LIBRARY OF
WELLE SLEY COLLEGE
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c^i^
(KUVRES
DE FERMAT
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(Décision du Syndicat des Éditeurs du 27 Juin 1917)
PAUIS. - IMPRIMERIE GAUTIIIER-VILI.AKS KT KILS.
Onai lies Granils-Aiigustiiis. V).
E R M. A T
Pans GaUTHIER-ViLLARS. 8c FiLS Editeur
Ii:.;) C.'i irdon-Wi'tinanii -Paiia
VARIA OPERA
MATHEMATICA
D PETRI DE FERMAT,
SENATORIS TOLOSANI.
Acceflerunt feleébe qusedam ejufdem Epiftok, vel
ad ipfumà picrifque do6tifsimis vins Gallicè, Latine,
vel Italicè » de rébus ad Mathematicas difciplinas »
auc Phyfiam pertiaentibus Icnptae. ^^
TOLOS iE,
Apnd JOANNEM PECH, Comitiotum Fuxcoiiatn Typographum , jitxta
CoUcgîum PP. Socictam JESU.
M. DC. LXXIX.
ŒUVRES
DE FERMAT
i'i;iii.iKi;.s l'v» i.ics soins nu
MM. l'AUL T\NNEHV et CIIAKLHS IIKMO
sous I.l'.S AHM'ICl.S
nu IMINISTKHK l)K 1/ I NSTIUIC T I 0 N IMiULIOlK
TOME PREMIER.
ŒUVRES MATHÉMATIQUES DIVERSES. - OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE.
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PARIS,
CAIITIIIKIÎ-VILLAUS KT FILS, IMIMUMKUKS-LIHRAIHKS
DU imuKAU I) !• s i.oN (1 n u n i: S . d k i.'icco i, i: I'o i. v r lic, ii m i ni k
(Juai drs Grands-Aii.^usliiis, 55.
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Rooifls ^^^^^D
IX
/
TABLE DES MATIÈRES
DU l'IiKMIIiU VOLU.MI- (M.
-gifaaf-. -
AVEIlTISSKMliNT .
l'ac'''*
PRIvVflKIΠPARTIE.
IH:i!Vlii;S .MATinOMATInCI'.S DIVKIISKS.
Lœii.v plans tV JpoUotiius .
Apollonii Pergœi libri duo ilc l.icis plaiiis lostitiili. Liber prinius V '!
l.iber sccuikIus \ ^^n
Co/iUiclt sphc'riques.
Uo conlaclibus sphiericis y
' \ >■>
l'>(igiiwnts j^éomctriqiiex.
Sdlutio problcmalis a Duiiiiiiu Pascal |ir(i|iositi I>
l'orismaia duo l> 1,
l'orismatum Euclideormi, roi.ovata doclrina cl siib fonna Isa^o^-cs recoiUiori-
bus Gcomotris oxhibita " ' ,.
l'nipositio D. de Fermât circa [)aral)olcn '_ '_ y '^]
Loci ad Ires biieas dcinimsIraLid ' ., J
* * ' ' * AI S"
Lieux plans et xalidew
Ad locos planus et solidos Isagoge y
Appcndix ad Isagogon lopicam, cniitiiicns sobilioiiem problcmaliun sobdnnmi
per locos
\ loi
(■ ) Les lettres nuijuscnles plantes devant les renvois indiquent ,|ue la plùec est li,v.. • \- ,|,-. r„n„
Op„a D dn Diophanlo de Wi^o, C des Lettres de Descartes, V ,les OEurrcs .le Pascal, 1 d„ „-,i[,
de I.alouvero sur la Cyeluïde, M ,1e smirees iiianuseriles.
VI TMUJ' DES M\Tll-:iU:S.
l'ai-i's
Lieii.r en surface.
Isaijogc ad locos ail siipui-noiciii, (Mr-issinin Domiin) lic C.arc.av i M i 1 1
Dissrrtnlion tripnriic .
Ile sohitione prolilemaliiia LçcMimolriconiin per cur\as siniplicissinuis cl. uiii-
cuiqiic i)rolileinaliim ^onori pr()|)rie convoiiiciilos, <lis.sort;iU(i l.ripartita. ... \' i iS
Marimn et iniiiiiiiti.
I. Mclliodiis ad disqiiircndam maximani cl ininimam V ijj
De taii^enlibus linpariim curvariim V i^i^
II. Onlriim i^ravilatis parabnliei coiioidis, ex eadem mellindo V i3G
III. .\d eamdom melliodiirn : / o/o mcd inctiiodo etc V \\o
IV. Melhodus de maxima cl itiinima M 1 4?
V. Ad mellioduni do maxima el minima appondix M rJ3
VI. .\d camdem melliodnm : Dnctrinam tnii>^eiithiiii etr V i 58
VII. l'rolilenia missiiin ad Ito\ei'endiim Palrein Mcrscnniiiii lo" dio .\o\cm-
liiis iG^?. -M i(c
VIII. Analysis ad rcfraeliniics C 170
IX. SyiUliesis ad relraetinnes (". 1 73
Méthode d 'e'Limiiiatioii .
Novus scciindarum el ulterioris ordiiii,s radinim in Analylicis iisiis V iSi
Appondix ad siipcriorcni mellioiliiin V 1 .S/j
Prohlcme d'Jdricii lioriiniii.
Ad .^driani Komani prubicma. Viro olari.ssiino Clirislianu Hiii^L'Oiiiu 1'. V. S. T. .\1 i8()
Questions de Cavalieri.
Ad Bon. Cavalieri i qu.'cslioncs responsa -M ii)'>
Propositions à Loloin'ère.
Ad Laloveram proposilioncs I. 199
Dissertation M. P. E. A. .V.
Do lineanim ciirvanim cuni lincis redis comparatione, di.-îscrlalio i^comclrii'a. V mi
Appondix ad disserlalionem de lineaniin curvarurn ciim lincis redis (■(im|)ara-
linno V •> iS
Metiiodcs de qnndratarc.
De avpiationiim loi'alinni transinnlalicmc el cniendatidne. ad MiulliiniMJ.iiii ciir-
vilincorntn inler se vol ciiin rccliliiieis coniparalioneni, ciii aniicelilnr |ini-
porlionis goomelricie in cpiadrandis inlinilis parabolis et livperbcilis nsiis. . . V ■> o
Do cissoidc Ira^mcnUini .M '285
TABLE DES MATIERES.
vil
DEUXIEME PARTIE.
OfiSKP.VATIONS SUK DIOPIIANTE.
Obscrvationc.i Doiniiii Pc/ri ilc Fcnniit .
I. Ad clofinilioiicm VI CI. Gaspai'is liiiclicli Porismaliim Libi'. 111. .. .
II. Ad qu;cstioncm VllI Diopluinti Alcxaiuliini Arillimcticofiiin Lih. II.
III. Ad (luitslioii. X l.ili. Il
IV. Ad (|ii:cslicin. X I.ilir. III
V. Ad (nucsllon. XI Libr. III
VI. Ad qiiicslion. XVII Libr. 111
VU. Ad commcnlarium in qu.xslioii. XXII Ldi. 111
VIII. Ad coinmcnlaiiiim in quicstion. II Libr. IV
IX. Ad curndem ccunnicntariiim
X. Ad cdiiMucntariuiii in qii;i'sti(in. XI Libr. IV
XI. Ad qiuL'slion. Xll Libr. IV
Xn. Ad commcnlarium in camdcm qu;cstinnem
XIII. Ad (|u;r.slion. XVI! Ldir. IV
XIV. Ad (|u;cslioii. XVIII Libr. IV
XV. Ad (pupslion. XX Lilir. IV :
XVI. Ad qiKCsUoM. X.\l Lilir. IV
XVII. Ad qu.TSlion. XXIII Lilir. IV
XVIII. Ad commentarinm in qiiiPStinn. XXXI Libr. IV
XIX. Ad (iiurstion. XXXV Libr. IV
•XX. Ad ccimmcntariiiin in (|iia'sli(in. XLIV Lilir. IV
.XXI. Ad cdmnienUiriiini in (|iia'sli(iii. XLV Libr. IV
XXII. Ad qu.'DStion. III Lilir. V
XXIII. Ad qn:cstion. VIII Libr. V
.XXIV. Ad (pueslion. IX Lili. V
XXV. Au comiiuMUariinn in qua'SLion. XII Libr. V
XXVI. Ad ciinidcm coiiiincnlarium
XXVII. Ad commcntarinm in quicslicin. XIV Libr. V
XXVIII. Ad quicstion. XIX Lilir. V
XXIX. Ad ([n;pstion. XXIV I ibr. V
XXX. Ad (lu.TStion. XXV Libr. V
XXXI. Ad (in;csl.ion. XXX Libr. V
XXXII .Vd qn;cslion. XXXI Lilir. V
XXXIIl. Ad qn.rslion. XXXII Libr. V
XX.XIV. Ad commcntarinin in (|n:L'slion. III Libi-. VI
X.XXV. Ad qnïcstion. VI Libr. VI
XXXVI. Ad qii;cslion. VII Libr. VI
XXXVII. Ad qniDslioncs Vlll et IX Lilir. VI
XXXVIII. Ad qn;cslioncs X et XI Libr. VI
XXXIX. Ad quiESlion. XIII Libr. VI
XL. Ad qiKPStion. XIV Libr. VI
XLL Ad (|n;i;stiones XV et XVII Libr. VI
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l'ERMAT. — l.
vm TABLE DES MATIÈRES.
XLir. Ad quacslinn. XIN. Lihr. VI D 3i3
XLIII. Ad commclUariiim in quœslion. XXIV Lihr. VI » 334
XLIV. Ad eunidem commentariiim > 330
Appcndix i> 338
XLV. Ad pnililema XX coinmenlarii iii iiltimam qiKrslinnem Arilhmeli-
coriim DiopIiniUi » 3.1o
XLVI. Ad commenta ri um in pro|iOBition. IX Dioplianli Oc nuiltangulis
numeris » 34 1
XLVII. Ad proposition. XXVII Baclicli Appcndicis de numeris polygonis
Lil)r. Il ..
XLVIII. Ad proposition. XXXI Bacheli Appcndicis Libr. Il » 34<
APPENDICE.
I. Dédicace du Diopliante de 1(170 I> 3/15
II. Préface du Diopliantc do lOjo I) 347
III. Dédicace dos Varia Opéra V 35o
Pièces do vers latins annexées à la dédicace :
1° Âiirca l'icrio ctr V 352
2° Dion Paderrv fontes ctc \ 3)3
3° Ode. Nunc corda inulccim rtc V 354
IV. Préface des Varia Opéra V 3î5
V. Éloge de Monsieur de Format, Conseiller au Parlement de Tolose. Du
lournal des Sçavans, du Lundy 9 février iGG5 DV 35<)
VI. Observation de Monsieur de Fermai sur Syncsius DV 3()-2
Vil. Lettre de P. Fermât à M. de Itanchin. — Observations sur Polyen. . . DV 3()G
VIII. Lettre do Samuel Fermât à Pellisson DV 373
IX. Lettre de P. Fermât à Bonlliaii {ï\ novembre i035). — Observatiims
sur Frontin ( Cnnunnl ) 38o
X. Lettre de Iltiet aux Fermât. — Caen, 3 décembre 1639 M 380
XI. Lettre de P. Format à Iluet. — Toulouse, -xy décembre iG5i) M 388
XII. Il Cède Deo, sou Cliristns moriens », poésie de P. Fermât dédiée à
Balzac . V 3go
XIII. Notes critiques de P. Fermai sur les Harmoniques de Manuel Brycnne. .\1 3i)4
Variantes et notes critiques 4 ' 3
Frrala 43<'>
Table de concordance entre l'édition des Œuvres de Fermai de lOjy
el la présente édition 437
Pi,\NciiES : Portrait de Format cl fac-similé du litre Ags Varia opcra . iv-v
Fac-similé de l'écriture de F'ermal xix
FIN nE H TADI.E DES MlTIEnES DU TOME PIIEMIEII.
AVERTISSEMENT.
I.
Bibliographie des travaux de Fermât avant les publications de son fils.
Loisque, le 12 janvier iG65, dans le cinquième mois de sa soixaiilc-qua-
Irième année, Pierre de Fermai niourul à Castres, où l'avait appelé son ser-
vice de conseiller an parlement de Toulouse, il était tenu pour le jiliis grand
géomètre de l'Europe ('), mais ce n'était guère par la voie de l'imprimerie
que son nom s'était répandu dans le monde savant.
Lui-même n'avait d'ailleurs fait im[)rimcr qu'une seule dissertation géo-
métric|ue,et encore avait-il gardé l'anonyme (^); cet opuscule parut en 1660,
comme annexe d'un volume publié à Toulouse, sur la cycloïde, par le Père
jésuite Lalouvcre. Ce dernier faisait en même temps connaître, comme étant
dues à Fermât (mais publiées sans son aveu), diverses propositions intéres-
santes sm- lesquelles l'attention n'a jamais, que nous sachions, été a()pelé<'
depuis lors (').
Dans l'éloge (|iic Lalouvère fait à celle occasion de son illustre concitoyen,
il rappelle (') diverses mentions de ses travaux insérées par Mersenne dans
les CogUala pliysico-mailicnialicn de iG44> et il cite l'une de ces men-
tions énumérant un certain nombre de traités manuscrits envoyés par
Fermât à ses amis de l'aris {"). Des antres, l'une {prœfat. ad Meclianica,
n" k), sans désigner cxpressémenl Fermât, reproduisait la plus grande partie
(') LeUrc do l*asc;il à Fermât, du 10 août iG(io(n° 108 de la Correspondance de Format,
dont la publicalio]! suivra celle ilii [iréscnt volume).
(2) Foir ci-après page -.jd, note i,ct page 199, note 1.
{'■') Voir ci-après pages 199 suiv.
(*) /'(«> ci-a[)rès page 200, note.
(■•) Ce texte de Mersenne (lequel fait partie d'un Mo-^itl Galilici et itosirorum Gcoine-
iraruni Eloi^iwn utile) est exactemenl le suivant :
« Taceo varios illos -;p'; £;:ao'"iv, de maximis et minimis, de tangentibus, de locis planis.
solidis, et ad spliaîram percruditos, quos clarissinius Scnalor Tliolosanus D. Fermatius liuc
X AVERTISSEMENT.
iriino leUrc Iraiisiiiise à (/avalieri par l'iiilcrmédiaire de Mcrseiine ('); la
seconde {in Baltisticis. p. Sy) donnait des délails, lires de lettres aujourd'luii
pci'diics, sur los lravaii\ do Fermai relatifs aux spirales ('); la lioisièiiK!
(Mifiii (//( innlysL, page 385) précédait les énoncés des i)rnposilions des Lieii.r
plans il' Ipnlloniiis, d'après la restitution du géomètre de Toulouse (^).
Dans SCS Ouvrages antérieurs (depuis iGSG) ou postérieurs, Merseniic a
encore fait d'aulres emprunts à la Correspondance de Fermai; mais alors le
plus sonvcTil il emploie des périphrases qui ne permettent pas toujours de
distinguer sûrement ce rpii appartient aux divers géomètres avec l<!S((uels il
était en relation. On ne pourra donc (pie rapprocher, des diverses lettres de
Fermai, certains extraits des <Kuvres de IMersenne concernanl les mêmes su -
jcIsC').
ad nos misil. >• (F. Marini Mcrscnni Miiiiini C.o^'itala physico-malheiiialicii. In iiiiihiis tnm
naUira' (|uàm arlis cl'fecliis ailniirandl cerlissimis dcinoiistralionihiis cxplicanlnr. Parisiis,
siiaiplibiis Anlonii Berlicr, via lacob;-;!. M.DC.XLIV. Cum privilcgio Rcgis. — première
|)iigiiial.ioii, p. 19).)
(i ) Foir ci-après, page !<)">, noie 1.
(-) roir, dans le second volniue, l'appcniiice an 11° ;{ de la Correspondance.
(3) Univcrs:D (iconiL'tria' mixta'q'ie Mallicnr.Uicaî synopsis et hini relVaclioniiin dcnion-
slralarum Iraclatus. Stndio cl Oprrâ K. M. Mcrsimni M. Parisiis, apud Antonium Bortier.
via lacolia'à, snb signe Forliin.e. M.Di; XLIV. laun privilégie Itcgis.
{•;n an.ilvsanl la collection do Pappns, iMcrsenno avait (lcjà(p. 3S3) donné les énoncés do
Trailé des Coiilnrtf xplicriquus- de l'ernial {ci-après, pages 5-4 sniv.) :
Il Soxdi'cini Problematilins traclalnm linnc (de tactionibns) Vieta comprehendil in Apul-
lonio (iailo, scd cdni in planis sul)stiterit, illuin ad Spli.crica l'robicmala Clarissimns Fcr-
niatiiis i'> l'roblenialibus extcndit, qnœ Viclœis subjungenuis. »
rage 385, ])arlant des Porisnics d'Kuelide, Mcrscnne dit :
■1 Ilnins antcm Iraclatus Reslitiilio Clarissinii Domini F'crniaUj iiostnlat opcni, qni a se-
(pienles de locis planis libros adco fceliciter redintegravil. »
Les énoncés des Lieur plans d'Apollijnins {iwir ci-après, pages 3 suiv.) snivenl sur les
pages 3SG à 388. Merscnne ajoute enfin :
« Oinitlo locos ad superficicm culus Isagogcm vir idem Cl. amicis conimunem lécit, et
alla (pia; utinam ab eo tandem impetremns. «
('•) Rn dehors des citations qni précèdent, Mcrsenne a nommé Fermât :
1° l'âge g de la première prélacc do V llarintmic iiiin'crwllc contenant la llic'uric cl ta
pralirjiic de la mnslqno {voir n" i de la Correspondance de Fermât ).
?.° Dans la Seconde partie de l'Harmonie iinii'crscllc, Paris, i(i37, livre Vlll, p. Oi ( t'oir
u" '■2 do la (iorrcspoiidancc ).
■j" Page ■i.\'i des Noi.-nruni obscn'alionuni pin aicomnllionalirarum F. Mnrini Mcrtenni
Miniini (Tomns 111. (.^uibus accessit Aristarcbiis Samius do ninndi systcmale. Parisiis.
sninptibus Anlonii Bertier, v;à lacob.-eà snb signo Fortuna\ M.DC.XLVII. Cnni privilégie
licgis). dans le récit d'un voyage au midi de la France.
(I Ciim autem vivos potiùs t|uàm niortuos {") qu;ererem, unus abfuit Clarissimus Ferma-
{") Mcrseiinc parlail auparavant ilc liiatlteaux qu'il a\ail vus a Toulouse."
AVEirnSSEMENT. xi
La plus ancienne mention imprimée d'un opuscule manuscrit de Format
n'est, au reste, point due à ilersct)ne; elle concerne la Mctkodus ad disqui-
leiidain nia.riinaDi et Diiniiitain (ci-après, pages i33-i3G), et doit être clier-
chée dans le HrdiiiLlmi projet d'exemple d'une uianière luiiverselte du
S. G. D. L. touchant la pratique du Irait à preuves pour la coupe des pierrex
en l'Architecture. im[irinié à Paris en août iG/|0.
« Puisqu'un reste de page et l'occasion y convieni, aliii i|ii'aprés ce lîrouil-
)) Ion il n'y ail plus en cecy d'abiisez (pie ceux(pii le voudront bien estr(>, on
" ne doit pas croire à tout esprit, n'y à toute apparence; à tout csiiril, eu
i> croyant cpie tous ceux qui font en particulier une grande monstre de [ihi-
» sieurs belles |5ensées en soient toujours les anilieurs, on void escrite à la
» main une belle manière de trouver les louclianles aux courbes, ensuittedes
» plus grands cl plus petits, laquelle est avérée cstrc de monsieur de Fermai,
» 1res digne conseiller de parlement de Tlioloze, et la première descouverle
» de la ligne i|u'engendre un point en la diamétrale d'un cercle roulant sur
» une droicto est de monsieur de lloberval, très digne professeur royal aux
» niathémaliques ('). A toute ap|iarcnce, etc. » {OEuvres de Dcsar:(ues réu-
nies et analysées par M. Poudra, Paris, Leiber, iSG'i, loni. 1, pages 35/i-355.)
Celte même rnétliode de Fermai, sur laquelle l'attention avait d'ailleurs été
appelée par le bruit d'une polémi(|ue à ce sujet entre lui et Descartes, fut ex-
posée sous son nom par P. Ilérigone en \Ç>\:>. {voir ci-aprés, page 171, note i).
leipiel nicutiouna également ses traités manuscrits des Lieux plans d' Apol-
lonius et de V Introduction aux lieux plan:; et solides.
En ifJ'iG, la réputation du conseiller au parleuKMit de Toulouse est assez éta-
blie pour ([u'un étranger, F'r. van Scbooten, le cite entre Descartes et llober-
val au [)reniier rang d(!S géomètres (').
lins, Gconiclrardin Corypliaîus; qiicm taincii IJiirdigalam rcdux, dnclorc iiUcgcrrimo, (Idu-
lissimoqiic senaluro, D.iiiiiiio d'Espagiict, velul avidsiim Beri^oMco, Iridiio ainplcMis
sum ("). Vin scirc ([uo loco? Ubi S. Einillo Brito dcaalus est anno 7(17. Ubi cocmetcriuiii
templo salis amplo ex iiiiico lapide consiruclo inciinibit; ubi lalomiis quisqiic oxcisos ii
pnedicti Dniiiiiii laiiiiliciiui, (piovis die, 10 lapides parallclogrammos cxciiidit. et quadral,
quorum laliludo i, li.iiiL;ilu(lo ■'. pcilum : ciiirKpic cenluiii l,i|ii(lcs ipiadravit, 7 liliras re-
eqiil. )i
(') L'accusation d'indélicatesse que formule ici Desargues à mots couverts jiaroii diri-
gée contre beaugraud, le(|!U'l l'avait allaipiù dans une lettie imprimée du ?-i> juillet i(V'|(i
{OEui'res de Dexarf^ttet, t. II, p. 'J7!^)-
(-) francise! à Sclidoleu Lcydcnsis, de Organica Conicarum Seclionum in piano Des-
I " ) Ce p.issau'o a clé reproduit jusigu'a co ileraicr uiul |i]i iiii lo-< uieiiliuns lioiioritl [iijs Jl' Kenint lusrrcej par son Di-
on Ule des l>iu)ihantc du iG;u et des Varia de ir.;<|.
XII AVERTISSEMENT.
On vena ci-après (page 77, noie ?.) en quels termes élogieux Houlliau par-
lait (le Fermât dans ses Ercrcitationes ffeometricœ de 1607, à l'occasion de
son opuscule manuscrit sur les Porismcs d'Euclide.
r^a même année, les réédilours des DeipnosopJiislesd' Allœnce, Jean-Antoine
Huguetan et Marc-Antoine Havaud à Lyon, inséraient, sous les initiales
P. F. S. T., une remarque critique (') qui prouvait que la sagacité du célèbre
géomètre s'cvcrçait également avec fruit dans le domaine de l'érudition.
Mais ce fui l'année suivante que, pour la première fois, des lettres de Fermât
parurent sous son nom :
i" D'abord une série importante dans le Conimercium epistolicum de Qitœs-
lionihiis r/iiibti.idam Mal/iema/icix niiper habituin inler Nobilissiinos Viios :
D. Giilieliiiiim Vice comilem Brol'ncker, Anglam; D. Kenelmum DiGBy, item
Equilcm .\nf;lum; D. FERHUTUiM. in suprema Tholosaturn Ciiria Iiidiccm Pri-
marium; D. Fremclum. Nohilein Parisinum; una ctini D. Joli. Wallis Geo-
inel. Prof. O.ronii; D. Franc, a Sciiooten, Math. Prof. Lugduni Batavorum:
Aliisque. (Edidil .JoiiANNKS WALLIS, S. Th. D. in celeberrima Oxoniensi Aca-
demia Geomelriaî Professor Savilianus. — Oxonii, Excudebal A. Licbficld.
Acad. Typograpli., Impensis Tbo. Robinson. — M.DC.LVIII) — n« 79, 80,
81, 82,83, 8'i., 85, 01, 9G de la Correspondance.
2° Une longue lettre adressée à Gassend dans le lome VI Pclri Gassendi
Opéra omnia in VI Tonios dii'isa. (Lugduni, sumplibus Laurenlii Anisson et
Jean. Rapt. Devenel. M.DC.LVIII) — n" G2 de la Correspondance.
En i6j8 encore, dans l/fisloirc de la Houlette (anonyme) (^) el en janvier
1659, dans les Lettres de A. Deltomille. contenant quelques-unes de ses in-
tentions de Géométrie (^), le nom de Fermât apparaît avec quelques indica-
criptione, TraclaUis Geomctris, Oplicis, pnescrtiin vcro Giiomonicis cl Mcclianiuis ulilis.
Oui subiicxa est Appcndix de Cubicarum /Eqiialiomun resolulioiif. Lugd. Bulav. Ex uffi-
cinû Ei/.eviriorum A° 1646. (Reproduit comme Livre IV des Ej-crcitulioiies Mnlhcmaiicœ
de 1657 : préface, page 3o2.)
« Aliarum autem lineanim curvanim superioris goncris descriplioiies quod attinet, cas
in médium affene non fuit nostri instiluli, cnm maluerimns meritô cximiis Viris, D. des
Cartes, D. de Fermai, Senalori Tholosano, el D. Itobervallo, Malliemalum in Academia
l'arisicnsi Itegio Profcssori, relinqiicrc. Qui jir.Tlcrea canim tangentes, quadraliones el
contra invcnôre, quibus Geomelriain mirifico diUirc vaieanl, el (meojudicio) vix lucem
visura sunl, nisi Philomatliemalicoruin precibus el persuasionibus ab ils in llcip. Literariie
bonum cxlorquea[iUir. »
(') Voir ci-après, i)age 378, noie i.
(-) OEiHTCf de Pascal, 1779, l. V, p. iG5 el 17,!. — f'oir au n° 29 de la Correspon-
dance de Fermai, ol ci-apros, |)agc 202, note 1.
(^) OEuvres de Paxca!, l. V, p. 228, dans la lellre de Carcavi a Dellonvillc : « On a
AVEUÏISSEjMENT. XIII
lions sur ses travaux, de niùmc que dans le TraUé des ordres numériques.
trouvé en 166?. imprimé dans les papiers de Pascal, sans qu'il eût encore été
puiilié (')•
Kn 1664 enfin, Saporta insérait, dans sa traduction du Traité de la mesure
des eaux courantes de Castelli, une Ol)servation de Format sur un passage de
Synesius (^).
Telles furent, du vivant de Format, les rares publications auxquelles don-
nèrent lieu ses écrits et les mentions imprimées que nous avons pu Irouvci'
de ses travaux. Après sa mort et avant les volumes édités par son fils, nous
n'avons à signaler que Vh'loffe de Monsieur de Fermât ('), inséré dans le
Journal des Sai'anls du 9 février i6G5, et dû au moins à l'inspiration, sinon à
la plume tie Carcavi, et, on iGG-, la publication par ("Jerselicr du dernier vo-
lume des Lettres de M'Deseartes, lequel contient une importante correspon-
dance entre Format, Mcrsenne et Descartes d'une part. Format, Clerselier.
Koliaut et La Chambre de l'autre (*).
11 bien envoyé celle des problèmes que vous aviez déclarés ôlre les plus faciles, savoir :
Il le centre de gravité de la ligne courbe cl la dimension des surfaces des solides, laquelle
I) M. Wren nous envoya dans ses Ictlres du 12 oclobre et M. de l-'cnnal aussi dans les
1) siennes, où il donne une mélhode fort belle et générale pour les dimensions des surfaces
» rondes. » — Ce travail de Fermât est perdu.
(') OEuvra de Pascal, t. V, pages Gj-Gj. — fuir au n° 12 de la Corrcs|iondance de
Fermai.
(-) /^o/> ci-après, pages 3G2 suiv. cl n" 118 de la Currespondancc de Fermai (pour la
ilédicace de Sa[)orta).
(3) Viiir ci-après liages S'kj suiv.
(*) N°' de la Correspondance de Fermai 22, 2U, 2i, 23, 26, 27, 28, 32, 3i, G7, 8G, !)0,
!t3, 'M, 9"i, 97, '.11), 112, 113, lli, 11"). Voir également ci-après les deux pièces p. 170 et
ijj. — Les Lettres de AL Descurtes peuvent également donner lieu à nombre d'cxUails
inléress;inl l'ermat, ipioiqne lires de lettres ([ni ne lui étaient pas destinées.
XIV AVERTISSEMENT.
II.
Le Diophante de Samuel Fermât (1670).
En 1G70, Samuel Fermai lit paraître, à ses frais et sans |)rivilègo, une édi-
tion in-folio de Diophante sons le titre :
DIOPHANTI I ALEXANhUIM | ARH H.METICOUVM 1 LIIUII SEX,
ET DE NV.MERIS MVLTANdVLIS | LIRER VNVS.
CUM COMMENTA mis C. G. liACIIETI I'. C.
cl obserratio/iihiis J>. P. de FE RMAT Scnaloris Tolosani.
Accessil Doctrine Analylica' iniicntnm noiuim, collcctum
ex varijs ciusdcm D. de FEnsiAT Epistolis (').
'J'oLos.f., i Excudcbal lÎEiixAiinis ROSd, è Rcf^ione Collegij Societalis lesu.
M. 1)C. LXX.
Dans cette édition, le feuillel du titre est suivi de cinq autres non paginés
qui contiennent :
l'ages I à 3, une dédicace à Colherl {voir ci -après Appendice . p. 34-")
siiiv.);
Paiics 4 et 5, une préface Lecioii liciteuolo (App.. p. 3/|- suiv.);
Pages G à 7, l'Er.ocE ke monsieik de Fermât, Conseiller au Parlenteitl de To-
losc. Du lonrnal des Sçaians. du Lundy y Fct'ricr i66-'J (App.. ]i. S.'ig suiv.);
Page 7 (ligne 22) el page 8, Obseuvatio.v dk mo>sieuu de Fermât sur Sync-
siiis. rapportée à la fin de la traduction du Hure de la mesure des eau.r cou-
rantes, de Jienedetto Caslelli (App.. p. 3G'. suiv.);
Page 9, deux extraits de Lettres de Descartes à Fermât, tirées de l'édition
de (]lersclicr :
Lettre de monsievr Descartes a moxsievr dk FrnjiAT, |)ag. 3^7, tom. 3 des Lel-
li-es de Monsieur Descartes.
AVTRE I^EITRE DE MO.XSIEVR DeSCARTES A .MONSIEVR DE FeRMAT, JJBg. 3^8, loni. 3
des Lettres de monsieur Descartes.
( Fo(/- CCS lettres dans le secoiuMolnine de celle étlilion, sous les n"' 32 et
3V de la Correspondance do Fermai )
I ' ) Au-dessous une vi,!;nclte signée Rahault fccit eL rcprcsenlant Orpliée, avec rinscn|i-
ti(in : OBLOyVlTVR NViMERIS SEPTE.M DISCIU.MIN.V VOC.VM.
AVERTISSEMENT. xv
Page 10, trois extraits sons les litres :
l*. Hérigone, loin. 6. Cursus Mathenialici, p. 68. De Maximis et Minimis
{noir ci-après, p. 171, note i).
f). IsM.iEL BvLLiALDvs Evercitalioue de Porisinatii)US {voir ci-après, p. 77,
iKjle 2).
|{. P. MAniNvs Mersennvs ordinis minimorvm Redectionum Physicomalhemali-
caruiii, pag. siS {voir plus haut, page xi, noie a).
Après ces feuillets non numérotés, viennent trois paginations dilTérenles :
La première contient d'abord, de 1 à 36, un Trailé intitulé :
DoCTRI.NJi ANALYTIC.B INVENTVM NOVVM, CollcclllIH à R. P. IciCobo clc Uiilf, S. 1.
Saccrdote, ex varijs Epislolis quas ad cum dii'ersis lemporibus ini.iit D. P. de
Fermai Senalor Tolosanii!^.
Une traduclioti de ce Trailé sera publiée tians un volume de ComplémenL
à la présente édition.
Suit, pages 87 à 64, d'après l'édition de Diopliante donnée par Haclicl eu
i6îi , le Trailé :
(aAVDU GaSPARIS RaCIIETI SeBVSIANI in DlOCHANTV.n PORISMATV.ll LlDER i'Rl.MVS
(p. 37). Liber Sccundus (p. 44). Liber terlius (p. 53).
La seconde pagination (1 à 34i) reproduit l'édition de Racbel, texte grec,
traduction latine et commentaires, pour les six livres des Arilkméluiuca de
Dinphanle.
La troisième reproduit de même (pages 1 à 18) l'édition de Racbct pour
le livre Dex nombres polyi,'ories de Diopliante et (pages 19 à 42) pour le
'J'raité :
ClAVDU (ÎASPARIS RaCIIETI SeBVSIAM Al'PENDlClS Ali LiDRVJI DE NVMERIS POLVGONIS
Liber Primvs (p. 19). Liber Secvkdvs (p. 29).
Au bas de la page 42 se trouve l'annotation suivante :
« Ne vacarent pagina- seciuentes, placuit bas Epislolas adjicere varijs reler-
tas I). P. de Fermât in (luosdam (îrœcos authores obserualionibus, (|uarum
nouniUhe ad Matbemalicas pertinent disciplinas. »
Suivent les deux lettres :
I'. 43 à 45 : ViRO ci.ARissiMO 1). DE lUxciuN P. Fermat s. 1'. 1). (ci-aiirès Ap-
pendice, p. 366 suiv.).
P. 46 à 48 : ViRO I). de Pellisso.x S. Fermât S. P. 1). ( ^pp-. p. i-i suiv.).
I - Fermât. C
XVI AVEKTISSEMENT.
Comme reproduction de l'édition de Bacliet, celle de Samuel Fermai est
passai)lement fautive; l'intérêt qu'elle offre provient donc cssenliellement des
annotations que Pierre Fermai avait inscrites sur les marges d'un exemplaire
aujourd'hui perdu du Diopliante de lîachet, annotations que son fds a repro-
duites à leur place, en caractères italiques et chacune sous le litre : Observatio
I). P. F, la seconde seule sous celui : Observatio domini Pétri de Fermât.
(^0 sont ces Obsenalions sur DiophaïUc ([ui constituent la seconde Partie
du présent volume. On leur a naturellement adjoint, sous des caractères dil-
férenls, les textes atixquels elles se rapportent s|)écialement.
in.
L'édition des Varia Opéra (1679)
Neuf ans plus lard, Samuel Feimal puldiait des Œuvres de son père l'édi-
tion (|ue nous désignons sous le nom de Varia, et dont le frontispice, ainsi
m\c le jiortrail de Fermai placé en regard, se trouve reproduit eu tète du
présent Volume.
Celte édition a été réimprimée en 1861, par héliotypie, avec l'addition au
bas de la page de litre :
Novo invenio usi iterum expresserunt R. Friediaender et Filius,
BeROLI.M, MUCCCLXl.
mais sans le portrait de Fermai.
La Tahic de concoi-danco qui termine ce Volume donne le détail des pièces
contenues dans l'édition de 1G79, avec les renvois à la présente, qui pourra
la remplacer absolument.
Samuel Fermai s'abstint volontairement de leproduire les lettres de son
père déjà publiées par (]lerselier dans la Correspondance de Descartes. H v
renvoie d'ailleurs par une note de la page i.")6 :
« Ceux qui ont le troisième Tome des Lettres de M. Descartes y pourront
voir plus au long les objections de M. de Fermai contre la Dioptrique de
M. J)escartes et divers é(trits sim- ce sujet depuis la page 167. jusques à la
page 35o. »
Il reproduisit, au contraire, la plupart des lettres à Digby (|ue Wallis avaii
déjà fait connailro; on ne conçoit donc giu'Te ])ourtpioi il a omis deux de ces
lettres et une troisième à Frenicle.
AVERTISSEMENT. xvii
QiKiiit aux pièces inéililes (|u'il publiait, il iic senijjlc avoir eu, connue ori-
ginaux, (|u'uu nombre relalivement restreint rie lettres adressées à Eerniat.
l'oiM' le reste, il u'a ccriainenieut possédé, en llièse généiale, (]ue des copies
plus ou moins fautives, et qu'il n'obtint d'ailleurs f|u'à grand'|)eine.
Il est difficile de croire que Carcavi, après ce qu'il avait fait insérer dans
l'Eloge de Fermât du Journal des Sai'ants, ail refusé à son iils les copies des
pièces qu'il possédait, au moins de celles qui étaient détaillées dans l'Eloge
précité. Il n'en est pas moins certain que, s'il n'opposa pas im refus absolu,
fl ne donna pas copie de tous les opuscules ipi'il avait entre les mains, et
(|u'il ne voidul rien communiquer des nombi'euses lettres que Fermai lui
avait ]iersonnelIemenl adressées.
Paiini les correspondants de Fermai (pii vivaient encore, lorscjne son fils
s'occu|ia de réunir ses écrits, lioberval seul parait avoir directement répondu
aux demandes de communication. Mais il choisit avec soin, piuu- sa plus
grande gloire personnelle, ce qu'il envf>ya, et, loin de fournir des copies
fidèles, refondit complètement, par exemple, la lellre du iG août i(i3(), aulre-
fois écrite en son nom et en celui d'Etienne Pascal (').
La plus grande partie des auti'es lettres publiées par S. Feimal semble [tro-
venir de copies réunies par l'érudil Tlioinard (jui, d'après la correspondance
de Sanuiel et de son ami Jnstel, montra un louable et rare empressement.
IV.
Les autographes de Fermât.
Après la publication des Varia, les collectionneurs qui conservaient des
pièces inédites de Fermât ])urent, comme .Jacques Ozanam ou Auzoul, en
user pour leur compte particiilier; mais, à |)art deux exceptions, rien de nou-
veau ne fut imprimé jus(|u'eu iSSg.
I']u 1734, Camusat publia dans le Tome premier de ['//istoire critique des
Journaux par M. C" , à AnisU-rdam, citez J.-F. Bernard, une lettre latine
de Fermai à Ismaël Houillaii (ci-après. Appendice, p. 38o et suiv.).
Eors de la prépaialiou de l'édition des Œuvres de filaisc Pascal. 1779,
(') N' 8 de la Corrospondanco. — L'a irail curieux de l'iiisloire des papiers de llolierval
est que, parmi les écrits de lui c|ui ont élé iuscrcs d;ius les anciens Mcinoircs de l'Aca-
démie des Sciences, figure sous son nom, tome VI (pages ■il\\ à /îG de l'édition de l'Jo).
\ Appeudix ad Isuj^d^eii Tapiciun de Fermât, déjà publiée dans les l'aria {ci-après,
p. io3 suiv.).
xvm WEHÏISSEMENT.
Bossut relrouva, dans les papiers conservés par la famille de l'auteur des
Pemécs. quelques autographes de Fermât qu'il comprit dans ce qu'il publia (').
Depuis, ces autographes ont été perdus ou dispersés dans des collections par-
licnlières, sauf trois, qui se trouvent reliés dans un recueil des opuscules
mathématiques de Pascal, conservé à la Réserve des imprimés de la Bihlio-
Ihèque Nationale, sous la cote V-848-3.
D'autres originaux de lettres écrites à Mersenne étaient, avant la Révolu-
tion, conservées dans le Tome IV d'un recueil formé à la Bibliothèque des
Minimes et qu'Arhogast a pu utiliser, comme on le verra plus loin.
La Bibliothèque Nationale possède seulement, comme autographes de
Fermai appartenant au dépailement des manuscrits :
1° Une lettre au Père de Biliy (n" 102) dans le manuscrit fonds latin 8600,
f" i3. Publiée par Libri dans le Journal dex Savants de septembre iSSg,
d'après une copie d'Arbogast.
2" L'original de l'opuscule Doclrinani tanf;cntiuni {ci-aprcs p. i.jS et suiv.),
fonds français, nouv. acq. n° 3280, f" n2-ii6. Imjirimé dans les Vai-ia d'après
luie copie. — Môme MS., f" 108-109, une lettre à Huet {ci-après, p. 38G).
3" Trois lettres et un mémoire adressé au chancelier Séguier (n»* 04, 65,
00, 111) : fonds français n" 17388, f'7'1; n" 17390, f" ii3 à ii5; n» 17398, f" 433.
Publiés, comme la lettre à lluet, par RL Charles Henry {Recherches sur les
manuscrits de Pierre de Fermât. 1880, p. 63 à 72 et 77).
4" Dans le manuscrit fonds grec n"2'f00, les annotations sur Manuel Brycnne,
dont nous devons la découverte à M. Henri Omont et qui sont publiées ci-
après, pages 394 et suiv.
La Bibliothèque de l'Université de Leyde conserve dans la Collection Iluy-
gens n" 30 deux lettres autographes de Fermât au mathématicien hollandais.
En les publiant {Recherches, etc., p. 77 et suiv., 21 1 cl suiv.), M. Charles Henry
a devancé la splendide édition des Œuvres complètes de Christiaan Iluygcns.
publiées par la Société hollandaise des Sciences, qui contient d'ailleurs d'autres
matériaux à utiliser pour la Correspondance de Fermât (^).
(') f^oir ci-après, pages 70 cl 74 cl en oiilrc les n°^ 60, 71, 73, 74, 10(1, 107 du la (cor-
respondance. — L'autographe dn n" 71 a passé à la vente Fillon le iG février 1877. Ceux
de la Bibliollièqnc Nationale sont les originaux dn n" 100 cl dos deux |)i('ces imprimées
dans le présent Volume, pages 70 cl 71. Mais, ne les ayant découverts ipic tout récem-
ment, nous n'avons pu les utiliser que pour les Variantes i\ la fin du Volume.
(■-) L'une do ces lettres, coneernanl le problème d'Adrien Romain, est insérée dans le
présent Volume, pages 189 suiv., l'autre est classée sous le 11° 100 de la Correspondance
de Fermai. Quant à la troisième iellre signée Fermât et publiée par 11. Cli. Henry {Kc-
cherches, elc, p. 78-79) avec une pièce de vers en l'honneur d'IIuygcns, il a été reconnu
^:jÇ^r}i^^'
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WERTISSEMENÏ. xi\
Nous donnons ci-conirc un fac-similé do la première liap;c de l'écrit Doc-
iriiinui iaiii,'c/iliit»i etc. Il pourra servir au besoin à reconnaître l'écriture
de Fermai. S'il est diCficile d'espérer actuellement la découverte de Icllrcs
ou d'opuscules autographes, l'impossibilité n'en est nullement démontrée;
mais il est un autre ordr<! de recherches sur lecpiel nous appelons l'attention
des érudils.
Fermât, f|ui n'avait point ch^ cahiers de notes et ne conservait pas de ma-
nuscrits, inscrivait des remarques sur les marges des livres (pti lui apparte-
naient, et il devait le l'aire, quelle que lïit la nature de ses livres. Or il est
difticile de croire qu'il y ail eu destruction complète de tous les Ouvrages qui
onl l'ail partie de la bibliothèque d'un homme qui n'étail pas seulement un
mathématicien de premier ordre, mais qui s'intéressait à toutes les ([uestions
scientifi(|ues et r|ui était un humaniste très distingué. Il semble donc (|ue
l'examen de l'écriture des notes inscrites sur les exemplaires des Ouvrages
du tem[)s pourrait amener la constatation de leur passage entre les mains iW.
Fermât et conduire à dos découvertes intéressantes (').
Il est à remarquer fine les recherches faites dans ce sens à Toulouse n'ont
amené (|ue la dérouverle, juir Libri, à la IJibliothécpie de la Ville, d'un exem-
plaire de la i)remière étlilion du Dialogue de Galilée des Massimi Sisleini (-).
Sur le premier feuillet de garile est écrite (au-dessus d'une note de Carcavi :
« Ce billet est de Monsieur de Fermât, Conseiller au Parlement, (|ui m'a lait
présent de ce livre ») la dédicace suivante :
« Peut-estre croirés-vous que pour me mettre eu réputation alper purgar.
» comme on dit, la tnala faina, je prêtons m'eriger eu donneur de livres.
par M. P. Tyiincry qu'elle ne pouvait avoir clé ccrilo que par Samuel de Fermât; lo savant
éditeur des OKuvrcs de lluygens, M. Bierons do llaan, a conslalc sur rautogra[)lie la vcrilé
de nos conjectures.
(') Uapiielons à ce sujet que des rcchcrcties méthodiques de ce genre, instituées en
Italie, par les soins de M. Favaro, ont abouti pour la publication des OEiivres de Galilée
à des résultais précieux. Si lo défaut d'un point de départ, comme était lo catalogue
de la bibliodié(|uo do Galilée, retro\iv6par lo savant professeur de l'Université de Padoue,
nous a empochés d'entreprendre de pareilles recherches pour Fermât, nous n'en espé-
rons pas moins que notre appel sera entendu. Nous accueillerons avec reconnaissance
toutes les communications qui nous seraient faites à ce sujet et nous pourrons les publier
dans un volume complémentaire à la présente édition.
(-) Uialogo di Galik'u Guliloi, Linceo matcmatico sopraordinario dcUo studio di Pisa, e
filosofo, e matematico primario dcl Serenissimo Gr. Duca di Toscana. Dove nci congressi
di quattro giornalo si discorrc sopra i due Massimi sistemi dcl Mondo Tolcmaico, e Coper-
nicano. Con privilcgi. In Fiorenza, par Gio. Batista LanJini. mdcxxxu. Con Licen/.a de Su-
/ IS'Î \
periori ( Bibl. de Toulouse —^ nouv. classement; ancien n" ^"217).
XX AVERTISSEMENT.
)) Xous en croircs ce qu'il vous plaiia, mais si c'esloil par iiasard vostro
» pensée, apprcnés donc, Monsieur, que vous n'avés pas touché au bul. Jo
» ne songe, en vous oITranl les Dialogues ilaliens du Système de rialilée, qu'à
» l'aire une action de justice et à vous rendie niaistre de l'ouvrage d'un auteur
» (|ui ne passeroit, s'il vivoil, que pour vostre disciple ('). Recevés donc ce
» présent comme vous estant deu, et ne me considérés point en ce rencontre
» comme un adroit negotiateur, mais comme un bon juge qui rejette comme
» une tentation l'idée de vostre grande et fameuse bil)iiotliè(iue et ne se sou-
n vient que de la passion qu'il a d'cslre tout à Vous. »
V.
Le premier projet d'édition complète et les papiers de Libri.
A défaut des autograpbes de Fermât, on possède diverses copies, plus ou
moins anciennes, de pièces ou de lettres soit déjà publiées, soit inédites.
L'attention fui pour la première fois appelée sur ces copies, lorsque Lii)ri,
dans lui arlicle du Journal des Safa/its de septembre iSSp, annonça qu'il
venait d'ac(|uérir d'un libraire i\o. Metz, par i'intermédiaiic tlu caiiitaiue d'ar-
tillerie (depuis général) Didion, un lot de manuscrits provenant tie lu hiblio-
llié(|uo (le l'Vançais et a^ant antérieurement appartenu à Arbogast. D'après
les détails qu'il donnait sur le contenu de ces manuscrits, en particulier sur
les matériaux inédits réunis et copiés par Arbogast, d'après ce qu'un ai'ticle
subséquent (Joiirnat des Savants, mai i84i) révéla sur les conditions défec-
tueuses dans lesquelles s'était faite l'édition de 1679, aucun assentiment ne
pouvait être refusé à l'idée de réunir, dans une publication d'ensemble, les
(Fjivres déjà impi'imées ou encore inédites du grand géomètre de Toulouse.
Villemain, alors Ministre de l'Instriiclion publique, prit l'initiative d'un
projet (le loi, présenté le 28 avril i813, pour faire cette publication aux frais
(le IKtat. Lors(|ue ce projet eut été consacré |iar le vote des deux Cbambres,
Lil)ri fut naturellement cliargé, eu 184-1, do diriger la nouvelle édition, et on
lui ailjoignit nu jeune matbématicieu, Despe.vrous (mort, le G août i883,
professeiu- à la Faculté des Sciences de Toulouse). La collaboration n'aboutit
(I) Pour comprendre ce singulier éloge, il faut savoir que, quoique Carcavi n'ail rien
publié sur kl nialicre, il n'en avait pas moins prnfondémonL spécule sur les systèmes
aslroMomii|ues. Son action en faveur de la conception de Copernic, pour prudente qu'elle
ail été, fut certainement 1res efficace dans le milieu scientifique où il vivait à Paris. Le
lan.uage de Format atteste, d'ailieins, (|ne les idées de son ami étaient indépendantes de
celles de Galilée.
AVERTISSEMENT. xxi
guère (|u'à un résullat {Journal des Stu-anls, novcmhie iS/jS), une mission
lie Despcjrous pour lochcrclies à Vienne, Liljii ayant constamnietit refusé
(le lui donner communication des pièces inédites qu'il avait entre les mains,
et prétextant d'un autre côté de nombreuses occupations comme motifs île
retards dans l'accomplissement de la tâche qu'il prétendait se réserver. Le
6 juin iS46, une lettre du Ministre de l'Instruction i)ultlif|ue, alors Salvandy,
le relevait de cette tâche; bientôt après commençait, sur les détournements
de livres et de manuscrits dont on le soupçonnait, la longue entpiète secrète
(|ui devait aboutir, le 4 février 1848, an dépôt du rapport du juge d'instruc-
tion Boucly.
lunnédialemenl après la révolution de 1848, Libri ([uittait la France et
emportait dix-huit caisses de livres et manuscrits; les papiers (|ui purent être
saisis à son domicile échurent à la Bihliothè(|ue Nationale, où tous ceux qui
concernaient Fermât furent réunis dans le n)anuscrit fonds français, nouv.
acq., n" 3280; la publication projetée fut abandonnée et l'idée n'en devait pas
être reprise avant trente ans.
En 1879, à la suite d'études entreprises à Paris et d'enquêtes dans les |)rin-
cipaies bibliothèques de l'Europe, M. Charles Henry pidjjia dans le Bulletin
Boncompagni un travail (|ue nous avons déjà en l'occasion de citer d'après
le tirage à part :
Recherches sur les manuscrits de l'ierrc de Fermai, suivies de I ras;menls iné-
dits de Bachet et de Malebranchc, par Charles Henry. — lixtrait du llullet-
lino di bibliograjia e di sloria délie scienzc matematichc c fisiche. Tome Ail,
Luglio. Agoslo, Sellembre, Ollobre 1879. — Rome, imprimerie des Sciences
mathémati<jues et physiques, Via Lata, n° 3, 1880. — (216 pages gr. in-4''.)
A la suite de cette publication, le prince Baldassare Boncompagni fit con-
naître, dans une lettre ailressée, le 27 mai 1881, à M. Charles Henry, (|u'il
avait ac{|uis deux manuscrits renfermant les pièces inédites éiuunérées par
Libri en 1889 et qu'il était dis|)osé à les conumniiquer aux savants qui vou-
draient entreprendre une nouvelle édition des Œuvres de Fermât. Ces ileu\
manuscrits, (pii seront minutieusement décrits plus loin, comme étant une
des bases essentielles de notre travail, furent dès lors reconnus comme ayant
effectivement été possédés par Libri et comme correspondant à ce (pi'il avait
signalé de plus important dans son ac(|uisition de Metz. Mais Libri n'ayant
jamais fait connaître exactement quelles pièces de Fermât il avait entre les
mains, ayant d'autre part inséré dans le Catalogue of thc Manuscripts at
Asliburnham-place des mentions qui pouvaient l'aire croire à l'existence, dans
le fonds cédé par lui au célèbre collectionneur anglais, tie lies nombreuses
XXII AVERTISSEMENT.
pièces intéressani la publication projetée à nouveau, il était essentiel do vé-
rifier ce qui en était.
Celte vérification no put être faite avant l'acquisition, par la Bibliothèque
Nationale, du fonds Libri de la collection Asliburnliain. Elle a en grande partie
déçu les espérances que l'on avait pu concevoir ('); on n'a retrouvé, sous le
n" 18^8 de Libri (-), qu'une seule cliemise de pièces provenant de Fermât.
Le dépouillement de ces pièces, (lue, grâce à l'obligeance de M. Léopold
])elisle, nous avons pu faire dès le commencement de l'année 1888 et avant
le classement nouveau, nous a fait reconnaître :
I» Une seule pièce non connue d'ailleurs {voir ci-après, page 87, note i),
sur le lieu à trois lignes;
2» D'anciennes copies de VAd locos pianos et solidos im^'oge, avec VAp-
pcndix (page 91, noie 1) de la Afelhodus ad disquircndani maximam et
miiiiniam (page i33) et du Novus sccundaruni et ullcrioris ordinis radiciti»
in analyticis usus (page 181), opuscules déjà imprimés dans les Varia
Opéra :
3» Une copie d'une lettre de Fermât à Carcavi, laquelle se trouve plus com-
13lète dans le manuscrit de la Nationale, fonds latin 1 1 19G, n" G8 de la Corres-
pondance. — (Publiée par M. Cli. Henry, licc/ierc/ies, etc., pages 198 à 195.)
Des anciennes copies, celle de VIsagoge est d'ailleurs seule à offrir un
véritable intérêt.
VI.
Le manuscrit Arbogast-Boncompagni.
Parmi les autres sources manuscrites qui ont été utilisées pour celte édi-
tion, nous devons signaler, en premier lieu, les deuwolumes très importants
appartenant au prince lîaldassare Doncompagni, à Uoine, lequel les a géné-
reusement mis à notre disposition.
Le premier de ces manuscrits, f|ue nous désignerons par la leltre A, est un
volume haut de 27'"'", large de ar'^.S, com|)orlant une reliure italienne ré-
cente en iiasane lilanche décorée de filets d'or, hH|uelle présente au dos une
(') Notanimeiil le n" 180."j du Catalogue précité n'a pas été rclrouvô; Libri ne parait
|)Us l'avoir livré à lord Asliburnliam; dans le n° 1860, malgré les indications du mémo
catalogue, rien de Ferinal n'a été trouvé.
(-) Ce numéro était représenté par trois portefeuilles où étaient classées des feuilles
séparées. Les pièces sont aujourd'hui réparties entre les manuscrits : fonds latin, nouv.
acq. 2339, 2340, 23il; fuiuls français, nouv. acq. 517o, Sl'fi. Celles relatives à Fermât se
trouvent dans le premier de ces cinq manuscrits.
AVEilTlSSEiMENT. xxiii
vilolo iin[>rimùc : Fermai, O/jusciiIc! et lettres. Outre deux feuillets île i^ardc
(en lète cl ù la fui), on compte, dans ce volume, 83 feuillets numérotés au
crayon de i à Sa (le n° 3o manquant, et, doux feuillets étant numérotés :
12 /lis Cl i3 bis, ainsi i|uc le motilioinie, au reste, une aiinotalioii au crayiui
sur le second feuillet de garde), d'. numéroia2;e au crayon a été lait dans la
hiljliollièqne du prince 15oncompai::ni.
Sur le feuillet i est écrit de la main de Lihri :
Lettres de Fermai \ par ordre \ eommc dans la liste de de' (sic) Arboi;asl \
plus la lettre an père Itilly et eello à (Jarcaiù. \ Plus une copie de la lettre
imprimée {anonyme) de Frcnicle [corrigé de « Fermât »] à Digby \ où il est
fait mention d'un \ autre écrit imprimé précédemment (1G57) 1 par Frcnicle
[corrigé de « Fermât »].
Puis, de la même main, mais d'une écriture plus récente, de même que les
corrections indi([uées ci-dessus :
(Voyez Comm. cp. de U allis.)
En haut de la page est la signature « F. Lepelle de IJuis-tiallais », et sur
tous les feuillets suivants le visa corres[iondant : V. L. lï. (!.; ce (pii peinici
d'établir que l'ensemljle a été vendu, îi Londres, par Libri en [liéccs déta-
chées. Le prince Boncompagni l'a acquis, tléjà relié, du comte (îiacomoMan-
zoni, le i7Janvier 187G.
V" 2 commence (finit 1" ■">) do la main d'Arbogasi, (|iii remplil tout le reste
(lu volume, VIndieation des opuscules malhéniatiijues et lettres de Fermai //ai
se trouvent en manuscrit dans le Tom. IV des lettres écrites au P. Mer-
senne par des savans conservé à la lUbliothèque des ci-devant Minimes à
Paris (').
('") Nous reproduisons celle liste, (|ui a clé déjà |iuhliéo, avec quelques ineorrccti(Mis,
par Lil)ri dans lo Jnurnal des Sav/aas do septembre 1839. Ou remarquera qu'elle ouui-
portc 14 numéros ]iour les opuscules et 20 [lour les lettres, eu dehors de (pielquos picues
lie concernaut pas Fermai.
n N" I. Le traité des contacts spliéritpics, en latin, sans tilre, 'Ji pages in-l'olio, très liellc
ccrilure, peu serrée, cl les figures faites ou grand. Celle copie («) no diffère pas de l'opus-
cule imprime dans les Opcra Vurin en lOjQ. Il y a sur la première page : Opus D. <lc
FlTDlilt.
N° 2. Isago^c iid locns ad siipcrficiciii, en latin, iu-.'i", 17 |)ages ; iiellc copie et très
lisible.
Col opuscule, duipiel Fermai faisait beaucoup de cas, n'a jamais été imprimé.
N° 3. Jd melhodiini de inaxiiiui et miiiiniii oppciidi.r. Commence par ces mots ; (htia
plcriinKpic in progressa q/urstioiiiiin vccuinuH as) ninictriœ, etc., cl Cnil par ceux-ci ; et
1") 1' CeUo cdiiic " a cU- corrîté de n Cel upusiule ".
I. — l'iHMAT. d
XXIV AVERTISSEMENT.
(^'esl ce que Lil)ri appelle la liste d'Arbogast, el l'on trouve elTeclivcnient,
à la suite et par ordre, les 20 lettres de cette liste, toutes inédiles, qui occu-
pent les feuillets 6 ù 44 du manuscrit.
ip'tœ lange/ites indigeaiit ; 3 pag. in-folio; copie d'iiiio main inconnue. Cet opuscule na
pas (") été imprimé.
N° 4. Opuscule sur la mclliode des tangentes, commence par ces mots : Dnclrinam tan-
gentluin anlccedit jamdudum habita met/iodut de iiwentione maximœ, ftc, et finit par
ceux-ci : fiixius aliquando explicahimus et demonstrabimiu ; 14 pag. in-folio, belle copie,
écriture peu serrée. Cet opuscule a été imprimé dans les Opéra Varia.
N° 5. Ad methndum de mariind et tninimd appendix ; 4 pages i in-4°, écriture de
Fermât. C'est le même opuscule que n° 3.
Suivent 10 pages in-folio, écriture de Mersenne, très serrée, souvent difficile à lire. Ces
pages contiennent de suite (*), savoir :
N° 6. De ma.rimis et minimis, par Fermai, commence par ces mots : Outre le papier
envoyé à H. et P., pour suppléer, cte.; -J- pag. in-folio, dont nous n'avons pu lire les trois
dernières lignes (Inédit); il parait que c'est l'extrait d'une lettre à Mersenne.
N" 7. Mcihode des rnaximit explique'e et envoyée par M. F. à ('") M. des C., com-
mence par ces mots : La méthode générale pour trouver les tangentes, etc., el finit par
ceux-ci : au-Tc cônes de même base et de même hauteur; 3 pag. in-folio (inédit).
N° 8. Extrait d'une lettre de M. Fermai. Commence par ces mots : N'importe de dire
qu'il faut faire deux opérations. Cette lettre, dont on trouve ('') plus bas le commence-
ment de l'original, roule sur la méthode des tangentes, en réponse ('^) aux objections de
Descarles {•'").
Le commencement de la lettre manque dans cet extrait, mais il y a {s) 2 lignes i de
plus à la fin ('') que dans le fragment original, qui finissent par ces mots : Je crois qu'il
y trouvera plus de facilite' qu'en la sienne, i pag. in-folio (inédit).
N° 9. Jppcndix ad Isagogem lopicani continens solutiones problemntum solidorum pcr
locos, commence par ces mots : Paluit melhodut, etc., et finit par ceux-ci : per rectas et
circulas cxpedire; 1 pag. in-folio (im|)rimé dans les Opéra Varia).
N° 10. Opuscule sur la mélliodo des tangentes, commence par ces mois : Dortrinnm
liiugcntium nnlecedit, etc.; le mémo ipio n° -i, 2 pag. i in-folio (imprimé).
N° 11. l)c\- nombres des parties aliquoles de F. Commence ainsi : Propos. ('). Tout
nombre impair non quarré est différent d'un quarré, etc., et finil par ces mots : sont beau-
coup éloignez l'un de l'autre; \ pag. in-folio (inédit) : remarquable par la méthode qui s'y
Lrouvc pour (>) trouver les nombres premiers. 11 parait que celle pièce est l'extrait d'une
lettre de Fermai à Mersenne ou à Frenicle.
N" 12. Pour les nombres premiers de M. Ferrn. à Frrn., commence par ces mois : Soii
(«) 1,0 m:>l fm'iif a élii rayé aprê< pttx.
(''1 Ces nuits lie xiiilc uni élc ûjoulp^ en interligne.
C^) Aî-inl ■' .'/ /■' a •. sont les mots raves • Fi'i irt.il il ».
C*) Après le mol IrDii^'f, est eciil. puis raye, • le ftun. ».
(') Après le mol rcjurnse, est éerit. puis rayé, <i /( D. ».
(/) l.a phrase suiïanlc commence par les mots Ici manque, rayes.
(") l.c mol deit.r a elé rayé iloTant le chilTre.
i'M Les mutsri In fin sont ajuutés en marge.
(•) Co tiiol Prnpvs. avail d'nhord élr éeril après u tir F. • Il y est rayé.
(M Ce mol pour esl déjà ccril, puis rayé, après metliude.
AVERTISSEMENT. xxv
La lettre à Billy annoncée par Liljri ne se trouve, au contraire, qu'à la lin
(lu volume (f" 82), copiée par Arbogast avec ce litre :
Lettre (le Fermât au P. Billy. Se troin'e aux manuscrits de la fJihliot/u'>/ue
Nationale à Paris. n° 8G00; c'est la seule lettre de Fermât qui soit dans ce
recueil de lettres adressées au P. Billy.
F» 45-48 on trouve, au contraire, ['Extrait d'une lettre de Fermât à Car-
par c.rcinpic lu prngrcssinn double, etc., finit par ceiix-ci : peine à me dcilirc; J- l>ag. in-
fol. (iiiùdit). 11 parait ([iio c'est l'extrait d'une lollrc do Format à Froniclo.
On trouve prcsonlemeiU sur doux demi-feuilles scparcos, pllées chacune in-4'', écriture
de Mersonno, serrée, souvent dillicile à lire, savoir :
N" l.'î. l'Apositioii détaillée et (") démonstration de la méthode des mn.rimi'i c\, i/!i/iiiiii\,
avec la manièie dont l'Auteur y est parvenu. Cette ('') opuscule est sans titre. Son commen-
cement est : ])uin sj'iicriwds et a/iattruplies Victœœ inctliiidnin c.ipcndercni, de, il hiiil
par ces {') mots : .iiumna triuin liarum ('') rectamni sil miidnia quantitas ; 4 pages in-4°.
Cette pièce, une des plus importantes des œuvres de Fermât ('^), n'a jamais été im-
l)riméc.
N° 14. Ad incthodum de iniidmd cl maxiind appendir. C'est la même pièce <pie n°* 5 et
|{. Elle est ici sur 3 pages in-4°.
Suivent les lettres originales de Format, savoir (toutes ces lettres sont i/icdi/c\) (/) ;
l" lettre à iMersenne, en latin, sans date, Ikvcre/ule palcr, quaimix id ftf^um ut pra
OEdipo damiucm (P) rcitituam, etc., 4 pages in-folio, écriture de Fermât.
^1' lettre à Mcrsenne, Tolose, 26 avril iG3C; 2 pages in-folio, écriture do Fermât.
'.i" lettre à Mcrsenne, Tolose, 25 décembre ifijo: 5 pages in-4'', écriture de Ferjnai.
4" lettre à Mcrsenne, du rj juin 1641; i ], pages in-4°, écriture de Fermât.
,T lettre il .Merscnne, Tolose, i3 janv. i()43; 1 pages in-4°, écriture de Fermai.
G° lettre à Mersennc, Tolose, iG fcvr. iG43; 1 pages iu-4°, écriture de Fermât.
7" lettre à Mersennc, Tolose, 7 avril iCi3; 3 pages in-4°, écriture de Fermât
S" lettre à Mersennc, Tolose, 10 août iG38; 2 pages in-.i".
9" lettre à Copie de la lettre de M. l'ermnt, du 2G décembre i038. Commence
ainsi : 1° Pour les nombres, je pciLc trouver par ma méthode, etc., cl finit par : de (le'o-
me'irie qui vallciii celle-ci; écriture de Merscnne, 1 1 page in-4". Cette copie, ou cet ex-
trait de la lettre de Ferm;it faite par Mersennc, est écrite sur ce qui restait do blanc à la
lettre précédente. L'écriture est dilTicile à lire.
10° [liècc ou lettre, sans inscription, commence par ces mots : Dudum est ce i/uo ml
(*>) I.c nuit t,t a rlc rayr api es et.
(''; Arlio;:a.t arait d'aliord tuuIu éurirc Cctt^ /lii-ce. Les Irais prcaiîèrcs lettres du mol ini-i-c se trouvent, eu eiïci.
rayées après CffU-, gui n'a pas été corrige.
(^) l.e mut ii-nr, rayé, preièJe re-v.
i'h Le mot Ititriiin est déjà écrit, puis raye, avant trinni.
l*^ I Les mots Jt' rerniat sont écrits ou inturligne a la place dos mots du ri-ciieil , nui sont rayé.s.
(./ ) Les mots entre parenthèses oui été ajoutés après couji. Arliosast avait d'abord écrit 'i {t/iftlil) h ajirès la notice des
lettre» 1 2, 3, a la lin pour la prcuiièrc, avant a ccri/iirc tic Ft:rmitt . pour les deux aulrcs 11 a raye ensuite ces mentions.
(S) Lisez Diiviim.
XXV. AVERTISSEMENT.
(•«('/. — d'après la copie de Jiodillaiid. conservée dans les Manuscrits de
lioiiillaud. l^ellrcs de différentes personnes liibliolhcqne nationale.
La clieniise de colle IcU.re avec le lilre Lettre à Carcaviûn la main de Lihii
est acluellemenl le f" gj du manuscrit de la Nalionalc : Fonds français n" 3280
nom-, acf]. {voir plus haul, page xxi) que nous désignerons ])ar la lelire A,.
Enfin la copie par Arbogasl de la lellrc imprimée de Frenicle man(|ue, de
même, dans le manuscril A et occupe les folios 96-98 de A,.
Au folio 49 de A, qui est une chemise portant le lilre : Isa^^oge ad tocos ad
superjicieni, Libri a écrit au-dessous de celle menlion :
Opuscules matkéntati(]ites de Ferjnat inédits. Ce sont les n"^ 2, 3, (j, 7, 11.
12, 13 de la liste d'. {rl)Of;ast.
Ia' n" 10 est ajmilé, au crayon Iilcu, à celle n(Mneuclalure.
On Iroiive, en ell'et, dans leur ordre régulier, lesopusctdes en qiu-slion sui-
les f"° 5i à Si du manuscril dont le contenu se trouve ainsi épuisé.
Il convient de remarquer que le n" 10 n'est nullement inédil. Liliri n'avail
))as eu primitivement l'inlenlion de le comprendre dans le recueil devenu
aujounl'lini la piopriélé du prince IJoncompagni ; c'est même cerlainemeni
s-iinUitiuUiicin pcwabolcs, etc.; cl finit par ceiix-ei : ex aininn rn^^umiiv; 3 J- paj^cs in-.i".
ccriluro do Fermât (inédite). 11 parait (pic c'est une rcponss do l'"erin;it à des cpicstions
faites par C.avalieri, et ([u'il a (") envoyé cette réponse à Morionne, poin- la faire parvenir
soit à Cavalieri, soil à Toricelli ('')•
11. Fragment do ('") lettre à Morsonne; cjaimeace ainsi : J'uvni^ déjà fait un mu
il'crril pour in'e.rpliipicr, rlc, fiait par CCS mots : liabeat miidnuim proporlinncni, du-
tiinir; x |)iigC3 in-4", sans date (c'est le commcnccmenl de la lettre dont le n° S est un ex-
trait: CCI extrait, sans contenir le coaimenccnicnt, a ai lignes de plus à la fin), écriture
de Fcrni;it.
1:2. Invcidre cvliudruin mn.rimi andiilûv in data spliœrd. Celte solution géomctri(|UC
est sans figure, sur 1 pages in-4", écriture de Format, elle ('') apparlicnl à la lettre sui-
vante.
\.V lettre à .Merscnne, du m nov. iG^î: 1 { page in-l", ccriluro do F'crmat (<i.
1 i" Icltre à Merscnne, ïolose, 1 sc|)t, i('i,',J; ■>. jiagcs in-j", ocriturc do Fermai.
I.~». Fragincnl final d'une lellrc à Morsenne, Tolosc, i "> juillcl iG3G; 1 \ |)agos in-i": écri-
Uirc do Format.
Ici so trouve sur i page in-1" une lettre de Picot à Mersennc. sans dale, qui conliont
{"1 I.p iiitjl ,1 t}A on inlerli^iii*.
('') ,Vili<r.;.i.l a^ail aidiiti^ la iiieiiliori ; t^rrilnve de /■'.. qu il .1 inyi-c
l"^) I.Ca tniils lrii;4rni-iil ttf ^OQI nJouU'i on inlorlifno.
(**) 1.0 uiijl fittitiil e>l rayo apr^s l'IIi-.
(«•| I.iliri il ajoulo on niat^'c : it.-i'i- i'.
AVKUTISSEMENT. xxvii
par niéf^ardc fiu'il l'a emporte à Londres en 1848, tandis qu'il laissait à l'aris
des pièces qu'il aurait voulu, au contraire, conserver pour ce recueil.
Des opuscules inédits de la liste d'Arbogast, les n"^ G, 7, 11, 12, cjui soni en
rrançais, fit^ureronl dans la Correspondance de Fermai sous les n"- 2(i, 31, o7,
k'.i. Les autres se trouvent dans le présent Volume.
Quant aux. '^o lettres inédites, lesn"' 10 et 12 sont insérés ci-après, pages i;).")
et 167; [lour l(!s autres, la correspondance sera la suivante avec notre édi-
tion :
iN"' de la liste d'Arbof^ast. 1 2 3 4 i <> 7 S ;) 11 i3 ij il iC 17 iS iç) in
N°-' do la C.ori'cspond.ince
rie Fermai \ i 1 i ") 47 ^'^ ^5 5(i 3> 30 3o h Go 0 Oi Jli 2S iç) 3i)
VII.
Le manuscrit Vicq-d'Azyr-Boncompagui.
Nous désignerons par la letlre 13 le scconil manuscrit que le pi'ince iJoii-
compagni a bien voulu nous comniunifiuer et qu'il a acquis dans les mènics
condilions que le précédeul.
la soliUioii do Dosc.iries louclianl le co;Ure do percussion. Celle solulion esl imprimée daii.^
les Ictlre.- d.; Descanes.
Il)'' lellrc à Morscnno, saas dalo, commence ainsi : ./c vi>u< rends iniUc i;rdccs , etc. ;
■>. pai;. in "4°, écriUirc do Fermai.
17"' Icllre à Mcrscnno, Tolosc, 2O mars iGji; i } page iii-4°, ccriUire de Fermai (" 1.
IS° lettre à Mcrscnnc, sans dale, jcommenco ainsi : J'ai apprit par votre lettre que nui
rcpliqiia à M. Deieiirtcs-, etc.; 2 J pages in-4'', écriture do Fermai.
l'.l'' lollro à Morsonno, sans dalo, commence par cos mois : /V;»v m'écrivez que la pru-
positiim de mes questions impossible^, etc.; 3 pag. in-4°, ccriUire de Formai.
loi so trouve un monioiro latin sur la niélaliurgie ol la ilocimasie.
'JO'' leUrc a Mersenne, 22 ocl. iG38; 9 jiages in-4", écriture do Fermai; le conniieii-
cemonl, i|ui traite d'aliaires parliculiores, manque; imporlanle ('').
i\'«. — .\ la sniio dos lettres do Fermai so Irouvoal iGS pages in-4" do lellros de Le-
tcnnonr à .Mersenne; elles roulenl [larliculioremcnl sur les objcclions do Fabry el do (^azré
("I I.ildi a njipiili- en tii.ir^'p. puis niyi^ : 'M-cr «" v,
(''I l.e mut Cffli' se liuuvt* cent, puis rayé, avaiil tinjturliinfi'.
XXMll
AVERTISSEMENT.
<:Y'st un Volume Imul de .uf", large de 21'^'", 5, relié eu peau de porc el
porlaiU au dos l'inscription :
Copie I de lettres \ de | Fermât | de | Descartes \ et Tradiiclion \ d'un Dis-
cours I de I Galilée.
Sur le plat de la couverlure esl au milieu le ciiilTre 1, en liaui, à i;auclie, le
chifïVe 4- tles deux mêmes chiffres sont reproduits au milieu du premier
leuillel (de garde).
Lorsque le Volume s'est trouvé entre nos mains, nous avons également
reconnu, sur le même jikit, quelques traces de Icllres effacées. L'emploi du
tannin nous a permis de revivifier, en haut, l'inscription « Au Citoyen
contre les démonstrations de Galilée sur la descciUc des graves; quelques observations sur
la dispute entre Roborval et Descartes. Lclenneur marque qu'il esl allé voir de Beaunc à
Hlois el que siipcint prœscntia famam; il fait le récit de l'entretien qu'il eut avec lui,
(pioiiiu'il fût très malade, el i|u'on lui eût coupé le pied, il communique à Mcrsonuc le pro-
blème suivant (|ui venait de lui être proposé, cl dont il n'avait pu encore trouver la solu-
tion.
Un cercle étant donné comme BCD, et une ligne FG deliors, tirer de ses extrémités I",
G deux lignes droites à la circonférence convexe ou concave comme en l'", ou en ('., doni
l'angle soit coupé en deux parties égales par le diamètre.
Os lettres contiennent peu do choses intéressantes: on peut en tirer quelques lails nu
(pieli[ues anecdotes concernant l'histoire des sciences. On y voit, par exemple, que le jeune
Iluvgens avoit fait un écrit avant ou en 1G47 pour défendre et démontrer, à sa manière,
les propositions de Galilée sur la descente des graves.
Toutes ces lettres sont de 1647 et 1048.
Avant les lettres do Fermât, on trouve à la tête de (") ce volume une longue lettre de
Tho. Uobbes à Mersenne, du ('') 5 nov. i64o, en 50 pages in-folio. «
<*) Tes mois à la tête fie sont une correction ilu mol dtiiis.
\''\ Le uiut du est ajouté en interligne.
AVERTISSEMENT. xxix
Maudiiyt )i (l'une écrilurc passaiilcineiU fine cl, vers le milieu, la note sui-
vante :
N. B. 2 ventôse
Ce volume faisoit
|iailie (lu pa(|uel do
pai>iers trouvés ciiez
Vici| d'Azir, après sa
niorl, rt renvoyés à la
bibliolliéque de la
ci-dcvanl Académie
(les Sciences comme
lui appartenant.
Celte noie, (jui est de la main facilcmenl reconnaissahic d'Arbogast, n'avait
pas cU'î écrite dircclemcnt sur la couverture, mais hien sur un carré de papier
collé dessus. Ce carré de papier a probablement été enlevé par Libri, entre
les mains diKiuel le Volume esl passé, comme le prouvent surabondamment
les annotations (pi'il y a inscrites eu marge des lettres de Descaries.
Quoi(|ue ce Volume soit passé enli'c les mains d'Arbogast, il ne l'a pas uti-
lisé pour ses copies, comme le montre la collation des pièces identiques de
A et (le IJ.
Ce dernier manuscrit comprend 1 18 feuillets numérotés (au crayon), mais
c'esl en réalité un recueil faclice cl nous n'avons à décrire que la partie (pii
concerne Fermai et qui vient en lêle.
(Zette partie comprend trois cabiers, le premier de 8 feuillets, le deuxième
el le troisième de \2; les trois derniers feuillets sont entièrement blancs.
Le n" 2 inscrit au bas de la première page du premier cahier el la forme du
début, sans titre cl tout au liant de la page, prouvent l'existence antérieure
d'un autre caliier précédent, (|ui esl aujourd'hui perdu. Toutefois les traces
d'encre qui se sont produites, au moment de la reliure, sur le feuillet de
garde el le revers de la couverture, montrent (|ue la perle a précédé la for-
mation du recueil faclice.
L'écriture esl du dix-scplième siècle, serrée el peu lisible.
Voici le détail des pièces contenues dans ce manuscrit; les unes sont des
extraits de lettres déjà imprimées dans les Varia; d'autres sont des copies de
lettres figurant dans la liste d'Arbogast; quelques-unes enfin ne sont pas con-
nues d'ailleurs.
1. F" a". Exlraict d\\no leltrc du un'"" no'"° ifi3G à M. de Kobcrval pour la quadrature
de la parabole ( Varia) = n" I.'i de In Correspondance de Fermât.
2. 1"° ■i.^". Exlraict d'autre lellre du uiesnie du 4 juin i('>.i8 au 11. P. M. = n° 03.
3. F" a"". Exlraict d'aulrc leltrc du xx™ febvricr i()3(j au 11. P. M. = n" 37.
XXV AVERTISSEMENT.
i. I'° 3™. lixlraicl d'antre Icllro du i" avrd iGlo au li. l'. M. (en partie dans les f'anti).
= n° 38.
:;. P 6™. Autre lettre au li. 1'. .M. (l'aria) = n" 4:).
c. F" Cl"". Autre lettre au iiie.sme = n" 3 >.
7. P 7'". Extraict d'autre lettre du i8" (ictobre iG^o à M. F. (J-'nrift) = \\° II.
S. P S'°. lîxtraict d'autre lettre [Ftiria) = n° 42.
'.). V° if". Extraict d'une lettre du 3i uiay iG4'3 à M. I). F. = u° 38.
10. F" 10'°. Copie de lettre du 22'"° oetubrc iG38(2o'-- lettre de la liste d'Arljogasl) = ir :{.').
11. F" i>.'°. Epistola D"" de Format ad li. I'. .Mcrsonnnni (.ArlwgasI, 1'" Icllre) = n" 12.
12. F" 14"". (Arhogast, iG» lettre) = a" ."il.
lli. F"i5'". (Arhoyast, f lettre) = n" 47.
li. V 15"°. (Arbogast, 'j.' Icllre) = n° 1.
1:;. F" 17'°. (Arboç;ast, 13" lettre) = n" ."il.
IG. F' 17'°. (Arbogast, 11° lettre), ci-aprc\-, page 1G7.
17. F" i8'°. (Arbogast, h/ lettre), ci-aprèx, page njj.
i8. F" if)"°. (Arbogast, V lettre;) = n° 4.'i.
l!l. F°2i'". (Arbogast, 18' lettre) = n° 28.
2(1. F" 22'°. (Arbogast. 7'' lollrc) = n" .'iO.
21. F°22'"-'.( Arbogast, \\f \a\\.TC en pnrlic) = n° .'il).
22. F°22'>-'-.( Arbogast, if lettre) = n° (iO.
23. F" 23'°. (Arbogast, G'-' lettre) = n° .'i-i.
24. F'2i'°. (Arbogast, 17'' lettre) = n° 10.
25. F" 24"°. (Arbogast. 8« lettre) = n" 33.
2G. F°25'°. (Arbogast, 'f letlrc) = n" 3G.
27. F" 25"". (Arbogast, 11" Icllre) = n» G.
2S. F'ïG"'. (Arbogast, ii'' lettre) = n" .'iO.
20. 1""2G"°. Lettre de M'' Fermai (à Frenicicj = n" i8.
30. F'^^28'°. Frenicle respond ( lire d'une lettre inipriuico dans les Varin) — u" iO.
31. F" 28' ". Copie d'une lettre du père Merscnnc et do la responce de M'' de S' .Martin
con"'' du (jranil Conseil.
32. V" 29"°. Lettre de Mcnis' Pnjos au père Merscnnc.
(les doux dernières pièces seront publiées ilans le Volume <le Complcmcnl.
VIII.
Les manuscrits de la- Nationale, etc.
Les aulres maïuiscrils utilisés par nous, yi)parleiianl à ties hildidllièiiues
pnl)li(|nes cl ayant déjà été étudiés par M. (]liarles Henry dans ses Reclicrclics,
n'ont jias besoin d'une description aussi complèle que les précédents.
Nous n'avons d'ailleurs à nous étendre un peu longuement cpie sur le
II" 3-280 fonds français nouv. acq., désigné par nous sous la Icllre A, cl
formé, comme nous l'avons ilil, avec les papiers relatifs à Fermai qui ont été
saisis en 1848 cbcz Liliri.
AVERTISSEMENT. xxxi
Nous avons déjà noié plus haut l'cxislence, clans ce manuscrit, do l'ori-
j;inal : Doctrinam taiigcnliuin etc., et de deux feuillets ayant fait parlic du
recueil d'Arbo?;ast; ce sont là des pièces que Lil)ri a certainement laissées
jiar mégarde en France, tandis qu'il négligeait le reste de « l'énorme cahier »
qu'il a dit avoir acquis à Metz.
Ce reste occupe les feuillets 91 à 98 et 120 à 192 du manuscrit A,, oi^i il est
facile de reconnaître l'écriture d'Arhogast. On peut y distinguer :
1° Divers brouillons des copies au net contenues dans le manuscrit A,
savoir la lettre n" 9 et les opuscules i3, 6, 7, 11, 12 de la liste d'Arhogast
(textes publiés par M. Ch. Henry, Recherches. 2° partie, n"* i5, 17, 18, 19,
21, 22);
1° Des copies ou extraits de quelques pièces déjà imprimées dans les
Varia ;
3" Des extraits (ou notes tirées) des Ouvrages de Descaries (en particulier
de ses Lettres), Fagnano, Mersenne, Wallis, llérigone, Victe, Albert Girard,
Eulcr, Lagrange;
4" Des essais de démonstrations sur diverses questions traitées par Fermât;
5° Des notes bibliographiques sur divers manuscrils de la Nationale ou sur
des Ouvrages mathémalifiues imprimés;
6" Une copie, tirée de l'un de ces manuscrils, de la Proposiiion de M. de
lioherval qui sert à trouver les centres de gravité envoyée à M. Fermât le
i"' avril 1645.
En somme, Arbogast ne semble pas, malgré ses recherches sérieusement
poursuivies, èlre arrivé à découvrir aucune autre pièce inédite de Fermât
(|ue celles du manuscrit A.
En dehors de documents qui n'intéressent guère que l'histoire du projet du
publication sous le gouvernement de Louis-Philippe, le manuscrit A, contient
encore les copies faites à Vienne par Despeyrous (f"" 25 à 90) de la corres-
pondance entre Fermai et Clerselier, etc., d'après les minutes de ce dernier
et des copies faites par ou pour lui.
La Bibliothèque Nationale nous a encore fourni, abstraction faite des ori-
ginaux mentionnés plus haut, (pielques copies anciennes éparses dans divers
manuscrits :
Fonds latin 7226 : f"^ 34 et suiv. Copies de lettres de Roberval à Fermai du
II octobre i636 el du 16 août i636, déjà imprimées dans les Varia, mais la
seconde avec un texte complètement refondu.
Fonds latin 11196 : f°* 46 à 53. Novus secundarum et ulterioris ordinis
I. — Fermât. C
XXXII AVERTISSEMENT.
radicum in aiialylicis ti.tits (ci-aprcs, p. i8i) — f" 54. Lettre de Fermai à Cur-
cavi {voir plus haut, sur les papiers ilu fonils Lihri).
Fonds lalin 1 1 197 : f<" 17 à 20. Copie de la lettre n" 12 de la liste d'Arbogast
(ci-après, p. 1G7) — f" 20". Extrait de la lettre de Fermât à Mersenne du
3 juin i636 (la première lettre des Varia).
Fonds français 20945, Cahier 17 : f" 65. Copie de la lettre de Fermât à
Pascal du 29 août i654 (imprimée dans les Œuvres de Pascal) — f° 78.
(^opic d'une lettre sans adresse ni nom d'auteur, mais que M. Ch. Henrv a
reconnue comme écrite par Fermât à Carcavi et qu'il a publiée {Recliercltes.
pages 197 à 200, n" 76 de la Correspondance).
La Bibliothèque de l'Université de Leyde possède, dans le manuscrit
n° 997 Burmann Q.22, copie de deux lettres échangées entre lluet et Fermai
{ci-après, pages 386 et 388) publiées par M. Ch. Henry (') (^Recherches.
pages 73-77).
Nous avons déjà signalé les autographes de Fermât que possède la même
bibliothèque dans la collection Huygcns. La correspondance de Carcavi de
cette colleclion a été publiée par M. Ch. Henry soit dans ses Recherches
(pages 2i3 à 216), soit dans son Pierre de Carca\'y [pages i4 à 4o du tirage à
part (-)]. Elle renferme d'importants extraits des lettres de Fermât à Carcavi;
l'un d'eux est publié ci-après, page 285, les autres formeront les n*"* 77, 78,
lOJ, 105, 100, 110 de la Correspondance de Fermât.
IX.
Plan de la nouvelle édition.
Telles sont les sources imprimées el manuscrites qui ont été à notre dis-
position pour la préparation de la présente édition; il nous reste à exposer
(') La letlrc de IIucl est égalcmeiU copiée dans le manuscrit de la Nationale, fonds
lalin Hi33. Nous avons dil qne l'original de celle do Fermât subsiste dans notre manu-
scrit Al, f"' 108 el ing.
(5) l'ierro deCarcavy, intermédiaire de Format, de Pascal et de Huygens, bibliothécaire
do Colberl el du Uoi, directeur do l'Académie des Sciences, par M. Charles Henry. —
Extrait du Bullettini) di bihliografîa c dt .itnria dcllc scieiize mnleiiiatichc c fisichcy
tomo XVII, maggio, giugno 1884. — Uome, imprimerie des Sciences Mathématiques et
Physiques, Via Lata n° 3, iSSJ.
AVERTISSEMENT. xxxiii
le plan f|ui a élé adopté par la Commission de publication (') et à exp]if|uer
certaines dispositions particulières.
L'édition doit comprendre trois Volumes : le premier rénfiMinaiil d'une
part les Œuvres mathématiques diverses, et de l'autre les Observations sur
Diophante, les deux suivants seront consacrés à la Correspondance de Fermai
qui sera classée par ordre chronologique el contiendra aussi bien les lettres
qu'il a écrites (pie celles qu'il a reçues.
Tous les opuscules de Fermai étant en latin, un écrit de lui en l'iançais
appartient nécessairement à sa correspondance; mais il a rédigé dans la
langue savante même un certain nombi'e de lettres, plus soignées <pie les
auties, plus exclusivement mathématiques ou qu'il pensait devoir être, plus
(|ue les autres, copiées el conuiiunitiuées. Comme d'autre part ses opuscules
aliectent parfois la forme épislolaire, et rpi'iJs n'étaient pas destinés à une
antre publicité que ses lettres écrites en latin, comme aussi les fragments
isolés composés dans celte langue ont été au moins envoyés par lui avec ses
lellres, quand ils n'en ont point été simplement extraits, on peut pai'fois
hésiter pour classer une pièce latine, soit dans les opuscules, soit dans la
correspondance.
Pour se mettre en gartie contre tout reproche d'arbitraire à cet égard, il eût
fallu pouvoir ad'ecler le |)remier Volume à tous les écrits latins de Fermai;
mais celle solution n'était guère pi'alicable, car il arrive à notre géomètre
de passer, dans la même lellre el parfois sur le même sujet, d'une langue à
l'antre. On serait également tombé dans le grave inconvénient de détruire
assez souvent l'unité d'un groupe de lellres el de rompre le fil chronologique
de la correspondance.
On a donc préféré se borner à conserver le cadre général des Varia Opéra,
en y rattachant tous les morceaux qui y ont paru trouver une place plus natu-
relle <|ue dang la Correspondance, où ils auraient été isolés el la plupart à une
date incertaine.
L'ordre chronologique des opuscules ne pouvant d'ailleurs dans bien des
( ' ) La puhlication des Oliiivrcs de Fcniuil a fait l'objet d'une proposilioii de loi présen-
tée lo iG février 1882; cette loi a été voiéo par la Chambre le i3 mai, par le Sénat
le 4 juillet, et promulguée le i3 juillet 1882. L'impression a clé confiée à MM. Gauihlcr-
Villars el fils, impriincurs-édileurs, qui se sont chargés de ce travail moyennant une
souscription à ■>oo exemplaires.
La princi|ialo cause du retard apporté à la publication est due 11 l'espérance, aujourd'hui
reconnue couimc illusoire, de trouver des matériaux importants dans les manuscrits de
lord Ashburnham (fonds Libri), mamiscrils dont il n'a pas été possible de prendre con-
naissance avant l'acquisition de ce fonds par la Bibliothèque Nationale.
XXXIV AVERTISSEMENT.
cas être riy;ouL'eusenieiU étalîli, il fallait adopter un ordre métliodif|ue. Celui
des Varia, n'ayant aucune valeur réelle, ne pouvait servir de point de départ;
on s'est arrêté aux principes suivants :
Constituer une série de groupes dont l'ordre représentât le développement
des idées de Fermai, tel qu'il apparaît du moins si l'on prend dans chaque
groupe l'écrit le plus ancien et si l'on range cet ensemble par ordre de dates;
Adopter dans l'intérieur de chaque groupe le classement chronologique
jjour les opuscules les plus importants; rejeter à la fin du groupe les frag-
ments (généralement mal datés) et les ranger par ordre de questions.
On reconnaîtra facilement dans la Table des matières ci -avant les
groupes qui ont été ainsi formés et qui, au reste, étaient déjà tous repré-
sentés dans les Varia Opéra; on peut les dénommer comme suit : i" Géo-
métrie à la manière des anciens; 2° Géométrie analytique (inventée et déve-
loppée indépendamment de Descartes); 3" Méthodes des maxima et minima
et des tangentes (origine du calcul difTérenliel); l^° Théorie des équations
(notamment une méthode d'élimination générale); 5° Quadratures (origine
du calcul intégral).
La langue dont s'est servi Fermât et la désuétude où sont toml)és, même
dans le latin que lisent encore les mathématiciens, un grand nombre des
termes teclmiques dont il se sert, ont paru rendre désirable une traduction
française; la Commission a jugé qu'il serait préférable de ne la publiei' (|u'à
part des G'2uvres de Format dans un Volume spécial de Complément, ofi l'on
donnera également des traductions : d'une part, de Vlncentum iioviim rédigé
\r,M- le 1'. de Billy d'après les lettres que lui avait adressées Fermât et publié
dans le Diopliante de 1670; de l'autre, du Commercium epistolicum de Wallis;
aucun de ces deux Ouvrages n'a, en effet, de titres suffisants pour figurer
dans les Œuvres mathématiques ou dans la CoiTcsjJondance de Fermât, et
leur réimpression n'offre pas d'intérêt véritable ; leur connaissance est cei)en-
dant indispensable pour l'histoire scientifique de Fermât.
Le Coiuplâment comprendra encore, dans le même but historique, les nom-
breux extraits que l'on peut tirer, relativement au géomètre de Toulouse, des
lettres de Descartes et divers autres témoignages des contemporains, en j)ar-
ticulier de Mersenne.
Enfin, la Commission a jugé que les éditeurs devaient limiter leurs notes
au minimum indispensable pour l'intelligence du texte (renvois compris) et
les renseignements bibliographiques; mais elle a décidé la rédaction de trois
index : l'un des noms propres; le deuxième de la langue mathématique de
Fermât; le troisième des matières.
AVEKTISSEMENT. xxxv
X.
Remarques pour la lecture du texte.
Le présent Volume ne conleiiant que des écrits latins, nous n'avons à parler
aujourd'hui (|ue des règles ([ui ont été admises pour la constitution du texic
en celle langue.
L'édition des Varia est d'une singulière incorrection; les originaux fonl
défaut, à une seule exception près, ([ui permet d'ailleurs {voir page iSg
note 2) de constater c|uc Fermât les écrivait assez précipitamment pour ne
pas éviter certains lapsus calami; enfin les copies laissent également plus ou
moins à désirer.
Dans ces conditions, on a supposé que le texte de Fermât devait, avant
toutes choses, être correct, soii pour le sens, soit pour la langue, et partout
où il a paru corrompu, on s'est efforcé de le restituer en se conformant le
plus possible aux indications des sources et aux habitudes de l'auteur.
Diverses additions, soit de mots, soit de membres de phrase omis, ont paru
nécessaires; elles ont été faites entre crochets d'intercalation < >. Les cro-
chets [] indiquent, au contraire, les passages suspects d'interpolation, genre
de corruption auquel les copies n'ont pas échappé par suite des notes i|ui y
ont été ajoutées.
On n'a tenu aucun compte de la ponctuation des Varia, (|ui est aussi défec-
tueuse que possible, ni même de la division en alinéas que comporte cette
édition. Les sources manuscrites ont été seulement consultées sous ce rap-
port. On a cherché avant tout à rendre la lecture facile, en adoptant une
ponctuation régulière et conforme à nos habitudes modernes, et en multi-
pliant les alinéas.
Une autre innovation a été introduite dans le même but : la luise à la ligne
de tout ce qui est équation ou jieul être considéré comme tel. Il est à peine
utile de dire que cette disposition typographique n'est pas en général indi-
quée; par les sources; mais nous n'avons eu aucun scrupule à l'adopter, et
nous pensons qu'elle pourrait être utileiuent imitée en général dans les réé-
ditions des anciens auteurs mathématiques.
En ce qui concerne les notations et abréviations, nous avons cherché à
déterminer pour chaque opuscule le mode qui semblait avoir été le plus
généralement suivi par Feriuat, et nous y avons conformé tout ce qui en dif-
férait. Il est à remarquer que, dans les anciennes copies et dans les Varia,
xxxvi AVERTISSEMENT.
on n'a attaché aucune importance à l'emploi de notations que Fermât, fidèle
aux errements de Vièlc, a généralement évitées; mais, d'autre part, on ne
doit nullement supposer qu'il ait suivi dans tous ses écrits régulièrement le
même système d'abréviations. La règle que nous avons adoptée nous a yiaru
concilier ce qui était dû au respect des anciennes notations et à la facilité de
la lecture; car, pour celle-ci, il est en tout cas essentiel que l'on ne passe pas
brusquement d'un genre d'abréviation à un autre.
Pour l'orthographe latine, nous avons adopté celle (jui est encore aujour-
d'hui la plus usuelle, malgré les dernières tentatives de réforme; tout d'abord
nous avons distingué 1'/ et le /, Vu et le c comme le faisaient déjà les Elze-
virs ('), par exemple dans l'édition de Vièlc de 1646; puis, pour ciiaque mol
particulier, tout en ayant grand soin de restituer certaines formes que Fermât
paraît avoir affeclionnées et ([ue les copistes ont d'ordinaire négligées, nous
avons adopté l'orlbographe la plus usuelle, et seulement pour les cas am-
bigus, nous avons cherché l'usage le plus fréquent dans les sources relatives
à chaciue opuscule. Cependant, pour la facilité de la lecture, nous n'avons
pas hésité à substituer partout r/iitim à cum, qui semble pourtant bien avoir
été l'orthographe de Fermai.
Çii tout cas, pour que l'édition nouvelle pût entièrement remplacer les
Varia dans toute recherche sur ce point, l'orthographe de l'ancienne édition,
ainsi que celle des autres sources, a été notée scrupuleusement, en même
temps que les corrections, dans les variantes rejetées à la fin du Volume. Ces
variantes contiennent également quelques notes critiques et remarques qui
complèlenl les annotations mises au bas des pages du texte.
L'accentuation a été indiquée partout où elle a paru utile pour faciliter la
lecture; on a suivi à cet égard le modèle donné par Friedrich lltillsch dans
sa traduction de Pappus.
Les pièces qui figurent dans l'Appendice ont été réimprimées sans aucun
changement, à part quelques corrections indiquées en notes.
M. Paul Tannery s'est plus spécialement chargé de rétablissement du texte
et de la rédaction des noies de ce premier Volume : M. Charles Henry s'est
plus particulièrement occupé de recueillir et de collationnei' les documents.
Sans l'offre gracieuse du prince Haldassare Boncompagni, sans sa singu-
lière complaisance pour nous, la préseule édition n'aurait pu être enlre-
(') Le Dloplianie cl les yarla de Samuel Fermai olTrenl à cel égard des divergences
cl des irrégularités; mais en général la distinction n'est pas faite dans le premier de ces
Ouvrages : elle l'est au contraire dans le second.
AVERTISSEMENT. xxxvii
prise; le monde savant lui en doit une reconnaissance; dont nous ne pouvons
être ici (|ue les trop faibles interprètes; nous devons aussi un tribut de remer-
ciements il nombre de personnes (|ui ont bien voulu nous [irèter leur concours
et nous fournir divers renseignements; nous avons tout particulièrement à
nommer M. Léopold Delisle, administrateur de la Ilibiioliiè(|uc Nationale, ipii
a facilité nos reclierclies avec tant de bienveillance; M. Henri Omoni, biblio-
thécaire au département des manuscrits du même établissement, à (|ui nous
devons, entre autres choses, la découverte d'une pièce inédite, imprimée; dans
l'Appendice; M. IJierens de Haan, M. Antonio Kavaro qui dirigent respecti-
vement, l'un à Leyde, l'autre à Padouc, les rééditions tles Œuvres de lluygens
et de (lalilée et qui nous ont assuré leur précieux concours pour des collations
que nous ne pouvons faire nous-mêmes; enfin M. de la Ville de Mirmont, de
la Faculté de Bonleaux, qui a bien voidu rccberchei' jiour nous la provenance
de quel([ues citations classiques faites par l'erinal sans nom il'auleur.
ŒUVRES MATHEMATIQUES DIVERSES.
APOLLONII PERGiEI
LIBUI DUO DE LOCIS PLANIS IIESTITUTI.
< LIBER PRIMES. >
Loci plani qu\d sint, iiotiini est satis superque : liac de l'c scripsissc
libros duos Apolloniiim tcstatur Pappiis (' ), eorumquo propositioiies
siiii^Lilas iiiitio lihri septimi Iradit, vcrl)is lamcn aiit ohsciiris aiil saiie
interpreli ininiis perspectis (gra'ciim cnim codiceni (') vidcre non
licuil). Hanc scientiam, totius, ut videtur, Geometriic pulclierrimani,
ab ol)livione vindicamus et Apollonium de lads planis dissercntoni
Apolloniis Gallis, Batavis (i Illyricis Ç) audactor opponinius, ctM'lani
( I ) Puppi Alcxandrini mailionialicic collccliones a Federico Commandino Urbiiialc in lali-
niuii ccinvcrsa; el comincnlariis illuslraUG. — Pi.saiiri, apud Hieronymum Concoi'diani.
MULWXViii. — (l)'aulres tirages à Venise npiid Frnnciscnm de I'r(i/ici\ci\ Sciten.icin, lOS;),
ol à Pesaro, 1G02.)
C'est ù celte traduction de Commandin (pio Fermai a emprinilé lextiieliemcnl les cnoii-
ccs (ci-après entre guillemets) des propositions (pi'il a chcrclié à restituer. l'oir, dans les
variantes, la correspondance établie sous la rubrique Co.
(2) Le texte grec de la préface du Livre VII de Pappus a été édité pour la première l'ois,
en 1706, par Hallcy {.Ipiillu/iu Vcrg<ci dv xcctioiw ralioid.i Ubri duo ex Arnbico MSin
latine versi, etc., Oxford). Mais pour apprécier la valeur do la divination de Format, il faut
recourir à l'édition complète : l'oppi Alcxandrini Collcetioids qua: siipersunt e libri.i iiiaiiii
seriptis edidil laliiid iiilerjiretoliiiite et eoinnientariif instriixit Friderieiis WvvKc.n. Boi'lin,
VVeidmann, 187O-1877-1878 (Vol. II, pages GG2-CG9 pour le texte des propositions, el
pages 852 à 8G5 pour les Icmmes relatifs aux Lieux plans d'Apollonius).
(') Francise! Viclœ .-//>o//o///;o' Galltis seu cxsuscitala Apollonii Pcrgœi -;p''. I-.i-m'j (ieo-
/i. (i: Il vu ES DE FERMAT. - 1" l'AUTlE.
gerentos fidiiciam non alibi pra^clarius qnani hoc in opère, Geometria-
iniracula elucere. Qiiod ut statim fatearis, liic exordior.
Pi'opositiones lihri prinii lia' sunt :
PnoposiTio I.
« Si fhiœ lineœ agantar, rcl ah iiiio dalo piinclo, vcl a duohus. cl vcl
1) in reclam lincarn, vcl paralleUv, rel datiim continentes anguhim, vcl
n inler se datani proportionem habcntes, vel daturn compreliendenles sjm-
» liiim : continuât aulcm terminus itnius locum planum positione datum,
» et altcriits terminus locum planum positione datum continget, interduin
» quidem ejasdem generis, interdit m vcro diversum, et interdum simili ter
» posilum ad rectam lineam, interdum contrario modo. »
Ha'c proposilin in propositioncs octo dividi commode potest, et
qii.Tvis ex iis in muUiplices casns : ohscuritatem interpreti pra'buisse
videtur interpunctionum defectus; imo et Pappus ipse lioc loco propter
nimiam brevitateni videtur non vacavisse ol)scuritate. Singula, dum
secamus in octantes, ita rovelamus :
l. Pi'.OPOSiTio. — Si a (lato puncto in rectam lineam duœ linew
agantur, datam hahentes proportionem, et terminus unius contingat
locum <^ planum^ positione datum (/toc est : aut rectam, aut circum-
ferentiam circuli positione datam), alterius terminus continget rectam
aut circuli circumfcrcnliani positione datam.
Esto datum punclnm A (Jig- i ), per quod agantur in directum
rectœ AB, AF, in proportione data, et sit, verhi gratia, punctuni lî in
melria. — Ad V. C. Adrianiim Romnnum Bcl^am. — Paris, I^cclorc, lOoo. — (RepmdiiiL
])ages 325-346 An l'ciliiion des Œuvres de Vièle |).ir Schoolen. Lcydc, Kl/.c'virs, iC4<)- »
Wilcbrordi Slicllii li(odolplli) F(ilio) : r.io\ h'jjoj àjtoxojir,; /.al ;::pi -/fioio-j à7:0T0;jif|:
rosuscitiUa Gcomclria. Leydc, l'ianlin, 1607. — .Ipolloiiius JlaiavuMicn oxsuscitata Aiiollonii
l'cr£;nci j:;pt î'.oip'.arxEvrj; Tojjifi; Gcometria. I.cydo, Dorp, lOoS.
Mariiii Gliclaldi, Palritii Hagusonsis : .Ipolitmais rcdiviviis son rcslilula Apollonii Per-
gœi inclinationuin Geoniotria. — Suppleinciitiim J/xilloiiii Catti scu cxsiiscitala Apollonii
Pergœi taclionum Gcomctri;c pars rclicpia. — Venise, 1607.
On peut ajouter le Siipplcmcntum ApMonil redivài ]inblié par Alexander Andcrson à
Paris, en 1G12.
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 5
recta liiiea HGBD positione data : Aio punctum F esse quoquc ad rectam
positionc datani.
A puncto A dcmissà in rectam HD perpendiculari AC, dahitiir
l)unctuin C. Producatur CA ad E, et fiât ratio CA ad AE isequalis data';
(lal)itur ii,^i tu r recta AE etpunctum E. Per punctum E.parallela recta' HI)
H
C
B
n
A
/
/
V
/
F.
G
ducatur GEF; dabitur positionc, et in ea erit punctum F, (juia omnes
rect* per datum punctum parallelas sécantes in eamdem rationem
dividuntur. Patet ergo (juamcumque rectam, per punctum A (rans-
euntem et datis positione parallelis tcrminatam, in datam secari pro-
portionem.
Esto deinde datum punctum V, (ftg. 2) et circulus positione KLN,
Fi-. 2.
cujus centrum A. Juiigatur T5A, in puncto I circumferentiam secans, et
producatur IB ad 15E, ut sit ratio IB ad BE «qualis data'. Continuetur
in F, et fiât
AI ;kI EF ul IB ad DE,
et centro F. intervallo FE, describatur circumferentia circuli EDZ,
(|uam patet, ex construclione, positione dari : Aio rectas omnes, p'er
punctum datum B transeuntes et utrimque circumferentiis daforum
positione circulorum terminatas, in datam secari rationem.
Ductà enim, verbi gratia, CBD, jungantur CA, DF; est
m 115 ad UE, ila AI ad EF;
G ŒUVRES DE FERMAT. - I™ PARTIE.
Ol'ffO
ul Iota RA ad RF, ila AI sive A(^ ad EF sive FD;
el sunt œquales anguli ABC, FBD ad verticcni. l'atct itaquc trianiçula
esse similia, atque ideo
ut CR ad RD, ila RA ad RF, lioc est in ratione dala.
Quum igitur a dato puncto B ducantur in directum dua recta}, BC,
BD, verlii gratia, in data ratione, quaruin BC tangit circumferentiam
positione datani, tanget quoque BD aliam circumferentiam positione
data m.
Si producantur rectai donec ad concavas circulorum circumferentias
pertingant, idem eveniet.
Monemus porro nos minima qua?que in demonstrationibus non
docere, quum statim pateant, inio et casus diverses non perseqni,
(|iium ex adductis minimo possint negotio derivari.
2. PROPOSITIO. — 5/ a dalo puncto duca/itur in dirccluni thiœ rcctw,
(fatum continentes spatium, continuât autem terminus unius locum planuin
positione <^ datum > T ' ), tanget paritcr el terminus alterius.
Ksto datum punctum A (fig- 3), data primum recta 15C positione, in
quam deniittatur perpendicularis AC; daijitur ergo et punctum C. Pro-
ducatur, et tiat spatio dato ajquale rectanguluni CAE. Super diametro
AE dcscripto circulo ADE, aio rectas omnes, per punctum A ductas et
illinc rectà, liinc circumferentià circuli ( quem patet dari positione)
terminatas, ita ad punctum A secari ut rectanguluni suh partions
a*quetur spatio dalo.
Nam sit, verbi gratia, recta DAB. Junctà DE, quum sit angulus ADE
in semicirculo reclus, et anguli BAC, DxVE ad verticem a'quales, erunt
('j 1.0 mot datum a élé reslitiié ici cl ailleurs, partout où il a paru improbable que
[•"ermal l'ait consciemment sous-entendu. Mais il faut observer que Pappus dit souvent
seulement Ssas! et Commandin pusitioiie, pour signifier iloiinc de position ; Fermai a\'ail
donc pu prendre la même liabilude.
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 7
triangula DAE, ACB similia, atqiie iilco rectanguluni BAI) rectan-
giilo (L\E dato aiqualc.
Quum igitur perpunctum A ducanturduacroctac AB, AD in directum,
et Icriiiiiius uniiis, ncnipe AB, tangat rectam BC positione datam,
tanget et terminus altcrius locum planum, hoc est circulum ADE, posi-
tione datuni.
Sed detur punctum V {fig- 4) Rt. circulus BIGH positione, cujns
centi'uni E. Jungatiir EV et pi'oducatur in B; dabitur VB. l'rodueatnr
in F, nt sit rectanguluni BVF ioquaic dato, cui etiam a-quetur rectan-
guluni GVX. Super diamctro XF, circulus describatur XKF, (jueni
8 ŒUVRES DE FERMAT. - I- PARTIE.
quidcm dari positione patet : Aio rcctas, pcr piinctuin V Iranseuntes et
duobus circulis terminatas, ita secari in V ut rectangulum sub seg-
mentis dato œquale efficiant.
Ducatur enim, verbi gratia, xVVKI : aio rectangulum AVK ;equari
dato.
Sumatur centrum circuli minoris 0; recta autemAVKIseceteumdeni
circulum in R; jungantur recta? RO, AE. Posuimus reclani^ulum (IVX
;equari BVF; erit ergo
GV ad VB ut FV ad VX,
et coniponendo, et sumendo antecedentium dimidia, et per conver-
sionem rationis,
ul EB sive EA ad EV, iia OX sive OU ad ()V.
Et liabent duo triangula OVR, VEA communem angulum EVA; erunl
ergo siniilia, et
Ul AV ad RV, iia AE ad RO, sive EB ad OX, < et > VE ad VO.
Quum ergo
ergo
ut EB ad OX, ila VE ad VO,
ut EB ad OX, ila reliqua VB ad reliquaiu VX,
atque idco
ul AV ad RV, iui BV ad XV.
Similiter probabiinus
ul HV ad VF, ita IV ad KV;
erit igitur vicissim
ul GV ad VI, ila FV ad VK.
Ut auteni
FV ad VK, ita VR ad VX
(quia rcctangula KVR, FVX in circulo sunt a'qualia ), et
ul VR ad VX, ila probavimus esse W ad VB;
crit igiUir
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.
ul FV ad VK, ex una parle, ita VA ad VB.
Uectangiilum igitur KVA rectangulo FVB dato axjuale.
Kx alia vero parte crit
m CV ad IV, ila VH ad VX,
atqiic ideo rectangulum IVR rectangulo GVX dato a'quale.
Quum igitur per punctuin V ducautur dua* line;e in dircctuni AV
et VK, oonipreliendentes spatium datum, et terminus unius, nempe VA,
contingat circulum posilionc datuni, tanget et terminus alterius locum
planum, hoc est circulum XKF, positionc datum.
. 3. Propositio. — Si a dato <^pii/iclo ^ ducautur duœ lincw, datum
contineulvs an^idum et datain proportioncm hahenlcs, contingat aittc/it
terminus unius locum [danum positionc <^datum^, contiitgct et terminus
alterius.
j'^sto primo datum punctum II {/ig. /)) et recta linea AF positionc,
Fis. ■').
A n
in quani dcmissa perpendicularis IIB dahilur. Fiat anguhi dato avjualis
angulus Bllt] et sit BH ad HF in ratione data; dabitur recta 111'] posi-
tionc, et punctum K. A puncto \l ad rectam HF cxcitata perpendicu-
laris iniinila DEG dabitur positionc. Sumatur ciuodlibet punctum in
recta AF, utC, et junctà IIC, fiât angulo dato aiqualis CIII : Aio rectam
lie ad III esse in ratione data."
Nam, (|uum sint a-cjuales anguli BIIF, CHI, dempto communi (^Ilh],
I'ermat. — I. 2
10 (EUVRES DE FERMAT.- I- PARTIE.
erunt a'qiuiles BUC, EHI; et sunt anguli ad B et E recti : sunt igitur
similia triangula HBC, HEI et
et vicissim
ul un ad lie, ila IIE ad HI,
ul lie ad HE, ila HC ad III
liabet ralionem datain.
Qiium igitur, a dato puncto H, ducta; fuerint duse lineae HC, HI, in
dato aiigulo CHI et in data ratione, et altéra, nempe HC, ad punctum C
contingat rectani positione < datam >, continget et terminus alterius
locum planum, nempe rectam DG, quam dari positione probatum est.
Sed tangatur circulus : este punctum A {fig. G), datus circulus
Tvi. 6.
positione lE, cujus centrum F. Jungatur FA secans circulum in I, et
fiât angulus < lAD > ;cqualis dato, et ratio IA<ad>AD data;
dabitur AD positione, et punctum D. Producatur et fiât
ul lA ad AI), ita IF ad DG.
(>entro (- descriplo circulo DB, quem patet dari positione, sumatur
quodvis punctum in priore circulo, ut E, et junctà EA, fiât angulo dato
sequalis EAB, et sit punctum B in secundo circulo : Aio esse AE ad BA
in ratione data.
Jungantur FE, BC. Probabimus, ut supra, iequalesangulos FAE, (L\B
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. H
et shnilitudinem triangulorum FAE, CAB; iisdem lationibus, quibus
jam in priore propositione ejusque secunda figura usi sumus, arguenuis,
critque
AF ad EA ut AC ail Ali,
et vicissim
ul AF ad AC, hoc est iil Al ad AD, ila AE ad AH.
Dabitur ergo ratio AE ad AB, et patet tuni sensus, tum consequentia
propositionis.
4. Propositio. — Si a dato puncto ducantiir ditœ Itiiew, datiini ron-
lincnles angtdurn et dalum comprehendcnles spa/iiim, con/ingat autcin
lermùiiis iinius lociiin planum positione dalum, conliugcl cl icrmi/iiis
ail crins.
Sit datum punctum G {/ig- 7), recta positione data AC, in quarn
A n
ducatur perpendicularis GB; eslo angulusdatusBGE, et spatiiim datum
sub BG in GE. Super GE describalur semicirculus GEF, et sumpto in
recta positione data quovis puncto, ut 1), junctâque DG, liât anguio
dato a^jualis DGF : Aio rcctangulum sub DG in GF a;quari dato.
Jungatur FE. Probabimus, ut in propositione priccedi^nte, a^(juali-
tateni angulorum BGD, EGF. Sed rccti ad B et F sunt ;e(juak's; non
hitcbit igitur triangulorum BGD, EGF similitudo, ikmiuc rcctangu-
lorum BG in GE, et GD in GF leciuaFitas, neque veritas propositionis.
Si igitur, etc.
Sed sit datum punctum A {fig. 8), et circulus positione HGE.
12
ŒUVRES DE FEU M AT. - I- PARTIE.
Diicatur, per ipsius ccntrum, AEH sccans circumfercntiam in puncfis
E, H. Sit angulus ilatus HAB, et spatium daluni rcctanguhim suh HA
in AI, vel ■<siil)> lîA in AB. Super recta IB dcscripto seniicirculo ( ' ),
quem qiiidem patetdari positione, satisfiet quœstioni : nam ductà GFA,
Fis. S.
verhi gratia, et facto angulo GADC, dato a>quali, aio rectanguliim (J.M).
vel FAC, a-quari dato.
Nam quum rectangula HAI, EAB œquentur, crit
ut HA ad AE, ila AR in\ AI.
Ex propositionis verù supcrioris ratiocinio patct œqualitas angu-
Inriim IIAG, BAC et ex priore propositione facile dedncetur esse
Sed
cri^o
ut IIA ad GA, ita RA ad AC.
ut IIA ad r,\, ila FA ad AE;
ut FA ad AE, ila RA ad AC,
reclangulumque FAC rectangulo BAE dato est lequale.
Deinde est
ut RA ad AC, ila AD ad AI,
rectangulumque CAD rectangulo HAI dato œqnale. Constat itaqne ex
oinni parte propositum.
Si igitur, etc.
(') /-o;> plus loin page 18. ligne 7 en rcmonlanl : « Observandum aiiteni, etc. »
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. l".
Hoc in casu sunipsimus punctum A extra circuluni positionc clatuiii,
in secundo vero casu secunche propositionis, inlra circuluni posuera-
mus.
Qualuor proposiLioncs prœccdenlcs puncluui ununi datuni assu-
nuint, sequentes duo.
.). Pr.oPOSiTio. — Si a duobus punclis dalis duœ lineœ parallclœ. agaïUur.
ralioncni hahenles datant, contingat aulcrn ternunns imius locian planum
posilionc daUtm, cunlingel cL teriniitiis altcriits.
Sunto •< data >> duo puncta A et H (Jig- 9), recta posilione (>I}DK,
in quani demittatur pcrpcndicularis AB, cul parallela dncatur IIE, et
sit ratio AB ad HE data. Dabitur punctum E, per quod ductâ FEG pcr-
pendiculari ad HE et rectro positione data^ parallelà, aio omnes paral-
lelas, a punctis A, II ductas et njclis CD, FG positione datis terniinatas.
esse in proportione data A13 ad IIE.
Erunt eniin anguli BAD, EIIG tcquales, et rccli ad B et E; siniilia
ergo triangula BAI), EIIG, et reli(|ua facilia.
Quuni igitur a datis duohus punctis A et H ducta; fuerinl parallela'
AD, HG, in ratione data, quaruni AD est ad datam rectain position(;,
erit et HG ad rectam positione datam, idcoque ad locum planum.
In liac figura {Jig- 10) sint data puncta A et Z, et circulus positione
BC, eujus centrum E. Jungatur AE, occurrens circulo in B, et liuic
parallela ducatur ZN, fiatque ratio AB ad ZN ;equalis datie. Produ-
catur ZN in I, et liât ratio BE ad NI ccqualis etiam dat;e. Centro I, inter-
valle IN, descriptus circulus daliitur positione et quacstioni satisfaciet.
14 ŒUVRES DE FERMAT. - I" PARTIE.
Nam, ductis parallelis AC, ZD, circulis ad puncta C, D occurren-
tibus, dit ratio AC ad ZD œqualis datœ; esse enim angulos BAC, NZD
Fi.'. lo.
a'quales, jain primushnjus propositionis casiis evicit; reliquum pra^-
stabit secundum < tertiœ > propositionis epitagnia.
6. Propositio. — Si a duohus pitnclis dalis duœ parallelœ agantiir.
dalurn comprcheiidentes spa/iiim, contingat aulem terminus uniiis lonirn
planurn posilione datitm. cnnlingel et terminus allcrius.
Sint data duo punclaA et H {Jig. 1 1 ), recta positione CE, in quam
<demittatur> perpendiciilaris AB, oui parallela ducatiir IIG, et
rectangulo dato sil wquale roctangulum sub AB << in > (') HG; dabi-
tur recta HG, super qua descriptus semicirculus (-) HFG qua^stionem
perficiet.
( ' ) La loculion abrégée « siib AB, IIG » se trouve déjà cticz Vicie.
( - ; Fuir la Note de la page 1 1.
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 13
Ductis enim ubicunique parallelis AD, IIF, et junclà GF, patebit
demonslrationes superiorcs retractanti trianguloruni BAD, GHF simili-
tudo, iileoquc rectangulum sub AD iii HF aujualc dato sub BA in HG
concludelur.
Quum igitur a duobus punctis, etc.
In secundo casu, sint data puncta A et B {fig. 12), et circulas posi-
tionclFGH, percujus centruni transeat AIII, cui parallela ducatur BC,
Fie;. 12
et sit rectangulum sub AI < in > BC œquale dato, eidemque sequalc
rectangulum sub AH in BO. Super recta OC descriptus semicirculus
praestat propositum.
Nam, ductis parallelis AFG, BED, crunt anguli IIAG, CBD joquales,
et rectangulum sub AG in BE iequale dato, eidemque rectangulum sub
AF in BD; ncc absimilis est ei, quae in secundo epitagmatc proposi-
tionis quartai prodita est, demonstratio.
7. PiioposiTio. — Si dnœ lincœ a gant ur a dalis duobus punctis, dut uni
continentes anguluni et dalain habentes proportioneni. conlingal aiilcni
terminus unitis locum planiun positionc dutum. contingct et terminus ulte-
rius.
Sunto <data> duo puncta A et B (fig. i3), recta positionc IGII.
16
ŒUVRES DE FEUMAT. - T' PARTIE.
Super BA describatin' porlio circiili ALB, copions angulum ;oqualem
(lato. A punctn A ducatur in rectam IH pcrpcndicularis AG, (jiia pro-
ducta dnncc circumfercntiaî occuvrat in L, producatur LBE, et fiât AG
ad BE in ratione data. Perpendicularis ad BE agatur FEDC, et sumatur
quodlibet piinctiun iii portionis circumfcrontia, ut K, a quo ducantur
pcr puncta A et B reclœ KAII, KBD, occurrentcs redis III, FC in punctis
H et 1) : Aio AH ad BD esse in ratione data AG ad BE.
Fis. i3.
Quurn enini lioc ita se liabeat, erunt triangula AGH, BED siniilia,
ideoque anguli GAII, EBD, eisque ad vertieem KAL, KBL lequales ;
(|Uod quidem ila se lial)etquum cidem circuli portioni insistant, et pro-
clivis est al) analysi ad synlliesin regressus.
Quum igitur a datis duobus punctis A et B ductae fuerint du» recta»
AH, BD, datuni continentes angulum HKD •< dataniquc babentcs pro-
porlionem >, et terminus ipsius AH contingat rectam IH positione
(hitam, conlinget et terminus BD rectam FC, quam dari positione evicit
constructio.
Sed sint data puncta A, B {/ig-. i.\), circulus positione HF. Super
recta AB describatur portio circuli AKB, capiens angulum dalo :equa-
lem. Centrum circuli HF esloG. .lungatur AHG, producatur donec por-
tioni occurrat in K, et ducatur KBE, et sit ratio AH ad BE data. Pro-
ducatur BE in I), donec HG ad DE sit paritcr in ratione data. Centro 1)
desci'iptus circulus dabitur positione , et dabit solutiouem (jua's-
tionis.
Duclis (|uippe lAF, IBC, erunt anguli ad A et B a(|uales, et i'eli(|uum
LIEUX PLANS DAPOLLOMUS.
17
proposili non est laboiiosuni; statinique patetAFatl BC esse in rationo
data, inio et ad circumferentias concavas productas idem pryestarf.
Qunm igitur, etc.
Fi«
8. Puoi'Osrrio. — .sV a daobits ptinclis datis ducanlur duœ liitcœ, daluni
<-()iiluientes angulum et datum compi-ehendenles spatium. conlin^al autcin
Icnnimis uniiis locuin planitm positione dalum. contingcl cl Icnninus dltc-
rius.
Sint data duo puncta A etU {/ig. i "i), recta positione GI. Super AB
descriliaturportio circuli capiens angulum datum. Ducta pei'pendicu-
laris Ail iii (il contiiuiclur in F, et juncta FB producatur in (], sitque
spaliuin datum AU in B(^ Super recta BC descriptus circulus l'aciet
(|uo(l |>rop()nitur.
O/Ciii-ii-s ilr Fermât. — I. S
IS
ŒUV15ES DE FERMAT. - I- PARTIE.
lù'it quippo, sumpto qnovis puncto in portionc E, et junctis EAI,
E\i\), roctangnluni sul) AI < in >> BD ;w[ualc (lato; noc diircrt ah cx-
positis aliis casilms dcmonstratio.
Seil sint data duo puncta A, 15 (Jig. iG), datiis posilioiio ciiculiis
IKL, et super AH dcscripta portio circuii capiens angulum dato ;e(|ua-
leiii. Ducatur per centrum recta ANI et producatur in G; junctaque
CiB producatur, et liât rcctangulum sub AI in BC scqualc dato, cidem-
(|uc ie([uai(' rcctangulum sub AN in BD. Super CD descriptus scniicir-
culus satisfaciel proposito.
Hoc est : sumpto quolibet puncto ut H, et rcliquis ut supra con-
strnctis, ut in figura, erit rcctangulum sub AK in BF ioqualc dato,
eidemquc rcctangulum sub AL in BE; nec est diversa demonstratio a
pr;ecedcntil)us.
(lonstal ita(|ue propositum, caque ratione prior Apollonii seu Pappi
propôsitio reddilur manifesta.
Observandum autem casus quos in semicircnlis tantuni expressimus
in circulis integris locuni liabere, scd et casus multipliées ex varia
datoruni positione oriri. quos otiosiores ex prtecedentibus facili opéra
et proclivi ratiocinio deduccnt.
Subjicit l'appus : Locum planum (|ucm secunda ex redis contingit,
inlcrdum esse cjusdent i^cncris. intcrdurn rcro dhcrsiim. Hoc patet, (|uia
in prima propositione, verbi gratia,est ejusdeni generis : nani, si prior
LIELX PLANS DAl'OLLOMUS. 1!)
sit ad rectam, est quoque ad rectani posterior, si ad circulum, siiiii-
liter ad circulum; in sccund;p vcro prioro parte et aliis (|uil)usdani
casibus, est diversi generis.
Addit deinde aliciuando siinilitcr poni ad rcclarn lincani. inicnliim roii-
Irario modo. Quo loco vcrba " ail rcctatn Unram » ( ' ), <liia' nulliuri scii-
suni admittunt, ccnsco delenda, et ita loouiii inlerpretor, ut ali(|uandu
sccundus lociis priori contrario modo ponatur : veri)i i^M'alia, si piior
sit ad couvcxurn circuli, secundus ad concavuiii, etc., cujus rei
cxempla priores propositiones suppedilahunt.
PnoposiTio II.
« S; rccUv Imca' posilioitc daUr anus terminas datas sit. cl aller circam-
» fcrcntiam concai'am posùionc datam ron(i/if(el. »
Hiecverbasi ita Icgaulur, t'alsa estpropositio (-); r(>ponenduin igiUir
loco, verbi gratia, » posilio/ic datir » — maff/titadinc data': — erit(|Ue
sensus ut, data rtrndi diaim-tro et cctitro, e.vtrcmitas diametri sit ad cir-
calani positioiie dalam. Cujus rei Veritas quum perse pateat, eurdiutius
bic immoremur?
l'norosiTio III.
" .SV a daohas panetis datis injlectantar reeta' Iiihxv datiiin an^idani
» continentes . commune ipsoram punctam contin^et circamferentiam
» concenam positione datam. »
ll;ee propositio pcr se patet : (hu'i enini, super recla linea diuj puncta
jungente, portiouem circuli capientem angulum datnm, docuit Kuclides
in Elementis.
Propositio IV.
« Si trianguli spatii. magnitadine dati. hasis positione et magniladine
» data sit. rertex ipsias rectam lincam positione datam cont m get ». paial-
( ' ) Les moLs du Icxlc grec -po; iV' cjO;îav (IIullscli. |i. Gdj, I. "i ) pcmciU Olr(^ coiisi'r\cs
avec l'cxplicatioii donnée par Fermât.
(-) Fermât a deviné le texte s,ïoq, (llullseli, p. 00 (, 1. lo). Celle prciposilion el les deux
suivanlos no sont |)as d'.Apolloniiis; l'a|)[ms les donne comme ajoutées par Cliarmandre.
20
ŒUVRES DE FERMAT.- V' PARTIE.
lelam ncmpc I)asi data», cujus inventione ex I Elemcntorum facile
(lediices omnia.
Propositio V.
« .SV ix'ctœ lincœ, magniludinc data' et ruipiam positioni dalœ œqui-
» distanlis, iiniis terminus cnntingat rectam lineam posilione datam .
>. et alias terminas reetam lineam posilione datam continget. »
Datse rectaî lincae DE (yZ^'. 17) magnitudine et rect?c AC, positiono
dat.T, sequidistanlis uinis terminus, ut D, conlingat rectam AF posi-
lione datam. Si per puuctum E duxeris BEG ipsi AF parallclam, con-
slabit propositum.
Erunt quippe recta* omnes, inter lias duas parallelas intercepta' cl
reclttî AC, posilione dat;c, ?cquidistantes, inter se œquales : quod ipsa
constructio manifestât.
Si igitur aller terminus cujuslihet sit ad rectam AF, erit alius ad BG.
ut vul( pi'opositio, quam etiam liccl porrigere Icvi ncgotio ad cir-
culos.
Sitenim data AB {fig. 18) posilione, cui a;quidislet recta NO ma-
gnitudine data, cujus punctum N sit ad circuniferentiam circuli CNM
posilione dati : Aio punctum 0 esse ad circulum posilione datum.
Esto E centrum circuli (^NM, cl ducta diameter, ipsi NO parallela,
continuelur in F, donec recta CF œquelur NO data} : dabitur recta CF
posilione et magnitudine. Producatur, et fiai FH œqualis CD. Super FH
descriptus circulus pra\slabit propositum.
Erit quippe punctum 0 ad ipsius circumfcrenliani. Quum enim
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.
21
punctum 0 sit ad circumfcrenliam circuli FOP, crunt rectœ CN, FO
leqiiales et parallohe, qiuim a'quales et parallelas Cl\ NO conjiingaiil.
l'ii'iint igilLir aiiguli NCD, OFII anjualcs; qiiod qiiidein i(a se liahel.
Fk'. „s.
quuin rectte CD, FH sint ;oqualcs, et a roctis NM, OP ;e(|iialitei'
distcnt.
Polei'it igitiir proposilio Pappi iiniversalius ita concipi :
.SV rccUv lincœ, magniliidinc dalœ cl ciiipiani posilioiic daUvccquidislan-
lis, uims termiiiiis contingal locum planum posilione daliim, cl aliits Irr-
miniis locum platinm posilione daltim corili/tgcl.
Propositio VI.
<( Si a pii/iclo (/iiodam ad posilio/ie datas diias rcclas lincas parallelas.
» vcl mtcr se corn'eiucnles ducanliirreckr linea' in dalo aiiisido. rcl dalani
» hahenlcs proport ioneni vcl (ptaruin iina simiil cum ca, ad cpuun altéra
n proportione/n hahet datain, data fueril, contuiget pancltini rerta/n
» lincani posittonc datain. »
Hujus propositioiiis diuo sunt partes, quariini/;/w/- liœc est.
Siiitdiia' rect;e positioiie dat;e AE, AF (fig. 19), iii puneto A coii-
eiirrcntes, et a [)iiiicto C deiiiillantiir rcctie CB, Cd), in datis aiigulis
CBA, CDA, et siiit rcctte Bd, CD in data pioporlionc : Aio punctum C.
esse adrcctam lineani positione datani.
Junganlur AC, BD. In quadrangulo ABCD danlur des anguli ABC.
ADC, BAD : datnr igitur anguliis BCD. Datur eliaiii ratio BC ad Cl) ex
hypothcsi : ergo datur spccie trianguluni BDC et anguli CBD, CDB.
22 (El VUES DE FERMAT.- 1- PARTIE.
i'.eli(|ni igitiii' AIÎD, AI)I3 dantur, idcoquc spccie trianguluiii ABD :
(laliir igitiir ratio AB ad BD. Scd ex domonstralis datiir ratio BD ad BC
(qnam probatum sit trianguluni BDC spccie dari) : ergo datur ratio AB
ad BC. Datur autem BA positione, et piiiictum A : datur igitur posi-
lione recta AC, et in ea sumpto (|uovis puiu'to et al) eo demissis, in
datis angulis, rectis in rectas datas, probahitur seniper demissas esse
in data pi'oportione.
Aller easus est si.recta> datœ sint paralleUc : Sint recta' C.\. VM
(//:;. 20;, in datisangulis CAD, CBF, in proportione data. Angulus CNB
Fi-. 2n.
A
1 D
¥ 'sj B
E
/ /
M
datur; est enini ;e((aalis, propter parallelas, dato CAD. Datur igilur
specie trianguluni CNB et ratio CN ad CB; datur autem ex hypothcsi
ratio (]B ad CA : ergo ratio CN ad CA data est, i(le()(|ue probatur Cacile
punetuni C esse in recta data positione.
Corisiriirito. — Per punetuni quodvis, ut B, trajiciatur perpendicu-
LIEUX PLVNS DAPOLLONIUS. 23
laris IBM : dabitiir IB. Fiat
ul AN ad NC, ila IB ad DM.
Pcr puncLum M cliicla duabus datis parallela salisfaciet (|uœsLi()ni,
iicc est opcrosa dcmonstratio.
Si igitur a piincto quodam ad positionc datas diias l'cctas lincas, pa-
rallelas vel intcr se coiivcnientes, ducantiir récite liiiea? < in > datis
angulis, liabentes datam proportionem, coiilinget punctum rectani
lineani positione datam.
Secunda pars ita se babet :
Dentur rectie AC, AG (Jig. 21), in puncto A concnrrentes. Ponahii'
Fi'', il.
AN super rectani A(] in da(o angulo CAN. Fiat AN tequalis dat;e, et
ipsi AC pai-allela ducatnrNG. Angukis alins datus sit IlOG. Per priinani
parlem iinjus ducatur recta GE, in qna snmpto (juovis puncto, ni E,
rect* Kl), EF, ipsis RO, AN parallcite, sint in ralione data : dabilnrGli
positionc, ex superius demonstratis. Producatur FE in B : dabitur FB
magnitudine; est cnim œqualis data; AN, propter parallelas.
