 valeurs de formes différentes 
et la formule b,, 8 + 1 valeurs de formes différentes; si les deux for- 
mules ne pouvaient fournir deux valeurs de même forme, on aurait en 


tout 
a+B+2 ou n +1 


valeurs de formes différentes, ce qui est absurde. 


TnéorÈME X. — Soi, pris pour diviseur, un nombre quelconque n; 


92 RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 


sotent & el 5 deux nombres entiers tels que l’on ait 
e. 6: Nr La 
(eos me no rm (2 


si la formule &, fournit a + x valeurs de formes différentes et la formule b,, 
6 + 1 valeurs de formes différentes, une des valeurs de la formule a; + b, 


sera de la forme zéro, c'est-à-dire divisible par p. 


En effet, d’après le théorème précédent, la formule a, + b, doit 


fournir des valeurs de toutes les formes possibles. 


Tuéorëne XI, — Soc, pris pour diviseur, un nombre premier p; soient «, 


5, y des nombres entiers tels que l'on ait 
a+B+ip; 


supposons que la formule a, fournisse x + 1 valeurs de formes différentes. 
D 2 ( 2) 2 € > re DC ZT, or a C0 " ”) 

la formule b,, 5 + 1 valeurs de formes différentes et la formule c;, 7 +3 

valeurs de formes différentes; « + 5 + y +1 étant supposé où plus petit 

que p ou tout au plus égal à p, la formule a; + b,+ € fournira au 


moins 
x2+3+y+i 


valeurs de fl ormes differentes. 


Démonstration. — En effet, il suit du théorème VIT que la formule 
a; + b, fournira au moins & + 6 + 1 valeurs de fornies différentes. La 
formule €, fournissant, d'ailleurs, y + 1 valeurs de formes différentes, 
les deux formules a,+ b, et ce; réunies devront fournir, d’après Île 
théoreme VIT, 

(a+B)+y+i 


valeurs de formes différentes. 


: ee ; - ; : [NS 
Corollaire. — Si l'on suppose que la formule d, fournisse un nombre © 


de valeurs de formes différentes et que l’on ait 


a+B+y+Ô+iSp, 


RECHERCHES SUR LES NOMBRES. Sa 
on fera voir, par un raisonnement semblable à ceux que lon vient 
d'établir, que la formule 

Az + 0y+C+ du 
doit fournir au moins 


a+B+y+Ô0+i 


valeurs de formes différentes. En continuant de même, on démontrera, 


en général, le théorème suivant : 


Tu£orÈne XIT. — Sox, pris pour diviseur, un nombre premier p; soient 


O à F : 
au, G,Y,0,e,... des nombres entiers tels que l’on aùt 
a+B+y+Ô+e+...+1£p; 


supposons, de plus, que les formules 


puissent fournir, la prenuëre, à + 1 valeurs de formes différentes ; la 
deuxième, 5 + 1 valeurs de formes différentes ; la troisième, y + x valeurs 
de formes différentes, etc., la formule 

Az + by+ C:+ dut e+. 
fournira au moins 


QH+HB+y+Ô+E+...+i1 


valeurs de formes differentes. 


Corollaire. — Si l'on suppose 


ZH+B+y+È+E+.. +1 Rp, 
alors la formule 
GES b, + C + du + eo +. Ge 


fournira p valeurs de formes différentes, c’est-à-dire des valeurs de 
toutes les formes possibles; elle fournira done aussi une valeur de 
la forme zéro, c’est-à-dire divisible par p, d’où résulte le théorème 
suivant : 


1 


+ 


RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 


THÉORÈME XII. — Soit, pris pour diviseur, un nombre premier quel- 


. A . , . 
conque p; Soient à, B, , ds -:,E,... des nombres erliers Lels que l’on ait 


, 


a+ +y+ÔÈ+Eet+.. +1 p; 
supposons que les formules 
xs Le C:;, us Cvs 


puissent fournir, la premuère, à +1 valeurs de formes différentes: la 
deuxième, 5 + 1 valeurs de formes differentes ; la troisième, Y + 1 valeurs 
de formes différentes ; la quatrième, à + 1 valeurs de formes différentes ; 
la cinquième, & + 1 valeurs de formes différentes, etc. ; une des valeurs de 


la formule 
Ax+0,+e+di+..…. 


sera nécessairement divisible PACA LE 


Corollure. — Le théorème précédent aurait lieu, @ fortiori, si Von 
avait 
1+a+8+y+È+et+... > p. 
THÉORÈME NIV. — Saut, pris pour diviseur, un nombre premier p > 2 


el considérons la formule x? comme représentant le carré d’un nombre 


; a , . : DE 
entier pris & volonté. Je dis que la formule x? pourra fournir ©" valeurs 
| : 


de formes différentes. 


Démonstration. — Substituez successivement à la place de æ les 
différents termes de la suite 


‘ 
P —1 
Le EE 


4 


Fi / x D nc I > e . . 
qui sont en nombre égal à ET. Ilest facile de voir que ces substitu- 


tions donneront pour +? autant de valeurs de formes différentes. Et, en 
effet, soient r* et s? deux de ces valeurs. Pour que 7* ets? fussent de 
méme forme, il faudrait que leur différence 


Des —(r sr e s) 


RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 59 


fût divisible par p. Or, c'est ce qui ne peut être, puisque le plus grand 
des facteurs de cette différence, savoir r + s, est tout au plus égal à 





D — 3 D — I 
/ Le 1 pe 0 
2 2 
et, par conséquent, plus petit que p. 
Corollaire X. — Il est facile de voir que, si, dans la formule +?, on 


substitue successivement, à la place de æ, les termes de la suite 





PT Pp + 3 
y ) 


: pue 
2 2 oo” | 


on aura des valeurs de mêmes formes que celles qu'on avait déjà obte- 
nues par la substitution des nombres 


DER 


2 





à la place de +; seulement, les mêmes formes se trouveront reproduites 


dans un ordre inverse. En effet, la différence des carrés 


p + m\° (£ © 
Le — t 
ne 


est zxp et, par conséquent, divisible par p. 





. . ) + I 
Corollaire I. — La formule +? pouvant fournir _— restes de formes 


différentes, les formules 


Au, By et By?+ CC 


DS 


4 





pourront fournir chacune restes de formes différentes, pourvu 


que À, B ct C soient des nombres entiers non divisibles par p. Par 
suite, la formule 

Az +By'+cC 
pourra fournir p valeurs de formes différentes, c'est-à-dire des valeurs 
de toutes les formes possibles; elle fournira done aussi une valeur de 


96 RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 
la forme zéro, c'est-à-dire divisible par p, d’où résulte le théorème 


suivant : 


Taéorème XV. — Sou, pris pour diwiseur, un nombre premier p, et 
soient À, B, C des nombres entiers positifs ou négatifs, mais non dir 
sibles par p; on pourra toujours trouver, pour x et y, des valeurs telles 


que la formule 
Az+ By°+ 0C 


sou divisible par p. 


Nota. — 1] suit de Fa théorie précédente qu'on pourra toujours satis- 
faire à la question en prenant pour æ'ct pour y des valeurs entières 


vis 


plus petites que 


THÉORÈME XVI. — Designons par x" la somme des x premiers termes 


de la progression arithmétique 
1, IH, IHM, ..., I1+mMm(x—1); 


x" sera le terre général des nombres polygones de l’ordre m + 2 et l'on 
aura 
—  x(X —1) 
GO 0 = ce 
2 
Supposons d'abord m pair, et soit p un nombre premier quelconque >> 2. 


On pourra Loujours SUpposCcr 
P—IiI=ma+n, 


1 . ) — TJ 
& étant le quotient de 1 _ 





el n étant ou zéro ou un nombre entier plus 


peut que m. Cela posé, je dis que la formule x” pourra fournir à +1 
valeurs de formes différentes, si l’on a n — 0 et à + 2 valeurs de formes 


differentes dans le cas contraire. 
Démonstration. — Supposons d'âbord x — 0 ; on aura 
Par Ltée eL PES 


Substituez successivement, à la place de 7, dans la formule +”, les 


RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 


Oe 
1 


termes de la suite 
CRT D D, 0 


qui sont en nombre égal à & + 1. Il est facile de voir que ces substitu- 


tions donneront, pour +”, autant de valeurs de formes différentes et 
en effet, soient 7” et s” deux de ces valéurs. Pour que r* ets" fussent 
de même forme il faudrait que leur différence 

(Sas) Csen) 


— + r— Mm— 
2 2 





m 





ses] Fes 


fût divisible par p; or, c'est ce qui ne peut être, puisque le plus grand 


facteur de cette différence, savoir 


est tout au plus égal à 


mi 
—(a+a—i1—1)+iI—=mMm(X—1) —1 


et, par conséquent, plus petit que #24 + 1 ou p. 


Supposons, en second lieu, que 2 ne soit pas nul; alors on aura 


DT ou EURE De 
Dans ce cas, substituez successivement, à la place de æ, dans la for- 
mule +” les termes de la suite 
D RS D dr nu ML, 
qui sont en nombre égal à &« + 2. Il est facile de voir que ces substi- 
tutions donneront, pour +”, autant de valeurs de formes différentes. 


Et, en effet, soient r”, s” deux de ces valeurs. Pour que 7” ets” fussent 


de même forme il faudrait que leur différence 
0. £ 
Gen Rer+s-1 +] 
2 


fût divisible par p; or, c'est ce qui ne peut être, puisque le plus grand 


OEuvres de C.— S. I, t. I. S 


58 RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 
facteur de cette différence, savoir 


m 
bol) 


4 


est tout au plus égal à 

mn, 

(ROHAN) Ina: 
et, par conséquent, plus petit que #4 + 2 ou P: 


Corollaire. — Soient &”", y", 3", ... différents nombres polygones 
de Pordre » + 2, m étant un nombre pair. Soit, de plus, p un nombre 
premier, et soient & le quotient et 2 le reste de la division de p — 1 
par 22. Soient encore À, B, C, D, ... des nombres entiers positifs où 
négatifs non divisibles par p. Il suit de ce qu’on vient de dire : 


1° Que Îles formules 


au À D'LA À LIL B 


fourniront nécessairement & + 1 restes de formes différentes relative- 
ment à p, si 2 0st égal à zéro, ct & + 2 restes de formes différentes dans 
le cas contraire ; 
2° Que la formule 
Aux" + B y" + É 

fournira au moins 20 +1 valeurs de formes différentes relativement à p, 
si 2 est égal à zéro, ct 24 + 3 valeurs de formes différentes dans le cas 
contraire ; 


3° Que la formule 


Ax"+By#+ Cr D 


fournira au moins 34 + 1 valeurs de formes différentes, si n est égal à 
zér0, et 34 + 4 valeurs de formes différentes dans le cas contraire, etc. 
En continuant de même, on fera voir, en général, que, si la formule 


Ax+ By"+ C4 Dum+Evr+, HF 


RECHERCIIES SUR LES NOMBRES. 59 
est composée d'autant de termes variables qu'il y a d'unités dans 2, 
cette formule fournira #4 + 1 valeurs de formes différentes, si x est 
égal à zéro ou, ce qui revient au même, si l’on a p=ma+i et 
m(a+i)+1 valeurs de formes différentes, s'il est possible, dans le 
cas contraire; d’ailleurs, (4 +1) +1 étant toujours plus grand que 
ma+n où p, il est clair que la formule dont il s'agit devra fournir 
p valeurs de formes différentes, c'est-à-dire des valeurs de toutes les 
formes possibles et, par suite, une de ses valeurs devra être divisible 


par p, d’où résulte le théorème suivant : 


Tuéorëme NVIE — Soient m un nombre pair et p un nombre premier 
quelconque >> 2. 


* 


SOA, de Dis, Aa D 6, PE plusieurs nombres entiers positifs ou 
négalfs mas non divisibles par p. RÉPTENERONS DEAR D Ve des 
nombres polygones de l’ordre m + 2 et en nombre égal à m. On pourra 


Loujours trouver, pour x, y, =, des valeurs telles que la formule 
D 


sou divisible par p. 


Nota. — Il suit de la théorie précédente qu'on pourra touiours satis- 
J 


faire à la question en prenant pour æ, y, 5, ... des valeurs entitres 


ù ) 
plus petites que 1 + ee 
T0 

Corollaire 1. — Si l'on suppose 2 = 2, la formule que l'on consi- 


dère se réduira à trois termes de la forme 
Ax?+By+0C 


et l’on sera ramené au théorème XV, qui n'est qu'un cas particulier du 
précédent. 


Corollaire 11. — Si l'on suppose 


D 


60 RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 
on trouvera que la formule 
PENTIER ES 
composée d'autant de nombres polygones qu'il y a d'unités dans 2, est 


toujours divistble par un nombre premier donné. 


TnéorèMe XVIII. —— Designons par x' la sute des x premiers termes de 


la progression arilhmet tique 


æ' sera la formule generale des nombres triangularres et l'on aura 


— T(T HI) 
LE —— 2° 


2 


Sou, de plus, p un nombre premier quelconque >> 2 et soit 


P ce Le Do RS 


Je dis que la formule x! fournira nécessairement 4 +1 valeurs de 
formes différentes. 

Démonstration. -— Substituez successivement à la place de æ, dans 
la formule x', les termes de la suite 


MORE PE DE 


qui sont en nombre égal à x +1. Il est facile de voir que ces substi- 
tutions donneront, pour æ', autant de valeurs de formes différentes. 
Et, en effet, soient r' et s' deux de ces valeurs. Pour qu'elles fussent 


de méme forme, il faudrait que leur différence 





nr Doi CAS a 
1 An a 

2 
fût divisible par p; or, c'est ce qui ne peut être, puisque le plus grand 
facteur de cette différence, savoir r+s+r, peut tout au plus devenir 


égal à 
CRE Don Den ou à 24—p--1I. 


RECHERCHES SUR LES NOMBRES. GI 
Corollaire. — I suit du théorème précédent que, si l'on représente 


par À, B, Cdes nombres entiers non divisibles par p, les formules 
Ad ete Di 0 


fourniront chacune à + 1 valeurs de formes différentes. Par suite, la 
formule 

Ax'+Byi+C 
fournira 2% + 1 valeurs de formes différentes, c'est-à-dire des valeurs 
de toutes les formes possibles. Elle devra done fournir une valeur divi- 


sible par p, d'où l’on conclut le théorème suivant : 


TuéorRÈME XIX, — Soit p un nombre premier quelconque >> 23: sotent À, 
B, C des nombres entiers positifs où négatifs ras non divisibles par p: 
on pourra loujours trouver, pour æ et y, des valeurs telles que la formule 


Apte R y (0 
sou divistble Par p. 


TuéorÈue NX. — Socent m un nombre Impr et p un nombre premier 


quelconque ; soit à le quotient de la division de p par 2m, en sorte qu'on ait 
P1 
P = 914 LL 


n étant un nombre entier plus petit que 2m; sou, de plus. x" la formule 
générale des nombres poly gones de l'ordre m + 2; je dis que la formule x" 


fournira au moins x + 2 valeurs de formes différentes. 


Démonstration. — Substituez successivement, à la place de æ, dans 


la formule x”, les termes de Ja suite 


D Ab D pau ser Du ES 


qui sont en nombre égal à à + 2. Je dis que ces substitutions fourni- 


ront, pour +”, autant de valeurs de formes différentes. Et, en effet, 


soient r”* ets“ deux de ces valeurs; pour qu'elles fassent de même 


62 . RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 


forme, il faudrait que leur différence 


lu 


0e —s)[m(r+s—1)+2] 


fût divisible par p. Or, c'est ce qui ne peut être, puisque le plus grand 
facteur de cette différence, étant 


m 
—(FT+S—1) +1 
5) 


dans le cas où 7 — s est impair et 
M(r+S—1)+o 
dans le cas où 7 —s est pair, sera tout au plus égal à 
M(t+I+a—I1—1)+2 ou à 2R@—(m—2) 
el, par conséquent, plus petit que p. 
Corollaire. — Soient x“, y“, 2", .., des nombres polvgones de 
l’ordre impair me + 2; soient, de plus, p un nombre premier ct & le 


quotient de la division 





3) à . \ 
ll É enfin, soient À, B, C, ... des nombres 


entiers non divisibles par p: il suit du théorème précédent : 


1° Que les formules 
x", Az", Axm+B 


fourniront nécessairement » + 2 valeurs de formes différentes relati- 
vement à p; 
2° Que la formule 
Az ByM+C 
fournira 24 + 3 valeurs de formes différentes relativement à Le 
En continuant de même, on fera voir, en général, que, si la formule 


Axm+Byi+ Ce... +F 


est composée d'autant de termes variables qu'il y a d'unités dans 2m, 


RECHERCHES SUR LES NOMBRES. 63 


cette formule fournira, s'il est possible, 
2Mm(Xt+1)+1 

valeurs de formes différentes. Mais 
2M(X+I) +1 


étant plus grand que p, il est clair que la formule dont il s'agit four- 
nira p valeurs de formes différentes, c'est-à-dire des valeurs de toutes 
les formes possibles ; elle fournira done une valeur divisible par p et, 


par suite, on aura le théorème suivant : 


Faéorëue XXE. — Socent m un nombre umpeur el p un nombre premier 


s 


quelconque; soient, de D Ds | plusieurs nombres entiers 
positifs ou négatifs non divisibles par p; enfin, soient x", D 
nombres polygones de l’ordre m + 2 eten nombre égal à 2m; on pourra 


Loujours trouver, pour æ, y, 23, ..., des nombres tels que la formule 
Axm+ ByM+Csm+. LE, 


composée de 2m termes variables et d'un terme constant, soit divisible 


par }. 


TD ————— 


——_—. 


HÉABRARSS, 


OF FRE 


LNIVERSITY 


NE 


UT à n 
RS AL'EORN\iE 


Sn que 


DA 


ù 
\ 
|: 


7) 


4 





MÉMOIRE 


NOMBRE DES VALEURS QU'UNE FONCTION PEUT ACQUÉRIR, 


LORSQU'ON Y PERMUTE DE TOUTES LES MANIÈRES POSSIBLES 
LES QUANTITÉS QU'ELLE RENFERME. 


Journal de l'École Polytechnique, XVH° Cahier, Tome X, p. 1; 1815. 


MM. Lagrange et Vandermonde sont, je crois, les premiers qui aient 
considéré les fonctions de plusieurs variables relativement au nombre 
de valeurs qu'elles peuvent obtenir, lorsqu'on substitue ces variables 
à la place les unes des autres. Is ont donné plusieurs théorèmes inté- 
ressants relatifs à ce sujet dans deux Mémoires imprimés 6h 1771, lun 
à Berlin, l'autre à Paris. Depuis ce temps, quelques géomètres italiens 
se sont occupés avec succès de cette matière et, particulièrement, 
M. Ruffini, qui a consigné le résultat de ses recherches dans Ie Tome XII 
des Mémoires de la Societé ualienne et dans sa Thcorie des equations 
numériques. Une des conséquences les plus remarquables des travaux 
de ces divers géomètres est que, avee un nombre donné de lettres, on 
ne peut pas toujours former une fonction qui ait un nombre déterminé 
de valeurs. Les caractères par lesquels cette impossibilité se manifeste 
ne sont pas toujours faciles à saisir; mais on peut du moins, pour un 
nombre donné de lettres, assigner des limites que le nombre des 
valeurs ne peut dépasser et déterminer en outre un grand nombre de 
cas d'exclusion. Je vais exposer dans ce Mémoire ce qu'on avait déjà 


trouvé de plus important sur ect objet etee que mes propres recherches 


MÉMOIRE SUR LE NOMBRE DES VALEURS, ETC. 65 
m'ont permis d'y ajouter. J'examinerai plus particulièrement le cas où 
le nombre des valeurs d'une fonction est supposé plus petit que le 
nombre des lettres, parce que les fonctions de cctte nature sont celles 


dont la connaissance est la plus utile en Analyse. 





Considérons une fonction de plusieurs quantités ct supposons que 
l’on échange entre elles ces mêmes quantités une ou plusieurs fois de 
suite. Si la fonction est du genre de celles qu'on appèlle symétriques, 
elle ne changera pas de valeur par suite des transpositions opérées 
entre les quantités qu'elle renferme; mais si elle n’est pas symétrique, 
elle pourra obtenir, en vertu de ces mêmes transpositions, plusieurs 
valeurs différentes les unes des autres dont le nombre se trouvera 
déterminé par la nature de la fonction dont il s'agit. Si Fon partage 
les fonctions en divers ordres, suivant le nombre des quantités qu'elles 
renferment, en sorte qu'une fonction du deuxième ordre soit celle qui 
renferme deux quantités, une fonction du troisième ordre celle qui en 
renferme trois, ete., il sera facile de reconnaitre qu'il existe une liaison 
nécessaire entre le nombre des valeurs que peut obtenir une fonction 
non symétrique et l’ordre de cette même fonction. Ainsi, par exemple, 
une fonction du deuxième ordre ne pourra jamais obtenir que deux 
valeurs que l'on déduira l'une de l'autre par la transposition des deux 
quantités qui la composent. De même, une fonction du troisième ordre 
ne pourra obtenir plus de six valeurs; une fonetion du quatrième ordre, 
plus de vingt-quatre valeurs, ete. En général, le maximum du nombre 
des valeurs que peut obtenir une fonction de l’ordre x sera évidemment 


égal au produit 


car ce produit représente le nombre des manières différentes dont on 
peut disposer, à la suite les unes des autres, les quantités dont la fonc- 
tion se compose. On a donc déjà, par ce moyen, une limite que le 
nombre des valeurs en question ne peut dépasser; mais il s'en faut de 


OEuvres de CSI te 9 


66 MÉMOIRE SUR LE NOMBRE DES VALEURS 


beaucoup que dans chaque ordre on puisse former des fonctions dont 
le nombre des valeurs soit égal à l’un des nombres entiers situés 
au-dessous de cette limite. Un peu de réflexion suffit pour faire voir 
qu'aucun nombre au-dessous de la limite ne peut remplir la condition 
exigée, à moins qu'il ne soit diviseur de cette limite. On peut s'en 
assurer facilement à l'aide des considérations suivantes : 

Soit K une fonction quelconque de lordre à et désignons par @,, 
ds, ..., @, les quantités qu'elle renferme. Si l’on écrit à la suite les 
unes des autres les quantités dont il s'agit ou, ce qui revient au même, 
les indices qui les affectent, dans l'ordre où 11s se présentent lorsqu'on 
les passe en revue en allant de gauche à droite et en avant soin de 
n'écrire qu'une seule fois chaque indice, on aura une permutation de 
ces mêmes indices qui aura une relation nécessaire avec la fonction K. 


Par exemple, st la fonction K était du quatrième ordre et égale à 


aa COSA, + 4, SiD@3, 


li permutation relative à K serait 


oi 
© 

LE 
Ds 


St, au-dessous de la permutation relative à K, on écrit une autre 
permutation formée avec les indices 1, 2,3, ...,n, et que l'on remplace 
successivement dans la fonction K chacun des indices qui composent 
la permutation supérieure par lindice correspondant de là permutation 
inférieure, on aura une nouvelle valeur de K qui sera où ne sera pas 
équivalente à la première et la permutation relative à cette nouvelle 
valeur de K sera évidemment la permutation inférieure dont on vient 
de parler. On pourra obtenir, par ce moyen, les valeurs de K relatives 
aux diverses permutations que l'on peut former avec les indices tr, 2, 


d,+.., 42; Gt, Si Pon représente par 
LR CURSEUR 
les valeurs dont il s'agit, Icur nombre sera égal au produit 


A ET 


QU'UNE FONCTION PEUT ACQUÉRIR, ETC. 67 
et leur ensemble fournira toutes les valeurs possibles de la fonction K. 
Pour déduire deux de ces valeurs l'une de l'autre, il suffira de former 
les permutations relatives à ces deux valeurs et de substituer aux 
indices de la première permutation les indices correspondants pris 
dans la seconde. Pour indiquer cette substitution, j'écrirai les deux 
permutations entre parenthèses en plaçant la première au-dessus de Ta 


seconde; ainsi, par exemple, la substitution 
( 10 400 ) 
do. 
indiquera que l'on doit substituer, dans K, Findice 2 à lindiec +, 


l'indice 4 à l'indice 2, l'indice 3 à l'indice 4 et Findice 1 à Findice 5. 


Si donc on supposait, comme ci-dessus, 
K —«a;a; cosa, + 4, Sinds 
en désignant par K° la nouvelle valeur de K obtenue par la substitution 
A io 
+ 2 À RSS: | 
on aurait 
K'— aa} coSa; + a; Sin a. 


Afin d'abréger je représenterat, dans la suite, Les permutations elles- 


mêmes par des lettres majuscules. Ainsi, si on désigne la permutation 
( © 


Fo par A; 
et la permutation 


la substitution 


se trouvera indiquée de la manière survante : 


HF ) 
( AY 


/ 


Cela posé, K étant une fonction quelconque de l'ordre 7, désignons 


68 MÉMOIRE SUR LE NOMBRE DES VALEURS 


Dar N°IC:peoduitr se 1 n et par 
A A À; ses As 


les diverses permutations en nombre égal à N que l’on peut former 
avec les indices 1, 2, 3, ..., n3 N sera le nombre total des valeurs de 


la fonction K relatives à ces diverses permutations. Soient 
K;, k, K;, EDEN K\ 


ces mêmes valeurs. Si elles sont toutes différentes les unes des autres, 
N exprimera IC nombre des valeurs différentes de la fonction donnée ; 
mais, dans le cas contraire, le nombre de ces valeurs, étant plus petit 
que N, sera nécessairement un diviseur de N, comme on va le faire voir. 


Supposons que, parmi les valeurs possibles 
Lo K:; K;, DOUX) K\ 


de la fonction donnée, plusieurs deviennent égales entre elles, en sorte 


qu'on ait, par exemple, 
Viens Citer 


Désignons par M le nombre total des valeurs K,, Ke, K,,... que l’on 
SUppose ICI égales entre elles. Les permutations relatives à ces valeurs, 
OÙ À,, Àe, À 


P 


y» <.., Seront aussi en nombre égal à M. Pour déduire 
toutes ces permutations d’une seule, par exemple de À,, il suffira 
d'échanger entre eux, d'une certaine manière, les indices qui, dans 
cette permutation, occupent certaines places, ct l'on concoit facile- 
ment que si ces changements n’altèrent en rien la valeur COrrespon- 
dante K, de la fonction K, cela tient non pas à la valeur méme des 
indices, mais à la place que chacun d'eux occupe dans la permutation 
dont il s'agit. 

Cela posé, soit K, une nouvelle valeur de K qui ne soit pas égale 
à K,, ct désignons toujours par A; la permutation relative à K;. Si Pon 
fait subir simultanément, aux indices qui occupent les mêmes places 


dans les permutations A, et A,, les changements donton vient de parler, 


GUUNE FONCTION POLE ACOUERTR, PIC. 69 
la deuxième permutation de A; se trouvera successivement changée en 
plusieurs autres À,, À,, ..., pendant que la premiere, À,, deviendra 
successivement A5, À,,... ct, d'après le principe énoncé ci-dessus, il 


est évident que les équations 


Ki Ka= Ky—... 
entraineront celles-ci 


116 eue Ke Ko 


Il est aisé d'en conclure que, parmi les valeurs de K relatives à toutes 


les permutations possibles, savoir 
K;, K», K;, ESS Kx, 


le nombre de celles qui seront équivalentes à K; sera le même que Île 
nombre des valeurs équivalentes à K,. Par suite, si lon représente 
par R le nombre total des valeurs essentiellement différentes de Ja 
fonction K, M étant le nombre des valeurs équivalentes à K,, RM sera 
le nombre total des valeurs relatives aux diverses permutations. On 


aura done 


et, par suite, 


Ainsi R, ou le nombre des valeurs différentes de la fonction K, ne 
peut être qu’un diviseur de N, c'est-à-dire du produit 1.2.3.....n. Ce 
théorème, qui se présente dès les premiers pas que Pon veut faire dans 
la théorie des combinaisons, était déjà connu; mais rl était nécessaire 
de le rappeler ici pour l'intelligence de ce qui va suivre. Afin d'abré- 
ger, j'appellerai désormais #adice de la fonction K le nombre R qui 
indique combien cette fonction peut obtenir de valeurs essentielle- 
ment différentes et j'appellerai diviseur indicatif 1e nombre M par 
lequel on doit diviser N, ou le produit des indices 1, 2, 3,..., nr ren- 
fermés dans la fonction, pour obtenir Findice de la fonction elle-même. 


On vient de voir que le nombre des valeurs différentes d'une fonction 


70 MÉMOIRE SUR LE NOMBRE DES VALEURS 
de l'ordre x est nécessairement un diviseur du produit 
Es DE PE PP 


/ 


Le plus petit diviscur de ce produit est toujours égal à 2 etil'est facile 
de s'assurer que, dans un ordre quelconque, on peut former des fonc- 
{ons qui n'aient que deux valeurs différentes. Vandermonde a donné 
les moyens de composer des fonctions de cette espèce. En général, 


pour former avec les quantités 
D D 0, 


une fonction de l'ordre x dont Findice soit égal à 2, il suffira de consi- 
®, 


dérer la partie positive ou la partie négative du produit 
(di — @)(ai— as)... (di —a,)(as— as)... (a) — a)... (ar -- C2 AE 


qui a pour facteurs les différences des quantités 4,,a,,..., 4, prises 
deux à deux. 

En effet, supposons que, après avoir développé ce produit, on repré- 
sente par Pa somme des termes positifs et par Q Fa somme des termes 


négatits, le produit dont s'agit sera représenté par 
P TE Q, 


cUcomme ce produit ne peut jamais changer de valeur mais seulement 
de signe, en vertu de substitutions quelconques opérées entre les indices 
des quantités qu'il renferme, les substitutions dont il s'agit pourront 
seulement transformer P -- Q en Q -- P, c'est-à-dire changer Pen Q, et 
réciproquement. P et Q seront donc les deux valeurs d'une fonction qui 


ne pourra en obtenir d'autres. En supposant 2 = 3, on trouve 


P aa; +aa;+a?a,, 


Q—aai+a; a+ a;a?. 


On serait encore arrivé à de semblables conclusions si l’on eût mul- 
uphé le produit 


(ti— da —a)...(a—a,)(a — a,).. di) Ur 4.) 


QU’'UNE FONCTION PEUT ACQUÉRIR, ETC. 71 


par une fonction symétrique quelconque des quantités 
a io to. 


Ce qu'on vient de remarquer relativement au diviseur 2 du produit 
1.2.3....,7n n'est pas vrai, en général, relativement à l’un quelconque 
des diviseurs de ce produit, et il n'est pas toujours possible de former 
une fonction de l'ordre » dont les valeurs différentes soient en nombre 
égal à l'un de ces diviseurs pris à volonté. Supposons, par exemple, 
qu'il s'agisse de former une fonction K qui ait seulement trois valeurs 
différentes. Si x est égal à 3, on trouvera une infinité de fonctions qui 


remplhront la condition exigée, telles que 


AjAa + As 


Q(A3+ Q3), 


On pourra encore former des fonctions de cette espèce si 2 est égal 
à 4; par exemple, 
a + Ale 
(a+ @)(as+ a), 


Mais si x est égal à 5 ou surpasse 5, on n'en pourra plus former de 
semblables; on ne peut pas même, dans ce cas, former de fonctions 
qui n'aient que quatre valeurs. Ces deux propositions ont été démon- 
trées par M. Paolo Ruffini dans les Mémorres de la Société ttalienne, 
Tome XIE, et dans sa Théorie des équations. Avant été conduit, par des 
recherches sur les nombres, à m'occuper de la théorie des combinai- 
sons, je suis arrivé à la démonstration d'un théorème plus général qui 
renferme les deux précédents et qui détermine une limite au-dessous 
de laquelle le nombre des valeurs d’une fonction non symétrique de 
l'ordre x» ne peut jamais s’abaisser sans devenir égal à 2. Ce théoréme 


peut s’'énoncer ainsi qu'il suit : 


Le nombre des valeurs différentes d’une fonction non symétrique de 


19 MÉMOIRE SUR LE NOMBRE DES VALEURS 


ñn quantités ne peut s'abaisser au-dessous du plus grand nombre premier p 


contenu dans n sans devenir egal & 2. 


PREMIÈRE PARTIE DE LA DÉMONSTRATION. 


On fait voir que,:si l’on suppose R<p, chaque valeur de K 


ne pourra étre changée par aucune substitution du degré p. 


Comme pour démontrer le théorème précédent 1l est nécessaire de 
bien connaitre la nature de l'opération que j'ai désignée sous le nom 
de substitution, je commencera par donner sur cet objet de nouveaux 
développements. 

Soit K la fonction donnée de l'ordre 2; soit R son indice ou le nombre 
des valeurs essentiellement différentes qu'elle peut recevoir par des 
substitutions opérées entre les quantités dont elle se compose. Entin 
désignons par N le produit 1.2.3.....n3; R sera nécessatrementun divi- 


seur de N que je pourrat représenter par 


M° 


M étant ainsi le diviseur indicatif de la fonction K. Cela posé, soient A,, 
A, ..., A, les permutations en nombre égal à N que l’on peut former 


avec les indices renfermés dans K, et désignons par 
K,, | ss Ky 


les valeurs correspondantes de cette même fonction; pour déduire lune 
de l’autre deux de ces valeurs ou, ce qui revient au même, les permu- 
tations qui leur correspondent, par exemple A, et A,, 11 suffira de 
remplacer respectivement les indices compris dans la permutation A, 
par les indices correspondants compris dans la permutation A, Cette 
opération, que j'appelle substitution, sera, d'après les cohventions éta- 


blies, indiquée de la manière suivante : 


( À, \ 


QU'UNE FONCTION PEUT ACQUÉRIR, LPC: rh 
Les deux permutations A, et À, seront appelées respectivement premier 
et second terme de cette substitution. On peut, dans le premier terme À, 
de cette substitution, intervertir, de telle manière que Fon voudra, 
l’ordre des indices 1, 2, 3, ...,n, pourvu que l'on intervertisse de fa 
même manière l’ordre des indices correspondants compris dans le 
second terme À,. On pourra, en conséquence, donner successivement 
pour premier terme à la substitution proposée chacune des permuta- 
tions À,, À.,, A,,..., À, et la mettre ainsi sous un nombre égal à N de 
formes différentes qui seront toutes équivalentes entre elles. 

Je dirai qu'une substitution est le produit de plusieurs autres, lors- 
qu'elle donnera le même résultat que ces dernières opéréces SUCCESSI- 
vement. Par exemple, si en appliquant successivement à la permuti 
: : : Aa FA : 
tion A, les deux substitutions ) et ( ) on obtient pour résultat 


Rte à IE | 


4 À 


la permutation À,, la substitution ( ) sera équivalente au produit 


Âs / 


des deux autres, et j’indiquerai cette équivalence comme il suit: 
se A, N 4 A: ( VS | 
( A; ) ( A3 \ A5, 
Une substitution zdentique est celle dont les deux termes sont égaux 


entre eux. Les substitutions 


À: À: à F Ax 
, on 
Ai, À ne 
sont toutes identiques. 
Je dirai que deux substitutions sont contiguës lorsque le second 
terme de la première sera égal au premier terme de la seconde. Les 
. . . ” / A, 
deux substitutions contigues ( , 


À 


A. He: : 
( } Operecs successivement, 
/ 

\ 133 


; . : : À; 
donnent le même résultat que la substitution unique : À: on a donc 
la SO 7e 


A; ù = A; ) À À 
À; }= A3 | À; ) 


OEuvres de C. — S. U, t. |. 10 


7h MÉMOIRE SUR LE NOMBRE DES VALEURS 


On a de même, en général, 
eos 
\ A r ) Es A, i ( 1. 7” . À è À "D / 
Enfin, je dirai qu'une substitution est dérivée d’une autre, ou est une 


puissance d'une autre, si elle est équivalente à cette autre répétée plu- 


\ 


Fur \ 
sieurs fois de suite. J'indiquerai la puissance r de la substitution ( . ] 


ZA 
\ = / 


de Ja manière suivante : 


Supposons que l'on applique plusieurs fois de suite à la permu- 


tation A, la substitution ( : }» en sorte que cette substitution étant 


ñ 
Et ‘ 


appliquée à la permutation A, donne pour résultat la permutation A, : 
qu'étant appliquée à la pefmutation A,, elle donne pour résultat la 


permutation A,,cte. La série des permutations 


sera nécessairement composée d’un nombre fini de termes, et si l'on 

représente par x ce même nombre et par À,, la dernière des permuta- 

| ET di on . 

Hons obtenues, la substitution ( \ ) appliquée à cette dernière per- 
A4 

mutation reproduira de nouveau le terme A. Cela posé, si l’on range 

en cercle où plutôt en polygone régulier les permutations 


A;, À, A3, D CE A ; An 


ON EONCHION PEUDACOUPERIR ETC 20 


de la maniére suivante : 


toutes les substitutions que l'on pourra former avec deux permutations 


prises à la suite l'une de l'autre, et d'orient en occident dans le polv- 


/ N 
\ 


gone dontil s'agit, seront équivalentes entre elles et à }° et toutes 
Ag 

celles que lon pourra former avec deux permutations séparées lune 

de Pautre par un nombre r de côtés dans ce même polygone seront 

équivalentes à la puissance 7 de la substitution ( |: On aura, ce 


cette manière, 


re A, nd . 

( À, ) : ( À ) ( À, ) : : \ l 
A: / A FA . 

| . ne . ) — ( . } =... ( . } 
de A es 

Es ) al \ el À. } J 


Il suit de ces considérations : 1° que la puissance 72 de la substitu- 
; 4 À; ; : à : : : : f A; \ 
tion ( est équivalente à la substitution identique . , 2° que 
\ {44 / . x \ é 
/ A: \ 1)» 
æ étant un nombre entier quelconque, ( | sera encore une substi- 
tire VE 


a | 


tution identique ; 3° que, dans là même hypothèse, les substitutions 


nn fo PS . | / A, \o 
el ( ) sont équivalentes; 4° que la notation ] 
\ A, ; \ À; : \ A, 4 


76 MÉMOIRE SUR LE NOMBRE DES VALEURS 


indique une substitution identique; 5° que, parmi les substitutions 


À, Ce 
dérivées de ( d les seules qui soient différentes entre elles sont 
NME Zen 


les puissances dont Pexposant est plus petit que 72 ou, ce qui revient 


au même, les substitutions équivalentes à ces puissances, savoir : 


A / A, A, / A. 
) > :) SE ( “ 
A l A 0 A; / Ân 
Le nombre de ces substitutions est, comme celui des permutations A, 


À,,A,,..., À, égal à 72. Ce nombre sera appelé le degré de la substi- 


tution ( 


ND 


245 


} Si lon applique plusieurs fois de suite la substitution 


/ À, | : ; : 
; ) à la permutation AÀ,, on commencera par obtenir la suite des 
\ #44 / 


permutalions À,, À,, À,,..., A, ct, lorsqu'on sera parvenu à ce point, 
les mêmes permutations se reproduiront dans le même ordre d'une 
manière périodique. C'est pourquoi je dirai que les permutations pré- 


>: À Fo , à : À 1. 
cédentes forment une période qui correspond à [a substitution ( |. 
ÂÀ4 


/ 


: ES TEN 
Cela posé, le degré d'une substitution | d ) indique à la fois la plus 
\ A 

peute de ses puissances positives qui soit équivalente à une substitu- 
Uon identique etle nombre des permutations comprises dans la période 
qui résulte de l'application de la substitution donnée à une permutation 
déterminée. | 

La manière la plus simple de représenter une période est de ranger 
en cercle, où plutôt en polygone régulier, les permutations qui la com- 
posent, ainsi qu'on l’a déjà fait plus haut. 


Je dirai que le cercle suivant 


formé comme on vient de Le dire, est un des cercles de permutations 


QU'UNE FONCTION PEUT ACQUÉRIR, ETC. 71 


A + 
Sr 


qui correspondent à Ja substitution ( } Toute substitution qui à 


A4 


pour termes deux permutations comprises dans ce cercle est une des 


. . . À; 
puissances de la substitution ( }: 
HmU 


A 


Etant donné le cercle ou polygone précédent qui correspond à la 
ie Às cie | 
substitution } pour en déduire un polygone qui corresponde ? 


\ rate 


la substitution ( 
À, 


: 
. ) 1} suffit de joindre de ren r, en allant d'orient 
en occident, les sommets du polygone donné et d'écrire les permuta- 
tions que l’on y rencontre dans l'ordre où elles se présentent. Lorsque 
r ect Sont premiers entre CUX, On passe de cette manière sur tous les 
sommets du premier polygone et le second polygone renferme toutes 
les permutations comprises dans le premier; par suite, la substitu- 
A NE no. .. A, 
tion ( | ) est du degré 2, ainsi que la substitution donnée ( ! 
\ A4 hr 

el cette seconde substitution peut alors être considérée comme une 
puissance de l'autre. Cette circonstance à toujours lieu lorsque 72 est 
un nombre premier, quelle que soit d’ailleurs la valeur de r. 

Si l'on applique successivement la substitution | aux diffé- 

\ 2 

rentes valeurs de la fonction K ou, ce qui revient au même, aux per- 


mutations 
A; A As, D ON Ax 


f 


T 


qui leur correspondent, on obtiendra en tout un nombre égal à > de 


polvgones ou cercles différents Les uns des autres qui seront composés 
chacun de 72 permutations différentes. 

Cela posé, désignons sous le nom de permutations équivalentes celles 
qui correspondent à des valeurs équivalentes de la fonction K; les per- 


mutations équivalentes à A, étant, par hypothèse, en nombre égal à M: 
ilest visible que, si l'onaM > > On pourra, parmi les cercles que l'on 


vient de former, en trouver au moins un qui renferme deux des per- 


78 MEMOIRE SUR LE NOMBRE DES VALEURS 


mutations équivalentes dont il s'agit. Soient A,, A, ces deux permuta- 


| ne 7. k . 
tons; la substitution ( ) sera une des puissances de la substitu- 


y / 


: (4 À, : ñ 4 7: es 
tion } et Si, en outre, 2x est un nombre premier, sera 
VA \ #4 


To e Cr PS . 
encore une puissance de la substitution ( } D'ailleurs, les deux 


L d +. 


permutations AÀ,, A, étant équivalentes entre elles et à la permuta- 


È . . ne . 
tion À,, la substitution ( ; ) ne changera pas la valeur K, de la 
Ay , 


fonction K. Par suite, cette même valeur ne sera pas changée par la sub- 


: : À; . . ps : 
stitution ) plusieurs fois répétée; elle ne sera donc pas changée 
Nr 
. . $ À . . DE ; 
par la substitution ( si 2 est un nombre premier. Si l’on repré- 
A 
sente par p le plus grand des nombres premiers compris dans 2, on 
pourra supposer, dans ce qui précède, 


FLE Aa P: 


Nous sommes donc conduits, par les considérations précédentes, à 
ce résultat remarquable que, relativement à la fonction K, on ne peut 
supposer M> : ou, CC qui revient au même, R< p, à moins de sup- 
poser en même temps que la valeur K, de cette fonction ne peut être 
changée par aucune des substitutions du degré p. Il nous reste à faire 
voir que, pour satisfaire à cette dernière condition, on est obligé de 


rendre la fonction symétrique ou de supposer 


He 


DEUXIÈME PARTIE DE LA DÉMONSTRATION. 


On fait voir que, si une valeur de K ne peut être changée par aucune substi- 
tution du degré p, elle ne pourra étre changée par aucune des substitutions 
circulaires du troisième degré. 


Avant d'aller plus loin, il'est nécessaire d'examiner avec quelque 


attention la nature des substitutions du degré p que l'on peut former 


aveciles MAC T2 00 7. 


QU'UNE FONCTION PEUT ACQUÉRIR, ETC. rh 


Nous observerons d'abord que, si dans la substitution | 


\ A7 


Huis. 
: } formée 
par deux permutations prises à volonté dans la suite 


À;, A», A3 Gr) A, 


les deux termes AÀ,, A, renferment des indices correspondants qui soient 
respectivement égaux, On pourra, sans inconvénient, supprimer les 
mêmes indices pour ne conserver que ceux des indices correspondants 
qui sont respectivement inégaux. Ainsi, par CXONDIO SRI ODEIR =), 


les deux substitutions 


AE OS ES A 
NES 
VO Et Con 


seront équivalentes entre elles. Je dirai qu'une substitution aura été 
réduite à sa plus simple expression lorsqu'on aura supprimé, dans les 
deux termes, tous les indices correspondants égaux. 


) 


Soient maintenant «, B,y,..., €, n plusieurs des indices 1, 2,3, ...,n 
en nombre égal à p, ct supposons que la substitution réduite à 


Se 0 
sa plus simple expression prenne la forme 


? 
He dr pe 
en sorte que, pour déduire le second terme du premier, il suffise de 


ranger en cercle, ou plutôt en polygone régulier, les indices x, 5, +, 


O2 


,..., €, n de la manière suivante : 


CU 


(PERS 


ct de remplacer ensuite chaque indice par celui qui, le premier, vient 


prendre sa place lorsqu'on fait tourner d'orient en occident le polygone 


80 MÉMOIRE SUR LE NOMBRE DES VALEURS 

dont il s’agit. Il est aisé de voir que, pour obtenir la puissance r de la 
substitution donnée, il suffira de remplacer chaque indice du polygone 
par celui qui, le premier, vient prendre sa place après avoir passé sur 
un nombre de côtés égal à 7, lorsqu'on fait tourner le polygone d'orient 
en occident. Si l'on veut obtenir de ectte manière une substitution 
identique, il faudra supposer 7 égal à p où à un multiple de p; car 
chaque indice ne peut revenir à sa place primitive qu'après avoir fait 
une où plusieurs fois le tour du polygone. Il suit de là que le degré de 
la substitution donnée est égal à p. J'appellerai polygone indicatif où 
cercle indicatif le polygone ou cercle formé par les indices compris 
dans cette substitution et je la désignerai elle-même sous le nom.de 
substitution circulaire. Pour qu'une substitution soit circulaire, il suffit 
que, après l'avoir réduite à sa plus simple expression, on puisse passer 
en revue tous les indices qu'elle comprend, en comparant deux à deux 
les indices qui se correspondent dans les deux termes. Le degré d’une 
substitution circulaire est toujours égal au nombre des indices qu'elle 
renferme. 


Soit 


N 
ECO 

D 
O> 
* 


Se ( 1) } 
er Mo 
une substitution circulaire du degré p; 
CO 0, ne À ) 
ue ct 5 NE CN 
sera encore une substitution circulaire du degré p, et, comme elle est 


contiguë à la première, ces deux substitutions opérées successivement 


seront équivalentes à la substitution unique 


RS 
D Q 
LOS € 
RENE 
O> O2 
UY Y 
a 0 pre) 
Dre 
Î 
AT 
IS 
Q 
D » 
. 


Si done les deux premiéres substitutions ne changent pas la valeur K, 


de la fonction K, cette valeur ne sera pas non plus changée par la sub- 


QU'UNE FONCTION PEUT ACOUÉRIR, ETC. Si 
stitution circulaire du troisième degré 


PLATE 
ee 


\° 
I suit de là que, si la valeur K, n'est changée par aucune des substi- 
tutions circulaires du degré p, elle ne pourra être changée par aucune 
O O 
des substitutions circulaires du troisième degré; 1lne reste plus qu'à 


développer les conséquences de cette dernière condition. 


TROISIÈME PARTIE DE LA DÉMONSTRATION. 
On fait voir que, st une valeur de K n'est changée par aucune des substitutions 


circulaires du troisième degré, cette fonction sera symétrique ou n'aura que 
deux valeurs. 


Si l’on désigne sous le nom de transposition une substitution circu- 


. 
: En , x D 3 : 
laire du deuxième degré, telle que : | ou, Ce qui revient au 
\ ee © 


même, l'opération qui consiste à échanger Fun contre Pautre deux 
indices & et G, et que nous indiquerons comme il suit (x, 6) : chaque 
substitution circulaire du troisième degré sera équivalente à deux 
transpositions successivement opérées. Ainsi, par exemple, la substi- 
tution 


sera équivalente au produit des deux substitutions contiguëés 


AePAA PR 7 
e œ 71e œ :) 
que lon peut représenter aussi par 
(eo (5, 7). 
Si done la valeur K, n’est pas changée par la substitution circu- 
laire ( D } la même valeur ne sera pas changée par les transpo- 


4 [e 4 
OfPurres ACC SALE 1 


82 MÉMOIRE SUR LE NOMBRE DES VALEURS 


sitions (2,5), (3, y) opérées successivement et, par suite, la transpo- 
sition (x, 8) ne pourra changer K, en K, sans que la transposition 
(3, y) change réciproquement K, en K, ct, par conséquent aussi, K, 
en K,3 ainsi les deux transpositions (&, 6), (6, +), qui ont un indice 
commun 5, étant appliquées à Ke donneront le même résultat K,. On 
fera voir de même que, si la valeur K, n'est pas changée par la sub- 


stitution circulaire du troisième degré 


( se PE | 
) 
one 
les transpositions (3, +) et (y, 6), qui ont un indice commun y, chan- 


geront toutes deux K, en K,. Par suite, les transpositions 
(a 510) 


qui n'ont pas d'indices communs, conduiront encore au même résultat. 

suit de ce qu'on vient de dire que, si la valeur K, de la fonction K 
n'est changée par aucune des substitutions circulaires du troisième 
degré opérées entre les indices 1, 2, 3, ..., À et que l'on représente 
par KR, la valeur déduite de K, par la transposition (1, 2), toutes les 
autres transposttions changeront encore K, en K, et, par conséquent, 
K, en K,. Par suite, deux transpositions successives ne changeront 
pas la valeur K,. Ainsi, dans le cas que l’on considère, le nombre des 
valeurs différentes de la fonction K, valeurs que l'on peut toujours 
déduire de K, par des transpositions opérées entre les indices 1, 2, 
3,..., 2, sera tout au plus égal à 2; d’ailleurs, ilne pourrait se réduire 
à l'unité que dans le cas où cette fonction deviendrait symétrique. Il 
est donc prouvé par ce qui précède que, si la fonction K n’est pas symé- 
trique, le nombre de ses valeurs ne pourra être inférieur à p sans 
devenir égal à 2. 

Ainsi, par exemple, en exeluant les fonctions symétriques et celles 
qui ont deux valeurs seulement, on trouvera qu'une fonction du cin- 
quième où du sixième ordre ne peut obtenir moins de cinq valeurs ; 


une fonction du septième, du huitième, du neuvième ou du dixième 


OUUNE FONCELON PEU ACQUÉRIR, ETC. 83 
ordre, moins de sept valeurs; une fonction du onzième où du douziéme 
ordre, moins de onze valeurs, ete. Au reste, comme en supposant 7-5 
ou x — 4, on trouve p = 3, on voit que le théorème précédent, dans 
le troisième et le quatrième ordre, n'exclut pas les fonctions de trois 
valeurs. 

Lorsque l’ordre de la fonction est lui-même un nombre premier, on 
ap = An; ainst, toute fonction dont l'ordre est un nombre premier ne 
peut obtenir moins de valeurs qu'elle ne renferme de quantités, pourvu 
que l’on suppose toujours exclues les fonctions qui n’ont pas plus de 
deux valeurs. 

Au reste, il n’est pas toujours possible d'abaisser Pindice, c'est-à-dire 
le nombre des valeurs d’une fonction jusqu'à la Frmite que nous venons 
d’assigner, et, si l’on en excepte les fonctions du quatrième ordre qui 
peuvent obtenir trois valeurs, je ne connais pas de fonctions non svmé- 
triques dont l'indice soit inférieur à l’ordre, sans être égal à 2. Le 
théorème ci-dessus démontré prouve du moins qu'il n'en existe pas 
de semblables quand l'ordre À de la fonction est un nombre premier, 
puisque alors la limite trouvée se confond avec ce nombre. On peut 
encore démontrer cette assertion, lorsque 2 est égal à 6, en faisant voir 
qu'une fonction de six lettres ne peut obtenir moins de six valeurs 
quand elle en a plus de deux. On y parvient à l'aide des considérations 
suivantes. 

Soit K une fonction du sixième ordre, et désignons toujours par 
1,2, 3, 4, 5, 6 les indices qui affectent les six quantités qu'elle ren- 
ferme; le nombre total des valeurs possibles de la fonction K sera égal 
au produit 
1:49 4,9,0 7320. 

Soient maintenant &, 8, y trois des six indices pris à volonté et K, une 
des valeurs de K. Le nombre des permutations que lon peut former 


avec les trois indices &, 6, y étant égal au produit 
DE Ps Dal À 


on pourra toujours déduire de la valeur K, cinq autres valeurs de la 


84 MÉMOIRE SUR LE NOMBRE DES VALEURS 
fonction K au moyen de transpositions ou de substitutions circulaires 


du troisième degré opérées entre les indices x, $, y. Soient 


seront toutes différentes les unes des autres ou bien elles seront égales 
deux à deux, trois à trois, ou toutes égales entre elles. Dans la première 
hypothèse, le nombre des valeurs différentes de la fonction donnée sera 
au moins égal à 6. Dans Îles trois autres hypothèses, une au moins des 


valeurs 


sera égale à K,; ct, par suite, on pourra, sans altérer la valeur K,, 
échanger entre eux dans cette valeur deux ou trois des indices &, 6, +, 
Soit au moven d'une simple transposition, soit au moyen d'une substi- 
tubon cireulare du troisième degré. 

Supposons maintenant que l'on partage en plusieurs groupes les six 
indices 1, 2,3, 4, 5, 6, de manière à renfermer dans un même groupe 
deux indices qui sont à la fois compris, soit dans une transposition, 
soit dans une substitution circulaire du troisième degré qui ne change 
pas la valeur K,. D'après ce qui précède, pour que la fonction donnée 
puisse obtenir moins de six valeurs, il est nécessaire que, sur trois 
indices z, 5, + pris à volonté, deux au moins se trouvent compris dans 
un même groupe et, dans ce cas, on ne pourra évidemment former que 
deux groupes différents, l'un de ces deux groupes pouvant être com- 
posé d'un seul indice. Il reste à savoir combien la fonction K peut 
obtenir de valeurs différentes quand le nombre des groupes ainsi formé 
est égal à 2 ef quand ce même nombre se réduit à l'unité; l’ordre 
établi entre trois indices pris à volonté pouvant être interverti d’une 
certaine maniere sans que la valeur K, soit altérée. 


Supposons d'abord que les indices se partagent en deux groupes. 


QU'UNE FONCTION PEUT ACQUÉRIR, | Of ME OU 89 
Soient & et 8 deux indices pris dans Fun des groupes et + un indice 
pris dans l’autre groupe. Puisqu'on peut échanger entre eux deux de 
ces trois indices sans altérer la valeur K, et que l'indice y ne peut être 
échangé avec l’un des deux autres, il est clair que la valeur K, ne sera 
pas altérée par la transposition (x, 6). Par suite, cette valeur ne pourra 
être changée par aucune substitution opérée entre les indices d'un 
même groupe, mais elle sera nécessairement altérée par les transpo- 
sitions ou substitutions qui feront passer dans un des groupes une 
partie des indices de l'autre; on peut même assurer que deux valeurs 
de K, pour lesquelles la composition des deux groupes sera différente, 
seront nécessairement Inégales; car, si cela n'avait pas lieu, les valeurs 
de K relatives aux diverses manières dont on peut composer les deux 
groupes dont il s'agit seraient égales deux à deux, trois à trois, ete., ou 
toutes égales entre elles. L'une d'elles serait done égale à la valeur K, 
de Ja fonction K et, relativement à cette même valeur, il y aurait plu- 
sieurs manieres de composer les deux groupes, ce qui est absurde. 
Ainsi, pour obtenir les valeurs différentes, il suffira de faire passer 
successivement tous les indices d’un groupe dans l’autre ou d'échanger 
les deux groupes entre eux. Cela posé, on obtiendra les résultats 
suivants. 

Si l’un des groupes est composé de cinq indices et Pautre d’un seul, 
comme en pourra faire passer successivement dans ce dernier groupe 
chacun des indices 1, 2, 3, 4, 5, 6, on obtiendra en tout six valeurs 
différentes de la fonction K. 

Si l’un des groupes est composé de quatre indices et l'autre de deux, 
comme on pourra faire passer successivement dans ce dernier groupe 
toutes les combinaisons des six indices pris deux à deux, on obtiendra 
en tout quinze valeurs différentes de la fonction. 

Enfin, si les deux groupes sont formés chacun de trois indices et 
qu'on ne puisse échanger ces deux groupes, en faisant passer succes- 
sivement dans l’un d'eux toutes les combinaisons des indices pris trois 
à trois, on obtiendra en tout vingt valeurs différentes de la fonction 


donnée. Le nombre de ces valeurs deviendrait moitié moindre et se 


86 MÉMOIRE SUR LE NOMBRE DES VALEURS 
réduirait à dix si l’on pouvait échanger entre eux les deux groupes, 
c'est-à-dire substituer en même temps tous les indices du premier 
groupe à ceux du deuxième et réciproquement. | 

Ainsi, lorsque les indices peuvent être partagés en deux groupes, 
de telle manière que la transposition de deux indices renfermés dans 
un même groupe ne change pas la valeur K,, le nombre des valeurs 
différentes que la fonction K peut recevoir est nécessairement un de 


ceux-Cl 


Pour offrir des exemples de ces différents cas, il suffit de citer les 


quatre fonctions suivantes : 


AA 34, As + 6» 
Al + ds AG 
CRETE + 24,a;€6, 
Ai A A3 + 4, ds. 


Dans chacune de ces fonctions, les indices se partagent en deux 
groupes lorsqu'on rassemble dans un même groupe ceux qui sont à 
la fois compris dans des transpositions ou substitutions circulaires du 
troisième degré qui ne changent pas la valeur de a fonction. Voyons 
maintenant ce qui arriverait si tous les indices se trouvaient alors 
renfermés dans un seul groupe. . 

Dans cette derniére hypothèse, étant donnée une substitution circu- 
lire du deuxième ou du troisième degré qui ne change pas la valeur K, 
de la fonction K, on pourra toujours trouver une autre substitution de 
méme espèce qui ne change pas cette valeur et qui ait un ou deux 
indices communs avec la première. Cela posé, il est facile de voir que 
toutes les transpositions opérées sur K,, entre deux indices pris à 
volonté dans les deux substitutions dont il s’agit, conduiront à une 
même valeur de la fonction K. Et, en effet, si les deux substitutions 
dont il s’agit ont deux indices communs & et B, il pourra arriver, ou 
que l'une d'elles soit du deuxième degré et l’autre du troisième, ou 


qu'elles soient toutes deux du troisième degré. Dans le premier cas, 


OHUNE FONCDION PEUP ACOGURRIR, ETC S7 


elles pourront être représentées par 


8 à B y à 


y étant un troisième indice et, puisque la deuxième ne change pas la 
valeur K,, on prouvera, par un raisonnement semblable à ceux qu'on 
a déjà faits en pareille circonstance, que les trois substitutions où 
transpositions 
(x, B), (x, y), (B,7) 
donnent la même valeur de K. Dans le deuxième cas, les deux substi- 
tutions données pourront être représentées par 
na 
L) s) 
en ee 
N »: Sig : = É 
y et © étant deux nouveaux indices. En vertu de la première, les trois 
transpositions | 
(æ, B), (a 7), (B,7y) 
donneront la même valeur de K. En vertu de la deuxième, les trois 
transpositions 
(æ, B), (x, à), (5,0) 
donneront aussi la même valeur de K et, comme la transposition (4, 3) 
ne peut donner qu'une seule valeur de K, il en résulte que les cinq 


transpositions 
(æ, B), (æ, 7); té y} (a, 0}, (B;, 0) 


conduiront au même résultat. 

Supposons maintenant que les deux substitutions données aient un 
seul indice commun. Il pourra arriver, ou que ces deux substitutions 
soient du deuxième degré, où que l’une soit du deuxième degré et 
l’autre du troisième, ou que toutes deux soient du troisième degré. 


Pour donner un exemple du premier cas, soient 


rs 


85 MÉMOIRE SUR LE NOMBRE DES VALEURS 


deux substitutions qui ne changent pas la valeur K;; ces deux substi- 
tutions équivalent aux deux transpositions (æ, 6) (æ, y) et, comme 
en vertu de la première on peut faire passer l'indice 8 à la place de 
l'indice # sans déplacer l'indice y, il est clair que les indices $ et + 
jouiront respectivement des mêmes propriétés que les indices «& et y, 
“en sorte que la transposition 
CB; 7) 
ne changera pas la valeur K,. 


Soient, dans le deuxième cas, 
ul 
B æ, MRC 
les deux substitutions données; on pourra, en opérant une où deux 
fois de suite la deuxième substitution, faire passer successivement 


l'indice set l'indice à à la place de l'indice & sans déplacer l'indice 5. 


Par suite, les trois transpositions - 


ne changeront pas la valeur K,, et l'on en conclura, comme dans Île 


cas précédent, que les transpositions 
(æ, 7), (æ, à), (7 0) 


ne la changeront pas non plus. 


Enfin, soient, dans le troisième cas, 


les deux substitutions données; on pourra, en opérant une ou deux 
fois de suite la deuxième substitution, faire passer successivement les 
indices à et € à la place de l'indice & sans déplacer les indices $ et y, 
et l’on en conelura que les substitutions 


U un É 5 2 é É a 
. bad 0 CR 


(TÉMENE-FONCTÉRON PEUT ACQUÉRIR, 1 4 GA 89 
ne changent pas la valeur K,3; par suite, les {ranspositions opérées 
entre deux quelconques des indices «, D 2, e donneront une même 
valeur de la fonction K. | 

Si l’on étend de proche en proche les raisonnements que lon vient 
de faire aux indices compris dans les diverses substitutions qui, par 
hypothèse, ne changent pas la valeur K,, on en conclur: que les 
transpositions effectuées sur K, entre les six indices 1, 2, 3, 4, 5, G, 
considérés deux à deux, conduisent toutes à une même valeur de la 
fonction K, que je désignerai par K, ; par suite, K, conservera la même 
valeur après un nombre pair de Cranspositions successives et sera 
changé en K, après un nombre impair de {ranspositions. La fonction 
aura donc deux valeurs si K, et K, sont différents Fun de l'autre: elle 
n'en aura qu'une seule, c’est-à-dire qu'elle deviendra symétrique, si 
l'on a 

eh. 

En résumant ce qui a été dit ci-dessus, on voit qu'une fonetion du 
sixième ordre ne peut avoir moins de six valeurs, à moins que le 
nombre de ces valeurs ne devienne égal à 2 où à l'unité. 

Tous les théorèmes énoncés dans le présent Mémoire subsisteraient 
encore si quelques-unes des quantités renfermées dans les fonctions 
que l’on considère s'y trouvaient multipliées par zéro; mais alors ces 
dernières quantités venant à disparaitre, il faudrait, pour déterminer 
l'ordre de chaque fonction, avoir égard, non pas au nombre des quan- 
tés qu’elle renferme, mais au nombre de ces quantités augmenté du 
nombre de celles qu’on peut substituer à leur place. Ainsi, par exemple, 
si l'on désigne par @,, a,, a,, a, les quatre racines d’une équation du 
quatrième degré, la quantité 


A+ A, 


considérée comme une fonction de ces racines, sera du quatrième 
ordre, et cette fonction sera susceptible de six valeurs qui seront res- 
pectivement 

CEE CA dir as RS LEP As + As. As + As CR A pa (A TER 


OEuvres de C. — S.I, t. I. 12 


à] 


90 MÉMOIRE SUR LE NOMBRE DES VALEURS, ETC. 

I ne sera peut-être pas inutile d'indiquer iet les conditions aux- 
quelles une fonction doit satisfaire pour que le nombre de ses valeurs 
se réduise à 2. Soit K une fonction de cette nature et désignons par 
K,,K, les deux valeurs dont il s'agit. Le nombre de ces valeurs étant 
égal à 2 et, par conséquent, inférieur à 6, si l'on partage en plusieurs 
groupes les indices contenus dans la fonction, de manière à renfermer 
dans un même groupe deux indices qui sont à la fois compris, soit dans 
une transposition, soit dans une substitution circulaire du troisième 
degré qui ne change pas la valeur K,3; on fera voir, comme ci-dessus, 
que, sur trois indices pris à volonté, deux au moins seront compris 
dans un même groupe, d'où il suit qu'on ne pourra former plus de 
deux groupes différents. D'ailleurs, en appliquant ici les ratsonnements 
dont nous avons déjà fait usage, on prouvera que le nombre des groupes 
ne saurait être égal à 2, à moins que les diverses valeurs de la fonction, 
relatives aux différentes manitres dont on peut composer ces deux 
sroupes en faisant passer les indices de Fun dans l'autre, ne sotent 
toutes inégales et, dans ce cas, le nombre des valeurs de la fonction 
serait nécessairement supérieur à 2, ce qui est contre l'hypothèse. Par 
suite, pour que cette hypothèse subsiste, il est nécessaire que tous les 
indices soient renfermés dans un seul groupe; d'où l'on peut conclure, 
au moven de la théorie précédemment exposée, que K, doit conserver 
le même signe après un nombre pair de transpositions d'indices et se 
changer en K, après un nombre impair de tanspositions. Ainsi, par 


exemple, toute fonction qui, comme la suivante, 
(ai — &r)(@ — a;)...(a —a,)(@;— d3)...(dr — An).. (An; — An), 


ne peut obtenir que deux valeurs égales ct de signes contraires, COM- 
servera toujours le même signe après un nombre pair de transpositions 
d'indices et changera toujours de signe après un nombre impair de 
transpositions; d'où 11 suit que chacun de ses termes, soumis aux 
franspositions que Fon considère, recevra alternativement le signè + 
ct le signe —. 


ne 





MÉMOIRE 


FONCTIONS QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS 


ÉGALES ET DE SIGNES CONTRAIRES PAR SUITE DES TRANSPOSITIONS 
OPÉRÉES ENTRE LES VARIABLES QU'ELLES RENFERMENT (1). 


PREMIERE PARTIE. 


CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES ALTERNÉES. 


S I. Après les fonctions qu'on appelle ordinairement symétriques 
et qui ne changent ni de valeur ni de signe, par suite des transpositions 
opérées entre les variables qu'elles renferment, les plus remarquables 
sont celles qui peuvent changer de signe, mais non pas de valeur, en 
vertu des mêmes transpositions. Lorsqu'on développe ces dernières, 
on les trouve composées de plusieurs termes alternativement positifs 
et négatifs et, pour Îles transformer en fonctions symétriques ordi- 
naires, 1} suffirait de changer le signe des termes négatifs. En faveur 
de cette analogie, je comprendrai sous la dénomination commune de 
fonctions symétriques toutes les fonctions qui ne changent pas de valeur, 


mais tout au plus de signe en vertu de transpositions opérées entre Les 


(1) Lu à l'Institut, le 50 novembre 1812. 


92 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 

varlables qu'elles renferment, ct, pour distinguer les fonctions dont les 
différents termes conservent le même signe après chaque transposition 
de celles dont les termes deviennent alternativement positifs et néga- 
UES, J'appellerai les premières fonctions symétriques permanentes et les 
secondes /onctions symétriques alternées. W suit du précédent Mémoire 
que ces deux espèces de fonctions sont les seules dont la valeur absolue 
ne change pas. Je partagerai encore iei les fonctions en plusieurs ordres, 
suivant le nombre des quantités qu'elles renferment, et je désignera 


foujours par des lettres affectées d'indices, telles que 
ds UN 2, a}, 


les 2 variables que renferme une fonction svmétrique de l’ordre n. 
[ \ 


Cela posé, concevons les diverses suites de quantités 


is A; on CL 
7e b,, +. (re 
Ro Ce 

9 ., ss .. 


tellement liées entre elles que la transposition de deux indices pris 
dans l’une des suites nécessite Ia même transposition dans toutes les 


autres; alors les quantités 
One OP NC RE ee 
pourront être considérées comme des fonctions semblables de 
de did. 
et, par suite, les fonctions de 
ee D en OU ii Ce os 0, Dhs, 


qui ne changeront pas de valeur, mais tout au plus de signe, en vertu 
de transpositions opérées entre les indices 1, 2, 3, ..., n, devront être 


rangées parmi les fonctions symétriques de &,, a,, ..., a, ou, ce qui 


QUI NE PEUVENT OBTENIR GLIHODEUN VALEURS RD 9) 
revient au même, des indices 1, 2, 3, ..., 7. Ainsi 


2 UE 2 
(A PE nt A CC A 
&bi+ br + asb;+ acces, 
&b:+ @b3+ abi+ab;+ab,+ a;b,, 


COS(a; — a;)Cos(a; — 43) COS(a;— a3) 


seront des fonctions symétriques permanentes, la première du deuxième 


ordre et les autres du troisième et, au contraire, 


A b3+ Qsd3+ ab; — ab, — a; b;— ab, 


Sin(a;— @,)sSin(a; —a;)sin(a;—a«;) 


seront des fonctions symétriques alternées du troisième ordre. 

Lorsqu'une fonction n'est pas symétrique, elle peut obtenir un 
nombre déterminé de valeurs différentes les unes des autres, lorsque 
l’on échange entre elles les quantités qui la composent: mais alors la 
sonme de ces valeurs est une fonction symétrique permanente, et sien 
ajoutant ces mêmes valeurs on leur donne alternativement le SIGNE + 
et le signe —, suivant une loi que nous déterminerons ci-après, on 
obtiendra pour l'ordinaire une fonction symétrique alternée. 

On peut généraliser cette définition des fonctions symétriques en 
supposant que non seulement on échange éntre elles les quantités qui 
composent la fonction non symétrique dont il s'agit, mais qu'on Îles 
échange encore avec d'autres quantités qui ne soient pas comprises 
dans cette même fonction, Cela posé, on pourra considérer, en général, 
une fonction symétrique comme formée de plusieurs termes que l’on 
déduit les uns des autres par des transpositions opérées entre les quan- 
ütés qu’elle renferme ou, ce qui revient au même, entre les indices qui 
affectent ces quantités, et l’on concoit que, pour déterminer une fonc- 
on symétrique permanente ou alternée, il suffira de connaître, avec 
l’un de ses termes, le nombre d'indices qu'elle doit renfermer, c’est- 
‘à-dire l’ordre de la fonction donnée. 

I suit de ce qui précède que la théorie des fonctions symétriques 


doit embrasser deux espèces d'opérations différentes. 


96 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


Des deux fonctions symétriques alternées S(Æ K), S'(Æ K), la pre- 


micre est de l’ordre x et la seconde de l'ordre ». Ces deux fonctions 


deviendraient égales entre elles si Pon avait = 72; mais, dans le cas 


contraire, la première ne sera qu'une partie de la seconde. Quant aux 


deux notations S(E K), S'(Æ K), on les déduit évidemment des deux 


précédentes en y changeant le signe de K; d’où il suit que les quatre 


notations relatives aux fonctions symétriques alternées se réduisent 


eHectivement à 2. 


Si dans ce qui précède on suppose, pour abréger, 


K;+Ks+K;+...=E, 


Ki+Ki+K,+...—F, 


chacune des fonctions E, F ne pourra obtenir que deux valeurs par 


suite des franspositions opérées entre les indices x,°6, +, ... 


dans la fonction K, et lon aura 


De mème, st lon suppose 


K:+K;+Ko+...=6G, 


OR REP umU em Red 


chacune des fonctions G, H ne pourra obtenir que deux valeurs par 


suite des transpositions opérées entre les indices r, 2, 3, . 


aura 


bn elEdn 


SG PIE OPEN = SN 0e 


Pour comprendre dans un seul exemple les quatre notations précé- 


den tes, supposons 


K FRE &; D 
et l’on trouvera, dans ce cas, 
Did 4h 40, 
S'iai) —ab, Lab. +ab Lab) Pa) ts rosb: 


te &; b;) vx EnS &; Ds — (Æ) be 


S 
S2 (+ 


( AN 


db:)=ub,+ab;+ ab, — ab, -- ab, a; 0b,. 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 97 


Pour représenter, au moyen des notations précédentes, une fonction 
symétrique permanente ou alternée, on n'est obligé d'écrire qu'un seul 
de ses termes. Je désignerai celui-ci sous le nom de terme indicatif, 
parce qu'il suffit pour indiquer la valeur de la fonction tout entière. 
Dans l'exemple précédent, a, 0, est le terme indicatif des quatre fonc- 


{ions symétriques 
S(ab;), SS(aib:), Sim uiDal deu 


Au reste, on peut choisir pour terme indicatif un quelconque de ceux 
dont la fonction se compose. Seulement, lorsqu'il s'agit d’une fonction 
symétrique alternée, on‘doit placer le signe Æ devant ce terme Silse 
trouve affecté du signe + dans le développement de la fonction donnée 


et le signe + dans le cas contraire. On trouvera, de cette manicre, 


S (aib,;)=S (a, b,), 
lab) = (mb oh}, 


ne 


. 


S CE 1 0e) pes S (Aura RENTE 


nm D me ere) Dee ee 7e — 


S I. Toute fonction K qui n'est pas svmétrique peut devenir le 
terme indicatif d’une fonction symétrique permanente S(K) ou S'CK). 
Si la fonction K est elle-même symétrique et permanente relativement 


aux indices qu'elle renferme, on.aura 


et si elle est symétrique et permanente relativement aux indices 1, 2, 
MON AUTA 
Sn 0 ee à 


La même remarque ne peut pas s'étendre aux fonctions symétriques 
alternées, et pour qu'une fonction, qui n'est pas symétrique, puisse 
devenir le terme indicatif d’une fonction symétrique alternée, 1Pest 
nécessaire qu'elle satisfasse à certaines conditions que nous allons 
déterminer tout à l'heure. 


OEuvres de C. — S. I, t. I. 17e 


Le 


98 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


Soit toujours K une fonction quelconque non symétrique. Soient 


fY 
=) 


D ie Dei, 


les indices qu'elle renferme. Désignons par le nombre de ces indices 


et par Q le produit 


On a fait voir, dans le précédent Mémoire, comment les diverses 
valeurs que l'on peut déduire de la fonction K, par des transpositions 
opérées entre les indices x, 3, +, 6, .., €, n, correspondaient aux 
diverses permutations que l'on peut former avec ces mêmes indices et 


dont le nombre est égal à Q. Soient 


les permutations dont il s'agit et désignons par 
h K;, K;, GRECE Ko 


la série des valeurs K qui leur correspondent. La somme des valeurs 
inégales comprises dans cette série sera équivalente à la fonction 
svinétrique permanente SCK). Mais, pour obtenir s'il v a lieu, au 
moyen des termes de la série, la fonction symétrique alternée S(Æ K), 
il sera nécessaire d'établir une distinction entre les termes qui devront 
être considérés comme positifs e£ ceux qui devront être considérés 
comme négatifs. Par suite, on devra faire un partage entre les termes 


dont 1] s'agit Où, 6e qui revient au même, entre les permutations 


qui leur correspondent. On peut effectuer ce partage à l’aide des consi- 
dérations suivantes : 
Soit A, une quelconque des permutations formées avec les indices 


. : . | ee | 
2,6,%,0,..., €, n, et désignons comme à l'ordinaire par 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 99 
la substitution qui sert à déduire la permutation À, de a permuta- 
tion A. Si cette substitution est du genre de celles que j'ai nommées 
substitutions circulaires, on pourra passer en revue tous les indices 
qu'elle renferme en comparant deux à deux les indices qui se corres- 
pondent dans ses deux termes et, dans ce cas, l'on pourra ranger en 
cercle tous les-indices donnés «, 8,7%, ..., de manière que deux indices 
pris dans le cercle à la suite l'un de l’autre, et d'orient en occident, 
soient toujours ceux qui sont situés l'un au-dessus de Fautre dans la 
substitution donnée, savoir : le premier dans le ferme supérieur et le 
second dans le terme inférieur de cette substitution. Dans le cas con- 
traire, si l’on compare deux à deux les indices correspondants en 
partant d’un indice déterminé pris dans le terme supérieur, on se 
trouvera ramené à cet indice avant d'avoir passé fous les autres en 
revue, et l’on sera ainsi conduit à ranger les indices donnés en plu- 
sicurs cercles et à former des cercles d’un seul indice toutes les fois 
qu'on trouvera dans les deux termes de la substitution des indices 


a 
correspondants égaux entre eux. Alors la substitution | \ | sera 


D 


équivalente au produit des substitutions cireulaires correspondant à 


ER 


ces différents cercles. Ainsi, par exemple, si l'on suppose #, 5, y, .. 


respectivement égaux à 1, 2, 3,4, 5,06, 7 et que l'on suppose en outre 
) ( RSS ER Er ) 

par ; , 
( Ar. Mi bo hrs 


on sera conduit, par la comparaison des indices correspondants pris 


DE 


\ 


dans les deux termes de la substitution précédente, à former Îles 


quatre cercles 


Le 


6 de de . : EE 


dont les deux derniers ne comprennent qu’un seul indice. Par suite, la 


substitution donnée sera équivalente au produit des quatre substitu- 


100 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


tions circulaires 


dont les deux dernières sont identiques, et Pon aura 


| Po db } 
M0 ti. \ 


En 


nn, 
JO 
CMNEACS 
_ (ap 
ne de 
ap 
ÉTCUES 

ot 
(ee) D 
dr 
A , 
l SI 


ce dont il est facile de s'assurer immédiatement. 


| S As » à 
Si l’on supposait A,-=- A,, la substitution ( | | deviendrait iden- 


Sie HE 4 
tique et, par suite, serait décomposable en autant de substitutions 
circulaires identiques qu’elle renferme d'indices. La comparaison des 
indices correspondants conduirait donc alors à former un nombre égal 
à x de cercles différents composés chacun d'un seul indice. 

Si l'on suppose les deux permutations À,, A, différentes lune de 
l'autre, le nombre des cercles obtenus par la méthode précédente sera 
inférieur à 72. Désignons par g ce même nombre. Supposons, de plus, 
que la transposition de deux indices pris à volonté dans la permuta- 
tion À, change celle-ci en A,, et soit 2 le nombre des cercles que l'on 
obtient par la comparaison des indices correspondants de la substi- 


tution 


ilest facile de prouver que l’on aura toujours 
1 jen 


En eflet, la transposition (x, 8) qui, par hypothèse, change la permu- 


) en celle-ci ( . | 


. : ne. A; 
tation A,en A,, changera aussi la substitution ( 
IAL, 


d’ailleurs, cette transposition n'avant évidemment aucune influence 
sur les cercles qui ne renferment ni l'indice & ni l'indice 6, il suffira 


de considérer les cercles qui renferment les deux indices en question. 


OUI NE PEUVENT OBTENIR OUR DEUX VALEURS, ETC, EU 


Cela posé, il peut arriver, où que les indices & et 8 soient tous deux 


RS / Ai 
compris dans un des cercles relatifs à la substitution \ b où qu'ils 


soient compris dans deux cercles différents. Nous allons examiner 
chacun de ces deux cas séparément. 


Supposons d'abord que les indices x ct 6 soient compris dans un 


. de A, ; 
seul des cercles que fournit la décomposition de | en substtu- 


tions circulaires, et soit 


a 
; : 
"+ N 
A A2 0 
D 
; F2 \ 1 


k cercle dont il s’agit; alors | sera équivalente au produit de 


Ja 
\ hs 


plusieurs substitutions cireulaires dont Fune sera 


En vertu de la transposition (x; 6) effectuée sur le second terme de 
‘Ai  n CR a 
la substitution , la substitution circulaire dont il s’agit se chan- 
\ O 
sr. S y 


gera dans la substitution suivante 


NS 
e dde du 


qui est elle-même décomposable en deux substitutions circulaires, 


O> 
TD 
m 
fx 
D 


CA) 
TD 


savoir 
|: 
D Le rdc 


Ainsi, dans le cas que l’on considère, la transposition (x, 8) décom- 
pose le cercle qui renferme les indices & et 8 en deux cercles distincts. 


La valeur de g se trouve done par ce moyen augmentée d'une unité et, 


102 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


par suite, On à 
hi a Le 


Supposons, en second lieu, que les indices & et 5 soient compris 


dans deux cercles différents, et soit 


le cercle qui renferme l'indice & et 
q 


8 


HT 


S 
[o] 


le cercle qui renferme l'indice 3; alors, parmi les diverses substitutions 


} se trouveront comprises 


/ 


cireulaires dont le produit équivaut à 


les deux suivantes : 


Lo à 7 : a ù é nt 
}» NS a e Ï: 
Ô Lo à 


mais celles-e1, en vertu de la transposition (&, 8) effectuée sur le 
k : TR ; . 
second terme de la substitution : }; se réuniront en une seule 


substitution circulaire qui sera 


. £ C N 1 }: 
RP A CO TT on 


Ainsi, dans le second cas, le nombre des cercles relatifs à la substi- 


: A A; \ : nn : a En 
tution + ] sera inférieur d'une unité au nombre des cercles relatifs 


. : : A, 
à la substitution . } et l'on aura 


ZA & 


h=g— 1. 


La démonstration précédente subsiste dans le cas même où chacun 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 103 


des indices &, 8 formerait à lui seul un cercle. En effet, la substitu- 
} 


: ] qui, en vertu de la transposition (4, 5) opérée sur A,, se trouve- 


à ; ve . . . . . / 
tion ) renfermerait alors les deux substitutions identiques ( 
À, . n-. 


‘aient converties en une seule substitution circulaire, savoir 


o — 1. 


on aura donc toujours, où À — ri, vus 


Par suite de la proposition qu'on vient d'établir, À sera nécessaire- 
ment un nombre par SI £ est un nombre impair, et réciproquement. 
Cela posé, partageons en deux classes toutes les substitutions qui ont 


pour termes deux permutations prises dans la suite 
À, A4, À 3,  . à. 


de manière à renfermer dans l’une des classes toutes les substitutions 
qui correspondent à un nombre pur de cercles et, dans l'autre classe, 
toutes les substitutions qui correspondent à un nombre impair de 
cercles. Enfin, supposons que la première des deux classes soit celle 


qui renferme les substitutions identiques 


La substitution ( ; ) sera de première classe si m et £g sont deux 
Cas 


nombres pairs ou deux nombres impairs ou, ce qui revient au même, si 
mn — g est un nombre pair; la même substitution sera de seconde classe 
dans le cas contraire. 11 suit de cette définitioh et du théorème démontré 
ci-dessus que, si l’on effectue sur le second terme d'une substitution 
de première classe plusieurs transpositions successives, les nouvelles 
substitutions obtenues par ce moyen seront alternativement de seconde 


et de première classe; de sorte qu'on obtiendra toujours une substitu- 


10% MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 

tion de première classe après un nombre pair de transpositions et une 
substitution de seconde classe après un nombre impair de transposi- 
tions. Supposons, par exemple, que lon ait déduit Ta substitution 
À 


1 À; u 0. . . 
| de la substitution identique 


au moyen de plusieurs 
A4 / ee 


transpositions opérées sur le second terme de cette dernière; le nombre 


de ces transpositions sera nécessairement pair si la substitution ; 


NUE » a. 


est de première classe; il sera nécessairement impair dans le cas con- 
traire. Ainsi, deux permutations ÀA,, A, ne peuvent être déduites lune 
de Pautre par un nombre pair de transpositions que dans le cas où 
la substitution qui les a pour termes est de première classe; elles ne 
peuvent être déduites lune de l’autre par un nombre impair de trans- 
positions que ‘dans le cas où cette substitution est de seconde classe. 
[est au reste indifférent de prendre pour premier terme de la substi- 
tution l'une où l'autre des permutations dont il s'agit. En vertu de la 


remarque qu'on vient de faire, les permutations 
As TA M er A6 
+ 


se partageront naturellement en deux classes dont la première com- 
prendra, par exemple, la permutation À, avec toutes celles que l'on 
peut en déduire par un nombre pair de transpositions, et dont la 
seconde renfermera toutes les autres. Le partage étant ainsi fait, on 
sera toujours obligé d'effectuer un nombre pair de transpositions pour 
déduire deux permutations l'une de Fautre si ces permutations sont 
comprises dans la même classe, et un nombre impair de franspositions 
sices permutations sontrespectivement comprises dans les deux classes 
que l’on considère. De plus, on reconnaitra facilement si deux permu- 
tations données A,, À, sont de même classe ou de classes opposées à 
l’aide de la règle suivante : 

Soit g le nombre des cercles résultant de la comparaison des indices 


, A A 
qui se correspondent dans les deux termes de Ja substitution ( }: 
CENT 


QUILNES PEUVENT OBTENTR OUR DEUX VÉEROUDS PC 10 
Les deux permutations À,, À, seront de même classe si — g est un 
nombre pair et de classes opposées dans le cas contraire. 

Ainsi, par exemple, st les indices &, 8, y, ... sont respectivement 


égaux à 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, la substitution 


étant équivalente au produit de quatre substitutions circulaires, on 
aura 
NT,  — ts Mm—g—=3 


et, par suite, les deux permutations 


Le 0 


1.07), 4 
seront de classes opposées. 
Désignons {toujours par 
de 


la série des valeurs de K qui correspondent aux diverses permutations 
des indices donnés et supposons K, — K. Les termes de la série précé- 
dente se partageront en deux classes distinctes ainsi que les permu- 
tations qui leur correspondent. La première classe renfermera Île 
terme K et tous ceux que l’on peut en déduire par un nombre pair de 
transpositions; la seconde renfermera tous les termes que lon peut 
déduire de K par un nombre impair de transpositions. Soient respec- 


tivement 
Rs, K6, K, 


les termes inégaux compris dans la première classe et 


les termes inégaux compris dans la seconde classe. Si les deux 
suites précédentes n'ont pas de termes qui leur soient communs, on 


OEuvres de C. — S. II, t. 1. 14 


106 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


aur 
. À). 

Mais si deux termes, pris l'un dans la première suite, Pautre dans la 
seconde, par exemple K, et K;,, sont égaux entre eux, alors chacun des 
termes de la premiére suite deviendra égal à l'un des termes de la 
seconde. En effet, K3 étant un terme quelconque de la première suite 
différent de K,, si l'on effectue simultanément sur les indices corres- 
pondants de ces deux termes un nombre impair de transpositions, au 
moyen desquelles K, soit changé en K;, Kg se trouvera de cette manière 
changé en un terme K, de la seconde suite, et l'équation K,=K, 
entrainera celle-ci: K, = Kg. On démontre aisément cette proposition 
à Paide des principes établis dans le précédent Mémoire. Cela posé, 
l'expression S(ÆK), qui désignait en général une fonction symé- 
trique alternée, se trouvera, dans lhypothèse que l’on considère, 
réduite à zéro. Dans tout autre cas, cette expression aura une valeur 
algébrique déterminée, Aïnsi, la seule condition nécessaire pour que 
la fonction K puisse devenir le terme indicatif d’une fonction symé- 
trique alternée de la forme 

S(+K) 


est que deux valeurs de cette fonction, obtenues lune par un nombre 
pair et l'autre par un nombre impair de transpositions des indices ren- 
fermés dans K, soient toujours différentes l'une de l’autre. Si les indices 


2, 6,y,...renfermés dans K deviennent respectivement égaux à 
SE CE AN 


et si l'on suppose, en outre, que les quantités affectées de quelqu'un 
de ces indices puissent avoir zéro pour coefficient dans la fonction K, 


expression S( K) se trouvera transformée en celle-ci 
S(+K) 


et, par conséquent, la seule condition nécessaire pour qu'une fonction 


non symétrique puisse devenir le terme indicatif d'une fonction symé- 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 107 
trique alternée de la forme S'(< K) est que deux valeurs de la fonc- 
tion, obtenues l’une par un nombre pair de transpositions des indices 
1, 2, 3, .,., R, l'autre par un nombre impair de transpositions des 
mêmes indices, soient toujours différentes l’une de l’autre. Cette condi- 
tion exige que le nombre des indices renfermés ostensiblement dans 
la fonction K soit égal à à où à 2 -— 1. Si donc on représente à l'ordi- 


naire par »2 le nombre de ces indices, on aura nécessairement 
M nn — I ou ? 4 À Hat) à 


Dans ce dernier cas, les deux expressions S(ÆK), SEK) deviennent 
équivalentes. Au reste, on pourra toujours reconnaitre si deux termes 
pris à volonté dans une fonction symétrique alternée v sont affectés de 
même signe ou de signes contraires, au moyen de la règle qui sert à 
distinguer entre elles les permutations de première et de seconde 
classe. Aïnsi, lon pourra obtenir immédiatement le signe de chacun 


des termes en Île comparant au terme indicatif. 


S IT. D'après la définition que nous avons donnée des fonctions 
symétriques permanentes où alternées, il est aisé de voir que le pro- 
duit ou le quotient de deux fonctions symétriques alternées de l'ordre x 
est une fonction symétrique permanente de mème ordre que les deux 
premières. Réciproquement, le produit ou le quotient de deux fonc- 
tions symétriques, l’une permanente et l'autre alternée, du même ordre 
est une fonction symétrique alternée de même ordre qu’elles. 

Lorsque, dans une fonction symétrique alternée, on transpose deux 
indices x, BG pris à volonté, la fonction changeant alors de signe, il 
est nécessaire que tous les termes positifs deviennent respectivement 
égaux à ceux qui étaient négatifs et réciproquement. Cela posé, conce- 
vons que l’on développe cette fonction suivant les puissances et les 
produits des quantités qu’elle renferme. Il suit de la remarque précé- 
dente : 1° que les termes positifs du développement seront en nombre 
égal à celui des termes négatifs; 2° que tous les termes qui ne changent 


pas de valeur par la transposition de deux indices pris à volonté dis- 


[RU MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 

paraitront nécessairement; 3° que si Pon remplace dans tous les termes 
Pindice & par l'indice $, sans remplacer en même temps l'indice 8 par 
l'indice >, la fonction symétrique alternée se trouvera réduite à zéro. 
in effet, de cette manière, on rendra équivalents entre eux les termes 
que l'on déduisait les uns des autres par la transposition (x, 6), c'est- 
à-dire les termes positifs et les termes négatifs. Ainsi, par exemple, si, 
dans Pexpression 


S(+ abs) = ab; — ab, 


on remplace 2 par 1, cette expression deviendra 


Sa, b,)—=4b,; ab, —=0, 


On peut encore déduire, des considérations précédentes, le théorème 


sulvant : 


Soit S(+ K) une fonction symétrique alternée quelconque. Designons 


AC De RTL indices qu'elle renferme et par 


us 49, lys +. 

be be, D. 

Cus CB, Cy ee 
, LT 


les quantités qui, dans cette fonction, se trouvent affectées des indices à, 
B,+,.... Si l’on remplace 


D 6 ere On CO es by, c,, 


par des fonctions semblables des quantités de, Ag, Ay, ---, 00 fonction 


symétrique alternée deviendra divisible par chacune des quantités 


y 48, 
day Der dy; 
“2 


aÿ— dy, 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEETS 6 EC. 0 108 
En effet, soient # et deux indices pris à volonté. En vertu de ce qui 


précède, la fonction deviendra nulle si Fon suppose 


da = AG. 
Elle sera donc divisible par 


du pe 


Il suit de ce théorème que toute fonction symétrique alternée, qui 


ne renferme qu'une seule espèce de quantités telles que 
Ga, A, 0 +, 


est divisible par les différences respectives des quantités dont il s'agit. 
Elle est donc aussi divisible par le produit de ces différences. Ainsi, 
par exemple, si l'on désigne par p, 9, r,... des nombres entiers pris 


à volonté, la fonction symétrique alternée 
Si aa a} LCR 
sera toujours divisible par le produit 
(ag— dx) (ay— ax)...(ag— a)... 


Cette même fonction deviendrait nulle si deux des nombres RE ie à 
étaient égaux entre eux. 

De Ode D désignant des nombres entiers quel- 
conques Inégaux, 

Soda dus 40. 

sera une fonction symétrique alternée divisible par le produit 

A—(a;—a)(a;—a)...(a,—a;)(a— a)...(a, — a)...(a, — a). 

Si l’on suppose 


DE=10) (5 Dm PA Te 0, us Ses), CENNEEETE 


la somme des exposants des lettres &,, &,...,a,, dans chaque terme 


110 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


de la fonction symétrique alternée 





Srioaraid a Fe EE 
sera 
n(n—:1) 
DÉS no CR ra 
. : \ . : ; , A(n—1) 
Mais les facteurs du produit A étant aussi en nombre égal à nn 


la somme des exposants des lettres &,, a,,..., &,, dans chaque terme 
du développement de ce produit, sera encore égale à ce nombre; par 
suite, le quotient qu'on obtiendra, en divisant la fonction symétrique 
alternée par le produit, sera une quantité constante. Soit c la quantité 


dont il s'agit, on aurc 


Sétioidie dei) CA. 


Pour déterminer « on observera que le terme 


n—2 -1 


0 l FA n 
da, 4; A;. : An ln 


a pour coefficient Punité dans la fonction donnée et dans le produit A: 


on doit done avoir e == 1 et, par suite, a étant égal à r, 


Lo ra, 


l_ — (a, —a,)(a—a)...(@— a)(a—u)...(a, a). (a, a; ). 
ne Ne : 
Ainsi, par exemple, si l’on suppose ? = 3. on trouvera 


S(+ aa?) = aa? + d3Q? + aa? — A3; — Ai — Aa 


== (As — &;) (a3— &;) tu Q3). 


Cette dernière équation a été donnée par Vandermonde dans son Mé- 
moire sur la résolution des équations. 
Nous avons fait voir ci-dessus que la fonction symétrique alternée 


Ne a EE PE AO 


LE ar ni 


était toujours divisible par le produit A. Elle sera donc aussi divisible 


par la fonction symétrique alternée 


à — 2 n—2 ;yn—1) 
ro Le Ca 2 NE EN: FR 


HET 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS BEC Tr 
Soit P le quotient; P sera nécessairement une fonction symétrique per- 


manente des quantités &,, a,,..., a, et l’on aura, en général, 
! 2 ne O 





Pa 
D 
sr 
un 
un 
à 
L2 
Q 
L°1 
Q 
Le 


Si dans l’équation précédente on suppose 


P — 0; { —1,; Vi 9, , Sn 0 ENT, 


la fonction P sera nécessairement du premier degré par rapport aux 
quantités @,, a, ..., a, et, comme elle doit être symétrique et perma- 


nente par rapport à ces quantités, on sera obligé de supposer P égale à 
C(a+a+...+a,)—=cS"(a,), 


c étant une constante qui ne peut différer ici de Funité: on aura done, 
en général, 


- 


(3) Dior  miut) ee (Aie (EU Hu à 


Ainsi, par exemple, si l’on suppose 2 — 5, on aura 


AAÿ + as4i + Aa — a;ai — aQŸ + a ai 
= (a+ata,)(aai + aai+aa;— a;ai— «aai— «a a}) 


=(t+ai+a)(a—a)(a;--a,)(a;-— @). 
Si dans l'équation (2) on suppose 


Du da ui S—=n—1, th 


ou aura évidemment 


PDG 4, 4. 


On a donc, en général, 


2 3 A | A 2 3 Se è 
Pete da  Ain = T ou. da) 
L'ime NDES jh | 


re 2 
{ — A2 43... .An-rl» SEE da; EU ni dan 


= Ai A Age An An (Aer — d)(as — @)... (an — &)(a3— ds)... (an — a)... (a, — an). 


112 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 
Ainsi, par exemple, en supposant 2 = 5, on trouvera 


aa? ai + aa ai + ad} ai — 4 ai ar — aya?ai — a ai as 
= A@d3(@s — &) (43 — &)(43— &). 
Lorsqu'on suppose p —0,n= 2 et que l'on remplace les quantités &,, 


a, par des lettres différentes æ et y, l'équation (2) se réduit à 


( 
CARE 4 . 
CERN 9 


TŒ=Y 


d'où il suit que æ?— y? est, en général, divisible par æ — 7. 





De même, si l'on suppose p — 0, » = 3, on trouvera que 
“LE in per a lTi a pt yat mu cl 
est toujours divisible par le produit 
CAL T 10 ne 

BUS 

Pour être certain que deux fonctions symétriques alternées sont 
égales entre elles, il suffit de s'assurer : 1° que tous les termes ren- 
fermés dans la premiére sont aussi renfermés dans la seconde; 2° que 
ces termes ont les mêmes coefficients numériques dans l’une et dans 
l'autre; 3° qu'un des termes de la première a le même signe que Le 
terme correspondant pris dans la seconde. 

Je vais maintenant examiner particulièrement une certaine espèce 
de fonctions symétriques alternées qui s'offrent d’elles-mêmes dans un 
grand nombre de recherches analytiques. C'est au moyen de ces fonc- 
tions qu'on exprime les valeurs générales des inconnues que ren- 
ferment plusieurs équations du premier degré. Elles se représentent 
toutes les fois qu’on a des équations de condition à former, ainsi que 
dans la théorie générale de l'élimination. MM. Laplace et Vandermonde 
les ont considérées sous ce rapport dans les Mémoires de l’Académie 
des Sciences (année 1372) et M. Bézout les a encore examinées depuis 
sous le mème point de vue dans sa Théorie des équations. M. Gauss s'en 


est servi avec avantage dans ses Recherches analytiques pour découvrir 


OUICNE PEUVENT OBTENTR OUE DEUX VALEURS, EF0 113 
les propriétés générales des formes du second degré, c’est-à-dire des 
polynomes du second degré à deux où à plusieurs variables, et il a 
désigné ces mêmes fonctions sous le nom de déterminants. Je conser- 
verai cette dénomination qui fournit un moven facile dénoncer les 
résultats; j'observerat seulement qu'on donne aussi quelquefois aux 
fonctions dont il s’agit le nom de resultantes à deux où à plusieurs 
lettres. Ainsi les deux expressions suivantes, déterminant e{ résultante, 


devront être regardées comme svnonvmes. 


DEUXIÈME PARTIE. 


DES FONCTIONS SYMÉTRIQUES ALTERNÉES DÉSIGNÉES SOUS LE NOM 


DE DÉTERMINANTS. 


PREMIÈRE SECTION. 


Des déterminants en général el des systèmes symétriques. 


S I. Soient a,,a,, …., a, plusieurs quantités différentes en nombre 
égal à z. On a fait voir ci-dessus que, en multipliant le produit de ces 


quantités ou 
Had. à. 


par le produit de leurs différences respectives, où par 
(a: — a;)(as—-4,)...(an — &) (43 — 2)... (an — Qs).. (An — An), 
on obtenait pour résultat la fonction symétrique alternée 
SÉSNO de 4, 
qui, par conséquent, se trouve toujours égale au produit 


Ales. An(Qo — d)(43— 4a,)...(a, — a;)(a3— Go)... (An — Aa). (An — An). 


Supposons maintenant que l’on développe ce dernier produit et que, 
dans chaque terme du développement, on remplace lexposant de 


” 


OEuvres de C. — S. I, t. I. 1 


112 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 
Ainsi, par exemple, en supposant #2 — 3, on trouvera 
aa? ai + aa a + ad? ai — «ajai — a;a; ai — azaia; 
— A td@3(Qs — a) (a; — 4 )(43— A). 
Lorsqu'on suppose p— 0,72 e6tque l’on remplace les quantités &,, 
a, par des lettres différentes æ et y, l'équation (2) se réduit à 


de y{ 
so 


dr. 


d'où il suit que &?— y est, en général, divisible par æ — y. 


De même, si l'on suppose p — 0, À = 3, on trouvera que 





Ty" + 13" + 3x — x yÎ— y'a: — 5x 
est toujours divisible par le produit 


(æ er 


y)(æ—s)(y —5s). 


v 


HEC. CE 

Pour être certain que deux fonctions symétriques alternées sont 
égales entre elles, il suit de s'assurer : 1° que tous Îles termes ren- 
fermés dans la premiére sont aussi renfermés dans la seconde; 2° que 
ces termes ont les mêmes coefficients numériques dans l’une et dans 
l'autre; 3° qu'un des termes de la première à le même signe que le 
terme correspondant pris dans la seconde. 

Je vais maintenant examiner particulièrement une certaine espèce 
de fonctions symétriques alternées qui s'offrent d’elles-mêmes dans un 
grand nombre de recherches analytiques. C'est au moyen de ces fonc- 
tions qu'on exprime les valeurs générales des inconnues que ren- 
ferment plusieurs équations du premier degré. Elles se représentent 
toutes les fois qu’on a des équations de condition à former, ainsi que 
dans la théorie générale de l'élimination. MM. Laplace et Vandermonde 
les ont considérées sous ce rapport dans les Heémorres de l’Académie 
des Sciences (année 1372) et M. Bézout les a encore examinées depuis 
sous le mème point de vue dans sa Théorie des équations. M. Gauss s’en 


est servi avec avantage dans ses Recherches analytiques pour découvrir 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 113 
les propriétés générales des formes du second degré, c'est-à-dire des 
polynomes du second degré à deux ou à plusieurs variables, et 1l a 
désigné ces mêmes fonctions sous le nom de déterminants. Je conser- 
verai cette dénomination qui fournit un moven facile d'énoncer les 
résultats: j'observerai seulement qu'on donne aussi quelquefois aux 
fonctions dont il s’agit le nom de resultantes à deux où à plusieurs 
lettres. Ainsi les deux expressions suivantes, déterminant e\ résultante, 


devront être regardées comme svnonvmes. 
O . . 


DEUXIÈME PARTIE. 


DES FONCTIONS SYMÉTRIQUES ALTERNÉES DÉSIGNÉES SOUS LE NOM 


DE DÉTERMINANTS. 


PREMIÈRE SECTION. 


Des déterminants en général el des systèmes symétriques. 


S If. Soient a,,a,, .…, a, plusieurs quantités différentes en nombre 
égal à 2. On a fait voir ci-dessus que, en multipliant le produit de ces 
quantités ou 

Hits 4, 
par le produit de leurs différences respectives, où par 


(ds — a)(as— &).. (An — &) (as — Q3)... (an — ds)... .(an — du), 


on obtenait pour résultat la fonction symétrique alternée 


D oi 0 


qui, par conséquent, se trouve toujours égale au produit 
y log. An(Qo — 1) (As — a)... (a, — a) (as — ds). (A, — da). (An — An1). 


Supposons maintenant que l’on développe ce dernier produit et que, 
dans chaque terme du développement, on remplace lexposant de 


OZDuvres de CSI, LT 19 


11% MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 

chaque lettre par un second indice égal à l'exposant dont il s'agit; 
en écrivant, par exemple, a,, au lieu de a et a, au lieu de a, on 
obtiendra pour résultat une nouvelle fonction symétrique alternée 
qui, au lieu d'être représentée par 


Fe dites 
sera représentée par 
sien Ai, A2,2 A3,3e Ann) 
le signe S étant relatif aux premiers indices de chaque lettre. Telle est 


li forme la plus générale des fonctions que je désignerai dans la suite 


sous le nom de déterminants. Si l'on SUPpose SUCCESSIVEMEN 


LUE = (E 2, , 
on (rouvera 
SE) Se ss  da1 io 
Dita) 0, La, 3 F Es, Ugo Ua F 3,1 Aie Ua, 


TT ir T3,e Ua,3 — g,y Un,9 i,3 — Ao,1 Aie Ca, 3 


pour les déterminants du deuxième, du troisième ordre, ete. Les quan- 
fités afectées d'indices différents devant être généralement considérées 
comme Inégales, on voit que le déterminant du deuxième ordre ren- 


fermera quatre quantités différentes, savoir : 


que le déterminant du troisième ordre en renfermera neuf, savoir : 
*Ajir -Ai,as Cia 
Ua,is  a,2s Aa,39 


gi Ayjus s,ge 
Etc., etc. 


En général, le déterminant du aie 6rdre ou 


AC der du) 


OTUMNS PPOMENT'ORTENIR-OUPDEUX VALEURS Dr 


renfermera un nombre égal à x? de quantités différentes qui seront 


respectivement 


j dir 2 di ,3s Ujins 

AENE Aa,9s 2,35 3,ns 

(1) NS an Ce di RENTE 
4e ns ” A 

\ ni nos An, Anne 


Supposons ces mêmes quantités disposées en carré, comme on vient 


de le voir, sur un nombre égal à z de lignes horizontales et sur autant 
de colonnes verticales, de manicre que, des deux indices qui aflectent 
chaque quantité, le premier varie seul dans chaque colonne verticale 
et que le second varie seul dans chaque ligne horizontale, l'ensemble 
des quantités dont il s'agit formera un système que j'appellerai systéme 
symétrique de l’ordre ». Les quantités a,,,&,,,..., a, .…., a,, seront 
les différents termes du systéme et la lettre a, dépouillée d’accents, en 
sera la caractéristique. Enfin, les quantités comprises dans une même 
ligne, soit horizontale, soit verticale, seront en nombre égal à » et 
formeront une suite que J'appellerat, dans le premier cas, suite hort- 
zontale et, dans le second, suite verticale. L'indice de chaque suite sera 
celui qui reste invariable dans tous les termes de la suite. Ainsi, par 
exemple, les indices des suites horizontales et ceux des suites verti- 


cales du système (r) sont respectivement égaux à 
RS CR ER à 


J'appellerai termes conjugués ceux que l'on peut déduire Fun de 
l'autre par une transposition opérée entre le premier et le second 
indice; ainsi @&,, et a,, sont deux termes conjugués. Il existe des 
lermes qui sont eux-mêmes leurs conjugués. Ce sont les termes dans 


lesquels les deux indices sont égaux entre eux, Savoir : 


Œi,1s os D Unins 


je les appellerai termes principaux ; ils sont tous situés, dans le SVS- 


tème (1), sur une diagonale du carré formé par le système. 


116 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 
Pour indiquer la relation qui existe entre le système (1) et le déter- 


minan( 
DCE di, LEE ne 


je dirai que ce dernier appartient au système en question ou, ce qui 


revient au même, que la fonction symétrique alternée 
SE Gin Ga,2e Ann) 


est le déterminant de ce système. 
Pour obtenir le déterminant du système (1) il suffit, comme on la 
dit ci-dessus, de remplacer les exposants des lettres par des indices 


dans le développement du produit 
A A3 A3... An(Qr— M )(A3—@)... (An — An). 


On peut aussi former directement le déterminant dont il s'agit à laide 
des considérations suivantes : 


Chaque terme du déterminant ; 
sie Ui,1 sat + Ann ) 


est le produit de x quantités différentes. Les seconds indices qui 


affectent ces quantités sont respectivement égaux aux nombres 
NT Un 


que l’on peut considérer comme étant, dans tous les termes, disposés 
suivant l’ordre naturel. Quant aux premiers indices, 11s sont encore 
égaux à ces mêmes nombres; mais l'ordre dans lequel ils se suivent 
varie d'un terme à l’autre et présente, dans les différents termes, toutes 


les permutations possibles des nombres 


PRE 


Il suit de ces considérations que, pour former chacun des termes 
dontil s’agit, il suffira de multiplier entre elles 7 quantités différentes 
prises respectivement dans les différentes colonnes verticales du svs- 


tème (1) et situées en même {temps dans les diverses lignes horizon- 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS EC Dir 


tales de ce système. Les produits que lon pourra former de cette 
manière seront en nombre égal à celui des permutations possibles des 


indices 1, 2, 3, ..., À, c'est-à-dire en nombre égal au produit 


ie les appellerai produits symétriques. Le produit de tous les termes 
Je ! P] 1 3 1 


principaux du système (1), savoir : 
Ai, A,93 3,35 Do nn) 


est évidemment un produit symétrique; 1} sera désigné sous le nom 
de produit principal et employé de préférence comme terme indicatif 
dans le déterminant du système. D’après la définition que nous avons 


donnée des notations S(Æ K), SC K), le terme indicatif 
CU A ER 

sera affecté du signe + dans le déterminant 
se Done on 


et du signe — dans le même déterminant pris en signe contraire, 


c’est-à-dire dans la fonction 
Ba De oui il 


Etant donné un produit symétrique quelconque, pour obtenir Île 
signe dont il est affecté dans le déterminant 


sh Os di, 2,2: . nn ) 


il suffira d'appliquer la règle qui sert à déterminer le signe d’un terme 


pris à volonté dans une fonction symétrique alternée. Soit 
Aa, aB,2. . An 
le produit symétrique dont il s'agit et désignons par g le nombre des 


substitutions circulaires équivalentes à la substitution 


- 





PEUT dl 
22 INT / se 
He 


118 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 
Ce produit devra être affecté du signe + si x — gest un nombre pair, 
et du signe — dans le cas contraire. 

Il est aisé de voir que la règle précédente subsisterait dans le cas 


même où l’on aurait interverti l’ordre des facteurs 
Uau,ts AB,2» ss En 


ou, ce qui revient au même, l’ordre des indices compris dans les deux 


termes de la substitution 


pourvu que dans cette substitution on place toujours l'un au-dessus de 

l'autre les deux indices qui, dans le produit symétrique donné, affectent 

la même quantité. : 
Supposons, par exemple, x = 5 et cherchons quel signe doit avoir, 


dans le déterminant 


Ai,5 6,6 A). 


, 
»+ D 39 


SE Aid, Css À 
le produit symétrique 
i,3 As,6 ci ss Æs,n Ao,o 5,7. 


La substitution que lon obtient, par la comparaison des indices qui 
affectent en première et en seconde ligne chacun des facteurs du pro- 


duit, est 


= 
© 
D 
5 
D 
Da | 
nd 


et cette substitution équivaut aux quatre substitutions circulaires 


) 


tn, 
Si 
EN 00 
Le) © 
de Ed 
TE. 
CNE 
=. Qt 
v 
D 
œ] ND 
CARRE 
v 
cn 
Qu | 


7 


on a donc ici 


et, par suite, 


CORNE PELPENT-OBTENER OUE DELDX VALEURS DEC 4119 
Ce dernier nombre étant impair, le produit symétrique donné devra 
être affecté du signe — dans le déterminant du septième ordre. 

La règle précédente suppose que le produit PHhcipal à, 4) 
est affecté du signe +; dans le cas contraire, il faudrait changer les 
signes de tous les termes. On peut encore déterminer le signe que doit 


avoir, dans le déterminant 
A ti de. 


un produit symétrique pris à volonté à l’aide d'une régle donnée par 
Gabriel Cramer dans un Appendice à l'Analyse des rgrnes courbes 01 que 
lon peut énoncer de la manière suivante : 


Soit toujours &, as. ..@r, le produit symétrique donné et 


ne 
797... 


|| 


la permutation formée avec les premiers indices des différents facteurs: 


enfin, soient 


B 2, 
oi 
. 
 . 
ssl 


DCAEOMR ETS 


les différences respectives de ces mêmes indices considérés deux à 
deux de toutes les manières possibles et supposons que, en prenant la 
différence de deux indices, on donne toujours le signe — à celui qui 


se présente le premier dans la permutation 
cire 


Le produit symétrique donné aura le même signe que le produit de 


toutes les différences, savoir : 
(Ba)(y—= a) (t-a)( 0). 


On démontre facilement cette régle par ce qui précède, attendu qu'une 


120 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 
transposition opérée entre deux indices change toujours, comme on Fa 
fait voir, le signe du produit 
(ag— ax) (ay — au)... (ay — Au) (ay — ag)... 
et, par conséquent, celui du produit 
(5—a)(y —a)...(£— a)(y —6).... 


S I Si dans chacun des termes du système (1) on remplace Île 
premier indice par le second, et réciproquement, on aura un nouveau 
système relativement auquel le premier indice restera invariable dans 
chaque suite verticale et le second indice dans chaque suite horizon- 


tale. Le système ainsi formé sera 


dis 9,15 3,19 SCT | Un,1s 

| di,2s 3,2) 3,99 RTE | n,2s 

(2) di es Ua, po CUS 
. Ajins ons Asins +5 Anne 


Je dirai que les systèmes (1)et(2) sont respectivement conjugués Pun 
à l'autre. Pour abréger, je désignerai dorénavant chacun de ces deux 
systèmes par le dernier terme de la première suite horizontale renferme 
entre deux parenthèses; ainsi le système (1) sera désigné par (a,,) et 
le systéme (2) par (as). 

Les produits symétriques des systèmes (a,,) et (a,,) sont évidem- 
ment égaux entre eux. Le produit principal &,,4,,...4,, est aussi 
le même dans ces deux systèmes. Par suite, le déterminant du sys- 


tème (a,.,) est égal à celui du système (a,,) ou à 
Std oies dl 


le signe S étant toujours relatif aux premiers indices. Mais le déter- 


minant du système (@,,) peut aussi être représenté par 


D Hide di. 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 121 
le signe S étant relatif aux seconds indices; car on peut déduire le 
système (a,,) du système (a, ,) et, par suite, le second déterminant 
du premier, en écrivant les premiers indices à la place des seconds et 


réciproquement. En conséquence, dans l'expression 
SRG ee 0 


on peut supposer indifféremment, où que le signe S se rapporte aux 
premiers indices, où qu'il se rapporte aux seconds, ce qui lève toute 
incertitude sur la valeur de l'expression dont il s'agit. 

Si l'on échange entre elles deux suites horizontales ou deux suites 
verticales du système (a,,), de manière à faire passer dans une des 
suites tous les termes de l’autre et réciproquement, on obtiendra un 
nouveau système symétrique dont le déterminant sera évidemment 
égal mais de signe contraire à celui du système (&,,n). Si l’on répète 
la même opération plusieurs fois de suite, on obtiendra divers SVS- 
tèmes symétriques dont les déterminants seront égaux entre eux, mais 
alternativement positifs et négatifs. On peut faire la même remarque 
à l'égard du système (ann 

Si, au lieu de faire varier d’une colonne verticale à l'autre les seconds 
indices qui affectent les termes du système (1), on représentait par 
des lettres différentes, a, b, ce, ..., e, f, les termes de ce système situés 
dans les diverses colonnes verticales, en ne conservant de variable 
que le premier indice, le système (1) se trouverait transformé dans le 


suivant : 


dir 0 0, He ne Je 
] ER V, Co, Rue ls Ja 
(3) | | 
., 0 8 Sa . HIER 
\ Ans Un, Cns CRE | Cns 1 


et son déterminant deviendrait égal à 
S(Æ a; b:c;.. Re de) 
ou, Ce qui revient au même, au produit 


abc...ef(b—a)(c—a)...(f—a)(c—b)...(f—b).. (f—e), 


OEuvres dé CEST | 16 


122 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


dans le développement duquel on doit toujours remplacer les exposants 


des lettres par des indices, 


S HE. Désignons maintenant par D, le déterminant de l'ordre 2 ou 


celui des deux systèmes (a, ,), (4,,), en sorte qu'on ait 
D, — or @i,1 2,2: Q nero Ann )s 


et supposons, pour fixer les idées, que le signe S soit relatif aux 
premiers indices. Le déterminant de l’ordre x — 1 ou D,_, sera donné 
par l'équation | 
D Lo 
Si lon multiplie ce dernier par @,,, on aura la somme algébrique 
des produits symétriques qui, dans le déterminant D,, ont pour fac- 
teur a,,, ces produits étant pris alternativement avec Île signe + et 
avec le signe — dans la somme dont il s’agit. De plus, il est aisé de 
voir que ces mêmes produits sont affectés des mêmes signes dans le 
déterminant D, et dans le déterminant D,_, multiplié par a, En effet, 
le produit principal 
dj, 2,2 3,3. + Ann 

se trouve de part et d'autre affecté du signe + et le signe de lun 
quelconque des autres produits est déterminé, dans les deux cas, par 
le nombre des transpositions qu’on est obligé d'effectuer sur les pre- 
miers indices 1,2, 3, ..., a — 1 pour le déduire du produit principal: 


Cela posé, l'expression 
Ce) en EN DT RE ND 


considérée comme fonction des premiers indices 1, 2, 3, ..., 7, ne 
sera plus, en général, une fonction symétrique alternée. Mais si, dans 
cette même fonction, on transpose de toutes les manières possibles les 
indices dont il s’agit, elle obtiendra une série de valeurs dont plusieurs 
seront différentes entre elles, et si, de Ja somme des valeurs différentes 
obtenues par un nombre pair de transpositions, on retranche la somme 


des valeurs différentes obtenues par un nombre impair de transpo- 


OPLNR PELVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, RDC 123 
sitions, on aura une fonction symétrique alternée que l'on pourra 


désigner par 
S = An,n (A dus Ai o,2 Egg + An ,n—1 )}, 


le nouveau signe S étant toujours relatif aux premiers indices. Pour 


obtenir les diverses valeurs du produit 
Ann 5 (és Œi,1 Aa 9 Az,3:. ri) 


il suffira évidemment de changer successivement le premier indice 2 
du facteur a,, contre les indices r, 2, 3, ..., 7 — 1 qui affectent en 


première ligne les quantités renfermées dans le second facteur 
NL Una ae a 
Cela posé, le premier facteur deviendra successivement égal à cha- 
eune des quantités 
nn Œn-ins An-9,ns eo LOTO 7e ins 
et, si Pon représente respectivement par 
A D de De D ln. 
les valeurs correspondantes du second facteur, on aura 


sde die, An—1,n1)] 


— Ann box AE Un mr NL (LEE um DUT Aa ,n Üs,n Qu Ré in Due 


On aura d’ailleurs, par ce qui précède, 


l b, n Un id A 0 de me DE 1, 
De 1,72 == S (SE dit a,2: a -An,n-1 3 
(4) Rene he eee ee Se ee ce nee : 
| Vin —— (ee Ai, An,2- ne Lo th: 
oÿ: D 0 nd) 


le signe S, dans toutes ces équations, pouvant être considéré comme 
relatif, soit aux premiers, soit aux seconds indices. 
De ce qu'on vient de dire il est aisé de conclure que, si lon déve- 


loppe la fonction symétrique alternée 


SEE Ann S (Em dii 2,9. : Union 1 1 


124 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


tous les termes du développement seront des produits symétriques de 
l’ordre z# qui auront l'unité pour coefficient. Ces termes seront donc 
respectivement égaux à ceux qu’on obtient en développant le déter- 


minant 
D Sea de di. 


et comme Île produit principal a, ,a,,...a,, est positif de part et 


d'autre, on aura nécessairement 


D, an she nn Fu Ai,1 da, -An—1,n—1)] 


— Ann LP a (QD L'PRTRS eoone 2 n Den + Œj,n De 


En général, si l’on désigne par & l’un des indices 1, 2, 3, ..., n,on 


trouvera de la même manière 
D,= SL cup SC Gi Gosse + Au-iu 1 utueie - -Ann)]. 


Soit y un autre indice différent de &. Représentons par b,. le coelf- 


ficient du facteur à, dans le terme indicatif de la fonction symétrique 


Ubu 
alternée 


ï 


S[E auu SE Qi,1 Ge. Qui ps Aui,u+t:: Hal 


et par — D, ce que devient 4,4, lorsqu'on y remplace le premier 


indice y par w. Si l'on suppose successivement 
Vie Ve Dee ON JU ol, V=U+HI, os Vi 72 
bu deviendr 
D td a Onu 
et la valeur de D, sera donnée par lPéquation. 
D, = &;,u but Ge,u dau +... + Gun buu +: + Any Onue 
Si, dans cette équation, on donne successivement à 4 toutes les valeurs 


Be dd 0 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 195 


on obtiendra les équations suivantes : 


| De Ai ,1 bia + 2,1 Das +... + Ant Ont 
| 135 —— A2 Di Re A ,9 D30 CE An ,2 Dies 


TS 
OX 
sr 


n—= Aj,n bin HP Aa,nDe,n + 510 Ga CAD ID be 
dans lesquelles on doit supposer, en général, 


Di SC aides du hi apr 0e) 


bu = S(T Gi Go. dun Guru eee vives du Aviv Ann) 


Les quantités D,,, b,.,, ... sont, dans les équations précédentes, en 
nombre égal à celui des quantités a,,, a, ,, ... qu'elles multiplient, 
c’est-à-dire en nombre égal à #?. Elles peuvent donc être disposées en 
carré, de manière à former deux nouveaux systèmes de lordre 2 qui 
soient respectivement conjugués lun à l'autre. L'un de ces systèmes 


sera le suivant : 
| LATE b, 2 DDC D, 


| Dei, Da, ses LE 
(2 
ds re SR 
\ Din Up 29 os LEE 


que je désignerai par (b,,) d'après les conventions établies; en rem- 
plaçant dans celui-ci les premiers indices par les seconds et récipro- 
quement, on obtiendra l’autre système qui sera représenté par (b,,). 

Après avoir désigné sous le nom de forme ternaire un polynome 
homogène du second degré à trois variables, M. Gauss à nommé forme 
adjointe un second polynome dont les coefficients ont avec ceux du 
premier les relations qu'on vient de remarquer entre les termes du 
système (b,,) et ceux du système (a,.,). Je suivrai cette dénomination 


et, lorsque j'aurai à comparer entre elles les quantités 


Aj,is io +. et Gi Die 


2 de 


je dirai que les secondes sont adjointes aux premières; de sorte que, 


en général, la quantité adjointe à a, sera db, et la quantité adjointe 


126 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


à a, sera V,,. Par la même raison, le système (d,,) sera dit adjoint 
au système (a, ) et le système (b,,) adjoint au système (a, ). Le sys- 
tème (b,,) sera en même temps adjoint et conjugué au système (a, ,). 

La quantité b,, adjointe à «,, est toujours égale au déterminant de 


l’ordre z2 -— 5 ou à 
neo de 4/0). 


Pour déduire de cette expression la valeur de 4,4, il suffira de rem- 
placer dans ce déterminant ou, ce qui revient au même, dans tous les 
termes du système de l'ordre 7 — +1, le premier indice égal à & par un 
autre indice égal à x et le second indice égal à & par un autre indice 
égal à 2. Enfin, pour transformer 4,, en b,4, 1l suffira de remplacer 
encore le premier indice égal à v par un autre indice égal à & et de 
changer le signe du résultat. Il suit de ces considérations que, pour 
obtenir au signe près la quantité db, adjointe à a, 11 suffit de convertir 
le systéme (a,,) de l'ordre 2 en un système de l’ordre x — 1 par la 
suppression de tous les termes situés dans la même ligne horizontale 
ou dans la méme ligne verticale que a, et de former le déterminant 
du nouveau système dont il s'agit. Ce déterminant serait de même 
valeur et de même signe que b,, st Fon Supposait v = 1. 

Dans l'équation 

DR ed den 


on peut indifféremment considérer le signe S comme relatif, soit aux 
premiers, soit aux seconds indices; d’ailleurs on a fait voir, dans la 
première Partie de ce Mémoire, que toute fonction symétrique alternée 
devient nulle lorsqu'on y remplace un indice par un autre indice; D, se 
réduira done à zéro si, dans l'expression de ce déterminant, on rem- 
place un des indices qui occupent la seconde place par un autre indice, 
par exemple si lon remplace les termes 
Ai au :-.; Any 


par 
iv AE CRQUC® ) nv 


v étant différent de &. D'ailleurs, la valeur de D,, exprimée au moyen 


OUENP PEUVENT DETENIR QUE DEUX VALEURS ÆTC 197 


des termes &,,p, Œops ++. nur CSt, par ce qui précède, 


(8) D, = @ip bip + &u beau +... + Any On,u3 
on aura done généralement 
(9) O — Av bip + Ga dau +... + Guy bnue 


Cette dernière équation sera satisfaite toutes les fois que v et w seront 
deux nombres différents lun de Pautre. 

Si l’on donne successivement à & et à v, dans les équations (8) 
et (9), toutes les valeurs entières, depuis 1 jusqu'à », on aura le svs- 


(ème d'équations suivant : 


En &iabdis + Go Vos ++ Guabna, 


| O ii bye FGarbes +... Fanybue 
de a a at ; 
O0 — ii D, + 2 Dion RC UE EE ALIEN 
O — Ge dis + Que Dar +... + Aus dus, 


Di Gi: dis + Gun Vaso +... + aps dus, 
(10) sr oeil ele ei ee eleisiions se eh « eje + js + (ele ee ni 1e , 


D Got OA de an 


O0 — in dis ME don D 00 our An,n LE 





Di i,n Ddi,n + an PRE mm ON 0 au (ANT PAS 
a , ’ e , ’ 
Si l'on désigne, en général, 


du bip + Gap dau +... + Anp On y 


par 
S"(&iu bi,u) 
et 
y bip + dy bsu+.-..+ an DER 
par 


S'(ai,y biu), 


le signe S étant, dans les deux cas, relatif aux indices 1 qui occupent 


la première place, on pourra mettre les équations (ro) sous la forme 


128 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 

suivante : 

f D, Sa id), 00 (a br), DT RU PSS AR 
O0 — S'(@ie di) Domi 0is), Je 0 O0 (Heu) 





He 
AC, ot. bi1), (o 0 ia, Dis), sets D de. RE 
et les formules générales (8) et (9) deviendront 


| 1, — S'(&iu biu), 


(12) | Os Sr(ai y bi.u). 


La seconde des équations (6), ou 
bu RTE S(T di 1 3,2: . ui ,p—1 Cu+1,p+1 .. y vi Œu.,v dy + te in) 


avant lieu toutes les fois que & et v sont différents l’un de l’autre, elle 


subsistera encore si l'on y change u en y et v en u; on aura donc 
buy = Die de ie Gite lui pi vu pi u+i eee Ann) 


St lon compare entre elles les deux valeurs précédentes de 0: 
et de D,,, on trouvera que, pour déduire l’une de l'autre, il suffit 
d'échanger entre eux les indices qui occupent la première et la seconde 
place dans les termes du système (a,,). Il en résulte que les relations 
établies par les équations (8) et (9) entre les termes du système (@,,,) 
et les termes du système adjoint (b,,) subsisteront encore si l'on 
échange entre elles, dans ces deux équations, les deux espèces d'in- 


dices; on aura donc aussi 


(13) D, = aus Vus + Au, Vue +... + Cuir Oyins 
(14) 0 — «a: bus + Ay,2 bus ++ dn Di 


les indices w et v étant censés inégaux. 
On peut encore mettre ces deux dernières équations sous la forme 
suivante : 
| D, — 5" (au1 Oui); 
| O — S'(a,,; bus) 


(137 


le signe S étant relatif aux indices 1 qui occupent la seconde place. 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 129 

En donnant à u et à v, dans les équations (13) et (14), toutes Îles 
valeurs entières depuis 1 jusqu'à 2, on obtiendrait un système d’équa- 
tions semblable au svstème (10). On peut déduire immédiatement ce 
second système d'équations du premier, en remplaçant dans celui-ci 
les termes des systèmes symétriques (4,,), (b,,) par les termes cor- 
respondants des systèmes conjugués (a@,,), (b,,,). On pourrait encore 
donner au nouveau système d'équations dont il s'agit la forme (11) et 
il suffirait pour cela d'employer les équations (15) au Heu des équa- 
Lions (19) Gt 01 

Si dans le système de quantités (a,,) on supprime la dernière suite 


horizontale et la dernière suite verticale, on aura 1e système suivant 


Î dits Ai, in et 
0. (ENT 2,95 210 (on -1y 
[Ro] { 
| FN ns ne : 
\ Anis An—1,2s Ro elite, 


que je désignerai à l'ordinaire par (@, ,,). 
Soit maintenant (e,,,) le système adjoint au précédent. Sr dans 


l'équation (13) on change b en e et r en 7 — 1, on aura, en général, 
ï O O 
(17) ei mu dur lui + dur ue +. + Auin--1 Cun—ie 


Pour déduire de cette dernière équation la valeur de 4, 11 suffira, en 
vertu des règles établies, de changer a, en a,, dans l'expression pré- 
cédente de b,, et de changer en outre le signe du second membre; on 


aura donc généralement 
(18) Duin (di: Eus + An,e Cp,2 Fees + Anin-1 pui ). 


Si dans cette équation on donne successivement à w toutes les valeurs 
entières depuis I jusqu'à n—1 et que l'on substitue les valeurs qui 


en résulteront pour D,,02,, ..., 0, dans l'équation 


D, == din LPS an Œa,n b: ects Un, n (FES 
OEuvres de C. — SH, t. 1. ci 


130 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 
on obtiendra la formule suivante : 


D, = nn bei cn Fais Meteo Co à Die Cote ete ire On 1 Gr nl 
Se ttes Giscie An. ALES SE Œnin--1 ARRET) 


SE ton: Css CE ao te Éxn-t) 


D 


A Ar tulle nes ja RE An,2 Œn—1,2 AE CL Qour Œnin-2 CEST le 
Cette équation peut être mise sous la forme 
(19) D Zn he ue jen D ti (Gv,n Any. Cv.u); 


les deux signes S étant relatifs, le premier à l'indice u et le second à 
l'indice v. M. Gauss à employé avec avantage, dans ses Aecherches 


artthmetiques, une formule qui n’est qu'un cas particulier de celle-ci. 


S IV. Les principaux théorèmes compris dans le paragraphe pré- 
cedent ont été démontrés pour la première fois, d’une manière géné- 
rale, par M. Laplace, dans les HMemotres de l'Académie des Sciences de 
l’année 1972 (seconde Partie). I a fait voir comment on pouvait les 
appliquer à la recherche des valeurs des inconnues que renferment 


plusieurs équations du premier degré. Soient 
Li Los 0,9 Th 


les inconnues dont il s'agit en nombre égal à 2. Supposons que l'on 
ait entre elles autant d'équations du premier degré et que les coeffi- 
cients des inconnues y soient représentés respectivement par les diffé- 
rents termes du système (a,,). Les équations dont il s'agit seront de 


la forme 
DU Et ed Poulain; 


| A4 Li Cao La He. + a,n En = Ma, 
} 


\ Ana Ti + Ana Late + Qnn Ln = Me 


Cela posé, les relations établies par les équations (ro) entre les termes 
du système (a,,) et ceux du système adjoint (b,,) fournissent un 


moyen facile d'obtenir la valeur d’une inconnue prise à volonté. Ainsi, 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 131 
par exemple, si l’on multiplie la premiére des équations (20) par 4, 
la deuxième par #,,,..., enfin la dernière par b,,, et qu’on les ajoute 
entre elles en ayant égard aux équations (10), on aura, pour déter- 


miner la valeur de æ,, l'équation suivante : 
Dix mbii+ mobs +... + mb. 


En général, si l'on multiplie la première des équations (20) par LE 


la deuxième par b,,, ..., enfin la dernière par bu, et qu'ensuite on 


les ajoute entre elles, on aura, en vertu des équations (10), 
(21) D, mb u+ Mmibiu+...+m, buue 
Par suite, la valeur générale de l’une quelconque des inconnues sera 


M bin + Mabiu +... + My Day 


mi bi u + Mabiu+...+ um, Ony 
D, 


&i,u du + Goya u +... + An p On.p 


à ds TRES 





Cette valeur se présente done sous la forme d'une fraction qui à 


pour dénominateur le déterminant 


Di S (ue dir Uooe Ann ) 


/ 


eL pour numérateur ce que devient ce déterminant quand on y ren- 
place les coefficients de l'inconnue pris dans les équations (20) par les 
seconds membres de ces mêmes équations. 

Si les coefficients des diverses inconnues dans les équations (20), 
au lieu d’être représentés par une seule lettre affectée de deux indices, 
étaient représentés par diverses lettres a, b, €, ..., e, f'allectées de 
indice 1 dans la première équation, de l'indice 2 dans la deuxième, 


les équations données étant alors 


(Mt +bt+air;+.. +ex,., ir, M, 
(A) UT + bit + Or +...+er, 1 + Tai In, 
\ 


Apt + Ontat Cota+...+ CR 


la valeur d’une inconnue aurait pour dénominateur la fonction Symé- 


trique alternée | | 
Si mnc ee 1) 


132 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 
et pour numérateur ce que devient cette fonction lorsqu'on y substitue 
la lettre 72 à celle qui désigne les coefficients de linconnue. Ainsi, 


par exemple, la valeur de x, serait donnée par l'équation 


ne NÉE HDi el) 
(B) De a 

‘ DE bee 6 0) 

Tel est le résultat auquel M. Laplace est parvenu. Ia fait voir aussi 
que deux termes déduits Fun de Pautre par un nombre impair de 
transpositions étaient toujours de signes contraires et a démontré par 
ce moven la règle de Cramer que nous avons rapportée ci-dessus. Enfin 
la prouvé qu'une transposition opérée entre doux deglettres a; Dr 


changeait le signe de Fa fonction 
Fat PRET PR 


eta donné les moyens de la décomposer en d'autres fonctions sem- 
blables d'un ordre inférieur. Nous reviendrons plus tard sur ce dernier 
objet. 
On peut encore, en vertu du paragraphe I, mettre la valeur de x, 
sous la forme suivante : 
mbc...ef(b— m)(c— m)...(f— m)(c— DATES DC €) 


te 4 Pr S s EP PEER NET TENTE ARTE ET , 
SRE abc...ef(b—a)(c—a)...(f—a)(c—b)...(f — b)...(f—e) 








pourvu que, après avoir développé séparément le numérateur et le 
dénominateur de Ta fraction précédente, on remplace les exposants 
des lettres par des indices. 


Si l'on suppose #2 — 2, les équations (A) se réduiront à 
di Pi + 0T = IN, 
Gt Er De Ma, 
et l’on aura, en vertu de ce qui précède, 


mb(b— mm) mi;b:— m,b, 


ti - 





AOL A A in 


am(m— a) A3 — Ati 
‘2 ST SM . 
ab(b— a) a 0, — ab, 





OUI NE PEUVENT OBTENEIR QUE DEUX VAEEURS ETC 13 


Si l'on suppose 2 — 3, les équations (A) se réduiront à 


UE DT Er nt, 
dr Di + Dal + Cols — Ms, 


Hit t DD ct Im, 
et les valeurs des inconnues seront respectivement 


mbc(b— 1m) (c— m)(c— b) 











Ti — 
abc(b—a)(e—a)(c—b) 
M 0:C3— MibsCs+ Mu0:C — Mmbic;s+ mb,c,— m,b,c, 
cr © —— 7 
A daC3 — Aa D3Cs + dobac — @bic;+a;bic,. —a,;b,c, 
amc(m—a)(c—a)(c—m) 
VE 3 LE — ———————— ——————— ———— 
2 abc(b—a)(c—a)(c—b) 
Le en NC; TER @; UE) Ca —+- da nt; C; pq («Æ) nm; C3 —- (CA nt; Co Ext ds nt SC) 
rom - tu ubO—- Noé dtmbe Abc 
œbm(b—a)(m—a)(m— db) 
die CR AS ee PP AT 


“abe(b — a)(ce 4) (c — b) 


ai 0am3— @ 03m + Qobim, — @bim;+abinmi— asbin 





be dodo D. mic rate 
et ainsi de suite. 

On arriverait aux mêmes résultats en partant de l'équation (B) et, 
dans ce cas, on peut déterminer immédiatement le signe d'un terme 
pris à volonté, soit dans le numérateur, soit dans le dénominateur de 
la fraction qui représente la valeur d’une inconnue, au moyen de la 
règle établie dans le paragraphe Il de la première Partie de ce 
Mémoire. 


Si les équations données étaient de la forme 


| AL) +0Ls +HCXzs +... Help + fLn == M, 


x + Vins + Cr +...+e th + f°æ, = mr, 


(D) { 


l'équation (C) deviendrait exacte sans qu’il fût besoin de développer 


le numérateur et le dénominateur de la fraction qui forme le second 


134 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 
membre et l'on pourrait sans aucun inconvénient supprimer les fac- 
teurs communs aux deux termes de cette fraction. Ainsi la valeur 


de æ,, tirée des équations (D), se réduit à 


m(Db — 1m J(C—m)...(f—m) _ m(m—b\(m—c).. HOPRE E] 


LE ———— 


altb=a}(c a). Af—a) 7 alta -b}(d -e). de 





Les valeurs des autres inconnues, tirées des équations (D), peuvent 
ètre présentées sous une forme semblable à celle-ci. 
Si les équations données étaient de la forme 
lATi+ A Xo+...+ ax, = an", 
bx;+ brs+...+ br, — bn, 


(E) 


D a LR, 
la valeur de x, serait donnée par l'équation 


PUS Ci En) Le À feed à ET AE ELA 
Ps ee ue — ne = _ . 
te de 2 Pr) DU 00 Pr lo 








Cette valeur deviendrait nulle si Fon supposait » < n. Elle se réduit à 
unité lorsque 72 = 2. Enfin, lorsque 1 surpasse 2, le numérateur de 
la fraction précédente est divisible par le dénominateur, ainsi qu'on l'a 
prouvé dans le dernier paragraphe de la première Partie de ce Mémoire, 


et, devient une fonction symétrique permanente des quantités 


On peut faire des remarques analogues relativement aux valeurs des 
autres inconnues. 
Revenons maintenant à l'équation (21). Si l'on y fait successivement 
DR D 


on aura, pour déterminer les valeurs des inconnues 


RENE MAX Dino dis 


QUINE PEUVENT OSTENER OUE DEUX VALEURS PU 1 


les équations suivantes que nous allons comparer aux équations (20), 


mb + Mb +...+ mb: =D,zx:, 
| mt bi, RUE Mo V3 He. + Mn bre = D, Lo, 
/ 


(22) 


| Mi bin + Maboant. + Maiban—= Dr. 
Les équations (20) renferment : 1° deux suites de quantités, savoir : 


Ti; La, CAC | Lhs 


nl), Pl, de Mn; 


2° tous les termes du systéme (a,,) qui servent de coeflicients aux 
termes de la première suite. Les termes de la Seconde suite étant Les 
seuls qui se présentent isolément dans les équations dont il s’agit, je 
dirai que les quantités 


He De 


L : CORRE ’ . , ’ 
s’y trouvent dégagées ct que, au contraire, les quantités 


s'y trouvent engagées. Je désignerai, de plus, la suite des équations (20) 
sous le nom de suite d'équations symétriques. 

Les équations (22) sont de la même forme que les équations (20), à 
cette différence près que la suite engagée dans les équations (20) se 
trouve dégagée dans les équations (22) et que les termes de cette même 
suite y sont tous multipliés par D,. Pour déduire les équations (22) 
des équations (20) il suffit: 1° d'échanger entre elles les deux lettres 2 


etæ, c’est-à-dire de dégager la suite engagée et d'engager celle qui était 


/ 


dégagée; 2° de multiplier les termes de la suite dégagée par le déter- 
minant D, du svstème dont les différents termes servaient de coeffi- 
cients à la suite engagée; 3° de remplacer les termes du système 
symétrique (&,,) par les termes correspondants du système adjoint 
et conjugué (b,,). Je dirai, pour cette raison, que les équations (22) 


sont adjointes aux équations (20). 


136 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


Les équations (20) se trouvant toutes comprises dans la formule 
sénérale 
My = pi Li + Aus Late. + Quin La = S"(Qu1 Li) 
dans laquelle le signe S est supposé relatif à l'indice r, je désignera 


ensemble de ces mêmes équations par le symbole 
(39) Z[S" (au ti) = My], 


le signe À indiquant ici non pas une somme de quantités mais une 
suite d'équations semblables à celle que renferment les deux crochets. 


Je désignerai de même l’ensemble des équations (22) par le symbole 
(24) E[S" (bu mn) = Dry]. 


Ces deux symboles se déduisent lun de l'autre par les mêmes règles 
qui servent à déduire Pune de l'autre les deux suites d'équations qu'ils 
représentent. 

Désignons par (e,,) le système de quantités adjoint à (b,,). Je dirai 
que (c,,) est adjoint du second ordre au système (a,,). Le même 
système (e,,) sera adjoint et conjugué au système (0,,). Soit encore 
B, le déterminant du système (b,,). Si dans les équations (12) ct (15) 
on change a en b, on devra changer aussi &en ce et D, en B, ct, par 


suite, on aura 
D, S' (div Cip); 


(29) 
0 made © Le à 70 Cru): 


l 
| B, — + le ( bus Cu,1 ), 


(26 « 
“+ O —=S" (D, Cu). 


Si maintenant on dégage des équations (22) les termes de fa suite x,, 
sas 

Mas ce, M, en suivant les mêmes règles qui ont servi à dégager des 

équations (20) les termes de la suite æ,, æ,, ..., æ,, on obtiendra Îles 

équations suivantes : | 

{ CiaDati BU EN Ci2 Da: PR Elt Ci,n Dix, F= B,m:, 


Cited nil 7, 


| CnaDati + Croatia +... + CnnDita= Br 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 137 
qui pourront être représentées par le symbole 


(28) 2ES"(Dacuizi) = B, my]. 


L 
Les équations (27) peuvent encore être mises sous la forme sui- 


vante : 


/ D, D, D, 
è “y » 5 è 
Gite Laos Ce pe 0 ee On pu Li JU, 
B, B, B, 
D, De D, 
up Lit Cor late + Can pe do Ma 
(29) { 2n n ) 7e 
ER : 
D D D, 
Can LT Cros Lot. + CnnT Ln = Ma; 
B, B, B, 


et comme celles-ci doivent avoir lieu en méme temps que les équa- 
tions (20), sans que l’on suppose d'ailleurs entre les termes de la 
SULLC Lis Los. A Et Ceux du système (a, ,) aucune relation particu- 


culière, 11 faudra nécessairement que l'on ait, quels que soient & eCv. 


ou 
(30) CV da ve 


Cette équation établit un rapport constant entre les termes du svs- 
téme (a, ,) et les termes du système adjoint du second ordre (e,,,). 

Les équations (27) étant adjointes aux équations (22) et celles-ci 
aux équations (20), je dirai que les équations (29) sont adjointes du 
second ordre aux équations (20) dont elles ne différent que par un 


facteur commun à tous leurs termes. 


OEuvres de CS til | 15 


138 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


DEUXIÈME SECTION. 


Des systèmes d'équations symétriques et de leurs déterminants. 
“ 


S V. Considérons maintenant un système d'équations de la forme 
Aid HR Lio@a eee + Lin Gin = Mit 
| Gsm + Dans eee + Dan din = Hlt,ss 
Anar Anar Hess Ann din — Mi,ns 


Lindos + L,2 2,9 Ho + Lin on — Mots 





Hilo raie Pit Matin — Mas, 


(31) EEE COR CS POS OC OS ES RE D OP UC A 2 2 VE OR A ON DCE DO OT ED * 
: 

Lui À Una 2,9 Fes + Aninin = Mons 

RL ON EDR EE a NS ; 

Hi ni À Lio n9 Fos Lin lnin = Man,is 


A2,1 ni te A2 ,9 Una ee ae Xo,nAn,n — Myns 


Xn ini + Xno%na te. + An nnn = Mnine 


Ce systéme d'équations renferme trois systèmes de quantités svmé- 
Criques,savoir (uw, .) (@, )et(r 

De plus, ilest facile de voir que, parmi les équations (371), celles 
qui se trouvent dans un même groupe forment une suite d'équations 
symétriques, dans lesquelles les quantités engagées de la forme a,,,, 
Augs ses dun ONt pour coefficients les termes du système (x,,). De 
même, si Pon imagine que les équations de chaque groupe soient dis- 
tribuées sur une même ligne horizontale, celles des équations (3r) qui 
se trouveront comprises dans une même colonne verticale formeront 
unesuite d'équations symétriques dans lesquelles les quantités engagées 
Luis Ly,as es Au,n AUrONt pour coefficients les termes du système (a, ,). 
Pappellerai suite horizontale où suite verticale une suite d'équations 


comprises dans une même ligne, soit horizontale, soit verticale, du 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 139 
Tableau ainsi formé et j'appellerai l'ensemble des équations (31) un 
systéme d'équations symétriques. Chaque équation de ce système pou- 


vant être mise sous la forme 
(32) Say ui) = Myiv 


où le signe $ est relatif aux indices 1 qui occupent la seconde place 
dans &,, et a, je désignerai le système entier des équations dont 1l 


s'agit par le symbole 


(33) Z[S"(œ au) — Mu |. 


J'appellerai systèmes engagés les deux systèmes de quantités (a,,), 
(zx) dont les termes se trouvent engagés dans les équations dontil 
s'agit et systéme dégagé le système de quantités (u,») dont les termes 
sont isolés dans les seconds membres. Je désignerar ausst les deux 
systèmes engagés sous le nom de systèmes composants et le système 
dégagé sous le nom de système résultant. Enfin, je dirait que, dans les 


équations (31), représentées par le symbole (33), le système résul- 
tant (,,) se trouve déterminé symétriquement au moyen des deux 
systèmes composants (@in) Ct (in). 


Désignons respectivement par 
D 


les déterminants des trois systèmes 


(Gi,n)) (in) (ms n)s 


on aura 
| D, — Sie Œi,1 d2,2: : Ann) 


(31) On — S(E Gi,1L2,2e Ann); 


Dans chacune des trois équations précédentes, le signe S peut être 
considéré comme relatif, soit aux indices qui occupent la première 


place, soit à ceux qui occupent la seconde. Ainsi, 


DÉC TH tas nl 


140 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 
est une fonction symétrique alternée à l'égard des deux espèces d’in- 
dices qui affectent les termes du système (72,,). D'ailleurs, les équa- 


tions (33) étant toutes comprises dans la formule générale 
S'y Au.) — Mu 


les deux indices, qui dans chacune de ces équations affectent la lettre 7, 
sont respectivement égaux aux premiers indices qui, dans ces mêmes 
équations, affectent les deux lettres a et x, c'est-à-dire les termes des 
deux systèmes (a,,) et (x,,). I suit de cette remarque que, st, dans 


le second membre de l'équation 


NS M ia th 


on substitue aux termes du système (72,,) leurs valeurs en a et en x 
tirées des équations (31), on obtiendra pour résultat une fonction des 
termes des systèmes (a,,) 60 (%,,) qui sera symétrique alternée par 
rapport aux Indices qui occupent la première place dans a et par rap- 
port à ceux qui occupent la première place dans &. D'ailleurs, chacune 
des quantités 72 étant du premier degré par rapport aux quantités & ct 
par rapport aux quantités %, chaque terme du développement de 


Di iles D.) 


% 


sera évidemment de la forme 
—= Hj,u La,v: Ÿ An, Ai,u o,v'. Ann’. 


Comme ce développement doit être une fonction symétrique alternée 
par rapport aux indices qui occupent la première place dans & et par 
rapport à ceux qui occupent la première place dans &, il ne pourra 
renfermer le terme qu'on vient de considérer sans renfermer en même 


temps le produit 
LE Fe dus Ai,u A2: . ir) S(E au Œ,v'- . Arr: 


il sera donc équivalent à un ou à plusieurs produits de cette espèce. 


Si dans le produit précédent on suppose les indices &, v, ..., 7 tous 


OUI NE PEU VENP'OBTENIR OUR DEUX VALEURS, RC et 
différents les uns des autres, on aura 
SE Guy Lave Ann) = À S(+ Ads ie D de id. 


De même, si l’on v suppose Îles indices W, ve. 7 [ous différents 


les uns des autres, on aura 


S(E &iu Grive Gnr) = EST is. dan) = — BP 


/ 


D'ailleurs, on ne peut supposer deux des indices 1, v, ..., 7 égaux 
entre eux sans avoir 
Le + dau Xi,u X2,v- din) 0 


ni deux des indices w’, v’,..., 7’ égaux entre eux sans avoir 


SE &p M. .@ur) = 0. 


Le développement de M, se réduira donc à un où à plusieurs produits 
de la forme 

DE, 
on à donc 

M, ee D, du 
ce étant une quantité constante. Pour déterminer la constante, suffit 
d'observer que l'équation précédente étant identique devra encore avoir 
lieu si l’on suppose généralement 
Qu, np — I, u,u [Ra Au,v 0, dyv — O* 
mais alors on a par les équations (31) 
Hi Myu,v = 0; 
et, par suite, 
Mi: Diet Ou ds 


on doit done avoir aussi 


et, par suite, on aura, en général, 
(35) Mi Dôn. 


Cette équation renferme un théorème très remarquable qu'on peut 


énoncer de la manière suivante : : 


142 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 
Lorsqu'un système de quantités est déterminé symetriquement au moyen 


de deux autres systèmes, le déterminant du système résultant est toujours 


égal au produit des déterminants des deux systèmes COMPOSANKS. 


Si dans les équations (51) on remplace les systèmes de quantités (a, ,) 
et (x) par les systèmes (a,,) et (b,,) et que l’on suppose généra- 


lement 
Mau D,, My 0, 


on obtiendra les équations (10). Dans le même cas, on aura 


Mi Mis Mao... Man = D}, NE DUR 0) =, 
et, par suite, l'équation (35) deviendra 


hi. 


[2 SANS 


d'ou l'on conclut 
(36) B,= D. 


On voit par cette dernière équation que le déterminant du système (b, ,) 
adjoint au système (a,,) est égal à la (n — 1% puissance du détermi- 
nant de ce dernier système. 


En vertu de l'équation (36), l'équation (3a) devient 
(Er) Cu NT Guv. 


Ainsi, étant donné un terme quelconque a, du système (a, ,), pour 
obienir le terme correspondant du système adjoint du second ordre (c,,), 
tlsufjira de multiplier le terme donné par la (n — 2)" puissance du 
déterminant du premier système. 

On a vu que le déterminant d’un système quelconque est toujours 
égal à celui du système conjugué. Il suit de là que l'équation (35) 
subsistera encore si dans les équations (31) on remplace Fun des 
systemes composants (&i»), (&,n), Ou tous les deux ensemble, par les 
systèmes qui leur sont conjugués, savoir (a,,), («,.,). L'équation (35) 


convient donc également aux. quatre systèmes d'équations symétriques 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 143 


désignés par les quatre symboles suivants : 


{ TS" (1 Au) ns Muv | 
ITS" (oi saus) = My], 
2ZTS" (a sin) = Muv] 


2TS" (oi van) rent Mu |, 


le signe S étant relatif dans tous les cas aux indices de x et de a qui 
sont égaux à Punité. 

Dans les quatre systèmes d'équations que représentent les quatre 
symboles précédents, le premier indice de la lettre »2 est toujours égal 
à l'indice de a qui reste constant dans chaque équation et le second 
indice de »2 est toujours égal à l'indice de & qui reste constant dans 
cette même équation. Le contraire aurait lieu si dans les équations (38) 
on remplaçait le système (72,,) par son conjugué (m,,): ces équations 
deviendraient alors 


2TS" (a rap) = Mu] 


RE 


(39) 2TS" (ai vau,:) = My, y], 

29) Re . 
| 2[S"(œiiu) = Mu], 
ZTS"(œi vas, y) = you ]< 


Pour suivre les dénominations jusqu'à présent adoptées, je dirai 
que, dans chacun des systèmes d'équations représentés par les svm- 
boles (38) et (39), le système (m,,) résulte de la composition des 
deux systèmes (a,,) et (&,,). J'appellerai premier système composant 
celui dont l'indice constant dans chaque équation détermine le premier 
indice de #2 et second système composant celui dont l'indice constant 
détermine le second indice de »2. Ainsi, le système (a, ,) est premier 
composant dans chacune des équations (38) et le système (2,,) est 
premier composant dans chacune des équations (39). Enfin je dirai 
que la composition est drecte par rapport à l'un des systèmes compo- 
sants si les indices, qui sont constamment égaux dans le système 
composant et dans le système résultant (72,,), occupent tous deux la 


première place ou tous deux la seconde, et je dirai que la composition 


144 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 
est vadirecte si de ces deux indices l’un occupe la première place et 
l'autre la seconde. 

Cela posé, si l’on examine successivement les quatre systèmes 
d'équations symétriques représentés par les symboles (38), on recon- 
naitra sans peine : 

1° Que, dans le premier système d'équations, la composition est 
directe par rapport au système (@a,,) et indirecte par rapport au sys- 
tème (x, »); 

2° Que, dans le deuxième système d'équations, la composition est 
directe par rapport aux deux systèmes (a, h), (æ,»); 

3° Que, dans le troisième système d'équations, la composition est 
indirecte par rapport aux deux systèmes (a, ,), (æin); 

4° Que, dans le quatrième système d'équations, la composition est 
indirecte par rapport au système (a,,) et directe par rapport au sys- 
tème (x, ). | 

En examinant les systèmes d'équations représentés par les sym- 
boles (39), on trouverait des résultats contraires aux précédents. Ainsi, 
par exemple, dans le deuxième des symboles (39), la composition est 
indirecte par rapport aux deux systèmes de quantités (a, ,) et (æ,»), 
tandis qu'elle était directe dans le deuxième des symboles (38). 

L'équation (35) n'a pas seulement lieu relativement aux systèmes 
d'équations représentés par les symboles (38) et (39); mais la valeur 
de M, déterminée par cette équation restera encore la même au signe 
près si, dans un des systèmes de quantités (a, ,), (x,,) ou dans tous 
les deux à la fois, on substitue l’une à l’autre deux suites horizontales 
ou deux suites verticales et même si l’on répète cette opération plusieurs 
fois de suite. En effet, une ou plusieurs substitutions de cette espèce 
ne changent point la valeur mais tout au plus le signe des détermi- 


NN 
nants D, et c,. 
S VI. Si dans l'équation (32) on suppose l'indice v invariable et que 
l’on donne successivement à y toutes les valeurs entières depuis 1 


jusqu'à 2, on obtiendra une des suites verticales d'équations comprises 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 145 


sous le numéro (31), laquelle pourra être représentée par le symbole 
2[S" (av, ut) — My.v |, 


pourvu que l'on y considère Pindice y comme invartable. 

Cela posé, en suivant la méthode qui a servi à passer des équa- 
tions (23) aux équations (24), on obtiendra une nouvelle suite d'équa- 
tions adjointes à celles que l’on vient de considérer et qui seront 
représentées par le symbole 


[S" ( biunti y) = D, ty y |: 


pourvu que l’on y suppose toujours l'indice v invariable. 

Si dans ce dernier symbole on donne successivement à y toutes Les 
aleurs entières depuis 1 jusqu'à 2, on obtiendra plusieurs suites 
d'équations dont l’ensemble formera un nouveau système d'équations 


symétriques que l’on pourra représenter par le même symbole 
(40) 2ES Cure) = Dia], 


dans lequel on supposera désormais les deux indices & et v variables 
lorsqu'on passe d’une équation à une autre. 

Le symbole (40) représente, ainsi que le symbole (33), un nombre 
d'équations égal à %°. Les deux systèmes d'équations symétriques 
représentés par ces deux symboles étant respectivement composés de 
plusieurs suites d'équations tellement liées entre elles que les suites du 
système (40) sont respectivement adjointes à celles du système (33 ); 
je dirai que le système des équations (40) est adjoint au système des 
équations (33). En comparant ces deux systèmes d'équations lun à 
l'autre, on trouve que le système de quantités (x,,), qui était engagé 
dans les équations (33), se trouve dégagé dans les équations (40), tandis 
que le système de quantités 72,,, qui était dégagé dans les premières, 
se trouve engagé dans les secondes. Ainsi, le passage des équations (33) 
aux équations (40) sert à dégager le système composant (x,,). La 
comparaison des symboles (33) et (40) suffit pour établir à ce sujet la 
règle suivante : 


Œuvres de C. -— S. I, 1.1. 19 


146 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


Lorsqu'un système de quantités (77,,) résulte de la composition de 
deux autres systèmes (a,,) et (æ,,), pour dégager l’un des systèmes 
composants (&,,) 11 faut : 

1° Échanger entre eux le système composant que l'on veut dégager 
(2,,)etle système résultant (m,,), en avant soin de laisser respecti- 
vement à leurs places les indices qui étaient communs aux lettres & 
ct m; 

2° Multipher tous les termes du système composant que l'on dégage 
par le déterminant du système composant qu'on laisse engagé; 

3° Remplacer ce dernier système (a,,) par le système adjoint et 
conjugué (b,,). 

Si dans l'équation 

Sy 1 Aun) = Myv 
on suppose l'indice & invariable et que l'on donne successivement à » 
toutes les valeurs entières depuis 1 jusqu’à x, on obtiendra une des 
suites horizontales d'équations comprises sous le numéro (35), laquelle 


pourra être représentée par le symbole 
Z[S"(2x,, Au) = My L 


pourvu que l’on'y considère l'indice & comme invariable. 
ne. à ; : ne S 7 
Soit maintenant (3,,,) le système adjoint et conjugué à (4,,), 6, étant 
le déterminant de ce dernier système; la suite des équations adjointes 


à celles que l’on vient de considérer sera représentée par le symbole 
Z2TS"(mu,1B1,v) = duGuvl, 


u étant supposé invartable relativement à une même suite d'équations. 
Si maintenant on donne successivement à u, dans ce même symbole, 
toutes les valeurs entières depuis r jusqu'à 2, on aura un nouveau 


systéme d'équations que lon pourra représenter par le même symbole 
UE) ITS" (mu Biv) = On Cuv Js 


en y supposant désormais variables les deux indices w et v. Ce dernier 


QUI NE PEUVENE OBFENITR OUR DEUX VALEURS EDG 117 


système d'équations est, ainsi que le système (40), adjoint au systéme 
d'équations (33). Les deux systèmes d'équations (40) et (41) seront 
appelés tous deux adjoints du premier ordre au système d'équations (33). 
On à vu qu'il suffisait, pour obtenir le premier, de dégager du système 
d'équations (33) le système composant (x,,). I suftit de même, pour 
obtenir le second, de dégager l'autre système composant (a,,): d'ail 


: 


leurs, pour dégager ce dernier système composant des équations 
2[S" (om raus) = My], 


il faut, en suivant la règle établie ci-dessus : 
1° Remplacer 2, par uv CL Aus PAT 1: 
. . Q 
2° Multiplier a, par ©, ; 


9° ACHDEeCer e.Dae. 
On obtient done immédiatement par cette règle le système d'équations 


(41) 2TS"' (mur) == On Auv |. 


, 


On a vu dans la section précédente que, si après avoir dégagé 
d'une suite d'équations symétriques la suite des quantités engagées 
au moyen des équations adjointes du premier ordre on dégageait de 
nouveau la suite que la première opération avait engagée, les équa- 
ions adjointes du second ordre obtenues par cette seconde opération 
ne différaient des équations primitives que par un facteur commun à 
tous leurs termes. De même si, aprés avoir dégagé du système d'équa- 
tions (33) les systèmes de quantités (æ,,)et(a,,)au moyen des équa- 
tions (40) et (41), on voulait de nouveau dégager des équations (40) 
ou des équations (41) le système de quantités (2,,,), les équations 
adjointes du second ordre obtenues par ce moyen ne différeraient des: 
équations (33) que par un facteur commun à tous leurs termes. Mais, 
si l’on dégage des équations (4o) le système de quantités (b,,) et des 
équations (41) le système de quantités (B,,), on obtiendra deux nou- 
veaux systèmes d'équations symétriques qui seront adjoints du second 
ordre au système des équations (33) et qui seront différents des trois 
systèmes d'équations (33), (4o) et (41). 


+ 


148 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 
Soit (r,,) le système de quantités adjoint au système (72,,). M, étant 
toujours le déterminant du système (m,,), on aura, en vertu de lPéqua- 
tion (30), 
M, E D, de 
Cela posé, pour dégager des équations 


(40) 2[S" (burn) = Dh, y] < 


le système de quantités (b,,), 11 faudra, d’après la règle établie ei- 
dessus : 

1° Remplacer D,24,, par 4, et bd, par Das; 

2° Multiplier b,, par M,; 

3° Remplacer 72,, par r,.. 

On obtiendra de cette manière le système d'équations représenté par 
le symbole 


2[S*(D, Liu 7vi1) = M, bu]. 


Si dans ce système on divise les deux membres de chaque équation 


M me : 

par D,, en observant que D” = 9, le symbole précédent deviendra 
Un 

(42) TS" (œiurv a) = On Vysu ]- 


Le systéme d'équations représenté par ce dernier symbole est un des 
deux systèmes adjoints du second ordre aux équations (33). Pour 
obtenir l'autre système adjoint, il suffira de dégager le système de 


quantités (5,,) des équations 
(41) 2 TS" (m1 Bi) = dx Aus]. 


Pour y parvenir il faut, en vertu de la règle citée 


ù N 
1° Remplacer 0,a,, par 6, et qe DAt 0, @; 2 
2° Multiplier 6, par M,; 


J Remplacer ne, Dar 
Le symbole qui représente le système d'équations cherché sera donc 


Dre . S re re] 
2[S"(7 1,40 niv) ne M; Gus]. 


OUINB PEUVENT GBTENER QUE DEUX VALEURS ED Li 


Si l’on divise les deux membres de chacune des équations comprises 


7 


| | & 0 M | 
dans ce système par 9,, en observant que 5 — D,, le symbole pré- 





cédent deviendra 
(13) ZT S" (rip) = DrBu,v]: 


Ainsi, le système des équations (33) a pour systèmes adjoints du 
second ordre ceux qui sont représentés par les symboles (42) et (43). 

Si maintenant on voulait dégager des équations (42) le système de 
quantités (x,,) ou des équations (43) le système de quantités (a, ,), 
on retrouverait les équations (4o) et (41) multipliées par un facteur 
commun à tous leurs termes; mais, si l'on dégage des équations (42) 
ou des équations (43) le système de quantités (r,,), on obtiendra un 
nouveau système d'équations symétriques que j'appellerai adjoint du 
troisième ordre au système des équations (33). Pour obtenir ce nouveau 


système il faut, dans les équations 
(18) 2[S" (oi pv) — GA bu] . 


1° Remplacer a Pare to pi DD L 
2° Multiplier r,, par à, : 

20 à » 

3° Remplacer «&,, par B.. 


On obtient de cette manière le symbole 
ZTS" (Bu, 10 Die On l'vu |e 


. er , . ; . NS 
En divisant chacune des-équations qui s’y trouvent comprises par 2,, 
on aura le symbole suivant : 


(44) ZTS" (Bur dv) = rvu] 


qui représente le système des équations adjointes du troisième ordre 
aux équations (33). Il est à remarquer que, pour déduire les équa- 
tions (40) des équations (33), il suffit de remplacer dans ces dernières 


les trois systèmes de quantités 


(ain), Cri (Min) 


150 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


par les systèmes adjoints du premier ordre 
(Bi h (CoLn) (SLR 


Ainsi, les relations établies par les équations (33) entre les trois pre- 


miers systèmes de quantités subsistent encore entre les trois autres. 


S VIF. Avant de passer à de nouvelles recherches, 1l ne sera pas 
inutile de réunir en un seul tableau les principaux résultats que fournit 
l'analyse précédente relativement à trois systèmes de quantités liés 
entre eux par un système d'équations symétriques. 


Soient respectivement 


(@i,n)s (Gin) (Min) 
les trois systèmes de quantités dont il s’agit. Désignons par 


Co Chi), (Tin) 


les systèmes adjoints du premier ordre aux trois systèmes donnés et 
par 

(Yin)s (Cisn); (li,n) 
les trois systèmes adjoints du deuxième ordre. 


Enfin représentons, comme ci-dessus, par 
(33) 2[S" (a au) = My] 
le système d'équations symétriques par lequel les trois systèmes donnés 


se trouvent liés entre eux et désignons respectivement les déterminants 


des systèmes 


CHA Din (Yin) tn) (ah Écran (rs), Enr ne) 


par 


PR y 5, Là ER b, ce n;, A dl ; 


on aura entre les termes et les déterminants des systèmes dont il s'agit 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS EDL 151 


les équations suivantes : 


/ M, == D, ; 
6-0 Bi De nn Me 








(45) { nr . 
DE, à Ci, DE, Dr, 
\ 1 — c: de: 
(6) | uv  — CPE Au,vs Cu,y D? pv Lo.v M Puy, 
d' 
| Ju.v 0, — ., Xu.,vs Cv D, AATAUE luv M, — KR, Mu; 
| Ôn = S" (ap, 1 Bus )s Vice (au Vus), My S" (nu, il'ui)s 
nn S(œ, u Bi, u.); Do — SC u. Ü Ti M S'(Riuriu)s 
0 = S"(au, 1Bv,1) Oo == = 5" (ah, . 0 — S(Myilur): 
. 0 — St (œ,u 3: UE OUE— S'CAb OÙ S'(miur Fe 
47 - s 0 : 
A (Bu1 Yu. 1) Ca — S Opus) 1e = S'(ruulu), 
ie ee u 71, uv); C, = S'(bipciu), is Ce ah 
D hapaih O —S"(buic:), O —=S" (run), 
+ 0 A VIRE D — STE  — Dot): 
2{S%(a, au 1) — My | 
(48) 2 TS" (bipriv) = Duc, y], 2 CS" Cru Br) = dau 


Z[S"(œiurv:) Ut), [SC Las) ee D, Bus} 
2 TS" (Bu dv) = ru]. 


TR  —— 


Lorsque dans ces deux équations on suppose successivement 
ni EL mn 


on obtient diverses formules qui ont été données par M. Gauss et appli- 
quées par ce géomètre à la théorie des formes binaires et ternaires du 
deuxième degré. 

Les systèmes d'équations (48) sont les mêmes que les systèmes (33), 
(4o), (41), (42), (43) et (44). Les S cinq derniers sont adjoints du pre- 
mier, du deuxième et du troisième ordre au système (33). Pour les 


obtenir tous Îles cinq il suffit de dégager successivement des équa- 


tions (93): 


152 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


1° Les deux systèmes de quantités (x,,) et (&i»); 
»° Les deux systèmes adjoints aux précédents, savoir (Bin) et (D, n)5 


3e Le système de quantités (r,,) adjoint au système (72,,n). 


Si l'on voulait des équations (44) dégager l’un des systèmes (6,,), 
(bin), en ayant égard aux relations établies par les équations (46), on 
retrouverait les équations (42) et (43). Ainsi, d'un système d’équa- 
tions symétriques de l’ordre 7, on peut toujours déduire cinq autres 
systèmes semblables, savoir : deux systèmes adjoints du premier ordre, 
deux systèmes adjoints du deuxième ordre, un seul système adjoint du 


troisième ordre; mais on n’en saurait déduire un plus grand nombre. 
(>) : 


S VIII. Je reviens maintenant aux équations (31) qui se trouvent 
représentées par le symbole (33). Lorsqu'on les ajoute entre elles, on 


a l'équation suivante : 


(Otis + Dos +... + Qu) (ii + Go Fe: + An) 


| + (Ai,2 + Das ee. + Onr) (Qr,e + Ass +... + Ans) 
(49) ‘ ee Se Rd ee ie et son ce she eee lelioiie 
| EUR qe te de nec u Cnun) Ci 0 ne Go hote. ie ,) 


= Nina Mas tes + Ma Mot + Mnotise + Main: 
On peut mettre cette équation sous la forme suivante : 


Sœur) S'(au) + S'(au,2) S'(Auo) +... + S"(au,n) S"(Ayn) 


= Sms) + Sms) +... + S'(Mun)s 


le signe S étant relatif aux indices w qui occupent la première place 


dans les termes des systèmes 
(&in)s (Ain) (Min). 
On peut encore mettre la même équation sous la forme 
(50) S'LS"(au,v) Say )] = SES (mus), 


le premier signe S dans chaque membre étant relatif à l’indice y et les 
autres à Pindice u. 


Si au lieu d'ajouter entre elles les équations (33) on ajoute les équa- 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, R10 153 


tions (44), on obtiendra une équation semblable à Péquation (60), ct 


qui pourra être mise sous la forme 

(51) S[S"(Buv) S"(bus)] = SS7 (ruv), 

pourvu que les opérations indiquées par le signe S dans 
S(Buv)s S" (Du), S" (ru) 


soient relatives aux indices & qui occupent la premiére place et que 
les deux autres signes S employés dans l'équation (57) sotent relatifs 
aux indices y qui occupent la seconde place. 

On obtiendrait de la même manière, par addition des équations (40), 
(41), (42), (43), les valeurs de 


SA SA (ou), SA S' (aus) S' S' ( bu), Su S(Bu,v). 


TROISIÈME SECTION. 


Des systèmes de quantités dérivées et de leurs déterminants. 


$ IX. Soit (a,,) un système quelconque de l’ordre 7. Les indices 
qui affectent les différents termes de ce système étant respectivement 
égaux aux nombres,r, 2, 3, ..., a; supposons qu'on les assemble p à p 
de toutes les manières possibles; le nombre des combinaisons que lon 


pourra former par ce moyen sera égal à la fraction 


n(n—1})...(n—p+i) 





w 
co 
S 


que je désignerai par P. 

Supposons maintenant que, après avoir écrit ces combinaisons à la 
suite les unes des autres en commençant par celles où le produit des 
indices est le plus petit possible et finissant par celles où le produit 
des indices est le plus grand possible, on leur fasse correspondre les. 
numéros (1), (2), (3), ..., (P— 1), (P). Le numéro (1) correspondra 
à la combinaison 


OEuvres de C. — S.WH,t.I. Cut 20 


15% MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 
et le numéro (P) à la combinaison 
2 DO Dir. R—I.AN, 


dans laquelle le produit des indices est évidemment plus grand que 
dans tous les autres. 

Soient maintenant (4) et (v) deux des numéros affectés aux com- 
binaisons dont il s’agit. Si dans le système donné (4,,) on supprime 
tous les termes à l'exception de ceux qui ont leur premier indice 
compris dans la combinaison (4) et leur second indice compris dans 
la combinaison (+), les termes restants formeront un système de quan- 
tités symétriques dé l'ordre p. Ainsi, par exemple, si u=v=t, les 
combinaisons (uw) et(v) se réduiront à une seule combinaison formée 
des indices 

PRE CU | 
et, dans ce cas, les termes conservés du système (@,,) formeront le 


système («,,) de Fordre p, savoir 


1.7 
Ü As os ses j,ps 
= 2,15 . 2,2) ss  A,ps 
(92) 


QE vs CRUE ses 


\ Ap,1» Ah: 


dont lé déterminant sera D,. 

St l'on n'a pasu=71,v=—1; alors, au lieu du système (52), on aura 
un autre système de l’ordre (p) dans lequel les indices des suites 
horizontales seront égaux à ceux que renferme la combinaison (4) et 
les indices des suites verticales égaux à ceux que renferme la combi- 
naison (y). Je désignerai le déterminant de ce dernier système par a,?,. 
Sa valeur absolue dépend uniquement des indices compris dans Îles 
combinaisons (1) et (v); mais son signe reste arbitraire, à moins que 
lon n'introduise de nouvelles conditions dans le calcul. 

Si dans af, on donne successivement à pet à v toutes les valeurs 
possibles depuis 1 jusqu’à P, on aura en tout un nombre de détermi- 
nants égal à P?. Ces déterminants, rangés en carré de la manière 


QUINE PEUVENF'OBTENFTR QUE DEUX VALEURS, ETC 155 


suivante 
(p {p) (p) 
a fn , ai , 9 air, 
(p) (D) (p) 
“a a # al + ay, 
(99) 
, Due , , , 


(p) (p) 
| Ai, hs 


formeront un système symétrique de l'ordre P dont le premier terme 4? 
sera égal à D, et dont les autres termes pourront être déduits du pre- 
mier à l’aide de substitutions opérées entre les indices qui affectent 
les termes du système (@&,,). Pour suivre la notation précédemment 
adoptée, je désignerai le système (53) par 
(arr). 
Si lon donne successivement à p toutes les valeurs 


D D le le 


P prendra les valeurs suivantes : 
[l 





n(n—1) n(n—1)(n —2) n(n—1)(7nr — 2) n(nR—1) 
LE ) Ta >] eu | ER CA QE ea ere | TOR monte À LS 
1.2 1.99 Co 2 


, 


et l'on obtiendra par suite un nombre égal à # — 1 de systèmes symé- 
triques différents les uns des autres dont le premier sera le système 
donné (a,,). Ces différents systèmes seront désignés respectivement 
par 





1523 


4 (2) \ (3) 
(ai), ous Ce IEEE CC 
non ; 


, 





(2—3) (2-2) (=D 
ere Et (ai H 


\ 1.2.3 1-2 


je les appellerai systémes dérivés de (a,,). Parmi ces systèmes, ceux 
qui correspondent à des valeurs de p dont la somme est égale à 2 son 
toujours. de même ordre; je les appellerai systémes dérivés complémen- 
Laires. Ainsi, en général, 


(afè) et (aïp”) 


sont deux systèmes dérivés complémentaires l’un de l'autre dont l'ordre 


156 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


est égal à 
FE LA met 2 La 
—— 5: ES 


112-900 P 





Les différents termes du système (53) représentant autant de déter- 
minants de l’ordre p, on peut supposer à volonté chacun de ces termes 
positif ou négatif. De plus, les numéros correspondant aux diverses 
combinaisons des indices 1,2, 3,..., n ne sont pas entièrement déter- 
minés par cette seule condition que l’on donne de moindres numéros 
aux combinaisons dans lesquelles les produits des indices sont plus 
petits. Quoi qu’il en soit, on pourra, sans détruire les propositions 
que nous allons démontrer, régler à volonté ce qu'il y a d’arbitraire 
dans la détermination des signes et des numéros dont il s’agit, pourvu 
qu'après avoir fixé d’une certaine manière les signes et les numéros 
relatifs aux termes du système dérivé (a), on fixe de la manière 
suivante les signes et les numéros relatifs aux termes du système 


dérivé complémentaire (4/57) : 


1° Soit (uw) le numéro correspondant à l’une des combinaisons 
formées avec un nombre égal à p d'indices pris: dans la suite 


L 
0] 
EE 


on désignera par (P — ù +1) le numéro qui correspond à la combi- 
naison formée avec ceux des indices 1,2, 3, ..., x qui sont exclus de la 
combinaison w en nombre égal à (2 — p). Par suite, si l’on compare 
entre eux les deux termes , 


(D) (2—p) 
uns Ab-p+i, P—x+19 


dont l'un est pris dans le système (ai?) et l’autre dans le système 
complémentaire (a?) et que l'on examine les indices qui, dans ces 
deux déterminants, affectent les termes du système (a,,), on'trouvera 


que les indices compris dans le déterminant a7, sont exclus du déter- 


(a—p) 
P—u+1,P--7+1 


minant @ et réciproquement. Je désignerai les deux quantités 


(p) (n—p) 
déns AP-p+1,P-x+1 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 157 


sous le nom de termes complémentaires des deux systèmes 
an) (ar) 
Le premier terme du système (53) étant 
D Sd ml 


(np) 


le terme complémentaire pris dans le système (a?) sera 
OR EN de Pattes por dun 
2° Le produit des deux termes précédents ou 
SEM dd NON U id os 


est, abstraction faite du signe, évidemment égal à la somme de plu- 
sieurs produits symétriques affectés des mêmes signes que dans le 
déterminant D,, c’est-à-dire à une portion de ce déterminant. En 
général, il est facile de voir que le produit de deux termes complé- 
mentaires pris à volonté est toujours, au signe près, une portion de 
ce même déterminant. Cela posé, étant donné le signe de Fun de ces 
deux termes, on déterminera celui de l’autre par la condition que leur 
produit soit affecté du même signe que la portion correspondante du 
déterminant D,. 

Si l’on suppose p — 1, on aura P = x et la quantité a}, deviendra 
généralement égale à 


Au.,r- 


(n—p) 


Dans le même cas, la quantité complémentaire a 2, x deviendra 
égale à 


Dee 


Se 


S X. On a fait voir dans le paragraphe IT que la fonction symétrique 


alternée 
À Que di ,1 A, 3,3: . Ann) Vs D, 


était équivalente à celle-ci 


S[+ Sie Ai, A2: da 


2,2 


158 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


On fera voir de même qu’elle est encore équivalente à 
S[+ Se di A2: n 1dp.p) Cite Ap+1,p+1 QE D TC OP 


les opérations indiquées par le signe $ pouvant être considérées comme 
relatives soit aux premiers, soit aux seconds indices. On a d’ailleurs 


par ce qui précède 
td tie ai: 
SCA ho al art 


Enfin les signes des quantités de la forme aÿ,, app” doivent être tels 


(1— 


que les produits semblables à a as,” soient, dans le déterminant D,, 


affectés du signe +. Cela posé, il résulte de l'équation 


Del ieuds. DS Etc bn 10 il 


que D, est la somme de plusieurs produits de la forme 
ait ap? . 


Selon que pour obtenir ces différents produits on échangera entre eux 
les premiers ou les seconds indices du système (&,,), on trouvera ou 


l'équation 
D, = aff apr) + aff aff +... + aff} aiy" 


ou celle-ci 
D, = ai afp") + ain af, +. .+ aip apr. 


On aura de même, en général, les deux équations 


(D) y(71—-p) (—p) 
D,= ai} ap. Pr+i + ,T AR BUS Co ax ALP R+ie 


D,= af arf + af} ay ur +...+ afp afÿ" ire 
Ces deux équations sont comprises dans la suivante : 
(94) D, — SP(a Ur ap! a, P_r+1) 


qui a licu également, soit que l’on considère le signe S comme relatif 


à lindice y, soit qu'on le considère comme relatif à l'indice +. 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 159 
Si dans l'équation (54) on suppose p = 1, elle deviendra 


D, = S"(ap,r Our). 


Suivant que l’on suppose dans cette dernière le signe S relatif à l'in- 


dice 7 ou à l'indice &, on obtient l’une ou l’autre des deux équations 


À à Pen S"(ay. Oui), 
D, =S(airbir) —S" (Ai biu), 


“ 


qui ont déjà été trouvées dans le paragraphe IL. 

D, étant une fonction symétrique alternée des indices du système(«,,) 
doit se réduire à zéro lorsqu'on y remplace un de ces indices par un 
autre. Si l’on opère de semblables remplacements à l'égard des indices 
qui occupent la première place dans le svstème (a,,) et qui entrent 
dans la combinaison (u.), cette même combinaison se trouvera trans- 
formée en une autre que je désignerai par (v) et af} sera changé 
en a, D'ailleurs, en supposant le signe S relatif à 7, on a 


=p) nu 
DD 1 lis 


(54) D,— SP(afr af: 
on aura donc par suite 
(29) 0 = S'(aÿz ap de ru). 


On aurait de même, en supposant le signe $S relatif à l'indice Helen 


désignant par (7) une nouvelle combinaison différente de (7), 
(56) 0—=D'(alr ah diip.rer). 


Si dans les équations (55) et (56) on suppose p — 1, on retrouvera 


les équations 
ER CMRETR RE 


Fame a 7 Dir) = S" (ais biu) 


que nous avons déjà obtenues dans le paragraphe TH. 
Si dans les équations (54) et (56) on suppose le signe S relatif à 
l'indice & et que l’on donne successivement à # et à 7 toutes les 


valeurs entières depuis 1 jusqu’à P, on obtiendra le système d’équa- 


160 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


tions suivant dont l'ordre est égal à P : 


| D — — an aÿr P) _ as} ay 58 ARR af} af P), 








o —a;} afr?} +...+afiairn, 

DR DR TT A RE ne | 

o —affah" +... + ai ai? ; 

o — a} ap" + a arr +...+ afsafr, 

A (p) n—p) (p) (np) 

D, = a{} afr?i +...+ af2air, 

ER . 

(55) { u. 

e \o —=afyafi? +...+afiaitl); 
A 
NT D TR TE FRONT 

o — af} air" + afr ap +... + aÿ/p air”, 
O7 — (4 1 ap p2i pi +... + ar a}%- ur 
A : 

D, = af af Pr. -+...+ app af). 


Ce système d'équations peut être représenté par le symbole 
E[SP(alr avr) AT 
pourvu que l’on suppose généralement 
Dr: 0 
lorsque 7 et 7 sont inégaux et 


: Dxr = D: — D, 
dans le cas contraire. 


, 


Cela posé, désignons généralement par 
Di? 
le déterminant du système (af); 
| 


sera le déterminant du système complémentaire (a?). D'ailleurs 


dans les équations (57) le déterminant du système dégagé doit être 


Le) 


2 


égal au produit des déterminants des deux systèmes engagés et comme 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 161 
le système dégagé a pour déterminant 


D}, 
on aura - 


(58) | DP— DD, 
Lorsqu'on suppose p — 1, les équations (57) se confondent avec les 


équations (10) obtenues dans le paragraphe HE, et l'équation (58) se 


change en la suivante : 
HDi 


qui était déjà connue. 


. : . ‘ , | Jè 
Si x est un nombre pair et que l'on suppose p — 5° On aura 


D — Dir" — p{r) 


P étant égal à 


L'équation (58) deviendra donc alors 
py = (n(5)) 


PA P 
(29) | p(5)_ pi. 


= se ; ; ; (=) 
Elle fera ainsi connaitre la valeur du déterminant D?”. 


QUATRIÈME SECTION. 
Des systèmes d'équations dérivées et de leurs déterminants. 
S AI. Les trois systèmes de quantités (,,), (a,,), (,,) étan 
supposés liés entre eux par les équations 


(33) ZTSE (Gus) = Mu], 
OEuvres de C.— S. I, t. 1. D | 


162 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


les systèmes de même ordre dérivés des trois premiers, par exemple 
(ai®), (ai), (mi»), 
Se : h e de se , 
seront liés entre eux par des équations semblables, ainsi qu'on va le 
faire voir. 

Soient 7, »,..., 7 plusieurs indices pris à volonté parmi ceux qui 
oceupent la première place dans le système (a,,). Soit p le nombre 
de ces mêmes indices, et désignons par 

(pr) 
la combinaison qui les renferme tous. Soient de même +’, p', ...,7’des 
indices en nombre égal à p pris parmi ceux qui occupent la première 
place dans le système (x,,), et désignons par 


| (») 


li combinaison qui renferme ces derniers. On aura en général 


(Go) My TE SE Mir Mo p ee Mar). 


Si l'on développe le second membre de l'équation précédente, après 
y avoir substitué pour 


Mars Mpps es Mar 


leurs valeurs données par les équations 


Mar = Ari Ari ro Aro +. + An',n Ann 

(61) \ UT mil 2 EU 5 dal DEN Ne 0 de 0 
{ ) À { x 

| Re D D Se A do Un ie de : 

Mr — Ar Ari H Are Are +. + Aron Ar,ns 


on trouvera que le développement ainsi formé renferme avec le produit 


Ari Lp',2- + r',p Ari Ap,2e + Ar p * 


n 


1° tous les produits que l’on peut déduire de celui-ci par des trans- 


positions opérées entre les indices 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 163 


qui occupent la première place dans a et par des transpositions opérées 


entre les indices 


! ! + 
ST p » ve 0 0 T 


qui occupent la première place dans &; 2° tous les produits que l'on 
peut en déduire par des transpositions opérées entre les indices 


qui occupent la seconde place dans les deux systèmes (a,,)et(x,,). 
Cela posé, le développement de 


SE Main Mop'.. Mr) 


devant être une fonction symétrique alternée relativement aux indices 
7, Ps -.-,T Qui occupent la première place dans &, et relativement aux 
indices x’, p’, ..., 7’ qui occupent la première place dans 4, ne pourra 
renfermer le produit 


nn Lp',ae e Ur, p Ars pare Ar, 
sans renfermer en même temps le produit 
S (Æ &x’,1 Æp,2e ee r,p) SE An, Ao,2. + + Ar,p); 
qui d’après les conventions établies doit être désigné par 
at ais 
puisque les trois combinaisons 
do Te Re hi on P 
correspondent aux trois numéros 
(v), (1, (1). 


Le même développement, devant être une fonction symétrique perma- 
nente relativement aux indices toujours égaux qui affectent en seconde 
ligne a et « dans chacune des équations (61), ne pourra renfermer le. 
produit 


api af ue pa ps S(Æ ri Lo',2: . x ,p) S(+ lz 1 Usa: . “Uz,p) 


108: .: : MÉMOIRE SUR LES"FONCTIONS 

sans renfermér la somme de tous ceux que l'on peut déduire du pré- 
cédent par des transpositions opérées entre les seconds indices des 
deux systèmes (a,,) et (&,n); et comme pour opérer ces diverses 
transpositions il suffit de remplacer successivement la combinaison (1) 
par les suivantes (2), (3), ..., (P) ou, ce qui revient au même, Île pro- 
duit #2 af} par les produits 


» ha (P) oc?) (D). (P) » 
fe a ST CR a} ais 


le développement cherché sera nécessairement de la forme 
caf) ali + ai} aff} +... + af aibb SE os (a ar) 
et par suite on aura 


mil, = c S°(a ali), 


le signe S étant relatif à l'indice x et c désignant une constante arbi- 
traire que l’on déterminera de Ta manière suivante. Si l’on développe 


le produit 


af} ali= E S(E x, pe. Er, p) S(E Gn,i Gp2: + + Ar, p) 


on trouvera pour premier terme Île produit suivant : 
LE Ax',1 Ép',2e + Ar p Er 1 Gp, + Due 
D'ailleurs linspection des équations (61) suffit pour faire voir que 


ce dernier produit doit être compris une seule fois dans le dévelop- 


pement de 
mi cp} — + MU Mar Ro, p': Mar). 


On a donc nécessairement e = +1. Le choix que l’on doit faire tei 
entre les deux signes + et — dépend de Ja:manière dont on aura 
déterminé les signes respectifs des trois quantités 


(D) (Pp\ (p) 
mi V5 api Pi 


ou, ce qui revient au même, les signes des trois suivantes : 
: ; O ; > 


ap) — + S(Zr,r 5,0 Œr,r ) 
de 
a = ESEar dg,2e 2 %',p) 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 165 
Il est facile de voir que l’on aura c— 1 si l’on suppose que le signe 


du produit 
; Xr,n' Xo,p' .. Œ= r 


dans « soit égal au produit du signe de 


Le 


Ori Lp,2 + + Ar, p 


dans «7 par le signe de 
Ur, Xp',2. . ‘Us, 


dans æÿ?. Si l’on admet cette hypothèse, l’équation rapportée plus 


haut deviendra 
(62) ni Sa ia 
Si dans cette équation on donne successivement à à ef à v toutes Îles 


valeurs entières depuis 1 jusqu'à P, ôn aura un système d'équations 


symétriques de l’ordre P, que l’on pourra représenter par le symbole 
(63) Se ali) mit 


P étant toujours égal à 





n(n—1)...(n—p+i) 
os D P 


Pour déduire des équations (33) les équations (63), 1l'suftit évidem- 


ment de remplacer les trois systèmes de quantités 
(in) (&i,n)s . (Mi,x) 
par les systèmes dérivés de même ordre 
| a er 0 


Je dirai pour cette raison que le second système d'équations est dérivé 
du premier: 

Si dans le symbole précédent on suppose p 71, on retrouvera Îles 
équations (33). Si dans le même symbole on change 


Ken P=—p+1; ven P—y<+i, :1 en P 


166 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


et que l'on fasse ensuite p = 72 — 1, on aura 
Pr ap PV Qui = Vus M u4sp-v— uv 
et par suite le symbole (63) se changera dans le suivant : 
S[S"(B Dur) = My], 


auquel on était déjà parvenu directement. 
Si dans les équations (63) on change p en 7? — p, on aura 


(64) 25 (ar an) = mire], 


Désignons par 
u SP) (p) (p) 
0 Dr, Mi 


les déterminants des trois systèmes 


(aie), (air), (rip); 


on aura, en vertu des équations (63), 
(63) MP — D. 


On aura de même 


É MEt-n— Dyr-n gi, 


Si l’on multiplie ces deux équations l’une par l’autre, on aura en vertu 
de l'équation (58) 

MD? 
et par suite 

Mo 10. 


On obtient aussi ce dernier résultat en supposant, dans l'équation (65), 
nt | 
Si l’on ajoute entre elles les équations (63), on aura la suivante : 


(66) SES" (or) S'(a)] = S?SP(m3), 


le premier signe S, c'est-à-dire le signe extérieur, étant relatif à l’in- 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 167 
dice y et les autres, c’est-à-dire les signes intérieurs, étant relatifs à 
l'indice 1. 

$ AIT. En réunissant ce que la théorie précédente offre de plus 
remarquable relativement aux systèmes d'équations dérivées, on for- 


mera le Tableau suivant : 
Soient toujours (&,,,), (&in), (Mn) trois systèmes de quantités liés 


entre eux par les équations symétriques 


(33) ZTS (av aus) = My]: 
Faisons à l'ordinaire 
URL) NI p ann 


P— 





et désignons par 


Carr), (rh Ca -Caernx (mile), (mir?) 


les systèmes de l’ordre P, dérivés des trois systèmes donnés, et qui 
deux à deux sont complémentaires l’un de l’autre. Enfin, soient res- 


pectivement 
Pr 0e, De D, MP, Me 


P 


les déterminants de ces différents systèmes; on aura les équations 
suivantes : 
| MP= D, MED, 
NE Lo Pa", DP=DPDY-P, M? MP M», 
| On — SP(aU ape, P-r+1)) D, — S'(aÿ Ur du, P-r+1); 


M; = S°( MR mÉfis P-r+1): 


e P—v+1,P—T+1 5 à U,T P—y+1,P—7T+1 
(68) GS (alrai ) D S'(alr ape 5 
D D ART bp ni) 
9— SP( CRE 3e 24,P—t-+1 )s 0 — SP(al% aÿ_d}, b—t+1 ) 
| Pons © MUR mp y du, P—r+1); 
(69) Z[SP( CAETR jm DA PS Ne AR At) 2 Au 
. {| S'[S?(ais )SP(ali}] =S Sn) 
70 


| SPLS" (a?) S'(a9)] = S'S' (mi). 


168 : MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS 


ENS x , 7 S 
Si l’on suppose 2 pair et p = => alors on aura 
é 2 


It 
DCI Te 
a n.(G#) 





D D D — ; 
/ Î 
Gp} 4 
| _— 
D 


BP = a, -DP=DEP, MP ME" 
et, par suite, les équations (67) donneront pour 
6,1 D, Mi. 
les valeurs suivantes : 


P 


CREER Un, p(5)= p5 


n) 


LA P 
M5) x. 

On vient de voir combien de transformations analytiques diffé- 
rentes peuvent se déduire de la considération des systèmes d’équa- 
tions symétriques. On doit surtout remarquer le théorème renfermé 


dans Péquation 
M, — D, 0 


en vertu duquel le produit de deux déterminants est encore un déter- 
minant et dont les recherches faites par M. Gauss sur les polynomes 
du deuxième degré à deux et à trois variables offrent de nombreuses 
applications. Favais rencontré l'été dernier, à Cherbourg, où J'étais 
fixé par les travaux de mon état, ce théorème et quelques autres du 
même genre, en cherchant à généraliser les formules de M. Gauss. 
M. Binet, dont je me félicite d’être l'ami, avait été conduit aux mêmes 
résultats par des recherches différentes. De retour à Paris, j'étais 
occupé de poursuivre mon travail, lorsque j'allai le voir. Il me montra 
son théorème qui était semblable au mien. Seulement il désignait sous 
le nom de résultante ce que j'avais appelé déterminant. me dit en 
outre qu'il avait généralisé le théorème dont il s’agit en substituant au 
produit de deux résultantes des sommes de produits de même espèce. 


J'avais dès lors déjà démontré le théorème suivant : 


D'un système quelconque d'équations symétriques on peut déduire cinq 


QUI NE PEUVENT OBTENIR QUE DEUX VALEURS, ETC. 169 
autres systèmes du même ordre; mas on n'en saurait déduire un plus 
grand rombre. 

J'ai démontré depuis, à laide des méthodes précédentes, cet autre 
théorème : 


D'un système quelconque d'équations symétriques de l'ordre n on peut 


Loujours déduire deux systèmes d'équations symétriques de l’ordre 
| | 1 


deux systèmes d'equations symétriques de l’ordre 


n(rn—1)(n —2) 


Pos, npanat | 
En ajoutant entre elles les équations symétriques comprises dans 
un même système, on obtient, comme on l'a vu, les formules (56), 
(51) et (5o) qui me paraissent devoir être semblables à celles dont 


M. Binet m'a parlé. 


OEuvres de C. — S. I, t. I. 22 





MÉMOIRE 


DÉTERMINATION DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES 


DANS LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES (!). 


PERRREUESE” D __— 


PREMIERE SECTION. 


ENCOSLTION (GENÉRALD DE LA THÉORIE. 


S I. Les géomètres se sont beaucoup occupés de la question qui 
fait l'objet de ce Mémoire et qui peut être envisagée sous deux points 
de vue différents, selon qu'il s'agit des équations littérales ou que 
lon considère une équation dont tous les coefficients sont donnés en 
nombres. Dans le second cas, on résout complètement le problème en 
formant par les règles connues une équation auxiliaire dont les racines 
sont les carrés des différences entre celles de la proposée; ce qui 
fournit le moyen d’assigner une quantité moindre que la plus petite 
de ces différences et, par suite, de fixer avec le nombre des racines 
réelles des Timites entre lesquelles chacune des racines est comprise. 
Mais, relativement aux équations littérales, la question consiste à 
trouver des fonctions rationnelles de leurs coefficients dont les signes 
déterminent dans chaque cas particulier le nombre et l'espèce de 
leurs racines réelles. Or ce n’était, jusqu'à présent, que pour un petit 


nombre d'équations d’une forme déterminée que l’on avait réussi à 


(1) Extrait de plusieurs Mémoires lus à l'Institut dans le courant de l’année 1813. 


MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION DU NOM DRE he tr 
former de semblables fonctions. Ce qu'il y avait de plus général sur 
cette matière avait été donné -par de Gua dans les Mémoires de l’Aca- 
demie des Sciences, année 1741. Mais, quoiqu'il eût établi la plupart 
des principes qui devaient conduire à la solution du problème, il 
paraissait désespérer que l’on püt jamais y parvenir, et les géoméètres 
désiratent encore une méthode générale applicable aux équations litté- 
rales de tous les degrés. M. Poisson ayant bien voulu m'indiquer ce 
sujet de recherches, je me suis proposé de compléter, s'il était pos- 
sible, cette partie de l’Algèbre et, après diverses tentatives, je suis 
enfin parvenu à la méthode qui fait l'objet du présent Mémoire, Afin 
de rendre cette méthode plus sensible, je commencerai par l’exposer 
d’une manière géométrique et, pour plus de simplicité, je supposerai 
d'abord que ni l'équation proposée ni aucune des équations auxiliaires 
qu'on sera obligé de considérer n'ont de racines égales entre elles ou 
égales à zéro. 

Si l’on désigne par æ la variable de l'équation donnée et par X son 
premier membre, X étant un polynome en æ du degré #2, ce polvnome 
pourra être considéré comme représentant l'ordonnée d'une courbe 
parabolique dont les points d’intersection avec Faxe des æ auront pour 
abscisses les racines réelles de l'équation proposée. La parabole dont 
il s’agit sera une courbe continue à une seule branche composée en 
général : 1° de plusieurs portions finies terminées par leurs deux extré- 
mités à l'axe des abscisses; 2° de deux portions indéfinies qui toutes 
deux s’élèveront au-dessus de l'axe des +, si l'équation proposée est de 
degré pair, et dont l’une s’abaissera au-dessous du côté des abscisses 
négatives dans le cas contraire. Toutes ces portions se réduiraient à 
une seule si l'équation donnée n'avait que des racines imaginaires et, 
dans ce cas, la courbe s’étendrait indéfiniment au-dessus de l'axe des 
abscisses. Dans tout autre cas, le nombre des portions finies de la 
parabole, augmenté de l'unité, sera toujours égal au nombre des points 
d'intersection de la courbe avec l'axe des æ, c’est-à-dire au nombre des 
racines réelles de la proposée. | 


\ 


Après les points où la parabole coupe l'axe des æ, les plus remar- 


172 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


quables sont ceux où la tangente devient horizontale et que je dési- 
gnerai sous le nom de sommets. Ces mêmes points sont aussi ceux où 
l'ordonnée de la courbe devient un #aximum où un minimum. J'appel- 
lerai sommets de premiére espèce ceux où la courbe tourne sa concavité 
vers l’axe des abscisses et où l’ordonnée, abstraction faite du signe, 
devient un #aximum. J'appellerai sommets de seconde espèce ceux où la 
courbe tourne sa convexité vers le même axe et où l’ordonnée, abstrac- 
tion faite du signe, devient un rurimum. Si l'on parcourt une partie de 
la parabole située tout entière d’un même côté de l'axe des abscisses, 
les divers sommets que lon rencontrera seront alternativement de 
l’une et de l’autre espèce et, si l’une des extrémités est un point d'in- 
tersection de la courbe avec l'axe, le sommet le plus voisin de cette 
extrémité sera un sommet de première espèce. Il en résulte que, dans 
chaque portion finie de courbe, comprise entre deux points d'inter- 
section consécutifs, le nombre des sommets de première espèce sur- 
passe toujours d'une unité le nombre des sommets de seconde espèce. 
De plus, ces deux espèces de sommets sont toujours en même nombre 
dans chacune des deux portions indéfintes. 

Il suit de cette remarque que le nombre total des sommets de pre- 
mière espèce surpasse le nombre total des sommets de seconde espèce 
d'autant d'unités qu'il v a de portions finies dans la courbe que l'on 
considère. Par suite, la différence de ces deux nombres, augmentée 
de l'unité, sera toujours égale au nombre des points d'intersection de la 
courbe avec l'axe. En général, st l’on considère une partie quelconque de 
la courbe, comprise entre deux points fixes, le nombre des points d'inter- 
section et ceux des sommets de première et de seconde espèce compris dans 
celte méme partie auront entre eux une relation qu'il est facile de deter- 
miner. Le premier de ces trois nombres sera égal à la difference des deux 
autres si, en s'approchant de ses deux extrémités, la partie en question 
s'approche d'un côte et s'éloigne de l’autre de l’axe des abscisses. Il sur- 
passera la rnéme difference d'une unité, st vers ses deux extremiutes la 
méme partie s'éloigne de ! ‘axe des x. Enfin il en sera surpassé d'une 


unité dans le cas contraire. 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. DOUTE 

Pour faire une application de ce théorème, supposons que l'on con- 
sidère la moitié de la parabole située à droite de l'axe des ordonnées 
ou du côté des abscisses positives. Si, en s'approchant de l'axe des 
ordonnées, cette moitié de parabole s'approche également de laxe 
des æ, alors du côté des abscisses positives la différence entre les 
nombres de sommets de première et de seconde espèce scra égale au 
nombre des points d'intersection de la courbe avec l'axe. Si, dans le 
même cas, on considère l’autre moitié de parabole située du côté des 
abscisses négatives, on trouvera qu'en s'approchant de l'axe des ordon- 
nées cette moitié s'éloigne de l'axe des æ et, par conséquent, du côté 
des abscisses négatives le nombre des points d'intersection de la courbe 
avec l’axe surpassera d’une unité la différence entre les nombres de 
sommets de première et de seconde espèce. On obüendrait des résultats 
inverses si, en s’approchant de l'axe des ordonnées, la moitié de para- 
bole qui correspond aux abscisses positives s'éloignait de l'axe des +. 
Par suite de ce qu'on vient de dire, st l’on forme les différences qu existent 
entre les nombres des sommets de premiére et de seconde espèce : 1° du côte 
des abscisses positives, 2° du côte des abscisses négatives, la somme de ces 
deux différences, augmentée de l'unité, sera toujours égale au nombre total 
des points d'intersection de la courbe avec l'axe, ce que l’on savait déjà, 
et, de plus, l'excès de la prenuëre différence sur la seconde sera supérieur 
ou inférieur d'une unité à la différence qui existe entre le nombre des 
points d’intersecuon correspondant aux abscisses positives et le nombre des 
points d'intersection correspondant aux abscisses négatives, selon qu'en 
s'approchant de l’axe des ordonnées du côté des abscisses positives la 
parabole s'approchera ou s'éloignera de l'axe des x. Ces théorèmes étant 
une fois établis en Géométrie, voyons comment on peut les traduire 


en Analvse. 


S Il. Soit toujours X le premier membre de l'équation proposée et 
désignons par X’ et X”’ses fonctions dérivées du premier et du second 
ordre. X sera l’ordonnée de la parabole que nous avons considérée 


ci-dessus. Les points d’intersection de cette parabole avec l'axe des x 


174 MÉMOIRE SUR LA D STERMINATION 


LA 


auront pour abscisses les racines réelles de l’équation X = 0, et ces 
mêmes points seront situés du côté des abscisses positives ou du côté 
des abscisses négatives, suivant que les racines correspondantes seront 
elles-mêmes positives ou négatives. Quant aux sommets, c’est-à-dire 
aux points de la courbe où lordonnée devient un maximum où un 
minimum, is auront évidemment pour abscisses les racines réelles de 
l'équation dérivée 
M0 

On sait de plus que la fonction X ne peut devenir un maximum absolu, 
c'est-à-dire abstraction faite du signe, qu’autant que X et X” sont de 
signes différents et ne peut devenir un »unimum absolu que dans le 
cas où X et NX” sont de même signe. Par suite, le produit XX’ sera 
toujours négatif relativement aux sommets de première espèce et po- 
Si relativement aux sommets de seconde espèce. Enfin, pour décider 
si, en S'approchant de l'axe des ordonnées du côté des abscisses posi- 
tuives, la parabole s'approche ou s'éloigne de l'axe des abscisses, il 
suffira évidemment de voir si, quand labscisse devient nulle, lor- 
donnée et sa dérivée sont de mème signe ou de signes contraires, 
c'est-à-dire si le produit des deux derniers termes de l’équation donnée 
est positif ou négatif. 

I suit de ces considérations que, si l’on savait résoudre l'équation 
X'=— o,1l serait facile d'obtenir non seulement l'excès du nombre total 
des sommets de première espèce sur le nombre total des sommets de 
seconde espèce, mais encore l'excès de la différence entre les nombres 
de sommets de première et de seconde espèce situés du côté des 
abscisses positives sur la différence entre les nombres de sommets de 
premiére et de seconde espèce situés du côté des abscisses négatives. 
En effet, pour obtenir la somme de ces deux dernières différences ou 
le premier excès, 11 suffirait de substituer successivement toutes les 
racines réelles de l'équation X’=o dans le produit XX”, puis de 
retrancher le nombre des valeurs positives de ce produit du nombre 
de ses valeurs négatives et, pour obtenir l'excès de la première diffé- 
rence sur la seconde, il suffirait de changer préalablement les signes 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 175 


de toutes les valeurs du produit XX” qui correspondent à des abscisses 
négatives, ce qui revient à remplacer le produit XX’ par le suivant æ XX”. 

Supposons maintenant que, au lieu de résoudre l'équation X'=—0,on 
forme deux équations auxiliaires qui aient respectivement pour racines 
les diverses valeurs des deux produits XX”, æXX’, prises avec des 
signes contraires et correspondant à toutes les racines réelles ou 
imaginaires de l'équation dérivée X’— 0. Si, comme nous le suppo- 
serons d'abord, ces deux équations auxiliaires n’ont pas de racines 
égales, celles de leurs racines qui correspondront à des racines ima- 
ginaires de l'équation dérivée seront elles-mêmes imaginaires et, par 
suite, si l’on forme successivement pour chacune d'elles l'excès du 
nombre des racines positives sur le nombre des racines négatives, on 
aura précisément les deux excès où quantités cherchées. Au reste, 
il sera facile d'obtenir par l'élimination les deux équations auxiliaires 
dont il s’agit; car, si l'on représente par y l’inconnue de la première, 
par : l’inconnue de la seconde et par 


D'émnse = 0 
les équations elles-mêmes, il suffira, pour obtenir la premiére auxi- 
aire Y = 0, d'éliminer æ entre les deux équations 
0 PE AXT 0, 


et, pour obtenir la seconde auxiliaire Z— 0, d'éliminer æ entre les 
deux équations 
4 4 2XX O0. 
Cela posé, les deux théorèmes de Géométrie que nous avons énoncés 


ci-dessus, page 173, se réduisent aux deux suivants : 


Tnéorème [. — Le nombre des racines réelles de la proposée X — 0 
surpasse toujours d’une unité la différence qui existe entre les nombres 


de racines positives et négalives de la première auxiliaire YŸ == 0. 


TéorëMe IL — La difference qui existe dans la proposée X = o entre 


les nombres de racines positives et négatives est superieure ou tnférieure 


176 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


d'une unité à la méme différence dans la seconde équation auxiliaire 
L — 0, suivant que le produit des deux derniers coefficients de l "équation 


proposee pris er SiSnes contraires est positif ou négatif. 


Si l'équation proposée X = 0 est du degré », l'équation dérivée 
N'—oet, par suite, les deux équations auxiliaires Ÿ + 0, Z = 0 seront 
toutes trois du degré » — 1 inférieur d'une unité à celui de la pro- 
posée. Il est maintenant facile de voir comment les deux théorèmes 
précédents peuvent conduire à la solution du problème qui fait l’objet 
de ce Mémoire. En effet, ce que l’on cherche est le nombre et l'espèce 
des racines réelles ou, si l’on veut, le nombre des racines positives et 
le nombre des racines négatives de l'équation X = o. Pour y parvenir, 
il suffit évidemment de résoudre séparément chacune des deux ques- 
tions suivantes : 

so Déterminer le nombre total des racines réelles de l'équation 
Ne 0 

2° Déterminer la différence entre les nombres de racines positives 


et négatives de cette mème équation. 


D'ailleurs, en vertu des théorèmes ci-dessus énoncés, on pourra 
résoudre relativement à l'équation donnée du degré » les deux ques- 
tions précédentes si lon sait résoudre la seconde relativement à une 
équation quelconque du degré 2 — 1. Pareillement, on pourra réduire 
la détermination de la différence entre les nombres de racines positives 
et négatives dans une équation du degré # — + à la détermination de 
la même différence dans une équation du degré » — 2 et abaisser ainsi 
continuellement la difficulté jusqu'à ce que l'on parvienne à une équa- 
tion du premier degré. Cette dernière n'ayant qu'une seule racine tou- 
jours réelle, la différence entre les nombres de racines positives et 
négatives y sera évidemment égale à +r ou à —1, suivant que le 
produit des deux coefficients de l'équation pris en signe contraire sera 
positif ou négatif. Toutes les difficultés étant ainsi levées, les deux 
questions ci-dessus énôncées se trouveront complètement résolues. 


En résumant ce qui vient d’être dit, on aura, pour déterminer la 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 177 


différence qui existe entre le nombre des racines positives et le nombre 


des racines négatives de la proposée, la règle suivante : 


Soient À — o l'équation proposée du degré n, X' et X" les deux pre- 


muëéres dérivées de X. Eliminez la variable x entre les deux équalions 
Amd, s+æXX'"—0o 


et soient L = 0 l'équation auxiliaire en z qui en résultera. Cette équation 
sera du degré n—1. Soient L' et ZL'' les deux premières dérivées de JL. 