Quodcnnique igitur punctum sumpseris in recta GI'], ut E, a (|Ui» in
rectas AC, xVG demiseris rectas El), EB in angulis dalis, l'ccta BE iina
eum EF, ad qnam El) Iiabet ralioneni datam, data erit : (|uod vult
propositio (' ).
Si igitur a puncto quodam a<I positione < datas > duas rectas lineas.
interse convenienles, ducantur rectio linete in datis angulis, (|narum
(' ) Fermât omet ici le cas du i>arulléiismc des droites données AC, AG.
24. OEUVRES DE FERMAT.- 1- PARTIE.
una simul cuni ea, ad quam altéra hahet proportionem datam, data
fucrit, continget punctum rectamlincam positionc datam.
Propositio VII.
<c Si sint quolcumque rectœ lincœ posidone clatœ, clique ad ipsas a qiio-
» dam piincto ducanlur reclœ lineœ in dalis angulis, sit autem qiiod data
M linca et ducta continctiw, iinà cum cuntento data linea et altéra duela.
» œqiiale ei qiind data et alia ducta et reliquis ( ' ) continetur, punctum
» rectam lineam positionc datam continget. »
Hsec propositio est ampliatio prœcedentis et quod do duabus lineis
est supcrius domonstratum in prima parte propositionis YI, hic in
quotcumquc locum haberc proponitur.
Exponantur très rectse positionc datai et triangulum constituentos
Ali, ]JC, CA (Jig. ^l'i). Est invonicnda recta, EK vcrbi gratia, in qna
sumcndo qnodlibet punctum, ut M, et ab eo ducendo rectas MR, MO,
Mf in angulis datis MRA, MOB, MIA, summa duarum OM et MI sit
ad MH in ralione data.
l'er primam partem propositionis pra'cedentis inveniatur recta in
(|ua sumendo qnodlibet punctum et ab eo ducendo recfas ad rectas AB,
(') Ces deux mois <:t rcliquii de la version de Commandia soiU incompréhensibles;
llullscli traduit le grec /.a'i xwv Xo'.r.wi o\j.ai<a; (p. 666, 1. 5) par et sic in cctcri.i, re qui con-
corde assez avec la divination de Fermât. Mais le sens probable est jdus vagnc et ne per-
met guère de préciser à (piel ])oint s'étaient arrêtées les reelicrclics d'Apollonius.
La généralisation véritable de la proposition VI est évidemment que le lieu du point est
une droite toutes les fois qu'il y a une relation linéaire quelconque entre les distances (obli-
ques) de ce point à des droites données en nombre quelconque. On peut donner ce sens à
la ])roposition VII du texte del'appus; mais, à entendre ce texte littéralement, il semble ([ue,
d'une part, dans cette relation linéaire, il ne supposait pas de terme constant; que, de
l'autre, il égalait la somme de deux des termes à la somme de tous les autres. Fermât a
bien fait la |)renucre hypothèse; mais, au lieu de la seconde, il a supjiosé un ternie égal à
la somme de tous les autres.
Dans \'J(l Idcoi pliiiios et xolidox I.frrgngc, Fermai remarque la possibilité de généra-
liser la proposition de Pappus, telle qu'il l'a restituée; cette généralisation doit, sans
doute, correspondre à l'hypolhèse qui égale la somme d'un nombre quplcon(]ue de termes
à la somme de tous les autres, mais toujours en ne supposant pas de terme constant.
Puis, au môme endroit, Fermai égale, aji contraire, à un lermc constant la somme de
tous les termes variables ; mais il ne paraît pas avoir coni;u la relation linéaire sous sa forme
la jdus générale.
L1EU\ PLANS D'APOLLONIUS. -io
lu;, diict;i' siiil iii ralidiic (hita : dabitui' positione rccla qusesita. Piiiic-
tiim ii;itur, in qiio coiicurrct ciim AC, dahidir : esto E, a qiio ducan-
liir l'^V, Kl) ipsis MO, Mil parallèle'; ergo ex coiistnaiionc \E ad l']l)
lial)oi)iL ratioiiem dalaïu. lïadciii mctliodo, suniplis AB, AC icilis, invc-
niatiir piinctiim K, a (|ii() diicfye KL, KZ iii dalis aiigulis, ipsis ncnipc
MU, Ml païaHeko, siiiL iii ralioiic data. Krit igitiir sioiilitci'KZ ad KLiii
lalione dala. Jiiiigaliii' EK : (|iiodcumquo pimclum in ca siiiiipscris
pncstabit proposituin.
Siimatiir M, vcrhi gratia, ex jam conslriiclis. Fiat MF parallela BA.
et MH parallela BC. Pi-ohandiim est siimmain diianim OM, Ml esse ad
MR ut YE ad ED. in ratione nenipe data.
Fiat adliiic KG parallela BA. Ponatiir venim esse qiiod iiitendimiis
prol)are : ergo vieissiiii erit
m MR ail LI), ila siiinma (liiariiiii .MI, MO ad EV,
et, dividcndo, erit
m (iilTcreiilia MR cl DK ad DE,
ila (lifferenlia f|iia diia» OM, MI siipciaiil EV ad E\.
Qiuim auteni MF sit parallela BA, EF erit dillerentia rectariiiii .MR
et DE, et qiuuii MH sit parallela BC, h]ll erit dilTerentia rectariim VE,
MO, ideoqiie dillerentia reelaruni IM et l-lll ;e(|iiabitur exeessui i\uo
dua- MO, MI superant reetani \K. Vis. denionstratis igitiii' erit
EF ad DE ul dilTorenlia rcclaruni IM, Eli ad E\',
l'KiniAT. — I. .1
2C ŒUVRES DE FERMAT. - 1- PARTIE.
etvicissini
EF ciit ad difrcrenliam rcctarum IM, Eli ul El) ad EV.
Hrit igitur, convertcndo,
difl'crenlia rcclaruni IM, EH ad EF in rationc dala E\" ad ED.
Ex constructione autem, oxpositis tribus EH, EF, Ml, est
VE ad EH ut KE ad EM;
est etiam
KZ ad MI in cadeni ratione KE ad EM;
est etiam, qiuim KG sit parallcla B.\,
GE ad EF in cadem ratione KE ad EM.
Igiliir très rccla; VE, KZ, EG siint in ratione trium HE, MI, EF : est
iiritur
iil diiïoreiilia duarum EV, KZ ad EG, ita dilTerentia duarum MI, EH atl EF.
Sed probavinius differenliam duarum MI, EH ad EF liabere rationrni
datam EV ad ED : igitur difTorentia duarum EV, KZ ad EG babcbit ra-
tionem datam EV ad ED, cl vicissim
differenlia duarum EV, KZ ad EV erit ul EG ad El),
et, componendo,
KZ erit ad EV ul GD ad ED.
Sed ( propter parallelas KG, BA) KL ioqualur DG : igitur vicissim erit
ul KZ ad KL, ita EV ad ED,
(juod quidem ita se babcre jam ex ipsa constructione innotuerat.
Constat itaque vcritas pulcberrim;e proposilionis, ncc est dilHeilis
aut absimilis ad uUcriores casus et quotlibet lineas porrigenda con-
structio et demonstratio. Semper enim, beneficio constructionis in
duabus lineis, expcdietur problema in tribus lineis : beneficio con-
structionis in tribus lineis, expctiietur problema in quatuor lineis :
LIEUX PLANS I) APOLLONIUS. 27
Itenelicio conslruclioiiis in quatuor, cxpcdiolur problema iu (|uiu(iuc :
l'I siuiili oninino ac uuiformi in intinitum metliodo.
PllOPOSniO Mil ET LLTI31A.
(( si ah aliqno pnncto ad posilionc datas parallelas ducanlur rectœ linc<r
» //; dalis an^idis, (jiuv ad piincta in ipsis data ahscindanl reclas liitcas.
» vcl proportioncni liaheiUcs, rd spalinm conlincntcs dala/n, rcl i/a iil
» specics ah ipsis ductis, rcl crccssas specicrum ar/iia/is si/ spalio dalo.
» pancltim contifi^ct posi/ionc datas rcctas lineas. »
Hujus proposilionis, si vcra ossel, quatuor essent, partes, setl eaiu///
rationc data veram (Uni taxât (') deprehendimus. Valeanl igitur reliqua
de spatio contento sul) duabus, et de summa aut differentia quadrato-
rum ab ipsis, et tanquam commentitia aut liuc aliunde translata l'eji-
ciantur.
Proponatur itaque sic emendatum tbeorema :
Si ab aliquo puncto ad pusitionc datas parallelas ditcantur reclœ lineœ
in datis angalis, (ptœ ad panda in ipsis data ahscindanl reclas lineas pro-
portinncm hahcnles dalani, punctum cunlingcl positionc dalarn reclani
lincani.
L'onslruclio sic procedet : Sinl data- parallèle AB, G(] {fig- 2'j ),
puneta in ipsis data A et F, angulus unus ex datis BAII, aller (jFU.
Qnuni puneta A et F dentur, et anguli ad ipsa, dabnntur rcet;e Ail,
FH positione, ideoque punctum concursus 11; dabitur eliani pnac-
(') La traduction da Commandin était trop peu intcllii;ililo pour riuc Fermai ait [m ro-
coiinaitrc le véritable sens du texte de Pappiis (Hullsch, p. GG(J, 1. 7 à i3); il lui aurait fallu
onlendre les mois i>cl spaliian conliNCiilcs daliiiii, vcl ila ut spccic< ab ipsis iliicln, vcl
r.fcessus specicrum œ(pudis sii sptitin ilalo immma se rapportant non pas aux recuis liiic:is.
c'cst-à-dirc aux abseisses AB, lil'', ruais bien aux rcc/ir ti/ictc llî, llï.
Avec l'inlerprétation de Fermai, pour les trois hypothèses où l'on su|iposc constant ; soll
AB X tîF, soit AB'-+- EF', soit EF — AU , le lieu du point I est évidemment une cciniipie
(hyperbole ou ellipse), ainsi que, du reste, Fermai l'a indiqué dans Wld locos plaims ci
solides Is(i(j<>gc.
Avec le sens qu'il faut donner au texte de Pappus, que IB x lE, ou IB -+- lE , ou IB — \\i
soit constant, le lieu est évidemment une parallèle aux droites données AB, GC.
28
<EUVRES DE FERMAT.- I'* PARTIE.
tiim G, iii qiio AH seciit parallelam GC. Recta GF in piiiicto I) ila socc-
tiir iil GD ad DF s'il in ralione data : dabiturpiinctum 1). JiingaturDU;
dal)itiir igitur positione J)H : Aio rcctam DU pnoslarc proposilnni,
lioc est : sumplo in ea quolibet puncto, ut I, et ab eo duclis IIJ, IK in
angulis datis, abscissam AB ad datum punctuni A ad abscissani EF ad
dalum punctum F esse in l'atione data GD ad DF.
SecetBI parallelam GF in C. Erit ex constructione IB parallela HA,
quum fucrit demissa in angulo dalo, lioc est, ipsi HAB .T(|uali. Erit
etiam lE parallela HF : GC igitur, prnpter parallelas, sequatur AB. Pro-
bandum superest
m GC ail EF, ila GD ail DF,
et vicissim
ul GC ad GD, ita EF ad DF.
Hoc auteni perspicuum est :
m cniin III ad HD, ila GC ad (il),
ut eadcm 111 ad lU), ila EF ad FI).
et
Esse igitur GC ad EF in ratione data fit perspicuum.
Sunt plures casus tam istius quam praccedentium propositionum :
quos invenire ctadderc quum sit facile, cur iii lus diutius i m more mur?
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.
•29
LIHEli SECUNDUS
(')
Propositio I (^).
c( -SV <i datis piinctls recUv liiica' i/tjlecla/i/iir. cl sut/ giicr ah i/i.usjit//i/
» (lato snatio (li(fcri'ntiu, puiiclum posittonc datas rectas lincas coii-
» lingel. )>
Sint data duo piinela A el \^{ftg. ■i'\), et sit datum (|iiodlil)('l spa-
liiim quadrato AB minus. Dividatui- AB in C, ila ut quadratuni AC qiia-
diatum CB superet datospatio, et cducatur perpendicularis intinita Cl<],
{') Il semble que l'crmal ait composé ce second Livre avaiU le premier, cl même assez
longtcmi)S avant (voir Leltrr à liol/crv/il. du ao avril 1637). C'est ce qui pciil explicpicr
pourquoi, dans l'édition des l'aria, on Iroiive, avant J.ilirr U, un litre spécial : JpolloNu
Pcrgaci proptisilioiics (te locis ji/a/iis rcstitiiln\
VX en efTot, pour l'inlollii^cnce dn texte obscur 011 l'appus résume l'objet du Traite'.
d'Apollonius, Fermai devait nalnrcllcmenl chcrclier à s'aider des lemmes, au nondirc de
buil (|)ropositions 119 à \-lii de la version, par Commandin, du Livre VU), donnés comme
relatifs au\ fJcii.r pltai.i ; ov cm lemmes concernenl oxclusivemenl le second Li\ re li'Apol-
lonius.
('-) Aux indications (pie portent les lemmes de Pappus, oji reeoniiail que le résumé qu'd
donne ne suit pas exactement l'ordre d'Apollonius; ainsi celte proposiliim I devait faire
partie du second lieu du Livre IL Mais Fermât ne s'est aucunement ]iroposé de reslitner
dans sa forme l'œuvre du géomètre de l'crgo, et, en cola, le but do sa divination diffère
de l'objet des travaux plus récents, comme celui de Robert Simson (Glascow, 1710)-
30 ŒUVRES DE FERMAT.- I™ PARTIE.
in qua suinatur quodiihet punctum D, et jungantur DA, BD : Aio qiia-
dratiim AD superarc quadratum DB dato.
Qiiod quidem patet, qimni quadratum Al) eodem superet quadra-
tum DB, quo quadratum AC superat (|uadratum CB( ' ).
Si spatium datum sit majus quadrato AB, punctum C extra lineam .\B
cadcl.
Ad liane propositioncm pertincre possunt duse scquentes (- ) :
Sint data (juaUinr piincla A, B, (",, D (Jig- 20 ) in recla linea. cl sit AB
œqualts CD. Siimatur aliucl quodcumquc punclum. ni N, et jungantur
Fis. 2'..
quatuor rcclœ NA, NB, NC, ND : Ain duo (juadrala AN, ND superarc duo
quadrata BN, NC reclan gulo suh AB in BD his.
Nam ducaliir perpendicularis NI, et primùm punctum I extra rec-
lam lineam AD cadat. Patet igitur excessum (juadratorum AN, ND su-
per duo quadrata BN, NC, propter omnibus commune quadratum NI.
esse id quo duo quadrata AI, ID superant duo ([uadrata BI, Cl. Sed
quadrata duo AI, DI, per /i"'" 11, œquanlur (|uadrato Dl his, qu;i-
dralo AD, et rectangulo ADI his; (juadrata vero BI, Cl, per eamdem
propositioncm, œquantur quadrato Dl his, quadratis BD, CD, ot rec-
langulis suh BD in DI l)is, et (>D in DI his, sive, loco horum duorum
( ' ) C'est l'objcl du second lemmc de Pappus (prop. 120 de Commandin).
t ■' I Dans Wid toco\ pla/Kx et solido.t Isngo^'e, Fermai indiipic la généralisalion dos six
premières propositions du Livre II de Loci\ plnni'i, pour un nombre quelconque de points
donnés choisis sans aucune condition.
LIEUX PL\NS D'APOLLONIUS. 31
reclitnguloruin, uni rectangiilo Al) in 1)1 bis, proplcrca quod A15 est
jequalis CD : exccssus igitur qnadralornni AI, ID snpor BI, Cl est idem
(|ui xVD quadrati super (|uadrata BI), CD sivc AB. Sed, pcr 4"" proposi-
tioneni 11, quadratuin AD duo (juadrata AB, BD supcrat rectaiigulo
sul) AB in BI) l)is. Constat ergo propositum.
Reliquos casus non adjungo neque in liac propositione neque in se-
quentihus, nam, licet sit facile, csset ta*diosum.
Si a tribus piinctis in recla linea conslilnlis injlectantur rcclcv, et si/il
duo quadrata tertio majora spaliodalo, punclum posilione datam circurn-
ferciitiam continget.
Sint data tria puncta A, B, C {/ig- 26) in recta linea, et datum quod-
libct spatium rectangulo ABC bis majus. Fiat AI scqualis BC, et spa-
tiuui datum sit œquale rectangulo ABC bis et quadralo IV. Ccntro I,
intcrvallo IV, circulus VNO describalur in cujus circumferentia punc-
tum (juodlibct sumatur, ut N, junganturquc NA, NB, NC ad data
puncta : Aio duo (|uadrata AN, NC quadratum NB dato spatio su-
perarc.
Nam jungatur IN : ergo e\ superiorc propositione patel duo ([ua-
drata AN, NC a?quari duobus quadratis IN, BN et rectangulo ABC bis;
ergo duo (|uadrata AN, NC superant quadratum NB quadrato IN et
rectangulo ABC bis, et constat propositum.
Propositio il
« Si a duobus punct m i/ijlectantur recta.', et sint in proportiorw data,
» punclum contingel vel rectarn lincainvelcircumferentiam. »
3-2 ŒUVRES DE FERMAT. - I" PARTIE.
Sint Jala duo piincta A et C {Jig. 27), et sit priimim dala ratio
;o(|iialitatis. Dividatur AC bilariam in B, et excitelur porpendicula-
ri.s RD. Patet quodcumqiie punctiim in ipsa suniatiii', ut l), loio roctas
Al), D(; œqualcs.
Scd sit data ratio injc([aalitatis, et sint duo datapuncta .\, B (Jig. 28 ),
ratio nt R ad S. Fiat
ut R qnad. ad S qiiad., ila AN ad NR.
Intel- AN, NB sumatur média NO, euin.s intcrvalio deserihatur circii-
lus OVZ, et iu ipsiu.s circuniferentia sumatur quodcumcjne punctum.
ut V, junganturcjuc VA, VB : Aio esse in data ratione H ad S.
FiL'. .s.
Naui, junetà VN, ipsi VA parallela sit BI :
ul AN ad NO sise NV, < ila N V > ad NI?,
etsunteii'ca eunidemaii"ulnm ANV; similia ii-ilur duo (lianiïuia ANA'
BVN, et angulus VAB angulo BVI tequalis. Sed et AVB, VBI, |)roptei
parallelas, a'(|uales sunt; ergo similia triangula AVB, VBI, et est
AV ad VR ul VR ad RI,
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 33
el
ui VU ad I5L < ita NV ail Nl$, el AN ad NV,
Est iyiliir
iil \ P. (|iKul. ad lî[ qiiad. >, id csl AN ad M! ('),
iil est I! quad. ad S qiiatl., ila AV (|uad. atl V'l{ (juad.
Est ei'1,'0
AV ad VIS m 1! ad S,
(i patct proposiliini.
PnOPOSlTIn IlL
(I Si siI posiliuiic dala rccla hnca, cl m ipsa duliun ptiitcliiiii. a (/i/o
» diicd/iir (piwdani hnca Icntuncila, a Icniiiiio (iiilcrn ipsiiis diicaliir <l ((d
>' [>()sili()iicm {'- ), el sil (piod fil (t diicla (V<jualc ci. ipiod ii dala, cl dh-
» scissa, vcl cl ctd piiiiciiini daliirn. vcl ad allcnim daliini in liiica dala
» posilioiic. Icrminiis ipsiiis posilionc dalani circiimfcrciiliam conlitigcl. »
Sit data \'Qc{a i\]i {Jig. 2()) positioiu', et in ipsa clatiim piincluin A.
Oportet iiiveiiirc circuli ciicamfcrentiam in (|ua sninondo (|iio(IIil)('t
punctiini, ut K, et cIcmitteiKlit porpcndicularcm El, ((iKulratuni AK sit
icqualc rectangulo suit data qualihet rocta et Al (pei'cjuani dehenius
intolligcre in hac propositions ahscissam ad daltim puncliinï).
Sit recta data x\B. Super AB describatur semicircukis; palet, ex
construclioue, AB in Al a'quari quadralo AE.
Sed alius easns est diffieilior ([uando videiieet recta aliscinditur ad
aliud puncluni (|uani A, ut in hoc exempio.
(') C'est lii réciproque qui esl démontrée dans le preniicr Icmmc de l'appus (prop. 1 1!)).
eoncernanl le premier lieu d'Apollonius.
( '-) Fermât a deviné le sens do ees mots inintelligibles : il faudrait « cliiaiti/r /ifrjji-ii<liiii-
Ini-is- od pnsilioiic (la tain ».
Ff.nMAT. — I. ~>
3't ŒUVRES DE FERMAT.- I- PARTIE.
Sint data duo puncta A, 15 {fig. 3o), el prœterea punctuiii E in
eadem recta linea; recta vero data sit AB. Oportct invcnire circiili cir-
ciiinferentiam, ut PIO, in qua sumendo quodiibet punctum, ut I, et
deniittendo perpendicularem IR, quadratum AI aequetur rcctangulo
sul) recta AB data et recta ER.
Reclangulum BAEad rcclain BA applicetur excedens figura quadra ta
et facial latitudinem AP, cui fiât aequalis BO. Super PO descriptus se-
micirculus prscstabit propositum.
E p
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Nani quadratum AI ;i'([uatur quadrato AR et (|uadrato RI ; quadra-
tum vero RI œquatur rcctangulo PRO, et rectaugulum PRO reclangulis
ARB, OAP hoc est BPA hoc estBAE, ul inox dcinnnstinhitur : quadratum
ergo AI ;equatur(|uadrato AR, rcctangulo ARB, et rcctangulo BAE. Sive
(juadralum Ala'qualur rcctangulo BAR(nam luiic rcctangulo aH|uantur
(|aadratum AR et l'cctanguluni ARB) et rcctangulo BAE; et adliiic luec
<luo reclangula faciunt unum rectaugulum sul) BA in ER, quod proinde
quadrato AI est ;cquale.
Probandum superest rectaugulum PRO duohus rcctangulis ARB
et PBO icqualc esse. — Nam, ducendo intersc partes, rectaugulum
PRO est îcquale singulis rectangulis PA iu RB, PA in BO (hoc est BO
quadrato). AR in RB, AR in BO (id est PA in AR). Sed duo, PA in AR
et PA in RB, a,'(|uantur PA in AB, sive AB iu BO; una cum BO qua-
drato, aM[uantur AOB boc est PBO; ergo rectangulum ARB, una cum
rcctangulo PBO, facit rectangulum PRO. Quod erat demonstranduui.
Diversos casus uon prose(juor, sed ex jam dictis facillimum erit :
vidctur tamcn alius liujus propositionis casus non omittendus, quando
videlicct punclum E ultra A ut superius non invenitur.
Sint data duo puncta A et E {/ig. 3i), et recta data AB, et sit inve-
LIEUX PLANS DAl'OLLONIUS.
m
nienda circuli circiimferontia, ut NOR, ita ut, sumendo (|uu(llilict in
ipsa puuctum, ut (), t'tdoiiiitlcndo 01 perpcndicularem, quadnilutn A()
sit ;i;(|ual(; rcctaiigulo sub BA in El.
A È R
Roclanguluni BAEad l'cctnni BA appliccturdeticicns figura quadrata
in R, et ipsi AR fuit a^jualis BN. Super RN descriptus scmicirculus
prœstabit proposiluin.
Demnnslrafio voro non est a!)similis o\ (|uani in priore casu attu-
linius.
I'ropositio I\'.
" Si a (liiolnis [junctis dalis rectœ lincœ inJJcclanlur, et sit quod iil) iiiia
» efjiciliir ((). (juod ah altéra, dato majus (jiiarn in proportionc, pimcliint
» positione dala/n circiiinfrrentiam coiititii^ct. »
Sint duo [)uiicta A et B (,///,'■. ^)2), ratio data Al ad lîl, spatiuui da-
. luin BAN ('). Inter NI et IB média sit IZ (-), cujus iiitervallo descri-
Vh'. 3j.
Iiatur lirculus ZVU, iu (|uo suinatui' (juodliliet punctuni, ut \, cl jiin-
gantur VA, VB : Aio quadratum AV ([uadi'ato VB majus esse (|uam iu
proportionc data, lA ad BI, spatio dato BAN.
(') Le troisicmc lemiiio de l'ii|ipus (|iro|>. l^JI). relalif au second lieu, a pour eiïct di^
dénionli'cr (pio AN doit cire plus p(^lit que Al.
(-) r.os Icmnics î cl (i do Pappiis (prop. h2;( et 121) oui pour olijel de pnuucr i\m; le
point Z ol son symétrique par rapport au centre I ap|iarliennent au lieu clierelié.
3G
O'UVRE.S DE FERMAT.
1™ PARTIE.
Nuiii fiat ipsi icquale rcctanguluin VAO, et junganfur OB, NV, VI, et
ipsi AV parallola BF. Prohaiidum est reclangiihim AVO ad quadradiiii
VBesse ut Al adIB.
Est
m M ail IZ i(l csl VI, ita VI atl IR,
et siint circa eumdcni anguluin; crgo duo triangula ^'IV, VBI sunt
similia, <'X angulus VNB angulo BVF a'qualis. Sed angulus VNB an-
gulo VOB est aîqualis iu cadeni seclionc, quum quatuor puncta N, B,
V, 0 sint in eirculo, pro[>lei' icqualia rectangula BAN, VAO; crgo an-
gulus VOB angulo BVF est lequalis. Sed et angulus OVB angulo VBF,
proptcr parallelas; ergo duo triangula OBV, BVF sunt similia, et
lU OV ad RV, ita VR ad RF.
Addalur utriinquc conimunis ratio AV ad VB; ergo ratio oomposita
ex AV ad VB et ex VB ad BF, hoc est ratio AV ad BF, id est AI ad IB,
(M'it eadeni rationi ■< conipositie ex >> AV ad VB et OV ad VB, hoc est
rectanguli AVO ad quadratuin VB. Quod demonstrare oporlehat.
Videlur Pappus omisisse hoc loco propositioncm liuic similem ([ua'
ita se habet :
Si a (litohiis punctls datis ivctœ liiieœ inficclautur, ri si/ quod ah mut
rfjiciliir co, quod ah aUera, dato minus quant in propor/ionc. punriurn
posilionc dalam rircuinfcrcntiani con/i/ii^rl.
Sint data duo puncta A et B (//:;. 33), ratio AN ad NB, spatiuni BAT.
Fi''. 33.
Inter TN, NB esto média NL, cujus inlervallo dcscribatur circuli cir-
LIEUX PLANS I) APOLLONIUS. 37
cumferentia LYZ, in qua siimpto quolibet puncto Y, jungantur YA,
YB : Aio qiiadratiim YA, uiia cum rectangulo HAT dato, ad qiiadraUini
YB esse ut AN ad NB.
Nam tlat YAU œquale BAT, et jungaïUur TY, UB, Yi\, et ipsi AV
parallela BV. Propter BAT, YAR œqualia rectangula, probabitur aii-
guhis YTB angulo YRB icqualis, et reliqua ut in supcriorc denionstra-
tione.
PiioposiTio V.
« Si a quolcumquc dalis punctis ad puncturn iiniun iiijlcctùtitnr rccUv
i> li/ira'. et siiit sjK-cics, (jua' ali omnibus Jîanl, cltilo spalio (vqnalcs, punc-
n turn coatinget posilione datam rircumfcrcntiani. »
Siiit data diioprimuni puncta A, B (fig.'i[\), qua' pcr rectam ABcon-
jungantur. Bifariam scindatur in E; centre E, intervallo (]nocumqui',
FiK. .V,.
Ut El, circulus describatur, ut ION : Dico, quodcumquc puncturn in
ipsius circumfcrentia sumpseris, ut 0, evenire ut ([uadrata AO, OB
simul quadratorum lE, AE sintduphi ( ' ).
Nam, junctà rcctâEO, in ipsam, BV, AZ perpcndiculares deniittantur.
In Iriangulo AEO qnadratum AO œquatur quadratis AE, EO et rectan-
gulo OEZ bis; in Iriangulo OVJi qiiadiata OE, EB ;equantur quadrato
OB, et rectangulo OEV bis sive OEZ bis ((juuni EV sit œqualis EZ,
propter œquales AE, EB) : ergo, jungendo œqualia .-«([ualibus, (juadrata
AO, OB et rectangulum OEZ bis icquantur quadratis AE, EB (sive qua-
( ') C'est le qualriènie Icmme do Pappus f prop. 122), sur le troisième lieu d'A[iolloniiis:
la domonstration de Fermât est difTérente.
38 ŒUVKES DE FERMAT.- 1™ PARTIE.
(IratoKA bis), et quadrato EO bis(i(l est quadrato lE bis), una cum
i'(!ctangulo OEZ bis. Auferatur utrimque OEZ bis; supererit vorum
qiiod asserebamus, et constat proposituni in primo casu.
Sint data tria puncta B, D, E {Jlg. 35) in recta linea, et sit recta Bl)
recfâ DE major; difTercntise inter BD et DE sit tcrtia pars CD. Centro C,
Fis- ■'!').
intervalb) qiiociimque, ut CA, dcscribatiir scmicirculus AMF : Aio
(juodcumqiie piinetuni in ipsius circumforentia snmpseris, ut M, enm-
(b^m semper fore siiininaTu trinni quadratoruni MB, 1\ID, ME.
Nam jungantur MB, MC, MD, ME; ipsi vero CD liât lequalis EN, cl
jungatur MN. Qiium BD supcrct DK tripla CD sive tripla EN, ergo DN,
una ciini diipla CD, ;eqiiabitur BD; et CN, una cum CD, ;equabiturl$D.
Auferatur utrimque CD; ergo CN «(juabitur BC. Quum CD sit a-qualis
EN, per secundam lui jus Libolli propositionem ('), idem erit semper
excessus ([uadratorum CM, MN super duo ([iiadrata DM, ME. Sed CM
«juadratum est semper idem : ergo duo quadrata DM, ME semper vel
(|ua(lrato MN sequalia erunt vel in idem excédent vel in idem déficient.
Addatur utrimque ([uadratum MB : ergo tria ((uadrata MB, MD, ME
duobus (|uadratis BM, MN vel semper œqualia erunt vel in idem excé-
dent vel in idem déficient. Sed BM, MN quadrata idem semper confiant
spatium, ex superiori propositione, propter ;equalilatem rectarum iiC,
(;N : ergo quadrata BM, DM, EM idem semper spatium conficiunt.
Quod erat demonstrandum.
( ') l'ermal désigne ainsi sa proposition (p. io, fig. ■?.')). comme s'il avait fait lui niiiiié-
rota.ne en deliors de celui des propositions de Pappus.
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.
3!)
Demonstratio generalis ejusdem propositionis. — Exponantiir primo
iluo puiicla A et E {Jtg- 36), jungatur AE et bifariam dividatur iii V,\
planuin datiun sit Z, quod nccessario débet esse non niinns qnadralis
duobus AC, (]E, ut palet.
Si sit aiquale illis duobus quadratis, punctum C tantum proposito
satisfaciet, nec crit aliud punctum a que junctarum ad puncta A, E
quadrata simul sumpta a.'(]uentur Z piano.
Fi.'. 3(i.
Si sit majus duobus (juadralis AC, CE, excessùs dimidium ;e(|uetur
(juadrato CB. Centro C, intervallo CB, descriptus circulus satisfaciet
proposito. Quod, tanquani a Pappo (') demonstratum et ab aliis et
proclive nimis, omittemus, ne in facilibus diutius immoremur.
Le.m.ma Al) c.ENERALEM METiiODL'M. — Exponantur iu r\ 2" et 3-' figura
quotlibet puncta data A, B, C, E(/ig. o^), et pro numéro punctorum
Fi-. 3-
A
R r
D
E
A
B
1)
€
E
A
I)
r. c
^ 1
F.
I ' Jt^urti .
■\' JÎL^nia.
> fleura.
sumatur rectarum, |)uncto A et reliquis datis terminatarum, pars con-
ditionaria AD, quadrans nempe in boc exemple. Sit igitur AI) pars
(juarta rectarum AB, AC, AE; puncti D diversa est positio prout va-
riant casus : Aio reclas. pii/iclis datis et pniicio 1) a parte jiiincti \ lertni-
(' ) Voir la note de b |iaj;o Z-.
M ŒUVRES DE FERMAT.- l- PARTIE.
nalas, œquari redis, piinriis dalis et piincln I) a parte pimcli E termi-
na lis :
In i" nempc figura, rectam ED a^quari redis AD, BD, CD;
In 2" figura, roctas ED, CD a^(|uari rectis BD, AD;
Et in 3" figura, rcctasED, (^D, BD a'quari < rcctse > AD.
In 3" figura, ex hypotliesi, quater AD œquatur rectis AB, AC, AE.
Dematur utrimque AD ter : rcnianebit illinc AD scmol ; sed auferrc AD
1er al) ipsis AB, AC, AE, idem est atquc auforre AD semel ab unaqua-
(jue ipsarum AB, A(], AE, quo pcracto remanebunt istinc BD, CD, ED
;equales AD. Quod erat demonstrandum.
Si darentur quinquc puncta, AD quinquies esset conferenda cuni
quatuor rectis, punctisdatis et puncto A terniinalis : denique uniformi
procedcrctur in infinitum metbodo.
In 2-' figura, AD quater a^juatur rectis AB, AC, AE. Aul'eratur ulrim-
(|ue AD ter et addatur BD; remanebunt AD, BD anjuales ED, CD.
In r^ figura, AD quater œquatur rectis AB, AC, AE. Addatur utrim-
(jue BD, CD et dematur AD ter; remanebunt recta* AD, BD, CD a'qua-
ies rectœ DE.
Nec dissimilis est in quotlibet in infinitum punctis metbodus, idem-
(|ue concludetur quacumque ratione varient casus.
Lemma ALTEUiM. — Expouatur in 1^ figura constructio prœcedcns, et
suniatur in eadem recta punctum lSl(/ig. 38), utcumque : Aio quadrata
Fi-. :îs.
n r D E
1" /r'i^urd.
E
■/^
''tfrn.
B C E
■)' jtgtiru .
reclarnm, punctis datis et piineto N lerrninatariirn , supcrare (puni rata
rcclanim, punctis datis et puncto D terminalarum, quadrato DN tolics
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. kl
sumpto qiinl sunt puncla data, quater ncmpe in hoc exemplo : — ?.' l'I
3'' figura varios casus rcprioscnlant.
In r"" figura, quadrata AN, liN, CNsiipcrant (juadrata AD,BD, (]D, si
ununiquo(i(|uc unicuiquo conféras, quadralo DN ter et rcctangniis AD
in DN bis, BD in DN bis, CD in DN bis; quadrata igitur AN, BN, CN
;cquantur quadratis AD, BD, CD, quadrato DN ter, ctrectangulis AD in
DN bis, DB in DN bis, et CD in DN bis : ilhid autcni patet ex genesi
(juadrati a binomia radiée affirmata elfecli ('). Ex alia autem paile,
(juadratum EN aîquatur quadratis ED, ND, minus ED in DN bis, illud-
(jue patet ex gcnesi quadrati a binomia radiée negata cffccti. Ergo
(|ua(h-ata quatuor AN, BN, CN, EN ;equantur quadratis quatuor AD,
BD, CD, ED, quadrato DN ([ualer, reclangulis AD in DN bis, BD in DN
l)is, CD in DN bis, minus ED in DN bis. Si igitur probaverimus rcctan-
gula negata iequivalere affirmatis, mancijit veritas propositionis stai)i-
lita : nernpe quadrata AN, BN, CN, EN superare quadrata AD, BD, CI),
ED quadrato DN quater.
Probandum igitur rectangulum ED in DN bis aH[uari rcctangniis AD
in DN bis. BD in DN bis, CD in DN bis, et, omnibus ad DN < bis >
applicatis, rcctam ED «quari rectis AD, BD, CD. Quod (juidcm ita se
haberc, superius lemma demonstravit.
Varios casus non moramur. — Si sint quinque puncta, ([uadrata.
punctis (latis et puncio N terminata, superabunt quadrata, punctis
datis et puncto D terminata, quintuplo quadi'ati DN : nec dilïert a Ira-
dito casn ulterior demonstratio.
Inde patet summam quadratorum, puncto D terminatorum, esse ini-
nimani.
Dum tibi loquimur, scrupulosam nimis casuum obscrvationem non
adjungimus; conclusio secundi lemmatis semper eo dcdueetur, ut pro-
bentur reclanguhi omnia ex una parle aftirmata ;equari ncgatis ex al-
téra, ideoque res ad primum lemma deducetur.
Proi'OSitio prima geneualis. — Exponalur superior figura, et sini data
(') VlÈTii, Ail li)^i\ti(riin ypaciofaiii imlw priorcs, [irop. XI (éd. ScliOOlCii. p. iG-iS).
Fermât. — [. G
/f2 ŒUVRES DK FERMAT. - 1" PARTIE.
quatuor puncta in recta AE : A, B, C, E. Esto AD quarta pars (coudi-
tionaria nempe) rcctarum AB, AC, AE, et sit datuin Z planuin. Propo-
rnlur invenivc circnlum in qiio sumendo qaodlibel ptinctum et ah eu jun-
gendo rectas ad puncta data, qiiadrata j unctaruin si/nul siiinpta œqucnlur
spalio dalo.
Z planum débet esse inajiis (juatuor quadratis AD, BD, CD, ED, ut
locuin habeat propositio, ex superius demonstratis.
.Equetur igitur quatuor illis quadratis et prœterea quadrupb:) qua-
drati DN. Ccntro D, intervallo DN, descriptus circulus praestabit pro-
posituui.
Nani suniatiir primo punclum N ex utravis parte { Jig- 09). Demoii-
stratuin est secundo lemmate quadrata AN, BN, CN, EN œquari qua-
A N E
dralis AD, BD, CD, ED et pra'terea quadrato DN quater. At quadrata
AD, BD,CD,ED, unaeuin quailrato DN (juater, ae(|uaiitiir Z piano; ergo
quadrata quatuor AN, BN, CN, EN ;vquantur Z piano, boc est spatio
dato. Quod erat demonstrandum.
Excitetur deinde perpendicularis DM et junganlur AM, BM, CM, EM :
Aie quatuor iUa quadrata «"quari spatio dato Z phino.
Nani
qiiadralum AM ;i'r|iiaUir (iiiadialo AI) cl qiiadiali) DM,
quadraltiiii RM ;e(|iialiir qiiadraio RI) cl quadralo DM,
quadrnliim CM ;r(|iialiir (|iiadi'ato CI) et quadrato DM,
qiiadialum li^M .Tf|iiatur (iiuidralu Kl) cl (luadialo DM;
ergo quatuor quadrata AM, BM, CM, lîM aMitianlur quadratis quatuor
AD, BD, CD, ED, una ctim (}uadra(o D.M(sive DN) quater. Al quadrata
AD, BD, CD, ED, una cuin quadrato DN quater, [fquanturZ piano seu
spatio dato; ergo quadrata quatuor AM, BM, CM, EM tequanlur spatio
dato. Quod erat demonstrandum.
LIEL'X PLANS DAPOLLOM US. W
Sed sumatur ubi('um(|iie punctiim M (Jig. /|o), a quo demiKaliir
perpendicularis MO. — Siniilitcr probabitur quadrata AM, 15M, QI, EM
loqiiari <[ qiiadrato CM ([iiatcr, mia ciim > quadratis AO, 150, CO,
JiO qiue, ex secundo lemmalc, te(jiianlur quadratis AD, 13D, CD, ED et
praUerca quadrato OD ([uater. Ergo quadrata quatuor AM, BM, CM, EM
teqnantur ({uadratis AD, BD, CD, ED, una cuni quadrato OD ([uater cl
prœterea quadrato OM qualer. Sed quadratum OD quatcr, una cuni
(|uadrato OiM ([uatcr, auiiiatur quadrato DM quater, sive quadrato DN
quater : sunl enini DM, DN ex ccntro icqualcs inter se. Igitur qua-
drata AM, Bî\I, CM, EM ie(|uantur quadratis AD, BD, CD, ED, una cum
quadrato DN quater, ideoque spatio dato Z piano sunt ;equalia. Qnod
erat demonstrandum.
Si compleanlur circuli, eadoni demonstratio in aliis scniicirculis
locuni babebit et ad quotlibet puncta eadem facilitatc et argunienta-
tione extcndelur; semper ciiim toties sumentur quadrata DM, DN, DO,
quot erunt puncta, nec fallet ratiocinatio.
Inde sequitur corollarium cujus usus in sequenti propositione.
Exponantur quotlibet puncta data, verbigratia, tria A, B, E (/ig. 4'^
el inveniendus circulus <^sit > NM, in quo sumendo quodiibct punc-
A N
tuni, ut M, et jungendo reclas AM, BM, EM, quadrati AM dupiutu
(verbi gratia), una cum quadratis BM, E.M, seqiietur spatio dato.
W ŒUVRES DE FERMAT. - I- PARTIE.
Ko casu siimciula est ad constructionem recta AD pars quarta recta-
rum AB, AE, quia hoc casu puncUim A gerit vicem duoruin puncto-
rum, et idem est ac si diccretur : dalis punclis quatuor A, A, B, E,
invenire circulum NM, in quo suuiendo quodlibet punctum, ut M,
quadrata quatuor AM, AM, BM, EM a;quentur spatio dato.
Ideui est intelligeudum in alio quovis puncto et alia qualibet ratione
multiplie!. — Nani proponatur quadratum AM i^fig- 42), una cuni qua-
A .N
B u
drato BM bis et quadrato EM, iequari spatio dato, sunienda est AD
quarta pars rectarum AB bis et AE.
Quod advcrtissc et monuisse fuit necesse, nec indiget rcs majori e\-
plicationo.
Pr.oposmo alteua. — Exponantur quollibct puncta data in recta AI"]
{fig- 43), (juatuor, verbi gratia, A, B, C, E, ci punctum Q extra reclam
Fig.
/,3.
Q
0
\
M
V
X~~""^^\
/
^
fi
N \ \,
/
\ \H
D U
AE. QnaM'itur circulus, ut MI, in quo sumendo quodlibet punctum.
ut I, ([uadrata Al, BI, Cl, El, Ql sequentur spatio dato.
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 43
DemittaUir in icctam AE perpcnilicularis QR, et rectaruni AR, A\],
AC, \K suiTiatur pars conditionariu (quintans ncnipc in liae specic in
qua dantur quinquc puncta) AD, et cxcitata pcrpendiculai'i DO, dcmil-
tatui' in ipsani pcrpendicularis QO. Roctai QR sumatiir pars c.onditio-
naria (([uinlans ncmpe) RF sive DN, ot sit spaliuin datuni ;e((iiale
quinquc quadratis AD, RD, BD, CD, ED ot pra^erca Z piano. Z pla-
num œquétur •< quadrato > DN quatcr (pro numéro nempe puncto-
ruMi in recta AE datoruni), quadrato NO, et prseterea quadrato NM (')
quinquies (pro numéro omnium punctorum datorum) : Aio circulum
centre N, intervalle NM, descriplum pr;ostarc propesitum.
Sumatur in eo (piodliliet punctum, u( I, et junctis AI, BI, CI, El, 01,
ducatur VIX parallela AE, et lY pai'allela OD. Patet (juadratum 1)1
quater, uiiacum quadi'ate 01, œquari Z piano, ex coroilario prroceden-
tis prepositionis : punctum enim D gerit vieem ([uatuor punctorum.
Quum igilur DN sit quintans OD, patet ([uadratum DI quater, una cum
(juadrato 01, a-quari quadrato DN quater, quadrato ON, et quintuple
quadrati NM. Scd, per construclionem, quadratum DN quater, una
cum (juadrate ON et quintuple quadrati NM, a'(fuatur Z plane; ergo
quadratum DI (pialer, una cum quadrato 01, a^(|uaturZ plane.
Sed quadratum DI quater œquatur quadrato DX (juater et quadrato
XI quater, et quadratum 01 ;equatur quadrato OX et quadrato XI; ergo
Z planum œquatur quadrato DX (sive lY) quater, quadrato XO (sive
VQ) semel, et quadrato XI quin([uies. Addanlur ulriuKjue quadrata
quinquc AD, RD, BD, CD, ED, tict indc : spatium datum, lucc cnim
quin(jue (|uadra(a cum Z piano, ex liypothesi, œquantur spatie date;
indc vero : quin(|ue quadratis AI, BI, CI, El, QI, quic proinde a-qua-
buntur spatio date.
Hoc ut constet, ex secundo lemmatc, quadrata AD, RD, BD, CD, ED,
una cum quadrato DY quinquies, œquabuntur ([uadratis AY, RY,
BY, CY, EY. Igitur quadrata AD, RD, BD, CD, ED, addifa quadrato lY
quater, VQ semel, et DY quinquies, œ([uabuutur quadratis AY, RY,
(') Les lunimcs 7 et 8 de Pa]ipus (iiro|i. l^o el 120) peuvent Cire raiiporlcs ;i la délcr-
minaliun du point M.
lO ŒUVRES DE FERMAT. - I"^ PARTIE.
BV, (lY, EV, uiia cum lY qiiater et VQ semel. Singiilis quadratis AY,
BY, CY, EY addatur quadiatum lY, fient quadrata AI, BI, VA, El a'qua-
iia quadratis AY, BY, GY, EY et pr;eterea ([uadrato lY qiiater; ii];itiir
quadrata AD, RD, BD, CD, ED, addita qiiadrato lY quater, VQ semel,
et DY (jiiinquies, ;nqual)iintur quadratis AI, BI, CI, lE et pricterea qiia-
drato RY et qiiadrato VQ semel. Sed quadratum RY sive YI, iina cum
(juadrato QV, a'quatur quadrato QI; igitur quadrata AR, RD, BD, CD,
<i ED>, addita quadrato lY quater, VQ semel, et DY quinquies, a^pia-
Inintur quadratis AI, BI, CI, El et QI.
At prohatum est quadiata illa omnia anjuari spatio dato; ergo qua-
drata quinquc AI, BI, (^I, El et QI œquantur spatio dato. Quod erat
demonstrandum.
Inde l'aciUime deducitur spatium datuin anjuari quadi'atis AN, B\,
CN, EN, QN et quintuple quadrati NM, quod tanquam facile prœter-
mittimus.
lf//(> cl ad quodlibct puncta producelur arlificium cadcin ralionc.
Si enim denturduo punctaQetL {fig. 44) extra lineam, perfecta con-
Fig. k\.
A
V
L
ç /
0
\ z/'
■^
V
tj/
X
K
\
\
\
"■^"^^^
\
^
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\,
V
^^
--^^^
structione, ut vides, sumeturAD sextansrectarum AR, AS, AB, AC, AE;
rcctarum QR et LS sextans DN sumetur. Spatium datuni fiet œquale
LIi:U\ PLANS D'APOLLONIUS. M
(juadnitis AI), RD, SI), IJD, CD, ED, et praUerea quadralo DN (|iiatci',
NO seniel, NP seincl, et NM sexics; et icli(jiia perficiontiir cadcin la-
tiono, sciii|)er(|iic punctuin I) viccm gcrct oiniiium punctoi'um in ix'cla
AE (latorum, cl piincta P, 0 viccin gèrent datoriim piineloriini Q el L;
et CiDtera in infinituni unilbrmi niclhodo consciventnr, et demonstra-
l)untur.
Sed (jiioniani mnltiplices casiis oi'inntur ex diversa reclac assiimpla-,
duo vel plura puncta eontingentis, positione, dutn pniieta rcli([na
divei'sas ex parte qualibet reetto assignalœ sortiuntur positioncs, licel
nnicuique easni sua compctant conipendia, plaeet in artis spei'imen
i^eneralms oslcndcre cl conslrucrc.
Dentur (|uotlil)et puneta A, B, C, D, E, Y (Jit^. 4> j. sive in eadeni
recta, sive in diversis. Suniatur in codeni piano recta ([uiovis SR, ita
r
/^
C
X
\
/
I)\
(
\ ^
I
A ..----
...-'--[--/.'-'-■'-'''ô
ùz:
^
f
I
H
1
K
M
N
ut omnia puncta data sinl ex una parte récite SR. Demissis perpendi-
cularibus AG, lUI, CI, DK, EM, FN, sumaliir rectarnni (;il, (.1, CK,
(iM et GN pars conditionaria <! GL >, sextans nenipe iu lioc casu. Ex-
eitetur perpendicularis LO, a (juo resecctur LO pars conditionaria,
SQxtans nenipe, reetaruni AG, RIl, CI, KD, liM, FN, et sil spatium datnui
aMjuale qnadratis AO, BO, CO, DO, EO. FO et sextupio (|nadrali ()P;
circulus eenlro O, intervallo OP, descriptus satisfacief proposition!. —
Nec dilficilis est inventio ei qui superiores noverit.
48
ŒUVRES J)E FEIIMAÏ. — 1- PARTIE.
Propositio VI.
« Si a (hiobus panclis datis injlectantur rectœ liricœ ; a piincto aiilem ad
» posilione duclam lineam ahscissa a recla linca posilionc data ad daUirn
» punctum, cl sinl species ah injlexis œqnales ei, quod a dala, et ahscissa
» co/ili/icliir. punctum ad injlexionem posilionc dalam circumferentiam
» conlingcl. »
Descripsi propositionem quemadmoilum reperitur apud Pappuni ex
vcrsioiie Federici Commandini, sed vel in toxtu gncco vel in interprc-
tatione mcndum esse non dnbito : scnsum propositionis cxponam (').
Sint duo puncta A et B (Jèg. 46). Oportet inveiiire circumferentiam.
Fis- 1G-
ut NOB, in qua sumendo quodlibet punctum, ut 0, et jungendo rectas
OA, OB, et demittendo perpendicularcni 01, rectangulum sul) recla
dala in AI a-quetur duohus quadratis AO, OB.
Sit primuni AB recta data, (|ui casus satis est facilis.
Sumatur ipsius AB dimidium BN, supcrque BN semicirculus des-
crihalur : Aio satisfacere proposito : hoc est, si sumatur, verbi gratia,
punctum 0, rectangulum BAI duobus quadratis AO, OB ;equale esse.
Nam AO quadratum aîquatur AI quadrato et 10 quadrato. Si a rec-
tangulo BAI auferatur quadratum Al et quadratum 10 sive rectangu-
lum •< sub > BI in IN, supcrest rectangulum snb BI in AN sive in NB,
( ') La version do Commaiidiu est iniiilclligililc; le sens du tcxlo do t*appiis jiarail A^-c
le suivant. |iliis général que celui adopté ici par Format :
Soient donnés doux points A cl B, une longueur u. une droite OX cl un point () sur
celle droite, enfin une direction telle que OY, à laquelle soit parallèle iMP passant par un
point P do OX, lo lieu du point M sera un cercle si
AM' -t- .ÛÎJ' = rt X OP.
LIEUX PLANS D'Al'OLLOMUS. W
qiiod probaiiduni est esse ;o(jual(' (iiiadiali) H(), ol patct ox coiisliiic-
tioiiii ita se habcre.
Seeundus casiis est (|uaiul() recta data major est roctâ AB, cujiis coii-
slruclionem dabiinus, modo recta data sit miiior duplà AI3.
Sint data duo puncta A et B (_/?/,'•. 47). et recta AI, duplà AB miiior
ex liypolliesi. O[)ortet lacère (|iiod |)roponitur.
B 1 z
Becta AB l)ilariam secctiir in N, et fiât NE ipsius BI diinidia, ([uod c\
conslructione iicet. Rcctangulum IBN ad rcctam BE applicedir excc-
(iens (igura quadrala, et laciat latiliidinem rcctam EV, cui liai ;c(|iialis
recta BZ, et super YZ dcscrihatui' semiciiruiiis VLZ : Aio satisl'accrc
proposito.
Nam, junclis LA, IJ5 cl dcmissa pcrpendiculari LO, cujus priiiius
casus sit iulcr K et B, palet, e\ dcmouslratis ad propositionem III Apol-
louii (' ), reclangulum EOB, una cum rectangulo VEZ sive NBI, ;e(|uari
(|uadralo OL. Addatur utrim(|uc (|uadralum ()B : rectangulum EBU,
una cum NBI, acquabitur (|uadrato LO et quadrato OB. Duplieetur :
rcctangulum EBO bis, una cum rectangulo NBI bis sive sob) ABI, :e(|ua-
bnntur quadratis LO, OB, bis. <; Addatur utrimquc rcctangulum sub
NE in OB bis : rcclangula EBO bis et NE in OB bis>, sive AB in |{()
semel, una cum AB in BI, a^i|uabuntnr cpiadratis LO, OB, bis, una cum
rectangulo sub NI*] in 01$ bis sive IBO semel, ex constr'uctione. Etrim(|iic
aiileratur quadratum OB : supererit AOB, una cum ABI, a'qualc (|ua-
drato LO bis, (juadrato OB semel, et rectangulo IBO. Utrimquc IB in B()
aul'ciatnr, ncmpc illinc ex rectangulo AIU : supererit AO in 015, nna
cum AO in BI, sive soliim rectangulum lOA aM[uale quadrato LO bis cl
(juadrato OB semel. Addatur utrim([ue (|uadratum AO : erit rectan-
(') Dans le pix'seiil livre, |i. 31.
FcriMAT. — I.
,;0 (EUVRES DE FERMAT.- 1 PARTIE.
gulum lAO qiiadralis .VO, OH, iina cum LO quadrato bis, œqiialc, id csl
duobus tantuni quadratis AL et LB.'Quod erat facieiuluni.
Casus alios prsctcrmitto.
Propositio VII.
« Si l'ii circula posilione data sil (laiurn jninclum, pcrquc ipsuin agalur
» qiKvdam rccla linca, cl in ipsa panel ttm extra siimaltir; sil aiilcni qiiod
» /// (t linca dada asqac <ul panclam inlra dulam œipialc ci ijinxl a Iota
)) cl cxira sampta, vcl sali, vcl ana cam co (juod daalias, qaa- intra cir-
» cularn. piirtionihus continctur : panclam e.vlra samptuni pasilionc dalam
» rccla/n lincani conlingct. »
Ha>c propositio duas liahot partes, qiiarum prior est apiid ipsuiii
Pappum ( '), propos. 159 lil)ii YII, secuiida pcr additioncni aM[ualiiiiii
ex prioro derivari facile pote.st : Pappi igitur dcmoiistralionein taiitiim
addiicemus.
u Sil cii'cuhis ciroa diametrum AI3 {Jig. 1^%), et A13 producatur.
Fis. /is.
» sit((iie ad qiiamliljet rectam lineain DE perpcndicaiaris. llectaiiiijuld
» autem AFB a.Hjiiaie ponatiir (|iia(li'atum ex FG : Dico, si quodcumque
)) siimatiii' punctum, ut E, alque ah eo ad punctiim G recta linca
» (liicla producatur ad II, rectangulum ctiain HEK quadrato ex EG
» ioquale esse. »
(') Celle proposition de Pappiis csl le 33' Icmme sur les Porismcs- d'Eiiclide. Fermai la
rcprodiiil te\liiollomenl d'après Conimaiidlii, mais en y inlorcalaul le commenlairo de ce
doriiicr [alinéa mis ciilro crochets) cl sauf une simplification apportée par lui à ce com-
menlaire [loxte en italique] : iio(> les variantes.
LIEUX PLANS DAI'OLLONIUS. .il
» Jiingantiir AE, BL. Erit angiiliis ad L reclus; scd et loctus qui
» ad F; rcctangulum igitur AEL est lequale et rectangulo AFB et qua-
» drato ex VE. »
I « Quoniaru ciiim angidiis ALB rcctus est œqualis recto AKE, sit/ii
)' qiialiior panda L, B, F, E in circalo ac prnplcrca rectanguluiii FAI5
» ioqiialc rectangulo EAL. Quadratum autcm ex AE est ;equale duobus
» (liiadralis ex AF, FE; sed quadrato ex AE lequalia sunt ulraque rec-
» (angula AEL, EAL, et similiter quadrato ex AF œqualia utra(|ue
» rectangula AFB, FAB; ergo rectangula .VEL, EAL a-qualia sunf rec-
» taugulis AFB, FAB, et ([uadrato ex FE. Quorum reclangulum FAB
» est a'quale rectangulo EAL : rellcjunni igitur roctanguluin AEL l'cc-
» tangulo AFB et quadrato ex FE a'quale erit. » |
« Bectanguluni auteni AEL a'quale est rectangulo HEK, el reclau-
» guluni AFB quadrato ex FG : ergo rectanguluni IIEK quadratis ex EF,
» FG, lioc est quadiato ex EG, est a'(|uale. »
PROPOSITIO \']II KT LXTIMA.
<i ICI SI liOc qaidcm panel arii conlingal posilionc dulani reclam lincain.
» circulas aalem non ponalar, (jaw sanl ad atrascjac parles ditli piineli,
» contmgenl posilionc canidcin dalam circamfcrenliarn. »
Ha'c propositio est conversa pra'cedentis et e\ ea t'aeile eliei potesl
liujus denionstratio, si contraria via utanuir.
Determinationes et casus non adjuiiginuis. (|uia ex conslructione et
denionstrationc satis patent.
DE CONTACTIBUS SPIItERICIS.
Apollonii Pcrga'i doctrinam ~ip\ ÈTia^wv reslitiiit cleganlei' Apollo-
nius Gallus aut suh illius nomiiiis larva Franciscus illc Vieta Fonlc-
n«>cnsis('), cujus mira> in Mathcmalicis lucuhralioncs Vcteri Gooni*'-
lria> Iclicesprœstiteresiippetias. Vcriim qui materiam lianccontactiiuni,
(|iia' liactciuis sulislitit in plaiiis, ulferius promoverit et ad spha'rica
prolilcmala cvclici'f sit aiisiis, adliiic, qiiod sciam, oxstitit ncnio; pra'-
l'Iara tamen indo problcmata dcduci et ad clcganteni sul)limiorum pro-
l)lematiim constructionem facillimc derivari patel)it statim. QiKTi'onda
ilaqiic spluora qua' per data piincta Iranseat aiit splia-ras et data plana
coiiliiigat. Quiiideciin prohicmatrs totiini negotium ahsolvetur.
l'ROni,E>IA I.
I)a/is r/tia/itor piinctix, spJuvram imenirc qiuv per data Iranscnt.
Dentiir quatuor puiicta N, 0, M, F {fig. 49). pci" (|ua' splucra doscri-
Itenda est.
Sumptis ad libitum tfihus N, 0, M, circa triangulum NOM, (juod in
iino esse piano constat ex l'ilcmeiitis, descrihalur eirculus NAOM, (|iieni
et niagnitudinc et position!^ dari pci's[(icuuin est. Esse autem circulntn
NAOi\[ in superficie invenienda> spluera' patet ex eo quod, si spluei'a
piano secctur, scctionem dat circuiuin; at per tria punela N, M, 0
unicus tantuni eirculus dcscrihi potest queni jam construxiinus : quuni
iiçilur (ria puncta N, 0, M sint in supeilieie splia'ra> qiia\si(a\ ergo
(') Voir plus liaul, pii^c ">, noie 3.
CONTACTS SPHÉUIQUES. 33
plaiium trianguli N0.>[ splueram quaisitam sccat sccundum circiiliim
NAOM, qiiem idco in superficie spliaîraî cssc conclutlimus.
Sit ipsiiis cciitrum C, a quo ad planum circuli excitctiir pcrpendicii-
iaris CEB; patct in recta CB cssc ccntrum s[)lia'r;c qn;esit;e. A puncto F
in rectani CB dcmiltatur porpcndiciilaris FB, qiiani et positionc cl
magnitudine daii perspicuuni est. A puncto C ducatur A(^l) ipsi FB
parallela; erit igilui' angulus BCA rectus. Sed et iccta B(j est perpcn-
diculai'is ad planum circuli; ergo recta AdD est in |)lano circuli, et
datui' positionc; dantur ilaquc puncta A, I), in ([uihus cum cii-culo
concuvrit.
Ponatur jani factum esse, et ccntrum invcnicn(KT sphara; cssc H,
quod quidcni in recta CB repcriri jani dixinius ex Tlieodosio (-).
.luncta' rectœ FE, AK, ED crunt a-quales, quuni tria puncta, nempe F ex
liypotlicsi ctAet Dcx demonstratis, sint in superficie spha^rica. Attrcs
l'ccta' FE, AE, El) sunt iu eodcni piano : (|uuni eniiii recta' FB, ACI)
sint parallclu', crunt in eodcm piano; scd et recta CB, ideoque très Fl'>,
(1) On a conservé, ]ionr les figures do ce Traité, qui rei)r6sonlcnt des conslruclioiis
dans l'espace, le modo do traces suivi dans l'éditinu des l'uria, (|wel(|ne dillcrentcs (jne
soient à col égard les habitudes modernes.
(2) Thcodosii Tripolila; Spliœricorum Lil}ri très, nus(|uam antehac gnccc cxcusi. lidom
latine rcdditi i)cr Joannem l'enam, Regium Malliomaticuni. — Ad ilhislrissimum princi|ieiu
Carohim Lotliaringiim cardinuiom. — Paris, André Wccliei, i5')8. — (Fermât cite ici le
corollaire do I, 2.)
oi ŒUVRES DE FERMAT.- l"" PARTIE.
AE, DE. Si igitur circa li'ia puncta data A, F, D descrihatur rirculus,
(•jus centruni E crit in recta CB, ac proinde et spiia^rse qusesitiP centrum
et spiiaM'a ipsa non latebunt.
Problema II.
Dalis Irihiis punclis cl piano, i/n'cnire sp/iœram qucr pcr dala puncta
Iranseat et planurn datum contingat.
Dentur tria puncta N, 0, M (Jig. 5o), per qusc circulus dcscriplus
MEON; eiit ad supcrticiera splisoricam quœsitam, ex jam demonslratis,
et in excitata ad planurn circuli recta IBA invenietur centrum spli;eru'
quam quserimus. Concurrat recta IBA cum piano dato in punctoA;
dahitur igitur punctum A positione. A centro circuli MEON deniiltatur
perpendicularis in planurn datum ID; dabitur igitur punctum D, ideoque
et recta AD positione et magnitudine, et paritcr rectœ ID et lA. Dabitur
igitur planurn trianguli ADI positione; datur aufem et planurn circuli
MON positione : ergo communis illorum planorum scctio FIE dabitur
positione, ideoque dabuntur puncta E et F in circulo.
Sit factum et centrum spb;ora^ quasitiv punctum B. Jungantur recta-
BE, BF, et recta ID parallela ducatur B(]. Quum triangulum ADI et recta
EIFsint in eodcm piano, ergo rectai EB, BF, BC crunt in codem piano;
CONTACTS SIMIÉniQLl^^- 'ôo
seil recta ID est perpciuliuiihiris ad plaiiiim daliim : ergo rccla B(], ipsi
parallela, est ctiain pcrpeiidiciilaris ad plaiiuiu datiini. Qiiuiu igiliir
sphaM'a describcnda [ilanum Al) datuin conlingcro del)cat, crgo al)
i[>sitis centro demissa in plaïuiin perpondiciilaris Bd dal)it pimcliiiii
conlactus C; recta^ igitiir B(], BE, BF criint aniiialcs et pi'ol)a(iiiii csl
l'as esse in eodem piano posilione dato, in qiio et recla Al).
Ko itaque dedncta est qiuestio ut, datis duolms pniietis 1"] et !•' v\
recta AD in codem piano, (pueratur eiccnliis (|ni |>er ilala duo pnncdi
transeal et rectam datain contiiigat : cui problemali salisiecil Aj)ollii-
nius Gallus ( ' ); dahitur igitnr eentruni spluera- B et omnia conslahunl.
Problema III.
Datis Irihus piinclis el sp/iœra, iiweiiire sphœram rjiuv pcr (hiUi puiirUi
iranseat et sphœram datam cunlingal.
Dentui' tria puncla .M, N, 0 (Jig. ji), et siilucra \V,; datnr cir-
cnlus !\ION in spluera qiuesita. Ad plannni circnli ereeta pcipeiulicn-
laris KGB, uf snpra, continehit cenlrnin S[(lia'ia' (|iiani (puerinuis. A
renlro 1 spli;ora' dat;c demitlatnr in reclam FB perpendirularis ll{, (piif
(') Probl. II (Vii:Ti:, cdiliuii Schootun, juige ViÇ,).
oG ŒUVRES DE FERMAT. - l™ PARTIE.
(lahitur positionc et magnitudino. A centre F ipsi parallela diicaliir K\),
(|iKV oril ex jain demonstratis in piano circuli; el dahunlur piincla K
et I).
Sil facturn el cenlrLim spliaîr;e qiuesitiv C : ergo recta' l(^, CM, VA)
eriint in eodcm piano, ((uod et datuin est, quum denfur puncla I, E, l).
Conlactiis auteni duarum sphserarum est in recta ipsarum centra con-
ncctenle : ergo tanget splux'ra quaesita splueram datam in puncio (j ;
recta igiturICsuperahit rectasCE, CD radio IG. Centro I, inlervailo radii
spli;erici dati, describatiir circuUis in piano dato rectarum Kl, Œ, Kl);
(ransibit igitnr per punrluni G, et circulas ille positionc e( magnilii-
dine dabitur; sed et puncta M et D in codem piano.
Ko ita(iue deducta est qiuestio ut ex Apollonio (lallo ( ' ) qiKoraliir
nicthodus qua, dalis duobus punctis el circulo in codcni piano, invc-
niatnr circulus qui per data duo puncta transeat et circuluni daluni
(•()nlini;at.
Problkma IV.
Datis t/ii(i/iit)r p/niiis, invc/ti/c spluvirun (/ikc dala (jiuiluor plana coii-
n'/i^a/.
Denlur (pialuor plana AU, AI5, Bd, IIG (J/i^- Su ), (|u;c a spli;cia (|ii;c-
sila conlingi oporlcat.
Fi-. .-,..
Sint duo plana \V, Vï)(/fg-. 53) quic ab cadeni spluera conlingan-
(ur. Risccelur ipsonini indinalio per planuni RFIIC; palet ccnlruni
(',) l'rolil. Vin ( Vnhi;, (Vliliuii Scliocilcii. p. j3i i
<:()N TACTS Sl'HÉRlQUES. 57
spliaTPe qufe duo plana AF, FD contiiigil, esse in piano hisccanic, n(
vidoatur inutile in re tani proclivi dintius imniorari. Si plana AF, FI)
ossent parallela, sphaîra" ccnlrum cssct in piano ipsis paralkdo cl inlci-
valhini ipsorum hisecanto.
Fi-. :is.
Hoc posito, propter plana CB, HA (.//"i,'- Ja) posilionc dala, < cs(
ci'nlrnm splia'ra- ([ua^sila- ad plannm positionc daluin, > (juod ncnq)!'
daloiiiin Cl$, I5A planorum iiiclinalionem dalani hisocal. Scd, proptor
duo plana BA, AH, est idem cenLrnni spluera' ([Uiesita' ad alind plaïuim
posilione datiim; ei'go conimunis sectio duoruni planorum posilionc
datoi'uin, (juorum alteruni inclinationcni planorum VAi, BA, alteruni
inclinationem planorum BA, AH bisocat, dahit reclain positione dalam,
in qua invenienda' spluera* eentrum erit. Sit illa recla FH; sed, [)ropter
duo plana AFF, H(J, est eliam centrum splia^r* (juœsita' ad aliud phinuni
positione datum, eujus concursus cuni recta FE posilionc dala dabil
puncinm l), quod patct esse spluera- ([ua'sila' centrum; et rcli(|iia con-
stahunl.
l'iKini-KlIA \.
Ddlis Inliiis [jhiitis cl /iii/nio. iin-cnirc sp/urra/// (jua' [Hipuiicliiin dalum
lidiiscdl <l plaiHi dala ronlitiu^al .
Sinl data Iria plana AB, BC, (d) (//i,'. ,V|) et |Kinclum H : (iiuerenda
spluera (|ua', dala tria plana conlingcns, Iranseal per punclum II.
Sit faclum : tria plana dala, ex pra'ccdenlis proposilionis raLi(»cini().
daliunl rcctam posilionc dalam, (pue sedes eril cenlri splia-rici (|ua'sili.
l'KHMA 1 . — (. . t>
58 (ElIVRES DE FERMAT.- 1- PARTIE.
Si( ilhi (JE, in qiiam a piincto dato H demiltatur perpcmlicularis Hl,
(|iia' et positione cl magnitudine dabitiir. Producatur ad F, ut sit IF
a^(|ualis III; dahitur punctum F.
(Jiuini autem splucni! qiuTsita' cciitrum sit iii recta (jE, ad (juaiii
diicta est pcrpendicularis HF bifariam secta in I, cujiis unum ex
extremis H est ad superficiem spliscricam ex hypothesi, eiit et altcrius
extremuni F etiam ad spliaricam superficiem. Imo et circulus, centro I,
inlei'valio III descriplus in piano l'ccto ad rectani GK, crit ad supciti-
cieni splia'r;o; datur autem ille circnlus posilione et magnitudine. Dato
autem «irculo spluerico posilione et magnitudine el ali(|no piano ut AH,
datui', ex facili propositionis secunda' luijus conseclario, spluera ad
(•ujus superficiem sit circulus datus et qua' planum datum contingat;
deducta esl itaqiu' ([ua'stio ad secundam luijus, nec reliqua latehunl.
PnonLKHA VI.
Dalis Iribiis phuiin et spluvra. iiivcniir spliœram quiv dalain xpJurram cl
platKt data r()nlirip;al.
Dcnliirlria plana El), DR, BC [flg. 55)et spluvra RM. Construenda
est splia'ra qua^ dalam spliaram et tria pariter plana contingat.
Sitf'aclum et spluera EKC.\ satisfaciat proposito, splueram nempe in
punclo R et plana in punctis E, A, C contingens. Splia'ra> ER(LV cen-
trum sit (); jnncta' RO, EO, AO, (^0 erunt a-quales. Sed et recta OR
Iransihit per data' spluera' centrum .M, et recta> MO, OA, OC. erunt pcr-
pendiculares ad plana data DE, DB, BC. Fiant recta' OM a-quales recta»
CONTACTS SPIIERIQUES. 5!)
OV, OG, 01, et pcr pimcta V, G, 1 intelligantur duci plana VP, GH,
IN, datisED, DB, BC parallela.
Quiiin recta OU aH|iialis sit OE, et ablata OM ablata' OV, ciit reli-
<|iia KM reliquat VE icqualis; datur auteni magnitudiiie KM, (jiuiiii sit
radius spliaTC data": datur igitur et VE magnitudino. Ouiiin aulcni 01]
sit pcrpeiidiruiaris ad planum DE, erit ctiam perpendicularis ad |da-
iiuiii i^V, piano DEparallelum ; recta igitur VE erit intcrvallum plaiio-
rdiii Db^etPV. Sed datur \\i niagnitudine ex demonstratis; ergo datur
planorum DE, PV intcrvallum. Sunt autem parallela li;ec du» plana
et datur DE posilione ex hypothesi; datur igitur et PV positione. Sinii-
liter pr(djal)itui' plana GII, IN dari positione, et reclus OV, 0(j, ()l ad
ipsa esse perpendiculares et anjualcs recta' OM. Spluera igitur, cenlro (),
intcrvallo OM descripta, plana PV, GII, IN positione data coutingit.
Datur auteni punctum M, (piutn sit centrum spluera- data;.
En ita(|ue deducta est (|ua'stio ut, dalis trihus plaiiis P\ , (ill, IN et
piinclo M, inveuiatur spluei'a (pue per datuni puuctuni M transeat et
data plana P\', GH, IN conliiigat : hoc est, deducittir (pnestio ad |)ra'-
eedeuteni.
Née ahsimili in sequeiitil)us artilicio, (piuni nulla in ilatis |»uncta
reperientui', sed splnerie tautum aut [)lana, in locuin unius ex splneris
|»uuctuin datuni substiluetur.
co
(KUVP.ES DE FERMAT.
1- PARTIE.
PllODI.I-lIA VII.
Ddlis (liiohtis piincti.1 cl (hiohiis plaiiis, irncnirc spliœram qita> per fhtia
piutrid iranscal et plana data continuai.
Dontiir (hio plaiin AB, BC, (//.:?. jG), et duo piincla H, M. Qua'rcnda
splia-ra <|ua' pcr piincta H et M transcat et plana AB, BC rnnlingat.
.1 unga tu r recta II.M et hisecetur in I; pnnctum I dabitur. Per pune-
fum I trajiciatur planum ad rcctani HM rectum. Quum sphaM'ica super-
ficies puncta II, M citnfineat, certum est centrum spha'ra" esse in |)lano
ad reclani IIM normali et per punctum I transeunte. Datur autem I
planuMi posilione, (|uuin recla H.M et punctum I sint data position
ergo cenirum spluene, propler puncta H et M, est ad planum datum.
oc
e;
— E
Scd (■( pi'oplcr |dana AB, BC, ii( jam superius demonstravimus, esi •
ad aliiid planum datum : crgo est ad rectam positi(»ne dalam. Sit illa
(il'>, in (|uam demissa al) uno ex punctis datisM recta ^FF <^ perpendi-
cuiaris > dahitur positioiie et magnitudine; et continualâ in I), ni
sit FI) a'fjualis 'SWl, eril punctum I) dalum et, ex superius demonstra-
lis, eril<'liam ad splia-ricam superticiem. Dantur itaque tria puncta H,
■M, I), [»er(|ua' splia-ra qua'sita transit; datur ctiam planum AB, (|U()d
al) eadem splia'i'a contingi débet : deducta est ilaque qmeslio ad |)ro-
biema sccuiidum liujus.
Priusquam progrediamur ulterius, praemittenda lemmata quœdam facil-
lima.
CONTACTS SIMIKIUOUES.
61
]j'MM.\ I. - Sit circuliis BCH (//i;. 57), extra (|ueiii suiii|ito (|ii(ili-
bct piincto K, trajiciaUir per Cfiitium recta EDOB. Ducaliir (|u;eli-
hct VA'.X; patetexElcnientis reetanguliim AEC ;e(|iiari reetangulo BEI).
Sit jam spluora eirca centriim (), ciijas iiiaximus cii'culiis sit A(>DB:
si al) eodem j)iiiieto E per quodlibet puiictuin siiperfieiei spli;erica' tra-
iieiatiu' reeta l"^(]A, doiiec spluone ex altéra paile oeeurral, reetaiigu-
luiii AEC dit similiter a'quale rectangulo BEI).
Si eiiim intelligatur eirca reetam immoijilcni I5I)E converti et circu-
lus et recta ECA siinul, non iininutal)iintur recta- l''C et IvV, f|iium
piincta (iet A circulos descrihaiit ad axem rectos, nec idcirco l'cclaii-
giiliiiii AEC; erit itaque in quocumque piano ;e(|iial(' rectangulo BEI).
Ekm.m.v II. — Sint duo circuli in eodcni piano ADI'], IILO {^/ifi. uS'.
Pcr centra ipsorum trajiciatnr recta ACMP, et liât
Ml radius AC. ad radium IIM, ila recla Cl' ad reclaui Ml',
et a puncto l* dncatur ad lihituni rccla POLI'.I), anihos circnlos secans
in punctis 0, L. !•], I). Uenionslravit Apollonius (iallus ( ') rectangula
AI'O, GPIi esse iequalia, e( ipsorum cuiiiljct aM|iiaii icetangula 1)P(),
EPL.
In spluericis idem ([uoijue veruni esse se(|uentiiim problematum
(') ViÈTr (cdilioii Sclioolen, pa^'cs 3>4-ii5. lemiiips I el II) (JOiiionlre soiilemeiU, (le
fait. .|ui' AI'(J=D1'0 Cl G1>II = E1'L. Mais l'é-ulilé Al'y --- Ul'll se ilùduil aiscmenl du
,,, ., AC Cl'
ll,ypoil,oscjj^ = ^,.
G2
ŒUVRES DE FERMAT.- I- PARTIE,
intcrest; patctautem ex oo quod, si circa axem AP immobilem tam
circuli (liio quam recta POLED eotlem tenipore convcrtantiir, non im-
iiiutabiintur rcct* PO, PL, Vli, PD, propter allatam in superiori lem-
Vv'. .-.S.
mate rationem, nec idcirco rectangula; et in quocumque piano con-
stahil propositiim.
Lkmma III. — Sint dua' spliwrai data» YN, XM {^g- 5g), per quaruni
centra trajiciatur recta RVNXMV, et fiât
ut radius YN ad radium XM, ila recta YV ad rectam V\.
A pnncto V ducafur in quolibet piano recta VTS, et sit rectanguluni
SVT ;eqtiale rcctangulo RVM. Si describatur spb;era quaîvis tjiia' per
punclaT, S transeat et unam ex duabus datis contingat, alterani (iiiu-
(juo continget.
Sit enim splisera OIS, per pnncta T et S descripta et spluerain .M.\
m
s
s
CONTACTS SPIIÉRIOUES. 63
m punclo 0 contingcns, aio sphaM'am YN eliani a spha.'ra OIS conlac-
(am iri.
Producatur recta VO, iloncc splia'ra^ OIS occurrat in Q : reclangu-
lum igitur QVO, ex primo Icmmate, est œqualc SVT. Secl rcctaiigiilum
SVT, exconstructione, estiequalc rectangulo UVM oui, ex secuiulo Icm-
ate, est ;equale rectanguliim siih VO et rectâ pcr piincla V et O ad
uperficiem sphacricam sphacra) YN productà : ergo punctum Q est ad
superficiem spha;ra3 YN; commune igitur est et superficiei splia?ra' YN
t superficiei sphœra^ GTS.
Aio lias duas spha'ras in puncto eodeni Q se contingere. Ducatur
enim a puncto V quiclibet recta in ([uolil)et piano ■< per ({uodlibet
punctum >> splui'ra" OTS, et sit, verhi gratia, VZ, qu;e productà secet
splueras très in punctis Z, 1), H, K, P, 13. Rectangulnm Z\B in spluera
OTS, por primum et secnndum lemma, est œquale DVP rectangulo,
sph;erisdual»usXiMet YN terminato. Sed l)V est major rectà \Z; quum
enim spluvra OTS tangat exterins sphaM-am X.M in puncto O, l'ccla
secans spliœram OTS prius ipsi occurret quam spluera' .\M. <^)uum
ergo probatum sit rectangulnm DVP œquari reclangulo ZVB, et recta
ZV sit minor rectà DV, ergo recta PV cril minoi' rectà 15V; puncluni
igitur B extra spluerain YN cadet.
Simili ratiocinio concludetur omnia puncta spliara ambienlis extc-
rius cadere, prêter punctum Q. Tangit igitur sphœra OTS spliaram YN ;
quod erat demonstrandum.
Nec absimilis aut diClicilior in contactibus interioribus et in omnibus
casibus demonstratio.
Lkmha IV. — Sit planum A(". {/ïg-. Go) et spluera DGF, eu jus cen-
truni 0. Per centrnm O ducutur KODB |>erpendicuiui'is ad planum, ci a
puncto F ducatur recta (jua'vis ad planum, spluoram secans in (i cl
plannin in A. Aio rectangulnm AF'tj avjuari reclangulo BFI).
Nam sccentur spluera et })lanum datum per planum triangiili ABF,
et fiât circulus GFD in spluLM'a, in piano autem recta AiJC. Oiium recta
F'B sit perpendicularis ad planum AC, erit eliam perpendicuiaris ad
6k Œl VUES DE FElîMAT. !■ PAriTIE.
rectaiii AC. Hahoinus igitiir circiiliim DGF cl recliun Ad in eodem
|)l;ino,(*t rcctam FDB, per ('(>n(rum circuli Iranseuiitein, ad AC. perpcn-
(licularem. .lungatiii- (10; angiili ad G o( ad li sunt roc(i : ergo quadri-
latcriiin ABDG est in circulo, idoo(|ue roclangnlnni AFG loqnalc esl
icctangulo 15FI). Qiind cliani in (|uavis alia sphser.T soclionc siinililor
dcnionsli'abilur.
Lemma V. — Si( planum ABl) {/tg. Gi) i-t spluoi'a KGF, cnjiis ccn-
Irnni O. Pcr cc^ntrum 0 li'ajiciaUir roda FOKC perpondicnlaiis ad |da-
nnm, cl in (jnovis alio piano diicaUir recla FGllI, sit([nc rcclangninni
IFH ;c(|naic rcclangnio CFE. Si per puncla 1, II dcscrihalnr splwïra (|iia_'
piannni AC, conlingal, cadcin sph;vra tanget sphaîi'ani KGF.
Inhdligahir constiiii spluoi-i IHI5. qiKc, pciptmcla 1 cl 11 Iransicns,
lani^al plannni AC in pniiclo U : Ain spli;«rain EGF c(HUingi a splia-ra
lllli.
.liingaliii' rccla FU cl rcclangido (^Fl'] liai ;cqnaic l'cclangnlnin lîFN ;
piinclnni N, pci' pruTcdcnlcni, ciil ad snpcilicicni splia-ra- 1-]GF.
CONTACTS SIMIÉRIOURS. G3
Sod et rectaiiguliim CFK, ex coiistriictione, est XHjiiale rectangiilo
IFH; rectangiila igitur IFH, BFN sunt aH|iialia, ideotiiie |Hinctiiiii N est
etiam ad siiperficiein spliœrœ I15H.
Probandiiin jani sphœram EGF a spluera IBII in piiiicto N eoiUiiigi :
quod quideni facile est. A puiicto cnini F, per quodlil)et puiictinn
splL-era? EGF, diicatiir recta V\{, (\ux splia'raiii 11511 iii M et P et plaïuiiii
Ad in K secct. Rectangninni KFU, ex pra'cedcnle lemmatc, a'([ualnr
rectangnio CFK, cui ex constinctione ivqnatnr reclangiilum IFH, ideo-
(jue PFM. Rectangiila igitur KFR et PFM sunt a'cjiialia; sed recta KF
est niajoi- rectà FP, quiaspliaîra IBHtangit plannin A(". in R: ergo recla
FR est ininor rectà F'JM. Punctum igitur R est extra spliairani 11511.
Idein de quocuni(|ue alio puncto, in quovis piano, spluera; KGF, ex
utra(|ue puncti N parle, prohabitnr; nianifestuni i(a(|ue spli;oram EGF
a spluera 11511 in puncto N contingi.
H;ec leniniata, licet sint facilia, pulclicrrima tamen sunt, lertiuni
priesertini et quintuni : in tertio quippe iniinide sunt splia'ra' qua* per
puncta T et S transeuntes splueram XM contingunt, sed onines illa' in
infinituni tangent (|UO(|ue ex denionstratis splueram YN; in qninlo au-
teni leniinatc iiitinitie sunt spluera' (jua\ per puncta I et H transeunles,
pianuni AC contingunt, sed ouines ilLe pariter in infinituni splueram
EGF" ex dcmonstratis contingent, llis suppositis, reliqua [)rol)lemala
facile exsequemur.
PitOBLKM.l VIII.
/)a/is diiobas piuirtis, piano et sj>/iœni, imciiirc sphœrain (jucv jicr ddix
piiiicUi Inuiscal et spluvrarn ac pldniim datum rontiiigat.
Sit datum planum .VRC {Jig. G2), spluera DFl^ et puncta H, M. Per
centrum spluera' data' 0 in planum ARC datum demiltalnr perpcndicu-
, laris F^ODR; jungatur HE, et rectangnio RF^I) liât a'(|uale rectangulnm
llE(i; dabitur itaque punclum G.
iJatis tribus punctis H, G et M et [)lano ARC, (juœralur spluera, per
sccundum probicnua luijus, qiue per data tria puncta transeat et pla-
num ARC, datum conlingat.
FinsiAT. — 1. (1
m
<KUVI{ES DE FERMAT. - I'« PARTIE.
Sphu'ia illa salisl'aciet proposito : transit quippo pordata duo pimcta
H cl iM, e( plaïuim AlîC langitcx constructionc; sed cl splia'ratii DFK
contiii^il, (>\ (|iiiiil(» Icinniate. Nain ([uuni rcctangiilnm HI'^G a-quchif
l'i.'. (i
rcclani^ulo I5K!), oninis spiiioia qua', per data duo II cl (i pniicla lian-
sicns, planum .VIJC (angil, splnerain quoqiie UEF conlinj^il.
l'nOBI.KlIA l\.
I)(i/is (hioints pimrlis cl (luabiis spha'iis. i/ivc/iirc spluvraiH (jtKv jivr dold
(liKi jtiinrUi Iniiisral cl sphrvrns (htlds ritnluip^nl .
Fis. 03.
Sintdala^ dua' splia'rie AB, DE [fig. G3) cl puncla data II cl .M. 1"
ra-
CONTACTS Sl'HÉRlQUES. G7
ii(i;iliir iccla AF per ccnlra splui'raiiim (lataruiii, cl
iil iMdiiis M! ;ul lailiiiiu U\i, ila liai l'ccla IM'' ad l'K;
(lal)i(iir |iun(iiini F. Fiai reclant^iili) NFA ;o(|iial(' rcctaiii^niliiiii IIFG;
(lal)iliii' |iuii('Uiiii (î.
.lain ilalis Irihus M, (j, Il |)iiiictis i'[ S[)li;era l)N, (|iia'i'aLiir splia'i'a
(|iia' per data Iria puiicla liaiiseat, et splia'raiii l)N datam conlingal, cm
pi(jl)l('mati satist'acicL tei'liiiiii proldeiiia liujiis : continget (jiiO(|iie splue-
laiii < AH > ex tertio lerninate, ideociiie proposito salislaciel.
l'iIfllU.F.MV \.
l)(i/() />ii/irt(>. (liiohils [ilitiiis cl s[)lia'ra. iincnirc spluvram (jiKiinr ddliiiit
pitnvltini traitscal cl s])hœra/n ac dala duo plana conliii^al.
Sint diKi plana Ali, IJL) {/ig. 64), splia-ra EGF, piinclum il. Per piiiic-
liiiii 0, centruiii spluerx> data\ inqiiodiiljet ex plaiiisdeniittaliir perpeii-
diciilaris CEOF, et leelangiilo CFH fiât a'(|ualo rcctangiiliiiii IIFI.
Datis duobiis piinelis II el I et diiolnis plaiiis A15, Hl), (|iiaTaliii', |n'i
scptimum problema luijiis, splia'ra (|iia^ per dala duo piinela liaiiseal
el duo plana data conlingat : continget ([noque ex (juinlo Icininalc
splia^ram, et proposito satisfacict.
68 ŒUVRES DE FERMAT. - I« PARTIE.
Probi.ema XI.
Dalo puncto, piano ci duahus spliœris, iiu'cnire sphœram quœ per datum
piinrlum transcat cl planiun ac sphœras ditas datas contingat.
Dediicetur statim quiestio simili praecedcntilnis ratiocinio ad pro-
l)lema VIII, Dalis duuhus piinctis, piano et sphœra, idque beneficio lem-
iiiatis V. Quod si libeat uti lemmate III, deducctur quaestio pariterad
idem problema, alio medio et alia constriictione.
PnOBLFMA XII.
Dalo piinclo cl Irihus sphœris, invenirc sphœram quœ pcr dalitm pitnc-
liini iranscal cl sphœras dalas conlingat.
Huic qiioque figuram non assignainus : stalim quippe, bcneficio 1cm-
niatis III, dediicetur (jua'stio ad problema IX, Dalis duol/iis pn/iclis el
diiabus sphœris elc.
Problema XIII.
Dalis duobus planis el duahus sphœris, invenirc sphœram (/iiœ dala plana
cl sphœras conlingal.
Silfactum. Si crgo spluoricte superficici iiivcnt» imaginemui' aliain
<'jusdem ceniri supcrficicm parallelam, qiuo a qua\si(a distct pcr l'a-
diiim minoris c\ spbicris, tangct b;cc nova supcrlicies spliœrica plana
qiia; a datis distabnnt per intcrvalliim ejusdcm radii minoris ex splia'-
ris; tanget quoquc splueram cnjus radius distabit a radio majoris
spluerœ data; per idem radii minoris intcrvallum, (juaH|uc erit major!
spiiara' concentrica. Dabitur ergo; dabuntur et duo plana dalis paral-
lela et per radium minoris ex. spluoris ab ipsis distantia. Transibit et
lia'c nova superficies splucrica per cenlrum minoris ex spba^-is datis,
(luodquidem datum est; pari igitur cpio usi jam sumus in pro])lcnia(c VI
artificio, deducctur (jua^stio ad problema X, Dalo punrio, duobiis planis
el spha'ra, iincnirc etc.
CONTACTS SPHÉRIQLES. GO
Problema XIV.
Datis Irihiis spluviis cl piano, iincnire sphœram cjuœ sphœras cl planiun
daliim conlingal.
Simili qua usi sumus via in praîccdcnte et sexto proljleniate, iledu-
cetur quaîstio ad problcma XI, Dalo punclo, piano, cl duabiis spluv-
ris etc.
Problkma XV.
Datis qnaluor sphœris, uivcnirc sphœram cpiœ datas continuât.
Sit factum : et, qua usus est methodo Apollonius Gallus (') ut pro-
blema de tribus circulis ad problema de puncto et duobus circulis
deduceret, eadeni et simili praecedentibus famosum hoc et nobilo pro-
blema ad XII, Datis Irihus spliœris et punclo, deducemus.
Constabit ex omni parte propositum, et illustre accedet Apollonio
Gallo complementum. Casus varios, determinationes, et minuta ne-
gleximus, ne in inimensum excrcsceret sphaericus de contactibus trac-
ta tus.
(1) Probl. X (Viiirii, cdilion Schoolen, p. 35C).
FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES.
SOLUTIO PROBLEMATIS A DOMINO PASCAL PROPOSITI <').
Proposait Dominus Pascal hoc proMema : Data Iriangiili angulo ad
vcrlicem et ralinnc quam hal)ct perpertdiciiltim ad diffcrcnliam lalcrum,
imenire speciem trlanguli.
Kxponatur recta qusevis data AC {Jig. 65), super quani portio cir-
FiR. G5.
luli AIFC capax anguli dati descrihatiir. Eo qua'stionem deduximus
ut, data basi A(^, angulo vcrticis AIC, et rationc quam hahet perpendi-
rulum ad differentiam laterum, quieralur triangulum.
Ponatur jani factum esse et triangulum (|u.Tsitum esse AIC. Demit-
tatur perpendiculum IB et, diviso arcu AFC hifariam in F, jungantur
(') Celle pièce cl la siiivaiilc oui élé |)iiblices par Bossiil. rédiU'iir dos OEinTcs de
l'oncat, 1779 (1. IV, [). 4.19- 15,i), avec la noie siii\anlc : Ou n trouve, parmi /c\ pupicrx
lie Pavcnl, ccx (leur porisme.K cl h problème tuivoul, écrits de l/i main de l'crmnt; nii
émit que le lecteur les verni ici avec d'uutiinl plut ilr plaisir (jii'its n'dvitieiit pas eiicurr
l'Ie' iniprime'f.
Nous avons iiilcrverli l'ordre des deux pièces, pour rapprociicr les deux poiismcs du
Traité de Format sur ce sujet. Il est certain, au reste, que l'auleur du problème est
Èlieune Pascal (le père).
FRACMENTS (.EOMHTUIQUES. 71
AF, FC (') et, juiicta IF, deinittanLur in roclas AI, IC perpendicularcs
CO, FK. Deindc ccntro F, inteivallo AF, describatur circuius AllGFC,
oui reclii; CI, IF coiilinuatic occiii'ranl in punctis G, II, E; déni(|iif
jungatiii' GA.
Angulus AFC ad cenlruni du[)liis est anguli AGC ad circunirorcn-
liaiii; sed angulus AIC sequatur angulo AFC in eadem portione : igiUir
angulus Aie duplus est anguli AGC. Sed angulus AIC itMjuatur duolms
angulis AGC, lAG : igilur anguli IGA, lAG sunt a'(|ualcs, ideocjut'
rectae lA, IG. Sed, (|uuni a centre F in rectam GC cadat perpendicu-
laris FK, icqualcs suut GK, KC, ideoque Kl est diniidia diirercntia inter'
rectas Cl, IG, hoc est inter rectas CI, lA.
Data est autem ratio perpendiculi 113 ad diireientiam latcrum Cl, lA :
t'i'go datur ratio Bl ad IK et, singulis in rectam AC ductis, data est
ratio rectanguli sul» AC in BI ad rectangulum suh AC in IK. Sed rec-
tangulum suh AC in Bl ;cquatur rectangulo suh AI in CO; est eniin
ulrumque dupluin triauguli AIC : ergo ratio rectanguli suh Al in CO
ad rectangulum suh A(^ in IK data est.
Dalur autem ex hypothesi angulus Al(^ et reclus est COI cxconstruc-
tione : ergo datur specie triangulum (]0I; ratio igitur CO ad CI data
est, idcoque rectanguli suh Al in CO ad riictangulum suh Al in IC
ratio datur. Sed prohavimiis rationem reclanguli suh AI in CO ad rec-
tangulum suh A(; in IK dari : ergo datur ratio rectanguli AIC ad rec-
tangulum suh AC in IK.
Jani in triangulo AFC datur angulus AFC ex hypothesi : ergo an-
gulus FAC datur, cui ;ci|ualis CIK idcirco dahitur. Est autem rectus
angulus FKI : ergo triangulum FIK datur specie, ideo(jue recta' Kl
ad IF ratio data est, idcoque rectanguli <i suh > AC in IK ad rectan-
gulum suh AC in IF datur ratio. Prohatum est autem dari rationem rec-
tanguli Al in \C, ad rectangulum AC in IK : ergo datur ratio rectan-
guli AI in IC ad rectangulum AC in IF. I^^st autem rectangulum CKi
iequale rectangulo (^lA, quia recta' IG, lA sunt a'qualcs, et rectaii-
(') Dans les deux figures données par Itossut, les lignes auxiliaires AF, t'C soril cdce-
livcmcnl U'acéos; on les a supprimées, pour rendre moins eompliipiées Icsy?^'. G5 el (i(>.
72
ŒUVRES DE FERMAT.
I"^ PARTIE.
i,'iilo CIG iEqualur rectangulum HIE : ergo ratio rectanguli HIE ad rcc-
tangulum suh AC in IF data est.
Sit da(a ratio ED ad AC; quum igitur AC sit data, dabitiir ED, qua*
ponalur rcctte HE iii directuni ut in figura prima. Rectangulum igitur
HIE ad rectangulum AC in IF est in ratione data ED ad AC; sed, ut DE
ad AC, ita DE in IF ad x\C in IF : igitur, ut rectangulum HIE est ad rec-
tangulum AC in IF, ita rectangulum DE in IF ad rectangulum AC in
IF : rectangulum igitur DE in IF anjuatur rectangulo HIE.
Probatum est triangulum AFC dari specic; sed datur basis AC magni-
tudine : ergo datur AF, idcoque dupla ipsius EH datur.
yE({uaIibus rectangulis DE in IF et HIE addatur rectangulum sub DE
in III : tiet rectangulum sub DE in Fil a'([uale rectangulo DIH. Datur
autem rectangulum sub DE in FH, (juia utraque rcctarum DE, FH
datur : datur igitur rectangulum DIH et ad datam magnitudinem DH
applicatur deticiens figura quadrata; ergo recta IH datur, ideoque
reliqua IF. Datur autem punclum F positione : ergo datur et punctum I
ot totum triangulum AIC.
Non est difficilis ab analysi ad syntbcsin regressus; sed, ut omne
dubium lollalur, probatur facillimc triangulum quœsitum esse simile
invento AIC in secunda figura {fg- GG) : triangulum autem AIC ox
utravis parte puncti F verticein habere potcst in ai-quali a puncto F
utrimque distantia; erit eniin idem specie et magnitudine, et positic
variabit.
Si enim triangulum qutositum non est simile invento, manente eadem
FRACMENTS CKOMÉTUIOI ES. 73
hasi, cjiis vertox vcl il)il iiiler pniicla V cl I, vel iiifcr piiMcta I et A; ex
iitravis parte iiihil inU'rcst, nain de parte Tt] idem secnndnni trian-
i^uliim Aie pari denionstralione conclndit.
Sit prinuiin veitex inler A et I et triangalum (jii;e.silnin ponaliir, si
lieri potesl, siniile trianiçnlo AM(". .Inngatnr F.M et dcniittatnj' pei'[)en-
dicularis FP. Erit talio pei'pendiculi MN ad Ml* data ex liypotliesi,
idcoquc ,T(jnalis ralioni 115 ad IK (|nani prol)avinuis dal;e ;e(iiialeni :
(|nod est alisnidntn.
Quum enirn in liiangiilo l'Ail* angnins ad .M :e(|iiatnr angnin ad I
(rianguli IFK, eiiint siinilia tiiangula FIK, VMV. Sod FM est major FI :
ei'go iMP est major IK. Est antem MN minor IIÎ : non igitnr eadein
potest esse ratio MN ad !\IP (]n;e IH ad IK.
Si pnnctuin M sit inter I et F, prohaljitnr aiigeri perpendieninni
et niiiini difFerentiam laternm, icNjne eadem argnmentatione, ideoqiu'
variarc proportionem. Si [xinctiiin M sit in portione FC, ntenuir secundo
Irian^ulo AlC et eril eadeni deniiMisti'alio, ni inniile sil diiilins in liis
easilnis immorai'i.
(Constat igitnr triangiilnin (|n;esilnni invento AKl ess(! siniile, cl [»alrl
proposito esse salisfartum.
Proponitnr, si placet, tam Domino Pascal «jnam Domino Hora.r.vAi.
solvcndum hoc prohiema :
Ad (Uilurn puncliiin in liclicr l'udiaiii ( ' ) iiivcniir /d/igr/t/ci/t.
(Juu'iiam aiilem sil luijnsniodi hélix novit Dominns Rora r.VAi..
Hnjns prohieinalis a iiohis soluti solutionem a viris eriiditissimis
exs|)ectamns aut, si niaiuerint. ipsis impeitiemur, inu) et gcneralem de
linciarnm cnrvarnm contacliliiis melhodnm.
Sed ne a pr;esenli niateria triangniari vaciiis manihus diseessisse
videanuir, i»rtiponi possnni Ine (|ii;estiones :
/)(!/(/ Inisi , (i/ii;ii/<> rci/icis. cl (i:j^grc<^(i/() pcipciuliciili <i (lt//ci('iili(i:
lalcnirn, iincmrc Irutnt^idtiin.
( ' ) /'<i;r la Ia'Ui'c de l'ci'inal à iMccsciuic, du J juin iliiG.
F|;RH \T. — I. .Il)
«KUVRES DE FERMAT.
I" l'AirriE.
I)((ln hasi . nngiilo vert iris, cl di(f<'rcnlia jicrpendinili cl (U/J'crciilKC
l(tlci-iim. imcnirc triangidiim.
Data hasi, angtdo rciiiris. et reetangiilo siih differeiitia laleriiin in pev-
pendictdtim, i/wenirc triangulum;
Data hasi. angidu verticis, cl sumina quadratoruin perpendieidi ri diffc-
renlia' laterum. i/wenirc Iriamridiim ;
cl imiU;o siniiles, (juariim cnodationos faciliiis invcnturos viros doo
tissimos cxisliino, quani de coiitactu lielicis lîaliani prnpositiim pro-
I)lcma aut ihcorema.
Sed ohscrvandum iii (|iiKslioiii!)us de triangulis, quoties prohienia
potei'it solvi per plana, non recurrciuluin ad solida. Quod qiiiim iiorinl
viri doctissimi, supcrvaeuum Portasse suijit addidisse.
PORISMAÏA DUO (' ).
Poi'.isMA I. — Dalis posilione ditahus redis AK\L, YIJC (/ig- 67 ) scse in
piinrto W sccanlihiis. dalis eliain piinrlis A et I) /// recta ABI% epurriuitiir
Fi-, (i;.
H,
/
\
B./
/ 1
\
D
E
i
\.
/
^
M
V
u
A
0
duo piincia. c.rempli gratia. 0 et N, a r/iiihiis si ad ipiodldicl recta' VIU!
I ') Celle pièce, conservée, coniino la précéJciile, dans de.s papier.s de Pascal anjimnl'hui
perdus, esl un premier essai de l'opuscule suivanl, où l'on relroiivera les deu\ nu'Mues
proposilions, comme l'orisma primuin cl Porimia f/iiiiiliini.
FUAGMKNTS (lÉOM hmilOUES. 75
f)uncliim. lit H, recla OHN injlcclalnr, rcclain AHD /// jniiicùs I cl \ icaiiis,
rcclaiii^iiliiin xtih Al /// DV (Vfiiicliir spatio dato, ridclicct rccl(ini^ii/<> stih
AB /// BU.
Ma pi'oceclit porismatica Eiiclidis coMsIructio c( ijencralissimain pi'd-
l)lcmatis soliUioiicni i'epi';escnUil)i(.
SumaUir punctum (iiiodvis 0. Jiingatur recta A() sccaiis icctani Vl{(]
in puncio P. A piinclo 0 diicaliir iccla 00 ipsi ABD paiallela et iccla-
YBC occuri'ciis in Q. Diicatur etiain inlinila l'NM eideni ABD parallcda,
et juiicla 01) secct rcctam l'NM in puncto N. Aio duo pnncta O et N
adiniplcre propositum.
Suinpto quippc iil)iiil)ct in roda YBC, puncio II, et duclis redis OU,
NH recta) ABD oecurrentibus in pundis 1 et \ , rectanguluni snh AI
in DV in qnibnslihet omnino casihns ( très tantiitn triplex ( ' ) liguia
repncsentat) reetangulo << sub > AB in BD «([iiale erit.
PdiiisMA 11. — Dalo circalo ABDC. ( fii^'- 08), ciriis (lidnirlrr \(',, rcii-
Inini M, (iiurniiiliir duo i>uncla, ut M et N, (i ijuiltus si ad //ii(>d\-is (■iiriiin-
fcrciititv jnutvtimi, ul 1), injlcclalnr nrld E\)i^, dia///cl/ii/tt in piinctis O
cl W sccans, sii/n/na c/iiddidlon/ni i)l) cl DU iid liian^idani (JDII Inihcal
ralioncin diiKim. idcnviuc in (jualihcl in/h.vlonc L:;rncnilllcr cl pcipctuo
conlin'^al.
A ceniro M excitetnr ad dianielruni perpendienlaris .MB. Fiat ralio
data eadein (jua; ([iiadrnpl;e reel;c BV ad redani \ .M. A puncto V e.xci-
( ' ) ItossuL a reprodiiil, cii ciïct, trois fi^'ures doiU nous ne doiiiioiis c.i-dcssiis que la
promicTc: les doux aiiLrcs en diltèrciU eu ce ipie le poinl aihilraire II est pris, tlaiis la
isccondc. cnlre P cl H; dans la lioisième, ciilrc 1' et (j.
7(; OUIVRKS DE FERM Vl. - !■ PAiniE.
Ictiir \K ;h1 (lianictrimi porpcmliciilaris cl ipsi YI5 ;c(|ii;ilis. Suiii|)là
icctii iMO i|isi .M^' ;i'(|ii;ili, fiât ON a'quâlis et parallcla recta' VE : Dico
pimcta (|ii;osita esse puncta E et N.
Siiinpto qiiippe qiiovis in circuinlercntia puncto, iil D, et jiinctis !•]!),
ND roctis diamctriiiu in punclis Q e( II secantil)us, siimnia (jnadia-
torum QD et DU ad triangulum QDII crit, in qiiocumqno casn. in
ratione data, hoc est in rationo qnadrupla; BV ad rcctain YM.
Non sohiin |)roponitnr inquirenda islins porisinalis dcmonsli'alio.
scd videant etiani snhliliores mallieniatici an dno alia pnncla pra-lcr !■]
cl N possint pi'ohlemati proposito satisfacerc, et ulruni solnliones
qnaîstionis sicul in primo porismate snppotant intiniltK. Si niliil res-
pondcant, ("iconietri* in liac parle lahoranti non dedignabininr opi-
t II la ri.
IM ) lU S .M AT L .M K l C L 1 1) 1-: 0 U U M
lil'.NOV.VTA DOCÏUINA F.f Sll! I-OllMV ISACOC.l'.S l'.EC.K.NTIOlinU S GEOMRTRIS I.Xinr.IlA.
Ennmeravil Pappus iuilio lihri scptinii libros veleruni Geometrarnni
ail tÔ-ov àvaX'j6a£vov pertinentes : (|ni omnes qnnrn leinporis injniia
perierint, cxceiitis nnico Datoruin Enclidis liiteilo et (|nalu<)r priorihns
Conicoriini Apcdionii, elaliorandnin neotei'icis (îeomeiris maxime f'nil
lit danmnm ()|iernm, (pne Icnlavit << edax aliolere veinslas », alicpian-
lisper l'csarcii'cnt. l']t pi'imo (|nidem snhtilissimns ille, iiec nn(|uani
satis laudalns Franciscns Vicia Apoilonii llîpl â-acpwv liltros nnico,
(|neni Apolioninm Galhim inscripsit, libcdlo leliciter rcslitnil; cnjns
exemplo se ad eanidem provinciam ^larinns Cilietaklns et W'ilebi'oi'dns
Snellins accingere non dnl)ilarunt, nec deliiit proposito eventns : lihros
enim Apoilonii Aôyo'j à-OTOUt-f,;, Xwcîo'j à-OTOij/?;;. Auoctc7a£vr,ç Toy.?,;
et Nî'jTîwv, illornin lieneiicio vix amplins dcsideiamiis. Sc(|nel)anlnr
Loci plani, Loci solidi, et Loci ad superficiein. At iuiic (|no(jne parli
FKAr.MENTS G KOM KTUIQ LIES. 77
non ignoti noniinis Gcomotr;o (') succiirreriint, ooriinu|uc opora, nia-
lUiscripla lied t-t adluic inctiita, lalcic non potiicnuil.
SluI snpcirrat tandem intentala ac vi'liit dospcrala l'oiisniatiim lùi-
clideornni doclrina. Kani (|nanivis « opns ailificiosissinuim m: pcrnlile
ad rcsolntionem ol)scnriornni proMcnialnm » Pappns asserat, noc supc-
lioi is iHH' fcccnlioris a'vi fjeonielru' vcl de n(Jiiiin(î cognovernnt, ant
(|uid csscL solnnimodo siinl suspicali. NoLis tanicn in tanlis tcncliiis
dinluni cœcnlicnlihns, (•( qna rationc in liac inateria Geomotria! opiln-
laicnuir claborantihns, (andcm
se clara viilc'iidiiiii
Obtiilit cl \nin |)cr iioctcm in liicc refiilsil:
noc dcljnil invenli novan(i(|ni spécimen posleiis invideri. Poslcpiam
enini Sncvicnm sidns (-) omnil)ns disciplinis illnxil, fi'nsli'a scien-
liarum arcana tan(]uam mysteria qniiidani abscondemus : niliil (piippe
impei-vinm pcrspicacissimo incomparahilisRci^nna' ini^cnio, neclaseen-
semns oecultare doctrinam (jnam vel nnico dnntaxalaut inspirantis ant
mandantis nntn, quandoeiini(jne lil)nerit, detectam iii vix possninns
duljitare. Ut autem clarin.s se piodal totuni Porismatnm negotinm.
( ' ) Kcniial l'ail ici allusion à ses |iro[ires Iravaux, ./jniZ/nnii Pcr^nri liliri <liiii de hui--
jAiiiiis rcslitiiti, ,1(1 h)C<i\' j>liiiio\ et Milido.i Isaj^df^c, /Mi^a^e iid locos ad \i(j>crfi( iriii. OiianI
à eoii\ des ixéoinèlrcs aiUci'iciirs (|u'il niculioiiiie, /'()//• phis lianl, page 3, noie j.
(-) La daU; do ccl o|iiisciile semble indi(|iiéc par ce cpi'cn dil Doullian (hii/nc/ix JSid-
liiddi Ji.irrcil'ilioi/c.s- f^coiiu'triciv Ifcv : 1 cirtii dr)ii<ni\/rtili()/ii"i pcr i/i\cnpliis' cl tircmii-
\cripl<i\ fif^iirii\ ; Il circii i-n/in/irniii Kccini/i/iiii {jiKndinii iir<ip<i\iliii/n'i ; III dr /i(iri\iiiiili-
l"i\\ — Jsirimoiiii(V l'IiddUtica: jiindinnciitii, ric. — l'arisiis, apiid Sebasliannni (',raniois\
Itegis el Iteginai arcldlypograplinni el (iabrii'Ii'in (li'anioisy, via .laeobiea, suli Ciconiis.
MDCLV'II. Cnin privilcgio Itegis). an débnl do siin lîssai sur les Porisnies.
\"()iei le passage' qui en a élé reprodnil dans les l'urin, douzième page mm iHiiiirnilée :
« Ilanc de poi'ismalibus sci-ipliiniculam dala niilii oeeasione cuiupusul, qnum unie hicii-
iiiiiin vir illusUissiiuns ae aniplissinins Dominus de [''erjual, in suprenia (Uiiia Tolosaua
Senalor inlegerriinus cl in judieiis exerccndis pcrilissiniiis, reruin niallienialiearum doc-
lissimus, proposilioiies (piasdaui sublilissimas el purisuiala, (|ua^ lain llieoreinalice quaiu
prublemaliee pi'oponi possunl, ad amicos suos hue misissel. Iî\ l'appi nnius inonumcnlis
el (àillei'lionibus MalliiMM.ilicis porismalnni naluram el usum discrre pi);-s iiiiiis. (pjuin e\
v(Uei-ilius qui liane Gconielria; parlem alligerunl, pnelei- ipsuui nullus supcrsil. Illins
lanien sonleiilia Icgenli slalim obvia non est, lexluscpic corruplione cl applie.ilionis po-
risnialuni defeclu obscui-ior procul dubio evadjl. Inlerca, dum lanlo viro sua cdere libueiil.
nosli-a. qualiacuuitpie laiulem sinl, publiei juris faccre placnil, ni alios ad eoruindem
78 M'CVRES DE FERMAT.- I" PARTIE.
celobriorcs quasdam propositioncs porismaticas sclegimus, (•as(jue
GeoiiH'fris oL considerandas cL cxamiiiandas confidenter exliibenius,
iil inox quid sit Porisma et cui maxime inserviat usui innolcscal.
PORISMA PRlMlfl.
Sint diKL' rectae ON, OC {Jig- G9 ), (|na"angulum constituant in pnncto
0 et sint ipsœ positione datai; dcntiii" et puncta A el B. A piinctis ]{ el
A dntanliir recta' 151*], AF i|isi OC parallela; et occiirrenles rectœ NO
prodiicde in pnnclis I'] el F; jungatur recta AE, quai recla" CO producl;«
oceurrat in D; jungaliir itidem rec(a F15, qua> eidem recta> CO occnrral
iiucsligatioiicm impclli'remu.s, ipsumqiic amplissimiun l>omiiiiim de Fcniuil ad sua cdeiida,
uliiiiim f'I ad alla sidjliiiiis iiitcllcclus siii i\ir,r\<i.%-.^ ciiin oniiiiljiis oominimieaiida. cxcila-
rciiiiis. I.s onim ost ([iioin omiies Iiiii'i)|ia' Mallieiiialici siispii'iuiil; i|iicin a subldissimis
iPlalis iioslrip Gcomelris. lioiiavciUiira Cavaliero lioiidiiia' el livaiii;elisla Ti)i'k'cllo Florcn-
lia', siiiiimis laiidiljiis iii eœlum ferri, cjiisi|ue iiivciila mirabilia pniHlicari anribus mcià
aiidivi: qiicm cliam \iruin, lam (ixiiniis virliililnis clanim, midtarpio criidiliono (irnatiini
i\c lu icbiis niallieinalicis oculalissiiiuim, lolo pcclorc vcncror ae colo. »
L'opiiscidc de Fermai sur les rnrismcs n'aurail donc pas été connu à l'aiis avant i(iJ4.
La dédicace à la reine Clirisline de Suède est d'ailleurs expliquée par le passai,'C suivant
d'une lellrc du -^j septembre i(')3i, adressée à Nicolas Ileinsius par Homard Médon,
conseiller au présidial de Toulouse et ami do Fermai (Sfllngrt cpislolariiin n virix ilùi.r
Iri/iin- xiripiiiniiii loiiii (/iiiii/ji(c, collccti cl digf.sti pcr Pclriiiii litirmammm. Leyde, \~f~,
t. V, p. Oi3, 1. 24 ) :
n Salutat te amplissimus Format, a i]uo cirea niatliematicas scientias, quas mclius quam
(luisipiam mortalium possidot, nil oxtorqucri un(piam poterit, nisi Hcginaruni pnestantis-
sima Cliristina velit aliquando posl liujus ;L'vi literatorum omnium vota, posl Francia'
C.anccllarii prccos, sua ctiam jussa adjungere, quibus, ui puto, non surdus esset. Si lua
cura posscl id fieri, faccres loti Euroiiu' rein pergratissimam. Valo iteruui el, quod lacis,
me couslantcr ania. »
FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 7!)
in (]; et ad (|iio(lvis piinctiim rocla^, ON, ut V, verhi gialia, intlcrlaiittii-
rccUo AV, HV, i(a iil recla AV occurcal rect.T OC in |)iinc(o S, rccla
autem liV cidom OC occurrat in punclo R. Roclanguluin sub Clî in I)S
a'(|nal(' sompcr orit rectangulo snh (]0 in OD, idcocpic spalio dalo.
PoilISMA SECII,M)UM.
l'Aponatnr paraliolc (|u;rvis NAB (Jig- 70), ciijus diaincli'i (|iia'lil)cl
sint BEO. Suniantnr in curva duo qutcvis puiicta A cl M, a (juilius in-
Fi^'. 70.
flcictanlur ad aliiid (piodvis cui'va» punctum, ut D, recta- ADN, (pia' in
diamclris puncta E, 0, G, Q signent. In eadeni diamètre abscindentur
scinpcr dua; recta" qua' eamdeni servahunt rationein : erit nempe ut 015
ad BE, ita QB ad GB, idque in infinitum.
PORISMA TERTIUM.
Este ciiculus cujus diameter recta AD {/ig-. 71), cui parallela u(-
Fiir. -..
(•unH|ue ducaturNM, eireulo in punclis N et M occurrens, et sint data
puncta N et M. Intlectatur utcumque recta NBM, (pia' secet diameti'uiM
HO ŒUVRES DE FERMAT.- 1- l'AIJTIE.
in |»iinclis 0 et V. Aio iliilani esse ratioiicin roctangiili suh AO in l)\' ail
l'cclangnlnm snh AV in DO : idcoque, si iiillcctalur NCM secans dianic-
Inini in punctis U,S, cril senipcr ut rectangulum snhAO in DY ad loc-
langulum suh AV in 1)0, ita roctanguluni snh AH in DS ad rectangu-
lum suh AS in DR.
Ncc difficile est propositioneni ad ellipses, hvpeiholas el opiiosilas
seclioncs extenderc.
l'ORISMA QLARTUM.
Kxpouatnr circulns ICH (fg. 72), enjiis diameter IDII data, ccn-
\
y^ 1 M/ L
/ K/
l H
f
/ ^
/ I
1
Z \
liUMi D, radins ad diametrnni nornialis CD. Snniandii' in diainclro pro-
(linlà puneta 15 et A data, et siiit rec(:e Ai. \\\\ ,e(|nales.
Kial
ni 1)1 ad lA, ila l)L ad Ll,
cl sil recla DR lequalis DL; dalinnlnr puncla R et t.. .Inngaltir recta
(".A, cni uMpialis ponatur AF ad dianuHrum perpendieularis, eidem(|ne
liai R(i a'(pialis el parallela. Infleclatnr quii'vis recla ad circuliiin a
jinnclis I' et (1, ut WA\, (jua- dianielniiu secel in punctis M et N. .Vin
FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 81
sunimam diioriiin quadratorum RM, LN a'qiiari semper e'ulciii spal'ui
(lato.
lisdem positis, in secundo casu, jiingatur recta CL, cui sequalis pona-
tur LP ad diametruin perpcndiculai'is, eideiTKjue ;efiiialis et parallcla
tiat RZ. Si a (Uiobus punctis Z clP inllectatur qiuclibetad circumlcren-
tiani rccla, ut PVZ, secans diametrum in punctis K et T, quadra-
torum AT et BK aggrcgatum œquabitur semper altcri spatio dalo.
PoniSMA QUr.NTLSI.
lîsto circulus RAC {fig. 73), cujus diametcr RDC data, cenlrum I),
radius DA ad diametrum normalis. Sumaiitur ulcumquc puncla Z et l>
data in dianietro a centro D œquidistanlia, et, junctà AZ, tiat ;e(|ualis
ZM ad diametrum perpendicularis, eidemque ;equalis et parallela du-
catur BO. Inllectatur qua'vis ad circunil'erentiam recta MIIO ((ua- dia-
metrum in punctis E et N secet. Erit semper ratio (|ua(lratorum EU,
HN simul sumptorum ad triangulum EHN data, eadcm ncmpe (|u;e
recta! AZ ad (|uartam partcm rect» ZD.
Ex adductis porismatibus (quorum propositiones elegantissimaK et
pulclierrinias esse quis dilfiteatur?) Iiaud diUlculter iiulaganda se
prodit ipsa porismalum natura. Enunciari nempe posse, secundnm
Pappuni, vel ut tlicorcmata vel ut pi'oblemata statim palet; nos sane
ut llieoreinata enunciavimus, sed niliil vetat (]uonnnus in probicniala
translormentur.
l'EnUAT. — I. Il
8-2 0:UVRES \)\L FERMAT. - I- PARTIE.
Exonipli causa, sic quiiitiiiii porisma concipi polcst : Dii/o circiilo
RAC cujiis (liameler RC, (juœrantur duo piinclo, ut M et 0, a quihus si
i/ij!ccla/ur(/ii(vvis ad circuinfcrentiam recta ut MHO, facial sernpcr ratio-
iirin quadralorum ah ahscissis EH, HN ad triangulum EHN datam. Nec
latet ex supradicto thoorcmate constructio : si enim ponaliir r(!cta AZ
esse ad qiiarfam partem ZD in rationc data, omnia constahunt, câ-
doinquo rationc in reliquis et omnibus omiiino porisinatihus (iieorc-
niata in problemata facile transihunt.
Quod auteni innuit Pappus ex sententia juniorum geonietraruni po-
risnia deficerc liypothesi a locali tlieorematc ('), id sane totam poris-
niatis naturam spccifice révélât, neqne alio fere auxilio qnam eo
(|uod lucc verha subministrarunt, liujusce abdita matcris penetra-
vimus.
Quuni locuni investigamus, lineam rectam aut curvani inqnirimns
nobis tantisper ignotarn, doncc locum ipsuin inveniendte lineœ designa-
vcrimns; sed quum ex supposito loco dato et cognito alinm locum
vcnanuir, novus iste locus porisma vocatur ab Euclide : qua ratione
locos ipsos porismatuui unam specietii et esse et vocari verissime
Pappus snbjunxit.
Exemplo uuico definitioneni nostrani astrnennis in figura qninli po-
risrnalis : Data rectà RC, si quîeratur curva quiclibet, ut RAC, cujus ea
sit pr(qiri('tas ul a quolibet ipsius puncto, nt A, demissa perpendicu-
(') C.'csl-ii-dirc que, d'api'ès cotte définition, le porismo serait un lliéorème énonçant
la pro|»riété d'un lieu, sans que la détermination complote de ce lieu soit donnée dans
l'énoncé. Cette détermination reste donc à Irouver, en même temps que la propriété est
à démontrer.
Au temps d'Euclide, le nom de pnrifiiw parait avoir été employé pour désigner spécia-
lement les propositions où il s'agissait de trmwer, tandis que, dans les théorèmes, il s'a-
gissait de dciiioiiirer, dans les problèmes de cniistntirc. Euclide a appliqué ce terme de
porisiiic à un ensemble de propositions relatives à la matière devinée par iMicliel Cliasles.
dans sa célèbre restitution {Let troit lU'res de Poriiincx d'F.uclidc, etc. Paris, Mallet-Ba-
chclicr, 1860), mais il ne voulait probablement pas spécialiser particulièrement le sens de
l'expression.
L'intention (|ue lui prête Fermât un ]ieu plus bas est donc improbable, et elle restreint
trop le sens général du nw\. porisrnr, sans d'ailleurs désigner en .^lueune façon la nature
réelle des propositions traitées par Euclide.
FRAGMENTS f.EOMi: TRI OUI' S. 83
lai'is AD faciat quadratuin AD œqiiale rcctangulo IID(], iiivcniomus cur-
vam RAC esse circuli circumfereiitiaiii. Sed si ex (lato jam loco illo
aliiiin invesligcmus, problcma, verbi gralia, poiismatis quiiiti, noviis
iste locus et infiiiiti alii quos pcriti sagacitas analystic repi'a;seii(al)it el
ex jaiii cogiiito cliciet, porisma dicetiif.
Qiumi aiileiii, ut jam dixiiiiiis, poiisiiiata ipsi siiilloci, eirorcMi lalini
Pappi iiilerpretis ex graeco textu emendabinius eo loco iihi iionsinaliun
opits pcralile ait (id resolutionem ohscurionun prohlernaliini (te connu gc-
ticrum qiiœ liaud cornprclienditnt cam (puv mulliltidittcni pnvlwl iKtliiidiii :
quae ultima vcrba (jiium nulliim i'ere seiisum admiltant, ad i|)siiiii aii-
torem lecurrendum cujiis verba in manuscriptis codicibus ila se lia-
bcnt : -opî(T[j.aTa iail -riKhalç aOpotcrpLa c^CkoiiyvôiOLiov stç tt^v àvàA'JUtv
Twv È[x6''ptO£(TT£pa)v-po6Xy][j.âTwv xal tcôv ytvGiv àTi£pi)^y]TiTOV T"?iç cpuaecoç
-ap£-/_0[J.£vY]Ç lïl-qOrjÇ ( ' ).
Ait \g\lm' porismala con/erre ad aiialysin ohscuriorum prolihiiuanm
cl gcncruin, lioc est probleiiiatuin generalium : ex dictis eiiiiii apparel
poi'ismalum propositiones cssegeneralissimas. Deindesubjiingit : (piiiin
natura inulliludincrn (juœ vlx pôles l animo comprcliciidi sub/niiiisticl ; (| u i-
l)us verbis iiifinitas illas et miraciilo proxiiiias ejusdem piobleiiialis
iiulicat solutiones.
Huic autcm vel tbeorciiialum vel probleinaliun inveiitioiii non decsl
pecnliaris a puriore Analysi derivanda inetliodus, enjus ope non soliirn
(Hrni(|ui' praîcedcntia porismata sed picraque alia cl invenimus el con-
strnxlnius et demonstraviinus, et si Inec j)ancula, ([u:e isagogiea taninin
et aceuratioris operis prodrorna eniittinius, doelis arrideaiil, très (olos
(') Voici commciil Chaslcs (p. i4) traduit ce texte, assez obscur cl mal assure :
(I Les l'orisnics. . . collection ingénieuse d'une foule de choses qui servent à la solullnn
des jiroljlèmes les plus difficiles el que la nature fournit avec une inépuisable variété. »
Dans cette traduction, les mots d'une faille devraient être snp[irimés. Afirès \civetil. il
fandrail ajouter à hcniicotip (par op|iosilion à <'wv). Enfin, après dijiicilcx, il faudrait dir(^ :
et iiuni/jue la imltire lei joiirniise avec une inépid'uilile l'aricle, en liant avec ce (pii suil :
il n'a rien été ajoute à eet Otn'ra'^e d'EiicUde.
Telle est du moins l'opinion do Heiberg. Le savant cdileiir de l'appus, llultscli (p. (i.ifi.
1. iK à '21), regarderait, au contraire, comme inl('r]iolés les mots à ùcatieonp et ceux qui
sni\cnl la phrase grecque citée par l-'ermat.
84. tEUVHES DE FERMAT. - 1™ PARTIE.
Poi'ismaUuii libi'os aliquaiulo i'estit,u(umis, iino et Kiiclidem ipsum
lironiov('!)iiinis et porismata in coni sectionihus et aliis quibusciimque
cui'vis inirabilia sane ctbacteiius ignota detegcmus (' ).
PROPOSITIO D. DE FERMAT CIRCA PARABOLEN (^).
Proposui pcr data quatuor puncta paraholeti descrihcrc. Duplex est
casus, utrique lemma scquens prajmittcndum.
Sit parabole in i" fig. ECBAD {fig. ']^), cujus diametcr AF dotiir
positione; dcntur ctiani duo puncta B et C, per qua? transit parabole;
dentur denique anguli applicataruni ad diametruin AF. Aio parabolen
positioue dari.
Applicentui' ordinatiin BN et CM; a puncto dato B in AF positionc
(1) Foir, sur cel opuscule, le jugemoul de Ciiaslcs (p. 3, 4i '-ï)- H est certain que l'es-
sai (le Fermât doit être considéré comme tout autre chose que comme une tentative de
restitution des Porismcs d'Euclide, soit dans la forme des énoncés, encore incertaine
aujourd'hui, soit pour le fond du sujet traité. II faut y voir plutôt une indication de <pies-
lions olVraiU quelque aualoi;io avec celles abordées par Euclide.
Chaslcs n'a qu'un seul porismc, CXXVI (p. aio), qui se rapporte à l'un de ceux do
Fermât, le iroisièuie. Comme il le fait remarquer d'ailleurs, le second porisme de Fermât,
où figure une parabole, est étrariger à l'ordre d'idées d'Euclide, lequel se borne aux droites
ot aux cercles. Enfin, avec le troisième, il n'y a guère que le premier que l'on pourrai!
considérer comme rentrant dans un des \ingl-neuf genres énumcrés par Pappus.
Au lieu donc, comme l'a fait (lliaslos, de chcrclicr ici, en s'aidant dcslcnimcs do Pappus.
à retrouver des propositions rentrant dans ces vingt-neuf genres. Format a voulu plutôt,
dans ce spécimen, montrer que ces genres pouvaient être multipliés indéfiniment.
(2) Cotte pièce est insérée dans les yaria an milieu de lettres d'octobre iCifi.
FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 85
(latam ducilur BN in ilato angulo (positum quippe est dari angiilnm
applicatarum) : crgo datur puiictiim N; similiter datur puncliiin M cl
rcclaî BN, CM positione et magnitudiiic. E\ natura paiabolcs est
ut qiiadratum CM ad quadralum BN, ila M\ ad NA,
si ponas A esse verticcm paraboles sivc extremum diamctri ; ei'go dalur
ratio MX ad NA, et dividende datur ratio MN ad NA. Datur auteni
recta MN, quia duo puncta M, N dantur; datur igitur NA et punc-
tum A. Si fiat
ut AN data ad NR dalani, ita NB ad Z,
dabitur Z rectum paraboles latus. Dato igitur vcrticc A, Z recto iatere,
AF diamètre positione, angulo applicatarum, datur positione parabole,
ex 52, 1 Apollonii.
Hoc supposito, facillime construitur primus casus in 2-'' fig. (//g\ 75),
in qua dentur ([uatuor puncta D, B, C, F, qua^ si jungas pcr rectas BC,
CF, FD, DB, vel neutra oppositarum erit alteri parailela, vel, ut in lioc
casu, erit BC, verbi gratia, parailela DF.
Bifariam utraquc dividatur in punctis 1 et E et sit i'actum : ergu
juncta lE erit dianieter paraboles, quum œquidistantes bilariani divi-
dat. Dantur autcm puncta 1 et E : ergo lE positione datur et angu-
lus DEI. Quuni igitur dianieter lE positione delur, dentur etiaiii
angulus applicatarum et duo puncta B et D per (|ua' transit parabole
dabitur positione parabole DBACF.
In secundo casu major est difficultas, quum neutra rectarum duo ex
punctis datis conjungentium alteri est ie(|uidistans. In ]■' lig. sint dala
8G
ŒUVRES DE FERMAT.- 1- PARTIE.
quatuor puncta X, N, D, R {Jig. 7G), quac per rectas XR, RD, DN,
NX conjungantur, et neutra oppositarum sit alteri aujuidistans.
Ponatur jam factum esse, et dcscriptam parabolen XANDBR propo-
sito satisfaciontem. Concurrant productœ XN, RD, in puncto V et,
hifariam divisis XN, RD in punetis ]M et C, ducantur ad ipsas dia-
metri MA, (]B, occurrentes paraboht in punctis A et R, a quilnis recUv
lx\S, SRipsisXV, VR ducantur œquidistantes et concurrant in puncto S.
.luncla AR l)ilariani dividatur in P et jungatur SP.
Fis. 7C.
llis ita conslructis, patet, quum per verticem dianietri MA ducalur
lAS ;o(jnidistans applicatae XN, rectam lAS tangere parabolen in A;
probal)itur similiter rectam SR tangere canideni parabolen in R : ergo,
per 17, III Apolionii eril
ni rcctongiiliim XVN ad reclaiipiiIiMii RVl),
ila qiiailialuni AS ad qtiadralmn SB.
Dalur autem ratio rectanguli XVN ad rectanguluni RVD, quuin dentni'
quatuor puncta X, N, D, R : ergo datur ratio quadrati AS ad qua-
dratuni SR, ideoqne rectœ AS ad rectam SH. Datur autem angulus ASR.
quia proptcr parallelas .Tquatur angulo XVR dato : ergo in trian-
gulo ASR datur angulus ad verticem S et ratio latcrum AS, SR, ideo(jue
FRAGMENTS G KOMETIIIQUES. 87
tiiangiiliim ASB datur specic; igiliir clalur angiiliis SAB et lalio SA
ad AB. Qaiiiii autom AP sit dimidia AB, datur ctiam ratio SA ad AP :
in triangulo igitur SAP datur aiigulus ad A, et ralio latenim SA, AP ;
datur igitur specie et angulus PSA datur.
Hoc posito, quuni recta SP rectarn AB puncta contactuum conjun-
genteiii bifariam dividat, crit diameler paraboles, ex 29, II Apoilouii;
in parabola autcm omncs diametri sunt. inter se aequidislanles : orgo
dianieter MA rectœ SP œquidistabit, ideoque angulus lAM sequabitur
angulo ASP. Probavimus autein dari angulum ASP : ergo dabitnr
angulus lAM et ipsi alternus proptcr parallclas NMA. Datui' autein
punctum M, quia rectam NX positione et magnitudinc datam bifariam
dividit : ergo datur diamctcr MA positione; datur etiam angulus appli-
catarum AMN, et danturduo puncta N et D par quae transit parabole :
datur igitur parabole positione c\ Icminate, et est facilis ab analysi ad
synlliesim régressas.
Patet auteni duas parabolas in lioe secundo casu proposituni adim-
plere : concurrent cnini rectie DN et XR, quas posuimus non esse pa-
rallelas; lioc casu eâdem argumentatione nova construetur parabole
proposito satisfaciens.
< LOCI AD TRES LINEAS DËMONSTRATIO > {' ).
Exponantur très recta; positione dalie trianguluni constituentes : AM,
MB, BA (^/tg. 77), et sit quodvis punctum 0 a quo ad rectas datas du-
cantur rcct;e OE, 01, OD in angulis OEM, OIM, ODB datis. Sit autem
( ' ) Co morceau inédit est publie d'après uiio copie du xvii' siècle, classée dans la clie-
inise « Fermât » du portefeuille 1848 I de la collection Asliburnham. Celte cojjie, sur une
feuille double, sans titre, porte à la fin, d'une autre écriture du temps, la mention : Pour
Mdiii'' Cdrcnvi rue Micliel Lcconte au milieu, et, en haut, de la main de Libri, l'altribu-
lion à p-crmat. Celte attribution est corroborée par lu Lettre de Fermai à llobcrval, du
9.0 avril lO'iy, d'après laquelle le tilre a été com|)Osé.
La question traitée est énoncée dans Pappus (éd. llullsch), page G78, lignes i5 cl sui-
vantes.
88 ŒUVRES nE FERMAT.- I" PARTIE.
ratio reclangiili EOD ad quaciratum 01 data : Aio punctuni 0 esse ad
nnam ex coni scctionihus.
Dividatur MB bifariam in Q et, junctâ AQ, ducantur per punctiim 0
rectœ FOC, ON ipsis MB, MA parallelœ.
Fig. 77.
Tria triangula OEF, ODC, OIN sunt specie data : nam ex liypotliesi
dantur anguli OEF, ODC, OIN; datur etiam EFO quia, propter paral-
leias, dato AMB est sequalis; datur et OCD quia sequalis dato 3FBA;
deni(|uc datur ONI, quuni detur' ONB ipsi AMB propter parallelas
a'qualis. Datur igitur ratio OE ad OF; datur item ratio OD ad OC :
ergo ratio rectanguli EOD ad rcctangulum FOC datur. Datur autem, ex
Iiypotlicsi, ratio rectanguli EOD ad quadratum 01: ergo ratio rectan-
guli FOC ad quadratum 01 datur. Datur autem ratio quadrati 01 ad
quadratum ON, propter datum specie triangulum OIN : ergo ratio rec-
tanguli FOC ad quadratum ON, sive FM ipsi ;cquale, datur.
Si secetur AQ in U ita ut, ductâ UR parallelâ MB, quadratum UR ad
(|uadratum RM sit in rationo data rectanguli FOC ad quadratum FM
(hoc autem est facile, quum angulus MRU detur), et per punclum U
describalur, circa diamctrum AQ, coni sectio quam rectic MA, AB in
punctis M, Bcontingant (id autem est facillimum et ex < vario >• (')
puncti U situ crit aut parabole aut hyperbole aut ellipsis : superflua,
pnesertim tibi, non addimus) : Aio coni soctionem sic descriptam
per punclum 0 (ransire.
( ' j Le mol vnrio a clé resliUié ù la place (riiiic lacune de ciiii] lellrcs environ clans le
inaniiscrit.
FRA(;MENÏS (lÉOMKTlUQUES. S!)
Naiii Iranseat ex alla parle per punctuin P. Taiiget recla LU scctio-
ncni, (|iuim sit parallela ordinata- MB; ([iium ii^itur scctio lianscal per
puneturn 0, crit
reclaiigulum J*F() ad qiiadi'iiUiiii l''M iil (|iiatlraliuii L!l< ail iinadraliiiii KM,
ex décima sexta propositione III Apollonii. Ut aiileiii
f|uadraliim LU ad (inadiatiim ItM, ila esl rectanguluin FOC ad (|uatliaUiiii FM,
ex constriiclioiie : recta iil'uI uni i^itiir PFO rectanijulo FOI! a'fiiialc eiil,
ideoqtie recta FO rect;e PC.
Quod (|iii(lein ita se hahet : iiam, quum AQ dividat iMlariaiii .MB,
eiil recta FX lectîc XC a-quaiis; proptcr sectionem vero, recta ().\ est
a'tjiuilis XP : reliqiia igitiir FO reliqiue P(" a'quatui'.
Nec est difticiiis al) analysi ad synthesiiii, per deinoiistratioiieiii
ducentem ad impossibile, régressas.
FtBMAI — I- 12
AI) LOCOS PLANOS ET SOLIDOS
ISAGOGE '.
De lucis quampluiima scripsisse vetercs, liaud (lul)iuiii : (cslis Pap-
pus iiiitio Lihri seplimi (-), ([ui Apollonium de locis planis, Arist.Tiiiii
de solidis scripsisse asseverat. Sed aut falliniur, aiit non proclivis salis
ipsis fuit locorum invcstigatio ; illiid augurannir e\ oo (|ih)(1 Iocos
quamplui'imos non salis generaliter expresserunt, ut infra palcliil.
Scientiani igitur liane propriie et peculiari analysi sul)jicinuis, ut
(leineeps generalis ad Iocos via pateat.
Quoties in ultinia tequalitate (hue quantitates ignol:e reperiunlur,
lit locus loco et terminus alterius ex illis (lescril)it lineam rectani aut
eurvam. Linea recta unica et siniplex est, curv;e iniinita' : circulus,
paraI)ole, hyperbole, ellipsis, etc.
Quoties (juantitatis ignot;e terminus iocalis (leseril)it lineam rec-
tani aut circulum, lit locus planus; at qiuindo desiriliit paraholen.
Iiypcrbolen vel ellipsin, fit locus solidus; si alias curvas. dicilur locus
I ' ) Le lexle de cel importaiU Traité est très défiguré dans l'édition des Var'ui Opci-ii
de 1C171), eu particidicr ]iar l'adciption do la notation cartésienne des exposants. V,Isiv^i<^i\
<pii renferme les éléments de la (iéométric analytique moderne, et notamment nue dis-
eussion de l'é(piation générale du second degré à den\ ineonnnes, a répondant été rédi-
gée et même, d'après l'article dn Joaninl des- ,SV(cm;/f du 0 févriei' Midi, conimuniqnce par
t'ermat avant l'apparilion de la (U-omctru; do Descartos. J)'u]i antre côté, il est aisé de,
se convaincre (|ne Kerjuat est toujours resté fidèle aux errements de Vièto et n'a jamais
tait usage dans ses écrits de la notation des exposants, sauf pour des cas excepliomiels,
comme lorsiju'il luisait allusion aux travaux de Descartes.
L'existence, dans le portefeuille iSJS I do la collection Asliburnham, d'une ancienne
l'opie de \'hii-^i>i:^c a permis do rétablir en toute sûreté la notation employée par hermat et
d'éliminer certaines additions faites à son texte sur le manuscrit (pii axait servi pour l'é-
dition des Voriii.
( 2; Pappus, éd. llultscli, page (')3ti, lignes 22 et 23.
92 ŒUVUES DE FERMAT.- I" l'AUTIE.
linoaris. De lioc niliil adjiingcmus, quia facillimc ex planoruni et soli-
(lorimi iiivcsligatione linoaris loci cognitio (Jei'ival)itui', inc(lianlil)us
i'e(luctionil)iis.
Commode autem institui possunt ;eqiiationes, si duas ({uantitatcs
ignotas ad dadim anguliim constitiiamus (([uein ut plurimum rectum
sumemus), et alteriuscx iilis positione dal;e terminus unus sit datus;
iiiodô lUMitia quantitatum ignotarum quadratum praetergrediatur, locus
erit planus aiit solidus, ut ex dicendis ciarum liet.
Kr.cTA data positione sit NZM {Jig- 78^ cujus punctum datum N; NZ
loqueturquantitali ignotîc .1, et adangulum datum NZI eievata recta ZI
sit aH|ualis aiteri quantitati ignotœ E.
Z>in/1 ccqiioliir l>\\\E:
punctum I erit ad liiicam reclarn positione datam.
Krit oui m
ul 1; ad D, iia .1 ad /:".
Ergo ratio A ad /: data est, et datur angulus ad Z, Iriangulum igitur
\IZ specie, et angulus INZ; datur autcm punctum N et recta NZ posi-
tione : ergo dabitur NI positione, et est facilis conipositio.
Ad Iianc sequalitatem reduccntur omnes, quarum liomogenea partini
sunt data, partim ignotis A etisadmixta, vel in datas ductis vel sim-
pliciter sumptis.
Zpl. — D in A a>quelui' B in E.
LIEUX PLANS ET SOLIDES. 93
Fiat
D\n /} ;t>quale Z/j/. ;
erit
m /; ad D, ila /? - 1 ml E.
Fiat MN aH|ualis II : daliitur punctuiu iM, idcoquc MZ a'(iiial)itiir
A' — jl. Dahiliir eri^o ratio WA ad Zl; scd datur an£;iiliis ad Z, or^o
triangulum IZM spocie, et coiicludctiu' reclam MI jiinclaiu dari pusi-
tionc, i(l('()(jii(' piinctum I erit ad rcctain positioiu; datam. Id('ni(|uc
luillo negotio concliidetiu' in ([iialihet ;iiquaiitate ciijiis liomogeiiea
(jiKcdam afficicntur ah A vel E.
Et est siinplcx luoc et prima locoriim iocjualitas, ciijus beiieticio
invenieiitiir loci omnes ad lineam rectam : verbi gratia, scptima pro-
positio Libri I ApoUonii de lacis planis ('), quae generalius jaiii [tolerit
eiuintiaii et construi.
Huic £e(|ualitati siibcst pulclierrima propositio sequens, (jiiam nos
illiiis ope detexinuis :
Si suit (luolcumqae rcclœ liiieœ positioiie daUr (Uijiic ad ijisas <i (fandain
punclo diicanlitr recta' i/i datis a/iga/is, sit aiiteni (fitod sait ditctis et dalis
efficilur data spatio œ^uale, panclnni rectam liiiea/n positioiie datam eon-
tinget.
Infinitas omittimus, qiue Apollonianis merito possent opponi.
Sec.uxdus hujusmodi a'qualitaUim gradus est, ([uando
A in E xi\. Zpl.,
quo casu piinctum I est ad hyperboleii.
Fiat NR (y?i;-. 79) parallelaZl; sumalur in NZ (|uodlibet punctum,
ut >I, a qno diicatiir iMO paraliehi Zl ; et fiât rectangiilum NMO ieqnak'
Zpl.
Per punctum 0, circa asymptotos NR, NM, describatur hyperbole :
(') J'dir [ilus liaul, page 24, note 1.
94
ŒUVRES DE FERMAT.- l^" PARTIE.
(lahitur positione et transil)it pcr punctum I, quum ponatur rcctangu-
liini A in E, sive NZI, œquale NMO.
Fis- 70-
Ad lia:ic aîqualitatcm rcducentur omnes quarum liomo;j;enea partiin
siint data, vcl ah A aiit E aut A in E aflecta.
Ponatur
Dpi. -+- A in /? iiîfi. /t in 1 i- 5 in A'.
Igitur, ex aitis pnceeptis,
/>' in A -h S in /i — A in E a-qualntur Dpt.
I-;rtingatur rectangulum abs duohus laterihus, in (put homogenea
n in A -i- S in E ~ A in /t"
reperiantiir : erunt duo latera
A -S el /l-E
et rectangulum siih ipsis «(juabitur H\n A -^S'in E — A\» /<: — H'inS.
Si igitur a Dpi. abstuleris /fin. S, rectangulum suh .4 — .S' lu /{ — /;
;equabitur Dji/. — R\nS.
Fiat NO (/ig. 8o) ;equalis S, et ND, parallela Zl, fiât ;e(|ualis ]<; per
punclum D ducatur DP parallela NM, ■< per punctum O > OV paral-
lela ND, et Zl producatur in P.
Quum NO a^quetur S, et NZ, A, ergo A — S ;equabitur OZ sive YP:
similiter, quum ND, .sive ZP, tequetur //, et Zl, E, ergo H — E a-qua-
LIEUX l'LANS ET SOLIDES. 95
l)itur PI : rcclaiigulum igilursub VP in PI œqiiatur dato Dpi. — Il in S.
Krgo punclum I crit ad liyperholen, cujus asymptoti PV, V().
KiL'. S,).
Rcctangiilo eniin Dpi. — H in 5 ie(jucUir, sumpto (juovis punoto X et
ductà parallelà XV, roctangnluni VXY, et per punctnm Y, circa asyni-
ptotos PY, VO, liy|)crI)oIc describatur : per punctnm 1 transihit, nec
est difficilis in quil^uslibet casibus analysis aut constructio.
Sequens aiquaiilatum localium gradns est, ({unni .le/, vel a;(|na-
tur Kf/., vel est in ralione data ad Juj., vel etiani Af/. + .1 in /•; est ad
E(/. in dala ralione; deni([ue hic casus omnes ;equationes c()in|)re-
licndit intra nietain (juadratorum, qnarum liomogenea omnia vel a (|ua-
drato .1, vel a ([uadrafo /f, vel a rectangulo A in E aniciuntur.
Ilis omnibus casibus punetum I est ad lineam rcclani, eujns rei
demonstratio facillima.
Sit NZqnad.-f-NZ in Zl ad ZI quad. in ratione data (Ji;^- ^^i )•
Fiir. 8..
Ducatur qn;evis parallelà OR; qnadratum NO + NO in OR erit ad OR
quadratum in eadcni latione, ut est l'aeillimum demonsfrare. Punetum
igitui- I erit ad reclam positionc < dalam >.
I Sumatur cnim (j^nodvis punetum, ut 0, et tlat tiata ratio (|uadrati
!)G (EUVRES DE FERMÂT.— I"^ PARTIE.
NO + NO in OR ad OR (juadratum. Juncta NR dabitur positioiie et
satisfacict proposilo] ('), idcmqiie continget in quii)uslil)et anjua-
tionibus, quaruni omnia homogcnea a potestatibus ignotarum vcl rec-
tangulo sul) ipsis afficientur, ut inutile .sit singulos casus scrupulosiiis
percurrei'o.
Si potestatibus ignotarum vel rectangulis sub ipsis adinisceantur
bomogenea, parti m oinnino data, parti m sub data recta in alterain
ignotarum, difticilior evadct constructio : singulos casus construinuis
breviter et demonstramus.
Si
Af/. «qualur Dm H,
puiictum I est ■Mlparaholen.
Fiat NP parallela ZI {fig.%-i), et circa diametrum NP dcscribatui'
Fiï. S2.
parabole, cujus rectum latus recta U data, et applicata; sint paral-
lèle NZ : punctum 1 erit ad parabolen banc positione datam.
Ex constructione rectangulum sub D in NP sequabitur quadrato PI,
boc est, rectangulum subZ)inIZ ;oquabitur quadrato NZ, ideoque :
lJ\\\E ;t?quabilur A<j.
Ad banc a-quationem facillimc reducentur omnes in quibus Aq. mis-
cetur bomogcneis sub datis in E, aut f </. bomogencis sub datis in .4,
( ' 1 La déiiionstralioii mise ciUre croclicis est suspecte à divers litres; si elle n'a pas été
interpolée, on ne peut i,'iièrc la considérer (pic comme nn reste d'une i)remiére rédaction
de Fermât.
LIEUX PLANS ET SOLIDES. i)"
i(ltMiu|iie coiUingct, licet homogcnea omiiino data a'qiiatioiiilms iiiis-
c'cantiir.
Sit
E<]. ;rf|ualc A* in (.
In pnecedenti figura, verticc N, circa diamctriiin NZ, dcscrilialiii-
[)arabolt', ciijus rectum latus sit I), et applicata* recta* NP paralleho :
|ir;estal)it proposilum, ut palet.
l'oiiatiir
/jfV.— ly. a-(|. I)\i\ i:.
l'irgo
/II/.— Dii\ h' a'f|iialjiliii' ly.
Applicetur Ji(/. ad D et sit lequale /) in //. Ergu
D\n n — D\\\ Il a'r|nal)iliir ly.,
I)'n\{li — E) a-quabinu' ly.
i(leo{|u
Ideoque liiïc a'quatiu reduceturad pr;ecedenteui : recta i|uippe // — /■,'
succedet ipsi E.
Fiat quippe {Jîg. 83) i\>[ parallelaZI et «xqualis //, et per pnuetuui .M
ilucatur MO parallela NZ : dafur punctum ^F, et recta AlO positione. In
Fk'. 83.
Iiac constructione, 01 lequalnr II — E : ergo D in 01 ;e(|ualnr .\Z <|ua(l.,
sive MO quad. Vertice .M, circa dianietrum ALN, descripla paralnde. cnjns
rectum latus />, et applicala* ipsi NZ parallela-, praslahit |ii(iposilnni,
ut patet ex constructione.
Si
yyy.-t- ly. a'i|. ]J in /;',
/>\nE --/!</. a'i|iKil)lliir ly.,
rjujuT. — [. l'i
98 (EUVRES DE FERMAT. - 1= PARTIE.
etc. ut supra. Similiter omnes œquationes ab E et .417. affectai con-
sfruentur.
Srd Aq. iniscetur s;epe Eq. et liomogeneis omnino datis.
Jlq.— Arj. a^qiielur Erj. :
puiictuni \ est ad circuhim positione datum, quando angulus NZI est
rcctus.
Fiat NM {fig. 84) «qualis D; circulas centro N, intervallo NM, des-
ci-iptus prsestaMt propositum, hoc est : quodcumque punctuni sump-
Fig. 8i
seris in ipsius circuinferentia, ut I, quadratum ZI aîquabilur qua-
drato NM (sive/iy.) — quadrato NZ (sive.4<7.), ut palet.
Ad liane aequationem roducentur omnes affecta^ ab Aq. et Kq., et ab
A vel E \n datas ductis, modo angulus NZI sit rcctus, et prseterea coef-
ticientes .1«7. a'quentur coefficientibus Eq.
Sit
ISij. — /) iii 1 liis — •((/. ;equale IIq.-\- n\n Eh\i.
Addatur utiimque llq., ut /•; -+- R succédât E : fict
/il]. -+- !>(]. ~ D\\\ A bis — ( ij. .'equale Eq. + lUj. 4- /? iii /;' bis.
Ipsis /?(■/. et Hq. addatur l)q., ut I) -^ A succédât ipsi .4, et summa
quadi-atorum liq., liq., et l)q. ;equetur Pq. Ergo
f''l. — D(j.-~D\n (l)is— .I7. lïquabiliir 7?^. + /?!■/.— /) iii 1 l)is — f 7. ;
iiam e.\ constructione
Pq.~Dq. .Tqualur Rq. + liq.
LIEUX PLANS ET SOLIDES. 99
Si igitur loco ipsius .4 + I) sumpseris A et locn H 4- Il siimpscris /•,',
fiet
Pq.— Aq. iL'quale /?</.,
et reducetu!" œquatio ad prœceclenteni.
Simili ratiocinatione similes anjuaf iones rcducentur, et iiac via omnos
propositioncs securuii Libri Apollomi De locis p/anis (' ) coiistruxiimis,
et sex priores in qiiibuslibct punctis habcrc locum denionstravitniis :
quod sane mirabile est et ab Apollonio fortasse ignorabatur.
Sei)
]iq.— Aq. ad Eq. Iialjcal ralionem dalam,
punctum I crit ad cllipsin.
Fiat MN tcqualis //, et per vertieem M, diametrum NM, centriim N,
describatur ellipsis, ciijus applicalic sint rcctœ VA paraileiœ et (|iia-
drafa applicatarum ad rectangulum sub segmeiilis diainetri babcani
ratioiicin datam : punctum I erit ad bujusmodi eliipsin. Etenim qua-
dratum NM — quadrato NZ œquatur rectangulo sub diamelri seg-
nientis.
Ad hane rcduccntur similes in quibus Aq. ex uiia parte opponelur
Eq. sub contraria alTectionis nota et sub coefficientibus diversis. Nani
si cocfticienles sint eœdem et angulus sit reclus, locus erit ad cir-
culum, ut jatn diximus; licet igitur coclficientes sint e;edem, modo
angulus non sit rectus, locus erit ad eliipsin, et, licet immisceanlui'
;equationibus bomogenea sub datis et A vel E, fiet reduclio eo (]uod
jam usurpavimus artificio.
Si
Aq.-\- Hq. csl ad Eq. in data ralionc,
puncfum I est ad hyperbulen.
Fiat NO {Jig- 85) parallela VA; data ratio sit eadem qua' //y. ad ([ua-
dratum NR : daliilur ergo punctum H. Circa diametrum RO, per ver-
Cj finr plus haut, piigcs 29 cl 3o, note 2.
100 ŒUVRES UE FERMAT. - 1- PARTIE.
licoiii l{, cciitriim N, ilescrihatur hyperbole, ciijus applicatae sint paral-
lela- NZ, et rcctangiihim sub tolo diametro et RO unà cum RO qiia-
(Irato ad quadralum 01 sit in data rationo, NR quadrati ad llq. Erpo,
coniponendo, rcctanguluni sub MOR (posilà MN ;equali NR) uiià cum
quadrato NR erit ad quadratum 01 unà cum liq. in ratione data, NR
(|ua(liati ad nq. Sed rectangulum MOR, unà cum NR quadrato, aîqua-
Fi-. 8.J.
lur NO quadrato, sive ZI quadrato, sive /?</.; et quadratum 01 un;i
<-um Bq. ioquatur quadrato NZ (sive Aq.) unà cum llq. : crgo est
lU Eq. ad }'>q.-\- iq., ita NRquail. ad /?</.
t't, convertendo,
Bq. + Iq. csl ail /i'/. iii ralioiie dala.
Punctum igitur I est ad hyperbolcn positionc datam.
l'^odem (juo jam usi sunuis artificio, ad Iianc iÇ(|ualitatem rcducentur
omnesfjuœab .le/, et /sy. affieiuntur unà cum datis, sive simpliciter,
sive rniscoantur ipsis homogenea sul) .1 vel li in datas, modi) Aq.
babeat caMuleni ex alteia parte allectionis notani, quam Eq. Nani, si
•<]\i{ divers;^, proposilio concludetui' per circubjs vel ellipses.
Dii'iiciLLiMA omnium ;c(|uali(atum est quando ita miscentur Aq. el
/'>/. ni nibilominus bomogenea <|n;cdani ab .1 in /s altlciantur unà cnni
<lalis, etc.
/il/. (7. bis aviuolin- lin /ibis -1- /r»/.
LIEL'\ PLANS ET SOLIDES.
101
Ailtlaliif utriinquc Aq., \\{ A -\- E sit latus alterius ex liomogeneis :
Cl'gO
liij.— Aij. lequabitur Aq.-\-F.t]^ A \\\ /?l)is.
Pro A + E siiiiialLir K, si placet, et ex pricccclentii)us circiiliis Ml
ifig- S6) pnestet propositum, lioc est :
MN quad. (sive B<i.) — NZ quail. (sive Aq.)
ii-quelur quadrato Zl (sive quadrato abs A + li).
Fiat VI sequalis NZ, sive A : ergo ZVjequaturZi'. In liacautcm qiui'stione
puiiclum V, sive extremum rectai E, tantiim inquiiimiis : videndiini
ergo et (lemonslrandum ad quain lineam sit punctum V.
Fi-. 8G.
Kiat MU parallela Zl et ieqiialis MN, et jungalur NU, ad (|uaiii pro-
diicla IZ incidat ad pmictiim (). Qiiuin MN a'(|ueliir MU, ergo NZ
a'(|iiaiiiliir ZO; sed NZ aiqiiatiii' VI : ergo tota VO loli Zl est a'(|iialis,
ideoque
il(iadr;iUiiii MN — quadrato NZ leqiialup ([iiadiMld \'0.
Datiir auteiii (riaiigulum NMU speeie : ergo qiiadrati NM ad qiia-
dratum NU datiir ratio, ideoque et (|iiadrati NZ ad (|iiadratiiMi NO
dabitiir ratio. Uatio igitur
qundrali MN — quadrato NZ ad quadialum NU — f|iiadrato NO
102 fEUVRES DE FERMAT.- I' PARTIE.
datui"; probaviimis autem
([iiailraluin OV »quari fiuadralo MN — quadralo NZ :
orgo ratio quadrati NR — NO quadrato ad quadratum OVdatur. Dantur
autem puncta N et R, et angulus NOZ : ergo punctum V, ex superiiis
demonstratis, est ad ellip.sin.
Non ahsimili melhodo ad superiores casus reducentur rcliqui, in
quilius homogenea sub A in E homogencis partini datis, partini suit
A(/. aut Eq. inimisccbuntur, aut etiam sub ^ et £" in datas ductis,
cujus roi disquisitio facillima : semper enim bénéficie trianguli specic
noti construetur qu;ostio.
Rrevitor igitur et dilucide complcxi sumus quidquid de locis planis
et solidis inexplicatum veteres reliqucrc, constabitque deinceps ad
quem locum pertinebunt casus omnes propositionis ultimae Libri I
Apollonii de locis i)Ian{s ('), et oninia omnino ad banc materiam spec-
tantia nullo nogolio dctegentiir.
Si:i) LiiiET coronidis loco pulcberrimam banc propositionem adjun-
gere, cujus facilitas statini innotescet.
,SV, posilionc dalis quolciiinque lineis, ah iino cl codem pnncto ad sin-
gidas dacantiir rcctœ in datis angulis, cl sinl species ah omnihits ductis
dalo spalii) œqiialcs. niinr/uni conlingil positione daium solidian locitni.
Unico cxemplo tit via ad practicen : Datis duobus punctis N, iM
{fig. 87), invcniendus locus a quo si jungas reclas IN, IM, quadrala
rectarum IN, i.M ad (riangulum INM datam babeant rationeni.
Recta NM œquctur li, et recta ZI, ad angulos rectos, dicatur E ter-
minus; NZ dicatur A : ergo, ex artis prœceptis,
AqA)\i + lif]. — B in .1 bis -f- /iy.ljis ad rectanguluni Dm E
babebit lalioncni datani et, resolvendo bypostascs ex jam traditis prie-
ceptis, ita procedet constructio :
(') Voir plus haut, \\. 27. la note sur le sens qu'il faut attribuer à cette proposition
d'Apollonius.
LIEUX PLANS ET SOLIDES. 103
NM bifariam sccotui' in Z; a |)imcto Z exciteliir porpendicularis ZV,
et fiât data ratio oadein qiuc ZV (|uadrupla; ad NM; dcscripto seinicir-
oulo VOZ super VZ (') applicctur ZO œqualis ipsi ZiM, et jiiii(;lâ VO,
eentro V, inlcrvallo VO, describatur circulus OIH, iii (|uo siiinatui'
qaodlil)et punctum, ut R, et jungantur rcctie UN, RM : Aio ([ua-
drata RN, RM ad triangulum RNM esse in data ralioue.
Htec iiivcntio, si libros duos de lacis planis a nohis dudum restitutos
pi'œcessissct, elegantiores sanc evasissent localium tiieorematuni con-
structiones : nec tamen prœcocis licet et immaturi parlas nos adhuc
pœnitet, et informes ingenii fœtus posteris non inviderc scientiœ
ipsius quadamtcnus interest, cujus opéra primo rudia et simplicia
novis inventis et roborantur et augescunt. Imo et studiosorum interest
latentes ingenii progressus et artcm sese ipsam promoventem penitus
babere pcrspcctam.
APPENDLX AD ISAGOGEN TOPICAM,
(:(»:nti.m:ns sollitiunem i'kouli;.m.\tl'm soliuoki'm i'i;r i.ocos.
Patuit metbodus (|na lineœ loeales deteguntur : in(|uirendnm restât
<|ua ratione problematum solidorum solutio possit ex supradictis eU^-
(1) Construisez : ZO, ;ei|iuilis ipsi ZM, apiiliceliir scmicirculo VOZ, ilescriplo super VZ.
Fermai vcul dire que, dans le demi-cercle VOZ, il faul inscrire une corde ZO éi,'alc
à ZM.
lOV (EUVllES DE FERMAT. - I " PARTIE.
içantissime dcrivari. Hoc ul fiat, coarclanda ilia quantitatum ignolarurii
('xtra limitos siios cvagandi licontia; infinita enim siint piincta ((iiihiis
(jusslioni proposita satisfit in locis.
(]ommodissiine igitiir pcr duas aH|iialilates locales qua^slio deternii-
iiatur : sécant qiiippe se invicem da;e linc« locales positione data^, cl
pnnctum scctionis, positione datuin, qua;stioncni ex infinilo ad tei-nii-
nos pra^scriptos adigit.
Excinplis hreviter et dilucide res cxplicatur. Proponatur
•le. -t- /^ in -I7. jï-quaii Z/>/.\n/l.
(lommode ulraque aN|iialitatis pars potest trqiiari solido // in .1 in /•;.
ni per divisionem istins solidi, illinc por .1, liinc pcr B, res dedncatnr
ad locos.
Oiuim i"itur
le. -h/) in ly. ;ef|iioUu' 77 in lin Zi",
erso
!'/. + />' in 1 fDfuialiiliii' />in/:\
l'I dit, nt patet ex nostra nietliodo, exircniitas ipsins lï ad parabolcn
posilione dalani.
Dcindc (|iuini
/.[iLiull :i'(|ueUir />'in lin/;,
crgu
/pi. a'quahilni' - 1 in l'\
et erit, ex nostra nietliodo, exireniitas ipsins E ad livperholen posilione
datani.
Scd jam prohavimiis esse ad parabolen positione dalani : ergo dal)i-
lur positione, et est facilis ah analysi ad syntlicsin regressus.
Nec dissimilis est methodns in omnihns a-quationihus cuhicis : con-
slilntis enim ex nna parte solidis omnihns al) .1 allectis, ex altéra so-
lido oinnino dalo vel eliam cnm solidis al) .1 vel .ly. allectis, poterit
tingi a'qnalitas snperiori similis.
Proponatur excmplnm in a-(|uationil)ns qnadralocjuadraticis :
A qq.-.- l'ts.m A + Z(].\\\ \ ij. iiMjnelnr l^p[>-
Ergo
LIEUX PLANS ET SOLIDES. loi
Afjq. îi'qualiiliir />pp. ~ fis. in A — Z//.\i\ \</.
/Equontur li;oc iluo lioinogenea Zy. in /s'y.
Quum iLntur
Arj//. ?ef[ii('liir Z//.\nh\/.,
ergo, pei' subdivisioiieiii quudraticam,
Aq. ;L'(|ualjiliir Zin E,
et dit cxtrcinitas h' ad parabolen positionc dalani.
Dt'iiidi', ([iiiini
Dpp. — /is.'in A — Zq.in A//. icriueliir Zf/. ii\ Ei/.,
omnibus per Zy. divisis,
Bpp. — fis. in A
Z.,.
Aq. irquabilur £"7.
et erit, ex iiostra metbodo, extroinitas /s ad circiiluin posilione (iaUiin.
Sed est et ad pai'abolon positione datam : ergo datur.
Non dissiinili metbodo solvenliir qiiscstiones omncs quadiatoqua-
dratie;e : expiirgabiintur eriim, metbodo Vicl;e ((Jap. I, De cmcnda-
lionc) (' ), al) afieclioiie sub cubo et, ({iiadratoquadrato ignoto al) iiiia
parle, reliqais bomogeneis ab altéra constitiitis, per parabolen, eireu-
liim vel byporbolen solvetiir qua'stio.
l'ropoiiatiir ad exeinpliiin iin'cntio dnarum mediaritni in ronli/tiut p/o-
porlionc.
Sint diuc rect.'c, // major, D minor, iiiter qiias diue meiliie pro|)oitio-
iiales suiit iiiveniendie. Fiel
Ac. a)f|ualis f'x/. in Z>,
si major mediarum poiiatur A.
(') T'inr pa.^c i32 du l'édilion de Scliootcn. 11 s'ni;il du la mclhode aujourd'lmi \iilyeiire.
l'EnHUT. — I. I 4
tOO ŒUVRES J)E FERMAT. - 1= PARTIE.
.lîqueiitur singiila homogonea // in .1 in E : illinc fiet
iq. ;ci|iialo II in /;',
istinc
I in /? ;equ;iie li in I),
idcoquo (|ii;v.slio per hyperboles et paraboles intersectiononi pcrfi-
ciotur.
l']xponatiir enim recta qnaevis positione data OVN {fîg. H8), in (|iia
(li'Uir |)nnctuni 0. Sint rcctie data; B et I), inter quas du» niedi;e pro-
Fi-. SS.
ipsi
en,
ipsi
porlionales inveiiiend;c : ponatur recta OV a!(|iiari .1, et recta VM,
OV ad reclos angiilos, «quari E.
\'.\ pi-iori ;equalita(e, qiia
( ij. a-qiialnr // in A',
constat per puiictuin 0 tanquam verlicem describendani paralto
cujus rectum latus sit li, dianicter ipsi VxAI parallela, etapplicata-
()V ■< parallela; >■; transibit igitur lia^c parabole per pnnefnni M.
Kx secunda a^qualitale, qua
Il in /' ;ri|u;iUir I In /i,
suinalur punetuni iibi libet in recta OV, ut N, a quo excitetur perpen-
dicularis NZ, et liât rectangulum ONZ œquale rectangulo II in I). Kxei-
lefiir cliaui perpendicularis OR. (]irca asymptotes RO, OV describenda
hyperbole per punctnin Z, ex nostra metbodo locali, dabitur positione
cl Iran-^ibil jicr |iunctnm M.
LiEUK PLANS ET SOLIDES. 107
Sed parabole etiam (juam supra descripsinuis dabitur positioiio et
per idem punctum M transit : datiir igitiir punctum M positione, a (|U(»
si demittalur perpeiulicidaris MV, dabitiir punctum V, et recta OV,
major duarum continue proportionalinm quas quicrimus.
Inventœ igitur sunt dua; médian per interscctionem paraboles el
hyperboles.
Si ad quadratot[uadrata luljeat quicstionem exteadere, omuia dii-
canlur in .1 :
I77. ;ei|iKiliilui- /»'/. iii /> in I.
.l{(|uentui' singula lioiiiogenea, juxia superioreni metlioduin, //(/. m
/w/.; lient duic te(|ualitates, nempe
iq. ;i'(|. /Un /i (H /J ïn /l ivi\. E'/.,
quœ singul.T dabunt parabolen positione datam. Fict igitur conslructio
mesolabii per interseclionem duarum parabolarum hoc casu.
Prior constructio et posterior sunt apud Eutocium in Arcliimc-
dem ('), et buic melbodo facile reddunlur obnoxitv.
Abeant igitur climaclicœ ilho paraplcroscs Vieta';e ('■), quibus ;i'(|ua-
tiones quadratoquadraticas reducit ad ([uadraticas per médium cubi-
carum abs radice plana. Pari enim elegantia, l'acililate et brevitate
solvunlur, ut jam patuit, perinde quadratoquadraticse accubicœ (|uies-
tiones, nec possunt, opinor, elegantius.
Ut patcat elegantia liujus methodi, en constniciionem ornniiun [>n>-
hlemaluin cuhicoram et quadraloquadralicorum per parabolen el eirni-
Itnn .
onatur
ergo
.(c/7. — Zs. in ,1 ;ri|iiaii l^l'P-'i
Iqq. f0(|iial)itur Zs. \\i A -h Dpp.
( ' ) Conimcnlairo sur lo Tiailé de la splièrc cl du cylindre. 11, 2, dans les (li'JiMCS d'.Vii-
ciiiMÉni;: édition Torclli, page 1 1'^; édilioii llcilicrg, vol. III, pages ijî-'jo- Ces doux coii-
slruetions sont attribuées par Kulocius à iMcnechnie, l'inventeur présume des coni(pies.
('•') De cmciubuionc œtiiiiiiiiiiiiaii. Cap. VI, pages 1(0 et suivantes de l'édition de
Schooten. Il s'agit de la solution algébrique des éipiations du (piatricmc degré.
lOS ŒUVRES DI-: FERMAT.- I" PARTIE.
Fiiigaltir (|uailratuni al)s .{(/. — ti(j. aut alio quovis ((iiadrato : fiot qua-
ilraliiin
Aqrj. + Hqq. — Bq \k\ \q. I)is.
Aildaiitiir ad supplomentiiai singulis sequalitatis partil)iis
liqq. — TUi. in ( q. Ijis :
lier
Aqq. + Bqq. — I!<].\\\ \q.\ns ;equale
liqq. — Bq. in Aq. l)is -+- Zs. in ,1 + Dpp.
Sit
BqAn?: a'i|ualc Nq.,
et singulis lioniogcncis, sivc partil)us a^qiialitatis, œquclur Xq. in lu/. :
ticl illinc, por subdivisionem quadraticam,
.1'/. — ISq ;eiiuale /Viii /i",
id('0(|iie puncluni extrciniini Vi erit ad paraholcn, ox noslra inrtliodo;
isljiic iiet
Bqq. . Zs. in .1 Dpp. , „
i\q. i\q. /Vq.
ideoquc, ex noslra melliodo, punctiim extremum E erit ad circuluni.
Descriptionc igitur paraboles et circuli solvitur quœstio.
Ha?c mctliodus facilliinc ad nnines casiis tam cubicos quam quadi-ato-
(luadraticos exteiiditur. Cur'andum enim fanlum ut ex una paite sit
Aq'/., ex altéra quadibel homogenea, modo non afficiantui' ab .le. ; a(,
pcr expurgationem Vietœam, omnos œqualiones quadratoquadralica-
ail all'eetione sub eubo libcrantui' : crgo cadem erit in omnibus mc-
(liodus.
Quuiii aulem ;0(|uationes cubiea» liberentur ab alTecliono sub qua-
diato per uiotbodum Vietieam ('), bomogencis omnibus in .1 duetis,
ticl aMjuatio quadraloquadratica cujus nulluni ex bomogeneis al'ficietur
sub cubo, ideo([ue solvetur per superiorem metbodum.
Id solum in secunda aqualitale curandum est ut A(/. ex una parte,
( ' ) De cinciidaiioiic ivtjualioiiiiin, Cap. I, |iages i3i) cl suivantes de l'cdilio i de Sclioolen.
LIEUX PLANS ET SOLIDES. 109
ex altéra Eq., suh contraria adectionis nota reperiantiir, (|iio(l est
semper l'acillimum.
Sitenim in alio casu, ut omnia perciuTainus,
Âqq. leriualc Zpl.'xwAq. — Zs.'xwD.
Fingatur quodvis quadratum ahs ^(7. — ([uovis quadrato dato, ut
liq., tiet
J 'l'i- + t^qq- — ^q- in -^'i- '"s.
Adjiciatur utrique iwqualitatis parti, ad supplementuni,
Bqq. — Bq. in Aq. Ijis
liet
[qq.-^ Bqq. — Bq.in Aq. Ijis a;quale Bqq. — Bq. \n Aq. [)[%-{- Z pi. in . J q. — Zs. in />.
Ut igitui" commoda fiât divisio, in secunda sequalitatc sumenda dif-
t'erentia intei' Bq.his et ZpL, qu;e sit, verhi gratia, N(i., et u(i'a(|ue
icqualitatis pars ;equanda Nq.\nEq., ut illinc liât
Aq.— Bq. ;c(|uale N\nE,
istinc,
Bqq. , Zs. in /) , „
— r/-^ Aq. r, ieciuaic h q.
Nq. ' Nq. ' '
Advei'tendum deinde Bq.his debere prsestare Z piano, alioquin .ly.
non afficerctur signo defectus et pro circulo inveniremus byperholen.
Gui pi'ompluni remcdium : Bq. eniui ad libitum suminuis, ideocjue
ipsius dupluni majus Z piano nullius est negotii suniere. Constat
autem, ex metbodo locali, circulum crcari semper ex «([ualitale, in
cujus parte altéra quadratum unum ignotum afticitur signo 4-, in al-
téra aliud quadratum ignotum signo — .
Si sumas ad boc cxemplum invontionem duarum mediarum, erit
Ac. a^qualis Bq. in D,
et
Aqq. aniualc B<].\\\ D\i\ A.
110 <EUV1{ES DE FERMAT. - I- l'Ar.Tll'.
Adjiciytiir utriniqiie Ac/y. — llq. in.4<7. I)is :
I qi/. -h /iqf/.— /It/. in A//. h'is iur|ualjiUii' /l//q.-^ /trj.in D'iu l -/!</. \\\ I7. Iiis.
Sit
fl'j. bis ;B(]uale /Vq.,
et singiila- ;i'(|iialitatis partes anjucntur Nf/. \n lu/. : liot illinc
(7. — /!'/. aM|iiale /V in /i,
i<l('o(|iie cxticiiuini Ii erit ad parabolen; istiiic tk-t
/lq.\-h Dym A — Aq. icqualc /f'/.,
iilfoqui' extreiiiuiii /: orit ad circuluni.
Qui lia>c advcrterit, fruslra qiuestioncm mesolabii, Irisi'clionis angii-
laris et similcs, tciitabit dcducerc ex planis, hoc est, per rectas et oir-
ciilos expediro.
LIEUX EN SURFACE. III
ISAGOGE
AI) LOCOS AD SlIPERFICIEM,
(;ahissi>io Domino uk (;.\HC.\\'1 (').
Isagogen ad locos pianos et solidos perficit Iradenda tottwv v.^oc, i-'.-
ziiviioiv iTiŒti^i^. Haiic vetcres indicarunt taïUiim, seil ncquo gencra-
libus praîceptis docucriint, neqiic aliqiio saltem nohili cxcmplo adum-
hrai'iint, nisi in iis forsitan sepulla» janidiu Geometriie nionumcnlis
dolitoaiit, in quihus tôt praîclara veteriim inventa cum blattis et lincis
coUuctantiir duduni aul oninino cvanueiiiMl.
Gcneraieni (aiiion luiic inatoria! metlioduni non dcfiiturani in'cvis-
sirna dissertalio patcfacict : piuriltus enim singulas, quas siimmatini
tradidinnis Iiuc usque in Goomctricis, inventiones aliquando, si sup-
petet otium, ilkislrabimus.
Qn;o igitiir in lineis topicis symptomata quîesivimns et demonslra-
vimiis, eadein in superficiehus pianis, spluericis, conicis, cylindiicis
et conoidcùn ant splueroideon (|noinnilil)et inqnirerc niliil vetat, si
|)ra'niittantnr loinmata singulorum luijusmodi locornm constitutiva (-).
(') Cet opuscule, jusqu'il présent inédit, et qui couticut le premier essai connu sur l.i
théorie générale des surfaces du second degié, est public d'après une copie d'Arbogast.
laite elle-même de seconde main.
(-) Fermât, dont le point de départ est le Livre d'Arcliimède /'f coiioà/iùiu et (p/iifnu-
(libus,A bien reconnu la nécessité de généraliser la notion de la surface cylJndricpic, ainsi
ipic celles des conoïdes ( parabolo'ides elliptiques et hyperboloïdes à deux nappes) et splié-
ro'ides (ellipso'ides) d'Arciiimcde, qui n'avait traite cpic des surfaces do révolution; mais il
n'a pas soupçonné l'existence du paraboloïdc hyperbolique ni de l'hyperbolo'ido à une
nappe. Son erreur apparaît au lemmo 'i.
112 ŒUVRES DE FERMAT. - V' PARTIE.
Proponatur ergo pro locis ad superficiem planam lemma scqucns :
1. Si superficies qucrpiam planis qitotlibet in infinitum secelur, et com-
munis seclio omnium in infi/iiliim sccantium planoram <^ el diclœ siipcr-
ficici^ sil linea rec/a, superficies primitm posila eril plan uni.
Prn locis ad superficiem spha^ricam :
2. Si superficies quapiam planis quollihet in infinilum secelur. el com-
rnunis sectio planorum omniiun seeanlium cl diclœ superficiei sil circu/us,
superficies illa eril sphœra.
Pro locis ad superficiem splucroidis :
3. Si superficies quapiam planis quollihel in infinitum secelur, et coin-
mu/iis seclio omnium seeanlium planorum el diclœ superficiei sil qiian-
doque ciiru/us, quandoquc ellipsis, et nilul prœlerea, superficies illa erit
sphœr-ois.
Pro locis ad conoidcs parabolicos aut hyperholicos :
4. Si superficies quapiam planis quotlihcl in infinilum secelur, el com-
munes secliones (ut supra) sinl quandoque circulas, quandoque ellipsis,
quandoque parahole aul Jivper'bole, et nihil prcvlcrea, superficies primurn
posita eril conois paraholicus aut liyperbohcus.
Pro locis ad coiiicas superficies :
5. Si superficies quapiam planis quotlibel in iifinilum secelur, et com-
munes secliones sinl quandoque lineœ reclœ, (piandixjue ctrculi, quan-
doque ellipses, ipuindoipie pamboUv aut liyperbolœ, et niliil prœlerea,
supcrficu'S vnnuun posila enl eonus.
Pro locis ad superficiem cylindricam :
6. Si superficies quapiam planis quotlibel in infinilum secelur, el com-
munes secliones suit quandoque Imeœ reclœ, quandoque circuit, quandoque
ellipses, et nihil prœlerea, superficies primiim posila erit cyliudrus.
Quia lamcn sajpissime occuriuut loci in (juibus secliones sunt lineœ
recta-, paraboUo aut liyperboUe et iiiliil prteterea ((|uod ipsa statim quios-
LIEUX EN SURFACE. 113
tionisanalysisitidicabit), convenions < est > et necessariaomnino liuic
disputationi nova cylindroriim consliltitio, in r/iii/nis luises i/iler se paral-
U'Uv sint parabolœ mil hyperbolœ, cl Inicrct, bases hujiismodi conncctcnlia,
sini liiieœ reclœ, inter se parallekv, ut accidit in cvlindris comnumihus.
Ita enim fiet ut nuUa omnino cylindrorum hujusniodi pcr planuni
soctio det circulos aut ellipses, erunt(|ue aut scaleni aut recti ad
iniitationem communium, prout analysis topica proposit?e qua'stiouis
exposcet.
Hos autem cylindres prohleniala ipsa topica necessarios innuuul :
(juod addenduni, ne videatur otiosa hujusmodi (7y^f,[jLaTC/ç expositio et
invenlio.
Imo et priusquam ulterius pergas, non omnino satisf'acit luiic opci'i
Ai'cliimcdca sph;croidcôn et conoideùn constructio (' ) : scalenos enini,
perinde ac rectos, quîesliones ipssc repra;sentalnint.
Ex prœmissis soquuntur pulclierrimi primo ad superficie m splurricani
ioci :
.'^/ a qiiolcumque pitnclis datis in (jinhiislibcl jdanis ad jmncliiiu iinimi
injlcclantur reclœ, cl sinl quadrala (jiuv ab omnibus Jlunl dalo spaliii
œrpmlia, piincliim ad injlcxionem cril ad superjlcicm sp/iœricam i/cr
spluvrain positiune dalam. — Spiueram cnim vocare possumus, ad inii-
tationem Euclidis et vetcrum Geonietrarnm ([ui yJr/Xvi non ipsius cir-
cuii -ô éu.,3aoiv, sed circumferentiam ipsam appcllarunt : snperlîeiem
sane hujusmodi pnnctum qnampiam describet.
Exponatur quodvis plannm positione datum et in illo, juxta pru'-
ccpta locorum planorum et solidorum alias tradila, qn;oratur locus ad
quem a punctis datis inflexarum quadrala sequentur spatio dalo.
Hoc autem est facile : sit factuin et locus in piano cxposilo sit
curva NIP {fig- 89). In illud planum, a punctis A, E, G datis ex livpo-
tliesi, demittantur normales AB, EF, GD. Quum igitur planum hoc sit
positione datum, dabuntur in illud a punctis A, E, G datis demissa'
(') J'oir la iiiitc 2 de la |iai;c 1 1 1 et la Préface du Traité d'Arcliimèdo De: avioidcc et
spliéruide.i (éd. Torclli. pages 2J7 à 2j(j: éd. llcibcrg, vol. I, pages 275 et siiiv.).
I'ebmat. — I. 1 5
m ŒUVRES DE FERMAT.- l" PARTIE.
normales AB, EF, CD; dabuiUur et piincta B, F, 1) in quiluis dieta'
normales piano exposito occurrunt. Sumatur in quiesita linea locali
NIP (juodvis puncLum, ut I, et jungantur recta; xVI, BI, El, IF, Cl, DI.
Quuni igltur a punctis datis A, C, E ad punctum 1 linc« localis pcr-
tingant rectœ AI, El, Cl, earum quadrata comproliendunl spatium
datiim. Si igiturab eis quadratis auferas normalium AB, EF, CD qua-
drata, quœ jam probavimus data esse, supercnint ([uadrata Bl, FI, DI,
(juorum sumina proinde data est. Dantur etiani in exposito piano
piincla B, F, D, ut siniiliter proi)alum est. Quum itaque a punctis B,
F, D, datis in eodein phiiio, indectantur rectœ ad locuni in oodcm
ctiam piano, et sint quadrata inflexaruin, ut BI, FI, DI, aNjualia spatio
(lato, patebit, ex Apolloniano (') pridem restiluto tbeorematc, locuni
NIP esse circulum positione datutn, siniilisque omnino analysis in
quovis alio piano exposito locum habebit.
Quum igitur plana omnia exposita dent circulos locales in infinituni,
ergo supcrticies prinuim qu;csita, ex vi sccundi lemmatis, erit spbaM'a.
Quum enim snperlîcicm localem proposito satisfacientem quœranuis,
quid vetat iniaginari siiperficiem quœsitam piano exposito sectam? At
scctio circuUis esse duntaxat potest; (]uuni enim circulus, lit jam dc-
monstravinius, satisfaciat loco cui etiam superficies intégra satisfacerc
débet, patet circulum in dicta superficie locali necessario collocandum.
Constat igitur superficiem localem in specie proposita, dum planis
sccafur, daro infinilos circulos ac proinde esse spba'ram.
I ') f'oir plus liiiiit .Ipallimii de liicis j>Uuiis Libr. 11, prop. V, page 37.
LIEUX EN SURFACE. n;;
Eâdem ratione dcmonstrabuntur et sequentes loci :
Si a qnolcuinque puncUs m uno rcl (/iversis planis ad piiiirturn iina/n
iiijlcclanliir reclœ, cl quadrala, quœ ah aliquihus injlexariim finit I. ad
qtiadrala quœ a rcliquis, siril vcl iii data ralionc vcl in data di/fcrcnda
rcl dato tnajora aul minora quani in ralionc. panciuni ad injh'xiuncni
cril ad spJuvrarn posilione datant.
Non ilissimili aitilicio pulclicrrima iii infinitum superficici spliœrica-
symptoinata dctcgcntiir.
Si sinl qiiolli/jcl plana posilione data, cl a puncto qiiodam in data
plana dcmittantar rcclœ in angtilis dalis, quarum quadrala ornnia sinnd
sianpta œquenturspalio dato, punctum cril ad superficicin sphœroidis posi-
lione dali.
Fiat analysis et cxponalur, lit tlocet metliodus, planuin quoillibet
positioiie datum, in ([uo (jiixta praccepta locorum |)ianoMiin ot soli-
doi'um qiue in uno dnnlaxat piano olim cxpendehanuis) qiiaM'atur
linea localis a cnjiis puncio (juolibct in plana data domissaruni iu
angulis datis quadrala œqucntur spatio dato.
Facillima statim cvadet constructio : quum onim planum exposituni
detur po.sitione non secus ac plana data, ergo et communes plani cxpo-
siti et (latorum secliones similiter dantur. Commodam igilur in analv-
(icis dcnominationem accipiunt récite a quovis puncto plani expositi
in plana data deniissa-. Ilarum (jnadrata si jnngas et ;e(|nes spatio dato,
exhibebit analysis in piano exposito ciiculos lanlum aul ellipses lo-
cales, neijuc in quovis alio piano posilione dato alium metliodus locum
potei'it exliiberc, ut ipse analyseos progressus indicabil.
Palet itaque, ex tertio Icmmate, locum qucTsitum, quum circules del
tantum aut elli|)scs, esse splueroiden.
Si quadralonun luijiisniodi pars qitaris assignata ad rcliqiiam sit in
data dijfcrcnlia vcl m data ratione vcl dato major aut ininor quani in
ralionc. ficnl supcrjicics aut sphœroidis aut conoidis aut conicœ aut cylin-
driccv etc., prout posilio datorum planuruin cxpostidahit, idque statim
solcrti analyseos filo deprelicndetur.
IIG ŒUVRES DE FERMAT.- ^' PARTIE.
Veibi gratia, si sint in data rationc, fient superficies, ut plurinimn.
conoideôn; si vero communes sectiones planorum datorum ad ununi
punctum concurrant, fient superficies mère conica'; et, si sectiones
planorum datorum sint inter se paralleho, fient superficies merc cyiiii-
drica% hoc est, vel nostrorum vcl communium cylindrorum.
Usus omnia slatim patefaciet : generalia (juippe summatim tradenda
sunt, nec frequentibus nimis exemplis methodi perspicuitas obruenda.
Ultimum piano locali destinavimus exemplum, quod primam fortasse
sedem debuerat occupare.
.SV si/i/ (inotlihcl plana positionc data, cl apunclo qitovis in dirla ph
aiiii
(lemiltantiir rccUv in dalis anglais, et sil rectanim omnium dcmissariiiu
siimrna œqualis rectœ datœ, punctum crit ad planum positionc datum.
Secenlur (juippe, ex superiori nietiiodo, i)Iana data a piano quoliixM
positionc dato, et in eo, juxta methodum locorum planorum jam tra-
ditam, quaM'atur locus propositioni satisfiiciens. Erit ille linea l'ccta,
ut constabit ex analysi, et in quibuscumque pcr plana sectionibus
idem contingct. Patet igitur, ex primo lemmate, locum quœsitum esse
superficiem planam.
Si liujusmodi rcctarum pars quavis assignata ad reliquani sit in data
diffcrenlia vel ratione, vel data major quam in rationc, punctum crit simi-
liter ad superficiem planam positionc datant.
Imo et in superioribus quaîslionibus, si plana essent intcr se paral-
lela, superficies localis esset plana, quod vix erat ut admoneremus.
CoRO.Nn)is loco addere libet et liuic ctiam aptare operi insigne illud,
de loco ad très < et > quatuor lineas ApoUonii ('), £-i-/£(pY]aa.
(')Pappi Alcxandrini CollecUonis qu.x' supersiinl (éd. IIiillscli, Berlin, 187G-1X7S),
Livre VII, pa^es Oj.'i-OHi.
Pappus (p. G78, 1. lîà ■>.')) défiiiil le lieu à Irois ou quatre lignes, à propos d'un passage
de la Préface des ^'o/«Vy(fCf d'Aimllonius, (|u'il reproduit et qu'il discute. Au reste, l'inven-
liou du problème est antérieure au géomètre de Pergect doit remonter au moins à Aristéc
l'ancien, qui en avait ju-obablement abordé l'analyse dans ses Livres jierdus Des- ticicr
LIEUX EN SURFACE. 117
Si sinl Irid plana posilione data, cl a punclo (luodum in dicla plana
demillanlur rcctœ in datis a/igulis, et sil quod fil a duabus dttclis rcclaii-
gulum ad quadralum rcliqiuv in raliune dala, puncliua erit vcl ad planuni
rcl ad splurrani rcl ad spluvroiden vcl ad conoidcs vcl cliam ad sapviji-
ciex conicani ant cylindricaui (^vctcrcm aul lann/n). pronl plana data
positioncni sorlila fucrint.
Nec absimilis /// tpiaiaor planis inventio, ut cuilibct ohvium.
Casus, deterininationes, infinita probiemata localia seu mavis (hco-
lomata, qiia; brevitatis causa omisimus, leniniaUiin pricmissoiuin ilc-
iiioustrationes, et reliqua- (jiia^ diligentius forsan fucrant cxplicaiula,
sodiilus et accuratus Geonietra, ciii lia-c vcnerint in manus, facillime
supplelut, nc(|U(! latebit dcinceps ardute, ut vidcbatur, matcii;e pro-
clivis intelligeutia.
ToloSiT, (j januarii i()i3.
\<i/ii/c.f; Apollonius rcprochaiL à Euclidc de n'avoir, dans ses Cmiiqucs, donné (in'uno syn-
thèse incomplète.
La question était rcdcvonuo cclèbro depuis l'apparition de la Cdoniciric de Uescartes,
où clic joue un rolo capital; voir notamment pages S?.,'! et suivantes de l'édition originale
( Discours de la Mc'lliodc pour bien conduire sa raison cl clicrclicr la vérité' dans les
sciences. Plus la Dioptrique, les Melc'ores et ht Geonieiric /[ui sont des essais de cette nié-
tliodc. A Leyde, de l'imprimerie de Jan Maire, CD l'JC XXXVII. Avec privilège); pages ai
à iS do l'édition de Paris, Ilermann, 1886. Mais Fermât avait lui-même aborde dès long-
temps ce problème : voir plus liaut, pages 87 à 89.
118 ŒUVRES DE FEUMAT. - 1"^ PARTIE.
DE SOLUTIONE
PROBLEMATUM GEOMETRICORUM
PER CURVAS SIMl'LICISSIMAS
ET UMCllQli: rnODLEM.VTU.M U K N E R I P R 0 P R I lî COX V E X 1 K N T E S ,
DISSEUTATIO TRIPARTITA.
PARS I.
Ul constet Cai'tesium iii Geomctricis ctiam lioniiiiem esse, qiiod
])ai-a(loxum inerito forsaii quis dixcrit, videant subtiliores Cartesiani
ail incnduni contineat lincarum curvariim in ccrtas classes aiitgradiis
(lailosiana distribulio, et an probabilior etcommodior sccundum voras
Analyscos Geometric-c Icges dcbeat assignari. Quod sine dispcndio
tainte taiiti et lam cclebris viri exsecuturos nos ccnseinus, qiiuni Cai'-
tesii cl Cartesianoruin omnium intersit veritatem, cujus faulores se
non immerilo jactant acerrimos, licet ipsorum pbicitis aliqnantispci'
advcrsetui', omnibus aut (si générale boc nimis) Geometris salleni
el Analyslis fieri manilestam.
Problcmatum geometi'icorum in ccrtas classes distributio, non soluni
veteribus, scd et recenlioribus necessaria visa est Analystis. Propona-
tnr videlicct
A 4- 1) ïcquaii 15,
aut
A quailialum -+- R in A lequari Z piano.
H;e dua' ivquationes quarum prior radicem aut latus ignotum suis ter-
DISSERTATION TRIPARTIE. 119
ininis iioncxcedit, posteriorauLom lalcris ignoti sccundam potestatoiu
sivc quadratum continet, priimim et sinipliciiis problematuin gcmis
constituunt. Ea vci'O sunt problcmala qua; plana Geometris dici coii-
suevcrunt.
Secundum proltlematuni gcnus illiid est in qiio quantifas ignota
ad terfiam vol ad qiiartam polcstatem, lioc est, ad cubiim vel ad qiia-
draloquadratum, |K'rtingit. Ratio aiiteni cui' dua3 poteslatcs proxiinu*,
licct divcrsi gradus siiit, uniiin tameii tantum constituant proble-
niatiim gonus, liœc est, quod ajquationes quadratic;c reducuntur ad
simplices aiit latérales facili, qu;c et vcteriltiis et novis cognita est,
methodo, ideoque per regulam et circinum nullo negotio resolvuntuf.
.Equationcs autem ([uaiti gradassive quadratoquadraticœ reducuntur
ad œquationes tertii gradus sivc cubicas beneficio novae, quani Vieta
et Cartcsius prodiderunt, niclliodi. Iluic enini operi Vieta subtileni
illam et sibi peculiarem cliniacticam paraplerosin destinavit, ut apud
euni videi'e est cap. G libelli De emctulationc œqualionum, nec absimili
in pari casu usus est artiticio Cartesius ('), licet aliis verbis illud
enunciet.
Simililer (|uoque cubocubicani a;quationeni ad quadratocubicam
sive a>(|uationeni sexti gradus ad loqualioncm quinti dcprimct, licet
aliquanlo diflicilius, Vietœus aut Cartesianus Analysta (-). Ex co
autem ([uod in pr;ediclis casibus, in ([uibus una tantum ignota quan-
tilas invenitur, ;cquationes graduum pariuni ad aequationcs graduum
iinparium proximc minorum depriniuntur, idem omnino contingere in
iL'quationibus in quibus duœ ignot;c (juantilales repcriuntur conliden-
ter pronunciavit ("artcsius pagina jaJ Geometriac linguà gallicà ab
ipso conscripta' (^).
(') ViÈTiî, cdilion ScliOdU'ii, pages i.jo cl suivani.es. — DEscvnTiis (Ccmnc/rif), édi-
tion de 103;, pages 383 cl suivanles; édition de 18.SG (l'aris, lleimann), pages (ij cl sui-
vantes.
('-) Cette asscrlion est singulière : Fermât a-t-il cru, d'après le passage de Dcscarles
ra|)porlc dans la noie qui suit, que son rival possédait le secret d'une pareille réduction?
(') Descautes (Gcimictrie, édition de 1037, p. 323) : « Au reste, je mets les lignes
courbes (pii font monter celte équation jus(pi'au ([uarré de quarré, au mémo genre que
120 ŒUVRES DE FERMAT. - P» PARTIE.
Hujusmodi vero sunt œqiiationes omnes linearum curvarum consti-
tativa) : in his enim non solum pra^dicta rcductio vcl depressio non
.succedet, ut Cartesius affirmahat, scd eani omnino impossibilem Ana-
lysta> cxpcricntur. Proponatur, vei'bi gratia, a'quatio paraboles qua-
dratoquadraticsc constitutiva, in (jua
Aquadraloquadralum a^qualur Zsolidoin E;
qua ratione œquatio bœc quarti gradiis deprimetur ad tertium? quo
iitentur remedio climacticœ paraplcroseos artifices?
Quantitatibus autem ignotis cbaractcrcs vocalium juxta Vietam assi-
gnamus : haîc cnini Icvia et prorsus arbitraria cur immutarit Carte-
sius (' ), non video.
Ut autcm pateat disquisitionem liane aut aniniadvcrsionem non esse
otiosam et inutilem, snppctit metliodus universalis qua problemata
(ju;rcuniquc ad certuni curvarum gradum reducimus.
Proponatur namque problcma in quo quantitas ignota ad tertiam
vel ad quartani potestateni ascendat, illud pcr sectiones conicas qua»
sunt secundi gradus cxpediemus; sed si tequatio ad quintam vel ad
sextani potestatem ascendat, tune solutionem per eurvas tertii gradus
possunius exliil)ere; si iecjuatio ad septimam vel ad octavam potesta-
teni ascendat, solutionem per eurvas quarti gradus exiiibebimus, et
sic unifornii in infinitum metliodo. Unde evidens fit non bicde nomine
(antiim, sed de rc agitari quœstionem.
Proponatur in exemplum
\cub. ctifj. -h ]^pl. sol. in \ irquari 'Asol.sol.,
aut, si velis,
\'jii. ciib.-^Mpl. pi. in \ rcquari V.pl.soL;
celles qui no la font monter que jusqu'au cube; et celles dont l'cquation monte au quarrc
de cube, au mûmc ireiirc que celles dont elle no monte qu'au sursolide, et ainsi des autres ;
dont la raison est qu'il y a règle générale ])0ur réduire au cube toutes les difficultés qui
vont au quarré do ([uarré, et au sursolide toutes celles qui vont au (luarrc do cube; de
iaijou (|u'on ne doit jias les estimer plus composées. » (Page an de l'édition de 188G.)
(') On sait que Descartes fut le premier à désigner les inconnues par les dernières
lettres de l'alphabet; c'est également à lui que remonte l'emploi, en Algèbre, dans les Ou-
vrages imprimés, des mii\usculcs italiques.
DISSERTATION TRIPARTIE. 121
in uti'oqiie hoc casu problcma solvcmus per curvas tcrlii gradiis seu
cubicas, quod et fecit Cartesius ('). Scd si proponatur
Kiiti. ciib. ciib. -h V>i>l. pi. sol. in A ;i'(|u;iri 7,pl.st)l. sol.,
a Ut
A 'jii. <jii. ctil). -H 1) sol. sol. iii A iL'tiuari 7.pl. pi. sol.,
tiinc prol)lcnia solveiniis per curvas qiiarti gradus scu qnadratoijuadra-
licas, ([iiod iR'C t'ecit ncc tieri posse c\istiinavit Cartesius (-), (jiuini in
hoc casu ad curvas (juinti vel sexti gradus nccessario recurrenduni
crodiderit. l'urioreni certe Geoinetriam olFendit (jui ad solulionem
cujusvis prohlemalis curvas com|)ositas nimis et graduum ohilioruni
assuuiit, oiuissis pi'opriis et siin[)licioi'ihus, (luum jaiu saqie et a
Pappo ( ') et a recentioi'ihus deterininaluui sit non k've in Geonielria
peccatuni esse (juando prolilema ex improprio solvitur génère. Quod
ne aceidat, eorrigendus est (Cartesius et singula problemata suis, hoc
est propriis et naluralibus, sedii)us rcsiituenda.
Sed et pag. 322 (') idem Cartesius diserte asserit curvas ex intersec-
lionc regulic et alterius aut rcctœ aut curvic oriundas esse scniper ehi-
( ') Gcmnctric da l)csc(iric\, édition de iG'Jj, piges 4'J^ et suivantes; édition de ly.sO,
pages 8<) cl siiivuntes.
(-) Ccoiiwlrie de Dcscarics, édition de iCi'i;, page jcSq : « Si la (|nantité inconnue a trois
(jh qnatrc dimensions, le problème ponr lc(|nel on la elierelie est solide, et si elle en a nM\
on six, il est d'un degré plus composé, et ainsi dos autres. » (Page 71 de l'édilion de
18WI.)
Le rcproalic s|)écial ailressé ici à Descartes par l'erniat n'est certainement pas fondé :
Uescartes a bien en le tort do considérer comme d'un seul gumiiî h les conrbos de degré
■j.ii — I et in; mais, ponr rôsondre nii problème de degré 111 — 1 on 7.11, il ne <lcmandail
([ne des courbes (L' de-^rc n. f'oir page 3o8 de l'édition de la Gc'oiiiclrie de idl);, page 10
(le l'édition do iSSG. Fermai a été induit en erreur en cro\ant retrouxer partout dans le
langage de Descartes les conséquences de l'idée erronée qu'il se [iroposait de relever.
(■*) Pvpi'L's, Livre IV, jij; édition Ilultscli, |)agc .«70, lignes 2701 suivantes.
('•) Édition de 1S8G, page -20: « .Mais si au lieu d'une de ces lignes courbes (In prenn'er
genre, c'en est une du second (pii Icrmino leplauCNKL, on en décrira par sou moyen nue
du troisième, ou si c'en est une du troisième, on en décrira nue du qualriènK;, et ainsi à
l'inrmi. »
Descartos suppose que le plan CNKL se ment parallèlement à lui-même, le point L |>ar-
conrant la droite fixe Alt. La courbe décrite est le lieu do l'intersection de la droite GL,
déterminée par lo |)oint fixe G et le point mobile L, avec une courbe CK doiméc sur le
plan mobile. Si l'on suppose i[uc les ./■ soient [larallèles à Alt, les y à AG, que ré([ualiou
de la courbe donnée, en prenant L pour origine des axes, soit F(.r,j>-)= o ; si enfin l'on
Fermât. — \. l6
122
(EUVIIES DE FERMAT.- 1'^'= PARTIE.
tioris gradus aut generis, quam est recta aut curva in figura pag. 32i
{Jig. 90), ex qua derivantur. ItUelligatur, si placet, in locuin ipsius
rectaî CNK, in dicta figura pag. 32i, substitui paraholen cubicam ciijus
vcrtexsit punctum K et axis indefinitus KLBA, et caetera construantur
Fig. 91.
ad nientem Cartesii. Patet aîquatiouein dictaî paraboiœ cubicaj consti-
tutivam esse sequenlem
A ciib. ex una parle, cl B f/aad. in /i" ex altéra.
h]xperiere aiitem statiiii curvam EC ex luijusrnodi positioiie provenien-
tem ad a;quationcm tantum quadratoquadraticam ascendere : ergo
curva quadratoquadratica est eiatioris gradus aut generis quam curva
cubica, secundum pnedictam Cartesii dcfinitioncni, quum tanien con-
(rarium pag. ii'i (') expresse idem Cartesius definierit, curvam nempe
pose Ati = «, il est aise de voir que l'éiiualio:! de la courbe décrite sera, en prenant A
|iour origine,
Or, l'assertion de Doscartcs revient à dire que, si l'équation do la courbe donnée est du
degré i/i—i ou 2«,rcqualion de la décrite sera du degré 2« -hi ou 2.11 -h -i. Il est singu-
lier ((uc, au lieu de relever ce lapriis évident, Fermât se soit au contraire attaché à mon-
trer que, dans tel cas particulier, le degré de la courbe décrite pouvait être encore moins
élevé que celui indiqué par Descartes.
( ') fuir la note 3 delà page 119.
DISSERTATION TRIPARTIE. 123
(|uadi'atoquadraticam et curvam cubicam esse unius et cjiisdcm gradus
aut generis.
Methoduni autcm nostram qua omnia in infinitum problemata, ca
ncnipe quorum sequationes tertiam et quaitam potestateni continent,
ad secunduni curvarum graduni : quœ quintam et sextani potestatem,
ad tcrtium : quse septimam et octavam, ad quartum rcducinuis, et eo
in infinitum ordino, exhibere non difl'erenius quotiescuniquc id volue-
rint quibus piaculum videtur crrores quoscumque vel etiam Cartesianos
in pi'*judicium vcrilatis dissinuilare.
Nec movcat problemata quœ ad secundam potestatem ascendunt et
((uœejusdem cum problematisprimi gradus sint speciei cl plana diiun-
lur, circulis, boc est curvis secundi gradus, indigere; suuni enini et
proprium Iniic objcctioni responsum non deerit, quum mcthodum nos-
tram generalem omnia omnino problemata per ctirvas convenientcs
absolventem profercnins.
DISSERTATIOMS
PARS II.
Ut dataî publiée fidei satisfiat, metbodum generalem ad solvenda
(jusecumque problemata pcrcurvas proprias et convenientes exliibemus.
Prœdictum est jam in prima Dissertationis parte problemata duorum
graduum inter se proximorum, tertii verbi gratia et quarti, quinti cl
sexti, septimi etoctavi, noni et decimi, etc., unicum tanlum curvarum
gradum respiccre : problemata nempe quai ad (crliam vel quarlam
potestatem ascendunt, solvi pcr curvas secundi gradus; ca vero (|ua'
ad quintam vel ad sextam potestatem ascendunt, solvi per curvas tertii
gradus; etc. in inlinilum.
Modus aulcm operandi lalis est : Data quicvis tcqualio, in qua uiiica
tanlum reperitur ignota quantitas, reducatur primo ad gradum elalio-
rem sive parem ; deinde ab adfectione sub latere omnino liberetur.
Quo peracto remanebit a^cpiatio inter quantitatem cognitam vel bomo-
gencum datum ex una parle, cl aIi(|uod bomogcncum incognitum.
121 ŒUVRES DE FERMAT.- I« PARTIE.
eu jus singula incmbra a quadrato lateris incogniti aclficicntiir, ex
altora. Ilomogencuui istud incognitum a-quetur quadrato cujus latus
effingondum co artificio ut, in a^quationc ipsius quadrati cum homo-
gcnoo incognito, claliorcs quantum lleri potcrit lateris ignoti gradus
evanescant. Cavcndum etiani ut singula lateris quadratici sic efiingondi
homogenca a radice vel laterc ignoto adticiantur, et ultimum tandem
ex illis a secunda etiam radiée incognita adfieiatur. Oricntur tandem
heneficio divisionis simplicis ex una parte, et extractionis lateris qua-
drati ex altéra, duœ ;i!({uationes linearum curvarum problemati dato
convenientiuni constitutive, et earum interscctio solutionem proble-
malis exliibebit, eà qua dudum usi sumus in solutione problematuni
per locos methodo.
Exemplum proponatur, si placet,
\cub. niib. -t- R in A'/M. cub. + Z/>/. iii A 7//. c/(/.
-\-\)sol.\\\ \ciib.-\-^\ pi. pl.'in \riii. reqiiari fi.so/.soi. :
problcmala quippe omnia qua' ad ([uinlam vel ad sextam potestatem
ascendunt ad banc formam reduci possunt. Nibil cnim boc aliud est
(|nnni vel ([uintam |)0testatem ad sextam evebere vel eam deindc ab
ultima adfectionc sub A vel latcre liberare, qa;« omnia et Vieta ( ' ) et
(]ar(esius (-) abunde docuerunt.
Eftingatur itaque (juadratum a latere
Xciib.-\- R iii A in E
et iO([uetur priori primum illius ;equationis parti. Fiet itaque
A cub. cub. -+- R iii A'/ti.t/n. in E bis -+- Ti//ii. in \rjii. in Equ.
lequalc Acub.cub.-^ R in Xrjii. cub. -+- 7^pl. in Aiju. qn.
-\-\isol. in Ac«Z;. + Wpl. pi. in Arju.
et, deleto ulrimque Aciib.ciih. et rcliquis per Ar/u. divisis, quod ex
(') ViÈTE, De emeiidatiolic ivqiiaticnum, cap. 1 (éd. Solioolen, p. iSa).
(-) Descmitcs, Céomciric, page 383 do IV'dition de 1637, page C5 de l'édiiion do i88().
DISSERTATION TRIPARTIE. 12,1
cautione atljccta metliodo scniper liherum est, remanebit œquatio inter
]i in \cub. -Y- y.j)/. in \'jii.+ Usol. ni \ -h}i\pl. pi. ex iiiia parte,
et
n in \'/(i. in E bis + R'/«. in E y«. c\ allcra.
HaiC autcin a.H{uatio, ut palcl, dat curvam tertii giadiis.
Quia autem, ut coMstiUiaLur duplicata loqualitas et commode ail
soliitionem prolilemalis dcvoniatur, ;cquaiiduin etiam es( ([uadratuiii
a latei'c Aa/Z/. + B in A in I'] posteriori prioris aquationis parti, hoc
est '!ssoLsoL, ergo, per eKti-actioncm latei'is quadrati, latus quadrati-
cum yso/.sol., quod lacile datiir et dicatur, si placet, l^soL, a'quabilur
A ciih. -+- ]i in A in E,
(|uod est latus quadrati priori sequationis primumdaUe parti ;cqualis.
Habcmus igitur liaiic secundam loquationem
ialci'N.vo/. cl A c«/>. H- B in A in E,
quio dabit pariter curvam tertii gradus. Quis deinde non videt inter-
scetionein duarum curvarum jani inventarum dare valorem ipsius A,
lioe est problematis propositi solutionem?
Si problema ad septimain vel ad octavam potestatem ascendat, sta-
tuetur primo sub forma octavte potestatis, deinde a!) adfectione suli
latere omnino liberabi(ur. Hoc peracto, esto itaquc, post Icgitimam ex
jam pracscripta mctbodo rcductionem,
A '/i/.ctib.cii//. + R in \t/ii.ijti.ciiO. -+- \) pi. in Xcub. cub.
-T- N fsol. in A i]ii. cub. -+- MpL pi. in A qii. qti.
-h Gpl. sol. in A cub. 4- R sol. sol. in A '///. œquale 'Api. sol. sol.
Effingctur quadratum euilibet istius iequationis parti œquandum a
latere
A rju. ipi. + IJ \ in A cub. -+- \) pi. in A in E.
Secundum autem hujus lateris quadratici homogeneum eo artificin
effinximus ut duœ elatiorcs lateris vcl radicis A potestates iu tequationc
omnino evanescant, (]uod perfacile est. Quadratum igitur illius lateris
I2G ŒUVRES DE FERMAT.— V" PARTIE.
si îeques priori œquationis propositae parti, dcletis communibus et
roliquis per Agit, divisis, orietiir anjualio ciirvpe quart! gradiis consti-
lutiva ox una parte.
Deinde, post extractionem lateris quadrati ex altéra œquationis pri-
imim propositse parte, latus Z/)/. W. W., quod Ppl.pl. dicere licet,
rt'quabitur
A (]ii. qu. + R j in A ciib. -+- ]) pi. in A in E;
lia^c vero aequatio dabit etiam aliani quarti gradus curvam, et barum
duarum curvarum interseetio dabit valorem A, boc est problematis
propositi solutionem.
Notanduin porro in problematis quae ad nonam aiit decimam potes-
tatem asceiidunt, ita effingondum latus quadrati ut in eo sint quatuor
ad minus bomogenea quorum beneficio evanescant très elatiores laleris
ignoti gradus; in problematis autem quœ ad undecimam aut duodeci-
mam poteslatem ascendunt, latus effingendi quadrati constare debere
(|uinque ad minus bomogeneis, ita formandis ut eorum beneficio qua-
tuor elatiores lateris ignoti gradus evanescant. Perpétua autem et facil-
lima metbodo, banc lateris quadrati effingendi formam per solam et
simplicem divisionem vel applicationem, ut vcrbis geometricis et in re
pure geomelrica utamur, cxpcdiri Analystœ experiendo deprebendent,
et cbaracterum + et — variatio nullum metbodo pnejudicium est alla-
tura.
Quum autem problemata quse ad secundam potestatem ascendunt per
extractionem lateris quadrati reducantur ad primam, ut notum est, per
lineas primi gradus, boc est rectas, expedientur, et vana evadet quam
in prioreDissertationis istius parte metueramus objectio, quum extrac-
tionem radicis quadraticœ tanquam notam et obviam in quolibet pro-
blematum génère ex nostra metbodo usurpandam supposuerimus.
Non latebit igitur deinceps accurata et simplicissima problcmatum
geometricorum per locos proprios a curvis varia;, prout expedit, spe-
ciei oriundos, resolutio et constructio. Variare autem curvas salvo
semper et retento naturali problematis génère, liberum erit Anaiystis,
et semper problemata octavi aut septimi gradus per curvas quarti,
DISSEUTATION TRIPAUÏIE. 127
problcmata decimi aut noni per curvas quinti, problcmata duodecimi
et undccimi per curvas sexti et sic uniformi in infiiiitum iiictliodo ex-
pedicntiir; (juum contra per Cartesiuin problcmata oclavi aut septimi
gradus curvis quinti aut sexti indigeant, problcmata decimi aut noni
curvis septimi aut octavi, problcmata duodecimi aut undccimi curvis
noni aut decimi et sic in infinitum. Quod quam longe a siniplicitate et
veritate geometrica absit, videant ipsi Cartesiani, aut, si ita visuni
l'uerit, contradicant.
Veritatem cnim tantum incjuirimus et, si in scriptis tanti viri alicubi
delitescat, eam libenti statim anime et amplectemur et agnoscemus.
Tanta me sane, ut verbis alienis utar, biijus portentosissimi ingenii in-
cessit admiratio, ut pluris faciam Cartesium crrantem quam multos
/.aTopOoûv-aç.
DISSKRTATIONIS
PARS III.
Ilaec ad generalem doctrinam fortasse suffîciant : quae enim problc-
mata Cartcsius per gradus curvarum elatiores déterminât cxpedienda,
ca nos generali metbodo ad curvarum gradum duplo minorem féliciter
dcpressimus. Quod ita tamen intelligi deberc pronunciamus, ut id sal-
tem auxilium omnes omnino quaestiones admittant : majus quippe infi-
niti casus spéciales non récusant. Juvat itaquc ulterius cxspatiaii el
Analysin Cartcsianam non solum ad tcrniinos duplo minores, sed ad
quadruple, sextuple, décuple, centuplo, etc. in infinitum aliquandd
minores deprimere, ut tante magis errer Cartesianus detegatur et pro-
prium statim ab Analysi remcdium conscquatur : potestates autem per
numéros ipsarum expenentes designare in gradibus clatioribus, dein-
ceps commedius erit.
Proponalur im'cnirc sex continue proporlionales inler duas datas.
Sint duîc data; B et D; prima inveniendarum penatur A : fiet
sequalio inler A' el B'D.
128 ŒUVRES DE FERMAT.- 1"^ PARTIE.
Ihcc sequalio sccundiim Cartesiuni pcr ciirvas qiiinti tantum aut
soxti graclus solvi potest. Nos eam per curvas quarti gradns in seciiiida
liiijus Disscrtationis parle, sicut rcliquas etiani ejiisdcm natunc, gcnc-
ralilcr resolvimus. Scd niliil vctat quoniinus cam per curvas tcrlii gra-
dua; rcsolvamus.
.Tiqucntur quippe singuli aequationis tcrmini liomogeneo scquonli
A'E-D : a3qiialjitur ex iiiia parle A' el, divisis oniiiihiis per A', ma-
ne!)it iwquatio iiilerlvD el A' qiiœ dat, ut palet, curvain teilii gradus.
K\ altéra vero parle A'E^D a}qual)ilur B^D, cl, omnibus per D divisis
et reliquis suhquadratice dcpressis, nianehit ;cqualio inter A-E et B^
(juie dabit etiani curvam tcrlii gradus. Ilarum autein duarum curvaium
inlerseetio dabit valorem A, boc est problematis propositi [)er curvas
lerlii gradus solutioneni.
Scd proponalur ifilcr duas datas i/we/iire diiodccirn mcdias propoiiio-
iiales continue,
rc(]ualio erit iiiler A" cl B'-I);
eam autcm Cartesius tantum pcr curvas undecimi aut duodecimi gra-
dus solvi posse cxistimavil. Nos gencralilcr, ut similcs quasvis ejus-
dem gradus, eam in secunda bujus Dissertationis parte per curvas sep-
timi gradus solvi possc docuimus. Scd ultcrius inciuircnli occurrit
slatim clcgans pcr curvas quinti gradus solutio, imo et dalur pcr
cui'vas (juaiii, ut infra videre est.
.'E(iucntur primum singula bujus ;c(iualionis membra bomogenco
AMiM), e\ nna parte nempc A", et ex altéra B'-'D. In prima, omnibus
per A" divisis, fiel icquatio inter A' et l^l'D quaj dat curvam (|uinli gra-
dus, ut |)alet. In secunda, omnibus pcr I) divisis cl pcr ([uartani poles-
tatcin sive quadraUxjuadraluni dcpressis, rcmanebit tc<|uatio inlcr X-\\
cl B\ qua." dat curvam tcrlii gradus. Pcr duas ila(|ue curvas (juarum
una est ([uinti gradus, altéra tcrlii, problema propositum cxpcdimus.
Scd idem eliam problema facilius, boc est pcr curvas quarti gradus,
conslruere possumus : aMjucntur singula ;c(|uationis membra A'Mv'D.
Fiel illinc, post divisionem pcr A\ A' œquale E^I), quœ acquatio dat
curvam quarti gradus; islinc vero, omnibus per D divisis el dcindc pcr
DISSERTATION THIPAUTIH. 129
tertiam potestatem sivo cubum depressis, fiel a>quatio inter A^E et H'
quae dahit ctiam ciirvam (|uarti gradus. Prohieina itaijiie por duas
quarti gradus curvas facillime construimus.
Qui liaic cxenipla videril, non polerit dubitare qiiin iimmiio frigintn
mcdiariim continue propoiiionalium pcr curvas septimi, inio cl pcr
curvas sexti possit oxpcdiri. /Equatio
iiempe iiitcr A" cl B"]»
communi termine A-''E'''D tcquabitur, undc probicina pcr curvas sep-
timi gradus expedictur; aut communi tcrinino A-"lv'l) a'([uabitur,
undc manabit solutio per curvas sexti gradus.
Sic inventio 72 mediarum solvctur per curvas noni gradus, et patet
ex prœmissis posse assignari rationem, inter gradum probicmalis et
gradum curvarum iilud solventis, omni data ratione majorom. Ouod
quum vidcrint (lartesiani, non dubito quin necessitati et admonitionis
et emendationis nostra* subscribant.
Advcrtcndum autem immutandam sa;pe esse ipsam ;)C(juationis l'or-
mam, ut commodam per partes aliquotas divisioncm bomogenca ipsa
recipiant, quod semel monuisse sufficict.
Proponatur videlicct im-cntio dcccm mediarum et sit
.'ciiiKilio itilor A" cl B'H).
Ducatur quodiibet ex bomogeneis in rectam datam, verbi gratia Z, ul
sit
;c(iualio inler A"Z cl H'^DZ;
ita cnim ad numeruni 12 pervenictur cujus ope facillima per partes
aliquotas evadet reductio aut dcpressio. jE juctur videlicel quodiibet
ex bomogeneis A"E' : iliinc orietur
icqualio iiilcr A^Z cl E',
quie dat curvam (|uarti gradus; istinc vero, benelicio extractionis lateris
quadratoquadi'atici, inter A- E et hitusquadratoquadralicum bomogenei
dati IVDZ, quod, si piacet, sit N solidum, qu;c a-quatio (bit curvam
Kebmat. — I. 1 ~
l:$0 Œi;VnES DE F Eli MA T. - 1'^ l'AUTlE.
tertii gradus, atquc ita invenientur decein niediœ pcr duas curvas ((ua-
rum altéra est quarti, altéra voro tcrlii gradus : quod per levem illaiii
prioris ;oqualionis imimitationem facillime sumus exsecuti.
Nec irioror infinita alia qua; Analystis ars ipsa abunde suppc<lital)it
compcndia; lioc tantiim adjungo ea omiiia qii;o superiiis dixiiiuis non
soliim locum habere, (iiiiini potostas ignota nullum aliud sub gradibus
inferioribus adfcctnni continet bomogenoum, scd etiam si aliqiia ex
bomogeneis a gradibus potestati proxiniioribus adficiantur : ut, si
A'^+NA'^-+-MA"-hRA'» ?equelui- R'M),
solutio iinjus quaîstionis perinde facilis rcddotur, commun! adsumpto
a'quationis liomogeneo quo supra usi sumus, nempc A'K'D, ac si in-
veniend;e duodccim média' inter duas datas proponerentur. Simili
autem in œquationibus ab altioribus gradibus adleetis utemur arti-
ticio.
Notandum tamcn, in œquationibus in quibus una tantum reperitur
ignota <|uantitas ex una parte, exponentcm poteslatis illius purte
(lebere esse numerum primum ut ab eo gradus illius problemalis desi-
gnetur. Si enim exponens illc sit numerus compositus, problema ad
gradus numerorum qui eum metiuntur statim devolvetur.
Quterantur, exempli gratia, octo medi* continue proportionales
inter duas datas, fiet
a^(]iiiiIio inler A' cl B'I),
(|uo casu, quum numerus 9 sit compositus, a numéro 3 bis mensura-
tus, inferetur problema esse tertii gradus : quod quidem ita se babet.
Si enim inter duas datas reperiantur du;c mcdia\ et rursus inter pri-
mam et secundain, secundam et tertiam, tertiam et quartam reperian-
tur similiter dua' média', lient octo mediie inter duas primum propo-
sitas linoas.
Si qua'ranlur (juatuordocim meditv inter duas datas, a'quatio, qua'
est inter A'* et B'''l), indical)it problema devolvi ad alia duo problc-
mata, (juorum unum est tertii gradus, alterum (juinti.
Unde apparct exponentem pura' potestatis dcbere esse numerum
DISSERTATION TIIIPVRTIE. 131
|)iiiiiuni ut vere, gradum problematis exprimât et desigiiol. Qiiuiii
autem numerus a hinario (juadralicc in se duc/os cl uni talc aiirlos cssc
scmper niuncros primos (') apud me constat et jamdiidiun Analystis
illius tlicorcmatis verilas fuerit signiticata, nempe esse piitims S, "i,
17, 207, G5537, etc. iii iiifiiiitum, nullo negotio indc derivahiliir inc-
tliodus cujus beneficio />ro/>/r//i« constriieiiuis ciijiis gradus ad <^r(iduin
(■nivanun ipsiiix solulloni inse/vicnlium ralionem hahcat data quavis nia-
jDrein.
Proponatiir nam([ue iiiter diias datas iiivenire liSG médias contiiuie
proportionales : tiet
a'i|uatio inter \-"' cl l$"''l),
et singiili termini a'quabimtur sequenti A-'"E"''I), et mox qiia'Stii) per
eiirvas 17' gradiis expedietur.
Si (jua.M'antur medi;c G5 53G, <|Uiestio perciirvas 2J7' gradus solve-
liii-, et sic in infinitum gradus majoris numeri deprimetur ad giaiiiin
nunieri proxime minoris. Inter dnos autem proximos ralionem in i
nitum augeri (juis non videt?
An vero errasse Cartesium ulterius Cirtesiani dissimulabunt? (;g(i
sane i-éyco et ([uid stalnendum liac de re sit sollicitus et (aeitns ex-
s|)ecto.
(') C'csl la célèbre proposilion, que i-^-^-y osl un nombre paMiiicr, doiU liiik'i- ;i rc-
ooiimi la faiissclé pour // — j, c'csl-à-dire pour le nombre qui snil iinmérlialeincnl le ilci-
nicr donne par Fermai.
I
nn-
METHODUS
DISaillRE^DAM MAXIMAM ET MINIMAM "'.
Omnis de invcntione maxima> et niinima* doctrina duabus positioni-
bus in notis innititur et hac unica prœccptione :
Statuatur quilibct qua;stionis terminus esse A (sive planiim, sive
solidiim aiit longitiido, pi'out proposito satisficri par est) et, inventa
maximâ aut miniinâ in tcrminis sub A, gradu < aut gradibus >, nt
lil)et, involutis, ponatur rursus idem qui prius terminus esse .4 -h /r,',
iterunique inveniatur maxima aut niinima in terminis sub A et E gra-
dibus, ut libet, cocflieientibus. Ad;equentur, ut loquitur Diopl)an-
tus (-), duo bomogenea maxini;e aut mininia' a'qualia et, demptis
eommunibus (quo peracto, bomogenea omnia ex parte alterutra al) E
vel ipsius gradibus afficiuntur), appliccntur omnia ad /i" vel ad ehitio-
rem ipsius gradum, donec aliquod ex bomogeneis, ex parte utravis,
( I ) Cet écrit, envoyé, par l'iiUcrmédiairc de iMcrscnnc, à Descartos, qui le reçut vci's !o
10 janvier iG38, devint dès lors, entre ['"erniat et l'auteur do la Gùomciric, le principal
théine de la polémique déjà ouverte à propos do la Dioptrir^iw .
Le second alinéa se retrouve intégralement vers la fin de l'écrit IV suivant. Les additions
entre crochets — unt i^rndihiis {\\s,no 3 de l'alinéa); xttb (page i34, ligne 2) — sont emprun-
tées à cette seconde rédaction et ne doivent pas avoir figuré dans la première. Les seules
autres divergences correspondent aux lerons suivantes du texte postérieur : page i34.
lignes I, 2, 3 « Elisi.i. . /inmni^nncà- iiivi)lutis, reliijiia n — ligne 4 • " "'''«f iiltiiiuv n.
(■') Diophante emploie (V, il et 17), dans un but spécial et pour désigner une égalité
approximative, les termes de -apnoTi]; et do 7:ip:m, que Xylander et Bacliet ont traduits
par ndœqualita.i et adœijiialc.
13i «EUVUES DE FEllMAT. - 1" PAllTIE.
affcctione sub E omnino liberetur. Elidantur deinde iitrimque homo-
£;eiica sub E aut < sub > ipsius gradibus quomodolibot involula, el
reliqiia .Tqiientur, aut, si ex iina parte niliil supcrest, icquentur saiic,
quod eodeni recidit, ncgata afllrmalis. Resolutio ultinui" istius a-quali-
talis dabit valorem .1, qiià cognitâ, maxima aut niinima ex repetitis
pi'ioris resolutionis vestigiis innotescet.
Exemplum subjicimus : Sit recta AC {fig- 91) iin dividrnda in R iil
reclanmdum AEC sit maximum.
o
A E
Rocta AC dicatur IL Ponatur pars altéra ipsius 5 esse A : crgo reliqua
erit ]i — A, et rectaugulum sub segmentis erit fimA — Aq., ([uod
débet iiiveniri maximum. Ponatur rursus pars altéra ipsius B esse
.4 + /s : ergo reliqua erit U — A — K, et rectangulum sub segmentis erit
]i il) ,4 — y\t]. -t- /)' iii E — A\n E bis — E(i.,
quod débet adsequari superiori rectangulo
/,'in ( - (y.
Dcmptis communibus,
li in E acl;Br|uabilur .1 in E bis -1- Efj.,
(•(, omnibus per/i divisis,
/-' aila'quabllui- 1 l)is + E.
Klidatur /:",
Il ;e(iiiaijitur A l»s.
Igitur li bifariam est dividenda ad solutionem propositi; noc potest
generalior dari metbodus.
DK TANr.E.NTIBUS LINEAHUM CURVARUM.
Ad superiorem metbodum inventionem tangentium ad data pumta
in lineis quibuscumque curvis reducimus.
MAXIMA ET MINIMA. 133
Si( datii, verbi gratia, parabole BDN {fig- 92), cujus vcrlcx I), clia-
eter DC, et puncliim in ca datuiii B, ad (|iiod duccnda est rccLa \\V.
taiigcns parabolen et in puncto E cuni diametro concurrcns.
Fig. .p.
m
Krgo, siimcndo quodlibet punctum in recta BK, et ah co duccndo 01-
dinatain 01, a puncto autem B ordinatam BC, major crit proportio
CD qid DI quam qiiadiati lîC ad qiiailratiim 01,
<|uia pnnctuni 0 est extra parabolen; sed, propter similitudineni trian-
gulorum,
m I5C quadrauim ad 01 quadraluin, ila CE quadralum ad TE quadralum ;
major igitur erit proportio
CL) ad 1)1 (|iiam quadrali CM ad quadralum lE.
Quum autem punctum B detur, datur applicata BC, ergo punctum (\\
datur etiam (]D : sit igitur (\[) toqualis I) dats. Ponatur CE esso .1 ;
()onatur CI esse E.
Ergo
D ad D — E lial3ol)it majorcm proportionem
(|uani Aq. ad .(7. h- /Ty. — 1 in K bis.
\'A, ducendo intcr se médias (;t extremas,
/^in.-I'/.-f- JJ\nEi]. — Dmi'mlH bis majus cril ((uam Z'in.Iy. — Iry. in /;'.
Adiequentur igitur juxta supcrioreni mcthodum : dcmptis itaqiie com-
munibus,
I) in lùj. — D in .1 in E \V\s adiequubilur — (y. in E,
136 (i:UVRES DE FERMAT.- I- PARTIE,
aut. quod idem est.
/>\n h\/. -h Iq. in E ailœquabilur /)iii ( in ^bis.
Omiiia dividantur pcr /: : ergo
D'in E -^ Afj. adiuquabilur /> in -Ibis.
Klidatiir D \n E : ergo
yi(/. iiiqualjJUir />in.-II)is,
ideoqiie
A ipquabitur />bis.
Ki'go Πprobavimus diiplam ipsius (ID, quod quidem ita se liahet.
Ncc unqiiain fallit mctliodiis; inio ad plerasque quaistiones pulclier-
l'imas potest extendi; ejus enim beneficio centra gravitatis (') in figu-
l'is lineis curvis et rcctis comprehensis et in solidis invenimus, et
multa alia, de quibus fortasse aliàs, si otium suppetat.
De quadraturis spatiorum siil) lineis curvis et rectis contentorum,
inio et de proportionibus solidoruin ab eis ortorum ad conos ejusdem
basis et altitudinis, fuse jam cum Domino de Roborval egimus (-).
II.
CENTRL'M GRAVITATIS PARABOLICI CONOIDIS,
EX EADE.M METUODO i^).
Ksto parabolicus conois CBAV (Jig. ç)'i), cnjus axis lA, basis circu-
lus circa diametrum CIV. Quicritur centrum gravitatis perpétua et con-
(') Fiiir ci-après sous le numéro 11.
(-; P7)ir les lettres de Format à Itoberval des 22 sopicinbrc, 4 novembre et ifi dé-
cembre ifiBfi.
(^) Cet écrit parait être celui que Format adressa, pour Roborval, à Merseune, avec sa
lettre du m avril iG3S. iMersenne on envoya l'énoncé à Descartes, lo i" mai suivant, sans
prendre soin de supprimer les derniers mots, malgré l'allusion directe qu'ils renfer-
maient.
MAXIM A ET MINIMA.
137
s(anli, qua maxiinani et ininiinam et tangentes lincarum curvarum in-
vestigavimiis, nictliodo, ut novis exemplis et novo usu, eoque ilhistri,
paleat f'alli eos qui fallere nietlioduni existinianl.
Ut [lossct parari analysis, axis lA dicatur//; ponatur ceulruin gravi-
(atis esse 0, et rectani AO ignotain dici .1; secetur axis lA (|uovis
piano, ut BN, et ponatur IN esse tJ : crgo NA erit A' — K.
Constat in liac figura et similil)us (parabolis aut paraholicis) rentra
gravitatUMt, in porlionilnis ahscissis per parallelas l)asi, in eadeni pro-
porlione dividere axes(quod, iii parabole ah Areliimede (') denioiistra-
tuin, porrigitur non dissiiniii ratioeinio ad paral)oIas omnes et parabo-
lieos conoides, ut patet) : ergo centrum gravitatis portionis cujus
axis NA, baseos semidianieter BN, ita dividet AN in puncto, verbi gra-
tia, E,
ul ralio NA ad AE sil cadem ralioni lA ad AO.
i-j'it iiîitur, in notis,
(Il /)' ad -1, ila />' — /i ad [lorlioncm a\is Ali,
(jua' idcirco iecjuabitur
/lin i —A in h'
II
cl ipsa CE, (jua' est intervalluni inter duo eenlra gravitatis, iecjua-
l)ilur
■ 1 iii E
II
l'onatur portionis reliqua' CBRY centrum gravitatis esse M, quod
(') AitciilMlioL", De n-ijuijio/ic/crn/ililiii.K, II, |iru|i. vu.
Fkhmat. — I,
138 ŒUVRES DE FEllMAT. - 1'" PARTIE.
necessario débet esse intcr puncta N et 1, intra figiiram, per petilio-
nem 9 Archimcdis De œquipondcraiitilnis ('), quuin figura CBRV sit in
easdem partes cava. Scd
lit poilio CRRV ad porlioneni RAR, ila est EO ad OM,
(|uum 0 sit centruni gravitatis lotius figuraî CAV, et puncta 1'] et M
sint centra gravitatis partiuni; porlio autcni CAV ad porlioneni BAR
est, in nostro eonoide Arcliimcdeo (-), ut quadratuni lA ad quadratum
NA, hoc est, in notis,
ul II']. ad Bq. + E(]. — li in E ))is :
ergo, dividcndo,
poilio CRRV est ad poitioncni l!AR
lU /; in E l)is — Et], ad f!'/. + E(j. — B in E his.
Demonstravimus auteni
ul porlio CnHV ad porlioneni RAR, ila esse OE ad OM :
erit igitur in nolis
ul B, in E bis — E<i. ad Bq. + Eij. — // in E j»is, ila OE sive '■ — 77—^ ad OM,
(|UiO proinde tequabilur
Bq. in A iti E + A in Ec. — li in ( in Eq. his
Bq. in E iiis — B in Eq.
Quum autem pnnclnni IM, e\ denionstratis, sit inter pniicla N et [,
ergo recta CM erit niinor reclâ 01; recta auteni 01 in notis est B — A :
( ') ic Pltit. IX. Ciijiisctiinqiic figurœ si fuoril ambitus in casdem pai-tes cavus, ccnlrum
» gravitatis figurai intus esso », page i58 de l'cdil-lon Archimedis Upcra quœ cctont, nmna
ilcnwnstratiouilnti comnwntarusijiie illaslrnln jier Davidcm Kivaltuni a Fliiranlia Cacnc;-
maniim etc. — Parisiis, apiid Claudluni Morollum, via Jacobtca , ad insigne Fontis,
.M. ne. w.
(-) .\RCin.MÈDE, De CDiwïdibtis et sphœrindil)us, prop. xxvi.
MAXIM A ET MINIMA. 13!)
(Icducla est igitiir (iiucslio ad iiietliodiim et adanjuanda
„ , li>]. in . ( in /i" + ( in /fc. — /.'in A in lui. liis
/>* — ( eu m -i- >,— -^T'-n TT — r
cl, omnibus diicfis in dciiominatorem et abs IC divisis, adyequabuntnr
Jlc. his — llf]. in -f jjis — Hij. in /i" -h /> in .1 in /i
cl
A'y. in . 1 + I in /ù/. — /.' in ( in A" iiis.
Oiiaiidoqiiideni iiiliil csl iiliiin(|uc eommune, elidantur lioinogcnt^a
oiiiiiia abs E alFecta. ot .rquentui' reli(iua : fiet
//e. I)is — /j'/. in (bis ;i'r|ualis //y. in.l,
ideo(|iic
-( 1er ;e(]ualjilnr />' l)is.
lùil igitur
lA ad \0 ul 3 ad ■?.
et
AO ail 01 ni ?. ad i.
Qiiod erat iiiveniendum (').
Non dissimili mcthodo in quibuslibct parabolis in intinituni et païa-
bolieis eonoidil)Us inveniuntiir centi'a gravitatum. Queinadmoduni
anlcm, verbi gralia, i/i noslro coninilr jxiralHiliru circa appUcalain axi
cDiivcrso indaganda sint centra gravitatis, non vacat in praisens indi-
ean; : snl'licit aporuisse nie in boc noslro conoide centi'um gravitatis
dividere axem in portiones qiiœ servant proportionem 1 1 ad S (-).
(') Ces relations cuiicnt coii[incs, d'après AiicinMiiiiR, De iis i^mv vcliuninv lu uqiui.
Livre H. |)rop. 2 et suivaiUes. Elles claiciit d'ailleurs démontrées dans la |iro|iosilinn 29 de
I Omfage : l'cdcrici Ciiininandiiù TJrhuialix lilicr de ccntro ^rmùlalis id/idoriiiii. Ciimpri-
vllc^ii) m aiiiii)^ X. Jiiinojiuv ex o'Jieuui Alcxandri Bcnacii. M. l). LXV, imbllé cil même
lemiis que la reslitulion, |iar Coinmaadin, du Traité précité d'Arcldméde. où elles sont seu-
lement supposées.
(-) Ce rapport avait déjà été iiidiiiué à ttolierval dans la lettre de Fermai du 4 no-
vembre iG3G.
IW (F.UVRES DE FERMAT.— 1"= PARTIE.
III.
AI) EAMDEM METIIODM.
Volo mcà m elh otlo secare lineam \(\ (ftg. 91) datam ad piincliim 13,
ila lit solidam content itm suh quadrato AB el linea ]}(> sit maximum om-
nium solidoriim eodem modo doscriptonim secundo lineam A(", in
quovis alio piincto.
A B. C
Ponamus in notis algebraicis lineam AC vocari li, et lineam AB in-
cognitam .4; BC erit // — .1 : oporlet ii,'itur solidum A(i .\n li — Ar .
salisfaccre quaîslioni.
Sumamus iterum, loco A, A -+- E : solidum, quod fiet ex quadrato
.4 -h /•; et ex B - E — A, erit
B iii - ('/. 4- Il in Eq. -\- li in .1 in E ])is
— , If. — ,1 in lu], 1er — Arj.'in E ter — Ec.
Id comparo primo solido
Aq. in I! — .If.,
lanquam essent iequalia, licet rêvera a'qualia non sint, el hujusmodi
eom|)arationcm vocavi adœqualitalem, ut loquitur Diopliantus (sic
enini interpretari possumgra'cam voeem TiaptfrÔT-/]; (') qua ille ulitur).
Deinde e duobus solidis démo qnoil iis est commune, scilicet
y/ in Al/.— /le;
(juo peracto, nihil ex una parte superesl, et superest ex alia
/)' in Eq. -h /)' in I in /:' i)is — I in /•,'</. 1er — .1'/. in E Ivv — Ec.
(lomparanda sunt crgo liomogenca notala signo + cuni iis qua^ notan-
( I) t'vir \i\ note 1 de la paye ij i.
MAXIMA ET MIMMA. 141
tiir signo —, et ilcrare coinparatioiieiii [ada3(|ualitaloni ] (') oporlet
intor
// iii /fy. -+- Il iii ( in A' liis c\ ima pailo,
et (in /v/. 1er + 1'/. iti It lei- + Ec. ex altéra.
Totiiin (livilainus per IC : coiiipai'alio [ad;equalitas | crit intcr
Il il) /f 4- /l in .1 l)is et ( in h' 1er + Ai/. 1er -+- A'/.
Ilac divisioiic peracla, si oiniiia liomogenea dividi possiiiit pcr /s,
itei'aiida erit divisio por E, donec reperiatiir aliquod ex homogeiieis
qiiod liujusmodi divisioneni non admiUat, id est, ut Vieta'is (-) verbis
iitar, (juod non affieiatiir ab fJ. Scd quia, in exeniplo proposilo, com-
perimus divisioneni iterari non posse, bic standuni est.
Dcinde utrimqnc delco boniogenea ([lUC aniciuntur ab /i : superest
c\ nna parle />'in.li)is, el ex a,lia A'/.lev,
inter([ii;e non aiiiplius lacère opoi'tet, ut antca, comparationcs tictas
et adœqualitates, scd vcrain a'(|iiatioiieMi. Dividainus totum per .-I :
ergo
A' Inscrit ier|nalis .4 1er,
et
fJ crit ad .1 ut 3 ail n.
Redcamus ad nostrain (|ua'stioiieiii et divi(himus AC in puncto 15
ita ut
A(" sit ail AH ni 3 ad 2 :
dico soliduni quadrati AH in lU] esse maximum omnium (|iia' desciibi
possunt in eadcin linea A(], in qualibet alia sectionc.
(') Le tfxte véritable est doiiieiix : Fei'inal n'a dû écrire i|iie l'un des deux mots, nm/-
piiralidiicin ou adivqualitalvin, i.\\\\\ ciiiployail couiinc synonymes; l'aulrc serait mie glose
du copiste ou du possesseur de l'original. Même remarque pour compnratlo et adirijnali-
tas, quatre lignes plus bas.
(-) En réalité, l'"crnutl étend singulièrement ici le .sens donné au mot olfcctio par Viélo
[ vitir notamment In Artcin Aiudyiiccn Itn<^o<^c, cap. 111, 9, p. J de l'édition de Scliooteii).
Viètc en elTet entend par là la présence, à la suite do la potcsia.i (puissance de l'inconnue,
sans coelTicient), de termes de degré moins élevé. Aii\si, pour lui, x" serait une polcsini
para (si -r^a); tout iiolynômc entier en .r (ayant l'unité pour coeiricicnt du terme de
degré le plus élevé) et s'aunulanl avec .r, uno polcsini njfccui.
142 (EUVHES UE FERMAT.- !■'= PAUTIE.
Ut patcat luijus mctliodi certitudo, dcsumam cxemplum e libro Apol-
lonii De (lelcrminata scclionc, qm, ut relcrt Pappiis initio scptimi lihri,
dif'ticilcsdctcniiinationes lial)ebat('); eteam quîc scquiturdifficillimam
esse cxistimo, quani ut invcntani supponit Pappus septimo lihro, noc
enim illaiu vcrani esse demonslrat, sed, ut veram suppoucns, alias inde
consequentias deducit. Hoc loco Pappus vocat miniuiam proporlioneni
[j.ov7.yov xat l'ky.yiŒTOv , minimam cl singiilarem, ideo scilicet quia, si
propouatur quœstio circa magnitudiucs datas, duohus scmpcr locis
satisfit qu;ostioni, sed, in miuimo aul maximo tcniiino, unicus est qui
salislaciat locus : idcirco Pappus vocat minimam cl singiilarem, id est
uuicam, proportionem omuium qua? proponi possunt minimaui. Coui-
uiaudinus lioc loco duhilat (|uid per [xovayéç iutelligat Pappus, et veri-
tatcm quaui modo explicui iguoravit (-). Sed ecce propositioneni :
Sit recta data (J.MID (Jig. 9')), et in ca (/iiattior j>uncta 0, IM, I, 1)
data. JJividenda est port io MI in pnncto N ita ut rectanguli OND sit ad
rectangultiin MNI proportio rninor (piam proportio citjaslibel rectanguli
l>aris OND ad quodns aliiid par MNI.
0 Tit, , 1, "n
Supponamus in notis liueam OM datain vocari U, liueani DM datam
/, et Ml datam G; fingamus nunc MN, quod (ju;erimus, vocari .1 : ergo
rectangulum OND in notis eril
JS\nZ — Ii\nA +Zin.l — Aq.;
(' ) 1'ai'i>us, m. ConiiiKindiii, foi. 1 jy recto, li^ne \\ ; cd. Iliiltscli, page (ii4, ligne 3.
('^) r.vi'i'LS, cil. Coinmandin (cr. cil. Ihiltscli, iiage7>S, ligne 1)1 pi'op. CI :
l''ol. iijC) rcclo : n i.R.MM. XXI. Tribus dalis redis liiieis AB B(". CD, si fi.it ut rectangu-
li luni AI!I) ad ruclanguhim MM, ita qnadratum ex Dli ad quadratum ex EC, singnlaris
11 propurtio, et minima est rectanguli AIÎD ad rectangulum 1!EC. »
l'"iil. i()(j verso .\ : n commicNTAUIUS. Gro-'cus codex h |jLOva/o; Xo^o; za: èXi/WTo; Î<jtiv
1) <i ToCi ûno a:o -yj; -Ji CiTio fj:-)'- <Jli'l"i^ verhi.t ijiiid .li'^nijîcctur, qnidtittc pcr iiioii<icli(i\,
u cl cpita'^inn in /lis Iciiimnliliun iiilclligct, sati\ pcrcipi non pittcst, cuni Apidlonii liliri.f
Il irirciinni\, in ijiin\ en con^cripln snnt. ii
I.cs lettres A, B, E. C, \) de Commandln correspondent respectivement aux lettres 0, M.
N, I, I) de Fermât.
(!t rectangulum MNI
MAXIMA ET MINIMA. IW
G in /( — I7.
Opoilct igiUir proportioneni
J'>\n Z — li\v\ j{ -\- Z\\\ A — A'j. ad G in I — .-I7.
osso minimam omnium qiuc ticri possiiiit qualihct alia divisioiic
iine;e MI.
Sumamus itorum, loco .4, A -4- K, et habcbimus proportioneni
/; in Z — /; in A — fi \n E -\- Z in .1 -+- Z in /i — .-I7. — Eq. — .-( in E his
ad G in . ( -t- G in E — (y. — AV/. — .1 \n E IjIs,
([tiani piinne comparare per ada'fiiialitatem oportcbit, iil est : miiilipii-
cai'c piiinuiii terminum per quartum ex una parte, et secundum per
tertiuin ex alia, et simul liaic duo producta comparare.
Productum
fJ in Z — /j in A -h Zin .1 — -I7., qui prier est terminus,
per
G in .1 -h Gin E — Ai/. — E'/. — .1 in Z? his, qui est ullimus terminus,
iacit
/l in Z in G^ in A — G in II in .Iq. -+- G in Zin Aij. — G in Ac.
-h II in Z in G in E — Il in - 1 in G in E -+■ Z in A in G in /:' — Aij. in G in /■-'
— />' in Z in Aq. -t- />' in /le. — Z in le. + Ayy.
— // in Z in Eq. -h 11 in ,1 in Eq. — Z in _ ( in Eq. -\- Aq. in Eq.
— // in Zin .1 in E jjis + Il in Aij. in E bis — Zin Aij. in E bis + Je. in /fbis.
l'roductum autem
G in A — .I7., sccundi termini,
|)ei
11 in Z — Il in yl — A' in E -t- Z in ,1 + Z in /i — Aq. — £"'/. — ( in E Ijis,
terliuni lerminuni,
lU ŒUVIIES DE FEIIMAT. — I" PAUTIE.
facil
H in Z\i\G\i\ \ — G iii 11 in le/. — ^7 in fl in 1 in E -+- G in Z in . ly.
-H G iiiZin .(in É" — G in Ac. — G in . l in /T'/. — G in l'y.in E Ijis
— li in Z\u Aij. + n\n Ac. + fl'in A/j. in /T — /f in (c.
— Zin ifj. in /? + Aqq. -\- Aq. in Eq. -+- .le. in £" i)is.
Comparo li;«c duo prodiicla pcr adsequalitatein; deinamus qiiod
ipsis commune est, et residum dividamus pcr E : siipercrit,
ex una parle, 7/ in Zin G ~ Aq.'in G — li in Zin E + D in A in E
— Z in -1 in E — // in Z in .1 bis — Zin . \q. bis -i- li in Aq. I)is,
ex aiin, — G in -1 in £" — G in .ly. l)is + Il in .1'/. — Zin I7.
Dclcamus omnia homogcnca iuler quio iterum repcritur /: : super-
eril
//in Zin G — Aq. in G — /^ in Zin .( i)is — Zin Aq. bis + /iin .i^. bis
œqualo — G in -I7. bis + />' in .1'/. — Zin Aq.,
el, transponcndo,
— />' in .4(/. + Zin yliy. — G in .le/. + H in Zin y/ bis
eiil .'Equale liinZ'inG.
Istius .Tqualionis rcsolutione rcperiemus valorem lineai A, id est va-
lorem MN, et conscquenter punctum N, et inveniemus veritatem pro-
positionis Pappi ('), qui docct, ad reperiendum punctum N, oporterc
fuccre
ut reclanguluni OMI) ad rcctangulum OlD,
ila qnadratuni MN ad qiiadraluni NI;
a'quationis enim resolutio nos ad camdem constructioncm dcducit.
Ut tandem tangeniibus applicetur liaec methodus, sic procedere pos-
sum :
Sit, verbi gratia, cllipsis ZDN {fig- 9G), cujus axis sit ZN et cen-
( ' ) J'oir, dans la note 0. de la pa^e il'!, la traduction par Commandin du texte de Pappiis
et la correspondance indiquée pour les lettres.
MAXIMA ET MINIMA.
Uo
tpum R. Sumamus punctum, ut D, in cjus circuinferentia, a quo duca-
imis liiieam DM quae tangat cilipsin; ducamus prseterca applicalain
DO et supponamus •< in > iiotis algehraicis OZ datam vocari II, et ON
datam vocari G; fingamus OM, (|tiaiii (|ua'rimus incognitam, vocari A
(iiitelligimus autem per OM portionem axis contentam inter punc-
tum 0 et concursum tangcntis).
Quoniam DM tangit ellipsin, si ducamus lineam lEV, parallclam DO,
pcr punctum V sumptum ad libitum inter 0 et N, cerlum est lineâ lEV
secari tangentcm DM et ellipsin quoque, ut in punclis E et I; et, quia
linea DM tangit ellipsin, omnia puncta praeter D erunt extra ellipsin :
ergo linea IV erit major lineâ EV. Erit igitur major proportio
c|iiadrali DO ad quadiutum E\' (|uaiu quadi'ali UO ad iiuadratum IV;
sed
m (|u;ulralum DO ad quadratum EV,
ita, proprietate ellipsis,
rectangulum ZON csl ad rcclaiiyuluiii ZVN,
et
ul i(iiadratiiiii DO ad quadialuin 1\', ila (|uadraluiii OM ad quadraluin VM :
major est igitur proportio
rectanguli ZON atl reclangulum ZVN
quam (|uadrati OM ad fiuadralum VM.
Fingamus < OV >, sumplam ad libitum, asqualem E :
reclangulum ZON erit A'iiiG;
reclangulum ZVN eril II in G — Il in E + G in E — /:'</.;
quadratum OM eril .I7.;
quadratum VM ciil Aq. -t- Eq. — A in E bis.
l'iRsiAT. — I. 19
lie ŒUVRES DE FERMAT. - I™ PARTIE.
Erit igitur major proportio
B in G ad limG — li in E +G\nE — Eq.
quam yiq. ad Aq. -4- £"7. — A in £" bis,
et consequcnter, si multiplicetur prior terminus per ultimum et secun-
dus per tertium,
B in G in Aq. + 7? in G in £"7. — /< in G in A in £" bis,
productum scilicet prioris termini por ultimum, erit majus
7? in G in Aq. — B'in E in Aq. -\- Gin E in Aq. — Aq. in Eq.
Oportet igitur, juxta meam methodum, comparare hiEC duo producta
per adaequalitatem ; demamus quod iis commune est et dividamus resi-
duum per £" : supererit,
ex una parte, /?in Gin E — 7? in Gin A bis,
et, ex alia, — Fi in Aq. + G in Aq. — Aq. in E.
Deleamus homogenea quae aliquid habent lineae E : supererit,
ex una parte, — 6 in G in -4 bis, et, ex alia, —B\nAq.-{-GinAq.
Quos duos terminos juxta methodum œquare oportet; et, transpo-
ncndo terminos, ut par est, inveniemus
BinA — G in A jequale /?inGi)is.
Vides hanc resolutionem eamdem esse cum Apolloniana (-) : nam ,
mea constructione, ad reperiendam tangentem, oportet facere
ui H— G ad G, ita /ibis ad A,
id est
ut ZO — ON ad ON, ila ZO bis ad OM;
sed, Apolloniana, oportet facere
ut ZO ad ON, ita ZM ad MN :
du« autem illae constructiones, ut patet, in idem recidunt.
(') Apollonius, Coniques, I, 34.
MAXIMA ET MINIMA. IW
Plura possem alia cxempla adderc, tum primi, tuin secundi casùs
meae mcthodi, scd ha!C sufficiunt et cam esse generalem ac niinquam
fallero satis probant. Demonstrationcm regulae non adjicio nec pleros-
qne alios usus qui illius pcrfectionem confirniare possent, nec inven-
tionem centrorum gravitatis, asymplotôn, (juoruni exempkim niisi doc-
tissimo Domino do Roberval (').
IV.
METIIODUS DE MAXIMA ET MINIMA ('\
Duni syncriseos et anasirophcs Vietaîse (^) nictlioduni oxpenderem,
oarunique usum in depreliendenda ;cquationuni correlataruni consli-
tiitioiic accuratius explorarem, subiit animuni nova ad inventioneni
inaxim;e et niinima; exinde derivanda methodus, cujus ope dubia quœ-
libet ad Stoptaf^ov pertinentia, quœ veteri et novai molestiam exbibuere
Geometriae, facillime profligantur.
Maximai quippe et minimal sunt unicaî et singulares, quod et
Pappus (*) monuit et jain veteres noriint, licet Commandinus quid
(') Fermai semble no faire allusion ici qu'à l'Écrit II qui prcccdo. Cet tcril fui oiïccli-
vemcnt envoyé à Iloberval, par l'inlennédiairo de Mersennc, en avril i638; il n'y a au
contraire, dans la corresi)ondance connue do F'crmat, aucun indice sur une application de
sa méthode à la rcclierclio des asymptotes.
(2) Cet important morceau a été conservé par une copie de Mersennc, aujourd'hui perdue
elle-même, mais dont il subsiste deux transcriptions de la uiain d'Arbo^'ast : l'une au nel
(Manuscrit du prince Boncompagni), l'autre en brouillon (liibl. Nat., Fonds français, 3280,
nouv. acq.^, qui a servi à M. Cli. Henry pour le texte (]u'il a donné : Rcclieichcs sur les
manuscrits de Pierre de l'ermat (Rome, 1880), pages i8o-i83.
(■■) ViÉTE, De reco^nitione erijiiatio/iuni, ca[). 16, et De emendalionc œqimlionum,
cap. 3 (éd. Schooten, p. 104 et suiv., i34 et suiv.). La syncrisis do Viète correspond à la
recherche de la composition des coelTicients d'une équation en fonction des racines de
cette é(|uation; Yan<istrop/ie a pour objet l'abaissement du degré (impair) d'une équation,
quand on connaît [une racine do la transformée obtenue en changeant le signe de l'in-
connue.
Dans tout ce fragment, au reste. Fermât emploie les expressions techniques de Victe et
applique les procédés de ce dernier.
(') /'o/r plus haut, page i4''-.
U8 ŒUVRES DE FEKMAT. - 1= PARTIE.
per [Aovayoç intelligeret Pappiis, ignorare se non diffitctur. Inde seijui-
tur, al) utraqiie puncti determinationis constitiitivi parte, possc sunii
;equationem unam ancipitem et, ex duabus utrimque sumptis, effici
duas a3quationcs ancipites correlatas aequales et similcs.
Proponatur in exempUini recta B ita secta al reclangulum siih ipsiiis
segmentis sil marirnum ('). Punctum proposito salisfaciens rectam
datam bifariam secat, utpatef, et maximum rectanguliim aîqnatur qua-
dranti B quadrati; nec ex alia quavis rectse illius sectione orietur rec-
tanguluni «quale quadranti B quadrati.
At, si recla eadcm B proponatur secanda eâ conditionc ul rcclanguittrn
siib ejus segmentis sil œquale Z piano (quod supponendum n)inus qua-
drante /^quadrati), tune duo puncta proposito satisfacient, qux'quidem
a puncto maxinii roctanguli intercipiuntur.
Sit enim alicujus rectae B segmentum A, fiet
BmA — ^1 quad. sequale Z piano,
quae œquatio est anceps et rectam A de duobus lateribns explicari possc
indicat. Sit igitur a^quatio corrclata
BmE — Zî'quad. œquale Z piano;
ex metbodo Vietsea comparentur hae duœ aequationes :
B\nA — B'\nE œquabilur .1 (juatl. — i^quad.,
et, omnibus per A — E divisis, fiet
B œqnalis ,1 -t- E,
ipsseque A ai E erunt inœqualcs.
Si sumatur aliud plannm, ioco Z plani, quod sit majus quani Z pla-
num, sed minus quadrantc B quadrati, tune rcct;e A et E minus intcr
se dilTercnt quam superiores, quum puncta divisionis magis accèdent
ad punctum rectanguli maximi constitutivum, semperque, auctis divi-
sionum rectangulis, ipsarum A cX E dififerentia minuetur, donec per
(') fuir plus haut la mt^me question traitée, page i34.
MAXIMA ET MINIMA. li!>
ullimam maximi rectanguli divisionem cvanescat, quo casu u-ovayr,
vel unica continget soUitio, qiiuin iliia; sequales <^ fient > quantilatos,
lioc est, .1 lequabitur E.
Qiiiim igitur, in duabus superioribus aequationibus correlatis, pei-
nictbodiim Vietaeam, li a;qiiabitur A -\- E, si E aiquetur ipsi A (qiiod
contingere semper in puncto niaxima» vel niiniin;c constitulivo appii-
ret), ergo, in casu proposito,
It iequaliiUir ( bis :
lioc est, si recta D bifariam secetur, rectangulum sub ipsius segmentis
erit maximum.
Ksto aliud exemplum : Uecta U ila secanda csl, iil solidum suh (fiui-
drato unius ex segmentis in alterum sit maximum (' ).
Ponatur unum segmentum esse A\ ergo
// in ,1 (|iiaci. — i cul), eril maximum.
.Equatio correlata a^qualis et similis est
B in ZTquad. — E cub.
Comparentur juxta methodum Viet* : ergo
B in .1 quad. — B in E quaci. ii;quabitur A cub. — E cub.,
et, omnibus per A — E divisis,
Il in A + D\n E ie(iuaijitur yl quad. + A in E + E quad.,
quaî est constilutio iequationum correlatarum.
Ut qua^ratur maxima, fiât E a^qualis ipsi .1 : ergo
B in A bis a3qual)ilur A quad. 1er,
lioc est,
/f bis ;e(iuabilur .1 lei-.
Constat propositum.
Quia tamen operosa nimis et plerumque intricala est divisionuni
M) J'oir plus haut la même question traitée, page i4o.
130 ŒUVRES DE FERMAT.— I™ PARTIE.
illa per binomia practice, conveiiiens visuin est latera aequationum cor-
relatarum inter se per ipsoriim difTcrentiam comparari ut, ea ratione,
unicà ad diirerentiain illain applicatione totum opus absolvatur.
Esto
Bq. in A — Ac. œquandum maximo solido.
Correlata, juxta superioris prœcepta methodi, aequatio debuit sumi
Bq.m E — Ec.
Sed, quoniam E (perindc atque ^1) est incerta quantitas, nihil vetat
quominus vocetur A -h E : crit igitur
Bq. in .1 -h Bq. in E — Ac. — Ec. — Aq. in E ter — Eq. in A ter,
ex una parte ; ex altéra
Bq. in .1 — Ac.
Demptis sequalibus, patet a^qualioncm inlegram in homogenea al)
E adfecta iri devolutam, quia in utraque œquatione repcritur A :
nempe
Bq.'mE içquabilur ^f. + ^7. in £" ter -+- £"(7. in .1 ter,
et, omnibus ipsi E applicatis,
Bq. 3efiuai)itur ^y. + ^17. ter -1- ^ in £" ter,
quœ est constitutio duarum bujusmodi aequationum correlatarum.
Ad inveniendam maximain, latera duarum ii'quationum inter se
debent œquari, ut satisfiat metliodi pr;edictie praîceptis, ex qua poste-
rior hœc et niodnm et rationem ipsam operandi desumpsit.
iEquanda igitur suiit inter se ^ et ^ + ^ : ergo E dabit nibilum.
Quuni igitur ^y., ex jam inventa aequationum correlatarum constitu-
tione, «quetur
Eq. -f- Aq. 1er + A in E 1er,
ergo elidi debent bomogenea oninia ab E adfecta, utpote nibilum re-
prœsentantia : ctmanebit
Bq. sequale Aq. ter,
quœ aequatio dabit maximum solidum quaesitum.
MAXIMA ET MINIMA. 151
Ut autem plenius innotescat utriusque hujus nostrae mcthodi usuiii
esse gencraleni, dispiciamiis novas œquationum correlatarum species
(le quibus <] tacct> Vieta, ex libro Apollonii De dclcrminala seclione
(propositione apud Pappum Gi Libri VII), cujus determinaliones ipse
Pappus innuit et profitetiir difficiles (').
Su recta BDEF {fig. 97), in quâ datapuncta B, D, E, F. Inlra puiicla
D e/ E siimendum punclttm N, M rcclangulum BNF ad reclanguluin DNE
liaheat minimam ralioncm.
Fig- 97-
B_ P, ^ r^
Recta DE vocetur D, DF vocetur Z, BD vocetur D ; ponatur DN esse A :
ei'go
ratio D'inZ — D in A -{- Z'in A — /iq. ad DmA — Aq. csl niinima.
Ratio correlata similis et sequalis esto
D\nZ~D\nE + Z\nH — Eq. ad D\nE~Eq.,
juxta priorem metbodum. Factuni itaque sub mediis aiquabitur facto
sub extremis : boc est, ex una parte,
D\nZ'\nB\n E — D\nZ'\n E<j. — Dm Ain B\n E -\- D in A in Ei/.
-h Zin A in DmE — Z m A iiiEq. — Aq. \i\B'mE -+■ Aq. iwEq.,
ex altéra parte,
7? in Zin/? in A — D\n Zin Aq. — DinEinBin A -i- Din E in Aq.
-h Z in E in B in ,1 — Zin E in /Iq. — Eq. in f! in .1 + Eq. in Aq.
Demptis communibus et facta congrua mctatbesi,
L> in Zin B in A — D in Zin Bin E + Din Ein Aq. — Z>in A in Eq.
— Z in £■ in Aq. + Zin A in Eq. -h Aq. in B in E — Eq. in B in A
sequabilur D in Z in Aq. — Din Z in Eij.
( ' ) Vmp plus haut la mCmc quoslion Iralléc, page 142.
13-2 ŒUVRES DE FERMAT.- 1" PARTIE.
Singulis œquationis partibus per A — E divisis (quod quidom, bina
ox bomogencis correlata sigillalim inter se conferendo, facillimum : ut
pu fa
/>in Zin /^in /l — /^inZiri /?in^ abs A—E divisum dut D\nZ\i\H;
siiTiiliter
D\n E \n A(]. — D\n A\n Eq. abs A — E divisum dat Dm A in E;
et sic de cîeteris : bomogenea enim inter se correlata satis facile dispo-
nuntur ad bujusmodi divisioneni admittendani), fiet igitur, post divi-
sionem,
D in Z in H h- /) in . 1 in £" — Z in A in E ^ B\n A in K
acquaie D'mZ'xn A -\- D\n Z\nE,
quai tandem aequalitas aequationum correlatarum constitutionem exbi-
bebit.
At, si ex bujusmodi constitutione quœratur minima, débet E, juxta
metbodum, œquari .4 : igitur
/>in Zin B -+- D\n Aij. — Z\n Aq. -t- B in Aq. irquabilur D'in Z \n A bis ;
bujus aiquationis resolutio dabit valorem A, ex quo minima ratio quœ-
sita statim patebit.
Nec morabitur Analystam ultinuo istius aîqualitalis ambiguitas: pro-
det quippe se, vel invito, latus utile. Imo et in aequationibus ambiguis
qua; plura duobus babent latera, non décrit solitum ab utraque bac
nostra metbodo, sagaci tantisper Analystae, praesidium.
Ex supradictae qusestionis processu, patet priorem illam metbodum
iutricatam nimis ut plurimum evadere, propter crebras iihis divisio-
num per binomia iterationes. Recurrendum ergo ad posteriorem, qua*
tamcn, licetex priori, ut jam dictum est, deducta, miram certe Hicili-
tatem et compendia innumera peritioribus abunde suppeditabit Ana-
lystis, imo et ad iuventioncm tangentium, centrorum gravitatis, asym-
ptotôn, aliorumque id genus, longe expeditior altéra illâ evadel et
elegantior.
MAXIMA ET MIMMA. 153
(^onfulentcr itaqiic sicut olim, ita et nuiic pronuntianrius sempcr et
Icgitimam, non aiilcm forliiitam (iil quihusdain visum) ('), maximale
l't minimae disquisitionem hoc unieo et gcncrali conL'mei-i opitagmate :
Statuatur etc. {voir page i33, ligne 7, à page i34, ligne G; comparer
page i33, note i) ... innotescct.
Si qui adliuc supersiiiit ([iii nietliodum liane nostram dcbitani sorti
pronuntiant,
llus ciipiain siiiiilcs Icnlaiido cxcudere sortes {''-).
Qui hanc metlioduni non probaveril, ci proponitur :
Dalis tribus punclis, (itiartum repaire, a qiio si ducantur Ires reeUv ad
data puncla, sunirna trium haium rcclanun sil miiùina quanlilas.
V.
AD METIIÛDLIM IIE MAXIMA ET MINIMA APPENDIX (^'.
Quia plerunique in progressu qusestionum occurrunt asyninietria',
non dubitahit Analysta triplicatas aut ulterioris etiam, si libeat, gra-
(iùs positiones usurpare : earuni quippe beneficio multiplicos et intri-
cati ut pluriinuin vitabuntur ascensus. Hujusce artiticii metbodus ita
procedit ut exenipla infra sci'ipta dcclarabunt.
Sil scinicirrulas ciijtis dianietcr AW {Jig- 9B) et iii eain perpe/idindaris
I)(j. Qiueritur maxintiini reetanim AC et CD aggregatum.
Diametei' vocelur />'; [(onalur recta AC esse A : ergo
Ci) dit liUiis{lj\\\ A — A\\\.\,yt\.).
(') Allusion à la lettre de Descartes à Mcrscnnc pour Fermât, du 18 janvier i(i38 : « ('.ai-
premiéromeiU la sienne [la rè.^lo do Fermât] est telle (|uc, sans industrie et par liasanl,
on peut aisément tomber dans lo chemin qu'il faut tenir pour la rencontrer. »
(2) Ce vers latin n'est tiré d'aucun classique; pcut-ôtre est-il de Format lui-niOmc.
(■') Morceau inédit, publié sur la copie d'Arbogast, qui porte la mention « d'après le
manuscrit (te Fcriritil «.
l'EHMAT. — I. 20
154. ŒUVRES DE FERMAT. - I» PARTIE.
Eo itaque deducitur quœstio ut
A -h lat.{B in A —.1 quad.)
sit maxima quantitas.
Quia, ex praîceplis mcthodi, œquationcs adaequandae nimiiim sunt
scansurœ, ponatur maxima illa quantitas esse 0 : Vieta?am enim igno-
tarum quantitatum per vocales cxpressionem cur respuamus?
Ergo
A -+- lat. [D in .1 — .1 quacl.) ircjuabiliir 0,
ideoque
0 — A aîquabilur lateri{Ii in A — l qtiatl.),
et, omnibus in quadratum ductis,
Oquad. + A f|ua(l. — Oinl bis a;quai)ilur /? in A — A quacl.
Hoc peracto, ita inslituenda est transpositio ut maxinius sub O gra-
dus unam aequationis partem solus occupet, ut eà ncmpe ratione possit
de maxima deterniinari,quo tendit artificium. Per translationem bujus
modi,
/;in .1 — .4 quad. bis + O in .-J bis ;T;qiiai)itur Oquad.