Eliminez de nouveau la variable z entre les deux équalions 


et soit V — 0 l'équation auxiliaire en + qui en résultera. Cette équation 
sera du degré n — 2, .... Continuez de même jusqu'à ce que vous arrivrez 
a uñe équation auxiliaire du premier degré. Vous aurez en tout n équa- 


Lions, y compris la proposée, savoir : 


M0 j lo 


0, F0; 





St dans chacune d'elles vous mulhpliez l’un par l'autre les coefficients des 
deux derniers termes, vous obtiendrez n produits différents, et la valeur 
négative ou positive de chaque produit fera connaître si la différence 
entre les nombres de racines positives et négatives de l'équation à 
laquelle il se rapporte est supérieure ou inférieure d'une unité à la 
même différence dans Péquation suivante. Par suite, st l’on change les 
signes de tous ces produits et qu'après ce changement on remplace les 
produits qui obtiendront une valeur positive par + 1 et ceux qui obuen- 
dront une valeur négative par — 1, la somme algébrique des resultats sera 
précisément égale à la différence entre le nombre des racines positives 
et le nombre des racines négatives de l'équation proposée. 
On aura ensuite, pour déterminer le nombre total des racines réelles 


de l’équation donnée, cette autre règle : 


Soit toujours X = o l'équation proposée du degré n; X'et X' les deux 


OEuvres de C. — S. I, t. 1. 23 


178 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 
premuères dérivées de _ Éliminez x entre les deux équations 
0 + XX"= 0, 


el soû Ÿ = 0 l'équation auxiliaire en y qui en resultera. Cette équation 
sera du degré r — 1, et st l’on détermine, par la règle précédente, la 
différence entre les nombres de ses racines positives et négatives, cette 
différence, augmentée d'une unité, sera précisément égale au nombre des 


racines réelles de la proposee. 


Le nombre des produits que l’on forme en suivant la première règle 
étant égal à 2, le nombre de ceux que l’on formera en suivant la 
seconde sera égal à #2 — 1 et, par suite, les signes de 22 — 1 fonctions 
différentes des coefficients de l'équation donnée suffiront pour déter- 


miner le nombre et l'espèce de ses racines réelles. 


S HI. La méthode précédente suppose évidemment que ni l'équa- 
tion proposée ni aucune des équations auxiliaires n'aient de racines 
égales entre elles ou égales à zéro; et d'abord, si l'équation proposée 
avait des racines réelles égales entre elles, la courbe dont l'ordonnée 
représente Le premier membre de cette équation devenant tangente en 
un ou plusieurs points à l’axe des abscisses, chaque point de tangence 
devrait être considéré comme formé par la réunion d'autant de points 
d’intersection de la courbe avec l'axe et d'autant de sommets moins 
un qu'il y aurait, pour ce même point, de.racines égales dans la-pro- 
posée. De plus, les points de tangence dont il s’agit étant situés sur. 
l'axe des abscisses, les valeurs correspondantes de l'ordonnée X et du 
produit XX’ s'évanouiraient et ce produit cesserait d'avoir un signe 
déterminé. Enfin, si la proposée avait une ou plusieurs racines nulles, 
cette équation n'ayant plus de dernier terme, le produit des deux der- 
niers coefficients s’évanouirait et ne pourrait plus être considéré comme 
positif ou comme négatif. | 

Les racines égales des équations auxiliaires du degré #7 — 1 peuvent 
provenir de deux causes, savoir : 1° de racines égales dans l'équation 


dérivée X’= 03 2° d’un ou plusieurs couples de racines imaginaires 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 179 
dans l’équation dérivée qui, par suite de relations particulières entre 
les coefficients de cette équation, fournissent des racines réelles aux 
5 F Q -1l: 1 a A ; . x AT à + : | ACER LAPS F 
équations auxiliaires. Ainsi, par exemple, si & + 6 ÿ-- 1 désigne une 
racine imaginaire de X'= 0 et que la substitution de & + 8 ÿ— 1 dans 
le produit XX” donne pour résultat la quantité réelle À, la substitution 
de & — 8 V— 1 dans le même produit donnera encore le même résultat: 


et comme les racines imaginaires 


a + 5 VER a — 5 ee I 


appartiennent toutes deux à l'équation dérivée, la première équation 
auxiliaire aura deux racines égales à — A. Toutes les fois que l'équa- 
{ion dérivée aura des racines égales, les racines qui en proviendront 
dans les équations auxiliaires seront non seulement égales entre elles, 
mais encore égales à zéro; car, dans ce cas, la fonction X” étant nulle 
aussi bien que la fonction X’, le produit XX’ s'évanouira nécessaire- 
ment. Par suite, on ne pourra plus déterminer quel est le signe de ce 
produit, ni décider par ce moyen si, pour le sommet que l'on considère, 
l’ordonnée de la courbe devient un maximum où un minimum absolu. 
Il pourra même arriver qu'elle ne soit ni l'un ni l'autre. Pour savoir 


dans quel cas cela aura licu, désignons par 
O 
2: , à, aus * ., LL. 


les dérivées des divers ordres de l'ordonnée X, et supposons que dans 
toutes ces fonctions æ désigne l’absecisse du sommet que l'on considère. 
Si l’on fait croître ou diminuer cette abscisse d'une quantité indéter- 


minée 2, l’ordonnée X deviendra 





he 3 Rs 5 
XX US L nn PRE ee À 
4 Te 2 7 RC PR PURES 
ou, parce que X'— 0, 
2 : 3 % 5 
Ne Ste US CNRS LR enr 
1.2 D ER EE st 


\ 


Par conséquent, la différence entre l'ordonnée correspondant à 


180 MEMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


l’abscisse æ + L et l'ordonnée correspondant à l'abscisse æ, ou, pour 
abréger, la différence de l’ordonnée sera 
PE BB hs h5 
—— XXE XXE — ——— X +... 
V2 408 54 1 43 4:90 
Pour de très petites valeurs de 2, cette différence se réduira au pre- 


micr de ses termes qui ne s’évanouira pas. Elle se réduira done à 


he 


1-2 





Na 


si X'n'est pas nul ou si, pour le sommet que l’on considère, l’équation 


dérivée n’a pas de racines égales; à 


3 
l 
un 


NA 
AC NE ds 





si lon a = o, X"<'ou > 0, c'est-à-dire st, pour le sommet que on 


considère, l'équation dérivée a deux racines égales; à 





si l’on a X’= 0, X”= 0, X°< ou > 0, c’est-à-dire si, pour le sommet 
que l’on considère, équation dérivée a trois racines égales; à 
+ Lx" 


A Re is) 








M FOR = 0) N 0, À 0, À où — 0, Cest-a-dire si, pour 
le sommet que l’on considère, l'équation dérivée à quatre racines 
égales; etc., etc. 

En général, on voit que la différence de lordonnée conservera le 
même signe, quel que soit d’ailleurs celui de 2, si, pour le point que 
lon considère, la dérivée à un nombre pair de racines égales. Elle 
changera de signe avec 2 dans le cas contraire. Dans ce dernier cas, 
ordonnée ne pourra être ni un maximum ni un minimum. Mais, si la 
dérivée a un nombre pair de racines égales, l'ordonnée correspondant 


à l'abscisse æ + 2 sera représentée, pour de très petites valeurs de 2, 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 181 


par un des binomes 


4 is 
h* 

Fr ZIV 

ni. REA 


DR IT ne dede pe is 


et, par suite, l'ordonnée X correspondant à l’abscisse + sera un mini- 
mum où un maximum absolu, suivant que le second terme de ce binome 
aura un signe égal ou opposé à celui du premier terme, c’est-à-dire 
suivant que le premier des produits 


+2 x.  . 


qui ne s’évanouira pas sera positif où négatif. 

On vient de voir que les équations auxiliaires peuvent acquérir des 
racines nulles dans deux cas différents, savoir : 1° quand la proposée 
a des racines égales; 2° quand l'équation dérivée a des racines égales ; 
et, en effet, la fonction X dans le premier Cas, la fonction X’ dans le 
second et, par suite, les produits XX”, æXX” dans les deux cas, s’éva- 
nouissent. Il est encore un troisième cas où la seconde équation auxI- 
aire seulement peut avoir des racines nulles. C'est celui où il existe 
déjà de telles racines dans la dérivée; car le produit æ XX” s'évanouit 
alors avec son premier facteur æ. Dans toutes ces hypothèses, le dernier 
terme d’une équation auxiliaire étant nul, le produit des deux derniers 
termes de cette équation se réduit à zéro et, par suite, on ne peut plus 
décider si ce produit est positif ou négatif. 

De même que des racines égales dans l'équation proposée du degré x 
produisent des racines nulles dans les équations auxiliaires du degré 
n — 1; de même, les racines égales qui pourraient se trouver dans ces 
dernières produiront des racines nulles dans les équations auxiliaires 
du degré » — 2. En général, si, dans une des suites d'équations auxi- 
laires qu’on est obligé de former, quelque équation a des racines 
égales, la suivante aura des racines nulles et le produit de ses deux 
derniers coefficients se trouvera réduit à zéro. 


Ainsi, toutes les hypothèses possibles, dans lesquelles la méthode 


182 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


générale se trouve en défaut, coincident avec cette circonstance remar- 
quable que, sur les produits dont les signes devaient déterminer le 
nombre et l'espèce des racines réelles de la proposée, un ou plusieurs 
s'évanouissent et ne peuvent plus par cela même servir à la détermi- 
nation dont il s'agit. On voit en même temps que cela n'au ra jamais 
lieu à moins que la proposée ou les équations auxiliaires n'aient des 
racines égales entre elles où égales à zéro. Pour faire disparaître les 
inconvénients qui résultent de cette égalité, on peut employer diverses 


méthodes que je vais indiquer en peu de mots. 


S IV. La première méthode et celle qui se présente d’abord à l'esprit 

consiste à passer en revue tous les cas particuliers que peut offrir 
l'équation donnée et à fournir les moyens de lever les difficultés propres 
à chacun des cas dont il s’agit. Ainsi, par exemple, si la proposée a 
.des racines nulles, il sera facile d’en constater le nombre et de s’en 
débarrasser ensuite. On peut éviter de même la considération des 
racines égales, en supposant l'équation préparée d’avance, de manière 
que toutes ses racines soient inégales entre elles. Après cela, il faudra 
examiner si la dérivée a des racines égales entre elles ou à zéro et 
remédier aux inconvénients qui pourraient naître de cette égalité. On 
y parviendra comme 1] suit. 

Lorsque plusieurs racines de la dérivée deviennent égales entre elles, 
les différents sommets dont ces racines étaient les abscisses se réu- 
nissent, et de cette réunion résulte un nouveau sommet qui sera 
double, triple, quadruple, etc., suivant le nombre des racines qui 
viendront à coincider. L'ordonnée de ce sommet sera un maximum ou 
un minimum absolu si les racines qui deviennent égales sont en nombre 
impair et, pour déterminer l'espèce du sommet dans cette hypothèse, 
il suffira de consulter le signe du produit XX” s'il s’agit d’un sommet 
simple, du produit XX°' s’il s'agit d’un sommet triple, etc. Quant aux 
sommets doubles, quadruples, etc., on devra cesser d'en tenir compte, 
attendu que les ordonnées de ces sommets ne doivent point être rangées 
parmi les ordonnées maxima et minima. Cela posé, si la dérivée n'a 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 183 


point de racines nulles, les théorèmes de Géométrie établis ci-dessus 
(p:173) subsisteront toujours et, pour déterminer le nombre et l'espèce 
des racines réelles de la proposée, il suffira de calculer : 1° la somme 
des différences qui existent du côté des abscisses positives et du côté 
des abscisses négatives entre les sommets de première et de seconde 
espece; 2° l'excès de la première différence sur la seconde. On y par- 
viendra facilement en déterminant ainsi qu'il suit les diverses parties 
de la somme et de l'excès en question qui correspondent aux racines 
simples, triples, quintuples, ete. Soit toujours X' l'équation dérivée : 
soient de plus X° le produit de ses facteurs simples, X! celui de ses 
facteurs doubles, X, celui des facteurs triples, ete., élevés chacun à la 


premiére puissance, en sorte qu'on ait 
D 


La méthode des racines égales fera connaitre chacun des polynomes ne 
X,, X,, .. et, pour obtenir la différence totale entre les nombres de 


sommets de première espèce, il suffira d'éliminer æ : 


1° Entre les équations br © Y + XX" =; 
via » 0 THAX 0: 
si » > À Y ANT 0; 


On aura par ce moyen plusieurs équations auxiliaires en y au lieu d'une 
seule et la somme des différences qui auront lieu pour ces diverses 
équations entre les nombres de racines positives et négatives sera égale 
à la différence cherchée ou à la somme des différences qui existent 
tant du côté des abscisses positives que du côté des abscisses négatives 
entre les nombres de sommets de première et de seconde espèce. On 
obtiendra de même l'excès de la première différence sur la seconde en 


substituant aux équations 
y + XX'— 0, y + XX!— 0, y +XX"— 0, 
les suivantes 


3 +æXX"— 0, 5 +z2zXX "0, 3+æxXX"—0, 


. 184 MÉMOIRE SUR LA DEÉTERMINATION 


et cet excès, augmenté où diminué d’une unité, fera connaitre la dif- 
férence qui existe entre les nombres de racines positives et négatives 
de la proposée. Cette dernière différence et l'excès dont il s’agit devien- 
draient égaux entre eux si un sommet de première où de seconde 
espèce était situé sur l'axe des abscisses ou, ce qui revient au même, 
si la dérivée avait un nombre impair de racines nulles; mais si la dérivée 
n'a point de racines nulles ou si ces racines sont en nombre pair, il 
faudra, pour obtenir la mème différence, augmenter ou diminuer l'excès 
en question d’une unité, suivant qu'en s’approchant de l'axe des ordon- 
nées du côté des abscisses positives la courbe s'éloignera où s’appro- 
chera de l’axe des æ, c’est-à-dire suivant que le produit du dernier 
terme de l’équation proposée par celui des termes précédents qui ren- 
fermera la puissance la moins élevée de æ sera négatif ou positif. 

La théorie précédente suppose évidemment que les équations auxi- 
liaires en y et 3, qui correspondent aux facteurs simples, triples, quin- 
tuples, ete. de l'équation dérivée, n’ont pas de racines égales. S'il en 
était autrement, ces racines pourraient à la fois être réelles et provenir 


de quelques couples de racines imaginaires des équations 


0, Ru, Nico, 


On évitera cet inconvénient si lon multiplie chacun des produits 


XX”, 6. AN ie 
PANTIN LAN 


par une fonction de æ qui reste positive pour toutes les valeurs réelles 
de la variable æ et qui empêche ces mêmes produits de devenir réels 
pour les valeurs imaginaires de æ qui satisfont à l'équation dérivée. 
Telle est la fonction 
(æ + l'a Le 

dans laquelle la constante arbitraire # peut recevoir une infinité de 
valeurs qui remplissent la condition exigée. 

En suivant la méthode précédente on finit toujours par obtenir la 


solution complète de la question proposée; mais s'il's’agit d’une équa- 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 185 


ion littérale, cette méthode entraine, comme on le voit, l'examen 
d'autant de cas particuliers que l’on peut faire d’hypothèses différentes 
sur le nombre des racines égales, non seulement de la proposée, mais 
encore des diverses équations auxiliaires. C’est pourquoi elle ne peut 
être employée avec avantage que dans certaines occasions où, en raison 
de la forme de l'équation donnée, elle devient facilement applicable. 


$S V. Une autre méthode consiste à établir la distinction des diverses 
espèces de sommets sur la considération immédiate du signe du pro- 
duit qu'on obtient en multipliant l’ordonnée X par la série 
/ 3 le 5 


2 
— X'+E x". = XV EE 
F8 2:06 AE DE 31040 














X'+.... 


laquelle représente, pour un quelconque des sommets, l'accroissement 
de l’ordonnée correspondant à l'accroissement très petit Æ 4 de la 
variable +. 
Si l'on fait, pour plus de commodité, 
et, par suite, 
LR AE 
la série précédente sera toujours de même signe que 


FMH aet 


d'où il suit que le produit de cette série par X pourra être remplacé 
par le produit 

Supposons qu'après avoir substitué pour æ dans ce dernier produit 
une des racines réelles de la dérivée, on donne successivement à linde- 
terminée 2 les signes + et —; les deux valeurs obtenues par ce moyen 
seront de signes contraires si la racine réelle dont il s’agit représente 
labscisse d’un sommet double, quadruple, sextuple, ete. Elles seront 
de même signe si cette racine correspond à un sommet simple, triple, 
quintuple, etc. et, dans cette dernière hypothèse, les deux valeurs du 
produit seront où négatives ou positives, suivant que le sommet en 


OEuvres de C. — S. I, t. 1. 24 


186 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


question sera de première ou de seconde espèce. De plus, la quan- 
tité À restant indéterminée, il est aisé de voir que la substitution des 


racines imaginaires de la dérivée dans chacun des produits 
Xf'"(æ+Rk), Xf'(æ—k) 


fournira en général des résultats imaginaires. Cela posé, on obtiendra 
évidemment la différence totale entre les nombres de sommets de pre- 
micre et de seconde espèce si, après avoir éliminé æ entre les deux 
équations 
+ 0, Y+X) (æLh)—0, 

on détermine, pour l'équation auxiliaire en y ainsi formée et pour de 
très petites valeurs de 2, la différence entre les nombres de racines imé- 
sales positives et négatives : 1° dans le cas où lon admet pour 2 Île 
signe supérieur; 2° dans le cas où lon admet pour 2 le signe inférieur 
et qu'on prenne ensuite la moyenne entre les deux résultats. C'est ce 
résultat moyen que je désignerai ici sous le nom de différence moyenne 
entre le nombre des racines inégales positives et le nombre des racines 
inégales négatives de Féquation auxiliaire en y. 

De même, pour obtenir l'excès de la différence entre les nombres de 
sommets de première et de seconde espèce situés du côté des abseisses 
positives sur la différence entre les nombres de sommets de première 
et de seconde espèce situés du côté des abscisses négatives, 1} suffirs 


d'éliminer + entre les deux équations 
NX 0, z+aXx fl (æ+h)=o 


et de chercher ensuite la différence moyenne entre les nombres de 
racines inégales positives et négatives de l'équation auxiliaire en 3 
résultant de cette élimination. 

Lorsque la dérivée a des racines nulles, un des sommets de la courbe 
étant situé sur l'axe des ordonnées ne peut plus être compté ni parmi 
ceux qui répondent aux abscisses positives ni parmi ceux qui répondent 


aux abscisses négatives; mais, alors aussi, le produit 


æX f'(x+h) 


» 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 187 


venant à s’évanouir avec son premier facteur æ, la racine COrrespon- 
dante de l'équation auxiliaire en £# ne fait plus partie ni des racines 
positives ni des racines négatives de cette même équation. 

Les résultats précédents subsistent dans le cas même où la proposée 
a des racines égales. Dans cette hypothèse, la parabole que l’on consi- 
dère devient tangente en plusieurs points à l’axe des abscisses, et ces 
points sont évidemment des sommets de la courbe, puisque leurs 
abscisses satisfont à l'équation dérivée. Mais, quoique ces sommets 
puissent être simples, ou triples, ou quintuples, ete., ils ne peuvent 
dans aucun cas être considérés comme sommets de première ou de 
seconde espèce, attendu que lordonnée de chacun d'eux étant nulle 
n'a plus de signe déterminé et qu'on ne peut décider par suite si cette 
ordonnée devient un #aæumum où un miaimum absolu. On ne doit done 
tenir aucun compte des racines des équations auxiliaires en y et + qui 
correspondent à de semblables sommets; mais ces racines disparaissent 
d’elles-mêmes à cause du facteur X qui, étant égal à zéro, fait évanouir 


les deux produits 
AT (r+h), &XJ'(x+h) 


Ainsi, dans tous les cas possibles, Ja différence moyenne entre les 
nombres de racines inégales positives et négatives des équations auxi- 
laires ci-dessus mentionnées détermine immédiatement : 1° la somme 
faite de la différence entre les nombres de sommets de première et de 
seconde espèce situés du côté des abscisses positives ct de la différence 
semblable formée du côté des abscisses négatives; 2° l'excès de la pre- 
mière différence sur la seconde. D'ailleurs, si l'on veut étendre les 
théorèmes précédemment démontrés au cas où l’équation donnée a des 
racines égales entre elles, on reconnaitra sans peine que la somme des 
deux différences en question est toujours inférieure d'une unité au 
nombre total des points d'intersection ou de tangence de la courbe avec 
l'axe des x. De plus, l'excès de la premiére différence sur la seconde 
sera Supérieur d'une unité, égal où inférieur d’une unité à l’excés du 
nombre des points d'intersection ou de tangence situés du côté des 


abscisses positives sur le nombre de ceux qu seront situés du côté des 


188 | . MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


abscisses négatives, selon qu'en s'approchant de l'axe des ordonnées du 
coté des abscisses positives et s'éloignant ensuite de ce même axe du côte 
des abscisses négatives, la courbe s'approchera constamment de l'axe 
des x, ou qu'en passant par l'axe des ordonnées, elle cessera de s'appro- 
cher de l'axe des abscisses pour s'en éloigner, ou de s'en éloigner pour 
s'en rapprocher, ou qu'elle s’éloignera constamment de l'axe des x. Le 
premier où le troisième cas aura lieu si, la proposée n'ayant pas de 
racines nulles, la dérivée n’en à pas non plus, ou si ces racines y sont 
en nombre pair, c'est-à-dire si, la proposée ayant un terme constant, le 
dernier terme de l'équation dérivée renferme une puissance paire de æ. 
Le second cas aura lieu si la proposée à des racines nulles où si la 
dérivée a des racines nulles en nombre impair, c’est-à-dire si l'équation 
donnée n'a pas de terme constant ou si le dernier terme de l'équation 
dérivée renferme une puissance impaire de æ. Enfin, pour distinguer le 
premier cas du troisième, il suffira d'examiner si le produit du dernier 
terme de léquation donnée par le dernier terme de la dérivée est positif 
ou négatif. Soient p le terme constant de la proposée, qui peut être 
égal à Zéro, et gx’ le dernier terme de l’équation dérivée ou celui qui 


renferme [a plus petite puissance de +. Si dans Le produit 


pqz" 


on donne successivement à æ deux valeurs égales et de signes con- 
traires et qu'on prenne ensuite la valeur moyenne entre Les deux 
résultats, on reconnaitra facilement que cette valeur moyenne sera 
positive dans le premier cas, nulle dans le deuxième, négative dans le 
troisième. Ainsi, en ayant égard au produit du terme constant de la 
proposée par le dernier terme de la dérivée, on pourra toujours déter- 
miner le nombre et l'espèce des racines inégales de l’équatjon donnée 
à l'aide de la différence moyenne entre le nombre des racines inégales 
positives et le nombre des racines inégales négatives dans chacune des 
équations auxiliaires en y et z. Pour obtenir cette différence moyenne 
relativement à l'une d'elles, par exemple relativement à l'équation 


auxiliaire en y, 1l semble d'abord qu'on serait obligé de déterminer la 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 189 
différence entre les nombres de racines inégales positives et négatives : 
1° dans le cas où l'indéterminée À a de très petites valeurs positives; 
2° dans le cas où À a de très petites valeurs négatives. Mais on arrivera 
au même-but.si, après avoir formé les fonctions des coefficients de 
l'équation auxiliaire en y qui déterminent la différence dont il s'agit, 
en laissant le signe et la valeur de À entièrement arbitraires, on sub- 
stitue à ces fonctions les valeurs qu'elles obtiennent lorsque, ayant 
développé chacune d'elles suivant les puissances ascendantes de A et 
réduit le développement à son premier terme vis-à-vis duquel tous les 
autres doivent être négligés, on donne successivement à 2 deux valeurs 
égales et de signes contraires et qu'on prend la moyenne entre les deux 
résultats. Par suite, chacune des fonctions que l’on considère devra 
être remplacée par zéro si le premier terme de son développement ren- 
ferme une puissance impaire de 2. Dans le cas contraire, il faudra la 
considérer comme positive où comme négative suivant que le coeffi- 
cient de ce premier terme sera lui-même positif où négatif. 

Nous venons d'indiquer comment l'emploi de indéterminée À peut 
servir à lever les difficultés que faisaient naître les racines égales des 
équations en ets, c'est-à-dire des équations auxiliaires du degré à — r. 
L'introduction de plusieurs autres indéterminées k’, L”, ... servirait de 
même à lever les difficultés qui peuvent résulter de légalité de quelques 
racines dans les équations auxiliaires des degrés 


hi und, 


et, à l’aide de cet artifice, on finirait par déterminer dans tous les cas 
possibles le nombre et l'espèce des racines de l'équation donnée. I est 
bon toutefois d'observer que, si plusieurs de ces racines sont égales 
entre elles, on obtiendra seulement de cette manière le nombre des 
racines inégales positives ct le nombre des racines inégales négatives, 
c'est-à-dire le nombre des quantités réelles essentiellement différentes 
de valeur ou de signe qui satisfont à la proposée. 

La méthode précédente se réduit, comme on le voit, à remplacer 


dans les deux produits 
RAT ENT 


190 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION : 
le dernier facteur X’= f(x) par 
Je +), 


c’est-à-dire à substituer dans /”(æ), à l'abscisse du sommet que lon 
considère, l'abscisse æ + À d’un point de la parabole très rapproché de 
ee même sommet. Cette nouvelle méthode, sans exiger comme la pre- 
mière un examen préalable de tous les cas particuliers, a néanmoins 
le désavantage de compliquer extrêmement les calculs par l'admission 
de quantités arbitraires dans les équations auxiliaires: des divers degrés. 
On évite cet inconvénient en suivant une troisième méthode dont je vais 


rendre compte. 


S VI. Dans cette troisième méthode, comme dans la première, Je 
supposerai l'équation donnée préparée de manière qu'elle n'ait pas de 
racines égales entre elles ou à zéro. Cette préparation faite, on lèvera 
facilement tous les obstacles à l’aide des considérations suivantes : 

Si les équations auxiliaires n'avaient pas de racines égales entre elles 
ou à zéro, elles serviraient immédiatement, comme on l’a déjà fait voir, 
à déterminer Le nombre et l'espèce des racines réelles de la proposée; 
mais si le contraire a lieu, pour ramener ce second cas au premier, il 
faudra détruire l'égalité dont ils'agit en substituant aux sommets de 
la courbe d’autres points très rapprochés de ces mêmes sommets. Il 
existe deux manières différentes d'opérer cette substitution. La pre- 
micre consiste à remplacer un quelconque des sommets par un autre 
point très voisin de ce sommet et pris sur la courbe que lon considère. 
La seconde consiste à remplacer la courbe elle-même par une autre 
courbe très voisine et à substituer les sommets de cette dernière à 
ceux de la courbe donnée. Pour effectuer la première substitution il 
suffit d'augmenter les abscisses des sommets de quantités indétermi- 
nées supposées très petites. Pour effectuer la seconde, il faut augmenter 
de quantités très petites les coefficients de l'équation proposée dont 
les valeurs respectives déterminent la nature de la courbe. Le premier 


moyen coïncide avec la seconde des deux méthodes précédentes et rend 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 191 


très pénible, comme on l’a remarqué, la formation des équations auxi- 
liaires. Le second n’a pas cet inconvénient et il conduit facilement à 
la solution du problème proposé dans tous les cas possibles. 

En effet, lorsqu'on augmente de quantités très petites mais arbi- 
traires les coefficients de l’équation donnée, on détruit les relations 
qui existaient entre ces coefficients et en vertu desquelles les racines 
des diverses équations auxiliaires pouvaient devenir nulles ou égales 
entre elles. Par suite, les fonctions des coefficients qui étaient destinées 
en général à déterminer le nombre des racines de chaque espèce cessent 
d'être nulles et redeviennent propres à la détermination dont il s'agit. 

Cela posé, pour obtenir le nombre des racines positives et le nombre 
des racines négatives d’une équation du degré x, dans le cas où cette 
équation n'a pas de racines égales entre elles où à zéro, il suffira de 
former, par la méthode indiquée dans le deuxième paragraphe, 22 — 1 
fonctions différentes des coefficients de cette équation. On substituera 
ensuite dans chaque cas particulier, à la place des coefficients dont il 
s'agit, leurs valeurs prises dans l'équation donnée. Si cette substitution 
ne fait disparaitre aucune des fonctions que l’on considère, leurs Signes 
détermineront immédiatement le nombre des racines de chaque espèce. 
Mais si quelques-unes de ces fonctions s’évanouissent, on augmentera 
chacun des coefficients de l’équation donnée d’une quantité très petite, 
mais arbitraire, que l'on peut supposer à volonté positive où négative. 
De plus, on assignera à ces mêmes variations un ordre de grandeur 
déterminé, de telle manière qu’on puisse toujours négliger les unes par 
rapport aux autres. Les fonctions qui s’évanouissaient, étant dévelop- 
pées suivant les variations dont il s’agit, pourront toujours être réduites 
à un seul terme et toutes les difficultés seront ainsi levées. On pourra 
même se dispenser de faire varier à la fois tous les coefficients; il suf- 
fira d’en faire varier un ou plusieurs l’un après l’autre et l’on devra 
toujours s'arrêter au moment où chacune des fonctions que l’on consi- 


dère cessera de s’évanouir. 


$ VIT. Quel que soit le degré ? de l'équation donnée, il est possible 


192 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


de former, comme on le verra tout à l'heure, plusieurs systèmes d'équa- 
tions auxiliaires qui jouissent des mêmes propriétés. Il convient de 
choisir le système pour lequel les fonctions qui déterminent le nombre 
et l'espèce des racines réelles sont les plus simples possibles. Ce choix 
étant fait, il faut encore examiner si les fonctions dont 1l s'agit sont 
décomposables en facteurs et si quelques-uns de ces facteurs peuvent 
être supprimés sans inconvénient. Nous ferons à cetégard les remarques 
suivantes : 

Les deux équations auxiliaires du degré 7 — 7, que nous avons appris 
à former dans le deuxième paragraphe, ont respectivement pour racines 
des fonctions rationnelles et entières -des racines de la dérivée; mais 
on peut, sans nul inconvénient, multiplier où diviser les fonctions dont 
il s'agit par d'autres fonctions qui soient toujours positives quand les 
racines de la dérivée sont réelles. Pour faciliter autant que possible le 
calcul de Pélimination, il faut représenter l'inconnue de chaque équa- 
tion auxiliaire par une fraction dont les deux termes soient des poly- 
nomes entiers en æ choisis de telle manière que la plus haute puissance 
de la variable renfermée dans ces deux polynomes soit la plus petite 
possible. L'expérience m'a fait voir que, dans ce cas, on arrivait encore 
à des résultats plus simples. On satisfera à ces conditions si lon divise 
par X? les deux produits 

—XX", —zXX", 

qui représentaient, dans le paragraphe I, les valeurs respectives de y 
et z, ce qui revient à prendre pour inconnue de la première équation 


auxiliaire la fraction 
x" 
x 


et pour inconnue de la seconde équation auxiliaire la fraction 


nr æX"” 
Dans cette hypothèse, on peut simplifier de beaucoup la recherche des 
fonctions propres à déterminer le nombre des racines de chaque espèce 


à l’aide des théorèmes suivants : 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 193 


1° Étant donnée une équation quelconque, si l’on substitue successive- 
ment toutes ses racines dans le premier membre de ! ‘équation dérivée et 
qu'on fasse le produit des résultats, ce produit sera égal, à un coefficient 
numérique près, au dernier terme de l ‘équation qui aurait pour racines 
les carrés des différences entre celles de la proposée. Ce méme produit sera 
encore égal à celui qu'on aurait trouvé si l’on eût substitue successivement 
toutes les racines de la dérivée dans le premier membre de !L ’équa- 
lon donnée et qu'on eût multiplié l'un ar l’autre les résultats ainsi 
obtenus. | 

2° Étant donnée une équation quelconque, si l’on divise par le premier 
membre de l'équation dérivée une Jonction entière de la variable et si 
l'on ajoute les diverses valeurs qu'obtient ce quotient lorsqu'on y substitue 
successivement pour x les diverses racines de À ‘équation donnée, la somme 
de ces valeurs sera toujours une Jonction rationnelle et entière des coef- 
Jictents de la proposee. | 

3° Si l’on divise le prenuer membre de l'équation donnée par le pre- 
mier membre de L ‘équation dérivée du second ordre et que l’on substitue 
successivement pour x dans ce quotient toutes les racines de la dérivée, la 
somme des valeurs obtenues, prise en signe contraire, sera égale, à un 
coefficient numérique près, à la somme des carrés des differences entre les 
racines de la proposée. 

4° Étant données deux équations tellement liées entre elles que les 
racines de la seconde soient des fonctions rationnelles quelconques des 
racines de la premiere, si l’on forme respectivement les derniers termes 
des équations aux carrés des diflérences entre ces racines et qu'on divise 
les deux termes obtenus l’un par l'autre, le quotient sera toujours un 


carré par fait. 


Il suit du troisième théorème que l’une des fonctions qui déter- 
minent le nombre des racines réelles est ég gale, quel que soit le degré 
de l’équation donnée, à la somme des carrés des différences entre las 
racines de cette équation. On peut encore, en appliquant à la méthode 
précédente un artifice d'analyse indiqué par Euler, déterminer r pour 

OEuvres de C. — S. II, t.1. 29 


19% MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


tous les degrés une autre de ces fonctions. Enfin, on prouve facilement 
que le produit de toutes ces fonctions doit toujours avoir le même signe 
que le produit des carrés des différences entre les racines. Par suite, 
sur les 7 — 1 fonctions qui déterminent le nombre des racines réelles, 
le nombre de celles qu'on sera obligé de former séparément pour un 
degré donné se trouvera réduit à ? — 4; on n'aura donc besoin d’en 
calculer aucune en particulier pour les équations du deuxième, du troi- 
sième et du quatrième degré; il suffira de calculer une nouvelle fonc- 
tion pour le cinquième degré, deux pour le sixième, etc. | 

Quant aux fonctions de la seconde espèce, c'est-à-dire à celles qui 
déterminent la différence entre le nombre des racines positives et 
négatives de la proposée, on peut en déterminer une pour tous les 
degrés possibles en ayant égard au deuxième théorème et, de plus, on 
prouve facilement que le produit de toutes ces fonctions doit toujours 
être affecté du même signe que le produit des carrés des différences 
entre les racines multiplié par le produit des racines elles-mêmes. Ces 
dernières fonctions sont les seules qu’on soit obligé de considérer, 
lorsqu'on veut savoir combien l'équation donnée à de racines réelles 
comprises entre deux limites & et 6, car le nombre de ces racines 
réelles est égal à la quantité dont le nombre des fonctions positives 
diminue ou dont le nombre des fonctions négatives augmente lorsqu'on 
passe de la transformée en æ — x à la transformée en x — 6. Par suite, 
les fonctions de la seconde espèce suffisent pour déterminer le nombre 
des racines réelles comprises, soit entre o et —, soit entre o et +, 
c'est-à-dire le nombre total des racines positives ou négatives, en sorte 
qu'on peut toujours se passer, si l’on veut, des fonctions de la première 
espèce ou bien les déduire des autres. 

Je joins ici la démonstration des théorèmes ci-dessus énoncés et 
plusieurs développements relatifs aux méthodes exposées dans les 
paragraphes IV, V et VI de la présente section. Pour plus de clarté, 
j'appliquerai ces méthodes à divers exemples et particulièrement à la 
détermination du nombre des racines réelles dans les équations géné- 


rales des cinq premiers degrés. 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 195 


DEUXIÈME SECTION. 


DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 


Tuéorème 1. — Soient o(æ)—0o, f(x) —0o deux équations dijfé- 
rentes, la première du degré m, la seconde du degré n. Supposons que 
l’on substitue successivement dans le polynome f(x) toutes les racines de 
l'équation 3(x) = 0 et qu'on fasse le produit des résultats; qu'ensuite 
l'on substitue dans le polynome 5(x) toutes les racines de l'équation 
f(x) = o et qu'on fasse encore le produit des résultats. Les deux produrts 
ainsi oblenus seront égaux et de même signe st l’un des deux nombres m 
et nest pair; is seront égaux et de signes contraires st les deux nombres 


m el n sont tous deux impaurs. 


Démonstration. — En effet, soient respectivement &, B, y, ... les 
racines de l'équation (x) —o et a, b, ce, ... celles de l'équation 
f(æ)= 0. Supposons de plus, à l'ordinaire, que la plus haute puissance 
de la variable dans chacune des fonctions /(æ) et o(æ) soit positive 


et ait l'unité pour coellicient: on aura 


IR) = (malle 0e ce, 
p(æ)=(xz—a)(xz—f$)(x— 7)... 





et, par suite, les deux produits 


fa) F(B) (y)... 
g(a)g(b) (ce)... 


seront respectivement égaux, le premier à 

D ne en ue), à 
et le second à 

(a ola  Pjla /) (0 a) =}. lc 2x). 


Sous cette forme le second produit a ses facteurs égaux et de signes 


196 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


contraires à ceux du premier, et comme le nombre de ces mêmes 


facteurs est nn, on aura 
f(x) f(B) (y)... =(— nn" op(a)p(b)p(c)..., 


ce qui vérifie le théorème énoncé. 


Corollaire I. — Si l’on élimine x : 1° entre les équations 
g(æ)=0, y+f(x)—=0; 
2° entre les équations 
J{æ)=0,  y+op(z)=0, 


les deux équations en y résultant de cette double élimination auront, 


all signe près, le même terme constant. 


Corollaire II. — Désignons, en général, par /,(æ) le polynome 
n(n—1) : 
a+ na LT + TES AL" +... + NT + An; 
Le 


fr-(æ) désignera le polynome 


n—1)(r— 2 
ŒNt LE (fn —i)a +  — 2 ADM H HR —1)An_2X + Anis 
a 


et comme on aura, dans ce Cas, 


Fitaie PEN C D 


l'équation 
(1) FRE) 0 . 
aura pour dérivée la suivante 
(2) TD). 0 
Si maintenant on désigne par 


X:, X, 2 Xi 2,7 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 197 
les racines de l’équation (1) et par 
LAN Lo, 9 Li 


celles de l'équation (2); l’un des nombres n, n — 1 étant nécessaire- 
ment pair, on aura, en vertu du théorème précédent, 


fn (dr) fn (es) fan) fn (Xi) fa (Ka) fn (Xn4) fa (Xn), 


ce qui vérifie la seconde partie du premier théorème énoncé dans le 
paragraphe VIT de la section précédente. 


THÉORÈME Il. — Conservons la méme notation que dans le second 


corollaire du théorème précédent; soient, en conséquence, 
TO 0 este 

l ot proposée et, par suite, 
j PAPA ED eme 


sa dérivée. Concevons, de plus, que l’on forme une nouvelle équalion qui 
au pour racines les carrés des différences entre celles de la proposee. Le 
dernier terme de cette nouvelle équation sera égal, & un coefficient nume- 


rique prés, à chacun des produits 
Sat T1) fat Da). % ter), fn HR OUR) Re D UN 


Démonstration. — Le dernier terme de l'équation aux carrés des 
différences entre les racines de la proposée sera 


n(n—1) 


CD (X: — X2)*(X1 — Ml. (XX, — An) 





Ce même terme pourra être considéré comme formé par la multipli- 
cation de 7 produits différents qui seront respectivement 


(A NON EN CC ; 
(X: — X1) (X: — X3). : .(X: — X,), 


(Xa— X1) (Xa — X2)...(X, — Xu-1)3 


198 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


d’ailleurs, le premier de ces produits est égal à 


Fa (X1) — n fn-1( Xi); 
le deuxième à 
Ja(X2) = A PO. CE 


le dernier à 
CR) RON) 
Le dernier terme de l'équation aux carrés des différences entre les 


racines de la proposée pourra donc être représenté par 
n" HT) JR LE): - a CAL 
Ce dernier terme sera done égal à chacun des produits 
na (Xi) În-1 (Ko) : În-1(Xn) Ja (a) fa(ær): . fn(Tn1) 


multiplié par le coefficient numérique »*, ce qui vérifie en totalité le 
premier théorème énoncé dans le paragraphe VIT de la précédente 


section. 


Corollaire I. — Soit toujours f,(æ) = 0 l'équation proposée. Pour 
obtenir le dernier terme de l'équation aux carrés des différences entre 


les racines de celle-ci, il suffira d'éliminer æ entre les deux équations 
fenel- 0 Y+ f(x) =0o 


et de multiplier ensuite le dernier terme de l’équation résultante par #”. 

On obtiendrait encore, mais à un coefficient numérique près, le terme 

dont il s’agit si l’on cherchait la condition nécessaire pour que les 
2) 


deux équations 
l RNCS Er NÉ UN eat 


puissent être en même temps satisfaites. 
PROBLÈME Î. — Etant donnée une équation quelconque du degré n, 
rouver le dernier terme de l'équation qui aurait pour racines les carrées 


des différences entre celles de la proposée. 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 199: 


Solution. — Soit toujours 


ou 


a+ nat + MEN +... + Nan + ay 0 


l'équation proposée. On commencera par éliminer æ entre les deux 
équations 
1 L) 0 FO Ed Et 


et l’on obtiendra par ce moyen une fonction des coefficients 


D 1. 


qui sera nulle toutes les fois que les deux équations précédentes seront 
en même temps satisfaites. Désignons par B, la fonction dont il s’agit 
et par À, le dernier terme cherché. Les deux quantités 4,, B, seront 
égales à un coefficient numérique près; et si l’on désigne par À ce 


coefficient, on aura 
mr. 


Cette dernière équation devant être satisfaite, quels que soient les 
coefficients a,, a,, ..., a, de l'équation donnée, aura encore lieu, si 
l’on suppose 


M0; (Up 10? 9 din 0; == 1. 


Supposons .que, dans ce cas, B, se change en 8. Dans la mème 

hypothèse, on aura évidemment 
A ne 
En effet, les deux équations 
fn) = 0, y + fi(æ)—o 

devenant alors 
. x"! —i — 0, Y ee PAL +1=0, 
l'équation en y, résultant de l'élimination de æ entre les deux précé- 


dentes, sera 
(0e DAS 


et, le dernier terme de cette équation étant égal à +1, en le multi- 


200 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


phant par »° on aura 


An: 
Par suite, on trouvera 
n? 
À — B° 
et l’on aura, en général, 
» B 
A 27 3”? 


3 étant ce que devient B, quand on y suppose à la fois 


4i= 0; Gi 0, ns A1 0) (Re sh RE 


Corollaire I. — Au lieu d'éliminer + entre les deux équations 
fn(æ)=0, fn-1(T)=0, 
on peut l’éliminer entre les deux suivantes 
fn(z —&)—0, fn1(Tr —&)—o, 


etil est clair que, dans les deux cas, on doit arriver à la même équa- 
tion de condition. D'ailleurs, si l’on fait, en général, 
fn(— &) = bus 
on aura 
fat) nb, 
fn)  —=n(n—i)bns, 


(al A(z- 1). ..8.2.b;, 


f(— a) —=n(n—:1)...3.2.1.bs. 
De plus, comme on a 
Hd) 2e 0, Dir 
les deux dernières équations se réduiront à 


Halo fo | 


s 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 201 


Cela posé, on aura, par le théorème de Taylor, 


FE n(nr —1 
Jn(T — &)= x" + tr, brie 


n(n—1)(n—2) 
lo 





7 
DS +... + = Dirt 0, 


(n—1)(n — 
Là 
(n—1)(n—2)(n—3) 


20 





Toile Re di) ee TN 1 ae 





DT Dr 0: 


et, par suite, 


Jn(£ —&)—T fn-1(2 — à) 











1 — 0 D ; * 
(ni) b,ax! 2° 3 pn-3 DL nn à 
. I : L,2 4 
nu: b, 
+(n—2) — nr 
1 — 92 Je 
Si l’on fait, pour abréger, 
D 
Jar —@)— 2 fn-i(r — a) = (nr —1)fr-2() 
et 
CE 
on trouvera 
n—2 n—2)(n—3 | 
Pat) cure CPE A ee PEN, CE 


+(n—2)Cr 3Æ + Cn_1. 


Enfin il est aisé de voir que l'élimination de la variable æ entre Les 
deux équations 


ad (æ mad ) —— 0» fn-2(x) == 0 


doit conduire au même résultat que celle de la même variable entre Les 
deux équations 


Ja(x—4;)— 0, Jn-1(x — a )—=o. 


On obtiendra donc l’équation de condition cherchée si l’on élimine x 


OŒŒEuvres de C. — S. IL, t. 1. 26 


19 


202 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


entre les deux suivantes 




















(a — 1) (7 ei en (a —1)(n—2)(nr— 3) do 
(3) 1.2 : 2 
d 
. R—1 : 
| + (sn Que Ses où 
{ ñn — 1—2)(n—3 
CAE Nate stereo 2 VC MONA re Ce ){ P 
a 
(4) 


le 2 





Cn—22 + Cn-; — 0. 


ee — 


Si l’on désigne par B,=— 0 cette équation de condition et par ÿ ce 


È , 
que devient B, lorsqu'on suppose 
HE 0S Use 0, OS An — 0, Zn— 1; 
n B, , 2 * . ; à PSE 
représentera le dernier terme de l'équation aux carrés des diffé- 


rences entre les racines de la proposée. 


Prenuer exemple. — Supposons l'équation donnée du deuxième degré 
et soit /,(x) = 0 où x?+ 24a,x + a, = 0 cette même équation. Si l’on 
fait comme ci-dessus 

frt—u)=b,=(r—:1)c,-;, 
on aura 
= fi(— )= dt ai. 
De plus, les équations (3) et (4) se réduiront-à 
(3) 0 
(4) (Dies LE pe 
La dernière de ces deux équations, étant indépendante de æ, sera elle- 
même l'équation de condition cherchée. On pourra donc supposer 
B;,=c;—a— a, 6 fe 
et, par suite, le dernier terme de l'équation aux carrés des différences 
entre les racines de la proposée sera 


ee 
j 
D 
à 
oO 
i 

Fes 


(ai — &). 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 203 
Deuxième exemple. — Supposons l'équation donnée du troisième 
degré et soit /,(æ) = 0 ou x°+ 3a;x°+ 3a,x + a,;—0 cette même 
équation; On aura 
C— fal— &) = ai, 
203 fa(— &)—=a3—3a a+ 2ai. 
De plus, les équations (3) et (4) se réduiront à 
(3) mer 


(4) CL SE Ge 0! 


Si l'on élimine æ entre ces deux dernières équations, on obtiendra 


l'équation de condition suivante 


On pourra done supposer 


D'ailleurs, si l’on fait 


== 0, (4e (0) CL 
on aura 
I 
Cie O, Co — . 

Par suite, 

I 

B en ee 
53 


et le dernier terme de l'équation aux carrés des différences entre les 


racines de la proposée sera 


De £ 13) 
Aa 9 ic ro). 


Troisième exemple. — Supposons léquation donnée du quatrième 
degré ot soit /,(æ)—=o ou æ'+4a,x +6a.x + 4{a,xz +a,—=0 
cette même équation; on aura 


run ES 2 
C— fa(— Gi) = ai, 
2 Ca = f3(— M)—= a; —34,a, + 2ai, 


303 = f,(—u)= 4 —4aa;+6a!a;--3 a. 


20% MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 

De plus, les équations (3) et (4) deviendront respectivement 
(3) Li+3C0T+20—0, 

(4) CL'+2CT + C3—=0O. 


Si l’on désigne par æ,, æ,, æ, les trois racines de l'équation (3) et 


par B,=— 0 l'équation de condition cherchée, on aura 
B;—=(cx+a20m+e)(Cxr F2cits + C)(CTS + 20:Ls + Ca). 
D'ailleurs si l’on fait, pour abréger, 


c; TT CGC3— J'; 
on aura 
3 ( 2 
aat+rer+e (arte /f*) | 
1 
Par suite, la valeur précédente de B, sera égale au produit des six fac- 
feurs 
: : 4 
Cdi ++ f?, CitotCit f?, Cits+Ci+ f?, 


1 1 1 
CiTit+ Co 7, Cid e— f?, Cts+C— f? 


divisé par ec. Le produit des trois premiers facteurs est, en vertu de 
Péquation (3), égal à 
( 4\3 à. : 
C2 + fi) si 3 (c:+ f?) — 20 C2 
LE : 
= G(ci+ci)+saf+f' [3 +) + fl]. 
De même, le produit des trois autres facteurs sera 


a ; | 
c(c+ci)+3c, f — f'[3(ci+ci)+ f]. 
On aura donc 


p, —Leta+e)+3a fl /l8(c+e)+fT 
ci 





1 


ou, si l’on fait 
tcp, 


cg + BP) — JE + fY 


D … 








DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 205 


Si l’on restitue à la place des quantités et g leurs valeurs 


C? — CiC3 LL Ci + C?, 
on trouvera 





et, par suite, 


By— (cs+ ci) — (hei — 3cics+ ci )?. 
Si l’on suppose dans cette dernière équation 
li 


m0 Hs 0; [2 me 6 D 1, 


on aura 


Ï 
Ci 0 C) où (Os 3 
et, par conséquent, 
Le] ; l 
D Fe 33 


Par suite, le dernier terme de l’équation aux carrés des différences 


entre les racines de la proposée sera 
A 34 [(c+ ci — (4e —Scics+ ci) ]. 


Corollaire II. — Désignons, en général, par K, le produit des diverses 
valeurs que reçoit La fonction /,_,(æ) lorsqu'on + substitue successi- 
} 


vement pour æ les diverses racines de l'équation 


et par x ce que devient K, quand on y fait 
On 0; A5 == 0; A3 O, 200. Ge), (=, 


On pourra, dans l'équation 
supposer 


D'ailleurs, si l’on fait 


(; D'srmt à M dr 0, (50; ae Ci 0, Ve Fm 109 


206 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


on aura évidemment 





ll 
C; pee O;, (Ge O, 05 Crea — O, Cn—1 EN marre ce D 
Re) | 
: À 1 
În- CZ ue ai) _ fn (æ) nr bi fn-2(x) = Cn-1 — PRE 


et, par suite, 
1 
tr ee 


“On aura donc aussi 


É 


K ; 
Ant . nn DE K, 
On peut vérifier cette dernière équation sur chacun des exemples 
rapportés ci-dessus. Si l'on fait successivement 


ue 9 nr Le 
: Vend ms À 1 nm D Het, RE 


on {rouvera 


7, Ph ES Li ie Cis 

dd he KR; crc, 

Az AK, K,—(ci+ cs) —(4c?— 3c;c; + ci)? 

A= 4° 55K,, K;—ci—4.15c;cc 

a ; +6ci(i5cci+rioctei--45cic,+ 450 c,+ 3601) 


+ 4c,(315 c? cac5 + 160 ci ci 
— 135 C3C$ — 949 Ci CS C3 — 270 C1 Ca C3 + 4320) 
+ 24305 — 81ocîci + 2430c,c ci 
‘+ 635ctci — 1215 ci ci — 45Socicici, 
À,, A4, À,, À; désignent ici les derniers termes des équations aux 


arrés des différences entre les racines des équations suivantes 


DE 20 Et de 0, 

L'ESdiL À GT di 0, 

dt+ha;x + Ca;x + 4a;x + a, —=o, 

LH DA LV +102 + 10032? + 5A,T + A; = O, 


hole C@ret-srr mie nie eue er eroiele Vlei else se e-n s 6e sie see + ee 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 207 
et l’on a de plus 
C,—= G;— da}, 
209— A3— 3403 —+ 24, 
3C3— a; —4aa;+ 6aîa;—3a;, 


hc,—=a;—5a;a,+ioata;—1oa$a; + 4aÿ, 


ehelele sise + lens 9 0 0 sin se ess serie ee nr) eee os ee +: 


Si les équations données n'avaient pas de second terme ou si Fon 


supposait &, = 0, on trouverait simplement 


I I 
en A 20 GES : 


TéorÈME HE — Supposons que l’on garde la méme notation que dans 
le théorème II. Soit toujours 


Lie D 
l'équation donnée. Soient X,, X,, ..., X, ses différentes racines et 
Jn-1(æ) = 0 


l'équation dérivée. Enfin désignons par o(x )une nouvelle fonction ration- 


nelle et entière de la variable x. La somme suivante 


A 


… (Nu) 
Jn-1( Xi) Hi (X2) 


 . 











—+- 


sera nécessairement une fonction rationnelle et entière des coefficients de 
la proposée. 
Démonstration. — Supposons, à l'ordinaire, 


A D 


ar AD ER DEA) 


DL Pete A PS D Re EE Pi 


et soit, de plus, 
p(Tz)=a+fr+yrt+.. .+éar + lancl + mat +ymttit,.., 


Enfin, désignons par N la somme cherchée. Si l’on réduit au mème 


208 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


dénominateur toutes les fractions dont cette somme se compose, Île 
dénominateur commun, multiplié par 2”, sera, en vertu du théorème IT, 


égal à 


n(ra—1) 


nl) : (X1— Xe) (Xi — X3)°..  (Xn- — Xh}°. 


De plus, si l’on fait usage de la notation adoptée dans l’un des pré- 
cédents Mémoires (voir p. 95), on aura 


CR OS 


et, par suite, le dénominateur commun de toutes les fractions sera 


représenté par 


nin—1) 


1) 2 [SEX IX2-2... Xe 


n'! 
Quant au numérateur de la première fraction, il deviendra égal à 
OX) fn (Na) fn (3) + + Ju (Nan) 


D'arlleurs, I Droduttf CÀ 57, Xe. OX.) mulipliepar nee 
se trouvera formé des mêmes facteurs que le dénominateur commun. 


Seulement, chacun des facteurs 
Xi Xo, 2. CC, X;, —X, 


n'y sera élevé qu'à la première puissance. Cela posé, on reconnaitra 

facilement que ce même produit est décomposable en deux autres, dont 

Pun, ayant pour facteurs toutes les différences qu’on obtient en dispo- 
CE 1. . , . , 

sant les racines de équation donnée suivant l’ordre de grandeur de 

leurs indices et retranchant successivement de chacune d’elles toutes 


celles qui la précédent, peut être représenté par 


Où CE X1)(X3— X;). $ (Xn— X1) (X3— X2). : (Xn— Xn_1) 
HAN) 


=({—;) ? S(EXTIXEE.,.X°) 





et dont l’autre, ayant pour facteurs les mêmes différences prises en 


signe contraire, à l'exception toutefois de celles qui renferment la 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 209 


racine X,, pourra être désigné par 


» 


Ka X) (Ka Xi) (Ka Ka) (Ka — Xe Rna— Xn) = SE KA X2 TS... X 0). 


Par suite, le numérateur de la première fraction se trouvera représenté 


par x 
nin—1) 


er 2 SE Ne re es 0 


— t 








et la somme des numérateurs de toutes les fractions semblables par 


nin—1) 


(mr) SEX IX TX )S[H OX )S(E XP XE...XS)]. 


n'—! 








En divisant cette somme par le dénominateur commun, on aura 


pour la somme de toutes les fractions 





Nr _ gt Li = = ne _ -X,)], 


Il sera maintenant facile d'obtenir la valeur de N. En effet, si l'en 
remet pour o(X,) sa valeur 
+ OM EyXI Sd EXT TAXE EUX XIE. 


on trouvera 





So) Se Ken 0) 
SR RON LR OX RON URL UXE 
| Men Ne ©) 
TE 
SE LA OS TR de a ne: 
A 
on SE , 


Les premiers termes de la série précédente, jusqu’à celui qui a E pour 
coefficient, sont évidemment nuls; car si l’on désigne par 7 un quel- 
conque des indices 1, 2, 3, ..., à — 2, on aura toujours 


SH XEX2-2X2-8,, X0)— 0 


OEuvres de C. — S. I, t. [. 27 


210 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 
De plus, si l’on désigne par 7 un nombre entier supérieur à 7 — 2, 
l'expression 
| S(H XX! 2X5...X0) 
sera, en vertu des théorèmes établis dans le Mémoire déjà cité (vorr 
p. 110), divisible par 
SE XI 'XS XS ...X,); 


et, si l’on représente par N, le quotient, on trouvera 


N, 1 l; 
n Ni Nes Cor CR Che n«;; 


Nour =X+X+...+XiXi+...—=S'(XI)+S"(X,X,;)— n'ai — er 


Ha ble sletie naiss nie late ne lplondéte eo 2 ls C'erR eo niie se + ee et +10 vie sue dUoie le sos 0.0 vs evil eo eos ere sr ie #90, 


Cela posé, la valeur de N précédemment trouvée deviendra 


\ 
\ 


: - F | Lu Sn 
N—nAN OO +uN,+vN.,.. +...)=nlÀi- nant n|naî— ——a }r+..….|. 
—1 l n n+1 1{ 1 : 2 


Cette valeur sera done une fonction rationnelle et entière des coeffi- 
cients de la proposée, ce qui vérifie Je second théorème du para- 


graphe VIT de la première section. 


Corollaire I. — Si la fonction 9(æ) est, par rapport à x, d’un degré 
inférieur à 2 — 1, où si l’on à simplement 


c 


p(xr)=a+fz+yrt +... + Cat, 
la somme N sera nulle, quelles que soient d’ailleurs Îles valeurs de «, 
B, y, ..., €, et l’on aura par suite 


dx.) o(X2) o(X,) 
— : ae - ne . = 
Thor its) nn) 











Corollaire 11. -- Si l'on suppose en même temps 


p(z)=a+ fx +yat+... Hg Ac Epr Lyrrti +... 


et 
UE 2 Et PE EE os ne PH mr 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 211 
il suffira, pour déterminer la valeur de N, d’avoir égard aux termes 
de 9(æ) qui renferment des puissances de + supérieures à 7 — 2, et 


l’on aura par suite 





NN He es ere 
1 + În-1 (2 2) Jn-1(Xn) 
: =. A —I ; 
ns E — RAU+A Quai En a) V —.., | 
Corollaire III. — Soient toujours /,(æ) = 0 l'équation proposée, 


fn) —0s4démvécelt,.m,, 2 #,..les racines découle derniere 
équation. Si l'on fait | 
RE AREAS RASE 


| a CR | 
Ja (æ:) În-2(Lse) Jus (Tn-) 
on aura 


fe em OL . (n—1)a À + (n — | ca — 1)ai — Le le —.. Le 


En effet, pour déduire la valeur de N'de celle de N, 11 suffira évi- 
demment de changer x en 2 — 7 et de remplacer À par €, u par À, 
v par w, etc., c’est-à-dire le coefficient d'une puissance quelconque 
de æ dans 9(æ) par le coefficient de Ta puissance immédiatement infé- 


rieure. 


Corollaire IV. — Si dans le corollaire précédent on suppose 


on aura 








nn —1 
É— 2 . == 7110, ie 
et, par suite, 
(æ L' OR a à 
1 1) JC Le ssl Du ps a —(n— 1) (a, a?) 


fra Ti) fn at) Ho) 


On a d’ailleurs ” 


— 


a = SX), D SR 


LITE) 


212 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


et, par suite, 
1} 


rl a) T 2 8 
——— ER (X;— X:)', 


— (n—1} (a — a!) = : 


ce qui vérifie le théorème IT de la section précédente (paragraphe VIF). 


TuéorÈne IV. — Soit toujours f(x) == 0 l'équation proposée. Sort, de 
plus, Ÿ(x) une fonction rationnelle quelconque de x et supposons que 


l'élimination de x entre les deux équations 
Jn(x)—0, Re O 


donne pour résultat l'équation 


St l'on désigne par À, le dernier terme de l'équation aux carres.des 
différences entre les racines de la proposée et par x le dernier terme de 
l'équation aux carrés des differences entre les racines de 2(€) — 0 : Le 


: c : ; on. 
quotieriu 4 SEAL lOUJOUrS CTL'CAITE parfait. 
» ñ 


Démonstration. — En effet, soient X,, X,, ..., X, les racines de la 
proposée; on aura 
mini) 
D [CA RE N ie (XX) 


n(n—1) 


a —(—i1) ? [LCXi) — LCR) TE CX) — YCX 3). [Ka s) — Y(K,)]f 








et, par suite, 








ES — YX;) Y(X:) — YCXs) (Nu) — YCXa) 
me X, — . X, — X; à Can: A 1 


D'ailleurs, le produit 


YX D = PO) OU) = YO), PR) = YX) 


X1— X 4 1 X; : lp x: 





est évidemment une fonction symétrique des racines de la proposée ; 


DÜ NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 213 
car il ne change pas de valeur lorsqu'on échange entre elles ces mêmes 


racines. Il peut donc être remplacé par une fonction rationnelle des 


rte ; : , . œ : , 
coefficients de l’équation donnée et, par suite, & sera Île carré de 
fin 
cette même fonction. 
Corollaire. — Quel que soit le degré de l'équation donnée, le pro- 


duit des carrés des différences entre les racines de chacune des équa- 
tions auxiliaires en yet z aura toujours le même signe que le produit 


des carrés des différences entre les racines de Péquation dérivée. 


PROBLÈME Il. — Determiner le nombre et ! "espèce de racines réelles 


d'une équation du degré n. 


Solution. — Pour plus de commodité, supposons ie1 que nt léqua- 
tion donnée ni aucune des équations auxiliaires que l'on est obligé 
de former n'aient de racines égales entre elles ou à zéro. Soient tou- 
jours /,(æ) = o l'équation donnée et f,_,(x) = o sa dérivée du pre- 
mier ordre. . 

La fonction dérivée du second ordre de /,(æ), savoir /,(æx), sera 
de même signe que /, ,(æ) et, par suite de la méthode exposée dans 
le paragraphe IT de la première section, il suffira, pour obtenir le 
nombre des racines réelles de la proposée, d'éliminer x entre les deux 
équations | 

Y + fn) fn-2(r)— 0, fn-1(æ)— 0 
et d'ajouter une unité à la différence entre les nombres de racines 
positives et négatives de l’équation en y résultant de cette élimination. 

D'ailleurs, en vertu de la remarque faite plus loin, paragraphe VIF, 
on peut remplacer le produit 


HAAGAR MEN EA : 


Jn-2(æ&) k 
10e) 


par la fraction 


Par suite, le nombre des racines réelles de la proposée surpassera 


214 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 
d'une unité la différence entre les nombres de racines positives el 
négatives de l'équation en y qu'on obtient par l'élimination de + entre 


les deux suivantes : 
J Jante) + fat) = 0, fn-i(æ)—o 
ou, ce qui revient au même, entre les deux suivantes : 
Y fn(t —4@;)+ fn-e(æ — 4a;)=o0, Falre) —Q. 


De plus, si lon fait usage de Ta notation adoptée ci-dessus (vorr le 


problème f, corollaire D, on aura 
fn(x — ai) = RE (T—a)+(nr—1)fr 2x); 


et, par conséquent, si lon suppose /,_,(x — a;) = 0, on aura sim- 
plement 

far —&)=(n —i1)fr 2x). 
On pourra donc, en faisant abstraction du facteur numérique à —r, 
remplacer Fa fonction /,(x — a,) par f, (x); d’où il suit que, pour 
obtenir l'équation auxiliaire en y, on pourra se contenter d'éliminer æ 


entre les deux suivantes : 
4 fae(T) UE Jus (x an Ai ) — O0; Ps (æ pe CL ) —— ©. 


De même, pour obtenir équation auxiliaire en z, il suffira d'éliminer x 


entre les deux qui suivent : 
S{n-2(T)+(x—a;) Praz nl Er PE + die 0 


Les deux équations auxiliaires en y et 3 étant ainsi formées, si 
lon détermine pour chacune d'elles la différence entre le nombre des 
racines positives et le nombre des racines négatives, la première des 
deux différences obtenues sera inférieure d’une unité au nombre des 
racines réelles de la proposée et la seconde sera inférieure ou supé- 
rieure d’une unité à l'excès du nombre des racines positives sur le 
nombre des racines négatives, suivant que le produit a,_,a, sera 


négatif où positif. 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 215 

En ‘appliquant aux équations auxiliaires les mêmes raisonnements 

qu'à la proposée elle-même, on finira par obtenir les fonctions des 
coefficients 


is Ans Ass. es Anis An 


qui déterminent le nombre et l'espèce des racines réelles de l’équation 


donnée. 
Premier exemple. — Supposons l’équation donnée du second degré 
et soit 


L'+24T+A4—=0 


cette même équation. Si l’on fait comme ci-dessus (problème 1) 


» 
Cie (44 me a’; 


on aura 

fault Gil, fn-2(Z — M), (a. (TZ) = Cr 
Ainsi, pour obtenir les équations en yet =, il suffira d'éliminer x : 
1° entre les deux équations 


C;Y +I1—O, Ÿ Pire (0 À 


2° entre les deux équations 


C3 +T—4—0, a 0. 


Les équations auxiliaires en y et z seront donc respectivement 


I a, 
Y + — oO, 3— — 0. 
# É, (res 


Par suite, la différence entre les nombres de racines positives et néga- 
tives sera, pour l'équation en y, +1 si = ou c,est négatif et — 1 dans 
le cas contraire. La même différence, pour l'équation en 3, sera +1 
si “ ou a,c, est positif et — 1 dans le cas contraire. De plus, si l'on 


1 
veut passer de l'équation en 3 à la proposée, il faudra augmenter ou 


diminuer la dernière différence d’une unité, suivant que le produit 
à Ï | 


216 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 

a,a, sera négatif ou positif. Cela posé, si l’on convient de remplacer 
constamment par + 1 les fonctions des coefficients de la proposée, qui 
obtiennent des valeurs positives, et par — 1 celles qui obtiennent des 
valeurs négatives, on aura, pour déterminer le nombre ct l'espèce des 
racines réciles de l'équation 


L+ 24 T + A = O0, 


les quatre fonctions 
I, me CS — is» diCis ji: 


la somme des deux premières foncfions devant toujours être, après le 
remplacement dont il s’agit, égale au nombre des racines réelles de 
l'équation donnée et la somme des deux dernières à l'excès du nombre 
des racines positives sur le nombre des racines négatives. 

Le nombre des racines réelles étant déterminé par les deux fonc- 
tions 1 et —c, = aŸ — a, dont la première est toujours positive, 1l y 
aura deux racines réelles st af — a, est aussi positive; 11 n'y en aura 
point dans le cas contraire. Dans cette dernière hypothèse, &, sera 
nécessairement positif et, par suite, les deux fonctions — a,a,, +a,c, 
seront de signes opposés; mais, dans le premier cas, €, étant négatif, 
les deux fonctions — a, «,, + a,c, et, par suite, les deux racines réelles 
de l'équation donnée seront de même signe ou de signes contraires, 
suivant que a, sera positif où négatif. Enfin ces racines, supposées de 
même signe, seront toutes deux positives si a, est négatif et négatives 


dans le cas contraire, 


Second exemple. — Supposons l'équation donnée du troisième degré 


et soit 
3 >. 7 2 ? nes 
F + 94,2 SO Lt (== 0 


cette même équation; on aura, dans le cas présent, 2 = 3, et si lon 





fait, comme dans le problème F, 


Cie — À, 2C2:— A3 — 34 42+24), 
on trouvera 


(De) ae FPE en (10 ete fn-2(&) = GE + C2. 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 217 
’ar suite, pour obtenir les équations auxiliaires en y et 2, 11 suffira 


d'éliminer æ : 1° entre les deux équations 
FIAT Ta) m0, D HD, 0, 
2° entre les deux équations 
3(4T+C%)+T(T—-4)=o, Æ' C0, 


On tire de la première 


De plus, si dans Péquation 
(LT + Co) +L?— 4x 0 


on remplace æ°? par —c,, on en déduira 


Si l’on substitue successivement les deux valeurs précédentes de x 
dans léquation 
He a Gi 0; 


on aura les deux équations suivantes en.y et 2 


(CE ci Tac} F0, 


(ce? + ci)s? — 2ci(aiCi+ C:)3 + (ai +)—=o. 


Il ne reste plus qu'à déterminer pour chacune d'elles Ta différence 
Ï 


, 


entre les nombres de racines positives et négatives. Or on a déjà fait 


voir que, relativement à léquation 
L'+ 241€ + A3 —O, 
la même différence était déterminée par les deux fonctions 
— Ada — (Ai — A). 


D'ailleurs, pour passer de cette dernière équation aux équations auxi- 


OEuvres de C. — S. I, t. [. 25 


218 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 
liaires en y et z, il suffira évidemment de remplacer les deux quan- 


tités a, et @, 








î Dal 20 e ci 
] F2 à — à ——— ; 
Bts c? + c c? + ci? 
ac ; à 2 à 
- pee 2 3 : 2 Sue ee 
+; c? + c? C; + Ci 
Quant à la quantité 
A? — A3 


qui, relativement à Péquation 


= 


L'+ 24 LT + A3 O, 


représentait le quart du carré de la différence entre les deux racines, 
elle devra être remplacée par la même fonction des racines des équa- 
tions auxiliaires en y et 3; et, par suite, en vertu du théorème IV, on 
pourra lui substituer immédiatement le quart du carré de la différence 


entre les racines de l'équation 
ac 0, 


c'est-à-dire la quantité — c,. Cela posé, si l'on fait abstraction des 
facteurs carrés qui n'ont aucune influence sur les signes et que l’on 


change les diviseurs en multiplicateurs, les deux fonctions 
— Aid — PT. — 3), 
se trouveront remplacées, pour l'équation auxiliaire en y, par 
Comte ec) 
et, pour l'équation auxiliaire en 3, par 
(GC + Cr), —(ac 2 C2) (ci + ci). 
Ilest aisé d'en conclure que le nombre et l'espèce des racines réelles 


de l'équation 
2+ 3a x? + 3a x + a3—=0 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 710 
seront déterminés par les six fonctions 


1, —Cy, C(C3+ Ci), —Gsüs, Ay(dici+ C2), — (a;ci+ec)(ci+ ci). 


Lorsque dans chaque cas particulier on aura remplacé celles des 
fonctions précédentes qui seront positives par + r et celles qui seront 
négatives par — 71, la somme des trois premières donnera le nombre 
des’ racines réelles de la proposée et la somme des trois dernières la 
différence entre les nombres de racines positives et négatives. 

Ilest bon de remarquer qu'à la fonction ae, +e, on peut substituer 


DC ED Co Cl, 


en sorte que les trois fonctions qui déterminent la différence entre le 
nombre des racines positives et le nombre des racines négatives peuvent 


être présentées sous la forme suivante : 
— 335 AA — Qi), —(a3— dti) (eo? + ci). 


Des trois fonctions 
ls: ——Cis CCS + ci) 

qui déterminent le nombre des racines réelles, la première, 1, est tou- 
jours essentiellement positive. De plus, les deux autres ne peuvent 
être à la fois négatives; car, si la deuxième est négative, la troisième 
sera évidemment positive, Enfin, le produit des deux dernières fonc- 
tions étant égal à — cc, + ci), ce produit sera négatif et les deux 
fonctions de signes contraires si ec; + ce; est positif; le même produit 
sera positif et, par suite, les deux fonctions seront positives sic +ctest 
négatif. Dans le premier cas, l'équation donnée n'aura qu'une racine 
réelle; dans le second, elle en aura trois. 

La quantité c?+c*, qui suffit en général pour déterminer le nombre 
des racines réelles, représente, comme on la fait voir ci-dessus, le 
dernier terme de l’équation aux carrés des différences entre les racines 
de la proposée divisé par le carré de 2 et le cube de 3. 


3 


Corollaire 1. — On voit, par les exemples précédents, comment le 


220 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


nombre et espèce des racines réelles d’une équation donnée du degré 
se trouvent déterminés à laide de plusieurs fonctions des coefficients 
de cette équation. 

Les premières fonctions, où celles qui déterminent le nombre des 
racines réelles, sont en nombre égal à 2. Les autres, qu i déterminent 
la différence entre le nombre des’ racines positives et le nombre des 
racines négatives, sont encore en nombre égal à 2. Le nombre total 
des fonctions que lon considère est donc égal à 22. Mais, comme la 
première de ces fonctions est toujours égale à l'unité, le nombre de 
celles qui varient avec les cocfficients est seulement égal à 272 — 1, ce 


qui s'accorde avec le deuxième paragraphe de la première section. 


Corollaire 11. — Après Punité, la première des fonctions qui déter- 
minent le nombre des racines réelles à été trouvée, pour le deuxième 
et le troisième degré, égale à — e,. Cette fonction reste la même, quel 
que soit le degré de l'équation proposée, En effet, elle est égale et de 
signe contraire au produit des deux derniers termes de l'équation en y: 
mais le produit de ces deux termes peut être remplacé par leur quotient 
ou par | 


fn ( Li). er re (re ) Un (Zn: ) = 


fn-2(Z1) | În-2(Le) MoN PATES 


4 ( | 
A 2! Certi [\ 


et, en vertu du théorème I], ce même quotient, pris en signe contraire, 





est, à un coefficient numérique près, égal à 
A — A3 — Ci, 


ou encore à la somme des carrés des différences entre les racines de la 


proposée. 


Corollaire 111. — Dans les exemples que nous venons de parcourir, 
le produit des fonctions qui déterminent le nombre des racines réelles 
a toujours le même signe que le produit des carrés des différences 
entre les racines de léquation donnée. Cette proposition reste vraie, 


quel que soit le degré de l'équation que l'on considère. En effet, 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. FOX | 
chacune des fonctions négatives indiquant un couple de racines ima- 
ginaires, le nombre des fonctions négatives sera pair Où impair ef, 
par suite, le produit de toutes les fonctions cherchées sera positif 
ou négatif, suivant que les couples de racines imaginaires seront en 
nombre pair ou en nombre impair, et l'on sait d'ailleurs que, pour 
lever toute incertitude à cet égard, il suffit d'examiner si le produit 
des carrés des différences entre les racines de la proposée est positif 


ou négatif. 


Corollaire IV. — Si l'on considère à la fois les diverses fonctions en 
nombre égal à 22 qui déterminent, non seulement le nombre mais 
encore l'espèce des racines réelles, on déterminera facilement, par 
l'inspection de leurs signes, le nombre des racines positives. En efee, 
ce dernier nombre est égal à la moitié de la somme faite du nombre 
des racines réelles et de Pexeës du nombre des racines positives sur le 
nombre des racines négatives. Par suite, toutes les racines de l'équa- 
tion donnée seront positives si toutes les fonctions que Fon considère 
le sont aussi; mais chaque fonction qui deviendra négative diminuera 
le nombre cherché d’une unité. Cela posé, 11 sera facile de reconnaitre, 
par le signe du produit de toutes les fonctions, si le nombre des 
racines positives est pair où impair. On voit, en effet, que ce nombre 
sera de même espèce que le degré de l’équation donnée si les fonctions 
négatives sont en nombre pair ou, ce qui revient au même, si le pro- 
duit de toutes les fonctions est positif et qu'il sera d'espèce différente 
dans le cas contraire. D'ailleurs, on peut lever immédiatement toute 
incertitude à cet égard en examinant si le produit des racines de l'équa- 
tion donnée est positif ou négatif. Ainsi, le produit des diverses fonc- 
tions qui déterminent le nombre et l'espèce des racines réelles doit 
toujours avoir le même signe que le produit des racines de la proposée ; 
mais On a prouvé ci-dessus que le produit des fonctions qui déterminent 
seulement le nombre des racines réelles avait toujours mème signe que 
le produit des carrés des différences entre les racines. Par suite, le 


produit des fonctions qui déterminent la différence entre le nombre 


299 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


des racines positives et le nombre des racines négatives aura même 
signe que le produit des racines par les carrés des différences entre 
les racines. Ainsi, par exemple, si l’on considère l'équation générale 


du troisième degré : 
a+ Sa L'+ 3x + a3—= 0, 


le produit des racines étant alors égal à — à, et le produit des carrés 


des différences entre les racines à 


le produit des fonctions qui déterminent la différence entre les nombres 


de racines positives et négatives doit avoir même signe que le suivant : 
a3(c; + ci), 


ce qui s'accorde avec les résultats trouvés ci-dessus. 


Corollure V. — En suivant la méthode précédente, on détermine le 
nombre des racines réelles d'une équation du degré 7 au moyen de la 
diflérence qui existe entre les nombres de racines positives et néga- 
tives dans une équation auxiliaire du degré n — 1; mais, à l'aide d’un 
artifice indiqué par Euler (2° partie du Calcul différentiel, Chap. XI), 
on peut abaisser d’une unité le degré de cette équation auxiliaire, 


ainsi qu'on va le faire voir. 


PRoëLÈME [I — Réduire la recherche du nombre des racines réelles 
dans une équation donnée du degré n à la détermination de la différence 
qu existe entre les nombres de racines positives et négalives dans une 


équation du degré HS 


Solution. — Conservons la même notation que dans le problème pré- 
cédent et soit toujours /,(æ) = 0 l'équation proposée. Ses racines 
réelles seront en même nombre que les racines réelles de l'équation 


fn(æ — a )—=o 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 293 
ou 


n(n7n —1 
no PRE ni 

L2 
n(n — 


I (n = 3)e ER rip ea = (nr — CH C TIR 10, 0 


s* AA] il , : 
Si dans cette dernière on change x en > le nombre des racines réelles 


restera encore le même. On pourra donc, à l'équation proposée, sub- 


stituer la suivante : 


n 
.. | (n—1)cr_, x" + “it nn PL ae 


n(nr—1 n(nr—:1 
ID ati 0. 





En 
LS 


Pour déduire celle-ci de l'équation donnée, il suffira d'y remplacer 


(n — 2 )Cn 





a ar en ; 
: du or 
15). 
& par Ron a) 
(FE non 
Te : 
Ci 
LR par _—_ _—_ _, 
(n #6; 
enfin 
RUE par o 
et 
I 
An par a ———_——— , 


(nn —1)c,_; 
On pourra donc se contenter de chercher les fonctions de 
Œis A) eo nous C7 
qui déterminent le nombre des racines réelles de léquation 


* PORTE PEN ESAI 
(6) z'+ na; zr-1+ _— AL? +. + 0e FA PES “elle ot « Pa € D 
pourvu qu'ensuite l’on effectue les substitutions que nous venons 


d'indiquer. 


29h MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


Pour obtenir l'équation (6) il suffit de faire &,_, — 0 dans l’équa- 
tion générale du degré 7, savoir /,(æ) = 0. Par suite, pour obtenir 
l'équation auxiliaire en y qui doit servir à déterminer le nombre des 
racines réelles de l'équation (6), 1l suffit de supposer a,_, = o dans 


les deux fonctions ci-dessus désignées par 
fatr), fai) 
et d'éliminer x entre les deux équations 
PIatr) Eater) 0, DÉRIUC SE mir 


Désignons à l'ordinaire par æ,, æ,,..., æ,_, les racines de l’équa- 


tion /,_,(æ) = 0. Comme on a dans le cas présent 


Jill) REA tr (de, +; 


ON pPOUrTrA SUPPOSCr 
LTn—1 — 9 


et alors æ,,æ&,, ..., æ, , seront les racines de l'équation 


ANT HR —-I)A AI +. H(n —1)4n-3 = 0. 


<< 
LA | 
ns 


De plus, comme, dans la supposition où x = 0, l'équation 


SPACE NT IQ A Et 
donne 


. ce Xe LE F 2 Ano = É 
l’une des racines de l'équation en y sera — > et puisque, dans a 
Cr 


recherche qui nous occupe, cette racine doit être comptée pour + 7 si 
elle est positive et pour — r si elle est négative, on pourra la ranger 
immédiatement parmi les fonctions qui déterminent le nombre des 
racines réelles de l'équation (6) et se contenter de calculer la diffé- 
rence entre les nombres de racines positives et négatives de l'équation 


en y qu'on obtient par l'élimination de la variable æ entre les deux 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 


9 
D 
©c 


suivantes : 
| } fa(æ) + fn-s(x) == 0; 


AMI (n—i)a RS +... +(n —1)An es 0. 


(8) 


Cette nouvelle équation en y pourra être représentée par 
(9) LYS (æ:) LR FRAC AS LY fn(T) Add PA Na rtte ee) PUR aan 2:)] — O0: 


Dans cette dernière équation, les coefficients du premier et du der- 
nier terme peuvent être facilement déterminés à l'aide du théorème IF; 
car ces mêmes coefficients sont respectivement égaux aux deux pro- 


duits 
HU ) Tite): + flo) HR 
et 
reste ) Ti-al ts): : lt) NC ) | 


divisés, le premier par Fu) — 4, te sccon Dar) 0. 
On peut encore déterminer par le théorème HI le rapport des coeffi- 
cients des deux derniers termes dans l'équation (9). En effet, ce rap- 
port est égal à 


Je) nn) > 


| Fe ( Tn-2) 
În-3(1) | În-2(2s) ni În-2(Ln-2) 


et l’on a de plus, en vertu du théorème IT (corollaire IV), 





Jn(æ:) În(Zs) de Jn(Zn-2) is pat nr) nl) 
A 
2 2 An . 
no one 


D'ailleurs, le produit des deux derniers coefficients de l'équation en y, 
pris en signe contraire, est une des fonctions qui déterminent Îe 
nombre des racines réelles de la proposée et, comme le produit et le 
quotient de deux quantités sont toujours aflectés du même signe, le 
rapport des deux derniers coefficients de l'équation en y, pris négati- 


vement, ou 


An 





? 


(n — 1) (ai — @) + 
- An—2 


OEuvres de C.— S.W,t.I. 29 


926 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 
sera encore une des fonctions cherchées. On connaîtra done, dans 
tous les cas possibles, deux des fonctions qui déterminent le nombre 


des racines réelles de l'équation 








n(n— 1) : | n(n—1) : 
TU + nai; T" 1 UNE ALI +, + T5 An-2Œ + An 0 
et ces deux fonctions seront 
An : ° «a 
— —, (n —1}(a— a) + —7 
An An- 2 


Si, dans ces mêmes fonctions, on remplace 


(2—2)Cy-e 











a par a 
(nr JR 1) 
n —3)c,_: 
A par Se he 3 
(R —1)Ch-: 
Jai Si 
TER . —— — 
de pe (n—1)c, 
I 
D: par 


(n —1)ch-; 


et qu'après avoir changé les diviseurs en multiplicateurs on néglige 


les facteurs carrés, on obtiendra les deux suivantes 


° 2 


ee Cu Ej ie [Cr — 2) ch —(n—1)(n —3)c ic s] + GS 


Ces deux dernières fonctions feront done toujours partie de celles qui 
déterminent le nombre des racines réelles de l'équation donnée 
1, A(n—:) et n(n—1) 
T'+ na; x"! + = Ag He + —— © Gad + Rap T + An = 0. 
2 12 

De plus, le produit de toutes les fonctions dont il s’agit doit tou- 
jours être de même signe que le produit des carrés des différences 
entre les racines de la proposée. Si l’on désigne, comme nous l'avons 


déjà fait, par | 
Ai (ni URK, , 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 


TO] 
[] 
{ 


le dernier terme de l'équation aux carrés des différences, 


n(r—1) 


eo à 
sera le produit des carrés des différences entre les racines: et, si lon 
suppose déjà connues, à l'exception d’une seule, les diverses fonctions 
qui déterminent le nombre des racines réelles, en désignant par P le 
produit de ces fonctions, on pourra représenter la fonction qui reste 


inconnue par 


Ainsi, à l’aide des considérations précédentes, on déterminera, pour 
tous les degrés possibles, trois des fonctions cherchées, sans compter 
la premiére de toutes qui est toujours l'unité. L'une de ces trois fonce- 


tions, représentée par — c,, est égale à 
. 1 O 


2 
U, — 


c’est-à-dire, à un coefficient numérique près, à la somme des carrés 
des différences entre les racines de la proposée, 6e qui s'accorde avec 
le corollaire IT du problème précédent. 
Premier exemple. — Si l'on suppose »2 — 2, les deux fonctions 
J, FRERE Ci : 
suffiront pour déterminer le nombre des racines réelles, 
Deuxième exemple. — Soit ñn —3. Il faudra, pour déterminer le 


nombre des racines réelles, avoir égard, non seulement aux deux 
fonctions 1, — c,, mais encore à la fonction 
Cifcl(a—2)ch,—(n—1)(n—3)cu ic s]+ cl 


qui, dans le cas présent, se réduit à 


cite Roih 


228 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 
ar suite, on aura, pour déterminer le nombre des racines réelles, les 
trois fonctions : 
1-0, io o) 
Le produit de ces trois fonctions, lorsqu'on néglige le facteur carré c*, 


devient égal à 


ce qui s'accorde avec la théorie précédente. 


Troisième exemple. — Soit rx — 4. La fonction 


cijcil(n— 2) ,—(n—1)(n— 3) icss] + ci 
deviendra 
Cil(4c?— 3ccs)c + ci]. 
De plus, si l’on néglige le facteur carré c?, le produit des trois pre- 
micres fonctions multiplié par 


Lo 


(—1)° K,=K, 
sera 
—[e(ñci— 3cc;) + ci]K.. 
Par suite, on aura, pour déterminer le nombre des racines réelles, les 


quatre fonctions 


1, —c, Cläacci—c(3c?—c)], —[hcci—c(3ci—c;)]K.. 

Quatrième exemple. — Soit n = 5. Trois des fonctions cherchées 
seront immédiatement connues par ce qui précède et ces trois fonc- 
tions seront 

1, —Ci, Cila(gci—8cc) + c?]. 

De plus, le produit des deux dernières fonctions devra être affecté du 
mème signe que le produit des trois premières par le dernier terme 
de l'équation aux carrés des différences; mais, comme cette condition 
ne suffit pas pour déterminer entièrement les deux fonctions qui 
restent inconnues, il faudra nécessairement avoir recours à l'équation 
auxiliaire qui résulte de l'élimination de y entre les équations (8). St 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 


299 


dans ces deux dernières équations on fait a = 5 et que l’on remplace 


immédiatement 


4, 


d3 


Œs 


2 


par 


par 


par 


par 


elles deviendront respectivement 


(10) 








| (Ga x+10c;x\ + 200 x+10c,x?+1) 


+ (4c ai gcsx + 6c,%+ c,) —o, 


CT + 30,2? + 3 cax + C— 0. 


On peut d’ailleurs, 


à chacun des polvnomes en x renfermés dans la 


première équation, substituer le reste de la division de ce polynome 


par le premier membre de la deuxième. Si l’on suppose, pour plus de 


commodité, 
P—=—270Ci + AC (TLC — 2C1C;), 
= 2706 Lola ac 
Pr noie (OC. 


les deux polynomes dont il s'agit donneront pour restes 


I 
— —(prt+qzr+r), —3(c32 + 20x+ Ci); 


e 
+ 


. . I < LD L ° è 
et, comme les multiplicateurs _ et 3 sont essentiellement positifs, on 


pourra, sans nul inconvénient, se dispenser d'en tenir compte. Cela 


posé, les équations (ro) se réduiront à 


(PL + qz+r)y + C3T' + 202€ + C— 0, 


Si l'on fait, pour abréger, 


PI + C3 — V3 


QY+20— as 


Ca + 3C3x? + 3C3x + C,—= 0. 


Ju —- Ci — Yi 


230 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 
elles deviendront 

YaL+ F2aZX + Yi—=0, a+ 302 + 3x + C—0. 
L'élimination de æ entre ces deux dernières conduit à la suivante : 


Cite [(3c7 — CiJe) (y — AY) ARACIUNS — C1Y3)] 
EN 10 A0 dope 2 IE) liens Ja(3C3Ya— 80:73) (80271 — Ciÿa) = 0. 


Si dans celle-ci on remet pour y,, y2, y, leurs valeurs respectives, 


on aura 
26% Ci -d00--30D)9 


3C; 7: st Cia 200. Sn qg'Y; 


3CY1 1 Cf CIC. 30, ee 


p',g,r étant déterminés par les trois équations 


P=Q9 Cics—3cc?—6ccc, 


J'—=ICiC3Cs+ CsC, — 2 CC, 


HE RP . 
le CiC3+ Co 


et par suite, l'équation auxiliaire en y sera 
Cry +) + 0 i[(gy + 2e) — 2(PY +G)(ry+c)](cc—3cry) 


— (97 +20)(ry+c)(2cics— 3c,q'y)] 


(pr +0)l(rcic—3cag y} — (cc — 3c,r y) (30:03 — 3c,p'})] = 0. 


Représentons par 
ay +38 y + 3yy+0—0o 


cette même équation, on aura 
M Cl oo gr) +38p(3q%—3plr +orr!)l, 
3B—3c?[c(r*+2pr'+ qq!) —20(2qgr"—g'r)+c:(3q°?—3p'r'+arr!)] 
+ Ge c(g?— 2pr + 3 pp) — cic;(2gr +12pq) + 9ccspr'], | 
37 —3cilcir +oacic;qg +a(cic;s—2c?r] 


+ Cil2c(2c5—0cic;)q — 2c?c,p —6CiCicsr +3 cicc;p'—120ccg' +occ?r'] 


+ CiC3(4Cics-— 3c?)p, 


9 —eifcici + ac (4e?— Gcics) + c'(4cici— 3c2)]. 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 231 


Si maintenant on restitue les valeurs de p, g, r, p', q', r', que l’on 
restitue à K; la même valeur que ci-dessus (p. 206) et qu’on fasse 
pour abréger 

L; —c?—8ccc;, +gcc!, 
M; c'e; —4cic:(3c? +0) 
+ cé (3ci + 330 ct +ifaccics — 54c$ c; + 5ac? c? — 06 c!) 
— 20, (1290, c20ÿ — 1470 cac — goci ci + a4ac? cc, — 96c, ci) 
+gci(r2cci— gcc — 200 c? + 35c?c?c;— 15c,c!), 
Nico -200,(060 00) ele, CHAOS 
on trouvera 
&—__ 0h, Bei 7—=— L;N;, 0 0 N. 
D'ailleurs, l'équation en y, que nous avons représentée par 


AY+ IG Y + 3y} +Ô—0, 


étant du troisième degré, on obtient facilement, par le problème If, 
les trois fonctions qui déterminent pour cette équation la différence 
entre les nombres de racines positives et négatives. Les deux pre- 


miéres de ces fonctions sont respectivement égales : 


ro 1(f-È2) 


a Œ \ œ aa, 
et peuvent être évidemment remplacées par les deux suivantes : 
-— yd, ay(ad — By). 


De plus, si l’on désigne par A le produit des carrés des différences 
entre les racines de l'équation en y, le produit des trois fonctions 


cherchées sera de même signe que le suivant: 42: 
Ô 
fe = 


d’où il résulte que la troisième fonction peut être représentée par 


(xû — By)A. 


232 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


© 


Enfin, en vertu du théorème IV (corollaire 1), on pourra remplacer A 
par le produit des carrés des différences entre les racines de l'équation 


CL + 3032? + 30C,X + C,—=0, 
ou, si l’on veut, de l'équation réciproque 
C, + 3C3T + 3 Ca&? + CL — 0. 


Soit D le produit des carrés des différences entre les racines de cette 


dernière équation, on aura 


D = — 2; - . 





, ce qu'il était facile de prévoir; car 


D s’évanouit donc avec N.. 
 Péaenr à 
exprime la condition nécessaire pour que les deux équations 
CA + 3C,L° + 3 CT + C,— 0, C;X° + 20% + C—=0, 
ou, ce qui revient au même, les deux suivantes 


C, + 3 CZ + JC CT 0, C3 + 2C9T + C2 = O, 


puissent être en même temps satisfaites; et, comme la seconde de ces 
dernières équations est la première dérivée de l’autre, la même condi- 


tion peut encore être exprimée par 
1) Es À 


Si dans la valeur de D on fait abstraction du facteur numérique 27 
et du diviseur carré ci, on trouvera, pour la troisième des fonctions 
cherchées, | 

— (ad — By)Ns. 
Ainsi, les trois fonctions qui déterminent la différence entre le nombre 
des racines positives et le nombre des racines négatives de l’équation 
en y sont respectivement 4 


— 0, ay(ad —fBy), — (xd —/6By)N;. 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 233 : 


Si dans ces trois fonctions on substitue les valeurs de «, B,Y, à données 


ci-dessus, on trouvera, en négligeant les facteurs carrés, 
c, Le, L,K:(M;L;:— crc Ks), — (M;L;— cciK;). 


+ 


Cela posé, les fonctions qui relativement à l'équation générale du cin- 
quième degré doivent déterminer le nombre des racines réelles seront 


1, —Ciy Cils — L;K;(cciK:s— L;M;), cciK; — LM, 


K,, L;, M, ayant les valeurs que nous leur avons assignées plus haut. 
Le produit de toutes ces fonctions a évidemment le même signe que 
le produit des carrés des différences entre les racines de l'équation 
générale du cinquième degré, ce qui confirme l'exactitude de nos 
calculs. 
Corollaire I. — Désignons à l'ordinaire par 


: . ain 1) ns n(n—1) 
A A D 1. 
re ; 


Anne TL? + NAy_1T + An— 0 
7 . , LR , Q Q re 
l'équation générale du degré 2. Soit toujours 


Ë s A,=nt(n—1)""tK, 


le dernier terme de l'équation aux carrés des différences entre les 


racines de la proposée. Enfin supposons que l'on donne à 
TR 
Jes mêmes valeurs que ci-dessus (problème 1, corollaire IF) et soit 
bc +telt(r -a)c,—(n— Lin 1e 0). 
Si l’on fait successivement x = 3, nr = 4, n — 5, on trouvera 


| ÉTÉ c: . (og he 
L—c+c(4ci—3cc;), 


L;= c? + c(gci — 8c:ci); 


et, en vertu de la théorie qu’on vient de développer, les fonctions dont 
OEuvres de C. — S. IH, t. 1. 30 


23% MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


les signes détermineront le nombre des racines réelles de la proposée 
seront respectivement : | 
Pour l'équation générale du deuxième degré, 


T, ri 


pour l’équation générale du troisième dégré, 


F, a Ci CiL;; 


pour l’équation générale du quatrième degré, 


J 


do. ce le AR 


enfin, pour l'équation générale du cinquième degré, 
TE SU CP UN 


M, avant toujours la valeur que nous lui avons précédemment assignée. 

Jusqu'ici, nous avons supposé que l'équation proposée et les équa- 
tions auxiliaires des divers ordres n'avaient pas de racines égales entre 
elles ou égales à zéro. S'il en était autrement, parmi les fonctions dont 
les signes doivent déterminer le nombre et l'espèce des racines réelles, 
quelques-unes deviendraient nulles et, par suite, ne pourraient plus 
servir à la détermination dont il s’agit. Il faudrait alors avoir recours ? 
lune des méthodes exposées dans les paragraphes IV, V et VI de la 
première section. Pour faire mieux sentir l'esprit de ces méthodes, je 


vais les appliquer à quelques exemples. 


PROBLÈME IV. — Déterminer le nombre et l “espèce des racines réelles de 


l'équation binome 
Tr AO, 


a etant un nombre entier quelconque positif ou négatif. 
Première solution. — L’équation proposée étant 
Ve 0, 


l'équation dérivée, savoir 
: À green 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 235 


aura toutes ses racines égales entre elles et à zéro. Cela posé, si l’on 
veut faire usage de la méthode indiquée dans le paragraphe IV (pre- 
mière section), il faudra distinguer deux cas, suivant que 2 sera pair 
ou impair. | 

Supposons d’abord 7 pair. Comme l'équation dérivée n’a qu'une 
seule espèce de racines égales, on n’obtiendra qu'une seule équation 
auxiliaire en y et une seule équation auxiliaire en 3. Pour former ces 
équations auxiliaires 1l suffira, conformément au paragraphe IV (pre- 


mière section), d'éliminer æ : 1° entre les deux équations 
y + XX) — 0, D 0; 

2° entre les deux équations 
3 + zXXU)— 0, Lt 0 À 


On a d’ailleurs, dans le cas présent, X—x”*+ 4, et, X! étant une quan- 
tité constante et positive, on peut, sans inconvénient, remplacer X° par 
l'unité. Cela posé, les équations auxiliaires cherchées seront respec- 


tivement 
Pr td ja 


I] 


La première ayant une racine positive lorsque & est négatif et une 
racine négative dans le cas contraire, l'équation proposée aura deux 
racines réelles dans le premier cas et n’en aura pas dans le second. De 
plus, l'équation en z ayant une seule racine réelle égale à zéro et les 
racines de l’équation dérivée étant en nombre impair, la différence 
entre les nombres de racines positives et négatives sera nulle dans la 
proposée et, par suite, si a est négatif, les deux racines réelles de 
l'équation 
DE —- 0 

seront de signes contraires. 

Supposons maintenant 2 impair. Toutes les racines de Péquation 
dérivée étant égales entre elles et en nombre pair, on n'aura plus 
d'équations auxiliaires ‘à former et, par suite, la proposée n'aura 
qu'une racine réelle. Pour savoir si cette racine est positive ou néga- 


236 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 
tive, il suflira d'examiner si le produit des deux termes de l'équation 
donnée est négatif ou positif. La racine réelle dont il s’agit sera donc 
positive si a est négatif et négative dans le cas contraire. 

Ces résultats étaient déjà bien connus; mais on voit comme ils se 
déduisent naturellement de la méthode exposée dans le paragraphe IV 
(premiére section). On peut encore les obtenir, ainsi qu'il suit, par la 


méthode du paragraphe V. 
Seconde solution. — Si l'on veut appliquer à l'équation 
Et 0 
la méthode exposée dans le paragraphe V (première section), il faudra 
faire 
N— (a) vu, X'= f'(x)=natt,  f'(æ+h)=n(n—1)(x+ ht. 


On peut, dans la valeur de f’(æ +2), négliger le facteur numérique 
n(r—1)et, par suite, pour obtenir, conformément à la méthode dont 


Il s'agit, les équations auxiliaires en y et z, il suffira d'éliminer x : 


1° entre les deux équations 
Y+(z'+a)(æ+h})}t" = o, D 0; 
2° entre les deux équations 
3+x(x"+a) (T+ Ah)? a D HAE eme (0 Yi 
Cela posé, les équations auxiliaires cherchées seront respectivement 
CM GR Pete 0) 0 


et, comme on ne doit tenir compte que des racines inégales de ces 


mêmes équations, on pourra les supposer réduites à 


y + ah" = 0, Danse 6 0 


La différence moyenne entre les nombres de racines positives et 
négatives de l'équation en y se trouve ici déterminée par la valeur 


WW 
. 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 


moyenne du produit 
— ah", 


valeur qu'on obtient en supposant alternativement dans ce produit 
l’indéterminée À positive et négative et prenant ensuite la moyenne 
entre les deux résultats. La valeur moyenne dont il s’agit sera donc 
égale à | 
— ah? + ah" 
2 





) 


c'est-à-dire nulle si 2 est un nombre impair; mais, si x est un nombre 
pair, ellé sera positive ou négative, suivant que a sera négatif ou po- 
sitif. Sous cette condition, le nombre des racines réelles de l'équation 


mir de 
se trouvera déterminé par les deux fonctions 


at 


La dernière de ces fonctions devant être remplacée par zéro lorsque 
n est impair, l'équation donnée aura, dans cette hypothèse, une seule 
racine réelle. Dans le cas contraire, elle en aura deux si a est négatif, 
aucune si a est positif. | 

L’équation auxiliaire en 3 n'ayant qu'une seule racine réelle égale à 
zéro et le produit du terme constant de léquation proposée par Île 


terme unique de l'équation dérivée étant égal à 


n—1 
(20 is 


la valeur moyenne qu'obtient ce dernier produit, lorsqu'on y donne 
successivement à æ deux valeurs égales et de signes contraires, suffira 
pour déterminer la différence entre le nombre des racines positives et 
le nombre des racines négatives de l’équation donnée. Si x est un 
nombre pair, cette valeur moyenne étant nulle, l'équation donnée aura, 
dans cette hypothèse, autant de racines positives que de négatives; mais 
si z est un nombre impair, auquel cas la proposée a toujours une seule 
racine réelle, cette racine sera positive ou négative suivant que Île pro- 


238 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 
duit ax"! sera négatif ou positif, C'est-à-dire suivant que la quantité a 
sera elle-même négative ou positive. 

I serait facile d'appliquer les méthodes précédentes aux équations 


trinomes de la forme 
DEAD D — 0: 


En effet, une semblable équation a pour première dérivée 


n —1 
DU EE ——— ax? — 0, 
7è ; 


et l'on voit au premier abord que celle-ci a toutes ses racines réelles 
et nulles, à l'exception d’une seule qui est égale à 


(À ras: 





7 


Mais nous ne nous arrêterons pas plus longtemps sur cet objet et nous 
“nous contenterons d'ajouter ici quelques développements relatifs à la 


méthode exposée dans le paragraphe VI de la première section. 


PROBLÈME V. — Déterminer le nombre des racines réelles dans les équa- 


tions générales des cinq premiers degres. 


Solution. — L’équation du premier degré ne présente aucune diffi- 
culté puisqu'elle a toujours une seule racine réelle. De plus, nous 
avons donné ci-dessus (problème IT, corollaire 1) les fonctions dont 
les signes déterminent ordinairement le nombre des racines réelles 
dans les équations générales des deuxième, troisième, quatrième et 
cinquième degrés; mais lorsque ces fonctions, ou du moins quelques- 
unes d’entre elles, viennent à s’évanouir, on ne sait plus si elles doivent 
ètre considérées comme positives ou comme négatives. Il nous reste 
maintenant à faire voir comment la méthode du paragraphe VI (pre- 
mière section) peut servir à lever cette difficulté. Je supposerai, comme 
dans le paragraphe dont il s’agit, que l'équation donnée n’a pas de 
racines égales. Si le contraire avait lieu il serait facile de l’en débar- 
rasser par les méthodes connues. 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 239 
Cela posé, désignons toujours par 


: n(r—1) : ou 
— TH + ——— Go X + Nan T + An = 0 


x" + nazi + 
1.2 152 


l'équation donnée, » pouvant être un quelconque des nombres 2, 3, 4 
æ . \ s , . . 
ou 5. Faisons de plus, à l'ordinaire, 


PSN 2 
Ci— As — ;, 
2 C3 = A3 — 3 Ai As +- au, 
3c;—a—ha;a;+ Gaia; — 3a!, 


hc,= a;—5aa,+ioaia;—1oaa; + 4aÿ. 


Comme par hypothèse l'équation donnée n'a pas de racines égales, le 


dernier terme de l'équation aux carrés des différences, représenté par 
An HR TOUR, 


aura nécessairement une valeur positive où négative différente de zéro. 
Supposons maintenant que parmi les fonctions trouvées ci-dessus (pro- 
blème IT) quelques-unes s’évanouissent; alors, pour suivre la méthode 
du paragraphe VI (première section), il suffira d'attribuer à chacune 


des quantités 


ou, Ce qui revient au même, à chacune des quantités suivantes 
Pr Pas Car. C4 


un accroissement très petit mais arbitraire, positif ou négatif, et d’éta- 
blir entre les accroissements de ces mêmes quantités un ordre de 
grandeur déterminé, en sorte qu’on puisse toujours négliger les uns 
par rapport aux autres. Désignons par L,, L,, L,, k, les accroissements 
de c,, c,, C3, c,. Si l’on fait varier ces quantités de leurs accroissements 
respectifs dans les fonctions qui se trouvaient réduites à zéro, ces 
fonctions cesseront de s’évanouir et leurs signes détermineront, à 
l'ordinaire, le nombre des racines réclles de la proposée. Il suffira 
même, dans beaucoup de cas, de faire varier seulement une ou deux 


240 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


des quantités que l’on considère. Appliquons ces principes aux équa- 
tions générales du deuxième, du troisième, du quatrième et du cin- 


quième degré. 


Premier exemple. — Considérons l’équation générale du deuxième 
degré 
L'+24T + A3 = 0. 
Les-fonctions dont les signes déterminent ordinairement le nombre de 


ses racines réelles sont, comme on l’a déjà fait voir, 


Le, Cite 


Ici la fonction e, est la seule qui puisse devenir nulle; mais cette fonc- 
tion, même étant égale à K,, ne s’évanouira jamais tant que les racines 
de la proposée seront inégales entre elles, ainsi que nous l'avons admis 


ci-dessus. 


Deuxième exemple. — Considérons l'équation générale du troisième 
degré | 
Hat +34axr td — 0. 
Le nombre de ses racines réelles est ordinairement déterminé par les 


signes des trois fonctions 


1, —Ci, Cil;. 