Quum igitur, ex bypothesi, Osit maxima quantitas, ergo O quadra-
Uim erit quadratum maximœ quantitatis, ideoque maximum : ergo
/i in A — A quad. bis + 0\n A bis (quse omnia spquatiUir O qiiadralo)
sunt maxima quantitas; quœ sequatio, quum vacet asymmetriâ, perinch'
ex mctbodo resolvatur ac si 0 quantitas esset nota. Ergo
/>' in A — A quad. Ijis -+- O in A bis
adsequal)itur
B \n A -k- B \n E — A quad. i)is — E quad. Ims
— .1 in£'qualer+ 0 in -1 bis + 0 in /ibis.
MAXIMA ET MINIMA. 155
Sublatis coniinunibus, et reliquis ipsi E applicatis,
/y + Obis adicquabilur Zf bis + ^1 qualcr.
Ijlxpungatur Ebis ex methodo : ergo
/? 4- O bis îpquabilur /l quater,
ideoque
/l qualer — // œf|uabitur Obis,
ot
y4 bis — (liiiiid. /)( ;equabilur O.
Hac œqualitate ex methodo stabilita, redcundum ad priorcin, in qua
ponebamus
A + lal.{Jl in A — A quad.) œquari O.
Quuni iiîitur inventa sit
o .'pquaiis .1 bis — diniid. /;,
ergo
^ bis — diniid. /y œquabitur ,'1 + /a<.(i/in ^1 — ^I quad.),
ideoque
.1 — diinid./y ;i>quabilur /a^ (/? in v-l — ^i quad.),
omnibusque in quadratuni ductis,
yl quad. -+- /iquad. -^ — /iin .'( eequabitur Z(in ^ — 1 quad..
't tandem
/?in yl — .1 quad. œquabitur /Jquad.n;
qua; ultinia ioqualitas dabit valorem A in quiesita determinalione.
Hoc artilicio nti possumus ad invenlionem coni maxirni ambilûs
spliœrœ inscribciuli ( ' ).
Sit sphaïrœ dat;e diameter AD {fig. 99). Conus quaesitus babeat alti-
tudinem AC, bitus AB, semidiametrum baseos BC. Rectangulum AB
(') Question proposée par Fermai à Mersennc dans sa lettre du 2G avril ir>3(i.
loG ŒUVRES DE FERMAT. - 1" PARTIE.
inBCuna cum BC quadrato continchit maximum spatium, ex Archi-
medc (').
Diameter vocetur li; recta AC, A : ergo
XWcfMlatus {B in A) et BC erit /«f«s (/?in ^1 — -1 quad.).
Rectanguliim AB in BC una cum B(] quadrato crit
lfiliis{l} (\\idLi\. in .t quatl.— Bm A euh.) + li'm A — A qiuid.
Hsec omnia a?quantur maximo spatio : esto 0 piano. Ergo
Opl.-H-t quad.— B\\\A icqiiabilur lalcri{Bt\unf\.\i\ A qiuul.— />' in 1 cul).).
Omnia ducantur quadratice, etc. ; tandem dcvcnietur, ex superiori
methodo, ad sequationem OpUmi, ciijus bencficio prima a^iualitas jani
exposita resolvetur.
Non décrit tamen, hoc in exemplo, solutio ex methodo ahscjue tri-
plicala ;cqualitate : eo enim potost deduci qu.Tstio ut, data rcctà AB in
triangulo (^BA, (jiuoratnr maxima proportio reclanguli CBA una cum CB
(|uadrato ad quadratum AD, qno casu methodus vulgaris sufficit.
Recta AB data vocetur //; |)ûnatur CB esse .1 : ergo AC erit potentiâ
li quad. — A quad. Sed
ut AC quadralum ad AH quadratum, ila AR quadratum ad Al) quadratum ;
ergo
. ^ , P> quad. quad.
AI>quad. cnt ' ' -
A' quad. — .1 (piad.
ad qu;e rectangulum Z^in^l + .1 quadrato dei)et haberc maximam pro-
[)ortionem : iioc enim quserimus.
( ') AnciuMiiDii, De spliœrn et cylindrn, I, i5, donne la mesure de la snrface latérale (hi
cùnc.
MAXIMA ET MINIMA. 157
Omnia ducantur in
iîquad. — A qiiad.;
ei'go ratio
/?c|uaiJ.qua(l. ad /?cul).iii .1 -t-ZJquad. in .1 quad.— B in Aciil).— Aqiiad.c|iiad.
est minima. Sed B quad. quad. est quantitas data : icctic enini li data'
potestas est : ergo
/> cuIj. in .( + /i quad. in .Iquad. — /J\n ^Icul). — At|iiad.qua(l.
est inaxiuia quantitas.
Ex metliodo
/; cul). + /? quad. in .( i)is fcquabilur //in ,1 quad. ter -t- ( cul>. qualei,
qua; a'quatio ad sequenteni statim depriniitur
^ quad. qualer — /iin/l ictiuaie //quad.,
ideoque patehit solulio (fua\stionis.
Ncc pkiribus in rc perspicua immoramur : constat nompe, per tri-
plicatas aut quadruplicatas, imo et ulterius etiam, si liheat, prouiotas
hypostases, evanescere omnino asymmetrias et si qua; alia romorantiir
Analystam impedimenta.
Elegautius tamen et fortasse magis Y$oja£Tpiz.w; quiestioiics de
maxiina et minima spéciales tangentium bénéficie rcsolvuntur, licet et
ipsae tangentes ait universali mcthodo dcriventur.
Hujus rei uiiicuui, (|iiod multorum instar erit, proponatur exem-
plum :
In semicirculo FBD {/ig. i oo) duclâ pcrpendiculari BIÎ, ifiuvrilur niaxi-
jnuni siih FE <^ in ^ \l\\ reclangidum.
Si quœratui'rectangulum FEB œqualc date, ex nostra metliodo, qua^-
rcnda esset hyperbole sub angulo AFC eâ conditione ut rectangnla
similia FEB esseiita^qualiadato, punctaque interscctionum liyperbcdes
et semicirculi qua;situm adimj)leient; sed, quoniam rectangulum FEB
maximum quicrimus, quairenda hyperbole sub angulo AFC (asym-
138 ŒUVRES DE FERMAT. - 1™ PARTIE.
ptotis AF, FC), quae semicirculiim non jam secet, sed tangat, u( in R :
puncta eniin contactûs maximas et minimas déterminant quantilates.
Sit factuni. Quiim igitur hyperbole in puncto B tangat semicirculum,
ergo recta, in puncto R semicirculum langens, tanget et hyperholen.
Sit illa recta ABC.. Quum in hyperbole pci' B transeuntc ducta sit (an-
gens cum asymptotis inpunctis AetCconcurrens,ergo,ex Apollonio('),
recta' AB, BC sunt acquales, ideoque aîcjualos rectœ FE, EC, et AF dupla
BE sive AN. Est autem, propter circulum, BA sequalis AF : ergo RA est
dupla AN et, in triangulo simili, posito cen(ro M, semidiameter MR
dupla ME. Datur autem semidiameter : ergo et punctum E.
Et generalis ad invcntionein maxinnc et minimaî gcometrica es(
(|ua"stionum ad tangentes abductio; nec idco minoris facienda univcr-
salis methodus, quum ejus ope et maxinia et minima et ipsa3 tangentes
indi géant.
VI.
AD EAMDEM METIIODUM ('\
Doclrinam tangentium antecedit jamdudum tradita Methodus de
iiH'entionc maximœ et mi/iimœ, cujus beneficio terminantur qua^stiones
(') Ai'OU.OMi;s, Cniiiqiwf, II, 3.
(-) Cotte pièce, imprimée dans les rnrirt (p. Oçi ù y'i), est la seule pour hKiuellc il
subsiste un original de Fermai (Bibl. Nal., l'aïuts franraii, n° 3280. nouv. ac(].. fol. ii'
à IÎ7), d'ailleurs sans litre.
MAXIMA ET MINIMA. 159
omnes dioristicae, et famosa illa problemata, quae apud Pappum ('),
in prsefatione Libri VII, difficiles determinationes liabcrc dicuntur,
facillime detcrminantur.
Linese curvœ, in quibus tangentes inquirimus, proprietates suas
spccificas vel pcr lincas tantiim rcctas absolvuiit, vcl [)er curvas rectis
aut aliis curvis quomodo libet implicatas.
Priori casui jam satisfactiim est prœcepto quod, quia concisum
nimis, difficile sanc, sed tanien < legitinuim > (^) tandem reper-
tuni est.
Consideramus nempein piano cujuslibetcurvœ rcctas duas positione
datas, quarum altéra dianieter, si libeat, altéra applicata nuncupctur.
Deinde, jam inventam tangentcm supponentes ad datuni in curva
punctum, proprietatem spccificam curva), non in curva amplius, scd
in invenienda tangente, per adaequalitatem consideramus et, cdisis
(quœ monet doctrina de maxima et minima) homogeneis, fit dennim
œqualitas quse punctum concursùs tangentis cum diametro déterminât,
ideoque ipsani tangentcm.
Exemplis, qua; olim multiplicia dedimus, addatur, si place! tangens
cissoidis cujus Diodes (') traditur inventor.
Esto circulus duabus diametris AG, BI {flg. io[) normaliter scctus,
et sit cissois IHG in qua, sumpto quolibet puncto, ut H, ducenda est a
puncto H tangens ad cissoidem.
Sit factum, et ducta tangens HF secet rectam CG in F. Ponatur recta
DF esse A et, sumpto quolibet puncto inter D et F, ut E, ponatur recta
DE esse E.
(') T'oir plus haut, page 142, note i.
(-) Lo mot k'i^iiinmm manque sur l'original de Fermât, ce qui prouve assez que cet ori-
ginal est lui-même défectueux. L'éditeur des Varia a restitué, pour l'adjectif man([uant,
siiffwiens, expression qui n'est guère de la langue de Fermât et dont l'omission s'explique
moins bien.
(') L.a courbe connue sous le nom de ci.wtoïde se trouve dcfinie et donnée comme em-
ployée par Dioclès, dans le eommenlaire d'Eutocius sur la proposition d'Arcliimùdo, De
xpliœra et cjlindro, II, 2, éd. Torelli = 11, i, éd. Ilciberg (Vol. m, p. 78 et suiv.). Lv nom
de cissolde est emprunté à Proclus {Commentaire sur le premier livre d'Euclidc), ipii en
parle comme d'une courbe fermée et présentant des points de rcbroussement.
100 ŒUVRES DE FERMAT. - l'<^ PARTIE.
Quum igitur, c\ proprictalc specifica cissoidis, recta
MDsit ad DG ni DG ad DU,
liât jam in tonninis analyticis per ada'qualitatem
m NE ad EG, ila EG ad porlioiiem recUe EN
(|UH' inlercipitur inter punctum E et tangentein et est liO.
Vocetur
AI) dala, Z\ DG dala, A'; 1)11 data, 7.';
DE qusesila, ul diximiis, ,1; DE suini)la ad liljiUim, E :
ergo
EG vocabitur N — /•-';
/.'in/l — R\nE
E() vocahitui'
A
EN vocabitur latus{Z\\\ N — ZmE ^ N\\\ E - Kq.).
Quum igitur, ex prasccpto, proprietas specitica debeat coiisiderari,
FiL'. 101.
non ainpiius in curva, sed in tangente, ideoque faeiencluni sit
m NE ad E(!, ila EG ad EG, qua' api)llcalur langeiili,
ergo, in Icrniinis analyticis, l'aciendum
m lalus{Z\\\N — Z\\\E + N\nE—Eq.) ad N—E,
li\\\A — n\\\E
ila N—E ad
A
MAXIMA ET MINIMA. l«t
et, quadratis singulis terminis ad vitandam asymmetriam, fiet
ut Z\nN-Z\nE + l\inË- E,]. ad Nq.-\- Eq. — N\nEh\i,
Rq. iii Aq.-h Rq.'m Bq.— liq. in A in fi" l)is
i la /Vq. ^- Eq. — ^V in ^ b\s ad
Aq.
Oucantur singula liomogenea in .1 quadratum, et deinde quod tit
sub extremis ada-quetur, ex praeceptis artis, ei quod fit a niedio. Elisis
deinde superfluis, ut monet mctliodus, tandem orietur ajqualitas intcf
Zin .1 ter H- A^in .1 ex uiia parle, etZinA'bis exaltera.
Construcfur igiturlangens hoc pacte : Producatur semidiameter cir-
culi dati CA ad punctum U, et fiat AU recta aequalis AC. Rectangulum
ADG ad rectam UD applicetur et faciat latitudinem DF. Juncta FH
tanget cissoidem.
Indicemus ctiam modum agendi in conchoide Nicomedea, sed indice-
rnus tantum, ne prolixior évadât sermo.
Esto conchois Nicomedea, ut construitur apud Pappum et Eulo-
cium (') figura sequens {Jlg- 102). Polus est punctum I, recta KG esl
Fi
■y'
A
;o2.
1-^
^^
E
D ^^
JJ^
■^v
\
-.„^
\ \
^~~ — ^r
\M
K
1\
\\
\
11
(
^
I
asymptotos curvœ, recta IHE perpendicularis ad asymptoton, punc-
liiniN datuni in curva,adquam abeopuncto ducendaest tangens NBA,
concurrens cuui lE in puncto A.
Sit factum, ut snpra. Ducatur NC parallela KG. Ex proprietate spe-
cifica curvœ, recta LN est aequalis rectsc HE. Sumatur ([uodiibet punc-
(') Pappus (cd. Ihdtscli), livre III, pages 58 et suivantes, livre IV, pages ■il\i et sul-
vanlcs; Eutocus, Commentaire sur Arciiimècio De sp/i. et cyL, 11 (éd. lloiberg, vol. III,
l'F.RMAT. — I. 21
162 ŒUVRES DE FERMAT.- I'' PARTIE.
Iiim iiiter G et E, ut D, a quo rectseCN parallela ducatur DB, occurrcns
tangent! in puncto B. Quia igitur proprietas specifica débet considerari
in tangente, jungatur BI, occurrcns rectœ KG in M et, ex prseceptis
artis, recta MB adœquetur rectio HE : orietur tandem quaîsita œqua-
litas.
Quod ut procédât,
(>\, ulsiipra, vocelur^l; recla Cn vocetur ZT; rccla EII data voceliii' Z,
cl reliquae data; suis nominibus dcsignentur.
Invenictur facillimc recta MB in terminis aualyticis, qua; si adte-
quctur, ut dictuni, recta> HE, solvetur quœstio.
H;ec de prière casu vidcntur sufficcre. Licet cnim praxes intinita'
suppetant, quae prolixitates évitant, ex iis tanien nullo negotio deduei
possunt.
Secundo casui, quem difficilem judicabat Dorninus Descartes ('),
cui nibil difficile, clegantissiniâ et non insubtili metliodo fit satis.
Quamdiu rcctis tantum lineis bomogenea implicabuntur, quœranlur
ipsa et dcsignentur per prau^edentem formulam. Imo et, vitandai asyni-
inetriic causa, aliquando, si libucrit, applicatse ad tangentes ex supe-
riore inetbo(b) inventas pro applicatis ad ipsas curvas sumantur; e(
ib'nuiin (quod opéra* pretium est) portiones tangentium jani inventa-
runi pro portionibus curvœ ipsis subjaccntis sumantur, et procédai
ada'qualitas ut supra monuimus : proposito nulle negotio satisfiet.
Exemplum in curva Domini de Roberval assignamus.
Sit curva HRIG {fif^. loi), cujus vertex G, axis (]F ; et, dcscripto
semicirculo GOMF, sumatur punctum (juodiibct in curva, iit R, a (|no
dncenda est tangens RB.
Ducatur a puncto R recta RMD, pcrpeudicularis in (jDF, qua' seccf
semicirculum in M. Ea igitur curvœ proprietas specifica est ut recta RI)
sit ;equalis portioni circuli CM ctapplicataî DM. Ducatur in puncto M,
(') Comparer la lettre de Ilolierval à Fermai, du 4 août 1640, et celle de Descartes ■
Format (éd. Clcrselier, III, Oi), du 25 septembre i638.
MAXIMA ET MINIMA. 103
ex précédente metliodo, laiigcns MA acl circiiUiin : eadom nempc pro-
l'odercnt si ciirva COM osset alk'fiiis natiiriv.
Vf'. lO.l.
Ponatur factum qiiod quœritur, et sit :
recta DB quicsila a^qualis A;
1)A, invenla ex conslruclione, œqualis Ji;
MA, ilidcm inventa, vocelur/);
MD data vocctiir /?; RI) data vocetur /;
CM, portio circumfcrenlke data, vocetur /V;
DE, recta utcunique assumpta, vocetur li,
et a puncto E diicattir EOUIN parallela recta> RMD.
Fiat
ut A ad A — r:, ila Z ad
(|Lia' idcii'co îcquabitur l'cctie NIUOE.
Z in A — Z in lH
Z in A — Z\n E
A
Igituv recta
. débet adicquari (proptcr pi'oprietatein
spccificam ctifVieqii;c in tangente considei-anda est) recta* OE una ciiin
euvva CO; curva autcia CO aiqnatur curva* CM minus cnrva .MO : ergu
recta
Zin A — Z\nE
A
débet adaniuaii recta' OE et cuiva' CM niiniis
ciirvaMO. Ut anteni bi très terrnini ad terininos analyticos reducantur,
|)r() lecta OE, ad vitandaia asyninietriani ex superiori cautione, suina-
tui' recta EU applicata tangenti, et pro curva MO sumatur portio taii-
gentis MU, cui ipsa MO adjacet.
161 ŒUVRES DE FERMAT.-- I" PARTIE.
.\d inveiiiendam aiitem EU in terminis analyticis, fie(
Ut B ncl B — E, lia R ad . ,
«nia; idcirco «quabitur ipsi EU.
Ad inveniondam deinde MU, fiet
T^ . r. . r, , D\n E
ut B ad D, lia E ad — ^^ — ,
quso idcirco, proptcr similitudinem triangulorum, ut supra, lequabitur
ipsi MU.
Curva aiitem CM vocata est A'^: igitur in terminis analyticis fiet adîe-
qualitas inter
Z\\\A—Z\nE RinB — BinE „ Bin E
, ex una parte, el -5 h/V „ — e\ altéra.
.'I n D
Ducantur omnia in B'mA, consistet adsequalitas inter
Z\\\B\nA—Z\nBn\E el /? infiin/1 — /?iii 1 iiiÊ'-+-«iii/Vin 4 - Oin 4 in /i.
Quuin autem, ex proprietate curvse,
Z rcquetur B+N,
rrgu
Z'mB'in A ex una parte aiqualur /?iii R\n A + /; iii /Viu A ex allera;
ideoquc, aMatis communibus, reliqua coniparentur,
Z\n B\n E nempe cum /?in ( in E + D in A in E.
Fiat divisio per E; et, quia nulhiin est boc casu hoiuogeneum super-
flunni, nulia fieri débet elisio.jEquetur igitur
Z in B cum B in A + D in 1 :
fiet igitur
ni B + D ad B, ita Z ad A.
Constriictio : Ad construendum igitur proldcnia, si fiât
ul aggregatum rectarum MA, MI) ad rcclaui DA, ila RI) ad DR.
juncla BR tanget curvam CR.
MAXIMA ET MINI MA. 165
Quia vero
ut summa reclarum MA, MD ad DA, iia MD ad DC,
ut facile est demonstrarc, ideo faciendum erit
ut MD ad DC, ila RD ad BD,
sive, ut elegantior évadât constructio, junctae rectae MG ducenda erit
parallelaRB.
Eadem methodo species omncs illius curvaî tangentes suas nancis-
centup : constructionem generalem olim dedimus (').
Quoniam vero quaesitum est de tangente quadralariœ sive quadra-
tricis Dinostrati (-), ita construimus ex praeceptis praicedentibus.
Sit quadrans circuli AIB (Jig- io4), quadrataria AMC in qua, ad
datum punctum M, ducenda est tangens.
Fig. 104.
N C D 0 B
Junctà MI, centro I, intervallo liVI, quadrans ZMD doscrihatur el,
ductâ perpendiculari MN, fiât
ut MN ad IM, ita porlio quadranlis MD ad i-ectam 10 (^);
juncta MO tanget quadratariam. Haec sufficiant.
(') En i638 (voir plus haut la noie i de la page 162)- Celle conslruclion géiicriile, .ip-
plicablc aux cycloïdes allongées ou raccourcies, est perdue.
('^) PAPl>i:s(cd. Ilultsch), livre IV, pages 250 cl suivantes. l'roclus { Commentaire fui-
te premier lii're d'Euclide) atlrilmo à Ilippias l'invenlion de la quadriilrice.
(^) L'original, comme les Varia, donne :
<i ut IM ad MN, ita porlio quadranlis MD ad reclam NO u;
mais toute la ligne se trouve en surcharge d'une autre main, qui a corrige le texte de t'cr-
miit, en sorte qu'on ne peut plus le discerner.
106
ŒUVRES DE FERMAT. - I™ PARTIE.
Quia tamcn ssepius curvatura mutatur, ut in conclioide Nicomedca,
quœ pcrtinet ad priorem casum, et in omnibus speciebus curvse Domini
do Roberval (prima excepta) quœ pertinet ad secundum, ut pcrfecte
curva possit delinoari, invcstiganda sunt ex arte puncta inllexionum,
in quibus curvatura ex convexa fit concava vel contra : cui negolio dé-
ganter inservit doctrina de maximis et minimis, hoc prœmisso leni-
mate generali :
Eslo, in sequenti figura {fig- io5) ('), cun^a AHFG, ciijus cnn'atiira
in punclo H, vcrbi gralia, mutctur. Ducatur tan gens HB, applicata HC.
Angulus HBC crit minimus omnium quos tangentes cum axe ACD, si^r
infra. sive supra pimctnm H, efficiunt, ut facile est dcmonstrare.
Fig. io5.
Sumalur enini, supra H punctum, punctum M; tangens occurrct axi
intcr A et B, ut in N : igitur angulus ad N major erit angulo ad B. Simi-
liter, si infra punctum H sumatur punctum F, punctum D, in quo con-
currit tangens FD cum axe, erit inferius puncto B, et tangens DF
occurret tangenti BH ad partes F et H : igitur angulus ad D erit major
angulo ad B.
(]asus onines non persequimur, sed modum tantum investigandi
indicamus, quum curvarum formœ infinitas species exliii)cant.
Ut igitur, verbi gratia, in cxposito diagrammate, punctum H inve-
(') La ligure maïKiuo dans les f'aria.
MAXIMA ET MIMMA. IG7
niatur, quairatur primuni, ex supciiorc metlioilo, ad |)iincluiii quocl-
lil)et cui'ViC utcumqiic suiiipliiin, proprictas tangentis. Ilac inventa,
quaeratur, per doctrinain d(i inaxiinis et iiiiniinis, punctum II a quo,
ducendo perpendicularem HC et taiigentem lllî, recta HC ad CB liaheal
ininiinam proportionem : ca onim statione anguliis ad B cril ininimiis.
Dico punctum H, ita invcntum, esse initium mutationis in cnrvatura.
Ex pra'dicta methodo de maximis et minimis derivantur arlilicio sin-
gulari inventiones cciUi'orum gravitatis, ut alias indicavi Domino de
Roherval(').
Sed et coi'onidis loco possunt etiam et, dalà rnirà, iinciiiri tpsiits
asymplofi, quic in cnrvis inllnitis miras exliil)ont i)ropiMelates. Sed
liaîc, si liituerit, fusius aliqiiando explicabimus et dcmonstrabimus.
Vil.
PllOHLEMA MISSUM AI) RRVERENDUM PATREM MERSENNUM
10^ (lie Noveinhris iQ^^ (-).
//nr/iirr cyliiidruin rnaxiini ambilùs in data sp/iœni.
Detur spluei'a cujus dianieter AD (//i,'. loG}, cenLiuin C. Qua-nlur
cylindrus maximi amhitùs in ca inscrihendus.
Sit l'actum, et cyliiulri (|u;esili l)asis esto Dl^, latus IvV (iinic eniin
positioni aptari potcsl cylindrus, propter angulum in semicirculo rec-
lum). Aml)itus cylindri similis est quadrato DE et rcctangtilo DEA i)is :
(') /'«iV- plus liaul, page 1 30.
(2) Ce litre est lire du maïuiserit île la Uibliotlioquo Nationale, Fonds latin, IllliT; il
n'existe pas dans les manuscrits du prinee lioncumpagni, où l'on trouve une ancienne copie
du morceau, en dehors de celle d'Arbogast. l'"ermat avait pro|iosc à .Mcrseniie ce problème,
liés le 50 avril iG3G, en mémo temps ipio celui du cène inscrit de surface maximum (vo/;-
ci-dessus, p. i55). I^a solution, envoyée six ans après, est d'ailleurs [uirement syntlioliipie.
Tout lo morceau a été publié par iM. Cli. Henry (/{ec//crc/(ev sur les innnificnts de l^u-n-r
de FcniKit). liages igS-igO, d'a[)rès la première source seulenicnt.
1GS ŒUVRES DE FERMAT. - I" PARTIE.
Quaerendum itaque maximum quadrati DE et rcctanguli DEA bis aggre-
gatum.
QiiadratumDEa.'quaturrectangaloADB(demissâ perpendiculariEB),
et rectangulum DEAœquatur rectangulo sub AD in BE.Quœrimus igitiir
maximum rectanguli ADB et rectanguli sub AD in BE bis aggregatuni
et, omnibus ipsi AD rectœ datse applicatis, quseritur maximum rec-
tarum DB et BE bis aggregatum.
Hoc autem est facile : fiât enim CB dimidia BE aut, quod idem est,
sit BC quinta pars potentià quadrati CE dati, punctum E satisfaciet
proposito.
Fig. loG.
Ducatur enim tangens EF cum diametro produclà in puncto F con-
veniens : Aio summam rectarum DB, BE bis esse maximam.
Quum enim CB sit dimidia BE, crgo BE erit dimidia BF; ergo BF
(•rit a^qualis duphe BE : tota igitur DF rectis DB et BE bis erit œqualis.
Sed et patet aggregatum roctarum DB, BE bis esse maximum.
Sumatur enim quodvis punctum in semicircuio, <ut>I, a quo
(lemittatur perpendicularis IN.
A puncto autem I ducatur IG parallela tangenti, occurrens diametro
in puncto G. Punctum G erit inter puncta F et D : alioqui parallela GI
non occurret semicircuio.
list
ut FB ad BE, ila GN ad NI,
|)ropter parallelismum; sed FB est dupla BE : ergo GN est dupla NI,
ideoque GN est a;qualis NI bis, et Iota GD aggregato rectarum DN et
NI bis. Quum igitur GD (cui aequatur aggregatum DN, NI bis) sit
minor reclà DF (cui aequatur rectarum DB, BE bis aggregatum), ergo
rectarum DB, BE bis aggregatum est maximum, et cylindrus (juœsitus
babet basim DE et latus EA.
MAXIMA ET MIMMA. 169
Piobahitur ex supra dictis rectam DE ad EA ita esse ut niajus seg-
nieutum rectœ extremà ac incdià rations secta; ad iiiiiuis.
Scd et cylindrum clati ambilùs eàdcm via invenire cl coitslruerc pos-
sunius.
Slatim quippc deducetur quicstio ad quœrendain rcctarum DN, NI bis
summam œqualcm datai rectic. Sit recta data DG (qu;e quidcm ex supe-
rioi'i (lelcrniinationc non potest esse major rectâ DF). Fiat rcctîc Fli!
parallcla recta GI : punctuin I satisfaciet quaestioni et quando(|ue duos
cylindros cxhibebit, quandoque unicuin, propositioni saLisfacicnles.
Ouinn enini piinctum G erit inter F et A, duo cylindri praestabunt
propositum; si vero punctuni G sit in A aut iilterius, unions laiituni
cylindrus prœstabit quœstionem (').
( ' ) Le manuscrit Fands lalin 11197, seul des trois sources, ajoulc ù coUc solution les
trois corollaires suivants, qu'on doit attribuer à iMersenno plutôt qu'à Format :
n CoitoLLvniL.M PiUMi.M. — 'l'ct/igcns Ep fvfjiialis c.ft clianielro XI).
Il Quia enim, in triangulo CEF rectangulo ad E, ex angulo E deducla est ad basiiii CF per-
pcndicularis EU, crunt similia triangula CEF, CEI! cl EFB; sed liC est dimidia ipsins liE.
ex conslructionc : crgo CE dimidia est ipsius EF. Est autem et CE dimidia diametri AD :
ergo EF fcqualis est ipsi Al).
» ConoixAuiuM SEcuxDLM. — Ex pneccdcnto corollariodeducitur cio^^mis comiruciio pm-
lilciiiaiis et multo facilior, quiT! lalis est.
» Sumatur in circunifercntia circuli AED punctum quodcumqucE, ex quo deducalur rccla
EF tangens circulum, ipiae sit iequalis diametro circuli AED; et sic dabitur punctum F, ex
quo per ccntrum C ducatur F'CD secans circumferentiam in A et U punctis. Jungantur EA,
ED; eril AE altitudo cylindri maximi quajsiti et DE diametcr basis ipsius cylindri.
u Domonstralio facilis est.
>) ConoLLAnilM TEUTIL'M. — Notatu digHum CSl DE ev.ic «(/ EA /« ratiunc nnijoris sctimciiti
ad minus reclœ mcdid ac exlrcind val'mnc dn>isœ.
« Fiat eiiira CN {/g. 107) cequalis CD : ergo ND œquabitur BA, et UN ipsi BE. Porro qua-
dratum ex DE ;pqualo est rectangulo ADR sive duobus reclangulis : [triino ADN (hoc est
DAB), et rectangulo ex AD in NB (hoc est ex AD in BE); sed rectangulum DAB œqualur
Feumat. — I. 2 2
170
ŒUVRES DE FERMAT.- I" PARTIE.
Mil.
. ANALYSIS AU REFRACTIONES o.
Eslo cii'culus AGBI {fig- lOiS), cujus diameter AFDB scparct (km
merlia ilivei's;o natiira', (juorum rai'ius sit ex parle ACB, densius ex
parte. Ail?. Ponatiir centrum circiili punetiim D, in (juoil ineidat i"i-
diiis CD a puncio C dato. Qiucritur radias diaclasticus DI, hoc esl
piincdim I ad quod vergit radius rcfractus.
Fi-. .nS.
Dueanliir ad diamctriim perpendicidares rect;« CF, IH. Quum daliini
sit [iiinctiim C et diameter AH, ncciion et cenlriiiii 1), daliir paritei'
punctum F et recta FD.
Sit ratio medioriiin, sive ratio rcsistcnti;e niedii densioris ad resis-
lentiam iiicdii rarioris, ut recta data DF addatain extrinsccus rectam.l/,
(|ua' quidem minor crit rectâ 1)F, quum resistentia medii rarioris sit
minor resistentia medii densioiis, ex axiomate plus (|uam naturaii.
Mensuraiidi igitur veniunt motus, (jui tiunt per reelas CD et DI, heiie-
i|iiadrato ex Ali; rcclangulum vcro c\ AD iji DE .viiiatur roclangulo AED. Hoc est rectan-
L'iilii ex liiioa eoinposita AED in AE; crit igiUir
ut tota linea \\i[) ad DE, ila DE ad SV. :
l'i-gt) .\E1) roda soda esl in E in cxtrcma ac média ralione, cslqiio DE inajus segrnonliiiii.
.\E vcro minus. Onod erat prolianduin.
" De lioe protilcmato vide Traclalum Domini do lioherval De roiùt ci irli/utrif splunur
iinirijjii.t et (ircuitfiiriptix : ibi cnim vcrus est ejiis locus. »
l.i^ litre (In Traite, an(|uel il est ainsi renvoyé, se retrouve dans une Lettre de Iîolii'r\al
.1 lloveliiis, de Hiio, (|n'a publiée .M. C. Henry {hliif^ens et Roher\-al, Lcyde, 1871), p. is ).
( ' ) (le morceau, tiré do la Correspondance do Descartes, fut envoyé par Eernial à M <li-
la Clianilire. on uiéuie temps que la Lettre du 1" janvier iGC-2.
MAXIMA ET MINIMA. 171
ticio rectarum il/ et DF : hoc est,, motus, qui fit pcr iluas rectas, ropra'-
sentatui' comparative per summain diiorum roctaiigulorum, quorum
uruim fit sul> CD et lecfa M, et alterum siil) 1)1 et recta DF.
Eo itaque (leduceturquaestio, ut ita secetur diauicter AB in puiicto II
ut, (luctâ al> eo perpendiculari HI et junctà Dl, summa duorum rectau-
i^ulorum sul> CD et M et sub DI et DF coutiiieal minimum spatium.
Quod ut secundum nostram metliodum, (jua; jam apud Ceometras
invaluitetab llerigono (') in Ctirsu suo rnallicinalico ante annos |»lus
minus viginli relata esl, investigemus, radius CD datus vocetur A';
radius Dl erit item A'; recta DF vocetur // et ponatur recta DH esse A.
Oportet igitur A'in J/+ A^in B esse minimam quanlitatem (^).
Intelligatur quiovis recta DO, ad lil)itum sumpta, esse a'(|iialis
ignotœ E, et jungantur rect;e CO, 01.
Quadratnm rectie CO, in terniinis aiialyticis, erit
Nq. + E(]. — /)' iii R bis;
( ' ) Dans le Siipplcmcntuin Cursus- midlieiivitici de Pierre IIéri|^oiie ( Paris, 1642 ; cleiixième
édition, iG4i), cjui forme le sixième Volume de l'Ouvrage, on Irouvo en eH'ct, comme pro-
position XXVI et sous le titre De m/ixiniix et iiiiiiinii.t, l'application de la méthode do For-
mat à la solulioii dos questiims suivantes ;
1 . Invejiire iiKi.niiiuin rccltiii^iiliiiii ronlcntuin sali ihiuhiis \c^nif/iti\ /)nip<)iil<f rcihv
Lliwœ {voir plus liaul, p. i34).
2. Iinhi'^arc ntn.riinuin rcctaiit^iihiin comprcliciisuni sitli inrdid cl (lijfcrciitiu exlrciim-
riiin Iriam prnporlioiiolmin.
3. Dnliiin Itncaiii sccarc iii duo sc^fnciilii ijmc /mlifiinl <i^'^'rc.^alaiii suoruni ipiridrulo-
riiiii oiiiiiinm iniiiiiiiiiin.
i. Jin'cnire iiiiixtiiuini ro/ioruin rccloruiii sub (fqindil/us cnincis supcrfîcicbiis conlciiuiiii.
\L\\ outre de ces solutions, dans lesquelles llérigone emploie d'ailleurs, comme dans tout
Sun Ouvrage, son système particulier de notations algébriques, il donne, toujours d'après
h'ermat, la construction de la taiigeiUe en un point donné de la par<diolc (voir plus liaul.
p. 1'!")), de \ ellipse (voir p. I jj) et de Vliypcrhole. Il ajoute enfm (p. C8) ;
n Née unquam fallit melliodus, ut asseril ejus inventor, qui est doctissimus Kormal.
consiliarius in parlamento Tolosano, cxcnllens gcomctra ncc ulli socundus in arte ajiah-
tica : ([ui oplime etiam rostilnit ouinia locn plaint .-Ipolloidi l'er^iei, qua^ in liac urbe vidi-
mus manu scri|)la in manibns plurimorum, (pubus subuexa est eliani ab eodom aucloro
./(/ loeos pianos et sitUdos Isn-^o^e. »
Ce passage d'Ilérigono a été roproduit par Samuel Format dans l'édition dos liiini (à
la dernière des pages non numérotées du commencement); mais, dans sa préface, il lui
assigne à tort la date de i<i3i, qui est celle du premier VoUune du C'iirsit\- iiuakeiiiatuiis.
('-) Dans tout oc morceau, on a rétabli la notation do Vièto au lieu de celle de Dos-
cartes suivie par Clersclier.
17-2 ŒUVRES DE FERMAT.- 1= PARTIE.
qiuidratiim vcro rectœ 01 orit
Nq. + Eq. + A in E bis :
ergo rcctangulum sub CO iii J/crit in iisdem terminis
latin quad.{Mq. in Nq.+ Mq. in Eq.^ Mq. in B\n /Tbis);
roctangiiluin vero suh 10 in // crit
latus quad.lyfîq. in Nq. -+- Bq. in Eq. -f- Bq. in A in E l)is).
HiPc fliio roctangula debcnt, ex praîceptis artis, adœquari diiohiis vac-
(angulis M\nN ai B in N.
Ducantur omnia quadratico, ut tollatnr asynimctria; deinde, ahlatis
communibus cttermino asyrnmctro ex una parte colloeato, liât novus
ilnclus quadraticus. Quo peracto, demptis communibus et reliqnis
per E divisis, ac tandem elisis liomogeneis ab E alFectis, jiixta pra--
ccpta niethodi quœ dudum omnibus innotuit, et fiicto parabolismo.
fit tandem simplicissima sequatio intcr A et M : lioc est, a primo ad
ultimum abruptis omnibus asymmetriarum obicibus, recta DH in figura
lit ;equalis recttv M.
Unde patet punctum diaclasticum ita inveniri si, ductis rectis Cl)
et CF, fiât ut resistentia niedii dcnsioris ad resistentiam medii rarioris,
sive
m l{ nd M, ila recla FI) ail reclam DII,
et a puncto H excitetur recta Hl ad diametrum perpendicularis et cir-
cnlo occurrens in puncto I, quo relVactio verget : idcoque radius a
inedio raro ad densum pertingens frangetur versus perpendicularem.
(|uod congruit omnino et gcneralitcr invento tlieoremati Cartesiano,
cujus accuratissimam demonstrationcm a principio nostro derivatam
exliibet superior analysis.
MAXIMA ET MINIMA. 173
IX.
<SYNTnESIS AD REFRACTIONES > o.
l'roposuit doctissimus Cartcsius refractionum rationem experientia;,
ut aiuiU, consentaneam; scd, eam ut demonstraret, postulavit et nc-
cesse omniiio fuit ipsi conccdi, luminis motiim facilius et expcditius
fiori pci- mcdia densa quam pcr l'ara, quod lumini ipsi naturali adver-
sari videtui".
Nos ita({ue, diini a contrario axiomate — motum nempc luminis
facilius et expeditius per média rara quam per densa proccdere —
veram refractionum rationem deducere tentamus, in ipsam tamen Car-
tcsii proportionem incidimus. An autem contraria omnino via eideni
veritati occurri possit àuapaXoYÎo-Tcoç, videant et inquirant subtiliores
et scveriores Gcometrœ; nosenim, niissà mataîotechnià, satius existi-
mamus vcritate ipsa indubitanter potiri, quam superfluis et frusta-
toriis contentionibus et jurgiis diutius inbœrere.
Dcmonstratio nostra unico nititur postulato : naluram operari per
modos el vins faciliores et expeditiores. Ita cnim aî'xYjULa concipienduni
ccnsemus, non, ut pleriquc, naluram per lineas hrevissimas scmper ope-
rari.
Ut enim Galilaîus (-), dum motum naturalcm gravium spcculatur,
rationem i[)sius non tam spatio quam tempore metitur, pari ratione
non brevissima spatia aut lineas, sed quai expcditius, commodius cl
breviori tempore pcrcurri possint, consideramus.
( ' ) Ce second morceau sur la loi do la rélraclioii, confondu avec le prcccdcnt dans la
Correspondance de Descartes, en esl cvidemmcnl dislinct : c'est le travail que Format pro-
met à M. de la Chambre à la fin de sa lettre du i" janvier 1G62. si celui-ci le lui réclame,
et c'est é,;;alemcnt à cotte pièce que se réfère |)articulièrcment Clersclicr, dans sa lettre à
Format du 20 mai 1OG2. D'après la copie de Clerselier, l'envoi à M. de la Chambre anrail
eu lieu en février iGG.»,.
(2) Discorsi e dimoitrazioid inalcmatirhc iutoriKi à due nm<e sciciizc oticiicnti «Ihi jM<-
ra/iica cd i movimenti loccdi, dcl Sig' Galilco (ialiloi (Leyde, EIzévirs, iG3S). — Les nou-
velles pensées de Galilée, etc., traduit do l'italien en français (Paris, Pierre liocolcl
ou Henry Guenon, iG3ç)).
174 ŒUVUKS DK FERMAT. - I - l'AUTlE.
Hoc siipposito, stipponaiiUir duo iiieilia divL'rsff natiira' in [)i'ima
figura {/ig- 109). in fl":! cireuiiis AlIUM, cujus diametcr ANB séparai
illa duo média, (|uoi'uni unuui a parle M est rarius, allerum a parte II
est densius; et a punelo M versus II indectautui' quadihel rectœ MNII,
MRH occui'i'eutes diamètre in punctis N et R.
\'\'f. 109.
Unum velocitas mohilis pcr MN, qua* est in metlio laro, sil major,
ex axiomate aut poslulato, velocitate ejusdem mohilis per Nil, et mo-
tus su|)ponanlur uniformes in quolibet videlicet medio, latio tem|»oris
mollis per I\IN ad lempus moins [)er Nil componiliir, ut iiolnni esl
omnil)us, ex ralione M.\ ad Nil et ex reeiproca r.ilione velocilatis per
\II ad veloeilatem per MN.
Si liât ii^'ilur
ul velocitas iicr MN ad veloeilatem per Ml. ita rccla MN ad M,
leiii])iis iiioiris pcr MN ad tempiis inoiris per Ml eril ut IN ad Nil.
l'a'ri ralione <lemonstral)itiir. si liai
ul VL'lucilas pcr iiiediiiin rai iiis ad V(d(icilalciii per inediiiiii deiisiiis,
ila Mlî ad HP,
teiM|)iis inolûs per MU ad lempus molùs per lill esse ul l'I! ad liil.
IJnde sequitiir
lempus molùs per diias MN, Nil esse ad lempus molùs per diias Mli, Ull
ul siimiiia cluarum IN, NU ad summam diiarum l'It, 1(11.
Qiium igitiir naliira lumen a puneto M versus |)unetum II dirigal,
débet investigari puiieliiiii, ut N, per (|iioil pcr injh'.vu>iiciii mil refrac-
MAXIMA ET MINIMA. 173
lioncrn hrcvissi/no /r>//f)i>rc a |iimct() .M ad piincliini II [icivcniat : prolja-
liilc iiaiiiqiie est natiiram, qiiii! nporatioiics suas qiiaiii (•itissinic iii;;!'!,
eu spoiite collimalurani. Si ita(|iH' siimma rcctaniiii IN, Nil, qiuo est
mensui'a motùs pci- infk'xam MNH, sit mininia (]iiaii(itas, consfahil
pi'opositiim.
Hoc aiitcni ex llicoi'crnate (lartcsiaiio dcduci vcra, non lucala, (U;u-
mctria statim dcnionslraltlt; |)roposaU qiiippc Cartcsins :
Si a punclo IM (Iticaliir nidius I\1N, cl ah cudcni piiiiclo M (IcimlUiliti
f)e.rpcndicularis MM, fiai autem
ut vclocilas ma/Dr ad iniiiorein. ila I)N lul NS,
a pmicln aalcin S cxcilclar perpc/idicularis SH cl jungaliir radius NH,
liuiicn a incdio raro in pitnctii/n N iiicidcns rc/riiiL^i in nicdio dcitso
rcrsus pcrpcndicidarcin ad piindiini H.
Unie vero tlicoi'eniati Gconietria noslra, ni c(uistal)it ex seqncnti
[U'oposiliono pnro geomeh'ica, non refragalur.
Eslo cirenlns AilBM, cnjns diamctci' ANlî, cenLctini N, in cujiis cii-
cunii'erentia siiinpto quovis piincto M, jnngaUir railins MN et dcniil-
taliir in dianietruni perpcndicnlarls .MD. DcUir paiiler ratio DN ad NS
v\ sit DN major ipsà NS. A pnnclo S cxcitctur ad dianictrum pcrpen-
dicularis SH occiirrens circiMnt'erentiîc in puncto H, a tiuo jiingalm
CLMitro N radius HX. Kiat
ni l»N ail NS, ita radius MN ad i-eclain M :
Aio suinniani roclarinn IN, NH esse ininiinani : hoc est, si suniatur,
('\('ni[)li gfalia, {|nodlil)('t punclutn \\ ex parte semidiann-tri NI5, cl
jnngaiitiir rect;e .MU, Uli, liât auteni
m DN ad NS, ila Mit ail Iîl>,
suniniani rectarnni PU et lill esse inajoreni sununà reclaruni IN et NU.
(Jnod ni (lenKinsti'ennis, liai
ni radins MN ad reclaiii DN, ila rocla l{N ad rcclain NU,
17G ŒUVRES I)E FERMAT. - I'- PARTIE.
ot
ul I)N ad NS, itu fiât NO ad NV.
Iixconsti'uctionepatetrectam NOminorem esse rectâNR, quia recta DN
est minor radio MN; patet etiani rectam NY minoreni esse recfà NO,
quuni recta NS sit minor rectà ND.
His positis, quadratum recta' MR œquatur quadrato radii MN, qua-
(Irato rectœ NR et rectangulo sul) DN in NR bis, ex Euclide; sed, qiuiin
sit, ex constructione,
ul MN ad DN, ita NR ad NO,
ergo rectanguluni sul) MN in NO scqualur rectangulo sub DN in NR,
ideoque rectanguluni sub MN in NO bis œquatur rectangulo sub DN
in NR bis : quadratum igitur recta' MR a'(juatur quadratis MN et NR et
rectangulo sub MN in NO bis.
Quadratum autcm recta; NR est majus quadrato recta* NO, quum
recta NR sit major rectà NO : ergo quadratum recta^ MR est majus qua-
dratis rectarum MN, NO et rectangulo sub MN in NO bis. Al ba'c duo
quadrata, MN, NO, una cum rectangulo sub MN in NO bis, sunt a^qualia
quadrato quod fit ab MN, NO tanquam ab una recta : ergo recta MR est
major sunimâ duarum rectarum MN et NO.
Quum aulem, ex constructione, sit
ul J)N ad NS, ita MN ad M ot iia NO ad NV,
ergo crit
ut DN ad NS,
ila surnma rcclaruin MN.NO ad summani rectarum IN et NV.
Kst auteni etiam
ut DN ad NS, ila MR ad \\V :
ergo
ul sunima rectarum MN, NO ad summam rectarum IN, NV,
ita recta MR ad RI>.
Est autem recta MR major suminà rectarum MN, NO : ergo et recta PR
est major summâ rectarum IN, NV.
MAXIMA Eï MINIMA. 177
Siiperest pi'obandum lectam RH esse majorem rectà HV; quo per-
aelo, constabit suminam rectarum PR, RH esse majorem summâ rec-
tariiin IN, NH.
In triangulo NHR, quadratum RH ;equatui' quadratis HN, NR iiiulc-
tatis rectangulo sub SN in NR bis, ex Euclidc. Quum autcm sit, ex con-
structionc,
ut MN radius (sive Nil ipsi fCfiualis) ad DN, ila NK ad NO,
m autem DN ad NS, ila NO ad NV,
ergo, ex a-quo, erit
ul HN ad NS, ila NK ad NV.
Rectangulum ergo sub HN in NV œquale est rectangulo sub NS in NR,
ideoque rectangulum sub HN in NV bis jequatur rectangulo su!) SN
in NR bis : quare quadratum HR a'quatur quadratis HN, NR mulctalis
rectangulo < sub > HN < in > NV bis.
Quadratum vero NR probalum est majus esse quadrato NV : ergo
quadratum HR majus est quadratis HN, NV mulctalis rectangulo
< sub > HN < in > NV bis. Sed quadrata HN, NV mulctata rectan-
gulo < sub >• HN < in > NV bis ;cqualia sunt, ex Euclide, (|uadrato
recta! HV : ergo quadratum \U\ quadrato HV majus est, ideoque recta
HR major rectà HV. Quod secundo loco fuit probandum.
Quod si punctum R sumaturex parte semidiametri AN, licet recta' .MR,
RH sint in directum et rectam lineam constituant, nt in secunda liguia
(Jig- iio), — demonstratio cnim est generalis in (juolibet casu ~
idem continget : lioc est, rectarum PR, RH summa erit major summà
rectarum IN, NH.
Fiat, ut supra,
m MN radius ad DN, ila RN ad NO,
et
ul DN ;id NS, ila NO ad NV :
patet rectam RN esse majorem rectà NO, rectam vero NO esse majorem
reclà NV.
l'EBMAT. I. 2i)
178 ŒUVRES DE FERMAT.- I- PARTIE.
Qiiadratum MR sequatur quadratis MN, NH imilctatis rectan-
gulo DNR bis sivc, ex superiori ratiocinio, rectangulo MNO bis. Qiiiim
autem quadratum NR sit majus quadrato NO, ergo (|iia(lratiim .MR
orit majus quadratis MN, NO iiuilctatis rectangulo MNO bis; sed (|ua-
drata MN, NO, niulrtata rectangulo MNO bis, ;equantur (juadrato
Fiff. iio.
recta! MO : ergo quadratum recta; MR quadrato recta> MO majus erit,
ideoque recta MR crit etiam major rectà MO.
Quum autem sit, ex constructione,
ul DN ad NS, ita MN ad IN el ila NO ad NV,
ergo
ut MN ad IN, oril NO ad NV,
ul MN ad NO, ila cril NI ad NV,
ut MU ad ON, ila IV ad VN,
et, vicissim,
cl, divideudo.
et, vicissim,
m MO ad IV
ila ON ad NV, sive DN ad NS, sive MR ad RI'.
Probatum est autem .MR ipsà MO esse majorem : ergo PR rectà IV
major erit. Supcrest ergo probandum, ut ex omui parte eoustet propo-
situm, rectam RII esse majorem summâ duarum rectarum HN et NV;
quod ex pncdictis est facillimum.
Quadratum enim RH ;cquatur quadratis HN, NR una cum rectan-
gulo sub SN iu NR bis sive, ex pr;edemonstratis, una cum rectangulo
sub HN in NV bis; quadratum autem NR est majus quadrato NV : eri^o
MAXIMA ET MINIiMA. 171»
qiuulraUiin HR iiiajus est qiiadratis HN, NV ima cuin rectangulo sub HN
in xNV l)is. Unde seqiiitur rectain RH, e\ siiperius demonstratis, esse
inajoreiii siimniâ rcctarum HN, NY.
Palet ilaqiu' rectas PR, RH (sive miicaiii rectam PRH qiiaiidu id con-
tingit) esse sempcr majores diiahus rcctis IN, NH. Quod eral denioii-
straiidiiiii.
NOVUS SECUNDARUM
HT
ULTERIOKIS ORDINIS RADICUM
IN ANAIA'TICIS T S U S.
UeiliicLio secunclarum et ultcrioris oiilinis radicuiii ad |irinias, (|iia'
maximi est in Algebraicis niomcnti, iinicaiii pro fundaiiieiito agnoseit
duplicata- a'(|iialitatis analogiaiii, eamquc, quoties opus fuerit, itei'aii-
dam progressus ipse qiuestioiiis ostendit.
Proponatur
A cuhus + EcuIjo ;uqiiai'i Zsoiiilo;
item
15 in A H- Efiua(I.+ D inE ;equai-) N (juail.
Ut seciiiida ladix dcvoivatur ad primaiii, liiec siuilo pra'cepta :
Qua'cumque a secunda radiée adticicntui' homogenca in iinani auiiia-
tionis partem traiiseuiito : ut, in superiori cxemplo, (puini
Ac. + Ec. a'(|aelur Zv.,
ergo
Zv. — \c. iequabidir Er.
Similiter, qnuni
I! in A 4 Iv/. + I) in li ;e(|iielur Nf/..
N17. — IJinA ;eqiialjiUu- Ei/. -i- i> in E.
ergo
lu iitraque igitur a'(|uatione homogenca ahs K (sive alts seeunda ra-
diée) adf'ceta unam iequationis partem constituiinl; si igitur duplieala
18-2 ŒUVHES ])]L FERMAT.- I" l'AUTlE.
cjusinodi scqualilas ad analogiam revocetur, eril
ulZ.ç. — Ac. ad Ec, ilaNr;. — BinA ad E^. + DinE.
Quuin itaque factiiiii su!) extremis comparabitur facto suh inediis,
tanquam ipsi a;qualo, omnia liomogenea divisionem admittent por K
(sive per secundain radiccm); ut patet, quia secundus et quartus ter-
minus ahs E adficiuntur.
Eril ncmpe
Zs. in E^. — Af. in Eg. -+- Zs. in U in E — \c. in 1) in E
ïequale Ni;, in Ec. — I? in A in Ec.
Omnia dividantur totios per E, donec aliquod ex homogeneis adfec-
lione sub E omnin» liberetur : erit
Zs. in E — Ac. in E -+■ 7,s. in 1) — Ac. in D
sequale N-7. inE^. — B in A in Er/.
Quo peracto, nova h;pc a'quatio uno ad minus gradu depressior erit
(quoad secuudam radicem) quani elalior ex duabusprimumpropositis :
patet nempe elatiorem ex duabus primum propositis adtici sub cubo E,
istius vero nullam abs E adfectioneni exccdere Ey.
Nec tamen sic quiescendum, sed iteranda duplicata' a'qualitatisana-
logia, donec adfcctio secunda; radicis fiât tantum sub latere, ut asym-
mctria omnis evancscat.
Prteparetur itaque iiltima bœc aequatio juxta modum prscscriptum,
ut bomogenea sub E quomodocumque adfecta unam œquationis partem
faciant. Erit itaque
Zi. in 1) — Ac. in I) a-quaie
N7. in E^. — B in A in Eq. — Zs. in E + Ac. inE.
Sed, e\ duabus primum propositis, qua* depressior est, exhibet
ajquationem sequcntem, ut diximus :
Ni/. —B in A .Tcquale E'/. -i-DinE.
MÉTHODE D'ÉLIMINATION. 183
Revocetur rursurn ad analogiani duplicata isla toqualitas : eri(
itacjue
'/.s. iii I) — Ac. in I) ad N'/. in K^/. — B iii A in Ef/. — VjS. in E + Ac. in E
ul Nr/.— DinA ad E^/.+ DinE.
Oiuiiii itaqiie lactiim sub extreinis a'quahiLur facto sub nicdiis,
taiiqiiani ipsi icquale, oninia homogeiiea poteriuit dividi per K, iif supra
demoiistratum est : crit nempo
Z.v. in I) in Iv/. + Z.v. in 1)'/. in E — Ac. in 1) in E</. — Ac. in l)^. in E
aviuaie N-y^. in E7. — N7. in B in A in E7. — Ny. in Zv. in E
+ N'y. in Ac. in E — B in A in N'y. in Ey.
-f- B7. in Ay. in Ey. -h B in '/.s. in A in !■] — B in A'/y. in E,
et, omnibus abs M divisis, tict tandem
Z.S-. in U in E -t- 7.s. in Dy. — Ac. in I) in E — Ac. in Dy.
aM|iiale Nyy. in E — Ny. in B in A in E — Ny. in '/.s. -+- Ny. in Ac.
— H in A in Ny. in E + By. in Ay. in E-i-B in Z.ç. in A — B in Ayy.
Quo peracto, nova ba'c sequatio unius adbuc gradùs depressiononi
(({uoad secundam radiccin) lucrata est, ut bic patet : quum cnini honio-
genea sub E adl'ecta in unam a'quafionis |)arteni traiisierint, tict
Zv. in l)y. — Ac. in l)y. + Ny. in Zv. — Ny. in Ac. — B in 7.s. in A -¥ B in \ yy .
a'f|uat(' Nyy. in E — Ny. in B in A in E — B in A in Ny. in E
+ lîy. in Ay. in E — Zv. in D in E + Ac. in I) in E.
Ncquc ultcrius [)rogrediendum, (|iiiim jam sccunda radix sub lalcic
fantuin apparcat, idcoquc, solo applicationis beneficio, ipsius 1'] iclalio
ad priinam radiccm manifestabitur : ut hic
7.x. in Dy. — Ac. in Oy. -t- Ny. in Z.v. — Ny. in \c. — B in Zv. in \ -1- B in Vc/y.
Nyy. — Ny. in 15 in A — Ny. in I! in A -+- l!y. in A y. — Zv. in I) -(- \c. in I)
a'i|nal)iUir E,
quo tendendum crat.
Ut igitur dua' pritnum proposit;c radiées in unam tiauscanl, rcsu-
184 ŒUVRES DE FERMAT. - I- PARTIE.
inatur ex duabus prioribus lequationibus qiiam volueiis; deprcssior
lamen idonea magis, ne altius ascendat aequatio.
Ouum itaque in una ex a'quationibus primum propositis
B in A -t- E7. -h U inE œquetur N-/.,
loco i psi us E subrogetur jam agnitus ejus valor per relationein vel ad
terniiiios cognitos vel ad priorem radicem, quœ in exemple proposilo
est A; et rursum sub bac nova specie ordinetur œquatio. Manifestuni
est evanuisse omnino secundani radicem et in sequationem ab omni
asymmetria liberam ituin esse, metbodumque esse generalem.
Si onim phires duobus terminis proponantur incogniti, metbodiis
ilerata tertias, si opus fnerit, radiées ad primas et secondas, deinde
secundas ad primas, etc., eodem prorsus artificio reducet.
APPENDIX AD SLÎPERIOREM METHODUM (').
Siiperiori mctiiodo debetur perfecta et absoluta asymmetriariini in
Algebraicis expurgatio ; neque enim symmetrica climactismus Vie-
t;ça (-), quas unicum bactenus ad asymmetrias fuit remedium, eftkax
satis et sufficiens inventa est.
Proponatnr quippe
lut. cMb.(15 in A'/. — Ac.) -t- lai. quad.(A7. + Z in A)
-+- lai. quad. quad.(l)c. in V — Ar/y.) + lat. (luad. (G in A — \q.)
aiquari recla? N.
Qua rationc ab asymmetriis bujusmodi extricabit se et quaestioncm
suam analysta Victseus? An non potins, dum crescet labor, crescet dif-
(1) /'(H> la lettre de Formata Carcavi, du >o août iGJo, lettre qui accompagnait l'envoi
de tout le Traité, f'oir également le billet de Fermai dans la lettre de Descartes (éd. Cler-
sclier, III, 83) du 18 décembre i6.'|8, billet qui semble aussi avoir été adressé primitive-
ment à Carcavi.
(-) ViÈTE, De einciulatinnc œquationum, cap. V (éd. Scliooten. p. M»)-
METHODE D'ELIMINATION. 185
ficultas, et tandem, fatigatus etdclusus, novum ab Aiialylice lumen cx-
poscet?
Hoc sane luculentcr superior methodus submiiiistral : uniciim cxcm-
l>lum, uhjue brevissimum, adjiingimus; recluso cnim scmol fiinda-
in(Mi(o, ca'tora apertissime manifcstantur.
l'roponatur
liil. cub.(Z in A'/. — Ac.) + lat. cuIj.{Ac. + Dy. in A) lequaii I).
lia piinuim ordinotur œqualio ut iinica ex asymmetriis unam illius
parlcm facial : fiai nempe
I) — lai. cu1j.(Ac. + Mf/. in A) ipquaiis lat. c,ub.(Z in A'/. — \c.).
IIoc peracto, omncs termini asymmetri a secundis cl ullerioribus, si
opus fnerit, radicil)us denominenliir, exccplo co queni iinicum in
unam a^qualionis parlem rejccimus : lingalur, vcrbi gralia,
lai. cub.(Ac. +■ Biy. in A) esse E.
Hac enim viaadeam, quam injungit superior methodus, duplicata;
a;([ualila(is analogiam deveniemus : cril ncmpe
1) — E lequaiis lat. euh. (Z in Ay. — Ac),
cl, omnibus in cubum ductis.
De. -4- D in ¥.'/. ter — Dr/, in E 1er — Ef. icquabilui- Z in A7. — Af.
Scd, ex bypotliesi,
Ef. requatnr Af. 4- H»/, in A.
JM'go orilur duplicata aiqualitas et in utraque, juxta niclliodum, Icr-
mini abs secunda radice adfecti in unam ;equaliouis parlcm sunl con-
jiciendi : erit nempe
Z in Aq. — Af. — l)f. iequalis D in Er/. ter — l)q. in E 1er — Ef.;
ilcm
Ac. + 15-/. inA ;e(|uii!is Ef.
Iteretur loties operalio douce secunda radix ad [)rimam rcvocelur;
Fermât. — I. 24
186 ŒUVRES DE FERMAT.- I^" PARTIE.
quo pcracto, loco ipsius E, novus ipsius valor usurpetur et sub liac
nova specie qusevis ex prioribus œqualitatibus ordinetur : oninia con-
slabunt.
Ncc inutilia adjungo, aut moror in superfluis : qiiis enim non videt
singulos terminos asymmetros posse eadem ratione, si non sufficiant
secundie radiées, tertiis,quartis, etc. in infuiitum insigniri? Quo easu,
qiiartam, sive ultimam, radicem tanquam secundam considerabis ;
reliquas vero tantisper vel pro primis vel pro terniinis cognitis babo-
bis, donec ultima illa omnino evanuerit sive ad primas, secundas et
tertias reducta fuerit. Simili prorsus artifieio tertias reduces ad secun-
das et primas, ac denique secundas ad primas, ut jam sœpius incul-
cavimus.
Nulla est ergo asymmetria quam non cogat exsuhire bœc metbodus,
cujus usas prgesertim eximius, imo et necessarius, in numerosa potes-
tatum resolutione. Statim enim nompe atque asymmetri» evanuerint,
non décrit Victœum (') in aritbmeticis qnitstionibus artificium et, si
veris explicari numeris quaîstio non possit, proximte quantumvis
libuerit suppetent solutiones, qaum tamen proximas veris solutiones
nullo pacto, quamdiu duraverint asymmetriœ, consequi possis.
Sed et ulterius inquirenti obtulit se mira ad locorum superficialium
plenam et perl'ectam notitiam exindc dcrivanda mctiiodus, qute et iis
problemalis inservit, in quibus dantur ab initio plura quam requirat
ipsa problematis construendi determinatio.
Quod ut clarius intelligas, sunt quajdam problemata qu?e unicam
tantum agnoscunt positionem ignotam, (ju;e vocari possunt dctermi-
nata, ad difTerentiam inter ipsa et problemata localia constituendam.
Sunt aiia quœdam qua; duas positioncs ignotas babent et ad unicam
tantum nunquam possunt reduci : ea problemata sunt localia.
In prioribus illis unicum tantum punctum inquirimus, in istis
lineam; sed, si problema propositum très ignotas positioncs admittat,
{') Fermiil f.iil allusion au Trailé De immerosn putcs-tatum purarum alqnc adfccidruin
ad excge.iin resolatioiic de ViÉTE ( éd. Sclioolen, |). iG-2-228).
MÉTHODE D'ÉLIMINATION. 187
pi'oblema luijusmodi non jaiii ptiiictiun duntaxat, aut lineam tantum,
sod intcgram superficicm qiucstioiii idoneam invostigat : indequo
oriuntiir loci ad superficiem, etc. in rclicjuis. Sicut autein in prioribus
data ipsa sufficiunt ad detcrminationem quœstionis, i(a in secundis
uniim datum dcest ad detcrminationem, in tertiis vero duo tantum data
determinationem possunt complere.
At contra potost fiori ut, quemadmodum in liis casibus data aut suf-
ticiant aut dcsint, ita in plerisque aliis data ipsa supeiflua sint et
abundent : exemplo res fiet cvidens.
In recta AC {fig. 94) data, datur rectangulum ABC; datur eliam
diffcrentia quadratorum AB et BC.
A B, C
In boc casu plura patet oiïerri data quam determinalio ideoquc so-
lutio ipsius quœstionis cxposcat. Frcquentissimus tamen borum pro-
l)lematum, in Pbysicis prœserlim et apud artifices, est usus, eaque
oninia per applicationem simplicem bcneficio nostrai meliiodi expe-
diuntur, nequc recurrendum ad extractionem radicuni, licet «qua-
fioncs ad quasvis potcstates ascendant.
Proponatur, verbi gratia, in quadam quœstione,
kciib. + \\(juad.\n \. iequari Zywflrf. in 1);
item etiam, quum ex bypolbesi quiestio supponatur esse abundans
(lias cnim quwstiones aimndantcs, sicut locales dcjicicnlcs, appellare
consuevimus),
Cl sol.'xn A — \'/uad.i]uad. a^quari ]] rjti ad. in "^ pi.
Duplicata base œqualitas ad analogiam revocetur et, ex prœscripta
melbodo, consideretur unica nostra radix ignota, quie in boc exemplo
est A, sicut in prsecedentibus secundam aut ulterioris ordinis radicem
consideravimus, et toties, juxta mctbodum, iteretur operatio donec
adfectio sub A per simplicem applicationem possit cxpediri, sive non
188 ŒUVRES DE FERMAT.- V' PARTIE.
tam ad primas radiées quam ad terminos oninino notos rcduci. Patebit
solutio problematis simplicissima, nec analystam deinccps œquationes
quadratica\ ciibica;, quadratoquadraticae, etc. remnrabiintur.
LuiîF.T et, coronidis loco, famosi illius problcmalis :
Dalis cllipsi el punclo cxlra ipsius planum, siiperficiem conicam, nijus
verlex sit punctum daliim el basis cllipsis data, ùa piano secare ul sectio
sil circulus,
solutioncm, qiige buic metbodo debetur, iiidicare, eamquc simplicis-
simam.
Eo deducuiit quœstionem Geomctrœ ut, sumptis quiiiquc punctis ad
libitum in cllipsi et junctis rcctis a verticc conic;v supeiTicici ad
puncta illa, pcr junctas quinque reclas circulum describant; invo-
niuntque problema boc pacto esse solidum. Sed, quum puncta in
cllipsi sint infinita, si loco quinque punctoruni sumantur scx, fiet
problema abundans et orictur necessario duplicata aiqualitas, quae
tandem ignotam quantitatcm per simpliccm applicationem patefaciet.
Eadem rationc, si dctur quaecumque linea curva in piano aut cliam
superficies localis, cujuscumque tandem gradùs sint, invenientur dia-
mctri et axes tigurarum; imo et in superficie locali exbibebuntur
omnes omnino curvœ loci superficialis constitutivae, etc.
Exponatur, verbi gratia, superficies conica, cujus vertex sit punctum
datum, basis vero parabole aut ellipsis cubica aut quadratoquadratica
autulterioris in infinitum gradus. Potest bujusmodi superficies conica,
beneticio istius mctbodi, ita secari ut in ea exbibeatur (ju;elibet curva
quœ, ex constitulione figura", in ca superficie potest describi, et pro-
blematis solutio semper evadct simplicissima.
Nibil addimus de tangentibus curvarum (') et plerisque aliis liujus
metliodi usibus : fient quippc obvii nec sedulam indagatoris aualytici
meditationem cfTugient.
(') Ftiir plus liaut, page i53.
PROIÎLÉME D'ADRIEN ROMAIN. ISî)
< AD ADRIANI ROMANI PROBLEMA >
(')
ViRO Clarissimo Christiano HUGGENIO P. F. S. T. (-).
111)
Diim Francise! VicUo (■') ccicbre illiul Ad pruhlema Adriani Rornaiii
rcsponsum accuratius aniio superiore exaininarcni, et in verba capitis
SL'xti incidissc.m quibus profiteUir sublilis iile malboniaticus baud scire
se « an ipsemet » Adrianus « ejiis qnam proposuit ;equalionis gcncsi
(!t symptomata pcrnoverit «, subvenire copit an ipsemet quoquo VieU
iL'qualioiiis illius lamosio satis gcncralem tradiderit aut iiivenerit solii-
tionem.
Proponcntis quippe Adriani Romani verba luoc sont, emendantc
Vieta (■') :
Dctnr in numeris algebricis
45 0- 3795®+ 9 5G34 0— ii3 85oo0
+ 7811 375 0— 3451 2075 0 -I- I o53oCo75 @ — 2 32G7 G280 0
H- 3 849/4 2375 0 — 4 S849 4 1 23 0 4- 4 8384 1800 0 — 3 7S65 8800 @
-i- 2 3Go3o653 0 — I 17G791OO0 M- 4G95 5700 0— i494 5o4o0
4- 376 4565 0— 74 0209 0+ iiii5o0— i23oo0
+ 945 0 — 45 0 -+- I 0 ar/ualis numéro (lato;
f/iiœrilur valor radtcis.
(') Ce morceau, qui, comme lo précédent, concerne les travaux do Formai sur Vii'te. a
été publié par M. Cli. Henry { Hcc/wrc/icx, etc., p. 2ii--2i3) d'après lo manuscrit Iluy-
^ens 30 de l'Université do Lcyde.
( ■^) Lisez : Petrus Fcrmatius, senator Tolosanus.
(') ViÈTK, édition Schooton ou dos Elzévirs, payes 3o5-3-2i.
(*) Do fait, Fermât ne cite exactement ici ni l'énoncé d'Adrien Romain, dont il a toute-
fois conservé les notations, ni la formule adoptée par Victe, page 3o8.
190 ŒUVRES DE FERMAT. - I- PARTIE.
Sanc perquam déganter et doctissime, suo more, quœstionem pro-
positam abduxit Victa ad sectiones angulares et tabulam féliciter con-
struxit, pag. 3i8 editionis Elzevirianse ('), ad quotlibet iti infinitiim
terminos, methodo qua usus est, facile extendendam, cujus beneficio
dignoscitur quœnam aequationes ad spéciales angulorum sectiones per-
tineant.
Si cnim, in scdibus numerorum imparium, sumatur primo
iC — 3N œqualis numéro dalo
(lui non sit major binario, reducitur qusestio ad trisectionem anguli. Si
deindo
iQC — 5C-t-5N œquelur numéro dalo
qui non sit eliam binario major, reducitur quseslio ad quintusectioneni
anguli. Si
1 QQC — 7QC + 14C — 7Î\ a'queliir numéro dato
qui non sit item binario major, reducitur qufcstio ad septusectioncm;
et si tabulam in infinitum extendas, juxta methodum a Vieta prae-
scriptam, terminus ;vquationis ab Adriano proposita; erit quadrage-
simus quintus tal)ul;e, et quaîstionem ad inveniendam (juadragesimam
quintam anguli dati partem dcducet.
Ycrùm observanduni est in bis omnibus aequationibus contingere, ut
iis solum ipsarum casibus inserviant sectiones angulares et methodus
Vietye, in quibus numerus datus, cui proponitur sequandus quilibct in
numcris algebricis tabula; terminus, binarium non excedit, ut jam
dixinius : si enim numerus datus sit binario major, silet statim omno
scctionuni angularium mysterium et ad quœstionis proposita' solu-
tionem inefficax dignoscitur.
Proposucrat tamen gencraliter Adrianus dato lermi/io poslcrio/r, inve-
(') Tlicorèmc V du Traité do Viête : la Table, poussée seulement jusqu'au neuvième
terme, et qui se trouve à la page 3 19, donne en fait le développement de 2Cos//.r sui-
vant les puissances de 2sin.r, si «est pair, ou de 2Cos.r, si n est impair. Le premier
membre de l'équation d'Adrien Uomain est précisément le développement de 2COs45.r
suivant les puissances de îcos.r.
PROBLÈME D'ADRIEN ROMAIN. 191
niendum esse priorem : aliundc igitur quam a Vieta et a sectionibus an-
gulai'ibus petendum auxilium.
Propoiiatur, in primo casu, iC — 3N œquari numéro qui non sit
binario major, reducitur qua^^stio ad trisectionem, ut jam indicavi-
mus. Sed, si iC — 3N œquctur 4 vcl alteri cuilibet numéro binario
majori, lune œquationis proposita; solutioncm per metbodum Cardani
analysta; expediunt. An autem, in ulterioribus in infinitum casibus,
solutiones per radicum extractionem ficri possint, nondum ab ana-
lystis tcntatum fuit; quidni igitur in bac parte Aigcbram liceat pro-
movere, tuis praecipue, Huggeni GUu'issime, auspiciis, qucm in iiis
scientiis adeo conspicuum eruditi omnes merito venerantur (')?
Proponatur itaquc
iQC — 5C + 5N a;quari numéro 4
vel alteri cuilibet binario majori. Obmutescet in hoc casu metbodus
Viet;c; hoc itaque, ut generaliter Adriano proponenti satisfiat, conii-
denter pronuntianius : in omnibus omnino tabuho praidicta^ casibus,
quoties numcrus datus est binario major, solutiones proposita' quœs-
tionis per extractionem radicum conimodissime dari posse.
Observavimus quippe, imo et demonstravimus, in omnibus illis
casibus, quœstiones posse deduci, sicut in cubicis ad quadraticas a
radiée cubica, ex méthode Cardani et Vietae (^), sic in quadratocubicis
ad quadraticas a radiée quadratocubica, in quadratoquadratocubicis
ad quadraticas a radiée quadratoquadratocubica, et ita uniformi in
infinitum progressu.
Sit
I C — 3N acqualis 4.
(') Lors de l'envoi par Fermât de ce travail (en i6Gi?), Huygcns était déjà cclèbre,
non seulement pour ses découvertes astronomiques et son application du pendule aux
horloges, mais pour ses travaux de Mathématique pure, quoiqu'on n'eût imprime de lui
que les Theoremata de quadratura hypcrholca, elUp.ns et circuit (iG5i) et le Traité De
ratiociniif in ludo aleœ (1657).
(') On sait (ju'en fait la méthode de Viéte (De cinciidatiunc œqtiatioinwi, cap. VI) n'est
(las ])récisémcnt identique à celle de Cardan ou plutôt de Ferrari {Hieroiijiiii Cardani j4r\-
magna sive de rcgnlis algchraicis, i5j5).
192 ŒUVRES DE FERMAT.- r» PARTIE.
vorbi gratia. Norunt omnes radicem quajsilam, ex melliodo prjedicta,
a'quari
radici cubicae binomii 2+^3 -f- radice cubica apolomes 2 — \^ï.
Scd proponatur, in exomplo Vietae et Adriani,
IQC-5C + 5N œquari 4,
vel alteri cuilibet numéro hinario majori.
Fingemus, perpétua et ad omnes tabulœ casus producendâ in infi-
nitum metbodo, radicem quœsitam esse -^^r — > cujus beneficio resol-
vendo bypostases, cvanescent scmper bomogenea simplici pcr extrac-
tinnem radicum qusestionis résolution! contraria; et, in boc casu ad
excmplum priocedcntis, radix proposita œquabitur
radici quadratocubicœ binomii 2-i-\/3
-+- radice quadratocubica apotomes 2 — y/3.
Si
1QQC-7QC + 1/IC-7N,
qui est numerus tabulaî septimus apud Vietam (ad exponentem namquc
maximae potestatis, qui est in boc casu 7, respicimus), ajquetur simi-
liter numéro f\, fingatur, ut supra, radix qua;sita esse -^r — : evanes-
cent pariter in boc casu bomogenea omnia solutioni per extractioncs
radicum adversa, et radix quaîsita icquabitur
radici quadratoquadralociibicae binomii 2 + y/3
+ radice quadratoquadratocul)ica apotomes 2 — y/3;
et sic in infinitum.
Quod tu, Vir Eruditissime, non solum exporiendo deprebendes, sed
i:[ demonstrando, quandocumque libuerit, assequeris : ca enim est
îequationum ex tabula Vieta.' derivandarum specifica proprietas, ut
semper ipsarum solutiones, in iis casibus in quibus bomogcneum
PROBLÈME D'ADRIEN ROMAIN. 193
comparationis est binario niajus, simplices omiiino extractionis radicum
bencficio évadant.
Vcl igitur numerus datiis, tcrmino tabuUc analyticœ sequandus, est
l)inariiis vel minor binario vel codem l)inario major.
Primo casu semper radix proposita est ipsc binarius.
Secundo dcvolvitiir (jiueslio proposita sccundum Victam ad angii-
lares sectioncs.
Tertio por nostram metiiodiini jam cxpositani, boc est pcr extrac-
tioneni radicum, facile cxpcditur.
Sit itaque nuuicrus iilc analyticus Adriani superius exposilus
45 (T) — 379.5 (â) cic. œqualis numcro '\,
radix quicsita erit
lailix quadragesima; quinte' potoslalis binomii n -h \fî
-t- radicc fiiiadraj^'csim.'e qiiintîL" polestalis apoloiiies 2 — ^3.
Nec amplius in rc pcrspicua et jain satis excmplificata immorandum,
nisi quod nioncndum supercst : extractionem radicis quadragesima-
(|uin(a' potestatis, sive inventioiicm quadraginta quatuor mi'diaruiii
proporlionalium inler duas (|uanli(ates datas, expcdiri t'aciilinie pcr
extractionem radicis cubicie bis lactam et extractionem radicis qua-
(h-atocul)icaî semel : quod numcri 5 et 9, qui numcrum /p metiuntur,
satis indicant : 5 cnim ad radicem quadratocubicani rcfertur et 9 ad
radicem cubicam bis sumptam : ternarius enim, (]ui est cubi exponens.
l)is ductus novenarium producit.
Ideoque, per invcntionem duarum mediarum piopoitionalium intcr
duas bis lactam et invcntionem (juatuor mediarum inler duas semel,
invcniuntur quadraginta quaUior média' et qu;estioni nostrie satistit,
(|uemadmodum Vicia invcntionem sectionis auguli in /|5 partes, qu:e
est quœstio vel ;cquatio Adriani, ad a'quationem cubicam bis lactam
et ad (juadratocubicam semel, sive ad duplicem trisectionem et ad
unicam (|uintuseclinnem, abduxit.
Kr.iiMAT. — I. 2J
19i (KUVUES DE FEHMAT. - I ■ l'ARTlE.
Niliil (le multiplicibus aiquationis vcl qun'stionis proposihr solutio-
niljiis adjungimus; primogenitani tanUim rcpriesenlamus, ilo reliquis,
<[iiaruiii operosior est disqiiisitio, aliàs fortasso, si otiuni suppetat,
f'iisiiis acfiiri.
Vale, Vil" (llarissiiiie, et me ania.
AD BON. CAVALIERII dU/ESTlONES RESPONSA >
i';
Dudum est ox (nio, ad similitiidincm paraboles Archiincdca', /r/it/iKis
in uifmiluin (juadravunus m (juilnis ahscissœ a dianiclro siinl iiilcr se ut
f/iiart's applicalanim polcslatcs. Hanc sciontiain, priinis jam olini a
iioliis adinvciitam. Domino de Beaiigrand aliisqiie cominunicaviiiuis;
fatenduin tamen Doinimiin de Koberval, qui nobis indicantilnis liiijiis-
modi (jiuostiones est aggressus, eariiiii solutiones suopte ingcnio, ([uod
perspicax et in liis scicntiis felicissinuim habet, reperiisse.
Sed et pariter qiio(|iu' ceiilra gravilatuiii in liis figuris et al) ipsis
eompositis detcxinuis, idcjne metliodo nobis peculiari (-'), eujus
eliani l)eneticio tangentes in lineis quibuscumque ciirvis, ipsarnmqui!
(') Inédit, d'après deux ci)|)ics, sans tilrc (l'une ancienne, l'autre d'Ai'bu.^ast), dans les
manuscrits du prince Bonconipagni. — Ce morceau, adressé à Cavalim-i par l'intcnnédiaire
do Merscnnc avant iG4i, résume les premiers travaux de Format sur les quadratures et
cubalures, travaux dont il n'a d'ailleurs développé plus tard qu'une partie dans son der-
nier Traité : De ir<jiiulii>ninii Idcaliitin Iransnnitntioiif, de.
Mersenne a reproduit presiiue textuellement la [dus grande jiarlie de ce morceau dans
la Privjaliii tid Mccliaiiicii, IV, de ses Cogildla l'Iijsicdiiuitlicinnlica, où, venant de parler
des (piadraliires obtenues par Koberval, (pi'il appelle imsicr Ccnincii-ti, il s'exprime ainsi
sur les travaux de Fermât ;
0 Generalem eliam regulam vir alins summus invenit quâ pra'dicta suivit, non soliun
([uando partes diainetri cum applicatarum polestalibus eonferuntur, sed etiam ei'im qua'-
libel parlium diametri potestates cum quibuslibct |)olcstatibus applicatarum comparantur :
«pi.T quia satis commode figura prœccdenti possunl co modo intelligi quo ipso \oluit, me
re([uirente, BonavcnturiD Cavalliero Ueometr;n subtiiissimo innotescerc, iisdem Leclor
noster perrruatur. »
Il tcrinino comme suit la reproduction du texte de Fermât (d'ailleurs sur la niénu'
figure) :
'I Si \ero figura circumvolvatur circa EF, solidum qu;cralur, non sinqilex, uti superiora,
sed compositum, cujus rationem ad cybndrum ambiens, et cenlrum gravitatis \\t idem
summus, et noster Geometra dudum eruérc : a quibus tam omnium curvarum tangentes,
quàm areas, solida, et centra gravitatis omnium ligurarum curvis, et redis comprelicnsa-
runi, posses acciperc. »
(-) l'ulr plus haut, [lage l30.
196
ŒUVRES DE FERMAT. - I" PARTIE.
asymptotos, imo et quœcumquo ad iiiventionem maximae et minima'
perlinent prohlemata, féliciter construximus.
Sed ad rem : qu;orit eruditissimus Bonaventura Cavalieri quid de
juxi'dicùs quadralionibus sit definicndum. Huic operi regulam generalem
aptavimus, cujiis ope non tanlum quando partes diamelri cuni potesta-
libns applicatarum conferiintur, solulionem damus, sed et qiuim qu;e-
lijjot partiiun diametri potestates cum quibusliljet applicatarum potes-
tatihus comparantur : ita enim gencraliter pronuntiamus.
Sit figura quœvisparabolica, si placet,EAF(y?o-. 1 1 1), sitque.exempli
causa,
ut cuIkis CA ad ciihum BA,
ila c|uaclraloqua(lratum EC ad quadialoquadialum DU.
Sumo exponentes potestatum tam in applicatis quam in diamètre.
Kxponeiis quadratoquadrati est 4 in applicatis, exponens cubi in dia-
mètre est 3.
Aio igitur parallclogianimum EH esse ad tiguram EAF ut sunima
Fi-. 111.
I A H
Tl/
B \
/
exponcntium ambarum potestatum ad exponentem potestatis applica-
tarum. Erit igitur iu hoc exemplo
parallelogramniuni aml)icns ad figuram EAF ul 7 ad '4.
Ilinc patct, si sit, verbi gratia,
ul (luadraloqiiadratuiii EC ad quadraloquadralum Dit,
ila CA simplicilcr ad AB,
quum exponens lateris sit unitas, ideo
parallelogi'amniuin ad figuram hoc casu esse ut 5 ad 4-
QUESTIONS DE CAVALIERI. 197
Ncc est dissimilis in omnibus omnino liujusmodi figuris in infmitum
progressus.
Veriim igitnr est qnod dubitantcr proponebat Vir doctissimus, nempe
(|num potestatcs applicatarum ciim longitndinc tantum portionnm dia-
mctri, sivc, ut lo(|uuntiir analystie, cum latere conferunlnr :
lrinnf,'iili (liipliiin,
;i(l iKiraboliMi ul 3 ad 2,
parallelogrammum esse i ad parabolcn cul)icam ul 4 ad 3,
) ad (luadraloquadraticam ni 5 ad /i,
\ etc., in iiiliiiiUiin.
Sed si, maneiiU' recta (Ik, Jlgitra circumditcalur uL fiai solidiiin, i/ivc-
nielur proportio cyh/n//i Eli ad Inijiismtxh sohdiim, hoc pacte :
Summa dupli exponentis potostalis in dianictro et cxponcnlis potes-
tatis in applicatis semcl sumpti, ad cxponentem potcstatis in applicatis
est ut cylindrus ad sorKhun.
]*]xeniplnm : este
ut cuIhis EC atl culniiii DB, ila (luadralum CA ad quadralum BA.
Exponens quadrati in diametro est 2, cnjus dnpium /j; junctum '^,
cxponenti potcstatis in applicatis semel sumpto, lacit 7 : est igitnr
ul 7 ad 3 (exponenlem potcstatis in applicatis), ita cylindrus ad soliduni.
Quo posito, secundic qusestioni fit satis.
Centra gravitatarn, iii omnibus hujusmodi figuris, tam phinis ([uani
solidis, sécant dianietros in proportione vcl parallclogrammi ad liguram
planam, vel cylindri ad soiidum.
Sed, si figura circumvok'aliir rirca EF, tit jam soiidum non simplcx,
ut su(icriora, sed compositum. Kjus tamcn proportio ad cylindriim
ambientcin facillimc ex simplicibus accuralus Gcomctra dcrivabit.
imo et ipsam centri gravitatis positionem. Qu;e (amen oninia, si pla-
ceat Domino Bouavcntur;c, démonstrative et proiixius exsequemur.
198 (EUVRES I)K FKIIMAT. - I" l'ARTIE.
Diini (|ua'rit <in rtnxiv ttllni Irinnguliun et paraholcn ( ') possi/i) esse
(■(>iiic(c scriioiics. non videdir ineminissc singiilanim proprielalis : taiii
enini lior < rst >• impossihilc ((uaiii soctionom splurra' p(M' plaïuiiii
ilare paraltolas aut liyperholas aut ellipses.
[Jt, lioriim vice, prol)lemata (|ua'(!am ex Italia communicet, ex aniino
( ' ) Cnvalieri ii'avail sans iloiilo posé la ijuestion que sur les courbes dont il ist parlé
plus haut.
PROPOSITIONS A LALOUVEUE.
19!»
< AD LALOYERAM PUOPOSITIONES
\ (M
1.
S'il (/ig. 112) parabole 15AD, cujus axis AC, ai)plicala BC, l'ocUim
latus AE. QuaM'itiir ratio ciirva^ AB ad lectam BC.
Fi-, ri 3.
Esto liypei'i)olc MLO, cujus ceutruni G, transvcrsum latus VL te([uak'
recta; AE quœ est rectum data' paraboles latus; axis liyperbolcs sit LN,
( ' ) Ce morceau fimirc comme Pars priai- de \' .Ippcudix scciiihIh (p. '\{]\ l\ 3<))) dans
rOuvrai,'e : Vctcriiin Gcninetrui pnimuta in scpicin de Cjcliiidc liliris-, cl iii dinilms
(idjcclii Jppciidkdius. — Aiilorc ANTONIO Lvt.ovicii v Socictatis- /cmi. — '/'a/our, npiiit
.Irntddinn Culiiincruiin, l{ct;i'< et Jradcnuic 'J'ulnsniiiv 'J'/pd^raplinm. M.DI', .LX. Cinn
privdc'^Ki.
L'allrdjiilioii à Kcrniat csl jusUfiée |iar le préamlmlo ci-après do \ Jppciidix scciiiidu
(p. Jijo-Soi ) :
» (Jiiod olim fecit Coiioii illc a|iud Areliiincdoui laiidalissimiis, cùm alicpiol ii;coiidila'
Unie Geomelri;e llieurciiiaLum à se [)]iiiu'iin reperlonim midam [imposilioucm ail Ainici).s
pi'ivalim misil deiiioiislralioiio peiios su pressa; forlasso qiua (quod s;ppe cvonit) illain 0
mentis arcano iii adversaria nondiim Iranstuleral : hoc ipsiim aller secidi iiostri Coiioii
U. de l'ermat cùm siepe allas, lum niiperrimè de aryumeiUo sumino arduo praïslilil. Pos-
Ifcmas ego islas pro|iosilionps, (pioiiiam mirificc illustrant oa qu;c de (|uadratioilnis \\\\%\.\-
laribus in ipiiiilo, et de spinddius lincis iii sexto libro scripsi, lune operi alte\(M'e (ipiod
siliLîulari cjiis modestiie inopiiialuin profeetn aceidol) non duljito : (ieri enini neiput ipiln
iis inspcctis, iiuilibct aluis mois ausis f.ive.it et do publie.'i hac ad Gcomotrica iiivenla accès-
■100 ŒUVRES DE FERMAT. - I"' PARTIE.
rectum vero illius latiis sit icquale lateri traiisvcrso, ut ncmpc rpctan-
gulum quodvis FNL sit îcqualc quadrato applicatœ MN. Ad punctum G
cxcitelur perpeiidieularis GH œqualis rect;o 15C in parabola; doindc,
(luctis rectis HM et LI, ipsis GN et GH parallclis, per punctum M, in
quo l'ccta HM occurrit liyperhol*, dncatur applicata jMN.
Aio quadrilaterum ^IHGL, cujus tria latcra sunt recta; MH, HG, GL,
(|uartum vero latus curva hyperboles IML, esse ad rectangulum IG ut
curva parabolica AB est ad rectam BC.
II.
Data sit (/ig. 1 13) parabole BAD, cujus axis AC, applicata BC, rec-
tum latus AE; circa applieatam BC volvaturspatium parabolicum lîAC.
Qua^ilur dimensio superficiel curva" illius solidi.
Kxponatur hyperbole iMNH, cujus axis IH, transversum latus HF
wqnale quart;c parti lateris recti paraboles, sive recta; AE; rectum vero
illius hyperboles latus sit œquale transverso, ut nempo rectanpulum
siuiic non summo|)erc i;aiirk';it. Ista si pro mois oviil^'aro dccrcvisseni, Vir qiiidpm iiicidcs-
tijsiimis, qui non silii sod GcoinclriiC fainaiii qiiicrit, .Tqiiissinio rcni lulissol animo : id
lameii alionissimiiin à me scnipor fuit; iicc cxistimo Gcrimctr.T graviiis qiiii'qiuim oljjici
possc. quàm qnod alieui exprobai'i aliquando aiidivi, loiiit im/i et liiai, tutus- c\ nUciim ;
rt linr ip.vn ratioiic qiia Gcciinctra es,
Ciih'iis ciiiii fiicrif, cri< comnliiv.
lluiic aiitom jamdiii esse morom Viro Ciariss. iil sua pcr .^micorum maniis Gcomclriea
lacilé spai-gat, luculcnlcr Icslalur H. P. Morscnn. prop. i~. Ilydi-., pag. 193 : tnicu,
mquil, vririos- iUox -ly. i-ccjwv. (/c iiia.ririiit et inuiiinh, de taii^ciilihii\-, de locis- plniiif,
yiilii/is cl ad sphœrain, quos Clarixs. Seiiatnr 'l'iditsaiins D. Fcniuititis- litic <id ikik inifit.
l'iura alia ejus invoiila commémorai in pncfat. ad .Mcclianica n. -i, in Ballislicis pai;. O-,
in .Analysi pag. 3S5. Hinc factuni est ut in orc sumniorum ctiani in Ilalia Gooindranim
Toi-riceilii et Cavalerii scmpor fuorit, quod tcstatur doclissimus liullialiius in pra'l'nlione
opuscidic/f l'oriuiirtiibiif {"). Crcterùm non res lantum, scd vcrba eliam ipsa sunt inte-
gcrrimi Senaloris; quibus omnibus de meo adjicio in postcriore parte innumeras cur\ili-
ncarum figurarum, in quibus est Nicomedca conclioides, fpiadraturas : qu:c omnia si vcra
esse comprobaliuntur, c\ tolâ istà appendice confirmabiUir illud, qnod (piidam dixit : //«<■
tciiipcstalc in Ccoinctrlcis- i/n'ciitiiin et supcralttiit féliciter e\\'e /lima' Spei proinniiti>riiiiii
illiid, iindc cipcditn c.titlat iiavi^/it/d nd iiiciece\\in- /dite tetrti'j;onisnioriiiti priv\ertini
rei^iitiies. x
(») t^oir plus haut (p. ;3) In noie 3 île In p.iic t;.
PROPOSIT[ONS A LALOUVERE.
201
(juodvis FIH sit icquale quadrato applicata; IM. Fiat recta Hl a'(|iialis
recta; AC axi paraboles, et ducatur applicata IM. A rcctangulo sub CA
Fi"
ii3.
in cuivnin parabolicaiii HA auleiadir spatium bypei'boliciim I.MU; icli-
quuiu quadrctur.
Diagonia illius quadrati erit radius circiili <a'qualis>> supcrficiei
ciii'v.T solidi qiiod lit a rotalionc spatii ABC circa applicatam BC.
III.
Sit seiniparabole f[ua'vis AC {Jii^. i i4)' ciijus vcrlex A, axis Ali; ab
ea curva roiiiieiiliir alia- cur\ie infinita;, ut AF, AK, AD, oie.
fi-.
Ita autcm ibruiautur : in curva AF, applicata \\V est a'qualis curva;
parabolicœ CA ot, suinpto siniiliter quovis puncto N, a quo ducalur
applicata NP, applicata NP est etiam œqualis curvœ parabolica? x\(). In
curva EA, applicata EB a'quatur curva^ secundi gradùs FA, et illius
applicata QN a'qualur portioui <cjusdein curva^> secundi gradùs l'.\.
Iteui in curva AD, applicata BD aquatur curva' tcrtii gradùs HA, appli-
I'] nJiAT. — I. oG
202 ŒUVRES DE FERMAT. - 1" PARTIE.
rata voro NR portion! ejusdem curvtc tertii gradùs QA : et sic iii infini-
I 11 m .
Aio oinnes hujusmodi in infinitum curvas rationem liaberc datani ad
parabolas primarias, hoc est simplices; enuntiari quippe potest géné-
rale tlicorema hoc pacto :
(]ontinuetur paraboh; primaria AG in intinituni pcr puncta, verhi
gratia, M, L, K, et illins axis siiniliter ad puncta quotlihet G, H, [ pro-
ducalur; liant rectœ BG, GH, HI singula; aîquales axi AB, et ducantur
applicatœ GM, HL, IK.
('iirva parabolica AM est ad curvam secundi gradùs AF ut applicata
GM ad applicatam BC.
Curva parabolica AL est ad curvam tertii gradùs AE ut recta HL ad
BC recta m.
Curva parabolica AK est ad curvam quar(i gradùs AD ut applicata Kl
ad rectam BC.
Et sic in infinitum.
Si vero intelligantur AMG, AFB circa applicatas GM, BF rotari, su-
perficies curva ex rotationc spatii AMG circa rectam GM erit ad super-
liciem px rotationc spatii AFB circa rectam BF ut cubus rcctse GM ad
cubum rcctac BC.
Siniiliter superficies curva ex rotationc spatii ALH circa HL erit ad
superliciem curvam ex rotationc spatii AEB circa rectam BE ut cubus
rcctîv HL ad cubum recttc BC.
Et sic in infinitum.
IV.
Esto figura semicycloides BA (Jii^. ii5, i iG), a qua formetur alia
curva DA cà conditione ut applicat;e BG, CD; FO, EO sint inter se
seiiipcr in eadem ratione data. Dcmonstrarunt Geometrse (') semicy-
( ') Fermât et Uoberval sur l'énonré de Wrcii (fli'.tuirc de la Houlette dans les OEiivrcy
i/c Pascal, t. V, p. ij.^-ijj). La démonslratiou do Fermât est perdue; Lalouvère (p. iS'J)
on dit : « IIujus roi demonslrationem more auiiipiorum à Gcomctra celeberrimi noniinis
Tolosano sublilissimc elaboratam leei. »
PROPOSITIONS A LALOUVKUE. 2U:i
cloklem BA esse diiplam recta; AC, qiue est diarneter circuli cycloiilcni
producentis. Quieritur relatio curvarum AD ad alias lineas aut ciirvas
aut roctas.
Ita aiitein gciieraliter definimus : Si Iiœ nova; curva' siiil iiida oy-
cloideni et diametrum circuli generantis, ut contingit in figura (|uarta
{ftg. ti5), omnes lue curva; AD earumque portiones erunt a-quaios
curvis parabolicis; quod si nova; curva; sint exteriores cycloidi, ul in
figura quinta {fig. ii(3), omnes ha; curva' AD earumque portiones
datam liabehunt rationem ad summam rectarum et circumf'erentiarum
circularium.
Knuntiari potest in figura quarta {fig. ii5) generalis propositio lioc
pacto : Fiat
ul differcntia quadralorum BC et CD ad qnadratum Cl>,
ita quadrupla recta; AC ad rectam AM,
et per punctum A tanquam verticem describatur parabole cujus rec-
tum latussit AM et axis AC; occurrat autein parabole recta' BDC pro-
ducta; in puncto G, rectse vero FEO in puncto H. Ratio curva- AG
parabolicœ ad curvam AD erit data, eadem nempe potestate qua' es(
quadrati BC ad dillercntiain quadratorum BC, Cl).
Eadem vero erit ratio portionum AH et AE.
Ratio vero superficierum curvarum qua; oriuntur ex rolatioiie spalii
ACG circa applicatam CG et ex rotationc spatii ADC circa rectam DC
eadem est quœ curvarum AG et AD. Similiter in portionibus AOH,
AEO circa rectas OH et OE rotatis.
In ligura autem quinta (fig. i rG), in qua curva AD est exterior cy-
cloidi AB, fiât
ul differenlia quadralorum CB, CD ad quadralum CD,
ila recta AC ad AM
■10'4 ŒUVRES DE FERMAT. - l" PARTIE.
rertiiî AC in directum positam; super rectà AM describatur semicir-
culus, qiiem rcctœ DBC, EFO seceiit in punctis G et H. Ratio curva'
Fig. iiC
r r
0 V
D B C
M
AD < ad > summam curvae circularis AG et recta; GC dahitur : erit
nenipe
ul quadralum 1$C ail difFerenliam quadralorum 1)C, CB,
itn polestalc summa linete circularis AG et recla; (IC ad curvam Al),
et siiniliter sumina lineaî circularis AH et rectae HO in cadem iM'it ra-
lione a(! curvam AE.
Sil in '^viyww scxta {Jig. 117) parabole A(j, cujus vertex A, axis AB,
p Fig. 117.
applicata (^B; a curva parabolica CA deriventur ali;e in infinituui curva-
Cd), CE, CF, simili ([ua in tigura tertia i^fig. ii4) usi sumus mctbodo.
nisi (|nod in bac lerniinum applicat;e servamus. in illa vero terniinuui
axis eumdem semper retinemus.
Ducatur nempe GHIOM {jig- 117) axi AB paralieia : ea crit nafura
PROPOSITIONS A LALOUVÈRE. 205
curvariim hujus speciei, ut recta BD, ([i\x secat in D ciirvain CID sociindi
gradùs, sit sequalis ciirvœ parabolicœ AC, recta item GI sit œqualis Cil
portioni parabolicaj; recta autcm BE quai secat <in E> curvam tertii
gradùs COE, sit aujualis curvaî DIC secuiuli gradùs; et sic de ctctoris in
infinitum, earuinquc portionibus.
Aio omncs bujusmodi curvas, CD, EC, FC in infinitum, iequales esse
curvis parabolicis primariis seu simplicibus, diversis tamen a parabo-
lis (|u;c ai((uantur curvis juxta metbodum terti;e figurœ generatis. En
itaque Ibcorenia générale :
Exponatur parabole IIP, cujus axis RQ a-cjualis axi AB prioris para-
boles, rectum vcro latus RU sit duplum recti lateris AN : Aio parabo-
Icn RP ita dcsciiptam lequalem esse curvae CID.
Si vero, mauente axe RQ ;e((uali AB, rectum latus RU fiat Iriplum
recti lateris AN, tune curva parabolica RP erit œqualis curvœ COE.
Si vcro, manente scmpcr axe RQ tcquali axi AB, rectum latus RU
liât ((uadruplum recti lateris AN, tune curva parabolica RP cril aequalis
curvie CiMF.
VI.
Si autem circa rcctas AB, BD, BE, BF rotentur spatia ACB, DCB, ECB,
FCB in intlnitum, dantur circuli œquales omnibus et singulis super-
ticiebus curvis solidorum Inde oriundoruni, càdem omnino facilitate
(|(ia in conoide parabolico, ex parabola AC circa axem AB descripto,
circulum curvtc ipsius superficiel œqualem repricsentamus. Ejus vero
constructionem non adjungercmus, quum jam ab aliis (') invenlam
audierimus (licet coruni scripta bac de rc ad nos non pervenerint),
nisi quod nostra luec constrnctio ad metbodum generalcm in omnibus
conoidibus circa axes BD,BE,BF novarum istarum curvarum in intini-
(nm producendis facillimc producitur.
(') Uoborval (d'après Mcrsciino, Co^'imi^t p/iy^ico-niai/wnialicfi, iC44, P- 99); Iliiygens,
dans une Lettre à Carcavi du iG janvier iG5;) (coin|iaror (W.nvrcs de Pascal, édition de 1/79:
t. V, p. 4o3 et iV)\ Lettre de .•/. DeltoiH'ille à Monsieur llu<^^iiens de Zidicheni, eu liiy
cin'oyaitt la diineiisii)ii des Lignes de toutes sortes de Houlettes, lesquelles il montre astre
égales à de'; Lignes lUiptiqucs. A Paris, M.DC.LIX).
206 ŒUVRES DE FERMAT. - I'^'^ PARTIE.
In figura sexta i^fig- 117) circa rectani BD rotetur curva CD, super-
ficies curva inde oriunJa hoc pacto invenitur :
Fiat, ex superiore methoflo, curva parabolica RP aequalis curvae CID;
circa rectam RQ rotetur parabole RP. Superficies conoidis parabo-
lici RPQ ad superficiem conoidis DICB erit ut applicata PQ ad appii-
catam CB.
Si PR parabole juxtaprœcedentem methodum fiatœqualiscurv«COE,
conoidcs parabolicum RPQ dabit superficiem curvam qua^ ad superfi-
ciem curvam conoidis EOCB erit ut applicata PQ ad applicafam (]B.
Et sic in infinituni.
VII.
Sitin figura septiiTia(y7g-. 1 18) parabole FBAD, cujus axis EA, appli-
cata FE. Quaeritur dimensio superficiel curva; solidi quod fit a spatio
ABFE circa axe m AE rotato.
Fiat AC ajqualis quart;e parti rccti lateris et applicetur CB; fiât EH
;equalis AC et applicetur GH; quadretur CBGII (hoc autein est facile ex
Arcliimede).
Diagonia quadrati spatio CBGII œqualis est radius circuli iequalis
superficiel curvai conoidis FAD circa axem AE.
VIII.
Videat subtilis illc Geometra ('), qui nuper a'qualitatem hclicis et
paraboles demonstravit, an potuerit universalius concipi tlieorema et
( ' ) Lettre de A. DettonvUle à Moii.iicur A. li. D. S., eu lui ctn'ojaiit la dâno/tftratioii
à la manière def a/wie/is de l'égalité des- ligne! Spirale et Parabolique. A Paris, M . L)C . LVIII.
— OEuvres de Pascal, t. V, pages 42C à 452.
PROPOSITIONS A LALOUVÉRE. 207
hélices infuiita; cuiii infinitis parabolis déganter comparari, sequentis
propositionis bcneficiogcneralitcr, si libucrit, cnuntiaiula; etexcmpli-
ficaiulK.
Proponatui- {fig. 119) helix cujuscumque in infinitum speciei in
figura 38 lihelli Dcttonvillani ('), in qua potestas quaevis radii AB ad
Fis.
'")•
potestatem similem rectse AC sit in rationc potestatis cujuslibct cir-
cuinferentia' totius lîESH ad potestatem similem portionis pcriphe-
ricieESB.
Exponatur separalini parabole cujus semibasis sive ultima applica-
lariim RP a'quetur radio AB, axis vero AR portioni circunifcrentia'
totius BE8B, cujus numcrator œquetur exponcnti potestatis diamctri
AB, denominator vero aujueturaggregato exponentium potestatum dia-
metri AB et circumferentise BE8B; deniquc potestates applicatarum in
parabola, quarum exponens œquatur aggregato exponentium potesta-
tum diamelri AB et circumferentise BE8B, sint inter se ut potestates
|)orlionum axis, quarum exponens est ;equalis exponcnti circumf'e-
renti«BE8B.
Aio helicem ita eirictam parabola; ita constructa' fore scmper et in
([uocunique casu iequalem.
Exempli gratia, proponatur primum helix Archimedea et parabole
(') La figuru que nous reproduisons d'après Laluuvèro ne présente pas toutes les com-
plications de celle de Pascal. Fermât cite d'ailleurs le Volume : Lettres de A. DcHniiv'dlc
contenant quelques-unes de ses Inventions de Gconictrlc, — ù Paris, chez Guillaume Dcs-
prez, rue Saint-Jacques, à l'Image Sainl-Prosper, M.DC.LIX, — Volume qui réunit, sous
neuf |)aginations successives, mais avec des planches de figures formant une seule série,
les diirércnts écrits publiés sous le nom de Detlonvillc.
208 ŒUVRES DE FERMAT. - I« PARTIE.
simplex et sit
ut ratliiis AB ad reclam AC,
ila circuml'erentia tota RE8R ad cjusdem porlioncm ESR.
Construatur separatim parabole AQP, cujus ultinia applicatarum
sivo basis RP sit a^qualis radio AB; axis autem AR sit icqualis portioni
circumfercntia? BE8B, cujus numerator sit a'qualis cxpononti potos-
tatis diametri AB, qui in iioc casu est i; denoniinator vcro œquetur
summ;e oxponentiuni potestatuin diametri et circuni-ferentia', boc est
binario : nam exponens potcstatis périphéries; in boc casu est eliam i .
Sit itaquc AR axis aîqualis diinidio circumferentiae iielieis constitu-
tiv;c; sit autem in parabola ut potestas applicatœ RP, cujus exponens
jequatur summte exponentium diametri et circumf'erentiœ, boc est, in
lioc casu, numéro 2, ad potestatem similem applicatœ GQ, ita po-
testas rectœ AR, cujus exponens aqualur exponenti circuml'erentia'
BE8B, sive i in boc casu, ad similem potestatem recta' AG, boc est :
sit
ut fjuadralum rccUe RP ad quadialuin recUc 6Q,
ila recta RA ad reclam GA.
(Airva parabolica PQA erit œqualis beiici BCDA.
Esto jam
ut quadraluni AR ad f|uadraluni AC,
ila lola circumfercnlia BE8R ad porlioncm E8B :
exponens potestatis diametri AB in boc casu est 2, circumferentia"
vero, I. Parabole ita construetur juxta pranlictum canoncm :
Applicata RI' a>quabitur radio AB, axis AR a-quabitur bessi vcl duo-
bus trientibus circumferentia' BE8B et erit
ut cubus RP ad culnim 60, lia rccla RA ad roclain 6A.
Hujusinodi vero parabole beiici correlata; ajqualis erit.
Esto deinde
ul rccla AR ad reclam AC,
ita cujjus circumfercnlia" BE8R ad cubum porlionis E8B.
In parabola. applicata RP aquabitur radio AB, axis vero \l\ ;e(|uabilur
PROPOSITIONS A LALOUVÉRE. 209
quadraiili circumfcrcntise BE8B, et orit
ut quadraloqnadralum lU* ad ciuadralofiiiadraliim 6Q,
ila cubus [\\ ;ul cubuin 6A.
llicc autem parabole liuic lielici ciit a'(|ii;ilis.
Deriiqiic sit in liclico
ul i|iiailialuiii radii AI5 ad (luadralum recta; AC,
ita culnis circuinrerentia' HE8IÎ ad cuLuin portioiiis l'^SIî.
In jKiiahola liuic liolici cori'clahi et aMjuali, applicata IIP crit a.'(|iialis,
ut sonipei', radio AB, recta vero RA erit ;oqualis duabus quiiitis par-
tihiis circuinferentiio BE8B, et erit in parabola
ul quadratociibiis applicatie lU' ad i|uailratocubuiii applicat;e 60,
ita rocla^ AR cuIjus ad cubum recta' GA.
Nec dissiniilis in iieliciliiis et paral)olis ciijuslibet speciei iiiviceni
comparaiidis in infmitum erit indliodus. llelicis autem, sive deminiita'
sive ancta', portiones cuin porlioniljtis paral)olcs correlata' niillo nc-
L,'()tio comparabiintur. Unde siMpiitnr dari inlra circiiliini infinitas nu-
méro Iieliees specie et ([uantilale diversas; imo danlar inlinit;e ipsà
eireumferentiâ majores : (piod iiilei' mii^aciiia geoniclrica potest nunie-
rari. NuUa tamen datur ([UU) non sit minor a!^grei,^ato circnml'erenlia'
et radii, et nulla etiani qua' non sit radio major (').
(') Après ce fruL;inenl, le texte de Laluiivére continue par un Siliolin/n coninicnr.int
par CCS mots : « Haclciius Vin Cliiriwimi prDpiisitionci mm miiiiit ardiuu ijuitiii iKJvir «
et finissant par ceux-ci : « iitsi /wjai piilarciuu.f ijiiicquarn Ikkic in locn clcntcrc vcl addcrc
tant prœcld ris Firi dnclissiiiù iitwiitis ».
On lit encore dans le mémo Ouvrage (Livre II) :
Pa^C n : <i Cj'diicytindriifiDi f^urani priiiii iiDininis vocamus eain ipue inlclii.;,'iUn- lu
superficie c) lindri rccti <lcscrilji ou moilo quo circulus in pl;mo, nein|)e si, pcdc circini
(îxtremo maneute in date snperlicici cylindricic puncto, ipse circinns circumducatur nolans
in superficie cylindricà liucam doncc ad idem punctum circuitu pcraclo rcdeat, quoties
iste rcditus l'iierit possibilis. Circini autem crura si dcducta fuoriut intervalle diametri
l)aSCOS cylindri, vocetur cyclocylindrica prinmria cl antoaomasticô cyiiocyUndriva; si alio
(|novis intervalle, dicatur cyclocyliiidricn xeciiiidarlti. Quod si ligalnr extra ilhuii superli-
cicm, iioiiHiiis- sfdiiidi appellabitnr. ... ji
l'âge 11) : « De liac llgurâ ipiadrandà ut cogitarcm fccit Clarissimus l). de l'crmal ; poslcii
Flrmat. — I. •>.7
210 ŒUVRES DE FERMAT. - I- l'AUTIE.
(;nim (iiiiim primiim liiijiis opcris librum vuli^avi ("), noscio qiia so daiUe occasionc si.^ni-
(icavit milii iiivenisse se solidi, motii cujiislihel cyclocylindricœ primi nomiiiis circa basim
i;cnili, proportioncm ciiin cylindro circa candem basim gcnito moUi rectangiili cujiis
iinum latiis sil cadeni basis, allerum .Tfiiiet a\cm cyclocylindric:p. Ubi prinu'im soins fui,
cœpi mocuni co;^itare quid istud roi foret, repcriquo tandem post ali(iiiot dics non taïUùm
proportioncm illam, quam milii vir optimus non expresscrat, sed ctiam quadraturam cyclo-
cylindric.D primarine primi nominis. Iloc, cîim iterum illum alloqucrcr, ipsi dcnuntiavi.
dequo meo iiivciito pro sua cpia me licol immoronlom comploctitur bcnovolentia, e! |)ro
studio illo qiio artium omnium incromonta mirificè fovet, mihi amplô gratulatns est. Ali-
i|uot post diobus btoris ad 1). Carcavi datis inscrui quantum liac in re del)erem inlcgcr-
l'imo illi Senatori, quanti facercm subtilissimam i]uam mihi tnuo communicarat dcmonslra-
tioncm circa proportioncm cylindri et solidi. . . u
El toujours sur le môme sujet, pagc'i4 •' " Doclissimus D. do Fermai, mclliodo subtililatis
prorsus mirabilis, istam proportioncm in quaeunipio primi nominis eyclocyliudricà mihi
demonslravit : quam quidcm molliodum suis in operibus, quaî tolâ Europâ cnixé cxpotun-
tur, cdol, uti spes est, Amicorum omnium prccibus tandem victus. »
(" I (l'psl-a-iliro .ipr(>s lo i:î juillet if.-.g, mais avant Ip ï scptetiiliro 16.8. ilatc ilc la ri'jionse failp par l'jscal a la tellro
l.ulouïère a Caiiavl II faut eiiternJre au re?le, puiir la fiucstion iiuafîiiiét' par Kerniat, rjuc In surface du cylindre est
développée ^ur un [ilaii
DE LINEARUM CURVARUM
CUM LINEIS RECTIS COMPARATIONK
DISSERTATIO GEOMETRICA ('K
Nondum, quoil sciani ('-), lineam curvaiii pure geomelricani recta'
(lalio geometra; ad;equanint. Qiiod enim a siihlili illo rnalhcmatico
Aiigio nuper inventum et demonstratuin est : cycloidcm ncmpc priina-
riam diameln circiih ipstim gc/icra/i/is cx.U' (/uadrtiplam, lioc suaiii, ex
sententia doetissimorimi geometraïuin ('), videtur liabero liinitatio-
(') Celte Disserlalioii, comme l'A|ipen(lice qui suit, ;i élé im|)rim(:e du viv;itU de FeiMiuU.
snus le iiK^uic titre, suivi des indieulions « Auloro M.P.E.A.S. — Tolosic, «piid Arnalduiii
Colomcriuui, lîcgis et Academia; Tulosaïuc T\pogia|)luiMi, MDCLX. « cl a\cc une pagina-
tion spéciale, à la suite du Traité de Lalouvère sur la cycloïde {voir plus haut, p. nji),
note i). La réimpression des Faria ne dillére que par la correction des fautes indiquées
par les errata de l'édition anonyme et par la substitution do majuscules aux minuscules
pour les lettres des ligures.
(-) On ne peut mettre en doute l'assertion de Fermai; au moment de l'impression de cet
Écrit, il connaît donc la reclification de la cyclo'ide par Wrcn, rendue publique en iGJ8 à
l'occasion des problèmes proposes sur cette courbe par Pascal ; au contraire, il ignore, non
seulement, bien entendu, la découverlc de William Ncil (reportée à l'année \k'>-;, mais
publiée en 1G73 seulement jiar Wallis, l'Iulo.uipliical Transdctioif;, p. Cu.iCi-Gi.l;)), mais
encore, ce ijui peut surprendre réellemenl, la Lettre de Henri Van lleuraet insérée pages 5 17-
V'o de l'édition latine de la Gcomctrie de Descaries par Scliooten (Amsterdam, EIzévirs.
iOj(j ). 11 n'est guère douteux que Fermât n'ait eu bientôt après connaissance de celle Lettre
et ([u'il ne soit alors ap|>laudi d'avoir caché son nom en publiant un travail pour leiiuel il
avait incunteslablenienl été devancé. 11 ne s'agit pas d'ailleurs ici d'une ancienne décou-
verte que Fermai aurait tenue secrète plus ou moins longtemps; sa Dissertation esl defail
une réplique au (letit Traité de Pascal ( Dettonville), do VÉ^alilc des lignes spirale cl jxi-
rnl)oli<itic, du 10 décembre i6J8. Cependant F'ernial n'en semble pas moins ôlro le premier
qui ail considéré la courbe j» = ax^, en généralisant la notion de i)arabole. l'oir plus haut,
page 193.
(^) Lettre de A. Dettoin-dlc à Monsieur Huggueiis de Ztdiehein; Paris, iGiij. — OEiares
de Paurd ((-il. de 1770), tome V, page 4i3 : « A quoi M. de Sluze ajouta celle belle re-
212 ŒUVRES DE FERMAT. - 1= PARTIE.
nom : ii quippe liane esse legcm et ordinem natursc pronunliant ut non
sinat inveniri rectam curv* œqualem, qnin prius supposita fiioritalia
recta altori curvœ acqualis. Quod qnideni in exemple cycloidis ab ipsis
allato ita se liahere depreliendunt, nec nos diffîtemur, (|uuni constct
dcscriptionem cycloidis indigere œqiialitate alteriiis curv;e cum rocta,
hoc est, circumferen(i;e circuli cycloidem generantis cum recta (jiia'
<'st l)asis ipsius cycloidis. Sed quam vera sit luec, quam statuunt. Icx
naturic, et quam periculosum ab uno aut altero cxpcrimcnto statini ad
axionia properare, infra patcbit : nos onim ciin'am rcre geomctricam .
cl ad ciijiis ronslnirtioncm niilla talis altcriits riirvœ cum rccla œ(/iia/ilas
prœrcssisse siipponalur. recta- data; œqiialrm esse demonsirabinius et
paucis, qiianlum fieri potuoi'it, (otum negotium absolvcmus.
Propositio 1.
Sit, in figura prima {Jig. \io), cinra quœvis AHMG in casdem parles
eava, exemph causa, una ex paraholis injinilis in qua tangentes extra
Fi-. 130 (
cuivam cum base AF et are l'G concurrant, et sumatiir in hujtisniudi
cun'â quodK'is puncliim \l per quod duealur tangens WIK., in qua sumptis
ex iilraque i)arte punctis K e! I, dcmitlantur pcrpendiculares IB, KD in
hasini AF, (piœ seeenl cunam in panriis R et ÎM : Aio jxntionetn tangcntis
Hl portu)ne cuivœ UH esse minorent, porlionem autan ejusdetn tangen-
lis HK portione cunœ H M esse nmjorem.
iiuiriiiic dans sa réponse du mois do scptcmlirc dernier, ([u'on devoil encore admirer snr
cela l'ordre de la nature, qui no permcl point qu'on trouve une droite égale à une courbe,
([u'après qu'on a déj^'i supposé l'égalité d'une droite à une courbe. i>
DISSERTATION M. P. E. A. S. 213
Qiiuni tMiim, ex hypothcsi, tangens Kl occurrat basi AF extra cui--
vam, cigo anguliis CHI, (|iii lit ah intersectiono perpendiciilaris in
I)asim HC et tangentis HF, erit miiior recto, iilco(juo a piincto H demissa
perpendiciilaris in rectarn BI cadet in punctum V supra puncta B,
\\, I. Patet ita(|ue rectam HV minorem esse rectâ 111; item rectani Hl
ininorcm esse rectâ qu;e puncta H et R conjungit : ergo, a fortiori,
recta Hl minor erit portione curvtc IIR, quam recta ab II ad I{ ducta
subtendit. Quod primo loco fuit den)onstrandum.
Aio jam portioncm Kll portione curva; HiM esse majorcm.
A puncto K ducatur ad eamdem curvam tangens KN, et deniillatui'
perpendicularisNE. Ex pracdcmonstratis, probatum est rectam KN esse
minorem portione curv;e NM; scd, ex Arcbimede ('), summa langen-
tiuin HK, KN est major tolà portione curva; HN : ergo poitio tangentis
HK portione curva; IIM major erit. Quod secundo loco fuit ostenden-
dum.
Nec moveat tangentem a puncto K ultra punctum G ali(|uando occur-
rere curvic : boc enim casu aliud punctum inter K et M sumi poterit,
et omnia ad prœcedentcm demonstrationem aptari.
Indf, sEoiiiTur., si a punctis K et 1 ducantur perpendiculares ad axcni,
urvam in punctis 0 et P sécantes, boc casu tangentem 111 ciuvà HO
esse majorem, tangentem vero HK curvà HP esse minorem.
Si enim imagincmur inverti figuram ita ut axis in locum baseos,
basis in locum axis transferatur, non solum similis in boc casu, sed
eadcm oinnino erit demonstratio.
PATr.r ALTEiM, cx ipsa conslructione, si recta; BC et CD sint aîquales,
portiones tangentis Hl et HK esse itern inter se lequales, quod tanien
summopere notandum.
Propositio II.
Ad dimensionem linearuni curvarum non utimur inscriptis et cir-
(') AnciUMÈuii, De sp/iivra et nUiidrn, 1, Àa;x6av(i[iôvov 2 : édilion llcibcrg, volume I,
liages <S-io.
C
21V ŒUVRES DE FERMAT.- I- PARTIE.
cuinscriptis more Archimedeo ('), sed circumscriptis (aiitum ex por-
lionihus tangentium conipositis : duas enim sorios tangentium exhibo-
imis. quarum uiia major est curvà, altéra minor. Demonstrationcs au-
(ciii miilto faciliorem cl elcgantiorem per circumscriplas solas evadcre
analysta' expeiientur.
Possihile igilur, ut vult metliodiis Arcliiincdea, pronuntiamus cuilibet
ex curvis j'arn prœdiclis circumscrihere duas Jiguras ex redis constantes,
f/uaritm iina siiperel ciin'am inlervallo (jmwis data minore, altéra autem
superetur a ciin'a intervallo etiam data minore.
Expoiiatur ciirva aliqua ex pra'dictis in secunda figura {fig. 121).
Seeetur basis AG in quollibet portiones aniuales AB, BC, CD, DE, EF,
Fi-. 121 (3).
M 1
KG, et a punclis B, G, D, E, F erigantur pcrpendiculares ]5Q, GV, l)Z,
EH, FM, quœ occurrant curvœ in punctis P, T, Y, N, 0; ducanlur item
fangentcs AQ, PV, TZ, YR, NM, 01.
Ex prima propositione patel tangenteiii \(^ portione curva^ AP esse
majorem; item tangenteni PV portione ciirva» PI esse majorcm, et sie
de reliquis, landemqne etiam ultimam 01 portione eurvœ OH esse ma-
jorem. Ergo figura, constans ex omnibus islis lansentinm AQ, PV, TZ,
YU, NM, 01 portionibus, curvà ipsà major erit.
At exponatnr eadem curva in tertia ligura {Jig- 1 22 ), eujus basis AG
in eumdein portionum ajqualinm numerum dividalur in punclis B, G,
I), 1'^, F; a punctis B, G, D, E, F, ut sujjra, erigantur perpendiculares
BR, GQ, DO, EL, FI, qua^ occurrant eurva* in punctis S, P, N, M, K; a
puncto autem S (in bac tertia figura) ducatur tangens ST, occurrens
(') AiiciiiMÉDE, Ctrculi dimeiisin, proj). 1; mais la nicthoiio d'Aicliinièiie csl siirloul
développée dans le Trailé De spliœra et criuidrn, où elle est appliquée à la mesure des
surfaces du cône, du cylindre et de la sphère.
DISSERTATION M. P. E. A. S.
21a
perpeiuliciilari AT; deiiulc a |ninclis P, N, M, K, H ducantur tangentes
PR, NQ, MO, KL, Hl, oceiirrentes pcrpcndicularibus BS, CP, DN, KM,
FK in piinctis K, Q, 0, L, 1.
Es prima propositionc palet tangcntem ST portionc eurv;e AS esse
ininoreni; item tangentcm PU portione curva' PS esse minorem, et sic
dcinceps, landemi|iie ultimam Il[ ((iiuo parallcla est basi) porlione
curvai KH esse minorem. J<>go figura, constans ex omnil)US istis (aii-
gentiiim ST, PU, NQ, MO, KL, III porlionibus, cnrvà ipsà minor erit.
Quum autem, ex corollario propositionis prima\ partes tangcntium
al) eodem puneto ciirvie utriincjue produclarum et portionibiis baseos
bine inde iO(inalibus oppositarum sint inter se a^cjualcs, palet (([nnni
FhA
(■>)•
0
^
M
K.
^
N
^A
p
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s
A B
secunda^ et tertia; ligiirœ curvte siipponantur œquaies aut eadem
potius, licet vitandaî confiisionis causa duas figuras descripserinnis)
tangentem ST lerliœ flgurœ teciualeni esse tangenti PV secimdœ Jigurœ.
Quum enim punctum S in tertia ligura idem omnino sit cum puneto P
secundie figura; et portioncs basées AB, BC in utraque figura sint inter
se aujuales, portiones tangcntium ex utraque parte ipsis oppositarum,
nempe recta ST in tertia figura et recta PV in secnnda, inter se a-quales
erunt.
Pn)i)abitur similitcr tangcntem PR tertia; figure squalem esse tan-
genti TZ secunda\ et sic de cateris; quo perac^to, constabit primant
tantuin secund;e figurie et ultimam tertiie nulli ex portionibus figura-
contraria" iequalem esse : execssus igitur, (juo figura secunda superat
tertiain, est idem (|uo tangens AQ secunda' figura; superat tangentem
III tertia- figura'. Sed recta 111, propter pai'alielas, a-quatur poitioni
baseos VG sivc AB (supponuntur enim omnes baseos portiones a-(]iial('s
in ulra(jue figura) : ergo figura secunda, ex tangentibus curvà majori-
21G (EUVRES DE FERMAT. - 1« PARTIE.
ItiKS coinposita, supcrat figuram tcrtiani, ex tangcntibiis curvà miiiori-
l)Lis compositam, co ipso ([iio in secunda figura tangcns AQ supcrat
portioncm baseos AB, ipsius oppositani inlorvallo.
Si igitur velinius duas figuras curv;c circumscriberc, alterain majo-
rcm curvà, alterain verb minorem, (ju;e se invicem excédant intervallo
minore quocumque dato, faciliima crit constructio. Quum enim, exMc-
iJkhIo langcntiiim jam cognifa, detur tangcns ad punctum A (fig. 121),
V\S. lU (2).
yA
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M 1
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1'
ï
dabitur angulus OAH; scd angulus Q13A est reclus : crgo datur trian-
i;uliini QAB speeie, datur itaque ratio recta; AQ ad AB. Cavendum
ila(|ue est ut divisio baseos ita instituatur ut differentia rcctarum AQ et
AB sit ininor quàcumque rectà data : quod ita asse(iueinur, si (jutera-
inus duas rectas in data rationc qu;e se invicem excédant rectà data
([ua' sit ininor eà qute data est. Hoc autem prol)iema est facile, et cu-
randum deinde ut portio quielibct l)ascos, AB, non sit major minori'
duarum (|ua' dicto problemati satislaciunt.
Quum igitur bac ratione invenerimus duas figuras curv;c circuin-
scriptas, alteiam majorem, alteram minorem dicta curvà, (pue se invi-
cem excedunl intervallo minore quocumque dato, a fortiori major ex
circuniscriptis superabit curvain intervallo adliuc minore, et minor ex
circumscriptis superabitura curva intervallo adliuc minore.
Patct itaque ex nostra bac melbodo per duplicem circiimscriptionem
commodum pra-bcri aditum ad metboduni Arcbimedeam, (]uuin agitur
de diinensione liiiearum curvarum. Quod semel moiiuisse cl deiiion-
strasse sulficict.
His positis, secure pronuntio inveniri posse curvam vere geometricam
datae rectae aequalem : ea vero est una ex infinitis parabolis, quas olim spe-
DISSERTATION M. I'. K. \. S.
217
culati sumus ( ' ), illa nempe in qua cubi applicatarum ad axem sunt iiiter
se ut quadrata portionum axis. De quo ne dubitent geometrae, ita breviter
demonstro.
Piioi-osnio III (-).
Si/ in (juaiia Jigum {Jii^- y?. S) parabole, quain jain indicaviinas.
Ml VA, nijas vcrlex A, axis AN, cl in qua, sumplo (jinwis punvlo I cl ducUs
M R
pcrpcndicularihiis xcit d/i/i/iidlis ad axc/n redis MX, 11', cidnis rccUr .MN
s il ad riihiim rcckc IV al (juadraluin rccUv NA ad (juadraliini rccUv FA.
idcjuc senijicr co/i/i/ii^al ; prohandain csl cannm MI A rcclœ dala- œr/ualcni
liai
iil i|iiailrcitiiiii axis AN ai! quailiaUim applicata- NM,
ila ic'cla NM ad leclaiii AI) ipsi AN p(M'poiuliciilareni.
Pali't rcctam Al) esse rectum diilic paralioU's ladis, lioc est :
siilidiiiii siiii AI) in (|iiailialnai rccho AN a^puii-i ciihn apitlicala- NM,
ilciii, suiii[>(o (luovis alio |iuiirt(», iiL I,
sojiiliiin su!) AI) in f|ua(lralnrn AF a-ipuiri cubo applicata' IF";
(luiid non c'get dcmoiistralidiic : in facililjus enini non inunoianiur.
(') Fuir plus haut, page igj.
( -) L'i'iKincc (pii suit est en réalité celui ilo la pioposiliuii IV ; l'objet de la [iropositiou III
se borne a un lenime déterminant la longueur de la tangente dans la parabole i' = a.r-.
Im rnuT. — 1. '■'■'^
•218 ŒUVRES DE FEUMAT. - I- PARTIE.
Ducatur tangens ad punctuin I, et si( illa lOE, qii» ciim axe AN in
puncto E concurrat. Ex Mcthodo langenlinrn constat reclani FA recta^
AE esse duplam, ideoque
rcclam FE atl reclain AF esse ul 3 ad ■>,
(|iia(]r;ilum vero roctte EF esse ad quadraUini recla; AF ul 9 ad '\.
A recta AD abscindatur nona ipsius pars CD, et reliqua CAhisecctur
in B : erit igitur
\)k ad AU ul <) ad 4> sive ul quadratuin EF ad quadiatuui AI".
Solidum itaquc suh AD in quadratum AFavjuale erit solido sub qua-
(h'ato FE in rectani AB; sed solidum sub AD in quadratnm AF est
icquale cnbo rectic IF : ergo solidum sub recta AB in quadratnm EF
est œquale eidem cnbo rectse IF. Est ergo
ul quadratnm \IV ad quadralum II", ila rccla II' ad reclain AR,
et, componendo, summa quadratorum EF et FI, boc est unicum
(liiadralum laiiLcoiilis lE osl ad quadraluui 11",
ul sunuiia rcclaruin IF cl VI! ad AR.
Si autem ducatur a puncto I pcrpendicularis ad basim, recta III et
alia quœvis perpendicnlaris GQVO occurrens applicat;iî IF in Q, cnrv:c
in V et tangenti in 0, propter similitudinein Iriangnloruni, erit
Ml 10 ad 10 sive ipsi œqualciii 11(1,
ita laugens lE ad applicalam IF,
et
Ml quadratum 10 ad quadralum IIG, ila (|MadralMni lE ad qnadraiMm 1!'.
Ut autem
quadratum lE ad iiuadralum IF,
ita summa rectarum IF et AR ad rectam AR.
Ergo
quadralum 10 ad (juadraLum IIG crU scmper
ul summa reclaruin IF cl AR ad reclam AR.
Quod demonstrare oportuit.
DISSERTATION M. V. K. A. S. 219
Lndi: sr.ouiTUK, si rcctœ MN poiiaUir in dirccttiin recla NX rectic AH
iLMjualis, esse semper
ni quatlraliiiii langeiilis 10 ad (|uailraUiin recla- IKi,
vcl ul (juadiatiin) tangentis IV ex allera jiaiie ad qiiadratuiii recUe 0|)-
j)osita' RH (uti'obiqiie enim, proptcr parallelas, oadeni est ratio),
ila reclam MX ail rectani NX.
Uccla enim HX a'(|iialis est siiiiiniai l'eclaniiii IF et A15, et recta NX
est ;e(|ualis AB. Hoc autem patet ex constriictione : recta cniiii UN,
propter parallelas, iCfiualis est rectio IK, et reliqiia NX lacta est ;eqiialis
rcc(;e A 15.
l'noPosiTio IV.
l']x|)Oiiatiir in quinta figura (/'ff. lal) nostra luec parabole AXE,
(iijiis sil ea, ut dixiiniis, natura ut cubi applicatarum sint infer se in
lalione quadratorum portionum axis. Sit ejns axis AI, basis aut semi-
basis Kl.
V
\i\ datis axe AI et a|)plicatà \E invenitur, ut supeiius dixiinus, rec-
tum latus Al), a (|uo ai)scissà noua ipsius parte VA), et reli(iuà AC bii'a-
nam divisa in 15, secetur basis El in quotlibet libuerit portiones a;quales
KF, Fd, GII, III, et a |)unctis F, G, Il excitentur perpendiculares F'X,
(IV, HZ, curv.T occuri'entes in puiictis X, V, Z. Ad puncla aulem E, X,
(leniquo
220 OEUVRES DE FERMAT. - l- l'ARTlE.
Y, Z (liicanliir Uiiiiçentcs ER, XS, YT, ZV, occurreiiles porpeiuliculari-
hiisFX, GY, HZ, lA produclis, iti puiidis R, S, T, V. Ponaliir recta' El
iii diroctuiu recta IK scqualis rectiu AB.
Patct, ex praicedeiitc propnsitione et ipsiiis corollario,
qtiadralum taiigeiitis ZV ad quadraluiii reçue III
esse ul reclaiii IIK ad rcclain Kl;
si militer
ul quadraluin laiigeiilis YT ad qiuidraliim rcclai (ill,
ita rectam (îK ad rcclam Kl;
item
(]iia(liatiiin langeniis \S ad ([iiadraUini recla^ l"(i
ul reclaiii l'Iv ad leclani Kl;
ul i|uadral(UTi langeulis ER ad qiiadratuni recla; l''l'\
ila reclani EK ad rcclam Kl.
His positis, a piiiicto K excitetur KL perpcndicularis ad rectam EK,
et fiât recta KL tequalis rect;« Kl sive AH; intelligatur jam pcr punc-
tiim K, tanqiiam verticem, axem autem KE, descril)i parahole siiiiplex
sive Arcliimedca, ciijus rectum latus sit KL, et sit illa parabole K.MO.
ad (juam cxcitcntar perpcndicularcs EQ, FP, GO, IIN, IM, qu;e eriiiit,
ul patct, applicatic paraboles et in diiccluin positie pcrpendiciilaribus
IX, G Y. etc.
Quadralum tangcntis ZV, ut jam diximus, est ad (|uadi'a(uui recta'
ill,
ul rccla IIK ad reclani Kl;
scd, ut recta IIK ad rectam Kl, ita, singulis in rectam KL diictis,
reiluuguluni suIj IIK iu kL ■m\ rccliuiguluui suli IK in KL:
rectangulum vero su!) IIK in KL, ex natura paraboles Arcliimedea',
a^quatur quadrato applicata; HN, et rectangulum sub IK in KL a>([uatur
(luadrato rcclie KL, (|uum rect;e IK, KL i'act;e l'ucrint a'qualcs. Eiil
igitur
ul quadralum UN ad quadraliuu KL,
ila quadialuin langeulis ZV ad (luadialum reclre III.
DISSERTATION M- P. E. A. S.
•221
uieoque
ul rccla UN ad KL, iia langcns ZV ad rcclam III.
Simililcr piobaMmus esse
ul lanj^ciileiii YT ad ruclaiii (ill, ita applicalaiii (iO ad kL;
item
ul laiigeuluiii \S ad reclaiii l'G, ila applicalam FI' ad kL;
de nique
ul laugculoui EK ad rcctaui V.V, ila esse applicalani EO ad KL.
Oiiuiii ii,ntm- sit
ul laugcns ZV ad rectaui III, ila applicala UN ad KL,
rectan;;iiluiii suij cxlrciiiis iOcjuabiUir rcctangulo siil) niediis, i(l('()(|ii(!
reclaiiguluni sul) Ml iu III a-quabilur
rcctau^ulo sub KL iu laiigcnlcin ZV.
Siiiiililer
lie m
(liMiMiiir
reclanguluin sub ()('• in (îll :equai)iUir
reclaugulo su!) KL in laiii;eiileiu \T;
ro(lauij;uluui sub l'K iu Fli a'i|nalnlni-
reclan;,'ulo su!) KL iu lang(Mileui \S;
reclangubiui su!) Ki) in I^l'' ;ei|nabiliii-
rcclaugulo sul) KL iu tangculcin EK.
Ouiil aiik'iii plurilms iu re proclivi et jaiii ad metlioduiii Aicliiiue-
deain spontc sua vergeiile immoramui"? Per inscriptas eiiim et eiicuni-
scriptas iu segiiiento [jarabolico figuras, rcclangula omiiia Q\'A\ l'Hi,
OGll, Mil segniciituiii ipsaiu |)arabolicum EQ.MI dcsignal)uut. Oiuiies
autem tangentes l']ll, XS, Yl', Z\', per iteratain secunduui nosti'a' pra--
eepta inetlioili eireuiiiseri[)lion('iii, eurvaiu ipsaui l'LXYZA etiain (b'si-
gnal)iiMt : ergo segmcntum parabolicuin KQMI u'(jualur rectaiigiilo sub
KL in curvam EXA. Dalurautein in rectilincis segnientuiu parabolieiini
222 ŒUVRES J)E FEUMAT. - l" PARTIE.
EQMI (quadravil onim paraholen Archimcdcs ('), ideoquc ipsius sc",'-
mcnta) : orgo rectangulum sub KL in curvam EXA etiam datur. natiir
aiilem recta KL : ergn datur ciirva EXA et ipsi alia recta potcst consti-
tui a!c[ualis. Quod crat dcmonstranduni.
Si quibusdam tamen haec demonstratio brevitate nimiâ laborare vi-
deatur, eam integram, insistendo vestigiis Archimedeis, non gravamur
separatira adjungere, ut eam legant et examinent qui superiora non suffi-
cere existimabunt.
I'ri)l)aiiilam est segmentiun paraholicum EQMI rectangulo sub data
KL in cnrvani EXA œ(|ualc esse.
Kiat, ex Arcbiinede, segmcntum iliud paraboiicuni EQiMI icquale
reclangulo sub (bitu recta KL in (bitam reetam [3. Si probaverimus rec-
lain |3 a'([iiab'm esse curvœ EXA, constabit propositum.
Aio itaque reetam ^ carv;x; EXA esse œqualem : si enini a-qualis non
est, erit vcl major vcl minor.
Sit primo recta ^ major cuiani cnrva EXA, et sit earum excessus, si
Jieri j)otest, recta o.
\i\ pro])Ositione secumbï bujus, possumus curvaî EXA circumscri-
bere figuram ex portionii)us tangentium compositani, quae superet
curvam intcrvallo minore rectà o. Fiat igitur iUa circumscriptio et in
iigura separata (/iff'. i^")), quam etiam quinlam romane cbaractere
notavimus, circumscripta ilbi constet ex portionibus tangentium ER,
XS, YT, Z\ .
Circumscripta ilbi, ex priedcmonstratis, est major curvâ EXA; sed
et recta ^ posita est major eàdem curvâ : quum ergo circumscripta su-
peret curvam minore intcrvallo quani recta [3 superet eamdem curvam,
(>rgo circumscripta minor est rectà '^. Rectangulum ita([ue sub recta
KL in circumscriptain est minus rectaiigulo sub KL in reetam p; at
rectangulum sub KL in [i factum est sequale scgmcnto parabolico
EQMI : ergo rectangulum sub KL in circumscriptam est minus dic(o
segmente parabolico EQMI.
I ') ArtciilMÈDE. Quadraliira paraboles, prop. 17; édition Ueiborg, vul. H, page 334.
DISSERTATION M. P. E. A. S. 223
Probaviimis aiitcm rcctangulum sub KL in portionem lani,'ciilis EH
;equari rcctangulo sub QE in EV; item rcctangulum sub KL in XS
;rquari rcctangulo sub PF in FG; item rcctangulum sub KL in YT
;cquari rcctangulo sub OG in GH; denique rcctangulum sub KL in ZV
Fis- 125 (v:).
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Z
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l 1
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;equari rcctangulo sub NH in III : eigo rcctangulum sub KL in (olani
circuniscriptam est a;((uale sumnne rectangulorum sub QE in EF, sub
l'F'in FG, sub OG in GH et sub NH in HI. Si autcm in rectas FP. GO,
HN, I.M (qua; sensini decrcscunt ([uo propius acccdunt ad verliccm
paraboles) conlinuatas deniittantur pcrpcndiculares (seu paralleUe
basi) a punctis Q, P, 0, N rcctic Qy, PO, OX, No, palet
leclangiilum OEF-/
item i-L'claiiguluiii OK
rcctaiijîuluiii >.(i
(iL'iiifiuL' rcclniii^iiluin oll
;equaleessc reclaiigiilo sub (JE in l'^F;
a'iiuari rectangulo sulj FF in F(i,
aiquari reclangulo suIj 0(î in (!ll,
aM|naii rectangulo sub MI in III.
JM'go rcctangulum sub KL in cii'cumscriptam est aequale rectangulis
yE, OF, AG, cpll.
Scd probavimus rcctangulum sub KL in circumscriptam esse minus
segmcnto parabolico F]QMI : crgo sumnia rectangulorum yE, OF, AG,
Ç.H crit niinor dicto segmcnto parabolico EQMI. Quod est absui'diini :
illa cnim rectangula conslituunt lîguram ex rectangulis conipositam
22'i. ŒUVIIES DE FERMAT.- 1- l'AUTIE.
o[ scgmcnfo paraholico, ut patet, circuinscriptam, idcoquc ipso seg-
iiionto majoroin.
Uccla Uaqnc [i non est major curvà EXA; sed iiequc niinorem esse
pi'obahinius.
S'il enim recta p minor curvà EXA, si fieri potest, et curva superct
rectam p intcrvallo o.
("ircumscrihatur in ilgura separata (//g- r2()), quani etiaiu (|uiu-
Fig. I :*G (^-^Tiixa s ).
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laiii cliaractcrc gi'aîco uotaviinus, figura coiislans ex porlioiiii)iis lan-
gciiliuni curvà EXA niinor, sed quam tanien ipsa eurva superci intervallo
minore ipso o; et sit illa figura constans ex poriionilius tangenliuni
Xll, VS, ZT, AV.
Qiuim ilaque cui'va sit major p intervallo o, et eadein curva superet
(;ircumscriplam intervallo minore ipso<5, ergo circumscripta erit major
reclà p, ideoque rectangulum sul) KL in eireumscriptam erit majus
segmente parabolico EQ.MI.
Sed rectangulum sub KL in eireumscriptam ;equatur, ex pr;eilemon-
stratis, rectangulis sub l'F in FE, sub ()G in GF, sub NU in IIG et sub
.Ml in 111 : est <'nim
m \U ad FE, ila FI' ad KL,
ideoque
reclanj;iiliiiii suIj IvL lit \It ;c(itiaUn' reilaiij^'iilo siil) IM'' in FIl,
i>t sic de reii([iiis.
DISSERTATION M. P. E. A S. 22o
Quum igitiir rcctangiilutn siib KL in circumscriptam sit majus sog-
mento parabolico EQMI, crgo siimma rcctangulorum, siil) IT in FE,
sub OG in GF, sub NH in HG et sub MI in HI, est major ilicto sogmento
parabolico. Setl omnia illa rectangula, ductis perpendicularibus (^seu
basi parallelis) rcctis Py, OO, N>., Mcp, (\ux onincs cadcnt in appli-
catas intra parabolen (proiit cnim applicat;e inagis distant a vortice,
eo niagis semper augentur), crunt :equalia rectangniis PE, OF, NG.
MH; ergo summa omnium illornni rectangulornm, PE, OF, NG, MH,
erit major segnieiito parabolico. Qnod est absurdum : rectangula enini
illa, PE, OF, NG, MH, componunt figuram ex rectangulis compositam
et ipsi segmento parabolico inscriptam, ideoque ipso niinorem.
Recta itaque ^ non est minor curvà EXA; ([uuni igitur nec sit major,
nec minor, erit ipsi curv;e a-quaiis. Quod prolixins, nt omnis renio-
veatur scrupulus, fuit dcmonstrandum.
Ex .i.\M DKMONSTUATis putct càdcm facilitatc demonstrari posse seg-
nientum parabolicuni quodvis EQPF, a priore abscissum, reclangulo
sub data KL in curvani l'^X fCijuale esse; ideoque, si detur in i)asi
(|uo(lvis ))unctum, ut F, (|uum ex Archimede segmcntum parabo-
licuni EQPF in rectilineis detur, dari etiam et rectangulum sub KL
data in portionem curvte EX; datur autem recta KL : crgo et curva EX.
Dato itaque quovis puncto in base, ut F, dari portionem curv;e ipsi
oppositam, et rectam posse assignari huic lequalem, manifestum est.
Nkc movu.vt, ad rectam illani curv;e EXA ;equalem inveniendam,
construendam videri parabolen simplicem, quo casu problema solidnni
evaderct. Quum enim supponatur ad veritatem tantum inquirendam et
denionslrati.onem rite conliciendam paraboles iUius descriptio, nibil
vetat quoininus calculnm ipsuin, dissimulalâ illà imaginarià parab(des
descriptione, per rectas et circulos et expedlamus et exliibeamus. Is
auteni calculus, nisi l'alloi", (alis est :
Esto in figura sexta {Jig: t-i~) curva parabolica DA(", ejus iiatura-
nt cubi applicatarum DR et XM sint inlcr se ut cjuadrata portionum
axis BA et AM; deiitiir autem altitudo AR et semibasis RI), aut
Fermât. — I. 29
226 ŒUVRES DE FERMAT. - 1" PARTIE.
tota DBC : Aio dari rectam curvéo DAC aiqiialcni ((|uo(l jam prohatum
est) in calculo verc gcometrico.
Sit rectum istius paraboles latus recta x\0, qnam datam esse ex datis
axe et applicatà, ex supra dictis, constat. A recta AO auferatur nona
ipsius pars EO; reliquac vero AE fiat ;o(jualis recta YK, cui in directuni
ponatur KX a^qualis scmibasi (seu applicafaî) DB. Super recta YX tan-
quani diametro describatur semicirculus YTX et, reclà YK bisectà in
puncto R, excitetur perpendicularis RT, scmicirculum secans in T.
Fiï
.7 (C).
Rectai RT fiat aequalis recta RY, et super recta VX tanquam diametro
describatur semicirculus VQX, ad cujus circumfcrcntiam a puncto R
excitetur perpendicularis RQ. Super rectis TR, RQ desciibantur senii-
circuli TPR, RGQ, et ipsis applicentur reclœ TP, RG, i\u;v singuhe sinl
ipsi RY a'(|uales. Junctis autcm rectis RP, QG, aio ralioiicm cni'va-
parabolicœ DAC ad basini DR(] esse eaindeni (pue est dupli (]uadrali
recta' QG ad Iriplum quadratum recla RP, ide()(jiK' esse datam.
Fiat itaque ut triplum quadratum recta RP ad duplum (]uadratum
recta QG, ita recla DG ad rectam 111; rccla illa 111, ([ua* data est e\
constructione, aequalis erit curva' parabolica DAG.
Quod si cum pracedente demonstratione non conveniat, ah ipsa erit
emendandum.
Si ii.iîc NON suFFici.VNT ad obtinenduiM a geometris ut nostra bac curv;
DISSERTATION M. P. E. A. S. 227
parabolira inter admiraiula Geometriœ collocetiir, illiul fortassc ah
ipsis qiKC mox sequciUiir impctrabunt. Quid (Miiiii tniiahilius quaiii ex
iina liac curva dérivai i et Ibrmari alias uuiueri) infinitas, non soluni ab
ipsa, sod inter se, specie diiïerentcs, ((11:0 tamen singula- reetis dalis
a'(fnalcs esse deinoiislrenlnr? Proposilio generalis luec est :
Su. III scplima Jigura {Jig. 128), cun-a nustra paraholica C.MA, cujus
alliliido AI5, scmihasis CB, cl ah eu cuiva furmcittttr idiœ iit infinilum
. 12S
i
(7)-
â
K
G
A
f
M
liar ralioliv ni, dtirlis pcrpcndiciilaribusad hasirn redis DMNL, EKIH ul-
caijupic. sccaiilihiis riinain iii piinclis M, K, «otr; riiiva (]NIG, ex liac
forrnanda. su ejus nattirœ lU rccla 1)N sil scmpcr avpialis porUoni prions
curva-, iicmpc CM, ipsam respicienli; ilem recla El sil œqmdis porlioni
prions ciina' Ci\IK cl sic in omnibus aliis quibuslibcl /lerpe/idicularibas :
liœc n<n(i cima CMG cril diursœ a priore speciei ( ' ).
h'oniiclur parilcr ah ipsà iciiia curai (^LUF, iit qua rccla- DL, EH sinl
sernper a-c/ualcs ponionibus cuivis CN et CNI sccunda- cuiva-; cl a Icrlia
jHiri ralioiic forinclur qaarla, a (puirla (juinla. a (pniila sexla, cl eo prit-
grcdui/i/ar i/i i/i/i/u/n/u ordi/ic.
Aïo oiniH-s islas curvas (LNIG, (]LHF cl rc/if/uas iit injinilum, pcrindc ac
priiiiaiii paraboliidiii (IMKA, redis dalis (ci/uatcs esse.
Xotaiuluni aiiteni istas onincs iii inlinilnin curvas esse pure geonie-
(') Fermai n'a pas reconnu (|iio, loin d'Olrc diliérentcs do la parabole primitive, toutes
les courbes ipii en sont ainsi dérivées successivement peuvent lui ôtrc superposées ù la
suite d'une simple translation.
228
ŒUVRES DE FERMAT. - T» PARTIE.
tricas, nec in illis itaquc ad legem illam et ordinem natiii\T de ({uibtis
initio hujiis Dissertationis locuti sumus recurrendum. Licet cnim
rectœ DN et El ciiivis CM et CMK supponantiir a>qualcs, eœdem tamen
ipsa' non tam supposita^ sunt quam ex pr;edictis demonstrat* esse
pariter lectis œqualcs : dato quippc quolibet puncto D, quum ex prœ-
cedentibus detur recta a^qualis portioni curva; CM, ergo recta DN, qua'
curva- CM ex constructione ponitur a^qualis, ut recta vere data, non ut
a^qualis curvœ, considerari débet; et sic de reliquis. Curva igitur supra
descripta CNIG vcre geometrica est; quam postquam ;equalem esse
recta' datse demonstraverimus, sequetur tertiani curvani ab ea i'or-
mandam, nempe CLHF, esse quoque pure geometricam, et sic ouines
alias in infinitum.
Demonstratio difTicilis non erit, si prius prœmiscrimus generalem,
quœ huic operi omnino inservit, propositioneni :
I'ropositio VI.
Esto, in figura oclava {Jig- 129), quœlibel cun'o, cjusdem ciim prcv-
cedcntibus naturœ, ONR, ciij'iis i^erlex 0, axis vel applicala OVI {cadcm
29 (S)-
enim scmper est démons Lralio); cl ah ea formelur alia ctina OAE, (7////.V
ca sit proprie/as ni applicatcv sinl crz/iia/es jiorlionibus ahscissis a priorc
runa : exempli gratia, applicala Vx\ sil œt/ualis curvœ ON, applicala lE
sil œqualis curvœ OR, cl sic de rclupiis. Ad daluin punclum, m nova liac
curva, ducclur tangens Itoc pacto : sil daluni punclum E; ducalur appli-
DISSERTATION M. P. E. A. S. 229
cala El, sccans prioreni ciiivam m R; ducalur recla RC langeas in diclo
puncto IXpriorern cun^am el occurrens axiin puncto C\fial
ut RC ad CI, ita recla lE ad recla m lïi,
L'ijungaliirim : Aio reclam EB tangcrc no^rirn ciuvani l'LVO in piuiclo ]*].
Sumpto enim quovis puncto in axe, ut V, et duclâ applicatà VNA,
quie seect priorem curvam in N, tangentem RC in S, secundaiu curvani
in A, rectam vero EB in Y, si probaverinius rectam VY semper esse
majorcni applicatà VA, recta EB non secabit novani curvani a parte
verticis.
Hoc autem facillime prohamus : Recta VA est a'qualis curv;e ON sive
dilTerciitia' iiiter curvas OR, NR; al recta RS est minor curvà RN, per
consectarium prinue propositionis : ergo dilferentia inter curvam OR
et rectam RS est major dilTerentiâ inter eamdem curvam OR et cur-
vam RN. Sed recta VY est œqualis difFerentiie iiiter curvam OR et rec-
tam RS, /// m().r prohabimiis : ergo recla VY, occurrens recta- EB, erit
major rectà VA, occurrente curva; OAE. Undc palet omnia puncta
rectio EB versus verticem esse extra curvam, idcoque recta EB curvam
ab ea parte non secabit.
Imo nec inferius : Sumatur enim quodvis punctum, ut H, a qun
ducatur applicatà HZ, secans priorem curvam in D, tatigentem RC pro-
ductam in F, secundam curvam in Z, el rectam EB productam iu Q. Si
probemus rectam HQ, in quocumquc casu, majoreui esse rectà HZ,
patebit oinnia puncta recUe EB, etiam inferius sumpta, extra curvam
jacere, unde patebit diclain rectam l'.B tangcre secundam curvam in
dicto puncto E.
Recta HZ est œqualis, ex constructione, curva; 01), iioc est summa-
curvarum OR, RD; (juum autem recta RF sit portio taugenlis RC infe-
rius sumpta, erit, ex consectario prima' hujus, recta HF major
curvà RD, idcoque summa curvai OR et rect;e RF erit major summà
cjusdem curva* OR et curvam RD. Summa autem curva' OR et recta; RF
est icqualis, /// niox prohahimus, rect;e HQ; summa vero cuivarum OR,
RD est a'(|iialis recta; HZ, ex constructione : eigo recta HQ semper
230 ŒUVRES DK FERMAT.- I- PARTIE.
et in oinni casii major eiit npplicatâ HZ, ideoquo roda KB in dicto
puncto E tanget seciinilam curvam.
Punr.ANDUM aiiteni reliquimus differontiani curv;o OR et rccta^ RS
ypqiiari rccUe VY.
Ducatur recta EM parallela axi et occiirrat rect;e VV ijroilucta' in M.
Ex ronstructionc est
m El ad IR, ila RC ad CI;
sed
ut El ad llî, ila VV ;id VR, cl ila V.M ad ME;
lU aiiUMii RC ad CI, ila l'.S ad M :
(Tgo
ut YM ad ME, ila RS ad VI.
SiiPit autcm rccfse ME, VI a^qiiales, proptor parallclas : crgo recta" YM,
US oruiit «quales. Suiit aiitem a>quales etiam recta> El, VM : ergo dif-
ferentia iiiler rectas El et MY crit recta VY. Sed recta El, ex constriic-
tione, iequatur curva" OR : ergo diiïcrentia intcr curvam OR et rec-
fam MY (sive ipsi lequalem RS) ;equal)itur rect;e YV. Quod primo erat
prol)an(liim.
Nec dissimili ratiociiiio procedel demonstratio iiilra applicataiii l-ll :
l)nct;i enim rcctà EP parallela axi, prol)al)inuis reetam QP a'qiialem
esse rectse RF.
Est enim
ut El ad IB, Iioc est QII ad HR, iioc est QP ad PE,
ila recta RC ad CI, lioc est RF ad III;
sunt auteni aM|ualcs PE, IH : ergo et recta' OP, RF. Recta autem IIQ
a^quatur rectis HP, PQ, quariim prior HP œquatur recta^ lE sive curva-
OR, posterior auleni PQ ;e([uatur, ex demonstratis, recta> RF : ergo
summa curva' OR et recta' RF est iequalis recta' HO. Quod secundo
loco fuit proltandum.
Patet ita([uc reetam EB in puncto E secundam curvam tangere, quod
erat demonstrandum.
DISSERTATION M. P. E. A. S. 231
Srr lA.M ( ' ). in noua figura {Jîg. ù\o), curva nostra |iaral)olica GKA,
cujus altitudo AK, somil)asis GE, recUiin latus AD, cujus nona [lais. ut
supra, sit CD, et rccla A(] hilariaiii socctur iii B. A [iriori Iiac curvà lor-
metur alla, versus punctuin G, quu' sit GNS, occunens axi prioris iu
S, ot nova' liujus curva' pro[)rictas Ikl'c sit ut, suniplo (|U()vis |)uiicto.
H l G
ut F, et erectâ pcrpondiculari FKN occurronte duabus cui'vis in K et N,
recta FN sit semper yc([ualis curvie prioris portion! GK. Ducatur paral-
lela basi KM, et ad idem punctuni K ducatur recta TKH tangens
priorem et occurrens axi iu T et basi in H; per |)unctum vero N, in
secunda curva, ducatur tangens HNXl occurrens basi in I, et a punctis
([uibuslibet, in ea ex utra(|ue parte suinptis, ut 11 et X, demittantur in
basim perpendiculares XY et \\\ .
Ex praicedentibus palet (|ua(lratuni tangentis KT in piiore curva ad
quadratum FE, sivc
sed
(liKulrutinn KL ail (|ua(lralijin FV esse semper
ul rectam FE, iiuii cum recta AU, ad ipsam AI5;
lU fpiadralnm KT ail (piadiuluiii FE sivc ad quadraUmi KM,
ila (luadralnm KII ad (|iiadralum IIF (()ropter parallelas) :
(') Ici comraeuco lu dcmonslralion d'un nouveau lcnime([ui devrait ôtrc complu cûmmu
[jroposition VII, ce i|in fi.^urc ci-jiprès sous co dernier litre n'étant, au fait, que la dénion-
slralion ajournée de la proposition V (paye a^; ), dont le numérotage a été omis.
232 ŒUVRES DE FERMAT. - I" PARTIE.
crgo
quadralum KH est ad quadralum HF ul recla FE, iiiia cum AB, ad AB.
Ul auleiii quadratutn KH ad riuadiatum HF,
ita, ex pnoccdciitc propositioiie,
quadratum recliç FN ad quadralum recla? FI :
quuiii cnim latera, ex vi illius propositionis, sint proportionalia, erunt
proportionalia et ([iiadrata. Ergo
quadralum NF ad quadratum FI csl ut recla FE, una cum AB, ad AB,
et componendo, qiiadrata duo NF et FI, sive unicuin
c|uadralum M cril ad quadralum FI ul FE, una cum AB bis, ad AB.
Sed
ul quadraluni NI ad quadratum FI,
ita quadralum RN ad quadratum recla? FV ex una parle,
ol ita quadralum recUe N\ ad quadratum recUc FY ex altéra :
ergo, sumpto (piovis puncto in secunda liac curva, ut N, erit seiiiper
ut quadralum portionis tan|:;entis ail illud punclum ducla? ex allerutra parte
ad quadialum portionis basis i|)si opposila',
ita suinma recta; FE, una cum AB liis, ad AB.
Si igitur basi GE ponatur in dii'cctum recta EO recl;e AU dupla, et
ad puuctum 0 erigatur pei'pendiciilarisOP ipsi Ali a>qualis, erit semper
ut quadratum portionis NR, in liac secunda curva, ad quadratum por-
tionis basis FV, vel ut quadratum portionis tangentis NX ad quadratum
portionis liasis FV, ita recta FO ad rectain OP.
His ita se liabentihus, patct cscteras in inlinituni curvas, modo quem
sujtra indicavimus (b'scril)en(his, ejus esse natune ut :
In Icrtia, verbi gralia, quadraluni portionis tangentis ad quadratuiu
portionis basis ipsi opposiUe sit ut portio basis FE initium suniens a
puneto F, in (jiio cadit perpendicuiaris a puncto contactas in l)asini
(lemissa, una cum recta AB icr suniptà, ad ipsam AB;
DISSERTATION M. I'. E. A. S. 2:53
In qiiaila curva, crit ut ([uadraliiin portionis tani^nnitis ad (|iiadi'atiiin
portiouis i)asis ipsi opposita^ ut rocta FK, una cum Alî y«rt/fv siiinptà,
ad ipsam AU;
Va sic do reliquis in infinitum.
liladcni enim semperdemonstratio, ut evidensesl, inomnihus casihiis
locuni liahct.
Nec difficilis, lioc supposito, a<l tlicorema générale erit aditus.
I'ropositk) Vil.
Ksto, in figura décima (Jiii'- i3i), cnrva nostra paraI)olica KA, cnjus
axis AI, seniii)asis lE. AI) ea tbrmetui' secunda cnrva EXYZO, cuins ca
sit natnra, nt supra diximus, ut quanis applicata F.X sit a-ipialis por-
liiini prioris cnrv;o al) applicata illa, scu inavis vocai'c perpcndicn-
larcni, al)sciss;e. Dividatur basis in ([notlihct partes aujualcs V.V, KCi.
GH. m, el ducantur a punclis F, (1. H perpendiculares sécantes novani
liane secundani eni'vam in pnuctis X, Y, Z. Sit prioris cnrvie rectuin
latns AD, a (|un abscindatnr nona pars CD, et reli([na AC biseeetnr
in H. Keclu' A15 l)is sunipta- tiat ;e(|nalis recta IK quu' sit in direetnin
hasi, et ad punctuni K erigatnr per[)endicularis K[. .'e(jualis recl;e Al$.
ll.ll^UT. — 1. 'O
234 <i:ii\ HKS l)K FEU MAT. I- PARTIE.
Pcr piiiictum K et axem Kli intcllig;itiir doscril)! parabole siniplex
(sivo Archimcflea), ciijiis rectum latiis KL, et sit illa parabole KMOQ.
A pimctis E, F, G, H, I (lucantiir perpeiuliculares ad axcm et oeciir-
rentes luiic parabohe in piinctis Q, P, 0, N. M.
K\ eorollai'io piîi'cedeiitis, (|iitini eurva EXO sit secunda eurva a
pi'iorc derivala seii formata eà ratione (|iiam jaiu sa^pius explicuiiiuis.
seqiiitiir, suinplo in ea (iiiolibel punclo. ut Y, et dnctà portione tan-
gentis YT, esse
ni i|ii;i(lrnliirii Y'I' nd (]iin(lrnlimi (111, il;i reclain Iv(! ad reclaiii KL.
Sed, ni reela GK ad reclam KL, ila, singiilis in rectani KL ductis.
roclaniriilMiii (iKI. ail qiiniiialmn KL;
ex iiatura antem paraboles simplicis, rectanguhini GKL a'()natur (|na-
drato applicata." GO : ergo
(HiailiuUiiii YT est ad f|iiadi'alimi (ill ni (|iia(linliini GO ad qiiadialuiii Kl.,
ideo([ne
ul recla YT ad lectani (ill. ila rcrla (îO ad rertam KF..
Hectangukim itaqne snb extremis :e(|ualiir reetangiilo snb niediis :
rectanguluni ergo snb GO in Gll a'(iiiatiir icclangnlo snb KL in VT.
Si igiinr ducantiir alia- tangentes EH, XS et ZV, occnrrentes per[)eii-
dicularibus in punclis 1{, S, V, probai)ilur similiter
reclangnlum su!) (jEiril'^F a'i|niiri reclangiilo su!) KL in EH:
item
reclaiigulum sni) IM'inl'"('i :ei|uari reclangulo snli KLinXS:
et sic de reliquis in intinitnm.
Unde tandem, per abdnctionem ad metliodiim Arcbimedcam pari
(|nod, in qnarta [)ro|)Ositione linjiis, indicavimus arliticio, contieietnr
et conelndetur segmeiitnm paialxdicnni EOMI aeqiiari rectangulo snb
DISSi: UTVTK^N M. I*. !•. \. S. iX.i
KL in sccundani ciirvain IvKO; siciit et siiigula sei^nnoiita [)araljolica,
EQPF verbi gralia, roctangulo suh Kli in portiononi ciirva' EX, vol scg-
mcntuin EQ0(1 rectangiilo siil) KL in poitionctii curvflR KXY, ot sic in
infinitum.
Dantur auteni in rcctilinois li;ec omnia segmenta pai'al>olica, ex vi
qnadratnra" paraboles ab Arcbinietlc denionslralaî, et daliir etiani rccla
KL : ergo tlantur tam tota secunda cnrva E\() quani ipsins portiones
EX, EY etc., pcr reclas perpendiculares ad puncta F, G •< etc. > data
al)scissa'.
.\(l t<'f(i;e curva' cnin reclà data aN|nalitateiii, similis bel consli'iic-
tio, nisi ([nod recta IK ponehir /ripld reche Ali; in ipiaita cnrva, cadeni
IK \)onvluv //uft(/ru/)/(i rt'c(;e Ai?, et tandem gcneialis inlcr omncs islaa
in intinituni cnrvas a piioie derivandas ila statnetni' ratio : ernnt
nempe singnhe inler se ut segmenta parabolica ejnsdem paiaboles et
(rjusdem altitudinis, qua' a vcriice paraboles distabniU pcr rectum
latns toties snmptnm (|nota' ernnt in ordine cnrva- inlcr se compa-
randa».
l'kempli gratia, sit, in nmlecima iignra (//:,'. l'h.), cnrva nostra
|)arabolica EMA, ciijiis axis AI", semibasis EK, rcctnm lalns Al), a (|n()
denq)tà nonà parte Cl), ri'ii(|na Ad bisecetnr in B; et a |)riinà illà cnrvà
formelnr secnnda l'iOS cjus nainra' nt, siimpto (piolibct pnnclo in
230 (KUVRES DE rEllMAT. - 1™ l'AKTlE.
base N, rect;i NO, pcrpendicularis ad liasiiii et occurrcns ciirvis in M
et (), sit .Tqualis portion! prioris curvse EM. A secunda fornietiir tiM'tia
EVR, iii ([lia recta NV sit a-qualis portioni secunda; cur\\T KO; item a
tertia EVR formctur qiiarla EXL, in qua recta NX sit lequalis portioni
tertia' ciirva' EV. Exponatur separatini parabole simpicx sivc Arclii-
medea, cujus axis intinitus GKQY, vertex G, rectum hitus GH ;i;(|uak'
recta- AH. Quieritur ratio, verbi gratia, quarto; curva' EXL ad
primam IvMA.
Ouia prior ex i|)sis est quarta ordine, ab axe abscindenihi est GY
(|uadiiipla recti biteris GH, deinde ponenda ipsi in direclum recla VO
H'qualis semibasi KF, et dm^enda" applieata^ recta- YT, 0"a. Ouia vcrb
posterior ex duabus comparandis est prima ordine, abscindcnda est al)
axe recta GK recto lateri seniel tantum ;e([ualis, deinde ipsi ponenda
in directiim recta KO semibasi etiam EF lequalis, et ducendic appli-
cata>KI. OP.
Erit, ex demonstratis et canonc eteiierali ab illis dediicto, ut se;;-
menUini parabolicum YTaO ad segmenluni parabolicum KIPO, ita
(juaita curva EXL ad [)rimam EMA. Sed ratio segmentorum paraholi-
coriim inter se data est, ex Arcbimede : ergo et ratio curvarum ijitcr se
data erit. Data est aut(-ni prima, ex demonstratis : datur igitur (-t
quarta, et ipsi recta data ie(|ualis assignari polest, et perpétua il la
ratio, i-emolà, si libet, parabolà, ad plirasim geometricam ope rc-guhr
lanlum e( circini accommodari.
Ouod autem de totis jam probatum et in canonem dcduetum est.
idem de portionibus illarum curvarum inter se comparandis contin-
gere, IteueJicio segmentorum parabolicornm portioues semibasis ipsis
curvarum portionibus oppositas pro altitudiuc Iiai)entium, (|uis non
Nidet?
Niiui, autem nec de solidis ex dictis in intinitum curvis conficiendis,
nec de superficiebus ipsorum curvis, nec de ccnlris gravitatum aut
linearum istarum aut dictorum solidorum aut supcrticierum curvarum,
adjungimus, quum methodi bac de re générales a summis et insignibus
J)ISSE1\TATI0N M. I'. E. A. S. 2:37
geonietris (') jaiii vulgàlic ista oiiniia, post cognilani specificam ciirva'
dala- proprictatem, ignorari non siiiant, lied in multis casihus pro-
priani al) iiiiocjuoqiio adjungi operi inJiisLriam non iniililc Ciiliiriini
cxistinicmus.
Sed antequam nianuni de tabula tollain, succiirrit exaniinanda so-
(|iiens proposilio :
Si'l, lit Jt^iiia (luodccinia {fig- i33), cmva iioslra jxiraholica C.OA,
ciijiis rcrtcx A, axis AU, scinibasis ("d{. Ah ca foinwnUir alkv ctirvd' iiiji-
lutd'. iiKxto (jiu'in jam (vplicinnms, non c.v parle bascns ni sitpra, sed ex
iM-. i3:i (11!).
parle rcrlicis. Si/il ilhv ri/rva' a prima cfjingcnda' AIF, A(jE de. in infi-
nilum eà eondilume al, snnjplo (puwis panelo in axe I) el dticlà (ul axein
perpendiculari DOIG secanle ciuvas in panelis (), 1, G, recla 1)1 ,s7/ /// se-
cunda ettrva scniper œtjttalis porlio/ii priniœ citrva' A(), ilcni rcela i)G in
lerlia eiirva sil scrnper aupiahs porlwni secumkv ennrr Al, el xie m infini-
liini. llnptsinudi onines eiina' non solnni specn; mlcr se el a prima AOG
dijferenl, sed eliam ah iis <pias ex parle haseos supra effinxitnas. Qiiwn-
Inr er^o an eunn' ilhe o/nnes WV, \CiE elc, sic m infiniliim efjingenda'.
datis réélis an rero (dus eiuvis sinl Wipiak's.
iiKjuirant illiid Gconictr;c et iniracukini aiigeri cxperieiitiii' : saiie,
si incthodi, qiiibus utuiidir ad diinensionem rurvaiiiiii, siiit geiicialcs
(') KoniKiL fiiil ici allusion aii\ tr;iv;uix de l'ascal el de linbervnl, aussi bien (|u'au\ sious
prop es. (Juaiil aux courlies dont il \a parier désormais, elles dillL'renL bien de la parabole
j3— „.,;2 (dcvoloppéo de la parabole ordinaire), mais elles peiivout encore loulcs (^ire su-
perposées à une seule d'entre elles par une simple translation. En tout cas, la rectilicalion
de cette nouvelle courbe, qui est la développée do l'iiyperbole équilalèrc, appartient sans
contcslc à l-'erniat.
•238
(Kl VUES \)E FKKMAT. - ["■ ['AHriK.
ot sufficientos, ciiioil ipsis aCfirmantihiis in diibiiim revocaro non ausini,
primo slatim oblutii rem faclani liahebunt ot a labore superfluo goo-
mctram jam fa(igalum liherabunt.
Si quid autem in superioribus demonstrationibus concisiim nimis
invenorinl, id aiit suppléant rogo, ant condoncnt.
APPENDIX AD DISSERTATIONEM
DE LINEARUM C.URVAUIÎM CU.M LINKIS RECTIS COMI'.VRATIONE.
Ut ultima\ qiiam in Dissertatione proposuimus, qiuestioni satistiat,
praemiltendte videntur propositiones sequentcs :
Propositio I.
Sifi/. in fignra prima (/ig. i3'i), diiœ cunrr AIF, 3ZS, quariim ares
AE, 3 7 sint inter se œqiiales. Ducanlur aittcm ad axes appheatœ f/uol-
libet qiiœ. in iitraqiie figura, a-qna/i a verlire inlcn-al/o distenl.
Fi,?. i31 (i).
Sint, cxonipli gratia, applicat;e prioris IJM, Cl. DH, EF; poslerioris
verb applicat;e sint '|T, 'iZ, G ç), 7 8; et sit rectiP AB, qiia^ désignât in-
lei'valinm applicatae BMa vertice, seqiialis recta 4 3, qnie désignât inter-
DISSERTATION M. P. E. A. S. 239
valliim eliam applicattc 4 T 'i vorticc. Sit pariter CA aequalis 5 3 ; itein
l)A a'qiialis 6 3; denique EA, qiiod jam supposueramus, a'qualis 7 3.
Si sini:;iila' ex applinilis sinl sc/n/icr ad abscissas per la/igcnles ab axe
in ratione correlatannn,
lioc est : si, iluctis tangcnliliiis ad piincta Y, II, I, M ox iina parle el
ad puncla 8, 9, Z, T ex allcra, seiiipcr contingat ut applicata FK, veilii
gratia, sit ad rcctam Kli, (|iiam tangcns FK al)scindit al) axe, in eadeiii
ratione qiiœ est appiieala' cS 7 ad leelarn 7 2, qiiaiu laiigens 8 2 ali axe
paiitcr abscindit; item applicata DU sit ad abscissam ab axe per tan-
gciitem qiiœ ducitur ad piinctuin H lit applieata G9 ab abscissam al»
axe per tangentem ad puiu-diin 9 duclam; el sie de reliquis;
(lia (huis islds ciirras A\V\ 3Z8 esse intcr se arjua/es , iino et siniiles
idcoque easdein, et (ipjdicaUis iiniiis Jigurœ applicatis alleriiis (piw a rer-
lice a'qualiler disUinl esse pari/cr œtptales.
Ductis eniiii ad piincla 11. 1, M, iii prima figura, porlionibus taiigen-
tium HO, IN, MR, i\\\x occiiirant applicatis iii punclis (), N, R; item,
ductis porlionibus tangciilium, in secunda figura, 9V, ZY, TX. qiue
occurrant applicatis in punctis V. Y, X, ex suppositione
(Il FE ad EK (in piiina lii;ura), ita est 87 ail 7 a (in secunda).
Sod anguli ad [iiincla \\ et 7 sunt recti : ergo triangula FFK, 872
sunt similia;
Ml ('i-;;o l'K ad Kl% ila S ? ;ul 7 !.
Sed
ni Fk ad KE,
ita (prodnclà a[)i)licalà DU ad piincUim (î) recta FG ad reclam DE,
et
nt S ■> ;id 7 2,
ita ([iroduclà applicalà i'<<) ad punclnni P) recta SP ad G 7 :
ergo
ul recta l'"(i ad recUnn Dli, lia recla 8P ad G7.
Sunt autem recta' Dl'], G 7 ;e(|uales, (|uum recta; KA et 7 3, item rect;o
•2.0 ŒUVRES DE FERMAT. - I- PARTIE.
I)A et G 3 sint intcr so .fquales : crgo et pnrtioncs fangeiitium K(i, 81'
enint Infor so .Tquales.
Siniiliter probabimus portionom tangenlis HO soqualem esse por-
(ioni (angentis ()V; item portioneni tangentis IN ;equalem esse portioni
tangonlis ZY; deniquo portionem tangontis MR wqualom osse porlioni
tangentis T.\.
Oiium ergo séries tangentium in prima tigura sit ;cqnalis soriei lan-
gentiiim in secunda, per abductionem ad impossibile more Arcbi-
niedeo facile conoluditur cnrvam AlF curv;e 3Z8 œqualem esse, (]uod
pi'inio ioco fuit probandum; imo et parifer conckiditur pnrtiones curva;
corrclalas esfso inter se lequales : portioneni nempe FH porlioni Sç).
jiorlionem cnrvx' HI [)ortioni r)Z, et sic ib; reli({uis.
Siiperesl probaïuUiin applicatas paritcr uniiis tigurge applicalis alte-
rius osse fecjnab^s.
Qiinm, ex snppositione, applicata' sint semper ad abscissas ab axe
per tangentes in eadeni utrobi(]ue ratione, ergo anguli GFK, P (S 7, (|ui
tluiit al> inicrseclione tangentium et applicatarnni, erunt inter' se
;o(juab's; item anguli OlID et V<)G; ilom anguli NIC et YZ "î ; deniqne
anguli RMIJ et XT.'|. Quum ergo portiones omnes prioris çurv;e, Fil.
HI, IM, MA, sint loquales portionibas posterioris, .S(), qZ, ZT, T3, sin-
guhe singulis, imo et earumdom portionum siteadem utrobi([ue incli-
nalid ( indinationem onini curvarum metiuntur tangentes, (\uiv in
ulra(|U(' tigura ie(|uales semper, nt probavimus, conficinnt angulos),
orgocurv;e AMIHF, 3TZ98 non solum sunt inter se ;e(iuales, sed etiam
similes : unde, si intelligantur altéra alteri suporponi, congruent om-
ninii, ideoquo non solum axes sed applicatas ;equales, aut easdem
potius, lial)(d)unt. Quod secundo Ioco fuit domonstrainlum.
PnoposiTio 11.
Si/ii <hiœ. in secunda figura (y7i;. \'i^)), pnrabniœ ejusdem nalurœ XOD ,
NIC, (jnai'um axes sint A(], XF, somiltases Dd, (iF, et sit, vorbi ^l'atia,
lit iiilins \)C. nd ciiliinn appjicalie R(^,
ita (|ii;iilnilinii il\ ad qiiadrnliun R.\,
't similiter
DISSEIITATION M. I'. E. A. S. 241
iil culnis (il'' ;t(l ciibuui a|)plical;c l\,
ila quadralui» F\ ad (luadialum "^ \
(^licet (Miim |)ro[)osilio sit generaiis, ;i parabola iioslra non tliscedimus);
sit a 11/ cm lit axis iiiniis ad scmihasem, ila cliam axis allcrius ad scrniha-
sern, nenipe
ul axis (!\ ad semibaseiii I)C, ila axis XF ad scmibascin (iF :
Aïo (liais hascc parabolas esse i/itcr se i/i ralione axium vcl sctnibasiuni.
hoc est
ciMvaiii xVOl) esse ad cmvaiii XKi ul est axis AC ad axeni XI'",
vLd ul semibasis CI) atl seiiiiljaseia <!F :
lia' quippo diuu rationes, ex suppositione, sunt eaedeni.
Demonslralio osl in proriiptu.
Secetur onini utei(|iie axis in quoilibet parles a;quales. Diias lan-
tinn, ad vitandam confusioncm et prolixitatem, assiiinomus : secetiii'
ei'go hil'ariani axis yVC in H et axis FX in Y et, dnctis appiicatis BO,
YI, ducantur ad puncta D, 0 tangentes l)N, OM, (|iiarum prior occurral
a|»plicat;e BO in puncto \\, posterior vero rect;e AV. appiicatis paral-
U'he, in pnncto V; item, in altéra figura, ducantur ad puiicla G, \ lan-
gentes GK, IS, occurrentes applicatai YI et ipsi parallehc XR in punctis
II, I{.
FinMAT. — I. 3 I
242 (EUVUES DE FERMAT.- 1- PARTIE,
lîx siippositione est
lit DC ad (A, il a (ÎF ad FX;
scd, ex iiatura islius paraboles,
recla CA esl ad CN abscissam per langeiilem iil 2 ad 3;
item
rerta FX esl piiam ad reclain FK per langenlem abscissam ul 2 ad 3 :
crgo, ex aHjuo, est
(Il DC ad CN, ila (iF ad FK.
Siintergo a?quiangula triangula DNC, GKF : ergo
ul DN ad NC, iia (,K ad KF.
Sed
ul DN ad NC, ila DF ad Clî,
et
ut r.K ad KF. ila Cil ad FV :
ergo
ni DE ad Clî, ila (ill ad FV.
Siiniliter pî'ol)al)iliii' esst;
m OV ad RA, ila IR ad XY.
Quuin ergo portiones axium, AB, BC ex 11 na parte et \Y, Y F ex
altéra, sint inler se ;cquales, ergo
ul omnes langenliuui portioucs DF, OV ad loltiui axeiii AC,
ila omnes langenliiiin poiliones OU, IR ad toliini axem XF.
Omnes aiitem portiones tangenliiim 1)1'] et OV et pliires, si opus sit,
ijenefieio ahiliictionis ail impossibile, ut jain s;epius et indieatiini et
prohatum est, désignant tolam curvam DOA ; item omnes portiones
tangentium GH, IR et plurcs etiain, si opus sit, désignant lotam cur-
vam GIX : ergo
ul curva DOA ad axcm AC, ila curva GIX ad axoni \l'.
DISSERTATION M. 1'. E. A. S.
ot, vicissim et convcrtendo, cril
axis A(' ;ul axcin XI-" sive i)asis l)C (ex supposilioiic) ail basim (ïE
lit curva DOA ad ciirvam GIX.
2^3
Qiiod oral (lenionstramluin.
PRorosirio III.
Esln, in teilia ligura {fig- i3G), a/na AO, ciijiis axis AC, liasis (10,
c/ rt/y fYf i/ilcllii^atiir forinan alui ritiva cjusdcni cl axis el vcr/icis. in
quel (ipplicaUf si/il scinpcr in ratione applicalantm prions curvw : sit
uempo
ulbasis (10 ail basini C\,
ila applicata BP prioris c'urv;e ad applicatani HIl poslerioris ciirvx
cl ila applicala DE ad applicatam DN,
ol sic in infmituni; si ad pii/u/ii/n (/tiodlibel prions cunœ. ut (), diiai-
lur langens OU cuin are co/we/iiens in punclo H, cl continitcliir C() douce
occnrrat seciindcc ciuxa' in V, aïo reclam, (fitœ pitnela V cl H conjungil ,
langerc seeitndam cnn'am, cl scmpcr conlmgere ni langenles eorrelalœ
in alraque ciiiva ad idem ptincliim n.ri oeeurranl.
Fi-. i3(3 (3).
Ducaiidir l'iiiiii a[)[ilical;c BPH, DEN, occiirreiiles cuivis in jtundis
I', H, l-:. N et rectis OH, VH proiluctis in piinctis Q. S, V , M.
Si prohaverimiis rcctam US, supra rectain (;\' diirtarn, seinpcr majo-
leiii esse reclâ BR, item rerlani DM, inlerius duclam, esse etiam seni-
per rnajorein applicata DN, patebil rectam MVSH tangerc secundani
ciirvain in punclo V.
•244. ŒUVRES DE FERMAT, -l" l'ARriE.
Kx conslructionc
ut CA) ;ul C\', iia est applicala RP ad applicalam BR;
sod, pi'opter parallelas COV, HQS, qux secantiir a tribus rectis (]H, OH.
VH ad idem piinctnm vergentihiis, est etiani
ut CO ad C\, ila recta RQ ad rectam RS :
ergo
ut recta DP ad rectam Rit, ita est recta RQ ad reclam RS.
et, vieissim,
lit recla RP ad roctaui RQ, ita est recta RR ad rectam RS.
Quiim antem recta OQH tangat priorem curvain in piincfo 0, recta BQ
ei'it major rectâ BP : ergo etiam recta BS erit major rectâ BR. Quod
primo loco fuit probaiidum.
Nec dissimilis in applicata inferiiis sumptâ erit demonstratio : ex
suppositionc enini est *
ut CO ad CV. ila DE ad DN,
et, propter parallelas, est etiam
ut CO ad CV, ila DF ad DM :
ergo
m DE ad DN, ila esl J)F ad DM.
Kst autem DE minor DF : ergo et DN ipsà DM minor erit.
Recta ilaque MVSH in piincto V tangit secundaiii ciirvam.
Lemma ad id quod sequitur.
Sit, in qiiarta figura (/is(. i37), parabole iiostra (ilA, cnjiis axis AK.
semihasis EFG, tangcns GH. Constituatur ad etimdem axcm AE alia
parabole ejusdem natiinc FNA, cnjiis semibasis EF sit potestate xiih-
diipla |)rioris semibasis EG, et semper contingat applicatam (juamvis,
lit NO, applicala' 01 ad priorem curvain esse pariter potestate siibdu-
plam. Sit rectum priorisGIA paraboles latus recta AD,cujus nona [lars
DISSERTATION M. l>. K. A. S. 245
sil. CD, et reliqua AC l)isccc(iir iii H. Ducatiii" ad secundam paraboleii
fangcns ad punctiiin F recta Fil, (|iia' in codem puiieto II cum axe coii-
veniel, non soluni ex vi propositionis praicedentis, scd quia, ex natuia
G F
istaruni paraholarnin, in utràcjne recta EA est ad rcclani Eli ut 2 ad 3,
ex superius demonstratis.
Aïo
(|Li;ulr;Uuin VE esse ad quadraUim EH
Ml est (limidia recta' Al! ;ul rectani Efi.
Jam cnini, in pi-opositione III IVisseitationis, demonstratuni est
(|uaili'aliiiii (!E esse ad qiiadratiiin EH ut est recta AH ad rectani E(i :
i'ri;(), suinptis antecedentiuin diinidiis, eiil
ut (|iiadialinn EF,
(juod supposuimus esse dimidiuin quadrali GVl,
ail f|iiadraluiii EH, ita iliiiiidia reçue AH ad rcclani (iE.
l'rohahimus pariter, si recta FE sit poteslate sui)tripla recta' (iE.
Iioc est, si (juadratuin YE sit sui)ti'ipluni quadrati GV], essi'
ul quadratuni FE ad (|nadratuni Eli,
ita Icrliani partoin rccla' Al! ad rectani (iE;
et sic de suhquadruplo, subquintupio et reliquis in intinituin.
QuiiM aiiteni, in v.iùonc su/x/ap/d, pioliaveriinus esse
ut (|uadiatuin l'I'^ ad (luadratinn EH, ita diniidiaiii AI! ad rcclani til'^.
246 ŒUVHKS l)K FERMAT.- 1- PAKTIK.
crgo. coinpoiieiulo, erit ut siimma quadratorum FE, EH, sivc ul uni-
ru m
(luadialuni FH ad quatlralum EH,
iln diniidia AU una cum (ÎE ad ipsam (iE.
Si vero recta EF sit potestate subiripla reclae GE, oiit
(Il (|iiadfatutn Fil atl (|uadi-atinii EH,
ila teilia pars AB una cum (HF] ad ipsain (lE.
Si recta EF sit potestate subquadrupla recta' GE, erit
ul quadraluni V\l ad (puidraluui EH,
ila quarla pars AB uiia cum Efi ad ipsam YA\ ;
et sic in intiiiituui et in (juacunique applicata idem conlingel.
l'iiorosmo 1\'.
His praemissis, theorema générale haud difficulter detegimus.
Sit, in figura (|uinta {fig. i38), parabole nostra A(\ cujus axis AR,
seniihasis 15(", et al) ea fornieutur alia' in infinifuiu curvie AI), AE, AF,
l'ig. i38 (5).
FED
qtiaruui ea sit proprietas ut, ductà (juàlibet applicata HGDEF, recta HI)
sit semper ;e(|ualis priori curva; CA, recta BE a'qualis secunda; curva"
AI), recla BF a'qualis terlia' curva- AE, idque semper in omnibus ad
illas curvas ap|)licatis contingat : Aio omnes illas et singulas in infini-
tuui curvas AI), AE, AF etc. esse semper datis lineis recfis aiquales,
periude ac curvas quas in Dissertatione, diversà et dissimili ex parte
baseos luelbodo, consiruximus.
DISSERTATION M. V. K. A. S. 247
Thoorenia goiicrale ita se liabcl :
lilxponalui* separatim (Jii(- i3f)) eadcin parabole 0 3M aiqualis oiii-
iiiiio (ît similis ipsi AC, ciijiis iilco axis IMN aîqualis est axi AH el s(Mni-
basisON semibasi BC (separatiin ciiiiii, ad vilaiidam confiisioiieiii, iigii-
ram conslruendain diixiinus). Fiat recta NP iTcl;e NM potestate dtipla,
recta NQ ejusdem NM potestate tripla, recta NU cjusdem NM potestate
(|iiadriipla, et sic in iniinitmii. Maiieiite aiitem eadeni semibasi ON,
coustruaiitiir parabobo |>er vertices 1', Q, R ejusdem eiiiii [tarabola
03M vel AC iialiira-, et siiit illtc 0 'i I', OjQ. 0 (> U etc. Aio parabo-
leii 0 4 P curvie Al) esse œqualem, parabolen vero 0 5 Q curv;e AI"] esse
îequalein, deiii(|iie parabolen OGU ciii'vu! AI" esse ;equalem, et sic in
intinitum.
Qiuiiii in nostris parabolis Ol\V, OjQ, OGU. ductà applieatà
■1 '6 i ^6, sit seinper, ex natura dictarum parabolarum,
ni cul)iis rccUe ON ail ciibmu rcclaî l-»,
iia (luaiiraluni recla- sive axis NI' ad quadraluin 1' '. ;
it(un
ni cul)us ON ail cubnni 5-!, ila (luailiaUnn NO ad (luadruUun Q >.;
déni que
m cuIjus on ad cnhuni 62, ila quadraUim NH ad qiiadrulinn K >.,
patet, ex pryedemonstratis in Dissertatione, singulas ex istis parabolis
rectis datis squales esse : ergo, post demonstrationem tbeorematis
248
ŒUVRES DE FERMAT. - 1'^ PARTIE.
nostri goneralis, oonstabit singulas quoque ex ciirvis AD, AE, AI'
rectis datis a^quales esse.
Demonstratio autcm Uiebrematis generalis liacc est :
Sit rcctiiiii paraholes istius latus recta AS {fig. 1 38), a qua
nonam partem SY, reliquam biseces in puncto \, et ad piiiicf
Fi-. i38 (5).
si dénias
a C, 1), 1-:
FED C
(liicantiir tangentes ad novas ciirvas. Cl, DU, EG, qiia^ occurranl axi in
jjunctis I, H, G.
Ex demonstratis in teilia Dissertationis propositione,
quadralum RC est atl iiuadi'aliim RI ut recla AV ad rcctam R(;,
et, coniponendo,
ijuadraluin CI csl ad quadraUini RI ul recla .\V uiia ciiiii R(] ad IM].
Sed ex propositione VI Dissertationis,
ul csl (juadraliiin tangeiilis Cl ad (|uadraliini RI,
ila quadralum reclœ RI) se lialjcl ad (juadratum recla- RII,
quani abscindit tangens DH : ergo
ul (|uatlraUini RI) ad (|uadralum RII, ila recla A\ una cuiii RC ad RC,
et, coniponendo,
ul quadralum langenlis DU ad ([uadralum RH,
Sed
ila recla AV una cum RC bis sumplà ad ipsam Ri],
ul quadralum laiigeulis DII ad (luadralum IIR, ila,
DISSERTATION M. P. E. A. S. 2W
v.\ cadom Dissorlationis propositionc,
quadralum liE esl ad f|iia(lraluni recl;c TUî a tanf^enle Efi ahscissa' :
Cl'go
ul (|iia(lraUim rccl;c HE ad quadiatuin recla; BG,
ita est recla AV una ciim BC his sumplà ad ipsam BC.
Similiter probabitur, si diicatur ;ul ciirvam EA applicataZTK secans
curvam AC in T, et intclligaUir ad |)iinctiiin K dnci langens ad ciirvain
AKK, esse paritcr
ut qtiadralum KZ ad quadralum rcclie
(|uain tangens per punctum K diicta ab axe abscindit,
ila reclam AV una cum ZT his sumplà ad ipsam ZT,
et sic semper continget.
Exponatiir separatiii) ad vitandam conl'usionein eadeni ciirva AKE,
quic sit in figura separata (/ig. i4o) pcpX. Basis Ào sit ilaqiie sequalis
l-'ig. ..iM (:,).
Fii;. lîlo (,'
FED
basi EU, tangens 'h[ langcnti EG, axis Sji axi UA, abscissa per taiigen-
(eiu ab axe oy absciss;o HG, applicata v^ applicat;e ZK. AI) bac cnrva
A!p[i forinclur alia ipsà minor O-p, ca conditione ut applicalie nova'
istius curva' sint semper subduplai potestate applicatarum prioris :
verlii gratia, recta oO sit subdupla potestate recla> oX; item applicata
V- sit subdupla potestate recta' vcp; et sic de reliquis. Ducantur in bac.
nova curva, tangentes ad puncta 0, tï, recl;e Oy, - ■y.
K\ pra'cedente tertia propositionc patct tangentes Oy, Xy ad idem
punctum y cum axe concurrcre; item tangentes ad puncla '^, - ductas
Ff.RMAT. — I. J2
2oO
ŒUVRES l>K FEUMAT. - 1= PARTIE.
nd idem cliam punctum, vcrhi grat'm 7, cum axe concurrcrc, qiuiiii
a|iplicala' utriiisqiie figura' siiil in eadein scmpcr inter so ratione.
Exponatui" adliiic separatim {Jig- iV) parabole ejusdem cum païa-
l'iS- l'ii ('■>)■
holis OM, OP etc. {fig- iSq) natura", cujus axis 9 8 sit a^qualis axi .AIN
sive AB sive [3o, scmibasis autcm 8 •/ sit suixlupia potestate semihaseos
NO sive BC; et sit illa •/ I i 9, a qua loi'metur alia 9 12 'j/, cujus idem sit
axis 98, applicala vcro 8]; sit a3quaiis curvai •/ i 1 9, item appiicala
it) 1112 sit a'qualis nirv;e 1 1 9, et sic de l'eliquis.
Prohaudum primo ciirvas OttS et 'ji 1 2 9 esse easdem, lioc est. om-
nini) a'quales et sirniies. Quod sic demonstrahitur :
l'robavimus
qnadratimi WY. esse ;iil f|ua(lratmn \\C>,
sive quailraUim >.o ad quadralum oy,
u( rcclain AV iina cum CR bis smiiplTi ad icclani ('.H:
ergo, sumptis autecedenlium dimidiis, (puim posuerinnis rectam Oo
(;sse potestate subduplam recta> oX, quadratum recta' Oo erit dimidiiim
quadrati Ao, ideoque
ni qiiadratiun Oo ad quadralum oy,
ila diiiiidia AV una cum CR ciil ad ipsam CR.
Similiter prol)al)iiuus in alia (|ualil»ct applicata, ut -v, esse
(|iiadralum rv ad quadralum vj
ul dimidiatu AV iiiin cum ZT ad ipsam ZT ;
et sic de reliquis.
DISSERTATION M. P. E. A. S. -iol
Disf|uiren(liiiii jarii an cadein proprictas ciirva' '| i 2 9 convciiial.
Uiiod ila lict :
In ciiiva •/_ 1 I 9, riijiis scniihasis ■/ 8 est potcslale subilniila scinilia-
Fis. i:i8 {:,).
Fi},', l'i" (
r E D c
scos ]]{] et axis 89 a'(|ualis axi AB, ox lonimatc snpciiiori, tliiclis lan-
i^cnlihiis ail piiiicla /, 'l l'crlis yp, 'j^cr,
f|ua(li;Uiiin 78 csl ad (|iuulialinn 8p iil dimidia recta- AV ad letlani (Mi;
ii'L'ta oiiim y S est polcslatc siilxliipla iecl;c Π: ergo, coniponciuld,
(|iiadiaUini yp csl ad quadi'aluiii So
ul dimidia AV una cuni C15 ad i|)sani CAi.
Similitor, si intclligatiir rocta 9 10 a'inialis recta' AZ, lioe est si
piincta 10 et Z uMpialitei'a vertice distenl,
(|iKidi'aUnn taiigciilis ad piiiiclum 1 1 diicla" eril ad qtiadraluni abscissa- ali a\c
ul dimidia W iina ciiin i-oiia ZT ad ipsam /.T.
Scd,
ul (iiiadraliim yo ad (|uadialum 80, ila,
(■\ |)i'npositione VI Disserlalioiiis, est
quadialum appiicala- i; 8 ad (juadralum a langcule abscis.saî 81-,
(et, siniiliter,
ul quadralum langeiitis ad puiictum i 1 diicla'
ad (piadraluin ahscissa- ab axe,
ila ipiadraUim applicata' ir>, lu
ad fpiadialum ahscissa' ah axe pcr lanu;eiilcm ad pimclum r^ (hiclam) :
er^u
ul fpia IraUim 'l/S ad quadralum 85, ila dimidia \\ uiia cuiu liC ad UC.
232 ŒUVRES DE FERMAT. - P" PARTIE.
Sod in alla figura {fig- i/jo) prohavimus
quadralum applicala^ 05 esse ad quadralum abscissœ a tangente oy
ut est dimidia AV una ciim I?C ad Clî :
crgo, in duaijus curvis '\ 129, 0-[ii, crit
lU tjvS ad abscissam 80-, iia applicata Oô ad abscissam oy,
et in omnibus aliis punctis idem sempercontinget, cteodcm modo prn-
liahimus nempe applicatam, vcrbi gratia,
10 12 esse ad abscissam a tangente ad punctum \x diicta ut est ttv ad v 7,
v\ sic do reliquis.
Per primani itaque propositionem liujus Appendicis, quum curva^
9 i2'j/, 0-j3 habeant eumdom axoni, et applicata^ sint ad abscissas ab
axe per tangentes utrobique in eadem correlatarum ratione, ilhie curvae
crunt intor se aîquales, et ipsa^ etiam ipsarum semibases, el omnos
Fig. ,38 (5).
Fis. '4" (■')•
simililer ap[dicata' a vertiee ;cquidistantes. Kx consliuctione auteni
semibasis '\ 8 est a^qualis curv;e •/ 1 1 9 : ergo curva '/ 1 1 9 est a'qualis
rectœ Oo. Recta aulcni 05 est potcstatc sultdupia recUe oK ex construc-
lioiie : ergo curva parabolica / \ 1 9 est potestate subdupla recla* oA.
Recta autem o\ est ;equalis rect;ie BE et recta BE supposila est, in con-
structionc curvarum a primaria AC dcrivatarum, a>(jualis esse curv;e
AD : crgo parabole y 1 1 9 est subdupla potestate curva; AD. Sed eadem
curva 71 1 9 est subdupla potestate paraboles O4 P : basis enim / 8 est
liK^ta potestate subdupla baseos BC sive NO, et simililer axis 89 sive
AB sive N3I est potestate subduplus axis NP; quum ergo parabola'
DISSERTATION M. P. E. A. S. 253
()/|P, ■/, 1 I 9 sint ejusdern naturaî et tam axis {[iinin hasis paraholcs
/ I I () sint potestatc siibdupl;o axis et l)asoos paraboles 0 1 P. ov^o et
ipsa paial)ol(' / i i 9, ex propositione II liiijiis Appeiulicis, ciil sulxlii-
pla paraboles O4P. Quuin ergo, ut jain probavimus, eadeiii parabole.
-/Il 9 sit siibdupla Lain |)ai'al)olcs 0 4 T* (|iiam eurva.- Al), ciirva AI)
(!t ipsa parabole 0 4 '* criiiit inlei' se tecuiales. Quod erat demoiislraii-
diiin.
Nec dissimili, ad probandiini curvam A\\ a'qiialem esse parabola-
0 5Q, utendum artilieio.
Quum enim
quadratum BE esse ad (|iia(liMtiiiii F!(i
lU est recla AV una ciiin BC Ijis siiinplà atl i|isarn I5C
probatiim fiierit, ergo, componendo et ulterius progredicndo, eril
quadralum langentis EG ad (iiiadrauim recla^ B(;
ut recla AV una cnm \U] 1er siiniplà ad ipsam UC.
I']st aiiteni, ex pnodcmonstratis in sexta propositione Dissertalionis,
ut (piadraluiu E(i atl quadraluni lîd, iia (|iuidraUuu lîl'"
ad quadraUun aliscissa; al) a\e per lauj^'euteui ad piincluiii T ductairi :
er"o
quadraUun BF eril ad quadialuin illius aljscissa-
ulcsl recla AV una cuni \\C 1er ad fîC.
In reliquis iiiiitabimur oninino et sequcmiir vestigia denionstialionis
Fijj. I '.() (5
Kig. i'|i ['')■
pi'fecedentis, nisi ([uod \\\ figura separata (J/g. l'io), post(iuam Ao
•>.Hi
rKUVRES ni: fehmat. - i= PAinn:.
lïieiil fada ioqiialis ipsi \iV, recla oO fie( suljtripla polcslalc ipsiiis ]W
vcl oX, ciirva Aç.^ curva' KA fict ;oqualis, curva 0-[ii cjiis t'iit natura' ni
oiniics applica(;c sequanUir rationcm hasiiiin Ao, Oo. In alia aiiloni
ti^iira separata (,Aa''. '1') '" ^I^'-'^ curv;c f) 1 1 '/ et 9 ii>'|, l'ccta 9b) dit
a'qualis, ut siipra, recta' MN vel AU vel ^O, basis vcro 8y_ tiet siihtripla
p()lestal(! haseos ON vel CB, et fiet / 1 1 9 parabole ejusdem cuin païa-
bolis (ITA vel 03M natura»; a (jua quuni formabitur curva '^i-iQ.
ciiiiis applicatic 8 'ji, 10 i 2 siut, ut supra, iequalcs curvis •/ 9, 11 9, pro-
babiinns, ul supra, curvani p-0 et curvam 911/ esse iutcr se «qualcs
cl siniilcs, boc csl, casdeiu.
Liulc concludilur bases OS et •j' 8 esse a^juales, i(lco(|uc basiui {/S
sivc curvam 9 1 1 / esse polestate subtriplaui recta' oX sive BF sivc
curv;c AI']; csl auleui eliaui, e\ proiileuionstratis, parabole 7^9 sub-
tripla potestalc [)araboles 0 "> Q : ei'^o curva AE et paraboii' 0 ") O
crunl iutcr se a'ijualcs.
Kodeui raliociuio in ulteriorijjus cusibus uleniur cl 1,'eueraleni uostri
llieorematis veritateiu evincemus.
Oui auteui superioreui Dissertatioucu) cl banc ad ipsani Appcndi-
ccui accuralius Ici^eiinl. pra'cipna uietbodi uoslra- l'uudanienla staliin
ai;nosceul, cl <'\ cis dcduci facilliuiaiu curvaruui dimensiouein dcprc-
licudcnl.
METHODES DE QUADRATURE. 255
DE 7EQUATI0NUM LOCALIUM
TRANSMUTATIONE ET EMENDATIONK
.\n MULTIMOHAM
CURVILINEOnUM INTEii SE VEL CUM RECTILINEIS COMPALATIONEM,
CUl AXNECTITIR
PROPORTIONIS GEOMETRIC/E
IM QUADRANDIS INFINITIS PARABOLIS ET DYPERBOLIS
usus.
In unica paraboles quailratura proporlionem gcometricani usurpavit
Ai'chimedus ('); in rcliquis quantUatiini liolerogcncarinn com parai io-
nihus, arithmctica} duntaxat proportion! scso ailstrinxit. An itico (|uia
proporlionem geomelricani minus TcTpayojvi'Co.'jaav est cxperlus? An
vcro quia peculiarc ab illa proportione petitum artilicium, ad quadraii-
(lam primariam parabolen, ad ulterioros derivari vix potest? Nos ccrti'
Imjusmodi proporlionem quadrationum feracissimam cl agnoscimus
et cxperti sumus, et inventionem nostram, ([u;e eâdeni omnino nie-
ihodo cl parabolas et iiyperi)olas ([uadrat, reeenliorilms geometris
haud iliibenter impertinnir.
IJnico, quod notissiuuim est, proporlionis geomelrica' attrii)ulo lofa
liîcc melhodus innilitur; tiieorenia boc est :
Data qitfhi.'! proporiioric gcometricà, ciijus Icrmini dccrcscant in infini-
iHin, est al di(fcreiUia lernunorain progressio/icrn conslilneultuni ad
(') AnciiiMÈDE, Quadraturii ptiraholcs, prop. 2ii cl 2f.
•25(1 ŒUVRES DE FERMAT.- I- PARTIE.
ininorcm Icrrninurn, ila maximtis progressiums terminus ad rcluiuos
oinries in inflnilum sumplos.
Hoc posito, proponnntur primo liypcrholae quadrancho.
Hypcrbolas autem tlefinimus infinitas diversa» specici curvas, ut
DSRK {fig. \\-2.), quaruiii hivc est proprictas ut, positis in (|uolil)ot
V\z- l'i-'-
C T
angulo dato RAC- ipsaruni asymptotis roctis AR, AC, in infinitum, si
placcl, non socus ac ipsa curva extendcndis, et ductis uni asymptolon
parallelis rectis quihusiihot GE, HI, ON, MP, RS etc., sit ut potestas
([ua'dam rect;« AH ad potestatem similcm recta' AG, ita potestas recta*
GK, vel similis vel diversa a praîccdcnte, ad potestatem ipsi homoi^e-
neam recta' HI. Potestates autem intelligimus, non solum qnadrala,
cubos, quadratO(|uadrata etc., quarum cxponenles sunt 2, 3, l\ etc.,
sed etiam latera simplicia, quorum exponens est unitas.
Aio ilaquc omncs in infinilani luijitsmodi hypcrbolas, iinicâ dcmptù
f/iin- Apolloniana (' ) est sivc primaria, benèjicio proportionis geometncœ .
iiniformiel perpétua rnelhodu (piadrari posse.
lîxponntni', si placet, hyperbole cujus ea sit proprietas ut sit semper
ut quadralum recl;e IIA ad quadratum rccUe A(î,
ila recla GE ad reclani HI,
( ' ) Le nom tï lijpcrbolc, comme ceux d'cllipte cl de paralnilc, n'a pas clé adopté avaiU
Apollonius.
MÉTHODES l)K OLADUATUKK. 257
et
ul quadralum 0\ ad (|iKi(lial(iiii Ail, ila roda 111 ad ipctani ON,
etc. Aio spalium iiilinitiini cujus hasis Gli, (U ciirva RS ex iino lalere,
ex alio verb asymptotes intinita GOR, seqiiari spatio rectilineo dalo.
Fingantur tennini progressioiiis geoinctricio in infinitiuii exleii-
(Icndi, (iiioriiii) priiriiis sit AG, seciiiidus AH, terlius A(), etc. in iiitiiii-
tiiiii, et ad sosc pcr approximationeiii (aiiliim acccdant (|iiaiilimi salis
sit ut, juxta mellioduin Arcliimedeam, parallclogramnuini rectilineiiiii
smI) G\l in GH quadrilinco mixlo GHII'] ada'f|ii('tiir, ut loiiuiluf Dio-
plianlus ('), aut IVu-e ;o(|iietur; item, ut priora ex iutervallis rcclis pro-
poi'tionaliuui, GH, HO, OM et similia, siiit fere iiilcr se a;((aalia, ut
commode per 7.~7.^(My'r^'j îî; ào'jvaxov, per circumscriptioncs et inscrip-
tiones, Archimedea demonstrandi ratio iiistitui possit : quod scmcl
monuisse sufficiat, ne artificiuin quihuslilict geometris jam salis no-
lum inculcare s;e[)ius et iterare cogamur.
His positis, quum sit
(Il \(; iid AH, ila AH ad VO, cl ila AI) ad AM,
d'il pari ter
m Ali ad Ail, ila iiileivalluin (ill ad 110, cl ila inlervalliiiii 110 ad OM,
etc.
Paraiielograminiiiii auteiii suh l'^li in (ill ciil
ad iiaralielogiainiiiiim siil) 111 in HO
ul ]>araliel(ii;i'ainiuiiiii snli 111 in HO
ail pai'alli'IdLci'aniinniii siil) NO in OM :
quum enim ratio [)arallelogi-ammi siili (IR in GH ad [taraUelogram-
mum sul) Hl iii HO componatur ex rationc lechc GK ad l'cctaru Hl et ex
ralione recta; <!H ad rcctaiii HO, sit auteui
lit en ad IlO, ila AC. ad AH,
Ut pra^monuimus, ergo ratio paraHelogrammi sub KG in tiHad parai-
(I) P'dir plus haut, jiage i33. note i.
FtnMAT. — I. 33
238 (KlîVUES DE FERMAT.- I- PARTIE.
lelogrammum sul) HI in HO coniponitiir c\ ralione GE atl III et ox ra-
tiono AG ad Ali. Scd
m (iE ;ul III, ila, ex conslructionc, IIA (|iia(Jr;Uiim ad quadraliini (iA,
sivc, proplor proportionalcs,
ila roda AO ad reclain (îA :
crgo ralio pai'allclogramiiii siib KG in GII ad parallelogrammiini siili
HI in HO coinponiLiir i-x i-ationc AO ad AG et AG ad AH. Scd l'atio A()
ad AH componitur ex iilis diiaijus : ergo paraUelogranimum sul) (iK in
GH est ad parallclogrammuni siih HI in HO lit OA ad HA, sive iit HA
ad AG.
Siniiliter piidialiilui' parallclogrammuni sub HI in HO esse ad paral-
Iclogramnmm sul) ON in O.M ut AO ad HA.
Sed très rectœ (juje constitunnt ralinnes parallclogrammorum. recta-
nempe AO, HA, GA, sunt proportionalcs ex constructione : crgo paral-
lelogramma in infinitum siimpfa, sul) GE in GH, sul) HI in HO, siih ON
in O.M, etc., crunt seinpcr continue propnrtionalia in ratione rejeta-
H.\ ad GA. Est igitur, ex llieoremate hujus melhodi constitntivo,
nt fill. diirercnlia leriniiioruiii ralionis,
ad minorciii Icniiiiuim GA,
ila primus paralleiogrammorum i)ro^rcssioiiis terminus,
lioc est paralleloLrraniiniini suli E(i in (ill,
ad reli(|iia in infiiiilum parallelograninia.
hoc est, ex aihcquatione Archimcdea, ad figuram sul) HI, asymptoto HU
el curva IND in infinitum extcndeiula, contentam.
Sed ut HG ad GA, ita, sumpfâ coinniuni latitudinc rectâ GE. paral-
lelogrammum sul) GE in GH ad parallelogrammuin sul) GE in G.\ : est
igitur
ut paralicloirianimuin suii (lE in (ill
ad ligurani illani iiiliniumi ciijus hasis III,
ila idoni parailelogrammum sul) GE in GH
ad parallelogramimnii suti GE iii G\.
WÉTdODES DK Ol' ADRATUllK. -io!>
Krgo parallclogramimiiii siih (JE in GA, (|iiotl est spatiuin iccliliiiciiiu
dalmii, ada'quatur figura- pnedicta-; cui si addas paiallolograiiiiiuiiii
su!) VAi iii Giï, qiiod proplcM' niinulissiiios ztjj.Cf.yi'jij.'j'jç cvaiicscil cl
aiiil iii iiiliiluiii, siipcrost verissiinum et Arcliiiiicdeà (licet pro-
li\i(ire) denioiistrationc l'acillime firmanduin : paraliciograinimiiii AK,
in iiac iiyppi'bolcs spccic, a'qiiari figura' siil) base (jl-;, asviiiplnlo (iil et
ciirva l"]D in infiniLiun producenda, contenta".
\cr operosuni ad onincs oninino iinjusniodi hvjicrlMdas, iiiià, lit
dixinuis, deinptà, invcnlioncni cxtcndcrc. Sit cniin ca dllcriiis, si pla-
cct, ItypcrbitUs propr'ictas,
ul sil (iE ad 111 ut cuIjus recUc UA ad culiiiiii iccla- (i.\,
et sic do roliquis.
Kxposità ex more intinità proportionalinin, nf supra, série, lient pm-
poi'tionalia pai-alielogramina \\\\, 10, MN, ut supra, in inlinituni : in
lioc veri) easu, parailelogramnuiin primuni crit ad secunduin, secun-
diini ad lertiuni, etc. ut recta AO ad GA; (juod statiin couiposilio pro-
portionuni inanifeslahit. I*]i'it igitur
m paraIleioj;raniMiuru Eli ad li^'uram, ila rccla ()(i ■m\ (IV
et, suniptà comnnini iatitudinc GI'],
it;i iiarallelo^qaininiui) siili (Ml ia K\\\ ad |)arallelogramininn siih (iK in <iV :
est igitur
ni parallelograinmuni suIj ()(i in (II-: ad paralitdograinniinu siiN (iK in (;\,
lia itaiallcloyrainniuui su!) (iK in (ill ad (ii;inam,
et, vicissiin,
ni paraiielogrammum snli (Xi in (M-: ad parallelogramnnun sidi (iK iu <lll,
ila paraiielogrammum siili (iK lu (iA ad figuram.
Ut autcm
paraiielogrammum snii (Ml in (IK ad paraiielogrammum snh 11(1 in (iK,
iUi (Xi ad (ill, sive y. ad i, ex adicqualioiic :
2G0 ŒUVRES DE FERMAT. - I" PARTIE.
intorvalla cnim basi proxiina facta sunt, ex constructione, fere œqualia
inler se. Imcjo, in liac hyperbole, paranelograminutn EGA, qiiod est
œqiialc spatio rectiliiieo (lato, est duplum figiiraî sub base GE, asym-
ptoto GR, ciii'va ESD in infînitnm prodncenda, conteii(a\
Similis in (|nibiislibet aliis casibiis liabebit lociim deinonstratio,
nisi quod in primaria (sive Apolloniana etsimplici) hyperbole déficit
e;'i solâ ratione methodus, quia in bac [)arallelogramma liH, 10, NM
sunt semper inter se a'qualia; atque ideo, (|UMm termini progrcssionis
constitutivi sint inter' se icquales, nulla inter eos est difTerentia qu;e
toluin in hoc negolio eonfieit mysterium.
Demonstrationem, qua probatur spatia in hyperbole communi paral-
lelogranimis contenta esse semper inter se <T(|ualia, non adjunginuis.
quum statim per se ipsa se prodat et ex bac unica proprietate, qua' as-
serit in ea specie esse
nt r.E ad III, ila HA ad GA,
(acillime derivelur.
Eadcm raliniie parabolœ omncs omnino quadrantur, nec est alla qitœ
(th arlificio nostrcv niclJiodi, ut fit m /lyperho/is, possit esse imniii/iis.
IJnicum in parabole, si lubet, primaria et Apolloniana adjiciemus
exeniplum, cujus exemplo reliqu;c omnes, in qnibusiibet in intinitum
parai)olis, demonstrationes expedientur.
Sit seniiparabole primaria AGRG (y/ij'. i/|3), cujus diamctcr CB, semi-
basis AB; sumptis autem applicatis lE, ON, GM etc., sit semper
ul (juadralum AH ad quadraluin lE, ila recta I!C ad Œ,
Cl
ni (luadralum lE ad qiiadralum ON, ila recla (^E ad ('N,
et sic in intinitum ex proprietate specifica parai)oles Apollonian.T.
Intelliganlur, ex more methodi, reetae BC, EG, NG, MG, HG, etc. in
intinitum continue proportionales : erunt cliam, ut superius probatum
est, proportionalia parallelogramma Ali, IN, O.M,GU, etc. in infinilum.
Ut cognoseatur ratio parallelogrammi AE ad parallelogrammum IN,
recurrendum ex methodo ad composilionem proportionum.
METHODES DE QUADRATURE. 261
Gomponitur autem
ralio pai'allclogrammi AE ad paiallelogrammiim IN
ex ralionc AB ail lE cl ex ratioiic HE ad EN.
Quum auleni sit
iil AU f|iiailralmn ad lE quadraliiiu, ita 15C ad CE,
si iiilor BC cl CE sumatur nicdia [)roportionalis CV, item intcr EC cl
l''ig. .'|3.
Nd iiKîdia proporlionalis YC, criint continue proporlionalcs ro.cla' liC
VC, EC, YC, NC et
scd
crgo
et
lit ne. ad Ed, ila eiil RC quadralum ad V(> fiiiadraliim ;
iil UC ad E(;, ila fiiiadtalnni AR ad <|iiadialnni El:
iil Alt fiuadraluni ad El (juadraluin,
ita d'il RC quadratum ad VC quadralum,
ut AR ad lE, ila eiil RC ad VC.
Ratio igitnr parallelogrammi Al*] ad parallelogrammuni IN coinpone-
lur
e\ ralioiie HC atl VC, sive VC ad CE, sivc EC ad VC,
cl ex ralionc RE ad EN, sivc, ex supcrius demoiislralis ('), \U] ad CE.
(' ) roir plus liiuit la dùmonslration pour les hyperboles.
-202 ŒLIVIIES DE lEIlMAT. - I- PARTIE.
i-atio auk'in qux compoiiitnr ex liis diiabiis rationihiis,
]{(; ncinpe ad CE, cl (lE ad i',\
est eatlom qiur ratio BC ad CY : igitiir
paralkdo,i;rainimiin \E csl ad pai-allcloi;ramimim IN lit lîC ad Y(],
ideoquo, ox llieorematc niclliodi constitutivo,
parallelogrammum AE eril ad li^'uram lUClIE ut recla I5Y ad rectam \i],
ideocjue
ut idcui parallelogrammum AE ad lotam figuraui AUlKCli,
ila recla FJY ad totain diametrum 1$C.
UtaiituniBY ad totain diametrum B(], ita, siimptà commuiii latitiidiiK!
AB,
paialIcdogrammuMi sub Alt iii KV ad pai'allelogramuiuui sub Al! in ]\V.,
sivc parai leiograMimuiii BD (diietà Al), diainelro parallclà, occurreiife
tangent i (A) in D) : ergo
iil paialluiograuHiiuui AE ail lolaiu ligurain soiniitaraliolicaui AUCH,
ila parallelogramuiuui suIj AH iu BY ad paralbdogratnuiuui lîi),
ft, vicissini,
iil |)arallelogiauiuuim ,\E ad parailelogi-aniuium sub \\l iu \i\ ,
ila ligura ad paiallclogramuiimi IU).
lit autem
parallcdograuimuin AE ad paiaiicdograuiiuuui su!) AI5 iu 1!Y,
ila, proptiT comnuinoni latitndinom,
recla l!E ad HV;
ergo
ui HE ad \\\ \ ila ligin-a ad parallelogrammum < Hl) >,
et, convcrtendo,
ut HY ad HE, ila parallelogrammum Hl) ad liguraui AlidH.
MÉTHODES DE OUADRATURE.
263
Esl autcni BY ad Bli (propter a(laM{Lialitateini et sectioncs iniiuilissi-
mas, quod rt'ctas BV, \E, liY, intervalla proportionaliuiii repra'seii-
tanfes, ïcvc iiitcr se supponil a'qualcs) ut '\ ad 2 : ci'go
pariilk'lograiiiimim l!D ad ligiirani est iil 3 ail ^
([LiH' ratio congriiit ■zz^.py.^ftovi'ju.ù pai'abolcs Arcliiiiicdco, licot al) co
geonictrica proportio alià ratioae fiierit usiirpata; inelliodiini aiiteni
variai'c et diversaiii al) Ai'chimodc viam sectari neccssum liahiiiiniis,
(]iiia sterilcm proportioiiis geometrica> ad ([uadi'aiidas ca-toras in iniiiii-
tiim parabolas applicalioiuîtii deprelionsain iri, insisleiido vestigiis (anti
viri, non dubitaiiius.
Demonstratio autein et rcgulœ générales ex nostra nictliodo W'vc, in
omnibus onininoparaholisstatim patebunt : sitenim, ut luiUusaniplins
supersit dubitandi locus, parabole ea de qua inentionem fecit Dissciintio
nosti'a (le hncarum ciuvanim cum lincis redis companitioiir ( '), curva
AIGC {fig. 141). cujus basis xVB, diainetcr BC, et sit
iil ciiljus applicala^ AD ad ciil)um applicala- lE,
ila qiiadiulum rccla> WV, ad quaflialnm vccV.v EC,
et l'cliqua |)onantur u( snpia, séries nenipe proportioualiuni reetaruni
M
"\
\c
\
N
\
\o
■T
•
•S
\l
R
-V
BC, EC, NC, MC, etc., item séries proportionalinm paiallelogranimo-
rum AK, IN, OM, etc. in iiifinitum.
(I \ f'dir plus liant, (lagc 217, ligue i.
■2G'* GÎUVRES DE FERMAT.- I- PARTIK.
Inler BC et EC sumantur diiye mediie proportionales VC, IlC; item
intpr \iC et CN sumantur etiam duse mediac proportionales St], TC.
Constat, ex constructione, quum
liitio HC ad CK sil ca(icni raiioni VA', ad N'C,
fore quoque continue proportionales rectas liC, VC, RC, EC, SC, TC,
NC. Est auleni
m AB cubiis ad cnhiim lE, ita B(^ qnadraliiin ad E(^ (|iiadraluin,
sivc recla l?C ad reclaiu N'(];
quuni autein sint, ut supra proliavinuis, septein continue proportio-
nales, RC, VC, RC, EC, SC, TC, NC, ergo prima, tertia, qiiinla et sc])-
tima eruni etiam continue proportionales, ideoque eril
HC ad Rr, u[ ]U: ad SC cl ul SC ad NC :
Ut igitur
prima UC ad qiiarlam NC, ila cnhiis prnn.-p BC ad ciihiiin seiiiiid;c RC.
Sed
ut BC ad N*;, ila prohavimiis esse ciibiini AB ad ciiiiiim lE :
ergo
ut ruliiis Al? ad fuliuin \K, ita cnlius lîC ad culiuni RC,
ideoque
ut AR ad lE, ila RC ad RC.
Quum igilur ratio parallclogrammi AE ad parallelogrammum IN
componatur
ex ralionc AR ad 11'] cl ex. ralioiic RE a<l EN, sive RC ad E(],
ergo cadem parallelogrammorum ratio coniponetur
ex ratioiie RC ad RC et RC ad EC.
Ut autem
RC, iiiinia |)ropoitionaliiim, ad Et] (|uartam,
ita R(] tertia ad TC sexlain :
MÉTIIODES DE QUADRATURE. 265
ergo parallelogramnii A\i ad parallelogrammuiii IN ratio componihir
ex ratione RC ad RC iM RC ad ÏC,
lioc est
parallelogrammum AE est ad parallelogrammuin IN m Rd ad TC.
Parallclogramnium igitur AE, ex pntdemonstratis, est a»l tiguram
IGCIÎ
ul recta BT ad ÏC,
ideofjuc
m iiaralIeloRrammuin AE ad totam (ij;iiraiii AICB,
ila recta RT ad reclani RC,
sive, siiinpta commuiii latitudiiie AB,
ila iiarallelogrammum siili AR in RT ad parallelogrammuin suh AR in RC ;
et, vicissim et convertendo,
parallelogratiiiiium Ri) est ad liguiam AI(]R
m paralleldin'aiiiinuni sdh AR in RT ad [larallelogramiuuiii sub Al! in RE,
sive, pntpter commiineni hititudineiii AH,
lit recta RT ad lectain RE.
iiecta autem BT continet quinque intervalla : TS, SE, EU. I\\ , VR.
(|u;e inter se, pi'opter nostraiii methodum logaritlimicain, censenlui-
aM|ualia: recta auteni BE continet tria ex iis intervallis, nempe EH,
HV, VH : ergo
parallelof^iainnuiiii Rll (■>! ad l(ila>n li,t;ui'ain in hoc casu ni '> ad !.
(]anon vero unn'crsalis imle nnlio negofio elicietur : /xitct /icnipc fort-
scm[)cr piirallrlogrammiim BU ad Jiguram \\(A\ ut (iggrcgatunt cxpo-
ninlium potcslatu/n applicaliv cl (liamclri ad cxponcntcm polcslalis apjdi-
ra/œ : ut in iioc exernpio videre est, in quo potestas applieat;e AB est
eubus, ciijus exponens 3; potestas autem diametri est qiiadiatuin,
cujus exponens ■?. : ergo débet esse, ut jani demonstravimus el per-
2()« 0:UVRES DE FEHMAT. — 1° PAHTIE.
pctiio conslabit, ut suiiima '^ et 2, lioc est j, ad 3 exponeiilem ap[)li-
cata'.
lu liyperholis aiitem canon non minori focilitate invenictur iiniver-
salis : eritenim semper in qiiacumque hyperbole, si reciirras ad pri-
niam figuram {Jig- ^Iti), parallelogrammumBG adjiguram in infinitiim
prolcnsain RGED ut diffcrenlia exponcnthun potcstatum applicaUv cl diu-
inrtri ad exponcnlcm potcslatis applicatœ.
Fis- i^-?.
Sif enim, exempli gratia,
m ciiliiis H\ ad ciiliiiiii ("lA, ila (iiiadintum (lE ad i|uadraUiin HI.
Dillerentia exponentiiim cul)i et quadrati (haec est i et 2) erit i; ex-
ponens autem potestatis applieat;e, hoc est qnadrati, est 2 : ergo, in
hoc casii, parallclogramminn erit ad tigiiram ut i ad 2.
Quod attinet ad centra gravitatis et tangentes tam liyperbolaruni
quam parabohiruni, inventio duduiu, ex nostra Mcl/ioda de f/ia.ii//n's rf
mini/nis derivata, geometris recciitioril)us innotuit, hoc est ante vi-
ginti, plus minus, annos ('); quod celehriores totiiis Gallia^ mathe-
niatici non gravabuntur fortasse exteris indicare, ne liac de re in pos-
terum dubitent.
Ex supiiADicTis inirum qnantam opus tetragonismicum conse(]uatur
accessionem : infinita^ enim exinde tigura-, curvis contenta' de quihus
(1) Fuir plus haut, page 171, noie 1.
MÉTHODES DK OU A l)K ATUUi:. ^267
luliil adhuc ncc veterihus nec iiovis geoineliis iii mentcin vciiit, liicil-
limam sortiuntur (|iia{Iraturam; qiiod iii quasdaiii régulas brcviter
contrahemus.
Sit eiirvu ciijiis propriclas dct anjuationem sequentcm :
JSr/.— i(j. iïinuilc /i'y.
(apparet aiitoiu slalini liane curvaiii esse circuluiii); ccrtuiii est potcs-
tatem ignotam, /se/., posse reduci, [terapplicalionem seu paral)olisiiuim,
ad latus.
Possiimus enim siippoiicre
/w/. ;i'(|ii;iii I! in U,
(|iiiiiii sit lilieruiii <|iiantita(em ignotam U, in notain II diictaai, ;e(|nare
quadralo K etiam ignota-.
Hoc posito,
Hil-— {(j. a'i|ualiiliii li'xwlS;
iiomogcneuni autcni U in U v\ tôt quantitatibus liomogencis componi
polest quot sunt in parte ;eqiiationis correlativà; iisdcni([iic signis
hujnsmodi liomogenea dehent notari. Siip|ionatnr ii,'itiir
ll\nH iL'(|iiari II \\\ I — /.'in F;
e\ niore enim Vieta'o, vocales semper pro (|iiantitatil)iis igiiotis siinii-
nius; ergo
H<l.~ [ij. ;L'(|ii;tUii l!\nl — //iiiJ'.
yEqiientnr singLila memltra partis iinius singuiis niemliiis partis al-
terius : sit nempe
erLH) (lal)itur
/>'/. aM|u;il(' />' in /;
/ a-iioalis /;.
/Equetiir deinde
— A(],, — //in \ ,
lioc est
Al]., I! in i ;
208 (EUVllES DE FERMAT.- 1" l'AHTlE.
i-rit t'xtrcmum punctum rectie Tad parabolen primariam. Omnia igilur
in hoc casu ad quadratum reduci possunt, ideoquo, si omnia Equu-
(IralaMl rectani lineam datam applices, fietsolidum lectilineiim (latiiin
cl cognituni (' ).
Proponatur deinde curva cujus ha^c sit œquatio :
Ac. + B'm Aq. aequalis Kc.
Ec. applicetur ad planum datum et sit, verbi gratia, iequalis Bq. in U.
Quia autem recta U ex pluribus quantitatibus ignotis componi potest.
sit
Ac.+ li\nAq. ;iH|ualis liq. \\\ 1 + li (/.'xn Y.
yEquentur singubi intcr se membra, hoc est
Ac. ipquetiu' /J'j.'inJ;
orietur inde parahoh' sub cubo et latere.
^quetur deinde
Ji in A'j. secundo niembro /Iq. in F;
orietur inde parabole sub quadrato et latere, hoc est primaria.
Quadrantur autem singula; ex bis parabolis; ergo aggregatum Ecii-
horttin ad rectam datani applicatorum producit planoplanum quantita-
tibus ejusdem gradus rectilineis commode îequandum.
Si sint pUira in ;e((-uationil)us membra, imo et sub plerisquc uti'ius-
quc qnanlitatis ignota> gradibus involuta, ad camdcm ut plurimuni
methodum, reductionum legitimarum ope, poterunt aptari.
Ex bis patet, si in priori œquatione, in qua
/{q.— -iq. ;e(|uaviniMs /;''/.,
( ' ) C'csl-à-ilire que, si l'on a
,•2= b-'-a',
r''
cl (luo II, par exemple, soit la rcctti liiicii dnin, I c-iln csl une quaiililé (du troisicmc
degré) ([uo l'on sait déterminer. C'est dans le mOmo sens qu'il faut inlorpréler les expres-
sions analogues qui suivent.
MÉTHODES DE QUADRATURE. -269
loco ipsius /:'(/., ponanius liinU, possc nos aggregatuni omnium i'.
ad rcctam datam applicatarum, considerare (anquam planum et qua-
diare : omnes enim U nihil aliud sunt quam otnnia Equadrala divisa
per // recta m datam.
rtem, in secunda icquationc, omnes U nihil aliud sunt quam omnes
Ectihi divisi per H quadralum datum.
Igitur, tam in prima quam in secunda figura, omnes U f'aciunt figu-
ram tequalem spatio rcctilineo dato.
Hoc autem opus fit per synseresim et expcditur, ut patet, per para-
bolas; sednon minus quadralionum ferax est opus per di;eresim, quod
per hyperbolas, aut solas aut parabolis niixtas, commode pariter expe-
ditur.
Proponatur, si placet, curva ab œquatione sequenti oriunda :
Bec. + ltt/c.'\n A -\- Ace.
-, iLHiualis h(i.
A qq. '
Ex jam suppositis /:</. potest fingi aequale B in U, sive. ut tria liinc
et inde mcmbra sint in utraque parte lequationis,
li\\\U poleslaiciuari />' iii O + /^ in /+ />' in J'.
Quo peracto,
lice. 4- B(ie. in A + Ace.
—, œquabilm li \\\ O + B \n I -\- H \{\ Y.
A q,j.
et, œquando singula membra singulis,
Bec.
—, ;E(|uabilur BiuO:
et, omnibus in Aqq. ductis.
Bec. ;e(|uaijitur A r/i/ . in U \i\ O ;
et, omnibus abs IJ divisis,
Bijc. œqtiuliilur A/jq.\uU,
qute est a'quatio ad unam ex hyperbolis, ut patet : a'qualiones enim
270 ŒUVRES DE FERMAT.- I' PARTIE.
Iiypcrliolarimi constitutiva* continent, ex iina parte, quantitatein da-
tani; ex alla vero, id (juod lit su!) potestatilnis duarum quantitatum
ignotaruni.
S(!cundum membrum a^quationis dal
Bqc.'inA liijc.
Afjii. Ac.
et, omnibus in Ac. ductis et abs /? divisis, fit
liqq. éequalo Ac.\nl,
quifi est icquatio alterius hyperboles a priorc diversic.
Deniquc tertium membrum est
I ce. , , , ,. • ,.
hoc esl A<i. iciiiiale li\nl.
' ' '/'/•
(fiiae est fcquatio ad parabolen.
Patet itaque in pra;cedentc œquatione omnes U ad rectani datam
applicatas ;çquari spatio rectilineo dato : summa enim duaruni bypei-
bohirum (juadrationi obnoxiarum et unius parajjoles (hit spaliiiui
a'(|uale rectilineo vel quadrato dato.
Nibil autem vetat quominus singuia membra numeratoris separatim
denoniinatori applicemus, ut jam factum est : eodem enim res recidit
quo si integrum numcratorem ex tribus membris compositum eidein
denoniinatori semel applicemus. Ita enim singuia a'qualionis nicmbra
singulis liomogenei correlati possunt commode comparari.
Proponatur etiam
yVyc. in A — Ucc.
Ac.
a;(|uaii A'(
Fingatur 7?('. a^quari Bq. in U, sive, propter duo mimibra liomogenei
correlati,
!>(]. in / — Ittj. in i .
Fiet
B(]c. in ( lific ,, I
— —. sive —r — a'iiuahs lui. m /,
Av. A)/.
MÉTHODES DE QLADH\TURE.
et, oinnihiis in .ly. diiclis ot ahs //</. divisis, lict
lie. ;equalis Aq. iii /,
(jiiaî est teqiiatio ad iinam ex liyperbolis quadrandis.
Ponadii' d(>in(le seciindiim liomogcnci membrum
271
Il ce.
Ac.
a'quari llq. iii i .
li^ilur. (iiiiiiihus in Ac diictis et abs /jfiy. divisis, liet
Hqfl. iBqualc ( c. in J',
([lue est ;eqiia(iii luiiiis c\ liy[»eibolis quadrationi obn()X.iis consti-
tnliva.
Datai' igitur, reciirrendo ad primani iecjiiationeni, in reclilincis
summa oniniiiin K cuborain in liac spccie ad certain rectam dataiii ap-
plicatornni.
Sf.i) et iilterins progredi et opns tetragonisniieuni pronioveie nihil
vetat ( ' ).
Sit in quarta ligiira (/4'. i43)eurva (|Uiclibel ABDN, cujus basis HN.
Fig. l'i''.
dianicter IIA, applieatîe ad diametrum CB, FD, et applicata' ad basini
BG, DE; et decrescaiit scniper applical;e a base ail verticeni, ut liic HN
est major FD et FD major est CB et sic semper.
( ' ) Ce qui suit correspond i'i rouseigucmenl de i'iniégration par parties et do l'iiUégra-
tiou par chaiigenienl de variable.
272 ŒUVRES DE FERMAT.- l' PARTIE.
Figura composita ex quadratis HN, FD, CB ad rectam AH applicatis
(hoc est solidum sub CB quadrato in CA et suh FD quadrato in FC et
siib NH quadrato in HF) ;equalis est semper figurœ sub rectangulis BG
in GH, DE in EH, bis sumptis et ad basim HN applicatis (hoc est solide
sub BG in GH l)is in GH et sub DE in EH bis in EG) etc. utrimque in
infinitum.
In reliqnis autem in infinitum potestatibus, eâdem facilitate fit re-
ductio liomogeneorum ad diametrum ad homogenca ad basim. Qux
observatio curvarum infinitarum hactenus ignotarum detegit quadra-
tionem.
Omncs enim cubi HN, FD, CB, ad rectam AH similiter applicati,
;equales sunt aggregato productorum ex BG in GH (|ua(lralum et ex DE
in EH quadratum, ad rectam HN, similiter ut supra, applicatorum et
fer sumptorum : hoc est planoplanum sub CB cubo in CA et sub DF
cubo in FC et sub HN cubo in HF aequatur summae planoplanorum ex
BG in GH quadratum in HG et ex DE in EH quadratum in EG, ter
sumpt*.
Aggregatum vero quadratoquadratorum HN, FD, CB ad rectam AH
applicatorum ;eqaatur quadrupl» sumnne planoplanorum sub BG in
GH cubum et sub DE in EH cubum, ad rectam HN, similiter ut supra,
a])plicatorum.
Inde émanant inlinita», ut statim patebit, quadratura*.
Estoenim, si placet, curva illa ABDN ejus natura- ut, data base HN
et diametro HA, diameter data AH vocetur in torniinis anal\ ticis /y,
ipsa verb HN, basis data, vocetur />, (|iia'lil)et applicata FD vocetur /i
et (juailibet HF vocetur A; et sit. verbi gratia, «qualio curVa' consti-
tntiva
Jl(]. — Al/. ;im|m;i1(' /iV/.,
(|uod in circulo ita se babet.
Quum ergo, ex pra^dicto tbeorcmate universali. omnia E quadrata
ad rectam li applicata siiit a'qualia omnibus produclis ex HG in GB
< bis sumptis et > ad basim HN sive ad I) applicatis; sint autem
MÉTHODES DE QUADRATUUE. 273
omnia E quadrala, ad II applicata, œqualia [spatioj (') rectiliiico dalo,
ut superius probatum est : ergo omnia producta ex HG in GB, lus
sumpta et ad hasim I) applicata, continent [spaliumj rectilineuni da-
tum. Ergo, sumendo diniidium, omnia producta ex HG in GB ad
basim D applicata erunt iequalia [spatioj rectilineo dato.
Ut autcm faciliima et nullis asymmetriis involuta tiat translatio |)rio-
ris curvse ad novam, ita constanti artificio, qua; est nostra metliodus,
operari debenuis.
Sit quodlibct ex prodactis ad basim applicandis, UE in ED. Qnum
igitui'FD sive UE, ipsi parallela, vocetur in analysi E, et FM sive DE,
ipsi parallela, vocetur A, ergo productum sub HE in ED vocabilur E
in A. Ponatur Jllud productum E'in A, qiiod subduabus ignotis et inde-
finitis rectis comprebenditur, œquari H in U, sive producto ex B data
in U ignotam, et intelligatur EP, in directum ipsi DE posita, lequari U.
Ergo
— j, — ;eqii:il)ilur .1.
Quum autem liq. — Aq. ;cquetnr, ex proprietate specifica prioris
curvse, ipsi E(j., ergo subrogando, in locum A, ipsius novum valorem
B\nU
fiet
Bq. in Eq. — Dq. in 6' 17. œquale Eqq.,
sive, pcr antitbesim,
Bti.\\\Eq. ^ Eqq. œqualc Bq.xnUq.,
quaî est ;equatio novae HOPN curvaî ex priore oriand;e constitutiva, in
qua, quum omnia producta ex B in i/dentur, ut jani probatum est, si
omnia ad/? appliccntur, dabitur summa omnium f/ad basim applicala-
rum, lioc est, dabitur planum HOPN •< in > rectilineis, ideoque
ipsius quadratura.
( ' ) U faiidniit sdluh). Le niul spntio a pu (îlre écrit par inadvertance ou ajouté a tort sur
l'original. De niOnic pour les répétitions rpaiium et spatio (]ui suivent.
Fermât. — I. 35
274 ŒUVRES DE FERMAT.— 1- PVRTIE.
Sit. secundi exempli gratia, ;c([uatio prioris curvœ constitiitiva
IllnAq. — Ac. a'(|ii;ile Ec.
Siimma omnium E cuhoriirn ad (liamelruni II applicatorum dabitiir,
ideoque siimma omnium produclorum ex quadralis HE in ED ad basim
applicatorum. Productum autcm ex HE quadrato in ED fil, in terminis
analyticis, Eq. in A, ([uod iingatur îcquaii liq. in U, et recta EP, ul
supra, îcquatur U. Ergo
/la. in V
^:; ^fiiiiUJiUir A.
Eq.
Si isritur, in locum A, sal)rogemus iam agnitum illius valorem
nq.\n u
Lq.
et omnia juxta .\naiyseos pr^cepta exscquamnr, fiel
Hijc. in Uq. in Eq. — Eccc. arpiah" Bec. in Vc,
quœ est aîquatio nov;e HOPN curv» ex priore oriundse constiluliva, in
qua, (]uum omnia producta liq. in f/ad basim />applicata dentur, om-
nibus per Bq. daluni divisis, dabitur summa omnium t-^ad basim D ap-
plicalarum, ideo((ue quadratura figura) HOPN.
Et est geueralis, ad omnes omnino casus extendenda in infmitum,
metbodus. Notanduin porro et accuralc advertcudum in Iranslalioni-
bus curvarum, quarum applicala; ad diametrum versus basim decrcs-
cunt, aliam omnino viam analystis ineundam, a prsRCcdenti diversam.
Sil enim in (|uinta ligura {fig. i4^i) prior curva IVCBTYA, cujus
diameter AI, applicala; MV, NC, OR, PT, QY, et ejus curv;e ea sit
natiira ul applicaUe versus basim semper decrescant, douce ad basim
perveniant, ita ut MV sitminor quam NC; rursus autem ila curva ver-
sus A, per Iramitem CBYA, intlectatur, ul CN sit major quam 150, BO
major quam Pï, PT major quam QY, etc.; ita ut omniuiu applicatarum
maxima silCN.
Si in hoc casu quœramus translalionem quadiatorum MV, NC a<l
MÉTHODES DE QUADRATURE. 273
l)asini, ea non coniparabinuis productis sub 111 in KV, iil supi-i, quia
jaiii, ox tlieoremate gencrali, supposilum est omnia quadrata MV, NC
loquari productis suh YG in GN, quuni GN, niaxinia applicataruni,
possit et del)cat considerari ut l)asis respectu curva; cujus vertex I.
Quadrata igitur MV, NC, in curva quaruni applicatœ dccrescunt vci-
sus l)asini, comparabunlur in hoc casu productis <^ ex > GV in GN,
lioc est, u( ad terniinos analyticos ;equatio in liac figura perveniat, si
Ml vel RV vocelur .4, et ipsa MV sive RI vocetur A', ipsaque CD sive GR
(qua'ductai, pcr tenninuni maximœ applicataruin, ipsi diainetro pa-
rallel;o, est yequalis ideoqne facile ex nostris xnetliodis invenienda)
recta* datie Z a'qualis suppouatur, liet
productuni c\ GV in (iN aMpialc prodiicto ox Z\v\E — A in E,
ideoilue omnia (|uadrala MV, NC, usque ad niaximani applicatam,
coniparabuntur productis
Z in E — A in E
ad basitn ID applicandis.
Reliqua vero quadrata CN, BO, PT coniparabuntur productis ex YF
in FN, qua» in terminis analyticis ;cquivalebunt
A\nE -Z\\\E.
Quibusita stabilitis, l'aciUinM' ex |)riore curva nova versus basini de-
rivabitur, idein([ue in aliis oinnino applicataruin potestatibus eril
observanduni.
LU autein pateat novasex nostra bac melbodo cmergere(|uadralnras,
276 ŒUVRES DE FERMAT. - 1= PARTIE.
(le quihus nonduni recentiorum quisquam est aliquid subodoratus,
proponatur priecedens ciirva, cujus sequatio
riqc. in A — Bec.
Xc.
œqualis Ec.
Dantur omnes E cubiin rectilincis, ut jam prohatum est. Quibus ad
basim translatis, fict, ex superiori methodo,
B>j. in U
—Eq.-'
?pquale A,
et, omnibus secuiidum arteni novo ipsius A valori accommodatis, eva-
det tandem nova aequatio qua; dabit curvam ex parte basis ; cujus
tcquatio dabit
Ec. + Uc. rcqualis BinEinU,
quœ est cui'va Scbotcnii ('), cujus constructionem tradit in Sectione 25
Miscellancarum, pag. 493. Figura itaque curva; AKOGDLA {fig- i47)
([uœ apud illum autorem delineatur, ex superioribus prœceptis qua-
drationem suani commode nanciscetur.
Fin
■47-
Notandum autem ex curvis, in quibus aggregatum potestatum ap-
plicatarum datur, formari non solum curvas ad basim quadrationi
obnoxias, sed etiam alias curvas ad diametriun facile quadrandas.
(') FnvNCisci A SciiooTEN Exercitntinimm Malliem/iticitriiin lihrl quinqite (Levde, .loan
Elzevir, 1657). La fig. l'^-j esl rcprodiiilo d'après Sciioolcn, qui donne sur cette courbe,
d'après J. Iludde, une construction do la plus grande largeur KL. Il est singulier que ni
Schooten ni Format n'aient fait mention do Dcscarlcs comme ayant ])ropos6 le (iremier
celle courbe, à laquelle Roberval donna lo nom àa galand (nœwà de ruban) et ([ui esl
ordinairement désignée maintenant sons celui do filiiim de Dacortci.
MÉTHODES DE QUADRATURE. 277
Si cnim in quarta figura {fig. i45) supponatur yequatio curvai ooii-
stitutiva, ut superius diximus,
Bq. — Aq. a^quale E<j.,
non solum ex eaderivahitur nova curva ad basini, cujus œquatio est
Bq. in Eq. — Eqq. ff'qualo Bq. in f/(/.,
scd etiam nova curva ad diametrum, aîquando potestatem applicatœ,
(jua; est Eq., producto B in U.
Dabuntur cnim omnia producta B in U aà diametrum applicata et.
omnibus per B divisis, dabuntur omnes f/diametro applicat;v, ideoque
quadratura curvae novae ex priore versus diamclrum oriundœ, cujus
iequatio erit
Bq. — Aq. œquaic B\nU;
unde statim apparct novam illam curvam versus diametrum esse para-
bolen.
Hujusmodi autem transmutationum beneficio, non solum ex priori-
bus curvis oriuntur novae, sed itur, nuUo negolio, a parabolis ad hyper-
bolas et ab byperbolis ad parabolas, ut experientiâ constabit.
Sicut aute[)i a curvis, in quibus dantur potestates applicatarum, fit.
praeccdentis ope analyseos, transiatio ad curvas, in quibus latera ap-
plicatarum in rectilineis dantur, ita ex curvis in quibus dantur bâtera
applicatarum, devenitur facile ad curvas, in quibus potestates appli-
catarum dantur.
Cujus rei exemplum esto curva, cujus aequatio
Bq. in Eq. — Eqq. icqualc Bq. in U(i.
In bac enim aequationc, ut jam probatum est, dantur omnes U. Po-
natur
,, ,. A\nE
U icqiialis esse ■ — j — ,
et, subrogando in locum ipsius U, novum ipsi assignatum valorem.
A\nE ,. ,
-^,fiet
Bq.in Eq. — Eqq. œquale A</. in Eq.
278 ŒUVRES DE FERMAT. - 1° PARTIE.
et, omnibus ahs ]-!q. divisis, rcmanebil
Bq. — Eq. œquale Aq.
.sivc
Bq. — Aq. .Tqiiale Eq.
Dabuiitur igitiir in bac nova curva, quam apparet esse circulum,
oninia E quadrata.
Quod si, ex prima curva in qua dantnr latera applicatarum, qiispra-
tur nova in qua dentur cubi applicatarum, eàdem metbodo iitcndum,
modo potestates ignotarum conditionarias usurpemus.
l'roponaturenim curva quam supcrius ex alia deduximus, et sitillius
«quatio
Bqc.\n Uq.\n Eq. — Eccc. rc(iuaiis BccmUc.
Probatum est in iila dari aggregatum omnium U, boc est, latera
applicatarum. Lit itaquc^ ex eà nova curva derivetur, in qua omnes cubi
applicatarum dentur, ponatur
Bq.
et in locum U substituatur novus isle quem ipsi assignavimus valor,
fîet tandem, operando secundum prœcepta artis, ;equatio
iiilcr fthiiq. — le. cl Ec,
quje dabitcurvam in qua omnes Ec, cubos applicatarum reprsesentan-
tes, dabuntur.
Ex bac autem metbodo non solum dantur et inveniuntur quadratio-
nes intniita\ nondum geometris cognita\ sed miiltac eliam pariter inli-
nita' deteguntur curva\ qnarum quadratur», supponendo simpliciores
quadraturas, ut circuli, ut byperboles, nt aiiarum, expediuntur.
Exempli gratia, in a'quatione circuli, in qua
Bq. ~ Aq. îcqiialur Eq.,
dantur quidem in rectilineis omnes applicatarum potestates, qnarum
exponentes signantur numéro pari, ut omnia quadrata, omnia quadra-
loquadrata, omnes cubocubi, etc.; sed potestates applicatarum, qua-
MÉTHODES DE QUADRATIIUE. 279
riim cxponcntes signantiir numéro impari, ut omnes E cubi, oiiiuos
E quadratocubi, dantur tantum in rectilincis, supponendo ipsain cir-
culi quadraturam. Quod non est operosum demonstrarc et in piaxin
redigerc, 'anquam corollarium nietliodi prsecodcntis.
Pierum(|uc autem usuvcnit ut iterandte vel bis vel eliam s;epius sint
opcraliones ad in(|uii'cndam curv;e pi'0|)osita' dimensionem.
Proponatur, exempli gratia, curva cujus a'qiiatio sequens specioin
deterniinet :
Bc. aM|iialis Aq.m E -i- Bq.'in E.
Si dantur omnes E, ergo dantur omuia sub rccla data ( li videlicet)
in A' rectangula. Rcctangulum II in E, invertendo superiorem, de qua
ogirnus in principio Disscrtationis, nietliodum, a'quelur quadralo,
Oq. Ergo
-~ œquabuur h
et, subslitucndo, in locum E, novum liunc ipsi assignatum valorem,
liet
B//(j. leqmtle Iq. in Oq. -t- flq. in Oq.
Et ha^c sit prima operatio, qu;c est inversa ejiis quani initio luijns
Disscrtationis pr.Tmisinnis, et qua; novani curvain expriniit, in ([ua
in([uircn(luin restât an denlur oninia Oq. Recurrendum igitur ad se-
eundam nietliodum, eujus Ijenelicio ex quadratis applicatarum latera
nova' curvïc in(|(iirinuis.
Ponatur -q— ^ ex superiore quam secundo loeo (^xliibuimus nie-
tliodo, ;equari A et, suljstitueiido, in locum .1, ipsi jam assignatum ex
nostra methodo valorem, fiet
/>''/'/. — /Iq. in Oq. a'iiiiiile /Iq. in Uq.
et, omnibus per /iq. divisis, evadet tandem
/iq.— Oq. aî(]uale Vq.,
(|ua^ ;e(|natio dal circulum, et in ea omnes 6^ dantur, supponendo qua-
draturam circuli.
280 ŒUVRES DE FERMAT.- I- PARTIE.
Kecurrcmlo igilur ad priorem curvam, in qu.i
Bc. poniluc œquari Atj.lnE -k- Bq.mE,
patet spatium ah ca curva oriundum per quadraturam circuit posse
quadrari, idque per duas ciiivas a priorc divcrsas analysis noslra bre-
vitcr et facile cxpedivit.
Hœc vero omnia et ad inventionem rectarum curvis aequalium et ad
plcraque alia non satis hactenus indagata proljlemata iiiservirc statiiti
experiondo ày^îvouç analysta dcprelicndet.
Sit in sexta figura {fig. i48) parabole primaria ADB, cujus axis CB,
K 0
Fig. .48.
S X
l
N
R
V
^-^y
1
/^
D
/\\
M
C
r
applicata CD œqualis axi CB et recto lateri BV, fiantque BP, PL, LG
singulœ aequales axi CB et ipsi in dircclum. Sumatur in curva quodvis
punctum, ut F, et, datis infinitis BX, PS, LO ipsi CD parallelis, ducatur
FXSOK parallola axi, occurrcns rectis <; BX >, PS, LO in punctis
■< X >, S et 0; et fiât ut sunima rectarum FX, XS sive
ni tola FS ad SO. ila SO ail OK;
et, sumptis similiter punctis D, E, liât
m DR ad RN, ila RN ad NI,
ut EQ ad QM, ila QM ad MH;
et
et intelligatur curva infinita per puncta G, H, I, K etc. incedens, cujus
asymptotes erit recta infinita LO.
Curva bœc GHIK est ea cujus spccies a superiori cTquatione determi-
natur, in qua
Bc. œqiiatiu' A q. in E -\- Bq. in E.
METHODES DE QUADRATURE. 2S1
Aio Uaque, ex jani tradita opcratioiuim analytica iteralionc, spatiuin
KIHGLMNO, iii intinitum versus piincta K, 0 cxtendenduin, ;i'(|iiale
esse circulo, cujus diameter est axis BC, < bis sunipto >-.
liane vero (jiuestionem, al) erudito geometra nobis pmpositam, ita
statim expedivimus : eadem mothodo spatiuin a Dioclea conipielien-
sum quadravimus, vel ad circuli quadraturam rcduximus (').
Scd elegans imprimis operationum iteratio evadit, ([uuni ab altiori-
bus applicatarum potcstatibus ad dcpressioros, vel contra a dcpressio-
ribus ad altiorcs, analysis ipsa transcurrit : eui niethodo pr;i'scrtini
debeatur inquisitio summ* applicatarum in quacumfiue curvâ |)ropo-
sitâ, et nuilta alia problemata tetragonismica.
Proponatur, vcrbi gratia, curva cujus aiquatio
Bq. — Aq. îL'qiKllc £"'/.,
quam statim apparet esse circulum. Quœritur summa cuborum appli-
catarum, lioc est, summa E cuborum.
Si dantur omnes E cubi. crgo, par précédentes secundum pofesta-
tis conditioncm metbodos, ex ca curva potest alia ad basini dcrivari,
in qua dabifur summa applicatarum. Ponatur igitur ex metliod»
Bn.\nO
— -= ie(|uaii A :
Eq.
ergo, substituendo, in locum .4, jam assignatum ipsi valorem, tiet ex
metbodo
Bq.\i\Eq(l. — Ecc. nef|uali' Bqq.'mOq.,
quaï est tcquatio curva\ in qua omnes O dantur ex suppositiono quam
fecimus, in prima curva dari omnes E cubas.
Quum igitur in bac nova curva omnes O dcntur, ex ea derivetur ter-
tia, in qua qua'rantur quadrata applicatarum, non vero cubi, ut in
priore curva jam suppositum est. Fingatur igitur ex nostra, qua' in
(') l'air le fragment qui suit lo prcsciU Traité. Quant à la (|ucstion qui précède, on
ignore quel géomètre l'a proimsée à Format.
I'frmat. — I. y6
282 ŒUVRES DE FERMAT. - I- PARTIE,
quadratis, ut jam supra diximus, usurpatur, methodo,
— j- — ;ïqiiaii O:
h
ei'go
Bq.mEqq. — Ecc. feqiialjiliir Hq.m Eq.hx Uq.
et, omnibus abs Eq. divisis, fiet
liq. in Eq. — Eqq. ;cr|uale Hq. in Uq. ;
et in bac curva omnia E quadrala dantur.
Si igitur ex bac curva quaîramus aliani in qua onincs applicatœ den-
tur, ponatur, si placet,
Eq. aiquale li in Y :
t
ergo, in uUima bac ;cquatione,
IS\nV—Vq. mqualiilur U<i.
et, quum in superiorc dentur omnia E quadrala, dabunlur in ista
omnia rectangula B in Y, ideoque omnes Y.
Quuui ergo omnes Y dentur in liac ultima curva, qua- est circulus,
ut patet (igitur eâ tantum conditionc dantur, si supponas (biri circuli
quadraturam), regrcdiendo igitur ab bac ultimà, in (|ua (b-sinit iiostra
analysis, curvà ad priorem, patet omnes applicatarum ad eireulum
cubos dari, supponcndo circuli quadraturam.
Idem (b- ([uadratocubis, de quadratoqua(h'atocubis et ca^teris in infi-
nitum gradùs imparis potestatibus demoustrarc est in promptu; sed
muitiplicatur numerus curvarum, prout altior est, d(î qua inquirimus,
potestas.
Nec est difficilis a!) aualysi ad syntbesin et ad verum quadranda'
figura^ calculum regressus.
Sicpius autem contingit et miraculi instar est per plurimas numéro
curvas incedendum et exspatiandum esse analystte, ut ad simplicein
a^(|uationis localis propositaî dimensiouem perveniatur.
MÉTHODES DE QUADIIAÏUIIE. 283
ProponaUir. cxompli causa ('),
JfniA -//"
A''
X(\unr\ lit].
Quuin siipponatur dari quadratiira figurie ox liac aîquationo oi iuii(l:c,
ilahuntiir omncs A, ergo omnia liinA, ([ua- si arques ([uadralo igiioto,
Oc/., (lal)unturomiiia Oy., ot
A ;L'(|ualjitiir
iil('0(|iR' fiet a-quatio
ir-xnOn.-n''' . ,,
mter rrp; el /i'/.
Kx Iiac nova curva, alià inetliodo de qua totios egimiis, deducotiir
tertia in ([ua, quia dantur omnia O (juadrala. ponatur
limU
— -^ — ;ec|unri h :
ergo ik't ;e(juatio
/)"» in Oq. — H'"- ,,
""f"' ^0 '■•■ ^'Z-'
undc deducetur fcru'a curva ('-), in qua dabnntur omnes O, idoo([ue
omnes U.
Si dantur omnes (l, ergo ex prima nietliodo dantur omnia sui) J! i/i U
rectanctula. Sit
's
Jl in U ;i'(iiialc }'(j..
(' ) Pour ce qui suit, jusqu'à lu lin du TraiLé, on a reproduit l.i notation e\|>onciiticllc
telle ([u'clle se trouve dans les Varia, où d'ailleurs elle n'ci|i|)arait pas plus tôt. Il est
cependant douteux que Fermât, après avoir alTecté jus(iue-là de c.nnserver la notation du
Victe, l'ait abandonnée sans faire une roiiiar([ue analogue à celle qu'il a inscrite dans un
Traité de la môme époque {voir pins haut, p. iv.y, lignes 4 à C en remontant) (lonr une
occasion où l'emploi des exposants s'imposait davantage à lui; il est surtout doutcu\ qn il
ait apiiliqué ici la nouvelle notation aussi systématiquement (pic l'indiqueraient les l'anti.
En outre, dans celle lin du Traité, on peut siiupronner d'autres remaniements du te\le.
fair la note qui snil-
('-) Les Vtiria, an lieu de icrlia, portent qiiarta; tous les noms de nombre qui siiivent,
el ([ui sont inscrits en italiques dans le texte, sont de même angmenlés d'une unité. Un
peut adETiettro une inadvertance do Fermât; mais il est également possible ipie son texte
ait été corrigé à tort et même défiguré par l'addition de gloses dont l'auleur aura \oulu
numéroter successivement les dillérentes courbes dont il est question.
-281 ŒUVRES DE FERMAT. - I"^ PARTIE,
ideoquo
et tict œquatio
-T- œquabilur U,
n''-\nOn.~/l'''
>"'(>'• (JTo et r%
undo oriotur quarta curva, in qua dabuntur omnia Y quadrala.
\\\ illà, solità methodo, dcducatur alia curva et fiai
Bml .. .^
Oninil)us secundum pr^ocepta Analysées peractis, fiet
Ji'' in V' \n/rj.~ H' m V" ;rf|ualo /'»,
inidc orietur (/iii/i/a curva, in ([iià dahuntur onines Y, ideoque omnes /.
Kx ea, contraria (|uam jam sœpius inculcavimus methodo, quéeratur
alia curva in (jua dentur quadrata applicataruni, et sit
/in.'l ,. ^
— jj— .'pqualrs V
(niliil onini vetat defectu vocalium ad priores supra usurpatas recur-
rcre) ; iiet
/!//. \n A'— A" !B(|iiale Jlrjinl-,
undc oi'ietnr curva scxla in qua omnia / (/itadrata dabuntur.
Reducantur ad latora, nota et su'pius iteratà supcrius methodo, et
fiât
Iq. :ef|tiale II in E :
or^o omnia DmE dabuntur et inde deducetur septima curva, in qua
AV/. in ('— 1'' ;L>(|iial)ilui' /!■ in h'//.,
in caque dabuntur omnes E, ideoque omnes A.
Ex ea dcducatur alia curva, in (|ua dentur quadrata ajtplicatarum, et
ex methodo ponalur
A\n()
— Y — ;L'(|iiaii h :
METHODES DE OUADIIATURE. 285
ergo
Hrj. in A''— A'' \v(\\va\\'\\w Bq. in Aif. in Or/.
t't, omnibus abs Aff. divisis, fiet ;iu[uatio
inlei' //r/. in /!'/. — .1' cl /!'/. \n Oi/.,
in (jua omnia.'l r/uadrata dabuntur elcritocmra cui'va ab oa icqualionc
do termina ta.
Quum if^itnr in oa omnia .1 (jitadrala Aonliiv, doducatur ex oà alla
tandem curva, in qua dentur latera, ef sit
ylq. ;c(|iiale II in U;
fiet
Il'in U — Ufj. ;ef(ualc 0'/ ,
qii;e nitima sequalitas dabit nonam curvam, in qua omnes IJ dabun-
tur.
At lia'c ultima curva est circulus, ut patet, et in ca oninos U non
dantur, nisi supposita circuli quadratura : ergo recurrendo ad primam
ciirvai proposittc constitutionem, dabitur illius quadratura, suppo-
nendo ipsam uUim;o istius curv;o sive circuli quadraturain. Beneficio
igitur «(MY'w curvarum inter se divcrsarum ad notitiam prioris poivo-
ninuis.
< DE CISSOIDE FI\AGMENTUM> ^''.
Esto cissoisEAPS(y?^'-. i49)in semicirculo LVAIJli], cujuscentrum il,
diamoter LE, perpcndicularis ad diametrum radius HA, asvniptolos
infinita cissoidis recta LU ad diametrum perpendicubiris.
Aio spatium contentum sub EL, cissoide iniinita EAPS et asym[)lol()
(') Fragment publio |iar M. Cli. Henry {Pierre de Carcm'y etc., p. ;i8-4<i), d'uprcs
lo manuscrit de la Bibliotlicipio de Leyde, fonds Iluj'gens, n° ItO. 11 snit la lotirc de Carcavi
à lluyi;ens du i" j.mvier i(i(i), et porte comme titre : De M. de Carcuiy, qui l'ai'oil de
M. de Fermât, avec la remar([iie de lliiygens : « ./'a/ deinonstré cette l'ropositioit \ (dis-
mipann'aiit. u La coiiio ne parait pas très fidèle.
280 ŒUVRES DE FERMAT. - I- PARTIE.
infinita LR, esse triplum semicirculi LAE, ideoque, si altéra semicirculi
parte eadem fiai coiistructio, ambo spatia culminantia in puncto E esso
tripla totius circuli.
Demonstratio non est operosa, imo satis elegans.
Sumantur duo puncta 1 et G in diametro, utcumque sequaliter a
centro distantia, ita ut rectse Hl, HG sint œquales, ideoque rectœ LI,
Gl']. A punctis I et G excitentur perpendiculares occurrentes cissoidi
*-ig.
>:\'.)-
C KE
in punctis P, Y et circule in punctis V et B. Jungantur radii HV, HB et
a punctis V et B ducantur tangentes VM, BD, occurrentes diametro in
punctis M et D. Sumatur minima quanis, ultra punctuni I. recta IK et,
ultra punctuni G, recta GF ipsi IK ;e(jualis, et a punctis K et F exci-
tentur perpendiculares a<l diamctrum recta' KN, FC occurrentes tan-
gentiluis in punctis N et C, a quihus demittantur perpendiculares NO,
CQinrectas VI,BG.
His ita constitutis, patetspatiuni cissoidale œquari omnibus rectan-
gulis sub P[<iu>'lK et sub YG<;in>GF, utcumque iibilibet
sumptis, bases ipsis Kl, GF ;equales babentibus et altitudincs an-
MÉTHODES DE QUADHATURE. 287
giilis l'ectis ad cissoidem similitcr applicatas. Est autem, c\ naturn
cissoidis,
III VI ad lE, ilu ;IE ad IP;
sed lE est a-qualis recLis IH et IlE sive IIV : crgo est
lit IV ad suminam rectaruiii III, IIV, ila lE ad IP.
Sed, propter similitudinem triaiigulorum HVI, VMl, VNO, est
lit IV ad suinmaiii leclaruin III, IIV,
ila recta NO ad suinmam reclariiiii NV, VO :
ei'go
ut NO sive Kl est ad NV [lins VO, ila esl recla lE ad roclam IP.
Rectanguhim igitur sub IP < in > IK œquatur rectangulo siib lE in
NV pins rectangulo sub lE in VO.
Ex alla autem parte, est, ex natura cissoidis,
ul liG ad GE, ila GE ad GY;
sed GE est «qualis recta^ HE sive HB minus HG : crgo est
ul HG ad HII niimis IIG, ila GE ad GY.
Ut autem liG ad BII minus IIG, ita, propter similitudinem triangulo-
rum, ex jam dcmonstratis,
recta OC sive GF esl ad BG minus BQ,
ideoque rectangulum sub YG in GF squabitur rectangub) sub GE in WC
minus rectangulo sub GE in BQ.
Ex constructione autem, quuin rectse HT, HG sint ;o(|uales, item
rectaî Kl, GF, patct reliquas œquari, ncmpe VN ipsi BC, VO ipsi BQ ;
undc patet duo rectangula correlativa, sub PI in IK et sub YG in (îF sive
in eamdem IK, ;o(|ualia esse rectangulis sub lE in NV, pins GE in BG
sive LI in NV, plus lE in VO, minus GE in BQ sive in VO. Rectangula
autem duo sub lE in NV et sub LI in NV a'quantur unico rectangulo
sub diamctro LE in NV; rectangulum vero lE in VO minus GE in VO
288 ŒUVRES DE FERMAT. - I' PARTIE.
nîquatur roctangulo sub IG in VO sive rectangulosub IH sive VX in VO
liis : eigo summa rectangulorum sub PI in IK et sub GY in camdem IK
îcquatui" rectangulo sub diamotro EL in VN et rectangulo sub VX in
VO bis.
Reetangula autem omnia sub diainetro et portionibustangentium VN
in cjuadranto circuli LVA ductarum l'epra^scntant reclangulum sub
diametro in quadrantom LVA, hoc est duplum semicirculi LAE; lec-
tanguhi autcni omnia sub VX in VO bis sive, ductâ OZQ parallelà
diametro, reetangula omnia sub VX in XZ l)is repraesentant totum
semicirculuni LAE.
Ergo spatium cissoidale, quod aiquatur duobus iliis reetangulorum
sei'icbus, ;equatur triplo semicirculi, ut patet.
OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE.
l'KRMAT. — I.
OBSERYATIONES DOMIM PETRI DE FERMAT.
I (i>. 5',).
(Ad definitionem VI Cl. Gasparis Bacheti Forismatum Libr. III.)