Comme la fonction K, n'est pas nulle par hypothèse, il en sera de 
même de la fonction L, qui lui est égale; mais il peut arriver que 
c, s'évanouisse. Dans ce cas, on devra remplacer c, par k,; d’ailleurs, 
puisque l’on peut supposer à volonté À, positif ou négatif et que ces 
deux hypothèses doivent conduire au même résultat, il sera nécessaire 


que les deux fonctions 


soient de signes contraires; car s'il en était autrement, si par exemple 
ces deux fonctions étaient positives dans le cas où l’on suppose L, né- 
gatif, elles deviendraient toutes deux négatives lorsque 2, serait positif: 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 241 


et, par suite, on arriverait à des conclusions différentes, suivant que 
l’on admettrait lune ou l'autre des deux hypothèses dont il s'agit. H 
suit encore de la remarque précédente que, dans le cas où e, devient 
nul, la quantité L, doit être positive: c’est ce dont il est facile de 
S'assurer directement, car L, se réduit alors à c?. Dans le même cas, 


les deux fonctions 
—h,, hL, 


étant de signes contraires, on peut en faire abstraction et il en résulte 
que le nombre des racines réelles de la proposée est simplement égal à 
l'unité. 

En général, lorsque c, est positif ou nul, L, est postit et les deux 
fonctions 

FEU. Er 
doivent être considérées comme affectées de signes contraires. On peut 
done alors les remplacer par les deux suivantes 
F, mx Le 
D'ulleurs, lorsque c, est négatif, on peut remplacer encore 
nn Ci par ll 

et 


FH De par Le K- 


On pourra donc, dans tous les cas possibles, substituer aux trois fone- 
tions données les suivantes 


Bo Le 


Ainsi l'équation proposée aura trois racines réelles si le dernier terme 
de l'équation aux carrés des différences est négatif; elle n’en aura 
qu'une si ce terme est positif. 

Troisième exemple. — Considérons l'équation du quatrième degré 


a+ ha + Ga,x° + hayx + a, = 0. 


Le nombre de ses racines réelles est ordinairement déterminé par les 


OPuvres de C. — Se il; t.I. 31 


242 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 
signes des quatre fonctions 


1, Sr Ge te, Ne 


La quantité K, n'est pas nulle par hypothèse; mais les quantités e, et 
L, peuvent être ensemble où séparément égales à zéro. | 

Supposons d'abord que c, seule s’évanouisse; L, se réduisant alors 
à «2 sera nécessairement positif et, d'ailleurs, en raisonnant comme 


dans le deuxième exemple, on fera voir que les fonctions 


— Ci Gal 


+ 


doivent être considérées comme affectées de signes contraires. On 
pourra donc en faire abstraction ct, dans ce cas, le nombre des racines 


réelles sera uniquement déterminé par les signes des deux fonctions 


1 — L,K, 


ou, Ce QUI revient au même, des deux suivantes 


1, —K, 


4° 


Supposons, en second lieu, que L, seule s'évanouisse. Si lon fait 


varier e, de A,, la variation de L, sera 
cc. he. 


, 


On pourra donc, en négligeant les facteurs numériques et les facteurs 


carrés, substituer aux deux fonctions 


Ci ES PTE PE 


les deux suivantes : 
Colas —CiCoKiho; 


ct, comme le signe de 2, est tout à fait arbitraire, ces deux fonctions 
devront être de signes contraires, à moins toutefois que #, ne soit nul. 
Si ce dernier cas avait lieu, elles se réduiraient à zéro; mais alors, en 


faisant varier c, de ,, on trouverait, pour la variation de L,, 


— Gc;c;h: 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, AE QE 213 
et l'on ferait voir encore que Îles fonctions 


Ch LR 


doivent être considérées comme affectées de signes contraires, à moins 
que €, ne soit nul. D'ailleurs, comme on ne peut supposer en méme 


temps 
CS 0, Ge 0 
sans Avoir AUSSI 
K, es 0, 


on voit que, en excluant cette derniére hvpothése, où pourra (toujours 


faire abstraction des deux fonctions 


Ci Le noue he KW, 


…. 


dans le cas où L, s’évanoutrait. 


I est facile d'arriver directement à la même conclusion en prouvant 


que, dans le cas où l’on suppose 


les deux quantités c,, K, sont nécessairement de même signe; et, en 


effet, on a, dans cette hypothèse, 


Ainsi, dans le cas que Fon considère, les fonctions qui doivent déter- 


miner le nombre des racines réelles se réduisent à 
1, —C 


OUS-CC qui revient au méme, à 


Supposons enfin que lon ait en même temps 


Ci — O0, l. ON 


4 


il sera facile de faire varier à la foise,, e, ete, de manière que, lune. 


24h MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 

des quantités e,, L, restant nulle, l’autre cesse de s’évanouir. On ren- 
trera par ce moyen dans Pune des deux hypothèses précédentes. Ainsi, 
par exemple, st Pon augmente e, de 2, sans faire varier e,, L, obtiendr: 
une valeur différente de zéro ct l’on rentrera dans le premier des deux 
cas que nous avons considérés ci-dessus. Il suit de cette remarque que, 
dans la dernière hypothèse comme dans les deux autres, le nombre 


des racines réelles sera déterminé par les signes des deux fonctions 


J 


, — K,. 
De plus, comme en supposant c, — 0, L, = 0, on a 
0 el I ——(4c?), 


la fonction —K, sera positive et, par conséquent, la proposée aura 


deux racines réelles. 


Quatrième exemple. — Considérons l'équation générale du cinquième 
degré 
A + D AL + IOQ AL +IOQL? + 5a,x + a; = 0. 
Les fonctions dont les signes déterminent ordinairement le nombre 


de ses racines réelles sont, comme on Pa fait voir, 
Le, nn Cle Ci ER LH toc K;— L;M,;), HP K;— L;M.. 


Comme on suppose les racines de l'équation donnée inégales entre 
elles, K; a nécessairement une valeur différente de zéro: mais les trois 
quantités | 
Cn LL GcK;--EL M 

peuvent s’évanouir ensemble ou séparément et, par suite, les fonctions 
données peuvent devenir nulles dans quatre hypothèses différentes que 
nous allons examiner successivement. 

1° Supposons que, des trois quantités que l’on considère, la pre- 
mière seule ou c, s’évanouisse. On fera voir, comme dans le deuxième 


exemple, qu'on peut ne tenir aucun compte des deux fonctions 


= Ci C Le. 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 245 
De plus, L, étant alors nécessairement positive, on pourra, dans les 
fonctions où cette quantité entre comme facteur, la remplacer par 
l'unité et, par conséquent, il suffira, pour déterminer le nombre des 
racines réelles de la proposée, d’avoir égard aux signes des trois 
fonctions 

1, K;M;, —M;. 

Les deux dernières seront de signes contraires si K, est positif : la 
proposée n'aura donc alors qu'une racine réelle; mais si K, est négatif, 
les deux fonctions dont il s’agit seront de même signe et, comme Île 
nombre des fonctions négatives ne peut évidemment surpasser le 
nombre des positives, les deux fonctions que l’on considère seront 
nécessairement positives, d’où il suit que léquation donnée aura trois 
acines réelles. On conclut aisément de ces remarques que, dans Île 
cas Où €, — 0, le nombre des racines réelles peut toujours être déter- 


miné par les signes des trois fonctions 


1, —K; 


2° Supposons que des trois quantités 
— L,M, 


CE SRE ts à € 


7. 


la deuxième seule ou L, s'évanouisse. On ne pourra supposer dans L; 


9C— 80 0; 
‘ar on aurait alors nécessairement 
(Pme à À (EP perse 6 PA bi 0: 


Cela posé, en faisant varier c, de À, dans la valeur générale de L,, 
on prouvera facilement qu'on peut ne tenir aucun compte des deux 
fonctions 

CiLs, —L;K;(ciciK:—L;M;) 


et que les deux quantités 


Cis K;Cc; c: K;— LM) 


246 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


ou bien encore les deux suivantes 


22 


ciciK:-—L;M;,, c,K 


sont nécessarement affectées de même signe. Par suite, pour déter- 
miner le nombre des racines réelles de la proposée, il suffira d’avoir 


égard aux signes des trois fonctions 


RS T7 


5 


ou, ce qui revient au même, des trois suivantes 


L'équation donnée aura donc une seule racine réelle si K, est positif: 
elle en aura trois dans le cas contraire. 


3° Supposons que, chacune des quantités e,, L, 


J 


avant une valeur 


différente de zéro, li quantité 
CiCih; — 4. 


soit nulle. Dans ce cas, les coefficients de l'équation auxiliaire en y que 
nous avons considérée ci-dessus (problème IE, quatrième exemple) et 


que nous avons représentée par 


satisferont à [a condition suivante 





ao — By — 0. 


Alors, des trois fonctions qui déterminent la différence entre le nombre 
des racines positives et le nombre des racines négatives de cette équa- 
tion, deux se réduiront à zéro. Mais, en faisant varier les coefficients «, 
B, y, © de quantités très petites et de signe arbitraire, on prouvera 
facilement qu'on peut faire abstraction des deux fonctions dont il s'agit 
et déterminer uniquement la différence cherchée par le signe de la 
fonction 
— yô. 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 247 


On doit toutefois excepter le cas où l'équation en y aurait des racines 
égales et ceux où quelqu'un des coefficients æ, 8, +, à deviendrait nul. 
Dans tout autre cas, le produit + et la quantité désignée par A seront 
nécessairement de signes contraires ct, par suite, les quantités K,, L, 
seront de même signe. De plus, comme on peut, en négligeant les 
facteurs carrés, remplacer la fonction 

— 0 


par la suivante 
ci Le, 


D] 


on pourra encore, en vertu de la remarque précédente, lui substituer 
celle-ci 
ch 


9 


et l’on aura enfin, pour déterminer le nombre des racines réelles de 


léquation du cinquième degré proposée, les trois fonctions suivantes 


] , ape Cj , Ci K n 


que l’on peut aussi remplacer par ces trois dernières 


I reste à savoir ce qui arriverait si, dans l'hypothèse précédente, quel- 

: ie G D LS 
qu'une des quantités x, 6, y, & se réduisait à zéro ou si l'équation 
auxiliaire en y avait des racines égales. 


Il Suit évidemment de l'équation 
A Le PR LE 
X9 — 27 — O0 


RE NN : 
qu'une des quatre quantités x, 8, y, G ne peut devenir nulle sans 
. ne NS . . : Es : 
qu'une des quantités z, 0 le soit aussi; d’ailleurs, c, et K; n'étant pas 
nulles par hypothèse, on ne peut avoir 
Cat ou 0 —0 


sans avoir aussi 
0 ou à Pa 9 


| À 


c'est-à-dire sans que l'équation auxiliaire en y acquière deux racines 


218 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 
égales nulles ou infinies. Il suffira donc d'examiner le cas où, léqua- 
tion en y ayant des racines égales entre-elles, c,c°K; -- L;M,, et par 
suite &ô — By, s’évanouit. 

Il est done aisé de voir que, pour satisfaire aux deux conditions 


précédentes, on est obligé de supposer à la fois 


40, CC K;—L;M;=—o, 


ou bien 
(0 Reret 6 CCS K;— L;,M;=—o, 


ou bien encore 
B?— xy — 0, Ci Ks— L;M;—o. 
Supposons d'abord 
Ne 0. CC Ks— L;M;— o. 
K,et L, n'étant pas nuls par hypothèse, on aura nécessairement 
LL Mec 
De plus, lorsque €, s'évanouit, on à 
M:=o9gc(4cc;—3c)(3c2—5cic; + dec) —gN;(3ci —5cic+5cc;); 
et, puisqu'on ne peut supposer à la fois 
C, ns O0, == 0; 
st 4cic, — 3c n'est pas nul, l'équation M, = 0 se trouvera réduite à 
362 DCiC; + OC, — 0. 
Dans le meme ca si l'on fut varier c'e dh,cdehk "ua 


variation de M, sera en général 


g[5(c; —2cic;)h;+ioc; ch + (60; —5c?)h3]N;; 
et, Comme on ne peut avoir en même temps 


Go 0 ce 6c;—5c— 0 


sans avoir aussi 
Re open 0; fs 


DU NOMBRE DES RACINES RÉETLES; -BTC: 249 


on pourra toujours, en négligeant deux des accroissements À,, A, A, 
vis-à-vis du troisième, réduire la variation dont il s'agit à l'une des 
trois suivantes 


45(c;—o2rics)Nsh, gocic:Nih, 9(6c—5c?)Nilu. 


Cela posé, la variation 
- cic?K;—L;M, 


sera proportionnelle à l’un des accroissements k,, A,, k,. Le signe de 
chacun d’eux étant tout à fait arbitraire, il en résulte que les deux 
fonctions 

— L;K;(cctK;—L,M.), c;:c?K,—L,;M, 
devront être considérées comme affectées de signes contraires et que 
les deux quantités L;, K; seront nécessairement de même signe. Il est 
aisé d'en conclure que le nombre des racines réelles de la proposée 


sera encore déterminé par les signes des trois fonctions 
le Don. 
Si, pour satisfaire l'équation M,— 0, on supposait N,— 0, la seconde 
des équations (ro), savoir 
CPC re SV =. Pas me Ci Re O, 
ayant alors des racines égales, la proposée aurait nécessairement des 
racines imaginaires. On pourrait donc assurer qu'elle à trois racines 
réelles si K, est négatif, une seule si K,; est positif; ce qui revient à 
déterminer le nombre des racines réelles par les signes des trois 
fonctions 
Supposons maintenant 
do, CC K;— L;,M;=—o. 


c, n'étant pas nul par hypothèse, l'équation à —o entrainera la 
suivante 

Ni 0; 
et, par suite, il suffira toujours, pour déterminer le nombre des racines 


OÆuvres de C, — S.II,t. I. : 32 


230 © MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 
réelles, d’avoir égard aux signes des trois fonctions 


ot À. 
Supposons enfin 


Da) 0, C1C?K; — L;M;— 0. 
La dernière de ces deux équations pouvant être mise sous la forme 


A Re 
xo D7 — 0» 


on aura en même temps 





Cela posé, l'équation auxiliaire en y deviendra 
CE ne a 
ou, ce qui revient au même, 
te Ke ne 0. 

Cette dernière équation aura ses trois racines réelles égales et positives 
si M, n'étant pas nul K, et M, sont de même signe et, dans ce cas 
seulement, la proposée pourra avoir toutes ses racines réelles. Pour. 

Li a ne d , ° . ’ sure 
qu'elles le soient en effet, il sera de plus nécessaire que c, soit négatit 


et que la seconde des équations (10) ait ses trois racines réelles et 


inégales, ce qui entraine la condition 


N 0. 


Ainsi, toutes les racines de la proposée seront réelles si lon à en 
pro 


même temps 





0, ai— By —0o, B?— «y — 0, RMS 0 Ne 0 


ou, ce qui revient au même, si l'on a 


Cr 0, ciCèK;— L;M;— oo, KR ELN- Me, CON — O, N,<:0: 


Dans cette hypothèse, K; et M, étant de même signe, il faudra, pour 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 251 
que l'équation c,c5K, — L;M;— 0 puisse avoir lieu, que L; soit néga- 
tif, De plus, comme N, est aussi négatif, l'équation K;L;N; — M — 0 
entrainera la condition K, >> o et, par suite, on aura encore M,°> 0. Si 


les conditions précédentes ne sont pas satisfaites et que la quantité 





ne 
cici 3 


Le. M; 


vienne à s’évanouir, le nombre des racines réelles de équation donnée, 
ne pouvant être égal à 5, sera nécessairement déterminé par les signes 


des trois fonctions 


4° Jusqu'ici nous avons supposé que des trois quantités 
Cis Le cic?K;—L;,M; 


une seule devenait nulle. Mais 1] peut arriver que deux de ces quanttés 
ou toutes trois à la fois se réduisent à zéro. Au reste, il est facile de 


prouver que, dans cette hypothèse, on aura nécessatrement 


Car, si ce, n'étant pas nul les deux quantités L;, c, c'K,— LM, venaient 


à s’évanouir, on aurait en même temps les deux équations 
ch — O, Le == 0; 


auxquelles il est impossible de satisfaire tant que l'on attribue à K; 
une valeur différente de zéro. D'ailleurs, en faisant varier €, €, et c, de 
quantités très petites mais arbitraires, on ramene facilement Phvpo- 


thèse précédente à celle où, des trois quantités 





Es M;, 


la première toute seule s’évanouit. On peut done assurer que, dans 
cette même hypothèse, le nombre des racines réelles est uniquement 


+ 


déterminé par les signes des trois fonctions 


I, 1, —K,, 


252 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


Corollare 1. — En résumant tout ce qui a été dit ci-dessus, on arrive 
aux conclusions suivantes : | 
Lorsqu'une équation du deuxième ou du troisième degré a toutes 
ses racines Inégales entre elles, le nombre des racines réelles se trouve 
déterminé, st l'équation est du deuxième degré, par les signes des 
deux fonctions 
1, —K,;, 


et, si l'équation est du troisième degré, par les signes des trois fonctions 


Lorsqu'une équation du quatrième ou du cinquième degré a toutes 
ses racines inégales entre elles, le nombre des racines réelles de cette 
même équation est déterminé par les fonctions données ci-dessus (pro- 
blème I, corollaire F), pourvu toutefois qu'aucune de ces fonctions 
ne S'ÉVANOUISSC; mails Si quelques-unes d’entre elles se réduisent à 
zéro, alors les fonctions, dont les signes déterminent le nombre des 


racines réelles, sont, pour l'équation générale du quatrième degré, 


1, —K,, 


et, pour l'équation générale du cinquième degré, 


1, 1, —K.. 


On doit seulement excepter, relativement à l'équation générale du 
cinquième degré, le cas où la quantité c,c°K,— L;M, étant nulle on 
aurait de plus 


GRO, Ni 0, K,M; > 0, K;L;,N;— M?—o, 
auquel cas les cinq racines seraient toutes réelles. 
Corollaire 11. — On peut facilement comparer, jusqu'au quatrième 
degré, les résultats que nous venons d'obtenir avec les conditions à 


l’aide desquelles on fixe ordinairement le nombre des racines réelles : 


ct, d'abord, il suit de la théorie précédente que, dans les équations du 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 253 


deuxième et du troisième degré, le nombre de ces racines est toujours 
déterminé par le signe du dernier terme de l'équation aux carrés des 
différences, ce que l’on savait déjà. 

Je passe à l'équation du quatrième degré. La méthode par laquelle 
on détermine ordinairement le nombre de ses racines réelles se réduit 
à ce qui suit. On commence par examiner si le dernier terme de l’équa- 
tion aux carrés des différences est positif où négatif. Lorsqu'il est 
négatif, on en conclut que la proposée à deux racines imaginaires. 
Lorsqu'il est positif, toutes les racines sont à la fois réelles ou Imagi- 


naires; elles sont réelles si l’on à en même temps 
Cie O, Ca— 3 C2 < O 


elles sont imaginaires si l’une ou l’autre des deux conditions précé- 
dentes vient à manquer. 
On peut arriver aux mêmes conclusions par la considération des 


quatre fonctions trouvées ci-dessus, savoir 


loc Glass Li h:: 


et, d'abord, si K, est négatif, le produit de ces quatre fonctions étant 
aussi négatif, les fonctions négatives seront en nombre impair. D’ail- 
leurs, le nombre de ces dernières ne pouvant surpasser le nombre de 
celles qui seront positives, on aura nécessairement, dans Phypothèse 
dontil s’agit, une fonction négative, trois positives, et, par suite, deux 
racines réelles. Ce résultat subsiste dans Le cas même où quelques-unes 


des fonctions données s’évanouissent: car les deux fonctions 


l; — K,, 


qui déterminent alors le nombre des racines réelles, étant toutes deux 
positives, indiquent deux racines de cette espèce dans l'équation pro- 
posée. 

Supposons maintenant K, positif. Les quatre fonctions données 
seront positives si les quantités c,, L, sont toutes deux négatives; et, 
dans ce cas, la proposée aura ses quatre racines réelles. Mais si l’une 


234 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 


des quantités e,, L, est positive ou si ces quantités le sont toutes deux 
en même temps, le nombre des fonctions positives sera égal à celui des 
négatives; et, par suite, l'équation donnée n’aura pas de racines réelles. 
Il en serait encore de même si quelques-unes des fonctions que l’on 
considère venaient à s'évanouir; car il faudrait alors, pour fixer le 


nombre des racines réelles, avoir recours aux deux fonctions 
NS © 


4 


qui, pour une valeur positive de K,, sont évidemment de signes con- 
traires. Les conditions nécessaires, mais suffisantes, pour que les 


racines soient toutes réelles sont donc les trois suivantes 
LL, à Pie 0, Le 0 


I nous reste à faire voir qu'elles sont équivalentes à celles que four- 


nissent les méthodes connues, savoir 
K,=> 0, PE à 1 ©: 


On peut aisément démontrer cette asscrtion ainsi qu'il suit. 


[l'est d'abord facile de prouver que, si l'on à en méme temps 
K, > où ce 0, | PE € 7 
on aura aussi 
Cy— ci <o; 
et, en effet, la condition K, > o entraine la suivante 
(+) > (4e —Bcc+ ci), 
qu'on peut aussi mettre sous la forme 


q I 9 
Pret ce Le 
1 


Cela posé, si c, est négatif ou si c, étant positif reste inférieur à c?, 
C3 — 30; sera évidemment négatif. Mais si e, est positif et supérieur à c’, 


alors, les deux quantités c,—c, et L, étant positives, on aura 


2 4 2 4 
Ci—Ci—-L,>ci— ci. 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, ETC. 255 
Or on a déjà trouvé 
C++) > (c—ci— LL}. 
1 


On aura donc par suite 


l 
(+) > (ci— ct}. 
1 


Si l'on multiplie les deux membres de cette dernière inégalité par 


ou bien encore à 
Ca(cs— 305) <o; 
et comme, par hypothèse, c, est positif, il faudra nécessairement que 
C; — 3c, soit négatif; ainsi, dans tous les cas possibles, les trois 
conditions 
K, 0, Ce 0 L,<o 


entrainent la suivante 
Con cr ER (OX 


Réciproquement, si l'on a en même temps 
L'or à C0, C3— 30? < 0, 
on devra aussi avoir nécessairement 
L 6! 


et, en effet, les deux quantités ce, et c, — 3c* étant négatives par hvpo- 
thèse, si c, est positif la valeur de L, donnée par l’équation 


L,= 4cici+c:(c;s—3ci) 


sera évidemment négative. De plus, K, ne pouvant être positif à moins 


256 MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION 
que lon n'ait 
Ci+C>0, CH > (ci ci — Lo": 
si l’on suppose c, négatif on aura 
a(e+a)>(t+ch> (ici Li}. 


Mais, c, étant négatif, on a aussi 


; : I : 
ei (ct+ os) < (ch — ci. 
1 


On aura donc, par suite, 


(ci —ci} > (ci— ci —L,). 


Pour satisfaire à cette dernière inégalité on est obligé de supposer que 


\ 


. 
Ci —C; el L, 


+ 


sont de même signe; d'ailleurs c; — ci, étant le produit des deux 


facteurs 

Cara c: Cho Ce 
dont le premier est positif et le second négatif, a nécessairement une 
valeur négative. Il en sera donc de même de L,. On ne pourra donc 
avoir en même {temps 


sans avoir aussi 
0 


ce qui achève de prouver l'identité des conditions que fournissent, 
relativement à l'équation générale du quatrième degré, les méthodes 
connues et celle que nous avons précédemment exposée. 

Quant à l'équation générale du cinquième degré, les conditions que 
nous avons trouvées pour déterminer le nombre de ses racines réelles, 
lorsque ces racines sont inégales, se réduisent à ce qui suit : 

Les cinq racines seront réelles si les quatre quantités 


ne Co — L,;, Ke Ci ét K;— L;M; 


DU NOMBRE DES RACINES RÉELLES, EC 251 
sont toutes positives ou si, la derniére de ces quantités étant nulle, on a 


Cho; N = 0, KM — oo, K,;L;:N, — M°=—o. 


Dans toute autre hypothèse, la proposée aura une seule racine réclle 
ou bien elle en aura trois, suivant que la condition K, > 0 sera ou ne 
sera pas satisfaite. Les conditions qu'on vient d'énoncer peuvent rem- 
placer celles que fournit l'équation aux carrés des différences et leur 
sont nécessairement équivalentes; mais il serait peut-être difficile de 


les en déduire directement. 


OEuUPreS ACC ESA. HA 





SUR 


LES RACINES IMAGINAIRES DES ÉQUATIONS. 


Journal de l’École Polytechuique, XV Cahier, Tome XE, p. {113 1820. 


Qu'il soit toujours possible de décomposer un polynome en facteurs 
réels du premier et du deuxième degré ou, en d’autres termes, que 
toute équation dont le premier membre est une fonction rationnelle et 
entière de Ha variable æ puisse toujours être véritiée par des valeurs 
réelles où imaginaires de cette variable : c'est une proposition que lon 
a déjà prouvée de plusieurs manières. MM. Lagrange, Laplace et Gauss 
ont employé diverses méthodes pour Pétablir et j'en ai moi-même donné 
une démonstration fondée sur des considérations analogues à celles 
dont M, Gauss à fait usage. Mais, dans chacune des méthodes que je 
viens de citer, on fait une attention spéciale au degré de l'équation 
donnée, et quelquefois même on remonte de cette dernière à d’autres 
équations d’un degré supérieur. Ces considérations paraissent étran- 
seres à la question et M. Legendre est parvenu à s’en passer (Théorie 
des nombres, 1° Partie, S XIV) en faisant usage du développement en 
série. Je suis arrivé, en suivant la même idée, à une démonstration 
qui semble aussi directe et aussi simple qu'on puisse le désirer. Je 
vais, ici, exposer en peu de mots. 

Soit /(æ) un polynome quelconque en æ. Si l’on y substitue pour æ 


une valeur imaginaire &# +64 1, on aura 


(1) Fa u + TE ) — 1e 0 vu . 


, 


UR LES RACINES IMAGINAIRES. DES ÉQUATIONS. 2 


©Oc 
© 


S 
Pet Q étant deux fonctions réelles de & ete. De plus, si lon fait 
(2) POV RPC En) 
R sera ce qu'on appelle le module de l'expression imaginaire 
Po ee 
et sa valeur sera donnée par l'équation 
(3) R°= P?+ Q:. 


Cela posé, le théorème à démontrer c'est que l'on pourra toujours 


satisfaire par des valeurs réelles de « et de 6 aux deux équations 
rs à 0. 
ou, C6 qui revient au même, à équation unique 
À ram 9 D 


I importe donc de savoir quelles sont les diverses valeurs que peut 
recevoir la fonction R et comment cette fonction varie avee & ete. On 
y parviendra comme il suit. 

Supposons que les quantités & ete obtiennent à la fois les accroisse- 
ments 2 et #, et soient AP, AQ, AR les accroissements correspondants 


de P, Q, R: Les équations (3) et (1) deviendront respectivement 
(4) (R+AR}=(P+ AP} +(Q +AQ), 


“PrApe (OO ÉAO) = lue Vo Li Re AU 1) 


PTS 

Qt 

LA 
à 


— ne u+vÿ—1) +R +4 VE Ca ut a) Ô 
l RS 


fs [as +. désignant de nouvelles fonctions. Pour déduire de l'équa- 
tion (5) les valeurs de P + AP et de Q + AQ, il suffit de ramener le 
second membre à la forme p + qg V — 1. C’est ce que l’on fera en substi- 


tuant à f(u + 6-1) sa valeur R(cosT + — rsinT) et posant, en 


260 SUR LES RACINES IMAGINAIRES DES ÉQUATIONS. 


outre, 
RU os rh. 


DORE) ho ent, 


Après les réductions effectuées, équation (5) deviendra 


| P+AP+(Q+AQ)ÿ—: 
D R cosT + Ro cos(T, + 0) + R,p? cos(T;-+ 29) +... 
l +[RsinT + Rpsin(T, + 6) + Rep'sin(T, +249) +...]V—:1, 


et l'on en conclura 


{ P+AP =kRcosT+kRipcos(f,+9)+R:iptos(f; +20) +..., 


mir —— Her re 
FQ+AQ=RsinT + R,osin(T, +9) + Rip?sin(T: +29) +...; 
LR ARE PRoos lee Ne cost dE 6 "cos Cl 249} 1 
(09 | ur 
| + {[RsinT + Riosin(T, +0) + Ro?sin(T, +29) +...f. 


Supposons maintenant que, pour certaines valeurs attribuées aux va- 


rlables & ete, l'équation 
0 


ne soit pas satisfaite. Si, dans cette hypothèse, R, n'est pas nul, le 
second membre de l'équation (8), ordonné suivant les puissances 


ascendantes de 5, deviendra 
R?+ 2RR;p cos(T,—T+ 8) +... 


et, par suite, la quantité 
(R+AR)}R: 


ou l'accroissement de R? ordonné suivant les puissances ascendantes 


de g, aura pour premier terme 
2RR,0 cos(T,—T+ 6). 


Si, dans la même hvpothèse, R, était nul sans que R, le füt, l'accrois- 
ù ! ] ) ’ 


SUR LES RACINES IMAGINAIRES DES ÉQUATIONS. 261 
sement de R? aurait pour premier terme 
2RR,0? cos(T,— T + 28), 
etc., etc. Enfin ce premier terme deviendrait 
2RR,p"cos(T,--T+ 720) 


si, pour les valeurs données de u et #, toutes les quantités R,, R,, 
s'évanouissaient jusqu'à R,_, inclusivement. D'ailleurs, si l'on attribue 
à 2 des valeurs positives très petites et à 0 des valeurs quelconques, ou, 
ce qui revient au même, si l'on attribue aux quantités 2 et Ædes valeurs 


numériques très petites, l'accroissement de R?, savoir 
(Ro A) pe 


sera de même signe que son premier terme représenté généralement 
par le produit 


AA) 


(9) 2RR,p" cos(T,—T+ 208); 


et comme on peut disposer de la valeur arbitraire de 0 de manière à 
rendre cos(T, —T+ 20), c’est-à-dire le dernier facteur du produit (9) 
et, par suite, le produit [ui-même, où positif où négatif, il en résulte 
que, dans le cas où des valeurs particulières attribuées aux variables & 
ete ne vérifient pas l'équation R — o, la valeur correspondante de R? 
ne peut être ni un maximum ni un minimum. Donc, si lon peut 
s'assurer, @ priort, que R? admet une valeur minimum, on devra en 
conclure que cette valeur est nulle et qu'il est possible de satisfaire à 
l'équation R — 0. 

Or, R? admettra évidemment un minimum correspondant à des 
valeurs finies de « et de 6 si, pour de très grandes valeurs numériques 
de ces mêmes variables, R? finit par devenir supéricur à toute quantité 
donnée. D'ailleurs, si l'on fait 


à de très grandes valeurs numériques de & ete correspondront de très 


262 SUR LES RACINES IMAGINAIRES DES ÉQUATIONS. 


grandes valeurs de 7 et réciproquement, Done, pour que l'on puisse 
satisfaire à l'équation R— 0 par des valeurs réelles et finies des va- 
riables u ete, 1lest nécessaire et il suffit que la quantité R? déterminée 
par les équations 

R'=— P?+ Q?, 

(10) us | Rue , 
| RON Er eo | 

finisse par devenir constamment, pour de très grandes valeurs de 7, 
supérieure à tout nombre donné. 

La conclusion précédente subsiste également, que la fonction f(x) 
soit entière où non. Elle exige seulement que P et Q soient des fonc- 
tions continues des varlables & ete et que les quantités R,,R,, ...ne 
deviennent jamais infinies pour des valeurs finies de ces mêmes va- 
riables. 

Supposons, en particulier, que la fonction /(æ) soit entière et fai- 


SONns CN CONSCŒUCRCE 


FÉThE D EU ER Eee Etui, 


Les équations (10) donneront 


P+QV--1= /f(rcoss +rsinsy--1) 
= ar" COSnz + Air" COS(n —1)3+...+ an, COST +a, 
- [ar"sinnas +<ajrtlsin(n —1):+...+ a, ir sins]" —1, 


*0S 1) 0S = : 
Pi Peu net su CT Eu À de se SE at are + no 
o r' RE ES 


: & Sin(n —1)z Le aide 
Oo GRR Et re | 
; &o 7 ARE PÈRE 


E PH COST de 
DT + +) 
da À DIS ER 


Or, il est clair que, pour de très grandes valeurs de r, la valeur précé- 





dente de R? finira par surpasser toute quantité donnée. Donc, en vertu 
de ce qui a été dit plus haut, on pourra satisfaire par des valeurs réelles 


de u et de v à l'équation 
Re 


SUR LES RACINES IMAGINAIRES DES ÉQUATIONS. 263 
ou, ce qui revient au même, aux deux suivantes 


F0, 0-0. 


Au reste, la méthode ci-dessus exposée n’est pas uniquement appli- 
cable au cas où la fonction /(æ) est entière: et, lors même que cette 
fonction cesse de l'être, les raisonnements dont nous avons fait usage 
peuvent servir à décider S'ilest possible de satisfaire à l'équation 


FA T ja Oo 


par des valeurs réelles où imaginaires de Ja variable +. 





MÉMOIRE 


SR UNE PSPEÈCE. PARETOULIURE 


DE MOUVEMENT DES FLUIDES. 


Journal de L'École Polytechnique, NIX° Cahier, t. XIF, p. 204; 1823. 


Lorsqu'un fluide se meut dans un vase de figure quelconque, la 
vitesse et la pression en chaque point varient d'un instant à l'autre. 
et, par conséquent, elles dépendent, en général, de quatre variables, 
savoir, le temps et les coordonnées du point que Pon considère. Ces 
quatre variables se réduiront à deux si le mouvement a lieu de telle 
manière que deux molécules ne puissent occuper successivement la 
méme place sans décrire la même courbe. Nous allons nous occuper, 
en particulier, de cette espèce de mouvement d'une masse fluide qu'on 
peut appeler mouvement par filets. Pour le déterminer plus facilement, 
nous commencerons par établir un théorème qui se rapporte aux 


fluides en équilibre et dont voici l'énoncé : 


TuéorÈme. — Concevons que, dans un fluide en équilibre, on trace une 
courbe à volonté. Nommons s l'arc de cette courbe compté à partir d'un 
pount fixe et soient. à l'extrémuté de cet arc, p la pression, o la densité, 
P la force accélératrice. Enfin, désignons par à l'angle compris entre la 
direction de la force P et celle de la courbe à l’extremité de l'arc s. On 


aura, en supposant toutes les variables exprimées en fonction de s, 


dp 
LE — 0 P cos æ. 


(1) — 
\ ds L 


MÉMOIRE SUR UNE ESPÈCE PARTICULIÈRE, ETC. 9263 


Démonstration. — En effet, si l’on rapporte tous les points de l’espace 
à trois axes rectangulaires ct que l’on désigne par X, Y, Z les compo- 
santes algébriques de la force P parallèlement à ces mêmes axes, on 
aura, en supposant d'abord toutes les variables exprimées en fonction 


dé,» 


Op . 
dœ —PX; 
0Pp _ 

(2) dy Fu pY, 
0p p1. 


D'ailleurs, pour la courbe que l’on considère, æ, y, 3 deviennent fonc- 
tions de s et si l’on substitue leurs valeurs en s dans la valeur générale 
de p, il en résultera une nouvelle fonction de s qui vériliera la formule 


Re =p(x eo Die) 


(3) SE D A FE ne ] - = 
ds du ts dry ds - 0: ds 0 ds ds 


D'autre part, les cosinus des angles que forment avec les axes la direc- 
tion de la force P et celle de la courbe proposée à l'extrémité de l'arc s 


étant respectivement 


*. Ÿ V} 

DD 5. 
dæ, dy, de 
0 À 


on en conclura, pour l'expression du cosinus de l'angle compris entre 
les deux directions, 


Xdx Ydy Zdz 


/ | RE ee 
(4) | A nn ds TP & 


# 


En vertu de cette dernière formule, l’équation (3) se trouvera réduite à 
(1) —- = pP cosa, 


ce qu'il fallait démontrer. 
On peut remarquer en passant que la pression sera constante dans 


OEuvres de C. — S. II, t. I. 34 


266 MÉMOIRE SUR UNE ESPÈCE PARTICULIÈRE 


toute l'étendue de la courbe donnée si l’on a cosx -= 0, c’est-à-dire si 
cette courbe est perpendiculaire en tous ses points à la direction de la 
force accélératrice, ce qui s'accorde avec la propriété bien connue des 
surfaces de niveau. ; 
On peut encore remarquer que P cosx représente, au signe près, la 
projection de la force P sur la tangente à la courbe que l’on considère. 
Concevons à présent que le fluide se meuve et se partage en un 
nombre infini de filets, de telle sorte que la courbe décrite par 
une molécule, à partir d’un point donné, soit constamment suivie par 
celles qui fut succèdent au même point. Nommons s l’are d’une sem- 
blable courbe, compté à partir d'une origine fixe dans le sens du mou- 
vement, et £ le temps mesuré à partir d’une époque fixe. Soient de 
plus, au bout du temps £ et à l'extrémité de l'arc s, 
2 la densité, 
p la pression, 
e Ja vitesse, 
P la force accélératrice appliquée au fluide, 
a l'angle compris entre la direction de cette force accélératrice et la 
direction de la vitesse, 
Q la force accélératrice qui serait capable de produire le mouvement 
observé, . 
5 l'angle compris entre la direction de cette force et celle de la vitesse. 
Enfin, imaginons que, la force P étant décomposée en deux autres, 
dont l'une soit la force Q elle-même, la direction de la seconde compo- 
sante représentée par R fasse, avec la direction de la vitesse e, l’angle +. 
Les quantités p, p, », P, Q, R, «, 6, y seront autant de fonctions des 
deux variables indépendantes s, # et, en vertu du principe général de 
Dynamique, la pression p sera précisément celle qui aurait lieu dans 
Pétat d'équilibre du fluide uniquement soumis à la force accéléra- 
trice R. Par conséquent, le théorème ci-dessus démontré fournira 
l'équation 


: Ce | 
(5) , 9; —PRcCosy. 


DE MOUVEMENT DES FLUIDES. 267 


D'ailleurs, Q et R étant les composantes de la force P, si l’on projette 
ces trois forces sur la direction de la vitesse, on trouvera 


(6) P cosa — Q cos$ +R cosy. 


Donc, par suite, 


(7) | P = L(P cosa — Q cosB). 


Observons maintenant que, si l’on appelle +, y, z les coordonnées rec- 
tangulaires de la molécule située à l’extrémité de l'arc s et X, Y,Z les 
projections algébriques sur les axes de la force accélératrice P, la 
valeur de cosx vérificra l’équation (4), et qu’on aura, en consé- 
quence, 


. ya 7 


5) = ÉRRERE 
(8) ro D 


De plus, la courbe que suit cette molécule pouvant être censée décrite 
en vertu de la seule force accélératrice Q, la variation de la vitesse », 
pendant un instant très court A’ compté à partir de la fin du temps £, 
pourra être considérée, sans erreur sensible, comme uniquement due 
à la force Q décomposée suivant la courbe dont il s’agit, c’est-à-dire 
à la force accélératrice représentée par la valeur numérique du pro- 
duit Qcos£. Il est aisé d’en conclure que ce produit sera équivalent, à 
très peu près, à la variation de la vitesse divisée par A. Or, l’espace 
parcouru pendant l'instant At étant sensiblement égal à #At et la 
vitesse étant fonction des deux variables s et#, si, pour fixer les idées, 
on suppose 


pe f(s, t), 


en désignant par e un nombre très petit, on trouvera, pour la variation 
de la vitesse pendant l'instant 4, une expression de la forme 


ARR UE TC: 


En divisant cette variation par At, puis faisant converger At vers la 


268 MÉMOIRE SUR UNE ESPÈCE PARTICULIÈRE 


limite zéro, on obtiendra la valeur suivante de Q cos8 : 


DIS) 7 CHIC) 





Q cos5 =? 
* L ds ot 
ou, ce qui revient au méme, 

dv 
(9) Qcoss—eŸ + À. 


Si dans l’équation (7) on remet, pour P cosx et Q cosB, leurs valeurs 
tirées des équations (8) et (9), on trouvera définitivement 





(10). 


os . 


0p _ [Xdrxr+Ydy+Zds os we) 
Los ds Os ot 


Telle est la formule différentielle qui exprime la relation existant entre 
la pression et la vitesse dans le mouvement par filets d’une masse fluide. 
Ajoutons que, dans ce même mouvement, la vitesse » peut être décom- 
posée en deux facteurs dont Fun dépende uniquement de la variable s 
et l'autre de la variable £. Pour le démontrer, imaginons la masse fluide 
divisée en filets dont les sections transversales soient très petites et 
varient d'un bout à Pautre d’un filet donné, de manière que les mêmes 
molécules passent successivement par chacune d'elles. La quantité de 
fluide qui passera, pendant un instant très court, par une section plane 
faite dans ce filet perpendiculairement à sa longueur, sera proportion- 
nelle, d’une part, à l'aire de la section, de l’autre, à la vitesse des 
molécules qu'elle renferme à l'instant dont il s’agit; et, comme cette 
quantité de fluide devra rester la même pour toutes les positions pos- 
sibles du plan coupant, il est clair que, à chaque instant, les vitesses 
de deux molécules comprises dans deux sections différentes seront en 
raison inverse des aires de ces sections. Par suite, si v désigne toujours 
la vitesse, au bout du temps 4, de la molécule fluide située dans un 
certain filet à l'extrémité de l'arc s et si, de plus, on représente par », 
la vitesse à la même époque d’une autre molécule située dans le même 
filetà l'extrémité de l'arc s,, s, étant une valeur particulière et constante 


p : « ° 
de la variable s, le rapport dépendra uniquement de cette variable. 
0 


DE MOUVEMENT DES FLUIDES. 269 : 


On pourra donc supposer 


ou 
(44) PP, 


u étant une fonction de la seule variable s et v, une fonction de la seule 
variable #, ce qu'il fallait démontrer. Il nous reste à faire quelques 
applications des formules (10) et (11). 

Supposons d’abord que le mouvement du fluide soit ce qu'on appelle 
un mouvement permanent, c'est-à-dire que la vitesse de chaque molécule 
et la direction de cette vitesse dépendent uniquement de la position 
absolue de la molécule que l’on considère. Alors, la valeur de v ne 


variant plus avec le temps, on aura 
(12) — = O0; 


ce qui réduira la formule (10) à 





. dp __ [Xdz+Ydy+Zdz  vdv 
(3) RE =e( ds = 


Concevons que, dans cette hypothèse, la densité p ait une valeur cons- 


tante et que l'expression 
X dx +-Ydy + Zd: 


\ 


puisse être ramenée, comme il arrive dans beaucoup de cas, à la 
forme dX, À représentant une certaine fonction des coordonnées x, 
y, z. Il deviendra facile d'intégrer lPéquation (13) ou, en d’autres 


termes, la suivante 
F1 EE À e dv 
ui re (TS -) 


En effectuant les intégrations par rapport à la variable indépendante s 


à partir de la valeur particulière s = $, et désignant par ps, Av, 1e 


270 MÉMOIRE SUR UNE ESPÈCE PARTICULIÈRE 


valeurs particulières correspondantes des variables p, À, +, on trouvera 


(1) P — Po = P à do (7 — v3) | 


Par suite, si la pression à l'extrémité de l'arc s est la même qu’à l’extré- 


mité de l'arc s,, on aura simplement 


« 10 
À — ho — tdi CPE 
et l’on en conclura 


(16) 2 (Os run 2(À — ho) — 2 [ (X dx +Ydy He Z dz). 


Il résulte de cette dernière formule que, dans le mouvement permanent, 
une molecule fluide, en parcourant une courbe aux extrémités de laquelle 
les pressions sont égales, gagne ou perd la même quantité de force vive 
que gagnera où que perdrait dans le vide une molecule solide douée 
de la même masse et de la méme vitesse initiale, assujettie à décrire la 
méme courbe et sournuse aux mêmes forces acceleratrices. 

Le principe qu'on vient dénoncer suffit quelquefois pour faire dé- 
couvrir parmi les circonstances du mouvement celles qu'il importe Île 
plus de connaitre. Admettons, par exemple, qu'un fluide pesant et 
homogène s'écoule d'un vase entretenu constamment pleim par un ori- 
lice très petit. Alors, au bout d’un temps plus ou moins considérable, 
le mouvement devient sensiblement permanent et, par conséquent, la 
vitesse du fluide à la sortie du vase devient à très peu près constante. 
Or il sera facile, à l’aide du principe établi, de calculer cette vitesse. 
En effet, la pression atmosphérique étant, à très peu près, la même sur 
la surface supérieure de la masse fluide contenue dans le vase et sur 
la surface latérale de la veine qui s’en échappe, la force vive acquise 
par une molécule, dans le passage de la première surface à la seconde, 
devra être, en vertu de ce principe, le produit de la masse de la molécule 
par le carré de la vitesse qu'acquerrait dans le vide un corps pesant 
descendant de la même hauteur. Done, si l’on nomme z cette hauteur ; 
e, la vitesse de la molécule à son entrée dans le vase et » sa vitesse au 
moment de la sortie, on trouvera, en divisant la variation de la force 


DE MOUVEMENT DES FLUIDES. 271 


vive par la masse, 

(19) st 0h, 

On aura d’ailleurs, en vertu de la formule (11), 
P— 65h, 


p. désignant le rapport des sections faites, dans un filet fluide qui ren- 
ferme la molécule et aux extrémités de ce même filet, par des plans 


perpendiculaires à sa longueur. Cela posé, on tirera de l'équation (15) 








(18) Han EPA, 


La valeur de 4 devant être très considérable lorsque l'orifice est très 


. x . . , . f 
petit, on peut, dans une première approximation, négliger le terme ui? 


€ 
(a 
ce qui réduit la formule (18) à 


(19) e=V(2gh). 
Les équations (18) et (19) sont celles que l’on déduit ordinairement 
des calculs fondés sur l'hypothèse du parallélisme des tranches. Lors- 
qu'on veut faire usage de l'équation (18), on prend pour valeur de u le 
rapport entre la surface supérieure du fluide qui, en général, est sensi- 
blement plane et la section minimum de la veine qui sort par l’orifice, 
ce qui serait exact si toutes les molécules fluides, même celles qui 
décrivent des courbes différentes, arrivaient dans le vase et dans la 
section minimum de la veine avec des vitesses communes. 
Supposons maintenant que le mouvement du fluide cesse d’être per- 
manent. Alors, en substituant dans l'équation (10) la valeur de v tirée 
de la formule (11), on trouvera 











b du SAS 


me 0p Xdx+Ydy+7dz 
ds À ds DAS Le dt 


/ 


Si l’on admet toujours que la densité p soit constante et que l’expres- 


272 MÉMOIRE SUR UNE ESPÈCE PARTICULIÈRE 
sion X dx + Y dy + Z dz se réduise à dX, X étant une fonction des coor- 
données æ, y, 7, on pourra intégrer, par rapport à s, l'équation (20) 


ou, ce qui revient au même, la suivante 





dp __ fdx oo dB déc), 
Ci dd. 1e 0 ds de 


et, en désignant par 55, Pos À, des valeurs particulières correspon- 
dantes des variables s, p, À, 6, on obtiendra la formule 


ne 
(22) p—p=pfi-n-: — PÊ(U? — 1) — _ fu as| 


dans laquelle l'intégrale relative à s est prise à partir de l'origine s4. 
Enfin, si l’on suppose que la pression soit la même aux extrémités des 


arcs s, et s, on aura simplement 


À — do— —Pi(u?—1 fra 
et, par suite, 
, & 
(23) PEU? — 3) + 7 fed=2Q 2 ). 
Le coefficient différentiel %° ; étant toujours positif quand la vitesse », 


croit avec le temps et le a À — À, représentant une quantité finie 
indépendante de la variable 4, il résulte évidemment de l’équation (23) 
que, dans le cas où les différences p?— 1, s — s, sont de même signe, 
c'est-à-dire lorsque les filets vont en se rétrécissant dans le sens du 
mouvement, la vitesse v, ne saurait recevoir un accroissement indéfini. 
Donc alors, si cette vitesse a commencé par croître, elle ne s’élèvera 
pas au delà d’un certain maximum ou, du moins, ne dépassera pas une 
certaine limite. Lorsqu'elle aura sensiblement atteint ce maximum ou 


cette limite, on aura, à très peu près, 


de 
/ 0 
(24) dt : 


et, par suite, 
(ut 1)—2(À — À) 


DE MOUVEMENT DES FLUIDES. 273 


ou, en d’autres termes, 
(49) P2— pi —2(À — À), 


comme dans le cas du mouvement permanent. 

Si l’on veut appliquer les formules précédentes à un fluide pesant, 
alors, en supposant que lon prenne pour axe des æ une droite verticale 
et que lon compte les æ positives dans le sens de Ta pesanteur, on 
{rouvere 

A £9 — (0 as oO, 
d\=X dx +Ydy+1dz— 3 dx; 


on en conclura 


De 6 ee CO 


Cela posé, les équations (22), (23) et (25) deviendront respective- 
ment 





+ ES ee : 
(26) P — Po= P CAS — To) — = Potb — 1) — F be. ; 
des [ 
(27) pi (u- hacer Hesse, 
GES 
(28) LP — pi — IST — Lo). 


La dernière de celles-ci s'accorde avee l'équation (19), puisque x — x, 
représente précisément la hauteur verticale de laquelle descend une 
molécule fluide, en passant du point dont labscisse est æ, au point 
dont l’abscisse est x. 

En terminant ce Mémoire sur le mouvement par filets d'une masse 
fluide, nous ferons remarquer que lPespèce de mouvement désignée 
sous ce nom a nécessairement lieu lorsque la masse entière se réduit à 
un filet fluide contenu dans un tube infiniment étroit. Par conséquent, 
la formule (26) est applicable aux oscillations de Peau dans un tube 
recourbé (voir la Mécanique de M. Poisson, Liv. V). Si dans cette même 
formule on attribue successivement aux variables p, æ, u, s les deux 
systèmes de valeurs particulières qu'elles acquièrent aux deux extré- 


mités du filet fluide à la fin du temps # et que l'on désigne ces valeurs 


Co 
LU 


OBuvries de CSA; 1.1 


274 MÉMOIRE SUR UNE ESPÉCE PARTICULIÈRE, ETC. 


1" / 


particulières Din D, æ.b,5,p4æ,l,5s,0on trouver 
rise Re | ao de 
(29) P'— Po = p Ë (X'— Lo) — ” vue 1) — —+ | Le ds ; 


. on L 
(30) P°— Po p| £(2"— Lo) — 


D | — 








l'intégration relative à s devant être faite, dans la première équation, 
entre les limites s,, s’, et, dans la seconde, entre les limites s,, s”. 
En retranchant lune de l'autre les deux équations qui précèdent, on 
obtiendra la suivante 

1.2 2 / : 4 \ [ 2 12 E] de : | 

Wois) PP —pP—DbISgiT — 08 a = MAUR > == ef LL ds| , 

dans laquelle l'intégrale relative à $ est prise entre les Timites s°, 87. Si 
lon suppose d’ailleurs que la pression p ait la même valeur aux deux 
extrémités du filet fuide, la formule (35) deviendra 


ie he on 
por PR [l Fe Cie À 
| D / 
Cette dernière, dans laquelle #, désigne la vitesse au bout du temps 


en un point fini du tube, coincide avec Péquation (2) de la Wecanique 
de M. Poisson (Liv. V, $S Il). 


\ 


———— "CT Èi— 





MÉMOIRE 


L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES 


DIFFÉRENTIELLES PARTIELLLES ET À COEFFICIENTS CONSTANTS (1). 


Journal de l'École Polytechnique, XIX° Cahier, Tome NH, p. 511: 1893. 


L'objet que je me propose dans ce Mémoire est de résoudre x ques- 
{ion suivante : 

Étant donnée, entre la variable principale 2 et les variables indépen- 
dantes x, y, 3, ..., 1, une équation linéaire aux différences partielles et à 


coefficients constants avec un dernier terme fonction des rartables inde- 


pendantes, tRlégrer celte équation de manière que les quantites + 
do d°o 
CRAN RE CRU 
EP 0E ol 


se réduisent à des fonctions connues de x, y, 3, ... pour 1 — 0. 


(1) Ce Mémoire, présenté à l’Académie royale des Sciences le 16 septembre 1822, est 
le développement de celui que M. Cauchy avait donné, sous le même titre, le 8 oc- 
tobre 1821. Mais il en diffère quant à la manière d'envisager la question principale et 
renferme en outre des additions importantes. Plusieurs de ces additions étaient déjà 
indiquées par les Notes insérées, soit dans le Bulletin de la Société philomathique pour 
l’année 1821, soit dans l'Analyse des travaux de l’Académie des Sciences pendant la même 
année. D'autres, savoir celles qui font le sujet du quatrième paragraphe de la première 
Partie, ont eu pour base un théorème dont l’auteur avait signalé, il ÿ a longtemps, les 
nombreuses applications, dans une lecture faite à la même Académie, et à l'aide duquel il 
était parvenu à exprimer par des intégrales doubles les racines réelles d’une équation 
quelconque algébrique ou transcendante. 


276 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 

La solution générale de cette question peut se déduire d'une formule 
qui, employée d'abord par M. Fourier dans le Mémoire sur la chaleur, 
a été depuis appliquée à d'autres problèmes et, en particulier, par 
M. Poisson ef mot à la théorie des ondes. De plus, les résultats fournis 
par la méthode générale sont, dans beaucoup de cas, susceptibles 
d'être simplifiés à l’aide de quelques autres formules qu'il importe de 
connaitre. Nous réunirons ces diverses formules dans la première 
Parue de notre Mémoire et, dans la seconde, nous résoudrons la ques- 


{ion proposée. 
PREMIÈRE PARTIE. 


S 1. La formule de M. Fourier, étendue à un nombre » de variables 
2, y, 5,... SCrt à remplacer une fonction quelconque de ces variables 
par une intégrale multiple dans laquelle æ, y, 4, ... ne se trouvent plus 


que sous les signes sin ef cos. Elle peut s'écrire comme il suit : 


| fe, 7,3 .)= oh l | ... COSa(r — pu) cos B (y — ») cosy(z — D)... 


X fl v, ©, ...) da du dB dr dy dw..., 


les Intégrations relatives à «, 5, Y,... étant effectuées entre les limites 
—,%, + et celles qui se rapportent à &, y, &, ... entre des limites 
quelconques, pourvu que ces limites comprennent les valeurs attri- 
buces à-æ, y, ,.... Pour rendre plus faciles les applications de cette 
méme formule, il convient de la modifier un peu en substituant aux 


cosinus des exponentielles imaginaires et d'écrire simplement 


LL pe, ne PE 
2) d 4 1% ; 


| X f(H », w,...)dadp dB dy dy ds... 


Il est essentiel d'observer que les fonctions renfermées sous les 
signes 1] J ..., dans les intégrales multiples qui forment les seconds 
membres des équations (1) et (2), passent du positif au négatif par la 


seule vartation des quantités x, 5,y,... Ilen résulte que ces intégrales 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 2717 


ID 


multiples pourront devenir indéterminées mais jamais infinies. Toutes 
les fois qu’elles deviendront effectivement indéterminées, 1} suffira, 
pour faire cesser l’indétermination, de multiplier dans chacune d'elles 
la fonction sous les signes Sue par un facteur auxiliaire de la forme 


LCka, kB, k'y, ...) 


NO re) 





) 


la lettre Ÿ indiquant une fonction convenablement choisie CÉRGLE, 27, 
k", ... désignant des quantités positives infiniment petites qu'on devra 
réduire à zéro après les intégrations effectuées. En supposant, pour 
plus de commodité, 

jee ue He. DER 


on réduira le facteur auxiliaire à 


d(Kka, AG, K, ; vai) 
(08, 0,2.) 





(4) 


Par suite, on pourra, dans un gran nombre de cas, prendre pour ce 


même facteur Fune des expressions 





; I 
(5 net 
. 1+ (++ +...) 
(6) eh Var+pteyie. 

(7) eh BÈ TI.) 


Nous ajouterons que l'emploi du facteur auxiliaire suffit pour établir 


les formules (1) et (2) (*). C'est ce que nous allons prouver en nous 


(1) Est-il possible, dans tous les cas, de choisir la fonction de manière à faire cesser 
l’indétermination? Si cette question était résolue négativement, il est clair qu'on devrait 
restreindre les applications des formules (1) et (2) aux seuls cas pour lesquels la condi- 
tion qu’on vient d’énoncer serait satisfaite. Mais rien jusqu’à présent ne nous porte à croire 
que l’on se trouve jamais dans l’impossibilité de la remplir. 

(?) Lorsqu'on veut choisir le facteur de telle manière que, la formule (1) étant établie, 
on en déduise immédiatement la formule (2), on doit avoir soin de prendre pour 


dk, KG, ky,,..) 
une fonction des variables 4, 8, 4, ... qui ait la propriété, comme les expressions (5), 


(6), (7), de conserver la même valeur, tandis que toutes ces variables ou quelques-unes 
d'entre elles changent de signes. 


278 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


arrétant, pour simplifier les calculs, à la formule (1) et nous bornant 
au cas où les variables æ, y, z, ... se trouvent remplacées par la seule 


variable æ. Dans ce cas, la formule (4) se réduit à 


" 
AnX 1 U. 


(5) f(x)= — | | cosa(z —muw) f(u) da du, 


D © Un 


l'intégration relative à & étant eHectuée entre les limites — , + et 
l'intégration relative à & entre des Himites w', y” qui comprennent la 
valeur attribuée à la variable +. Pour empêcher que le second membre 
de la formule (8) ne devienne indéferminé, on devra écrire généra- 


lement 


27 Co 
 — © © TES 


| | PA Pau d ( k , ) : | 
(9) Fr — l [l nn cosa(z — pu) f{H) da de, 


k désignant une quantité positive infiniment petite et Ÿ une fonction 
convenablement choisie, reste à faire voir que la formule (9) subsiste 
toutes les fois que son second membre converge, pour des valeurs dé- 


croissantes de #, vers une Fimite fixe. Or, en effet, si Fon pose 


nT vu" \ 

| L(Aœ) 
(10) ne | + cosa(x —p) f(x) da du, 
: (PAROI) si 


(6 4 
— Qt u 


où en conclura, en remplacant dans le second membre & par ” 


par x + £u, 


ee UT A) 


(11) À = | | 2 cosau f(x + ku) da du; 
. ru (0) | 


Je 
(12) X = A f(x), 


(1) I est essentiel de se rappeler que la valeur de æ est par hypothèse supérieure à 
A du —x _. ne . 
et inféricure à u”, d'où il résulte que Ho sont deux quantités positives. Pour 
Li Ù 
bien voir dans cette hypothèse comment l'équation (12) se déduit de la formule (rt), il 
convient d'employer un artifice de calcul semblable à celui dont nous avons fait usage 


dans le Zulletin de la Société philomathique de décembre 1818 et de partager l'intégrale 





DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 279 


la valeur de À étant fournie par l'équation 
3 — Le a) cos zu da d 
(3) me) A Un Es 


La valeur précédente de A étant indépendante de /(x), il suffira pour 
l'obtenir d'attribuer à /(x) une valeur particulière. Si, pour fixer les 


idées, on SUPPpose. 
oc) ER CEE 


et, de plus, 


on firera des formules (10) et (12), comparées l'une à l'autre, 


! 7 2 «A ‘| /: n } 
a UE AC . 
| À | [ Lt + PL rCOSA (D Lhdadn : 


CA NP ALIEN 
1 .! 


—— | e # cos an cos 2.r da du. 


— m7 — 


Comme on a d’ailleurs généralement 


e 


7 © I 
(19) IE —&* cos2ba da = r°e-" 


Le] 


définie que renferme la formule (11) en trois autres intégrales. savoir : 


1 
sn VE die 
Je Jr. fCx + hu) da du, 
= | 
L 
/k (4) 
. f v ÊTES f(x + kn) da du, 
L(0o) 
D"— x 
LE kK or 
. Je (a) COS 444 {Cr + À) da du. 
oi die WG 
Dr is 
v 


Lorsque dans ces trois dernières on fait converger k vers la limite zéro, la deuxième se 
réduit au produit À f(x), la première et la troisième s'évanouissent. 
Si la valeur attribuée à x cessait d'être renfermée entre les limites u' et pu”, alors, en 


280 MÉMOIRE SUR L’'INTÉGRATION 


t, par suite, 


(16) [ 


le dernier membre de l'équation (14) se réduira simplement à 


à 
era cos ba da — (2) "2 aps 
a 


A 
T° [ e “cosazda—2Tre* 
et l'on conclura de cette équation 
(17) re ie 


On serait arrivé à la même conclusion en prenant 


a 


ou bien encore 


f(x) ENS 


Cela posé, la valeur générale de X deviendra 

(18) N A7 1) 

En substituant cette valeur de X dans l'équation (ro) et divisant les 
deux membres par 27, on retrouvera précisément l'équation (9) qu'il 
s'agissait d'établir, On parviendrait avec la même facilité à démontrer 
la formule 


At dl Æ Are Æ 
- 27) J sn 910 0,0 


+ 





(9) : 
| a ne à 
x fu, v, ©, ...) da du d$ dy dy ds..., 


dans laquelle Æ désigne une quantité infiniment petite. 


faisant À = o, on trouverait 


J x 2 
re Lasers . ! h 
À  - (a) cosau da dy. 


X= se [+ (2) cos ay da dy 


ou bien 


et par suite on aurait, dans tous les cas, 


N— 0. 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 281 
S II. Avant d'appliquer les formules précédentes, nous allons en 
faire connaître quelques autres qui conduisent à des résultats dignes 
de remarque. 
Considérons d’abord l'intégrale définie 


(20) f f(œ?) da, 
la lettre f indiquant une fonction réelle ou imaginaire. Je dis que, la 
valeur de cette intégrale étant supposée connue, on en déduira sans 


peine les valeurs des intégrales suivantes 


nan À / b? 
ar / J{a+ ba + Ta ) des 
. 1,2 D 
(22) | TELE =) da, 


dans lesquelles & et à désignent des constantes positives. Effective- 


ment, si l’on établit entre les trois variables 2, 5,y les relations 





1 / 
B= a? a + . 
2 a? 
1 
a b? 
YV—=A A — —) 
on frouvera 
(23) J ea8= à f f(aë+ bas ) de 
Fe Re = 0 40 / 
et 
= 1 re RU 
Hd ai CETTE 2) de 
æ D a” 
(24) 
ie don à 
| . + ë | f(aa— sat + 
9 Lite 


D'ailleurs, les deux intégrales que renferme le second membre de 


l'équation (24) se changeant l’une dans l’autre lorsqu'on y remplace 


1 
2 


b ; : ’ 
œ par —;— sont nécessairement égales entre elles. 
ao 





OEuvres de C.—- S. I, t. I. 36 


282 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


On aura donc encore 





\ 


| if 110 
| ee il J(aa-sattt+ 2) de. ; 


Cela posé, si dans les premiers membres des équations (23) et (25) 


è © à cel 4: x \ 
| ( Ed [ (aa 2 a? b? + 2) da 
CPR 0 = 


on substitue la lettre x aux deux lettres 8 et y, on tirera de ces 





12 
équations 
(26) f{aa+ ba + 7 NE da = Et (æ?) da, 
| 5 a da 2 
D (0 en Ce 
| O2 4 ; 1 + D J »* © | à 
(27) flat 24 b AA da = — f(2?) do. 
CAE PA Ne a? CPR TES 
Ajoutons que, les intégrales 
Hot hp ré LD du 
0 : 2 2 72 2 , 2 72 ls 
a ; ri — 24° b° + a) da, b fs(ce -- 24° b° + . PE 


étant équivalentes Fune à lautre, la formule (27) entrainera la sui- 


vante 


LT / L L b à do à © 
(28) | | {| ax? — 2 a? b? + ) _ de + { Je) da. 


Supposons maintenant 


Comme on 4 


AN » DL 
(29) l PU Le Pere A 
Fe] 


on conclura des formules (26), (27) et (28) 


2 


14e 
À + b: 
T ras 
(30) | era-ba dx — (© ere, 
a 
Le 


UV — © 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 283 
Si l’on fait a — 1 dans les équations (30) et (31), puis que lon rem- 
place dans la première D par 20 ou par 20 V--1et dans la seconde 


D. 
b par -; on trouvera 
A 
ct Hr  : moi 


F 
1230 { 1 # cos 2 ba da ee Le 
pes a 


, CE qui revient au même, 


D 
: : f [ \? < : 
a (=) | De LUC de, 
SUR 
1 
} LÉ 2 12 
c l y e 
(34) ee ( ) [ 6 COS bad, 
NV Der 
i 
\ L : b 
le}, 1 (2 ) 
ér? a - | té / da. 
T 


Ces dernières équations, dont la seconde coïncide avec équation (15), 
étaient déjà connues. Elles fournissent le moyen de sabstituer à des 
exponentiellées de la forme €’, e*° d'autres exponentielles dont les 
exposants sont proportionnels aux carrés où aux racines carrées des 
exposants des premières. 

Si l’on désigne par 2 un nombre entier quelconque et que Pon difté- 
rentie À fois de suite par rapport à b chacune des équations (30) et (31), 


on obtiendra les valeurs des intégrales 


(35) | ater1%-ba da 


— 


SI 


284 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


Ces valeurs seront données par les formules 





/ b? 
| ne . d" 4 a à AUD Nu b? 
| : CENSURE TF\ 2e 
4" er ax—-bax da (en in (Ad he ( ARE ee 
J _ ) (ei ) ob! a (ua 
| n(n—1) a n(n—1)(n —2)(n — 3) a° | 
7 À | 
: l b Lo b! : 
l 
| pe (ua+ | 11 & gn ter 2a? EE / + a* . 
tr + — ) do + / # see = 
| PE) œ?, _—_. = (ir (£ | a | Le Le e-?vab 
CEA J?n } PJ \a b à 








: n(n—1) 1 (a+ 1) n(n —1)(n— 2) I : 

PCA Pa ln == + ; a  E 
L 4Vab _. 4Vab 

Si dans la dernicre on pose 2 —1, on retrouvera la formule (32). 


Supposons encore 
(35) ire ei, 


Comme on a 


27 NE 


ce 
Q \ F É 9 : 2 Te : 
{56) cos 2°? dz 2 SN ae Le a ) 
29, = 
— x 


Cane 


, par suite, 


+ 
2 | __. NN & PRE NA : R T\ < | 
(40) | ral MU = | cos a? da E V— 1 | ina da = (! ) Ge 0, 
. 5 


La 2] — © — 1 


on conclura des formules (26) et (25) 


d 2 
2 


/ 
ve . ue IT 2, re Re 
| Je etla+ba)ÿ—1 Ju — (2) (1 = UV Der 1e 
20 


Qe : . 
| f etat +ba TT dr — (Eee av De 

b\ — : 
| fe he GT neriet V1, 

(42) . F 
se Gi +a) da (TE) (Vert 


Si l’on désigne par 2 un nombre entier et que l’on différentie » fois 
de suite par rapport à & chacune des équations (41) et (42), on obtiendra 



































DES É QUATIONS LINÉAIRES S, ETC. 285 
les valeurs des intégrales 
(43) 1 a etat +ba)) 1 4 
ol 
en aa + v—1 da 
4) no 
Ces valeurs seront données par les formules 
| rd | at etaa+b2) V1 da 
en 1 y L Fe 
T \? 1+ ÿ—1 d'e 4a 2 ee 
TRE DR Ne han —1)* 1 + . ré 
= (2) (rs 00” =) \ (= 24 
n(nr —1) «a n(n—1)(7 ee = Ju 
| RES mn 
COR 
1. ate-tat+ba)y 1 da 
ue ne y—1 Je . 
T 2 . Jeu F) D NU ET 
(D SR cs) VE 
Dr du Ve y VD 2 4 24 
| HR NE MU (Re ans 3). | 
KI Vi —— es L: 
1 b* 0 b+ 
AL Pre 
(aa art). 1 dc 
a? 
Un 1 1 n 
f 3 is n L?2a?b?/—1 mr \ 2 2 
= ES Jess nd A =() +=) ()'esivs 
24 (Es D vb" 24 / 
2(72—1 J —  (a+i)n(n—1)n—0)f 1 ; 
it. ne ) —/—1 — il 1{ = —… |, 
1 4Vab 1.2 AVab, 
(46) ; 
| : (au+) i da 
a?!t 


a 





on 1— V1 One VTT à tes RP 0 en 
=() Ce db" =() Gi DE } 


| b ne OU He = (è+i)n(n—r)(n—2) I : _ 











HT. A l’aide des principes établis dans les Jaragraphes précédents 
Ï Î 8 


286 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 
il sera facile de transformer l'intégrale multiple 


(47) | [l 1 ….f(@ ++ y +...)cosaacosbB coscy... da ds dy... 


DE DU 0 


en une intégrale double, quelquefois même en une intégrale simple. 
Pour y parvenir, j'observe d’abord que, si dans l’équation (8) on sup- 


pose æ positif, on pourra prendre pour limites de l'intégration relative 


à Le 
0, Hi: 00 
ce qui donnera 
AE D Dr _ | | | cosa(æ— pm) f(u) da dy 
AT 
I è< 2x : 
 — Î | cosa(x —u) fix) da du. 


Si maintenant on remplace x par 0? ef pe par 7°, on trouvera 


A s 2 
A B(x +) f(r?)0 dôr dr 
pa | | cosb?(x — tr?) f(r°)0 dô7 dr, 


fu 


puis, en écrivant a? + 6?+ +... au lieu de x, 


2 L PR © 


(45) (a+ G?+ Poe) 2e . | l cos 0?(ox? + B?+ y° ed d= d=. 


(49) Lure 0 0 


x cosaxcosbB coscy...f(r*) dx dB dy...0 dôr dr, 


et, par suite, elle ne sera autre chose que la partie réelle F de l'expres- 


sion imaginaire F + Gÿ— 1 déterminée par l’équation 


27 ax 


/ Due VA n 2 FE © ue 
\ F+GV— 1 — 4 [l | | Le | [ edrtar+Br+yt+..—7) 1 
: T 
hot et) SE 0 © 0 


(50) TU 


X cosaacosbB coscy... f(r*) dx dB dy...0 dr dr. 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 287 


D'ailleurs, en ayant égard à la première des formules (41), on trouve 


Î 
F2] A 2 D RANCE a? — 
/ nr D 
(51) L eVæ V1 cosa a da = | et a+aa) V1 Ja = = (2) + — € ri 


On aura de même 
+ PA En 
| BV cosbB 43 = (?) Eat en TT 


LE en T 2 I ne _r el — ET 
/ evY V1 COSCy d — 2) in en à 4,62) : 


de vie, diner oi pere lv Jeuntis de el nvlit veus + one IS eine se ed cs 


Donc, si lon désigne par n le nombre des variables «, 6, +, ..., on 


tirera de l'équation (50) 





| F+GV-: 
to | a | 1 ve (6 re ER }=i 200 _. 
== ———— € l (a?) — OU LE 
ù Li 2 CA] | S\ . 
Comme on à d'autre part 
a T = à M 
D oi 
V2 ‘4 4 
on en conclura 
Er) ie 
a 
et, par suite, 
n a+ b+ c2+, ) F— 
ne _ | 
(55) RE “ . . +0 ARE T=RRUE 


En égalant entre elles les parties réelles des deux membres de cette 
dernière équation, puis écrivant à la place de la lettre F l'intégrale 


qu’elle représente, on trouvera 


fl fia+fB+y+...)cosaacosbB coscy... da dB dy... 


& AT Ed C te. dÿ 


\ 


PR, 
Ot 
> 





288 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


I est donc démontré que l'expression (47) peut être généralement 
transformée en une intégrale double. J'ajoute qu'il est possible de la 


réduire à une intégrale simple, lorsque x» désigne un nombre impair. 


En effet, dans cette dernière hypothèse, 2 — 1 étant nécessairement un 


nombre pair, on déduira de la seconde des formules (46) la valeur de 


li ntégrale 


Ads (6: T2+ etes) VE d8 
D #02 PE 
pn—1 2 


0 
et en faisant, pour abréger, 


(90) + b+C+...—o?, 


Î 


on trouvera 


LEZ f GE Ten d£ 
 —! UTi+ — 1 
ee ag /* : 
TA 
J 
o 
€ 
I | AE Lane Len d5 
su à : Gn—1 

















j TE tre ét 
RES ) en 


2e 2 TP 4.8 rm) 
Cela posé, l'équation (52) donnera 


PE G 


ND+Â n—1 























2ERT pr 11 
RE 
D V0 
. À, Cia —3) 1 — (n+iln—1)(n—3\(n—5)/ 1 \? 
n—1 
(2) fre nr le 
P V0 
ue ne 5 Es De LE \2 
x" De 3) ar +i)(a -—1)(n —3)(n à (— Le 
| hp 1.8 7, 


. 


[rte de 





AGE) dc, 


(97 


) 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 289 


et l’on aura en conséquence, pour des valeurs impaires de », 


/ La L2 ze 
É JF 1 .. fat + B?+ y +...) cosaacosbB coscy...da dB dy... 




















eo). D [ 
P 0 4. 279 
(nr ; Re 
fe oprene 
<|e TE? Ho re ne EEE 


4 _2TP 0,12 








Si, au lieu d'introduire dans le calcul la quantité p déterminée par 


l'équation (55), on avait supposé 
(58) a+ ++... —=Ss; 


alors on aurait trouvé 





“ (pr EE) d9 ou (ose) d5 
e LÉ ee | e \ +07, D 
2 





























4 U? 
gn--1 Gu—i 
: 0 Gen 
— Re 
Vus (— 1) A ot — Es | | T° 0 2 ets? v—i 
: eu V2 T di 
(V—:) ds ? 
et, par suite, on aurait conclu de la formule (52), 
en He à rt . he — 
(ol PRG) 2 nn 
0 ds 2 
Li h = ae es 
0) P=ne 2m. Pre Ge LÉ 


0 ds É 


I suffit de développer cette dernière valeur de F, et de remplacer dans 
le développement obtenu s par 9°, pour revenir à la formule (57). 
Si dans l'équation (60) on substitue à la quantité F l’intégrale mul- 


OEuvres de C. — S.l, t.I. 37 


210 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 
tiple que cette quantité représente, et à l'expression 


11 1 


d ? costs? 


Jojo 


û ou 


l'expression équivalente 


LL 

Lo. de 1 

= = / Cos Sa f(ar) do, 
Ce À CT 





on aura définitivement, pour des valeurs impaires de z, 


— Lt —-xt — æ . 


| | | | : … f(2 ++ y +...)cosaxcosbB coscy...dad5 dy... 


à , a | 
(O1) Des 


LE 





k 
coss? à f(x?) da, 








s désignant toujours li somme @? + 0? + ce? +... A laide de la formule 


récédente, évaluation de l'intégrale multiple 
ta 


| . l fie + ++...) cosaxcosbB coscy. …. da dB dy..., 


dans le cas où les variables x, 6,+, .. sont en nombre impair, se réduit 

à la détermination d'une intégrale simple de même espèce, c'est-à-dire 

de la forme | 
[ f(a*)cosaax da. 

Si l'on fait x — 1, l'équation (61) deviendra identique. Si l’on pose 


nn +, celle donnera 


| [ Î Jé+8+ 7) 00842 00808 cosey da 45 d 





CE ER: : 
(62) a 1 ME a f(x?) da 
24 . F . 
| _ ef a f(x?) sin(a?+ b?+ c?)* x da. 


(ai + b+ cc} 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 291 


Les intégrations indiquées dans l'équation (62) devant s'effectuer entre 
les limites —, + de chaque variable, on peut, sans altérer cette 
équation, y substituer aux cosinus des exponentielles imaginaires. On 
trouvera ainsi 


| [ 1é Ê fa? + Br+ pr )etatrbf+er)VT da dB dy 


RS CR 
(63) = sf ea (a?) da 


SE Le +] 
— LL. V— f - [ ael®+ bite ji a en Fa a?) da. 


(a? + br + che 





Si maintenant on remplace les variables &, 6, y considérées comme 
représentant des coordonnées rectangulaires par trois coordonnées 


polaires p, q, r, en sorte qu’on ait 
(64) a PO0Sp, Dr sSINpeos y =rsinpsing, 


la formule (63) deviendra 


| 2 A2T 7 © A 

| 1 | | nee 1) el cos p + b sin p Cos q + € sin p sin qiry—i Sin p dp dq dr 
0 0 0 

(65) 4 





RU TI d 


2 l aura fo?) da. 


L 
(a? + br ce CE 


On en conclura, en posant b —0,c=—o, 


ae 
27 V—1 


aT æ ; Fe 
(66) 27 [l Je r? f(r?)et"cospVt sin p dp dr = — ————— [l DEL (0er do, 
AU 0 


« 


fa 


© _— x 


On aura par suite 


QT 22 1 AE 
27 1 [ LE 1? ) ei +b+e)rcospy—1sin P dp dr 
0200 


. 27 V—1 2€ 
Reda 2e 
(a+ b+ cc} "-e 


ae be ai f (a?) de; 





292 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 
d'où il résulte que léquation (67) pourra être présentée sous la 


forme 


37 
[ ani 1° 1e cos p + b sin p cosq+csinp sin qgrv=i sin p dp dq dr 


0 SAT 0) 


AT 2 © : 
— 97 | / ERA Ch LS ei gui 1e 4 v—1 sin p dp dr. 


02210 
Cette dernière équation se simplifie, lorsqu'on fait, pour abréger, 


227 


(68) rt f(r2)eer Vi dr = F(a), 


“ 


et se réduit à 


| | “ F(acosp + bsinp cosg + csinp sing) sinp dp dq 
RSSAUES ET) 


1 
F [Ca + b?+ c?)° cosp] sin p dp. 

Elle se trouve ainsi ramenée à la formule générale établie par M. Pois- 
son, à laide de considérations purement géométriques, dans un Mé- 
moire lu à Pinstitut le 19 juillet 18719. 

On pourrait encore déduire de la formule (63) plusieurs consé- 
quences dignes de remarque. Je me contenterai d'en offrir une nouvelle. 
Concevons que, dans la formule dont il s’agit, on remplace «, 8, y par 
| 1 30 + « b C ne ° 
Aa, B°6,C*y,eta, b,c par —, —; —; A, B,C désignant trois nombres 
| A? B° C@ | 
quelconques. On trouvera 


| does ET 2x A © _. 
“pos fa + + Cy}eturtiten vi da dB dy 
e ——— se em bb ce? î ere 
(70) HA 2TV—1 se A 





En opérant sur cette dernière équation comme sur [a formule (63) 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 293 


elle-même, puis ayant égard à l'équation (68), on obtiendra la 
suivante 


Pf a COSp + bSinp Cosq + csinp sing 
1 
; cn ( à 


A cos?p +- B sin°p cos? q + Csin?psin?q) 





sinp dp dq 





(71) { 2 


3 
(A cos?p + B sin?p cos?q + C sin°?p sin?q)? 


SES . 4: b? À 
= — [l F (S+5 sn. cosp | sinp dp. 
de (ABCY “o À B > | 


Si lon suppose en particulier que la fonction indiquée par la carac- 


téristique F se réduise à l'unité, on aura simplement la formule 


ee . he sin p dp dq 4T 
72 none Eux DR ne un 
A: (ACOS Rp D Sinipo0s 7 Cm 7809) (ABC) 


k& 





qu'il est facile de vérifier directement. 

Les formules (59) et (61) cessant d'être applicables, lorsqu'on prend 
pour z un nombre impair, il ne parait pas possible de réduire dans ee 
cas l'expression (47) à une intégrale simple. Mais on peut alors la 
changer par le moyen de l'équation (54) en une intégrale double qui 
renferme, à la place des quantités a, b, c, ..…, la somme de leurs carrés, 
SavOIr, 

a+ 04e... 


Quand on suppose x — 2, l'équation (54) devient 


ee B°) cosaa cos b5 da d5 


æ An 2 2 
_— “f 1 sin (ee + Ts de. 
0 0 


Si l’on fait en outre 


(73) 


294 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


on trouvera 


| | f(a-+ B?) cos ax cosbB da d3 


=. | sin( at gb) Je») du de 


Ajoutons que le second membre de l’équation (74) est la somme des 


(74) 





deux expressions 


; + b 
| sinv cos T7. & à y) du dy, 
0 / 0 


| [l COS y Sin Énrnes u fu) dp dy, 
î 


dont chacune équivaut à la suivante 


sh 
“ DONC INT 
sin CEE cos ie _. f(25) da d6. 


[en résulte que a (34) peut être présentée sous la forme 


/ LE: nr 
[l l f(a?+ 6?) cosaxcosb5 da di 
= CA 
9) ñ CU 


- b? 
2 | SIN y COS RARES be f (pv) dp dy. 
à 


S IV. L'intégrale multiple que renferme le second membre de 
l'équation (1) ($ 1) est comprise, comme cas particulier, dans une 
autre intégrale que nous allons faire connaître, et qui jouit de pro- 
priétés remarquables. Supposons que, le nombre x des variables «, b, 


. … étant toujours égal à celui des variables &, v, 5, ..., on désigne par 


NON P 


n fonctions différentes de ces dernières. Concevons en outre que, 
parmi les divers systèmes de valeurs des variables pa, v, w, ... qui se 
composent de valeurs de x renfermées entre les limites p', uw”, de 
valeurs de v renfermées entre les limites v’, v’, de valeurs de 5 ren- 


fermées entre les limites &’, 5”, etc., on recherche tous ceux qui satis- 


DES ÉQUATIONS.LINÉAIRES, ETC. 295 


font aux équations simultanées 


(76) Mo, Ne, | ere 0 


Soient respectivement 


[ H— Ho, = 0 D — Do, ; 

: (sent pis V— Vi; D — Di, » 
(Grid 

ce , , ne 0 , 

\ F- = Pom—1s Ù — V1 D — D yn—19 NE | 


les systèmes dont il s’agit, en nombre égal à rm; et construisons l’inté- 


grale multiple 


LE au" LE VE | 
G8) | | 1 | .…CosaM cosBN cosyP... f{u,v,w,.….)da du dB dy d'y ds…., 


0" u' 
en ayant soin, toutes les fois qu'elle devient indéterminée, de multi- 
plier la fonction sous les signes one .. par un facteur auxiliaire de 
la forme 


(4) d(ka, re 2, 


bo Do, 





dans lequel Ÿ désigne une nouvelle fonction convenablement choiste, 
et # une quantité positive infiniment petite. Je dis que l'intégrale (78), 


ou celle qui prendra sa place, savoir, 


/ æ D." œ y" ; ie | 
| l 0 MEL À cosaM cosBN cosyP… 
(79) Û V—œov pu —æ%vy Y(o, 0, LA") 


X fu, v, ©, ...)da du dB dy dy d&..., 





aura une valeur en termes finis qu'il sera facile de calculer. Pour le 
démontrer, supposons d’abord que la limite &” de la variable pe soit 
très peu différente de la limite uw’, que v” diffère aussi très peu de v’, 
u” de w’, etc., et que, parmi les valeurs de 1, v, &, ... renfermées 
entre ces limites respectives, les seules qui puissent à la fois satis- 


296 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 
faire aux équations (76) soient les suivantes 


(80) HoTbes dt, 6 on. 


10 © . à 
Alors, si l'on remplace &, B,Y, .…. par »» ÿ …, et si l’on fait de plus 














L 
(81) BU = bo+ Ku, V= vo + KP, D = Do + ÉWw, _. 
l'intégrale (79) prendra la forme 
| VÉEVE 
/ 22 (l Res 
d(arB, os 
1 is 1e Cum Se 
k al En (0, 0, O,-..) 
(82) 
+ de. (alu + be + c'iv +.LE e) cosy(a"u + b'e + c'e +. He"). 
X (bo + Au, + ke, © + kw, ….) da du dB dv dy dw.……, 
e,e,e", ... désignant des variables qui s’évanouissent avec la quan- 
lité #, et 


les valeurs que reçoivent les fonctions 


OM OM OM | ON ON ON JE OP 0 
dp.” d 0w RO 01 00. UN OÙ 0m 





quand on attribue les valeurs particulières 14, v,, wo, ... aux variables 


ue, v,5,.... Si l'on pose maintenant : — 0, l'intégrale (82) deviendra 





ra dm 0) LE ui je ; PU DLLD cos aa + bo + cu +.) 
LES 


| X CosB(a'u + b'o+c'w+...)cosy(a"u + b'e +c'w +...) 
| x da du dS dy dy dm... 


ot 


Toutelois 11 est essentiel d'observer que cette dernière expression. 
équivaut à l'intégrale (79), dans le cas seulement où la quantité u, 
se trouve renfermée entre les limites w’, w”, la quantité v, entre les 
limites y’, v”, la quantité &, entre les limites &w’, w’, etc. Si une seule de 


ces conditions n’était pas remplie, par exemple, si 4, était située hors 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 297 
des limites u’, w”, les deux quantités 


Ho— M. , HU 
k ne 
étant alors de même signe, se réduiraient l’une et l'autre à ++, où 
l’ane et l’autre à —æ; et par conséquent, les deux limites de & venant 
à se confondre pour des valeurs infiniment petites de #, l'intégrale (82) 
aurait une valeur nulle. 
Il reste à exprimer en termes finis la valeur.de l'intégrale 





PSS di yes 

Un. .. ve 4 Are cosa(au + bo + ci +...) 
bio 06) 

(84) . 

| A .)cosy(a"u + b'o+c'iw +...) 


X do du d5 dv dy dw.... 
Cette valeur peut être facilement calculée dans le cas particulier où 


lon suppose 


+. 14 me 4 re € . 

(A A rs (13) 7 1, C — 0, on 

(== © HE ei. , 
; PR Re x 


En effet, si dans la formule (19) on remplace la fonction f(x, - 


or 7 1tO 1 Q yaris à] | Le : 7 5 fa Ù 1Q 7€ QU: EN 
par l'unité, les variables x, 5, y, ... par 7 gp ct les variables u, 


v,o par æ + Au, y + ke, 3 + lw, ..., on tirera de cette formule 


J. . 0 _: D PE") cosau cosBvcosyw… 
(55) ..) 





Le, 0: 


x da du d5 dv yet re 


On aura, par exemple, dans le cas de r = 1, 





(86) 1 | D 
: . Y(o) ; 





dans le cas de x — 2, 


4 à Je us : Lot o\ }cosau cos f » da du d5 ds — 4°. 
. Y(o; 


Hibi, ote, 
OFuvres de C. — S. IE, t. I. ; 33 


298 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


De plus, si dans l'intégrale (84) on fait successivement 7 = 1, 


n==2,...,0n obtiendra les suivantes 





88 L ” La) Ë 
(58) JS coseauds du, 


(89) k [ [l | LA! cosa(au + bo) cosB(a'u + b'e) da du d5 dv. 


Etc., etc. 


Pour fixer la valeur de l'intégrale (88), on posera 








(44 Abe 0 à ou == Ê, 
a 
ce qui réduira cette intégrale à la forme 
PS x) 2T 
= | Cosan da di , 
ARE 210) É 


les signes supérieurs où inférieurs devant être adoptés, selon que k 
quantité « sera positive où négative. On aura par suite 


} ; ; Ad "*d(z) 27 
(90) | ee COS U AT ES; 
{ F 
D NSC EU U(O) Va? 


Va* désignant la valeur numérique de a. Pour fixer la valeur de linté- 


grale (89), on posera successivement 


0 
au + br =, ou 7 cu 
a 
puis 
Ê 1 ! 
u — be ! ay — ap 
(7 ARE MRREER EE LE IRET ou Pr A Rene A 
a : 40-00. 


et l’on reconnaitra ainsi que l’intégrale (89) est équivalente aux deux 


expressions 


AD AL 0 22 R à . » 
- | J 1 . TEE cosap cos 8 a EEE + pre) da dy dÿ dr, 





(0,0) 


1. Po 


U — «© 


1 CR dan | 
7 | J J | +———— cos ap cos By da du dB dy, 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 299 


dont la dernière se réduit à 


/ 2 


le-signe supérieur où inférieur devant être adopté, selon que la diité- 
rence ab'— ab est positive ou négative. Done, si, pour éviter le double 
signe, on substitue à la différence dont il s'agit sa valeur numérique, 


c'est-à-dire la quantité positive 


VTaë #6), 


on aura définitivement 





/ nx 2x 2x DT B) Le ; 
———— cosa(au + be) cos(a'u + b'e) dx du d3 de 
y æt” œt æœt . Y(0,0) | 
(91) « 
| “ (on): 
| ar 


On prouverait de la même manière que l'intégrale (8%) se réduit, pour 
ñ—= 3, à 


RE  — RÉ nn 2e) 
ab’ c"— ab"c'+ a! b"e — abc" + a"bc'— a" b'c)}° 








et généralement, pour une valeur quelconque de 72, à 
(92) —— 
D? 


D étant le dénominateur commun des fractions propres à représenter 
les valeurs particulières qu'on obtient pour w, 6, &, ... en résolvant 


les équations linéaires 


au +bs + cw +...—=1, 





; du bo Ecw EE, 
(93) # " " | 
| au + be + cm +... ZT, 


SU o niu be ete lente ertIcia ler eut oeleirs 61 


Il est essentiel d'observer que si lon désigne par L le dénominateur 
(=) 


300 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 
commun des fractions qui représentent les valeurs de MR TT: DT 


tirées des équations 


ll 





[  oM OM OM 
» Et 








lou +? 9 7. ue bin If 
ON ON (6 PE 
04) } u du + p "+ = a I, 
oP oP oP 
‘ou AR Tv ge ni 


et par L, ce que devient L'quand on y pose 


E— Mo, VÉNUS D — Wo, A du 


on aura Identiquement 
Dr 


ar suite, l'expression (92) deviendra 


et Fon trouvera pour la valeur en termes finis de l'expression (83) 


: (2T)" 
(99) . ee DU Vos Do; CAC De 
VL? 
Cette valeur est également celle de l'intégrale (39) dans l'hypothèse 
admise, c’est-à-dire dans le cas où, les deux limites de chacune des 
variables pe, v, &, ... étant très rapprochées l’une de l’autre, Îles 


quantités 
Ho» Vo» TD 


sont les seules valeurs de ces variables qui remplissent la double condi- 
ion de rester comprises entre les limites données, et de vérifier les 
équations (76). Dans l'hypothèse contraire, cette double condition pou- 
vant être remplie par plusieurs systèmes de valeurs des variables &, v, 


5,...3 par exemple, par tous ceux que renferme le Tableau (77), on 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 301 
divisera l'intervalle entre les deux limites de chaque variable en élé- 
ments très petits et inférieurs aux différences entre les valeurs de cette 
variable qui se trouvent dans fe Tableau; puis, on partagera l’inté- 
grale (79) en plusieurs autres de même forme, en substituant aux 
intervalles entre les limites des diverses intégrales, c’est-à-dire aux 
quantités 

nt on 
leurs éléments respectifs combinés x à » de toutes les manières pos- 
sibles. Parmi les intégrales partielles ainsi obtenues, celle qui rem- 
plira les conditions précédemment énoncées à l'égard des valeurs 


(IE M, V,u, désignées par 
Ho: Vos Do» 


sera équivalente à l'expression (95). Celle qui remplira les mêmes 
conditions à l'égard d'autres valeurs toujours comprises dans une des 
lignes horizontales du Tableau (35) sera représentée par Fune des 


expressions 


ns RÉ Vis Dis “à 








CET Dr lo On lon );s 


L,, L,, .…, L,_, désignant ce que devient la fonction L pour les valeurs 
dont il s’agit. Enfin, les autres intégrales partielles se réduisant à zéro 
en vertu d’une observation précédemment faite, nous devons conclure 
que la somme totale des intégrales partielles, où Fintégrale (59), aura 


pour valeur, dans la nouvelle hypothèse, 








(96) (2r)' Ê 


Pos Vos Dis .…) ; AUTT TROIE ….) ! Den Hi 19 Voto Omts il 
+ ne RC © : 


VE: Va | VA EE 


302 MEMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


Ainsi, l’on trouvera généralement 


» 


LA ” 
DE 7 [2 aY 


| | | 1 ...CosaM cosBN cosyP... (pu, v, w, ...) da du df dy dy du... 
| mt 1 GR v' 


| no ere. A era Lo RE) LAN PS PE PES ME = 











= — 
VLi VLi VLh- 
la fonction sous les signes / nl .. devant être, dans certains cas, mul- 
üpliée par le facteur 4, comme il a été dit plus haut. 
Si dans l'équation (97) on pose 


(98) HU Et La. VL: APR En Pense 


cette équation prendra la forme 


U." n Avr 


| | | ...C0s2M cos5N cosy PV Fu, v,«, .….) da du dB dy dy ds... 


RP CAT A PS EVE 
î 


CR RU ht RD AE 


les limites des diverses intégrations étant toujours les mêmes aussi 
bien que la fonction L. On aura en conséquence, pour # =, 
7 à" se 
(100) | | cosa MVL: F(pu) da du... an[F(u) + F(u)+..+F(us)l, 
Y —æt LU 
la valeur de L étant 
dM 

(101) L=+E ——-, 

du 


M représentant une fonction quelconque de la variable uw, et 
Fos ces m1 

désignant les diverses racines réelles de l'équation 

(102) M:=0 


comprises entre les deux limites w’, w”. On trouvera ensuite, 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 303 


pOur An 2; 


(103) | ! 


Sd © 


au" ho AY" 
| | | cosaM cosBNVL'F(p, v) da du d& dy 
U. 


L, CRT PL 
ï 


== 4° TF ( %) QL UE vi) Ho HÉTRAARE Vi )h 


M, N désignant des fonctions des variables & et v, la valeur de L étant 


déterminée par la formule 


(104) L—+ (oe RUCRRS 


et les quantités 
Ho» V5 ; Pis Ji ; DE 5 mi ls Mn | 
étant les seules valeurs de w et de y, qui, sans cesser d’être comprises 


entre les limites des intégrations relatives à ces variables, vérifient les 


deux équations simultanées 
(109) M == 0, N — 0. 


in continuant de la même manière, on déduirait successivement de 
l'équation (99) les formules particulières qui se rapportent au cas où 
RE | 

I ne sera pas inutile d'observer que les équations (99), (100), 


(103), etc. subsistent, non seulement lorsque les fonctions 
Ft) PU) Ru, 


sont réelles, mais aussi lorsque ces fonctions deviennent imaginaires. 
Concevons maintenant que, f(x) désignant une fonction réelle de 
la variable æ, les quantités M et N de la formule (103) soient des 


fonctions réelles de 4 et de v, déterminées par Péquation 
(106) Fa ( U + y qe u ) = M + NV MER 
ou, ce qui revient au même, par la suivante 


_ (107) FC —=vV—1) =M —-NV—:. 


30% MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


Comme on aura dans cette hypothèse 


oM ON: …. Le dM aN a 
ov AD TL Lo = fu + 5) = (Sn + eV) 


onen conclura 








(108) OMS ON ON __ OM 
ne PRET PONT 


[Gr GNT 


en 0M OM ON —\ {0 ON 
(109) le ( Je  — L) = = +3 du Da 


Re 


et, par suite, 


Imaginons de plus qu'à la fonction quelconque FC, v) on substitue 


; . : : F / MEME EUR . 
la fonction imaginaire F(u + v4y— 1), et désignons par 


L yn—1 — Pom RU ES ÿ—5 
les diverses racines de l'équation 
(110) 12) 0, 


dans lesquelles les parties réelles demeurent comprises entre Îles 
limites u’, 4”, et les coefficients de ÿ — r entre les limites v’, v’. La 
formule (103) donnera évidemment 


| a pe" + œ AY" 
| eo) cos a M cos N 
CD Vs — ©  y' 
(111) 


| x JC + 5) PC — 5) Fu + 5) de du 48 ds 
Arfa) + Fa) +... + F(æn ni. 


Si l'on veut que la suite 


Li, Ti; La, Door Lynn 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 305 
comprenne toutes les racines réelles où imaginaires de l'équa- 
tion (110), il suffira de supposer dans la formule (111) 


= — 00, m'= +; y'— — ©, y— + co (1). 


Alors on tirera de cette formule 


PF) Em) +. Er) 


(112) 1É 1 'É cosaM cos5 N 
\ x fu +) fu) Eu + 095) da du dB dr. 


Si, Au CoNLrdie, OÙ AIN A D, Le Ve des valeurs finies choisies 


de telle manière que, pour une seule racine 2, la partie réelle de- 


774 


meure comprise entre les limites g’, uw”, et le coefficient de ÿ—1 


entre les limites v’, v’, la formule (111) donnera 


/ 2 pu." © LES 
ï - 
| F(t)= 7 [ 1h [ [ coszM cos 5 N 
(119) | | QUES REA 





co IL! 
Ÿ 


x f'(u + VER) ro ni) Fu _ en) da du d5 dy, 


et, en faisant 
F(æx) ace , 


on en conclura 


y" 


æ , L" co à 
| D =) [ dl . coszM cos5N 
(114) | HD pe Joy 


Ce DC y 1)Qu +1) da du dB dy. 
(1) Il suffira même de supposer 


2 désignant un nombre dont le carré surpasse non seulement les carrés de toutes les 
racines réelles, mais encore les produits réels et positifs qu'on obtient en multipliant 
deux à deux les racines imaginaires. On évitera ainsi l’indétermination que présente, dans 
certains cas, le second membre de la formule (112). Au reste, on pourrait remédier 
directement à l’indétermination dont il s’agit, en faisant usage, comme dans le Para- 
graphe 1°, d’un facteur auxiliaire qui renfermerail, avec une constante infiniment petite #, 
les variables « et &, ou bien les variables y2 et ». 


Dhiirés OS Nil 39 


306 MÉMOIRE SUR L’'INTÉGRATION 


Cette dernière formule peut servir à déterminer l’une quelconque 
des racines réelles ou imaginaires d’une équation algébrique, ou 
même transcendante ("). Si l'en se propose, en particulier, de déter- 
miner une racine réelle, on pourra prendre pour v’ et y’ deux quan- 
tités, l’une positive, l’autre négative, et très peu différentes de zéro. 
Alors, la valeur numérique de la variable y devant rester très petite 
entre les limites de l'intégration, on aura à très peu près entre ces 
limites 

St En e 
PB +) = Cu) = fe), 


= LL NT) + a = D) = (Be) 





Ve 


= y DURE WE) toi 0) 


ct par suite, la valeur de +, se trouvera réduite à 


næ© nl" > 2 V" 
(19) = — | | 1. [ cos f(p) cos 5% f"()[f'(4)} nu do du d3 dy. 
CU Re = 0 2! 5 ; “ 
On aura d’ailleurs, entre les limites B—=—-w,B—+x,v—v, =", 
Add 0 | 2T 
[ à COS By ‘é (1) ) d5 (GS) es EE,  ——— de os 8y dô dy fera Han ee 
He VE'C)E VU 


Donc la racine æ,, supposée réelle, sera donnée simplement par 
l'é quation 


(116) rares _. nn. )VE/" Cu) TE )[u dx du. 


La même équation se déduit de la formule (100), lorsqu'on pose 
m—1 dans cette formule, et que l’on y remplace He par 2, Pl) 


par pe, et M par /(u). Nous ne nous arrêterons pas davantage aux 


(1) On trouvera, dans les additions placées à la suite du Mémoire, d’autres formules 
plus simples qui conduisent au même but. 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 307 


conséquences remarquables que présentent les diverses formules ci- 


dessus établies, et nous allons passer à la seconde Partie de notre 


— 


Mémoire, dans laquelle nous applhquerons ces mêmes formules : 
l'intégration des équations linéaires aux différences partielles et à 
coefficients constants. 


SECONDE PARTIE. 


$ 1%. Soit donnée une équation Jinéaire aux différences partielles 
et à coefficients constants entre la variable principale + et les va- 
riables indépendantes æ, y, 3, ...,4 dont nous désignerons le nombre 
par à +1. Si, pour plus de simplicité, l’on commence par admettre 
que cette équation ne renferme pas de terme indépendant de +, elle 


sera de la forme 


(1) | Vo so, 


[ 


Vo désignant une fonction linéaire des quantités 
1 O 





Q, 

do 00 do d9 
_—) — 9 — ; =) 
0x 0Y 03 ot 

20 d°o do do 
0x? dxdy ‘Vx0z ol 
do do do 9% 
dx dx? dy” dx* 03 ot? 

den ’ . ; 


c'est-à-dire, de la variable principale & et de ses dérivées des divers 
ordres, prises par rapport aux variables indépendantes. Supposons 


d'ailleurs que, parmi les dérivées relatives à 4 qui entrent dans la 
nt 


Aie , + @ - 
composition de Vo, celle de l’ordre le plus élevé soit jun: On aura 


identiquement 
(2) Vo = Vie + Vi + V LE ET ce 


/ i 
MS 2 
d PAU 


308 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 

les caractéristiques V,, V,, V:, ..., V, indiquant des opérations rela- 
tives aux seules variables æ, y, 3,...: et l’on pourra intégrer l’équa- 
tion (1) de manière que les quantités 


09 do d"-10o 
5 JE où ‘gent 





Pr 
QS 
Se 


se réduisent, pour 4 == 0, à des fonctions connues de æ, y,#,...; par 


exemple, aux suivantes 
(4) Jo(Ls V3 55), Ji(Ts 353), Ja(d, F35,..), RE Îm1(Zs Y333-..). 


On y parviendra, en effet, par la méthode que je vais indiquer. 
Lorsqu'on veut uniquement satisfaire à cette condition, que les 
quantités 
PO. 0 0 2-10 
A De Rs 
se réduisent aux fonctions 


A Ven à en let a 2) 


pour 4— 0, il suffit (voir la PF partie, $S 1) de prendre pour z une 


expression de la forme 





An Ne mere UP 730 ave | | en 
= | | | TD ette-n Vi Bon Term), 
N : CHERE LL A œU NV 


X fotp, ”, ©, ...) da du d8 dy dy do... 


: PE y" = Le 
(RPANEE ; 
“ (=) | 'É j | Tien Bon vi event, 
V—ot CRE NT PAANN L 








: 2T 
(3) 
X J1(l, v, ©, ...) da du dB ds dy du... 
A A. ne a ot 
n æ ee æ ve 
. (=) Î [ [ Ti eutz-p y fly" V1 ev(z-0) . 