A (luobiis (juibuscuini|iic iiiiiiicris l'orinari dicilur IriaiiguUiin rccUiiigulum, quum e.\
aggrcgalo cl ex inlervallo quadralorum ub ipsis et ex duplo plani sub ipsis nunieris con-
tcnti conslaiit latcra Irianguli.
A tribus numeris in proportione arillimetica possunius foriiiarc
triangulum, si sccunduin liane dcfinilionem sextam l'ormenuis illiul
a nu'dio et difTerenlia. Nam solidum sub tribus duetum in difleren-
tiam faciet aream dieti trianguli, atque ideo, si diderentia sit unitas,
solidum sub tribus erit area trianguli.
il (p. 6i).
(Ad question. VIII Diophanti Alexandrini Arithmeticorum Libr. II.)
Proposilum qiiadralum dividoro in duos quadratos.
Cubuni autem in duos cubos, aut quadratoquadratuni in duos qua-
dratoquadratos, et gencraliter nullam in inlînituin ultra qiiadratuiii
potestatem in duas ejusdein noniinis las est dividero : eujus rei
dcmonstrationem niirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non
eap(;ret.
III ([>. (i.>).
(Ad qusstion. X Libr. II.)
Dalum numeruiii, qui ex duubiis coiiqiuiiiuir (|ua(iialis, in alius < duos > quadralos
parliri.
Nuni vcrb nunierum ex duobus enbiseornposituin dividcre poterinius
in alios duos eubos? ll;ec quteslio dil'licilis sane nec Baebeto aut Viehe
292 ŒUVRES DE FERMAT. - I^ PARTIE.
cognita, fortassc nec ipsi Diopiinnto; ejus tamcn solutionem dedirnus
infra in notalis (') ad qusestioiioni secundani Libri IV.
IV {p. ."7).
(Ad question. X Libr. III.)
OiiU) nlii|iio numcro, invciùre tros alios, uL coiiipositiis ex binis qLiibusIilipl ndsuiiiplu
clnlo niiiiicro faciat fiiiadratiim, scil cl sumina Iriiiin (lato minicrn adjcclo facial (iiiadra-
liiiii.
Quomodo invcniendi siiU ([uatuor numeri ut compositiis ex l)inis
(jnibuslibet adsumpto dato numéro conficiat quadratum, invcninius ad
propositionom 30 Libri V.
V (r-'"S)-
(Ad question. XI Libr. III.)
Dalo aliqiio niiincro, invcuirc 1res alios, ut coinpositiis ex diiobiis qiiibiislibcl demplo
dali) iuiiiiei-o facial qviadraUim, sed cl Irium siiinma dctraclo dalo mimci'o facial qiiadra-
liim.
Qiise notavimus ad 31^'" Libri V, docebunt quomodo inveniendi siut.
(juatuor numei'i, quorum l)ini (piilibot suuipti dompto dato numéro
conficiant ([uadratum.
VI (p. mS).
(Ad quœstion. XVII Libr. III.)
hiveiiire Ires numéros ut produclus ex binorum nudliplicalioiie, adsum|ità eoruindeni
suuiiuâ, (pjadraUim facial.
Exstat liujus (|utcstioni.s Dioplianti problema (-) in Libro V ((lues-
tionc 5. Num verb problema scquens ipse Diopbantus sciens pr;eter-
misit, an polius in aiiqiio fredecim iibrorum couslructum erat, nesci-
mus :
(' ) Vi)ir ci-aiircs l'observalioM l.\.
C^) J)inph., p. '210 : n bivciiii'O très qua(h'atos, ul quem biui faciinU plauum, sive ad-
sciscal anibyruin suiniuam, sive rcliquum, facial quadratum. »
OBSERVATIONS SUR DIOPIIANTE. 293
■ fnvenire 1res quadralos ut productiis ex bi/iorum multiplicalione , u<l-
surnptà conimdeni siir/i/nà, quadralum facial.
Hujus tamcn qua^stionis itifinitas solulionos darc possumus. En,
vorbi gralia, scqiientcm solutioncm : satislaciunt nempe prohiemati
très quadiati scquentcs
3 5o4 381 a oig 94i .
2o3 4oi 2o3 !\o\
l'rinius ([iiadratus, Socundiis ([iKidratus, Tertius {[uadratus.
Iino et iiUcriiis progredi et Dioplianteani qiKESlioncin promovcre
niliil velat. Sequeiis eniin problema generaliter et intinilis niodis coii-
sti'uxiimis :
Invenire quatuor numéros sub (juibus biais quod fil pUinuin, adseilà
amboruin sitinmà, facial (juadralum.
Inveniantiir, per S'"" propositionem Libri V, très quadrati ut qiieiii
bini faciunt planuni adsciscens amborum summam faciat quadratiini,
et simto illi luimcri ([uadrati
9.5 64 196
9 ' 9 ' 9
Sunt ei'go très isti quadrati très primi nostrsc quœstionis. Ponatur
quartus iN; fient tria producta unà cuni summis aH|uaiia
— N H , ^— N + — , — N + ^^ •
9 9 9 9 9 9
rriiiiiini, Sociindinu, Turtiiiin.
Ilœc igitur tria 3e([uarula quadrato, et oritur triplicata.sequalitas,
cujus explicationeiu dedimus ad ([ua3stioiicm 24 Libri VI.
VU (p. 127-128).
Ad commentarium (in quaastion. XXII Libr. III), praecipue ad locum illum :
Aih'crlc tcrùo etc. ( ').
Numcrus priuius, (|ui su|)eral uiiitate (|ualeruarii niultipiicetn, seuiel
(') Ce rein oi, indique par Samuel Kermal, ii'esl pas exact; l'observaliu!! île Fermai
porte surtout sur la lin du cumuiculairo de Itaeliel, à partir de « C;elcrum uniinadversioiie
29i ŒUVRES DE FERMAT. - 11" PARTIE.
tantum est hypotcnusa trianguli rectanguli, cjus qiiadratus bis, cubus
ter, quadratoquadratus qualer, etc. in infmitum.
Idem numcrus priimis et ipsius quadratus componuntur semel ex
duobiis quadratis; ejus cubus et quadratoquadratus, bis; quadrato-
cubus et cubocubus ter; etc. in infinitum.
Si numerus primas ex duobus quath'atis compositus ducatur iii
alium primum etiam ex duobus composituin quadratis, productum
componetur bis ex duobus quadratis; si ducatur in quadratumejusdeni
prinii, productum componetur ter ex duobus quadratis; si ducatur in
cubum ejusdcm primi, productum componetur quater ex duobus qua-
dratis; et sic in infmitum.
Hinc facile est determinare quolies numerits datas sit hypotcnusa
trianguli rectanguli.
Sumantur omnes primi, quaternarii multiplicem unitate supcrantes,
qui datum numcrum meliuntur : verbi gratia, 5, i3, 17.
Quod si potestates dictorum primorum metiantur datum numeruni,
(liioqiie (ligimni esl, elc. (p. ['27, 1. 7) ». En fait, le problcinc de ttiophanlc consisle à
irouver quatre nombres tels que la somme de leurs carrés, augmentée ou diminuée de
ciiacun de ces nombres, fasse toujours un carre. Dans son couunenlaire, Bacliet remarque :
i" Comment Diopliante ramène ce problème à celui de trouver quatre triangles rectan-
gles en nombres ayaiU une même hypoténuse;
2" Comment ce nouveau problème se résout en nombres entiers par le clioi\ do deux
triangles rectangles non semblables, et on multipliant les côtés de chacun d'eux par l'Iiypo-
Icnusc de l'autre.
C'est-à-dire que si l'on a
ci- +- //- — c- et '('; + /j^ = c; ,
on aura
I I ) icx = at'i -(- Ijc\ — n^c -\- h^c .
■>" Si d'ailleurs les hypoténuses sont, chacune respectivement, somme de deux carrés,
leur ])ro(hiit peut être décomposé en deux carrés de deux manières dillërentes.
Si l'on a
(• = 3-^-4-p2 et c, = a^ + p';,
m\ aura
Hachot ajoute (pie, toutefois, les deux carrés composant chaque hypoténuse doivent être
inégaux, et ipi'il ne doit pas y avoir de proportion entre les ipiatre.
(" Comme maiiilenaut, si un nombre esl décomposé en deux carrés (soit p'^ et c/-), on en
OBSERVATIONS SUR DlOPllANTR. 295
disponanfur iinà ciim reliquis loco latcriim : vcrbi gratia, mctianlur
tlatiim niimoriiin
5 pcr ciiljiim, i3 per quadralum, cl 17 pcr lalus simplicilcr.
Sumantur cxponentes omnium divisorum : nempe numcri 5 expo-
ncns est 3 propter ciibiim; numeri i3 exponens est 2 proptcr quadra-
tiim et numeri 1 7 unitas tantnm.
Oi'dinentur igitur, ut voUieris, dicti omnes exponentes : ut, si velis,
3.2.1.
Ducatur primus in sccundum his et producto adjicieudo summam
primi et secundi, fit 17. Ducatur jam 17 in tcrtium bis et producto ad-
jiciendo summam 17 et terfii, fit 52. Datus igitur numerus erit hypote-
nusa 52 triangulorum reclangulorum; nec est dissiiiiilis in quotcum-
que divisoribus et ipsorum potestatibus mctbodus.
Rcliqui numeri primi qui quaternarii multiplicem unitate non supe-
dédiiit qu'il est l'Iiypotéiiusc d'un liiaii.L;le rcclaiiglc en nniiibros, car
( //^ + q^ y- =(p''~<i^y-^( ;. pq )'- ,
on aura ainsi le moyeu de coiistruiro deux nouveaux triangles reelangles aviuit rc, pour
hypoténuse, et le problème sera résolu, sous la réserve que les opérations ne seront t)as
illusoires, comme cela arriverait si, dans la double dccomi>osiliou (a), on tombait sur une
, 1 - . . • . , , . «1 51 + 3
somme de deux carres ccaux; on doit eu conséquence exclure le cas ou 75- = •
5° liacliet indique les corrections qu'il a apportées au texte grec.
6° Il montre comment le procédé de Diopliante peut être généralisé, en prenant deux
nombres sommes de deux plans semblables; le produit de ces nombres peut en elTet, s'il
n'y a pas iiroporlion entre les com|)osants, être divisé en deux carrés de quatre manières
différentes.
Enfin, il soulève la question que Fermât a complètement résolue dans son observation,
à savoir de trouver un nombre déeompxjsable en deii\ carrés de tant de manières que l'on
voudra. Si, dit-il, on multiplie un nombre (pii est i fois seulement somme de deux carrés
par un nombre jouissant do la même propriété, le produit sera somme do deux carrés
■f. fois seulement. Un tel nombre, multiplié par un autre décomposable i seule fois, don-
nera un produit décomposable 3 ou 4 fois seulement ('5 fois si le multiplicateur a un fac-
teur comuum avec le multifilicande, 4 fois dans le cas contraire). Un nombre décomposable
j fois seulement, multiplié par un ((ui no l'est que 1 fois seulement, donnera (en excluant
le cas de facteurs communs) un produit décomposable 0 fois seulement.
On peut continuer ainsi indéfiniment : Un nombre décomposable 4 fois et un qui l'est
I fois, ou bien deux décomposabics 2 fois seulement donneront un produit 8 fois décom-
posable. Un nombre G fois décomposable par un ■>. fois décomposable donnera un produit
■i.\ fois décomposable. Bacliet donne des exemples sans démonstration.
290 ŒUVRES DE FERMAT. - IP PARTIE.
rant, iiiliil aut addunt quœstioni aiit detrahunt nequc ipsoriim potcs-
tatcs.
Invenirc numerum qui qiiotics quis relit sil hypolenusa.
Qua>ratur numerus qui sit septies liypotenusa.
Numcrus 7 datus dupletur : fit 14. Adjicc uiiitatem : fit i5. Sunio
omncs primos qui 0iensurant i5 : sunt lii 3 et 5. Ab unoquoque demplâ
unitatc, sume reliqui dimidium : fiunt i et 2. Quœrantur tôt prirrii
divcrsi quot hic sunt numcii, iiempc duo, et secundum exponentes i
et 2 intcr se multiplicentur, nenipe unus in quadratum alterius; in hoc
casu satisfiet quœstioni, modo primi quos sumis supcrcnt quaterna-
riuni (') unitate.
Ex liis constat facile possc iiiveniri numorum minimum qui quoties
quis velit sit liypotenusa.
J/n'cnirc itumcrum qui quoties quis velit cowponalur ex duohus qua-
dratis.
Sit datus numerus 10. Ejus duplum 20, cujus omncs partes prima-
sumantur : 2.2.5. Ab unaquaque toile unitalem : liunt i.i.4- Suman-
tur igilur très numeri primi, qui nempe unitate supcrcnt quaterna-
rium (') : verbi gratia, 5, i3, 17; et quadratoquadratus unius, propter
exponenlem 4, ducatur in reliquos duos, fiet numerus quwsitus.
Ex bis facile potest inveniri minimus numerus qui quoties quis velit
componatur ex duobus quadratis(^).
Ut autem dignoscatur quoties datus numerus ex duobus quadratis
compointur :
Sit datus numerus 325. Numeri primi qui eum coniponunt, nempe
(juaternarium (') unitatc superantes, sunt : 5, i3, bic semel, illc pcr
(]uadratum. Exponentes disponantur : 2.1. Productum multiplicatione
jungatur summœ : fit 5, ciii adjunclii unitate, fit G, cujus dimidium 3.
Toties igitur numerus datus coinponitur ex duobus quadratis.
( ') Lisez « (inaleriiarii miiUiplicein u.
(-) l);ins l'cililion du SaïuuL'l Fcrnial, lo luxlo ilc ccl alinca so trouve après celui des
trois suivaiils.
OIJSEHVATIONS SUU DIOPIIANTE. 207
Si cssent très exponentcs, ut 2.2.1, ita procedenclum : Productuin
sub prioribiis adjunclum summ;o lacit H. Diicatur 8 in tertiiini et jim-
i,'a(iir productum siimma; : fit 17, cui jiingc iinitatcm : fit iS, ciijiis
diiiiidiiim dat 9. Toties iste secuiidus numeriis coiiiponetur ox diiolius
quadralis.
Si iiltiimis luimeriis hifariaia dividciidus es.seL iiiipar, (une, deinpià
unitalc, ndiqiii diniidium sumi dchet.
Sod proponatur, si placol, scquens quicslio : I/ncnirc nuinvmm in
uilcgris f/iii adstimpto dalo nitincro confîcial <ma(lraluin cl sil Itypolcniisa
(liiotHhet triangulortun rcctangulorum.
Haec qua?stio ardua est. Proponatur, verhi gratia, invcniendus nn-
merus qui sit bis liypotenusa et adsumpto hiiiario conficiaf (piadra-
tum.
Erit quaesitus luimerus 2023, et sunt alii infiniti idem priestantes,
ut 3362, etc.
VIII (p. .33).
(Ad commentarium in question. II Liir. IV.)
yu.KSTio DiopiiVNTi : Invenirc duos niimcros, ut illorum iiUcrv;illum daUim fiici;it 1111-
nierum et cuborum quoquc ab ipsis ortorum sit quod pra^scribilur iutci'vallum.
Qu.ESTio i-niMA B.vciiRTi : Ualis duubus cuhis, iiiver.ire duos alios, quorum siimuia
a'qualis sit datorum intervallo. Oportct autem dupluin niinoris cubi non suporarc ma-
jorem.
Caiwii : Ulrumquc daloruin cuboruni ducito ter in latus alterius, j>roductos dividc pei-
sumniam cuborum, a majore quolicntc aufer minus latus, cl minorem quoticntem aufcr a
majore latere; rcliiii[uentur cuborum quœsitorum lalcra.
Detcrminationem operalionis iteiatione facillinie toliinuis et gene-
ralitcr tum liane quœstionem, tutn sequentes quœstiones construinnis,
quod ncc Bachetus née ipse Vieta ( ' ) expedirc potuit.
Siiit dati cubi G4 et 12.G, inveniendi alii duo (|noruin suinnia a'(|ua-
lis sil daloruui intervallo.
( ') Vicie avait déjà traité comme Baclicl les trois questions sur lesquelles portent celle
ob.servation de Fermai et la suivante. Voir Zktictic. IV, 18. ig, -hi ( |iages 71-75 de l'édi-
tion de Scliootcn).
KbBMAT. 1. 38
•iOS ŒUVRES DE FERMAT.- Il- l'AKTlE.
Ex ([uaistione tcrtia, folio scquciiti ('), quaM-antiir duo alii cul)'!
(|uorum diiïerentia œquet diiïorentiam datorum. Illos HaclieLus iiivcnit
et sunt
.r-^- Ci. ~ -•
•2.)o o:j7 l'.jo olf-]
[sti duo ciibi ex constructione habont inlervalluni .Tequalc intervallo
datorum; sed isti duo cubi, inventi per quœstionis tcrtia; opcrationeni,
possunt jain transferri ad quaeslioncm primam, quuni duplum ininoris
uoii superel iiiajorem. Datis ilaque bis duoI)US cubis qu;erantur alii
duo quorum summa a.>quctui' intervallo datorum; id ([uidem licel per
determinationem bujus quaîstionis prim». At intervallum datorum
borum cuI)orum est pcr qutustionem tertiam iequale intervallo cubo-
rum i)rius sumptorum G/j et 12:'); igitur construcre nibil vetat duos
cubos quorum summa ;equalis sit intervallo datorum (i'i et 12),
(|uod sane miraretnr ipse Baclietus.
imo, si très ist;e qua^stiones eant in cireulum et itercntur in inlini-
tum, dabuntur duo cubi in infinitum idem pr;estantes; ex inventis
(mim ultimo duobus cubis quorum summa a'quet dilTerentiam dato-
rum, pcr quœstionis secundic operationem quœremus duos alios quo-
rum diflerentia a?quet summam ultimorum, iioc est intervallum prio-
rum, et ex bac differentia rursum qu;eremus sumniam et sic in
intinitum.
IX (p. >-sr,).
(Ad eumdem commentarium. 1
Ol'.estio seclnda B vkmiîti : Dalis duobus cubis, iuvciiirc liuos abos, (luoruiu ililïereutii.1
tU(|uct sunimam dalorum.
Cniiiin : Uli'uuu|uo (hitoi'um ciiborum (hicitci lor in biliis allei'iu?;, iiroduclos divldc per
iulci'valhiui culjorum, et niinori quolienti adde uuijus lalus, alqiie a majore quotienlc
auTcr uiiiius hitus; summa cl rosiibiuui exbibebuiU qu.L'silorum bitera cuboruui.
Ol'.estio tertia Haciiiîti : Datis duobus cubis, iuvcuirc alios duos, quorum diU'orculia
a;(|uel datorum dilterentiam. 0|)ortot autcm dupUim minoris excederc majoroni.
Cation : l'roductum ex utro(]uocubo teriu latus allcrius dividc per summam cuborum:
(') r<i/> i'observaliou suivante.
0 H s 1-: R V AI' IONS S [J I! 1) I () 1» Il A N T i:. 2!)!)
a juajore (Hiolicnlc aulcr iniiuis lalus, a minore (iiiuLieiUc aufer iiiajiis lalus. rclim|iJciUui-
latora qunfsitoninr) ciibonini.
Ilnjiis qiia'stioiiis dolerininalioneni non ossc Iciçitimani, simili (|ii;"i
nsi in prima quîcstionc sumus operationc, apcricnuis.
Imo ex siipiadiclis (|niuslionem, quam IJacliclus ignoiavit, Iclicilcr
consliiicmiis :
IhUuin /iiirneriun ex diiolnis citbis compositiini in duos alios cuhos divi-
dcre ,
idquc infini(is niodis por o[)eralionum contiiiuatam , nt supra mo-
niiimus, itcralioneni.
SiuL duo cuhi quil)us alii duo ii'([ualcs iuveniendi 8 cl i. Primùm
ex (|u;os(ionc sccuutia (ju;crantur duo cuiti ([uorum dillercntia icqucI
sumniam datorum, cruntquc
8ooo ,'în ' 3
Quia duplum minoris excculit majorem , res deducitur ad lertiam
([u;estionem, qua- dcmum reducelur ad pi'imam, clconslahil pi'opo-
sitid.
Si velis secundam solulioiicm, rursus qmostio redil)i( ad secun-
dam etc.
UL autem pateat (|ua'sti()uis terli;e determinationem non esse le^iti-
niam, datis duohus cubis 8 et r, inveniemli alii duo (|uoruni dillerentia
a'quet diircrentiam dalorum.
Sane Haclietus impossibilem hanc (ju;esti(ineni pionuntiaret ; eul)i
lamen duo per nostiani methodum invenli sunt scquentes (juorum
nempe dillerentia a'(|uatur 7, dillerentia' S et r. Cuhi auteni illi duo
sunl
9. CK>4 ^81 Cr'.:> I (,Sr ?>8', aiC)
latera i[)sorum
300 ŒUVRES DE FEIIMAT. - 1^ PARTIE.
X (p. .'|fi).
(Ad commentarium in question. XI Libr. IV. )
Ql'.estio DiopiivNTi : Inveiiiro duos cubos suis œqnalcs latcribus.
Ou.F.STio B\ciiETi : Iiivcnire duos cubos quorum suinma ad siimmani laterum sit iu dala
ratione, dummodo deuominalor rationis sit quadralus vel triens quadrali.
E.xlerii adJcrula liuic tleterminalioiii ([lue in notis soqiicnti (') addi-
diiiuis, et niiror Baclietum non quod mctliodiini generalem, (juœ sano
est diffu'.ilis, non viderit, sed (|uod saltcm non admonuerit lectorem
liane qua^ ah ipso traditur non esse generalem.
XI (|.. l'iS).
( Ad quaestion. XII Libr. IV. )
Invcnire duos cubos quorum inlervallum aequalo sit iulervallo laterum ipsoriim.
Utrum vero invcnire liccat duos iniadralnquadralns quorum i/iletval-
lum a'qualc sil inlervcdlo laterum ipsnrum. de hoc inquiratnr et tontetnr
artificiuni nostra; mcthodi, quod haud dahie siiccedet.
QiKerantiir enim duo qiiadrato(jiiadrati ita ut difTcrenlia hUcruin
sit 1, et diirerentia quadratoquadratorum sit cuhus. Erunt latera, per
priniam operationcm,
o 1.3
— ^ et — •
■11 11
Sed, quia primus numerus notatur signo —, iteretur operatio juxta
(') Voir Observation XII. Soit à résoudre
.r' -t- r'
'— ="\
lo procédé de Dacliet revient à éliminer/ en posant .r + >- = z. On a alors
3.r- — 3.r; -h z^ = a,
équation qui se traite facilement par les méthodes de Diopliantc, si a est carré ou triple
(l'un carré.
OIJSEIIVATIONS SUH DlOl' HANTE. 301
iiostram rncthodiim pt ponatiir primum latiis i N — 77!.;
sociiiuliim crit 1 N + ;^:|,
cl incidetiii' in iiovani oporationem qiue in vuris nuuioris quiestioni
satisfaciet.
XII (p. ./i8).
(Ad commentarium in eamdem quxstionem.)
Qu.ESTio lt\ciiiiTi : Inveiliro duos culw^, quonun inlcrvallum ad inlervalhim latcniiii
(lataiii habcal ratioiicm, diiminoilo dciiumiuator ratioriis sil quadraliis vcl Irions (|iuidi-ati.
D('tcrmina(io est illegitima, quia non gencralis. Atldenduni igi[iir
« vel muUipIex per numéros primos qui superant unitale teniaiii
inuUi|)licL's aut ab ipsis compositos », ut 7, i3, 19, ^7, etc., vcl 21,
91, etc. Denionstratio et construclio ex nostra metliodo petenda\
XIII ([1. i5/|).
(Ad quaestion. XVII Libr. IV.)
Invciiii'o 1res luimoros aequales qiuidrato, ila ul qiiadraliis cujiislibcl ipsoruni adscilo
scquciilc numéro facial quadraUini.
Elcgantius fortassc ila solvetnr ha'C quœstio.
Ponatur primus nunierus 1 N,
sccundus -jN -t- I, ul cum quadratu primi conficial
quadratum;
ponatur tcriius (juilihct unitatuni et numerorum numerus, eà condi-
tione ut additus quadrato secundi conficial quadratum; vcrbi gratia,
sit
:',N-+-3.
lia igitur dualius propositi partibus fit salis; supcrcst ut suinma
trium, scd et quadratus teriii unà cum primo, conficial quadratum.
Summa trium est 4 -1- nN;
summa vero cjuadrati teriii et primi est 9 4- 25l\ + iGO,
•M-2 (EUVIIES DE FE[{MAT. - 11^ PARTIE.
()riliii'(liie (liiplicala .XHiualitas, ciijiis solutio in pidiiiplii si imitâtes
<|u;>dralas ad euiiHlom luimcrum qiiadratum in ulrovis iuiiiumo qua-
(irato ail;o(|uando revoccs.
l'^àdoinquu via facillime cxtendetur quœstio ad (iiiatuor iuiiiktos et
iniinitos; cavcndum ciiiin solummodo erit ut siimma unitatum, qua> iii
singiilis luinioris |)Oiuintiir, confuiat quadratiiin : quod qiiidcin lacilli-
iniiiii est.
XIV(r. i56).
(Ad quaestion. XVIII Libr. IV.)
Invoiiii'c ti'CS iiuineros a^qiial<"s qnadralo, iil eujiisvis ipsnrum quadraliis, dcniplo qui
riiin ordiiic sequitur, facial quadraluin.
liodein qiio in stipcriore qu;estione iisi sunius vatiocinio, liane qiio-
qiie solvcnius et ad qiiolliiiet luimcros extendenuis.
XV (p. I.KJ).
(Ad quaestion. XX Libr. IV.)
Iiiveuirc ti'cs numiu'us iiiddiiiilc, ul ([uom bini prodiiciiiil iiuilua midli|ilicaLiono, adscilù
iiiiitaLc, racial qiiadraliiin.
Proponatiir inveiiirc très minieros ut queru liiiii prodiuunl uiiitiià
multiplicatioue, adscilà unitate, faeial ([uadratuni, et pneterea unus-
(|uis(|ue tiiiini, adseità unitale, faeiat (|uadratuni.
Ilujus (juaîslionis solutioucm sulqungcmus et jam confeeta est (').
lia liât solutio iiideiiiiita pr;rsentis quyestionis (-) ut unilates prinii et
lertii nuuieii, addilà unitate, eoufieiant quadiatos : verhi gralia, sint
( ') Dioijhanlc (V, '5) a doiiiK' une soUilion de ce problème dans le cas général on le
nombre A ajniiler (ici l'unité) csl (piclconqnc.
1.^) La solution sv àap'!'îrr;) de Dioplianle |icul Olrc représentée par les trois nombres
//(-N -t- ?.'«, N, («i -h i)-N -i- ■>(/« -i- I ).
OTÎSEUVATIONS SUU DIOIMIANTE.
trt'S luiiiuM'i iiiileliiiito
[iiimiis . . .
seci indus ... i N,
à. 8',
3G
■jJ.J
l*atet solulioucm liane indefinitam salisfacero conditionilnis luijtis
([uaestionis vigesimie; superest ut singiili ex illis luimeris, adscilà iini-
tatc, conficiant quadratos et orictiu- triplicata icqualitas, cujiis solnlio
dit in proniptii ex nosti'a nicthodo, qiuim nuincrus unitatnni in (iiinli-
l)et ex istis luimoris uiiitate aiictis sit qiiadratiis.
XVI (p. .li.).
(Ad quaestion. XXI Libr. IV.)
liivcniro ([iiaUinr luiiiiord.s. lU (|iii lU c\ biiiiiniiu iimlua iniilliplicaliDiie, ailsrilà iiiii-
UUe, facial qiiailratuiii ( ' ).
Inveniantur ti'e.s niuneri quilihet ut(|iii lit l)iiioriiin iiintiià niiiltipli-
catioiic, adscitâ unitate, i'aciat (juadratnni : verhi gralia, sint illi nn-
nieri 3, i , 8.
Qua-ratur jam quartus eà condilione ut qui lit suli ti'ii)us inventis
sigillatini in quarluni, adscitâ unitalc, sit (luadratns. l'onatur invc-
niendus esse i N; ergo
i)\ + i, item I X -r- i , item 8N -i- i
a'quantur (|uadiato et oritur tii[)licata ;equalitas (Uijns solutio invcii-
lioni iiostra- debetur. Vide (luu' adnotaviinus ad (|ua'sli()noiii '2\
Libfi VI.
(') i'cnnat duiiiic de ce |ii'oi)leiiic une suluLion tlilléieulc de celle de l)ii)|)luiule
304 a:UVRES DE FEHMAT. — H" PARTIE.
XVII (r- >«■-).
(Ad quaestion. XXIII Libr. IV.)
Iiivenirc trcs numéros, ut solidus sub ipsis coiitentus adscito quolibol ipsorum fucijil
fiuailralum.
Non soliini absqiie lemmatc Diophanti ('), sed eliam ahsque tlupli-
cala a'qualitate (-), solvetur quœstio.
Ponatiir solidum sul) tribus iQ — 2N,
pi'imus numcroriim sif imitas,
secundus 2N.
lia namqiie duobus partiltus proposilioiiis satisfit.
Pro tertio, dividatur solidum sub tribus, iQ — 2N, per rectangu-
(') Soient .r,, .r.>, .rj l(^s trois nombres clierciiés. La solution de Diophante revient ii
|)OSor
.r, = i, .7,.r2.r3= .r5-+- 2.r, .ri.i^.Vj-h .r,= {.r -^ m )-;
d'où
.r, = -?.{iii — \).v + ni" et .'"3= „•
1(111 — I ).r -i- in'
Il reste ainsi à satisfaire à une dernière condition, à savoir que .r^.^■,,.l■^-^ .r^ soit carré.
Le Icmnic employé par Diophante consiste de fait à déterminer m en sorte que i:, soit
linéaire en .r, c'esl-à-<lire à satisfaire ù la relation
■>.{ni — I) = iw2;
d'où
;«=■). et .r, — . i.r, avec .<j = jt .2' -H 4 ,
et enfin
•''i ■'•s''3 H- ■'■3 = ■'■- -- I ■'",
expression (pi'il est facile de rendre carrée. Il est aisé de voir (|uc la solution de l'crniat
est au fond la même: car on la retrouve, si l'on change .'■ en >.' — 2.
(-) L'emploi de la (/«tt/jfc ('(/««/«w était indiqué par Dachet, d'après la marche suivie
[lar l)io|)liante lui-même dans le problème suivant, qui ne diffère de celui-ci que parce que
chacun des nombres cherchés doit ûlre non pas ajouté, mais retranché du produit de.*;
Irois. pour former les expressions à éi-aler à des carrés. Iri lîachcl [)0sait de fait
.r, = .r, x, = I , .7-3 = .r — 1 ,
et il ramonait le problème à la (tatihle cqiiatian
.r- — .»■ -I- 1 = a-, .1- — I = p'^.
OBSERVATIONS SUR DIOI'HANTE. 30a
lum sub primo et secundo, quod est 2N; orietur ex liac divisione ter-
tius, ' N — I, qiio addito ad solidum sub triltus fit
iQ — f N — I, (|uod icriuari (ioltcl quadralo.
Oportet autem valorem numori majorem esse l)inario, proptcr posi-
tiones jam factas; «quetur igitur (|uadrato cujus latus iN— aliquo
unitatum numéro binario majori. Oninki constabuut.
XVIIl (|.. .Sn).
(Ad commentarium in quaestion. XXXI Libr. IV )
(JU/ESTio : Invenirc quatuor nuinoros quadratos, quorum sumuia, cum sunimà laUîruui
conjuncta, numcruni inipcratum facial ( ' ).
Imo proposilionem pulcberrimam et maxime generalem nos primi
deteximus : nempe omnem numerum vel esse triangulum vel ex duo-
bus aut tribus triangulis compositum; esse quadratum vel ex duobus
aut tribus aut quatuor (juadratis compositum; esse pentagonum vel ex
duobus, tribus, quatuor aut quinque pentagonis compositum; et sic
deinceps in infinitum, iu liexagonis, beptagonis et polygonis (|uibus-
libet, enuntiandà videlicet pro numéro angulorum generali et mirabili
propositione.
Ejus autem demonstrationem,quœ ex multis variis et abstrusissimis
numerorum mysteriis derivatur, liic apponere non licet : opus cnim e(
libruui integrum buic operi destinare decrevimus et Aritbmeticen bac
in parte ultra vetercs et notos terminos mirum in modum promo-
verc.
(') Ce problème, comme le remarque Uacliel, se ramène facilement à déconqioscr uu
nomljrc donne en quatre carrés, question que Dioplianle n'a soumise à aucune règle, mais
(]u'il semble considérer comme toujours possible. Itacliet affirme qu'en effet tout nombre
entier doit être ou carré ou somme de 2, 3, ou 4 carrés entiers; il n'en a pas lii dcmou-
stniliou, mais il s'en réfère à l'induction, donne le Tableau de la composition pour tous les
nombres de i à 120, et ajoute qu'il a poussé l'expérience jus(|u'à j>.i.
I'eumat. — I. 3()
306 ŒUVRES DE FERMAT. - II" PARTIE.
XIX (p. .ss).
(Ad quaestion. XXXV Libr. IV.)
Datum numerum dividerc in très numéros, ut qui fit primo in secundum ducto, sivc
acWito tertio, sive detracto, quadratum faciat. Esto datiis G.
Ita facilius fiet operatio:Datus numerusG utcumque dividatur, verbi
gratia in 5 et i. Productus demptâ unitatc, hoc est 4. pei' 6, datum
numerum, dividatur: evenietf. Qucm si tum a 5, tum ab i abstuloris,
duo residua ^ et ~ erunt dua^ priores partes numeri dividendi; tertia
igitur erit f (')•
XX(p. 303).
(Ad commentarium in qnaestion. XLIV Libr. IV.)
Qu.ESTio — Invonire très numéros, ut compositus ex tribus multiplicatus in primiini
faciat triangulum, in secundum faciat quadratum, in icrtium faciat cubuni.
BAciiiiTus. — ... Advcrte postremo, in fingcndo laterc ultimi quadrali, talem adhiben-
dam esse caulionem, ut valor Numeri reperiatur in integris numeris, quum numorus
Iriangulus non posset esse nisi inleger. Id autem semper succedel opérande modo a Dio-
pbanto tradito, si quadrati latus Qngalur a tôt Numeris qui sinl latus quadratorum in
numéro quadrato aequando contcntorum — i . Caîterum vix abter id ficri possc, salis ex-
pcricndo deprehendes (').
Experientiam non satis exactam fecit Bachctus. Sumatur quilibet
(') La solution do Fermât, fondée sur une identité facile à reconnaître, est essentielle-
ment différente de celle de Diophantc.
('-) La solution do Diophante, avec les généralisation-; de Bachot, peut se représenter
comme suit.
Soient ./"i, j-2, .r3 les trois nombres cherches. Posons
.r, -u .fj -!- .3:3 = .1-
ct
_ a(a -H T) _ p2 _ •(•'
il vient
'2
Posons maintenant
OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 307
cubus, verbi gratia, cujus latus multiplici ternarii superaddal uiiita-
tom. Erunt, vcrbi i^natia,
2Q— 314 iequanda triangulo :
ergo
16Q — i-Si iRquabunlur quadralo,
cujus latus tinges, si libet,
4N-3.
Etc.; nihil enini vetat quominus generali niethodo, loco etiam
ipsius 3,rcliquos in infinitum impares usurpcmus, variando cubos.
XXI (p- Mg).
(Ad commentarium in qusestion. XLV Libr. IV.)
(Ju.ESi'io DiopiiANTi. — Invcnii'O 1res numuros, iil inlorvallum inajoris ot niudii ad
iniervalliim mcdii cl minoris dalam tiabcat ralionem, scd et bini sumpli qiiadratuni confi-
cianl.
liAciiETUs. — ..\)iicniadniodiiin ergo in liac ([uacsliono Diophaiilusducel modum ([iioduo
numeri simul acquentiir ([uadralo, quuin uler((uo componitur ex Numéris et unitalibus, cl
mimeri Numerorum sunt iii;oqualcs, 110c habeiil ralionem ([iiadrali ad quadralum. numeri
aulem unitatum sunt inaequales et qiiadrali : sic aio modum dari posse rosolvcndi dnpli-
catam œqualitatem, quum utcrquc propositurum numerorum quadrato ;cquandorum com-
ponitur ex Numéris cl unitalibus, et numeri Numerorum suni iniuquales, nec liabenl
on a
"(i-i-i) , , . ,
=,.;2j;2_34_^,.^
d'où l'on posera
(-2 2-1-1)- ou r03-.f- — 8;*— 8y''-i- I = (43.(: — 0)-
_ 8;t-i-S-c3-(- g2_,
et
8;4_(_ ^y' — (0 -1- 1)-
Mais il faut que a soit cnlicr et, par conséquent, que —^ le soit.
Si l'on [irend S = t, comme l'a fait Diopliante, et comme liaclict l'a cru nécessaire, on
peut prendre tout à fait arbitrairement les entiers c cl -y-
Fermai prend 3 = 1, comme l'avait fait Diopliante; il fait d'ailleurs, dans l'exemple iiu'il
choisit,
7 = 7, 0 = 3.
308 ŒUVRES DE FERMAT. - 11= PARTIE.
raiionem quadrali ad quadratum, sed eL niimcri iinilalum inaequales sunt, sive quadrati sinl,
sive non. Id aiileni prœstabimus in diiplici casu.
Prinius casns est, quum niiniororum qiiadrato asquandorum intcrvallum lalo est iil, eo
per aliquem unitatum nunicrum multiplieato vcl divise, et i)rodiicto vel (|uotiente a
minore propositonim numcrorum detraelo, supersil unitatum numerus solus quadra-
IliS....
Secundiis casus est, quum numcrorum quadrato ;pquandorum intervallum laie est ut, co
per aliquem unitatum nimicrum multiplieato voldiviso, et prodiicto vcl quotiente a minore
propositornm numcrorum detracto, deficiat unitatum numerns solus, qui ad nudliplicato-
rcm vel divisorem raiionem haboat (juadrali ad qiiadratum...
S(^d proponatur, si placet, hœc duplicata a'qualitas, nempe
2N-1-5 (M fiN -1- 3 a-quaiidi f|uaclralo.
Quadralus a-quandus tNh-"> erit 16,
et
quadralus iEquandus 6N + .-> eri( 3(5,
et invenientiir alii in iiilinidim quaîstioni satisfacientes. Nec difticilc
est regulam generaleni ad hujusmodi qutestionum solutionom propo-
ncrc, ut vix limitatio ista Bacheti sittanto virodigna, quum ad iniiiiitos
casus oxtcndi quod iu duo!)us lantum adinvenit, facillime possit, imi»
et ad casus omnes possibiles.
XXII (p. ^.5).
(Ad quaestion. III Libr. V.)
Date numéro apponere 1res numéros, ul quilibel i[)sorum et qui a hinis producitur qui-
busvis, datum adsumens numerum, facial quadralum.
Ex liac propositione facile deducetur sequens quœstio :
hncnirc qiialitor numéros ca conditione ut quod siih hirus prodiiraUir.
adscito dalo numéro, facial quadralum.
Inveniantur très quaîstioni satisiacicntes ita ut singuii dato numeio
aucti couficiant (juadralos juxta hanc propositionem. Ponatur quartus
inveniendus esse iN-i-i. Orietur triplicata a'qualitas cujus solutio
OBSEKVATIONS S>\]\\ DIOPHANTE. 309
nostrae niethodi beneficio orit . in promptu. Vide adnotata ad 21"'"
quîestionem Libri VI.
Solvetur itaque qu;estio, (|iiam proposuit Bacbetus (') ad qu;estio-
neiii 12 Libri III, pcr liane moUiodum qua% quiini multo sit gcncra-
lior, boc prscterea amplius babet quani metbodus Bacbeti, quod très
priores numcri aucli dato numéro eonficiant quadratos in nostra solu-
tione.
An vero ita soivi possit quœstio ul ctiam quart us aucliis dalo numéro
conjîciat quadralum, boc sane bactenus ignoramus : inquiratur ita(|ii('
ulterius (-).
XXIII (p. .2,,).
(Ad quaestion. VIII Libr. V.)
Iiwenirc trin triangiila rectangiila (|iiorum areui sint œciiiales.
Num vero inveniri possunt quatuor aul ctiam pluru ininjîniturn trian-
^ula œqualis areœ, niliil videtur obstarc quominiis quaîstio sit possi-
bilis : inquiratur itaque ulterius.
Nos lioe problema construxinius, imo et data (juâlibet trianguli
(') Page MO. — Soient .r,, x^, .C3, x\ les (jualre nombres clicrcliés, cl a le nombre
donne.
La solution de iiacliet revient à poser
II- — n i'- — n
.r, = t j-., = , .r3= ■2(j:, + .fo) — ('' — n),
ce qui satisfait aii.\ conditions pour trois nombres. Si, pour le ijuatrième, on pose
X; =1' II,
on n'aura évidemment qu'à satisfaire en outre à la condition bien facile que
x^.T:,-^ a ou (i' -+-(()■- — 3«
soit un carré indéterminé.
Bachot l'a résolue, en fait, do deux fagons différentes : 1" par rapport à v — 11, en se
donnant u; 2° par rapport à «, en se donnant v — u, iju'il suppose inutilement devoir être
un carré.
(^) Dans l'Observation .W'I, Fermât a donné une solution |)uur le cas où lo nombre a
ajouter est l'unité.
310 (EUVRES DE FERMAT. - II- PARTIE.
areâ infinita trianguhi ejusdeni are» exliibemus : verhi gratia, rlat;
arcâ G trianguli 3./|.5., en aliud triangulum ejusciem area'
7 120 1201
lo 7 70
aut, si placct cadem denominatio,
49 1200 1201
70 70 70
Perpétua et constans niethodus hîec est : Exponatur quodlibet trian-
gulum, cujus liypotenusa Z, basis //, perpendiculum D. Ab eo sic f'or-
niatur aliud triangulum dissimile cjusdem areai : nempe fornietur al)s
Z quadrato et B in D bis, et planoplana lateribus similia applicentur
Z in li quadraliim bis — Z in D qitadralum bis. Hoc novum triangulum
babebit arcam œqualem areœ praccedentis.
Ad boc secundo eâdem mctbodo formetur tertium, a tertio quartum,
a quarto quintum, et fient triangula in infinitum dissimilia ejusdeni
areœ.
Va ne dubites plura tribus dari posse, inventis tribus Diophanti
40.42.58., 24.70.74., et i5. 1 12. I i3.,
quartum adjungimus dissimile ejusdeni tamen area» :
I 412 881
..89
4l2 880
>>89
1681
1189
liyi)otenusa,
Ijasis,
perpendiculum,
et, omnibus in eumdem denominatorem ductis, tient quatuor triangula
in intogris a'qualis areai qu;e sequuntur :
Prinuini 4? ■jGo.
Secunduni .... 28 536.
Tertium 17 835.
Ouarluni 1 681 .
49 938 .
(J8 962.
83 23o.
87 986.
i33 168.
.34 357.
4l2 880.
î 412 SSi.
OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. :lll
câdemque mcthodo invenicntur triangula ejusdem area' in infinitiini
et qua'stio sequens ultra Dioplianteos limites progredietur.
En etiam alià metliodo (') triangulum cujus area facit sextuplum
quadrati, sicut3.4-5.; nempe
2 896 804. 7 TiC 8o3. 7 77G 48'>-
(') J. DE lîiLLV { Doclriitœ analyticœ iin'ciitum noviim, I, 3S. p. 11) : n DiopluinUiS L. V,
(j. 8 Iradit arlem invcniendi Iria triangula roctangiila ([ua; sint îcqualia f[iioafl arcam. Qui
vero plura ab ipso expetct, nunquani obtinebit; praclerca n»iu]uani tradidit Diopliantiis
methoduni invcniendi triangulum dato triangulo œquale tiuoad arcam. Fermatius utrumcpic
niox at(iuo eàdcm operatione pra?stabit. »
" Sil verbi gralia invenicndum triangulum cujus area sil G, <]ualis est area Irianguli rec-
tanguli 3.4.5. 1)
" Eslo unum lalus cujuspiam Irianguli rcctanguli 3, et aliud latus sit 1 X -h \. llorum
quadrata simul sumpta exhibent
25^iQ-i-8N
pro cpiadrato hypotenusœ : quare isle numerus œqualur quadrato. »
u Dcindc area istius Irianguli, |N ■+- 0, débet esse sextupla alicujus quadrati ((|uia pos-
tulatur areain esse r>) : ergo cjus areœ scxtans quadratus est, ac proinde ille ductus in 30
eOiciei (piadralum. Efficit autcm
<jN + 36 :
igitur liic numerus aequandus est quadrato.
» En igitur duos termines duplicattc œqualltalis :
(jN -f- 36 et au + I Q -h SX.
In liis autem unitatum numerus (|uadratus est: ergo valor radicis facile repcrictur, critqui.'
Go 53o 400
•.>.i G5o 409
ac proinde
2 .S()<J «04
I N -*- 4 crit
■X 4oii (101
Aliud autcm lalus circa rectum est 3. Igitur horum quadrata simul sumpta laciunt quadra-
tum cujus latus
7 7-6 485
2 40 J Coi
crit hypotenusa. Ergo liabes triangulum rectangulum
7 77G 485 2 SqG Soi
2 40 J Goi 2 io'3 Goi
cujus area est sextupla cujuspiam (|uadrali, ncm[ic
724 201
2 4o5 Coi
312 ŒUVRES DE FERMAT. - \Y PARTIE.
XXIV (p. 2.,).
(Ad qusstion. IX Libr. V.)
Invenirc très niinioros ut uniuscujusquo quadraUis, summâ Iriiim sive addilâ sivo de-
iraclà, facial quadralum.
l'A siipradictis patot posso nos construero generaliter problema :
Inwnirc quotcumquc numéros iil uniusciijusfjiw (/uadralus. summâ
omnium sivc additâ sn'c detraclà, quadralum facial (').
Hanc qusestionem forte Bachetus ignoravit : Diopliantuni quippe pro-
inovisset, ut supra 31" quœstione Libri IV et aliis in locis, si qusestionis
hujus solutionem detexisset.
XXV(p. 22/i).
(Ad commentarium in question. XII Libr. V.)
QtjyESTio DiopiiANTi. — Unitatem dividero in duas partes, et utrique scgmento datiim
numcrum adjicere e't facere quadratum. Oportet aiilem datum nequc imparcm cssc * nequo
luijus vero quadrati latiis est
85 1
1 :j'ji
l'er qiiod si dividas singeda lalera trianguli mox rcperti, liabebis triangiduni (pi.Esitiim
12 o6i 328 .>,3j 4 49'i 9I' oot i (^53
•2 047 iG(3 45i '2 047 't>(i 4" î^i'
ciijus area est 6. »
" Adverto nos invenissc lioc triangidani pcr illml i|iiod daliim lïiit 3.4. j, ac por iiivcii-
lum inveniri posse icrlitim; per lertium irivcnietur (piartum, et sic in infinilum. »
(') La question V, 9 de Diophantc se résout en elTet par une application immédiate de
la solution du problème précédent.
Soient «i, a,, . . ., «„ les hypoténuses de u triangles rectangles ayant une même aire A.
comme
aj,± 4 A est carré,
les nombres
4A
satisferont a la question posée par Fermât.
OBSERVATIONS SU H DIOPIFANTE. 313
(liiplum cjiis N. imitas niajorem liabcre quadrantem qiiam est niiiiierus, ()uo ipsiini nictitur
pi'iiiuis iiumL'i'US * ( ' ).
ISaciiictus Kcliqiia verù vcrba « iicqiic duphiin fju.r, de. « adco viliala siinl iit
millam commode recipere possiiit cxplicationem. Non dubito quidem Diophanliiiii res-
pexissc ad aliquam numcrorum non vidgarem proprielatem, qua dcfinitur qiiis niiiiicriis
par doligendus sil, ul diiplum ejus unitalo auclum sit (inadratus niiinerus v(;l composilus
ex diiobus quadralis. Sod quid sibi vclil in tanta vcrbonini caliginc diviuai'c non possnni;
id oneris rulin([iiam illi qui in codicem aliquom cmcndaliorcm incideril.... Sano qiiod ail
Xilaiider, verba illa corrupla vidcri vcllc, deberc cum (|ni daliir cssc duplum numeri
primi, id utiquc futile est et nulli fundamunto nixum, quodquo ipsâ slatim expcriuniià
rolelli potcst : nani, si datiis sit lo, is est duplus numeri primi S cl lamcn qucTStioni sol-
\end;e minime rcpcritur idoneus, nam oporlci'ct dividere in duos (|uadi\Uos niimonim 21.
(Juod quidem impossibilc est. ut rcor, quum is iicque ([uadratus sit, nc(|uo suapte natura
compositus ex duobus qnadratis.
Numci'us 21 non potcst divicii in duos quadratos in fractis. Hoc
autem facillime demonstrare possumiis, et gcncralius omnis numcrus
cnjus trions non liabet triontem non potost dividi iii duos (|na(lrat(is
nc(|ue in intcgris ncque in fractis.
XXVI (p. 2j5).
(Ad idem commentarium.)
BvcnETUS. • — Aiicpiando jnihi vcnit in mentcm Diopliantuni voluisse duplum dati numeri
paris unitato auctum esse iiumerum pi'imum, quaiidoquidein umnus fere liujusmodi uiimeii
cuinponuutur ex duobus (piadratis, ipiales sunl 5, ij, 17, 2cj, 41, aliique primi numeri ipii
sublata unitato relinquunt numci'um pariter parcni. Vei'umtamen neque li:uc cxplicatio sus-
lincri potcst. Nam primum liac ratione per liujusmodi ronditionem cxcludercntui' omncs
nnmeri, quorum (hqilum unitato auctum est (piadralus nunierus Dcindc cxcludcrontur
ctiarn multi numeri, quorum duplum unitato auctum componitur ex duobus (piadralis,
quales sunt 22, 5S, G2 et alii iunumcrabiles. Nam du|ili liurum unitalc aucli sunl l'i, 117,
(') Le texte grec correspondant à ce passage incompréhensible de la version latine est le
suivant dans l'édition de Haclict (leçon tlu manuscrit fonds grec n" -lil'j do la BibliothètpK^
Nationale) :
|j.rÎTî ô oir.Xarj'M'i ajTOi q [j." a. [XiCCo'/x î'/t) [jéçoi 5. ^ [x;Tp;ÎT3<i j-fj ToO â". 5"',
et, d'après Bacliet, dans un l'itticuiiiis ^iwcav (probablement le n" 301) :
aptOaou.
Ces deux leçons reviennent à la mOme, et tous les manuscrits connus de Diopliante sont
corrompus de la niOmc façon.
Ffiimat. — I. 4o
314 ŒUVRES DE FERMAT.^ II" PARTIE.
125, quorum nullus al primus numcrus, quum quilibol mullos linbcal inclicnles; unus-
(juisquc lamen c duohus quadralis coiiflatur, primus scilicct ex quadratis 36 et 9, sccundu^
fix quadratis 81 et 30, tertius ex quadratis 100 et iS.
Veia limitatio hœc est, gcneralis nenipe et omnes numéros inutiles
excludens :
Oportet datum numei'um non csso imparcm, ncque duplum cjus
unitate auctuni, pcr maximum quadratum ex quo mensuratur divisuni,
dividi a quovis numéro primo unitate minori quam multiplex quater-
narii.
XXVII (p. 232).
(Ad commentarium in question. XIV Lihr. V.)
Qu.ESTio DiopiivNTi. — Unitatcm dividerc in très numéros cl cuilibct adderc datum
cumdcm numerum et ila qucmlibet quadratum facerc. Oportet aulem datum neque biua-
rium esse neque aliquem corum qui fit addito binario ad oclonarii mullipiiccm.
Bachetls Ingeniosa est et autore digna liujusmodi limitatio. Cœtcrum quamvis, ut
ostensum est, h;cc condiiio sit necessaria, non est lamen sufficieiis, nain non soluni
numeri omnes liac limilationc comprelicnsi solvendjE quaîstioni sunt inutiles, sed prae-
lerca numcrus 9 el omnes alii qui fiunl addito 9 ad 32 vcl ad aliquem cjus multiplicem.
qualcs sunt 4'i "3, io5, etc.; nam liorum triplum additâ unitate neque quadralus est
neque numcrus e duobus vel tribus (juadratis compositus. ...
Cœtoium an liœ du;u limitalioncs siinul sufficicntes sint, ila ul per ulraniquc simul
cxcludanlur omnes onuiino numeri quorum triplum unitate auctum non est quadralus
nec c duobus vel tribus ([uadralis compositus, non ausim teniore affirmare. Equidem vix
adducor ul aliter senliain, ipium in omnibus numeris ab unitate uscjue ad 01'J id sini
cx|)crtus.
Limitatio ipsa Bacheti est insufticiens, imo nec ipsius experientia
satis fuit accurata, nani 87 numerus cadit in limitationom, non autem
in regulam.
Vera limitatio sic concipi débet :
Exponantur duœ progressiones ([uadrupUe altéra al) unitate, altéra
al) octonario, et una alteri superponatur sic :
1, 4, "6, 64, 256, 1024, 4096, etc.,
8, 32, 128, 5i2, 2o48, 8192, 32768, elc.
et considerando primo terminum primum secund;e qui est 8, oportet
OBSERVATIONS SUR DIOPHANïE.
:515
<latuni iiunicruni non esse diipliiin unitatis, quia ipsi supcrponatur
imitas, ncqiie siiperare duplo unitatis multipliceni 8.
Deiiulc, considerantio secunduni tei'uiinuni secunda' progressionis,
(jui est 32, sumatur duplum uumeri superpositi qui est 4 : fit 8, cui si
addas oinucs in oadem progressione supcrioii proxime antécédentes
(in iioc cxemplo invenietur sola unitas), fit 9.
Sumptis igitur duobus numeris 32 et 9, oportel datum numerum
ncque esse 9 ne([uc superare dicto numéro 9 inultiplicem 32.
(]onsiderctur niox tertius progressionis secunihe terminus, qui est
128 : sumatur duplum numeri superpositi, qui est 16 : fit 3^, cui si
addas omnes in eadeni progressione supcriori proxime antécédentes,
(|ui jain sunt 1 et 4. fit 37. Sumptis igitur duoi)Us numeris 128 et 37.
oportet datum numerum nc(jue esse 37, neque superai'c dicto 3- mul-
tiplicem 128.
Cousiderato deindc quarto progressionis secunda' termino, fient ex
nietliodo numeri J12 et 149. Oportel)it ita(|ue numerum neque esse
149, neque superare dicto 149 multiplicem 5 12.
Et est uniformis et pei'pelua in infinitnm melliodus, quam neque
Diophantus gcneralitcr indicavit, nec Baclietus ipse detexit, cujus vel
ipsa experientia fallit, ut jani pr;emonuimus, non solum in numeio 37
([ui est intra limites experientiic de qua fidem facit, scd eliam iii
numéro 149 et aliis.
XXVIII (p. :.^.).
(Ad quaeslion. XIX Libr. V.)
Invcnirc 1res numcros, iil cubus siimm:i'
eoruni , quovis ipsorum detraclo, facial cii-
Inim. Poiialiir riirsws trium siiiiima i N. cl
ipsi ^ C, 1^ C, l'v C. Supcrcst ul 1res con-
juiicli jpqucnliir iN. fil ergo TTji C ;cqiiale
I N. cl oiiHiia per nmncrum diviilaiilur, lit
7yi-jQ ;ct|ualc 1. est aulem 1 qiiadraliis.
Oportcbal crgo cl luimcruiii qiiadraloriun
esse (piadi'aUim : undc aulem is iialiis est?
Oiiod a tcriiai'io suljdiicii siiiil iros cubi.
Eùpeïv Tçiii; apt(i;j.oùç, ottwç o ï.7io toû
ijuyxs'.aevou èx tcSv Tpcùiv xù6o; \tviiv.ç
ÉXÏITTOV 7rO'.7| Xijfiov. TET7./0oJ(I7.V TtïXtV C/t
TpEÏç ç'"' ôï. xal o-ùxiôv 0 ixàv xû6oiv Ç' , ô îi
xuciojv x; ' , 0 fis xuoi'iv çy . Ao'.tiov eit;
Touç TpEÏç InCJcso.'. ç" a. yi'vs-at xuCixov
Bioo^' ' . Taov ç" a. TfivTï Trapi àp'.Oaov,
xai yivETi'. ouvay.oarov owov . '.(jov y. y..
xai EdT'.v ri aovaç TExpâyoïvoç. SeyiSE'. -/py.
Xï; tï; SijvyaE;; Etvy.c TETpàyo^'^v- ■:r'JOiv
316
ŒUVRES DE FERMAT. — 1^ PARTIE.
iliioi'iim qiiilibct minor esl iinilatc. Eo iloque
rcs l'cdit, ul invcuiantur 1res ciibi, quorum
(luilil)et sit minor uiiilalo, sumnia aulem ip-
soruin a lernario sulilala, facial quadraUiin.
Et quia volumus cuborum qiiemquc mino-
rcm esse uiiitaLc, si statuamus trcs numéros
simili unilate minores, multo minores sin-
i;uli erunl unilale. SicauLem quadraliim ((iii
rclimiiicUir oportcbil niajorem esse binario.
Slatuatiir qiiailraliis qui relinquitur 2{. Opor-
Icl ii^ilur I dividcre in très cubos et liorum
nuilliplicia secuniJinn aliquos cubos divisa.
Eslo scciindum mG. Oportet igitur ut divi-
damus 1G2 in très cubos. At 162 componitur
ex cube 125 et intervalio duorum cuborum.
(\\ et 27. llabcmus aulem in porismatis, om-
niiiui duorum cul)orum intervalhini eomponi
ex duobus cubis. Kecurranuis ad proposituni
initio et sumamus uunmqucmque cuborum
invcntorum, et quolii)el ab unitatc subtraoto,
rcsidua statuamus pro quacsilis numeris et
sit summa iN. Ita fiel ut cubus snmm.T, quo-
vis ipsorum detraclo, cubum faciat. lîeslal
ul Ires simul a^qucnlur iN. fit aulem trium
summa 2 { C. Hoc cr^o ;pquatur 1 N. undc
fiel 1 N, f. Ad positioncs.
(Tcov euT'. ijLOviooç «.'.àç. y.y). a-rràyeTa'. e;ç to
SÛpEtv Tpeïç xûëouç, OTTIOÇ SXXaTO? Cl'JTÙiv
IXaidiov ■/) iji" â. TÔ 8È ijijvO£|ji.a aÙTôJv ipOàv
TOCiaEv ëxatTTOv aùtôîv xùSov èXâ<T50vx z'r/y.'.
|j.ovxSoç ;x'.îç, èav oipa xataTXîu-idciiJ.sv toÙç
Tpsïç apiOaoùç èXâ^aovT.ç ij.ova5o; a. TtoXÀoj
kxï.5T0ç OL'jTiôv ÈXiomov ly.oviooç ^. (oiîtô
CiI/Ei'Xe'. Ô X7.TaX£tzÔ;J.EV0Ç TETpaYlOVOÇ IXEî'Çw"'
£iv7.1 SuiSoç. TETOtyOo) xa.TaX£'.7rO|A£V0; TE-
Tp^YdiVoç [A° p. ôt . oti oùv Tï y'' oi£)>e";v e!ç
xpEt; xùëouç. xa! xaxx toùtwv TroXXarrXâd'.a
X2.TÏ TtV<~)V xûêwv S'.ïipEOÉvTlOV. £57(0 oÈ
XÏTÎ. TOV sTç. ÔcfEl'Xoy.EV OÙv tÔv p;^ O'.eXe'ÏV
e!ç tieTç xûCouç. sÛYXEtTa'. Si o p;^3 exte
xùÇ&'j TOu pxE xat Sûo x06(ov ij-Kzo''jy7^ç
TOUTE ÇO Xa'l TOÛ xC. £yOa£>J SE £V TOIs ^0-
pc'ijy.OCJtV * OTI TTXVTCOV SÙO XÙSwV ■/) ÛTTECO/'^
x" *. àv7.T0£/o;ji£V £!i; TO È; ap/T|Ç, xa\ Tii-
coaEv EXÏ5T0V xuCiov eÛceOÉvtov. toÙ; oÈ
t;eT; ic'.O'j.ov ï. xai aui.».ÇY,i£Ta'. tov oc7:o toù
TU-'XEîy.EVOU EX TloV Tp'.ojV XUOOV
XEl'iV-VTÎ
EX7.5T0V, TTO'.E^V XÙCoV. Xo!" OV ÈdTl TOUÇ "pE"?;
taoj'îï.i ç'.' 5. yt'vovTii Se oi TpE?; x' [ii a'.
xaÙTX l'sx ç'" 5. oOev y;'vet7.! ô ç' a° p' . =-!
TVc; Û7T0I7T7.(IE!;.
Solutionis modum Diopliantiis non expi'imit aiit gra'ca coiTupta
sunt. Bachetus (') casii adjiitum Diopliantuni arhilratur, quod tamen
non admittinuis, quum Dioplianteam motliodum non difficiloin invonlii
oxistimoniiis.
Invenicndiis quadralus Ijinario major, ternario minor, qui a tcrnario
subtractus relinquat numerum in très cubos dividcndum.
(') Il est aisé de voir que la solution particulière donnée par Diopliante ne peut et le
obtenue avec les positions de Fermai, et l'on a dès lors le droit de rcpctcr avec Bacliel :
■I Ouamobrem casu faclnm videtur ul sumpscrit autor il, quo de î sublato relini|niliir f
ox tribus cubis compositus. u
OBSERVATIONS SUR DIOPIIANTE. 317
Ponaturquaîsitiquaclrati latus esse quemlibetnumcrorum nunierum
— unitatc : verhi gratia
iN-i;
ipsius quadratusa ternario subtractus rclinquit
2-IQ4-2N,
cui inveniendi très cuhi sequalos qui sic effingendi ut iequalitas tandem
consistât inter duas tantuni species proximas.
Id quidem innumeris modis construi potcst : Sit unius ex cul)is iafus
alterius (ut numerus numcroruni in ambobus cubis conlîciat 2N) sit
i-f-iN;
tcrtii latus in numcris dumtaxat fingendum, qui ctiam, ne valor i N
quœsitos terminos évadât, debent notari signo defectùs, nec est ope-
rosum eum numcrum numerorum sumere cujus valor loquationeni ad
pi'iostitutos redigat terminos.
Hoc peracto, patot primum ex cui)is esse minorem uuitate, ut (|u;e-
rebamus; quum igitur secundus sit major et tertius signo delectùs
notetur, patet dillerenliam secundi et tertii anjuandam esse duobus
cubis, quam ob ratioucm ad secuudam operationeni et Diopiiantus et
nos devolvimur.
« Habemus autem » incjuit « in porismatibus omnium duorum cu-
borum intervalluin componi ex duobus cubis. »
Hœret iteruni Bacbetus (') et, destitutus porismatibus Diopbanleis,
banc quœstionem secuudam detcrminatione indigere contendit : duo-
rum quippe eubornm intervallum eâ tantum couditione in duos cui»(»s
dividere docet, dunimodo major datorum cuborum exceihit duplum
niinoris. Nam quomodo omnium duorum cuborum intervallum divi-
datur in duos cubos ignotum sibi ingénue profitctur. Nos supra ad
(') Voir Observation VIII.
:518 ŒUVRES DE FERMAT.- Il" PARTIE.
quaîstioneni Libi'i IVsecundam ethanc et rcliquas liujus matcriaî qiiœs-
tiones gencraliter constriicndi modiim féliciter deteximus.
XXIX (p. 2',9).
(Ad quaestion. XXIV Libr. V.)
Invcnire très quadralos, ul solidus sub
i|)sis contcnlus, quovis ipsorum adscilo,
i|iiadratum faciat. l'onatiir solidus illc rQ.
et quœrantur très quadrati quorum i]uilibet
adscilà unitate facial quadratum. Hoc autcm
peli potest a quovis triangulo rectangulo.
Expono tria triangula rectaugula, et acci-
picns quadratum unius lalerum cirea rec-
tum, divido cum pcr ([uadratuui altcrius
lalerum circa rectum, et iuvcnio quadratos,
unum YsQ, allerum -fT^-Q, tertium ^\Q,
et quilibet ipsorum cum i Q facit quadratum.
lieslat ut solidus sub tribus coiUentus ;cqne-
tur iQ. Est autem solidus illc 5HVunj*^'C-
hoc Eequatur i Q. et omnia ad eumdeui dcno-
minalorem rcducendo, et dividcndo per i Q,
fiunt -^rif^iQQ iPqualia i. et latus lateri
icquatur, fitquo 'tj-Q ;oqualc i. Est autcm
iiuitas quadratus. (juud si etiam H J Q '!"''-
dratusesset, soluta fuissct qu.'pslio. Non est
aulem. Eo igitur redactus sum, ul inveuiam
tria triangula rectangula, ul solidus sub pcr-
))cndiculis ductus in solidum sub basibus
faciat quadratum * cujus latus sit numcrus
multiplicationo ortus laterum circa rectum
unius triangulorum. Et si omuia diviserimus
per produclum ex lateribus circa rectum
inventi rcclaiiguli, orietur qui fit ex pro-
ducto laterum circa rectum secundi in pro-
ihiclum laterum circa rectum altcrius trian-
gulorum. El si unum ipsorum statuamus 3.
i- 5. CD devcnlum est ul invenianlur duo
triangula rcclangula ut productus ex lateri-
bus circa rectum producti ex lateribus circa
Tf'.ôJV CTESEOÇ TTpOsXaStoV £XXTTOV TIOIY, T£-
Tpayiovov. Ts-riyOw o kx -àjv rpsàiv (TTôpeoç
S'' â. xat ^TiToùasv xpeTç Texpayujvou; o'xwc
éxaîToç auTùJv aéra y.ovâSoç â ■koiv^ tetsï-
yiovov. TOJTO Sa a'rro ttïvtoç ôsOoyMviou tc-
■/wvou. ÈXTt'Oîaai xa xpi'a xpi'yojva ôpOoYiôv.a,
xal XiSiov xov i.ità ataç xwv [:r£pl xT|V opOr|V
xsxpiywvov] u.tp'Xu> eîç tov aTtè xy,; lo:~-7^ç
xôjv [Ttep; x/]v] ôpO/jV. xat E6py,(l0|j:£V xoù;
XExpaywvouç. evï asv B''' 0 ' . xov Sa £Xî:ov
0 x;'^'^ . xov CE TCÎXOV 0 ;ij . Xït U.EVE!
Exocdxoi; luxcùv iisxa S" a îro'.àiv xsxpâ-'Mvov.
XoiTTov ÈTxi XOV Èx xojv xp'.ojv CTtpeôv taiôua'.
3" a. yivExa'. 3à o Èx xwv xp'.wv sxEpeo; x'^ x'
_ %— va i-j' _ „ ., , , , ,
a. ou ' . xiuxa tdi 0 a. xa; ttïvxx E'.î xo
oi'jxo aop'.ov, xac Trapa 3ùvï|j.'.v yivExa'. o'^ o'
a. ou ■ i5a 'j. a. xai y, 7iAEu:a x/| tt/eusï.
yivExat ô" pïT'' l'ai jj." a. xa! etx'.v y| y.ovi;
XExpiycovoç. et Y|V xsxpàyiovoç xai xà 3' px'^'.
X£Xu|;.£vov av y,v xo Çy|XO'jy.Evov. oùx Eaxiv
0£. aTTaYExai O'jv eÎç xo sOps'tv xpc'a xpiywva
ôiOoyo'iviï, o:to)Ç Èx xwv xpiwv xotOÈxiov
aùxiov (jX£p£o; iroXXaTiXao'.ïdOEK; È-rtl xov Èx
xùjv fiiaEwv ï.ùxwv uxepEÔv Tto'.yi TExpàyio-
VOV. * TiXeuCIV 'ÈyOVXI xov ÛTTO XÎÔV Z£pl
x/jv ôcOviV £vo; XOJV ôpOoyoJvùov. XX! Èav
■nîvxa TtapaGàXtoaEv :iapi xov icrô xwv zEpi
xy^v ôsOïjv xoù eÛçtiiaÉvou ôpOoywvt'ou yEvy,-
(I£Xai ô ÛTTO xôjv TTEpl X'/)V ÔcOyjV XOU a 3 ÈîI!
xov 7t£pi xyjv opOïjV Toû ÉxÉpou xàiv xp'.ywvwv,
xal Èàv xi^(oa£v 'Èv auxwv y. o. e. a:riy£xa'.
e!ç xo £Ûp£";v 3tJ0 xpiywva ôpOoyiov.x, ozm;
ô ÛZÔ X(oV TTEp; X"/^V OpO/jV XOU UT:6 XWV ~£St
OBSERVATIONS SUR DlOl'UANTE.
31!)
rectum sit 12N. Proindo et area areiu 12. Si
autem 12 et 3. Hoc autom facile est et est
simile liuic 9. '^o. 41- Alterum * 5. 12. 1 3.
(* le^ciiduni est 8. i5. 17). Ilabcnles erso
tria triangula roctangula, revci'taiiuir ad iiii-
tio propositum. Et slatuaiiuis triiim qUcTsi-
toriini qiiadratorum, altorimi 9, alteruin a*),
tcrtium 81, et si soliduin ex liis a3(|iiemus iQ,
fiet I N rationalis. Ad positiones. *
Sou ifj. eî Bà ip xal ";. toOto 3à piocov xïi
ETT'.V 'r'i'Lry.tjSi Tcô oO ( 0 FûtitC'.} îl. lA-Jt. TO Si
ETîfov £. i[i. ly. Ê/ovte; oùv tï xct'a xpi-
yiovx ôfOoY<')i'iï £p/O|j.£0a eiç ri è; ap-/Y,ç.
T7.lTiT0aSV TCÙV ÇT|T!>uaivCOV TpUOV TETpayi""
vo)V, ïv |/.iv 0, Sv 8à xi, ïv oà Trâ. xal âïv
Tov èx Ttôv 3. i UTettov !(To')5(oy.Ev 3" a. Yîvy^-
TET7.'. 0 ;" pïiToç. ÈttI Taç UTCoaTaieii;.
î\retli()(lum Dioplianti, qiiain non perccpit Raclictus (' ), ita rcslitno
ot t'xplico.
Quoniani prinuun triangulum esl : S, 4, 5, et roctanguliim sul) latc-
ribus : 12, eo dcvcnliun est, in(|iiit l)io[)lianLus, ni iinmianlur duo Iria/i-
gida ut produclus ex latciibas circa ivctii/n p/odiicti ex lalerdnis cirai
rectum sit ihiodecuphis; et ratio est (|uia tune pioductns ex latcribus
unius in productum ex latcribus alterius producct nunicruni qui eri(
planas similis 12, atcjue ideo eoruin nuituà nuiUiplicatione liet (|ua-
dratus, quod vult propositio.
Sequitur Diopliantus : l'roi/ide et area arcœ 1 2( -), quod perse claruni
est. Deinde : Si autem 12, et 3, (|uia, dividendo 12 per quadratum [\.
fit ?>, et semper in inultiplicatione oritur quadratum; nam quadratum.
divisum per (|uadralnni, l'aeil (|uadralnm.
Reliqua Dioplianti non pr;estant propositum, scd ita restituemus.
(') Il s'agit de trouver trois triangles rectangles en nombres («1, l>i,ct), («,, O-i^c,).
/ I !■ ■ -11- hilf-tlj^
(«3, '■'3, ''3) lois que 1 ou ait, iii, ii-i, «3 étant les liv|iotenuses, '—^ dans un rapport
''1 c-i ('3
carré.
Prenant arbitrairement le triangle (rt,, /^i, f|), soit (5, 4, 3) dans l'exemple choisi, Bacliet
forme les triangles suivants, respectivement des nombres 0|, bi et «1, r,, c'est-à-dire il
pose do fait :
l)-l—(l'f — /;f=cj,
/'3 = «? — t'î = ''î.
l'h
ai + cj,
>'3-
■lail),,
2«,C,,
d'où
2«i
Les deux triangles ainsi construits sont (,'ii, 9, 4") «t, (34, ifi, 3o). Au lieu du second.
il prend le semblable 07, 8, i5), le rapport restant le munie.
(^) Entendez duottcaiplti, et à la ligne suivante : Si autem duodecupla, et tripla.
:{20 ŒUVRES DE FERMAT. - II" PARTIE.
In lioc casu ('), fingatur trianguliim abs 7 et 2, altcrum vero abs 5
et 2; et primum trianguloriim orit triphim ad seciindum, et duo pro-
posito satisfocicnt. Régula autem gencralis inveniendi duo triangida rec-
langida in ratione data hœc est :
Sit data ratio R ad S, majoris ad minus. Majus triangulum forma-
bitur abs
R bis + S cl R - S ;
minus vero al)s
R + Sliis et R-S.
Aliter.
FormcUir piiinuin Irianf^uluni alis R jjis — S el R -h S,
sccuiuium al)s Sl)is— R el R -h S.
Aliter.
Formelur primum triangulum ahs Ilsexies el R bis — S,
sccundum abs Rqnaler-i-S el R quaier — S bis.
Aliter.
Formelur primum triangulum abs R + S quaier et R bis — Squater,
secundum abs S sexics cl R — S liis.
\\\ jam diclis deduci potcst mcthudus inve/iirndi Iria tiiangula reclan-
giila in proportione Iriinn dalorum numeroniin , modo duo dali numeri
reliqui sint quadrupli.
Sint, vcrbi gratia, dati très numeri R, S, T, et sint ipsi R, T siuuil
quadrupli S. Formabuntur sic tria (riangula :
lirimum abs R -t- S qualci' el R bis — S quaier,
secundum abs S sexies et R — S bis,
tertium abs S quater -h T et S quaier — T bis.
Sumpsimus autem R esse majorem T.
(') Les triangles de Diophante ou do Baclicl s'obliennent par la seconde solution do
Fermai, c'est-à-dire avec les couples générateurs 5, !\ el 4, i. Diophante avait probable-
ment traite, dans un problème perdu, la construction de deux triangles rectangles dont
l'aire soit dans un rapport donné.
OltSEltVATlONS SUU l)lOl>lIAi\Ti:. 321
Il i lie ('(iam elicietur modiis invenicndi tria tria/igula rcrtangiila lui-
incro. (juoruin areœ constiluanl Iriangtilum rcclangii/it/n.
Eo cnim deducetur qiuestio ut inveniatur triangulum cujus basis cl
hypotenusa sint qiiadriipho perpendiculi. Hoc autcm est facile et eril
(riaiiguluin simile liuic :
i5, 8.
Tria vito tiiangula sic forinabuntur :
IMiimiiii ;i1js /i9 cl 2,
seciindum abs 47 el ?.,
tciluiiii abs 48 cl '•
liinc cliam elicictur modas iinenicndi tria Iriaitgiila (juorum areœ siiil
m mlioiic Iriiim (jiiadratonim dalorum. (/lajnirii duo suit (fHadrupU rclumi.
ac pruiiide poLcrunt càdem via i/ivcniri Ina Ina/igii/a rjusdc/n aiccv ('):
imo et infinitis modis possunuis construcrc dtio triangula rcclangidu in
dala ralione, diiceiido iiiium ex tenninis aut iiliiiiii(|iie in qiiadrala
liata, etc.
XXX (p. -'ôi).
( Ad quaestion. XXV Libr. V. )
luv cuire 1res quadrulos, ul solidus sub
i|isis contentus, quolibet ipsorum delraelo,
facial quadralum. Ponatur solidus stib ipsis
conlcnUis 1 Q, et rursus quadrnli qui (]u:c-
rimtiir, suiiuiutur ex triani;iilis reclaiiyulis,
luuis a 1-|, aller a ^j, Icrlius a -éi^ ; statuo
cos in quadralis, cl niancl \Q, quolibet ip-
sorum (ietracto, faciens quadralum. Super-
est ut solidus sub tribus contenlus œque-
lur \{) : est aulem solidus illc ,;^ÎS°a^-C;
hoc crj,'o ;C(iualur iQ, cl omnia per 1 Q divi-
dantur, fiunt 1 lîi'S'fr QO a'qualia 1. Ksi au-
lem uuilas quadratus, latus babens quadra-
lum. Eri^o o|iorlebal eliam rli^i'uT OU esso
Kjpeïv Tpeï; rexp xyo)vou;, otcwç 0 ix tcj-
Tiov (îTcpeiç Xet'J/aç kxïoxov ïutojv tioiv, tï-
Tpayiovov. TcTayOc) 0 ï\ aùnôv CTSCôi; 0' ï.
XI! r.i)a-j 01 Ct|TOÙ|j.£vcpi xsTpïYOJVO'. aTro twv
'jpOoyiovi'tov rptyiôviov, kvoç asv tç'', rou ci
kxipo'j xi''" ', Toû Σ ;o . Tâmco ï'JtO'j; iv
ouvia£'., xai a = v£'. Vj 0' a À£rJ/et èxâuTou
XUTCÔV ZO'.OÛUa TîTpiYOJVOV. Xo'.TIOV £IJT'. TOV
ix T(jjv Tpuùv iTEpeiv (Oojou Suvâ|j.£'. a. xv.;
S1T1V 0 èx Kôv Tp'.wv TTepsoç X'jÊoxùCliJV
[i. s/ iv ;j.opi'it) px|j. ax£. raùTa ïia Suvi-
ae! a. xal Tràvxa Ttapà SOvaaiv ai'av yivETï'.
î' o" [i. £/, Èv aopi'ir) pxjb. ôxl, l'iîï ;j." â. xil
euTiv y, aova; TExpiYwvoç TtXeupiv ïyowj'j.
(') /'(///■ Observation X.XIII.
l'tRMlT. — 1.
41
322
ŒUVRES DE FERMAT.— 11= PARTIE.
([uadralum lalus liabcnlcm quadralum. Hiir- xETpiywvov. S£y,t£i aci xai S" 5' p. :/, iv
sus itaqae ros co est rcdacLa ut inveniantiir
tria triangula rectangula, ut solidus sub
pcrpendiculis ductus in solidum sub hypo-
lenusis facial quadratum, qui iatus habeat
quadratuin. * El si omnia dividanuis per
prnduclum ex liypolenusa in perpendiculum
iinius reclangulorum, oportet orialur qui fil
ex producto hypolenuSiE in perpendiculum,
alicujus reclanguli, in produclum ex hypotc-
luisa in perpendiculum alterius, este unum
reclangulorum 3. 4- 5. Eo ilaque deventum
est, ut inveniantur duo triangula reclan-
gula, ut numerus liypotenusne et perpendi-
culi, numeri hypolenusoc et pcrpendiculi sit
■>.o. Si aulcm 2i> et 5. et est facile, (piippo
majus est j. xi. i3. minus 3. 4- 5. Ab liis
ergo qu.Trenda sunt alia duo, ut numerus
hypotcnusac et perpendiculi sit G. est aulem
majoris hypotenusa 6 ï, perpendiculum Go.
Minoris aulcm liypolcnusa 2^- qui vcro in
uno reclangulorum r>,. et accipienlcs niinima
similium, rccurrimus ad proposiUnn initia,
et ponimus solidum sub Iribus conlen-
tum iQ. ipsorum aulem quadratorum alle-
rum iGQ. allerum SjGQ. tertium yj-'-j-f Q.
Supercst ut solidus sub Iribus ,T!quctur i(}.
et omnia in i Q. lalusquo laleri asquctur. cl
invenielur iN.Ci. Ad posiliones. *
[Aopi'co pxp. âx£, etvai TETpiYwvov 7:Xe'j:ïv
ïyovTX T£TpaY(ovov. xat uiXtv cnzift-zT.'. et;
To eûpelv Tpi'a Tpc^iova opOsycôvia, ottco; o
âx tSv xïOerSv arspeà; TtoXXotTrXas'.ïiOîtç
ÈtiI xiv èx TÔJV ÛTTOTEtVOU^ÔjV (TTEOEOV, "OlY,
TETûïyoJVOv TrXEupav ïyoyix Tsxpiyojvov,
*xal Èiv Tiâvra TtapaëaXojaEv irapà tov xviç
Û7roTE'.voû(iT|Ç xa\ xaOÉTOu évo; Tùiv ocOo-
YWVl'cOV, 8£7^(î£! TOO ÛTTOTElVOUdàiv Xai XX-
Oetov toO ûitoT£ivoû(J7]ç, xat xaOÉTOu ■rroX-
XaTrXaniKjOÉvTa xi-i tôv Û7:ot£ivo'j5Tiî xïi
xiOÉtou ôiGoyivou X'.VOÇ, EUXtO XO ËV xwv
ôpOoyojviov y. 5. î. aTriysxai oùv £'.ç xo
E'JpE'ïv 5iJo xpt'YCDva cppOo^iôvii o:t(dç ô û:to-
XE'.voiJîT,; xat xaOÉxou xoù ÛTroxE'.vO'JaT;;, za'.
xïOÉxou v) X. ec û£ X. xal i. xai 'Éoxi pâ3;ov,
XII Ëïxt xo |A£v ueIÇov t. t8. ry. xo Sa eXxt-
xov y. 0. £. i^T|X-rix£ov oiiv a'-ro xoùxtov £X£pa
Sùo, OTtw; rj Û7toxE'.v!>ùiTT|Ç xai xaOÉxou Yi
rx" Ç. £1X1 OÈ XOO |XÈV aElÇoVOÇ ÛTIOXEt'vO'JSa
ij." ç. a''. Ti o£ xïOexoç ^. xo-j Se eXiitovo;
ô iaÈv £V XY| ÛTIOXEIVOÛT'/) jJ." S. 3L' 0 0£ Év
x?! a xwv ôpOoYwvtov ijî. xxl XiSovte; xï
ÈXâ/idxa xùjv ôuLoicov avaxpÉ/0|ji.Ev Et; xô â;
àp/Y|Ç, xïi xâiTijO|jiEv xàv Èx xôjv xptwv sxe-
CEov Z'' a. lùxôjv SI xtôv XEXcayfôvMV, ov
aàv î'' î;, 5v 0£ S" ç-oç, Sv Se S" a Èv uopt'w
R. 7-|i/;ot, XotTt'jv Èaxt xiv Èx xwv xptùjv axE-
pEov îîùJTat S" â. xzt Tiïvxi -Jtapi Sûvay.tv
Xïl -J] TrXEUpk XYl TlXEUpï. Xai EÛpt'dXEXXt 0
i;° ?e. è-Tit xiç ÛTrotJxaTEtç.
Ad eluculationcm et explicationem qusestionis 25 juxla melliodum
Diopliaiiti, quam Rachetus similiter prœtcrmisit('), (/iicvrefida sunt duo
triangula rectangula ut produclus sub liypolenusa et pcrpendiculo unius
(') Bachot se propose de trouver trois triangles rectangles (rti,i,,f,), («2, /a, r,),
(«3, /'3, Ci) tels que le rapport
c\fiifi-\
soit carré. A cet elTcl, il prend arbitrairement le
OHSERVATIONS SUK DIOPIIANÏE. 323
ad [iroducturn sub hypolcnusa cl ptrpendiculu allerius liabeat ralioncm
dalam.
Quai sane qusestio diu nos torsit et vere dirticillimarn quilil)et (i;n-
tando experit'tur, scd tandem patuit generalis ad ipsius solutioiiciii
methodus.
premier triangle, en sorle toulelbis que ac, ^- //,; il forme le second en posant
tt,= -, -^ lii= -, ; (•i=4fi,
et le troisième en prenant
«3 = «1 «2 , 1/-, = hi C, -+■ h-i Cl , Cj = Cl f.> — A, ij.
On a alors, d'une part,
(le l'autre,
Cl c-ic-i — [ -ibic^f.
Fermât a bien reconnu (jue Diopliante, so donnant arbitrairement, par exemple, le troi-
sième triani;lc (5, 3, 4), clierclio les deux autres en sorte que -^-^ soit dans un rappori
donne, à savoir 5. Mais il n'a pas devine le procédé de l'auteur i;rcc, tpii a été restitué
par Otto Schulz {Diop/ianta.f vint Alc.iaiulria arillimclisclic Aiifynbcii iiclisl dcsscn Sc/irijl
liber (lie Poljgim-/,a/ile/i, aux dvin Griccliitc/ieii iiberselzt uiiti mit JiimcrlMnj^en be^lcilct.
Berlin, xixi, p. SjG-i'ji) d'après le texte donné par Baclict.
Dio[iliantc prend d'abord deux triangles auxiliaires (oti, p,, -ci J, («2,^2, 72), Itls que
fiiYi soit à P2Y2 "l^^s '" rapport donné. Ces deux triangles, obtenus comme dans le pro-
blème précédent 'V, i\. sont d'ailleurs (i3, 12, 5) cl (5, 4, 3).
D'autre [lart, ayant un triangle (et, p, 7), Diopliante sait construire un triangle (aji.r)
'i-r
Ici (pie ne = — ■ Il prend à cet effet
I 1 1() Go
, et du
, / i 1 lu 00 \
Du triangle (i3, ii, '>) il déduit de celte fai.'on le triani^lc [h-, -— r> —
" ^ ' \ -j. -ih i i /
triangle (J, 4,3), le triangle ( '-> — . ^)- Les deux triangles ainsi formés satisfont
évidemment à la condition imposée.
Pour acliever le problème primitif, Diopliante prend pour les trois carrés cherchés
C^-Y- (--^y^ f^•^)^
\"l / \"2 / \"J /
c'cst-à-du'e
14400 , 57G , ^^ •>
et, Ci;alant leur produit à x-, il tire pour .?• la valeur — •
82V ŒUVRES DE FERMAT. - 11" PARTIE.
Quaeranlur duo triangula ut rectangulum suh liypotenusa unius cl
perpendiculo reclanguli sul) liypotenusa altcrius et pcrpeiulicuU) sit
(lu pi uni.
Finjratur unum ex (riangulis ab A et B, alterum al) A et 1). Roctaii-
gulum sul) iiypotenusa prioris et perpendiculo erit
R in A culjum l)is + R ciiljo in A l)is;
rectangulum vero sub bypotenusa posterioris et perpendiculo erit
1) in \c. i)is 4- lie. in A liis.
Quum igitur B in Ac. bis + Bt. in A bis sit dupUim rcctanguli
D in Ar. bis -i- Dr. in A bis, ergo
R in Ac. -+- Uc. in A a>riualntui' 0 in Ac. I)is + De. in A his,
et, omnibus abs A divisis, fiet
RinA'/. +l?c. œquale D in Ar/. bis + De. i)is,
et, per antitliesin.
De. iiis — Rc. fequabilur R in A*/. — D in Ay. liis.
Si igitur Dc.bis — Br., divisum per B — Dbis, aequctur quadrato,
soluta erit qu;estio.
Quœrendi igitur duo numeri, loco ipsorum B et D, ea conditione ut
(hiplum cubi unius, minus alio, divisum vel multiplicatum (eudeni
enim res recidit) per dupluni posterioris minus primo, faciat qua-
dralum (').
Ponatur unus esse i N + i, alter i .
(^ubus duplus prioris minus cubo a posteriorc facit
i + GN-f-GQ + aC.
Duplus autem posterioris minus priore facit
I — I N.
9 pa gs
(') On \oil qu'ail lieu de (l(^lerminor B et D en sorte nue y; soit carre, Fermai
B — 2 D
2P3 g3
va les cherclicr, par erreur, en sorte que — ^ 1— soit carré. Plus loin, après avoir
reconnu la faute do calcul ipi'il a commise, il laisse subsister sa solution comme s'appli-
(|uant en tout cas à un problème digne d'intérêt.
ou s EU VAX IONS SUR DIOIMIANTE. 32o
pA'go, si ducas i — i N iii i + GN + GQ -+- al", fict quadratiis. Vvd-
(liicliim illiid a'f|iiatiir
I -H ."iN — ;')(- — 3QO, (|iio(l irriiioiulmii (|u;h1i;iIo al) - N — 1 — ^0.
et oiiinia statim constabunt.
Propositio autem ad omnes raliones cxtcndctur si, loco uriiiis ex
quserendis niinicris, ponatur iN plus cxccssu majoris rationis (ermiiii
supra niinoreni et, loco-alterius, iilc ipsc excessus, ut jani a nol)is iii
rationeduplaest factum. Hac quippe rationcsemper unitatum nunioius
evadet quadratus et «quatio erit proclivis; lioc pcracto invenientur duo
numeri qui ipsos B et D rcpraesentabunt, et ad primam quaestioneni fii'l
reditus.
Rctiactanti qu;o iuicusque ad 25""' quaistionem scripsimus, visuni
erat statim oninia dclere quia abductio ad problema quod perfecimus
uon convenit qusestioni nostra; : quia tamcn qua;stioneni aliam, ail
(|uani maie praisens problema adduxeramus, recte construximus, uou
tam operam perdidimus quam maie collocavimus, et ideo maneat sciip-
tura margiiialis intacta.
Qua'stionem ipsam Diophanteam novo iterum examini subjieientcs
et metliodum nostram sedulo consulentes, landem generaliler solvimiis :
oxemplum tantum subjiciemus, contisi numéros ipsos satis indicaturos
non sorti, sed arti solutioncm deberi.
In propositione Diopbanti qu«renda duo triangula rectangula eà
eonditione ut produelum sub liypotenusa unius et perpendiculo ad
productum sub liypotcnusa et perpendiculo alterius habeat rationem
(|uam 5 ad i .
En duo illa triangula,
l)riiiuiin, cujus hypolenusa 48 â'tSCGg 109,
l)asis 36083779309,
pei'|)cndicuUim 32472275580,
secuiidum, cujus liypoteinisa 42 636-52 938,
basis 4i 990695 480,
perpendiculum 7394200038.
320 ŒUVHES J)E FERMAT. — 11= PARTIE.
XXXI (p. 255).
(Ad quaestion. XXX Libr. V.)
DiiLo numéro iva aJinvciiirc qiiadratos quorum bini sumpli, adscitoque dato numéro,
lacianl quadratum.
Hujus (jua^stionis boncficio, scqucntis qusestionis solulionem dahi-
mus quîB alioquiii dinicillima sane viderctur :
JJalo numéro, (/iialiiori/n'enire numéros quorum bini sumpli adseitoque
dalo numéro facianl quadratum.
Sit datus numcriis i5 et primùm, pcr liane quwstioiicm, reperiantur
Ires quadrati quorum hini suinpLi adscitoque dato numéro facianl qua-
dratum; et sint illi très quadrati (')
I Sao
9. ' — ^•
100 aao
Ponatur primus quatuor numororuni quiesitorum iQ — ' î.
sccundus 6N + 9
(quia 9 est unus ex quadratis, 6N auteni est duplum lateris in N),
tortius (sidem ratione ponatur t ^ "'^ riô'
quartus denique ^fN + |l|-
Ita quippc institutis positionibus, tribus propositi partibus satisfit;
quilibet enim numerorum unà cum primo, adscito i5, facit (jna-
dratum.
Supercst ut sccundus et tertius addito i5, item terLius et quartus
addito i5, denique secundus et quartus, eodem addito i5, faciant qua-
dratum; et oritur triplicata œqualitas cujns solutio in promptu, quum
(!x constructione, cujus arlificium ab bac quaestione desumpsimus, in
(') Ces nombres sont ceux de Dioplianle. Les racines de ces carrés peuvent se repré-
senter en général par
/•(C--I-W) pz r{z^-i-t/) tjz
Z. , ; ,
4/^3 r ^i(Z r
en supposant />--(- 7- = r-. Diopliante a pris en fait, pour « = i5, z = 3, p = ^, q = i,
r = ').
OliSEilVATIONS SUU UIOPIIANTE. :?2-
(|uoIibct termiiio ;c([aan(lo rcperiantiir unilates tantuin quadrala' cl
inuiieri. Rccurrendiim ii,'itiir ad ea (|iul' dixiinus ad (jiKvslioiioiii 24
Lil)ri VI.
XXXIl(p. .5:).
(Ad quœstion. XXXI Libr V.)
U:ilo niiinoro 1res udinvonire (inailralos, ([iionitn Ijiiii siiiiipLi dclraclo ilalo luiiueid
faciaiil i|uadraliini.
Quo artificio in superiore quœstione usi sunuis, ut qualuor numéros
inveniremus quorum hini sumpti adscito dalo niiinoro conficcrenl qiia-
dralimi, simili in Iiac qua;stionc uti possumus, ut i/n'c/iia/itiir //iia/i/o/-
lutnieri f/uorii/n bùii sianpii dclraclo dalo iiumcro conficianl (juadicUnni.
Ponendus enim : prinius iQ + numéro dato; secundus quadratus
primus ex invenlis in liac qua^stione uni» cum duplo ah ipsius laterc
in N; et l'oliqua patent.
XXXIII (p. 2.8).
(Ad quaestion. XXXII Libr. V.)
Invcnii'o 1res ([uaiiralos, ut cumposiLus ex ipsoruiii ([uadratis faciat quadralum.
(Àir autem non (ju;erat duo (juadraloquadralos quorum summu sil
(juadralus? Sane luec quaistio est impossihilis, ut nostra dcmonslrandi
inetliodus potest haud dul)ie expedire.
XXXIV (p. 2S7).
(Ad commentarium in quaestion. III Libr. VI.)
(Ju.ESTio Dioi'iiwTi. — liiveiiiro triaagidum roctaiigulum, ut aroœ cjus nuiiiorus, adsu-
iiier\s datum munoruni, faciat ([iiadratum. Esto dalus 5.
Baciietus Quoniain veru liiuc forte veiiit in mcntem Francisco Victa;( ') ijiuustioiu'iii
(') ViÈTE, Zcteticuni V, y (édition Scliooloii, p. 7g) :
Invenire numéro trianguluni rcctanguUini, cujus aroa adjuncta dato piano ex duolius
(|iiadralis coniposito, conficiat ([uadraliim.
Sit daluui planum Z, [ilanuin coiH(iosilum ex B ([uadralo cl D ([uadrato. ElTingatur trian-
328 ŒUVRES i)E FEHMAT. - 11' l'AUTlE.
ii])[»licari possc solis miiiieris qui e diiobus f[iia(lratis compoimnUir. quia Dioplianlus iii sua
liypotlicsi sumpserat 'i, o duobus quadralis ooiiipositum ; quainvis ex ipso ducUi analyseos
Diuplianlo.TC satis constet ad quemlibel nuinerum cxtcndi proljlejiia, ne quis lameii suporsil
dubilandi Incus, placel id cliam oxpericnlia comprobaro....
KiTor Vietae inde haud dubic oritur. Supposait vir clarissimus dif-
(rrontiam diioruni quadratoquadratorum, ut i QQ — i , ipquari are»,
cui adjiciendo quintuplum quadrati, fiât quadratus.
Si 5, numcrus datas, dividatur ia duos quadratos. poterit iaveuiri
quintuplum quadrati a quo. dompta unitate, supersit quadratus. Pona-
tur igitur latus <iuadrati (|uintuplicandi esse iN+ i, autalius quivis
iiumei'orum numerus + i. Quintuplum (|uadrati illias erit
5Q4-ION-I-5,
rui, si adjicias aream, i QQ — i, fiet
lOO + 5Q -1-ioN + .'i,
(|utc summa débet iequaii (juadrato. Hoc anleni non est operosuni.
(luuin numerus unitatum, ex liypotliesi adjecta problemati, sit qua-
dratus.
Non vidit Viela ([ua-sliononi perinde l'esolvi posse si, loco i QQ — i,
sunipsisset pro area i — i QQ : eo cnim deducenda statim (juiestio ut
datus numerus, 5 vel G vel alius quilibel, in quadratum ductus, ad-
jecta unitate, conficiat quadratum; quod generaliter est racillimum,
(|uuni unitas sit quadratus.
i;uluni rocUinL;uluiii abs (piadralo adi;rei;ali latorum I), I), et quadralo diltereiitia' eorunideni.
Hypotenusa ij;ilur similis oril B(iuad.quad. 2 -t- B quad. in Dquad. i/ -i- D ([uad. quad. 2.
lîasis n in 1) iu Z planuin 8. Pcrpendiculuni 15 + D quadralo in li — D (piadratuni ?.. AdpN-
1 71 Ti ■ fi n 1 r . •!■ Z piano in n in I). 2 .,, , 1
re[iUir omnia ad li -1- 1) \n B — l) quad. k, bel area siindis — • Addc Z pla-
If — 1) quad.
niiin; (pioniam B — L) quad. + B iu Di acquaUir B quadrato -t- t) quadralo, id esl icqua-
„ , .. Z planoplannni , . ,. Z plani
lur Z piano, summa ent — ' > quadratum a radice -r-^ •
B-I)quad. « - D
Sit Z ijlannm J, Di, Bî. Trianj;ulnm rcctanijulnni crit luijusuiodi : -
Area ^—-, id esl m. Adde 5. Sumnui fil ■l'i, cujus radix est j.
a-x So 1 8
OBSEUVATIONS SU II 1)10 PUANTE. 329
Nos pcculiari metliodo (') (|iKi'stioiu'ni liane et iluas proximas (-)
rosolvimus, cujus hcncficio, dum qu;ri'imiis triangiilum ciijiis area,
unà cuin j, vorbi gratia, conticiat (|iia(lratmii, trianguluin in niini-
niis (^) cxliibemiis
9 ''lo 4 1
i i ù
cujus area 20, addito j, facit quadrakini 2,j. Sed de ratioiie et nsii
nostra^' liujus inetliodi non est luijiis loci plura addere; non sullieeret
sanc marginis exiguitas, niiilta oniin liaheniiis liue referenda.
XX,\V(p. .s,,).
(Ad quaestion. VI Libr. VI.)
Iiivonirc ti'i;ini;iiliim rcclan,i;uUini iil nunicrus aie;D, adsuiiicns uniim lalonini eirca rec-
tum, laciat dalum iiumcriim.
( ' ) La nic'tliodc de Dio[)liaMlc pciit se représeiUer comme suit : soient n le iiond
dDiiué, et
^'-^.ij-^'' ("'-^)->' '^
le tiiangle clierclic, on devra rendre carré i.v- :, \j--i-a. En égalant cette e\iiressiui
, / -MU-riX- . , . -1, r ■ 1. I ■ ■
a I .'■ H I )^, on ari'ive a tirer rationnellement, en lonction d arbitraires /// el n.
(7(4 n-iii'' ->- \) — //-
cl J
ftiiiiii ■iiiiax + //
('-) DioPll \NTi;. VI, t\ ■ Iinwnirc triaii'^iihiin rcclaiif^nliiiii ni arav iiiiiiicriis niidUiliis
(1(11(1 iiiiiiicro j((( (Kl (^(((KlrnKdn.
DiopilANTK, VI, "> : Iic'Cinrc Irum'^idiim rccIdic^nUiin (d iiiiiiicric< arco' (Iclrdctits (( (hdo
inuiicro jiic(((l (i(((i(lr((l((iii.
La métliodc de l)io|iliaiile, jionr ces deu\ problèmes, est analogne à celle i|n'il a sui\ie
pour VI, 3.
(') L)c fait, ces nombres reviennent à ceux de Viétc. ll(mipare/. au reste .l\coiES nie
Hii.lv (Doctriitœ aiialylica: in\'ciil((iii noviaii, I, 3", p. lo) :
c( Vieta, L. V Zetet. 9, iiifelicilor solvit (|Uinstionem lertiamlibri sexti Uioiilianti: ipniiii
enim iste pro|ional invenire triangnlnm r.eclangnium cnjus area assumens datum niime-
rnm laciat ipiadratuin, coarctavit Vieta (puestionein ad datnm numcrnni e\ dnobns i|u.i-
dralis coinpositnm. Al I>'ermatius innnmeris modis solvit problcma de dalo (piocumcpie,
numéro : si enim delur 3, miineri seipientes CNliibcnt triangninin cpia'silnm :
I .j i' 880 I 3;)7 «V.") 3.1
(iG i()o 4''' '''o '10
lif\«i\T — I. 42
330 ŒUVRES DE FERMAT.- 11= PARTIE.
H;t'c propositio et sc(|iicnles aliter fieri possunt ( ' ) :
Fingatui- triangukim, in liac propositione, abs dato numéro el uiii-
tate, et plana lateri!)us siniilia applicentur ad summam unitatis et nu-
ineri dati, orietur (jupesitiis triangiilus.
XXXVl (p. 290).
(Ad quaestion. VII Libr. VI.)
Invenire trian^iilum rectangulum, ut numerus areoe, mullalus uiio lalorum eirca recliiin.
facial (lalum mimcrum.
Fingatur Iriangulum abs dato numéro et unitate, et plana lateribus
similia applicentur ad dilTerentiam dati numcri et unitatis ('-).
Hice quaîstio ('), per viam qua bujusmodi duplicatas œqualitates
infinifis modis resolvimus, infinitas recipit solutiones; moduni autcni
que iilinuir tctigimus et explicavimus infra ad quœslionem 24.
Imo et solutiones ilhi' infinitai aptantur quatuor scquenlibus quies-
tionibus ('), quod nec Diopliantus nec Bachetus animadverlit. Cur
(') Soil n lo nombre donne; la solution do Dlophanto revient à prenrirc, pour lo
Irian.L'le,
L'aire, plus lo dernier coté, est identiquenienl a.
La solution do Format est précisément la môme; seulement il la pose direclemenl, au
lieu de suivre les loni^s détours de Diopliante, qui masquent la construction cllcctivo du
triangle.
(') Cette solution est encore, do fait, la même y\\w celle do Diopliante. comme pour le
problème précédent.
(') Il faut entendre ici à la fois les problèmes VI, 6 el 7 de Diopliante.
( ' ) VI, 8 : lui'citirc trinngiduin rcclaii'^iilum ut arca, ad.fumcii<: iitruni/jiic lalcrimt rin-d
rccliiin, faciat datuin iinmertiin.
VI, ;i : luvcnirc Iriangulum rcclau^'uluru, ut uuiiicrus aretr, nndtatU-< suiniiid l.iileruni
circn rectum, fariat dulum uuinerum.
VI, 10 : Invenire trifiugulum rectangulum ut arcœ numerus, nd\umc/i\ s[iiiitnam liypo-
lenuiœ et altcrms Interuiii circn rectum, faciat datum numerum.
Vf, I I : luveuirc triaugulum rectangulum ut numerus arecv, mu/tatuf \iintmû /irpotenunr
cl altcriuf lateruiu circn rectum, facial datum numertim.
Pour tous ces problèmes, comme pour les deux précédents, Diopliante arrive à une
doidile c(juatUiu, dont son procédé ue lire qu'une solution unique.
OnSEUVATIONS SUR DIOPIIANTE. 331
autein noqiic Diopliantiis noqiioBachetus S(!(|iiont('in ([iKi>stioneiii addi-
(lerunt?
Invenire. Iriangulum reclangulum ul unum ex lalcrihiis arcà inullatiiin
facial (lattim /lunirriim.
(A'rle liaiic videntur ignorasse, quia non statim se prodit in resoUi-
tionc duplicata' a'qualitatis; vcriim ex nosira nuitiiodo facile potcst
invoniri.
Similiter in sequentibus quœstionihus tertius liic casiis siippleri
potesl(').
XXXVII (p. i.p-)-
{ Ad quaestiones VIII et IX Libri VI.)
Addi potest ex nostra melhodo se([uens quicstio :
Invenire Iriaiigula/n reclangulum ul sutnma lalcrurn inuUala areà cdh-
fciat daliiin numerum.
XXXVIII (p. .9'0.
( Ad quaestiones X et XI Libri VI.)
Addi potest ex nostra nielliodo sequens quiestio :
Invenire Iruatguliirn reclangulum ut sumnui //Y/xilenustr ri allcruis
laleris circa recluin. rnullala areà, facial dalum numerum.
Jmo et sequens addi potest I5aclieti commentariis (-) :
Invenire Iriangulum <^ reclangulum > ul /typolenusa delnirlà areà
facial dalum numerum.
(') roir les Ubser\atiuiis XXWII, XXXVIII, XL, XLI.
(-) Dans son conimcnlairc sur VI, ii, Baclict avait trailé la (|ucslion :
hivcuirc tridii^uliiiii rcctciiiifuliim ut arca, detracld lij polcniisâ, jacKtl dalum itiiiuc-
riim.
332 ŒUVRES DE FERMAT. - 11= PARTIE.
XXXIX (p. 29S).
(Ad queestion. XIII Libr. VI.)
Invenire triangulum reclangiilum ut numcnis aro;c, adsumens alterulnim lalenim circa
rectum, faciat quadralum.
Uniustantum speciei triangula Diopliantusexliibetproposituni adiin-
plcntia; sed ex nostra metliodo suppetunt infinita diversa^ speciei
triangula qiue ex Diophanteo per ordinem derivantur.
Sit igitiir iiivciitum triangulum ■3.4- N cujiis lia'c est propriotas » tit
qui til niiituo ductu laterum circa rectum, adscilo solido sul) majore
latei'um circa rectum, intervallo eorumdem, et areà contenlo, l'aciat
(|uadratum (') ». Ah eo deducendum aliud ejusdem proprietatis.
Sit majus ex laterihus circa rectum trianguli qua'siti 4; minus vcro
■^ -+- I N. Rectangulum suh laterihus circa rectum, adscilo solido suh
majore laterum circa rectum, intervallo eorumdem, et areà contenfo,
facit
30 — 12N — 8Q, (]u;t.; iileo (iL'l)cnl ;vM|uari (|ua(lralo.
Quum autcm latera, 4 et 3 + iN, sint latera circa rectum trianguli rec-
tanguli, dehent etiam eoruu) (juadrata juncta a^cjuari (|uadrato; qiia-
drata illa juncta f'aciunt
9.5 -\- 6N + I Q, f|ii;c idcirco cliam ;ef|iiaii(la (|uailial(i.
( ') Cette condition est empruiUoc au texte latin du problème, l.c procédé de Diopliautc
revient en elfet à prendre comme triangle clierelié : az, liz, cz: puis à poser (suppo.sant
h > f) 3 — r-- Il arrive ainsi à avoir à rendre carré
'"'
x^
•2
bc.v--^ h(b — c)-- =,)2.
Or, si le triani;Ic («. h, c) est tel ([uc
br -r-b(h— (■)— =/)-,
Diopliante sait construire une infinité de valeuis de x = - ,' — ' donc de z. Jlai.-
ry- — hc
Ions les triangles ain?i obtenus sont semblables: P'crmat cherche donc à délerniiuer un
autre triangle 1 n, b, r ) cpio celui trouvé par Diopliante ( j, 1, 3).
OBSERVATIONS SUR DIOIMIANTE. 333
Et oritiir duplicata a'([Lialilas, nam
SG — iiN — 8Q et cliam aS + GN + iQ
(Icbont tcquai'i (|ua(li'ato. Ejus ;o((iialitatis (luplicat;o soliitio est in
promptu.
XL(p. .io-O-
(Ad quaestion. XIV Libr. VI.)
Iincuirc liiani;iilinii roclaiiguhim iil iiumcrus arcac, mullatus allerutro laluriim circa
rccUiin, facial i|ua(lraUim.
E\ noslra mctiiodo solvctiir se(|ii(Mis ([iia'stio, ali()(|uiii difticilliina :
I /ne/lire Irian^aluin rccldiii^ultun ut altcrulrum lalcruin cura rccliiin.
nudlaliirn (ircà, facial (juadralum.
XLI (p. :!o7).
(Ad quaestiones XV et XVII Libri VI.)
13. Imuairc lriaiii;iiliiiii rcclaii,L;uhim iil immcrus arcic, lain liypotciuisà ([iiam allci'o lato-
rumcirca rccUini dclraclo, facial iiiiadraUim.
17. lincniro triaiii^iiluiii roclaiiguliim ul uiimeriis are;c, lam liy|iolciiiis,T (|uaiii altei'iiis
lalcnini circa rccluni luimcro adscilo, facial i|iiadraUim.
Tentetur henc'ficio nostr;o mctiiodi sequoiis quastio, alioqiiin diCti-
cillima :
I/ivcnirc trianqulurn rcclanguluin ul tain /irpotr/iusa qiiam unum ex
lalciihiis, (h'traclà arcà. faciani (luadralum.
X LU (,.:•....).
(Ad quaestion. XIX Libr. VI.)
liivcnirc IriaiigiiUim l'cclaiii^iihim ut areai nmiicius cum liypotcnusic numcru facial (|iia-
dralum, al circiimferciilia' iiiiuienis .sil cidms....
...Oporlcl ilaquu invciiirc ([iiailraUini aii(|iicm, i|iii, liijiario adjcclo. ciihiiiii facial ... csl
igiliir ([tiadrali ialus 5, ciihi voni 3; ipso qnadraliis 1,5, cidiiis ■>.-;....
An auleiii aliiis in intcgris (luadratus, pra-ler ii)suin 25, invciiialnr
33i ŒUVRES DE FERMAT.- II" PARTIE.
(jui adsumpto hinario ciihiun i'aciat, id sanc difficilis primo ohtutii vi-
(Ictiir (lisquisttionis. Certissimâ tamen demonstrationc probare possuni
niillum aliuni qiiadratum, pra»ter 2'), in inlegris adjocto hiiiario lacère
(•iilnim. In fractis ex melhodo Bachoti (') suppctiint infiniti, sed doc-
trinam de niimeris integris, (\ax sane pulcliorrima et siii)lilissima est,
nec Baclietus, nec alins quivis cujiis scripta ad nie pervenerint, liacte-
nus cailuit.
XLIII (p. 329).
(Ad commentarium in question. XXIV Libr. VI.)
Ou.ïSTio DiopiiVNTi. — Invcnire trian^iiliim reclaiiguliiin iit luimerus oircumroreiui.e sil
culjiis. ot adscilo arcrc numéro, facial quadraliiiii.
Baciietus Quoniam vcrô in liis libris Dioplianliis tlivei-siinode ulitiir (Jii|ilica(a a^(|ua-
liliilc. non abs ro me faelurum arbitrer, si omncs qiios usurpai modos sigillatim recenseani
cl uniim in locum quœ sparsim a noins adnoiala sunt, collecta conjiciam, ni sic tola dupli-
cata' iTqualitatii doclrina discciitium animis firmiiis inliîcrcat. Nec solas Dioplianti hypo-
tlioscs alTcrcnius, sod et alias pleriini(|iio c\liibcljiinus, ipiibiis vari.i luijiisniodi ;ci|uationiiiii
syiiiploniata declarenlur, novamquo insuper quam c\coi;itaviniiis jcqunlionis ralionoin,
(pianiquc ad (|iiadra.La'Simani qnintam (piarti cxplicaviiiuis, aliis adjicieiuus.
Ul)i non sutriciiint duplicata' œtiualitates vel oiTiT^oio-éTY]-:;;, recur-
rendiim ad Tpi-Xoia-ÔT-^Taç seu triplicafas a'qualitatcs, qua- est nostra
inveiitio, ad piurima proMemata pulclicrrirna pra-viani faceni prale-
rens.
( iN + 4.
yl'^qucnlur vidclicct quadrahi < aN -+- It,
ar
N
oritiir triplicata a'qualitas cujus soliilio per nic<Iiiiin duplicata' a'(|iia-
lilatis est in i)romntu.
(') D'après cette méthode (p. Sai), si l'on a une solution .ti, j , de rc(|uatiun indélcr-
inince
.1-2-1- a =r^
et (|u(' l'un pose
9../'|
on peut tirer z rationnel .
. ^ jr.rf — y.yy'i
OBSERVATIONS SUR DIOPIIANTE; 335
Si poiiatur, loco i N, numeriis unà cuin 4 (juadratum conficicns,
vcrbi gralia, iQ-f-4N, fiet
priiiius numeroriim ncqiumdoruin qiiacJrato i Q -t- 4N -t- 4;
secundiis igilur dit aO-t- 8N-i-.'i,
terliiis 50 + 2oN-i-4.
Primus autom, ex coiistructione, est quadratus : ergo dobcnt teqiiari
(|iuulralo
2Q-H8N-+-4 et 5Q + 20N + 4.
et oritiii' duplicata œqualitas quai unicam certe exliil)ei)il solulio-
neni ('), sed eâ exhibità prodibit rui'sum nova, et a sccundà teitia
deducetur, et in infinitum.
Quod opus ita pt'ocedct ut, invento valore iN, rui'sus ponatur 1 1\
esse iN -f- numéro qui prinium ipsi i N inventus est œqualis. Ilac enini
via intinita' prioribus solutionibus soiutiones accèdent et postrema
seni|>ei' dciivabitur a proxime antecedenti.
Hujus inventionis i)encticio infinila triangula ejusdein ai'ea' i>(ts-
sunnis cxbibei'c (-), quod ipsuin videtur iatuisse Diopbantnin, iit
patct ex qu;estione octava Libri V, in ((ua tria tantum triangubi ;equalis
area' investigal utsequenlem qua^stioncm in tribus numeris eonstrual.
(|ua" ad intinitos, ex iis (|a;e nos primi deteximus, i-ecipil exlensionetn.
(') D'a[iros les procédés de Diopliante, cctlc soliUion s'obtient comme suit :
Soit la douljle équation
tix^ + bx -)- c- = «-, a' X- + h' X -t- c'^ = i'-,
on en conclut
(a — a')x''-+{b — l/')x = lû—v^.
On satisfera à celte relation on posant
«--«' h — l/
2 C -, j; X -I- ■;>. C = « -+- V, X = Il l'.
Il — 0 ic
De CCS deux, équations on tirera la valeur de it ou do i', et, en substituant dans une dos
doux premières, on obtiendra pour x une valeur rationnelle déterminée.
(■-) Foir Observation XXIII. Fermât renvoie d'ailleurs à la présente Observation .\LI1I
dans les suivantes : VI, XVI, X\II, XXXI.
:336 ŒUVRES DE FERMAT.- W PARTIE.
XLIV (r- 333).
(Ad idem commentarium.)
Huic de duplicatis sc(|ualitatibus tractatui multa possenius adjun-
gcrc qiiSL' nec vctcres nec novi dolcxerunl. Sufiicit iiunc, ut nictliodi
nosliu' dignitatcm cl usum asseramus, ut quœstioncm sequcnteui, qua^
sanc difficillima est, resolvamus.
Iin'ciiirc Irianguluin reclangnlitm nttmeri), ciijiis hypotcintsa si/ qiia-
(Irattis, cl pariter siimrna lalcntin circa rectum (' ).
Triangulum quicsitum ii'prœsentant très numcri scciuentes :
4 687 9.98 Gio 28c), 4 .j()5 486027 7G1, I oGi C.J2 293 Sao.
Formatur autem a duobus nuineris secjuentilnis :
2 i5o 905, 246 7112.
Aiià autem metliodo sequeiitis qu;eslionis solulionem delexiiiuis :
lincnire Irianiiiilnm rcclansiihim nnincro ca co/n/itio/ic ni (iiKulnilKin
(') BlLLV {DiHtri/in' annhtirir i/i\-riilmn ituviun, I, 2.'), p. 7) : QiKiTîiUii', veibi ^TiUiii.
Iriantriiliiiii rccUingiilimi ciijiis tiim liypoloinisn (|ii:iiii siimma luleriiiii ('iixa rccliim sil
iHiiiicnis qiiaili'aliis. l'oniiclur Iriaii^uliiiii ab nbviis iiiimoris i N -1- i et i N ; orgo Iria lalera
iTuiil : •.>, 0 -1- I H- ''.X, 1 -I- 2N, ''.N -H 2Q. 1,^'ilnr livpolciuisa, ^(j -t- 1 -h -iN, ri simiiiia
latcrum cii'ca rccUnii, 2(J -1- 1 -+- 4N, .Tipianliir (piadraUi, et fit, pcr iiielliocJiim cnin-
munem, valor radicis '-> iiiidc duo luuiieii, a (|uibiis forinalum est triaiiïidinii. cniiil
et — — ) scii in iiUci;ris, aecipiendo sulos luiiiicralDrcs, — j, — i>.. Triaiigidimi aiileiii
inde formaluin est : iGij, 1 k), i'o. Uiide infero ad ^olllliollem ]ii-oblcniatis iiiveiiionduin esse
alicpiod Iriaugiiliim reclani,'iilum cujiis livpoteniisa sil ([uadraïus, et dillcrciilia laicniiii
eii'ca rcctniii .sil iiuadratus. atipic \\xv. concbisio elicitiir vi aiialyscus pncccdciitis; istiid
aiilem li-iaiigiihiii) est lOi), 1 n). im, qiiod formaliir vel al) — J et — 12, \el a -i- ') et -t- i:>..
Qiiaïc itciu opeialioacni et lorino liiangidum (pia':iiliim ab 1 N -t- ") et !■>., et pcrvenio
tandem ad .Tiinalitatem diiplicalain (pue iiun dal)it anipMns niniicros ficlos, scd veros, beiie-
ficio lrian:,Mili illiiis primilivi, iit dislinclius \idel)iliir iiilra mun. 45....
( Iliiil.. 4.'i, p. ri ) : Iiivciiirr iliKis- /iiiiiiiTos- ijiiiiniin siiiniiin facidl tjiuiilratiiiii cl ijiiiiriiiii
(jiiiidnita siinul jiincla jticidiil iiiiiidi-adiijiiiiilriilniii.
Istiid piolileina idem plane est ciiin sii|)erioii qiio (pucrebatur triangulum rcclanguliim
cniiis liypotcuusa et suuima lalerum sit quadrattis, aliàsiiuc fuit proposituin plei'isipie doc-
lissimis Jlalliemalicis a Fermalio iiosli'i) sine solulionc. Utere ii;ilur triaugulo primitive)
>upra invcnto (num. 2.j) iGo, ikj, r>i), (piod formatur ab 5 cl i>, et forma triangulum
al) I .N -+- 5 el 12. Lalera eruiU : r O -1- iG;i -^^ lo.N. 1 (J — i h) -h loN. ajN-i-iio. l.;;ilur
OnSERVAÏIOiNS S[lli 1)1 OI' Il A NTE. 337
a dijfcrcnlia lalcrum cirra rccliim minus chtplo quadraù a minore lalcrc
rnnflciai quadralum.
Uiiuin ex triangulis quic liuic qiuostioni aptaiiliir osL id ([iiod se-
quitur :
f525, i>'7, i56;
formatui" a mimeris 39 et 2.
Iino confidenter adjungiiiuis duo Irianguhi rectaiigula qu.T jam expo-
suimiis ad solutioiiem duariim propositarum qusestionum esse miiiima
omnium iu inlegris quœstionem adimplentium.
Metliodus nostra Iipl'c est : Qua'ratui' (|na's(io proposita secuudum
metliodum vulgarem. Si non succédât solutio post ahsolutam opera-
(ionem, quia nempe valor numeri nolâ dcfectùs insignitur et ideo
niinor esse iiiiiilo iutelligitur, non lamen despondendum auimum con-
lidenter pronuniiamus (quic oscifantia, ul Io(iuitur Vieta ('), luit et
hypolcnusa, iQ + >G',) "•- loN, cl sunima latcniiii circa roctiim, 1 -t- iQ + i.iN, œiiuaiiliir
quadialo; ihic siiminam islam laloriim in ilig; crgo pi'orluclus, lOgQ -t- 57iGN -t- iGtj.
cum hypolcnusa, i(J + 1O9 -h loN, icciiianUir qiiadratis. Krgd ([jcr ca ([uœ dicta siiiil
, ... 2().'i8o75 . . , ...
mim. ^2) valor radicis csl -t. — ' cl, luxla posilioiies, duo numeri a (iiiibiis nasceUir
20j()b > .. 1
Iriangulum quacsiUim, .1687298010289, .1 5C5 .'I8G027 7G1, 1 uGi G52 293 52o. Nam cl
hypolcnusa csl quadralus cl siimma lalerum, cl quadrata lalcrum a?ipiantiLi' quadrato
hvpolcnusrc; [iroindciiuc duo lalora circa reclum sunl duo numeri quicsili, tum quia
illorum summa quadralus est, luui quia horum quadrala ?imul juiu'.la l'aciiml quadralo-
quadratum....
(I/iid., ti, p. 7) : Ilerum sil solvcnda ;cqualilas du(>licala ; i()9(J -h 574GN -1- 1G9, el
iQ -+- loN -1- 1G9. Triplicilcr ista iuqaalilas solvi [lolcsl : Primo accipicndo differentiam
Icrminorum illorum, (pi;e est iGSQ -+- 573GN, ol cligcndo duos produceules in (piorum
uno sil 2G, duplum vidclicel latcris (piadrali 1G9; alque lixc csl melliodus communis.
Secundo, solvi polcsl rcvocando diverses (piadraliuuni numéros ad enuidem, (piod licrel
ducendo sini;ulas parliculas numeri poslcrioris iu 1G9, ul cxplicatum csl num. -i. Terlio,
solvetur cadem .cqualilas cligcndo producenles i^N cl 12X-1- '— — ; ila cnim summa
7
radicum eril 2GN, duplum laleris qiiadrali 1G9Q; alquc hxc est melhodns Fcrmaliana qu;c
20/18075
dal pro valore radicis
2()JGG
7G948 jo3i
Lti prcmicrc inctlindc indiqiicc par Jacques de Bill) dciiincrail la valc
iir
J2 (UO'j.îG H)
la seconde est illusotrc, car elle donne pour valeur zéro.
(') VliiTE (In arleni analjticen IsagoLfC, cap. I, éd. Schoolcn, p. 1, 1. 23-25) : Forma
autem Zotesiu iucundi ex arle proprià est, non jam in numcris suaui Logicam cxcrcenle,
(juœ ftiit oscitantia l'eterian Jnaljsfari/nt,
Febmat. — I. 4J
.53S ŒUVRES DE FERMAT. - IP PARTIE.
ipsiiis et votci'iim analystarum), scd itorum qujestioncm tentemus et
pro valore radicis ponamus iN — niimcro qucm sub signo defcctùs
ioquari radici incognita? in prima operalione invenimus, prodibit nova
haïul diibie a'qiiatio qiia» per voros numéros solutionem quasstionis
repra>sentabit.
Et bac via superiores duas qiiœstiones alioquin difticillimas re.sol-
vimus; (lemonstravimus pariter et construximus numorum ex duobiis
ciibis compositum in duos alios cubos dividi posse ('), sed boc per
itcratam ter aliquando operationem : saîpius enim contingit ut veritas
quaesitaad multipliées operationuni iteralinnes solertem et industrium
necessario adigat analystam, ut facillime experiendo deprebendes.
.VPPENDIX (-).
Proposait féliciter satis plcrosque duplicata; a'qualitatis et modes et
casus subtilis ille et doctissimus analysta Bacbetus ad quaistionem 24"'"
Lihri VI Dioplianti, sed integram sane non demessuit segetem : quas
enim qutesliones unicà tantum, aul ad summum duplici solutione cir-
cum.scribit, ad infinitas porrigere et promovere nibil vetat, imo proclivi
id exsequi oporatione est in promptu.
Proponatur sextus modus qucm ipse satis prolixe explicat pag. 439
et 440 (') '■ casus omnes ab ipso enumerati, ex nostra quam mox exbi-
(') /wV Ohscrvation IX.
(-) Ce Iragmcnt csl tiré du préambule ilu Doctriiue nnalyticœ i/ive/ituin noviini de
.lacques de Billy (p. ■>.), où il suit le passage ci-après :
n Quis o.\ primilivis radicibiis elicuit dcrivativas, tum primi gradus, lum secundi, tiim
Icrtii et sic deinceps in iiifinitum? nemo plane : uni Fcrinatio debctur hoc invcntuni; unus
illo lia?c nmnia non e\ alieiiis cumulavit operibus, quod rbapsodi quidam faccre cnnsuovc-
runt, sed proprio marte cudit et ex suis ipse fonlibus hausit : lioc ille quiim mihi amicis-
sime cummunicasset per literas, judicavi dignissinnim quod typis mandarelur, et ne ab
cjus mente ullalenus recedam, exscribcndum mihi videtur in primis compcndium quoddam
lotius melhodi, cui nomen débit Appcitdicis ad dis.icrtationcm Claudii Gn.iparii Bacheti.
de diiplicntif apud Dinphttnliiin œiiiialiintibiis. En ipsissima ilhus verba. »
(■■') Pages vîi-jSS de l'édition do Samuel Fermât. « Sextus modus est quando propositi
numeri diversimoilo componuntur ex Quadratis, Numéris et Unitatibus, ....
'I Primo crgo accidit utrumque propositorum numerorum componi ex tribus spcciebus
supra diclis et corum intervallum unicà tantum conslaro specie....
.1 Secundo accidit utrumque propositorum numerorum ex duabus comi)oni spcciebus,
OBSERVATIONS SL'I{ DlOl'UANTE. ;m
l)itui'i siimus metliodo, iiitinitas ailmittunt solutionos, (|iui' a prima pci
iteratas analyses gradatim in intinituni dorivaiilur.
!\Iolhodus ha;c est : Quœratiir solutio quaestionis proposita; scnin-
diim mctiiodum vulgarem, lioc est sccundum metliodum Baclicti aiil
Diopliantcam, prodibit sfatim valor niiincri sive radicis ignotse; quo
peracto, itcrctur analysis, et, pro valore nova' investiganda; radicis,
ponatur nna radix plus nnmero unitatiim prioris radicis. Rcducctur
(jua'stio ad novam icqualitatcm duplicalam, in qua unitates uliim(|uc
reperientnrquadratœ, propter priorem solutionem; ideoque dillcrentia
a'qualionuni ex numeris tantuin et quadratis, qua' sunl proxinKe intcr
se spccies, constabit : quare resoivetur, ex Dioplianto et Bacbcto,
nova b;ee duplicata ajqualitas. Ex qua, pari artilicio, lertia, et ex tertia
quarta, et sic in intmitum, deducentur.
Quod non advertisse aut Diopliantuni. aut Bacbetum, imo el Vietani,
(lispendiuu) iiucusque Analyscos maximum fuit. Sed pi-ecipuuni
inventionis nosti'a' artificium in iis se prodit (|u;estionil)us, in (juibus
primigenia analysis, pro valore incognito radicis, exbibet numeruni
nota defectùs insignitum. qui idco minor esse nibilo intelligitur. Me-
tbodus autem nostra in lioe casu, non solum in probleinatis (|u;e per
duplicatas a'(|ualitates solvuntur locum babet, sed generaliter in aliis
(luibuscumque, ut experienti notum fict.
Sic igitnr procedit : Qua;ratur etc. [indc supra, p. 3^7, 1. rt), us(juc
</r/ ix'prœscntabit, p. 338, I. 5) (').
allenim scilicct ex Quadratis et Unilalibiis, altenini c\ Nimieris vl Unitalibus. iiUcrvalIum
aiitcm illoniin conslaro ex Quadratis el iNuincris....
» Tertio accidit allcrum propositorum numcronim componi c\ Quadratis, Numéris cl
Unitatibus, altcrum ex Quadratis et Numéris....
1) Quarto accidit alteruiii propositorum numeroruni comiioni ex Quadratis. Numéris el
UnitaliLius, alterum ex Quadratis et Unitatibus....
i> Quinto dcnique accidit alterum propositorum numcrorum componi ux Quadiatis. Nu-
méris et Unitatibus, alterum vero ex Numeris et Unitatibus -
(') BiLLY ajoute : « llaetenus P'ermatius ». Les différences, pour cet alinéa, entre le
texte do ÏUbscn'atio public par Samuel Fermât (S) et le texte de X'Iim-iitiini nm'iini (li)
sont les suivantes :
r. :ii7, 1. 12. nota defectùs insigniturS liabct nuiaiii deleclûs IJ; ij. inlelligitur S depro-
licnditur B: ij, ul locuiilur Vicia S ul vcrbis Vicbe utar B.
.m (KUVRES DE FERMAT. - IV PARTIE.
XLV (p. 338-330).
(Ad problema XX commentarii in ultimam quaestionem Arithmeticorum Diophanti.)
Baciietus : Invenire trianguliini rcclangiihim, cujus area sit datus numcrus. Oporlet
autcm ut qiiadratiis arca; dnplicalne. addilus alicui quadratoqiiadralo, faciat qiiadratuiii.
Arca triangiiU reclangiili in numeris non potexl esse quadralm.
Hiijiis tlicorematis a no!)is inventi domonstrationem, quani et ipsi
(andein non sine operosa et laborio.sa nieditatione deteximus, subjiin-
gemiis. lloc ncmpe denionstrandi genus niiros in Ai'itlimcticis suppe-
ditabit progressu.s.
Si area triaiiguli esset quadratus, darcntur duo quadratoquadrati
quorum diiïerentia esset quadratus; unde sequitur dari duo quadratos
quorum et sunima et dlIFerentia esset quadratus : datur itaque luime-
rus, compositus ex quadrato et duplo (juadrati, «{jualis quadrato, ea
conditione ut (|uadrati eum componentes faciant quadratum. Sed, si
numerus (juadratus componitur ex quadrato et duplo alterius ([ua-
drali, ejus latus similiter componitur ex ([uadrato et duplo quadrati,
ut facilUme possumus (lcnv)nsirare ; unde coneludetur latus illud esse
summam laterum cirea rectum trianguli rectanguli, et unum ex qua-
dratis illud componentibus eftlccre bascm, et duplnm quadratum
;v {] u a r' i \^ e r p e n d i c u 1 o .
Illud itaque triangulum rectangulum eonlicietur a duobus quadratis
(juorum summa et dilTerentia crunt (|uadrali. At isti duo ([uadrali mi-
nores probabuntur primis quadratis jirimo su[)positis, quorum tam
summa quam dilTerentia iaciunt quadratum : ergo, si dentur duo qtia-
draii quorum summa et diiïerentia faciant quadratum, dabitur in
integris summa duorum (piadratorum ejusdem natur;e, priore minor.
Eodcm raliocinio dabitur et minor istà inventa per viani prioris. el
semper in infinitum minores invcnientur numeri in integris idem pra'-
stantes. Quod impossibile est, quia, dato numéro quovis integro, non
possunt dari iniiniti in integris illo minores.
OBSERVATIONS SUR I) 10 P HANTE. 341
Demonstrationem integram t;t (ïisiiis cxplicaLam inscrcre margini
vetat ipsius oxiguitas.
Mac ratione deprcliondimus ot demonstratione contirmavimus /<»/-
Itim mtmerum triangitlitm, prcvlcr unilalr/n. œquari (juadralocfiiadialo.
XLVI( p. .'■',).
(Ad commentarium in proposition. IX Diophanti De multniigidis niinwrix.)
iÎACiiETiJS : Daln lalcrc iiivciiirc polyi;oiuiiii . . . . DiiUi pulysunii invcnire laUis.
Propositioncin pulclicrrimaiii l't miraliilcm, qiiam nos invenimus,
hoc in loco sine denionstrationo ap[)on('nuis :
lu progrcssionc naluidli. qiicf cih imilale sitinil twordiuin, (/ui/ihcl'/iii-
mcrus m pni.ri//ic //ui/orcm facit (Iiipliiin siii Iriangidi ; m trta/ii^i/lum
jiroxiinc inajons, fcicil Iriplain stiœ pyrarnidis ; in pynimidcm proximc
inajorh,jacil quadruplum uni tiiaiis;al()lrlaii'j:,tdi ; cl sir nnifonni cl gcnc-
ra/i ui uiftnilurn luclliodo.
Ncc existimo piilclirius aut gcneralius in numcris possc dari llieo-
rema. Ciijus demonstrationem margini inscrcre ncc vacat, ncc licel.
XLVII (p. ',",)•
(Ad proposition. XXVII Bacheti Appendicis de numeris polygonis Libr. II.)
Unitas [ii'iiuiiiii ciibuin; duo se(|ueiUes im|)aros coiijuncti, seciindiiiii ciilniiu; 1res sc-
([uonlcs, tcrliinii cabiini: (luatuor succedcnles, qiiai'Uiiii; .scmponiiic iiiio plures so(|iiontciii
dcinccps iii iiirniiUiiii cubum ag^i'cgali iiiipares consliluuiU.
liane propositionem ita conslitiio niagis nniversaieni.
Unitas primani columnam (' ) in (juacunKiuc polygonornni progrcs-
sionc constitnit; duo sequcntes numcri, mulctati piimo Iriangnlo loties
sunipto cpiot sunt angnli polygoni (|uaternario mulctati, secundam
(I) l'cniial a voulu i,'6néraliscr, jwur les diiïérciitcs sortes de nombres polygones, la
notion do culie ( produit par n du carre do côte n ). et il a ap|iel(3 colonne lo pro(biit par //
du polyL;ono de coté «. Cette expression tcclnii([ue, qu'il semble avoir fori^éc lui-mOme.
est généralement restée incoaipjise.
342 ŒUVHES DE F E KM AT. - II' l'AKTIK.
columnam; très sequentcs, mulctati st'cundu (riiint,nil(» loties siimpln
(juot sunt angiili polygoni quatcrnario mulctati, tertiam columnam; et
sic eodem in infinitum progressu.
XLVIII (p. ',.,).
(Âd proposition. XXXI Bacheti Appendicis Libr. II.)
lu luic prnijressione [netnpe arithmctica, in ijiia mininuis lerniiniis ;eqiiatur differcntia'].
produeUis ex cuIjii niinimi in (|iiadi'nliini trianf;nli nnmei'i torniiiionini a'qualiir ai;,L;re!;at()
cubdniin a singulis.
Hinc scquiturcubum maximi, loties sumpfum quof sunt nunieii lor-
minorum, ad aggregatum cuborum liahere minorem rationem quam
quadruplani.
APPENDICE.
DEDICACE DU DIOPIIANTE. 3i5
I.
DÉDICACE DU DIOPIIANTE DE 1670.
iLLvsTnissnio vino i). d. ioa>m Baptiste colberto , licr.i An intimis consiliis i;t a
SECRUTIS, ^fltAHIJ CENSOni GENERALI, SVMMO IIEGIOIIVM * UIKICIOnVM, NAVIGATIOMS ET
COMMEltCll PR.EFECTO, REGSI ADMIMSTRO, ETC.
Pr.ODiT in liiccin tuis auspicijs, Vir Illustrissime, Diophantiis varijs
auctiis parcntis mei ohseruationibus; lllas mole qiiidcm cxignas, sed
pondère, ni f'allor, maiores, quai tua est summa liumanitas, forsitan
non aspcrnaberis, pracsertim cum ad numéros pertineant qui ladicis
instarac velut in centre Matheseos positi, difFunduntur in onines illius
circuli partes. Cur enim Geometria, et quidqnid ei affine est, alium
quam te amhiat Patronum, qui lerrarum orbem animo metiris, vt in
extremis Regionihus in quibus olim emoriens natura defecisse videba-
tur, prjieclara Ucgis niaximi facta celebrentur, et 15arbaroruni pectora
liberalibus imbuta discipiinis milescanl. Cum veroiilas fei'è omnes aut
earuni scmina Mathesis contineat, menli impei'io natœ et mcmbris
i'amulilio aptis opitulatur, pacisque ac belli femporibus idonea, non
tantum llegijs œdibus magnifiée extruendis, sed etiam vrbibas lulb
propugnandis vtileni se prad)et. Huius doctrinal non immerito captus
illecebris Parens meus, qucm adliuc lugeo, illam succisiuis boris in
mcdio forensium negotiorum strepitu, absque vllo tamen lurispruden-
tiae, et Senatorij muneris dispcndio non infeliciter excoluit. An autem
hse, quas libi, Vir Illustrissime, ofl'ero lucubrationcs, pondère, vt dixi,
majores sint quam mole, si satis otij suppcteret, tu faeillimè iudicaros,
qui Lynceà sagacitate in abdita ([Uieque penetrans, veritatem ab errore
Flkmat. — 1. 44
3i6 (KUVRES DE FERMAT.- APPENDICE.
non minus (iiiam vcram virtutem à fucatâ secernis, eteorum qui operain
nanant œrario puras manus sequè dignoscis, ac puritatem auri se pro-
l)aro posse Matlieseos quondam ille gcnius Archimedes celeherrinio
cirea coronani Hicronis experimento demonstrauit. Sed te alio vocant
milita magnaque, in qiiihus ita versaris, vt te pluribus parem, et adluic
majoriliiis dignum ostcndons, inuicti Principis famam, illiusque suh-
ditornm leuamcn, tihi laborum metam proponas. Id al)undc tcstantni'
commcrcij reparatte, et Piratarum repressfe vires qui Herculem Galli-
cum Herculeas columnas transeuntem et vtrumque maie eommitten-
tem vident è latebris lanquani h Caci speluncà et pertimescunt ; idem
(|uoque leslantur portus bellieis instructi nauihus quse pcrcgrinis non
indigent armanientis, etliostibus terrorcm incutiunt vt pateatqui mari
potitur, eum rerum potiri: testantur denique bincrestauratœ tuiseuris
Artcs, nobilique consorlio, vt egregiorum a^mulalione opificum eerta-
tim augeri ae perfici possint, tuâ industrià sociat*, illinc scienliarum
arcana in tuis ipsis penalibns mirum in modum illustrata. Qu;e satis
tidem f'aciunt quantum tibi cordi sit non solum vt Regni, sed etiam vt
lleipublica; litterariie fines promoueantur et vt quidquid ex noue illius
orbe aduebitnr, aspirante tui fauoris aura obliuionis et inuidia? sco-
pulos vitare possit; nunquam illos metuet boc tui nominis prœsidio
munitum opus, si benignà manu, vt enixè rogo, suscipias istud œlerni
monumentum ol)se(]uii, quod tibi voveo,
Addictissimus
S. Fi:r,MAT.
PREFACE DU DIOPHANTE. 347
II.
PRÉFACE DU DIOPIIANTE DE 1G70.
Lectori Beiieiiolo.
Diopii.vNTVM liic liabes, cl varias quibus auctus est obserualiones,
paucas illas quidem etbreues, non tamcn contemnendas; nec enim nio
latct bujusmodi opéra pondcrari potius quani numcrari à peritis acsti-
niatoribus, quibus vnica demonstratio, imo interdum vnicum Problenia
magni voluininis instar est; in Malbematicis niniirum disciplinis. noua
Laconico licet more exliibita voritas piuris tieri soict, quani verbosa
quorumdani tautologia; Doctis tantuni quibus pauca sulficiunt, barum
obseruationum auclor scril)ebat, vcl potius ipsc sibi scribens, bis s(u-
dijs cxerccri malobat quam gloriari; adco autein ille ab omiii ostcnla-
lione alienus erat, vtnec lucubrationes suas typis niandari cuiMUcril,
et suoruni quandoque responsorum autograplia nuiio servato cxfuiphu'i
[)Otentibus vitro iniserit; noruntscilicct plerique celeberrirnoruin liuius
s;eculi Geometrarum, quani libenter ille et quanta liunianilati!, sua ijs
inventa patef'eccrit; Quamobreni supcrstites (juosdani Jpsius atnicos,
sa^pe liortatus suin sœpiiisque bortabor, vt si quos iliius ingeuij partus
lilandà manu susecperint, illos in nius;i'i vnibrà diulius delitescerc non
patiantur; dum autcm piura qu;e l)i'eui, vt spero. [ji'odibuiii. rolligo,
tihi non iniucundani fore duxi, uovani horuni Diopbanti o|)erurn, ista-
l'umquc simul obseruationum editionem : Illas l'arens meus (|uasi aliud
agens et ad altiora festinans margiui variis in locis apposuil, pra'ser-
tim ad quatuor vltimos libros; cuin enim ardua seclarelur ille, l'aci-
liora et vulgo Logistarum nota (|u;c duobus priniis libiis conlincalui'.
3i8 ŒUVRES DE FERMAT. - APPENDICE.
aul vt ipsius Diopliaiiti vcrhis vtar, ih. ht àpy^i (JTCii-/£ta)Oà)ç lyovxa ferè
omnino pnctermisit; Qualis aulem Quantusque in Aiitlimeticis fuerit
Diopliantus, sat sciunt qui primis, vt dicitur, labris puram Logisticam
gustauerunt; tredecim ille scripserat Arithineticorum libros, quorum
sex tantum oxtant, vnusque de nunieris multangulis, reliqui vol lein-
poris iiiiurià pericrunt, aut alicubi f'orsan Thesauri instar ita scruantur,
vt nullius vidcantur esse, dum publici juris fieri non possunt; me-
niinit Diophanti Suidas in voce Hypathia, et Lucillius libro secundo An-
Ibologia^ capitc vigesimo secundo Diopbanti Astrologi recordatur; an
vero Suidas et Lucillius de hoc codemque loquantur, niliil comperti
habcmus; cum niulti circa Neronis tempora vixisse putant, nec deest
qui Antonino pio iniperante eum floruissc leuibus fretus coniectnris
suspicetur; illud audacter asscrere licet, hoc Auctore nullum anti-
quiorem haclenus innotuisse, qui hanc instaurauerit doctrinani, quam
à Griecis acceplani Arabes cum ipso Algebraî nomine ad nos transnii-
sisse existimantur ; eximia vero Problemala qu;« hoc opus complec-
tilur, adeo human* mentis captum vidcntur suporarc, vt ad eorum
explanationem indefesso Xylandri labore et mirandâ Bachcti sagacitate
opus fuerit; duo iili fuere doctissimi horum librorum interprètes, nam
vix eo nomine dignus est Grœcus Scholiastes; Bombellius verô in Al-
gebra quam Italico sermone vulgauit, Diophanti quœstionibus suas
permiscens, fidi intcrpretis partes non sustinuit; neque eo functus est
munere subtilissimus Vieta qui pcragrans auia Logistictc loca, nec alte-
rius inha'rens vesligiis, sua maluit in lucem proferre inuenta quam
faccm pneferrc Diopiiantaiis; quantum autem Analyticam vitra vetcres
terminos promouerit Parens meus, tuum erit, Erudile Lector, judi-
cium ; vtinam ipsius cœptis non obstitissent angustia; temporis, et
plura parantem mors heu nimium immatura nobis illum non prajripuis-
set! plura procul dubio ex eodem fonte manassent, nec suis quiedam
istorum problematum demonstrationibus carercnt; quin vero ipse cas
pênes se, et in scrinio, vt ita loquar, pectoris habuerit, tum alia^ hicu-
brationes, tum illius animi candor et modestia dubitare non sinunt;
licet autem à tôt tantisque viris laudatus Parens, à liberis absquc
PRÉFACE DU DIOPIIANTE. 349
iiuiidia laudari possit, noc illud ingenti luctui solatium, vel polius irrj-
lamentum dcnegari debcat, magis tainen libentcr, ni fallor, illius cnco-
iniuiii perlcgcs quod in diario Doctorum elcgantissimo, et in picrisquc
clarissimorum scriptorum libris occurrit; borum nonnulli magnilici-
janidndum mcntioncm fecere variorum ipsius opcrum, quai licet ine-
dita non tamen latuerunt, vtabundô testantur quiedam cxcerpta ([uu-
adjiccre non piget, et doctrina- Analylica; inuentum noiuim, collectiim
ex varijs illius epistolisà K. P. lacobo de Billy Societalis Icsu Saoer-
dote, cujus pcrspicacissimuni ingenium et oruditio commcndalionc
non cgent, cum in ipsius operibus satis eluceant; cœterum qui(Ujuid in
hoc erratum fucrit, id Typograpboruni incuri;e tribuas, et œqui boniqiie
consulas quteso. Vale.
350 ŒUVRES DE FERMAT. - APPENDICE.
III.
DÉDICACE DES VARIA OPERA.
CELSISSIMO S. U. I. l'RINCIPI FKRDINANDO El'ISCOPO rADERBORNENSI, COADIVTORI
HONASTERIENSl , COMITI l'YIlMONTANO , LIB. BARONl DP. FtRSTENBERG. SAMVEL
DE FERMAT S. P.
Si iniuuis quod tibi, Celsissime Princeps, ofi'ero non respuas, grati
simul animi e( obsequii quodam erga te, ac pietatis officio crga Parcn-
(eni (ïingi videbor : dtim in illius operum îMatliematicorum limine
noinen statuo, quod injurias temporum et invidiai morsus arcere pos-
sil. Quis eiiini unquani credat improl)ari (juod tu semel probaveris,
(|uem Ai'ctoi syderis instar intuentur quicumquo scientiarum pelagus
sulcare cupiunt, mox tutius et tranquillius fulurum, cùni fluctus om-
nino sedaverit Icnior pacisaura qu;u tandem spirare cœpit? Sic anteni
per oinnes orbis literarii partes lucem spargis, ut te cuncti suspiciant
et nemincm dcspicias; ita multorum errorem Magnatum damnas qui
vcluli (|uodani sumni;e dignitatis privilégie sibi concessum existimant,
ut non tantùin inipune, verùm etiani splendidè possint esse indoeli; et
se contemnendos putent nisi Musas spernere audeant. Sed abundi' tua
])r(d)at autboiitas nulli magis utiles esse literas, quàm ei qui, ùt decet,
Paslor populoruni esse vclit, nulli plus gloriic alTerre : quia rarb conve-
niuiU impcrii comes sollicitudo, etaptus coIend;o menti secessus. Idem
prol'cctb centrum ferè nunquam babent civilium cararum et sublimiuni
disciplinaruin circuli : in tanto negotiorum circuitu rectà ad doctrina-
culmen ascendcre non minus forsan difficile Politico videatur, quàm
DÉDICACE DES VAHIA. 331
Geomelrae curvas rectis ieqiiare, ciijus rci spécimen cxliibct liîc édita
dissci'tatio. Superavit taincn omnes ohiccs tuaCclsiludo, tibiciuc fuluni
in mediis tempcstatihus portum condere potuisli, ctcgregiis plerisque
scriptoribus quos tuarum fania virtutum ad Padcrtu fontes allicit, iibi
venani quovis hiticc puriorein nanciscuntur, ubi le pra'cunle citiùs
discLint quô properanduni sit, (jiiàm si studiis in umbra ediicalis anxiè
semotos calles investigarcnt. Longum scilicet iter est per prtccepta,
brave per exempla, brevissimuni per cxempla Piincipis viri, queni
etiam avia peragrantem loca pluriini libeiiter sequi conanliir; sed pau-
cissimi sunt qui tnis inbscrere vestigiis queant; et duni optas
Voco cicre viros, Pliœbumqiie acccniJcrc caiilii,
vocis tu;e suavilas tuis non mediocriter votis obslat. Detcrret nimiriini
qui sic bortatur; silcrc docet, qui tam docte loquitur. Id ego experior
(|uoties opéra tua pervolvo, quai mibi licet ignolo et inimerenti niiltero
voluisti : illa scmpcr, adulationis expers, cujus causas procul babeo.
Miirai'i siinul et hiudare gaudeo quio vix quisquam imitari posse con-
fidat. Monumcntis eniin Padeibornensibus, qu;e tam munificè restau-
rans lam eleganter célébras, monumentum longe perennius exegisti :
si Quinctilii Vari, cujus cbadem cedro dignis carniinil)us incmoras,
Legiones Romtc reddi nequeunt, at saltcm tui sermonis ilieccbris et
venustatc Vari vel Angusli s;eculum ei rcddere videris, Virgiliun)que
siniul et Horatium ac utriusquc praesidium et dccus ref'erre. Augura-
batur olini lepidus Vates non defuturos Marones, quandiu sint M;ece-
nates, sed quidquid praiclarum in Maîcenate et Maronc fuit, in eodem
pectore repcriri posse nemo speraverat, sive quod nimia copia Poëtas
inopes et stériles plerunque reddit (unde Tbeocritus * Diophanto fate-
tur artes excitari paupertate, quam laboris magistram vocat) sive qubd
alienis carminibus ei non opus est qui suis satis oblectari polest, ni
adoptivos liberos quœrere non solet cui natura legitimam soboleni
dédit. Verîini in te, Celsissime Princeps, collecta non sine stupore cer-
* Idyl. i6.
352 ŒUVRES DE FEUMAT. — APPENDICE.
iiimiis, qua^ divisa tam illustres alios clîecerunt; et tua siugularis
liumanitas, quœ tôt exiinias dotes conncctens, cœlestes gemmas auio
inserere videtur, spondet à te bénigne excipiendum, tuoque in sinu
fovendum hune ingenii paterni partum, qui suo defcnsore orbatus, iit
postbumus, tuo patrocinio indiget, quod venerabundus exposco.
UE CELSISSIMO PIUNCIPE FERDINXNDO FURSTENBERGIO, EPISCOPO PADERDORNENSI, ETC.
OB AVREVM NVMISiMA, IN QVO
illius iiiia^o conspicilur, iiiissiiDi.
Aur.EA Pierio quam culmine niittis imago
Quse nostros ingressa lares fulgorc replevit
Immoritamque manum, Phœbi ipsa referre videtur
Ora, solo qui cuncta fovet, nec florca tanlum
Rura super Isetus rutilât glebasque feraces,
Cernere sed sterilem non dedignatur arenam ;
Sic hilares oculos simul et cum fronte sercna
Innocuos mores insignis vultus adumhrat:
Sit tamen ars quamvis spectanda numismatis, illam
Effigtem superavit opus quodcunque Cam;enis
Sponte tuis fluxil dulei de fonte leporum :
Scilicet Aonij nicliùs te vertice montis
Spirantem ostendunt Musa% dum natus Olympo
Doclrinam pietate auges, castasque sorores
Ad superos tollens, dignoscis quam sit inane
Ornari ingcnium, nimioque calescere motu,
Si vacuum a'thereo pectus non uritur igné.
Luminibus quantis et quot virtutibus omnes
SuAviïiîu* allicicns animos, validique catenis
hisU'issimi Trincipis lesscra si'avitdu et fortitkii.
DÉDICACE DES VARIA. ;io:!
Eloqiiij Itlaïulus viclor trahis! liis cyo sensi
Me placide captum jampridom, noc tihi possim
Hoc magis addici, qui nie devincit, honore.
At quas nunc grates referam?Te principe Valum
Munera digna mihi Romanaque cannina désuni;
(]ai'niina Msecenas sed tu par ipse Maroni
Nostra nec expeclas, nec vilia munera (|utei'is.
Non eget exiguâ sublimis arundine hmrus,
VA raucîL" non vocis eget tua fania susurre;
Sat nitidis Latio (|uibus aurea rcddilur lelas
Kximias scriptis potuisti pandere dotes,
Piirior illirni ccu splcndens flumine solus,
Ut decet, ipse suis radijs se pingif Apollo.
DE l-nlNCIPIS lilVSDEM l'R^ECI.AIlO
]\l(iiiuinciili)ri(rii l'aderboriifiisiiini apcrc.
Duni Padene fontes tcterno carminé Prinecps
Aonij célébrât spes colunienque cliori,
l't superat quœ sic ponit monumenta, suisquc
Aitius ipse aliud tollitad astra modis!
Hujus Cana tidcs ornât pia pcctora, nienlem
Lux Sophiie, Latij priscus et ora lepoi-.
Aniissas* hisolim A(|uilas qua' llevit in arvis,
Delicias iliinc Roma decus(jue trahit.
Fernandi eloquium Tiberis miratur, cta'vi
Immemor, Augusti saccla redire putat.
* Natiis est llluslris. Prinecps in ca Gcrmaiii;e parle in (|ua ca'su' fiicriinl Oiiinclilii
Vari I.eyiones.
l''KnMAT, — I, 4'^
54 ŒUVRES DE FERMAT.- APPENDICE.
DE EODEM PRINCIPE QUI MIRANDIS
iiincun dDClri/ifcquc dotihus slcmniittit ac digiiitciliim splcitdorciii migc/iy,
pacein oinnilius inorum et faciuidi(c suavitatc pcrsnndcrc puwiit.
ODE.
Niinc corda mulcens ô utinam Saccr
Notos recursans por (luvios Olor
Mox cogat infensos canorà
Voce potcns lituos silcre;
Ilic. prima Pindi gloria cui favet
Pliœbiis, nitentem Lilia qiiem tegunt,
Qiias orc non coinpescat iras
Picrià modiilatus arte?
Ut ciini (|iicrelis dulcisonis iicimis
Vox blaïula lato liiscini;c replet,
Discordis oblitœ susurri
.Mille soient volucrcs tacere;
Non ille frustra sit patria* daliis
A (jiio féroces fleeli aiiimi (|iieiint;
.Martis nec incassuni per arua
flireicius cecinit Sacerdos :
Orplieiis pareil teni (^alliopen colens
l.ciiire pleclro (|uot didicit feras!
Sermone sic prœstat domare
Pectora, qiiaiii superarc ferro.
l'UÉFACE l)i:S VAllIA. .'loS
IV.
PRÉFACE DES YARIA OPERA.
EurniTo LixToni.
Non lo lalel, Eriidite Lector, opéra Matlieinatica pra>fatione vix indi-
gerc : nain nt Paralogismi ciilpam frustra longo sermonc Geoniolra
(leprccai'i vellet, aut pro vera demonstratione falsain ol)ti'iidore; ila
non opus est assensum solidie rationis viribus debitiim suppliciter
efllagitaro, qucin advcrsarius videns scicnsque, licet valdè reluclans,
denegare non possit. Pi';etereà supervacaneiim foret laudes Matlie-
niatum fuse celebrare, cùm hanc spartam tôt egregij scriptorcs ador-
nandain jampridem susceperint. Quis enim ncscil Geometriam et
uberes illiiis l'ructus ad cœlum evebi à Platone, qui non solùni eani
divinitiis buinan;e menti insilani, sed etiain al) ipso numine excoli
putavit? nonne meritb Matlicsis à l'Iiilone vocata fuit liberaliuui artiuin
inetropolis, quas, ubi desit illa, luminibus, et veluti manibus orbatas
esse li(juet? Unde à vero non aberrat qui ut nianuni instrunientuin
ante instrumenta, sie et Mathesin dici posse crédit artem ante alias
artes, cuni illius teirà marique, et bello ut pace, tam evidens utilitas
sit; quod unus instar omnium docuit olim Arcbimedes, duin infirmus
corpore sed inviclus ingenio senex, obsidionis Syracusana; pars
maxima, patriie vis summa fuit, Briareus et Ceutimanus à Romanis a|)-
pellatus : quamobrcm admiratione percuisum Marcellum licet liostem
al) eo totdamnis afTectuin ei tamen inimicum esse noluisse Livius tra-
dit, sed propinquis inquisitis bonori praesidioque nomcn, ac memoriam
tanti viri fuisse. Matbematicas deinde disciplinas ansas Philosopliia'
336 ŒUVRES DE FERMAT.- APPENDICE.
videri quis diffUeatur? cum Philosophus quamvis aliundè LogicïP ver-
sutijs et argutijs instructus, si lux mathematica non affulgeat in Pliy-
sica comparari possit Polypiiemo in spelunca occœcato, et mnneris,
quo frui potuit, iisum nescienti, vini scilicet, cui prfcclarus non ita
pridem Philosoplius Geomctriam similem dici posse arbitratus est,
quod recens inflat, vêtus oblectat et vires auget. At non istorum ope-
rum Authorein inflavit unqnani Matliesis, et tôt demonstrationes, diim
ab ipso non sunt editae, quibuslibet argumentis meliiis demonsfrant
euni ab ostentatione laudisque cupidine aiienum fuisse. Quod autem
de illarum sorte soUicitus non fuit, ferè scmper autograplia nullo ser-
vato responsorum exemplari mittere solitus, parum abfuit quin haec,
quœ forte non intcritura credes, oninino cxlincta fuerint, anlequam in
pulilicam lucem prodirent. Hinc fit ut quia bœc sparsim disjocta coUi-
gcre facile non fuit, fato postbumorum operum sero, j)auciora, et minus
culta typis edantur. Hinc etiam contmgerc poterit ut omnia quse bic
occurrent tibi non videantur nova : sed quamvis alij de quibusdam
rel)us, quas bic invcnies, scripserint et lucubrationes suas priiisvulga-
verint, non ideo minus bœc inventa istorum operum Autbori debentur,
(|ui adeb fastùs, et invidia; expers fuit, ut aliéna suis sat aliunde notis
immiscuisse credi non possit, qui sua vix sibi tribuebat. Ab eo, exempli
causa, libri duo Apollonij Pergaîi de locis planis procul dubio restituli
sunt, licet Franciscus Schootcn Academiœ Lugduno Batavœ Professor
illos à se restitutos asserat; nam sua typis mandavit Franciscus Scbooten
anno 16)7. sed libros duos, qui bic extant, Apollonij Pergsei de locis
planis se vidisse LuteticTe manuscriptos, nec non ad locos pianos et
solidos Isagogcn, lestis omni exceptione .major Herigonius asserit
tomo 6. cursus Matbematici editi anno iG34 ('). Credere tamcn, vt
dixi, malim Batavum Professorem càdcm de rc scripsisse, quàm ab co,
vcl à quovis alio aliquid perpetratum esse suspicari quod ingcnuum
animum dedeceat, vcl inverecundiam plagij probarc possit. Verum in
(') PVir la noie i de la page 171, où est rétablie la véritable date de la monlion faite
par Hérigone.
PRÉFACE DES VARIA. 357
istis, ni fallor, operibus, de quibus te non ex parva mole jiulicaturiiin
sat scio, occurret tibi non injucunda varietas, ut et in cpislolis, qua'
vel ab Autbore, vel ad ipsum à plerisque doctissimis viris scripliE fue-
runt. Has inter sont nonnullae Pascalij in quibus ingcnij non minus
tersi quàm pcrspicacis radios agnosces, quos ejusdern aliaî lucubra-
tiones, et ipsœ satis exbibent Pascalij cogitationum reliquiie : illtid
cnim opus in qno pendent opéra inlcrrupla, multis eximium Matbeseos
circa res sacras spécimen videtur, œqualarjue machina cœlo. Quis autem
ignorât qualis quantusque Gconietra et quam insignis in Acadcmia
Parisiensi Professor fuerit llobervallius, cujus bic aliquot epistobis
légère poteris, et perlegisse gaudebis? Eduntur bic quoque nonnulh«
Gallicè vel Italicè scriptœ à Kenelmo Digbseo, qui pryeter generis nobi-
litatem et honores gestos, non solùm ingenio doctrinâque, sed etiam
pietate conspicuus fuit, ac verai Religionis cultu, quam ut gladio, sic
et calamo tueri conatus est, ut fidem facit aurons illius liber de vcritate
Catbolica; Religionis Anglicè scriptus. Illis cpistolis additur una aut
altéra Frenicli, cujus miram Aritbmetica probleniata solvendi faciii-
tatem à multis prtedicatam, et ejusdern responsis confirniatam Ana-
lyste norunt. Quas verb non adjecimus circii Cartesianam Dioptricam
cpistolas légère poteris in tertio volumine epistolarum Cartesij cujus
stupendœ sagacitatis circà Geometriam adiniratione se captuni l'atetur
is etiam qui nonnunquam ab eo dissentit. Ut autem in varijs istis ope-
ribus, sic et in epistolis multa reperies quae ad Geometriam, vel Ana-
lyticen pertinent aut numerorum arcana, de quibus si plura videre
cupias, babes observationes ad Diophantum, cujus opéra typis mandari
curavi anno 1G70. et Doctrinœ Analyticaî inventum novum coUectum è
variis epistolis D. Pétri de Fermât ab insigni Gcometra R. P. Jacobo de
Billy S. J. Sacerdote. Est bic praîtereii nonnibil circa Mechanicam et
Geostaticam, nec non Dioptricam ac Pbysicam, circà quàm v. g. non
contemnendam fore conlldo epistolam de proportione quâ gravia deci-
dentia accelerantur, ad Gassendum, quœ ipsi Gassendo viro exquisita'
eruditionis, et candore ac moribus qui Cbristianum Pbilosoplium dé-
cent, praedito non displicuit, utejus responso, licet brevi, satis patet.
3o8 ŒUVRES DE 1 ERMAT. - APPENDICE.
Sic cliarii celehris Itali Geometrœ Ahbatis Bened. (lastelli opistola
probat ei non displicuissc qu;e hic scripta sunt circà inotum graviinn
aut ccntrum gravitatis. Csetcrùm in liis Parentis mei operibus et opis-
(olis qu.'c muitas disputationes circà quaestiones arduas continent, et
quibiis duas addidimus criticis obscrvationibus non spernendis refer-
tas, niiUam vocem qiia" sit acerbior, nulluin pervicacis controvcrsia-
vel amarulcntae contentionis occurrerc vestigium, poleris observare.
Id innalam mansuetiulinem Authoris arguit, qni niillâ contradicendi
libidinc veritateni quœrens, illam ab alijs inveniri gaudel)at et gratn-
labatnr : qui secùs agunt cani ut juvenes proci colère videntur, dum
sibi dumtaxat afTulgerc vellent quod diligunt; sed qui veritateni divino,
ul j)ar est, ainore prosequuntur, ipsam omnibus innotescere cupiunf,
suanique felicitatem augeri putant, cuni ejusdein plurimi fiunt parti-
cipes. Epistolas vero ad Authoreni scriptas, quœ bic extant, ut nactus
suin, edendas ingénue existiinavi, nuUomodô niinuere sed augere cu-
piens tantoruni virorum famam, ([uoruin alia responsa, nondnm prado
commissa, si mihi suppeterent, ut barum disputationum scriem ederc
non pigeret. Ex istis auteni operibus, Erudite Leclor, fructùs, ni fallor,
et vohiptatis non pariim percipere poteris et si qiiid incurià Typogra-
phorum erratum sit, illud suppléas aut ignoscas quœso.
SclKMnala suis locis iii lolo opère, ut in illius parle, repeiirentui', nisi de-
luissol sciilptor lifîiii nolis (jeoinoli'ieis incidendi pcriliis; sed figurii» (') rpia'
eiini lexUi edila non fuerunl, ad libri calcem sunl rejecla, numeris paj,'iiiaruni,
ad (|uas referunlur, appositis, quod semel monuisse sufficial.
( ') Co mol fisurœ, qui rend la iilirasc incorreote, doit y avoir clé ajouté ai)rès coup. ■
Dans l'édition des l'aria opéra, les figures sont insérées dans le texte jusqu'à la page lo!.
Il y a à la fin du Volume cinq Planches contenant les figures des pages 104 à 1O7, plus une
<]ui manque à la page gi. Pages -201 et 5103, reparaissent dans le texte trois autres figures
relativement simples.
KLOdE DE FEU M AT. '.]",{)
V.
ÉLOGE DE MONSIEVR DE FERMAT,
CuiueiUcr <iu Varlemcnl de l\)U>sc.
Du luuriud Jos Sc,'avans, du Luudy 9, Février lOfi.').
On a appris icy avec beaucoup de douleur la mort de M. de Fermât
Conseiller au Parlement de Tolosc. C'estoit un des plus beaux esprits
de ce siècle, et un génie si universel et d'une esteaduë si vaste, que si
tous les sçavans n'avoient rendu témoignage de son mérite extraordi-
naire, on auroit de la peine à croire toutes les elioses qu'on eu doit
dire, pour ne rien retranclicr de ses louanges.
Il avoit toujours entretenu une correspondance tres-particulicre avec
.Vfessieurs Descartes, Toricelli, Pascal, Frenicle, Roberval, Hugens, etc.
et avec la pluspart des grands Géomètres d'Angleterre et d'Italie. Mais
il avoit lié une amitié si étroite avec M. de Carcavi, pendant qu'ils
estoient confrères dans le Parlement de Tolose, que comme il a esté le
(Confident de ses estudes, il est encore aujourd'liuy le dépositaire tie
tous ses beaux écrits.
.Mais parce que ce Journal est principalement pour faire connoître
par leurs ouvrages les personnes qui se sont rendues célèbres dans la
republique des lettres; on se contentera de donner icy le catalogue des
écrits de ce grand liomme; laissant aux autres le soin de luy faire un
éloge plus ample et plus pompeux.
Il excelloit dans toutes les parties de la Malliematique; mais princi-
palement dans la science des nombres et dans la belle Géométrie. On
360 ŒUVRES DE FERMAT. - APPENDICE.
a de liiy une méthode pour la quadrature des paraboles de tous les
degrez.
Une autre de maximis et ininirnis, qui sert non seulement à la déter-
mination des problèmes plans et solides; mais encore à l'invention des
touchantes et (') des lignes courbes, des centres de gravité des solides,
et aux questions numériques.
Une introduction aux lieux, plans et solides; qui est un traité ana-
lytique concernant la solution des problèmes plans et solides; qui
avoit esté veu devant que M. Descartes eut rien publié sur ce sujet.
Un traité de contactibus sphœricis, où il a demonslré dans les solides
ce que ]\I. Yiet Maitre des Requestes, n'avoit demonstré que dans les
plans.
Un autre traité dans lequel il rétablit et demonstré les deux livres
d'Apollonius Perg:eus, des lieux plans.
fit une méthode générale pour la dimension des lignes courbes, etc.
De plus, comme il avoit une connoissance tres-parfaite de l'anti-
(juité, et qu'il estoit consulté de toutes parts sur les difficultez qui se
presentoient; il a éclaircy une infinité de lieux obscurs qui se rencon-
trent dans les anciens. On a imprimé depuis peu quelques-unes de ses
observations sur Athénée; et celuy qui a traduit le Benedetto Gastelli
de la mesure des eaux courantes, en a inséré dans son ouvrage une
Ires-belle sur une Epîstre de Synesius, qui estoit si difficile, que le
Perc Pelau qui a commenté cet autheur, a advoùé qu'il ne l'avoit peu
entendre. Il a encore fait beaucoup d'observations sur le Theon de
Smyrne et sur d'autres Autheurs anciens. Mais la pluspart ne se trou-
veront qu'éparses dans ses Epitres; parce qu'il n'écrivoit gueres sur
ces sortes de sujets, que pour satisfaire à la curiosité de ses amis.
Tous CCS ouvrages de Mathématique, et toutes ces recherches cu-
rieuses de l'antiquité, n'empéchoient pas que M. de Fermât ne fit sa
charge avec beaucoup d'assiduité, et avec tant de suffisance, qu'il a
passé pour un des plus grands Jurisconsultes de son temps.
(') Lire des toiiclianles des lii;nes courbes.
i:i,()(.K l»K l'EIJMAT. :i,ii
.Mais ce (|ui est d,. plus sinpri'iiant, c'est (lu'avec loute la lorce d'es-
prit (|iii estoit nécessaire |»(.ur soutenir les rares (|ualilez (l(.nl nous
venons de parler, il avoil encore une si -rande délicatesse d'es|iri(.
(|u'd laisoitdes vers l.alins, François et l'ispagnois avec la même (de-
vance. (|ue s'il eut vécu <lu temps d'Au-nste, et <|u'il en! passé la plus
i^'rande partie île sa vie à la Cour de France et à celle île Madrid.
On parlera |)lus particulièrement des ouvrai,'es de ce grand homme,
lors qu'on aura recouvert ce qui en a esté publié, et qu'on aura ohtenn
de M. son fils la liberté de publier ce qui ne Fa pas encore esté.
:162 ŒUVI5ES l)F. FERMAT. - APPENDICE.
VI.
OBSERVATION DE MONSIEUR DE PERMIT
s in s Y. m: s us.
Jùipporlcc (t la Jîii (le la liridiiclio/i du Livre de la mesure des' caitr coiira/lles',
(le JSeiiedeltd CaUelli (').
Les pages qui reslent vuides dans ce cayer m'ont donné la pensée de
les remplir de la belle observation que j'ay apprise ces jours passez,
de l'incomparable Monsieur de (-) Fermât, ([iii me fait l'Iionneur de
m'aimer, et de me souiïrir souvent dans sa conversation. C'est sur la
quinzième Lettre de Synesius Evé(|ue de Cyrene, qui traite d'une ma-
tière qui n'a esté entendue par aucun des interprètes, non pas mêmes
par le seavant Père Petau, ainsi qu'il l'advouë luy-méme dans les Notes
qu'il a faites sur cet Autlieur; Et je donne d'autant plus volontiers
('('Ito observation, (ju'elle a beaucoup de rapport avec les traitez (jui
sont cy-devant.
(iét Evécjue écrit ;i la scavantc Hypatia, (jui estoit la merveille de son
siècle, et laipielle enseignoil publiquement la Pbilosopbie, avec l'ad-
miration de tous les scavans, dans la célèbre Ville d'Alexandrie. J'av
( I ) Traduction |>iil(liéc par Saporla sous le litro : Traicte de la meuirc dex cntu- eauraiilc'i
de JlcniHst Caslclli rcH'^ieiic du MniU-Cnis-in et Mntheinalicieii du Pape llrliriiii T'IJI.
Tradiiil d'Italien en François- as'ee nu discours- de la jnnclion des Mers, /idresse' à Mes-
■scigiieur.s les (.'iiinniissaires députez /)ar sa Itl/i/c.sle. Ensemble un Traielé du innus'emeni
des eau.v d'Es-angchsie J'orrierlli, Matlienuitieien du Grand Duc de 't'o.srane. Traduit du
Latin en l'rmti-ois . — A Castres, par Boiiiard Barcuuda, Imprimeur du Hoy, de la Cliambri-
de l'Edicl, de la dite Ville cl Diocèse, i(JG|. — Le texte reproduit par Samuel se tnmve
pages Sl-Sj, sous le titre : Obxervalion sur Sjnesiuf.
{- ) Monsieur Fermât Saporla.
OBSERVATION SUIl SYNESIUS. 3G3
traduit cette Lettre du Grec en celte manière. Je me trouve si mal, (|iie
i"ay hesoin d'un liydroscope. Je vous prie d'en faire faire un de rtiivrc,
et lie me l'acheter, (rest un tuyau en (orme de Cylindre, ([iii a la figure
et la grandeur d'une tleute; sur sa longueur il porte une ligne droite,
(|ui est coupée en travers par de petites lignes, par lesquelles nous
jugeons du poids des eaux. L'un des bouts est couvert d'un cône, (|ui
(ïst posé également dessus, en telle sorte que le tuyau et le cône ont
une même base. L'on appelb^ cet instrument IJaryllion. Si on le met
dans l'eau par la pointe il y demeurera debout, et l'on peut aisément
compter les sections qui coupent la ligne droite, et par là l'on connoit
le poids de l'eau.
Comme nous avons perdu la figure et l'usage de cet instrument, de
même (|u'une infinité d'autres belles choses, que les Anciens avoient
inventées, et dont ils se scrvoient, les sçavans de ce temps icy se sont
donnez beaucoup de peine pour comprendre (|uel estoit cet instrunu'ut
dont parle Synesins. Il y en a qui ont crû que c'estoit une Clepsvdre,
mais le Père Pctau a rejette avec raison cette opinion. Pour luv, il
advouë, ([u'il ne le comprend pas, il sou|)eoniu' pourtant que c'esloit
un instrument qui servoit à niveler les eaux, et (|ui avoit du l'apporl
avec celuy dont Vitruve fait mention au livre 8. ch. G. de son Arclii-
fecture, qu'il appelle Chorohates, mais il est aisé de juger par la lec-
ture de Vitruve, et de Synesius, que ce sont deux instruniens fort dif-
fcrcns, et en figure, et en usage, et que si tous deux ont des sections,
comme remar(|ue le Père Pctau, celles du Chorohates sont perpendi-
culaires sur l'horizon, et celles de l'hydroscope luy sont parallèles. J(!
passe sous silence plusieurs autres din'erences, que je pourrois remar-
(juer, pour rapporter le sentiment de Monsieur de (' ' ) Kermat, i[ui est
sans doute le véritable sens de Synesius. (]ét instrument servoit pour
examiner le poids des diU'erentes eaux pour l'usage des malades; car
les Médecins sont d'accord que les plus légères sont les meilleures; \i:
ternie (-) pozY], dont se sert Synesius, le monstre clairement. Il ne si gni lie
( ') M(]nsiciii' t'onriiit Snpurla.
Ma (i:U\UES \)E rj'HMAT. A l'I'KM) K.E.
pas icY lihramcnlimi le nivelcment, comme a crû le Pcre Petaii. mais
en matière de Machines, il signitie le poids, (|iie les Latins appellent
momcntnin, et de la le traité des equiponderans d'Archimede a pour
litre 'iG-oppoTTixàiv ( ' ). Mais dautant qne la balance, ny aucnn autre in-
strument artificiel, ne pouvoit pas donner exactement la diirerence du
poids des eaux, à cause qu'elle est(-) petite entre elles, les Matliemali-
ciens inventèrent sur les principes du traité d'Archimede de lus (juw
vriiiiiitiir iti arjua, celuy dont parle Synesius, qui monstre par la nature
des eaux mêmes, la dilTerence du poids qu'elles ont entr'elles, la figure
en est telle (Jig. i5n); AF est un (Cylindre de cuivre, AB est le honi
'\/'
d'en haut, (jui est toujours ouvert, EF est le bout d'embas, qui est
couvert du cône EIF, qui a la même base que le bout d'embas. AE, BF,
sont deux lignes droites coupées par diverses |)etites lignes, tant plus
il y en aura, tant plus exact sera l'instiument. Si on le met par' la
pointe du cône dans l'eau, et qu'on rajuste en telle sorte qu'il se tienne
il(d)oul, il n'y enfoncera pas entièrement; car le vuide (ju'il a au dedans
l'en empêchera; mais il y enfoncera jusqucs à une certaine mesure, qui
sera marquée par les petites lignes; et il y enfoncera diversement,
suivant que l'eau sera plus ou moins pesante; car plus l'eau sera
légère, plus il y enfoncera; et moins, plus elle sera pesante, comme
il nous seroit aisé de le dcmonstrer, s'il en estoit question icy. Voila
la figure et l'usage de cet instrument, et la raison de cet usage. La
lettre de Synesius s'y rapporte si exactement dans toutes ses circon-
( -) csl fort pclilc Saporta.
0I5SEHVATI0N SUH SYNESIUS. 30o
stances, que feu Monsieur do Mondial, Archevêque de Tolose, ayant
envoyé cette explication an Père Petau, il advoùa que ftfonsienr de ( ')
Fermât estoit le seul ([ui avoil compris quel estoit l'instrumenl, et il
avoit écrit que dans une seconde impression il la mettroit dans ses
notes. Mais parce (jue cela n'a pas esté fait, j'ay crû que le Lecteur sra-
vant et curieux n(! sera pas marry ([ue je Iny en nye (ait pari.
( ' ) Miiiisiciir Fcniuil Sapurlu.
366 (EU VUE S J»E FElîMAÏ. - APPENDICE.
VII.
YIRO CLARISSIMO DOM. DE RANCÏIIN,
SEN. TIICII,.
PETIUJS DH FERMAT S. I'. 1).
Polyiunum (') tihi tiiuin, Vir Clarissimc, mitlo, sed ol)serv;m(la in
co qua?clam siippcditat codex manuscriptus opfim;ï not» auctonim ifi
militaris liacleniis inediloriiiii ([ueiii pênes me liaboo (-); apud cuin
collectionem quamdam pricceptoruni et monitorum militarium inveiii
sul) nominc Ilapr/.^'oXàiv, ciijiis auctorein licot manuscriptus non dete-
gat, colligo tamen ex glossario Cira'coharbaro IMeursij (^), eum esse
Heronem, non iiluni (juidem Alexandrinum cujus spiritalia et alia quiv-
dam opuscula cxtant, et qui antiquo, hoc est, optimo œvo, Gr.Tcè scri|i-
sit, sed aliuni posterioris ;evi, (piod pieraque ipsius voeahula (Ira'co-
l)arl)ara satis innunnt; utrumque, ;etatem ncmpe et nomen auctoris,
confirmât Meursius in voce xovtouÇIoviov, ul)i eilanlur sequentia Hero-
nis verha in -ap£x6'oXaîç, y.-ia-zCkî yo'jv ttjÇ vjxtÔç d: Ta à-'kr/.-zy.
aùzôrj y.y.l Ta y.ovTO'jolpvia, hœceniin verba eum in meo manuscriplo
desint ('), supplendum in eo nomen auctoris ex manuscripto Meursii;
t(unpus vero qun ba;c scribebantur et quo voces à'TrA-/]-/.TOv et /.ovto-j-
(') Les oltsorvnlioii-; crilii|iics qui suivent sl' rapportent à l'édition p ri ii cep\ tiu texte j;rcc
de Pulyen. donnée i^ir Ciisanbon (LuL'dnni, rJ8i). apud lo. Tornii'siuni, in-i.',)- Elles ont
été recueillies pnr Samuel Muisinnc dans la préface de son édition, Berlin. i;j()-
(■-) On ignore ce i]u'est devenu ce manuscrit i,'rec
(') Imprimé à Lcydc en 158;, réimprimé en lOrl cl i('p>ii.
(') Il faut sans doule lire a<hinl.
OIJSERVATIONS SUl« l'OLYEX. 367
*
oÉpvtov in usu crant, ultra septiiigentos plus minus annos non videUu-
cxcuiTcre; in hoc autom -apcx.6oXwv Iractatu, pl(;ra(inc Polvœni slrata-
gcinata supprcsso autlioris noniine alijs s;vpe vorbis icferunlui', quan-
doque et ijsdcni, undc ampla cnicrgit cniendationum et nolaruui criti-
cai'uin (ii'iuis; celcbriores aliquot tii)i, vel si mavisdoctis omnibus tuo
nominc jure rcpncscntatiouis libcnler exhiboo.
Cleomcnis stratagema narratur lib. 1 Poly;cni pag. 20 oditiouis Tor-
niosianto sequentibus verbis : Klioii-iv-q:, AaxîSaïuovtwv '^y.oCktùç ( '),
;p'jXaxY) Ttùv opa)[JL£vwv TOt; 7:oAîjj.îotç' xai -àvTa ony. KAcoaïvv]^ [Îo'jAo'.to,
iJTtô x'/jp'jxo^ èa"/][xaivc T'?] (JTpaTiâ, xat aÙToî Ta i'cry. opav £(7-o'Joa'(ov. o-Ai-
"(o;jt.£vojv, àvOwTiAfCovTO. éçtivTwv, àvTîûî^icTav 7.va-auo[jt.£vtov àvxavc-
-a'JovTO. KA£'3[jL£vr]? ky.Opy. -y.pécioj/.cv oTav àpiTto-oiîî'jOa', x-r]pû^-(], ô-À(-
aa-jOa',- 6 aàv £x-/^pu;£v, oi o£ 'ApY^îo'. -pô; api^Tov £Tp7-ov:o. KX£Oij.£vTjÇ
w-AiTjj.âvo'j; è-ayaYWv £Ù(xapciJ; àvoTiAo'jç xal y '-^ [-'•'•' '^'^î Toù; 'ApYîîo'jç
à-£X':£tv£, hoc loco post verba â^tivTwv, 7.v:£-£;Σ7av, addenduni ex
mauuscripto àpiTTwvTcov, ïjpîcrTwv, quod finis ipsius stratagcmatis pie-
nissimè confirmât.
Tbemistoclis stratagema, eodem libro pag. :\\, reCertur lioc modo :
GcatrTTOxXï]? 'Icûvcov HÉp^'O 'J'Jj-i.uayouvTcov, £X£AîU7£ toïc; "KXAyjti y.y.z(X-
Ypa'^îiv £7:1 ToO Tôt/^O'jç, "Avôp£; "Iojvîç, oO oixaia -c/'.£t':£ c-:paT£'jov':£ç
£-1 TO'Js "aTépy.:;. to'Jtcov 7.vaYtva)(7xto[j.£voJv, paTiAiiJç O-Ôûtouç (zùtoùç
£-oir,G-a-:c(, corrigendum ex manuscripto iÀoYiiaTc, quam esse veram
lectionem innuit sensus.
Agesilai stratagema occurrit lib. 2" (-'), pag. S(j. 'AYVjTtAaoç. ait
ille, £v Kopa)V£Î7. 'AOrjvKto'j:; èvtxrj-jcv ■riyyzOd tu, c-i -oA£[X'.ot oîîjyouaiv
£1; '^iv v£côv T-?]ç 'AO'rjvaç- b oï irpoTïTa^r;, £7.v aÙTOÙ; ol xal [io'JAoïvTO
à':ii£V7.r tbç à'pa £'//] noot.'Kzpov G^jij.~'kiy.tr;f)y.<. Totç i; à-ovoia; u.y.yjixivo'.c.
ibi loco vocis 'AOrjvaïo'jc; rcponendum ex Mianuscri|)t() Qr^yAou^.
(') U'S /'((/v'rt omcHcnt Aa/.:^a'.;jLOv:(.iv (iaTLÀiù;, (|iic domio le |tiu|ilimUC <lc Ifijci, IVilir
luiil lo reslc diuJclail des passa;;os cilcs (grec et IradiicUidii hiliiu'), on a .suivi In LeMo de
l'édilioii de Polycii de 1)89.
('-) Samuel a imprimé tili. ni.
368 ŒUVRES ])\i PERMAT. - APPENDICE.
Aliiid Agosilai stralagema rcfert Polyaiiius eodem liI)ro pag. n>3.
'AYr,(7ÎXao; èv Tatç oia.-izpz'jÇtiy.K; -/^^tou 'rwv -oÀ£[jl(cov toùç [jL7.}ao-:a O'jva-
TO'jç T.iu-.iiQy.'. zpo; y.ù-.ov, oîç oiaXé^yjTai -£pi toiv xotvYJ aufx^îpévTCjJv
To^jTOiç i~t rJ^tiG-rj') 'j\i^i^^tvô\j.tvoz xai y.oivcovwv èciTÎaç xal a-ovoûv, Taîç
rSkzav/ nzri.'jV't âvc-oui lîià xà; twv ~ciXk(j)v Ù7ro'|i(aç. Vulteius hoc modo
interprctatur : Agesilaus in legationibiis petchal ah Iiostihus, ut maxime
potenlcs ad se mitlerenl; cum (/la'biis de communi ii/ilila/e sermones eo/i-
ferrel. Cum lus plurimum hahens consuetudinis, et cormminicans focum
cl cinercs, scdiliones in urbes excilabal, propler rulgi suspicioncs. Videtur
interprcs loco vei-l)i a-novowv quod est in textii Graeco, legisso a-ooibv
cum vcrtat rincres, sed nihil mutandum ex manuscripto evincitur iihi
leguntur lurc verha •/.al opxouç ~zoz aù-roù? -oioôp-îvoç.
CIcarclii stratagema narratur libroeod. pag. i lo, his verbis : KXÉap-
yoç TjV èv 0p7.y,7j- vy/.Tsptvot oôGoi to aTpiTEUtv-a ■/.y.ztki[).€a\/ov , o oè -a-
pTjYYciXsv, cl yivoi'To v'JxTcop OépuSoç, [j.-/]0£va opOov àvîa":a(70af ô cà àvao'-
Tàç àvaipîî'jOoj. to -apiyYîXua toOto ioîoa^s toùç CT-rpaTiojTa;, -/.aTaopo-
vïîv ToO vu/.Tjp'-vo'j ç-6€ou. Vci'ha quidcm liîc supplcuda ex manuscripto,
qutc lamen videtur in suo codice vidisse interprcs Latinus, licet desint
in editione grœcà Torna;sij, sunt autem sequentia, xal ou-co; àvî-a'j-
lavTO àvazYjOwvTîç xal Tapaa(76jJ.cvot. Atr/ue ita desicnmt cxilire ac pcr-
turl>ari.
Pcrdicca^ stratagema sequens legitur libro 4, pag. 3i/i (') : nspotxaç
'iXX'jpicôv xal Maxcoivcov TToXsao'jvTcov, âûctOY] -oXT^ol Max£o6vîç -/jXtd-
xovTO wCOYpîîv, xal oi XoitïoI Maxsoivïç ÀÛTpcov âÀTîîo'. Tipèç Tàç [j.'y.yy.ç
TjTaV àTOAli-ÔTEpOl, ÈTtXXYJpUXEUïTa-O -ipl XuTpWV, âvT£lXâu.£VOÇ TW XïjpUXl,
i-avïXOôvTi àYYîlAa'., wç apa A'JTpx 'iXXupiol [rr] -poalotvTo, àXT^à 4*^01^;-
cTîicv 'Toùç ar/rxaAcÔTO'j; x-'.vvjîiv. ol oï] Max£(i6v£; à-0Yv6vT£ç t?;; oià
ccov XijTpwv crioTYjpîaç, £0toX[jl6t£POi "poç Tàç [/.àya? b^'ivov'o, 6j: iv ulÔvco
-à) vix5.v v/'jv-.t:, TQ crcô'Cîo-Oai, quod sic interprctatur Vulteius. Pcrdiccas,
* Illyriis et Macedonibiis bcllum gerentibus, ciim nndli Macedones capercn-
liir rii'i, rebr/ui eliam redemplionis spc ad pugnani minus alacrcs eranl,
(') Les t'ar'ui indii]uciU pog. \\\.
OItSEHVATlON SLI{ l'()l,VEN. .UW
(juibiis Icgatiuncni iiiler se de rcdcrnploriis mimcnhus tniUcnlihiis, /^ra'ccpil
Icgato, ut reversas nuTiliarct , se redemploria inunera Illyrioritm non (iccep-
inriini. sed eondenmalos captivos morte ajfeetururyi. Macedo/ies. dcs/icra/à
sainte rede/npimî, audaciores ad pugnandurn reddchantitr, (iiiippc (pilhia
in soià Victoria salus pusila esscl. In hoc, stratagemalc vocfiii 'iXXup'.oî
mutandam in 'iXT^upicôv indicat nota inarginalis cditionis Toina'sianic;
si vera essot oxplicatio Vnltcii, non solîim vcra sed et ncccssaria essct
illa eniendatio, sed tVigidissimuni esset stratagcma, si se(|uercnuu' sen-
siim interprctis : Polyœnns quippe vult Perdiccam pra-cepisse legato,
ut reversas nuntiaret Illyrios redcmptoria muneranon accepturos,et Iiie
est verus scnsus stratagematis, qucm Hero aliis verbis, secundùni liane
(jLue est vera et germana interpretatio, expressit in manuscriplu iiis
verl)is, i'zirfitwjt toioOtov, ~y.zza'AzùoLGt 'rivà cbç -pÔTO'JYK ztS)i^r.'-j. y-.r,
Tcùv -oXcL/.îwv ziT.zvj o~.<. oi T.o'Kzw.'Ji îÇouXî'JTav'o /.al y.r.zv.'jzfxi'jy.'j '.'va
i i 1
OTOuc v.oy.zT'j'JU'jV/ aîvaaAoJTO'JC à-o/.TîîvcoT'..
Alexandri stralagema refertur etiam liij. 4, pag. 24H, verhis scquen-
tilnis, 'AXÉ^avopoç AapEico -apaTâcacsOat uiiAXcuv, ~a.zy.^piz\[xy. toîç Ma-
v.zoôavj EocDXtv "fjV IyT'-*? Y^vyjtOî twv IIîpTclJv, £tç yov'j y.Xîvav-îç Taîç
■/z^'jvr C'.aTpioîTcTï'v yr^v. r;v oàïj (riÀ-p,'^ 07:o(7TjU."/Îv/]':6':£Oy; Maxîoô-
vî? ouTco; zT.niq'jy.v oi 61 Ilip'jy.i T/riu.y. -po7y.uvï;o-£co; toivTîç, 7r,v "pi; tcv
— ÔAîy-Ov ôpiAV'jV iHX'jsav xai Ta?; Yvojaai; hih^ovzo ay.'ky.Y.ixi-zp'ji. Aaoîior
ci ix'JOp'.oOTO, y.al oaiopô; r,v, co; y.ayyl y.paToJv oi oi Maxîodvî; 'J-o tw
^'jvOraaTi Tf.c aàA-irvoc y.vy.r.Tiorrjy.'j-z:, i'juroôv iu.ÇaXAo'j^'. Toic -oAz-
;j.io'.;, /.al rr;/ ^âAayya p-rj^avTEÇ, î; 9'-'YV'' i'pi'IavTO.
Hoc loco désuni (|Uicilani veilta post voccni totô, quaî supplenda ex
nianusciipto ulii narratio est intégra et eiegans; lacuna itacjuo ex eo
sic replenda, totî [xz':y. OuixoO xal àvopsîaç toÎç -oAeulîoiç TipoaÇàXAcTï.
Paninienis stralagema taie proponilur lihro 5, pag. 385. ïlyij.ixb//]ç
ôXîyYjv £ywv ouvapLtv ùtïo -AïiÔvwv à-oA-/)oO£lç, i-îa-liv aÙToaoXov £ç ':ô
Tôiv 7:oX£u.i(i)v ŒTcaTOTTEOov ô oi ■j'JvOr.ua ixiAxOcôv £T:av£7i0à)v rrvciAc tw
ITauiaivî'.. 6 oi vjxtoc iz'.OiuLîvo: tsT; -oAî'xIo'.c, -oAAo'J; aÙTtôv c-Oilca;
0'.£^'.T:-7.o-aT0 aJTo; o-JvOrjaa- Toi^ oi r^v '/"opiz, Y'-'wp'-'^^^'-''' i'-' o'xÔtco toùç
o'.xîioo; [j.r, ovvaaivo'.ç O'.à toO 'j'jvOrju.aToç.
l'EtlMAT. — I. 47
370 (EUVRES DE FERMAT.- APPENDICE.
Hic addenda ex manuscripto post verl)um c/Sj-oq, scquentia, aO-rô; \j.h
TÛV 7:CiX£[J.(c0V TÔ (7UvO/j|J.a à-CiXpiVCi[J.£VWV.
Pompisci stralagema refertur lih. 5, pag. [\oi. 1100.-17x0;, -îpttjTpa-
TozîOï'Jwv -6À1V, irX aàv ':ï;v ■7:o}^X'r]v Tf,? ywpaç è^iévai Toùç TroXîij.îo'jç
ixwXuo-îv i-l oè tÔ-ov eva Tuvr/w;... xal Torç7^yji;'Co[jLÉvoiî à7ciyî<70ai toû
-OTZO'j TO'jTO'j TipOG-ïTaçcv. oî oî Èx T'?]? TioÀcO); àcîwç ivTaOOa -pot£77.v i
oà T:aoà twv axo-cov d)Ç iixaOîv Toù? TjXOVTaç ttoAAo'jç, i-tOlaîvo:; toùç
TiXïtfTTO'j? aÙTÛv iyzi^bicax.'zo .
Vox o-ijvî/ài;, qu;i' hic viilgo legitur, corrigcnda ex manuscripto et.
loco illius rcponendum Guviyûpv. quod ex conjectura vidcratCasaubo-
nus ut patet ex ipsius notis.
Alexandri Plicrensis stratagema refertur lijj. G, pag. /pG. 'AA£;av-
opo; ll7.vopL;.ov zoXiopxoOvTOÇ AïcorjOivo'jç -pôç y.-cf.icf.ç Z7.q 'ÂTtixàç vaOç
■savEGOjr va'jij.avîîv o'j Oaoowv, oii-îix'I/ïv â-i àx7.Ttov vJxTcoo, etc. leffcn-
dum esse, ir.l àxaTÎoo, ut vult Casauhonus in notis, contirinat codex
manuscriptus uhi legitnr oià [xtxpoO zXotapfo'j, qux verlta idem so-
nant.
Cyri stratagema narrât Polyionus lih. 7" (-), pag. 477. 'lis vcrbis.
Kûpo? Mïjootç Tia.pa-a^7.u.cVo; Tplç -/iTTr/J-/]. £-::£l oà-wv Ilîpcrwv ai Y'Jvaîxîç
xal -77. -£xva ■qrjy.v £v TïaG-apyàoaiç, tyjv -zz-.ipTq'j ul7.-/-/]v £v-aO0a (T'jvtj'^î-
~7.Xiv E'p'j^ov ot ITipaai, ô)^ (i£ ïoov zv. ':ixva xal Tàç y'jvafxaç, 7:a06vT£ç
£::' aÙTot;, 7.v£aTp£'|'av, xal toÙç Mr;oouç àTaxTw; lîiwxovTaç Tp£'|i7.|J.£-
voi, vfxTjv T-^Xtxa'JT'^v £vtx-/]Tav, ôj? [j.yjxi-:t Kipov -pô:; a'JTOÙç 'xKkrfi
rivr^Vr^n.'. [j.y.yt]:.
Hic h)co vocis -xOôvtî; corrigeudum ex nianusci'iplo a^ju-y-^iv-iç,
(juie vox itideni restitucnda in stratageniate Apoliodori pag. 435. ma-
nuscriptus noster ex quo coniicimus vocem T:aOovT£ç mutandam in
'j'ja-aOivT£; vcrhis se(|ncntihus rem narrât et stratagema Polya^ii ex-
primit, oi oï G'ja-izyJldy. toÛtojv vixw[X£voi, etc. vox autein illa melius
(. '} Samuel u imprimii liù. 70.
OBSERVATION SUU POLYEN. 371
authoris sensui rcsponclctqiiaiii -a TiaOôvTïc; vt Icgendum ceiisiiit Casau-
bonus.
Darii stratagcma narratur lib. 7, pag. 489, hoc modo. Aapao? i-oH-
ixti i:7.xxatç Tpi7_Yi âi-/^p-/iu.£votç- [;.taç £/.pàTr]crî [v.oîpaç- -wv oi laxxdiv
rCôvTcov T7.; iaO-?)Ta;, xat tÔv x6aij.ov, xal Ta ô'-Xa -£pdO-/]X£ toî; Uio-
17-'.;, etc. hic loco vocis î'Covtwv qu;o est coiTiipta iii cdilionc Toni;osii,
legciidum ex maniiscripto àvatpsOévTcov.
Autophradatis (') stratagema legiliir lih. 7, pag. 5iG et (aie est,
Aù-.oopxoiTqç iiiÇylilv ILcrioat; flouAi[ji£voç t^jv sîcreoX-Pjv G-T£v6-op&v
xat ouXaTTO|i.£v-/)v ôpwv, TrpocrvÎYayE [j.iv 70 arpatô-sSov, TtàXiv oi àz^i'a-
7£v o-îcrco, (/.ly^p- (TTaStwv ç'- vù^ iTzffkOiv, oi [j.iv ^uXâTTOv-s; -dJv lliai-
owv i-rfAX7.Yr]crav, otiu-îvc. toÙç -oXeu-Îo-j; à-ïX-^jX-jOlva-.- 6 oè tcôv t|/tXàiv
xaî ô-XtTwv Torjç £Xa9po-:7.Tou; XaÇcùv, -oXXrj crTrouo-;^ opa[j.coy ofPjXrk -rà
<T':£và xaî ttjV Ilt^iocùv ywpav i-ooOyjTîv.
In hoc stratagcmatc loco vei-borum [X£-/pt crTaîîwv ç' reponendiini
procul dubio i-iaï)u.ov x6-7ia,quod Vulteiiis arilhmeticariim apud Griv-
cos notarum paruiii callciis non intellexit, similitudine intci- ç' quod
significat 6, et 4' quod signiticat 90, delusus, legendiini igitiir [xl/pi
cTTaofcov 4', (|uam esse veram lectionem, ratio ipsa primum confirmât,
si enim Aiitopliradates ad sex tantum stadia recessisset, hostes suspi-
cione, et metii non liberassct, deinde in maniiscripto legitnr èvvîvv
xovTa absqne notis arithmeticis.
Scipioniscontinentia- exeniplum laude dignissimum refertur lib. 8,
pag. 568, seqiientibus vcrhis, Ixyj-îwv oopuiXcoTov XaÇwv Èv 'l6^-/]pia
-iX'.v «DoiviT^av, w; oi ouYa-coyo! zapOivov yjyayov xâ.XXo.jç 6-£p-,.jcoç
tyo'jay.v, tÔv -a-ipa aÙT/j; àva'CYj-ur.craç, iyocpi'jy-r, aO-cô ty^v O'jyaTipa.
ToO oè owpa -pocrxoti.r;o-av-:o;, ô oi xal Tauia cr'jvr/_aptc7aT0, -poîxa OYicrac
iniOioôvoLi TQ x6p-Q, etc. ihi vulgo legitnr ouyo^y^yÀ (juod interpres
\evl\l cap/à'orum duc(on's, sed Icgeiidnm ex maniiscri|)(o v^a^aycoyot.
(') Cet alinéa Cl le suivai.l sont dans le Diopliaiitc do 1C.70, mais maimi.cnt daii^ les
f iiria.
372
(J'UVIiKS DE FEHMAT. - \ P PEN'DICE.
hoc est rtii^uitim iliiclorrs, (|ua^ coi'r(!c(io et vorissiiiia et elei^aïUissima.
lit niilliis suptiisit (hibitandi locus.
l'Iin"! a(ljiini,'eroiii, simI l'eriis jam desincntibus (juarum hcneiicio
oliiini siip|)etcl);it, tinciii (|no(jiio liiiic -apsxÇoXwv uapcxÇoXiQ iniponi-
miis Valc cl iiic aina.
LETTUE DE S. FERMAT A PELLISSON. .iTÔ
Mil.
VIRO CLARISSIMO I). DE PELLISSON,
l.niELLOltUM Slll'l'LICUM MAUlSTllO,
samuI':l de format s. v. d.
(Iriticas obscrvationes quas milii iiupcr misisti, vir clarissiine,
siepius legi non sine voliiptate et admiratione; in illis enini ingenii.
jnclicii, et doetrinaj dotes quas in te jampridem suspicimns uhique
ekicent : niliil auteni iiivcnire possim qiiod tanti muneris vice tihi
referam, nisi eomniodùm egestati mère succurrerenf varia; lectiones
quas vir til)i singulari conjunclus amieitià, cujus milii jucunda semper
est rccordatio, niargini apposuit (juorumdam lihrorum (|uos seduli»
pervoluebat, et quorum plera(]ue loea, sed ôooù -àp^pY^'^ emendavit;
sois enim ((uàm pra-coci ille ubertate llorum am(cnitatem fructunni
matui'itati junxeril, nec me latct (juantâ ipse tiducià suas exercita-
tiones solitus sil in tuum siiium eirunderc; lieet autem oiniies ista'
(|uas excerpsi enieudaliones, vel parentis n\v.\ conjectura' ('), tilii novi-
tatis gratià non comniendenlnr, illas (amen, (jua' tua esl coniilas, te
henignà manu suscepturum non dultito.
Tliconem Smyrnauim, ne te diutius morer, vir elarissime, nosti, auc-
torem operis illius cul titulus twv xa^à ij.y.Q-qij.y.^Ayj(]v y pq'jvj.in'/ it; TrjV
ToCi nXâTwvoç àvâyvœTiv, quod prodromi instar est aùt isagoges Pliilo-
(') Les mois l'vl p'iriyilii iiici canjcclitru- sont omis dans lo Diopli.inlc ilc 1(1711.
37'i ŒUVRES DE FERMAT.- APPENDICE.
sophiso Platonica», quœ nemini Geomctrià non initiato patcbat : illud
npiis edidil Liitctiœ anno 1644 I.smael Bullialdus vir doctissimus et
Lafinitate donatuin elegantibus notis illustravit; sed non omnibus illud
mendis purgasse videtur, ut aliquot, ni fallor, exemplis, quse scquun-
tur, planum fict.
Primum occurrit pag. 78 illiusoperis ubi -tp\ àp(i.ov(ac; et <nj[Açcov(a;
agit : locum ilium exscriberc non piget, ipsa enini séries emendationis
procul dnbio neecssitatem et veritatem ostendet; Ta (' ) YS7.[i.[xaTa, ait
ille, otoval TpcÔTai s'ktI xal T-oiyEioJOstç (-), xai oiatpETol, xal tky.yirj-
'-.y.i etc. (^), et inferiùs, xà Sa G'.aa-T-/][ji.a':a. èxtwv ^Ooyywv, oi'-rivcç -âT.tv
owval ûrn t.zû>~m\ xal ÔiaioETixal, xal a-ov/v.biOtiZ, buie voci oiaipsTixal
asteriscus in margine (*) rcspondet cum voce otatpeTal, at hic repo-
nenda bis videtur vox àSiatpsTol loco toO otaipsTol et oiaipôTtxat, legen-
iluni nempo ypâu-aaTa owval v.nX ào'.atpcTol, idque confirmât IManuel
Brvennius (''), cap. i, lib. 2 "Ap|j.ovixôiv : legendum praeterch (pOoyycov,
oiT'.vîç -â/j-v ocoval îIg-I -pcÔTat xal àôiaipsiol, et hsec quoque lectio con-
firmatur verbis ejusdem Bryennii lib. 1, cap. 3. ubi dicit oOoYyoç è^Tl
7.p-/Y; àpiJ.ovîaç ôjç ■'(] aovàç ToQ àptO[j.où, TÔ arjU-^rov t?;? Ypa[jL[jLfjÇ, xal to
v'jv ToOypovou, punctum vero et instans sunt àotatpsTà et conséquente!'
oOoYyo; àctaipîTÔ;, non dmdcndi vim liabens , ut vult interpres Lati-
nus (") : nec iinmerito Bacchius Senior in introductionc artis mu-
sicœ (') qua'stioni illi ci oùv ètt'.v èXâyiaTov tôv u.£Xcoôoujj:£va)v, rcs-
pondet, çOoYyoç, quem non tanlum iXàyiG-rov, sed etiam axoijLov esse
(' ) Le texte de Boulliaii porto tj oi.
(-) Les mots -/.«i d-.v:/ z:imi\.c, sont omis dans les Varia.
(') Les ^'rtWrt omettent e^c.
(') La leçon Z:%'.yr.ï\ est également indiquée en marge, par Boulliau, pour 5ia'.p:Tol dans
le premier |)assage.
(^) Le texte grec do Manuel Bryenne n'a été publié que par Wallls, dans le Tome III de
ses G'iuvres (Oxford, iHyg). Samuel de Fermât cite donc cet auteur d'après un manu-
scrit, que M. II. Omont a retrouvé à la Biljiiolhèquc Nationale. 11 contient, de la main de
Fermât, des annotations critiques que nous publions comme dernière pièce de cet appen-
dice.
(0) Boulliau traduit comme suit le second passage grec donné plus haut : i/tCcn'alla vcm
xnnis \con\taiil'\, quœ vnces rursum sunt prima; vim dividcniU linbentes, et elcmcntarcs .
('■ ) Aiitiquœ miisicœ aiictorcs scptem, cd. Meibomius (Amsterdam, iG5a), I, page >-;■
LETTRE DE S. FERMAT A PELLISSON. 375
docet antiquse imisiccT celcberrimus auctor Aristidcs Qiiintilianus
lih. 1 lie Musicâ ('), atquo ita aiithoritas a;quc ac ratio sufFragatur
liiiic cmcndatioiii, (|ikl' lit iinius taiituni litterae mutatioiic. IMinimà
qiioquc niulationc alla fiteodcm capitc licctminoris momcnti correc-
tio, iil)i viilgo niale legitur, cp-rjcrî y.al t&ùç nuOayop'./.oùç, Icgendum scili-
cet, cpao-i, ut apud Bryoïinium \h(o\jrji (-). Paulo infci'iùs ubi Icgitur
àTroTEÀEfTai b i^Oi^Y^Ç [iipaSïtaç ok papùç, xal o-cpoopâç [xèv [xiiÇcov TjVoç,
■ripiixou Si [xixpoç, legendum vidctur rjpsaatac;, et bryennii autliorilale
confirmatur ( ').
Hactenus de sono de quo agitiir in cap. illo G. In cap. vero 8, agitur
de semitonio, et ita viilgô Icgitur -/.aOà (') y.v.1 to Yjjj.î'pwvov ypâaaa &•>/
d)ç -quiau ooJVTjÇ xaAoûuîv, àXA' coç ixy] Tcji aÙTOTcAci -/.atà zyjj-.o owvîtv,
legendum vero videtur -/.aOè non xaOà (') : legendum praîtereà aAA' wç
[XY] aO-roTEX?] xaO' aùTo owvrjV à-oTîAoOv, quœ lectio ejusdcm Bryennii
autlioritatc nixa veriorcm vulgatà sensum cfficit.
Atque liarum probatio lectionum desumi polest, i/. tûv Tïapà toîç
[i.ou(7r/.oî; ù-oTiÛcixÉvojv xal èx twv Tzapà toîç [j.aO"^[xaTtxor; Xa[j.Çavo[jLé-
vwv, ut Porphyrii verbis utar, quie in commentariis clarissimi inter-
pretis refcruntur pag. 27G, .scd non sine mendo, malè enim ibi legitur,
iv. Tcliv r.apy. (^) ■:■?]? [/.ouo"?]; ù-otiOc[j.£vcov.
Nec silentio prœtermittcnda est elegantissima, et audacter dicani,
ccrtissima altcrius loci cjusdcni Tliconis cmendatio pagina iG/|,ubi ilc
octonario loqnitur : refertur ibi vetns inscriptio quam in cohuiiiia
vlilgyptiaca rcperiri tradidit Evander boc inodo, lIp£(76û':aTo; -âvrco
"Ocnpiç, Oîot; àOav7.TO'.ç, -'jvjay'i, xal oOpavoj, fjAÎco xal 'Jikr^vQ, xal y?]
V
('l .///tir/iiic imis/rre aiictiirci wplfiii, cd. Meibomiiis, II, p;ii;e ')!.
(-) Dans sou cililion Tliconis- .Smyrmn E.rposilio rcriiin iiuilliciiinticaraiii, Tuiibncr,
1878, Ed. Hillcr n'a pus adopte ccLto corrcclion, comme il a fuit pour les préccdoiites; et,
eu eiret, Théon continue à citer ici le périputélicicu Adrasle. L'erreur de Ferniut u été au
reste occasionnée par Douiliuu, cpii u Iruduil aiant.
{') Uiller lit r^-ji[v.^i. (|ui est nioius Ijûu.
(*) v.ixx'% Samuel. JMuis Boulliau donne zxOi, (|ui n'a nullement besoin d'être corrigé en
7.aOo. Samuel a du faire quckpie méprise. — HiUer suit, dans ce passuyc, la leçon do Fermât.
en supprimant le dernier mot i-.oxi'Mi-/ , cjui est surabondant.
( 5 ) l-ri Sanuwl.
376 ŒUVRES DE l'ERMAT. - APPENDICE.
■/.al vuxxl, xai '/jalpa ('), xai ■nv.zpl twv ovtcdv xal (-') iuo[j.ivco^j MVÙÏK
lj.vfi<j.iîa: '-.-qç aù-oO àp£r?i<; ^lou c-uvTâ?£coç, id est, ut viTlit Bullialdus,
anliquissimus omnium Uex Osiris diis unmortalibus Spinlia, cl Cœlo, Soft,
l't Liinœ, cl Tcrrcv, cl Nocli, cl Dici, cl palri eorum (juœ siint qucvcjiic
ftiliirn siinl, pradicaho memoriam magniflcenliœ ordinis vilœ cjus : nicn-
Hosum procul dubio in liac inscriptione illud EPÛTE, et liane lec-
(ionem si retineas quis inde sensus elici potorit? legendum igitur
EPOTI, atqiie ita parvâ unius scilicet litter.i; mutatione huic loco sua
lux, etrt/no/7 sua laus facilo restituitur; ncc aliéna est ab hoc loco sa-
pientissimi Platonis, cujus velut interprcs Smyrna^us ille, scntentia,
dum ait in convivio (■') xat [ièv Sy] Tr^v ye tûv (^ojwv -oîyjœiv -àvTcov tu
ivavTioJ^îTai [xt] oùyl (*) spwToç dvan crootav yj yî'"''^'^'- (') "''■^•'' '^'J^"^-'-
-yv-y-Tà vwa, elenim animalium omnium cffectioncm. ut vertit Serranus,
ex amnris sapicnliâ exislerc, id est gigni alquc nasci, ccqnis negavcril,
Pcr qiiein i;cniis omiic animantum
ConcipiUir, visilque cxortiiiii luinina Solis (^).
Apud lulium Frontinuui (') de aquseductibus Romœ pag. loG edi-
tionis Plantiniana;, vuigô sic legitur : in viccnariâ fislulA, qiiœ in conft-
nio iitnusqnc ralionis posilaesf. ulrique ralioni penc congruil. Nam hahcl
scc.undùm eam compulalionem, quœ inlcrjacentibus modulis servanda est
in diamelro qtiadra/iles viginli : cùm diamclri cjusdcm digiti qitinquc sint
cl sccundùm eorum mudulorum rationeni qui sequunlur ad cam, habcl
digilorum quadralorum ex gnomnniis rnginli. Hic procul dubio legen-
dum non ad eam, sed aream : cujus enicndationis ratio ex supputationc
geonietrica ducitur.
(' ) y.j.\ r.jicpa OUI. Samuel.
{ - ) 7.a\ TO)v Samuel.
(') Tlvtox, Banquet, 197 a. — Samuel emploie l'éditioii rlo Platon d'Henri Estienne.
1578. qui renferme la traduclion laline do Jean de Serres.
( ' ) oùxi Samuel.
(5) La vulgale ajoute -.1.
(") Lunm'îCE, De Rerum natura, I, v. 4-5 : Per te quoniam frenus etc. — Ililler a adopté
la leçon îowt'. projjoséc |iar Fermât.
(') Voir ci-après, sons le numéro X. la Lettre de Fermai à Ismael Boulliau du v, j no-
vembre iGjS.
LETTUR DE S. FEUMAT A PELLISSON. 377
Kâdcm eniiii pagina Icgitiir, centenaria aitteni cl cenlcnum vicenurn.
f/uibus assidue accipiu/il, non ini/niitnlur, sed augenlur, Nec usufrequens
est : videtur legcndum Cen. id est centenaria, loco vocis illius Nec, li(-
teris scilicct ordiiic inverso accipiendis, ciim fortassc in inanuscriplo
rcpcrtum fuerit Cen. iioc est centenaria, quod Iranscriptor transposuit
et legendum Ncc, particulà sensui magis, ut videbatur, accoinmodatâ
pcrperam existimavit.
llis eniendationiljus unam aut altcram diioruni insiçriiiim locoruni
addam, quorum prinuis est apud Sextuin Knipyricum, aller apud Atlie-
lueuni : Sexlus ille (') lil). 1. Pjrrlionianum liypolyposeon pag. 12,
ostcndere conatur quani varia' sint pro diversitate ajtatum Phantasia',
Trapà Se xàç rjÀixîaç, inquit, OTt 6 aÙTo; àr^p 'zoïç [jlèv yspoudi ■\/\jypiç
îivat ooy.ll- tolç ùi àxp.à(^ou(jiv, vj'/.py.':o^. xai ^ TÔ > aÙTO 3pù[jLa toîç
[xàv TipeaSuTaTûiç «[/.aupôv cpaîvETai, lolç oï àx[xâ"(ouai '/.c/.^aY.opïq , v.aX
ocovr) <^ ô[i.o(coç ^ -r] aÙT'À] Tofç aèv à|jt.aupà ûoxEf TuyYavEtv, toîç os
âHàxciua-ro;, id est, ut vertit Ilenricus Stepiianus, Ex œlatihiis aulcm
(juoniam idem aër scnihus quidcm frigidus esse videtur, aliis qui in (Vlatis
jlorc (^) sunt, hene lemperalus, et idem cU>us, senihus quidem tenuis vi-
detur, at us ([ui flore ni œlale crassus; eodem modo et vox eadem, aliis
quidem depressa esse videtur, aliis atilem (J')afla; at liujus loci elegan-
tior scnsus erit si legatur non ppwaa sed ypG)u.a., alioquin de sensu
visus (|ui facile niaxiniani mulalionein patitur, nullus iiic Ibret seinio :
prtetereii lo àuaupôv nieliùs colori eonvenit (juani eil)0, et aupii' de
colore ac de cil)0 dici potest tô xaTaxopà;, sic apud Virgilium legiiuus,
saturât as murice vestes (^) et liyali saturo fucala colore (^).
Nunc ad Atliena-i locum transeo; quis autcni urbanissimi illius
(') Koniial s'esl servi de l'édilion t;rOco-laliiic des Cliuuel, Orléans, 1(121. II laiil lire
poiii' lu rclërciice }><t'^- 'ri., au lieu de juige 12.
La correcliuu (lu'il |)ru|)use a clé ad()|>tée par Fabrieius dans sujiédiliun gréco-latiiic des
CEuvres de Sexlus lim|)iricus, paye 28, nule Z. lillc avail élé ét;alemeul proposée par Sau-
uiaiso.
(- ) flore eoiisliluti suiit Samuel.
( ^ ) vcro Sdiinicl.
(') Celle expres.^ion csl de Marlial, VllL 4«.
(5) Cc'orj^'uiucs, IV, 'l'JS.
I''kiim*t. — I. /iS
378 ŒUVRES DE FERMAT.- APPENDICE.
scriptores sales varia conditos eniditione ignorai? Et si quid iti co fri-
gidum aiit inficetuin occurrat, quis ibi niendum subessc non suspice-
lur? Suspecta igitur crit lectio loci illius in qiio liic auctor lib. 12.
loquitur de depravatis Alcibiadis nioribus, qni locus si vulgatam Icc-
tionem retincas ipso forsan Aleibiade depravatior erit : Atbena?i (')
verba baec sunt, Aua-taç oà b p-/]Ttop Titpl ':?)? Tpu^-qç aÙToO 'Kiywv cpïjc-lv
ix-nXs'jfjavTEç yàp xoivï] 'A^îoyoç xal ' A\y.iCiy.o-qç ti^ 'lîXXrja-ûoVTOv eyïjpiav
Èv 'AS'jSw 060 '6v~e, MtôovTiâoa T'/]v ' AÇ\>o-qvt]v , xal SuvcoxeiTrrjv. STisiTa
<x.ù~oïv yivETai OuyaTYip, "r]v oOx E^avTO ouva^-Oat yvcovai, ôiiOTÉpou eTy].
£-£1 Sa -^v àvopàç cbpata, ^tJV£xot[j.(!JvTO xal TaûiY], xal £l pièv ypôJTO xal
I)(_oi 'AXxt6i7.0ï]ç, 'A^to^rou £:paç7X£v £tvai Ouya-r^pa- £l oà 'A^îoy^oç, 'AÀxi-
ÇiiSo'j : error liic procul diibio in voce illa ^uvtux£l7rï)v et legendum
Huvc>jx£(-:yjv (-) boc est concubucrunt, atque ita si falsa Xynoceipe delea-
lur, et sola supersit illa duobiis nupta Medontias, portentosai istorum
iuvenum libidinis novitati nibil detralietur; veritas autcni istius cmen-
(bitionis satis perse patet, et ex ipsâ loci série elici potest, in quo illud
o'jo m-.t alioqui supervacaneuin foret, nec jam amplius anibigua
proies; ratio igitur illius correctionis in promptu est, cui ejusdem
Atbenaei acccdit autboritas, is {') enim lib. 13. iterum de Aleibiade
loquitur boc modo, MeoovtIôoç y^^^ '"^î 'AÇuo-/]v?ii; i\ àxoviç èpao-OElç (*)
£aT£p^£, xal TCkv'jaa.!:, £Î; "EXÀ'rjcJTrovTOv a'jv 'A^toyco, oc, "rjv aÙToO tyjç wpaç
ipacjT^ç, ojç (p-/]Ti Auaîaç 0 pi^top èv tw xa-:' aÙToO Xoyw, xal TaÛTïjç
(') Pages 5Î4-535 de l'ciiilion de Lyon, 1G57. — Page 704 de cette môme édition, après
certains Co/lectaiwa in oliquot ^ihcnœi loca, Autlinre f'iro Illiislri L. I. S. T., on dit :
l( AlIA in ATIIRNEUM AMMADVRnSIO SINGUI.MtlS, AUCTOBE VIP.O ILLUSTUI P l' S. T. »
Page 5'ij A. AhoovT'.iiîa Tfjv 'AÇu5rjv7iv xa'i Zj'/i'y/.t'.r.T^'/.
« Mirum viros doctos non animaduorlisse liic mendum subessc, cùm si ponas Axioclnun
» et Alcibiadem duas vxorcs duxisse, Medontiadcrn et Xynoceipen, tota pcriit Icpidac nai-
» ralionis gralia. Legendum verô pro Euvw/.c;'jt7iv, (juvw/.£;'t7)v, à verbo auvotxao), numéro duali
» prcTteriti acliui iinperfocti, id est concuml)obant, Axioclius iicm|ie et Alcibiadcs vni tan-
» tiim Medoiitiadi. qu;c cùm fibam peperissel, dubiimi quiiiem crat ex vtriiis scmine nata
" essct : ideoque cùm puber esset facta, vterque in illiii?; aiiipicxus rucbat, ci> [irœlextu.
u qiiôd non ex se, sed ex altero susceptam dicerct. »
(2) Ou plutôt Çuvwzc''niv. La leçon amt,>xîi-:T,v (voir la note précédente), qui ne conserve
pas la forme altii|iie, ne ])eut guère ôtre attribuée à Fermât.
(^) Page 574 de l'édition de iGS;.
(M Ce mot épaiOil; est omis par Samuel.
Liyi'TItE IM' S. FEllMAT A i'ELLISSON. 379
ixoivcôvïjaîv aÙTw, id est ut intcrprctatur Dalecliampius, Mcdonlidciii
Abydenarn audilionc tantàrn Ulc amarc cœpit, cl imprimis charam hahuil.
carn tamcn ciini Ilcllcspoiitiirn iiavihiis adiisscl, Axiochn nm'iga/io/iis co-
mili, cl pulchriludinis ipsius amalori, ut inquil Lysias i/i oratiuiic (puini
contra eiim scripsil, lUciulam dcdit : ihi aiilein fictitiœ Xynoceipcs luilla
inentio, et illiid èxoivojvYjTcv icquc ac ^uvcoxcÎt/jv cominunos Alcihiadis,
et Axiodii amores fuisse satis ariiuit.
o
Sed ab istorum juvenuiii voluptate oculos avertaiiuis, et eain (|ua' ex
studiorum socictatc pcrcipitur, pui'ioreiii et diuluriiioreiii, suniiiuiui-.
que advcrsoruiii solatium litteras esse fatcaïuur; cuiu tu liis uiiiuiii in
niodum oblecteris, uon iniucundas tibi fore eoufido observatioues iii
quibusamiei inanuin agnusccs; ipsius ego lucui)ralionum sparsas varijs
in locis reliquias è tenebris quibus abditae jamprideui eraut ('), eruere
eonatussum, ucqueliœc conteninenda duxi, ut ex hoe spicilegio rerutn
qua; diligentissimos (-'), ut ita loquar, messorcs latucrunt, paleal,
quantam earuin auctor in libcriori et conjccturis aperto critices cauipo
segetcni fuerit coilecturus, si sœpius in illo spatiari voluisset : Vab' (^(
me ama.
( ' ) (|uibiis illas paroiUis modcslia aliilideral Samuel dans son cdilion do Diophanlo.
(-) porspicacissiinos .S«;;««'/ dans son édition do Diopliantc.
380 ŒUVRES DE FERMAT.- APPENDICE.
IX.
ISMAELI BULIALDO Y. C.
p. F. S. D. P. (').
Duas potissimum inodulorum seu fistularum, quibus aqua erogatur
aut accipitur, species constitiiit Frontinus in Tractalu de Aquaducti-
hus, quariim una secundiim diametros foraminis seu aperturse aut lu-
ininis, utioquitiiripse Frontinus, consideratur; altéra socundum areani
ipsam, hoc est spatium planum ipsius foraminis, quod in utroque casu
rotundum et circulare supponitur.
Prioris fistularum speciei séries ila procedit, ut carum diametri per
quadrantem unius digiti juxta progressionem aritlimeticam continuo
augeantur (-).
Primus istius terminus est circulus cujus diameter est quadrans
digiti; secundus, cujus diameter habot duos quadrantes digiti; tertius
très, quartus quatuor, et sic de cœteris usque ad viccnariam, centena-
riain, et ulterioris gradùs fistulam.
In bac série vicenaria fistula, verbi gratia ('■'), ea est cujus apertura
vel lumen babet diametrum 20 quadrantium (") unius digiti.
(') Publié par Camusat (Hlttnire critique des- journaux, Amsterdam, J.-F. Bernard,
17^4. P- 190-195) avec l'adresse fautive Paulus Fcrmatiis Ismaeli Buliatdo V. C. S. D. P.
— Reproduit par M. Ch. Henry (Reclierclies sur les Manuscrits de Pierre de Fernuil,
p. 1G-17).
(*) augeatur Cam.
C) V. C. Ca/n.
(*; quadratorum Cam.
OBSERVATIONS SUR FRONTIN. 381
Posterioi-is fistularum speciei séries non sccundum diametros, sed
secundum aream ipsani luminis progreditur.
Prima nempc hujus speciei ea est quœ Iiabeat arcani < unius di'-ili
quadrati, sccunda quœ arcam > duoruin digitornni quadratorum. qui-
naria quœ quinquc.
His positis, intelligis.VirCIarissinie.prioris speciei fistulas difFeiTc
omniiio a fistnlis speciei posterions. Nam, cùm prima posterions spc-
cioi habeat pro arca ipsius aperturjc unum digitum quadratum, prima
prioris speciei pro area apcrturae non liabet vigcsimam duintaxat par-
tcm unius digiti quadrati, quod facile coliigitur ex supputatione aritli-
metica juxta rationem Arcliimedeam ('), quam si sequaris, semper
prions speciei tistulas minores fistulis speciei posterioris invenies
usque ad vicenariam; post vicenariam vero semper prioris speciei tis-
tulas majores fistulis speciei posterioris invenies. Ipsa vero viccnaria,
quae in confinio, utrol^ique fere œqualis existit : lumen enim vicenaria-
prioris speciei est ad lumen vicenariae speciei posterioris ut 55 ad 5G,
et sic diirerentia est unius tantum quinquagesimœ: quinta;.
Ex supradictis patet emendandum tcxtum Frontini in Hhro de Agtiœ-
ductUms, p. loÙ Slewcchianœ cdilionis (-) apud Raphelen giimi iGo8, et
ita concipiendum :
Invicenariâ fislula, quœ in confinio utriitsque mlionis posila est, ulriquc
rationi {^) pêne congruit. Nam liabel, secundum eam compulationem {')
quœ inlcrjacenlibus {') modulis sermnda est (quai quidem est prior tis-
P) Arcliimcdx'am Cnni.
{■') Slovversiaiiœ edit. Cam. Il s'a,;;it du Volume iiUilulo : /'. lut. FI. fc-eùi Kenati
Connus aliorumquc alcquot vetcrum De Re Militari libri. Acccdant Fnmtini °trata-cma-
tibus- cuisdcni auct„ns alla opuscuUi. Oninia cmcndadas quœdam nunc prinmm edUa a
Petro Scnvcno cuni comnwntariU mit notis God. Stenr-c/di et Fr. Modd. Ex olUcina
PLantmiana Raplielcngd MOCVll.
(') Dans son édition cntiquo hdd Frontud de aqucs urùù Romœ Itbri II (Lcipsig
Tcubner, .858), Kr. lilicliolor corrige utraque ratio d'après lo manuscrit Cassinensil
umquo source du icxlo de Frontin. Lo passage reproduit par Fermai se trouve dans cette
édition, page i5, 1.21 a page iG, 1.3.
(*) comparationem Cam.
{■') l'olcnus a corrige m antecedentibus, ce qui concorde avec la leçon du Cassinensis
iri tcccdcntibiis. '
38-2 ŒUVRES DE FEHMAT. - APPENDICE.
tiilai'Uiii spec'ies), in diametro quadranles t^ginti; ci'im diametri rjusdcin
digili qtdnque sinl. el sccimdnin coriiininodidonun ralionem qui sc(jttuii-
lur, arearn (') (ita confuleiiter corrigimus, ciitn vulgo maie logatur ad
cain : liœc est onim posterior fistularum spccies quœ) /labet digilonun
qnadratorutn ex giwmoniis (-) iHginli.
Cùm enim vicenaria prions speciei habeat in diametro quadrantes
viginti unius digiti, hoc estquinque (Iigitos,erit(') quadratum diamelii
2.5 digitonim. Est autem proximo ut i[\ ad ii, ita quadratum diamotri
ad circulum, ex Archimede, et est proxime pariter ut iZj ad ii, ita
•25 ad 2o. Krgo vicenaria prioris speciei, quœ liabct viginti quadrantes
in diametro, habet etiam ferc viginti digitos quadratos areae, ut pêne
œqualis sit fistulae vicenariœ speciei posterioris : quod probandum erat
ad sensum Frontini planius aperiendum.
Ut autem perfectius innotescat vicenarias utriusque speciei omnium
proximas inter se esse ('), exponatur tabula sequens
1 11 -22/1 (i GG 224 11 ' '' '>'>A IG 17O 29,4 21 23i 274
2 22 224 7 77 224 12 1 32 224 17 187 224 22 2J2 llty
W 33 22,4 8 88 22I 1:5 143 224 18 198 224 23 253 224
■4 44 22 1 !) 59 224 li i54 224 10 209 224 2i 2O4 224
5 55 224 10 110 •;>2i 15 iGJ 224 20 220 224 23 273 224
Primus ordo est numerorum ab unitatc in progressione naturali.
Secundus est a 11; progreditur per additioncm ipsius 11.
Tertius est ejusdcm semper numeri 224.
Patet autem ex supputationibus geometricis fistulam prioris speciei
ad fistulam posterioris esse ut numcrus collateralis sccund;c columna*
(') B'ùclieloi- a fait la mômo correction que Fermât, mais comme il met plus haut lo
point-virgule après ««« el non après viginti, il considère le texte comme en désordre et
propose de le remanier, ce cpii est inutile, car le sens est bien celui qu'indicpic Kormat :
« Dans le tuyau du module 20, qui se trouve à la rencontre des deux laçons do compter,
celles-ci se trouvent sensiblement d'accord. Car, selon le système adopté pour les modules
inférieurs, il a 20 quarts de doigt en diamètre; cela faisant 5 doigts de diamètre, il aura
aussi, si on le rapporte au syslcmo des modules supérieurs, une section de presque
20 doigts carrés », au lieu de 20 doigts carrés exactement, qu'il devrait avoir d'après ce
système.
(2) ex gnomoniis Scrit.'. et gnomonum Cam. cxiguo minus Bùdielcr.
(3) cdit Cam.
( *) inlersesse Cam.
OBSERVATIONS SU II FRONTIN. 38:J
;i(l iiLimeriiin 22/1 tciliai. Exenipli gratia, lislula quinta (') prima'
speciei est ad fistiilain (luintam secundœ ut 55, qui est nuincrus colla-
teralis 5, est ad 224. Etc.
Undc apparet, cùui nunieri 220 et 224 sint omnibus secundae et
tertia; columnai inter se proximiores, vicenariam, quœ est ipsis colla-
tcralis, esse ejus uaturœ et proprietatis quam innuit Frontinus. Unde
cvidens est non soluin corroctioneni nostram esse vcram, sed etiam
nccessariam, imo et demonstratain.
In eadem pagina emendandus est etiam tcxtus, utsensus restituatur
Tronlino, ubi etiam lo'Mtur :
Ccntenana au/cm cl cenlcnum vicenurn, quibas assidue accipiunl. non
niinuuntur, sed aiigenlur.
Post haic autcm verba, inquam, sigillatim cxponit Frontinus ([ua
propoi'tione aquarii bas duas fistulas f'rauduicnter auxerint; sequitur
itaque nec nsii frecjuens esl : legendum loco vocis nei\ ecn boc est ccit-
Icnaria. (|uaî baud dubie liac ratione tribus primis cbaracteribus iu
MSS. designabatur. Quod cùm exscriptores non caperent, inverso
vocabulo, voci cen substituerunt nec, decepti fortasse simili, quam
aliquot ante lineis, eiim de duodenaria loquitur Frontinus, viderani,
exprcssione (-).
Si hanc cinendationem non admiltas, erun( liœc ouinia scopa; disso-
lutic. Sensus integer Frontini idprœcipue vult, aijuarios (juatuor listu-
larum moduui mutavisse, quod ita exprimit :
Sed cK/iiaru, cùm manifcs/œ rationiin (^'^ ) pluribus consentiant, in qua-
tuor rnodulis nominavcrunl (') duodenaria {^) cl vicenaria cl ccnlenaria
( ' ) <iuiiU<T! Cain.
{'^) La conjoolurc do Fermai o=t plus inguiiiouse que solide; mais, de fail, les mots nec
icfii frcqucux c(t ne yo Irouvenl pas dans le Cassiiieiisis. liiiclielcr (|i. iG, I. 16-17) les a
donc supprimés purcmeiil et simplement.
(•') Fermai ajoute ici i/i au texte do l'édition qui ne |iurlo que p/arihiit, avec l'iiidica-
lion do la variante /3/«mn«/H. Blielielcr fail la môme addition, d'après l'oleims (p. iG. 1. g).
(•) D'après le Cassincnsis, |)our ce mot qui a torturé Fermât, il faut partout lire itmYi-
i'cruiit.
('^) duodenariam cl viccnariaui el contenariam Ctn/i.
:584 ŒUVUES DE FERMAT.- APPENDICE.
cl centenum vicenum, ubi (juid per vocabiiliim nominavenuil iiitel-
ligat, quo idem Fronlinus duobiis aliis locis paginœ seqiiontis (') 107
utitur, amplius qusercndum et consiilendi forsan codices !MSS.
Reliqua sequuntur in quibus suspicareniur aliquid transponendum,
siScaligcrianam audaciam audercmus imitari, et ita omnino legenduni
post vcrba superiora (-) :
Vicenanam cxiguiorem faciunt diametro digili semissc (^), capacitalc
(/uinariis tribus {^) et scmuncia, quo modula plerumquc erogatur. Hcli-
(') pag. seq. Cam.
( ' ) L'ordre du Icxle édité est le suivant ; Et duodenariœ quidem, ijtiod ncc mag/iiis en-or
iicc ii-iii frequenx est, diametro adjeccriint dif^ili seiminciam .licilicum, capacitati qidiiariir
<l licrtcm. Rcllqidx nutcin tribus modulis- plus deprelienditur. Tlcctiariwn exi^uiorem
faciunt diaineirii digili semissc, capncitntc quinnriis tribus et scmuiicier, quo nu>dulo plc-
riimque cmi^atur. Ccntcnaria aulem et cciileiiumviccnum etc. L'interversion |)roposce par
Fermât est inutile. Voici le sens général du passage (éd. Biicheler, p. iC, 1. 8 à 18) :
« Les distributeurs d'eau se conforment, en général, pour les modules des tuyaux, aux
exigences delà raison; toutefois ils ont innové pour quatre modules, n" 12, 20, 100 et 120.
l'our le module 12, l'erreur n'est pas grande et d'ailleurs l'usage de ce module n'est pas fré-
(luent; ils augmentent le diamètre de — ; de doii;t. la caiiacité de -f^ de quinaire (").
' '^ 16 ■" /|l)0
l'our les trois autres modules, la dilVércnce est ])lus grande. Le module 20, le plus
emplov'é jiour les concessions, est diminue par eux de - doigt, ce qui réduit la capacité de
■> quinaires — ( exactement -r )• Au contraire, les modules 100 et 120, qui servent con-
^ a_i V -'-V
slammcnt pour les prises, ne sont pas diminués, mais augmentés, etc. »
(') Biicheler ajoute et senmncia, contre l'autorité des manuscrits, parce que, dans le
Tableau qui suit un peu plus loin (p. 19, 1. i3), Fronlin donne 5 doigts — — - pour le
diamètre du module 20, ce qui correspond à la section de 20 doigts carrés (système des
modules su))érienrs). Mais il est clair qu'ici Frontin compte le module 20. suivant le sys-
tème des modules inférieurs, à 20 quarts de doigt ou à 5 doigts de diamètre.
(') Biicheler ajoute et quadrante, pour le motif indi(]ué dans la note précédente. Comme
le prend ici Fronlin, le module 20 vaut évidemment lO ipiinaires, et non iG (luiiiaircs - —-1
' 4 2-1
comme il est indiqué au Tahlciui suivant (p. ig, 1. 14). Quant au module elTeclif des
nquarii, sa valeur on quinaire-; est ( 4 7 ) x ( t ) = '2 — • La dillércnce avec lO est 3 —
ou 3 — , à moins d'un scru
2)
,ule(,^-ig)près.
( " ) I.o quinaire e.-l le Uiyau de inudulc 5 ( diiiiii'^lrc "- <le doicl j, pris pour unilé ilc cajiaiilc la frutlion ~- p'I ccIU;
(lup donne lo calcul, mais ne currcsponil pas e\a(icuicni au ti'xle de fronlm.
OBSKllN AXIONS SU 15 FHOMIN. ;î85
(jius (' ) aiilcin Irihiis dkuIuIis /)/iis (/cpir/ic/u/i/iif : (/iiot/c/niria' ■f/iiidc//!.
(jikhI ('■) /ICC ningiiiis crror iicc iisii frc(i tiens es/, (hanictro adjrccni/il
<li<j;ili scmiincKini sicilinini. caimcilaii (iidiianœ ( ') cl hrsscin. Ccntciianu
(iiilnn cl cciilcnuiii ne. de.
S('(l (le voce noiniiinveritiil ijuid staluomiis? (jii'nl shiUics, mi Hii-
linldc? (|iiiil statiKMil docti? Sciisiim (|iii(leiii caiiiiiuis, sed cxpi'cssio-
iiciii l'^foiitini aiit seiismii ipsiiis cxpressioiiis dcsidrraiinis.
Nom dil'ticilc t'sl ([ii;i'cani(|iic in liac pagina cl in paginis lo- et ioi<
de capacitatilins lisLiilaruni, cariini dianietris cl [teiiiiicliis entinciaii-
tiir, (|n;t' mire cornipta snnt apnd Frontinnin, ex gconietiicis snppii-
lati(>nil)ns onicndarc. Unas si f'orlf di'sidcres, non gi-avabininr aggicdi
at({U(' finnitor pro!)ar(', ni, si ca, (|na' dixerat i[)st' Fronlinns, non Inc-
riniiis plane assecnli, ea salUîni, (jiiio dicerc (I(d)uerat, su[)plei'(! non
dubitonuis.
Intcrea valc, JUilialde doctissinic cl aniicissiinc.
l)al)ani l'olosa' Tcctosagnin ad dicni xxiv novemliris (') anni ;i
C. N. MDCLV.
(') Itiiclieler ajoiilo In ilewiiil rciniiiis, co i|iii sciiiUlc iiiiililc.
( -) lUiclicler siip|ii'iine rjiiiHl, d'après le (lassiiicnsis, ol ajuiile plus loin cnjus ii\ant dia-
iiwlrii.
(•') i|i.iiii et liesseiu Cain., (piinaiia' (piaiiraiilc-iii liurlwler. Le Cassinciisis ikmne (jiu-
luirue elicscin. Le Icxtc csl évideimnenl. currompii, mai? la (.•orreclioii do Itiiclielor. faite
d'après l'ulciuis, est peu admi.ssiblo. lin fait, comme je l'ai dit plus haut, l'auj^inentatiou
en (pnuaires est exactement ( 3 — r ) — '!- x ( ; 1 = j-^i ce ipii con'cspoiid eu sci'u-
[)ules à (il), 84. La correcliou de l'dlenns suppose que Kronhu aurait, par ap[ir(]\i]Mali<iii.
pris 7-2 scrupules. Mais, comme ici la dill'érence est très petito, elle aura dû être calculée
encore plus exactement ([iie la précédente (voir page 'ilS i, note j ). Il est dune probable que
Frontin aura admis (>() scrupides - (comme l'inilique la Icrou ci hcsscni ; c<jmp. éd. Iti'ielie-
Icr, |i. i.i, 1. -(^-'J, et bessc seripiili ). L'indication des scrupules, f;iite suivant la notation
romaine des fractions de l'as, aura été laissée de cùlé par le copiste.
{ ') nov. Cal II.
Fi.ninr. — I. 49
380 «EUVRES UE FERMÂT.- APPENDICE.
X.
LETTUE DE IIIET
l'KinO El SaHUEI.I I'eIOIAIIIS, l'ATIU ET FILIO, Tol.OSAM.
Cùni omnibus officijs atnorem orga me suum Segrîosius noster et jam
nuncvester significauerit, lum illuil longe milii gratissimiim est qiiod.
(|iioramciimqiie liomiiuim aliqiia laiule florentium sihi eonciliauit he-
neiiolentiam, ejusdem me statim IVcit participem. Quod sic interpi'c-
(or, existimasse ipsiim non certiorem propensi in me animi leslitîca-
tioneni (lare se posse, (iiiani si (piod in vita earissimurn liabet, amicos
nempe, ces ineciini coninuiiies esse vellel. Oim hcnelicii génère, si
unquani alias, nunc certc me cnmiilare pergit, eùni docti'ina% ingenij
el vilianitatis egregia specimina vt ad me mitterctis, operà suâ et
aliqiià Cortasse noslri apud vos coinmcudatione perlecit. l'arum ei|ui-
dem miinere isto câque quam de; me suscepisse videmini opinione
digniim me praîheam, nisi maximas vohis debere me gratias palani
protitear et pncclaras vtriusque vestrùm dotes apud omnes decantem.
Quod aulem tuas veterum scriplorum castigationes cl conjectanea,
nccnon et poematia, tu Fermati pater, puncto meoapprobare velle prie
t(î fers, sic accipio le industria* tna^ testem et plausorcm, non judiceni
qna'icre. Sic crgo liabeto nibil milii magis consentaneum videri (|uam
(|U(id ç'jvco-/.ïi-rjv voeem niliili et a vero Athena-i (-) sensu alienam
(M LcUie publiée par I\l. C.li. lli'ni'y iUcclicrvIies sur la inanuscrils de Pierre de
fcrnuit, p. 73-70) d'après li' iiiaiiuscril n" 9i)7 de la Bibliollicque de l'Université de Leyde,
pa^cs lig 01 i4o. cl la cupio dans le maïuiscril do la Bililiollicquo nalionalc, Fonds lutin
11" I! V.\i, 011 elle est niiniérolée LXXVl.
(2) Foir ci-dessus, page 37H, noie -x.
LETTRE DE IILJET Al \ FEUMAT. :î87
i'\|iuii!j;is. HuvwxîtTTjV aiiloiii acu Ic (^(, Icgi ti iiH! siil>s(itiiis. ProCccto, ni
in l'inaciilandd ciiidilo Ikk- scriploro miiHiim dosiularint Dalccanipiiis
iKislras et Casaiihoniis, non cxisnani tanien, post amplain nu'sscni,
spi.'ilei^iu rnaferiem rerKjni'i uni. Onid item ccilins (|ii;ini /pwijLy. ikhi
(ipwu.a Icgendnn» apiul Sextuin pliil()so[duini ( ' )? H;oc. Tlifonis {- )
(fnani profers eniendalio sese ipsa vel niininuini allendenli Inenlcntei'
pr'ol)al. Quod aiitem in Claiuliani ( ') epii,Maininale /xilrr in />iicr relbr-
niandiini staluis, xpt-ixojTa-ov est et vulgaris xat -aioaYwyixfj; 6tvô;
oUactum pra'terii. Puer porro in ohscœnis esse (jiii nescit, (juid sint
-a-.cixa, (juid -aioscao-rsiv, ignorai, nec cataniitos iionit diclos esse
pullos, nec .Marlialis ( ' ) senlentiani asse(|nilnr, ciini ait :
Sit noliis u'Iiilc \nicv. luiri |Hiinice. iicvi.s.
l'roptor (pieiii |ikic(;,il niilhi [)iicU,i jiiilii.
Atqiie iilinani einsniodi annenilalilius, Iniscpie eliani eleganlissiniis
epigrammalis ac luis item, F(>rniali iili, ([n;e rniiitiee sane noitis sa-
piiint, |)ai' rei'erre posseni ! Sed (| I al) exigna nosira el paiipertina
facnllale non snppelit, id denolo erga vos aninni, i)Minilins((ne ohse-
(|uijs repnesentare conabor. Valete, Viri Exiniij. Cadonii III non.
«lee. MDCLIX.
Si liiL'ul)ralionibus tnis geonietricis, in ((nilins diceris (ditiiiere prin-
eipatiini, Ferniaii pater, me impertieris, optime de me lueris pronn--
ritus.
(') /''i//' fi-dossiis, page i-y.
('-) /'(«> ci-dessus, page 'S-6.
(3) Il s'agit (le l'épigrainiiic LXXVI (k- CiaiKlicii u-il. Iloiiisius, iiijo ), vers j el G, oii
i'dii lil :
Miiu.l tui|iojii fiitlffi.'. caïK. j;im ihmIiii- iiinrtnini.
t«uiiiioi.. 5i;;ni» I.uii.i \fiiu^i|iii- tulil
FerjiiaL propiisail de lire /;w/vv au lieu de paicrh; celle cuuj('ctiii(', ingénieuse mais iiui-
lile. n'a pas élé prise en considcralion par les éditeurs sul)séipu'nls de Claudien.
(M Martial, XI\'. énigraniuie iO.'i.
;WH (KLIVliES DE F EH M AT. - APPENDICE.
XI.
LETTKE DE F E II M A T.
Pirni. Dan. IIiktio s. p. n. I^Hiit. Fehmatii's. ("addmdi (').
Vix legeiiiiii (imiii opistolam, ciim ed'd'taiii jaindiii cl mnirescentorii
latini sormoiiis faciiUatcni rcuocaro statim siiin aggressus, vt grafi
saltcni aiiiiiii orticiiini (|uo{l(lani rependcrçm, e(, elegantiain (iiani (|ua-
(laniteniis adiiiiibrareiii. Sed non siicciirrerunt voiba, et in mcdijs l'ona-
lihns ;og('i' jam (leficiel)ani, ant si niaiiis aliud qnoqno Virgilianum (^),
inccptiis clainor friistra1)alur hianlern, cùm ecce coniniodiitn sn|)ernenit
vrbanissimus Sogrosins, et aniicnm scrio nieditabundnm, et jam pcne
cnni vnguiltus contlictantem, ac seciirn nescio (juid ohnuirmurantciii
ininitns : « Ain vero, in(jnil, credisiie Hnelinni a le aliqnid elaliora-
» ttini cl (|ii()d diMiiorsos sapial vngnes cxspcctare? SinciM'iini lantuin
)) cordis alFoclnni cxposlnlat, et in pignus amicitia' nascenlis aiiquot
» anl vorsiculos ant rriticas obseruationcs exposcit. » — « Sed iilnd
I) innlto, inqnam, diCiicilius eiiadet. Car'mina enim paucissima ])en('s
') nu- babeo, (jna; lanto et tam celebri viro ausim eomnuinicarc; ani-
I) madiiersiones antem critioas mnito adhnc pauciores valeam exhi-
" bcre; nain is certe snm (|ni notas bujusmodi censorias, nisi ipsarnm
» Veritas luce ipsà clarior sit, oninino rejiciam; imo in ipsis à-6o£i:'.v
» £-::i(7Trj[jLovixY;v, more gcometrico. existimem requirendam. Qnod
(') Lettre piililiôe par M. Cli. Ilciiry {Rechercher viir Ici ma/iiiicrilt de Pierre de Fer-
mât, p. 77) d'après le nianiiscril ii° 907 de la Uibliolliècpio do l'Universilc de Lcyde.
pages i/ji et i 1-2, cl la copie dans le manuscrit de la Bildiolliéque nationale, lù'iulx jrtin-
rai.t lYoïw. Jctj. n" 3280, f'" loS et locj.
('- 1 Comparez ÉucUlc, VI, 495.
I.KTTIiK DK rKIJMAT A IIUlîT. :{80
» cxciiipla, (|iia' jiiiii ad clanssiiniiiii llucliiirii tiià ()|)cià ((ciiKMicriinl.
» salis |)rol)ant. Velim (aincii in siipplomcntum probationis adjuiijicrc
» doctissimi et ('nidiLissiini illiiisviri approhalionem vicom acciiratis-
>' siiiia- di'inoiistialionis a|)iid mc^ oittiiicrc, nc(; vlliini ampliiis di- vcro
» ALlu'iKoi, Sexli, l'Iieonis et Claudiaiii sensu duhitandi locuiii relin-
» (|iiero. .1 — » Qiià ergo, inqiiit, rationc, amicc, cl cpislohu cl exspec-
» lalioni irspondehis? » — « Censeo, in(|iiaiii, iiil aliud inilii laeien-
» dmii, (|uam rortiiiliini lioc, cl (amiliarc inler nos cullo(|iiiMin in
" s|)(!cieni('pisl()laM'irormandiim,elCadonuMn (Hianiprinuini (ransniit-
» tendnni. » — Aiiniiil Segresius, ego vero vsiis sum consilio innpia-
niea" pci(|uam accommodato, el ainicitiam Uiam, Vii- Clarissimc, si non
(acnndia, sallem (d)se(}nio ohseriiantissinio, in posleruni lentabo pro-
niereii. Vale. Tolos;e, VI Kal. Januar. anni MDCLX.
390 (EUVHES DE FERMAT. - VIM'EMUCE.
XII.
CEDE DEO, SEl' CIIllISTliS MORIENS.
I). l'i-TKi iti; Ekihut (:An>iKN v^iocmaii au D. lÎAi.zAcrM.
Ohstiipuit toliesquo eliisiim iiienlis aciimcii
Dodidicit vaiins veris prief'crre coloros
Liiminihiis. Qaitl hclla iiioves, dclelaquo pridcm
Numiiia praistigiis lingua; soierlis adiiiiihras
Inftdix ratio? Nuni to simiilaclira (ol aiinis
Desita, et inibelles Divùm siib imagine iorma-
Fallaci cinxsre melu? Niim to ostia Ditis
Anf stygise remoraiitiir aqiia', Klysiivo roccssiis,
l']t (|uid(|uid crcdi voliiit Dijs a'(|iia potestas?
Pprgc lainen qui» le seciiro (ramite duciinl
Haizaco praeeiinte via', nec ineitia diidiiiii
Fatidicic respoiisa l)e;e, queiciisve silontes
Dodona\ aiit (acid veiierare oracula Pii(i'l)i ;
Ode Deo. Cessit veteruin luimerosa propagi)
("œlicoliim : Dons ecce Deiis, qiiein |)r()iia paicniciii
Agnoscit natura sumn, oui terra, salum(|iie
Paret, et edomita» (atalia flahra proeeike.
Suhinitluntqiie ips;e jaiii non sua nuirniiita tiuhes.
llic piiro fnlgoi-e inicaiis, de lumine liiinen
Duin lialiercl, Dcus nnns ci'al, na(ns(|ne siiprenii
.Eternà a'terniini niaiians de mente paienlis
Assumpsit veros moritiira' eaiiiis amielus.
CHIUSTUS MORIENS. 391
Si (|iia forte qiicat niortalia fleclere corda,
TaïUillumque aiiimis cxtundere possit amorcm.
At postquani sumnii (andem mandata parentis
Horrendo sacrum caput objecerc (urori,
Huinanas mœrenti animo dcpromere voccs
Cœpit, et insolito siiccussus mcmbra fragore,
Omiiipotens, si nondùm orbem mala nostra pianint,
Et placct infaiidum pœna' geiius, en, ait, a<lsiim
Vi(;tima, lel.liifero(|iio libens succcdo dolori.
Cerne tamen sudore madens et sanguine corpus,
Et si nulla super nostra* tilti cura salutis,
At saltem solare animuni non digna ferentcm.
Dixitet bunientes oculos ad sydera tollens,
Ouas non ille preccs, quic non suspiria l'udit
Anxius terumnisque gravis, tua, rector Olympi,
J)um satagit, mentemque futur* accingere pugna ( ')
Sponte parât? Qelo intcreà demissus al) alto
Aliger, ut varios animi componeret œstus.
Improvisas adest, cocidit(|uc repente fragorum
J'urba minax, auctie(|ue su|)erno robore vires
Despectant longe poMias, iiondumque parala'
Incubuere (Jruci : nam cur, suprême, moraris
Rector, ait, cur me per tanta ])ericula vectum
Sistis, inexpletoque obices opponis amori?
Dixerat, bumanisque iterum succumbere curis
Visa caro, tristes agitant pra^cordia motus,
Necdum sccuro gressn vesligia ponit.
Ha'c inter dubia' mentis certamina totam
Noctem orat, socios altus sopor urget inertes,
Quos decuit vigiles oraiili impendere curas.
Heu pavidtc mentes, si nec cœlestia tangunt.
( ' ) Liiez pngnii'.
:VM (KUVHES !)!•: FERMAT.- APFEMt ICK.
Nof vera; virtutis honos, hoc minière salterii
Defiingi jiirata lides, jiissiim(|iie inagisiri
Delmit iina sequi; sed jam strcpit uiid'Kjue iiuiriniir,
Va scgni tenebras abriimpunt luinine ta^U';
Qui) se cuinque ferct, jam vis iiiimica propinquat,
Ficta((iio adorantis species, verique dolores
Non pi'ocul. Infausti tandem sul) pondère ligni
Déficit, affixiis({ue crnci, jam verhera passus,
.lani spinas, laceros spargens lormenla per ai'tns
Nempe urgehal amor, nostrfeque ciipido salutis,
Humanam egressus sbrteni, mortiqne tremendus
Dnm (ieret morti propior, fremitiis(|ue, minas([ue.
Va conjuratie sperncns convicia tiirl);e.
Degeneri vitam populo pacemque precatur,
Nec, quas ipse lulil p(enas, tortoribus optât.
Kt jam tuiis erat, violata(iue pcctora puri
Mui'icis undanles spargebant undique rivos.
Née tamen imbelli subiit fata ultima mente;
Ouin magis assurgens. divina(|ne iumina, Vjv\o
Sic propior, vocemcjue sonoram ad sydera toUens,
Summe Deus, quid me moribundum deseris, et jam
Semianimem, populique tuO(|ue l'urore l'atigas?
Sat tibi, sat mun(b_> dedimiis, tinitacjue dudum
Singida pra^scriptas liabuere oiaciila nietas.
Sic l'atur moriens, elataque Iumina rursùm
Figitluimi, nec jam Cœlum spectare facultas
lilbi datur, ecciderc animi, marcentiaque ora
.Elhereo vocem extremam fudere païen ti :
Hane tibi, summe parens, animam commeii(b), nec ullra
l'i'osiliit, vitam(|ue simul cum voce relicjuil.
llaud secùs cxtremo videas spiramine lyclinuiu
Ingentem nisu valido producere lucem.
Et sursùm datas, iterum subsiderc flammas,
CIHUSTUS MOUIENS. .m
Douce aniielanti siiiiilem cii'cumfhuis liuinor
Descrit, et deiis;e siibeunt fuliginis iiiidie.
Del)ilis intcreà visa est scintilla pcr ambras
Semiaiiimes atris niisccre vaporihiis ignés,
Deficiunt tandem etvano conaminc sursiim
Evecti, îeternis noctis condunlur in umbris.
Nec tamen xHernne claudent Ina Ininina nocles,
Nale Deo, vcram rcferetlux terlia lucem.
Kl majora dabit renovato Inmina mundo.
Qu6 me, qno, Balzace, rapis? jnvat ire peraltnm
Exempio qnocùnquc tuo me musa vocaiit,
lilxiguo sine te vix sudectura labori ;
Scilicet optati venient tanto Ausi)icc versus.
Et quo Pierij Irueris super ardua montis
Kditus, boc olini forsan potietur honore
Balzaeo proies non inficianda parenti.
Fermai — I.
v.iï (i:uviîi:s dI' i kumat. - uuM'Nuick.
Mil.
NOTES CRITIQUES
SIR LES
HARMONIQUES DE MANUEL BUYENNE <•).
I.
NOTATA Ql'.i;!)AM Al) MaNUIXEM BltVENNIUM.
Iii lihro primo, capite rrîcl 'y^jn-r^u-y-o:, loro lior'iim verboi'uni : twv
T.z'.v Ti y.y.l Vvj 7.zi'j.u.y.-.on , \c"itn(\um : -rovtov -vj-.t xaî 5'jo Xîijj.av.-
In lil)ro "2", pai;'. 2" : xal i'joocoô-.r-.zz, Ipi^eiuluiii : xal ai crooocc-
( ' ) Maïuiscrit t;rc(.' 2100 de l.i Bibliothèque iiiiliui\:il(!. (Aipiù ;ui xvi' siècle, sur i)a|)icr.
(lo xiH fi'uilluU, in-folio, Cl relié en veau l.uue. Ce volume, après avoir apparlcnu à
rarclievêtjue lie Toulouse, Cliarles do Monlclial (-1- iGîi), dans la bibliotlièipie diuiucl il
poi'Uiil le u" xr.iv, puis sans lioule au surinlendaiil l''ouc(iuel ol à Anl. l'aurc. passa dans
la collection de l'arclievèipie de lîeinis. Le Tellier, (pii le donna au Roi avec ses autres
nianuscrils en i ;()(). On v tro'ue lo rcciod suivant des auteurs i;recs ([ui ont traité de
la Musique :
.tlypii i^fii^oi^c i/iusira (IdI. i*"); — OniidciUii isngoi^c Itnititonlca (fol. iV"); - Anonjrmi
itpnscnlum de le rnnsica : 'l'-jOtto; (r-jviTTTjXSv . . . (fol. 3Î); — Pmcchi seitturis isai^oge mnsifa
(fui. 32); — Ànoiiymi isago^e miisica : 'l'/; [lO-JTlxr, ■zi/yr,... (lui. oG); — Enclidis isagoge har-
mo/iicu et scetio initsiei ennonis (fol. '|o) ; — T/teonis Vlaiontei sumimi et conspcctui totius mttsicfr
(fol. 5o); — l'a/i/Ji ej-cerpla de re musiea (fol. 5j'°) ; — Ariltoxeni liarmonleonim elemciitoruiii
libri m (fol. 5S); — NU-umaclii Geiasciii harmoniecs enchiridion, liliii II (fol. >i>) : — .-Irlsti-
dit Quinlitiani de miisiea libri lit ( f'I. 97); — Jlniiiieli.t flneiiini liarmonironini lilii'i 1 rt II
(fol. |'|J ài -202 ).
Les noies aulogniplies de l'ermal, dont nous devons la décou\erte à .M. Henri Onionl,
sous-bibliothécaire au département des Manuscrits, forment un petit cahier de papier, in-4°
( loi. 20Î à 218 ), relié à la fin du manuscrit; seuls les fol. -200, -joS à '.14 et aifi à mS sont
écrils.
(•-) Ms.. (h. VI, loi. i38, I. rS; édition Wallis (Oxford, il'.yij, f" 1, p. 3S3, I. uU.
(^ ) Ms., (h. 1, In! i(r.>."", I. 10; éd. p. jr)|, I. il.
NOTES sur, MANUJ'L IMtYENNi:.
iJO.)
i~î Ttvo^ ôpyâvou Ttov èvTauTcùv, xal o Aoiûôç xaTa Tiva ol/.iiÔTrjTa "/.al cï'ja-
-y.Oziav (juv^ytr (' ). llœc vcrl)a vidf^iitiir ;ul vcrljiiin (li;sci'i[it;i ex ffiit;-
iiîcnto Tlieonis, pai^. 3^ (-). Ihi, loco horum veiboniiii : opyj.vou twv
âvrauTûv, logidir in inanuscripto : tojv èv ':o'jto'.ç, sud iiiaiiil'csliiiu in
iilroquc est nicnihun; Ici^cnduni twv ÈviaTôiv. Rssc; luiini Iria insliii-
nicnlorum goncra apiid votcrcs rniisicos nodiin, (|nM' ISiclioniaclins in
l']ncIiiridio -vEup-arty-à hr.a.'h. et xpoua":à appcllat. 'l^v-a-c-Jv vtTo, sivc
quae cliordis tensis constant, lucc est proprietas (juain iioc locn indical
IJrvenniiis, ut unà ex dnalnis chordis consonanlihns pulsatà, alteia
statim occulta quàdam syuipaîhià resonet.
Pag. /j^ : Ta yào èvvîa où/ olov te oiaipsOriVai ci; icra ( ^ ).Tonuni Ijifariani
dividi non possc utprobet, liane rationeni sultdil. Maie. Non eniin (|uia
nunierus 9 in duas œquales partes dividi non polcsl, iden tonus seu
pi'oportio sesquioetava bifariani dividi non polesl. AnI igitur erravil
Bryennius, ant (quod proi)al)ilius est) sunl lia'c verlta glossenia seioli
cujusdam, qu* e inargine in textuni irrepserunt. >'eia eniin ratio liujus
impossihilitatis tani in ratione sesquioetava quani in lelicpiis superpar-
licularihus luec est, (|uoniam inter duos niuneros unitale distantes non
cadit incdius proportionaiis neque in inlegris, qnod per se patel,
neque in (Vactis, eujus propositionis denionstratio est in proclivi.
l'ag. 5-', lin. ")', lin.: xal â-ôyooov xal i-frrîvTîy.aioé/.a-ov, legenduin :
ÈTCoyooov xal i-iévvaTov ( '').
Pag. 7-', in lig. r', loco ultinii nunieri ^0, legenduni ^y (")• '"^*<^ ^'^^
()'^, non (M\.
Pag. 8'\ in r'' tig. C"'). Omnes nunieri tetraeliorduni consliluentes sunl
corrupti, aut niale hue e\ 2-' tig. ejnsdem jiagiiue Iranslali. lia auleiii
I ') .Ms., //;/(/., 1. 17; (■■,(!. p. Sy/i, I. -^.j [cd. -/.a!: ç.ii()|irimo uvaiit <!j[,'.niO:'.av).
(2) Ms., fol. 'il, I. G: ('(1. lioiiilluii, r(>,l J. iii-i". |i. So, 1. \i.
(3) Ms., fui. \{\V\ I. ■«i; i'(i. p. 3;)0, I. i !.
{'') Ms., fol. i{)4, 1. J ilii bus; vu. p. 397. I. 18 du lias.
(•■) Ms., fol. lO"); «I. p. 3(j9.
('■) Ms., fol. iGS'"; cd. p. .^oo.
39C (EUVRES DE FERMAT.- APPENDICE.
se liabeiit : ■:;■/], t^, tuly], loq, quorum loco substitui debent sequentcs :
G"n, cro, (TV|i, cri, hoc est : 280, 270, 252, 210.
(lorrigendi et numcri proportionum conslitutivi , quos in vertieo
Hgui'œ ita scriptes vides : i~i aÇ, èui to, irÀ 'C, legendum horum loco :
ir.l •/."(, i~l to, i~\ ' {' )■
In 2^ figura tertius numcrus finalis débet corrigi, et loco tjxy], legen-
dum T[J.Ï.
Pag. io\ ul)i scribitur aocovoi -q-zoï xaxôç/covot -/.al £[jLui.eX£Fç, legendum
ixij.t'kiîç, aut rjjxtkiïç (-), ut constet sensus.
Pag. 12". 'AXa' oùToi 0"?] [i.6vot ot TCcVTsxatSExa ÈTiiuLopioi Xoyoi tialv èç
à-navToç toO tojv £ui[;.optwv Xoywv iiXrjOou;* ot auvipeiç ircoç ii.X'ki]koiç
auvaiiTOiJi.Évoi, oûvavTai tov ÈTirtTpiTov àuciTcXav 'koyoy/, xal oùolve? ixXko'.
T.T.^'y. toutou; èv oùO£[i.iâ a-/]-/avYi toOto -oi£rv SuvavTat ('■'). Non possun»
Iioc loco dissimulare Bryennii errorem audacter nimis et confidonter
asserentis nullas alias in omni superparticularium multitudine invc-
niri rationes praeter quindecim ab eo superius assignatas, quarum très
siiiuii sumptse sesquitertiam componant. Ab eo supra allatge pag. 3'''
liuJMS libri sunt sesquiquarta, sesquiquinta , sesquisexta, sesqui-
septima, sesquioctava, sesquinona, sesquidecima, sesqulundecima.
sesquidecima quarta, sesquidecima quinta, sesquivigesinia, sesquivi-
gesima prima, sesquivigesinia tertia, sesquivigesinia septima, et ses-
(|uiquadragesima quinta, quas proposito dumtaxat satisfacere affirmât.
Contrarium facillime probamus. Ecce enim sesquiducentesimani quin-
quagesimam quintam, qua^ lios (juatuor termines dabit
206 255 2/^0 192.
Ex quibus fiunt très proportiones superparticulares, nempe sesqui-
ducentesima quinquagesinia quinta, sesquidecima sexta et sesqui-
quarta, quœ simul junctaî sesquitertiœ a^quantur contra mentem au-
ihoris, imb et infra termines ab eo allâtes alia; inveniuntur. Nani ex
, (') Dans ces expressions, le mot im ne devrait pas porter l'accent grave.
(') Ms., fol. iGC, 1. 10 du bas; éd. p. ^01, 1. 16 (iv.\).{kv.i).
(3) Ms., cil. Il, fol. 1C7", 1. 16; éd. p. 4o3; 1. 8 du bas.
NOTES SUR MANUEL BUYENNE. 397
scsquidecimà Icrlià, sesquiduodecimâ et sesquiseptimâ simul junctis
conflatur sesquitertia; item ex sesquidecimâ nonà, scsquidecimà oc-
tavâ et sesquiquintâ etc. Cui speculationi pulcherrimum problenia
siibjungeremus, si per otium liceret : Nempe data qualibet proportione
superparticulari invenire quot niodis in très proportiones superparti-
culares dividi possit, aut generalius, quot niodis in datum proportio-
num superparticulariuin nunieruiii dividi possit, verbi gratià, quot
modis proportio sesquioctava in decem proportiones superparticulares
dividi possit. Proponatur, si placet, boc problema solvendum omnibus
hujus aivi matbematicis. Ejus certe notitiam vcteres et musicos et ma-
tbematicos latuisse vcrisimile est, cum Bryennium alioquin peritissi-
mum et exactissimum fugerit.
In cap. lo", pag. 2", in numeris versas figurœ verticem atramento
depictis. loco x, legendum vj, boc est 8, non 20 ('). Hi enim numeri
sunt difTerentiic numerorum qui proportiones constituant et qui or-
dine restitui debent versus figurse finem, nempe (jxo, cti;, piiO, phq.
Pag. 4", decst quartus numerus in verticc tigurte, nempe post très
y.zu.^, ,v-nL^c,, ,oi.p'ko, ponendus quarto loco ar^, boc est 1008.
Media proportio nialè exprimitur in vertico, nam non âul -/( legen-
dum, sed ÈTt'. C simpliciter, boc est sesquiseptimâ, non sesquivigesima
septima.
In numeris atramento depictis loco primi numeri -S, legendum et
reponendum ut in reliquis pt[3 (^).
In eadcm pagina, ubi legitur : y] Si iiapuTiâT'r] -àXiv touto'j okxzôvo'j
ofxaAoù ysvouç crijvTOvoj-épa in-À tt^; -apuTiaT"/); toO ixa^axoCi bnowj
£Tit£ixoa-T£So6[i.t]j XoYw ly^TTa, legendum èii'. âwà-w xat SexaTto Aiyto
£YYtaTa(^).
In numeris proportionnai dill'erentias cxprimentibus qui a vertice
(') Ms , cil. X, fol. 183'"; érl. p. l^^\.
(-) Ms., fol. iS/,"; éd. p. 433.
(^) Ms., ihid., I. 12 (niw Toù Siatovou); éd. p. .■133, 1. 9 du bas (toO Staiovou. . . . hxi'm
Yi'vou;). W'allis a d'ailleurs corrigé è;ïi;vv;a/.a'.5£xâ-:t.).
.■508 (i:lvui-:s dI' fei'.mat. - appendice.
Iijj,uia' versus tinom sive y.atà n-J.yjUt, lit (jraH'i loqiuintiir, prolrinluii-
tur, loco irX 0, legenduin i-\ tO, hoc est 19, non 9 (')■
In scqiieiile figura désuni duo numeri parhypaten et lichanon svn-
loni (liatoni expriinontes, (jui sont ,a7; et .ap"/-, hoc est i2()o cl
1 120 (-).