LR 1 Tv —œot y’ 


Tite Jde an abdid) que... 


les limites des intégrations étant les mêmes que dans la formule (1) 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 309 


(Ie partie), et d’assujettir les quantités 


supposées fonctions de 4 et des variables auxiliaires &, f, y, ..., à 
vérifier, pour une valeur nulle de 4, les équations de condition 





T sue CE +. GE en me d M . 
a Dar PIE F .: PILE 
= : A | dT, : QmA1T, 
= — = —— = . — Oo; 
Ho 6 dt : de? | i gum : 
Re ) Mass ie A A D 
A eu DL 
Vo dt , dt: en 0 > gent qu 


Or, concevons qu’en désignant par & une nouvelle variable, on pose 
(7) D AN EU ue 


Ah IM—1 
Su 1 m1 U , 


ilest clair que les conditions (6) seront remplies, si la quantités, consi- 


dérée comme fonction de « et de 4, vérifie, pour { = 0, les équations 





. 2S TRES ; Lie 
(8) Fe nn Le SP En L, + do ee 


Soient d’ailleurs 
(9) À, TR te .. 


ce que deviennent les expressions 


(10) Vo®, V:9, iron Vh 10, \;9 


| te d Se 
quand on y remplace © par 1, 55 par aÿ— 1, 3 par BV— 1, ge Pa 
A D 





, et généralement 


dP+FI+ +... © 


dx? dy1 03"... 





par 





C'ENICT EN LCI Er 


310 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


Pour que la valeur de + donnée par la formule (5) satisfasse à l'équa- 
tion (1), 1l suffira que les quantités 


considérées comme fonctions de t, satisfassent à des équations diffé- 
rentielles de la forme 


PT, FL 





0 1 de À 


Â di AN ce F. — ZQ: 
De Nr 0e RUE Ci 


ou, ce qui revient au même, que la fonction S vérifie, quel que soit w, 
l’équation différentielle 


| : OS as os 
À 09 + Ai + A +... HA, —— — 
(1 1) A, 1 de di nm de” 


Cette dernière équation, réunie aux conditions (8) qui doivent être 
remplies pour {= 0, détermine complètement la valeur de S. Pour 
obtenir cette même valeur, on observera qu'on satisfait à la for- 
mule (11) en posant 


: 6 
He 


cl prenant pour Ü une des racines de l'équation algébrique 
Ao+ A0 + A,60+...+A,0"— 0, 

Par suite, si l’on fait 

(la) | F(8)= A+ A,0+ A,07+...+ A, 6m, 

et si l’on appelle 

(13) D 

les » racines de l'équation 

(14) 166) =0; 


les formules 





DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 


311 


seront des intégrales particulières de l'équation différentielle en S, et 


son intégrale générale, assujettie aux conditions (8), pourra être pré- 


sentée sous l’une ou l’autre de ces deux formes 


Phi 0)u 0e etue be" 
“ (bo — 6)( 00 — 02).. «(do — D) 


(ui 09 (ne) e? ML 
(O1 — Éo) (Ont -. Û, ). É 10, RE Dia) : 





eht+, 
(15) 





ebot edit ur 


a | 








CELA UNE AI UNE PENSER EL 


Si l’on développe cette intégrale générale suivant les puissances ascen- 


dantes et entières de «, les coefficients des diverses puissances seront 


précisément les valeurs de 
Los Lis ta de 


Cela posé, comme on aura 
































F(u)=A;+A;u+Au?+.,.+ A, un, 
I 1 [ u (Lu RS 
GE D 
66 
on en conclura 
. F et edit PL 7 
Cd ue) 
. ed it ho 
en 
En 200 edit Pl 7 
7 loue Abe er ol 
0€ A dc “| 
us a F7(5) u GE) Fe EP 
Et et en 7 
5 NE F'(6) 4 6 F'(%) He j CES Fr (0411 
F ebst edit EÙn-it 
LP) PE) À Fm 





312 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 








E 
À \ est # et de ebm-st L 
(Pa lee 21 6 E° ( bo) F À FE" ( Ü, ) a CE pi \ On ) - 
et edit eVm-at 








“en A . à D 2 NI] on 
AO 000 O K'(61) Ga E'(Um1) . 











Ve 


ne et mt 7 
— À AJ + à sie ï 
ete pri one 


puis, en faisant pour plus de commodité 








e? ebit CÙm-1t | 
17 Ne ne fu DE TNA LEA 7 F 2 
7) FE r (60) ü{° (61) rs (0) 


on trouvera 








. / ee R 
1 — UN ü = : 
gt" Teri 
À on—2kR d1—1 R 
Li 40 EE PRET 
{ 19) { Fe d"—3 KR 92 R d'r-1 R 
l = À —— À ——— HA ———) 
lis TA 2 du" 1 
; _ PR Fe Lots à + 
| Lo R + A, ns re + A) dt: ++ ns nr 


Si maintenant on pose 


Ho (2) [ . | ……Rettr-p vi e8t nv erts-0) 1... da dB dy…., 


on aura évidemment 


V,Q =(2) JL LL a ...  AjReñtr-n)vieflr-vV-iertz-m) Ti, da dB dy... 


v,Q =() f D A Re ua eo y—ierG-0) Vi, da dB dy... 


dela ee pierres 0er eee nte nr eee se envies oies in nie due: le rs 5 end se ee se 09 ne Vie oies) e 4e ee he teens ne eu, 


I \ 122 ® co LE 2 L 2 re VE ; es 
ee eo [ / É A à Co com mt Cond a 2 cn PP Cr 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 313 


et en conséquence, la valeur de & déduite des équations (5) et (18) 


deviendra 


m—1 
DV, _— Re OP CHU ar )abdinn 
9"? à 
+V, = J | | AOC on ai du. 
d"—1 ù : 
+ V, Pen J f ft...) duddn…. 


+ V, a no v, ©, ...) du dy dw. 
0 | 3 
+ V, Fr on 6, | dH YO... 


: 9"! : : 
| + VV, NTTET es OR A En 


est important d° observer que Ja quantité Q donnée par la formule (19) 





(20) 





.est une fonction des variables x, y, s, ...,, qui satisfait à l'équation 


aux différences partielles 
(a ! ) vQ = 0. 


Quant à la valeur de © donnée par la formule (20), elle n’est le plus 


souxent qu'une intégrale particulière de l'équation proposée 


(1) Vo d 


i 


Si l’on représente par U cette intégrale particulière, l'intégrale géné- 
rale sera de la forme 


(21) o—=U+V, 


V désignant une fonction æ, y, z, …, «assujettie à la double condition 
de vérifier l'équation 


(23) VvV=-0 


et de s’évanouir pour { = 0, avec ses dérivées relatives à 4, depuis la 
OEuvres' de C.— SU, t. LL. 40 


314 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 
dérivée du premier ordre jusqu’à celle de l’ordre 72 — 1 inclusivement. 
Quelquefois ilest impossible de remplir ces deux conditions autrement 


qu'en supposant 


(2%) 0. 


Alors la formule (20) devient elle-même l'intégrale générale de l’équa- 
tion (1). 1 semble, au premier abord, qu'il doit toujours en être ainsi, 
quand les différents termes du développement en série de la fonc- 
ion V s’évanouissent, ce qui a lieu, par exemple, dans le cas où les 
éXPressions 


d m ( do” A vo 


/ RS | 4 
mi dt” ? ni PTT 


se réduisent aux coefficients différentiels 


d'"'o dt N7 
PYIZ gt" “ 





multiphés par une quantité constante. Néanmoins, dans Pétat actuel 
de Analyse, ilest permis de concevoir à ce sujet des doutes légitimes 
fondés sur la remarque que nous avons faite dans un autre Mémoire, 
savoir, que les différents termes d’un développement peuvent s’éva- 


nouir, sans que la fonction développée s'évanouisse elle-même. 


LA 
S IT. Admettons maintenant que l'équation aux différences partielles 
dont on cherche l'intégrale renferme un terme indépendant de 9, et 


fonction des seules variables 


Si l’on fait passer ce terme dans le second membre, l'équation donnée 
prendra la forme 


(25) No Ce a 41) 


et, pour ramener son intégration à celle de l'équation (1), il suffira, 


, . A : + 
comme l’on sait, de connaître une valeur particulière de 9, pour la- 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 313 


quelle Vz devienne égale à /(æ, y, =, .…, £). Or, on obtiendra évidem- 


ment une semblable valeur si l'on pose 


I n+1 @ pu E FE ee 
| . x) jh) 0 y CPP VE COS Ge GO TINEe) 
a à Pre , 


(26) 
| FH %m,...,7) 





us " da du d& dy dy ds...dÿ dr, 


les intégrations devant être effectuées comme dans la formule (1) 


(FE Partie), et la lettre À représentant ce que devient l'expression Vo 


00 , do Fe ame do 
€ ; AUD NA LS Se Da AVS, Jar | ne co em lc 
quand on y remplace © part ge Pare V1, 5 par Gy—1 j Par 


_. 
OV— 1,... et généralement 


dP+4+r+. + 0 


dx? Op dar: Le Or 





par 


Cat ACTE A 
S IT. Parmi les équations linéaires qui s’intégrent à laide des 
. Î 
méthodes précédentes, on doit distinguer celles dans lesquelles se 
change l'équation (1), lorsqu'on prend pour Vs une expression de la 


forme 


do 
(27) : Voo Te Gen ? 
la caractéristique V, indiquant des opérations relatives aux seules 
variables æ, y, z, ..… Alors la fonction : obtient une valeur très simple 
J ur | 
qu'il est bon de connaître. Supposons, en effet, qu'il s'agisse d’in- 


tégrer l'équation aux différences partielles 


do 
Ur 
i ou"! 


ou, ce qui revient au même, la suivante 


0" o 
der Re Vo n. 


(28) 


Dans cette hypothèse, en adoptant les notations du paragraphe LE, on 


316 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 





{rouvera 
F (9) — As — gare 
| F0) = mort, 
et, par suite, 
; Sue I et eht is 1 
(29) À fee m Que —. mt me gent 


0,,0,,...,0,., désignant les »2 racines de l'équation 
( 30) gm — VS 


dont le second membre représente la fonction de x, 8, y, ... qui 


: . 09 
2] : 1NnCC _ r n - ï : 
se üre de lexpression V,z, quand on y remplace & par 1, 5x Par 
œV—1,..., ct généralement 
OP+3+r... o 


OHPOYTOSUS à 





par 


go (=) [l [l | ….Rette-uvtefir-vV 1 e7(5-0)V 1, do d6 dy, 


la valeur de o deviendra 


j am= —1 
o— re sf ff -Q (1, v, &,...) du di do... 


dnm- 
(or) { Vo Tr = ff QAC V, D, . ..) du dy ds... 


+ Vo  _ Y, W, IH 


Observons d’ailleurs que, dans le cas présent, on tirera de l’équa- 
tion (21) 


Fe Q 
gen ? 


(32) VoQ — 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 317 


et, par suite, 


gt -—] o di Q ë 
0 PILE en demi 


I Nr /a@ 22 LE] J?n-1 R co _— un 
= Es ) | / | ue ete eBCy NT T0) V1), da dé dy... 
NE Cr SN DU D (GAS _ 


/ Ne a LE 3 © 6,c pur ot Dee ne INR 
— ee 1e | [ SRE RL ettr-p)v—1 BV 1 7-0), da d6 dy... 
T CARS ENT An ONE VER 











2 mn 


in conséquence, si l’on fait 





(0 (Te (] 
: Etat + ht h,, + ems 

33 1 

(33) m / 

et 

I n ex 2 © ? = _ re = 
Hi Pet — [l | [l Doc yes GPO APCE mL de 4e ue 
27 CA ot —— œt — © 


on aura 


; on-tQ 
(35) V, PILES (us Po 


et la valeur générale de 2 prendra la forme 





les intégrations relatives à £ étant effectuées à partir de = 0. On 
s’assurera facilement que la fonctioh P comprise dans le second 
membre de l'équation précédente à la propriété de vérifier l'équation 
aux différences partielles 


gt P 


(37) Vo — du. 


318 MÉMOIRE SUR L’'INTÉGRATION 

S IV. Les formules établies dans les paragraphes précédents ra- 
mènent l'intégration des équations linéaires (1), (25) et (28) à la ré- 
solution des équations algébriques (14) et (30) dont les racines 


de 8,, 02, pra 62 


se trouvent comprises dans les valeurs générales des fonctions R et T. 
Mais cette résolution n’est pas nécessaire, et lon peut + suppléer en 
déterminant (f) immédiatement les valeurs de Ret de T à l’aide de la 
formule (111) (ES Partie). 

S V. Pour montrer une application des principes établis-dans ce 
Mémoire, supposons qu'il s'agisse d'intégrer l'équation linéaire aux 
différences partielles que lon déduit de la formule symbolique 

AE d? 0? NL d'"'o 
a Ste | 


(38) Fee a ren om ne D D os 
| «dx 7 Or? 7 ds? dt" ” 


iorsque, après avoir développé le premier membre de cette formule, 


dans lequel a désigne une quantité constante, on remplace 














EE do 
= | © Jar = 9. 
(à) . P FLE 
( ne d'o 
— |o Jar - 
on des 
( à Ag ) 5 \ do 
CR A ?, 
da? … GE 
( de | © ar 
Pl : € S 9 
\ D | 0y° 
Sul OT Re, > 
( d? dd? | ‘o 
0) at n - = 
LORD | pe 0x? dy?" 


(1) Cette détermination présente quelques difficultés dont l'examen détaillé nous en- 
traincrait au delà des bornes prescrites à ce Mémoire. Nous avons supprimé pour cette 
raison les développements qui se trouvaient ici dans le manuserit, et qui formaient la fin 
du paragraphe IV. D'ailleurs ce qu'il v a de mieux à faire pour obtenir la valeur de &, 
sans être obligé de résoudre aucune équation, c’est d'exprimer les valeurs de To, Ti, ..., 
T1, T, par des intégrales définies simples à l’aide des formules que renferment les 
additions placées à la suite du paragraphe VL. 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 319 


et ainsi de suite. Dans cette hypothèse, l'équation (14) prendra la 


forme 


(30) A 9, 


la valeur de A, étant 





(39) Aj—=a(—a—fB2—y—,,.). 


| 


En conséquence 
do Ü;, ds, DE On 


seront les racines de l'équation binome 
(40) On (—i)'a( a +++...) 


Or, on vérificra généralement cette dernière, en supposant 


et prenant pour À une des racines de l'équation 
(41) A (—:)la. 
Par suite, si l’on appelle 
D rh. 


les zx racines de l'équation (41), et si l'on fait, pour abréger, 





eht + ht + A4 
(42) - / _ : a 
on tirera des formules (33) et (34) 
. 
n a 


X Cosa(æ—mwm)cosB(y—v)cosy(s—w)...dad6 dy... 


320 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


Soit maintenant 
(45) (x—p}+(y—v}+(z—m) +... —Ss, 


et désignons à l'ordinaire par 2 le nombre des variablés T,#,5,.2. 
c'est-à-dire, des variables indépendantes autres que la variable #. La 
valeur de P donnée par l'équation (44) admettra évidemment des ré- 
ductions semblables à celles qui sont indiquées par les formules (54) 
et (Gr) de la première Partie. Effectivement, si l’on a égard à la for- 


mule (61), on trouvera, pour des valeurs impaires de x, 


1 . 
cos ss? æ lors 1) dæ, 


[3 








20 \ 


puis, en remettant pour fais) sa valeur déduite de l'équation (42) (1), 


n—-1 n—1 PE el el ol 


re de / Role QE EE En at 





ton ue 


De mème, en avant égard à la formule (54) de la premiére arte, 


on trouvera, pour les valeurs paires de 2, 





{ a je + el ol el 
| : ML come cor 

p — oi 

; te mn 
( 45 ) , 21 2m? 
nT k S NA * 
| x cos(E eg 7) ge da 
n—1 

| 1 187 P 


La valeur de P étant déterminée par l’une des équations (44), (46) 
ou (47), il ne restera plus qu'à substituer cette valeur dans la for- 
mule (36), pour obtenir l'intégrale générale de l'équation (38). 

21 


(1) Dans les équations (46) et (47), et dans celles qui s’en déduisent, la notation 
est censée représenter la valeur réelle et positive de l'expression 





2 VŸ al 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 321 
Dans le cas particulier où l'on suppose 2 = 0, l'équation (38) se 


réduit à 


. (A AV, de 
(49 } = Fr ei ue dt" 





Dans cette hypothèse, la valeur de P donnée par la formule (44) 


devient 


n L 
|; ue e ee he eta?+f? LINE e! (a? + f? . ASE eta+f® DH ENT 
AP ( 2 
(49) | hr 


X cosa(æ — pp) cosB(y — v) da di. 





On peut faire servir à la réduction de cette valeur la formule (55) de 


la première Partie, et l'on trouve alors 


l 
. otaB), CENTS . RCE ae SZ 
(50) a. - sin 5 cos —- da d5, 
Tor, ‘ nf 


la valeur de s étant donnée par l'équation 





) 


(51) S—(x—p}}+(y —v%)}. 


Dans le cas particulier où l'on a 2 = 3, les équations (38) et (46) 








deviennent 

o Fa d° d? d? NL do 

22 AA Ep + Scene OZ -——- 
Se, (or 0 y? le PIZ 
Êt 

sl el el 
J 0 Pi N ES ex") £ En ee e?’ me mu 1 
(93) P—— _ — coss? & da, 
PT ES mn 


les valeurs de s étant 
(54) s—=(tz—p)}+(y—v) +(sz—w)?. 
Ilest essentiel de se rappeler que dans les formules (49), (50) et (53) 


los pe sers Et 


OHuvres de CS AE {1 


SD ! MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 
désignent les racines de lPéquation binome 


Une GS À Dr 


Plusieurs questions de Physique et de Mécanique, et entre autres 
les problèmes du son, de Va chaleur, des ondes, des cordes vibrantes, 
des plaques élastiques, ete. conduisent à des équations aux différences 
partielles qui se trouvent comprises,comme cas particuliers, dans les 
formules (48) et (52). Ces équations pourront donc être intégrées à 
aide des formules (50) et(53) réunies à Féquation (36). C'estee que 
nous allons faire voir par quelques exemples dans lesquels nous nous 
trouverons naturellement ramencs à des résultats déjà connus. 

La loi, suivant laquelle la chaleur se distribue dans un corps solide 
et homogène, dépend de lPéquation 


09 _ 
HA 





Me 
(99) 


LZ 
o do ro 
+ :) 


| 9; 
al — + —— ); 
er co dz?. 


3 
CL 


dans laquelle 4 désigne une quantité positive. Pour déduire cette équa- 


tion de la formule (52% 11 suffit de poser 


Alors l'équation (41) devient 


| 
| 


et, par suite, on üre de la formule (53) 


I Q 1 < : . è 
P=— —— — | A CU à 


puis, en ayant égard à l'équation (16) de la première Partie, 


Pr : re 
à M e #at ; 
] at | j — > à 
EN 5 Pi +al 


P ane EE ne A PEER RU EE À es 








DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 323 
ou, ce qui revient au même, 


3 (U—r)+(v—y)}+(T—2)2 
Dose 4 at 





(56) P — 





En adoptant cette valeur de P, on trouvera pour l’ intégrale générale 
de l'équation (55) 


(53) o = de », ©) du dy ds. 


Les petites vibrations des plaques sonores, homogènes et d'une 


épaisseur constante, se ‘apportent cu 


(28) _ + b? AL. LA ea) 
5 === £ _ a (0) 
VIA dx x dy dy, 








dans laquelle désigne une constante positive, et & une ordonnée de 
surface courbe. Pour déduire cette équation de la formule (48), 
suffit de prendre 
Em à M CE a = — b?. 
Alors l'équation (41) devient 
À = — b:, 
et l'on en tire 
À = + d Ve oi Vo. 
Cela posé, la formule (50) donnera 


sa 
Dies J J cosaÿbtsinS cos — da dB 
27° n 


cos af 6sin 6 cos de dB, 





27} 





27 


Ou, CE qui revient au méme, 





| es = un 1 cos a5 sin 5 cos [x d5 


/ 
Eh A ee 
= gu FE [ ni: jobs _. da dB 


LL Ga ri D L) cos a ar pr) sin6 da ds. 


MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


© 
© 
re 


D'ailleurs, AT étant une quantite positive COMPprIse entre les limites 
4 : 


8— 0, B—<, on conclut de la formule (8) ({" Partie), en y rem- 


placant g par  etæ par TG " 


LE /à 2 


t 


sin 8 cos a {3 — _— D) da dé = om sin (5). 


c/o 0 \ 10 


sin cosx( 5 op ) da d5, 


t — œt ( \ 4 £ 
il est clair qu'elle sera nulle. En conséquence, la valeur de P deviendra 


M. ù 


—— Sin ——;: 
4r bt 4abt 
ou, si l'on écrit (u — x} + (v— y} au lieu de s, 


Ù eu OR 
(39) Pa ee 7) 
4n Lt Abl 





En adoptant cette dernière valeur de P, on tirera de la formule (36) 


l'intégrale générale de Péquation (58), et lon trouvera 
(60) ® — :. Vis RAM) COINIES : def PA , v) du dy, 


les fonctions f,(æ, y), /,(æ, y) désignantles valeurs particulières de & 


Î 


( ? JOUF L 
A hrete , — O. 
PE 


Le mouvement des fluides élastiques est déterminé par une équa- 
tion linéaire de la forme 








(61) = v (TE ++) 


b désignant une constante réelle. que lon peut considérer comme 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 


oc 
1Ÿ 
OC 


positive. On déduit cette équation de la formule (52) en supposant 


Er EE Cr D 1 Abe 7 LES 





On aura done encore dans le cas présent 


A2==— b?, 
Ào—= + b Ter À, =— LAVER 


Cela posé, la formule (53) donnera 


Éd 1 
P=— — — / cosabtcoss* x da, 
ir 05.) 
+ 
où, SL ON (ait pourabrécers 7, 6t Dir consequentcs 7, 
I 0 LES 
P=— ;—— — | cos btcosr a da. 
HOPR OM 


Pour déterminer la valeur de Pintégrale que renferme Féquation 
précédente, il faut recourir à l'artifice de caleul indiqué dans la pre- 
miere Partie de ce Mémoire ($ I“), et multiplier la fonction sous le 


: - . bite ni 
signe / par un facteur auxiliaire de la forme Re, Æ désignant une 
. ’ (ay ( ) | 


quantité positive infiniment petite, et d une fonction convenablement 
choisie. On peut prendre pour ce facteur auxiliaire Fune des expres- 


SIONS 
J 


_k Ja  — 420 
e nue, € . NEC 
Teese 


Concevons, pour fixer les idées, que l’on s'arrête à la première. L'inté- 


grale comprise dans la valeur de P deviendra 


[a D 3% 
| eV cosabtcosr a da — 02 | e-"% cos x bt cosr ax do 
CYR 0 
iN 


— erka[ cosa(r — bt) + cosa(r + bt)] da 


k k 
RUE DD RU Eh 





+ nr, 
PRÉ RS 


326 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


Kle 


D'ailleurs, la variable 7 —s*, étant liée aux variables WU ne Dar 
Péquation 

il 
(62) ee [Ce — LL} +(r— y} + (sm — =), 
n'admettra que des valeurs positives comprises entre les limites 6, +: 
et comme, des deux binomes 7 — bé, r + be, celui dont le second terme 
est negatif sera le seul qui S'évanouisse entre ces Timites, il est clair 


que, si lon attribue à 4 des valeurs positives différentes de zéro, la 


seconde des deux fractions = : _ h de 
SEE TE CE 





ment petite, tandis que là premiére cessera de l'être pour des valeurs 
der très voisines de 07. On pourra done négliger dans le caleul la 
A 


fraction — -, et substituer à lPintégrale comprise dans la 
KE + (r + bd) © 








valeur de P la fraction unique ;+ On trouvera ainsi 


KR (Cr — be) 





k : 
AIRES ER RARE 
ne I RARE APP 
us re dr ; 


ou, ce qui revient au même, 








| FE : | 
Of — _ 
(63: De on + Cr—otyT 
_ mor ot 


En adoptant cette dernière valeur de P, on tirera de la formule (36) 

(64) = [ P Cu, v, ©) du dde + fdt 10 fite, *, ©) du dd, 

les fonctions (x, v, 2), f(x, y, 3) désignant les valeurs particulières 
9% | : . 

de 5 et de ge Pour to. En remettant pour P sa valeur, on aura défi- 


nitivement 





D L | 
| Re | | er ee or Ju, v, ©) du di do 


} —— 
- te 


| . à . L | ; ; ; 
dd: : J (AS LOUE) ROUE ES Dry ob onde 





DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 327 
les limites des variables 1, v, 5 étant choisies de manière à comprendre 
les valeurs attribüées à æ, y, z, et # désignant toujours une quantité 
positive infiniment petite qu'on devra réduire à zéro après les intégra- 


(2e) 


tions effectuées. Si l’on veut que les valeurs particulières de 9 et de Pr 


correspondant à {-—0, coincident avec les fonctions oi 
J(æ, y, 5), quelles que soient les quantités æ, y, =, il faudra, dans 
l'équation (65), prendre pour limites de chacune des variables we, v, #, 
les deux quantités — , + ce. 

Supposons maintenant que l'on considère les trois variables 2, v, © 
comme représentant des coordonnées rectangulaires, et qu'après avoir 
transporté l’origine au point Dot quel on der 
on substitue aux coordonnées rectangulaires &, y, & des coordonnées 
polaires p, g, r, relatives à la nouvelle origine, et déterminées par les 


formules 


+ r SIND COSg, D—=5s+/sinpsing. 





(66) Dr ETES, 


La valeur de 7 sera précisément celle que fournit l'équation (62); et 
comme, à la place du produit du. dy ds, on devra écrire le suivant 


r? sinp dp dq dr, la formule (65) donnera 


/ I . . fe: 
. me 


X fi(x+rcosp, y+rsinpcosg,s+7rsinp sing)r sinp dp dq dr 


| 
| MT JE 
\ 


X fo(Z +7 Cosp, y +rsinp Cosg, s+r sinpsing)r sinp dp dg dr. 





6: 


(67 


De plus, si dans le second membre de la formule (65) chaque intégra- 
tion est effectuée entre les limites — +, ++, les intégrales multiples 
que renferme l’équation (67) devront être prises entre les limites 


P—=0, p=®T; ÿ=0, q=27T; r=0, r—. D'autre part, la frac- 


Ld k , . \ , 
tion — ; n'ayant de valeur sensible que dans le cas où l’on 
kK?+ Cr — br) : 


attribue à » une valeur très peu différente de be, et l'expression 





Jitæ + rcosp, y +rsiupCosg, 3+rsihipsing)rsinp 


328 MÉMOIRE SUR L’'INTÉGRATION 


devenant alors sensiblement égale à 


fitz + btcosp, y + btsinpcosg, 3 + btsinp sing)btsinp, 
on pourra évidemment remplacer l'intégrale 


Se À | . on 
(D TCO0SP) ET NpCOSG, =: + l'en OP SR » dr 
kK+ (r— bi): / w P 1 L 7 ) Î 


00 

par le produit 

f. bt bEsi besi ing)besi 1 ia 
D + 0 COËS DS 9 DST (MT 3 + Sin? SIN SIT SR 

Ji Ps. FC AENPS / ( oi kKt+ (r — bt)* 


= rhtsinp J\tæ + bEcosp, y + btsinp cosg, 3 + bisinp sing). 


Par la méme raison, à l'intégrale 





| -- A + r COSp, y + rSinp Coq, = +rsinp sing) sinp dr 


on pourra substituer le produit 
rbtsinp f(x + bicosp, y + btsinp cosg, 3: + btsinpsing). 
Cela posé, la valeur de & déterminée par l'équation (67) deviendra 


Cal do 


27 ET 


cn , | | tsinp f.(x + btcosp, y + btsinpcosg, 3 + btsinp Sing) dp dy 





nes : | . : 
= AA | | ésinp f(x +btcosp, y + btsinpcosg, :+ btsinp sing) dp dy. 
Ja 


Cette dernière formule coïncide avec celle que M. Poisson à donnée 
dans un Mémoire lu à l'Académie le 19 juillet 1819. 
S VI ('). Si, à la place de l'équation (38), on considérait la suivante 


d"! o . d! de) 


(69) —© a —); 
ne qe 0x! 


(1) Ce qui suit a été ajouté au Mémoire depuis sa présentation à Académie. 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 329 
alors on tirerait des formules (33), (34) et (36) 


vo D 6 0,4 OL ee 
a. En AGEN AAA EUR dot BR . eXtt-p)y—1 da, 
an hi 





(70) P— 
pi 

. À ain —1 
(71) e= [PA dp + fa [rs due [ dent [P fu-1( dp., 
0,,0,,...,0,_, désignant les racines de l'équation 


(72) Om — a(ay—:1)". 





Dans le cas particulier où l’on suppose {= m = 2, a = — 1, l’équa- 
tion (69) devient 














do do 
73 ne 0 
0 Va v? 6 
et l’on trouve 
F | ] en CRIE er %t nes I qe et < e %t 
(oh | A Du — — = COSa(xr — u) da, 
274 — «À 2H, — 00 





l ÿ D'AL — 
o— 2 ne cosa(x — pi) f,(u) da dy 


| : * Pat »— 
| += fa [FE cosa(x — 1) (8) da du. 


\ 
\ 


La valeur précédente de 2 est indéterminée. Mais l’indétermination 
cessera pour l'ordinaire, si, dans chaque intégrale relative à la va- 
riable &, on multiplie la fonction sous le signe / par e"#, # désignant 


un nombre infiniment petit. Alors, en effectuant les intégrations rela- 


1 
tives à cette variable, et posant & = æ + 24°u, on obtiendra la formule 


Le 
| 1e, : 
PTS . a . ut ( . 
(er (=) e*" er cos — | f,\xz + 24*u) du 
T 3 
VE fe? 
(76) , ; 
d à ee 7? © : # ut : 
+ _ + dt [ Po  . fi\x + 24° 7 du, 
T : 
| © — 1? 


OEuvres de €. — S. M, t. 1. 42 


330 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


dans laquelle le nombre # ne devra être annulé qu'après intégration 
relative à &. On pourrait au reste (ainsi que je l'ai fait voir dans Île 
Bulletin de lx Societé philomathique de 18271) introduire les imaginaires 


(75), de manière à obtenir la 


\ 


dans le second membre de l'équation 


formule 





fx +11) + fx — 0-25) 


/ 
ns 
AE 


2 
a IT ET er EU 
| ie F4 PE Tue A L FA 


AT 





Mais, quoique cette dernière valeur de ©, substituée dans l'équa- 
nie 


{ion (73), paraisse la vérifier dans tous Îes cas, néanmoins on ne 


saurait la considérer comme générale, tant que l’on n'aura pas donné 


de Fexpression imaginaire fix + év- +) une définition indépendante 
de Ta forme de la fonction f(æ) supposée réelle. A la vérité, cette 
expression imaginaire se trouverait suffisamment définie, si l'on con- 
venait de représenter par la notation Hoi 0 une fonction © 
de x et de ?, qui, étant continue par rapport à ces deux variables, fût 
propre à remplir la doubie condition de se réduire à fx) pour 40, 


ct de vérifier l'équation 





Ho) RUE 1 
° dt or ' 


Mais 1lest facile de voir que, dans ce cas, la fonction 3 serait celle qui 


vérifie l'équation (33) pour toutes les valeurs possibles de #, et les 


. - on Se . 29 nn : Fe 
équations de condition © == f(x), 7; — 0, pour la valeur particulière 


t= 0. Ainsi, la recherche de la fonction (x + 1V— 1) se trouverait 
ramenée à l'intégration de la formule (53) et l’on ne pourrait plus 
donner pour intégrale de cette formule l'équation (37), sans tomber 
dans un cerele vicieux. 
Lorsqu'on suppose m ==2, {= 1 et a == b?, l'équation (69) devient 
do do 


(59) Abavr — (a 
Cros OC 








4) 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 331 


et l’on trouve 





mL … Va 
(80) + etav)'ot Lea y . 
2T Le ) 
(81) p= JP Aie) du+ f dif P fi(u) du. 


Dans ce cas, la valeur de 2 se présente encore sous une forme indéter- 
minée. Mais on fera ordinairement cesser l'indétermination, en multi- 
pliant, dans chaque intégrale relative à la variable «, la fonction sous 
le signe / par e*%, k désignant un nombre infiniment peut. De plus, 
on pourra faire subir à la fonction P une transformation qu’il est bon 
de connaître, et que je vais établir en peu de mots. 
Si, en désignant par À une constante positive, et par æ&, 6 deux quan- 
tités variables, on pose 
L 
1) ; 


JE L 
DUR) 





puis, que l'on intègre deux fois chaque membre de Féquation identique 


0 ( Ci S) : 0 (es . ) 


Ua : 05 


{f 





:) 


savoir, une fois par rapport à la variable #, entre les limites o et «, ct 
une fois par rapport à la variable 8 entre les limites — +, +, on 


obtiendra une nouvelle équation dont Ie second membre sera nul, 








2 VA LD pa : Le , 
attendu que eŸ—= s'évanouit pour 6 = +, et de laquelle il résultera 
da 
16 ’! à vs À 
que l'intégrale 
0x 
A? 
1h Le 05 16 
a al : k 
D Er 
— da f e . TUe8 y) : ne Cav= i d3 
dt __ , Re 
un 2 Can me D Con ete 


conserve la même valeur, quel que soit &. D'ailleurs, cette intégrale se 
O 


332 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


réduit, pour x = 0, à la suivante 


(82) . | eh+By=t d5 : 
GET Gaine 





etil est facile de prouver que celle-ci à pour valeur 7° (1). On aura 


donc 
ar L 
nd RD —_— I J Coees 1)? 


Ge) l . un pi Es J (fo ms 
. LETTRE En) 








! 
Si dans la formule (83) on remplace (a ÿ— 1) par — (æyÿ—1), on 


en obtiendra une seconde qui, ajoutée à la première, donnera 








Le : REA ) 
(RTS Ce RD Sc CUT Lines 2 
e\TY ACT EN I tn ; L AS 
(S4) : A ie ue” | i 
2 + —\? 
(a+ 8V— 5) 


Si maintenant oi remplace z par ab?t?, on reconnaitra que la valeur 


de P, fournie par l'équation (80), peut être présentée sous la forme 





UÈTE Ee 
VAS de CARRE RE a np LUE : 2 
on ! Eos eur [ : & = #]s do 48 du 
(93) Ta ,(4+6 y—1) L [l 
2 ie 


. ESC Tr) 


Lorsqu'on substitue cette valeur de P dans Péquation (85), après avoir 


(1) La valeur de l'intégrale (82) se déduit facilement de l’équation (86). En effet, si 
dans cette équation on prend l'intégrale relative à & entre les limites = 0, mx = x, et 
que l'on pose f(4) = p4-1e-/b, on trouvera 


ext V=T d'u 


DPI Cite [ Î ein Cie Ua =T) part du da f pe-te-k du x fr ÿ a 
e 0 e pes OV 


. : À ' I 
puis, en faisant d’abord x =1, et ensuite a = -; 
p) 











1e eV da is RE 
; rare — > 
ITA 
Ho re faste du 
\ 
are-l 
! an 2 
\2 en 
Ch avt) js 


Tr eh+av-i du 1 
on 

SC 

j (n+ av) 





les 





DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 333 
multiplié la fonction renfermée sous les signes HE) par e## (4 dési- 
gnant toujours une quantité positive infiniment petite), on obtient 
l'intégrale de l'équation (39). Si l’on voulait, dans cette intégrale, 
introduire les imaginaires sous les fonctions f, et f,,1l suffirait d’avoir 


égard à Péquation (8) ([' partie) que l’on présenterait sous la forme 





CE u." 
(S6) FAR ee d | jh exx-Wy-1 f(u) da du, 


2 T CESR PL E Lu 


et de laquelle on conclurait par analogie 


h2r? 


b? 12 ' se se 2b" rene: ÿ—1 
(37) 1Ë «2 |= l e +U+ By 1) da dh. 


4(h+By—:) ar 





æœ+ LU 
ù 


On aurait par suite 


j | . il 1 ie en+BV—T 46 
© ZE —— 0 | Æ —+- name | à —— 
| RE SAS ET CETTE PS 


(58 } { . 


t _ 7 ee 

[ é Fi ne el+ov—1 46 
+ dt [ ile+: | 
27° "0 us É 4Ch +B\ er) : et 


Cette dernière formule est précisément celle que Pon déduirait du 














développement de Pintégrale en série, et que M. Poisson a citée dans 
le Bulletin de la Société philomathique de septembre 1822. Mais elle fait 
naître les mêmes difficultés que l'équation (79), et l’on peut en dire 
autant de toutes les formules dans lesquelles des expressions imagi- 


naires se trouvent renfermées sous des fonctions arbitraires. 


OBSERVATIONS GÉNÉRALES ET ADDITIONS. 


Dans le Mémoire qu’on vient de lire, nous considérons chaque inté- 
grale définie, prise entre deux limites données, comme n'étant autre 
chose que la somme des valeurs infiniment petites de l'expression 


différentielle placée sous le signe JE qui correspondent aux diverses 


334 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 

valeurs de la variable renfermées entre les limites dont il s’agit. Lors- 
qu'on adopte cette manière d'envisager les intégrales définies, on 
démontre aisément qu'une semblable intégrale à une valeur unique 
et finie, toutes les fois que, les deux limites de la variable étant des 
quantités finies, la fonction sous le signe / ‘demeure elle-même finie 
et continue dans tout l'intervalle compris entre ces limites. Supposons 
que, ces dernières conditions étant remplies pour l'intégrale / /(æ) dx 
puise outre ICS Himites 2% 27 ,-0n représente par m 
x, des valeurs de + intermédiaires entre les valeurs extrêmes x’, x”, 
el. par 


ANA CET MENU SE 


" 


deux fonctions de #, x’, x”, qui convergent respectivement vers les 
deux limites +’, æ”, tandis que lon fait converger # vers la limite 


zéro. Si l’on désigne, avec M. Fourier, l'intégrale proposée par la 


AL. 
notation | f(x) dx, on établira facilement les deux équations 


FE. 4 
LPistel 1 


mn / Jde =} f(x) dx, 


Le 


NX" PA LA 


| PRIE =") Seyde + [ Ve. ) dx +. + f | f(e)dx. 

Le 1 ed EG mt 
I suflit d'étendre, par analogie, ces deux équations au cas même où 
les conditions ci-dessus énoncées ne sont plus satisfaites, pour être en 


état de fixer, dans toutes les suppositions possibles, le sens que l'on 
2-1” 


doit attacher à la notation / f(æ)dx, ou, en d’autres termes, la 


valeur de l'intégrale définie qu'elle exprime. [Vorr, pour plus de détail, 
le résumé des leçons que j'ai données à l'École royale polytechnique, sur 
le Calcul infinitésimal (").] 11 faut seulement observer que cette valeur 
sera, dans beaucoup de cas, infinie ou indéterminée. Or, il importe, 
non seulement de reconnaitre les cas de cette espèce, mais encore de 
fixer le nombre et la nature des quantités arbitraires que comporte une 


1) Œuvres de Cauchy, S. I, T. IV. 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 339 


intégrale définie indéterminée. On parvient à ce double résultat par la 
considération des intégrales définies sérgulières, dont j'ai fait usage 
pour la première fois dans un Mémoire (‘}) présenté à l'Institut le 
22 août 1814, et dont j'ai développé la théorie dans une Note que ren- 
ferme le Bulletin de la Societé philomathique de novembre 1822 (?). Au 
reste, l'indétermination qui affecte une intégrale définie simple où mul- 
tiple cesse, pour l'ordinaire, lorsque cette intégrale est censée repré- 
senter la limite vers laquelle converge une autre intégrale définie, ou 
la somme de plusieurs intégrales de cette espèce, tandis que certaines 
constantes renfermées sous les signes d'intégration s'évanouissent. 
Ainsi, par exemple, quoique, pour des valeurs entières de supé- 


rieures à l'unité, et pour des valeurs positives de b, les quatre intégrales 


am nn 

dr s ; 

nn Her UTr, 
æ—1 


220 0 


œ di 0/30) evx D e— ba 
L desde, 1 | ———-Cosau dr du 
C0 10 : 


0 


soient effectivement indéterminées, néanmoins sr, # désignant un 


nombre infiniment petit, elles entrent dans un caleul eomme fimites 


(1) Ce Mémoire, qui sera publié dans le Cahier prochain, a été approuvé par l'Institut, 
sur un rapport de M. Legendre, daté du 7 novembre 1814, et dont les conclusions se 
trouvent imprimées dans l'Analyse Ales travaux de l'Institut pendant la même année. De 
plus, M. Poisson a donné un extrait de ce Mémoire dans le Zulletin de la Société philo- 
mathique de décembre 1814. 

(2?) J'appelle ixtégrale définie singulière une intégrale prise relativement à une ou à 
plusieurs variables entre des limites infiniment rapprochées de certaines valeurs attri- 
buées à ces mêmes variables, savoir, de valeurs infiniment grandes, ou de valeurs pour 
lesquelles la fonction sous le signe f devient infinie ou indéterminée. Ces sortes d'inté- 
grales ne sont pas nécessairement nulles et peuvent obtenir des valeurs finies ou même 
infinies qu’il est ordinairement facile de calculer. Ainsi, par exemple, Æ désignant un 


nombre infiniment petit, et 1, v deux constantes posilives, on fixera sans peine les valeurs 
des deux intégrales définies singulières 


A4. , : 
(a). 0 CE) qu — oE), 
CA Æ | y 
1— NV p, si 
“a 'è CE). 
/1—-7%U Last v 


ù 


336 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 
des suivantes 


Ta ad 
)] 
J K° EE (É RES 1e LE 


0 


g ere a ex + er bx 
( am-ie-kz sin bx dx, | l er Ra —__— cos au da du, 
2 
vo %0 


20 





22 
/ amrle-#z cos bzx dx, 
0 





elles reprendront des valeurs fixes, et se réduiront à 





EC NT (m —1) mT D (m—1)., mr 
co in — 








log(m —1), 


D 3 

È 

w 

GC 

= 

= 
DIA 


Il est remarquable que, dans la dernière de ces quatre intégrales, on 
doit attendre, pour annuler le nombre k, que la seconde intégration 
soit effectuée. La même remarque s'étend à une grande partie des for- 


mules que nous avons données dans le présent Mémoire. 
ax 
Concevons encore que, dans l'intégrale définie | f(æ) dæ, la fonc- 
Li 


tion sous Île signe /, savoir, /(æ), devienne infinie pour des valeurs 
de à comprises entre les Trmites æ’, +", et représentées par æ,, æ,. 
Lee, dm. Cctte intégrale sera le plus ordinairement indéterminée. 
Mais, si elle entre dans le caleul comme limite de Ta somme 
,20— À NET: 2" 

[  J(x)dæ+ | f(æ)dx +...+ f(æ)dæ, 

V x la+h . rm tk 
elle reprendra en général une valeur fixe à laquelle nous avons donné 
le nom de valeur principale. (Voir le résumé des leçons données à 
l'École royale polytechnique.) 

Les considérations précédentes conduisent à plusieurs formules que 
lon peut employer avec avantage, soit dans l'évaluation des intégrales 
définies, soit dans la résolution des équations algébriques ou même 
transcendantes, et que nous allons faire connaître. 

Soient U, V deux fonctions réelles des variables &, 6; et désignons 


PAT Los Lis. En Celles des racines de l’équation 


(1) FA qu re 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 337 
qui, substituées dans la formule 


(2) = U+NVV x, 


déterminent des valeurs de & renfermées entre les limites w’, w”, et des 


valeurs de # renfermées entre les limites #’, 6’. Posons, d'ailleurs, 


x(u,v) — CU VUS 





REP ) 2CU AR V fers 
(3) du 
de 





Enfin, représentons par /,, /,, ..….,:f,-, les véritables valeurs des 
produits # f(x, + #4), 4 f(x, +4), ..., f(x, + #) correspondant 
à £=0o (!). Si l'on intègre par rapport à « et à 6 les deux membres 
de Péquation identique 


(4) Re LED 





dv a ou 


entre les limites u = u', u = u"; 6 = 6", po = 0", et que lon remplace 
dans chaque membre l'intégrale relative à & par sa valeur principale, 
on trouvera 


Un Lo v") — y(u, v')] du 
.. Rate or Du’, p)] de —an(+ ie cn à En fn1)V—1, 


chaque terme de la somme Æ f, +, +...+ f,,_, devant être affecté 
du signe + ou du signe — , suivant que les valeurs de & et de 6 corres- 
pondant à ce terme déterminent une valeur positive ou nés gative de 


. : OÙ 0V où 0V R 
la fonction réelle = — — - Ajoutons que chacun de ces mêmes 
du dv pou: 


(1) Si l'équation (1) avait plusieurs racines égales à 24, p élant le nombre de ces 
racines, il faudrait, pour obtenir la valeur de fo, substituer au produit & f(x k) la 
fonction 

l lé kP f( Lo + À)] 
DDR ODRAL) OL k 





OEuvres de C. — S.H, t.1. | 4. 


f 
Jo 


338 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


termes devra être réduit à moitié, st la valeur correspondante de « 
coincide avec une des limites &’, uw”, ou la valeur correspondante de + 
avec l'une des limites 6’, #”. La formule (5) résulte des calculs déve- 


loppés dans le Mémoire de 18 r4 déjà cité. Si l’on prend successivement 
DV OU D VU cc eine) 


et que dans le second cas on suppose la quantité & toujours positive, 


on obtiendra les équations 


| £ Darren +e voa | 


S v" 


= Vif fes) fu + eV) de — ar (fo+ fi + fn, 


Ce 
UA 
u 


o" 
1 


f ne r PE Er 7 CR og » = 
| | Les" v=t FC ue" 1 un A A à À uevv=1)] du 


= | Lu’ fCu'es — u! fQu'e“V-1)] ei do — an(f, fa fn) VTT. 


V p' 


Lorsque la fonction flu + 6V— 1) ne varie jamais d'une manière 


brusque entre les limites u = — o,u= x; e6=—x,6— 0, et qu’elle 
s'évanoult, 1° pour & = = 2, quel que soit 6, 2° pour # = — , quel 
que soit uw, alors, en posant 0, Mio Dee Ho 0 0 + 


remplaçant & par æ, on üre de [a formule (6) 


4] 


(8) Î Jade = or (pit fi+ + fn 

Lorsque la fonction f{ue*Ÿ-') ne-varie point d'une manière brusque 
entre les limites u=0,u=1; = —7, e=+7, en prenant ces 
mêmes limites pour valeurs respectives de &', u”, #', 6”, on tire de la 
formule (5) 


T 


(9) L evv=1 fCev1) de = QT ( fo + faite. + ni) 


nt AS 


Il importe de remarquer que les quantités f,, f,, ..., fn, corres- 


pondent, dans la formule (8), aux racines de l'équation (1) pour les- 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 339 


quelles le coefficient de ÿ-— 1 est nul ou négatif, et, dans la formule (9), 
aux racines réelles où imaginaires dont la valeur numérique ou le 
module est inférieur à l'unité. Ajoutons que l’on devra toujours réduire 
A moitié Celles dés quantités 4,2... qui correspondraient, 
dans la formule (8), à des racines réelles de l'équation (1), ou, dans la 
formule (9), à des racines dont la valeur numérique ou le module 
serait l'unité. Alors ces équations ne fourniraient plus que les valeurs 
principales des intégrales comprises dans les premiers membres, et 
non leurs valeurs générales qui deviendraient indéterminées. Obser- 
vons, au reste, qu'il sera toujours facile de convertir ces valeurs prin- 
cipales en intégrales déterminées (1). 

La formule (8) s'accorde avec celles que j'ai présentées dans le 
Mémoire de 1814,et dans des Ilecons données en 1817, au Collège roval 


de Fr ance (*). Elle fournit une grande partie des intégrales définies 


(1) est aisé de convertir en intégrales déterminées, non seulement les valeurs prin- 
cipales des intégrales définies indéterminées, mais encore toutes leurs autres valeurs, et 
même les intégrales définies singulières. Ces transformations souvent à des 
résultats dignes de remarque. . par exemple, lorsque la fonction f(x) demeure finie 
et continue entre les limites x = 0, x = œ, l'équation (a) (p. 333) entraine la suivante 


| One) * f(u3) M TOr2) )— (m2) 
(c) J er dz — — ds = SC SRS dz = H(o)1(E 
k Z 74 / 2 h 


CE 0 





Ce] 


ne EVE — e-bs 
laquelle comprend, comme cas particulier, la formule connue É ————— ds = 1(E ). 
7 


0 3 





De même, si l'on suppose que f(x) demeure finie et continue depuis + == o jusqu'à x —4, 
et si l'on désigne par y(21, 2(z) deux fonctions qui, croissant et décroissant avec la 
variable : d’une manière continue, convergent en même temps que celte variable vers 
les limites o et 1, on tirera sans peine de la formule (b) 


1 FArNeA Tee AN re ER 
(4) a [EE LC. a DER 
tm a, Cl pu) 


(?) Dans l'une de ces leçons j'avais déduit, d'une formule générale qui s'accorde avec 
l'équation (8), les valeurs des quatre intégrales 


| Fee sinrx dx, ve Fe Re COSFDTE, 
f(x 


/ ie l(1+ r?x?) dx, ee tangr x dx, 
Pre SAN 102 





= 


Li " Ca) , 
* désignant une constante positive et FC) une fraction rationnelle. 
LE (0 4 


340 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 

simples dont les valeurs avaient été fixées par d'autres méthodgs, et 
beaucoup d'intégrales nouvelles. D'abord, 1l'est aisé de voir que l’on 
ramène immédiatement Féquation (9) à l'équation (8) en posant 


: 
Lane 7, 
ee | 


— 
3 


afin de convertir l'intégrale eV fle V1) de en une autre de la 


æ 
RATE 


forme | f(x) dx. De plus, il est clair que les équations (8) et (9) 


fourniront les valeurs en termes finis des deux intégrales qu’elles ren- 
ferment, toutes les fois que les racines de léquation (1), ou, du moins, 
celles dont les modules resteront inférieurs à l'unité, seront en nombre 
fini. Dans le cas contraire, les seconds membres des formules (8) et (0) 
se changeratent en séries dont les sommes seraient équivalentes à ces 
mêmes intégrales. Je me contenterat, pour le moment, d'appliquer ces 
formules à quelques exemples. 

S1 l’on désigne par à, b, r trois quantités positives, on tirera de la 


formule (8), en supposant a inférieur ou tout au plus égal à 2, 





(10) ( : 
| A r 7 À dx 
ee (0) GER sin { =! _ OT =  —— 14 ne - DONS 
\ V0 \ ie mi 
æ 
dx 
[0 evene 
2 2 
: F— x 
— 
(11) < . ; ’ | 
ar GE ar 
mp ( Las sin ( — — LEE Penn = ra? COST — — br |. 
LP D Vlr V0 2 


L'équation (10) comprend, comme cas particuliers, les formules 


‘+ 


Nb T À FEOSbe  DsitbT mode 
eu ee —— dx = -e"t: 
2 
0 


e ) 3 : H 
0 J —+ T° à (LT Dee æx°? JA VA 
2 Sin — 0 

7) 





données par Euler et M. de Laplace. La formule (x r) fournit seulement 
la valeur principale de l'intégrale qu'elle renferme. Mais, si l’on trans- 


forme cette valeur principale en une intégrale déterminée, et que l'on 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 





341 
fasse, pour abréger, br — c, on trouver: 
AT e (= :) (2) | (= £) 
— SIN{ — —c—)—|— Sin| — — c— 
r 2 Z Gr 2 dc ur aT 
(12) — — = Fcos(2 —<). 
; æ r L 2 2 
0 13 de 


Gette.dernière équation comprend plusieurs formules 


connues, entre 
autres la suivante 








1 A 1—@ 
Rue ) 
gira— | 
2 dE T 
I Le a 
Æ—- — 2tan2 — 
L 0 T ea 


Si l'on pose a == 0, les formules (roi, (4 1) et (12) cesseront d'être 
exactes; mais, en opérant toujours de la même manière, on trouvera 





Pur She dr F 
A » » — Éerrs Il à Edo 
0 La 1° + x? DT 
(13) 





"*sinbx dx Ta. 
EE 
x æ 12 PE 


A 7e To Ti 
SIN CN) Since 
7 D A 7 42 T 
(14) 


À 





(1 — cosc). 


Do 0 


On tire encore de la formule (8), en supposant & positif, mais infé- 
à l'unité, 


Ja CæV—i)"e-bxV 1 x 
te A) rss 


rieur, où tout au plus égal 








AN . x 
(15) de  - 
: COST — — br }l(1+x?)+2sin| == — br }arctangz 
2 d 2 S at dx an pa-te-br 
eo. [st + a*)J}+ (arc tangz D di. 


el, en supposant «a = 0, 


| nn 
ne Iron hr 


| . cosbæl(i+x?)—2sinbæarctangz dx 
20, 


ouRe Avr 1. 
L3 {QG + x?)fF+ (arc tangz} D pet 0 SN A EU UE EAN où 





(16) 





342 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


Si l’on fait, dans ces dernicres formules, b = 0,r=—1,x = tangs, et 


de plus a — 1 dans l'équation (13), on obtiendra les intégrales 


l 
3 siangzds  %. . ne ce =E{ ue 
32 ({cosz)  24(2) l z+ (lcoss)? 2 À H3) 


210 








citées par M. Poisson dans le Bulletin de la Société philomathique de 


septembre 1822. 
On déterminerait avec la même facilité les valeurs des intégrales 


définies imaginaires 
(D, 


AAC ER de te A — 
e-baV-1 dr, ), r sing + (x + r cos6 Fit dp 
| _F(x) É (2) | )\ | 


‘et par suité celles des intégrales réelles 





3% AR tte k ; 22 ê x) ; 
le 7 cosbx dE; | nel sin dr dx, | Lea) l(r*+2rxcos0+x?)dx, 








J F@ .F(x) : J_.F(x) 
+ x + r COSô ir Hi ) 
re are tang Re 2 Ci RE : 
Ris sin _ .F(z) [étti+az)P+ (arctangz} 
die arc Lang æ 
| — : ss AT) ue 
J_F(æ)Latt +2} fF+ (arc langæ) 


(F2 
F(x) 
et ; un arc compris entre les limites o, 7. Nous ne nous arréterons 


; désign nt une fraction rationnelle, b, r des constantes positives 


pas davantage aux diverses applications de la formule (8) que lon 


pourrait multiplier à Pinfinr. 


Si l'on fait, dans la formule (9), /(æ) — TE. la fonction f(x) 
étant choisie de telle manière que de reste finie et 
déterminée entre les limites u=o, u—=1; Pp=—TmT, = +T7T—T,0nen 
conclura 





di fCerv—1) FPE) 101,1 fÉz,) , 
(17) ———" de = 2 e ne pes nu _ +. |, 
ae ù F(e*v-1) É DA) es NET A MES É 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 383 

Los &,, ... désignant les racines réelles ou imaginaires de l’équation 
F(æ)—o, qui auront pour valeur numérique ou pour module un 
nombre inférieur à l’unité. Ainsi, par exemple, en posant 

(Nr 47, 
on (rouvera : 

Pour a +. 

He 1) 

(18) oi —— de —92rf(o), 


1— ae 
—N 





et, pour a >1 


‘ >b ÿ—1 
(19) Ju fe en 











a 


Ces formules s'accordent encore avec deux autres que M. Poisson à 
citées dans le Bulletin qu'on vient de rappeler. 
Concevons maintenant que l’on prenne 
o(æ)F(x)—m(x)F( æ) 


(20) CAES F(x) pret 





F(æ), 9 (x) et &(æ) désignant des fonctions arbitraires, mais telles, 
Cependant, tue ls raciles 2, 2. appartiennent {outes à 
l'équation 

(21) Fr) 0. 

On conclura des formules (5), (6), (3), 


sr 0 em Me dit) 


one le [Yu » ©) — dur’, e)] de 


Ne 1, 


au 


ee . LCus #7) — y Cu, e!)] de, 
o(x;) ste o(xi) MO Or D(Tm-1) 


nn . | /\ u+p W—1)— fu + Von) de 


27 


— 1 


Se ef LA Hi ARE _ 1) et u + p'V Hp) du, 


Pa 
© 
O9 | 
nr 
RS TT 


3hh MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


el 
| o(%) nt o(æ) a y P(Tm-1) 
Av" ou Ne 
| en | Lu" f(u"ev-1) — u! f(u'e’v 1)] e-Lar 
(24) 4 . v° É 
| PS au" ee hu Re ue 
TL ER Les v—: f( ue”"V—1) — envi f( ue”V=1)] du. 
2T 
\ CES 1 4 


Les racines de l'équation (21) qui entrent dans ces dernières formules, 
SAVOÏ, Lys Lise Lys Se réduiront à une seule, si lon choisit conve- 
nablement les limites w’, 4”, 6’, 6". On peut donc obtenir par ce moyen 
la valeur de 5(æ,), puis, en posant 59(æ) — x, la valeur de +,, c'est- 
à-dire, d’une quelconque des racines exprimée à l’aide d'intégrales 
définies simples. On doit même remarquer que ces intégrales renfer- 
meront des constantes arbitraires &’, w”, v', v”, avec une fonction arbi- 


traire &(x) assujettie seulement à certaines conditions. 


Lorsque la fonction flu + 0 — 1) s'évanouit pour p == Æ, quel 
que soit w, alors, en supposant = — 2, "=, on réduit la for- 


mule (23) à 


o(To) + CS 20 na on PT) 


695%) É I At Fr. ne 
(29) | = | nr net ride 
25 j 
\ CCR 
Lorsque dans la formule (24) on suppose = — 7, "= +r,u=0, 


w’=r (r étant une quantité positive), on trouve 
i h — — 
(26) DL) + (LI). pit) = — [ rev vi f(re“v-1) de. 
2TR 
—T 


Silonveubquemi ri enr. représentent toutes les racines de 
l'équation (21), il suffira de concevoir que dans la formule (25) les 
deux quantités w’, u” deviennent, la première inférieure, la seconde 
supérieure aux parties réelles de toutes ces racines, et que dans la 
formule (26) la quantité r surpasse à la fois les valeurs numériques 
des racines réelles et les modules des racines imaginaires. 


Les formules (23) et (25) comprennent, comme cas particuliers. 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 345 


celles que j'ai données dans un Mémoire sur la résolution des équa- 
tions par les intégrales définies, présenté à l'Académie des Sciences 
le 22 novembre 1819. 

Dans tous les cas où lon peut réduire à zéro la fonction arbi- 


traire (x), la formule (20) donne simplement 








Alors, en faisant, pour abréger, (x) F'(x) = f(x), on tire des équa- 
tions (25) ct (26) 


de : on 
(Ts) ET) U (Zn 1 ) 


2 = co 
“4 | Le É CRAN EDR 
: : ce Peut p\- 1) Fu eV) 


) (ao) 1(æs) e il T yn—1 ) on [ VAE fCres vi ) 
. L (To ns L- (æ: ne es 1) nn : He F Æi 























Ho) 


L'équation (25) suppose : 1° que la fonction s'évanoutt 


F(u+ey—1) 

pour p= +, quel que soit u; 2° qu’elle ne varie jamais d’une maniere 
brusque entre les limites e=—, p=+x;u=u,u—=u"; 3 qu'entre 
ces limites la fonction f{u + 6 ÿ— 1) ne devient jamais infinie. Dans 
l'équation (28), les deux dernières conditions subsistent pour Îles 


fCuevv—1) ne 
fonctions ne) f(ue’V="), mais seulement entre les limitese= —#, 


F(ue”v—1) 


DR 0,17, \OUO0RS QUE D, Des D) CCD GieUt, Ce 
la formule (27), celles des racines de l'équation (21) dont les parties 
réelles demeurent comprises entre les limites u = u', u = uw”; et, dans 
la formule (28), celles de ces racines dont les valeurs numériques ou 
les modules sont inférieurs à r. 


= £ NT EME" 
CET ED 
F(u+vy—1) 


s’évanouit 





Dans le cas particulier où l'intégrale Je 
pour &# — — «, alors, en prenant #' = — «, u' == U, on réduit la for- 


OPuvres de CLS AL Ce TE 44 


346 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


mule (27) à 


(29) ÉD I tn OU cu) 


 —— 2 4h: 
F'(x) Ca) E (tm) de 1) 











Le premier membre de celle-ci renfermera toutes les racines de léqua- 


tion (21), si la quantité U surpasse les parties réelles de toutes ces 





racines. 
n . f(æ) . . à 
Lorsque la fraction FG) devient rationnelle ou de la forme 


AA ne AO en 0 nm CC) 


; 2 ) 
Aj+AiT+...+ Aux" 


* 





et que le nombre p est inférieur à m2 — 1, alors, en prenant u = — ce, 


u'== ne, on réduit à zéro les intégrales que renferme le second membre 





de l'équation (25), et lon trouve 
Le NE fs: Fémi-u) 
(30) Le De M, mt) — 0, 
(xs)  E'Cx:) E"(Zm1) 
…. ; . , : L Os / à É 
Si, au contraire, l’on suppose p — 72 — 1, alors, en faisant u' = — U, 


«== Ü, et attribuant à U des valeurs infiniment grandes, on réduira le 


second membre de la formule (25) à 











CE) \ nn ds 
FE ( | do — int Î U 4e _ An 
DEEE re A gr = Rs mA Die ) 
PATES A» Ü + ey- il VU + es. TA. Pnee EE A» 


et par suite cette formule donnera 





(31) f(Ts) , (x) . RÉ) (CATEE 
A VA ; Anne CE ce cer Te + 
F(o) (æ;) Pts) An 


Les équations (30) et (31) s'accordent avec un théorème que J'at 
démontré dans le XVIH° Cahier de ce Journal, page 2037. 

Les diverses formules que nous venons d'établir fournissent le 
moyen d'exprimer, par des intégrales définies, non seulement les 
racines d’une équation algébrique ou transcendante, mais encore Îles 
sommes de fonctions semblables de ces mêmes racines, ou de quelques- 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 347 
unes d’entre elles; et par suite les intégrales générales des équations 
linéaires aux différences finies ou infiniment petites à coefficients 
constants, et souvent même à coefficients variables. C’est ce que nous 
allons faire voir, en peu de mots, pour les équations différentielles et 
aux différences partielles. 

Supposons d'abord que, A,, A,,..., À, Ÿ désignant des quantités 
constantes, et Ÿ une fonction inconnue de 4, on veuille intégrer l'équa- 


tion différentielle 


du dm 

. ne LES 
63: AoŸ tir +...+ A,, PTE Eat 
avec Ja condition que 

à dy dm-14 
(53) 0 men 

se réduisent respectivement à 

(34) W. 1, | Wrr- 1 
pour £ = 0. Alors, en posant 

Lo) F(0)=A,+A,9+...+A,6", 


et nommant 0,, 6,,...,0,,, les racines de l'équation 
(36) Ft = 0, 
on trouvera 


N _ ( y ue ô, Fe 6). 0 (Y eu CRE) 
(0, — 6, )(8, — CES . ue UE LME 





LES 











(37) { + —_————— ——— : = ré & dn-st 
( di NET Go) KT ô, JE . (0 tee Pr 0) 
FCE)—F(8,) ele OR) or 
mes = SEE x + TN EE S Nero van: 
| WG  F(G) Dr Rio) 


Or, si l’on désigne par @ une limite supérieure aux parties réelles de 


toutes les racines de l'équation (36), la valeur précédente de L pourra 
Î - 


48 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


être, en vertu de léquation (29), présentée sous la forme très simple 


(38) Es FOP)—F(6+0—5) «Ori 


| —— ——— d0. 
27 J ._  W—(@+0V—1) F(O +8 —r) 





Si lon voulait intégrer l’équation (32) de manière que les expres- 
sions (33) se trouvassent réduites par la supposition {= 0, non plus 
aux puissances successives d'une même quantité W, mais à des quan- 


üites differentes 


{ 39 } U 1 L + URONOOE no. 


on pourrait toujours employer la formule (38), pourvu qu'après avoir 
développé le second membre suivant les puissances ascendantes de W, 
ON Convint ee remplacent par de par 0, par. 
Lorsque Îles quantités (39) sont arbitraires, le développement de la 


FE) —F(x) . , ; . - 
fraction 5; modilié conformément aux conventions dont il 


s'agit, se change en une fonction entière mais arbitraire de æ, du 
degré ne 1. Donc, en désignant par &(x) une fonction de cette 


nature, on aura pour l'intégrale générale de lPéquation (32) 





en DO +901) (o40=in 9. 
CEE 


Supposons, en second lieu, que lon veuille intégrer l'équation 


: dy d'à dm 
f D a se no ), 
(41) 0 \; dt As dt? (ES \ den J(E) 


avec la condition que les expressions (33) s’évanouissent pour { = 0. 


On aura 


(9 t 


2* m—1 


nl 
ee —0, Mine RU 
= EG S f CE AN à EE 4 ho / e f(E) dt 


lo) 
al nt 
(9 (et) f r) dr 1 . D CET) 7 dr 
evo f)d+...+ = Cm (T}at 
PL EC POS 0 f 





Re 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 349 


et, par suite, 





(43). 


n 


= 2 e(@- 01) —T) 7 ; 
MER TEUS 4 À 0h 
CT es 


Si l’on voulait, au contraire, que les expressions (33) fussent ré- 
duites, par la supposition ?— 0, aux quantités (39), alors il faudrait 
réunir les valeurs de Ÿ données par les formules (38) et (43); et l'on 


trouverait, en ayant égard aux conventions ci-dessus énoncées, 











(44)  Ÿ—: 


2H 


1 "A D En NC em D [ Je) de e(8+0)-1): 46 


w_(6 + 0ÿ—3) AO | FO + 0ÿ— 1) 


Si à la formule (29) on eüt substitué la formule (25), alors, en 
désignant par 0’, 0" deux quantités, l'une inférieure, Pautre supérieure 


aux parties réelles de toutes les racines de lPéquation (36), on aurait 




















On revient immédiatement de la formule (45) à la formule (44), en 
posant 0’= — +, "= @. Ajoutons que la formule (45) peut être vé- 
rifiée directement par la substitution de la valeur de Ÿ qu'elle donne, 
dans Péquation (4r). 

Il est essentiel de remarquer que, si dans la formule (43) on prend 
DL Inais 








l'intégrale relative à +, non plus entre les limites 7 — 
entre deux limites 7’, 7”, l’une inféricure, l’autre supérieure à £, la 
valeur de Ÿ qui en résultera satisfera généralement à la formule (41), 
puisqu’en la substituant dans le premier membre on obtiendra l’équa- 


tion exacte 
Ate 


C46) Le | | FetO+0= Der f(x) dr dO— (0). 


trouvé 
y . A F(Y) — F(g" + +) . f(=) dr bee 
2T DS Re ur o ROENPENTE ET (Ur VE) 
2) / 
| el . phoe] ln) teIar TT e(6#0)-1) 40 
Le. ( G'+ 0 Var . / #( 6 + BV ns | 


350 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 
Concevons matntenant qu'il s'agisse d'intégrer l'équation différen- 
telle 


A, A, dy Am did dd 
(47) ——% ee D + — f(6), 
ER CRUE It démi PT 





avec la condition que les expressions (33) se réduisent respective- 


mentaux quantités 
(48) We, Y, WE —:r), ., W(W—1)... (mm +a), 


pour {= 0. Alors, en supposant la fonction F(0) déterminée, non plus 


par la formule (35), mais par la suivante 
(49) F(9)=A;+A,9+A,6(6—1)+...4+A,0(0—1)...(8 —m+i), 


Gn trouvera, en vertu de l'équation (29), 








| ee / EC) = E(e +aV=) 1), + H84/T LME 
à Te HO +641) (0 + 9V—5) 
00: a 
\ Pre At / A \ ©] (,/ i 7 APE ps 
| Le È no 7 (+ Trust PARU uE ; 
2T., de nat, F(@ +6V—:1) 


et, en vertu de l'équation (235), 























ne ii le ROPIRANURE Oy-—1) Gi Ju 6)" + Le aire io 
27}. SCT ERTS GEST) 
se nt} \ 0"+07 . : 
Con fi+t \ (7) dô dr 
Are | | (==) Ro 
: LEA ANS PT ET F(6"+ 9ÿ—1:1) 
(1) le en 
nee FCF)— F8 + 6v—1 D + op aÿ 
2T (6 +6ÿ—:) POS PET) 
dns 
| ; NN HT) - 
\ æœv0( nr AS ÉE een 


Si l’on voulait que les expressions (33) fussent réduites par la suppo- 
sition {— 0, non plus aux produits (48), mais aux quantités (39), 
on pourrait encore employer la formule (5o) ou (51), pourvu que 
l’on convint de développer le second membre en une série de termes 


proportionnels aux produits dont il s'agit, et de remplacer ensuite 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 351 


dans le développement ces mêmes produits par les quantités W',, 
ed. 


\ 


Considérons à présent une équation linéaire aux différences par- 
tielles, par exemple, l'équation (1) de la seconde Partie. Les valeurs 
des quantités T,, T,,...,T,_, comprises dans l'intégrale générale de 


cette équation dépendront, comme on l’a vu, de la fonction S assu- 


jettie à vérifier la formule (11) (p. 310), avec les conditions (8) 


(p- 309). Or, en vertu de ce qui précède, la fonction S, déterminée 
de manière à remplir les conditions prescrites, pourra être présentée 
sous la forme 


(52) MIO ICEATED) e(@+y-r De d9 
CR CET 1) F(6 +8 Vent 








O désignant une limite supérieure aux parties réelles de toutes les 
racines de l’équation F(0) = 0. Si lon développe la valeur qu’on vient 
d'obtenir pour S, suivant les puissances ascendantes de x, on trouvera 


pour les coefficients respectifs de ces mêmes puissances 








CE, = RE FA nm —1 

lv, =: / A+ A (8 +601) +...+ Au(8 +0 V- nie oo 
he F(O +61) 

1 de As + + An(8+0v:) . eO+0—1)e g6, 
2m J F(9 + 9y—:) 





i Le A 
Tri — — Fe —_ e(0+0ÿ— 1): 79. 
af re 


Ces dernières valeurs de T,, T,, ..., T,_, s'accordent, en vertu de 
la formule (29), avec celles que nous avons données dans la seconde 
Partie (p. 311 et 312). 

Si l'on remplace l’équation (1) du paragraphe I (HE Partie) par 
l'équation (28) du paragraphe HT, la valeur de & sera donnée par les 
équations (34) et (36), dans lesquelles on aura 





1) db. 


__eht+elt+..,+ eînit s | . tes de . __ e(8+0y- 
(0 + 8ÿ—1)"— : 


332 : MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


Dans un autre Mémoire, je reviendrai sur l'application de ces diverses 
formules, soit à la résolution des équations algébriques, soit à l’inté- 
gration des équations linéaires aux différences finies ou infiniment 
petites à coefficients constants, ou à coefficients variables, et je les com- 
parerai avec celles qui ont été présentées par MM. Parseval et Brisson, 
sur les mêmes sujets. Je finirai en observant que, si dans la for- 
mule (2) (F® Partie) on remplace la fonction /(u..v,s,...) par Île 
produit ettr-#eboVett-e,,, fCU, v, w,.. ), à, b, ©, ... désignant des 


constantes réelles mais arbitraires, on trouvera 


f / I \ An a fa Ares ess 
No (3) [] tata D (+8) DEN, 
(99) | si - 


x fu, 5, ...)...da du dB ds... 


I en résulte que dans tous les calculs de la seconde Partie, et dans 
les fonctions A4, À,, ... Aw_w FCO), ... on peut écrire a+ ay—1, 


b+Gy—1,...aulieu deav—7, Gÿ—1,.... Par la même raison, à 


la formule (26) de la page 315, on peut substituer la suivante 
pas 


| AR os . . FA 
|  — on. | ! | | …. etat) æ-p) (b+BV—1) (7), É tt 0+09—1)(4—+) 
: 2T 
NS tar . U e/ 
(56) 


nue JT) x du dB dv.…..d9 dr, 
F(O + 6V—:) 


a, b, ..., @ représentant des constantes arbitraires dont la dernière 
pourra même être remplacée par une fonction quelconque de &, one 
par exemple par une quantité supérieure aux parties réelles de toutes 
les racines de l'équation F(6)= 0. Ajoutons que, pour obtenir la 
valeur de F(6 + 0 ÿ--1) qui convient à la formule (56), il suffira de 


substituer dans la valeur générale de Vo un produit de la forme 
(a+ av—1) (b+8v—1)...(0 +8V—:) 


à chaque terme de la forme 


QP+I+ + F5 @ 


Le . 0x O0YL0a. mor 





DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 303 
Remarquons enfin que, si dans la formule (56) on suppose l'inté- 


[ZA 


gration relative à 7 effectuée, non plus entre les limites + = 7’, 7 =", 





mais entre les suivantes 7 








= 0,7 — 4, la valeur de + qu'on obtiendra 
sera précisément l'intégrale de l'équation (25) (H° Partie), cette inté- 
grale étant déterminée de manière que les expressions 


PUNTO . : do d"! + @ 
Su 9 ot . h gent 





s'évanouissent toutes pour {= 0. 

Au reste, 1} suit évidemment de la formule (55) que, si l’on donne 
une équation linéaire aux différences partielles et de l’ordre »2 par 
rapport à {, dont le premier membre ne renferme que des coefficients 
constants ou fonctions de 4, et dont le second membre se rédüise à un 
terme variable ou de la forme f(x, y, 3, ...,4) on pourra facilement 
intégrer cette équation de manière que les expressions (53) se ré- 


duisent respectivement d 
St, LE 3,...), Jitæ, F5 F5...) ST În-1(Z, Jr E»...), 


pour &=— 0. En effet, pour y parvenir, il suffira de poser 


n Nu 7 © al" hnz A 
£ 1 }es ñ VD DR n 
(58) o=( ) l | À l gate) (ep) 6(b+ 8/5)» "1... bdode dS du... 
HR CT TE : 
— æt L' s S 


ot Vr 





en assujettissant l’inconnue Ÿ, considérée comme fonction de #, à une 


équation différentielle de la forme 


Ë di 


Ÿ CE 
(99) Aot+A; 27 +...+A,, PT as AT AU 0), 


dans laquelle À,, À,,..., A, représenteront des fonctions connues de 
a + @ ee b +5 nr …. et de la variable #. Alors il ne restera 
plus qu'à intégrer cette équation différentielle de manière que les 
expressions 

dY cn: 4 


Y er à) 0.7 


PT demi 
se réduisent respectivement à 


D DSP a Go DEP) 
OEuvres de C. — S. H,t.1. 45 


354 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


pour 4-0. Ce dernier problème se résoudra très simplement par les 
méthodes précédentes, si les coefficients A, A,, ..., A, sont con- 
stants, c'est-à-dire Indépendants de la variable #, où réciproquement 
proportionnels aux puissances entières et descendantes d’une fonction 


linéaire de cette variable. 


P.-S. — On se trouve naturellement conduit par la théorie des 
quadratures à considérer chaque intégrale définie, prise entre deux 
limites réelles, comme n'étant autre chose que la somme des valeurs 
infiniment petites de l'expression différentielle placée sous le signe [. 
qui correspondent aux diverses valeurs réelles de la variable, ren- 
fermées entre les Himites dont il s'agit. Or, cette manière d'envisager 
une intégrale définie nous parait devoir être adoptée de préférence, 
ainsi que nous venons de le faire, parce qu'elle convient également à 
tous les cas, même à ceux dans lesquels on ne sait point passer géné- 
ralement de la fonction placée sous le signe Î à la fonction primitive. 
Elle a, de plus, l'avantage de fournir toujours des valeurs réelles pour 
les intégrales qui correspondent à des fonctions réelles. Enfin, elle 
permetde séparer facilement chaque équation imaginaire en deux équa- 
tions réelles. Tout cela n’aurait-plus lieu, si l'on considérait une inté- 
sralc définie prise entre deux limites réelles, comme nécessairement 
équivalente à la différence des valeurs extrêmes d'une fonction pri- 
mitive même discontinue, ou si l’on faisait passer la variable d’une 
limite à l'autre par une série de valeurs imaginaires. Dans ces deux 
derniers cas, on obtiendrait souvent, pour les intégrales elles-mêmes, 
des valeurs imaginaires semblables à celle que M. Poisson a donnée 


pour la suivante 


Qooir le VIS Cahier de ce Journal, p. 329). Si l’on applique à cette 


intégrale les méthodes ci-dessus indiquées, on trouvera pour sa valeur 


principale — =>sinab, tandis que sa valeur générale, considérée 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 333 
comme limite de la somme 


RE 
0 Jptky T b 


>0—KkU > © 
. COSa x COSaX 
1 D de + | ——— dx, 
sera déterminée par la formule 


A 
cosazx dx T : 
[ ———— = —-(cosablm—sinab), 
D be 20 


m désignant, pour abréger, une constante arbitraire égale au rap- 


port Ê. De cette formule on tire immédiatement les suivantes 








AN! a \ 
COS 
COSaT æ'" dx T ; 
— — Mm——— | —-—-{cosalm—sina), 
J I æ Die 
. Ton FILLES | 
) x Lt, 
Al a 
COSAT COS 
æ dx Ro 
————————— — —— —sina, 
I x ) 
Vp S 


dans lesquelles les fonctions sous le signe / cessent de passer par 
l'infini entre les limites des intégrations. | 

Au reste, il peut arriver qu'à uné même intégrale correspondent 
plusieurs fonctions primitives, dont les unes conduisent à des valeurs 
réelles de lintégrale, les autres à des valeurs imaginaires. Ainsi, par 


exemple, si l'on considère lintégrale 


A+ 2 


f 2 n : 9 
dx æ dx AL 
nn — . ere, 
LE T . oi 


do v —1 


on pourra prendre pour fonction primitive ou le logarithme népérien 
de æ, tantôt réel, tantôt imaginaire, ou la fonction 21% supposée tou- 
jours réelle. La différence des valeurs extrêmes, qui sera imaginaire 
dans le premier cas, se réduira dans le second à la quantité réelle = 14 
ou Î2, laquelle est précisément la valeur principale de lintégrale 


proposée. 


390 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 

I importe d'observer que, pour différentier la valeur principale 
d'une intégrale indéterminée par rapport à une quantité distincte de 
la variable à laquelle l'intégration est relative, il ne suffit pas toujours 
d'effectuer la différentiation sous le signe [. Mais toutes les questions 
etles difficultés que lon pourrait proposer à ce sujet seront aisément 
résolues, si Fon a eu soin de remplacer l'intégrale indéterminée par 
la somme dont sa valeur principale est la limite. Concevons, par 
exemple, qu'en attribuant au nombre # une valeur infiniment petite, 
et supposant la quantité a positive, mais inférieure à l'unité, on 


veuille différentier z fois par rapport à la quantité a l'équation qui 








Ps | 
, : , : ! à À , ee 7 
fournit la valeur principale de l'intégrale indéterminée | nr On 
20 
présentera cette équation sous la forme 
.. dx Là dx 7) 
+. à LENS AI a p 
00 CEE en à LA 
et, en la différentiant z fois, on trouvera 
-a—k / : 
/ d' ( re ) 
TI — 
ee 
: da" 
a | : VA 
I [— «€ 
dt (==) : 5 [un \nT d® Î em ) 
———— dx — 1.2.3... (n—1)|({+) —(— = ————. 
BE Enr da” à ) (x) (- x) | da” 


Par suite, en réduisant chaque intégrale indéterminée à sa valeur 
principale, on aura, pour des valeurs paires de 2, 





et, pour des valeurs impaires de 2, 


Pa | 
d(——) dr1( æ 2) 
AN si a 


2 
D EE D PE (n—1).— —o, 





0 


ce qui est exact. 


DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 357 


Nous ajouterons, pour ne laisser aucune incertitude sur la valeur 
des signes algébriques dont nous nous sommes servis, que, dans ce 
Mémoire, comme dans le Cours d'Analyse de l'École royale poly- 
technique, nous avons toujours emplové la notation arc tangæ, pour 
indiquer le plus petit are (abstraction faite du signe) dont la tangente 
soit égale à x, et les notations Qu +oÿ—1}, lu +pÿ—5) (u dési- 
gnant une quantité positive où nulle), pour représenter les expressions 
imaginaires 


U 


(ue? + p?)? 


: . TT 
COs (u arctang :) + V— 1 sin (a arctang ” | 
| u 





u 


\ \ 


1 : , —— 
— [(u?+ p?) + — 1 arc tang -- 
2 [a 





MÉMOIRE ( 
SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 


- QU'IL FAUT ATTRIBUER A DIVERS ÉLÉMENTS DÉTERMINÉS 
PAR UN GRAND NOMBRE D'OBSERVATIONS, 
POUR QUE LA PLUS GRANDE DE TOUTES LES ERREURS, 
ABSTRACTION FAITE DU SIGNE, DEVIENNE UN MINIMUM. 


Le P. Boscowich a fuit voir comment on pouvait résoudre la question 
précédente, dans le cas où l'on n'a qu'un seul élément à considérer. 
M. Laplace a exXatniné une question semblable dans le troisième Livre 
de la Mécanique céleste, qui traite de la figure du sphéroïde terrestre, et 
a donné une méthode facile pour déterminer la figure elliptique, dans 
laquelle le plus grand écart des degrés du méridien, abstraction faite 
du signe, devient un minimum. On a dans ce cas deux éléments à con- 
sidérer, au lieu d’un seul, Mais la fonction des éléments qui représente 
les erreurs n'est pas la plus générale possible. I restait à étendre la 
méme théorie au cas où cette fonction devient la plus générale de son 
espèce, et où le nombre des éléments est supérieur à deux. M. Laplace 
avant bien voulu m'indiquer ce sujet de recherches, je me suis efforcé 
de répondre à son attente: et je suis parvenu à une méthode générale 
qui renferme toutes les autres, et qui reste toujours la même, quel 
que soit le nombre des éléments que lon considère. Tel est l’objet du 
Mémoire que j'ai l'honneur de soumettre à Ja Classe. Voici d’abord en 


quoi consiste le probléme qu'il s'agit de résoudre. 


(1) Présenté à la première Classe de l'Institut, le 28 février 1814. 


MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS, ETC. 339 
Lorsque, pour déterminer un élément inconnu, par exemple une 
longueur, un angle, cte., on à fait un grand nombre d'observations 
‘ou sur ces éléments eux-mêmes, où sur d’autres quantités qui en dé- 
pendent, alors chaque observation prise à part détermine une valeur 
particulière de l'élément. Si l'on a déjà conclu, soit des observations 
que lon considère, soit d’autres observations faites antérieurement, 
une valeur approchée de l'élément, pour déduire de cette valeur la 
véritable, il suffira d'y ajouter une petite correction que l’on peut 
désigner par la variable æ. Chaque observation, prise séparément et 
considérée comme exacte, détermine une valeur particulière de la cor- 
rection. Mais si, au lieu de considérer cette équation comme exacte. 
on suppose qu'elle soit en erreur sur le résultat vrai d'une certaine 
quantité, alors la correction à faire, ou la variable æ qui la repré- 
sente, deviendra fonction de cette erreur, et réciproquement. Par suite, 
l'erreur de chaque observation pourra en général être exprimée par 
une série ordonnée suivant les puissances de la variable, et dans la- 
quelle, vu la petitesse de la correction à faire, on pourra s'arréter à la 
première puissance de celle-ci. Cette erreur sera done représentee par 
un binome, dont le premier terme sera constant, et dont le second 
renfermera seulement la première puissance de la variable æ. Si les 
observations données doivent servir à déterminer plusieurs éléments 
au lieu d’un seul, en désignant les corrections respectives de ceux-ci 
par les variables x, 3, 2, ..., on parviendra de là mème manière à 
représenter chaque erreur par un polynome du premier degré en æ, y, 
3, .... Cela posé, #/ s'agit de trouver pour ces variables un système de 


valeurs 
D 


XY 
2 


Y—=N, 0 os 


tel que le plus grand des polynomes que l’on considère, ou, ce qui revient 
au même, la plus grande des erreurs qu'ils représentent, devienne, abstrac- 
ton faite du SLgNC, UT MÜUTUMUM. 

Le problème se simplifie considérablement, lorsque les polynomes 
qui représentent les erreurs sont deux à deux égaux et de signes 


contraires. Alors, en effet, pour des valeurs déterminées des variables 


360 _ MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 

æ, y, 3, ..., la plus grande des erreurs positives est égale à la plus 
grande des erreurs négatives; et la question se réduit à déterminer le 
système des valeurs de æ, y, z, ..., pour lequel la plus grande des 
erreurs positives devient un minimum. Si les erreurs ne sont pas deux 
à deux égales et de signes contraires, on pourra ramener ce cas au 
précédent, en doublant par la pensée le nombre des erreurs et joignant, 
aux polynomes qui représentent les erreurs données, d’autres poly- 
nomes égaux et de signes contraires, destinés à représenter les erreurs 
fictives que l'on se propose de considérer. Si parmi les erreurs dônnées 
il s’en trouvait déjà plusieurs qui fussent égales et de signes contraires, 
il serait inutile d'en doubler Ie nombre. Au moven de l’artifice précé- 
dent, on écarte les difficultés qui pouvaient naitre de la distinction 
des signes, et l’on est alors autorisé à considérer une quantité négative 
plus grande comme plus petite qu'une autre quantité négative moindre. 
La question proposée se trouve ainsi, comme on l'a déjà remarqué, 


amenée à la suivante : 


2, Y, 3, .…. étant les corrections des éléments que l’on considère, déter- 
miner pour ces variables un système de valeurs tel que la plus grande des 


erreurs posuives devienne uri mirumum. 


Je vais exposer en peu de mots la méthode qui conduit à la solution 


de ce nouveau problème. 





Soient m—£6, y=n, = —%, ..., les valeurs des inconnues qui 
résolvent la question. Chacune de ces valeurs devra être choisie parmi 
une infinité d'autres. Il semble donc au premier abord que, pour 
arriver à la solution cherchée, il faudrait faire varier séparément cha- 
cune des corrections æ, y, z, ... et examiner quelle influence peut 
avoir la variation de chacune d’elles sur l'accroissement et la diminu- 
tion des erreurs que l’on considère. On peut néanmoins atteindre le 
but qu'on se propose, en se contentant de faire varier une seule correc- 
tion, z par exemple, ainsi qu'on va le faire voir. 

Supposons un moment le problème déjà résolu pour un nombre 


d'éléments inférieur d’une unité à celui que l’on considère; concevons 


QU'IL FAUT ATTRIBUER A DIVERS ÉLÉMENTS, PEL 00! 
de plus que l’on donne successivement à + toutes les valeurs possibles 
depuis 3 = — + jusqu'à 5 = + œ, et que pour chaque valeur de z on 
détermine les autres variables æ, y, ..., par la condition que la plus 
grande erreur devienne un minimum. On obtiendra de cette manivre 
une suite de systèmes de valeurs de æ, NOTE parmi lesquels se 
trouvera nécessairement le système cherché; et, pour obtenir ce der- 
nier, 1l suffira de choisir, entre les minima des plus grandes erreurs 
correspondant aux diverses valeurs de z, celui qui est lui-même plus 
petit que tôus les autres. Ce dernier correspond à la valeur Z de 2: et 
par suite, si cette valeur était connue, il nv aurait plus de choix à fre. 
et la question se trouverait ainsi ramenée au cas où l’on a un élément 
de moins à considérer. Mais, comme on ne peut espérer de découvrir 
immédiatement la valeur Z de z qui satisfait à la question, 11 faudra 
commencer par donner à s une valeur arbitraire, en supposant, par 
CREDpIe, 0,0 déterminer les valeurs correspondantes de x, y, …, 
par la condition ci-dessus énoncée, savoir, que la plus grande erreur 
devienne un minimum. Après avoir ainsi obtenu le minimum des plus 
grandes erreurs pour la valeur zéro de z, 11 ne restera plus qu'à faire 
varier £ de manière à faire décroitre le minimum dont il s'agit, jusqu'à 
ce qu'il acquière la plus petite valeur possible. La méthode qu'il faut 
emplover pour + parvenir est fondée sur le théorème suivant, démontré 
par M. Laplace : 


Quel que soit le nombre des éléments renfermés dans les erreurs que l'on 
considere, si l’on fait varier, ou tous ces elements, ou seulement quelques- 
uns d’entre eux, et que l’on détermine les valeurs des éléments variables 
qui rendent la plus grande erreur un minimum, pour les valeurs dont il 
S'AgU, plusieurs erreurs deviendront à la fois égales entre elles et les plus 
grandes de toutes, et le nombre de ces dernières surpassera loujours au 


moins d'une unité le nombre des éléments variables. 


Pour montrer comment on peut faire l'application de ee théorème à 
la question proposée, supposons que l’on ait trois éléments à consi- 
dérer. Soient +, yetz les corrections de ces trois éléments. Soit » le 


QEuores de CS IRL. 46 


362 MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 

nombre des erreurs, et désignons celles-ci par e,, e,, ..., e,. En vertu 
de ce qui précède, on commencera par supposer, dans toutes les 
erreurs 3 = 0, et l’on déterminera, dans cette hypothèse, les valeurs 


de,æ et de y qui rendent la plus grande erreur un minimum. Soient 
Œ-. d, +0 


les valeurs dont il s’agit. Il suit du théorème précédent que, pour les 


valeurs &, 6 et o des variables æ, y, 3, trois erreurs, par exemple 
Cp) Cqys Crs 


deviendront égales entre elles et les plus grandes de toutes. De plus, la 


double équation 
met Pere 0 


servira à déterminer les valeurs & et 6 de æ et de y qui correspondent 
à 3—0. Si, maintenant, on fait varier 3 d’une très petite quantité en 


plus où en moins, les trois erreurs e,, e,, e, jouiront encore de K 


méme propriété, c'est-à-dire qu’elles seront toujours les plus grandes 
de toutes pour les valeurs de x et de y qui rendent la plus grande 
erreur un minimum, et ces mêmes valeurs seront encore déterminées 
par l'équation double 


Ep— Eg — Ere 


Seulement, pour faire en sorte que la valeur commune de ces trois 
erreurs diminue, il pourra arriver que l’on soit obligé ou de faire 
croitre ou de faire diminuer z. Supposons, pour fixer les idées, que 
cette valeur diminue quand z augmente. z continuant à croître, les 


erreurs €,, €,, €, diminueront simultanément, en demeurant toujours 


g? 
les plus grandes de toutes, jusqu’à ce qu’une nouvelle erreur e, par- 


vienne à les égaler pour les surpasser ensuite. Soit y, la valeur de = 


pour laquelle. les quatre erreurs e,, 


elles; et désignons par à, et 8, les valeurs correspondantes de æ et 


en €, e, deviennent égales entre 


de y. Le système des valeurs 





LS YF —= Sy 5 1 


QU'IL FAUT ATTRIBUER À DIVERS ÉLÉMENTS, ETC. 363 
sera déterminé par la triple équation 
Ep = eg — re ee 


et, pour la valeur y, de z, ce système sera celui qui rend la plus grande 
erreur un minimum, D'ailleurs, il suit du théorème énencé ci-dessus 
que, pour Îles valeurs des inconnues qui résolvent la question pro- 
posée, quatre erreurs doivent être égales entre elles et les plus grandes 
de toutes. Cette dernière condition étant satisfaite, en même temps 


que la précédente, pour les trois valeurs 
TZ — 1, F=6s 8 — /;; 


il convient de rechercher si celles-ci ne résoudraient pas le probléme. 
On y parvient de la manière suivante : 


Lorsqu'on fait croitre z au delà de, les trois erreurs e,, 


Cys €, CESSENL 
d'être conjointement les plus grandes de toutes pour les valeurs de æ 
et de y qui rendent la plus grande erreur un minimum; et cette pro- 
priété appartient alors à deux d’entre elles prises conjointement avec 
la nouvelle erreur e,. On détermine facilement quelles sont, parmi Les 
trois erreurs e,, e,, €,, les deux qu'il convient de choisir pour cet objet. 
Soient, par exemple, e,, e, ces deux erreurs; si l’on fait croître z au 
delà de y,, la valeur commune des trois erreurs e,, e,, e, ira en croissant 
ou en diminuant. Dans le premier cas, les valeurs &,,6,,Y, de x, yetz 
satisferont à la question proposée. Dans le second cas, les erreurs dont 
il s’agit continueront à décroitre, en restant toujours les plus grandes 
de toutes pour les valeurs de x et de y qui rendent la plus grande erreur 
un minimum, jusqu'à ce qu'une nouvelle erreur parvienne à les égaler 
toutes trois pour les surpasser ensuite. Alors on obtiendra de nouveau 
une équation triple entre quatre erreurs. On pourra juger, comme pré- 
cédemment, si le système des valeurs des inconnues déterminé par cette 
équation triple satisfait à la question proposée. Dans fe cas contraire, 
en suivant toujours la même marche, on finira par arriver à la solution 
du problème. | 

Les erreurs e,, e,, e, étant supposées connues, pour découvrir 
l'erreur e,, 11 suffit évidemment de chercher celle qui, égalée aux trois 


364 MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 

premières, détermine la plus petite valeur positive de la variable =. 
Mais il peut arriver que, pour cette valeur de #, plusieurs erreurs, par 
exemple e,, e, &, ..., deviennent à la fois égales entre elles et aux 
trois premières. Désignons toujours par y, la valeur dont il s’agit. Si 


l'on fait croître 3 au delà de +,, trois des erreurs suivantes 


Ep Cys Cys Css Ces Cus 


- deviendront conjointement les plus grandes de toutes pour les valeurs 
de æ et de y qui rendent la plus grande erreur un minimum; ct, sur 
ces trois erreurs, deux au plus devront être prises parmi les trois pre- 
mières e,, €, @. Sauf cette restriction, la combinaison qui renferme 
les trois nouvelles erreurs pourra être l'une quelconque de celles que 


l’on forme en assemblant trois à trois les erreurs 


Cps Eg» Crs Css Et Cus 


Pour juger quelle est parmi ces combinaisons celle qui mérite la pré- 
férence, on supposcra que la variable + croisse au delà de y, d’une 
quantité positive, mais indéterminée, représentée par #, et que les 
valeurs correspondantes x, et #4, des deux autres variables æ et y 
recoivent en même temps Îles accroissements positifs ou négatifs £ 
et 2. Les accroissements des erreurs e,, e,, 
hypothèse, étaient toutes égales entre elles, se trouveront alors expri- 


ÉRNC LCR  OOUEADAr 


més par des polynomes homogènes du premier degré en g, Let #; et 
il suffira de déterminer les valeurs respectives de g et de 2 pour les- 
quelles le plus grand de tous devient un minimum. # étant une quan- 
tité essentiellement positive, on pourra, sans nul inconvénient, diviser 
par # chacun de ces polynomes. Les quotients ne renfermeront plus 
de variables que les rapports des accroissements de x et de y à celui 
de =, et il ne restera plus qu'à déterminer ces deux rapports de telle 
manière que le plus grand des quotients que l’on considère devienne 
un minimum. Ainsi toutes les difficultés se trouvent réduites à la solu- 
ton du problème général, dans le cas où lon n’a que deux éléments à 
corriger. 


On réduira de même les difficultés que présente cette dernière hypo- 


QU'IL FAUT ATTRIBUER A DIVERS ÉLÉMENTS, ETC. 365 
thèse aux difficultés qui subsistent, dans le cas où l’on n'a qu'un seul 
élément à considérer. Enfin l’on réduira celles-ci à la détermination de 
la plus grande erreur pour une valeur donnée de la variable, et alors la 
question proposée se trouvera complètement résolue. 

On pourra de même, en général, quel que soit le nombre des 
variables, ramener la question proposée au cas où l’on a une variable 
de moins à considérer, et abaisser ensuite continuellement la diffi- 
culté, jusqu'à ce qu'elle disparaisse entièrement. Ainsi, par exemple, 
si mn représente le nombre des variables, on com mencera par donner à 
l’une d'elles, que je désignerai par 3, une valeur arbitraire, en détcr- 
minant les autres de manière que la plus grande erreur devienne un 
minimum. Alors on obtiendra un système de valeurs pour lesquelles 
m erreurs différentes deviendront égales entre elles et les plus grandes 
de toutes. On fera ensuite varier 3 de manière à faire décroitre la valeur 
commune des erreurs dontil s'agit, jusqu'à ce qu'une nouvelle erreur 
parvienne à les égaler toutes, pour les surpasser ensuite. Alors on 
obtiendra une équation entre #2 + 1 erreurs différentes; et lon jugcra 
facilement si les valeurs des variables déterminées par cette équation 
satisfont à la question proposée. Dans Ie cas contraire, st lon continue 
à faire varier z {oujours dans le même sens, une nouvelle combinaison 
de 72 erreurs remplacera la première: et, en suivant la même marche, on 
finira nécessairement par arriver à la solution du problème. Le cas où, 
pour une même valeur de z, le nombre des erreurs égales entre elles et 
les plus grandes de toutes viendrait à surpasser 22 +1, ne présente 
aucune difficulté qu'il ne soit toujours aisé de résoudre, au moyen de 
l’artifice employé pour cet objet dans l'hypothèse de trois variables. 

Lorsqu'on a un seul élément à corriger, la méthode précédente se 
réduit à celle qu'a donnée le P. Boscowich, pourvu que l’on suppose la 
première valeur de z, que l’on peut choisir arbitrairement, égale à 
Pinfini négatif. On peut néanmoins, dans ce cas, simplifier la solution, 
en prenant pour première valeur de £ celle qui rend égales entre elles 
les deux erreurs où cette variable a le plus grand coefficient positif et 


le plus grand coefficient négatif. 


366 MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 

Si l'on à plusieurs éléments à considérer, les calculs deviennent 
beaucoup plus simples, dans le cas où quelqu'un de ces éléments à 
le même coefficient, au signe près, dans toutes les erreurs données. 
Ainsi, par exemple, si l’on considère deux éléments, et que le coeffi- 
cient de l’un d’entre eux soit toujours égal à + 1 où à — 1, on arrive à 
une méthode semblable à celle qu'a donnée M. Laplace pour déter- 
miner, relativement à la Terre, la figure elliptique dans laquelle le plus 
srand écart des degrés du méridien devient, abstraction faite du signe, 
un minimum (A). | 

Je joins iei la démonstration des théorèmes que suppose la méthode 
précédente, et les formules relatives aux cas les plus simples. 

le finirai par observer que, dans l'hypothèse de deux et de trois 
variables, la question proposée peut recevoir une interprétation géo- 
métrique assez singulière. Elle se réduit alors à l'un des deux pro- 


blémes suivants : 


ProgLème À. — Etant donnees les équations des droites qui forment les 


côtes d'un polygone, déterminer le sommet le plus bas du polygone. 


ProgLÈue Il. — Etant donnees les équations des plans qui composent 
les faces d'un polyèdre, déterminer le sommet le plus bas de ce même 


polyédre. 
On peut encore résoudre, par la même analyse, le problème suivant : 


Etant données les équations des plans qui composent les faces d'une 


pyramide, déterminer la plus basse de ses arêtes (8). 


ADDITIONS. 


(a). Nous avons remarqué ci-dessus que les valeurs des variables 
qui résolvent la question proposée rendent toujours égales entre elles 
autant d'erreurs, plus une, qu’il y a d'éléments à considérer. On pour- 
rait donc, à la rigueur, découvrir le système de valeurs demandé, en 


cherchant, parmi ceux qui satisfont à la condition précédente, celui 


QU’'IL FAUT ATTRIBUER A DIVERS ÉLÉMENTS, ETC. 367 


qui rend la plus grande erreur un minimum; mais cette méthode serait 
longue et pénible, et le nombre des opérations qu’elle exigerait pour 
un nombre » d'éléments serait égal au nombre des combinaisons des 
erreurs prises 72 +1 à m+1. Il est aisé de voir quel avantage la 
méthode précédemment exposée a sur cette dernière. Car, au lieu 
d'employer tous les systèmes de valeurs des variables pour lesquels 
m +1 erreurs deviennent égales entre elles, nous avons considéré 
seulement une partie de ceux où les erreurs égales deviennent en 
même temps les plus grandes de toutes. On peut apprécier cet avantage 
avec quelque exactitude à l’aide d’un théorème assez remarquable, et 


dont voici l'énoncé : 


Sort toujours m le nombre des éléments que l’on considère. Supposons 
que l’on combine successivement les erreurs données une à une, deux à 
deux, trois à trois, etc., enfin m +14 m+i1, et que l’on ait seulement 
gard aux combinaisons formées d'erreurs qui puissent devenir stnulta- 
nément les plus grandes de toutes; le nombre total des combinaisons où 
les erreurs entreront en nombre impair surpassera d'une unité le nombre 


des combinaisons où les erreurs entreront en nombre pair. 


Ainsi, par exemple, si l’on a un seul élément à considérer, le nombre 
des erreurs qui pourront devenir successivement les plus grandes de 
toutes surpassera d'une unité le nombre des combinaisons deux à 
deux. Si l'on a trois éléments à considérer, le nombre des erreurs, plus 
le nombre des combinaisons trois à trois, surpassera d'une unité le 
nombre des combinaisons deux à deux, et ainsi de suite, ..…. D'ailleurs, 
l'est facile de prouver que le rapport du nombre des combinaisons 
à M au nombre des combinaisons 77 + 1 à » +1 surpasse toujours la 
moitié du nombre des éléments augmenté de l'unité. Cette inégalité, 
jointe au théorème ci-dessus énoncé, suffit pour faire voir que le nombre 
des combinaisons 72 + 1 à me + 1 n'est pas d’un ordre plus élevé que le 
nombre des combinaisons » — 1 à m — 1, lorsqu'on a seulement égard 
aux combinaisons formées d'erreurs qui deviennent simultanément les 


plus grandes de toutes. On démontre, par ce moyen, que, dans le cas 


368 MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 


de deux variables, le nombre des opérations qu’exige la méthode pro- 
posée croit seulement comme le nombre des erreurs; tandis que, par 
l'autre méthode, il croitrait comme le cube de ce dernier nombre. De 
méme, dans le cas de trois variables, le nombre d'opérations qu'exige 
la première méthode n’est pas d’un ordre plus élevé que le carré du 
nombre des observations, tandis que, par l’autre méthode, il serait du 
même ordre que la quatrième puissance. En général, l’ordre dont il 
s’agit est toujours abaissé par la première méthode au moins de deux 
unités. On peut même faire voir que, dans plusieurs cas particuliers, le 
nombre des opérations qu'elle exige croît seulement comme le nombre 
des observations. C'est ce qui a lieu, par exemple, toutes les fois que, 
dans les erreurs données, les diverses variables, à l'exception d’une ou 
de deux, ont partout le même coefficient numérique. 

Dans le cas où l'on ne considère que deux variables, le nombre des 
opérations ne peut jamais surpasser le double du nombre des erreurs. 
Je suis parvenu à ce théorème par trois voies différentes; mais une 
seule m'a conduit à la détermination du nombre des opérations qu'on 


est obligé de faire lorsque le nombre des variables est supérieur à deux. 


(8). Enfin, le théorème de la page 367 renferme, comme cas parti- 
culiers, les trois suivants : 


1° Dans un polygone ouvert par ses deux extrémutés, le nombre des 


côtés surpasse d'une unité le nombre des sommets. | 

2° Dans un polyèdre ouvert par sa partie supérieure, le nombre des 
faces, augmenté du nombre des sommets, surpasse d'une unité le nombre 
des arêtes. 

3° Si l’on reunut, les uns autour des autres, plusieurs polyédres, les 
uns fermes, les autres ouverts, de telle manière que chaque face soit 
commune à deux polyèdres différents, le nombre des polyèdres, augmenté 
du nombre des arêtes, surpassera d'une unité le nombre des faces aug- 


menté du nombre des sommets. 


H résulte du premier théorème que, dans tout polygone, le nombre 


des sommets est égal à celui des côtés. On déduit du deuxième la rela- 


QU’'IL FAUT ATTRIBUER A DIVERS ÉLÉMENTS, ETC. 369 


tion qu'Euler à découverte entre les divers éléments d’un polvèdre 
convexe. Le troisième théorème coïncide avec un théorème inséré dans 
un Mémoire que j'ai eu l'honneur, il y a trois ans, de présenter à la 
Classe, et qu'elle a daigné accueillir favorablement. 

La Géométrie ne saurait aller plus loin, parce qu'elle se borne à faire 
varier les trois dimensions de l’espace. Mais l'Analyse, en ramenant 
les propositions que nous venons d’énoncer à la théorie des combi- 
naisons, fournit le moyen de les étendre à un nombre quelconque de 
variables. 


DÉMONSTRATION DES THÉORÈMES QUE SUPPOSE LA MÉTHODE ENPOSÉE 
DANS CE MÉMOIRE. 


THéorÈME LE. — Quel que soit le nombre des éléments renfermés dans les 
erreurs que l’on considère, st l'on fait varier, ou tous ces éléments, on 
seulement quelques-uns d'entre eux, et que l’on détermine les valeurs des 
éléments variables qui rendent la plus grande crreur un minimum, pour 


0 


les valeurs dont il s'agit, plusieurs erreurs deviendront à la fois évales 
entre elles et les plus grandes de toutes, et le nombre de ces dernicres sur- 


passera Loujours au moins d'une unité le nombre des éléments variables. 


Nota:= On trouve, dans le calcul des probabilités, une démonstra- 
tion du théorème précédent, fondée sur ce principe, que les valeurs 
de æ, y, =, ... qui rendent la plus grande erreur un minimum, rendent 
aussi un minimum la somme des puissances infinies des erreurs. Mais 
on peut aussi démontrer directement ce théorème à l'aide des consi- 
dérations suivantes. Comme je suppose qu'on ne fait pas abstraction 
du signe des erreurs, je regarderai une quantité négative plus grande 


comme plus petite qu'une autre quantité négative moindre. 


Démonstration. — Soient æ, y, =, ... les corrections des éléments 
que l’on suppose variables, et désignons par €, », ? les valeurs 
q ; PPpoS varla de ER v LS S Pc ol Soie. 2 eV di N 
des éléments qui rendent la plus grande erreur positive un minimum. 
Enfin soient e,,e,, ..., e, les erreurs données en nombre égal à >, et 

OEuvres de C. — SU t. 1. £ 


by 


PRES 


310 MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 
supposons généralement 


Cr Qr+b,z+Ccy+d,3+..., 


quelle que soit la valeur de r. Si l’on fait croître æ, y, z, ... de quantités 


arbitraires g, L, 4, ..., l'accroissement de l'erreur e, sera 
bg+ch+d,k+...… 


Supposons maintenant que cette erreur devienne la plus grande de 
toutes pour les valeurs £, n, €, ... des variables æ, y, z. Il est aisé de 
prouver que, pour ces mêmes valeurs, plusieurs autres erreurs e,, €, …. 
lui seront égales : car, si cette égalité n'avait pas lieu, l'erreur e, res- 
terait la plus grande de toutes pour les valeurs de x, y, z, ... très 
rapprochées de £, n,?, .... D'ailleurs, si l’on fait croître £, n, €, ... de 
quantités très petites mais arbitraires g, L, £, ..., on pourra toujours 
fixer les signes de ces quantités de manière que laccroissement 
de e, ou 

bg +ch+d,k +... 
devienne négatif, etse change en une diminution. Par suite, l'erreur e, 
pourrait encore diminuer en restant la plus grande de toutes, et … "; 
C, ... ne seraient pas les valeurs de æ, y, :, ..., qui rendent la plus 
grande erreur un minimum, ce qui est contre l'hypothèse. 

I reste à faire voir que le nombre des erreurs qui deviendront 
égales pour les valeurs £, n, ©, ... des variables x, y, z, ..., sera tou- 
Jours supérieur au moins d'une unité à celui de ces mêmes variables. 

in effet, désignons par 72 le nombre des variables que l’on consi- 


dère, et soient 


les erreurs qui deviennent à la fois égales entre elles et les plus 
grandes de toutes, lorsqu'on suppose 
Her: ph, 3, 


Si le nombre de ces erreurs surpasse »2 d'une unité, l'équation multiple 


(nt Pire Pie ee E 


QU’'IL FAUT ATTRIBUER A DIVERS ÉLÉMENTS, ETC. 371 
suffira en général pour déterminer complètement les valeurs £, à, 
€, ... des variables æ, y, z, .... Mais, dans le cas contraire, on pourra 


0 
ë \ ANA à Ce . . QUE : LAPS ra 
donner à ces mêmes variables des valeurs très rapprochées de £ 


s 
6, ... qui satisfassent toujours à l'équation dont il s'agit, et pour les- 
quelles les erreurs e,, e,, e, .., soient toujours les plus grandes de 
toutes. Pour obtenir ces nouvelles valeurs, on fera croître £, n, €, ... 
de quantités très petites mais indéterminées £, À, #, .... Les accrois- 


sements correspondants des erreurs e,, e,, e,, ... seront 


bg+e,h+d,k+..., 
bg+esh + dk +..., 


bg+eh+d;k+..., 


et par hypothèse 1ls devront tous être égaux entre eux. Cette égalité 
déterminera quelques-unes des quantités g, L, #,... en fonction des 
autres; et, si l’on élimine les premières de l'un des accroissements 
dont il s’agit, celles qui resteront après l'élimination seront entière- 
ment arbitraires. Au reste, le résultat sera le même, quelque soit 
celui des accroissements que l’on considère; et il est aisé de voir que 
ce résultat ne renfermera pas de terme constant. Par suite, en don- 
nant des signes convenables à celles des quantités g, 2, #, ... qui s'y 
trouvent comprises, on pourra toujours faire en sorte qu'il soit négatif, 


, \ . ," À : : . . o . : 
c'est-à-dire qu'il représente une diminution. Ainsi, dans ce cas, les 


rTCUrS €,, €, €, ... pourraient encore diminuer en restant les plus 
grandes de toutes; et &, n, €, ... ne seraient pas les valeurs de æ, y, 
3, ... qui rendent la plus grande erreur un minimum: ce qui est 


contre l'hypothèse. 
La démonstration précédente aurait lieu pareillement, si, les erreurs 


Es es €, étant en nombre égal à #2 + 1, l'équation multiple 
(EP Enem : EBaui :Phrnesd MEN 


ne suffisait pas pour déterminer les valeurs des variables représentées 


,… 


372 MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 


par 


TuéorÈne I — Le problème qui fait l’objet du précédent Mémoire ne 
peut jamais admettre qu'une solution, à moins que d'en admettre un 


nombre tn/finx. 


Démonstration. — Concevons que lon donne successivement à z 
toutes les valeurs possibles depuis — + jusqu’à + +, et que pour 
chaque valeur de z on détermine les autres variables æ, y, z, ... par la 
condition que la plus grande crreur devienne un minimum. On aura 
de cette manière les minima des plus grandes erreurs correspondant 
aux diverses valeurs de 5, ct l'on pourra toujours, par la méthode pré- 
cédente, obtenir un minimum plus petit que ceux qui le précèdent et 
ceux qui le suivent. Cela posé, 1! sera facile de prouver qu'aucun autre 
minimum ne peut jouir de la méme propriété. En effet, soit € la valeur 
de = correspondant à celui que l'on considère; et supposons que l’on 
donne successivement à 3 toutes les valeurs possibles depuis z =T 
jusqu'à 5 = +; je dis que le minimum des plus grandes erreurs ira 
toujours en croissant. Car, s'il en était autrement, ce minimum cesse- 
rat de croitre pour une certaine valeur de z que je désignerai par y. 


Soient maintenant ue, 


e,, .…. les erreurs qui sont égales entre elles 
ctles plus grandes de toutes pour les valeurs de x, y, ... qui rendent 
la plus grande erreur un minimum, au moment où z est sur le point 
d'atteindre la valeur +. Ces erreurs seront en nombre égal à celui des 
variables æ, y, 5, ...; et, par suite, quelle que soit la valeur de 5, 


l'équation 
biere 2. 


déterminera toujours les valeurs de + et de y qui rendent un minimum 
la plus grande des erreurs e,, e,, e,, ... En vertu de cette même équa- 
tion, les valeurs de æ, y, ... devenant proportionnelles à 3, la valeur 
commune des erreurs Eps Cys C, . deviendra aussi proportionnelle à z; 
et, puisque cette valeur augmente lorsque z est sur le point d'atteindre 
la valeur y, elle augmentera encore lorsqu'on fera croitre z au delà 


QU'IL FAUT ATTRIBUER A DIVERS ÉLÉMENTS, ETC. 373 


de y. Ainsi, lorsqu'on se borne à considérer les erreurs 


si pour la valeur y de le minimum des plus grandes erreurs est 


désigné par M, pour une valeur de 3 supérieure à +, ce minimum 


fo 
deviendra supérieur à M. Supposons maintenant qu'au lieu de consi- 
dérer seulement les erreurs Eps Cgs Er +, ON ait à la fois égard à toutes 
les erreurs données. Le minimum des plus grandes erreurs COrrespon- 
dant à une valeur donnée de z ne pourra qu'augmenter lorsqu'on 
passera de la première hypothèse à la seconde. Par suite, dans ce 
dernier cas, pour des valeurs de = supérieures à y, le minimum des 
plus grandes erreurs sera toujours supérieur à M. Ce minimum ne 
pourra donc cesser de croitre pour une certaine valeur + de z. Mais 
au contraire il ira toujours en croissant depuis z TC jusqu'à 5 = +. 
On prouverait de même qu'il croitra toujours depuis 3 € jusqu’à 
3=—. Ainsi, parmi les minima correspondant aux diverses valeurs 
de =, un seul est plus petit que ceux qui le précèdent et ceux qui le 
suivent, et celui-là seul résout la question proposée. 

La démonstration précédente suppose que, + venant à varier de part 
et d'autre de €, le minimum des plus grandes erreurs commence à 
croître dès que l'on &onne à z une valeur plus grande où plus petite 
que €. Mais il pourrait arriver qu'avant de croître le minimum dont il 
s’agit restât quelque temps stationnaire. Alors on obtiendrait une infi- 
nité de minima tous égaux entre eux, et correspondant à une infinité 
de valeurs de z. Dans tous les cas, dès qu'une fois le minimum des 
plus grandes erreurs a commencé à croitre, il ne peut plus s'arrêter. 
Ainsi, lorsque la question devient indéterminée, toutes les valeurs 
de z qui la résolvent se trouvent comprises entre deux limites données, 
et le minimum des plus grandes erreurs conserve toujours la même 


valeur entre ces deux limites. 


TuéorRÈME HE. — Supposons que l'erreur e, devienne la plus grande de 
toutes : 1° pour les valeurs «,, 6,, Y,, ... de æ, y, 3, ...; 2° pour les 
valeurs à, 62, Y:, ... des mêmes variables; st l’on désigne par à une 


valeur de x comprise entre à, et #,, et par 6, y, ... les valeurs COITESPOn- 


374 MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 


dantes qu'on obtient pour y, =, en faisant x = à dans les équations 








y — 6 ZX — d; 
7 

Es — 6, Oo — 
3 — ; TL — 
, 

SA PO Core À] 


l'erreur e, sera encore la plus grande de toutes pour les valeurs a, 6, y, … 


des variables x, y, z, .... 


Démonstration. — En effet, supposons que lon donne successive- 
ment à æ toutes les valeurs possibles depuisæ=—+ jusqu'à =+, 


et que pour chaque valeur de æ on détermine les valeurs de y, 3, 


par les équations 





RES) 2 ren (0 
FR 
Co 01 Lo 21 
(1) OR me a 





on obtiendra une infinité de systèmes de valeurs de æ, y, z, ... parmi 


lesquels se trouveront compris les trois systèmes 


Fr 

PS À . 
SEE 

CE ON ne AT 


à 
UE O2» 72» 


De plus, quel que soit le système que l’on considère, la différence 
entre l'erreur e, et une autre erreur quelconque e, sera un polynome 
du premier degré en æ, y, z, ...; et, si l’on y substitue pour y, 5, .. 

leurs valeurs en æ déduites des équations (x), cette différence deviendra 


simplement un polynome en + du premier degré ou de la forme 


€ 


À x + B. 


Maintenant, si ce polynome reste positif pour les valeurs «, et «, 
de æ, il est clair qu'il sera encore positif pour toute valeur de æ com- 


prise entre &, et &,. Si donc l'erreur e, est supérieure à toute autre €, 


QU'IL FAUT ATTRIBUER A DIVERS ÉLÉMENTS, ETC. 375 
pour les deux systèmes 
CRT VAE) Do 


P 
Er ©) 72 AL 


elle sera encore supérieure à toutes les autres pour le système 


os 
Corollaire I. -- Si deux, trois, ..., ou un plus grand nombre 
d'erreurs Ep Cgs Er +. SOnt égales entre elles et les plus grandes de 
toutes : 1° pour l6s valeurs &, 6,, y, des varmbles 2 y... 
2° pour les valeurs &,, 6,, ÿ,, ... des mêmes variables, elles jouiront 
encore de la même propriété pour les valeurs «, 6, +, ... de æ, y, 3, 


pourvu toutefois que ces valeurs satisfassentaux équations (1), et que « 
soit comprise entre &, ct œ. 

En effet, ce qu'on a dit ci-dessus de l'erreur e, peut s'appliquer éga- 
lement aux erreurs e,, e,, .... De plus, chacune des différences 


devenant, en vertu des équations (1), un polynome en x du premier 
degré, ne peut être nulle pour les valeurs x, et &, de x sans être égale- 
ment nulle pour toute autre valeur & de la même variable. Par suite, Les 
ETTQUTS €, Egs rs vec restent constamment égales entre elles pour tous 


les systèmes de valeurs de æ, y, 3, ... qui satisfont aux équations (1). 


_Corollaire I. — Si, pour la valeur x, de la variable æ, on peut déter- 
miner les autres variables y, z, ..., de manière que l'erreur e, devienne 
la plus grande de toutes, et qu'on parvienne à remplir la même condi- 
tion en donnant à æ la valeur &,; on pourra encore y parvenir en don- 


nant à æ une quelconque des valeurs comprises entre &, et æ,. 


Corollaire II. — Si, pour les valeurs z, et «, de la variable æ, on 


peut déterminer les autres variables y, x, ..., de manière que les 


10. MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 


erreurs €,, €, € -.. deviennent simultanément supérieures à toutes 
les autres, on pourra encore remplir la même condition en donnant 


à æ une quelconque des valeurs comprises entre &, et æ,. 


: + .. : è dE . : : ; 
Corollare IV. — Si l’on considère une combinaison formée de 

l'erreurs e,, 

rents des variables æ, y, z, ..., toutes les erreurs qui forment cette 


Cys En ..., et que, pour deux systèmes de valeurs diffé- 
combinaison deviennent égales entre elles et les plus grandes de 
toutes, on pourra, en passant de l’un à l’autre système par degrés 
insensibles, obtenir une infinité de systèmes différents tous compris 
entre les deux premiers, et pour lesquels les erreurs e,, e,, e,, ... 
resteront les plus grandes de toutes. De plus, pour chacun de ces 
systèmes, les valeurs de æ, y, z, ... satisferont toujours à l'équation 
multiple 


Ep Eg = Ep + -e 


Cette équation multiple déterminera plusieurs des variables æ, y, 


=,... en fonctions des autres, ct le nombre de celles qui seront ainsi 
déterminées sera, en général, inférieur d'une unité au nombre des 
CrreUrS €, Cys Er -.., © eSt-a-dire égal à 


D je 


Mais il pourra devenir moindre. Si lon désigne ce nombre par # — 1, 
k sera ce que nous appellerons désormais l’ordre de la combinaison 
Jormée avec les erreurs e,, e,, e,, .... Cet ordre indiquera donc, en 
général, le nombre des erreurs renfermées dans la combinaison que 
lon considère; mais il peut lui devenir inférieur, sans être pourtant 
jamais nul. Il se réduirait à l'unité, si l'on avait {= 1, c'est-à-dire si 
l’on se bornait à considérer une erreur isolée. 

Dans ce qui suivra, nous ne nous occuperons plus que des erreurs 
qui deviennent les plus grandes de toutes, ou des combinaisons for- 
mées d'erreurs qui jouissent simultanément de cette propriété. Comme 
pour un système quelconque de valeurs de æ, y, 3, .… il est nécessaire 


qu'une, ou deux, où trois, ... où un plus grand nombre d'erreurs 


QU'IL FAUT ATTRIBUER À DIVERS ÉLÉMENTS, ETC. 377 
deviennent supérieures à toutes les autres, à chaque système de valeurs 
répondra toujours une combinaison d’un certain ordre. Cela posé, il 
suit de ce qui précède que les différents systèmes qui correspondent à 
une même combinaison sont toujours réunis en un même groupe et, 
par conséquent, renfermés entre certaines limites. La détermination 
de ces limites est l'objet de la proposition suivante : 


TnéorÈme IV. — Les systèmes de valeurs de x, y, z, ... qu corres- 
pondent aux combinaisons de l’ordre # ont pour limutes respectives les 


systèmes qui correspondent aux cornbinaisons de l’ordre k +1. 


Démonstration. — En effet, considérons d’abord les erreurs simples, 
en ayant seulement égard à celles qui peuvent devenir, chacune 
séparément, supérieures à toutes les autres. Comme il est nécessaire 
que chaque système de valeurs corresponde au moins à Fune de ces 
erreurs, tous les systèmes de valeurs possibles se trouveront répartis 
par groupes, si je puis ainsi m'exprimer, entre les diverses erreurs dont 
il s’agit. Dans quelques-uns de ces groupes, les valeurs des variables 
resteront toujours finies. Dans d’autres, celles pourront s'étendre à 
l'infint. De plus, comme on ne pourra sortir d’un groupe sans passer 
dans un autre, chaque groupe sera nécessairement entouré de plu- 
sieurs autres, qui [ui seront voisins ou contigus. Cela posé, les svs- 
tèmes qui sont communs à deux groupes voisins et qui correspondent 
aux combinaisons du deuxième ordre seront évidemment les limites des 
crreurs qui correspondent aux erreurs simples ou aux combinaisons 
du premier ordre. Si l’on désigne sous le nom d'erreurs contigués celles 
qui correspondent à des groupes voisins, on pourra dire encore que 
deux erreurs Contiguës ont toujours pour limite commune une combi- 
naison du deuxième ordre. 

Les différents systèmes qui correspondent aux combinaisons du 
deuxième ordre, comme ceux qui correspondent aux erreurs simples, 
peuvent, dans certains cas, n’admettre que des valeurs finies des 
variables, et, dans d’autres cas, plusieurs de ces systèmes pourront 
s'étendre à l'infini. Si lon désigne sous le nom d'erreurs et combr- 


OEneies de SALE L 43 


378 MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS . 


naisons définies celles qui ne peuvent correspondre qu'à des systèmes 
de valeurs finies des variables, et celles qui sont dans le cas contraire 
sous le nom d'erreurs et combinaisons indéfinies, on reconnaitra sans 
peine qu'une combinaison indéfinie du deuxième ordre ne peut servir 
de limite qu'à deux erreurs indéfinies. 

Considérons maintenant les diverses combinaisons du deuxième 
ordre qui servent de limites à une même erreur simple, et supposons 
que l'on parcoure les différents systèmes qui correspondent à ces com- 
binaisons d'une manière continue, c’est-à-dire en faisant croître ou 
diminuer les variables par degrés insensibles. Comme, dans ce cas, on 
ne pourra quitter les systèmes qui correspondent à une combinaison 
du deuxième ordre sans rencontrer ceux qui correspondent à une autre 
combinaison du deuxième ordre, on trouvera dans le passage des uns 
aux autres des systèmes intermédiaires qui leur serviront de limites. 
Ces systèmes intermédiaires seront ceux qui correspondent aux com- 
binaisons du troisième ordre. Si l'on appelle combinaisons contigués 
du deuxième ordre celles qui correspondent à des systèmes voisins, 
où pourra dire que deux combinaisons contiguës du deuxième ordre 
ont toujours pour limite commune une combinaison du troisième 
ordre. 

En continuant de même, on ferait voir que les systèmes correspon- 
dant à une combinaison de l'ordre # ont toujours pour limites d’autres 
systèmes correspondant à des combinaisons de l'ordre # + 1; ce qu’on 
peut aussi exprimer en disant qu'une combinaison de l’ordre # a tou- 
jours pour limites d’autres combinaisons de l’ordre £+ 1. De plus, ces 
limites appartiennent à la fois à la combinaison donnée et à d'autres 
combinaisons voisines ou contiguës. Enfin, une combinaison indéfinie 
de l’ordre # + 1 ne peut servir de limite qu'à des combinaisons indé- 
finies de l’ordre #. : 

Si l’on désigne par m2 le nombre des variables données, » + 1 — # 
sera le nombre des variables qui restent arbitraires dans les systèmes 
qui correspondent à une combinaison de l'ordre #. Par suite, il ne 


restera qu'une seule variable arbitraire dans les systèmes correspon- 


v 


QU'IL FAUT ATTRIBUER A DIVERS ÉLÉMENTS, ETC. 379 
dant aux combinaisons de l’ordre #7. Les diverses valeurs que cette 
variable pourra recevoir seront comprises entre deux limites fixes, 
dont l’une pourra s'étendre à l'infini; et chacune de ces limites, lors- 
qu'elle sera finie, déterminera, pour les variables æ, y, 3, ..., un 
système de valeurs correspondant à une combinaison de l'ordre +1. 
Ainsi toute combinaison de l’ordre 2 a pour limites deux combinaisons 
de l’ordre » +1, à moins qu’à l’une de ces limites les valeurs des 
variables ne deviennent infinies; et, dans ce cas, l'autre limite est 
toujours une combinaison de l’ordre 72 + 1. 

Si l’on considère maintenant les combinaisons de ce dernier ordre, 
on trouvera que, dans les systèmes correspondants, il ne reste plus de 
variables arbitraires, mais que les variables y sont entièrement déter- 
minées. Ces combinaisons sont done de l'ordre le plus élevé que Fon 
puisse admettre. De plus, on a fait voir que c'était parmi les systèmes 
correspondant aux combinaisons de cet ordre qu'on devait chercher 
celui qui résout la question proposée: et la méthode que nous avons 
indiquée pour la solution du problème se réduit en effet à essaver 
successivement plusieurs des combinaisons dont il s'agit. Le nombre 
de ces essais à donc pour limite le nombre des combinaisons de 
l’ordre + 1, etil ne saurait croitre plus rapidement que ce dernier 
nombre. Ainsi, pour avoir une Himite du nombre d'essais que la 
méthode exige, il importe de savoir comment le nombre des combi- 
naisons de lPordre » +1 croit avec le nombre des erreurs simples. 


Nous donnerons, à cet égard, les théorèmes suivants : 


THÉORÈME V. — Quel que soit le nombre des éléments que l’on considère, 
le nombre des combinaisons d'ordre impair surpassera toujours d'une 


unité le nombre des combinaisons d'ordre pair. 


(On suppose toujours que l’on ait seulement égard aux combinai- 
sons formées d'erreurs qui puissent devenir simultanément les plus 
grandes de toutes.) 


Démonstration. — I suit du théorème précédent : 1° que les erreurs 


simples, comparées entre elles deux à deux, ont pour limites respec- 


380 MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 


tives les combinaisons du deuxième ordre; 2° que les combinaisons 
du deuxième ordre qui servent de limites à une même erreur, étant 
comparées deux à deux, ont pour limites respectives des combinaisons 
du troisième ordre, ete. On trouvera de même que les combinaisons 
du troisième ordre qui servent de limites à une même combinaison du 
deuxième ordre, étant comparées entre elles deux à deux, ont pour 
limites respectives des combinaisons du quatrième ordre, etc.; et, si 
l'on désigne toujours par 72 le nombre des éléments variables, on 
verra encore que les combinaisons de l’ordre 2 qui servent de limites 
à une même combinaison de l'ordre 2 — 1 ont pour limites respec- 
tives des combinaisons de l'ordre 7» + 1. Enfin chaque combinaison 
de Pordre » aura pour limites deux combinaisons de l’ordre mn +1, à 
moins que l'une de ces limites ne s'éloigne vers l'infini. Si donc on aug- 
mente d’une unité le nombre total des combinaisons de l’ordre m +7, 
pour tenir lieu des limites qui divergent vers l'infini, on se trouvera 
placé dans des circonstances tout à fait semblables à celles qui auraient 
lieu, si l'on n'avait à considérer que des erreurs'et des combinaisons 
définies. 
Cela posé, désignons respectivement par 

M, le nombre des erreurs simples ou combinaisons du premier ordre, 


M, le nombre des combinaisons du deuxième ordre, 


M,, le nombre des combinaisons du i*®® ordre, 


M, le nombre des combinaisons du (mn + 1)" ordre. 


M, +1 sera ce dernier nombre augmenté de l'unité; et, pour 
démontrer le théorème ci-dessus énoncé, il suffira de faire voir que 
lon a 


(1) M+M,+...+M,=M+M,+...+ (Mu +), 


si 72 est un nombre impair, et ‘ 





La Mi+M+...+(Mniu+i)=M+M+...+(M,+2) 


si 2x est un nombre pair. 


QU'IL FAUT ATTRIBUER A DIVERS ÉLÉMENTS, ETC. 381 
Ces deux équations sont comprises dans la suivante 


(3) | M,—M,+M,—...+M,=M, ii, 





dont il faut prouver l'exactitude. 

J’observe d’abord que, si le théorème renfermé dans cette équation 
est vrai, quel que soit m», relativement au nombre total des erreurs 
que l’on considère et de leurs combinaisons respectives, il subsistera 
encore entre les combinaisons du deuxième ordre où d'un ordre plus 
élevé, qui appartiennent à une même erreur indéfinie. Ainsi, par 
exemple, si lon désigne par | 


- D B 
pe be. Ï 45 Re | Lu Per 


les combinaisons des divers ordres dans lesquelles entre l'erreur indé- 


finie ce 


(4) P: 


on aura 


D; + NE + es Dhs te 





On voit en effet, par ce qui a été dit plus haut, que les conditions 
auxquelles doivent satisfaire les quantités P,, P,, ..., P,. P,, sont 
entièrement semblables à celles auxquelles sont assujetties les quan- 
tités M,, M,,.:.,M,.,. Si donc ces conditions suffisent pour établir, 
relativement à la dernière espèce de quantités, le théorème proposé, 
elles sufliront aussi pour l'établir relativement à la première. 

Si l'erreur e,, au lieu d’être une erreur indéfinie, était une erreur 
définie, il faudrait, en vertu de la remarque faite ci-dessus, diminuer 
d’une unité le nombre des combinaisons de l’ordre le plus élevé et, 
par suite, l'équation (4) deviendrait 
(5) DD PP D 
équation dans laquelle on doit admettre le signe supérieur, si »2 est 
un nombre impair, et le signe inférieur dans le cas contraire. 

Il est encore bon de remarquer que le théorème renfermé dans 
l'équation (3) n’est qu'un cas particulier d’un autre théorème plus 
général, dont voici l'énoncé : | 


Supposons que parnu les erreurs données on en chotsisse plusieurs e,, 


382 MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 
Egs Ep +1 TOUTES contigués les unes aux autres, el désignons respective- 
ment par 

Ni N> Ns, AUTEUR | NN, Ne 


les nombres de ces mêmes erreurs et des combinaisons qui les renferment, 
en ayant soin toutefois d'augmenter le nombre des combinaisons de 
l “ordre HER die LUE SD UNI ES COUT Ce Ce il s'en 


trouve quelques-unes d rndefinies, ON aur& LOUJOUrs 
(6) Ni—N+N;—.. ENnT PE Enr 0 


le signe supérieur devant être admis lorsque m sera un nombre impair, 


el le signe inférieur lorsque m sera un nombre pair. 


Pour déduire l'équation (3) de l'équation (6), il suffira de supposer 


que la série des erreurs e e,.…… renferme toutes les erreurs définies 


pr € 


. 
etindéfinies, à l'exception d'une seule. On a en effet, dans cette hypo- 


these, 
N; == M; ls 1 Pme M, Ne M;, de LP — 1 DE = M» tas 


et ces valeurs, substituées dans l'équation (6), reproduisent léqua- 
tion (3). 

Si Péquation (6) était une fois démontrée, en lui appliquant les 
raisonnements qui ont servi à déduire l'équation (4) de l'équation (3), 


on obtiendrait le théorème suivant : 


Soit e, une erreur quelconque. Soient ey, &,, Es, -.. plusieurs autres 
erreurs définies ou indéfinies, contigués entre elles et à l'erreur e,, et 


désignons par 


P>2;: Pas CE Pms Pm+1 


les nombres de combinaisons des divers ordres où entrent, avec l'erreur e,,, 
une ou plusteurs des erreurs e,, e,, e,, ..., en ayant soin toutefois d'aug- 
menter le dernier nombre d'une unité, st quelques-unes des combinaisons 


12 & . “ . ’ . 
que l’on considere sont indéfines ; on aura 


(7) Paso Des er Di Dec, 


QU'IL FAUT ATTRIBUER A DIVERS ÉLÉMENTS, ETC. 383 


le signe supérieur devant prévaloir st m est un nombre unpair, et le signe 


inférieur dans le cas contraire. 


[est facile de reconnaitre que cette dernière équation renferme les 
équations (4) et (5), tout comme l'équation (6) renferme l'équa- 
tion (3). 

Le théorème renfermé dans l'équation (4), et tous les autres th6o- 
rèmes rapportés ci-dessus, reposent uniquement, comme on vient de le 
voir, sur celui que renferme l'équation (6). H suffira donc de démontrer 
ce dernier pour établir tous les autres. 

Cela posé, concevons d’abord que le théorème renfermé dans l’équa- 
tion (6) ait été démontré pour un nombre d'éléments inférieur d’une 
unité à celui que l'on considère, où égal à #7 — 1. Les équations (4), 
(5) et (7) se-trouveront, par là même, suffisamment établies: et, par 


suite, si l'on désigne par e, une erreur définie quelconque, et par 
Rs 

les nombres de combinaisons des divers ordres qui renferment cette 

même erreur, on aura 

(5) D 


Soit maintenant e, une autre erreur définie, contiguë à l'erreur e,; 


désignons par 
Q», Q:, Q,, OA À LE Qu: 


es nombres de combinaisons des divers ordres qui renferment 
l'erreur é,, CL Dal 

Q,— 3 2e Q:;— Q;, AL Qh—Q;,, Q +1 — Que 
les nombres de celles qui renferment l'erreur e, avec l’erreure,; 


0 0 00) 


IL </N+1 


seront les nombres de celles qui renferment l'erreur e, sans l'erreur e 
4 / 


»* 


On aura d’ailleurs, en vertu de l'équation (5), 


Q:— Q3 +... F QuE(Quri—1) = 1, 


38/4 MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 
et, en vertu de l'équation (7), 
(Ge Q:) ne LU Q;) so ce (Qu — 0 1. 


Si l’on retranche ces déux équations l’une de l’autre, on trouvera 


(e2] 
er 


Q,— Q; + Q, —. SouE (8 Len 0. le 


» 0 / | penre, é 


Considérons encore une troisième erreur définie e, contiguë à l’une 


des deux premières, ou à toutes les deux ensemble. Désignons par 
R>, R;, CEE À 1e Lee 


les nombres de combinaisons des divers ordres où entre lerreur e,, 
et par 

RS dt D. 
les nombres de combinaisons où elle entre sans aucune des erreurs e,, 


e,3 On aura, en vertu des équations (5) et (7), 


ES à PTS LU Re LUS es D ed à 


/ 


R)—CR—R) +. TERr-Ry) ER Rs) = Et, 





et, par sutte, 


(9) RO RER ER, Ru ie 


En continuant de même, et considérant successivement plusieurs 


erreurs définies e,, €, ., on obtiendra une suite d'équations 


semblables aux équations (8) et (9). D'ailleurs, si lon désigne par N 


( : 


Gone 


le nombre des CRECUESTG 


a LD 


‘04 277 


f fi \s 
N:, N;, EE | ja Per DS 


les nombres de combinaisons des divers ordres qui renferment ces 


mémes erreurs, on aura évidemment 


N: il es un + ..., 
Ne PQ RL... 
Ne D th 
: 
Né o-P ue 0 hr 


T en ! < 2 
Na me Pi Se OT Aa ne res 


QU’'IL FAUT ATTRIBUER A DIVERS ÉLÉMENTS, ETC. 385 


Cela posé, si l’on ajoute entre elles les équations (5), (8), (9), ... ou 
P J 0 )s (9 


P; PP, Me Cd eee nl) Er 
! / ’ HN. / ni: 
0 de. de. ht ne LE = F, 
r 2 ” >" eu ” 1 PUR 
Be RER, DCE hs Ke, TJ, 


on aura l'équation (6), savoir 
N —N,;+N,—. NiEIN Ne 
ou, ce qui revient au même, 
NME N- EN, EN 


Si, parmi les erreurs e,, €, €, ... que nous avons supposées toutes 
définies, quelques-unes devenaient indéfinies, il suffirait, pour avoir 
égard à cette circonstance, d'augmenter, dans l'équation précédente, 
la valeur de N,., d'une unité. 

I résulte des calculs précédents que si léquation (6) est vraie pour 
un nombre de variables égal à 72 — 1, elle sera encore vraie pour un 
nombre de variables égal à 2. D'ailleurs, si le nombre de variables se 
réduit à l'unité, chaque erreur aura pour limites deux combinaisons 
du deuxième ordre; et chaque combinaison du deuxième ordre sera 
une limite commune à deux erreurs contiguës. Alors, si l’on consi- 
dère plusieurs erreurs définies et contiguës en nombre égal à N,, et 
que N, soit le nombre des combinaisons du deuxième ordre où elles se 


trouvent comprises, on aura évidemment 


Ni Ni T. 


Car, toutes les erreurs dont il s’agit se trouvant alors renfermées entre 

deux limites déterminées, si l’on fait croitre la variable unique de- 

puis la première limite jusqu'à la seconde, les diverses valeurs de 

cette variable correspondront successivement : 1° à Ja combinaison du 

deuxième ordre qui forme la première limite; 2° à une des erreurs 

que l'on considère; 3° à une nouvelle combinaison du deuxième 
OEuvres de €. — S. U, t. I. 19 


386 MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 


ordre; 4° à une autre erreur, ete.; enfin, à la combinaison du deuxième 
ordre qui forme la dernière limite. Mais comme, avant d'arriver à cette 
dernière combinaison, on aura rencontré alternativement des combi- 
naisons et des erreurs, il en résulte que le nombre des combinaisons 
surpassera d'une unité celui des erreurs que l’on considère. On aura 
donc 

NN +) ou Ni—N;=—1. 

L'équation (6), étant ainsi vérifiée pour le cas d'une variable, sera 
vraie, en vertu de ce qui précède, pour le cas de deux variables et, par 
suite, pour le cas de trois, de quatre, ete., et, en général, d’un nombre 
quelconque de vartables. 

L'équation (6) étant vraie, l'équation (3) le sera également, puisque, 
pour lobtentr, il suffira de supposer dans l'équation (6) le nombre 
HÉS CEUrS 0. 
indéfinies diminué d’une unité. 


e, ..… égal au nombre total des erreurs définies et 


Scholie. — Nous avons déjà remarqué l'interprétation géométrique 
que pouvait recevoir le théorème (3) dans le cas où lon considère 
une, deux, où trois variables. On peut aussi présenter ce théorème 
sous une forme à la fois simple et analytique, quel que soit le nombre 
des variables, en l’énonçant comme il suit. 

Supposons qu'ayant combiné entre eux, de diverses manières, un à 


un, deux à deux, trois à trois, ..., »m à m les indices 


PC UE PE: PE 


on forme de ces combinaisons plusieurs séries en nombre égal à 7. 


Soient respectivement 


[t] PR 0 M. 

[2] Hood He ii 0 di: 

[3] DR DE DE DR 
es , , 


ces mêmes séries, que nous indiquerons respectivement par les nu- 
méros [1], [21,13], ..., {re — 1}, [me], et dont chaque terme repré- 


QU'IL FAUT ATTRIBUER À DIVERS ÉLÉMENTS, ETC. 387 
sente une des combinaisons dont il s'agit. Supposons, de plus, que, 
la première série étant uniquement composée des indices eux-mêmes, 
chaque terme de la deuxième soit formé par la réunion de deux indices, 
et que les termes de l’une quelconque des autres séries comprennent 
chacun Îles indices renfermés dans deux où plusieurs termes de la 
série précédente, de manière qu'on finisse toujours par épuiser les 
termes d’une série, en écrivant successivement à côté les uns des 
autres ceux auxquels un ou plusieurs termes de la série précédente 
appartiennent en commun. Supposons ensuite que l’on supprime, dans 
les séries [2], [3], ..., [re] : 1° tous les termes qui ne renferment pas 
l'indice «; 2° l'indice & et tous ceux qui ne se trouvent pas avec 
l'indice & dans un des termes de la série [213 et qu'après les suppres- 
sions dont 11 s’agit, les séries [2], [3]. [4}, ..., [nm] remplissent les 
mêmes conditions auxquelles satisfaisaient précédemment les séries 
[1], [2], [3],..., [rm — 1]. Supposons encore que l’on supprime de 
nouveau, dans les séries [3{, [4], ..., [72] : 1° tous les termes qui ne 
renferment pas l'indice 8; 2° l'indice 4 et tous ceux qui ne se trouvent 
pas avec l'indice 6 dans un des termes de la série [3}; et qu'après ces 
nouvelles suppressions, les séries [3], [#1 {r2]remplissentles con- 
ditions auxquelles satisfaisaienten premier lieu les séries FAT, [21, 
[me — 2]; enfin que l'on ait opéré, avec le même succès, plusieurs 
suppressions consécutives semblables aux précédentes, de manière à 
ne conserver que les séries [ne — 1] et fr], réduites, la première, à 
une série d'indices isolés, et la deuxième, à des combinaisons de ces 
mêmes indices considérés deux à deux; et concevons que, dans cette 
hypothèse, chaque indice de la série [22 — 1] reparaisse dans deux 
termes différents de la série [1]. Si les suppressions ci-dessus indi- 
quées réussissent également quels que soient les indices &, 6, ..., et 
quel que soit l’ordre établi entre ces mêmes indices, alors, en dési- 
gnant par 

NC ON 0 Ne, 0. 


les nombres des termes des séries 


RC EI CRE TRS CS 725 


' 


388 MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 


e 


on aura 


(10) M, —M,+M;—...—-+M,_, = (M, ve 1 Roua 2 


le signe supérieur devant être admis, st 72 est pair, et le signe infé- 
rieur, si 2 est un nombre impair. Nous avons ici diminué M,, d’une 
unité, parce que le cas que nous considérons répond à celui où toutes 


les erreurs seraient définies. 


Exemple. — Considérons les trois séries de combinaisons 
[1] 0 00 


[2] | (1,2), (1,3), (2,3), (4,5), (4,6), (5,6), CUT (4,92, (3,6), 
(1,2,3), (4,5,6), Has Ca), (1,4,3,6) 


Il est facile de voir que ces trois séries satisfont aux conditions exi- 
gées. Car : 1° Les termes de la deuxième résultent des combinaisons 
deux à deux des termes de la première, ct chaque terme de la troisième 
renferme Îes indices compris dans deux termes de la deuxième. 2° Si, 
dans les séries [2] et [3], on supprime {ous les termes qui ne ren- 
ferment pas l'indice 1, et que, dans les autres termes, on conserve 
seulement les indices 2, 3 et 4 qui sont renfermés, avec l'indice 7, 
dans Te premier, le deuxième et le septième terme de la série [2]; les 


séries [2] et [3] deviendront 


[21 2; 5 4, 
[3] EMI (254), (3,4). 


Par suite, la série [2] ne sera plus formée que d'indices isolés; la 
série [3], que des combinaisons deux à deux de ces mêmes indices ; et, 
de plus, chaque terme de la série [2] sera compris dans deux termes 
différents de la série [3]. 3° Il est facile de s'assurer qu'on obtiendra 
des résultats semblables si, au lieu de supprimer les termes qui ne 
renferment pas l'indice 1, on supprime ceux qui ne renferment pas 
lun quelconque des autres indices 2, 3,4, 4° Enfin, avant ou après 


les suppressions, on peut épuiser tous les termes de la série [3], en 


QU’'IL FAUT ATTRIBUER A DIVERS ÉLÉMENTS, ETC. 389 


écrivant à la suite les uns des autres ceux auxquels appartiennent en 
commun un ou plusieurs termes de la série [2]; et les termes de la 
deuxième série jouissent encore de la même propriété relativement à 


ceux de la première. Cela posé, comme les nombres de termes des séries 


[1], (21, [3] 
sont respectivement 
6, SE 2. 


on doit avoir, en vertu de l'équation (10), 


6—9+(5—1)=—=1, 
ce qui est exact. 


Tféorème VI. — Sr l’on désigne par m le nombre des éléments variables, 
chaque erreur définie se trouvera comprise au moins dans m + 1 combt- 


naisons de l’ordre m + 1. 


Démonstration. — 1° Si l'on ne considère d'abord qu'un seul élé- 
ment, chaque erreur définie aura pour limites deux combinaisons du 
deuxième ordre, ce qui vérifie le théorème énoncé. 

2° Supposons que l'on considère deux éléments; et soit e, une 
erreur définie quelconque. Soit (e,, e,) une des combinaisons du 
deuxième ordre qui lui servent de limites. Cette combinaison du 
deuxième ordre aura elle-même pour limites deux combinaisons du 


troisième ordre, que nous désignerons par 
(Ep Cgs Er), (Ep; Eqs es). 


Solent &,, 6,; &,, 6, les valeurs des deux variables données æ, y, qui 


satisfont aux deux équations doubles 
Ep— CEq — Ers Ep— Cg— Es; 


l'équation e,= e, sera équivalente à celle-ci 





390 MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 


et, si l’on donne aux variables x et y des valeurs qui satisfassent à cette 
équation, æ étant compris entre &, et æ, les deux erreurs e,, e, devien- 
dront simultanément les plus grandes de toutes. Maintenant, si, au 


heu de supposer €,— e,, on suppose 
it, 0 


à étant une quantité positive très petite, et que l’on conçoive toujours 
les valeurs de æ et de y comprises entre celles que déterminent les 


équations doubles 
ét idee, Ce oo 0: 


il est clair que l'erreur e, restera supérieure à toutes les autres, et 
qu'elle surpassera mème l'erreur e, conjointement avec l'erreur €,, si 
lon suppose 


Ep = lg = Ô —— Cr 
et, conjointement avec l'erreur e,, si lon suppose 
(honek Pie Dé. 


a É . 2 rs A N . [NS 

Si, maintenant, on fait croitre 6, en supposant toujours Ep lg + OC 
lestérreurs.e, 
toutes, jusqu'à ce qu'une nouvelle erreur e, ou bien l'erreur e, elle- 


e. continueront à être conjointement les plus grandes de 
r J 5 


méme finisse par les égaler toutes deux pour un même système de 
valeurs de æ et de y; et c'est ce qui arrivera toujours nécessairement, 
puisque, l'erreur e, étant supposée définie, ène peut croître indéfini- 
ment sans que l'erreur e, cesse d’être la plus grande. On obtiendra 
donc, par ce moven, une nouvelle combinaison du troisième ordre, 
savoir (e,, €, €), (e, pouvant être égal à e,), qui renfermera l'erreur e,; 


et, par suite, les trois combinaisons du troisième ordre 
ee Cqs a to Ca eh (eps Cqs €) 


renfermeront l'erreur définie e, 


3° Supposons que l’on considère trois éléments. Soient e, une erreur 


, ce qui vérifie le théorème énoncé. 


QU’'IL FAUT ATTRIBUER A DIVERS ÉLÉMENTS, ETC. 391 


définie quelconque et (e,,e,) une des combinaisons du deuxième ordre 
Page 

qui renferment cette erreur. Comme l'équation e,—e, ne laisse que 

deux variables arbitraires, on prouvera, comme dans le cas précédent, 

que la combinaison du deuxième ordre dont il s'agit appartient à trois 


combinaisons du quatrième ordre. Soient respectivement 
(eps Cgs Crs es), (ep Cgs ess Ch A Cps Cq» Ers Et) 
ces trois dernières combinaisons. Si l’on donne aux trois variables æ, 
y, = des valeurs qui satisfassent à l'équation 
Se | 
et qui soient comprises entre les limites déterminées par les trois 
équations multiples 
(He Eg — Er — Css Ep — €q ECC, Cp Egg Cr lys 
c'est-à-dire des valeurs pour lesquelles on ait 


e 


 p — Eg > Cry Css Ca 


les erreurs € 


,. @ deviendront simultanément les plus grandes de toutes. 


Maintenant, si, au licu de supposer e, == eg ON SUPPOSE 6e, = €, + ô. 
Ô étant une quantité positive très petite, et que l'on donne à æ, y, z 
des valeurs comprises entre celles que déterminent les trois équations 


multiples 
Pen 12 Ne LR “2 D nes LA } Ne DT D De 22 NS — 
Cp— Cat 0 = Cr CS; Ep — ee © — Css C4, Cp— 043 + 0 — Cr Er, 


l'est clair que l'erreur e, restera supérieure aux autres, et qu'elle sur- 


passera l'erreur e, conjointement avec les erreurs e,, e,, si l'on suppose 
Ce CU ee Croes. 
Si maintenant on fait croitre à, en supposant toujours 
Cp Cg + Ü ÉRIC, 


les erreurs e,, e,, e, continueront à être conjointement les plus grandes 


392 MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 


de toutes, jusqu'à ce que l'erreur e; où une nouvelle erreur e, par- 
vienne à les égaler; ce qui finira nécessairement par arriver, puisque 
l'erreur €, 
combinaison du quatrième ordre, qui renfermera l'erreur e,, ce qui 


est supposée définie. Alors, on obtiendra une quatrième 


vérifiera le théorème énoncé. 

En raisonnant de la même manière, on finira par démontrer le théo- 
rème, quel que soit le nombre des éléments que l’on considère. 

Nous avons supposé, dans ce qui précède, que les combinaisons 
du deuxième ordre renfermaient seulement deux erreurs, celles du 
troisième ordre, trois erreurs, ete. Mais ilest aisé de voir que Îles 
mémes conclusions subsisteraient, si le nombre des erreurs d’une 
ou plusieurs combinaisons devenait supérieur à leur ordre. 


TuéorÈèue VIT. — Sorent e 


pr € 


PRET plusieurs erreurs, définies ou 
indéfinies. comprises dans une même combinaison de l’ordre m +1, 
chacune d'elles pouvant devenir séparément la plus grande de toutes. 
Soit, de plus, e, une erreur fictive qui soit égale aux erreurs e,, €, es. 
lorsque celles-ci deviennent égales entre elles, c'est-à-dire pour le système 
de valeurs de æ, y, 3, ... qui correspond à la combinaison que { "ON CONSI- 
dére. Si l'erreur fictive e, devient supérieure à toutes les autres pour des 
systèmes de valeurs qui rendaient précédemment l'erreur e,, la plus grande 
de toutes, la différence e, — e,, sera nécessairement positive pour quelques- 
uns des systèmes de valeurs qui correspondent à celles des combinasons 


de l’ordre m ou les erreurs e,, e,, ... entrent conjointement avec l'erreur €, 


Démonstration. — En effet, les systèmes qui correspendaient à 
l'erreur e,, c'est-à-dire ceux pour lesquels l'erreur e, devenait supé- 
rieure à toutes les autres, se trouveront maintenant séparés en deux 


groupes au plus. Pour l'un de ces groupes, on aura 
Ep> Cu 
et, pour l'autre, 


Ep T Eu: 


Chacun de ces groupes aura pour limites des systèmes correspondant 


QU’IL FAUT ATTRIBUER À DIVERS ÉLÉMENTS, ETC. 393 


à des combinaisons du deuxième ordre, ceux-ci des systèmes corres- 
pondant à des combinaisons du troisième ordre, et ainsi de suite ..., 
jusqu’à ce qu'enfin l’on arrive à des combinaisons de l’ordre »2, qui 
auront elles-mêmes pour limites la combinaison de l'ordre »# + 1 que 
l’on considère. La différence e, — e, sera donc positive pour quelques- 
uns des systèmes qui correspondent à celles des combinaisons de 
l’ordre » où se trouvent comprises Îles erreurs e,, e,, ... avec l'erreur e,. 

Si les deux groupes dont nous avons parlé se réunissaient en un 
seul, on aurait, pour ce dernier groupe, e, > e,, et les conclusions 


précédentes auraient licu a fortiort. 


Tuéorème VIIL — Sort e, 


tèmes de valeurs, supérieure a toutes les autres. Soit de plus 


une erreur qui devienne, pour cerlains 3Ys- 


(Ep Cqs Cr Css +.) 


une des combinaisons de l’ordre m+1 qui renferme l'erreur e,. On 
pourra toujours concevoir une erreur fictive €, qui devienne égale à cha- 
cune des erreurs e,, €,, 
à la combinaison précédente, et qui soit inférieure à e, pour tout autre 


ee, … pour le système de valeurs qut correspond 


F3 


système correspondant à celte dernière erreur. 


Démonstration. — Ce théorème parait vrai et général. Mais 1! suffira, 
pour notre objet, de le démontrer dans le cas où le nombre des combi- 
naisons de l'ordre »2, qui renferment l'erreur e,, et qui ont pour limite 
la combinaison donnée de l'ordre »m +7, ne surpasse pas 72. 

Cela posé, désignons par &, 6, y, ... le système de valeurs de æ, y, 


z,... qui correspond à la combinaison de l'ordre 7» +1 


CO ER er Can vo) 
Soient de plus 
ea, FT EC) T do. 
Ca dy + VE FCY + dy3 +..., 
e. a, +b,E EC, +d,;s +... 


Dé ee en eue Le aise ee 0 sr 0n ste entres. 9 


OEuvres de C.— S. Ut. I. 30 


394 ; MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEU RS 
Faisons de même 


bn Cn OT CL} Et diz +... 


As Vus Cas ds étant des coefficients indéterminés. Enfin désignons 
par À la valeur commune des erreurs Es, Cys ns «++ QUI CONTESDONC AU 
svstème de valeurs «, 6, +, .... Puisqu'on suppose, dans ce cas, 


(] Î 3 


l'erreur e, égale aux autres, on aura 
COR ECO Edit... À. 


Cette équation servira à déterminer a, lorsqu'on connaitra 4, €, 
d,, .... reste à déterminer ces derniers coefficients de manière que, 
pour tout systéme correspondant à l'erreur e, et différent de #, 6, y, .…., 
,— € SOI positive. 


la différence e 


Faisons, pour plus de commodité, 
D aET.: Y=6+ Fr, 3—=ÿy+s"!, 


On aura, dans ce cas. 


Ep A +b,z'+c,Y'+ d,3 +..., 
CA +byz + c,;y + dus +..., 
(Per A + LE 3 — Cry" = a D 


= À + br Cu Y' + dis + ne 


Si l'on égale entre elles les valeurs précédentes de celles des erreurs 6 
Crs €, +. Qui entrent avec e, dans une même combinaison de l'ordre 7. 
on aura une équation multiple, et cette équation multiple déterminera 


les rapports 


| 

4 = 
) 2 

D: D: 


qui conviennent à tous les systèmes correspondant à cette combinaison. 
Soient #, 4... ces mêmes rapports. Si l’on suppose que Îles erreurs 
comprises dans les combinaisons dont il s’agit deviennent supérieures 


à toutes les autres pour des valeurs positives de z°= x — a, la valeur 


QU'IL FAUT ATTRIBUER A DIVERS ÉLÉMENTS, ETC. 395 
commune de ces diverses erreurs, correspondant à une valeur quel- 


conque de +’, sera de la forme 


A+Bx! 


pourvu que l’on suppose 
(1) D — Op + CA —+- dit te by + Co —+- Cat in b, + CE -t- At MERE 
et, comme dans le cas contraire on doit avoir 


re Ch A Du, 
il faudra supposer 


but Cnk +dil+...<B. 


D 


oc 7 Le Q p ‘ . 
Si done lon désigne par © une quantité très pelite, que l’on pourra 


d’ailleurs choisir à volonté, et que lon fasse 


B(1—d)=B, 


on pourra supposer 
L 
(23 DOuteuk+d,l+...=RB" 


Cette premiére équation établira entre les inconnues #,, e,, d,, ... une 
relation en vertu de laquelle la différence e,— e, restera positive pour 
les systèmes de valeurs correspondant à lune des combinaisons de 
l'ordre #2 qui renferment l'erreur e,, 6€ qui ont pour limite la combi- 
naison donnée de l’ordre 72 +1. 

Supposons maintenant que le nombre des combinaisons de cette 
espèce ne surpasse pas 2; on pourra former autant d'équations pareilles 
à léquation (2) qu'il y aura de semblables combinaisons, et déterminer 
les valeurs des inconnues 4, c,, d,, ... de maniére que toutes ces équa- 
tions sotent satisfaites. Alors on sera assuré que la différence e,—e, 
reste positive pour tous les systèmes de valeurs correspondant aux 
combinaisons dont il s’agit. Par suite, cette différence sera positive 
pour tous les systèmes de valeurs qui correspondaient à l'erreur e,. 
Car, si, pour quelques-uns d’entre eux, elle devenait négative, elle 


396 MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 


le serait encore, en vertu du théorème VIT, pour quelques-uns des 
systèmes correspondant aux combinaisons de l’ordre » que l'on 


considère. 


Corollaire 1. — On pourra toujours déterminer les coefficients de 
l'erreur fictive e, de manière que cette erreur soit inférieure à e, pour 
tous les systèmes de valeurs qui rendent l'erreur e, supérieure aux 
autres, excepté toutefois celui qui rend les erreurs e,, e,, e,, ... égales 
entre elles, et pour lequel on aura encore e,:=e,. De plus, puisque, 


pour des valeurs données des variables æ, y, 5, ..., la différence 
Ep Cu 


dépendra de la différence B— B'= B3 et de toutes les différences 
semblables qui peuvent devenir chacune aussi petite qu'on Île jugera 
_ E. SAYOIr 


convenable, et que les coefficients de CS 


D mu bis Cp — Cu Fe P di 
sont, ainsi qu'on peut le conclure des équations (1) et (2), du mème 
ordre que ces différences ; on voit que la différence 


Ep AT 


pourra elle-même devenir moindre que toute quantité donnée. 


Corollaire II. — Considérons un système de valeurs pour lequel 


on ail 
en 0. 


on pourra toujours déterminer les coefficients de e, de manière que la 


différence 


Ep En 


D 
soit inférieure (abstraction faite du signe) à 


En 


et, par suite, de manière que e, soit inférieur à e,. Ainsi l'on pourra 


QU'IL FAUT ATTRIBUER A DIVERS ÉLÉMENTS, ETC. 397 
toujours faire en sorte que l'erreur e, ne devienne jamais la plus grande 
de toutes, si ce n’est pour le système de valeurs qui correspond à fa 
combinaison de l’ordre » +1 que l’on considère, et pour lequel on 
aura à la fois 

Cp — Eq — Cr he 07 
Corollaire III. — L'erreur e, étant déterminée comme on vient de le 


dire, les différences 
Cp Cu. Co — Cur Er Cu 
seront toutes égales à zéro pour le système de valeurs 
CAES À 


qui correspond à la combinaison que lon considère, Mais, pour tout 
autre système, une ou plusieurs de ces différences deviendront posi- 
tives, et si l’on augmente indéfiniment la valeur de æ - 4, en laissant 


toujours les mêmes valeurs aux rapports 





. 
nr mn | Porc | 2 
CT — X ER  (6 0 
celle des différences 
Cm 


qui seront positives, finiront par devenir plus grandes que toute quan- 


tité donnée. 


Corollaire IV. — L'erreur e, étant toujours déterminée de la même 


manière, soit e, une seconde erreur fictive, et faisons 


Cp Cr es 
e étant une quantité très petite, mais arbitraire. Alors, pour le système 
de valeurs +, 6,7y,... et pour les systèmes voisins, l'erreur e, deviendra 


supérieure à toutés les autres. De plus, comme pour des valeurs infinies 


deæ—«,y—6,z:—7y,..., quelques-unes des différences 


Gps Eu» Cq CL 


398 MEMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 
deviennent positives et infinies, et qu'au contraire la différence e, — e, 
est toujours constante, on voit que, pour de grandes valeurs æ — #, 


Y —6,5 —7Y,..., quelques-unes des différences 
Ch mr CU Cy T— Cu 


deviendront positives. Par suite, les systèmes de valeurs qui rendent 
l'erreur e, Supérieure aux autres ne peuvent s'étendre à l’infini. Cette 
erreur sera donc une erreur définie. Enfin il est aisé de voir que les 
combinaisons de l'ordre # qui renfermeraient quelques-unes des 
PTS, €. 
que l'on considère, se trouveront, par l'addition de l'erreur e,, trans- 


gs rs +. comprises dans la combinaison de l’ordre #2 +1 


formées en des combinaisons de l'ordre £ + 7. 


TusorÈème IX. — Si l’on désigne par m le nombre des éléments va- 
riables, chaque combinaison de l’ordre m +1 servira de limite, au MOUAS, 


a m + 1 combinaisons de l'ordre m. 


Demonstration. — Soit 


(Eps Cas Crs Css + +.) 


la combinaison de l’ordre #2 + 1 que lon considère, et soite, une des 
erreurs comprises dans cette combinaison, erreur qui pourra devenir 
supérieure à foutes les autres. Si le nombre des combinaisons de 
l'ordre 7x qui renferment l'erreur e, est supéricur à 72, le théorème se 
trouvera vérifié immédiatement: mais, si ce nombre n’est pas supérieur 
à 72, ON pourra, en vertu de la proposition précédente (corollaire IV), 
concevoir une erreur fictive e, qui soit définie et qui surpasse toutes 


les autres pour le système de valeurs 


(e4 


, 6, E 

correspondant à la combinaison de l'ordre 22 + 1 que l'on considère. 
De plus, si l'erreur fictive e, est déterminée par la méthode que nous 
avons indiquée, alors chacune des combinaisons de Fordre # qui appar- 


tenaient à la combinaison donnée de l’ordre #2 +1 deviendra, par 


QU’'IL FAUT ATTRIBUER A DIVERS ELEMENTS, FTL: 20) 
l'addition de l'erreur e,, une combinaison de l'ordre # + 1. Par suite, 
le nombre des combinaisons de l’ordre 2 +7 qui renfermeront l'erreur 
définie e, sera égal au nombre des combinaisons de l’ordre 72 qui 
avaient pour limite commune la combinaison donnée de l’ordre m+r. 
D'ailleurs, en vertu du théorème VI, le nombre des combinaisons de 
l’ordre » + 1 qui renferment une même erreur définie est au moins 
égal à #2+ 7. Il en sera de même du nombre des combinaisons de 
l’ordre 77 qui ont une même limite; ce qui vérifie le théorème énoncé. 

Lorsque le nombre des erreurs renfermées dans la combinaison de 
l’ordre #2 + 1 que l'on considère est seulement égal à » +1, on peut 
encore démontrer facilement le théorème IX de la manière suivante : 

Soient e 


p° 
naison de Pordre 2 +1, en nombre égal à 2 + 1. Ces erreurs devien- 


es €... les erreurs renfermées dans une même combi- 


dront simultanément les plus grandes de toutes, si lon détermine les 


Winabies 2,7 >, jo l'équation 


Cp Eg Eye 


. . nn 6 Q ., à ‘  : 
Mais, si l’on désigne par o une quantrée tres petute ct positive, et que 


l’on détermine æ, y, z, ... par l’équation 
CDiste Ô FREE Eg — Cr, 3 


l'erreur e, deviendra inférieure aux autres, et les erreurs e,, e,, e,, .…. 
seront simultanément les plus grandes de toutes. Dans le même cas, 


la combinaison + 
CPANTAE TE 


sera de l’ordre #2. On obtiendra done une combinaison de l'ordre » 
formée d'erreurs qui deviennent simultanément les plus grandes de 


toutes, si dans la combinaison donnée 
PER ARTE 


on supprime la première erreur e,. On arriverait encore aux mêmes con- 


clusions si, au lieu de supprimer l'erreur e,, on supprimait l'erreur €, 


400 MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS 


ou l'erreur e,, .., où quelqu’une des autres erreurs données. Ces der- 
nières étant, par hypothèse, en nombre égal à #41, on obtiendra, 
par ces diverses suppressions, 72 +1 combinaisons de l'ordre », qui 


toutes se trouveront comprises dans la combinaison donnée. 


Corollaire. — Soient M,., le nombre total des combinaisons de 
l'ordre » +1, et M, le nombre total des combinaisons de l'ordre »2, 
tant définies qu'indéfinies. Puisque chaque combinaison de l'ordre 
m +1 renferme au moins 7 +1 combinaisons de l’ordre 7», et que 
chaque combinaison de l'ordre 7x à pour limites deux combinaisons 
de l'ordre m» + 1, si elle est définie, et une seule, si elle est indétinie; 


on aura 


En pe 
(m te 1)M4 < 2 M VIE ou M, PTT M +1° 
2 


Cette inégalité jointe à l'équation (3) du théorème V sert à déterminer 
une limite du nombre d'opérations qu’exige la méthode exposée dans 


ce Mémoire. 


Tuéorème NX. — Le nombre des opérations qu'exige la méthode exposée 
dans ce Mémoire n'est pas d'un ordre plus élevé que le nombre des com- 
binaisons m — 1 à m —1 des erreurs donnees, m étant le nombre des 


éléments variables. 


Démonstration. — En effet, supposons qu'en ayant seulement égard 
aux combinaisons formées d'erreurs qui puissent devenir simultané- 
ment les plus grandes de toutes, on désigne par M, le nombre des 


erreurs simples ou combinaisons du premier ordre, et par 
M, M, Nos M. 1, REX 


les nombres de combinaisons du deuxième, du troisième, ..., enfin, 


du mime et du (72 + 1) ordre. On aura, en vertu du théorème V, 


Mh+: ee My + 1. par nm Mi \ PL == 0; 


QU'IL FAUT ATTRIBUER À DIVERS ÉLÉMENTS, ETC.. 401 
eten vertu du théorème IX, 


EI 





M, My , 


A 


# 


Si l’on ajoute membre à membre l'équation et l'inégalité précédentes, 
on aura 


HE: 1 
Mi M, eh EM MN) Ni 


À 





d'où l’on conclut 


4 





() Ms: _ I — I (M, je M +. es M M, _ 1): 


le signe supérieur devant être admis si 22 est un nombre impair, ct 
le. signe inférieur dans le cas contraire. D'ailleurs M, représente, 
comme on l'a déjà remarqué, la limite du nombre des opérations à 
fare, et M,,., indique le nombre des combinaisons de l’ordre » — 1, 
qui est où égal ou inférieur au nombre des combinaisons 77 — 1 à 
m — 1 des erreurs données ou d'une partie de ces erreurs. L'inégalité 


précédente vérifie done le théorème énoncé. 
Corollaire 1. — Si l'on a deux éléments variables, il faudra supposer 
m = 2, et l'inégalité précédente deviendra 
M, < 2M, — 2: 
>ar suite, le nombre des opérations à faire ne pourra surpasser 2M, 
ou le double du nombre des erreurs. 
Corollaire I. — Si lon suppose 72 — 5, on aura 


ar suite, le nombre des opérations à faire ne pourra être d'un ordre 
supérieur au nombre des combinaisons deux à deux, c'est-à-dire au 
carré du nombre des erreurs. 


OEuvres de C.— S. H;t.I. sh 


k02 . MÉMOIRE SUR LE SYSTÈME DE VALEURS, ETC. 


Corollaire 111. -- Si Von suppose » = 4, on aura . 
p. 
M, < 5 (M, -M + M, — 5): 
À 


Dap çrlI à : An les pat: s à fair à pa À TR “dre 
ar suite, le nombre des opérations à fatre ne pourra être d'un ordri 


supérieur à M, où au cube du nombre des erreurs, etc. 





MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


D'UNE CERTAINE CLASSE D'ÉQUATIONS 


AUX 
DIFFÉRENCES PARTIELLES, 
ET SUR LES 


PHÉNOMÈNES DONT CETTE INTÉGRATION FAIT CONNAITRE LES LOIS 
DANS LES QUESTIONS DE PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. 


Journal de l'École Polytechnique, XX° Cahier, Tome XHE, p. 175, 287: 1831. 


— —“— 


La solution d'un grand nombre de problèmes de Physique mathé- 
matique dépend de l'intégration d'équations aux différences partielles 
linéaires, et à cocfficients constants, dans lesquelles les dérivées de 
la variable principale sont toutes du même ordre. Telles sont, en par- 
ticulier, les équations qui expriment les Tois de la propagation des 
ondes à la surface d’un liquide renfermé dans un canal dont Ia profon- 
deur est très petite, et les lois de la propagation du son dans un gaz, 
dans un liquide, où dans un corps solide élastique. IF était important 
d'obtenir les intégrales générales des équations de ce genre sous une 
forme telle qu’on pût en déduire aisément la connaissance des phéno- 
mènes que ces équations représentent. Telest l'objet du Mémotre qu’on . 
va lire. Dans les premiers paragraphes, je m'occuperai de l'intégration 
des équations linéaires aux différences partielles et à cocfficients con- 


stants, du deuxième ordre, ou d’un ordre pair supérieur au deuxième, 


, 


0% MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATI ON 
mais dans lesquelles toutes les dérivées sont de même ordre. J'apphi- 
querai ensuite les formules trouvées à diverses questions de Physique 


mathématique. 


US 
— 


Sur l ‘undégration d'une certaine classe d ‘équalions 


aux differences partielles du deuxième ordre. 


Sotentx, 4,3, 4 quatre variables indépendantes, ete une fonction de 
ces quatre variables, déterminée par l'équation aux différences partielles 
d°8 da 0° du d?8 1 F3 


(1) SE A BE HG HOD——— + IE—— + 0F 
. de dx? 0Y* d3° dy 03 03 0x 0x 0Y | 





dans lesquelles 4, 8, €, b, E, F désignent des constantes choisies de 
maniere que Le polvnome 


9 


(2) AD + BÉ+C/ + 2D6y +2Eya +2ras 


reste positif pour toutes les valeurs possibles des quantités &, 6, y; ou, 
ce qui revient au même, de manière que l'équation 


21 


(5) AL? + BY} + C5 + 2D)3 + 2E 3x + 2FXY ZI 


représente un ellipsoïde. Supposons dalleurs que l'on connaisse les 

d8 : - 
valeurs de 2 et r correspondant à { 0, et que ces valeurs soient 
respectivement 


Ja 
SC 
(4) 8—=w(zx, y, 5), FT REA 


La valeur générale de 4 sera 


do . . 
el =) J [l ï 1 1 | ED LÉ BN TT et EN TU da dé dy d}. dy de, 


e désignant la base des logarithmes népériens, l'intégration relative à 

chacune des variables auxiliaires &, 6, y, À, u, y devant être effectuée 

entre les limites — æ, ++, et la lettre U représentant une fonction 

CALE AN Be, v, 4, propre à vérifier : 1° quel que soit £, la formule 
U 


(6) (AR + BÉ + cy + 287 + 2E ya + 2ra8)Ù + DE — 03 


D'UNE CERTAINE CLASSE D'ÉQUATIONS, ETC. #05 


° ‘Pour 4 — 0, les deux conditions 


OU 
FT OO UNE 


(Ga . U=vo(A, p, »), 
Cela posé, si l'on fait, pour abréger, 
(8) aa +88 +cy + 2p$y +2Eya +oras — b?, 


on {rouvera 


: : à k sinÿt 
(9) U=w(À,u,v)cos9t+ II (À, pu, v) Ar 
ou, ce qui revient au même, 
at 
(10) U=wiÀ, u, ») cos 04 + [l IL (A, pe, v) cosôt dt; 
0 


et l’on aura par suite 


COTES 


x cosftw(}, pe, v) dx dé dy d}. du dy 


il ES PT 7) Vi 6674: v 1 eY! 5—V); sn 
(==) 


x CosSOtIT(X, pu, v) dt da dé d'y di. du dy. 


Observons maintenant que l'équation (8) peut être présentée sous la 


forme 





Done, si l'on fait 





em 
2 AB — F? 
H==B— — = —————; 
À 
9 
(13) EF ) 
D — — ; : 
E? ( A ABC — AD? — BE° — CF? 2DEF 
J=C——— —————— — : ) 
A F? AB — F* 
B ——— 


406 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


et de plus 

















F E 20 1 

14) t+-6+-y— a 6 + — y —6! pee 
(14) En ru : mr? 3 EE 
ou, ce qui revient au même, 

F FD — BE AD — EF 

Are ! RP! ’ PI ! 1! 

19 AA —-0 + ; É oi 5 Es 
CE A in pt. a #7? LÉ 
on aura simplement 
(16) = Gx?+n6? y", 
Soient d'ailleurs 
. : F ; ID Pr FD — BE 

17 N — 1: ns eV P Rent ee me 6 ur 4 
du }  . AB — F# A 
cl 
se ; . F. AN — FF FD — BE . 
(18) re): a Her, y = y — rs —— 

À AB -— F° D +” 


On trouvera 
(9) a(r—1)+68(y—p) +y(s—v)=a'(x—#)+68/(x — pm) + y'(z — v), 
el, par suite, 


X cos 04m (à, pi, %) da dé dy d} du dy 


A en 2. nr LE TT 
= ff fee rLev'O-U")y —1 YU V')y —1 
(20) { u 


X Cosÿtw(}, p, v) da! d8' dy d}! du! dy' 


| = [ff feosa'ts — À')cos6/(x —n')cosy'(z — y’) 


X CoOsÜtw(}., u,») da! dé! dy d}' du! dy", 


l'intégration relative à chacune des variables auxiliaires &’, €. . 
pe’, v devant être effectuée entre les limites — +, + æ. 


D'UNE CE 


Soit encore 


RTAINE CLASSE D'ÉQUATIONS, ETC. 407 


1e 


J 


cn Ur 4 EE + ler 


G J 


On aura, en vertu d’une 


formule que j'ai donnée dans le XIX° Cahier 


du Journal de l’École Polytechnique (voir p. 292); 


. cos a'(x — À) COSS'(Y — un) cosy (er y') 


| 1e 1e 


— a 


x cos(cx'?+ 


S82+ 37° ’tda' dé’ dy' 


LE 2 


2T 
(22) — - x sinr& cos 2t da 





"2T 0 : 

= — cosracosaæt da. 
sn 

| GCoHeur — 


Dans l'équation (22), l'intégrale 


EL -] 
il cosræcosat da 
: 2 


peut être remplacée par la suivante 


| e-*va cos ra COS da, 
— © 


k désignant une quantité positive infiniment petite; et, comme on à 


dalleurs 


2 L 2] 
1 eV COsr à COS x Ad 9) 10 e-*“*cosr a cosat da 
DRE ; : /0 


F 


K 2 
Kki+(r—t} ù K°+(r+t) 








ilest clair que la formule (22) pourra être réduite à 


ff esse PAP CRS das u')cosy'(z— v') cosÿt do d&' dj! 








, K K - 
2T Kk+(r—t) 2T Ki+ (7 — 0) 
a —— mets —_— ————————— nn EE —————— 
e. 1 44 or r Lis ( 
G'H?J°7 c’H?3°?7 


POP 


108 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


Cela posé, les formules (11) et (20) donneront 


4 s : | K We ! ! ! 
| | 1! / / SE À IC, p, v) d}' du’ d 
MN dr ate Do 


i 0 è re 4 I K . ? 
nn - -ü(À,u,v)d}' du'dy!. 
ot A El : 
fé Re i, 


Concevons à présent que l’on considère les trois rapports 








JUN ENT VAS 7 
9 , 


GE H J 





comme représentant des coordonnées rectangulaires, et que l'on trans- 
forme ces coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires, dont 
lune soit précisément la variable 7, à l’aide des formules 


L 2x p'— x . Y'— 7 , 
CAD PLOSUR ee =} SIND COSQ, —— —"SiNpPsing. 
3 > > 


Ga SP J 





On devra, dans la formule (24), à la place du produit ZX du dy’, écrire 
ii | ; : à 
ur sinp dp dg dr, et l'on tirera de cette formule 


un 


le suivant G 


+ 


| ne. = ï | 1 _  — DE (2, p,v%)r sin p dp dq dr 





‘ 


ae: _ nu | | | RE : ne w(À,p,v%)rsinp dp dq dr, 
TOUL) Ce 


e/ 





les intégrations devant .être effectuées entre les limites p — 0, p =, 
49—=9,q=2r,r=0,r—= 2. Or,K étant un nombre infiniment petit, 
St Pon désigne par /, mr, x ce que deviennent les valeurs de à, 2, v, 


urées des équations (18) et (25), lorsqu'on v suppose r — 4, on aura 
ee - K : 
(27) : RO DA, u,v)rdr=mto(l, m,n); 


cEpar conséquent la formule (26) donnera 


/ at AIT - 
| nes rl ; tsinp (4, m, x) dp dq 
(28) : 27 (19 
| ee oi. | tsinpæ(l, m,n) dp dq, 


D'UNE CERTAINEeCLASSE D'ÉQUATIONS, ETC. 409 


les valeurs de /, 7n, nr étant 


. 
—=Xx+6G?{cosSp, 
1 1 
a. F L 
(29) {MY + H° {Sin p COS gq + x Fe + G?4 cosp), 
1 


y : : AD—FF 
[AZ +J {iSINpsing + 


ne u ( se 
—— x n'esinp cosq)- — \x+6*4 cos )), 
AB — F° Î Leu : 


ou, CC qui revient au même, 


{ 


1 
le Te (cosp, 





1 1 
lie : Da 
(30) | M—Y +H ÉSINPCOSq + Fa cos p. 
2. AD RE D. E ! 
nn —z+J (SINpSINg + “ H°{SIND COSg + —-G°ÉCOSp. 
| AU—F | A 


Concevons, pour fixer les idées, que l'équation (1) se rapporte à une 
question de Mécanique ou de Physique, dans laquelle & représente le 


temps, etæ, y,s des coordonnées rectilignes; supposons d'ailleurs que 
les valeurs initiales de # et Ÿ, savoir : (x, y,:) et =(æ, y, 5), sui 
es valeurs initiales de 2 et Je Savoir : m(æ, y, 5) et r(æx,y,s), soient 


sensiblement nulles pour tous les points situés à une distance sensible 
de l’origine. Au bout du temps £, les fonctions o(l,m,n),r(l,m,n) 
ne cesseront d’être nulles que pour des valeurs de /, me, n, très peu 
différentes de celles qui vérifient les trois conditions 


(31) semi Hi 0, ME 0 À 
desquelles on tire, en les combinant avec, les formules (29), 
fe a +. : 
X+6G*{Ccosp = 0, Y + H?{ Sin p COSq — 0, 2-+J ESINpSing= 0, 


et, par conséquent, 


32 ES 
(32) G h 7 


Si dans l’équation (32) on remet, pour les valeurs x, y, z, leurs valeurs 


OEuvres de C.—- S. I, 1. I. 22 


#10 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


déduites des formules (15), elle deviendra 
{ (Bc— D°)2?+ (ca —E?)y?+ (4 — r°)2? 


(33) + 2ÛEF — AD)Y3 + 2 (FD — BE)ZS + 2(DE-— CF)Ty 
À ———— ——— = 





ABC — AD?— BE? — CF? —+- 2 DEF ue 

Donc, au bout du temps £, la variable & n'aura de valeur sensible que 
dans le voisinage de la surface du second degré, représentée par 
l'équation (33). Il est d'ailleurs facile de s'assurer que cette surface 
est un ellipsoide. En effet, la valeur de 0? fournie par l'équation (8) 
ou (16) devant être positive, quelles que soient les valeurs attribuées 
aux variables &, 6, + et, par conséquent, aux variables a, 6, y, les 
quantités G, 1, 3 seront nécessairement positives. Donc, le premier 
membre de là formule (32) ou (33) restera positif, quelles que soient 
les valeurs attribuées aux variables X, v, z et, par conséquent, aux 
variables æ, y, z. 


Si, pour plus de simplicité, l’on pose 








(34) ABC — AD°— BE? — CF? + 2DEF =K, 
et 
BC — D CA — E? AB —- F°? 
A — — be, Ce ; 
ne K K tk 
(35) 
EE — AD FD — BE DE — CF 
d— ) rm ; f = ——— me 
K K K 


l'équation (33) deviendra 
(36) az? + by+cs+ 2dyz+2ezx + afxy =. 


Si d’ailleurs on nomme r le rayon vecteur mené de l'origine au 
point (x, y, 5) de l'ellipsoide représenté par l'équation (36), et «, 6, y 
les angles formés par ce rayon vecteur avec les deux axes des æ, y, 2, 


supposés rectangulaires, on aura 


, 

O2 
NI 

<< 


æ COR V— 10030 co, 


. D'UNE CERTAINE CLASSE D EOQUATIONS, BFC. h11 


et, par suite, 


(38) noi, 


la valeur de Q étant positive, et déterminée par la formule 





L 
3 | — à cos?a + b cos?6 + ccos’y 
(39) 
| + 24 C0S6 cosy + 2e cosy cosa + 2f cosx Cos6. 


Cela posé, concevons que la quantité 2 dépende de vibrations très 
petites d'un corps solide, ou d’un fluide pondérable où impondérable:; 
et que ces vibrations, d'abord produites dans le voisinage de origine 
des coordonnées, se propagent dans l’espace et donnent ainsi nais- 
sance à une onde sonore où lumineuse. La surface de l'onde coincidera 
évidemment, au bout du temps #, avec Pellipsoide représenté par 
l'équation (36). Par suite, la vitesse du son ou de la lumière, mesurée 
suivant le rayon vecteur r, sera la quantité constante désignée ei- 
dessus par Q, et déterminée par la formule (39). 

Considérons maintenant un point dont les coordonnées LE 
seront liées aux coordonnées æ, y, z de l’ellipsoiïde (33) ou (36) par 
les formules | 

| AT'+Fy'+Es = x, 
(40) € FÆ'+B8Y+Ds — 7, 


l EZ'+D}'+ cs —s. 
On tirera de ces formules 


| Lo (BC — D?)T + (DE — CF)y + (FD — BE)Z 
Le ABC — AD? — BE? — CF? + 2 DEF : 





hey 2 + ( CA — :? + (EF — æ 
. ni CF)T + (CA —E*)y + (EF — AD) , 


ABC — AD° — BE? — CF? +- 2 DEF 





di. (FD — BE)T + (EF — AD)y + (AB — F°)z. 


oi ABC — AD? — BE? — CF? —+- 2 DEF ? 





puis, en combinant les équations (4r) avec la formule (33), on trouvera 


(42) ax'+ yy'+ 323 — ê?. 


112 MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


Enfin, l’on tirera des équations (40) et (42), 
(43) Ax®+8y"®+cs?+92p)'s +02Es/x + orx'y = l?, 


Donc, le point (x, y’, z°) se trouvera sur la surface d’un second 
ellipsoide, représenté par l'équation (43). De plus, si l’on nomme r’ 
le rayon vecteur mené de l’origine au point (x',y', ="), et à l'angle 


compris entre les ravons vecteurs r, r', on aura 





en sorte que l'équation (43) pourra être réduite à 
(45) M VE meet 


Donc, le produit qu'on obtiendra, au bout du temps £, en multipliant 
les ravons vecteurs correspondants r, 7° par le cosinus de l'angle com- 
pris entre eux ou, ce qui revient au même, le premier de ces rayons 
vecteurs par la projection du second sur le premier, sera constam- 
ment égal à 4. Ajoutons qu'étant donné un point (+, y’, 3°) de l'ellip- 
soide (43), on pourra facilement déterminer le point correspondant 
(+, y, =) de lellipsoide (35). En eflet, pour y parvenir, il suffira de 
mener par le point (æ&', y, 5"), trois plans parallèles à ceux que repré- 
sentent les équations 
ATHFY +ES5 =O, 

(16) EL +—BY + DS —0, 


Pre DY + CS — 0. 


Si lon nomme +”, y”, 3" les coordonnées des points où ces trois plans 
rencontrent, le premier, l'axe des x, le deuxième, l’axe des y, le 


troisième, l'axe des z, on aura évidemment 


| AZ + Fy'+Es —Ax", 
{ræ'+By'+pz'—=8y", 


Ex'+ py'+cz'— cs", 


D'UNE CERTAINE CLASSE D’ 'ÉQU ATOME CE DC 113 


et, par suite, 
(48) | Bi, = bi. Pret 


On remarquera que le point correspondant aux coordonnées +”, y”, 
z" sera situé sur la surface d’un troisième ellipsoide, dont la construc- 
tion pourra servir à celle de lPellipsoide (33), puisqu'on passera de 
l’un à l’autre, en faisant croître ou décroitre l’abscisse x du troisième 
ellipsoide dans le rapport de x à 4, et l’ordonnée y ou 3 dans le rapport 
deràsouderàc. 

Dans le cas particulier où les quantités p, 5, r s'évanouissent, l’équa- 
tion (1) se réduit à 


(4 ) D oo 
49 O0? _ 0x? 0 y? "dz? 





Alors aussi l’on tire des formules (13) 
(50) GA, 1: nm LP 10, 


et des formules (20) 


“ 2 


L Lu 
(ou dd mhetrcosp, m—7y+8*{sinp Cosg, n—35+citsinpsing. 


Donc la valeur générale de 2, déterminée par léquation (28), devient 
5 


j TC LE 2 TC 
tsinp 
4T | | e: 





0 
4 ne L 
Ga) x (a+ atccosp, y + B*ésinp Cosg, 5: +c*{sinpsin a) dp dy 
52) ! 
Su 1 . tsinp 
on ot 1 
. on . 1. : 
| x a + A?tCosp, y +B?{Sinp COS, 3 + C*ÉSinp Sin 4) dp dq. 


Alors aussi les axes des deux ellipsoides représentés par les équa- 
tions (33) (43) coïincident en direction avec les axes des æ, y, 5, et 


au ; MÉMOIRE SUR L'INTÉGRATION 


les équations de ces deux ellipsoides deviennent respectivement 





VA = 

(93) + + — él, 
A B C 

(54) PE EE :4 cbe met +4 oi 


Ces deux équations résultent lune et autre de la formule (42) com- 


binée avec les formules (40) qui, dans le cas présent, se réduisent à 
F0 LE “à, CNE D rech 
De plus, l'équation (39), qui détermine la vitesse Q, donne simplement 


Pr » 
y © COS’: 
(56) = 2e nt 
Sen À B C 








Cela posé, si lon nomme Q,, Q,, Q, les valeurs que prend la 
vitesse Q, lorsqu'on la mesure suivant l’axe des æ, ou suivant l'axe 


des y, où suivant l'axe des 5, on trouvera 





(53) ee 4, (9 va 
et la formule (56) dongera 
5e D C0 Cond CUS, 
(28) Ou 0 O2 
Nu nu | me per 


Si, D,E, Fr étant nuls, on suppose de plus 


2 


pb —0—07,, 
a désignant une quantité positive, la formule (49), réduite à 


nes d?3 d?3 d?3 
5 Kr 2 ot En e 
(9) « (SE _ dy* D) 





sera celle qui détermine la propagation du son dans un milieu dont 
l'élasticité reste la mème en tous sens. Alors la formule (52) de- 


D'UNE CERTAINE CLASSE D'ÉQUATIONS, ETC. RAS 


viendra 


l T 2T 
—/f J tsinp 
1 


X R(x + alCosp, y + atsinp Cosg, 3: + atsinp sing) dp dq 


| 


(60) 


{ 

on : ff isnr 
= sin 
AT dt 0 0 ; 
| 
| 


X D(T + atCoSp, y + atsinp CosSg, = + atsinp Sing) dp dq, 


et les formules (53), (54), (56) deviendront 


(ou a? = d, 
(62) (æ?+ yr+ 3) =, 
(63) CE nt 4 2 


Done l’onde sonore sera une onde sphérique, et la vitesse du son, qui 
restera la même en tous sens, sera mesurée par la constante @. La 
formule (60) coincide avec l'intégrale que M. Poisson à donnée de 
l'équation (59). 





CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 


Journal de l’École Polytechnique, XXNY° Cahier, Tome XV, p. 176; 1837. 


S LE. C’est dans le Mémoire présenté à l’Académie de Turin, le 17 no- 
vembre 1831 (f), que j'ai fait connaitre un nouveau calcul qui peut être 
fort utilement employé dans la résolution des équations de tous Îles 
degrés. Mais, dans le Mémoire dont il s'agit, les principes de ce calcul, 
que je nomme le calcul des indices des fonctions, se trouvent déduits 
de la considération des intégrales définies. Je me propose 1er de mon- 
(rer comment on peut établir directement ces mêmes principes sans 
recourir à des formules de calcul intégral. 

Soit & une fonction réelle de la variable réelle +, et telle que si l'on 
fait croitre cette variable par degrés insensibles entre deux limites 


données, 
DL 2 


u varie insenstblement, et ne change jamais de signe sans passer par 
zéro où par Finfint. Pour une valeur & de æ comprise entre les Himites 


GT, D À. Cthropre à vériHer l'équation 
(1) — — 0; 


la fonction & passera, en devenant infinie, du négatif au positif, ou 


(1) Œuvres de Cauchy, S. I, T. XV. 


CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. BAT 
du positif au négatif, ou bien elle ne changera pas de signe. La quan- 
tité + 1 dans le premier cas, — 1 dans le second, zéro dans le troisième 
sera ce que je nomme l'indice de la fonction u pour la valeur donnée + 


de la variable æ; et l'indice intégral de u, pris entre les Fimites 
LT Loco), OR 7 0 


ne sera autre chose que la somme des indices correspondant aux 
diverses racines de l'équation (+1) renfermées entre les limites dont il 


s’agit. Je désignera cet indice intégral par la notation 


Ju u)). 


l’usage des doubles parenthèses étant ici le même que dans le calcul 
des résidus. Cela posé, on établira sans peine Îes propositions sur- 
vantes : 


TnéorÈuE L. — Soient u une fonction réelle de x qui, entre les limites 
x, «= X,ne change jamaus de signe sans passer par zero où par 
l'infini, et u,, U les deux valeurs de uw correspondant aux valeurs 


réelles x,, X de la variable x. La somme 


CY X CNE AT 
(2) Jun+].((s)) 
LQ y À \ € 
sera équivalente à zéro si les deux quantités u,, U sont de méme signe; 


à +1 si, la premuére étant négative, la seconde est positive; à — 1 sv. 


la prenuére étant posuive, la seconde est négative. 

Démonstration. — Si l'on fait croitre æ par degrés insensibles depuis 
la limite +, jusqu'à la limite X, les seules valeurs de æ auxquelles cor- 
respondront des indices de & ou de =; différents de zéro, seront celles 

à : Forree Sep 
pour lesquelles la fonction & ou deviendra infinie en changeant de 
signe, et à une semblable valeur de x correspondra toujours un in- 
. Le, N . F se A 
dice de u ou de — égal à +1 si u passe du négatif au positif, et un 


3 d 


OŒEuvies de CO. —.S. 1; 1.1 Do 


118 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 
indice de & ou de = égal à — 1 si uw passe du positif au négatif. Soient 


maintenant 


les valeurs successives de æ comprises entre les limites æ,, X et pour 
lesquelles Ta fonction & devient nulle ou infinie en changeant de 


signe, c'est-à-dire, en d’autres termes, les racines des deux équations 


(5) 0 te 0 


renfermées entre les limites æ,, X, ces racines étant rangées par ordre 
s. .n . . : { 
de grandeur. Si w, est négatif, les indices de w ou de = correspondant 


aux valeurs 


de Ta variable x seront respectivement 
HI, 1, HI, —1, 
ef, par suite, la somme de ces indices sera équivalente à zéro ou à 


+1, suivant que leur nombre sera pair où impair, c’est-à-dire, en 


d'autres termes, suivant que U sera négatif ou positif. Au contraire, 


. ein . . I 
Su, est positif, les indices de & ou de => correspondant aux valeurs 


de la variable x seront respectivement 
Re CES el, his 0,0 


et, par suite, la somme de ces indices sera équivalente à zéro ou à —r, 
suivant que leur nombre sera pair ou impair, c’est-à-dire, en d’autres 
termes, suivant que U sera positif ou négatif. Donc, en définitive, l'ex- 
pression (2) où la somme des indices des fonctions 


u 
? 4 


CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 19 


correspondant aux valeurs 


de la variable æ sera équivalente à +1, à — 1, ou à zéro, suivant 
que la variable +, en passant brusquement de la valeur +, à la valeur X, 
fera passer la fonction & du négatif au positif ou du positifau négatif, 
ou cessera de produire dans cette fonction un changement de signe. 

En supposant que la fonction réelle & de æ ne change jamais de 


signe, sans passer par zéro où par l'infini, nous désignerons par la 


Ju» 


la somme des indices de x correspondant à toutes les racines de 


notation 


équation (1), en sorte que lon aura identiquement 


Juan] (a) 


00 


Si la fonction w se réduit à la forme =, # étant une quantité con- 


stante, on trouvera 


ou 
C RS 
(tx) = jte = 


suivant que la quantité Æ sera positive où négative. Cela posé, le 


théorème 1 sera évidemment compris dans. la formule 


dy SARA Ho u 
. Jun+T(G)=sldme5 dus) 


Si à la fonction & on substitue le rapport entre deux fonetions 





données u, », tellement choisies que chacune d'elles ne change jamais 
de signe entre les limites æ = x,, x = X, sans passer par zéro où par 
l'infini, alors en nommant &,, e, et U, V les valeurs de ces deux 


fonctions pour æ = x, et pour æ = X, on aura, en vertu de la for- 


120 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 


mule (4) 
os HD) 75 5 


ou, ce qui revient au même, 


TAC) TAC )= ner del 


Lorsque « est algébriquement divisible par », l'indice intégral 
oi 
Oz a 


est évidemment nul, et la formule (5) donne 





TnéorÈME IE — Siu, 6 étant deux fonctions entières de x, et le ‘degré 
de la prenuére égal où supérieur au degré de la seconde, on nomme Q 
le quotient el sv le reste que fournit la division de u par +», on aura 


À JE) =2(()) 


/ 


quelles que soient les valeurs particulières de x représentées par x, et X. 


Démonstration. — En effet, dans l'hypothèse admise on aura, quel 
que soit æ, 
(44 [a 
— = Q ; 
(g 
et, par suite, les rapports 
(K2 La 
er T2. 
ra 0 


dont la différence Q restera toujours finie en même temps que la 
variable +, deviendront simultanément infinis pour certaines valeurs 


réelles de æ propres à vérifier l'équation 


(8) oo 


CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 121 


Soit a l’une de ces valeurs. Quand + différera très peu de a@, les 


deux rapports 


oMrant des valeurs numériques très considérables, supérieures à celle 


de Q, seront nécessairement des quantités de même signe. Done, pour 
: u , ‘  _ : (y 
æ = @, l'indice du rapport + sera équivalent à l'indice du rapport —+, 


et cette équivalence, subsistant pour toutes les racines de l’équa- 
tion (8), entrainera la formule (3). 
De la formule (7) jointe à la formule (5) on tire 


SAP : U ; Re 
o  J()=il/ve5 ds 7) 


En vertu de cette dernière équation, la détermination de l'indice 
intégral d’une fraction rationnelle 2 entre des limites données, peut 
être réduite à la détermination de lindice intégral d'une autre fraction 
rationnelle = dont le numérateur et le dénominateur soient des polv- 
nomes de degrés moindres. D'ailleurs, une réduction semblable pourra 
s'appliquer non seulement à la nouvelle fraction _. mails encore à 
toutes les fractions que l’on en déduira successivement, et que l'on 
formera en divisant l’un par l'autre deux restes consécutifs obtenus 
dans la recherche du plus grand commun diviseur des deux poly- 
nomes « et 6. Or, comme l’avant-dernier reste sera exactement divi- 
sible par le dernier, c'est-à-dire par le plus grand commun diviseur, la 
formule (6) fera connaître l'indice de la dernière fraction, duquel se 
déduiront immédiatement les indices de toutes les autres. Ainsi l’on 
peut, à l'aide des formules (6) et (9), déterminer l'indice de toute 
fraction rationnelle. On peut au reste abréger souvent le caleul à Faide 
des considérations suivantes : 

St, u étant une fonction entière de la variable +, on désigne par 6 


l'accroissement de & correspondant à l'accroissement x de la variable +, 


122 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 


la somme uw + 6 pourra être représentée par un polynome ordonné 


suivant les puissances ascendantes de à et de la forme 





! o° [/4 a [4 
(10) UHAU+—U + ——U +..., 
1.2 19% 
et dans ce polynome les coefficients de 
x? 3 
a Le , 
Savolr, 
He nS , ; 


seront de nouvelles fonctions de x que lon nomme dérivées de la fonc- 
on u, la dérivée du premier ordre &' n'étant autre chose que la limite 


VCrS laquelle converge le rapport 





QIm 
D 
[ST 


(11) 


tandis que & s'approche indéfiniment de zéro, et la dérivée u® de 





l'ordre æ étant le coefficient de —— - dans le polynome (10). Si 
l’on suppose, pour fixer les idées, 

(12) RE ADO EL EE AT tk, Er K,, 

FU re nn, k, étant des quantités constantes, on trouvera 
(13) u+8—=k(x+a)"+k (x Ho) Ii HR, (x +a)+km (Tr +) +km, 
el, par suite, 


u' = mkaM + (m—i)kam +... +Hok, st + Km 


(14) cu" (m—i)mkxm-t+ (m — n](m—1)A TPE ELLE, 


asp en) eee aies eee. alone el eee es 1e ere de ne rate ie ee ere is + oise uere see se one le ble arte ele 


Or il résulte des formules (14) : 1° que l’on obtiendra la dérivée du 
premier ordre &’ en multipliant chaque terme de la fonction & par l'ex- 
posant de æ dans ce terme, et diminuant ce même exposant d’une 
unité; 2° que, pour obtenir les dérivées de « des divers ordres, 11 


CALCUL DES INDICES DES.FONCTIONS. 423 


suffit de former successivement diverses fonctions dont chacune soit 

la dérivée de la précédente, la première étant la dérivée de w. 
Concevons maintenant que le degré de la fonction entière « étant 

égal ou supérieur à 2, u s’évanouisse pour une valeur donnée a de la 


variable æ, et que u°” soit alors le premier des termes de la suite 
(19) DU M M Ho 
qui ne se réduise pas à zéro; si l’on nom me 

| Ni 


les valeurs des fonctions 


ut) utrn+1) utrr+2) 





Pr m Lo de m(m+s) EE APE HUE CRE 2) 
pour æ = à, la valeur de & correspondant à 
10) TC (+ 
(16) 


sera 
A mn Fin À +1 un. A OR dns En ; 


par conséquent, l'équation (56) entrainera la suivante 
(17) HA AREA QUE AS que... 
de sorte que l’on aura identiquement 
d— A (Ta) RAD QE À, ACL a Re, 
ou, Ce qui revient au même, 
(18) u—(x—-a)"[A,+A,,(xz—a)+Asn(x— a) +...]. 
Alors l’équation 
(19) 0 
pouvant être décomposée en deux autres, savoir 


(æ—a)"= 0, et Ân + Ant(T — 4) + Amr:(x — a) + on 


12h CALCUL DES -INDICES DES FONCTIONS. 
devra être considérée comme admettant 72 racines égales dont « sera la 
valeur commune. Ajoutons que, pour des valeurs de x très rapprochées 


de a, le rapport 


(20) DRE 


sera, en vertu de la formule (18), une quantité finie, mais différente 
de zéro, affectée du même signe que À,,, par conséquent du même 
signe que #,. Cela posé, on démontrera sans peine la proposition 


suivante : 


Tnéorème HE. — Socent u, v deux fonctions réelles et entières de x, 


CL SUPpOSONS que les deux équations 


(19) . HE 0, 


(5) Po, 


offrent la première m racines, la seconde n racines, égales et réelles, dont 


a sou la valeur commune. L'indice de la fraction 


. re 
EE : 
[44 
correspondant à x = & sera zéro, si la différence m— n est paire ou 
negative. Mais, st celte différence est umpaire el posuive, le même 
indice sera +-'1 où — 1, suivant que la valeur du rapport 


p() 


um) 
correspondant à x = à sera posuive ou négalive. 


Démonstration. — Dans l'hypothèse admise, si lon attribue à æ une 


valeur très rapprochée de a, les deux fractions 


(23) (72 p 


(rare RE 





acquerront des valeurs finies, mais différentes de zéro, dont la pre- 


CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 425 
mière sera une quantité aflectée du même signe que u°”, et la seconde 
une quantité affectée du même signe que #”. Par suite le quotient 
qu'on obtient en divisant la seconde fraction par la première, savoir 


p 
” (x Due 14 Lea 


sera, pour des valeurs de à infiniment rapprochées de a, une quantité 
finie, mais différente de zéro et affectée du même signe que le rapport 
pt) 
un)" 


Donc alors la valeur de 


Le 


sera infiniment petite, finie, où infiniment grande, en même temps que 
le produit 


ptn) I 





(24) D Ce ue 
Or, si la différence æ — a vient à changer de signe en passant par Zéro, 
le produit (24) ne pourra changer de signe en passant par linfini 
qu'autant que la différence 2 — 7 sera impaire et positive et, dans ce 
cas, le produit (24) passera du négatif au positif ou du positif au 
négatif, suivant que la valeur du rapport 


pt) 


API 


correspondant à æ = à sera positive ou négative. Donc lindice de la 
fraction (21) s’évanouira si la différence » — n est paire ou négative, 
et cet indice deviendra + 1 où — 1 lorsque la différence 2 — 7 sera 


»(2) 


impaire et positive, suivant que le rapport — deviendra positif ou 
ut) 


négatif pour x = a. 


Corollaire. 





* 
Si a est une racine simple de l'équation (19), sans 
OEuvres de C. — S. Il, t.I. 94 


426 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 


être racine de l'équation (8), l'indice de la fraction 


1 


correspondant à æ = @, sera +1 où — 1, suivant que Île rapport 


acquerra, pour æ = @, une valeur positive où négative. 

Lorsque «, e désignant des fonctions réelles et entières de x, la 
forme de la fonction west telle qu'on puisse facilement déterminer les 
racines de &u = 0 renfermées entre les limites æ,, X, le théorème IH 
fournit le moyen de calculer immédiatement l'indice correspondant à 


chacune de ces racines et, par suite, l'indice intégral 


Dans le cas contraire on peut, en recourant à la formule (9), rem- 
à . (? » . 14 . . DT J 
placer la fraction = par une fraction —; et continuer ainsi jusqu'à ce 
(Q 

, | . N à . ,* . . 2 
que l'on parvienne à une nouvelle fraction dont l'indice intégral entre 
les Timites æ,, X puisse être facilement déterminé à l’aide du théo- 
rème IE. On peut aussi poursuivre le calcul jusqu'à la fraction qui a 
pour numérateur le plus grand commun diviseur des deux polynomes 
4,6, fraction dont l'indice sera immédiatement déterminé par la for- 
mule (6), et alors on déduira sans peine de la formule (9) le théorème 
suIvant : 

TRÉoRÈME IV. — Sort 

+ 


(29) A ae NE LAND ADR RER 


une suue de fonctions entières de x tellement choisies que, de trois termes 
consécutifs de la suite (25), le troisième soit toujours égal au reste de la 
: < 


division du vremier par le second, ce reste étant pris en signe contraire. 


CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 1427 


— pv, = # sera le reste de la division de u par v, Æ v, sera le plus grand 
commun diviseur algébrique des polynomes u, v, et, pour déterminer l’in- 


dice de la fraction 


ro 


U 


entre les limites x = x,, x = X, il suffira de comparer deux à deux, sous 
le rapport des signes, les termes qui se suivront immédiatement dans la 
suite (25), en supposant que l'on attribue à la variable x : 3° la valeur x, 
2° la valeur X, puis de compter les variations de signe et les permanences 
de signe que la suite (25) offrira dans chacune de ces deux hypotheses. 
Si l'on nomme u le nombre des variations de signe qui se changeront en 
permanences, el v le nombre des permanences qui se changeront en varia- 
lions dans le passage de la première hypothèse à la seconde, l'indice de 
la fraction 


Ç 


(42 


pris entre les limites x = x,, æ = X sera équivalent à la différence entre 





les deux nombres Wu. el y, en sorte que l’on aura 


co TE) 


et si l’on suppose toujours que, a étant racine de l'équation 
| = 0 
uw soit le premier terme de la suite 
PS AO D EE es, 
qui ne s’évanouisse pas avec æ — à, les deux équations 


(19) LH 0: 


(27) HU 0 


428 CALCUL:-DES INDICES DES FONCTIONS. 
admettront, la première 72 racines, la seconde m2 — 1 racines égales 
à a, et, comme la dérivée de l'ordre »+ de «w sera en même temps la 


dérivée de l’ordre 72 — 1 de w', on conclura du théorème II que l'in- 

, u! , SR , ; : : 

dice de = se réduit à l'unité pour chaque valeur réelle de + propre à 
[44 

vérifier l'équation & = 0. Par suite, si l’on nomme N le nombre des 

racines réelles mais distinctes de & = 0, renfermées entre les limites 


LL 0,07 aiUIa 

. | T 
20 AN = 

(28) 1. 


Si l’on veut obtenir le nombre total des racines réelles de l'équa- 
tion (19), 11 suffira de poser, dans la formule (28), æ, = —%, X =, 
ou méme simplement 


Ty eh. 


R désignant un nombre supérieur aux modules de toutes les racines. 
On pourra donc, à l'aide de la formule (28), déterminer le nombre des 
racines réelles d'une équation, ou plus généralement le nombre de 
celles de ces racines qui se trouvent comprises entre des limites don- 
nées. Ajoutons que, si plusieurs racines sont renfermées entre les deux 
limites æ,, X, on pourra, entre ces deux limites, interposer une troi- 


. or ; : ; _. To+ X 
sième valeur de æ équivalente à leur moyenne arithmétique = 


et déterminer le nombre des racines comprises : 1° entre æ=x, et 


Lt EX LE X : ; 
Tv nn D A 24 € 1 À HE Mes ME (5 PS sm. par conséquent, entre 


deux nouvelles limites dont la différence sera la moitié de la diffé- 
rence des deux premières. Or, en continuant de la sorte à resserrer 
les limites qui renferment les racines réelles, on finira par obtenir une 
suite de valeurs de x croissantes et tellement choisies que deux termes 
consécutifs ne comprennent jamais entre eux plus d’une valeur réelle 
de x propre à vérifier l'équation donnée. 

Si l’on voulait obtenir le nombre des racines positives de léqua- 
tion (19), 1 suffirait de poser x, —0 et X=% où X —R, dans la 


CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 129 


formule (28), qui serait ainsi réduite à 


(29) N=7.((5)) 


ou 
eo 7 (5) 


Si l’on nomme «,, u, et U, U’ les valeurs des deux fonctions &, u 


pour æ= x, et pour æ = X, on tirera de la formule (28) jointe à la 


formule (9), 
CR U . a ae OU 
0 dE er En mA (02) 


Dans le cas particulier où l’on suppose x, = 0, X = +, le rapport 





‘a 





pl 
4 
en 


acquiert une valeur infinie, mais positive, et l'on a, par suite, 


C U 


Alors aussi, &,, u, n'étant autre chose que le terme constant et le 


coefficient de la première puissance de æ dans la fonction «, indice 


: Uo 


Fus((x)) 


sera équivalent à + 1 où à — 1 suivant que le système des deux der- 


niers termes de & offrira une permanence où une variation de signes. 
CIN AU 
rte 
‘he a ) 
1A\TI) 


ne pourra surpasser le nombre des racines réelles de l'équation (27). 