Ivuli'in pagina ')\ lin. G\ uhi legitur i-\ Toiaxo^Tw Aoyw h^^^ii-.y. ,
(Iclenda vox È'yY^^"^' 'i''" *"' inrcrius càdem pagina ('), uhi (h- eâ(h'iii
propnrtione fit incutio. Accurata enim est proportio 30. ad ,'!'). ad
dilfei'entiam parhvpates prioris et poslerioris Ictraehordi cxprinien-
ihuii.
Hue usijue provccti, oiiines fere figuras corruptas euiii cernereuuis
iisque ad tinem lihri, proclivius duximus errores oh oculos ponere
eommunis figurœ henelicio, ne aliter ohscurior esset glossa (luniii
lextus.
Ouîe itcratâ lectione visa suiil euiendaiida iiic apposuiuuis.
Lihro i", cap. 1", pag. V', lineà ultiinâ, ni)i in manusci'ipto legitur
vM -à -7.0r) Twv oucjIxwv ci; wv YtyvovTai, legenduiii : ciocov ^'b^vyj-
-ai(').
Pag. :V, lin. 21''', TO'j aiv à-i toO rjU.toAto'j, legendiiin : toO
Cap. 2°, lin. iS\ TTîcl to'j rjpu.OTjj.ïvo'j r;y.o\v û, legenduni : aacpr,-
vîtav (•■■).
(^ap. 3", pag. 2", lin. 11^, xai -âvTî; tÔv to'jtov oaivs|j.£vov -otav,
oùxi-ri 'kiyivj oaTt, àAA' aoîiv, corrige : xal -àvTî; Toô; toOto oatvo|X£-
vo'jç -oiîrv (' ).
( I ) /'oir noie a, p. ■)g7.
(») Ms., fol. i83: éd. p. .i3i.
(') Ms., ihid., 1. G ('«V. Tp'.azoanô ;:£(j.;:u.) ) : éfl. p. /f'Jl, I- I9 ( Tpia/.0(5T0-s;ir:T(;i ;; cf. ms.,
/A/rf., I. 6 du bas, el éd. I. 3 du bas. - L'omission de nc'a-T';., dans le lc\to de l'enna!.
est duo à une simple inadvertance.
(') Ms., cil. I, fol. 147, 1. iilt. ; éd. p. 3G3, 1. 1 ,.
(5) Ms., fol. 147", 1. 21; éd. p. 364, )■ 5.
(«) Ms., cil. II, fol. 149'°, 1. 1-^; éd. p. 367, 1. ■) du bas. I.e ins. porte : ■;ofjr;v:t''( = aaoT;v:'.av).
(") Ms., cil. III, fol. 1.54, I. Il (iiis. cl (•■(/. oxih): éd. p. 37O. 1. 3 ( xov toOto oa'.vo'iiavov ).
NOTES SUR MANUEL HHYENNE. 3!)!»
(^;i|i. ''i", pag. iilL, iiii. iV, oiâocuvot aîv cttj'.v oO u:r^v oi xal £ij.L;.î"Aîiç,
lÎKSTITUTIO l'l(;i;ilAliUH I.IUIII 2' Al'UI) MaNL'ELKM HltVKNNIUM.
;l' Icti'uchoi'doiiim simt aiil simplicos aiit composila" ( - ).
coiistriiclio aiil icsliliUio est in pi(»m|)tu; composilas ila
«
îliihilà consliMiclioiio et ad caiii rcluiuis accoinnioilalis.
l"'i[;. iji ( b'igui'ii ulliiiia, cap. tj).
o
pliciuiii
lues, a(
Siiii-
icsli-
i*;s((.
iL.;iliir lij;ui'a iilliiiia capilis <)', qua' pcr cliaiactcics i^riucos l'I lalirui
(li'iiotaliir, et xotvoO oiaY^i^-lJ-y-y-TOÇ vicciii i^cril.
(I) Ms., eh. IV, l'il. iJG'", I. li; cti.p. 38o, I. 4 du bas.
(■•') Les tûlriicliordes i;rocs coinprcimoiU qualro cordes ilùsii^uées k-i, dans I urdic di
loii^uciii' décroissant, par les noms A'Inpntc, par/npnlc, lirlinnux, nelc. Les cxlrènies soiil.
Iinijoiii'sdans le rapport de j à i, mais les r.ipitorts inlermcdiaircs \arientSMi\ant les iienre-.
Manuel Itrvenne eoniiait linit i;cnres. pour lesipicls les trois rapjiorts inti'rmédiaire»
rm ŒUVRES DE FERMAT.— APPENDICE.
Ita nempe emendari et recte construi débet.
Supra scmicirculum ABC hœc veiba poiii debent : y.oivôv TSTpà/op-
oo\i Toù âiaTovou bixoikoîi xal toù œuvtovou SiaTÔvou y£vou;.
In reetà y]£ : â-l u.
In rectâ s/^: i~\ -q.
\n recta /g' : ètiI 0.
In rectâ op : i-\ ta.
In rcclÀ pq : iul i.
In rectâ qy : It:\ 0.
In Z :{ç.
In /? : 4.
InM.-z.
In A': 0^.
In c : ç.
In 'j : t.
In ^ : Y).
successifs, en allant de Y/iypate i'i la «e/e (rapports dont le produit doit faire J), sont
consignés dans le Tableau ci-dessous :
I. Dltonien (o'.Tov.aîov) -j-fj x -, x l
II. Syntone diatone (aûv-ovov S'.ccTovov) H ^ ï -*^ V
III. Diatone égal (oiitTOvov ofiaXdv) ff x fj x ^
IV. Mol tendu (jiaXaxov ËvTovov) f ? >î 7 ^ »
V. Mol diatone ( fiaXa/ov Siôtovov) lo x V' >< f
VI. Chromatique synlone (ypù|xa aJvTovov) ït ^ ff >< I
VII. Chromatique mol (-/po)|jLa |iaXa/.dv) f' x jv X §
VIII. Enharnioni(|He (Èvaprxo'vLov) f| x f| x v
Les figures simples donnent en nombres entiers les longueurs dos cordes de cliaqiie
genre; Fermât a déjà plus haut indi(]iic des corrections pour les figures simples sui-
vantes :
Kol. iG5. Mol diatone. - Fol. idy, fî^. 1. Chromatique mol. — Ihul., f!^. -i. Euhar-
monlque. — Fol. 183"". Mol tendu.
Les figures composées donnent en noml)rcs entiers les longueurs des cordes de deux
genres comparés l'un à l'autre. Fermât a déjà touché plus haut (fol. 184'°) la comparaison
du mol tendu et du diatone égal et (fol. i85) celle du mol tendu et du tj/itone diatone.
11 reprend maintenant l'oxposé du système de ses corrections sur la première figure com-
posée de Manuel Bryenne {.syntone diatone et diatone égal) et sur la suivante (mol tendu
et diatone égal), qu'il avait déjà corrigée.
NOTKS SLII! MANIKI. IJlUKNNli. 401
In//:-ri.
in /:-.
In - : Y).
Inp:-^.
In a : Tj.
In rectà ov : irÀ ijlo.
In rectâ Y^ niliil in liàc tiLçnr;i [)oni dclx'l (jnia liclnmos diatoni ;i'(|ua-
lis (■( liclianos diatoni syntoni sunt a'(|nales.
Figura ?y' capilis lo' (').
Supra semicirculuni AliC, /.oivôv Tî'rpàyopoov -.oO aaAaxoO àvTÔvoii
yivj'jç xat ToO oiaTÔvo'j oaaAoO.
In rcclà r^z : izÀ •/.'(.
In rectà zf:
i-U.
In rectà /^'- :
i-lï).
In reetà <>/) :
izl ta.
In rectà pq :
ir.l i.
In rectà qy :
é-lO.
In Z : aiao.
1 l
In // : y.aLç.
In i)/ : .apAo.
In A': ar,.
In T : u.-/].
In 'j : p?^.
In cp : px;.
In//: aaXp.
In / : ,apx.
In- : pi!i.
In p : ptp.
In (7 : ptp.
In rectà ov : î-i tO.
In rectà yp : â-l ?:.
I ') Voir plus haut, page V)-, iiulo 2.
l'IllMVT. — I.
102 (J'IIVHKS l)i: lEHMVT. - VFI'KN DICE.
Kadciii mclliodo in reliquis [(rocodeimis. scd, ne tiyiiraiii inlci;r;iiii
consdiicrc cogaiiuir, dciiicfiis cnata (aiiliiii) iiidical)inuis et reslifiic-
iiiiis, aiit (|ii;v desiint supplohimiis. Oiiod iit coniniodius liât, scicii-
diini perpétua et iinilormi inotliodo (|iiid valcaiil aiit indicent siniiiili
characteres.
Recta' ■/]£, zf, /i,-- dénotant proporliones chordarurn nnins ex teda-
ehordis.
(^Iiaracteres /, l\. M, A' dénotant terniiiios liai'uin pcoportionuiii.
(characteres T, 'j, ci diirercntias horniii (erminormn.
Uecta' ()/), pq, qy proporliones chordarnni alterins ex (elradiordis.
(]liaracteres Z, //, /, A' terniinos liai'iim pi'oportionuni ; piininni
qnippe et iiltiinuin terminnni dno t(Mraeliot(la eomnmnein liahent.
(iliaracleres -, p, 7 dilFerenlias liornni terininornin.
Denique recta ov indicat proportionein |)arliypates piioris el poste-
rioris tetracliordi.
Va recta Y^ proporliones liypates ( ' ) pr'ioris et poslei'ioris tetra-
cliordi.
In V iigiii'a ejiisdem capitis (-) desiint dno nnmeri i(a snpplendi :
In // : y.'Ji.
In/:,ap/..
In '.]" tigurà cap. 1 1', ila corrige (^) :
In reclà rjî : jttI /..
In /|-' lignrà ejiisdeni capitis, ila corrige ( ' ) :
N II ni cru s K : tvjÏ.
Desnnt niuneri //et /, ita snpplendi :
In //: Tic.
In /: 1-.
( ' ) Livcz licluiiii au lien tic livpales.
(■-) Mol iciidu et syiiiimc diatonc. f'oir plus liaul, p. (ij.s. noiu ■>..
(•') Mol didlo/ir et dialdiic c\'nl.
( '•) Mol diiiliiiii- cl \) /ifiiiic dialDiic.
NOTKS S III! M A Ml KL 15 H V KN NK. W.\
Figura y' ita reslitiii ilclx't, imu riiplissima cniiu es! in iiiaiiii-
scripto ( ' ) :
In rcctâ r^i : i~\ /..
In rectà tf : ir.i 0.
In roctà fi^' : ir.l 'C.
in rectà (>/> : ir.l /.C.
In rcdâ pr/ : i-\ 'Ç.
In rectà f/y : i-\ r^.
In/: -/_o,3.
In /l : /[JL.
In .1/ : oo;.
In A' : 00.
In//: y [xr] .
ln/:9rC.
in- :Xp.
In -j : ^J.
in o : o[i.
1 ^
In - : 7.0.
In p : Tia.
In ^ : ^Y.
In reclà Sv : i-1 -.
In rectà yj'i : £7:1. ^y.
In ligura 3' cap. 12', desniilaut corrnpti snnl t<!rniini pr()p((rliununi
ita supplendi (-) :
in / : ilù.
In II : Tt^.
\\\M : TAa.
( ' ) Mol dialoiic et nml tendu .
(-) Chromatique yntoiic cl diciloiic ci^td. I);iiis cello ù'^urc cl il, 111s l,i sui\aiilc, Mnimcl
liryeiino avait pris, pour les cordes du j,'eiire c/iro/iiiiiujur \)iii(iiu\ les lonpiiciir.s : >HS,
■>.-'], 25-.'., 21G, (Iniil la seconde est seideiiiçiil approchée, cl prise an lieo de }.-\ -]-", lon-
gueur tlicoriqiio.
hOh <KUVIU:S DE l'F.ltMAT. ~ MM'KNDICE.
In//: T^Ji.
In / : '77..
Kmendantko etiam lionim dillcrontia' :
In - : i[i.
In 'j : 7.7..
In '^ : Ay.
In - : G : o( 7 : rpponcndnni //:} ; snnt cnitn lia- très dillorontia'
a'qiialos.
In figura 'i'' ejusdoin capitis (') eàdoni opus est cnii-ndiitinnc :
In Z : C/xr,.
In /l : "Jj.
Tn .1/ : 'jV;i-
In/v'rT^ç.
In //: 'j{t.
In / : 'jij..
Siniilitcr :
In -: : xo.
In 'j : ujii.
I r
In cp : ;ç.
In 7: : A7.
In p : v£.
In T : U.O.
In tigurà S'" ejusdiMn cap. ita cori'igtMidnrn csl (-) :
In // : ,|iTv^.
(' ) C/iroinaliijiir syiitoiic cl syntmic dialDiic.
I ' ) Clirniiiatiqur \tiii(i/ic cl iiiiil li-ndti. Miinucl Brvennc avait pris pour les rordes du
unit iciiiln los longueurs : 70,, ('179, m|J. v>S. Ln sccoiujp n'est (|u'appriii'liL'0, au Wcw ilc
Ci-S -.
N()Ti:s siiii manui-:l bkyknm:. wô
In.lA:,!3pv?.
lu A' : yMar^. iB'jS.
lu //: ,^TOç.
In / : ,|ioO.
lnT:p..^.
In 'j : p4;.
in c- : TT.
In - : 7TY).
In p : <C.
In '7 : fjAa.
In l't'ctà ov : iiz\ ^rj. Scd (;( in l(!\tu, cfiili'ni pai^'inà, lin. ^r', loco ir.'.-
zvvvnf/.oi'oiy.-M, repoiicndnin âz'.îvvîvrjxo^TOoyûico. liadciii cnicndalio
in lin. 22" ejiisdeni pagin;i' tirri dclx'l.
In iignra (i' ojnsdcni capitis, corriiic (') :
In n : 7.'\>lo.
In A' : ,7.':-;.
In//: a^c.
In - : rcrj.
In li^nrà i" caji. i3 (") :
In roL'tà op : £-'.£v§£/.aToç.
In tignrà /i'' cjusdcin cap. ila coirigcndnin ( ' ) :
in / : ,ay-.
\n /t : ,'yyy--
in M : ,a^tfi.
In A' : ,7.7^.
In // : .a^oî.
in / : a'j.
( ' ) Cliriiiiinliqiic \) /iloiic ot /«"/ (linluiK-.
(■■') Clirointilniiic mol et dintiim: Cj^nl.
(■') ('liriiiiKttiijiin mol cl .lyntniic ili/ilaiir. .M.iiun'l UryciiiiL' avail pris, puiii' l(s cordes
ilii c/iromaliijiic mol, les luiigueiirs : jSd, ilV! (iiii lieu île 'fi\>. f ), 4>'- -^''i'-
/i06 <i;iIVI{i:S l)K Fi:i{M\T. - M'I'KMtlCE.
In z : l
In 'j : p-q.
In o : Tvfi.
Inz : zt.
In p : poî.
In T : pijL.
Hâdem pagina, lin. cf, dolenda vox lyV'-''"-^' *^' «"tiiini in lin. ponult.
In fig. 5" ojnsdcm cap. ( ' ) :
In A" : ,a/z.
In o : tAç.
In fig. ()" ojnsdcm cap. ('- ) :
\n A: TU.
In //: u.
In/:T;.
In tig. 7'' cjnsdcm cap. ( ' ) :
In rpclâ ■/]£ : irA y.Ç.
In o : c/xoar,.
In figura ^î" cap. t 'i (") :
ln//:,aip.
In 7 : xo.
In tig. 4' ejusdem cap. ( ' ) :
In l'cctà op : i-l u.
In rectà pq : irÀ ■/].
In / : aoo.
I 11 A' : coxï] .
( ') Ctiriiiniitiqiie mol et mol tciithi .
( - ) Chromaliquc mol et mol diiitoiir.
(■') Chromai Kjiiv mol ci clirniiKiliqur oiitniif.
['') EnhnrmoiiKjitc ol diiiloiic Ci;nl.
( •■ ) EiilutniioiiKiuc et ,f i nlonc dintonc.
NOTES suit MANUI'L lîllYENNE. 407
lii // : ,aAc.
lu / : TDx.
In T : xo.
IriTT : 10.
in p : pic.
In lignrà 5" cjusdeni cap., ita cunigc (') :
In Z:,3pv?.
in /,': za.
In .1/ : ,ow"à.
in Vi' : ,yco;û.
in //: />j;y].
In / : ,o~u.L.
in . : p.p.
In u : ■Ji.
In o : ■Tî?;;.
in - : p-G.
In p : /xa.
in a- : uzy.
In figura ()" ejusdcni cap. (-) :
\n-:pi:q.
In u : T'.£.
\n (^ji : ,au[j.O.
In - : T^v].
In figura 7' ejiisdcin cap. (^) :
In rcclà r/y : âTitcXToç.
lnZ:,Yi4;.
In /f : /(Tyx.
(') lùih(irinoiii<iiie ol /ho/ iciidu. .Noiiibii).-; ili' Itryciuio [luiir k'S iiudcs ili; \'fii/uiniio-
iiii/ttc : I79'2, 173! ( jj nij.i^ligo), iliSc). 1 i'ii.
(-) /iii/iarinniiique ot iiml dinliuic.
(') En/iarmo/ii(jiu; o[ c/ironiatiijiir ■;yiiti>ni-.
/,08 (i:iIVI{i:S l»K FKIUIAT. - AIM'ENUICE.
In .1/: /Ccp^.
In - : T^rj.
In figura iillima cjusdcni cap.
ita oorrigendum (') :
In Z : a,j5co-.
In // : a,!^-/.
In M: a,po£.
In K: ,()yl.
In//: a/^'jy..
In/:a,a94['i.
In T : Tû.
In 'j : ov.t.
In o : ,[iutx.
In - : -j;.
In C : coxT,.
In n : y/PiX^.
rallitur Bi'vennins lincà i" luijus pagina*; nl)i onini scribil, ir.izÇoo-
[jLYjXOo-rw AÔyco, (Miicndanduin ir.itlr^y.o'j-ozvvy-u). I^adeni oniendatio et
in lincà antoponultimâ ojusdom rapitis ficri dchol (-). ld(M)([np in
rectà
Gv : reponenduni i-ï ^0.
Proportio cnini cnmposita ex sosqnivigosimà torlià et sc'S(|uiquai"(à
superat conipositani ex scsqnidecimâ quartà et sesquiqninlà, non pro-
poi'tione sesquiseptnagesimà, ut viill iiic aiifiior, sed sesquisexagcsimà
nonà.
In figura 3', cap. ni t. ( ') :
\nH:'^û.
In rcclà Yi^ '■ i~<.o^oo-i]xo'y-.6^.
(') £ii/iari/ii)iiitjuc Ql c/iroiniiln/iic mol. Les noiiilircs Je llrvcMiio soiil triples ilo l'Ciix
i]c Fermât.
("-) Ms., fol. 197", 1. I et iij; éil. p. \j-, 1. >',. et p. ^")8, I. i.
I ^) Ditomcn et ilifiloiic c'^nt.
NOTES SIIH MANUKL IIUVENNK. km
In tii^uià V i'jii^il'''i' '-■''P- {')'•
In rectà c/'/_ : âTiiévvaTo;.
In roctâ ov : £TTOYOOY]7.oa--6ç.
In - : [xq.
In p : -.
In T : :o.
In figura 5-' cjusdcni cap. (-) :
In l'oclà /i^ : i-'.ô-'^'O'jo:;.
In Z : ,a}i[i.
In // : ^av};xr|.
In .1/ : ,7-9'.^.
In A' : ^a-:ao.
In // : ,a];a.
In / : /y.Gi^l
In T : :ci.
In u : C7i;.
In o : pbq.
In - : (a.
In p : p-0.
In a : pçY).
In figura 6'' ejnsdom cap. (') :
In // : zzv..
In T. : 'joy.
In (i"\tn luijus paginic, lin. 12, ioco veibi iziTpia/.OTToj. Icgonduni ;
ÈTTi'rpia/.o^jio'j'rw ( ').
In figura 7" cjusdein cap. (') :
In A': ,|3pt[i.
( ' ) Dilimicn cl yjiito/ic diatimc.
('') Mi>l tendu cl ditonieii. Les iiombic^ ilo lirvoiiiu' sojU scxUiplcs.
I ^) yl/o/ diatoiw el ditdideii.
{'') .Ms., fol. 9.00™, 1. i>; cil. |i. ji;;, I. ,s.
(5) C/iri)iii(itiijiw synloHC cl ditoiiicn.
l'I.nMAT. — I. ■)'(
MO ŒtIVUES DE FEKMAT. - AI'PENDICE.
In c : px/j.
In u : (Txo.
In o : z'/^.
In p : C7^C.
In figura S^'cjusdcni cap. ( ' ) :
In // : ,Y19£.
In / : ro^.
In - : Tx.
In 7 : co|j..
Ili liàc pagina, lin. i ', loco vt'rl)i è-uixo^TO-rpiTto, Itigendum i-ii^r^-
XOTTOTptTCO (-').
In figni'à nitinià cjusdcni capitis (' ) :
In //: ,£9710.
In / : ,o7î)Hy].
Possunt in his iiinnii)us liguiis notari fliani (liUd'cntiic tciinindiuni
/? et //, et toiniinornni M et / ox altcrà vidclicct parle reefariiin zp et
/(/. Quod in quibusdain figuris l'eeit antlior, iino videdii' in munihiis
locisse, quia intcgi';e ad nos non pervenerimt. Hoc aniern in liiinris ad-
jicere est in jii'nniptu.
Vidcdir eliam anthor snminani nninei'oi'iiin t. 'j, o, i-t snniniain nu-
niei'oruni tt, p, a, extra figurain e, regione ipsornm eollocasse, (|nod
ctiam in omnibus fiiruris restituere faeillinuini esl.
o
Figur;c simplices Iioruni eapituin (;x restitutis et eineiidalis snperius
capitis primi tiguris lacillime resfitnentur, ea'deni enirn sunt, (|uas
initio lioruni capitum autlior repetil.
(') C/iroiiiati(jiic' mol et ditoiiieii.
V-) Ms., fol. ïoi>", I. 1; cil. p. 11/5, I. M-
(■') Eitliarinoniqnc cl ditonicii.
VAIilANTES ET NOTES CRITIOUES.
VAlUAiMES ET NOTES ClUTIQUES.
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS.
{ Lct'ons (les farta =^ f'a, p.i^^cs i:; à '(3.)
I'. 3. ligne ri AppoUonium (aussi !)) !^ 10 Appulloiiiis
P. 4. S à 11 = Co (Cominandiii) fui. 1G2 l'oclo, ligne 8 en l'omonUuil, à loi. \(yi. verso,
ligne 2. La pouctiiaiion (le Co a clé conservée. * IjS spacium Cn. * 17 | Piioposrno 1. eu
vedette (^'«, i3). ik- 2:2. Les figures des Farta ne sont pas nnmoroléos; les renvois aux
figures ont été ajoutés au texte entre parenthèses.
1'. 5. 8 (|uanicun([uc
P. 6. G cuin (aiKsi llj, I l et 'i'i) nh !■'> | IL Proi-ositio. c/i vedetlei Ta, 1 J ) * :!IJ rec-
lang.
P. 7. Fi.^'. j. La ligure comporte une seconde droite marquée B.Vl) et menée par le
point A de l'antre cote de CE; de même, la ligne DE est double. * 3 cuni rk- dircctum|
(t/Diitez corapreliendcntes spalium datum {cf. p. 9, 8). * '■) | ;eipiale (fa, i3)
P. 8. C cundem *■ 10 cum >«- 27 VR]VI
P. 9. 7 cnui ((tusse 2'2) *■ 1 1 III. Piiui'ositio. c/i vcdetio
P. 10. C I liabft (fa, iG) * 7 Cum
P. 11. 2 priore] le renvoi est fait à la prop. \,fi^. >-. * sccunda]-;!. * 7 tum aprè'!
sensusjtam 4- D IV. Vwovo'ivwa. en vcdctic * 15 | ilescribatur (/«, 17) * 21 GEjGD
* propositionis] ]}ositionis
P. 12. 3 vol EV sub AB <- 7 cum it- 10 priore ]|)rima (le renvoi est fait à prop. 1..
fig. .i ) *■ 18 on voiulrait ajouter sed ut B.V ad AC, lia IIA ad GA ; eril igitur ut IIA ad GA.
ita Al) ad Al,
P. 13. 2 secundo ]■>,. if sccund.T] >.. *• posucramus]perscveramus * G Piiopositio V.
en vedette Hc 1 1 | punctum(/^Vv, 18 ) >*■ KEGjEFG * l,"i/l(> similes ergo triangidi * 17 Cum
* 21 occurrentc
P. i^. .") PiiorosiTlo VI. en vedette )<- !) | oui (l'a, nj)
P. 15. .") cum -k C secundoji. (au.tsi 1,'i) j*^ l'i VIL PnoposiTio. en vedette
P. 16. 7 I aio (fa, v.o) * 8 cum (auisi 10 et (lum 12) * il syntliesim * 20/21 pro-
cueatur * 21 Centro D] ajoutez, iutervallo IJE,
P. 17. :> cuiH it i VIII. Piuji'OsiTio. cn vedette * !) ductae >«- 10 | et (fa, ■i\)
Uik YAIUANTES ET NOTES CRITIQUES.
P. 18. 3 (icmi)nslmlis * i A cl B (à corriger) ik- 10 ul lijinll * li Apiiollonii
* 20 secunda]?-. * 21 interdum de] voir p. i, 9/10 * 22 prima] i.
1'. 19. 4 similitcr etc.] voir p. 4, !)/IO * 11/12= Cn. \Cyj.'\ 1. 4 à G * l(i cuin
* 18 I l'noposiTio. m. {ra, 23) * 19/21 = Co. iCi", 1. (i à 8 *• 23 Euclule, III, 3:5
* 2ri/27 = Co. iG-.).'", 1. 8 à 10 * 2.J spacii Co. *• positione cl magniludinc Ijasis
1'. 20. 1 Elemenl. = Eudide. 1, 40 * 4/6 = Co. 162", 1. 11 à 14 * 22 Su|per {fa,
•23) ■*: 24 eu m
P. 21. 2 ciim {nussi i) * Fi;;. iS. Les droites CN, FO ne sont pas tracées.
* 11/13 = Co. 162'°, 1. I I à 19 * 11 quodam omis
P. 22. 1 spc|cic (r«, 2n * 3 cum • 5 dimissis.
P. 23. 19 ra|tionem (f'n, 25)
P. 24. 4/8 = Co. 1G2", 1. 19 à 25 * 4 quolcumque Co. * 7 diiera Co. * reliquis
Co. rcliquâ fa. *• 10 VI] sextœ * Voir. ])oiir le renvoi à i'Isagoge dans la Note, la
])ago 93.
P. 25. 4 .4B, AC] AC, AB * Fig. 22. Les Farin donnent doux figures; dans la se-
conde, qui n'a pas été reproduite, toutes les lignes sont à l'intcrieur du triangle ABC, sur
les côtés duquel l'ordre des points est le suivant : ADULBKOVZIEA. * 18 cum (aii.^.n 19)
* 19/20 VE, MO] MO, VE
P. 26. 9 cum *• M |VE (/■-?/, 2G) * 20 perallelas * 24 porrigcndas
P. 27. 4/8 = Co. 1G2"', 1. 25 à 3o *- G spacium Co. * 7 œqualis sit Co. sit .Tqualis
fa. * 8 spacio Co. * 21 cùm * foir, pour le renvoi à Vhagogc dans la Noie, la
page 102.
P. 28. 4|ct [l'a. ■>.-) *■ Fig. 2Î. Les f'aria donnent deux figures différant seulement
par l'ordre des points : AB el GCDEF dans la première (supprimée); BA et DCEGF dans la
seconde. * 8 et 20 cùm
P. 29. {Fil, 28) * 3/3= Co. 162'°, I. 32 à dernière * 3 sunl Co. -h 4 sjiacio Co.
P. 30. 3 cùm * 12|Nam {Fa, '.g) * 16 per quartam secundi (Euclide, II, 4)
•*• Foir, pour le renvoi à Vhngoge dans la Note 2, la page 99.
P. 31. 3 AD quadrat. * 3/4 quartam propositionem 2' {Euclide, II, 4) * 9 datam]
dalum ■*• 19|NC(rfl. 3o) * 23/21 Co. (162"°, 1. dernière à iG3, I. i) a seulement : .u .uni
in proportione data vcl rcctœ lineœ vcl circumferentiœ ;
V. 32. 3 rectos * 7 ut U, quadratum ad S, et ita • 9 OVZJNOZ
P. 33. 3 id est H, quadratum ad S, quadratum. ita AN, quad. adVB, Quad. *- 9 {fa,
3i) * 10/11 = Co. iG3, 1. r ù 7. * 12 fit Co sit l'a. • 13 et om. Fa. * 14 contingere Co.
P. 34. 7 latitudinom rectam AP (« rorr/ijcr) * 17 | rectangulum {Fa, 32) * 21 .Mi
in BO] AB, in AO * 22 .Tqualur
P. 35. t rerectangulum * deficicns in figura * 10/12 = Co. iG3, 1. 7 à 10 * 11 ma-
jor Co. * 12 datam Co. datum Fa. * 13 BI]IB {à corriger)
VARIANTES ET NOTES CRITIQUES. 415
P. 36. ."iita|ut * 7 VNH (la prcinicre foi.i}\ NVQ * |Sc(J (Fn. J3) * 8 ciim
* Il sinl * l'J utriii([uo * 21 (Jatum
P. 37. 9/10 = Co. iG'i, 1. lo à i3 • i) (|iiotciiiii(iiic Co. qiiolciuiciuc fii. * 10 spacio
Co. Hr li|dico (f^a, 34) *• 20 ciiiii
i'. 38. 2 iilriiiquo {aimi 12 et 17) * 5 C.cnlro C JcciUro E (xiir la figure des Vnria.
te centre est cffcclwcinciU E) * G ('.A]EA *■ 7/8 candom * 10 ei 12 ciim
P. 39. i CE]AE * 81Si {P'a, 35) * 12 in i. a. et 3. (de iiiânc, i. 7. 1. sur les
fif^iires 3- c! 38)
P. 40. :t in r. * i in ?.. * 3 in 3 * 6 in i. et in >. figura * 7 c; 1 i et Ad utriniiuc
■*• 7 illinc]illi • li In 2. * 16 in 1. * 20 (|naciinqne * 21 (Tn, 30) * in i . fignra
P. 41. 1/2 sccunda et tcrlia * 3 In i. * CNjEN *• (i Al) (la première J'ois )\ Alt
* ol l'RIMVjl.
P. 42. ;; spallio {^rt. 37) * 8 .'Eiiuulnrl Ar-nclnr * 23At]nt
P. 43. li|ctail(r«, 3S) * l.^i DM]/), f. OM, IIM * i(,NM|l)N.\l * Fig. i 1 . Los ^«mc
donnent ici iruis figures ; la pretnièio a clé reproduite [ilus loin (//);. 4?,); elle est accom-
pagnée de la légende « AD4. pars Alt'i.+ E. « c. a. d. Al) = K'jiAB -t- AE); la sceondo
a pour légende « Al)4. pars .\lt ■+- E. » (/(.«■; encore .\E an lieu de E) et ne didére do la
troisième ( /7^'. Ji) (pi'en ce (pie le point H est entre le point E et lo point N de droite; la
légende de la troisième est « Al)4. pars AB + AE. » * 21 avpientnr
P. 44. 8 li.MjliM * 12 QJZ (sur la Jigiirc 43, la lettre Z est inscrite en dehors pou r
représenter le plan donne Z) -k l."iQI|ZI
P. 45. 1 QUJZK * .4 QO|ZO * (JR|Zli • (llphmo (Va. 3y) * lo cum * 2:;
utrinque * 28 secundo] 2. * 31 DV 1 1)1
P. 46. 2 (|uadrata ta *- (J VIjOl * 10 prohajidum * H|et (l'a, jo) * m ([uod-
libct] ipiotlibct (à corriger)
P. 47. 2 sexlies *• 3 l)]U • 9 rcctà assignala -k l'i;^. 45. La Icllre <) niampio.
* IG conditionata -k I8|sexlaiis (/n, 40
P. 48. 2/0 = Co. iG3, 1. i3 à 18.
i'. 49. G liypotesi -k Fig. \-. La lettre () man(pie. * 12|LA()V/, \-i) k l.'l/l i [iro-
posiliouem tcrtiam .Vppoilonii triauguluni EOIt *• l.'i ulrincpic (r^H.v.s/ 21, 23, 2G) * 22 an-
ferelur * 23 sive]sine
P. 50. I lAOJIOA * (piadratis|quadrato * 3 C.casns * .'J/KI = C". iG >, !. iS à '4
* 12 propos. 157. libri scptimi (cf. l'appus. éd. llultseli, p. yio-çjr 3) * i;i jusqu'à P. 51,
13 — Cn. aGo*" à 2G1 * 17 (piodcunijuo
P. 51. i/o sunt... proplerea I Co. disait : cl anguhis ad A lUrisquc eommnnis, orit et
rcliquus relique ;e(|ualis et triangulum Iriangulo siuiilc : qnare. eùui sit ut V\ ad AL ila
EA ad Alt, erit * 7 ex (après cpiadratis) Co. oui. l'a. k 10 (pia|drato {fa, Yi)
k 11 \i.\L\Co. ajoute ut demonstravimus * 1.3 F(i Co. EG Va. k 17/10= Co. i()3,
I. 24 i' 27 * 19 eandcm
416 VAiUANTES ET NOTES CRITIQUES.
CONTACTS SPHHRIQUliS.
( Leçons lies f'aria = fa., pages -'i à SS.)
I'. 52. 7 oxlilit * lu qiia * 17 elcmentis = ^ttcZ/rfc, XI, 2 * 18 pers | piciiuiii (/^V/,
75) * 20 d;it]dato * 21 cum
1'. 53. G ACDjC.VD * Fi^. 4ij. Le triangle NOM n'est pas figuré; le point N est mar-
qué cnlie A et 0. * 13 et 13 cum
P. 54. IIMEONJNEOM * 1 4 igi 1 tur ( Tn, 7G ) * 18 cum
r. 55. 2 cum
r. 56. 5 cum * 12 Appollonio * 10 {T'a, 77) ■*• Fi^. 'tx : ne vient ([u'après la
/?];■. 5'i et au bas de la page fa, 77.
P. 57. 10 incli|naiioncm (fa, 78)
1'. 58. i cum * Fi^'. J4. Les points I. H ne sont pas marques. * Il (/>, 79)
* 19 ERCAJLKCII {aussi ■2.0)
V. 59. 3 cum (aussi i, .''i, 1 i, 19; * G etiam perpend. ad
1'. 60. 1 (fa, 80) • 7 ri 10 cum
I'. 61. 1 LK\m\l. cil vcilrlic * 3K('.A]E('.B * elemcnlis = /;V«7«/c, III, jG * /V;;. J7.
Des perpendiculaires AN, CM sont aliaissées des points A, ('. sur l'axe Itl). * 8 1 converti
( fa. ,Si) * 9 cum • 12 LE.M.MA 11. cil vcdcttc * IG 0, L, E, n]OELI)
I'. 62. /'/,;'. js. Des perpendiculaires ON, 1.1, liF, DB sont abaissées des points O, L, E,
I) sur l'axe Al'. * G1Li£.mma 111 en vcdcltc (Ta, S'i)
1'. 63. 7 splia-ricam scmlile .superflu -k l'i cum (aussi 17, 31) * 2(! Lemmv IV <•//
rcilcuc ir 30 naui sccetur spliocra ad planum * 32|planum (^ft. K3 )
I'. 64. 1 llal)emus]liabens * 7 L\!.mi\ \ eu rci/ctlc • 9 plauojpuncto * FOIUJFHI
* /•'(^■. G I. La lettre M n'est pas inscrite. * 13 1i|l!l * IG superfilcieui ( /^V/. 84)
1'. 65. G M]ll * 8 IFllJDKH * 9 PFM (/es ^/OT.r/r«v)]PFll * Il FM | Fil *• 22 cxe-
quemur * 30/31 per 2. pro|blema (f'a, 8J)
P. 66. 3 cum
P. 67. 8 ex 3. Icmmato * 9 ( fa, 8G) * il fict
P. 68. ."i VllIJoctavum * G V]ipiinti * llljtertio * 8 {l'a. 87) * 12 II1|.!. * et om.
* 17 Une figure, qui a été supprimée, représente un cercle inscrit dans un angle AHC et
renfermant deux cercles 1), E qui sont tangents intérieurement au premier.
P. 69. 1 (lui, 88) * 4 scxloJVl. * 8 Une figure représente fpiatre cercles A, H, <'-,
1) tangents intérieurement à un cinquième * 13 splu'ericus | lire sphiericis (?)
VARlANTliS KT NOTES CUITIQUES. 417
SOLUTION DU PROIJLKME D'ETIENNE PASCAL.
P — Texte d'après Bos:?iit, OEiwics de Pascai, 1779, Tome IV. pages /|5o i '|.V|.
V
F= Auloj,n-aplio de Fermât, liilil. Nat. Imprimés, Ucscrvc S/|8.
P. 70. 2 (Ifio (le Piisclial /''(/'rt/oz/^c^H «///-c.- t'odcm aiitoro Fcrni:il ). * :( de P;iscliiil /•'
* lioc iiroliiema P,oiii. F (à Miji/iriincr) * Fi^: Cj. Les fii^urcs joinUs à /'imtoj^rtip/ic ne
suiit l><ix de la iniiin de J'criniil ; dans le tcvle, /es lellres d<':\i^/i/ii// kx j>oiiils sont en
niiiiiiseide {smij B et II) et siifiiio/itées d'an trtiit horizontal.
W 71. I KV\U F (aussi 2) * lF]fi /■' («».s.v/:!) -k 9 oinii /•' ciim /' *• 1^2 II!]Iii /•'
* 10 dM[ilum ] diinidiiim FV {peut-être faut-Il lire lUriiisriiic dimidiuin triangidiiiii )
•*■ 21 r.O](ie/'" -k 2i yvhm'^nV) .W'V.\ ajoutez ovee F : isosecli
r. 72. 0 c'iiiii /■' -k l rout;c /' rccla J' *■ i)rima]() 7', oiu. F ■*: .'i EDJdc /■' *■ (i i;;iliir
t'ïlul n'ctaiigulumlIlEad /■' * 7 ad idem reclaiiguhini .\C /•' * 10 lilljlle/'* 18 iinn]iicc/'
if 19 l'acMliiniè /•' * 20 scciinda Jii" /'' scptimâ P * aiiloni est en interligne et .sod raye'
avant ti'iangidmii /•' ■* Fif^. fiCi. Lu droite K.\l est tracée sur la fii^ure de Bossiit .
* i2 iilriiKiiic /'7' -k el|lk'cl/'' * 23 \aiialiil]vai'icl F
1'. 73. I diit]ciiL /■' * 2 d(!|cx F -k o ciiiioludct F -k 9 ciim /■' cùm P k V'< varian.s
proporliuncin si 7' * 20 placelj/'' «yoK/c iiao'.[ia''t.); k \)om\nn (les deux fois)\i\m Aq. !■'
•k 22 lialiaiii /' Galii:i'i F k 23 l)(jnHnii.s]druis do /•' k 2.') cx|icclaiinis /' k 29 ac dillV-
rcnlia' /■'
1'. 74. 8 Baliaid /' Galdrci /■' * 11 ciim /■'
DEUX PORISMES.
p := Texte <ie lîossut des OEu\'rt-s de Paseal, 1779, Tome l\". [i. \\(_j à ^|jii
F — Aiilofjraiilii' de Fermât, lîild. Nat. Im[irimés. Itésc'rve 8'|S-
Nota. — Les fi.nui'os jointes à l'aiitn;;fa|ilic sont do la main de Fei'nial cl scinliiablc-S à
eclies; ini'a repredintes Ikissiit : au nombre de trois cori'cspondanl à notre ff(. Ci- et avce
la léi;cnde : Jd porisma 1'""; an nondjre de dcnx |;onr notre_/7:,'-. (iS avec la légende : ./(/
porisnia ?.'"" cl a\ec la noti^ : eireiilos non adiinpkviiiius, lieet propositio told eiretintje-
rentid linitm liaheal. (Dans la lignre non reproduilo |ionr le second [lorisnie, lea points V
et 0 sont sur les proioiigeinenls du diamètre AC.) Les lettres des fignres sont en minns-
cnlc, sauf A, B et 11 ; dans le texte, elles sont surmontées d'un Irait iKU'izontal; au lien de
V, ipio nous avons adopté d'après l'usage des Faria, il faudrait partout lire U, comme a
fait Bossut; an contraire, la lettre V correspond à un v miiujscule de Fermât.
1'. 74. 13 F ne porte pas de titre général, /"r "yo"'t' autore Petro Format. * \i 1'"" po-
risma /•', roiiis.MV l'iiiMiM /' * 13 .4BE]ABd F k <pia'ranlur /'
FEnM,VT. — I. 53
418 VARIANTES ET NOTKS CRITIQUES.
I'. 75. 0 0]|i V (pur erreur) -k 12 NI(|iii F { p/ir erreur) * li ropr*sonliil)il /•
■k Ali iii 1)|.U!(I F (xiippriinez doue siib après roclnngiilo) -k \'\ 2"" piirisma /•'. ronisMv
si:<:i:MirM /' * \V>(',\'\\\\\f.\\ F {en ilrsnceord avce la fit^ure) k 22 quadrupla /7'
P. 76. I F lijoutc et (Wfiut siiiiiplâ. * n NI)]UI) P nd /•'
PORISMES D'EUCLIDE.
{ Lp(;ons des Varia = /'<ï, pagfts ii'î à inj.)
I\ 76. 1 1. EiiCLiD.iîORUM -k K) Pappiis (!>o/r C(J. IIuUscli, p. ()3G, 1. 18 à 3o) k 17 cùm
* 20 cdax aliolcrc \c\.uslas (/icmi\lie/ic <rOi-i(/c. Met/un. X\, i'.y^, k 2i WiUebrordus
k 20 c)iopi<î[Xî'vr|;
P. 77. n/i Euclitl:rorinn * 5 l'oppus, p. G.18, 1. 19 à xn; Iraduclion de Conimandin.
I' i(i(), I. 10 à ri k 11/10 rir^ile, F.iicide, 11, 5S;)-59o k 11? sydiis * Il aliseondamus
* K) diimlaxal • 17 (|iian(locuii(pie
P. 78. 4 {l'<i. 117) Videaliir fi.i;nra porismalis i . cxt ri/onté au-dcs.sous de Poiiis.m\ i>ni-
MiM (les fij,'ure.s de csl opuscule soal i;ravées sur les Planches à la fui du Volume de.s
Jiiri(i). k Fi^. 0<j. La môme figure comporte trois [)Ojitions du point V, onlrc N et ().
cuire 0 el 1-:, et entre E et V: comparez la fy. 70 cl le te.xle, p. 79, G à 11. *• Ligne /j
de la Note. JlouiUau <i écrit Cavallcrio.
P. 79. 5 Videalur figura jjorismalis 2. njonté nu-de.ixnu.i ; lu iiiâiic ndd'itiou. saiij les
e/iil/'rex rcspcelifs '.\., 4., '•., est f/iilc m>aiit les c/ioueés des porisincs sui\.'iiiits, 79, 12; 80.
S; 81, 0. k 13/' i ntcuiique
P. 80. :! .\(>1.VX k S {fa. 118) *- Fi^j;. 72. Uuc lettre 0 est inscrite au môme point
que la Ictlre II.
P. 81. 10 utcun(pie k II juncta AZ fial]/;CT/(-fVn- junctii' .VZ fiai k l.'i 11N|11(;
*■ 20 Pappns. p. (i)0, 1. 10 à 1 1 .
P. 82. l nN]lli; k i;ilN]Ell(; * 9 Pappns. p. Gj2, 1. 2 k li. (aim * Hi cuni
k 10 I P.ippns (/'rt. I l'j I. /o/r éd. llullseli, p.GV.>, 1. jà 4 *20quinlilj' ■*• 21 R.V(;]UA!i
P. 83. :> (piinli ] V * C C.um •*- ipsilipsa * IjO = Coiuiiininliii. i" iGo, 1. lo à i3.
* 10 t7 17 cum *• 10/11 autliorcm k 12 l'appus. p. GiS, I. iS à 21 : r.'>o'.'i<j.%-.% l"^-:'!
EJzA£''cio-j T-n'û-olç, y.. T. z.
PROPOSITION SUR LA PARABOLE.
(Leçons îles rnrin= fa, pages l'/i i i4').)
P. 84. ri cpiatuor] J. *• G urliquo * 7 in 1. fig.
P. 85. i (;M](;.N k 12 ex 52. I. Apnll. * l:{ in ■>. fig. k 1 i ipiatuorl ',. * 18 cum
{aussi tO et 2:t ) k 20 denUirJdetur k 2IJ In 2. rasu * 2i In 3. (ig.
P. 86. I quatuor]4. {aussi IG) * 9 et \'.\ cum * 12 per iG. 3. Apoll.
P. 87. 2 cum {aussi '.<) k laulem (J'u, 1 jj) * G ex 29. 2. .\poll. k 11 M|N
VAUIANTES 1:T NOTES CRITIQUES. il9
LIEU A TllOIS DROITES.
(Leçons (ic la copie ancienne, dans le manuscrit de la Nationale, fuiuls latin,
nouv. acc]. n° '^33'J, [° i5.)
I'. 87. iJI Sur lu figure, les Icttrc.i (/<'Mi^/ii//il /ex points sont fii iiiinnsciite ; ilaiis Ir
Ici te, la iniiiusciilc doiiiiiic <i\'cc des vuriiitioiis irrc^ii/iàrcs.
P. 88. 0 (lalurjiliinliir * S ciiiu (««.s.v/ 17) * *,) ;pqu;ik's ■*■ 10 rctlani;""' * l.'i sc-
■(■eluf 1 fcrliir
P. 89. 2 ciini i^ cùm * [i |iro|)ooiic 3' Apol!. ie fi rcclaii^'"" (iiiissi 7) * '.( ci'im
!*• 10 rccUi 0.\J l'ocliu ox * 11 rcliijiufj rcflii; * 12 dciiioiistraonciii
LIEUX PLANS ET SOLIDES.
(Texte étalili d'apns la copie ancienne dans le MS., fonds latin, nouv. aeip n" 'i339 = /,,
f" 1 à 9, 12 à ïf]. Leçons des f^aria; pages i à ii = f'".)*
P. 91. i scpliinijj. L t'ii. Hr A|ipolloiiiimi *■ !) ad Itieos yciicralis A * 12 curva
iiiriiiila * Il \i;nu[iv.\J''a, ajoute ( liiit;i; recUu rc|)onciidLMn) le 15 circularcm * para-
lioleiu * Ki liypcibolcm -k olliiisiin
P. 92. i possiiiiL instiliii * Vi ad aiigniiim daUim f. * 9|ltocta (l'a, ■!) * Fi-:;, -'i.
La didilc L\L incnliniinRc dans le texte (93. 7) n'c-t tracée id dans /. in dans l'a. Kn
regard de la fii^'iirc de l'<i. est inscrit « \)\ j UK » (l'accolado currespond au sij,'ne d'éL;a-
lito). Kiifin aucune des sources ne distingue entre les lettres algébrl(iues et les lelres géo-
niélritiues. -k 22 Z'' — L)A -k a'quetur | a'(|u. /,. j /"«
P. 93. 2 /,'■ k (I ZIJLI /. (en mar^e fursan Zl) * sed angulus ad Z datur * 10 adli-
cicnlur L k I2/I:j 7. prop. lilj. 1. A|)pollonii *• 15 nos oui. k 17 ipiodcuniino /. * recta'
uiit. k l'J ellieictur * 21 A|ipullonianis * 2.'! aMpiatnr /-. l'a ajoute en iiiar^c : W.y/.''
k 2i iiyporboleni *• 2,'J ciuodlibcl /. (piodvis fa k 20 rcctang. * 27 Z piano /,
P. 94. 1 cinn l'a. cuni L (aussi IW.ti)) k reelang. (aiissi[), \'.\) k Fii^. 71J. La courbe
n'est pas tracée, A l'a. k i aul KJvcl V. k adieeta A * .il Ponatur {l'a, 3) *• (i Di" Fa
(aussi 8, I i, l."j), I) plannni X * a'fpiari L, \vt\. entre parenthèses fa, nui a en vedellc
l)i'-t- al; :cUA -I- Sli sur trois lii^nes. k 8 1) plaini A k 0 duob. laterib. k 11 repc-
i'ianlMr|/« ajoute « Ujio verlio ./.S' (lise/. ./ — .S) a^pietur () l't II — /;' a'i[uetur /;
igitnr (//y. (a sas'oir =) I)'' (ajoutez — ll.S), (piod propunitur, et li:ec crit constriictio :
JP {ajoutez — /i.S) a.'(pietnr AJili; rcctang. (lisez rectangiduin j igitur AC.K crit () in /. "
-/ ec te.rte se rapporte une figure rcprèseiitaiit deu.r a.ies rectani^u/aires a.\rinptoles d 'une
hrainlie d'tij jierliole éipidatère dont AC, AE sont des abscisses: (IF, Elt les ordonnées
eiirrespinidantes. k 17 parall. {-j. J'ois) k Dans /., la lettre V est toujours un U minus-
cule. * 20 ZPJZl A (en inarf^e fcnsan ZP)
(') Les leçons sans indication ap[iartiennent sculenicnt an texte des l'tirui. Dans L, les lettres
alg(;brii[ues et geometnipios sont généralement eu majuscule; il y a (|uelcines exceptions iiTCgulièrcs.
/t20 VAIUANTES ET NOTES CKITIQUES.
1'. 95. 1 1)1' l'tt {aiis.ù 3 ), 0 piano i * 2 liyi)Crl)o!cm -k Fi^-. 8o. La courbe n'est jjas
Iracéo, /- l't/. * 4 parall. * Uoclang. )*• 7 fa a eu marge sur 6 lignes confuses :
Il A'^ioF^ ;i (( A- ail E- in ralionc data » « A--i- AKadE^ in ralio.io » * 7 cùm f'ti, cnni /.
* \(\.\T'n emploie roitstammciit In notation A^ ; de même E' p(mr Eij. etc. -k Ijii a'(|ua-
lur],T(]. * 11 quad. E * roctang. * adficinnlur /. * 1t|Sit (/'«, 4) *• Zl qiia-
(Iraliiin L •*■ Fi>^. 8i. Dans /'«. les /%. 8i et 8'. sont confondues cl les courbes ne sont
pas tracées sur colto dernii-re; dans L, la /î^j'. 8i n'oiïro ([u'uno dniilc de N à I.
P. 96. 4 adricientiir /- * 5 perquirere ■*• 8 evadlt * 10 fa a en nniri^c : A'-vdDE
* 11 Kq. l'a, acquctur /, (eorrigcz) k i-2 parabolem /«, qui ojoiile : constitiiantur NZ
cl Zl ad quemcumque angalum Z * 13 circa] on imudrail aiiparai'niit : vcrlice N
/.
* Il dal.T * 1 4/lo parallellrc * 15 NZ]NP L * parabolem * 17 1Z]IP L * NZ]NE /..
Jii lieu de cette tisane, T'a doinie : hoc est, si PI inlelligatur esso A et NP intelligatnr
esse lî
P. 97. .^i l'a a en niar^e : E-y. I)A -k (> parallela L l'a ■*■ 9 ,Tqu. l'a, qni a en inar^e
« li- — A-» DE I) « It- — DE «A- » sur troii lij^ncs. k Wt Lei parenthèses ii'e.ii\lcnl pas.
I. t'a. -k Fi;.;. 83. f.a conrhe n'est pas tracée, L l'a. -k 20 ifqualur NZ]a''quabit'.!r Nli
* quadrato f. (aussi ^21) k 22 rectum ]dcxtruni k |NZ(Va, 5) k 23 a'qu. l'a, n}quu-
lur /..
P. 98. 1 supr. k ab F el .!<]. om. k i l'a a en marge : U- — A-coE'-'. k Fig. X.].
Le cercle n'est pas trace; les lettres yi cl F no sont pas inscrites, A l'a; un point 0 est
marqué à l'extrémité gauche de la droite MN. * 8 quodcunque /- * 9 Zl] on voudrait
ajouter : (sive Ft/.) k i)/l() quad. NM * 10 le signe — e\t omis, k quad. NZ * l.'i 1) in
.V bis 1 1) in A"/., 'D in A Fa (ehaciinc des sources cnnsen'ant par ta suite sa notation
propre) k l'a a en marge : It^— ^DA — A-» 1(2+ 2RE. k 17 ;rqu. * 19 Ergo | l'a
ajoute : aufcrondo scilicot 0^, quod utrimquc fuerat addituni,
P. 99. 1 E ::p U *- 3 ;pi|. *■ fi Appollonii *• S Appollonio • 11 ellipsim /, />/ (««ov
13, 22); l'a a eu marge : B^— A^adE* rati. * 12 MNJN.M A * NJZ * l(i (piad NZ
■*• 22 comniisccantur *■ 23181 {Fa, fi) * 2fi ia raliono dalâ /, k l'a a en marge :
.V-+ B- ad E2 ratio hyperbol. * 27 liyperbolem * 2S/29 (luail.
P. 100. 1 hyporbolaî * 2 toto]/(.ve3 tota k 2/3 uiià cnm KO quadrato om. k i/o uiià
ciim quadrato NU om. k 6 rcctang. k NU quad. t'a, NU ipiad'" I. k l'ig- 85. Les
lettres .-/ et F ne sont |)as marquées. Dans la figure de /., il n'y a de courbe tracée (|M'à
l'intérieur du rectangle, k l'a a en marge : 01 sil A. ON, scu Zl, .sit E. * 7 NOq />, NO
i|uadrat. Fa k Zl quadr. * quadrat. 01 * i) NU tpiadratum /, * 12 l]Z k liypcr-
bolem k 13 icqualionem k li adficiunlur /, ■*• K! adfeiMionis /, * l'.l adficiantur /,
>^ 21 Aq.h'iA par c.rception F k iUipialur/Vf k F.n marge de l'a : W-^-.V-j^ >.\V, +'-
{lisez +E2)
P. 101. 1 utrinquo F k 3 -\- Fq. om. k C MN q. /- * NZ quadrato h k 1 quad.
abs * 8|liac (Va, 7) •*■ /'Vu. 80. Les lettres .:/ et .^ no sont pas marquées, k 11 i)aral-
N /.
lella k 12 Cùm /'«, eum F k 13 tota]toti * Ij quad. MN — quad. NZ * 17 NZJUZZ
* 19 NRJUÙ L k NO]UO
P. 102. 2 quad.NZ *^ 3 NU quadrati L {mieu.r) k NO quad. ad quad.OV * l supe-
rioribus * 5 ellipsim F la k G dissimili Z, * 13 propos, k 13/11 lib. i. Appoll-
VARIANTES ET NOTES CIUTIQUES. k2l
* 18 (iaolcun([uc X * 21 practicoii /,, praxim l'it * 2;{ liabeant dalain L * 2i/2d E,
tcrmiii'.is NZ, L fa * 2ij /r/, L écrit bis c// toulcs Icurci, apvàs Aq. <v K(|.
I'. 103. (fa, 8) * I pcrpcnil. * 2 dalio * N.M|Z.\l * 3 A wnit d'ohord écrit : ipsi
OZ .'tipialis ZM, piii.t corrige iii/c jjrcinicrc Jois : ipsi ZM .'cqualis Z() * /'7^'. 87. Le point 1
se trouve marque au pied d'une perpendiculaire abaissée de 0 surVZ; lîM se confond
avec notre ligne MI; l'arc ÛM n'est pas tracé fa. Dans L, la figure, tout à fait incorrecte,
comporte un cercle complet UOI, les droites UIZ, ZÛ, NM, RN et U.\I, celle dernière pas-
sant au-dessous (le I. * 7/11 Cet aliiicn c\l omis duiis h. jf 1.^ ( /?/, 9) -k Isagouem
Im copie de L, pour /■Ai)peridice, est d'une autre écriture que celle de /'Isagogc; elle a
subi dii'crses corrections, de Ut main de Rohcrval (?); notamment parabolen a sjsté/nati-
ijuement été changé en [)arabolam, hyperbolen en liyperbolam, paraboles et hyperboles en
paraboliB et liyporbokE, parabole et hyperbole en parabola et liyperbola.
1'. 104. r> sécant] corrigé de intersecant /- * (> seetionis] corrige de iiilcrsectionis /.
■k 'J A cubus + U in A i|uadralum /., A'+U in A- J'a, ipii continue l'emploi des e.rpo-
ui/ils. k Z [ilano L, Tf fa {et de mcnie ensuite) * 13 cuni A fa * I i A cubns -r- li in A
quad. /. * 17 |iaruboleni {aussi, 2.')) • 23 hypcrbolem * 20 synlliesiin • 28 adfcc-
lis A ■*- 31 exenipl. * quadraloqiiadrulicisjquad. ipiad. fa, quadratoquadralorum L
*■ 32 Aq(|.|A* -k lisulA, ir/>y * Z(i.|Zpl.Z,, Z'' / « * D|ipl. Z., l)'''' />/
P. 105. 2 Dppl. L (aussi 10, 12) * Bsol. L {de même 12; au contraire Kl, H solid.)
k "i J. omet le second signe — * i (^iini {et 9, cnin) L J'a k S parabole»! (aussi 1 i.
18) * 10 le premier signe — est omis I, la k 12 Dans fa, la liarre de di'.'ision
s'étend jusqu'au-dessous de ie(luabiUir; dans /,, la frtntion est dii'isée en deux, k lt|et
ad (Va. 10) k IO/17|eniend. t. J'a k l'.l hypcrbolem k 22/23 pro|)ort. * 21 A cubus L
k 23 Dans A, si est raturé et remplacé par posito nempe ([uod, de l'écriture de
Koherval (?)
r. 106. 2 B in DE k 5 iiUersecliiincm |soclionem ■*- 12 a'q. * 13 tamqnam * para-
liolem * Il et AO applicalic ■*• l,") parallelic est l>ien dans L\ les crochets sont donc à
supprimer, k lue *■ K! seL'unda]2. *- 1!) rectaiig. OVZ
P. 107. 1 dabiturjdatur L k 'i proportion. * 7 ([uadrat.qiiad. k 9 ;cqiiab. k 12 xt\.
{les dcu.v fois)] cl L J'a k //JB- * 13 parabolcm ((/c/«e'/Hc 23) * 17 climactic;c]/«rM/;f
lie 3"° dans L, om. J'a; ce mol da'rail être entre crochets, k 2(1 — ]-t- * Z sol A *
Dppl. L k 2r|Ergo (Va, 11)
r. 108. 3 — ]+ kl— om. L k IjH leiprdo liqq.— l!(l. in A([. bis -l-|liet
-Vqc]. -t- li(|(i — li(|. in Aq. bis iequale bipi. — B(|. ia Aq. — A, a'ipialu li" — H- in .\-
;cquale B'— B- m A'- -h fa k 8 Z sol. A * Dppl. t (a/mi l(i ) • 10 l!q. bis]-B2 — / a
,, ,1 w- Zs. inA"| Zsol.. . ^ — Z'inA „ ,,,,,,, , .
*• I t |)arabolcMi * It» -+■ ■ — r; h — r^ — m Ai, rr Ja k 19/20 qnadrato-
' Nq. J N(l N ' '
qnadral. *■ 22 quad. qnadraUc * 2.') cùni J'<', Cum L k adfectione /. * 27 (pia<bato-
(juadrata *• 29 est curandum
P. 109. i Z sol. L (aussi 11, 17) k 7 B((. in A(i. bisJ-A^ in B^ (auvsi 11 la \" fois)
k '.) Bq. in Aq. bis]-B- in B^ * 1| Zpl.]Z'' (de même 13, 18, 21 ) *■ 12 secunda|7..A
*• 13 verbi gratia] (V. G) * 17 Zs.]Z • 19 hypcrbolem J'a • 21 Z pi. L * 22 -^J
corrigé de plus L k il — ] corrigé de minus /, k 2(i ;rquale A, a.'([U. J'a k 28 U'q.
P. 110. 1 ntrinque /- * bisjZ- prêtai la notation abrégée ' * 2 B([ in Aq. bis (la
•i'*" _/bi',v))-.V2 in B- * 7 parabolem k fiet islinc.
422 VARIANTES ET NOTES CRITIQUES.
LIEUX EN SURFACE.
(Leçons du maimsci'it Arbogast-lioncompagni, fui. Tu i 55.)
I'. 111. 2 cil renvoi, la note : d'après une copie. * .'i i-:;'?;;;'.; * l.'i 1 conicis (f" Si"" )
1'. 112. 2 /.et- Humcnis des Icinincs ne sont pas inscrits -k 12 criljcsl * l.") | Si
I f" 5'2)
P. 113. :{|sint (f° 5-2'°) -k parabola aiit liypcrbola * i:! Arcliimcdiua * 21 cir-
cum|lerenliam (fîS) * 27 NII']NM1' * 2S Cum
1'. 114. 3|Nll* (f°53>") * i Cum (a«.t.H 'J, i,"i, 17, l'J) * 11) dunUa.xat -k 20 1 salis-
faciat ( f° 04 )
P. 115. li| locoriim (f° 54*°) * l.'i diimlaxal k 18 et 2(! ciim
P. 116. 1 I superficies (f" 5i) * 10 qiiiljuscunque -k 20 | major (f" 5?")
P. 117. S mabis(?) * Il jan. k .Ju-c/essoiis Finis.
DlSSEllTATION TRIPARTIE.
(Leçons des ï aria, pages i lo à i i5.)
P. 118. 12 cxeculuros • 13 cum
P. 119. 20 sivc œqualio | nom {l'a, 1 1 1 1
I'. 120. 4 verbigraliajv.g. k 2i cuboculnis *• planosobdum k solidosolido k 2(i ipia-
dralocidius * planoplanum * planosolido
P. 121. :! (|uadralocubocubus * plaiioplanosolidum * planosolidosolido • ."i quadralo-
quadralociibus * solidosolido * planoplanosolido * 7 cum (rfc ;»(v«c 1 1 )
P. 122. :! paraboiam * iiaraboliC Fa {corriger [)arabolcs) * Fig. yo. Non reproduite
dans les />'/•/>(. * Il cum
P. 123. l| conlincnl (/>/, iia) * llf cum * 21 3'. * l'. 5'. * 22 ('.'. ;'. * 8". 9'.
* 10'. k 21 •','. * 2;i 3'. * 28 i".
P. 124. 1 c.xlex una parte, ex •* 8/!) ipradrali J /(n'/)(7//-rV/'f(piailratiei * 1 l Z plan,
in A (|njil.(|uad. * L'i I) solid. k M plan. plan, iii A (piad. * 27 uti'imiuo
P. 125. 2 Z planum * ."i 3'. *• 8 poste | riori (/'«, ii3) k !l qiiadralij /ire i>eut-
.■•//•fcpiadralici *• ".)/IO (piadratienmjquadralnm * 12 prioris * 1 i inlcrsol.N * 20 pc-
raclolpacto ■*• 2.'i quadratuni]latiis (juadrali * a?quandum];equandi l'cul-clrc jinit-il
conserver ccf deux leçons cit supprimant les mots a lalero (2.")/2()).
P. 126. 2 .1'. (aussi 8) * Il problcmatibus ((ti/ssi 11) k l'J iiomogena * 18 lia-c
* Ibrjua * 2:f Cum * 21 ad priniam]pura * 2(1 ei'im * 27 quadrat;e k '.i'.i 8'. * ;'.
* i'.
P. 127. I 10'. * ;)'. * 0". k 12". *• 2 11'. * G'. * :i Cum * 8'. k 7'. k 15".
* Cl', •lo'. * 9'. ■* ;> 7' k 8'. * \i'. k 11'. * (i 9'. k 10'. k 11 alienis | On
VAUI.WTES ET NOTES CRITIQUES. 423
ii'ii pu rclroin-cr à qui, en pnriiciilier, Fermât tiiirnit eiiipriiiité relie joriiiule d'une
/)e/ixée (jui a été c.vprinicc de dii.'erscs nuinièrcs soit .sur l'iiiton , soit sur .Iri'toie.
* i:t (/>/, iii) * 21 expatiari
1'. 128. 1 y (/w,v,f( 21, 2:;, 2'.») >*• 2 C * y (aussi ±2, lifl, :i;!) * i 3' (otm.v/S, II,
i;i, 28, 29) * 7/<S maiiobit D ;pqiialiu * 17 CarLesius solvi Uiiilimi Hr 11' * 1-2'
* I'.l/2(J 7'
1'. 129. 2 4". (tuissi :i, 2H) >*- i iriginlajlrigcsima * .'> 7'. (nussi 8/0) * (i (i'.
(c/Kv.vt'lO) * 7 A'elB'l) * Il y'. • 1 i cum • Ki | immulandam (/ '«, iij) * 21 vcrb.
.i;ral.
P. 130. 1 3'. («/«.«' 2,21, ;în * (Icccm]io. * 2 4'. * ;i exociili * G cuiii(«"vv/
2:!) *- 12 (iiiodociin] i';i.. * 2(1 (iclo] 8 ( rm.vf/ 27 ) * 2!) (|ualiior(Jc(-iml i.'i. * lil V.
I'. 131. I C.nni • Il Dimi. *r U 17' * \l 2'>: * l!l/2(l cxpcclci
MAXIMA KT MINIMA.
L ~ copit! anciiMino foiuis Lil>ri (nouv. at-q. lat. 23.^)), f"' lo/ii.
-./, = co[ii<; il'.Vrhogast (ii'uiv. ari|. Ir. .TjKo, f"^ i'|.*> à i'\ô).
.1 = coiiiu au net d'Arliogast ( inauusci-it \
De la (la^c i3:i, li^'iic 7, 1 linncoiiiiiagni ) f imiir la .'îeooniic rédaction
il la page i34, lisne 7. j ,-/' = liroiiillon d'-Vr-liogast (nouv. acq. fr. ( ( vo/r page i33, note 1).
\ 3l>Sii) en tant qu'il diiïère de A )
VA'. D = Li'tires de Uescartos, éd. CIcrseliLT, III. .'16 et !)-j
I'. 133. .Iii-drssiis du titre : Copie d'un cscrit cnvovc par le II. Pcrc Mcrcennc
il I nionsiciii' ru riiiurc\ des Cartes L: Kx Kcrmatio >■/, ^ (i in notis]ignolis J^^a /-.-/,.
lerou fju'il Jt//liiit jieut-ctre ronscn'cr : cp. pai;e 186, 28 et liO, où tiiulefois te seii.t est
dil/c-rent : pour la leçon proposée, voir p. 140, 7 * 10 prius esse terminus l^a ./I ,
-k 11/12 j^radiliiis o"/. .1' aj- A -k l."> adfieiunliir /,_/.
I'. 134. 1 adfeclione /-.y -k deiiide |deliinc ^ * iilrinipie A * i adfirmatis Z / « ./
* 7 subjecimus .'/, * 8 rectang. /V .-/, (rm.vs-/ 12) * 1) parsjpar /'« -k \\t^\\x'ioui.Vu L
k 10 .Vq.J.V- l II ./, {(pd eonsen'eul eusuile ht notation ejponenticlle ) -k \'-\ — A ili
I-; liis|'-H in A J'ii. — '-K in .V --/, k lii[.|li l'u -k U reclan^'. l'a •*• l.'i ./, ajoute :
1! X A — A- -h It X K — 2 A X 1', — V:^ = 1) x A — A-
17 E bis] F." fa • Ju lieu de cette li^iic , ./, écrit : eril B x E = 2.\ x E -(- li-
*• 1!) et 21 ,V bisj '-A J'u -k J, écrit pour tu ligne l'J : eril B = 2A -H E. pour ta ligne 21 :
erit B = 2A.
V. 135. I {fa, 04) * i piinctumJOl oj. Fa, 0 aj. A, et {en interligne) L : peut-être
fiuii-il a/riuier ut 0 ■*• il tpiad. (4 fois) (a ./, • Il i[uam CE ipiad. ad lE (piad. J,
k (piad. Ili fa k 12 Cum /, t'a ./, k El DJA a. B et en marge : il a icy noininé B ce
i|u'il nciinnic d par après * l(iad]ant/'« • proportionem 7^/,, rationem /V( ./, -k 17 bis
om. ,/, J'a {de mente 1!), 22 et l). 136, 2, 4, 8); La partout la iwtaliiui E" * 10 Af|.
(la seconde fois)] Xt\\VK\Av. L -k 21 ./, «yo//(f .• L) x A'- erit
klk VARIANTES ET NOTES CRITIQUES.
P. 136. GAbisl-V- J'a. * l.'i pro|iorlio:iil)ii.s]pro|)orlione .t/, l'a * Ki Dciiiiinol Dno i
■* L porte en marine dans le sens vertical : M'' (les Caries, f. 'i\-.
II, _ Lei.ons des J'aiia, pages G5 ;i 6(j {où la nntnlion exponentielle n rte ailnplée).
P. 137. ".t païahola * 12 hasis
1'. 138. 1 1"'". * liot. 9 *• !2 .Vrcliimcd. do mquipond. cum * :i cavas * .'> ciim
[iiu.\M l'.li !*• 7 Arcliimcdico * it lîbislK" (iwlalinn qui cniitiinte c/iuiilc) * 12 ad
Il/].-h Jù/.— nin. * Ki ni It in K2— ad H--J-K--4- EM-:itin Pila * 17 a^iiiiabiUir]ap|ili-
, It- in .\ in \," -h \ in F.^ — B in -\ in -K^ , , i , ,• ,t ,
'■"'"^"'- * '« |iM„K"-lin>^B * -' '•^^^^«K'"' ^'^'
P. 139. 2 /.V/. bis] -F.- * i i\\i.\ La iwtdlinn est désormais le coefficient en exposant à
ra<.-aiii. * ^1— * (i /.f .vc(w/(/ /cr/Hc o< + li^ * 8 ab TT, adfecla * l<)/20 indicarejju-
(licarc -k 21 5]5i.
III. I.i-ror.s des l'tiria, pngfs 00 îi O9 {uii lu uotnlion exponentielle a été adoptée).
W UO. 7 .Ugebricis * 8 .Vr.|.\ • 11) qnad. * Il ex 1ÎF..V * 12 F bisj^E (/«twc
iiotiilinii cn.'uite pour les coefficients) -k llj — \\c.<iin -k li primù ■* Ki lamqnam
k 2(1 lî- 1)1 A — A' * 22 le troisième terme est : — \- in -'E^
P. 141. :! E(i.]F *■ Il opoiletjii'qnalioncs ^v;. * 17 ^pcpir.lc *■ 21 linca C
IV 142. (/rt. fi;) k 2 relferl k l ul ul * Il piop(irhonom]qn;rsliontMn k 21) crit
OIN .
P. 143. 1 .MN'I crit k i l!inA]B * 22 l.e iroisiciiie terme eu rcprlc.
P. 144. 7 rcsidniini (ro/T/:,'c.-) • 20 pni cL. N * ÏH O.MDJONO * 2(1 ; L"M / «. G8 1
I'. 145. 2 Klli|isini ( «ho/ 7, 1>. 1(1) * :î Ali;cbric's * ."> conlenlani linlor pnnciiim V
sumpUini ad libitum, ajoute k '.) D.MJDN * 12 qnad. PO ad quad. IV * I i (juad.
{■xfois) k Ki rcctang. (A./ii/.v) * 18 i\mà.{\j'ois) k 20 rcclang. (i/w.v) * 21 (|iiad.
(o. fois) k 2:i (■? 2i rcclani,'. • 2,"> f< 2li quad. * 2(i cril "w.
P. 146. Ki lioniog. * 17 in (i om. k 21 ciun 1 doni ( /'(/, Oq) * 2.^! O.MjON
P. 147. 2 numcpiuin * ."i n^yml)^ol'on • (i Diiniino]!).
IV. — Lcrdiis d'.\rlingast.
A — copiu au net (MS. Boncompagiii, f"' 7S à Si).
,V|= ]>i'oiiillon (nouv. acij. franc., 11° 3280, f°' i33 à i3G).
./ = leçons de A, éirites après coup d'une autre ciure en corroctiins ou dans des lacunes
priiiiitivL-nn-nt laissées.
P. 147. I! 'litre d'après A qui a en noie : Dapri'S la Copie de Merscnne. .Ji a pour
titre iMelhode du niaxima et mininia de Fermât et en mar^c. D'après nne copie écrile par
Mersenne et peu li-iblu * il syneriscus] en renan Vict. jiag. io4 yJ, k anastropliesjf.v;
/■c//c()( Viet. pag. ij'i -/, k 10 correlatarum o;h../, * 10/11 conslitutionc .Vj. construc-
VAIÎIANTKS ET NOTES CIU TIQUES. 425
lione Al * 13/14 qua; vctori el novœ molestiam exhibuere Geomelrio.' ./., * 10 licetjsed ./,
licel
sed-/
A. 148. 1 |iova/o5]monaclios •* 2 coiisliliiLivi .■/■. * (! ulriiiiiuo 3^^ .'i sccla 1 /(/■<• /j/«/u/
sccaiiihi * 1(1 f'à condilioiic yU, ila quidcm yïi * II sii|)|iOÈiilui' J^. cndiim ccrii aii-
ilcssus de la filiale de supponilur -/ * lit iiilercipiiiiilur ./., -k 11 alicujiis Ji *
17 igiuir -Z, * corrcllata A * !2l loco .l^ * 20 acccdunl -/ it 'il scmpciqiic aiiclis l-.
■k 28 diircieiilia corr. de dislanlia A, disUiiilia -/i
I'. 149. I iillimam A-i * divi.sionom J., * 1/2 aova/r] vel | <•« Inciiiir ./,, lU •/
* - iiiiica .!.< * cuiilingit -/| * qiuiin ./, eiim o» liim (?) ./i * (pianlitalcs iw/. /,
*• i Ciiiii ,/,, -k ii;iliir ((wr. (/(■ jam ) /■! * corrcllatis /o * .'i iiielliodiiiu Vii'la'am ./.j
* aMiiiotiir ipsi ./.j )*• (> soinper ./.j * l't qiiadr. * l."> correlluta -/ * Ki (|iiadr. ./
* 17 CoiiiparaiiUir /i * 18 (|iiadr. ( 2 /i'/.v ) * cubo (■> fais) * !iO A (|uaili'. ./ * K(|uadr.
*- '21 coiisUliilio ./, (■« Incline ./, • 21! (piadr. _/
I'. 150. 1 piaclicL' A, pra\is Ai -k corrcUaUii'um Ai -k 2 pcr ipsoriiiii diderciuiaiii
coiiiparaii |soii ipsuruin dillorciUias {corr. de distanlias) comparari -/, son i|)Sonim (corr.
de sumiiiani) distanlias paiari A, en renvoi mt Ihis de la pa^c ; ./j a corrii^c le dernier
mol en com\r,.\vm k ut eâ ratioiic ./-i, iiL. . . rationc rrwv. (/y conslitutloiie . /i * ii iiiiicà
cwv. (fc niiscrc (?) -/] k dillcrnutiam ro;v. (/c- dislaïuiani ./, dislanliaiii /, k ."> .\c.|.\
ciib. (nienie abrév. 7, 10, 12, l(>) k 7 1! qiiad. ./i k 11 una]priina A| * 2i (^iirii ./,
k inventa -/.> ■*• 21/2.") coiislituliune .V-.
1'. 151. I! liju'oji. k l I..7-/1 lilj. -] t k 11 -I-] — ./i {itienie Jniile poiirsnivir tlnns
te calcul. |;î, 17, 2(1, 21! et p. 152, 10, 10) k 18 parte o/;/. ./i • 21 en uiiiilius./.j,
aMpialilnis ,/i
I'. 152. 0 I) iii A in lù(.] I) in A — Im]../, * 8 luijiisinodi co/v.ï/c lias liiv. ,/^ k 1 1 con-
stitutionejconstr. -/., k 1.") i.^iturrwr.t/f sive./sive ./i * 20 quippc se vel ./i * 21 non
dcci'it /, * 21 ci'ebras A.2 k 2.'i lîecnrrcndnni .Z, * postcrioi'cni (■»/■/■. ifc posiliones l<
k 20 tamen licot .-Z» * 20/27 facilieitaleni ./ k 27 abnndc oni. A, k 2!» id L;eiuis ./^
P. 153. 1 iiroaunuiainns k scniper et-/.j k 2 antcni /.^ * I! (.-Dnlinori .\.; * 8 Tout
le vers est de A.i k 10 tribus] 3 * repcrire corr. de invcnirc ./^ k si ducantiir lies
corr. de ducanlur du;e et 1res .U [en sorte r/n'il rc'.\ln si dufailtur très duii' et 1res 1
\. — I,t\'uns lie l;i co[''k- (IWrliOL^risl (MS. rîoiicompa^iii, I'"' .\>G à 5i)).
P. 153. \i asvmelria^ *■ 22 /x/.v de pareiulièsa (non plus (pie p. 154. 2, 8. 10, 20;
p. 155, 10, II, Ki; p. 156, Il k ipiadr. (incnie nhrccinlion ensuite)
V. 154. 17 0 quadrato * 18 Cuni k 21 asynictrià
I'. 155. 10 (piadiali k 11 Ciiin k \': rt U\ latcri k 111 dini. li
1'. 156. 8 (.) plan. * Il resnlvitnr k 17 15q. — -V cpiadr. k 18 Ali ipiadr. (9 /ii/v 1
k ,\l) ipiadr. k 21 ad (pia> | (pia: ad * A (piadr.
1'. 157. '(■ .\(i.(piad. k '.< iiiininia] nuixinia * 7 .\i]quad. * 8 niaxiiiia J rniiiiin:i
• 10 U cubus k 12 It (piadratu k 10 asymetrias * 20 liy|ierbula k 27 li\ fierl'ol,!-
l'i;ii«iAT. — I. .)J
'rlG VARIANTES ET NOTES CUITIQUES.
it -2'.) à p. 158. I (asymplotis AF, FC) cxplUolion de sub angiilo APC, n'est pein-vtrc
pas de i'ci'Duil.
V. 158. l liyperbolam * "i liypeibolâ -k '.) MB] in B * 12 miiioris]nimis
VI. — D'après l'orij^inal tlo Fi-rniat.
/■' = iiiiinusciit origiiiul (nouv. acq. fr., n° .3280, f"' ii2 à 117).
Va ^ t'tirin, pa^c.^ (Iç) à "^h.
A = copie il'Ailjo^MSt (MS. Bonconipa^ni, f°' G8 à 73 ). F ci A ne jiorteiil point de titre:
A a eu note ; (D'api'cs une copie. Cet opuscule est imprimé tiaus les Ojier»
I aria de l'crinat, Tolosa-, 1C711).
( Dans le manuscrit uriginal F, les lettres des figures et colles ((ui, dans le texte, en dési-
gnent les points, sont eu minuscule, sauf A, B et II, et surmontées d'un trait horizontal:
les lettres algéliricpies snut .au contraire en majuscule.)
P. 159. 2 Pr;cf. l'u ■*■ Vil] 7'/'', 7. fn *• 4 suas corr. de \psarum F * ,'> lineas rcclas
laïUùin r/i * 8 laiiion nm. .1 * Icgitimuiii om. F, sufTiciens T^a A -k li adicquali-
lateiii |;pqualilalem Vu -k 20 | Eslo ( l^fl', 70 ) * scctis / «
P. 160. 1 Clim lu F k Met \1 pcii: de parcnlhèsef : l'ii stnt la iinlalion e.rpoiieii-
licltc. k \'.'> Ciini /■'./, Cùiii 1 II k Fi?. 101. /.« li'^iic AU «'c« pas tracée dam Vri.
P. 161. 2 \\ l)is|-K 1(1 (iiinne notation en.uiite) k 3 ï'ti omet — N in F bis et snp-
prinn- disorniais m diais- le\ monômes-, k i A(]uailraluniJ A- /^rt * 10CA|AA'ft * Ulpdiir
cctlc lettre, J'a et / oui toujours V. *• ACJrocliC aj. Va k il hilituilino -/ k juncta
iccla Fil l'a k V^ et \'.\ Nicomodœa F l'a k \'t pfoli.\iorj prodivior /■'/ a k 1(1 1 l'oins
{l'a, yi) k \1 cuv\d l'a k 18 est o;/i. ./ k M\\\li\ F l'a
P. 162. ;î BI|B(i /a k (i procédât ||)i-0(loat l'a k 7 recta (devant CD et EIl ) om. la
k vocelur («ywrt Cl) <■/ Kll)|sit /V/ • F:11 |FN (peu lisible dans /•')-/ />( * 12 iisj liis />/
* 14 l)omi[ius| Dmius ./, D. l'a k 22 :P(pialilas /•'./ A « * 21! curva] Cycloide «/'. /'«
* l)omini]l)iïi /•', DÎm ./, I). l'a k 21 11 corrigé de A dans /^( >.' main) * CFJFF l'a
k 2(1 est dueenda l'a k 2!» CM]A.M l'a
P. 163. 7 jUl) vocclurZ(data w«.) /'«(p. 7a) k 8 vocelurjsit / n (r««,r( !)) k '■* nl-
cuniiuc/'/ * 1:! MUOF|nione /', MOVE /a * Met 17 adicipiari Jajciuari /^V; * Hi '■/
17 niiuusl — l'a k 18 1res om. F Va k 1"J exjet ./ * superiorc l'a
V. 164. (i trianguiornui siinilitndinem l'a k 1 i|)si om. l'a k 8/'.t œqualilas la
k 11 in li|in in B /■' *^ consistel ad;P(pia!itas inler »///. />( * 12 et K in B in A] j UHF / «
k F! C.um F l'a k li a'quelur J J />/ k l(i ex una parte :i'(piatnrl j /^Vï * ex allcra
OUI. I II k 18 nempe ZBli cnni l'a k 20 .ICquetur om. l'a k 21 cuni | j l'a k 22 liet
li^itur I cl fiel l'a k 2i- ConslrnclioJConsl. ( écrit au-dessus de Ad ) /•', oui. l'a
P. 165. li iileoj corr. de ii;ilur /'' *■ '► BI)|l)li l'a k ."I sive et elegnntior e\adel /
* it veru OUI. t k II | Sil (l'a, -">) k ll/l."i /-'( correction indiquée dans la noie \
peut cire réellement de lu main de Fermât; le tc.rle primitif, remplacé par li-: mots .
liât.... ad rcelau) NO, scuihle avoir été. autant ipi'on peut le discerner sous la rature :
porlioni quadranlis MD lectain NO constilniiuus ;C(]ualcni. Kn fait, c'est la projection de
10 sur la perpendiculaire au rayon Ml ijiii doit être égale à l'arc !\ll).
P. 166. 1 Nicoaicd.ea /•' / la k 2 l)oniini|l)ni /■' k it pertinent F (à corriger)
VAUIANTES ET NOTES ClUTlQL'IiS. 427
* 8 in sequciUi (i^ura (nii. /•'./ * '.) applicalo ./ * 11) cum /■' / I a -k foinuc [Idi-
iiiarum /'«
P. 167. 2 utcuiifjiie /"' / * ."i slalioiic] ralione r'« *• 8/'.) D.nniiio lio llulicrval o/;;. />/.
Diiii de Rohcrval /•'.
VII. — Texte d'après le MS. Vicii-d'Azyr-lînmniji|iagiii, i'"" i7"'-iS - /;,
A ^ my'w. d'Arhogast (MS. Iîo]iuuni]>agni, I"' t8-?i|).
// = NulioLialo, fuiuls lalin iii()7, 1'°" j^-iS.
Titre .ieulemi'ttt dans II avec t'nbréviaiiuu Al) lî. 1'. M.
P. 167. 20 seniicirclo // * 21 et] plus./// * .//)/•('■? cyliiidri, // rt/<)»/(- .■ (Similis csl
reclangulo DHA plus tliiiiiilio (piadi-ali ex DM et oninilms diiplalis), «rfc /«//«/<; //;«rj,'7-
iiale : (Juod iiicliismii est luic addidi ad e\[>licatioiiom.
P. 168. :{ ;C(|uatur];i'iiuale //(««.«/ i) * (1 adplicatis// * '.) satisfacil /V * I.'! ('.uni
IliH (aiisù 2:i) * 18 aulein oni. JH
P. 169. I ut mains] uiajus ut // * 2 sect.'c | divisa.' // * minus | \'ide in altéra pai^dnà
iij. H -k ~ determinationc )demonslralione // ■*: 8 (pia'sliuni] proposilu ./ * (pian-
dijquc Iqnandoipndem // * 10 Cnm .//?// * 12 ipuesliononi |p|■()pu^itum //
\ 111 il IX. — i; = copie d'aiires Clerselicr ( iiouv. acq. fr., ii" .'i'^SD, f'" S-j siiiv. et ^.S .-iiiv.y.
1) = Lettres do Descartes, cd. (lierselior, III, lii. Dans ces deux sources, piiur le
uiurceau \'lll, la iiotatiou cartésieiuie a été coiiii)Iétenieut adnpti'-cî (expusanis.
siiTipIe juxtaposition des lettres dans cliaqilu niouoiiie, coeriieieiit nuiiii'i iiruc eu
avant ySx\ tei'uie), mais avec des lettres majuscules.
P 170. :; AKDit]Al)l'H r, ADII /> * 8 <•/ I:î cnm * 12 rectain wn. I)
P. 172. 1 cl W 10 6', 01 I) -k i et (; jalus (|nad.|rudi\ quadrala * l l.<i ixircnllièsr
n'est pfis jcrmco D\ jKis lie pareiilliàxcs ('. k i\ l'cts de parcinlw\cs. -k 10 fict * l.'i al)iiip-
lis]et ruplis * 22 vcri;it D k 21 in\ei\to cl tlienrcniali C
P. 173. 8 Inmiins "///. C k 12 à;:afaÀ',-f:'^fi); I)
P. 174. '•> duo illa I) k (i Cum (chm.«21) *- '.) ad ralienem lempoi'is iiuiliis * 20 ni
snmina ]<:o/T. de ut snmmam 6', ni summum H
P. 175. 12 in nicilio dcnso T, in siqierlicic mcdii dcnsi D k l.'i |iure i). pen(^ C
k 10 C place ici lu f^. 101) rare les iiioH : In lii;nra iivaiil |{sto. * 2.'i C a vu iniiri^c :
in I' lifr.
P. 176. i ininoi- est /' *■ N'V]NI( C k .'1 cum (iiii\m 7, li, 20 1 k II rcclan-
L'uln <im. C k 12 .MN]M\I C k l.'i quadratnni 1>, qn,MlialO(pKulralnm C -t- :;o cl
P. 177. ,') cnm * 7 ul ow, C k II NS|SN C k U/I."i rccl.in;;nlo IINV liis ii/ciil-
c'irc iiiieH.f ; ou<\i 17/18) C k 21 (' a en marge : V. in ■>' fij_'.
P. 178. "i a.'ipialur * Il IS]C a/oiitr ita ci on/cl les lignes 12 et i:; * l:; IN />
* 21 Mll.M C
428 VAIllANTES ET NOTES CRITIQUES.
METHODE D'ELIMINATION.
t'ii — Varia 0[icra, paj;es 58 à Gj.
P — SIS. Nationale, fonds latin lUflO, f" !fi à 53.
L — SIS., nouv. acq. latin ^.S.'ig, f"' 17 à 20.
(Cette dernière eojiie ein|doie constamment la notation cartésienne coiniilète,
à partir do la iiafj;(! iKi, li^'m^ i5.)
P. 181. l /. ajoute : A niiiuiiio de Fcniinl ml Dominum do (larcavi din 20" Aprilis
aniio ifi'ii) inissus * .'i Upddiiclio A * (i .Vl.îoliricis * 1:2 Eq. * N qdtn /. * ll(|ii;i'-
cuiiqiio /. • l.'i cl 19 ciim * l(! Z sol. /'« P. 7/" L * 18 Z, .S In, Z sol /'; [de mciiic
crutiito) * 2:! al)S !■- /. • ali seciiada In I.
P. 182. 1 liiijiisiiiodi /' * I! Ciiiu • l tanquam et /. * S l'a marque ^- di'vaul le
premier Irriiie. * Kl loties oui. /. * 1 1 umniiio|continiio A * l(> airici /'a J' * 17 al>s E fa
* E qdtiiin /- * 22 ni A, cl /'« /' * quoinodociinque L * alFocia * 2:f | Ki'il f fer. 391
* 27 ni dixiiiiiis oin. I.
P. 183. ."> Ciini {(Je même 17, 22') * 0 tamqiiain Va /', ni lanquam /, •*: 8 P n ilêsor-
mnit l'ahrc\'ialioii Zs. * !• Nq. in B]Nq, — in U, J'n -k 11 in .4 — in E J'a * 2") Pour
le trohicinc terme du de'iiombiatcur, La: — lî.VN-
P. 184. :! cuiii -k secnnduin /, * 12 cl Cirt. /' -k l:! (/'«. Oo) ■*• i:> Al^'cbricis
* .symolrica /'A * climalisinns / « A * l.^/lli Viiulcu /' * 17 suflicienslsiipcrlicieiis A
* esl om. A * l!l laliis ciiliicum (B in .\(Hi. — Acnl).) l'a P -k L a laliis eiibicuni.
laliis qiiadraliim *■ Z]'. l'a [de même ciixuile) k 20 laliis (-k foi.i ) l'a 1' k ialiis (]iia-
draloqiiadratiini A * laliis qiiadialuni A * 1) cidi. /'/i * .V ipi. qn. /'« /'.
P. 185. 7 .\ qii. l'a P ( de même E qii. 2(1, K (]n. 22) * .\ cidi. (/« i" fois > la /' 1 de
même III, 11, 2S: ninù E euh. 'iS 1 k — Ac. o/h. /, *• -:- lai.] -i- L, l'a A * ITi liiL'c
cnini iiiia L k 2(1 1) cidnis l'a P (de même E cnlms 22, A ciibo 22) *| 21 scd cl
ox A * 21/2") conjiciuiidi /' *• 2S B- l'a k 2'.l radice l'a.
P. 186. i inutili.i]aiulil.i A * (I lerliiis, (iiiartus A k clca-l. /' * 7 lanniiiain se | cini-
dani (/'';, Gi I * Kl fiicrinl A'o k redueUe fiioriiil A * roduccs om. /, * Il deniquo |
deindo A k l^î cxidare • I i inuunierosa /'« * l.j resoliitiono. . . . asyminolri.T om. I.
k enim «m. P k IS ciini * l!.l quandin l'a A k 2(i eonstiUiendmn A *■ 2S niiiu-
quani L l'a
P. 187. I diiinlaxal l'a A * 3 cl e;cl. P k 'o data om. P k 13 cxposcat]e.\pnsuil L
M eiKiuc Inecpio P k Kl B qii l'a P (de même 23) * Z qii. /' 2 ipi. l'a k 2(1 ciini
* 21 dcRicioiites J' k 23 A (]q. l'a P. k 21 exjdc A
P. 188. 1 Palebil corrigé de Ha crit 1' k i! culiio:r, (piadraloqiiadralicjc om. l'a k cl
caet. /' (de mêmeiO) k ciijns)ejns A k 12 inveniiinl. . . . solidum (13) om. A * 13 cnm
* li siimaliir A * 17 qiiiTnincpic A
VARIANTES ET NOTES CRITIQUES. 'j29
PROBLÈME D'ADRIEN ROMAIN.
l,c.;oiis (le l'oi'igiiial (Ms. Ilciygciis 3(> du rUiiiversité du Lrydo) : collation de M. lîiereiis di> llaau.
I.n (listiiiclioii dos ii ul v, i cl j n'c\islo pas dans l'origiii.il.
I'. 189. 7 ce|ii *r 190, 1:2 (iniiiliscclionem * 192. If -h ^ /wur ci?) l'.idici cidiiciP
* l;i -t- radici (|iiadraliiculjic;p i^ -2~2 -t- i-adici (luadraluiiuadraloruhicir * 194, -1 pri-
mogeniain * ."i I dresse : pour Mmisicur
Iliiggens.
QUESTIONS DK CAVAMERI.
Leçons du >./= JIS. Arbogast Lîont'onipagni, fol. :>5 ;i :»(>.
/i — M.S. \'ic(]-d'.\7.yi"-}innconiit;ii;ni, foi. i.S.
I'. 195. l piiiiii ./ * ;; D" ./ duo tS -k G IV" ./ dniuii J> * 8 nolicissiiilinii /;
P. 196. '2 laOititcr /< -k fi çiiiii /)' !«».»« :2:! ) * 8 pronuiici.imiis * 14/l."i i uiici-'.xriii
1rs ilcii.r inciiiltrcs de lu p/irasc. it l(i suiiiuiaill * HO V. i;. /»'
P. 197. :! ncmpc |ilciiiiiuu ./ * i ciiin /? * 7 parabulam (>««.« S ) * 1 i. aplicalis
( y.Jois) Il -k -11 ambicns .111 et Mer.sciiiic {voir\>. 195, note i; * 'i\) J)oniiiio | D" ./, I). /;
* c\C(iuciutir.
I'. 198. I parabdlani *• 2 propi-jctatcs -k 'i wn^osn'ûiW^^] J a cerit eiisuile. puis niyé ■■
venini csi *■ i elly|ises B
PROPOSITIONS A LALOUVÈRE.
Leçons du Laloiivùru {de Crclot<lc, pngus 3iji à 3().') j.
I,cs lellrcs des figures sur celles-ci cl dans le lc\lc sonl minuscules. Los rémois au\
figures sonl faits dans le texte, les figures 112 a inj de niUrc édition ctanl d'ailleurs
numérotées io5 à 112 par Lalouvorc.
I'. 199. ."i liyperbola * (i parabole (aussi 205, 10/11, 206, -1-1, 207. '.). 209. I.'Ij
•k (5 liyiierbohe unissi 200, 7, l."l ) * 202. (i/7 v. g. -k 203, W ([uarta lioj. k 8 ipiiula |u).s.
•k II ipiarta I108. * 204. ."> (piinla |ioij. *8.\M|.iu * 18sexlalij(i. *• :2(l Icrlia I107.
k -1\ liac|linc * 2:2 eundcm k 205, -1 .\(;|dc * li .\N]au k l.'i .\IS|ul) * liU|/.u
k 18 /,(• iiiiinrri) VI est reporté 206, I * 206, I sexlajiio * l parabola iiiiissi 7.
207, 20. 208, i, 21, 28, 209, l) k 206. 12 seplima|iii. * 207, i cujuscunquc
k II u'ipiciur * 11» ipiocuncpic * 208, 12 a?quelur * 20 trienbus * 209, Il dimi-
imla'.
V30 VARIANTES ET NOTES ClUTIQUES.
DISSKRTATIOX M. P. K. A. S
( Lnrons (les y aria, [tages Ht) ù i (>()•)
I'. 211. '.\ I'(i porte cil mar^r : II;pc Disscrtalio Ivpis cditei fiiil annn lOGo. oecultoAu-
loris iiniiiiie.
I'. 212. i cuiii *• i:j I.] PItl.M.V. * l.'l cava |ciirv;i * lit poi'liii | nom ( ^7^ ijo)
1'. 213. 1 ciim • :i basem *• i- HI|KI * 7 (|iiam roiin ab II ad U ilui-la |(|ii;p roc-
lam al> IIK ad li diictani * 10 eandciti
I'. 214. W Denuiiislratiunom (corrigez) * Kl | lixjioiiaUir (Id. 91) * .^l'ciinda |2.
* Il A(i|Al" * (|ii(idlib('t * -H) lci-|ia|j. ( (v; iiuirgc : DcQ»l hoc liu-o fii,'iiiM 3. (|iiaiii ad
calciMU liliri IccIOL' iiivoiiicl.) * tîl eiiiideiii
I'. 215. '.) c.t\nT ( lie iiii'iiir \\ . ]'.',) it 10 uli'iiii|iic * basià ( /■(«.V.V7 Ut, -2ii </cii.r foix )
* ]~1 -x. et S. Ki^iinu iili' iiiciiir 1(S. 20, !2I, 2^, 24, 2,"i, 2. pour spcimda on S(jcimd:p, j.
/(w«' Icriia, ac, aiii ) * '■IW a^qnalos * i(> | a^(iiialcs ( /'«. f)-.». 1
l'. 216. i secuiidal'. *■ .'I basi.s ( «/ma/ 10 i * ipsius|ipsi -k (I cuni [ilc inc'inc 1)>,
52 I *• I \ b.isi
I'. 217. ."i qiiarla 14. * 1 1 paiabnhp
l>. 218. 2i] ni (/«, (jl) * 2(1 i-oclarumjrecla' * 211 IF] Œ
P. 219. 12 (|uinla I J. * parabola * Fit;. i>i. I.cs lettres [3 iH 0 soiil (mi majuscnlo
i:roci|in;.
I'. 220. :! dirci-tii * ivi'la * l.'iKIllK * lilelsiljel fil * parabola * 21 parabohp
{aussi i^) * 22FX|h;.\. • 2fi | s^cd ( /'«, <j 1 ) * 27 IK in KL | IK in KI.S * liO cnni
* ;)2 \ I U (lie iiiàiie i/iiiis lit pillée 221, mais iiiiii plus loin )
W 221. '.I cinn
I'. 222. I paraljolani * 12 Les lettres ■^rceipies ["i, 0 et plus loin ■■, 0, /,, o île lu
fil^lire i'_)i (■/ (/// te.ite sont en iiinjiisiiile : tliiiis l'éilitioii iiiitiinme. tontes les lettres ro-
iiiiiines on ^reeijnes, sont en iiiiini\eiile. * 17 piissiL * 2"> ciini * 2(i iiiinori * candcni
P. 223. 0 parabola' Hr j pi'rpcnilicidaros ( />/. f)5 ) * ICyI^I^F
I'. 224- '.) minorj niiMiirnni * 12 iniiii
P. 225. I eum ( lie nie'nie 12, KS r/ cinn 2."i ) * (i paraboiain ( r«n.K' 21 ) * I71,pqnal('
I l'/i. cjCi ) * 2li paraboles iini\si 27 1
P. 226. ;i parabolos -k .'i rrbipia * rcr'la' * (i a^ipialis son applical:p smiibasi
* 17 I ad I / II. IJ7 I
I'. 227. (; scplima I7. * ,S li.\l, NL, I:K. III * ',» bac \eijoiitcz piiore •*: lli i|Maria, a 1 1. à
P. 228. :; l'nin * l.'i(/'«, (|S ) * 10 in Fi-. 8.
P. 229. li rccla|ciirva * 27 cuni * li(;|lil-;
P. 230. :; laiiicMii I />', 9;)) * 27 Pn|np
P. 231. 1 in ç). Fi-. * :! A(;|A(i
V.VIUANÏES I:T notes ClUTIOUES. 431
I'. 232. (> ciim cniiii c;clcra lulcra * S | Kl {f'n, looj * '■H't in \. v. ^. • qiod {cor-
ri-;cz )
1'. 233. ".) in l'ig. 10.
i'. 234. I paiabola sini | plcx ( f't/, loi) *- i parabola * "i ciini * l!2 |iaral)oI:i'
* i(i in -i.
I'. 235. (I [laiaiiulai [inissi 1 i, l.'lj * Il in .'\. *■ 1(j i|iioUpJ i|niil, * 18 i;. siL in ii.
(•'il;. * :21 I in ( l'u, 102)
1'. 236. .'i paraliola ■*• 7 (|LiarUr|i. * 0 est J. • 22 rccUc dala; • lilj (•uni
I'. 237. 7 r>. * !ll)asis (««.v.»/ 17 ) * 12/lli | sc.'i-nnda ( /V». io3)
I'. 238. 0 (/'(/. lo.'i) * Les filtres dcl'\\)\wm\'\\ sont à lu findd voliaiw. * 11) l'IU.MA
* l."> i t, 5',, * rccUi'J l'cela
y. 239. I -1 l * 12 .\IF |.\l< * l,-;.M|nl * :jl | (i; ( Z^'», loi) * (-fini
I'. 240. 7 cnni {missi l,"i, l".l ) i^ 2!) lui iiuir^r : Figura 2.
P. 241. :; YXji.s:
I'. 242. li) f.uui * 2G|sil(/V/. lud)
1'. 243. (i IcLlia] j. )*• i;'// ///(v/'^'f .• Figura j.
I'. 244. 10 fiun * 2;j i|uarlaJ4. 1^ /ùi iiuir^c : y\'^ui\\ .].
W 245. '.) Ill|lrrlia' * 20 cum
I'. 246. l|crgo(/'(f, 107) *- I i i|uinla |. '). * En imir^r : Figura 5. *- 22 liasis
i*. 247. 5 Eit iniiri^c : F'igura 0. />«//.v /'i-ilitio/i <lr KilJI), lu Jh^iirc c,/ imiitrri>lcc '.\.
(iiiiiiiic lu prcccc/ci/Ce. * S conslruatur |iaralj(ilr *• '.)/IO paraliiilani [u/iwu' 1(1. Il)
*- Fi cuni
I'. 248. :; hiscca • 12 Vf |>r\la
V. 249. 10 I langcns ( /Vc, 108) * /.es lcllrc.<. i;rc(i/iicx r/iiî siiivc/it diiiis li:\ fi'^iircx cl
le Ir.r/r smil cii niiijnsrnli\
V. 250. I cinu * l a\i (jS *- |;i ciini
I'. 251. :;/i scnnliasis * l(IVI|s('\la
1'. 252. 10 cnm («».v.w' 2:!) -k Kl c.Dn | slrurlionc ( /'«, loç)) * 17 r; \^. l'/n- c.iccp-
lioii 0), i-\i ru iniluisriilt;. -k 20 paraliola * 21 paralidla'
1'. 253. I paralidla' iuiissi 2, i, .'i ) * 2 liasis * li p.ualiola {uii<n.i \. (i; * I1|m.'-
cnnil.i * i cuui (uusm 10)
1'. 254. /.c«/r.v ■^n-rijucs eu uiiuiisnilr : I 0, 2 0-^, li Oo, il B-f), 12 oX. * 0 liiisi>
■k paralidla { uii.ssl Fi, 1t) * 7 e.iiui * Il liasiuijliasL'ni *■ Il paralidla'
J. ex fleures à lu fui du i<oliuiie [première pluiiilie ) ue miiiI pu\ iiiiiueroléiw. iiiuis iudi-
ipires eoiuiiie \iiif : h'ig. l'.ig. iji. /loiir noire Fig. 122 {'■\}; *• Fig. l'ag. idj. pour Fil ( i i:
* F'ig. l'ag. loj. pour V.\", (2): * Fig. Pag. [ctii. pour Fili (3); * Fig. l'ag. \(à\. pour l.'i7
{,\)\ * Fig. l'ag. ii>-. pour l:i8(,5); * Fig. l'ag. loj. pour FJ!) (m; * Fig. l'ag. idS.
/»)»/' 1 10 ( j ) L'/ 1 11 Cl). Sur cette dernière, lu lellre y^ est iiniuisciile, pour s (m lit 0, cl
le elii[lre 12 //Va/ pu.\ luurtpiè.
W2 VARIANTES ET NOTES CRITIQUES.
MÉTHODES DE QUADRATURE.
(Leçons dos l'nria, pngcs 4'| i -"«y.)
P. 255. tldiimla\at * 1 i parabolam
1'. 256. 7 asyiiiplolwn * Il so | lum (/>/, 45) * 12 3. Pl 4- * l" liyperhola
* Imi^. \fii. /.rs lignes poiirliu-cs ne sont prix iracccs cl le point )i n'est pris rote.
P. 257. 8 Archimedipam * !) GllIh:]GHI-; -k \l) /près ;v]nvUi\.-.. 'i lu /i^ne G\i, \n
(iti. jHiis Mom eninnieiiee un nouvel iiliiiéii. ic dli ArcliimediPa * l(i ('iiiii -k 17 AU ad
A0|A11,A0 • 2."> ci'im * ])arallolugi-alcmi * iiarallnuraiiimmn
I'. 258. l 't I ei'go if^'/T, 4f> ) * 22 parallelogi-ainmos * 2:! Arclihiu'd.Ta * 2i <-ur\a
iii IMi
P. 259. 4 Ai-ohimcdaRa * G hyporl)ol;c (iiiissi 10) * 22 Jùiire GK et ad est iiiiermlé :
ad parallologrammiun sub Gl>:, in GII, ila parallcloi,'rammiim siib GK, in GE * GA|G11
P. 260. 2 livpcrbdia iniissi C. Il) * S cuiii * l:î cii)ii * l'J paraijola * 22 1 Sil
iTii. 17) * AGMCJAGlUi -k 2(i CKJIÎC
P. 261. '► eiiin * Fii;. i 1 3. f.es lettres \\ \ ne soin pns insen'les. -k 20 EN"]liV
P. 262. G VCIUG * 27 AlîGRjAKOIi
P. 263. 2 (piodjipjic * 2/:i ropra:"sciUatcs * 1! ad | ■> {/^n. (S) * ."i Arcliimed;eo
* 15 AIGC]AI(;H * Vi'j,. \\i. Les li^'iirs A\),\)V. ne sont /),is Iriirées.
P. 264. :! cum («mv/ 0, 21) * -iGEJEG
P. 265. Il parallolo,!,M-ainimini]ilt njoiité rlevnnt. * 20 | ncnipo ( /'«. 4'J ' * 22 para-
iiîllograiiinuini -k 'il iijH. * 28 2;|3.
P. 266. l livpcrliiila * 11 polcstalis](Hiaiilitalis
I'. 267. ."> (llqnad. (trois l'ois; meinc nliréeidtioii jnir lu siiile) * 10 U]V ( (/'■ iiieine
ensuite) * 11 cimi * Il — .V.]. J.V — qiiad. * IS — oin. * 28 .\q.|\(;
P. 268. 2/.'! l'.. qiiad. * G clciib. {inenie (ihréeiiition par In siiile) * 10 ;pquaU>
* II) i|iiail.
•fii-
P. 269. 1 |loco (/>/, ')o ) *• 3 qiiad. * Il re.|i'ub. nid), {i/eii.r fois : même iilm-e,
lion pur In suite) * qe.lQl'. * q(:i.|(iuad. quadr. (aussi lil; mais OO 21, qii. (pi. 22. 2.'!,
qii. (pia. 2ri) *• ivqiialisjx * l'.t (|c.JQV. ciib. ( ///r»'.v quad. ciib. 2.'i )
P. 270. :\ i\e.Y){'. In \"' fois: i\n. enh In seriinile et i)iir la siiiti- -k (|q. | ipi. (|il. ( «w.vi
7, niiiis ipia. cpia. 10 I * S liypcrbohe -k 10 (|.| l.'ahréeiation ordinaire est ilésornuiis
qu.; loiiiefois (pia. In i"' j'ois, 2'>) * Il jiai'aljokt) •*• 20 fori'clatis * Sri —]-i-
It (111. cil. ,
k 2i sivc — !--- (cqnalo
.> , , ... , H fl"- '" ^
P. 271. I (/". Oi) * 2 ieqiialc * 3 cxjdo * .> li . ciib. n?qiia:i —j — -y^ —
* 7 li lin. qu. * l'ig. i.jii. A« roiirlic IIOPN n'est pas trneée et la lettre 0 n'est pas
insrrile
VAIIIANTES ET NOTES CRITIQUES. WS
I'. 272. 7 iinLcstiUiLiiis Ipi-.TSlaiililMis * !) ignolariini]ignoi-atiim -k \'\\'V.]VC, * i-J sta-
lum *• ;!.) a[)|ili('alo * 2.S It, quad. — A qii. aiqiinli; li, iiiiad. * lîdcùin * ;t'2 ad basini UN,
sive ad 1» applicalis est iiitcrcidr 31 <q}rcs applicala
I'. 273. 1 ad U applicala cv/ /■(■/(■/(■ «/«-Av a^ipialia * datojcurvo * "i | eniiil (/ «. 5» )
* !l cuiii ( m/A.v/ 17, 2^>) *• Vi\\ (de. inàiic cii.iuilc) -k 17 autcmj ergo *■ i\:\ (ihim'in-
lidiis : (pi. in et 21!, I<i sccninle fois, pour Juj.. IS, 21 Ct 2.'( pour F.ij.: ipiad. lùllriirs ri
pur lu suite juxqu'à iiiilicatioii ronlriiirr. k i\ (|(|.]qiiad. qiiad. (niiiis ipi. (pi. 23)
I*. 274. 3 OMimiiuni *- 7 ;('(]iiaUir|a'(pialis *■ 11 cxscfpiamur |sc(piaiiiiir -k 12 ii,
(luad. cuil. *■ !•;, cul), culi. culi. * 1 i cùni * li, (pi. * l.'i I!. ((uadraluiii k 21 | sil (/'«.
■Vi) -k 23 IjasimjMV «/fw/i'.
1'. 275. 3 cum k V> MVj.MN
r. 276. 3 i|C.](piad. euh. k irqnalo E, cuho * (i i[.\ i/i'-soriti//is- /'a//rrvii/lioii est i\u.,
smij iii(/iralioii\ to/ilrttirvs. k 7 vai(ji'(' • 10 a'tpialc * 12 curva .\K()(il)(',ll k 13 au-
tliorein k iri c.\l de
I'. 277. 1 (|uaila|4. k .3 li, ijuad. • K,(piad. * .3 1'^ (pi. (piad. k Vipiad. * Kl ipia-
draliini" k prioi'i * 20 c'x|(lc k 21 II (pii | in E, (pi. — li ipi. (pi. (f'ii. "i4 ) * "30 I:,
ipiad. (piad.
P. 278. 1 alis k 12 li, (pi. cuil. lu V, (piad. *• 10 iulcr|iii * 23 liypcrliula'
P. 279. 2 (piad. ciilii * 3 praxiin * I laiii (piam k pra^ccdcules * (i curva' |ciini'
* 0 .\, (piad. •* 1!, ([lia. k 1 l O ipiad. (rt"W 20 ) k 17 11, (pi. (pi. k -\, Ou. k 2<i li, (|,
(pi. * V, (piad. *• 27 It, ipiad. * 2S Uq.|.\, qiiad.
1'. 280. i id(|uc|i(l (pup • (i I llifc (/'«, Vi ) k 0 .Vl)l!|.\, 11, (;. k 11 ipsi in | ipsi sii;
•*• 2'i. Il, (piad.
1'. 281. 7 ciiiii (fiiissi 23) * 22 K ciib. | culi (Fn. 5(i)
P. 282. i cM) V, (piad. * ('i\-.,i\. k 7 oiiines K (piadrati * 10 !•;, ipiad. * 12\'.(pi.i(l.
* 13 ciiiii ■!*- uiiiues E, (pi. * 1.3 ciiiii k 21 synlliesiiii * 27 cxpaliaiiduiii
P. 283. .3 ciiiii * 4 (iiiiiK'S 11 in A k ■> omncs * 0 rt 13 ()(|. k 7 a'ipialid |a'(pi.
*- S E, (|. * 10 omncs () (piadrali k 13 V, (piadr. k 1 1 Icrlia ppiaita * IS V, (piaiiiald
P. 284. 2 (7 1) quad. * '.i cl omix. k "i ([uai'La |(piiiila * omncs V (|uadr. * 0 illo
* 10 (piiiUa |sc\la * V|l *■ l(i ;ni|ua 1 le (Krt. 'i;) * 17 sexUilseplima * 20 1, (piadr.i-
Unii k 21 scpliiiia |iicta\a
P. 285. i .\(|. k li(|. in Oq. k 3 A: i{u. * oclava | iiona k 7 ciiiii * Il V (|uad.
■>*• 12 noaam ](lccimam * l>S no\cm]dcccm
l'KAll.MKNl" Sli|{ [.A CISSOIDK.
[ [,('i;(iiis (le M. Cil. Iloiiry (Pirrrr ilr C/ircm'f, pa;^i:s îK-'io).]
1*. 283. "21 yssuis * "l'I porpcniJiculns • "li yssoitlis * tîi- yssoido -k nsympto
IV 286. 7 yssoidi * 10 M cl I) |.MIÎI> * i:i ys-^oidalo * 17KI|KL
Kf.hmat. — I. ^'>
WV VAIUANTES ET NOTES CUITIQUES.
1'. 287. I vssoidom -k applicalis * cx]iIg * "1 yssoidis * i III|LH * 7/S ad siim-
niam rectanim HI, HV, ita roda NO répctc. * 8, 10, 1:2, 2:j, 20, 28 VO |N0 * lit yssoidis
* 1!) rcci.T -k 22 eu m * IIG j IIC * 23 candem
W 288. I, i, 8 NO]VO * .'i omia ■*■ Il yssoidalc
OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE.
{Levons ilii rûJilion (li; S:imuiil Funiuil ; i()^o:=5.)
On a reproduit cii cararlèms plus petits les lextes de Bacliel (traduction on coinnieii-
taircs), anxcpiels se rapportent les observations de l'crmat. Les leçons de liaclict sont don-
nées d'après rédition do Dioplianle par Bacliet, iGu = lia.
La numérotaiie fies oliservations de Fermai et les renvois entre parentliè.ses sont
ajoutés.
Dans le Diopliante de Samuel Fermât, les notes de son pore sont imprimées en ilnliipu'.
et précédées cliaeune de la mention : OliSLKVATlO D. 1". F. (DO.MIM PKTlil DF FFUM.VT
pour II). — Les indications de pagination {S avec le n°) ne se rapportent ipi'au texte de
Fermai.
I'. 291. i (piihuscuni[ue * cùm * ITduasJduos *■ 22 duos />'«. o/» .V
I'. 292. 2 lil). 4. * 8(7 17 ipialuor]:, • 10 3o|3 * IC ji "" ] lerliam * 2:i Extal
•k VJ(|uinto * 2i Oliptinla
1'. 293. 1 tres|3. * 2 corundcm * 7 Primus]!. * Secundus]2. * Terlius|3.
* .S nio|)lianl;eam * lliiuatuor]4 * V.\ b'""]') k lil>. '>. * 19 (.V, inj) k 22VI|sexti
I'. 294. 2 1er] i. k ipuU("r).i *- 7 | oliani ( ,S', ikSi k l.'i v. ;,'.
1'. 295. 1 loco|loci * V. t;. * 12 quotcnn(pic
r. 296. "i datus |iliiclus * 1 ci omis, k 18 Iresjj. * 18/1!) ipii ncmpo unitale .v»-
/H-niiit qualernarium entre p<irciitlicsrs. k l!l v. g. k H'ijU'y nempc quaternarium unitale
snpprantcs entre parciiUicscs. k 'i.'i produclus.
1'. 297. I trcsjl. k 11 \ . ^'. * 10 prescribitur
P. 298. 7 cnni * 17 | dilTcreuliam ( .V. i34)
P. 299. 10 iteraliouem|opcrationcni
P. 300. (! soquenlis * L! duo qnadraloquadrala k 10 qnadraloqnadrala
P. 301. I{ operaliuncnijaxpiatioiiem ■*■ 10 mnltiplus * 22 V. (i.
P. 302. 2 cundem * iipialuorli. * 12 superiori * 21! v. i;.
P. 303. l ^!— T7 - o, * '^ vigcsima"|secund.T * 8 cum * l.'l v. g. • 17|condi-
> 1 iS 4 J J 184
lione (.V. iG-j) * 2:i VI |0.
P. 305. Il I esse (.V, 181) k 10 poli.u;onis
P. 306. .'1 ulcnnipie ■*• 5/(J v. j:. k 8lcrtia]i. * 1.") ciini
V. 307. I (■( 2 V. g. k l:j/li conficianl ]coiislitnaiil {à corriger ) k \Vt cl 10 ciini
VAIUANTES ET NOTFiS CUITIQIJES. W5
I'. 308. :! ci 7 ci'iiii * 17 i;|N + 3 (.V. v>.i<)) * ^JO ciim * 'iS iiiialiini- 1 j. * |ho-
ilncilur {rorrif^cz)
I'. 309. 1 li. * -2 lili. C. * i lil>. îi. * ciim * Il (|iuiUiiir| J.
I'. 310. I V. i:. * 18 liypollic. * 20 porpciKlic. • 21 oiiiidi'ui *r i|iialu(ir],i
I'. 311. -2 Diopliantaeos
I'. 312. y U. qiinestiono lib. î-
I'. 313. 7 possuiil .S' *• 11! cùiii *■ 21 VcruiitaiiuMi
1'. 314. 1 cl 21 ciiiu *- H (piiini|ip[M * IH iMiadeiii * l.'i aulliui'c * :ll) (luadrij-
pliejipiadrali * imilale|i,
P. 315. :i| nciiide (.V. 2j3) • I."; quarU] | J.
r. 316. 2!» Diopluinliraiii
I'. 317. 2 V. 1^. >*• 12 duntaxal • 17 ciiiii * 2! l)iophniila-is
1'. 318. 1 lV|i. • 2 fadiciU'i- -k l!l cimdciii
1'. 319. If (0 Fatic.) est la leçon indii|uéc dans le cominonlairc de /.'« * i Los mots
entre parciitlicscs sont lires de Ui innr^c do S et dédiiils du eomnieiiUiire de Jlii -k \"t pro-
diicUim
1'. 320. Ii| piinuim (.V. '.5()) * 22 v. .^.
1'. 321. X quadrupla * 2i-^.V
1'. 322. \ w-w; Jiii • 27 T;T,';ay<.)/ov Jid * T\ pindlU'liiin
P. 323. :( vciel\ero
1'. 324. 1 (.V, 2J-2) *• !l fvuii * \:\ \. i\a;vW:\U\\\\ (l>reiiiièrc foh) * lli D.C. -- 1( liis C.
I".), 2lt (■/ 23 niimis | - * 20 minus omis.
1*. 325. I -t- ■'.('. I — •^(^ * (> iNpKis|A-f- * e\ccssiis
1". 326. 12 ())i5 {iiiissi \i, l.'i) * IH — |h- * Il et !.-; (i |i.. -k IS pnipositis
* 2li eu m
P. 327. 2/3 vigcsimain qiiartani librl sovli. *■ IS ipiadraloqn.idrala
P. 328. :i l)ioplianUp;p -k l(i cl 22 cuni
P. 329. :: V. i;.
P. 330. 4 qii.Tsitus Irian.miliis .S', /(.tfc-; (Hiaisitiini IriauijidiMii • Il (.V, .kji) *■ qua-
tuor 11.
P. 331. :i Iriani;. reclani;.
P. 332. 7 Diophanta'o *• 10 rt 1 1 eorundoni * 17 cuiii
P. 334. l SU|)CtUUt * 20 TsrjjtXo'.aoTriTa;
i36 VAIUANTES ET NOTES CHITIOCES.
1'. 335. i \ . ;;. *• l:! luimcnis *• liacccdmil * IX lili. 5.
P. 336. 1 1 Fdrmauis
P. 337. I a iprcinicrc fois) omis. *■ G 3()]'ii).
I'. 338. 1 1 vi^'csimani (|iiarUiiii * lo scxli -k IS excrpii
P. 339. .'i OioplianUcani * S utiin(|iie
P. 340. 7 I laljoriosà (.9, 339) * Il i|iiailralusj(iuadrala
P. 341. ii'i iniiltnli
1'. 342. I <■/ i imillali
ERRAI A
M (')
Pai
c
81;
109
"
II'.
»
iG-
lii;iic 4 : Sii|)|iiiiiioi' la vir^'iile après lil).
» 9 : McUrc poiiU-vir^'iiIe après iiis.
» .S : La lettre 0 devrait Ctre en itali(|uc.
>> .'1 de la note i. — An lien de 20 avril, lire 2G avril.
■-'.11 >' '> de la note ■.>. — La découverte de Ncil a été publiée par Wallis dès
i(i5g, dans la seconde Partie du Volume intitule : Jolidiiiiis Wallisii
.S. .S. lit. J}., Gcoiiiclriiv Profc.tsoris- .Scwiliani O.coiiiœ, Tructiitiis
duo. Prier de Cycloidc et corporihiis iiidc i;c/iitis. J'oslcriur cpis/o-
leiris, in qiio o-^iliir de cissoidc et rorporil/Ui iiide ffeiiitis et de ciir-
vartiin tiini liiicaruin îjOjv-î:'., tiiin stipcrfiiierion -Xitj<;;io). O.niiiiir.
typi.i Jeademicis Liclifddiuiiis, Ami. Doin. CID.I'JC.LIX. — (aUp
seconde partie est d'ailleurs une réponse à nue lettre d'Uny^ens du
9 juin 1G39 et, lorsqu'il récrivit, Wallis avait déjà pris connaissance
de l'édition latine de la Céométvie de Descartes par Sclioolen.
2tS » 17, mettre une virgule après (/»(•«<«/•.
iiG » 4, niellrc une \irgnlc afirès aJTwv.
3)S u 2 de la note 2 eu remontant. Au lieu de dehil. lire dédit.
">77 " ii>. .\ii Wcu (.\c l'jrr/ionianiiin, Viro /'j rr/ionitirii/n.
388, note 1. Vérification faite, la pièce du Ms. fr. n. a. 3280 est l'original. L'adresse
en est : Clarissimo l'iro Petro Danicli Hiictio Petrits Fermât S. T.
( ' ) Consullcr les l'uriaiites qui prccùdont, liotaniiiicnt pour les pages 70 i -li, l:i iléminiTte <li-
«irigiiiaux ayant iHé postérieure à l'impression.
TABLE DE CONCORDANCE
ENTUE L'ÉDITION DES OEUVRES DE FERMAT DE 1G79
KT l.A l'Ul'.SENTK KDITION.
Paginai
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igiio 28.
<■) verso, ligne 34-
Hi'ilvuis
à
la pi'u.soiilf
cilitioii (1 ).
Popes
TITIIR IV
i:l;lsissimo s. r. i. imiincipi [•iîiidinvnih) i:tc 35o
De cclsissiniu prini.-i|io elc jSji
De [irinciiiis ejiisdcm elc 353
De eodem principe ele iâ.i
(Préfiicc) : iîrudito lectohi 355
Eloge lie Monsieur de Fermât ele 3 k)
Observation do Monsieur de Kcrmat sur Synésius etc. 30'^
Lettre (le Monsieur Descartes ;i Monsieur do Fermai,
j). 347, loin. 3 des Lettres de Monsieur Descarles. XXXII
P. Ilcrigonius, loin. (i. Oursus Mallieniatici p. 08.
De Maxiniis et Mi/iiinlv 171
0. Ismaei Itullialdus li.xercitationo de l'orisniatilius. 77
R. P. Merscnnus Ordinis .Miiiiinoroni, Ilelloxionuin
„,.,,. , \ Avcrlisscmcnt.
rlivsico-iiialnematicarum ini^. au {
■" ' ■ { p. X, noie 4-
Suniucl Sorhcrius in pra'faliono operum Oiissendi. . LXII note.
J'aria Opcrii Mathcnuitira 1>. Pciri dr Fermât SciKiloris Tolosani.
9
Ad locos jilanos et solidos Isagoge <)i
Appcndix ad Lsagogein lopicam oie io3
Apollonii l'erg.xi Libri duo do Locis plaiiis restiUili . 3
(') Los cliilTrcs iiiodcrnes inili([ucnt lij.s pagos du iirùscnt VoluiiU! ; lo.s clnlTrus romains en ^'l'aiidcs
capitales les luimûros des pièces do la Cori'uspondaiiuo (pii seront puliliees dans les Volumes suivants.
'1.38 TABLE DE CONCORDANCE.
raginatiiiii Hcjiivnis
de ;i
l'édilion la pnisciit"
de 1*171). l'ditinn.
Vaeff
28 Apollonii PcrgEci Proposiliones de Locis planis reslilutip.
Liber II -^-9
44 De irqiialiomim localiuin transmntationo ctc 'ii"'
58 Novus sccunilanini et ulterioris onlinis radiciim etc.. . . iSi
()0 Appendix ad snpeiiorcm metliodain 1 H j
(13 Methodus ad disqiiireiulain maxiniam et ininimatii 1 53
(13 1. 3 en rem. Do langentibus linoarum ciir\aruni i34
fi.i Cenlrum gravitatis, paraboliei connidis, ex eadem mc-
tliodo 1 31'
(■)(') Ad canidom methodum. — Volo elc 1 \"
(i() Ad eamdeiii inetliodiiin. — Docirinaiii etc 1 "i^
70 Oe conlaclibiis spli:erieis j>-
.Sy De lineanim eurvariiiii ciiin lineis rectis etc -"i
104 Appendix ad disserlatioiiem do linearuin etc ■.'.3S
III Do solutionc problematiim ctc 118
1 1<) Pnrisniatum Eiiclid:Eoriim renovaUi doctrina etc 7'i
1511 Lettre: de Monsieur tic Fernuit, iivcr qiiclqiiea-iuics de
cetlcx qui luy ont este' éeritcs par plusieurs />ersoiiues
de ((raml seavoir sur tlivcrs sujets de Maliu'nintiques
ou de /'/lysiquc N •
Lettre de M. de Format an U l'ère Merscnne Minime.
Du 3 jnin iG3G III
\/.x Au I!. P. Mersonno Minime. Du ■?. j juin iG3f) IV
laî An R. I'. Meisenne .Miniine. Dn ■>. septembre lO'it] X
1-24 Lettre do Messieurs de Pascal et de Uoberxal à M. de
Fermât. A Paris, le iG anust iG3G VIII
I if) Letiro de .M. de Fermât à .Messieurs de l'ascai et de lUi-
ber\al. Dn ■.^3 anust iG3G IX
i33 A Monsieur de Uoberval Professeur aux Malhématiques
il Paris VII
i3{ A Monsieur de Uoberval Professeur aux Malliéniatiqnes
à Paris. Du 16 septembre iG3G ^1
p iii \ .Monsieur de Uoberval Professeur aux Matliémaliques
y Paris. Du ti septembre iG3G XIII
i38 Lettre de Monsieur de Uoberval à Monsieur do Format.
Du 1 1 octobre rG3G XIV
I \ I dbjccta à D. de Format, advfirsùs iiropositionem Mocba-
nicam D. de Uoberval XVI
i4y. Nova in Meclianicis Tlioorcmata D. do Format V et II
TAI5LE DE CONCORDANCE. 439
l'a(,'iiKiticm Uenvois
l'iidition la présente
ilu i'i7i). éditiuu.
I ^3 l'ropnsilio Gcostatica D. de Fermât II
I U Projiositio D. de Fermnt eirca paraboleii H;
I i j Lettre (ic y\. de Fermât au U. Père Mersemic do l'Ordre
des Minimes VI
I (fi * Lettre lic .Monsieur de Fermai à Monsieur de Uolicrval à
Paris. Du ( novembre i(J3G .W
147 A Monsieur de Rolierval. Du 7 décembre iGjG .Wll
14s A Monsieur de lîoberval à Paris. Du lO découdire i(ij(i. XVlll
1 5 1 A .Monsieur de lîoberval XI.\
i5a Lettre de .Monsieur do Uobcrval à Monsieur de Fermât.
Du 4 i'^ l'il ''"7 ^^^^
i5'> Lettre <le Monsieur de P'erniat à Monsieur <lc Itoberval à
Paris. Du 20 avril 1G37 X.\l
i5} Lettre do Monsieur do liol)cr\al à .Monsieur do Format.
Du I" juin iC38 XXL\.
liii Lettre de Monsieur de Format à Monsieur de *"* O.WI
1 ">s Démonstration dont il est parlé dans la ieltre précédente. C.WII
Mil Lettre de Monsieur de Fermât à Monsieur do Uoberval à
Paris XLII
iCyt. A .Monsieur do **'*. Du 1 H octobre itijo XLIV
iGj Lettre do .Monsieur de Uobcrval à .Monsieur de Format.
Du 4 aonst iG4i> XLI
iGG Lettre de Monsieur de Freniclc à .Moiisicur do Fermai.
Du 2 aoust lO 1 1 .XLl.K
ifiy Lettre de M. do Freniclc à .M. de Format. Du G sep-
tombro 1G41 L
173 Lettre do M. do Format au Uévérend Pore Mersonne do
rurdrc des Minimes. A Paris XXXVllI
17G Lettre de Monsieur do Format au llévcrond l'orc Mer-
senne de l'Ordre des Minimes. A Paris XL
17S, 1.3 Lettre de .Monsieur de Format à Monsieur do Carcasi
Consoiller au Grand Ccmsoil. A Paris 1.111
17S, 1.4 on rom. Lettre do .Monsieur do Format à Monsieur do Carcavi
Consoiller au Grand Conseil. \ Paris LXI
179 Lettre do .Monsieur Pascal à Monsieur do l"'orm,it. Lo
29 juillet iGJ ; I.XX
iS3 Table dont il est fait mention dans la Lettre prccédento. LXXa
iS^ Lettre de Monsieur Pascal à Monsieur de Format. Du
24 aoust i(iJ4 l.XXll
uo
Pagination
de
l'éditinn
de ifi79.
PaRcs
i88
■ 88
189
190
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193
196
'97
'97
198
201
ao4
SOS
9.08
après /lo, ■>. Fol.
non numérotés
TABLE DE CONCORDANCE.
Renvois
à
la prosente
édition.
N"'
Lettre de Monsieur Pascal à Monsieur de Fermât. Du
27 octobre iGJl LXXV
l'roblemata proposita à D. de Fermai I.XXIX
Lettre de Monsieur de Fermât ù Monsieur le Clievalier
Kenclmc Digby. Du ao avril iGîy LW.Xll
l'roblema propositum à D. de Fermât LXXXI
Lettre de Monsieur de Format à Monsieur le Clievalier
Kcndine Digby. Du 20 juin iGjy LXXXllI
Lettre de Monsieur de Fermât à Monsieur le Chevalier
Kenelme Digby. Du i5 aoust 1C57 LXXXIV
Remarques de M. de Fermât sur l'Arithmétique des In-
finis de Monsieur Wallis Professeur de Géométrie en
Angleterre dans l'Université d'Oxford LXXXV
Lettre de Monsieur le Chevalier Digby à M. de Fermât.
Du 5 décembre lOi; I.XXXVIl
Lettre de Monsieur le Chevalier Digby à M. de Fermât.
Du 12 décembre l'iS; LXXX\III
Lettre do Monsieur le Chevalier Digby à M. de F'ermat.
Du i3 lévrier iG58 I.XXXIX
Lettera del Signer Digby al Signor di Fermât. Di
r -> maggio iG58 Xt^ll
Lettre do Monsieur Pascal à M. do Ferihat. Do Bienassis
le 10 aoust iGGo CVIII
Viro Clarissimo Dom. Gassendo Petrus de Fermai. S. P.
De proportione quâ gravia dccidentia acceleranlur. . . . LXII
Lettre de Monsieur Gassendi à Monsieur de **** LXII,,
Lettera del Signor Benedetto Castelli Abbate ili Verona,
al Signor di "** V„
Viro Clarissimo Dom. de Hanchiii, sen. Thol. Petrus de
Format S. P 3GG
Viro Clarissiuio D. de Pellisson, Libellnrum supplicum
uiagislro. Samuel de Format, S. P 3;3
(!ede Deo seu Christus moriens. D. Pelri de Fermai Car-
men ama'b:rum ad. D. Bal/.acum 3;)o
Cin([ planches de figures gcométri(|nes.
FIN DU TOME PU FMI EH.
,;v,„',
l'.nri». — Imprinierin GAUTiliEn-ViLLAns et fils, quai dos Grands-Augustins, Wn.
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R S D C
2003
(00)
DATE
DUE
GAYLORD
PniNTED IN USA
WELLESLEY COLLEGE LIBRARY
3 5002 03395 7361
Science qQA 3 , F35 ISSla 1
Fermât, Pierre de, 1601-
1665.
OEuvres de Fermât
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Cleveland Museum of Art
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