Enfin l'expression 


réduite à 


430 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 
Cela posé, on déduira immédiatement de la formule (31) la proposition 


suivante : 


Tuéorèue V. — Le nombre des racines posuives de l'équation u — 0 
ne pourra surpasser que d'une unité le nombre des racines positives de 
l'équation dérivée w = 0, et dans le cas seulement où le systéme des deux 


derniers termes de la fonction u offrira une vartalion de signe. 


Corollaire. — On prouvera de même que le nombre des racines de 
l'équation dérivée du premier erdre &' = o ne peut surpasser que d’une 
unité le nombre desracines positives de l'équation dérivée du second 
ordre &”= 0, et dans le cas seulement où le système des deux derniers 
termes de &', par conséquent le système des deux termes qui précèdent 
le dernier dans &, offre une variation de signe. Donc Ie nombre des 
racines positives de u = 0 surpassera d’une où de deux unités au plus 
le nombre des racines positives de = 0, et dans le cas seulement où 
le système des trois derniers termes de & offrira une ou deux variations 
de signe. En continuant ainsi, on finira par établir la règle des signes 


de Descartes comprise dans le théorème dont voict énoncé : 


TuéonÈme VI. — Le nombre des racines positives d'une équation u — 0, 
dans laquelle u désigne une fonction entière de æ, ne peut surpasser le 
nombre des variations de signe qu'on obtient en comparant deux à deux 
les termes qui se succèdent vmmediatement dans la fonction u. Le nombre 
des racines négatives ne peut surpasser le nombre des permanences de 


signe fournies par le même procéde. 


Nota. — Après avoir établi, comme on-la expliqué ci-dessus, la 
première partie du théorème VE, il suffira, pour déduire la seconde 
partie de la première, de remplacer æ par — x. 

Observons encore que, si, dans la fonction w, les coefficients de 
plusieurs puissances de la variable æ se réduisent à zéro, il suffira, 
pour qu'ils cessent de s'évanouir, de remplacer æ par æ He, € dési- 


gnant un nombre infiniment petit. On s'assure aisément de cette ma- 


CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 431 


nière que, dans l'application du théorème de Descartes, ‘on peut ne 
tenir aucun compte des termes qui disparaissent. 


ne ; à ; o ; 
Si, dans le théorème IT, on remplace la fraction = par la suivante : 
| ñ 


et si l’on pose en même temps +, == — +, X = +, on trouvera 


. ((Æ))=x-x, 
Cr | 


N désignant le nombre des racines réelles positives et M le nombre des 


racines réelles négatives, puis on conclura des formules (9) et (35) 


x 





La formule (32) s'accorde avec un théorème à l'aide duquel j'ai 
démontré le premier que, pour une équation de degré quelconque, on 
peut trouver des fonctions rationnelles des coefficients dont les signes 
fassent connaitre le nombre des racines réelles positives et le nombre 
des racines réelles négatives. 

Si l’on combine la formule (28) avec le théorème IV, on obtiendra 
le beau théorème dû à M. Charles Sturm. 


THéorÈME VIT. — Sort 
64) D D D D 


une suite de fonctions entières de x tellement choisies que de trois termes 
consécutifs de la suite (33) le troisième soit toujours égal, abstraction 
faite des signes, au reste de la division algébrique du premier parle 
deuxième, mais affecté d'un signe contraire au signe de ce reste. Æ u, sera 
le plus grand commun diviseur algébrique des deux polynomes u, u', et 
le nombre des permanences de signes qu'offriront les termes de la suite (33), 
pris conséculivement et comparés deux à deux, ne pourra que crottre pour 


des valeurs croissantes de x. Or l'accroissement que recevra le nombre 


L32 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 


dont il s'agit dans le passage d’une limite donnée x — x, à une limite 
plus considérable x — X sera précisément le nombre des racines dis- 


ténctes de u = 0 renfermeées entre ces limites. 


Nota. — On peut sans inconvénient substituer aux restes des divi- 
sions successivement opérées les produits de ces restes par des nombres 
entiers quelconques, ce qui permettra de faire disparaitre les diviseurs 
numériques dans les polynomes &,, u,, ..., u,_,, u, lorsque les coeffi- 
cients des diverses puissances de æ dans la fonction «w seront des 
nombres entiers. 

En s'appuyant sur les principes ci-dessus exposés, on pourrait 
encore étendre le calcul des indices à la détermination des racines 
imaginaires des équations, ainsi qu'à la résolution des équations 


simultanées, et démontrer en particulier la proposition suivante : 


TuéorÈue VII — Soient f(x, y), F(x,y) deux fonctions de x, y, 
qui restent COnHRUES, CUT MES AU LG, EX: Ve) À: 
Nommons (x, y), b(x, y) les dérivées de ces fonctions relatives à x, 
et y(æ, y), X(æx, y) leurs dérivées relatives à y. Enfin. sou N le nombre 
des différents systèmes de valeurs de x, y, propres à vérifier les équations 
sunultanées f(x, y) = 0, F(x, y) = 0, et comprises entre les limites ci- 


dessus énoncées. On aura 


ï HAN L CYK : : NY GT AR 
NN PAC (æ, Y))) eu (x, J0))) AUS »))) Le (( X, »n)| 


er supposant 


Pz, y)z(r, 7) — o(x, y) X( 
FC, ») 





Ty pre y). 


Hit — 

S Il. En 1835, pressé par le temps, je n'ai pu qu'indiquer les appli- 

cations de la théorie aux racines imaginaires des équations à une seule 

inconnue, et aux équations simultanées; je vais appliquer aujourd'hui 

le calcul des indices à ces mêmes objets en suivant la méthode qui me 
parait la plus directe. 


CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 433 


LEMNE [. — Sorent x, y deux variables que nous considérerons comme 


représentant deux coordonnées rectangulaires, et 
(1) ben UE 2 A 


une fonction de ces variables qui reste finie el continue pour tous les 
ponts (x, y) situés dans l’intérieur du contour fermé OS. Les valeurs 


de u correspondant à deux de ces points 


seront des quantités de même signe, st l'on peut joindre ces deux points 
par une nouvelle courbe PQ qui, renfermee dans l'intérieur du con- 


tour OS, ne rencontre pas celle que représente l'équation 
(2) De dE a ee 


Démonstration. — Comme, dans l'hypothèse admise, la fonction « 
varicra par degrés insensibles, tandis que FPon passera sur Ja nouvelle 
courbe du point Pau point Q, il est clair que cette fonction, ne pou- 
vant s'évanouir, ne pourra non plus changer de signe. 

Corollaire 1. — 1 suit du lemme précédent que, dans l'hypothèse 
admise, Paire terminée par le contour OS sera divisée, par la courbe ou 
par les diverses branches de courbe que représente l'équation (2), en 


deux ou plusieurs parties, dans chacune desquelles la fonction 
PE) 


conservera partout le même signe. 


DU et. 
-) — etant 
dr 0Y 


supposées continues pour lous les points suues dans l'intérieur du con- 





Lee Il, — La fonction u et ses dérivées du premier ordre 


tour OS, et l'aire terminée par ce contour se trouvant divisée en deux ou 
plusieurs portions par la courbe ou les branches de courbe que représente 
l'équation (2), st l’on passe d'une de ces portions à une portion voisine 
en traversant la courbe dont il s'agit ou l'une de ses branches, la fonc- 


OEuvres de C. — S. W, t. I. 29 


43! CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 


Lion u changera nécessairement de signe, & moins que l'on n'ait simulia- 


nement en chaque point de cette branche 


du TE 
(3 — = O — O0 
dr ou 
Démonstration. — En effet, si lon coupe la branche dont il s’agit en 
un point K par une droite qui forme l'angle & avec le demi-axe des æ 
positives, la fonction &, nulle au point K, ne pourra conserver le même 
signe de partet d'autre de ce point, sans devenir en ce même point un 


maxInNIUum où un minimum, c'est-à-dire sans que l’on ait 


du du dy du du . 
+  — — LAngD = 0, 


dx dv dx 0æ 07 


quel que soit d'ailleurs Fangle w, et, par suite, 


(3) Ju du : 
; — 7 O — — 
: dr ; 0y 
Lemme HT. - Si un point ©, dans le voisinage duquel la fonction 
: ou du — 
u—=F(x, y) et ses dérivées du premier ordre de: 9j, léstent Jtnires el con- 
“LE L 14 ù 


tinues, est, dans la courbe représentée par l'équation 2 un point isolé, 
ou un point d'arrêt, où un point sallant (voir les Applications du Calcul 


différentiel) (*), les coordonnées de ce point vérifieront les formules (3). 
; / L 


Demonstration. — En effet, dans ces trois hypothèses, on pourra, 
par le point C, faire passer une droite telle que, dans le voisinage de 
ce point, on ne puisse trouver, d'un côté de cette droite, ou des deux 
côtés à la fois, aucun point qui appartienne à la courbe dont il s'agit. 
En conséquence, deux points situés sur la droite, de part et d'autre du 
point G ct à de très petites distances, pouvant être joints l'un à l'autre 
par une nouvelle courbe très peu étendue et qui ne rencontre pas la 
premiére, les valeurs de « correspondant à ces deux points seront 


des quantités de même signe (lemme D). Donc la valeur de &, variable 


(1) OEuvres de Cauchy, S. 1. t. V. 


CALCUL DES INDICES DES PONCTIORS. 135 


d’un point à un autre sur la droite dont il s’agit, deviendra encore au 
point C un maximum où un minimum, et lon en conclura, comme 
dans le lemme If, que les coordonnées du point C vérifient les for- 
mules (3). 


Leume IV. — Sr la courbe représentée par l'équation (2) offre un pornt 
multiple C, c'est-a-dire un point dans lequel se reuntssent deux ou plu- 


sieurs branches de cette courbe, les coordonnées de ce point vérificront les 


formules (3). 


Démonstration. — En effet, considérons deux branches de courbe 
qui se réunissent au point C, ct coupons ces deux branches dans le 
voisinage du point C par une droite PQ qui forme l'angle 5 avec Île 
demi-axe des æ positives. On pourra satisfaire à Féquation (2), non 
seulement en prenant pour +, y les coordonnées du point P où la 
droite PQ rencontrera la première branche de courbe, mais encore en 
substituant aux coordonnées +, y celles du point Q situé sur la seconde 


branche, que je supposerai désignées par 

æ + AZ, y +Ay, 
la différence finie Ay étant de la forme 
(4) Ay = tango Ar. 


Cela posé, en nommant &# + Au ce que devient la fonction & quand on 


y fait croître x de Ax et y de Ay, on aura non seulement 


He À 
mais encore 
u + Au = 0, 
et, par suite, 
(5) At 0 ei 0: 


puis, en supposant que la droite PQ se rapproche indéfiniment du 


point C, et qu'en conséquence Ax converge vers la limite zéro, on 


K36 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 
tirera des formules (4), (5) 


(ARR e. du . du dy : 
7 PARUS us Dr OR 2 





De ces dernières on déduit immédiatement l'équation 


du F ALPAES . 
RE € LC frs 
dx DRE E 4 


(0) ôy 


qui, devant subsister pour diverses valeurs de l'angle w, entraïnera les 
formules (3). 


Corollaire 1. -— En raisonnant toujours de la même maniére, et sup- 
posant réunies au point C non plus deux, mais trois branches de 


courbe, alors, outre l'équation (6), on obtiendrait la suivante 


é Au . du 4 qu ne 
y ns + 2— tango + —- tang © = 0 
dé dt CE) CR DRE L 


laquelle, devant subsister indépendamment de la valeur attribuée à 


angle ©, entrainerait les conditions 





(&) du du : Ju 
(8 —— —=0 — mn (6 — = 0. 
… + CE É 0x 0y | dy? 
Corotlaire 11. — En général, la réunion de x» branches de courbe en 


un point multiple € entraincra les conditions 





du du 
De == 0, dx = 0. 
at du is 
(9) / de? a dx dy — 0, JF = 0, 
et ù eee cs DR EE À 
d'u den 
Ja TEE dx" OY On dy" 2 


qui devront toutes se vérifier pour Îles coordonnées x, y du point dont 


a 
il s'agie. 


LEMME V: — Les variables x, y représentant des coordonnées reclangu- 


CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. k37 


laires, et les deux fonctions 
u—F(zx, y), Dr) 


etant supposées continues dans le voisinage du point C, qui répond à un 
système donné de valeurs de x, y, si les deux courbes représentées par 


l'équation (3) et par la suivante 
(10) | pr 0 ou 12 ri—0 


se touchent au point C, on aura en ce point 


| de du de du 
(F1) À 


Démonstration. — En effet, siles deux courbes représentées par les 
équations (2) ct (ro) ont au point C une tangente commune, leurs 
équations différentielles, savoir 

du du de de 


= de M ni 


: dy 
devront fournir pour ce point la même valeur de ES Or cette condt 


tion entrainera immédiatement la formule (11). 


TUÉORÈME 1. — Soit u — F(x) une fonction réelle de la variable x. 


Sx—a représente une racine sunple de l ‘équalion 


(1) 0 ou 1) 0, 


HO . I x , ! + 
l'indice de —; correspondant à æ — a, et représenté par la notation 
LU 


de Æ 4) 


sera +1 où — 1, suivant que la fonction dérivée uw acquerra pour x — à 


une valeur positive ou négalive. 


Démonstration. — En ellet, Pindice dont il s'agit sera + 1 où — 7, 


suivant que la fonction &w, en passant par zéro, sera croissante ou dé- 


L38 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 

croissante pour des valeurs croissantes de æ. On sait d’ailleurs qu’une 
fonction de æ croit ou décroit pour des valeurs croissantes de æ, sui- 
vant que sa dérivée est positive ou négative. (Voir le Caicul differen- 


tel.) 


Corollatre 1. — Les mêmes choses étant posées que dans le théo- 
rème f, sie désigne une seconde fonction de x qui ne devienne point 


nulle ni infinie pour æ = à, l'indice du rapport 


I 
m9 


uv 
-correspondant à æ == «a, offrira le signe de la fonction dérivée 


d(us) 


= us + ue, 
dx 





qui, en vertu de l'équation u = 0, se réduira au produit w'e, pourvu 
que e conserve une valeur finie. 
: . .. . Re [l 
Corollare 11. — Si, dans le corollaire précédent, on remplace 6 par =? 
on en conclura que lindice du rapport 


( 
ras À 


(24 


correspondant à æ = à, offre Le signe de la fonction 


— ) 
uw! 


lorsque 6 et "obtiennent, pour + — a, des valeurs finies différentes de 
ZéTO. | 

Cette conclusion s'accorde avec le théorème HT du Mémoire de 
1630 C0 


THÉORÈME I. — Soient, comme au lemme I, x, y deux variables que 
nous considérerons comme représentant deux coordonnées rectan gulaires, 
= Pr, 


(1) Œuvres de Cauchy, S. IT, t. XV. 


CALCUE DES INDICES DES FONCTIONS. 439 


une foncuhon réelle de ces deux variables et 

D rm 7 24 FD 
un des systèmes de valeurs de x, y propres à vérifier l'équation 
ARE ; HO où Fr) 0 


Traçons d'ailleurs autour du point C, dont les coordonnées sont a et b, 
une courbe fermée OS dont la longueur totale sott désignée par c, et nom- 
mons s l'arc de cette courbe complé posuivement à partir d'un point 
Jixe O jusqu'à un point mobile S qui ait autour du point C un mouve- 
ment de rotation direct. Pour chacun des points situés sur la courbe OS, 
æ, y, el par suite u, pourront étre considérés comme fonctions de la 


variable s. Cela posé, si la courbe fermée OS est traversée en divers points 
0 2 . ga . . À 

par celle que représente l'équation (2), l'indice de la fonction = COrTes- 

pondant à chacun de ces points, offrira le méme signe que la fonction 


at 
derivée — : 
ds 


Démonstration. — Le théorème I est une conséquence immédiate 
du théorème [et suppose qu'en chacun des points où la courbe OS est 
rencontrée par celle que représente l'équation (2) cette dernière 
équation, exprimée à l’aide de la «seule variable s, n'offre point de 
racines égales. 


Corollaire 1. — Les mêmes choses étant posées que dans le théo- 

rème If, si l’on désigne par v = f(x, y) une seconde fonction de x, y, 
. à - !l \ . ® 

l'indice du rapport =, correspondant à l’un des points de rencontre 


de la courbe fermée OS et de celle que représente l'équation (2), 
offrira le même signe que la fonction dérivée 


AC). dv de , du 


LS s ds | ds 








. : . ar I 
Corollaire 11. — Si, dans le corollaire précédent, on remplace 6 par =; 


40 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 


ee ç’ Ft 
on en conclura que FPindice du rapport «> Correspondant à lun des 
points de rencontre de la courbe OS et de celle que représente l’équa- 


on (2), offre le même signe que la fonction dérivée 


par conséquent le même signe que la différence 


de du de 
12 P—— — U —: 
( ds ds 
TuéorÈuE IE. — Les mémes choses étant posées que dans le théorème II, 


désignons par 6 — f(x, y) une seconde fonction de x, y. Admettons 
d'ailleurs que les deux fonctions u, 6 soient non seulement finies, mais 
continues et la seconde différente de zero, pour tout point situé sur le 
contour OS; alors, en supposant w et + exprunes sur le contour OS en 


foncuon de la seule variable s, on aura 


: eff \\ 

(13) | À. (JS: 

Démonstration. — La fonction 6 conservera le même signe pour tous 
les points du contour OS, puisqu'elle y reste finie et continue sans 
jamais s'évanouir. Cela posé, coneevons que l'extrémité de Pare s, ou 
le point S, fasse le tour de la courbe OS avec un mouvement de rota- 
tion direct; pendant ce mouvement, le rapport . des deux fonctions 
continues 6 et w ne pourra changer de signe qu’en passant par l'infini, 
el passera évidemment autant de fois du positif au négatif que du né- 
gattf au positif. Donc, parmi les indices de ce rapport qui différeront 
de zéro, le nombre de ceux qui se réduiront à — 1 sera égal au nombre 


de ceux qui se réduiront à + 1. Donc la somme de ces indices ou 


,* . . " Û PAT a à ‘ 
l'indice intégral de - sera nul ct vérificra la formule (3). 


Corollaire 1. — En prenant e — 1, on réduit le théorème I à la pro- 
position suivante : 


CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. hi 


St la fonction u — F(x, y) reste finie et continue pour tous les points 
situés sur le contour OS, alors, en considérant u comme fonction de la 


seule variable s, on aura 


co 7:(())=e 


Corollaire II. — Soient u = F(x, y) ct v = f(x, y) deux fonctions 
dont chacune reste non seulement finie, mais continue sur le con- 
tour OS, et puisse d’ailleurs s’évanouir en quelques points de ce 
contour. Alors, en considérant &w et e comme fonctions de la seule 


variable s, on aura, d’après le corollaire J, 


el, par conséquent, 


(15) JE) — 0. 


Comme on aura d'autre part 


u? + v? u 0 
en ne el) 
U\ p [44 





l'équation (15) pourra s’écrire ainsi (!) 


6). AC) AO) 
0 Na n u 
Corollaire II. — Soient u, v, w trois fonctions de æx,.y, dont 
chacune reste non seulement finie, mais continue sur le contour OS, 
et puisse d’ailleurs s'évanouir en quelques points de ce contour ; alors, 
en considérant w, ?, æ comme fonctions de la seule variable $, on 
aura, d’après le corollaire T, | 


C7 € Ho à 
Oo \\uvw 





(1) La méthode à l’aide de laquelle on démontre ici la formule (16) pourrait servir 
pareillement à établir la formule (5) du paragraphe 1°. 


OEuvres de C. — S. IH, t. I. 6 


k42 CALCUL DES INDICES DES.FONCTIONS. 


et, par conséquent, 


Ce oran int + ue 
(17) 1 ( jee 


Fan up F4 





Comme on aura d'autre part 


ce? a? + 7e + 72 0? 0 œu uv 








) 
up .U pet 4 


l'équation (17) pourra s’écrire ainsi 


8) 7h (060 Cye ee) +] CE) 
l es + RE = (0e 
.. (Ca) se +]. Ne ) 0 (( is ) 
Corollaire IV. — Des formules analogues aux équations (16) et(18) 
pourraient être facilement démontrées si le nombre des fonctions w, 





v, 4, .…. devenait supérieur à trois. 


THéoRÈME IV. — Les mémes choses etant posees que dans le théorème I, 
désignons par v = f(x, y) une seconde fonction de æ, Y, el admettons 
que les deux fonctions u, 6 restent finies et continues, ainst que leurs 
derivées du premier ordre, 

du ou de de 

0x dy  0æ dy 
pour tous les points renfermes dans | ‘intérieur du contour OS. Supposons 
de plus que, dans cet intérieur, les deux courbes représentées par les 
équations (2) et (10) se réduisent chacune à une seule branche GCH. 
ou ICJ qui rencontre le contour OS en deux points G, H ou I, J; que ces 
deux courbes s'y rencontrent elles-mêmes en un seul point C; enfin que les 


fonctions dérivées 
: Qu 04 dv da 


0x’ dy de. 0Y 


y conservent toujours des valeurs finies, maïs ne vérifient pas au point € 
la condition (11); alors, en considérant, sur le contour OS, x, y et par 


suite uw, v comme fonctions de la seule variable s, on aura 


eo LT: ((E))== 


+ CALCUL DES INDICES DES LONCTIONS. 143 


le double signe devant être réduit au signe + Ou au signe —, SuYanl 


que la valeur du binorme 

11 TEE 

CEE, 0x 0y 0Y 0x 
correspondant au point C, sera positive ou négative. 


Démonstration. — Puisqu'au point C, situé sur la courbe GCH, la 
condition (11) n’est pas vérifiée, les conditions (3) ne pourront lêtre 
dans l'hypothèse admise. Donc, en vertu du lemme If, la courbe GCH, 
représentée par l'équation (2), divisera l'aire terminée par le con- 
tour OS, et ce contour lui-même en deux portions telles que tous les 
points de l’une répondront à des valeurs positives et tous les points 
de l’autre à des valeurs négatives de la fonction w. Par la même raison, 
la courbe ICJ, représentée par l'équation (10), divisera l'aire terminée 
par le contour OS, et ce contour lui-même en deux portions telles que 
tous les points de l’une répondront à des valeurs positives et tous Îles 
points de l’autre à des valeurs négatives de la fonction ». Enfin, .en 
vertu du lemme V, les deux courbes GCH, ICJ ne pourront se toucher 
au point G où elles se rencontrent sans que la condition (11) soit véri- 
fiée. Elles s’y couperont donc, et il en résulte que, sur le contour OS, 
chacun des points I, J se trouvera situé entre les deux points G et H. 
Concevons, pour fixer les idées, que l'extrémité mobile de Pare s, ou 
le point S, en faisant le tour de la courbe OS avec un mouvement de 


rotation direct, rencontre successivement les quatre points 
FRANS PE: PER À | 
chacune des fonctions &, u conservera 1e même signe, tandis que le 
point S parcourra l’un des arcs 
GE HET HU, IG. 
Mais la fonction & changera de signe lorsque le point S passera par 


la position G ou H, et la fonction 6 lorsque le point S passera par la 


position | ou J. 


hu CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 
Par suite le rapport 
( 


(24 


changera de signe chaque fois que le point S passera par l’une des 


positions successives 


et le changement de signe au point H s’effectuera dans le même sens 


qu'au point G, le changement de signe en sens opposé ayant lieu en 
: à ; ra 
chacun des points [et J. Donc les indices du rapport > COrrespon- 


dant aux deux points G, H, seront égaux entre eux et à +1; d’oùil 


résulte que la demi-somme de ces indices ou la moitié de l'expression 


J. (x) 


se réduira encore à Æ 1. D'autre part, il suit du théorème II (corol- 

: 4e : 0 : : 
laire 11) que l'indice du rapport=, en chacun des points G, H, offrira 
le signe de la différence 


du do 
(12) nl nee an Lars Le 


Donc la valeur de l'expression 


(eye g 
C (x) 
sera déterminée par la formule (19), le signe du second membre 


devant être réduit au signe + ou au signe —, suivant que la valeur 
du binome 


correspondant à chacun des points G, H, sera positive ou négative. 
Concevons maintenant que, a, b étant les valeurs de æ, y relatives 
au point C, l’on remplace les coordonnées rectangulaires æ, y par des 


coordonnées polaires p, r relatives au point C pris pour origine, et. 


CALCUL DES INDICES DES EUNCEIONS: 4h45 


liées à æ, y par les formules 
(20) æ— al COSb, Y—b=rsinp. 


Supposons, de plus, que l’on resserre indéfiniment le contour OS 
autour du point C, en faisant décroitre et rendant infiniment petite la 
valeur de r correspondant à chaque point de ce contour. Le point'C 
qui répond à = 0 étant celui dans lequel se coupent les deux courbes 
représentées par les équations (2) et (10), uetv, considérées comme 
fonctions du rayon vecteur r, deviendront infiniment petites avec r, 
ainsi que la quantité (12) à laquelle on pourra rendre une valeur 
finie, sans altérer le signe dont elle est affectée, en la divisant par 7, 
c'est-à-dire en la remplaçant par la différence 
21) ES 

D'ailleurs rien n'empêchera d'admettre que, dans le contour OS 
devenu infiniment petit, toutes les valeurs de 7 soient égales entre 
elles. Alors ce contour se transformera en une circonférence de cercle: : 
et si lon place l'origine O de l'arc s sur le demi-axe des æ positives, 


cet arc, déterminé par la formule 
CD à 


devra être considéré comme fonction de la seule variable p; en sorte 


qu'on aura 


du du de 1 OP 
— — }] il 


PONT 


ï 
ds r.0p 
Cela posé, la différence (21) deviendra 


eo du uw 06 


ue 5 0p ri 0p 


Ce n’est pas tout : lorsque le contour OS se transforme en une cir- 
conférence de cercle dont le rayon est infiniment petit, chacun des 
points de cette circonférence se confond sensiblement avec le centre C; 


et par suite les valeurs du binome (22), qui répondent aux deux 


446 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 

points G, H, se confondent sensiblement avec la valeur du même 
binome correspondant au point C (*). Donc cette dernière sera la 
limite des deux autres et pourra leur être substituée. Or, on aura 
pour le point C, où les trois quantités r, u, 6e s'évanouissent simulta- 


nément, 
u du CR de 


For on. 
Donc, en ce point, la différence (22) sera équivalente au produit 


: 1 dv du de du 
co r \or dp  opor) 


D'autre part on a généralement, en vertu des formules (20 ), 





du du ne du 1 du ci Qu un ou 
—— —= COS — Ne) = a CD D EE COS ee 
dr / dx À dy” J' dp 1 dx ie JA dy” 
dc : de ; 218 1 | 06 : d6 
— = COSD — + Sin p — = — = — Sin — + COSD — 
or P 5x 155? r Op / ÜT / Cu 


et, par suite, 
1 OO : de du\ ds du ds du 
r Dr pH an 2) — dx dY dy 0x 





Donc le signe de lindice intégral 


J:(()) 


se confondra non seulement avec le signe du binome (12) ou (21) en 


chacun des points G, H, mais encore avec le signe de la différence 


SR RL 
0x dY dy dx 


calculée pour le point C, c’est-à-dire pour le point où se coupent les 


courbes représentées par les équations (2) et (10). 


(*) Ce qui rend cette conclusion légitime, c'est que, dans l'hypothèse admise, les valeurs 
Det et, par suite, celles de ee tent 
it pts — y — "A _ 2, — _ W 3 

ro idf 6x TRS F ; : der op” dr r 0p” Fr AE D 


dans l'intérieur du contour OS, fonctions continues des variables x, youretp. 


de «,'v 


CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. #47 


Autre demonstration. — On pourrait, dans la démonstration précé- 
dente, se dispenser de transformer les coordonnées rectangulaires en 
coordonnées polaires, et arriver très simplement aux mêmes conclu- 
sions de la manière suivante : 

Supposons que le contour OS, en se resserrant de plus en plus 
autour du point C, prenne la forme non d’une circonférence de cercle, 
mais d’un rectangle terminé par quatre droites parallèles aux axes 
des æ et des y; ke binome (12) acquerra des formes diverses pour les 
points situés sur ces quatre droites. On trouvera, en particulier, pour 
les points situés sur l’une des droites parallèles à l'axe des y et du côté 


des æ positives, par rapport au point C, 
(293 $== const. EF Y, 


par conséquent 
: du de du de 
20 D —U— = — —u—, 
ei ds ds dy dy 
et comme pour chacun de ces points æ — a sera positif, le binome (26), 
pour chacun d'eux, offrira le même signe que la différence 


0 du u de 


(27) | PRE 


à A0 À do 0 
dont la limite, correspondant au point C, où æ — a, u et v s'éva- 
nouissent, ne différera pas de la quantité æ déterminée par la formule 


JP ou de du 


0. 


Au contraire, pour les points situés sur l’une des droites parallèles 
à l'axe des x, et du côté des y positives, relativement au point C, on 


aura 


(29) S— CONS. 7, 


par conséquent 





(30) P— —uU— =Uu— —V—) 


448 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 


et comme pour chacun de ces points la différence y — b sera positive, 
le binome (30), pour chacun d'eux, offrira le même signe que la 
différence ; 


7 de re du 


re CFE 





dont la limite correspondant au point OC, où y — b, u et 6 s'éva- 
nouissent, sera encore la quantité æ. Si, au lieu des droites situées 
par rapport au point C du côté des coordonnées positives, on consi- 
dérait les droites situées par rapport au point C du côté des coor- 
données négatives, il faudrait remplacer dans les formules (27) 
et (31) y par —y, æ par — x, et substituer aux différences æ -- a, 
y — b, qui deviendraient négatives, les différences a — x, b— y. Par 
suite on pourrait encore substituer au binome (12) l'expression (27) 
ou (31), dont la limite correspondant au point C serait toujours la 
quantité æ. 

Ainsi, en résumé, si le contour OS, en se resserrant autour du 
point C, prend la forme d’un rectangle dont les côtés deviennent infi- 
niment petits, la valeur du binome (12), pour chacun des points situés 
sur ce contour, offrira le même signe qu’une quantité dont la limite 


sera la valeur de æ correspondant au point C. Donc l'indice intégral 


qui doit se réduire à +1 ou à — 7, et offrir le même signe que Île 
binome (11) en deux points G, H situés sur le contour du rectangle, 
sera donné par la formule (19), le signe du second membre étant 
déterminé comme il est dit dans l'énoncé du théorème IV. 


Corollaire. — Si les deux fonctions &w, +, étant nulles au point C, 
restent, dans le voisinage de ce point, finies et continues, ainsi que 
leurs dérivées du premier ordre 


du, du, 0. de 
dx’ dy 0x” 0Y” 


CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. k49 


sans que la valeur de æ relative au même point s'évanouisse, il sera 
impossible d'admettre que lon ait simultanément 


PTE du ee 

dx 2 , dy — O, 
ou bien 

dis d6 

RE (0) dy sn à 


Donc alors, en vertu des lemmes HIT et IV, le point C, considéré 
comme appartenant à l’une ou l’autre des courbes représentées par les 


équations 
(3) 0, 0, 


ne pourra être ni un point isolé, ni un point d'arrêt, ni un point 
saillant, ni un point multiple. Il y a plus : en vertu des lemmes IV et V, 
les deux courbes, réduites chacune à une seule branche dans le voisi- 
nage du point C, ne seront point tangentes l’une à l’autre en ce point, 
mais s'v traverseront mutuellement. Cela posé, pour que les condi- 
tions énoncées dans le théorème IV soient remplies, il suffira de 
choisir arbitrairement sur chacune des courbes GCH, ICJ, représentées 
par les équations (32), deux points G, Hou 1, J'situés de part et 
d'autre du point & à des distances infiniment petites, puis de joindre 


les quatre points 


pris consécutivement, et deux à deux, par quatre ares de courbe 


Gr 14, JG, 


tracés de manière qu'aucun de ces ares ne rencontre entre ses deux 
extrémités l’une des deux courbes GCH, ICT. Alors, en effet, le système 
des quatre arcs GI, IH, HJ, JG formera un contour OS que chacune des 
courbes GCH, ICJ rencontrera seulement en deux points G et H ou 1 


ct J. Donc le théorème IV entraine la proposition suivante : 


Tnéorèue V. — Si les deux fonctions 


(Per 0 0 A P— Ji), 
OEuvres de C. — S.W,t. 1. | 


OT 
ms) 


450 CARODL-DES INDICES DES FONCTIONS: 

étant nulles pour les valeurs de x, y qui correspondent à un point donné €, 
restent, dans le voisinage de ce point, finies et continues, ainsi que leurs 
dérivées du premier ordre 


ou du Due De 


0x” dy” 0x’ 97° 


sans que la valeur de w relative au même point et déterminée par la for- 
: / \ D . ; a. 
mule (275) s'évanouisse, on pourra tracer autour du point C, et dans son 


voisinage, un contour fermé OS, de telle manière que l'on ait 


(19) n ((5) no 


s désignant l'arc de la nouvelle courbe OS compté positivement dans le 
sens du mouvement de rotation direct, v, uw étant consideres dans l'équa- 
uon (10) comme fonctions de la seule variable s, et c représentant la lon- 
gueur totale du contour fermé OS. Ajoutons que, dans le second membre 
de l'équation (19), le double signe devra être réduit au signe + où au 
signe —, suivant que la valeur de w relative au point © sera positive ou 


negalive. 


TuÉoRÈME VI. — Soient x, y deux variables que nous considererons 


comme représentant deux coordonnées rectangulaires, et 


Et EE 2 à) 


une fonction de ces deux variables. Traçons d'ailleurs dans le plan des 
æ, y une courbe fermée OS, dont la longueur totale soit désignée par c, 
et nommons s l'arc de cette courbe compté positivement dans le sens du 
mouvernent de rotation direct, à partir d'un point fixe O jusqu'au point 
mobile S. Si l'on partage le périmètre c de la courbe OS en plusieurs 
parles 

Ce 


respect wement comprises entre les extrémités des arcs 


So — 0» 10 Jar ce Sn 1 Sn — Cs 


CAECUL DES INDICES DES FONCEFIONS, 451 


en sorte qu'on au 
Ci, +, (en Ve 2 1 Do as 


el, par suile, 
Cha CRE RSC = Se ST CC 


alors u étant considéré comme fonction de la seule variable s, l'indice 


ire gral 


sera la somme des indices de même forme qui correspondent aux diverses 


parties 


Cis Cas RO, Ch 


du périmètre €, en sorte qu'on aura 
os 7(2)-7:()- 70) TO) 7 (0) 
CA LENNUE RSS QUI DÉANETOE CS NAN COS EAN AUUE 
Démonstration. — En effet, dans Péquation (33), le premier membre 
représente la somme totale des indices de la fonction : correspondant 
aux points du contour OS pour lesquels cette fonction devient infinie, 
tandis que chaque terme du second membre représente une somme 
semblable, mais relative seulement aux points situés Sur une partie du 
même contour. Or il est clair qu'en réunissant les sommes partielles 
relatives aux diverses portions e,, 6,, .... €, du contour 6, on obtiendra 


la somme totale relative au contour entier. 


Corollaire 1. — Si lon nomme C l'indice intégral relatif au contour 
fermé OS, et 
ci He) Ces GE À Ca 
ce que devient cet indice quand on remplace successivement le con- 


tour entier c par ses diverses parties 


Ci Ca, , Cns 
on aura 
(34) tele 0. 


152 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 


Corollaire 11. — Les raisonnements dont nous avons fait usage suf- 


fisent évidemment pour établir la formule 


dans le cas même où l'on n'aurait plus s,—0, s,— c, par conséquent, 


dans le cas où l'arc 
Sn — So 


ne serait [lui-même qu'une partie du contour OS. 
Si l’on suppose en particulier # = 2, la formule (35) donnera sim- 


plement 
2e ETES C7 Lo: Fe (2) 
oi tn né . ((2)) À ( \ A ; 
Corollaire 111. — Si lon veut rendre la formule (35) applicable au 


« “ à e. I . - - 
cas méme où Ja fonction 7 devient infinie pour l’une des valeurs de s 


représentées par 


Sn 19 Sn 


il sera nécessaire d'admettre que, dans la somme d'indices représentée 


par une expression de la forme 

5 CASA Ce \ 

J((x)) 

EL te / 
on doit réduire à moitié l'indice correspondant à une valeur donnée 
de s toutes les fois que cette valeur coïncide avec l’une des limites NA 

Corollaire IV. — Dans ce qui précède, nous avons implicitement 

admis que les quantités | 


So» S1s S2) DRE Sn—15 Sn 


forment une suite croissante. Si l’on veut que les formules trouvées 
s'étendent au cas même où cette condition ne serait pas remplie, on 


Hrera de la formule (36), en v posant s, = 5, 


TTC) TAG) = 


CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 453 


par conséquent 


(37) AO AO) 


- 


Au reste, pour obfenir immédiatement la formule (39), il suffit 
d'étendre la définition que nous avons donnée de l'indice intégral d’une 
fonction, dans le paragraphe T, au cas même où la variable comprise 
dans cette fonction décroit au lieu de croitre. En effet, si une fonction 
d’une seule variable change de signe däns un certain sens, tandis que 
la variable croit en passant par une valeur donnée, elle changera de 
signe en sens opposé, tandis que cette variable décroit en passant par 
la même valeur. Donc l'indice de la fonction correspondant à une va- 
leur donnée de la variable se réduira dans le premier et le second cas 
à deux quantités de signes contraires, et par suite l'indice intégral, 
pris entre deux limites, restera le même au signe près, mais changera 
de signe si l’on échange les deux limites entre elles. 

La formule (35) étant obtenue comme on vient de le dire, on en 
conclura sans peine que la formule (35) subsiste, quel que soit l'ordre 


de grandeur des quantités 
RE 


D'ailleurs la formule (33) comprend un théorème que Pon peut 


énoncer comme 1} suit : 


TuéorÈmMe VIT. — Soient x, y deux variables que nous considererons 
comme représentant deux coordonnées rectangulaires ; u = F(x, x) une 
Jonction réelle de ces deux variables qui ne change jamais de signe sans 
devenir nulle où infinie; PQ une ligne droite ou courbe tracée dans le 
plan des æ, y entre deux ports donnés P, Q et s une longueur comptee 
sur cette ligne à partir d'un point fixe O. Alors u étang considéré comme 


Jonction de la variable $, si l’on nomme C, D les valeurs qu'acquiert l'in- 
; à ; . > i ; : | 
dice intégral de la fonction —, quand on passe, en sutvant la ligne PQ : 

È [40 


1° du point Pau point Q; 2° du point Q au point P, on aura 


A | 


(38) (NE eee à ou C+ Do. 


15% CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 
Nota. — I est aisé de s'assurer que ce théorème s'étend au cas même 


ù ! : I ; ne : | : 
où la fonction += deviendrait infinie en l'un des points P, Q. 


TuÉoRÈME VIT. — Soient x, y.deux variables qui représentent deux 


coordonnées rectangulaires ; 


: tie Ji 


une fonction de ces mêmes variables, el supposons tracés dans le plan 
des x, y deux contours PRQ, QSP qui, offrant une partie commune PQ, 
cnveloppent respectivement deux aires À, B, contiguës l'une à l’autre. 
Le système de leurs parties ron communes Jormera un nouveau con- 


tour ROSPR gui servira d'enveloppe à l'aire totale A + B. Cela posé, 
ni ; : re. ; 
normmons À où B l'indice intégral de la foncuion : etendu à tous les 


points du contour PRQ ou QSP et calcule dans la supposiion qu'un point 
mobile parcourra chacun de ces contours avec un mouvement de rotation 


direct, la somme 


: ne u à : . l , \ 
représentera l'indice intégral de la même fonction ” étendu à tous les 


potnts du contour RQSPR et calculé dans la supposuion que ce dernier 


contour soit encore parcouru par un point mobile doué d'un mouvement 


de rotation direct. 


Démonstration. — Soient C la partie de l'indice intégral A et D la 
partie de l'indice Intégral B, relatives à l'arc PQ, c’est-à-dire à la partie 
commune des deux contours PRQ, QSP. Soient au contraire R, S les 
parties des indices A et B qui correspondent aux parties non communes 
des deux contours. On aura 


(39)  - A=C+R, B=D-+S, 


et la somme R+S représenteræ évidemment l'indice intégral de — 


étendu à tous les points du contour ROSPR, dans le cas où un point 


mobile parcourt ce dernier contour avec un mouvement de rotation 


CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 455 


direct. Or, pour s'assurer que la somme R+S ne diffère pas de la 
somme À + B, il suffira de combiner entre elles par voie d'addition les 
formules (39), en ayant égard à la condition (38) qui, dans Phypo- 
thèse admise, se trouvera évidemment vérifiée. 


Corollaire. — En réunissant successivement les unes aux autres 
plusieurs aires contiguës terminées par divers contours qui offrent des 
parties communes, on déduira sans peine du théorème VII celui que 


nous allons énoncer. Une 


THÉORÈME IX. — Sorent x, y deux variables qui représentent des coor- 
données rectangulaires ; 


= Pen) 


une fonction de ces variables, et considérons dans le plan des x, y une 


are finie qui soit partagée en autant d'éléments que l'on roudra. L'in- 


2 Es ; : 14 ñ \ ë : 
dice unltégral de la fonction F. elendu à tous les points du contour qui 


termine cetle aire, sous la condition que ce contour soit parcouru dans le 
sens du mouvement de rotation direct, sera la somme des indices semn- 
blables calcules sous la méme condition pour les divers contours qui ter- 


manent les divers éléments. 


Du théorème IX, joint aux théorèmes HT et V, on déduit immédiate- 


ment la proposition suivante : 


TaÉéorÈmME X. — Les variables x, y représentant des coordonnées rec- 
tangulaires, si, pour tous les points renfermés dans un certain con- 


tour OS, les deux fonctions 
Rte; y} ei fir, Y) 
restent finies et continues aussi bien que leurs dérivées du premier ordre 


du ou 06 de 
dx 0Y” 0x”? dy 


) 


456 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 
st, de plus, dans cet intérieur, la fonction 


= dv du __ dv du 
7 0x dy dy 0x 


offre une valeur différente de zéro pour tous les points où se rencontrent 


les courbes représentées par les équations 
(32) 14 Burt ER (Emme À 


alors en nommant M le nombre des points de rencontre qui correspondent 
à des valeurs négatives de w, N 1e nombre de ceux qui correspondent à 
des valeurs positives de w, c le périmetre du contour OS, enfin $s un arc 


complé posiivement sur ce contour dans le sens du mouvement de rotation 


. Dr re L À 1 
direct, et supposant d'ailleurs le rapport 7 exprumé en fonction de la 


seule variable $, on aura 


R 16 AC 7 ACTA | : 
(10) 1 (5) = N—M. 
20 


Démonstration. — Dans l'hypothèse admise, et en vertu du théo- 
rème V, on pourra, autour de chacun des points de rencontre QE RES 
des courbes représentées par les équations (32), tracer un contour fermé 
dont les dimensions soient très petites et dont la forme soit telle que la 
substitution de ce contour au contour OS fournisse, au lieu du premier 
membre de l'équation (40), une expression équivalente à l'unité, abs- 
traction faite du signe, mais affectée du même signe que la valeur de 
relative au point C, où C’, etc. Il y a plus, les aires infiniment petites, 
comprises dans les contours tracés autour des points C, C', ..., pour- 
ront être considérées comme autant d'éléments de l'aire finie comprise 
dans le contour OS, les autres éléments étant eux-mêmes infiniment 
petits et tracés de manière que chacun d'eux soit traversé par une 
seule des courbes (32) ou qu’il n’ait de points communs avec aucune 
d'elles. Or comme l'indice intégral relatif au contour qui termine l’un 
de ces derniers éléments sera nul dans le premier cas, en vertu du 
théorème III, et s’évanouira encore dans le second cas, où la fonc- 


: p : - . . . . 
tion = ne deviendra infinie pour aucun des points de ce contour, il suit 


CNAEÉCUL DURS INDICES DES FONCELONS. 4h57 
du théorème IX que Pexpression 
C7 A ‘) 
JL 
se réduira simplement à la somme des indices relatifs aux éléments 
qui contiennent les points C, C’, .... D'autre part, chacun de ces 
indices étant le double de + 1 ou de — 1, suivant que la valeur de & 


correspondant au point & ou C’, ete. est positive ou négative, leur 


somme sera évidemment égale au double de N — M. Done la valeur de 


ONE 


sera déterminée par la formule (40). 


l'expression 


Corollaire I. — Lorsque « ete sont des fonctions entières de æ, y, 
ces fonctions sont toujours finies et continues aussi bien que leurs 


dérivées du premier ordre 


ou où de Je 
0x” dy" où 0) 


pour des valeurs finies des variables æ, y. Donc alors la formule (40) 

subsiste sous là seule condition que æ diffère de zéro pour tous Les 

systèmes de valeurs de x, y propres à vérifier les équations simulta- 

nées == 0,9 = 0, et lon obtient Ie théorème qu'ont énoncé MM. Sturm 

et Liouville dans une Note que renferme le Compte rendu de la seance de 
. 


l'Académie des Sciences du 15 mai 1007. 


Corollaire 11. — Lorsque « ete cessent d’être des fonctions entières 
de x, y, alors pour des valeurs de æ, y propres à vérifier le système 


des équations simultanées 
(32) LEO, = 0, 


il peut arriver que la valeur et mème le signe de æ soient indétermines: 


OPuunes de Ca SALUE HN 


158 CALCUR DES INDICES DES FONCPIONS. 


Ainsi, par exemple, si lon a 


les équations (32), réduites à la forme 


nr 0, L'=e0 
Ve 


seront vérifiées par des valeurs nulles de +, y, et ces valeurs rendront 
indéterminée la fonction 


de du de du 2 y 


Oro dy0r + 
que Fon pourra supposer égale à une quantité quelconque positive 
ou négative. Alors le signe méme de æ restant indéterminé, la for- 
mule (40) cessera d’être applicable. 

Mais st les fonctions &, 6, étant fractionnaires ou mème transcen- 
dantes, restent finies et continues, aussi bien que leurs dérivées du 
premier ordre relatives à æ, y pour tous les points renfermés dans Île 
contour donné, on n'aura plus à craindre que la valeur de & se pré- 
sente dans l’intérieur de ce contour sous une forme indéterminée, et 
l'équation (40) continuera de subsister sous la condition énoncée. 
C'est ce qui arrivera, par exemple, si l'on suppose 


Em À Er PCR 


Concevons que, dans cette hypothèse, le contour OS se réduise à un 
carré dont le centre soit l'origine des coordonnées et dont le côté soit 


égal à 2, on trouvera 


ele J(E))=r+r=e, Een 


DE — 2 + L(x’). 
sr 


D'autre part les équations simultanées 


pe 0, nb) 0 


CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 159 


entre les variables æ, y seront vérifiées : 1° par les valeurs 


pour lesquelles æ deviendra négatif; 2° par les valeurs 


(7 Pme |E y —0, 
et 


pour lesquelles æ deviendra positif. On aura donc M = 1, N — 2, par 


: D 
N-mM=i=; 7 {(2)} 


et la formule (40) se trouvera vérifiée. 


conséquent 


Corollaire III. — Posons, pour abréger, 


/ d d Lis Le te JCæ, à) 
Cire Y(æ, Y)—= te 





et nommons f(s) ce que devient Ÿ(æ,7), quand on exprime, sur le 
contour OS, les coordonnées æ, y en fonction de l'arc s. La for- 
mule (40) donnera 


I 


(42) =] LUN NL. 
2(70 
Corollaire IV. -- Si le contour OS se réduit à la circonférence d'un 


cercle décrit de l'origine comme centre avec le rayon R, et si, en sup- 
posant le point O situé sur le demi-axe des æ positives, on nomme 
p l'angle polaire que forme avec ce demi-axe le rayon vecteur 7 mené 


de l’origine au point (+, y), on aura 


(43) 1 CUSD, SU, 
(44) s— Rp, 
(4) É—A2Th, 


et la formule (42) deviendra 


me À! jt 
(46) Ju VE JT UURPI) EN —M. 


160 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 


Comme on aura d'ailleurs pour tous les points situés sur le con- 


tour OS 
r-hcosp F— Rsinp. LL. 


la formule 
(47) HQE ICR2 
donnera pour Lu n de ces points 

JCRp) = ŸCR cosp, R sinp). 

Donc Ja formule (46) pourra être réduite à 
(48) LT (CECR cosp, R sinp)))}=N — M, 
le signe 1 étant relatif à la variable P: 

Corollaire V. — Si le contour OS se réduit au périmètre du rec- 
angle compris entre les quatre droites représentées par les équations 
(49) EL, © mp, Mer dd 
alors, en supposant 
(0) à. Yo Ÿ, 


et la longueur s mesurée sur le périmètre du rectangle, à partir du 


sommet qui a pour coordonnées æ,, y,, on obtiendra les formules 


(51) EUX —Zo)+2(Y — YF}, 
fe e | CX—%, | COX —-20+\—7Y0 re 
. PAUODES EN TO)ES RON TO) 
22) 
CHAUX —-20)+Y Yo | Cf LX—x0o)+2(Y— Jo) _ 
a (CS) do. CS, 


dans lesquelles les côtés du rectangle sont représentés par les diffé- 
rences 
X — Lo, Y — Vo. 
, : à A : | _. à . 
D'autre part, les valeurs de +, y, exprimées en fonction de s pour 


1 


CALCUL-DES INDICES DES FONCTIONS. RG 


les points situés sur le premier, le deuxième, le troisième et le qua- 


trième côté du rectangle, seront respectivement 


D Ti LES, Y — Yo; 
Ne Y=Jo+s—(X — 2%); 
(53) : 
nn), Go D ES © Gt À 0 PO de) à 
LS et VV lea el 





et l'on aura, par suite, eu égard à la formule (45), 


MX—-2 CS X 
AO) AUTTCEAD) 
7 ù Û lo 


SAR et ne re 0 1 7 À CHANNEL 0 , ES A : : 
ds von] GRmeT TT Open 


X-xro+\—, 


CH 2X—-ro)+2(Y—16) md | 
CS) — (UCx,, y))). 
2o)+Y—) OA | )) ot ee ))) 


Done, on tirera de l'équation (52) 


| Jun = EM 70) +7 O7) + 
ACCRO) ES 


et la formule (42) donnera, dans l'hypothèse admise, 


L 


X 
PAC _. (CT AN 


. | 
. | TT. (@ Y))) = T (Heu EN M. 


Au reste, pour établir directement la formule (54) et, par suite, la 





formule (55), 1l suffit d'observer que, dans le cas où le contour OS 


devient un rectangle, les quatre parties de Pindice intégral 


À is) 


correspondant aux quatre côtés de ce rectangle sont évidemment 


CT UC C7 Y)) 
Len JR tx, 


TT) 


L 


162 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 


et qu'en vertu de la formule (23) les deux dernières se réduisent à 
DANS . CT . 
ACTOR DE AUTO 
Ce EE 


Tuéonëme NT. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème X. 
st la fonction reste positive pour tous les points renfermés dans le con- 
tour OS, ou du moins pour ceux où se rencontrent les courbes representées 


par les equations (32), on aura 


(56) A ((£ )): —N. 


Démonstration. — Alors, en effet, M sera évidemment nulet, par 


suite, la différence N — M se réduira simplement à N. 


Corollaire 1. — Dans le cas dont il s'agit, les formules (48) et (55) 


deviennent 


et LR cosp, Rsinp})) = N, 


| N=;| PACICED +]. (CUCX )) 
7]. u (btæ, Y))) — À. («y . 


Corollaire 11. — f(x) étant une fonction entière de x, préparée de 


ES 


nn 


manière que l'équation 
(59) f(x) = 0 ; 


n'offre pas de racines égales, st l’on nomme «, 6 deux fonctions 


réelles de æ, y déterminées par la formule 
(60) FR NA) = 0 uv, 


on aure 


par conséquent 


CALCGUE DESCINDICES DES FONCTIONS. 163 
et 


(Gr) PE (se) 2} 
d'UD dE 09 Di hOr ) Lu dr). 


Or, cette dernière valeur de æ ne pouvant s'évanouir que dans le cas 


où Fon aurait 


ou dc 
— ZT O0 Craperaé LEA 
dx : dx : 
et, par suite, 
de Die =— 
Res UN il UE _ 
De + ge —/(&+yv—i)=0, 


sera entièrement positive pour les valeurs de æ, y propres à véritier les 


équations (32) et, par suite, la formule 
(62) f(x + né vr ) 0, 


puisque les conditions 
f(x +y ‘ar == 0, FC ET 


ne peuvent subsister simultanément lorsque léquation (59) n'offre 
point de racines égales. I en résulte que, dans l'hypothèse admise, le 
nombre N des valeurs de æ, y propres à vérifier léquation (62) et 
correspondant à des points situés dans l'intérieur du contour OS, sera 


déterminé par la formule 
(56) Ne J.((£)) 
D D DATANT 

St le contour OS se réduit à une circonférence de cercle décrite de 
l’origine comme centre avec le rayon R, ou bien encore au périmètre 
du rectangle compris entre les droites que représentent les équa- 
tions (49), la formule (56) devra être remplacée par la formule (55) 
ou (58). Alors aussi les diverses valeurs de æ + y ÿ— 1, correspon- 
dant aux points où se rencontreront dans l’intérieur du contour donné 
les courbes représentées par les équations (32), seront précisément 
celles des racines réelles où imaginaires de léquation (59) qui rem- 


phssent certaines conditiôns, savoir : celles qui offrent un module infé- 


46% CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS 

rieur à R, ou celles qui offrent une partie réelle comprise entre les 
limites x,, X et un coefficient de ÿ—3 compris entre les limites y,, Y. 
Si d'ailleurs la fonction f(æ) est de forme réelle, l'équation (6o) 


entraimera la suivante : 
(63) f{ T—Y VE de 4 


en sorte qu'on aura 





| . RÉ En du nt Cm en) 





2 s 
(64) 4 
RE D or d'en 
\ : 


etles formules (57), (58) coincideront avec les formules (154), (192) 
du Mémoire lithographié à Turin, sous la date du 23 septembre 1837, 
On déduirait avec la même facilité de Péquation (56) les autres for- 
mules contenues dans le Mémoire dont il s'agit, et relatives à la déter- 
mination du nombre des racines réelles où imaginaires des équations 


algébriques (1). 
Tuéorèue XIE. — Les mémes choses étant posées que dans le théorème X, 

si le système des equations 

(65) 1 Ent à (Hem (0) 


ne se vérifie pour aucun des points situés dans l'intérieur du contour OS, 
alors en normmant N le nombre des potnts où se rencontrent, dans l’inte- 


rieur de ce contour, les courbes représentées par les équations (32). on 


aura 
VS F7 CC AOC NS ie 
(66) _ il (()) mnt À A 
200 La 
Démonstration. — Pour déduire le théorème XIS du théorème X, il 


(1) J'ai appris que des démonstrations élémentaires de mes théorèmes sur les racines 
imaginaires ont été données, pour la première fois, par MM. Sturm et Liouville, dans un 
Mémoire que je ne connais pas encore, l’exemplaire qu ‘ils ont bien voulu m'adresser ne 
m'élant pas encore parvenu. 


CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. hG65 
suffit de remplacer la fonction 6 par le produit w. Alors, en effet, les 
équations (32) devront être remplacées par celles-ci + 


(67) Hero pH = O, 


et la différence 

(12) de Où dv du 
par la suivante | 

* d(ew) du d(vw) du 


AE 07 dy 2: 





(68) 


D'ailleurs, les formules (65) n'étant pas simultanément vérifiées 
dans l’intérieur du contour OS, les équations (65) s’y réduiront à 
celles-ci : 


(33) 0. D 0, 


et, pour chacun des points déterminés par ces dernières, la diffé- 
rence (68) deviendra 


(2 du de du 
on — _ 


Donc, cette différence étant constamment positive, l'expression 
1 Cyc ue | 
2DU0NTu ) 
se confondra, en vertu du théorème X, avec le nombre total N des 
systèmes de valeurs de æ, y propres à vérifier, dans l’intérieur du 
contour OS, les équations (32). 
On peut d’ailleurs observer que le nombre ici désigné par N est la 


somme des nombres représentés dans le théorème X par M et N, en 
sorte qu'on à 


(69) N=M+N. 


Corollaire I. — Si l'on pose, pour abréger, 


| p / dr du de du\ _ vw 
(70) en (pu) 


OŒEuvres de C.— S. I, t. E. 929 


k66 CALCUL DES INDICES DES FONCTIONS. 


et si l'on nomme f(s) ce que devient l'expression Ÿ(æ, y), quand on 
exprime les coordonnées rectangulaires æ, y en fonction de l’are s, la 
formule (66) donnera 


; LES Ce : 
(71) N= 2 Ts. 


Corollaire 11. — Si le contour OS se réduit à la circonférence d’un 
cercle décrit de l'origine comme centre avec le rayon R, ou au péri- 
mètre du rectangle compris entre les quatre droites que représentent 
les équations (49), on ürera des formules (48) et (55), dans le 
premier cas, | 


] ES 


(72) Aie (EUR cos p, Rsinp))), 


4 


et, dans le second cas, 
=] ACC ro)+ 7" (x Y))) +. 
2 % To L : à Ü se. à / 
é x Y 
D d T un (dl 
PACCR DES ATOS) 


La formule (533) coincide avec celle qui termine le Mémoire du 
15 juin 1833. Seulement, à l'énoncé du théorème que fournit cette 
même formule, et qui est le théorème VIT du paragraphe I, il con- 
vient de joindre la condition ci-dessus indiquée, savoir, que le système 


des équations 
== O0; (= 0 


ne se vérifie pour aucun des points renfermés dans l’intérieur du con- 
tour donné. 








MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


THÉORIE DES INTÉGRALES DÉFINIES, 


CONVERSION DES DIFFÉRENCES FINIES DES PUISSANCES 
EN INTÉGRALES DE CETTE ESPÈCE (1). 


Journal de L'École Polytechnique, XX VW Cahier, t. XVIT, p. 147: 1844. 


Ce Mémoire est divisé en trois Parties dont je vais donner une idée 
en peu de mots. 

La première Partie est relative à Ta détermination des intégrales 
définies par les intégrations doubles. On sait, depuis longtemps, que 
la méthode des intégrations successives peut servir à fixer la valeur 
d'un grand nombre de transcendantes que les procédés directs de l'in- 
tégration ne sauraient déterminer. Toutefois, il existe deux manières 


d'appliquer cette méthode à la théorie qui nous occupe. La première 


(1) Le Mémoire qu'on va lire, présenté à l'Académie des Sciences le 2 janvier 1815, à 
reçu quelques additions vers la même époque. Mais, quoique cité plusieurs fois, particu- 
lièrement dans le premier Volume des Ærercices et dans le XIX* Cahier du Journal de 
l'École Polytechnique, il n'avait pas encore été imprimé. Cependant, parmi les résultats 
qu'il renferme, il en est plusieurs qui paraissent pouvoir, même aujourd'hui, intéresser 
les géomètres; et c'est ce qui nous décide à le publier. (Note de Cauchy.) 


!, 


168 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


consiste à chercher des intégrales doubles que l’on puisse décomposer 
de deux façons différentes en intégrales simples; la seconde à trans- 
former une intégrale simple donnée en une intégrale double dont on 
puisse obtenir facilement la valeur. C’est sous le premier point de vue 
que J'ai considéré la question dans le dernier Mémoire que j'ai eu 
honneur de soumettre à la Classe et qu'elle à daigné honorer de son 
approbation. Envisagé sous l'autre point de vue, le problème se 
résoudra facilement dans plusieurs cas si l’on décompose la fonction 
sous le signe /'en deux facteurs’et si l’on remplace un de ces facteurs 
par une intégrale définie. Cette intégrale a souvent pour diviseur une 
des transcendantes que M. Legendre à désignées par la lettre F. On 
avait déjà fait ces remarques; mais il m'a semblé qu'on n’en avait pas 
encore tiré tout le parti possible. En suivant ces idées, je suis parvenu 
à quelques résultats nouveaux, ainsi qu'à la démonstration directe de 
plusieurs formules que M. Laplace à déduites du passage du réel à 
l'imaginaire, dans le troisième Chapitre du Calcul des probabilités ("), 
etqu'ilvientde confirmer par des méthodes rigoureuses dans quelques 
additions faites à cet Ouvrage. L'une de ces formules, fondée en partie 
sur la considération des intégrales singulières, fournit une nouvelle 
preuve des avantages que peut offrir en Analyse l'emploi des intégralés 
dont il s’agit. AT RES 

La deuxième Partie du Mémoire à pour objet la démonstration d'un 
théorème général assez remarquable, relatif aux intégrales simples 
prises entre les limites o et + de. la variable. On déduit facilement de 
ce théorème les valeurs de plusieurs intégrales définies déjà connues, 
ct de quelques autres qui ne l'étaient pas. 

La troisième Partie se rapporte à la transformation des différences 
finies des puissances en intégrales définies. Lorsqu'on suppose la va- 
rlable positive, cette question se divise naturellement en deux autres, 
suivant que l'exposant de cette variable est positif ou négatif. Dans le 
second cas la question était depuis longtemps complètement résolue 
au moyen de la formule générale que M. Laplace a donnée pour la pre- 


(1) Œuvres de Laplace, t. VIE, Liv. Ï, 2° Partie, p. 128. 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 469 


mière fois dans les Mémoures de l’Académie des Sciences, année 1982 0 
Mais on peut de cette première solution en déduire une infinité d’autres, 
par l'application des méthodes exposées dans mon dernier Mémoire. 

Dans le premier cas, c'est-à-dire lorsque l’exposant de la variable 
est positif, la question n'avait d'abord été résolue que pour des valeurs 
de ces exposants inférieures à l'indice de la différence finie que l'on 
considère [voir les Mémoires déjà cités, et la première Partie de la 
Théorie analytique des probabilités, n° 41 (?)]. Lorsque lexposant 
devient supérieur à l'indice, la formule insérée dans ces Mémoires 
cesse d'être applicable, parce que l'intégrale relative à æ qu’elle ren- 
ferme, et qui doit être prise entre les limites æ — 0, æ — +, acquiert 
une valeur infinie. Mais je fais voir que, pour rectifier alors la formule, 
il suffira de diminuer dans cette intégrale le numérateur‘de la fonction 
renfermée sous le signe f d’une fonction rationnelle et entière de x, 
assujettie à la seule condition de rendre à l'intégrale une valeur finie. 
Si l’on conçoit le numérateur que l’on considère développé suivant les 
puissances ascendantes de +, la fonction cherchée sera toujours égale 
à la somme des termes qui, dans ce développement, renferment des 
puissances de æ inférieures à l'exposant de la variable. Le nombre de 
ces termes croitra done avec ce même exposant; d'où il est aisé de 
conclure que, pour la facilité des calculs, on devra restreindre l'emploi 
de la formule à des valeurs de ces exposants, qui surpassent au plus 
de quelques unités l’indice de la différence finre. 

M. Laplace, ayant repris dernièrement la question, a donné dans la 
seconde addition faite au Calcul des probabulués (p. 433) (%) une nou- 
velle formule également appheable à toutes les hypothèses possibles 
sur la valeur positive que lPexposant de la variable peut recevoir. Je 
déduis des résultats exposés dans la première Partie de ce Mémoire 
deux équations différentes, dont. chacune peut remplacer la formule 


dont il s'agit, et qui, ajoutées entre elles, reproduisent une troisième 


(1) Œuvres de Laplace, t. X. 
(2) Zbid., t. VIT, p. 165. 
(3) Zbid., t. VIE, p. 480. 


470 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


équation équivalente à celle de M. Laplace. Cette troisième équation 
transforme la différence finie donnée en une intégrale définie, qui 
renferme une constante positive, mais indéterminée, dont on peut dis- 
poser à volonté. Seulement, lorsque l’exposant de la variable surpasse 
l'indice de la différence, on doit éviter de donner à cette constante 
des valeurs très petites. On n'est plus assujetti à la même condition 
dans le cas où lexposant devient inférieur à l'indice; et, dans cette 
derniére hypothèse, on peut même supposer la constante tout à fait 
nulle, On obtient alors une formule qui renferme des sinus et cosinus 
sans exponeutielles, et qu'on peut ainsi déduire de la formule insérée 
dans les Mémoires de 1582, en appliquant à cette dernière la méthode 
fondée sur le passage du réel à l'imaginaire. 

Lorsque la différence finie donnée se rapporte à une variable néga- 
Hve, elle se divise en deux parties, l'une réelle, l'autre imaginaire. 
Mais on peut alors essayer de représenter séparément chacune d'elles 
par une intégrale définie. M. Laplace a résolu ce dernier problème 
dans le cas où l'indice de la différence donnée surpasse l’exposant de 
la variable. Je parviens à résoudre la même question dans tous les cas 
possibles, en supposant toutefois que l'exposant de la variable soit 
positif. | 

[me reste à indiquer un corollaire assez remarquable des formules 
dont je viens de rendre compte. L'une de ces formules m'a conduit à 
l'expression générale de la transcendante, que M. Legendre a désignée 
par l'a), en intégrale définie. On sait que pour des valeurs positives 


de a cette transcendante peut être représentée par l'intégrale 
f at-tet dx 


prise entre les limites æ — 0, æ = +. Mais, lorsque a devient négatif, 
la même intégrale, devenant indéfinie quel que soit a, ne peut plus 
servir à représenter la transcendante dont il s’agit. Pour rendre géné- 
rale Pexpression précédente, il suffit de diminuer l’exponentielle e-* 
d'une fonction rationnelle et entière de æ, assujettie à la seule condi- 
ton de donner à l'intégrale, s'il est possible, une valeur finie. Pour 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. #71 
des valeurs négatives de a, cette fonction est toujours égale à la somme 
des termes qui, dans le développement de e*, renferment des puis- 
sances de æ inférieures à — a. La même fonction devient nulle toutes 
les fois que « est positif, et la formule générale rentre alors dans la 
formule connue. | 


PREMIÈRE PARTIE. 


SUR LA TRANSFORMATION DES INTÉGRALES SIMPLES PAR LE MOYEN 


DES INTÉGRATIONS DOUBLES. 


SL — Exposition générale de la méthode. 


Soit 
tt 


: [ X dr 
0 
une intégrale relative à æ et à laquelle les procédés directs de l'inté- 
gration ne soient pas applicables. Supposons de plus la fonetion X 
composée de deux facteurs P et Q, en sorte qu'on ait 


En 
Si l’on désigne par : une nouvelle variable, par R une fonction de x 


et de z, et par À une quantité constante, on pourra donner à R et à A 


une infinité de valeurs différentes, de manière à satisfaire à l'équation 


| b 
(1) UE R ds. 
V0 
Cela posé, si l'on peut trouver pour R une valeur telle que la diffé- 
rentielle | 
PR dx 


soit immédiatement intégrable, en faisant 


(2) A Phaz-=?7, 
V0 


#12  : . MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES- 
on aura ; 
mit 70 
(3) Note Al 70 
; : Î 


: b- 2 
Par suite, si la valeur de l'intégrale f Zdz est connue, on en déduira 
L 0 


«a 
immédiatement la valeur de l'intégrale f X dx. Dans le cas contraire, 
0 


l'équation (3) donnera simplement une transformation de l'intégrale 


proposée. Appliquons ces principes à quelques exemples. 


S Il. — Première application. 
Soit 
- P 
NN RER er 
Me 


M étant une nouvelle fonction de x; on aura 


æ 
Î sn—te-Ms ds: 
] e 0 


(4) Q=— 


NAT ov, ; 
: 1 clous 
0 


On pourra done supposer, dans le cas dont il s’agit, 








ÂÀ == pr L == — : ) 
1 Re de 0 
0 

R —— SET 

et, par suite, si l’on fait 
a : 
(5) Z— zn-1 le P e-xz dx, ee 7 
L 20 à 


on {trouvera 


(6e free fre 
eo Lu) J, 


Exemple 1. — Soit proposé de trouyer, entre les limites æ — 0, 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 


æ= «a, la valeur de l'intégrale 





n étant 1; on aura 


D L | PRERSQRS 
P—ez, M—zx, 


ct, par suite, les équations (5) et (6) deviendront 








' 1 — ea(i+s) 
(a) Ar: 'â errU+5) de = gn1 27 € 7, 
‘ en me 

| 0 

An «A = À 

/ : ] 0 te (Er ne. e-4a(l+3) 
(b) a te dx — — f ) . 

PO), +3 


Corollare 1. -— Si dans l'équation (b) on suppose a = +, on aura 


JA © 





| DORE — Le un) Cale) O, 
Le: 
et, par suite, 
x 2 T 
(c) T(m)T(—n) = | ee — ; 
Lt SIiH /27c 


ce que l’on savait déjà. 
Exemple 11. — Soit proposé de transformer l'intégrale 


(d) 10 F 2 ee? dx 


! DE UL 
à (ass L) 


m, net étant trois constantes arbitraires. On pourra supposer 


{ P — an te-x 


(e) 


| M = a+ x. 


, 


Cela posé, les équations (5) et (6) deviendront 








; : : ” : . gi—1p-—az : 
(f) de DTT ET EUX dr = —_T(m), 
: 5e (Eu mc 1 
. rer Fm) li gsM-leraz ds 
o = — : 
“ . (a + x)" Léaiee (1+ 3)" 


OPuvres dc CG Sr E 60 


4 


er 


Î 


3 


h74 . MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


Corollaire 1. — Si dans équation (g) on suppose à = 0, le premier 
membre deviendra simplement égal à 


LE 


am i-n ex dx —— LL TI) L 


et, par suite, on obtiendra la formule connue 


VEN l'(m) 





ar la F(n)F(m—n) 
(x) | : 
Un 
Corollaire I. — Comme dans les équations (g) les intégrales rela- 
tives à æ et à s sont prises entre les mêmes Hinites, on peut y rem- 


placer z par æ; on aura en conséquence 








V0 V0 


1 zn— 1 era d:= 1 xt 1 ext dr [ ji rt le-t dx 


na te + + x)" re (: = 
\ a 


Cela posé, l'équation (g) donnera ce résultat remarquable par sa 


symétrie à l'égard des deux constantes m7 et x 











Le PAL S. eTT 
— dx 

/ r\" 

a 
Cn So # Tim) 

n . spires 

HOT ide Cu (a) 

p x \" 

(: A 

œ 


Exemple HI. — Soit proposé de déterminer la valeur de l'intégrale 


2x 


(1) É | Crpi( lat 13 bé Rue à 
: HE 


œari 


a étant <7 mn, et étant un nombre entier. 
On aura dans le cas présent 


RAI, Pc toire) Mi, 


et, par suite, léquation (5) deviendra 


32 


(Æ) rc | GC Ne TN dE) 
LE 0 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, OS 075 
On a d'ailleurs 


22 


LE] 
ral 4 1 
| BITES à L dx —- nu 6 (rame Lo au — 1 de: 
0 Re 0 


et, par suite, 


LE 





| tete ti) dr — > Care m 
. (SH2)(S+3+1)...(S+3 + mn) 
Donc 

nn ES UN RC RE m . (— 1) TV (m +1) 








Use 
Lo 


(SH S)S +3 +1). (Ss +2 Fm) (SH 3)(S+3+I).(S+s+umn) 


et, par conséquent, l'équation (6) deviendra 








| fees 2 dx 
n / PACS. 
Vos : >. 
| _(—1)#T(m +) [l z4 dz 
L'(a +1) JD E+HSs)(S+s5+i).. (S+3+m) 


Soit maintenant À le plus grand nombre entier compris dans «@, et 


faisons 
“ H 
RAR on me 
2 


l'intégrale relative à 3, qui se trouve comprise dans le second membre 
de l’équation (7), pourra être mise sous la forme 


LI be 


Cl 
Z 





= Ÿ 4 


(S+H3)(S+3+H1).. (S+3+m) 


0 2e 


On déterminera facilement la valeur de cette dernière intégrale, si lon 


LE 


décompose en fractions simples la fraction 


zh+1 
LS 





ROSE EE PNR RS 


et, par suite, on déduira de l'équation (/) la valeur de l'intégrale 


proposée 
si dx 
1 est(e-x— j}" ne. 
, 


476 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


Au reste on peut éviter la décomposition dont il s’agit de la manière 
suivante : 
Si Fon suppose la caractéristique A des différences finies relative à 


la quantité $ considérée comme variable, l’équation (#) donnera 





L No . 
V£ — ga An er (s+s)x dx — Z Ÿ Ant 
. SV me 74 


8 


ou, ce qui revient au même, 








Le5 EC 
he 4° an ( - ) 
LS +3 
. 
On a d'ulleurs 
zh+1 : N ee 4 on 
sh st gs, + (—ish—(— 1) 
S +3 | S+z 
et 
Ar 0 Ans? — 0, en Ash — 0. 


Cela pose, la valeur de Z se trouvera réduite à 














LL s * 
à . çsA+I 
PATTES) 
\ LYS 5 
On trouvera par suite 
12 U ù 
re + 
J Te 1)x+1 Am sh+1 / — ne 
0 \ 0 Por 
De plus, on a 
x u 
jnepaae | [Ex 
AT T 5-1! NE ere. 
—S —=(—1)———5s" 
À t- S es SH COTE 
V 
Donc enfin 
Le de Amsa, 
5 SIDAT 


En vertu de cette dernière formule, l'équation (6) se réduit à 








(m) 1 FH GRAS à Le ee = — à AVANCE 
0. 


Die F(a+i)sinar 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 477 


Ce résultat coïncide avec la formule (4”) du Calcul des probabi- 
lues, page 163 [vor aussi les Meémorres de l’Académie des Sciences, 


4110661702 ( )l: 


Corollare 1. — Si dans l’analyvse précédente on suppose É=o, 


a deviendra un nombre entier, et l’on aura À — «. Dans le même cas 


on trouvera 








dA't sa 
A"(sa) da An(st]logs) fe 1e 
| ns | . = = AF(STioes), 
SIDAT dSinar Tr COSAT 5 
da 


[l PO ni ee AMC Ion) 


Lx 


et, par suite, 


_ dx (— 1}2+1 
DRE ST ( eTT ne [2] — 
( ) | . ; ; TaTi Là ( a _ ñ ) 


0 


AT Ése ob) 





Si dans cette équation on suppose a = 0, on obtiendra la dernière 
formule de Particle 44 du premier Livre des Probabilités (p. 165) (2). 
Si dans la formule Cho ie e seu, ot que l’on rem- 


place Fa +7) par le produit 1.2.3.....a, on trouvera 








1 ’ 
D ne CT à LE Ï 
ll — ) 4 À rm ;——— Ar"(st logs). 
D TA 


Hop rie DE 


La nouvelle intégrale étant prise entre les limites 4 — 0, 4 1, on 


pourra changer dans la formule précédente £ en £”, on aura ainsi 





1 
tns—1( A EE 1)" na 
(o) 1 : dt a — ne logs). 


oe (ÉKE Et Ras Per a 


Si dans cette dernière on fait a+1i=7r, en ayant de plus égard à 


l'équation 2% A"(stlogs) = A'[(ns)"logns] qui est toujours vraie lors- 


(41} OFuvres de Laplace, 1. VII, -p. 166, ot t. X, p. 287, 
(OM DVI De 08 


478 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


qu'on suppose a <[r, On trouvera 





2! ; 
Her) ns _— : RER AU Co 
| (5) a 


ce qui s'accorde avec les formules données par M. Legendre (troisième 


Partie des Æxercices du Calcul intégral, p. 372). 


Corollare II. — Si l'on compare entre elles les deux valeurs de Z 


trouvées ci-dessus, savoir 











É \ 
Es D de PR he, Û 
(S+-sz)(S+I+I1)...(S+s3+m) S + 3 
on en conclura 
an HR Pt a m (1) Em +) E(s + 25) 
mr  O(sS+s3)(S+3+1).:.(s+3+m) L(s+sz+m+i) 


Si dans cette derniére équation on fait 3 — 0, on aura 


"À 


av 








1\ (— 1)" ln + 1)T(s) ( jm 1 x"! dx 
 — = = (| : 
LS } [l (S+m+i) Ê : (1 de Pa RER 


Exemple IV. — Soit proposé de transformer les intégrales 


AC 

j _ dx 

| Ag: à 1 UE one 
Le rh 


#0) 


At 
. : dx 
Ce COS LS 
GA 
0 


n,rets étant des constantes positives, et x étant 21. On aura pour 
la première intégrale 
r —er4s+5)[rcosar +(s+z)sinar| 


at 
Th ir Cr EST EE AT — 20 : ? 
; ie Cm 0 





et pour la seconde 


An «4 : ; 
, S+s+era(st2)[7r sin ar — (s+z)cosar 
Po a | CA COS PAL 2 | Ï ( ) : 
0 





r+(s+s) 


T 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 479 


On trouvera done par suite 


LA 
| SAS SN Va ae 


L 








0 
I NS ironie 
ans | ess f 
42 NS 
(a) |J, mæ+(s+z) ee 


) Î 
GRR 
| &TReTST COS x dx 
0 


+ (s+z) 


FSNGr- (sels or 











(Ss+ shzt-t dz ne jé 
e—as 


[ 
pus Ê a J, 


0 


+ (s+s)t 


* rcosar +(s+z)sina7 : 
MT AE à 07 À 


lon Ve | 


Corollaire 1. — Si dans les équations (p) on suppose a = +, et que 


lon y change # en 1 — x etæen =, elles deviendront 


LES 


/ 2 . . I 
| RATE tr Sin) sde — | 
e_ 0 0 
(4)  . 
I 
| 1) Fees 0e — ee [l 
(I— A), 


D'ailleurs, si lon fait - — 


r 


+(s+z) 

















S 


AE : . ’ 
l : z—" dz — T sin? 0 
v nn Ce ne 9 SINAT ñ 
| (a EOrE 
LE =. . : / 
[l ne sn dz — cos nÜ 
rH(s+s) Sin T ñ 


» 





Si AT 


Cela posé, on aura 


Î LEA 
l PH HR C1 À À dre 
0 
22 


SCO re 


(bèse Cie 


é (REC 70) 


(r?+ 5? »? 


COS? e] 


zt-le-Ss3 COSr s de — a ÉTÉ 


ce qui s'accorde avec les formules trouvées 


Corollaire 11. — Soiten général 





| | (245?) 


2,2 


par Euler. 


| R,—R,V—:1: 


(s Ur VE à — 


Gibie 


ang, on aura, en supposant 2 <[T, 


k80 © MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


on aura 








cos ni CP Vs Re ere 
be Hi LR 
3 D. 
GRECE 
NS CO DO EDR 
D Q : Fe ; 


Cela posé, si l'on change s en # et ren x, les équations (r) prendront 


la forme suivante 








+. RER % 7 bi és 
(k—xy—1) "+(k+xVy—i) — M [l sie b  COS da, 
2 Î { 10}, 
OU y (sa e 
| SE Co da \ —— Je ee + TL V nl _— I J gt -le —k23z SIND TZ d£. 
| a VE F(a)J, 


En différentiant ces dernières une ou plusieurs fois de suite par rap- 
port à #, on prouvera facilement qu'elles s'étendent à toutes les valeurs 


positives de la constante ». 
Exemple V. — Considérons encore les intégrales 


»« 
| Re Ale ee SIND EE, 
0 

»« 
[l CÉRCPL De Cost 2, 


Car: 


k, s, r étant-des nombres positifs quelconques. En faisant pour la 


première intégrale 








Per Snpe M=k+x, 
et pour la seconde 
Fi ee dore, M=k+x, 
on trouvera 
32 I 4e 7’ 
K—+ x) re tSsinrz dr = z"—le-£z dz 
{/( ONU EE ee nr 0 à É 








(Poe = 
VA HN p—SX Dr AT — : Ê RE zn-le-#z ds. 
b) CEE Tr) Me Eecosrrar Taj) Frtbrsr e 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 481 
Exemple VI. — Soit proposé de trouver la valeur de Pintégrale 


NT ’ 
PALRRS 


0 


m étant un nombre entier quelconque, el & un nombre positif plus 
petit que 77. ; 


On aura dans le cas présent 
0 be siD M2 


et, par suite, 
hi <e Sn var 
Gt 


On trouvera d’ailleurs, six est un nombre impair, 


e *=sin”"xdx = - 1.2.3... [ 4 DAS 
LE 00 Re le Om Es) 





. NÉ Tee à) 
‘Wie eo Re) ne re) 





et, six est un nombre par, 


A ed 1 


(02), lue) 


\ 





. CES TUE 72 4 o 
} a 


LA +0 
2(4 + z3*)(16 + :*)...(7nt 2) 





On aura donc par suite 








| SU ne Pom +1) ue sue 
: 7” Don) Po ee 0e =) (ee) 
| si n est un nombre impair 
(y Le 
F# sin”x ne Nord 34 dz 
i DR du Le | RE UCEa nis) 


dans le cas contraire. 


Soit maintenant NE À tant le plus grand nombre entier 
: : 


compris dans a. Pour déterminer la valeur de l'intégrale relative à &, 
t 


OEuvres de C.— S.H,t. 1. Gi 


k82 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


que renferme la première des équations (&), il suffira de décomposer 
en fractions simples la fraction 


CA 





(1+ 31)(9 + A nt) 


si À est un nombre pair, et la fraction 


=k+1 





2 5 P Se 
(1+3?)(9 + 3?)...(m'+ 3!) 


dans le cas contraire, On déterminera avec la même facilité la valeur 
de l'intégrale relative à + que renferme la seconde des équations (4); 


ct par suite, on obtiendra, dans tous les cas possibles, la valeur de 


2 ” 
SNAEET 
il — dx. 
TAETI 


20 


l'intégrale cherchée 





Au reste, on peut simplifier considérablement les calculs à l'aide des 


procédés que nous allons appliquer à l'intégrale 


se sin” r 
| COS2$.T — 


guéri dr, 





tv 0 


intégrale qui se réduit à la précédente lorsqu'on suppose s — 0. 
Exemple VII. — Soit proposé de déterminer la valeur de l'intégrale 


Lu sine 
COS25T dx, 
æar! 
0 


rn étant un nombre entier, a et s deux constantes arbitraires, et 





«étant 7. On aura dans le cas présent 
Hair, P = cosssrsintr, NL 
et, par suite, , 


LE 


L— | e*2 CoS25zx sin”! x dx. 
0 


D'ailleurs, si l'on suppose la caractéristique A des différences finies 


‘ 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 483 
relative à la quantité s considérée comme variable, et que l'on déve- 
loppe le produit cos2sx sin" en série ordonnée suivant les sinus ou 
cosinus des ares multiples de æ; on reconnaitra sans peine que, dans 


le cas où #2 est un nombre pair, 


mn 


 - | 
Cos25x sin"æ = —; A"[cos(2s — m)x]; 





et que, dans le cas où 72 est un nombre im pair, 


m—1 





: man Sn 
COS252 SIN ZT — ————— À"[sin(2s — »)x]. 
D !L : 


Cela posé, la valeur de Z deviendra 


[221 
a ne 
ZL= —— 3: e*A"[cos(as — m)x]dzx, 
: : 
0 


si 2x est un nombre pair 


| 
| 
LA 





Eee ” 
æ a pr ds ir . 
on cents n)r|de, 
0 
si x est un nombre impair. 


Pour achever le calcul, il est nécessaire de distinguer deux hypothèses 


. h . 7) 172) 
différentes, suivant que lon a s > RU a 


Première hypothèse. — Soit 
SZ —: 
2 


et supposons d’abord 72 pair. On aura 


J be ATEOOS OS Poe due Ar | / e7*ECOS(2$s — m)æx dx | 
0 10 : 





Em AL ss 9 
L(25 — m}+ 51 


UE 
( 2 3 za+i 
a ous 1) An “ . 
(25 —m}}+ 











184 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


Soit maintenant à = À + D À étant le plus grand nombre entier 


compris dans a; on aura, à cause de À <{7n, 


: de 1+? Dre ie À+2 
DD ie pe dun (25 me) 
(25 — mY+ 3? | (25 — m)?+ 3? 





si À est un nombre pair, et 


DE | 


mi z+1 RATÉ Cl À-+1 
an ie | — (— 1) 2 A’ (25 Im) | 


(25— mn) +3 (2s— m)}+ 2? 














si À est un nombre impair. Par suite, on trouvera : 


! dans le premier cas 


m +} +2 
(— 1) À Fe | (25 — me 
PR 0] PRE AE EE à 
es Te Re 
| 2 (2s—m)+ 3] 


et, dans le second, 


ni 2 Le CE AC 
nn a | (as —m) :| 


(2Ss — m)*+ 5° 





On a d’ailleurs 























20 1 
Ur a U t a 
é (ORESS;Ttianc . 1 | re Si De TF 
| 2 d=—(2s—m) ? — — — (25 — m)4, 
Jo: (25 —1n) +2" So (de - T 
7 0 2 Sin — 
29 
/è 2 a 
+ (as — mji+ a 15 PAPE x 
Vel eV TEEN = \ VI ve ST he \Æ + 
. RS EE ds = (25 — m) A 
— mm} + ET LUTE 
o ue 70 sa 2 cos ET 
2Y 
enfin 
À 
‘ Un + - A 
sin— — (1) sin 
2 2Y 
quand À est pair, et 
h A —1 x 
sin nt cosT 
2 2 


dans le cas contraire. Cela posé, la valeur de l'intégrale [ L dz 


“0 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 483 


dans Pun et l’autre cas, déterminée par l'équation 





à —-1)* T / 
| Z ds — Éeri) A"(2s — mt, 
. DIU AU 
9 SIN — 
D 


Dans les caleuls qu'on vient de faire, on à toujours supposé que 


m était un nombre pair. Si le contraire avait lieu. il faudrait substituer 


la seconde des équations (6) à la première, et l’on trouverait alors 


1 —1 


12 . AE 
2 ts — Ée Li 
+ a+ art 
COS 
2 


Am(2s— mm). 





Eu vertu de ce qui précède, l'équation (6) deviendra 


ni —2 
oe de 


{ .æœ 
| f COST SIT =(—i1) A"(2s— mt, 
Fra LT 


on ee: di: 
He a+? Va +1) sin — 
2 








si 7 est un nombre pair 





(x) ei 
— 1 
- 4 a Les E 
[ COS2ST SHOT AVEC pes (— 1) L AUS ne VAL à Las 
M6) = aT 
wrû a+1T(a+i)cos — 
; 2 


\ si » est un nombre impair. 


Ces deux dernières équations peuvent être comprises dans une seule 


et même formule, savoir 


. ; AL (1 . ; 
(y) COS2$xsin”r a À (25 — m)*. 
| PTE t+ mn 


ni 
v0 2H (a +1) Sin———# 
2 








Seconde hypothèse. — Soit maintenant 


et supposons d’abord 7x pair : les quantités 25 — m, 25 — m—2,..., 


186 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


deviendront négatives, et l’on aura 


COS(25 — m)x — COS(/n — 25)x, 


COS(25 — mm + 2)X — Ccos(m—25—2)xr 


0] 


mn 
AMCos(25—m)T— COS(n+2s)xr — 7 cos (re Tao de. 


; nt 
+ COS( I —— 25)X — —COS(Mm—25s —2)T +,... 
I 


On pourra en conséquence, dans toute la suite des calculs, remplacer 
celles des quantités 

2$— M, 25—Mm+2, 25—1In +4, 
qui seraient négatives, par les quantités positives correspondantes 


MES 9SN IR 28 2 Ji 28 1: 
\ 


et, par suite, pour corriger l'équation (y), il suffira de remplacer dans 


le second membre de cette équation la différence finte 


. m 
AP(as—mi— (as pm) (as + ma) +... 
1 


| UD : 
+ (25 — mm) — —(25— m—2)t+..., 
: 


par la somme des deux séries 


mn 
(mm + 2s)t — TÜN+2s—2)+..., 


\ 


nm? 
(nr — 25)7— — (in — 25 —92)2+.., 
I 


dont chacune doit être prolongée seulement jusqu’au dernier des termes 
qui renferment des puissances de quantités positives. 
Si donc on fait, pour abréger, 


; mt : 
Sa = (mn + 25) — mi en 25—2)4+., 


LA nt n 
Lo—(m— 25) —(m—as—2}+.., 
pl 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 487 


en excluant de chaque série les puissances de quantités négatives: on 


aura, dans l'hypothèse que l’on considère, 


2 
; à dx T : : 
(3) COS ASP SLR ————_ (S,+T,). 
pu-+i Es 2 2 a | 
F b e . A+ m 
QU PE) ein 7 
D) 








Supposons maintenant »2 impair. Dans ce cas on devra substitner 
la seconde des équations (e) à la première, et remplacer en consé- 
‘ 0 : : 
quence, dans l’intégrale relative à æ, 


AM[cos(2s—m)x] par A"Çsin(2s — m)zx]. 


D'alleurs, à étant impair, le dernier terme de la différence 
A"[sin(2s — m)æ]. savoir sin(2s — m}æ, sera affecté du Signe —, 


et comme on a de plus 


SIM(25 -— »)T = sin(r1—25s)zx, 
SiN(2s—/n+2)T—— Ssin(m—25s— 02}, 
on trouvera 
“De : ‘ Vito 
Amfsin(2s—m)xr|—  sin(m + 25)x— —sin(m+2s —2)xr +... 
‘ I 


: Press 
+ SIN (77 — 25)x — — Sin(mn — 25 —92)x +... 
l 
Cela posé, il est facile de voir que dans ce cas, comme dans le précé- 
dent, il suffira, pour corriger l'équation (y), de remplacer 
A"(25— m )* par Sa + Ty. 


Ainsi l'équation (z) sera également vraie et dans le cas où #» est un 


nombre pair, et dans celui où » est un nombre impair. 


Corollare 1. — Si a est un nombre entier, on aura 


A"(2$— m)!= 0. 


Si dans le même cas on suppose que a +» soit un nombre impair, on 


188 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


aura 


et, par suite, l'équation (y) donnera 


| . de 

(« ) COS2$T SIN T 7 — 0. 
* T 

Mais, si a + m est un nombre pair, ou, ce quisrevient au même, si 

les deux nombres entiers a et sont de même espèce, on aur: 
4 are VAN 
SIN —— 7 —0; 
2 


et, par suite, le second membre de Péquation (y) se présentera sous 


è Oo ” ® 4 : VE 
la forme =: Pour déterminer sa valeur dans cette hypothèse, 11 suffira 


de différentier, par rapport à &, le numérateur et le dénominateur de 


la fraction 
AU 7 ie 


(Gene VA) 
SO ——— 7 
2 


qui se (trouvera ainsi changée en cette autre 


AnT(2s — m*log(2s — m)| 





T Œ + Ni 
— COS ———— 7, 
3 2 


Si dans cette dernière on suppose a + #7 entier el pair, on aura 


dad—+ nm 

a + m ere 

COS——R —(—1) * ; 
p 


l'équation (y) se réduira donc alors à 





Dane : da 
COS2ST SINŸT —— 
P / 0 T 
(b') 4 
A+ In +2? £ 
(s PR NE(IS NN) I0ORCOS Ai). 
( ) 2HT(a+r) L( ) g( )] 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 489 
Corollare II: — Des remarques analogues à celles qu’on vient de 
faire, relativement à l'équation (y), s'appliquent à l'équation (2) : et, 
en effet, soit toujours & un nombre entier, et supposons d’abord que 
a + m soit un nombre impair; on aura évidemment 


D le AUS 0 








et, par suite, l'équation (3) deviendra 








Pa : dx um —i T 
COSAs TSI ?Z es à 
[ ati ( ) 2nT(a+i:) a 
(as 0 
a+m—i T 
— (— 7 > D ARE . 
ee. onT(a+1) * 





Soit, en second lieu, a + 7» un nombre pair; on aura 


St, Domi 0, 


dm 


SA 1 


Dans cette hypothèse le second membre de l’équation (z) se présen- 


eo) . : : : . 
tera sous la forme =- Mais, pour obtenir sa vraie valeur, il suffira de 


différentier, par rapport à a, la fraction 


Sa + Ta 
a+ m 
n T 


D 





On trouvera de cette manière 


œ 


Cos2sx sin” 2e 
æt+ri 


a+m+2 
ri) 
: e 





J 
men 4" l(s—m)log(2s—m)]; 
pourvu que dans le développement de la différence finie 


| Am[(25— m)*log(2s — m)] 
OEuvres de C. — S. I, t. I. 62 


(e') 


490 MEMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


on remplace les logarithmes des quantités négatives par ceux des 


mêmes quantités prises en signe contraire. 


Corollare III. — Si l'on donne à s une valeur nulle, on aura évi- 
demment 
mnt 
Sn  . 
2 


On devra donc alors employer l’équation (2); et, comme on aura dans 
le même cas 


É m PLOMIT 
re on Mens, (LE te 2 )4 + (m—4)4—..., 





l'équation (z) deviendra 


ne dx 
SIOUET 
agati 
0 
Î 


c ; m — 1 
= — ME —(m—I2)+ Lo , (mm — 4) —... 
- . A+ Im I 2 
2 TV(a—1)sin Tr 


sa 








1. 


4 


Dans cette formule, la série du second membre doit être seulement 
prolongée jusqu'au dernier des termes où la quantité renfermée entre 


parenthèses à une valeur positive, c'est-à-dire jusqu’au terme 








dans le cas où » est un nombre pair, et jusqu’au terme 


nm +3 


mm 1). ( : } 


1e 











dans le cas contraire. 


Corollaire IV. — Si, a étant un nombre entier, « + m est un nombre 


impair, l'équation (e') fournira immédiatement la valeur de l'intégrale 


ao 
A 
S10 bee 
‘ ; 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 491 


Mais, si a+ m est un nombre pair, l'équation (e’) devra être remplacée 


par la formule suivante 








à . dx (— 1) 2 ; | L 
! mt HUE a ue dl ne e 
(62) + SI" g EE = ie Ê log m (m—9)*log(m 2) +. |. 


Nota. — Dans les calculs précédents nous avons toujours sup- 
posé a <{m. Cette condition est nécessaire pour que les valeurs des 


œ a 
cos2sæx sin _ int ad 
art xari 
ô 0 


ne deviennent pas infinies. En effet, pour chacune de ces intégrales, 


intégrales 








la partie comprise entre les limites æ — 0, æ — 4 (a étant une quantité 


très petite) est sensiblement égale à 


. [ ] 7 I \ a—m 4 [ \Na—m 
a"-ai dx — [ane — tom 2] — HR | _ | nn . | Ë 
0 Fo ; 


Im — a m—a(\a) 





et cette partie ne peut rester finie qu’autant que 72 — a est une quantité 


positive. 


Exemple VIII. — Soit proposé de déterminer la valeur de l'intégrale 





L 2] 
: ; dx 
SUIS SIND ; 


a+i1 
70 T 


m étant un nombre entier, « et s deux constantes arbitraires, et 
a étant <m + 1. | 

Il serait facile d'obtenir la valeur de l'intégrale proposée par une 
analyse semblable à celle dont nous avons fait usage dans l'exemple 
précédent. Mais on arrive plus promptement au même but de la 
manière suivante. 

Supposons d’abord s < _ Si l’on diflérentie, par rapport à s, les 
deux membres de la formule (y), en ayant égard à l'équation 


«a l 


Ta+n Ia) 





492 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 
on trouvera 


T 


An(as— m)4-1, 





; 0 ; dx 
(£ ) SUIS SIND — 
É Le à . A+ m 
“0 1 t(a)si Ho 


Si dans cette dernière équation on change a en a +1, on aura 


. A+mMm +I GT TIL 
SI —— T — COS LE 


4 





et, par suite, 


_ 
[ 


Am(2s— mt. 








’ ne ; dx 
(4°) Sin 2$TSIn tr NUE ne 
ë . a+ n 

1 am+1T(a + 1)cos- 





Comme l'équation (+) subsiste seulement dans le cas où lonaa<m, 
et que pour obtenir l'équation (4°) il a fallu changer & en a+ x, il 
semble, au premier abord, que cette dernière équation exigerait la 
condition suivante 


a << Mm—1. 


Néanmoins elle subsiste dans le cas où a surpasse m — 1, et même 


dans celui où a surpasse m2, pourvu toutefois que l’on ait 
o<m HI. 


C'est ce qu’il est facile de vérifier en cherchant directement la valeur 


ze 
É , dx 
SIN25T SIN” T —— 
xar! 
(ù 


par la méthode que nous avons employée dans l'exemple précédent. 


de l'intégrale 


En effet,'cette méthode est applicable toutes les fois que l'intégrale 
proposée a une valeur finie; et, comme pour de très grandes valeurs 


de +, la quantité 
sin2sæsin”"x 
aari 





est sensiblement égale à zéro; pour que la condition qu'on vient 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 493 
d’énoncer soit remplie, il suffira que l'intégrale donnée conserve une 
valeur finie entre les limites x — 0, æ = à (x élant une quantité très 
petite). D'ailleurs, comme entre ces dernières limites on a, à très 
peu près, 


A Pains les (o}”#-a+1 | 





/® © ao 
ue : dx 
sin2sæsin"æx : =2$ DER D 
on gi x Mm—a+i 


la condition dont il s’agit se trouvera réduite à la suivante 
(AR 1 10 ee LE 
. nm. . cv : 5 
Supposons maintenant s <{ —: Si l'on différentie par rapport à s les 
deux membres de Ja formule (z), en ayant égard aux équations 


a rs 454 
Fan lo) ds 


12 4 LE rp 
PT ie ee di 





et que l’on change ensuite a en a + 1, on trouvera 


1 


. : : dx Tr : 
(i') SUHEDS D SU = : (0, D. 
C2 2m V : 
T a+ mn 
à 2H T (a +1) COS ———— 7 
\ 2 





Cette dernière équation peut être démontrée directement, ainsi que 
la formule (4'); et, comme cette formule, elle exige seulement que 
lon ait 

ax m+Hi. 

Corollaire 1. — L'application des formules (4°) et (4) ne présente 
aucune difficulté dans le cas où, & étant un nombre entier, « + m est 
un nombre pair. Mais si dans la même hypothèse @« +72 est un nombre 
impair, les seconds membres des équations (4°) et (:') prennent la 


, - - 110 - - + ns . 
forme indéterminée Dans' ce dernier cas, 1} est facile de voir que 
chacune des équations dont il s’agit doit être remplacée par la sui- 


vante 
a+ m —1 


se 2 
(4) SINAISLSINTZ 1 = ne Am[(2s — m)*log(2s— m)l], 
5 æ 21 (a+) 








494 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


pourvu que dans le développement de 
Am[(2s— m)*log(2s — m)] 


on substitue aux logarithmes qui pourraient affecter des quantités 
négatives les logarithmes des mêmes quantités prises en signe con- 
traire. 


Corollaire II. — Si dans l’équation (1°) on suppose s — 0, on aura 
Sa Ta» 


et, par suite, l'intégrale relative à æ s’évanouira; ce qui d’ailleurs est 
évident, puisque la supposition s = 0 fait évanouir le facteur sin2sæ. 





Corollaire TITI. — Si l’on suppose a = m, on aura 
Am(as— mi 1.2.3..... a=F(a+i), 
COHEN TT 
COS r—=(—1)" 





2 


et, par suite, l’équation (2') deviendra 








(2) nn — (— 1)" LEE 
Pen RS Dn+1 
0 


Es , - m à Me ; 
Cette dernière équation suppose s > —+ Ainsi l'intégrale 


pee : dx 
SIN SP SIN T PET 
L . T'r 


conserve la même valeur, quelle que soit d’ailleurs celle de la quan- 
tité s, pourvu que cette quantité reste comprise entre les limites 
nm 


S—= —) S— 
2 


8 


Si l’on différentie # — a fois de suite par rapport à s l’équation (/”), 


+ 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 495 


on trouvera 





2 
; dx : : ; 
h COST STE Zasi — 0 si a + m est un nombre impair 
7.0 
! 
(ne) et 
: - Kb 
SIN25T SINT —— — 0 
æga+i 
0 


La première de ces formules coïncide avec l'équation (a’); la seconde 
n’est qu'un cas particulier de l'équation (X'). 
S IT. — Deuxième application. 
Faisons successivement 
a, Ds D 
X, et X, étant respectivement déterminés par l'équation 


de laquelle on tire 





/ Char Terre se (k IT 5 ae jen 
X,— ; à \ / 


ee 


2 so ) 


et 2 étant un nombre positif pris à volonté. 


2. 





On aura, en vertu des équations (s) ($ I), 


1 d L 
ne NE Coude, 
INC A 


(7) : : 
es CE z-le-kz sinzxz dz. 
A — il e sin xz d 


Si done on suppose X — PX,, on aura 


Ï 


T'(x) 


R= 31-1e-£2 c05xz3; 


À — 





496 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 
et, si l’on suppose X = PX,, 


1 


ar 


R—z"-1e-#:sinxz.: 


A— 


Par suite, si l’on fait 


(8) 


/ «a 
| PE tae P coszxz ds, 
) 0 

«t 
| À P sinxz dz, 
\ u 


on aura 





(9) | 
| 


Exemple I. — Considérons à la fois les deux intégrales 
À | Re FoODPrTOe, 
ed 


fa 2 
B = | Asc " SiNnr tar; 
V0 


X,etX, ayant les mêmes valeurs que ci-dessus. On aura pour la pre- 


mière intégrale 


: æ 
émet sn es f eST COSzx Cosr x A, 
0 


et pour la seconde 


[2 
Li 2 eZ sinzx sin x dx. 
0 


On trouvera par suite 


fa © 
r L7 u $ 
Let ie FCO -z)rdE 
0 


g"-le-4s, 





TEE) 


et 








AtB= . 2 ET )de — 2 , ste ki di, 
. nn Get ni S+(rrsz}) : 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 


197 


Cette dernière équation se décompose en deux autres, Savoir : 


res 
Li su) 


(x) 


s 
sS°+(r—5) 





z"-le-k: de, 








I 4 $ 
A-B=— -——— jÉ 5 . ne des 
T(n)J, s+(r+z) 
d’où l’on tire 
/ 1 Lg a Z $ 27 S 
Â = — | + 0 dur. 
2T(D ip ses) oi. 
(C5 Le. : 
Le $ $ 


| Puon 


Ainsi les 


imaginaires se trouvent ramenées 


ferment plus. 


Corollaire I. — Si lon suppose r 


deviendra 


(p') 
à 


[ 


intégrales proposées qui renfermaient explicitement des 


| 


3 


[xs dr = 


LES 
gai eThz Az — | 


T0 


Sn 0 del 
SH (r +3) 


à d’autres intégrales qui n'en ren- 


== 0, la première des équations (0°) 


- 


LEA 


! 


L() 


AS 
zu—ler#s di. 





Ÿ 1! Es 4 
ee me 
V0 


Quant à la seconde, elle donnera B— 0, ainsi qu'on devait s'y attendre. 


Corollaire 11. — Si lon suppose s = 0, l'intégrale 


s’évanouira, 


7 & 


! 


$ 


sui e7 = dz 
S* + ee a 3)° 


et, par suite, la seconde des équations (7°) donnera 


… he. 


D'ailleurs, si l’on suppose s très petit, l'intégrale 


OEuvres de C. 


— $. 


$ 


nee ; gai erks dz 
Se D — 3 





Je 
63 


RAS MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


n'aura de valeur sensible qu'entre les limites 


3=r— 0, Rd. 


2 étant une quantité très petite. Par suite, si l’on désigne par € une : 
nouvelle inconnue qui puisse varier seulement depuis € = — jusqu’à 


Ê = 2, on pourra, dans le cas dont il s’agit, supposer 


On aura à très peu près, dans cette hypothèse, 


ne De AM es — e-kr. 


et, par suite, intégrale 





On 4 de plus, entre les limites C — — DE C anne © APS 
15 s dt 7 

| —— © = 2arclang-: 

F PCR $ 


Ainsi, dans le cas où l'on suppose s très petit, la première des équa- 
tions (2°) devient 


2 % 
A+B—=-——7"-1e-#r arctang-. 
T(n) : 





Si dans cette dernière on SUPPOse $ — 0, on aura 


© 
AB,  2arc lang —7, 
ef, par suite, 
Den 7 rrrle-kr, 





2T(n) 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 499 


En remettant pour A et B, X, et X,, leurs valeurs respectives, on 
1 2 





trouvera ‘ 
AV Mar SN PS AU TE 
C ei) ( | | ) Cosrx dx = = —— ri-tekr, 
: ») DA We) 


= SI de pe 


2 V3 | + 1 4) 





on 
| 


U+a vi) ee bon 
40 


Le succès de l'analyse précédente tient, comme l’on voit, à cette 
ne ; se #4 : : , . . k 4 (2 
circonstance particulière qu entre les limites z—0o, 3 == trés petit, 


et dans le cas où l’on suppose après l'intégration s = 0, Po 
O è 


; S ue ; , 
———, 5e dz obtient une valeur finie égale à a ST R 
S” —- (Fr are 3)? O 2 L'( n) 


L'intégrale dont il s'agit iei est une de celles que nous avons dési- 
gnées dans le précédent Mémoire sous le nom d'intégrales singulieres. 
On à ainsi une nouvelle preuve des avantages que peut offrir la consi- 
dération de cette espèce d’intégrales. 

S1 l'on suppose, dans les SAUAHONE(Y Ant Tr, et qu'on les 
ajoute ensuite, on obtiendra la formule que M. Laplace à désignée par 
la lettre (0) [p. 134 du Calcul des probabilités (*)T. 


Corollaire HI. — On peut déduire des équations (g') plusieurs consé- 
quences dignes de remarque: et d'abord, si Pon suppose r entier, les 
imaginaires disparaitront par le développement des puissances, et l'on 
obtiendra, en faisant successivement na —71,n—2,n—3, ..., plu- 
sieurs équations à l'aide desquelles il sera facile de déterminer les 
valeurs des intégrales 


z 32 Q 
COS SUD 
a | da 
l (A+ x°)" ! 7 CAT æy" 


0 








Par si l'on suppose 72 = 1, on trouvera 


3 © 
COS VA T Sin r: T Ta 
— AL = —e “hr Res = dx = =e-kr: 
: +2 me à kK2+ y? 2 


et ainsi de suite. 


(1) Œuvres de Laplace, t. VI, p. 136. 


900 


MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


: m ; oo 
Supposons en second lieu x — > /R étant un nombre entier quel- 


conque pair Guù impair; si Pon fait 


1 
de 40 — 25, 
2 3 } 


les Himites relatives 


aura de plus 


à la nouvelle variable z seront 3 = 1:, 


DRE ET 


æ. On 








1 | 12 pr 
——\? PAC = — ou Let J ; 
Ch pu) —- {541 (sn vi}, dx _. =(s+:) 2 
et, par suite, les équations (g') deviendront 
Hit I 
PE 1 D Ce 0 le É 1 ms? e*s 
| =. (+ !\l V1 il coss( < — Jés= _— 
I ne . : 2? d. 
2 
2x M 1 1 [= de Le 1) au) ee [< 1+(3z 1)\/- | nt 4 1 = Vo 
es Pr pr Mes un care male Vas rs des . f 197 ee 
| 2? (+) \ Fe ser )ds= _ 
l ; =, 2-1 3 +1 2 
2? F[— 


Si dans celles-ci on développe les puissances, les imaginaires dispa- 


raitront. 


Ainsi, par exemple, si lon suppose 72 = 1, on trouvera 


PR Ter nr ere 








(+2 VE sr 
Æ 2 253 

. EE om 
Er s) D) v DS . 


| 2 co 1 Le 1\ 
ei: Po | 00 _ 
1 LA aù 
(s*) / 
a À n s. [\ 
273 — - sins{ nn :) Fans r 
] Pa \ 22 








RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 501 


Ces dernières peuvent aussi se mettre sous la forme suivante 


a 


. Lo LR 
Æ | COSSID — — | dr = ——): 


Die 


Ces résultats coincident avec les formules que nous avons données 
dans notre premier Mémoire sur les intégrales définies (F£ Partie, 


S I, exemple HT). 
Si dans les équations (7°) on suppose #2 = 3, on obtiendra les 


formules 








et ainsi de suite. : 
Revenons maintenant aux équations (g'). 
nombre entier quelconque inférieur à », et que lon différentie 7e — 1 


fois de suite par rapport à r les équations (g'), on trouvera, pour le 


Si l'on désigne par 72 un 


502 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


CAS OÙ 27 — 1 Sera pair, 


1 ë es DES De) Dr 
(— 1} () T dr’ ne le à ) 
DONEOSPAEREEE er 

run 1 Lt 
(ir ) k Im —1 


| A AE Den avi)" a mime 
, es ne D Gr 








| | L (k# ve VAS PL(k+ x V—:)" 
: 2 


, 





DE STONE TO — 





a 2 —1 


+ 


Sim 1 était un nombre impair, il faudrait dans les premiers membres 
des équations précédentes changer les sinus en cosinus et récipro- 
quement. 

Si lon suppose 7 — 0, 7» étant inférieur à # par hypothèse, les 
seconds membres des équations (æ’) s'évanouiront. On aura de plus 
SIN7X == 0, COSræ == 1; et Comme, pour passer du cas où m est un 
nombre impair à celui où #7 est un nombre pair, il faut changer dans 
les premiers membres de ces équations les sinus en cosinus, en faisant 


sucecssivement Punce et l'autre hypothèse, on trouvera 





SE 2 
| / ns Verve CA : LUE € À rar 9 € 
0 2 | 
si »m est impair, 
(æ 


n 


1 PACE 
} 4 
| Le te nn 
0 





FAN À Le Ram à À 


si m est pair. 


Au reste, 1l est bon de remarquer que m<7% est la condition 
nécessaire pour que les intégrales (æ’) conservent une valeur finie. 
Ainsi ces intégrales seront toujours nulles, lorsqu'elles ne seront pas 
infinies. 

I est facile de vérifier cette conclusion par un simple chan- 
gement de variable. En effet, si dans les équations (x) on fait 


æ = htangu, on aura 


»2 
1 sin”*-1 u cos"—"—! u cos au du = 0, si 22 est impair 


e/ 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 303 


et 


/ SDS AU ©. si m est pair; 
V0 
ce qu'il est très aisé de démontrer immédiatement. 

Si, au lieu de différentier par rapport à r les équations (g’), on diffé- 
rentie plusieurs fois de suite, par rapport à s, les équations (7°), (s'), 
(#7), (4°), (o°), on déduira de ces dernières plusieurs formules assez 
remarquables. Mais nous ne nous arrêterons pas plus longtemps sur 


cet objet. 


Corollaire IV. — Si lon compare la seconde des équations (2°) avec 
la première des équations (4), on obtiendra la formule suivante 


[ Le) 
f (AE Di ere Sin rer dr 
0 


ee : de RE SL à Per 
Ce “A RACE. Li moi 6 teO0Ss er 


ee . 2 





n 


® + : ; EE Sr) . L ? ; EE 
en : Fi cr LD 2 FSI ou 





0 D) Ne 


Sæemple 11. — Considérons à la fois les deux intégrales 
D { Aie SINTCUE, 
70 


12 
D— [ Ne cos rede 
200 


X,et X, avant toujours les mêmes valeurs que nous leur avons précé- 
demment assignées. On aura pour la première intégrale 


+ 


32 
de AL ic [ A RCE RL NA A Le 
10 


et pour la seconde 


20 
Laser [ e-“tsinzr Cosr x dr. 


0 


50! MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


On trouvera par suite 





ant PES rer nds | CASE el DA 
S 


"0 


Ro le Dia (se tas 
A on bu : 


Cette dernière équation se décompose en deux autres, savoir : 








y 2 : 2 
on —— : ; [ = a ; zi-te-#ks ds, 
Po Site 


(=) | | 
| 5 


or — 1 ; sh—1 p—k3 =: 
: ee ht 5. UE 


\ 








d'où l’on tire 


z ANA 














C — - ARR 57 ons de + Alma, zn—1 pk: dz : 
| > F (2) PA + (r +z) FÉ S+ (7 — =) 
CEE 
lo oi MERE Ce D 1 een 
RCA PME re lee D ARS ES À nt à 


Ainsi les deux intégrales proposées, qui renfermaient explicitement 
des imaginaires, se trouvent ramenées à d'autres intégrales qui n'en 


renferment plus. 


Corollaire 1. — Si l'on suppose r = 0, la seconde des équations (a”) 


deviendra 


b") f Kewde= Se F_yne-k5 ds. 
(2) : : ini + 


Quant à la première, elle donnera C — 0, ainsi qu'on devait s'y attendre. 








Corollaire 11. — Si l'on suppose s — 0, les équations (a”) deviendront 


RE) EME ve HE ei un 
\/ Cent A A ++) or DUr le —_— ;e “de, 
0 

















2 TK) 
(sn ( 
LRU ee AE ds Re LL 
| eV UE U ne LL cosrx dx = + f —— e7 hs ds. 
0 2 \/ de r (x) “0 Sore ù 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 503 
Corollaire III. — Si lon compare la première des équations (2°) avec 


la seconde des équations (4), on aura 


fx 


| (k+ zx) test cosrx dx 


0 2 
D PU tee 
0, : 








$ | BE _. 
(di) { — - é Hs car 
0 
+ / ( \ ) = G \ ) e "x Coss x dx. 
\ / 0 2 Ven ! 
S IV. — Troisième application. 
Soit 
: MR ue 
dre 67 0 
On aura 
e 1 Ho 2 DE 
(10) ne no er | sd. 
T° 0 


On pourra done supposer dans le cas dont il s'agit 


A — —; Me Co. 
T°? 
et, par suite, si lon fait 
(11) Li. | ee Le 
0 
on aura 
: à A Re _s? 0) LE 2 
(12) | de D 21. 
9 r°* 0 


Exemple. — Soit proposé de déterminer les valeurs des deux inté- 
grales 


: ET … -s(r4i) : 
D D 0 SIN Tar, 
0 


— 5? (+ +2 ) 


4 
19 


—— TH CC COSCTAT. 


OŒEuvres de C. — S. I, t.I. 6! 


506 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 
On aura pour la première 


Pc <br r 
et, par suite, 


7 Co | et$+5)x sinrzx dx — 


0 


LE 
de 








3 COS2853. 


On aura pour la seconde 


Fes cor 
et, par suite, 


A 2 2 2 





: : FRA LV en pr : 
== SINOSe be CosrDnr : = 753 SIN253. 
: alu 0 À En mt a) 


Cela posé, l'équation (12) fournira les deux suivantes 





Î 22 He —si(x+:) ; " LES Fr 
| 1 TL 40 CIN AT AD — ur | EE TRANS COS2S7 de, 
; V0 T°" He. Tres ) 
ce 
À ) Fe ou st ++) 2 A 2 CURE gs? : 
| x ?e * cosrx dx = — | PE rT ss Sin253 ds. 
ton ri": LS 2) 


Pour obtenir en termes finis les valeurs de Eet de EF, il ne reste plus 


qu'à déterminer les valeurs des intégrales 


! 
e COS252 1H 0062 
| z = 55 2, D joue 
Lu ne À le ue: 2 PA Pau RE me 


20 





D'ailleurs, si l’on fait 





on aura 


LE 2 


J Se COSASE 1 d'K 
> 2 sida Fans 
is h ds. 


Tout le problème se réduit donc à la recherche de l'intégrale désignée 








par K. On obtiendra facilement la valeur de cette intégrale soit par les 


méthodes connues, soit par celles que nous avons exposées dans Île 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 50 


© 
Rd 


précédent Mémoire; et si l’on fait, pour abréger, 


| do [ets Pi [Cr2+ st)7— rf?, 


ma) 


Kw 


| 


on trouvera 


COS25z ne pro 
= EC a 5 = —— s($Sin2as + à cCOs2&s). 
0 ce NN Gi € in it 














Cela posé, les équations (e”) donneront 


L 











| 2x 1 sr 3 b—26 
| | À *z) sinræ de = -T © = (6 sin2as + æcos245), 
V9 (r2+ st}? 
H\ 
(4 ) DE us —s#(x+i) . 265 : 
/ D "4 FPOSrD DE —— [(as + a6?2-- 426) cos2as 
VAS r(r?+ si)? 


+ (65 — a— 8 )sin2as]. 


Corollaire 1. — Si dans les équations (g”) on suppose r très petit, on 


aura, en s'arrêtant aux quantités du premier ordre, 


SIA ON  et 2 Pope 
1 
; 5 . 1 ; : 
(Em re =  6—Ss, SiN2as—7,  COS2as — 1: 
28 


et, par suite, les équations (g”) deviendront 





1 
pue 1 —s(x+i) T° e 25 [ 
Le NAT a RUE 
: $ 25? 
(A7) . 
: 1 
RE (x +2 T? e—?s? 
1 0 ete. 
LE 0 à) 


Ces dernières équations s'accordent avec les formules connues. On 
pourrait les obtenir directement en supposant successivement dans 
les équations (11) et (12) 

ot er 


Der 2 


508 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


Corollaire IH. — On peut déduire des équations (g”) plusieurs consé- 
quences remarquables. Ainsi, par exemple, si lon différentie Les deux 
membres de chacune d'elles 72 fois par rapport à r, et x fois par rap- 


sort à 2, on obtiendra les valeurs des intégrales définies 
| D 


Î Fe noie 4 FHNEL —s(x+2) : 
| . x (+ :) e */ sinrx dx, 
| æ 
/ 0 à 
| < nu d NE —s(x+1) 
D (z - = e DOS AT. 
0 


Si dans la dernière on suppose r = 0, n = 0, on obtiendra lintégrale 
n 1 ein 
m—= —S|r+- 
Je 2e ;) dx, 
dont la valeur est déjà connue : voir les Exercices de Calcul intégral 
QUATTRO 


S V. — Quatrième application. 
Soit | 
. : mn 
X = P arctang —; 


on aura 


a T = . 
| mt CHA STONES 
(13) arc tang — — ( = d5; 
ee 


An] 


et, par suite, si Fon fait 
; sinms { , 
(14) D — CE PE 


on trouvera 





À Les me » 
(13) / P arc ang de = f Z dz. 
0 Tr 0 
Exemple. — Si l'on fait P— sinrx, on aura 
nn. * rsinmnz ES : 
(#7) [ arc tang — sin rx dx — [ À. 
J É A Hat 44) 2r 


[l'est aisé de vérifier cette dernière équation par les méthodes connues. 


+ 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 5309 


S VE — Cinquième application. 
Soit (') | 
| J 
PSE D) Si 
à Plos : 


On aura 


LJ A o 
| Li A 
(16) log — = ———— d3. 
ë À Z 


De plus, si l’on désigne par c la constante dont Euler fait mention 
à la page 444 de son Calcul différentiel, et dont la valeur approchée 


5 
CS 0,977210 7 0h AUrTA 





(CV2) Ga L nt 


1 | — 





à + 6 é > L—X2 Le » : ) e) 
(19) L 6 Pe *: dx == f P dx |, 


on aura 


(20) [l nl log dr = l 1, dz + cf Paz. 
9 : Cr: 0 


/ 


) 


Exemple I. — Soit 


P — x! lee 


les équations (19) et (20) deviendront 


«e) ES) | t  : L 


3 (1+s)" Re mc 


AD 








La 
} 
(m") f 1 ec l0p- dt 
fe 


0 





(1) Lei, comme dans le paragraphe IF, l’abréviation log, où même la lettre initiale 1, est 
emplovée pour indiquer un logarithme népérien. 


310 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


| 4 


. 1 : I 
D'ailleurs, si l’on fait 1 + 3 == ;> on trouvera 
ns | 


D I I = ds D le 
[ | mas :| al Ce 
dE es. () Z Été 


0 








On pourra donc présenter léquation (72) sous la forme suivante 


œ 1 ‘ 
. : Le LL 
( n°) | Tinlent log : dx == F(x) (e -f —- at) è 


Corollaire 1. — V{n) étant égal à f de 0 014 
0 


Iestaisé d'en conclure que l'équation (2°) équivaut à cette autre 


. cl _ fn—1 
diT(n) | nr 





(o") ——— © ——C 

60 
Cette dernière formule coïncide avec celle qu'a donnée M. Legendre 
LIVE Partie des Exercices de Calcul etegral ("}, p. 451: 


(t) La formule (o") à été, il est vrai, donnée-en 1814 par M. Legendre: mais dès 1812 
M. Gauss avait formé l'équation 


IP CA. ! tri 
dira) É (5 ma )@, 
di FAR it 


et reconnu que, pour #2 — 1, le second membre de cette équation représente, au signe 
près, la constante c d'Euler. Effectivement, on déduit sans peine de la formule (17) l'équa- 
tion connue 





1 
= [ (5+ | }æ 
A lé t—t 


qui, combinée avec la précédente par voie d’addition, donne 








diT(u) on: 
NT PRE C 
dre 0 ren 4 
Ainsi la formule obtenue par M. Legendre ne diffère pas de celle de M. Gauss, qui paraît 


£ or. : nn. We 241002 
avoir considéré le premier, sous forme d'intégrale définie, la quantité Nr PS 
n / 





+ Euler, 


en S'occupant des mêmes intégrales définies, n'avait pas observé qu’elles fournissaient les 
différentielles de la fonction l'(#) qu'il dénotait quelquefois par [n — 1]. 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 511 


Corollaire 11. — Si l'on fait 


af a da | | 
—— n étant < 7, 
Fe + FE x)yn? 


on aura 
T(x)F(m—n). 


du L'(m) : 








et, par suite, 
RAS pet pee IT(m). 
Si l’on différentie successivement les deux membres de cette dernicre 


équation par rapport à 2 et par rapport à m, eu égard à la formule (o”), 
on obtiendra les deux équations 


0 IA 1 PLU ne rt AS tri 











So 1 
on d . 
O1A 1h Po d 
ares —— — (11 
Om D : 


qu'on peut aussi mettre sous Ja forme suivante 














[ ax 1 x n—1 n—1 Il 
TL I DE l gn- _e porn n 
—-—  l06-dx l le —————— dé, 
r 6 E  # . (LE) er Le. 
) / 0 

/ æ!t- -1 I DES x"! 4 A ns DER PAU Lot 

— log - ar 
1 ts x) 7 AC UF pr 


On peut encore déduire de ces dernières la formule 





æ n 1 0 ve gr! LÀ pn— 
(4°) T eus Pie Rotr en S / a Ph RUE dx 1h ——— _— dl. 
1 è 
0 EE à a T 0 U+ x)" 
Corollaire III. — Soit 
D LA Là 
se Éne-ee ne 
1— À 
(1) 


on aura 


ke JEU 
7 








512 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 
d’où l’on conclut 


B=i(t)+ Ir(?) + ir(f) = nes) 


/ \ 


Si l’on différentie cette dernière équation par rapport à p, en ayant 


égard à la formule (0°), on trouvera facilement la suivante 





Dore Dre Cet 
Ce) ME log ns dt RER RE CREER de | ————— tPEns Ai dt. 
LL l eu 1 — (! 
(1— 4") n Ch) no 


Cette dernière formule est l'expression d'an théorème donné par Euler 
(t. IV du Calcul intégral, p. 166); voir aussi les Exercices de Calcul 


intégral de M. Legendre (HS Partie, p. 259). 


Remarque. — La valeur générale de Z, donnée par l'équation (19). 
est la différence des deux quantités 


| Pe-x: dx, mn 
s(1+5)J, 


“0 


| — 


< 
PAT, 





(A! 


dont chacune devient infinie du premier ordre lorsqu'on suppose z — 0. 
Par suite l'intégrale 

l Z ds: 
est elle-même la différence de deux intégrales qui, étant toutes deux 
infinies, ne peuvent être caleulées indépendamment l'une de Fautre. 


On lèvera cette difficulté si lon fait 


(21) 2 —= OL Pe-z dx — - 'é ax), 
= 0 FE ei 


2 étant une quantité très petite. Dans cette dernière hypothèse on pourra 








déterminer séparément chacune des deux parties de l'intégrale / L ds. 
0 


Mais, après les avoir retranchées l’une de l'autre, on devra supposer 


dans le résultat & — 0. Appliquons ce procédé à un exemple. 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 313 
Exemple II. -— Soit proposé de déterminer les valeurs des in tégrales 


LE 
. 1 
| æ'-le-sx COS x log — de: 
T 


0 


7 © : ï 
de s* sinræx log - dx. 

0 ZT 
Dans le cas présent la valeur de Z, déduite de l'équation (21), sera 


pour la première intégrale 


7, - 


'4 
(572 | 








NC) = eau Cris) 


So 2 





I (s =; ee Se (s ane VE 
1 + 3 2 ne. | 


On a d’ailleurs 


= Se er 





1e EE (er V—:)" ds 
0 








ur CS VERS eue 15 7 4. 
5 0 


De plus, si lon fait, pour abréger, 


r : 
; —tang “Re r+ s'— k?, 


on aura 





(s re Ve nent (s pr UPS Die 
= A PT cosn0 + a(cosnÔÜ1k +6sinn6) +...1]. 


Cela posé, on trouvera 


/ Cd CE 2 gai 3 © z—1 13° 
| l VAE Ertoedll M F(n) cosn9 | f a | a 
vo ua) ; ee. 


40 


(4) { ; ce 
| +ak"T(x)(cosn 914 + 6sinn6) | ——. 
hole) 
nn 


Si dans cette dernière équation on suppose à très petit, on aura à très 


OEuvrts de CSI © 1: 65 


Cu" 


o1# 


peu près 


MÉMOIRE 


SUR DIVERSES 








re RONCIINOEET-2 LC) — 

JO G+s)" T(n) . VE 
Me elle be ne 4 en 
| a+z}" ee 1 


t, par suite, l'équation (4) deviendra 


ee Lie — 


0 


_ 2 Lensna(t EE 





FORMULES 


nt | 
a) + 8 sinn6 5 


On trouvera de même pour la seconde intégrale proposée 


74 


tn 


A 





a) 
1—C 


Û … 
_. [suns(1a _ . —— 


jcosn5|. 


Enfin on a, en vertu des équations (r) trouvées ci-dessus ($ ID), 


9% 


. cosn 
De CNET dE — IR T(n) 
(Ù 
LEA i 
no sin 29 
actes sinræ de = 5 T(n). 


Done, si dans Péquation (20) on fait successivement 


on obtiendra les deux formules 


32 


| I 
| | a lersz cos rx log— dx — 
En 6 
Ait 


/ 


LE 


pa Q 1 
x" les sin rx log— 
Æ 





P — xt -1 e sx cos LE + 
Fe riemsihnre, 
suivantes 
T(n\l à o 
Ge cosn5(e+lk— | 
k" L 
J 
(a . 
dx — Al sin 2 9 _ 





Det Æ étant déterminés par les deux équations 


(p") 


… (ri 5), 


r 
| 0 — arc tang . 


Fes pi 
—— di 


1 — ni 


| 


) + OSinAnt 


à — bcosnÿ 


_ 





vw 


” 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 515 
Corollaire 1. — Si dans la première des s équations (&”) on fait 7 = 0, 


on aura 


et, par suite, 


; fan l(n RD 
(er) | philo _ dx = . _ ( cC+ls — [ a |: 
0 c. | / 


420 


Si dans cette dernière on faits = 1, on retrouvera la formule (2). 


Corollaire IT. — Si dans l'équation (a) on fait, pour abréger, 
sil TE Le 
C — [ — dt = N\, 
J RE t 
0 
; M4 DATA Le Fe 
et si l’on y remplace N ee DS | 6 © d01 aura 
: | 0 
| . 


(z”) | 


© 0 


sp» } ma à S 
Man log — — N ] dr 1(n) — 
4 s!t 


Si l’on prend la différence finie mie de chacun des membres de cette 
dernière équation relativement à s, on obtiendra la formule 


à © 


" RTS or \ É il ” " (HS 
(>") | ane st (ex — jy" ( tre x dx | (n) A" — }: 
0 \ Li / Tu, 


Il serait facile de prouver que cette formule subsiste dans Le cas où 
n devient négatif et égal à — a. Dans le mème cas, on doit remplacer 


T 
F(a+i)sinar 





F(x2) par + On a donc généralement 





. D . L \ dx Tr 
(=) e-st(e-z— jy" log— -N)= mn Re — Am(se ms 
0 \ ï / 


A rt: T(a+i)sinar 


a étant un nombre positif quelconque inférieur à 27. 


516 | MEMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


DEUXIEME PARTIE. 


SUR UNE FORMULE GÉNÉRALE RELATIVE A LA TRANSFORMATION 
DES INTÉGRALES SIMPLES 
PRISES ENTRE LES LIMITES O ET % DE LA VARIABLE. 


TuéorèmE. — Soi F(x) une fonction quelconque de :x, telle qu'on 


puisse obtenir en termes finis la valeur de L intégrale 


AE. 


(1) | HR) dr à, 


\ 





0 


pour toute les valeurs entiéres el positives de la constante n. 


On pourra toujours en déduire la valeur de l'intégrale 


n £ 


. 
nl ea . 
(2) [l 1 L Le — … 1 man DRE 
VAp 


0 


prise entre les mêmes limites. ainsi qu'on va le faire voir. 


Démonstration. — Si lon suppose l'intégrale 


fs" F(s)az 


prise entre les limites 3 = — >, 5 =, on aura 


1 22 F(32) ds : 2Â,n. 


tn 


PTS. 
CC 
St 


Si dans cette dernière équation on fait 


elle deviendra 


2} NS j 1\? dx 
Lo x | P20 A x) x 


la nouvelle intégrale étant prise entre les limités æ = 0, x = «. 

















RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, D 2 POST br 
[l'est d’ailleurs facile de voir qu’on à 
Ho] 1 \? dx et 4 1 \? dx . 
famr(e-s) Te fau Er) PE ts 
D ù 4 0 4 
et, par suite, 
: Dr J Le LL de ; 
(2) / (a ) F (:— :) PE FH. ?2n° 
0  \ 
Enfin on a généralement 
Fe (2n+92)an ,, 
COS Can Et COSul a 0 
; 1,2 
(on 
| (on + 4)(2n+92)2n(2n—0) 
a D nn = Sin 4 —.., 
ARS 
Si dans cette dernière formule on fait 
et Ver a D, 
on trouvera 
I I À 1 
LT — — DE — DR ee 
: L DA : VALLEE. 
SIN 4 = ——— , Loue ee COS(27n +i)u = a = 
2V— 1 | 2 


et, par suite, 
2n+1 . — ZT + . | + (r+i)n . AE 1 : 
# . FU USE VENDRE 1.2 L 


(7) | AU een —( ue | 








LL 4 


Si maintenant on multiplie les deux membres de l'équation (7) 
Al I 2 dx . ‘ . + 
par Æ (x - =) — @t qu'on intègre de part et d'autre entre les limites 
TZ 46 $ 
T—O0,æ—%, en ayant égard aux équations (4) et (5), on obtiendra 


la formule suivante 





(n+Ii)A (n+2)(n+i)n(n—:1:) 
un + —— : : _ A, +... 
26). 





D eee con Ans ta FE dd. my An: 


| | _(2n—9)(2n —3) 2N—1 
Lo. l 


DIS MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 
Cette formule déterminera la valeur de C,, toutes les fois que celles 
de à EcoNL CoUuMes. On peut remarquer que Le 


coefficient de À, y est égal à 





(n+m)(n+m—1)...(n—m +1) (272 + 1)(2nm+2)...(n +m) 


RS D PS 21m a (/1— 1m) 





Exemple I. — Soit 
RE re ce 


On trouvera 














{ 
na 5 D] ë 11 10) ET 
5. Mob Rice DD) +: T° 

An = PME due : ne Ve l D ln = 5 

0 oi A 0 : = 
et, par suite, 

. Dia (2m — 1) 
(æ) An — ’ mn ; EVE 
(25) 
On aura de plus 
es] 1 s + 30 
(ee : at 
(b) Ce re x) dx = e?S re x) dax 
CAT 0 
Cela posé, la formule (8) deviendre 
| es _: x?+—) 
| | ze be 
E “0 À 
(one L | ee So : 
Es (na+i)n/3 (n+o2)(n+i)n(r—1)/f1 
| — Fa ur on ée Ste : RSS re act ES ee À 
AS 2 À >) . DS 
28 , 
Le 


Si dans cette dernière formule on change x en x°, nr en #, ets en 7, 
on obtiendra précisément celle qu'a donnée M. Legendre dans ses 
Exercices de Calcul intégral (NH Partie, p. 366), et dont les équa- 
tions (&”), trouvées ci-dessus (PF Partie), n'offrent que des cas par- 


ticulers. 


“ 


Exemple IH. — Si l'on fat successivement 





ESS ut mc (47 2 





= CTSE COST ET, 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 319 


on déduira de la formule (8) les valeurs des intégrales 


: | 
“ —s(r-1) À 1): 
CP Sid | de, 
0 


8 


et, par suite, celles des intégrales 


{ 7 s(a2+ 2) k I 
| æ'le RS II7s (= e. Ar, 
Te 
0 / 
(d) | 
Ji (a) I 
die FA Cosr (a+ —, le, 
7e 
\wo 


Ces dernières sont entièrement semblables à celles que nous avons 
considérées dans le précédent Mémoire (1'€ Partie, SH, exemple RENE 


Si dans les mêmes intégrales on fait 2 — 0, s — 0, et que l’on change 


il 


ensuite 7 en set æ en æ*, on obtiendra celles qui forment les 
premiers membres des équations (1), divisées chacune par le 


nombre 2. 


Exemple III. — Si l'on fait 
ele on 


on déduira facilement de l'équation (8) la valeur de l'intégrale 


et, par suite, celle de l'intégrale 


LES —s (a+) I 
D COL ur. 
5 0 æ 


N 


520 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


TROISIÈME PARTIE. 


SUR LA TRANSFORMATION DES DIFFÉRENCES FINIES DES PUISSANCES 


EN INTÉGRALES DÉFINIES. 


S 1. — Sur la transformation de la différence Voie 


en intégrale définie, s et a étant des nombres posiufs pris à volonté. 


Pour transformer la différence finie 4*s* en intégrale définie, il 
— 


faut commencer par transformer de la même manière la quantité s 


Soit en conséquence 
(1) + -Aa)xr 


À étant une constante, X une fonction inconnue de x et de s, et 
f Xdx une intégrale définie, que nous supposerons, pour plus de 


simplicité, prise entre les limites x = 0, æ = +. On aura entre les 


mémes limites . 


iN 
(2) ARE af AUD QE 22 
0 


I ne reste plus maintenant qu’à déterminer X de manière que lon 


puisse obtenir facilement la différence finie 4°X, et que lon ait de 


en X Ar. 
7.0 


On satisfera à la première condition si l'on fait 


plus 


X=Pe-s®, 


P et Q étant deux fonctions de æ. On satisfera à la seconde condition 


si l’on suppose 
Pre O7. 


Le 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. «521 


On trouvera dans cette hypothèse 


0 É:0 


L2 


2 JA 2 ze 
[ QT À | a (É rte ra es Li 
“0 C4 


Cela posé, l'équation (1) deviendra 


3x 


! bee 
SUEZ — Pme 
(3) s rs) RS EN e 


et comme l’on a 
A’? CEST — est ( PR À y, 
l'équation (2) se trouvera réduite à 


a ae 


; e sx ( CRT | Le 0m dx. 


(4) A (sa) — NES 


ve 
Cette dernière formule était déjà connue: elle fournit une solution du 
probléme. Mais on peut de cette première solution en déduire une 
infinité d’autres, comme on va le faire voir. 

Soit, pour abréger, 


ex bar us 1) an JP 


et supposons que la substitution de ax + 6æxv—1, au lieu de +, 
change - 
pen P'=— pr. 
Si l’on fait 
6 
= = tang6, 
on aura, en vertu des formules démontrées dans le Mémoire précédent 


[Mémoire sur les intégrales définies, lu à l'Institut le 22 août 1814, 
[°° Partie, S ETF, théorème IV (!)|, 


> 2 e 
cos aÜ 
| P' ne: dx — ne ne px? : LE 
0 (0 ai. 62 y? 0 
ne . 2 
sin aÜ 
| P'æra-1 dx — CEA P aa dx. 
0 (at 62,2" 9 


CHOC UE Couc D:LTL D D 00. 
OEuvres de C.-— S.W,tE 66 


& “ 


522? MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 
D'ulleurs si on suppose 


e-sins x 
e-%T COS6x — 1 
on aura : 





— tang#, 


mm 
P'—e-sar(e-?0x __ 96-47 C0s6x +1)? CoS(6sr + mv), 
[27 


P'—e-sar(e-?ax __ 3e7ûx cos6x +1)? sin(6sxr + mr). 





On pourra donc à la formule (4) substituer une quelconque des deux 


sulvantes 
nr? 
(ar é)r ne Un se À : 
ANG —— at-le-sax (e-?ax 96-47 COs6x + 1)* cos(8sx + mr) dx, 
Fa) cosai,/, 
Co) 
| | m 
(a+ &2)? Rx SE | 
ANG ————— [l aile sax (ex 2e COS8 x +1)? sin(8sx + mr) dx. 
| Fia)sinaÿ 


Si dans ces dernières formules on suppose à = 1 et # très petit, on 


aura à très peu prés 





Sina) = «6, co0sa7=—1r, 
7 “. 
— 6xe— ; 
a 4. De Re COS6T — 1, 
Dial 
e I 
Ne 2 TLe RE 
COS(SSXT +me) I, sin(8sx + mv) = 6xs + ee 
; et— 1 


\ 


Cela posé, les formules (5) deviendront 
A" s 4 — : mie Mie. ce GE 2 
V(a)J, 


j 2 . me 
Ant sa — xt Cl 1 Lis S + ee dx. 
Ta) ee 1 
0 4 
Ces deux dernières formules s'accordent avec l'équation (4). De plus, 
si on les compare entre elles, on obtiendra l'équation de condition 
(6) sAMS-a-1 + mAM-Is-a 1 Ams-e, 


Corollare 1. — Si dans l'équation (4) on suppose a = 1, on aura 


aa : 
A’! L —— ete 1 ue dx. 
S 
LEA 0 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 523 


. . ; il , + 
On peut aussi obtenir la valeur de a" (+) au moyen de l'équation que 
| ; | 


nous avons trouvée ci-dessus (F"* Partie, SE, exemple I, corollaire ID) 





Ne T(m+i)T(s) De Lande | 
S '(s + /H + 1) ; (1 _ gets 
Corollaire 11. — Les intégrales définies dans lesquelles nous avons 


transformé la valeur de 4”*s-# sont toutes prises entre les limites x —o, 
æ=. Mais, comme leurs éléments décroissent très rapidement à 
mesure que æ augmente, on peut en obtenir des valeurs fort appro- 
chées par la méthode des quadratures. On peut aussi, pour rendre 
l'application de cette méthode plus facile, transformer par la sub- 


stitution 


ou, ce qui revient au même, 


les intégrales proposées en d’autres intéerales relatives à z et qui 
O à © 


soient prises entre les limites 3 —0, : —1. 


. 
S IL -- Sur la transformation de la différence A"s* en intégrale définie, 


s et a étant deux nombres positifs pris à volonté. 


Pour transformer la différence finie A”"s* en intégrale définie, il faut 
commencer par transformer de la même manière la quantité s “. Pour 
résoudre ce dernier problème, et par suite la question proposée, on 


peut suivre deux méthodes différentes, que nous allons développer 


successivement. 
Premiere méthode. — Si l’on su ppose 
Us À + les 
y 


À étant le plus grand nombre entier compris dans a, et si dans l’'équa- 


cs 


524 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


PE A u \ LL 
É S *e ace «a Dar £ — —» on trouver: 
tion (3) (SE) on remplace a p >. ouvera 


n2 ÿ 


(a 
(7) D nn | D 0. UT 


r(iË)ve 


Pour obtenir maintenant la valeur de s“, exprimée par une intégrale 





définie, il suffira d'intégrer À +1 fois de suite, par rapport à s, les 


deux membres de l'équation (5). On aura ainsi la formule 








l'intégrale relative à æ étant toujours prise entre les limites x — 0, 
x = +. Dans cette dernière équation, X,, X,, ..., Aa désignent les 
À +1 constantes introduites par les intégrations relatives à s, cons- 
tantes qui peuvent être des fonctions quelconques de æ. 

Pour déterminer ces constantes, on observera que le premier membre 
de l'équation (8), divisé par #, s'évanouit encore pour $== 0. Le second 
membre doit done satisfaire à la même condition; ce qui exige que 
l'intégrale : 

ed 
(9) ] D ee NN SX, sx) DE TPE 
0 
et ses coefficients différentiels du premier, du deuxième, etc., enfin 
du Aièe ordre, pris relativement à s, s'évanouissent pour s = 0. Cette 


dernière condition sera remplie, si l’on détermine 
1. 
de manière que la fonction à 
CR 


et ses coefficients différentiels du premier, du deuxième, etc., enfin 


du Aime ordre, pris relativement à s, s'évanoutssent pour s — 0; ce 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 


qui revient à faire 


D GS X,=— —; À — 


I n°2 





et d’ailleurs il est facile de s'assurer que les autres manières de 


OC 
© 
OC 


rern- 


plir la condition exigée conduiraient toutes à la même valeur de 


Pintégrale (9). On est donc autorisé à remplacer dans cette dernière 








intégrale 
Ke s Xi Xe SX, gd 
par 
* 
1h ; LT” 
Ds + —...+(—1) 5 
I ) RAD EAN RE À? 


c’est-à-dire par la partie du développement de e-** qui renferme des 


puissances de s et de x inférieures à À +1. Si, pour abréger, 


désigne cette partie par 
o(sx), 


l’on 


o(æ) étant la partie du développement de e-* qui renferme des puts- 


sances de + inférieures à À +1, l'équation (8) deviendra 








ee > a 
ut dore 2 7 O(sæ) dd 
ù ne ) _ x ? 
a rfi B) 
A CR y} y Jo ; 


et comme on a d’alleurs 


1+Ë=a, O+É) (+ Tarn 


Dec À | Re 
se y 


on trouvera enfin 


(10) sa — — CEE 7 RÉ (1) 

















xt+i 


(1) Si dans la formule (10) on fait s = 1, et si l’on a de plus égard à l'équation 


ï 
7 snarT(a+i)’ 





T(— a) = 


926 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


Si l’on prend la différence finie zai%e de chacun des membres de 


l'équation précédente, on obtiendra la formule 








sinarl(a+i) fe-st(e-t— jm Amo(szx) 
(1 1) An ça — exe Î k 
0 


ins 


TT! 


Dans les applications que Pon peut faire de la formule précédente, 
il est nécessaire de distinguer deux cas différents, savoir : celui où l'on 
suppose 
AN, 
et celur où lon suppose 
A It. 





Premier cas. — Supposons d’abord 


SCT 


On aura, « fortiort, À <{m. Par suite, 


ee CE | 
D(ST)=i1- — + Ne RU RL 





on (rouvera 





On à par ce moyen une expression fort simple de la valeur que reçoit la fonction T(æ). 
lorsque a devient négatif. De plus, il est facile de voir que, si l’on désigne par X une 
fonction rationnelle et entiere de x, le seul moyen de rendre finie l'intégrale 


Dr ane dx 
FU 
0 . 


sera de supposer X = v(x). Enfin, lorsque a est positif, on a 


7 2 
T(a) = | Lilo AT, 
0 
On conclut aisément de ces diverses remarques que, pour toutes les valeurs possibles soit 
positives, soit négatives de la quantité 4, on aura la formule générale 


= 
Elar — 1 TA (ex — X) dr. 
BA 
X étant une fonction rationnelle et entière de X, assujettie à la seule condition de rendre 
finie la valeur de l'intégrale que l'on considère. Cette fonction est toujours nulle, lorsque 
a est positif, Mais, lorsque a devient négatif, elle est égale à la somme des premiers termes 
du développement de e-*. | 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 397 


étant une fonction rationnelle et entière de s dans laquelle la plus 
haute puissance de s est'inférieure à 72, on aura 
HOT) 0 


Ainsi, dans ce cas, la formule (11) se réduira simplement à 


dx 





(12) AN ÇA — 





V(a+i)sinar le érrte  n7 


a+1 
T + æ 


Cette dernière formule coincide parfaitement avec l’équation (me) 
trouvée ci-dessus CUS Pärtie, 8 1); ce qui confirme l'exactitude de 
nos calculs. | 

L'équation (12) fournit, pour le cas où l'on suppose a << mn, une 
solution du problème que nous nous étions proposé. Mais on peut de 
cette solution en déduire une infinité d’autres, ainsi qu'on va le faure 
voir. 


Soient & et # deux constantes arbitraires, et 


ÿ arc t . 
ACTU. 
| : : 8 


or D'OR ALL 
A 0 EE Soir (a 
et si l’on désigne par 


Q'+ Q"V— 1 


ce que devient g lorsqu'on y change x en 24 + 6x V.— 1; On aura 


«a 


24 )' a ? © | 
/ A 6) cosan | da, 
0 





rar! a+ 1 
T0 
2 © 7 «a 2 © 
Q’ ; = C 
do (D) nat 1_ Gr. 
xati æaari 
LE 0 LE 0 


On pourra donc remplacer, dans l'équation (12), l'intégrale définie 








[ NU 7e [ le 1) D 


ul a+1 
Pot 0 “ 


928 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


par un des deux produits 











LA 
Le CIE 
« rh ? 
(a?+ 82}? cosaÿ"" 
Lil de (eu dx 
auri ù 


«t 
(«+ 6)?sina0 "° 


Supposons, par exemple, 4 = 0, 6 = 2; on trouvera 


a 











= 4 
EN SE ED Det Ge 
2 
sinaT AT. SiN AT aT. 
= = 2 STI , ; = COS n° 
Cos ab 2 Si & 9 2 


On aura de plus, six est pair, 


Q'+ Q’ Ve: — g—?szx Vi(etev-i _ 1)" 


1721 


== (— 1) 2| cos(2s —— Mia Ni sin (25 ne m)x | sin x, 
. nt 


! ra L/4 + = 4 
Q'—(— 12" cos(25 + m)æsin”æ, Q'=(—1) *2”sin(2s + m)xsin"æ; 
et, si 2x est impair, 


Q'+ Q" Vo PE e-tstv-1( ete vi ue 1)" 


m+i 


= (— 31) 2 om ifcos(2s+ m)x—V—1 sin(2s + m)æ] siu”x, 


nm+i m+i 


QE D) À arsimiss mirsinir, O1) à a cos(25s+m)æ sin”"x. 





Cela posé, on pourra, si 2 est pair, substituer à la formule (12) les 
deux équations 











… An 
m +2 F(a+i)sin— ,, | 
Amsa— (—;) ? ami — 2 cos(25s + n)zx Sin or 
’ OUT aari : 9 
CÉIE 
: aT | 
7h Pia 0e 
2 siu(2s + m)xsin”"x 


Ant ça — (— 1)? on+1 








dE; 
DATE Ta 
0 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 529 


et, six est impair, les deux suivantes 




















(a +i)sin SA 
1 «a [l S LES : 
_. 2 Le SUL(SS 71) T SIN 
At ça —: (— 1) 2 onn+i da L 
DOUTE ie æt+i 
t£ 
(14) rs 
n AT. 
2 ni 2 * Cos(2s + m)æxsin”tx 
Ant sa — (— 1) 2 a+ 2e dx. 
\ 2#T DA ve 


i 


On peut réunir les équations (13) et (14) en un seul groupe, en les 


mettant sous la forme 


AN 
QM+IV(a+i1)sin——— 7 
2 














LEA . 
È cos(as dt miesintr 
A’ Ge ny” qu+i Abe 
(3) R NE : 
19 
ce a + m 
DUR A) CO | 
| 2 SIN(25 + m)xsin/tr 
AD re . 
\ _. DOTE æguri or 


Si dans ces dernières on change s en $— -m, et si Pon a égard à 
: 
l'équation 
TN J 
no (s — 7} — — An(os-- mt, 
\ 


c où 
1. 2 


on obtiendra précisément les formules que nous avons désignées dans 
la première Partie de ce Mémoire par les lettres (y) et (4°). 
Second cas. -— Supposons maintenant 


HE DR 


Alors 5(sæx) sera une fonction rationnelle et entière de + d'un degré 
égal ou supérieur à 723 ef, par suite, 

A os) 
n'étant plus égal à zéro, l'équation (12) cessera d'être exacte; ce qui 
d'ailleurs est évident, puisque dans ce cas l'intégrale 


>: 


{ ce” ST ( e an" FR 1} nt 
dx 
v 0 





auri 


OEuvres de C. — S. U, t. L 67 


330 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


obtüendra une valeur infinie. Dans le même cas l'équation (11) sera 


toujours vraie; mais la valeur de la différence finie 
A" o(sæx), 


qui entre sous le signe / dans le second membre de cette équation, 
dépendra de la quantité 


D 10 


ou, ce qui revient au même, du plus grand nombre entier compris 
dans & — m, ainsi qu'on va Île faire voir. 


Et d'abord, si l'on suppose À = m, on aura 








ST Sur s'trn 
O(ST)=I—- — + Sa (el) ; 
I 1.2 DD ones m 


A’ re) (ST) == (— BEL æ': 
et, par suite, la formule (11) se trouvera réduite à 


dx. 





T(a+i)sinar Re RE Ce 
Lati 


l (16) AN ÇA — = 


Cette dernière formule résoudra la question proposée pour toutes les 
valeurs de & comprises entre les limites »2 et me + 1. 


Supposons, en deuxième lieu, À = me + 1, on aura. 











ST s? x? "1 st x s'i+i PA +1 
O(ST)= 1 = + —...+(—0"{ ” À 
; J 12 AT m IR PRESS m +1 
2$ — mm 
A’! o(sx) = (— SD ds (- à ); 
: . 
et, par suite, 
: 
: ALES 1 )—(— x)" 1 28 . 
F(a+i)sinar 2 


dx. 








( 14) A’! Ga — 


T TIT Êl 


Cette nouvelle formule résoudra la question proposée pour toutes les 


valeurs de &« comprises entre m2 + 1 et m + 2. 


13) 


Ança — 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 3531 


Supposons, en troisième lieu, À = mn + 2; on aura 











$ sv 
O(ST)—=1— — — 
I 1 0 
sx s'+i qi SAH2 qn+2 7 
+ (—1)" = Le TE 
RUE MN D. (mm +1) Len tp La) 





F DS VIT CSC) 720 7 
A’ o(sx) — (— œ)i E Es TL + \ ) ( |, 


2 HAL 


et, par suite, 





l(a+1)sinar j 12 





set jy 2" f ben Gs(s+m)+m(3m— 1) 





rüHi 
T 7/0 æ 


Cette dernière formule pourra être employée pour toutes les valeurs 
de a comprises entre m + 2 ct mn + 3. 
En continuant de même, on déterminerait successivement pour les 


diverses valeurs de la quantité désignée par À les valeurs correspon- 


. dantes de Ta fonction 4”2(5sx). Mais on peut trouver dans tous Les cas 


possibles la valeur de la même fonction d'une maniere plus directe. 
En effet, 5(sæ) désignant toujours dans l'Analyse précédente la partie 
du développement de 


e sr 


qui renferme des puissances de + inférieures à +1, Ac (sæ) dési- 
gnera par suite la partie du développement de A"e-*, où de 


€ es PRE | je, 


qui renferme de telles puissances. On a d’ailleurs en général 


Ne Sr So 
A . 
L f6 2 











# 
| 

à ed 

Re 
| 

| 
+ 

CR Ro 

[e: 

D PSE 


Donc, si l’on fait 
Amo(sz)=(—æ)"d(x), 


d(æ) désignera la partie du produit 


CURRENT EE É Là æ? M 
Ci + La — + —— © — 
\ 1.2 1,25 


/ 


qui contient des puissances de æ inférieures à "#1, 





332 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


On aura donc 
Y(x) = 0, 
> L 
si l'on suppose À <[ 77; 
dix) =, 
Si ÀA= M; 
DS EM 


d(x)=i- ———— x, 
‘ L4 1 





SL À — 7H + I; 


25 + M Gs(s+m)+m(3m—i1) , 
: 2 12 





Là 


si A m+o2,etc.z; et ainsi de suite. 

On peut remarquer que. si l’on désigne par X une fonction ration- 
nelle et entière de æ, le seul moyen de rendre finite la valeur de 
l'intégrale 
dx 





f _ est(e ? Le ut N 


PACE 


sera de supposer 

À deuise), 
Ainsi, pour transformer en intégrale définie [a différence finie A5“, 1l 
suffira de faire en général 


Fe Aust— | e ee ne 


TATI 








Can 


X étant une fonction rationnelle et entière de +, assujettie à la seule 
condition de rendre finie la valeur de l'intégrale que l’on considère. 

La fonction X ou 4”2(sx), ainsi qu'on l’a déjà remarqué, est nulle 
quand on suppose a <m. Mais lorsqu'on suppose «> m, le nombre 
des termes de cette mème fonction croit indéfiniment avec la diffé- 
rence À — m. C’est pourquoi la formule (19) ne peut être appliquée à 
la détermination de la différence finite 4”s* que dans le cas où a est <<, 
et dans celui où & surpasse 72 d'un petit nombre d'unités. Lorsque la 
différence a — m est très grande, les calculs qu'exige cette formule 
deviennent impraticables. On peut obvier à cet inconvénient, en sui- 
_vant, pour la transformation de la différence finie 4”*s* en intégrale 


définie, une autre méthode que je vais développer en peu de mots, et 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 333 
qui s'applique également à toutes les hypothèses que l’on peut faire 


sur les valeurs relatives des deux quantités a et m. 


Seconde méthode. — Si, dans les équations (g') (I Partie), on fait 


r=s,n==a+i1, on obtiendra les deux formules 


EE 


(es 
FH 2 





eks coss x dx, 





(20) 





SD) 
Pa ÆreN (211) fa (ati) 
2 (a +1 K—xV—1 —(Kk+xV—1 
| Se 2440 f ( V ) ( \ ) cn Sins r ar. 
di 0 2V--1 
Pour débarrasser ces formules d’imaginaires, il suffira de faire 


F— p cos A T = D sin 6, 


p et € étant deux nouvelles fonctions de +. On aura alors 





 (Kk—» lame) (er) k ee —(a+1) 
| CEE pi = ne hp 0008 ant), 





(arr # : . 
RE a 
| ( V 4 mit \ “es — DE E sin(« sr 1) 4, 
\ 2 VE 
3 D 
Her er), | es arc ang >; 


et, par suite, les formules (20) deviendront 


es 


té tD0SS DEA) 














st Se EE i Aæ, 
TC a — 
| DA (RER): 
{ 22 ) be ) 2 74 ù d ( 
21(a+1 CS SINSZSIN(Z Er)/ 
Ce NRA ONE EE , Dre ; 
Cine = _. dx. 
\ e 0) ( A? + x° ) - 
On a de plus 
eCr+x y=i )s LE Q(k-x 1 )s etat i)s  Q(r-x y i)s 
es COSsx — ; es sin sx — a ; 
de Ai 


et, par suite, 
ex+x V1) Cek+x JET os Me e&- Ty ik (ek-x TEE 7 


2 





A (C0 ou) — ) 
el k+x 1 )s Cek+x ÿ—1 l tu DE et k+x 1 1 (ok x 1 He 
ACER SInr) — ee Re 
2/— 1 





53% MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 
Si dans ces dernières équations on change les exponentielles 1magt- 
naires en sinus et cosinus, et si lon fait, pour abréger, 
EF COSE 1 A COSV, ek sinx = usinp, 
on (rouvera 


der COSST) — ens ut cos(sær dés mwv), 
(25) , 
| An(ess sinsxr) — eXsu" sin(sæx + ms), 


uw ete étant déterminés par Les équations 


L 
u—(e#—2ekcosx +1), 6 — arc tang — 
COST — €” 


Sin x 








k° 


Cela posé, st Fon prend la différence finite des deux membres de chacune 


des équations (22), on obtiendra les formules suivantes 

















. mn 
26 T(a +1) (e#—— 2ek cost +1? cos(a +1)Ecos(sr + mv) 
ni  — : dx, 
T CO ; 
| . (k+ x?) ? 
{ 
f 72 22] 
. 2ek5T(a+i) (e#— 2e cosx +1)? sin(a+i)esin(sx + me) 
A ça — dx, 
T a+ ? 
| » > » HAE 
2/0 { AE re 


dans lesquelles les valeurs de £et de 6e sont déterminées par les deux 


équations 


V6 
Lac Ang y 


D AC de ©) 
ë COST eus 


| 
| sin 


St l’on ajoute entre elles les équations (24), on obtiendra la suivante 





fe © m 
>kS T{ AS à (e2k# —_2ek rar ND en he 
e a —+—I e 26" COST +I)" COS(ST + m6 a+it 
(30) As nn : Lee 
LE (nd 
A (4? = x? ) ? 


Les équations (24) et (26) sont générales et subsistent’ quelles que 


RELATIVES À LA THÉORIE DES. INTÉGRALES, ETC. 533 
soient les valeurs respectives des quantités met a..On peut même 
remarquer que les seconds membres de ces équations renferment une 
‘constante désignée par £, dont la valeur peut être choisie arbitraire- 
ment. Ainsi lé trois équations dont il s’agit donnent le moven de 
résoudre, d'une infinité de manières, la question proposée. 

Pour que l'on puisse déterminer facilement par approximation les 
valeurs des intégrales définies comprises dans les seconds membres 
des équations (24) et (26), il est nécessaire d'attribuer à £ une valeur 
positive qui diffère sensiblement de zéro. En effet, si l'on supposart 
Æ très petit, alors, pour de très petites valeurs de æ, la fonction ren- 
fermée sous le signe e dans chacune des intégrales dont il s'agit, 
obtiendrait généralement une valeur très considérable: et, quoique. 
pour des valeurs constantes de æ, celles de la fonction deviennent 
alternativement positives où négatives, néanmoins, comme ces der- 
nières ne se détruisent pas mutuellement, on serait obligé de calculer 
les premiers éléments de chaque intégrale avec une extrème précision. 


On doit toutefois excepter le cas où l'on suppose 
Med: 


car dans cette hypothèse la fonction 


71 


(eh — 26% cosx +1)! 





LE pa 


(A+) 2 


devient elle-même fort pette, pour des valeurs de 4 et de æ peu diffé- 
rentes de zéro. 

On peut mème, lorsque @ Surpasse 72, supposer dans les équa- 
tions (24) et (26) # tout à fait nul. On a dans cette dernière hypothèse 











ni : T 
. do 21 sin” 
(e#— 2ek cosx +1)? 2 
mue More RorEn ere 
1 1.9 9 FE k 
CR 
à TE T+T 
ne V——arctang|(cot-x) — ; 
2 | NE 2 


536 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


et, par suite, les équations (24) se réduisent à 




















| Ce 2$5+m M 
| 2+1T(a+i)cos T SAR CONS z+Tr) ; 
AN ça — : : L L s dx, 
aétt TT 
| 0 . | 
Gr Aæ 
ne ns à à 
am#1T(a+i)sin T sin”"= x Sin — + -T 
Ant ça — 2 : : “ dx 
| auri T 


Û 


Comme dans les équations précédentes les intégrales relatives à la 





variable æ sont prises entre les limites æ = 0, æ =, on peut, sans 
nul inconvénient, y changer æ en 2x. De plus, 72 étant un nombre 
entier, chacun des produits 


D ET DE 72 TH 
COS Tr COS PP on nr A0 1 
2 > + 











2 


OI : fa mn ) 


est nécessairement égal à l'un des deux suivants 








A + mn 2$ + M 
— SIN — Tr COS — el: 
‘ 
EUR 7 Se rm 2 
—— Æ, 


CD D 0 
2 


Il est aisé d'en conclure que les équations (27), obtenues par la 
seconde méthode, sont identiques avec les formules (15) obtenues 
par la première; ce qui confirme l’exactitüde de nos calculs. 
Dans les équations (24) et (26) on doit toujours prendre pour 4 Le 
: : DA : : : 
plus petit des ares qui ont pour tangente ++ où celui qui devient nul 


quand on suppose æ == 0; et en effet l'équation 





Ve RS fe ' En —(a+i) 
( a D cK+aæv 1) — pe sin (a ut 


ET ! M 
donne, dans cette hypothèse, 
sin(&+i1){ = 0 


quel que soit «&. et par conséquent 4 == 0. Quant à l'are v, il peut être 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 537 
choist arbitrairement parmi tous ceux qui ont pour tangente 


Sin 


COS D Ce. 





car, m étant un nombre entier, tous ces arcs donnent la même valeur 


pour chacune des quantités 


COS(ST + mv), SIN (sæ + mv) 
Corollaire 1. — Les intégrales définies, dans lesquelles nous avons 


transformé par les méthodes précédentes la différence A"5*, sont toutes 
prises entre les limites += 0, æ =. Mais, comme leurs éléments 
décroissent rapidement à mesure que æ augmente, on peut leur 
appliquer la méthode des quadratures. On peut aussi, pour rendre 
cette application plus facile, les transformer d'abord par a substi- 


tution 


+ 


en de nouvelles intégrales qui soient prises entre les limites z — 0, 


Scolie. — Dans les calculs précédents nous avons toujours supposé 
que s était une quantité positive; et cette condition était nécessaire, du 
moins en général, pour que la différence finie 4”s° fût réelle. Lorsque 
s devient négative, la même différence se compose d’une partie réelle 
et d’une partie imaginaire. Mais alors on peut essayer de représenter 
chacune de ces parties par une intégrale définie. Tel est l'objet du para- 


graphe suivant. 


S IE — Sur la transformation de la différence finie A"s° en intégrales 
: « . « a 
définies, a étant un nombre positif, et sun nombre négatif 


pris & volonté. 


Dans la question qui nous occupe, 1l est nécessaire de distinguer 
C 
deux cas différents, suivant que #7 est inférieur ou supérieur au 
nombre positif — s que nous désignerons par s’. 


OFuvresde C = SIL 1 | GS 


538 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 
Si d’abord on suppose 
He 


on substituera sous la caractéristique des différences finies la quantité 


positive s — 77 à la quantité négative s par le moyen de l'équation 





Ann ça —- (— “à ra A’! (s' ht Je 


où le signe A se rapporte dans le premier membre à la variable s, et 
dans le second à la variable s. On transformera ensuite, par les 
méthodes du paragraphe précédent, la différence finie 4"(s°— m)" en 
intégrale définie. 

Si l’on suppose au Contraire 


! 
FILS A, 


la différence finie 4”s* renfermera deux espèces de termes. Dans les 
uns la quantité élevée à la puissance a sera positive; dans les autres 
elle sera négative. La somme des premiers sera 

mi m(ni—1), 


Con — SE Cm — Si ——— (rs — 2) —.., 


a 1.2 Eu 


la série étant continuée jusqu'au dernier des termes où la quantité 
affectée de Pexposant « reste positive. La somme des autres termes 
SeTA 4 

(— 1) [se . (+ m(m—1) 


(s'— 2) —.. + 


RO 
la nouvelle série étant assujettie à la même condition que la précé- 


dente. Si donc on représente la somme des premiers par 
An ss 
la somme des autres se trouvera naturellement représentée par 


(— A EE A; ; 
et Pon aura par suite 


Ant ça — ve. He De MA 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 539 
Cela posé, pour obtenir en intégrales définies la valeur de A”5%, il sut- 
ira évidemment de déterminer par de semblables intégrales la valeur 
de A, et celle de A;. On y parvient de la manière suivante. 

Les équations (20), que nous avons considérées ci-dessus ($ I), 
supposaient la quantité s positive. Si dans ces mêmes équations on 


change s en r, et si l’on fait, pour abréger, 


(4 np ph (ke 0 me 








a ee Xi, 
CENT AR ea ee orne X 
—— nb) 
2V/—1 
on en conclura facilement 
(28) ( (Xiekr cosrx + X.eËr sin rr) d@ — = pa, 
(a+) 


r étant positif. 


Au contraire, Si l'on suppose 7 négatif et égal à — 7°, on trouvera 


7? & NT 


7 pe pe *& HAT T b a 
[l Mie COS re Ge =. er iM | Xiek"cosr'z dr — > 7reg-tkr, 
0 _? L(a +1) 
DE 4 f/aX A 
PU TRE Dr Ai Te . 
Î Xe SNrradr 6e | A A D hr dt 
NA cÈ l'(a+ 1) Fo 


et l’on aura par suite 


(29) J 


0 


“ 
22 


(Xe cosrx + X,ek' sinrx) dx — 0. 
Soient maintenant 7 ets’ deux nombres positifs dont le plus petit 
soit s’; en faisant successivement, dans l'équation (28), 
r=m—Ss!, r=mMm—Ss —1, 


et, dans l'équation (29) 


940 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


on obtiendra les formules suivantes 


re : en - T 
EX ektm—s) cos(in — s'}æ + X.ek(m—s) sin(m -— s'}x] dx = = (m'—s'}2 
JÈE 16 ( ; Jet hs ( } ] Dee 1e 





Pare cos(m—s —;1)r+ X2ef(m—s 1 sin(m—s —1)x] dr — (NE (mm —s'— 1}, 


F(a+i 


A Xekti=s) cos(1 — s')æx + X,efktt=s) sin(1 — s')x] dx — 0, 


e/ 


J\ Ne cos me sins #)ar- 0. 
SL Pon multiplie respectivement les deux membres de la première 


, À . m 
équation par 1, les deux membres de la deuxième par — —; ceux de 


_—. mit —:1) re Re ; 
la troisième par op ete., cten général ceux de la ie équation 


par le coefficient de x! dans le développement du bmome (1 — +)"; 
on trouvera, en ajoutant toutes les équations entre elles, et remplacant 
CR PT 


Pa: 


[X, An(eñs cossæ) + X, A"(eñs sinsx)] dx 


0 
T >: m. : F 
Z -———— M+S)— —(mnm+<s—if+.. . |= ————— A 55 
| ) . ) | L(a +1) nm—« 


d’où l’on conclura 


.. F(a+i) F4 : 1. : 
(RTE seen [ [X, Ares cossxz) + X, A"(efs sinsæx)] dx. 

id. V0 
Si dans le second membre de cette équation on substitue, au lieu des 
fonctions X,, X,, A"(e“ cossæ), A*(e"sinsæ), leurs valeurs données 
par les équations (21) et (23), et si l’on remplace s par — s, on aura 


ax Le 








es T(a+i) (e2k— 2ek cosx +1)? cos[me—s'xæ —(a+i)t 
(31) Am—s — = = ati on 
PC CR 0 D 


les valeurs de £ et de + étant toujours déterminées par les équations 


ZT 
L=AEC We ) 


ire tan Us 
p = arc tan g ———— : 
Ocosxz — e-k 





RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 541 


Si dans l'équation (31) on change s'en 72 — s', on trouvera 








Ta © nm 
ektm—s) T(a+s) (e2*— 2ek cosx +1)? cos[me—(m—s)x—(a+i)t] 
Da hr = — — dx. 
T | 2 a Fac 
0 (A+ He) 4 


Les valeurs négatives de A; et de A, étant déterminées par les for- 
mules (31) et (32), on obtiendra la valeur cherchée de 4”s*, pour le 


\ # ° / \ / « 97 « 
cas où s est négatif et égal à — s’, au moyen de l'équation 


. 


ee) A’ ça — Ai 2 (— FA A À se 


Corollaire 1. — Les intégrales définies, qui font partie des seconds 
membres des équations (37) et (32), renferment une constante posi- 
tive #, dont la valeur est tout à fait indéterminée. Néanmoins, pour 
que l’on puisse facilement obtenir des valeurs approchées de ces inté- 
rales, il est nécessaire, dans le cas où & surpasse 2, d'attribuer à 
cette constante une valeur sensible. Cette nécessité est suffisamment 
établie par les raisons que nous avons déjà exposées ci-dessus ($ IP): 


On n'est plus assujetti à la même condition dans le cas où Pon suppose 
(SONT 


et, dans cette dernière hypothèse, on peut donner à # des valeurs très 


petites, et même, si l’on veut, faire 


k ee 1(Oe 
On trouve alors 


et, par suite, les équations (31) et(32)se réduisent à 








AR [ mm — as! > 
sin SE COS LE PE D EE ue r) 
22 T(a +1) nu na È 3 e 
A MS pa En “ = dx, 
/ . et ; 
(54) 
pa I ÉD ne ARE ID Set 
SIN L COS | ——— 2 — 17 
: oMT(a+i) 2 2 2 
À = ———— ——— = | dx, 
| T VU ACL 


_0 


542 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


Corollaire II. — Si, au lieu de supposer dans les équations (34) 
, , l . , 1 
S'= — 5, ON Y SUPPOSE $ = 727 —S$, et si l’on fait en outre, confor- 


mément aux notations adoptées dans la première Partie de ce Mé- 


moire (SH, exemples VIT et VIT), 


{ S = (m+asye— L(m j 25 — 2) + nt ee (, PRET 
| Sa î | Kim qu ‘10 ..) 
Co 
nm m(m —1) 
| lo,=(m—92s)t— —(m—2s—92)+ Eee PTE à 
\ 1 2 


en excluant de chaque série les termes qui renfermeraient des puis- 
sances de quantités négatives, on trouvera 


I . 
ot se 


EE 
Ans = 24 Da A — ou 


Cela posé, st dans Les seconds membres des équations (34) on change 
x en 2, ces mêmes équations prendront la forme suivante 


fe 


; TE 
| _ SIDACOS NS TE (D 7 LT) 
s QUE Dee | ( 2 | 
D — = EE dx, 
Ve AR 








1. / 
e/4 


PAL. 





: SIDA COS ON EU 772 PI 
|. RANCE) [ , E 
CF Are xd Es 


= dx. 








F GE Ad 
0 


Les valeurs précédentes de $, et de T, coincident parfaitement avec 
celles que lon obtiendrait par la combinaison des formules (+) et (x’) 
(Partie, 
ment celle 


S IF). On peut de ces mêmes valeurs déduire immédiate- 
de 


la différence finie 4”*(25 — nm), au moyen de l'équation 
(37) A"(2s— m)'—=S,+(—i) tn, 


L'analyse qui vient de nous conduire aux formules (34), (35) et (36), 
fait voir en même temps que dans ces formules s est une quantité 


positive assujettie à la seule condition 


UL 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 543 
Si dans la première des équations (36) on suppose » égal au plus 
grand nombre entier compris dans a +7, on obtiendra la formule que 


M. Laplace à désignée par la lettre (p) dans le premier Livre du Cateul 
des probabilités (n° 42, p. 168) (! ne 


Corollaire 111. — Toutes les intégrales définies que nous avons con- 
sidérées dans ce paragraphe sont prises entre les limites +0, x=-# 
On peut appliquer à ces intégrales, comme à celles que nous avons 
considérées dans les paragraphes précédents, la méthode des quadra- 


tures, et rendre cette application plus facile par la substitution préli- 


4) 


Considerations générales sur les intégrales qui deviennent unfinies 


minaire 


pour de très petites valeurs de la variable. 


Soit P une fonction quelconque de la variable +, qui ne s’évanouisse 
pas avec æ. Soit de plus & un nombre positif quelconque. L'intégrale 


Rte 


Li M 


0 


prise entre les limites & — 0, x = x,, aura nécessairement une valeur 
infinie. Mais si l'on désigne par À le plus grand nombre entier compris 


dans a, et par 


X=c+ar+or +,..+ar 


© 
sr 


les premiers termes du développement de P suivant les puissances as- 


cendantes de x, l’ intégrale 
LE ue, à 
5) . dx 
\ ; Carl 

de 


obtiendra en général une valeur finie; et, de plus, on reconnaitra faci- 


(1) OEuvres de Laplace, 1. VIE p. 171. 





& 


544 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


lement que le seul moyen de rendre finie l'intégrale (3), en prenant 
pour X une fonction rationnelle et entière de la variable æ, est de sup- 
poser X déterminée par l’équation (2). La fonction rationnelle X et, 


par suite, l'intégrale (3) dépendent done uniquement de la fonction 


P | 
à _—_——— 0 ) na fi 5 * 1 Ù AG Jr ? ré as I N n | : € Qr 
donnée =: Pour abréger, je désignerai cette dernière intégrale pa 


: »/ , . P , 
le signe [ placé devant le produit — dx; en sorte qu'on aura 
ec) ; LA +1 


US :) up 
(4) | — dr — [ a de 
pe LIT Jo LA 
Fa FE 
. : ; *P dx Nr ‘P dx 
. ” + N ) - A 0 à + à L à à c À SET 
Ainsi, tandis que l’intégralc [ a CSt infinie, l'intégrale pare 


CA) 0 
aura en général une valeur finie, déterminée par la formule (4). On 


peut encore obtenir cette valeur ent cherchant d’abord l'intégrale 


| nee prise entre les Nimites x = &, x = x, (a étant une quantité très 
petite), ordonnant cette intégrale Suivant les puissances ascendantes 
de z, ét supposant dans le développement la quantité x nulle, après 
avoir supprimé les termes affectés de puissances négatives de cette 
même quantité. Nous voici donc conduits à considérer une nouvelle 
espèce d'intégrales donton ne s'était pas encore occupé d'une manière 
spéciale. Je désignerai ces sortes d’intégrales et les opérations qui S'y 
rapportent sous le nom d'extraordinaires. Au reste, les intégrales dont 
il s’agit sont soumises aux mêmes lois que les intégrales ordinaires. 
Ainsi, par exemple, si l'on a deux intégrations successives à effectuer, 
l'une ordinaire relative à la variable æ, l’autre extraordinaire relative à 
la variable 3, on pourra commencer indifféremment par lune ou l'autre 
des deux intégrations dont il s'agit; et dans les deux cas on obtiendra 
généralement les mêmes résultats. De même, on peut appliquer à la 
détermination des intégrales définies extraordinaires les procédés que 
nous avons employés pour déterminer les intégrales ordinaires. Sou- 
vent, à l’aide de ces procédés, on parvient à transformer lune dans 


l’autre les deux espèces d’intégrales dont il s’agit, et Pon déduit 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 545 


quelquefois de ces transformations des résultats dignes de remarque. 


Éclaircissons tout ceci par quelques exemples. 


PROBLÈME |. — Déterminer la valeur de l intégrale extraordinaire 


Jœ eh 
(3) À — lé ee dæ, 


0 


Solution. — Soit À le plüs grand nombre entier compris dans «. Si 


l'on diflérentie À + 7 fois par rapport à 4 l'équation Co) Gi tu 


OXH1 À ; fe e—kx 
ee pet — F5 Eee 


Jfrx+1 au} 








“0 


D'ailleurs, le plus grand nombre entier compris dans & — À étant zéro, 


Rx x 
si lon détermine l'intégrale extraordinaire / de à laid de 
> at} 


l'équation (4), on trouvera X — o et, par suite, 


PAL EN Es fe +h cl 


On aura donc 


. ou uT(i+Ài— a) 
(6) A 





Si l'on intègre À + 1 fois cette dernière équation par rapport à #, en 


déterminant convenablement les constantes arbitraires, on trouvera 


de Ne à 
_ (ÀÂ—a)}(Âi—a—1)...(—a) 


pa 





KG kaT(— a). 
On a donc en général 


aari 


1/2 4x 
(7) |  - kaT(— a). 


0 


Corollaire 1. — Soit # = 1, on aura simplement 


; 2/% ex , è 
(8) / Ta dx =T(— a). 


OPubres de C = SALE 69 


> #6 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


Si dans cette dernière équation on change «a en — &, on retrouvera la 


formule connue 


LE 2 


at ie-t dx —T(a). 


0 
Corollaire 11. — Si dans l'équation (5) on fait £—5, et que l'on 
nn T 
remplace FC— a) par > on aura 





l(a+i)sin(a +i1)r 


ç4 _ 








_ F(a+isin(a +1)z be pe 


VE ee 
T 0 T 


Si Fon prend la différence finie mime de chacun des membres de cette 


dernière équation relativement à s, on trouvera 


(9 ) An SE 








T(a+i)sin(a +1)r [” est (ex — j}" 7 


Pr 


1 x“ +1 


} 
nl) 


Lorsqu'on suppose a mn, l'équation précédente coincide avec la for- 


mule (47) de M, Laplace. 


\i 





PROBLÈME I. -- Déterminer les valeurs des utégrales extraordinaires 
e LTÉE RS Es 
; e COS=ET 
| be [l Honnnner he 
xt Ti 
v 0 
(10) ’ ; 
, DD er REIN ST 
junte 
AATFi 
+ 0 


Solution. — Si Von différentie À + 1 fois par rapport à # chacune des 
équations (10), À étant le plus grand nombre entier compris dans «, 
on {trouvera 


218 ; V2 p-KX cos 3x 
a | — do 
Q 


JkX+ du d 
À+10 12 kr cinzr 
Pot AR de 
: (1) dx ; 
dérri A ætÀ 
{ 


DUSCE qui revient au même, 








Ji É oo ee, ii ame a—)—1 
D 


dkrri in a 

#2 CT Va==t  f ? . - PT Nu) 
}/1+1 ri LL St \ 2 _ V 1) PARA —- a) 
ee 2V—1 








RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 547 
En intégrant ces dernières équations À + 1 fois de suite par rapport 
à #, et déterminant convenablement les constantes arbitraires, on 


{rouvera 





{ue D + (A+ av) T(— a), 


2 


(11) LT“ | Fe 1 ren (12 
PACEC EDGE ED En 


2V—1 





Corollaire.-- Sidans l'équation (11)on chan geæensetsenæ,onaura 








CCR Vs ht r an) . Ü PE e-#3 cosxs 7e 
a Fn r' 5 a) de -a+i AS, 
We} 2 | 
Che SU Ce 1e e "Es sinæz ’ 
D — LS PRE eme (Ue 
VE La) sn 


Li] 
D'ailleurs, si l'on fait 


VA 
= Arc ane Fe? 


les premiers membres des équations (12) deviendront respectivement 
| . 


« 
(A+ x°)? cos at, 
« 


0 2) su, 


T 


el comme, en supposant £ — 0, on trouve {= =, les équations (12) 
se réduiront, dans cette hypothèse, à 


* _ nl 








CET I COSTS 
HACOS.. En — dz, 
2 Le Sr. 
(13) À CET 
| dE 1 1 Sins ’ 
’ ES — dx. 
2 Fear ra 
. + | F(a+i)sin(a +i)r 
Si dans ces dernières on remplace F(— &) par . EN —; on 


en déduira facilement les deux formules suivantes 








548 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 





Là 
PROBLÈME HIT. — Determuner le rapport des deux intégrales 
. k aT 
D | xte** cos (= — ka) LE, 
ne V9 ra 
(15 ee se 
, 3. Æ er 1 ÈS = ke rs zx. Ex ’ 74 
| E — [ \ 4 ” CA \ Fo dx. 


{ CA 


Solution. — Pour résoudre le problème proposé, il suffit de trans- 
former les deux intégrales ordinaires D et E en intégrales extraordi- 
naires. On à d’abord 


AL 


LE 
a Sn OT. 
D = 100: . Cos2k x de+ | x“ sin— sin2 {x dx. 
‘ » 
0 fe 0 





e/ 


Si dans cette équation on substitue pour 


ps 


re cos 2 T el ra sin 7 
2 COS— é 


leurs valeurs données par les formules (13), on trouvera 





Z étant une fonction de z déterminée par l'équation 


2 © * 
F [l e = cos2 4x cos5x dr — ' e **sin2 kæsinzx dx 


2 0 T0 


az 


1 . 


: N Tr? (+55) 
= e*"cos(24+z)xz dx = —e es 
2 
0 


On aura donc par suite 


+. | no : 
nee e à 

6 D 1É de 0 
(1 ) 2h a)’, za+i d 


Considérons, en second lieu, l'intégrale E. Si dans cette dernière on 


substitue à 
CR) CN 
: 





RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC 


549 
sa valeur tirée de la première des équations (12), on trouvera 


. I "Le az 


T(— a), ; ati ? 


LA 


L' étant une fonction de 3 déterminée par l'équation 


; % rm? -+ 
Ds e-**cosxz dx — —e #*, 
0 2 

On aura donc enfin 


A 
T° e 
17 E= —— — ———— d3. 
(7) D 2. 


Si maintenant on compare entre elles les équations (16) et (13), on 
obtiendra ce résultat remarquable 


19|— 


A8) D 


On a donc en général 


LE at 
| at e— COS _ Er 2kæ) dx 





0 
(19) —. 
D 
— .. ( \ ) , ( V ) Fr dx. 
1 0 . 2 . 
Corollaire. — Si dans l'équation (19) on suppose & — À, À étant un 
nombre entier, on aura 


À 


wl> 


cos( 2h) = (— 1) 


st À est un nombre pair, ct 


Ccos2kx 


/ À: 
ar am 
cos (TE —akæ)=(—1) ? sin2kx 


dans le cas contraire. Si dans la même hypothèse on développe le 


second membre de l'équation (18), et si l'on y remplace généralement 





LE 
1.3...(27 —1: 
| Te re par }, 


at 
V0 2 


590 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


on obtiendra les formules suivantes : 


























1° Si est un nombre pair, 
À 
DE ART a S\ / 
| -T’'e AA 1 I A(ÀA—1)(À—2)(À —3) : 
l me D COLLE (| = + Lie a 
1 2 : 1 (24)? 
Ho 
2° Si À est un nombre impair, 
À 1 
3% A1 CAEN = s . ; € 
des — T° e : A(À—1:1 J CA —1)(À —2)(À — 3 l 
| EU DRE 1). KT I — Lee) —— + de X 
oe 1 (24)° La (24)* 
Propcème IV. — Déterminer la valeur de l'intégrale extraordinaire 
72120 a+ ; 
Rd cos( F + 2h) dx 
ns 
F _ Z ai 


(21) 


0 


Solution. -- Si dans l'équation (21) on remplace 


LES 


x D) 1. 
Co par . | coute, 
0; ce 0 
le 
on trouvera 
à DORE RES 
(aa) F — — Les d,, 
«< 
T° 0 


Z, étant une fonction de z déterminée par Féquation 











2 


éd Gien : GE 
/ cos[ +a(k+se| + cos ; 
7. » ; 10 


°/0 


D'ailleurs, en vertu des équations (14), on a, quelle que soit la valeur 


de z, pourvu seulement que cette valeur soit positive, 


falæ = 
/ (A En 
cos| x + 2(k + s)æ | 


at! 


HT ==0. 





/0 
En vertu des mêmes équations on a, pour des valeurs de z infé- 


rieures à #, 





te Ghaet | ! : 
COS r+2(k — z:)x 
: ) 
æautri dx E 0, 





0 


4} |: 


|: 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 331 


ct, pour des valeurs de z supérieures à #, 





Ca+i ; 
COS| —— 7 —92(2: — bel 
2 Tr | 
ar AL = ———— (95 -—2kY, 
4 æœt+i E (a es 1) ) 


Par suite la fonction de z représentée par Z sera toujours nulle entre 
lès limites z — 0, : —#; mais, entre les limites 4 — #, 3 — +, elle 
sera représentée par 

1e 


statu) ( 23 — : k À 


Cela posé, l'équation (22) deviendra 


v 2 Liu 


Application de la théorie précédente & la détermination de la différence 
fone A"st3 s étant négalif et im, et les nombres « et mn étant trés 


considérables, mais peu differents l'un de l’autre. 


Dans le cas dont il s'agit, la différence finie 45% renfermera deux 
espèces de termes. Dans les uns les quantités élevées à la puissance & 
seront positives; dans les autres ces mêmes quantités seront négatives. 
Soit, pour plus de commodité, s = — s', en sorte que s’ représente une 


quantité positive: et faisons en outre 


UT IM(IMm —1), 
| “ (nm — s"—1)4+ _— D CR ne 
(24) 4 
| m2 HER tis 
Ag SE — (St — ME "(5 ge, ,,, 
| 1 12 


en excluant de chaque série les puissances de quantités négatives. On 


aura 
(23 ) Ant ça — À HE Re (— (A Sa À + 


Ainsi, pour obtenir la valeur de 4°”54, il suffira de déterminer séparé- 


00 MEMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 

ment chacune des quantités À,,_+, A3; et comme on peut déduire la 
seconde de Ta première par le simple changement de s'en 72 — s', toute 
la difficulté se trouvera réduite à la détermination de la série désignée 
par À, On peut d'abord transformer cette série en intégrale définie 
de fa manière suivante : 


Si l'on suppose successivement dans la seconde des équations (14) 


L=M—-S,.. L—=mM—S —\1, PIRE 


et dans la première 


et si Pon v remplace ensuite la variable + par æ, on trouvera 














la 
S Ca +1 ; ax 4 : 
COS Ce 0 er = —> (mn — s'y}, 
Cr 2 = TT Ï (a SE 1) 
por : 
a+ I CH T 
COS — R—(m—s—i)x | = = —(m—s — 1}, 
rs un UE V(a+i1) 
A ; 
/ = 
a+ . . dr 
COST ——rT+(s —1)x| —— —0o, 
2 ; x“* 1 
VA es : 
te lai , dx 
COST ——— Tr +s x | — = 0 
; at+ri 
LE 0 / 


St lon multiplie respectivement ces diverses équations par les 
coefficients du binome (i— æ)", si on les ajoute ensuite, et si l’on 
remplace dans les premiers membres s° par —s, on obtiendra la 


formule 


+ / oo 
4 Rap 
A"! cos( TE Ta sx) dx 


pm 


(ma — $ — 2) —..| _— Las Aie 


pes 


T ; m PCT 1 
— NES | (m—s")t— ei (m—s —1)+ ARS 


On a d’ailleurs 





Ce Aa D . a. Ar mn 
An cos( +! FT —sx | D SN Er COST ee Le 
} 2 \ 2 ‘ 


\ cs 7 


\ 
/ 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 553 


Cela posé, la formule obtenue donnera 
* 2 se Li) f HR no dx 
(26) As = ———— sin! POS nt le sa) 

2 2 TX 


Si dans cette dernière équation l'on suppose a <{m, l'intégrale extra- 
ordinaire qu'elle renferme se changera en intégrale ordinaire. et l'on 
retrouvera évidemment la première des équations (34) de la page 247. 

Il nous reste maintenant à déduire de léquation (26) la valeur 
approchée de A,,.-, dans le cas où a et mn sont de très grands nombres 
peu différents l'un de l'autre. Nous supposerons de plus dans cette 
recherche que 2s°— m est de l'ordre de V2, et nous ferons en con- 
séquence 


+ 
(2%) HS NN. 


/ 
Cela posé, si, dans l'équation (26), on change + en 2+, cette équation 
deviendra 
om—al Ç Aie 0) ns 770 tn 


(28) Ans = ——— — à ee cos | ee T+m x 


et comme on a d’ailleurs 


m / 


Li RE mx 
SIN == TAC Ces ee Hs 


on {trouvera encore 














PL NOTES ES DIT mat x ESS 1 
A ms = = | DES rente COST ——— x +rmx)— 
Te A 100 È 2 
; 2 
Si dans cette dernière formule on change æ en x, on obtiendra la 
m°? 
suivante 
1e F(a+i:) dés a—m—I : dx 
ep Wear [l Cr cos( — r+6*rxr Rae 
6 —— J, 2 da hi+ 
A2 
« DE 
(30) ! < (à) : 
! # He a— mm —3 L da 
— x— et COs| — r+6°7 
J In À LIN —S 
[t 
OEuvres de C. — S. I, t. L. 40 


AIRE 


TL + en 


554 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 
La série renfermée dans le second membre de l'équation précé- 
dente, étant ordonnée suivant les puissances ascendantes de Fr SCA 


trés convergente, si zx est un très grand nombre; et, par suite, il 


suffira, dans ce cas, pour déterminer la valeur approchée de A; de 


calculer un petit nombre d'intégrales de la forme 


ro 14 1 \ dx 
| 2 C0: fr + 6 r& | 
T'F 


ü 





V0 = / 


Æ étant un nombre positif. Lorsque dans cette dernière intégrale on 
adopte le signe supérieur relativement à #, elle devient ordinaire et 


se réduit à 





Lorsqu'on adopte le signe inférieur, elle reste extraordinaire. Mais, 
dans ce cas, on peut, au moyen du problème IV, la transformer en 


intégrale ordinaire, et lon trouve alors 


na 





/> /: = 1 À ee QE 1 PE 
| + 1 : dx T : : 
. Let cos (eu 07 re) a ; . We — 6° 2 eds. 
: 2 "ch F(Æ +1), 


G)7 


D'ailleurs, en supposant l'intégrale relative à 2° prise entre les 


| 


limites z°— 0, = — (2) F0 4 


101 


P . . ne ñ ; és L . : de 
ar suite, si lon fait, pour pour plus de commodité, 3° — 5) 4 on 





RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 555 
trouvera 
x K—H 1 dx 
ne ere cos x + 6? ea ni: 
2 ce 
0 
(32) « “ He 73 LE hr .: j 
he | ei e** dx — () wf (u—rjfe ? du. 
(A +1) 29 2 0 : 
Corollare I. — Comme on a en général 


gt 


25 ' — m = rm? 
on trouvera par suite 
ed 
di, — d | M — rm ) A 


m(m—1) rss | 
+ — m— rm —{4) —... |. 
1,5 





Cela posé, si l'on fait, pour abréger, 


‘ à 1 \ d: 
es . f be cos( Fr + 6° ræ) LE = ee N. 
mu : RE 


0 \ 


la formule (30) deviendra 





12 


{ 2h Dr . 4  m(m—1) L . 
D Pl DU 
I 





2/ En 
(34) { Lx Monnet à à 
D I à 
| == ( (ne Rd Mons + “. ) 
mn 2 


Dans cette formule on suppose les puissances de quantités né égatives 
exclues de la sérié 


19 





2 1 #4 m(m— -1) a 
M—rMm ) ——\m—rm—92) + — on me 
I ro 


Corollare I. — Si l'on veut appliquer la formule (34) aux diverses 


hypothèses dans lesquelles & est un nombre entier, il suffira de calculer 


996 


les diverses valeurs de M, qui correspondent à des valeurs entières 
positives où négatives de l'indice x. On v parvient aisément au moyen 


des formules (31) et (32). En faisant successivement dans ces for- 


nules 
bare nm 


on {trouvera 


ë 
Î 


M 


M 








= 
(SE) 
(SL 
LA 


M — 


M, == 





‘MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


SE 14 
== D; ue LL 


in 3 


ne u 
S (5—10r7?+ 5r*), 
G 


TR 
D 

A | ee 

= 
di. 

1 — 
& 
WI 





9 e 
o a Ur RTE Dis 
re (1—6r?+ 537), 
ST? 
+ 
5 mon ») 
—(— je? —(1—7r?), 
27, 4 
3 
L EU Ds 
ee (iso), 
T° 


is 


ve 





1 1 
2 2 / 9 el 5 HA 
[3 \? —-5r 1+ 37° 6\? f: = 
— [— |e r + . 1 (= oo DT, 
2T 2 r/ - 


37° 0 
* 
; _ LÀ hr 
NT ere 1 6r2+ 374 PONT A de 
ne A ne 
2T 6 4 Moore 





! 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 


© 
© 
—{ 


Exemple 1. — Soit «a = m — 2. La formule (34) donnera 


pt - m m—2 
Le He: — ne — 9 +. 
J 


D 2 2 0 
28 3 ee 
J RSC TAETS TE RE , 
1 — pat.) = ( ) — € * r (5—107?+ sr) +. 
"0 5m 27) m 20m 


Exemple II. -- Soit a — m — 1. La formule (34) donnera 


{ A1 \mn—1 In + m—i1 
| 2 : 
Ua FI sr unes c/o di ee 
J 


D SR ES De 


| 





ne — 
_ 














1 


6? 


(37) (M — = M +...) ; 


= à 


3 NE 5 3 
=( =) e —— (1 67°+ 37) +.. 


201 


Exemple III. — Soit a = m. La formule (34) donnera 


1. 1\/mn 1 m 

/ : nm 9 

Ü om — 7m — — (IN — JM — 2 AR 
| 1 


909. 7101: 








(38) + ee 
om 


1 
/ | n S A 1° _. 3 ie = 
- (à) || ee a +. 
\2T : 20 M 
Exemple IV. — Soita = m no  !: formule (34) donnera 


| 1\mn+i m LL m+1 
| ] 2 
e =. nn) — — e a VD — : ao 
! 


D | = 
A 





30) a ee ) 
(39) == r (M Sa Mate. 


: r 3 ne : 3 ; 
. . S HAL CAE en 
mn à 0 nee LE : ee? dr+ —— + — CARRE ES 1 À 
à 27 À 3 6om 











10) 


( 


358 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


Exemple V. — Soit a = m + 2. La formule (34) donnera 


1\m+2 nt E m+2? 
2 2 # 
ÉMR ECS Lt PRESS EE ROUE 
: J 





(NE LS LE 0 le 


: 3 € ES 1 3 
3 2 r —2r? RETE 37? 6? _.. / I / 3 : — rt 
=m|-() 6e a e Re dre 
27: 12 Lo iom \2T/. 


Exemple VI. — Soit a = m +3. La formule (34%) donnera 


1\mn+s nt 1 m+3 
2 é ins 
12 2 man À À À } ) er Or = . THIS ne Hi. 
J 








RS PS CP es ES ad 





k 3 

| | | 1 rs 
r / à: . ° 3 2 e : 

3 ’ 3 \ 2 ne oi 7? eo ne 7 LEE ) : 6° è : ue dr ) I Ce 2 


Exemple VII. — Soita = m +4. — La formule (34) donnera 


1 \mn++ É 1 m4 
5 Im > 
LE meet D NE ; ne À A VIN 02 to 





4-4) ar 








m° \ 
= Sr (M — — M,+...) 
(OP J / 
a] 1 2 
à CD LC 7 
ZM — | — a 
. 210 
ü ; / Dh, à : 
1+ 67 + 37r* 6 PR Cu I 6? a. 
a NO e ? dr |— —— ln e 19 d'en D AE À 
120 + 10/7 
\ Ta e0 1. 


Si dans les équations (36), (33), (38) et (39) on change 7 en —7, 


on obtiendra les formules des p. 170 et191 du Calcul des probabilités ("). 


(1) Œuvres de Laplace, 1. VII, p. 173, 174. 


— 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 559 
Remarque. — On peut déduire aisément de l'équation (31) la valeur 
de M, toutes les fois que À est un nombre entier positif. Dans le 


même cas, la valeur de M, est donnée par la formule 


LE) 


M, = ——— ; nn da, 





3\° . 
l'intégrale étant prise entre les limites + — () r,= +, Onadailleurs 


entre ces mêmes limites 


et, par suite, si l'on fait 
M= =— 
on aura encore 


el 
Fe 2(À —— 2)N3_. — 6? AE NAT 


Cela posé, les valeurs générales de M; et de M, (À étant un nombre 


entier positif) se trouveront déterminées par les deux formules 























3 
Re . RE 

= 5 [(oi,) 29 (ot) ANG DODGE PT 

0 1 1.2 
| nt Le qi) ds À 4 

ne ù } (637) +|£ De ne Du 
re T() 
Le É HO 20-00) 2 1 ru 2) 
0 I 1 

{ ‘ - : Cl  — 


Re 





AN Vs es 
NC 


0 Pan 


2 











960 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 





Problème. — On demande la valeur approchée de la série 
m m(m—1), 
(1) Re D none dom PR RE ae RS 


de laquelle on suppose exclues les puissances des quantités négatives: 
a etm étant de très grands nombres supérieurs à s, etzx étantinférieur 


a 4: 


Solution. — Nous avons donné l'expression de la série (1) au moyen 
d'une intégrale définie qui renferme une constante arbitraire # dont 
on peut disposer à volonté. L'intégrale dontil s'agit est 


&E] 711 


(e2k — 2ek cosx +1)? 





— cos[(a+i)t+s'x — mv]dx, 


A (+ x?) 


tete étant déterminés par les deux équations 


SINT 








| VA 
| ti que Hour 


6 — arc tang 


\ cosæ — e7À 





I ne reste plus maintenant qu'à déterminer, au moins pour une 
valeur particulière de #, la valeur approchée de cette intégrale. 


Faisons, pour abréger, 





{ le 
(e2#— 2e cosx +1)? 
(4) | De Ce re u 
4 | (A2+ x?) ? 
| Q=(a+i)t+s x — mv; 


l'intégrale proposée deviendra 


èz 


(5) [l P cosQ dx. 


Ici la fonction sous le signe [est composée de deux facteurs, dont 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 561 
l’un, désigné par P, reste toujours positif, et dont lPautre, désigné 
par cosQ, est, pour des valeurs croissantes de x, alternativement po- 
sitif ct négatif. 

La fonction P a plusieurs maxima et minima qui correspondent aux 


diverses valeurs de æ déterminées par l'équation 














6) Sin æ  . a 
) mn es | 1) ————— : 
ef— 2costr+e k+ x? 
Le premier maximum correspond à æ—0o; et sa valeur que nous 
désignerons par M est 
ler I y 
(7) me . 
Pour chacun des autres maxima, la valeur de P peut se mettre sous 
la forme suivante 
mt m 
Hibs LE Sinete 
(8) p= (- - 
GATE DE ; Men 
(Rte). . 


toujours, abstraction faite du signe, 
I 
<e 12° 


sin æ - 
il TERRES 
j k?+ x? 


L 





il en résulte que chacune des valeurs de 





Lion (8) sera inférieure à 
Ur 
(ESS ) ss 
: «dt + I , fa? 
et, par suite, à 
kin 
Jen e? 
fa+i 


ga | LA P : LD : d, ® A 
En conséquence, la valeur de x; scra toujours inférieure à 


ki 
At à : k\m 


CN RU 
SP 


OfFuvres de CS ACT 


D'ailleurs, comme, pour une valeur de x différente de zéro, on a 


P déterminées par léqua- 


k on 
Here © 
On aura donc aussi 
PM, 


quelle que soit la valeur que l’on donne à +, pourvu que cette valeur 
ne soit pas nulle. Enfin æ = donne P — 0. Si donc on fait varier x 


entre les limites æ — 0, æ — =, la fonction P obtiendra une série de 





valeurs qui seront comprises entre les fimites extrêmes P = M, P = 0. 


ar suite, si l’on fait 

(9) P=- Me”, 

la valeur de z sera toujours réelle et comprise entre les limites : = 0, 
G = Se. 


Si l'on désigne par uv. une quantité du même ordre que mm et a, el si 


l'on fait, pour abréger, 














D [Rt N m \ 
. sr = U. 
2 fe ( ur Lave a 
= (C (a ) ul 
(10) AT 2 I MT mm B 
RER — : = —— Hi 
2) 2 &* ( de 54) Le AU 12 gts 
2 | e? Le 2 e? et. ; } 


on tirera de l'équation (9), après v avoir remis pour P sa valeur, 
(11) : st up(Az—Bz'+...), 


d’où l’on conclura par le retour des séries 











Le (+ ee 
CN Er "pee 0 
| Lu? 2 A? pu , 
(12) . 
' ; 
| GP n C+rinsr..)e 
Lu 2A°1 


RELATIVES A LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 563 
Pour des valeurs de z peu considérables, les séries renfermées dans 
les seconds membres des équations (12) seront très convergentes, au 
moins dans les premiers termes. D'ailleurs, pour de grandes valeurs 
de z, la valeur de P déterminée par l'équation (9) sera sensiblement 


nulle. On pourra donc, sans nul inconvénient, supposer, dans linté- 





gralc 
P cos Q dx, 
+ 1 ESP se Ne 
(13) Par. (lite+.)e ‘ds 





I nous reste à développer, s’il est possible, suivant [es puissances 
ascendantes de z,ct en une série qui soit convergente pour des valeurs 


de + peu considérables, la fonction désignée par 
cos Q. 


Pour qu’on puisse effectuer ce développement de manière à remplir 
les conditions exigées, z conservant d'ailleurs une valeur arbitraire, 
il est nécessaire que la fonction Q soit, pour des valeurs de 4 peu con- 


sidérables, une quantité fort petite. Or, st l'on fait, pour abréger, 











la valeur de Q, développée suivant les puissances ascendantes de x, 


96 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 
sera 
(15) Q=p(Cz +Dr+...); 


et, par suite, le premier terme du développement de Q suivant les 


puissances ascendantes de z sera 


| - 
+ 
wf— 
1 


it 


Ce premier terme aura donc, en général, une valeur très considé- 


| 1 
able, et sera de l'ordre de 1°, à moins que l’on ne détermine la con- 
stante arbitraire # de manière que C devienne une quantité très petite 


d'un ordre supérieur à celui de 


I 
= 
uè 

'armi les diverses manicres de remplir cette condition, nous choi- 
sirons la plus simple, qui consiste à faire 


Le 


ou, ce qui revient au même, à déterminer # par l'équation 





a +IJ mt 
(16) - à 
k 1— e7* 


On a, dans cette hypothèse, 


| Q=pDr+.. = —+..., 
(13) ne 
D? 
| Do 


La dernière des équations (15), jointe à l'équation (13), donne 








(18) Pos de i 


1 
A?u? 


et 3ABz— Da }ea: 
+ 2 A se Æe 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 


565 
On a d’ailleurs 
. I de D — - : Ho — 
h ea ne— : Vr, [ dés de — 7 VF, Ds TE VT 
0 0 V0 u 


On aura donc, par suite, 





sl he 
ds J ne  ( ah D 
Try 16 A 
0 2 A?pu? 


Si l'on substitue la valeur précédente de / PcosQ dx dans la valeur 


0 


de A. donnée par l'équation (3r) du Mémoire, et si l'on remplace 


F(a+i) — 1e De da 
0 # 
par 
1 


LÉ es 


1 
+ Ï 
a er t(ar)[1+ — +...) 
124 


on {trouvera - 





j Î 
(Ua Pes 0 ps . 
Ma ?e-a-ks I24B= 100: I 
Ans = ——— — Li © + — — 








—— — = + 
as 16Aëp 124 ) 
GE Fe fn 
Go)  _ 
Es Le Ls'—a e* — p} , à . 
(x) | nb à 
= _ — +...) 
(2aAp)! 16Aïu 12 4 
Corollaire 1. — Si dans le second membre de l'équation (20) on 


4 


suppose s’ négatif ct égal à —s, on aura 


A = Asa, 
L’équation (20) deviendra donc alors 


a a+1 
) es el P re L)# 
CR 








D rase I 
(aAp)' \ 15 Aëu : 124 


Dans le même cas, l'équation (16), qui détermine la valeur de # 





, 


566 MÉMOIRE SUR DIVERSES FORMULES 


deviendra 


Quant aux valeurs de À, B, D, elles seront toujours déterminées par 
les équations (10) et (14). 

On pourrait obtenir immédiatement la formule (2r)en appliquant à 
l'équation (26) de la p. 534 les mêmes ratsonnements que nous avons 
employés pour déduire la formule (20) de l’équation (31). Au reste, 
on doit observer que la formule (21), telle qu'on vient de [à donner, 


coïncide parfaitement avec l'équation (4°) de M. Laplace. 


Corollaire 11. -— La formule (20) suppose qu'on puisse toujours 
tirer de l'équatitn (16) une valeur positive de #. C'est ce dont il est 
facile de s'assurer. En effet, si dans l'équation (16) on suppose # très 
petit, le premier membre sera positif et égal à 


Ar Et =) 





dl 
à 


et, si l'on suppose Æ infini, ce premier membre deviendra négatif et 


égal à 


— (m—s). 


I v a donc entre les limites o et & une valeur de # qui rend le pre- 
mier membre de l'équation (16) égal à zéro. Il serait d’ailleurs facile 
de prouver que cette valeur est unique. 

Pour que la formule (20) puisse être employée, il est nécessaire 
que la quantité #, déterminée par l'équation (16), ait une valeur sen- 
sible, ce qui exige que 


(Are à mr AA 


né soit pas fort petit relativement à 


RELATIVES À LA THÉORIE DES INTÉGRALES, ETC. 


(Sy 
(er) 
EN 


Si lon suppose, par exemple, 


m Ï ER 
S—= — + —-7 \ 1446 
2 2 : | 


il faudra, pour que l'on puisse faire usage de la formule (20), que la 


différence & — x soit d’un ordre égal ou supérieur à celui de ÿr. 






OPTEE 


UNIVERSITY : 


Of 


; FIN DU TOME I DE LA SECONDE SÉRIE: 



































TABLE DES MATIÈRES 


DU TOME PREMIER. 


SECONDE SÉRIE. 


MÉMOIRES DIVERS ET OUVRAGES. 





I: — MÉMOIRES PUBLIÉS DANS DIVERS RECUEILS 
AUBRES OUL CEUX DE L'ACADÉMIE. 


LA 


MÉMOIRES EXTRAITS DU « JOURNAL DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 


Recherches sur les polyèdrés (Premier Mémoire). ............,......,..,...... 
Sur les polygones et les polyèdres (Second Mémoire) . ......................... 
DeocherCheaur 108 GOmbeeS 8 du dia rit nus 


Mémoire sur le nombre des valeurs qu’une fonction peut acquérir lorsqu'on y per- 
mute de toutes les manières possibles les quantités qu’elle renferme.......... 


Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et de 
signes contraires par suite des transpositions opérées entre les variables qu’elles 
OSEO 


Mémoire sur la détermination du nombre des racines réelles dans les équations 
RC a UE à 


Sur los tacines imaginaires dos ÉQUALIONS....., 0 in she ciantin 
Mémoire sur une espèce particulière du mouvement des fluides. ................. 


Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux différentielles partielles et à 
COGFHCIORLS CORSA 


Mémoire sur le système de valeurs qu'il faut attribuer à divers éléments déterminés 
OEuvres de C. — S. II, t. I. pi) 


/ 


D 


JL. 


570 TABLE DES MATIÈRES. 
par un grand nombre d'observations, pour que la plus grande de toutes les 
erreurs, abstraction faite du signe, devienne un maximum ....... nr 


Mémoire sur l'intégration d'une certaine classe d'équations aux différences partielles 
et sur les phénomènes dont cette intégration fait connaître les lois dans les 
düestons 06 Physique datée 


Caleut dcS indices des fOnCLionse 2 a nr he Re 


Mémoire sur diverses formules relatives à la théorie des intégrales définies et sur 
la conversion des différences finies des puissances en intégrales de cette 


FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES DU TOME 1 DE LA SECONDE SÉRIE. 





ES 


33722 Paris. — [mprimerie GAUTHIER-VILLARS, quai des Grands-Augustins, 55. 


‘Pages 


358 


467 


Le 









































































































































ALL BOOKS MAY BE RECALLED AFTER 7 DAYS 


DUE AS STAMPED BELOW 


£ 


4/01 08 


SENT ONILL 
B 1 1 2007 
.C. BERKELEY 


Dimaness PO 
nas RUN) 








Ds ee ee EN 











D 
PU 
Rene ee LEA 
Éd 
ER 





 — 




















FORM NO. DD 3, 13m, 676 UNIVERSITY OF CALIFORNIA, BERKELEY . 
BERKELEY, CA 94720 


—_— - — 


1! 


à 
ALù 






































: : L | | 1 
D PEINE 
UE 

| 
































COuyazq
Internet Archive Audio

Featured

Top

Images

Featured

Top

Software

Featured

Top

Books

Featured

Top

Video

Featured

Top

Mobile Apps

Browser Extensions

Archive-It Subscription

Save Page Now

Full text of "Œuvres complètes d'Augustin Cauchy"

See other formats
